Методические рекомендации для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики ''Механика''

Министерство образования Российской Федерации Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Филимонова Л.В., Боброва Т.М.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики

«Механика» В двух частях

(для студентов инженерно-физического и физическо-математического факультетов)

Елец – 2004

УДК 531/534 ББК 22.3я721 Ф 37

Рецензенты:

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЕГУ им. И.А. Бунина

к.т.н., доцент кафедры естественнонаучных дисциплин МГСУ, филиала в г. Воронеже, Полев В.А. к.ф-м н., доцент кафедры физики, Бровко С.В.

Филимонова Л.В., Боброва Т.М. Ф 53 Методические рекомендации для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики «Механика». В двух частях. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2004. – 139 с.: ил.

Целью данного пособия является оказание помощи студентам в подготовке и выполнении лабораторных работ по темам из раздела общей физики «Механика». В пособии приводятся описания к 13 лабораторным работам. Работы первой части затрагивают преимущественно материал по кинематике, колебаниям и волнам, движению тел в вязкой жидкости; во второй части содержатся работы по динамике материальной точки и твердого тела. К каждой работе дается формулировка цели ее выполнения, перечень используемого оборудования, краткие основы теории по теме работы, описание метода, вопросы к допуску, содержание экспериментальных заданий, вопросы к отчету. Представленный в каждой работе материал достаточен для ее выполнения, но требует изучения дополнительных литературных источников для подготовки отчета. В приложениях приводятся краткая справка по вычислению погрешности результатов учебного эксперимента по физике, необходимые справочные таблицы, дополнительный материал. Учебно-методическое пособие рекомендуется к использованию на лабораторных занятиях со студентами инженерно-физического и физико-математического факультетов ЕГУ в лаборатории механики. УДК 531/534 ББК 22.3я721 © ЕГУ им. И.А. Бунина, 2003 © Филимонова Л.В., 2003

3

Эксперимент должен по возможности ставиться так, чтобы не допускать не только ошибок, но и неоднозначного истолкования его результатов.

Введение. Формирование и развитие экспериментальных знаний и умений студентов в процессе изучения общей физики является одной из первостепенных задач ее преподавания в вузе. Это связано со многими причинами, в частности: значением экспериментального метода в физической науке и практике, его местом в обучении физике в школе с учетом разновидностей методики его использования. В процессе подготовки будущих учителей физики необходимо сформировать у студентов знания о составе и структуре экспериментальной деятельности в целом и умения осуществлять эту деятельность в связи с конкретными познавательными целями. В этой связи, главная цель, поставленная в данном пособии, состоит в обеспечении целенаправленного руководства изучением теоретических вопросов по общей физике с активным применением экспери-

ментального метода как для подтверждения теоретических положений, так и для самостоятельного вывода студентами субъективно новых для них физических закономерностей. При этом учитывалась необходимость побуждения студентов к активной творческой работе в физической лаборатории. Для этого им предлагается большой перечень вопросов к допуску перед началом выполнения работы, которые акцентируют их внимание на особенностях постановки конкретного эксперимента, на специфике изучаемых явлений и процессов, на возможности присутствия в работе неучтенных дополнительных факторов, сказывающихся на получаемых результатах и т.д. Предлагаемое пособие посвящено отдельным темам из раздела

4

«Механика» курса общей физики. Изложенные вопросы раскрывают следующие понятия и методы: плотность вещества и тела и методы ее измерения; вязкое трение и метод Стокса; стробоскопический эффект и методы измерения промежутков времени; деформация, модуль Юнга и метод его измерения для проволоки; виды движения и методы изучения соответствующих законов движения и кинематических зависимостей; виды движения твердого тела, его кинематические и динамические характеристики и различные методы определения моментов инерции; колебания и упругие волны, физический и математический маятник, методы определения длины волны и ускорения свободного падения. Все приведенные в пособии лабораторные работы имеют одинаковую структуру: цель, приборы и принадлежности, основные сведения по теории вопроса и метода, перечень вопросов к допуску, содержание экспериментальных заданий, таблицы для занесения данных и результатов, вопросы к отчету. Кроме того, ясно и обоснованно выведены и особо выделены расчетные формулы. Экспериментальные задания содержат указания по расчету погрешностей и требования подведения итогов в соответствии с поставленной в работе целью. Подборка экспериментальных заданий предполагает использование математического аппарата, применения графического метода анализа полученных данных, исследование изучаемого явления в вариативных условиях, контроль за обеспечением необходимой экспериментальной ситуации. Это допускает и обеспечивает дифференцированную по уровню сложности и самостоятельности студентов постановку учебного физического эксперимента. Предлагаемое содержание может быть по-разному использовано преподавателями в соответствии с уровнем подготовки студентов, количеством отводимого на лабораторные занятия аудиторного времени и названием факультета.

5

Лабораторная работа № 0. Вводная фронтальная работа. Нониусы, их назначение и практическое использование при измерении линейных размеров. Цель работы: познакомиться с принципами построения шкал с нониусами, правилами пользования штангенциркулем и микрометром; получить практические навыки в определении с их помощью линейных размеров различных тел. Приборы и принадлежности: различные штангенциркули ( в том числе демонстрационный), микрометр, образцы твердых тел правильной геометрической формы (шар, цилиндр, параллелепипед).

Основные теоретические сведения Опр. Нониусом (линейным или круговым) называется специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10-20 раз.

1. Линейный нониус представляет собой небольшую линейку, скользящую вдоль основной шкалы (рис.1, а)). Чтобы понять принцип действия линейного нониуса, рассмотрим на 2-х примерах его изготовление (построение шкалы) и применение. Пример 1. Пусть имеется основная шкала с сантиметровыми делениями. Выберем следующие значения основных необходимых для достижения поставленной цели параметров: Длина эталона – 10 см,

N=10 - число делений на шкале нониуса, k=1 – коэффициент кратности (натуральное число: чаще 1 или 2). Длина эталона – это отрезок длины на основном масштабе, с кото-

6

рым производится сравнение длины всей шкалы нониуса, равен (k·N) см, т.е. 1·10=10 см. Сравнение состоит в следующем: длина шкалы нониуса берется меньшей на единицу (у нас единица – это 1 см), чем длина эталона. В нашем примере длина всей шкалы нониуса будет равна 10 см – 1 см = 9 см. Следовательно, далее на отрезке длиной 9 см размечаем N делений нониуса, т.е. 10 делений. При этом цена деления шкалы нониуса будет равна:

Δ нониус =

kN − 1 1 =k− N N

(1)

- формула для определения цены деления нониуса.

В формуле (1) цифра 1 означает одно деление основной шкалы. Тогда величина Δ нониус измеряется в делениях основной шкалы. А найти ее величину в единицах длины, т.е. в сантиметрах или миллиметрах и пр. можно, умножая полученную по (1) величину на цену одного деления основной шкалы.

7

Имеем в данном примере:

Δ нониус =

1 1 ⋅ 10 − 1 = 1− = 0,9 (делений) 10 10

⇒

Вывод: одно деление нониуса меньше одного деления основного масштаба на 0,1 см ⇒ эта величина и будет (в данном примере, а не «всегда») точностью измерений на полученном приборе (например, штангенциркуле). Иначе говоря, по построению имеем: 10 делений нониуса меньше 10 делений масштаба на 1 см, тогда 1 деление нониуса меньше 1 деления масштаба на 1/10 см.

Применение. При совмещении нулей обеих шкал расстояние между рабочими зажимами шкал равно нулю (рис.1 б)). При измерении длины образца, например диаметра болта (рис.1 в)), он вплотную располагается между зажимами. При этом нулевая отметка на нониусе смещается относительно нуля основной шкалы на искомое расстояние. По рисунку видно, что в это расстояние вмещается 1 целое деление масштаба и еще какая-то его часть. Для определения длины этой части ищут номер деления на нониусе, совпавшего с некоторым делением основной шкалы: на рисунку это – 9-ое деление, совпадающее в точности по положению с делением номер 10 на основной шкале. Теперь будем рассуждать, следуя от места совпадения делений к месту измерения (отсчета значения диаметра): 9-е деление нониуса отстоит от 10-го деления шкалы на 0 см (они совпадают), 8-е деление нониуса отстоит от 9-го деления шкалы на 0,1 см (т.к. разница в цене деления, определенная нами выше составляет 0,1 см), 7-е деление нониуса отстоит от 8-го деления шкалы на 0,1+0,1=0,2 см, 6-е деление нониуса отстоит от 7-го деления шкалы на 0,2+0,1=0,3 см, 5-е деление нониуса отстоит от 6-го деления шкалы на 0,3+0,1=0,4 см, 4-е деление нониуса отстоит от 5-го деления шкалы на 0,4+0,1=0,5 см, 3-е деление нониуса отстоит от 4-го деления шкалы на 0,5+0,1=0,6 см, 2-е деление нониуса отстоит от 3-го деления шкалы на 0,6+0,1=0,7 см, 1-е деление нониуса отстоит от 2-го деления шкалы на 0,7+0,1=0,8 см, 0-е деление нониуса отстоит от 1-го деления шкалы на 0,8+0,1=0,9 см – а

8

это и есть длина искомой части (см. по рисунку 1 в)). Т.е. длина искомой части равна произведению порядкового номера совпавшего деления нониуса, т.е. 9, на величину разницы цен делений, т.е. на 0,1 см, и равна 0,9 см. В целом размер диаметра болта равен одному целому делению основной шкалы, т.е. 1 см, и плюс длина части 0,9 см, итого 1,9 см. Теперь разберем пример для случая, когда коэффициент кратности равен 2, при равенстве прочих условий и величин. Пример 2. Пусть имеется основная шкала с сантиметровыми делениями. Выберем следующие значения основных необходимых для достижения поставленной цели параметров: Длина эталона 20 см,

N=10 - число делений на шкале нониуса, k=2 – коэффициент кратности. Тогда отрезок длины на основном масштабе (называем его эталоном), с которым производится сравнение длины всей шкалы нониуса равен (k·N) см, т.е. 2·10=20 см. Сравнение состоит в следующем: длина шкалы нониуса берется меньшей на единицу (у нас единица – это 1 см), чем длина этого отрезка. В нашем примере длина всей шкалы нониуса будет равна 20 см – 1 см = 19 см. Следовательно, далее на отрезке длиной 1,9 см размечаем N делений нониуса, т.е. 10 делений. При этом цена деления шкалы нониуса будет равна по формуле (1):

Δ нониус =

1 20 − 1 = 2− = 1,9 делений или 1,9 см ⇒ Вывод: одно 10 10

деление нониуса меньше двух делений (деление на нониусе сравнивается с k делениями на основной шкале) основного масштаба на 0,1 см ⇒ эта величина и будет точностью измерений на полученном приборе (например, штангенциркуле). Иначе говоря, по построению имеем: 10 делений нониуса меньше 20 делений масштаба на 1 см, тогда 1 деление нониуса меньше 2 делений

9

масштаба на 1/10 см, при этом разница распределена в пределах между 2мя этими делениями. Получается, что проделанные изменения в построении не сказались на величине точности (все также 0,1 см). Но что же изменилось? Для нахождения ответа изучим рис. 2. Исходное положение: при совмещении нулей обеих шкал расстояние между рабочими зажимами шкал равно нулю (рис.2 а)), 10-е (последнее) деление нониуса совпадает с 19-м делением основной шкалы.

При помещении образца, например болта (рис.2 б)), между зажимами нулевая отметка на нониусе смещается относительно нуля основной шкалы на искомое расстояние. По рисунку видно, что в это расстояние теперь вмещается 3 целых деления масштаба и еще какая-то его часть. Для определения длины этой части ищем номер деления на нониусе, совпавшего с некоторым делением основной шкалы: на рисунку это – 8-ое деление, совпадающее в точности по положению с делением номер 19 на основной шкале. По аналогии с первым примером мы должны утверждать, что длина искомой части равна 8·0,1=0,8 см, а измеряемое расстояние 3+0,8=3,8 см. Однако заметим следующее: соседние с совпавшим делением, а именно 7-е и 9-е деления нониуса отстоят от ближайших делений основной шкалы (соответственно 17-м и 21-м) на 0,1 см. Эти деления – вторые на очереди претендентов на «совпадение». Чтобы совпало какое-либо из этих

10

делений, расстояние между зажимами должно уменьшиться или увеличиться на 0,1. представим же себе ситуацию, что оно уменьшилось лишь на 0,05, т.е. на половину от 0,1 см. Какое же деление нониуса теперь будет совпадающим? Теперь 8-е деление нониуса будет левее 19 основной шкалы на 0,05 см, а 7-е деление нониуса правее 17-го на такую же величину. При этом истинная длина образца будет 3,75 см, но на данном приборе мы может с имеющейся точностью получить его значение как 3,7 см (примем совпадение на 7-м делении нониуса) или как 3,8 см (если принять совпадающим 8е). Тогда в обоих случаях будет верно: 3,75=3,7 ±0,1 и 3,75=3,8 ±0,1. Полученные значения соответствуют округлению до десятых долей сантиметра, но с недостатком или с избытком. В заключение подумаем, когда же предпочесть второй способ построения первому? Разница между ними состоит в «укрупнении» делений шкалы нониуса, по сравнению с делениями основной шкалы. Поэтому предпочтение второму способу будет отдано скорее всего тогда, когда деления основной шкалы настолько мелки, что построение нониуса с еще более мелкими делениями нецелесообразно из-за возможного возникновения затруднений при снятии показаний, т.е. к возрастанию субъективной погрешности отсчета. Обобщая проделанное, получаем следующие результаты: •

Δ измерения =

цена 1 - го деления масштаба (2) – точность измереN

ний по шкале с нониусом (штангенциркуля). В обоих разобранных примерах это

Δ измерения =

была

величина

1 см = 0,1см . 10

Следовательно, увеличить точность можно за счет увеличения числа делений на нониусе. Но, не меняя при этом длину основного отрезка (эталона), будем получать одновременное «мельчание» этих делений, что также на определенном пределе становится источником дополнительных

11

трудностей, т.е. не целесообразно. Таким образом, при создании шкал с нониусом необходимо подбирать оптимальное соотношении основных параметров: длины эталона (числа делений на основной шкале, по сравнению с общей длиной которых длина шкалы нониуса меньше на одно такое деление; в примере 1 – 10 делений, в примере 2 – 20 делений. Иначе, это эквивалентно выбору размеров шкалы нониуса), числа делений

шкалы нониуса N (примеры 1 и 2 – 10 делений) и коэффициента кратности k (пример 1: k=1; пример 2: k=2). • l = m ⋅ Δ масштаб + n ⋅ Δ измерения

(3) - длина предмета, где m – число

полных делений основной шкалы (масштаба) между нулевыми отметками двух шкал, n – порядковый номер совпадающего деления нониуса.

2. Круговой нониус представляет собой дуговую линейку (рис. 3), скользящую вдоль кругового масштаба (лимба), предназначенного для измерения углов. Так как длина дуги s окружности радиуса R и центральный угол

ϕ связаны соотношением s 180 o ϕ= R π

то измерение углов можно заменить измерением дуг. В принципе круговой норис. 3 ниус ничем не отличается от линейного и для него справедливы те же формулы. Так, для случая кругового нониуса формулу (3) можно записать так:

ϕ = mγ + n

γ N

, где

γ — цена деления

лимба, m – число полных делений лимба, n – порядковый номер совпадающего деления нониуса. Штангенциркуль. Штангенциркуль служит для линейных измерений, не требующих высокой точности. Отсчетным приспособлением у всех конструкций штан-

12

генинструментов служат шкала штанги и линейный нониус. Цена деления основной шкалы штанги равна обычно 1 мм. Нониусы штангенциркулей изготавливаются таким образом, что k=1, 2, 5 (см. формулу (1)). Погрешность нониусов обычно равна 0,1; 0,05 или 0,2 мм. Нониус укреплен в подвижной рамке, скользящей вдоль основной шкалы штанги. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с нулевым штрихом основной шкалы. При измерении детали подвижная рамка 1 с нониусом смещается, и деталь зажимается губками 2 штангенциркуля. Существует несколько видов штангенциркулей. Они отличаются типом и количеством измерительных губок, длиной штанги, типом нониусов или наличием некоторых вспомогательных деталей. При наличии у штангенциркулей верхних 3 и нижних 2 измерительных губок, его можно применить как для внутренних измерений, так и для внешних. Часто штангенциркуль снабжается линейкой 4, служащей для измерения глубин. Микрометр. Для более точных измерений применяют микрометрические инструменты. Они бывают нескольких типов: микрометр для наружных измерений, микрометрический глубиномер и микрометрический нутромер. • Микрометр для наружных измерений (рис. 4) состоит из полого

рис.4 стержня, жестко соединенного со скобой. В полость стержня ввинчен мик-

13

рометрический винт. При измерении предмет зажимается между неподвижным стержнем 2 и подвижным торцом микрометрического винта 3. Микровинт вращают, держась за трещотку 4 (в более совершенных микрометрах момент соприкосновения микрометрического винта с измеряемой поверхностью фиксируется по шкале чувствительного динамометра, укрепленной в скобе); вместе с микровинтом

вращается корпус барабана 1, перемещаясь при этом поступательно относительно стержня. Отсчет ведется по горизонтальной шкале, нанесенной на полый стержень, и по шкале барабана. Отсчетное устройство микрометра состоит из двух шкал. Горизонтальная шкала стержня представляет собой двойную шкалу с ценой деления 0,5 мм, нанесенную по обе стороны продольной черты таким образом, что верхняя сдвинута относительно нижней на половину деления. Цена деления шкалы барабана может быть установлена следующим образом: пусть число делений круговой шкалы барабана n=50. Шаг микровинта h =0,5 мм. Следовательно, одному полному обороту микровинта (и барабана) соответствует линейное перемещение края барабана на 0,5 мм. Цена деления круговой шкалы

a=

h 0,5 = мм = 0,01мм n 50

Отсчет производится следующим образом: по горизонтальной шкале стержня отсчитывается размер измеряемого предмета с точностью до 0,5 мм. Сотые доли миллиметра отсчитываются по круговой шкале барабана. Полученные результаты складываются. Число сотых долей соответствует делению шкалы, расположенному против продольной черты на стержне. Порядок отсчета одинаков для всех типов микрометрических инструментов. Микрометры изготовляются с пределами измерений 0-25, 50, 75 мм и т.д., до 1600 мм. Увеличение пределов измерений достигается увеличением размера скобы.

Содержание экспериментальных заданий Задание 1. Рассчитайте точность имеющихся в лаборатории шкал с нониусами (различных штангенциркулей) и сравните свои расчеты с отметками на самих приборах.

Задание 2. Постройте шкалу с нониусом, точность которой будет 1

14

мм (0,5 мм, 0,25 мм, 0,05 мм), считая что основная шкала имеет деления ценой 1 мм. В каждом случае укажите выбранные вами значения трех рассмотренных выше параметров таких шкал.

Задание 3. Для имеющихся твердых тел измерить соответствующие линейные размеры. Вычислить их площади поверхности и объемы и рассчитать погрешности полученных результатов как косвенных измерений.

Часть Первая Лабораторная работа № 1.1. Определение плотности тел, имеющих правильную геометрическую форму. Цель работы: научиться проводить прямые и косвенные измерения физических величин (масса, длина, объем, плотность) и оценивать погрешность полученных результатов; познакомиться с некоторыми источниками погрешностей при измерении плотности тел в воздухе. Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, технические весы, разновесы, исследуемые образцы.

Краткая теория вопроса и метода. Рассмотрим понятие плотности тела. Мы находим ее, определив

m (1). Но V

массу рассматриваемого тела m и его объем V, как частное

ρ=

если тело неоднородное (в обычном смысле этого слова), то

ρ есть так на-

зываемая «средняя плотность». Вырезая из разных мест рассматриваемого тела 2 малых куска, мы в этом случае найдем, что плотности их различны.

15

Если кусок настолько мал, что для каждой его половины мы находим одну и ту же плотность, то мы говорим, что нашли истинную плотность тела в той его точке, около которой вырезан данный кусок. Такое утверждение будет тем более определенным, чем меньше вырезанный кусок. Таким образом, плотность тела – дифференциальная характеристика распределения вещества по объему тела, т.е. приходим к определению:

ρ = lim m (2) V →0

или

V

ρ = dm , где dV - физически малый объем. А также стремление объdV

ема под знаком предела к нулю не следует понимать в математическом смысле! В самом деле, последовательно уменьшая объем V, мы придем к таким объемам, которые заключают немного, а может даже и 1 атом; при дальнейшем разделении таких объемов пополам может оказаться, что в одной половине, скажем, 3, а в другой 5 атомов (потому хотя бы, что вследствие тепловых движений атомы распределились по объему на мгновение неравномерно). Очевидно, поэтому, что постепенное уменьшение V в формуле (2) на опыте сначала будет давать постепенное приближение к какой-то предельной величине значений

ρ , а при дальнейшем делении разбросы

ρ будут расти, и формула (2) потеряет физический смысл. По-

этому для тех определений плотности, которые обычно нужны инженеру и физику, нам надо пользоваться не «математическим», а «физическим» пределом, т.е. предполагать уменьшение V не до нуля, а до некоторого «разумного» предела. Подобные рассуждения относятся и к весьма многим другим физическим понятиям. Масса тела характеризует количество заключенной в теле материи. Масса тела не зависит от того, где находится это тело, так как количество вещества в теле не может измениться от перемены места. Величина массы может быть определена по различным ее проявлениям (инерция, тяготение) путем сравнения с массой эталонного тела, произвольно принятой за единицу. Масса тела связана с весом этого тела соотношением P = mg , где g – ускорение силы тяжести в данной точке земной поверхности. Вес тела численно равен силе притяжения тела к

16

Земле без величины центробежной силы: P = γ

mM 2 − m ω R cos ϕ (3). R2

⇒ Вес тела на различных широтах имеет разное значение (на экваторе вес тела - наименьший). Кроме того, вес тела зависит и от высоты над поверхностью Земли. Поэтому величины масса и вес тела существенно различ-

ны. ⇒ Принцип взвешивания на весах. 1) Непосредственно сила притяжения к Земле может быть определена при помощи пружинных весов на основе закона Гука: Δl = α ⋅ P - абсолютное удлинение пружины пропорционально весу тела. Остается проградуировать шкалу в единицах веса (массы). Но так как вес основного платинового эталона в Париже, т.е. на широте в 450, принят за единицу веса (1 кГ), то вес этого же эталона экваторе окажется меньше, чем 1 кГ, а на полюсе больше, чем 1 кГ. 2) Для сравнения и измерения масс употребляются рычажные весы. Они представляют собой рычаг первого рода (рис.1), в котором расстояния от точек приложения сил до точек опоры равны друг другу (равноплечий рычаг). Поместим на левую чашку весов тело массой

m1 . Для того, чтобы восстановить равновесие, нужно на правую чашку накладывать разновесы до тех пор, пока стрелка В не вернется в первоначальное положение (m2 – масса разновесов). На основании правила моментов сил P1m1 = P2 m2 , где Р1 и Р2 соответственно веса тел – силы, действующие на левую и правую части рычага в точках опоры чашек весов, l1 и

l 2 - расстояния от этих точек до точки опоры коромысла. Так как весы равноплечие, то l1 = l 2 и при равновесии

Р1 = Р2. Но P1 = m1 g и

17

P2 = m2 g ⇒ m1 = m2 . Таким образом, при взвешивании тел на рычажных весах мы сравниваем силу, с которой масса взвешиваемого тела притягивается к Земле, с силой притяжения к Земле эталонной массы. Так как эталоном при этом является масса, то фактически взвешивание на рычажных весах сводится к определению массы. Так как в любой точке земной поверхности веса тел пропорциональны их массам, а величина g является величиной постоянной, то масса тела однозначно определяет его вес. В этом смысле операцию сравнивания масс, выполняемую на рычажных весах, можно назвать взвешиванием. Подводя итог сказанному. Видим: - рычажные весы дают возможность измерить массу тела; - пружинные весы дают возможность измерить вес тела; - на широте в 450 и уровне моря результат измерения массы рычажными весами (в кг) и результат измерения веса пружинными весами (в кГ) совпадаю численно. На других широтах и на различных высотах над уровнем моря эти результаты не совпадают. Методы взвешивания. На практике очень трудно изготовить весы так, чтобы они были строго равноплечими. При взвешивании на неравноплечих весах вес гирь не равен весу тела. Однако существуют различные методы взвешивания, позволяющие определить вес тела достаточно точно. 1. Метод двойного взвешивания (метод Гаусса) заключается в том, что тело взвешивают 2 раза – один раз на левой чашке, другой раз на правой. искомая масса:

m = m1m2 = m12 [1 +

m2 − m1 m1

] ≈ m1[1 +

m2 − m1

2m1

]=

m1 + m2

2

(4),

т.к. m1 ≈ m2 . 2. Метод тарирования (метод Борда). На одну из чашек весов помещают взвешиваемое тело, на другую – любую тару (песок, дробь), которую изменяют до тех пор, пока весы не придут в равновесие.

