Алгебра и логика, 39, N 4 (2000), 441-451
УДК 512.54.05:512.552
ФИНИТНО
АППРОКСИМИРУЕМАЯ
АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА С НЕРАЗРЕШИМОЙ ПРОБЛЕМОЙ РАВЕНСТВА
О.В.БЕЛЕГРАДЕК
Любая конечно определенная финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему равенства [1]. Аналогичный результат ве рен и для алгебр над конструктивным коммутативным кольцом к, ес ли понимать финитную аппроксимируемость как аппроксимируемость fc-алгебрами на конечно-порожденных свободных /.-модулях. (В частности, для алгебр над полем финитная аппроксимируемость — это аппроксими руемость конечномерными алгебрами.) Конечно-порожденная рекурсивно определенная финитно аппроксимируемая группа может иметь неразре шимую проблему равенства [2]. Л. А. Бокуть [3, проблема 2.10] поставил вопрос о существовании конечно-порожденной рекурсивно определенной финитно аппроксимируемой ассоциативной алгебры с неразрешимой про блемой равенства. В настоящей статье мы строим серию примеров таких алгебр. Для построения нам понадобится конструкция присоединения к ассо циативной алгебре полугруппы ее эндоморфизмов, напоминающая извест ную конструкцию расширения группы с помощью группы ее автоморфиз мов. Эта конструкция может представлять и самостоятельный интерес.
§ 1. Присоединение к алгебре полугруппы ее эндоморфизмов Пусть к — коммутативное кольцо с единицей, А — ассоциативная /г-алгебра, и Ф — полугруппа, действующая на алгебре А эндоморфизма©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
442
О. В, Белеградек
ми. Последнее означает, что задан гомоморфизм / полугруппы Ф в полу группу всех эндоморфизмов алгебры А. В частности, Ф может быть про извольной полугруппой эндоморфизмов алгебры А, а / —- тождественным отображением. Для ф Е Ф и а Е А обозначим через аф образ элемента а под действием эндоморфизма /(ф) алгебры А. Таким образом, (аа)ф = ааф,
(а + Ь)ф = аф + Ъф, (аЬ)ф = афЪф,
афф = (а*)*
для любых а,Ь € А, а Е fc и <£, ^ € Ф. Пусть &Ф — полугрупповая алгебра полугруппы Ф над кольцом к. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.1. На к-модуле кФ
А можно задать един ственное билинейное умножение "•", удовлетворяющее условию (ф®а) • (ф ®Ь) = фф® афЬ для любых а,Ъ €. А и ф,ф € Ф. Это умножение ассоциативно. Если по лугруппа Ф имеет единицу е, действующую на А тождественно, и А — алгебра с единицей 1, то е $ 1 — единица этого умножения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Единственность умножения с указанным свойством очевидна, так как элементы вида ф ® а, где ф Е Ф и а Е А, порождают /с-модуль кФ ® А. Докажем существование такого умножения. Пусть 6 Е А и s E кФ. Тогда s имеет вид ]СА;"0л г Д е Pi £ & и V^ Е Ф. i Легко видеть, что отображение (г, а) н» ] Г ^ ( r ^ i ® а^'Ь) J
из Й х А в /сФ ® А является билинейным. Поэтому существует гомомор физм Л,ь : &Ф ® А ~> &Ф ® А такой, что
Л,ь(г ® о) = ]Г/3,И>; ® а ^' Ь ) i для любых г Е &Ф и а Е А. Для любых s, t Е &Ф, 6,сб А и 7 , 4 б * fys+Stfi — lfs}b
+ $ft,b,
fs^b+Sc = 7/в,Ь + <$Л,*"
Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра
443
Это вытекает из того, что элементы г ® а порождают ^-модуль кФ ® А, и из следующих равенств: /7в+**,ь(г®а) = 2 7 ^ ( г ^ ® а ^ Ь ) + ^ * С . ' ( г в , - ® а ^ Ь ) = 7Л,ь(г®а)+£Дь(г®а), /«|7ь+*с(г ® а) = ^
