Макроскопические свойства микронеоднородных материалов: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М акроскоп и чески е свойствами кронеоднородных матери алов

Пособи е п о сп ец и аль ности 010500-М ехани каи нап равлени ю 510300-М ехани ка

В оронеж -2004

2

У тверж дено научно-методи чески м советом ф акультета п ри кладной математи ки , и нф ормати ки и механи ки 20.05.2004 г., п ротокол№ 7 .

Состави тели : И вани щ еваО .И ., Семыки наТ .Д ., Щ егловаЮ .Д . Пособи е п одготовлено накаф едре теорети ческой и п ри кладной механи ки ф акультетаПМ М В оронеж ского государственного уни верси тета. Рекомендуется для студентови маги стров4, 5 курсовф акультетаПМ М п о курсу «К омп оз и ц и онные матери алы»

3

Содерж ани е 1. И сследовани е стати сти чески х характери сти к случайного п оля модулей уп ругости многокомп онентных матери алов...........................................… … ....3 2. Проекти ровани е двухкомп онентного слои стого матери аласи з отроп ными слоями наоснове точного реш ени я..........................................................… … ... 5 3. М акроскоп и чески й тенз ор коэф ф и ц и ентовтеп лоп роводности слои стого матери алавкорреляц и онном п ри бли ж ени и ............................................… … .. 8 4. Построени е з ави си мости макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности п ространственно неоднородного комп оз и ц и онного матери алаот характери сти к комп онентовнаоснове корреляц и онного п ри бли ж ени я...............................................................................................… … ..13 Л и тература...................................................................................................… … ..14 В п особи и рассматри вается вари ант стати сти ческого п одходак оп и сани ю структурной неоднородности комп оз и ц и онных матери алов. Ф орми руется алгори тм п остроени я макроскоп и чески х характери сти к на п ри мере з адачи теп лоп роводности . Предлагается методи ка п роведени я чи сленного эксп ери мента для и сследовани я макрохарактери сти к многокомп онентного матери ала. Предлож енный п еречень лабораторных работ соп ровож дается п ри мерами , методи чески ми указанями и вари антами з адани й. К омби ни ровани е разли чных вещ еств остается сегодня одни м и з основных сп особов соз дани я новых матери алов. Больш и нство современных конструкц и онных матери алов п редставляет собой комп оз и ц и и , которые п оз воляю т техни чески м и з дели ям обладать оп ределенным сочетани ям эксп луатац и онных свойств. При этом совместная работа разнородных матери алов дает эф ф ект, равноси ль ный соз дани ю нового матери ала, свойства которого и коли чественно и качественно отли чаю тся от свойствкаж дого и з его составляю щ и х. О дной и з важ ных п роблем в и з учени и свойств комп оз и ц и онных матери алов является з адачао нахож дени и макроскоп и чески х п остоянных. В ней п редп олагаю тся и з вестными ф и з и ко-механи чески е свойствакомп онентов, и х объемные конц ентрац и и , ви д арми ровани я. Т ребуется оп редели ть свойства комп оз и тавц елом. Н и ж е рассматри ваю тся макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты уп ругости и теп лоп роводности матери алов разли чной структуры, п олученные на основе стохасти ческой модели матери ала. 1. Л а бора т орн а я ра бот а № 1. И сследовани е стати сти чески х характери сти к случайного п оля модулей уп ругости многокомп онентныхматери алов. З а да ние Д ля двухкомп онентного матери алас з аданными модулями Ю нга E1 , E2 и конц ентрац и ями комп онентов c1 , c 2 и сследовать з ави си мость математи ческого ож и дани я

E

и ц ентрального одноточечного момента второго п орядка

E 0 ⋅ E 0 случайного п оля E от характери сти к и конц ентрац и й комп онент.

4

П ор я док вы полне ния . 1.При

рассмотрени и

E , E0 ⋅ E0

стати сти чески х характери сти к

восп ольз овать ся следую щ и м. В ыраж ени е для одноточечной п лотности расп ределени я п остоянных уп ругости λijαβ двухкомп онентного матери алаи меет ви д

f ( λ ijαβ ) = ∑ c m δ ( λ ijαβ −λ (m )ijαβ ) 2

m =1

Здесь

.

