Сибирский математический журнал Май—июнь, 2006. Том 47, № 3
УДК 517.518
TЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА CОБОЛЕВА ––– МОРРИ l Sp,a,κ,τ W (G) С ДОМИНИРУЮЩИМИ
СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ А. М. Наджафов Аннотация: Построены пространства типа Соболева — Морри с доминирующими смешанными производными и с помощью полученного интегрального представления доказаны теоремы вложения в этих пространствах. Ключевые слова: пространство типа Соболева — Морри с доминирующей смешанной производной, гибкий рог, интегральное представление, теорема вложения, условие Г¨ ельдера.
В связи с тем, что некоторые смешанные производные Dν f не могут быть оценены через производные функции f , входящие в нормы пространств Wpl и Hpl , возникла необходимость рассмотрения пространств функций другого типа, где доминирующую роль играют смешанные производные. Пространства Spl W (l ∈ Nn ) и Spl H функций с доминирующей смешанной производной введены и изучены С. М. Никольским [1], а позднее А. Д. Джабраиловым [2]; пространства Spl W были распространены на случай, когда l = (l1 , l2 , . . . , ln ), где lj ≥ 0 могут не быть целыми. l W (G) (l ∈ Nn ; p ∈ [1; ∞)n ; a ∈ В работе вводится пространство Sp,a,κ,τ [0, 1]n ; κ ∈ (0, ∞)n ; τ ∈ [1, ∞]) типа Соболева — Морри с доминирующими смешанными производными. Это пространство построено на базе Spl W — пространства Соболева с доминирующей смешанной производной — и пространства типа Морри Lp,a,κ,τ (G). В случае, когда область G ⊂ Rn удовлетворяет условию гибкого рога, получены интегральные представления и с точки зрения теории вложения изучены некоторые свойства функций из рассматриваемого пространства. Пусть G ⊂ Rn — некоторая область, en = {1, 2, . . . , n}, e ⊆ en ; l = (l1 , l2 , . . . , ln ), lj > 0 целые (j ∈ en ); le = l1e , l2e , . . . , lne , где lje = lj при j ∈ e и lje = 0 при j ∈ en \e = e0 . Пусть, далее, e bj Zb YZ f (x) dxe = dxj f (x), ae
j∈e a
j
т. е. интегрирование идет только по переменным xj , индексы которых принадлежат множеству e. В дальнейшем будем писать p ≤ q, где p = (p1 , . . . , pn ), q = (q1 , . . . , qn ), если pj ≤ qj (j ∈ en ); в частности, запись 1 ≤ p ≤ ∞ означает, что 1 ≤ pj ≤ ∞ (j ∈ en ), где 1 = (1, . . . , 1), ∞ = (∞, . . . , ∞). c 2006 Наджафов А. М.
614
А. М. Наджафов При h ∈ (0, ∞)n для каждого x ∈ G рассмотрим вектор-функцию ρ(v) = ρ(v, x) = (ρ1 (v1 , x), ρ2 (v2 , x), . . . , ρn (vn , x)),
0 ≤ vj ≤ hj (j ∈ en ),
где ρj (0, x) = 0 при всех j ∈ en , функции ρj (vj , x) абсолютно непрерывны по uj на [0, hj ] и |ρ0j (vj , x)| ≤ 1 для почти всех vj ∈ [0, hj ], где ρ0j = ∂v∂ j ρj (vj , x), j ∈ en . S [ρ(v, x) + vθI] и x + V (x, θ), При θ ∈ (0, 1]n каждое из множеств V (x, θ) = 0
где I = [−1, 1]n , vθI = {(v1 θ1 y1 , . . . , vn θn yn ) : y ∈ I}, будем называть гибким рогом, а точку x — вершиной гибкого рога x + V (x, θ). Будем предполагать, что x + V (x, θ) ⊂ G. В случае v1 = · · · = vn = v, ρ(v, x) = ρ(v λ , x), θ = (θλ1 , . . . , θλn ), θ ∈ (0, 1]n , множество [ V (x, θ) = V (x, λ, θ) = [ρ(v λ , x) + v λ θλ I] 0
является гибким λ-рогом, введенным О. В. Бесовым [3]. l W (G) пространство локально суммируемых на G Обозначим через Sp,a,κ,τ e функций f , имеющих на G обобщенные производные Dl f (e ⊆ en ), с конечной нормой X e kf kSp,a,κ,τ kDl f kp,a,κ,τ ;G , l W (G) = e⊆en
где kf kp,a,κ,τ ;G = kf kLp,a,κ,τ (G)
v 1/τ κ a Z01 Zv0nh Y iτ Y dv − pj j j = sup ··· , [vj ]1 j kf kp,Gvκ (x) v j x∈G j∈e j∈e 0
n
n
0
Y
κ a − pj j j
kf kLp,a,κ (G) = kf kp,a,κ;G = kf kp,a,κ,∞;G = sup
,
[vj ]1
kf kp,Gvκ (x) ,
x∈G, j∈en vj >0
kf kp,Gvκ (x) Z = Gvκn (xn ) n
...
