О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2006. Том 47, № 1

УДК 517.918+516.918

О БАЗИСНОСТИ ПО АБЕЛЮ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОР–ФУНКЦИЙ ВЫРОЖДЕННО–ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С СИНГУЛЯРНЫМИ МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ К. Х. Бойматов Аннотация: Установлена полнота и суммируемость в смысле Абеля — Лидского системы корневых вектор-функций несамосопряженных матричных эллиптических операторов A, порожденных некоэрцитивными формами при граничных условиях типа Дирихле. Оператор A + βE при достаточно большом β > 0 будет позитивным, но, вообще говоря, не сильно позитивным. Получены оценки собственных значений и резольвенты оператора A. Исследована также резольвента расширения A оператора A в соответствующем негативном пространстве. Ключевые слова: базисность по Абелю, эллиптический оператор, корневая векторфункция.

В работах [1–3] введен класс вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов A с сингулярными коэффициентами, порожденных некоэрцитивными билинейными формами. Оператор A рассматривается в гильбертовом пространстве L2 (Š)l , где Š ⊂ Rn — ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса. Для достаточно больших по модулю λ ∈ C, изменяющихся в некотором угле, получена [1–3] оценка k(A − λE)−1 k ≤ M |λ|−1/2 . В данной работе впервые установлена оценка резольвенты оператора A с показателем 1 вместо 12 , что позволило исследовать вопросы суммируемости в смысле Абеля — Лидского системы корневых вектор-функций оператора A. В настоящей статье для получения уточненной оценки резольвенты в отличие от работ [1, 3] рассматривается тройка вложенных пространств Hνl → l L2 (Š)l → H−ν , зависящих от параметра ν > 0. При ν = 1 эта тройка такая же, l как в [1, 3]. Устанавливаются оценки резольвенты расширения A : Hνl → H−ν оператора A, равномерные по ν > 0. Из этих оценок при ν = |λ| удается извлечь оценку k(A − λE)−1 )k ≤ M |λ|−1 , а при ν = 1 получаются более слабые оценки такие же, как в [1–3]. Главный член резольвенты оператора A построен в иной форме, чем в работах [1, 3]. Это позволило в значительной степени сократить выкладки по c 2006 Бойматов К. Х.

О базисности системы корневых вектор-функций

47

сравнению с теми, которые потребовались бы при использовании прежней схемы «параметрикса», как в [1, 3]. Результаты работы для эллиптических операторов с ограниченными коэффициентами частично анонсированы в статье [4] автора. 1. В этом пункте сформулированы основные теоремы и дано краткое описание содержания последующих пунктов статьи. Пусть Š ⊂ Rn — конечная область, удовлетворяющая условию конуса, m, l > 0 — целые числа, θ < m. m Введем пространство W2,θ (Š) функций y(x), x ∈ Š, с конечной нормой  X Z |y|+ =

2 ρ2θ (x) Dxα y(x) dx +

|α|=m Š

1/2

Z |y(x)|2 dx

.

Š


α1
αn ∂ ∂ . . . i∂x , |α| = α1 + · · · + αn , Dxα = i∂x Здесь α = (α1 , . . . , αn ) ∈ 1 n ∞ ρ(x) ∈ C (Š) — положительная функция такая, что ρ(x) ≤ dist{x, ∂Š} ≤ M ρ(x), Dxα ρ(x) ≤ Mα ρ1−|α| (x) ∀α ∈ Zn+ . Zn+ ,

О существовании для любой области Š ⊂ Rn функции ρ(x) с указанными свойствами см., например, [5, гл. 3, § 1.3]. Рассмотрим функцию X A(x, ξ) = haαβ (x)ξα , ξβ iCl (x ∈ Š, ξ = {ξα }|α|≤m , ξα ∈ Cl ) |α|,|β|≤m

с коэффициентами aαβ (x) ∈ L∞ (Š; EndCl ). В случае θ + нительно предполагается, что |aαβ (x)| ≤ M ρδ (x) (|α| + |β| < 2m),

1 2

∈ {1, . . . , m} допол-

δ > 0.