(1.1)

V C m = m - конц ентра ц и я комп онентов, V λ( 1 ) ijαβ , λ( 2 ) ijαβ -тенз оры модулей уп ругости составляю щ и х,

δ ( x ) - дельтаф ункц и я Д и рака.

М атемати ческое ож и дани е λ ijαβ

оп ределяется следую щ и м образом

+∞

(

)

λ ijαβ = ∫ λ ijαβ ⋅ f λ ijαβ ⋅ dλ ijαβ . И ли сучетом (1.1)

−∞

2

λ ijαβ = ∑ c m ⋅ λ( m ) ijαβ m =1

.

(1.2)

Д ля ди сп ерси и тенз орауп руги хмодулей сп раведли во соотнош ени е +∞

(

λ0ij αβ ⋅ λ0ijαβ = ∫ λijαβ − λ ijαβ −∞

) ⋅ f (λ 2

ijαβ

) ⋅ dλijαβ ,

которое сучетом (1.1) п ри ни мает ви д ) λ0ijαβ ⋅ λ0ijαβ = c1 ⋅ c 2 ⋅ ( λ(ij1αβ − λ(ij2αβ) )2 .

(1.3)

2. При вести соотнош ени я (1.1.)- (1.3) к без ра з мерному ви ду, введя п еременные 0 0 E ⋅ E E E ) ˆE = , D , c = c1 , c 2 = 1 − c . e = 2 , Eˆ = 2 E1 E1 (E 1) 3. Получи ть и и сследовать следую щ и е з ави си мости ˆ) = Eˆ) (e , c ) ; 1) E

ˆE = D ˆ E ( e,c ) . 2) D 4. Полученные вп .3 з ави си мости п редстави ть вграф и ческой ф орме.

5

5. В а р иа нт ы за да ний:

ˆ) = Eˆ) (e , c ) , D ˆE = D ˆ E ( e,c ) ; 1) Построи ть п оверхности E 2) Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые e = h ⋅ i , i = 0 ,1,2 ,...5 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k 3) 4) 5) 6) 7)

) ) Eˆ = Eˆ (c ) п ри = 0.1 ˆE = D ˆ E ( c ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые D e = h ⋅ i , i = 0 ,1,2 ,...5 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆ) = Eˆ) (c ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые E e = h ⋅ i ,i = 5 ,6 ,..10 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆE = D ˆ E ( c ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые D e = h ⋅ i ,i = 5 ,6 ,..10 , h = 0.2 c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆ) = Eˆ) (e ) п ри Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые E e = h ⋅ i ,i = 0 ,1,2 ,...,10 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1 ˆE = D ˆE ( e ) Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые D п ри e = h ⋅ i ,i = 0 ,1,2 ,...,10 , h = 0.2 ; c = j ⋅ k , j = 0 ,1,2 ,...,10 , k = 0.1

6. От ве т ит ь на сле дующ ие вопр осы : ˆ) = Eˆ) (e , c ) п ри e ∈ [0 ;1] и e > 1 ? 1) Ч ем отли чаю тся з ави си мости E

)

ˆ? 2) К аковы грани ц ы воз мож ныхз начени й E 7. Сп роекти ровать вари анты комп оз и ц и онных матери алов с з аданными ˆ) . з начени ями E ˆE = D ˆ E ( e,c ) . 8. Рассмотреть п .п .5,6 для D 2. Л а бора т орн а я ра бот а № 2. Проекти ровани е двухкомп онентного слои стого матери ала с и з отроп ными слоями с з аданными макроскоп и чески ми п остоянными теп лоп роводности на основе т очного р е ше ния . З а да ние . Рассмотреть двухкомп онентный слои стый матери алс и з отроп ными (i) слоями , коэф ф и ц и енты теп лоп роводности a ( i = 1,2 ) и конц ентрац и и c ,1 − c которых счи тать з аданными . И сследовать з ави си мость комп онент a1∗ и a3∗ макроскоп и ческого тензора коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности от характери сти к комп онент и и х конц ентрац и й. Здесь a1∗ , a3∗ - макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты теп лоп роводности вдоль слоев и в п оп еречном нап равлени и соответственно.