Z
Z p1
|f (y)| dy1
Gvκ2 (x2 ) 2
pp2
1
p pn
p1
n
n−1
dy2 . . .
dyn
,
Gvκ1 (x1 ) 1
κ Gvκ (x) = G ∩ Ivκ (x), Ivκ (x) = y : |yj − xj | < 21 vj j , j ∈ en , [vj ]1 = min{1, vj }, j ∈ en , (v01 , . . . , v0n ) = v0 — фиксированный положительный вектор. При τ = ∞ l l пространство Sp,a,κ,τ W (G) совпадает с пространством Sp,a,κ W (G) Соболева — Морри с доминирующими смешанными производными, изученным в [4], т. е. l l Sp,a,κ,∞ W (G) ≡ Sp,a,κ W (G). l Отметим ряд свойств пространств Lp,a,κ,τ (G) и Sp,a,κ,τ W (G). 1. Имеют место вложения Lp,a,κ,τ (G) ,→ Lp,a,κ (G) ,→ Lp (G),
l l Sp,a,κ,τ W (G) ,→ Sp,a,κ W (G) ,→ Spl W (G),
т. е. kf kp,G ≤ kf kp,a,κ;G ≤ Ckf kp,a,κ,τ ;G ,
Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева — Морри
615
kf kSpl W (G) ≤ kf kSp,a,κ l l W (G) ≤ Ckf kSp,a,κ,τ W (G) . l 2. Lp,a,κ,τ (G) и Sp,a,κ,τ W (G) являются полными пространствами. 3. Для любого вещественного числа c > 0 1 1 kf kp,a,cκ,τ ;G = 1 kf kp,a,κ,τ ;G и kf kSp,a,cκ,τ l l W (G) = 1 kf kSp,a,κ,τ W (G) . cτ cτ 4. Имеют место соотношения а) kf kp,0,κ,∞;G = kf kp,G ; kf kp,1,κ,τ ;G ≥ kf k∞,G ; b) kf kSp,0,κ,∞ l l l W (G) . W (G) = kf kSpl W (G) ; kf kSp,1,κ,τ W (G) ≥ kf kS∞ 1−a
1−b
5. Если G — ограниченная область, pj ≤ qj , qj j ≤ pj j (j ∈ en ), 1 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ∞, то Lq,b,κ,τ1 (G) ,→ Lp,a,κ,τ2 (G). Построим интегральное представление для исследования свойств функций из пространства Spl W (G), определенных в n-мерных областях, удовлетворяю щих условию гибкого рога. Пусть 1e = δ1e , δ2e , . . . , δne , δje = 1 при j ∈ e, δje = 0 при j ∈ e0 . Будем предполагать, что f ∈ Lloc (G) имеет на G все обобщенные производные, которые потребуются. Введем усреднение функции f : Z Y y ρ(v, x) −1 fv (x) = vj f (x + y) , dy, (1) v v j∈en Rn Q где (y, z) = ωj (yj , zj ) введены О. В. Бесовым [3, с. 77], а ωj определена j∈en
в [3, с. 77, формула (23)]. Усреднение (1) построено по значениям f в точках x + y ∈ x + V (x, θ) ⊂ G. Пусть ε = (ε1 , ε2 , . . . , εn ), 0 < εj < hj (j ∈ en ). Тогда справедливо равенство e
X fε (x) =
Zh (−1)|1
e
e
|
e⊆en
Dv1 fve +he0 (x) dv e .