(1)

Здесь и далее нормы в пространствах C, Cl , EndCl , L2 (Š), L2 (Š)l обозначаются одним и тем же знаком | · |. Пусть найдутся число ϕ ∈ (0, π) и функция γ(x) ∈ C(Š) такие, что γ(x) 6= 0 ∀x ∈ Š и выполняются следующие неравенства: | arg A(x, ξ)| < ϕ, X

|ξα |2 ≤ M Re{γ(x)A(x, ξ)}

(2) (20 )

|α|=m

для всех x ∈ Š, ξ = {ξα }|α|≤m , ξα ∈ Cl ; функция arg z принимает значения на m отрезке (−π, π]. Обозначим через H+ замыкание C0∞ (Š) в пространстве W2,θ (Š). 0 Учитывая (1), (2 ), на основании неравенства Харди на вектор-функциях u, v ∈ l H+ можно задать билинейную форму X
U [u, v] = pα (x)aαβ (x)Dxα u(x), pβ (x)Dxβ v(x) , |α|,|β|≤m

где pα (x) = ρ(x)θ+|α|−m . Здесь и далее символ ( , ) обозначает скалярное произведение в пространстве L2 (Š) или L2 (Š)l . Соответствующее неравенство типа Харди в нужной нам форме приведено ниже в неравенстве (10). Обозначим через H− пополнение пространства H = L2 (Š) по норме |y|− =

sup w∈H+ ,|w|+ =1

|(w, y)|.

48

К. Х. Бойматов

l Элементы из H− отождествляются с соответствующими антилинейными l l l непрерывными функционалами над H+ . Нормы в пространствах H+ и H− будем обозначать соответственно теми же знаками: | · |+ и | · |− . Таким образом, l l мы получили тройку плотно вложенных пространств H+ → H l → H− , в которой l l H+ — позитивное пространство, H− — негативное пространство (см. [6, § 2.0]). l l Действие функционала F ∈ H− на элемент v ∈ H+ будем обозначать символом l hF, vi. Очевидно, что в случае F ∈ H имеем hF, vi = (F, v). l l l Введем оператор A : H+ → H− , действующий на элемент u ∈ H+ по l формуле hA u, vi = U [u, v] ∀v ∈ H+ . В работе [1] установлено (см. также [3]), что множество G точек λ ∈ C, для которых dim ker(A − λE) > 0, является чисто точечным множеством с единственной возможной предельной точкой на бесконечности. При этом если l l . → H+ λ 6∈ G , то существует непрерывный обратный оператор (A − λE)−1 : H− Имеет место следующая

Теорема 1. Существует единственный замкнутый оператор A в H l , обладающий следующими свойствами: l l (i) D(A) ⊂ H+ , (Au, v) = U [u, v] ∀v ∈ H+ , u ∈ D(A), (ii) найдется число λ0 ∈ C такое, что оператор A−λ0 E непрерывно обратим. Оператор A совпадает с сужением оператора A в H l :  l D(A) = u ∈ H+ : A u ∈ H l , Au = A u ∀u ∈ D(A). (3) Первая часть утверждения теоремы анонсирована в работе [2] автора. Пусть P — самосопряженный оператор в H l , ассоциированный с симметрической билинейной формой X l P[u, v] = (pα Dα u, pα Dα v), D[P] = H+ . |α|=m

Продолжим оператор (P + tE)1/2 , t > 0, до непрерывного оператора P(t) : l l H l → H− . Сужение в H l оператора P −1 (t) : H− → H l совпадает с оператором −1/2 (P + tE) . Теорема 2. Для любого замкнутого сектора S ⊂ {z ∈ C : | arg z| > ϕ}∪{0} с вершиной в нуле найдется число σ > 0 такое, что справедливы представления (A − λE)−1 = (P + |λ|E)−1/2 Y (λ)P −1 (|λ|),

(4)

(A − λE)−1 = (P + |λ|E)−1/2 Y (λ)(P + |λ|E)−1/2 ,

(40 )

где Y (λ) : H l → H l — линейный непрерывный оператор, λ ∈ S, |λ| > σ, sup

kY (λ)kH l →H l < +∞.

λ∈S,|λ|>σ

Из представления (40 ) вытекает оценка k(A − λE)−1 kH l →H l ≤ MS |λ|−1 (λ ∈ S, |λ| > σ).

(5)

Таким образом, оператор (A + βE) для достаточно больших β > 0 является позитивным оператором [7, гл. 4, § 14].

