素粒子標準理論と実験的基礎 (朝倉物理学大系)

編集 荒船次郎 東京大学名誉教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村 孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学名誉教授

は

じ

め

に

  1967年 に 提 案 さ れ た統 一 ゲ ー ジ理 論 は 非 常 な成 功 をお さめ,わ

れわれ の知

りう るす べ て の 素 粒 子 現 象 を少 な く と も原 理 的 に は 説 明 で き る.そ の 根 幹 を な す 基 礎 概 念 は素 粒 子 論 を越 え て,宇 宙 論,原 子 核 理 論 や 物 性 理 論 に まで 広 が り つ つ あ る.本 書 は,素 粒 子 標 準 理 論 の 概 要 と実 験 的 基 礎 に つ いて の解 説 書 で あ り,読 者 と して は素 粒 子 現 象 を本格 的 に学 ぼ う とす る大 学 院 学 生 も し くは研 究 者 を対 象 とす る.本 書 で は ゲー ジ理 論 の 重 要 な テ ー マ につ い て の 実 験 的検 証 に 力 点 を置 い た が,各

テ ー マ に つ い て 重 要 な概 念 や 式 は 第1原 理(ラ グ ラ ン ジア

ン)か ら 導 い て あ り,教 科 書 と して 使 え る よ う配 慮 し た.本

シ リー ズ 第3巻

『 素 粒 子 物 理 学 の 基礎Ⅰ 』 程 度 の 学 習 レベ ル(場 の 量 子 論 の 基 礎 的 知 識)が あ れ ば,本

書 に現 れ る式 は 高 次 効 果 は別 と して 自分 で 導 け る.ま た,他

の本 を参 照

せ ず と も本 書 の 中 で話 が 閉 じる よ うに 整 合 性 を もたせ た.   本 書 で 扱 う現 象 は,統

一 ゲー ジ理 論 が提 案 さ れ て か ら発 見 さ れ た新 現 象 で,

標 準 理 論 と して確 立 す る ため に 直接 検 証 を必 要 と した テー マ で あ る.標 準 理 論 以 前 の 現 象 や,新 は,す

で に 第4巻

現 象 で あ っ て も以 前 の"古 典 的 素 粒 子 論"で

説 明 で き る現 象

『素 粒 子 物 理 学 の 基礎Ⅱ 』 で と りあ げ た.

  本 書 の 構 成 は 次 の 通 りで あ る.第1章

の 導 入 の 後,第2章

で ゲ ー ジ理 論 の ラ

グ ラ ン ジア ン を構 築 す る.本 書 の最 も重要 な 部 分 で あ るが,非 常 に 抽 象 的 で数 学 的 な ゲ ー ジ理 論 の 概 念 を,読 者 が 直観 的 か つ 物 理 的 な イ メー ジ を描 け る よ う 重 力 の 幾 何 学 的 解 釈 と対 比 し な が ら説 明 す る.電 弱 統 一 のGWS(グ -ワ イ ンバ ー グ-サ ラ ム)理 論 に つ い て は,第4章,第6章 とW,Z粒

で 中性 カ レ ン ト現 象

子 の 発 見 で理 論 と して 確 立 して ゆ く過 程 を 描 き,第7章

ン生 成 崩 壊 過 程 で 高 次 効 果 を含 め てGWS理

ラ シ ョウ

のZボ

ソ

論 が デ ー タ を完 壁 に再 現 し う る こ

と,精 密 デー タの 中 に標 準 理 論 以 外 の効 果 が 入 る余 地 が ほ とん どな い こ とを示 す.   強 い 相 互 作 用 の 理 論 で あ るQCDに

関 し て は,ま

ず 第5章

でQCDの

基本を

習 得 す る.漸 近 自由 と繰 り込 み 群 方 程 式 とい う重 要 概 念 を解 説 し,発 展 方 程 式 を 立 て て 深 非 弾 性 散 乱 を記 述 す る.次 に ジ ェ ッ トが パ ー トン(ク ォー ク と グ ル ー オ ン)の ハ ドロ ン化 した もの で あ る こ と,ジ ェ ッ ト現 象 がQCDの に従 う様 子 を 第8,9章 QCDの

処 方箋

で解 説 し,最 後 を トップ クォ ー ク発 見 で締 め く く る.

前 準 備 と して 第3章

パ ー トン モ デ ル を挿 入 し た.理 由 は実 験 で は 単 独

の クォ ー ク を扱 え な い の で,ク

ォー ク複 合 体 の核 子 を標 的 とす る実 験 デ ー タ を

パ ー トン 現 象 に翻 訳 す る ため の 枠 組 み を必 要 とす るか らで あ る.既 刊 の 『素 粒 子 物 理 学 の 基 礎Ⅰ・Ⅱ 』(本 書 で は ま とめ てⅠ と引 用 す る)で 解 説 ず み で あ る が,本 書 の 中 で 議 論 を閉 じる た め に 含 め た.す で に 学 習 ず み の 読 者 は 第3章

を

ス キ ップ して よ い.   全 体 の 構 成 と して は,中 性カ レ ン ト,W,Zの QCDと

電 弱 現 象 を ま とめ て 「上 」,

ジ ェ ッ ト現 象 を ま とめ て 「下 」 と し て 分 離 す る 方 が す っ き りす る が,

Wボ ソン が 実 験 的 に はハ ドロン 現 象 の 中 で扱 わ れ る こ とが 多 い た め,QCD解 説 をWボ

ソ ン の前 に 置 い た.た だ し,W現

多 くは な い の で,そ

象 の 理 解 に 必 要 なQCDの

知 識は

こ に こだ わ ら な け れ ば,本 書 を 電 弱 理 論 部 分 とQCD部

分

とに 分 離 して使 うこ と も可 能 で あ る.学 習 目的 に 応 じて適 当 に 取 捨 選 択 して い た だ け れ ば 幸 い で あ る.   本 書 は,重

い クォ ー ク の 崩 壊 現 象 や い わ ゆ る柔ら か い過 程 な ど,QCD非

動 効 果 の 入 る現 象 は 取 り扱 い 範 囲 外 と した.非 摂 動 的QCDは,イ ン効 果 な ど新 し い概 念 を含 み,こ 現 時 点 で は格 子 ゲ ー ジ理 論,カ

摂

ンス タン ト

れ か ら発 展 の 見 込 め る重 要 な分 野 で あ るが,

イ ラ ル 摂 動 論 な ど を使 っ て現 象 論 的 に扱 わ ざ る

を えず,標 準 理 論 の 検 証 対 象 とい う よ りは,標 準 理 論 を前 提 とす る研 究 分 野 で あ る とい う理 由 に よ る.標 準 理 論 の 範 囲 内 で あ っ て も,小 林-益 川 モ デ ル と ヒ ッ グ ス粒 子 は,実 験 の結 果 次 第 で は 標 準 理 論 を越 え る可 能 性 が あ り,明 らか に標 準 理 論 を越 え る現 象 と と も に,現 代 高エ ネ ル ギー 物 理 学 の最 先 端 分 野 に位 置 す る の で,『 高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の 発 展 』 と して巻 を改 め て 解 説 す る予 定 で あ る.

  本 書 を書 き始 め た段 階 で は,標 準 理 論 は確 立 は して い た もの の精 密 デ ー タは 集 積 途 上 で あ り,解 説 書 と し て は 数 年 で 時 代 遅 れ に な る危 険 性 を秘 め て い た. 幸 い に して精 密 デ ー タ は こ こ数 年 で 出 つ く し,学 界 の 動 向 は今 で は検 証 よ りは む し ろ標 準 理 論 か らの 差 異 を 追 求 し,新 物 理 を模 索 す る方 向 に 向 か っ て い る. 本 書 に 収 録 した トピ ッ クは,デ ー タの 小 さ な精 密 化 は これ か ら も続 くで あ ろ う が,検 証 に は十 分 な 量 と精 度 をす で に 出 し,理 論 的 に も定 着 し た分 野 に 属 す る.し たが っ て 本 書 が 解 説 書 と して 時代 遅 れ に な る こ とは な い で あ ろ う と楽 観 して い る.再 校 の段 階 で大 幅 に 改 訂 し た ため,編

集部 に は ご迷 惑 をお か け した

が,お か げ で整 合 性 の あ る教 科 書 に仕 上 げ ら れ た と 自負 して い る.   終 わ りに,本 書 を執 筆 す る機 会 を与 え て 下 さっ た 編 者 の 荒 船 次 郎 氏 と江 沢 洋 氏 に 感 謝 す る.特 に荒 船 氏 に は全 編 を通 して詳 細 に査 読 し て い た だ き,い

ろ

い ろ コ メ ン トをい た だ い た .し か し,本 書 の 不 備 な 点 に つ いて の一 切 の 責 任 は 筆 者 に あ る.読 者 に ご迷 惑 をか け な い よ う祈 る ば か りで あ る.ま た,こ の 執 筆 の た め 私 の研 究 室 ス タ ッフ 学 生 諸 氏 に は い ろ い ろ ご協 力 を い た だ い た.こ

の場

を借 りて感 謝 の 意 を表 させ て い た だ く.最 後 に,本 書 の 刊 行 に 向 け ご面 倒 をお か け した朝 倉 書 店 の 方 々 に 感 謝 の意 を表 す る. 1999年2月 大坂にて   筆

者

目

1  序

次

論

 1

  1.1  標 準 理 論 

1

  1.2 

クォ ー ク と レプ トン

  1.3 

クォ ー ク と レプ トンの サ イ ズ

 5

  1.4 

クォ ー ク モ デ ル と カ ラー 自由 度

  7

  1.4.1 

ク ォー クモ デ ル

  1.4.2 

カ ラー 自由 度

  1.4.3 

閉

2  ゲ

ー

ジ 理

 2

  7  9

じ 込 め

 10

論

 15

  2.1  歴 史 的 背 景

  15

  2.2  ゲ ー ジ理 論 の 幾 何 学 的 解 釈

 18

  2.2.1 

ゲ ー ジ原 理

 18

  2.2.2 

内 部 空 間

  21

  2.2.3 

ゲ ー ジ場 の幾 何 学 的 解 釈

  26

  2.2.4 

等 価 原 理 と共 変 微 分

  30

  2.3  ア ハ ロ ノ フ-ボ ー ム 効 果   2.4  ヤ ン-ミ ル ズ 場(非

  34

可 換 ゲ ー ジ 場) 

37

  2.5  隠 さ れ た 対 称 性     2.5.1 

自発 的 対 称 性 の 破 れ

  2.5.2 

相転移 の定式化

  2.5.3 

南 部-ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン

  2.5.4 

ヒ ッグ ス機 構

44   44   45   46  

48

  2.6  繰 り込 み と ゲ ー ジ 不 変 性

  52

  2.6.1 

中 性 ボ ソ ン の役 割

 52

  2.6.2 

繰 り込 み に お け る ヒ ッ グ ス の 役 割

  54

  2.7  GWS理

論

  55

  2.7.1 

SU(2)×U(1) 

55

  2.7.2 

フ ェ ル ミオ ン の 質 量 項

  2.7.3 

ワ イ ンバ ー グ角

 59

  2.7.4 

W,Zの

 60

  57

質 量

  2.7.5  GWS理

論の特徴

3  パ ー トン モ デ ル

62

  65

  3.1  フ ェ ル ミ オ ン2体

散乱

  3.1.1 

運 動 学 と断 面 積

  3.1.2 

eμ

  3.1.3 

e+e-→

  3.1.4 

偏 極eμ 散 乱

  3.1.5 

ニ ュ ー ト リノ クォー ク散 乱

散

 

乱

  66  66   67

μ+μ-反 応 の 断 面 積

 68   70  72

  3.2  eN弾

性散 乱

 

73

  3.3  eN深

非弾性 散乱

  74

  3.4  パ ー ト ン モ デ ル

  75

  3.5  仮 想 フ ォ トン と の 反 応

  77

  3.6  ニ ュ ー ト リ ノ に よ る 深 非 弾 性 散 乱

  79

  3.7 

ドレ ル-ヤ ン 過 程

4  中 性 カ レ ン ト(GWS理

 84

論 の 検 証) 

  4.1  中 性 カ レ ン ト反 応 の 発 見

88   88

  4.2  中 性 カ レ ン ト ラ グ ラ ン ジ ア ン

  92

  4.3  ν-e散

乱

  94

  4.3.1 

運

動

学

 

  4.3.2 

断

面

積

  96

94

  4.3.3 

gV,gA,sin2θWの

 4 .4  eD散

決定

 97

乱 の非対称

 4.5 GIM機

 99

構

  104

  4.6  ハ ドロ ン に よ る 中 性 カ レ ン ト反 応   4.6.1 

断

面

  4.6.2 

ワ イ ン バ ー グ角

 4 .7 

積

  4.7.1 

e-e+→ff反

  4.7.2 

ee→ll角

  4.7.3 

c,bはSU(2)2重

  4.7.4 

ま

5  QCD(量   5.1  は

106

 

106

  109

領 域 のe-e+→ff反

応

  110

応の一般 式 分布前後 非対称

と

 

 110   112

項 か

め

  113  

118

子 色 力 学) 

120

じ め に 

120

  5.1.1 

な ぜQCDか

 120

  5.1.2 

カラー交換 力の強 さ

  5.1.3 

QCDに

  5.2  漸 近

 

お け る フ ァ イ ン マ ン規 則

121

自 由

  5.3  繰 り込 み 群 方 程 式

 125  

129

 

134

  5.3.1 

観 測 量 のQ2依

  5.3.2 

QCD高

  5.3.3 

Λ の不 定 性

 139

グル ー オ ン放 出

  141

  5.4 

存性

 134

次 補 正 と ス ケー ル依 存 性

  137

  5.4.1 

放 出 確 率

 

  5.4.2 

赤 外 発 散

  5.4.3 

対 数 第1近

似

  147

  5.4.4 

横運 動量分布

  149

 145

  5.5  発 展 方 程 式   5.5.1 

141

パ ー トン フ ラ ッ ク ス

 150  150

  5.5.2 

DGLAPの

発 展 方程 式

 

  5.6  発 展 方 程 式 の 解 法   5.6.1 

モ ー メ ン トの 方 法

  5.6.2 

数 値 解 法

157

  163  163   166

 5.7  ド レ ル-ヤ ン過 程

  172

 5.8 ハ ド ロ ン-ハ ド ロ ン 衝 突 反 応

6  Wボ   6.1 

ソ W,Zの

  175

ン 

180

発見

  180

  6.1.1 

歴 史的背景

 180

  6.1.2 

UA1実

 181

験

  6.2  崩 壊 幅 の 計 算

  185

  6.3 

  188

W,Zの

ハ ドロ ン 生 成

  6.4  ス ピ ン の 決 定   6.5 

Wの

質 量 と幅 の 決 定

  6.5.1 

質

  6.5.2 

ΓW 

  6.6  Wの

  191  193

量 

193 196

横運動 量分布

  6.6.1 

グ ル ー オ ン放 出 効 果

  6.6.2 

グルー オ ン 多重 発 生効 果

  6.6.3 

の

 197   197   200

振 る舞 い

  6.7  非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 結 合(e+e-→W+W-反

201

応) 

202

7  Zボ

ソ

  7.1  Zの

生成断面積

 208

  7.1.1 

ボル ン近 似

 208

  7.1.2 

フ ォ トン 放 射 の 影 響

  211

  7.1.3 

放 射 補 正 に よ る改 良 式

  212

  7.2  LEPの   7.2.1 

ン

 

 

実験結果 Zの

質 量 と崩 壊 幅

207

  217  

217

  7.2.2 

ニ ュー ト リ ノ の 種 類 数

  7.2.3 

レ プ トン の 前 後 非 対 称AFBl 

221

  7.2.4 

偏 極 ビ ー ム に よ る 左 右 非 対 称ALR 

222

  7.3  放 射 補 正

  223

  7.3.1 

ワ イ ン バー グ角 の 定 義 と放 射 補 正 量Δr 

  7.3.2 

ρパ ラ メ ター

  7.3.3 

ゲ ー ジ ボ ソ ンの 放 射 補 正

  7.3.4 Δrの

 220

223  226   227

評価

  235

  7.3.5 

改 良 ボ ル ン近 似

  242

  7.3.6 

ヴ ァー テ ッ ク ス補 正

  7.3.7 

MS処

  247

方 の ワ イ ンバ ー グ角

 7.4  標 準 理 論 の 彼 方

8  ジ ェ ッ トの 性 質(ジ

 250   254

ェット 現 象1) 

258

  8.1  パ ー トン と ジ ェ ッ ト  

8.1.1 

ス ケ ー リ ン グ と破 砕 関 数

 

8.1.2 

ジ ェ ッ ト変 数

 

8.1.3 

ジ ェ ッ ト変 数 の 応 用

 258   259   263   266

  8.2  ハ ドロ ン 化 モ デ ル

  270

 

8.2.1 

理 論 とデ ー タの 比 較 処 方

  270

 

8.2.2 

パ ー トン シ ャ ワー の 手 法

  272

 

8.2.3 

独立破砕 モデル

  276

 

8.2.4 

紐 モ デ ル

 

8.2.5 

ハ ド ロ ン化 モ デ ル の テ ス ト

  8.3  ジ ェ ッ トの 分 離

 

279

  282  

285

 

8.3.1 

ε,δの 方 法

  285

 

8.3.2 

ycutの 方 法

  287

  8.4 αs(Q2)の  

8.4 包

 

8.4.2 

決定法 含 反 応

ジ ェ ッ トの トポ ロ ジー か ら決 め る 方 法

 

289  289

  291

  8.4.3 

漸 近 自由 の テ ス ト

  295

  8.5  グ ル ー オ ン の 性 質 ピ

 296

  8.5.1 

ス

ン

 

  8.5.2 

ソ フ トグ ル ー オ ン と干 渉 効 果

  8.5.3 

グル ー オ ンの 自己結 合

  8.5.4 

ク ォー ク ジ ェ ッ トとの 違 い

9  高 エ ネ ル ギ ー ハ ド ロ ン 反 応(ジ

  9.3  QCDの

 298   302

ェ ッ ト現 象2) 

  9.1  大 横 運 動 量 の ジ ェ ッ ト生 成   9.2  2→2反

296

応

  306

311   312   315

理 論 と実 験 の 整 合 性

  323

 

9.3.1 

ス ケー ル依 存 性

  323

 

9.3.2 

ジ ェ ッ トサ イ ズ

  324

 

9.3.3 

パ ー トン分布 関 数

  327

  9.4  パ ー トン の 下 層 構 造 は 見 え る か? 

327

  9.5  ジ ェ ッ トの 多 重 生 成

  329

  9.6  フ ォ トン 直 接 生 成 過 程

  331

  9.7  重 い ク ォ ー ク(c,b,t)の

生 成

  333

 

9.7.1 

重 い ク ォー クの 生 成 断 面 積

  333

 

9.7.2 

重 い ク ォー ク生 成 過 程 の特 徴

  335

デ ー タ との 比 較

  336

 9.7.3    9.8 

ト ッ プ ク ォー ク

 

9.8.1 

e-e+反

応 に よ る ト ッ プ ク ォー ク 探 し

 

9.8.2 

トップ ク ォー クの 崩 壊 モー ド

 

9.8.3 

ト ッ プ ク ォー ク の 発 見

付

録

  338   338  338   340

  345

  A  単 位,記

号,計 量

  345

  B  デ ィ ラ ック 方程 式

  346

  C  断

面

積

 350

  D  回 転 と角 運 動 量

 358

  E  C,P,T変

 362

  F  SU(N)の

換性 数 学 的準 備

  G  質 量行 列 とT,CPT変

 365 換

  379

  H  フ ィー ルツ 変 換  I 

フ ァ イ ンマ ン規 則

  J  フ ェル ミオ ンル ー プ に よ る放 射 補 正 の計 算

索

引

 382   383  

388

 399

1 序

1.1  標

論

準

理

論

  現 在,素 粒 子 物 理 学 に 関 して は,標 準 理 論 と呼 ば れ る理 論 体 系 が あ り,少 な く も現 時 点 の 実 験 デ ー タ に 関 す る 限 りは 矛 盾 な く説 明 す る こ と に 成 功 し て い る.適 用 範 囲 を極 端 に 広 げ な い 限 り,理 論 的 に も首 尾 一 貫 す る 自 己矛 盾 の な い 閉 じた数 学 的体 系 で あ る.標 準 理 論 は,公 理 と もい うべ き次 の 二 つ の 前提 か ら な る.   (1)  物 質 の 究 極 構 成 要 素 と し て の 素 粒 子 は,ク これ らは,ス

ピ ン1/2を

ォー ク と レ プ トン で あ る.

もつ フ ェ ル ミオ ン で,現 在 それ ぞれ6種

類 ず つ知 られ

て い る(表1.1).   (2)  素 粒 子 間 の 力 は,ゲ ー ジ粒 子 に よ り媒 介 さ れ,そ ゲ ー ジ理 論 で あ る.標 準 理 論 の 取 り扱 う範 囲 は,強 用,弱

の数 学 的 枠 組 み は

い相 互 作 用,電

い 相 互作 用 で あ り,ゲ ー ジ粒 子 は そ れ ぞ れ グ ルー オ ン,フ

お よ びZボ

ソ ン と呼 ば れ ス ピ ン1を

もつ(表1.1).こ

磁相 互 作

ォ トン,W

の う ち,電 磁 相 互 作 用

と弱 い相 互 作 用 は統 一 され て い て 電 弱 相 互 作 用 と呼 ば れ,SU(2)×U(1)対

称

性 を もつ.電 磁 力 は電 荷 が 源 で あ り,弱 い相 互 作 用 は クォー ク と レプ トンの す べ て が もつ 弱荷(ア

イ ソス ピ ン と超 電 荷 の 組 み 合 わせ)が 源 で あ る.強 い相 互

作 用 は ク ォー ク の も つ3種 Chromo-Dynamics:略

の カ ラー 荷 を 源 と す る 場 の 量 子 論(Quantum

してQCD)に

従 い,SU(3)対

称 性 を もつ.

  電 弱 相 互 作 用 の 理 論 が 現 在 の 形 で提 案 さ れ た の は1967年 の は1970年

代 後 半 で あ る.QCDも

で あ り,確 立 し た

ほ ぼ 同 時 期 に 確 立 さ れ た.前 提(1)に

い て は,ト ム ソ ンの 電 子 発 見 以 来,100年

つ

に わ た る各 種 素 粒 子 の 発 見 と試 行 錯

誤 の 歴 史 の 積 み 重 ね が あ る が,こ で,標

れ は い わ ば 標 準 理 論 形 成 の 前 夜 史 で あ るの

準 理 論 理 解 の た め に 必 要 な概 略 を こ の章 で 述 べ て お くに とどめ る.こ の

本 の 主 題 は(2)に の 適 用,そ

あ り,第2章

以 後 で,標

表1.1 

$ mπ

準理 論 の骨格 とさまざ まな現 象へ

して精 密検 証 され て い る有 りさ ま を記 述 す る.

*

, mwは,正 確 に はmπc/h,mwc/hで Quantum Chromo -Dynamics

**

Quantum

#

Glashow-Weinberg-Salam

Electro

素 粒 子 の表

あ る.

-Dynamics

1.2  ク ォ ー ク と レ プ ト ン

  a.  ク ォ ー ク   物 質 を切 り刻 ん で い く と,物 質 を構 成 す る最 小 の単 位 に到 達 す る.こ れ を物 質(素)粒

子 と呼 ぼ う.物 質 の 性 質 を保 っ た ま ま の最 小 単 位 は 分 子 で あ る が,

分 子 は さ ら に 小 さ い 単 位 の 原 子 の 組 み 合 わ せ で で き て い る.原 る が,原

子 番 号Zと

原 子 質 量Aで

く電 子 の 雲 よ り な り,原

分 類 で き る.原

の 中 性 子(n)(ま

き さ は10-13cm×A1/3程

種 あ

子 は 原 子核 とそ れ を と りま

子 核 と電 子 は ク ー ロ ン力 に よ り 束 縛 さ れ て い る.原

の サ イ ズ は 電 子 雲 の 広 が り で 決 ま り,ほ 陽 子(p)とA-Z個

子 は100余

ぼ10-8cmで

あ る.原

と め て 核 子(N)と

度 で あ る.A個

子

子 核 はZ個

呼 ぶ)よ

の

り な り,大

の 核 子 を 原 子 核 と し て ま とめ て い る

力 は 核 力 と 呼 ば れ る 強 い 相 互 作 用 の 一 形 態 で あ る.核

力 の 担 い 手 と して π メ

ソ ン(中

年 に は フ ェル ミに よ る

間 子)が,1935年

湯 川 に よ り 提 案 さ れ た.同

弱 い 相 互 作 用 の 理 論 が 提 唱 さ れ て い る の で,現 ら 始 ま っ た と い っ て よ い で あ ろ う.原 あ る.α

子 核 は 自 然 崩 壊 に よ り相 互 転 換 が 可 能 で

崩 壊 は 強 い 相 互 作 用 で ヘ リ ウ ム の 原 子 核 を 放 出 す る 崩 壊 で あ り,γ

壊 は 電 磁 相 互 作 用 で γ線 を放 出 す る が,電 壊 は 弱 い 相 互 作 用 反 応 で あ る.加

崩

子 とニ ュー ト リノ を放 出 す る β 崩

速 器 で 高 エ ネ ル ギ ー の π メ ソ ン やKメ

が 大 量 に つ くれ る よ う に な っ て,核

子 と 反 応 さ せ る こ と に よ り,種

ン が 生 成 さ れ か つ 崩 壊 す る 過 程 を 観 測 し,強 た.ハ

代 素 粒 子 論 の歴 史 は こ の と きか

ソン

々 の ハ ドロ

い 力 と弱 い 力 の性 質 が 調 べ ら れ

ドロ ン と は 強 い 相 互 作 用 を す る 粒 子 の 総 称 で ク ォ ー ク の 複 合 体 で あ る.

半 奇 数 の ス ピ ン を もつ バ リオ ン と整 数 ス ピ ン を も つ メ ソ ン に 分 け る こ とが で き る.ク

ォ ー ク数(し

た が っ て バ リ オ ン 数 も)は

  核 子 は 陽 子 電 荷 を 単 位 と し て,電 を も つdク

保 存 さ れ る.

荷+2/3を

ォ ー ク よ り構 成 さ れ る.u,

dク

も つuク

ォ ー ク と 電 荷-1/3

ォ ー ク を結 び 付 け る の は,グ

オ ン 交 換 に よ る 色 の 力 で あ る が,他

方 に お い て,u,

(ア イ ソ ス ピ ン2重

い 相 互 作 用 に 関 与 す る.さ

項 を 構 成 し て)弱

ギ ー 加 速 器 が 発 達 し て か ら は,(c, s)と(t, b)の2組

dク

ルー

ォー ク は 対 と な っ て

の2重

らに高 エネ ル 項 が クォ ー ク の

仲 間 に 加 わ っ た.   b. 

レ プ

ト ン

  物 質 を構 成 す る 素 粒 子 で,強

い 相 互 作 用 を し な い 粒 子 を レ プ ト ン と 呼 ぶ.レ

プ ト ン は さ ら に 電 荷 を もつ 荷 電 レ プ ト ン(電

子e,ミ

プ ト ン)と

性 レ プ トン は ニ ュ ー ト リ ノ と呼 ば

れ,電

中 性 の レ プ トン に 分 け ち れ る.中

子 ニ ュ ー ト リ ノ(νe),ミ

(ντ)の3種

が あ っ て,そ

ュ ー オ ン μ,タ

ュ ー ニ ュ ー ト リ ノ(ν μ),タ

ウ(τ)レ

ウ ニ ュー ト リ ノ

れ ぞ れ 荷 電 レ プ ト ン と 対 を 組 ん で,ア

イ ソ ス ピ ン2

重 項 を構 成 して,弱

い相 互 作 用 に関 与 す る.レ プ トンは ス ピン1/2の

りレプ トン数(粒 子 に+1,反

粒 子 に-1を

粒 子であ

割 り当 て る)が 保 存 さ れ る.さ

ら

に 上 の2重 項 ご とに,独 立 に レプ トン数 が保 存 す る こ と も知 られ て お り,香 り の保 存 と呼 ば れ る.   クォ ー ク と レプ トン を一 緒 に並 べ る と,3世

代 に縦 断 で き る(表1.1).わ

れ

わ れ の 宇 宙 は 第1世 代 の み で 完 成 させ る こ とが 可 能 で あ る.宇 宙 に あ る物 質 の 99.9%以

上 が 第1世 代 の 素 粒 子 で構 成 され,第2世

で 生 成 され る の み で あ る.第2,

代 以降 は高エネ ルギー反応

3世 代 は ほ とん ど第1世 代 の コ ピー とい って

よい くら い 同 じ性 質 を も ち質 量 の み が 異 な る.な ぜ 世 代 が 存 在 し,ま た世 代 数 が3で

あ る の か は 全 く理 解 で き て い な い.

  ニ ュ ー トリ ノ は長 ら く実 験 の 測 定 範 囲 内 で 質 量 が ゼ ロ で あ っ た の で,標 準理 論 で は そ の よ う に 扱 う.し か し,最 近 スー パ ー カ ミ オ カ ン デ 実 験 に よ り, ニ ュ ー トリ ノが 質 量 を もつ こ と と香 りの 混 合 が 存 在 す る こ との 双 方 が 確 立 した の で1),実 験 デ ー タ に つ い て は す で に 一 部 標 準 理 論 の 境 界 を 越 え た こ と に な る.し か し,標 準 理 論 は ニ ュー ト リノ の 質 量 をゼ ロ と設 定 し た だ け で あ っ て, ゼ ロで あ るべ し と要 求 した わ け で は な い.実 際3個

もあ る量 子 状 態 が,す べ て

質 量 ゼ ロ状 態 で あ る とい うこ とは 量 子 力 学 の 常 識 に 照 ら し て不 自然 で あ っ て, ニ ュ ー トリ ノが 有 限 質 量 を もつ で あ ろ う こ とは大 抵 の理 論 物 理 学 者 が 予 想 して い た こ とで あ っ た.し か し,ニ ュー ト リノの 有 限質 量 は,新 物 理 が 出現 す るエ ネ ル ギー ス ケ ー ル と密 接 に 結 びつ い て い て,スー

パ ー カ ミオ カ ンデ の デ ー タが

どの よ うな意 味 を もつ か は 現 在 活発 な研 究 対 象 とな って い る.す

な わ ち,有 限

質 量 の 正 確 な位 置 づ け に つ い て は ま だ 定 説 が で きて い な い.標 準 理 論 か らの は み 出 し部 分 が あ る か ら と い っ て そ れ 以 外 の 部 分 を 無 効 に す る わ け で は な い の で,そ の テー マ に関 して は 第6巻 範 囲 に テー マ を絞 っ て解 説 す る.

で取 り上 げ る こ と と し,本 書 で は 標 準理 論 の

1.3 

ク ォ ー ク と レ プ トン の サ イ ズ

  電 子 や ミュ ー オ ン な ど荷 電 レプ トンが 大 きさ を もた な い質 点 粒 子 で あ る とい う証 拠 は,ど ん な 高 エ ネ ル ギー で あ れ,厳 密 に ラザ フ ォー ド散 乱 公 式(あ

るい

は そ の相 対 論 的 拡 張)に 従 う と い う単 純 な事 実 を 指 摘 す る の み で 十 分 で あ る が,後

の た め も う少 し定 量 化 して お こ う.話 を簡 単 化 して 非相 対 論 的 量 子 力 学

の 範 囲 で話 をす る と,ラ ザ フ ォ ー ド散 乱 断 面 積 公 式 は,フ

ェ ル ミの黄 金律

(1.1a) に,相

互 作 用 ハ ミル トニ ア ン と し て ク ー ロ ン ポ テ ン シ ャ ル

(1.2a) を入 れ てや れ ば 得 られ る.遷 移 行 列 要 素

(1.1b) は,ポ

テ ン シ ャ ル のq(=ki-kf)点

に お け る フ ー リ エ 変 換 量 で あ る.標

き さ を も て ば 電 荷 分 布 ρ(r)が 定 義 で き る.こ

的が大

の 場 合,

(1.2b) と な る か ら,ラ

ザ フ ォ ー ド散 乱 公 式 は

(1.1c) (1.3) と な っ て,広 が り を もつ 電 荷 に よ る散 乱 断 面 積 は,点 電 荷 に よ る 断 面積 に 形 状 因 子￨F(q)￨2を

掛 け た もの とな る.質 点 粒 子 で は 形 状 因 子 は 定 数 で あ るが,広

が り(サ イ ズ ∼a)を

もて ば, 

で 形 状 因子 は定 数 で は な く な り￨q￨の 減

少 関 数 とな る.し た が っ て,形 状 因子 の振 る舞 い を調 べ て標 的 の 大 き さや 形 を 測 定 で き る.形 状 因 子 は 通 常,

(1.4) と い う 形 で パ ラ メ タ ー 化 し,a=1/Λ

を も っ て 大 き さ と 定 義 す る*1).q2はq2

の 相 対 論 的 拡 張 変 数 でロー off)と

レ ン ツ 不 変 量 で あ る.Λ

は 形 状 因 子 の 切 断 値(cut

も 呼 ば れ る.

  測 定 対 象 や 実 験 条 件 の 違 い に よ り 形 状 因 子 は 一 つ と は 限 ら ず,ま を も パ ラ メ タ ー と し て 含 む が(こ る),基

本 的 に は,形

状 因 子 のq2依

ギ ー(∼100GeV)で

造 関 数 と い う名 が 一 般 的 で あ

存 性 が 大 き さ の 目 安 を 与 え る.高

の 電 子-陽 電 子 散 乱(Bhabha

の 与 え る 式 と 一 致 し,Λ 10-17cm以

の 場 合 は,構

の 下 限 値 が〓1TeVと

scattering)断 い う こ と が,電

た う え で,そ

の 存 在 が 確 認 さ れ て い る わ け で は な い.実

面 積 がQED 子 の大 きさが

独 に 取 り出 され

験 室 で検 出 す る段 階 で

ォ ー ク は ジ ェ ッ ト(多 数 の ハ ド ロ ン が 同 一 方 向 に 噴 出 す る 現 象)に

と考 え ら れ て お り,こ 説 す る.し

か し,質

の 詳 細 に つ い て は 第8章,第9章(ジ

点 粒 子 と し て の ク ォ ー ク の 存 在 は,状

り疑 う余 地 は な い.最

も 顕 著 な 例 は,電

点 粒 子 と し て の ク ォ ー ク(グ と の 散 乱 の 和 で あ り(パ

子 が

状 態 は クォー クの ハ ドロ ン 化 し た ュ ー ト リ ノ-核 子 非

ォ ー ク が 半 端 電 荷 を もつ こ と も確 認 さ れ

の パ ー ト ン モ デ ル の と こ ろ で ふ れ る.さ

ド ロ ン の ジ ェ ッ ト生 成 断 面 積 が,QCDの 限 値 が や は り1∼2TeVと

況 的 証 拠 が 数 多 くあ

子 と陽 子 の 散 乱 は 電 子 と 質

験 事 実 を 見 事 に 説 明 す る.ニ

弾 性 散 乱 デ ー タ と の 比 較 に よ り,ク れ に つ い て は,第3章

解

ル ー オ ン と ク ォ ー ク を ま と め て パ ー ト ン と 呼 ぶ)

ー トン モ デ ル),終

残 骸 で あ る と い う解 釈 が,実

な る

ェ ッ ト現 象)で

子-核 子 深 非 弾 性 散 乱 で あ る.核

ク ォ ー ク と グ ル ー オ ン よ り で き て い る と 仮 定 し,電

た.こ

エ ネル

下 と い う 根 拠 を 与 え る2).

  物 質 の も う一 つ の 究 極 構 成 要 素 と さ れ て い る ク ォ ー ク は,単

は,ク

た他 の 変数

い う こ とが,ク

与 え る 式 に 精 度 よ く一 致 し,Λ

で あ る の で,

で もっ てサ イズ を定義 す る場合 もあ る.

の下

ォ ー ク も レ プ トン と 同 じ く ら い の 精

度 で 質 点 粒 子 で あ る と い う こ と の 根 拠 を 与 え る(第9章).

*1) ρ(r)が 球対称 分 布 をす る と き, で規

ら に,ハ

格化 す れ ば ,

1.4 

  1.4.1    1940年

ク ォー ク モ デル とカ ラー 自由度

ク ォークモデル 代,宇

宙 線 の 中 か ら 発 見 さ れ た ス ト レ ン ジ 粒 子 に 始 ま り,1960年

代

に は 加 速 器 と 泡 箱 の 発 展 に よ り集 積 さ れ た ハ ド ロ ン の 数 は 数 百 種 を 超 え る.こ れ に 伴 い ハ ド ロ ン を よ り基 本 的 な 構 成 粒 子 の 複 合 体 と み な す 複 合 モ デ ル が 発 達 し た.歴

史 的 に 重 要 な の は 坂 田 モ デ ル で あ る.す

イ ソ ス ピ ン,ス

ト レ ン ジ ネ ス に よ り分 類 し,複

最 小 の 単 位 と し て3個 さ れ た3).さら

の 基 本 粒 子(陽

に,池

田-大 貫-小 川 は,こ

ど 同 じ で あ る こ と に 注 目 し,ハ わ ら な い と い うSU(3)対 予 言 し た4).そ た た め に,基

子p,中

の 後p,

べ て の ハ ドロ ン を ス ピ ン,ア

合 体 と し て そ れ ら を再 現 で き る 性 子n,ラ

ム ダ 粒 子Λ)が

提案

れ ら3個

の基本粒 子の質 量が ほ とん

ド ロ ン の 性 質 は3個

の 基 本粒 子 の 入 れ 替 え で変

称 性(IOO対

称)を

n, Λ が バ リ オ ン8重

提 案 し,メ

ソ ン8重

項 の存 在 を

項 の メ ンバ ー で あ る こ とが 示 さ れ

本 粒 子 の 位 は ク ォ ー ク に ゆ ず っ た が,ク

ォー ク モデ ル の従 う数 学

的 枠 組 み は ク ォ ー ク モ デ ル 出 現 以 前 に す で に 存 在 し て い た の で あ る.   SU(3)群

に は,同

ピ ン の 第3成 Yな

時 対 角 化 可 能 な 演 算 子 の 表 現 行 列 が2個

分 とハ イ パ ー チ ャ ー ジYと

名 付 け て,(I3, Y)の

あ り,ア

イ ソス

よ う に 書 く,I3,

ど ク ォ ー ク や レ プ ト ン の 種 類 を 区 別 す る 量 子 数 を 一 般 に 香 り と 呼 ぶ.

ク ォ ー ク モ デ ル で は,3個 -2/3)と

し

,バ

リ オ ン 数1/3を

反 ク ォ ー ク(qi)は,粒 ン はqiqjqkの 荷Qは

の 基 本 粒 子 をu(+1/2,+1/3),d(-1/2,+1/3),s(0, も た せ る.ま

と め てqiと

子 と 逆 の 量 子 数 を も つ の で,中

組 み 合 わ せ と な る .西

書 く こ と に す る と, 間 子 はqiqj,バ

島-ゲ ル マ ン の 法 則 に よ り,粒

リオ

子 の もつ 電

陽 子 電 荷 を単 位 と して

(1.5) で 与 えら れ る.qはSU(3)表 を3*と 表 せ ば,ク るが,組

現 空 間 の3次

元 基 底 ベ ク トル で あ る の で3,q

ォ ー ク の複 合 体qqは3×3=9次

元 の 基 底 ベ ク トル を つ く

み合 わ せ の 対 称 性 に よ り細 分 化 可 能(可 約)で

従 っ て既 約 化 す る と,

あ る.群 論 の 規 約 に

(1.6a) の よ う に分 解 で き る(付 録F).同

様 に バリ オ ン は

(1.6b) と表 せ る.バ あ り,10重

リオ ンの1重 項 は3個 の クォー クの 入 れ 替 え に 対 し完 全 反 対 称 で

項 は 完 全 対 称 で あ る.2組

の8は

混合 対 称 性 を もつ,ク

ォー ク に は

強 い相 互 作 用 が 働 い て,複 合 体 として の ハ ドロ ン に ま とめ て い る とす る と,基

(a)

(b) 図1.1  (a)  0-と1-の9重 (b) qiqjqkか

メ ソン とバ リ オ ン 多重 項

項 がqiqjで ら1/2+の8重

つ く れ る.

項 と3/2+の10重

項 が つ く れ る.

底 状 態 は 軌 道 角 運 動 量L=0のS状

態 と考 え られ る.基 底 状 態 は 香 り と ス ピ

ンの 組 み 合 わ せ で あ るか ら,ス

ピ ン上 向 き と下 向 きの クォ ー クの 入れ 替 え で,

SU(6)対

を(香

称 性 が 成 立 す るは ず で あ る.基 底ベ ク トル

り,ス

ピ ン)で

分 けて(3,1/2)の

よ う に 表 す と,メ

ソ ン とバ リオ ン は

それ ぞれ 次 の よ う な 多 重 項 に 分 類 で き る.  メ

ソ

ン:

 (1.7a) (1.7b)

  バ リ オ ン:

 (1.8a) (1.8b)

実 験 的 に は,ス せて9重

ピ ン0と1の

項 と い う),バ

メ ソ ン で は1重

リ オ ン で は 完 全 対 称 な56重

8重 項 と ス ピ ン3/2の10重

  1.4.2 

項 が 確 立 し て お り(合

項,す

励 起 状 態 と して,そ

リ オ ン の20,70な

の 存 在 を確 認 す る 実 験 が

粒 子 表 改 訂 作 業 が 続 け られて い る.

カ ラ ー 自 由 度

  SU(3)の10重 を も ち,同

項 は, 

一 粒 子3個

完 全 対 称 で あ る.ク

な どの 配 位

の 複 合 体 の 波 動 関数 が 香 り とス ピ ンの 入 れ 替 えに つ い て ォ ー ク は ス ピ ン1/2の

フ ェ ル ミ粒 子 で あ る の で,フ

統 計 を 満 た す た め に は 余 分 の 自 由 度 を 導 入 す る 必 要 性 が あ り,カ られ た.3個 度 は3で

な けれ ば な ら ず,カ

ラ ー 自 由 度 も ま たSU(3)に

と 名 付 けれ ば,ク

ォ ー ク の 種 類 は 一 挙 に3倍

増 す る.カ

カ ラ ー1重

項 はqqの

ラーの 自由

従 う,ク

ォー クは 香

をR,G,B(赤,緑,青) ラ ー 自 由 度 の 合 成 は,

香 り の 自 由 度 の 合 成 と 数 学 的 に は 全 く 同 等 で あ り,式(1.6)に リ オ ン で は 完 全 反 対 称 な1重

ェル ミ

ラ ー と名 付 け

の 粒 子 で 全 反 対 称 な 組 み 合 わ せ を つ く る た め に は,カ

り と は 独 立 に カ ラ ー 自 由 度 を も つ こ と に な り,それ

る の で,バ

わ

な わ ち ス ピ ン1/2の

項 が 確 立 して い る(図1.1).バ

ど は 混 合 対 称 性 を も ち,L≠0の 今 日 で も な さ れ,素

項 と8重

よ り分 類 され

項 の み が 実 現 されて い る こ と に な る.

組 み 合 わ せ で も 実 現 で き る こ と は,(1.6a)か

ら 明 らか

で あ る.   実 験 的 に は 単 独 の ク ォ ー ク は 発 見 され て い な い.ま

た ハ ド ロ ン に つ いて は

qqとqqqの

組 み 合 わ せ の み が 確 立 さ れ て お り,qqやqq, qqqqな

す るハ ドロ ン は 発 見 さ れ て い な い.こ くれ な い の で,ど

う や ら カ ラ ー1重

(カ ラ ー の 閉 じ 込 め).そ き る.qqqq,qqqqqで

どに 相 当

れ ら の 組 み 合 わ せ で は カ ラ ー1重

項 の み が 世 の 中 に 実 現 さ れ て い る ら しい

う とす れ ば クォー クが 単 独 で 存 在 で きな い の も 説 明 で は カ ラ ー1重

項 が つ くれ るの で そ の よ う な エ キ ゾ

テ ィ ッ ク 粒 子 が 存 在 す る は ず で あ る が,実

験 的 に は ま だ 確 立 し て い な い.

  強 い 力 の 源 が す べ て の ク ォ ー ク が 等 し く も つ カ ラ ー で あ り,そ の 質 量 が ほ ぼ 等 し い な ら ば 香 り のSU(3)が さ ら に カ ラ ー ス ピ ン 交 換 力(電 作 用)を

項 はつ

して クォ ー ク

実 現 し て い る こ との 説 明 が つ く.

磁 場 の 磁 気 能率 相 互 作 用 に 対 応 す る カ ラ ー 相 互

用 い た 現 象 論 的 な 質 量 公 式 に よ る ハ ドロ ン 質 量 ス ペ ク ト ル 再 現 の 成 功

な ど で,強

い 力 の 数 学 的 枠 組 み と し てSU(3)ゲ

ー ジ理 論 が 浮 か び 上 が っ て き

た の は 自 然 な 成 りゆ き で あ っ た.   カ ラ ー 自 由 度 存 在 の 証 拠 と し て は,上 ee→

ハ ド ロ ン 反 応 のR値((3.17)式),π0→2γ

Yan)過 ど,数

に 述 べ た 対 称 性 か ら の 要 求 の ほ か に,

程(§3.8参

照),W±,

Zの

多 く の 実 験 的 証 拠 が あ る.何

す るQCDが

標 準 理 論 と し て,原

崩 壊 率,ド

レ ル-ヤ ン(Drell-

ハ ド ロ ン 崩 壊 幅(第6章,第7章 よ りの 明 白 な 証 拠 は,カ

参 照)な

ラー を 力 の 源 泉 と

理 的 に は す べ て の ハ ドロ ン 現 象 を 矛 盾 な く説

明 で き る 事 実 に あ る.

  1.4.3 

閉

じ

込

め

  ク ォ ー ク は 単 独 で 取 り 出 す こ と は で き な い(閉 そ の 理 由 づ け は 以 下 の よ う に 考 え ら れ て い る.カ (カ ラー1重

項 で な い)ク

ォ ー ク 間 に,距

じ込 め)と

考 え ら れ て い る.

ラー の 自 由 度 を あ ら わ に もつ

離 と ともにエ ネル ギーの 増加 す るボ

テ ン シ ャ ル が 働 け ば,無

限 大 の 距 離(実

験 的 に 測 定 で き る程 度 の 距 離)に

は引

き 離 せ な い で あ ろ う.こ

の ポ テ ン シ ャ ル は ク ォ ー ク を つ な ぐ紐 の 役 割 を 果 た す

(ハ ドロ ン の 紐 モ デ ル).   こ の 紐 の 回 転 エ ネ ル ギ ー を 考 察 し て,角 ポ テ ン シ ャ ル の 形 を 推 察 し よ う.ク

運 動 量 と全 エ ネ ル ギ ー と の 関 係 か ら

ォ ー ク間 の ポ テ ン シ ャ ル を

(1.9) と す る.ク

ォ ー ク の 質 量 を 無 視 し て,紐

が 全 エ ネ ル ギ ー を 担 っ て い る と す る.

古 典 的 に 考 え る と,紐 ら れ て い る.こ

の 長 さdrあ

た り 

の 紐 が た わ ま ず に 回 転 す れ ば,遠

安 定 状 態 を つ く る.い

ま,端(r=R)で

合,中

あ る 部 分 の 速 度υ

心 か ら 距離rに

のエ ネル ギーが 蓄 え 心 力 と紐 の 張 力 が 釣 り合 っ て

は 光 速 で 走 っ て い る と し よ う.こ はr/Rで

あ る か ら,質

量(全

の場

エ ネ ル

ギ ー)は,

(1.10a) で 与 え ら れ る.Inは

次 式 で 与 え ら れ る 定 数 で あ る.

(1.10b) 一 方

,角

運 動 量Jは,

(1.10c) とな るか ら,MとJか

らRを

消去す れば

(1.11)

図1.2  ス ピ ン以 外 の 量 子 数 の 等 し い ハ α(t)=J, t=M2で

あ る.β

レッ ジ ェ軌 跡

ド ロ ン がJ=J0+βM2の

は ど の 軌 跡 で も ほ ぼ0.93GeV-2と

関 係 に あ る.図 な る.

でRe

が 得 ら れ る.実

験 的 に は,J=J0+βM2(β=0.93GeV-2)が

て い る の で(レ

ッ ジ ェ 軌 跡 と い う:図1.2参

定数J0は

量 子 効 果 で 生 じ た と 見 な せ る.こ

動 量 の 関 係 式(1.10)から

求 め,実

良 い精度 で成立 し

照).n=1で

な け れ ば な ら な い.

の と き のkを,エ

ネ ル ギー と角 運

験 値 を入 れ る と

(1.12) す な わ ち,色

荷 を もつ ク ォー ク 同 士 に は,1fmあ

く.こ の 力 は 距 離 に 関 係 な く一 定 で あ る の で,巨 に 離 す に は14ト

た り1GeV程

度 の 力 が働

視 的 な 距 離,た

と え ば1m

ン ・mも の仕 事 が 必 要 で あ る.こ の よ う な莫 大 な エ ネ ル ギー

を ク ォー ク単 体 に 与 え る こ とは 不 可 能 で あ り,閉 じ込 め が 成 立 す る.   閉 じ込 め の 物 理 的 描 像 は,超 伝 導 体 との 類 推 か ら得 られ る.磁 気 力 の 強 さ は r-2に 比 例 す る が,こ れ は磁 極 か ら出 る磁 束 密 度 が 空 間 的 にr-2で に 対 応 して い る(電 気 力 の クー ロ ン則 と同 じ:図1.3(a)参 伝 導 体 の 中 に は,侵 入 長 δ程 度 しか 侵 入 で き な い が(マ δ程 度 の 束 に な れ ば よ り深 く侵 入 で きて,超 体).そ

の 磁 束 Φ0は2πhc/Qeの

広が るこ と

照).磁

力線 は超

イ ス ナ ー 効 果),太

伝 導 体 を貫 け る(第2種

単 位 で 量 子 化 され る(§2.3参

照).Qeは

さ

超伝導 超伝

導 を担 う場(ク ー パ ー 対)の 電 荷 で あ る.磁 束 に 沿 っ た束 の 中 で は超 伝 導 状 態 は 破 れ て い る.超 伝 導 体 内 にN(北 単 極 子)が

あ っ た とす る と,N極

極)とS(南

極)2個

か ら 出 た 磁 束 は,他

の モ ノ ポー ル(磁 気 方 のS極

に 集 結 す る.

こ の 磁 束 の つ くる 磁 場 は モ ノ ポー ル か ら〓 δ程 度 の 距 離 で は,通 常 の クー ロ ン 則 に従 うで あ ろ う.し か し,2個

の モ ノ ポ ー ル か ら十 分 離 れ て い る と き は,

磁 力 線 は太 さ δの 束 と な る(図1.3(b)).こ

の と きの 磁 束 密 度 は磁 束 に 沿 って

一 定 で あ る か ら,距 離 と と も に 減 衰 し な い 力 す な わ ち 閉 じ込 め の 力 が 得 られ る.束

とな っ た 磁 束 は あ た か も紐 の よ うに 振 る舞 い,単 位 長 さ あ た り一 定 の エ

ネ ル ギー    QCDは,カ はQEDの

を もつ. ラー 自由 度 に基 づ くゲー ジ理 論 で あ るか ら,カ

ラー の つ くる 場

電 磁 場 と大 い な る類 似 性 が あ る.し か し,ゲ ー ジ場 の非 ア ー ベ ル 性

に よ り異 な る点 も あ り,真 空 は 色 電 荷 の 超 伝 導 相 状 態 に な っ て い る と考 え る. た だ し,電 気 と磁 気 の役 割 は 入 れ 換 え る.超 伝 導 を担 うの は 色磁 気 を もつ場 で あ り,紐 は 真 空 を突 き抜 け る色 荷 の 束 で あ る.閉

じ込 め の 働 く距 離 をrcと す

れ ば,紐

の 単 位 長 さ あ た り の エ ネ ル ギ ー は,k∼hc/αsrc2(αs=g2/4π

の 結 合 の 強 さ)で 1fmと

な る.こ

与 え ら れ る で あ ろ う.αs〓1と

す れ ば,(1.12)と

はQCD 比 べ てrc〓

れ は ハ ドロ ン の サ イ ズ で あ る.

(b) (a)

(c)

(d) 図1.3 

閉 じ込 め の 超 伝 導 モ デ ル

(a)  クー ロ ン法 則 に従 う電 気 力 線.電

束密 度∝r-2.

(b)  超 伝 導 体 内 の 磁 力 線.N極(+)か ら 出 た 磁 力 線 は 束 に な ってS極(-) につ な が る.磁 束 密 度 は 束 に 沿 っ て 一 定. (c)  クォ ー ク間 に は,カ ラ ー 紐 が で き,紐 ドロ ン)が 発 生 す る.

が 切 れ て た く さ ん の ク ォー ク 対(ハ

(d)  e-e+に よ り発 生 した 高 速 で180° 方 向 に 飛 び 去 る ク ォー ク対 は ハ ドロ ン 化 し て2個 の ジ ェ ッ トを発 生 す る.

  高 エ ネ ル ギー で 逆 方 向 に 飛 ぶqq対(た ee→qqで ∼1GeV/fmの

つ く る)は,高

と え ば 電 子 衝 突 型 加 速 器 の 反 応:

速 で 伸 び つ つ あ る 紐 を つ く る.こ

の 紐 に は,

膨 大 なエ ネ ル ギー が 蓄 え られ る.真 空 の ゆ ら ぎで紐 の 途 中 に は

q'q'対 が 発 生 す るか ら,こ れ が も と のqも ばハ ドロ ン とな り,ハ

し くはqと

カ ラー1重 項 を つ くれ

ドロ ン間 に は 閉 じ込 め の ポ テ ン シ ャ ル は 存在 し な い.逆

に い う と,紐 が ち ぎれ て も単 独 の クォ ー ク は現 れ ず,紐

の両 端 に は 必 ず ク ォー

クが つ い て い る.こ れ は,棒 磁 石 を切 断 して も,単 独 のN極 ず に二 つ の 棒 磁 石 が 現 れ るの に似 て い る.こ の 結 果,ク

とS極

は得 られ

ォー ク間 の 距 離 が ∼1

fm程

度 を 超 え る と,距

離 を 伸 ば す よ りは 真 空 か らqq対

を 切 っ て し ま う方 が エ ネ ル ギ ー 的 に 得 す る の で,も 量 の ハ ド ロ ン(1番

を拾 い物 質 化 して 紐

と のqqを

軽 い π が 最 も つ く ら れ や す い)が

つ な ぐ線 上 に 多

発 生 す る(図1.3(c)).

こ れ ら の 多 数 の ハ ド ロ ン は も と の ク ォ ー ク の 方 向 を 覚 え て お り,そ 中 し て 出 る の で ジ ェ ッ ト と な る(図1.3(d)).グ

の 方 向 に集

ル ー オ ン も 同 じ理 由 で ジ ェ ッ

ト と し て 観 測 さ れ る.   QCDを

ガ イ ド ラ イ ン と し た ジ ェ ッ ト発 生 モ ン テ カ ル ロ プ ロ グ ラ ム は,

ジ ェ ッ ト現 象 の 多 彩 な 性 質 を き わ め て よ く実 験 的 に 再 現 す る(第8章,第9章 参 照)."ク

ォ ー ク の 閉 じ込 め"法

い が,QCDの 際,非

則 は,理

論 的 に 完 全 な証 明 は ま だ で き て い な

非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 の 性 質 から 導 け る と 信 じ ら れ て い る.実

摂 動 論 的 手 法 で あ る 格 子 ゲ ー ジ理 論 を 使 っ て,閉

に 導 く こ と に は 成 功 して い る.そ 閉 じ 込 め は,今

れ ゆ え,カ

1) 

Y.Fukuda PDG(Particle

じ込 め の 性 質 を定 性 的 ォ ー ク と グ ル ー オ ン)の

日 ほ と ん ど 既 定 の 事 実 と し て 受 け 入 れ ら れ て い る.

参

2) 

ラ ー(ク

考

文

献

et al.:Phys.Lett.,B436(1998)33,Phys.Rev.Lett.,81(1998)1562 Data

Group):Review

of

Particle

Properties,Phys.Rev.,D54(1996)1,

EPJ.,C3(1998)1 3) 

S.Sakata:Prog.Theor.Phys.,16(1956)686

4) 

M.Ikeda,S.Ogawa

and

Y.Ohnuki:Prog.Theor.Phys.,22(1959)715

2 ゲ ー

ジ 理

論

2.1  歴 史 的 背 景

  1970年 代 か ら お よそ20年

間 に お け る高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の 発 展 は,わ れ わ

れ の物 質 観 を完 全 に 変 え た.歴 史上 は じめ て わ れ わ れ は物 質 が 何 で で きて い る か,そ

れ ら を 支 配 す る法 則 は 何 か と い う疑 問 に 答 え ら れ る と感 じは じめ て い

る.こ

こ まで い い切 る こ とは 自然 に 対 す る謙 虚 さに 欠 け るの で は な いか とい う

感 想 を もた れ るか も しれ な い.し か し,そ れ ほ どに 高 エ ネ ル ギー 物 理 学 界 に お け る ゲー ジ理 論 の 成 功 と,素 粒 子 論 に お け る意 識 革 命 は 大 きか っ た の で あ る. 物 理 学 史 上,相

対 性 理 論,量

子 力 学 の 創 成 に並 ぶ エ ポ ッ ク メー キ ン グな現 象 と

い って よ い.ゲ

ー ジ原 理 は い まや 相 対 性 原理,量

子 原理 とな らぶ 宇 宙 の根 本 原

理 と見 な され て い る.   し か し,こ た.マ

う し て 発 見 さ れ た ゲ ー ジ 原 理 は,決

し て新 し い もの で は な か っ

クス ウ ェ ル 理 論 が ゲ ー ジ原 理 を満 た す こ とは よ く知 られ て い た し,ワ イ

ル が 最 初 の ゲー ジ理 論 を発 表 し た の は,一 般 相 対 性 理 論 の 発 表 直 後 の1918年 で あ っ た1).ゲ ー ジ原 理 が す べ て の 力 を支 配 す る根 本 的 な 宇 宙 原 理 で あ る と理 解 す るの に,な ぜ か く も長 い 年 月 を必 要 と し た の で あ ろ うか?   まず 無 矛 盾 な 場 の 量 子 論 を建 設 す る の に 大 き く時 間 を 費 や した こ とで あ る. 無 限 大 が 繰 り込 み の 手 法 に よ り処 理 可 能 で あ る こ とが 示 され,QEDが た の は1940年

代 後 半 で あ っ た.QEDは

ゲー ジ場 量 子 理 論 の 原 型 で も あ る.こ

れ を 契機 に ゲ ー ジ理 論 が も っ と発 展 を して もよ か っ たの で あ るが,い 要 因 が それ を妨 げ た.一 つ は,繰 して有 限 項 を出 す"と

完成 し

り込 み の 手 法 が"無

くつ か の

限大 か ら無 限大 を 引 き算

い うプ ロ セ ス に 頼 っ て い るた め,数

学 的 に洗 練 さ れ た 手

法 とは い え なか っ た こ と,も う一 つ は,当 時 の理 解 で は 強 い相 互 作 用 現 象 に は 摂 動 計 算 が 適 用 で きず,靴 紐 の理 論(基 本 的 な素 粒 子 は存 在 せ ず,す

べ ての粒

子 は 同 時 に ま た他 の す べ て の粒 子 の 構 成 要 素 と も な っ て お り,す べ て 同 等 で あ る とい う素 粒 子 民 主 主 義 論)な

どが 一 時 期 幅 を きかせ る な ど,場 の 理 論 に対 す

る信 頼 感 は そ れ ほ ど大 き くなか っ た.   さ らに,弱 い 力 や 強 い 力 に よ る現 象 が,ゲ ー ジ理 論 な らば もつ べ き い くつ か の 特 徴 を示 さ な か っ た こ とが あ げ られ る.ゲ ー ジ 原 理 に 従 う現 象 で あ る な ら ば,第1に

クー ロ ン力 の よ うに 長 距 離 力 で な け れ ば な らな いの に ど ち ら も短 距

離 力 で あ る.現 在 は,そ て,強

れ ぞ れ 違 う原 因,弱

い力 は対 称 性 の 自発 的破 れ に よっ

い力 は 閉 じ込 め に よ っ て,本 来 もつ べ き特 徴 が 隠 さ れ て い る こ とが わ

か って い る.こ

う し た現 象 の 本 質 を把 握 しえ た の は,物 質 の 究 極 構 成 要 素 と し

て の ク ォー ク と レプ トン の 存在 の 認 識 で あ っ た.ハ と反 応 現 象,弱

ドロ ン の 多様 な ス ペ ク トル

い相 互 作 用 現 象 な どが,わ ず か2∼3種

の ク ォー クお よ び レプ

トン で 整理 す る こ とが で き て,基 本 的 な レベ ル で 力 の 働 く枠 組 み を見 通 し よ く した こ とが,力 の 本 質 を見 ぬ く大 き な要 因 で あ っ た.   ゲー ジ理 論 の 第2の 特 徴 は普 遍性 に あ る.重 力や 電磁 力 の 強 さは,そ

れぞれ

質 量 お よ び電 荷 の み に よ り,物 質 の 種 類 形 態 に 無 関 係 で あ る.重 力 は 長 距 離 性,普 遍 性 と もに 満 た して い るが,一

般 相 対 性 理 論 の数 学 的 複 雑 さゆ え に これ

も ま た ゲ ー ジ理 論 の 一 形 態 で あ る こ とは,1956年

内 山2)が 指 摘 す る ま で 誰 も

気 が つ か なか っ た.   第3に

ゲー ジ力 の 源 は 保 存 量 で あ る.重 力 の 源 で あ る 質 量(エ ネ ル ギー),

電 磁 力 の 源 で あ る電 荷 は厳 密 に保 存 す る こ とが 知 られ て い る.こ れ に 反 して, 強 い 力 や 弱 い力 に は 相 当す る保 存 量 が な か った.少

な く もわ れ われ の 眼 に は見

え な か った の で あ る.そ の 原 因 は,長 距 離 力 が 近 距 離 力 に な るの と同 じ理 由 に よ る.   第4に ば,陽

強 い 力 や 弱 い 力 で は,力 が働 くこ とに よ り物 質 の変 換 が 起 こ る.例 え

子 と 中性 子 に核 力 が 働 く と互 い に 入 れ 替 わ る.こ の よ う な 場 合 に まで

ゲ ー ジ理 論 を拡 張 す るヤ ン-ミ ル ズ の 定 式 化3)が あ っ て は じめ て,強

い力や 弱

い 力 もゲー ジ理 論 と して 見 直 そ う とい う気 運 が で きた の で あ る.   ま た,ゲ ー ジ理 論 に従 う力 は カ レ ン トに よ り引 き起 こ され る.カ

レ ン トとは

電 荷 お よ び電 荷 が 運 動 す る こ とに よ り生 じる電 流 を成 分 とす る ロー レ ン ツベ ク トル の こ と で あ り,こ れ に 伴 って,相 互 作 用 は,普 遍性,ベ

互 作 用 もベ ク トル 型 と な る*1).弱 い 相

ク トル 結 合 の 特 徴 を もつ こ とが ヒ ン トとな り,こ れ もま

た ゲ ー ジ理 論 に違 い な い との 確 信 が 統 一 理 論 と して のGWS理

論 の発 見 に つ な

が っ た とい っ て よ い で あ ろ う.弱 相 互 作 用 と電 磁 相 互 作 用 に は 強 い 類 似 性 が あ り,CVC仮

説*2)で 見 た よ う に 共 通 部 分 も あ る.両 者 の 融 合 は1960年

グラ

シ ョ ウ4)に よ り定 式 化 され た.し か し,ゲ ー ジ粒 子 や レプ トン な ど に 質 量 を付 加 す る機 構 が な く正 し い理 論 体 系 と して は 不 完 全 で あ っ た も の を,1967年

ワ

イ ンバ ー グ とサ ラ ム5)が 自発 的対 称 性 の破 れ を採 り入 れ て整 合 性 の あ る理 論 に 組 み 上 げ,そ

れ が 実 際 に 繰 り込 み 可 能 で あ る こ と を,1971年

に ト・フー フ トが

証 明 し て6),電 弱 統 一 理 論 が 完 成 した の で あ る.   QCDに

関 し て は 誰 が 発 明 し た か そ の経緯 は あ ま りは っ き り して い な い.数

学 的 形 式 は ヤ ン-ミ ル ズ理 論 で つ きて い るの で,物 理 現 象 に お い て,カ 力 の 源 泉 で あ り,か つSU(3)対

ラー が

称 性 を もつ こ とに気 づ き さ えす れ ば よか っ た.

歴 史 的 に は,ま ず ハ ドロ ン スペ ク トロ ス コ ピー に お け る クォー ク モ デ ル の 成 功 と カ ラー の発 見 が あ り,MIT/SLACの パ ー トン描 像 の 成 功 が あ っ た .ま た,ハ したSU(3)を

深 非 弾 性 散 乱 に お け る ス ケ ー リン グ と ン-南 部 らに よ る カ ラー を力 の 源 泉 と

含 む 理 論 の 提 唱 もあ っ た7).転 回点 は,1973年

の グ ロ ス-ウ ィル

チ ェ ッ ク-ポ リ ッツ ァー に よ る漸 近 自由 の発 見 に あ り8),こ の 時 点 でQCDが

強

い 力 の 理 論 と して 浮 上 した とい え よ う.   これ か らの 話 は少 し長 い道 の りに な る の で,い え で,こ

れ か らの 議 論,3段

ま ま で の考 察 の 整 理 を し た う

構 え の論 法 の 筋 道 を予告 して お こ う.

*1)  重 力 は 力 の 源 が

,そ れ 自 身 ロ ー レ ン ツ ベ ク トル で あ る エ ネ ル ギー 運 動 量 で あ る た め,2 階 の テ ン ソ ル 型 と な る.こ の た め 力 の 伝 達 粒 子 は 通 常 ス ピ ン1を も つ が,グ ラ ヴ ィ トン

は ス ピ ン2を も つ. *2) Conserved Vector -A±

Curreut

μの よ う に 極 性(polar)ベ

A± μの 和 で あ り,か で も あ る.こ

Hypothesis:弱

相 互 作 用 の 荷 電 カ レ ン トは

ク トル 部 分V±

μと 軸 性(axial)ベ

,JW± μ=V± μ ク トル カ レ ン ト部 分

つ と も に 電 荷 を 変 え る 演 算 子(τ±)を 含 む の で ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン ト

の う ち ベ ク トル カ レ ン トが 保 存 す る(∂ μV±μ=0)と

い うの がCVC仮

説であ

る.一 方,電 磁 相 互 作 用 を 引 き起 こ す 電 流JEMμ は 中 性 ベ ク トル カ レ ン トで あ る が,JEMμ =Yμ+V3μ の よ う に ハ イ パ ー チ ャ ー ジ カ レ ン ト と ア イ ソ ス ピ ン の 第3成 分τ3に 比 例 す るV3μ

との 和 で 書 け る.CVC仮

る 成 分 で あ る こ と を 示 す.

説 はV± μ とV3μ が 一 つ の ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン トの 異 な

(1)  ま ず,数 学 的 で抽 象 的 な ゲ ー ジ 原 理 の 概 念 に,重 力 現 象 との 対 応 をつ け る こ とに よ っ て幾 何 学 的 な解 釈 を施 し見 通 しを よ くす る. (2)  ゲー ジ対 称 性 を ア イ ソ ス ピ ン を含 む 一 般 ゲー ジ変 換 に ま で 拡 張 す る. (1)の 幾 何 学 的解 釈 を使 え ば,ヤ と も い う)が,論

ン-ミ ル ズ ゲー ジ理 論(非 ア ー ベ ル理 論

理 的 に か つ 自然 に 導 け る こ と を示 す.非

アー ベ ル 理 論

の 定 式 化 に よ り,荷 電 カ レ ン ト現 象 で あ る 弱 相 互 作 用 を,ゲ ー ジ理 論 の 枠 組 み で 取 り扱 う こ とが 可 能 に な っ た.ま

た,非 ア ー ベ ル理 論 で は 漸 近

自 由(近 距 離 で 力 が 弱 くな る)が 実 現 す る とい う認 識 が,強 ジ理 論QCDの (3)  W粒

い力 のゲー

形 成 に つ なが る.

子 は 質 量 を も ち,そ

の 結 果 と して 弱 い 力 は 短 距 離 力 と な っ て い

る.弱 相 互 作 用 が ゲー ジ理 論 に従 うに せ よ ゲ ー ジ 対 称 性 は破 れ て お り, そ の 結 果 と し て繰 り込 み不 可 能 に な っ て い る.ゲ ー ジ対 称 性 とゲ ー ジ粒 子 の質 量 を ど う両 立 させ るか とい う問 題 を,対 称 性 の 自発 的 破 れ と ヒ ッ グ ス機 構 とい う概 念 を導 入 して 解 決 す る. (4)  ゲ ー ジ 対 称 性 お よ び 自発 的 対 称 性 の 破 れ の 繰 り込 み に お け る役 割 を議 論 す る. (5) 最 後 に,電 磁 力 と弱 い 力 を結 び つ け,自 せ て,無

発 的 対 称 性 の 破 れ を組 み 合 わ

矛 盾 な電 弱 統 一 理 論 をつ くる方 法 を解 説 す る.

2.2  ゲ ー ジ 理 論 の 幾 何 学 的 解 釈

 2.2.1  ゲ ー ジ 原 理  ゲ ー ジ変 換 とは場 の 位 相 を変 え る 自由 度 で あ る.抽 象 的 な 概 念 で あ る の で, と りあ え ず数 学 的 な表 現 を定 義 して お い て 物 理 的 な解 釈 は後 か らつ け る こ とに しよ う.最

も簡 単 な位 相 変 換 は,ψ

を複 素 場,α

を任 意 の実 数 と し て

(2.1) で 与 え られ る.こ の よ うな変 換 をU(1)ゲ

ー ジ変 換 とい う.U(1)ゲ

ー ジ変 換 で

ラ グ ラ ン ジ ア ン が 不 変 で あ れ ば ネ ー ター の 定 理 か ら保 存 カ レ ン トjμが 存 在 し

(2.2) これ か ら,第0成

分 を空 間積 分 した

(2.3) は 時 間 に よ ら な い保 存 量 で あ る こ とが 導 け る.こ れ を一 般 的 に 電 荷*3)と 呼 ぶ こ と に す る.デ

ィ ラ ッ ク場 でつ く る 

ン トで あ っ た.場 の 量 子 論 で はQは

は そ の よ う な保 存 カ レ

演 算 子 で あ り,式(2.1)の

算 子 と な る.し た が っ て,位 相 角 αは 実 は 場 の 電 荷 量qに 下 はqα の よ うにqを

変換 の生成 演

比 例 す るの で,以

抜 き出 して 書 く こ とに す る.

  位 相 変 換 を な ぜ ゲー ジ変 換 と い うの か?も

と も とワ イ ル が提 案 した の は,

時 空 の 各 点 で 長 さ の 基 準(ゲ ー ジ)を 変 え て も物 理 法 則 は変 わ ら な い とい う要 請 で あ っ た.こ

の 言葉 が,今

日の位 相 変 換 に も転 用 さ れ定 着 して し まっ た と い

う歴 史 的 経 緯 が あ る.わ れ わ れ の遭 遇 し た最 初 の ゲ ー ジ変 換 は マ クス ウ ェ ル 方 程 式 の ポ テ ン シ ャ ル の と りか た の 自由 度 の こ とで あ っ た.し か し,古 典 電 磁 気 学 で は ポ テ ン シ ャ ル は 物 理 的 意 味 を もた ず,時

空 の2点

に お け る ポ テ ン シ ャル

の 差 つ ま り微 分 の み が 物 理 的 意 味 を も ち,電 場 ま た は磁 場 と して 観 測 され る量 で あ る.ポ テ ン シ ャ ル そ の もの は単 な る数 学 的 手 段 と見 な され た.量 子 力学 に お け る波 動 関数 の 位 相 も同 じよ うな 意 味 合 い を もつ.波 動 関 数 は 自乗 して は じ め て 確 率 とい う物 理 的 意 味 を もつ の で,位 相 そ の もの は 物 理 的 意 味 を も た な い.し か し二 つ の 波 動 関 数 の 位 相 の 差 は 干 渉 と い う形 で観 測 可 能 な 量 で あ る. 位 相 変 換 不 変 性 か ら電荷 保 存 則 が 導 か れ る こ と,電 磁 ポ テ ン シ ャル は電 荷 が 源 に な って い る こ とを考 え る と,一 見 関係 な い複 素 場 の 位 相 と電 磁 ポ テ ン シ ャル は ど こか で結 び つ い て い る と考 え られ る.ま ず,古 典 電 磁気 学 の ゲ ー ジ変 換 は 任 意 の 時 空 点 で 自由 に 選 べ た こ と を思 い 起 こ そ う.つ

ま り,α を時 空 変数x

の 関 数 と して

(2.4) と い う 変 換 で マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は 不 変 で あ っ た.そ 相 α も 任 意 の 時 空 点 で 自 由 に 選 べ る,つ う な 変 換 を 局 所 ゲ ー ジ 変 換(local

gauge

こ で 場 の 位 相 変 換 の位

ま り α→ α(x)と

し て み よ う.こ

transformation)と

べ て 場 所 に よ ら な い ゲ ー ジ 変 換 を 大 域(global)ゲ

い う.こ

,超

電 荷(ハ

れ に比

ー ジ 変 換 とい う こ とに す

る. *3)  通 常 の 電 荷 と 区 別 し た い と き は

の よ

イ パ ー チ ャ ー ジ)と

呼 ぶ.

い ま,自 由粒 子 場 の従 う方 程 式 を

(2.5a) の よ うに書 く と(Λ(∂)は,通

常 ∂の2次

まで の 多 項 式 で あ る),位 相 変 換 した

場 に対 す る微 分 演 算 は,

(2.6) と な る の で,粒 子 場 の運 動 方 程 式 は 局 所 位 相 変 換 に 対 して不 変 で は な い.一 方 電 磁 場 と相 互 作 用 して い る 系 の粒 子 場 の 方 程 式 は,解 析 力学 や シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 で よ く知 られ て い る よ うに,微 分 ∂μを ∂μ+iqAμ で 置 き換 え て,

(2.5b) と して 得 ら れ る.方 程 式 が(2.5b)の ン シ ャ ルAμ の ゲ ー ジ変 換(2.4)を

形 を して い れ ば,ψ の 位 相 変 換 と ポ テ 同 じ α(x)を 使 って 同時 に行 え ば,α(x)の

微 分 か ら 出 る項 とポ テ ン シ ャ ル に よ る項 が 相 殺 され,運 動 方 程 式 は局 所 ゲ ー ジ 変 換 で 不 変 と な る.自 由 場 の 方 程 式(2.5a)に(2.5b)の 電磁 場 との相 互 作 用 が得 ら れ る こ とは,ミ 経 験 的 な事 実 で あ っ た.そ

置 き換 え を す れ ば

ニ マ ム 相 互 作 用 とい う名 で知 られ る

れ が 局 所 ゲ ー ジ不 変性 を満 た す の は 偶 然 で は な い と

す れ ば,力 学 原 理 と して の ゲー ジ原 理 が 成 り立 つ は ず で あ る.   ゲ ー ジ原 理:運

動 法 則 は局 所 ゲ ー ジ変 換 で不 変 で あ る.

共 変 微 分Dμ を

(2.7) で定 義 し,ψ

お よ びDμ

の 中 のAμ

を ゲ ー ジ 変 換 し た も の を ψ',Dμ'と す れ ば

(2.8a) (2.8b) で あ る.し た が っ て,ゲ ー ジ 原理 とは 自 由場 の運 動 方 程 式

(2.5a) が 与 え られ る と き,局 所 ゲ ー ジ不 変 性 を満 たす 式

(2.9) が相 互 作 用 を す る系 の運 動 方 程 式 で あ る こ とを要 求 す る.実 際,後 磁 気 と弱 相 互 作 用 の 統 一 理 論,強 す る.ま た 内 山 は,重

い 相 互 作 用 のQCDは

に述 べ る電

すべ て この原理 に立脚

力 の 理 論 で あ る一 般 相 対 性 理 論 も ま た この ゲ ー ジ 原理 に

基 づ くこ とを証 明 した の で あ っ た.そ の よ うな 意 味 で,ゲ ー ジ原 理 は,相 対性

原理,量

子 原理 とな らぶ根 本 原 理 なの で あ る.ゲ ー ジ対 称 性 とは 非 常 に抽 象 的

な概 念 で あ るの で なか な か 解 釈 が む ず か しい.こ れ まで は数 学 的 操 作 だ け を示 して こ れが ゲ ー ジ対 称 性 で す と説 明 したが,数 式 の 背 後 に あ る物 理 的 概 念 を把 握 す る に は何 らか の 意 味づ け が 必要 で あ る.そ こ で 同 じゲ ー ジ 原 理 に立 脚 す る 理 論 で も,重 力理 論 に は 直観 的 に わ か りや す い幾 何 学 的 意 味 づ け が,す

でに一

般 化 して い るの で,一 般 相 対 論 との 比 較 を しなが らゲ ー ジ理 論 の 幾 何 学 的解 釈 を試 み よ う.

  2.2.2  内

部

空

間

  a.  場 は 内 部 空 間 に お け るベ ク トル   物 理 現 象 を 記 述 す る に は座 標 系 を設 け なけ れ ば な らな いが,現

象 そ の もの は

座 標 系 の と り方 に は よ らな い は ず で あ る.日 本 で実 験 して もア メ リカ で実 験 し て も物 理 結 果 は 同 じで あ るが,こ

れ を座 標 の 並 進 対 称 性 とい う.並 進 対 称 性 か

らエ ネ ル ギー 運 動 量保 存 則 が 導 け る.同

じよ うに北 を向 いて 実 験 し よ うが東 を

向 い て 実 験 しよ うが 同 じ結 果 が で る こ と を 回転 対 称 性 とい い,こ れ か ら角 運 動 量 保 存 則 が 導 け る.こ れ に 反 し て,電 荷 や ア イ ソス ピ ンの よ うな保 存 則 は時 空 座 標 とは関 係 な い 内 部 対 称 性 か ら導 か れ る と考 え られ て い る.上 の 論 法 か らす れ ば 対 応 す る 内部 座 標 が あ りそ の座 標 の と り方 に よ らな い こ とが起 源 で あ る と 考 え るの が 首 尾 一 貫 す る.   例 えば 電 荷 を もつ 粒 子 は正 と負 の 二 つ の 自由 度(粒 子 と 反粒 子)を こ で,場

もつ.そ

を構 成 す る独 立 な実 場 の成 分 を ψ1,ψ2と書 く と き,場 は これ ら を成 分

に もつ 内部 空 間 で の ベ ク トル と考 え る こ とが で きる.こ の 空 間 で の 直 交 基 準 ベ ク トル をe1,e2と す る と,実 場 ψは

(2.10) こ こ で ψ の 表 す 物 理 現 象 が 座 標 系 の と り方 によ ら な い とす れ ば,ψ を こ の2 次 元 空 間 で 回 転 し て も物 理 法 則 は 変 わ らな い.座 標 軸 を αだ け 回 転 す る と ψ → ψ'に な る とす る と,

(2.11a) (2.11b) こ こ で複 素 場 と して,

(b)

(a)

図2.1  粒 子 の運 動 は 時 間 と と もに 動 く一 つ の軌 跡 で 表せ る.そ の と き粒 子 の も つ 内部 空間 で の ベ ク トルの 方 向 も運 動 と と もに 変 わ る.内 部 空 間 座 標 系 と し て 一 つ の 全 体 に 共 通 な 座 標 系(大 域 座 標 系)を 設 定 す る 場 合(a) と,各 地 点 で独 立 に そ れ ぞ れ に 独 立 な 座 標 系(局 所 座 標 系)を 設 定 す る 場合(b)と

が あ る.

(2.12) を定 義 す れ ば,

(2.13) と な っ て,実 場 の 回 転 は複 素 場 の位 相 変 換 に 帰 着 す る.   場 が 内部 空 間 のベ ク トル で あ り,運 動 と と もに 回 転 す る の で あ れ ば,場

の運

動 を指 定 す る た め に は,時 空 で の 軌 跡 の ほ か に 内 部 空 間 で のベ ク トル の 向 き を 各 点 で 表 す 必 要 が あ る(図2.1(a)).た

だ し,こ のベ ク トル の 向 き は 内 部 空 間

の 向 き で あ り時 空 での ベ ク トル の 方 向 とは 関 係 な い が,ほ か に う ま い表 し よ う もな い の で 図2.1で

は,内 部 空 間 の座 標Ix,Iyも

同 じ実 空 間上 に 描 く こ とに す

る.大 域 ゲー ジ変 換 は,運 動 とは 関係 の な い と こ ろ で時 空全 体 で 一 斉 にベ ク ト ル の 向 き を変 え るが,局

所 ゲ ー ジ変 換 で は軌 跡 の 各 点 で 回転 角 が 異 な る.こ の

こ とは,粒 子 が 進 行 す る に つ れ 局 所 座 標 系 そ の もの が 回 転 す る こ と を意 味 す る.と

は い え位 相 は 時 空 の 連 続 関数 で あ る か ら隣 合 う点 で 滑 らか につ な が る こ

と を前 提 とす る.進 行 に つ れ 回転 す る座 標 系 とは どの よ う な意 味 が あ るの で あ ろ うか?  せ っか く物 理 量 を座 標 系 を設 定 して 表 した の に,次

の瞬 間 に は 座 標

系 が 変 わ って し ま うの で は 意 味 が な い.各 時 空 点 で 異 な る座 標 系 を 扱 う と きは 両 者 の 比 較 をす る基 準 を必 要 とす る.

  b.  重 力 の 幾 何 学 的 解 釈   こ こ で重 力 の 幾 何 学 的解 釈 を思 い起 こ して み よ う.ア イ ン シュ タ イ ン の一 般 相 対 論 は,力

を受 け て 軌 跡 が 曲が る とい う物 体 の 運 動 を,「 物 体 は 直 線(厳 密

に は 測 地 線)運 動 をす るが,空 間 が 曲 が っ て い るの で,曲 線 運 動 の よ う に見 え る」 と解 釈 す る.力 学 を時 空 の 幾 何 学 に 置 き換 え た の で あ る.3次 像 す るの は む ず か しい の で2次 元 空 間 で話 を す る と,図2.2(a)に に 物 体Aは,他

あ るよ う

に 力 を及 ぼ す 物 体 の 存 在 しな い と こ ろ で は 慣 性 の 法 則 に 従 い

等 速 直 線 運 動 をす る.ニ ュ ー トン 力学 の解 釈 で は,物 体Bが い て 物 体Aの

元 空間 で想

あ る と引 力 が働

軌 跡 が 曲 が る.ア イ ン シ ュ タ イ ンの 重 力 理 論 の 解 釈 で は,物 体

Bが あ る と そ の 周 りの 空 間 が ひ ず み,そ

の 結 果 と して,物 体Aは

同 じ慣 性 の

(a)

(b) 図2.2  一 般 相 対 論 に お け る重 力 の 幾 何 学 的 解 釈 (a)  物 体(エ ネ ル ギ ー)の 存 在 し ない 自由 空 間(図 で は2次 元 空 間 を示 す)は 平 坦 で直 線 直 交(デ カル ト)座 標 系 が 存 在 し,物 体Aの 運動 は等速直線運 動 をす る. (b)  引 力 中心 の 物 体Bが

存在 す る と空 間 が ゆ が む.そ

こ に は デ カ ル ト座 標 は 存

在 しな い.物 体Aは こ の 空 間 で の 直 線(測 地 線)の 軌 跡 を描 くが,元 の デ カ ル ト座 標 で 見 る と 曲 線 を描 き,物 体Aが 物 体Bの 引 力 を受 け て 曲 が っ た よ うに 見 え る.

法 則 に従 い等 速"直 線"運

動 を して い るの に も関 わ らず,空

間のひずみ のため

に 軌 跡 が 曲 が っ た よ う に 見 え る と解 釈 す る.そ の 様 子 を 図2.2(b)で

表 す.

曲 が っ た 空 間 で の 直 線 を定 義 す る と きベ ク トル の 平 行 移 動 とい う概 念 が 非 常 に 重 要 な 役 割 を果 た す.   c.  ベ ク トル の 並 行 移 動 と空 間 の 曲率   平 らな 平 面 また は空 間(ユ ー ク リ ッ ド空 間)で あ れ ば ベ ク トル の 平 行 移 動 は 非 常 に 明 快 な概 念 で あ る が,曲 が っ た 空 間 で の 平 行 移 動 の理 解 は い さ さか 努 力 を要 す る.円 錐 面 や 円 筒 面 は 曲 が っ て い るが,切

っ て展 開 す れ ば平 面 に な る の

で 見 か け だ け の 疑 似 曲面 とい え る.円 錐 面 上 のベ ク トル の 平 行 移 動 は 展 開 面 で 考 え れ ば 理 解 しや す い.図2.3(a),(b)で

は,平 面 上 の 平 行 ベ ク トル が 円 錐

面 上 で は ど うな るか を示 して い る.球 面 上 で のベ ク トル の 平 行 移 動 は,切

り口

が 中心 を 通 る大 円 上 で は理 解 が容 易 で あ る が,そ れ 以 外 の と こ ろ で は む ず か し い.直 観 的 に は平 ら な紙 の 上 に 平 行 なベ ク トル を墨 で た くさ ん 書 い て お い て, 球 を こ の上 で 転 が せ ば 平 行 ベ ク トル が ど の よ うに球 面 上 に 移 され る か の 見 当 が

(a) 図2.3 

(b)

曲 面 上 で の ベ ク トルの 平 行 移 動.(a)は

円錐 面,(b)は

円錐 面 を 展 開 した もの.

(a),(b)で は ベ ク トルA∼Eは す べ てベ ク トルAを 直 線 に 沿 って 平 行 移 動 した も の で あ る.(b)の 点 線 は 円錐 面 の別 の 切 り口 を示 す.(イ)の 部 分 が(ロ)に 移 る.ベ ク トルA∼Eは 至 る と こ ろ平 坦 な 面 上 に あ る が,領

域全 体 と し て は 曲 が って い る の で,閉

曲 線 を1周

Aに 一 致 しな い.こ の 差 を余 剰 角 とい う. アハ ロ ノフ-ボ ー ム効 果 は,磁 場 が あ る と こ ろだ け 曲率 が0で の 通 過 す る道ABCDEは で余 剰 角(位

至 る とこ ろ で 曲率が0(B=0)で

相 差)が 生 じる の で ある.

し たベ ク トルEは

元 の ベ ク トル

な い 先 の 丸 い 円 錐 面 に対 応 す る.電 子 波

あ る が,領

域 全 体 と し て は 曲 が って い る の

(b)

(a) 図2.4  (1)  ベ ク トル(白 ぬ き)を,イ(北 北 極 まで 平 行 移 動 す る(a).大

(c)

球 面 上 で のベ ク トル の 平行 移 動

極)か ら赤 道(ロ → ハ)を 通 り,再 び 子 午 線(ハ → イ)に 沿 っ て 円 に 沿 っ ては ベ ク トル の 大 円 に 対 す る角 度 は 変 わ らな い が,元 に

も ど る と余 剰 角 α1=90° を生 じて い る.イ

ロハ イ で 囲 む 面 積 πR2/2で 割 れ ば 平 均 曲 率1/R2を

得

る. (2)  ベ ク トル(黒 塗 り)を 緯 度 線 に 沿 っ て平 行 移 動 す る と,ベ 周 す る と余剰角α2を 生 じる.こ

ク トル は 緯 度 線 に 相 対 的 に 回 転 し,1

の 様 子 は緯 度 線 に接 す る 円錐(b)を

切 り開 い て 展 開 面(c)を

つ

くれ ば わ か る.

つ く.例 え ば30度

の 緯 度 線(図2.4(a)のA-B-C-D-Eの

て 平 行 移 動 す るベ ク トル が,図

閉 曲 線)に 沿 っ

の 黒 塗 りのベ ク トル の よ うに 回 転 す る こ とは,

この 緯 度 線 で 接 す る 円錐 面 を切り 開 い て み れ ば理 解 で き る(図2.4(b),(c))

.

これ らの 図か ら共 通 して い え る こ とは,曲 面 上 で は あ る 閉 曲 線 に 沿 っ てベ ク ト ル を平 行 移 動 して 元 に も ど っ た と き,ベ い と い う こ とで あ る.こ

ク トル の 方 向 は一 般 に は 元 に も ど ら な

の角 度 の 差 を余 剰 角*4)と い う.こ の 余 剰 角 が 曲 面 の

曲 が り具 合 の 目安 に な る.こ の 余 剰 角 を ラ ジア ン で表 し た もの を閉 曲線 で 囲 む 領 域 の 全 曲 率 とい い,領 域 の 面 積 で 割 っ た もの を平 均 曲率 とい う.   例 え ば,半 径Rの

球 面 を考 え よ う.図2.4(a)で

北 極 点(イ)に

おける白

ぬ きのベ ク トル を,ま ず 赤 道 ま で下 ろ し(イ → ロ),次 に 赤 道 に 沿 っ て 経 度 に し て90度 動 か し(ロ → ハ),そ

こ か ら 子 午 線 に 沿 っ て 北 極 点 に も ど る(ハ →

イ)と,元

ず れ た 方 向 を 向 い て い て,イ

の ベ ク トル とは90度

積 で割 る と,平 均 曲率 が1/R2に

ロハ イで 囲む面

な る こ とが わ か る.円 錐 面 の 場 合 は 頂 点 を囲

む 閉 曲 線 の 場 合 以 外 は 全 曲 率 が0で

あ り,平 均 曲率 も頂 点 以 外 は0で

あ るの

で,見 か け は 曲 面 で も実 際 は平 ら な面 で あ る こ とが 曲 率 の値 に 正 直 に 現 れ る. *4)  原 語 はdeficit 一 す る.

angleな

ので

,欠

損 角 と訳 す の が 本 筋 か も し れ な い.こ

こで は余 剰 角 で統

直 線(曲 が っ た 空 間 で は 測 地 線 と い う)の 定 義 は2点 間 の 最 短 距 離 で あ る が, そ の 軌 跡 上 の す べ て の 接 線 ベ ク トル が 互 い に 平 行 移 動 に よ っ て得 られ る よ うな 軌 跡 とい う こ と もで きる.   微 分 幾 何 学 の 教 え る と こ ろ に よ れ ば,一 pμ(x)を 平 行 移 動 してB点(x+dx)に +dx)は,ク

般 の 座 標 系 でA点

の ベ ク トル

ま で も って い った と きの ベ ク トルp‖μ(x

リス トッフ ェ ル の 接 続 記 号(接 続 係 数)を 使 い

(2.14) と書 くこ とが で き る.こ の 式 を導 く と き に,pμ を移 動 した も の は も とのpμ か ら線 形 変 換 で得 られ,短

い 距 離 な らば 変 化 量 は 変 位dxに

比 例 す る とい う仮 定

を して い る.空 間 お よび 座 標 系 の性 質 はΓ λμν の 中 に 入 っ て お り,こ の 式 で定 義 し た平 行 移 動 は 任 意 の 空 間(曲 が っ た 空 間)で の 一 般 座 標 系 で 成 立 す る.と い う よ りは,空 間 の性 質 と,座 標 変 換 式 が 与 え られ れ ば ク リス トッ フ ェ ル の接 続 記 号 が 定 ま り,ベ ク トル の 平 行 移 動 式 が(2.14)に

よ っ て与 え ら れ る.こ の

ク リス トッ フ ェ ル の接 続 記号 が 基 準 を与 え る の で,異

な る座 標 系 で も論 理 的 に

首 尾 一 貫 し た事 象 の記 述 が 可 能 とな るの で あ る.

  2.2.3  ゲ ー ジ 場 の 幾 何 学 的解 釈   a.  ゲー ジ場 は 接 続 係 数   同様 の考 察 を,わ れ わ れ の 考 察 す る内 部 空 間 の ベ ク トル に 適 用 す る こ とが で き る.内 部 空 間 ベ ク トル ψ を時 空 内 で 平 行 移 動 した もの を 接 続 係 数 を使 って 定 義 で き る.一 般 座 標 系 の 接 続 ク リス トッフ ェ ル 記 号 は4次 元 時 空 の ベ ク トル pμ を つ な げ る の で 指 標 が3個

もあ り複 雑 で あ る が,幸

い な こ とに わ れ わ れ の

問 題 にす る場 の 量 は 内部 空 間 のベ ク トル で は あ っ て も,時 空 で は ス カ ラー 量 で あ る.こ の ため 時 空座 標 に 関 して は 簡 単 とな り,接 続 係 数Aμ は 指 標 を一 つ だ け もつ.平 行 移 動 の定 義 は 次 の よ うに な る.

(2.15) こ う して接 続 係 数 と して 導 入 したAμ が,実

は 電磁 場 ポ テ ン シ ャ ル に ほ か な ら

な い こ とは こ れか らの議 論 で 明 らか に な る.   接 続 の 意 味 を考 えて み よ う.空 間 が ユ ー ク リ ッ ド空 間 で あ り,座 標 系 が 直 線 直 交(デ

カル ト)座 標 系 で あ る と きは,ベ

ク トル の 成 分 は平 行 移 動 して も変 わ

ら な い の で 接 続 係 数 は あ ら ゆ る と こ ろ で0で 接 続 係 数 が 必 要 と な る.一

す る.直

基 底 とす る)で

か し,曲

線 座 標 を使 う と

例 を あ げ る と,図2.5でA点(座標x)に

ベ ク トルVA=(VA1,VA2)をB点(座 トル をVBと

あ る.し

標x+dx)ま

線 直 交(デ

お け る

で平 行 移 動 して得 られ るベ ク

カ ル ト)座 標(x,y方

向 の ベ ク トルex,eyを

は 同 じ成 分 を も つ. (VB1,VB2)=(VA1,VA2):デ

カ ル

ト座 標 系

 

(2.16)

しか し,極 座 標 を使 う と各 点 で の 基 準 座 標 系(各 点 で のγ 方 向 の ベ ク トルeγ と接 線 方 向 のベ ク トルeφ を基 底 とす る)は 各 点 で 異 な る.す な わ ち,座 標 系 が 移 動 に と もな って 回転 す るの で,ベ もつ.し

か し,式(2.14)の

ク トルVBは,各

地 点 で 異 な っ た成 分 を

よ うに 接 続 係 数 を使 っ てVBを

定 義 して お け ば,

図2.5  曲線 座 標 を使 う と接 続 係 数 が 現 れ る のベ ク トルVAを,B点(x+dx)に 平 行 移 動 し た も の をVBと

A点(x)で

共 通 の 直 線 直 交(デ

カル ト)座 標(x,y)を

座 標(γ,θ)を 使 う とA点

使 え ば両 者 の 成 分 は 等 しい.し

で の 基 準 座 標 系 とB点

す る. か し極

で の 基 準 座 標 系 はdθ だ け 回 転

して お り成分 は 等 し くな い.そ こ で接 続 係 数 を 使 っ て 平 行 移 動 を定 義 す る.上 の 例 で はB点 で のベ ク トル の成 分 は

複素表示 にす ると し た が っ て,接 続 係 数 は

とな る.こ

れ は 平 面(と い う空 間 の性 質)と,そ

の 上 での 回 転 角 を与 え られ た の

で,Aμ

が 計 算 で き た例 で あ る が,一

般 に はAμ を 与 え て平 行 ベ ク トル を 定 義 す

る.Aμ

の な か に 空 間 の 性 質 情 報 が 含 ま れ て い る*5).

*5) 微 分 幾 何 で は一 般 に ,反 変 ベ ク トル と共 変 ベ ク トル を定 義 す る.基 底 ベ ク トル の 長 さ も 場 所 の 関数 とな る.こ こで は,極 座 標 の 基 底ベ ク トル を単 位 ベ ク トル に とって 話 を簡 単 化 して い る.

座 標 系 が 回転 して もVBが

元 のVAと

同 じ向 き を もつ ベ ク トル で あ る こ とが 保

証 さ れ る.   各 点 で の 基 準 座 標 系 が,元 の 座 標 系 に相 対 的 に 回転 し て い る こ とが,運 動 と と もに座 標 系 が 回 転 す る とい うこ との 意 味 で あ る.こ の 例 で は も と も と平 らな 平 面 で の 違 う座 標 系 間 の 比 較 で あ るの で,デ

カル ト座 標 系 に も ど っ て み れ ば,

平 行 の 意 味 は一 目瞭 然 で あ る.し か し,こ の 面 が 球 面 で あ っ た とす れ ば こ の 空 間 はユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 成 立 しな い 曲 が っ た空 間 で あ り,そ も そ もデ カ ル ト 座 標 系 は 存 在 し え な い.   例 え ば,球

面 上 で 同 緯 度 の2点

を結 ぶ最 短 距 離 は,緯 度 線 で は な く2点 を結

ぶ 大 円上 に あ る こ とは,地 球 儀 で航 空路 をな ぞ っ た こ と の あ る 人 は誰 で も知 っ て い る.接 線 ベ ク トル を軌 跡 に 沿 っ て平 行 移 動 した もの が 再 び 接 線 ベ ク トル に な っ て い る よ うな 軌 跡 が最 短 距 離 の 道(測 地 線)を 与 え るが,測 地 線 に 沿 っ て は 緯 度 線 と経 度 線 に基 づ く座 標 系 は各 点 で 連 続 的 に 回 転 して い る(回 転 の 大 き さ と方 向 は 一 定 で は な く場 所 の 関 数 で あ る).   座 標 系 は 各 地 点 で 任 意 に 設 定 で き る もの で あ る が,空

間 の 性 質 が 与 え られ,

ま た い っ た ん座 標 系 を 設 定 す る と,接 続 係 数 は ど の よ う に平 行 移 動 す れ ば よい か,ど

の よ うに 進め ば最 短 距 離 とな るか を教 え て くれ る.接 続 係 数 が 空 間 の性

質 の 情 報 を含 ん で い る とは この こ と を意 味 す る.空 間 が 曲 が って い る と どん な 座 標 変 換 を もっ て して も,デ カ ル ト座 標 に 移 る こ とは で き な い.つ

ま り,全 空

間 で接 続 係 数 を0に す る こ と は で きな い.   b.  電 磁 場 は 曲 率   電 磁 場 ポ テ ン シ ャ ル が 接 続 係 数 と して の 役 割 を は た して い る な らば,接 続係 数 の もつ この 幾 何 学 的 意 味 は電 磁 場 が 存 在 す る と空 間 が 曲 が る こ と を暗 示 す る.た だ し,こ の 空 間 は4次 元 の 時 空 に 内 部 空 間 を合 わ せ た 超 空 間 で あ る.そ こ で こ の 内 部 空 間 のベ ク トル を 図2.6の

閉 曲 線 に 沿 っ て 平 行 移 動 した場 合 の余

剰 角 を求 め て み よ う.dxμdxν の つ くる 四辺 形 に 沿 っ て 回 り,ス

トー ク ス の 定

理 を使 え ば,

(2.17)

図2.6 

で あ る.そ

あ る点(xμ,xν)で の平 均 曲率 を求 め るた め の 閉 曲路

の と き の 余 剰 角 をΔ α,ψ を 回 転 し た 結 果 が ψ'に な る と す る と,  で あ る か ら, 

に,平

で 与 え ら れ る.ゆ

え

均 曲率 は

(2.18) とな り,電 磁 場 は こ の超 空 間 で の 曲率 そ の もの で あ る こ とが わか る.し

たが っ

て,電 磁 場 が 存 在 す る こ とは この 空 間 の 曲率 が有 限 で あ る こ と,つ ま り空 間 が 歪 ん で い る こ と を意 味 す る.   c.  曲 率 を決 め る方 程 式   マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 は 電 荷 や 電 流が 存 在 す る と超 空 間 が 歪 む こ と,超 空 間 の 曲率 が 電 荷 の分 布 で決 ま る こ とを意 味 す る.

(2.19) そ こ で,次 の 解 釈 が 成 立 す る.  "ゲ ー ジ場 は 時 空 と内部 空 間 を合 わせ た 超 空 間 で の 接 続 係 数 で あ り ,電 磁 場 は こ の 超 空 間 の 曲 率 で あ る.こ の 超 空 間 の 曲率 は 電 荷 分 布 に よ り決 ま る."   上 の論 理 は重 力理 論 に 完 全 に平 行 して い る.ク

リス トッ フ ェ ル の 接 続 を 閉 曲

線 上 で動 か す と,時 空 の 曲率(リ ー マ ン の 曲 率 テ ン ソル)を 得 る.ア

インシュ

タインの方程 式

(2.20) は,時 空 の 曲率 テ ン ソ ルRμν(と 曲率R=gμνRμν)を 決 め る方 程 式 で あ り,決 め る要 因 は エ ネ ル ギー 運 動 量 テ ン ソルTμν す な わ ち物 質 の 分 布 で あ る.GNは

万 有 引 力 定 数 で あ る.Rμν は リ ッチ の テ ン ソ ル とい い,リ ー マ ンの 曲率 か ら指 標 を縮 約 して 得 られ る が,こ

の 式 の 精 密 な定 義*6)は この 際 重 要 で な い.何 が

何 を決 め る とい う物 理 的 因果 関 係 の み を把 握 して ほ しい.重 力 の 方 程 式 は,時 空 の 曲率 が エ ネ ル ギー 運 動 量 テ ン ソル つ ま り物 質 の 分 布 で決 ま る こ と を意 味 す る.

  2.2.4  等 価 原 理 と共 変 微 分   a.  ア イ ンシ ュ タイ ンの 等 価 原 理   再 び微 分 幾 何 学 の 教 え に 習 う と,平 行 移 動 が 定 義 され れ ば一 般 座 標 系 で の微 分 が 定 義 で き る.

(2.21a) (2.15)を

使え

ば

(2.21b) これ を共 変 微 分 とい う.共 変 微 分 は接 続 係 数 が0の 場 合(直 線 直 交 座 標 系 の 場 合)通 常 の 微 分 に 一 致 す る.共 変 微 分 で 書 い た 方 程 式 は 共 変 で あ る.す

なわ

ち,方 程 式 は,任 意 の 一 般 座 標 変 換 で 同 じ形 を保 つ とい う一 般 相 対 性 原 理 を満 たす.こ

の こ と 自体 は 幾 何 学 の 問 題 で あ り物 理 的 内容 は何 もな い.物 理 は 自然

の 選 択 す る空 間 が何 か を見 きわ め,そ

の 空 間 で ど の よ うな 運 動 方 程 式 が 成 り立

つ か を決 め る こ とに あ る.時 空 の性 質 は ア イ ン シ ュ タ イ ン の 方程 式 で 決 ま る. 質 点 の運 動 方 程 式 は 次 の よ うに して 決 め られ る.ア イ ン シュ タ イ ン は,等 価 原 理"重

力 とは 加 速 系 に お け る慣 性 力 で あ る"を 要 求 した.等 価 原 理 は,ど ん な

*6)  一 般 相 対 論 で は

,時

座 標 変 換 を 扱 う.ク

で与 え られ,ベ で 定 義 さ れ る.行

空 の 計 量 を,dS2=gμν(x)dxμdxν

不 変 に す る一 般

ク トルの 平行 移 動 は 列[Γμ]ρσ=Γρσμ を 導 入 す る と,リ

チ の 曲 率 テ ン ソ ルRμν は,

で定義 され る.

で 定 義 し,dS2を

リス トッフ ェル の接 続 係 数 は

ー マ ン の 曲 率 テ ン ソ ルRρσμνと リ ッ

空 間 で あ れ 局 所 的 に は 慣 性 系(ロ ー レ ン ツ不 変 性 の 成 立 す る空 間)が 必 ず 実 現 で き る こ と,す な わ ち接 続 係 数 を0に す る座 標 変 換 が,少

な くも あ る一 点 で は

必 ず 存在 す る こ と を要 求 す る.必 ず 実 現 で き る こ とは,数 学 的 に は と もか く物 理 的 に は 次 の よ うに して わか る.ア イ ン シュ タ イ ン の示 唆 に 従 いエ レベ ー タ に 乗 っ て か ら綱 を切 るか,こ

れ で は 気 持 ち が 悪 い とい う人 は 人 工 衛 星 に 乗 れ ば よ

い.い ず れ にせ よ 自由 落 下 状 態 を実 現 す るわ け で あ り,こ こ に は重 力 が 存 在 し な い(図2.7). す な わ ち慣 性 系 が 局 所 的 に実 現 す る.慣 性 系 で の運 動 法 則

(2.22)

(b)

(a) 図2.7 

等

価

原

理

(a)  (ク リス トッ フ ェ ル の)接 続 係 数 を少 な く と も時 空 の 一 点(Aま た はB)で 0に す る座 標 変 換 が 存 在 す る.エ レベ ー タに 乗 り綱 を切 れ ば よ い.こ の エ レベ ー タ の 中 は無 重 力 で あ り,ロ ー レ ン ツ不 変性 が 成 立 す る. (b)  しか し,重 力 が 存 在 す る と き(空 間 が 曲が っ て い る と き),A,Bを 含む広領 域 で 同 時 に 接 続 係 数 を0に す る(無 重 力 に す る)変 換 は 存 在 し な い.(b) に お け るエ レベ ー タ 内 で はA点 お よ びB点 に あ る物 体 は 時 間 が 経 つ と互 い に近 よ る こ とが観 測 さ れ るか ら,慣 性 系 で は な い.つ ま り重 力 が 存 在 す る.こ

の こ とは ロ ー レ ンツ 不 変 に す る座 標 変 換 は場 所 の 関 数 で あ る こ と を

示 す.す

な わ ち,局 所 ロ ー レ ン ツ 不 変 性 の み 成 立 し,大 域 ロー レ ン ツ不 変

性 は 成 立 しな い.(a)の 般 座 標 変 換 す れ ば(エ られ る.