(2)
εe
Дифференцируя по vj , j ∈ e, в силу [3, с. 77, формулы (26), (27)] получаем Z Y Y ∂ e e Y e e Dv1 fve +he0 (x) = fve +he0 (x) = (−1)|1 | h−1 vj−2 Ke(k +1 ) j ∂vj 0 j∈e j∈e j∈e
n
× где
n
ρ(v e + he , x) 0 e y e0 , , ρ (v + h , x) f (x + y) dy, v e + he0 v e + h e0
Y Ke (x, y, z) =
Rn
0
Y ωj (xj , yj )
j∈e0
(3)
ζj (xj , yj , zj ) ∈ C0∞ (Rn × Rn × Rn ),
j∈e
ζj определена в [3, с. 77, формула (27)] и Z Ke(α) (x, y, z) = Dx(α) Ke (x, y, z), Ke(α) (x, y, z) dx = 0 для всех y, z, α при |α| > 0. Rn
В силу (2) из (3) получаем e
X Y fε (x) =
Zh Y
h−1 j
e⊆en j∈e0
εe j∈e
×
Z vj−2 Rn
Ke(k
e
+1e )
0 y ρ(v e + he , x) 0 e e0 , , ρ (v + h , x) f (x + y) dydv e . (4) v e + h e0 v e + h e0
616
А. М. Наджафов
Тогда с учетом замечания к лемме 5.2 из [3] будем иметь: если f ∈ Lloc (G), 1 ≤ p < ∞, εj → 0 (j ∈ en ), то fε (x) → f (x); кроме того, при p > 1 на основании замечания к теореме 1.7 из [3] fε (x) → f (x) для почти всех x ∈ G. Тогда из (4) следует, что e Zh Y X Y −2+lj −1 |le | (−1) hj f (x) = vj j∈e0
e⊆en
Z ×
Me
0e j∈e
0 e ρ(v e + he , x) 0 e y e0 , , ρ (v + h , x) Dl f (x + y) dydv e , 0 0 e e e e v +h v +h
(5)
Rn e
e
e
где Me (x, y, z) = Dxk +1 −l Ke (x, y, z), причем lj ≤ kj при j ∈ e, так как числа kj , входящие в ядро , мы можем выбрать сколь угодно большими. Предположим, что ρj (vj , x), ρ0j (vj , x) как функции от (vj , x) локально суммируемы на (0, hj ] × U , j ∈ en , где U ⊂ G — открытое множество. Пусть ν = (ν1 , ν2 , . . . , νn ) ∈ N0n , причем lj ≤ νj + kj при j ∈ e, lj ≤ νj при j ∈ e0 . Применяя к обеим частям (4) операцию дифференцирования Dxν (причем в слагаемых, стоящих справа, дифференцирование переносим на ядро), получим e Zh Y X e Y −2−νj +lj h−1 vj fε(ν) (x) = (−1)|ν|+|l | j j∈e0
e⊆en
Z Me(ν)
×
εe j∈e
0 e y ρ(v + he , x) 0 e e0 , ρ (v + h , x) Dl f (x + y) dydv e . (6) 0 , 0 e e e e v +h v +h e
Rn
Покажем теперь, что если выполнены неравенства µj = lj − νj > 0, j ∈ en , (7) ν то на G существует обобщенная производная D f ∈ Lp (G). Установим сначала, что fε(ν) − fη(ν) → 0 при 0 < εj < ηj → 0, j ∈ en , (8) loc в L (U ). Пусть F ⊂ U — компакт. Тогда F + T I ⊂ U при некотором T > 0. Пусть (ν) M (ν) (x) = max max Me (x, y, z) . В силу неравенства Минковского при достаe⊆en y,z∈I
точно малых ε, h = η имеем
(ν)
fε − fη(ν)
XY
1,F +T I
≤C
µ
e
ηj j kDl f k1,F +T I .
e⊆en j∈e
Отсюда ввиду (7) вытекает (8). Предположим, что производная Dν f существует на G, т. е. имеет место fv(ν) (x) = Dν f (x) при x + cvI ⊂ G с некоторым c = (c1 , . . . , cn ) > 0. Перейдем в (6) к пределу при εj → 0 (j ∈ en ), существующему в смысле Lloc (U ) в силу (7) и почти всюду на U ввиду соотношения fv (x) → f (x) при vj → 0 (j ∈ en ), примененного к Dν f . Тогда для почти всех x ∈ U будем иметь равенство e Zh Y X e Y −1−ν −2−νj +lj j Dν f (x) = (−1)|ν|+|l | hj vj j∈e0
e⊆en
Z Me(ν)
× Rn
0e j∈e
e ρ(v + h , x) 0 e y e0 , ρ (v + h , x) Dl f (x + y) dydv e . (9) 0 , 0 e e e e v +h v +h e
e0
Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева — Морри
617
Напомним, что гибкий рог x + V (x, θ) является носителем представления (9) (ν) при x ∈ U . Для ядер Me и Me можно считать, что при всех α, β имеют место соотношения Z Z α Dx Me (x, y, z) dx = 0, Dxβ Me(ν) (x, y, z) dx = 0 при всех e ⊆ en . Для доказательства основных теорем нам понадобятся некоторые вспомогательные неравенства, приводимые в сформулированных ниже леммах. Выберем функцию ϕ(·, y, z) ∈ C0∞ таким образом, чтобы S(ϕ) = supp ϕ ⊂ I1 = {y : |yj | < 1/2, j ∈ en }. S y ∈ S(ϕ) ; ясно, что V ⊂ Ih = {x : |xj | < y : ve +h e0