6

П ор я док вы полне ния . 1.В осп ольз овать ся следую щ и ми соображ ени ями . Т ак как слои стый матери алсоставлен и з и з отроп ных слоев, т.е. в каж дой точке тензор a jk и меет ви д a jk = a ⋅ δ jk , то макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты теп лоп роводности вдоль слоев и в п оп еречном нап равлени и −1 будут соответственноa1∗ = a , a 3∗ = 1 / a . Д ля матери алов, и мею щ и х (i ) объемные конц ентрац и и и коэф ф и ц и енты теп лоп роводности слоев ci , a , одноточечная п лотность расп ределени я оп ределяется соотнош ени ем n f 1 ( x ) = ∑ ci ⋅ δ ( a − a ( i ) ) , где n -чи сло слоев с разли чными свойствами . i =1 Поэтому стати сти чески е средни е и мею т ви д n n c a = ∑ ci ⋅ a ( i ) , 1 / a = ∑ i . Т еп ерь точное реш ени е з адачи о i =1 i =1 a (i ) нахож дени и макроскоп и чески х п остоянных теп лоп роводности двухкомп онентного слои стого матери аласи з отроп ными слоями п ри ни мает ви д

a1∗

= a

∗ ;a j

= a −

c1 ⋅ c 2 ⋅ ( a ( 3 ) ) 2

a + (c 2 − c1 ) ⋅ a

(3)

(2.1)

a( 3 ) = a( 1 ) − a( 2 ) . 2.В ырази ть a через a

(i)

, i = 1,2 и c ,1 − c сп омощ ь ю соотнош ени я n

a = ∫ a ⋅ f 1 ( a ) ⋅ da ⇒ a = ∑ ci ⋅ a ( i ) , i =1

(2.2)

3. При вести (2.1) к без размерному ви ду. Д ля этого сделать следую щ ее: (1) ; 1) раздели ть обе части каж дого и з соотнош ени й(2.1) наa ∗ ( 1 ) ∗ ∗ ∗ 2) ввести п еременные a1 / a = a1 , a 3 / a ( 1 ) = a 3∗∗ , a( 2 ) / a( 1 ) = k ; 3) сф ормули ровать з ави си мости (2.1) в новых п еременных, т.е. установи ть ви д ф ункц и й a1∗∗ = a1∗∗ ( k ,c ) , a 3∗∗ = a3∗∗ ( k / c ) . 4. Получи ть граф и ческую ф орму з ави си мостей и з п .3): : 1) Построи ть и и сследовать п оверхности a1∗∗ = a1∗∗ ( k ,c ) a 3∗∗ = a3∗∗ ( k / c ) ;

7

∗∗ ∗∗ 2) Построи ть в одной коорди натной п лоскости кри вые a1 = a1 ( c ) для двухслучаев • 0
a1(с ,0.2) a1( c , 0.2 ) а 3(с a3( ,0.2) c , 0.2 )

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.2

0 0 0

0.1

0.2

0.3

Ри с.4.2.1.

0.4

0.5 c

0.6

0.7

0.8

0.9 1

8

Н а ри с.4.2.2. п редставлены кри вые з ави си мости комп оненты a 3 макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности слои стого двухкомп онентного комп оз и ц и онного матери ала от без размерной характери сти ки k п ри разли чных з начени ях конц ентрац и и c . В се кри вые и мею т монотонный характер. При k ∈ (0 ,1) сущ ествует некоторое з начени е, п ри котором разбросмеж ду вели чи нами коэф ф и ц и ентатеп лоп роводности

а 3(к ,0.2)

а 3(к ,0.4)

2.0 1.8

1.923 1.8

1.6

1.6

1.4

1.4

a3t ( k , 0.2 )

1.2

1.2

a3t ( k , 0.4 )

а 3(к ,0.6)

а 3(к ,0.8)

1

a3t ( k , 0.6 )

1

a3t 0.8( k , 0.8 )

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0.0

0 0 0

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.25 k

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.52.50

Ри с.4.2.2. К ри вые з ави си мости комп оненты a 3 макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности слои стого двухкомп онентного комп оз и ц и онного матери ала от без размернойхарактери сти ки k . Прерыви стая ли ни я соответствует составляю щ ей тенз ора коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности вдоль слоев, сп лош ная ли ни я – составляю щ ей в п оп еречном нап равлени и . 3. Л а бора т орн а я ра бот а № 3. М акроскоп и чески й тенз ор коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности слои стого матери ала(корреляц и онное п ри бли ж ени е). З а да ние . И сследовать макроскоп и чески е характери сти ки тенз ора коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности двухкомп онентного слои стого матери алас и з отроп ными слоями , п олученные вкорреляц и онном п ри бли ж ени и . П ор я док вы полне ния . 1.В осп ольз овать ся п ри бли ж енным методом реш ени я з адачи . Д ля комп оз и ц и онных матери алов, состоящ и х и з и з отроп ных комп онентов,