エ レベ ー タ 内 で は 慣 性 の 法 則 が 成 立 し,そ れ を 一 レ ベ ー タか ら 下 りれ ば)重 力 下 で の 力 学 の 法 則 が 得

  た だ し, 

で,τ は 固有 時 

は知 って い る

か ら,こ こ で の 微 分 を共 変 微 分 に 置 き換 えれ ば一 般 座 標 系 で 成 立 す る運 動 方程 式 と な る.重 力 の 存在 す る系 に も ど るに は エ レベ ー タか ら降 りれ ば よ い.す な わ ち,加 速 度 系 に も どれ ば(一 般 座 標 変 換 を施 せ ば)重 力 が 出 現 す る.共 変 微 分 で 書 い て あ る運 動 方 程 式 は こ の系 で も同 じ形 で成 立 す る か ら,重 力 下 の運 動 方 程 式 が 得 られ た.つ

ま り慣 性 系 で の運 動 方 程 式(2.22)の

微 分 を共 変 微 分 で

置 き換 え た

(2.23) が 重 力 の 存 在 す る空 間 で の運 動 方程 式 を与 え る.こ れ は 曲 が っ た 空 間 で の 測 地 線 を与 え る.   物 質 の 存 在 に よ り空 間 が ど の よ うに 曲 が り,曲 が っ た 空 間 で の 直 線(測 地 線)が

どの よ うに な る か を絵 画 的 に 表 し た の が 図2.2の

絵 で あ っ た.こ の 曲

が っ た 空 間 で物 体 は 測 地 線 上,慣 性 系 で あ れ ば 直 線 で あ っ た で あ ろ う線 上 を動 く.   b.  ゲ ー ジ 理 論 で の 等 価 原 理   ゲー ジ理 論 で の 等 価 原理 は "ど ん な接 続 係 数(ゲ ー ジ場)で

あ れ ,あ る一 点 に 限 れ ば 接 続 係 数(ゲ す る内部 座 標 変 換(ゲ ー ジ変 換)が 必 ず 存 在 す る"

ー ジ場)を0に とな る.そ の 条 件 式 は

(2.24) で 与 え ら れ,そ

こ で は 自 由場 の 方程 式

(2.25) が 成 立 す るか ら,曲 が っ た空 間(電 磁 場 が 存 在 す る と き)の 方 程 式 は,通 常 の 微 分 を共 変 微 分 で 置 き換 え た

(2.26) で なけ れ ば な らな い.す

な わ ちゲ ー ジ 原理 の 要 求 す る も の と一 致 す る.

  い ま 空 間 の あ らゆ る と こ ろで 接 続 係 数 を0に す る条 件 を 求 め て み よ う.式(2.24)が が 積 分 可 能 で あ る こ と,す な わ ち

で き る よ うな ゲ ー ジ変 換 が 存 在

αにつ い て 局 所 的 に解 け る 条 件 は,α

(2.27) で あ る の で,式(2.24)と

あ わ せ て,

(2.28) を得 る.つ る.図2.4で

ま り電 磁 場 の 存 在 しな い こ とが 超 空 間 が 平 坦 で あ る こ との 条件 と な 求 め たAμ は そ の よ うな接 続 係 数 の 例 で あ る.こ の例 は,も

とも

とが 平 坦 な 空 間 に お い て 人為 的 に 曲 線 座 標 を 導 入 した結 果 と して現 れ た 接 続 係 数 で あ るか ら,適 当 な 座 標 変 換 に よ り直 線 直 交座 標 に も どれ る こ と,す な わ ち 全 空 間 で 接 続 係 数 を0に す る座 標 変 換 が 存 在 す る こ とは 明 白 で あ ろ う.   c.  重 力理 論 は ゲ ー ジ理 論   重 力 理 論 をゲ ー ジ理 論 の 立場 で再 解 釈 す る と, 表2.1 ゲージ理論と一般相対性理論 との対応関係

*  τは 固有 時 を表 す.dτ=(1-β2)1/2dt

"慣 性 系 で は ロー レ ン ツ不 変 性 が 成 り立 つ .ロ ー レ ン ツ 変 換 は位 相 変 換 の 形 を して お り,速 度 と回 転 角 をパ ラ メ ター と して 含 む.こ

の パ ラメ

ター は時 空 の座 標 に よ らな いの で,大 域 ゲ ー ジ変 換 に 対 応 す る.ロ ー レ ン ツ変 換 が 局 所 変 換 で あ れ ば,す

な わ ちパ ラ メ ター が 時 空 の 関数 で あ れ

ば これ は一 般 座 標 変 換 とな る.一 般 相 対 性 原 理 は局 所 ロー レ ン ツ不 変 性 とい い換 え られ る."   重 力理 論 と通 常 の ゲ ー ジ変 換 との 大 きな違 い は,ゲ ー ジ変 換 の 場 合 は 平 行 移 動 す べ き対 象 が 内部 空 間 量 で あ るた め,接 で あ り,4成

続係 数 は 時 空 に 関 して は指 標 が1個

分 の ベ ク トル の よ うに振 る舞 う.ま た超 空 間 が 歪 ん で も ロー レ ン

ツ不 変 性 は保 たれ て い る.重 力 理 論 の 場 合 は一 般 座 標 変 換 を施 す の で ロー レ ン ツ不 変 性が 成 立 しな い.す ネ ル ギ ー運 動 量]と

な わ ち 時 空 が 歪 む.ま た,平 行 移 動 す べ き量 が[エ

い う時 空 のベ ク トル で あ るた め 接 続 係 数 の指 標 が 三 つ も あ

る.た だ し,重 力 の 場合 の 接 続 係 数 は,時

空 の 計 量 テ ン ソルgρσ(xμ)の微 分 と

し て求 め られ,こ の 計 量 テ ン ソ ル が 重 力 ポ テ ン シ ャル を与 え るの で,グ トン の ス ピ ン は1で

ラヴィ

な く2で あ る.最 後 に こ れ ま で の ま とめ を 表2.1に

掲げ

る.

2.3 

ア ハ ロ ノ フ-ボ ー ム 効 果

  こ れ ま で の 考 察 に よ れ ば,物

質 場 の ゲ ー ジ 変 換 の 自 由 度 は,内

の と り方 の 自 由 度 と解 釈 で き る こ と が わ か っ た.接 変 わ る 量 で あ り,電 が 真 の 物 理 量 で,Aμ

続 係 数Aμ

部 空 間 の座 標

は ゲ ー ジ変 換 で

磁 場 の 情 報 は ゲ ー ジ 不 変 なFμ νに 含 ま れ て い る か ら,Fμ は 単 な る 補 助 手 段 に す ぎ な い よ う に 見 え る.古

ス ウ ェ ル 理 論 で は そ う習 っ た.し

で あ りFμν で は な い.実

理 量 で あ り,か

つFμν よ り 基 本 的 な 役 割 を 果 た し て い る こ と は,ア

フ-ボ ー ム 効 果 は,量

典 的 マ ク

か し ラ グ ラ ン ジ ア ン を眺 め る と カ レ ン トと結

合 す る の はAμ

ボ ー ム 効 果(Aharonov-Bohm

ν

際,量

effect)に

子 力 学 で はAμ

が観 測可 能 な物 ハ ロ ノ フ-

よ っ て 知 る こ と が で き る.ア

ハ ロ ノ

子 効 果 の 典 型 例 と して 有 名 な物 質 波 に よ る 干 渉 効 果 に磁

場 の 効 果 を 加 え た も の で あ る(図2.8(a)).   ま ず 電 磁 場 が な い 場 合,R点(x)に

お け る 波 動 関 数 は,P点(x0)で

発 生 し

た 電 子 波 を,ス

リ ッ トQ(S)を

通 る 道 筋 をC1(C2)と

し,そ

れ ぞれの ス リッ ト

を 通 っ て き た 波 動 関 数 を ψ1,ψ2,そ の 位 相 を α1,α2とす る.R点(x)に

お け る

粒 子 分 布 は,

(2.29a) で 与 え られ る.こ の こ とから 位 相 の絶 対 値 は観 測 量 で は な いが 位 相 差 は観 測 量 で あ る こ とが わか る.   次 に,ソ

レ ノ イ ド磁 場 を図 の よ うに 電 子 の通 行 路 か ら は るか に 離 れ た とこ ろ

に お く と し よ う.コ イ ル を十 分 細 くし外 に磁 場 が 漏 れ な い よ うに 十 分 長 く して や れ ば,電

子 が 直 接 磁 場 を感 じる こ と は な い.磁 場 が 存 在 せ ず と も,ベ ク トル

ポ テ ン シ ャ ルAμ(x)が

存 在 し て もか ま わ な い.磁 場 が 存 在 し な い と き は,

 の 条 件 か ら,許 され る ポ テ ン シ ャル は,

(2.30a)

(a)

(b) 図2.8 

ア ハ ロ ノ フ-ボ ー ム 効 果

(a)  電 子 の 波 動 性 を示 す 実 験 で は 干 渉 パ タ ー ン が 現 れ る.電 子 の 通 路 か ら十 分 離 れ た と こ ろに,漏 れ の な い磁 場 を設 定 す る と,干 渉 パ ター ン が 変 化 す る. 磁 場 の な い と こ ろ で も電磁ポ テ ン シ ャ ル は0で

な く,電 子 の位 相 変 化 を与

え る こ とが で き る こ と を示 す. (b)  磁 束 の 量 子 化.超 伝 導 リ ン グ の 中 に 周 回 電 流 が あ る と き,リ 磁 束 は 量 子 化 され る.

ングの内側 の

と 書 け る.ポ

テ ン シ ャ ル を0か

要 求 か ら,波

動 関数 は,

ら 式(2.30a)に

変 換 す る と,ゲ

ー ジ不 変 性 の

(2.30b) と な る.式(2.30)をf(x)に

つ い て解 け ば

(2.30c) を 得 る.(2.30)を(2.29a)に

代 入 す れ ば,干

渉 パ ター ン は,

(2.29b) と な る.∮

は,C1,C2で

囲 む 閉 回 路 に つ い て の 線積分

存 在 し な け れ ば 積 分 は ゼロ と な り,干 道 筋C1,C2で

で あ る.ど

渉 パ タ ー ン は 変 わ ら な い.し

囲 む 閉 回 路 の ど こ か に 磁 場 が 存 在 す れ ば,閉

ゼ ロ で は な い.す

こ に も磁場 が か し,も

し

回路 の 中の磁 束 は

な わ ち,

(2.31) で あ り,電

子 は磁 場 の な い とこ ろ を通過 す る に も関 わ らず磁 場 の 存 在 を感知 し

て 干 渉 パ タ ー ン が 変 わ る と い う の が 式(2.29b)の

予 告 す る と こ ろ で あ る.こ

れ は 実 際 に 実 験 的 に 確 か め ら れ て い る9).   も う 一 つ の 興 味 あ る 応 用 例 は,超 で あ る(図2.8b).マ い.し

か し,(2.29)に

にexp(ieΦ)だ

伝 導 体 閉 回路 に 定 常 電 流 が 流 れ て い る と き

イ ス ナ ー 効 果 に よ り超 伝 導 体 の 中 に は 磁 場 は 存 在 し な よ り周 回 し て い る 電 子 の 波 動 関 数 に は,回

け の 余 分 な 位 相 因 子 が 加 わ る こ と に な る.電

転 す るた び

子 の 波 動 関 数 が1

価 で あ る と い う要 求 か ら,

(2.32) す な わ ち,磁 束 が 量 子 化 さ れ る.こ れ も ま た実 験 的 に確 か め られ て い る10).た だ し,こ の と き の磁 束 の 値 は(2.32)の 状 態 が 電 荷2の

正 確 に1/2で

あ っ た が,こ

クー パ ー 対 に より 引 き起 こ さ れ る とい うBCS理

れ は超 伝 導

論 と整 合 して

い る.   位 相 を 内 部 空 間 の 座 標 回 転 角 度 と見 な す 幾 何 学 的 解 釈 で は,全 磁 束Φ は こ の 閉 回 路 に お け る全 曲率 と い う意 味 づ け を もつ .先 端 を丸 くし た円 錐 面 を考 え

る と(図2.3(a))ア

ハ ロ ノ フ-ボ ー ム 効 果 の理 解 が 容 易 で あ る.丸

い ところは

磁 場 の 存 在 す る と こ ろ で そ こは 空 間 が 曲 が って い る.し か し,他 の と こ ろ は平 ら な 空 間 で あ り,電 子 波 は この 平 ら な空 間 を通 る軌 跡 を描 く.し か し,円 錐 面 を切 り開 い た 図 で 見 れ ば わ か る よ うにCBA,CDEの

軌 跡 が 測 地 線 で あ り,展

開 面 上 で測 地 線 に 沿 っ た 接 線 ベ ク トル(接 続 係数Aの も円 錐 面 に も どす と,A(E)点

方 向)は 平 行 で あ って

で は道 筋 に よ り方 向 が 変 わ り余 剰 角 が 生 じて い

る.電 子 は 常 に平 ら な空 間 を通 過 して き た に もか か わ らず全 体 と して 空 間 が 曲 が って い るた め に 電 子 は そ れ を感知 し,そ の 結 果 が 干 渉 縞 の 変 化 と して現 れ る の で あ る.こ の 場 合 ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAは

コ イ ル の 外 で0で は な い こ と

に 注 目 しよ う.全 域 に わ た っ て ポ テ ン シ ャル を0に で き る 条 件 は 磁 場 が0で る と き の み で あ り,少 な くも あ る 部 分 に 磁 場 の 存 在 す る こ とが,Aを 沿 っ て積 分 した と きに0に

あ

道筋 に

な らな い こ と を保 証 して い る.相 対 論 を認 め れ ばす

べ て の 動 作 は近 接 作 用 で なけ れ ば な らな い か ら,電 子 に 作 用 して 軌 跡 を 曲 げ る の は 磁 場 で は な くベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAで

な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,

電 磁 場Fμν の み で は ア ハ ロ ノ フ-ボ ー ム 現 象 の 記 述 が 不 十 分 で あ り,Aμ わ な け れ ば な ら な い.そ の よ う な 意 味 で,Aμ ち,し

を使

の 方 が よ り大 き な 情 報 量 を も

た が っ て よ り基 本 的 な 物 理 量 で あ る とい え る.上 の 考 察 か らベ ク トル ポ

テ ン シ ャ ル もま た 絶 対 値 は観 測 不 可 能 で あ るが,二 つ の ベ ク トル ポ テ ン シ ャル の 差(曲 率)は

観 測 量 で あ る こ とが わか っ た.こ

の 観 測 量 は 式(2 .31)の 表 式

か らわ か る よ うに ゲ ー ジ不 変 量 で あ る.

2.4  ヤ ン-ミ ル ズ 場(非

  い ま ま で は 内 部 空 間 は2次 元,あ 空間 の 次 元 数 を増 や して,n次

可 換 ゲ ー ジ 場)

るい は複 素1次

元 と して 扱 っ て きた.内 部

元 複 素 空 間 に拡 張 して も今 ま で の議 論 は ほ とん

ど そ の ま ま適 用 で き る.た だ し,n≧2の

複 素 空 間 に な る と,座 標 変 換 を二 重

に 施 し た と き,順 序 を 変 え る と違 う変 換 に な る(非 可 換 に な る).こ の た め ゲ ー ジ場 の 満 た す 方 程 式 が 非 線 形 とな り,数 学 的 な取 扱 い が や や 複 雑 に な る. 内 部 空 間 を2次 元 複 素 空 間 に拡 張 す る こ とは,SU(2)(ア

イ ソ ス ピ ン)対 称 性

を導 入 す る こ とに 等 しい.強 い 相 互 作 用 に お い て は ア イ ソ ス ピ ン不 変 性 が 近 似

的 に 成 立 す る.こ

れ はuク

ォ ー ク とdク

ォ ー ク の 入 れ 替 え 対 称 で あ り,

(2.33) で 表 さ れ るu',d'を の 変 換 は,一

使 っ て も運 動 方 程 式 は 変 わ ら な い と い う こ と で あ る.こ

般 性 を 失 う こ と な く,

(2.34) と 書 き 直 せ る.一

般 にSU(n)変

エ ル ミ ー ト行 列τa(生 書 け,し

換 は,n2-1個

成 子;generator)と

か も群 と し て の 性 質 は,τ

のn×nの

無 軌 跡(traceless)

実 変 数 αaを 使 っ て(2.34)の

形 に

の 表 示 を 決 め る と交 換 関 係

(2.35) に よ り本 質 的 に 決 ま る.こ 造定 数 と呼 ば れ る.SU(2)の

こ にfabcはabcに

つ い て 完 全 反 対 称 な 定 数 で,構

場 合は

(2.36) で あ る.N次

元 表 現 空 間 のN個

の 基 底 ベ ク トル で つ く るベ ク トル の座 標 成 分

は,(2.35)の

交 換 関 係 を満 た すN×Nの

表 現 行 列taに よ り変 換(回 転)を 受

け る.

(2.37) N=n(ta=τa/2)の resentation)と る が,結

と き 基 本 表 現,N=n2-1の い い 特 に 重 要 で あ る.以

論 は 一 般 のSU(n)対

場 合 を 随 伴 表 現(adjoint 下,話

はn=2の

rep

ア イ ソス ピンで進め

称 性 に 適 用 で き る.

  行 列τaが 非 可 換 で あ る た めUも

ま た 非 可 換 で あ る.こ

の よ うな 対 称 群 を非

可 換 群 ま た は 非 ア ー ベ ル 群 と い う.式(2.34)のSU(2)変

換 は位 相 変 換 の 形

を し て い る こ と に 注 目 し よ う.た

イ ソ ス ピ ンIを

つ と き は,N=2I+1)行1列 列 と な っ て い る.SU(2)変

だ し,今

度 は ψ がN(ア

の 列 ベ ク トル で あ り,位

も

相 変換 演 算子 もまた行

換 で ラ グ ラ ン ジ ア ン が 不 変 で あ れ ば,ネ

ー ター の

定 理 に よ り保 存 す る ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン ト し た が っ て 保 存 量 ア イ ソ ス ピ ン が 存 在 す る.ア

イ ソ ス ピ ン変 換 の生 成 子 の 交 換 関 係 は角 運 動 量 の 交 換 関 係 とま っ た

く 同 一 で あ る か ら,内

部 空 間(ア

イ ソ ス ピ ン 空 間)で

の ア イ ソ ス ピン の演算

は,時 空 で の角 運 動 量 演 算 と数 学 的 に は ま っ た く同一 で あ り,ゲ ー ジ変 換 の 自 由度 が 座 標 回転 の 自由 度 で あ る とい う幾 何 学 的 解 釈 は,直 観 的 に は よ り受 け 入 れ られ や す い.   こ こ で,ゲ ー ジ変 換 を局 所 化 す れ ば 相 互 作 用 を含 む ゲ ー ジ理 論 が 得 られ る. SU(2)群

の ゲ ー ジ場 は ヤ ン-ミ ル ズ に よ りは じめ て 与 え られ た の で ヤ ン-ミ ル

ズ場 と もい う.ゲ ー ジ場 の 導 入 は 平 行 移 動 の 式(2.15)を よ い.た

だ し,今 度 は ψ が 内部 空 間 でN個

(行 列 表 示 の と きはΨ の 行 列Aμ

そ の ま ま適 用 す れ ば

の成 分 を もつ の で,ψa(a=1∼N)

で 表 す)で 表 す こ と に す る と,接 続 係 数 も ま たN×N

とな る.生 成 子 の表 現 行 列taを 使 って 展 開 す れ ば,

(2.38) と表 さ れ るか ら,非 アー ベ ル 群 の場 合 は ゲ ー ジ場 が生 成 子 の 数 だ け あ る こ とに な る.SU(2)の

場 合 は3個,SU(3)の

場 合 は8個

で あ る.接 続 係数Aμを

使

え ば,平 行 移 動 は 行 列 形 式 で

(2.39) と定 義 で き る.た

だ し,

(2.40)

ま た は,成 分 で書 き表 せ ば,

(2.41) gはU(1)ゲ

ー ジ理 論 の 電荷eに

対 応 す る も の で,場 の もつ ア イ ソ ス ピ ン量 子

数 に 比 例 す る結 合 定 数 で あ る.対 応 す る共 変 微 分Dμ は

(2.42) で あ り,ま た局 所 ゲ ー ジ変 換

(2.43) に対 応 す る ゲー ジ場 の 変 換 は,運 動 方 程 式 を不 変 にす る とい う要 請 か ら得 られ る.Dμ →Dμ'と す る と き,

(2.44) よ り,Aμ

の 変 換 性 が 得 ら れ,

(2.45) こ こ でUと

して 微 小 変 換(α を微 小 量 と考 え る)を と り,O(α)ま

で の 項 を具

体 的 に 成 分 で書 き下 ろす と,

(2.46) と表 現 行 列tに

よ ら な い形 とな る.内 部 空 間 に つ い てベ ク トル 表 示 に す る と

(2.47) と な る.た

だ し,fabcαbAcμ

を α ×Aμ と 表 し た.こ

に は な か っ た 新 し い 項 で あ る.こ 空 間 で 回 転 す る こ と を 示 す.す 受 け る 量,い あ り,ア

い 換 え れ ばΨ

イ ソ ス ピ ン1を

対 象 と な る こ と(ゲ (2.17)と る.今

な わ ち,ゲ

ー ジ場Aμ

自 身 も内 部 空 間 で 回転 を

と同 じ く 内 部 空 間 の ベ ク トル と し て 変 換 す る 量 で

もつ こ と を 示 す.つ

ま り ゲ ー ジ 場 自 身,ゲ

ー ジ変 換 の

ー ジ 場 自 身 が 力 の 源 泉 と な り う る こ と)を 示 す.曲

が 行 列 で あ り,非

す 必 要 が あ る.簡 ど)を

の 表 式 の 意 味 は ゲ ー ジ 変 換 に よ りAμ が 内 部

同 様 に 接 続 係 数 を 小 閉 曲 線(図2.6)の

度 はAμ

の 項 が アー ベ ル ゲ ー ジ 変 換

単 の た め,x-y平

可 換 な の で,平

率 は式

周 り を 平 行 移 動 して 得 られ 行 移 動 の順 序 に 注 意 して 動 か

面 で 動 か す こ と に し,他

の 変 数(z,tな

省 略 して 書 け ば

(1)  P→Qへ

の平 行 移 動

(2.48a) (2) Q→Rへ

の平行移動

(2.48b) P→Q→Rに

沿 って 平 行 移 動 して得 られ る Ψ をΨ‖PQRと 書 く と

(2.49) R→S→Pの

移 動 は,P→S→Rの

移 動 の 符 号 を 逆 に し て 得 られ,P→S

→Rの る.結

移 動 は,P→Q→Rの

移 動 の 式(2

.49)か

らx〓yの

交 換 で 得ら れ

局,

(2.50) (2.17)と

比 較 し て,ア

ー ベ ル 群 の 電 磁 場Fμν に 対 応 す る 量 は,

(2.51) と な る.第2番

目の 等 式 は 実 際 に 演 算 を実 行 して み れ ば 証 明 で き る.最 右 辺 の

式 は 見 か け 上 は微 分 演 算 子 を含 む が,交 換 関 係 を と った もの は微 分 演 算 を含 ま な い.可 換 群 の 場 合 は[Aμ, Aν]=0で

あ るの で電 磁 場 の 式 に 帰 着 す る.

(2.52) で あ る の で,Fμν

も ま たtaで

展 開 で き て,

(2.53a) (2.53b) と な る.Fの

ゲ ー ジ 変 換 式 は(2.51)よ

り,

(2.54) Fμν は 行 列 で あ る の で,Fμν

とFμν'は 等 し く な い.す

のFμν は ゲ ー ジ 不 変 量 で は な い.ゲ

な わ ち,非

ア ー ベ ル場

ー ジ不 変 な ラ グ ラ ン ジ ア ン をつ く る と き

は

(2.55) を用 い れ ば よ い.テ

ン ソル 場 の 共 変 微 分 は,図2.9の

よ う な 経 路 に 沿 って Ψ

を平 行 移 動 して や れ ば よ く,結 果 は

(2.56) と な る.第2の

等 式 は実 際 に演 算 して み れ ば わ か る.

場 を決 め る 方程 式 は マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 に 習 っ て

(2.57a) と す れ ば よ い.た

だ し

(2.58) は,場

を 生 み 出 す ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン トで あ る.表

現 行 列taを

分 離す る と

Aを

図2.9 Fμν の 共 変 微 分DλFμν を得 る た め の径 路 囲 む 径 路 でFμν(xμ, xν, xλ+dxλ)が 得 られ,Bを 囲 む 径 路 で-Fμν(xμ, xν, xλ)

が 得 られ る. 図 の よ う な順 序 で Ψ を平 行 移 動 して い け ば,Fμν の共 変 微 分 が得 られ る.

(2.57b) と な る.ヤ

コビ の恒 等 式

(2.59) に(2.56)を

入れ れば

(2.60) が恒 常 的 に 成 立 す る.こ れ は,実 際 に源 が あ る な しに か か わ らず 成 立 す る.運 動 方程 式(2.57)を

導 くラ グ ラ ン ジ ア ン密 度 は

(2.61) で あ る.こ

れ で マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 に 対 応 す るSU(2)ゲ

揃 っ た こ と に な る.ゲ

ー ジ 場 の ラ グ ラ ン ジ ア ン(2.61)に

う に 質 量 項 は 存 在 し な い.注

ー ジ場 の 方 程 式 が は,電

意 す べ き こ と は(2.53),(2.57)に

3次 の 項 が 存 在 し 非 線 形 の 方 程 式 と な っ て い る こ と で あ る.こ 身 が ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン ト を 担 い,自 る.フ

ォ トン(電

磁 場)は

磁 場 と同 じ よ はAμ

の2次,

れ は ゲ ー ジ場 自

分 自 身 で 場 を つ く り出 せ る こ と に 対 応 す

電 気 的 に は 中 性 で,自

身 で は 場(フ

ォ ト ン)を

つ く

り だ せ な か っ た の と 大 き な 違 い で あ る.   強 い 相 互 作 用 は,ク 由 度 は3で

ォ ー ク の もつ カ ラ ー が 原 因 と し て 発 生 す る.カ

あ る か ら,量

dynamics)は,SU(3)群 に つ い て は,い

ラー の 自

子 化 さ れ た カ ラ ー 力 学(QCD:quantum

chromo

に 基 づ い た 非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 で あ る.そ

ま ま で 議 論 し て き た こ と が そ の ま ま 適 用 で き る.違

の構造

い はn=2

が3に

な る こ と,そ の 結 果8個

の ゲ ー ジ粒 子(グ ル ー オ ン)が 存 在 す る こ と,

ア イ ソ ス ピ ン構 造 定 数 εabcの代 わ りにSU(3)の な ら な い な ど で あ る.QCDの

議 論 は 第5章

構 造 定数fabcを 使 わ な け れ ば で 詳 し く述 べ る こ と と す る が,

ゲ ー ジ粒 子 で あ る グル ー オ ンは 正 確 に 質 量 が0で

あ る と見 な され て お り,こ の

章 で 記 述 し た 非 アー ベ ル ゲ ー ジ場 の ラ グ ラ ン ジ ア ン が 理 論 の 出 発 点 と な る. QCDの

特 徴 で あ る漸 近 自由(ク ォ ー ク間 の 力 は 遠 距 離 で 強 い が,短

弱 くな る こ と)は,カ

距離 で は

ラー 場 が 上 に述 べ た 非 ア ー ベ ル ゲー ジ場 で あ る こ と に 原

因 が あ る.ま た クォ ー クの 閉 じ込 め(ク ォ ー ク間 の ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギー は 距 離 と と もに増 大 す るの で,引

き離 して 自由 ク ォー クを 取 り出 す こ とは で き な

い こ と)も 同 じ 原 因 か ら の 帰 結 で あ る と 見 な さ れ て い る.こ れ に 反 し て, GWS理

論 で は 非 ア ー ベ ル群 と して の 性 質 を表 だ っ て 使 う と こ ろ は 少 な く,む

しろ 次 節 で 述 べ る よ うに,ゲ ー ジ粒 子 が 質 量 を もつ 原 因 とな る対 称 性 の 自発 的 破 れ に 特 徴 が あ る.   最 後 にSU(2)対 ピ ン1)の

称 に従 う物 質 場(ア

イ ソス ピ ン1/2)と

ゲ ー ジ場(ア

イ ソス

ラ グ ラ ン ジ ア ン を ま とめ て お く.

(2.62a) (2.62b) と し て,ラ

グ ラ ン ジア ン は

(2.63) 特 に相互作用部分 は

(2.64a) (2.64b) これ か ら導 か れ る運 動 方 程 式 は,

(2.65a) (2.65b)

と な る.第2式

右 辺 が,ア

イ ソ ス ピ ン カ レ ン ト と 呼 ば れ る 量 で あ る.

2.5  隠 さ れ た 対 称 性

  2.5.1 

自発 的対 称 性 の破 れ

  弱 相 互 作 用 が ゲー ジ原 理 に従 う と し て も,W粒

子 が 質 量 を もつ とい う事 実

は ゲ ー ジ不 変 性 が 破 れ て い る こ と を意 味 す る.質 量 を与 え る一 つ の 方 法 は起 源 は 問 わ ず ラ グ ラ ン ジ ア ン の 中 に質 量 項μ2WμWμ

を 入 れ てや り,あ らわ に ゲ ー

ジ不 変 性 を破 る こ とで あ る.こ れ は対 称 性 が 大 体 は 成 立 して い て,余 分 に 入 れ た項 が 摂 動 と見 なせ る と きは うま くい くか も しれ な い.し か し,80GeVと うW粒

子 の 質 量 は 強 い 相 互 作 用 をす る陽 子 の 質 量 の100倍

相 互 作 用 は 弱 い 相 互 作 用 の100万 とは考 え に くい.そ

合,棒

近 く もあ る.強 い

倍 も強 いの で,こ の よ うな 大 き な質 量 は摂 動

こ で 対 称 性 の 自発 的破 れ とい う考 え 方 が 登 場 す る.対 称 性

の よい 方 程 式 に は 同 じ対 称 性 を もつ 解 が 存 在 す るが,こ とは 限 ら な い.た

い

とえ ば,長

い棒 を水 平 面 に垂 直 に 立 て真 上 か ら力 を加 え る場

の 周 りの 回転 対 称 性 は 成 り立 っ て い るが,真

どち らか の 方 向 に た わ む.つ

れ が 必 ず し も安 定 な解

っ 直 ぐに 縮 む 解 は不 安 定 で

ま り成 立 し た解 は 回 転 対 称 性 を破 って い る.た だ

し,ど の 方 向 を選 ん で も同 じエ ネ ル ギー 状 態 とな っ て い る と こ ろに 回転 対 称 性 の な ご りが あ る.   場 の 理 論 に 応 用 の で き る例 と して 強磁 性 体 を考 え る.ス

ピ ン を もつ 原 子 は磁

気 能 率 を も ち,通 常 は熱 運 動 で ば らば らの 方 向 を向 い て い るが,磁 場 を か け る とス ピ ン の 方 向 が 揃 っ て磁 化 され る.磁 化 の 方 向 は 外 場 の 方 向 に 一 致 し回転 対 称 性 を破 る が,こ れ は外 か ら 回転 対 称 性 を破 る外 場 を加 え た か ら で あ る.温 度 が キ ュ リー 点 以 下 に な る と,磁 性 体 は外 場 を与 え な くて も ス ピ ンが 揃 い 永 久磁 石 とな る.こ れ は 磁 気 能 率 同 士 間 に相 互 作 用 が あ るか らで,ス

ピ ン の揃 う方 が

エ ネ ル ギー が低 く,十 分 温 度 が 低 け れ ば 熱 エ ネ ル ギー に勝 つ か ら で あ る.こ の と き磁 化 す べ き特 別 な方 向 は 存 在 しな い が,実 現 した 基 底状 態 で は磁 化 は あ る 一 定 の 方 向 を向 いて い る.ど の 方 向 で もエ ネ ル ギ ー は 同 じな の で これ は 無 限 に 縮 退 して い る状 態 で あ る.こ の よ うに 自由 度 が 大 き い 系 で,方 程 式 は対 称 性 を もつ に もか か わ らず 実 現 した 基 底 状 態 で は そ の 対 称 性 が破 れ て い る と き,対 称

性 が 自発 的 に破 れ た とい う.先 の 棒 と状 況 は 同 じで あ るが,違

うの は 自由 度 が

大 きい こ とで あ る.こ の た め 違 う二 つ の 基 底 状 態 を結 びつ け る要 素 が な く,遷 移 が 不 可 能 で あ る.す な わ ち,エ ネ ル ギ ー 的 に は縮 退 して い るに もか か わ らず い っ た ん 選 ん だ 方 向が 固定 され て し ま う.す べ て の 現 象 は この 基 底 状 態 か らの 励 起 と し て観 測 さ れ るの で,こ の 世 界 に 住 む 人 間 に とっ て は磁 化 の 方 向 は特 別 な意 味 を もち,回 転 対 称 性 は破 れ て い る と見 なす で あ ろ う.こ の よ うに 巨視 的 に 多数 の 粒 子 を含 む系 が あ る温 度 を境 に 一 つ の秩 序 状 態 に移 行 す る現 象 は物 性 の 世 界 で は始 終 見 られ る こ とで あ り,相 転 移 と呼 ば れ る.

 2.5.2  相 転 移 の 定 式 化  以 上 の よ う な相 転 移 は系 の エ ネ ル ギーVが,問

題 に す る物 理 量 φの 関 数 と

して

(2.66) の よ う な 形 を し て い る と起 こ る.φ で,強 >0で,エ μ2<0と

は 物 性 論 で は 秩 序 パ ラ メ タ ー と呼 ば れ る 量

磁 性 体 の 場 合 は 磁 化 の 強 さ(正 ネ ル ギ ー は φ=0の な りVはW字

が 存 在 し,ラ

表 す.高

と き に 最 低 値 を と る(図2.10(a)).低

型 と な り,φ

最 低 状 態 と な る(図2.10(b)).場

確 に は そ の 期 待 値)を

温 で は μ2 温 で は

が 有 限 の 値 を と る と こ ろ が エ ネ ル ギー の

の 理 論 に 焼 き 直 す に は 複 素 ス カ ラ ー 場 

グ ラ ン ジ ア ンが

(2.67) で 与 え られ る ケー ス を考 えれ ば よい.こ

の ラ グ ラ ン ジ ア ン は 実 の 内 部 座 標 φ1,

φ2の 回 転 に対 し,ま た は 同 じこ とで あ るが  と い う位 相 変 換 に 対 し不 変 と い う連 続 対 称 性 を もつ.μ2>0の

, と きは,ラ

グラ

ン ジ ア ンの 中 の￨φ￨2項 は質 量 項 を表 し,μ は質 量 を 表 す(運 動 方 程 式 をつ く っ て み れ ば わ か る).φ4の 項 は 自 己 相 互 作 用 ま た は ポ テ ン シ ャル と解 釈 さ れ る. 低 温 で μ2<0に な る と μ は質 量 とい う意 味 を失 い,V(φ)全

体 をポ テンシャル

と見 な さ な け れ ば な らな い.φ は 演 算 子 で あ る の で 古典 的 対 応 を考 え る と きに は期 待 値 を と る必 要 が あ る.基 底 状 態 を真 空 と読 み 替 え れ ば,自 発 的 対 称 性 の 破 れ が起 き る と φ は0で な い 真 空 期 待 値 を もつ.

(a)

(b)

(c)

図2.10 

ゴー ル ドス トー ン定 理(対

称性 の 自発 的 破 れ)

(a)  高 温 では ポ テ ン シ ャ ル が お わ ん 型 を して お り,φ=0が (b)  低 温(μ2<0)に な る とポ テ ン シ ャ ルがW字 基 底 状 態 と な る.

基 底 状 態 とな る.

型 を して,φ

の 有 限 な とこ ろ が

(c)  ポ テ ン シ ャ ルV(φ)が, 2の 関 数 で あ れ ば(φ1, φ2)空 間 で 回 転 対 称 性 を も ち,エ ネ ル ギ ー の 最 低 な状 態(真 空)が 連 続 無 限 個 存 在 す る.現 実 に は あ る 一 点(φ1>0,

φ2=0と 定 義)を 選 ん で そ こ に 真 空 が 固

定 さ れ る の で,回 転 対 称 性 が破 れ る.こ れ を対 称 性 の 自発 的 破 れ と い う. こ の 真 空 か ら二 つ の 励 起 モ ー ド(φ1',φ2')が可 能 で あ る.φ1'を 励 起 す る に は 有 限 エ ネ ル ギー が 必 要 で あ る が,φ2'を 励 起 す る に は 無 限 小 の エ ネ ル ギ ー で可 能 で あ る.こ

れ が 質 量0の

ゴー ル ドス トー ンモ ー ドで あ る.

(2.68) こ の と き φ1,φ2空 間 で の 回転 角 ま た は位 相(ゲ ー ジ)の 選 択 は 任 意 で あ る.し か し,場 の 自由 度 は無 限 大 で あ るの で一 度 選 択 した 回 転 角 は 固 定 され る.

 2.5.3  南 部-ゴ ー ル ドス トー ンボ ソ ン  自発 的 対 称 性 の破 れ は 余 分 な 外 力 を もち込 まず に 対 称 性 を壊 せ る の で な か な

か 魅 力 的 な 考 えで あ るが,実

は 厄 介 な荷 物 が あ る.系 の 秩 序 化 が 起 こ るた め そ

の 秩 序 か らの ず れ とい う,以 前 は 存 在 しな か っ た励 起 モー ドが 出 現 す る.強 磁 性 体 の例 で い う と,基 底 状 態 で は ス ピ ン が すべ て 平 行 とな り,あ る軸(磁 化 の 方 向)の 周 りを首 振 り運 動 して い る.い

ま,何 らか の原 因 で1ヵ 所 に 乱 れ が 生

じ る とス ピ ン相 互 作 用 の た め に この 乱 れ が 伝 播 す る(図2.11).ス

ピ ン 波(量

子 化 して マ グ ノ ン と呼 ぶ)の 発 生 で あ る.こ の ス ピン波 の 長 波 長 極 限 が 元 の 基 底 状 態 に 一 致 す る こ とは容 易 に わか るで あ ろ う.λ=∞(k=0)で =0で

あ る と い うこ とは, 

エ ネ ル ギー ω

と い う表 式 に よ って マ グ ノ ンの 質 量 が0

で あ る こ と を意 味 す る.こ の よ うに連 続 な対 称 性 の 自発 的 破 れ が 起 き る と質 量 0の 粒 子(南 部-ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン)が 発 生 す る こ とは 一 般 に い え る こ とで,こ れ を ゴー ル ドス トー ン定 理 とい う.連 続 無 限 の 可 能 な秩 序 状 態 の 中 か らあ る特 定 の状 態 を選 ん だ こ との代 償 と い え る.こ の状 況 が 場 の理 論 で は ど う 表 され るか を眺 め て み よ う.   μ2<0と な っ て 自発 的 対 称 性 の 破 れ が 起 こ る と,φ が 有 限 な真 空 期 待 値 を と る とこ ろが 安 定 な基 底 状 態 とな る.安 定 角 θは 任 意 に 選 べ る の で こ れ を0と お く.φ と い う場 の 振 動(励 起)は 安 定 点 を 中心 に起 き るか ら,

(2.69) と お く と,

(2.70) と な る.(2.67)を

φ1', φ2'で 書 き 直 す と

(2.71)

図2.11 

安 定 状 態 で は,ス

南 部-ゴ

ー ル ド ス トー ン ボ ソ ン の 一 例,ス

ピ ン は す べ て 平 行 で,あ

る軸(磁

化 軸)の

ピ ン波 の 存 在

ま わ り を首 振 り運 動

を して い る.乱 れ が生 じ る と隣 接 の ス ピ ン との 問 に働 く相 互作 用 に よ り,こ の 乱 れ が伝 播 し て スピ ン波 が 生 じ る.長 波 長 の極 限 で は再 び平 行 に な るの で,基 底 状 態 で あ り振 動 エ ネ ル ギ ー は0と

な る.

と な る.第1項 し,第3項

は 質 量 

を も つ 場 φ1',第2項

は 両 者 の 相 互 作 用 を 表 す.こ

で 示 さ れ る.比

喩 的 に い え ば,φ1'は

は 質 量0の

の と き ポ テ ン シ ャ ル は,図2.10(c)

動 径 方 向 の 振 動 を 表 し安 定 点 か ら 動 か す

に は ポ テ ン シ ャ ル の 坂 を 上 ら な け れ ば な ら な い の に 反 し,φ2'は 動 成 分 で ポ テ ン シ ャ ル は 平 ら で あ り,動 い .こ

の φ2'が 質 量0の

  2.5.4 

場 φ2'を 表

接 線 方 向 の振

か す の に 何 らの 慣 性 力 を 必 要 と しな

ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン で あ る*7).

ヒッ グス 機構

  自然 界 に は ゲ ー ジ粒 子 の ほ か に は 質 量0の 粒 子 は 存 在 しな い(ニ ュー ト リ ノ は 有 限 質 量 を もつ と考 え られ て い る).し い る と考 え る に は 難 が あ った.と

たが っ て,対 称 性 が 自発 的 に 破 れ て

こ ろ が ゴ ー ル ドス トー ン定 理 に は 抜 け 穴 が

あ っ て,長 距 離 力(ゲ ー ジ場)が あ る と き は この 定 理 が 成 立 しな い .こ の と き は 遠 くに 離 れ て い る粒 子 が 歩 調 を合 わせ て運 動 す る とい う協 同 現 象 を起 こ し, そ の 結 果 遮 蔽 効 果 が現 れ る.例 え ば,プ

ラ ズ マ の 中 で クー ロ ン力 が 働 く と,巨

視 的 な ス ケ ー ル で プ ラズ マ 振 動 とい う縦 波 の 音 波 が 生 じる.こ れ が クー ロ ン力 を 遮 蔽 す る結 果,ク ー ロ ン力 を短 い 距 離 しか 届 か な い 短 距 離 力 に 変 え て し ま う.つ ま りフ ォ トンが 質 量 を もつ プ ラ ズ モ ン に 変 身 す る.同

じ こ とが 超 伝 導 現

象 に も起 き る.こ れ は直 接 場 の 理 論 に 応 用 が 可 能 で あ る.   こ の と き の秩 序 パ ラ メ ター は クー パ ー 対 の 波 動 関 数 で あ る.ク ー パ ー 対 とは 結 晶 の格 子 振 動(フ

ォ ノ ン)を 介 して,フ

ェ ル ミ面 近 傍 の運 動 量 お よ び ス ピ ン

が 逆 向 きの 電 子対 に 引 力 が 働 き束 縛 状 態 をつ くっ た もの であ る.温 度 が 十 分 低 くな る と対 をつ く る方 が エ ネ ル ギ ー 的 に得 す るの で 非常 に た くさ ん の クー パ ー 対 が 発 生 す る.こ れ を クー パ ー 対 の凝 縮 とい う.こ の結 果,相 転 移 が 起 こ り超 伝 導 状 態 と な る.こ の クー パ ー 対 をつ くる た め の 束 縛 エ ネ ル ギー は非 常 に低 く 波 動 関 数 は10-4cmく

らい に 広 が り,こ の 中 に は ∼106個 く ら い の クー パ ー 対

*7)  ゴ ー ル ド ス トー ン ボ ソ ン の も つ も う 一 つ の 特 徴 と し て 滅 す る(ア

ドラ ー ゼ ロ)こ

性 が 破 れ て 

の 形 を と り,kμ →0で

とが あ げ られ る.(2.71)か

,kμ →0の 極 限 で相 互 作 用 が 消 ら は 自 明 で な い が,自 発 的 に 対 称

の 形 に な る と す る と,ラ

相 互 作用 が ゼ ロ に な る こ とが証 明 で きる.

グ ラ ンジア ンは

が 入 る.多

くの波 動 関 数 が 重 な るた め 位 相 が 固 定 さ れ 多数 の 粒 子 が 同位 相 で 協

力 運 動 を す る.量 子 力 学 的 効 果 が マ ク ロ な ス ケ ー ル で現 れ る一 つ の例 で あ る. この 結 果,磁

場 が 超 伝 導 体 に侵 入 す る と そ れ を打 ち 消 す よ う な表 面 渦 電 流 を

クー パ ー 対 が 発 生 させ,磁 い.こ

場 は 

く ら い の 深 さ以 上 に は 浸 透 で きな

れ を マ イ ス ナ ー 効 果 と い い,磁 性 体 に 対 す る反 発 力 の 原 因 とな る.JR

の リニ ア モ ー ター カ ー は こ の マ イ ス ナ ー 効 果 を利 用 して 浮 上 させ よ う とい う も の で あ る.本 来 長 距 離 力 で あ っ た 電 磁 力 が 到 達 距 離 λの 短 距 離 力 とな る わ け で あ る.こ の と き,す べ て の 電 子 に 一 定 の エ ネ ル ギー が付 加 され る こ とが知 ら れ て い る.   これ を場 の 理 論 で 表 現 して み よ う.自 発 的 対 称 性 の 破 れ を 起 こ せ る ポ テ ン シ ャル を もつ 荷 電(複 素)ス カ ラー 場(2.67)に

電 磁 場Fμνを 共 存 させ る.両

者 の 相 互 作 用 を求 め る に は,ゲ ー ジ原 理 に従 って,∂μ →Dμ とす れ ば よい.

(2.72) こ れ は 相 対 論 的 に 表 現 し て い る が,こ

れ か ら ハ ミ ル トニ ア ン を つ く っ て 非 相 対

論 近 似 で 書 き 直 せ ば ギ ン ツ ブ ル グ-ラ ン ダ ウ の 自 由 エ ネ ル ギ ー と し て 物 性 で は よ く知 ら れ た 式 と な る11).相 (2.69)の

転 移 が 起 き て μ2<0に

置 き換 え を 行 う と(以

な っ た と し て,こ

こで

下 φ1',φ2'を 改 め てφ1, φ2と お く),

(2.73) と な る.…

は 相 互 作 用 の 項 で あ る.こ

こ で,

(2.74) と書 き 直 す と,

(2.75) とな る.こ れ は質 量mB=eυ

を もつ ベ ク トル 場 と質 量 

カ ラー 場 の 方 程 式 で あ る.高 次 の効 果 を 無 視 す れ ば,φ2は (高 次 の 項 を含 め て 完 全 に φ2を消 す に は,後 述(2.76)の 式(2.73)を か る.

を もつ ス ど こ に も現 れ な い よ うな変 換 を施 す).

眺 め れ ば,φ2は ベ ク トル 場 の 運 動 量 方 向 成 分 に 化 け た こ とが わ

  質 量0の

ベ ク トル 場Aμ は 横 波 成 分 の み を もつ の で,独

る.有 限 質 量 と な る と3成 分 を もつ が,φ わ っ て い な い.こ

立 な成 分 は2個

であ

を含 め た 全 体 の独 立 成 分 の 数 は 変

の よ うに ゴー ル ドス トー ン ボ ソ ンが 現 れ ず に ゲー ジ場 が 質 量

を もつ よ うに な る か ら く り を ヒ ッ グ ス機 構 とい う.ヒ

ッ グス機 構 を採 用 す る こ

とは わ れ わ れ を と り ま く真 空 が 超伝 導 相 に あ る と見 な す こ と に等 しい.   ヒ ッグ ス機 構 で は 式(2.66)の が 不 可 欠 で あ る.ヒ

よ う な 自己相 互 作 用 を もつ ス カ ラー 場 の 存 在

ッ グ ス機 構 が働 い て も 自由 度 の 数 は変 わ ら な い か ら,ゲ ー

ジ場 に質 量 を も たせ るに は少 な くもゲ ー ジ粒 子 の数 に 最 低1を

加 え た数 の ス カ

ラー 場 が 必要 で あ る.こ の 最 後 の粒 子 は 対 称 性 の 自発 的 破 れ の 結 果 質 量 を獲 得 し,ヒ

ッ グス ス カ ラー と呼 ば れ る.

  こ う して,ゲ ー ジ場 に 質 量 を もたせ るか ら く りが得 ら れ た.こ の と き,対 称 性 は 破 れ た とい う よ り も隠 され た とい うべ きで あ ろ う.実 際,式(2.75)は, (2.72)で,

(2.76) (2.77) と い う ゲ ー ジ 変 換 に よ り,φ2を て い る.質

取 り 去 っ て,ゲ

ー ジ の 中 に 取 り込 ん だ 形 を し

量 を得 た の は ゲ ー ジ不 変 性 が 破 れ た か らで は な くゲ ー ジが 固定 され

た た め で あ る.式(2.76),(2.77)で

与 え ら れ る ゲ ー ジ を ユ ニ タ リー ゲ ー ジ と

い う.   こ こ で,後 う.こ

の た め にSU(2)群

の 場 合,SU(2)変

に従 う ゲー ジ場 と ヒ ッ グ ス 場 を考 察 して お こ

換 で 二 重 項 と して 振 る舞 う ヒ ッ グ ス 粒 子 φ と そ の

ゲ ー ジ 変 換 形 φ'

(2.78) を 考 え る.φ1,

φ2は と も に 複 素 ス カ ラ ー 場 で あ り,そ

れ ぞ れ2成

分 を も つ.

ゲ ー ジ 不 変 な ラ グ ラ ン ジ ア ン は,

(2.79)

と な る.た

だ し,V(φ)の

中 の 

を も つ ゲ ー ジ 場 で あ る.こ

とす る. Aμ は ア イ ソ ス ピ ン1

こ で 対 称 性 を 自 発 的 に 破 り,φ2が

真 空 期 待 値(v/

 )を も つ と す れ ば,

(2.80) とい う形 に な るが,一

般 性 を失 わ ず に

(2.81) と書 き 直 せ る.実 で α=ω/vと

際￨ω￨, 

の 近 似 で 両 式 は 一 致 す る.そ

こ で,式(2.78)

お い た ゲ ー ジ変 換

(2.82a) を 行 っ て 位 相 ω を 取 り除 き,φ'を

改 め て φ と お く と,

(2.82b) と な り,ラ

グ ラ ン ジ ア ン は,

(2.83a)

(2.83b) (2.83c) と 書 き 直 せ る.Wμ ち,ヒ

は ア イ ソ ス ピ ン1の

ベ ク トル 場 で,質

ッ グ ス ス カ ラ ー と は 質 量 項 のmwをmw+gφ/2で

作 用 を す る.

量mw=(gv/2)を

も

置 き 換 え た形 の 相 互

2.6  繰 り込 み と ゲ ー ジ 不 変 性

  2.6.1  中 性 ボ ソ ンの 役 割   QEDで

明 らか な よ うに,ゲ ー ジ 不 変 性 が あ れ ば 繰 り込 み 可 能 で あ る可 能 性

が あ る.弱 い相 互 作 用 もゲー ジ理 論 に 従 う と して,SU(2)対 Wの

質 量 は ヒ ッ グ ス機 構 に よ る もの と し て み よ う.SU(2)不

と こ れ ま で のW±

の ほ か に 中 性 のW0が

る役 割 を考 察 して み よ う.例

現 れ る.こ のW0の

と してνν →W+W-生

称 性 を要 求 して, 変 性 を要 求 す る 繰 り込 み に お け

成 反 応 を考 え る(図2.12

(b)

(a)

(c)

(d) 図2.12  (a) νν→W+W-生

(e)

非 ア ー ベ ル 場 に お け る種 々 の 過 程 の 役 割

成 断 面積 は エ ネ ル ギー の 自 乗(s)に 比 例 し て増 大 す る.

(b)  (a)の 理 由 に よ り(b)の 中 間 状 態 に現 れ るW± な 発 散 積 分 が 現 れ る.ゲ

の 中間 状 態 を積 分 す る と悪 質

ー ジ 理 論 で は 中 性 のW0ゲ

重 い フ ェル ミ オ ン(E+)(d)の

寄 与 が あ り,(b)の

ー ジ ボ ソ ン(c)ま た は

発散 を相 殺 す る.

(c)  フ ェ ル ミオ ン が 質 量 を もつ と(ニ ュ ー ト リ ノ の 代 わ り に 電 子 が あ る場 合 ）, 右 巻 き成 分 に よ ってJ=0の り相 殺 され る.

成 分 が 現 れ るが,ヒ

ッグ ス 粒 子 の 寄 与(e)に

よ

(a)).断

面 積 を 計 算 し て み る と 系 の エ ネ ル ギ ーEの

こ れ はW粒

子 の 縦 波 成 分 か ら く る の で,mw=0で

起 こ ら な い*8).こ 2.12(b))に

の 事 実 に よ り νν→νν 弾 性 散 乱 に お い て 高 次 の 補 正 項(図

中 央 で 切 断 す れ ば わ か る よ う に,こ

振 幅 の 自 乗 す な わ ち 断 面 積 に 比 例 す る.と

の 図 はνν →WW散

こ ろ が こ のWは

2.12(a)と

仲 介 に し てW±

し く は ν と 同 じ量 子 数 を

を 発 生 す る 機 構 を 考 え る(図2.2(c),

ネ ル ギ ー の 高 い と こ ろ で 図2.12(a)の

図2.13非

の よう

こ でこの効 果 を相 殺 す るため に高 エ ネ ル ギー で図

同 じ 振 る 舞 い を す る 過 程 と し て,W0も

も つ 重 い レ プ ト ンE+を

乱

外 には現れ ないか

ネ ル ギ ー に つ い て は 積 分 し なけ れ ば な ら ず, 

な 項 が 出 て 発 散 す る.そ

(d)).エ

あ れ ば こ の よ うな こ と は

発 散 積 分 が 現 れ る.

  図2.12(b)を

ら,エ

自 乗 に 比 例 し て 増 え る.

寄 与 を相 殺 す る よ う に 結 合 定

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

アベ ー ル場 の ゲ ー ジ ボ ソン は 自 己相 互 作 用 を す るの で(a)∼(d)の

よ

う な過 程 が 存在 す る.こ れ らは 質量 が 有 限 な 場 合 エ ネ ル ギー と と もに 増 大 す る寄 与 を 与 え るが,ヒ て 相 殺 され,繰 *8)  W粒

ッ グ ス粒 子 が 存 在 す れ ば(e),(f)に

よっ

り込 み 可能 とな る.

子 の 運 動 量 方 向 の 偏 極 ベ ク トル は

極 ベ ク トル

εμ(0)=(0;0,0,1)を

 で あ る.し

た が っ てWMの

,運 動 量 方 向 をz軸 に と る と,静 止 系 で の 縦 偏 ロ ー レ ン ツ 変 換 し た εμ(0)=(￨k￨/M;0,0,ω/M), 偏 極 和 

はkμkν に 比 例 す る項 を含 む.

数 を決 め る と,そ れ が ち ょ う どSU(2)ゲ す る こ とが 示 せ る.W0を

ー ジ理 論 か ら要 請 さ れ る も の と一 致

採 用 す るか,E+を

使 うか は ゲ ー ジ理 論 内 で の モ デ

ル の 違 い とな るの で選 択 は 実 験 に よ らね ば な らな い.

  2.6.2  繰 り込 み に お け る ヒッ グ スの 役 割   次 に フ ェ ル ミオ ン が 質 量 を もつ と(νν →WWの

代 わ りにee→WWを

考

え る)一 度 は 消せ た と思 っ た発 散 が再 び 現 れ る.こ の 理 由 は 質 量 を もつ フ ェ ル ミオ ン に は逆 の ヘ リシ テ ィ成 分 が 存 在 す るの で,ee系 J=0成

分 が 混 入 す る ため で あ る.ス ピ ン1のW0で

い の で,ス

ピ ン0の

に はJ=1成 はJ=0成

分 のほかに

分 が相 殺 で きな

ス カ ラ ー粒 子 を考 え る 必 要 が あ る(図2.12(e)).平

面波

の 中 の 逆 の ヘ リシ テ ィ成 分 は1-β ∼m/ε の 形 で 存 在 し質 量 に 比例 す る(付 録 (B.16)参

照).つ

ま り ス カ ラー 粒 子 の フ ェ ル ミオ ン との 相 互 作 用 結 合 定 数 は 質

量 に 比例 しな い と い け な い が,自 発 的 に 対 称 性 の 破 れ た 理 論 で は ヒ ッ グ ス と フ ェル ミオ ンの 相 互 作 用 が ま さに そ う な っ て い る(後 述(2.99)).   ま た,非

アー ベ ル 場 は 自 己相 互 作 用 を もつ の で,Wは

書 い た よ うな 散 乱 過 程 を も つ.こ い.散

図2.13(a)∼(d)に

れ は や は り高 エ ネ ル ギー で の 振 る舞 い が 悪

乱 振 幅 の部 分 波 を計 算 して み る と,O(s2)+O(s)+O(lns)の

発 散が 存

在 す る.   O(s2)の 発 散 は,非

ア ー ベ ル ゲー ジ理 論 で あ る こ とに よ り,W0交

換図など

に よ りゲ ー ジ理 論 で あ れ ば 自動 的 に相 殺 す る よ う に な っ て い る.O(s)は,ス カ ラー 粒 子 を 導 入 して こ れ らの 発 散 積 分 を 相 殺 す る こ と を考 え る と(図2.13 (e),(f)),ス

カ ラ ー粒 子 がWと

式(2.83a)第4項

作 用 をす れ ば よ い こ とが 示 せ る.最 終 的 に はO(lns)の

で 与 え ら れ る よ うな 相 互 対 数 発 散 の み 残 り,繰

り込 み 可 能 と な る.   つ ま り 自発 的 に対 称 性 が 破 れ た 場 合 の ゲー ジ理 論 は,い

ろ い ろ な粒 子 の 結 合

が 発 散 を ち ょ うど う ま く相 殺 す る よ うに で きて い る6).逆 に 質 量 の あ るベ ク ト ル 場 で い ろ い ろ な発 散 積 分 を,別 の 粒 子 を導 入 して 相 殺 メ カニ ズ ム が働 くよ う に,粒 子 の 種 類,結

合 定 数,質

量 を決 め て い く と必 ず 自発 的 対 称 性 の 破 れ た

ゲー ジ理 論 に 行 き着 く12).質 量 の あ るベ ク トル場 の 介 在 す る理 論 で 繰 り込 み 可 能 な の は 自発 的 に 対 称 性 が 破 れ た ゲ ー ジ理 論 だ け で あ る とい う結 論 に 到 達 す

る.こ の と き,対 称 性 は破 れ た の で な く隠 さ れ た だ け と考 え るべ きで あ ろ う. ヒ ッ グ ス を含 む全 体 を考 え れ ば ゲー ジ不 変 性 が 成 立 して い る の で,発 散 の相 殺 が保 証 され る の で あ る.   Uゲ

ー ジ とRゲ

ージ

  ゲ ー ジ不 変 性 が 繰 り込 み 可 能 性 を保 証 す る な らば,最 終 的 な結 果 の 物 理 量 は ゲ ー ジの と り方 に よ ら な い は ず で あ る.物 理 的 描 像 が よ くわ か る ゲ ー ジ(ユ ニ タ リー ゲ ー ジ)に ゲ ー ジ を固 定 して も ヒ ッ グ ス を含 む全 体 を考 えれ ば,物 理 量 は ゲ ー ジの と り方 に よ らず 同 じ結 果 を与 え るの で あ り,繰 る よ う な ゲー ジ で の 結 論 と変 わ らな い.ト

り込 み が容 易 に示 せ

フー フ トは,ξ をパ ラ メ ター とす る

巧 妙 な ゲ ー ジ を考 え た.こ の ゲ ー ジ で はベ ク トル ボ ソ ンの伝 播 関 数 を

(2.84) と表 す.質 =1と

量mを0に

お く とQEDで

の伝 播 関 数 は ξ→∞

もっ て い け ば フ ォ トン の 伝 播 関 数 が 得 られ,そ

こで ξ

お 馴 染 み の フ ァ イ ン マ ン ゲー ジ と な る.通 常 の 有 限 質 量 で 実 現 で き る.し か し,そ う した ゲ ー ジ で は,注

意深 く

計 算 しな い と高 エ ネ ル ギー で の 発 散 が 出 て くるの で計 算 は容 易 で は な い.一 方 ξ を 有 限 に 止 め て お く限 り,悪 さ を す る縦 波 成 分 は 見 通 し よ く相 殺 で き る の で,質 量0の

ゲー ジ場 と同 じ振 る舞 い に な り,せ いぜ い 対数 発 散 が 現 れ る の み

で あ る(繰 り込 み 可 能 な ゲ ー ジ=Rゲ 粒 子(ゴース

ト)が 現 れ た りk2=ξm2と

ー ジ).た だ し この ゲ ー ジ で は 不 条 理 な い う よ う なパ ラ メ タ ー に 依 存 す る と こ

ろ に 極 が 出 た り と物 理 条 件 に は 合 わ な い.物 理 的 に は ユ ニ タ リー ゲ ー ジ(U ゲー ジ)が 最 も合 理 的 な物 理 的解 釈 がつ けや す い.こ

う して ゲー ジ理 論 な ら ば

繰 り込 み 可 能 に な るの で は な い か とい うワ イ ンバ ー グ-サ ラ ム の期 待 が 的 中 し, ま た ゲ ー ジ不 変 性 を こ わ さ ず に 質 量 を発 生 す る方 法 も学 ん だ の で統 一 理 論 を つ くるべ き道 具 類 はす べ て 揃 っ た こ とに な る.

2.7 

  2.7.1 

GWS理

論

SU(2)×U(1)

 い ま ま で の 考 察 で,W±

の よ うに 粒 子 が 何 種 類 か あ る場 合 の ゲ ー ジ理 論 の つ

く り方(非 ア ー ベ ル場 の ゲ ー ジ理 論)や,ゲ 学 ん だ が,弱

ー ジ粒 子 に 質 量 を も たせ る機 構 を

い 相 互 作 用 をゲ ー ジ理 論 と して仕 立 て る に は も う少 し工 夫 が 必要

で あ る.第1に

弱 い相 互 作 用 と電磁 相 互 作 用 は一 部 を共 有 す る.し た が っ て,

何 らか の 形 で 電 磁 相 互 作 用 と,弱 い相 互 作 用 は 関連 して い る.し か し,電 磁 相 互作 用 はパ リテ ィ を保 存 す るの に 反 し弱 相 互 作 用 は パ リテ ィ を最 高 度 に 破 っ て い る.こ れ は,弱 が あ る.そ

カ レ ン トが 左 巻 き の粒 子 に よ って の み 構 成 さ れ る こ とに 原 因

こで 両 者 に 関 係 をつ け よ う とす れ ば,何

らか の 形 で こ の 左 右 の ア ン

バ ラ ン ス を調 整 す る必 要 が あ る.電 磁 カ レ ン トに は ア イ ソ ス ピ ン τ3に比 例 す る部 分 と1に 比 例 す る部 分 が あ る(脚 注2参

照).1に

比 例 す る部 分 も保 存 カ

レ ン トで あ るから こ れ も何 らか の ゲー ジ不 変 性か ら生 じた とす れ ば 電 磁 カ レン トに は ア イ ソス ピ ン(SU(2)対

称 性)の ほ か に も う一 つ の 対 称 性 を もつ 成 分 が

あ る に 違 い な い.一 番 簡 単 な 仮 定 は こ れ がU(1)対 あ る.SU(2)対

称 性 を満 た す ラ グ ラ ン ジ ア ンはΨOΨ.(Oは2×2行

を して い る の で,こ れ がSU(2)対 に満 た され る.そ charge)と

称 性 に 基づ く とす る こ とで

こ でU(1)対

称 性 を満 た す な らばU(1)対

列)の 形 称 性 は 自動 的

称 性 か ら導 か れ る保 存 量 をY(超

電 荷=hyper

名 づ け,二 者 の ア ン バ ラ ン ス の 調 整 に 使 う こ と と し よ う.SU(2)

対 称 性 か ら導 か れ る保 存 量 をIお

よ びI3と して,強

い 相 互 作 用 で 成 立 して い

る西 島-ゲ ル マ ン の 法 則 と同 様 の 規 則 が 弱 い相 互 作 用 で も成 立 す る と仮 定 す る. す なわ ち

(2.85) た だ し,Qは

陽 子 の 電 荷eを

み を 考 え る と す れ ば,対

単 位 と す る.と

りあ え ず ニ ュー ト リ ノ と電 子 の

象 と な る 粒 子 の 種 類 はνL,νR,eL,eRの4種

こ の 四 者 に つ い て 議 論 を 閉 じ る こ と が で き れ ば,他 る で あ ろ う.弱 す る の で,ま

相 互 作 用 で はνLとeLと

類 で あ る.

の 粒 子 も同様 に 議 論 が で き

は 常 に 組 と な っ て 荷 電 カ レ ン トを 構 成

とめ て

(2.86) と す れ ば,ア れ ばνRは な い.す

イ ソ ス ピ ン1/2を

存 在 し な い か ら,eRは なわち

構 成 す る.mν=0と

し て2成

ア イ ソ ス ピ ンI=I3=0を

分理 論 を採 用す もたなけ れ ば な ら

(2.87) こ こ で 法 則(2.85)を

適 用 す れ ば,超

電荷 は

(2.88) で あ る こ とが わ か る.ヒ

ッ グ ス ス カ ラ ー は,

(2.89) で あ る の で,ア

イ ソ ス ピ ン1/2を

も つ.ア

イ ソ ス ピ ン を1/2と

す る理 由 は,ア

イ ソ ス ピ ン0に す る と1個 の ゲ ー ジ ボ ソ ン に し か 質 量 を も た せ ら れ な い が, 1/2に

す れ ば3個

ピ ン が1ま る.以

の ゲ ー ジ ボ ソ ン に 質 量 を も た せ ら れ る か ら で あ る.ア

た は そ れ 以 上 の 値 が 必 要 か ど う か は 別 の 議 論(モ

下 は 話 を 最 も 簡 単 な 場 合I=1/2に

と 同 じ 量 子 数 す な わ ちQ=0を Y(Φ)=1と

な る.そ

限 る.真

イソス

デ ル の 選 択)と

空 期 待 値 を も つφ0が

も つ よ う に 選 べ ば,Q(φ+)=+1で

こ で 以 下 の ゲ ー ジ 変 換(SU(2)×U(1)と

な

真 空 あ り,

い う)

(2.90) に対 応 して,共 変 微 分

(2.91) を 定 義 し て 運 動 方 程 式 の ゲ ー ジ 不 変 性 を 要 求 す る(ゲ は ア イ ソ ス ピ ン1のSU(2)群 あ る.gBに

か か る1/2は

の ゲ ー ジ 場,Bμ

ー ジ 化 す る と い う).Wμ

はU(1)ゲ

後 の 便 宜 の た め で あ る.ア

チ ャ ー ジ が 粒 子 ご と に 違 う こ と を 考 慮 し てtとYを

ー ジ群 の ゲ ー ジ 場 で イ ソ ス ピ ン とハ イ パ ー

演 算 子 と して 表 に 出 して

書 い た.

  2.7:2 

フ ェ ル ミオ ン の 質量 項

  こ こ で 注 意 し な け れ ば な ら な い の は フ ェ ル ミオ ン の 質 量 項 で あ る.ラ

グラン

ジ ア ン の 中 の 質 量 項 は,

(2.92a) (2.92b) に注 意すれ ば

(2.93) と 書 け る が,eLが

ア イ ソ ス ピ ン1/2,eRが

ア イ ソ ス ピ ン0を

す る と,質

量 項 は ア イ ソ ス ピ ン0で

は な い.こ

の こ と は 注 意 す べ き 事 柄 で あ る.左

SU(2)対

は な い.つ

称 性 を 実 現 さ せ る た め に は,質

味 す る.現

換 で不 変 な 量 で

と右 が 対 称 で な い 世 界 で

量 項 は 存 在 して は な ら な い こ と を 意

実 の 世 界 で は 電 子 は 質 量 を も つ の で,SU(2)対

た め に は,電

称 性 と両 立 さ せ る

子 の 質 量 も ま た ヒ ッ グ ス 機 構 で 発 生 し た と考 え,電

の 相 互 作 用 を 導 入 す る.Ψ

と Φ は と も に ア イ ソ ス ピ ン1/2を

ソ ス ピ ン 回 転 で 不 変 な 組 み 合 わ せ(Ψ eRを

ま りSU(2)変

もつ こ と を考 慮

つ け れ ば,SU(2)不

くれ る.Φ

子 と ヒ ッグ ス もつ か ら,ア

イ

†Φ)お よ び(Φ †Ψ)に ア イ ソ ス ピ ン0の

変 か つ ロー レ ン ツ不 変 な ヒ ッ グ ス との 相 互 作 用 が つ

と電 子 の 相 互 作 用 は 湯 川 型 の

(2.94)

(2.95) とす る.ヒ

ッ グ ス凝 縮 に よ っ て相 転 移 が 起 こ れ ば

(2.96) と な る.す 部 はZの

ぐ 後 に 示 す よ う にφ+(φ-)はW+(W-)の

縦 波 成 分 と な り,φ0の

縦 波 成 分 に な る の で ヒ ッ グ ス ス カ ラ ー と し て は 消 滅 す る.こ

虚

の結 果

(2.94)は

(2.97) と変 形 さ れ る.第1項

は 望 む質 量 項 の 形 を して い る.こ こ で 副 産 物 と して,電

子 とヒ ッ グス 粒 子 との相 互 作 用 が 発 生 して し まっ た.し か し

(2.98) で あ る の で,

(2.99) と な り,電 子(よ は,フ

り一般 的 に は フ ェル ミオ ン)と ヒ ッグ ス との 相 互 作 用 の 強 さ

ェ ル ミオ ン の質 量 に比 例 す る こ とに な る.し か し,こ れ こ そ質 量 を もつ

ベ ク トル場 の 理 論 が 繰 り込 み 可 能 で あ る ため の必 要 条 件 の 一 つ で あ っ た .   以 上 の考 察 よ り,物 質 場 で あ る フ ェル ミオ ン お よび ゲ ー ジボ ソ ン は,本 来 は 質 量 を もた な い 粒 子 で あ る と考 え る と論 理 が首 尾 一 貫 す る.質 量 とは ヒ ッ グ ス

場 が 凝 縮 して 相 転 移 が 起 きた た め に,仮 に 粒 子 に備 わ った 性 質 の一 つ な の で あ る.わ れ わ れ の住 む世 界 は 非 常 な低 温 状 態 で あ る た め に 超伝 導 相 と な っ て 質 量 が 生 じて い る の で あ り,十 分 高 温 に な れ ば 消 滅 す るべ き性 質 の もの で あ る.い ま の と こ ろ こ の よ う な高 温 状 態 は 人工 で は つ くれ な い が,ビ

ッ グバ ン直 後 の 初

期 宇 宙 は この よ う な状 態 で あ っ た と考 え られ る.な お つ け 加 え て お く と クォ ー ク に はQCD相

  2.7.3 

転 移 の た め 余 分 の質 量 が さ ら に加 わ る.

ワイ ンバ ー グ角

  電 子 と ニ ュ ー ト リ ノ に つ い て,SU(2)×U(1)対

称 性 を満 た す 全 ラ グ ラ ン ジ

ア ン を 書 き 下 ろ す と,

(2.100) と な る.上

式 の 第1行

呼 ぶ こ と に す る.こ

を ゲ ー ジ セ ク タ ー と い い,第2行

を ヒ ッ グ ス セ ク ター と

こ で ヒ ッ グ ス 場 を 凝 縮 さ せ て 対 称 性 を 自 発 的 に 破 れ ば,

ゲ ー ジ 場 が 質 量 を もつ こ と は 前 と 同 じ で あ る が,中

性 ベ ク トル は 電 磁 場 を 含 む

よ う に し な け れ ば な ら な い の で 若 干 調 整 が 必 要 で あ る.(2.100)で,中 ク トル 場 と フ ェ ル ミ オ ン 場 と の 相 互 作 用 項(第3項 含 む 項)を

抜 き 出 し て,ν

とeを

のDμ

性 のベ

の 中 のWμ0とBμ

を

あ ら わ に 書 く と,

(2.101) た だ し,YL=-1, た.ニ

YR=-2を,ま

た ア イ ソ ス ピ ン に 関 し てI3=τ3/2を

ュ ー ト リ ノ は 電 磁 カ レ ン トに 結 合 し て は な ら な い か ら,第1項

使 っ

の ニュー

トリ ノに 結 合 す る部 分 を弱 相 互 作 用 の 中性 ベ ク トル ボ ソ ンZμ0と し,そ れ に 直 交 す る 成 分 を電 磁 場Aμ

と定 義 す る.

(2.102) こ う し て 定 義 し たAμ,Zμ0を

代 入 し さ ら にQ=I3+(Y/2)を

使 って 整 理 す る と

(2.103) と な る.Qν=0,Qe=-1で

あ り,か

は ま さ に 望 む 形 を し て い る.こ

つ 左 右 対 称 で あ る の で,電

こ にI3Lと

み に 作 用 す る こ と を 意 味 す る.弱

書 い た の は,こ

磁 場 との 結 合

の 部 分 がΨL部

分 の

相 互 作 用 の 中 性 カ レ ン トは 荷 電 カ レ ン ト と違

い 左 巻 き 成 分 に 作 用 す る ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン トの ほ か に,左 磁 カ レ ン ト を含 む こ と に 注 意 し よ う.こ

右 を区別 しな い電

の 混 合 の 割 合 を 決 め る の が θwで,ワ

イ ン バ ー グ 角 と 呼 ば れ る.

  2.7.4   

W,Zの

W,Zの

質

量

質 量 に つ い て は(2.100)の(DμΦ)†(DμΦ)の

項 を 書 き下 ろ す と,

(2.104a) こ こ で,t=τ/2,Yφ=1を

使 い,Φ

を 真 空 期 待 値 で 置 き換 え る と

(2.104b) 荷 電 ボ ソ ン と 中性 ボ ソ ンで は 質 量 項 の 因子 が1/2違

うこ と を考 慮 す る と,質 量

は

(2.105) と な る.WとZが

違 う 質 量 を もつ こ と に 注 意 し よ う.荷

電 カ レ ン トがW±

を

介 し て 相 互 作 用 す る 項 は,

(2.106) で あ り,こ

れ か ら フ ェ ル ミ オ ン 散 乱(例

え ば νLeL→

νLeL)の

実効 ラグ ラン ジ

ア ン をつ くる と

(2.107) と な る.こ

こ で, 

  q2→0の

極 限 で4フ

な ど を 使 っ た. ェ ル ミ相 互 作 用 に 等 し い と お く と

(2.108) とな るか ら

(2.109a) (2.109b)

(2.109c) が 導 け る.質 量 が 出 現 す る の はΦ が 真 空期 待 値 を もつ こ とに よ りゲー ジ が 固 定 さ れ る か ら で あ っ た.そ フ ォ トン の 質 量 は0の SU(2)群

の 結 果 と し てSU(2)不

変 性 は 破 れ る.し

か し,

ま ま で あ る.そ れ は 次 の よ うに し て 見 る こ とが で き る.

の 生 成 演 算 子 τaとU(1)群

の生 成 演 算 子Yは

(2.110)

を 満 た す.と 2と な り,

こ ろ がQ=I3+Y/2は,Y(Φ)=1で

あ る こ と か ら,Q=(1+τ3)/

(2.111) し た が っ て,ゲ

ー ジ変 換

(2.112) に よ り真 空 期 待 値 は 変 わ ら な い か ら,ゲ す るベ ク トル 場Aμ あ る.も

ー ジ は 固 定 さ れ ず 演 算 操 作Qに

に は ゲ ー ジ 変 換 の 自 由 度 が 残 っ て い て,質

と も と 四 つ の ベ ク ト ル 場Waμ

に 四 つ の 自 由 度 を も つ ヒ ッ グ ス 場Φ

とBμ よ り 出 発 し て,質

を 導 入 し た.四

個 は 有 限 質 量 の ヒ ッ グ ス 粒 子 と し て 残 る か ら,Φ る の は3個

に 限 ら れ て い る.1個

量 は0の

は 質 量0の

対 応 ままで

量 を 与 え るの

つ の ス カ ラ ー 場 の う ち,1 が 質 量 を与 え る こ とが で き

ま ま 残 る の は 勘 定 に あ っ て い る.

  こ こで ゲ ー ジ ボ ソ ン とフ ェル ミオ ン の 質 量 は と も に ヒ ッ グ ス セ ク ター の 中 で 発 生 し た こ と を 再 度 強 調 し て お く.ゲ ゲ ー ジ不 変 性 を 満 た す が,質

ー ジ セ ク タ ー,ヒ

ッ グ ス セ ク ター と もに

量 項 のみ を取 り出 しゲ ー ジ セ ク ター に付 け た もの

は ゲ ー ジ 不 変 性 を破 る の で あ る.ゲ

ー ジ ボ ソ ン を 介 し た フ ェ ル ミオ ン の 相 互 作

用 を扱 う と き ト リー レ ベ ル で は 有 限 な 振 幅 を 与 え る が,高

次 効 果 を含 め る と き

は ヒ ッ グ ス セ ク タ ー 全 体 を考 慮 に 入 れ な い と破 碇 す る と い う こ と で あ る.

  2.7.5  GWS理

論の特徴

  以 上 の考 察 に よ って,電 磁 相 互 作 用 と弱 相 互 作 用 を単 一 の ラ グ ラ ン ジ ア ンか ら導 く統 一 理 論 が で き上 が っ た こ とに な る.こ れ は少 な くも既 知 の フ ェル ミ相 互 作 用 を低 エ ネ ル ギ ー 近 似 と し て含 み,QEDも

入 って い る.理 論 は 繰 り込 み

可 能 で,原 理 的 に は 任 意 の精 度 で あ らゆ る過 程 の 物 理 量 が 計 算 可 能 で あ る.し か し,こ の 理 論 が 発 表 され た と きは ほ とん ど注 目 を 引 か な か っ た とい うこ とは 興 味 あ る事 実 で あ る.科 学 引 用 文 献 集 に よ る と,1967年 れ た後 数 年 間 の被 引 用 数 は,1967年0, 年4,

1972年64,

1973年16213)と

1968年0,

に この論文 が発 表 さ

1969年0,

1970年1,

1971

な っ て い る.こ れ は ワ イ ンバ ー グ 自身 の 引

用 を含 む.こ れ ほ ど 画 期 的 な理 論 が か く も無 視 さ れ た の は なぜ で あ ろ うか? こ の理 由 は こ の理 論 が 発 表 され た と きは,繰

り込 み 可 能 か ど うか が 不 明 だ っ た

こ とに よ る.こ の 裏 づ け の な い理 論 に対 して は う んか の よ うに 輩 出 す る そ の他 大 勢 の モ デ ル と区 別 す る理 由 が 何 もな か った の で あ っ た.ワ

イ ンバ ー グ とサ ラ

ム は,自 発 的 に対 称 性 が 破 れ て い るゲ ー ジ理 論 は 多分 繰 り込 み 可 能 で あ ろ う と

予 想 は し て い た も の の,証 の 証 明 は1971年

明 は で き ず ア イ デ ア の み 発 表 し て い た の で あ る.こ

末 に ト ・フ ー フ ト6)に よ り行 わ れ,そ

れ以 降急速に脚光 をあび

た こ と は 上 の 統 計 か ら 明 ら か で あ る.   GWS(Glashow-Weinberg-Salam)理 デ ア を 含 む.そ

論 は,い

ろ い ろ な意 味 で斬 新 な ア イ

の い くつ か を 以 下 に 列 挙 し て お こ う.

  (1)  電 弱 統 一 理 論 で あ る.   (2)  繰 り込 み 可 能 で あ り,ど

ん な過 程 で も原 理 的 に は 任 意 の 精 度 で 計 算 可

能 で あ る.   (3)  中 性 カ レ ン トの 存 在 を 予 想 し,そ

の 強 さが 荷 電 カ レ ン ト と同 程 度 で あ

る こ と を 予 言 し た.   (4)  W±,Z0の

質 量 を 定 量 的 に 予 言 し た.

  (5)  す べ て の 素 粒 子 がSU(2)×U(1)群 在,標

に よ り分 類 で き る こ と を 示 し た.現

準 理 論 と 呼 ば れ て い る も の の 範 疇 に は,次

の3世

代6種

類 の

ク ォ ー ク と レ プ トン が 存 在 す る.

(2.113)  こ こ に は,d′,s′,b′は,弱 有 状 態 のd,s,bと

い相 互 作 用 をす る と きの 固 有 状 態 で,質 量 固

は 小 林-益 川 行 列 で 結 び つ い て い る 量 で あ る.ま

た,

す べ て の ニ ュ ー トリ ノの 質 量 は0で あ る とい う仮 定 を含 む.   (6)  質 量 発 生 機 構 に相 転 移 とい う新 しい ア イ デ ア を導 入 した.こ す べ て の素 粒 子 は 本 来 質 量 を もた な い に もか か わ らず,あ

の こ とは,

(Tc∼ υ∼246GeV)以

る臨 界温 度

下 の 世 界 で は 質 量 が 発 生 す る と い う こ と で あ る.

この 相 転 移 発 生 原 因 と して ヒ ッ グス粒 子 の 存 在 を必要 とす る.   (7)  エ ネ ル ギー の 高 い と こ ろ(E≫

υ=246GeV)で

は,弱 相 互 作 用 と電 磁 相

互 作 用 は統 一 され て お り,結 合 定 数 は 同 程 度 で あ る.   現 代 の高 エ ネ ル ギー 物 理 学 に お け る現 象 は,強

い相 互 作 用 はQCDで,電

弱

相 互 作 用 は ワ イ ンバ ー グ-サ ラ ム 理 論 で 記 述 され る.次 章 以 降 で こ れ ら の理 論 が いか に実 験 事 実 に適 合 す る か を解 説 す るが,現 在 の とこ ろ,こ れ らの理 論 に

矛 盾 す る実 験 事 実 は 存 在 し な い.そ の 意 味 で,QCDとGWS理

論 が あ らゆ る

議 論 の 出 発 点 で あ り,両 者 を合 わせ て 標 準 理 論 と呼 ば れ る*9).

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論 を指 して 標 準 理 論 と い う こ と も し ば しば あ る

.

3 パ ー

ト ン モ デ ル*1)

  標 準 理 論 の ラ グ ラ ン ジ ア ン は ク ォ ー ク と レ プ トン,ゲ グ ス 粒 子 の 間 の 相 互 作 用 と し て 書 か れ て い る.ク

ー ジ ボ ソ ンお よ び ヒ ッ

ォ ー ク と グ ル ー オ ン は,閉

込 め 効 果 に よ っ て 単 独 の 粒 子 と し て 観 測 さ れ る こ と は な く,ジ れ る.ジ

ェ ッ ト現 象 に つ い て は 第8章,第9章

す る 現 象 は,一

る た め に は,ク

で 議 論 す る が,ハ

相 互 作 用 と し て 記 述 で き る .し

れ が パ ー トン モ デ ル で あ る.パ

動 量 遷 移Qが

核 子 質 量MNに

ー ト ン と は,も

と も とは

エ ネ ル ギー 大 角

比 べ て 相 当 に 大 き い 散 乱)反

ド ロ ン を パ ー ト ン の 複 合 体 と み な し,ハ

とめ て

ドロ ン 現 象 に 翻 訳 す る 枠

核 子 の 中 に 存 在 す る 点 状 の 粒 子 と い う 意 味 の 命 名 で あ っ た.高

て は,ハ

ドロ ン の 関 与

た が っ て 標 準 理 論 を検 証 す

ォ ー クや グ ル ー オ ン の 相 互 作 用 を,ハ

組 み が 必 要 で あ り,そ

散 乱(運

ェ ッ トと して現

般 的 に ハ ドロ ン の 中 に あ る ク ォ ー ク と グ ル ー オ ン(ま

パ ー ト ン と呼 ぶ)の

じ

応 にお い

ドロ ン の 反 応 率 は パ ー トン 反

応 率 の 和 で 書 け る と い う の が パ ー ト ン モ デ ル で あ る.こ

の 章 の 主 眼 は,後

の議

論 の た め の 準 備 と し て パ ー トン モ デ ル の 公 式 を 導 い て お く こ と で あ る が,モ

デ

ル を 正 し く理 解 す る に は,基

な

わ ち ス ピ ン1/2を

本 と な る レ プ トン と ク ォ ー ク 間 の 相 互 作 用,す

もつ 質 点 粒 子(デ

ィ ラ ッ ク粒 子)間

の電磁相 互作用 お よび弱

い 相 互 作 用 に よ る 反 応 断 面 積 を 書 き下 ろ し て お く必 要 が あ る.こ ル ミ オン-フ

ェ ル ミ オ ン 相 互 作 用 の 例 と し て 電 子(e)と

磁 相 互 作 用 に よ る 散 乱 と ニ ュ ー ト リ ノ(νe)と る 散 乱 公 式 を ま ず 導 い て お く,次 導 い て,ハ

にe,μ,ν

の た め,フ

ェ

ミ ュ ー オ ン(μ)の

電

クォー クに よ る弱 相 互 作 用 に よ

に よ る深 非 弾 性 散 乱 の 一 般 公 式 を

ドロ ン を 標 的 とす る 反 応 が パ ー ト ン の 散 乱 公 式 で ど の よ う に 書 き 直

せ る か を 見 る こ と に す る.最 *1)  こ の 章 の 内 容 は

,第3,4巻

複 す る の で,第3,4巻

後 に パ ー ト ン モ デ ル を ハ ド ロ ン-ハ 『素 粒 子 物 理 学 の 基 礎Ⅰ

・Ⅱ』 の 第5章,第12章

を 学 習 し た 人 は 省 略 し て か ま わ な い.

ドロ ン反 応 へ の 内 容 と重

拡 張 す る.

3.1  フ ェ ル ミオ ン2体

  3.1.1 

散乱

運 動 学 と断 面 積

  2体 散 乱 の 運 動 学 変 数 と,相

対 論 的 なマ ン デ ル シ ュ タ ム 変 数 を次 の よ うに 定

義 す る.  粒 子1(p1)+粒

子2(p2)→

粒 子3(p3)+粒

子4(p4) 

(3.1)

実 験 室 系(LAB) 重 心 系(CM)

 (3.2a)

LAB

CM

 (3.2b)

LAB CM

 (3.2c)

(3.2d) 〓 は 高 エ ネ ル ギー で質 量 を無 視 した と きの 近 似 式 で あ る.p*,p′*は の 重 心 系(CM)で

の 運 動 量,ま

散 乱前後

た,実 験 室 系 とは 標 的 が 静 止 し て い る 系 の こ

とで あ る.   散 乱 行 列Sを

次 式 で 定 義 す る.

(3.3a) Lは

相 互 作 用 表 示 で の 相 互 作 用 ラ グ ラ ン ジア ン で あ り,Tは

べ るT積

で あ る.始 状 態iと 終 状 態fを

に展 開 す る.

時 間 の順 序 に並

指 定 して,遷 移 行 列 要 素 を次 の よ う

(3.3b) こ の とき断 面 積 は 次 式 で 与 え られ る.

(3.4a) (3.4b)

(3.4c) で 与 え ら れ る.Mfiは

ロ ー レ ン ツ 不 変 な 遷 移 行 列 要 素,Fは

υ12は相 対 速 度,dLIPSは

入 射 フ ラ ッ ク ス,

ロ ー レ ン ツ 不 変 な 位 相 体 積 で あ り,m!は

同一 粒子

が 存 在 す る 場 合 の 補 正 因 子 で あ る.

  3.1.2 

eμ

  こ こ で,典 考 え る.各

散

乱

型 的 な ス ピ ン1/2の

フ ェ ル ミ オ ン 同 士 の 散 乱 と し て,eμ

散 乱 を

粒 子 の 運 動 学 変 数 を 次 式 で 定 義 す る.

電 子 の 質 量 は0と

近 似 し,μ

の 質 量 をMと

書 く,電

子,μ

の つ くる 電 磁 カ レ

ン トを 次 の よ う に 定 義 す る.

(3.5) こ こ に,l(x),l(x)は ua(p)は

運 動 量p,ス

レ プ トン の 量 子 化 さ れ た 場 で あ り,q=p1-p3=p4-p2, ピ ンaの

デ ィ ラ ッ ク 平 面 波 波 動 関 数 で あ る.eμ

散 乱 の

不 変行 列 要 素 は

(3.6) で 与 え ら れ る.不 る が,ス

変 行 列 要 素 の 自 乗 を(3.4a)式

ピ ン 状 態 を 観 測 し な い と き は,ス

に つ い て は 和 を と ら ね ば な ら な い.こ (B.20),(B.21)を

参 照 し,

に 入 れ れ ば 断 面 積 が 得 られ

ピ ンの 始 状 態 に つ い て 平 均 を終 状 態 れ を￨Mfi￨2と

書 く こ と に す る.付

録

(3.7)

(3.8) を 使 え ば,m1=m3=0,

m2=m4=Mと

お い て

(3.9) 実 験 室 系 で のs-M2=2E1M, 入 れ て(C.18)を

M2-u=2E3M,

t=q2=-2E1E3(1-cosθ)を

使 えば

(3.10a) (3.10b) 重 心 系 断 面 積 は,(C.12)に

よ り

(3.11) で 与 え られ る の で,高

エ ネ ル ギ ー 極 限 で は,

(3.12)

  3.1.3 

e+e-→

μ+μ-反 応 の 断 面 積

  eμ 散 乱 振 幅 に お い て,図3.1を ee→

μμ 散 乱 の 振 幅 が 得 ら れ る.e−

のs,t,uを,tチ

参 照 し てp2→−p2, p3→−p3と → μ−の 散 乱 角 を θ と し,新

ャ ネ ル と い う 意 味 で,tの

す れ ば, しい反応 で

添 え 字 を 付 け れ ば,

(3.13) eμ の散 乱 行 列 要 素(の

自乗 の ス ピ ン平 均)は,

図3.1 

e−μ−→e− μ−散 乱 よ り,交 数(p1,p2,p3,p4)を

叉 に よ っ てe−e+→

→(p1,−p2,−p3,p4)と M(e−e+→

μμ− を 得 る.散

す れ ばM(e−e+→

μ−μ+;s,t,u)=M(e−

乱 振 幅M(e−

μ−→e− μ−)の 変

μ−μ+)が 得 ら れ る.す

な わ ち

μ− →e− μ−;t,u,s)

(3.14) と な る の で,tの

添 え 字 を 落 と し て 書 き 直 す と,ee→

μμ の 散 乱 断 面 積 は,

(3.15) (3.16) た だ し,sはGeV2を

単 位 と す る.こ

れ は,ee衝

突型加 速器 実験 での基礎 に

な る 断 面 積 で あ る.   R値: 

e−e+衝

割 っ た 値 をR値 す る と,ハ ら,ク

突 実 験 に お け る 全 ハ ドロ ン 断 面 積 を μ対 生 成 断 面 積 で

と 呼 ぶ.生

成 さ れ た ク ォ ー ク は100%ハ

ド ロ ン 生 成 全 断 面 積 は,す

ドロ ン化 す る もの と

べ て の ク ォ ー ク対 生 成 断 面 積 に 等 し い か

ォ ー ク の 電 荷 を λieと す れ ば

(3.17) 因 子3は い .ま

カ ラ ー の 自 由 度 か ら く る も の で,こ た,Rの

実 験 値 は 

∼10/3,  3.2)1).た

(bbの だ し,上

し き い 値)で

し き い 値)で ∼11/3と

式 は 摂 動 の 最 低 次 の 計 算 で あ り,デ

相 互 作 用 お よ びQCDの

*2)  1nb=10-9barn=10-33cm2

(ccの

れ が な い と実 験 に 合 わ せ られ な

放 射 補 正 を 含 め る.

,予

∼2, 

で

想 と よ く 合 う(図

ー タ との 比 較 に は 電 弱

図3.2 

R=σ(e+e− → ハ ドロ ン)/σ(e+e− → μμ)1)ハ ドロ ン は ク ォー クか ら で きて お り,e+e− 反 応 で クォー ク対 が つ くられ,ク ォ ー クが100%ハ ドロ ン化 す る とす れ ば,R値 は ク ォー クモ デ ル の 予 想 値 と正 確 に合 う.鋭

い 山 は ρ,J/ψ,γ な ど の 狭 い 共 鳴 生 成 を 示 す.横

クォー クの 種 類 と数 に よ り決 まるR値

 3.1.4 

偏 極eμ

 こ こ で,後

線 は生 成 され る

の 計 算 値.

散 乱

の 便 宜 の た め 偏 極 し て い るeμ 散 乱 断 面 積 を 計 算 し て お く,

(3.18) と,場

を カ イ ラ リ テ ィ に よ っ て 分 割 す る.Γ=γ

μ,γ5γμ と す れ ば,

(3.19) で あ る の で,カ

イ ラ リ テ ィ は ベ ク トル 形 の 相 互 作 用 に よ っ て 変 わ ら な い.偏

極

し て い な いeμ 散 乱 を カ イ ラ リ テ ィ 状 態 で 書 き 直 せ ば   eμ 散 乱 ∼(eL+eR)(μL+μR)散

乱

  ∼eLμL散 乱+eLμR散 と分 解 で き る.た

だ し,ヘ

乱+eRμL散

乱+eRμR散

乱

リ シ テ ィ は ハ ミル トニ ア ン の 固 有 状 態 で あ る が,カ

イ ラ リ テ ィ は 固 有 状 態 で は な く,質

量 が 有 限 の と き は 干 渉 が 生 じ る.し

カ イ ラ リ テ ィ 固 有 状 態 に 混 じ る 劣 勢 な ヘ リ シ テ ィ 成 分 は ∼O(m/E)で で(付

録(B.16)参

照).質

か し, あ るの

量 を無 視 す る近 似 で は ヘ リシ テ ィ に よ る分 類 と カ

イ ラ リ テ ィ に よ る 分 類 は 同 等 で あ り,カ

イ ラ リ テ ィ に よ る 分 離 が 成 立 す る.

  偏 極 し たeμ 散 乱 は,(3.6)式 ら れ る.付

の 行 列 要 素 の 中 のγμ → γμ(1〓 γ5)/2と し て 得

録(B.22),(B.23)を

参 照 し て,

(3.20) (3.21a) (3.21b) を 使 え ば,me,

mμ を 無 視 す る 近 似 で

(3.22a) (3.22b) 重 心 系 の 断 面 積 は,(3.11)を

使 って

(3.23a)

(3.23b) LL,

RR散

乱 とLR,

シ テ ィ ±1/2状 ま た,両

RL散

乱 の 違 い は,{(1+cosθ)/2}2で

れ はヘ リ

態 を 角 度 θ だ け 回 転 す る 回 転 行 列d11 ,1の 自 乗 に ほ か な ら な い.

者 の 行 列 要 素 はp1〓-p3,p2〓-p4の

て い る の で,片

あ る が,こ

交 叉 対 称 に よ っ て も結 び 付 い

方 の 粒 子 を 反 粒 子 に す る こ と とL〓Rと

同 等 で あ る こ とが わ

か る.   粒 子 が 偏 極 し て い な い と き は,eや

μ の 中 に はLR成

分 が そ れ ぞ れ1/2ず

つ あ るか ら

(3.24) と な っ て,(3.12)を

再 現 す る.

  後 の パ ー トン の 議 論 の 便 宜 の た め,パ

ー トン変 数

CM

(3.25) LAB を 導 入 し て お く.こ

の と き,

(3.26) であ るので

(3.27) (3.28)

  3.1.5 

ニ ュ ー トリ ノク ォー ク散 乱

  弱 い 相 互 作 用 の ラ グ ラ ン ジ ア ン は 次 式 で 与 え ら れ る(式(2.103),(2.106) 参 照).

(3.29a)

(3.29b) (3.30a) (3.30b) swは は,偏

ワ イ ン バ ー グ 角sinθwで

あ る.上

式 を 使 え ば,荷

電 カ レ ン ト反 応 断 面 積

極 し たeμ 散 乱 断 面 積 か ら

(3.31) と 置 き 換 え て 得 ら れ る.ク

ォ ー ク に つ い て は 始 状 態 ス ピ ン の 平 均 を と る が,

ニ ュ ー ト リ ノ に は 右 成 分 が な い の で,ス

ピン平均 を とらない こ とに注 意す れ

ば,

(3.32a)

(3.32b) 同様 に 中性 カ レ ン トに よ る 断面 積 は,

(3.33a)

(3.33b) (3.33c)

で 与 え られ る.ト

リー 近 似 で は ρ=1で

あ る.

3.2  eN弾

 核 子N(陽

子pと

因 子 を含 む.ロ

中性 子n)は

性 散 乱

構 造 を もつ の で 電 磁 カ レ ン トの 期 待 値 は 形 状

ー レ ン ツ 不 変 性 を取 り入 れ た最 も一 般 的 な形 は

(3.34a) (3.34b) (3.34c) と 書 け る.た

だ し,q=p4-p2,χ

は 核 子 磁 気 能 率(μ=e/(2mN))を

た 異 常 磁 気 能 率 で あ る.(3.10)式

を 計 算 す る 過 程 で,不

変 行 列 要 素 内 の

ミュ ー オ ン カ レ ン ト を 核 子 カ レ ン トに 置 き 換 え(jmμ →JNμ),ス う と ロ ー ゼ ン ブ ラ ス(Rosenbluth)の

単位 と し

ピ ン演 算 を 行

公 式 が 得 ら れ る.

(3.35a) (3.35b) た だ し,GE(Q2),

GM(Q2)は

電 気,磁

気 形 状 因子 で

(3.35c) で 定 義 さ れ る.実 験 に よ れ ばQ2<30GeV2で

(3.36a) が 成 立 し,核 子 は

(3.36b) 程 度 の 広 が り を もつ こ と を 示 す2).

3.3  eN深

の 一 般 的 な 式 を 考 え る.た

だ し,Xは

非 弾性 散 乱

ハ ド ロ ン 集 合 体 を 意 味 す る.

(3.37) で あ る の で,終 状 態 の 電 子 の み 観 測 す る場 合 は,

(3.38a) (3.38b) (3.38c) Jμ は エ ル ミー ト な の でWμν=Wνμ*で

あ り,対

称 部 分Sμν と 反 対 称 部 分Aμ

ν

に分 け れ ば

Sμν,Aμν は 実 の 関 数 で あ る.核

子 の ス ピ ン に つ い て は 平 均 を と っ て し ま って

い る の で,Wμν

み の 関 数 で あ り,し

で あ る.し る が,カ

はqとp=p2の

か も ロー レ ン ツ テ ン ソ ル

た が っ て,gμν, qμqν, pμpν, pμqν, qμpν, iεμνρσpρqσ な どで 展 開 で き レ ン ト保 存 則 ∂μJμ ∼qμJNμ=0よ

り,

(3.39a) と い う 条 件 が つ く の で,

(3.39b)

が 条 件 を満 た す 量 とな る.こ の う ち,第3項

は 反 対 称 テ ン ソル で あ り最 初 の2

項 と は逆 のパ リテ ィ を もつ.電 磁 相 互 作 用 で は,パ 項 は な いが(Lμν に 掛 け れ ば0と

リテ ィが 保 存 す る の で この

な る),ν(ν)非 弾 性 散 乱 で は 必 要 で あ る.次

に

(3.40) とお い て構 造 関 数W1, W2を

定 義 す る.

を使 え ば

(3.41) ゆ え に(3.38a)か

ら,実

験 室 系 断 面 積 と し て 次 の 式 を 得 る.

(3.42) W1,2は,Q2お

よ びν=E1-E3の

べ て 内 包 す る が,E1,

変 数 で あ り,核

Q2, 2Mν

→∞,

x=Q2/2Mν

子 の 中 の さ ま ざ まの 構 造 をす → 定 数 で は,xの

み の 関数

と な る と い う 次 の ブ ヨ ル ケ ン ス ケ ー リ ン グ が 実 験 的 に 成 立 す る3).

(3.43) ブ ヨ ル ケ ン ス ケー リン グは 核 子 が 点 状 粒 子(パ ー トン)の 集合 体 で あ る と き成 立 す る.こ れ を簡 単 に 見 る に は,非 弾 性 散 乱 公 式 の 中 のW1,2を

(3.44) で 置 き換 え, 

を使えば,点

粒 子 散 乱 公 式(3.10a)

を再 現 で き る こ とに 注 目す れ ば よ い.

3.4 

パ ー トン モ デ ル

 核 子 が パ ー トン の 集 合 体 で あ る こ と を見 や す くす るた め,次

式で定義 され る

変 数xを

導 入 す る.先

に 定 義 し たyと

と も に パ ー トン 変 数 も し く は ス ケ ー リ

ン グ 変 数 と い う.

(3.45) 〓 はパ ー トン 質 量 が

,核 子 質 量 や 関 与 す るエ ネ ル ギー に 比 し て 無 視 で き る極

限 で 成 立 す る.深 非 弾性 散 乱 公 式 の ブ ヨル ケ ン極 限 をパ ー トン変 数 を使 っ て書 き直 す と,

(3.46) パ ー ト ン の 縦 運 動 量 を 核 子 縦 運 動 量p2‖ の ξ 倍(pq‖=ξp2‖)と ル ギ ー が 大 き い と こ ろ で は,パ

ー トン 質 量,横

トン の エ ネ ル ギ ー 運 動 量 自 身 をpq〓

す る と,エ

ネ

運 動 量 は 無 視 で き る の で,パ

ー

ξp2と 近 似 で き る.パ

で ほ ぼ 自 由 粒 子 で あ る と い う条 件 を 書 き下 ろ す と(図3.3参

ー トン が 散 乱 の 前 後 照),

(3.47) す な わ ち,変

数xは

パ ー トン の 運 動 量 と解 釈 で き る 量 で あ る.

  電 子 と パ ー ト ン と の 散 乱 の 式 は,式(3.28)を

パ ー トン 変 数 で 書 き 換 え れ ば

よ い.

図3.3深 非 弾 性 散 乱 とパ ー トン モ デ ル パ ー トン は 散 乱 の 前 後 で 自由粒 子 で あ る とみ な す . ξ=x=-q2/2(p2q)を

もつ パ ー トンの みe(ま

た はυ)と

反 応 し,他 は素通 りす る.

(3.48) た だ し,λqは 中 で,パ

パ ー トン の 電 荷,s=(p1+xp2)2〓x(p1+p2)2=xsで

ー ト ン 運 動 量 分 布 がq(x)dxで

あ る.核

子 の

与 え ら れ る も の とす れ ば,

(3.49a) (3.49b) が 成 立 す る か ら,式(3.46)と

比 較 し て,

(3.50a) (3.50b) が 得 ら れ る.式(3.50a)は

カ ラ ン-グ ロ ス(Callan-Gross)の

パ ー ト ン が ス ピ ン1/2を

も つ 粒 子 で あ る と き成 立 す る.

  拡 大 パ ー ト ン モ デ ル:本 の 成 立 を 前 提 と す る.し

来 の パ ー ト ン モ デ ル は,ブ か し,QCDの

あ く ま で も近 似 で し か な い.グ Q2に

も依 存 す る の で,ス

か し,パ

公 式 と 呼 ば れ,

ヨル ケ ン ス ケー リン グ

目で 改 め て 見 直 す とス ケー リン グ則 は

ル ー オ ン 放 出 な ど の 効 果 を 入 れ る と,q(x)は

ケ ー リ ン グ は 破 れ て い る と し な け れ ば な ら な い.し

ー ト ン 描 像 や パ ー トン モ デ ル に 伴 う物 理 的 解 釈 は 依 然 と し て 有 効 で あ

る の で,q(x,Q2)をQ2に

依 存 す る 分 布 関 数 と拡 大 解 釈 す れ ば,こ

パ ー ト ン モ デ ル の 式 はQCDで 存 性 はQCDに

の章で導 く

も そ の ま ま 使 用 可 能 で あ る.q(x,Q2)のQ2依

よ っ て 与 え ら れ る(後

述 §5.5).

3.5  仮 想 フォ トン との 反 応

  電 子 非 弾 性 散 乱 を,電 子 が 供 給 す るフ ォ トン と核 子 の 反 応 と い う形 で書 い て お く と便 利 な こ とが 多 い.フ

ォ トン の 断 面 積 を次 式 で定 義 す る.フ ォ トン の 偏

極 ベ ク トル を εμ(λ),λ=±(横波),0(縦

波)と す る と

(3.51) Wμνは 電 子 核 子 非 弾 性 散 乱 に 出 て き た 構 造 関 数 と 同 じ もの で,(3.38c)で え られ る.Kは

与

実 験 室 系 で の フ ォ トン エ ネ ル ギ ー に 相 当 す る 量 で あ る が,仮

想 光 子 の と き はq2→0の ば 何 で も よ く,こ

と き に フ ォ トン の エ ネ ルギー

に 一 致 す る もの で あ れ

こ で は,

(3.52) で 定 義 す る.し

た が っ てK≠q0で

  こ の 仮 想 フ ォ ト ン は,エ

あ る.

ネ ル ギ ー 運 動 量qμ=(p1-p3)μ=(ν;q)を

間 的 す な わ ちq2=-Q2<0で

あ る.運

トル を 次 式 で 定 義 す る(付

録(B.29)参

動 方 向 をz軸

も ち,空

に と る座 標 系 で 偏 極 ベ ク

照).

横 波 偏 極 ベ ク トル: 

(3.53a)

縦 波 偏 極 ベ ク トル: 

(3.53b)

ス カ ラ ー 偏 極 ベ ク トル

  (3.53c)

縦 波 偏 極 の 定 義 は 通 常 の 有 限 質 量 の 縦 波 ベ ク トル に なら っ て 定 義 し て い る が, ロ ー レ ン ツ 条 件qμ εμ=0よ

り ε(0)は 時 間 的 と な る.

(3.53d) このため完全性 の条件 は

(3.53e) と な る.ブ る 系,す

ラ イ ト系(エ な わ ちq0=0の

ネ ル ギ ー が や り取 り さ れ ず 運 動 量 の み が や り取 り さ れ 系;図3.4参

れ ら の 偏 極 ベ ク トル を 使 う と,フ

照)で

は,ε μ(0)=(1;0,0,0)で

ォ ト ン 断 面 積 は,

(a) 図3.4 

プ ラ イ ト系(a)で ず にpzの 動 量qを は1(横 る.∴ る.

あ る.こ

(b)

は,電 子 は あ た か も練 瓦 塀 に 跳 ね 返 され る よ うに,エ

ネ ル ギー,pxは

変え

み 変 え る.陽 子 は+z方 向 か ら 入 射 し+z方 向 に跳 ね 返 さ れ る.仮 想 フ ォ トン は 運 もっ て 入 射 し陽 子 に よ り吸 収 さ れ る.電 子 の ス ピ ン は1/2,仮 想 フ ォ トンの ス ピ ン 波),0(縦 σL=0.逆

波)で あ る の で,角 運 動 量保存 則 に よ り陽 子 は 横 波 フ ォ トン の み 吸 収 で き に 陽 子 の ス ピ ン が0で

あ れ ば,縦

波 フ ォ ト ン の み 吸 収 で き てσγ=0と

な

(3.54a) (3.54b)

(3.54c) 電 子 非 弾性 散 乱 の 式(3.42)を

仮 想 フ ォ トン の 断 面 積 で書 き表 す と

(3.55a) (3.55b)

(3.55c) と な る.ス

ケ ー リ ン グ の 成 り立 つ と こ ろ で は,

(3.56a) (3.56b) (3.56c) が い え る.実 き,フ

験 的 に はFL〓0で

あ り,カ

ォ ト ン の エ ネ ル ギ ー をyE1と

ラ ン-グ ロ ス の 式 が 成 立 す る.こ

の と

お き書 き直 す と

(3.57a) (3.57b) と な っ て い る.こ

の 式 は 電 子 が 質 量Q2,運

ラ ッ ク ス がdP(y,Q2)dyで にQCDのDGLAP発

動 量yの

仮 想 光 子 を提 供 しそ の フ

与 え ら れ る と 解 釈 で き る.こ 展 方 程 式 の 分 割 関 数(付

の 考 え 方 や 式 は,後

録C.6,§5.5参

照)や,WW

融 合 反 応 の ル ミ ノ シ テ ィ を 計 算 す る と き に 使 わ れ る.