18

Снимают тело с чашки и накладывают на нее разновесы, пока весы не придут в равновесие. В этом случае вес разновесов равен весу тела. 3. Метод постоянной нагрузки (метод Менделеева). Он позволяет производить взвешивание, не изменяя чувствительности весов. На левую чашку весов помещают гирю определенного веса (например, 100 г), а на правую – мелкие разновесы, общий вес которых равен весу гири. тело помещают на правую чашку и снимают с нее разновесы до уравновешивания весов. Очевидно, вес тела равен весу снятых гирь. Разновес – набор гирь (тел, служащих для измерения массы), составленный по определенной системе. При взвешивании тела трудно подобрать гири так, чтобы положение равновесия стрелки совпало с нулевой точкой ненагруженных весов. Цена деления весов определяется весом перегрузка, вызывающего смещение стрелки весов на 1 деление шкалы: C =

mперегрузка n1 − n2

, где n1 и n2 - число

делений у равновесного положения стрелки до и после нагружения чашки весов перегрузком. Тогда при ненулевом положении стрелки в момент взвешивания, масса тела будет равна: m = mгирь ± C n1 − n2 (5). Поправка на потерю веса тела в воздухе. Все предыдущие рассуждения относились к взвешиванию тел в пустоте. При взвешиваниив в воздухе на тела и гири действует архимедова выталкивающая сила. Так как объемы взвешиваемых тел и гирь, как правило, неодинаковы, то неодинаковы и выталкивающие силы. Рассмотрим условие равновесия при взвешивании в воздухе. Прежде введем обозначения:

ρ - плотность взвешиваемого тела, ρ ' - значение

плотности, определенное в воздухе, т.е.

ρ' =

mгирь Vтела

,

λ = 0,0012 г/см3 -

19

плотность воздуха, Vтела - объем тела, Vгирь - суммарный объем разновесов, mтела - истинная масса тела (равная массе гирь при взвешивании в вакууме), mгирь - суммарная масса разновесов. Пусть на одной чашке весов находится тело массой mтела , приведем весы в равновесие с помощью разновесов общей массой mгирь . Равновесие весов означает, что на каждое коромысло действуют равные силы (равноплечие весы), т.е. получаем с учетом силы Архимеда в воздухе:

mгирь g − Vгирь λg = mтела g − Vтела λg ⇒

mтела = mгирь + λ (Vтела − Vгирь ) (6). Тогда плотность тела в соответствии с формулой (1):

ρ = ρ '+λ (1 −

Vгирь Vтела

) (7).

В случае, когда объем гирь много меньше объема тела (Vгирь << Vтела ) можно принять, что

ρ = ρ '+λ (8).

Вопросы и упражнения к допуску. 1. 2. 3.

4.

5. 6.

Что называется плотность тела? В чем отличие понятия «плотности тела» от понятия «плотность вещества»? Что такое вес тела? Как связаны вес тела и его масса? Вес корабля при перемещении его из экваториальных вод в полярные увеличился. Изменится ли в связи с этим глубина погружения корабля в воду? Сообразите, где в ниже приведенных фразах имеется в виду вес и где масса. 1) На колокол пошло много бронзы. 2) Колокол сломал балку, на которой висел. 3) Я не могу поднять этот кусок железа. 4) надо найти кусок железа для изготовления 50 гвоздей. Что такое удельный вес тела? Как он связан с плотностью тела? Правильно ли говорить, что удельный вес тела есть вес единицы объ-

20

7. 8.

ема этого тела? Правильно ли говорить, что плотность есть масса, заключенная в единице объема? Можно ли сказать, что удельный вес численно равен весу единицы объема тела (например, 1 см3), а плотность численно равна массе в единице объема? Плотность тела равна 7,8 г/см3. Выразите эту же плотность в кг/дм3 и в т/м3. Зависит ли плотность от географической широты и высоты над уровнем моря? А удельный вес? Как можно представить себе наличие такой зависимости??

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Изучение технических характеристик лабораторных весов и правил пользования ими. 1) Изучите по техническому паспорту название, тип и принцип устройства, основные характеристики лабораторных весов. Найдите величину вносимой ими инструментальной погрешности и сформулируйте возможные причины ее появления. 2) Ознакомьтесь и общими приемами и правилами взвешивания применительно к данным весам. Задание 2. Измерение массы исследуемого образца. 1) Выберите образец для определения его плотности и один из вышеописанных методов взвешивания. 2) В соответствии с общими приемами взвешивания (п.2) Задания1) найдите массу данного тела. Отразите в тетради следующие моменты взвешивания: положение стрелки при равновесии ненагруженных и нагруженных весов; поштучный перечень использованных разновесов с указанием их массы и объема; формулу для учета поправок. Примените формулы (5) и (7). 3) Вычислите абсолютную погрешность полученного результата измерения массы образца Δmтела , просуммировав инструментальную погрешность, погрешность отсчета, погрешность при внесении поправки на выталкивание в воздухе (учет или не учет объема гирь). Задание 3. Измерение объема исследуемого образца.

21

1) Произведите измерение линейных размеров исследуемого образца штангенциркулем и микрометром. Причем проведите измерение каждого линейного размера 5-6 раз в различных участках периметра тела. 2) Найдите среднее значение каждого линейного размера (длины, ширины, высоты или диаметра и т.д.). 3) Укажите величину абсолютной погрешности измерения в случае каждого линейного размера. 4) Вычислите абсолютную погрешность найденного значения объема тела

ΔVтела . Например, если V = abc , то ΔV =

Δa Δb Δc + + . Укажите a b c

точность взятых вами значений постоянных величин, входящих в формулу. Так, если

π = 3,141592653... , то при π ≈ 3,14 имеем

Δπ ≈ 0,002 . Задание 4. Нахождение плотности исследуемого тела. 1) По результатам заданий 2 и 3 на основе формулы (1) вычислить значение плотности тела. 2) Найти абсолютную и относительную погрешность полученного результата как косвенного измерения. 3) 4) 5)

Записать ответ в форме

ρ = ρ тела ± Δρ , ε = ... (степень доверия

Р=...). По справочной таблице установить материал из которого изготовлен данный образец. Сделать вывод о степени соответствия полученного значения плотности материалу, из которого изготовлено тело, и о степени усреднения значения плотности по объему тела (степень однородности материала).

Вопросы к отчету: 1.

Какие методы взвешивания вам известны? Чем они отличаются друг от друга? Что служит причиной выбора того или иного метода взвешивания?

22

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Каким методом взвешивания пользовались вы в работе при определении массы исследуемого тела? Каковы общие правила пользования весами. Как вы определяли объем тела и какова погрешность полученного значения? Какие источники погрешностей результата измерения массы данного тела были вами учтены при его взвешивании? Как была сделана вами поправка на взвешивание в воздухе? Какова абсолютная погрешность в определении массы тела, получаемая от пренебрежения объемом гирь? Где и каким образом использовалось в работе предположение об однородности исследуемого образца? Плотности какого вещества соответствует полученное вами значение плотности выбранного для исследования тела?

Лабораторная работа № 1.2. Определение плотности твердых тел, имеющих неправильную геометрическую форму методом гидростатического взвешивания. Цель работы: познакомиться с методом гидростатического взвешивания тел, научиться проводить учет влияния архимедовой силы в воздухе на результаты взвешивания тел на рычажных весах; сформировать умение измерения плотности тел неправильной геометрической формы данным методом и оценки соответствующей погрешности результата. Приборы и принадлежности: штангенциркуль, технические весы, разновесы, стакан, подставка-скамеечка, нить, исследуемые образцы, вода, термометр, справочная таблица плотности воды при разной температуре.

23

Краткая теория вопроса. Рассмотрим понятие плотности тела. Мы находим ее, определив массу рассматриваемого тела m и его объем V, как частное

ρ = m (1). Но

если тело неоднородное (в обычном смысле этого слова), то

ρ есть так на-

V

зываемая «средняя плотность». Вырезая из разных мест рассматриваемого тела 2 малых куска, мы в этом случае найдем, что плотности их различны. Если кусок настолько мал, что для каждой его половины мы находим одну и ту же плотность, то мы говорим, что нашли истинную плотность тела в той его точке, около которой вырезан данный кусок. Такое утверждение будет тем более определенным, чем меньше вырезанный кусок. Таким образом, плотность тела – дифференциальная характеристика распределения вещества по объему тела, т.е. приходим к определению:

ρ = lim m (2) V →0

или

ρ=

V

dm , где dV - физически малый объем. А также стремление объdV

ема под знаком предела к нулю не следует понимать в математическом смысле! В самом деле, последовательно уменьшая объем V, мы придем к таким объемам, которые заключают немного, а может даже и 1 атом; при дальнейшем разделении таких объемов пополам может оказаться, что в одной половине, скажем, 3, а в другой 5 атомов (потому хотя бы, что вследствие тепловых движений атомы распределились по объему на мгновение неравномерно). Очевидно, поэтому, что постепенное уменьшение V в формуле (2) на опыте сначала будет давать постепенное приближение к какой-то предельной величине значений

ρ , а при дальнейшем делении разбросы

ρ будут расти, и формула (2) потеряет физический смысл. По-

этому для тех определений плотности, которые обычно нужны инженеру и физику, нам надо пользоваться не «математическим», а «физическим» пределом, т.е. предполагать уменьшение V не до нуля, а до некоторого «разумного» предела. Подобные рассуждения относятся и к весьма многим

24

другим физическим понятиям. Масса тела характеризует количество заключенной в теле материи. Масса тела не зависит от того, где находится это тело, так как количество вещества в теле не может измениться от перемены места. Величина массы может быть определена по различным ее проявлениям (инерция, тяготение) путем сравнения с массой эталонного тела, произвольно принятой за единицу. Масса тела связана с весом этого тела соотношением P = mg , где g – ускорение силы тяжести в данной точке земной поверхности. Вес тела численно равен силе притяжения тела к Земле без величины центробежной силы: P = γ

mM − mω 2 R cos ϕ (3). 2 R

⇒ Вес тела на различных широтах имеет разное значение (на экваторе вес тела - наименьший). Кроме того, вес тела зависит и от высоты над поверхностью Земли. Поэтому величины масса и вес тела существенно различ-

ны. ⇒ Принцип взвешивания на весах. 1) Непосредственно сила притяжения к Земле может быть определена

2)

при помощи пружинных весов на основе закона Гука: Δl = α ⋅ P - абсолютное удлинение пружины пропорционально весу тела. Остается проградуировать шкалу в единицах веса (массы). Но так как вес основного платинового эталона в Париже, т.е. на широте в 450, принят за единицу веса (1 кГ), то вес этого же эталона экваторе окажется меньше, чем 1 кГ, а на полюсе больше, чем 1 кГ. Для сравнения и измерения масс употребляются рычажные весы. Они представляют собой рычаг первого рода (рис.1), в котором расстояния от точек приложения сил до точек опоры равны друг другу (равнопле-

25

чий рычаг). Поместим на левую чашку весов тело массой m1. Для того, чтобы восстановить равновесие, нужно на правую чашку накладывать разновесы до тех пор, пока стрелка В не вернется в первоначальное положение (m2 – масса разновесов). На основании правила моментов сил P1m1 = P2 m2 , где Р1 и Р2 соответственно веса тел – силы, действующие на левую и правую части рычага в точках опоры чашек весов, l1 и

l 2 - расстояния от этих точек до точки опоры коромысла. Так как весы равноплечие, то l1 = l 2 и при равновесии

Р1 = Р2. Но P1 = m1 g и

P2 = m2 g ⇒ m1 = m2 . Таким образом, при взвешивании тел на рычажных весах мы сравниваем силу, с которой масса взвешиваемого тела притягивается к Земле, с силой притяжения к Земле эталонной массы. Так как эталоном при этом является масса, то фактически взвешивание на рычажных весах сводится к определению массы. Так как в любой точке земной поверхности веса тел пропорциональны их массам, а величина g является величиной постоянной, то масса тела однозначно определяет его вес. В этом смысле операцию сравнивания масс, выполняемую на рычажных весах, можно назвать взвешиванием. Подводя итог сказанному. Видим: - рычажные весы дают возможность измерить массу тела; - пружинные весы дают возможность измерить вес тела; - на широте в 450 и уровне моря результат измерения массы рычажными весами (в кг) и результат измерения веса пружинными весами (в кГ) совпадаю численно. На других широтах и на различных высотах над уровнем моря эти результаты не совпадают. Методы взвешивания. На практике очень трудно изготовить весы так, чтобы они были строго равноплечими. При взвешивании на неравноплечих весах вес гирь не равен весу тела. Однако существуют различные методы взвешивания, позволяющие определить вес тела достаточно точно. 1. Метод двойного взвешивания (метод Гаусса) заключается в том,

26

что тело взвешивают 2 раза – один раз на левой чашке, другой раз на правой. искомая масса:

m = m1m2 = m12 [1 +

m2 − m1 m1

] ≈ m1[1 +

m2 − m1 2m1

]=

m1 + m2 2

(4),

т.к. m1 ≈ m2 . Разложение произведено по формуле бинома Ньютона. 2. Метод тарирования (метод Борда). На одну из чашек весов помещают взвешиваемое тело, на другую – любую тару (песок, дробь), которую изменяют до тех пор, пока весы не придут в равновесие. Снимают тело с чашки и накладывают на нее разновесы, пока весы не придут в равновесие. В этом случае вес разновесов равен весу тела. При \том методе влияние неравенства плеч коромысла будет устранено, а точность взвешивания будет лежать в пределах чувствительности весов. 3. Метод постоянной нагрузки (метод Менделеева). Он позволяет производить взвешивание, не изменяя чувствительности весов. На левую чашку весов помещают гирю предельного веса (например, 100 г), а на правую – мелкие разновесы, общий вес которых равен весу гири. Тело помещают на правую чашку и снимают с нее разновесы до уравновешивания весов. Очевидно, вес тела равен весу снятых гирь. Еще одна выгода метода: он требует каждый раз только одного взвешивания, следовательно, сокращает время и уменьшает погрешность, могущую происходить от многократного взвешивания. Разновес – набор гирь (тел, служащих для измерения массы), составленный по определенной системе. При взвешивании тела трудно подобрать гири так, чтобы положение равновесия стрелки совпало с нулевой точкой ненагруженных весов. Цена деления весов определяется весом перегрузка, вызывающего смещение стрелки весов на 1 деление шкалы: C =

mперегрузка n1 − n2

, где n1 и n2 - число

делений у равновесного положения стрелки до и после нагружения чашки

27

весов перегрузком. Тогда при ненулевом положении стрелки в момент взвешивания, масса тела будет равна: m = mгирь ± C n1 − n2 (5). Итак, определение массы тела может быть произведено путем его взвешивания, но только в том случае, если взвешивание произведено в пустоте или введена соответствующая поправка на кажущуюся потерю веса тела в воздухе. Поправка на потерю веса тела в воздухе. Все предыдущие рассуждения относились к взвешиванию тел в пустоте. При взвешивании в воздухе на тела и гири действует архимедова выталкивающая сила. Так как объемы взвешиваемых тел и гирь, как правило, неодинаковы, то неодинаковы и выталкивающие силы. Рассмотрим условие равновесия при взвешивании в воздухе. Прежде введем обозначения:

ρ - плотность взвешиваемого тела, ρ ' - значение

плотности, определенное в воздухе, т.е.

ρ' =

mгирь Vтела

,

λ = 0,0012 г/см3 -

плотность воздуха, Vтела - объем тела, Vгирь - суммарный объем разновесов, mтела - истинная масса тела (равная массе гирь при взвешивании в вакууме), mгирь - суммарная масса разновесов. Пусть на одной чашке весов находится тело массой mтела , приведем весы в равновесие с помощью разновесов общей массой mгирь . Равновесие весов означает, что на каждое коромысло действуют равные силы (равноплечие весы), т.е. получаем с учетом силы Архимеда в воздухе:

mгирь g − Vгирь λg = mтела g − Vтела λg ⇒ mтела = mгирь + λ (Vтела − Vгирь ) (6). Тогда плотность тела в соответствии с формулой (1):

28

ρ = ρ '+λ (1 −

Vгирь Vтела

) (7).

В случае, когда объем гирь много меньше объема тела (Vгирь << Vтела ) можно принять, что

ρ = ρ '+λ (8).

Описание метода гидростатического взвешивания. Нахождение плотности тела, имеющего сложную геометрическую форму, по формуле (1) связано с определенными трудностями при выражении его объема через соответствующие линейные размеры. Метод гидростатического взвешивания обеспечивает возможность измерить объем этого тела, минуя использование масштабных линеек и нониусов. Суть метода состоит в последовательном взвешивании данного тела в воздухе и в жидкости (воде) и нахождении по формуле Архимеда веса вытесненной телом (при его погружении) жидкости, а далее и самого объема погруженного в нее тела. Во-первых, взвешивание тела, подвешенного к левой чашке весов на нити, в воздухе дает нам значение его массы с поправкой на архимедову силу в воздухе по формуле (6). Равновесие весов в этом случае описывается равенством:

mгирь − λVгирь = mтела − λVтела

(*) (рис.2)

Во-вторых, погрузив тело в стакан с водой, установленный на подставке, мы нарушим достигнутое перед этим равновесие весов за счет воз-

29

растания выталкивающей силы, действующей на тело в данном положении. Запишем чему при этом равно изменение веса Р1 тела, действующего на левую чашку весов (см. рис.1 и рис.3):

ΔP1 = ρ воды gVтела − λgVтела = ( ρ воды − λ ) gVтела

(9).

Равновесие весов снова достигается за счет такого же изменения веса

Р2, действующего на правую чашку весов, через снятие части разновесов общей

Δmгирь :

массы

ΔP2 = Δmгирь g − λΔVгирь g = (Δmгирь − λΔVгирь ) g

(10).

Т.е. равновесие весов во втором случае описывается равенством, аналогичным формуле (*):

m' гирь −λV ' гирь = mтела − ρ водыVтела

Тогда

Δmгирь = mгирь − m' гирь

-

масса снятых гирь,

а

ΔVгирь = Vгирь − V ' гирь

-

объем снятых гирь,

(**).

что значительно меньше объема тела Vтела . Приравнивая правые части равенств (9) и (10), что соответствует уравновешиванию весов, получим: Δmгирь − λΔVгирь = ( ρ воды − λ )Vтела ⇒ Vтела =

Δmгирь − λΔVгирь

ρ воды − λ

(11) – формула для расчета объема тела,

погруженного в жидкость по методу гидростатического взвешивания. Или пренебрегая малым слагаемым ( − λΔVгирь ) в числителе:

30

Vтела =

Δmгирь

(11’)

ρ воды − λ

Тогда после подстановки формул (6) и (11’) в формулу (1) получим выражение для нахождения плотности данного тела:

ρ=

mтела Vтела =

=

mгирь + λ (Vтела − Vгирь ) Vтела

mгирь − λVгирь Vтела

+λ =

=

mгирь Vтела

mгирь − λVгирь Δmгирь

+λ −λ

Vгирь Vтела

=

+ λ , т.е. окончательно име-

ρ воды − λ

ем:

ρ=

( mгирь − λVгирь )( ρ воды − λ ) Δmгирь

+ λ (12) – расчетная формула

для плотности по методу гидростатического взвешивания.

Вопросы и упражнения к допуску. 1. 2. 3.

4. 5.

Что называется плотностью тела? В чем отличие понятия «плотности тела» от понятия «плотность вещества»? Что такое вес тела? Как связаны вес тела и его масса? Что означают цифры на разновесах – массу или вес? Вес корабля при перемещении его из экваториальных вод в полярные увеличился. Изменится ли в связи с этим глубина погружения корабля в воду? Что такое удельный вес тела? Как он связан с плотностью тела? Правильно ли говорить, что удельный вес тела есть вес единицы объема этого тела? Правильно ли говорить, что плотность есть масса, заключенная в единице объема? Можно ли сказать, что удельный вес численно равен весу единицы объема тела (например, 1 см3), а масса численно равна массе в единице объема?

31

6.

Зависит ли плотность от географической широты и высоты над уровнем моря? А удельный вес? Как можно представить себе наличие такой зависимости?? 7. В каком случае используется метод гидростатического взвешивания при определении плотности вещества? 8. Перечислить силы, действующие на правое и левое плечи уравновешенных весов для состояний. Изображенных на рис.2 и на рис.3. 9. Запишите формулу для нахождения объема тела методом гидростатического взвешивания. Поясните входящие в нее величины. 10. Запишите расчетную формулу для плотности, используемую в этом методе и поясните входящие в нее обозначения.

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Изучение технических характеристик лабораторных весов и правил пользования ими. 1) Изучите по техническому паспорту название, тип и принцип устройства, основные характеристики лабораторных весов. Найдите величину вносимой ими инструментальной погрешности и сформулируйте возможные причины ее появления. 2) Ознакомьтесь и общими приемами и правилами взвешивания применительно к данным весам. Задание 2. Измерение в воздухе массы исследуемого образца mтела . 1) Выберите образец, тонущий в воде, для определения его плотности. 2) Уравновесьте весы, подвесив к левой чашке исследуемый образец на нити, а на правую положив разновесы. Запишите полученное значение величины mгирь . Отразите в тетради следующие моменты взвешивания: положение стрелки при равновесии ненагруженных и нагруженных весов; поштучный перечень использованных разновесов с указанием их массы. После всех измерительных процедур не забудьте найти суммарный объем этих разновесов Vгирь . 3) Сохраните это равновесное состояние весов для последующего выполнения Задания 3.