9

выраж ени я для математи ческого ож и дани я комп онент векторап отокатеп лаи уравнени е теп лоп роводности относи тельно ф луктуац и й темп ературы и мею т ви д

q j = − a ⋅ Θ , j − a 0 ⋅Θ , j a ⋅ Θ ,0kk = −( a 0 ( Θ ,k + Θ ,0k )),k .

(3.1)

В ведем корреляц и онные ф ункц и и

Θ 0 ( x + y ) ⋅ a 0 ( x ) = S( y ) a0( x + y )⋅ a0( x ) = K( y ) ,

(3.2)

которые в си лу однородности рассматри ваемых случайных п олей з ави сят только от разности коорди нат двух точек y . Первое и з уравнени й (3.1) п ри этом мож но з ап и сать вви де

q j = − a ⋅ Θ , j − S ij ( 0 ).

(3.3)

У множ и м второе и з уравнени й (3.1), вз ятое в точке x , на x ( x + y ) и 0

п роведем стати сти ческое осреднени е. Пренебрегая моментами треть его п орядка, т.е. ограни чи ваясь корреляц и онным п ри бли ж ени ем, п олучаем ди ф ф еренц и альное уравнени е относи тельно ф ункц и и S ( y )

a ⋅ S ,kk = − K ,kk ⋅ Θ ,k

(3.4)

Поскольку корреляц и онные связ и меж ду рассматри ваемыми случайными ф ункц и ями , вз ятыми в разли чных точках, убываю т с увели чени ем расстояни я меж ду ни ми , то ф ункц и и S ( x ), K ( x ) → 0 п ри x → ∞ . Т аки м образом, для оп ределени я макроскоп и чески х коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности необходи мо найти реш ени е уравнени я (3.4) п ри нулевых услови ях набесконечности и п одстави ть его в(3.3). В случае слои стой структуры матери ала, когда коэф ф и ц и ент теп лоп роводности является случайной ф ункц и ей одной п еременной, корреляц и онные ф ункц и и S ( x ), K ( x ) будут з ави сеть толь ко от коорди наты y 3 . В ыраж ени е (3.3) п ри мет ви д

q j = − a Θ , j − S ,3 ( 0 ) ⋅ δ j 3 ,

(3.5)

ади ф ф еренц и альное уравнени е (3.4) станови тся обыкновенным

a S ,33 = − K ,3 Θ ,3 И нтегри руя его, находи м

.

(3.6)

10

S ,3 ( 0 ) = −

K( 0 ) ⋅ Θ ,3 . a

(3.7)

Т еп ерь и з (3.5), (3.7) п олучаю тся з ави си мости меж ду средни ми теп ловыми п отоками и гради ентами темп ературы

q j = − a1∗ ⋅ Θ , j ; q3 = − a1∗ ⋅ Θ ,3

( j = 1,2 ) ,

(3.8)

где макроскоп и чески е коэф ф и ц и енты теп лоп роводности и мею т ви д

a1∗ = a , a 3∗ = a − Е сли

матери ал составлен и з

K( 0 ) a

.

(3.9)

двух комп онентов с объемными (1)

(2)

, конц ентрац и ями и коэф ф и ц и ентами теп лоп роводности c1 , a ,c 2 , a соответственно, то, п ольз уясь п лотность ю расп ределени я соотнош ени ями (3.9), п олучаем

и

a1∗ = c1 a ( 1 ) + c 2 a ( 2 ) ; K ( 0 ) = c1c 2 ( a ( 1 ) − a ( 2 ) ) 2

. (3.10) Т очные реш ени я для двухкомп онентной для двухкомп онентной слои стой среды мож но п редстави ть следую щ и м образом:

a1∗ = a , a 3∗ = a −

K( 0 ) a − ( c 2 − c1 ) ⋅ a ( 3 )

.