3.6  ニ ュ ー ト リ ノ に よ る深 非 弾 性 散 乱

  ニ ュ ー ト リ ノ ク ォ ー ク散 乱 の 散 乱 断 面 積 は す で に 式(3.32),(3.33)で た.パ

ー トン モ デ ル に お け る荷 電 カ レ ン トに よ るν 核 子 散 乱 の 式 は,電

子 深 非 弾 性 散 乱 の 式(3.49)を

式(3.28)か

与 え 子-核

ら 導 い た と 同 じ論 理 を 踏 襲 し て,

(3.58a) (3.58b) で 与 え ら れ る.νN反 で,qとq'で

応 とνN反

応 で は 一 般 に 関 与 す る クォ ー ク種 が 違 う の

区 別 し た.

  他 方 に お い て は,ニ

ュ ー ト リ ノ に よ る 深 非 弾 性 散 乱 の 一 般 式 も,電

場 合 と 同 じ取 扱 い が で き る.電

子 散 乱 の(3.38c)に

子に よる

対 応 す る 式 は,

(3.59) こ こ で,JWμ は,歴 史上 の 理 由 に よ り標 準 理 論 の 弱 相 互 作 用 の ラ グ ラ ン ジ ア ン の 荷 電 カ レ ン トか ら結 合 定 数 

を と り2倍 し た 次 式(昔 の フ ェル ミカ レ

ン ト)で 定 義 され る.

弱 カ レ ン トは 軸 性 ベ ク トル カ レ ン トを含 む た め保 存 カ レ ン トで は な く,電 磁 相 互 作 用 の と きの よ うに 電 流 保 存 則 を 使 って6個 とは で きな い が,レ

あ る構 造 関 数 を2個 に 減 らす こ

プ トン カ レ ン トを掛 け れ ば,下 記 の3項

以 外 は レプ トン質

量 に 比 例 す る項 とな る の で 無視 で きる.

(3.60) ス ケ ー リ ン グ極 限 で は,

(3.61a)

(3.61b) カ ラン-グ ロ ス の 関 係 式 が成 立 す れ ば

(3.62a)

(3.62b) と書 き 直 せ る.式(3.58)と

比 較 す れ ば,

(3.63a) (3.63b)   因 子2は,弱

い 相 互 作 用 が ベ ク トル カ レ ン トの ほ か に 軸 性 ベ ク トル カ レ ン ト

の 寄 与 を 余 分 に 与 え る こ と に よ る.以 る.ミ

下,も

う少 し実 験 条 件 に即 して 考 察 す

ュ ー ニ ュ ー ト リ ノ に よ る荷 電 カ レ ン ト反 応 を例 に と る と,核

子 内 のs,c

ク ォー ク な どの寄 与 を無 視 す る近 似 で起 こ り うる 反 応 は

で あ る.こ

こ で,陽

u(x),d(x)と

子 の 中 のu,d,u,dク

ォ ー ク の 分 布 関 数

をu(x),d(x),

書 く と,

(3.64a) (3.64b) 中 性 子 の 中 の 分 布 は,u〓d,u〓dと 的 の 平 均 を と り(ア

し て 得 ら れ る.陽

イ ソ ス ピ ン0標

的;重

水 素,鉄

子 標 的 と中 性 子 標

な ど),

(3.65a) (3.65b) と 改 め て 書 け ば,式(3.58b)のq'はqと   こ の こ と は 一 般 に 言 え る.一 で,p→n,J±

→-J〓

等 し く な る. 般 式(3.61)は,荷

電 対 称 演 算(exp(-iπIy))

に な る の で,

(3.66) が 成 立 す る.し

た が っ て ア イ ソ ス カ ラ ー 標 的 に 対 し て は,

(3.67) が 成 立 す る の で,σν

とσν との 差 はF3の

前 の 符 号 の み と な る.

(3.68) ア イ ソ ス ピ ン 標 的 の と き の 分 布 関 数(3.65)を

式(3.58)に

代 入 し た式 と比 較

し て,

(3.69a)

(3.69b) す な わ ち,F2は

全 ク ォ ー クの 寄 与 を,F3は

こ とが わ か る.対

バ レ ン ス ク ォ ー ク*3)の 寄 与 を表 す

応 す る 電 子 散 乱 の 構 造 関 数 は,

(3.70a)

(3.70b) で あ る か ら,ア

イ ソ ス ピ ン0の

標 的では

(3.70c) 式(3.70c)は

実 験 的 に よ く成 立 し て お り(図3.5),パ

ー トン モ デ ル の 正 し さ

とパ ー ト ン が ク ォ ー ク で あ る こ と の 証 拠 を 提 供 す る4).パ ー トン モ デ ル の 理 論 的 正 当 化 は,そ

の 後QCDの

図3.5 

漸 近 自 由 に よ り与 え ら れ た(後

電 子 とニ ュ ー トリ ノ散 乱 に よ る構 造 関 数 の 比較4)

F2(x)=q(x)+q(x),xF3(x)=q(x)-q(x),q(x)を ニ ュ ー ト リノ デ ー タ で,□ は μ-N散 乱,△ ぞれ 

述 §5.2).

はeD散

プ ロ ツ ト す る.● ○ ■ は 乱 で得 られ たF2(x)に それ

と  を掛 け た もの.

 加 算 則:  核 子 の 量 子 数 を ク ォー クモ デ ル を使 っ て 書 き直 す と,次 の よ うな い ろ い ろ な 加 算 則 が 成 立 す る.s,sク *3) 核 子 の 量 子 数 に 寄 与 す る ク ォ ー ク の こ と ク ォー ク と 呼 ぶ.

ォ ー ク お よ び グ ル ー オ ン の 寄 与 も考 慮 ,一

方,真

空 と 同 じ 量 子 数 を も つqq対

は海

し て 考 え る こ と に す る と,   バ リ オ ン数:

(3.71a)  ア イ ソ ス ピ ン:

(3.71b)  電荷: (3.71c)

(3.71d)

 ス トレ ン ジ ネ ス:  ま た,(3.70)よ

り

(3.72) が 成 立 す る の で,海

ク ォ ー ク に つ い てSU(3)対

称 を 仮 定 す る と, 

が 言 え る の で,式(3.71a)(3.71d)と

合 わ せ て,

(3.73) が 導 け る.こ れ ら の 式 は 全 部 が 独 立 で は な く西 島-ゲ ル マ ン の 法 則 で 結 び つ い て い る.グ ルー オ ン と ク ォー クの もつ 総 運 動 量 は 陽 子 の 運 動 量 に 等 しい か ら

(3.74) し か し,グ

ル ー オ ン は 電 子 と は 反 応 しな い か ら,ク

ォ ー ク の 全 運 動 量 の 和 は,

(3.75) (3.71a)は,グ

ロ ス-レ ウ ェ リ ン-ス

(Sum

し て,(3.71c)は

rule)5)と

は ゴ ッ トフ リー ト(Gottfried)7)の は,x∼0付

ミ ス(Gross-Llewellyn-Smith)の

ア ド ラ ー(Adler)の

加 算 則6)と

加 算 則 と し て 知 ら れ て い る.こ

加 算則 し て,(3.73) れ らの 検 証

近 の 精 密 デ ー タ が 必 要 で あ る の で そ れ ほ どや さ し く は な い.実

的 に はx=0.003∼0.8く

ら い ま で 測 定 さ れ て い て, 

験

±0.016が

得 ら れ る の で,GLS,ゴ

ッ ト フ リー ト加 算 則 は ほ ぼ 成 立 し て い る と

い っ て よ い.

3.7 

ド レ ル-ヤ

ン過 程

  ハ ド ロ ン 同 士 の 衝 突 過 程 で,実

験 的 に も理 論 的 に も最 もよ く調べ られ て い る

の が,陽

陽 子 の衝 突 で ミュー オ ン対 を生 成 す る ドレル

子(ま

た は ハ ド ロ ン)と

-ヤ ン(Drell-Yan)過

程 であ る

.

Χ は た くさ ん の ハ ドロ ン を意 味 す る.信 号 と して レプ トン 対 を 拾 い だ す の で 実 験 的 に は比 較 的 容 易 に得 られ る反 応 で あ る(図3.6).

図3.6 

ドレ ル-ヤ ン過 程

  を 

と考 え る.

  μ 対 を 生 成 す る 種 々 の 過 程 の 中 で は,ハ が 圧 倒 的 に 大 き い.こ 式(3.15)か

の 過 程 は,運

ら ク ォ ー ク の 電 荷λqと

全 エ ネ ル ギ ー)と

し て 得 ら れ る.ク

は 無 色 で あ る か ら,RR,GG,BBの 1/3の

確 率 で 存 在 す る か ら,カ

ド ロ ン の 中 のqqが

動 学 がee→

対 消 滅 す る過 程

μμ と ほ とん ど 同 一 で あ り,

色 の 自 由 度 を 補 正 し か つs→s(qq対

の

ォ ー ク に はR,G,Bの3種

対

類 あ る が,μ

組 み 合 わ せ の み 許 さ れ る.各 ラ ー 因 子(1/3)2×3=1/3が

色 は平 均 して

か か る.し

たが っ

て,

(3.76)   パ ー ト ン の 運 動 学 変 数 を 考 慮 し よ う.こ (運 動 量x1pA)と ン2体

核 子Bの

中 の ク ォ ー ク2(運

系 の マ ン デ ル シ ュ タ ム 変 数 を,ハ

の 過 程 は 核 子Aの 動 量x2pB)が

ッ ト(^)を

中 の ク ォ ー ク1 反 応 す る.パ

ー ト

つ け て 表 す こ と に す る.

2体 系 の実 効 質 量 の 自乗 をs,全 と横 運 動 量 を無 視 す れ ば,2核

エ ネ ル ギー 運 動 量 をqと

し,パ ー トン の 質 量

子 の 重 心 系 で は,

(3.77a) (3.77b) (3.77c) で あ る の で,

(3.78) で あ る.ハ

ドロ ンAの

と す れ ば,ハ =τsと

中 の 香 りiを

もつqi,qiの

運 動 量 分 布 をqiA(x),qiA(x)

ド ロ ン衝 突 で μμ 対 が 生 成 さ れ る 断 面 積 は,μμ

対 の 不 変 質 量q2

して ,

(3.79) こ の 式 の 重 要 な ポ イ ン トは,深 非 弾性 散 乱 で決 め られ た ク ォー クの 分 布 関数 を そ の ま ま 使 う とこ ろ に あ る.た だ し,パ ー トン モデ ルが 適 用 で きる運 動 学 領 域 を適 当 に 設 定 す る必要 は あ る.パ ー トン モ デ ル の 成 立 す るの は,堅 わ ち,反

い反応すな

応 に 関 与 した エ ネ ル ギー と運 動 量 遷 移 が 十 分 大 き くパ ー トン 自身 の エ

ネ ル ギー も1GeVを

大 き く超 え る よ うな と こ ろ で あ る.電

非 弾性 散 乱 の 経 験 か ら,    (3.79)式

子 や ニ ュ ー ト リノ

な らば安 全 で あ ろ う.

を書 き直 す と

(3.80a) (3.80b) と な る.式(3.80b)は a)の

右 辺 は τ=q2/sの

パ ー ト ン の ル ミ ノ シ テ ィ と 呼 ば れ る 量 で あ る.(3.80 み の 関 数 で あ り,q2やsに

よ ら な い とい う ス ケー リ ン

グ が 成 立 す る.   観 測 量 と し て は フ ァ イ ン マ ンxと ,ラ

呼 ば れ るAB系

の 縦 運 動 量 

ピ デ ィ テ ィ η が よ く使 わ れ る.

(3.81)

x1,x2は,τ,xFが

わ か っ て い る と き は 次 式 か ら求 め ら れ る.

(3.82a) (3.82b) xFを

使 っ た 場 合 の 断 面 積 は,

(3.83a) で あ る の で,q2,xFで

書 き直 す と

(3.83b) こ こ で, 

と お け ば,

(3.84) で あ るの で,μμ 対 の 生 成 断 面 積 を 測 定 す れ ば パ ー トン 分 布 関 数 を直 接 に 求 め られ る.   実験 的 に は8)   (1)  ス ケ ー リン グは よ く成 立 して い る.   (2)  ドレル-ヤ ン過 程 で 得 られ たパ ー トン 分 布 関 数 は,深 非 弾性 散 乱 で得 ら れ た 分 布 関 数 と一 致 す る.   (3)  カ ラ ー 因 子1/3は   (4)  角 分 布 は,ス

必 要 で あ る.

ピ ン1/2ク

ォ ー ク対 消 滅 過 程 か ら 期 待 さ れ る(1+cos2θ)

と一 致 す る.   (5)  分 布 関 数 や 角 分 布 は よ く再 現 す る ものの 絶 対 値 は 予 想 よ り大 きい.   こ の 差 はΚ 因 子 と呼 ば れ る.

(3.85) 実 験 に よれ ば,こ の エ ネ ル ギー 変 数 領 域(q∼20∼30GeV)でΚ こ れ はQCDの

∼1.6で あ る.

高 次補 正 効 果 で 説 明 可 能 で あ る.

  ドレル-ヤ ン過 程 に パ ー トン モ デ ル を 適 用 で き る と正 当化 す るの は そ れ ほ ど 自明 で は な い.第1に 仮 想 フ ォ トン(q2<0)で

深 非 弾 性 散 乱 で は パ ー トン と相 互 作 用 す る の は 空 間 的 な あ るの に 対 し,ド レル-ヤ ン過 程 で 関 与 す るの はq2>

0の 時 間 的 フ ォ トン で あ り,運 動 変 数 領 域 が 大 き く異 な る.第2に,パ

ー トン

の運 動 量 分 布 は ハ る.深

ドロ ン 内 で の 多 重 グル ー オ ン交 換 の 結 果 生 じた と考 え られ

非 弾 性 散 乱 で は,パ

で あ り,ハ

ー

ド な(￨q2￨が

交 換 効 果 で あ るパ ー し,ハ

ー

トン が 相 手 に す る の は 電 子 も し く は ニ ュ ー

大 き い)散

乱 は 瞬 間 的 に 起 こ り,ソ

ド ロ ン 同 士 の 散 乱 で は,散

乱 自体 は ハ ー

ド で あ る が,ソ

究 に よ り,ハ ハ ー

ド ロ ン 反 応 過 程 に お い て も,ソ

ド な 部 分(パ

い こ と が 証 明 さ れ た(後 デ ル と と も に,任

ー

ト ン 反 応)の

述 §5.7).こ

意 の ハ

ドロ ン 過 程 に お け る パ ー

献

et al.:Z.Phys.,C22(1984)307 et al.:Phys.Rev.,B139(1965)458

 J.R.Dunning

et al.:Phys.Rev.,141(1966)1286

3)  J.D.Bjorken:Phys.Rev.,179(1969)547 4)  CDHS;H.Abramowicz 5)  D.J.Gross

and

et al.:Z.Phys.,C17(1983)283 C.H.Llewellyn-Smith:Nucl.Phys.,B14(1969)337

6)  S.Adler:Phys.Rev.,143(1966)1144 7)  K.Gottfried:Phys.Rev.Lett.,18(1967)1174 8)  C.N.Brown

か し,そ

ト な 部 分(パ

の 後 の ー

う して 深 非 弾 性 散 乱 に お け るパ ー

参 考 文

2)  E.B.Hughs

トン分 布 を変

積 に 分 解(factorization)し

理 論 的 な 根 拠 が 与 え ら れ た の で あ る.

1)  TASSO;M.Althoff

フ

et al.:Phys.Rev.Lett.,63(1989)2637

か

フ トグ ルー オ ン

乱 が 起 きる 前 に パ ー

え て し ま う 可 能 性 を 無 視 で き な い と 考 え ら れ る か ら で あ る.し

布 関 数)と

フ トグ ル ー オ ン

ト ン の 分 布 は 反 応 継 続 中 は 保 持 さ れ る と 考 え て よ い.し

交 換 に よ る 長 距 離 相 互 作 用 の 影 響 が あ り,散

QCD研

ト リノ

ト ン モ デ ル の 式(3.79)に

トン 分 て よ トン モ も

4 中性 カ レ ン ト(GWS理

  GWS理

論 は,繰

論 の検 証)*1)

り込 み 可 能 で あ る と と もに,電 磁 気 相 互 作 用 と 弱 相 互 作 用

を統 一 し た 画期 的 な理 論 で あ る.し か し,物 理 学 の 理 論 で あ るた め に は,数

学

的 に 美 し い だ け で は不 十 分 で,自 然 を 記 述 す る もの で な けれ ば な らな い.低 エ ネ ル ギ ー の 極 限 で は,フ

ェ ル ミ理 論 に な るの で あ るか ら,少 な くも これ ま で の

弱 相 互 作 用 現 象 は カバ ー して い る.と す れ ば 高 エ ネ ル ギー で の振 る舞 い を正 し く記 述 す るか,フ

ェル ミ理 論 の 範 疇 に 入 ら な い新 現 象 を正 し く予 言 す るか で理

論 の 正 当 性 が 検 証 され る こ と に な る.第2章 存 在 とW,Zの

で,GWS理

質 量 を 予 言 す る こ と を 見 た.こ

ま さ し く存 在 し,GWS理

論 は 中性 カ レ ン トの

の 章 で は 中性 カ レ ン ト現 象 が

論 の 予 言 通 りに 振 る舞 う こ と を示 す.W,Z粒

存 在 とそ の 性 質 に つ い て は,第6,7章

子の

で 記 述 す る.

4.1  中 性 カ レ ン ト反 応 の 発 見

  ベー タ 崩壊 弱 相 互 作 用 を記 述 す るた め に導 入 され た フ ェル ミ理 論 は,い

くつ

か の修 正 は受 け た もの の,そ れ ま で知 られ て い たほ とん どすべ て の 弱 相 互 作 用 現 象 を正 し く記 述 す る.フ ェ ル ミ相 互 作 用 は"荷 電 カ レ ン ト"同士 の 結合 に よ る と こ ろ に そ の 特 徴 が あ る.ゲ ー ジ理 論 の 言葉 を使 え ば"W±

を 交 換 す る"の

で,相 互 作 用 をす る こ とに よ って 粒 子 は 電 荷 を変 え る.例 え ば,最 ま た はνeと 電 子 の 散 乱 を 考 え よ う.こ

の 反 応 は 図4.1(a),(b)の

も簡 単 なνe よ うに

*1) この 章 で は ,GWS理 論 が 検 証 され て い く歴 史的 記 述 を主 眼 と した の で,当 時 の デー タ を そ の ま ま使 っ た例 が一 部 あ る.最 新 の デ ー タに つ い て は文 献7を 参 照せ よ.結 論 が 変 わ る と こ ろは な い.

W±

を 媒 介 と し て 起 こ す こ とが で き る.νee散

点 で ま だ 観 測 さ れ て い な か っ た が,νee散

乱 は,GWS理

論 が 発 表 され た 時

乱 は 原 子 炉 を使 っ た ラ イ ネ ス(Reines)

な ど の 実 験 で す で に 観 測 さ れ て い た1).GWS理

論 が 正 し け れ ば,Z0交

与 も あ る は ず で あ る(図4.1(c),(d)).Z0の

寄 与 は,原

理 的 には実 験値 か ら

W± 交 換 項 の 寄 与 を 計 算 して 差 し 引 い た 残 余 と し て 求 め ら れ る.し

か し,ニ

ー ト リ ノ と レ プ ト ン と の 反 応 は 断 面 積 が 小 さ く て 統 計 が 稼 げ な い(フ 理 論 を 使 え ば 

で あ る の で,電

子 に 比 べ てme/mp∼1/2000だ (図4.1(e),(f))を

け 損 す る).そ

考 え て み よ う.ν μ とeは

や り と り し て 散 乱 す る こ と は で き な い.別

ェル ミ

た はνμe)散

乱

二 重 項 を 構 成 し な い か らW±

を

の い い 方 を す る と,ν μはW-と

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

結

プ トン の 香 りの 保 存).

交 換 す る 場 合 は,νμ はνμ の ま ま で い ら れ る か ら,香

図4.1 

ュ

子 が標 的 の 場合 は 陽

こ で,ν μe(ま

合 し て μ-に は 変 わ れ る が 電 子 に は な れ な い の で あ る(レ Z0を

換 の寄

りは保 存 し電荷

(a),(b) νee-→νee-,νee-→νee-散

乱 の 荷 電 カ レ ン トに よ る 反 応 図

(c),(d) νee-→νee-,νee-→νee-散

乱 の 中 性 カ レ ン トに よ る 反 応 図

(e),(f) νμe-→νμe-,νμe-→νμe-散

乱 の 中 性 カ レ ン トに よ る 反 応 図

も変 わ ら な い.す

な わ ちνμe散 乱 はW±

ト現 象 で あ り,GWS理

の 交 換 を 含 ま な い 純 粋 な 中性 カ レ ン

論 に あ っ て フ ェ ル ミ理 論 に は な い 現 象 で あ る.νee散

乱 を 精 密 測 定 し て,荷

電 カ レ ン ト反 応 の 寄 与 を分 離 し,中

性 カ レ ン トの 寄 与 が

あ る こ と を証 明 す る の は 困 難 で あ る が,νμ(ν μ)e散 乱 は,一

例 で もあ れ ば 中 性

カ レ ン ト存 在 の 証 拠 と な る.   ラ ガ リ グ(Lagarigue)を 機 構)のPS(陽 ノ ビ ー ム を,ガ 100万

子 加 速 器,エ

ネ ル ギ ー26GeV)で

ー ガ メ ル(Gargamelle)と

枚 に 及 ぶ 写 真 を と り50名

め た.新 る.そ

中 心 と す る グ ル ー プ は,CERN(欧

理 論 の 検 証 に は,近

州 原 子核研 究

つ く っ た ミュ ー ニ ュ ー ト リ

い う10ト

ン の 巨 大 泡 箱 に 照 射 し,

か らの研 究 者 を動 員 し て 精 力 的 に 解 析 を は じ

代 科 学 技 術 の 粋 を集 め か つ 組 織 の 動 員 を 必 要 と す

の 後 高 エ ネ ル ギー 物 理 学 が 巨大 科 学 の 道 を歩 み は じめ る走 り とな っ た実

験 で あ る.図4.2に

最 初 に 発 見 さ れ た 中 性 カ レ ン ト反 応 の 写 真 を 示 す2).左

(a)

(b) 図4.2 

最 初 の 中性 カ レン ト反 応 の 写 真(CERN提

供)2)

左 か ら入 っ て き たνμ が 電 子 を跳 ね 飛 ば し,電 子 が フ ォ トン(中 性 で あ る の で 見 え な い)を 放 出 して 次 々 と電 子 ・陽 電 子 対 をつ くる.

か

ら入 っ て き た 反 ニ ュ ー ト リ ノ(ν μ)が泡 箱 の 中 の 電 子 を は じ き飛 ば して い る. 反 跳 粒 子 は制 動 放 射 と対 生 成(V字

型 軌 跡)を 繰 り返 す とい う電 子 特 有 の 特 徴

を示 し て い る.ミ ュ ー オ ン(実 験 的 に は 非 常 に 長 い 軌 跡 と し て 特 徴 づ け られ る.な ぜ な ら物 質 とは イ オ ン化 反応 以 外 の 相 互 作 用 をほ とん ど し な い か ら)が 存 在 し な い こ とが 中性 カ レ ン トの特 徴 を表 して い る.歴 史 的 に は この 事 象 が最 初 の 発 見 で あ っ た が,定 量 的 デ ー タは 統 計 の 稼 げ る原 子 核 を標 的 とす るハ ドロ ン反 応 に よっ て 得 られ た3).図4.3に

ハ ドロ ンに お け る 中性 カ レ ン ト反 応 例 を

示 す.

(a)

(b) 図4.3  (a) νμ+p→νμ+p+π++π-+π0の 図 中 点 線 の 後 のV字 る.

中 性 カ レ ン トに よ る ハ ドロ ン生 成(CERN提 泡箱 写 真 例,(b)  は(a)反

供)

応の フ ァ イ ン マ ン 図.

形 は フ ォ トン に よ りつ く ら れ た 電 子-陽 電 子 対.フ

ォ トン は π0→2γ よ り で き

4.2  中 性 カ レ ン トラ グ ラ ン ジ ア ン

  以 下,中 性 カ レ ン ト現 象 を定 量 的 に議 論 す る た め,中 性 カ レ ン トに よ る反 応 断 面 積 を求 め て お こ う.GWSラ

グ ラ ン ジ ア ン の ク ォ ー クお よ び レプ トンの 相

互 作 用 に 関 与 す る部 分 を抜 き出 す と,

(4.1)

(4.2a) (4.2b)

(4.2c)

(4.2d)

(電 子 の場 合) 

で あ る.Qはeを

単 位 と し た 電 荷 を 表 す.中

る た め に,ga(a=L,R)が εa(a=L,R)と

性 カ レ ン トの 場 合 は 混 乱 を 避 け

レ プ ト ン の 結 合 定 数 を表 し,ク

書 い て 区 別 す る こ と に し た.こ

ォー クの 結合 定 数 は

れ ら の 結 合 定 数 は,文

献 に

よ って は

(4.3) と 表 し,そ

れ ぞ れ ベ ク ト ル 結 合 定 数(gV(レ

性 ベ ク トル 結 合 定 数(gA(レ は 小 林-益 川 行列Vijで

プ ト ン),υq(ク

プ ト ン),aq(ク

ォ ー ク))で

変 換 さ れ た 電 荷 が-1/3の

ォ ー ク))と,軸

表 す こ と も あ る.q'

ク ォー クを示 す ．

(4.4)

(a)

図4.4 

(b)

(c)

(d)

(e)

GWS理

論 で の フ ェ ル ミオ ン とゲー ジ ボ ソ ン との 結 合 の フ ァ イン マ ン 図

(a)  フ ォ ト ン-フ

ェ ル ミ オ ンff,

(c) Z-f-f, (e) qi-qj-W Vijは 小林-益 川行 列 で あ る.

 (b)  Z-ν-ν,   (d) ν-l-W,

  GNは,GFに

対 応 す る4-フ

定 数 で あ る.一

ェ ル ミ相 互 作 用 に よ る 中 性 カ レ ン ト反 応 の 結 合

般 に

(4.5) と書 く.ρ は ボ ル ン近 似(ト

リー 近 似 と もい う)の 計 算 を す る 限 り1と お い て

よ い が,高 次 効 果 を考 慮 した り,実 験 で解 析 す る ときの 便 宜 の ため に 入 れ て お く.同 様 にsin2θWに は 定 義 の 仕 方 が い ろ い ろ あ り(第7章

を参 照),高

次補正

の受 け 方 が 違 う.ボ ル ン近 似 の 段 階 で は差 は 出 な い が,実 験 デ ー タが 精 密 化 し た と きは 区別 をす る必 要 が あ る.こ こ で は特 に 断 ら な い 限 り

(4.6) の 定 義 に 従 う も の と す る.こ (4.1)の

れ を 質 量 殻 で 定 義 し た ワ イ ン バ ー グ 角 と い う.

相 互 作 用 に 対 応 す る フ ァ イ ン マ ン 規 則 を 図4.4に

4.3 ν-e散

  4.3.1 

運

動

掲 げ て お く.

乱

学

 νe反 応 の 運 動 変 数 を

(4.7) と し,反

応 の 実 験 室 で の 変 数 を 図4.5の

よ う に と る と,

(4.8a) (4.8b) (4.8c) と表 さ れ る.パ

ー ト ン変 数yは

図4.5 νμ+e→νμ+eの

実験室系での運動変数

(4.8d) と な る.yは (4.8)か

質 量 を 無 視 す れ ば 重 心 系 で は 

と な る 量 で あ る.

ら,

(4.9a) で あ る の で,

(4.9b) が 成 立 す る. 

とす る と, 

と な る の で,散

ほ と ん ど 前 方 に 集 中 し て 放 出 さ れ る こ と が わ か る*2).こ し て く る 偽 反 応( 

ら の 崩 壊 

る.図4.6に 示 す.νe散

(陽 子)な ど) 粒子

に よ っ て,ν μ ビ ー ム 中 に 混 在 す る 成 分 で あ 験 デ ー タ4)の 角 分 布 を

乱 の 信 号 が 前 方 に 集 中 し て い る こ とが よ くみ て とれ る.

(a) νμ+e-→νμ+e-,(b) νμ+e-→νμ+e-の

あ るの で,<Ee'>∼1GeVと

た斜 線 部 分 がyに

よ ら な い部 分,濃

し て,θ2〓10-3で

角 分 布4)

ほ とん ど前 方 に 集 中す る.薄

く影 をつ け た と こ ろ が(1-y)2に

音 反 応(νμ+N→νμ+π0+N,νe+p→e++n)で

比 例 す る部 分 で,白

く影 を つ け い部分 が雑

あ る.

*2)  こ の 事 実 は 天 体 ニ ュ ー ト リ ノ観 測 に お い て,ニ れ る.

験 的 に混入

陽 子 ビ ー ム に よ っ て 生 成 さ れ た2次

ブ ル ッ ク ヘ ブ ン 研 究 所 で 行 わ れ たE734実

図4.6  Ee'θ2〓2meで

れ が,実

(中 性 子) 

と 分 離 す る 決 め 手 と な る.νeは,1次 中 のKか

乱 された電 子 は

ュ ー ト リ ノ の 飛 来 方 向 を知 る の に 利 用 さ

  4.3.2 

断

面

積

  相 互 作 用 ラ グ ラ ン ジ ア ン が(4.1)で mZ2≫q2と

与 え ら れ た の で,νμe散

乱 の 振 幅 は,

して

(4.10a)

(4.10b) こ こ で,伝

播 関 数 のqμqν の 項 は 保 存 カ レ ン トに 掛 か る と0に

q2をmZ2に

比 べ て 無 視 し た.分

象 論 的 に 入 れ て お く.自 く と,断

母 のimZΓZは

な る こ と を使 い

最 低 次 か ら は 出 て こ な い が,現

乗 し て ス ピ ン 和 と 平 均 を と っ た 行 列 要 素 を￨M￨2と

面 積 は 付 録 式(C.4),(C.12)を

書

参 照 し て,

(4.11a)

(4.11b) で 与 え ら れ る.こ 在 し な い か ら,ス い)よ

こ で 注 意 す べ き は,ニ

ュ ー ト リ ノ に は そ も そ も左 巻 き しか 存

ピ ン に つ い て は 和 を と っ た 後 平 均 を と ら な い(2で

う に 注 意 す る.付

録 式(B.19),(B.23)を

使 っ て￨M￨2を

割ら な

計 算 す る と,

(4.12a) νμe散乱 は,L〓Rと

す れ ば よい か ら

(4.12b) ま と め て,

(4.13a)

(4.13b) (4.13c) Eν≫meで

あ るの で(4.12)の

第3項

は通 常 は 無 視 す る が,νee散

乱 の よ うに

原 子 炉 の ニ ュ ー ト リノ を使 う反 応 で は 必 要 に な る項 な の で 残 して お い た.   ニ ュ ー ト リノ と電 子 の 散 乱 は 十分 な 統 計 を得 る こ とが む ず か しい の で,上 の 式 を積 分 して 実 験 値 と比 較 す る こ とに す る.第3項

を無 視 す る近 似 で

(4.14)   な お,νe(νe)e散 乱 の 断 面 積 を求 め る に は,Z0交 の 寄 与 を加 え る必 要 が あ る.W± ジア ン を考 慮 して2次

換 項 の ほ か にW±

交 換 項 が 寄 与 す る振 幅 は(4.1)の

交換 項 ラ グラ ン

の行 列 要 素 をつ くる と

(4.15) と な る が,こ

れ は フ ィー ル ツ 変 換(付

録H)す

(4.10b)で, 

る と 中 性 カ レ ン トの 行 列 要 素

と し た も の に 等 し い か ら,GN=GFで

あ れ ばdσ(ν μ(νμ)e)を 表 す 式(4.12)で 

の 置 き 換 え を す れ ば,荷

電 カ レ ン ト と 中 性 カ レ ン トの 両 方 の 寄 与 を 含 ん だdσ(νe(νe)e)が

  4.3.3 gV, gA,

sin2θWの

得 ら れ る.

決 定

 断 面 積 の 大 き さ の 目安 は

(4.16) で 与 え ら れ る.BNLのE734グ

ル ー プ は4)

(4.17a) (4.17b) を 得 た.(4.14)を

参 照 し て,こ

れ か ら,gV,gAを

解 く とgV,gA平

面 上 で 二つ

の 長 円 を 与 え る の で 解 が 四 つ あ る(図4.7(a)5)).こ

れ はgV,gAの

符号 が決 め

ら れ な い か ら で あ る.原

子 炉 か ら のνeを

使 っ て 行 っ たνee散

の ず れ た 長 円 を 与 え る の で 解 の 可 能 性 を 二 つ に 減 ら す.最 くに はe+e-→

μ+μ-を 使 え ば よ い が(図4.7(a)の

乱 デー タは中心

後 の 不 定 性 を 取 り除

中 の 

で示 さ

図4.7 

種 々の レ プ トン 反 応 よ り中 性 カ レ ン ト結 合 定数gA,gVを

決 め る5)

(a)  1986年 の デ ー タ (b)  1998年 時 点 の デ ー タに よ る許 容 範 囲:(a)の (後 述 §7.4)の 理 論 的 不 定 性 は,四 l+l-の 実 線 内 に あ る.ALRはSLACの

白 丸 の 部 分 拡 大 図.放

(1) νμe,νμe散乱 か ら二 つ の 長 円 が得 ら れ る の で,解

は4個

あ る.

(2) νee,νee散 乱 は別 の 二つ の 長 円 を与 え るの で,解

は2個

に な る.

(3) e-e+→ μ-μ+デ ー タ が最 終 的 に解 を一 つ に 絞 る. 歴 史 的 に はeD(偏 極 電 子 ビ ー ム)散 乱 に よ る 解 の 選 択 が 先 行 し た.現 ミュ ー オ ン と炭 素(C)散 丸 内 に あ る.GWS解

射補正

角 の 影 の 部 分 に あ り,デ ー タ の最 良値 は 偏 極 ビー ム デ ー タ(§7.2.4).

在偏極

乱 に よ る実 験 を含 め て解 は ユ ニ ー ク で あ り図(a)の

はgA=-1/2,sin2θW=0∼1の

直 線 上 に あ る.

白

れ る領 域),歴

史 的 に は偏 極 電 子(e)と

最 初 に 行 わ れ た(図 中eDと

重 水 素(D)の

あ る領 域,次

散 乱 での非対称 の測 定が

節 で議 論).こ

れ は ク ォー ク との 散

乱 を含 む の で,純 粋 に レプ トン 反 応 の み で の決 定 に は な らな い.も

ちろん統一

理 論 の 精 神 か らす れ ば両 者 に 区別 は な いが,実 験 の 検 証 と して は 純 レプ トン反 応 と クォー ク を含 む 反 応 とで 独 立 に検 証 す る の が望 ま し い こ とは い う ま で もな い.現

在 は 四 つ の 解 の う ち ど れ が 正 し い か が わ か って い る か ら,σ(νμe),

σ(νμe)より直 接 にgV,gAが

一 意 的 に 決 め られ る.E734の

れ た角 分 解 能 を利 用 し て,デ ー タ の角 分 布 を,gV,gAを 式 に合 うよ うに 決 め た.図4.6の 線 で あ る.CHARM Ⅱ

実 際 の解 析 で は,優 パ ラ メ ター と して 計 算

角 分布 に あ る ヒス トグ ラム は こ う して 得 た 曲

に よ る最 近 の デ ー タで は6),

(4.18a) (4.18b) こ こ で,結

合 定 数 は 電 子 の も の で あ る こ と を 明 記 す る た めeと

に つ け て あ る.gAの の 値 が0に

値 は,GWS理

論 の 予 言 値-1/2と

近 い と い う 事 実 は,ワ

と を 意 味 す る.sin2θWはgVか 提 を お け ば,gA=-1/2を

イ ン バ ー グ 角sin2θWが

ら 求 め ら れ る が,GWS理

い う指 標 を 特

よ く あ っ て い る.gV 非 常 に1/4に

近 い こ

論 が 正 しい と い う前

与 え た う え で,比R

(4.19) を 使 う ほ う が よ り正 確 に 求 め ら れ る7).

(4.20a) が 与 えら れ て い る.

  断 面 積 の 絶 対 値 を もパ ラ メ タ ー と して 最 適 化 す る と ρを得 る こ とが で き る. 現 在 値 は7)

(4.20b) 4.4  eD散

  中 性 カ レ ン トは(I3L-Qsin2θW)と レ ン トの 混 合 と な っ て い る.と

乱 の非 対 称

表 され る よ うに 電 流 とア イ ソス ピ ン 弱 カ い う こ とは 電磁 相 互 作 用 が あ る とこ ろ 必 ず 中性

カ レ ン トに よ る 弱相 互 作 用 も存在 す る こ と を意 味 す る.中 性 カ レ ン トの 存 在 は パ リテ ィ非 保 存 に よ り特 徴 づ け ら れ る.GWS理

論 が 提 唱 さ れ て よ り,そ れ ま

で は 純 粋 な電 磁 相 互 作 用 に よ る と考 え ら れ た 原 子 遷 移 に お い てパ リテ ィの 破 れ を見 つ け よ う とす る 試 み が な され た.例

え ば,ビ

ス マ ス に レー ザ ー 光 を 当 て,

わ ず か な 偏 光 面 の 回 転 を検 出 す る試 み が 行 わ れ た が,初 期 の 実 験 はGWS理 の 予 想 と合 わ な か った.今

日で は き わめ て精 密 な測 定 が な さ れ て い てGWS理

論 とよ く合 うこ とが 知 られ て い る8).中 性 カ レ ン トの 検 証 とい う点 で は,歴 的 にSLACの た.eD散

論

偏 極 電 子 ビ ー ム を 使 用 す るeD散

史

乱9)で の 非 対 称 実 験 が 先 行 し

乱 に よ る ワ イ ン バ ー グ角 決 定 の 精 度 は,ν-電 子 散 乱 に 及 ば な い が,

(1) 電 磁 相 互 作 用 にパ リ テ ィ非 保 存 項 が 混 じ る こ と を は じめ て 示 し た こ と, (2) νe散乱 で は 解 け な か っ たgV,gAの

符 号 を決 め て,一

時 期 ゆ れ 動 い たGWS

理 論 の正 当性 を立 証 して 物 理 学 史上 の 一 つ の エ ポ ッ ク と な っ て い る こ と,そ し て(3)  eD散

乱 公 式 を導 く過 程 が 後 に 使 うee→ff散

乱 公 式 を 導 くの に 有 用

な ど の理 由 に よ り,こ こ で と り上 げ る こ とに す る.   ビー ム は 縦 偏 極(ヘ

リ シ テ ィ)の 負(L)成

分 と正(R)成

し,原 子 核 標 的 は 偏 極 して い な い 場 合 を 考 え る.ベ

分 に分 け る こ と と

ク トル 相互 作 用 は ヘ リシ

テ ィ を 保 存 す る こ と を考 慮 す る と電 子 と原 子 核 の 中 の ク ォー クqと の 散 乱 振 幅 は,

(4.21) (4.22) a,b=Lま

た はR

こ れ よ り,ヘ mZΓZと

し て,断

考 え る.ス

*3)  L

,Rは

リ シ テ ィ を 考 慮 し たeq散 面 積 と し て は 第1項

ピ ン 和 を とれ ば,付

乱 の 断 面 積 が 計 算 で き る*3).mZ2≫t, の 自 乗 と,第1項

録 式(B.23)を

カ イ ラ リテ ィ で ヘ リ シ テ ィ で は な い が,質

と2項

の干渉項 のみ を

参 照 し て,

量 を 無 視 す れ ば 同 じ と な る.

(4.23a) (4.23b) で あ る の で,

を使 え ば

(4.24) が 得 ら れ る.

と して 非 対 称Aを

計算すれ ば

(4.25) た だ し,分

母 で は 優 勢 な 第1項

ソ ス ピ ン0の

の み を 残 し,干

標 的 で あ る か ら,uク

渉 項 は 落 と し た.重

ォ ー ク とdク

水素 はア イ

ォ ー ク が 同 数 ず つ あ る の で,

 と し  2を 入 れ れ ば,

(4.26) ￨t￨≒1GeV2と

す る と

(4.27) と な る.非

対 称 値Aは

ビー ム エ ネ ル ギ ー に よ ら な い.Aが

非 常 に小 さ い の で

大 変 困 難 な 実 験 で あ る.   SLAC(ス 4.8(a)に

タ ン フ ォ ト線 形 加 速 器 セ ン タ ー)で 示 す.こ

の 実 験 で は,偏

行 わ れ た 実 験9)の 結 果 を 図

光 電 子 ビー ム は 円偏 光 した レー ザ ー ビー ム

(a)

(b)

(c)

図4.8  偏 極 電 子 と重 水 素 との 散 乱 に お け る非 対 称 測定 実 験9) (a)  非 対 称 をyの

関 数 と して み る.だ

い た い 標 準 理 論 に あ う.非 対 称 が 偏 極 プ リ ズ ム を 回 転 し た り

(b), エ ネ ル ギー を変 え る(c)  と変 化 し,予 想 通 りで あ る こ とに よ り実 験 の チ ェ ッ ク を す る.エ ギ ー に よ り非 対 称 が 変 わ るの は ス ピ ン 歳 差 運 動 の 周 波 数 が 磁 場(エ る こ とか ら くる.

ネ ル ギー を決 め る)に

を 電 子 と散 乱 させ て つ く り,ビ ー ム 偏 極 度Pe=0.37を る の はAPeで

あ る か ら,Peを

験 で測 定 す

変 え て 非 対 称 が 変 わ る の を見 るの は 実 験 が 正 し

く行 わ れ て い る こ との 一 つ の チ ェ ッ ク とな る.Peは を別 途 行 って,そ

得 た.実

ネル

よ り変 化 す

メ ラー 散 乱(e-e-散

乱)

の 非 対 称 から 測 定 で き る.偏 光 レー ザ ー ビー ム は最 初 線 偏 光

して い る レー ザ ー ビー ム を 円 偏 光 に変 換 して 得 るが,そ

の偏 極 度 は 途 中 に挿 入

し た 方 解 石 プ リ ズ ム を 回 転 し て 変 えら れ る.図4.8(b)は,方 度 の 関 数 と し て,非

対 称 を 描 い た も の で あ る.図4.8(c)は,ビ

ギ ー を 変 え た と き の 非 対 称 の 変 化 で あ る.A自 ら な い が,ビ

極 度Peが

こ の 結 果,ニ

よるス ピ

の 実 験 の 結 果 をgV,gAの

値

論 の 予 想 と一 致 す る こ とが 結 論 さ れ た .

の 高 エ ネ ル ギ ー 東 京 国 際 会 議 の 総 合 レ ビ ュ ー で は,す

実 を 総 合 的 に 検 討 し て,数

関

示 さ れ る 部 分 が 許 容 範 囲 と な る.

ュ ー ト リ ノ 電 子 散 乱 で の 解 の 符 号 の 不 定 性 が 解 け て,gV,gAの

が ユ ニ ー ク に 決 ま り,GWS理   1978年

常 磁 気 能率g-2に

変 化 す る の で あ る .こ

数 と し て プ ロ ッ トす る と,図4.7のeDで

ーム エ ネ ル

身 は ビー ム の エ ネ ル ギー に よ

ー ム は 磁 場 の 中 を 通 過 す る の で,異

ン 回 転 が あ り,偏

解 石 の 回転 角

あ る ゲ ー ジ 理 論 モ デ ル の 中 で,ワ

べ ての実 験事

イ ン バ ー グ-サ ラ

ム モ デ ル の み が 唯 一 の 正 し い 結 果 を 与 え る こ と,種

々 の 過 程 か ら求 め られ た

sin2θWが

.こ

が,モ

す べ て 一 致 す る こ と が 示 さ れ た(図4.910))

デ ル か ら理 論 へ と 昇 格 し た と い え る.ワ

さ れ て か ら10年

の 時 点 でGWS理

経 過 し て い た.

図4.9  種 々 の 中性 カ レ ン ト反 応 が すべ てGWS理 イ ンバ ー グ角 を与 え る こ と の証 明.こ 疑 問 の余 地 な く立 証 され た(1978年,高 で の 総 合 講 演)10)

論

イ ン バ ー グ-サ ラ ム 理 論 が 提 唱

論 の 予 想 通 りで,か れ に よ っ てGWS理

つ 同 じワ

論 の正 しさが

エネルギー物理学東京国際会議

4.5 

  GWS理

論 は,当

る た め に は,ク

GIM機

構

初 レ プ トン に つ い て つ く ら れ た も の で あ る.統

一理 論 であ

ォ ー ク に つ い て も 同 じ 原 理 が 適 用 さ れ な け れ ば な ら な い.と

こ

ろ で 当 時 知 ら れ て い た 唯 一 の ク ォ ー ク の 二 重 項*4)

(4.28) か ら 中 性 カ レ ン トを つ く っ て み る と,

(4.29) と な る.簡 dとsを

単 の た め ク ォ ー ク種 以 外 の 時 空 の 指 標 な ど は 省 略 し た.最 入 れ 換 え る 演 算 子 で あ る の で,電

ス が 変 わ る 中 性 カ レ ン トで あ る.こ

荷 は 変 わ ら な い が,ス

の 項 が 存 在 す る と,例

トレ ン ジ ネ

え ば 

  11)の よ う な 反 応 が 存 在 し な け れ ば なら な い(図4 こ れ ら の 分 岐 比 は,実

後 の項は

とか

.10(a),(b)).

験 的 に は7)

(4.30) と 非 常 に 小 さ い.少

な く も 第1近

似 で は ス トレ ン ジ ネ スの 変 わ る中性 カ レ ン ト

は 存 在 し な い と考 え て よ さ そ う で あ る.と

す れ ば(4.29)の

何 ら か の メ カ ニ ズ ム が 働 い て い な け れ ば な ら な い.そ を 導 入 し,s'と

第4項

こ で,第4の

を打 ち 消 す ク ォ ー クC

二 重 項 を つ く る と 考 え る.

(4.31) こ う す る と,Q1に

よ る 中 性 カ レ ン トの ほ か に,Q2に

よ る 中性 カ レ ン ト

が 付 加 され て,全 体 と して は

(4.32) *4)  当 時 観 測 さ れ て い た ク ォ ー ク はu れ,(u,

d')の

, d, sの3種

組 が 弱 い 相 互 作 用 を す る.

あ っ た が,カ

ビ ボ 理 論 で はd'に

ま とめ ら

と な り,ス る.こ

トレ ン ジ ネ ス を変 え る項 が な く な るか ら実 験 事 実 と矛 盾 しな くな

れ を 発 見 者 グ ラ シ ョ ウ-イ リ オ ポ ロ ス-マ イ ア ニ(Glashow-Illioupoulos-

Maiani12))に

ち な ん でGIMメ

カ ニ ズ ム と 呼 ぶ.こ

の 中 性 カ レ ン トは,電

荷 の

み な らず ス トレ ン ジ ネ スや チ ャー ム量 子 数 を も変 え な い 真 の意 味 で の 中性 カ レ ン トで あ る.   ス ト レ ン ジ ネ ス の 変 わ る 中 性 カ レ ン ト反 応 が,小 は 高 次 効 果 に よ る.図4.10(c)∼(d)を ン ト反 応 の2次 き さ(gW2/4π)は (c),(d)の

参 照 す れ ば わ か る よ う に,荷

効 果 と し て 実 現 可 能 で あ る.GWS理

μ −μ+

は ず で あ る が,実

(b) 

(d)

(c),(d) 

K0→

K+→

π+レ

μ-μ+,K+→π+νν

GIM機

電 カ レ

との 結 合 の 大

た が っ て,図4.10

験 値 は そ れ よ りは る か に

レ

(e) 図4.10 

(a),(b) 

論 で はW±

電 磁 相 互 作 用 結 合 α と 同 程 度 で あ る.し

過 程 の 寄 与 はO(α2)の

(a)  K0→

さ くは あ る が 存 在 す る 理 由

(c)

(f)

構 に よ る相 殺 機 構

は ス トレ ン ジ ネ ス を 変 え る 中 性 カ レ ン ト が 存 在 す れ ば 生 じ る.

は 荷 電 カ レ ン トの み で も 高 次 の 効 果 と して 起 こ る こ と を 示 す フ ァ イ ン マ ン 図.

(e),(f)は(c),(d)  消 す よ うに 働 く. (c),(d) ∝g2cosθcsinθc (e),(f) ∝-g2coscsinθc

に お い てu→cで

置 き 換 え た 図.結

合 定 数 の 符 号 に より(c),(d)の

寄 与 を打 を

低 い 値 を 与 え る.こ (e),(f)の

れ はGIMメ

過 程 が 存 在 し,(c),(d)の

ラ フ を 比 べ て み る と,違 る が,W± る.も

カ ニ ズ ム が 高 次 で も 働 い て い て,図4.10

い はuク

過 程 を 相 殺 す る こ と に よ る.両 ォ ー ク をcク

粒 子 と の 結 合 の 仕 方 に 違 い が あ り,振

しcク

あ る.質

ォ ー ク の 質 量 がuク

者 の グ

ォー クで 置 き換 え た の み で あ 幅 と して は 同 値 異 符 号 を与 え

ォー クの 質 量 と同 一 で あ れ ば 相 殺 は 完 全 で

量 の 違 う分 に よ り生 じ る 差 が 実 験 値 を 与 え る と し て,mc≫muを

仮 定

して崩 壊 振 幅 を計 算 す る と

(4.33) と な り,実 GeVが

験 値 を 再 現 す る よ う にcク

得 ら れ た13).こ

の 予 言 はcク

ク ォ ー ク の 発 見 は,GWS統

ォ ー ク の 質 量 を 調 整 す る とmc∼1.5 ォ ー ク の 発 見 さ れ る 前 に 行 わ れ た.c

一 理 論 の 基 本 的 考 え 方 で あ るSU(2)の

二 重項 構

造 が ク ォ ー ク セ ク タ ー で も成 立 し て い る こ と を 確 認 し た と い う意 味 で,単 第4の

なる

ク ォ ー ク の 存 在 と い う 以 上 の 重 要 な 意 味 合 い を も っ て い た の で あ る.次

の ス テ ッ プ は,ク

ォ ー ク セ ク タ ー で の ワ イ ン バ ー グ角 が レ プ トン セ ク タ ー で 決

め ら れ た ワ イ ン バ ー グ角 と 同 じ値 を も つ か ど うか を 確 認 す る こ と で あ る.

4.6  ハ ドロ ン に よ る 中 性 カ レ ン ト反 応

  4.6.1 

断

面

積

  ニ ュ ー ト リ ノ と ク ォ ー ク と の 中 性 カ レ ン トに よ る 反 応 断 面 積 は,(3.33)で 与 え た.す

なわち

(4.34)

(4.35)

(4.36) sは(νq)系

の 全 エ ネ ル ギ ー で あ り,GN=ρGFで

ば レ プ トン 反 応 の ρ と 異 な る(レ の 補 正 効 果 を も つ)が,差

あ る.こ

こ の ρは 厳 密 に い え

プ ト ン 反 応 とハ ド ロ ン 反 応 で は,異

は 小 さ い の で 現 段 階 で は 同 じ と見 な す.

な る高 次

  ニ ュ ー ト リ ノ と核 子(N)と の 運 動 量 変 数 をs→xsと

の 反 応 断 面 積 を 得 る に は,核

し,q(x),q(x)を

子 の 中 の クォー ク

掛 け て や れ ば よ い(§3参

照).

(4.37a)

(4.37b) x, yで

積 分 し,

(4.38a) (4.38b) と 書 け ば,

(4.39a) (4.39b) と な る.   こ こ で,陽

子 の 中 のu,

dク

ォ ー ク の 分 布 関 数 をu(x),d(x)と

ン ジ ネ ス ク ォ ー ク 成 分 や チ ャ ー ム ク ォ ー ク生 成 の 寄 与 を 無 視 し た.ま の 数 と 中 性 子 の 数 が 等 し い ア イ ソ ス ピ ン=0の でu〓dと

し,ス

トレ

た,陽

子

標 的 を 使 う こ と に す れ ば,上

式

し た も の の 平 均 を と る 必 要 が あ る の で,

(4.40a) (4.40b) と 置 き 換 え て,改

め てQ=(U+D)/2と

お く と,(4.39)は

(4.41a) (4.41b) と書 き 直 せ る.一

方,荷

電 カ レ ン トに よ る 反 応 断 面 積 は,

(4.42a) (4.42b) で 与 え ら れ る(§3.6参

照).た

る 高 次 補 正 で あ る.こ

こ で,

だ し,ρcc(≒1)は

中 性 カ レ ン トで の ρ に 対 応 す

(4.43) を 定 義 す れ ば,(4.41),(4.42)を

使 って

(4.44) (4.45) が 得 ら れ る.以

上 よ り次 の 関 係 式 を 得 る14).

(4.46) (4.47)   中 性 カ レ ン ト反 応 実 験 は,荷 き る.中

電 カ レ ン ト反 応 に よ る 深 非 弾 性 散 乱 と 同 時 に で

性 カ レ ン トの 場 合 は,ニ

図4.11 

ュ ー トリ ノが ミ ユー オ ンに 変 わ らず に ニ ュー

ハ ドロ ン に よ る 中 性 カ レ ン ト反 応 の 断 面 積 と荷 電 カ レ ン ト断 面 積 の 比 Rν.ν=σNCν.ν/σCCν.ν より,左

巻 き 成 分 と右 巻 き 成 分 の 結 合 定 数GLと

GRを 決 め る15).V±A.Vま た はAと み),V-A(GLの み),V,A(GLとGRが

あ るの は 純 粋 なV+A(GRの 等 量 の 場 合)の 線.GWS

理 論 で は 混 合 比 が ア イ ソ ス ピ ン と電 荷 の 組 み 合 わ せ で 決 ま る.デ ー タ はGWS理 の は,核

論 上 でsin2θW≒0.23付 近 に あ る.V±Aが 子 内 の 反 ク ォー ク成 分 のせ い で あ る.

座標軸上 に ない

ト リ ノ の ま ま で い る か ら,終 を 拾 え ば よ い.Rν,Rν

状 態 に ミュー オ ンの 存 在 し な い深 非 弾性 散 乱 現 象

の 比 よ りGL,GRが

の 予 想 と 一 致 す る こ と が 示 さ れ た.ま ト ン デ ー タ のsin2θWと

求 め ら れ(図4.1115)),GWS理

た,こ

論

れ よ り決 め ら れ たsin2θWが

一 致 し た こ と は,GWS理

論 が レ プ ト ン,ク

レプ

ォー ク両

セ ク タ ー に 通 用 す る普 遍 統 一 理 論 と し て の 性 質 を も っ て い る こ と を 実 験 的 に 示 し た こ と に な る.

  4.6.2 

ワ イ ンバ ー グ 角

  ワ イ ン バ ー グ 角 は,Rν,Rν 値 が ほ し い と き は,Rν,Rν 的(通

常 鉄)が

の 一 方 も し くは 両 方 か ら 計 算 で き る が,精 自 身 の 精 度 を 上 げ る 必 要 が あ る.こ

ア イ ソ ス カ ラ ー で な い こ と(np≠nn),ス

寄 与,チ

ャ ー ム ク ォ ー ク の 寄 与(運

動 量 分 布,生

補 正,チ

ャ ー ム ク ォ ー ク の 質 量 補 正),放

か ら,Rν

の と き は,標

トレ ン ジ クォ ー クの

成 し き い値 付 近 で の 運 動 変 数

射 補 正(主

質 量 と ヒ ッ グ ス の 質 量 を パ ラ メ タ ー と し て 含 む)寄 あ る.CERNやFNALな

密 な

と し て トップ クォ ー ク の 与 の 補 正 な ど をす る必 要 が

ど世 界 の 深 非 弾 性 実 験 結 果 を 統 合 した 高 統 計 デー タ

の 式(4.46)の

み を 使 っ て 得 ら れ た 値 は16,17),

(4.48) 式(4.47)を

使 用 し な い 理 由 は,反

ニ ュ ー ト リ ノ ビ ー ム の 強 度 が 小 さ く,統

誤 差 が ニ ュ ー ト リ ノ ビ ー ム デ ー タ に 及 ば な い か ら で あ る.理 寄 与 はσcに 寄 与 す る チ ャ ー ム 粒 子 の 質 量(1.5±0.3GeV)の 0.004の

う ち0.003を

占 め る.残

の 不 定 性 な ど で だ い た い0.003く

り は 放 射 補 正*5)と ら い で あ る.こ

計

論的誤差 の最大の 不 定 性 から で,

ク ォー ク運 動 量 分 布 関 数

の 値 は,ν μ(νμ)e散 乱 か ら 求

め た 値 と 合 っ て い る.   sin2θWの

値 を よ り 一 層 正 確 に 求 め る に は,理

論 的 不 定 性 の 少 な い(ハ

ドロ

ン の モ デ ル に よ ら な い)

(4.49) を 使 う の が よ い18).反

ニ ュ ー ト リ ノ の 統 計 数 の 制 限 か ら,こ

験 を 得 る の が 困 難 で あ っ た が,最 *5)  放 射 補 正 のmt依

れ ま で は精 密 な 実

近 フ ェ ル ミ研 究 所 の 主 入 射 器(Main

存 性 に つ い て は §7.4を

参照 せ よ

.

Injector)

の 改 良 に よ る高 強 度 の ニ ュ ー トリ ノ ビー ム 実 験 が で きて 得 ら れ た値 は

で あ る19).

4.7 

領 域 のe-e+→ff反

  こ こ で は, 

,す

応

な わ ち ト リス タ ン やPETRA,

PEPの

エネル

ギー 領 域 で の 電 子 陽 電 子 反 応 を 扱 う.こ の領 域 で は も っ ぱ ら電 磁 相 互 作 用 と弱 相 互 作 用 の 干 渉 効 果 を見 る こ とに よ り,標 準 理 論 に よ る 中性 カ レ ン ト表 現 が 基 本 的 に 正 しい こ と を検 証 す る.同

じ電 子 陽 電 子 反 応 で もZ共

鳴領域 の物理 は

標 準 理 論 の 高 次 効 果 に まで 踏 み 込 ん だ 精 密 検 証 を行 う と と もに,標 準 理 論 か ら の ズ レ を探 し て標 準 理 論 を越 え る物 理 を め ざ す の で,改 め て 第7章

で 取 り扱

う.

  4.7.1 

e-e+→ff反

応 の一般 式

  電 子 陽 電 子 対 消 滅 か ら フ ェ ル ミ オ ン 対 を 生 成 す る 反 応 はe-q→e-q反 交 叉 で 得 ら れ る.図4.12を p4,p2→-p3,p4→-p2と

参 照 し て,式(4.24)の

行 列 要 素Mの

す る と

(b) e-e+→qq

(a) e-q→e-q

図4.12 e-q→e-q散

乱 よ り,交

叉 に よ っ てe-e+→qqを

得 る.

散 乱 振 幅M(e-q→e-q)の

変 数(p1,p2,p3,p4)→(p1,-p3,p4,-p2)

と す れ ばM(e-e+→qq)が

得 ら れ る.す

u)=M(e-q→e-q;t,u,s)

な わ ちM(e-e+→qq;s,t,

応の 中 のp3→

(4.50a,b) 同様 に

(4.51a) (4.51b) た だ し,fabは

式(4.22)でt→sと

子 は ビ ー ム の 中 に そ れ ぞ れ1/2ず と,断

し た も の で あ る.こ

れ か ら,偏

極 した電

つ あ る こ と を 考 慮 し て 上 式 の 和 の1/4を

とる

面積 は

(4.52)

(4.53) (レ プ

ト ン),

 (ク ォ ー ク)

 (4.54)

(4.55) と な る.δQCDはQCDに

よ る 補 正 項 で,ト

鳴 以 下 の エ ネ ル ギ ー 領 域 

リス タ ン

 

で は 約5%の

か らZ共

補 正 を 与 え る.q

を ク ォ ー ク種 を 表 す 指 標 と し て,

(4.56) (4.57)

(4.58) よ く使 わ れ る観 測 量 は,全 ハ ドロ ン断 面 積 とQEDに 比Rと

よ る μ対 生 成 断 面 積 との

非 対 称 パ ラ メ ター で あ る.

(4.59)

(4.60) た だ し,AFBのFとBは

散 乱 角 分 布 の 前 方(forward)と

後 方(backward)

の 意 味 で あ る.

  4.7.2 

ee→ll角

分布前後非対称

  ト リ ス タ ン やPEP,PETRAの が,LEP実

験

 

で あ る.sin2θWは 1と な り,ト

で は,当

非 常 に1/4に

近 く, 

か し,ト

で あ る.こ

リ ス タ ン はZ共

よ る 干 渉 効 果 が 最 大 に な る と こ ろ で あ る.こ

す.曲

線 は, 

と し て,GWS理

エ ネ ル ギ ー 依 存 性 を,レ c(b)ク

プ ト ン,u,

ォ ー ク の 非 対 称 はu(d)と

  レ プ トン 対(ll=μμ,ττ)生 じ 式 が 使 え る.gVl〓0で

dク

の 事 実 に よ っ て,F1≒

鳴 の 裾 野 に 位 置 し,QEDと の 様 子 を 図4.13(a)に

示

論値 を用 いて計 算 した非対 称 の ォ ー ク に つ い て 示 し た もの で あ る.

同 一 で あ る. 成 の 場 合 はυq, aqをgVl,

gAlと 読 み 替 え れ ば 同

あ るか ら

(b)

(a)  e+e-→l+l-,uu,ddの (b) e+e-→

項 が優勢

値 に は弱相 互作 用 の影響

(a) 図4.13 

項 は無視 で き る

然 の こ と な が ら,χ02の

リ ス タ ン 以 下 の エ ネ ル ギ ー で は,Rqの

は ほ と ん ど 現 れ な い.し Zに

エ ネ ル ギ ー 領 域 で は,χ02の

μ μ

前 後 非 対 称,標

の 非 対 称 デ ー タ22).実

準 理 論 に よ る.

線 は 標 準 理 論.

(b)

(a) 図4.14 

(a)e+e-→

μ+μ-,(b)e+e-→

ト リ ス タ ン ヴ ィー ナ ス グ ルー プ に よ る20). 

τ+τ-の 角 分 布

実 線 は 最 適 化 曲 線 で,ダ

ッシ ュ線 は 標 準 理

論 の 予 言 値.

(4.61) と 近 似 で き る.   図4.14(a),(b)に

ト リ ス タ ン ヴ ィ ー ナ ス で 測 定 し たee→

の 角 分 布 を 示 す20).最 のs依

近 のLEP実

存 性 を 図4.13(b)22)に

μμ,τ τ 反 応 で

験 で 得 ら れ た 非 対 称21)と あ わ せ て,非

対 称

示 す が 標 準 理 論 と よ く合 っ て い る こ と が わ か

る.

  4.7.3 

c,bはSU(2)2重

項 か

  ク ォ ー ク の 角 分 布 非 対 称 に つ い て も,レ で は 視 点 を 変 え て,非 こ と を 考 え よ う.な

対 称 デ ー タ か らc,bク

ぜ な ら ば,標

相 互 作 用 を す る と い う こ と は,実

然 ア イ ソ ス ピ ン1/2を 以 前*6)に お い て は,ト

ォー クの ア イ ソ ス ピ ン を決 め る

項 を 組 み,W±

交 換 に 際 し て はV-A型

験 的 に 証 明 さ れ て い た が,(c,s'),(t,b'),

察 の み で あ っ た か ら で あ る.cは

ニ ズ ム の 議 論 に よ っ て,s'の

こ

準 理 論 が 提 唱 さ れ た 時 点 で,(u,d'),(νe,e),

(νμ,μ)が そ れ ぞ れ ア イ ソ ス ピ ン2重

(ντ,τ)に つ い て は,推

プ ト ン と 同 じ解 析 が で き る が,こ

そ も そ も はGIMメ

カ

パ ー トナ ー と し て の 存 在 を 要 求 さ れ た の で,当

も た ね ば な ら な い.bの

ア イ ソ ス ピ ン 決 定 は,tの

発見

ップ クォー クの 存 在 を実 験 的 に 確 定 す る と い う意 味 合

い で特 に 重 要 な 意 味 を も っ て い た.

*6)  ト ッ プ ク ォ ー ク は ,1994年4月

に 存 在 の 証 拠 が 与 え ら れ た23).

  a.  cc角

分布前後非 対称

  e+e-→qq反

応 は,通

常2ジ

一 般 の 詳 し い 考 察 は 第8章 て 行 わ れ る.e+e-→

ェ ッ ト現 象 と し て 観 察 さ れ る.ジ

で 行 うが

,チ

ャー ム クォー クの 同 定 は次 の よ うに し

ハ ド ロ ン 反 応 で つ く ら れ るD*メ

高 い こ と が 観 察 さ れ て い て,e+e-→ccで ず に 真 空 か らuま 常 に 高 い.し

た は4ク

ェ ッ ト現 象

ソ ン*7)の エ ネ ル ギ ー が

で き た 最 初 のcク

ォー クが 崩 壊 せ

ォ ー ク を 拾 っ て そ の ま まハ ド ロ ン 化 し た 確 率 が 非

た が っ て,D*の

角 分 布 を も っ て そ の ま まcク

ォー クの 角 分 布 と

見 な す の は よ い 近 似 で あ ろ う.D*は, 

な

ど の 崩 壊 モ ー ドで 同 定 で き る.πsのsは

特 別 な 意 味 が あ る わ け で は な い.D*

の 同定 に重 要 な役 割 を果 た す が ゆ え に 特 に 指 標 を つ け て お くだ け の こ と で あ る.こ

の πsは, 

で,D*の と は,実

と 非 常 に 低 いQ値

静 止 系 でD0とπsは

方 向 と 同 一 視 す る こ と が 可 能 で あ る.D*

粒 子 が す べ て 同 定 で き る場 合 は,D*の

再 構 築 で き る の で,πsに

ルー プ に よ

完 全 再 構 築 さ れ たD*の

盛 り上 が っ て い て,上

布 を 示 し た も の で あ る.pT〓0付

記 πsの 存 在,し

た が っ てD*の

中 か ら 

ル ー プ は,そ

照*8) 近 が特 に

存 在 が 裏 づ け ら れ る.

の 事 象 の み を 拾 い 上 げ,

ジ ェ ッ ト軸 の ビ ー ム 軸 に 対 す る 角 の 分 布 を 描 い た も の で あ る.こ か ら,TASSOグ

角 分布 であ

の デ ー タ サ ン プ ル の ジ ェ ッ ト軸(図4.15(b)参

に 対 す る 各 粒 子 の 横 運 動 量(pT)分

図(d)は,図(c)の

運動 変数 は完全 に

頼 る 必 要 は な い.図4.15に,TASSOグ

角 分 布 を 示 す24).図4.15(a)は

る.図4.15(c)は,別

い うこ

ほ と ん ど 並 ん で 走 っ て い る こ と を 意 味 す る.し

方 向 を も っ てD*の

の 崩 壊 し た 後 の2次

るD*の

ほ と ん ど 静 止 し た 状 態 で つ く ら れ る.と

験 室 系 で πsはD0と

た が っ て,πsの

を もつ の

れ ら の角 分 布

れ ぞ れ チ ャ ー ム の 前 後 非 対 称 パ ラ メ タ ーAFBc

に 対 し て,

(4.62a) (4.62b) を 導 く こ と が で き た.標 は,-0.157お

よ び-0.145を

準 理 論 の 計 算 値 は,そ 与 え る.JADEグ

*7) D0=cu , D+=cdの0-状 態.D'はl-状 *8)  ジ ェ ッ ト軸 の 正 確 な 定 義(ス ラ ス ト軸)に

れ ぞ れ の 実 験 条 件 の も とで ル ー プ はTASSOの

態 に 対 応 す る. つ い て は,§8.1.2を

参 照 せ よ.

行 っ た 第1

(a)

(c) (b)

(d) 図4.15 

チ ャー ム ク ォー ク生 成 角 分 布 に お け る非 対 称 の 測 定24)

(a) は 反 応 チ ャー ム メ ソ ンの 崩壊 粒 子 を 完 全 に再 構 築 して チ ャー ム メ ソ ン の 角 度 分 布 を と っ た もの. 実 線 は デ ー タ最 適 化 曲線,ダ ッ シ ュ線 は 非 対称 が な い と した と きの分 布 で あ る. (b) は ジ ェ ッ ト軸 に 対 す るpTの 説 明. (c) は 全 粒 子 の ジ ェ ッ ト軸 に 対 す るpT分 (d) は(c)の

布.

サ ンプ ル の 中 か らpT2<0.0075(GeV/c)2以

下 の もの の み を と り そ の事 象 の ジ ェ ッ ト軸 の

角 分 布 を と っ た もの. 角 分 布 の 非 対 称 か らgAeac=-(0.270±0.073)と と決 め られ る.

決 め ら れ た. 

よ り 

の 方 法 と 同 様 な 方 法 で25)

(4.62c) を 導 い た.   b.  bb角   bク

分 布 前後 非 対 称

ォ ー ク の 同 定 は πsと は 対 照 的 に,ジ

レ プ ト ン を 使 う.bク

ォ ー ク の 質 量 は ∼5GeVで,u,

以 下),c(∼1.5GeV)ク

d, s(す

運 動 量 は そ の ま ま 保 持 さ れ る の で,bか

らの レプ トン は実 験 室 系 に

大 き な 横 運 動 量 を も つ.こ

れ に 反 し て,軽

で あ る.し

ジ ェ ッ ト軸 に 対 し て 大 き な 横 運 動 量 を も つ レ プ ト ン が あ れ ば,そ ク ォ ー ク に よ り つ く ら れ た 確 率 が 高 い.AMYグ ォ ー ク を 選 別 し,非

均

験 室 系 で は これ が ロー レ ン ツ 変 換 さ

ク ォ ー ク か ら つ く ち れ た レ プ ト ン は 

て,bク

の 結 果,

静 止 系 で 最 高5/2=2.5GeV/c,平

 の 運 動 量 を も つ.実

お い て もpT〓1∼2GeV/cの

もつ

べ て0.5GeV

ォ ー ク の 質 量 に 比 べ て 圧 倒 的 に 大 き い.こ

 な ど か ら の レ プ ト ン は,bの

れ る が,横

ェ ッ ト軸 に 対 し て 大 き なpTを

い

た が っ て, の 事 象 はb

ル ー プ は こ の 事 実 を利 用 し

対称

(4.63) を 得 た26).た

だ し,bク

ォ ー ク に はB0(bq)がB0(bq)に

変 化 す る"混

合"と

い う 現 象 が あ り,

(観 測)

 (非 混 合)

 (4.64a)

(4.64b) と 変 更 を 受 け る.こ

こ に χq(q=d,s)は,Bdお

よ びBsの

を 入 れ る と,    c.  bク   図4.16に

混 合 率 で, 

と な る.

ォー クの ア イ ソ ス ピ ン 世 界 の 各 グ ル ー プ が 得 た 非 対 称 か ら 計 算 さ れ た 軸 性 ベ ク トル 結 合

定 数  Aμμ な ど は2ac,

の 一 覧 を 図 示 す る28).た 2ab, 2aμ を 意 味 す る.こ

れ ら か らafの

だ し 図 中 のAcc,

Abb,

世 界 平 均 を とれ ば

(4.65)

(4.66) (4.67)

(a)

(b)

(c) 図4.16 

(a),(b)

e+e-→cc,bbの

Aff(f=c,b)=2af=2I3Lの (c)

e+e-→uu,ττ タ

角 分 布 に お け る 前 後 非 対 称 より

決 め た

各 グ ル ー プ の デ ー タ28) の 前 後 非 対 称 よ り 決 め たAff=2af=2I3Lの

デ ー

が い え て,τ,c,bク

ォ ー ク す べ て￨I3￨=1/2を

ン バ ー で あ る こ と が 証 明 で き た.し こ と か ら,I3=1/2を

もつ こ と,す

た が っ て,bク

なわ ち二重 項 の メ

ォ ー ク はI3=-1/2を

もつ

も つ ト ッ プ ク ォ ー ク が 存 在 し な け れ ば な ら な い.こ

析 が 行 わ れ た 時 点(1989年)で

ト ッ プ ク ォ ー ク は 未 発 見 で あ っ た が,標

論 の 枠 内 で 存 在 の 証 明 が で き た こ と に な る.τ

に つ い て は,す

の解 準理

で に τの レ プ ト

ン 崩 壊 の デ ー タ か らν τ と 二 重 項 を 組 む こ と は ほ ぼ 言 え て い た が,非

対称 デー

タ で 改 め て 確 認 し た わ け で あ る.

  4.7.4 

ま

と

め

  中 性 カ レ ン トの 存 在 と,す

べ て の 中 性 カ レ ン ト現 象 に 現 れ る ワ イ ン バ ー グ角

の 値 が す べ て 一 致 し た こ と が 確 認 さ れ た 段 階 で,グ ラ ム は1979年

の ノー ベ ル 賞 を 授 賞 し た.GWS理

こ と は 異 論 の 余 地 が な か っ た に し て も,真 GWS理

ラ シ ョ ウ-ワ イ ン バ ー グ-サ 論 が 多分 正 し い理 論 で あ る

の 検 証 はW,Zの

存 在 が 確 認 さ れ,

論 の 予 言 通 りの 質 量 値 を もつ こ と を確 か め る こ とに あ っ た こ と を考 え

る と,ノ

ー ベ ル 賞 委 員 会 は 相 当 の 賭 を し た こ と に な る.理

す る 授 与 は,予

想 外 の 発 見 業 績 と違 い,通

論 体 系 の 創 始 者 に対

常 は 理 論 が 疑 い の 余 地 な く確 認 さ れ

て か ら 相 当 後 に な っ て 授 与 さ れ る の が 普 通 だ か ら で あ る.ア

イ ン シュ タ イ ン は

相 対 性 理 論 で は ノ ー ベ ル 賞 を 授 与 さ れ な か っ た し,QEDの

創 始 者 朝 永 ・シ ュ

ヴ ィ ン ガ ー ・フ ァ イ ン マ ン が 授 与 さ れ た の は1965年

唱 後17年

た 後 で あ る.GWSに

で,提

対 す る ノ ー ベ ル 賞 授 与 の 異 例 な 早 さ か ら,当

も経 過 し 時 の高エ ネ

ル ギ ー 物 理 学 界 の 統 一 理 論 に 対 す る 思 い 入 れ が うか が え る.

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6-13(1989)

89-182,Invited

Talk

at

Int.European 

Phys.Soc.Conf.,Madrid,Sept.

23

5 QCD(量

5.1 

  5.1.1 

な

子 色 力学)

は

じ

め

に

ぜQCDか

  量 子 色 力 学(quantum

chromo

dynamics;QCD)と

は,カ

ゲ ー ジ 理 論 に 基 づ く強 い 相 互 作 用 の 理 論 で あ る.い 3種 類 の カ ラ ー 荷(color 区 別 す る)が

charge=色

ラ ーSU(3)

い換 えれ ば ク ォー クの もつ

荷,赤(R),緑(G),青(B)と

名づ けて

グ ル ー オ ン と 呼 ば れ る カ ラ ー 自 由 度 を もつ ベ ク トル 粒 子 を 交 換 す

る こ と に よ り働 く 力 を 記 述 す る 理 論 で あ る.な

ぜ 量 子 色 力学 で なけ れ ば な らな

い か?   わ れ わ れ は ハ ドロ ン の ク ォ ー ク構 造 の と こ ろ で,ク も つ こ と を 学 ん だ.そ を 学 ん だ.こ

し て ど うや ら カ ラ ー 一 重 項 の み が 自然 界 に 存 在 す る こ と

の こ と は 力 の 担 い 手 が カ ラ ー 自 由 度 を もつ こ と を 意 味 す る.核

の 担 い 手 で あ る π 中 間 子 が ア イ ソ ス ピ ン を も ち,そ I=1状

態 に は 束 縛 状 態 が 存 在 し な い が,I=0状

つ く る こ と を 思 い 起 こ そ う.後 力 は,qqとqqqの

の 結 果 と し て,2核

に 示 す よ う に8色

反 粒 子 を 区 別 し な い が,現 qqで

象 的 に は メ ソ ン(qq)が

つ く る ハ ド ロ ン は 存 在 し な い か ら で あ る.ベ

た,カ

な くもカラー一重

の 力 の 担 い 手(グ

ルー オ

ぜ な ら 中性 ス カ ラー 力 の 場 合 は 粒 子 と

込 み 可 能 と い う大 き な 理 論 的 魅 力 を 考 え れ ば,当 見 な す の が 自 然 で あ ろ う.ま

子 系で

の ベ ク トル グ ル ー オ ン の 交 換

カ ラ ー 一 重 項 で 強 い 引 力 と な る の で,少

ス カ ラ ー 粒 子 で は あ り え な い.な

力

態 で は 重 水 素 と い う束 縛 系 を

項 が 自 然 界 に 存 在 す る 事 実 を 部 分 的 に は 説 明 す る.こ ン)は

ォー クは カ ラー 自由 度 を

存 在 す る に もか か わ らず ク トル で あ る な ら ば,繰

り

然 グ ルー オ ン を ゲー ジ粒 子 と

ラー グル ー オ ン に よ る力 は漸 近 的 自由 を示

す.す

な わ ち,近 距 離 で は 結 合 定 数 αsが小 さ くな る の で 摂 動 計 算 が 可 能 と な

る.そ の 結 果 が 深 非 弾 性 散 乱 を 含 む さ ま ざ まの 堅 い散 乱(hard 実 験 デ ー タ を よ く説 明 す る こ とは,QCDを る.さ

scattering)の

正 当 化 す る一 つ の 大 きな 理 由 で あ

らに 格 子 ゲ ー ジ理 論 な どに よ る計 算 がハ ドロ ン の 質 量 を ほぼ 正 し く再 現

す る な ど,さ ま ざ まのQCDを

支 持 す るデ ー タ が あ る.

  厄 介 な こ とは カ ラ ー の 閉 じ込 め に よ り,ク ォ ー ク お よ び グ ル ー オ ン(ま とめ て パ ー トン とい う)が 単 独 で そ の ま ま測 定 に か か る こ とが な く,ジ ェ ッ ト現 象 と して の み観 察 さ れ る こ と で あ る.理 論 的 レベ ル で の パ ー トン と観 測 レベ ル で の ジ ェ ッ トを 明確 に対 応 づ け る方 法 は ま だ 確 立 され て い な い が,QCDを

道し

るべ と した 現 象 論 的 取 扱 い の 試 行 錯 誤 に よ り,ジ ェ ッ ト現 象 そ の もの は か な り 正 確 に 再 現 し予 言 が で き る よ うに な っ て き た.こ の 章 で は,ま ずQCDの の 概 略 を述 べ た後,ジ

ェ ッ ト現 象 に は 直 接 触 れ ず に扱 え るQCD現

性 散 乱 な どの 包 含 反 応)に つ いて 説 明 を試 み る.ジ

基礎

象(深 非 弾

ェ ッ ト現 象 は 後 の 第8章

で

議 論 す る.

  5.1.2    QCDが

カ ラ ー 交換 力 の 強 さ カ ラ ーSU(3)群

に 基 づ く ゲ ー ジ 理 論 で あ る の で ラ グ ラ ン ジ ア ン は,

(5.1a) (5.1b) と 書 け る.こ

こ でfABCはSU(3)群

の 構 造 定 数(付

録F)を

表 す.

(5.2) はSU(3)基 G, Bで 使 い,時

本 表 現 の 生 成 子 で あ り,指

あ る.わ

標A,

B,

Cは1∼8,

れ わ れ に 興 味 あ る の は 相 互 作 用 部 分LIQCDで

b, cは1∼3=R, あ る.行

列表 示 を

空 に 関 す る指 標 を省 略 す る と

(5.3a)

(5.3b)

とな る.ア イ ソ ス ピン に 関 わ る核 力 相 互 作 用 を

と 書 い た の と 同 じ 形 式 を 使 う と,

(5.4a)

(5.4b) と 書 き 表 せ る.gi(i=1∼8)は は,例

え ばg1は

え れ ばg1は た す.い

再 定 義 さ れ た グ ル ー オ ン 場 で あ る.式(5.4)

カ ラ ーGをRに

変 え る 能 力 を も つ こ と を 意 味 す る.い

カ ラ ー 自 由 度 に 関 す る 限 りRGと

い うカ ラー 場 と同 等 の 役 割 を果

う ま で も な い が 時 空 の 関 数 と し て は ベ ク トル 場 で あ る.こ

を 使 っ て,qq間 (a),(b)),片

の 力 が ど う な る か を 見 て み よ う.ま 方 のRが

ル ー オ ン が 他 のRに

ずRR間

と結 合 す る の はg3とg8で

あ る の で,力

の相 互作 用

の 力 は(図5.1

グ ル ー オ ン を 放 出 し て 自 ら は 再 びRに 吸 収 さ れ る がRはRの

い換

な り,そ

ま ま と な る.(5.4)の

の グ

中 で,RR

の強 さは

(5.5a) た だ し,  式(5.4)の

で あ る.今 中 で はg8に

度 はBB間

に 働 く 力 を 求 め る と(図5.1(c)),

しか 結 合 しな い か ら

(5.5b) と な り,RR間

に 働 く 力 と 同 じ強 さ と な る.こ

れ は,R,

遍 性 を 考 え れ ば 当 然 こ う で な け れ ば な ら な い.RB間 BB両

方 に 結 合 す るg8(図5.1(d))に

に よ っ てRとBが せ る と

G, B間

の 力 は,ま

よ る 寄 与 の ほ か に,今

交 換 さ れ る 寄 与(図5.1(e))が

に 働 く力 の 普 ず,RR,

度 はg4ま

た はg5

あ るの で 両 者 を 足 し合 わ

(a)

(b)

(d) 図5.1 

(c)

(e) カ ラー 場 が グル ー オ ン を交 換 す る と きの 結 合 の強 さ

(5.5c) と な り,普

遍 性 は 保 た れ て い る.

  次 に,一

重 項 の メ ソ ン 状 態 

に 働 く力 を 考 え る.上

項 に 働 く力 は み な 同 じ で あ る か ら 始 状 態BBに ば よ い.BBは

終 状 態 と し て はBB,

考 え る べ き 過 程 は3種

GGを

(b)

メ ソ ン 一重 項  さ,こ こ ではBBに

ルー オ ンはベ ク ト

(c) に働 くカ ラ ー 交 換 力 の 強

働 く力 のみ示す.す

す れ

と れ る こ と を 考 慮 す る と,

類 存 在 す る(図5.2(a),(b),(c)).グ

(a) 図5.2 

RR,

働 く力 の み を 考 え て3倍

の3

べ て 足すと 

となる.

ル粒 子 で あ る の で 反 粒 子 に対 す る結 合 は 符 号 を 変 え る こ と に 注 意 し て,(a), (b),(c)そ

れ ぞれの寄与は

(5.6) と な り,引

力 が 働 く こ と が わ か る.上

α に 対 応 す るq-q間 g2/4π)と

式 からQEDに

の 力 の 大 き さ は,カ

お け る クー ロ ン力 の 強 さ

ラ ー 因 子 を も 考 慮 す る と4αs/3(αs=

な る こ と が わ か る.

  上 の や り方 は 直 感 的 で わ か りや す い が 計 算 は 回 り く ど い.通 う.qqま

た はqqの

間 に 働 く ポ テ ン シ ャ ル の 強 さ は,散

常 は群 論 を使

乱 振 幅 の 形 で書 くと

(5.7) た だ し,こ

こ で は カ ラ ー 量 子 数 以 外 の 変 数 は 省 略 し た.T1A, T2Aは,粒

2に 演 算 す るSU(3)生

成 演 算 子 の 表 現 行 列 で あ る.カ

ラ ー 指 標Aに

子1, つ いて和

を とれ ば

(5.8a) と い うSU(3)の

カ シ ミヤ 演 算 子 の 計 算 に 帰 す る.3(一

ン シ ャ ル を 考 慮 す る 場 合 で も,2体

般 に はn)体

力 の み 働 い て い る と す れ ば,ポ

間の ポテ テ ンシャル

の 符 号 と 大 き さ の 目安 は,

(5.8b) に よ っ て 与 え ら れ る.付

録(F.50)を 表5.1 

参 照 す れ ばCの

カ ラー 因 子 Σ<Ti・Tj>

値 は 表5.1の

よ うに な

る.   この 計 算 は1個

の グル ー オ ン交 換 の み の 値 で あ り,非 可 換 ゲ ー ジ理 論 の重 要

な要 素 で あ る グ ルー オ ン間 の 結 合 や,高 の で は あ るが,カ

次 の 項 な どす べ て 無 視 し た不 完 全 な も

ラー 一 重 項 に 強 い 引 力 が 働 くこ とを示 して い て,一 重 項 の み

が 束 縛 状 態 をつ く る とい う経 験 則 と論 理 的 に 話 が 合 う.qq[3*]はqqq[1]の

一

部 で あ る か ら 当 然 引 力 で な け れ ば な ら な い.qqqq[3]の

同

じ大 き さ の-2で

あ る の で,qqq[1]に

結 合 力 はqqq[1]と

さ ら に ク ォー ク を付 加 して も余 分 な 力

は働 か な い とい うこ とで あ る.

  5.1.3  QCDに   QCDの

お け るフ ァイ ンマ ン規 則

ラ グ ラ ン ジ ア ン は,基 本 形 は(5.1)で

与 え られ るが,量 子 化 す る と

きは修 正 が 必 要 で あ る.ゲ ー ジ変 換 の 自由 度 に よ り時 空 で の 自由 度 を2し か も た な い グ ル ー オ ン を共 変 的 に取 り扱 うた め に ラ グ ラ ン ジ ア ン に付 加 項(ゲ ー ジ 固定 項)を つ け る必 要 が あ る*1).こ の 状 況 は ゲ ー ジ理 論 に 普 遍 的 な もの で あ る が,QCDの

場 合 は さ らに 非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ理 論 で あ る こ とに伴 う付 加 項 が 余

分 に 必 要 と な り(詳 し くは 文 献1を

見 よ),量 子 化 され たQCDの

全 ラ グラ ン

ジ ア ンは,

(5.9) (5.10a) (5.10b)

(5.11a) (5.11b)

*1) QEDに

お いて も と も と物理 的 に意 味 の あ る横 偏 極 成 分 の み を量 子 化 す る方 法 は 存 在 す

る.こ の 場 合 物 理 的 イ メー ジ は 明 快 で あ るが,共 変 性 を失 うた め 計 算 が 面 倒 で あ る. ゲー ジ場 を共 変 的 に扱 うため 形 式 的 には 独 立 な4成 分 を もつ ロー レ ンツベ ク トル と して 扱 う.代 償 と して望 む 運動 方 程 式 を導 くた め に は ラ グ ラ ン ジア ン して付 加 項 が 必 要 と な り結 果 として ゲ ー ジが 固 定 され る.ま た,縦 波 フ ォ トン,ス カ ラー フォ トン な ど非 物 理 的 な フ ォ トンが 中 間状 態 に現 れ るが,最 終 的 な結 果 に は 非 物 理 的 な量 は 現 れ な い よ うに な っ て い る.詳 し くはⅠ-§4を 参照 せ よ.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) 図5.3 

QCDに

おけるファインマン規則

(a)  グ ル ー オ ン 伝 播 関 数,(b)  (c) g-f-fヴ (d)  3-g:グ

ル ー オ ン自 己 結 合

(e)  4-g:グ

ル ー オ ン 自 己結 合

と表 さ れ る.式(5.9)の 8×8の

フ ェ ル ミオ ン伝 播 関 数

ァー テ ッ クス

第2行

第1項

が ゲ ー ジ 固 定 項 で あ る.こ

こ に,Tcは

随 伴 表 現 行 列 で あ る.

  ま た 後 に 出 て く る の で,よ 入 し て お く((F.26)参

く使 わ れ る カ ラ ー 因 子 の 記 号(TR,CA,CF)を

導

照).

(5.12) SU(3)の

場 合,

(5.13)

 グル ー オ ン伝 播 関 数  グ ルー オ ン伝 播 関 数 は

(5.14) と な る.λ

の 選 択 で ゲ ー ジ が 変 わ る と と も に 伝 播 関 数 も 変 わ る.物

の あ る 量 は ゲ ー ジ 不 変 で あ る の で λ は 任 意 で よ く,議 め れ ば よ い.こ 播 関 数 は,カ

こ で は λ=1の

論 に 都 合 の よ い値 に 決

フ ァ イ ン マ ン ゲ ー ジ と す る と,グ

ラ ー 指 標 以 外 はQEDで

理的 に意 味

ルー オ ン の 伝

の フ ァ イ ン マ ン ゲ ー ジ の フ ォ トン と 同 じ

形 と な る(図5.3a).   (5.9)の

最 後 に 現 れ る 場 η は,幽

霊 ス カ ラ ー(ghost

ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 に 特 有 な 場 で あ る.ス つ.共

scaler)と

呼 ば れ,非

カ ラー で あ りな が ら反 可 換 性 を も

変 ゲ ー ジ を 採 用 す る こ と に と も な う非 物 理 的 な 量 を 相 殺 す る 役 割 を 担 っ

て い る.閉

ル ー プ の 中 に の み 現 れ,物

は な い.本

書 で は,フ

取 り扱 う の で,幽

理 的 なエ ネ ル ギー 量 子 と して 現 れ る こ と

ァ イ ン マ ン 図 の 計 算 は ボ ル ン 近 似(ト

リー 近 似)の

み を

霊 粒 子 の 取 扱 い は 省 略 す る.

  フ ェ ル ミ オ ン は,QEDの

と き と 同 じ で あ る が,ク

ォ ー ク 質 量 は0と

して扱

う こ と に す る.  フ ェ ル ミ オ ン伝 播 関 数(図5.3(b)):

(5.15) ヴ ァ ー テ ッ ク ス は,グ   g-f-fヴ

ル ー オ ン-フ ェ ル ミオ ン の 場 合 は

ァ ー テ ッ ク ス(図5.3(c)):

(5.16)   カ ラ ー 因 子 は 別 と し て,QEDに

な く てQCDに

ン の 自 己 相 互 作 用 で あ る.(5.9)の

ラ グ ラ ン ジ ア ン の 中 の 

書 き下 ろ す と

あ る 重 要 な 項 は,グ

ルーオ を

(5.17) こ の相 互 作 用 に 対 応 す る フ ァ イ ン マ ン規 則 は行 列 要 素 を とっ て み れ ば わ か る. 運 動 量 はす べ て ヴ ァー テ ッ クス に 入 射 す る向 き を正 とす る とき   3グ ル ー オ ン ヴ ァ ー テ ッ ク ス(図5.3(d)):

(5.18a)   4グ ル ー オ ン ヴ ァー テ ッ ク ス(図5.3(e)):

(5.18b) と な る.

  ト リー 近 似 で は,グ ル ー オ ン 自 己相 互 作 用 とカ ラー 因 子 を別 に す れ ばQCD の 計 算 はQEDと

ほ とん ど 同 一 に 進 め ら れ る.本 書 で は,QCDの

理 論 的 内容

に は 深 入 りせ ず,非 ア ー ベ ル ゲー ジ理 論 と して の 物 理 的特 徴 に 力 点 を お い て解 説 を進 め るの が 主 眼 で あ るの で,断 面 積 な どQCDラ

グラ ンジアンか らファイ

ンマ ン規 則 を使 って 直 接 計 算 す る 方 が 論 理 的 に は 簡 単 な場 合 も あ るが,QED の 計 算 結 果 を可 能 な 限 り活 用 し,QEDと る こ とに す る.そ

の 類 似 と差 に 注 目 しつ つ 議 論 を進 め

こ で後 の 議 論 の た め に,QEDに

αsとの 対 応 をつ け て お こ う.図5.3(c)に

お け る α とQCDに

おけ る

あ る よ う な クォ ー ク に よ る グ ルー

オ ン放 出 を考 え る と,こ の行 列 要 素 は

(5.19) 自乗 して クォ ー クの ス ピ ン和 を と る と,γ 行 列 な ど時 空 に 関 す る部 分 はQED と同 じ結 果 を与 え る が,カ

ラー 自由 度 の 部 分 は

(5.20) と なり グ ル ー オ ン の 種 類 に よ ら な い.終

状 態 の グ ル ー オ ン の 和 を と り(×8),

始 状 態 ク ォ ー ク カ ラ ー の 平 均 を と れ ば(×1/3),こ 変換 因子 は

の 場 合 のQED→QCDの

  ク ォ ー ク に よ る グ ル ー オ ン 発 生:  と な る.グ

(5.21a)

ル ー オ ン に よ る ク オ ー ク 対 生 成 の 計 算 も ま た 同 様 の 結 果(グ

ン の カ ラ ー に よ ら な い)を

与 え る の で,カ

ラ ー 自 由 度 を考 慮 す る と,

  グ ル ー オ ン に よ る ク ォ ー ク対 発 生:  を 与 え る.以

上 の こ と か ら,QEDに

(5.21b)

対 応 す る グ ラ フ が あ る と き は,QEDの

列 要 素 を そ の ま ま 使 用 し,α →αs/2と よ い こ と が わ か る.αs/2の1/2が

ルー オ

行

置 き 換 え て カ ラ ー 因 子 を つ け 加え れ ば

生 じ る 原 因 は,(5.4)で

の 結 合 定 数 を 

で 定 義 し た こ と に よ る.

5.2 

漸

近

自

由

  古 典 電 磁 気 学 で は,物 質 中の 電 磁 場 は誘 電 分 極 に よ り変 化 し,実 質 的 に電 荷 が ρ→ ρ/ε(ε=誘 電 率>1)に

な る と 同様 の 効 果 が 生 じ る こ と が 知 られ て い

る.真 空 も ま た ハ イゼ ンベ ル グの 不 確 定 性 原 理 の 許 す 範 囲 内 で,粒 子 反 粒 子 対 が 生 成 消 滅 を繰 り返 して お り,電 場 が 存 在 す れ ば 正 負 の 電 荷 の 偏 りつ ま り真 空 偏 極 を起 こ し,実 質 的 に誘 電体 と して の性 質 を示 す こ とが 知 られ て い る.こ れ は 電 子 が仮 想 的 に フ ォ トン の雲 を周 りにつ く りだ して お り,こ の フ ォ トンが さ ら に電 子 反 電 子 対 をつ く り,結 局 電 子 の周 りに は 正 負 の 電 荷 が た くさん 生 じて い て,電

子 の 電 荷 を外 か ら試 験 電荷 を も ち 込 ん で 測 定 し よ う とす る と き(具 体

的 に は例 え ば 外 場 を 与 え て トム ソ ン 散 乱 を させ る),そ の 試 験 電 荷 を ど こ に 置 くか(距 離γ)に

よ っ て 電 子 の 電 荷 の値 が 変 化 す る こ と を意 味 す る.遠 い と こ

ろ に 置 くほ ど遮 蔽 電 荷 の 効 果 が 大 きい の で,実 効 電 荷 が小 さ くな る.場 の理 論 で は 図5.4の

よ うに,試 験 電 荷 と測 定 し よ う とす る電 荷 の 有 効 結 合 定 数 が,高

次 効 果 で あ る電 子 対 ル ー プ の 影 響 を取 り入 れ る と変 化 す る こ と を意 味 し(こ の 効 果 は実 験 的 に は ラ ム シ フ トな ど で観 測 さ れ る),こ の 効 果 は 両 者 をつ な ぐ仮 想 フ ォ トン の 質 量Q2の

関 数(Q∼1/γ)と

し て 表 さ れ る こ とに な る.ル ー プ

の 計 算 は 無 限 大 の 発 散 積 分(紫 外 発 散)を 含 む の で 繰 り込 み の 処 方 が 必 要 とな るが,発

散 部 分 をΔ と書 い て 分 離 して お く と*2),真 空 偏 極(図5.4(c))に

る結 合 定 数(α)に

対 す る補 正 因 子B(Q2)は(付

録(J.40),(J.42)参

照)

よ

(a)

(b) 図5.4 

(c)

(d)

電 荷e(a)は ト リー 近 似 で はe=e0で あ る が(b),真 空 偏 極(c),(d), … を 入 れ る と変 わ り ,運 動 量 遷 移Q2の 関 数 と な る.す な わ ちe=e (e0,Q2).

(5.22a) (5.22b) た だ し,q2=-Q2<0は,空 る. 

間 的 仮 想 フ ォ トン の 運 動 量 遷 移(の

自乗)で

あ

は ラ グ ラ ン ジ ア ンに 現 れ る裸 の結 合 定 数 で あ る.誘 電 分 極 を引

き起 こす ル ー プ は い くつ で もあ るか ら,そ れ ら をすべ て 足 し合 わせ た量 が試 験 電 荷 が 実効 的 に見 る電 荷 αeffとな る.

(5.23) こ の ま まで は 発 散 量Δeを 含 ん で い て物 理 量 とは い え な い が,十

分 遠 く(Q2→

0)で 試 験 電 荷 が 感 じ る値 が 実 際 に 測 定 さ れ る電 荷 α と見 なせ るか ら

(5.24) *2)  次 元 正 則 化 法 を 採 用 し た 場 合 は

,Δ

は 式(5.33)で

与 え ら れ,Δe=Δ-ln(me2)の

あ る.ま た〓γ は フ ェ ル ミ オ ン ル ー プ に よ る 自 己 エ ネ ル ギ ー の 寄 与 を 表 す(付 42)参 照).

関係 に 録 式(J.

と す る と,

(5.25) (5.26) こ のαeff(Q2)に は もは や 発 散 量Δeは 入 っ て お ら ず,観 測 量 の み で 表 され て い る.こ の 式 は 上 の 直 感 的 考 察 で 予想 した よ う に,短 距 離 つ ま りQ2→∞ 合 定 数 が 大 き くな る こ と を示 し て い る.分 母 が0に で発 散 す るが,そ れ は その よ うな 大 きいQ2の

で結

な る と こ ろ(ラ ン ダ ウ極)

ところでは摂動 計算が 無効 に な

る こ と を意 味 す る.   QCDに

お い て も同 様 な考 察 が 可 能 で,有 効 結 合 定 数 をQ2の

関数 として表

す こ とが で き る.し か し今 度 は非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 の 特 徴 と して,グ

ルー オ

ンの 自 己結 合 が あ る ため に状 況 が大 き く変 わ る.種 々 の グ ラ フ の相 対 的 寄 与 は ゲ ー ジ の と り方 に よ る の で,ゲ ー ジ に よ っ て は ヴ ァー テ ッ クス補 正 や,フ

ェル

ミオ ン伝 播 関数 の 補 正 な どか ら の寄 与 も効 くが,物 理 的 に イ メー ジが 一 番 は っ き りす る の は クー ロ ン ゲー ジで あ る.こ の ゲ ー ジ で は グル ー オ ン場 の相 互 作 用 は横 偏 極 の み を もつ グル ー オ ン交 換 力 と瞬 間 的 な クー ロ ン力 の 和 と して 表 さ れ る.グ ル ー オ ン の伝 播 関 数 の補 正 に は,図5.5に

示 す よ うに フ ェ ル ミオ ン ルー

プ と グ ル ー オ ン ルー プ が あ り,こ れら を 足 し合 わせ た 最 低 次 の 補 正 α0B(Q2) を入 れ る と1)

(5.27) (5.28) と な る.式(5.28)の

括 弧 の 中 の 第1項

ル ー プ か ら の 寄 与 で,nfは

は,QEDに

のαs/2に 対 応 す る こ と を考 え れ ば,第1項 す る.第2項 る.第2項

も存 在 した フ ェ ル ミ オ ン

ク ォ ー ク の 香 りの 数 で あ る.QEDの はQEDの

αが,QCD

補 正 と数 値 的 に も一 致

以 下 が グ ルー オ ンの 相 互 作 用 に よ る項 でQCDに は 横 偏 極 の グ ルー オ ン ルー プ の 寄 与 を示 し,第3項

特有 の寄 与 であ は クー ロ ン グ

ルー オ ンの 寄 与 を示 し,符 号 が 逆 で あ る.こ れ は物 理 的 に は 負 の確 率 に 対 応 す

る.フ ェ ル ミオ ン 対 や横 偏 極 の グ ルー オ ン対 は エ ネ ル ギー 運 動 量 の 保 存 則 が 満 た され れ ば,実

際 に エ ネ ル ギー 量 子 と して 生 成 で き る物 理 量 で あ る.実 際 ルー

プ の 真 ん 中 を二 つ に 切 断 す れ ば わ か る よ うに,ル ー プ の寄 与 は フ ェル ミオ ン対 ま た は グル ー オ ン対 の 生 成 断 面 積 に 比例 す る量 で あ り,ル ー プ の 寄 与 と断面 積 の 間 に は あ る決 ま っ た関 係 が 存在 す る.一 方,ク

ー ロ ン グル ー オ ン は瞬 間 的 な

クー ロ ン力 を生 じ る役 目の み を 担 って お り,エ ネ ル ギー 量 子 と して物 理 的 に 実 在 し う る グ ルー オ ン で は な い.し た が っ て,こ

の 符 号 は 第1,

2項 と違 っ て 負

に な って もか まわ な い.留 意 す べ き点 は,ク ー ロ ン グル ー オ ン は他 の寄 与 と逆 符 号 の 寄 与 を 与 え る と い うこ と で あ る.こ の 結 果,香 い 限 りB(Q2)の

超えな

符 号 は 負 とな る.

  紫 外 発 散 を除 去 す る た め に は,QEDの で あ る.し か し,QEDの は い か な い.閉

りの種 類 が16を

場 合 と 同 じ く繰 り込 み の 処 方 が 必 要

場 合 と違 い 遠 方(Q2=0)で

の 値 を基 準 に と る わ け に

じ込 め 効 果 に よ り遠 方 か ら裸 の カ ラー 荷 を観 測 す る こ とは 不 可

能 だ か ら で あ る.そ

こ で あ る値(Q2=μ2)で

の 結 合 定 数 を 基 準 に と る こ とに し

(a)

(b)

(c)

(d)

図5.5 

QCDに

お け る真 空 偏 極

(a)  カ ラー ク ォー ク と グ ルー オ ンの 結 合 (b)  フ ェ ル ミオ ン 対 に よ る真 空 偏 極 はQEDと ル ー オ ン は 自 己 相 互 作 用 を もつ た め,グ

同 じ種 類 の 過 程 で あ る が,グ ル ー オ ン 対 に よ る真 空 偏 極(c),

(d)が 存在 す る. (c)  横 偏 極 グ ルー オ ン対 (d)  縦 波(ク ー ロン)グ で は な い.

ルー オ ン の 寄与.ク

ー ロ ン グ ルー オ ン は 物 理 的 な 粒 子

て 引 き 算 を す る.こ

の μ2を 繰 り込 み 点 も し くは 繰 り込 み ス ケ ー ル と い う.

ル ー プ が 繰 り返 し現 れ る高 次 の 項 を全 部 加 え た後 で 引 き算 す る と,

(5.29) こ れ よ り,

(5.30)

と な る.こ の 式 はQEDの

場 合 と違 いQ2→∞

で0に 近 づ く.す な わ ち 近 距 離

で は クォ ー ク 間 に働 く力 は 弱 くな る こ と を示 す.こ QCD(一

の こ と を漸 近 自由 と呼 び,

般 に は 非 可 換 ゲ ー ジ理 論)の 大 きな 特 徴 で あ る.

  この 漸 近 自 由 と い う事 実 が あ る ため 深 非 弾性 散 乱 で は,自 トン モ デ ル が 成 功 し た の で あ る.漸 近 自 由 は,十 分Q2の 動 の 手 法 が 使 え る こ と,逆 にQ2が と を意 味 す る.QEDで た が,QCDで

大 きい と こ ろ で は摂

小 さい ところで は摂動 の手法 が破綻 す るこ

は 遠 方 で の 結 合 定 数 が 定 義 で き,か つ 観 測 量 に 対 応 し

は そ れ に 対 応 す る 量 が な い.結 合 定数αs(Q2)は

に依 存 す る 量 で あ る.し か し,繰 が 悪 い.そ

由粒 子 近 似 の パ ー

こで(5.29)を

繰 り込 み 点 μ2

り込 み 点 の選 び 方 に は任 意 性 が あ るの で 具 合

書 き直 して

(5.31) とす る と,左 辺 はQ2の

み の 関 数,真

中 は μ2の み の 関 数 で あ り,結 局Q2や

μ2に よ らな い 定 数 で あ る こ とが わ か るの で,右 辺 に示 す よ う な繰 り込 み 点 に 依 存 し な い普 遍 的 物 理 定 数Λ が定 義 で き る.こ のΛ で結 合 定 数 を表 す と

(5.32a) (5.32b) と な る.こ

れ がQCD計

approximation)の る.

算 で頻 出 す る αsの 対 数 第1近 表 現 式 で あ る.こ

似(LLA=leading

log

の 言 葉 の もつ 意 味 に つ い て は 後 で 述 べ

5.3  繰 り込 み 群 方 程 式

 5.3.1  観 測 量 のQ2依

存性

 物 理 量 を摂 動 計 算 す る と,一 般 的 に

とい う形 を と る.c1,c2,…

は 対 象 とす る物理 過 程 の フ ァイ ンマ ン グ ラ フ を計 算

して 得 られ る.閉 ル ー プ が あ る と発 生 す る無 限 大 の 発 散 を処 理 す る方 法 と し て,次 元 正 則 化 の 方 法 を使 うの が 標 準 的 で あ る(付 録J参 4次 元 で な く4-ε 次 元 で行 い 計 算 の 最 後 に ε→0に

照).こ

れは積 分 を

もっ て い く方 法 で あ り,

無 限大 の 発 散 は,次 のΔ の 形 で現 れ る.

(5.33) こ の と き,2/ε +γE(オ

の み を 引 き 算 す る 方 法 を最 小 引 き算 法,付

イ ラ ー の 定 数))を

と い う 指 標 を つ け る)と

ま とめ て 引 き 算 す る 方 法 を

随 す る 定 数 項(ln4π ,修

正 引 き 算 法(MS

い う2).次 元 正 則 化 法 で は 物 理 量 の 次 元 を 合 わ せ る た

め に 計 算 途 中 で 質 量 の 次 元 を も つ μ と い う パ ラ メ タ ー を 導 入 し,結

合 定数g

→gμ εと す る 必 要 が あ る . 

で あるの

で,引

き 算 し た 後 にlnμ2が

に 依 存 す る.物 ln(Q2/μ2)に い か ら,μ2に

残 る.す

な わ ち,c1,c2,…

理 量 の エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル をQと

依 存 す る.観

は 引 き 算 の 方 法 とlnμ2

す れ ば,次

元 解 析 から

τ=

測 量 は 繰 り込 み 点 μ2の と り 方 に 依 存 し て は い け な

よ る 変 化 はαsの 変 化 と相 殺 し な け れ ば な ら な い .す

なわち

(5.34a) が 成 立 しな け れ ば なら な い.こ れ は

(5.34b) と い う 形 に 書 き 直 せ る.た

だ し,β

関数 は

(5.34c) で定 義 され る関 数 で あ る.こ れ を繰 り込 み群 方 程 式 と呼 ぶ.こ

こ で新 しい 関数

αs(τ)を

(5.35a) で 定 義 し境 界 条 件 と して

(5.35b) と 設 定 す る と,(5.35a)を

τお よ び αsで 微 分 す る こ と に よ っ て,

(5.36a) (5.36b) が 得 られ る が,両 者 を組 み合 わせ る と

(5.36c) と い う方 程 式 が 得 ら れ る.こ

れ よ り,性

質 の よ い 任 意 の 関 数F(x)に

対 し て,

(5.37) が い え る か ら,(5.34b)と

比 較 す れ ば,(5.34b)は

一 般 解 と して

(5.38) を も つ こ と が わ か る.す Q2依

な わ ち 繰 り込 み 群 方 程 式 は,QCDに

存 性 が す べ て αs(Q2)の

存 性 はP(0,αs)が

中 に 入 っ て い る こ と を 示 す.し

わ か れ ば 決 め ら れ る こ と が わ か る.例

ン 反 応 に お け るR値

の 最 低 次 のQCD補

お け る観 測 量 の か も,Pのαs依

え ば,e+e-→

ハ ドロ

正は

(5.39a) で 与 え ら れ る の で(後

述,(5.69)),RのQ2依

存性 は直ちに

(5.39b) と 求 め ら れ る.   次 に αsの 求 め 方 で あ る が,一

般 的 に αsの 満 た す 式 は(5.36a)で,境

件 は(5.35b)で

関 数 は 実 際 的 に は 摂 動 論 に よっ て の み 計 算 可

能 で あ る の で,次

与 え ら れ る.β

界条

の よ う に 展 開 す る.