Положим V =
0
∈ en }. Пусть U — открытое множество, содержащееся в области G; в дальнейшем всегда будем считать, что U + V ⊂ G. Пусть [ Ghκ (U ) = Ghκ (x) = (U + Ihκ ) ∩ G. x∈U
Очевидно, если 0 < κ, h ≤ 1, то Ih ⊂ Ihκ , и тем самым U + V ⊂ Ghκ (U ) = Q. Лемма 1. Пусть 1 ≤ p ≤ q ≤ r ≤ ∞; 0 < κ ≤ 1; 0 < v, η ≤ h ≤ 1; 0 < γ < ∞; 1 ≤ τ ≤ ∞; ν = (ν1 , . . . , νn ), νj ≥ 0 целые (j ∈ en ), ∈ Lp,a,κ,τ (G), 1 1 − εj = lj − νj − (1 − κj aj ) , pj qj e
Aeη (x) =
Y
−1−νj
Zη Y
dvj 2+νj −lj j∈e vj
hj j∈e0
Z ×
0e
ϕ
0 ρ(v e + he , x) 0 e y e0 , , ρ (v + h , x) (x + y) dy, v e + h e0 v e + h e0
(10)
Rn
e
Aeη,h (x) =
Y
−1−νj
Zh Y
hj j∈e0
ηe
Z ×
ϕ
dvj 2+νj −lj j∈e vj
0 ρ(v e + he , x) 0 e y e0 , , ρ (v + h , x) (x + y) dy. (11) v e + h e0 v e + h e0
Rn
Тогда sup kAeη kq,Uγ κ (¯x) ≤ C1 kkp,a,κ,τ ;Q
x ¯∈U
Y
−νj −(1−κj aj )( p1 − q1 ) j
hj
j
j∈e0
Y ×
κj aj qj
Y
[γj ]1 j∈en
j∈e
ε
ηj j
(εj > 0);
(12)
618
А. М. Наджафов
sup kAeη,h kq,Uγ κ (¯x) ≤ C2 kkp,a,κ,τ ;Q
¯∈U x
Y
−νj −(1−κj aj )( p1 − q1 ) j
hj
j
j∈e0
Q εj hj j∈e κj aj Q hj Y q ln ηj × [γj ]1 j j∈e j∈en Q εj ηj
при εj > 0, при εj = 0,
(13)
при εj < 0.
j∈e
κ x) = x : |xj −¯ xj | < 12 γj j , j ∈ en и C1 , C2 — константы, не зависящие Здесь Uγ κ (¯ от , γ, η и h. Доказательство. Пусть сначала p1 = p2 = · · · = pn = p, q1 = q2 = · · · = qn = q и r1 = r2 = · · · = rn = r. Применяя обобщенное неравенство Минковского, для любого x ¯ ∈ U получим Y
e
Aη q,U
x) γ κ (¯
≤C
Zη
j∈e0
e 0
−1−νj hj
kF (·, v e + he )kq,Uγ κ (¯x) 0e
Y
dvj 2+νj −lj j∈e vj
,
(14)
где
Z 0
F (x, v e + he ) =
ϕ
0 y ρ(v e + he , x) 0 e e0 , , ρ (v + h , x) (x + y) dy. v e + he0 v e + h e0
Rn 0
Оценим норму kF (·, v e + he )kq,Uρκ (¯x) . В силу неравенства Г¨ельдера (q ≤ r) имеем 0
0
kF (·, v e + he )kq,Uγ κ (¯x) ≤ kF (·, v e + he )kr,Uγ κ (¯x)
Y
( 1 − r1 )κj
γj q
.
(15)
j∈en
Пусть χ — характеристическая функция множества S(ϕ). Учитывая, что 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞, s ≤ r (так как 1s = 1 − p1 + 1r ) и 1
1
1
1
|ϕ| = (||p |ϕ|s )1/r (||p χ) p − r (|ϕ|s ) s − r , и снова применяя неравенство Г¨ельдера, для |F | (в силу 1r +( p1 − 1r )+( 1s − 1r ) = 1) будем иметь 0
|F (x, v e + he )| Z ≤ |(x + y)|p ϕ Rn
s 1/r 0 y ρ(v e + he , x) 0 e e0 dy , , ρ (v + h , x) 0 0 e e e e v +h v +h
Z
1/p−1/r 0
|(x + y)|p χ(y : (v e + he )) dy
× Rn
s 1/s−1/r Z 0 y ρ(v e + he , x) 0 e e0 . × ϕ v e + he0 , v e + he0 , ρ (v + h , x) dy Rn
Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева — Морри
619
Отсюда получаем Z 0
kF (·, v e + he )kr,Uγ κ (¯x) ≤
|(x + y)|p χ
sup ¯∈Uγ κ (¯ x) x
Z
y v e + h e0
1/p−1/r dy
Rn
1/r |(x + y)| dx p
× sup y∈V Uγ κ (¯ x)
s 1/s Z 0 ρ(v e + he , x) 0 e y e0 . (16) × ϕ v e + he0 , v e + he0 , ρ (v + h , x) dy Rn
Очевидно, если 0 < κ и v ≤ 1, то Qve +he0 (x) ⊂ Q(vκ )e +(hκ )e0 (x). Для любого x ∈ U имеем Z Z y p |(x + y)| χ e dy ≤ |(y)|p dy v + h e0 Rn
Q(vκ )e +(hκ )e0 (x)
Y
κ aj
hj j
≤ kkp,a,κ;Q j∈e0
При y ∈ V выполняется Z |(x + y)|p dx ≤ x) Uγ κ (¯
Z ϕ Rn
Z
κ a
vj j j . (17)
j∈e
Y
|(x)|p dx ≤ kkpp,a,κ;Q
Y
κ a
[γj ]1 j j ,
(18)
j∈en
x+y) Qγ κ (¯
s 0 Y Y y ρ(v + he , x) 0 e e0 dy = , , ρ (v + h , x) hj vj kkss . 0 0 e e e e v +h v +h 0 j∈e e