& ( г ^ - ® а^' (уЬ + 6с)) = 7Л,б(г ® а) + ЯД* (г ® а), i
если 5 = ^2Pjipj
и
* = ]£ СЛ> r A e / ^ Ci £ * и V>j7 *t € *•
Таким образом, отображение (5,6) »-» Д ь из й
х А в 1?(&Ф ® А),
fc-модуль эндоморфизмов fc-модуля &Ф® А, является билинейным. Поэтому существует гомоморфизм д : кФ ® А -> £(&Ф ® А) такой, что g(s ® Ь) = Дь для любых 6 Е А и s Е &Ф. Для ж Е &Ф ® А обозначим д(х) через ж; таким образом, х — эндоморфизм fc-модуля &Ф® А. Для ж, у Е &Ф ® А положим х • у •=• х(у). Очевидно, это умножение билинейно, и для любых а, Ь Е А и 0, ^ Е Ф (^ ® а) * (ф ® 6) = Д 6 ( 0 ®а)=:фф® афЪ. Проверим ассоциативность этого умножения. Пусть ф,ф,в € Ф и а, 6, с Е А. Тогда ((<£ ® «) • ( ^ ® ^)) ' (0 ® с) = ( ^ ® а^Ь) • (в ® с) = (<^/>)<9 ®
(афЬ)°с;
(Ф ® а) • ((^ ® Ь) - (0 ® с)) = (0 ® а) • ( # ® Ъвс) = ф(фв) ® а*в(Ь°с). Поскольку в сохраняет умножение в алгебре А, то (а^Ь)в — аф0Ьв. Умно жение в группе Ф и в алгебре А ассоциативно, следовательно, [фф)в ® ( Л ) * с - ф(фв) ® a ^ ( b ' c ) . Элементы <£®а порождают Аг-модуль &Ф® А, поэтому введенное умножение ассоциативно. По той же причине последнее утверждение предложения очевидно. • Ассоциативную к-алгебру, введенную в предложении 1.1, обозначим через кФ 0 А.
444
О. В. Белеградек Л Е М М А 1.2. Пусть N — свободный k-модуль с базисом X', и М ~~
k-модуль. Пусть х%,..., хп € X попарно различны и 6 i , . . . , Ьп € М. Если в N ® М верно ]Р XJ ® 6j = 0, т о все bj равны О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для а е N и х е X обозначим через &.(a) коэффициент при х в разложении элемента а по базису X . Очевидно, для любого х 6 X отображение (а,Ь) н> £я(а)Ь из IV х М в М билинейно; поэтому найдется гомоморфизм fx:N
такой, что fx(a b) = = Ь,-, и fXi{^j®bj)
=О
при г ^ j . Отсюда Д . I £) а^ ® 6j J = &;; следовательно, лемма доказана. П П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.3. Если полугруппа Ф имеет единицу в, дей ствующую на А тождественно, то отображение а \-+ е ® а является мономорфизмом к-алгебры А в к-алгебру кФ © А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, это отображение — гомоморфизм fc-алгебр. Оно инъективно, так как, в силу леммы 1.2, е ® а = 0 влечет а = 0. П Однако даже если А — алгебра с единицей, алгебра кФ, вообще гово ря, не вложена в алгебру &Ф© А, поскольку гомоморфизм алгебр г ь > г ® 1 может не быть инъективным. Например, Z-модуль ЪФ не имеет кручения, но, если пА = 0, то п(7*Ф®А) — 0. Если к — поле, то все fc-модули свобод ны, и этот гомоморфизм инъективен, согласно лемме 1.2. Всюду в дальнейшем будем считать, что полугруппа Ф имеет едини цу е, действующую на А тождественно, и, значит, кФ является fc-алгеброй с единицей. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.4. На к-модуле кФ®А можно образом задать структуру кФ-бимодуля, удовлетворяющую ф(ф®Ъ) = фф®Ь,
единственным условиям
{ф®Ъ)ф^фф®Ьф,
для любых b £ А и ф,ф Е Ф. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Единственность очевидна, так как элементы ф 0b порождают fc-модуль кФ ® А, и Ф порождает ^-модуль &Ф. Если алгебра А имеет единицу 1, указанная структура существует
Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра ,—,
*-
щ.л^Лф:#т
445
—
по предложению 1.1. Достаточно для г Е кФ и х G кФ ® А положить г# = (г ® 1) • ж,
яг = х • (г (g) 1).