(5.40)

第1項

はO(α02)の

ル ー プ 計 算 で 求 め ら れ る.αsの

摂 動 展 開(5.27)を

微 分 す

ると

(5.41) (5.40)と

比 較 して

(5.42) し た が っ て,(5.35a)はαsの

展 開 第1次

近似 で

(5.43a) こ の 解 は(5.30)に

一致 す る.す

程 式 に 入 れ た αs(Q2)の 解 は,あ り,先

な わ ち β 関 数 を 摂 動 で 求 め て,繰

り込 み 群 方

る種 の 高 次 の 項 が 自動 的 に 取 り入 れ られ て お

に 行 っ た よ う に い ち い ち 手 で 計 算 す る 必 要 が な い.

  β 関 数 の 対 数 第2近

似(NLLA;

next

leading

log

approximation)も

また

計 算 さ れ て お り3),

(5.43b)

(5.43c) で あ る.   b0とb1は,繰 る.b1ま

り込 み 処 方 に よ ら な い が,b2以

で 入 れ る 近 似 で,(5.36a)を

降 は 繰 り込 み 処 方 に よ り 変 わ

解 くと

(5.44) が 得 ら れ る.こ

こ で 定 義 し たΛ

は,対

数 第1近

似 のΛ(5.31)と

は 異 な る.

こ の 式 か ら 数 値 的 に はαsを 解 く こ と は で き る も の の 普 段 使 う に は 不 便 で あ る の で,右

辺 に(5.32)を

の よ う に 変 形 し,lnQ2の と に す る.こ

入 れ て,

逆 べ き で 展 開 し て 第2近

れ を も っ て,通

常 対 数 第2近

似 ま で と っ た もの を 使 う こ

似 の αsと い う.す

な わ ち,

(5.45a)

(5.45b) が標 準 的 に使 わ れ る対 数 第2近 似 のαsを 与 え る.  現 在 は 第3近

似 まで 求 め られ て い るが,実 験 値 と比 較 す る うえ で は 第2近 似

で 十 分 で あ る.αs(Q2)はQ2に はQ=mZで

依 存 す る の で,各 実 験 デ ー タ か ら得 られ るαs

の値 に焼 き直 して提 示 す るの が 慣 例 とな って い る.現 在 の 世 界 値

は

(5.46) で あ る3).   演 習5.1 

  5.3.2 

(5.44),(5.45)を

QCD高

次 補 正 と スケ ー ル 依 存 性

  物 理 量P(μ2,αs(μ2))の 式(5.34)を

導 け.

αsに よ る摂 動 展 開 が,摂

満 た す た め に は,次

動 の 各 次 で 繰 り込 み 群 方 程

の よ う な 形 を し て い な け れ ば な ら な い.

(5.47a) こ れ か ら摂 動 展 開 第n次

項 は一 般 に,

(5.47b) と い う 形 を し て い る こ と が わ か る.摂 Q2)が

,あ

き は,摂

ま り大 き くて は い け な い こ とが わ か る.も 動 のn次

で も 大 き さ と し て はO(αs)で

す べ て 和 を と っ てO(αs)の 動 のn次

し,αsln(μ2/Q2)≒1の

あ り,こ

こ で,各

の 項 の 中 の 対 数 の 最 高 べ き の 項 を す べ て 抜 き 出 し,αs(μ2)に

さ れ た 項 は, 

お け ば,そ

と

れ らの 項 に つ い て は

と こ ろ で ま と め な い と 意 味 が な い.そ

もの を ひ と ま と め に し て αsLLA(Q2)と 致 す る.残

動 展 開 が 成 立 す る た め に は,αsln(μ2/

れ は(5.30)の で あ る.こ

摂

加 え た

αsLLA(Q2)と

一

れ が 対 数 第1

(優 勢 項)近 ち,αs(μ2)の

似(leading

な く もO(αs2)ま わ か る.同

log

代 わ り に,対

approximation)の

数 第1近

で は す べ て の μ2依 存 性 がαs(Q2)の

様 に,対

数 第2近

性 は 少 な く もO(αs3)ま

,c1=1/π

存

対 す る 近 似 を 高 め て ゆ け ば,lnμ2

中 に 取 り込 め る こ と を 示 し て い る.近

項 が 高 次 の 表 式 に 残 り,観

  再 びP=R(ee→

使 えば,μ2依

で は で て こ な い.

依 存 性 は す べ てαs(Q2)の い と き は(lnμ2)mの

なわ

使 え ば,少

中 に 繰 り込 ま れ る こ と が

似 の 有 効 結 合 定 数 αSNLLA(Q2)を

  繰 り 込 み 群 方 程 式 の 解(5.38)は,αsに

=1

名 前 の 由 来 で あ る*3).す

似 の 有 効 結 合 定 数 αsLLA(Q2)を

似 が完全 でな

測 量 が μ 依 存 性 を もつ.

ハ ド ロ ン の 断 面 積 比)を 考 え て み よ う.(5.39)よ で あ る.現

在 で はO(αs3)ま

り,c0

で 計 算 さ れ て い る4).

(5.48) こ こ で の 数 値 はnf=5,繰   上 記 の 例 で は,Q2=s(全 に よ って は,Qと

り込 み処 法 はMS方

式 での 値 で あ る.

エ ネ ル ギー の 自乗)と お い たが,対

して 全 エ ネ ル ギー,横

運 動 量,あ

る い は 関 与 す る重 粒 子 の

質 量 な どの どれ を選 択 す べ きか 必 ず し も明白 で は な い.Q2の は,残

され た項 の 中 のln(μ2/Q2)が 無視 で きな くな る.し

算 が 用 意 され て な くて近 似 が 浅 い と きは,Q2の

象 とす る過 程

選 び 方 に よ って

たが っ て,高

変 数 選 択 がQCD計

次の計

算 の信 頼

性 を高 め る うえ で の 重 要 な要 素 と な る.実 際,実 験 値 との 一 致 を見 い 出す うえ で のQCD計

算 の最 大 の 理 論 的 不 定 性 は 式 の μ依 存 性 か ら く るの で あ る.繰

り

込 み 群 方 程 式 の 本 来 の 要 請 か ら,原 理 的 に は μ依 存 性 は 最 小 限 に 抑 え られ る は ず で あ って も,摂 動 の 有 限 次 で 閉 じる 限 り必 ず し も あ て は ま ら な い の で あ る.   αsの有 限 次 で 計 算 を打 ち切 っ た場 合,ス は 消 え て い な い こ とをRを 対 数 第2近

似(NL),第3近

ケ ー ル μに 対 す る依 存 性 が 完 全 に

例 に と っ て示 そ う.図5.6に,対 似(NNL)の

数 第1近 似(L),

と きの((3/11)R-1)の

理論計算

値 を μの 関 数 と して 示 す5).た だ し,Q=100GeV,nf=5,ΛMS=230MeVと し,αsは 対 数 第2近

似 の 値 を使 用 し た.近 似 が 上 が る た び に,ス

ケー ル依 存

*3) 忠 実 に 原語 に従 えば ,展 開の 対 数優 勢項 近 似 とで も訳 すべ き なの で あ ろ ろ うが,こ こ で は対 数 第1近 似,対 数 第2近 似 とい う言葉 を使 う こ とに し,混 乱 の お そ れ が な い と きは 単 に第1, 2近 似 とい う こ とにす る.

性 は 小 さ く な る こ と が 見 て と れ る.繰

り込 み 群 方 程 式 の 成 立 す る 精 度 は

O(αs4)の は ず で あ るか ら,こ れ が 残 存 す る ス ケー ル依 存 性 の 大 き さの 目安 を 与 え る.た だ し,実 験 的 に は まだ 精 度 が 悪 く,Rの

理 論 値 のO(αs3)の 有 効 性

を テ ス トで き る段 階 で は な い.以 上 の 議 論 か ら 一 般 的 に い え る こ と と し て, QCDの

摂 動 計 算 は,対 数 第1近 似 で は ス ケ ー ル依 存性 が 大 き くて近 似 が 悪 く,

少 な く も対 数 第2近

似 ま で 進 め る こ とが 望 ま し い とい う こ とが わ か る で あ ろ

う.

図5.6 

のQCD効

図 に は  L=対

を 書 い て あ る.

数 第1近

NNL=第3近

  5.3.3 Λ

似(leading 似(next

log

approximation),

NL=第2近

似(next-to-LLA),

next-to-LLA).

の 不 定 性

  Λ と い う定 数 はQCDで (5.32)も

果 のス ケ ー ル 依 存 性5)

し くは(5.45)を

最 も 重 要 な 物 理 量 で あ り,原 理 的 に は αsか ら 使 っ て 得 ら れ る 量 で あ る.実 際 問 題 と し て は 正 確

に決 め る こ とが 非 常 に む ず か し い.第1に

は有 効 結 合 定 数 は そ れ ほ ど小 さ い 量

で は な い の で,観 測 量 を αsで 展 開 した と き切 り捨 て た 高 次 の 項 もま た 必 ず し も小 さ い 量 で は な い.第2に

これ ま で の 実 験 デ ー タ は 必 ず し もQ2→∞

想 的 条 件 の も とで は 行 わ れ て い な い.小 イ ス ト項 と呼 ば れ る補 正 項(O(m2/Q2)項)の

さいQ2領

の理

域 での比較 では いわゆ るツ

計 算 が 非 常 に む ず か し く実 験 値

と理 論 値 の 対 応 は 必 ず し も明 瞭 で は な い.   さ ら に 実 験 的 に 精 密 な 値 が 得 ら れ た と し て も,(5.32)と

い う 対 数 第1

(leading log)展 開 の 最 低 次 を と る限 りΛ は 任 意 で あ る こ とに 注 意 す る必 要 が あ る.Λ

を変 え る こ とは

(5.49) と変 化 さ せ る こ と を 意 味 す る が,変 第2次

化 はO(αs2)で

あ る.こ

のΛ

の 不 定 性 は,

近 似 以 上 を 使 用 す れ ば 除 け る.

  対 数 第2近 (5.44)で

似 のΛ

で も,(5.45)で

定 義 さ れ るΛ(こ

定 義 さ れ るΛ(こ

れ をΛ2と

す る*4))と

れ をΛ1と

書 く)と

は 同 一 で は な く,同

じ αsの

値 に対 して

(5.50) だ け の 差 が あ る.通 あ る.実

常 は,Λ1を

標 準 と し て い る が,人

験 的 に 決 め ら れ る の は 通 常 は αsの 方 で あ る.Λ

あ る の で,Λ

の 値 を 引 用 す る と き は ど の 定 義 のΛ

  さ ら に 物 事 を 複 雑 に す る の はΛ こ と で あ る.厳 る が,摂

は そ れ か ら 導 く量 で

か よ く注 意 す る 必 要 が あ る.

を 表 す 式 が 繰 り込 み の 処 方 箋 に よ る と い う

密 に 計 算 す れ ば,Λ

の値 は処 方の 仕方 に は よ らない はずで あ

動 計 算 を 有 限 次 で 止 め る 場 合 は こ の 限 り で な い.修

方(modified

minimal

  ま た,(5.32b)か

subtraction

scheme)の

∼300MeV程

度 の 量 で あ る

く ら い と な る.し

と き のΛ

ら 明 ら か な よ う に Λ はnfに

非 弾 性 散 乱 か ら 決 め る Λ はnf=4の

か し,電

ギ ー の 自 乗 と お く.ト

*4)  一 般に

に よ りΛ2を 使 う 場 合 も

.こ

の と き 

と し て 第2近

子 陽 電 子 衝 突 型 実 験 で は,通

似 を と る と 左 辺 のΛ=Λ2と

記 す. で 述 べ る深

あ り,大

体200

と し て  常Q2=s=全

ペ ト ラ(PETRA)で

は

で 定 義 す る.β

をΛMSと

よ り 変 わ る.後

と き の 値(Λ=Λ(4))で

リ ス タ ン(TRISTAN)や

正 最 小 引 き算 の 処

な る.

エ ネ ル は

b-ク ォ ー ク の し き い 値 を 超 え て お り,実 =Λ(5))で

あ る の で ,デ

験 で 決 め ら れ るΛ

はnf=5の

値(Λ

ー タ を 見 る と き は 注 意 す る 必 要 が あ る.Λ(4)とΛ(5)

の 関 係 は αsが 連 続 で あ る と い う条 件

(5.51a) か ら 求 め ら れ る.αsの

表 式 と し て は 対 数 第2近

似 の 式(5.45)を

使えば

(5.51b) と な る3).こ

れ は 数 値 的 に は 結 構 差 が 大 き く て,ΛMS(5)=200MeVの

ΛMS(4)=289MeVと   ΛMSも

な る.

し く は αs(Q2)の 実 験 的 決 定 法 に つ い て は 第8章

現 在PDGの

と き,

で 詳 細 に 解 説 す る.

引 用 し て い る値 は3)

(5.52) で あ る.こ

の 値 と 誤 差 は(5.46)の

5.4 

  5.4.1 

放

出

確

αsの 値 に 対 応 す る.

グル ー オ ン放 出

率

  こ こ で は 実 際 に グ ル ー オ ン を 放 出 す るe+e-→qqg過 み よ う.グ

ル ー オ ン 放 出 の 断 面 積 は い ろ い ろ な 意 味 で,QCD現

る 量 で あ る.理 に,第2は3ジ QCDに

程 の 断面積 を求 め て

由 の 第1はR(e+e-→

ハ ド ロ ン)のQCD補

象 の基本 とな 正 を調べ る ため

ェ ッ ト生 成 断 面 積 算 出 の た め の 実 用 的 な 見 地 か ら,第3に

繰 り返 し 現 れ る 赤 外 発 散 の 特 徴 を 理 解 す る よ い 機 会 を 与 え,そ

4に は 後 の 破 砕 関 数(fragmentation

function)の

は

して第

発 展方 程 式 お よび ジェ ッ ト

生 成 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 基 礎 と な る 式 を 与 え る か ら で も あ る.e+e-→qqg過 程 は 図5.7(a),(b)に

与 え ら れ る グ ラ フ で 示 さ れ る.こ

れ はe+e-衝

突 に よ り

生 成 さ れ た 質 量Q2(>0)の

仮 想 フ ォ ト ン がqqgに

崩 壊 す る 過 程 で あ る が,仮

想 フ ォ トン(運

動 量q)の

コ ン プ ト ン 散 乱 で,終

状 態 の フ ォ トン を グ ル ー オ ン

で 置 き 換え,入

射 電 子 を 交 叉(p1→-p1)さ

5.7(c),(d);終

状 態 が グ ル ー オ ン な の で,以

ト ン と呼 ぶ こ と に す る).こ

せ た も の と 見 る こ と も で き る(図 下 区 別 す る た め にQCDコ

の 見 方 を正 当 化 す る 理 由 は 次 の 通 りで あ る.

ンプ

  e(k1)+e(k2)→q(p1)q(p2)g(p3)の

遷 移 行 列 要 素 は,質

量 を す べ て0と

お く

近 似 で,

(5.53) こ こ に,λqは

ク ォ ー ク の 電 荷,gはQCD結

εAνは カ ラーAを か に カ ラ ーaを

合 定 数,tAはQCD生

成 子 行 列,

も つ グ ル ー オ ン の 偏 極 ベ ク ト ル,ua(p)のaは

ス ピンの ほ

含 む も の と す る.第2項

は 負 の カ ラ ー 荷 を もつ か ら で あ る.電

の 符 号 が 負 で あ る の は,反

ク ォー ク

子 部 分 を分 離 し 自乗 して トレー ス計 算 す

る と

(5.54) Qμνはqqg部

分 か ら 得 ら れ る 量 で あ る.電

Kμνの 含 む 情 報 は,  あ る か ら,終 え ば,ロ

とqの

中 に 入 っ て い る.

方 向 で あ る. 

で

状 態3粒 子 の つ く る 平 面 の 向 き は 見 な い こ と に し て 積 分 し て し ま

ー レ ン ツ 不 変 性 よ り 電 子 部 分 の 寄 与 は,Kμν(k1,k2)∼Q2gμν

ば な ら な い.す

で なけれ

な わ ち は じめ の 括 弧 の 中 を フ ォ トン の 偏 極 ベ ク トル で 置 き 換 え

て 偏 極 和 を と っ た 場 合  るqqg生

子 部 分 は[…]の

成 を,仮

に 等 し い の で,電

想 フ ォ ト ン のqqg崩

  そ こ で 諸 々 の 運 動 変 数 を 図5.7に トン 散 乱 振 幅 の 変数s,t,uと

子 対衝 突 に よ

壊 とみ な し て よ い こ とが 正 当 化 さ れ る. 図 示 し た よ う に 定 義 す る と,QEDコ

ンプ

γ*崩 壊 の 変 数 と 以 下 の よ う な 対 応 が つ け ら れ

る.

(5.55) QEDコ

ンプ トン散 乱 の ス ピン平 均 を とっ た 行 列 要 素 の 自乗(式 付 録(C.27))

(5.56)

(a)

(c)

(b)

(d)

図5.7 (a),(b)γ*→qqgの e+e-→qqgは

フ ァ イ ン マ ン 図,(c),(d)γ*e→γeコ 仮 想 フ ォ ト ンγ*の

(a),(b)は(c),(d)の

ン プ トン散 乱

崩 壊 過 程 と み な せ る.

入 射 電 子 を ク ォ ー ク と し て 交 叉 し,終

状 態 の フ ォ トン を グ ルー オ ン で 置 き換 え

て 得 ら れ る.

を 交 叉 し て(5.55)の Q2を

入 れ,カ

変 数 で 書 き 直 し,仮

想 フ ォ トン の 質 量k2=-Q2→q2=

ラー 量 子 数 な どの 因子 を入 れ る と

(5.57) が 得 ら れ る.λqはeを プ ト ン の 因 子2に

単 位 と し た ク ォ ー ク の 電 荷 で あ る.こ

対 し て,QCDコ

ン プ トン の 交 叉 で16倍

こ にQEDコ

の32と

ン

い う因子 の

で る 理 由 は 次 の 通 り で あ る. 16=2×2×8×(1/2) e2(QED)〓g2/2(QCD) グ ルー オン の カ ラー 自由度

始状 態 ク ォー クス ピ ン平均 な し 始状 態 フ ォ トン偏 極 平均 な し

3体 系 の 場 合,次

の よ うな重 心 系 で 無 次 元 の エ ネ ル ギ ー 変 数 を定 義 す る と便 利

な こ とが 多 い.

(5.58) 崩壊粒 子 の質量 を無視す れば

(5.59)

こ の 変 数 を 使 っ て(5.57)を

書 き直 す と

(5.60) と書 き直せ る.仮 想 γのqqgへ

の 崩 壊 率dΓ は,次 式 を計 算 す れ ば よい.

(5.61)

 演 習5.2 x1x2以

外 につ いて積 分す ると

(5.62) で あ る こ と を示 せ.  演 習5.3 

エ ネ ル ギー 保 存 則 よ り

(5.63) で あ る こ と を示 せ.   x1,x2,x3の

と り う る領 域 の 境 界 は,

(5.64) で あ る こ と を示 せ.   演 習5.4  を示 せ.λqは

γ*→qqの

全 崩 壊 確 率Γ(γ*→qq)は, 

で与 え られ る こ と

ク ォー ク の 電 荷 で あ る.

  上 記 の 演 習 結 果 を 使 う と,グ

ル ー オ ンの 放 出確 率 と して

(5.65) が 得 ら れ る.(5.64)よ

りx1,x2の

と りう る範 囲 は

(5.66) で あ る(図5.8).こ

れ か らe+e-→qqg過

程 の グ ル ー オ ン放 出 全 断 面 積 は

(5.67a) (5.67b) と な る.こ

こ にσ0は,e+e-の

全 ハ ドロ ン 生 成 断 面 積 

の最

図5.8 

x1,x2,x3の

許 容 範 囲

低 次 の 値 で あ る.

  5.4.2 

赤

外

発

散

  こ の 積 分 はx1=1,x2=1で

で あ る の で,こ れ が0に

発 散 す る.ク

ォー クの 質 量 を無 視 しな け れ ば

な り発散 す る条 件 は二 つ あ る.

  (1)  ソフ トグ ルー オ ン放 出:E3→0   (2) 平 行(collinear)グ

ル ー オ ン放 出:mq=0,か

で(1)は

質 量 特 異 性 と も呼 ば れ る.ど

赤 外 発 散,(2)は

生 じ る こ との な い 発 散 で あ る.(1)の と同 じ性 質 の もの で あ る.QEDで い.QCDで

も厳 密 に い え ばmq≠0で

つ θ→0

発 散 はQEDに はme≠0で

ち ら もmg≠0な

らば

お い て 出 現 し た赤 外 発 散

あ る の で(2)の

あ るが,通

常 はmq=0と

困 難 は 生 じな して 取 り扱 う

の で,質 量 特 異 性 に よ る発 散 が 生 じ るの で あ る.こ の 二 つ の 条 件 はQCD過 で繰 り返 し生 じる.以 下,混 と呼 ぶ こ とに す る.QCDの

程

乱 す る恐 れ の な い とき は両 者 を ま とめ て 赤 外 発 散 赤 外 発 散 も,QEDの

赤 外 発 散 と同 じに,す べ て の

物 理 過 程 を正 し く取 り入 れ て評 価 す れ ば消 え る発 散 で あ り,そ の 起 源 も物 理 的 に解 釈 可 能 な もの で あ る.発 散 が 生 じる場 合,積 を正 則 化 す る とか い ろ い ろ な 手段 が あ るが,最

分 を切 断 す る とか,伝

播関数

もす っ き り した 方 法 は次 元 正 則

化 の 方 法 で,ロ ー レ ン ツ 共 変 性 とゲ ー ジ不 変 性 を壊 さず に正 則 化 で き る 利 点 が あ る.こ こ で は 話 を簡 単 の ため に グル ー オ ン に小 さな 質 量mgを て発 散 を避 け る こ とにす る.積 分 を実 行 す る と1),

もたせ て お い

(5.68a)

σgは αsの1次

の 量 で あ る が,ソ

5.9(a))や,高

次 過 程 で あ る 仮 想 グ ル ー オ ン を 交 換 す る 過 程(図5.9(b))と

理 的 に は 区 別 が つ け ら れ な い.仮 る が,グ

フ ト グ ル ー オ ン の 極 限 で はe+e-→qq(図

想 グ ル ー オ ン を 交 換 す る 過 程 はO(αs2)で

ル ー オ ン を 含 ま な い 過 程 図5.9(a)と

の 干 渉 でO(αs)項

物 あ

を 発 生 す る.

こ の 項(συ)を 計 算 し て み る と

(5.68b) と な り,両

者 を合 わせ る と

(5.68c) す な わ ち,σTOT(e+e-→

ハ

ド ロ ン)は

(5.69) で 与 え られ る.こ の 式 は赤 外 発 散 を含 ま な い.

(a)

(c) 図5.9 

e+e-→qq,qqgの

(b)

(d) フ ァ イ ンマ ン 図

(a)はQCDの0次,(b)はQCDの2次. (c),(d)はQCDの1次 の 効 果 で あ る. (a)と(b)の

干 渉 は(c),(d)と

同 次 の 効 果 で あ る.

  5.4.3  対 数 第1近

似

  (5.65)は,(1-x1),(1-x2)が と解 釈 で き る量 で あ る.1個 るが,QCDに

極 端 に 小 さ くな い 限 り,グ ル ー オ ン放 出確 率 の グル ー オ ン放 出 を扱 う限 り これ は 正確 な式 で あ

特 有 な ジ ェ ッ ト現 象 す な わ ち 多数 の グル ー オ ン を放 出 す る場 合

へ 応 用 す る に は 少 々 不 便 で あ る の で,次

の よ うな 変数z(光

円錐 変 数)を 定 義

す る.

(5.70a) (5.70b) (5.70c) こ のzやtと

他 の 運 動 学 変 数 との 関 係 は 次 の よ うに な る.

(5.70d) (5.70e) (5.70f) (5.70g) 光 円 錐 変 数 を 使 っ て 式(5.65)を

書 き換 え る と,

(5.71) tの 小 さ い とこ ろす な わ ちpT2≪Q2の

とこ ろ で は 第1項

が 優 勢 で あ るの で,グ

ルー オ ン放 出確 率 は近 似 的 に

(5.72a)

図5.10 

e+e-→qqg重

心 系 で の 運 動 学 変 数(光

円錐 変 数 の 導 入)

(5.72b) と 書 き 表 せ る.こ 結 合 定数αsの

れ を グ ル ー オ ン 放 出 過 程 の 対 数 第1近

計 算 の と き と 同 じLLAと

い う 言 葉 を 使 う が,意

異 な る.t∼0の

領 域 は 

は,運

も つ 仮 想 ク ォ ー ク(不

動 量pを

似(LLA)と

い う.

味 合 いが若 干

の と こ ろ で も あ る の で,(5.72)

ク ォ ー ク と 縦 運 動 量(1-z)p,横

変 質 量tを

運 動 量pTの

も つ)が,縦

運 動 量zpの

グ ルー オ ン に 崩 壊 す る確 率 と 見

な せ る.   こ れ は §3.5で 導 い た"電 出 す る 確 率"の

式(3.57)と

子 が 質 量Q2,運

動 量yを

よ く 似 て い る.実

と 置 き換 え,係

数4/3は

×(ク ォ ー ク カ ラ ー 自 由 度 の 平 均1/3)×(α

もつ 仮 想 フ ォ トン を 放

際 

カ ラ ー 因 子(グ → αs/2)と

ル ー オ ン の 自 由 度8)

して 説 明 で き る こ と を考

慮 す る と 両 者 は 完 全 に 一 致 す る.   こ のPqqは

ク ォ ー ク の 分 割 関 数(splitting

function)と

呼 ば れ る.ク

が グ ル ー オ ン を 放 出 す る と こ ろ に は 必 ず 現 れ る 普 遍 関 数 で あ る.Pqq関 ク ォ ー ク が グ ル ー オ ン を 放 出 す る 確 率 と 見 な し て も よ い し,運 ク と い う ビ ー ム が 準 備 さ れ た と き の 運 動 量zの る と解 釈 す る こ と も で き る.関 (5.65)に

動 量1の

数 は ク ォー

クォー ク の フ ラ ッ ク ス を与 え

数 の 形 は 繰 り込 み 処 方 に よ ら な い.こ

比 べ て 有 用 な の はtとzと

ォー ク

の 式が

の 変 数 分 離 が で き て い て カ ス ケ ー ド的 グ

ル ー オ ン 発 生 の 式 が 容 易 に つ く れ る か ら で あ る.(5.72)を 発 展 さ せ る 方 法 を 求 め る こ と は む ず か し く な い が,詳

使 って シ ャ ワ ー を

細 は 第8章

の ジ ェ ッ ト現

象 の と こ ろ で 述 べ る こ と とす る.   こ の よ う に 中間 の 仮 想 状 態 を あ た か も 実 の 粒 子 の よ う に 考 え て,粒 B+Cの

分 岐 過 程 の 確 率 を 計 算 し て お く と便 利 な こ と が 多 い.歴

で に1934年

に ワ イ ゼ ッ カ ー-ウ ィ リア ム ス が,電

子A→

史 的に はす

子 散 乱 反 応 を電 子 が 放 出 す る

仮 想 フ ォ ト ン の 反 応 で 置 き 換 え 電 子 の 提 供 す る フ ォ トン フ ラ ッ ク ス を計 算 し て い る(付

録 式(C.38)を

与 え て あ る.

参 照).分

割 関 数 を 一 般 的 に 求 め る 方 法 は 付 録C.6に

  5.4.4 

横 運 動 量 分 布

  e+e-→

ハ ドロ ン 反 応 の 主 な 寄 与 はqqに

れ は 互 い に180度

方 向 に 放 出 さ れ,相

よ る2ジ

対 的 に 横 運 動 量 を も た な い.横

グ ル ー オ ン を発 生 す る こ とに よ り得 ら れ,そ の 関 数 と し て 書 き換 え れ ば 得 ら れ る.い グ ル ー オ ン を1個

生 成 す る 確 率 をS(pT2)と

ン の 発 生 確 率 は(dS/dpT2)dpT2で

ェ ッ ト発 生 で あ る が,こ

の 振 る 舞 い は(5.72)を

ま,任

運動 量は 横 運動 量

意 の 横 運 動 量kΥ2≦pΥ2を

す る と,kT2=pT2を

与 え ら れ る.S(pT2)を

もつ

もつ グ ルー オ

求 め る に は,

(5.73) と い う 条 件 で,(5.72a)を に, 

積 分 す れ ば 得 ら れ る.積

の 付 近 か ら く る が,こ

分 の優 勢 な寄 与 は明 らか

の 積 分 は 赤 外 発 散 を 伴 う.そ

S(pT2)の

代 わ り に, 

T(pT2)を

計 算 す る こ と に す れ ば 発 散 は 避 け ら れ る.本

ず で あ り,そ

こ で,

の任 意 の運 動 量 を もつ グルー オ ン生 成 の確 率 来,S(pT2)は

有限 のは

の 場 合S(pT2)とT(pT2)は

を満 た さ な け れ ば な ら な い.

(5.74a) た だ し,z=1-zで

あ る.被

積 分 関 数 の 分 子 で はz≒1と

とす る近 似 を 使 っ た.こ

し,積

分 範 囲 は 

れか ら

(5.74b) が 得 られ,微 分 す る こ とに よ って

(5.75) を得 る.   横 運 動 量 分 布 は グ ル ー オ ン 放 出 に よ り生 じ る も の で あ り,こ の 関 数 型 は LLA近

似 を と る限 りは グ ル ー オ ン放 出 の あ る とこ ろ,あ

らゆ る と こ ろ に 現 れ

る 普 遍 関 数 で あ る か ら.上 記 横 運 動 量 の 振 る舞 い もま た,QCD過

程 で はあ ら

ゆ る とこ ろ に 出 て くる普 遍 な もの で あ る.

5.5  発 展 方 程

式

  5.5.1  パ ー トン フラ ッ クス   パー トン モ デ ル は深 非 弾性 散 乱 の デ ー タ を よ く再 現 す る.こ の と きパ ー トン の運 動 量 分 布 関 数 は 定 性 的 に は 図5.11(d)の ほ ぼQ2に

よ らな いxの

ル の 基 本 仮 定 は,"レ

よ うな 振 る舞 い を した.こ

み の 関 数 で あ っ た(Bjorken

プ トン と核 子 の 散 乱 は,レ

れは

scaling).パ ー トン モ デ

プ トン と個 々の パ ー トンの 散

乱 の和 と して書 け る"つ ま り イ ンパ ル ス近 似 が 成 立 す る とい う こ とで あ り,そ の 前 提 は パ ー トンが核 子 の 中 で 自由 に 動 い て い る こ とつ ま りパ ー トン 同士 の相 互 作 用 は な い とい う こ とで あ った.こ

の 仮 定 はQCDの

標 準 理 論 に お い て も正 当 化 さ れ る.し か し,QCDの デ ル はQCD摂

動 量(核

しQCD効

動 の 高 次 効 果 を無 視 した もの で あ る こ と は明 白

果 を完 全 に 無視 す れ ば パ ー トン は核 子 内 で ほ ぼ一 定 の 運

子 全 体 の 運 動 量 の約1/3,つ

る(図5.11(b)).そ QCD効

観 点 に 立 つ とパ ー トン モ

動 展 開 の 第0近 似 で あ り,パ ー トン 同 士 が グル ー オ ン な ど を 交

換 し て相 互 作 用 をす るQCD摂 で あ る.も

漸 近 自由 の 発 見 に よ り

ま り 

う で な くて 図5.11(d)の

を もつ は ず で あ よ う に な っ て い るの は ま さ に

果 の グル ー オ ン交 換 に よ って ク ォー ク の 運 動 量 が1/3を

中心 に ぼ け て

い るの だ と考 え られ る.こ の 分 布 は核 子 の 量 子数 を担 う価 クォー クの 寄 与 が 大 き い.し

か し,こ の グ ル ー オ ン 交 換 の 効 果 は 緩 慢 な 動 作 で あ り,レ プ トン

ク ォー ク散 乱 の 動 的過 程 に 比 べ 非 常 に 長 い 時 間 で起 き る た め,近 似 的 に分 布 関 数 を与 え られ た静 的 性 質 の もの で 置 き換 え る イ ンパ ル ス近 似 が 成 立 し た の で あ る.こ の分 布 関 数 は,多 数 の グ ルー オ ン交 換 の結 果 と して得 られ る もの で あ る か ら,算

出 に は 非 摂 動 的 計 算 を必 要 とす る.Q2は

標 的 に 与 え る衝 撃 の 強 さ,

時 空 の 変 数 で い え ば探 索 す る領 域 の プ ロー ブ と して の 分 解 能 力 を与 え るパ ラ メ ター で あ る.Q2と

い う拡 大 鏡 を 大 き く し て い け ば,つ

ま り よ り ミ ク ロ の領 域

に 入 り込 む と,ク ォー クが グル ー オ ン を交 換 した り,グ ルー オ ン が ク ォー ク対 (海 クォ ー ク)を つ くる よ うな効 果(図5.11(e))が

見 え て くる は ず で あ る.グ

図5.11 

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

核 子 を仮 想 フ ォ トン とい う拡 大 鏡 で の ぞ い た と き の パ ー トン の運 動 量 分布

(a)Q2=0.1GeVで

は 核 子 は パ ー ト ン に 分 解 して 見 え な い;運

Q2=5GeV;核 子 は3個 x=1/3で あ る が(b),ク

動 量x=1,(c)

の クォ ー クに 分 離 して 見 え る.自 由 パ ー トン で あ れ ば, ォー クは グ ルー オ ン を 交 換 し て 束 縛 状 態 に あ る の で<

x>≒1/3と な る(d).し か し グル ー オ ン 交換 は 緩 慢 な 作 用 で あ る の で 各 パ ー ト ン は 独 立 し て い る と 見 て よい.(e)Q2=100GeVに な る と ク ォー ク が グ ルー オ ン を 放 出 した り,グ ル ー オ ンが ク ォー ク対 をつ く るの が 見 え る.こ

れ らはx≒0

の小 さ い 運 動 量 を もつ.

ル ー オ ン は 質 量0の

量 子 で あ るか ら,そ の 放 出確 率 は制 動 放 射 と同 じ くdx/x

に 比 例 す るは ず で あ る.つ ろ う(図5.11(f)).Q2が

ま りxの 小 さ い と こ ろ で の 分 布 が 優 勢 に な る で あ 十 分 大 きけ れ ば エ ネ ル ギー の 大 きな グ ル ー オ ン放 出

を伴 い ジェ ッ ト現 象 に そ の 影 響 が 見 え る で あ ろ う.つ QCD効

果 が 見 え て きて,ブ

ま りQ2を

大 き くす れ ば

ヨル ケ ン の ス ケー リン グが 破 れ クォ ー ク の 分 布 関

数 が(Q2依 存 性 を 示 す は ず で あ る.こ

のQ2依

存 性 を 調 べ る こ と に よ って,

ク ォー ク と グ ル ー オ ン の 相 互 作 用 を 支 配 す る 力 学QCDの

性 質 が テ ス トで き

る.   深 非 弾 性 散 乱 は,分 布 関数 を与 えら れ た もの と して扱 えば,最 低 次 の 近 似 で は 電 弱 相 互 作 用効 果 で あ り,核 子 内 の パ ー トン が 質 量Q2を を 吸 っ て 散 乱 さ れ る過 程 で あ る(図5.12(a)).QCD過 は,こ

もつ 仮 想 フ ォ トン

程(図5.12(b)∼(e))

の過 程 へ の 補 正 と して 効 く.以 下 で は,こ の過 程 の 深 非 弾 性 散 乱 の 断面

積 に与 え る影 響 を計 算 す る こ とに よ っ て,パ ー トン分 布 関 数 のQCD補

正 を考

察 す る.   深 非 弾 性 散 乱 を仮 想 フ ォ トン の起 こす 反 応 と見 な す 立 場 を と れ ば,QCD補 正 効 果 は仮 想 フ ォ トン と ク ォー クが相 互 作 用 して グル ー オ ン を放 出 す る コン プ トン効 果 の1種 で あ り,フ ォ トン に よ る 反 応 断面 積 と,構 造 関 数 は(3.54)で 結 びつ い て い る.

(5.76a)

(5.76b)

(a)

(b)

(d)

(e) 図5.12 

(c)

深 非 弾性 散 乱 の ファ イン マ ン図

(a)  eq→eq:仮

想 フ ォ ト ン が ク ォ ー ク に 吸 わ れ る.

(b)∼(e) 

程

QCD過

(b),(c) γ*q→qg  (d),(e) γ*g→qq 

QCDコ

ン プ トン 散乱

フ ォ トン ・ グ ル ー オ ン 融 合 過 程

(5.76c) ま た,(5.76a)で, 

(付 録(B.30c)参

照)で

置

き換 え た 断 面 積 を σγ*と お く と,

(5.76d) ス ケ ー リ ン グ 極 限 で,

(5.77a) (5.77b) (5.77c) で あ る か ら,

(5.78a) (5.78b) (5.78c) を 得 る.σBは,ボ

ル ン 近 似 で の 仮 想 フ ォ トン に よ る 全 断 面 積 で あ る.

(5.79)   パ ー トン モ デ ル で は,ク 数 は,式(3.50)に

ォ ー ク 分 布 関 数q(x)と

よ っ て 結 び つ い て い る.す

電子深非 弾性散 乱の構 造 関

な わ ち,

(5.80a) (5.80b) こ こ にλiは ク ォ ー ク の 電 荷 で あ る .パ

ー トン モ デ ル の 段 階 で は σL=0で

ク ォ ー ク 分 布 関 数 と し て,  の ど れ を 使 っ て も差 は な い.高 算 を し て み る と,対

数 第1次

あ り,

あ る い は σγ*/σB 次 の 補 正 項 を 取 り入 れ れ ば 三 者 は 異 な る が,計 近 似 で はO(αs)補

正 を 入 れ て も 差 は で な い の で,

以 下 の 議 論 で は 取 扱 い の 簡 単 なσγ*/σBに 限 る.   演 習5.5  項)で

仮 想 フ ォ ト ンが ス ピ ン1/2,質

量0の

パ ー トン に 吸 わ れ る過 程(ボ

ルン

は,

(5.81a)

(5.81b)  た だ し,

 (5.81)

で あ る こ と を 示 せ.た

だ し,qγ,pは

仮 想 フ ォ トン と パ ー トン の4元

運 動 量 で あ り,

λqは 陽 子 電 荷 を 単 位 と した パ ー トン の 相 対 電 荷 で あ る.   ヒ ン ト:(3.44)を   QCD効

使 え.

果 の う ち 図5.12(b),(c)の

ン 散 乱  る.k,k'は

仮 想 フ ォ ト ン と1次

は 散 乱 角,Qは の は,パ

効 果 は,仮

で あ る の で,運

想 フ ォ トン に よ る コ ン プ ト

動 変 数 を 図5.13*5)の

よ うに定 義す

パ ー ト ン の 重 心 系 で の 散 乱 前 後 の 運 動 量,θ

仮 想 フ ォ ト ン の 質 量 で あ る.s,t,uの

よ うに ハ ッ トをつ け た

ー ト ン の 変 数 を 意 味 す る.

(5.82a)

(5.82b) (5.82c) (5.82d)

(a)

(b)

図5.13 

QCDコ

ン プ トン散 乱 の 運 動 学 変 数

γ*は 仮 想 フ ォ トン で あ り,質 量 殻 上 に な い.

*5)  図5 .13(a),(b)は す な わ ちqγ2=-Q2<0で

図5.7(c),(d)と あ り,図5.7で

似 て い る が,図5.13で は 時 間 的(qγ2=Q2>0)で

は 仮 想 フ ォ ト ン は 空 間 的, あ る こ と に 注 意.

(5.82e) パ ー トン の核 子 中 に お け る相 対 運 動 量zは

(5.83) で 与 え ら れ る.zが

こ う 書 け る 理 由 は,陽

子 標 的(運

の パ ー ト ン を 拾 う に は, 

動 量P)か (式(3.47)参

ら 運 動 量xP 照)と

した

こ と を 思 い 起 こ そ う.   各 変 数 の 間 に は,次

の よ う な 関 係 が 存 在 す る.

(5.84a)

(5.84b) (5.84c) 図5.13の

コ ン プ トン散 乱 の行 列 要 素 を,上 記 変 数 を用 い て 計 算 す れ ば,

(5.85) を 得 る.こ

の 式 は,(5.56)の

し た 後,  度3で

コ ン プ ト ン 散 乱 式 か ら,フ

と し,グ

ル ー オ ン の 自 由 度 の8を

平 均 を と れ ば 得 ら れ る.こ

ァ インマ ン図 を交叉 掛 け,カ

ラー の 自由

れ よ り微 分 断 面 積 は

(5.86a) (5.86b) 深 非 弾 性 散 乱 で グ ル ー オ ン を1個 放 出 す る確 率 の 第1項 状 態 で グル ー オ ン1個

を放 出す る確 率 の 式(5.71)の

を して い る こ とに 注 意 し よ う.tに

は,e+e-→qqの

第1項

終

と ま った く同 じ形

つ い て 積 分 す れ ば,

(5.87a) (5.87b) mg2は 質 量 異 常 発 散 を避 け るた め に 当面 導 入 し た グ ル ー オ ン の質 量 で あ る.以

下 は,第2項

以 下 を 落 と し優 勢 な 対 数 項 の み を残 す 対 数 第1近

似 で 話 を進 め

る.こ の 式 は,グ ル ー オ ン の 質 量 を含 む の で,直 接 観 測 に 掛 か る物 理 量 とは 見 なせ な い.直 接 観 測 に掛 か る核 子 非 弾 性 散 乱 の 断 面積 を,パ ー トン反 応 の 式 で 書 き表 す 必 要 が あ る.ク

ォー クが 最 初 に 運 動 量yを

す る と,グ ル ー オ ン は観 測 し な い の だ か ら,y,zに

核 子の 中 で もってい た と つ い て は 足 し上 げ て や る 必

要 が あ る.ク ォ ー クが 直 接 フ ォ トン を 吸 収 す る ボ ル ン 項 を 含 め て 書 き下 ろ す と,(5.80)を

参 照 して

(5.88) と書 け る.こ こ で,qi(z)は,核

子 の 提 供 す るi番

目の パ ー トン の 運 動 量 分 布

関 数 で あ る.   上 式 の 物 理 的 な 意 味 は,観 測 に か か る核 子 中 の パ ー トン の 運 動 量xは,は じめ に核 子 が提 供 した 運 動 量yの

パ ー トンが,コ

過 を た ど る こ とに よ りさ らに 相 対 的 にzだ とで あ る.こ の 意 味 で,dP(z,Q2)は,運

ン プ トン 散 乱 な ど の 途 中 経

け 低 下 し たx=zyと

動 量1の パ ー トンの 中 に 運 動 量zの

パ ー トン を見 出 す 確 率 と解 釈 で き る.(5.88)右

辺 括 弧 内 の 第1項

提 供 す る パ ー トンが グ ル ー オ ン放 出 な どのQCD反

量0の

りに関 係 な くす べ て の

パ ー トン)に 共 通 で あ る の で,ク

よび 反 クォ ー ク)の 分 布 関数 をq(x,Q2)で

は,核 子 の

応 を経 ず に 直 接 仮 想 フ ォ ト

ン と反 応 す る効 果 で あ る.上 記 の 式 右 辺 括 弧 の 中 は,香 ク ォー ク(ス ピ ン1/2,質

な る とい うこ

ォー ク(お

代 表 させ れ ば

(5.89) とい う方 程 式 を得 る.左 辺 は 観 測 量 で あ るか ら,右 辺 の 中の グ ル ー オ ン質 量 は 見 か け 上 現 れ て い るの み で,計 算 を正 し くす れ ば,実 際 に は現 れ な い は ず で あ る.す な わ ち,q(y)の

中 に は,仮

が含 ま れ て い て,括 弧 内 の 第2項 元解 析 か らmg2に

想 グ ル ー オ ン交 換 に よ る グ ル ー オ ン 質 量 項 を相 殺 して い る と考 え るべ きで あ る.ま た 次

代 る量 が 必 要 で あ る が,こ

れ は繰 り込 み に 伴 っ て 現 れ る ス

ケ ー ル 量 μ2と 考 え られ る.  積 分 を実 行 す る と,QCD効

果 を入 れ な い第1近 似 で は

(5.90) とな り,パ ー トン モ デ ル を再 現 す る.す で に 述 べ た よ うにq(x)はQCDの 摂 動 効 果 を表 す 式 で あ り,摂 動 論 で は計 算 で きな い が,上 で 関 数 

式 を,あ

が 与 え ら れ た と き に, 

記 述 す る式 とみ な す こ とが で き る.こ の 場 合,第2項 よ る分 布 関 数 の補 正dqを

非

るQ2=Q02

で の振 る舞 い を がQCD最

与 え る の で,両 辺 を 

低 次 の寄 与 に

で 微 分 す れ ば,

(5.91) を得 る.こ の 式 は パ ー トン モ デ ル のq(x)を,QCD効

果 を取 り入 れ たq(x,τ)

で お き換 え る こ とに よ っ て得 られ るか ら,多 重 グルー オ ン放 出効 果 を含 ん で い る.ま

た,上

式 のαsは,繰

り込 み 群 の 議 論 に 従 って, 

と

して あ る.こ の 式 が 以 下 の議 論 の 基 本 と な る 方程 式 で あ り,あ るQ2の え られ た 分 布 関数 が,Q2が

値 で与

変 わ る に つ れ て ど う変 化 す る か を示 す 発 展 方 程 式

で あ る.

  5.5.2 

DGLAPの

発展方程 式

  a.  グ ル ー オ ン 分 布 関 数   さ て,こ が,核

こ まで は 仮 想 フ ォ トンの クォ ー ク との散 乱 の み を考 え た わ け で あ る

子 内 に は グ ル ー オ ン も存 在 す る の で,フ

て,qq対

ォ トン と グ ル ー オ ン と が 融 合 し

を つ く る 過 程 を も 取 り 入 れ る 必 要 が あ る(図5.12(d),(e)).図

5.12(d),(e)に

対 応 す る行 列 要 素 は,QCDコ

ン プ ト ン の 行 列 要 素(5.85)と

同 じ よ う に 求 め ら れ る.

(5.92)   こ の 式 は,(5.56)の 換 え 後,グ

コ ン プ ト ン 散 乱 式 か ら,交

ル ー オ ン の 自 由 度 の 数8を

れ ば 得 ら れ る.こ

れ よ り(5.87)に

掛 け,グ

叉 とe4→e2(gs2/2)の

ル ー オ ン の 自 由 度8で

置 き 平均 を と

対 応 す る微 分 断面 積 は

(5.93)

(5.94) で 与 え ら れ る.zは(5.83)で 0とu→0の

定 義 さ れ て い る.質

双 方 に 存 在 す る の で,(5.92)は,お

の 寄 与 に 分 け て,そ

れ ぞ れtお

よ びuで

の お の の 領 域 で優 勢 な 二 つ

積 分 す る.tに

ル ー オ ン が ク ォ ー ク を 放 出 す る 分 割 関数Pqgを ク ォ ー ク を 放 出 す る 分 割 関数Pqgを

つ い て の積 分 は グ

与 え,uに

つ いて の積 分 は反

与 え る.

  グ ル ー オ ン 分 布 を 含 む 場 合 に(5.91)を グ ル ー オ ン 分 布 関 数 をg(x,τ)と

量 異 常 に よ る 発 散 は,t→

拡 張 す る の は 容 易 で あ る.核

す れ ば,仮

子内の

想 フ ォ ト ン の 見 る ク ォ ー ク は,元

の 核 子 の 提 供 す る ク ォ ー ク お よ び グ ル ー オ ン よ っ て 供 給 さ れ る2次

的 な クォー

ク の 和 で あ る と い う式 を 書 け ば,

(5.95) 同 様 に グル ー オ ン分 布 関数 に 対 して は,

(5.96) が 成 り立 つ.た

だ し,Pgqは

ク ォ ー ク が グ ル ー オ ン を,Pggは

ル ー オ ン を 放 出 す る 分 割 関 数 で あ る.こ ク ォ ー ク と ク ォ ー ク を 区 別 し て,分 項 分 布 関 数 Σ,非1重

項 関数Δ

こ で,ク

グルーオ ンが グ

ォ ー ク の 香 りiお

布 関 数qi(x,τ),qi(x,τ)を

よび 反

導 入 し,一

重

を 次 式 で 定 義 す る.

(5.97) (5.98) F2,F3は

深 非 弾 性 散 乱 に 現 れ る ス ケ ー リ ン グ 関 数(3.61)で

た す 方 程 式 は,(5.95),(5.96)を

あ る.こ

れ らの 満

入 れ れ ば 得ら れ る か ら

(5.99) (5.100) (5.101) nfは

香 り の 数 で あ る.こ

程 式 は2個

の 変 数x,Q2を

の 方 程 式 をDGLAPの 含 む.Q2を

発 展 方 程 式 と 呼 ぶ6,7).こ の 方

与 え た と き,xの

変数 としての構造 関

数 はQCDで でxの

摂 動 計 算 す る こ とは で きな い.し か し,構 造 関 数 が あ るQ2=Q02

関 数 と して 与 え られ る な らば,Q2を

変 え た と き に ど う発 展 し て い くか

は 発 展 方 程 式 で完 全 に 決 ま る.   発 展 方 程 式 を解 くに あ た っ て は 分 割 関Pggを

知 る必 要 が あ る が,分 割 関

数 は 対 数 第1近 似 で は,対 象 とす る物 理 過 程 の種 類 に よ らな い 普 遍 関 数 で あ り,一 般 的 に 計 算 す る方 法 が 与 え られ て い る(文 献6,7)およ び付 録C.6).

(5.102) 対 称 性 よ り,分 割 関 数 に は 次 の 性 質 が あ る.

(5.103)   こ こ で 発 展 方 程 式 に対 す る二,三

の留 意 点 を述 べ る.

  b.  グル ー オ ンの 偏 極   (5.99)∼(5.101)の

発 展 方 程 式 は,パ ー トン分 布 関 数 のQ2の

展 を記 述 して い る.す な わ ち,Q2に

よ る発 展 は す べ て,仮

作 用 す る前 に完 了 して い る と い う物 理 的解 釈 に 立 つ.と

変 化 に よ る発

想 フ ォ トン と相 互

こ ろ が,ク ォ ー クに よ

る グ ル ー オ ン放 出 は 始 状 態 で も終 状 態 で も可 能 で あ り,こ の 二 つ の 振 幅 を可 干 渉 的 に 足 し算 した もの の和 が(5.87)の

放 出確 率 を与 え て い る.こ の 二 つ の 可

干 渉 な振 幅 の 和 の 自乗 を,確 率 とい う言 葉 を使 っ て あ たか も一 つ の 統 計 的 に独 立 な過 程(始 状 態 パ ー トンの グル ー オ ン放 出)の よ うに 扱 うの は,い 引 に見 え るか も しれ な い.こ

さ さか 強

う した 議 論 を正 当化 す る理 由 は 次 の 通 りで あ る.

始 状 態(仮 想 フ ォ トン と相 互 作 用 す る前)の パ ー トン か らの放 出振 幅 は1/tに 比 例 す る の に 反 し,終 状 態 か らの 放 出 振 幅 は1/sに

比 例 し対 数 第1近

≫1/s)で は 無 視 し て よ い.た

比 例 す る 項 が あ る の でや

だ し干 渉 項 に は1/tに

は り始 状 態 放 出 の み で は正 し くな い よ うに 見 え る.し か し,よ

似(1/t

く観 察 す る と終

状 態 放 出 項 は,ゲ ー ジ不 変 性 を保 証 す るた め に存 在 す る の で,こ の 項 の 寄 与 は 非 物 理 的 な ス カ ラー お よび 縦 波 グ ル ー オ ン を消 去 す る ため に の み 存 在 す る.も しグ ル ー オ ン に つ い て は 物 理 的 な横 偏 極 の み 考 慮 す る こ とに す れ ば,た

とえ ば

 の 共 変 ゲ ー ジ の代 わ りに,

(5.104)

で 定 義 さ れ る軸性 ゲ ー ジ(axial

gauge)を

採 用 し,nを

適 当 に 選 べ ばLLAで

は 純 粋 に始 状 態 放 出項 の み 考 慮 す れ ば よ く8),上 記 の グ ルー オ ン放 出 の 統 計 的 独 立 とい う性 質 は保 証 され る.こ の こ とは グル ー オ ン をカ ス ケ ー ドに放 出 させ る シ ャ ワー 現 象へ の 応 用 を 可 能 に す る とい う意 味 で重 要 で あ る.   c.  分 割 関 数 の正 則 化   赤 外 発 散(ソ フ トグ ルー オ ン発 生)の 処 理:対 =1で

発 散 す る.こ れ は,エ

ネ ル ギー0の

角 的 なP関

数Pqq,Pggは,z

グ ルー オ ン を発 生 す る こ と に起 因 す

る 赤 外 発 散 で あ る.こ の 困難 を処 理 す る た め に,e+e-→qqg反

応 にお いて赤

外 発 散 が な か った こ との 理 由 を思 い起 こ そ う.グ ルー オ ン発 生 断 面 積 は 赤 外 発 散 項 を もつ が,全 変 数 領 域 で 積 分 す れ ば 仮 想 グル ー オ ン 交 換 効 果 と相 殺 して, 全 断 面積 に対 す る寄 与 は 有 限 な 補 正 を与 え た(式(5.69)).す

なわ ち

(5.105a) 同様 な相 殺 は電 子 非 弾 性 散 乱(eq→eqq)で

も生 じる.1グ

ル ー オ ン発 生 項 の

寄 与 と仮 想 グ ルー オ ン 交 換 項 の 効 果 を含 め た 非 弾 性 散 乱 のO(αs)ま で の 全 断 面 積σDISを,赤

外 発 散 項 を正 則 化 した 上 で正 し く計 算 す る と

(5.105b) とな る こ とが 示 せ る.電 子 陽 電 子 反 応 の 場 合 は 終 状 態 の グルー オ ン と クォ ー ク は一 重 項 状 態 に あ り,引 力 が 働 くの で 全 体 と して 正 の 補 正 を与 え たが,深 性 散 乱 の 場 合 のQCD第1次 (5.105b)を

補 正 は,負

非弾

の 補 正 で あ る こ と に 注 意 し よ う.

書 き直 す と

(5.106) こ こ で,正 則 な+(プ

ラ ス)関 数 を次 の よ うに定 義 す る と,

(5.107) グ ルー オ ン発 生 の 断 面 積 を

(5.108)

の よ うな 形 に書 き表 す こ とが で き る.   右 辺 第1項 第2項

は,z≠1の

と き,対

数 第1近

似 の 範 囲 で 式(5.88)右

辺 の 中の

に 等 し い 量 で あ る か ら,

(5.109) (5.110) こ の 定 義 し な お し たPqq(z)は,z≠1で

は(5.87b)に

等 し い が,積

分 す れ ば0

に な る と い う条件

(5.111) が つ い た 分 だ け こ れ ま でのPqq(z)と

は 異 な る.こ の 式 を成 立 させ る た め に は,

Pqq(z)を 正 則 化 しな け れ ば な ら な い が,こ

れ は 次 の よ うな 性 質 を もつ+関

数

を導 入 す る こ とに よ り達 成 さ れ る.

(5.112a) (5.112b) 条 件(5.111)と(5.112)を

使 え ば,Pqq(z)を

決 め る こ と が で き て,

(5.113) を 得 る.も

と も と 核 子 の 供 給 す る パ ー ト ン フ ラ ッ ク ス のz分

布 式(5.88)

(5.114) の 形 で 定 義 し た の で あ る か ら,パ

ー ト ン フ ラ ッ ク ス を全 部 足 し 上 げ た も の は,

元 の 核 子 が 供 給 す る も の に 等 し く な け れ ば な ら な い.dP(z,τ)をzに 積 分 し た も の は1で

な け れ ば な ら な い か ら*6),第2項

つ い て

に つ い て 条 件(5.111)

を 要 求 す る の は 理 に か な っ て い る.

*6)  (5 .108)を

考 慮 す れ ば,δ(1-z)の

断 面 積 で 再 規 格 化 す れ ば,O(αs2)で

係 数 も ま た1-αs/π は(5.114)が

に 変 更 さ れ る が,補

依 然 と し て 成 立 す る.

正 された全

  (5.111)は,ク が で き る.Nυ

ォ ー ク 数 保 存 則 を 意 味 す る.そ

れ は 次 の よ うに して 見 る こ と

を ヴ ァ レ ン ス ク ォ ー ク の 数 と し て,ク

ォ ー ク数 保 存 則 お よ び運

動 量 保 存 則 を 書 く と 次 の 式 が 成 立 す る か ら,

(5.115a) (5.115b) τ で 微 分 し て,(5.97)∼(5.101)を

使 え ば,(5.111)と

(5.116) が 得 ら れ る.  演 習5.6  正 則 化 し た分 割 関数 に つ い て,次

式 を 証 明せ よ.

(5.117)   +関 数 を導 入 して 書 き直 した(5.108)や,(5.114)の

表 式 は,z≠1で

の表

式 と全 積 分 量 を指 定 す れ ば,完 全 に決 ま る関 数 で あ り,物 理 的 解 釈 もつ け られ る.赤 外 発 散 を回 避 す るた め に 余 分 な パ ラ メ ター を導 入 す る必 要 も な く,便 利 な簡 便 式 で あ る.た だ し,zが1に

近 い とこ ろ で は,近 似 が 悪 くな り使 用 で き

な い とい う限 界 は 心 得 て お く必 要 が あ る.   d.  高次 の 寄 与   パ ー トン モ デ ル で は,パ Q2)で

ー ト ン の 運 動 量 分 布 関 数q(x,τ)をσT/σ0=2F1(x,

定 義 し て も, 

果 を 入 れ て も対 数 第1近

で 定 義 し て も よ い.ま 似 を と る 限 り は 差 は 出 な い の で,こ

か っ た.し

か し,O(αs)の

量 で あ る 

と き は,そ

の 差 を 問 題 に し な け れ ば な ら な い.こ

たQCD効

こで は区別 しな を考 慮 す る

の と き は,(5.86a)の

項 以 下 を 高 次 計 算 の 中 に 取 り入 れ な け れ ば い け な い.

第2

5.6  発 展 方程 式 の解 法

  5.6.1 

モ ー メ ン トの 方 法

  a.  異 常 次 元

  DGLAPの

方 程 式 を解 くの は,特 に 非 一 重 項 の場 合 は 簡 単 に な る.次 の よ う

な モ ー メ ン ト(メ ラ ン変 換)

(5.118a) (5.118b) を 定 義 す れ ば,(5.99)のDGLAP方

程 式 は,

(5.119) αs(τ)の表 式(5.30)に

留 意 す れ ば,

(5.120)

とな るの で積 分 す れ ば

(5.121a) こ こに

(5.121b) は 異 常 次 元 と呼 ば れ る量 で あ る.し た が って

(5.122) または

(5.123) す べ て のnに

つ い て モー メ ン トが わ か れ ば 逆 メ ラ ン 変 換 で 元 の 構 造 関 数 が 求

め ちれ る.こ の解 は,対 数 第1近 似 で 成 立 す る解 で あ る.こ の解 に よれ ば,構

造 関 数(の モ ー メ ン ト)の 発 展 の仕 方 は 異 常 次 元 の み で決 ま り,構 造 関 数 自 身 に は よ らな い.モ ー メ ン ト同 士 の 比 はdnの

み で 決 ま る.γnの 計 算 は

(5.124) で 与 え ら れ る.γnの

値 を い くつ か あ げ て お く と

  非 一 重 項 分 布 関 数 は ニ ュ ー ト リ ノ 深 非 弾 性 散 乱 に お け るF3(x,Q2)で れ て い る の で,QCDの

予 言 と 実 験 デ ー タ を 比 較 す る こ と が 可 能 で あ る.図

5.149)は,CERNのBEBCグ

ル ー プ に よ る デ ー タ との 比 較 で あ る.

  傾 き はQCDの

予 言 と よ く あ っ て い る.ス

な い.(5.123)に

よ っ て 個 々 の モ ー メ ン トMnを

可 能 で あ る が,αs(0)の 図5.15に

カ ラー グ ル ー オ ン の仮 定 とは 合 わ 直 接 デー タ と比 較 す る こ と も

値 が 必 要 で あ る な ど,よ

そ う し た 比 較 の 一 例 を あ げ る10).図

プ ロ ッ ト し た も の で あ る.αs(τ)は,LLA近 ら(5.32),LLAで

求め ら

はlnQ2の

り 多 くの 情 報 が 必 要 で あ る.

はMn-1/dnをlnQ2の

関 数 と して

似 で 

で あ るか

関 数 と し て 直 線 に な る は ず で あ り,デ

ー タの範

囲 で は そ う な っ て い る.   ま た, 

図5.14 

で あ る の で,直

非 一 重 項(non-singlet)構

造 関 数(F3)の

線 が 横 軸 を 切 る 点 が,Λ2を

モ ー メ ン ト とQCDの

比 較9)

与

え る か らΛ

に つ い て あ る 程 度 の 推 量 は で き る.し

る よ う に,変

数 をxか

ら ξ*7)に 変 え たNachtmanモ

タ と の 一 致 は よ く な る が10),Λ と は,こ

のΛ

の 値 が 変 わ る.使

ー メ ン トを 使 う と,デ

ー

の 値 が あ ま り信 用 で き な い こ と を 意 味 す る.

(b)

(a) 深 非 弾 性 散 乱 構 造 関 数 の モ ー メ ン トの 対 数 をn=3∼6に ロ ッ トした もの10).(b) は 核 子 の 質 量 効 果 を と り入 れ てx→ tmanモ

ー メ ン ト)変 数 を使 っ た もの.変

る点(こ

 な お,αsを

見れば わか

う変 数 に よ り不 定 性 が あ る こ

(a) 図5.15 

か し,図5.15を

つ いてプ ξ(Nach-

数 の とり 方 に よ り座 標 軸 を切

こ がΛ2の 値 を 与 え る)が 変 わ る.

τの 関 数 で な く定 数 で あ る と し た 場 合,(5.120)か

ら

(5.125) と な っ て,lnQ2で

  b.  Q2=∞

な くQ2の

べ き で 変 化 す る.こ

れ は デ ー タ と合 わ な い.

での 運 動 量 分 布

 一 重 項 分 布 関 数 Σ と グル ー オ ン分 布 関 数 の モ ー メ ン トを計 算 す る と

(5.126) と な る.Σn,gn,γn(qq)… γn(qq)は(5.124)で

*7)

な ど は,Σ,g,Pqq,… 与 え た.同

様 の 計 算 か ら

の モ ー メ ン ト と い う 意 味 で あ る.

(5.127a) (5.127b) (5.127c) い まn=2と

す る と Σ2,G2は

ク ォ ー ク お よ び グ ル ー オ ン の 平 均 運 動 量 を 表 す.

計算結果 は

(5.127d) で,運

動 量 保 存 則(3.74)が

明 瞭 に 見 え る.こ

の 固 有 値 を 求 め る と二 つ の 解

(5.128) を 得 る.異

常 次 元 は 

は,(5.123)に

で あ る.モ

ー メ ン ト

よ っ て,

の よ うに 発 展 す る の で,λ+に 対 応 す る解 はQ2→∞

で0と

な る.λ-に 対 応 す

る固有 ベ ク トル は

(5.129) で あ る の で,ク

ォ ー ク1個

は8/17と

な る.

  5.6.2 

数

  a.  QCDの

値

解

あ た り の 運 動 量 は 

グルー オン

法

テ ス ト

  理 論 的 に は モー メ ン トの 方 法 は わ か りや す い し,構 造 関 数 の発 展 の仕 方 も教 えて くれ る.し か し,実 際 に使 う場 合 に は,xの

非 常 に 小 さ い と こ ろ と大 きい

とこ ろ で の デ ー タ は得 難 く,正 確 な モ ー メ ン トを取 り出 す こ とが 困 難 で あ る. そ こ で,あ

るxの

値 で の 構 造 関 数 の 勾 配 

で の 構 造 関数 の

値 の み に よ り決 ま る こ とに 着 目 し,測 定 値 を基 に して 決 め る こ と を 考 え よ う. 理 論 的 に も実 験 的 に も海 ク ォー クや グ ル ー オ ン の 寄 与 はxの

小 さい とこ ろに

限 ら れ る か ら,x>x0で

は,発

展 方 程 式 の 中 の 海 ク ォ ー クや グ ル ー オ ンの 寄 与

は 価 ク ォ ー ク に 比 べ て 無 視 で き,一 方 程 式 と 同 一 に な る.実 展 さ せ た 結 果 を,い と,そ BCDMSの り,そ

際 的 に は 

く つ か のxに

の お の お の のxに

重 項 Σ の 発 展 方 程 式 は 非 一 重 項Δ と とれ る.こ

つ い てQ2の

れ ぞ れ のxの

く再 現 す る.ま

た,ΛMSの

  構 造 関 数 がlnQ2の 換 ゲ ー ジ 群)の

発

の 図(図5.17)を,

配 

値 に よ り違 う 値 を と る が,こ

で 再 現 で き る か ど う か がQCDの

の 近 似 でF2を

関 数 と し て 描 い た 図(図5.16)

つ い て 計 算 し た 勾 配 

デ ー タ11)と 比 較 し て 示 し た*8) .勾

の発展

テ ス ト と な る.デ

はxの

関 数 で あ

れ が 一 つ の パ ラ メ タ ーΛMS ー タ は理 論 計 算 を非 常 に よ

値 に ど の く ら い 依 存 す る か を も 示 し た.

依 存 性 を も ち つ つ 発 展 し て い く こ と はQCD(ま

特 徴 で あ り,歴

たは非可

史 的 に は 深 非 弾 性 散 乱 の デ ー タ に よ っ てQCD

の 正 し さ が ほ ぼ 裏 づ け ら れ た.

 b.  グル ー オ ン分 布 関 数 の 測 定   グ ルー オ ンは 電 磁 相 互 作 用 も弱相 互 作 用 も しな い の で,深 非 弾 性 散 乱 断 面 積 に は グ ル ー オ ン 分 布 関 数 が 直 接 に 測 定 で き る 量 と し て 現 れ る こ と は な い.

図5.16 

μp散 乱 構 造 関 数F2(x,Q2)の

*8)  実 際 の デ ー タ最 適 化 で は 対 数 第2近

似(NLLA)を

発 展 とQCDに

よ る比 較11)

採用 して い る

.こ

の 場 合,

 とす る.こ こで 第1項 は本文 中 で与 え た対数 第1近 似 の 分 割 関数 で,第2項 され て い る12).

以 下 も計 算

(b)

(a) 図5.17 

構 造 関 数F2の

対 数 微 分 をxの

(a) は 水 素 標 的 デ ー タ をQCDのΛMSを

関 数 と してみ る11)

い ろ い ろ変 え て み た もの.(b)  は 水 素 標

的 と炭 素 標 的 の 比 較.

DGLAP発

展 方 程 式 を使 って,深

非 弾 性 散 乱 デ ー タ か ら決 め る こ とは 可 能 で あ

る が,こ

の 場 合,ΛMSの

値 と グル ー オ ン分 布 関 数 間 の 相 関 が 強 くな る.ま

x<x0で

の クォ ー クや グ ルー オ ンの 分 布 関 数 を正 確 に 決 め るた め に も,正

初 期 関 数 を 与 え る必 要 が あ る の で,グ

た, しい

ル ー オ ン分 布 関 数 を,少 な く もQ2の

る一 点 で 独 立 に 実 験 的 に決 め る こ とが 望 ま しい.例

あ

え ば次 の 反 応 が グ ルー オ ン

分 布 関 数 を決 め るの に使 え る.

(5.130a)

(5.130b) ハ ドロ ン反 応 で 直 接 フ ォ トン を生 成 す る過 程 は 主 と し て

(5.131a) と い うQCDコ

ン プ ト ン 反 応 が 効 く.

(5.131b) の 対 消 滅 反 応 も 寄 与 す る が,pp反 れ る フ ォ ト ン は,π0,η0,η'0生 大 き い が,pTの

大 き い と こ ろ で は 直 接 生 成 過 程 も 大 き く,π0な

ォ ト ン に よ るJ/ψ

応で観測 さ

成 と そ の 崩 壊 を通 して 生 成 さ れ る過 程 の 寄 与 が

個 の フ ォ トン で 同 定 し た う え で,分   ま た,フ

応 で は 前 者 が 優 勢 で あ る.pp反

ど の 生 成 を2

離 す る こ と は 可 能 で あ る13).

生 成 の 最 低 次 の 寄 与 は,

(5.132)

で あ る の で,や

は り核 子 の 中 の グ ル ー オ ン 分 布 が 直 接 測 定 で き る.図5.18に

チ ャ ー ム 対 生 成 か ら 求 め た グ ル ー オ ン 関 数 を 示 す14).

図5.18 

σ(γN→ψx)より

求 め た グ ル ー オ ン分 布 関 数14)

実 線 はg(x)=3(1-x)5/x

 c.  コ ン ピ ュ ー タ ー に よ る構 造 関 数 の 計 算

  現 在 で は,上 x,Q2で

記 の 数 値 解 法 を 一 般 的 に拡 張 し コ ン ピュ ー タ 化 して,任

の 構 造 関 数 を求 め る手 法 が 確 立 して い て,い

ム が 存 在 す る.こ

意の

くつ か の 標 準 的 プ ロ グ ラ

の た め に は,初 期 関 数 と し て あ る参 照 点Q0の

と こ ろ で,

クォ ー クや グ ルー オ ン分 布 関 数 の 形 を

(5.133) の よ う に 関 数 化 し て パ ラ メ タ ー を 決 め る.指 限)の

数Bはx→0(Q2→0,E→

と こ ろ で レ ッ ジ ェ 的 な 形 を 満 た す よ う に し(複

入 れ る た め にDi,Eiの う に 決 め る.反

ク ォ ー ク でC=3,海

象 解 析 で は そ の 値 の 近 傍 でCを

部 は パ ー ト ン の 加 算 則((3.71)∼(3.74))を   グ ル ー オ ン 関 数 の 場 合(i=g),QCD理 で あ り,x→0で

弾 性 散 乱 を再 現 す る よ

もつ パ ー トン の 数 をnと

で 与 え ら れ る と い う 議 論 が あ り15)(価 グ ル ー オ ン でC=5),現

数 の レ ッ ジェ 項 の寄 与 を

項 が あ る),指Ciはx→1で

応 の 際 有 限 なxを

す る と,C=2n-3 ク ォ ー ク でC=7, 動 か す.係数Aの

使 っ て 決 め ら れ る. 論 の 考 察16)に よ れ ば, 

大 き く増 大 す る が, 

無

で は,

一

(5.134) と し て よ い 近 似 で あ る.実

際,図5.18で

は,デ

う 式 に よ く合 う こ と を 示 し て い る.し

ー タ が 

とい

か し,TEVATRONやLHCな

どの高

エ ネ ル ギ ー ハ ドロ ン 衝 突 型 加 速 器 で のQCD過

程 や,HERAの

xの 非 常 に 小 さ い 値 の と こ ろ を 使 う の で,xの

小 さ い とこ ろ で の 正 し い振 る舞

い を す る 関 数 形 が 必 要 で あ る.ち で あ り,精

な み に,HERAで

密 な デ ー タ が 得 ら れ て い る.パ

発 生 や ド レ ル ーヤ ン 過 程 を も 含 め,総 法 の 微 調 整 や,ど に より 異 な り,数 (セ ッ トA)とH1グ

実験 な ど で は,

はx≒10-4ま

で到 達 可 能

ラ メ タ ー を 決 め る に あ た っ て は,光

合 的 に 決 め る 必 要 が あ る が,関

数 の近似

の デ ー タ を どれ だけ の 重 み を も って 取 り入 れ る か は グル ー プ 値 は 変 わ っ て く る.最

近 の 処 方 箋17,18)の 中 か ら,MRS.

ル ー プ に よ る 計 算 例 を 表5.2,5.3に

表5.2 

示 す.

初 期 関数 形(Q2=Q02)

こ こ で,uυ,dυ は価 ク ォー クの分 布 関数 を表 す.

表5.3 

MRS(A)の

MRS(A)17)とH119)のバ

初 期 値 はQ02=4GeV2,H1はQ02=5GeV2(-で

ラ メ ター セ ッ ト

表 した と こ ろ は,境

界 条 件 に より 決 め

ら れ る量 で あ る).

  図5.19に

は,MRS(A)のQ2=10,104GeV2で

た 考 え 方 で 得 た 構 造 関 数 のQ2発 こ れ ら の 分 布 関 数 は,深

の 関 数 を 図 示 し た.こ

展 と デ ー タ の 整 合 性 の 例 を 図5.2019)に

う し 示 す.

非 弾 性 散 乱 実 験 デ ー タ を 再 現 す る だ け で な く,W,Z

生 成 断 面 積 を 計 算 し たり,LHCな 実 験 予 想 を 立 て る の に も使 わ れ る.

どの 高 エ ネ ル ギー ハ ドロ ン コ ラ イ ダー で の

(a) 図5.19 

MSR(A)の

(b) MRS(A)パ

ー ト ン 分 布 関 数17)

パ ラ メ ター セ ッ トに よ り発 展 させ た ク ォー ク分 布 関 数(u,d,s)と

グル ー オ ン分 布 関 数(g) (a) Q2=10GeV2, 

図5.20 

(b) Q2=104GeV2

陽 子 構 造 関 数F2の デ ー タ と数 値 計 算(H1パ ラ メ ター)と の 比 較19〕 デ ー タはHERA(ZEUS,H1);μ-深 非 弾 性 散 乱(E665,NMC)

5.7 

  §3.7の

議 論 か ら,ド

ド レ ル-ヤ

ン過 程

レ ル-ヤ ン(Drell-Yan(以

下DYと

書 く))過 程

(5.135) の 生 成 断 面 積 の 式(3.80)を

こ こに 再 現 す る と

(5.136a) (5.136b) で あ っ た.こ クiの

こ に, 

で あり,λiは

電 荷 を 表 す.ppの

クォー

重 心 系 に お け る パ ー トン の 運 動 量 変 数 は

(5.137) と 表 さ れ る.以 次 効 果(図5.21)を

上 は パ ー ト ン モ デ ル で 成 立 す る 式 で あ る.こ 考 慮 す る と ど う 変 わ る か を 見 よ う.パ

フ ァ イ ン マ ン 図 は 電 子 深 非 弾 性 散 乱(以

下DISと

こ で,QCDの

ー トン で 書 い た

書 く)のQCD効

果 と酷 似 し

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

図5.21 

ドレル-ヤ ン過 程pp→μμ+X

(a)  最 低 次 の 過 程,最 (b)∼(h)  QCDの

も 簡 単 なq+q→γ*→

高 次過 程

(c),(d) qq→γ*消

滅 過 程

(e),(f) qq→γ*g (g),(h) 

グ ル ー オ ン と の コ ン プ トン 散 乱

(b)∼(f)はfqを(g),(h)はfgを 本 文,式(5.139),(5.140)を

与 え る. 参 照.

μμ

高

て い る.仮 想 フ ォ トン と クォ ー ク線 を 交 叉 す れ ば 一 方 か ら他 方 が得ら れ る し, と もに ハ ドロ ン状 態 を一 定 のQ2(た 0で,ド

だ し,深 非 弾 性 散 乱 の と き はq2=-Q2<

レ ル-ヤ ン過 程 の と きはq2=Q2>0)で

指 定 して い る.DY過

程 の ファ

イ ン マ ン図 を計 算 し,位 相 空 間 の積 分(中 間 状 態 の仮 想 ク ォー ク質 量 に つ い て の 積 分)を 行 う と,深 非 弾 性 散 乱 と同 じよ うにln(Q2/mg2)型

の質 量異常 項 が

出 現 す る.交 差 す る以 外 は 同 じ形 の行 列 要 素 を計 算 して い る か ら,そ の 係 数 は 同 じで あ る.す な わ ち,DY過 性 散 乱 に お け るQCD補

程 の 対 数 第1近 似 で のQCD補

正 と同 じ関 数 が 現 れ る.違

始 状 態 に 二つ の パ ー トン が あ るの で,二つ

正 に は,深 非 弾

う と こ ろ は,DY過

程では

の分 布 関 数 の 積 を と らね ば な ら な い

こ とで あ る.仮 想 グ ルー オ ン の 寄 与 を も考 慮 し たO(αs)の 高 次 計 算 に よ れ ば 繰 り込 み処 方 後 の 表 現 は次 式 の よ うに な る20).

(5.138) Pqq(z),Pqg(z)は,す

で に 現 れ た も の と 同 じ 分 割 関 数 で あ る.Pqq(z)の

数2は,グ

ル ー オ ン を 放 出 で き る 始 状 態 の ク ォ ー ク が2個

対 数 第1近

似 で の 優 勢 項 以 外 の 寄 与 はDYと

る こ と に よ っ て,q(x,Q2)の

の部分

は 異 な る.ln(Q2/μ2)

繰 り 込 みq(x)→q(x,Q2)と

定 義 の 中 に 取 り 込 む こ と が で き る.繰

ケ ー ル μ 依 存 性 を 明 ら か に す る た め 以 後q(x,μ),αs(μ)の す る と,結

あ る こ と か ら く る.

い う 関 数 に ま と め た.こ

の 寄 与 は 対 応 す る 深 非 弾 性 散 乱 で の 非 優 勢 項 の 寄 与DIと の 項 は 深 非 弾 性 散 乱 の 場 合 と 同 じ く,q(x)に

前 の係

す り込 み ス

よ う に 書 くこ とに

局,

(5.139)

(5.140a)

(5.140b) と い う 形 と な っ た.す

な わ ち,QCD高

次 効 果 の う ち,ソ

フ トな部 分 は 分 離 し

て パ ー ト ン 分 布 関 数 の 中 に 繰 り 込 む こ と が で き た(factorization).ハ 部 分(fq,fg)は,ド

レ ル-ヤ ン 断 面 積 そ の も の に 対 す る 高 次 補 正 と 見 な せ る.

  こ こ で 注 意 す べ き は,対 あ る.こ

ー ドな

消 滅 項 の 中 の 非 優 勢 項 の 寄 与fq(z)の

れ は 仮 想 グ ル ー オ ン の 寄 与 で,δ(1-z)に

中 の 第1項

比 例 す る の で,第0次

で の

パ ー トン 分 布 を ま っ た く変 え ず に 全 体 の 規 格 化 定 数 を

(5.141) だ け 変 え る(た だ し αs(q2)か ら くる 質 量 依 存 性 は あ る).fqの

残 りの 寄 与 お よ

び コ ンプ トン項fgは 全 体 と して 負 の 寄 与 を与 え る が 値 は 小 さ い.そ 因 子 を導 入 して,第2次

こ で,K

補 正 の 効 果 を ま とめ て

(5.142) と書 き表 す と,τ が0.2∼0.7く

ら い の 範 囲 でK∼Kδ

∼定 数 で あ る.ド

ン過 程 が よ く調 べ られ て い る 固 定 標 的 実 験 の エ ネ ル ギー  度 で は こ のKは

非 常 に 大 き く,1.5∼2.3く

レル-ヤ 程

ら い に も な る.実 際 実 験 的 に も

σexp/σ0(第3章 で は こ れ をK因

子 と定 義 し た)が そ の くら い 大 き い こ とが 確

認 され て お り(図5.2221)),QCDの

高 次 効 果 と見 な し て 話 の つ じつ ま は合 う.

Kδ の 中 の1に 対 す る補 正 項 が 大 きい 理 由 は,先 ス補 正 に お いて,q2=-Q2<0(深

に 述 べ た よ う に ヴ ァー テ ッ ク

非 弾 性 散 乱)か

らq2=Q2>0(DY過

程)へ

の 解 析 接 続 に よ っ て生 じ る項 の寄 与 が あ るか らで,通 常 の摂 動 の 高 次 効 果 とは 区別 され ね ば な ら な い.こ の 観 点 に 立 て ば,さ Kの

らに 高 次 の効 果 を取 り入 れ て も

値 は このKδ の 値 か らは そ れ ほ どは 動 か な い は ず で あ り,上 記 の 摂 動 計 算

結 果 を信 頼 して よ い と正 当化 で き る で あ ろ う.   実 際,WやZ生

成 が 問 題 に な る よ うなハ ドロ ン衝 突 型 加 速 器 実 験 の エ ネ ル

ギ ー 領 域 で は,K因

子 は 小 さ く な り,25%程

度 の 補 正 と な る.実

験 的 に はK

を 調 整 す べ き規 格 化 の パ ラ メ タ ー と見 な し て デ ー タ に 合 う よ う に 決 め る こ とが 多 い.   結 局,DY過 q(x,μ)と

程 に お け るQCD高 し,K因

次 の 効 果 の う ち ソ フ ト な 部 分 は,q(x)→

子 を掛 け て全 体 の フ ラ ッ ク ス を再 調 整 す る こ と に集 約 す る

こ と が で き た.深

非 弾 性 散 乱(μ2=-q2=Q2)のq(x,μ)と,ド

(μ2=q2=M2)のq(x,μ)は,対

数 第1近

レ ル-ヤ ン 過 程

似 で は ま っ た く同 じ形 を し て い る こ

と に 留 意 し よ う.

図5.22 

ドレル-ヤ ン過 程 と第2次 補 正 まで 入 れ たQCD計 K=1.5±0.2(QCD計 算)21).

算 値 と の比 較

5.8  ハ ドロ ン-ハ ドロ ン衝 突 反 応

  直 感 的 に考 えれ ば,深 非 弾 性 散 乱 で 導 入 さ れ た"Q2に トン分 布 関 数"と

よ って 発 展 す る パ ー

い う概 念 が 同 じ よ う にハ ドロ ン-ハ ドロ ン 反 応 に そ の ま ま適

用 で き るか ど うか は必 ず し も 自明 で は な い.な ぜ な らば,レ プ トンが プ ロ ー ブ の 場 合 は,パ ー トン分 布 は パ ー トン同 士 の 短 距 離 相 互 作 用(Q2の が 起 き る ま で 元 の 分 布 を維 持 す る と考 え られ るが,ハ

大 きい 反 応)

ドロ ン-ハ ドロ ン 反 応 の

場 合 は プ ロ ー ブ が パ ー ト ン で あ る か ら ソ フ トグ ル ー オ ン 放 出 に よ る 長 距 離 相 互 作 用 が 存 在 し,し

た が っ て,短

距 離 相 互 作 用 が 起 き る前 にパ ー トン分 布 が 変 更

さ れ て し ま う 可 能 性 が あ る か ら で あ る.し ド レ ル-ヤ ン 過 程 に は,Q2の

か し,前

節 の 議 論 に よ って 少 な く も

関 数 と し て 発 展 す る パ ー トン 分 布 関 数 と い う概 念

が 適 用 で き る こ とが 実 際 の 計 算 に よ っ て 示 さ れ た.さ つ い て も,摂

動 の 各 次 で ソ フ ト な 部 分 と ハ ー ド な 部 分 の 分 離(factorization)

が 可 能 で あ る こ と,し

た が っ て ソ フ トグ ル ー オ ン 効 果 は パ ー ト ン 関 数 に 組 み 入

れ 可 能 で あ る こ とが 証 明 さ れ て い る22).こ ン-ハ

らに す べ て の 高 次 効 果 に

の 考 察 は 拡 張 可 能 で,一

ドロ ン衝 突 反 応 に も 適 用 可 能 で あ る.ハ

ド ロ ン-ハ

般 の ハ ドロ

ドロ ン 反 応 は,パ

ー ト

ンモデルの段階 では

(5.143) と 表 さ れ る.こ は,QCDに は 平 均 を,終

こ にσ0は パ ー トン モ デ ル に よ る(ab→cx)反

よ る 最 低 次 の 摂 動 計 算 式 で あ る.σ0は,始

応 の 断 面 積 また

状 態の カラーにつ いて

状 態 の カ ラ ー に つ い て は 和 を と っ て あ る も の と す る.パ

デ ル が 適 用 で き る の は い わ ゆ る 堅 い 反 応(hard に 限 ら れ る こ と に 留 意 し て お こ う.ハ れ る と い う こ と は,図

式 的 に は 図5.23の

process, Q2の

ド ロ ン 反 応 が 式(5.143)の よ う に 表 さ れ る.

図5.23  ハ ドロ ン 反 応(A+B→C+X)の パ ー トン描 像 ハ ドロ ンA(B)の 中の パ ー トンa(b)がxaPA(xbPB)の 運 動量 を もっ て QCD反

応a+b→c+Xを

行 う.

ー トンモ

大 き い 反 応) よ うに 表 さ

QCDを

考 慮 したハ ドロ ン-ハ ドロ ン 反 応 の 断 面 積 は上 式 か ら

(5.144a) (5.144b) と 置 き 換 え た も の と な る.す

なわ ち

(5.145) こ こ に,深

非 弾 性 散 乱 で の パ ー ト ン 分 布 と 同 じ くfAa(xa,μ)は,fAa(xa)か

DGLAP発

展 方 程 式 の 処 方 で,μ

り,σ(ab→cx)は,QCDのn次 あ る.ス

ら,

ま で 発 展 させ て 得 ら れ る パ ー トン 分 布 で あ の 摂 動 計 算 に よ る短 距 離 相 互 作 用 断 面 積 で

ケ ー ル 変 数 μ は,ド

レ ル-ヤ ン 過 程 な ら ば μ 対 の 不 変 質 量,Wや

い ク ォ ー ク 生 成 な ら ば そ の 質 量,ジ

重

ェ ッ ト反 応 で あ れ ば 横 運 動 量p⊥ に と る の

が 普 通 で あ る.   こ こ で,(5.13(b))を

拡 張 し て,次

の よ う な パ ー ト ン ル ミ ノ シ テ ィLを

定

義 す る.

(5.146) σ がs=τsに

の み 依 存 す る とす れ ば,パ

ー トン の 断 面 積 は 次 の よ う に 書 き換 え

ら れ る.

(5.147)   入 射 パ ー トン 系 は 重 心 系 で は な い の で,ロ 測 量 を使 う の が 望 ま し い.例 xF=xa-xbの

ほ か に,ラ

の もつ エ ネ ル ギ ーEab,運

え ば,観

ー レ ン ツ ブ ー ス トに 関 し不 変 な 観

測 量 と し て はab系

ピ デ ィ テ ィyな

の 縦 運 動 量 

ど が よ く 使 わ れ る.パ

ー ト ンa,b系

動 量Pabは

(5.148a) (5.148b) で あ るの で

(5.149) xa,xbは,τ(=s/s),xF(=Eパ ギ ー)が

ートン/E;Eパ

ートンは パ ー

ト ン2体

系 の 全

エ ネ ル

わ か っ て い る と き は,

(5.150a) か ら 求 め ら れ る が,τ

とyが

わか ってい るときは

(5.150b) を 使 う.ラ

ピ デ ィ テ ィ を 使 え ば,

(5.151)   ま とめ る と,QCDの

高 次 効 果 の う ち,ソ フ トな 部 分(長 距 離 相 互 作 用)は

"Q2に よ り発 展 させ たパ ー トン分 布"と 繰 り込 む こ とが で き る.K因

子 は 先 に も述 べ た よ うに 対 数 近 似 第2次

は あ るが,そ の 主 要 寄 与 は,Q2<0(散 に よ る項 で あ り,ハ

い う過 程 の 種 類 に よ らな い 普 遍 関 数 に

乱)か

ら,Q2>0(生

の項 で

成)へ の 解 析 接 続

ドロ ン 生 成 過 程 に は 共 通 し て 現 れ る.ま たσ の 高 次 効 果

の ハ ー ドな部 分 は,パ ー トン を供 給 す るハ ドロ ンの 種 類 や ハ ドロ ン の 波 動 関 数 な ど の低 エ ネ ル ギー 効 果 に 依 存 せ ず,対 象 とす る素 過 程 に特 有 の 効 果 で あ る こ とがQCDに

よ って 示 さ れ た こ とに な る.こ の よ う に,ハ

応 に お い て も,Q2で

ドロ ン-ハ ドロ ン 反

発 展 させ たパ ー ト ン モ デ ル を使 っ て よ い こ とがQCDに

よ っ て裏 づ け られ た わ け で あ る.

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6 Wボ

6.1 

  6.1.1 

歴

史

的

ソ

W,Zの

ン

発

見

背 景

  ニ ュ ー ト リ ノ 反 応 に お け る 中 性 カ レ ン トの 発 見 で,GWS理

論 は実 験 的 な裏

づ け を 得 た よ う に 思 え る.し

ー ジ ボ ソン その

も の の 発 見 に あ る.中 とWの

質 量 は80GeV程

CERNのSPS;

super

あ っ た が,衝

定 的 な 証 拠 はW,Zゲ

性 カ レ ン ト実 験 か ら 得 ら れ たsin2θWの 度 と な る.当 proton

synchrotron)の

で あ り,W生

に は こ の 少 な く も3倍

collider:

CERNのe+e-衝

ビ ア 達 は,W生 速 器SPSを

(intersecting

storage

ring)は, 

時,計

突 型 加 速 器,  現 は1980年

)は

electron

エ ネ ルギー的 に は

固定 標 的 用 陽 子 加 突 型 に は ビ ー ム が2

定 標 的 用 陽 子 加 速 器 に は ビ ー ム を 通 す パ イ プ は1個

画 は 中 止 に な っ た.

=32.5

代 後 半 と 見 込 ま れ 遠 い 将 来 の 話 で あ っ た.ル

衝 突 型 に 転 換 で き な い も の か と 考 え た1).衝

,計

時

画 中の イザ ベ ル (large

成 を 早 く実 現 す る た め に 現 存 す るCERNの

本 必 要 で あ る が,固

成

験 室 系 エ ネ ル ギー と して は 約

突 型 加 速 器, )や,LEP

十 分 で あ っ た が,実

*1)  そ の 後

成 に は 到 底 足 り な か っ た.W生

や は り エ ネ ル ギ ー が 不 足 で あ っ た.当

(ISABELLE*1):pp衝

れ る最 高 重 心 エ ネ ル

た が っ て 衝 突 型 加 速 器 を 使 う の が 有 利 で あ る が,当

存 在 し た 陽 子 衝 突 型 加 速 器 のISR +32.5GeVで

最 高 エ ネ ル ギ ー は300GeVで

以 上 の 重 心 エ ネ ル ギ ー,実

も 必 要 で あ る.し

値 か ら推 察 す る

時 稼 働 し て い た 陽 子 加 速 器(Fermilab,

突 型 で は な く 固 定 標 的 を 使 用 し た か ら,得ら

ギー 

10倍

か し,決

しか な

い の で,一 は,他

つ の 加 速 器 で2種

の粒 子 を逆方 向 に まわ して衝突 型 にす るため に

の 粒 子 は 反 陽 子 で な け れ ば な ら な い.衝

シ テ ィL(衝

突 断 面 積 をσ と し て,N=Lσ

倒 的 に 小 さ い.し

か も,反

子 と し て つ く る の で,生 成 さ れ の で,加

突 型 は 固定 標 的 型 に 比ベ ル ミノ

が 計 数 率 を 与 え る よ う な 量)が

圧

陽 子 は 高 エ ネ ル ギ ー 陽 子 を 物 質 標 的 に 当 て て2次

粒

成 量 が 小 さ い う え に 運 動 量 ・方 向 の 両 者 と も 乱 雑 に 生

速 に 適 し た 良 好 な ビ ー ム*2)と は 到 底 い え な い.こ

決 し た の が ヴ ァ ン ・デ ア ・メ ー ア(Van

der Meer)に

よ る ビー ム 冷 却 お よび 貯

蔵 の 方 法 で あ る2).こ

の 提 案 はCERNの

して, 

の 陽 子 反 陽 子 衝 突 型 加 速 器(SppS)と

にWお

よ びZ粒

の 問 題 を解

採 用 す る と こ ろ と な り,SPSを

子 の 発 見 に 導 い た の で あ っ た.こ

し,1983年

転 換 に見 事

の 功 績 で ル ビ ア とヴ ァ ン ・

デ ア ・ メー ア は ノ ー ベ ル 賞 を 授 け ら れ て い る.

  6.1.2 

UA1実

  W±,Z0生

験

成 反 応 は 陽 子 中 の ク ォ ー ク お よ び 反 陽 子 中 の 反 ク ォ ー ク に よ り引

き 起 こ さ れ る.

(6.1a) W,Zの

崩 壊 モ ー ドは,上 式 の逆 反 応 お よ び レ プ トン崩 壊 反 応

(6.1b) で あ る.W,Zの

同定 は 崩 壊 生 成 物 を再 構 築 し て行 わ れ る.ク ォー クへ の 分 岐

比 の 方 が 大 きい が,ク で,香

ォー クは単 独 で は 検 出 で きず ジ ェ ッ トと して 認 識 す るの

りを同 定 す る の は む ず か しい*3).ま た,ジ ェ ッ トの運 動 学 変 数 の再 構 築

*2)  良 好 な ビ ー ム と は

,ビ

ー ム の 中 の 粒 子 の 速 さ と 方 向 が 揃 っ て い る こ と.専

ビ ー ム 中 心 軌 道 か ら の 位 置 ズ レ をΔx(Δy),方

門 的 に は,

向 の ビ ー ム 軸 か ら の ズ レ をΔx'(Δy')と

し,粒 子 群 が(Δx,Δx')((Δy,Δy'))空 間 で 占 め る体 積 を エ ミ ッ タ ン ス と い う.エ ミッタ ン ス の 小 さ い ビー ム が 望 ま し い. *3) 最 近 の 測 定 器 は ,マ イ ク ロ ヴ ァ ー テ ッ ク ス 検 出 器,ま た はRICH (ring image Cheren kov counter)を 装 備 し て,bク ォ ー ク や チ ャ ー ム ク ォ ー ク を 含 む ハ ドロ ン を 同 定 で き る よ う に で き て い る.前 者 は 衝 突 地 点 近 く に10∼50μmの 位 置分 解 能 を もつ半 導体 素 子 よ りな る 検 出 器 を 配 備 し,10-12∼10-13secの 寿命 を もつ 粒 子 が 崩壊 す る 際 につ くる キ ン ク (折 れ 曲 が り)も し く はV字 形 の 軌 跡 パ タ ー ン を 検 出 す る こ と に よ り,bも し く はc ク ォ ー ク を 同 定 し よ う とす る もの で あ る.RICHは 高速 荷 電粒 子 が 発 す るチ ェ レ ンコ フ

に 関 して は 誤 差 が 大 きい.一 方,レ

プ トン の 方 は 分 岐 比 は小 さ い もの の,粒 子

同 定 お よ び運 動 学 変 数 の再 構 築 が 比 較 的 容 易 で あ るの で雑 音 の 少 な い きれ い な サ ンプ ル を得 や す く,〓10GeV以

上 の2次 粒 子 が で き る よ う な高 エ ネ ル ギー

反 応 で は,レ プ トン 同定 に狙 い を絞 るの が 常 套 手 段 で あ る.2粒 壊 は,2粒

子 の エ ネ ル ギ ー 運 動 量(E1;p1,E2;p2)を

ギー 運 動 量 

子状 態へ の崩

同 定 す れ ば,親

の エ ネル

お よ び 質 量mυ が,原 理 的 に は 次 式 に

よ り再 構 築 可 能 で あ る.

(6.2a) (6.2b) 最 初 にW,

Zを 検 出 したUA1測

定 器 の 各 粒 子 の 簡 単 な 検 出 原理 を述 べ る.

  a.  電 子 と フ ォ トン   レ プ トンの う ち,電 子 は 荷 電 粒 子 で あ り磁 場 内 の 軌 跡 か ら運 動 量pが る.ま

た電 磁 カ ロ リメ ター で シ ャ ワー を起 こ す の で,エ

で き る.そ の 比E/pは

電 子 な ら ば=1を

与 え るが,他

ネ ル ギーEを

測れ も測 定

の粒 子特 に非常 に大 き

な雑 音 源 で あ る π は,電 磁 カ ロ リ メー タ に は ほ とん ど エ ネ ル ギー を 落 と さ ず E/p≪1と

な るの で,基 本 的 に は こ れ で 電 子 同定 が 可 能 で あ る.軌 跡 を残 さ ず

電 磁 シ ャ ワー を起 こす 粒 子 が フ ォ トン(ほ

とん どは π0の 崩 壊 γ)で あ る.

  b.  ハ ド ロ ン   電 磁 カ ロ リメ ター 内 で シ ャ ワ ー を起 こ さず ハ ドロ ン カ ロ リ メ ター 内 で シ ャ ワー を起 こ す 粒 子 が ハ ドロ ン で あ る.ほ

と ん どが π粒 子 で あ る.エ

ネ ル ギー

と方 向 が 測 れ る.   c.  ミュー オ ン(μ)   μ は 物 質 との相 互 作 用 で は イ オ ン化 損 失 反 応 しか起 こ さ な い.一 方 ハ ドロ ン や γ,電 子 は カ ロ リメ ター 内 で物 質 と相 互 作 用 して シ ャ ワー を起 こ して ほ ぼ 全 エ ネ ル ギー を失 うの で,十

分 な 量 の 物 質(カ

ロ リ メ タ ー+電 磁 石 の鉄 ヨー ク)

を通 過 して な お か つ 生 き残 る粒 子 を μ と同 定 す る.

*3) の つ づ き

  光 を半 導 体 の 光 セ ン サ で 検 出 す る こ と に よ り,粒

子 種,特

に π/K/pを

別 す る.b,cク ォ ー ク を含 む ハ ド ロ ン の 特 徴 的 な 崩 壊 モ ー ド を 見 る こ と に よ っ て,b,c ク ォ ー ク を 同 定 す る も の で あ る.

識

  d.  ニ ュ ー ト リ ノ(ν)   ν は 見 え な い エ ネ ル ギ ー(Eと 量 の 和 は0で ドロ ン)の

あ る の で,観

書 く)と

エ ネ ル ギ ー ベ ク トル(エ

ネ ル ギ ー と 方 向 が 測 定 で き る)の

粒 子(ま

析 に あ た っ て は,同

た は π)と 見 な す の で,個

ネ ル ギ ー ベ ク トル と運 動 量 ベ ク トル は 同 じ で あ る.見 に 測 定 す る に は,密

運動

と中 性 ハ ベ ク トル

え な い エ ネ ル ギ ー の ベ ク トル を 与 え る.た

々 の 粒 子 の 同 定 は 不 可 能 で あ り,解

て の 粒 子 を 質 量0の

心 系 で は,全

測 さ れ る す べ て の 荷 電 粒 子 と 中 性 粒 子(γ

和 の 符 号 を 逆 に し た も の が,見 し,個

し て 検 出 す る.重

閉 性(hermeticity),つ

定 不 可 能 なす べ

々 の粒 子 に 関 して は エ え な い エ ネ ル ギ ー を精 密

ま り どん な 粒 子 を も見 逃 さ な い よ

う に 測 定 器 に 死 角 を つ く ら な い こ と が 大 事 で あ る.そ 逃 げ る 粒 子 は 防 げ な い の で,ビ

だ

れ で も,ビ

ー ム 軸 に 垂 直 な 成 分ETに

ームパ イプに

つ い てのみ 測定 で

き る.   図6.1と

図6.2にUA1お

Z0→e+e-反

よ びUA2測

応 の 事 象 を 示 す3).図6.1(a)で

い る よ う に 見 え る が,ほ 放 出 に よ るQCD雑 GeV)を

は,粒

音)で,ビ

の こ と は η-φ 平 面(η

運 動 量pT>15

は ラ ピ デ ィ テ ィ,

落 ち た エ ネ ル ギ ー を 図 示 す る と(図6.1(b),図6.2(a),こ 目 瞭 然 で あ る.特

の

にZ0→e+e-の

場合 は

方 向 に エ ネ ル ギ ー の 等 し い 粒 子 が 出 て い る こ と が わ か か る.Zの

は,式(6.2b)に

よ る 質 量 決 定 が 容 易 で ∼90GeVと

  こ れ に 比 べ る と,W崩 る.W崩

決 め ら れ た.

壊 で の 見 え な い エ ネ ル ギ ー が 確 か にWか

大 き さ が 同 じ で,ビ

い る こ と や,EeTとETの い こ と な ど か らW→eν   か く し て,Wお

ら崩 壊 した ニ ュー ト リ ノ

え な い エ ネ ル ギ ー の ベ ク トル の 方 向 と大 き さ の 電

子 の エ ネ ル ギ ー ベ ク トル に 対 す る 相 関 を 図6.3に EeTとETの

場合

壊 は ニ ュー ト リノ を含 む た め に 同 定 が や や 困 難 で あ

で あ る こ と を 示 す た め に,見

れ,し

フ トグ ル ー オ ン

ー ム 軸 に 垂 直 な 大 き な 運 動 量(横

よ う な 図 を レ ゴ プ ロ ッ ト と 呼 ぶ)一

と

子 が た く さ ん放 出 さ れ て

と ん ど は 低 エ ネ ル ギ ー の π 粒 子(ソ

要 求 す る と 消 え て し ま う.こ

φ は 方 位 角)に

180度

定 器 で 得 ら れ た 典 型 的 なW→eν

示 す.電

子 の 横 エ ネ ル ギー

ー ム 軸 に 垂 直 な 平 面 上 で180度

和 の 最 大 値 が ∼80GeVでWの

逆 方向 に出 て

質 量 値 に ほ ぼ等 し

で あ る と確 認 で き る.

よ びZと

い うGWS理

論 に お け る最 も重 要 な 粒 子 が 発 見 さ

か も そ の 質 量 値 は 中 性 カ レ ン ト反 応 か ら得 ら れ たsin2θWの

値 を使 って

図6.1  (a)  荷 電 子 粒 子 の 軌 跡.矢

UA1に

印 はPTの

よ るW粒

子生 成3)

大 き な電 子.

(b)  各粒 子 の エ ネ ル ギー を η-φ平 面 に ヒ ス トグ ラ ム と して 表 した もの(レ ゴプ ロ ッ ト).η は ラ ピデ ィ テ ィで あ る.1個 の 電 子 だ け が き わ め て 大 き いPT を もつ こ とが わ か る.

(b) (a)

図6.2 

UA2測

定 器 に よ るZ0→ee過

程3)

(a)  φ-θ面 で の レ ゴ プ ロ ッ ト.2個 の 電 子 の,ビ ー ム軸 に 垂 直 な エ ネ ル ギーETが,180° 方 向(φ が 180°異 な る)方 向 に放 出 さ れ た の が わ か る.ビ ー ム 軸 に 平 行 な方 向の 角 度(θ)に は180° の差 は な い.

(b)  14例

のZ0崩

壊 事 象 に お け るe+e-の

不 変 質 量 分 布.MZ≒93.0GeVと

わ か る.

(a)

(b) 図6.3 qq'→W±

→e±+ν

反 応 の 同 定3)

(a)  見 え な い エ ネ ル ギー と電 子 の 方 向 との 相 関.電

子 と反 対 方 向 に 出 て い る.

(b)  見 え な い エ ネ ル ギー と電 子 エ ネ ル ギ ー の 相 関. (a),(b)よ りEν=-Ee,max(Eν+ET)∼MW≒80GeVが

予 言 した値(mW=37.5/sinθW)と

一致 した.GWS理

余 地 な く検 証 し た もの と い え る.こ れ 以 後GWS理

わか る.

論 の正 し い こ と を疑 い の 論 は(電 弱相 互 作 用 の)標

準 理 論 と呼 ば れ る よ うに な る.

6.2  崩 壊 幅 の 計 算

  GWS標

準 理 論 に よれ ば ゲー ジ ボ ソ ン と フ ェ ル ミオ ン の 相 互 作 用 ラ グ ラ ン ジ

ア ンは

(6.3a) (6.3b) (6.4a) (6.4b) (6.4c) (6.4d)

(6.5a) (6.5b) (6.5c) で 与 え ら れ る.I3Lは I3eL=-1/2,I3eR=0で の 大 き さ,Vijは

あ る.Qは

s'=V2jdj…

レ プ ト ン の と き はVij=δij)で

り 重 い か ら,W粒

あ る.

子 が 実 際 に 崩 壊 して で き る粒 子 対

μ,μ),(ντ,τ),(u,d'),(c,s')に

限 ら れ る.こ

こ にd'=V1jdj,

で あ る.

  ま ずWの は,W粒

えば

陽 子 電 荷 を単 位 と した フ ェ ル ミオ ン の電 荷

小 林-益 川 行 列(i,jが

ト ッ プ ク ォ ー ク はWよ は,(νe,e),(ν

左 巻 き 成 分 に の み 作 用 す る と い う 意 味 で あ る.例

レ プ ト ン 崩 壊 を 考 え よ う.W+(q)→l+(p1)ν(p2)反

応 の崩壊 行 列

子 の 偏 光 ベ ク トル を εμ と し て

(6.6a) (6.6b) で 与 えら れ る.こ れ か ら崩 壊 率 を計 算 す る と

(6.7) (6.8) と な る.た

だ し Σ は ス ピ ン 和 と偏 極 の 平 均 を 示 す.フ

ス ピ ン 和 は 付 録(B.19),(B.23)を

ェ ル ミオ ン 波 動 関 数 の

使 って

(6.9) と な る.   演 習6.1 

W-→e-ν

の 場 合 は(6.9)の[…]の

中 の 第4項

の 符 号 が変 わ るのみ

で あ る こ と を 示 せ.   演 習6.2 

レプ トンの 質 量 を 無 視 す る と,(6.9)はW+の

静 止 系 では

(6.10) と な る.こ

れ か らWの

偏 極 状 態 λ=±1,0に

対 し て,∼((1±cosθ)/2)2,

対 応 し て レプ ト ンの 角 分 布 は 偏 極 軸 に

sin2θ の よ う に な る こ と を 示 せ.

 Wが偏 極 して い な い場 合 は,偏 極 につ い て の 平 均 を とる 必要 が あ る.