О базисности системы корневых вектор-функций

49

π n n−1 Теорема 3. Пусть ϕ < 2ω , где ω = max{ 2m , 2m−2θ }. Тогда система корl невых вектор-функций оператора A полна в H . Ряд Фурье любого элемента f ∈ H l по системе корневых вектор-функций оператора A суммируется к f в смысле Абеля — Лидского со скобками порядка γ = ω + µ с достаточно малым µ > 0. Порядок резольвенты оператора A не превосходит числа ω. О суммируемости в смысле Абеля — Лидского см. работы [8, 9]. Метод Абеля впервые был введен в работе Лидского [9]. Из последних работ, посвященных вопросам базисности, отметим работы [4, 10–15] (см. также [5, гл. 2, § 3]). π выполняется при любом Отметим, что если ω ≤ 12 , то условие ϕ < 2ω ϕ ∈ (0, π). Приведем краткое описание содержания следующих пунктов статьи. В п. 2 установлено, что при доказательстве теорем 1–3, не нарушая общности, можно наложить некоторые дополнительные ограничения на функцию γ(x). В п. 3 сформулировано одно утверждение, вытекающее из теоремы 2.0.1 статьи [6]. На основании этого утверждения в п. 4 вводится в рассмотрение некоторый l l непрерывный оператор Bλ : H+ → H− , 0 6= λ ∈ S, который понадобится в п. 6 для построения регуляризатора оператора A − λE. Установлено, что оператор l l при любом 0 6= λ ∈ S. В п. 5 → H+ Bλ имеет непрерывный обратный Bλ−1 : H− введены пространства Hν , H−ν , ν > 0, и доказаны некоторые вспомогательные неравенства, используемые в п. 6, где выводится равенство

(A − λE)−1 = γBλ−1 (E + Jν,λ ),

λ ∈ S, |λ| > cS ,

l l удовлетворяет оценке → H−ν в котором оператор Jν,λ : H−ν

1 (1 ≤ ν ≤ 4|λ|, λ ∈ S, |λ| > cS ). 2 На основании полученных вспомогательных результатов доказательства теорем 1, 2 завершаются в п. 7. В п. 8 установлено, что порядок резольвенты оператора A не превосходит числа ω. После этого теорема 3 вытекает из теорем 6.4.1 и 6.4.2 работы [9] с учетом оценки (5). Отметим, что в п. 8 получена также точная по порядку оценка сверху функции распределения собственных значений оператора A. В заключительном п. 9 дано описание областей определений оператора A и сопряженного к нему оператора A∗ . Для оператора l l A∗ и соответствующего его расширения A + : H+ → H− получены такие же представления, как в теореме 1. ≤ kJν,λ kH−ν l →H l −ν

2. При доказательстве теорем 1, 2, не нарушая общности, можно считать, что ϕ > π2 . В силу (2) неравенство (20 ) будет выполняться также и в том случае, если γ(x) заменить на ei‚(x) , где ‚(x) = min{ϕ − π/2, | arg γ(x)|}(sign arg γ(x)). Теперь имеем c|λ| ≤ Re{−λγ(x)} ∀x ∈ Š,

λ ∈ S, c = cS > 0.

(6) 0

Очевидно, что в дальнейшем мы можем считать также, что в (2 ) (6) функция γ принадлежит C m (Š). 3. Приведем в удобной для нас форме утверждение теоремы 2.0.1 из [6] приl l менительно к тройке вложенных пространств H+ → H l → H− и билинейным

50

К. Х. Бойматов

l формам, заданным на H+ . Рассмотрим в пространстве H l замкнутую билиl нейную форму B[u, v] с областью определения D[B] = H+ . Пусть выполнены неравенства l |B[u, v]| ≤ C|u|+ |v|+ ∀u, v ∈ H+ , (7) l δ0 |u|2+ ≤ Re B[u, u] ∀u ∈ H+

(70 )

с некоторыми C, δ0 > 0. Утверждение 1. Существует линейный оператор ƒ, осуществляющий гоl l меоморфизм пространств H+ и H− и такой, что l hƒu, vi = B[u, v] ∀u, v ∈ H+ . l При этом любой элемент F ∈ H− допускает представление

hF, vi = B[u, v] = hƒu, vi, l в котором элемент u ∈ H+ определяется единственно. l l Таким образом, если ввести в рассмотрение оператор B : H+ → H− , сопоl l ставляющий элементу u ∈ H+ функционал F ∈ H− по формуле l hF, vi = B[u, v] ∀v ∈ H+ , l l , причем B −1 = → H+ то оператор B имеет непрерывный обратный B −1 : H− ƒ−1 .