Очевидно, что (ае)х = аж = ж(ае) для а е Ь
ж Е А. В силу ассоциатив
ности имеем ( п ф = r(xs) для г, s G &Ф и ж G А. Таким образом, задан &Ф~6имодуль на ЛФ® А; очевидно, он удовлетворяет требуемым условиям. Сведем общий случай к случаю алгебр с единицей. Рассмотрим к-глгебру А! Э А, полученную из А присоединением единицы 1: как fc-модуль А' является прямой суммой А и И . Легко видеть, что существует един ственное действие полугруппы Ф на А! ее эндоморфизмами, при котором для ф £ Ф имеем: во-первых, аф для а £ А останется прежним, и, вовторых, 1* = 1. Так как fc-модуль А является прямым слагаемым в А', то элементы вида s 0 Ь, где s 6 &Ф, Ь е А, порождают fc-подмодуль в &Ф 0 А', который является копией fc-модуля кФ 0 А. Рассмотрим /гФ-6имодуль на кФ 0 А', заданный умножениями слева и справа в алгебре &Ф 0 А1 на эле менты вида г 0 1, где г 6 &Ф. Нетрудно убедиться, что кФ 0 А является подбимодулем этого бимодуля. • Хорошо известна следующая конструкция. Пусть М — ассоциатив ная fc-алгебра, являющаяся Я-бимодулем для некоторой fc-алгебры с еди ницей R, Тогда R&M, прямую сумму А;-модулей R и М, можно превратить в к-алгебру, задав умножение формулой (г, га) (г', га') = (rr', rm! + гаг' + гага'). Эта алгебра ассоциативна, копия R х {0} алгебры Л — ее подалгебра, копия {0} X М алгебры М — ее идеал, и (1,0) — ее единица. Применим эту конструкцию к ^-алгебрам М = &Ф 0 A, 2? = кФ и Д-6имодулю на М, построенному в предложении 1.4. Полученную А:-ал гебру обозначим через ФА и назовем к-алгеброй, полученной из к-алгебры А присоединением полугруппы Ф, действующей на А эндоморфизмами. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.5. Алгебра С, заданная в многоообразии всех ассоциативных к-алгебр порождающими Ф U А и определяющими соот ношениями
446
О. В, Белеградек (1) все соотношения полугруппы Ф; (2) все соотношения алгебры А; (3) аф = фа^ для всех а Е А и ф £ Ф; (4) as ~ еа — а,
изоморфна k-алгебре ФА, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В алгебре ФА выполняются соотношения (1)—(4), если рассматривать ф как (ф, 0) для ф £ Ф и а как (0,£ ® а) для а £ А. Тогда найдется гомоморфизм / : С -> ФА такой, что / ( 0 ) = (0, 0) и / ( а ) = (0,г а). Очевидно, / ( 0 а ) = / ( 0 ) / ( а ) = (0, 0 ® а). Элементы ви дов (0,0) и (0,£® а) порождают А;-алгебру ФА; поэтому / сюръективен. Остается показать, что / инъективен. В силу соотношений (1)—-(4) любое слово алфавита Ф U А равно в С слову вида фа либо вида ф для некоторых ф £ Ф и a £ А; поэтому в С любой элемент с представим в виде
*
J
где а, Е &, aj £ .А, ^?,, 0j: £ Ф, все V7* попарно различны и все 0j попарно различны. Отсюда
/ И = ( ^2 <*{<фг, ]ГФз ®. a i I • Если /(с) = 0, то, по лемме 1.2, все а, и aj равны нулю, тогда с = 0. •
§ 2. Примеры 1. Для 5 С Z пусть алгебра А = А(5) задается в многообразии всех ассоциативных fc-алгебр порождающими {х{ : г Е Z} и определяющими соотношениями (i)
я;ж,а;* = 0,
i,j,keZ;
(ii)
ж,-^; = a^+iSj+i,
i,jeZ;
(iii)
#o#i = 0,
г Е 5.
Пусть X = {XJ, x0Xi : j , i E Z, t £ 5 } .
Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра
447
Л Е М М А 2 . 1 . Множество X свободно порождает А как к-модуль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу определяющих соотношений любое произведение порождающих совпадает в А с элементом множества X. По этому X линейно порождает алгебру А над к. Рассмотрим fc-алгебру JB на свободном fc-модуле с базисом X, умножение базисных элементов в кото рой определено следующим образом:
—
_ .