(6.11) こ れ は,指

標 μν に つ い て 対 称 で あ る の で(6.9)の

ら に レ プ ト ン の 質 量 が0の

近 似 で はqμKLμν=0で

3で あ る こ と が 示 せ る.行

第4項

は 寄 与 し な い.さ

あ る こ と を 使 う と,U=8q2/

列 要 素 が 角 度 依 存 性 を 含 ま な い の で,dLIPSは

ま ま 積 分 で き て,dLIPS=1/8π

と な る.結

その

局

(6.12) 同様 に ク ォー クへ 崩 壊 す る と きは,や

は り質 量 を無 視 す る近 似 で

(6.13) た だ し,Ncは  演 習6.3 

カ ラ ー 因 子 で あ る. W→qiqjと

し,mi, mjを

無 視 しな い と きは

(6.14) (6.15) で あ る こ と を 示 せ(付

録(C.24)を

 精 密 な値 を求 め る と きは,QCD補

使 え).

正 を考 慮 す る 必 要 が あ り,

(6.16) と す る.QCD補

正 は 

使 って 計 算 したW崩

程 度 で あ る.こ れ ら の 式 を

壊 の 部 分 幅 と分 岐 比 を表6.1に

示 す.

表6.1 

Wボ

ソ ン の 崩壊 幅 と分 岐 比 の 計 算 値(mW=79.9GeV)

6.3 

  Zのe+e-反 応 で のWお

W,Zの

ハ ドロン生成

応 に よ る 生 成 は 第7章 よ びZ0の

で 述 べ る こ と に し,こ

生 成 に つ い て 述 べ る.ま

ずZの

こ で は ハ ドロ ン 反

生 成 を扱 う こ と に す

る.

(6.17) の 遷 移 行 列 お よび 生 成 断 面 積 は,次 式 の よ うに表 せ る.

(6.18)

(6.19a) (6.19b)

こ こ で,  視 す れ ば λ=1で

は フ ラ ッ ク ス 因 子 で,パ あ る.sで

な くsと

記 し た の は,入

ー トン の 質 量 を 無

射 粒 子 が パ ー トン で あ る

こ とに 注 意 を喚 起 す るた め で あ る.偏 極 和 の 前 の1/3,1/4は

カ ラー お よ び ス ピ

ンの 平 均 を とる こ とか ら くる 因 子 で あ る.偏 極 和 の計 算 は 崩壊 幅 の計 算 の と き とま っ た く同 一 で あ るか ら容 易 に 実 行 で きて,

(6.20) Wの

ハ ドロ ン生 成 

の 断 面 積 は,

(6.21) と置 き換 えれ ば よ い か ら

(6.22) pp反

応 で は,p,pの

運 動 量 をpA,pBと

を もつ パ ー トン が 反 応 し てV=W,Zを (6.22)の

断 面 積 で,δ(s-mZ2)を

き*4),(5.145)のQCDの

お き,そ

の 中 のxapA,xbpBの

生 成 す る.s=(pA+pB)2と δ(xaxbS-mV2)と

運動 量 し,(6.20),

書 き 直 し た も の をσ と お

式 を 入 れ て,

(6.23) (6.24a) (6.24b) こ こ に,Kは,ド QCDの

レ ル-ヤ ン 効 果 に 現 れ た の と 同 じK因

高 次 効 果 を含 め る と 現 れ る 因 子 で あ る.計

子(5.141)で

あ り,

算 に よ れ ば4,5)

(6.25) (6.26) *4)  実 際 のW

,Zに

は 幅 が あ る の で,

の よ う な 置 き 換 え を す る.

実 際 の 観 測 は,W+→e+ν よ びZ→e+e-(分

とW-→e-ν

岐 比3.34%)モ

こ と に よ っ て 行 っ た.計 し,QCD計

モ ー ドの 和(分

ー ドを 通 し,電

算 結 果 と実 験 値 を 図6.4お

算 は,グ

ル ー オ ン 放 出 を 含 むO(αs)ま

採 用 し て い る.QCDの

高 次 効 果 ま で 含 め たW,Zの

岐 比10.8%×2),お

子 お よび 陽 電 子 を観 察 す る よ び 表6.2に で の 近 似(後

示 す.た 述,§6.6)を

生 成断 面積計 算 はデー タ

を ほ ぼ 再 現 す る と い っ て よ い で あ ろ う.

図6.4 

(a)  σ(pp→W)BR(W→eν) (b) σ(pp→Z)BR(Z→ee)の

デ ー タ とQCD計

計 算 の パ ラ メ ター はMW=80,MZ=91.16GeV,パ (B).ダ

ッ シ ュ線 は ±10%の

理 論 的 不 定 性.主

表6.2 

と し てO(αs2)QCD補

σ(pp→WX)BR(W→eν),σ(pp→ZX)BR(Z→e+e-)のUA26,8), CDF7)の

デ ー タ と 計 算 値9)

算 値6,7)

ー ト ン 分 布 関 数 はHMRS

数 の 不 定性 が 原 因.

だ

正 と分 布 関

6.4  ス ピ ン の 決 定

  Wの

ス ピ ン を知 るに は,Wか

る.中 間 状 態 と してWを

ら崩 壊 して 出 る電 子 の 角 分 布 をみ る 必 要 が あ

経 過 す る とい う条 件 で,2体

反応

(6.27a) (6.27b) の 断 面 積 を計 算 す る.

(6.28) レ プ ト ンや ク ォ ー ク の 質 量 を 無 視 す る と,

(6.29a)

(6.29b) 付 録(B.23)を

使 えば

(6.30a)

(6.30b) で あ る か ら,

(6.31) を 得 る.た 式 はu→t,す は(6.31)を

だ し θ はd(す な わ ち 

な わ ち 陽 子)とe-が

な す 角 で あ る.陽 と し て 得 ら れ る.全

電子 生成 の 断 面 積 σW→e

積 分 して

(6.32)

(a)

(b)

(c)

図6.5  p+p→W〓X→e〓ν (p方 向 をz軸 巻 きが,反

で 角 分 布 が(1±cosθ)2に

に と る).弱 相 互 作 用 の もつV-A結

なる ことの定性 的説 明 合 に よ り,粒 子 は 左

粒 子 は右 巻 き の み が 関 与 す る.

(a)  d+u→W-,u+d→W+い ず れ もへリ シ テ ィ は 逆 方 向,ス は 陽 子 の進 む の と逆 方 向.Jz=-1の み.

ピンの 向 き

(b)  e-ν がJz=-1を つ くる ため に は 電 子 が 前 方 に,(c)  e+ν がJz=-1を つ くる ため に は 陽電 子 が 後 方 に放 出 さ れ れ ば 角 運 動 量 は 完 全 に保 存 す る.こ の 説 明 は νe→νe,νe→νeで

角 分 布 が 等 方 的,(1+cosθ)2に

じ理 由 で あ る こ と を示 す(注:V+Aで

な るの と同

も同 じ角 分 布 に な る こ と に注 意).

(b)

(a) 図6.6 

(a)UA1デ

ー タ6).W→eレ

の 入 射 陽 子 に対 す る角 分 布.(1+cosθ)2に

作 用 で あ る こ とを示 す. (b)CDF10) 

Z→ee分

布.曲

線 はsin2θw=0.231と

し た標 準 理 論 値.

合 い.V±A型

相互

  (6.31)の

角 分 布(1±cosθ)2は,回

留 意 し よ う.こ き る.電

転 関 数 

の 自乗 に 比例 す る こ と に

の 事 実 は 弱 い 相 互 作 用 の 特 徴 のV-A構

子 は 

よ り,陽

ら れ る.V-Aに

よ っ て,d,uの

あ る か ら,W〓

は 陽 子pの

れ る(図6.5参

照).e-(e+)は

造 か ら容 易 に理 解 が で

電 子 は 

よ りつ く

ヘ リ シ テ ィ は 負,u,dの

方 向 をz軸

ヘ リシ テ ィは 正 で

と し た と き にSz=-1を

負(正)の

も って つ く ら

ヘ リ シ テ ィ を も つ か らe-(e+)は

0°(180°)の 方 向 に 出 る と き 角 運 動 量 の 第3成

θ=

分 が 保 存 さ れ,θ=180°(0°)の

と き

に 角 運 動 量 が 保 存 し な い.   qq→Z→eeの

散 乱 断 面 積 も同様 の 計 算 に よ り

(6.33a)

(6.33b) と求 め ら れ る.W,Z崩 す.デ

ー タ は,理

と,ま

たWはV-A,ZはV,Aの

壊 か ら の レ プ ト ン 角 分 布 デ ー タ との 比 較 を 図6.6に

論 予 想 値 と よ く あ っ て お り,W,Zの

ス ピ ン が1で

示

あ る こ

線 型和 の 相 互 作 用 をす る こ とな ど を示 し て

い る.

6.5 

  6.5.1 

質

Wの

質 量 と幅 の 決 定

量

  a.  崩 壊 レ プ ト ン の 横 運 動 量 分 布 式(6.31),(6.32)か

ら

(6.34) と書 け るか ら,電 子 の 横 運 動 量pT分

布は

(6.35) を使 えば

(6.36) pTは

θ〓 π-θ で 対 称 で あ る か らcosθ

の と こ ろ で 無 限 大 に な る .こ と 呼 ば れ,2体

の 無 限 大 は ジ ャ コ ビ ア ン 頂 上(Jacobian

決 定 に 役 に 立 つ.も

ト ン が 横 運 動 量 を も た な け れ ば,実 等 し い.実

の は や や む ず か し く な る.こ

に,Wが

上 で与

の と き は,pT分

横 運 動 量 を も つ と す る と,

布 か らWの

質 量 を正 確 に 決 め る

布 に左 右 さ れ に くい変 数 と し て

使 う.

(a) 図6.7 

つ くるパ ー

際 は パ ー トン の 分 布 に つ い て 積 分 す る の で 特 異 性 は な く

布 が さ ら に ぼ け る の でpT分

次 の 横 質 量mTを

しWを

peak) 布 がmW/2

験 室 で 観 察 さ れ る 崩 壊 電 子 のpTは

な り 有 限 の 高 さ と な る(図6.7(b)).次 そ の 分 だ けpT分

式 は 

の 反 応 に よ く現 れ る 特 徴 で あ る(図6.7(a)).pT分

の と こ ろ で 急 激 に 切 れ る た め,mWの

え たpTに

項 は 寄 与 し な い.上

(a)  ud→W-→e-ν (b) ΓW,pWTの

(b) の ジ ャ コ ビ ア ン 頂上

図.

あ る お か げ で 滑 ら か な 曲 線 に な る.デ

ー タ はUA26,8).

 b.  横 質 量 分 布  衝 突 型 加 速 器 実 験 で は ビー ム パ イ プ の 存在 の た め 前 方 に放 出 され た ジ ェ ッ ト を 完全 に 捕 まえ る の は む ず か し く,反 応2次 生 成 粒 子 の 縦 方 向 の 運 動 量 バ ラ ン ス は得 られ な い.し か し,横 方 向 の運 動 量 は効 率 よ く観 測 で き るの で,見 い運 動 量pT=-(見 W→eν

え る 運 動 量 ベ ク トル の 総 和)は

反 応 の 場 合 は,ν の横 運 動 量 と見 なせ る.す

えな

貴 重 な 情 報 で あ り,特 に な わ ち,pT=pνTで

あ

る.そ

こ で 横 質 量mTを

(6.37) で 定 義 す る.た

だ し,Δ φ は ビー ム 軸 に 垂 直 な 平 面 に お け るpνTとpeTと

す 角 で あ る.正

確 な不変質量

の な

(6.38) と 比 較 す れ ばmTは0とmWの は,mTは2￨peT￨に

間 に あ る こ と が 示 せ る.特

等 し い の で,mT分

の に 等 し く,pT分

にpWT=0の

布 は,(6.36)のpT→mT/2と

布 と 同 じ よ う に ジ ャ コ ビ ア ン 頂 上 が 現 れ る.こ

と き した も

の とき

(6.39) と 表 さ れ る.Wが い か ら,mT分 ら れ る(た

横 運 動 量 も っ て い る 場 合 で もMax(mT)=mW/2は 布 の 終 端 点 付 近 の 分 布 か ら,mWがpT分

だ し,崩

壊 幅 ΓWに

よ る 広 が り効 果 は 考 慮 に い れ る 必 要 が あ る).

デ ー タ の 精 度 が 十 分 上 が れ ば,ΓWも UA2グ

変わ らな

布 よ りは 正 確 に 求 め

ル ー プ の デ ー タ8)とmW,ΓWを

決 め る こ と が で き る で あ ろ う.図6.8に 適 切 に と っ た と き の 理 論 値 を 示 す.実

験 的 に決 め られ た値 は

分布 か ら

(6.40)

分布 か ら 分布 か ら mT分

布 か ら得 られ る 質 量 値 が 最 も小 さい 統 計 誤 差 と系 統 誤 差 を もつ こ とが わ

図6.8 

W→eν

のmT分

布(デ

ー タ,図6.7に

同 じ)

か る.ま

とめ て sys 

scat 

こ こで(6.41)の

ス ケー ル誤 差 とは電 子 の 運 動 量 と見 え な い 運 動 量 の 絶 対 値 を

決 め る た め,同 るLEPのZの

(6.41)

scale 

じ測 定 器 でZの

質 量 を測 り,そ れ を一 番 信 頼 で き る と思 わ れ

質 量 値 と比較 し て補 正 す る こ とに よ る誤 差 で あ る.こ の 方 法 に

よ り決 め たW質

量 の 最 近 の世 界 値 は11)

(6.42) と な る.

  6.5.2 ΓW   mT分

布 に お い て,mWとΓWを

こ と が で き る.CDFグ

パ ラ メ タ ー とす る こ と に よ り,ΓWを

ル ー プ はmT分

決め る

布 を だ した 同 じデ ー タか ら

stat 

(6.43)

sys 

を得 て い る12).し か し 多少 の理 論 情 報 を 使 え ば,は

るか に正 確 にΓWを 決 め る

こ とが で き る.こ れ は 観 測 量 の 絶 対 値 を正 確 に決 め る こ とは む ず か しい が,比 は 比 較 的容 易 に 決 めら れ る こ と を利 用 す る.RをW崩

壊 とZ崩

壊 か ら得 ら

れ る電 子 数 の 比 とす る と

の崩壊数/ の崩壊数 

(6.44)

レプ トン崩 壊幅 の 比 の 理 論 計 算 は 信 頼 して よ い で あ ろ う.W,Z生 理 論 計 算 に は,パ ー トン分 布 そ の 他 の 不 定 性 は あ る もの の,比

成 断面積 の に 関 して はか な

り誤 差 の 評 価 が 可 能 で あ る.例 え ば,理 論 評 価 と して は13),

(6.45) を 使 い,Rの

実 験 値14) stat

を 入 れ てΓW/ΓZを

計 算 し た 上 で,ΓZと

  sys

し て 最 近 のLEPデ

 (6.46)

ー タ の15)

(6.47a) (6.47b) を代 入 す る と

(6.48) が 得 ら れ る11).こ 合 っ て い る.実

れ ら は い ず れ も標 準 理 論 に よ る 計 算(表6.1)と

験 的 に,よ

り正 確 な ΓWの 値 は,LEP200*5)に

成 か ら 決 め ら れ る で あ ろ う が,そ

非常 に よ く お い てW対

生

れ まで は こ の 方 法 が 最 も よい 精 度 を与 え る と

考 え ら れ る.

6.6 

  6.6.1    QCD効

Wの

横運動量分布

グル ー オ ン放 出効 果 果 を 入 れ てQ2発

展 を と り 入 れ た パ ー ト ン 分 布 で も,ク

行 に 放 出 さ れ た グ ル ー オ ン の 効 果 し か 入 っ て い な い か ら,最 +q→W)を

考 え る 限 り,パ

を も た な い.す

な わ ち 理 論 的 に は,ハ

も っ て い る 運 動 量(primordial

momentum∼350MeV)*6)は,こ

布 を 導 入 す る た め にQCDの

図6.9 

(a),(b) 

ー ト ン がQCD過

qq→Wg 

(c),(d) 

程 に 関 係 な く本 来 こで は無視

高 次 効 果 を 考 え る.ク

ォ ー ク消 滅 過

(c)

(d)

(b)

ハ ドロ ン に よ るW生 成 のQCDのO(αs)効 ン効 果 お よび そ の 交 叉 と見 なせ る.

横 運 動 量pT

ー ドグ ル ー オ ン 放 出 を 入 れ て は じ め て 横

だ し,パ

(a)

低 次 の 効 果(q

ー トン 衝 突 反 応 で 生 成 さ れ たWは

運 動 量 の 導 入 が 可 能 と な る.た

す る.pT分

ォー クに平

果 は,仮

想W粒

子 と グル ー オ ン に よ る コ ン プ ト

qg→Wq

*5)  LEPの

エ ネ ル ギー を ,  に増 強す る計 画 *6)  深 非 弾 性 散 乱 デ ー タ よ り ク ォ ー ク の も つ 平 均 運 動 量 は 核 子 の ∼1/3で

あ る か ら,ナ

イー

ヴ に 考 え る と,

で あ る.生 成 反応 で は2個 の クォー クが 関与 す る の で,  の値 は,高 エ ネ ル ギーpp反 応 で生 成 され る π が平 均 横 運 動 量 ∼350MeVを 実 と も整 合 す る.

とな る.こ もつ 実 験 事

程 と グ ル ー オ ン コ ン プ ト ン 散 乱(図6.9)に

よ るW生

散 乱 で 考 慮 し た 高 次 過 程 の 交 叉(γ*〓W)か

成 断 面 積 は,深

非 弾性

ら 得 ら れ る か ら(図5.13参

照),

断 面 積 は 次 の よ う に 書 け る5).

(6.49) (6.50) 後 で 使 う の で,S,t,uをqq→gW重

心 系 の 変 数 で書 き直 して お くと

(6.51) で あ る.た 量,散

だ し,￨p￨,￨k￨,cosθ

は,qq→gWの

乱 角 で あ る.(6.49),(6.50)の

特 異 項 を 与 え る の で,O(αs)の 外 発 散 の 一 例 で あ り,高

重心 系 で の散 乱 前 後 の運 動

ど ち ら もpT→0でdσ

み を と る 限 りpT→0で

∼pT-2の

発 散 す る.こ

よ うな れ は,赤

次 効 果 を正 し く 計 算 す れ ば 消 え る は ず の も の で あ る.

こ の こ と を 念 頭 に お い て,第5章

で 導 入 し た プ ラ ス 関 数 を 用 い,pT→0で

集

束 す る よ う な 形 に 書 き 直 す こ とが で き下 記 の よ う な 形 を と る16).

(6.52) こ の 表 式 に はO(αs2)ま

で の 計 算 結 果 を も 含 め て あ る.こ

似 の 全 断 面 積 で あ り,Aは B,Cは,αsのpT依

こ で,σ0は

ボ ル ン近

後 で 全 断 面 積 が デ ー タ を 再 現 す る よ う に 決 め る.

存 性 を 無 視 す る 限 りO(αs2)ま

でpTに

よらな い定数 で あ

る.Eの

寄 与 は 数 値 的 に は 重 要 で な い.δ(pT2)は

はpT2=0で

正 則 な 関 数 で あ る.B,C項

の+関

限 に な る よ う に 正 則 化 し た 関 数 で,g(x)を

デ ル タ 関 数 で あ り,Y関

数 は,pT2に

数

関 しての積分 が有

性 質 の よ い任 意 の 関 数 と して

(6.53) で 与 え ら れ る.(6.52)を

積 分 す れ ば,

(6.54) と な る の で,デ

ー タ と 比 較 し てAを

え る と い う 図 式 はQCDの 対 数 第1近

ルー オ ン放 出 が 横 運 動 量 を 与

一 般 的 特 徴 で あ る.(6.52)の

似 で 求 め たe+e-→qq+グ

ル ー オ ン のpT分

留 意 し よ う(第5章QCD(5.75)参   pp反

決 め る.グ

表 式 の 中 のB項

布 と同 じで あ る こ とに

照).

応 に よ る 断 面 積 は,上

記 の 断 面 積 にQ2=mW2ま

で発 展 さ せ た パ ー ト

ン 分 布 を 掛 け て 積 分 す れ ば 得 ら れ る.図6.10(a)にCDFデ のO(αs2)計

は,

算18)と の 比 較 を 示 す.pT2の

ー タ17)とQCD

大 き い と こ ろ で の デ ー タ の再 現 性 は

よ い.

(b) (a) 図6.10 

W生

成 のdN/dpT2分

布

(a)  で のCDFデ ー タ17),(b)  ,pT≒0付 近 のUA2デ 2近 似 計 算 と比 較 す る.(b)図 の 計 算 は,ソ フ トグ ルー オ ン和 を考 慮 した もの.

ー タ6)をQCD第

(a) 図6.11 

(b)

dσ/dpT2(pp→W±X)生

成 断 面 積 の ス ケ ー ル(μ=M)依

図(a)はpT=20GeV,図(b)はpT=100GeVで (MeV単

位)を

  6.6.2    pTの

の 値 を 示 す.3種

グル ー オ ン 多 重 発 生 効 果

大 き い と こ ろ(pTがmWに

pT≪mWの

比 べ て そ れ ほ ど小 さ く な い と き)は,pT分 摂 動 計 算 で よ く再 現 さ れ る.し

と き は 再 現 性 が よ く な い.こ

性 を 見 て も わ か る.図6.11に は,ス

の こ と は,QCD計

の 原 因 は,摂

と き は,こ

算 の スケール依 存

動 計算 の近似 が悪

動 計 算 で 切 り捨 て た 項 はpT2〓mW2

の と き の み 無 視 で き る と い う事 情 に よ る.pTが ン の 多 重 発 生 

小 さ く な る と ソ フ トグ ル ー オ

が 無 視 で き な い.幸

い な こ と に,pT2→0の

れ ら の 項 の 和 を と る こ と が で き て 有 限 な 項 を 与 え る.そ 対 応 す るpT分

か し,

断 面 積 の ス ケ ー ル 依 存 性 を 示 す が18),pT〓20

ケ ー ル 依 存 性 に よ る 不 定 性 が 大 き く,QCD摂

く な る こ と を 示 し て い る.こ

(6.52)に

値

変 え た と きの 変 化 であ る.

布 お よ び 全 断 面 積 はO(αs)とO(αs2)の

GeVで

存 性18)

類 の 曲 線 は そ れ ぞ れΛMSの

の 場 合,

布 は 次 の よ う に 変 更 さ れ る16).

(6.55a)

(6.55b) と な る.J0は0次 つpT2の

の べ ッ セ ル 関 数 で あ る.上

式 は,pT2=0で

大 き い と こ ろ で は 摂 動 計 算 の 式(6.52)を

つ.(6.55)をpT2に

正 則 で あ り,か

再 現 す る とい う特 徴 を も

つ い て 積 分 す る と δ2(b)が で て く る の で,S(0)=0を

考慮

す れ ば,

(6.56) と な っ て,(6.54)を

再 現 す る.図6.10(b)に,pTの

タ6)と の 比 較 を 示 す.デ

  6.6.3 の   pT2の

小 さ い と こ ろ で の デー

ー タ を よ く再 現 し て い る こ と が わ か る.

振 る舞 い

平 均 値は

式(6.55)か

ら 求 め る こ と が で き19),

(6.57) と い う 形 を も つ.こ

の 関 係 式 は τを 固 定 し た と き

の こ と は 定 性 的 に は,摂 で き る こ と で あ る.な か つpT2max≒Sで て い る の で,摂

 

を 意 味 す る.こ

動 計 算 式 の 振 る 舞 い(dσ/dpT2∼pT-2)か ぜ な ら,は,pT2に

あ る か ら.一

方,pT2の

ら容 易 に 理 解

断 面 積 を 掛 け 積 分 し て 得 ら れ, 小 さ い と こ ろ は べ き級 数 の 和 を と っ

動 論 か ら予 想 さ れ る 線 形 関 係 か らず れ て くる こ とが 期 待 さ れ

る.   こ こ でW生

成 過 程 は,ド

レ ル-ヤ ン 過 程 で 仮 想 フ ォ ト ン をWで

も の と 同 等 で あ る こ と に 着 目 す る.ド 対 の 不 変 質 量mがmWに

レ ル-ヤ ン 過 程 とW放

置 き代 わ る ほ か は,ク

置 き換 え た

出 過 程 の 差 は,μ

ォ ー ク との結 合 が

(6.58) に 変 わ る の み で あ る.γ μγ5の 寄 与 は,Wの 同 じ で,単 O(αs)を

に 断 面 積 を2倍

偏 極 を 見 な い と き はγμ の 寄 与 と

に す る の み で あ る の で,W放

問 題 に す る 限 り,ド

出 のQCD効

レ ル-ヤ ン 過 程 と定 数 し か 違 わ ず,最

積 で 規 格 化 す れ ば 同 一 で あ る.し

た が っ てWのpT分

ヤ ン 過 程 と理 論 上 は ま っ た く 同 一 で あ る の で,ド

果 は

低 次 の断 面

布 やは,ド

レ ル-

レ ル-ヤ ン 過 程 も 理 論 の テ ス

トに 使 え る.   図6.12に,ド

レ ル-ヤ ン 過 程 の デ ー タ も 含 め たの

の 小 さ い と こ ろ ま で,式(6.57)が

デ ー タ を 示 す6).pT2

デ ー タ を よ く再 現 し て い る こ と が わ か る.

 の 関 係 は,高

エ ネ ル ギ ー 領 域 で は か な り よ く成 立 し て い る.一

 の 極 限 で は,pTはQCD効 て い る横 運 動 量(primordial

方,

果 に 関 係 な くパ ー トン が 核 子 内 で 本 来 も っ momentum∼350MeV)に

近 づ く は ず で あ る が,

図 は そ の 予 想 を 比 較 的 よ く再 現 し て い る と い え る.

図6.12 

ハ

ド ロ ン に よ る レ プ ト ン 対 生 成 の 

ISR,FERMILABは,ド   付 近 はW,Z生

6.7 

に 基 づ く の で,W,Zの

ベ ル 群 の 特 徴 と し て の 自 己 相 互 作 用 を も つ .電 e+e-→W+W-に

は,図6.13に

典 的 な 図6.13(a)の 比 例 し,sの

用 で は,Z0W+W-お

対 の.

成 か ら のeν,ee対.

非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 結 合(e+e-→W+W-反

  標 準 理 論 はSU(2)×U(1)群

ギーsに

曲 線6)

レ ル-ヤ ン 過 程 に よ り 生 成 さ れ たμμ

応)

ゲー ジ ボ ソンは非 アー

子 陽 電 子 反 応 に よ るW対

示 す よ う に 最 低 次 で は3種

グ ラ フ の み で はe-e+→W+W-の

の 過 程 が 効 く.古 断 面 積 は全 エ ネ ル

大 き い と こ ろ で ユ ニ タ リ テ ィ を 超 え る が,ゲ よ びγW+W-結

ー ジ相 互 作

合 が ちょ うどそれ を打 ち消 す よ うに作

用 し て 高 エ ネ ル ギ ー で の 振 る 舞 い を コ ン ト ロ ー ル す る.し で 実 験 と理 論 を 比 較 す る こ と は3-ゲ

生 成

た が っ て,こ

ー ジ ボ ソ ン 結 合(Z-W-W)の

の反応

存 在 お よび

大 き さ を決 め る う え で 良 好 の テ ス ト と な る.   ゲ ー ジ場 の 自 己 相 互 作 用 ラ グ ラ ン ジ ア ン は(2.100)で

与 え ら れ て い る.

(a)CC 図6.13  (a)  CCは (b)  EMは (c)  NCは

(b)EM e-e+→W-W+生

(c)NC

成 反 応 に 寄 与 す る最 低 次 の過 程

荷 電 カ レ ン トに よ るニ ュー ト リ ノ中 間状 態 電磁 相 互 作 用 に よ る フ ォ トン 中間 状 態 中性 カ レ ン トに よ るZ0中

間状態

お の お の の過 程 はσ∼sの よ うに 増 加 す る が,干 エ ネ ル ギー で の 振 る舞 い が よ くな る.

V=Zま

渉 項 が 打 ち 消 す よ うに 働 き,高

図6.14  非 ア ーベ ル ゲー ジ理 論 の3-ベ ク トル結 合 た は γ.運 動 量 は す べ て 内向 きに と る.k+q1+q2=0

(6.59)

し た が っ て,W3=cosθWZ+sinθWAを

考 慮 す れ ば,WWV(V=Z,γ)の

結

合 ヴ ァー テ ッ ク ス は

(6.60) と な る.こ

こ で,gμν は ロー レ ン ツ 変 換 の 計 量 テ ン ソ ル で あ り,k,q1,q2の

動 学 変 数 は 図6.14に

示 す よ う に 定 義 す る.運

動 量保 存 に よ り

運

が 成 立 す る.こ 定 義 さ れ るWの

れ か ら σ(e+e-→W+W-)を

計 算 す る こ と が で き る .次

式 で

重 心 系 に お け る 速 度 β,λ,xW

(6.61) を 使 う と20)

(6.62) と な る.し 第1項

き い 値 付 近 で は β≪1で

あ り,こ

の と き は 上 の 断 面 積 で{‥}の

中の

が 優 勢 と な り,

(6.63) (6.62)で

与 え ら れ る 断 面 積 の 極 大 値 は17pbで

も 超 え る と(β ∼0.16),σ ∼7pbと わ か る.こ

き い 値 を1GeV

な る よ うに 断 面 積 は 急 速 に 立 ち上 が る こ とが

の よ う な 場 合 は 幅ΓWに

s=(2mW)2よ

あ る の で,し

よ る 効 果 が 無 視 で き な い が,ΓWの

り低 い エ ネ ル ギ ー でWW生

ず か に 滑 ら か に な る こ と く ら い で あ り,大

影 響 は

成 が 始 ま る こ と,断

面積 の曲線が わ

勢 に 影 響 は な い.も

ち ろ ん,mWを

決 め る と き は こ の わ ず か な 差 を 細 心 に 考 慮 し な け れ ば な ら な い.   s→∞

の 極 限 で は,や

は り最 初 の 第1項

が効 い て

(6.64) とな る.こ

れ は ν交 換 項 に起 因 す る 項 で あ る.も

交 換 過 程 の み で あ れ ば,断

し,3-ゲ ー ジ結 合 が な く ν

面積 は

(6.65) で 増 加 し,エ

ネ ル ギ ー の 高 い と こ ろ で ユ ニ タ リ テ ィ極 限 を 破 る.3-ゲ

が あ る と き と な い と き の 比 較 を 図6.15に

示 す21,22).断 面 積 は,ビ

ギ ー が し き い 値 を 超 え た と こ ろ で 急 速 に 立 ち 上 が り,最 て か ら後 は ゆ っ く り と 対 数 的 に 減 少 す る.

ー ジ結 合 ー ムエ ネル

高 値 σ∼17pbを

とっ

図6.15 e+e-→W+W-全

断 面 積 の エ ネ ル ギ ー 依 存 性21,22)

標 準 理 論(実 線),ZWW交 換 項 を 入 れ な い場 合(ダ 換 の み の 場 合(点 線)と デ ー タの 比 較.

  Wの

質 量 値(mW)の

決 定 精 度 に つ い て は,上

振 る 舞 い の ほ か,W→eν mW(W→2ジ 500pb-1で

ッ シ ュ線),ニ

ュー ト リノ 交

記全 断面積 の しきい値付 近 の

の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク ト ル の 終 端 部 の 振 る 舞 い,

ェ ッ ト),mW(W→eν)な 誤 差30∼40MeVに

ど を 総 合 し て 積 分 ル ミ ノ シ テ ィ

で き る と考え ら れ て い る23).

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on

the

Physics

Motivations

for

Energy

Up

grade

7 Zボ

  前 章 に 引 き 続 い て,も る.W粒

子 の 場 合,生

ソ

ン

う一 つ の ゲー ジ ボ ソ ン で あ るZ0粒

子 の性 質 を調べ

成 が ハ ドロ ン に よ る こ と,調 査 対 象 の レ プ ト ン 崩 壊

モ ー ドが ニ ュ ー ト リノ を含 ん で い る こ とか ら,実 験 的 測 定 精 度 に 限 度 が あ り, そ の 性 質 と標 準 理 論 との 比較 は,あ れ に 反 して,Zはe+e-反

る程 度 定 性 的 に な ら ざ る を え な か っ た.こ

応 で 生 成 で き,崩 壊 モー ドに お い て 関 与 す るす べ て

の 粒 子 の 結合 定 数 の 精 度 よい 測 定 が 可 能 で あ る.理 論 との比 較 も最 低 次 の ボ ル ン近 似 か ら一 歩 踏 み込 ん で,高 次 効 果 す な わ ち放 射 補 正 を含 め た理 論 計 算 との 比 較 が で き る.し た が っ て,Z共 可 能 と し,さ

鳴 の 諸 性 質 測 定 は標 準 理 論 の 精 密 テ ス トを

らに一 歩踏 み 込 ん で 標 準 理 論 か らの ズ レ を検 出 す る こ とに よ り新

理 論 展 開 の 糸 口 をつ か む 可 能 性 を秘 め る.そ

こ で この 章 で は,Z0の

崩 壊幅 な

ど を ま ず ボ ル ン近 似 で 算 出 し,次 い で放 射 補 正 の 効 果 を含 め た 改 良 ボ ル ン近 似 の 式 を 与 え,実 験 デ ー タ と比 較 す る.こ の 章 の 後 半 に お い て は 放 射 補 正 の議 論 をす る.放 射 補 正 効 果 に は い ろ い ろ あ るが,こ

こ で は 特 に効 果 の 大 きい ゲ ー ジ

ボ ソ ン の 自 己 エ ネ ル ギー 補 正 に 重 点 を お い て 議 論 を す る.数 値 的 に は この効 果 の み で ほ とん ど決 着 が つ く.ま た 未 発 見 の ヒ ッ グ ス粒 子 や 新 理 論 の影 響 は 主 と して この ゲ ー ジボ ソ ンの ルー プ 補 正 を通 じて 現 れ る の で,直 接 生 成 が 可 能 に な る ま で は ヒ ッ グス粒 子 の 質 量 を予 測 した り,新 理 論 の 可 否 を検 証 す る有 効 な 手 段 に も な る.

7.1

  7.1.1   a.

ボ 崩

壊

ル

ン 近

Zの

生成断面積

似

幅

  中 性 カ レ ン ト の ラ グ ラ ン ジ ア ン は(6.3)で f(p1)f(p2)と

す れ ば,Wの

与 え ら れ て い る.Z(q,ε)→

崩 壊 計 算((6.6)∼(6.15))ま

で の 議 論 と同 じ よ う

に して

(7.1)

ス ピン 

(7.2a) (7.2b) で あ るか ら,偏 極 の 平 均 とス ピ ン和 を計 算 す れ ば た だ ち に

(7.3a) (レ プ ト ン)

(7.3b)

(ク ォ ー ク)  が 得 ら れ る.た

だ し,GN=ρGF,x=m2/mZ2で

あ り,mは

フ ェ ル ミオ ン の 質

量 で あ る.δQED,δQCDは,

(7.3c) (7.3d) で 与 え られ るQEDお

よ びQCD補

正 で あ る.ク ォー クや レ プ トン の 質 量 を 無

視す れば

(7.4a) が 得 ら れ る.た

だ し,

(7.4b) は,1種

類 の ニ ュ ー ト リ ノ 対 へ の 崩 壊 幅 で あ る.

  表7.1に →eeへ

式(7.3a)を

使 っ て 計 算 し た 崩 壊 の 分 岐 比 を 示 す.こ

の 崩 壊 分 岐 比BR(Z→ee)は3

.3%で

モ ー ドへ の 分 岐 比 はBR 

Z→ffの

測 に 掛 か ら な いν ν

で あ る こ と が わ か る.LEPに

お い て は,mZ,ΓZ,BR(ff)な 表7.1 

あ り,観

の 表 か らZ

ど が 精 密 に 測 ら れ て い る(後

崩 壊 幅 と 分 岐 比(mZ=91.19GeV,QCD補

述 表7.2).

正(1+αs(mZ)/π)を

含 む)

 b.  生 成 断 面 積 と非 対 称 の 表 式   e+e-反

応 は,ハ

ドロ ン 反 応 と 違 っ て 大 き なQCDバ

ッ ク グ ラ ウ ン ドが な く,

理 論 計 算 値 と実 験 と の 精 密 比 較 が で き る 強 み が あ る.LEPの で は,フ

ォ ト ン 交 換 過 程 に 比 べ,Z交

断 面 積 の 導 き 方 は,す す る と,(4.52),(4.56)か

で に 第4章

エ ネ ル ギー 領 域

換 の 寄 与 が 圧 倒 的 に 優 勢 で あ る.生

で 議 論 し た.終

成

状 態 の フ ェ ル ミオ ン種 を 特 定

ら

(7.5) (7.6a) (7.6b)

(7.6c)

(7.6d) を 得 る.た

だ し,gV=υe,gA=aeで

項 を 表 し,s=mZ2で 使 っ てs≒mZ2で

あ る.dσγZは

γ 交 換 項 とZ交

は 消 え る.dσγ の 寄 与 はdσZの1%以 のZに

換 項 の干 渉

下 で あ る.(7.4)を

よ る 断 面 積 σZを 部 分 幅 で 書 き 直 す と,

(7.7a) (7.7b) と い う よ く知 ら れ た 共 鳴 散 乱 の 式 と な る.s=mZ2で 面 積σQED=4π

α2/3sとZ共

は,μ

対 生 成 のQED断

鳴 断面 積 の 比 は

(7.8) こ れ は 非 常 に 大 き い 数 で あ る.図7.11)に を示 す.実

験 で 観 測 さ れ る σ(ee→

く な る の で,純

粋 なQED過

μμ)はZ交

程 のσ(ee→

験 デ ー タ は 予 想 通 りの 振 る舞 い を 示 し,巨

図7.1 

e+e-→

ハ

ド ロ ン,μ+μ-の

和 で 示 さ れ る.ee→

σ(ee→

換 項 を 含 みZ共

μμ)

鳴 付 近 で大 き

γγ)を 比 較 の た め に 載 せ て あ る.実 大 なZ共

断 面 積 はQEDの

γγ はQEDの

ハ ド ロ ン),σ(ee→

み でZ共

鳴 の 山 の 存 在 を確 認 し た.

寄 与(∝1/s)とZ共 鳴 は な い1,9)

鳴 の

  7.1.2  フォ トン放 射 の 影 響   LEPで

の 精 密 実 験 デ ー タ を 解 析 す る た め に は,(7.5)の

ボ ル ン近 似 で は 不

十 分 で あ り,放 射 補 正 を考 慮 しな け れ ば な らな い.放 射 補 正 に は   (1)  QCD補

正(主

と して終 状 態 か らの グ ルー オ ン放 出)

  (2)  QED効

果(主

と して始 状 態 か らの フ ォ トン放 出)

  (3)  電 弱 相 互 作 用 に よ る高 次補 正 の3種 類 が あ る.   グ ル ー オ ン 放 射 の 補 正 は す で にNcfの

中 に 考 慮 した(7.3).QED効

果 は他

の 効 果 と は 分 離 で き,独 立 に 計 算 可 能 で あ る2,3).式 の 形 は 簡 単 で は な い が, 厳 密 な理 論 的 な 取扱 いが よ く理 解 で き て い るの で,実 験 デ ー タ の結 果 は,純 粋 なQEDに

よ る補 正 効 果 は 切 り離 し た う え で 提 供 さ れ る こ とが 多 い.QED効

果 の 中 で は,始

状 態 か ら の フ ォ トン放 出 が 特 に 大 き い.QED効

果はエネル

ギ ー に依 存 す る補 正 と して次 の よ う な形 に 表 され る*1).

(7.9) kmaxは,実

験 条 件 に よ り決 ま る 放 出 フ ォ トン エ ネ ル ギー の 上 限 値 で あ る.定

性 的 な議 論 をす れ ば,フ

ォ トン放 出 効 果 は,

  (1)  共 鳴 の 山 頂 を低 くす る   (2)  山頂 の位 置 をずら す   (3)  高 エ ネ ル ギー 側 に裾 野 をつ くる な ど と して 現 れ る(図7.2参

照).O(α)の

式 の 主 要 な項 の み を考 慮 す る と,断

面 積 の頂 上 値 は 元 の値 の

(7.10a) 倍 と な る こ と が 示 せ る.電 正 値 は ∼0.6に

子 の 質 量 値 が 小 さ い の でln(mZ2/me2)が

も な り非 常 に 大 き い.始

態 か ら の フ ォ トン 放 出 は0.17%の

大 き く,補

状 態 の フ ォ トン 放 出 に 比 べ る と,終

補 正 を 与 え る に す ぎ な い.し

か し,O(α)補

正 の み を 考 慮 し た 上 式 は 補 正 の しす ぎ で あ る こ と が 知 ら れ て い て,実 *1)  終 状 態 の 放 射 補 正 は が っ て,(7.9)に 注 意 す る.

,理

解 し や す い よ う に 式(7.3)に

際 上 は,

あ ら わ に 取 り 込 ん で あ る.し

よ っ て フ ォ トン 放 射 の 効 果 を 計 算 す る と き は,二

状

た

重 に な ら ない よ う に

(7.10a)を

指 数 の 肩 に 入 れ る こ と に よ り,よ

と議 論 さ れ て い る3,4).す な わ ち(7.10a)の

り 高 次 の 効 果 を 取 り入 れ ら れ る 代 わ りに

(7.10b) を 使 う.よ

り精 密 な 計 算 式 に よ れ ば,減

の 位 置 変 動 

は,ほ

衰 率 は74%に

留 ま る(図7.2).山

頂

ぼ

(7.10c) で 与 え られ る.共 鳴 幅 の 変 化 は 小 さ い.

図7.2  QED高 次 補 正 に よ る断 面積(ee→ μμ)の 変 化2) 一 番 上 の ダ ッ シ ュ 線 が 補 正 前,下 の ダ ッ シ ュ線 がO(α)の 補 正 後,実 線 がO(α2) の 補 正 後 の 変 化.

  7.1.3  放 射 補 正 に よ る改 良 式   フ ォ トン放 出 に よ るQED補 まれ て い な い.こ

正 は大 きい が,興

味 の あ る新 しい物 理 内容 は 含

れ に対 し て,電 弱 相 互 作 用 に よ る 高 次 補 正*2)は 標 準 理 論 の

検 証 の 一 部 と して考 慮 さ れ るべ き もの で あ る.電 弱 相 互 作 用 補 正 効 果 は,次 三 つ に 分 類 され る.   (1)  ゲ ー ジ ボ ソ ン の伝 播 関 数 補 正(普 遍 的補 正) *2)  フ ォ ト ン とZやWが

混 在 す る効 果 は

,電

弱 相 互 作 用 効 果 と し て 扱 う.

の

  (2)  ヴ ァ ー テ ッ ク ス 補 正(香   (3)  箱 型 図 の 寄 与(過

り に 依 存 す る 補 正)

程 ご と に 異 な る 補 正)

  a.  実 効 パ ラ メ タ ー の 導 入   伝 播 関 数 の 補 正 は,電 こ の 効 果 は,か

荷 や 中 性 カ レ ン ト結 合 定 数 な ど を 変 え る 効 果 を も つ.

な り 大 き く ∼6%く

合 定 数(running

coupling

ら い あ る が,エ

constant)α(μ)を

ネ ル ギー に依 存 す る実 効 結

導 入 し て,ボ

ル ン近 似 の 結 合 定数

の 中 に 繰 り込 む こ と が で き る(後

述 §7.3) .ス

反 応 の 場 合 は μ2=sに

鳴 付 近 の デ ー タ を 扱 う と き は μ=mZと

と り,Z共

ケ ー ル パ ラ メ タ ー μ は,e+eす

る.

(7.11a) (7.11b) ゲ ー ジ ボ ソ ン の 自 己 エ ネ ル ギ ー 効 果 で あ る フ ェ ル ミ オ ン ル ー プ は,Z,γ ち ら に も 結 合 で き る から,高 こ と に な る.γ-Z混

次 補 正 を 取 り入 れ る とγ-Z混

の ど

合効 果 が出現す る

合 効 果 は 中 性 カ レ ン トの 中 の 電 磁 カ レ ン トの 部 分 に 繰 り

入 れ る こ とが 可 能 で あ り,中

性 カ レ ン トの 中 に 現 れ る ワ イ ン バ ー グ 角 を,実

効

ワ イ ン バ ー グ 角sin2θW

(7.12) に 置 き 換 え る こ と と 同 等 で あ る こ と が 示 せ る(後 バ ー グ角 も ま た ス ケ ー ル μ の 関 数 で あ る が,実   ヴ ァ ー テ ッ ク ス に よ る 補 正 は,終 を 与 え る の で,そ

用 上 は μ=mZで

状 態 の フ ェ ル ミ オ ンfに

の 修 正 後 の 量 をsin2θf,ま

る 寄 与 を 与 え る の で,最

述,§7.3).こ

の実効 ワイン 定 義 す る. よ り異 な る 寄 与

た箱 型 図 の 寄 与 は 反 応 ご とに 異 な

終 的 な 結 果 をsin2θeff,fと 書 く と

(7.13a) *3)  PDG6)で υf,afか

は

,Sf2≡sin2θefffと い う 記 号 を 使 う.こ れ の 定 義 は 放 射 補 正 を 入 れ て 決 め た ら ト リー 近 似 の 式(7.31)を 使 っ て 求 め たsin2θWで あ る.厳 密 に 言え ば

(7.13)で の 定 義 とや や 異 な る が,実 とは な い.

用上 は 実 験 的 に も理 論 的 に も こ の 差 が 問 題 と な る こ

(7.13b) と書 く こ と に す る.数 →ff反

値 的 に 主 た る 寄 与 は 伝 播 関 数 か ら く る.特

応 に 限 る と き は,箱

型 図 に よ る 補 正 を 無 視 し,(sin2θeff,f,ρeff,f)と

(sin2θf,ρf)を 同 等 に 扱 う こ と に し て よ い.実 い の で,(sin2θf,ρf)と(sin2θW,ρse)も =bの

と き はtク

に 考 え る(後

は ヴ ァー テ ッ ク ス 補 正 量 も 小 さ

ほ と ん ど 同 じ で あ る が 例 外 も あ る.f

ォ ー ク に よ る ヴ ァ ー テ ッ ク ス 補 正 が 無 視 で き な い の で,別

個

述 §7.3.6b).

  ヴ ァ ー テ ッ ク ス お よ び 箱 型 図 に よ る 補 正 効 果 は,sin2θWや な い が,概

に,ee→Z

し て 小 さ な 補 正 で あ る の で,必

ρだ け に は 限 ら

要 に 応 じて結 果 の み を付 記 す るに 止

め る こ と に し て 詳 し い 議 論 は こ れ 以 上 行 わ な い こ と に す る.   b.  エ ネ ル ギ ー に 依 存 す る 崩 壊 幅   Z生 の で,伝

成 の 断 面 積 はO(α2)効

果 で あ る が,共

鳴 の 頂 上 付 近 で はO(α0)と

播 関 数 の 中 に 現 れ る 崩 壊 幅 Γ に 対 す る 補 正 と し て はO(α2)の

で 取 り 入 れ る 必 要 が あ る.崩 メ タ ー 補 正 の ほ か に,固

壊 幅 に 対 す る 高 次 効 果 の 影 響 は,上

定 幅mZΓZにs依

な る 効 果 ま

に 述 べ たパ ラ

存性 を取 り入 れ た 次 式

(7.14) とい う置 き換 え で 非 常 に よ い 近 似 と な っ て い る こ とが 示 さ れ る4).こ の 高 次 補 正 効 果 に よ っ て 共 鳴 の 形 が ど う変 わ るか を見 るた め に,

(7.15) (7.16a)

(7.16b) (7.16c) と お け ば,(7.7a)の

断 面 積 は,

(7.17) に 変 更 され るの で,同 効 果 は,断

じ形 の 断 面 積 を再 現 す る.す な わ ち,sに

依 存 す る幅 の

面 積 の 形 と頂 上 の 高 さ は 変 え な い で,見 か け の 質 量 と幅 と を,mZ

=mZ-34MeV

, 

公 式(7.7)の mZか

だ け 変 更 す る だ け で あ る.一

見 か け 上 の 山 頂 位 置(dσ/dS=0で

方,元

決 め ら れ る)は,mZで

の共 鳴 は な く

ら 

ほ

ど 上 方 に あ る の で,(7.14)の と な る.よ て,式(7.14)にQED補

補 正 後 の 見 か け 上 の 山 の 位 置 は,  い 近 似 で あ る と の 意 味 は,mZを

正 を 組 み 合 わ せ て,実

適 化 す れ ば 精 度 の よ いmZの

パ ラ メ ター と し

験 断 面 積 の 形 に 合 う よ うに 最

値 が 得 ら れ る と い う こ と で あ る*4).QEDを

め た 全 補 正 の 後 の 共 鳴 の 山 頂 の 位 置(図7.2)は

も含

次 式 で 与 え ら れ る3).

(7.18a) ま た,放 射 補 正 は チ ャ ネ ル ご とに異 な る こ とを 留 意 して お く必 要 が あ る.例 ば,ハ

え

ドロ ン チ ャ ネ ル と μμチ ャ ネ ル で は,半 値 全 幅 Γ は 見 か け 上 の σmaxの

半 値 の 値 を と る位 置 

と

ハ

ドロ ン

(7.18b) の 関 係 に あ る(た だ し,mt=120,mH=100GeVと

し た).

  c.  改 良 ボ ル ン 近 似   上 記 の 実 効 パ ラ メ タ ー を 使 っ て,ボ 結 合 定 数 をGN=GFか

らGN=GFρ

ル ン 近 似 の 式 を 書 き直 し,中 と し,伝

を 取 り込 む(mZΓZ→SΓZ/mZ)と,重 に 含 ま れ て い る.こ は,O(α)の

*4) PDG6)で 子 は,散

れ を"改

播 関 数 中 の 崩 壊 幅 Γfにs依

は

,式(7.14)を

存性

要 な 放 射 補 正 効 果 は ほ とん ど こ の 式 の 中 良 ボ ル ン 近 似 の 式"と

い う.改

放 射 補 正 を す べ て 取 り 入 れ た 正 確 な 式 と0.5%以

も っ てmZと

乱 振 幅 の 複 素s平

性 カレン ト

ΓZの 定 義 式 と し て い る.理

面 上 で のs0と

良 ボル ン近似 式 内 の 精 度 で合 っ

論 的 に は,不

安 定粒

して 定 義 さ れ る5).

すなわち

こ のMは,(7.14)で

定 義 し たmZと

の 関 係 に あ り,Mよ

り 約25MeV小

は

さ い.Γ

と 小 さ く現 時 点 で は 誤 差 の 範 囲 内 で あ る.

も ま た ΓZよ

り 小 さ い が,差

は1.2MeV

て い る4).改

良 ボ ル ン 近 似 の 式 の 導 き方 は 後 の §7.3.5で

議 論 す る こ と に し て,

上 記 の 改 良 を施 し た 結 果 の 断 面 積 は 次 の よ う に 表 さ れ る.

(7.19)

(7.20a) (7.20b) (7.20c) (7.20d) こ の 式 は 伝 播 関 数 の 分 母 以 外 は(7.5)∼(7.6)と α,gν,gA,υf,afの

定 義 が 異 な る の み で あ る.こ

ま っ た く同 じ 形 を し て い て, れ ら の 式 を 使 っ て,デ

ー タ と比

較 す る こ と に よ り ρf,sin2θfが 求 め られ る.   Z共

鳴 上 で の 非 対 称 を 表 す 式 は,第4章

ら 導 く こ とが で き る.偏

極Pを

中 性 カ レ ン トの(4.50),(4.51)か

もつ ビー ム に よ る断 面 積 は

(7.21a) (7.21b) で 与 え られ る.偏 極 して い な い ビー ム に よ る散 乱 角 分 布 の 前 後 非 対 称AFBは, ηfを

(7.22) で定 義 す る と

(7.23) で 与 え ら れ る.た あ る.L-R非

だ し,積

対 称ALRは,Lま

分 の 上 下 限 はcosθ た はRに

の 値 を 示 す.ηeは

電 子 の ηfで

偏 極 し た ビ ー ム を 使 っ て,

(7.24) ま た,偏

極 ビ ー ム に よ る 前 後 非 対 称AFBPOlは,

(7.25) で 与 え ら れ る.い

ず れ も ボ ル ン 近 似 の 式 で あ る が,先

の 中 のsin2θWをsin2θfで

の 議 論 に よ っ てυfやaf

置 き 換 え て や る こ と に よ り放 射 補 正 が 取 り入 れ ら れ

る.   上 式 か ら わ か る よ う に 偏 極 し た ビ ー ム に よ る 非 対 称 は,ηeも う 直 接sin2θfに

関 係 し て い る 量 を 測 る の で,sin2θfの

し くは ηfと い

最 も 精 密 な 測 定,つ

り 理 論 的 実 験 的 不 定 性 の 小 さ な き れ い な テ ス トが で き る.sin2θfと sin2θWと

の 関 係 に つ い て は,§7.3の

sin2θfはZ共

鳴 に お け る 非 対 称AFBな

はsin2θWとsin2θfの

通 常 の

放 射 補 正 の 項 で 詳 細 に 述 べ る が,ど

も観 測 量 か ら直 接 決 めら れ る 量 で あ る.つ

ま りsin2θWは

質 量mWとmZか

ど か ら 求 め ら れ る .最

ちら ら,

近 の実験 の精 度

わ ず か の 差 を 感 知 で き る ほ ど よ く な っ て い る.こ

種 々 のsin2θWは,Zの

ま

れ ら

質 量 な どの 観 測 量 か ら放 射 補 正 を 入 れ て 理 論 的 に 計 算

で き る 量 で あ る の で,実

験 値 と 比 べ る こ と に よ り,標

準 理 論 そ の もの の 検 証 も

し く は ヒ ッ グ ス の 質 量 の 予 測 な ど に 使 う の で あ る.

7.2 

  7.2.1 

Zの

LEPの

実 験 結 果6∼9)

質 量 と崩 壊 幅

  各 種 終 状 態 の 中 で,統 断 面 積 のs=mZ2で

計 的 に は ハ ド ロ ン事 象 が 圧 倒 的 に 多 い.ハ

ドロ ン生 成

の 値 は,

(7.26) で 与 え ら れ る.デ

ー タ で 得 ら れ た 各 種 断 面 積 の 形(図7.3,図7.4)を

理論 式

に 合 う よ う に,mZ,ΓZ,σh0,Γe/Γh,Γμ/Γh,Γτ/Γhを 最 適 化 す る こ と に よ っ て,こ Zの

パ ラ メ タ ー と して 同 時 に

れ ら パ ラ メ タ ー の 実 験 値 が 決 め ら れ る(表7.2).

質 量 値 の 誤 差 の 最 大 の 原 因 は,エ

ネ ル ギ ー 絶 対 値 の 測 定 の 不 定 性 から

く

る.   エ ネ ル ギ ー の 測 定 は 次 の よ う に す る10).ま と陽 子 を 入 射 加 速 器 の 中 で 回 し て,そ 値 を 決 定 す る.次

ず,20GeVの

の 回 転 周 波 数 の 差 から エ ネ ル ギ ー の 絶 対

に 主 加 速 器 磁 場 の 値 を20GeVお

よ び45GeV相

す る と き の カ レ ン ト積 分 値 を 比 較 し て,45GeVで る.そ

の と き の 誤 差 は2.4×10-4す

げ る に は,電

な わ ち20MeVで

子 の ス ピ ン 回 転(precession)周

ー ム エ ネ ルギー

偏 極 が 消 滅 す る.電

当 ま で励 起

の エ ネ ル ギー 絶 対 値 を 得 あ る.こ

れ 以 上 精 度 を上

波 数 を 測 る.電

子 ビー ム が シ ン

ク ロ ト ロ ン 放 射 に よ っ て 自然 に 横 偏 極 を も つ の で,こ て や る と,ビ

エ ネ ル ギー で 電 子

こで 弱 い振 動 磁 場 をか け

に よ っ て決 ま るあ る共 鳴条 件 が 成 立 す る と こ ろ で

子 の 偏 極 度 は レ ー ザ ー ビ ー ム を あ て て コ ン プ トン 散 乱 を 起

こ す こ と に よ り 測 定 で き る の で,共

鳴 条 件 を 探 す こ と に よ り絶 対 誤 差5MeV

以 下 で エ ネ ル ギ ー が 決 め ら れ る の で あ る.

表7.2 

  余 談 で あ るが,こ

LEPに

お け るZの

質 量,崩

壊 幅 の 測 定 結 果6)

の エ ネ ル ギー 測 定 の 精 度 が いか に よい か は,エ ネ ル ギー 測

定 結 果 に 月の 潮 汐 効 果 が 見 え る こ と で わ か る.月 の 潮 汐 力 は 地球 の半 径 を1日

実 線 がNν=3と

図7.3  e+e-→Z→ ハ ドロ ンの 全 断 面 積 した と きの 標 準 理 論 値.Nν=2,4の 曲 線 も示 して あ る8).

図7.4 

e+e-→Z→llの

全 断 面 積8)

実 線 は 標 準 理 論 値(sin2θW=0.232)

2回 伸 び 縮 み させ る効 果 を もつ.こ LEPの

半 径R=4.24kmが0.15mm変

の 結 果 地 表 も ま た 膨 張 収 縮 を 繰 り返 し, 化 す る の で,ビ ー ム の 加 速 周 波 数fに

も変 化 が で る.

ビ ー ム の 運 動 量 変 化 は こ れ を あ る 定 数 αc=3.87×10-4で

割 っ て, 

の 変 化 が 高 潮 か ら 引 き 潮 の 間 に 見 ら れ る(図7.5).

図7.5 

潮 汐 力 に よ るエ ネ ル ギー 変 化10)

潮 汐 力 に よ りLEPの

  7.2.2 

周 長 が 変 化 し,エ

ニ ュ ー ト リノの 種 類 数

  ニ ュ ー ト リ ノ の 質 量 がmZ/2よ ら,軽

い ニ ュ ー ト リ ノ1種

粒 子 を 含 む 崩 壊 モ ー ド)か は,実

験的 に

り小 さ い と き は,Z→νν

類 に つ き,Γν 分 だ け 全 幅ΓZが

い 崩 壊 モ ー ドへ の 崩 壊 幅Γinvは,観

種 類 数Nν

ネル ギー も変 化 す る.

測 可 能 な チ ャ ネ ル(全

が 可能 で あ るか 大 き く な る.見 断 面 積,お

ら 引 き 算 に よ っ て 算 出 で き る か ら,ニ

え な

よ び荷 電

ュ ー ト リノの

(7.27) か ら決 め られ て,

(7.28) と な っ た.図7.3に し て あ る.明

はNν

を 変 え た と き のZ断

ら か にNν=3が

よ い.

  こ れ ま で に も 宇 宙 論 や,ハ ≒3-4と

推 測 さ れ て い た が,そ

ド ロ ン に よ るW,Z生

あ れ ば,Zの

の事 実

つ き て い る こ と を 強 く示 唆 す る.mν>

崩 壊 に は 寄 与 し な い の で,世

定 す る わ け で は な い が,こ あ る と き,第4番

成 デ ー タ か ら は す で にNν

れ を は っ き り と 示 し た こ と に な る.こ

は ク ォ ー ク と レ プ トン の 世 代 数 が3で mZ/2で

面 積 の 形 が ど う変 わ る か を示

代 数 が4以

上 の 可 能 性 を否

れ ま で の 既 知 の ニ ュ ー ト リ ノ の 質 量 が す べ て ≒0で

目の ニ ュー ト リノか ら急 激 に 大 き な質 量 を もつ こ とは考 え に

く い.

7.2.3 

レ プ ト ン の 前 後 非 対 称AFBl

  ビ ー ム が 偏 極 し て い な い と き で も,弱

相 互 作 用 の 性 質 よ り崩 壊 の 角 分 布 に は

前 後 非 対 称 が 生 じ る こ と は す で に 論 じ た(§4.7.2).た は 消 滅 す る.図7.6にDELPHIグ 子,μ,τ

だ し,s=mZで

ル ー プ の μμ の 非 対 称 測 定11)を 示 す.電

の 別 々 の 測 定 で も 互 い の 一 致 は 非 常 に よ く,e-μ-τ

して い る.計

非 対称

算 値 と の 一 致 は 非 常 に よ い.実

の普 遍性 は成立

験値 は

(7.29) で 与 え ら れ る6,9).AFBl∝υl=-(1/2-2sin2θl)で く,AFBlも

ま た0に

近 い が,デ

こ こ で の デ ー タ は,PETRAや す る も の で あ り,ま

あ る の で,υlは

ー タ は 有 意 に0と

非 常 に0に

近

異 な る 結 果 を 示 し て い る.

ト リ ス タ ン で の デ ー タ を補 完 し よ り一 層 精 密 化

た 違 う エ ネ ル ギ ー で の 標 準 理 論 の テ ス ト と も な っ て い る.

結 果 は 標 準 理 論 の 正 し さ を 裏 づ け て い る(図4.13(b)参   レ プ ト ン 結 合 定 数:レ

プ トン へ の 崩 壊 幅 と レ プ トン の 角 分 布 非 対 称 か ら,ベ

ク トル お よ び 軸 性 ベ ク トル 結 合 定 数gV,gA(上 め る こ と が で き る.3種

照).

の 式 で はυl,al,l=e,μ,τ)を

求

の レ プ ト ン 崩 壊 よ り決 め ら れ た 値 の 平 均 を と り9)

(7.30a)

図7.6 

  =mZで

非 対 称 が0と

e-e+→

な り, 

μ-μ+角

分 布 前 後 非 対 称データ11)

>mZ, <mZで

符 号 を 変 えて い る こ とが わか る.

(7.30b) と決 め ら れ る.こ

れか ら

(7.31a) (7.31b) を 使 っ て 求 め た ワ イ ン バ ー グ 角 は(mt=173±4GeV,mH=300GeV)と

い う

条 件 で6)

(7.32) sin2θlとsin2θWと

 7.2.4 

の 関 係 に つ い て は,§7.3で

偏 極 ビ ー ム に よ る 左 右 非 対 称ALR

  ワ イ ン バ ー グ 角 の 最 も 精 密 な 測 定 は,sin2θfと い て い る 物 理 量,す

測 定 量 とが最 も直接 に 結 び つ

な わ ち 偏 極 ビ ー ム に よ る 前 後 方 非 対 称 か ら得 ら れ る と期 待

さ れ る((7.24),(7.25)).現 SLCで

議 論 す る.

在 のLEPで

の 実 験 値 は 表7.2に

は 非 常 に 良 好 な 偏 極 ビ ー ム を も つ 利 点 を い か し て,

与 え て あ る が,

(7.33) と精 度 の よ い 値 を だ し て い る12).こ LEPの

値(表7.2)と

は,mZか

の 値 はAFBや

ほ ぼ 合 っ て い る.将来

ら放 射 補 正 式(後

程 度 の 精 度 を も ち,mW値

タ ウ 崩 壊 な どか ら算 出 した

的 に は,こ

述 式(7.43))を

の 方 法 で 得 ら れ る精 度

使 っ て 得 ら れ るsin2θWの

と あ わ せ れ ば,標

値 と同

準 理 論 の も っ と も厳 密 な テ ス トに

な る と期 待 さ れ る13).

7.3 

  こ れ まで の 議 論 で,GWS理

放

射

補

正14,15)

論 が 論 理 的 に無 矛 盾 で,現 象 的 に も種 々 の 弱 相

互 作 用 デ ー タ を よ く再 現 す る こ とが わ か った.統 一 理 論 で あ る こ と を証 明す る た め に は,い

ろ い ろ な基 本 的 関 係 を チ ェ ッ クす る必 要 が あ っ た が,あ

らゆ る と

こ ろ に現 れ る パ ラ メ ター ワ イ ンバ ー グ角sin2θWが 常 に 同 一 の値 を と る とい う 事 実 がGWS理

論 が普 遍 原 理 に 基づ く統 一 理 論 で あ る こ との 有 力 な論 拠 の 一 つ

で あ っ た.し

か し実 験 技 術 が 進 ん で 精 密 測 定 が 可 能 に な っ て くる と高 次 の効 果

(radiative correction:放

射 補 正)が 見 え て くる よ う に な る.放 射 補 正 を含 め

た理 論 値 が デ ー タ と合 え ば,GWS理 う.そ

う した意 味 でGWS理

論 に 対 す る信 頼 は ゆ る ぎな い もの と な ろ

論 に お け る放 射 補 正 の テ ス トは,QEDで

に匹 敵 す る役 割 を演 ず る とい え る.さ

らに,標 準 理 論 を使 え ば,未 発 見 の ヒ ッ

グ ス の 質 量 に対 す る制 限 が つ け られ る.ま た,標 が,新

のg-2

準 理 論 値 か らの 小 さ な ズ レ

し い現 象 発 見 に つ な が る こ と も期 待 され る.

7.3.1 

ワ イ ン バ ー グ 角 の 定 義 と放 射 補 正 量Δr

 放 射 補 正 は考 察 す る過 程 に よ り異 な るが,こ で あ るWお

よびZボ

の 結 合 定 数,ワ

ソ ン の 質 量,荷

こ で は 弱 相 互 作 用 の 基 本 的 な量

電 カ レ ン トの 結 合 定 数,中

イ ンバ ー グ 角sin2θWの間

性 カ レン ト

の 関 係 式 を考 慮 し よ う.第2章

での

ゲ ー ジ理 論 の 議 論 か ら最 低 次 の ボル ン近 似 で は次 の 関係 が 成 立 した.

(7.34)

(7.35) (7.36) (7.37) た だ し,gW(gB)は,W(B)ゲ

ー ジ ボ ソ ン と フ ェ ル ミ オ ン の 結 合 定 数,υ

ヒ ッ グ ス の 真 空 期 待 値 で あ る.放

射 補 正 を 考 慮 す る と,元

現 れ た パ ラ メ タ ー す な わ ち 裸 の 質 量m0,裸 の で,真

の 観 測 量m,e,gWで

と お く.も と,放

射 補 正 を 受 け た あ と のgB,gW,υ

の 結 合 定数e0,g0が

変 更 を受 け る

の3個

で あ るこ とを考慮 す る

か ら つ く れ る 独 立 な 物 理 量 は や は り3

象 的 な考 察 に は 実 験 で精 密 に 決 め ら れ る量 か ら 出発 す るの が 便 利

で あ る か ら,gB,gW,υ sin2θWは

の ラ グ ラ ン ジ ア ンに

書 き 直 して

と も と独 立 な パ ラ メ タ ー はgB,gW,υ

個 で あ る.現

は

の 代 わ り に α,mW,mZを

こ れ ら か ら 計 算 で き る 量 と な る.す

独 立 に 与 え る 量 と す れ ば,GF, なわ ち

(7.38a) (7.38b) こ こ に,mtやmHが

入 る の は,放 射 補 正 の 中 に トップ クォー クや ヒ ッ グ ス 粒

子 が 仮 想 粒 子 と して現 れ るか らで あ る.他 の粒 子 も現 れ る が 自発 的 に対 称 性 が 破 れ る理 論 で は 結 合 定 数 が 質 量 に 比 例 す る の で数 値 的 に重 要 で な い.実 験 的 に は α,GF,mZが

非 常 に 精 度 よ く決 め られ て い るの で,こ れ を入 力 と して 他 を求

め る こ とに な る. sin2θWは(7.34)∼(7.36)を

使 え ば,

定義1  と い う 関 係 式 が 成 立 す る16).こ

(7.39) れ は,ボ

ル ン 近 似 で 成 立 す る 式 で あ る が,右

を実 験 で 与 え ら れ る 質 量 と 拡 大 定 義 す る と き,(7.39)を お け るsin2θWと 義 し たsin2θWは,定

い う.質

質 量 殻(on

辺

shell)に

量 は 実 験 で 一 義 的 に 決 め ら れ る か ら,観

測 質 量 で定

数 で あ り 繰り 込 み ス ケ ー ル μ に よ ら な い.観

測値 にはす

べ て の 高 次 の 効 果 が 入 っ て い る か ら,sin2θW自

身 もす で に す べ て の 高 次 効 果

を含 ん で い る こ とに な り,こ れ 以 上 の放 射 補 正 を受 け な い.そ の 意 味 で,質

量

殻 に よ る定 義 は,物 理 量 との 関 連 が 最 も明 快 な概 念 で あ る.   次 に,ラ

グ ラ ン ジ ア ン の 中 の 中 性 カ レ ン トの 中 に 現 れ るsin2θWが

あ る.

(7.40)

定義2 

こ の 式 は反 応 の 断 面 積 の 中 に 現 れ る か ら,断 面 積 や 非 対 称 の実 験 測 定 値 か ら直 接 決 め られ る量 で あ る.高 次 補 正 効 果 を含 ん で お り,ワ イ ンバ ー グ角 は ス ケ ー ル 因 子 μ(典 型 的 に は 運 動 量 遷 移Q)の

関 数 で あ る.例 え ば,§7.1.3で

議論

し た 改 良 ボ ル ン近 似 式 を使 っ て 決 め た ワ イ ン バ ー グ角 は こ れ に あ た る(μ= mZ).ま

た,第4章

で 議 論 し た νμe散 乱 の 反 応 か ら求 め たsin2θW(νe)は,こ

れ の 低 エ ネ ル ギー 版 で あ る.   さ らに,次

の よ う に,結 合 定 数 に よ って 第3のsin2θWを

定 義 す る こ とが で

き る.放 射 補 正 を入 れ る と,結 合 定 数 は 一 般 に繰 り込 み ス ケー ル の パ ラ メ ター μ の 関 数 と な る の で,

(7.41)

定義3  特 に 紫 外 発 散 項 をQCDと

同 じ くMS方

=sin2θW=sW2と

の 定 義 は 直 接 観 測 量 に は 結 び つ き に く い も の の,繰

書 く.こ

り込 み 処 方 がQCDと

式 で 処 理 し た と き のsin2θWをsin2θMS

共 通 で 理 論 的 解 析 に は 便 利 で あ り,大

統 一 理 論 との 関 連

を 議 論 す る と き な ど よ く 使 わ れ る.   ボ ル ン 近 似 の 段 階 で は,こ い が,放

射 補 正 を 入 れ る と,関

受 け 方 が 異 な る の で,数

れ ら のsin2θWは

定 義 の 仕 方 に よ らず す べ て 等 し

与 す る フ ェ ル ミ オ ン 種 や 反 応 過 程 に よ り補 正 の

値 的 に 差 が で て く る.以

下 はsin2θWは(7.39)で

義 さ れ た も の を 標 準 に す る こ と に し て 話 を 進 め る.い す る 場 合,GF,sin2θWは

ま,α,mW,mZか

定 ら出 発

導 か れ る 量 で あ る か ら,

(7.42)

に よ っ て,放 ら,α

射 補 正 量Δrを

定 義 す る16).こ

こ にGFは

は 電 子 の トム ソ ン 散 乱 か ら決 め ら れ る か ら,繰

数 と 見 た 場 合 そ れ ぞ れ μ=mμ

≒0,お

よ び μ=0で

ミュ ー オ ン の 崩 壊 か り込 み ス ケ ー ル μ の 関

定 義 さ れ て い る 量 で あ る.

一 方

,sin2θWは,質

量 に よ り定 義 さ れ る か ら,繰

た 場 合 の 自 然 な ス ケ ー ル はmZで

あ る.Δrは

この 二 つ の エ ネ ル ギー ス ケ ー ル

間 の 橋 渡 し の 役 を つ とめ る 量 と 見 な せ る.Δrは 度 の 値 で あ る の で,実   実 験 的 に はmZが

り込 み ス ケ ー ル の 関 数 とみ

後 に 計 算 す る よ う に ∼0.04程

験 的 に 十 分 チ ェ ッ ク で き る 大 き さ で あ る.

非 常 に 精 密 に 測 定 で き る の に 反 し,mWや,sin2θWの

は そ れ ほ ど で も な い.そ

こ で,見

方 を 変 え て,(7.42)をmWとsin2θWを

に 決 め る た め の 計 算 式 とみ な す こ と も で き る.こ

精 度 精 密

の場合

(7.43a) (7.43b) と な る.実 際,現 を使 い,mZの   Wの

時 点 で の最 も精 密 なmWとsin2θWの

値 は,Δrに

は理 論値

実 験 値 か らこ の 式 に よ っ て求 め た もの で あ る.

質 量 のΔrに 対 す る感 度 は,

(7.44a) で あ る の で,仮

にΔrを0.04と

す る と

(7.44b) mWは

現 在 誤 差100MeV程

の 変 化 は そ の6倍

度 の 精 度 で 求 め ら れ て い る.放 射 補 正 に よ るmW

以 上 あ り,標 準 理 論 の 高 次 補 正 の テ ス トに な る こ とが わ か

る.

7.3.2 

ρ パ

  こ こ で,後

ラ メ

タ ー

の 議 論 の た め 中 性 カ レ ン トを 扱 う場 合 に 現 れ る ρパ ラ メ ター を

定 義 して お こ う.ρ は,高 次 の 効 果 を含 め た 中性 カ レ ン ト結 合 定 数 と荷 電 カ レ ン ト結 合 定 数 の 比 と して 定 義 さ れ る.

(7.45a) Δρは 高 次 の 補 正 効 果 で あ る.ρ は ま た

(7.45b)

に よ っ て も 定 義 で き る.標 は,W,Zの

準 理 論 と は 違 っ て,ヒ

質 量((7.34),(7.35))は,υiを

ッグ ス 粒 子 が 複 数 個 あ る場 合

中 性 ヒ ッ グ ス 場 の 真 空 期 待 値,Ii

を ヒ ッ グ ス の ア イ ソ ス ピ ン と し て,

(7.46) (7.47) と変 更 され る の で,ボ

ル ン近 似 の段 階 で は

(7.48) と な る.余 が,二

分 に 存 在 す る ヒ ッ グ ス 場 が,三

重 項 を 含 め ば1/2≦

重 項 を 考 え る 限 り ヒ ッ グ ス 場 が 複 数 あ っ て も,ボ  で あ る.質

効 果 をsin2θWの

量 殻 に よ るsin2θWの

中 に 取 り込 ん で し ま う の で,ρmassは

ρmass≦1と な る

ル ン 近 似 の 段 階 で は,

定 義(7.39)で

は ρの 高 次

定 義 に よ っ て1と

な り高

次 補 正 効 果 を 受 け な い.

  7.3.3 

ゲー ジ ボ ソ ン の 放 射 補 正

  a.  繰 り 込 み 処 方

  放 射 補 正 に は,無 限 大 の 発 散 が 現 れ るの で繰 り込 み を し な け れ ば な ら な い. 一 番 簡 単 な方 法 は最 小 引 き算 法 と呼 ば れ る.こ れ は 発 散 積 分 を次 元 正 則 化 の 方 法 で 処 理 し,結 果 の 中 か ら発 散 部 分 の み を 引 き算 す る方 法 で あ る(付 録J). こ の 方 法 は簡 単 で あ るが,エ

ネ ル ギー の 次 元 を もつ 不 定 の ス ケー ル パ ラ メ ター

μ が つ け加 わ る とい う代 償 を支 払 う.μ の 値 さ え指 定 す れ ば 個 々 の 物 理 量 の 計 算 結 果 の 数 値 化 が 可 能 で あ る.閉 明確 に 定 義 で き な いQCDで

じ込 め の た め ク ォー クや グ ルー オ ンの 質 量 が

は,基 本 的 に こ の 方 法 を採 用 し て い る.電 弱 相 互

作 用 で は事 情 が 異 な り,電 荷 や ゲ ー ジ ボ ソ ン の 質 量 値 が 実 験 的 に 明確 に 定 義 で き る.も

と も との ラ グ ラ ン ジ ア ン に 入 って い るパ ラ メ ター(質 量 や 結 合 定 数)

は,放 射 補 正 を加 え た 後 は 無 限 大 の 発 散 項 を含 み 切 断 の と り方 に よ って 変 わ る 量 で あ る の で,真

の 物 理 量 で は な く裸 の質 量,裸 の 結 合 定数 と呼 ば れ る.し か

し,無 限大 の 発 散 を これ らパ ラ メ ター に繰 り込 ん だ うえ で の 物 理 量 同 士 の 相 互 関 係 式 に は 無 限 大 の 発 散 量 は な く,実 験 で検 証 可 能 な予 言 が で き るの で あ る.

この と き裸 の パ ラ メ ター つ ま り無 限 大 の 発 散 量 は 質 量 殻 上 に あ る実 粒 子 の 質 量 な ど を 基 準 に とっ て 表 現 す る の で,こ scheme)と

の 方 法 は 質 量 殻 処 理 法(on-shell

呼 ば れ る.こ の と き どの 物 理 量 を 基 準 に と るか に よ っ て 繰り 込 み

処 方 が 異 な る.   QEDで

は,高 次 効 果 に お け る発 散 量 は,波 動 関 数 の 繰 り込 み(再 規 格 化)

と質 量 と電 荷 の 繰 り込 み(再 定 義)に

よ っ て 吸 収 で き る こ とが 知 ら れ て い る

(Ⅰ-§5.8参 照).電 弱 相 互 作 用 理 論 は カ イ ラ ル非 ア ー ベ ル 理 論 で あ る こ とに よ り繰 り込 み処 方 は い さ さか 複 雑 とな る.無 限 大 の処 理 は,ゲ ー ジ条件 を 明 らか に し一 般 に は ゴー ス トな ど非 物 理 的粒 子 の 寄 与 を も入 れ て 行 い,フ

ェル ミオ ン

は左 巻 き部 分 と右 巻 き部 分 に分 け 別 々 に 取 り扱 わ な け れ ば な らな い.し か し, 詳 しい 議 論 は 本 書 の 範 囲 を 逸 脱 す る の で,こ

こ で は 物理 的 背 景 の理 解 に 必 要 な

繰 り込 み 処 方 の 筋 道 の 概 略 を述 べ る に 止 め,詳

しい 計 算 は 省 略 す る.ま た考 慮

対 象 とす る重 要 な 反 応 と して は ゲ ー ジ ボ ソ ン を1個 交 換 す る4-フ ェ ル ミオ ン 反 応 過 程 

に 限 る.こ の場

合 現 象 的 に は,ゲ ー ジ ボ ソ ンの 自 己 エ ネ ル ギー 効 果,そ

れ もフ ェ ル ミオ ン ル ー

プ の効 果 を考 察 す るの み で主 要 な放 射 補 正 効 果 は取 り入 れ られ る.   繰 り込 み(無 限大 の 発 散 項 を差 し引 く)の 質 量 殻 処 理 法 は 次 の 通 りで あ る. 簡 単 の た め,当 初 の ラ グ ラ ン ジ ア ン に 現 れ る裸 の 結 合 定 数 をg0,裸 m02,場

の質 量 を

を φ0で代 表 させ る こ と に し よ う.高 次 の ルー プ 補 正 を 計 算 す る と,

無 限大 の 発 散 項 を含 む 式 とな る.無 限大 を処 理 す る た め に は,発 散 を含 む 関数 を正 則 化 し て か ら計 算 を実 行 し,発 散 項 を一 定 の処 方 に従 って 引 き算 し,最 後 に 切 断 パ ラ メ ター を無 限 大 に も って い く.無 限 大 を論 理 的 に矛 盾 な く処 理 す る た め に は,引 で あ る.裸

き算 項 をあ らか じめ ラ グ ラ ン ジア ン の 中 に 取 り入 れ て お く と便 利 の 結 合 定 数g0,裸

の 質 量m02,裸

δm2,δZを 補 正 した 後 の 結 合 定 数g,場

の 場 φ0に 無 限 大 の 引 き算 項δg,

φ を物 理 的 な量 と定 義 し直 す と,

(7.49) (7.50) ラ グ ラ ン ジ ア ン は,

(7.51) と分 割 で き る.こ の 結 果 得 ら れ る余 分 の 項 δLに 算 して,Lを

よ る散 乱 振 幅 を も同 時 に 計

使 っ て求 め た 高 次 補 正 項 に加 え る の で あ る.そ

うす る と,各 引

き算 項(δg,δm2,δZ)が 高 次 の 寄 与 と 自動 的 に正 しい 組 み 合 わせ で現 れ,有

限

な結 果 が 得 られ る よ うに な っ て い る.   質 量 殻 処 理 法 に 限 っ て も,繰

り込 み 処 方(Lと

ろ い ろ の ヴ ァ ラ エ テ ィ が あ る14).例 え ば,場

δLに 分 け るや り方)に は い

の 繰 り込 み は 行 わ ず に,パ

ラメ

ター(質 量 と結 合 定 数)の 繰 り込 み に よ る引 き算 だ け を行 う方 法 が あ る16).こ の や り方 で は,す べ て の伝 播 関 数 や ヴ ァー テ ッ クス 関 数 を,単 独 で は 有 限 に は で きな いが,散

乱行 列 を計 算 す れ ば,各 種 の 無 限大 が 相 殺 し,正 しい 式 が 得 ら

れ る こ とが 広 義 の ワ ー ド恒 等 式 に よ っ て保 証 さ れ て い る.た だ し,こ の 場 合 で も理 論 を無 矛 盾 とす る ため の外 線(散 乱 の 前 後 に 現 れ る 粒 子)の 波 動 関 数 の 繰 り込 み(再 規 格 化)は 必 要 で あ る.   以 下 の議 論 は次 の 方 法 に 従 う.す な わ ち,ラ ラ メ ター をe,mW,mZの3個 が,そ

グ ラ ン ジア ンに 現 れ る独 立 なパ

に と り,ゲ ー ジ場 の 波 動 関 数 の 繰 り込 み も行 う

の数 は 最 小 限 に と どめ(元 々 の 出 発 点 に あ っ たWとBの2種

の場 のみ

再 規 格 化 を行 う),個 々 の 伝 播 関 数 を有 限 に す る処 方 に従 う.本 来 は フ ェ ル ミ オ ン場 や ヒ ッ グ ス場 の繰 り込 み も必 要 で あ る が,考 慮 す る過 程 を4フ ェ ル ミ反 応 に 限 れ ば フ ェ ル ミオ ン の伝 播 関 数 を必 要 と しな い.た

だ し,繰

り込 み 処 理 を

無 矛 盾 に 行 うた め の 外 線 の 波 動 関 数 の再 規 格 化 は考 慮 す る 必要 が あ るが,こ は 一 般 化 した ワ ー ド恒 等 式 に よ って,ヴ

ァー テ ッ ク ス部 分 の再 規 格 化 部 分 と相

殺 して あ ら わ に で て くる こ とは な い の で,こ は,ゲ

れ

こ で は 議 論 か ら外 す.ヒ

ッグ ス

ー ジ ボ ソ ン の 自 己 エ ネ ル ギー ル ー プ に 寄 与 す る一 員 と して 重 要 で あ る

が,簡 単 の ため に フ ェル ミオ ンル ー プ の み を議 論 し,ヒ ッ グ ス につ い て は 結 果 の み を 引 用 す る こ とに す る.   この ほ か に も繰 り込 み 処 方 は い ろ い ろ あ る.種 々 の処 理 法 は無 限大 の 発 散 項 を 除 去 す る 点 で は 同 等 で あ るが,無

限 大 を 差 し引 い た 後 の有 限 項 に は 差 が あ

る.摂 動 の 無 限 次 ま で 計 算 す れ ば,計 算 さ れ た 物 理 量 は繰 り込 み 処 方 に よ ら な い は ず で あ るが,計

算 をn次

に よ る結 果 の 差 は,(n+1)次

で 止 め る と き は こ の 限 り で は な く,処 方 の 違 い の オー ダ ー で あ る.

  b.  伝 播 関 数 の 繰 り込 み   まず 最 初 に,ゲ

ー ジ ボ ソ ン の伝 播 関数 に お け る繰 り込 み処 方 お よ び 引 き算 項

の 入 れ 方 を 眺 め て み よ う.ベ

ク トル ボ ソ ンV(V=W±,Z,γ)の

伝 播 関 数 は,

第1近 似 で は 一 般 に,

(7.52a) と表 さ れ る.Bは

ゲー ジの と り方 に よっ て 変 わ る量 で あ る が,観 測 量 で あ る

散 乱 振 幅 に は,常

に カ レ ン トに 挟 ま れ る形 で で て くる.そ の 場 合Bに

る項 は,0(ベ

比例 す

ク トル カ レ ン ト)ま た は 反 応 に 関 与 す る粒 子 の 質 量(軸 性 ベ ク

トル カ レ ン ト)に 比 例 す る量 を与 え る.い ず れ に しろ電 子 反 応 で は0と お い て よ いか ら,以 下 の 考 察 か らは外 して,

(7.52b) を 考 え る こ と に す る.こ

れ を 図 式 的 に 図7.7(g)の

し て は,O(gV2)の

フ ェ ル ミ オ ン ル ー プ(図7.7(a))の

(付 録 の 式(J.5))と

す る と,上

(a)

よ う に 表 す.高

次過程 と

補 正 効 果 を ΣVV(q2)

記 の 伝 播 関数 が

(b)

(c)

(d)

(g)

(h)

(i)

(e)

(f) 図7.7 

ゲ ー ジボ ソ ンの 自己 エ ネ ル ギー と引 き算 項 の フ ァ イ ンマ ン図

(a)  フ ェ ル ミオ ン ルー プ に よ る 自 己エ ネ ル ギー,(b)  質 量 引 き 算 項,(c),(d)  波 動 関 数 繰 り込 み に よ る 引 き 算 項,(e)  正 則 化 した フ ェ ル ミオ ン ル ー プ,(f)  ル ー プ の 繰 り返 しに つ い て 和 を とっ た 後 の 伝 播 関 数,(g) 

裸 の伝 播 関 数.

(7.53) の よ う に 補 正 さ れ る(図7.7(g)+(a)).こ ン ジ ア ン δLを

の ほ か に,引

き算 項 を含 む ラ グ ラ

使 っ て 得 られ る フ ァ イ ンマ ン グ ラ フ の 寄 与 を計 算 して つ け 加

え る 必 要 が あ る.δLの る 役 目 を す る.こ

中 の 質 量 補 正 項 δmV2VμVμ

の 寄 与 は,ル

は 直 接VとVを

ー プ の 寄 与(-iΣVV)を

換 え た も の と 等 し い(図7.7(b)).ま

つ な げ

定 数(+iδmV2)で

置 き

た 物 理 的 な 場 で つ く っ た 伝 播 関 数DVは

裸 の 場 で つ く っ た 伝 播 関DV0と

(7.54) と い う関 係 に あ る の で,δLの 関 数(7.52b)に(1-δZV)を す る す べ て のO(α)の

中 の δZV部 分 に よ る 寄 与 は,も 掛 け 算 す る こ と に 等 し い.結

と も と の伝 播

局,伝

播 関数 に対

補 正 を 考 慮 す る と 次 の よ う な 形 に な る.

(7.55)   δZVに 端(散

よ る 寄 与 を 図7.8(c),(d)の

よ う に 表 す.(1/2)δZVが

乱 振 幅 の 中 で は ヴ ァ ー テ ッ ク ス)に

る.ΣVVは,q2で

つ く.両

展 開 し た 場 合,第1項,第2項

各 伝播 関数 の

方 合 わ せ て δZVの 寄 与 と な が 対 数 発 散 量 を 含 む*5).す

な わ ち, ΣVV(q2)=A+Bq2+有 と い う 形 で あ る(式(J.27)∼(J.32)を

限 の寄 与 参 照).A,Bが

と δZVを 適 切 に 選 ぶ こ と に よ っ て,ΣVV(q2)の 数 に す る こ と が で き る.す

な わ ち,引

発 散 項 を 含 む の で δmV2

中 の 発 散 項 を 打 ち 消 し有 限 な 関

き 算 項 を 導 入 す る こ とに よ っ て,繰

り込

まれた有限 なルー プ関数

(7.56) が 定 義 で き る(図7.7(e)).こ も ど る が,今

入 れ る と,再

度 は す べ て 有 限 な 関 数 の み で 書 け て い る.こ

返 し(図7.7(i))を ΣVV(q2)を

れ を(7.55)に

も 考 慮 に 入 れ て 級 数 和 を と る と,結

付 加 し た も の に 等 し い.す

*5)  形 式 的 にq2の

べ き を 数 え る と1次

か な ら な い こ と が 保 証 さ れ て い る.

,2次

び(7.53)の

こ で,ル

形 に

ープの繰 り

果 はDVの

分 母 に

な わ ち ベ ク ト ル 粒 子 の 伝 播 関 数 のO(α)

の 発 散 と な る が,ゲ

ー ジ理 論 で は 対 数 発 散 に し

の ル ー プ補 正 の 最 終 的 な 形 は, ルー プ補 正  (7.57)

で 与 え られ る(図7.7(f)).   観 測 に か か る物 理 的 な 質 量mV2は,伝

播 関 数DVの

極 の 実 数 部 と して 定 義

され る か ら

(7.58) を 満 た さ な け れ ば な ら な い.δZVの

決 め 方 は 後 で 述 べ る.こ

こで

(7.59a) (7.59b) に よ って,Π

関 数 を導 入 して 書 き直 す と,ル ー プ の 繰 り返 し も含 め たDVの

最 終 の 形 はO(α)で

(7.60) と い う 形 に 書 き 直 せ る.た

だ し,

(7.61)   実 際 の 過 程,例

えば μ 崩 壊 過 程 でWボ

ソ ン の 交 換 が 行 わ れ る と きは,上

記

伝 播 関 数 は 弱 カ レ ン トに 挟 まれ て で て くるの で,伝 播 関 数 に は 結合 定 数gW2が 掛 か る.結 局,ゲ

ー ジ ボ ソ ン の 放 射 補 正 は,結 合 定 数gV2を,q2に

依 存す る

実 効 結 合 定 数gV2(q2)

(7.62) に 置 き換 え,か つ 質 量 幅 Γ を導 入す る効 果 を もつ こ と とな る.   c.  γ-Z混

合

電 弱 相 互 作 用 の 場 合 は,フ き る の で,γ-Z混

ェ ル ミ オ ン ル ー プ は フ ォ ト ン に もZに

合 効 果(Σ γZと書 く)が 現 れ る(図7.8(a)).し

き 算 の 必 要 な ル ー プ 関 数 は ΣWW,Σ γ γ,ΣZZ,ΣγZの4種 あ る が,も ジ ボ ソ ン はBとWの2種 に 関 連 し て い る.そ

で あ る か ら,こ の 関 連 を 見 る た め に,ま

も結 合 で たが って 引

と も との ゲ ー

れ らの 関 数 お よ び 引 き算 項 は互 い ずZボ

ソン と γの定 義 式

(7.63a)

(a)

(b)

(c)

(d) 図7.8 

γ-Z混

合 効 果

(a) Zと γに 結 合 す る フ ェ ル ミオ ン ルー プ,(b)  γに 混 入 す るZは 直 接Jγ に 結 合 す る,(c)  Zに 混 入 す る γは 直接JNに 結 合 す る,(d)  正 則 化 し た フ ェ ル ミオ ン ルー プ

(7.63b) お よ び,BとW場

の 繰 り込 み 関 係 式

(7.64a) (7.64b) か ら,Aμ

とZμ に 対 す る 繰 り込 み の 引 き 算 項 が 導 け て,次

の よ う に 表 せ る.

(7.65)

(7.66) (7.67a) (7.67b)

(7.68) た だ し,sW2=sin2θW,cW2=cos2θWで sin2θWの

定 義 式(7.39)を

と を 示 し,Zボ 7.8(b)).同

あ り,最

使 っ た.δZAZは,Z成

後 の 式 を 導 く に あ た っ て は, 分 がAの

中に 混 入す る こ

ソ ン が 直 接 電 磁 カ レ ン トJγμ と結 合 す る 相 互 作 用 を 与 え る(図 様 に δZZAは,フ

ォ ト ン が 直 接 中 性 カ レ ン トJNμ と結 合 す る 項 を

与 え る(図7.8(c)).ど

ち ら も,高

次 ル ー プ 効 果 と し て 現 れ る γ-Z混

ΣγZ(q2)の 引 き 算 項 と し て 現 れ る.結

局,O(α)の

ル ー プ と 引 き 算 項 の 寄 与 を,式(7.55)に

合 項

高 次 補 正 を入 れ た伝 播 関 数 の

対 応 す る形 で 書 く と次 の よ う に要

約 で き る.

(7.69) こ こ に,a,bはW,Z,A(=γ)を は,ゲ

表 し,δZaa=δZaで

ー ジ 不 変 性 に よ り Σγ γ(0)=0が

は 必 要 な い.引

あ る.フ

保 証 さ れ て い る の で,質

ォ トンの 場 合 量 引 き算 項 δmγ2

き 算 項 を 入 れ て 正 則 化 し た ル ー プ 関 数 を 下 に ま とめ て お く.

(7.70a) (7.70b)

(7.70c) (7.70d) 引 き 算 項 は 次 の 条 件 を 要 求 し て 決 め ら れ る.ま mZに

ず,3個

の パ ラ メ タ ーe,mW,

対 して

  (1)  電 子 の 結 合 定数eは テ ッ ク ス で のq2=0に   (2),(3) W,Zの

トム ソ ン 散 乱 で 決 ま る 値,す

な わ ちe-e-γ

ヴ ァー

お け る値 で 定 義 さ れ る.

伝 播 関 数 が,q2=mW2,mZ2で

波 動 関 数 繰 り込 み 条 件 は,QEDで   (4)  フ ォ ト ン の 伝 播 関 数 が,質

極 を もつ.

の 繰 り込 み 議 論 に 合 わ せ る よ う に し て, 量 殻 上(q2→0)で-igμν/q2に

な る よ うに

規 格 化 す る.   (5)  実 フ ォ ト ン に はZボ

ソ ン の 混 合 が な い.

と い う 条 件 を 課 す.   条 件(2),(3)は,

(7.71a) (7.71b) を 与 え る.条

件(4)は

(7.72) 条 件(5)は,

(7.73) 他 の 引 き 算 項 は,(7.65)∼(7.68)の

関 係 式 か ら 導 け る.ま

とめ る と

(7.74a) (7.74b) (7.74c) (7.74d) (7.75a) (7.75b)

(7.75c) 最 後 に,条 件(1)に

よ る電 荷 繰 り込 み の 条 件 をみ よ う.こ れ に は ヴ ァ ー テ ッ

クス 関 数 の 計 算 を必 要 とす るが,一 般 化 した ワ ー ド恒 等 式 に よ りフ ェ ル ミオ ン の 波動 関 数 の 再 規 格 化 部 分 と関 係 が つ き,結 果 は フ ェ ル ミオ ン種 に 関 係 な く

(7.76) と な る14).フ で(付

録J.42a),上

  7.3.4 Δrの   a.   Δrを

ェ ル ミオ ン ル ー プ の み を 問 題 に す る 場 合 は,ΣγZ(0)=0で の 関 係 式 はQEDの

評

あ るの

電 荷 の 繰 り込 み 条 件 と 同 じに な る.

価

ミュ ー オ ン崩 壊 計 算 す る た め に,ま

ずGFの

ミ 相 互 作 用 の ボ ル ン 近 似(付 録(C.49)参

定 義 を 思 い 起 こ そ う.GFは,4-フ 照)にQED補

ェル

正 を加 え た 式 が μ 崩 壊

の 実 験 値 を 与 え る と い う 条 件 で 定 義 さ れ る17).

(7.77a) (7.77b)

(a)

(b)

(c) 図7.9  μ-崩壊 に お け る さ ま ざ ま な 高次 補 正 図 (a)  Wの

自 己エ ネ ル ギー,(b) 

ヴ ァー テ ッ クス 補 正,(c) 

箱型図

(7.77c) こ の 定 義 式 に は,純 粋 な電磁 相 互 作 用 の 補 正 は 入 っ て い るが,電 弱 相 互 作 用 の 補 正 は 入 っ て い な い(仮 想 フ ォ トン とW,Zの

混 在 す る補 正 は電 弱 相 互 作 用 補

正 の 中 に含 め る).μ 崩 壊 に対 す る 弱 い 相 互 作 用 の 高 次 補 正 に は,   (1)  Wの

伝 播 関 数 の 自 己 エ ネ ル ギー 補 正(と

ば れ る.図7.9(a))   (2)  ヴ ァー テ ッ ク ス補 正(図7.9(b))

きに 間 接(oblique)補

正 と呼

  (3)  箱 型 図 に よ る補 正(図7.9(c)) の3種

類 が あ る.(2),(3)を

(2),(3)の

ま とめ て,直

寄 与 は 小 さ い の で,以

接(direct)補

正 と 呼 ぶ こ と も あ る.

下 の 議 論 か ら は は ず し必 要 に 応 じて 結 果 の

み つ け 加 え る こ と に す る.   ミュ ー オ ン 崩 壊 の 振 幅 を 標 準 理 論 で 書 き 下 ろ し,Wボ

ソ ンの 自 己エ ネ ル

ギー を取 り入 れ る と

(7.78) こ こ に,JW- 

JW+は

し た も の で あ る.す

デ ィ ラ ッ ク の 平 面 波 解 に よ る カ レ ン トの 積 を 形 式 的 に 表 なわ ち

(7.79) 一方

,4フ

ェ ル ミ相 互 作 用 に よ る ボ ル ン 近 似 式 は

(7.80) で あ る の で,(7.42)のΔrの

定 義 式 と比 較 し て,

(7.81a) と 表 さ れ る.こ

こ で,…

はWの

型 図 か ら の 補 正 を 表 し,第2行 (7.74),(7.75)を

自 己 エ ネ ル ギ ー 以 外 の ヴ ァ ー テ ッ ク ス や,箱 目 を 導 く に は(7.59b),(7.75b)を

使 っ た.

使 っ て 書 き 直 す と,

(7.81b) た だ し,こ は,Wの

こ で は Σ はReΣ

の こ と と 了 解 す る.上

自 己 エ ネ ル ギ ー 効 果 の ほ か に,フ

式 を 眺 め れ ば,Δrの

中に

ォ ト ン の 自 己 エ ネ ル ギ ー,Zの

自

己 エ ネ ル ギ ー が 入 っ て い て,こ

れ らが す べ て互 い に関 連 しあ っ て い る こ とが わ

か る.こ

ェ ル ミ オ ン な ど の ル ー プ か ら計 算 で き る(付

J14)).

れ ら の 関 数 Σabは,フ

録

  最 後 の 項 は す で に 述べ たΔ ρに 等 し い.こ れ を見 る に は,荷 電 ボ ソ ン結 合 定 数 がW伝

播 関 数 の補 正ΠW(q2)を

受 け,中 性 カ レ ン ト結 合 定 数 はZの

数 の 補 正ΠZ(q2)を 受 け る こ とに 着 目 して,ρ の定 義 式(7.45)か

伝播 関

ら

(7.82) と な る が,一

般 に はq2=0で

の 値 を以 っ て ρ と定 義 す る の で,上

式 でq2=0と

お くと

(7.83) が 得 ら れ る.実

際 の 計 算 に よ れ ば,q2≪mt2で

差 は 無 視 で き る.Z共

あ る 限 りΔ ρ(q2)とΔ

鳴 以 下 の エ ネ ル ギ ー で は,こ

ρ(0)と の

のΔ ρ が 放 射 補 正 の 主 役 を

演 じ る.   Zの

フ ェ ル ミ オ ン ル ー プ に よ る 自 己 エ ネ ル ギ ー は,実

項 に 属 す る ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン トの 寄 与 と,電 よ り な っ て い る.そ

こ で,相

際 は,Wと

同 じ 多重

磁 カ レ ン トの 寄 与 と そ の 干 渉 項

互 関 係 を 明 ら か に す る た め に, 

で あ る こ とに 留 意 し て 結 合 定 数 部 分 を 抜 き 出 し て

(7.84a) (7.84b)

(7.84c) (7.84d) の よ う に 書 き 直 す.Σ11や

Σ33は,ゲ

イ ソ ス ピ ン 成 分 を 示 す.(7.83)に

ー ジ ボ ソ ン に 結 合 す る フ ェ ル ミオ ン の ア

入れ る と

(7.85) こ れ か ら,Δ ρ は ア イ ソ ス ピ ン の 破 れ を 表 す 量 で あ る こ と が わ か る.ア ピ ン 部 分 は,カ

イ ラ ル 結 合 で あ る の で,フ

(Σ11(0)や Σ33(0))はmf2/mW2に 以 外 の 寄 与 は 無 視 し て よ い.ア =Σ33で

あ り,Δ ρ=0と

な る.実

比 例 す る.こ

イソス

ェル ミオ ン ルー プ か らの 寄 与 の 場 合 ト ッ プ と ボ トム の 二 重 項

イ ソ ス ピ ン が 破 れ て い な け れ ば(mt=mb),Σ11 際 の 計 算 に よ る と,mt≫mbを

考 慮 し て,

(7.86) に な る(付 録(J.46a)).

(7.87) と い う 簡 略 式 を 定 義 す れ ば,Δγ

の 式(7.81)は,

(7.88) と書 き直 せ る.電 磁 相 互 作 用 の 有 効 結 合 定 数 は

(7.89) で あ る か ら, 

を使 っ て 書 き直 し

(7.90) を入 れ れ ば

(7.91) た だ し,ε2,ε3は 次 式 で 定 義 さ れ る 量 で あ る.

(7.92a) (7.92b) こ こ で Σ3Q'の 係 数 は 実 はQI3で

あ り,2重

等 し く な る こ と を 使 っ た.(7.91)の (付 録J参

照).第3項

*6)  α の 代 わ り にGFで 照),区

項 に つ い て 和 を と る と Σ33'の 係 数 と

各 項(Δ α,Δρ,ε2,ε3)はす べ て 有 限 で あ る

以 下 は 小 さ い 量 で あ る の で,ま 書 いた 量 は

,あ

と め て,

る種 の 補 正 が す で に 入 っ て お り(§7.3.5の

別 す る た め にΔ ρ と書 くこ と も あ る.

議 論 を参

(7.93) と書 く.要 約 す る と,Δrの

中 身 は,微

細 構 造 定 数 α をq2=0か

で 動 か し た ス ケー ル 変 化 に 対 応 す る純 粋 なQED補

らq2=mZ2ま

正 部 分 と,(t,b)を

ループ

とす る ゲ ー ジ ボ ソ ンの 真 空 偏 極 効 果 が 主 要 項 で あ る こ とが わか っ た.  b.  電 磁 相 互 作 用 の 有 効 結合 定 数  Δα に対 す る フ ェ ル ミオ ン ルー プ の 寄 与 は,

(7.94) で 与 え ら れ る(付 録(J.44)).こ が で き る が,ク

の 式 は,レ プ トン に 関 して は 正 確 な 数 値 計 算

ォ ー クの 質 量 に は不 定 性 が あ るの で,こ の ま ま で は正 確 な 評価

が で き な い.し か し,幸 い な こ とに分 散 式 を使 え ば 実 験 測 定値 で書 き直す こ と が で き る.

(7.95) 光 学 定 理 に よれ ば 前 方散 乱 振 幅 の 虚 数 部 分 は全 断 面 積 に 比例 す る.散 乱 振 幅 は ボ ル ン近 似 で は 虚 数 部 を含 まず,高 じめ て 虚 数 部 が 出 現 す る.す

次 の 項 つ ま りル ー プ の 寄 与 Σ を 入 れ て は

な わ ちImΣγγとee→

ハ ドロ ン全 断 面 積 の 間 に

は あ る関 係 が 存 在 す る.簡 単 な 計 算 に よ り

(7.96) が 示 せ る.σ ∼1/sで

あ る か ら,積

分 の 収 束 を 考 え て,1回

引 き算 を し た 分 散

式 を 使 う と, ハ

こ の 式 を 使 え ば, 

ド ロ ン 

(7.97)

の ハ ドロ ン部 分 は実 験 値 か ら

計 算 で き る14,15). (ハ ドロ ン)

(7.98) 形 式 的 に は,式(7.94)に とQCD補

正 因 子 を,

よ っ て 上 の 数 値 を 再 現 す る よ う に,ク

ォー クの 質 量

(7.99)

と 決 め る こ と が で き る.ト は,mt2≫mZ2の

ッ プ ク ォ ー ク は 十 分 重 い の で,Δ

極 限 で(mZ2/mt2)α

に 比 例 し無 視 で き る.レ

αに 対 す る寄 与 プ トン とハ ドロ

ン の 両 方 の 寄 与 を ま とめ る と

(7.100)   c.  高 次 効 果 と数 値 評 価   以 下 に,さら

に 高 次 の 補 正 を 考 慮 し た う え で,Δρ

に対 す る トップ の ル ー プ

と ヒ ッ グ ス の ル ー プ の 数 値 的 に 無 視 で き な い 寄 与 を 示 す14,15).

(7.101) (7.102) γに 対 す るΔ ρの 寄 与 は

(7.103) で 与 え ら れ る.Δ

γに は ゲー ジ ボ ソ ン の 自 己 エ ネ ル ギー 効 果 の ほ か に ヴ ァー

テ ッ ク ス 補 正 や 箱 型 図 か ら の 寄 与 も あ る(図7.9(b),(c))の

で,一

緒 に ま と

め て

(7.104) と書 く こ と に す る.ヒ

ッ グ ス の 寄 与 はlnmHに

比 例 す る の で,放

射 補正 の

ヒ ッ グ ス質 量 に 対 す る感 度 は非 常 に 悪 い.数 値 的 に は,

(7.105) Δ γremはΔγHiggsの 中 に 含 め た.こ

の 数 値 評 価 か ら わ か る よ う に補 正 の 大 部 分

は,電

磁 微 細 構 造 定 数 α(μ)の ス ケ ー ル0か

を 通 じ て の,ト 7.10にΔγ

をmtの

し て,す

の 移 動 に 伴 う 変 化 と,ρ

ッ プ 質 量 の ル ー プ 補 正 に 伴 う 寄 与 で あ る こ と が わ か る.図 関 数 と し て 図 示 し た14).ま

外 の 定 義 を 使 っ た と き のΔγ GeVと

らmZ2へ

た,sin2θWと

し て 式(7.39)以

も 図 示 し て あ る.mt=175±5GeV,mH=mZ

べ て の 寄 与 を 合 計 す る と6)

(7.106) Δ γの 不 定 性 は,第1の の 誤 差 がee→

誤 差 が ト ッ プ 質 量 の 不 定 性(175±5GeV)か

ハ ド ロ ン 断 面 績 の 実 験 デ ー タ に 起 因 す る α(mZ)の

ら,第2 不 定 性

  か ら く る.

  7.3.5    次 にZ交

改 良 ボ ル ン 近 似14,15) 換 反 応,特

にLEPで

フ ォ ト ン の 関 係 を 考 察 す る.ま ン 交 換 過 程 の み が 効 く.高 は す で に 述 べ た.中

のe+e-→Z→ ず,最

μμ 反 応 を 例 と し て,Zと

低 次 で は,1個

次 効 果 の う ち,自

性 カ レ ン トの 場 合 は,フ

図7.10 

のZ交

換お よび フ ォ ト

己 エ ネ ル ギー に よ る補 正 の 取 扱 い ォ ト ン もZも

ともに同 じフェル

の 定 義 に よ る放 射 補 正 Δγ のmt依

存 性14)

Δγ:sin2θW=[1-(mW2/mZ2)] ΔγW:sin2θW=sin2θWMS Δ γ:sin2θW ΔγLR:ALRよ

り決 め るsin2θl

ミ オ ン 対 に 結 合 で き る か ら,Zと

γ の 混 合 が 起 き る.つ

離 し て 議 論 で き な い と こ ろ がW交 合 の 反 応 とZ交 (c))を

換 の 場 合 と 異 な る.γ

ま り,γ

とZを

切 り

交 換 に よ るJγμJγμ 結

換 に よ るJNμJNμ 結 合 の 反 応 の ほ か に,JNμJγ μ結 合(図7.11

も 含 む よ う に な る.