(19)
j∈e
Из (15)–(19) следует, что 0
kF (·, v e + he )kq,Uγ κ (¯x) ≤ Ckkp,a,κ;Q
Y
1 1−(1−κj aj )( p − r1 )
hj j∈e0
Y ×
1 − r1 ) 1−(1−κj aj )( p
Y
vj
κj ( q1 − r1 )
j∈en
j∈e
Y
γj
κj aj r
[γj ]1
. (20)
j∈en
Учитывая неравенство k · kp,a,κ;G ≤ Ck · kp,a,κ,τ ;G и последовательно применяя неравенство (20) по каждой переменной в отдельности, получаем следующее неравенство для векторов p = (p1 , . . . , pn ), q = (q1 , . . . , qn ) и r = (r1 , . . . , rn ): Y 1−(1−κj aj )( p1 − r1 ) 0 j j kF (·, v e + he )kq,Uγ κ (¯x) ≤ C1 kkp,a,κ,τ ;Q hj j∈e0
Y ×
1−(1−κj aj )( p1 − r1 ) j
vj
j
j∈e
Y
κj ( q1 − r1 )
γj j∈en
j
j
κj aj rj
Y
[γj ]1
.
j∈en
Подставляя это неравенство в (14), имеем Y −νj −(1−κj aj )( p1 − r1 )
e j j
Aη ≤ C kk hj 2 p,a,κ,τ ;Q x) q,U κ (¯ γ
j∈e0
Y ×
κj ( q1 − r1 )
γj j∈en
j
j
Y
κj
[γj ]1 j∈en
aj rj
Y
lj −νj −(1−κj )( p1 − r1 )
ηj
j
j
. (21)
j∈e
Используя в неравенстве (21) rj = qj (j ∈ en ), получаем неравенство (12). Аналогично доказывается неравенство (13).
620
А. М. Наджафов
Следствие 1. Полагая в неравенстве (20) r = ∞ при 0 < γ ≤ 1 и r = q при γ > 1, получаем Y κj 1 sup kF kq,Uγ κ (¯x) ≤ Ckkp,a,κ;Q [γj ]1 q , x ¯∈U
j∈en
т. е. kF kq,b,κ;U ≤ Ckkp,a,κ;Q , где b ∈ [0, 1]n , откуда при 1 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ∞ приходим к неравенству kF kq,b,κ,τ2 ;U ≤ Ckkp,a,κ,τ1 ;Q .
(22)
Лемма 2. Пусть 1 ≤ p ≤ q < ∞; 0 < κ ≤ 1; 0 < h ≤ 1; ν = (ν1 , . . . , νn ), νj ≥ 0 — целые (j ∈ en ); 1 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ∞, εj > 0 и εj,0 = lj − νj − (1 − κj aj )
1 . pj
Тогда для любой функции Aeh (x), определенной равенством (10), справедлива оценка
e
Ah ≤ Ckkp,a,κ,τ1 ;Q , (23) q,b,κ,τ2 ;U где b = (b1 , . . . , bn ), bj — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам: 0 ≤ bj ≤ 1, 0 ≤ bj < 1,
если εj,0 > 0 при j ∈ e,
если εj,0 = 0 при j ∈ e и 0 ≤ bj ≤ aj при j ∈ e0 ;
εj,0 qj (1 − aj ) εj qj (1 − aj ) 0 ≤ bj < 1 + = aj + , 1 − κj aj 1 − κj aj
(24)
если εj < 0 при j ∈ e,
где C — константа, не зависящая от . Доказательство. Предположим сначала, что 0 < γ < h. Тогда
e
Ah ≤ Aeγ q,U κ (¯x) + Aeγh q,U κ (¯x) . q,U κ (¯ x) γ
γ
γ
(25)
В силу неравенства (12) (ηj = γj , j ∈ en , τ = ∞) выполняется
e
Aγ q,U
Y x) γ κ (¯
≤ C1 kkp,a,κ;Q
κj
γj
aj qj
j∈e0
Y
εj +κj
γj
aj qj
,
(26)
j∈e
где C1 — константа, не зависящая от и γ. Далее, из (11) на основании обобщенного неравенства Минковского и неравенства (13) (ηj = γj , j ∈ en , τ = ∞) имеем
e
Aγ,h ≤ C2 kkp,a,κ;Q ψ(γ, h; r); (27) q,U κ (¯ x) γ
здесь C2 — константа, не зависящая от и γ, e
Y ψ(γ, h; r) = j∈en
δj (rj ) =
κj κj − (1 − aj ), qj rj
δ (r ) γj j j
Zh Y
ε (rj )−1
vj j
dv e ,
γ e j∈e
1 1 εj (rj ) = lj − νj − (1 − κj aj ) − . pj rj
Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева — Морри
621
После этого выберем rj , qj ≤ rj ≤ ∞ (j ∈ en ) так, чтобы показатель степени γj в оценке (27) был максимальным. Для этого заметим, что δj (rj ) монотонно возрастает, а εj (rj ) монотонно убывает на [qj , ∞], причем εj (qj ) = εj , εj (∞) = εj,0 (j ∈ en ). Рассмотрим случаи εj,0 ≥ 0 и εj,0 < 0. Если εj,0 ≥ 0, то максимальный κ показатель γj в оценке (27) мы получим пpи rj = ∞ и δj (∞) = qjj . В этом случае κ Q qjj Q 1 Q εj,0 Q εj,0 γ hj − γj ), если εj,0 > 0, j εj,0 ( ψ(γ, h; r) =
j∈en
j∈e
j∈e
j∈e
κ Q qjj Q hj γj ln γj ,
j∈en
если εj,0 = 0.