32

4) Вычислите абсолютную погрешность полученного результата измерения массы образца Δmтела , просуммировав инструментальную погрешность и погрешность отсчета. Задание 3. Измерение объема исследуемого образца методом гидростатического взвешивания. 1) Подготовьте установку, показанную на рис.3. 2) Погрузите данное тело в стакан с водой, установленный на подставке, так, чтобы он не касался стенок и дна стакана. Отметьте про себя как изменилось равновесие весов и в силу каких причин. 3) Снимите часть разновесов с правой чашки весов до установления нового равновесия. Найдите и запишите их массу Δmгирь . 4) Измерьте термометром температуру воды в стакане. По справочной таблице найдите соответствующее значение ее плотности. Запишите погрешность приближения этого значения. 5) Вычислите по формуле (11’) объем исследуемого тела и рассчитайте абсолютную погрешность этого результата как результата косвенного измерения на основе общих правил: сложения абсолютных погрешностей слагаемых и сложения относительных погрешностей множителей в расчетной формуле. 6) Запишите результат в форме V = Vтела ± ΔV , укажите значение относительной погрешности в процентах. Задание 4. Вычисление плотности исследуемого тела по расчетной формуле метода и оценка погрешности результата.. 1) По результатам заданий 2 и 3 на основе формулы (12) вычислить значение плотности выбранного тела. 2) Найти абсолютную и относительную погрешность полученного результата как косвенного измерения. 3) Записать ответ в форме

ρ = ρ тела ± Δρ , ε = ... (степень доверия

Р=...). 4) По справочной таблице установить материал из которого изготовлен данный образец. 5) Сделать вывод о степени соответствия полученного значения плотности

33

материалу, из которого изготовлено тело, и о степени усреднения значения плотности по объему тела (степень однородности материала). 6) Перечислить источники учтенных вами (при оценке точности результата) погрешностей (например, отклонение стрелки от нулевой точки в равновесном состоянии весов, пренебрежение объемом снятых гирь, неравноплечесть весов, сложный химический состав воды и т.д.)

Вопросы к отчету: 1. Дайте определение массы, силы тяжести и веса тела. 2. Каковы общие правила пользования весами? Для чего производится арретирование весов? 3. Как определена в работе истинная масса тела mтела ? В каких случаях масса взвешиваемого тела равна массе гирь на уравновешенных весах? 4. Каким методом пользовались вы в работе при определении объема исследуемого тела сложной геометрической формы? В чем его суть? 5. Как вы определяли объем тела и какова погрешность полученного значения? 6. Какие источники погрешностей результата измерения массы данного тела были вами учтены при его взвешивании? 7. Как делается поправка на взвешивание в воздухе? Использовалась ли она вами в данной работе? 8. Какова относительная погрешность в определении плотности тела, получаемая от пренебрежения объемом снятых гирь? Показать соответствующие расчеты. 9. Где и каким образом использовалось в работе предположение об однородности исследуемого образца? 10. Какое вещество имеет плотность примерно равную полученному вами значению плотности выбранного для исследования тела? 11. Как изменяются плотности разных веществ с изменением их тем-

34

пературы? Приведите примеры это подтверждающие. 12. Как можно было бы применить изученный в работе метод для нахождения плотности тела в случае, если выбранный образец не тонет в воде? 13. Как иначе можно было бы определить объем сложного по форме тела, тонущего в воде.

Лабораторная работа № 1.3. Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса. Цель работы: познакомиться с явлением внутреннего трения; изучить законы движения тел в вязкой жидкости; определить коэффициент вязкости касторового масла. Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр на подставке с исследуемой жидкостью, металлические шарики разного материала и размеров, микрометр, секундомер, весы, миллиметровая линейка, термометр.

Краткая теория вопроса. Пусть в покоящейся жидкости движется вверх перпендикулярно оси

х пластинка со скоростью v0 << v - средней скорости теплового движения молекул. Пластинка увлекает за собой прилегающий слой жидкости, который в свою очередь увлекает за собой следующий слой и т.д. Т.о., вся жидкость как бы делится на тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем дальше они находятся от движущегося тела. Очевидно, что при отсутствии взаимодействия между слоями жидкости и между жидкостью и пластинкой, каждый слой мог бы двигаться с произвольной скоростью, независимо от других. В действительности же

35

распределение скоростей v(x) слоев газа от их расстояния до пластинки устанавливается в силу наличия вязкости, т.е. сил внутреннего трения в газе. Каждая молекула жидкости принимает участие в 2 движениях: хаотичном (тепловом) и направленном (коллективном). Вектор средней скорости равен нулю в силу хаотичности его направления у отдельных молекул, т.е. совокупность молекул, участвующих только в тепловом движении, в среднем будет оставаться на месте. При наличии же дополнительного направленного движения вся совокупность молекул в целом будет дрейфовать с постоянной скоростью v. Т.о. средний

импульс

отдельной

молекулы

в

данном

слое

mv + m v = mv + 0 = mv . Переходя из слоя в слой, молекулы переносят добавочное количество направленного движения, которое передается новому слою. Перемешивание молекул разных слоев (из-за хаотичности теплового движения) приводит к выравниванию скоростей переносного движения v разных слоев, что и проявляется макроскопически как действие сил трения между слоями. Т.е. природа этих сил заключается в том, что слои, движущиеся с разными скоростями, обмениваются молекулами: слои с более быстрыми молекулами передают некоторое количество движения медленному слою (ускоряют его), но теряя быстрые молекулы в обмен на более медленные сами при этом подвергаются торможению. Так, сила трения между слоями соответствующими скоростям v1 и

v2 равна:

ΔFтр =

1 nm v (v1 − v2 )ΔS , 6

а сила трения, действующая на единицу площади границы соприкоснове-

36

ния соседних слоев:

v − v2 Δv Δv 1 1 fтр = − nm v l 1 = − nm v l = −η - закон Нью3 2l 3 Δx Δx тона. Взаимодействие двух слоев можно рассматривать по закону Ньютона как процесс, при котором от одного слоя к другому передается в единицу времени импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда можно

dv (1), где jp - плотность потока импульса – импульс, dx переносимый в ед. времени через ед. площадку (⊥-ю оси х) в положительном направлении оси х. записать: jp = −η

η - динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) – выражается через силу трения между слоями, градиент скорости и площадь соприкосновения слоев:

η=

ΔFтр. dv ⋅ ΔS dx

(2). ⇒ Коэффициент динамиче-

ской вязкости равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения слоев, движущихся один относительно другого с градиентом скорости, равным единице. Он зависит от природы жидкости и уменьшается с повышением ее температуры. Закон (1) определяет и силу трения, возникающую на границе между жидкостью и движущимся в ней твердым телом. Можно показать, что сила сопротивления, испытываемая шаром, движущимся в вязкой жидкости, прямо пропорциональна вязкости жидкости

η , радиусу шара r и скорости его

движения v0 :

Fтр = −6πηrv0

(3)

- закон Стокса.

Эта формула выводится в предположении, что выполняются некоторые условия, в частности: 1) движение жидкости имеет ламинарный (слоистый) характер; 2) жидкость по всем направлениям простирается безгранично, т.е. в своих далеких точках остается в покое. Из первого условия следует, что скорость движения шарика должна быть невелика, из второго

37

– размеры сосуда, в котором находится жидкость, должны быть весьма велики по сравнению с размерами шарика. Т.е. она применима в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости, и сила сопротивления возрастает пропорционально квадрату 2

скорости v0 .

Описание метода Стокса. Введем обозначения:

ρ λ

- плотность материала шарика - плотность жидкости - масса шарика

m V r v g h R

- объем шарика - радиус шарика - скорость движения шарика в жидкости - ускорение силы тяжести - высота жидкости в цилиндре - радиус цилиндра

На движущийся в жидкости шарик действует сила внутреннего трения, тормозящая его движение. При условии, что стенки сосуда находятся далеко от шарика, эта сила по закону Стокса определяется формулой (3). Если шарик свободно падает в вязкой жидкости, то на него будут действовать также сила тяжести

mg = Vρg

и

выталкивающая

сила

Архимеда

FA = Vλg . На основании 2-го закона динамики Ньютона имеем:

m

dv = Vρg − Vλg − 6πηrv (4). dt

Решением полученного уравнения является закон изменения скорости шарика с течением времени при его падении в жидкости:

38 6πηr ⎤ − t Vg ( ρ − λ ) ⎡ v= ⎢1 − e m ⎥ (5). 6πηr ⎢⎣ ⎥⎦

−

6πηr t m

очень быстро убыПоскольку с течением времени величина e вает, то скорость шарика вначале возрастает (рис.2). Но через малый промежуток времени становится величиной постоянной, равной:

v0 =

Vg ( ρ − λ ) 6πηr

где V =

(6),

4 3 πr . 3

Скорость шарика можно определить, зная расстояние l между метками на сосуде и время t, за которое шарик проходит это расстояние:

l v0 = . t Подставив эти равенства в (6), выразим из него коэффициент вязкости: 2 2 ( ρ − λ )r gt η= l 9

скорость шарика, м/с

Рис.2 6 5 4 3 2 1 0 0

0,5

1

1,5

ВРЕМЯ t, c

димо ввести поправочный множитель

(7) - эта формула справедлива для шарика, падающего в безгранично простирающейся жидкости. В данном случае необхо-

h , учитываю( R + 0,24r )(h + 1,33r )

щий влияние стенок и дна цилиндра на падение шарика. Получаем окончательно рабочую расчетную формулу для экспериментального определения коэффициента вязкости жидкости методом Стокса:

39 2 2 ( ρ − λ )r gt h ⋅ η= (8) 9 l ( R + 0,24r )(h + 1,33r )

Вопросы к допуску. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Какие силы действуют на падающий в жидкости шарик? Каковы характер и динамика его движения? Записать формулу закона Стокса и пояснить входящие в нее обозначения? Каковы условия применимости закона Стокса? Как они учтены в работе? Записать расчетную формулу для вязкости жидкости? Пояснить каким образом находятся значения входящих в нее величин в данной работе. Чем обусловлено положение верхней метки на цилиндрическом сосуде по отношению к краю жидкости в нем? Пояснить характер зависимости скорости шарика [формула (5)] по рис.2. От чего зависит получаемое значение вязкости? Каковы источники возможных погрешностей результата?

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Вычисление расстояния релаксации. 1) Выбрать шарик наибольшего радиуса и измерить его диаметр, массу, вычислить объем и среднюю плотность. 2) Измерить линейкой расстояние d от поверхности масла в цилиндрическом сосуде до верхней отметки. 3) По справочной таблице найти значение плотности и коэффициента вязкости касторового масла, записать в тетрадь. 4) По формуле (6) рассчитать скорость v р равномерного падения шарика. 5) На основе формулы (5) найти минимальное время t р , соответствующее значению скорости, найденному в предыдущем пункте.

40

6) Интегрированием формулы (5) в пределах от t=0 до t=tр вычислить путь S, проходимый шариком при его неравномерном движении в жидкости. 7) Сравнить полученное значение S с расстоянием d от поверхности жидкости в сосуде до верхней метки. Сделать соответствующий вывод о применимости расчетной формулы.

Задание 2. Экспериментальное определение вязкости касторового масла. 1) Взять 3 металлических шарика (стальные или свинцовые) и микрометром произвести несколько измерений их диаметров. Вычислить средние значения радиусов данных шариков. Занести эти и последующие результаты в таблицу. 2) Свободно отпустить шарик в исследуемую жидкость и засечь время ti прохождения им расстояния между метками. Проделать это для каждого из взятых шариков, i =1, 2, 3. 3) Измерить расстояние между метками l и записать какова абсолютная 4) 5) 6)

7)

погрешность этого значения Δl . Определить температуру исследуемой жидкости (температуру воздуха в помещении). Для каждого опыта вычислить по расчетной формуле полученное значение вязкости. Найти его среднее значение и сравнить с табличным. Сделать вывод о правильности проведенного эксперимента и пояснить возможные причины расхождения теоретического и экспериментального значений коэффициента вязкости касторового масла. Оценить погрешность результат проделанного измерения как косвенного многократного измерения. Записать ответ в форме

η = η к / м ± Δη ,

ε = ... (степень доверия Р=...). Задание 3. Исследование зависимости скорости падения шарика в вязкой жидкости. 1) Подставьте полученные в ходе выполнения эксперимента числовые значения соответствующих величин в формулу (5) и запишите ее вид

41

после проведения соответствующих вычислений (возьмите данные, соответствующие падению одного из шариков). 2) Постройте на миллиметровой бумаге график зависимости скорости падения шарика от времени падения с указанием выбранных масштабов. Точный график можно построить в системе Mathcad на компьютере. 3) Сравните значение скорости равномерного движения шарика, полученное из графика с тем, что было посчитано в ходе опыта. 4) По графику определить время t р , через которое скорость шарика перестанет меняться. Посчитать площадь фигуры под графиком на участке от начала движения до t = t р . Сравнить эту величину с расстоянием d от поверхности жидкости в сосуде по верхней метки. 5) Сделайте необходимый вывод.

Вопросы к отчету: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Поясните сущность явления вязкого трения. Какова природа сил внутреннего трения жидкости? Сформулируйте закон Ньютона и поясните входящие в него величины. Что такое коэффициент вязкости? Запишите формулу Стокса и укажите условия ее применимости. Докажите справедливость формулы (3) методом размерностей. Какое движение жидкости называют ламинарным? Запишите условие ламинарности. Выведите формулу зависимости скорости падения шарика от времени из динамического уравнения его движения в вязкой жидкости. Сформулируйте утверждения, отражающие основные результаты данного эксперимента. Перечислить основные источники погрешностей измерений, проводимых в данной работе. Как они были вами учтены при оценке точности результата?

42

Лабораторная работа № 1.4. Определение модуля Юнга металлической проволоки. Цель работы: познакомиться с числовыми характеристиками и законами упругой продольной деформации твердых тел; исследовать упругие свойства металла, в частности на практике изучить деформацию растяжения на примере металлической проволоки; познакомиться с методом экспериментального нахождения модуля Юнга. Приборы и принадлежности: нихромовая или стальная проволока, закрепленная с одного конца, грузы и подвесная опора для них, два микроскопа с окулярными шкалами, микрометр, масштабная линейка.

Краткая теория вопроса и метода измерения. Напомним, что механика твердого тела основана на использовании абстрактной модели – понятии «абсолютно твердого тела». Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, т.е. при любых условиях расстояние между какими-либо двумя его точками (или частицами тела) остается постоянным. В природе абсолютно твердых тел нет, т.е. это – идеализированная модель. Деформацией твердого тела (объекта природы) называется изменение его размеров и объема, сопровождающееся чаще всего изменением формы этого тела. Лишь в случаях всестороннего равномерно распределенного по поверхности тела сжатия или растяжения форма тела не меняется. Причины деформаций: - изменение температуры (тепловое расширение); - внешние силовые воздействия. При деформациях происходят смещения частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки, из первоначальных положений в новые, т.е.

43

изменяется взаимное расположение частиц тела. Это приводит к следующему: 1) возникновению упругих сил взаимодействия между частицами (смещенными от положения равновесия), которые стремятся вернуть их в исходные положения; внутренние упругие силы уравновешивают внешние силовые факторы, приложенные к телу; 2) увеличению потенциальной энергии деформируемого тела на величину работы, совершенной при смещении частиц, по преодолению внутренних упругих сил. Различают упругие и пластические (остаточные) деформации. В первом случае тело полностью, а во втором лишь частично, восстанавливает свои прежние размеры и форму после снятия внешней нагрузки. В реальности все деформации в той или иной степени пластичны. Но если остаточные деформации пренебрежимо малы, то можно считать деформацию упругой. Этому отвечают малые деформации. В пределах малых деформаций все деформации удовлетворяют следующим основным законам: - в пределах упругости деформация пропорциональна величине внешнего усилия; - перемена знака внешнего усилия вызывает только перемену знака деформации, без изменения ее абсолютной величины; - при действии нескольких внешних усилий общая деформация равна сумме частных деформаций. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения (сжатия) и сдвига. Остановимся на одностороннем или продольном растяжении (сжатии), которое состоит в увеличении (уменьшении) длины тела под действием растягивающей (сжимающей) силы F. Для этого рассмотрим однородный стержень (проволоку) длиной l и площадью поперечного сечения

S, один конец которого закреплен, а к другому приложена сила F, изменившая длину стержня на величину Δl . Величина силы σ , приходящаяся на единицу площади поперечного сечения стержня, называется напряже-

44

нием: σ =

F (1). S

Мерой деформации служит относительная деформация, которая в данном случае определяется так:

ε = Δl l

(2) - относительная продольная деформация.

Величины (1) и (2) связаны в случае упругих деформаций по закону Гука:

Δl F ES =E (3’) ⇒ F = ⋅ Δl = k ⋅ Δl (4). S l l Коэффициент пропорциональности Е в формуле (3) называется мо-

σ = Eε (3) или

дулем Юнга – характеристика упругих свойств материала, а коэффициент

k в (4) – коэффициентом упругости тела. Из (3) следует, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим удвоение длины стержня. Т.е. модуль Юнга равен напряжению, при котором относительное удлинение стало бы равным единице. Если бы при таком относительном удлинении еще сохранялась пропорциональность между ним и напряжением. В действительности, гораздо раньше, чем будет достигнуто напряжение, равное модулю Юнга, тело начнет испытывать пластическую деформацию, а затем подвергнется разрыву. Деформация твердых тел подчиняется закону Гука лишь до определенного предела, называемого пределом пропорциональности. Продольная деформация стержня всегда вызывает его поперечную деформацию: удлиняясь стержень становится соответственно тоньше. относительная поперечная деформация:

ε ' = Δd d

(5), где d - диаметр

стержня. Из опыта вытекает взаимосвязь:

ε ' = − με (6), где μ - положитель-

ный коэффициент, зависящий от свойств материала, называемый коэффициентом Пуассона. Далее рассчитаем работу, которую нужно совершить, чтобы растянуть данный стержень на величину Δl . Чтобы растягивать стержень нуж-

45

но в каждый момент времени действовать на него с силой, соответствующей текущему удлинению и определяемой по формуле (4). Т.е.:

A=

Δl

∫ 0

ES Fdx = l

Δl

∫ 0

2 ES (Δl ) . Принимая за ноль значение поxdx = 2 l

тенциальной энергии тела в отсутствие деформации, получим выражение для определения потенциальной энергии упруго деформируемого тела:

U =

1 ES (Δl ) 2 2 l

или U =

1 1 ESlε 2 = Eε 2V 2 2

(7). Где V – объем

стержня (изменение объема стержня при его деформации здесь не учитывалось!). Величина u =

U 1 = Eε 2 (8) называется плотностью потенциV 2

альной энергии. В случае однородного стержня при одинаковой в любой его точке деформации энергию можно считать равномерно распределенной по объему стержня. В общем случае неоднородной деформации плотность энергии может меняться от точки к точке. Для проведения измерений выразим модуль Юнга из формулы (3’):

E=

Fl . SΔl

В случае исследования проволоки круглого сечения имеем S =

πd 2 4

, тогда

расчетная формула для нахождения значения модуля Юнга материала проволоки примет окончательный вид: E =

Fl (9). π d 2 Δl 4

⋅

Экспериментальная установка схематично изображена на рисунке. Микроскопы первоначально настраиваются на видение каждой из 2х меток. Нагружение проволоки приводит к их смещению, а разность величин этих смещений дает величину абсолютной деформации соответствующего участка проволоки между метками.

46

Для измерения малых смещений меток используют микроскоп с встроенным окулярным микрометром. Окулярный микрометр представляет собой круглое стекло, на котором нанесены деления. Вся шкала обычно имеет длину 1 см и содержит 50 равных делений. Эта шкала помещается в окуляре между линзами в том месте, где получается изображение предмета. Цена деления окулярного микрометра определяется предварительно по объективному микрометру с ценой деления 0,01 мм.

Вопросы к допуску. 1. 2. 3.

4.

Какой вид деформации твердого тела будет исследоваться вами в данной работе? Какие величины количественно характеризуют этот вид деформации? Дайте определение и поясните физический смысл модуля Юнга? Эта величина служит характеристикой данного образца, материала из которого он изготовлен или того и другого сразу? В чем существенное отличие модуля Юнга от коэффициента упругости? Могут ли эти величины быть численно равны? Запишите в тетрадь справочные данные о примерах значений величин E и k.

5. 6.

Имеет ли смысл говорить о значении модуля Юнга в случае неупругой деформации некоторого тела? Дать определение продольной и поперечной относительных деформа-

47

ций стержня. Как связаны эти величины? 7. Записать расчетную формулу и пояснить входящие в нее величины и способ их измерения в данной работе. 8. Как в работе определяется цена деления окулярной шкалы? 9. Пояснить величины, стоящие в заголовках столбцов таблицы 1. Имеет ли смысл нахождение среднего значения величины из последнего столбца этой таблицы? Почему? Чему на графике соответствует среднее значение указанной величины? Как оно связано с характером деформации? 10. Каковы возможные источники погрешностей искомого результата? Какие ваши действия по ходу работы могут их уменьшить? 11. Какие переменные в формуле (9) будут браться в качестве отдельных множителей при оценке погрешности косвенного измерения? Каково их количество?

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Определение цены деления шкалы окулярного микрометра 1) 2)

3)

Поместить объективный микрометр в поле обзора микроскопа и получить его видимость в окуляре микроскопа. Посчитать число делений объективного микрометра, умещающихся на n делениях шкалы окуляра. Найти количество делений микрометра, приходящихся на одно деление окуляра. Зная цену деления объективного микрометра вычислить цену деления окулярной шкалы микроскопа. Записать полученное значение под таблицей 1.

Задание 2. Определение сечения S данной проволоки и длины исследуемого участка l . 1)

Провести 10 измерений микрометром диаметра проволоки в различных местах между установленными метками.

2)

Вычислить среднее значение диаметра проволоки d ср и рассчитать погрешность проделанных многократных прямых измерений.

48

3)

Произвести вычисление средней площади поперечного сечения данной проволоки S ср .

4)

С помощью миллиметровой линейки измерить расстояние l между двумя метками при незначительном натяжении закрепленной проволоки. Это и будет служить исходным значением длины образца.

5)

Вычислить коэффициент

6)

Сохранить полученное исходное состояние проволоки для проведения действий из задания 3.

μ = 4 ⋅ l 2 (10) π d ср

Задание 3. Построение графика растяжения проволоки. 1)

Зафиксировать по окулярным шкалам положение меток в исходном состоянии проволоки (см. задание 2). Осторожно нагрузить незакрепленный конец проволоки грузом из-

2)

вестной массы mi . 3)

Найти с помощью микроскопов соответствующие смещения

Δx1 и

Δx2 каждой метки в делениях окулярной шкалы. 4)

Вычислить соответствующее растяжение проволоки на данном участке Δli = Δx1 − Δx2 и записать его значение в метрах, зная цену деления окулярной шкалы (см. задание 1). Полученные в пунктах 1)-4) значения указанных величин занести в таблицу 1, проделав аналогичную последовательность для разных по массе нагрузках не менее 7 раз.

5)

Таблица 1.

№ п/п

mi , кг

Fi , Н

Δx1 , дел Δx2 , дел Δli , дел

Δl i , м

Fi Δli

1. ... 7-10. 6)

Построить на миллиметровой бумаге сглаженный график зависимости

Δx(F ) , отложив по вертикали значения силы, а по горизонтали соот-

49

7) 8)

ветствующие удлинения. Укажите отчетливо точки, соответствующие экспериментально полученным значениям из таблицы 1. Проведите прямую, наиболее близко соответствующую положению отмеченных экспериментальных точек. Найдите угловой коэффициент наклона tgα этой прямой к горизонтальной оси.