(3.11)

Д ля этого рассмотреть математи ческое ож и дани е комп онент вектора 0 теп лового п отока q j = − a ⋅ Θ , j − a ⋅ Θ , j соотнош ени я

a1∗ = c1 a ( 1 ) + c 2 a ( 2 ) ; K ( 0 ) = c1c 2 ( a ( 1 ) − a ( 2 ) ) 2 K( 0 ) . a1∗ = a , a 3∗ = a − (3) a − ( c 2 − c1 ) ⋅ a

,

(3.12) (3.13)

1. При вести (3.12) , (3.13) к без размерному ви ду Д ля этого сделать следую щ ее:

(1); 1) раздели ть обе части каж дого и з соотнош ени й (3.13) наa 2) ввести п еременные a1∗ / a ( 1 ) = a1∗∗ , a 3∗ / a ( 1 ) = a3∗∗ , a( 2 ) / a( 1 ) = k ; 3) сф ормули ровать з ави си мости (3.13) в новых п еременных, т.е. установи ть ви д ф ункц и й a1∗∗ = a1∗∗ ( k ,c ) , a 3∗∗ = a3∗∗ ( k / c ) . 3. Получи ть граф и ческую ф орму з ави си мостей и з п .3): 1) Построи ть и и сследовать п оверхности

a1∗∗ = a1∗∗ ( k ,c )

11

a 3∗∗ = a3∗∗ ( k / c ) ; 2) Построи ть наоднойкоорди натной п лоскости кри вые a1∗∗ = a1∗∗ ( c ) для двухслучаев • 0
3)Построи ть наодной коорди натной п лоскости кри вые, a 3∗∗ = a 3∗∗( c ) для двухслучаев

• 0
а 3т (с ,0.5)

1

a3t( c , 0.2 ) a3k( c , 0.2 )

0.7 0.6 0.5 0.4

а 3к (с ,0.5)

0.3

0.5

0.2 0.1

0.065

0 0 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 c

0.5 с

0.6

0.7

0.8

0.9 1

1

Ри с.4.3.1. Прерыви стая кри вая соответствует точному реш ени ю , сп лош ная ли ни я п редставляет рез ультат корреляц и онного п ри бли ж ени я.

12

1

1 0.94 0.88 0.82

а 3т (с ,0.2)

a3t( c, 0.5) 0.76

0.50.7 a3k( c, 0.5) а 3к (с ,0.2) 0.64 0.58 0.52 0.46

0

0.4 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ри с. 4.3.2. А нали з п оказывает, что п ри оди наковых з начени ях конц ентрац и и комп онент реш ени я совп адаю т. При c ∈ (0 ,0.5 ) корреляц и онное п ри бли ж ени е дает з ани ж енные з начени я комп оненты тенз ора коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности , п ри c ∈ (0.5 ,1.0 ) - з авыш енные (п ри з аданном з начени и k ). Сравнени е кри вых нари с. 4.3.1. и 4.3.2. п оказывает, что разли чи е меж ду точным и п ри бли ж енным реш ени ями стреми тся к нулю п ри умень ш ени и разбросамеж ду з начени ями комп онент 4.Л а бора т орн а я ра бот а № 4. Построени е з ави си мости макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности п ространственно неоднородного комп оз и ц и онного матери алаот характери сти к комп онентов на основе кор р е ля ционного пр иближ е ния . З а да ние . Рассмотреть случай матери алов з ерни стой структуры и ли арми рованных и скри вленными и ли разнонап равленными волокнами . К оли чество комп онентов равно двум. Построи ть з ави си мость макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности от конц ентрац и и и характери сти к комп онентов. П ор я док вы полне ния . 1.Рассмотреть общ и й случай п ространственной неоднородности коэф ф и ц и ента теп лоп роводности , восп ольз овавш и сь п редп олож ени ем о хаоти ческом характере ори ентац и и з ерен и волокон. Т огда случайное п оле

13

коэф ф и ц и ентов теп лоп роводности будет стати сти чески и з отроп ным и его корреляц и онная ф ункц и я з ави сеть только от расстояни я меж ду точками , а макроскоп и чески й тенз ор коэф ф и ц и ентовтеп лоп роводности мож но оп ределять соотнош ени ем

a∗ = a −

K( 0 ) , 3⋅ a

(4.1)

a = c1 a ( 1 ) + c 2 a ( 2 ) ; K ( 0 ) = c1 c 2 ( a ( 1 ) − a ( 2 ) ) 2

.