j∈e
Пусть εj,0 < 0. Так как εj (qj ) = εj > 0, εj (∞) < 0, то при некотором rj,0 , qj < rj,0 < ∞, выполняется εj (rj,0 ) = 0. Вычислениями убеждаемся, что наилучшая оценка в этом случае получается, если в ψ(γ, h; r) положить rj = rj,0 . Тогда Y δ (r ) Y hj ψ(γ, h; r0 ) = γj j j,0 ln , (28) γj j∈e j∈e n
где δj (rj,0 ) =
κj εj,0 qj (1 − aj ) κj εj qj (1 − aj ) 1+ = aj + qj 1 − κj aj qj 1 − κj aj
(здесь 1 − κj aj > 0, поскольку εj > 0, εj,0 < 0). Заметив, что εj +
κj aj 1 ≥ κj qj qj
при εj,0 ≥ 0,
εj +
κj aj ≥ δj (εj,0 ) qj
при εj,0 < 0,
на основании (25)–(28) получаем a Q κj qjj Q κj q1j Q εj,0 γj γj hj j∈e j∈e j∈e0 Q κj aj Q κj 1 Q
e q q h
Ah γj j γj j ln γjj ≤ C kk 3 p,a,κ;Q x) q,Uγ κ (¯ 0 j∈e j∈e j∈e aj κ Q Q j q δ (r ) Q h γj j j,0 γj j ln γjj j∈e0
j∈e
при εj,0 > 0, при εj,0 = 0, при εj,0 < 0.
j∈e
(29) Пусть теперь γj ≥ hj (j ∈ en ). Применяя снова оценку (12), имеем a a Q κj qjj Q εj +κj qjj γ γ при hj ≤ γj < 1, j j
e j∈e j∈e0
Ah ≤ C kk 4 p,a,κ;Q q,Uγ κ (¯ x) Q εj hj при γj > 1.
(30)
j∈e
¯ ∈ U и любом γj , 0 < γj < ∞ Из неравенств (29) и (30) следует, что при любом x (j ∈ en ), выполняется
e
Ah q,U
Y x) γ κ (¯
≤ C5 kkp,a,κ;Q
b
κj qj
[γj ]1 j∈en
j
,
(31)
622
А. М. Наджафов
где b = (b1 , . . . , bn ), bj — любое число, удовлетворяющее неравенствам (24), а константа C5 не зависит от , γ, x ¯. Последнее неравенство равносильно неравенству
e
Ah ≤ Ckkp,a,κ;Q , q,b,κ,U и, следовательно, пpи 1 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ∞ имеем
e
Ah ≤ Ckkp,a,κ,τ1 ;Q . q,b,κ,τ ;U 2
Теорема 1. Пусть открытое множество G ⊂ Rn удовлетворяет условию ¯ = cκ, где 1c = max lj κj ; ν = (ν1 , . . . , νn ), νj ≥ 0 гибкого рога, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞; κ 1≤j≤n
l целые (j ∈ en ); 1 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ∞; εj > 0 (j ∈ en ); f ∈ Sp,a,κ,τ W (G). 1 Тогда 1
l Dν : Sp,a,κ,τ W (G) ,→ Lq,b,κ,τ2 (G), 1
l l Dν : Sp,a,κ,τ W (G) ,→ Sq,b,κ,τ W (G) 1 2
и справедливы неравенства kDν f kq,G ≤ C1
X Y
e
s
hj e,j kDl f kp,a,κ,τ1 ;G ,
(32)
e⊆en j∈en
kDν f kq,b,κ,τ2 ;G ≤ C2 kf kSp,a,κ,τ l
1
где
( se,j =
W (G)
εj 1 pj
−νj − (1 − κj aj )
−
1 qj
(p ≤ q < ∞),
(33)
при j ∈ e, при j ∈ e0 .