4. Проверим выполнение условий (7), (70 ) для билинейной формы X Z

 Bλ0 [u, v] = γ(x) pα aαβ (x)Dxα u(x), pβ Dxβ v(x) Cl dx |α|,|β|≤m Š

Z γ(x)hu(x), v(x)iCl dx,

−λ

l u, v ∈ H+ , 0 6= λ ∈ S. (8)

Š

Для u = v положим в (8) ξα = ξα (x) вместо Dxα u(x). Тогда согласно (20 ), (6) получим Z Z 1 X α α l hpα D u, pα D uiCl dx + c|λ| |u(x)|2Cl dx ≤ Re Bλ0 [u, u] ∀u ∈ H+ , M |α|=m Š

Š

(9) что и доказывает (70 ). Для доказательства (7) понадобится следующее неравенство Харди (см., например, теорему 4 из [16] или теорему 1.5 из [5, гл. 3, § 1.4]): X Z 2 0 ρ(x)δ +2θ−2m+2|α| Dxα y(x) dx |α|≤m Š

X Z ≤M |α|=m Š

2 ρ(x)2θ Dxα y(x) dx + M

Z |y(x)|2 dx ∀y ∈ H+ ,

(10)

Š

справедливое при θ + 12 6∈ {1, . . . , m}, θ < m, с любым δ 0 ≥ 0; M = M (δ 0 ) > 0. Для θ + 21 ∈ {1, . . . , m} неравенство (10) имеет место только для положительных δ 0 > 0.

О базисности системы корневых вектор-функций

51

Оценим интегралы в (8) с помощью неравенства Коши — Буняковского и далее применим неравенство (10). В зависимости от того, принадлежит ли число θ + 12 множеству {1, . . . , m} или не принадлежит, в (10) полагаем δ 0 = δ или δ 0 = 0 (см. условие (1)). В результате получим l |Bλ0 [u, v]| ≤ M 0 |u|+ |v|+ + M 0 |λ||u||v| ∀u, v ∈ H+ .

(11)

Таким образом, билинейная форма Bλ0 [u, v], 0 6= λ ∈ S, в соответствии с l l утверждением 1 порождает линейный непрерывный оператор Bλ : H+ → H− по формуле l hBλ u, vi = Bλ0 [u, v], u, v ∈ H+ . l l Оператор Bλ имеет непрерывный обратный Bλ−1 : H− → H+ . l Заметим, что для u ∈ H+ , t ≥ 1, справедливо равенство

 X

1

|(P + tE) 2 u|H l =

|pα Dα u|2H l + t|u|2H l

1/2 .

(12)

l u ∈ H+ , t ≥ 1,

(120 )

|α|=m

Аналогично |(P0 + tE)1/2 u|H l = (Re B00 [u, u] + t(u, u))1/2 ,

где P0 — положительный самосопряженный оператор, ассоциированный с билинейной формой P00 [u, v] =

1 1 0 (B0 [u, v] + B00 [v, u]) = 2 2

X

 (γpα (aαβ (x) + a∗βα (x))Dα u, pβ Dβ v ,

|α|,|β|≤m

l D[P00 ] = H+ .

Применяя неравенства (9), (11), получим эквивалентность равномерно по t ≥ 1 норм (12), (120 ). 5. Введем пространство Hν , ν > 0, функций y ∈ H+ с нормой |y|ν =
1/2 + (ν − 1)|y|2 . Пусть H−ν , ν > 0, — пополнение пространства H по норме |y|−ν = sup |(y, w)|. |y|2+

w∈H+ ,|w|ν =1 l H±ν , 1

l При ν1 , ν2 > 0 множества H±ν совпадают, а как нормированные про2 странства отличаются друг от друга только эквивалентными нормами. Для l l l l ν = 1 имеем Hνl = H+ , H−ν = H− . Пространство H−ν , ν > 0, является негаl тивным пространством в тройке Hνl → H l → H−ν по отношению к позитивному пространству Hνl . Ближайшей нашей целью является доказательство для достаточно больших по модулю λ ∈ S представления

(A − λE)−1 = γBλ−1 (E + Jν,λ ),

(13)

l l где Jν,λ : H−ν → H−ν — непрерывный оператор,

kJν,λ kH−ν ≤ l →H l −ν

1 2

(1 ≤ ν < 4|λ|, λ ∈ S, |λ| > cS ).

Доказательству предпошлем следующую лемму.

(130 )

52

К. Х. Бойматов Лемма 1. Для t ≥ 1, |σ| < |α| ≤ m выполняется неравенство |pα Dσ u|H l ≤ q(t)|(P + tE)1/2 u|H l ,

l u ∈ H+ ,

(14)

где q(t) → 0 (t → +∞). Имеет место также неравенство k(P + tE)1/2 γ(P + tE)−1/2 kH l →H l ≤ M

(t ≥ 1).

(140 )

Доказательство. В случае ∂Š ∈ C ∞ неравенство (14) вытекает из (12) и теоремы 1.1.7 работы [6]. В общем случае введем множества Šε = {x ∈ Š : ρ(x) > ε},

Š0ε = Š\Šε , 0 < ε.