_ п
, - j
X X
° J~^
если
I 0,
Э " * £ S'
если j - i £ S.
Ясно, что (xi • XJ) • хк = жг • (XJ - xk) ~Q для любых целых i,j,k. Значит, алгебра В ассоциативна. Кроме того, эле менты XiB В удовлетворяют соотношениям (i)—(iii). Поэтому отображение Xi i-4 Xi продолжается до гомоморфизма А на В. Значит, все слова из X различны в А, и X линейно независимо в А над к. О Очевидно, для любого т 6 Z существует единственный автомор физм фт алгебры А такой, что xfm = х{+т для всех i £ Z. Автоморфизм i обозначим 0. Автоморфизмы т образуют бесконечную циклическую группу Ф, порожденную элементом ф. Поскольку Ф свободно порождает ^-модуль й и !
свободно поро
ждает к- модуль А, то множество { ^ 0 ж : ^ е Ф , ж е ! } свободно поро ждает fc-модуль кФ ® А. Значит, множество {(У;,0),(0,^®я)^£Ф, ж ЕХ} свободно порождает ФА как fc-модуль. Пусть С = С(5) — это fc-алгебра, заданная соотношениями (1)—(4) из предложения 1.5 по А и Ф. В силу изоморфизма, построенного в этом предложении, множество У = {фт, ф™х3, фтх0хг : m,j,i свободно порождает С как Л-модуль.
£ Z, i £ 5 }
448
О. В. Белеградек Очевидно, алгебру С можно задать в многообразии ассоциативных
й-алгебр с единицей порождающими {ф, ф~г,Х{ : % £ Z} и определяющими соотношениями: (a)
^-1=0-10=1;
(b)
XiXjXk = 0,
(c) XiXj = ^4.1x^4-1, (d)
ij,k
г, j £ Z;
£ 0 я; — 0,
(e) я,-0 = фх{+х,
£ Z;
i £ S; г Е Z.
Ясно, что алгебра С порождается элементами 0, 0 _1 ,жо. Таким образом, если множество 5 рекурсивно перечислимо, то С — это конечно-порож денная рекурсивно определенная алгебра. Предположим, что кольцо к конструктивно. Если множество 5 ре курсивно, то для любого элемента алгебры С линейная комбинация, вы ражающая его через базис У, может быть найдена эффективно. Значит, в этом случае проблема равенства для С разрешима. Очевидно, i £ S тогда и только тогда, когда XQXI = 0 в С. Таким образом, проблема равенства для С разреЕ^има в том и только в том случае, если S рекурсивно. Ниже мы покажем, что к-алгебра С финитно аппроксимируема при подходящем выборе 5 . 2. Для целого положительного п обозначим Z n = {0,1, ...,те - 1}. Пусть 5 С Ъп. Рассмотрим алгебру Ап = An(S), заданную в многообразии всех ассоциативных й-алгебр порождающими {х{ : i £ Z n } и определяю щими соотношениями (i)
XiXjXk = 0,
ij,k
(ii)
XiXj - Xi+iXj+i,
ij
(iii)
XQX{
= 0,
£ Zn; £ Zn;
i £ 5.
Здесь знаком + обозначается сложение по модулю п. Пусть Хп ~ {XJ, х0хг : j , г £ Z„, г £ 5 } . Аналогично лемме 2.1 доказывается Л Е М М А 2.2. Множество Хп свободно порождает Ап как к-модуль.
Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра
449
Очевидно, для любого m £ Z n существует единственный автомор физм фт алгебры АП) при котором xfm = £ l + w для всех г 6 Z n . Обозначим 01 через ф. Автоморфизмы фт образуют циклическую группу Фп порядка те, порожденную элементом ф. Пусть Сп = С п (5) — это fc-алгебра, заданная соотношениями (1)—(4) из предложения 1.5 по i n и Ф п . Как и при доказательстве того, что У сво бодно порождает С как fc-модуль, легко показать, что конечное множество Yn = {фт, фтх^ фтх0х{ : m,j,i
е Zn, t £ 5}
свободно порождает Сп как fc-модуль. Очевидно, алгебру Сп можно задать в многообразии ассоциативных &-алгебр с единицей порождающими {ф,Х{ : i G Z n } и определяющими соотношениями: (a)
фп = 1;
(b)
XiXjXk = 0,
г, j , к £ Z„;
(c)
ж ^ = a^+i^j+b
г, j £ Z n ;
(d)
#о#* = 0,
г € 5;
(e)
х', = #
г Е Z„.