(b)

(a)

図7.11 

(d)

(c) ee→ff反

(a)  γ交換 項,(b) 

Z交

応での中間状態 換 項,(c),(d) 

γ-Z混 合 項

  a.  実 効 ワ イ ン バ ー グ 角   ee→ff散

乱 振 幅 を 書 き 下 ろ し て み よ う.フ

ェ ル ミオ ン波 動 関 数 で つ くっ

た カ レ ン トの 積 をJγ  Jγ(左 側 が 外 向 き カ レ ン ト,右 で 表 し,O(α2)の

側 が 入 射 カ レ ン ト)な

ど

補 正 を 入 れ た 式 を 書 き下 ろ す と

(7.107) (7.108a) (7.108b) (7.108c) と な る の で,γ-Z混 ン トJNの

合 効 果 はZボ

ソ ン か ら み た 場 合,Zの

中 のJγ が 変 化 し て,JN→JNに

=J3Lμ-QsW2Jγ

結 合 す る 中性 カ レ

な っ た と見 な す こ と が で き る.JNμ

μで あ る こ と を 考 慮 す る と,こ

れ は ワ イ ンバ ー グ角 の 置 き換 え

(7.109) と 同 等 で あ る.Z共

鳴 の とこ ろ で は

(7.110) で あ る が(付

録(J.41)),第2,

3項 は 小 さ い の で,

(7.111a) (7.111b) と な る.以

上 の 議 論 か ら,γ-Zの

ン バ ー グ 角sW2を

混 合 効 果 は,中

再 定 義 し てsW2と

性 カ レ ン ト中 に 現 れ る ワ イ

置 き換 え る こ と と 同 等 で あ る こ と が わ

か っ た.   b.  改 良 ボ ル ン 近 似:実   次 に,式(7.108)の 式(7.42)に,Δ

効結合定 数

有 効 結 合 定 数 の 性 質 を 明 ら か に す る た め に,Δ

γの 定 義

γ の 計 算 式 を代 入 し て み よ う.

(7.112) こ の 式 を 変 形 し て(7.111a)を

入れれば

(7.113a) と な る.

(7.114) を考 慮 す る と,

(7.113b) が 成 立 す る.   次 に,実 効 結 合 定 数 

を 評 価 す る.s〓mZ2と

す る と,

 の 主 要 な寄 与 は 引 き算 項 の 中 に あ り,

(7.115)

が 示 せ るの で,実 効 結 合 定 数 は

(7.116) 結 局,散

乱 振 幅 の 式(7.107)は,s≒mZ2付

近 で

(7.117) と書 き 直 せ る こ と に な り,放 え ば,実

射 補 正 を 入 れ た 結 合 定 数α,sW2,伝

播関数 を使

効 的 に ボ ル ン 近 似 の 式 を 再 現 す る.

  c.  αかGFか?   こ こ で 興 味 深 い の は,Z交

換 の 結 合 定 数 と し て,出

発 点 をgZ=e/sWcWに

と った と きの 放 射 補 正 は

(7.118) こ れ は Δα を 含 ん で い て 相 当 大 き い(∼4%).と

こ ろ が,結

合 定 数 をGFmZ2で

書 き 直 し た 場 合 の 放 射 補 正 は,

(7.119) で あ り,出

発 点 の ボ ル ン 近 似GFmZ2か

こ と で あ る.こ

の こ とは,繰

り込 み ス ケ ー ル μ を0か

α は 大 き な 補 正 を 受 け る の に 反 し,GFは つ ま り,出 なQED補

ら の 変 化 は,Δ

ρ(∼1%)だ らmZ2ま

け しか な い で 変 え た と き,

ほ と ん ど 補 正 を 受 け な い こ と を 示 す.

発 点 の ボ ル ン 近 似 の 段 階 で α の 代 わ りにGFを

使 っ た 場 合 は,純

粋

正 は 最 初 か ら 取 り 込 ん で い る こ と に 相 当 す る.

  と も あ れ,ボ

ル ン 近 似 の 式 で あ っ て も,sW2有

GNmZ2=ρGFmZ2を

使 っ て も 同 等 で あ る)を

効 微 細 構 造 定 数α(あ

使 用 す れ ば,自

る補 正 は す べ て 取 り 入 れ ら れ て い る こ とが わ か っ た.こ

るいは

己 エ ネ ル ギー に よ

れ に,伝

播 関数 内 の 崩

壊 幅 に エ ネ ル ギ ー 依 存 性 を 付 加 す る こ と に よ り放 射 補 正 の 重 要 部 分 は す べ て 取 り 入 れ る こ と が で き て,前

節 のCERN,

LEPで

の デ ー タ 解 析 に 改 良 ボ ル ン近

似 式 を 使 用 す る こ と の 正 当 性 が 示 せ た こ と に な る.

  d.  トッ プ ク ォ ー ク の 効 果   ワ イ ンバ ー グ角 の放 射 補 正 値 を求 め,観 測 値 と比 較 す る に あ た っ て,mWが 大 き な不 定 性 を もつ 現 在,初 期 値 と し て 次 式 で定 義 され るs0か ら 出 発 す る の が 便 利 で あ る(sMZと

も書 く6)).こ のs0は 定 義 に よ って トップ ク ォー クの 寄 与

を含 まな い.

(7.120a) 数値 を入れ る と

(7.120b) で 主 要 な 誤 差 は,mZの

値 か ら で は な くα す な わ ち(ee→

積 の 実 験 的 誤 差 か ら く る.s02は(7.43)で,Δ か ら,sW2=1-mW2/mZ2と

ハ ドロ ン)の

断面

γ=Δ α と し た と き の 値 で あ る

の 関 係 は,

(7.121)   sW2の

測 定 精 度 はmW2で

決 ま り不 定 性 が 大 き い か ら,よ

き る 観 測 量 と し て,Zの (7.31)を

と り あ げ る.放

り精 密 な 測 定 の で

レ プ ト ン 崩 壊 や 非 対 称 か ら 直 接 決 め ら れ るsin2θl 射 補 正 と し て ゲ ー ジ ボ ソ ン の 真 空 偏 極 補 正 が 大 き く,

ヴ ァ ー テ ッ ク ス 補 正(κl)と 箱 型 図 補 正(κbox)は 小 さ い と し て 無 視 す る 近 似 で は, 

で あ る か ら,sW2の

(7.91)と(7.110)を

表 式(7.109)を

入 れ,

使 って書 き替え る と

(7.122) と な る.第3項

は 第2項

に 比 べ 小 さ い の で,こ

プ と ヒ ッ グ ス の 寄 与 は 式(7.101)に 正 項 は ∼1%程

度 で あ る の で,そ

こ と に よ っ て,ト

よ っ て 与 え ら れ て い る.ト

ップ に よ る補

れ を上 回 る精 度 の 実 験 を して上 式 と比 較 す る

ッ プ に よ る 放 射 補 正 効 果,し

る こ と が 可 能 で あ る.1990年

こ で は 無 視 す る.Δ ρ へ の ト ッ

代 前 半 は,こ

た が っ て ト ッ プ の 質 量 を推 定 す

の よ う な 問 題 意 識 で 議 論 さ れ た が,

ハ ド ロ ン 反 応 に よ る 生 成 で ,ト

ッ プ がCDFグ

れ,質

決 め ら れ た の で6,18),そ れ 以 後 は ヒ ッ グ ス 粒

量 がmtop=175±5GeVと

子 の 寄 与 に 関 心 が 移 っ た.ト

ル ー プ に よ り1994年

ップ の 質 量 値 を 固 定 す れ ば,今

春 発 見 さ

度 は ヒ ッグ ス粒 子

の 質 量 を 推 定 す る こ と が 可 能 と な る((7.102)を

(a)

(b)

(c)

(d)

図7.12  全体(a)は

  7.3.6 

参 照 せ よ).

Zffヴ

(e)

ァー テ ッ クス の 補 正

ボ ル ン項(b)と

高 次 の 項(c)∼(e)の

ヴ ァ ー テ ッ クス 補 正

  a. ν μe散 乱 とZの

レ プ トン 崩 壊

  レ プ トン に 関 し て ヴ ァ ー テ ッ ク ス 補 正(図7.12)を sin2θl(l=レ

プ ト ン 種),さ

似 のsin2θlに

焼 き 直 し た 量 を,実

る.第4章

求 め る の み な ら ず,断

ン トに 現 れ るsin2θWの れ ば,sin2θW(νe)は,Z共 る こ と が わ か る.細

κlsW2=

効 的 ワ イ ン バ ー グ 角sin2θeff,l≡sl2を

量殻

面 積 を ボ ル ン 近 似 式 で 表 した と き中 性 カ レ

値(=sin2θW(νe))を

か い こ と を い え ば,ニ

も求 め て お い た .上

の 議 論 か らす

み 異 な る低 エ ネ ル ギ ー 版 で あ

ュ ー トリ ノ の ヴ ァ ー テ ッ ク ス に は

ニ ュ ー ト リ ノ の 荷 電 半 径 に よ る 寄 与 が 効 き ,ee反 が 効 く と い う 差 が あ る が,両

定義 す

ュ ー ト リ ノ散 乱 の デ ー タ か ら,質

鳴 で のsin2θeのq2の

果 と し て,mtの

施 す と,sW2→

ら に す べ て の 理 論 的 補 正 を 入 れ た う え で ト リー 近

の 中 性 カ レ ン トの 章 で は,ニ

のsin2θWを

る14).結

和

応 のsin2θeに

は γ-Z混

合

者 は ほ と ん ど キ ャ ン セ ル して 差 は わ ず か で あ

値 に よ らず に

(7.123) が 成 立 す る.CHARMII19)の

値(420a)

(7.124) の 値 は,Z共

鳴 に お い て レ プ トン の 前 後 非 対 称AFBlな

ど か ら決 め た 値sl2=

0.2322±0.0016,9)と   b.  b-ヴ

よ く あ っ て い る.

ァーテ ックス

  ヴ ァ ー テ ッ ク ス の 補 正 は 通 常 は 非 常 に 小 さ い.た ク ォ ー ク 中 間 状 態 が 効 くた め に,例

だ し,f=bの

と き はt

外 的 に 大 き く な る(図7.1320)).

(7.125a)

(7.125b) こ れ ら の 効 果 は,b以

外 の 場 合 の ρ やsin2θWを

知 っ て い る と き は,上

式 を知

らず と も

(7.126a)

(a)

図7.13 

(b) Zbbヴ

ァー テ ッ ク スの 補 正

〓クォ ー クの 中 間 状 態 が あ るの で 大 き な補 正 とな る.

図7.14 

ワ イ ン バ ー グ 角 のmt依

存 性14)

点 線:sinzBw=1−(mw2/mZ2) 実 線:sin2θl(レ

プ ト ン)

破 線:sin2θb(b−

ク ォ ー ク)

(7.126b) に よ っ て,簡

単 に 計 算 で き る.b-ヴ

ァ ー テ ッ ク ス が,Zの

片 側 に の み あ る場

合 の 振 幅 に つ い て は,

(7.127) と す れ ば よ い.図7.14に

各 種sin2θfと

よ り ど う 変 わ る か を 示 し た14).こ 比 べ て,は

る か にmt依

質 量 殻 で 定 義 し たsin2θWが,補

の 図 か ら わ か る よ う に,sin2θfはsin2θWに

存性 が 小 さ い こ と が わ か る.ま

た 図7.15に

ど の 補 正 に よ る 影 響 を 図 示 す る9).

(a)

(c)

図7.15 Γz,Γl,Rh,l,υl2/al2のmt,mH依

mHの

中 央 値 は300GeVで100∼1000GeVの

正 に

(b)

(d) 存 性9)

変 化 を 帯 で 示 す.αs=0.118±0.008

崩壊 幅 な

  7.3.7  MS処

方 の ワイ ンバ ー グ 角14,21)

  い ま ま で議 論 し たsin2θW,sW2,sin2θfは,電

弱 標 準 理 論 の 枠 内 に 閉 じて い

る場 合 は,非 常 に 定 義 が 明 快 で あ り実 験 的 に も正 確 に決 め られ る 量で あ る.し か し,大 統 一 理 論 を論 じた り,標 準 理 論 を越 え る新 しい 現 象 の 探 索 な ど を問 題 に す る と き は,必 ず し も便 利 で は な い.大 統 一 理 論 を議 論 す る場 合 は 明 らか に QCDで

の 処 方 と合 わ せ た方 が有 利 で あ る.QCDで

は 閉 じ込 め 効 果 の た め 質 量

は 明確 に 定 義 で き る概 念 で は な く,基 準 点 が な い た め 質 量 殻 で の繰 り込 み 処 方 は不 可 能 で あ り,通 常"修 J).MS処

正 最 小 引 き算(MS)の

処 方"が

用 い ら れ る(付 録

方 で は,発 散 の 処 理 が 個 々 に 行 え る の で 計 算処 理 は 簡 単 で あ る が,

代 償 と して 各 物 理 量 は μ依 存 性 を も ち,観 測 量 との 関 係 は 自明 で は な い.   以 下,MS処 MS処

方 に お け るパ ラ メ ター は ハ ッ ト(^)を

方 で発 散 を処 理 した 放 射 補 正 量 に はMSの

つ け て 表 す こ とに し,

指 標 を つ け て,質

の 量 と区 別 す る もの とす る.質 量 殻 処 方 の 諸 量 との 関 係 は,MS処 mや

電 荷eに

量殻処 方 方での質量

放 射 補 正 を 入 れ た 後 の 電 荷(の トム ソ ン極 限)や 質 量 が,観

測値

を与 え る とい う条 件 で得 られ る.す な わ ち

(7.128a) (7.128b) (7.129) こ れ ら の 関 係 式 は,質 て い る.こ

の 式 か ら,e,

が わ か る.Z共 用 す る と,上 値 で あ る が,完   MS処

量 殻 処 方 で の 放 射 補 正 関 係 式(7.71),(7.76)に mも

ま た μ の 関 数(e=e(μ),m=m(μ))で

対応 し あ るこ と

鳴 で の デ ー タ を 扱 う と き の 自 然 な ス ケ ー ル と し て μ=mZを 式 か ら 求 め たα=e2/4π

は,質

量 殻 処 方 で のα

採

と ほ とん ど 同 じ

全 に 同 値 で は な い(α-1=128.88±0.09,α-1=127.88±0.09).

方 の パ ラ メ タ ー も ま た,ボ

係 式 を 満 た す の で,結

ル ン近 似 で は 質 量 殻 処 方 に お け る と 同 じ 関

合 定 数 の 比 でsin2θWを

定 義 し て,こ

れ をsin2θMSと

表

した と き

(7.130) sin2θMSは,sin2θW,sW2と

書 く こ と も あ る.μ=mZに

お け るsWをsZ2と

書 く

こ と に す る と,Sz2と に(7.128)を

質 量 殻 上 の 

と の 関 係 は,式(7.130)

入 れ れ ば 関 係 づ け る こ と が で き て,O(α)で

は14,21),

(7.131a) (7.131b)

(7.132) で あ る.Δ

ρ とΔρ と の 差 はO(α2)で

あ る.(7.111)と

比 較 す れ ば,

(7.133) Sz2とSw2は(7.42)に

よ っ て も関 係 づ け る こ と が で き る.す

なわち

(7.134a) (7.134b) (7.134c) Δγ は 質 量 殻 処 方 のΔγ に 対 応 す るMS処 出 発 点 に(α,GF,mz)を

方 の 量 で あ る.Δγ

と る か(α,GF,mw)を

とΔγwの

と る か の 違 い で あ る.主

差 は, 要 項 の

み を書 き下 ろす と

(7.135a) (7.135b) と な り,mt依

存 性 がΔγ

と 異 な る こ と が わ か る.図7.10に

図 示 し て あ る が,Δγwのmt依   表7.3に 第1行

は,式(7.43)か

ドロ ン コ ラ イ ダ ー に よ るW生 のmt依

存 性 を 図7.16に

成 で のmwの

掲 げ る6).種 々 の 過 程 か ら 求 め たSz2の

結 合 定数αs(Mz)も

得 ら れ た が,こ

0.122±0.007と

のMwと

は,ハ

値 が 整合 す る よ

得 ら れ,CDF/D0グ

ル

よ く合 っ て い る こ と が わ か る6).さ

ら

パ ラ メ タ ー と して 同 時 最 適 化 し0.1214±

れ は ジ ェ ッ ト現 象(後

よ く合 っ て い る.す

掲 げ る6).

測 定 値 を 使 う 方 法 で あ る.sin2θMS

う に ト ッ プ 質 量 の 範 囲 を 決 め る とmt=173±4GeVが

0.0031が

よ びsin2θMSを

ら 求 め る 方 法 で あ り,第2行

ー プ に よ る 直 接 生 成 の 値175±5GeVと に こ の と きQCDの

も

存 性 は ほ とん ど な い こ とが わ か る.

主 な 過 程 の 実 験 値 か ら 計 算 し たsin2θwお

のMzと

はΔγ, Δγwを

述 第8章)か

ら得 ら れ る 値

な わ ち 種 々 の 過 程 か ら求 め た ワ イ ン バ ー グ角,

図7.16 

sin2θw(Mz)の 種 々 の 過 程 よ り定 め た 最 適 値(黒 塗 部 分)はCDF/D0 グ ル ー プ に よ るmtの 直 接 測 定 と整 合 して い る6).

表7.3  種 々 の 過 程 よ り決 め た ワ イ ンバ ー グ 角6)

各 種 反 応 デ ー タ を 総 合 的 に 最 適 化 し て 決 め た 値. 計 算 で は,mH=mz, mt=173±4GeV, た.

αs=0.1214±0.0031を

仮 定 し

ト ッ プ 質 量,αs(Mz)の 一 致す る

.GWS理

値 な ど が,す

べ て 電 弱 標 準 理 論 の 予 言 と誤 差 範 囲 内 で

論 の 実 験 デ ー タ に 裏 づ け ら れ た 正 当 性 は,い

ま やQEDに

匹 敵 す る と い っ て も 過 言 で は な い で あ ろ う.   Sz2, Sw2sin2θlの 世 界 の 平 均 値 は,

(7.136a) (7.136b) (7.136c) で あ る6).理

論 的 に はsin2θl=Sz2+0.00029が

と っ たS02に

は も と も とee→

性 が あ り(式(7.120b)参

値 評 価 の 出発 に

ハ ドロ ン の 断 面 積 か ら く る0.00022だ

照),こ

で あ る の で,Sf2=sin2θfとSz2は

言 え る が,数

けの不 定

の 不 定 性 は す べ て の ワ イ ンバ ー グ角 に 共 通 実 用 上 は ほ とん ど 区 別 せ ず に 同一 視 して よ

い.

  い ま まで に,い

ろ い ろ な種 類 のsin2θwの 定 義 が で て き た.ど れ か 一 つ 決 め

れ ば 他 は計 算 で き る量 で あ る の で,ど の 定 義 も数 学 的 に は 同 等 で あ る.考 慮 の 対 象 とす る物 理 的 過 程 に よ っ て 異 な っ た値 を与 え るの で,慣 れ な い うち は 混 乱 す るが,ま

とめ る と次 の よ うに い え る.放 射 補 正 の う ち,大

に 電 磁 相 互 作 用 に よ る 

きな 寄 与 は,純 粋

とゲ ー ジ ボ ソ ン の 自 己 エ ネ ル ギー 補

正 の 中 の トップ ク ォー クに よ る寄与Δρtopの み で あ り,そ れ 以 外 の 補 正 を小 さ い と して無 視 す る 限 り

(7.137) が 成 り立 つ.し

たが っ て,非 常 に 細 か い議 論 をす るの で な い 限 り,は じめ の 二

つ の 定 義 に よ る ワ イ ン バ ー グ角 は 同 等 で あ る と考 え て よ い で あ ろ う.考 慮 す る 過 程 に よ り値 の 変 わ るsin2θwは,基

本 的 な 物 理 量 と い う よ りは 現 象 描 写 に 便

利 な パ ラ メ ター と見 な す の が 正 し い.質 量 殻 に よ る 定 義  は質 量 の 単 な る 置 き換 え で あ り,何 ら新 しい 情 報 を も た らす も の で は な い.ま

た,sin2θwとS02=SMZ2,

Sf2=sin2θfはZ共

鳴 と い う限 られ た領 域 で の

実 験 量 を表 す の に便 利 な パ ラ メ ター と見 るべ き で あ ろ う.そ の 意 味 で エ ネ ル ギ ー ス ケー ル μ の依 存 性 を含 むsin2θMSは,観

測 値 との 直 接 対 応 は つ け に くい

もの の,統 一 理 論 を議 論 す る の に は 便 利 で あ り,大 統 一 理 論 との 関 連 に お い て 有 用 性 が あ る.

7.4  標 準 理 論 の 彼 方

  これ ま で の 議 論 か ら,標 準 理 論 の正 し さ は疑 問 の 余 地 な く実 験 的 に裏 づ け ら れ た と い っ て よ い で あ ろ う.と す れ ば 次 に わ れ わ れ の と る べ き態 度 は,精

密

デ ー タ の標 準 理 論 予 想 値 か らの ず れ を 追 求 し,そ こか ら標 準 理 論 で は 説 明 で き な い新 現 象 や 標 準 理 論 を越 え る新 理 論 の 手 が か りをつ か む こ とで あ る.新 現 象 は通 常 現 在 の エ ネ ル ギー ス ケ ー ル を越 え た とこ ろ に あ る と考 え られ,大

きな質

量 を もつ 新 粒 子 と して現 れ る.大 き な 質 量 効 果 は,放 射 補 正 の真 空 偏 極 効 果 を 通 し て 見 る こ と が で き る の で,新 S, T, U(ま

現 象 を 探 る の に 便 利 な パ ラ メ ター と して,

た は ε1,ε2,ε3)が提 唱 さ れ た22),*7).

(7.138a) (7.138b) (7.138c) Δρ, ε2, ε3は 既 出 の パ ラ メ タ ー で あ り,標 ヒ ッ グ ス の 寄 与 は 付 録(J.50)に (あ る い は,ε1, ε2,ε3)は,通 し て 定 義 さ れ(す を 表 す.た

与 え て あ る.こ

だ し,ヒ

Zの

*7) MS処

と表 す.

法では

ど),そ

T, U

れ ぞ れ 異 な っ た種 類 の効 果

ッ グ ス が 未 発 見 の 現 状 で はSTUを

崩 壊 幅Γl,前

を 与 え れ ばυlとαlが

こ で 新 し く導 入 し たS,

常 標 準 理 論 以 外 の新 理 論 に お け る真 空 偏 極 効 果 と

な わ ち,Snew=S-SSMな

る 手 段 と し て 使 う こ と も で き る.S, え ばmw2,

準 理 論 で の トップ クォ ー ク お よ び

T,

Uは,実

後 非 対 称AFBを

決 め ら れ,

ヒ ッ グ ス の質 量 を決 め

験 的 に は 三 つ の 観 測 量,例

与 え れ ば 決 め ら れ る.ΓlとAFB

(7.139a) (7.139b) で あ る か ら((7.31)参

照),Δρ(=αT)とsin2θlが

決 ま り,

(7.140a)

(7.140b) か ら,S, Uが

決 め ら れ る((7.44),(7.91),(7.122)参

に 比 べ て 小 さ い.S, う 近 似 で は,Z共

T,

Uは,放

照).通

常Uは,S,

T

射 補正 は真 空偏極 の寄 与 が優 勢で あ る とい

鳴 の 諸 観 測 量 に 共 通 し て 現 れ る 普 遍 的 な パ ラ メ タ ー で あ り,

他 の 観 測 量 か ら も 決 め ら れ る.   Tは

ア イ ソ ス ピ ン の 破 れ を 表 す 量 で,質

ばTに

寄 与 す る.Sは

量 差 の 大 きい 新 二 重 項 が 存 在 す れ

質 量 項 に よ る カ イ ラ ル 対 称 の 破 れ を 特 徴 づ け る 量 で,

二 重 項 の 質 量 が 縮 退 し て い て も値 が 大 き け れ ば 有 意 な 寄 与 を 与 え る.例 質 量 の 大 き い 二 重 項(N,

E)が

え ば,

存 在 す る と23),

(7.141) た だ し,  与 は0と

と す る.質

な る がSへ

量 が 縮 退 し て い る と,T, Uへ

の 寄 与 は 大 き い.図7.17に,T(∼

ε1)とS(∼

の寄

ε3)の2次

元 プ ロ ッ ト と標 準 理 論 お よ び テ ク ニ カ ラ ー モ デ ル の 予 言 と の 比 較 を 考 察 し た 一 例 を 示 す24).こ mH, mtを

の 図 は 標 準 理 論 の 検 証 と 見 な す こ と も で き る し,デ

推 測 す る の に も 使 え る.図

ー タか ら

か ら は 簡 単 な テ ク ニ カ ラ ー モ デ ル*8)は 否

定 で き る こ と が わ か る.

*8)  ヒ ッ グ ス 粒 子 を 複 合 粒 子 と 見 な す モ デ ル の 代 表 例 ニ フ ェ ル ミオ ン と い う)が 互 作 用 を す る.テ を 生 じ る が,こ

存 在 し,テ

.質 量 の 大 き な フ ェ ル ミオ ン 族(テ ク ク ニ カ ラ ー(自 由 度NTC)を も っ てQCDと 類似相

クニ カ ラ ー 力 に よ りテ ク ニ フ ェ ル ミ オ ン 対 が 凝 縮 し て テ ク ニ パ イ オ ン れ が 標 準 モ デ ル に お け る ヒ ッ グ ス 粒 子 で あ る と す る モ デ ル.QCDと

じ く た く さ ん の テ ク ニ ハ ドロ ン共 鳴 が,質 言 す る.

量 ス ケ ー ル ∼O(1TeV)に

同

存 在 す る こ と を予

図7.17 

S-T変

数 に よ る標 準 モデ ル,新

デ ー タは 楕 円 で,標 準 理 論(SM)はmtとmHを

モデ ル の テ ス ト24)

パ ラ メ タ ー と し た 四 角 で示 して

あ る.ま た1重 項 が 一 つ あ る テ クニ カ ラー モ デ ルSU(Nc)22)をNc=2,3,4に い てmtの 値 を変 え て示 して あ る.  を標 準 と してδα

つ

変 え る と ど の くら い 変 わ る か も示

して あ る.

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ph/97

8 ジ ェ ッ トの 性 質(ジ

8.1 

  わ れ わ れ は 第5章

で,QCDで

パ ー トン と ジ ェ ッ ト

は 漸 近 自 由 が 成 立 し,Q2の

摂 動 の 手 法 が 使 え る こ と を 学 ん だ.し QCD計

ェ ッ ト現 象1)

算 で 取 り扱 う パ ー ト ン(ク

か し 理 論 結 果 を 実 験 で 検 証 す る に は,

ォ ー ク と グ ル ー オ ン)と

ハ ドロ ン と の 対 応 を つ け る 必 要 が あ る .パ 測 さ れ た の は1975年 あ っ た1).ジ

ェ ッ ト と は,た

れ る 現 象 で あ る.そ さ れ た.今

で,SLACに

ー トンが ジ ェ ッ トと し て は じめ て観

お け るe++e-→q+q反

て も,現

応 にお い て で

ェ ッ トは 電 子 の 深 非 弾 性 散 乱 やpp反

日 で は エ ネ ル ギ ー が ∼5GeVを

部 分 で のQCDが 理 的 に はQCDの

応 で も観 測

超 え る よ う な パ ー ト ン は 日常 的 に

ハ ドロ ン ジ ェ ッ ト と し て 観 測 さ れ て い る .パ

な と こ ろ で,原

実 際 に 観 測 され る

くさん の ハ ドロ ン が 特 定 の 方 向 に 集 中 して 放 出 さ

の 後,ジ

は(Q2→0(<1GeV2)の

大 きい ところでは

ー トン とジ ェ ッ トとの 対 応 づ け に 必 要 で あ る.非

摂動 的 扱 いが 必要

基 本 方 程 式 か ら解 け る 性 質 の も の で あ る に し

段 階 で は モ デ ル に 頼 ら ざ る を え な い.本

章 で は,e+e-→q+q+(g)

反 応 を 例 に と っ て ジ ェ ッ トの 一 般 的 性 質 を 解 明 し た 後 で,次

章 で ハ ドロ ン 衝 突

に お け る ジ ェ ッ ト現 象 を 扱 う.   ジ ェ ッ トの 観 測:e+e-の

重 心 系 で ク ォ ー ク 対(qq)が

大 き さ が 等 し く方 向 が 反 対 の 運 動 量 を もつ の で180度 じ込 め の ポ テ ン シ ャ ル に よ っ てqqを る(カ

結 ぶ 線 上 に 大 き な エ ネ ル ギー が 蓄 え ら れ

ラ ー 閉 じ 込 め に よ る 紐 の 出 現).一

返 し て ゆ ら い で い る.距

つ く ら れ る と,qqは 方 向 に 離 れ て い くが,閉

方,真

離 が ∼1fm(10-15m)を

空 はq'q'対

の 生 成 消 滅 を繰 り

超 え る と,紐

典 型 的 な ハ ドロ ン の 質 量 エ ネ ル ギ ー よ り大 き くな り,紐

の エ ネ ル ギー は

を 伸 ば す よ り はq'q'

対 が ハ ドロ ン 化 す る 方 が エ ネ ル ギ ー 的 に 得 を す る よ う に な る の で,各 ロ ン が 元 のqqを

結 ぶ 線 上 に た く さ ん 出 現 す る.こ

引 き ず られ て,180度

正 反 対 方 向 に 集 中 し て 放 出 さ れ る の で,ジ

し て 観 測 さ れ る と 考 え る.図8.1に 器 で 観 測 さ れ た2ジ

図8.1 

  e+e-反

れ ら が 元 のqお

ェ ッ ト,3ジ

ヴ ィ ー ナ ス測 定 器 で 観 測 され た2ジ

ェ ッ ト(a)と3ジ

ェ ッ ト(b)

応 で の ジ ェ ッ ト現 象 観 測 に は ジ ェ ッ ト を つ く る個 々 の 粒 子 の 識 別 と

閉 性,一

GeV)で

本 的 に は,コ

様 性,細

分 割 な ど で あ る.図8.2に

ラ イ ダー 実 な わ ち,汎

用

ヴ ィー ナ ス 測 定 器 の 構 造 を

ィ ー ナ ス 測 定 器 の 使 わ れ た ト リ ス タ ン の エ ネ ル ギ ー 領 域(  は,個

々 の ハ ド ロ ン の 平 均 エ ネ ル ギ ー は ∼ 数GeVと

よ る 運 動 量 測 定 が 可 能 で あ る の で,ハ LEP 

定

ェ ッ トの 事 象 例 を 示 す.

験 で の 汎 用 測 定 器 の も つ べ き性 質 と ほ と ん ど 共 通 し て い る.す

示 す2).ヴ

ェ ッ ト現 象 と

ト リ ス タ ン の ヴ ィ ー ナ ス(VENUS)測

エ ネ ル ギ ー 運 動 量 測 定 の で き る こ とが 条 件 で あ る.基

性,密

種 のハ ド よ びqに

小 さ く,磁

場 に

ドロ ン カ ロ リ メ タ ー を 使 う 必 要 が な く,

な ど よ り 高 い エ ネ ル ギ ー で の 測 定 器 よ りは 簡 単 に な っ て い る.

  8.1.1 

ス ケ ー リ ン グ と破 砕 関 数

 ジ ェ ッ トは 次 の よ う な 性 質 を も つ と考 え ら れ る.  (1)  ジ ェ ッ トが パ ー トン の 変 化 し た も の で あ る な ら ば,ジ 親 の パ ー ト ン の 種 類 に よ っ て の み 決 ま り,パ hX,

ep→ehX, pp→hXな

ど)に

ェ ッ トの 形 態 は

ー トン の 生 産 機 構(e+e-→

は 依 存 し な い で あ ろ う.

 (2)  ジ ェ ッ ト 中 の 個 々 の ハ ドロ ン は 基 本 的 に は 親 の パ ー ト ン と 同 方 向 に 集 中 し て 出 る は ず で あ る.こ

の 場 合 ハ ドロ ン の も つ パ ー ト ン の 飛 来 方 向 に

図8.2  1:Inner

トリ ス タ ン ヴ ィー ナ ス測 定 器 の1/4切

Chamber:衝

3:Forward

Chamber:放

出 角 測 定 用 前方

分 離 用 遷 移 放 射 検 出 器,5:飛 イ ル,7:Barrel

Calorimeter:電磁

Coi1:磁

Counter:電

子/π

場 発 生 用 超 伝 導 ソ レ ノ イ ドコ Argon

Filter/Muon

Counter:液

体 ア ル ゴ

Chamber:ミ

ュー オ

ミ ノ シテ ィ測 定 器

  対 し て の 縦 運 動 量p‖ は,親 方 横 運 動 量pTの

性 よ り く る ゆ ら ぎ 程 度,す

の パ ー トン の 運 動 量 に 比 例 し て 増 大 す る で 平 均 値 は,親

の パ ー トン に 無 関 係 に 不 確 定

な わ ち 大 体300MeV程

度 で あ ろ う.こ

れ は

突 で 生 成 さ れ る た く さ ん の π のpγ 運 動 量 分 布 か ら も推 察 で き る.

上 の 考 察 よ りpTや

質 量 を 無 視 す る 近 似 で は,パ

の ハ ド ロ ン の 運 動 量 分 布 関 数(破

パ ー トン の 運 動 量 をpと ど)の

ー トン が ハ ド ロ ン 化 し た と き

砕 関 数=fragmentation

ス ケ ー リ ン グ に 従 う と 推 定 さ れ る.す

π±,K,p,pな

動 量 解 析 用 軌 跡 検 出 器, Radiation

場 も ど し ヨ ー ク,10:Muon

Monitor:ル

あ ろ う.一

Chamber:運

シ ャ ワ ー カ ロ リ メ ター.8:Liquid

Yoke:磁

ン 検 出 器,11:Luminosity

Drift

軌 跡 検 出 器,4:Transition

行 時 間 測 定 用 カ ウ ン タ-,6:SC

ン カ ロ リ メ ター,9:Return 

pp衝

断 図2).左 下 端 に ビー ム衝 突 点 が あ る.

突 点 測 定 用 軌 跡 検 川 器,2:Central

す る と き,パ

破 砕 関 数 をDqhと

distribution)は,

な わ ち ハ ド ロ ン の 運 動 量 をph,親 ー ト ンqか

の

ら 生 成 さ れ る ハ ド ロ ンh(=

書 く と,Dqhは

(8.1)

の み の 関 数 で あ り,運

動 量 がz∼z+dzの間

に あ る ハ ドロ ン の 数 は

(8.2) で 与 え ら れ る で あ ろ う.そ

うす る と,e+e-反

応 で 生 成 さ れ るハ ドロ ン の 種 類

hの 量 は

(8.3) と書 け る.ク

ォ ー ク の 電 荷 をQqeと

す る と き,

で あ る か ら,

(8.4) と な り,右 す る.電

辺 はzの

み の 関 数 でsに

よ ら な い.す

な わ ち ス ケー リン グ が 成 立

子 深 非 弾 性 散 乱 に よ る ハ ドロ ン 生 成 過 程(図8.3(b))が,d2σ/dxdy

∼f(y)xq(x)と

い う形 を し て い る こ と を 使 う と(式(3

ハ ド ロ ン 化 過 程(図8

.3(a))と

.49)),e+e-→hXの

比 較 し て,

(8.5) と表 さ れ,や

はり ス ケ ー リ ン グ が 成 立 す る で あ ろ う.こ

こ にq(x)は,パ

ー ト

応 で 

を変 え

ン の 核 子 内 で の 運 動 量 分 布 関 数 で あ る.図8.4(a)にe+e-反 た と き の 分 布,図8.4(b)にe+e-,νp,ppな す3).図8.4(a)で で はxeeと

は,σ∝s-1と

表 し て い る.デ

ど種 々 の 反 応 に お け る 分 布 を 示 い う 事 実 を 使 い,変数zはxp,図8.4(b)

ー タ の 分 布 は 

ケ ー リ ン グ 則 を 満 た す こ と,運

に よ ら ずzの

動 量 分 布 が パ ー トン 生 成 の 反 応 如 何 に よ ら な い

と い う 上 記 の 仮 定 が 満 た さ れ て い る こ と が わ か る.z<0.2で が 破 れ て い る が,こ

れ は,ソ

み の 関数 で あ りス

は スケー リング

フ トグ ルー オ ン放 出や 有 限 な ハ ドロ ン質 量 の 効 果

で あ る と考 え ら れ る.   破 砕 関 数 に 関 し て は,運

動 量 の 保 存 よ り,

(8.6) が 成 立 しな け れ ば な ら な い.ア uが 真 空 か らddを

イ ソ ス ピ ン独 立 と荷 電 共 役 対 称 よ り,例 え ば

拾 い π+を つ くる確 率 と,dが

真 空 か らuuを

拾 い π-を

(a)  e++e-→q+q→

図8.3  Dqh(z)は

(a)  e-+p→e-+ハ

ハ ドロ ン

破 砕 関数Dqhと

親 の パ ー ト ンqの

fpq(x)は 親 の ハ ドロ ンpの

ドロ ン

パ ー トン分 布 関 数fpq(x)

運 動 量 か らzを 運 動 量 の 中にxを

も っ て ハ ド ロ ン が つ く ら れ る. もつ ク ォー クが い る確 率.

(a) 図8.4  (a)  S(dσ/dxp)(e+e−

→h+x),xp=2p/ 

(b) 破 砕 関 数 の ス ケ ー リ ン グ を 示 す デ ー タ3) , 

14,22,34GeV

(b)  異 な っ た 反 応 で の ジ ェ ッ ト破 砕 関 数;νp(⊿),pp(●;CS  ■;CCOR 

PT>5

,□;CCOR 

つ く る 確 率 は 同 一 で あ る.ゆ

PT>7GeV/c).実

PT<6,O;CS  線 は,e+e-反

PT>6GeV/c, 応 で 得 ら れ た も の を示 す.

えに

(8.7a) (8.7b)

(8.7c) (8.7d) が 成 り立つ で あ ろ う.ニ と し て(3.64)を

ュ ー ト リ ノ 反 応 の 場 合 は 特 に 簡 単 な 式 と な る.h=π

±

参 照 す れ ば,

(8.8a) こ こ に 核 子 の 中 のsク

ォ ー ク や チ ャ ー ム 生 成 の 寄 与 は 無 視 し,第2式

式 へ の 移 行 に は(8.7)を

使 っ た.同

か ら 第3

様 に

(8.8b) と な っ て,破

  8.1.2 

砕 関 数 が 直 接 実 験 的 に 決 め ら れ る.

ジ ェ ッ ト変 数

  a.  ス ラ ス ト と ふ く ら み 指 数   ジ ェ ッ ト現 象 を 記 述 す る に は,ジ ジ ー 変 数,形

態 変 数(shape

利 で あ る.高

エ ネ ル ギ ー のe+e-反

ジ ェ ッ トを 生 成 す る で あ ろ う.こ れ る.一

ェ ッ ト の 形 態 を 特 徴 づ け る 変 数(ト

variable)な

ど)を,い

応 で は 軽 い ク ォ ー ク 対qqは,2個

の

の 場 合 粒 子 は特 定 の 軸 方 向 に集 中 して 生 成 さ

方 グ ル ー オ ン 放 出 を 伴 う 場 合 は3ジ

合3個

ポ ロ

くつ か 定 義 し て お く と便

ェ ッ トに な る と 考 え ら れ,そ

の場

の ジ ェ ッ トは 平 面 内 に あ るか ら粒 子 はパ ンケ ー キ の よ うに平 らに 分 布 す

る で あ ろ う.こ

れ ら の トポ ロ ジ ー を 区 別 す る 量 と し て よ く使 わ れ る変 数 に ス ラ

ス ト(thrust)Tと

ふ く ら み 指 数(acoplanarity)Aが

あ る4).定

義は

(8.9)

(8.10) で あ る.こ eT(eA)を

こ にpiは

あ る 事 象 の 中 に あ るi番目

動 か し てT(A)が

ト軸 と い う.ス

最 大(最

な る よ う に 調 節 す る.eTを

ラ ス トは 生 成 粒 子 群 が ジ ェ ッ ト軸(=ス

揃 っ て い る か の 目 安 を 与 え る.す の 場 合 にT=1と

小)に

の 粒 子 の 運 動 量 で あ り,軸

な り,粒

ラ ス ト軸)に

ス ラス どれだけ

べ て の 粒 子 が 一 つ の 軸 方 向 に 揃 う2ジ

ェッ ト

子 群 が 完 全 に 等 方 的 に 生 産 さ れ る と き にT=0.5と

な る.一

方Aは

あ り,完

全 な 等 方(平

  演 習8.1 

粒 子 の 分 布 が どれ だ け ふ くらむ か ひ し ゃ げ るか を 表 す 目安 で 面)分

布 の と き にA=1(0)と

な る.

粒 子 の 分 布 が 等 方 的 な と き にT=0.5,A=1と

  ス ラ ス ト軸eTを axis)e2を,次

定 義 し た 後,反

の 量Fmajorが

な る こ と を 証 明せ よ.

応 面 内 で,そ

れ に 対 し 垂 直 な 主 軸(major

最 大 に な る よ う に 決 め,

(8.11a) 第3の

軸(従

軸=minor

axis)e3を,eT,e2双

方 に 垂 直 な よ う に と り,Fminor

を

(8.11b) と定 義 す る.e3は

反 応 面 に 垂 直 な 軸 で あ る.グ

数(acoplanarity)の

代 わ りに,偏

ルー プ に よ って は ふ く らみ 指

平 度(oblateness)O

(8.12) を 使 う場 合 も あ る.   b.  Q-プ

ロッ ト

  よ く使 わ れ る も う1組

の 量 は,運

動量 テ ンソル

(8.13) の 固 有 値Qj(Q1
対 応 す る 固 有 ベ ク ト ルr1,r2,r3で

あ る(図8.5

次 の 式 に よ り規 格 化 す る.

(8.14a)

(8.14b) こ れ か ら,反

応 面 内 で の ジ ェ ッ ト軸 に 垂 直 な 横 運 動 量pTinと,反

な 横 運 動 量pToutが

応 面 に垂 直

定 義 で き る.

(8.15a)

(8.15b) Nは1事

象 内 の粒 子 数 で あ る.

(a)

(b)

図8.5 

運 動 量 テ ン ソル とQ-プ

ロ ット

(a)  運 動 量 テ ン ソ ル の 固 有ベ ク トルriと 固 有 値Qi,Q1≦Q2≦Q3 (b)  Q1+Q2+Q3=1で あ る の で,あ る事 象 の(Q1,Q2,Q3)の 組 は 三 角 形ABC 内 の 一 点 と して 表 され る. (c)  Q-プ ロ ッ ト;座 標 をQ1(ABに 2)(Q1+Q2)(ACに 平 行)で 円盤 状,Cに 方 分 布)を

平 行), (BCに 平 行),S=(3/ 表 す.B点 に 近 い と こ ろは ジ ェ ッ トの 形 状 が

近 い と ころ は 棒 状(2ジ

ェ ッ ト),Aに

近 い と こ ろ は 球 状(等

して い る.

  歴 史 的 に は 最 初 に 球 形 指 数(sphericity)Sが

定 義 さ れ た4).

(8.16) 最 小 化 はpTを

定 義 す る軸 を動 か して 行 わ れ る.こ

(sphericity)は,運

う し て 定 義 し た球 形 指 数

動 量 テ ン ソル の 固有 値Qiと

(8.17) で 結 び つ い て い る.等

方 分 布 で はS=1と

と な る.固

対 応 す る 固 有 ベ ク ト ルr3が,sphericity軸

有 値Q3に

ジ ェ ッ ト軸 と 呼 ば れ る.非 で 定 義 さ れ,ふ (b))の

行 な2ジ

ェ ッ ト で はS=0 も し くは

平 面 指 数(aplanarity)は,AP=3QI/2(0<AP<0.5)

く ら み 指 数(acoplanarity)と

条 件 の た め,一

な り,平

つ の 事 象 を 表 す3点

の 陰 影 を つ け た 三 角 形 内 の 一 点 を 表 し,こ

非 常 に よ く似 た 量 で あ る.(8.14 セ ッ ト(Q1,Q2,Q3)は,図8.5(b) れ ら の 点 を プ ロ ッ ト し た もの は

Q-プ

ロ ッ ト と 呼 ば れ る.

  (eT,e2,e3)お

よ び 付 随 す る 変 数 を 使 う こ と の 利 点 は,そ

モ ー メ ン トで あ る た め,QCDに と,粒

れ ら の 量 が1次

の

つ き もの の 赤 外 発 散 を 避 け る こ とが で き る こ

子 が 崩 壊 し て 複 数 個 の 子 粒 子 に 崩 壊 し て も 変 数 値 の 変 動 が な い こ と,ま

たQCDで

計 算 で き る 量 で あ る こ と な ど が あ げ ら れ る.運

動 量 テ ンソルの方法

は,2次

の モ ー メ ン ト を 使 う た め 赤 外 発 散 の 危 険 が あ り,崩

壊 粒 子 が た く さん

あ る と運 動 量 の 大 き い 粒 子 に 重 み が か か りす ぎ て 変 数 の 値 を 歪 め る な ど理 論 と の 比 較 に は 不 適 当 で あ る が,計

算 が 素 早 く で き ジ ェ ッ ト構 造 が 見 や す い(図

8.5(c)で(Q1,Q2,Q3)点

点A,B,Cの

が,頂

カ ル な 構 造 が 直 ち に わ か る)な

  8.1.3 

ポロ ジ

ど 実 験 的 な 見 地 か ら は 十 分 な 有 用 性 が あ る.

ジ ェ ッ ト変 数 の 応 用

  ジ ェ ッ ト変 数 の 効 用 は 第1に,ジ る.ジ

ど れ に 近 い か を 見 て,ト

ェ ッ ト を 同 定 し ジ ェ ッ ト軸 を 決 め る に あ

ェ ッ ト現 象 解 析 に は 欠 か せ な い 基 本 量 で あ る が,い

くつ か の 応 用 を あ げ

て 例 を 示 そ う.   a.  2ジ

ェ ッ ト,3ジ

  MARK-Jグ し た5).こ

ェ ッ トの 分 離

ル ー プ は 軌 跡 情 報 を 使 わ ず,代

の と き 個 々 の 反 応 ご と に ジ ェ ッ ト軸 を 定 義 す る こ と は で き ず 統 計 的

に 処 理 す る 必 要 が あ る.図8.6(a),(b)は,ス 平 度(oblateness)を

大 き く(O>0.1)と

に 広 が る 事 象 で は3-ジ は,重

ラ ス ト を 小 さ く(T<0.8),偏 っ た 事 象,す

な わ ちハ ドロ ンが 円 盤 上

ェ ッ トが 分 か れ る こ と を 示 し て い る.図8.6(c),(d)

心 系 の エ ネ ル ギ ー が 高 くな る と グ ル ー オ ン放 出 頻 度 が 大 き く な り,偏

度(oblateness)の   b. 

わ り に エ ネ ル ギ ー の 流 れ を使 用

平

大 き な 事 象 が 増 え る こ と を 示 す.

ク ォー ク の ス ピ ン

  エ ネ ル ギ ー 

がqqの

質 量 に 比 べ て 十 分 大 き け れ ば,qqは2個

ト を つ く る で あ ろ う か ら,ス はDESY,ト な る とTが

リ ス タ ン,LEPの

ラ ス トTは1に

デ ー タ を 示 し た も の で,エ

急 速 に 立 ち 上 が る こ とが わ か る.し

和 し て く る6).実

の ジェ ッ

近 く な る で あ ろ う.図8.7(a)

か し,あ

線 や 点 線 は ハ ドロ ン 化 モ デ ル(後

述)の

ネ ル ギー が 大 き く る程 度 以 上 い くと飽 モ ン テ カ ル ロ計 算 に

(a)

(b)

(C) 図8.6  T<0.8, O>0.1の (a)  ス ラス

ジ ェッ

(d)

トエ ネ ル ギ ー 流:PETRA,MARK-Jデ

す べ て の デ ー タ(  ト と 主 軸 面 で の 流 れ,(b)ス

=27.4,30.0,31.6GeV)の

ー タ5) エ ネ ル ギ ー 流.

ラ ス ト と 縦 軸 面 で の 流 れ,---はqqgモ

デ ル 計 算,(c),(d)

は(1/N)(dN/dO),(c)  ―qqgモ デ ル -----qq(=325MeV) -・-・-qq(=425MeV/c)

よ るT曲

線 で あ る.モ

デ ル と の 一 致 は よ い.図8.7(b)は

布 を 示 し た も の で,(1+cos2θ)分 e+e-→

ス ラ ス ト軸 の 角 分

布 を し て い る の が 見 て と れ る.こ

μ+μ-の 角 分 布 式(3.15)に

生 成 さ れ る と き の 分 布 で あ り(ス

も 明 ら か な よ う に ス ピ ン1/2の ピ ン0な

ら ばsin2θ

分 布),ジ

の分 布 は 点 粒 子が ェ ッ トが

ク ォ ー ク の 生 成 物 で あ り か つ ク ォ ー ク の ス ピ ン が1/2で

あ る こ との 証 拠 で あ

る.図8.8は 

ロ ッ ト で あ る が7),

で のTASSOデ

ー タ のQ-プ

2-ジ ェ ッ トの 配 位 の 方 に 点 が 集 中 し て い る の が わ か る.

(b)

図8.7 

ジ ェ ッ ト変 数 の テ ス ト

(a)  ス ラ ス ト<1-T>の

(a)

図8.8 

エ ネ ル ギー 変 化6).

各種 の 線 はハ ドロ ン化 モ デ ル に よ る モ ン テ カ ル ロ シ ミュ レー シ ョ ン (b) =34GeVで の ス ラ ス トTに た ジ ェ ッ ト軸 の 角 分 布7)

=34GeVの

ハ ドロ ン事 象 のQ-プ

大 部 分 は2ジ ェ ッ ト(AP≒0,S≒0)で あ る が,円 く らか は あ り,こ れ ら は3ジ ェ ッ トを含 む.

よ り決 め

ロ ッ ト(TASSO)7)

盤 状 事 象(AP≒0,S≒1)も

い

  c.  新 粒 子 発 見 法   e+e-重 の近 く 

心 系 の エ ネ ル ギー 

が,重

で は,QQは

い 新 粒 子Q(質

量M)生

成 の し きい 値

ほ と ん ど静 止 して 生 成 さ れ るか ら

破 砕 化 し て で き るハ ドロ ン は ほ ぼ 等 方 的 に 分 布 す る.す な わ ち ス ラ ス トが 小 さ

く,ふ

く ら み 指 数(acoplanarity)が

大 き い.こ

の 性 質 はe+e-反

を 発 見 す る 方 法 と し て 有 用 で あ る.図8.9(a),(b)は グ ル ー プ で 得 ら れ た デ ー タ を示 し た も の で,ト

応 で新粒 子

ト リス タ ン ヴ ィー ナ ス ップ ク ォー ク が生 成 され て い た

な ら ば 示 し た で あ ろ う分 布 と実 験 デ ー タ を 比 較 し た も の で あ る8).ト ー ク対 が 生 成 さ れ て い る な ら ば

,ふ

く ら み 指 数(acoplanarity)の

ス ラ ス ト の 小 さ い 事 象 の 数 が 多 く な る は ず で あ る.デ 分 布 の 形 がu,d,s,c,bの

大 き い 事 象, ー タ は,T,Aの

軽 い ク ォ ー ク生 成 の み で 十 分 説 明 で き る の で,ト

(a)

(b) 図8.9 

ップ クォ

e+e-→qq反

応 の ジ ェ ッ ト トポ ロ ジ ー 変 数 分 布8)

  ト リス タ ン ヴ ィー ナ ス デー タ ― は 五 つ の ク ォー ク(u,d,c,s,b)の 寄 与のモン テカルロ -----はm=25 .5GeVの トッ プ を加 え た 場 合 の 予 想 値 これ か ら こ の エ ネ ル ギー では トップ クォー クが 生 成 され て い な い とわ か る.

ッ

プ は 生 成 され て い な い こ とが わ か る.CERNのLEP  の 方 法 で 探 した が 見 つ か らな か っ た.ト

で も 同様

ップ の 発 見 は,最 終 的 に は 

か に 大 きな ハ ドロ ン コ ラ イ ダー の テ バ トロ ン(TEVATRON)で

のはる

な さ れ た(§

9.8参 照).

8.2  ハ ド ロ ン 化 モ デ ル

  パ ー トン が ハ ドロ ン ジ ェ ッ トと して 観 測 さ れ るな らば,理 論 と実 験 デー タ と の 比 較 をす る ため に は,パ ー トンが どの よ うにハ ドロ ン に変 換 され るか を理 解 す る必 要 が あ る.現 時 点 で は数 学 的 に 厳 密 な 方 法 が 存 在 せ ず さ ま ざ まの ア プ ロー チ が あ り,い

くつ か の モ デ ル が 存 在 す る.出 発 点 の 考 え 方 が 対 極 に あ る よ

うに見 え るモ デ ル も存 在 す るが,実 験 デー タ を よ く再 現 す るの で あ れ ば,基 本 に あ る考 え は どこ か で〓 が る と期 待 さ れ る.デ ー タの 精 密 化 に も淘汰 され ず 生 き残 る モ デ ル の特 質 を理 解 す る こ とが で きれ ば,正

しい理 論 に行 き着 くで あ ろ

う.

  8.2.1  理 論 とデ ー タの 比 較 処 方   ハ ドロ ン 化 モ デ ル を適 用 して,QCD計 分 け て 二 つ の 方 法 が あ る.第1は

算 を 実 験 で テ ス トす る と き,大 き く

パ ー トン レベ ル で 物 理 量(行 列 要 素)を 解 析

的 に計 算 し,終 状 態 のパ ー トン を何 らか の ハ ドロ ン化 モ デ ル を使 っ てハ ドロ ン レベ ル の 物 理 量 に 対 応 づ け るや り方(行 列 要 素 の 方 法)で あ る.第2は パ ー トンが で きた 段 階 で,DGLAP発 低 い パ ー トン に 分 岐 させ,パ

終状 態

展 方程 式 を適 用 し,次 々 とエ ネ ル ギー の

ー トン シ ャ ワー を発 生 させ る や り 方(パ ー トン

シ ャ ワー の 方 法)で あ る.こ れ ら を模 式 的 に 表 し た の が 図8.10で 要 素 の 方 法 は こ の 図 で い え ば,O(αs2)の

あ る.行 列

計 算 か ら シ ャ ワー 発 生 過 程 を飛 び 越

えて 直 接 ハ ドロ ン化 の 手 続 きを と る こ とに相 当 す る.   シ ャ ワー 発 生 の 場 合 は,カ tuality) Q2 (QCDの は,2次

ス ケー ド発 生 の 各 段 階 で 適 切 な 仮 想 度(vir

ス ケ ー ル を 与 え る 量)の 値 を入 れ て 計 算 す る.Qと

パ ー トン 発 生 の 際 の横 運 動 量pTも

して

し くは 親 パ ー トン の 不 変 質 量 が よ

く使 わ れ る.シ

ャ ワ ー は 仮 想 度Q2が,切

断 値Q02に

達 し た と こ ろ で 止 め,そ

れ 以 後 は ハ ド ロ ン 化 モ デ ル を採 用 し て ハ ド ロ ン に も っ て い く.カ の 摂 動 的 取 扱 い が 有 効 で あ る た め に は,各 す な わ ち,Q0≫

段 階 で の αs(Q)が

Λ で な け れ ば な ら な い.通

Q〓 Λ で は 非 摂 動 的 な 効 果(例

え ば,ボ

ス ケ ー ド発 展

十 分 小 さ い こ と,

常 は,Q0∼1GeVく

ー ズ-ア

ら い に と る.

イ ン シ ュ タ イ ン 相 関 な ど)が

現 れ る.

図8.10  ハ ドロ ン 化 の模 式 図 パ ー トンの 数 が 少 な い(n〓4)と きは,QCD行 列 要 素 の 解 析 計 算 が 可 能 .グ

ルー ス ケー ドの 統 計 的 取 扱

オ ン放 出 が 小 角 度 ま た は ソ フ トと い う近 似 で は,QCDカ い が 可 能(Q>Q0).最 が 必要 で あ る.Q〓 呼 ばれ る.実

終 的 に は(Q
ー トン をハ ドロ ンに 転 換 す る モ デ ル

Λ で は 非 摂 動 的 効 果 が 現 れ る.Qは

の 粒 子 はQ〓0で,Qが

  行 列 要 素 の 方 法 は,αsの

関 数 と し て 少 な く もn次

段 階 で 理 論 計 算 が 存 在 す る の は,σTOT(e+e-→ り終 状 態 は4個

す る の で(典

ま で は 正 確 で あ る が,現

ハ ド ロ ン)以

の パ ー トン ま で に 限 ら れ て い る.ま

わ ち 大 き な 仮 想 度Q2)を

仮 想 度(virtuality)と

大 きい ほ ど摂 動 近 似 が よ くな る.

た,高

外 はn≦2,つ

ま

い エ ネ ル ギ ー(す

な

も つ 終 状 態 パ ー トン に 直 接 ハ ドロ ン 化 モ デ ル を 適 用

型 的 な 仮 想 度 ∼0.1 

)モ

デ ル に 対 す る 依 存 度 が 高 い.そ

で,パ

ー ト ン シ ャ ワ ー 発 生 段 階 を 通 す 方 が,よ

る.パ

ー ト ン シ ャ ワ ー の 方 法 は 発 生 パ ー ト ン の 数 に 制 限 が な い こ と,ソ

ル ー オ ン が 自 然 に 取 り入 れ ら れ て い る こ と,仮

りQCDの

の意 味

基 本 に 忠 実 とい え

想 度 の 切 断Q0が

∼1GeVと

フ トグ 十

分 低 い の で,最

終 段 階 で ど の ハ ド ロ ン 化 モ デ ル を 使 っ て も,結

ら な い な ど の 利 点 が あ る.し 点 で,シ

か し,パ

果 は あ ま り変 わ

ー トンが 分 岐 す る際 の各 ヴ ァー テ ッ クス

ャ ワ ー 発 生 に 便 利 な よ う に グ ル ー オ ン を 同 方 向(collinear)に

る 対 数 近 似 を 使 う の で,堅 を 伴 う,例

い 過 程(hard

え ば エ ネ ル ギ ー 相 関EEC現

点 も あ り,こ

process:Q2の 象)に

大 きな グ ル ー オ ン発 生

対 して は 原 理 的 に精 度 が 悪 い 弱

の よ う な と き は 行 列 要 素 の 方 法 に 利 点 が あ る*1).

  行 列 要 素 の 方 法 を 採 用 し た プ ロ グ ラ ム に はJETSET9)の ロ ン 化 は 紐 モ デ ル),パ ワ ー 版(ハ

放 出す

ド ロ ン 化 は 紐 モ デ ル)や,HERWIG10)(ハ

モ デ ル),NLLA11)な

行 列 要 素 版(ハ

ー ト ン シ ャ ワ ー の 方 法 に はJETSETの

ど が よ く使 わ れ る.同

ド

パ ー トン シ ャ

ドロ ン化 は ク ラ ス ター

じパ ー トン シ ャ ワー モ デ ル で もプ

ロ グ ラ ム に よ っ て 変 数 の 選 び 方 な ど に 差 が あ り 同 一 で は な い.こ

れ らの 手 法 に

は 一 長 一 短 が あ り,状

近 は パ ー トン

況 に 応 じ て 使 い 分 け る 必 要 が あ る が,最

シ ャ ワ ー の 方 法 が 優 勢 と な っ て き て い る.そ

こ で,ま

ず パ ー トン シ ャ ワ ー 発 生

の 基 本 的 な 考 え 方 を 説 明 し て お こ う.

  8.2.2    a. 

パ ー トン シ ヤ ワ ー の 手 法

シャワー発生法

  DGLAP発

展 方 程 式(5.99)∼(5.100)を

ト ン は 一 定 の 確 率 で2個

使 え ば,対

で の パ ー ト ン の 不 変 質 量ti(=Qi2

ln(Q2/Λ2)の 率 は,対

virtualityに

対 しti>tj,tk).発

わ ず か な 変 化dτ=dQ2/Q2の

数 第1近

ー

の パ ー ト ン に 分 裂 す る こ と を 繰 り返 す の で パ ー ト ン

シ ャ ワ ー を起 こ す こ と が 可 能 で あ る(図8.11(a)).運

と に 小 さ くな る(i→j,kに

数 近 似 の 範 囲 内 で,パ

動 学 の 考 察 か ら各 段 階

使 う)は,正

で あ りか つ 分 割 ご

展 方 程 式 に 従 え ば 発 展 変 数 τ=

間 にa→b+cな

る 分 割 が 起 き る確

似 で

(8.18a) で 与 え ら れ る.Pbc←a(z)は 0,1で

§5.5で 定 義 し た 分 割 関 数 で あ る.分

特 異 点 を も つ の で モ ン テ カ ル ロ 計 算 を す る と き は,あ

*1)  最 近 の パ ー ト ン シ ャ ワ ー モ デ ル で は O(αs)の

割 関 数 はz=

ま りに た くさ ん の

,少 な く も 最 初 の グ ル ー オ ン 発 生 に 関 し て は, 正 確 な 行 列 要 素 と整 合 を と っ て い る う え,シ ャ ワ ー 発 展 に 際 し て も,対 数 第2

近 似 を 使 う な ど,こ

れ ら の 欠 点 は 大 幅 に 改 良 さ れ て い る.

ソ フ ト グ ル ー オ ン が つ く ら れ る の を 防 ぐ た め,各 QをQ0よ

り大 き い と す る か,ま

し て 切 断 す る.発

た は グ ル ー オ ン に 仮 想 的 な 質 量(mg)を

導入

展 変 数 が τの と き に パ ー トン 放 出 が 起 き る た め に は,τ=

τmaxよ り出 発 し て,τ

に な る ま で パ ー ト ン を放 出 し な い こ と が 必 要 で あ る.あ

る 小 さ な 範 囲 δτの 間,分 の で,τ

段 階 で の パ ー トン の 仮 想 度

割 が 起 き な い 確 率 は 

を も つ パ ー ト ンaが 

で 与 え られ る

に な る ま で他 の パ ー トン を 放 出

し な い 確 率Sa(τ)は

(8.19) こ れ を ス ダ コ フ 形 状 因 子(Sudakov ンaが,τmaxか /Sa(τ)で

form

factor)と

い う.こ

れ を使 えば パ ー ト

ら τま で パ ー ト ン を 放 出 し な い確率Pa(τmax,τ)はSa(τmax)

与 え ら れ る.し

τ∼ τ+dτ の 間 に2個

た が っ て,は

じ め に τmaxを も っ て い た パ ー ト ンaが

の パ ー トン に 分 裂 す る 確 率 は,

(8.20) で 与 え ら れ る.い

っ た ん 分 岐 し た 後 は,bま

た はcを

親 と して 再 度 上 の 処 方

を 繰 り返 し シ ャ ワ ー を起 こ し,τ が τminに な っ た と こ ろ で 終 了 さ せ る.

(b)

(a) 図8.11 

パ ー ト ン シ ャ ワ ー モ デ ル.パ

ー ト ン が 次 々 に パ ー ト ン を 放 出 し て シ ャ ワー

を つ く る.

(a)  角 整 列 化(θ1>θ2>θ3,θ4>θ5>θ6>θ7>θ8)に よ り干 渉 効 果 を取 り入 れ る こ とが で き る. (b)  ク ラス ター モ デ ル:Q
た くさ ん つ く り,ハ

ドロ ン に転 換 させ る.

  演 習8.2  対 数 第1近

a=b=q,c=gと

し,ク

似(αs(τ)=[b0τ]-1,(5.32)参

ォ ー ク に よ る グ ル ー オ ン 放 出 の み 考 え る と き, 照)で

は,

(8.21) を 示 せ.た

だ し,z積

分 と τ積 分 は 独 立 とす る.

  ル ー プ 補 正 の 理 論 的 考 察 に よ れ ば,αsの 質 量tよ

り は む し ろ, 

HERWIGプ

引 数Q2と

し て は,パ

ー トンの 不 変

を 使 う の が 適 切 と い う 考 え 方 も あ り12),

ロ グ ラ ム な ど で 実 際 に 使 わ れ て い る.

  b.  グ ル ー オ ン 干 渉 効 果   次 々 と 放 出 さ れ る グ ル ー オ ン の 波 長 が 長 い と(ソ に 重 な る 領 域 が 生 じ る.も れ ば,そ

し2個

フ ト グ ル ー オ ン),空

こ で は 干 渉 に よ り互 い に 打 ち 消 し 合 う 効 果 が 生 じ る.対

こ の 効 果 を 調 べ た と こ ろ,後

間的

の グ ルー オ ンが カ ラー と反 カ ラー の 関 係 に あ 数 第1近

似 で

に放 出 され る グル ー オ ンの 放 出角 度 が 先 に 放 出 さ

れ る グ ル ー オ ン の 角 度 よ り大 き い と打 ち 消 し 効 果 が 生 じ る こ と が わ か っ た13). モ ン テ カ ル ロ で は,後

に 放 出 さ れ る グ ル ー オ ン 角 を,そ

の 前 の 放 出 角 よ り小 さ

くす る と い う 角 整 列 化 に よ り こ の 効 果 を 取 り 入 れ て い る(図8.11(a)).   角 整 列 に よ り干 渉 効 果 が 取 り入 れ られ る こ との 直 観 的 理 由 は次 の よ うに し て 得 ら れ る.い ら,Δt後

ま 電 子 と 陽 電 子 が 開 口 角 α で 生 成 さ れ て,電

に 運 動 量kの

な っ た と す る.ハ

フ ォ ト ン を 角 β で 放 出 し,運

動 量pを

イ ゼ ン ベ ル グ の 不 確 定 性 原 理 に よ っ て,Δtは

ネ ル ギ ー と 最 初 の エ ネ ル ギ ー と の 差 ΔEと び β →0の

子 は 仮 想 状 態 υか もつ よ う に 仮 想状 態 のエ

結 び つ い て い る.￨p￨≫￨k￨,mお

よ

極 限で

(8.22) (8.23) λTは 横 方 向 の 波 長 で あ る.こ の Δtの 間 に 電 子 と陽 電 子 間 の 距 離 Δdは

(8.24) とな るか ら, 

(す な わ ち α〓β)な らば,フ

ォ トンは 電 子 と陽 電 子 を 区

別 で き ず,全 体 と して 中 性 の 物 体 と して しか 認 識 しな い か ら放 出 は 抑 制 さ れ

る.Δd>λTな い.QCDの

ら ば 電 荷 は は っ き り と分 か れ る か ら フ ォ ト ン 放 出 は 抑 制 さ れ な 場 合 は,親

が グ ル ー オ ン の と き な ど 全 カ ラ ー 荷 が0に

  で あ っ て も グ ル ー オ ン放 出 が0で

は な い が,同

は な らず

じよ う な議 論 が 可 能 で

あ る14).   c.  ハ ド ロ ン 化   パ ー ト ン は 最 終 的 に は ハ ドロ ン に 変 換 す る が,ハ

ドロ ン種 を 選 択 す る た め に

は 香 り と ス ピ ン を 指 定 し な け れ ば な ら な い.パ

ー トン を ハ ドロ ン に 変 換 す る 最

も 簡 単 な 方 法 は ク ラ ス タ ー モ デ ル と呼 ば れ,次

の よ う に す る.ま

ン は 強 制 的 にqq対

に 変 換 し て か ら,カ

間 内 で 最 も 近 いqqの

ラ ー が 中 性 に な る よ う に,か

組 み 合 わ せ を 選 ぶ(ク

こ の と き,真

空 か らq'q'ま

ク ォ ー ク)を

す べ て 同 じ確 率 で 選 ん で,qq',

ン ま た はqq'q',

qq'q'の

た はq'q'q'q'(q'はc,

bを q'qの

量 子 数 を も つ2個

つ位相 空

も含 む 任 意 の 香 りの

量 子 数 を も つ2個

の メ ソ

の バ リ オ ン に 崩 壊 さ せ る.崩

壊先

に 比 例 し た 重 み を つ け る.

壊 は 等 方 的 に 起 き る.S1,

S2は

ク ラ ス タ の 質 量 が 軽 す ぎ て そ の よ う な2体

崩 壊 先 ハ ド ロ ン の ス ピ ン で あ る.

の 崩 壊 先 が 存 在 し な い と き は,qq'

の 量 子 数 を も つ ハ ドロ ン に そ の ま ま 移 行 さ せ る.変 合 は さ ら に 崩 壊 させ る.ク

ルーオ

ラ ス タ ー と い う.図8.11(b)).

の 選 択 に は 位 相 空 間 体 積  す な わ ち,崩

ず,グ

換 先 の ハ ドロ ンが 共 鳴 の場

ラ ス タ モ デ ル の 特 徴 は,変

つ け る 以 外 は 等 加 重 で あ り,調

換 先が位相体 積の重 み を

整 す べ きパ ラ メ タ ー を も た な い と い う非 常 に 単

純 明 快 な 手 法 を 採 用 し て い る こ と で あ る.   干 渉 効 果 を 入 れ た 最 初 の パ ー ト ン シ ャ ワ ー モ デ ル(Webberモ は,シ

ャ ワ ー を止 め た後 のハ ドロ ン化 モ デ ル と し て クラ ス ター モ デ ル を採 用 し

た.Webberモ ΛMSく

デ ル の 使 う パ ラ メ タ ー の 数 は,Q0

ら い の も の で あ り,実

(virtuality

cut)お

よ び

験 デ ー タ の 試 練 に 耐 え て い ま ま で生 き残 って い

る の は 驚 嘆 す べ き こ と で あ る.さ

す が に 元 の 素 朴 な モ デ ル で は あ ま りに 単 純 す

ぎ て 不 都 合 な 点 も で た の で 改 良 は さ れ て い る が,他 ラ メ タ ー の 少 な い 特 徴 は 残 っ て い る.ハ タ ー モ デ ル に 限 る 必 要 は な く,現 い.

デ ル15))で

の モ デ ル に比 べ 桁違 い にパ

ドロ ン化 モ デ ル と し て は 特 に ク ラ ス

在 で は 紐 モ デ ル と 組 み 合 わ せ て 使 う場 合 が 多

  8.2.3 

独 立 破 砕 モ デ ル16)

  独 立 破 砕 モ デ ル(independent す)は

fragmentation

model,以

ハ ドロ ン 化 モ デ ル に 先 鞭 を つ け た も の で あ り,ジ

と し てDESYに こ で,開

お け るPETRAの

下IFモ

デ ル と略

ェ ッ ト研 究 の 初 期,主

デ ー タ を 解 析 す る の に 威 力 を 発 揮 し た.こ

発 さ れ た 基 本 的 手 法 は 各 種 モ デ ル に 受 け 継 が れ 今 日 で も生 き て い る. (a)

(b)

図8.12 

独 立 破 砕 モ デ ル(independent

fragmentation

model)

最 初 の ク ォー クq1が 真 空 中 よ りq2q2を 拾 い 上 げ,M1=q1q2と い う メ ソ ン をつ くる.残 っ たq2は 再 び真 空 中 よ りq3q3を 拾 い上 げ とい うよ う に,各 ク ォー ク は ま っ た く独 立 に しか し 同 じ よ う に 真 空 か らqiqiを 拾 い上 げ る.こ の 過 程 は 残 り の ク ォー ク エ ネ ル ギー が 小 さ くな りも はや ハ ドロ ン をつ くれ な くな る ま で繰 り返 す.

  a.  破 砕 関 数   こ の モ デ ル は,縦

運 動 量 に つ い て は ス ケ ー リ ン グ が 成 立 し,横

エ ネ ル ギ ー に 独 立 と い う 経 験 則 を 織 り込 ん だ も の で あ る.い を0と

し,横

る 確 率f(z)dzを =zpq‖ -z)p

運 動 量pTを

無 視 す る と,縦

運 動 量pq‖

も っ て 真 空 中 に あ るqi+1qi+1か

を もつ メ ソ ンM(qiqi+1)を

つ く り,残

q‖ を も っ て 進 行 を 継 続 す る(図8.12(a),IFモ

な と き は 運 動 量 の 代 わ りに(E+p‖)と が よ く 使 わ れ る.こ セ ス で,パ

ー トンqiとqjは

を も つ パ ー ト ンqiは,あ

らqi+1を

拾 っ て 縦 運 動 量pMz

り の パ ー トンqi+1は

縦 運 動 量(1

デ ル の 図).質

い う光 円 錐 変 数(light

の と き は, 

運 動 量分 布 は

まパ ー トンの 質 量

cone

量 が有 限 variable)

で 定 義 す る.各

プ ロ

ま っ た く独 立 に ハ ド ロ ン 化 す る とす れ ば,繰

り返

し の 方 法 が 使 え て モ ン テ カ ル ロ 計 算 が 可 能 と な る(図8.12(b)).ハ

ドロ ン 化

の 繰 り返 しは パ ー ト ン の エ ネ ル ギ ー が 小 さ く な っ て こ れ 以 上 ハ ドロ ン が で き な く な る ま で 続 け る.こ

の エ ネ ル ギ ー は,た

く さ ん 存 在 す る ハ ドロ ン 共 鳴 の 質 量

付 近 ∼O(1GeV)に

と る こ とが 多 い.最

初 の パ ー ト ン が ハ ドロ ン 化 す る 全 確

率D(z)dzは,こ

の パ ー ト ン が 最 初 の ハ ド ロ ン化 で 運 動 量zの

メ ソ ン に な る確

率f(z)dzに,残

りの パ ー ト ン が ハ ド ロ ン 化 す る 全 確 率 を 加 え た も の で あ る か

ら,

(8.25a)

(8.25b) と い う 方 程 式 が 成 立 す る.(8.25b)は はz→0でD(z)≒dz/zの

運 動 量 保 存 則(8.6)を

よ う な 解 を も つ の で,ラ

保 証 す る.こ

れ

ピデ ィ テ ィ η

(8.26)

の 分 布 と し て は,η ≒0付 近 で 平 坦 と な る.1/zの

振 る舞 い は,高 エ ネ ル ギー

で ハ ドロ ン発 生 の平 均 多 重 度 が 対 数 的 に増 加 す る と い う経 験 則 に 適 合 す るた め に 必 要 で あ る.f関

数 と して は 香 りがu,d,sの

軽 い ク ォー クの 場 合

(8.27a) が よ く使 わ れ る(図8.13(a)に〓 よ).こ

げ た 実 際 の π,K生

成 の デ ー タ17)と 比 較 せ

の と き は,

(8.28) と な る.香

り がcま

た はbの

重 い ク ォ ー ク の 場 合 は,ピ

ー ター ソ ン 関 数18)

(8.27b) が よ く使 わ れ る.   こ の 関 数 の 由 来 は 次 の よ う に 考 え ら れ て い る.c, は,真

空 か らu,

d, sな

ど の 重 い ク ォ ー クQ

どの 軽 い ク ォ ー ク を拾 って メ ソ ン をつ くっ て も ほ と ん

ど エ ネ ル ギ ー を変 え な い か ら,  ΔE-1に

bな

比 例 す る.MM≒MQと

の 振 幅 は エ ネ ル ギー 差 の 逆 数

して

(8.29)

(a)

(b)

図8.13 

破 砕 関 数 パ ラ メ ター 化 の デ ー タ資 料17)

(a)  (1/σβ)(dσ/dx)(e+e-→hX),h=π

(b)  cク

ォ ー ク の 破 砕 関 数1).実

±,K±,pp, 

線 は ε を パ ラ メ タ ー と し た ピ ー ター ソ ン 曲 線.

ε=0.135±0.010(D0)と

ε=0.078±0.008(D*)

実 験 的 に は  (b)17)).こ

が 成 立 し て い る(図8.13

の 関 数 形 はmQが

の 場 合(mt≫mb)の

大 き く な る と 山 がz∼1付

場 合 は ほ とん ど δ(1-z)に

近 に 移 動 し,tク

ォー ク

近 い と考 え て よ い.

  b.  グ ル ー オ ン の 取 扱 い   グ ル ー オ ン の 取 扱 い は,ク

ォ ー ク と ま っ た く 同 じ と す る か19),ま

数 に 従 いqqに

記 の ハ ドロ ン 化 を 適 用 す る20).

分 け て 後,上

た は分 割 関

  c.  横 運 動 量pT   IFモ

デ ル は 基 本 的 に 縦 運 動 量 の み 扱 う の で,横

運 動 量 は 独 立 に 発 生 さ せ る.

発 生 確 率 は 実 験 経験 式 か ら

(8.30) と す る.σq≒0.3GeVで

あ る.こ

のpTはq'とq'と

の間 で局所 的 に保存 す る

よ う に 決 め る.   d.  香 り と ス ピ ン の 選 択   u,d,s,c,bを 割 合 と す る.こ

拾 う確 率 は,デ の 数 は,c,bの

ー タ を 再 現 す る よ う に,1:1:0.3:0:0の 重 い ク ォー ク は 最 初 の 反 応 で 直 接 生 成 さ れ な

い 限 りハ ドロ ン 終 状 態 に は 現 れ な い こ と を 意 味 す る .ス ク トル メ ソ ンVの

統 計 的 な 重 み は,単

純 に 考 え る と1:3で

メ ソ ン は 通 常 重 く て 位 相 体 積 で 損 を す る の で,生 ∼0 .6く ら い に と る.ス

ピ ン が2以

色 のqqqま

た はqqqを

ば,ハ

ド ロ ン 化 し た 後 の 落 ち 着 く先(共

ベ

ク トル

成 相 対 確 率 をV/(V+P) 率 を適 当 に 割 り

常 は 無 視 す る.バ

香 り に 応 じ て 一 定 の 確 率(qq/q∼0.08)で

し,無

ま る.共

あ る が,ベ

上 の テ ン ソ ル 粒 子 も,確

振 っ て 発 生 さ せ る こ と は 可 能 で あ る が,通 ク ォ ー ク 対qqqqを

カ ラ ー メ ソ ンPと

つ く っ て 発 生 さ せ る.香

リ オ ン は2個

の

真 空 か ら拾 い だ りとス ピ ンが決 まれ

鳴 ま た は 安 定 ハ ドロ ン)は

一 義 的 に決

鳴 の 場 合 は さ ら に 崩 壊 さ せ る.

  こ の モ デ ル は,ジ

ェ ッ ト生 成 の 取 扱 い を 初 め て 定 量 化 し た と い う 点 で 大 き な

歴 史 的 意 義 が あ り,ジ あ る.こ

ェ ッ トの 細 か い 構 造 を 問 題 に し な い 限 り現 在 で も 有 効 で

の モ デ ル の 欠 点 は,ロ

ー レ ン ツ 不 変 で な い こ と,qq対

が独立 に生成

さ れ る た め エ ネ ル ギ ー と運 動 量 が 保 存 し な い こ と な ど で あ る.エ

ネ ル ギー 運 動

量 の保 存 は最 後 に全 体 の 重 心 系 で全 体 の ス ケ ー ル を調 節 して か ら 元 の 系 に も ど す こ と で 成 立 さ せ て い る.ま

た ク ォ ー ク と グ ル ー オ ン の 差 が な く,後

紐 効 果 も再 現 で き な い の で 最 近 は あ ま り使 わ れ な い が,基

に述べ る

本 的 な発 想 は 現 在 で

も生 き て い る.

  8.2.4 

紐

  a.  破

砕

モ 関

  紐 モ デ ル(string

デ

ル21)

数 fragmentation

取 り 入 れ た 点 で 画 期 的 で あ る が,モ の で あ り,パ Lundモ

model;

デ ル)は,QCDの

紐概 念 を

デ ル の 手 法 か ら い え ばIFの

流 れ を汲 む も

ー ト ン シ ャ ワ ー モ デ ル と は 発 想 が 根 本 的 に 異 な る.初

デ ル と も 呼 ば れ た.qqがt=x=0で

ら ば,と

SFモ

も にt2-x2=0の

発 生 す る と,そ

光 円 錐 に 沿 っ て 移 動 す る が,qqの

し た ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー がqqを

の 後 はm=0な 間 に距離 に比例

結 ぶ 線 の 間 に 蓄 え ら れ る とす る.紐

え ら れ る エ ネ ル ギ ー は,  は,初

ト ン(質

量m)の

に蓄

で あ る.qq

期 運 動 量 に よ り紐 を 引 き 延 ば す が,紐

元 に も ど る と い う 振 動 を 繰 り返 す.紐

期 に は

の 張 力 に よ り減 速 さ れ,や

が ては

の 端 に あ り右 方 向 に 進 む 有 限 質 量 の パ ー

エ ネ ル ギ ー 運 動 量 は,相

対論的運 動方程 式か ら

(8.31) で 与 え ら れ る.た る.し

だ し,p0はt=0に

た が っ て,軌

パ ー トン が も って い た 初 期 運 動 量 で あ

跡 は 一 般 に 双 曲 線 で あ る.m=0の

と き は 直 線 と な る が,

運 動 エ ネ ル ギ ー が な く な る と今 度 は 左 方 向 に 進 む の で,図8.14(a)に う な ジ グ ザ グ の 軌 跡(ヨ (b)の

よ う に な る.最

初 のqqの

ギ ー も 大 き く な り,真 る.こ

の と き,ク

ー ヨー と い う)と

な る.ロ

あ るよ

ー レ ン ツ ブ ー ス トす る と

エ ネ ル ギ ー が 大 き い と紐 に 与 え ら れ る エ ネ ル

空 か らq'q'を

物 質 化 し て紐 を ち ぎ る こ とが 可 能 と な

ォ ー ク 対 発 生 率 は,

(8.32a) (8.32b) に 比 例 す る こ とが 導 け る*2).m2の 由 度 し か な い こ と に よ る.こ qが

代 わ りにmT2を

の 形 は,エ

あ る 一 点 で 発 生 す る の で は な く,質

が1次

量 に見 合 った距離 だけ 離 れて生 成 さ デ ル で はqi'qi'を

つ 独 立 に 発 生 させ て い き,残

  破 砕 関 数 は,ク

ド ロ ン)が

紐 の上 に

りの 紐 の エ ネ ル ギ ー が 小

さ く な りす ぎ て も は や ハ ドロ ン を 生 成 で き な く な る ま で 続 け る.こ さ ん の ヨ ー ヨー(ハ

元の 自

ネ ル ギ ー 保 存 則 を 満 た す た め に は,q

れ る こ と に よ る ト ン ネ ル 効 果 と して 理 解 さ れ る.モ 端 か ら順 に 無 秩 序 に,か

使 う の は,紐

う して た く

発 生 す る(図8.14(c)).

ォ ー ク 対 の 発 生 が1次

元 紐 の上 で 一 様 か つ 対 称 と要 求 す る と

ほ ぼ 一 義 的 に 形 が 決 ま り23),

(8.33a)

(8.33b) と い う 形 と な る.指

標Mは

生 成 メ ソ ン,qは

ク ォ ー ク を 示 す.a,

に 合 わ せ るべ き 自 由 パ ラ メ タ ー で,a≒1,b≒0.7GeV-2程   こ の 関 数 は ま た 重 い ク ォ ー ク に 対 し て はz∼1の *2) 強 い電 場 が あ る と真 空 が不 安 定 とな りe+e-が

bは デ ー タ

度 で あ る. 方 に重 み が か か る よ うに

発生 す る とい う よ く知 られ た 類 似 の 現 象

が あ る.そ の場 合 の電 子 対 発生 率 は,電 子質 量 をm,電

場 の 強 さをEと

して

 に 比 例 す る22).同 様 の 取 扱 い を 線 形 ポ テ ン シ ャ ル に 適 用 す る と こ の 式 が 導 け る.

(a)

(b)

(c) 図8.14 

(a)  紐 の エ ネ ル ギ ー は 小 さ く,分 (b)  (a)を

ー ヨ ー と い う.

ロ ー レ ン ツ プ ー ス ト し た も の.

(c)  紐 が 長 く な る と,ち

図8.15 

紐 モデルの模式図 裂 せ ず に 振 動 を 繰 り返 す.ヨ

ぎ れ て た く さ ん ヨー ヨ ー が で き る.

紐 モデ ルで は グル ー オ ン は紐 の キ ン ク(折 れ 曲 が り)と して 表 され る

な っ て い て,(8.27b)の

形 に 近 い 分 布 が 自 動 的 に で る よ う に な っ て い る.

  b.  グ ル ー オ ン   グ ル ー オ ン は 紐 の 中 の キ ン ク(折 ドロ ン は グ ル ー オ ン を 頂 点 と す る2本

れ 曲 が り)と

の 紐 の 上 に 分 布 す る.こ

ン 破 砕 関 数 の 性 質 は 自動 的 に 決 ま り,余 だ し,発

の ため グル ー オ

分 の パ ラ メ タ ー が 入 る余 地 は な い.た

散 を 避 け る た め グ ル ー オ ン の 運 動 量 の あ る 切 断 値(Q0∼5-10GeV)

以 下 の と き はqqと

し て 扱 う.こ

扱 い が 非 対 称 と な る.独 べ て,際

し て 扱 う の で(図8.15),ハ

の こ と に よ っ て,ク

立 破 砕 モ デ ル が,基

ォー ク と グル ー オ ン の取

本 的 に は 両 者 を 区別 し ない の に 比

立 つ た違 い を見 せ て い る.

  c. pT,香

り,ス

ピ ンの 分 配

  ト ン ネ ル 効 果 に よ り,横

運 動 量 は ガ ウ ス 分 布(8.32)に

従 う.ま

ク ォ ー ク に 対 し て は 自 動 的 に 抑 圧 因 子 が か か る よ う に な っ て い る.ク

た,重

い

ォー クの

質 量 を 代 入 す る とu:d:s:c∼1:1:0.3:10-11と (c,bク

な り,実

験 値 を再 現 す る

ォ ー ク 対 が 真 空 か ら 拾 い 上 げ ら れ る 確 率 は 事 実 上0に

ル で は 手 で 入 れ て い た 確 率 分 布 が,紐 い る.し

か し,デ

ー タ と の 一 致 を よ くす る た め に,こ

モ デ ル と 同 じ よ う に 手 で 入 れ る 場 合 も あ る.ス はIFモ

な る).IFモ

デ

モ デ ル の 中 に は は じめ か ら組 み 込 ま れ て れ ら の パ ラ メ タ ー をIF

ピ ンの 入 れ 方や バ リオ ン の発 生

デ ル と 同 様 に 行 う.

  紐 モ デ ル で は,QCDの

紐 効 果 と ク ォ ー ク の 質 量 効 果 が 取 り入 れ られ て お り,

か つ ロ ー レ ン ツ 不 変 性,エ

ネ ル ギ ー 運 動 量 の 保 存 が 成 立 し て い る な ど,IFモ

デ ル に 比 べ て 進 歩 し て い る と い え る.ま

た,す

ぐ後 に 示 す よ う に デ ー タ の 再 現

性 に お い て も優 れ て い る.

  8.2.5 

ハ ドロ ン化 モ デ ル の テ ス ト

  ハ ドロ ン 化 モ デ ル は,か わ た る デ ー タ の 蓄 積 とQCD理 な り,非

な り荒 っ ぽ い 議 論 に 基 づ い て は い る も の の 何 年 に も 論 を指 導 原理 とす る 改 良 に よ って 精 巧 な もの と

常 に 広 範 囲 の デ ー タ を 説 明 で き る よ う に な っ て い る.個

デ ル の 比 較 は 後 ほ ど行 う と し て,モ (dσ/dx,dσ/dpT,粒 ほ か)の

デ ル の パ ラ メ タ ー は,種

子 の 多 重 度n,ス

全 体 構 造(global

ギ ー で はPEPのMARKIIデ

event

ラ ス ト,非

shape)を

ー タ( 

使 っ て い た が,SLC,LEPの

々 の 過 程 とモ

々の観測量 デー タ

平 面 指 数(AP=aplanarity)

再 現 す る よ う に 決 め る.低

エ ネル

)に 合 わ せ た パ ラ メ タ ー24)を

デ ー タ( 

)が

で て か ら,低

エ ネ ル

ギ ー で の デ ー タ と 高 エ ネ ル ギ ー で の デ ー タ の 整 合 性 が 調 べ ら れ た25).   ハ ドロ ン 化 モ デ ル の 検 証 例 と し て は,ジ

ェ ッ ト変数AとTの

げ る.ハ

象 の ジ ェ ッ ト構 造 とnジ

ドロ ン 終 状 態 の 全 体 的 形 状 は,事

相 対 的 な 重 み に よ る と こ ろ が 大 き く,ス

ラ ス トTと

非 平 面 指 数APは

の 種 々 の 分 布 の 違 い を 見 分 け る の に 特 に 有 用 で あ る.例 トが 出 て 丸 く な る 事 象(T,AP→0.5),3ジ 2/3,AP≒0),180度

ェ ッ トの ハ ドロ ン

え ば た くさ ん の ジェ ッ

ェ ッ ト の 円 盤 状 に な る事 象(T≒

正 反 対 方 向 に 出 る2ジ ェ ッ ト事 象(T=1,A=0)な

特 徴 が 盛 り込 ま れ る.図8.16(a)は,LEPで を,低

分 布 を取 り上

のOPAL25)の

どの

非 平面指数 デー タ

エ ネ ル ギー で合 わ せ たパ ラ メ ター を そ の ま ま使 っ た モ デ ル計 算 と比べ た

(a)

(b) 図8.16 

(a)  aplanarity:低

(b)  ス ラ ス ト:LEPで

も の で あ る.ま

合 わせ た パ ラ メ ター の モデ ル で,種

た,(b)は

タ ー を 合 わ せ て,ど で あ る.図

ハ ドロ ン化 モ デ ル の 検 証25)

エ ネ ル ギ ー で の パ ラ メ ター を使 っ た モデ ルで,LEP/OPALデ

逆 に91GeVに

ー タ を合 わせ る.

々 の エ ネ ル ギー デー タ と比 較.

お け るOPALの

デー タ で パ ラ メ

の く ら い 低 エ ネ ルギー デ ー タ を再 現 で き る か を 試 み た も の

は ス ラ ス ト の 例 を 示 し て あ る.各

種 の 異 な る モ デ ル が,低

エ ネル

ギ ー デ ー タ と 同 じ く高 エ ネ ル ギ ー デ ー タ を も よ く再 現 す る こ と が わ か る.た だ,解

析 的 に 行 列 要 素 を 計 算 し て パ ー トン シ ャ ワ ー を 経 ず に そ の ま ま ハ ド ロ ン

化 さ せ る 方 法(図8.16のERT)は,APの

大 き い と こ ろ(反

た と こ ろ で の 運 動 量 の 流 れ の 目安)の れ は,ハ

応 平 面 をは ず れ

デ ー タ の 再 現 が う ま くで き て い な い.こ

ドロ ン 化 の は じ ま る エ ネ ル ギ ー が パ ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル に 比 べ て 非

常 に 高 く(Z0共

鳴 に お け る エ ネ ル ギ ー 領 域 で は ∼10GeV)摂

動QCD部

分 に

比 ベ モ デ ル の 比 重 が 大 き く な り す ぎ る せ い と考 え ら れ て い る.   こ れ ら の 比 較 か ら い え る こ と は,ハ ギー に よ ら な い こ と,低

エ ネ ル ギ ー で の 現 象 と高 エ ネ ル ギ ー 現 象 の 差 はQCD

パ ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル の 中 のΛ こ と を 示 す.つ

ま り,漸

ドロ ン化 モ デ ル の パ ラ メ ター は エ ネ ル

で 表 し た αs(Q2)の 中 に す べ て 含 ま れ て い る

近 自 由 を 入 れ た 一 つ の 結 合 定 数 で,低

エ ネ ル ギ ー と高

エ ネ ル ギ ー の デ ー タ が 統 一 的 に 説 明 で き る こ と を示 す.   ハ ドロ ン 化 モ デ ル が ど の く ら い 精 緻 に 練 ら れ て い る か を 試 す た め に,ジ ト現 象 と 直 接 関 係 は な い が,ハ 8.17は, 

え ば,lund(紐)モ

も の パ ラ メ タ ー を 必 要 と す る.こ

本 的 に は パ ラ メ ター の 数 は0で 再 現 性 が 一 番 よ い が,パ し,そ berモ

ハ ドロ ン 生 成 に お け る ハ ドロ ン の 平 均 数

ド ロ ン の ス ペ ク トル を再 現 す る に は 相 当 多 く の パ ラ メ

タ ー の 調 整 を 必 要 と す る.例 か に5個

ド ロ ン ス ペ ク ト ル の 再 現 性 を 見 て み よ う.図

で のe+e-→

を 見 た も の で あ る26).ハ

デ ル で は,ク

ォー ク質 量 の ほ

れ に 引 き 替 えWebberモ

あ る.図8.17を

デ ルは 基

眺 め る と紐(lund)モ

デル の

ラ メ タ ー の 数 の 多 さ を 考 え れ ば 当 然 で は あ る.し

れ で も テ ン ソ ル メ ソ ン に つ い て は ま っ た く予 言 力 が な い.一 デ ル で は 再 現 性 が 悪 く,や

し て い る.し

ェ ッ

は りパ ラ メ タ ー数0で

か し 全 体 的 に 見 れ ば,ハ

か

方,Web

は 無 理 が あ る こ とを示

ドロ ン 化 モ デ ル が 基 本 的 に は,ジ

ェ ッ ト

の 特 徴 の み な ら ず 粒 子 ス ペ ク ト ル ま で 含 め て か な り よ く再 現 し て い る と い うべ き で あ ろ う.

図8.17 

1回 のe+e-反

応 で 生 成 され る平 均 ハ ドロ ン数26)

  (デ ー タはPEPとPETRAの 平 均 値) ハ ドロ ン スペ ク トル を再 現 す るた め に た くさ ん のパ ラ メタ ー調 整 が 行 わ れ る .紐 モデ ル で は,mqの は基 本 的 に は0パ

ほ か に ≒5個.た ラ メ ター.

だ し,2+は

入 って い な い,Webberモ

デル

8.3 

  8.3.1 

ε,δ の

ジ ェ ッ トの 分 離

方 法

  パ ー ト ン は ジ ェ ッ トに な る こ と,お す る こ と は わ か っ た が,こ ロ ッ ト上(図8

.8)で

例 え ば,2,3ジ

ェ ッ トか ら3ジ をnジ

理 的 に は 図8.18の

放 出 さ れ る と(collinear

gluon)2ジ

あ っ た27).ジ

フ ト グ ル ー オ ン),ク

ェ ッ トの 識 別 変 数 を ε,δ と し,図8.19に 対 比 を1-ε

の 円 錐 を つ く る.e+e-反

ト ン が と ら え ら れ る 断 面 積 を2ジ 計 算 す る と,ε,δ≪1の

ェ ッ トの 定

タ ー マ ン-ワ イ ン バ ー グ(Sterman-Wein

ジ ェ ッ トの ほ ぼ す べ て の エ ネ ル ギ ー(相 に 半 頂 角 δ の2個

あ る よ う に,2

と し て ε≪1)を

包む よ う

応 で こ の 円錐 の 中 に す べ て の パ ー

ェ ッ トの 断 面 積 と し て,O(αs)の

近 似(qq

極 限 で

(a)

(b)

(c) 図8.18 

図8.19で

ジ ェ ッ ト円錐 を定 義 し た と き に ジェ ッ ト成 分 に寄 与 す る フ ァ

イ ンマ ン グ ラフ,(c)で ネ ル ギー 小)か,ま し ま う部 分 は,一

か し,

ォ ー ク と平 行 に

ェ ット と 区 別 が つ か な い.ジ

量 的 取 扱 い を 最 初 に 与 え た の は,ス

+qqg)で

フ ァイ ンマ ン グ ラ フ

の パ ー ト ン 放 出 過 程 と し て 記 述 で き る は ず で あ る.し

グ ル ー オ ン の エ ネ ル ギ ー が 小 さ い か(ソ

berg)で

ェ ッ トへ は 連 続 的 に 移 行 し て い

ェ ッ ト と 呼 ぶ か は 不 定 性 の あ る 問 題 で あ る.

ェ ッ ト発 生 過 程 は,原

で 示 し た2,3個

ェ ッ ト構 造 が 存 在

の 区 分 け が 常 に 明 瞭 に で き る と は 限 ら な い.Q-プ

は,2ジ

て 境 界 が 定 か で は な く,何

よ び 実 験 的 に2,3ジ

は実 の グ ルー オ ン を放 出 す るが,柔

らか い(エ

た は ジ ェ ッ ト軸 に平 行 で 半 頂 角 δの 円 錐 に 入 っ て つ の ジ ェ ッ トの 成 分 に 入 る.

図8.19 

ス ター マ ン-ワ イ ン バー グ の δ,εに よ る ジ ェ ッ ト識 別 変 数 ε=半 頂 角 δの 中に 入 ら な いエ ネ ル ギー の相 対 比.

(8.34) (8.35) と な る.た

だ し,非

常 に 小 さ な εや δ に 対 し て は,(8.34)は

負 にな るの で こ

の 式 は 使 え な い こ と に 留 意 し て お く必 要 が あ る.こ

れ は 第5章,QCDで

た 赤 外 発 散 や 質 量 特 異 性 に よ る も の で あ る.O(αs)の

全 断 面 積 は,

述べ

(8.36) で あ る から,こ

の 式 とσ2jetと の 差 は σ3jetを与 え る は ず で あ る.す

なわ ち

(8.37) (8.34)と(8.37)は,ε

と δ を 指 定 す れ ば,2ジ

ェ ッ ト と3ジ

面 積 が 少 な く も理 論 的 に は 定 量 的 に 扱 え る こ と を 示 す.た が 実 験 的 に 観 測 さ れ る2ジ

ェ ッ トの 生 成 断

だ し,σ2-jetや

σ3-jet

ェ ッ ト断 面 積 そ の も の か ど う か は 定 か で は な い.実

験 で テ ス トす る と き に は 理 論 式 が ハ ド ロ ン 化 モ デ ル を 通 る と い う 不 定 性 が つ き ま と う か ら で あ る.今 に お い て 使 わ れ る.

日 で は,ε,δ

の 方 法 は も っ ぱ ら ハ ド ロ ン-ハ

ドロ ン 反 応

  8.3.2 ycutの   第2の

方

法

そ し てe+e-反

応 で 主 と し て 使 わ れ る ジ ェ ッ ト識 別 変数yは,ジ

トの 不 変 質 量 に 関 連 す る.パ

ー ト ンi,jが

ェ ッ

存 在 す る と き,yijを

(8.38a) で 定 義 す る.パ

ー ト ンi,jの

質 量 が0で

あ る な ら ば,パ

ー ト ンi,jの

不変 質量

は 次 の 量 と 同 等 で あ る.

(8.38b) y>yminを

要 求 す る こ と に よ り 赤 外 発 散 が 防 げ る.全

量 はyminと

独 立 で あ る が,個

断面積 な ど包含的 な測定

々 の ジ ェ ッ トの 発 生 断 面 積σn-jetな

ど はyminに

依 存 す る.σ2jetはO(αs)で28),

(8.39) O(y)の

項 は数 値 的 に は 重 要 で デ ー タ との 比 較 に は 入 れ る 必 要 が あ る.(ε,δ)

処 方 と同 じ く,yが

小 さ く な りす ぎ る と(8.39)は

負 に な るの で,あ

る大 き さ

以 上 で使 用 し なけ れ ば な ら な い,高 次 の項 を正 確 に 考 慮 す れ ば 発 散 は な い は ず で あ るか ら,y→0で

の 発 散 を 避 け る一 つ の 処 方 箋 は,第1,第2の

近似 項 の

み を と り指 数 化 して し ま うこ とで あ る.す な わ ち

(8.40) とす れ ば,y→0で

有 限 と な る.た

寄 与 が 大 き く な る の で,(8.39)の

だ しyの

全 部 の 式 を 使 わ な け れ ば な ら な い.n

ジ ェ ッ ト生 成 断 面 積 に つ い て は,O(αs2)ま 積Rnを

大 きい と こ ろ で は 無 視 し た 項 の

で 計 算 さ れ て い る29).相

対 的 断面

σnjet/σTOTで定 義 す れ ば

(8.41) e+e-反 はf=1に

応 で はQ2=fSと

と る.fは

繰 り込 み 点 の ス ケ ー ル パ ラ メ タ ー で,通

常

と る.

  実 験 レ ベ ル で の ジ ェ ッ トの 再 構 築 に はJADEグ

ル ー プ30)の 処 法 が よ く 使 わ

れ る.そ

の 方 法 は,ま

ず ハ ド ロ ンi,jから

一 つ の 準 粒 子(指

標ij)を

構 成 し,

運動 量変数 を

(8.42) の よ う に 組 み 合 わ せ る.yijyminに

ら ば,一

も っ て き て,pijk=(pi+pj)+pkを よ りyijkを つ く る.こ

な る ま で 続 け る.y>yminを

ジ ェ ッ ト と 見 な す の で あ る*3).同 の 関 数 と し て 求 め る.こ 較 す る に は,パ

つ くり,ijとkの間

で,再

の 作 業 を す べ て の 準 粒 子 に 対 し て 行 い, 満 た す 準 粒 子i,j…kの

組 全 体 を1個

の

じ操 作 を 理 論 的 な パ ー ト ン に つ い て も,ymin

の 理 論 上 で のRn-partonと

実 験 的 に 決 め たRnjetと

デ ル に 頼 ら ざ る を え な い. 

を比

ト リ ス タ ンAMY測

れ

,ymin>0.04

ド ロ ン 化 モ デ ル に あ ま り よ ら ず に, 

モ ン テ カ ル ロ に よ り示 さ れ て い る の で,安 図8.20は

与 え る よ う な 第3

ー トン の ハ ド ロ ン 化 効 果 の 影 響 を 計 算 す る 必 要 が あ る が,こ

は 非 摂 動 効 果 で あ り,モ な ら ば,ハ

番 小 さ なyijkを

で あ る こ とが

定 し た 理 論 と 実 験 の 比 較 が で き る.

定 器 で 得 ら れ たnジ

ェ ッ ト断 面 積 で あ り,ycut

が あ ま り小 さ く な い 限 りモ ン テ カ ル ロ 計 算 は 実 験 値 を よ く再 現 し て い る31).   留 意 す べ き は,Rnは の ジ ェ ッ ト"と

明 ら か にyminの

い う 言 葉 のnは

る 量 で 不 動 の 数 で は な い.ま

関 数 で あ る と い う こ と で あ り,"n個

最 初 に 述 べ た よ う に,パ たQ2=fSの

デ ー タ の 再 現 性 が 微 妙 に 変 わ る.こ

ラ メ タ ー に よ り変 わ

ス ケ ー ルパ ラ メ ター の と り方 に よ り

れ は 現 象 的 に 高 次 効 果 を と り入 れ る こ とに

相 当 す る.

*3)  こ の 方 法 で は

,各 段 階 で の 準 粒 子 の エ ネ ル ギ ー 運 動 量 は,各 ハ ドロ ン の エ ネ ル ギ ー 運 動 量 の 和 で あ っ て 保 存 して い る.し か し,y変 数 を つ く る と き は,式 で わ か る よ う に 前 段 階 の 準 粒 子 の 質 量 は0と

見 な し て い て,本

理 論 上 は パ ー ト ン の 質 量 が0で Ej2)(1-cosθij)/sで 段 階 で,ど

来 の 不 変 質 量m2=E2-p2と は 違 う .こ れ は あ る と い う こ と に 合 わ せ た も の で あ る.yij=2Min(Ei2,

定 義 す る場 合 も あ る(Durham計

の パ ラ メ タ ー を 保 存 させ る か,ど

的 に 最 良 結 果 を 与 え る の が 本 文 の 方 法 で あ る が,理 望 ま し い と さ れ て い る30,33).

量).ジ

ェ ッ ト を構 築 す る過 程 の 各

の 計 量 を 使 用 す る か の 選 択 肢 の 中 で,実 論 的 に はDurhamの

験

計 量 を 使 うの が

図8.20 

n個

の ジ ェ ッ トへ の 分 岐 比 をycutの

実 線 はNLLAパー =sと

包

し た 場 合,点

線 はQ2

した と きの 値 で あ る.

8.4 

  8.4.1 

関 数 と し て プ ロ ッ ト し た も の31)

ト ン シ ャ ワ ー モ デ ル で,Q2=0.0021sと

含

反

αs(Q2)の

決 定 法

応

  αsま た は 同 じ こ と で あ る がΛMSを

決 め る に は,ハ

ドロ ン化 モ デ ル や ジ ェ ッ

ト識 別 変 数 に 依 存 し な い 過 程 で 決 め る の が 理 想 的 で あ る.こ て は 包 含 反 応 が あ り,e+e-反 ΓZに 対 す るQCD補

の よ うな過 程 と し

応 の ハ ド ロ ン 生 成 相 対 断 面 積RやZ粒

正 お よ び 深 非 弾 性 散 乱 のQ2発

子 の幅

展 式 が あ る.

  a.  R,ΓZ   R,ΓzはO(αs3)の

計 算 が で き て い る32).

(8.43)

式(8.43)を

使 っ て,35GeV領

域 で 実 験 値 に 合 わ せ れ ば33)

(8.44a) (8.44b) LEPの

実 験 デ ー タ(表7.2のR=Γh/Γl)を

入 れ て 解 け ば31)

(8.44c) を 得 る.   b.  Rτ の 方 法   τ崩 壊 の ハ ド ロ ン 部 分,す

な わ ち,

に つ い て 同 様 な 方 法 が 適 用 で き る33,34).こ れ は い ま の と こ ろ 最 も 低 いQ値 (mτ)で の αs(Q)を

与 え る.

(8.45)   上 の 方 法 は,理 論 的 に は最 も不 定 性 の な い値 が 得 られ る方 法 で あ るが,残 念 な こ とに これ らは 主 過 程 が 電 弱 相 互 作 用 で あ り,QCD効 入 るの で(δR/R,δΓz/Γzは

果 は 補 正 と して の み

と も に ∼5%程 度)実 験 的 に 精 密 に 決 め る の は 容

易 で な い.   c.  深 非 弾 性 散 乱   深 非 弾性 散 乱 を使 っ てΛMSを 決 め る方 法(QCD§5.6)は,最

初 の そ して 現

在 も最 も正 確 な方 法 の 一 つ で あ る.こ の過 程 は,包 含 反 応 で あ り ク ォー クや グ ル ー オ ン の ハ ドロ ン化 に伴 う不 定 性 を含 まな い こ とは,e+e-反 情 が 似 て い る.し か し,R値

に お け るQCD効

応 のR値

果 は 主要 寄 与 に 対 す る補 正 で あ

り実 験 的 に 小 さ い 量 を扱 うの に 対 し,こ こ で は 構 造 関 数 のQ2発 い る.さ

らに 深 非 弾 性 散 乱 で はxを

と事

展 を 直接 見 て

パ ラ メ ター と し,原 理 的 に は 無 限 個 の 一

連 の構 造 関 数 の 総 合 テ ス トとな って い る こ とに も留 意 し よ う.た だ し,ツ イ ス ト項(1/Q2に

比 例 す る項)の 不 定 性 な どは 存 在 す る の で,理 論 的 明快 さ とい

う点 で は 一 歩 ゆ ず る.最 近 の ミュー オ ン とニ ュ ー トリ ノデ ー タ を使 い,ま た総 合 的解 析 の 結 果 を μ=mZに

とめ

外 挿 す る と17)

(8.46a)

(8.46b) と な っ て い る.な 反 応 や,ハ

お,深

非 弾 性 散 乱 で 求 め たΛMS=ΛMS(4)で

あ る の で,e+e-

ド ロ ン コ ラ イ ダ ー の μ2∼Sの 大 き い と こ ろ で 求 め るΛ=ΛMS(5)と

比 較 す る と き は,(5.51)に

よ っ て 変 換 し な け れ ば な ら な い.