9)

На основе анализа полученной формы графика сделать вывод о характере деформации проволоки и о возможности применить расчетную формулу. 10) Проделав нужные вычисления заполнить последний столбец таблицы 1. 11) Подумайте, как связана величина tgα с данными последнего столбца таблицы 1?

Задание 4. Определение значения модуля Юнга материала проволоки. 1) Вычислить по данным эксперимента значение Е на основе расчетной формулы (9), взяв среднее значение d ср диаметра проволоки.

μ ⋅ tgα . Поясните ре-

2)

Сравните полученное значение с величиной

3)

зультат этого сравнения. Оценить погрешность результата проделанного измерения как косвенного однократного измерения. Записать ответ в форме

E = Eпроволоки ± ΔE , ε = ... . 4)

Найдите в справочной таблице значение модуля Юнга, близкое к полученному вами значению Е. Какому материалу согласно справочной

5)

таблице оно соответствует? Сделайте вывод о соответствии или несоответствии полученного результата материалу, из которого изготовлена исследуемая проволока.

Задание 5. Исследование зависимости плотности потенциальной энергии деформации от относительного удлинения. 1)

Взяв значение величины Е. полученное в задании 4, и на основе данных из таблицы 1 заполните таблицу 2. При расчете используйте фор-

50

мулу (8).

Таблица 2.

№ п/п

ε

3 Е, Н/м2 u , Дж/м

1. ... 7-10 2) Постройте график зависимости u (ε ) . 3) Охарактеризуйте тип зависимости на основе полученного графика и сделайте пояснения на основе рассмотрения сути происходящих при деформации физических процессов.

Вопросы к отчету: 1. 2. 3.

Как проявляются упругие свойства металлов? Какая деформация называется продольной? Что служит ее мерой? Изобразите диаграмму растяжения металлического стержня и укажите на ней точки соответствующие пределу пропорциональности и пределу упругости. В чем сходство и в чем различие этих двух понятий?

4.

Что представляет собой величина d в формуле (5) в случае стержня с

5. 6. 7. 8. 9.

прямоугольным сечением? Выведите расчетную формулу. Какие допущения были сделаны при этом? Каковы единицы измерения модуля Юнга? Что называется потенциальной энергией? Что принимают на потенциальную энергию упругой деформации? Как экспериментально можно определить модуль Юнга некоторого металла? Каким законам удовлетворяют малые деформации? Чему соответствует условие их «малости»? Как и где в ходе работы применялся закон сложения деформаций?

51

Лабораторная работа № 1.5. Измерение промежутков времени. Цель работы: изучить методы измерения промежутков времени; экспериментально определить период вращения мотора стробоскопическим методом. Приборы и принадлежности: метроном, секундомер, электромотор, шестисекторный диск с 2-хцветной окраской секторов, стробоскопическая лампа, ЛАТР.

Краткая характеристика методов. Для измерения промежутка времени в зависимости от его величины применяются различные методы: механические, стробоскопические и электрические. Механические методы применяются для измерения достаточно продолжительных промежутков времени. В них используются такие приборы, как часы, метроном и секундомер, обеспечивающие точность измерения времени до 0,5 – 0,1 с. Метроном служит для отсчета равных промежутков времени небольшой величины. В его состав входит маятник А – подвижный груз Р на металлическом стержне, - который колеблется около горизонтальной оси (в вертикальной плоскости наблюдения) вокруг точки О (рис.). Причем продолжительность одного колебания можно менять, передвигая груз Р по стержню вверх или вниз. На скрытом в корпусе конце стержня закреплен противовес G. Встроенный пружинный механизм поддерживает колебания маятника и громко отбивает каждый его размах. Секундомер применяется в лабораторной практике для измерения

52

промежутков времени от нескольких секунд до нескольких минут. Он имеет 2 стрелки – минутную и секундную, – для каждой из которых есть свой циферблат. Один оборот секундной стрелки соответствует 1 минуте, а минутной – 10 мин. Для завода секундомера и для его управления служит верхняя головка: при первом нажатии на нее стрелки приходят в движение, при втором останавливаются. Таким образом, отсчет по циферблату дает промежуток времени между нажатиями головки, Точность обычно равна 0,2 с. Наконец, при третьем нажатии головки обе стрелки возвращаются к нулевому положению. Стробоскопические методы применяются для измерения частоты периодических процессов. В основу этого метода положен стробоскопический эффект, возникающий в определенных условиях при освещении периодического движения отдельными короткими вспышками, следующими друг за другом через равные промежутки времени. Разберем его на следующем примере. Пусть имеется капельница с подкрашенной водой. При падении капель с постоянной частотой n на фоне экрана будет отмечаться глазом линейная траектория их падения. Будем освещать падение капель стробоскопом, частота вспышек которого ν равна частоте падения капель: ν = n . Пусть первая вспышка осветила каплю в положении М. Через время, равное

1

ν

(период повторения), на место

первой капли придет вторая, а лампа снова осветит ее положение в той же точке М. Учтем такую физиологическую особенность зрения как длительность зрительного ощущения (например, при просмотре кинофильма частота смены кадров равна 24 кадра/секунду, и мы «не видим» их мерцания). В данном случае получим указанный эффект – капля будет казаться неподвижной, висящей в воздухе в точке М. Но если частота вспышек равна

ν = n , т.е. промежуток времени 2

между вспышками больше в 2 раза. Тогда положение второй капли в точке М не будет освещаться, но осветится такое положение третьей капли, и далее 5-й, 7-й и т.д., (т.е. каждой второй). Но воспринимаемая зрительно кар-

53

тина на экране не изменится. Аналогично при частоте вспышек, равной

n , k

где k - коэффициент кратности частот, некоторое натуральное число, - в этом состоит условие кратности частот. Итак, если световые вспышки следуют через промежутки времени, точно совпадающие с периодом движения тела или кратные ему, то оно будет видеться нам всегда в одном и том же положении, т.е. будет казаться остановившимся. Внимание! Из всех возможных частот ν световых вспышек частота при k = 1 - наибольшая. ⇒ Правило: если нельзя найти большее, чем уже установленное

ν вспышек (при котором уже имеет место стробоскопи-

ческий эффект), кратное значение частоты вспышек ν 1 , при которой также будет иметь место кажущаяся остановка исследуемого движения, то

ν вспышек = n , где n - частота механического периодического движения. Если же период световых вспышек несколько отличается от периода движения тела, то оно будет казаться медленно движущимся с некоторой частотой, определяемой уравнением: Δν = n − ν , где n - частота движения тела (в данной работе тело = черный сектор), ν - частота световых вспышек. При Δν > 0 кажущееся движение происходи в сторону истинного движения тела; при Δν < 0 наблюдается кажущееся движение в обратную сторону (например, при просмотре фильма можно иногда заметить, что колеса машины движутся на определенной ее скорости в обратную сторону). В данной работе при определении скорости вращения мотора надо учесть, что период вращения мотора (время одного полного оборота) в три (т.к. три черных сектора) раза меньше, чем промежуток времени между сменой черных секторов. Т.е. T мотора =

1 . ⋅T 3 сектора

Электрические методы измерения времени используются в случае малых временных промежутков и реализованы в приборах: баллистический гальванометр (до 10-3 с) и электронный осциллограф (до 10-9 с). Такие быстрые процессы в механике макротел не встречаются, и мы на них оста-

54

навливаться не будем.

Описание экспериментальной установки. В состав установки входит электродвигатель, диск стробоскопический, автотрансформатор ЛАТР и стробоскоп. Электродвигатель работает от переменного тока, и скорость его вращения зависит от величины подаваемого напряжения. ЛАТР и предназначен для плавного изменения (регулировки) скорости, а следовательно и частоты вращения якоря двигателя (диска на его оси) от 100 до 4500 об/мин. С этой целью к электродвигателю присоединены 2 шнура: один из них заканчивается штепсельной вилкой, а другой снабжен наконечниками для присоединения к реостату. Если электродвигатель работает от автотрансформатора, то оба наконечника второго шнура должны быть соединены и заизолированы, а

вилка первого шнура вставляется в штепсельные гнезда ЛАТРа. Диапазон частот

ν следования вспышек стробоскопической лампы

разделен на 2 поддиапазона: 1-й подиапазон — 10÷40 Гц; 2-й поддиапазон — 40÷150 Гц. Подключение стробоскопа: 1) Включить вилку стробоскопа в сеть.

55

2) Нажать кнопку нужного поддиапазона (10-40 Гц или 40-150 Гц). При этом стробоскоп начнет излучать световые импульсы определенной частоты. 3) Вращением ручки плавной регулировки частоты произвести изменение частоты в пределах выбранного поддиапазона. Погрешность частоты вспышек на частоте 40 Гц в первом поддиапазоне и на частоте 150 Гц во втором поддиапазоне не хуже ± 3%.

Вопросы к допуску. 1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8.

Что называется стробоскопическим эффектом? В чем причина его появления и каковы необходимые условия? Что понимается под условием кратности частот? Частоты каких периодических процессов при этом сравниваются? Как практически по ходу данной работы можно найти значение коэффициента кратности частот k ? Пояснить принцип работы электродвигателя. От чего зависит частота n (скорость) его вращения? Что понимают под скоростью, частотой и периодом вращения мотора? Каковы правила работы со стробоскопом? Что представляет собой стробоскопический диск? Какому требованию должны отвечать размеры его секторов? Какому условию отвечает форма сектора и как это связано с назначением диска? Каков порядок действий по определению частоты вращения диска? Какие измерения должны быть при этом проведены? Каково основное назначение прибора (электродвигателя и стробоскопа), общие правила его эксплуатации и работы с ним? Выписать в тетрадь величину погрешности определения частоты вспышек стробоскопа. Значение какой величины определяется по шкале стробоскопа?? Как она обозначается в работе?

56

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Наблюдение стробоскопического эффекта и проверка условия его наступления. 1) 2) 3) 4) 5)

6)

По техническим данным установить пределы изменения частоты вращения мотора (полный диапазон). Выбрать границы рабочего диапазона, взяв в качестве ограничений наименьшую и наибольшую частоту вспышек стробоскопа. Подготовить к работе экспериментальную установку согласно рис.1. Установить частоту вращения мотора из последней трети рабочего диапазона. Примерно, по напряжению на ЛАТРе. На стробоскопе, начиная с наибольшего значения частоты, плавно изменяйте частоту вспышек и отмечайте в тетради ее значения, при которых наблюдался стробоскопический эффект. Сравните качество наблюдаемой зрительно картины в разных случаях. Установите, если возможно, наибольшее значение ν вспышек = n , а для других записанных значений ν указать величину коэффициента кратности.

7)

В случае, когда установить значение

ν вспышек = n не удается (созда-

ется впечатление возможности очередного наблюдения эффекта остановки при дальнейшем увеличении частоты вспышек, что невозможно) проделайте, начиная с п. 3), задание 1 заново, но для меньшего, чем в первый раз, значения напряжения на ЛАТРе. 8)

Вычислить n мотора = n / 3 . Сравнить полученные данные с расчетами из пункта 1) этого задания. Сделать соответствующий вывод.

Задание 2. Определение периода вращения электромотора (диска). 1) 2)

Подготовить к работе экспериментальную установку согласно рис.1. Установить работу двигателя с помощью ЛАТРа (по показаниям величины напряжения u ) на некоторую скорость вращения в пределах первой половины от всего диапазона возможных скоростей его вращения. Отметить и записать выбранное значение u напряжения на

57

3)

4)

5)

ЛАТРе. Включить стробоскоп и выбрать первый поддипазон частот его вспышек (изменять поддиапазон можно в соответствии с целью пункта 5) этого задания!). Плавным вращение ручки регулятора частоты вспышек на стробоскопе добиться кажущейся остановки вращения диска. После чего снять соответствующее показание частоты вспышек ν . Определить частоту n смены секторов, а соответственно и частоту вращения мотора (не изменяя его скорости, т.е. напряжение на ЛАТРе все время должно быть неизменным!): n мотора = n / 3 . Т.е. установить и экспериментально доказать значение коэффициента кратности частот k .

6)

Вычислить период T (в с) и угловую скорость

рад/с) соответственно по формулам: T = 7)

ω вращения мотора (в

1 n мотора

и

ω = 2πn мотора .

Записать полученные значения в первую строку данных таблицы 1.

№ п/п u, В

ν , Гц ν 1 , Гц

nсектора, об/с nмотора, об/с T , с ω , рад/с

1. ... 5-7 8)

Вычислить абсолютную Δω и относительную ε погрешность полученного значения угловой скорости вращения диска.

Задание 3. Построение графика зависимости скорости вращения мотора от напряжения на ЛАТРе. 1)

После выполнения задания 2 изменить напряжение на ЛАТРе на величину Δu =

U max m +1

, где U max - наибольшее значение напряжения на

ЛАТРе, при котором диск не слетает с оси мотора (т.е. в пределах возможности наблюдения), m - полное количество опытов, которые вы хотите провести в рамках этого задания (число строк данных в первом столбце таблицы 1, т.е. по выбору одно из значений 5, 6 или 7).

58

2) 3) 4)

Иначе можно поступить проще: провести измерения при следующих значениях напряжения на ЛАТРе: 40, 60, 80, 100 и 120 В. Шаг изменения напряжения также можно менять в случае необходимости. Проделать все действия из пунктов 2)-6) задания 2. Заполнить последующие строки в таблице 1. По данным 2-го и последнего столбцов таблицы 1 построить на миллиметровой бумаге график зависимости

5)

6)

ω = ω (u ) . Для этого отло-

жить точки, соответствующие данным таблицы. Соединить эти точки гладкой кривой. Дополнительно построить прямую, наиболее близко расположенную ко всем экспериментальным точкам. Пояснить характер полученной зависимости (обратная пропорциональность, линейная, квадратичная или иная). Сделать вывод о правильности полученных в последнем столбце табл.1 данных и о наличии среди них промахов. Установить возможные причины выявленных промахов. Имеет ли смысл нахождение среднего значения величины ω по данным в последнем столбце таблицы 1???

Задание 4. Измерение промежутка времени с помощью капельницы. 1) 2)

Ознакомиться с устройством и назначением водной капельницы. Сделать ее рисунок в тетради. Настроить капельницу на определенную частоту падения капель воды.

3)

С помощью секундомера засечь время t ∑ падения 20-30 капель. Провести отсчет 2-3 раза.

4)

Найти промежуток времени Δt капель между падением двух соседних

5)

капель записать формулу для его расчета. Пояснить. Настроить метроном в такт с падающими каплями, передвигая подвижный груз Р.

6)

С помощью секундомера определить время Δt ударов между двумя последовательными громкими звуковыми «отбиваниями» размахов метронома.

59

7)

Записать, чему равен период Tмаятника колебания маятника метронома в данном случае.

8)

Сравнить полученные значения Δt капель и Δt ударов . Сделать вывод и причинах неточности.

Замечание. Говоря о точности измерений, отличайте ее от точности арифметических вычислений! Погрешность округления результатов вычисления не должна быть значительно меньше общей погрешности соответствующего измерения.

Вопросы к отчету: 1. Какой промежуток времени в системе единиц СИ принят за 1 с? 2. Каков общий принцип механических методов измерения времени? 3. Рассказать о правилах измерения промежутков времени по секундомеру. Какова погрешность таких измерений? Что является источником указанной погрешности? 4. Что позволяют измерять стробоскопические методы? Что положено в их основу? Какова их точность? 5. Дать определение частоты и периода вращения. Какое движение при этом рассматривается (движение по окружности, вращательное, то и другое, иное)? Обосновать ответ. 6. Каким образом можно использовать метроном для измерения промежутка времени?

Лабораторная работа № 1.6. Измерение скорости звука в воздухе.

60

Цель работы: познакомиться с основными характеристиками волновых процессов; изучить методы измерения скорости звука в газах; экспериментально определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны. Приборы и принадлежности: металлическая труба с поршнем, звуковой генератор ЗГМ, микрофон, масштабная линейка, кусок мела.

Краткая теория волн. Любая частица упругой среды, выведенная из положения равновесия, под действием упругих сил стремиться возвратиться в первоначальное положение и совершает колебания. Если смещения невелики, упругая сила прямо пропорциональна смещению, и колебания будут совершаться по гармоническому закону: щения точки; y 0 и

y = y0 sin(ωt + ϕ 0 ) (1), где y - величина сме-

ϕ - амплитуда и начальная фаза колебаний, определяе-

мые начальными условиями (выбором начала отсчета времени можно добиться выполнение ϕ 0 = 0 ). Колебание одной частицы не остается локализованным – начинают колебаться соседние с ней частицы, затем следующие и т.д.; такая совокупность колеблющихся частиц образует волну. Скорость распространения колебаний (волны), зависящая от природы среды, и амплитуда колебаний определяют величину смещения каждой частицы в заданный момент времени. Распределение величин смещений частиц в волне в зависимости от времени и положения частицы описывается уравнением волны, имеющим вид:

x t x t x y = y0 sin ω (t − ) = y0 sin 2π ( − ) = y0 sin 2π ( − ) (2), c T Tc T λ где х – расстояние частицы от начала координат, с – скорость распространения волны, Т – период колебания, λ - длина волны. Скорость распро-

61

странения волн определяется формулой:

c=

E

ρ

(3), где Е – модуль упругости среды,

ρ - ее плотность.

Скорость продольных волн, в которых частицы колеблются вдоль направления распространения волны, определяется модулем упругости (коэффициентом пропорциональности между напряжением и относительной деформацией в законе Гука); скорость волн поперечных, в которых частицы колеблются перпендикулярно к направлению распространения волны, - модулем сдвига. Появление звука всегда обусловлено колебаниями какого-либо тела. Распространение звука в газах осуществляется продольными волнами. Уравнение волны (2) соответствует проходящей волне (амплитуда колебаний всех точек волны одинакова, а фаза запаздывает). Если в среде одновременно распространяются 2 волны одинаковой длины, наблюдается сложение этих волн (интерференция). Если направления смещения частиц слагающих волн совпадают, то результирующее смещение равно алгебраической сумме смещений. Тогда результирующее колебание в точке А, отстоящей от первого источника на расстоянии х1, а от второго – на х2, запишется так:

yA = где

2 2 y01 + y02 + 2 y01 y02 cos 2π

x1 − x2

λ

t ⋅ sin 2π ( − ϕ ) T

(3),

ϕ = ϕ ( x1 , x2 , λ ) , у01 и у02 – амплитуды 2-х слагающих колебаний (на-

чальные фазы их предполагаются совпадающими). Первый множитель в (3) – результирующая амплитуда колебаний в заданной точке. Отсюда видно, что при

x1 − x2 = (2n + 1)

λ 2

имеем минимум амплитуды колебаний.

При отражении проходящей волны от границ раздела 2-х сред образуется так называемая стоячая волна (разные точки колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами). Смещение частиц в такой волне определяется по (3) для суммы прямой и обратной волн. Надо только иметь в виду, что в случае отражения от более плотной стенки ам-

62

плитуда отраженной волны будет − y 0 (т.е. фаза меняется на противоположную или, иначе говоря, идет потеря

λ ). 2

Условие возникновения стоячей волны: наложение двух встречных плоских волн с одинаковыми частотой и амплитудой. Т.е. она возникает, например, при отражении волн от преград. Распределение смещений (амплитуд) в стоячей волне при отражении от более плотной среды дается уравнением:

y = 2 y0 sin 2π

l−x

l cos ω (t − ) (4), λ c

где l - расстояние от точки возникновения волны до места отражения. Переходя от точки к точке вдоль направления волны, будем отмечать различные амплитуды колебаний, определяемые выражением, стоящим перед косинусом в (8). Отсюда следует наличие точек (узлов), для которых эта амплитуда равна нулю:

y x = 0, 2 y0 sin 2π

l−x

λ

=0

(5).

Также, есть и точки с максимальной амплитудой – пучности. Расстояние между двумя соседними неподвижными точками (узлами), или между соседними пучностями, равно половине длины проходящей волны. Вблизи узлов имеет место максимум деформации, а значит и максимум потенциальной энергии. Вблизи пучностей стоячей волны находятся пучности скорости, а значит максимальна энергия кинетическая. Т.о. дважды за период происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. В случае стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Полная энергия стоячей волны, заключенная между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных

λ 2

, происходят взаимные превращения ки-

нетической энергии в потенциальную и обратно.

63

Скорость звука как волны. Звуковые волны имеют частоты в пределах 16-20 000 Гц. Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой. В истории развития физических знаний известны различные формулы, по которым определялась в разные времена скорость звука v : 1) формула Ньютона

v=

P

ρ

(6) – выводится в предположении,

что процесс распространения звука в газе можно считать изотермическим; здесь P - давление газа,

ρ - плотность газа; ее результаты расходятся с

экспериментом.

v= γ

2) формула Лапласа

γ =

cp cv

P

ρ

γ RT , где

(7) или v =

M

- термодинамический коэффициент, равный отношению удельных

теплоемкостей газа; формула выводится на основе утверждения, что процесс распространение акустических волн является адиабатическим; формула (7) соответствует опытным данным. Т.к. плотность газа зависит от температуры:

ρ = ρ0

1 1+α ⋅t

, где

ρ 0 - плотность газа при 00С, t – температура в 0С, α - коэффициент расширения газа ( α = 0,004 ), следовательно,

vt = γ

P

ρ0

(1 + αt ) = v0 1 + 0,004t (8).

При 00С скорость звука в воздухе v0 =331,5

м/с.

Что же представляет собой скорость звука? Скорость звука есть скорость распространения упругих колебаний в среде – твердой, жидкой или газообразной. Пусть резким движением поршня в трубе вы создали уплотненный слой воздуха. А потом вернули поршень в первоначальное положение. По-

64

добно сжатой пружине, слой воздуха начнет расширяться в обе стороны, заполняя образовавшееся разрежение слева и вызывая сгущение справа. Таким образом сгущение будет перемещаться вдоль оси трубы все правее и правее. Распространяется сгущение, а не частицы воздуха. От одного конца трубы до другого. Каждая частица лишь колеблется влево-вправо около положения равновесия. Скорость распространения сгущенного состояния и будет скоростью распространения упругой деформации среды.. Если периодически повторять движение поршня вперед и назад, то в воздушной среде образуется ряд последовательных сгущений и разряжений, бегущих вдоль оси трубы. Такое движение называется волновым. Расстояние от одного сгущенного состояния до следующего, т.е. расстояние между двумя последовательными точками среды, находящимися в одной фазе, называется длиной волны, а число волн, проходящих через точку в 1 с, - частотой колебательного движения ν . Для звуковых волн частота звука является характеристикой звукового ощущения, известного под названием высоты звука или тона (до, ре, ми и т.д.). чем больше частота, тем выше тон. Сила звука данного источника объективно определяется мощностью колебаний и пропорциональна квадрату их амплитуды. Однако при субъективной оценке громкости звука играет роль и высота звука, так что звуки. Значительно отличающиеся по высоте, дают разные ощущения громкости. По длине и частоте волны можно вычислить скорость звука: v = λν (9). В теории волн различают понятия фазовой и групповой скорости. Первая равна скорости распространения фазы в пространстве (рис.2). Это – только математическое понятие. Также как нельзя практически выделить строго монохроматический

65

луч света с соответствующей ему строго определенной длиной волны, а всегда приходится иметь дело с пучком, представляющим собой смесь близко расположенных длин волн, так нельзя и получить звуковой волны строго определенной частоты. Кроме того, для передачи сигнала волна должна быть модулирована: необходимо, чтобы были разрывы и изменения амплитуды. При распространении звука такая модуляция происходит всегда: всякий источник звука посылает не одну волну строго определенной частоты, а несколько, хоть немного отличающихся друг от друга, волн. Как известно, при \том происходит интерференция, приводящая к биениям: волна разбивается на отдельные участки – пакеты. Энергия концентрируется в местах наибольших амплитуд и может восприниматься ухом или другим приемником как определенный сигнал. При этом в некоторых случаях максимум перемещается по пакету со скоростью, отличной от фазовой (рис.3). Скорость сигнала или скорость звука есть скорость распространения подобных групп волн и поэтому называется групповой скоростью. С этой

скоростью распространяется и энергия звука. Для звуковых волн в воздухе и в воде групповая и фазовая скорости одинаковы. Это вызвано тем, что скорость звука, являясь скоростью распространения упругих деформаций среды, не зависит от частоты. Звуки любого типа распространяются одинаково. Разница лишь в громкости. Т.е. для звуковых волн не наблюдается дисперсия. Поэтому не оговаривают о фазовой или групповой скорости идет речь, а говорят просто о скорости звука.