Для достаточно малого ε > 0 множество Šε будет областью с границей ∂Šε ∈ C ∞ . Для любого ν > 0 найдется число K(ε, ν) > 0 такое, что выполняется следующее (см. теорему 1.1.7 из [6]) неравенство: X l . |Dβ u|L2 (Šε )l + K(ε, ν)|u|H l , u ∈ H+ |Dσ u|L2 (Šε )l ≤ ν |β|=m

Отсюда |pα Dσ u|L2 (Šε )l ≤ νC1

X

|ρθ Dβ u|H l + K(ε, ν)|u|H l ,

|β|=m

C1 = ( inf ρθ (x))−1 ( sup ρθ+|α|−m (x)) ≤ C2 ε−|θ|−m , x∈Šε

x∈Šε

где число C2 > 0 не зависит от ε. Аналогично на основании неравенства (10) имеем |pα Dσ u|L2 (Š0ε )l ≤ C3 |pσ ρ1/2 Dσ u|H l < C3 M |u|H+l ,  −1/2 C3 = sup pα (x)p−1 (x) ≤ C4 ε1/2 ; σ (x)ρ x∈Š0ε

числа M, C4 > 0 не зависят от ε. Подытоживая, при ν = ε1+|θ|+m получим |pα Dσ u|H l ≤ C4 ε1/2 |u|+ + C5 νε−m−|θ| |u|+ + K(ε, ν)|u|H l ≤ C6 ε1/2 |u|+ + R(ε)|u|H l , где R(ε) (0 < ε < ε0 ) — положительная функция, относительно которой можно считать, что она невозрастающая, непрерывная слева и R(0+) = +∞. Для достаточно больших t ≥ t0 определим ε и q0 = q0 (t) из равенств √ ε = min{ε0 : R(ε0 ) ≤ (1/2)t1/4 }, q0 = 2C6 ε. Для доказательства (14) при t ≥ t0 теперь достаточно привлечь (12) и положить q(t) = max{q0 (t), t−1/4 }. Из оценки (14) для |σ| < |α| ≤ m, β + σ = α, следует |pα (Dσ γ)Dβ u|H l ≤ M 0 |(P + tE)1/2 u|H l ,

l u ∈ H+ , t ≥ 1,

что в силу (120 ) доказывает (140 ). Лемма доказана. 6. Билинейная форма Bλ0 [u, v] (8) секториальна с вершиной в нуле, т. е. (см. (9), (11)) π l | arg Bλ0 [u, u]| ≤ ψ < ∀u ∈ H+ . 2

О базисности системы корневых вектор-функций

53

При этом число ψ не зависит от 0 6= λ ∈ S. Рассмотрим m-секториальный оператор Bλ , 0 6= λ ∈ S, в пространстве H l , ассоциированный (см. [17, гл. VI]) с билинейной формой Bλ0 [u, v]. Согласно теореме 3.2 из [17, гл. VI] справедливо равенство Bλ−1 = (P0 + |λ|E)−1/2 X0 (λ)(P0 + |λ|E)−1/2 , где kX0 (λ)kH l →H l ≤ M (λ ∈ S, |λ| ≥ 1). Учитывая эквивалентность равномерно по t ≥ 1 норм (12), (120 ), получим Bλ−1 = (P + |λ|E)−1/2 X(λ)(P + |λ|E)−1/2 , где kX(λ)kH l →H l ≤ M 0 (λ ∈ S, |λ| ≥ 1). Ясно, что оператор Bλ совпадает с сужением в H l оператора Bλ . Отсюда по непрерывности получаем равенство Bλ−1 = (P + |λ|E)−1/2 X(λ)P −1 (|λ|) (λ ∈ S, |λ| ≥ 1).

(15)

По определению оператора Bλ выполняются равенства

   l l Bλ Bλ−1 u, v = Bλ0 Bλ−1 u, v = hu, vi ∀u ∈ H− , v ∈ H+ , 0 6= λ ∈ S. l l Поэтому согласно (8) для u ∈ H− , v ∈ H+ , 0 6= λ ∈ S X

hu, vi = γpα aαβ Dα Bλ−1 u, pβ Dβ v − λ γBλ−1 u, v .