  8.4.2 

ジ ェ ッ トの トポ ロ ジ ー か ら 決 め る方 法

  包 含 反 応 で 決 め る 方 法 は,理 が,実

験 的 観 点 か ら は,個

論 的 曖 昧 さ が な く原 理 的 に 優 れ て い る と い え る

々 の ジ ェ ッ ト現 象 や そ の 特 徴 を 表 す パ ラ メ タ ー か ら

決 め る 方 が 有 利 な こ と も 多 い.ま

た,個

々 の 現 象 の 再 現 性 や,そ

αsを 与 え る か ど う か の チ ェ ッ ク も 必 要 で あ る.ジ 表 す 形 態 変 数(shape 量,ス gy

ラ ス ト,エ

correlation36))な

variable)と

し て は,ジ

ネ ル ギ ー 相 関35),3点 ど が あ る が,こ

ら の 量 を 表 す 理 論 式 は,ee→qqgの

れ らが 共 通 の

ェ ッ トの さ ま ざ ま の 性 質 を

ェ ッ ト 多 重 度,平

均 ジ ェ ッ ト質

エ ネ ル ギ ー 相 関(planer

triple-ener

こ で は 二 つ の 例 を あ げ る に 止 め る.こ 断 面 積 の 式(5.65)を

れ

適 当 に変数変 換 し

て 得 ら れ る.   a.  nジ   nジ

ェッ ト

ェ ッ トの 式 の 形 は(8.41)で

与 え た.実

験 との 比 較 は 行 列 要 素 の 方 法 と

パ ー ト ン シ ャ ワ ー の 方 法 い ず れ も 可 能 で あ る が,パ は,ΛMSを

ー トン シ ャ ワ ー の 方 法 で

入 力 と し て シ ャ ワ ー を 発 生 させ る の で ΛMSが

れ か ら,式(5.45)を

使 っ て αsが 計 算 で き る.次

タ を 使 っ て 決 め たΛMSと

直 接 求 め ら れ る.そ

の 値 は,ヴ

ィー ナ ス の デ ー

αsで あ る37).

(8.47a) (8.47b)   b.  エ ネ ル ギ ー 相 関35)   e+e-反

応 で の ハ ドロ ン 生 成 物 を 互 い に 角 度 で β だ け 離 れ た2個

タ ー で 同 時 測 定 す る 場 合(図8.21)の

相 関 量 を,実

の カ ロ リメ

験的 に

(8.48)

(8.49) で 定 義 す る.Δ

は 測 定 器 の も つχ の 幅 で あ る.i, jは

で あ り,EECの

計 算 に は す べ て の 事 象(event)の

Energy

Corelation,

AEECはAsymmetry

of EECの

一 つ の 事 象 中 の粒 子 番 号 和 を と る.EECはEnergy略 で あ る.理

論 的 には

(8.50a)

(8.50b) を計 算 して得 られ る.実 験 的 に は た い て い の 場 合,θ(測 ビー ム 軸 に 対 す る角 度)で 積 分 した 平 均 のEECを

定 器 を 置 い た地 点 の

だ す の で,上 式 を θ で積 分

す る と,相 関 関 数 は

(8.51a) (8.51b) で 与 え ら れ る.

図8.21 

エ ネ ル ギ ー 相 関 を 測 る.EEC,

  2ジ ェ ッ ト配 位 の 場 合,ハ る か ら,2粒 (8.51)が

子 は β=0,π ξ=0,1に

定

ドロ ン は 主 と し て180度

方 向 に た く さん 放 出 され

の 方 向 す な わ ち ξ=0,1の

と こ ろ に 集 中 す る.式

特 異 点 を もつ の は そ れ を 反 映 し て い る.ソ

放 出 も ま た ほ ぼ 対 称 と 考 え ら れ る が,ハ き は 中 間 の0<β<π

AEEC測

フ トグ ル ー オ ン

ー ド グ ル ー オ ン放 出 の3ジ

の と こ ろ で 相 関 が 強 く な る.し

ェ ッ トの と

た が っ て,AEECは,2

ジ ェ ッ トお よ び ソ フ ト グ ル ー オ ン 放 出 に 起 因 す る 相 関 を相 殺 す る よ う に な っ て い る の で,3ジ

ェ ッ トに 起 因 す る 効 果 が 直 接 表 面 に で て く る .EEC,

 (1)  破 砕 機 構 に あ ま り依 らな い,つ  (2)  赤 外 発 散 が な い.先

AEECは

ま りモ デ ル に独 立.

に議 論 したRnは

摂 動 の 固 定 次 で 考 え る と存 在 す る.ジ

解 析 的 に は 赤 外 発 散 は な い が, ェ ッ ト変 数yminを 有 限 に と るな

ど し て 赤 外 発 散 を 防 い で い る.EECは

本 質 的 に 赤 外 発 散 を 含 ま ず,

ジ ェ ッ ト変 数 の と り方 に よ ら な い.  (3)  ジ ェ ッ ト軸 の 知 識 を 必 要 と し な い.  (4)  摂 動 計 算 の 収 束 が 早 く,O(αs2)の ル ギー

領 域 で,EECで

補 正 に 対 し て 安 定.PETRAの

はO(αs2)の

補 正 が ≒35%,

AEECで

エ ネ は ∼

12%.  (5)  堅 い 過 程 で あ り,パ

ー ト ン シ ャ ワ ー 手 法 が 必 ず し も信 用 で き る と は 限

ら な い 過 程 で あ る.  な ど の 理 由 か ら,行 目 さ れ て い た.特

列 要 素 で の 手 法 で αsを 決 め る の に 最 適 の 現 象 と し て 注

に 高 エ ネ ル ギ ー で の デ ー タ は 信 用 で き る も の と思 わ れ る.理

図8.22  EEC(a), AEEC(b)デ ー タ と各 種 行 列 要 素 計 算 値 との 比 較38) 比 較 は パ ー トン レベ ル(本 文 参 照) .FK,AB,… は 各 種 の理 論 計 算値 で あ る.

由 と し て,αsが

小 さ く な り集 束 が さ ら に よ い こ と,ハ

変 動 が 少 な い こ と が あ げ ら れ る.OPALグ

ル ー プ38)は,測

デ ー タ を パ ー トン レ ベ ル に 引 き も ど し て,解 8.22).MCは

ドロ ン 化 モ デ ル に よ る 定 器 で観 測 され る

析 的 な 理 論 値39)と 比 較 し た(図

モ ン テ カ ル ロ シ ミュ レ ー シ ョ ン を 意 味 す る.そ

を得 た.摂

動 の 高 次 効 果(O(αs2))はEECの

で,EECか

ら 得 ら れ た αsがAEECデ

表8.1 

世 界平 均(*)を

つ く る上 で,*を

(8.52a)

AEEC 

(8.52b)

EEC 

(8.53a)

AEEC 

(8.53b)

方 が 大 き い と見 積 も られ て い る の

つ け た2処

与 え る.最

ジ理 論 値 を 除 外 し た理 由 は,前

EEC 

ー タ に 比 べ 高 い 値 を 示 す の は,こ

種 々 の 反 応 か ら決 め たQCD結

αs(mZ)=0.1183±0.0025を

の結果

合 定 数 αs(Q)33)

方 は 除 いた.表8.1の

も精 度 の よ い2処

方,Rτ

全部 を使 うと 処 方 と格 子 ゲ ー

者 に お い て理 論 的 取 扱 い が 決 着 して い な い こ と,

後者 に 関 して は 歴 史 的 に値 が 変 動 して い る こ とに よ る.除 外 して も 中心 値 は変 わ らず 誤 差 が 大 き くな るの み で あ る.

の事

実 を反 映 して い る もの と考 え られ る.そ の 意 味 でAEECに

よ っ て 求 め た αsの

方 が よ り真 実 に近 い と考 え られ る.

  8.4.3 

漸 近 自由 の テ ス ト

  表8.1に,種 mZに

々 の 過 程 か ら 導 か れ た αsお よ びΛMS(5)を

外 挿 し た αs(mZ)を

も 与 え,比

較 が 容 易 に で き る よ う に し た.図8.23に

は 現 時 点 で の 最 新 の デ ー タ に よ る値 を ま と め た17).明 ら 外 挿 し た αs(mZ)と,Q=mZで が っ てQCDは

比 較 す る33).Q=

の αs(mZ)の

ら か に,低

エネ ルギーか

値 は 同 一 と 見 て よ い こ と,し

た

唯 一 の 結 合 定 数 で 記 述 さ れ る こ とが 示 さ れ た と い っ て よ い で あ

ろ う.図8.24は

αs(Q)の

値 をQの

由 か ら要 求 さ れ る よ う に,αsがQの

関 数 と し て プ ロ ッ ト し た も の で33),漸

近 自

関 数 と して 減 少 して い る様 子 が 明 瞭 に 見

て とれ る.   漸 近 自 由 の 証 拠 は,ほ ール発展 αsで,低

,(2)ハ

か に は(1)深

非 弾 性 散 乱 の パ ー トン分 布 関 数 の ス ケ

ドロ ン 化 生 成 モ デ ル が 漸 近 自 由 を 取 り 入 れ た 単 独 の 結 合 定 数

高 エ ネ ル ギ ー の デ ー タ を 統 一 的 に 説 明 す る な ど の 事 実 が あ り,こ

図8.23 

種 々 の 過 程 よ り決 め たQCD結 上欄 に は 対 応 す る ΛMS(5)を

合 定 数 をMZに 外 挿 した値 示 して あ る17,33).

こ

図8.24 

有 効 結 合 定 数 αs(Q)33)

Qの 関 数 と して 結 合 定 数 の 値 が 変 化 す る.

で の 異 種 反 応 で の αs(Q)の

直 接 比 較 に お け る 証 拠 を 含 め て,い

まや確 固 た る

実 験 基 盤 に 支 え ら れ て い る と い っ て よ い で あ ろ う.   結 局,エ

ネ ルギー

の 異 な る 領 域 で の,す

標 準 に と っ た と き,αsの か っ た.こ

べ て のQCDデ

ー タ は,Q=mZを

た だ 一 つ の 値 で 代 表 さ せ る こ とが で き る こ とが わ

こ で はPDG17)の

引 用 し て い る値 を 掲 げ て お く

(8.54a) (8.54b) 8.5  グ ル ー オ ン の 性 質

  8.5.1    QCDで

ス

ピ

ン

の ゲ ー ジ 粒 子 と し て の 位 置 づ け か ら す れ ば,グ

で な け れ ば な ら な い.実

験 的 に は,グ

ル ー オ ン ス ピ ン は1

ル ー オ ン ス ピ ン はqqg重

心 系 におけ る

ダ リ ッ ツ 図 か ら 求 め ら れ る40).ス す で に 第5章QCDで

ピ ン が1の

場 合 の グ ル ー オ ン 放 出 断 面 積 は,

求 め た(式(5.65)).

(8.55)

一 方

,同

じ 計 算 を ス ピ ン0の

グ ル ー オ ン に 対 し て 行 う と,相

対 断面積 は次式で

与 え ら れ る41).

(8.56) αsは ス カ ラー グル ー オ ンの 有 効 結 合 定 数 で あ る.αsは 参 照 す べ き他 の 過 程 が な く任 意 の値 を とれ るか ら,比 較 に は規 格 化 され た分 布 を使 用 しな け れ ば な ら な い.図8.25(a)を

参照 すれば

(8.57) が 成 立 す る が,エ

リ ス-カ ー リ ナ ー(Ellis-Karliner42))の

ン2, 3の 重 心 系 に 移 り,E-K角

θ を 図8.25(b)の

処 方 に従 ってパ ー ト

よ うに定 義 す る と

(8.58) と な る.図8.26に,TASSOグ 値 の 比 較 が し て あ る が,明

ル ー プ の(1/σ0)dσ/dcosθ ら か に ス ピ ン1の

(a) 図8.25  (a)  重 心 系 でのqqgの

方 に よ く合 う43).

(b) グ ルー オ ン ス ピン を決 め るた め の 運 動 学 変 数 運動学変数

(b)  パ ー トン2, 3の 重 心 系 へ 移 り,エ 義 す る.

デ ー タ と理 論 予 想

ネ ル ギーxiとEllis-Karliner角

θ を定

図8.26  x1<0.9の ―ベク -----ス

  8.5.2 

領 域 でE-K角

グ ル ー オ ン ス ピ ン の 決 定43)

θ の 関 数 と し て パ ー ト ン 分 布 を プ ロ ッ トす る.

トル グ ルー オ ン 式 カ ラー グ ルー オ ン 式

ソ フ ト グ ル ー オ ン と干 渉 効 果

  グ ル ー オ ン に 限 ら ず 質 量0の

粒 子 の 放 出 確 率 はdz/zに

比 例 す る.グ

ン の 場 合 は エ ネ ル ギ ー の 小 さ い ハ ドロ ン の 大 量 放 出 と な る が,カ と い う 非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 特 有 の 現 象 が あ る.こ 体 的 に ど の よ う な 形 で 現 象 と し て 現 れ る か,二 接 比 較 を 行 っ て み よ う.比 た め,パ

似(local

ー オ ン の 横 運 動 量 をpTと

pTで

の 干渉 効 果 が 具

つ の 例 でQCD行

列 計 算 との 直

較 に あ た っ て は ハ ドロ ン 化 モ デ ル の 影 響 を 排 除 す る

際 に 観 測 さ れ る ハ ド ロ ン の 終 状 態 は,パ

∼ 

こ で は,こ

ー トン レベ ル の 計 算 を 直 接 ハ ドロ ン 終 状 態 と 比 較 す る.す

す る と い うLPHD近

ルー オ

ラー 干 渉 効 果

ー トン レベ ル の 計 算 結 果 に 直 接 比 例

parton-hadron

す る と , 

に 比 例 す る((5

.74a)参

は 摂 動 計 算 が 破 た ん す る.し

な わ ち,実

duality)を

採 用 す る.グ

ル

の グ ル ー オ ン 放 出 確 率Wは

照)の

か しpTが

で,W∼1に

な る よ うな 小 さな

十 分 小 さ い 場 分 はnグ

ルー オ ン

放 出 の 和 が 計 算 で き る の で,主

要 な 干 渉 効 果 を 取 り入 れ た あ る 種 の 対 数 近 似 計

算 が で き る(MLLA:

leading

modified

log approximation)44,45).MLLA近

似

で の 干 渉 効 果 は,パ

ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル を 通 した と きの角 整 列 効 果 と同 等 で

あ る.   a.  紐

効

  ま ず3ジ

ェ ッ ト と い う 配 位 が 固 定 さ れ た と き の 第4の

ル ー オ ン)の

果

分 布 を調 べ て み よ う.計

上 に 投 影 し た 第2の

算 に よ れ ば3個

ジ ェ ッ ト(第2の

グ

のパ ー トンが つ くる平 面

グ ル ー オ ン の 極 角 φ の 分 布 は45),

(8.59) (8.60) こ こ に θijはパ ー ト ンiとjの

間 の 角 で あ り,φiは

ル ー オ ン の 極 角 で あ る.CF=4/3はQCDの 数 で あ る か ら,QEDな れ る.図8.27(a)に dφ)/N])を 分 布(ダ は,ソ

り測 っ た グ

カ ラ ー 因 子,Nc(=3)は

カ ラー の

ど ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 の 角 分 布 はNc=0と

お いて得 ら

は,TPCの

デ ー タ46)と 上 の 式 に よ る 放 出 頻 度(ln[(dn/

極 座 標 表 示 で 示 し た.図 ッ シ ュ 線)と

パ ー トンiよ

違 い,堅

か ら わ か る よ うに,QEDで

い グ ル ー オ ン(パ

ー トン3)と

フ ト グ ル ー オ ン 放 出 が 著 し く 少 な く な っ て い る.す

図8.27 

の フ ォ トン 放 出 正 反対 の方 向 に

な わ ち,柔

らか い グ

グル ー オ ン干 渉 に よ る紐 効 果

(1/N)(dn/dφ)を φ の関 数 と して 極 座 標 で描 く.グ ルー オ ン と反 対 方 向 の ハ ドロ ン放 出 が抑 え られ て い る. 直線 と ダ ッシ ュ 線 はqqg(QCD)とqqγ(QED)の デー タ はTPC46)に

理 論 曲 線45)

よ る(●qqg,○qqγ).

三 つ の ジェ ッ トは,エ

ネ ル ギー の 高 い 順 に か つ 反 時 計 まわ りに な る よ うに 配 置 し

て,φ

らの 角 とす る.ジ

を ジ ェ ッ ト1か

ェ ッ ト3を グルー オ ン と見 立 て る.

ル ー オ ン は堅 い グ ルー オ ンに 引 きず られ るの で あ る.こ れ が ソ フ トグ ルー オ ン の 干 渉 に よ る紐 効 果 で あ り,QCDの

非 ア ー ベ ル ゲー ジ理 論 の 性 質 に 根 ざす も

の で あ る.   な お,こ

の デ ー タ を 含 め3ジ

ェ ッ ト現 象 に お け る 粒 子 の 角 分 布 結 果47)を,

各 種 モ デ ル につ い て比 較 した 結 果,独 立 破 砕 モ デ ル ま た は干 渉効 果 を入 れ な い パ ー トン シ ャ ワー モ デ ル は,紐 の 効 果 を 再 現 で き ず デ ー タ と合 わ な い こ と が は っ き り し た.紐

モデ ルや 角 整 列 効 果 の 入 っ て い るパ ー トン シ ャ ワ ー モデ ル で

は 紐 効 果 を再 現 す る.こ

れ ら に つ い て,な ぜ 紐 効 果 が 現 れ るか の 理 由 を 図

8.28に 模 式 的 に 表 した.紐

モ デ ル と シ ャ ワー モ デ ル は 発 想 が 根 本 的 に 違 う の

に 同 じよ う な効 果 を再 現 す る こ とは 興 味 深 い.

(a)独

立破 砕 モ デ ル

(b)紐

モデル

(c)パ

ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル

図8.28  紐 効 果 の 模 式 図 (a)  独 立 破 砕 モ デ ル で は どの ジェ ッ ト も同様 で あ る. (b)  紐 モ デ ル で は グル ー オ ンは 紐 の キ ン クで あ る.紐 に 沿 って ハ ドロ ン が で き るの で,キ

ン クの 反 対

側 は 少 な い. (c)  パ ー トン シ ャ ワー モ デ ル で は グル ー オ ンが 二 重 の カ ラ ー を もつ の で,グ の 間 に 中性 の カ ラー の 組 み 合 わせ が で きや す い.

ル ー オ ン とqま

た はq

  b.  多 重 ハ ド ロ ン の 運 動 量 分 布   角 整 列 と い う 形 で 干 渉 効 果 を 取 り 入 れ る 場 合,後 ど 放 出 角 が 小 さ く な る(図8.11参 が 抑 圧 さ れ る こ と,し

た が っ てLPHD近

圧 さ れ る こ と を 意 味 す る.こ て,ハ MLLA近

照).こ

に放 出 され る グ ルー オ ンほ

の こ と は,低

運 動 量 パ ー トン の放 出

似 に よ り低 エ ネ ル ギ ー ハ ド ロ ン が 抑

の こ と か ら 

の関数 とし

ド ロ ン の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク ト ル に 山 が 生 じ る こ と が 予 言 さ れ る. 似 の 計 算 に よ れ ば48),

(8.61a) (8.61b) (8.61c) (8.62) (8.63a) (8.63b) (8.63c) a0は,

(8.63d) に よ っ て 決 め ら れ る.JBはB次

の 修 正 ベ ッ セ ル 関 数 で あ る.こ

の 公 式 で は,

パ ー ト ン の 発 展 とハ ド ロ ン 化 は 因 数 と し て 積 の 形 で 取 り出 し て あ る .パ

(a)

(b)

図8.29 

QCD干

(a)  ξ=ln(1/xp),xp=2P/ECMの の スペ ク トル と な る.

渉 効 果(MLLA近

似 計 算)49)

関 数 として ξの 大 きい と こ ろ が 抑 圧 され 山 形

(b)  山 の頂 上 値 ξ=ξ0の エ ネル ギー 依 存 性 直 線 は,  ダ ッ シ ュ 線 は,パ 考 慮 した 線.CDFデ

,Y=ln(ECM/2Λeff),Λeff=234MeV, ー トン シ ャワ ー モデ ル で 干 渉 効 果 を入 れ ず 位 相 体 積 の み ー タ は 

と して い る.

ー ト

ン の ハ ドロ ン へ の 変 化 は す べ てK(Y)と る.LPHDに

よ っ てK(Y)はYの

格 化 因 子K(Y)以 MeV程

み の 関 数 と考 え る.上

外 は,Λeff(ハ

度 の 定 数)を

つ 山 の 頂 上(ξ=ξ0)付

い う全 体 の 規 格 因 子 に 集 約 さ れ て い

ド ロ ン 種=π/K/pな

記 方 程 式 は全 体 の 規 ど に よ り 異 な る ∼200

パ ラ メ タ ー と し て 含 む の み で あ る.十 近 で は,上

分 大 き いECMで

か

式 は ほ ぼ ガ ウ ス 関 数 形 を と る.

(8.64a) (1)程 度 の 定 数

 (8.64b)

(8.64c)   図8.29(a)にee反

応 の ハ ド ロ ン の 運 動 量 分 布 を,図8.29(b)に

は ハ ド

ロ ン 反 応 に お け る ジ ェ ッ ト分 布 の 頂 上 値 ξ0の エ ネ ル ギ ー 依 存 性 を,デ

ー タ49)

とMLLA計

=Mjjθ

算 と 比 較 し て 載 せ る33).ハ

ド ロ ン デ ー タ に つ い て は, 

(θ は ジ ェ ッ トサ イ ズ を 決 め る コ ー ン の 大 き さ)と 個 の パ ラ メ タ ー(K(Y)とΛeff)し

か 含 ま な い 近 似 式 で あ る が,ジ

法 の 違 い や エ ネ ル ギ ー に 関 係 な く ジ ェ ッ ト内,ジ 現 す る.ま MLLA/LPHD近

し た.MLLAは

た デ ー タ がLPHD近

基 本 的 に2 ェ ッ ト生 成

ェ ッ ト間 の 粒 子 分 布 を よ く再

似 の 妥 当 性 を 保 証 し て い る こ と も わ か る.

似 の 代 わ り に ハ ドロ ン 化 モ デ ル を 使 っ て ハ ドロ ン ス ペ ク トル

を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン し た 場 合 は,角

整 列 を 考 慮 し た パ ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル が

細 部 に 到 る ま で よ く デ ー タ を再 現 す る.

  8.5.3 

グ ルー オ ン の 自 己 結 合

  QCDの

非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 と し て の 性 格 は,漸

近 自 由 や カ ラー の 閉 じ込

め あ る い は 上 の 紐 効 果 な ど か らす で に 証 明 さ れ て い る と考 え て よ い が,グ

ルー

オ ン が 自 己 結 合 作 用 を も つ こ と を 直 接 証 明 で き れ ば よ り一 層 明 ら か と な る で あ ろ う.QCDの

最 低 次 の 過 程 で は αs(QED)=CFαs(QCD)(CF=4/3)と

お け ば,

ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 と 非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論 と の 区 別 は つ か な い.非 ゲ ー ジ理 論 と して の 効 果 は 高 次 過 程 つ ま り4ジ れ る.最

終 状 態 が4個

む.グ

ェ ッ トの 生 成 反 応 で は じ め て 現

の パ ー ト ン で あ る よ う な 過 程 は,図8.30に

う に 仮 想 グ ル ー オ ン が2個

アーベル

示 され る よ

の グ ル ー オ ン を 放 出 す る 寄 与(図8.30(a))を

ル ー オ ン ス ピ ン を 考 慮 し た と き のDGLAP方

含

程 式 の 分 割 関 数Pgg←g,

Pqq←gは 次 式 で 与 え ら れ る50).

(a) 図8.30 

(d)

(c)

(b)

4ジ ェ ッ ト トポ ロ ジー に寄 与 す るフ ァ イ ンマ ン 図

(a) がQCD特

有 の グ ル ー オ ン 自 己結 合 作 用

(8.65a) (8.65b)   nfは

香 り の 数,zは

放 出 さ れ た パ ー ト ン の 相 対 運 動 量 で あ り,χ

ル ー オ ン の 線 偏 光 ベ ク トル とggま 式(8.65a)はz∼0お

た はqqの

つ く る 平 面 と の 間 の 角 で あ る.

よ び1で 発 散 す る の に 反 し,(8.65b)は

異 な 振 る 舞 い は な い の で,こ

は仮 想 グ

その よ うな特

の 特 徴 を 引 き 出せ る よ う な観 測 量 を考 え れ ば よ

い.仮

想 グ ル ー オ ン の 線 偏 光 ベ ク トル は グ ル ー オ ン を 放 出 す る 最 初 のqqと

想gの

つ く る 平 面 内 に あ る か ら(パ

つ く る 平 面 とggの

リテ ィ 保 存 よ り振 幅 は ∼(εg・pq-pq)),qqの

つ く る平 面 の 間 の 角 がχ

と な る.実

4ジ ェ ッ トの サ ン プ ル を 取 り 出 す こ と,(2)qとgの る こ と が ポ イ ン トと な る.(1)の 高 い 必 要 が あ る.(2)の 3,4と

名 づ け,1,2を

条 件 は4個

の ジ ェ ッ ト を エ ネ ル ギ ー の 高 い 順 か ら1,2, グ ル ー オ ン と 見 な す こ と に よ り対 応 す

は エ ネ ル ギ ー が 低 す ぎ て 効 果 が 見 え ず,最

の ジ ェ ッ トに は,y>ymin=0.01と

こ の と き 図8.30(b)の 4.7%と

な る52).使

と θNR*で

れ い な

つ く る ジ ェ ッ トを 区 別 す

ン 自 己 結 合 存 在 の 証 拠 は ト リ ス タ ン で 得 ら れ た51).こ み て み よ う.4個

験 的 に は(1)き

条 件 を満 たす に は 重 心 系 の エ ネ ル ギー が 十 分

ク ォ ー ク,3,4を

る.PEP,PETRAで

仮

こ で はLEPの

デー タを

い う 条 件 を 課 し て つ く る.

寄 与 は ア ー ベ ル 理 論 で は31.4%も っ た 変 数 は,図8.31(a),(b)で

初 の グ ルー オ

あ る がQCDで

は

示 さ れ て い る よ う な θBZ

(b)

(a)

図8.31 

グ ルー オ ン 自 己相 互 作 用 の 存 在 テ ス トの た め の 角 度 変 数(a)θBZ,(b) θNRの 定 義.4本

の ジ ェ ッ トにつ い てE1>E2>E3>E4と

(a) 図8.32  (a)θBZ分

す る.

(b) グ ルー オ ン 自 己結 合 の 証 拠 デ ー タ

布/OPALデ

ー タ54),(b)θNR分

布/L3デ

ー タ55)

(8.66a) (8.66b) と 定 義 さ れ る53).図8.32にOPAL54)とL355)の

結 果 を 示 す が,デ

ー タは 明瞭

に ア ー ベ ル 理 論 を 否 定 し て い る.   こ こ で,ゲ 図8.30の

ー ジ 群 をSU(3)に

限 定 せ ず,一

般 的 に 群 の パ ラ メ ター を 使 っ て

各 グ ラ フの 寄 与 を表 す と

  図8.30(a)の

寄 与

 ∝CAσA 

(8.67a)

図8.30(b)の 図8.30(c),(d)の

寄 与  ∝TR・nf・ 寄 与

 ∝CF・

と 書 き表 す こ とが で き る.σA∼

で あ り,表8.1の

(8.67b)

σD+(CF-CA/2)σE 

(8.67c)

σEは 各 群 に 共 通 な 量 で あ る.各

CA=Nc:g→ggの

結合 定 数(の

自乗 平 均)

CF:q→gqの

結 合 定 数(の

自 乗 平 均)

TR:g→qqの

結 合 定 数(の

自 乗 平 均)

よ う な 値 を も つ.し

決 め る こ と が で き る.こ せ ず,し

σB+(CF-CA/2)σc 

た が っ て,原

カ ラー 因 子 は

理 的 に はSU(N)のNを

れ を 図 示 し た の が 図8.33で

あ る33).SU(3)と

か も 相 当 数 の 群 を 除 外 で き る こ と が わ か る. 表8.2 

図8.33 

ゲ ー ジ群 の カ ラー 因 子

グル ー オ ン の 自己 結 合 の 証 拠

各 種 ゲ ー ジ 群 のNc/CFとTR/CFの

比 較.デ

ー タ はSU(3)と

合 う33).

は矛盾

  8.5.4 

ク ォ ー ク ジ ェ ッ トと の 違 い

  グ ル ー オ ン は ク ォ ー ク よ り大 き な カ ラ ー 電 荷 を も つ の で,相 く,シ

ャ ワ ー も ク ォ ー ク よ り は 起 こ し や す い で あ ろ う.こ

互 作用 が 大 き

の こ と か ら 直 ち に,

グ ル ー オ ン ジ ェ ッ トは 同 じ エ ネ ル ギ ー の ク ォ ー ク ジ ェ ッ ト に 比 べ,柔 (

が

小),ジ

ェ ッ ト軸 を 中 心 に 広 が っ て い て(ま

度 が 大 き い(が で,QCDで

大)と

い う 推 察 が で き る.実

は/=CA/CF=9/4が

た は<θ>が

際,理

らか で

大),多

論 的 に は 

予 言 で き る56).こ

重

→ ∞

の 比 は,グ

ルー

オ ンの カ ラー 電荷 の 自乗 平 均 を ク ォー クの カ ラー 荷 の 自乗 平 均 で 割 っ た量 で あ る.干   ee反 れ ば3ジ

渉 効 果 を 取 り入 れ れ ば,こ 応 で は,グ

ル ー オ ン は 第3の

ェ ッ ト現 象 の 中 で,最

な して 第1,第2の

の 比 は1に

近 づ く.

ジ ェ ッ ト と し て 現 れ る か ら,簡

もエ ネ ル ギー の低 い ジ ェ ッ トを グル ー オ ン と見

ジ ェ ッ ト と 比 較 す れ ば よ い.し

シ ャ ワ ー が 十 分 発 達 せ ず,グ に 見 え る と は 限 ら な い.実

か し,エ

ネル ギーが低 い と

ル ー オ ン と クォー クの 差 が ハ ドロ ン レベ ル で 顕 著 際,初

期 の 

試 み は 結 果 が ま ち ま ち で あ り57),  え る よ う に な っ た58).こ

単 に考 え

(DESY,

PETRA)で

の ト リ ス タ ン で よ う や く差 が 見

の 場 合 で も,グ

ル ー オ ン と クォー ク を 区別 す る た め に

は 運 動 学 的 条 件 を 適 切 に 選 ぶ 必 要 が あ り,例

え ば ヴ ィ ー ナ ス グ ル ー プ は,対

図8.34  ク ォー クジ ェ ッ トと グ ルー オ ン ジェ ッ ト内の 各 運 動 量 分 布 の 比 較60) LEPとTEVATRONで の ジ ェ ッ トを条 件 をほ ぼ 同 じ く して 比 較 し た.LEPで は,E=45GeVの 65GeVの

ジ ェ ッ ト,TEVATRONで

ジェ ッ トを拾 い,η(ラ

を中 心 に,E≧35GeV,R=(Δ ル ギー 分 布 を測 定 して,ジ

の

は,40<ET<60GeV,<ET>=

ピデ ィ テ ィ)-φ(方 位 角)平

面 で,ジ

ェ ッ ト軸

η2+Δφ2)1/2≦1の中 に 入 る ジ ェ ッ ト内粒 子 の エ ネ ェ ッ ト中 心 か ら 半 径r内 に 含 まれ る ジ ェ ッ トエ ネ ル

ギー量の相対比 ψ(γ)≡[∫E(x≦γ)dx]/[∫E(x≦R)dx]を 示す.

称

3ジ ェ ッ ト 現 象(qqg)と

γ+2ジ

ェ ッ ト現 象(qqγ)を

選 択 した うえで ジェ ッ ト

の 性 質 を 比 較 し て い る.   エ ネ ル ギ ー が 高 く な れ ば 差 は 見 や す く な る.e+e-反 成 さ れ,グ

ル ー オ ン は ク ォ ー ク か ら2次

ギ ー 領 域 で は ジ ェ ッ トの80%以 応,特

に 

応 で はqq対

的 に 放 出 さ れ る の で,LEPエ

上 が ク ォ ー ク 起 源 で あ る.一

の 大 き い 反 応 で は グ ル ー オ ン に よ る2パ

応 が 優 勢 で あ り(後

述 第9章),テ

に お け る デ ー タ で は,ジ

ΔR≦0.4の

ル ー プ は,解

示 す よ う に,ク

ル ー オ ン(CDFデ

ネ ル ギ ー が 高 く な る と,ク

方,ハ

ドロ ン 反

ー トン →2ジ

ェ ッ ト反 )

上 が グ ル ー オ ン 起 源 で あ る59).こ の こ 析 条 件 を 同 じ に し て,CDFデ

ォ ー ク ジ ェ ッ ト(OPALデ

中 心 部 に エ ネ ル ギ ー の90%(ΔR≦1の

を 含 む が,グ

ネ ル

バ ト ロ ン(TEVATRON: 

ェ ッ トの80%以

と に 着 目 し て,OPALグ べ た .図8.3460)に

が ま ず生

ー タ)は75%し

ー タ と比

ー タ)の

場 合 は

総 エ ネ ル ギ ー に 対 す る 比) か 含 ま な い.こ

の よ う に,エ

ォ ー ク ジ ェ ッ ト と グ ル ー オ ン ジ ェ ッ トの 差 は 非 常 に

顕 著 で あ る.

参

1) 

R.F.Schwitters

et

G.G.Hanson

et

考

文

献

al.:Phys.Rev.Lett.,35(1975)1320

al.:Phys.Rev.Lett.,35(1975)1609

2)  VENUS;R.Arai

et

al.:Nucl.Instr.Methods,217(1983)181

3)  TASSO;R.Brandelik

et

al.:Phys.Lett.,B114(1982)65;Z.Phys.,C22(1984)307

P.Darriulat:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,30(1980)159 4) 

E.Farhi:Phys.Rev.Lett.,39(1977)1587 J.D.Bjorken

and

5)  D.P.B.Barker 6) 

et

S.J.Brodsky:Phys.Rev.,D1(1970)1416 al.:Phys.Rev.Lett.,43(1979)830

J.Steinberger:Phys.Report,203(1991)345 L3:Paper

submitted

to Int.Conf.on

High

Energy

1998 7) 

TASSO;M.Althoff

8) 

VENUS;Phys.Lett.,B198(1987)570

9) 

T.Sjostrand:Comput.Phys.Commun.,39(1986)347 T.Sjostrand

et

and

al.:Z.Phys.,C22(1984)307

M.Bengtsson:Comput.Phys.Commun.,43(1987)367

T.Sjostrand:Int.J.Mod.Phys.,A3(1988)751 10) 

G.Marchesini

11) 

K.Kato

and and

B.R.Webber:Nucl.Phys.,B310(1988)461

T.Munehisa:Phys.Rev.,D36(1987)61

Physics

at

Vancouver,July

23-29,

12) 

L.A.Gribov

et

al.:Phys.Rep.,100(1983)1

A.Bassetto

et

al.:Phys.Rep.,100(1983)201

B.R.Webber:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,36(1986)253 13)A.H.Muller:Phys.Lett.,B104(1981)161 B.J.Ermolaev:JETP

Lett.,33(1981)269

Yu.L.Dokshitzer:Sov.J.Nucl.Phys.,47(1988)1384 14) 

Yu.L.Dokshitzer,V.A.Khoze R.K.Ellis

and

Physics,CERN 15) 

and

S.I.Troyan:Rev.Mod.Phys.,60(1988)373

W.J.Stirling:Fermilab-Conf-90/164-T

1988

CERN

91-01

G.Marchesini

and

B.R.Webber:Nucl.Phys.,B238(1984)1

B.R.Webber:Nucl.Phys.,B238(1984)492 16) 

R.D.Field

17) 

Particle

and

R.P.Feynman:Nucl.Phys.,B136(1978)1

18) 

C.Peterson

et

19) 

P.Hoyer et

al.:Nucl.Phys.,B161(1979)349

20) 

A.Ali

21) 

X.Artu

Data

Group:Phys.Rev.,D54(1996),EPJ.,C3(1998) al.:Phys.Rev.,D27(1983)105

et al.:Phys.Lett.,B93(1980)155 and

G.Mennessier:Nucl.Phys.,B70(1974)93

X.Artu:Phys.Rep.,B97(1983)147-171 T.Sjostrand

and

M.Bengtsson:Comput.Phys.Communi.,43(1987)367

P.Mattig:Phys.Rep.,177(1989)142 22) 

J.Schwinger:Phys.Rev.,82(1951)664;ibid.,93(1954)615 E.Brezin

23) 

and

B.Anderson

C.Itzykson:Phys,Rev.,D2(1970)1191 et al.:Z.Phys.,C20(1983)317

X.Artru:Z.Phys.,C26(1984)83 B.Anderson,G.Gustavson,G.Ingelman

and

T.Sjostrand:Phys.Rep.,97(1983)31-

146 24) 

G.Abrams

25) 

OPAL:Z.Phys.,C47(1990)505

et

al.:Phys.Rev.Lett.,63(1989)1558

26) 

W.Hoffman:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,38(1988)279

27) 

G.Sterman

28) 

G.Kramer

29) 

Z.Kunst:Phys.Lett.,B99(1981)429

DELPHI:Phys.Lett.,B240(1990)271

and and

K.Fabricius et

al.:Z.Phys.,C11(1982)315

F.Gutbrod B.Lampe

S.Weinberg:Phys.Rev.Lett.,39(1977)1436 B.Lampe:Z.Phys.,C34(1987)497

et and

al.:Z.Phys.,C21(1984)235 G.Kramer:Prog.Theor.Phys.,76(1986)1340;Z.Phys.,C34(1987)

497 30) 

JADE;Phys.Lett.,B213(1988)235

31) 

AMY;I.H.Park

S.Bethke

SLD;K.Abe 32) 

L.R.Surguladze

et

al.:Nucl.Phys.,B370(1998)310 et

al.:Phys.Rev.Lett.,71(1993)2578

et al.:Phys.Rev.,D51(1995)962 and

M.A.Samuel:Phys.Rev.Lett.,66(1991)560

School

of

Erratum:ibid.,2416 S.Gorishny,A.L.Kataev 33) 

S.Bethke

and

34) 

E.Braaten,S.Narrison

35) 

C.Basham

and

S.A.Larin:Phys.Lett.,B259(1991)144

J.E.Pilcher:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,42(1992)

M.Schmelling:Physica

et

Scripta,51(1995)683 and

A.Pich:Nucl.Phys.,B373(1992)581

al.:Phys.Rev.Lett.,41(1978)1585;Phys.Rev.,D19(1979)2018;

Phys.Rev.,D24(1981)2382 A.Ali

and

F.Barreiro:Phys.Lett.,B118(1982)155

D.G.Richards

et

N.K.Falk

and

Z.Kunst

et

36) 

F.Ciskor

37) 

VENUS;K.Abe

al.:Phys.Lett.,B119(1982)193;Nucl.Phys.,B229(1983)317

G.Kramer:Z.Phys.,C42(1989)459

al.:Z.Phys.at

et

LEP,vol.1,CERN

89-08

al.:Phys.Rev.,D31(1985)1025 et

al.:Phys.Lett.,B240(1990)232

VENUS;A.Suzuki,Ph.D.Thesis,Osaka 38) 

Univ.,1992

OPAL;Phys.Lett.,B252(1990)159 DELPHI;Phys.Lett.,B252(1990)1491 L3;Phys.Lett.,B257(1991)471

39) 

FK;N.K.Falck

and

AB;A.Ali

and

KN;Z.Kunst

G.Kramer:Z.Phys.,C42(1989)459

F.Barreiro:Nucl.Phys.,B236(1984)269 et al.:Z.Phys.at

LEP,vol.1,CERN89-08,1989

RSE;D.G.Richards,W.J.Stirling

and

40) 

J.Ellis et al.:Nucl.Phys.,B111(1976)253

41) 

J.Ellis,M.K.Gaillard

42) 

J.Ellis

43) 

TASSO;R.Brandelik

44) 

Ya.I.Azimov,Yu.L.Dokshitzer,V.A.Khoze

and

and

S.D.Eliis:Phys.Lett.,B119(1982)193

G.G.Ross:Nucl.Phys.,B111(1976)253

I.Karliner:Nucl.Phys.,B148(1979)141 et al.;Phys.Lett.,B97(1980)453 and

S.I.Troyan:Z.Phys.,C27(1986)

213;Phys.Lett.,B115(1982)242;Rev.Mod Phys.,60(1988)373 45) 

Ya.I.Azimov

et

al.:Phys.Lett.,B165(1985)147

R.K.Ellis,D.A.Ross

and

Terrano:Phys.Rev.Lett.,45(1980)1226,Nucl.Phys

.,

B178(1981)421 46) 

TPC;H.Aihara

et al.:Phys.Rev.,57(1986)945

MARKII,P.D.Sheldon,et

al.;Phys.Rev.Lett.,57(1986)945

47) 

JADE;W.Bartel et al.:Phys.Lett.,B101(1981)129;Phys.Lett.,B134(1985)31

48) 

A.H.Mueller:Nucl.Phys.,B213(1983)85 Ya.I.Azimov,Yu.L.Dokshitzer,V.A.Khoze

and

S.I.Troyan:Z.Phys.,C31(1986)

213 C.P.Fong

and

Yu.L.Dokshitzer 49) 

B.R.Webker:Nucl.Phys.,B335(1991)54 et

al.:Rev.Mod.Phys.,60(1988)373

OPAL;M.Z.Akrawy

et

al.:Phys.Lett.,B247(1990)617

M.G.Albrow:Fermilab.Conf.97/073,QCD SLAC 50) 

Summer

G.Altarelli

Institute and

in on

Particle

Hadron-Hadron

Physics,Aug.19-30,1996

G.Parisi:Nucl.Phys.,B126(1977)298

Collisions

,Talk

at

51) 

AMY;Phys.Rev.Lett.,62(1989)1713

52) 

S.Bethke

53) 

M.Bengtson

et al.:Z.Phys.,C49(1991)59 and

O.Nachtman

and

P.Zerwas:Phys.Lett.,B208(1988)306 A.Reiter:Z.Phys.,C16(1982)45

54) 

OPAL;M.Z.Akrawy

55) 

L3;B.Adeva

et

al.:Z.Phys.,C49(1991)49

56) 

S.J.Brodsky

57) 

JADE;W.Bartel

et al.:Phys.Lett.,B123(1983)460

UA2;P.Bagnaia

et

et al.:Phys.Lett.,B248(1990)227 and

J.Gunion:Phys.Rev.Lett.,37(1976)402

al.:Phys.Lett.,B144(1984)291

HRS;M.Derrick et

al.:Phys.Lett.,B165(1985)449

MKII;A.Peterson UA1;G.Arnison

et et

al.:Phys.Rev.Lett.,55(1985)1954

al.:Nucl.Phys.,B276(1986)253

TASSO;W.Braunschweig

et

al.:Z.Phys.,C45(1989)1

58) 

AMY;Phys.Rev.Lett.,63(1989)1772

59) 

CDF;Phys.Rev.Lett.,70(1993)713

60) 

OPAL;Phys.Lett.,B265(1991)462;Z.Physik.,C63(1994)197

VENUS;H.Takaki

et

al.:Phys.Rev.Lett.,71(1993)38

9 高 エ ネ ルギー ハ ドロ ン 反 応(ジ

  ハ ドロ ン 反 応 の 大 部 分,す

な わ ち全 断 面 積 に寄 与 す る部 分 は,そ の ほ とん ど

が い わ ゆ る"柔 らか い過 程=soft 反 応"で

あ る.こ れ はQCDで

process=エ

ネ ル ギー 損 失 や 散 乱 角 が 小 さ い

は 非 摂 動 部 分 に あ た り,ま だ 第1原 理 か ら は い

ま だ 計 算 不 可 能 な 部 分 で あ る.柔 つ.第1は,エ

ェ ッ ト現 象2)

らか い過 程 は,次

の よ うに二つ の特徴 を も

ネ ル ギー が 上 が って ビー ム 方 向 に位 相 空 間 が増 大 した と き,位

相 空 間 の 特 定 の部 分 を選 択 す る力 学 的 要 因 は な く2次 粒 子 は位 相 空 間 内 に一 様 に 分 布 す る.高 エ ネ ル ギ ー 反 応 の 運 動 学 的 変 数 と して,ラ

ピデ ィテ ィ

(9.1) と,横 運 動 量pT,方

位 角 φ を使 う と便 利 な の は,ロ ー レ ン ツ 変 換 に 関 し て簡

単 な変 換 性 を もつ こ との ほ か に,こ れ らの 変 数 を使 えば,位 相 空 間体 積 要 素 が

(9.2) と 表 さ れ る の で,粒 図9.1(a),(b)に

子 分 布 が η に 関 し て 一 様 に な る と期 待 で き る こ と に よ る. 高 エ ネ ル ギ ー 反 応 の デ ー タ1,2)を 示 す が,上

け る も の と な っ て い る.ま ら ば 全 粒 子 数Nは

の範 囲 で生成粒 子 の数 が ほぼ一 様 な

ηmaxに 比 例 す る で あ ろ う.

で あ る の で,N∼lnsの 論 的 に は,N〓ln2sと

た, 

記 の 期 待 を裏 づ

よ うに 成 長 す る答 で あ り,デ ー タ をほ ぼ再 現 す る.理 い うフ ロ ア ッサ ー ル上 限 が 存 在 す る.

  第2の 特 徴 と して,柔

らか い過 程 で は 運 動 量 遷 移 が 小 さ い ため2次 粒 子 の 横

運 動 量 は 小 さ く(∼300MeV),pTが

増大 す るにつ れ指数 関数 的 に反 応率

が 減 衰 す る.し

か し,実

際 の 高 エ ネ ル ギ ー ハ ドロ ン 反 応 に は,指

少 し な い い わ ゆ る 大 き なpTの pTの

事 象(high

小 さ い と こ ろ と 大 き い と こ ろ を 区 別 し て み よ).こ

大 き なpT事

象 で あ り,QCDの

  大 き なpTの

ring;

た4).し SppS

pp

か し,ISRで

pp-collider)を

の 章 で 扱 う の は,こ

の

ハ ド ロ ン 現 象 で ジ ェ ッ トが 観 測 さ れ る で あ ろ う こ と は 理 論 的 に

24+24GeV

(super

存 在 す る(図9.1(c),

摂 動 計 算 が 適 用 で き る 反 応 で あ る.

予 想 さ れ て い た こ と で あり3),歴 age

pT events)が

数 関数 的 に減

史 的 に はCERNのISR

collider, 1972稼

動)で

(intersecting

最 初 の ジ ェ ッ トが 観 測 さ れ

は ジ ェ ッ トは ま れ な 現 象 で,多

proton

antiproton

synchrotron, 

待 た ね ば な ら な か っ た.陽

量 の ジ ェ ッ ト観 測 に は

=570GeV後

に630GeV;

子 の 中 の パ ー トン の 運 動 量 は 平 均

と し て 陽 子 の1/6程

度 し か な い の で,ISRで

GeV程

ェ ッ ト現 象 を 観 察 す る に は エ ネ ルギー

度 と な り,ジ

stor

は,パ

ー ト ン の 運 動 量 は〓4 が,し

た が っ てpT

も ま た 低 す ぎ た の で あ る. (c) (a)

(b)

図9.1 

高 エ ネ ル ギ ー ハ ドロ ン反 応2次 (a),(b)と

横 運 動 量(pT)分

粒 子 の ラ ピ デ ィテ ィ(η)分 布

布(c)2)

9.1  大 横 運 動 量 の ジェッ

 ハ ドロ ン衝 突 型 加 速 器SppSで 50GeVを

ト生 成

は,パ ー トン1個 あ た りの エ ネ ル ギー が優 に

超 え る の で 非 常 に 明 瞭 で 見 誤 り よ うの な い ジ ェ ッ ト現 象 を 多発 す

る.特 に 横 運 動 量 が ∼100GeVを

超 え る大 角 度 散 乱 現 象 は そ の ほ と ん どが

ジ ェ ッ ト を 含 む 反 応 で あ り,そ

の 中 で も2個

の パ ー トン が 弾 性 散 乱 を す る2→

2ジ ェ ッ ト反 応 が 大 部 分 を 占 め る.   図9.2に

は 初 期 のUA2グ

ル ー プ に よ っ て 得 ら れ た デ ー タ2,5)を 示 す.横

動 量pT(ま

た は ほ と ん ど 同 じ こ と で あ る が 横 エ ネ ル ギ ーET)が,∼75GeV

を 超 え る と球 形 指 数(sphericity)が を 表 し て く る こ と,ま

た2ジ

る こ と を示 し て い る.し

急 激 に 小 さ く なり ジ ェ ッ ト と し て の 特 徴

ェ ッ ト現 象 が 占 め る エ ネ ル ギ ー の 割 合 が 大 き くな

か も,優

に 放 出 さ れ て い る.こ

運

勢 な2個

の ジ ェ ッ トは ほ ぼ180度

れ ら の デ ー タ か ら,横

領 域 で は ほ ぼ す べ て が ジ ェ ッ ト現 象,そ

正 反対方 向

運 動 量 の 大 き い(pT〓100GeV)

れ も ほ と ん ど が2ジ

ェ ッ トの2体

反 応

で あ る と こ と が わ か る.

(a)

(b) 図9.2 

ETが

(a) ET>75GeVでsphericityが

(c)

大 き くな る と ジ ェ ッ ト現 象 が 増 え る2,3)

急 速 に 小 さ く な る.

(b)  h2=(ET1+ET2)/ΣET分

布.2本

の ジ ェ ッ トの エ ネ ル ギ ー がET>180GeVを

超 え る と優 勢 に な

る. (c)  2個

の ジ ェ ッ トの つ く る 方 位 角 の 差 の 分 布5).180°

  こ れ ら の 現 象 は,図 Aの

式 的 に は 図9.3の

中 の パ ー ト ン の 一 つ が,ハ

乱 を し た 後,2個

方 向 に 出 る こ と は2体

よ う な 過 程 と 理 解 さ れ る.ハ

ドロ ンBの

観 者 パ ー ト ン:spectator

ま 前 方 に 進 ん で ビ ー ム ジ ェ ッ ト と な る が,こ か ら で な い の で,測 る の で,こ

ドロ ン

中 の パ ー ト ン と 反 応 し て,2体

の パ ー ト ン が ジ ェ ッ ト を 形 成 す る(2→2反

ら な か っ た 残 り の パ ー ト ン(傍

反 応 で あ る こ と を 示 す.

応).反 parton)は,そ

散

応 に加 わ の ま

れ は相 当部 分 が ビー ム パ イ プ の 中

定 器 に 捉 え ら れ る こ と が 少 な く,定

れ か ら の 考 察 の 対 象 か ら は 外 す こ と に す る.

量 的 取 扱 い が 困難 で あ

図9.3 

ハ ド ロ ン 反 応 に お け る大 角2→2反 傍 観 者(spectator)パ

応 が 大 角 ジ ェ ッ ト を つ く る.残

りの

ー ト ン が ビ ー ム ジ ェ ッ ト を つ く る.

(a)

(b) 図9.4 

ハ ド ロ ン コ ラ イ ダ ー に お け る ジ ェ ッ ト現 象6)

(a)  2→2ジ ェ ッ ト,(b)  2→3ジ ェット CDFグ ル ー プ の観 測 した ジ ェ ッ トを,η=-lntanθ/2と もつETを

 の 円 を 描 き,こ とす る.

φ の 平 面 に ジ ェ ッ トの

高 さ と して プ ロ ッ ト した も の.η-φ 平 面 の 一 つ の ジ ェ ッ トの 周 囲 に の 円 内 の エ ネ ル ギ ー を ジェ ッ トエ ネ ル ギ ー

  衝 突 型 加 速 器 実 験 の 場 合,測

定 器 は 衝 突 点 を 囲 む よ うに つ く る の で,粒

布 を衝 突 点 か ら の 極 角 θ と 方 位 角 φ で 方 向 を 表 す こ と が で き る.放 分 布 は θ で 表 す よ り,通

常 は ラ ピ デ ィ テ ィ(ま

デ ィ テ ィ η=lncot(θ/2))と トグ ラ ム(通

方 位 角 φ の2次

た は質 量 を無 視 す る疑 似 ラ ピ

よ く使 わ れ る.2次

粒子 の大部

平 面 で 一 様 に 分 布 す る か ら,こ

面 上 の あ る 特 定 領 域 に エ ネ ル ギ ー が 集 中 し た と き(energy ギ ー の 塊),そ

出粒 子 の

元 平 面 で の エ ネ ル ギー 分 布 の ヒス

常 レ ゴ プ ロ ッ ト*1)と い わ れ る)が

分 を 占 め る 柔 ら か い 過 程 の 粒 子 は,η-φ

cluster=エ

れ を ジ ェ ッ ト と見 な す の は 理 に か な っ て い る.図9.4に

ロ ッ ト に よ る2, 3ジ ェ ッ トの 一 例 を 示 す6).図9.4の 円 が 描 い て あ る が,こ

子分

れ は 

の平 ネ ル レゴプ

ジ ェ ッ トの 一 つ の 根 元 に の 円 で,CDFグ

ループ

は こ の 中 に あ る エ ネ ル ギ ー を ジ ェ ッ トの エ ネ ル ギ ー と 定 義 し て い る.図9.4 (b)は,高

エ ネ ル ギ ー の パ ー トン の 一 つ が グ ル ー オ ン を 放 出 し て3個

トに な っ た と解 釈 で き る が(2→3反

応),囲

の ジェ ッ

い 込 み の 円 を 大 き く と れ ば2→2

反 応 と 見 な す こ と も で き る.

9.2 

  a.  断

面

  パ ー ト ン2体

2→2反

応

積 反 応 のO(αs2)の

の 中 の パ ー ト ンaと

フ ァ イ ン マ ン 図 を 図9.5に

ハ ドロ ンBの

中 の パ ー ト ンbと

示 す.ハ

ド ロ ンA

が 衝 突 し て パ ー ト ンcと

dを 放 出 す る 包 含 反 応 を 考 え よ う.

(9.3) ab→cd反

応 が 堅 い(pTが

大 き い)場

合 の 反 応 断 面 積 は,(5.145)で

与 え ら

れ て い る.

(9.4) こ こ にσ は,パ

*1) Z=f(x

ー ト ン 反 応(ab→cd)の

,y)と す る と き,x-y平 で 表 す 表 示 の こ と.

断 面 積 で 始 状 態 の カ ラ ー につ い て は

面 を 四 角 な マ ス で 区 切 り,Zを

そ の マ ス上 の 柱 の 高 さ

平 均 を,終

状 態 の カ ラ ー に つ い て は 和 を と っ て あ る も の と す る.パ

系 の 全 エ ネ ル ギ ー をsと

ー ト ンab

す る と

(9.5) で あ る.パ ー トンの 散 乱 断 面 積 は

(9.6) で与 え られ る.δcdは 同 一 粒 子 の場 合 の 統 計 因子 で あ る.  と す れ ば,

(9.7a) (9.7b) 4元 運 動 量pμ を,pT,方

位 角 φ,ラ

ピデ ィテ ィ で ηで 表 す と

(9.8) パ ー ト ンc, が,ハ

dの

ラ ピ デ ィ テ ィ を ηc,ηdと す れ ば,パ

ー ト ン 系 の2粒

子 重心 系

ド ロ ン 重 心 系 で もつ ラ ピ デ ィ テ ィ η とハ ド ロ ン 重 心 系 で の2粒

子 の相

対 ラ ピ デ ィ テ ィ(Δy)は

(9.9) で あ り,質

量0のパ

ー トンcの

パ ー トン 重 心 系 で の 散 乱 角 θ*は

(9.10a)

(9.10b) で 与 え ら れ る.生

成 さ れ た ジ ェ ッ トの ラ ピ デ ィ テ ィyc, ydが,パ

デ ィ テ ィ ηc,ηdと 同 じ で あ る と す れ ば,全

体(粒

子AB)の

ー トン の ラ ピ

重心 系 でのパー ト

ンの 運 動 量

(9.11) お よび エ ネ ル ギー 運 動 量 保 存 則 か ら,縦 運 動 量xa, xbと 横 運 動 量  は

(9.12a)

(9.12b) とい う関 係 式 か ら計 算 で き る.ま た2個

の ジェ ッ トの 不 変 質 量Mjj2は

(9.13) これ ら の変 数 を使 え ば,断 面 積 は

(9.14) ま た,

(9.15) を 使 え ば,

(9.16a) (9.16b) と も 表 さ れ る.さ

ら に(9.13)を

使 い,Mjj2/s=τ

と お い て,2ジ

ェ ッ ト生 成

断 面 積 を書 き表 す と

(9.17)

(a)

(b)

(c)

(d)

(f)

(g)

(h)

(i)

図9.5  (a) qq散 (h),(i) gg散

乱,(b),(c) qq散 乱

2→2反

(e)

応 に お け るO(αs2)過 程

乱,(d) qq→gg,

(e) gg→qq,

(f),(g) qg散

乱,

と な る.

(9.18) は,ハ る.た 〓uと

ド ロ ンAとBの だ し,親

反 応 に お け る パ ー ト ンa,

に よ る ジ ェ ッ トの 区 別 は で き な い の で,c=dの

し た 項 を 加 え るが

  表9.1に,図9.5の 表9.1で

b衝 突 の ル ミ ノ シ テ ィ で あ

,角

度 に つ い て の 積 分 は90度

場 合 以 外 はt

で 止 め る こ と と す る.

フ ァ イ ン マ ン グ ラ フ に 対 応 す る 反 応 の￨M￨2を

注 目 す べ き は,大

与 え る7).

き な 断 面 積 を 与 え る の は 弾 性 散 乱 で あ り,特

ル ー オ ン が 関 与 す る と こ の 特 徴 が 著 し い.こ

に グ

れ は グルー オ ンが カ ラー を二 重 に

も っ て お り結 合 が 大 き い こ とか ら く る. 表9.1  2→2パ ー トン反 応 の 不 変 行 列 要 素 Σ￨M￨27) パ ー トン 質 量 は0と し,カ ラー と ス ピ ン につ い て は 始 状 態 の 平 均 と終 状 態 の和 を とっ て い る.g2=4π

αsで あ り,右 側 の列 の 数 値 は90度

で の 相 対 値 を示 す.

  b.  実 験 と の 比 較   横 運 動 量 の 大 き い 現 象 を 捕 ら え る と,ジ た.こ

れ はSppSで

のUA1,

UA2グ

高 い エ ネ ル ギ ー を もつ テ バ トロ ン(  に 比 べ て3倍 の エ ネ ル ギ ー で あ る)で

=1.8TeV,こ

ηdに つ い て 積 分 し,改

ら ば,は

れ はSppSの

るか に

∼630GeV

とに か くジ ェ ッ トを一 つ 捕 ま え て横 運 動

量 の 関 数 と し て ど う 振 る 舞 うか 調 べ よ う.こ で,(9.14)を

ェ ッ トが 際 だ っ て く る こ と は 述 べ

ル ー プ の 経 験 で あ る.な

れ は ジ ェ ッ トの 包 含 反 応 で あ る の

め て ηc=η と お き,さ

ら に ジ ェ ッ トの 質

量 を0と お く近 似 で

(9.19) 図9.6(a),(b)は,UA2, す8,9).UA2グ

CDFグ

ル ー プ に よ るpp衝

ル ー プ の デ ー タ は 第1近

O(αs2(Q2))の

寄 与 で 表9.1に

(NLO:

leading

next

似(LO: leading

与 え た も の)の

order=O(αs3(Q2)))10)の

突 で の 実 験 デ ー タ を示 order,す

計 算 と,CDFデ

な わ ち

ー タ は 第2近

計 算 と比 較 し て あ る.第1近

似 似

で ほ ぼ 満 足 す べ き 結 果 を与 え る も の の η の 大 き い と こ ろ で は や や ず れ て く る. 第2近

似 計 算 が9桁

に も わ た る デ ー タ を ±20%の

事 で あ る.図9.7に れ もQCDの

断 面 積 を2ジ

精 度 で再 現 して い る の は 見

ェ ッ トの 不 変 質 量 の 関 数 と し て 描 い た が,こ

予 想 値 と合 っ て い る9).

  散 乱 角 θ*を 固 定 し た 場 合 の ジ ェ ッ ト質 量Mjj(=xaxbs)分 布 関 数 のx依 qqの

存 性 に よ り決 ま る.図9.8に

相 対 寄 与 を2ジ

優 勢 で あ る の は,xの

ー トン 分

各 過 程gg→gg,gq→gq,qq→

ェ ッ ト質 量 の 関 数 と し て 示 す.次

ジ ェ ッ ト生 成 は 弾 性 散 乱 過 程 が 主 成 分 で あ り,か と ん ど 関 係 な く一 定 で あ る.Mjjの

布 は,パ

節 に 示 す よ う に,2

つ 各 過 程 の 相 対 比 は角 度 に ほ

小 さ い と こ ろ(Mjj≦50GeV)でgg過

程 が

小 さ い と こ ろ で グ ル ー オ ン 分 布 関 数 が 大 き く,ま

散 乱 断 面 積 自 身 も 大 き い こ と に よ る.100〓Mjj〓200GeVで

(a)

はgq過

たgg 程 が,

(b) 図9.6  包 含 反 応d2σ/dpTdη

(a)  UA2デ

ー タ8),(b)  CDFデ

ー タ9)

(a)で は 実 線 でQCD第1近 似 計 算 結 果 を,(b)で は 実 線 でQCD第2近 は,Λ=1.4TeVと した 場 合 の 下 層 構 造 を付 加 した モ デ ル を示 す.

似 計 算 を示 し た.(b)の

点線

図9.7 

dσ/dMjj:2ジ 分 布9) ー タ とQCD計

CDFデ

図9.8 

2体

ェ ッ ト不 変 質 量 算 との 比較.

反 応 に お け る各 過 程

(GG;グ ルー オ ン-グ ル ー オ ン 融 合,GQ;グ ル ー オ ンク ォー ク反 応,QQ;ク

ォー ク-

ク ォー ク反 応)の 相 対 寄 与 をMjj の 関 数 と して表 す.

Mjj〓250GeVで

はqq過

程 が 優 勢 に な る の は,xし

た が っ てMjjが

こ ろ で ク ォ ー ク 分 布 関 数 が 大 き い こ と を 反 映 し て い る.2ジ が,表9.1の は,グ

大 きい と

ェ ッ ト生 成 断 面 積

中 に あ る 過 程 を 正 し く考 慮 し て デ ー タ が 説 明 で き る と い う こ と

ル ー オ ン の 関 与 す る 散 乱 す な わ ち グ ル ー オ ン-グ ル ー オ ン 結 合 の 存 在 の

明 白 な 証 拠 で あ り,QCDの   c.  歴 史 は 繰 り 返 す(ジ

非 ア ー ベ ル 的 性 質 の 間 接 的 証 拠 と な っ て い る. ェ ッ トの ラ ザ フ ォ ー ド散 乱)

  ジ ェ ッ ト現 象 が パ ー ト ン レ ベ ル で は2体

反 応 で あ り,QCDに

離 で は ク ー ロ ン 型 で あ る こ と を 考 慮 す る な ら ば,ラ

よ る力 は 近 距

ザ フ ォ ー ド散 乱 の 特 徴 を備

え て い る は ず で あ る.表9.1の

各 チ ャ ネ ル の 角 分 布 は そ れ ぞ れ 微 妙 に 違 う が,

θ〓90度

ャ ネ ル 交 換 項((1-cosθ*)-2に

で は,優

勢 な 項 はtチ

あ る こ と を 考 慮 す る と実 は ほ とん ど変 わ ら な い.そ

比 例 す る 項)で

こ で,qq→qq,qg→qg,

gg→ggの gg反

角 分 布 は ほ と ん ど 同 一 で あ る と し て,2→2反

応 で 代 表 さ せ る こ と が で き る10).こ

の 場 合,全

分 布 関 数 を 分 離 す る こ と が で き る.表9.1か

ら,各

応 の 角 分 布 は,gg→ 体 の 断 面 積 か らパ ー トン

チャネルの寄与 は

(9.20) で与 え られ る の で

(9.21) (9.22) (9.23) と な る.し

た が っ て,θ

∼0付

近 で, 

と な り,よ

知 ら れ た ラ ザ フ ォ ー ド散 乱 と 同 じ形 に な る.小

く

角 で の デ ー タ比 較 に は 変 数 を

(9.24) に 変 え る と,

(9.25) と な り,χ>2で θ*とdσ/dχ π/2)で,断

ほ と ん ど 定 数 と な る の で 見 や す く な る.図9.9に,dσ/dcos の デ ー タ を 示 す が11,12),QCD計

算 と よ く合 っ て い る.χ<1(θ*>

面 積 が 上 向 き に 転 じ る の は,sチ

ャ ネ ル 寄 与 の せ い で あ る.

  個 々 の パ ー トン 断 面 積 を 外 に 取 り 出 す こ と に よ り,パ で き る の で,2ジ

ェ ッ ト散 乱 デ ー タ か ら パ ー ト ン 分 布 関 数F(x)が

る.図9.10に,Q2=20GeV2で ト ン 分 布 関 数(図9.10の

と の 比 較 を 示 す14).こ

実 線)か

ら,(Q2=2000GeV2ま

の よ う に 高 いpT領

で 発 展 させ た 曲 線 デ ー タ か ら 決 め たF(x)

域 で は 構 造 関 数 は ほ と ん ど指 数 関 数

目す べ き はg+(4/9)(q+q)と(4/9)(q+q)と

ン の 寄 与(gg,gq,gq散

決 め られ

深 非 弾 性 散 乱 その 他 の デ ー タか ら決 め た パ ー

(点 線;Duke-Owens13))と,UA1のpT>70GeVの

的 で あ る.注

ー トン 分 布 関 数 が 分 離

乱)が

大 き い こ と を 示 し て い る.図

の 差 で,グ

ルー オ

に よ れ ば,xの

小

さ い と こ ろ で は ほ ぼ 純 粋 な グ ル ー オ ン ジ ェ ッ トが 取 り 出 せ る こ と,xの

大 きい

と こ ろ か ら は ほ ぼ 純 粋 な ク ォ ー ク ジ ェ ッ トが 取 り 出 せ る こ と を 示 す.ま

た,発

展 方 程 式 か ら 計 算 で 決 め た パ ー トン の 分 布 関 数(§5.6.2の

議 論 を参 照)が,

Q2発 展 を含 め て 正 し く実 験 値 を再 現 す る こ と を示 して い る.

(b)

(a) 図9.9  (a)  dσ/dcosθ*  (b)  dσ/dχ 

(a)で は,実 曲 線,(b)で

応 に お け る 角 分 布11,12)

Mij>635GeV,D0．

線 がQCD第1近 似,ダ は,実 線 がQCD第2近

図9.10  g:グ

2-2反

Mij>275GeV,D0.

2→2ジ

ル ー オ ン 分 布,q,q:ク

ッシ ュ 線 は パ ー トン モ デ ル で,ス ケー リ ン グ が 成 り立 つ と し た 似,ダ ッ シ ュ線 が 複 合 モ デ ル(Λc=2TeV)付 加 し た も の.

ェ ッ ト反 応 に よ り 求 め た パ ー ト ン 分 布 関14) ォー ク分 布

―:Q2=20GeV2,―:Q2=2000GeV2のDuke-Owensに

よ る パ ラ メ タ ー 化.

9.3  QCDの

理 論 と実 験 の 整 合 性15)

  理 論 計 算 は デ ー タ の形 は正 確 に再 現 す る もの の絶 対 誤 差 は まだ 大 き く,特 に 対 数 第1近 似 の み で は,最 高2倍 か ら1/2く 在,測

らい の 範 囲 内 で不 定 性 が あ る.現

定 器 の性 能,デ ー タの 統 計 量 は 非 常 に 向上 して い て,理 論 的 不 定 性 の 方

が 大 きい.不

定 性 に は 次 の よ う な い くつ か の 原 因 が あ り,小 さ くす る努 力 が 続

け られ て い る.

9.3.1 

スケ ール依存性

  ハ ドロ ン 反 応 の 断 面 積 を算 出 す る と き は,素 過 程 の パ ー トン 反 応 断 面 積 に, μ に よ っ て 発 展 させ た ル ミノ シ テ ィ関 数 を掛 け 合 わせ る.素 過 程 の 計 算 に も, 繰 り込 み 点 の ス ケ ー ル μの 値 の不 定 性 が あ る.

(9.26) 物 理 量 は,μ に 依 存 しな い は ず で あ るか ら,

(9.27) パ ー ト ン 分 布 関 数 の μ 依 存 性 は,そ 反 応(第1近

似)に

トお よ びcollinear部

も そ も は パ ー ト ン の 素 過 程 と し て の2体

グ ル ー オ ン 発 生 を 考 慮 し(第2近 分 を,素

似),グ

過 程 か ら 切 り 離 し て 分 布 関 数 の 方 に 繰 り入 れ る

こ と に よ っ て 得 ら れ た も の で あ っ た(factorization).し の 計 算 に も 第2近

た が っ て,行

列 要素

似 ま で 含 め て は じめ て 整 合 性 の あ る 式 が 得 ら れ る.パ

ー トン

反 応 行 列 要 素 の μ(≡ μM)に

よ る 依 存 性 が,分

布 関 数 の μ(≡ μP;μPと

発 生 原 因 が 異 な る か ら 必 ず し も 同 じ も の と は 限 ら な い が,通 依 存 性 を,相

ルー オン の ソ フ

常 は 等 し く と る)

殺 し て 全 体 で μ 依 存 性 を 小 さ く す る と 期 待 さ れ る.ジ

含 反 応d2σ/dηdET計

算 の 第1近

ケ ー ル 依 存 性 を 図9.1115)に

似(O(αs2))と

示 す.第2近

善 さ れ て い る こ と が わ か る.μ

の 値 は,通

第2近

μMは,

似(O(αs3))の

ェ ッ ト包

計 算値 の ス

似 で は μ に 対 す る依 存 性 が 著 し く改 常ET∼ET/2の

間 で デー タに合 う

よ うに 決 め る.   上 記 の 過 程 に 限 ら ず 一 般 にQCD計

算 に お い て は,第2近

似(O(αs3))の ス

ケ ー ル 不 定 性 はO(αs4)と 期 待 され るか ら,不 定 性 の 少 な い理 論 計 算 に は,第 2近 似 まで 進 め る こ とが 大 切 で あ る こ とが わ か る で あ ろ う.

d2σ/dETdη

図9.11  QCD計 算 の スケ ー ル依 存 性15) をQCDO(αs2)計 算(LO,一 点 鎖 線)とO(αs3)計 算(NLO,実

で 比 較 す る.NLOま

  9.3.2 

線)と

でい くと μ に 対す る安 定 性 が よ くな る.

ジ ェ ッ トサ イ ズ

  図9.12はUA1の

測 定 し た ジ ェ ッ ト 

と,将

来 の 大 型 加 速 器 で 予 想 さ れ る ジ ェ ッ ト 

に含 まれ

る エ ネ ル ギ ー の プ ロ フ ィ ー ル で あ る16).こ の 図 か ら 明 ら か な よ う に ジ ェ ッ トの エ ネ ル ギ ー は,η-φ

平 面 で 相 当 遠 く ま で 広 が っ て い る.ジ

物 は バ ッ ク グ ラ ウ ン ド と し て 紛 れ 込 ん で い る が,柔 て,η-φ

らか い 過 程 の 寄 与 を 含 め

平 面 で は 平 坦 な 分 布 を し て い る と 考 え ら れ る.切

ジ ェ ッ ト を 同 定 し て エ ネ ル ギ ー の 値 を 定 め る と き,ジ 何%を

ェ ッ ト以 外 の 生 成

捕 ら え て い る か,ジ

断 条 件 を定 め

ェ ッ トの エ ネ ル ギ ー の

ェ ッ ト以 外 の 寄 与 を ど れ だ け 取 り込 ん で い る か は,

ハ ドロ ン 化 モ デ ル の モ ン テ カ ル ロ で 計 算 す る .こ モ デ ル の 種 類 に よ っ て 差 が 生 じ る.ま

の と き,使

用 す る ハ ドロ ン化

た 一 つ の ジ ェ ッ トの 中 で い くつ か の 不 連

続 また は連 続 的 に 連 な って い る エ ネ ル ギー の 塊 を ど うつ な げ るか とい うジ ェ ッ トの 構 成 手 順(jet

clustering

algorithm:実

験 グ ル ー プ に よ り異 な る)に

て も で き あ が っ た ジ ェ ッ トの 中 身 は 異 な る*2).ジ

よっ

ェ ッ ト取 扱 い の 初 期 は こ う

し た ジ ェ ッ トの 内 容 に 対 す る 理 解 不 足 か ら く る 不 定 性 要 因 が 大 き か っ た.   低 エ ネ ル ギ ー ジ ェ ッ トで は,ハ

ドロ ン化 の モ デ ル が まだ 十 分 に は 理 解 で きて

い な い こ とか ら く る 理 論 的 不 定 性 が 大 き い が,高 は,堅

エ ネ ル ギ ー ジ ェ ッ トの 場 合

い グ ル ー オ ン 放 出 に よ る 広 が り が 大 き い.QCDの

ジ ェ ッ トサ イ ズRに

第1近

よ る 差 は 原 理 的 に 見 る こ と は で き な い.な

似 で は,

ぜ な ら,第1

近 似 で は ジ ェ ッ トは1個 の パ ー ト ン で あ り 空 間 的 に 広 が っ て い な い か ら,測

定

効 率 は 測 定 器 側 の 受 容 開 口 角 の 大 き さ に 無 関 係 と な る か ら で あ る.第2近

似,

す な わ ち グ ル ー オ ン 放 出 を 取 り入 れ る と放 出 グ ル ー オ ン と の 間 の 開 口角 に よ る ジ ェ ッ トサ イ ズ の 変 化 を 取 り入 れ ら れ る の で あ る.図9.13(a)は 化 を ジ ェ ッ ト を 同 定 す る た め のR切

断 の 関 数 と し て 描 い た も の で,理

と デ ー タ9)を 比 較 し た も の で あ る.R=0.7と 小 さ く で き る こ と か ら,CDFグ 切 断 値 と し て い る.た

断 面積 の変 論15,17)

とれ ば 理 論 に よ る不 定 性 を最 も

ル ー プ は,R=0.7を

ジ ェ ッ ト再 構 成 の 標 準

だ し対 象 と す る 過 程 が 異 な る と き は 別 の 値,例

図9.12 

え ば 多重

ジエ ッ トエ ネ ル ギ ー の プ ロ フ ァ イ ル16)

黒 い ヒ ス ト グ ラ ム:UA1デ GeVでET>35GeVの ス ト グ ラ ム:モ ン; 

ー タ:  ジ ェ ッ ト.白

い ヒ

ン テ カ ル ロ シ ミュ レー シ ョ TeVで2<ET<3TeVの

ジ ェ ッ ト

*2)  (前 頁)同 様 な 事 情 は 脚 注 を参 照 せ よ.

,ee反

応 に お け る ジ ェ ッ ト再 構 成 に お い て も 存 在 し た.§8.3.2の

図9.13 

(a)  100GeVの ジ ェ ッ トサ イ ズ と 断面 積 との 関 係9) 線 は ス ケー ル を変 え た と きのQCD計 算 で,● がCDFデ (b)  100GeV,η-φ

を変 え た も の お よ びHERWIGパ (c)  (b)と

ータ

平 面 上 で 円 サ イ ズ をR=1.0と し た と き の ジ ェ ッ ト内 粒 子 の  各 種 の 線 はQCD O(αs3)の 計 算 で ス ケ ー ル μ ー トン計 算(一

点 鎖 線)

同 じ.た だ しジ ェ ッ トエ ネル ギー を変 え る.

図9.14 

d2σ/dETdη 包 含 反 応 デー タ とQCD計

(a)  パ ー トン分 布 関 数 と してMRSDO'(理 論1)を 基 準 と し て,デ +QCDNLO計 算 との 相 対 的 な ズ レ を比 較 した もの. (b)  分 布 関 数 と し てCTEQHJを

使 用 した と きの デ ー タ との 比 較.

算 の 比 較9) ー タ(黒 丸)お

よび各種分布 関数

ジ ェ ッ ト分 離 の と き は0.4を

採 用 し て い る.図9.14(b)に

各 粒 子 の も つ 横 運 動 量 に つ い て,CDFデ 較,お

は,ジ

ェ ッ ト内 の

ー タ18)とO(αs3)のQCD計

よ び モ ン テ カ ル ロ プ ロ グ ラ ムHERWIGと

は ス ケ ー ル 依 存 性 が 多 少 残 っ て い る が,パ

算 との 比

の 比 較 を 示 す.QCD計

算 に

ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル に よ る モ ン テ

カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 再 現 性 は か な り よ い こ と が わ か る.第1近

似 のみの

場 合 に は2倍

に示す よ

う に,だ

程 度 の 変 動 が あ っ た が,第2近

い た い20%以

 9.3.3 

似 ま で 取 り入 れ る と,図

内 に お さ ま っ て い る こ と が わ か る.

パ ー トン 分 布 関 数

  パ ー トンの ル ミノ シ テ ィ評 価 の 基礎 に な るパ ー トンの 分 布 関数qA(xa)に

も,

ま だ 実 験 デ ー タ が 十 分 で な く不 定 性 が 存 在 す る.こ の こ とに よ り断 面積 の 決 定 に 同 じだ け の 不 定 性 が 生 じる.図9.14(a)に

実 験 デ ー タ と各 種 の パ ー トン分

布 関 数 を 使 っ た 場 合 の 理 論 計 算 と の 相 対 誤 差 を 示 す.図(a)で GeVで

明 らか に理 論 値 か らず れ て くる.新 現 象?と

分 布 関 数 の わ ず か な修 正 で 図(b)の

はET>300

しば ら くの 間 騒 が れ た が,

よ うに 合 わ せ られ た の で(a)の

理論予 想

値 か ら の ず れ は 分 布 関 数 の 不 定 性 が 原 因 で あ る と解 釈 す る の が 正 し い で あ ろ う.ま

た こ の 図 は,§9.3.1で

行 っ た議 論,す

な わ ち 第2近 似 以 上 を使 う こ と

の 重 要 さ を確 認 す る デ ー タ と も な っ て い る.こ の よ う に,最 近 で は ジ ェ ッ トの サ イ ズ の 扱 い 方 につ い て は理 解 が 進 み,実

験 に よ る測 定 の 不 定 性 は20%以

内

に 入 る まで に追 い 込 ん で きた.

9.4  パ ー トン の 下 層 構 造 は 見 え る か?

  これ だ けQCDの

再 現 性 が 正 確 で あ る と,QCDを

を新 現 象 と見 な す 解 釈 が 成 り立 つ.も ち,よ

り基 本 的 な粒 子(プ

信 頼 して そ こか ら の ず れ

し クォー クや レ プ トンが 下 層 構 造 を も

レ オ ン,preon)の

複 合 体 で あ る な ら ば,点 粒 子 と

して の 断 面 積 か らの ず れ が 観 測 され るで あ ろ う.そ の 効 果 は結 合 定 数gsに 形 状 因子

(9.28) を導 入 し て 表 す こ とが で き る.こ

こ にΛcは 複 合 体 の 大 き さ の 程 度(の 逆 数)

を 表 し,レ

プ ト ン に 関 し て はe+e-→llな

ど の デ ー タ か らΛcは,2∼3TeV

よ り 小 さ く は な い と わ か っ て い る19).さ が い え て い る.こ

ら にg-2の

実 験 か らΛc>670GeV

れ ら の 効 果 は 一 般 的 に は 断 面 積 を 減 ら す 方 向 に 働 くが,も

プ レ オ ン が 存 在 す れ ば プ レ オ ン を 交 換 す る 過 程 も 存 在 し,pTの で は こ ち ら の 方 が 優 勢 に な る こ とが い え る.パ

大 きい と こ ろ

ー トン や レ プ トン は 非 常 に よ い

近 似 で 点 状 粒 子 で あ る か ら プ レ オ ン の 相 互 作 用 は 非 常 に 短 距 離 で あ り,実 は 点 接 触 相 互 作 用 と な る.し ン間 の 反 応(LL)の

し

際上

た が っ て プ レ オ ン が 存 在 す る と き の 左 巻 きパ ー ト

実 効 ラ グ ラ ン ジ ア ン は,

(9.29) と 書 い て よ い.η=±1で,簡

単 の た め 通 常 はgs2/4π=1と

合 の 強 さ の 目安 を 与 え る こ と に な る.こ 存 在 す る が,パ

の ほ か にRR,LR結

ラ メ タ ー の 数 が 多 く な る の で,LL結

相 互 作 用 が あ る と,表9.1に け れ ば(9.29)の

与 え たQCD行

寄 与 は 小 さ く,干

お くの で,Λcが

結

合 も原 理 的 に は

合 の み に 話 を 限 る.こ

列 要 素 は 変 更 さ れ る.Λcが

の

大 き

渉 項 の み を補 正 と し て 考 慮 す れ ば よ い.例

えば

(9.30) と 表 さ れ る20).η

の 符 号 は 正 も負 も あ り う る の で,断

は 限 ら な い.図9.6(b),図9.9(b)に 合 の 曲 線(η>0)が

面 積 は 必 ず し も増 え る と

は こ う し てΛcを

示 し て あ り,デ

含 む効 果 を入れ た場

ー タ と 比 較 し て 

 の 低 エ ネ ル ギ ー 領 域 で は わ ず か な 補 正 で あ る が,エ りは る か に 大 き い と こ ろ で は,ち

TeVが

い え る12).

ネ ル ギ ー がΛcよ

ょ う ど ハ ドロ ン の ス ケ ー ル ∼mπ

を 大 き く越

え る とた くさ ん の 共 鳴 が 現 れ た よ う に プ レオ ンの複 合 体 の 共 鳴 が た くさ ん現 れ る 可 能 性 も あ る で あ ろ う.す

な わ ちQCDの

物 理 を 探 る一 つ の 方 法 で あ り,次

十 分 大 き な 

,ET領

域 で新 しい

世 代 の ハ ド ロ ン 加 速 器 の 担 う課 題 で あ る.

9.5  ジ ェ ッ トの 多 重 生 成

  終 状 態 にN個

の パ ー ト ン が 生 成 さ れ る 過 程 は 原 則 的 に はNジ

し て 観 察 さ れ る は ず で あ る.現 し て は,10個

ェ ッ ト事 象 と

在 ま で に 観 測 さ れ た 最 高 の 多 重 ジ ェ ッ ト発 生 と

の ジ ェ ッ ト現 象 が 観 測 さ れ て い る(図9.15)21).N≧3の

トは,2→2反

ジ ェ ッ

応 の 終 状 態 パ ー ト ン か ら の 子 パ ー トン 発 生 と し て 理 解 で き る.

しか し,グ

ル ー オ ン放 出 断 面 積 の 大 き い と こ ろ は グ ル ー オ ン が 柔 ら か い か(赤

外 発 散)ま

た は ジ ェ ッ ト主 軸 に 平 行 な 配 位(collinear

レ ベ ル で は 分 離 が む ず か し い.そ

図9.15 

10ジ

qqgの

ドロ ン

ェ ッ ト事 象(各EJT>20GeV,CDF21))

験 的 に は 各 ジ ェ ッ ト の 

 N=3の

あ り,ハ

こ で 通 常 は 理 論 的 に も実 験 的 に も位 相 空 間 で

十 分 分 離 で き る 領 域 の ジ ェ ッ ト配 位 に 限 っ てNジ

間 で の ジ ェ ッ トij間

gluon)で

ェ ッ ト生 成 を 取 り扱 う.実 とす る.Rijは

η-φ空

の 距 離 で あ る.

場 合, 

を 変 数 に と れ ばe+e-→

と き と 同 じ く位 相 空間 の 数 密 度 はx3-x4平

ダ リ ツ プ ロ ッ ト と な る. 

面 で 一 様 で,境

界 は三角 形の

と す れ ば, 

で あ

り,x3,x4→1で3ジ

ェ ッ ト 配 位 は2ジ

デ ー タ22)を 示 す.ダ

リツ プ ロ ッ トの 右 上 端 と 下 端 は そ れ ぞ れ 赤 外 発 散 と 平 行

配 位 部 分 に 対 応 す る.xi≒1の

ェ ッ ト 配 位 と な る.図9.16はCDF

と こ ろ は 発 散 を 防 ぐ た め 切 断 を 入 れ て い る.位

相 空 間 で 一 様 分 布 な ら ばx3,x4軸

へ の 投 影 は 直 線 状 に な る が,デ

ー タは

図9.16 

3ジ

ェ ッ トデ ー タ の ダ リツ プ ロ ッ ト22)

断 面積 が位 相 空 間 に 比 例 す る な らば,x3-x4平 影 す る と破 線 の よ うに な る.実

線 はQCDの

面 で 一 様 分 布 と な り,x3,x4に 予 想.QCD発

投

散 を 防 ぐ ため カ ッ ト

を入 れ て あ る.

明 ら か に 位 相 空 間 配 置 か ら は ず れ て い て,QCD計

算15,23)が よ い こ と を 示 し て

い る.   N≧3に

つ い て の 多 重 度 お よ び 質 量 分 布 デ ー タ を 図9.17(a)に,最

ル ギ ー を も つ ジ ェ ッ トの 角 分 布 を 図9.17(b)に 階 で は 第1近

似 し か な い が,計

再 現 し て い る.パ

示 す21).QCD計

高 エ ネ 算24)は 現 段

算 の で きて い る と こ ろ で は実 験 値 の傾 向 を よ く

ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル を 使 っ て の シ ミュ レ ー シ ョ ン は, 

く ら い ま で は デ ー タ を 結 構 よ く再 現 し て い る が,Nが す る傾 向 が 見 ら れ る.最

大 き く な る と過 小 評 価

高 エ ネ ル ギー ジ ェ ッ トの 角 分 布 が2→2反

応の角分布

と よ く一 致 す る こ とや,発

展 方 程 式 に 基 づ くパ ー トン シ ャ ワ ー モ デ ル が デ ー タ

を よ く再 現 す る こ と は,多

重 ジ ェ ッ ト発 生 に つ い て,2→2反

応+グ

ルー オ ン

放 出 に よ る シ ャ ワー 形 成 とい う図 式 が ほ ぼ 正 しい こ とを示 す とい って よ い で あ ろ う.

(a)

(b) 図9.17 

ジェ ッ ト多重 発 生 とパ ー トン ジ ャ ワ ー モ デ ルの 比 較21)

(a)  Nジ ェ ッ ト発 生 の ジ ェ ッ ト質 量 分 布,黒 丸 は デ ー タ,ヒ ス ト グ ラ ム はHER WIG予 想.曲 線 は分 布 関 数 やpT2カ ッ トを変 え た とき のNJETS予 言. (b)  エ ネ ル ギー の 一 番 大 き い ジ ェ ッ トの 角 分 布.黒 丸 が デ ー タ,白 丸 がHERWIG, ヒ ス トグ ラム がNJETS,曲 線 は ラ ザ フ ォー ド散 乱 曲線(1-cosθ*)-2

9.6  フ ォ トン 直 接 生 成 過 程

 pTの

大 き い フ ォ トン 生 成 と ジ ェ ッ ト生 成 は 密 接 に 結 び つ い て い る.し

主 に 寄 与 す る 過 程 が グ ル ー オ ン の 場 合 は(図9.18(c),(d)),ハ

図9.18 

(a)

(b)

(c)

(d)

ド ロ ン(π

フ ォ トン 直 接生 成過 程 の フ ァ イ ン マ ン グ ラ フ

(a),（b)qq対 消 滅 に よ る直 接 γ(ま た は ベ ク トルV)生 (c),(d)グ ルー オ ン コ ン プ トン散 乱 の 寄 与

か も,

成

ま

た はp)の

中 の グ ル ー オ ン 分 布 を 探 る 良 好 の プ ロ ー ブ と も な る.フ

ォ トン は 破

砕 化 し な い の で ジ ェ ッ ト再 構 築 起 因 の 実 験 的 不 定 性 を 避 け る こ と が で き,方 向,エ

ネ ル ギ ー,数

を 精 密 に 決 め ら れ る 利 点 が あ り,QCD計

理 法 な ど に 良 好 な 比 較 基 準 を 与 え る.行

列 要 素 は 表9.2に

過 程 が 優 勢 に な る か は 実 験 条 件 に よ る.例 で のpp,p-原 いpp衝 CDFデ

算,ジ

え ばpTの

ェ ッ ト処

掲 げ た が,ど

あ ま り大 き くな い と こ ろ

子 核 衝 突 で は グ ル ー オ ン と の コ ン プ ト ン 散 乱 が 効 く.pTの

突 で は,qq対

消 滅 が 効 く.図9.19はpTの

ー タ1,25)とQCD計

ー タの 再 現 性 は 悪 く

な い. フ ォ トン直 接 生 成 過 程 の行 列 要素

フ ォ トン は 仮 想 と し,質 量Q2=s+t+uを せ て あ る.実

フ ォ ト ン の 場 合 はQ2=0と

もた す る.

カ ラー と ス ピ ン につ い て は 始状 態 で 平 均,終 で 和 を とっ て あ る.

図9.19 

実 線 はQCDの

大 き

大 き い と こ ろ で のUA2,

算26)を 比 較 し た も の で あ る.デ

表9.2 

ち らの

pp→γX25)

第2近 似 計 算 値 を 示 す.

状態

9.7 

  9.7.1 

重 い ク ォ ー ク(c,b,t)の

生 成

重 いク ォークの生成断面積

  軽 い ク ォ ー クu,d,sをqと こ と に す る と,QQ生

書 き,c,b,tな

ど の 重 い ク ォ ー ク をQと

成 の 最 低 次 の 過 程 は 図9.20で

の よ う に と る と 行 列 要 素 は 容 易 に 計 算 で き る.軽 重 い ク ォ ー ク の 質 量Mは

表 さ れ る.運

表 す

動 変数 を図

い ク ォ ー ク の 質 量 は 無 視 し,

考 慮 す る こ と と し て(p12=p22=0,p32=p42=M2),ス

ピ ン と カ ラ ー に つ い て 平 均 と 和 を と っ た 行 列 要 素 の 自乗 は

(9.31) (9.32) で 与 え られ る2).各 変 数 に つ け た^は

パ ー トン の 変 数 とい う こ とを示 す.行

列

要 素 を簡 素 化 し た形 で 表 す ため に,

(9.33) を 導 入 す る と(9.31)は

(9.34a) と な る.同

様 に

(9.34b)

(a)

(b) 図9.20 

重 い クォ ー ク(QQ)生

(c) 成の最低次の過程

(a)  軽 い クォー ク対(qq)消

滅 に よる 生 成

(b)∼(d)  グ ルー オ ン融 合 に よ る 生 成

(d)

と 表 さ れ る.パ

ー ト ン に よ るQQ生

中 に 代 入 す れ ば 得 ら れ る.最

成 断 面 積 は,上

終 状 態 のQQの

変 数 を 横 質 量MT=(pT2+M2)1/2,

ラ ピ デ ィ テ ィ η3,η4で表 す こ と に す る と,pp衝 (9.14)で

与 え ら れ る.実

記 の 行 列 要 素 を(9.6)の

突 に よ るQQ生

成 断 面 積 は,

験 室 系 で の エ ネ ル ギ ー 運 動 量 変 数 をEi,piと

す る と,

各運 動変数 は

(9.35a)

(9.35b) (9.35c) (9.35d) (9.35e) の よ う に 書 け る.エ

ネ ル ギ ー 運 動 量 保 存 則 よ り,

(9.36a) (9.36b) (9.36c) が 成 立 す る. 

は ラ ピデ ィ テ ィの 差 で あ る.

 上 記 変 数 を 使 っ て 断 面 積 の 表 式 を書 き直 す と,重 い ク ォ ー ク生 成 断 面 積 は

(a)

(b)

(d)

(e)

図9.21  (a)∼(c) 

重 い ク ォー ク(QQ)生

実 の グ ル ー オ ン 発 生,(d),(e) 

(c)

成 の高次過程の例 仮 想 グルー オ ン 交換

(9.37) (9.38a) (9.38b) と 表 さ れ る.現

在 は,図9.21の

よ う な 高 次 補 正 を 入 れ たO(αs3)の

理論 計算 が

で き て い る27).

  9.7.2 

重 い ク ォ ー ク生 成 過 程 の 特 徴

  式(9.37),(9.38)の

形 を 眺 め れ ば,重

び 上 が っ て く る.通

常,断

い ク ォー ク生 成 断 面 積 の 特 徴 が 浮 か

面 積 は 交 換 粒 子 の 伝 播 関 数 の 分 母Dが0に

近 の 寄 与 が 最 も 大 き い.図9.20の

図 の 各 チ ャ ネ ル に つ い てDを

な る付 表 して み る

と, sチ

ャ ネ ル: 

(9.39a)

tチ

ャ ネ ル: 

(9.39b)

uチ

ャ ネ ル: 

(9.39c)

と な り,M2の

お か げ でpT2→0の

と き,pT2∼M2で

の 特 異 性 を も た な い こ と が わ か る.QCDの ∼pT2で

あるか ら

く な り,摂 Mに

,pT2→0の

寄 与 が 優 勢 に な る よ う な 過 程 で は 通 常 αsが 大 き

動 展 開 は 信 頼 で き な い.し

あ る の でbク

ォ ー ク 生 成,そ

か し,重

い ク ォ ー ク 生 成 過 程 で は,質

し て 特 にtク

ォ ー ク生 成 に つ い て は 摂 動

減 少 す る か ら,pTの す る.こ

中 に あ り,断

面 積 は,MTの

大 き い と こ ろ(pT≫M)で

の こ とか ら,断

が わ か る.次

ォー クに つ い て は 質

必 ず し も こ の こ と は 明 ら か で は な い.pTの

は す べ て 横 質 量MTの

に,1+coshΔ

量

が 保 証 さ れ る.mb2,mt2≫1

展 開 の 近 似 の よ い こ と が こ れ で 保 証 さ れ る の で あ る.cク 量 が 小 さ く 

∞

結 合 定 数 αs(μ)の ス ケ ー ル は μ2

よ っ て 自 然 な 切 断 が 導 入 さ れ て, 

GeV2で

切 断 さ れ て,1/pT2→

依 存性

大 き い と こ ろ で はMT-4で の 断 面 積 はpT-4の

面 積 に 対 す る 寄 与 はpT2∼M2付

ように減 少

近 が 優 勢 とな る こ と

η と い う 因 子 に よ り,Δ η の 大 き い と こ ろ で 断 面 積

は 強 く減 少 す る こ と が わ か る.つ

ま り断 面 積 は 

の と こ ろ が 大 き く,こ

れ はQとQの

ラ ピデ ィ テ ィ が 同 じ と こ ろに 生 成 され る傾 向 が あ る とい うこ と

で あ る.そ

し て,反

ク ォ ー ク ま た は グ ル ー オ ン の 分 布 関 数fa(x)は,xの

い と こ ろ が 大 き い か ら,生

成 はx1,x2が

と も に 小 さ い と こ ろ,す

小 さ

な わ ち90度

方 向 の 中 央 領 域 に 集 中 す る こ とが わ か る.

(a) 図9.22 

(b)

香 りの 励 起 過 程(a)と (b)∼(d)の

(d)

(c)

グル ー オ ン励 起 に よ るQQ発

生(b)∼(d).(a)の

効果 は

中 に含 ま れ て い る.

  な お 高 次 効 果 に は 香 りの励 起 と呼 ば れ る図9.22(a)の

よ う な過 程 が 存 在 す

る.こ れ は ハ ドロ ンの 中 に は グル ー オ ンか らの 励 起 に よ り重 い クォー ク(仮 想 粒 子)が 最 初 か ら存 在 し,グ ル ー オ ン 交換 に よ って,実 さ れ る とす る過 程 で あ る.グ ル ー オ ン は質 量 が0で Dがt→0で0に

の 重 い ク ォー クに 変 換

あ る の で,伝 播 関 数 の 分 母

な り う る.こ の 結 果 こ の 寄 与 が 優 勢 に な り最 低 次 の 計 算 は

必 ず し も信 頼 で きな い の で は な い か とい う心 配 が あ る.し か し,よ る と,こ れ は 図9.22(b)∼(d)の

く調 べ て み

過 程 の 中 に す で に取 り入 れ られ て お り,t∼0

の特 異性 は 相 殺 効 果 が 働 い て 現 れ な い こ と,し た が っ て,香

りの 励 起 過 程 は 摂

動 計 算 に 入 れ て は な ら な い こ とが い え る28).

  9.7.3 

デ ー タ との 比 較

  理 論 的 不 定 性 は,αsの MeV)の

え ばM/2<μ<Mと

ャ ー ム の 場 合 はmc/2<1GeVと

る と は 限 ら な い で あ ろ う.に DD生

際 に はΛMSの

不 定 性,100<ΛMS<250

範 囲 内 で αsを 変 化 させ て み て 評 価 す る こ と が で き る.そ

積 の μ 依 存 性 は,例 あ る.チ

不 定 性(実

し て,断

面

変 化 さ せ て 評 価 し て み る こ とが 可 能 で な り,必

ず し も摂 動 計 算 が 信 用 で き

も か か わ らずmc∼1.5GeVと

とれ ば,摂

動計算は

成 断 面 積 の 実 験 デ ー タ29)を 比 較 的 よ く再 現 し て い る こ と が わ か る(図

9.23(a)).実

線 がmc=1.5GeVと

し た と き の 理 論 値 で,2本

囲 で μ を 変 化 させ た と き の 断 面 積 の 変 化 を 示 す.mc=1.2GeVと

の線 は上 記 の範 す る とか な

り再 現 性 が 悪 く な る.bク (b)に

ォ ー ク に つ い て の デ ー タ29,30)と の 比 較 を 図9.23

示 す.σ(pp→bX)を,pT>pTminに

と し て プ ロ ッ ト し てO(αs3)計

つ い て 積 分 し た も の をpTminの

算27)と 比 較 し た も の で あ る.理

比 較 的 よ く再 現 し て い る*3).こ

ー タ を

れ ら の デ ー タ に 裏 づ け ら れ た 議 論 か ら,ト

(a) 図9.23 

論 は,デ

関数

ッ

(b) チ ャ ー ム(a)お

(a)  ● デ ー タ,実線mc=1.5GeV,破

よ び ボ トム 粒 子(b)生

線mc=1.2GeVと

成 断 面 積29,30).

し て,mc/2<μ<mcの

ス ケー ル 変 化 の 幅

を 示 す. (b)  pT>pTminを

す べ て加 え た 断 面積 と理 論 の 比 較

図9.24 

QCD

実 線 がpp→tt+X,ダ

*3)  CDFデ

ー タ31)は 理 論 値 の 約2倍

O(αs3)計

算 に よ るtt生

成 断 面 積271

ッ シ ェ 線 がpp→W+X,W→tbを

く らい あ る

.ま

た,D0の

表 す.

デ ー タ はQCDNLO計

算 と誤

差 の 範 囲 で 一 致 し て い る が,理 論 的 上 限 の と こ ろ に 位 置 す る.し か し,  に お け るUA1デ ー タ32)は 理 論 と矛 盾 し な い 値 を だ し て い る の で,以 下 は 理 論 と 実 験 の 一 致 度 に この くら いの 不 定性 が あ る とい うこ とで議 論 を進め る.

プ 生 成 の 断 面 積 を か な り正 確 に 推 定 で き る.図9.24に で のtt生 理 論 的 不 定 性 を示 す.こ

テ バ トロ ン 

成 断 面 積 の 計 算27)を 示 す.帯

の幅 が

の 図 は トップ 探 し の と きの 基 本 と な っ た 断 面 積 で あ

る.

9.8 

  9.8.1 

e-e+反

  e+e-コ

ラ イ ダ ー で は, 

トッ プ ク ォ ー ク

応 に よ る トッ プ ク ォ ー ク 探 し で あ れ ば ト ッ プ が つ く れ る.ト

ク生 成 を 確 認 す る に は,ttが 測 っ て も よ い し,し

生 成 さ れ る と こ ろ で のRの

照).ト

リ ス タ ン やLEPで

が い え る33).こ

れ はmtが

ラ イ ダ ー で あ る. 

デ ル に よ ら な い 普 遍 的 な 値 で あ る.し

のSppSで

テ バ トロ ン は,少

探 索 さ れ た が 見 つ か ら な か っ た34).

な く もエ ネ ル ギー 的 に は お よ そ 考 え られ る範 囲 内 に 対 し て 生 成 能 力 を もつ.

々 の 切 断 を入 れ て 偽 信 号 を落 と した後 で も十 分 な 量 の 信 号 を

残 す に 必 要 な 事 象 数,言 に か か る.必

か し,

さ れ た チ ャ ン ス は ハ ドロ ン コ

の す べ て の ト ッ プ ク ォ ー ク質 量 の 値  そ こ で 問 題 は,種

ち にmt>45GeV

標 準 理 論 で 予 想 さ れ る 以 外 の 崩 壊 モ ー ドを も っ て い

ラ イ ダ ー で 発 見 さ れ な か っ た 以 上 は,残

1.8TeVの

ラ ス トT)

ジ ェ ッ ト変 数 の 応 用 」参

は 発 見 さ れ な か っ た こ と か ら,直

て も 成 立 す る と い う 意 味 で,モ e+e-コ

変 化,ΔR=4/3を

き い 値 を 少 し 超 え た あ た り の ジ ェ ッ ト変 数(ス

を 見 る こ と に よ っ て も容 易 に 判 断 で き る(§8.1.3「

ップ クォ ー

葉 を変 え て い え ば加 速 器 が 十 分 な 輝 度 を提 供 で き るか

要 事 象 数 を 評 価 す る に は,tク

ォ ー ク 生 成 断 面 積 と生 成 さ れ るt

の も つ 力 学 的 性 質 を正 確 に 知 る こ と が 肝 要 で あ る.

  9.8.2 

トップ ク ォ ー ク の 崩壊 モ ー ド

  トッ プ の 重 い質 量 を考 慮 す る と,ト ップ の 崩壊 モ ー ドに は,標 準 理 論 以外 の チ ャ ネ ル例 え ば 超 対 称 性 粒 子 や 荷 電 ヒ ッ グ ス粒 子 が 存 在 す る可 能 性 が あ る.す な わ ちtt生

成 は単 に トップ ク ォー クの 存 在 を確 か め る に と ど ま らず,新

しい

物 理 を見 つ け る実 験 工 場 に な る可 能 性 へ の 期 待 が か か る.こ の た め に は,標 準

理 論 で は 崩 壊 モ ー ドが ど う な る か と い う 範 囲 を 確 実 に 抑 え て お か ね ば な ら な い.小

林-益 川 行 列 の 特 性 か ら,tが

き る か ら,mt>mWで 述 さ れ る.t検

直 接sま

あ れ ばtの

た はdに

結 合 す る過 程 は 無 視 で

崩 壊 モ ー ド は,ほ

出 の た め に は,tか

ら 崩 壊 す るWの

ぼt→b+W+の

み で記

性 質 を調 べ て お くこ とが

重 要 で あ る.   わ か りや す くす る た め,mbを0と ヘ リ シ テ ィ を もつ .こ z軸

を と れ ば,bは

す る 近 似 を と る と,Wは0ま

れ は 次 の よ う に 理 解 で き る.tの

ヘ リ シ テ ィ 負 を も つ.tの

ば,Wの

ヘ リ シ テ ィ は0で

あ る.ま

ば,Wの

ヘ リ シ テ ィ はbの

方 向 を 向 き,負

は,W→tbと 照 し て,崩

たtの

静 止 系 でb放

ス ピ ン がbの ス ピ ン がWの と な る.次

たは負 の 出方 向 に

方 向を向 いていれ 方 向 を向 いて いれ

に,t→bWの

崩壊 率

交 叉 対 称 の 関 係 に あ る こ と を 考 慮 す る と,第6章(6.6)を

参

壊 振幅 は

(9.40) と 与 え ら れ る.こ

れ か らmb=0と

お く近 似 で,

(9.41a) た だ し,￨k￨はtの

静 止 系 に お け るWの

運 動 量 の 絶 対 値 で,

(9.41b) で あ る.こ れ か ら,Wの

縦 偏 極,横

偏極成分 につ いて

(9.42a) (9.42b) (9.42c)  を入 れ れ ば

(9.43) す な わ ち,mt≫mWの

近 似 で はtか

ら崩 壊 して で き るWは

縦偏極 してい るこ

とが わ か る.