Если εj − lj1 > 0 (j ∈ en ), то kDν f kS l1 W (G) ≤ C3
X Y
q
s
hj e,j
e⊆en j∈e0
kDν f kS l1
q,b,κ,τ2
W (G)
Y
se,j −lj1
hj
e
kDl f kp,a,κ,τ1 ;G ,
(34)
j∈e
≤ C4 kf kSp,a,κ,τ l
1
W (G)
(p ≤ q < ∞),
(35)
причем 0 < h ≤ min(1, h0 ), C1 –C4 — константы, не зависящие от f , а C1 и C3 не зависят также от h. В частности, если εj,0 > 0 (j ∈ en ), то Dν f непрерывна на G и sup |Dν f | ≤ C1 x∈G
где
s0
e
hj e,j kDl f kp,a,κ,τ1 ;G ,
e⊆en j∈en
( s0e,j =
X Y
εj,0 −νj − (1 −
при j ∈ e, κj aj ) p1j
при j ∈ e0 .
Доказательство. Поскольку κ ¯ = cκ, c > 0, мы можем считать, что f ∈ l Sp,a, κ,τ ¯ 1 W (G), и всюду в неравенствах (32)–(35) и в выражениях для εj , se,j ¯ Именно такие неравенства мы и будем доказывать пpи j ∈ en заменить κ на κ. (чем больше κ, тем больше ε). В условиях теоремы существует обобщенная производная Dν f . Действительно, пусть εj > 0 и поэтому lj − νj > 0 (j ∈ en ); так как p ≤ q, 0 ≤ a ≤ 1 и l l ν κ ¯ ≤ 1, f ∈ Sp,a, κ,τ ¯ 1 W (G) ,→ Sp W (G), то на G существует D f , принадлежащая
Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева — Морри
623
Lp (G). Тогда для почти каждой точки x ∈ G справедливо интегральное тождество (9) с теми же ядрами. Отсюда на основании неравенства Минковского имеем X
Aeh . kDν f kq,G ≤ C q,G e⊆en e
(ν)
С помощью неравенства (12) при U = G, ϕ = Me , = Dl f , γ → ∞ получим неpавенство (32). Для доказательства неравенства (34) в тождестве (9) вместо ν возьмем (ν+l1 )
e
ν + lj1e . Снова с учетом неравенства (12) при U = G, ϕ = Me j , = Dl f , γ → ∞ получим X Y −νj −(1−κj aj )( p1 − q1 ) Y εj −l1 e 1e j j hj j kDl f kp,a,κ,τ kDν+l f kq,G ≤ C1 hj ¯ 1 ;G , e⊆en j∈e0
j∈e
следовательно, kDν f kS l1 W (G) ≤ C2
X Y
q
e⊆en j∈e0
s
hj e,j
Y
se,j −lj1
hj
e
kDl f kp,a,κ,τ ¯ 1 ;G .
j∈e
Аналогичным образом на основании неравенств (22) и (23) устанавливаются оценки (33) и (35). Пусть теперь εj,0 > 0 (j ∈ en ). Покажем, что Dν f непрерывна на G. На основании тождества (9) с учетом неравенства (32) при q = ∞, εj = εj,0 > 0 (j ∈ en ) имеем X X Y ε e
Aeh kDν f − Dν fh k∞,G ≤ ≤C hj j,0 kDl f kp,a,κ,τ ¯ 1 ;G , ∞,G e⊆en , e6=∅
e⊆en , j∈e e6=∅
lim kDν f − Dν fh k∞,G = 0. hj →0, j∈e
Так как Dν fh непрерывна на G, сходимость в L∞ (G) совпадает в данном случае с равномерной сходимостью и, следовательно, Dν f непрерывна на G. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть область G, векторы p, q, ν, κ и параметры τ1 , τ2 удоl влетворяют условиям теоремы 1 и f ∈ Sp,a,κ,τ W (G). Если εj > 0 (j ∈ en ), то производная Dν f удовлетворяет на G в метрике Lq условию Г¨ельдера с показателем βj1 , точнее Y 1 k(t, G)Dν f kq,G ≤ Ckf kSp,a,κ,τ |tj |βj , (36) l W (G) j∈en
где βj1 (j ∈ en ) — любое 1 0 ≤ βj ≤ 1, 0 ≤ βj1 < 1, 0 ≤ βj1 ≤ εj ,
число, удовлетворяющее неравенствам: если εj > 1 пpи j ∈ e, если εj = 1 при j ∈ e и 0 ≤ βj1 ≤ 1 при j ∈ e0 ,
(37)
если εj < 1 пpи j ∈ e.