(16)

|α|,|β|≤m l l . По определению оператора A имеем F = γBλ−1 u ∈ H+ Для u ∈ H− X
h(A − λE)F, vi = pα aαβ Dα γBλ−1 u, pβ Dβ v − λ(F, v). |α|,|β|≤m

Вычитая из обеих частей этого равенства соответствующие части равенства (16), получим

 (A − λE)γBλ−1 u, v − hu, vi  X  X 0 = pα aαβ Cα,σ (Dσ γ)Dσ Bλ−1 u, pβ Dβ v (17) |α|,|β|≤m l l для всех u ∈ H− , v ∈ H+ , λ ∈ S, |λ| ≥ 1. Здесь Cα,σ — некоторые константы, получающиеся из формулы многократного дифференцирования произведения функций; во второй сумме суммирование проводится по мультииндексам σ, σ 0 ∈ Zn+ таким, что |σ| < |α|, σ + σ 0 = α. Из представления (15) согласно лемме 1 имеем pα Dσ B −1 u l ≤ q(|λ|)|(P + |λ|E)1/2 B −1 u|H l λ λ H

≤ c1 q(|λ|)|P −1 (|λ|)u|H l ≤ c2 q(|λ|)|u|H l

−|λ|

,

l u ∈ H− ,

для всех λ ∈ S, |λ| ≥ 1, |σ| < |α| ≤ m; q(t) → 0 (t → +∞). Следовательно, правая часть (17) по модулю не превосходит c3 q(|λ|)|u|−ν |v|ν для всех 1 ≤ ν < l l 4|λ|, λ ∈ S и всех u ∈ H− , v ∈ H+ . 0 Таким образом, оператор Jν,λ (1 ≤ ν < 4|λ|, λ ∈ S), определенный равенством
0 l l Jν,λ = E − (A − λE)γBλ−1 : H−ν → H−ν ,

54

К. Х. Бойматов

0 ≤ M q(λ). Аналогичные рассуждения удовлетворяет оценке kJν,λ kH−ν l →H l −ν l l ¯ можно проводить для оператора A + − λE, где оператор A + : H+ → H− действует по формулам X l hA + u, vi = U [v, u] = (pα a∗βα Dα u, pβ Dβ v), u, v ∈ H+ , (18) |α|,|β|≤m

откуда следует, что ker(A − λE) = 0 (λ ∈ S, |λ| > c˜S ). Таким образом, для достаточно больших по модулю λ ∈ S, 1 ≤ ν < 4|λ|, оператор A − λE непрерывно обратим и оператор Jν,λ в формуле (13) можно задавать по формулам 0 0 0 E + Jν,λ = (E − Jν,λ )−1 = E + Jν,λ + (Jν,λ )2 + . . . .

Используя (13), (140 ), (15), получим (A − λE)−1 = γ(P + |λ|E)−1/2 X(λ)P −1 (|λ|) · (E + Jν,λ ) = (P + |λ|E)−1/2 X1 (λ)P −1 (|λ|) · (E + Jν,λ )P(|λ|)P −1 (|λ|), kX1 (λ)kH l →H l ≤ M

(λ ∈ S, |λ| > cS ).

Для доказательства представления (4) остается только проверить, что kP −1 (|λ|)Jν,λ P(|λ|)kH l →H l ≤ M равномерно по λ ∈ S, |λ| > cS , ν = |λ|: |P −1 (|λ|)Jν,λ P(|λ|)u|H l ≤ |Jν,λ P(|λ|)u|−|λ| ≤ M1 |P(|λ|)u|−|λ| ≤ M2 |u|H l . 7. Докажем теорему 1. Пусть A — сужение оператора A в H l (см. (3)). Тогда свойство (i) для оператора A сразу следует из определения оператора A . Согласно (13) при λ ∈ S, |λ| > cS , оператор A − λE имеет нулевое ядро. Отсюда и из (3), (4) вытекает, что существует непрерывный обратный (A − λE)−1 u = (A − λE)−1 u

(u ∈ H l , λ ∈ S, |λ| > cS ).

(19)

Пусть теперь A0 — некоторый замкнутый оператор в H l такой, что l D(A0 ) ⊂ H+ ,

l (A0 u, v) = U [u, v] ∀v ∈ H+ , u ∈ D(A0 ),

и существуетнепрерывный обратный (A0 −λ0 E)−1 для некоторого λ0 ∈ C. Ясно, 0 l l что D(A ) ⊂ u ∈ H+ : A u ∈ H = D(A) и оператор A является расширением оператора A0 . Следовательно, (A − λ0 E)(A0 − λ0 E)−1 u = u

∀u ∈ H l .