66

Описание метода. Генератор звуковых волн ЗГ-2, соединенный с микрофоном, генерирует в последнем волны установленной на приборе частоты. Микрофон установлен в одном основании цилиндрической металлической трубки и служит местом (точкой) возникновения звуковых волн, распространяющихся далее по трубке. Другим основание цилиндра служит поверхность поршня. Перемещая поршень по трубке, мы меняем расстояние l из формулы (8). Когда телефон по отношению к поршню (место отражения волны. т.е. начальный узел) занимает положение, соответствующее точке с максимальным (нулевым) значением амплитуды, мы слышим максимальную (нулевую) громкость звука.

Вопросы к допуску. 1. 2. 3.

Что представляет собой стоячая волна? Как она образуется? Как ее длина волны связана с длиной исходной проходящей волны? Какую область занимает стоячая волна в данном эксперименте? Где начинается отраженная волна? Какова ее начальная фаза?

67

4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13.

Запишите зависимость амплитуды колебания точки стоячей волны от ее расстояния до источника волн? Поясните входящие в формулу обозначения. Как связана длина проходящей волны с расстоянием между соседними пучностями? Чем определяется величина длины проходящей волны, исследуемой в опыте? Чем нужно руководствоваться при выборе частоты звука на генераторе? Каково условие максимальной слышимости звука в данном опыте? Сделать схематический чертеж взаимного расположения частей экспериментальной установки и рисунок соответствующей стоячей волны (подобно рис.1). Аналогично для момента отсутствия слышимости. От чего зависит скорость звука в газе? От чего зависит величина получаемого в нашем опыте значения скорости звука? Привести и пояснить расчетные формулы для длины звуковой волны и для скорости звука, используемые в данной работе. Выполнить задание 1. Какая характеристика звука меняется при вращении ручки регулятора выходного напряжения?

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Изучение методики работы с генератором звуковым ГЗМ по техническому паспорту. 1) Сделать схематический чертеж внешнего вида генератора, с указанием основных переключателей, ручек и индикаторов с пояснениями их названия и назначения. 2) Изучить технические характеристики прибора на с.2 его техпаспорта. 3) Выписать в тетрадь формулу для расчета погрешности выдаваемой генератором частоты для диапазона от 200 до 2000 Гц (п.2.2). 4) Ознакомиться с инструкцией по эксплуатации прибора. Выписать в

68

тетрадь необходимые положения ручек управления перед включением. 5) Ознакомиться с пунктами 6.4.2. и 6.4.3. на с.12 из описания общей методики работы с прибором.

Задание 2. Нахождение длины звуковой волны по расстоянию между пучностями стоячей волны. 1)

Включить звуковой генератор, соблюдая правила, усвоенные в задании 1. Настроить генератор на выбранную частоту не менее 400 Гц. Записать установленное значение в тетрадь и вычислить инструментальную погрешность этого значения. Придвинуть поршень к телефону и установить, вращая ручку регулятора выходного напряжения, достаточно слабую слышимость звука.

2)

3)

Медленно выдвигая поршень найти первое его положение, соответ-

4)

ствующее максимальному усилению звука, поставить мелом отметку на оси поршня. Аналогично далее отметить положение поршня при втором и т.д. усилениях звука. С помощью линейки измерить все расстояния li между отметками на

5)

оси поршня с возможной точностью (2-3 мм). Записать результаты в таблицу. № п/п

Частота ν , Гц

Δν , Гц

l1 , м

l2 , м

l3 , м

lср.1 , м

1. 2. 3. 6)

Стереть все метки и повторить измерения заново не менее 3-х раз.

7)

Вычислить среднее значение lср.1 расстояний между пучностями стоячей волны.

λ1 = 2lср.1 .

8)

Вычислить значение длины данной звуковой волны:

9)

Найти абсолютную погрешность этого значения как результата многократных измерений.

69

10) Не выключать и не менять частоты генератора для выполнения задания 3.

Задание 3. Нахождение длины звуковой волны по расстоянию между узлами стоячей волны. 1) Придвинуть поршень к телефону, не меняя условий опыта, установленных в задании 2. При этом слышимость звука слабая. На оси поршня поставить отметку на уровне открытого конца трубки. 2) Медленно выдвигая поршень найти первое среднее его положение, соответствующее максимальному ослаблению звука, поставить мелом отметку на оси поршня. Аналогично далее отметить положение поршня при втором и т.д. ослаблениях звука. 3) С помощью линейки измерить все расстояния li между отметками на оси поршня с возможной точностью (2-3 мм). Записать результаты в таблицу. Частота ν , Гц

№ п/п

Δν , Гц

l1 , м

l2 , м

l3 , м

lср.2 , м

1. 2. 3. 4)

Стереть все метки и повторить измерения заново не менее 3-х раз.

5)

Вычислить среднее значение lср.2 расстояний между узлами стоячей волны.

λ2 = 2lср.2 .

6)

Вычислить значение длины данной звуковой волны:

7)

Найти абсолютную погрешность этого значения как результата многократных измерений.

Задание 4. Вычисление скорости звука. 1) Найти среднее значение длины звуковой волны выбранной частоты:

λср. =

λ1 + λ2 2

.

2) Вычислить скорость распространения звука в воздухе при данной температуре: vt =

λср.ν .

70

3) Вычислить

ε=

относительную

Δlср.1 + Δlср.2

λср.

+

Δν

ν

и

абсолютную

погрешности:

, Δv = ε ⋅ v t .

4) Отметить в тетради значение температуры воздуха в помещении: t = ... . 5) На основе формулы (8) вычислить значение скорости звука при нулевой температуре и сравнить с указанным там же ее известным значением. 6) Сделать вывод о степени совпадения значений скорости звука с учетом пределов допускаемой погрешности.

Задание 5. Исследование зависимости длины звуковой волны в воздухе от частоты источника звука. 1) Проделать все действия, указанные в задании 2, для 5ти - 7ми других значений частот генератора в пределах указанного диапазона частот. Т.е. получить набор соответствующих пар значений (ν , λ ), заполнив таблицу: №п/п

1.

2.

3.

4.

5.

6.

ν λ 2) Построить график зависимости ν (λ ) . 3) Провести на графике прямую так, чтобы отмеченные точки лежали как можно ближе к ней (провести линейную аппроксимацию). 4) По графику определить тангенс угла наклона tgϕ этой прямой к оси частот. 5) Сделать вывод о физическом смысле величины tgϕ .

Вопросы к отчету: 1. Какие волны называют звуком? Каковы условия возникновения звуковых волн? 2. Что служит источником звуковых волн в данной работе? 3. Запишите уравнение прямой и отраженной звуковых волн. Исходя из

71

условий данного опыта? Найдите сумму полученных равенств. Сравните с формулой (4). 4. Что называют силой звука? 5. Что понимают под скоростью звука? От чего она зависит? 6. Как скорость звука в воздухе связана с его температурой? В каких единицах измеряется температура в этой формуле? 7. Что понимают под модулем упругости среды в формуле (3)? Что представляет собой эта величина в случае, когда среда – газ (жидкость)? 8. В чем отличие условий вывода формул Ньютона и Лапласа для скорости звука? Распространение звука в какой среде здесь рассматривается (газ, жидкость, твердое тело)? 9. В данном опыте волна отражается от поршня, как от более плотной среду. Происходит ли вторичное отражение ее от открытого конца трубки? 10. Каковы основные источники погрешностей полученного результата?

Часть 2 Лабораторная работа № 2.1. Изучение прямолинейного движения с помощью машины Атвуда. Цель работы: экспериментальное изучение прямолинейного движения, определение мгновенной скорости и ускорения движущегося тела. Приборы и принадлежности: машина Атвуда, набор грузов, электрический секундомер.

Краткое знакомство и машиной Атвуда.

72

Основные законы кинематики и динамики могут быть проверены опытным путем на машине Атвуда (рис.1). Машина Атвуда состоит из вертикальной штанги 2 со шкалой, сверху которой установлен легкий блок, укрепленный на корундовых подшипниках, способный вращаться с незначительным трением. Через блок перекинута тонкая капроновая нить с прикрепленными грузами 3 одинаковых масс т. Грузы могут быть установлены на передвигающихся по штанге подставках 4, одна из которых снабжена электромагнитом 5 для удержания грузов. На штанге крепится кольцо 1, предназначенное для снятия перегрузка массой mпер., под действием которого грузы приходят в движение. Приемный столик 4 предназначен для разрыва цепи счетчикасекундомера и прекращения отсчета времени в момент удара груза. Блок-схема соединения прибора с секундомером и выпрямителем показана на рис.2. При подсоединении рис.2 подвижного кольца участок цепи (1) заменяется участком цепи (2). Рассмотрим движение системы, состоящей из двух рис.1

грузов массой m и т+ mпер. и блока радиусом r с момен2

том инерции I. Здесь I = αmблок r , где

α - коэффициент,

зависящий от распределения массы блока по его объему. Если грузы одинаковы, то потенциальная энергия системы не зависит от их высоты, так как убыль потенциальной энергии одного груза приводит к эквивалентному возрастанию потенциальной энергии другого. Следовательно, когда грузы различны, изменение потенциальной энергии системы определяется положением перегрузка массой mпер.. Пусть правый груз опустился на расстояние h. Тогда изменение по-

73

тенциальной энергии сиcтемы: ΔE пот. = −mпер. gh (знак «-» означает уменьшение).

Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения (работой по преодолению сил 2

Iω 2 (m + mпер. )v mv 2 + + (1), трения пренебрегаем): mпер. gh = 2 2 2 at 2 v , ω = - угловая скорость вращения блока. Подставляем эти где h = 2 r mпер. g (2). выражения в (1) и получаем: a = I 2m + mпер. + 2 r Если пренебречь моментом инерции блока, то формула (2) примет вид: a =

mпер. g

2m + mпер.

(3).

Формула (2) может быть получена из системы динамических уравнений, записанных для каждого груза (с и без перегрузка) и для блока. На каждый груз действуют 2 силы - сила тяжести и сила натяжения нити, под действием которых грузы и начнут двигаться. Если считать, что нить нерастяжима и невесома, то ускорения грузов равны по величине, но противоположно направлены. Тогда имеем:

⎧(m + mпер. )a = (m + mпер. ) g − T2 ⎪ ⎨− ma = mg − T1 ⎪ Jε = (T − T )r , где a = ε ⋅ r 2 1 ⎩ Связь между угловым ускорением блока и линейным ускорением грузов получена в предположении, что скольжение нити по блоку отсутствует. Итак, система при наличии перегрузка будет двигаться с линейным ускорением, меньшим, чем ускорение свободного падения. Если перегрузок снять во время движения, то последующее движение будет равномерным со скоростью. Равной скорости в момент снятия перегрузка.

74

Таким образом, экспериментальная установка позволяет получить равномерное и равноускоренное движения грузов. Однако из-за наличия сил трения проверяемые равенства будут таковыми лишь приближенно.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ВОПРОСА. В равномерном движении путь S пропорционален затраченному на его прохождение промежутку времени t: S = Vt (1) В равнопеременном движении ускорение а характеризует изменение скорости в единицу времени. Если движение равноускоренное, то скорость меняется по закону:

V = V0 + at

(2)

Путь при равноускоренном движении с начальной скоростью V0:

at 2 S = V0t + 2

(3)

Тогда при V0=0 путь пропорционален квадрату времени:

at 2 S= 2

(4)

а скорость пропорциональна времени:

V = at

(5) Уравнения (1) – (5) являются основными в кинематике.

Вопросы к допуску: 1. 2. 3. 4.

Движение каких объектов происходит в машине Атвуда? Каков характер их движения? Как создается равномерное движение грузов на машине Атвуда? Каковы условия равноускоренного движения грузов? Чем пренебрегают, полагая их движение таковым? Как с помощью машины Атвуда и дополнительных приспособлений и

75

5.

средств (каких?) можно измерить пройденный путь и затраченное на его прохождение время? Какой величине пропорционален путь в случае равноускоренного и равномерного движений? Иначе: Линейной функцией какого аргумента может считаться путь в случае равноускоренного и равномерного движений? Иначе: Что следует откладывать по оси х при изучении за-

6. 7. 8.

кона движения в обоих случаях, чтобы графиком была прямая? Запишите выражение для внешней силы, сообщающей системе грузов в машине Атвуда ускорение. Что называется законом движения? Запишите законы равномерного и равноускоренного движений (для пути и для координаты). Запишите расчетную формулу для ускорения. Чем пришлось пренебречь для ее получения?

Содержание экспериментальных заданий Задание1. Проверка формулы (4) зависимости пути от времени. 1)

Соберите цепь по схеме (рис.2), соединив машину Атвуда с секундомером и источником постоянного тока. Правый груз с перегрузком установите нижней поверхностью против нулевой отметки шкалы и зафиксировать включением электромагнита 5 (рис.1). Если разомкнуть цепь электромагнита, то грузы начнут двигаться.

2)

Установите приемный столик 4 на расстоянии S от нулевой отметки. В начале опыта чашка столика должна быть поднята. В конце пути S груз ударяет о чашку столика, она опускается и секундомер прекращает отсчет времени t. Т.е. показание секундомера есть время движения грузов на пути S.

3)

Произведите 3 опыта для каждого положения столика, сняв три показания секундомера t1, t2, t3. Для вычислений используйте их среднее значение tср..

4)

Получите ряд соответствующих пар значений (S,t), (не менее трех пар), занесите результаты измерений и вычислений в таблицу 1:

76 Таблица 1

№п/п S, см t1, с

t2, с t3, с

tср.i , с

tср.i2, с2 S/ tср.2, м/с2 а, м/с2

1. ... 5. 5) Из формулы (4) выразите ускорение. Усреднив значения из предпоследнего столбца, вычислите ускорение грузов, считая их движение равноускоренным. 2

6) Постройте график зависимости S(t ): укажите на координатной плоскости экспериментальные точки; осуществите их линейную аппроксимацию. Сделайте вывод о степени близости исследуемого движения к равнопеременному виду движения.

Задание 2. Проверка формулы (5) зависимости скорости от времени. 1)

Используйте прежнюю схему. На правом грузе поместите перегрузок и обеспечьте равновесие системы с помощью электромагнита.

2)

Произведите измерение промежутков времени Δt1 , Δt 2 , Δt 3 от начала

3) 4)

движения до некоторых выбранных положений 1, 2 и 3 приемного столика. Переместите приемный столик в положение 4, соответствующее наинизшей точке по шкале. Устанавливая подвижное кольцо поочередно в положения 1,2 и 3 между грузом и столиком и используя соединение согласно рис.1, измерьте время равномерного движения груза между каждой из точек Таблица 2 1,2 или 3 и точкой 4.

i=1 Δt i

Si+3 Δti +3

Vi ai

i=2

i=3

77

Запишите расстояния S 4 , S 5 , S 6 между указанными парами точек и соответствующие интервалы времени Δt 4 , Δt 5 , Δt 6 . результаты занесите в таблицу 2. 5) Считая, что скорость равномерного движения груза после снятия перегрузка равна конечной скорости равноускоренного движения в момент снятия перегрузка, получим равенства: Vi = a ⋅ Δt i =

Si +3 Δti + 3

,

i=1,2,3. Отсюда видно, что при одном и том же перегрузке постоянным по величине должно быть отношение 6)

S i +3 Δti +3 ⋅ Δti

.

Сравнивая значения из последней строки таблицы 2, сделать вывод о характере движения грузов до снятия перегрузка. Укажите причины выявленных отклонений.

Задание 3. Проверка формулы (1) зависимости пути от времени. 1)

2)

3)

4)

Используйте схему с подвижным кольцом. На правом грузе поместите перегрузок и обеспечьте равновесие системы с помощью электромагнита (левый груз находится внизу). Расположите подвижное кольцо для снятия перегрузка на расстоянии 30-40 см от верхнего края штанги. Нижнюю подставку-столик закрепляйте поочередно на расстояниях 60, 70 и 80 см от верхнего края. Выключите электромагнит. Обеспечьте включение секундомера в момент снятия перегрузка. Когда правый груз ударяется о подставку, секундомер должен выключиться. Таким образом получите значения интервалов времени движения правого груза от кольца до каждого из 3-х положений подставки-столика. Занесите в таблицу 3 проходимые грузом расстояния и соответствующую длительность движения, а также их отношения: Таблица 3

№ п/п 1.

S, м

Δt , с

S/Δt, м/с

Vср., м/с

78

2. 3. 5) Проверьте, выполняется ли условие: S S1 S 2 = = ... = n = V = const (1.1) t1 t2 tn

Сделайте вывод с указанием причин необходимости приближения.

Задание 4. Проверка второго закона Ньютона. При проверке этого закона необходимо, чтобы движущаяся масса оставалась постоянной. В то же время внешняя сила, приложенная к системе, будет меняться, а с ней и ускорение движения системы. Т.е. необходимо измерить промежутки времени ускоренного движения системы при различных распределениях перегрузков в ней. Например, при измерении на правый груз кладут два перегрузка m1 и m2 ( m1 > m2 ), определяют S1 и t1 и находят a 1 (См. задание 1). Перекладывают меньший перегрузок на левый груз и повторяют измерения. Снова определяют значения S 2 и t2 и находят a 2. При неизменном исходном положении грузов и одном и том же положении приемного столика будем иметь один и тот же путь. Тогда отношение ускорений согласно (4) обратно пропорционально отношению квадратов соответствующих промежутков времени движения. Для двух различных случаев согласно второму закону Ньютона будем иметь

F1 = ma1 , F2 = ma2 .

Здесь

F1 = (m1 + m2 ) g

и

F1 = (m1 − m2 ) g . В этом случае выполнение соотношения

m1 + m2 t 2 2 = справедливости равенства (6). m1 − m2 t12 Заполните таблицу 4:

F1 a1 = равносильно F2 a2

79

Таблица 4

m1 m2 m1+m2 m1-m2

t1

t12

t2

t 22

m1 + m2 m1 − m2

t2 2 t12

Сделать вывод на основе полученных вами числовых данных.

Вопросы к отчету. 1. Перечислить и дать определение всем кинематическим характеристикам движения материальной точки (путь, перемещение, скорость, мгновенная скорость, ускорение, линейное и угловое и т.д.). 2. Какие уравнения служат для описания движения? 3. Что называется динамическим уравнением движения? 4. Как можно определить момент инерции блока, пользуясь измерениями, в данной работе? 5. Относительно какой системы отсчета рассматривается движение грузов? 6. Сформулируйте законы Ньютона. 7. Выведите формулу (6) и покажите, как она подтверждает второй закон Ньютона. 8. Подсчитайте силу натяжения нити при равноускоренном и при равномерном движении грузов. 9. Выведите формулу для ускорения, учитывая силу трения.

Лабораторная работа № 2.2. Изучение вращательного движения на крестообразном маятнике Обербека.

80

Цель работы: изучить законы вращательного движения твердого тела и познакомиться с методом их экспериментальной проверки; определить моменты инерции крестовины и груза. Приборы и принадлежности: крестообразный маятник (прибор Обербека), два груза разной массы (200 г и 300 г), штангенциркуль, секундомер, масштабная линейка, технические весы с разновесом.

Краткая теория вопроса. Опр.1 Вращательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по (коаксиальным) окружностям, центы которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения тела используются параметры, одинаковые для всех точек тела: •

Угловое перемещение (угол поворота)

ϕ – это угол между радиусами, проведенными из центра окружности, описываемой движущейся точкой, в начальный и конечный моменты времени его движения. Измеряется в радианах. • Угловая скорость ω – величина, показывающая изменение угла поворота за единицу времени. Измеряется в радианах в секунду. Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта. • Угловое ускорение ε – величина, показывающая изменение угловой скорости за единицу времени. Измеряется в радианах на секунду в квадрате. При описании вращательного движения важнейшими динамическими характеристиками являются момент силы M и момент импульса L . Момент силы характеризует в динамике ее способ-

81

ность вызывать вращение тел и изменять угловую скорость. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси. Опр.2 Моментом силы F относительно центра «О» называется

[ ]

векторная величина M = r , F , где r — радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из центра.

r Вектор M направлен перпендикулярно плоскости, в которой леr r жат векторы r и F . Когда речь идет о моменте силы относительно оси, то в качестве точки О берется проекция точки приложения силы на эту ось!!! Направление вектора момента силы относительно оси определяется правилом буравчика. Момент импульса L во вращательном движении играет ту же роль, что и импульс

p в поступательном

движении. Аналогично, различают момент импульса относительно оси и относительно центра (точки). Момент импульса относи-

[ ]

тельно центра «О» равен L = r , p . Опр.3 Скалярная величина, равная произведению массы материальной точки m на квадрат ее расстояния от оси вращения, называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

I=mR2

(1).

Момент инерции тела (понимаемого как система материальных точек или частиц) относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции всех материальных точек тела относительно этой оси:

n

2

I = ∑ mi ri . i =1

Момент инерции тела (понимаемого как сплошная среда) с плотностью

ρ вычисляется интегрированием по его объему: dV- элемент объема.

I = ∫ ρr 2 dV , где

82

Момент инерции тела относительно какой-либо оси является физической величиной, характеризующей инертность тела по отношению к вращению вокруг этой оси. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела вытекает из уравнения моментов и имеет вид:

М =

d ( I ω ) (2), dt

причем

L = Iω .

M - суммарный момент (относительно оси вращения) всех внешних сил, действующих на тело; I - момент инерции тела относительно оси Здесь

вращения. Если во время движения I=const, то уравнение (1) примет вид:

r M = Iε

(2’) Основной закон динамики вращательного движения устанавливает связь между угловым ускорением вращающегося тела, моментом приложенных к нему сил и его моментом инерции. Формулируется закон таким образом: угловое ускорение вращающегося тела пропорционально суммарному моменту всех сил, приложенных к нему, и обратно пропорционально моменту инерции этого тела. Основной закон динамики вращательного движения – это второй закон Ньютона, записанный с использованием величин, характеризующих этот вид механического движения. Его значение – возможность записи уравнений движения любого вращающегося тела.