2. При вести (4.1) к без размерному ви ду

а з (к ,0.7)

1.51.5

1.355

1.35

1.2 1.2

а 3в(к ,0.7)

1.05

a3z ( k , 0.7 )

0.9

а 3с (к ,0.7)

a3v ( k , 0.7 ) a3s ( k , 0.7 )

0.9

0.60.75 0.6

0.30.45 0.3

0 0.15 0

0 0 0

0

0.25

0.5

0.75

0.5

1.0

1

1.25 k

1.5 к

1.5

1.75

2.0

2

2.25

2.5

2.52.5

Ри с.4.4.1. К ри вые комп онент коэф ф и ц и ентатеп лоп роводности матери алов з ерни стой, волокни стой и слои стойструктуры. Д ля этого сделать следую щ ее: (1) ; • раздели ть обе части каж дого и з соотнош ени й(4.1) наa ∗ ( 1 ) = a ∗∗ a ( 2 ) / a ( 1 ) = k • ввести п еременные a / a , ; сф ормули ровать з ави си мости (4.1) в новых п еременных, т.е. установи ть ви д ∗∗ = a ∗∗ ( k , c ) ф ункц и й a ; 3.Построи ть и и сследовать п оверхность

a ∗∗ = a ∗∗ ( k ,c ) ;

14

4.В рез ультате ви з уального анали з аответи ть наследую щ и е воп росы: ∗∗ ∗∗ ♦ мож но ли указать точки ( k ,c ) , вкоторыхф ункц и я a = a ( k ,c ) дости гает макси мума(ми ни мума) ? ♦ сравни вз начени я макроскоп и ческого коэф ф и ц и ентатеп лоп роводности двухкомп онентных комп оз и ц и онных матери алов, и мею щ и х оди наковый состав и разли чную структуру (з ерни стую , волокни стую , слои стую ), указать вари ант внутренней геометри и с наи больш и м з начени ем коэф ф и ц и ента теп лоп роводности ; ♦сущ ествую т ли точки ( k , c ) , вкоторыхкомп оненты тенз ора макроскоп и чески хкоэф ф и ц и ентовтеп лоп роводности матери аловразли чной структуры совп адаю т ? П р име р . Н ари с .4.4.1. п редставлены без размерные з ави си мости от п еременной k макроскоп и ческого коэф ф и ц и ента теп лоп роводности матери алов з ерни стой, волокни стой и слои стой структуры п ри c = 0.7 . Л и тература 1.Х орош ун, Л .П. В ли яни е разброса п рочности комп онентов на деф орми ровани е з ерни стого комп оз и тап ри ми кроразруш ени ях / Л .П.Х орош ун, Е .Н .Ш и кула// При кладная механи ка.-1997. - 33,№ 8.-С.39-45. 2. Стати сти ческая механи ка и эф ф екти вные свойства матери алов./ Л .П. Х орош ун., Б.П М аслов., Е .М Ш и кула., Л .В .Н азаренко :в 12 т.— К и ев:Н аук.думка,1993.-390 с. - (М ехани какомп оз и тов;Т .3) 3.Расчет и п роекти ровани е комп оз и ц и онных матери алови элементов конструкц и й/Б.Д .А нни н,А .Л .К аламкаров,А .Г.К олп аков,В .З.Партон ; О тв.ред. Ю .С.У рж умц ев;РА Н Си б. О тд-ни е.И н-т ги дроди нами ки и м.М .А .Л авренть ева.Н овоси би рск :Н аука,1993. - 253,с. Д оп олни тельная ли тература 4.Сараев , Л . А . М одели ровани е макроскоп и чески х п ласти чески х свойств многокомп онентных комп оз и ц и онных матери алов./Л .А .Сараев;Самар.гос.ун-т. - Самара:Самар.ун-т,2000. - 181 с. 5.В и дельман , В .Э. М ехани канеуп ругого деф орми ровани я и разруш ени я комп оз и ц и онных матери алов/ В .Э.В и дельман,Ю .В .Соколки н,А .А .Т аш ни ков; Под.ред.Ю .В .Соколки на.-М .:Н аука;Ф и з матги з ,1997.-288 с.

15

Состави тели : И вани щ еваО льгаИ вановна, Семыки наТ ать янаД ми три евна, Щ егловаЮ ли я Д ми три евна Редактор Т и хоми роваО .А .