  9.8.3 

ト ッ プ ク ォ ー ク の 発 見35)

  a.  検 出 信 号 の 特 徴   ト ッ プ ク ォ ー ク検 出 に 使 用 で き る 崩 壊 モ ー ドは,W生 t→b+ud,us,cd,cs  b+e+ν,μ+ν,τ+ν で あ る.bは

成 を経 由 して

分 岐 比 ∼2/3 

(9.44a)

  分 岐 比 ∼1/3 

(9.44b)

崩 壊 し て 複 数 個 の ジ ェ ッ ト ま た は ジ ェ ッ ト+レ

の お の の チ ャ ネ ル の 分 岐 比 は,ク

プ ト ン に な る.お

ォ ー ク と レ プ ト ン の 数 を数 え て

(9.45a)

(36/81) 

と な る.レ

3(12/81) 

(9.45b)

3(2/81) 

(9.45c)

3(1/81) 

(9.45d)

プ ト ン を 含 ま な い チ ャ ネ ル(9.45a)は,QCDか

ウ ン ドが 大 き くて 選 別 が 困 難 で あ る が,レ 比 較 的 容 易 で あ る.レ

らの バ ック グラ

プ トン を放 出す るチ ャ ネ ル の 選 別 は

プ ト ン は そ の 出 所 に よ り特 徴 を も つ の で,tま

た はb,c

か ら の レ プ トン と 区 別 が で き る.   tか ら(Wを もmW/2∼mt/2く

通 し て)出

て く る レ プ ト ン は,tの

静 止 系 で 平 均 と して 少 な く

ら い の エ ネ ル ギ ー を も つ か ら,tの

飛 来 方 向(tの

軸)に

ロ ー レ ン ツ ブ ー ス ト し た 後 で も 同 程 度 の 横 運 動 量pTを

て,こ

の レ プ ト ン は,ビ

ン と は,一

も つ.し

ー ム 軸 に 対 し て 大 き い 横 運 動 量 を も ち,か

面 上 で ジ ェ ッ トか ら 遠 く離 れ た"孤

立 し た レ プ トン"と

般 に レ プ ト ン 軸 を 中 心 に 

ジェ ッ ト

な る.孤

たが っ

つ η-φ平

立 したレプ ト

の 円 錐 を つ く り,そ

の 中 に 入 る 他 の 粒 子 の エ ネ ル ギ ー が 小 さ い と い う条 件 を 設 定 す る も の で あ る (図9.25(a)).   bが 崩 壊 し て 出 す レ プ ト ン は ∼mb/3,チ ∼mc/3の

ャー ム 崩 壊 か ら 出 る レ プ ト ン は

横 運 動 量 を そ れ ぞ れ の ジ ェ ッ ト軸 に 対 し て もつ .bク

ォ ー ク を 同定

す る の に,§4.7で

は ジ ェ ッ ト軸 に 対 す るpTが

t崩 壊 か ら のb,cは く,ジ

大 き い と い う 事 実 を 使 っ た が,

大 き な エ ネ ル ギ ー を も つ か ら ロー レ ン ツ ブ ー ス ト も 大 き

ェ ッ ト と レ プ トン は ほ と ん ど 同 じ方 向 に 出 る と い っ て よ い.こ

レ プ トン は ジ ェ ッ トの 中 に い る か,ほ と は な ら な い(図9.25(b)).ま

と ん ど密 着 し て お り,孤

の 場 合,

立 し た レ プ トン

た ビ ー ム 軸 に 対 す る 横 運 動 量 も,tか

らの レ

プ ト ン に 比 べ は る か に 小 さ い.

(a) 図9.25 

(b)

(a)  孤 立 し た レ プ ト ン,(b) 

レプ トン を 中 心 に,半

径 

孤 立 し て い な い レ プ トン

ま た は 半 項 角 θの 円 錐 をつ く り,こ

の 円錐 の 中 に あ る レプ トン 以外 の粒 子 の エ ネ ル ギー 和ET=ΣETiを

測 定 し,

な らば 孤 立 して い る な らば 孤 立 し て い な い と定 義 す る.CDFで は,ΔR=0.4,Eiso=5GeVと

して い る.

  b.  選 別 の た め の 切 断 条 件   以 上 を 総 合 す る と,tt生  (1)  1個 ま た は2個

成 の 際 だ っ た 信 号 は,

の 孤 立 し た レプ トン

 (2)  ニ ュ ー ト リ ノ の 存 在(大

き な 見 え な い エ ネ ル ギ ー)

 (3)  2個 以 上 の ジ ェ ッ トの 存 在  (4)  bク

ォー クの 存 在

と い う こ と に な る.bク

ォ ー ク の 存 在 は,bを

含 む ハ ドロ ンが 有 限 の 寿 命 を も

つ こ と か ら一 般 に 衝 突 点 か ら 少 し 離 れ た と こ ろ に ジ ェ ッ ト発 生 点 を も つ と い う 条 件,も

し く は 小 さ な 横 運 動 量 を も つ レ プ トン を 伴 う ジ ェ ッ ト と い う 条 件 に

よ っ て 他 の ジ ェ ッ ト と 区 別 が で き る.   2個 の レ プ ト ン を 要 求 す れ ば 最 も ク リ ー ン なtt信 計 数 率 が 非 常 に 低 い の で,最 ト(少

な く も1個 はbジ

号 は,1個

ェ ッ ト と い う 条 件 つ き)の

た る バ ッ ク グ ラ ウ ン ドは,W+ジ 数nを3以

初 のtt信

号 が 得 ら れ る.し の レ プ ト ン+n個

の ジェ ッ

チ ャ ネ ル で 得 ら れ た35).主

ェ ッ トの 直 接 生 成 か ら く る が,ジ

上 と 要 求 す る と 大 幅 に 減 ら せ る.tt生

か し,

成 反 応 の う ち,レ

ェ ッ トの プ トン

図9.26 

pp→tt反

応 に お け る 

pp→tt,t1,t2→b+W,W→l+Vま

ジ ェ ッ ト事 象(実

線)の 質 量 分 布35)

た はq1q2

点 線 は 雑 音 信 号(主 と してW+nジ ェ ッ トの 直 接 生 成),ダ ッシ ュ 線 はtt信 号+雑 ル ロ シ ミュ レー シ ョン.挿 入 図 は トップ 質 量 を変 え た と きの 最 尤 関 数 の 変 化

+4ジ

音 信 号 の モ ンテ カ

ェ ッ ト 事 象 

に

つ い て は トップ 質 量 を再 現 す る こ とが 可 能 で あ る.図9.26にCDFグ の 得 たtt信 す.こ

号+(W+ジ

ェ ッ トの 背 景 雑 音 信 号)に

ループ

つ い て の 質 量 分 布 を示

の 結 果 トップ ク ォー クの質 量 は

(9.46a) と決 め られ た.CDFとD0を

合 わせ た最 近 の デー タ で は

(9.46b) と な っ て い る36).   上 記 の ト ッ プ ク ォ ー ク 質 量 の 値 が,種

々 の 過 程 の 精 密 デー タ を電 弱 相 互 作 用

反 応 の 放 射 補 正 計 算 と 合 わ せ て 間 接 的 に 算 出 し た トップ ク ォー クの 予 想 値 (PDG1)お

よ び §7.4の

議 論,た

だ しmH=mZと

す る)

(9.47) とよ く合 っ て い る こ とは,標 準 理 論 の信 頼 性 を再 確 認 す る こ と と な っ た. *4)  m

H=300GeVと

す る とmtの

値 は5GeV大

き くな り,178GeVと

な る.

参考 文献

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UA1;G.Arnison

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S.Ellis,Z.Kunst

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CDF;Phys.Rev.Lett.,70(1993)713

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VENUS;Z.Phys.,C48(1990)13

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E.Eichten,K.Lane

R.D.Field:Nucl.Phys.,B264(1980)687

E.Eichten 21) 

and

D.Soper:Phys.Rev.Lett.,69(1992)3615

and et

on

Directions

in

Scientiofic,1989

J.Siegrist:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,41(1991)97

Physics,CERN

et

Physics,Addison Series

M.Peskin:Phys.Rev.Lett.,50(1983)811

al.:Rev.Mod.Phys.,56(1984)579

CDF;Phys.Rev.,D47(1993)4857 CDF;Fermilab-Pub/95-038-E

1988

CERN

School

of

22) 

CDF;Phys.Rev.,D45(1991)1448

23) 

F.A.Berends

et

F.Aversa 24) 

Z.Kunst

et and

al.:Phys.Lett.,118B(1981)124

al.:Phys.Lett.,B210(1988)225 W.J.Stirling:Phys.Lett.,B171(1986)307

F.A.Berends,W.T.Giele F.A.Berends 25) 

and

and

UA2;J.A.Alitti

et

CDF;F.Abe

et

H.Kujif:Phys.Lett.,B232(1989)266

H.Kujif:Nuc.Phys.,B353(1991)59 al.:Phys.Lett.,B263(1991)544

al.:Phys.Rev.Lett.,68(1992)2734;Phys.Rev.,D48(1993)2998;

Phys.Rev.Lett.,73(1994)2662 26) 

H.Baer,J.Ohnemus

27) 

P.Nason,S.Dawson

and

J.F.Owens:Phys.Lett.,B234(1990)127 and

R.K.Ellis:Nucl.Phys.,B303(1988)607;ibid.,B327

(1989)49 G.Altarelli,et P.Nason

al.:Nucl.Phys.,B308(1988)724 in"Heavy

Flavors"in

Advanced

and

A.J.Buras,Singapore;World

Physics,ed.M.Lindner E.Laener,J.Smith

and

28) 

J.C.Collins,D.E.Soper

29) 

UA1;C.Albajar CDF;F.Abe D0;S.Abachi

W.L.van and

et

Series

on

Directions

in

High

Energy

Scientific

Neerven:Phys.Lett.,B321(1994)254

G.Sterman:Nucl.Phys.,B263(1986)37

al.:Phys.Lett.,B213(1988)405,B256(1991)121

et al.:Phys.Rev.,D50(1994)4252 et

al.:Phys.Rev.Lett.,74(1995)3548

30) 

F.Stichelbant:Talk

31) 

CDF;Phys.Rev.Lett.,68(1992)3403;ibid.,71(1993)2396;71(1993)2537;Phys.

at ⅩⅩⅩⅡ

Recontres

de

Moriond

32) 

C.Albjar,et al.:Z.Phys.,C37(1988)505;Phys.Lett.,B213(1988)405;B256(1991)

33) 

VENUS;K.Abe

March

22-29,1997

Rev.,D50(1994)4252

121

OPAL;Akrawy

et

al.:Phys.Lett.,B234(1990)382

et

al.:Phys.Lett.,B236(1990)3624

ALEPH;DeCamp

et

al.:Phys.Lett.,B236(1990)511

34) 

UA2;T.Akesson

35) 

CDF;Phys.Rev.Lett.,73(1994)225;Phys.Rev.,D50(1994)2966

36) 

R.Partridge:Talk

UA1;C.Albajar

et al.:Z.Phys.,C46(1990)179 et

al.:Z.Phys.,C48(1990)1

CDF;Fermilab-Pub.-94/022-E

1998

at

Int.Conf.on

High

Energy

Physics

at

Vancouver,July

23-29,

付

録

A  単 位,記

号,計 量

  a.  自 然 単 位   本 書 で は 特 に 断 わ ら な い 限 り 自 然 単 位 を使 用 す る.す て,す

べ て の 物 理 量 を エ ネ ル ギ ー で 表 す.通

は,h,cを

位(m,kg,s)に

し 直す とき

入 れ て 次 元 を合 わ せ た うえ で

を 入 れ る.ま   b.  3次

常 のMKS単

な わ ち,h=c=hc=1と

た 電 磁 場 は,μ0=ε0=1の

ヘ ビ サ イ ド-ロ ー レ ン ツ 単 位 を 使 用 す る.

元 ベ ク トル

 太 字 も し くは →

を 付 け て 表 す.

  V=(Vi=Vi;i=1,2,3)   ス カ ラ ー 積:A・B=AiBi=A1B1+A2B2+A3B3    c. 

(A.1)

ロ ー レ ン ツ ベ ク トル

  反 変 ベ ク トル; 

(A.2a)

  共 変 ベ ク トル; 

(A.2a)

ギ リ シ ャ 文 字 の 指 標 μ な ど は0∼3を

表 し,ラ

テ ン文 字 の 指 標i,jな

どは,1∼3を

す もの とす る.   d.  ロ ー レ ン ツ ス カ ラ ー

(A.3a) (A.3b)   e.  マ ン デ ル シ ュ タ ム 変 数(〓

は,E≫mの

近 似)

実 験室 系 重心系

(A.4a)

表

実 験室 系 重 心系 実験 室 系 重心 系

(A.4b) (A.4c)

B  デ ィラ ッ ク方 程 式

(B.1) B.1  平 面 波 解(パ

ウ リ-デ ィ ラ ッ ク 表 示)

(B.2)

(B.3) (B.4)

B.2 

γ

行

列

(B.5) a.  荷 電 共 役 変 換C

(B.6)

b.  パ ウ リ-デ ィ ラ ッ ク 表 示

(B.7) c.  ワ イ ル(カ

イ ラ ル)表 示

(B.8)   パ ウ リ-デ ィ ラ ッ ク 表 示 で の ψ を ψD,ワ イ ル 表 示 で の ψ を ψWと す る と,ψDと ψWは

(B.9) で 結 ば れ て い る. d. 

トレ ー ス 計 算

(B.10)

(B.11) B.3 

レ ヴ ィチ ヴ ィ タの 反 対 称 テ ン ソ ル ijk=123の

偶 置換

ijk=123の

奇 置換

その他 μνρσ=0123の 偶 置 換 μνρσ=0123の 奇 置 換

その他

(B.12)   B.4  カ イ ラ ル 固 有 状 態  ワ イ ル 表 示 で

(B.13) と書 き,デ

ィ ラ ッ ク 方 程 式(B.1)をχ,φ

の方程 式 として書 き直す と

(B.14a) (B.14b) 平 面波解 に対 しては

(B.15a) (B.15b) m=0で

あ れ ば,χ

と φ は 分 離 す る(ワ イ ル 解).こ

の と き,

  χはE>0の

と き は ヘ リ シ テ ィh=-,E<0の

と き はh=+

  φ はE>0の

と き は ヘ リシ テ ィh=+,E<0の

と き はh=-

m≠0の

と き,χ

と φ をヘ リシ テ ィ 固 有 状 態

で 展 開 し,(B.15)に

入 れ て 解 け ば,

(B.16a) (B.16b) Nは

規 格 化 因 子 で あ る.上 式 はEが

負 で も成 立 す る.E<0の

と きχ は

(B.16c) と書 き直 せ る の で,ヘ

リ シ テ ィ の 優 勢 な 成 分 が 逆 転 す る こ とが わ か る.

  こ れ か ら,ψL∼χ,ψR∼

φ は,ワ

イ ル 解 にO(m/E)だ

け 逆 ヘ リ シ テ ィ成 分 を混 入

し た状 態 で あ る こ とが わ か る.   マ ヨ ラ ナ粒 子

(B.17) はNC=Nを

満 た す.こ

れ が デ ィ ラ ッ ク方 程 式 を満 た す とい う条 件 を ワ イ ル 表 示 で 書

く と,ξ と η に 対 す る 方 程 式 が 得 ら れ る.

(B.18a) (B.18b) こ の 式 を 見 れ ば わ か る よ う に,ξ,η は そ れ ぞ れ 独 立 で か つ 異 な る方 程 式 を満 た す. (B.14)式

と比 較 す れ ば,m→0の

る こ とが わ か る.m≠0の か ら,ξ,η は,そ

極 限 で,ξ,η は そ れ ぞ れ ワ イ ル 解 φ,χに 一 致 す

場 合 で も,m≪E,pな

らば ワ イ ル 解 か ら の ズ レ は 小 さ い

れ ぞ れ 右 巻 き,左 巻 き成 分 が 優 勢 で あ る.そ

れ 右 巻 き,左 巻 き の マ ヨ ラ ナ 粒 子 と呼 ぶ.ξ の で,一 般 的 に は,ξ の もつ 質 量mRと

こ で,ξ,η を そ れ ぞ

と ηは それ ぞ れ独 立 な方程 式 を満 たす

ηの もつ 質 量mLは

等 し くな い.

  B.5  行 列 要 素 の ス ピ ン 和

(B.19)  反 粒 子 の 場 合 は,m→-mと

す る.

 良 く 使 わ れ る例:e(p1)+μ(p2)→e(p3)+μ(p4)  (1) 

VV散

乱;a=1,b=0,mi=mf

(B.20)

Mの   (2)  LL,LR,RL,RR散

と き 

(B.21)

乱 の と き,

(B.22a) (B.22b) (B.23a)

(B.23b)

  B.6 

フ ォ トン の 偏 極 和

 フ ォ トン の もつ4元

運 動 量 をqμ,偏

極 ベ ク トル を εμ(λ)とす る と,

(B.24) 実 の フ ォ トン は横 偏 極 の み を もつ が,仮

想 フ ォ トン(q2≠0)は

縦 偏 極 も もつ.静

止系

で 偏 極 ベ ク トル は そ れ ぞ れ

(B.25) 共 変 的 場 の理 論 の 扱 い の た め,ス   q2=Q2≧

カ ラー 偏 極 ベ ク トル を 定 義 す る.

の とき

(B.26a)   qμ=(ω;0,0,￨q￨)の

系 で は,

(B.26b) これ らの偏極 ベ ク トル は規格 直 交条件 と

(B.27) と完 全 性 の 条 件 を満 たす.

(B.28a) (B.28b) (B.28c) q2=-Q2<0の

と き は,qμ=(ν;q)と

お い て,

(B.29a) (B.29b) 第2式

は ブ ラ イ ト系(q0=ν=0の

系)で 成 立 す る.q2>0の

分 が 入 れ 替 わ っ て い る こ とに 伴 い,規

と きに 比 べ て 時 間 空 間 成

格 化 と完 全 性 は 一 部 次 の よ うに 変 更 され る.

(B.30a) (B.30b) (B.30c) C  断   C.1 S行

列 と状 態 密 度

  体 積Vの

中 に 粒 子 が2E個

面

積

あ る よ う に 状 態 密 度 を 規 格 化 す る.こ

の と き,E∼E

+dEの

中 に あ る粒 子 の 状 態 密 度 は,

(C.1) (C.2) S行 列 と不変 散乱 行列T,不

変行 列要 素Mを

次式 で定義 す る.

(C.3) 断 面 積 は,

(C.4)

(C.5) (C.6) で 与 え られ る.Fは

入 射 フ ラ ッ ク ス,υ12は 相 対 速 度,m!は

合 の 補 正 因 子 で あ る.崩

壊 率 は,親

の 粒 子 の 指 標 を2と

同一粒 子が 存在 す る場 す る と き,p1=0,F=2m2

とお い て 得 ら れ る.

(C.7)

  C.2  終 状 態 が2体

系 の断 面積

  a.  重 心 系 の 断 面 積   重 心 系 で の 全 エ ネ ル ギ ー をWと

書 くと

(C.8) (C.9) た だ し,piは

始 状 態 の 運 動 量 を示 す.

(C.10)  に よ っ て,運 変 え る. 

動 量 の 積 分 は1を

与 え る が,同

時 に エ ネ ル ギー の 中 の 運 動 量 を も

を 実 行 す る た め に は,δ 関数の 中 のp3を

系 の 終 状 態 運 動 量pfで

含 む 関 数 をGと

して,重

心

表す と

(C.11)

(C.12)   b.  実 験 室 系 の 断 面 積  簡 単 の た め,m1=m3=0,m2=m4=Mの

場 合 に 限 る.

(C.13) 位 相 体 積 は,

(C.14)  

は1を 与 え るが,同 時 にエ ネ ル ギーE4の 中 の運 動 量 を も変 え る. 

行 す る た め に は,δ 関 数 の 中 のp3を

こ こ で,q=p1-p3=p4-p2を

含 む 関 数 をGと

を実

し て,

導 入 す る.

(C.15) こ れ を 

の 式 に 入 れ て,

(C.16) (C.17) (C.18)   c.  不 変 断 面 積   しば しば 役 に た つ 表 記 法 と し て,立 体 角 の 代 わ りに 不 変 量tを

使 うや り方 が あ る.

重 心 系 で 評 価 す る と,

(C.19a)

(C.19b) (C.20) (C.19),(C.20)の

  C.3 

最 後 の 式 は,m1〓0,m2=Mの

パ ー ト ン(ス

ケ ー リ ン グ)変

と き 成 立 す る.

数

(実験 室 系)

(C.21a) (重心 系) た だ し,q=p1-p3

(C.21b) 〓 は ス ケ ー リ ン グ極 限 

の近 似 式 で あ る.

(C.22) (C.23)

  C.4  役 に 立 つ 関 係 式

(C.24) た だ し,

特 に,m3=m4=0の

場 合 は

(C.25)

  C.5 

コ ン プ トン散 乱

  仮 想 フ ォ トン γ*の コ ン プ ト ン散 乱 公 式 を 与 え て お く.フ ォ ト ン は,k2=-Q2の 不 変 質 量 を もつ 仮 想 フ ォ トン とす る.

(C.26) こ こ で ε=γ

νενで あ る.こ

を と っ て,質

量mを

れ か ら￨Mfi￨2の

ト レ ー ス 計 算 を 行 い,高

エ ネ ル ギー 近 似

無視 す る と

(C.27) 断面積 は

(C.28)

  C.6  分 割 関 数 の 計 算 法1)   Bを 仮 想 粒 子 と し て,A→Bの ス 流 に,A+D→C+Fと が 粒 子Bと

分 割 関 数PBAを

求 め る.ワ

イ ゼ ッ カ ー −ウ ィ リア ム

い う過 程 をA→B+C,B+D→Fと

分 け て 考 え,粒

子A

い う ビ ー ム フ ラ ッ ク ス を提 供 す る と見 な す(図C.1).

(a) 図C.1 

P関

(b) 数 を求 め る ため のA+D→C+Fを

A→B+C,B+D→Fと

分解 するの図

(C.29) とお く と,dP(z,Q2)が A→B+Cの

望 み の フ ラ ッ ク ス を 与 え る の で,PBAが

中 の 仮 想 粒 子 の 不 変 質 量 の2乗

は 運 動 量 無 限 大 の 系 で 考 察 す る.質

で あ る.以

量 を 無 視 す る が,粒

定 義 で き る.Q2は,

下 の 計 算 で は,運

動 学 変数

子 は常 に質 量殻 上 に あ る と

し,仮 想 状 態 へ の 遷 移 で は エ ネ ル ギー が 保 存 し な い と考 え る と,直 観 的 に 対 応 が 付 け や す い 時 間 順 序 を 考 え る摂 動 論 方 式 が 便 利 で あ る.こ

の場合

(C.30) で あ る.こ (n=中

こ に 分 母 の2EBは

状 態 和 の 規 格 化 因 子 と し て,EA-EB-ECはEi-En

間 状 態)か ら で て く る量 で あ る.

(C.31)  は粒 子Aと 無 限 大 の 系 で は,各

粒 子Bの

間 の フ ラ ッ ク ス 因 子 で あ る.運 動 量

粒 子 の 質 量 を 無 視 して エ ネ ル ギ ー 運 動 量 を,pμ=(E;pT,p‖)の

よ う に 縦 運 動 量 と横 運 動 量 で 表 し次 の よ うに と る.

(C.32) こ の 変 数 を使 う と

(C.33a) (C.33b) (C.33c) で あ る の で,(C.31)に

入 れ,ス

ピン につ い て終 状 態 の和 と始 状 態 の 平均 を と る と

(Σ と書 く),

(C.34) dln(pT2)〓dln(Q2)で

あ る の で(C.29)と

比 べ て,

(C.35) グ ル ー オ ン に つ い て は,横   QEDの

計 算 例:αs→

偏 極 の 寄 与 の み 足 し上 げ る もの とす る. αと し

(C.36) に,(C.32)を

入 れ て 計 算 し て や る と,

(C.37) と な る.こ

れ は,カ

→ αs2/2)=4/3)を で,Q2の

ラ ー 因 子(始 状 態 平 均(1/3)×

考 慮 す れ ば,本

上 下 限 を 計 算 す る た め,(C.32)で で は 

終 状 態 グ ル ー オ ン 和8×(1/2)(α2

文 中 の グ ル ー オ ン の 分 割 関 数 と 同 一 で あ る.こ 質 量 項 を 残 す.pAの

とす る と,

こ

エ ネ ル ギー 項 を, 

と な る か ら, 

を 使 え ば,

が 得 ら れ る.dpT2/pT2=dQ2/Q2で me以

あ る か ら,(C.34)を

積 分 し てlnの

中 のp(=E),

外 は 無 視 す る と,

(C.38) こ れ は ワ イ ゼ ッ カ ー-ウ

  C.7 

崩

 a.  π

壊 崩

ィ リ ア ム ス の 式 と し て 知 ら れ る2).

率 壊

遷移振 幅 は

(C.39a) (C.39b) とな る.た

だ し,u,

dはu,

dク ォ ー クの 場 の 演 算 子 で あ る.ハ

互 作 用 の 補 正 が 入 る の で,第1原 テ ィ を もつ の で,ロ

ドロ ン 部 分 は 強 い 相

理 か らの 計 算 は 簡 単 に は で き な い.π

は負 の パ リ

ー レ ンツ不変 性 よ り

(C.40) fπを π の 崩 壊 定 数 と い う.エ

ネ ル ギ ー 運 動 量 の 保 存 則 とデ ィ ラ ッ ク 方 程 式 か ら

(C.41) し た が っ て遷 移 行 列 は

(C.39c) な の で,崩 壊 率 は 容 易 に 計 算 で き て

(C.42) 崩壊率 の観 測値 よ り崩壊 定数 が

(C.43) と決 め ら れ る.   b.  μ

崩

壊

遷移 振幅 は

(C.44)

偏 極 して い な い μ の 場 合 は ス ピ ン の 和 と平 均 を と っ て,

(C.45a) (C.45b) た だ し,

で あ る(付

録(B.19),(B.23)参

照).

(C.46a) 付 録(C.24)よ

り,粒 子2と

粒 子3の

質 量 が0で

あ る とき

(C.47) で あ る の で,

(C.46b) 電 子の質 量 を無視 す れば

(C.48) (C.49a) を得 る.ま

た電子 の質 量 を無視 しない場 合 は

(C.49b) (C.49c) と な る.  c.  Kの3体

崩壊

(C.50) (C.51a) (C.51b) (C.51c) Kと

π は と もに パ リテ ィ が 負 な の で,軸

(p1-p3)2の

関 数 で あ り,T不

性 ベ ク トル 部 分 は 寄 与 し な い .f± はq2=

変 が 成 立 し て い れ ば 実 数 で あ る.

で あ り,レ プ トン カ レ ン トに 掛 け る と レ プ トン 運 動 量 の 部 分 は レ プ トン 質 量 に 比 例 す る.し

た が っ て レ プ トン が 電 子 の 場 合 はf-の

項 は 無 視 して よ い.CVC仮

説によ

り,保 存 す る ア イ ソ ス ピ ン カ レ ン トの 存 在 が 導 か れ た よ う に,こ

こ で もベ ク トル カ

レ ン トは 保 存 す る と考 え る と ア イ ソ ス ピ ン の 拡 張 で あ るSU(3)対

称 が 適 用 で きて,

f+(0)は 

に な る.た

1→0.982±0.0083)と

だ し,SU(3)対

な る.実

称 は 厳 密 で な い の で実 際 は わ ず か に ず れ て,

験 デ ー タ の 解 析 は,

(C.52) と パ ラ メ タ ー 化 し て 行 う.Kμ3で ま る.Ke3の

はf±

が 両 方 決 め ら れ る が,Ke3で

電 子 ま た は π の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル は,ml=0と

は,f+の

み が決

お いて

(C.53a) (C.53b) (C.54) と な る.た

だ し,(C.53a)を

求 め る と きは,f+のq2依

存 性 を 無 視 し て 定 数 と し た.

全 崩壊 率 は

(C.55) f(y)は(C.49c)で

与 え た 関 数 で あ る.

参考 文献

1) 

Yu.L.Dokshitzer:Sov.Phys.JETP,46(1977)641 V.N.Gribov G.Altarelli

2) 

M.S.Chen

and

L.N.Lipatov:Sov.J.Nucl.Phys.,15(1972)438

and and

H.Leutwyler

675

P.Zerwas:Phys.Rev.,D12(1975)187

S.Brodsky,T.Kinoshita 3) 

and

G.Parisi:Nucl.Phys.,B126(1977)298

and

and

H.Terazawa:Phys.Rev.,D4(1971)1532

M.Roos:Z.Phys.,C25(1984)91

D  回転 と角 運 動 量   D.1 

角運 動量演 算

 単 位 ベ ク トルn(θ,φ)を

中 心 と して 角 度 αだ け 回 転 す る 演 算 子Rは

(D.1) 角 運 動 量 演 算 子Ji(i=1,2,3ま

た はx,y,z)は

(D.2)

は す べ て のJiと で,角

交 換 し 固 有 値 

運 動 量 の 固 有 ベ ク トル は,jとJzの

を もっ の

固 有 値mを

指 定 す れ ば 決 ま る.J±=Jx

±iJyと す る と

(D.3) 軌 道 角 運 動 量 の 場 合:Ji=Li

(D.4) L2の

固 有 値 は 

で 固 有 関 数 は, 

として

(D.5) ス ピ ン角 運 動 量 の 場 合Ji=Siと

書 く.S=1/2の

場 合 は パ ウ リ行 列

(D.6) を 用 い て,Si=σi/2と

表 さ れ る.固

有関 数 は

(D.7) S=1の

場 合 は,固

有値

±1, 0の

固 有 関 数 をe±1, e0と

して

(D.8) と す れ ば,(D.3)を

使 って直 ちに

(D.9a) と求 め ら れ る か ら,

(D.9b)

  D.2 

角運 動量 の合 成

 角 運 動 量J1とJ2を

合 成 して,Jを

つ くる と

で あ るの で,Jの

固 有 値J,

Mは,

(D.10) で 与 え ら れ,固

有 ベ ク トル￨J,M>は,ク

レ プ シ ュ-ゴ ル ダ ン係 数 を使 っ て,

(D.11) 表D.1 

表D.2 

で 与 え ら れ る.ク の 場 合 を 表D.1,

  D.3 

レ プ シ ュ-ゴ D.2に

ル ダ ン 係 数 は 一 般 形 が 与 え ら れ て い る1).j2が1/2,

1

示 す.

回 転 行 列

  a.  j=1/2,1の   ￨j,m>をz軸 も の は,mの

とき 周 りに 回転 して も位 相 が か か るだ け で あ るが,y軸

違 う状 態 が 混 じ る.￨j,m>は

系 を つ くる の で,そ

の 周 りに 回 転 し た

角 運動 量 の大 き さが 変 わ らな けれ ば 完全

の 線 形 結 合 で 展 開 で き る.

(D.12) こ のdjn,m(θ)を

回 転 行 列 と い う.明

らか に

(D.13) d関 数 の 満 た す 性 質 は,

(D.14)

djn,m(θ)の 規格 条件 は

(D.15) 回 転 行 列 は 一 般 式 がWignerに (D.13)に

よ っ て 与 え ら れ て い る が1),j=1/2,1の

直 接(D.6)や(D.9b)を

場 合 は

代 入 して 求 め る こ と が で き る.

(D.16) 同 様 に して,J=1の

場合 も

(D.17)

も う少 し一 般 的 な例 を い くつ か 次 に あ げ て お く2).  b

. j=L=整

数 の とき

例 えば

(D.18)  c. j=L+1/2(半   P'L=dPL/dcosθ

整 数)の

と き

と して

(D.19)

参考 文献 1)  M.E.Rose:Elementary 2)  M.Jacob

Theory

and

G.C.Wick:Anals

of of

Angular

Momentum,New

York:Wiley(1957)

Phys.,7(1959)404

E  C,P,T変

換性

  場 が 各 種 変 換 で ど の よ うに 変 換 す るか を ま とめ て お く.以 下｜q,p,σ 〉は,粒 ま た は 反 粒 子(q)の

空 間 運 動 量p,ス

換 の 位 相 ηPが,C,Tに

ピ ン状 態 σ を 表 す 状 態 量 とす る.Pに

は ηc,ηTが一 般 に は か か る が,簡

子(q) はP変

単 の ため すべ て位相 因子

を 省 略 した.

P:

 (E.1)

(E.2) スカ ラー

擬 ス カラー ベ ク トル 軸 性 ベ ク トル

電磁場 デ ィ ラ ッ ク ス ピ ノー ル

デ ィ ラ ッ ク双1次

形 S P V A T

  (E.3)

C  (E.4)

ス カ ラー 擬 ス カ ラー ベ ク トル 軸 性 ベ ク トル 電磁 場

デ ィ ラ ッ ク ス ピ ノー ル

デ ィ ラ ッ ク双1次

形 S P V A T

 (E.5)

(E.6)

T: (c-数)→(c-数)* 

(E.7) (E.8) (E.9)

ス カラー

擬 ス カ ラー ベ ク トル 軸 性 ベ ク トル

電磁場 デ ィ ラ ッ ク ス ピ ノー ル

デ ィ ラ ッ ク双1次

形 S P V A

T 

CP: 

(E.10) (E.11) (E.12)

ス カ ラー

擬 ス カラー

ベ ク トル 軸 性 ベ ク トル

電磁 場 デ ィ ラッ クス ピノー ル

テ ィ ラ ッ ク双1次

形 S P V A T 

(E.13)

  演 算 を二 つ 以 上 組 み 合 わ せ る と,デ よ り最 終 結 果 の 位 相 が 異 な る.し

ィ ラ ッ ク ス ピ ノー ル の 変 換 式 は 一 般 に 順 序 に

か し,双1次

形 式 に つ い て は η*η=1で あ る の で 順

序 に よ ら な い.

  CPT:

  C,P,Tの

変 換 をす べ て 組 み 合 わせ る とCPT変

を 反 転 させ る と[(x,t)→(-x,-t)],T変

換 と な る.こ

の場 合 すべ ての座 標

換 を 含 む の で や は り ア ン チ ユ ニ タ リー で

あ り,遷 移 要 素 な ど は 複 素 数 を と る.CPT変

換 演 算 子 をΘ と 書 き演 算 の 要 素 を ま

とめ る と

(E.14) 数

 数

 (E.15)

(E.16) (E.17) ス カ ラー

擬 ス カラー ベ ク トル 軸 性 ベ ク トル

電磁 場 デ ィ ラ ッ ク ス ピ ノー ル

テ ィ ラ ッ ク 双1次

形 S

P V A T

 (E.18)

F  SU(N)の

数学 的準備

  F.1  群 の 定 義   群G={A,B,C,…}と

は次 の 条 件 を満 た す 元A,B,〓

  (1) 群 の 二 つ の 元A,Bに

対 し積ABが

  (2)  結 合 則:(AB)C=A(BC)が   (3)  単 位 元1が

存 在 し,こ れ も ま た群 に属 す る こ と.

成 立 す る.

存 在 し,す べ て の 元Aに

  (4)  す べ て の 元Aに   特 に,AB=BAが

対 し,逆 元A-1が

存 在 し,A-1A=AA-1=1.

元 平 面 で の 回 転 が 該 当 す る.AB≠BAの 次 元 の 回 転 やSU(N),N≧2な

る.コ

対 し,1A=A1=A.

成 立 す る もの を可 換 群(ア

き,リー(Lie)群

の 集 合 で あ る.

どが あ る.群

と い う.特

ンパ ク ト(compact)と

ー ベ ル 群)と

と き,非 可 換 群(非

え ば2次

進 演 算 や2次 い う.3

が連 続 パ ラメ ター の解 析 関 数 で あ る と

に わ れ わ れ が 興 味 あ る の は,コ は 簡 単 に い え ば,パ

体 積 内 に 閉 じ る もの を い う.例

呼 ぶ.並

ア ー ベ ル 群)と

ン パ ク ト ・リー 群 で あ

ラ メ ター の 変 数 領 域 が 空 間 の 有 限

元 空 間 の 回転 は,0≦

θ<2π で あ り コ ン パ ク

トで あ る.ロ ー レ ン ツ 群 は 非 コ ン パ ク ト群 の 例 で あ る.   群 の 表 現:群

の 任 意 の 元Aに

対 応 し て行 列U(A)も

し くは 演 算 子 が 存 在 し

単 位行 列 で あ る と き,こ の 行 列 の 集 合 を群Gの 間 を表 現 空 間,次   例1:回

元(n)を

表 現 と呼 ぶ.こ

の行 列 の 演 算 す るベ ク トル 空

表 現 の 次 元 とい う.

転 群  O(N)

  実 数xi(i=1∼N)を

座 標 に も つN次

元 空 間 に お い て, 

を 不 変 に す るす

べ て の 変 換.   例2:ユ

ニ タ リー 群  SU(N)

  複 素 数uiを の 変 換 を,N次

座 標 に もつN次

元 複 素 空 間 に お い て, 

元 の ユ ニ タ リー 変 換 群 とい う.そ

に す る も の を特 殊(special)ユ

ニ タ リー 群SU(N)と

を 不 変 に す るす べ て

の 中 で も変 換 の 行 列 式det

Uを1

い う.

(F.1) 条 件(F.1)を

満 た す 独 立 な行 列 は,N2-1個

存 在 す るの で,Uを

の和 の 形 に 書 く と,Fiは

エ ル ミー ト行 列 で あ り,det

U=1の

) (F.2)

条 件 は,

(F.3) こ こ に,θaはN2-1個 算 子(generator)と

の 独 立 な 連 続 実 変 数 で あ る.こ

のFiをSU(N)群

の生 成 演

い う.Fiは

(F.4) と い う関 係 を 満 た す.こ

こ にkに

合 が リー 代 数 を形 成 す る.群

つ い て は 和 を と る もの とす る.こ

の よ う なFの

集

の 性 質 は 生 成 演 算 子 の 交 換 関 係 に よ りほ ぼ 完 全 に 規 定

さ れ る.fijkは 構 造 定 数 と呼 ば れ る.fijkの 決 め 方 は ユ ニ ー ク で は な い.な Fiの 線 形 結 合 で 別 の 独 立 なFi'の

組 をつ くれ る か ら で あ る*1).fijkは,ijk添

ぜ な ら, 字につ

い て 反 対 称 に で き る.   SU(N)のn×n次

の 表 現 行 列Uの

演 算 す るn次

元 ベ ク トル を ψ と書 く と,ψ は

(F.5)

(F.6) に よ っ て 変 換 さ れ る.n=Nの

場 合 を 基 本 表 現,n=N2-1の

場 合 を随 伴 表 現 とい

う.   随 伴 表 現(adjoint

representaion):n=N2-1の

表 現 行 列 は,構

造 定 数 を使 っ て 表

す こ と が で き る.

(F.7) 証 明:[A,B]=-[B,A]お

よびヤ コビの恒 等式

(F.8) に,A=Faな

ど を 入 れ て,(F.4)を

使 え ば,

(F.9a) (F.9b) が 示 せ る の で,こ

れ に(F.7)を

入 れれ ば

(F.10) よ っ て,FaはN2-1次

元 の 表 現 行 列 で あ る.(証

*1) 例 え ば 角 運 動 量 演 算 子Jiの

が 成 立 す る.

代 わ り に ,線

明 終)

形 結 合J±=J1±iJ2を

使 え ば,

  ラ グ ラ ン ジ ア ン(ま た は 運 動 方 程 式)が,SU(N)変 Fkは

保 存 量 で あ る.同

SU(N)の

時 に 対 角 化 可 能 なFkの

ラ ン ク はN-1で

の 固 有 値(量

子 数)に

あ る.表

現 ベ ク トル(粒

よ り指 定 分 類 で き る.Fkよ

る行 列 を カ シ ミヤ(Casimir)演

の 群 の ラ ン ク と い う.

子)は,同

時 対 角 化 可 能 なFk

りつ く ら れ,す べ て のFkと

交換 す

算 子 と呼 ぶ.

  ψの 複 素 共 役 ψ*の 表 現 行 列 はU*で の 交 換 関 係 を 満 た す か ら,ψ*も

換 に よ っ て 変 わ ら な い と き, 数 γ を,こ

あ る.そ

の 生 成 演 算 子(-Fi*)も

ま た(F.4)

ま た 表 現 ベ ク トル で あ り ψ の 共 役 表 現 と い う.ψ に

粒 子 を対 応 さ せ る と き は ψ*は 反粒 子 を表 す か ら,反 粒 子 の もつ 量 子 数 は 粒 子 の 量 子 数 の 符 号 を 変 え た もの と な る.こ

こ で,共

変 ベ ク トル,

(F.11) を定 義 すれ ば

(F.12)   表 現 行 列U(A)が,任

意 の 元Aに

対 し

(F.13)

の よ う に 書 け る と き,こ

の 表 現 は 可 約(reducible)で

あ る とい い

(F.14) の よ うに 書 く.こ の よ う な分 解 が で き な い と き既 約(irreducible)で   直 積 表 現:元A={Aj},B={Bk}を

あ る とい う.

もつ 二 つ の 表 現U(A),U(B)が

れnA,nB次

元 で あ る と す る.各

表 現 の 基 底 ξj,ηkの積 ξjηkはnA×nB次

張 る.こ

の 空 間 で の 表 現 はU(AB)は

あ り,そ れ ぞ 元の 空 間 を

(F.15) で 表 さ れ る.こ れ を直 積 表 現 とい い

(F.16) の よ う に書 く.直 積 表 現 は一 般 に 可 約 で あ る.

  F.2  SU(3)群   基 本 表 現:以

下,物

理 的 に理 解 しや す い よ う に,SU(3)の

対 応 さ せ て 考 え る こ とに す る.各

ク ォ ー クqi=(u,d,s)を,基

基本 表 現 に クォー ク を 本 表 現 に 対 応 させ て

(F.17)

と表 す.   SU(3)群

の 生 成 演 算 子λiを 決 め る た め に 次 の よ う に 考 え る. 

換 は,SU(3)群

の 一 部 に 含 まれ るか ら,λi(i=1,2,3)をu,dの

のSU(2)変

み に演 算す るよ うに

(F.18) に と る と,λiは ア イ ソ ス ピ ン 演 算 子 で あ る.同 で あ るの で,ア

イ ソ ス ピ ン に な ら っ てVス

様 に 

の 入 れ 替 え もSU(2)演

算

ピ ン と名 づ け,λ4,λ5,V3を

(F.19) に よ っ て 定 義 す る.同 様 に 

をUス

ピ ン演 算 と名 づ け,λ6,λ7,U3を

(F.20) とす る.こ

れ で9個

の 行 列 が 定 義 で き た が,

(F.21) で あ る の で,

(F.22) を 定 義 す れ ば,独 る.こ

立 で 同 時 に 対 角 化 可 能 な 行 列 はI3とYの2個

で あ る こ とが わ か

れ ら の 行 列 は,

(F.23) (F.24) (F.25) を 満 た す.fijk,dijkは,添

字 に つ い て,そ

れ ぞ れ 反 対 称,全

る よ う な値 を もつ. 表F.1 

SU(3)の

構造定数

対 称 で,表F.1に

示 され

  術 語 の 定 義:Fa(n)をn次

元 の 表 現 行 列 とす れ ば

(F.26a) (F.26b) SU(N)の

場 合,n=NをF(fundamental),n=N2-1をA(adjoint)で

表す と

(F.27a) (F.27b) SU(3)の

場 合,

(F.28) C2(n)の 一 般 的 な 求 め 方 は §F.4で 述 べ る.   V,Uス

ピ ン:V,Uス

ピ ン の 演 算 はIス

ピ ン の 昇 降 下 降 演 算 子 を 次 の よ う に 定 義 す れ ば,V,Uス

ピ ン の 演 算 子 と ま っ た く同 じ よ うに 扱 う こ とが で き る.

(F.29a) ク ォ ー ク モ デ ル で は,q=(u,d,s)が,そ

れ ぞれ 量子数

(F.29b) を も つ.I3-Y平 よ う に な る(ウ I3,Yを1/2,1/3だ

面 にu,d,sを

お き,原

エ イ ト図 と い う).積

点 か ら の ベ ク ト ル と し て 表 す と 図F.1aの

表 現 を つ く る と き,uを

掛 け 算 す る と い う こ と は,

け 増 加 す る こ と に 相 当 す る の で,I3-Y平

加 え る こ と に 相 当 す る.同

様 にd,sを

面 で は,uベ

掛 け 算 す る こ と は,d,sベ

ク トル を

ク トル を加 え る こ

と に 相 当 す る.   反 ク ォ ー ク  の で,図F.1(b)の

を もつ よ う に な る.ま

た, 

(a) 図F.1 

u,d,sは(I3,Y)=(1/2,1/3),(-1/2,1/3),(0,-2/3)を の よ う な ベ ク トル と し て 表 せ る.(b)はu,d,sの

(b) も つ の で(a) ベ ク トル 図 で あ る.

(b)

(a) 図F.2  〓u

,U±

I±,V±,U± 演 算 はI3-Y平

はd〓s,-s〓dの

面 で 表 現 ベ ク トル を 図 の よ うに動 か す.

置 き 換 え(図F.2)に

対 応 す る.

  F.3  直 積 表 現 の 既 約 化   a.  メ ソ ン8重 項(octet)   ク ォ ー ク と反 クォ ー クの 合 成 系 でつ くる ス ピ ン0の 表 現 で はqとqの

積 表 現 Φij=qiqjを

メ ソ ン を考 え て み よ う.SU(3)

つ くる こ と に な る.変 換 で,

(F.30) で あ るの で, 

は,SU(3)変

換 で 不 変 で あ る.

(F.31) はSU(3)群 9個

の 規 約 表 現 に 属 す る 基 底 ベ ク トル で あ り,1重

の 積 ベ ク ト ルΦij=ξiξjか ら(F.31)を

項(singlet)を

構 成 す る.

引 い た 残 り の8個Pij=ξiξj-(1/

3)Tr(Φij)は 独 立 で あ り,変 換 に よ っ て互 い に 混 じ る の で これ 以 上 分 解 で き な い .   以 上 の 議 論 か ら,3個

のqiと3個

のqjの

積 表 現 は1個

こ とが 導 け た.こ

れ を

の よ う に 表 す.こ

れ を 別 の 見 方 か ら 導 い て み よ う. 

と8個

の2組

に分 け られ る

(F.32) は,3に る.い

属 す るu,d,sに,3*に ま,3にuを

トル はuベ

属 す るu,d,sを

掛 け る こ と を考 え て み よ う.例

ク トル にdベ

よ うに,I3=1,Y=0の

の 直 積 表 現 の 基 底 ベ ク トル

掛 け 算 し た 九 つ の ベ ク トル よ り な え ば,I3-Y平

ク トル を 足 し て 得 ら れ,そ 位 置 と な る.3に

面 上 で,udベ

ク

の 位 置 は,図F.3(a)に

示す

属 す る す べ て の ベ ク トル に3*に

属 す るす

べ て の ベ ク トル を加 え た も の の 頂 点 を プ ロ ッ トす る と,図F

.3(b)の

こ の 全 体 で9個

の 点 は3重 点 で あ る.

の 点 は 六 角 形 を形 成 し,外 側 の 点 は 一 重 点,中

よ う に な る.

(a)

(b)

(c)

図F.3 

(a) u,dは(I3,Y)と I3-Y平  (b)  (a)の

し て(1/2,1/3),(1/2,-1/3)を

演 算 を す べ て の 要素

  3重 点 の 一 つ は 既 約 表 現 の1重

項(1)に

も つ.

に つ い て 行 え ば,qiqjの

和 と し て 得 ら れ,(c) 

と 中 心 の2重

も つ の で,udは

面 で は ベ ク トル 和 と し て 得 ら れ,(1,0)を

す べ て が,ベ

ク トル

と な る.

属 す るか ら,8重

項 は,六

角 形 の辺 の 各 点

点 か ら構 成 され る こ とに な る.

  b.  バ リ オ ン   バ リオ ン をつ くる た め に,ま

ず ク ォー ク2個

よ りな る9個

の 変 換 性 を み て み よ う.こ れ は 一 般 に 既 約 で は な い.し

の 積 ベ ク トル 

か し,

(F.33) の よ う に,対

称 な 部 分 と反 対 称 な部 分 に 分 け る こ とが で き る.対 称 性 は 変 換 に よ り

変 わ ら な いか ら,9個

の 積 ベ ク トルTijが,6個

に 分 解 で き た こ と に な る.す

の 対 称 な 表 現 と3個

の反対 称 な表 現

なわ ち

(F.34)

(a)

(b)

図F.4 

パ リ オ ン 多 重 項:(a) 

ベ ク トル 表 示 で は,図F す る こ と は,量

.4(a)の

子 数(I3,Y)を

,(b)

よ う に 表 さ れ る.3個

のAijが,3で

み れ ば 一 目 瞭 然 で あ る が,数

な く3*に

属

学 的 に は 次 の よ うに 証 明

す る.

(F.35) と す る と,

(F.36) は,SU(3)変

換 の 不 変 量 で あ る.な ぜ な ら,

(F.37) こ れ か ら ηの 変 換 行 列 は,(U-1)T=U*で Tijに さ ら に3の

あ る こ と が い え る か ら,η は3*に

ξkを 掛 け る と,(F.33)の

第1項

との 掛 け 算(Aijξk)から

属 す る. は,

(F.38) が で て く る こ と は メ ソ ン の 場 合 と 同 様 で あ る.た (F.33)のAijにξkを が1重

項 と な り,残

掛 け て 全 反 対 称 に し た も の(そ りの8個

が8重

項 と な る.Tijの

18個 の ベ ク トル が つ く ら れ る が,こ

の う ち3個

10個 が 一 つ の 既 約 表 現 を つ く り,残

りの8個

だ し,メ

ソ ン の 場 合 と違 い,

れ は(F.36)のBに 第2項

等 し い)

との 積(Sijξk)か

ら は,

の 添 字 す べ て に つ い て全 対 称 の も の

が 別 の 既 約 表 現 を つ く る.す

な わ ち,

(F.39a) とな り,結 局

(F.39b) 対 称 性:  A が 導 け た.こ

の う ち1は3個

MA

MS

S

の 添 字 に つ い て 全 反 対 称(A=antisymmetric)で

あ り,

10は 全 対 称(S=symmetric)で る が,上 の2個

あ る.二

つ の8は,I3-Y平

面 で は 同 じ位 置 を 占め

記 の つ く り方 か ら わ か る よ う に 混 合 した 対 称 性 を示 し て お り,一 方 は 最 初

の 添 字 に つ い て 対 称(MS=mixed

(MA=mixed

and

and

antisymmetric)と

symmetric)で

あ り,他 方 は 反 対 称

対 称 性 が 異 な る.

  これ ら既 約 表 現 の ル ー ト図 はF.4(a),(b)に

与 え て あ る.

  c.  既 約 表 現 ル ー ト図 の 一 般 的 規 則   積 表 現 を既 約 表 現 の 和 に 分 解 す る 一 般 的 な 方 法 は ヤ ン グ 図 を使 っ て得 られ る(後 述 §F.5参 照).既

約 表 現 の ル ー ト図 に つ い て は 次 の よ う な定 理 が あ る.

  定 理1:I3-Y平

面 に 既 約 表 現 の 多 角 形 を プ ロ ッ トす る と 以 下 の こ とが 成 立 す る

(証 明 略).   (1)  多 角 形 は 必 ず 外 に 向 か っ て 凸 で あ り,一 般 に は 不 等 辺 六 角 形 を な す(図 F.5).   (2)  一 番 外 側 の 辺 上 に あ る 点 は1重 点 で あ る.   (3)  外 か ら2番

目 の 辺 上 の 点 は2重

点 で あ る.以

下一 つ 内側 に 入 るた び に 多重 度

が 一 つ 増 す.   (4)  三 角 形 に な っ た と こ ろ で 多重 度 の 増 加 は 止 ま り,後 は どれ だ け 内 側 に 進 ん で も 多 重 度 は 変 わ ら な い.特

別 な 場 合 と して,三

角 形既 約 表 現 の 多重度 はすべ て

1で あ る.

  F.4  テ ン ソ ル 算   一 般 の積 ベ ク トル ま た は テ ン ソ ル(p個 の とす る)T(p)(q)=Tij…mn…

は,

の よ う に変 換 す る.q=0の

と きp階

の 上 つ き添 字,q個

の 下 つ き 添 字 を もつ も

(F.40) ル,p,q≠0の す る.こ

の 反 変 テ ン ソ ル,p=0の

の 共変 テ ン ソ

と き 混 合 テ ン ソ ル とい う.こ の テ ン ソ ル の 全 体 を(p,q)で

の テ ン ソ ル の ウ エ イ ト図 は,上

な る(図F.5参

と きq階

照).pま

  δij≡δji≡δijがp=q=1の

た はqの

辺 の 長 さ がp,下

い ず れ か 一 方 が0の

辺 の 長 さ がqの

六角形 と

と き は三 角 形 に な る.

混 合 テ ン ソル,εijk,εijkが そ れ ぞ れ3階 の 共 変,反

ン ソ ル で あ る こ と は 容 易 に証 明 で き るの で,こ ル で あ る.(F.40)で

表 す こ とに

表 さ れ る テ ン ソ ル は,一

変 テ

れ ら を掛 け 算 し た もの は や は りテ ン ソ 般 に は既 約表 現 に属 さず可 約 で あ るの

で,δij,εijk,εijkな ど と の 縮 約 を つ く り,階 数 を 低 くす る こ と が 可 能 で あ る.例 ば,(p,q)に

え

属 す る テ ン ソ ルTijk…abc… か らδaiやεabcを 使 っ て つ く る

(F.41a) (F.41b) は,そ

れ ぞ れ(p-1,q-1),(p-2,q+1)に

あ っ た り,す

属 す る テ ン ソ ル と な る.ト

で に 対 称 化 さ れ て い る も の は,こ

の 演 算 で0に

な り,そ

レー ス レ スで れ以上 階数 を

図F.5  辺 長pとqの

既 約 表 現DN(p,q)=D48(5,1)

不 等 辺 六 角 形 と な る.多

重 度 は 内側 に い くた び に1ず

形 に な っ た 後 は 増 加 し な い.φmaxは,最 る.φ1か

大 のI3を

ら φ2へ 移 る と き,→A(=I+)→B(V-)の

つ 増 す が,三

もつ 要 素(I3=(p+q)/2=3)で ルー トと,→C(U-)の

あ ルー ト

が あ る.多 重 度 が1の と き は,φ2は ル ー トに よ らず 唯 一 に 決 ま る.多 重 度 が2以 の と きは,道 筋 に よ りい きつ く状 態 が 異 な る.

低 く で き な い か ら そ れ は 既 約 表 現 で あ る.し つ き添 字 ま た は 下 つ き添 字 に つ い て は,す

た が っ て,既

角

上

約 表 現 の テ ン ソ ル は,上

べ て 対 称 化 し て あ り,か つ トレ ー ス レ ス

で あ る よ う な テ ン ソ ル で あ る.す な わ ち

(F.42) を満 た す.対

称 化 し て あ る か ら,ト

テ ン ソ ル 空 間 の 表 現 をDN(p,q)と

レー ス レ ス の 条 件 は(F.42)一

表 す.た

だ しNは

つ で よ い.こ

の

独 立 な 元 の 数 で,

(F.43) で 与 え ら れ る.   証 明:上

つ き 添 字ij…

に つ い て,11…222…33・ ａ個

の よ う に 並 べ る と,お

の お の の

 b個 p個

に 対 し て,bは0∼p-aま が っ て,上

で の,(p-a+1)通

りの 選 び 方 が あ る.し

た

つ き添 字 の独 立 な 並 べ 方Nuは,

下 つ き の 添 字 に つ い て も同 じ く, 

通 り の 並 べ 方 が あ る.次

通 りあ る の で,全

に ト レ ー ス レ ス の 条 件 は,p→p-1,q→q-1と

体 で,

した分 だ

け あ るの で,差

し引 く と,

(証明終) い くつ か の例:

(F.44) 次 に,ウ

エ イ ト図 で 三 角 形(pま

た はq=0)の

多 重 度 が1で

あ る こ と を示 そ う.

(F.45a) (F.45b)

で あ る か ら,q(ま

た はp)が0の

は 一 義 的 に決 ま る.す

と き は,p(ま

  カ シ ミヤ 演 算 子:    Fkの

た はq),I3,Yを

な わ ち ウ エ イ ト図 上 で の 多 重 度 は1で

指 定 す れ ば,n(q)

あ る.

の 求め 方

代 わ りに,I,V,Uス

ピ ン の 演 算 子 を 使 っ て 書 き 表 す と,

(F.46) 多 重 項 は,I3-Y平 (図F.5)に

面 で 必 ず 凸 で あ る の で,多

重 項 の 中 で 最 大 のI3を

も つ 要 素 φMAX

対 して,

(F.47) ゆ え に,こ

の φMAXのI3,Yが

わ か れ ば,

(F.48) 最 大 のI3は,p個 あ る.こ

す べ て をu,q個

の と き,Y=(p-q)/3で

す べ て をdと

し て 得 ら れ る か ら,I3=(p+q)/2で

あ る の で,

(F.49) 例:

(F.50)   F.5  ヤ ン グ 図2)   こ こ で,SU(N)で べ て お く.

の 積 表 現 を既 約 表 現 の 和 に 分 解 す る簡 便 な 方 法 を証 明 な し に 述

  (1)  ヤ ン グ 図 は,箱 (列)を

一 つ をN次

そ の 共 役 表 現N*に

元 の 基 本 表 現 に,N-1個

対 応 させ る.し

の箱 を縦 に並べ た もの

た が っ て, または

(F.51)   (2)  任 意 の 既 約 表 現 を,縦(列)お

よ び 横(行)に

列 べ たn個

個 の 箱 の 配 置 は 左 上 に 向 か っ て 凸 で な け れ ば な ら な い.こ 数 をλ1,第2行

の 箱 の 数 を λ2…,最 後 の 第m行

の 箱 で表 す.こ

の 意 味 は,第1行

のn

の箱 の

の 箱 の 数 をλmと す る と き,

(F.52) を意 味 す る. 許 され る例 

  (3)

禁止例

行 方 向 の 任 意 の 要 素 の 交 換 に 関 して は 対 称,列

を も た せ る.こ SU(N)の

の 要 請 の た め,列

場 合 交 換 して 反 対 称 に で き る要 素 の 最 大 数 はNで

素 を全 反 対 称 に で き る 組 み 合 わ せ は た だ1通

り しか な い.し

箱 を も つ 列 が な く て も 次 元 数 は 変 わ ら な い の で,こ N=5に

方 向 に 対 して は 反 対 称 の性 質

方 向 の 箱 の 最 大 数 はN-1で

あ る.な ぜ な らば, あ り,し か もN個

の要

た が っ て,m≧N個

の

の 列 は 削 っ て よ い.こ

つ いて 図示 す る と

次 元表現 

(4)  あ る 表 現 に 対 して,そ う.例

の条 件 を

え ばSU(3)の

れ に つ な げ ばN×Nの

(b)

(c)

ら わ か る よ う に,(a)の

て(d)=(c)で

配 置 に な る表 現 を共 役 表 現 と い

場合

(a)

  (c)は(b)か

(F.53)

あ る.よ

っ て,(a)の8は

(d)

共 役 表 現 で あ る.そ

し て(3)の

規 則 に よっ

共役 表 現が 自身 と同 じの 自己 共役 表 現 で あ

る(8*=8).  表 現Aと

表 現Bの

(ⅰ)  表 現Bの

積 を つ く る方 法 

第1行

の 箱 す べ て に 数 字1を,第2行

の 箱 す べ て に2を,以

下順

に数 字 を詰 め て い く.  (ⅱ)  次 に,表 現Aに

現Bの

第1行

か ら順 に す べ て の 箱 を,あ

つ な げ る.

 この と き,   (a)  左 上 に 凸 と い う条 件 は守 る.

ら ゆ る 可 能 な や り方 で 表

 (b)  一 つ の 行 の 中 で は,左  (c)  同 じ列 の 中 で は,付

か ら右 へ 数 が 小 さ く な っ て は い け な い.

加 した すべ て の 箱 は違 う数 を も ち,か

つ 上 か ら下 へ 数 が

大 き く な ら な け れ ば なら な い.  (d)  1行 目 に 右 か ら 入 り左 端 に 出 る.次 に2行

目 に 移 り,以 下 全 部 の 箱 を 右 か ら

左 へ 順 に 横 切 る 線 を 引 く.こ の 線 上 の 任 意 の 点 で そ れ ま で に 通 過 し た 数 字i の 数 をniと

 例1 

す る と き,ni≧ni-1で

なければ な らない. 禁止例

正 しい処 方 

(A)

  (A),(B)図

は(a)の

条 件,(C)は

で 止 ま る線 をつ くる とn2≧n1と   例2  SU(3)で 

条 件(b)を

な る の で,条

  (B)

  (C)

 (D)

満 た さ な い.(D)は 件(d)を

右 か ら最 初 の 箱

満 た さ な い.

をつ くる.

(F.54) 8に は 同 じ形 の ヤ ン グ図 が 二 つ あ るが,数

字 の 組 み 合 わ せ 方 が 違 う の で,別

の表現 と

な る.   既 約 表 現 の 多 重 度Dの   D=F/Hで   Fの

算 出 法:ヤ

+1,N+2,…),下 (a)).Fは   Hの

数 え方

与 え られ る. ン グ 図 の 左 上 隅 の 箱 にNを に い け ば 順 に1ず

入 れ る.右

つ 減 らす(第2行

に い け ば1ず

第1列

つ 増 や し(N

な ら ばN-1)(図F.6

す べ て の 箱 の 中 の 数 の 積 で あ る.

算 出 法:任

意 の 行 に 右 か ら 入 り,任 意 の 箱 で 下 に 曲 が っ て 下 に 出 る 線 を 引 く.

これ を カ ギ と い う.一

つ の カ ギ の 道 筋 に あ る箱 の 数 をhと

す る と き,Hは

すべ ての

hの 積 で あ る(F.6(b)).   図F.6(c)の

例 で は,SU(3)と

して

(F.55)  例3:

 例4:SU(4) 4種 の ク ォ ー クか らつ くれ るハ ドロ ン は,ヤ メ ソ ン:

ン グ図 を使 え ば容 易 に 計 算 で き て  (F.56)

(a)  F (c) 

(b)  Hカ

SU(3)の

例

ギの数え方

図F.6 

ヤ ン グ図,次

元数D=F/Hの

数 え方

 バ リ オ ン:

 (F.57)

 対 称 性: 

A

で あ り,対 称 性 は,SU(3)の と こ ろ が4重

MS

MA

S

場 合 と ま っ た く 同 じ で あ る.SU(3)で

項 に な っ た の は,4個

関 数 を つ く る 組 み 合 わ せ が4通

の ク ォー ク か ら3個

り あ る か ら で あ る.SU(3)で

ク ォ ー ク を 含 む バ リオ ン を12個

を 加 え,10重

項 は10個

は1重

項 だっ た

の クォー クで全 反 対称 の 波動 の8重

項 は チ ャー ム

加 え た こ とに な る.

  例5:SU(5)

(F.58)   例6:SU(6)  ス ピ ン の 上 下,香 ↑,s↓))と

り のu,d,s状

し たSU(6)を

態 を 基 底 の ベ ク ト ル(ψT=(u↑,u↓,d↑,d↓,s

考 え る と,

 メ ソ ン:  バ リ オ ン:

  対 称 性: 

A

MS

MA

S

 (

F.59)

 (

F.60)

  F.6  反 対 称 表 現 の 共 変 微 分   本 文 中 で 使 うの で,SU(5)の 

の10,反

対 称 表 現)の

共変微分 を

求 め て お く.   基 本 表 現 ベ ク トル を ψa,10次 成 演 算 子 をLAab,χ ∼5)と

元 ベ ク トル ψ10の テ ン ソ ル 表 現 をχab,ψ 空 間 で の 生

空 間 で の 生 成 演 算 子 をLAabcd(以

書 く.χabは(ψaψb-ψbψa)の

上 す べ て,A=1∼24,a,b=1

よ うに 変 換 す る の で,微

小 変 換 を考 え る と,

(F.61) (F.62) が 成 立 す る.こ

れか ら

(F.63) が 導 け る.ラ

グ ラ ン ジア ン の 中 に は双1次

形 式 で 現 れ るの で

(F.64) で あ る.ゲ ー ジベ ク トル 場 の行 列 表 現 

を使 え ば,ラ

グラ ン ジア ンの

中の運 動 量項 は

(F.65) と書 け る.  以 上 の 議 論 は, 

とす れ ば,SU(N)で

参

1) 

文

例 え ば,P.A.Carruthers:Introduction lishers,

a division

F.E.Close:An 2) 

考

例 え ば,ジ

of

Wiley

Introduction

to

ョ ー ジ ア イ 著,九

&

Unitary

Symmetry,Interscience

Pub-

Sons(1966)

Quarks

and

後 汰 一 郎 訳:物

Leptons,Academic

Press(1979)

理 学 に お け る リ ー 代 数,吉

G  質 量 行 列 とT,

  こ こ で は,K0とK0の2体

献

to

John

成 立 す る.

CPT変

岡 書 店(1990)

換

系 の 時 間 推 移 を 記 述 す る実 効 ハ ミル トニ ア ン と し て の

質 量 行 列 が ど の よ う に 表 され る か を厳 密 な 証 明 な し に 直 感 的 に 導 く.ど れ だ け の 近 似 が 含 まれ,ど ほ し い.K0と

の よ う な 条 件 で 有 効 か に つ い て は,原 そ の 反 粒 子 で あ るK0は,強

ジ ネ ス に よ っ て 区 別 さ れ る.強

し くは2)を

参 照 して トレ ン

い 相 互 作 用 で は ス トレ ン ジ ネ ス が 保 存 さ れ る の で,

両 者 が 混 合 す る こ と は な い.K0とK0は,CPが 選 ん で,

論 文1)も

い 相 互 作 用 の 固 有 状 態 で あ り,ス

よ い 量 子 数 で あ れ ば 位 相 を適 当 に

(G.1) の よ う に 定 義 で き る.弱

い 相 互 作 用 が 入 る と,ス

トレ ン ジ ネ ス を 保 存 し な い(ΔS=

1)過 程 が 可 能 で あ り,

(G.2) な ど を 通 し て 混 合 が 起 こ る.こ る.ハ

の 過 程 は,弱

ミ ル トニ ア ンHを,Hs(強

摂 動 の2次

い 相 互 作 用 の 少 な く も2次 の 効 果 で あ

い 相 互 作 用)とHW(弱

ま で を考 え る こ と に す れ ば,遷

い 相 互 作 用)に

移 を引 き起 こ すS行

分 け て,

列 は次 式 で与 え られ

る.

(G.3) 主値 積分 の記 号Pを

で あ る.K0,K0の2体

使 えば,

の 運 動 方 程 式 は,Kの

Miδij)を 加 え た 質 量 行 列Mに

静 止 系 で,こ

れ に 質 量 項(=

よ っ て 記 述 で き る.

(G.4) (G.5) (G.6) HWが

エ ル ミー トで あ る か ら,Mijお

ル ミー トで は な い.弱

よ びΓijも ま た エ ル ミー トで あ る が,Mijは

い 相 互 作 用 の 固 有 状 態 は,こ

のMを

対 角 化 し て得 られ,そ

エ の

固 有 値 を λσ,固 有 状 態 を￨σ>と す れ ば,

(G.7) とな り,平 均 寿 命τ=(Γσ)-1で 崩 壊 す る状 態 を表 す.  次 に,￨α>のCPT変

換 し た状 態 を<〓 α￨で表 す こ と に す れ ば,CPT不

変 性 は,

(G.8) と表 さ れ る.￨〓 α>は,￨α>か (位 相 の 不 定 性 は 残 る.以 様 にT不

ら,粒

子 を反 粒 子 に,ス

ピ ン 成 分 を 反 転 して 得 られ る

下 他 の す べ て の 変 換 も 同 じ).Kの

場 合 は￨〓K>=￨K>.同

変 性 は,

(G.9) で あ り,￨Tα>は,￨α>の

運動 量 の符 号 とス ピン成分 を逆 に した もの に適 当な位 相 因

子 を 掛 け た もの で あ る.Kの

静 止 系 で は,￨TK>=￨K>.CP不

変 の 場 合 は,

(G.10) で,￨CPα>は,￨α>か

ら,粒 子 を 反 粒 子 に して,運

動 量 の 符 号 を 変 え,適

当 な位 相 因

子 とパ リテ ィ 固 有 値 を掛 け て得 ら れ る.   CPT変

換 を質 量 行 列 に 適 用 す る と,質 量 項 お よ び(G.3)の

の ま ま適 用 で き る が,第2項

第1項

は(G.8)を

そ

に つ い て は,

(G.11) CPT変

換 は ス ピ ン の 向 き を変 え るの で, 

な る.ま

たEi=Efで

あ るの で,結

で あ る が,和

を とれ ば 差 は な く

局

(G.12) が 言 え た こ と に な る.i=f=K0,〓K0=K0と

す れ ば,

(G.13) こ れ か ら,K0とK0は,同

じ質 量 と 同 じΓ(全

崩 壊 率)を

もつ こ と が わ か る.こ

議 論 は 一 般 化 で き て,す

べ て の 粒 子 と反 粒 子 は 同 じ 質 量,同

M21に 関 して は,CPT保

存 か ら は何 も 言 え な い が,CP保

の

じ寿 命 を も つ.M12と

存 を 適 用 す れ ば,

(G.14) が 結 論 さ れ る.   崩 壊 振 幅3):散 乱 行 列SをS0とSDに と きの 散 乱 行 列 で あ り,￨A>を ￨ A>以

分 け る.S0は

崩 壊 を起 こ す 相 互 作 用 が な い

そ の と き の 固 有 状 態 つ ま り安 定 状 態 とす る.￨B>を

外 の 状 態 とす れ ば,=0が

成 立 す る.S0,SDと

もに ユ ニ タ リー で あ る

か ら,

(G.15) こ れ を,AとBの

間 で 挟 め ば,

も し￨B>が,S0の

散 乱 固有 状 態 で あ れ ば,

(G.16) (G.17) で あ る の で,SAB=δAB-i2π

δ(EA-EB)TABを

使 っ て,

(G.18) CPTが

保 存 す れ ば,(G.8)を

入 れ て,

(G.19) Tが 保 存 す れ ば,(G.9)を

入 れ て,

(G.20)

(G.20)は,崩

壊 振 幅 が,

(G.21) と書 け る こ と を 示 す.つ す れ ば(CPTが

ま り散 乱 の 位 相 を 取 り 出 し た 残 りの 崩 壊 振 幅 は,Tが

保 存 して い れ ば,CP保

保 存

存 則 で も 同 じ),実 数 で な け れ ば な ら な い.

参考 文献

1)  E.P.Wigner

and

V.F.Weisskopf:Z.Phys.,64(1930);65(1930)18

2)  O.Nachtman:Elementary

Particle

Physics,Springer-Verlag(1989)Appendix

I,

p.513 3) 

P.K.Cabir:The

CP

(1968),Appendix

Puzzle;Strange

Decays

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the

Neutral

Kaon,

Academic

Press

C

H 

フ ィ ー ル ツ(Fierz)変

換

  4-フ ェ ル ミ相 互 作 用 で デ ィ ラ ッ ク場 の 順 序 を変 え る際 の 変 換 式 の こ と.   い ま ψ1,ψ2,ψ3,ψ4を デ ィ ラ ッ ク場 とす る と,4-フ

ェ ル ミ相 互 作 用 の ラ グ ラ ン ジ ア ン

は一般 に

(H.1) の 形 を して い る.こ

れを

(H.2) の 形 に 展 開 し た と きフ ィー ル ツ 変 換 を した と い う.こ

の よ うに 書 け る こ と を証 明 し,

Cijを 求 め る た め にΓiを 成 分 で 表 す と,

(H.3) (H.4) a, b, c, dは す べ て1∼4ま と見 な す こ とが で き る.し

で の 値 を と るか ら,a, た が っ て,16個

dを 固 定 す る とMac:dbは4×4行

の 独 立 な行 列Oiで

列

展 開 す る こ とが で き

る.

(H.5) Biを

求 め る た め に,両

Oi=1と

辺 に(Oi)bcを

掛 け て ト レ ー ス を と る.Γi=Vと

す ると

  右 辺=BSad(1)bc(1)cb=4BSad,他   左 辺=-(γ

の 係 数=0

μ)ab(1)bc(γμ)cd=-(γμγμ)ad=-4δad

し て,ま

ず

表H.1 

フ ィー ル ツ変 換 係 数

(H.6) 次 にOi=γν

とす る と

  右 辺=BμadV(γν)bc(γμ)cb=4gμνBμadV,他

の 係 数=0 

(H.7)

  左 辺=-(γμ)ab(γν)bc(γμ)cd=+2(γν)ad→C22=1/2

以 下 同 様 に,す 係 数Cijを

べ て の16個

の 係 数 を 求 め る こ とが で き る.表H.1に

こ う して 求 め た

示 す.

(H.8) の 場 合 は,上

の 変 換 式 で γ5ψ2→ ψ2'と お け ば,

(H.9) と書 け る こ と を使 う と,同

じ よ う に 計 算 で き てC'ij=Cijを

与 え る.表

から

(H.10) が 証 明 で き る が,こ

れ は2回

変 換 す れ ば 元 に も ど る こ と を考 え る と 当 然 で あ る.特

別 な 場 合 と して

(H.11) I  フ ァ イ ンマ ン規 則

  フ ァ イ ン マ ン 図 とそ の 取 扱 い に つ い て の 詳 細 は,GWS理 に 関 し て は 第6章,第7章 GWS理

を,QCDに

関 し て は 第5章

論 のW,Zに

関 す る過 程

を 参 照 され た い.こ

こ で は,

論 の フ ァ イ ン マ ン規 則 を ま とめ る.

  一 つ の 例 と して,ee→ よ う に 表 さ れ,散

μμの 散 乱 振 幅 を計 算 す る.フ

ァ イ ン マ ン 図 は,図I.1の

乱行 列 か ら

(I.1) で 定 義 さ れ る振 幅Mは,フ

ァ インマ ン規 則 を使 って

(I.2)

図I.1 

と表 さ れ る.い

ee→

μμ対 生 成 過 程 振 幅 をつ くる た め の フ ァ イ ンマ ン規 則

っ た ん 散 乱 振 幅 が得 ら れ れ ば,微

分 断面積 は

(I.3) (I.4) に よ っ て 計 算 で き る.た が1,質

量 が0の

で あ るが,通 にRゲ

だ し,ス

ピ ン偏 極 を見 な い 場 合 は 始 状 態 に つ い て は ス ピ ン

ゲ ー ジ ボ ソ ン の 伝 播 関数 は,一

常 は ξ=1と

般 的 には

お くフ ァ イ ンマ ン ゲ ー ジ を使 う.GWS理

ー ジ が 使 わ れ るが,本

書 で は 物 理 的 なU(ユ

論 で は 多 くの 計 算

ニ タ リー)ゲ ー ジに 限 定 し て い

る.   外 線,内

線 に は エ ネ ル ギ ー 運 動 量 を 特 定 す る 必 要 が あ る.線

外 線:

(I.2a)

(I.2b)

(I.2c)

図I.2外

線(波 動 関 数)に 対 す る フ ァ イ ン マ ン 規 則

が 交 わ る とこ ろ

内線: (I.3a)

(I.3b)

(I.3c)

(I.3d) 図I.3 

内 線(伝 播 関 数)に 対 す る フ ァ イ ン マ ン規 則

(I.4a)

(I.4b)

(I.4c)

図I.4 

ゲ ー ジボ ソ ン と フ ェ ル ミオ ン の結 合 に対 す る フ ァ イ ンマ ン規 則 Vjiは 小 林-益 川行 列 要 素 を表 す.

(ヴ ァ ー テ ッ ク ス)で は,エ

ネ ル ギ ー 運 動 量 が 保 存 す る よ うに 設 定 し な け れ ば な ら な

い.こ

の た め,外

線 の4元

運 動 量 を設 定 す れ ば,そ

動 的 に 決 ま る.し

か し,内

線 が 閉 じ る ル ー プ の と こ ろ で は,内

由 に とれ る の で 積 分 を す る必 要 が あ る.フ た め ル ー プ の 数 だ け-1を

れ につ なが る内 線 の運 動 量 は 自 線 の4元

乗 じ な け れ ば な ら な い.以

交 換 性の

下 に各種 の フ ァイ ンマ ン規則

を図 示 す る.

(I.5a)

(I.5b)

(I.5c)

図I.5 

運動量は 自

ェ ル ミオ ン ル ー プ の 場 合 は,反

ゲ ー ジ ボ ソ ン同 上 の 結 合 に 対 す る フ ァ イ ンマ ン規 則

(a)

図I.6 

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

ヒ ッ グ ス との 結合 に 対 す る フ ァ イ ンマ ン規 則

J  フ ェル ミオ ンル ー プ に よ る放 射 補 正 の 計 算

  こ こ で は,ゲ

ー ジ ボ ソ ン の フ ェ ル ミオ ン ルー プ 補 正 を 評 価 し,本 文 中 に 現 れ たΔ γ

と〓 γZ(S)を 計 算 す る.

  J.1  ゲ ー ジ ボ ソ ン の 伝 播 関 数補 正  ベ ク トル ボ ソ ンVの

伝 播 関 数 の ル ー プ 補 正 は,ユ

ニ タ リー ゲー ジ で

(J.1)

(J.2) で 与 えら

れ

る.g,

  (1) υ1=υ2=W±

g',υ,υ',

a, a'は

の と き

(J.3a) (2) υ1=υ2=Z

(J.3b) (3) υ1=γ,υ2=Z

(J.3c) (4) υ1=υ2=γ

(J.3d) トレ ー ス を計 算 す る と

(J.4) で あ るの で,Σμν は 次 の 形 に 書 け る.

(J.5) 散 乱 行 列 の 中 で は,偏

極 ベ ク トル と縮 約 を と る の で,第2項

は 寄 与 し な い.ΣLは,

ゲー ジ の と り方 に よ り変 わ る 項 で あ る.物 理 的 に 意 味 が あ る の は 第1項 幅 ΣTの み で あ り,こ れ は ゲ ー ジ に よ ら な い の で,以

の横 方 向 振

下 は ΣTの み を考 慮 す る こ と に

す る.

(J.6) を考 慮 す る と,ΣTを

求 め る に は,次

の 形 の 積 分 を計 算 す る 必 要 が あ る.

(J.7a) (J.7b) (J.7c) (J.7d) た だ し, 

とい う省 略 型 を 使 い

(J.8) は,こ

れ か ら示 す 次 元 正 規 化 法 に よ る積 分 を 表 す.こ

れ ら の 式 を 使 う と,ΣTは,

(J.9) と表 さ れ る.

 J.2  次 元 正 則 化 法 に よ る積 分 計 算   代 表 例 と し てB0を あ る.そ

こ で,積

計 算 す る.こ

れ は,kの

分 を集 束 さ せ るた め,4次

べ き を 数 え れ ば 対 数 発 散 をす る積 分 で 元 か らD次

元 へ 移 る こ とに す る.

(J.10a) (J.10b) (J.10c) (J.10d) こ こ で,μ

は 積 分 の 次 元 を正 し く保 つ た め に 導 入 し た エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル パ ラ メ ター

で あ る.D-4<0で

あ れ ば 積 分 は 集 束 す る.後

析 関 数 で あ る の で,Dを4よ →4の

解

り大 き い整 数 と して 形 式 的 に 計 算 を 実 行 し,最 後 にD

極 限 を と る こ とが 許 さ れ る.ま

入 し て 書 き 直 す.

に 明 ら か に な る よ う にB0はDの

ず,次

の フ ァ イ ン マ ン の パ ラ メ ター 変 数 を導

(J.11) 積 分 が 収 束 す る こ とが 保 証 さ れ る の で,積

分 の 順 序 を変 えて も よ い.

(J.12a) (J.12b) k+zpを

改 め てkと

変 数 変 換 した う え で, 

を導 入 す る と,分 母 は

(J.13) で あ る か ら,ω-iε

と-ω+iε

に 極 を もつ.そ

こ で,k0→ik0と

し て,積

分 路 を90

度 回転 す れ ば,

(J.14) と な る.γ はD次

 

はD-1個

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の 長 さ で あ る か ら,極 座 標 を 採 用 す れ ば

の角変 数 につ いては 積 分 が行 えて,D次

元空 間の 全 立体 角ΩDを 与

え る.   D次

元 の 全 立 体 角ΩDは

次 の よ うに して 求 め られ る. を 使 っ て,

(J.15a) を極 座 標 で 計 算 す る と,

(J.15b) で あ る の で,Γ

関数 の定 義

(J.16) を 使 え ば,

(J.17) を得 る.(J.17)を

使 っ て,(J.12)の

積 分 を実行 すれ ば

(J.18) (J.19) を得 る の で,整

理すると

(J.20)

こ こ で,ε

を 微 小 量 と し,4-D=ε

とお い て

(J.21a) (J.21b) を使 え ば(た

だ し,γEは

オ イ ラー の 定 数 で あ る),

(J.22) (J.23) を得 る.第2項 数Dの

は 有 限 な 解 析 関 数 で あ り,無 限 大 に 発 散 す る 部 分 は 第1項

極 と し て 現 れ る こ とが わ か る.無

し 引 くの が 最 小 限 引 き算 法(minimal 第3項

限 大 を 処 理 す る 方 法 と し て,2/ε

subtraction)で

ま で は 常 に一 体 と し て 現 れ る の で,ま

算 法(modified

minimal

subtraction;通

す な わ ちMS引

き算 法 とは

あ る が,(J.23)の

の次元変 の み を差 第1項

か ら

とめ て 引 き 算 す る の が 修 正 最 小 限 引 き

常MSと

い う記 号 を つ け て 示 す)で あ る.

(J.24) と置 き換 え る こ とに 等 しい.QCDで ケ ー ル が 不 定 で あ るの で,MS引 α,GFが,p2の

特 定 の 値(例

は,結

合 定 数 αs(μ)の参 照 す べ きエ ネ ル ギー ス

き 算 法 が 通 常 使 わ れ る が,電

え ばp2=0)に

弱 相 互 作 用 の よ う に,

対 して 与 え ら れ る と き,そ

準 に と る こ と が で き る(質 量 殻 引 き算 法:on-shell

scheme).こ

こ での 値 を基

の と き,Δ は 保 持 し

て お い て も物 理 量 の 中 に は 相 殺 して 現 れ な い よ うに な っ て い る.以 下 はlnμ2を

状況

に 応 じて Δ の 意 味 に も使 うこ と に す る.   B0以 外 の 他 の 積 分 も同 様 に し て 計 算 で き る.以

下,p2=sと

書 く こ と に して ま と

め る と1)

(J.25a) (J.25b) (J.25c) (J.25d) B1やB22な

ど は,(J.7c)や(J.7d)をpμ,gμν

な ど と縮 約 し て 得 ら れ る が,そ

の際

(J.26a) で あ り,

(J.26b) な どは,有

限 な 量 で あ る こ と に 注 意 す る 必 要 が あ る.

  J.3 

自 己 エ ネ ル ギ ーΣT(s)

 (J.22),(J.25)を

使 っ て 整 理 す れ ば,

(J.27) WやZの

自 己 エ ネ ル ギー 関 数 を求 め る に は,g,g',υ

… に具 体 的 な値 を入れ れ ば よ

い .

  m1,m2を

そ れ ぞ れ ア イ ソ ス ピ ン ±1/2の フ ェ ル ミオ ン の 質 量 と し,

(J.28) を 定 義 し て 整 理 す れ ば 次 式 が 得 られ る2).ク ォ ー ク の 場 合 は カ ラ ー 因 子Nc=3を じ,レ プ トン の 場 合m1→0に

乗

も って い く.

(J.29)

(J.30) (J.31) (J.32) こ こ に,F関

数 はB0か

ら得 られ,次

式 で 定 義 さ れ る 量 で あ る.

(J.33a) (J.33b)

(J.33c) F関

数 は 次 の よ う な 性 質 を もつ.

(J.34a) (J.34b) S≪m12,m22の

と き は

(J.34c) S≫m12,m22の

と き は

(J.34d) m1=m2の

と き は 特 に 簡 単 と な り,

(J.34e)   J.4 

Δγ,ΠγZ(S)の

 ま ず,次

計 算

式 に よ っ て Σ11,Σ33,Σ3Q,ΣQQ,ΣVV'(s)を

定 義 し て お く.

(J.35a) (J.35b) (J.35c) (J.35d) (J.36) Δρ,Δγ,ΠγZ(S)は,

(J.37)

以 下,Σ

はReΣ

を 意 味 す る もの とす れ ば,

(J.38a) (J.38b) こ こ で,Δ

α,ε2,ε3は 次 式 で 定 義 さ れ る 量 で あ り,

(J.39a) (J.39b) (J.39c) 計算 過程 で

(J.40a) (J.40b) な ど を使 っ た,同 様 に

(J.41a) (J.41b) も 導 け る.   以 下,Δ

α,Δρ,ε2,ε3は(し

た が っ てΔγ,ΠγZ(mZ2)も)発

な 寄 与 は Δα と Δ ρ の 中 に あ り,ε2,ε3は

散 を 含 ま な い こ と,大

き

小 さ い こ と を 示 そ う.

  a.  フ ォ トン を含 む 項   ま ず,Σγγ(0)=0は

ゲ ー ジ不 変 性 よ り保 証 さ れ て い る が,フ

い て は ΣγZ(0)=0も 成 立 す る こ と は,式(J.31),(J.32)を

ェル ミオ ン ループ に つ

見 れ ば わ か る.具

体的に

書 き下 ろ す と

(J.42a) (J.42b)

(J.42c)

(J.43) Πγ(s)は発 散 項 を 含 ま な い.な

おΣ の 和 は ク ォ ー クに 対 し て は カ ラー の 和 を 含 む も

の とす る.上 式 か ら,Πγ(s)は 軽 い フ ェ ル ミ オ ン(s≫mf2)か 重 い フ ェ ル ミオ ン(s≪mf2)の

寄 与 は 無 視 で き る(decoupleす

ら の 寄 与 を 受 け る こ と, る とい う)こ

とが わ か

る.

(J.44)

b. Δ ρ 次 に,各

世代 につ いて

(J.45a) (J.45b) が 成 立 す る の で,世 代 ご とのΔ ρ=Δ ρg

(J.46a) は 発 散 項Δ を 含 ま な い.因 子3は きい の で,近

カ ラー の 和 か ら く る.ト

ップの 質 量 が圧 倒 的 に大

似 的 に,

(J.46b) と表 され る.   c.  ε2と ε3 次 に,ε2と

ε3が 有 限 で あ る こ と を 示 す.Πγ(0)のΔ

を 含 む 部 分 をSing{Π

γ(0)}の

ように書 くと

(J.47a) (J.47b) (J.47c) (J.47d) こ こ で,υi=I3i-2QiSW2,ai=I3iを

を 考 慮 す る と,式(J.35)か

入 れ,

ら

(J.48a) (J.48b) (J.48c) が 導 け る.(J.48)を が っ て,r1,r2も   次 に,Π 示 す.r1,r2の

使 う と ε2と ε3は お の お の が 有 限 で あ る こ と が わ か る.し

た

ま た 有 限 で あ る.

γ(mZ2)に

は あ っ たln(mZ2/mf2)の

中 の 軽 い フ ェ ル ミ オ ン(mZ≫mf)の

項 が,ε2,ε3の 寄 与 は

中 に は存 在 しな い こ とを

(J.49a) (J.49b) (J.49c) (J.49d) と な る の で,lnmZ2を な っ て 現 れ る.し

含 む 項 は,常

にlnμ2(こ

こ で は Δ=lnμ2と

た が っ て ε2,ε3に 対 す るlnmZ2の

と 同 じ 理 由 に よ っ て0と

な る.よ

っ て,ε2,ε3に

寄 与 は,Δ

お い た)と

の 係 数 が0に

組 に な るの

は 軽 い フ ェ ル ミ オ ン から の 大 き な 寄

与 は な い.   ε2,ε3へ の 優 勢 な 寄 与 は ト ッ プ ク ォ ー ク か ら く る.比

較 の た めΔρ,ε2,ε3へ

の トッ

プ お よ び ヒ ッ グ ス ル ー プ の 寄 与 を 書 き 下 ろ す と4),

(J.50a) (J.50b) (J.50c) で あ り,ε2,ε2の 寄 与 はΔρ に 比 べ 相 対 的 に ∼O(mW2/mt2)だ ル ー プ の 寄 与 を(計 算 な しに)含 め た の は,こ

け 小 さ い .ヒ

ッグ ス

の近似 では もはや 無視 しえ ない項 だか

らで あ る.   以 上 を 総 合 す れ ば ゲ ー ジ ボ ソ ン の 真 空 偏 極 に よ る補 正 は,Δα,Δρ,ε2,ε3に集 約 さ れ る と結 論 で き る.こ

の う ち 大 き な項 は Δα とΔρ で あ り,標 準 理 論 に お い て は この

二 つ を考 慮 す れ ば 大 抵 の 場 合 十 分 で あ る .Δ α に は 軽 い フ ェ ル ミ オ ンが 寄 与 し,Δ ρ に は 重 い フ ェ ル ミオ ンの 寄 与 が 効 く.

(J.51a) (J.51b)   ε2,ε3は標 準 理 論 で は 小 さ い が,新

理 論 の 構 成 い か ん で は 優勢 に な る 場 合 が あ る.

例 え ば,Δ ρは ア イ ソ ス ピ ン の破 れ の 効 果 で あ り,質 量 が 大 き く と も 多重 項 の 中 で 縮 退 し て い る と き は 効 果 は 小 さ い.こ

の と き は ε3にそ の 効 果 が 現 れ るの で,例

ク ニ カ ラー 理 論 な どの 標 準 理 論 を 越 え る新 理 論 の 検 証 に 有 効 で あ る.

えば テ

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A,Ruiz,

索

ア acoplanarity→ AMY 

ふ く らみ 指 数

288

38, 365

SU(2) 

37, 43, 50

SU(3) 

7, 42, 304, 367 55, 59

エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル   29

面指 数

ー ジ   55

R値 

SU(n) 

SU(2)×U(1) 

aplanarity→非平 Rゲ

行

引

エ ネ ル ギ ー 相 関   291, 292

69, 70, 111, 135

エ ミ ッ タ ン ス   181

ア イ ソ ス ピ ン   37, 38, 51, 56, 368 oblateness→偏平

  ― の 破 れ   238 ア イ ソ ス ピ ン0標

的  81, 82, 107

ア イ ン シ ュ タ イ ン の 方 程 式   29

OPAL 

283, 293,

度 301, 304,

307

重 い ク ォ ー ク   333

ア ド ラー の 加 算 則  83

カ

ア ハ ロ ノ フ-ボ ー ム 効 果   24, 34, 35, 37

行

γ行列  346 eD)散

乱   99

e-e+→ff反 e-e+→

μ+μ-反 応   68

ep深非弾性散乱 ε,δの 方法 eμ散乱

γ-Z混合  232 回転行列   360

応   110

回転 群  365 同 転 と角 運 動量  358 カ イ ラ リテ ィ  70

 74  285

カ イ ラ ル固 有 状 態  348

 67

異 常 次 元   163

カ イ ラ ル表 示  347

位 相 変 換   22

改 良 ボル ン近似  215, 242, 244

1重 項 分 布 関 数   158, 一般相対論  23

167

ヴ ァ ー テ ッ ク ス 補 正  213, 237,

香 りの 保 存  4 香 りの 励 起  336 247

角 運 動 量 の 合 成  359 隠 され た 対 称性  44

ヴ ィ ー ナ ス 測 定 器  259, 260

角 整 列  274 加 算則  82

LPHD近

カ シ ミヤ 演算子  124, 367, 375

MS引 MS処 MLLA 

似  298, 302 き算 法 → 修 正 最 小 限 引 き算 法 方 の ワ イ ンバ ー グ角   225, 250 298, 301

仮 想 度  270, 273 仮 想 フ ォ トン  77, 79, 130, 151, 152 荷 電 カ レ ン ト  60, 88

nジ ェ ッ ト  288, 289, 291

荷 電 カ レ ン ト反 応  107

S行 列 と状 態 密 度  350

荷電 共 役 変換  346, 362

Sパ ラ メ ター  254

荷 電 対称 演 算  81

― の干 渉効 果  274, 298

可 約   367 カ ラ ー1重

― の 自 己結 合  302, 303, 304, 305

項   10

カ ラ ー 因 子   126, 187, 299, 305 カ ラ ー 交 換 力   121 カ ラ ー 自 由 度   9, 10, 122

―

― の ス ピン  296, 297, 298 の性 質  296

カ ラ ン-グ ロ ス の 式   77, 79, 80

― の偏 極   159 グ ル ー オ ン ジェ ッ ト  306, 321

慣 性 系   31

グ ル ー オ ン多重 発 生   200 グ ル ー オ ン伝 播 関 数   127

Q-プ

ロ ッ ト  264, 265, 268

QCD 

17, 42, 120

QCD干

渉効 果   301

QCD結

合定 数   294, 295

QCDコ QCD補

ンプ トン  141, 143, 154 正   111, 135, 137, 187, 208

QED 

15

QEDコ

ンプ トン  142

基 本表 現   38

グ ル ー オ ン場   122 グ ル ー オ ン分 布 関 数  157, 167, 169, 171 グ ルー オ ン放 出   141, 144, 197 グ ル ー オ ン放 出 断 面 積  297 ク レ プ シ ュ-ゴ ル ダ ン係 数  360 グ ロ ス-レ ウ ェ リ ン-ス ミス の 加 算 則   83 ク ー ロ ン グ ルー オ ン  131 群 の テ ン ソ ル算  373 群 の 表現  365

既 約   367 既 約 化   370 既 約 表 現   374

K因

Kの3体

子   86, 174, 178 崩 壊   357

球 形 指 数   265, 313 共 変 ゲ ー ジ  159

形状因子

  5, 73, 327

共 変 微 分   20, 30, 32, 39, 41, 379

ゲ ー ジ 原 理   15, 18, 20

行 列 要 素 の ス ピ ン和   349

ゲ ー ジ セ ク タ ー   59

行 列 要 素 の 方 法   270, 293

ゲ ー ジ 場 の 幾 何 学 的 解 釈   18, 26

局 所 ゲ ー ジ変 換   19

ゲ ー ジ 理 論   15

形 態 変 数   263

局 所 対 称 性  33 局 所 ロ ー レ ン ツ不 変性  31, 34

構造関数

曲線 座 標   27, 33

構 造 定 数   38, 121, 366, 368

曲率  24, 28, 33

ゴ ー ス ト  55

曲率 テ ン ソ ル  29

 75, 82, 152, 163, 168, 171

ゴ ッ ト フ リ ー トの 加 算 則   83 孤 立 し た レ プ ト ン   340

ク ォー ク  2, 16, 65 ― の 結 合 定 数  92 ― の サ イズ  5 ― の ス ピ ン  266

ゴ ー ル ド ス トー ン 定 理   46 コ ンパ ク ト ・ リ ー 群   365 コ ン プ ト ン 散 乱   141, 353

サ

― の 分 布 関 数   85, 169, 170 ク ォー ク ジェッ ト  306, 321

最 小(限)引

ク ォー クモ デ ル  7

坂 田 モ デ ル  7

靴 紐 の 理 論   16 クー パ ー 対  12, 48

行

き算 法   134, 391

左 右 非 対 称  222

ク ラ ス ター モ デ ル  275

C(変

繰 り込 み   15, 52, 54, 228 ― の 引 き算 項  233

CDF  CP(変

換) 

繰 り込 み可 能   17, 62

CPT 

364, 379, 382

繰 り込 み 群 方 程 式   134, 138 繰 り込 み 処 方   227 ク リス トッ フ ェ ル の接 続 記号   26, 29

C, P, T変

換 性   362

CVC仮説

  17

GIM機

構   104

グ ル ー オ ン  65

GWS理

論   17, 55, 62, 88, 90

換)→

荷 電 共 役 変 換

307, 315, 319,

325

363

JADE  287 shape variable→

Zの 質 量  60, 217, 218 形態 変数

ジ ェ ッ ト  14, 181, 258

Zの 生 成 断面 積  208 Zの 崩 壊 幅   208, 217, 218

―

の 再 構 築   287

Zボ ソ ン  207

―

の 多 重 生 成   329

生 成 子   38, 39, 121, 366

― の 分離   266, 285 ジ ェ ッ トサ イズ  324, 326

正 則 化 し た ル ー プ 関数  234

ジ ェ ッ ト識 別 変 数  286 ジ ェ ッ ト軸  114, 263

接 続 係 数   26, 27, 28, 33, 39

ジ ェ ッ ト質量   319, 320

全 曲 率   25

ジ ェ ッ ト多 重 発 生   331 ジ ェ ッ ト変 数  263, 268, 282

漸 近 自由   17, 129, 133, 283 ― の テ ス ト  295

軸 性 ゲ ー ジ   160

前 後 非 対 称   112, 216, 217

赤 外 発 散   145 遷移行列 要 素  67

軸 性 ベ ク トル カ レ ン ト  80

チ ャー ムの―

軸 性 ベ ク トル 結 合定 数   93 次 元 正則 化 の 方 法   134, 145, 389

bの―

 114

  116

自 己エ ネ ル ギ ー   392

相 対 運 動 量   155

自 己 エ ネ ル ギ ー 補 正  236

相転移

自己 相 互 作 用  53, 54, 127

測 地 線   23, 26, 28, 32 ソ フ トグ ル ー オ ン  298

自然 単 位  345

 45

磁 束 の量 子 化   35, 36

タ

実 験 室 系 の 断 面 積   352

行

実 効 結 合定 数  232, 244

TASSO 

実 効 ワ イ ンバ ー グ角   213, 243

Wの

質量  60, 193

質量 殻  94 ― に お け る ワ イ ンバ ー グ角  224

Wの

ス ピ ン  191

Wの

崩壊 幅   185, 188, 193

質量殻 処 理 法   228

Wの 横 運 動 量 分 布  197, 202

質量 行 列   379

Wボ ソ ン  180 W,Zの ハ ドロ ン生 成   188

質量特 異性

 145

自発的 対称 性 の 破 れ   17, 44, 54

268, 298

重 心 系 の 断 面 積   351

大 域 ゲ ー ジ 変換   19 大 域 対 称 性   33

修 正 最小(限)引

対 称 性 の 自発 的破 れ  18, 47

き算 法   134, 391

重 力 の幾 何 学 的 解 釈  23

対 数 第1近 似   133, 137, 147, 319

真 空 偏 極   132

対 数 第2近 似   136, 319 第2近 似  319

深 非 弾 性 散 乱  152, 167, 290

縦 波 偏 極 ベ ク トル  77, 78 sphericity→球形指

数

随 伴 表 現  38, 366 数 値 解 法  166, 169 ス カ ラ ー偏 極 ベ ク トル  78, 350

ダ リツ プ ロ ッ ト  329 断 面 積   350

ス ケ ー リ ン グ  17, 79, 259, 261, 262

秩 序 パ ラ メ ター  45 チ ャー ム生 成 断面 積  337

ス ケ ー リ ン グ極 限   153

中 性 カ レ ン ト  60, 88, 92, 99

ス ケ ー リ ン グ変 数   76, 353

中 性 カ レン ト結 合 定 数  98

ス ケ ー ル 依 存性   137, 138, 139, 323, 324

中 性 カ レ ン ト反応  90, 106

ス ケ ー ル パ ラ メ タ ー  213 ス ダ コ フ 形 状 因 子  273

中 性 ベ ク トル ボ ソ ン  60 超 電 荷   19, 56

ス ピ ン 回 転   218

超 伝 導   12, 36

ス ラ ス ト 263, 268, 282

直 積 表 現   368, 370

DGLAPの

発 展 方 程 式   79, 150, 157,

158, 168,

177, 270, 272

―

の 運 動 量   76

―

の 下 層 構 造   327

T(変

換)  363, 379,

Tパ

ラ メ タ ー   254

パ ー ト ン シ ャ ワ ー の 方 法   272, 272

デ ィ ラ ッ ク 方 程 式   346

パ ー ト ン シ ャ ワ ー モ デ ル   273, 330

デ カ ル ト座 標 系   23, 26, 27

パ ー ト ン フ ラ ッ ク ス   150

テ ク ニ カ ラ ー モ デ ル  255

パ ー ト ン 分 布 関 数   171, 176, 177, 319, 321, 322,

電 子-核

382

パ ー ト ン  258

子 弾 性 散 乱   73

327

電 磁 カ レ ン ト  73

パ ー ト ン 変 数   71, 76, 353

点 接 触 相 互 作 用   328

パ ー ト ン モ デ ル   6 , 65, 75, 82, 85, 150, 153

伝 播 関 数 の 繰 り 込 み   230

パ ー ト ン ル ミ ノ シ テ ィ  177

伝 播 関 数 補 正   212, 388

バ リ オ ン   3 , 9, 371 バ リ オ ン 多 重 項   372 パ リ テ ィ の 破 れ   100

等 価 原 理   30, 31, 32, 33 特 殊 ユ ニ タ リ ー 群   365 独 立 破 砕 モ デ ル   276

b-ヴ

閉 じ 込 め   10, 14

P(変

―

の 超 伝 導 モ デ ル   13

PEP 

ト ッ プ ク ォ ー ク  338 ― の 発 見   340 ―

ァ ー テ ッ ク ス   248 換)  362 284

非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 結 合   202 非 ア ー ベ ル 理 論   18

の 崩 壊 モ ー ド  338

ト ッ プ ク ォ ー ク 質 量   341,

342

非1重

項 関 数   158, 167

非1重

項 モ ー メ ン ト  164

トポ ロ ジ ー   291

非 可 換 ゲ ー ジ 場   37

トポ ロ ジ ー 変 数   263

光 円 錐 変 数   147, 276

ド レ ル-ヤ

ン過 程   84, 172, 175, 201

引 き 算 項   228, 234 非 対 称 パ ラ メ タ ー   111

ナ 内 部 空 間 南 部-ゴ

行

ピ ー タ ー ソ ン 関 数  277 ヒ ッ グ ス 機 構   18, 48, 50

 21, 40

ー ル ドス トー ン ボ ソ ン   46, 47, 48, 50

ヒ ッ グ ス ス カ ラ ー   50, 57, 58 ヒ ッ グ ス セ ク タ ー   59

ν-e散 乱   94, 247

ヒ ッ グ ス 粒 子   63

2→2ジ

非 平 面 指 数   265

ェ ッ ト  314

2→3ジ

ェ ッ ト  314

ビ ー ム ジ ェ ッ ト  313,

2→2反

応   315, 317, 318, 322

紐 効 果   299, 300

入 射 フ ラ ッ ク ス   67, 351

紐 モ デ ル   10, 279, 281

ニ ュ ー ト リ ノ ク ォ ー ク 散 乱   72, 79

標準 理 論   63

314

ニ ュ ー ト リ ノ に よ る 深 非 弾 性 散 乱   79 ニ ュ ー トリ ノの 質量   4

factorization 

ニ ュ ー ト リ ノ の 種 類 数   220

VENUS→

ハ

Vス 行

87, 176, 323 ヴ ィー ナ ス 測 定 器

ピ ン   368,

369

フ ァ イ ン マ ンx  85

π 崩 壊  356

フ ァ イ ン マ ン 規 則   383

ハ イ パ ー チ ャ ー ジ   7 , 19

フ ァ イ ン マ ン ゲ ー ジ   55, 127, 384

パ ウ リーデ ィ ラ ッ ク 表 示   347

フ ィ ー ル ツ 変 換   382

箱 型 図 補 正   213,

破 砕 関 数   141, 259, 発 展 方 程 式

フ ェ ル ミ オ ン 伝 播 関 数   127

237 260, 262, 276, 278,

→DGLAPの

発展 方 程 式

ハ ドロ ン 化 モ デ ル   270, 275 ―

の 検 証   282,

283

279, 280

フ ェ ル ミ オ ン の 質 量 項   57 フ ェ ル ミ オ ン ル ー プ  388 フ ェ ル ミ理 論   88, 90 フ ォ ト ン 直 接 生 成   331

フ ォ トンの 偏 極 和   350

―

の 方 法   163

ふ く らみ 指 数  263, 265, 269 ヤ

不 変 断 面 積  352 ブ ヨル ケ ンス ケ ー リ ン グ  75, 151

ヤ コ ビ の 恒 等 式   42, 366

ブ ラ イ ト系  78, 350

柔 ら か い 過 程   311

+(プ ラ ス)関 数   160, 198 プ ラズ モ ン  48

ヤ ン グ 図   375

行

ヤ ン-ミ ル ズ 理 論   17, 18, 37, 39

プ レオ ン  327 フ ロア ッサ ー ル 上 限  311

Uゲ

ー ジ   55

分割 関 数   148, 158, 160, 173, 302

Uス

ピ ン   369, 370

Uパ

ラ メ タ ー   254

―

の 計 算 法   354

PETRA 

267, 284

UA1 

181, 183, 184, 318

UA2 

183, 184, 318

β関 数   134, 135 平均曲率   25, 29

有 効 結 合 定 数   239, 240, 296 優勢項近似

 137

平行移動  33, 40 平 面 波 解  346 ベ ク トル結 合 定 数  93

誘 電 分 極

 129, 130

ベ ク トルの 平 行 移 動  24, 25,30

ユ ニ タ リ ー 群  365

― の 対 数 第2近 似   136 ヘ リ シテ ィ固 有 状 態  348

横運動量

偏 極eμ 散 乱   70

横 運 動 量 分 布   149, 202

偏 極 ベ ク トル  350

横 質量   194

偏 光 ビー ム  101, 102

横 波   77

偏 平 度  264

横 波 偏 極 ベ ク ト ル   78

幽 霊 ス カ ラ ー   127 ユ ー ク リ ッ ド空 間

  24

  202

余 剰 角   24, 25, 29

崩壊 率  356

ヨ ー ヨ ー  280

傍 観 者 パ ー トン  313

4フ

ェ ル ミ相 互 作 用   61

包 含 反 応   289, 319, 326 ラ

放 射 補 正   211, 223, 388

行

Λ  133, 139

放 射 補 正 量  223, 225 ボ トム 粒 子生 成 断 面 積  337

ラ ザ フ ォ ー ド散 乱   5, 320

ボ ル ン近 似  225

ラ ピ デ ィ テ ィ  85, 177, 184, 311, 316 ラ ピ デ ィ テ ィ分 布   312

マ

行

MARK-J  266, 267 マ イス ナ ー 効 果   12, 36

leading

log approximation→

対 数 第1近

リ ー 群   365

曲 が っ た 空 間   26, 28, 32, 33 マ ヨ ラナ 粒 子   348

ル ー ト図  373

マ ンデ ル シ ュ タ ム変 数  345

ル ー プ 補 正   230, 232, 388 ル ミ ノ シ テ ィ  181

ミュ ー オ ン崩 壊   235, 357 レ ヴ ィ チ ヴ ィ タ の 反 対 称 テ ン ソ ル   347

メ ソ ン  3, 9

レ ッ ジ ェ 軌 跡   11, 12

メ ソ ン1重 項   123

レ プ ト ン   2, 3, 16

メ ソ ン8重 項   370

―

の 結 合 定 数   92, 221

メ ラ ン変 換   163

―

の サ イズ  5

―

の 前 後 非 対 称   221

モ ー メ ン ト  165

似

ρ-パ ラ メ タ ー   226, 395 ロ ー ゼ ン ブ ラ ス の 公 式   73

ワ

ロ ー レ ン ツ ス カ ラ ー   345

ycutの 方 法   286

ロ ー レ ン ツ 不 変 性   31, 34

ワ イ ゼ ッ カ ー-ウ

ロ ー レ ン ツ 不 変 な 位 相 体 積   67

ワ イ ル 解   348

ロ ー レ ン ッ ベ ク ト ル   345

ワ イ ル 表 示   347 ワ イ ン バー

行

ィ リ ア ム ス の 式   148, 356

グ 角   59, 94, 99, 103, 109, 252

著者略歴 長

島 順 清

1938年  東 京都 に生 まれる 1965年   東京大学 大学院 数物系 研究科 博 士課程修 了 現 在  大 阪大学 名誉教 授 理 学博士

朝倉物理学大系5 素 粒 子標 準 理 論 と実験 的 基 礎 1999年3月20日 2006年4月20日

 定価 はカバー に表示

 初 版 第1刷  

第3刷

著 者 長

島

順

清

発行者 朝

倉

邦

造

株式 発行所 会社 朝

倉 書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵便 番号 電

 

162-8707

話  03(3260)0141

FAX 03(3260)0180

〈 検 印省 略〉 C1999〈 ISBN

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を禁 ず 〉

4-254-13675-7 

C3342

平 河 工 業 社 ・渡 辺 製 本 Printed

in

Japan