Описание метода и установки Законы вращательного движения проверяются на установке, называемой маятником Обербека (рис. 2). Маятник Обербека представляет собой крестовину (состоит из четырех стержней, закрепленных наглухо крестом под углом 900 друг к другу), вращающуюся вокруг горизонтальной оси. и четырех грузов массой m, которые могут перемещаться вдоль стержней и закрепляться на различных расстоя-

83

ниях (R) от оси вращения. На оси имеется двухступенчатый шкив с радиусами r1 и r2, на который наматывается нить. Выбор радиуса шкива задается условиями эксперимента. Для приведения прибора во вращательное движение нить подвеса груза P массой mгр. наматывается на один из шкивов, и затем груз поднимается на некоторую высоту h от поверхности табуретки или пола. Груз отпускается и движется вниз с ускорением a вдоль вертикальной линейки, на которой отмечаются начальное и конечное положения при движении. С помощью секундомера фиксируется точное время движения подвеса. Зная h и время движения груза t, можно вычислить ускорение:

a=

2h (3). t2

При этом шкив со стержнями и расположенными на них грузами будет вращаться с угловым ускорением

ε = a , где r - радиус шкива, с котоr

рого сматывается нить, или, учитывая (3):

ε=

2h rt 2

(4).

Установим основные физические закономерности, наблюдаемые на маятнике Обербека. При движении груза P на него действуют две силы, определяющие его ускорение: сила тяжести mгр g и сила натяжения шнура T . По второму закону Ньютона для груза Р в проекции на направление движения:

mгр g − T = mгр а

откуда

84

T = mгр ( g − а ) , где mгр. - масса груза, a - ускорение движения груза, g - ускорение силы тяжести. Сила натяжения, приложенная к шкиву по касательной, создает относительно горизонтальной оси О вращающий момент, равный:

M = Tr

или

M=mгр.( g - a)r

(5).

Момент инерции маятника Обербека определится из основного закона динамики вращательного движения, т.е. подставим (3), (4) и (5) в (2’):

mгр. ( g −

2h 2h r I ) = ⇒ 0 2 2 t rt

Окончательное выражение для вычисления момента инерции маятника Обербека (независимо от наличия грузов на его спицах) будет таким:

gt 2 − 1) I 0 = mгр. r ⋅ ( 2h 2

(6) - расчетная формула для

момента инерции крестовины. Пусть грузы m на стержнях располагаются симметрично. Тогда для определения момента инерции груза m необходимо найти сначала момент инерции прибора I0 без грузов, а затем момент инерции прибора с грузами

I1, тогда момент инерции каждого груза m будет равен: 1 I = ( I1 − I 0 ) 4

(7).

Для проверки основного закона динамики вращательного движения необходимо определить моменты инерции грузов на крестовине маятника Обербека, закрепленных на различных расстояниях от оси вращения. Согласно определению (1), момент инерции прямо пропорционален квадрату расстояния до оси вращения О, т.е. для одного и того же тела массы m справедливы соотношения:

I1 = mR12 , I 2 = mR22 , I 3 = mR32 ... I i = mRi2

или

85

m=

I1 R12

=

I2 R22

=

I3 R32

= ... =

Ii Ri2

= const

(8).

Замечание. Следует отметить, что в данном рассмотрении мы пренебрегаем силами трения в осях вращающихся деталей установки.

Вопросы к допуску: 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Какое движение называется вращательным? Можно ли сказать, что движение материальной точки по окружности – вращательное? В чем основное различие в использовании терминов «вращательное движение» и «движение по окружности»? Раскрыть содержание и назначение понятия «момент инерции». Сформулировать и записать основной закон динамики вращательного движения. Пояснить механическую схему установки, назначение ее элементов, принцип работы. Записать основной закон динамики вращательного движения применительно к маятнику Обербека. Пояснить величины, входящие в формулу (6)? Как они измеряются в работе? Связана ли формула (8) с основным законом динамики вращательного движения? Может ли она использоваться для его проверки или же она подтверждает только лишь определение момента инерции?

8.

Почему при измерениях момента инерции грузы m должны распола-

9.

гаться симметрично относительно оси вращения? Какие величины в эксперименте изменяются при замене одного шкива другим?

Содержание экспериментальных заданий Задание1. Экспериментальная проверка характера зависимости углового ускорения от момента силы (при условии I=const).

86

1)

Установите на оси крестовину без грузов.

2)

Измерьте штангенциркулем диаметры D1 и D2 шкивов.

3)

Намотайте нить на один из шкивов, например меньший r1, и подвесьте груз P с mгр.= 200 г к концу нити, предварительно измерив его массу. Измерьте расстояние h от основания груза до площадки (пола, табу-

4)

ретки) по вертикальной линейке. Отметьте допускаемую погрешность

Δh и запишите. Отсчитайте по секундомеру время t1 движения груза. Как только груз

5)

коснется площадки, прибор придержать за шкив. Повторите опыт 3-4 раза при одной и той же высоте h чтобы умень-

6)

шить случайную погрешность при нахождении времени падения груза. Проделайте те же измерения для второго шкива: измерьте время t2 па-

7)

дения груза 200 г при сматывании нити со шкива большего радиуса. Замените груз P на mгр.= 300 г (измерьте массу второго груза на ве-

8)

сах!), и проделайте те же измерения для обоих шкивов: получите время падения t3 (для шкива r1) и t4 (для шкива r2). 9)

Вычислите для каждого из четырех проделанных опытов моменты сил и соответствующие им угловые ускорения. Занесите все результаты в таблицу 1. Таблица 5

h ti1 ti2 ti3 ti4 tiср.

опыт 1: i=1

опыт 2: i=2

опыт 3: i=3

опыт 4: i=4

груз 200 г

груз 200 г

груз 300 г

груз 300 г

и шкив r1=...

и шкив r2=...

и шкив r1=...

и шкив r2=...

87

a

по (3)

ε по (4) M по (5) M

ε I0

по (6)

кг·м2

I0 ср. 10) Проверить отношения:

M1

ε1

=

M2

ε2

= ... и сделать вывод.

11) Вычислите погрешность полученного значения момента инерции крестовины, считая измерения многократными (n=4).

Задание 2. Экспериментальная проверка зависимости момента инерции грузов от расстояния до их вращения (M=const). 1)

На стержнях прибора закрепитt грузы (m o ) на одинаковом расстоянии R1 (измерьте его) от оси вращения (проверить состояние безразличного равновесия).

2)

Оставив неизменным груз P (m=200 г) на нити, намотанной на один из шкивов r1, провести измерения величин (п. 3, 4, 5, 6 задания 1). Вы(1)

(1)

числить I1 . По (7) вычислить момент инерции одного груза I . 3)

Переместив грузы на расстояние R2, провести снова измерения величин и вычислить I1

4)

(2)

(2)

и вычислите I .

Проверить зависимость момента инерции от расстояния до оси вращения:

2 I (1) R1 I (1) I ( 2) = , сравнив величины и 2 I ( 2) R22 R12 R2

.

Для результатов измерений составите таблицу 2. Таблица 6

R 1. 2.

r

mгр.

h

t

I1

I

I/R2

88

!!! Укажите в заголовках столбцов таблицы соответствующие единицы измерения стоящих в них физических величин. 5) Сделайте вывод на основе проделанного сравнения. Соотнесите полученные результаты с возможностью экспериментального подтверждения таким образом основного закона динамики вращательного движения (см. вопрос к допуску №6).

Вопросы к отчету. 1. 2.

3. 4. 5. 6.

Дайте понятие о моменте силы, моменте импульса, моменте инерции и единицах их измерений. Сравните второй закон Ньютона для вращательного движения со вторым законом для поступательного движения. Какова роль момента инерции во вращательном движении? Как выражается в работе тангенциальное ускорение точек шкива? Какова его связь с угловым ускорением шкива? Какое направление имеет вектор углового ускорения и вектор момента силы? Какие силы действуют на груз P? Изменится ли угловое ускорение, если изменить груз? Какова зависимость между P и ε ?

7.

Дайте определение механического движения. Что представляет собой вращательное движение? Основные кинематические и динамические параметры вращательного движения. 8. Основная задача механики. Прямая и обратная задачи механики. 9. Физические модели в механике: материальная точка, абсолютно твердое тело, сплошная среда. Границы применимости этих моделей. 10. Центр масс твердого тела. (Центр масс – это единственная точка тела, при приложении к которой внешней силы тело будет двигаться поступательно. При расчетах можно считать, что вся масса тела сосредоточена в этой точке.). Теоре-

ма Штейнера (с доказательством). 11. Выведите расчетную формулу (6), пользуясь определениями физических величин и физическими законами.

89

12. При любом ли расположении масс на крестовине их можно считать точечными?

Лабораторная работа № 2.3. Изучение законов вращательного движения с помощью махового колеса. (Определение момента инерции махового колеса и силы трения в опоре) Цель работы: вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы; экспериментальное измерение момента инерции махового колеса методом вращения. Приборы и принадлежности: маховое колесо, набор грузов, секундомер, штангенциркуль, тельная лента.

разновес,

измери-

Краткая теория вопроса. Вращательное движение осуществляют всегда твердые тела, имеющие конечные размеры (не материальная точка!). Изучая вращательное движение, твердое тело рассматривают или как систему материальных точек или как сплошную среду, заполняющую объем тела. В любом случае по отношению к оси вращения имеется некоторое распределение суммарной массы этого тела. Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела к изменению им угловой скорости под действием вращающего момента. Угловая скорость и вращающий момент – также величины, заданные относительно оси вращения. Опр.1 Моментом инерции материальной точки относительно ка-

кой-либо оси называется произведение ее массы на квадрат расстояния до этой оси:

I = mr 2 (1)

90

Опр.2 Моментом инерции тела (понимаемого как совокупность материальных точек или частиц) относительно какой-либо

оси называется сумма моментов инерции всех частиц тела (рис. 1) относительно этой же оси:

I = ∑ mi ri2

(2)

i

Опр.3 Для тела, понимаемого как сплошная среда с плотностью

ρ , мо-

мент инерции может быть вычислен путем интегрирования по объему тела:

I=

∫r

2

ρ ⋅ dV

(3),

Vтела

где r – расстояние от элемента объема dV до оси, относительно которой вычисляется момент инерции тела. Момент инерции относительно данной оси, как и масса тела, не зависит от характера движения, а зависит от размеров, формы и плотности тела. Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр массы тела, равен I 0 , то момент инерции I относительно любой другой параллельной оси может быть вычислен на основании теоремы ГюйгенсаШтейнера: I = I 0 + md

2

(4), где d — расстояние между осями.

Основной закон динамики для вращательного движения записывается аналогично второму закону Ньютона с эквивалентной заменой величин, описывающих поступательное движение, на величины, характеризующие вращательное движение: M = моментов сил, действующих на тело,

d (Iω) dt

(5), где M — сумма

ω — угловая скорость вращения.

Если M =0, то d ( I ω ) = 0 или Iω = const . Величина I ω называется моментом количества (вращательного) движения. Таким образом, если на вращающееся тело не действует вра-

91

щающий момент, оно будет вращаться неопределенно долго, сохраняя постоянным имеющийся у него момент количества движения. Для замкнутой системы имеет место закон сохранения момента количества движения. Итак, в случае вращательного движения момент инерции играет такую же роль, как масса при поступательном движении, а угловая скорость — роль линейной. Математическая форма записи основных закономерностей для поступательного и вращательного движения остается неизменной, что видно из следующей таблицы. Поступательное движение

Вращательное движение

Масса

m

Момент инерции

I

Скорость

v

Угловая скорость

ω

Количество двиmv жения

Момент количества движения

Iω

Сила

F

Момент силы

M

Кинетическая энергия

mv 2 2

Кинетическая энер- Iω 2 гия 2

Второй закон динамики

d ( mv ) =F dt или m a = F

Закон сохранеp = const ния импульса

d (Iω)

Второй закон ди- M = dt намики или M = I ε Закон сохранения L = const момента импульса

Описание прибора и метода В состав прибор входит маховое колесо, вал и шкив, отсчетная линейка (рис. 2). Колесо жестко связано со шкивом и вместе они могут вращаться на валу. На поверхность шкива наматывается нить, к концу ко-

92

торой прикреплен груз массой т. Под действием силы тяжести груз опускается, маховик приходит в движение. Груз, действуя по касательной к окружности шкива, создает постоянный вращающий момент, под действием которого маховое колесо будет равноускоренно вращаться. Если в результате движения до полного разматывания шнурка груз проходит расстояние h, то это означает, что в начальный момент движения система обладала запасом потенциальной энергии ЕП = mgh. Потенциальная энергия расходуется на преодоление силы трения Fтр. и увеличение кинетической энергии системы:

рис.2

mv 2 Iω 2 mgh = + + A'тр.1 2 2

(6),

где А’тр.1=А·N1 — работа по преодолению силы трения за N1 оборотов колеса (А’тр.1 >0), A - работа по преодолению трения за 1 оборот. Работа силы трения всегда зависит от пройденного расстояния.

mv 2 - кинетическая энергия груза в конце пути, 2 Iω 2 - кинетическая энергия махового колеса в тот же момент времени. 2

N1 – число оборотов за время падения груза. Уравнение (6) связывает начальное и конечное состояния системы «маховое колесо-груз»: “груз на высоте h, груз и колесо покоятся” и “груз на нулевом уровне, имеет скорость, и колесо вращается”. Силу трения можно вычислить, исходя из следующих соображений. В момент достижения грузом пола, нить к которой он привязан, спадает со шкива, а маховое колесо продолжает вращаться до тех пор пока его кинетическая энергия не будет израсходована на работу по преодолению тре-

93

ния. Вращаясь после падения груза, маховое колесо совершает до полной остановки N2 оборотов за время t. Убыль кинетической энергии равна работе по преодолению силы трения:

Iω 2 = A' тр.2 = A ⋅ N 2 (7), где А’тр.2 — работа по преодолению силы 2 трения за N2 оборотов колеса. С другой стороны по основному закону ди2πN 2 намики вращательного движения: M трения = Iε (8), где ε = и t M трения = Fтр.rв , где rв - радиус конической поверхности, по которой действует сила трения (внутренний радиус шкива или радиус вала). Отсюда, зная I можно оценить силу трения. Покажем, как можно экспериментально определить момент инерции махового колеса. Из (7) выразим А и подставим в (6):

Iω 2 A= 2N 2

2 mv 2 Iω 2 Iω N1 mgh = + + или 2 2 2N 2

(8),

N mv 2 Iω 2 (1 + 1 ) mgh = + 2 2 N2 Так как

(9).

ω = v и v = h , где t – время падения груза с высоты h, r – наr

2

t

ружный радиус шкива (радиус поверхности, с которой сматывается

N1 m 2h 2 I 2h 2 ( 1 ). + + нить!!!), уравнение (9) примет вид: mgh = N2 t2 r 2t 2 mr 2 ( gt 2 − 2h) mgr 2 t 2 − 2mhr 2 Откуда I = ⇒ I = (10) N1 N1 2h(1 + ) 2h(1 + ) N2 N2 Если N – число оборотов от начала движения до полной остановки колеса, то N2=N-N1, N1 =

h ⇒ r - ?. 2πr

94

Вопросы к допуску: 1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

Что такое момент инерции? В каких единицах он измеряется? Когда говорят о вращательном движении? Дать определение. Какова связь линейных и угловых величин? Можно ли считать движение груза равноускоренным? Является ли оно таковым в реальности? Какие пренебрежения имеют место по ходу вывода расчетной формулы? Записать расчетную формулу и пояснить все входящие в нее величины. Как по ходу работы вы будете получать их значение? Что еще надо измерить, чтобы стало возможной оценка величины силы трения? О какой силе трения здесь идет речь? Между какими поверхностями она действует? Расскажите об устройстве прибора. Радиусы каких сечений используются при расчете в работе?

Содержание экспериментальных заданий Задание 1. Определение момента инерции махового колеса. 1)

Измерить штангенциркулем диаметр шкива и определить его радиус r.

2)

Измерить расстояние h от нижней части висящего груза до пола. Рекомендуется не менять по ходу выполнения всего задания.

3)

Измерить время t падения груза секундомером.

4)

Подсчитать число оборотов N колеса от начала вращения до остановки и число оборотов N1 до падения груза.

5) 6)

№ 1. 2. 3.

Момент инерции вычислить по формуле (10) в системе СИ. Проделать опыт несколько раз, занося результаты отдельных отсчетов в таблицу 1.

m, кг

r, м

h, м

t, с

N1

N

N2

I, кг·м2

95

7) 8)

Оценить погрешность результата, как косвенного измерения. Записать полученный результат с указанием границ погрешности.

Задание 2. Оценка величины силы трения между валом и шкивом. 1)

Измерить диаметр вала и вычислить его радиус rв .

2)

Вывести формулу для силы трения в используемом приборе на основе положений, приведенных выше.

3)

Произвести расчеты Fтр. и ее момента M трения .

4)

Сравнить по величине вращающие моменты сил, действующих на маховое колесо при ее вращении по заданию 1. Сделать вывод.

5)

Вопросы к отчету. 1. Что называется моментом инерции точки и тела относительно оси вращения? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении? 2. Запишите основной закон динамики вращательного движения. 3. Как он запишется применительно к маховому колесу до и после падения груза? Какие силы обеспечивают вращение махового колеса в каждом из этих случаев? 4. Приведите план вывода формулы для расчета момента инерции однородного диска. 5. Каким будет движение махового колеса при отсутствии трения? 6. Назвать вид движения маховика и груза, подвешенного к нити. Записать кинематические и динамические уравнения движения груза и маховика. 7. Сформулируйте закон сохранения и изменения механической энергии. 8. Вывести расчетную формулу. 9. Вывести формулу для момента инерции маховика без учета силы трения.

96

Лабораторная работа № 2.4. Определение момента инерции тел различной формы методом крутильных колебаний. Цель работы: экспериментальное определение момента инерции образцов методом трифилярного подвеса и проверка теоремы Штейнера. Приборы и принадлежности: трифиляр, секундомер, штангенциркуль, масштабная линейка, весы, образцы для измерения.

Описание прибора и теория метода. Одним из методов определения момента инерции тел является метод трифилярного подвеса. Трифиляр представляет собой круглую платформу, подвешенную на 3-х симметрично расположенных нитях (рис.1). Верхние концы нитей симметрично прикреплены к диску. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси. При крутильных колебаниях платформы ее центр масс перемещается по оси вращения, занимая наивысшее положение при максимальном отклонении платформы от положения равновесия и наинизшее при прохождении положения равновесия. Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно

Eпот. = mgh , где g – ускорение свободного падения. Вращаясь в другом направлении платформа придет в положение

97

равновесия с кинетической энергией, равной E кин. инерции платформы,

Iω02 = , I – момент 2

ω0 - угловая скорость платформы в момент дости-

жения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основе закона сохранения меха. Iω02 1 2 или I ϕ + mgh = 0 (1). нической энергии имеем: mgh = 2 2 Если l – длина нитей подвеса, R – радиус платформы, r – радиус верхнего диска, то по рис.2 определим h.

В положении равновесия центр нижнего диска находится в точке О. Рассмотрим радиус диска ОА. При его повороте на угол α центр нижнего диска

переходит

в

точку

О1

и

приподнимается

на

расстояние

h = OO1 = d − d1 , где d и d1 - расстояние между верхним и нижним дисками соответственно в положении равновесия и при повороте на угол нижнего диска относительно верхнего.

α

98

Далее требуется провести ряд математических преобразований, чтобы выразить приблизительно высоту подъема h через радиусы дисков и длину нитей, т.е. через R, r и l. Запишем: h = d − d1 = прямоугольного

2

d 2 − d12 d + d1

(2). Из

2

треугольника ВВ2А: d = l − ( R − r ) , аналогично из

ВВ1А1 найдем d1, где В1А1 выражаем по теореме косинусов из треугольни2

2

2

ка В1О1А1: d1 = l − ( R + r − 2 Rr cos α ) . Подставим в (2):

h=

2 Rr (1 − cos α ) = d + d1

2 Rr ⋅ 2 sin 2

α

d + d1

α

4 Rr ⋅ ( ) 2 2 2 ≈ 2 = Rrα 2l 2l

(3),

где приближенные замены оправданы в случае большой длины нитей l и малых углах отклонений

α при крутильных колебаниях нижнего диска

трифиляра (это дает приближение данного движения в форме гармонических колебаний). ⋅ mgRr 2 1 Подставляя (3) в (1), получаем: I ϕ2+ ϕ = 0 . Продиффе2 2l

ренцировав это выражение по времени, сократив на лучим уравнение движения системы:

⋅

ϕ и поделив на I, по-

⋅⋅

ϕ + mg Rr ϕ = 0 (4). Решение этого Il

уравнения имеет вид:

ϕ = ϕ 0 sin(

mgRr t + θ ) , где ω = Il

mgRr - циклическая частота Il

крутильных колебаний нижнего диска, θ - начальная фаза, задающая положение нижнего диска в начальный момент времени. Тогда период колебаний системы равен: T =

2π

ω

= 2π ⋅

Il (5). Разрешив относительно mgRr

I, найдем выражение для момента инерции системы:

99

mgRrT 2 I = (6) – формула для определения момента инерции 2 4π l данным методом. Здесь I – суммарный момент инерции платформы (нижнего диска трифиляра), т.е. в случае. когда на ней находится исследуемое тело, формула (6) дает значение момента инерции платформы вместе с находящимся на ней телом. Причем на опыте это значение будет разным при различных положениях тела на платформе (это следует из определения момента инерции тела). Учитывая свойство аддитивности величины момента инерции, можно найти момент инерции одного лишь тела

I тела = I − I платформы

(7)

при данном его положении относительно оси вращения. Метод трифилярного подвеса позволяет проверить теорему Штейнера. Для этого необходимо иметь два одинаковых тела массой mтела . Располагая их на платформе так, чтобы их центры масс лежали на оси вращения, а затем симметрично по диаметру платформы, определяют по (6) моменты инерции I 1 и I 2 в обоих случаях, тогда в соответствии с теоремой 2

Штейнера: I 2 − I 1 = 2mтела a , где а – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Вопросы к допуску: 1. Что такое трифилярный подвес? Из чего он состоит? 2. Какое движение совершает нижний диск трифиляра в данном методе? Записать уравнение этого движения и пояснить входящие в него величины. 3. Чем обосновано приближение в формуле (3)? Пояснить это с математической и физической точек зрения. 4. Как связан период колебаний платформы с ее моментом инерции? 5. Дать определение момента инерции и пояснить что обозначено буквой I в формуле (6). В чем состоит свойство аддитивности физиче-

100

ской величины I? 6. Сформулировать теорему Штейнера. Как можно убедиться в ее справедливости с помощью описанного в работе метода? 7. Вывести формулу (4). Как получено ее математическое решение?

Содержание экспериментальных заданий. Задание 1. Определение момента инерции платформы J платформы

без груза. 1)

Измерьте параметры трифиляра: R, r, l, m.

2)

4)

Приведите платформу трифиляра в движение, соответствующее крутильным колебаниям. Измерьте время, за коротое будет совершено 20-30 колебаний. Колебания отсчитываются по прохождению положения равновесия какойлибо точки диска. Найдите период колебаний Т.

5)

По формуле (6) найдите I платформы .