(20)

Далее нам понадобится следующая Лемма 2. Вложение H+ ⊂ H при θ < m компактно. Следствие. Оператор P имеет дискретный спектр. Для доказательства леммы применяется следующее вытекающее из (10) неравенство: m−θ |ρ−ν u|H ≤ M |u|+ , u ∈ H+ , ν = > 0. 2 Пусть Šε , Š0ε — области такие, как в лемме 1. Используя компактность вложения W2m (Šε ) ⊂ L2 (Šε ), из любой последовательности u01 , u02 , . . . ∈ H+ ,

О базисности системы корневых вектор-функций

55

|u0j |+ ≤ 1, можно выделить подпоследовательность u1,ε , u2,ε , . . . такую, что |ui,ε − uj,ε |L2 (Šε ) → 0, i, j → +∞. Так как |u|L2 (Š0ε ) ≤ εν |ρ−ν u|L2 (Š) ≤ M εν |u|+

(u ∈ H+ ),

имеем lim

i,j→+∞

|ui,ε − uj,ε |H ≤ 2M εν .

(21)

Из последовательности u1,ε , u2,ε , . . . можно выделить подпоследовательность u1,ε/2 , u2,ε/2 , . . . , для которой указанное неравенство выполняется с 2ε вместо ε. Повторяя эту процедуру k раз, получим подпоследовательность ui,εk /2 , i = 1, 2, . . . , εk = 2−k ε, последовательности ui,εk , i = 1, 2, . . . , такую, что (21) выполняется с εk /2 вместо ε. Применяя стандартный прием диагонализации, находим нужную сходящуюся последовательность uj = uj,εj+1 , j = 1, 2, . . . . l Так как D(A0 ) ⊂ H+ , из леммы 2 следует, что оператор A0 имеет дискретный спектр. Поэтому, не нарушая общности, можно считать, что в (20) λ0 ∈ S, |λ0 | > cS , и, следовательно, (A − λ0 E)−1 = (A0 − λ0 E)−1 . Таким образом, A = A0 , что доказывает теорему 1. Из (4) и (19) следует (40 ), что завершает доказательство теоремы 2. 8. Пусть A, P — операторы такие, как в теореме 2. Обозначим через N (t), N0 (t), t > 0, числа собственных значений (с.з.) соответственно операторов A, P , не превосходящих по модулю t, с учетом их алгебраических кратностей. w Напомним, что P = P ∗ ≥ 0. Введем для θ 6= m n функцию ˆ(t) = t (1 ≤ t < n n−1 m w +∞), где w = max{ 2m , 2m−2θ }. Для θ = n полагаем ˆ(t) = t ln t. Согласно результатам статьи [18] в случае конечных областей Š ⊂ Rn , ∂Š ∈ C 1 , при θ + 12 6∈ {1, . . . , m} верна оценка N0 (t) ≤ M ˆ(t), 1 < t < +∞. Гладкость границы использовалась в [18] только для обоснования применимости неравенства Харди. Соответствующее неравенство типа Харди (10) установлено в [7] для произвольных конечных областей Š ⊂ Rn , удовлетворяющих условию конуса. Поэтому мы можем в дальнейшем использовать оценку N0 (t) = O(1)ˆ(t) для θ + 21 6∈ {1, . . . , m}. В случае θ + 21 ∈ {1, . . . , m} функция N0 (t) сравнивается с функцией Nε0 (t) распределения с.з. оператора Pε0 , который строится так же, как оператор P , но с показателем θ + ε0 < m вместо θ, так что θ + ε0 + 12 6∈ {1, . . . , m}, ε0 > 0. Тогда мы можем так же, как выше, написать некоторую оценку сверху для функции Nε0 (t). Окончательно, учитывая произвольность числа ε0 > 0, находим N0 (t) ≤ Mε tw+ε

(1 ≤ t < +∞) ∀ε > 0,

(22)

причем эта оценка имеет место для любого θ < m. Отсюда на основании (40 ), в частности, следует, что порядки резольвент операторов A, P не превосходят числа w. Теорема 4. Для функции N (t) распределения с.з. оператора A справедлива оценка N (t) ≤ Mε0 tw+ε (t ≥ 1) ∀ε > 0, причем если θ + 12 6∈ {1, . . . , m}, то N (t) ≤ M 0 ˆ(t) (t ≥ 2). Для доказательства возводим обе части равенства (40 ) в целую степень k > w. Для достаточно больших t ≥ t0 имеем +∞ Z −k

|(A + tE)

|1 ≤ M |(P +

tE)−1/2 |2k 2k

≤M 0

dN0 (τ ) ; (t + τ )k

56

К. Х. Бойматов

здесь символы |·|1 , |·|2k обозначают соответственно ядерную норму и σ2k -норму оператора [12]. Согласно теореме 2 с.з. λ1 , λ2 , . . . оператора A удовлетворяют неравенствам c0 (τ + |λi |) ≤ |τ + λi |,

i = 1, 2, . . . , τ > τ0 (c0 > 0).