| + ь
3. Пусть теперь 5 — некоторое множество целых чисел, содержащее О и такое, что все его ненулевые элементы — степени числа 2. Пусть те — степень числа 2. Для целого г обозначим через г (г) остаток числа г при делении на те. Покажем, что отображение ф*-+ ф,
ф"1 ь-> фП~~1,
Xi t->
Xr(i)
можно продолжить до гомоморфизма алгебры C(S) на алгебру Cn(S П n Z n ) . Достаточно заметить, что оно сохраняет определяющие соотноше ния (а)-(е) алгебры C(S). Для соотношений (а), (Ь), (с) и (е) это очевидно; рассмотрим (d). Соотношения (d) имеют вид XQX{ = 0, где i £ 5 . Если О ^ % < те, то г 6 5 П Z n и г(г) = г; поэтому в данном случае соотно шение жо^г(г)
==
0 совпадает с соотношением x^Xi = 0, которое верно в
С п ( 5 П Z n ). Пусть г ^ те. Поскольку inn
— степени числа 2, то те делит
О. В. Белеградек
450
г. Значит, г(г) = 0, и соотношение #o#r(t) — 0 совпадает с соотношением XQXQ
= 0, которое верно в Cn(S П Z n ) в силу 0 Е 5. Для множеств 5 рассматриваемого вида алгебра С(5) аппроксими
руема алгебрами вида Cn(S П Z n ). Действительно, рассмотрим ненулевой элемент а алгебры C(S). Выберем число п достаточно большим, чтобы а принадлежал линейной оболочке линейно независимого множества {<j)ni,4>mxJ,cj>rnxoXi: m,j,z <EZ, |m|, |j|,|i| < n, i £ S } , при этом п можно считать степенью числа 2. При указанном выше гомо морфизме алгебры C(S) на алгебру C2 n (SnZ2 n ) данное множество инъективно отображается в базис У"2П свободного fc-модуля С2 П (5П Z2 n )- Поэто му образ элемента а при этом гомоморфизме отличен от нуля. Очевидно, среди множеств S указанного вида есть и рекурсивно перечислимые нере курсивные множества. 4. Подведем итоги. Для произвольного коммутативного кольца к с единицей и произвольного множества целых чисел S мы построили конеч но-порожденную ассоциативную fc-алгебру C(S) с единицей. Множество 5 можно выбрать так, что алгебра C(S) будет финитно аппроксимируе мой, рекурсивно определенной, но иметь неразрешимую проблему равен ства. (Последнее утверждение имеет смысл только в случае, когда кольцо к конструктивно.) Таким образом, доказана Т Е О Р Е М А 2.3. Для любого конструктивного
коммутативного
кольца к с единицей существует конечно-порожденная рекурсивно опре деленная финитно аппроксимируемая ассоциативная к-алгебра с единицей} имеющая неразрешимую проблему равенства.
ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Мальцев, О гомоморфизмах на конечные группы, Уч. зап. Ивановск. пед. ин-та, 18, N 5 (1958), 49-60. 2. 5. Мевкгщ A finitely generated residually finite group with an unsolvable word problem, Proc. Am. Math. Soc, 43, N 1 (1974), 8--10.
Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра
451
3. Л.А.Бокутъ, Алгоритмические проблемы и теоремы вложения: некоторые открытые проблемы для колец, групп и полугрупп, Изв. ВУЗов. Матем., 1982, N 11, 3-11.
Адрес автора:
Поступило 17 ноября 1998 г.
БЕЛЕГРАДЕК Олег Вилыельмович, РОССИЯ, 650043, Кемерово, ул. Красная, 6, Кемеровский государственный университет; Department of Mathematics and Computer Science, Istanbul Bilgi University, Kustepe, 80310, Sisli, Istanbul, TURKEY. e-mail: [email protected]