Если εj,0 > 0 (j ∈ en ), то sup |(t, G)Dν f | ≤ Ckf kSp,a,κ,τ l
x∈G
Y
W (G) 1 j∈en
1
|tj |βj,0 ,
(38)
624
А. М. Наджафов
1 где βj,0 удовлетворяют тем же условиям, что βj1 , но с заменой εj на εj,0 . Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1, мы можем в даль¯ Пусть t — n-мерный вектор. Согласно лемнейшем заменить вектор κ на κ. ме 8.6 в [3, с. 102] существует область Gσ ⊂ G (σ = (σ1 , . . . , σn ), σj = ξj r(x), ξj > 0, r(x) = dist(x, ∂G), x ∈ G). Предположим, что |tj | < σj (j ∈ en ). Тогда для любых x ∈ Gσ отрезок, соединяющий точки x и x + t, содержится в G. Для всех точек этого отрезка справедливо тождество (9) с одними и теми же ядрами. После несложных преобразований имеем e
X Y
|(t, G)Dν f | ≤ C1
−1−νj hj
e
Z|t1 | Z|tn |Y ···
e⊆en j∈e0
0
dvj 2+νj −lj j∈e vj
0
Z 0 (ν) y ρ(v e + he , x) 0 e e0 |(t, G)Dle f (x + y)| dy , , ρ (v + h , x) × Me 0 0 v e + he v e + he Rn e
X Y
Y
−2−νj
hj
+ C2 e⊆en j∈e0
e
Zh1 Zhn Y |tj | · · ·
j∈en
|te1 |
|ten |
dvj 3+νj −lj j∈e vj
Z 0 (ν+1) y ρ(v e + he , x) 0 e e0 , ρ (v + h , x) × Me 0 , 0 e e e e v +h v +h Rn
Z1 e
|Dl f (x + y + t1 u1 + · · · + tn un )| dudy
× 0
X
Aet (x, t) + C2
= C1 e⊆en
X
Aet,h (x, t),
(39)
e⊆en
где 0 < h ≤ min(1, h0 ). Считаем также, что |tj | < hj (j ∈ en ) и, следовательно, |tj | < min(σj , hj ) (j ∈ en ). Если x ∈ G\Gσ , то по определению (t, G)Dν f (x) = 0. На основании (39) k(t, G)Dν f kq,G = k(t, G)Dν f kq,Gσ X X
Aet (·, t)
Aeth (·, t) ≤ C1 + C . (40) 2 q,Gσ q,Gσ e⊆en
e⊆en
С помощью неравенства (12) при U = G, ηj = |tj | (j ∈ en ), γ → ∞ имеем Y
e e
At ≤ C1 kDl f kp,a,κ,τ |tj |εj , ¯ ;G q,G σ
(41)
j∈e
а согласно неравенству (13) при U = G, ηj = |tj | (j ∈ en ), γ → ∞ — Y Y
e e
Ath ≤ C2 kDl f kp,a,κ,∞;G |tj | |tj |εj −1 ¯ q,Gσ le
Y
≤ C3 kD f kp,a,κ,∞;G ¯
Y |tj |
j∈e0
j∈e0 βj
|tj | j∈e
j∈e e
= C3 kDl f kp,a,κ,τ ¯ ;G
Y
Y |tj |
j∈e0
j∈e
1
|tj |βj ,
(42)
Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева — Морри
625
где βj1 > βj (j ∈ en ) и βj1 — число, удовлетворяющее неравенствам (37). Из неравенств (40)–(42) вытекает, что Y 1 |tj |βj . k(t, G)Dν f kq,G ≤ Ckf kSp,a, l W (G) κ,τ ¯ j∈e
Предположим теперь, что |tj | ≥ min(σj , hj ) для всех j ∈ en . Тогда Y 1 k(t, G)Dν f kq,G ≤ 2kDν f kq,G ≤ C(σ, h)kDν f kq,G |tj |βj . j∈en
Оценивая kDν f kq,G с помощью неравенства (32), и в этом случае получаем требуемое неравенство. Теорема доказана. Статья обсуждена и одобpена на заседаниях семинаpа отдела математического анализа Института математики и механики НАН Азербайджана под pуководством академика А. Д. Гаджиева. Автоp также выpажает глубокую благодаpность пpофессорам А. Д. Джабpаилову и В. С. Гулиеву за ценные замечания по работе. ЛИТЕРАТУРА 1. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Г¨ ельдера // Сиб. мат. журн.. 1963. Т. 4, № 6. С. 1342–1364. 2. Джабраилов А. Д. Семейства пространств функций, смешанные производные которых удовлетворяют кратному интегральному условию Г¨ ельдера // Тр. МИАН СССР. 1972. Т. 117. С. 139–158. 3. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 4. Наджафов А. М. Пространства с параметрами функций со смешанной производной. Деп. АзНИИНТИ. 1987. N 680. 30 с. Статья поступила 30 марта 2005 г. Наджафов Алик Малик оглы Азербайджанский архитектурно-строительный университет, кафедра высшей математики, ул. А. Султанова 5, Баку AZ 1073, Азербайджан
[email protected]