Сумма модулей с.з. ядерного оператора не превосходит его ядерной нормы. Поэтому для θ + 21 6∈ {1, . . . , m} имеем +∞ X

+∞ Z

|(t + |λi |)|−k ≤ M1

i=1

dˆ(τ ) . (t + τ )k

0

Следовательно, Zt

Zt k k

N (t) ≤

dN (τ ) ≤ 2 t 0

0

dN (τ ) ≤ M 2 tk (τ + t)k

+∞ Z

dˆ(τ ) ≤ M 0 ˆ(t) (t ≥ 2). (τ + t)k

0

Первая оценка в теореме 4 доказывается аналогично с привлечением неравенства (22). l l — оператор, введенный выше в (18), A0 — сужение → H− 9. Пусть A + : H+ в H l оператора A + , т. е.  l D(A0 ) = u ∈ H+ : A + u ∈ H l , A0 u = A + u (u ∈ D(A0 )).

Теорема 5. Справедливы следующие утверждения. (a) A0 = A∗ , где A∗ — оператор, сопряженный к оператору A. (б) Для любого замкнутого сектора S ⊂ {0} ∪ {z ∈ C : | arg z| > ϕ} с вершиной в нуле найдется число c = cS > 0 такое, что для λ ∈ S, |λ| > c, имеют место равенства (A + − λE)−1 = (P + |λ|E)−1/2 Y1 (λ)P −1 (|λ|), (A∗ − λE)−1 = (P + |λ|E)−1/2 Y1 (λ)(P + |λ|E)−1/2 , где нормы операторов Y1 (λ) : H l → H l равномерно ограничены сверху по λ ∈ S, |λ| > c; сектор S содержит конечное число точек спектров операторов A, A∗ . (в) Области определений D(A), D(A∗ ) операторов A, A∗ состоят из векторl функций u ∈ H+ , удовлетворяющих соответственно следующим условиям: l ∃f ∈ H l (f, v) = U [u, v] ∀v ∈ H+ , l . ∃f ∈ H l (f, v) = U [v, u] ∀v ∈ H+

Доказательство в основном следует из того факта, что утверждения теорем 1, 2 верны и для операторов A0 , A + (взятых вместо A, A ). Равенство A0 = A∗ устанавливается такими же рассуждениями, как в п. 7. ЛИТЕРАТУРА 1. Бойматов К. Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными формами // Докл. РАН. 1994. Т. 339, № 1. С. 5–10. 2. Бойматов К. Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных // Функцион. анализ и его приложения. 1995. Т. 29, № 3. С. 55–58.

О базисности системы корневых вектор-функций

57

3. Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107–134. 4. Бойматов К. Х. О спектральной асимптотике и суммируемости методом Абеля рядов по системе корневых вектор-функций негладких эллиптических дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 4. С. 442–445. 5. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000. 6. Лизоркин П. И., Никольский С. М., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4–30. 7. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 8. Агранович М. С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Соврем. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 63. С. 5– 129. (Итоги науки и техники). 9. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Тр. Моск. мат. об-ва. 1962. Т. 11. С. 3–35. 10. Sango M. A spectral problem with an indefinite weight for an elliptic system // Electronic J. Differential Equations. 1997. V. 21. P. 1–14. 11. Yakubov S. Abel basis of root functions of regular boundary value problems // Math. Nachr.. 1999. V. 197. P. 157–187. 12. Pyatkov S. G. Riesz’s bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian J. Differential Equations. 1995. V. 1, N 2. P. 179–196. 13. Агранович М. С. О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряженной главной частью // Функциональный анализ и его приложения. 1994. Т. 28, № 3. С. 1–21. 14. Agranovich M. S. Nonselfadjoint elliptic operators in nonsmooth domains // Russian J. Math. Phys.. 1994. V. 2, N 2. P. 139–148. 15. Faierman M. An elliptic boundary problem involving an indefinite weight // Proc. Royal Soc. Edinburgh Ser. A. 2000. V. 130. P. 287–305. 16. Бойматов К. Х. Описание функций из весовых классов С. Л. Соболева с нулевыми следами на C 0 -многообразиях // Докл. РАН. 1994. Т. 339, № 6. С. 727–731. 17. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 18. Бойматов К. Х. Двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 16–28. Статья поступила 22 мая 2002 г., окончательный вариант — 19 августа 2004 г. Бойматов Камолиддин Хамроевич Институт математики Академии наук Республики Таджикистан ул. Айни, 299, Душанбе 734041, Таджикистан