6)

Повторите опыт 3 раза, начиная с пункта 1) (каждый раз заново приводя платформу в движение!). Вычислите погрешность отдельного косвенного измерения и результата. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

3)

Задание 2. Определение момента инерции исследуемого образца. 1)

2) 3) 4)

Выберите положение оси, относительно которой требуется найти момент инерции данного образца (например, взять ось его симметрии или ось, проходящую через центр тяжести образца, если его (центра тяжести) положение легко определимо или задано). Поместите образец на платформу трифиляра так, чтобы ось ее вращения совпадала с осью из пункта 1). Приведите платформу трифиляра в движение, соответствующее крутильным колебаниям. Измерьте время, за которое будет совершено 20-30 колебаний. Колебания отсчитываются по прохождению положения равновесия какойлибо точки диска.

101

5)

Найдите период колебаний Т платформы с грузом.

6)

По формуле (6) найдите I.

7)

Вычислите момент инерции образца относительно выбранной в пункте 1) оси по свойству аддитивности: см. формулу (7). Данные занести в таблицу. Оценить погрешность результата измерения. Если образец имеет одну из геометрически правильных форм, то сравните полученный результат с теоретическими расчетами момента инерции тела данной геометрической формы.

8) 9)

Задание 3. Проверка выполнения теоремы Штейнера. 1)

Взять 2 одинаковых (например, цилиндрических) образца и найти момент инерции I1 каждого из них как описано в задании 2, выбрав в качестве оси вращения ось, проходящую через их центр инерции.

2)

Найти массу mобразца каждого образца.

3)

Поместить образцы на одном диаметре платформы трифиляра симметрично друг другу относительно центра платформы. измерить расстояние а от центра инерции образца до центра платформы.

4) 5)

Приведите платформу трифиляра в движение, соответствующее крутильным колебаниям. Измерьте время, за которое будет совершено 20-30 колебаний.

6)

Найдите период колебаний Т нагруженной платформы.

7)

По формуле (6) найдите I.

8)

Вычислите момент инерции образца на расстоянии а от оси вращения: I 2 =

9)

I − I платформы 2 2

Подставить полученные значения в формулу: I 2 = I 1 + mобразца ⋅ a .

10) Сравнить значения правой и левой частей этого равенства с учетом величины погрешности измерений. 11) Сделать вывод о выполнении теоремы Штейнера в данном эксперименте.

102

Вопросы к отчету: 1. Как определяется момент инерции материальной точки и твердого тела? 2. Выведите формулу кинетической энергии вращающегося твердого тела. 3. Объяснить возможность применения закона сохранения энергии к выводу формулы (1). 4. Докажите теорему Штейнера. 5. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника? 6. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает крутильные колебания? 7. Почему для определения периода надо измерять время большого числа колебаний? 8. как изменяется период крутильных колебаний трифилярного подвеса от расположения масс на платформе? 9. Что служит источником погрешностей измерений в данной работе?

Лабораторная работа № 2.5. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника. Цель работы: исследование свойств физического маятника (построение графика зависимости периода колебаний маятникастержня от расстояния между верхним концом стержня и осью качания) и экспериментальное определение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: однородный стержень с отверстиями, опорная призма, математический маятник, линейка, секундомер.

103

Краткая теория вопроса. Важным видом движения является движение колебательное, т.е. периодическое или повторяющееся. Простейшим периодическим изменением служат гармонические колебания. Опр.1 Гармоническим колебанием физической величины х называется про-

2π t + ϕ ) (1), где А – T амплитуда колебания (максимальное значение величины х), Т — период ко2π лебания. Величина ( t + ϕ ) носит название фазы, ϕ - начальная фаза. T цесс изменения ее во времени t no закону x = A sin(

График такого колебания представлен на рис. 1. Из определения гармонического колебания следует, что период колебания является наименьшим промежутком времени, по исте-

чении которого движение в точности повторяется. Действительно,

x = A sin(

2π 2π t + ϕ ) = A sin[ (t + T ) + ϕ ] T T

За время t=T совершается одно полное колебание. Амплитуда колебания А равна максимальному значению х. Величина

ϕ соответствует фазе в на-

чальный момент времени (t=0) и называется начальной фазой. Величина

2π =ω T

(2) называется круговой (циклической) частотой.

Если начальная фаза равна ϕ =

π , то уравнение гармонического колеба-

2 ния записывается в виде: x = A cos ωt (1’).

Опр. 2 Физическим маятником называется тело, укрепленное на не-

подвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, и способное совершать колебания относительно этой оси (рис. 2). Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол

α от положения

104

равновесия, будет совершать гармонические колебания, Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О. Пусть точка C является центром тяжести. Силу тяжести mg можно разложить на две составляющие, одна из которых уравновешивается реакцией опоры. Под действием другой составляющей mg sin α маятник приходит в движение. На основании второго закона механики для вращательного движения имеем:

mg sin α ⋅ a = − Iε

(3), где угловое ускорение по определению равно:

d 2α ε = 2 (4) . dt Здесь а = ОА — расстояние от точки подвеса до центра тяжести. Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону противоположную положительному направлению отклонения маятника. Так как угол

α мал, то sinα≈α. Подставляя получим:

d 2α + mgaα = 0 (5). 2 dt Можно показать, что частным решением последнего дифференциального уравнения является: α = A cos ωt , если Сравнивая (2) и (6), получим: T = 2π

ω=

mga (6). I

I (7) ⇒ следует, что период mga

колебания увеличивается с увеличением момента инерции.

Описание установки Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы (7) для периода гармони-

105

ческих колебаний физического маятника. Однако формула (7) непосредственно для вычисления g не используется, так как момент инерции I и расстояние a обычно не могут быть измерены достаточно точно. Поэтому применяются такие методы, которые позволяют исключить данные величины из расчетной формулы для вычисления

g. В данной работе это достигается путем использования физического маятника в форме длинного стержня. Маятник представляет собой однородный стержень (рис. 3) с опорной призмой П, которую можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любом его месте. Для определения положения призмы на стержне нанесена шкала с делениями через 1 см.

Рис. 3

Период колебаний маятника, который выражается формулой (7), можно записать в виде: T = 2π

L=

I (9) ma

L (8), где величина g

называется приведенной длиной физического маятника.

Из (8) вытекает способ экспериментального определения приведенной длины физического маятника с помощью математического маятника:

если взять математический маятник длины L, то период его колебаний будет совпадать с периодом колебания физического маятника с приведенной длиной L, т.е. при одновременном наблюдении их колебания будут оставаться синфазными в течение достаточно большого промежутка времени. Момент инерции стержня относительно оси качания запишем по теореме Штейнера: I = I 0 + ma

2

(10), где I0 - момент инерции стержня

относительно оси, проходящей через центр массы C (середину стержня)

106

ml 2 параллельно оси качания. Для стержня I 0 = (11). 12 Для любого тела момент инерции I0 можно представить в виде: I 0 = ma0 2 (12). Величина a0 называется радиусом инерции и имеет определенное значение для каждого тела. Для стержня a0 =

l ≈ l 3.464 ≈ 0.289 ⋅ l . 12

Подставляя (9) и (12) в (10), получим выражение для приведенной длины

L=

a02 + a 2 a

=

a02 a

+ a (13) ,

и периода колебаний

T = 2π

a02 + a 2 ga

(14)

Таким образом, приведенная длина и, следовательно, период колебаний маятника являются функциями расстояния а от центра инерции до оси качания. Из этих формул видно, что L и T стремятся к бесконечности при двух значениях a: при a→0 и при a→∞. Для определения значений, при которых период является экстремальным, найдем производную

dL и приda

равняем ее к нулю:

dL = − a02 + 1 = 0 da a2 , откуда a=± a0 . Значит, T=Tмин, если опорная призма закреплена на расстоянии a0 ≈ 0.289 ⋅ l от середины стержня. Второе расстояние a=a0 означает, что если перевернуть стержень, то для точек подвеса, симметричных относительно середины, периоды колебаний будут одинаковы. Из графика (риc. 4) видно, что при увеличении или уменьшении расстояния a по сравнению с a0 период колебания увеличивается. Поэтому одно и то же

107

значение периода, большее чем Tмин, маятник может иметь при двух поло-

a >a

0 . Для этих положений жениях опорной призмы: при a1 < a0 и 2 опорной призмы будут одинаковы и приведенные длины маятника, что следует, из формулы (8):

a02 + a12 a02 + a22 L1 = L2 = L = = a2 , a1 откуда

a1a2 = a02 .

Тогда

L = a1 + a2 .

(15) Приведенная длина (рис.4) L=MN+MK , очевидно, что другому периоду колебаний будет соответствовать другая приведенная длина. После подстановки (15) в (8) получим

T = 2π

a1 + a2 g

g = 4π 2

a1 + a2 T2 .

,

откуда (16) Формула (16) является расчетной для вычисления ускорения свободного падения. Значе-

L = a1 + a2

Рис. 4.

и T определяют по экспериния ментально построенному графику. Для этого опорную призму перемещают вдоль стержня и для каждого ее положения измеряют период колебаний. При проведении опыта и построении графика вместо расстояния a удобнее брать расстояние от конца стержня до призмы, которое на рис.3 обозначено х.

Вопросы к допуску: 1. 2.

Какое движение называется колебаниями? Что такое физический маятник?

108

3. 4. 5. 6. 7.

8. 9.

Дайте определение и запишите формулы для вычисления периода и приведенной длины физического маятника. Что называют радиусом инерции? Чему он равен в случае однородного стержня? Пояснить, что отражено на рис.4. Как с помощью математического маятника найти приведенную длину стержня? Записать расчетную формулу для нахождения ускорения свободного падения и пояснить, как в работе находятся значения входящих в нее величин (из формулы (8) и по (16)). По каким данным и измерениям надо построить график в работе? Как он будет использоваться при достижении цели работы? Меняется ли приведенная длина стержня при различном положении оси качания относительно его верхнего края? Обосновать ответ.

Содержание экспериментальных заданий Задание1. Определение приведенной длины стержня с помощью математического маятника. 1)

Установите стержень согласно рис.3. Измерьте и запишите расстояние а от оси качания до середины стержня.

2)

3)

4) 5) 6)

Используя математический маятник, подберите его длину так, чтобы колебания обоих маятников совершались синфазно. Измерьте полученную длину L математического маятника. Отсчитывая 3 раза время 10-15 колебаний стержня в установленном положении, найти период его колебаний (при малом угле отклонения!!!) Из (8) выразить и найти ускорение свободного падения. Вычислить погрешности полученного результата. Записать ответ с указанием абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения g.

Задание 2. Построение графика зависимости периода колебаний маятника-стержня от расстояния между верхним концом

109

стержня и осью качания. 1)

Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала ∼ 60. Это означает, что наибольшее отклонение нижнего конца стержня от положения равновесия не должно превышать 0,1 расстояния от конца до опорной призмы.

2)

Определить секундомером время t десяти полных колебаний. Значения х и t записать в табл. 1.

3)

Перемещать опорную призму к середине стержня через 0,01 м, измеряя для каждого ее положения время 10 полных колебаний и занося результаты измерения в табл. 1.

Измерения можно прекратить после того, как получится, что время 10 колебаний стало больше времени, полученного при самом первом измерении, когда опорная призма находилась на конце стержня. Перевертывать маятник и определять периоды для различных положений призмы на другом конце стержня нет необходимости.

4)

Вычислить периоды колебаний Т по формуле Т=t/n и занести в таблицу1.

Таблица 1.

номер опыта

расстояние

i

х, м

число колебаний

n

время

период колебаний

t, с

T, с

1 2 3 ...

5)

Построить график T=f(x). Для этого по оси абсцисс откладывают расстояние х от конца стержня до опорной

Рис. 5.

призмы, а по оси ординат - соответствующее значение периода. Масштаб по оси ординат следует выбрать по возможности больше, чтобы точнее определить по графику величины L и T. Для этого за начало отсчета по оси ординат нужно взять не нуль, а неко-

110

торое значение периода, меньшее Тmin, но близкое к нему. 6) Отметить на оси абсцисс середину стержня и провести через эту точку прямую, параллельную оси ординат. В итоге получится график, показанный на рис.5. 7) По графику определить для 5 различных значения периода соответствующие им значений приведенной длины маятника L, см. ф-лу (15). Для этого нужно провести 5 прямых, параллельных оси абсцисс так, чтобы каждая прямая пересекала построенную кривую в двух точках. Значения Т и L , определенные для каждой такой прямой, записать в табл. 2. По формуле (16) вычислить g для каждого измерения и найти среднее

8)

значение

g ср 9)

1 n = ∑ gi n i =1

Вычислить абсолютную и относительную погрешность по формулам

Δg = t (α , n )

⎡n 1 2⎤ ( g g ) = ∑ ср ⎥ n( n − 1) ⎢⎣ i =1 i ⎦ Таблица 2.

номер опыта i

период колебаний T, c

приведенная длина L, м

(gi - gср)2

ускорение свободного падения, м/с2

gi - gср

gср. =.....

∑ ( g i − g ср ) 2 =…

1 2 3 4 5

где

t(a,n) - коэффициент Стъюдента,

ε=

Δg . g ср

111

10) Записать конечный результат в виде

g =..... ±....... 11) Сформулировать вывод о точности косвенных методов измерения ускорения свободного падения, опробированных в работе.

Вопросы к отчету. 1.

6.

Какие колебания называются гармоническими? Дать определение их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). При каких условиях колебания физического маятника можно считать гармоническими? Вывести формулу периода колебаний физического маятника. Что называется приведенной длиной физического маятника? Что называется моментом инерции материальной точки? Как вычислить момент инерции твердого тела? Сформулировать теорему Штейнера. Вывести расчетную формулу.

7.

Почему для определения g не пользуются непосредственно формулой

2. 3. 4. 5.

периода колебаний маятника?

Лабораторная работа № 2.6. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Цель работы: исследование свойств математического маятника и экспериментальное определение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: математический маятник, линейка, секундомер.

112

Краткая теория вопроса. Важным видом движения является движение колебательное, т.е. периодическое или повторяющееся. Простейшим периодическим изменением служат гармонические колебания. Опр.1 Гармоническим колебанием физической величины х называется про-

2π t + ϕ ) (1), где А – T амплитуда колебания (максимальное значение величины х), Т — период ко2π лебания. Величина ( t + ϕ ) носит название фазы, ϕ - начальная фаза. T цесс изменения ее во времени t no закону x = A sin(

График такого колебания представлен на рис. 1. Из определения гармонического колебания следует, что период колебания является наименьшим промежутком времени, по исте-

чении которого движение в точности повторяется. Действительно,

x = A sin(

2π 2π t + ϕ ) = A sin[ (t + T ) + ϕ ] T T

За время t=T совершается одно полное колебание. Амплитуда колебания А равна максимальному значению х. Величина

ϕ соответствует фазе в на-

чальный момент времени (t=0) и называется начальной фазой. Величина

2π =ω T

(2) называется круговой (циклической) частотой.

Если начальная фаза равна ϕ =

π , то уравнение гармонического колеба-

2 ния записывается в виде: x = A cos ωt (1’).

Опр. 2 Математическим маятником называется колебательная система,

состоящая из материальной точки, прикрепленной к концу идеально гибкой, нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой закреплен неподвижно.

113

Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис.2). Рассмотрим основы динамики колебательного движения. Сила, пропорциональная смещению тела и направленная к положения равновесия, возникает при растяжении (или сжатии) упругой пружины. Поэтому сила, описываемая выражением

F ( x ) = − kx (3) (за-

кон Гука), называется упругой силой. Опр.2 Сила иного происхождения, обнаружи-

вающая такую же закономерность (3), т.е. пропорциональная отклонению от положения равновесия и при любом положении тела направленная к положения равновесия (возвращающая сила), независимо от ее природы называется квазиупругой. Система, в которой действует квазиупругая сила с коэффициентом k,

kx 2 обладает потенциальной энергией: U ( x ) = (4). 2 Уравнение движения тела с массой m под действием квазиупругой силы имеет вид:

d 2x m 2 = −kx (5). dt Его решением будет (1’) при условии

mω 2 = k ⇒ ω =

k (6). m

Таким образом, частота гармонического колебания зависит только от свойств системы (упругости и массы), но не от амплитуды. Амплитуда колебаний определяется не свойствами самой системы, а начальными условиями – энергией, переданной системе в результате начального «толчка». Рассмотрим колебательное движение математического маятника. При отклонении от вертикали на угол

α система получает потенци-

114

альную энергию U=mgh. Из рис. 3 по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

x 2 + (l − h ) 2 = l 2 . При малых углах отклонения величина

имеем: 2

h <<1

и

ею

можно

пренебречь.

Тогда

получаем:

x2 h= 2l

⇒

x 2 1 mg 2 U = mg = ⋅ ⋅ x (7). 2l 2 l Сравнивая (4) и (7) ⇒ k =

ω=

k = m

mg (8). Тогда: l

g l 2π ⇒T = = 2π (9) – не зависит от массы груза! g ω l

Возвращающей силой в случае математического маятника служит составляющая силы натяжения нити:

mg mg x mg sin α ≈ sin α = mg = ⋅ x = kx ⇒ формула (8). cos α 1 l l Следовательно, сила T sin α - квазиупругая сила с коэффициентом упруmg гости k = . l T sin α =

Описание установки и метода Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы (9) для периода гармонических колебаний математического маятника. Пусть нам известны периоды двух математических маятников различной длины. Тогда можно запи-

115

сать на основе (9):

T1 = 2π

l1 g

и

T2 = 2π

l2 g

.

Возводим оба равенства в квадрат и находим их разность:

T12

− T2

2

4π 2 (l1 − l2 ) 4π 2 = (l − l ) ⇒ g = . 2 2 g 1 2 T1 − T2

Если определять период по времени t совершения маятником N колебаний, т.е. T =

t . Тогда расчетная формула примет окончательный вид: N g=

4π 2 (l1 − l2 ) N 2 t12

− t2

2

(10) - расчетная формула для ускорения свободного падения.

В работе рекомендуется использовать бифилярный маятник – груз, подвешенный на двух расходящихся нитях (рис.4). При этом сама длина соответствующего математического маятника НЕ измеряется, а измеряется разность длин (l1-l2) с помощью штангенрейсмасса.

Вопросы к допуску: 1. Какое движение называется колебаниями? 2. Что такое математический маятник? 3. Дайте определение и запишите формулы для вычисления периода математического маятника. 4. Как с помощью математического маятника можно найти величину ускорения свободного падения? 5. Записать расчетную формулу для нахождения ускорения свободного падения и пояснить, как в работе находятся значения входящих в нее величин. 6. Что представляет собой штангенрейсмасс? Его назначение. 7. Можно ли с его помощью измерить длину математического маятни-

116

ка? Для измерения какой величины он используется в данной работе? 8. Почему углы отклонения должны быть малыми?

Содержание экспериментальных заданий Задание1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9)

Установить бифилярный маятник так, чтобы длины двух нитей были равны – симметричное расположение шарика на нитях. Отметить по шкале штангенрейсмасса положение нижней точки шарика, занести результат отсчета по шкале в тетрадь. Отклонить на небольшой угол шарик и отпустить. Включить секундомер (при прохождении шарика положения равновесия или в положении его максимального отклонения от положения равновесия) и измерить время, за которое будет совершено 20, 30 и 50 колебаний. Поднять шарик, одинаково укоротив обе нити. Отметить по шкале штангенрейсмасса второе положение шарика, отсчет по шкале записать. Вычислить разность отсчетов по шкале штангенрейсмасса, т.е. расстояния между двумя использованными положениями шарика. С помощью секундомера аналогично п.4) произвести измерение промежутков времени, за которые будет совершено 20, 30 и 50 колебаний. Таблица 1. Результаты измерений занести в таблицу 1. первый маятник

N

отсчет по шкале, м

t1, с

второй маятник отсчет по шкале. м

t2, с

l1-l2, м

g, м/с2

20 30 50 10) Вычислить по (10) ускорения свободного падения по данным для 20, 30 и 50 колебаний.

117

11) Сделать вывод о влиянии выбора числа совершаемых за отмеряемое время колебаний на точность результата вычисления величины g. 12) Пользуясь известным значением g из таблицы (см. в конце книги) для широты вашей местности, произвести вычисление абсолютной и относительной погрешностей для среднего значения результатов косвенного измерения величины ускорения свободного падения. 13) Записать результат в виде g = g ср. ± Δg ,

ε = ...% .

Вопросы к отчету. 1.

2. 3. 4. 5.

Какие колебания называются гармоническими? Дать определение их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). При каких условиях колебания математического маятника можно считать гармоническими? Какая сила называется квазиупругой? Какая сила выполняет роль возвращающей силы в случае математического маятника? Доказать, что она является квазиупругой. Вывести формулу периода колебаний математического маятника, определив двумя способами коэффициент квазиупругости k системы.

6.

Вывести расчетную формулу.

118

Приложение 1. Оценка погрешностей лабораторных измерений и вычислений по физике. Измерение как метод познания – специфическое сравнение данной величины с некоторым его значением, принятым за эталон, с целью получения ее количественного значения. Специфическое – основанное на создании и использовании специальной измерительной техники, определенных физических процессов и материальных орудий в качестве средств измерения, а также некоторых теоретических предпосылок. Способ измерения включает в себя 3 главных момента: 1) выбор единицы измерения и получение набора соответствующих мер; 2) установление правила сравнения измеряемой величины с мерой и правило сложения мер; 3) описание процедуры сравнения. Измерения делятся на: 1) прямые – при которых измеряемая величина непосредственно сравнивается с эталоном или определяется с помощью измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах; 2) косвенные – при которых производятся прямые измерения нескольких других величин, с которыми искомая величина функционально связана на основании определенной физической закономерности. Из математики известен смысл функциональной зависимости: каждому набору значений аргументов (независимых аргументов – результатов прямых измерений) соответствует не более одного значения функции (зависимой переменной – результата косвенного измерения). Всякая функциональная зависимость, положенная в основу косвенного измерения, выражается формулой. Эта формула выражает определение (например,

mV 2 m U ρ = , E кин. = ), закон (например, I = , F = ma ) или выведенV 2 R ное следствие совокупности определений, законов, принципов и пр.

119

Абсолютно точных измерений не существует. Точная оценка границ погрешности также невозможна, а можно лишь определить степень доверия к полученному результату. Это значит, что можно определить ожидаемую воспроизводимость результатов при повторных измерениях. При измерении различных физических величин исходят из той точности измерений, которая практически нас удовлетворяет. Точность измерения характеризуется: 1) границами допущенной погрешности, т.е. самой погрешностью; 2) вероятностью того, что найденное приближенное значение заключено в этих пределах. Общая погрешность складывается из погрешности отсчета (вследствие округления показаний до заданной степени точности, чаще она не превышает половины наименьшего деления шкалы прибора, но иногда необходимо учитывать субъективные причины возможных неточностей отсчета, обусловленные индивидуальными свойствами наблюдателя), инструментальной погрешности (обусловлена конструкцией прибора, обычно не превышает цены деления прибора) и случайной погрешности (обусловленной, например, неправильной установкой прибора, влиянием внешних условий). Оценить погрешность – значит вычислить абсолютную погрешность, измеряемую в единицах той же физической величины. Абсолютная погрешность равна произведению относительной погрешности на значение самой величины. Для характеристики погрешностей используют еще такие понятия: - средняя квадратичная погрешность отдельных измерений – мера i =n

разброса результатов измерений σ ( xi ) = - средняя

квадратичная i =n

s = σ ( xср ) =

∑ (x i =1

i

− x ср ) 2

n ⋅ (n − 1)

∑ (x i =1

погрешность

i

− xср ) 2

n −1

;

среднего

значения

;

- дисперсия – квадрат средней квадратичной погрешности s2; - доверительный интервал Е, соответствующий доверительной вероятности РЕ. Так, Е=t⋅s, где t – любое число.

120

В случае малого числа измерений доверительный интервал среднего значения Е = хср – Х можно найти по формуле Стьюдента Е=ts⋅s, где ts – коэффициент Стьюдента, который находится по таблице. Табл. Значение ts для различных значений доверительной вероятнотси Рs и числа измерений n. n Ps 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

1 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,7 0,697 0,692 0,688

1,376 1,061 0,978 0,941 0,92 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,868 0,861

1,963 1,336 1,25 1,19 1,156 1,134 1,119 1,108 1,11 1,093 1,088 1,076 1,066

3,08 1,886 1,638 1,533 1,476 1,44 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,345 1,328

6,31 12,71 2,92 4,3 2,35 3,18 2,13 2,77 2,02 2,57 1,943 2,45 1,895 2,36 1,86 2,31 1,833 2,26 1,812 2,23 1,796 2,2 1,761 2,14 1,729 2,09

0,98 31,8 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3 2,9 2,82 2,76 2,72 2,62 2,54

0,99 63,7 9,92 5,84 4,6 4,03 4,71 3,5 3,36 3,25 3,17 3,11 2,98 2,86

0,999 636,6 31,6 12,94 8,61 6,86 5,96 5,4 5,04 4,78 4,59 4,49 4,14 3,88

Оценка погрешности производится в соответствии с видом измерения физической величины. Измерения бывают прямые и косвенные, однократные и многократные. Правила, используемые при оценке погрешностей косвенных измерений: - при сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются; - при умножении и делении относительные погрешности складываются; - при возведении в степень и извлечении корня относительные погрешности умножаются на показатель степени;

121

- дисперсия суммы и разности величин равна сумме их дисперсий. Причем, погрешность результата измерения всегда значительно меньше самого результата. Если это условие не выполнено, то к полученному результату нет никакого доверия и опыт нужно провести заново.

Средняя квадратичная погрешность функции z(a,b,…) многих переменных: s= (

∂z ∂z 2 2 ) ⋅ s (a ср ) + ( ) 2 ⋅ s 2 (bср ) + ... . Аналогично, для абсолютных по∂b ∂a

грешностей. Алгоритм обработки результатов многократных измерений. 1. Найти среднее арифметическое значение хср измеряемой величины: хср = ∑

хi

n

2. Найти

.

абсолютные

погрешности

отдельных

измерений:

Δхi = хср − хi .

3. Определяем среднюю квадратичную погрешность среднего значения: s =

∑ (Δx )

2

i

n ⋅ (n − 1)

.

4. По числу наблюдений n и выбранной вероятности Р по таблице определяем коэффициент Стьюдента ts. 5. Вычисляем доверительный интервал для среднего значения измеряемой величины: Е=ts⋅s. 6. Записываем результат измерений в виде: Х=хср ± Е (Р=Рs). 7. Определяем относительную погрешность измерений в процентах: ε=

Е ⋅ 100% . х ср

В случае однократных прямых измерений с помощью измерительного прибора погрешность зависит от класса точности прибора К. К – число, равное предельно допустимой погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела измерения прибора. Т.о. Δх пр = 0,01 ⋅ К ⋅ с ⋅ N m , где с - цена деления прибора, Nm – наибольшее число делений в приборе. Погреш-

122

ность от текущего измерения: Δх=0,01⋅К⋅х, где х – показание прибора. Доверительная вероятность этих приборных измерений равна 1. В случае многократных прямых измерений доверительная погрешность, соответствующая доверительной вероятности Р находится по формуле: Δх = (t s ⋅ s ) 2 + ( Pt ⋅ Δх пр ) 2 . Обработка результатов косвенных измерений: 1) выполнить прямые однократные или многократные измерения и найти средние значения аргументов; вычислить абсолютные погрешности каждого аргумента; 2) для аргументов определенных путем однократных измерений вычислить доверительные погрешности с заданной доверительной вероятностью Δхi=Рt⋅Δxпр; 3) для аргументов, найденных при многократных измерениях, определить средние квадратичные погрешности и по методу Стьюдента их абсолютные погрешности с нужной доверительной вероятностью; 4) найти абсолютную погрешность функции данных аргументов по формуле: Δz = (

∂z 2 ) ⋅ (Δa ) 2 + ... . ∂a

5) среднее значение функции z: zср=z(aср, bср, …); 6) если функция удобна для логарифмирования, то т.к. находим ε = Δlnz =

относительную

dlnz 1 = , dz z

погрешность:

Δz ∂lnz 2 ∂lnz 2 = ( ) ⋅ ( Δa ) 2 + ( ) ⋅ (Δb) 2 + ... ; z ∂a ∂b

7) абсолютная погрешность находится как произведение относительной погрешности на значение самой величины; 8) окончательный результат записывается в виде:

(P=Pz).

z = zср ± Δz

123

Приложение 2. Типы погрешностей Абсолютная и относительная погрешности Опр.1 Абсолютная погрешность измерения физической величины определяется разностью

Δ x = x − X , где x - измеренное значение

физической величины, X - ее истинное значение, как правило, неизвестное. Опр.2 Относительная погрешность измерения определяется отношением абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины и выражается в процентах:

ε = Δx X

.

На практике экспериментальной деятельности за Х принимается так называемое действительное значение измеряемой величины. В ходе учебного эксперимента будем за Х можно принимать: 1) среднее значение полученной величины (если измерения многократные); 2) известное табличное значение измеряемой величины; 3) результат однократного измерения (лишь для оценки относительной погрешности) при соответствующих расчетах абсолютной погрешности (например, по классу точности измерительного прибора). Инструментальные и методические погрешности. Инструмен-

тальными (приборными) погрешностями средств измерений называются такие, которые принадлежат данному средству измерений, могут быть определены при его испытаниях и занесены в его паспорт. Например, погрешность весов из-за неравенства плеч или из-за того, что гири обладают тем или иным объемом ⇒ сила, с которой гиря давит на чашку весов, меньше ее истинного веса на вес вытесняемого ею воздуха (закон Архимеда). Инструментальные погрешности могут возникать вследствие несовершенства или неправильной технологии изготовления приборов. Мето-

дическая погрешность зависит от методики получения окончательного результата: 1) от пренебрежения по ходу вывода расчетной формулы тем или

124

иным аргументом или условием протекания процесса и пр., 2) от наличия влияния на характер исследуемого процесса средств измерения и неучета этого влияния в расчетной формуле и т.д.. Систематические и случайные погрешности. Систематическими называют погрешности, которые при повторении наблюдений сохраняются постоянными или изменяются по определенному закону. Такие погрешности связаны, например, с ограниченной точностью изготовления приборов, их неправильной установкой, неверным выбором метода измерений, постоянным воздействием различных внешних факторов и т. д. Основной отличительный признак систематических погрешностей состоит в том, что они могут быть предсказаны и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующих поправок.

Случайные погрешности - непредсказуемые ни по знаку, ни по величине (либо недостаточно изученные) погрешности. Случайные погрешности обусловлены большим количеством трудно учитываемых факторов, влияющих как на измерительные устройства, так и на самого э к с п е р и м е н т а т о р а . Присутствие случайных погрешностей (в отличие от систематических) легко обнаруживается при повторных измерениях в виде некоторого разброса получаемых результатов. Таким образом, главной отличительной чертой случайных погрешностей является их непредсказуемость от одного отсчета к другому. Описание случайных погрешностей производится с помощью аппарата математической статистики и теории вероятностей. Грубые погрешности. Грубые погрешности (промахи) определяются факторами чуждыми исследуемому процессу. Обычно они связаны с не тщательностью ведения измерений и записи результатов, а также сбоями в работе аппаратуры. Погрешности такого рода должны быть исключены путем проверок. Погрешности отсчета. Отсчетом называют число, полученное при данном измерении по отсчетному устройству меры или прибора или полученное путем счета последовательных отметок или сигналов. Отсчет по

125

шкале получают при помощи указателя, которым может быть стрелка (в амперметре), уровень жидкости (в мензурке), световой луч (в зеркальном гальванометре), конец измеряемого стержня (для линейки). Если указатель установился точно на отметке шкалы, то за результат измерения принимается числовое значение этой отметки. Как правило же, указатель устанавливается между отметками шкалы, в этом случае можно оценить доли деления “на глаз”. Погрешность такого отсчета составляет 15 десятых доли деления, т.е. не превосходит половины цены деления шкалы. Как правило, независимо от того, к какой отметке ближе лежит

указатель, его показание следует округлить до среднего арифметического двух значений, в промежутке между которыми он находится. Рассмотренная погрешность отсчета, связанная с округлением показания средства измерения является случайной величиной и называется по-

грешностью округления. Погрешность отсчета возникает не только от округления показаний прибора, но и по ряду других причин, например от параллакса. Параллакс заключается в видимом смещении указателя шкалы, вызываемом изменением точки наблюдения. Для уменьшения погрешности связанной с параллаксом линейки, например, изготовляют тонким или на краю линейки делают скос, кончики стрелки секундомера пригибают к шкале. В стрелочных приборах, для облегчения установки глаза, применяют зеркальную шкалу. Отсчет производят тогда, когда стрелка прибора закроет собой свое изображение в зеркале. Погрешность от параллакса может быть как случайной, так и систематической (например, если прибор постоянно находится сбоку от экспериментатора).

126

Приложение 3. Состав экспериментальной деятельности студентов на занятиях по физическому эксперименту (ориентировочная основа). Эксперимент как метод познания – целесообразная система эмпирических и теоретических методов изучения объекта или явления в искусственно созданных и контролируемых условиях при активном воздействии на него (объект или явление) с помощью различных орудий, приборов и средств. В ходе эксперимента объект изучения целенаправленно помещается в определенные взаимодействия с преобразующими материальными средствами исследования с целью фиксации и последующего анализа вызываемых в нем этими взаимодействиями изменений. Еще во времена Галилея ученые вывели достоинства этого метода. В ходе эксперимента удается: 1) “изолировать изучаемый объект от влияния побочных и затемняющих его сущность явлений и изучить его в «чистом» виде; 2) многократно воспроизводить ход процесса в строго фиксированных и поддающихся контролю и учету условиях; 3) планомерно изменять, варьировать различные условия для получения искомого результата; 4) появляется возможность исследовать физические свойства объектов в экстремальных условиях (высокое давление, сильные поля, сверхнизкие и сверхвысокие температуры). Отличаясь от наблюдения активным оперирование изучаемым объектом, эксперимент осуществляется на основе теории, определяющей постановку задач и интерпретацию его результатов. Эксперимент дает возможность перевести «логику» вещей в логику понятий, материальную зависимость в логическую. В конце эксперимента мы сопоставляем итог, который имеет место в нашей идеализированной схеме (созданной в процессе замысла и планирования эксперимента) и реальный его результат.

127

Обобщенный план экспериментальной деятельности студента: 1. Постановка (формулирование) познавательной задачи, решаемой методом физического эксперимента: 1) тема исследования: - выявление объекта изучения; - и предмета исследования; 2) цель: - теоретическая значимость; - практическая важность; 3) предполагаемый результат: - на теоретическом уровне; - на уровне эмпирического материала. 2. Теоретическая подготовка: 1) понятие об объекте и предмете экспериментально-познавательной деятельности; 2) теоретические основы способов их экспериментального исследования; 3) изучение приборов, используемых в обозначенных в работе целях 3. Планирование опыта: 1) принцип постановки опыта на базе конкретного физического метода; 2) моделирование (схема установки): - определение необходимых условий эксперимента по изучению предмета; - выяснение назначения и функций каждого элемента установки; - определение оптимальных параметров работы приборов с учетом их влияния на изучаемый предмет; - составление схемы установки; - определение порядка получения опытных данных (составление таблиц для занесения значений измеряемых величин); 3) указание основных расчетных формул (для косвенных измерений). 4. Реализация плана:

128

1) сборка установки (на основе полученной схемы); 2) снятие показаний (заполнение таблиц); 3) регистрация погрешностей приборов. 5. Обработка эмпирического материала: 1) систематизация и обобщение эмпирических данных, получение практического результата (построение графиков, схем и пр.); 2) косвенные вычисления; 3) усреднение и получение значения измеряемой величины (Х); 4) расчет погрешностей измерений: - оценка достаточной точности; - выбор метода вычисления погрешностей и формы записи полученного значения величины (вид погрешности, доверительная вероятность и пр.); 5) систематизация полученных результатов. 6. Выводы по проделанной работе: 1) формулирование полученных результатов на практическом и теоретическом уровнях; 2) сравнение с предполагаемыми результатами, анализ и объяснение имеющихся отклонений; 3) вывод о соответствии с теорией практического результата; 4) вывод о достижении или недочетах в достижении поставленной цели.

Объект представляет собой элемент естественной природы (реальный предмет, явление или процесс) или объективные свойства, связи, отношения таких элементов, обобщенные и выраженные в форме понятий, физических величин или закономерностей, на которые направлен познавательный интерес. Предмет выделяет определенный аспект изучения объекта, охватывая его некоторые свойства или стороны для более тщательного рассмотрения. Свойства – сторона предмета, обуславливающая его различие или

129

сходство с другими предметами и проявляющаяся во взаимодействии с ними. Каждое вещество обладает множеством определенных свойств, единство которых означает его качество. Физические свойства – это свойства, обусловленные масс-энергетическими изменениями, не затрагивающими внутренней природы вещества.

В соответствии с данными определениями объектом экспериментально-познавательной деятельности студентов могут быть физические тела и процессы, их свойства и отношения, существующие и действующие по объективным законам природы. Предмет включает сторону объекта исследования, непосредственно подлежащую изучению в конкретном физическом эксперименте с определенной целью. Объективность и однозначность эмпирических предложений достигается уточнением наблюдаемой ситуации (указывается место, время, условия протекания события), т.е. заданием так называемой экспериментальной ситуации. Экспериментальная ситуация задана, когда: 1) выделен объект внимания; 2) фиксированы условия, в которых на выделенный объект производятся воздействия, в том смысле, что нам понятно значение этих условий для осуществления выбранной операции (наблюдения, сравнения и пр.).

130

Приложение 4. Графическое изображение (представление) результатов эксперимента Используется в случае исследования зависимости одной физической величины от другой. Например, можно рассматривать зависимость плотности жидкости от температуры. Так, чтобы получить наглядное представление о взаимной связи рассматриваемых величин и характере их закономерного взаимоизменения (например, линейный или экспоненциальный рост одной величины при изменении другой), результаты наблюдений следует представить графически. Обычно пользуются прямоугольной системой координат с равномерными масштабами по осям. Значения аргументов следует откладывать по оси х, значения функции – по оси у. масштаб принципиально может быть любым, но при выборе его следует руководствоваться следующими соображениями: 1) график должен быть достаточно точным; наименьшее расстояние которое можно отсчитать на графике, должно быть не меньше величины абсолютной ошибки измерений; 2) физическая сущность явления должна быть вскрыта достаточно ясно: в тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений (несколькими точками кривой на графике); в области максимумов, минимумов и точек перегиба следует производить измерения значительно чаще ⇒ все эти точки должны быть разрешимы (видны как отдельные точки) на графике при выбранном масштабе. Графики должны выполнять на миллиметровой бумаге или на компьютере. Построение графиков возможно и достаточно просто осуществлять в таких программах как Excel и Mathcad. Кроме того, использование программных средств позволяет производить линейную аппроксимацию графика, строить сглаженную кривую по экспериментальным точкам и др. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями х и у: при выборе начала

131

координат надо руководствоваться тем, чтобы максимально использовалась вся площадь чертежа. Координатные оси должны быть проименованы: рядом со стрелками проставлены обозначения откладываемой на оси физической величины и единицы ее измерения в выбранном масштабе. Вдоль осей равномерно через 10-20 мм откладываются масштабные деления, указывая соответствующие им значения в указанных около стрелки единицах измерения. После выбора масштаба наносятся экспериментальные точки (координаты которых должны быть оформлены в виде двух столбцов или строк таблицы данных). На основе экспериментальных точек строиться график исследуемой зависимости 2-мя способами: 1) сами точки соединяют плавной кривой; 2) предполагаемая кривая (чаше прямая линия) строиться так, что может не проходить через опытные точки, но должна быть по обе стороны наиболее приближена к ним. Такое построение соответствует процедуре аппроксимации. Ошибки наблюдений обнаруживаются в неправильностях направления кривой ⇒ кривая может выполнять ориентирующую и направляющую функции в последующих уточняющих наблюдениях. Пользуясь полученной кривой можно: 1) установить наличие и характер зависимости между рассматриваемыми величинами. Наиболее просто и наглядно увидеть линейную зависимость, соответствующую наличию прямой пропорциональности между этими величинами. 2) В случае линейной зависимости легко определить и сам коэффициент пропорциональности: y1 = tgα ⋅ x1 ⇒ тангенс угла наклона прямой графика зависимости к оси х равен коэффициенту пропорциональности между величиной у и аргументом х. 3) В пределах произведенных наблюдений интерполировать зависимость, т.е. находить значения величины у для таких значений х, которые непосредственно не наблюдались. 4) Определять значения величин, отложенных по осям, которым соответствуют характерные точки графика: например, значение одной величины, при котором другая минимальна или максимальна, хотя бы последние и не определялись непосредственно.

132

Приложение 5. Таблица 1. Плотность воды при разных температурах

ρ воды , кг/м3

t, 0С

ρ воды , кг/м3

t, 0С

ρ воды , кг/м3

t, 0С

0

999,87

12

999,52

24

997,32

1

999,93

13

999,40

25

997,07

2

999,97

14

999,27

26

996,81

3

999,99

15

999,13

27

996,54

4

1000,00

16

998,97

28

996,26

5

999,99

17

998,80

29

995,97

6

999,97

18

998,62

30

995,67

7

999,93

19

998,43

31

995,37

8

999,88

20

998,23

32

995,05

9

999,81

21

998,02

33

994,72

10

999,73

22

997,80

34

994,40

11

999,63

23

997,57

35

994,06

Таблица 2. Ускорение силы тяжести g для разных широт на уровне моря широта в 0

g, м/с2

широта в 0

g, м/с2

широта в 0

g, м/с2

0

9, 78030

35

9,79730

70

9,82606

5

9,78069

40

9,80166

75

9,82866

10

9,78186

45

9,80616

80

9,83058

15

9,78376

50

9,81066

85

9,83176

20

9,78634

55

9,81503

90

9,83216

25

9,78952

60

9,81914

Москва

9,81523

30

9,79321

65

9,82285

С.-Пб

9,81908

Таблица 3. Модуль упругости некоторых твердых тел вещество Е, ·1010 Н/м2

алюминий сталь 6,3-7,5

20-22

чугун 7,5-13

латунь 8-10

медь 10-13

никель 20-22

олово 4-5,5

свинец

цинк

1,5-1,7

8-13

133

Таблица 4. Скорость звука в воздухе при разной температуре температура t , 0С

скорость звука vt , м/с

- 50

299,3

- 20

318,8

- 10

325,1

0

331,5

10

337,3

15

340,3

20

343,1

30

348,9

При повышении температуры воздуха на 10С скорость звука в нем увеличивается на 0,59 м/с

134

БИБЛИОГРАФИЯ 1. Говоркян Р.Г., Щепель В.В.. Курс физики. – М.: Наука, 1959. – 518 с. 2. Инкова Т.Я., Новокрещенов П.Д.. Лабораторный практикум по физике (Учебное пособие). Механика. Часть 1. – Борисоглебск, 1977. – 82 с. 3. Кашин Н.В.. Курс физики. Т.1.: Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Учпедгиз, 1948. – 438 с. 4. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н.. Практикум по физике. – М.: Высшая школа, 1961. – 428 с. 5. Курс физики / Под ред. Н.Д. Папалекси. - Т.1. – ОГИЗ: ГОСТЕХИЗДАТ, 1948. – 600 с. 6. Покровский А.А., Глазырин А.И., Дуров А.Г., Зворыкин Б.С., Шурхин С.А.. Практикум по физике в старших классах средней школы. Пособие для учителя. – Изд. 3-е, исправ. – М.: Просвещение, 1958. 7. Руководство к лабораторным занятиям по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1964. – 580 с. с ил. 8. Савельев И.В.. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1970. – 512 с. 9. Физический практикум. Руководство к практическим занятиям по физике / Пол ред. проф. В.И. Ивероновой. – 3-е изд-е. – М.: Гос. Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1955. – 636 с. 10. Яковлев К.П.. Физический практикум. Руководство к практическим занятиям в физических лабораториях. Т.2. – М.-Л.: Гос. Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1949. – 396 с.

135

Содержание: Введение ……………………………………………………………………... 3 Л.р. №0. Нониусы, их назначение и практическое использование

при измерении линейных размеров ………………………………………… 5 Часть первая Л.р. №1.1 Определение плотности тел, имеющих правильную

геометрическую форму .……………........................................................... 14 Л.р. №1.2 Определение плотности твердых тел, имеющих

неправильную геометрическую форму методом гидростатического взвешивания …………………………………………………............. 22 Л.р. №1.3 Определение коэффициента вязкости жидкости

методом Стокса ........................................................................................... 34 Л.р. №1.4 Определение модуля Юнга металлической проволоки ............. 42 Л.р. №1.5 Измерение промежутков времени .............................................. 51 Л.р. №1.6 Измерение скорости звука в воздухе ......................................... 59 Часть вторая Л.р. №2.1 Изучение прямолинейного движения с помощью

машины Атвуда …………………………..................................................... 71 Л.р. №2.2 Изучение вращательного движения на

крестообразном маятнике Обербека…………………………………............ 79 Л.р. №2.3 Изучение законов вращательного движения

136

с помощью махового колеса.......................................................................... 89 Л.р. №2.4 Определение момента инерции тел различной формы

методом крутильных колебаний…………………………............................... 96 Л.р. №2.5 Определение ускорения свободного падения

с помощью физического маятника….......................................................... 102 Л.р. №2.6 Определение ускорения свободного падения

с помощью математического маятника .................................................. 111 Приложения: Пр.1. Оценка погрешностей лабораторных измерений и вычислений по физике....................................................................................... 118 Пр.2. Типы погрешностей ................................................................................ 123 Пр.3. Состав экспериментальной деятельности студентов на занятиях по физическому эксперименту (ориентировочная основа) .......................... 126 Пр.4. Графическое изображение (представление) результатов эксперимента ………………………………………………………………….130 Пр.5. Таблицы значений некоторых физических величин …..…………… 132 Библиография……………………………………………………......... 134 Содержание ………………………………………………………….... 135

ЕГУ им. И.А. Бунина – кафедра физики 2003\2004 учебный год

137

Для заметок и дополнительных сведений ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

138

Учебно-методическое издание

Филимонова Лилия Владимировна Боброва Тамара Митрофановна

Методические указания для лабораторных занятий по изучению раздела общей физики «Механика» для студентов инженерно физического и физико-математического факультетов

Технический редактор – Н.П. Безногих Компьютерный набор и верстка – Л.В. Филимонова Техническое исполнение – В.Н. Бутов Лицензия на издательскую деятельность ИД № 06146. Дата выдачи 26.10.01. Формат 60 х 90 1/6 Тираж 100 экз. Печать трафаретная

Усл.-печ.л. 8,8 Уч.изд.л. 9,1 Заказ

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 399770 г.Елец, ул. Комунаров, 28.