Уравнения опережающе-запаздывающего типа и решения типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 18–29 УДК 517.929

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА И РЕШЕНИЯ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ c 2003 г.

Л. А. БЕКЛАРЯН

АННОТАЦИЯ. Работа посвящена исследованию бесконечномерной динамической системы с потенциалами типа Френкеля—Конторовой. Для таких систем описаны решения типа бегущей волны, являющиеся решениями соответствующей краевой задачи с нелокальными краевыми условиями. Описание решений краевой задачи оказывается эквивалентным описанию пространства решений функциональнодифференциального уравнения, каноническим образом построенного по исходной динамической системе. Решения типа бегущей волны исследованы на устойчивость.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Некоторые элементы предлагаемого подхода. Теорема существования решений типа бегущей волны в случае равных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Исследование на устойчивость стационарных состояний в случае равных масс . . . . . 3. Решения типа бегущей волны и устойчивость стационарных состояний в случае различных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 19 24 27 29

ВВЕДЕНИЕ Многие прикладные задачи приводят к изучению решений типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем. В частности, в теории пластической деформации изучается бесконечномерная динамическая система my¨n = ϕ(yn ) + yn+1 − 2yn + yn−1 ,

n ∈ Z,

(1)

где потенциал ϕ(·) задается гладкой периодической функцией. Уравнение (1) является системой с потенциалом Френкеля—Конторовой [5]. Такие системы моделируют поведение счетного числа шаров массы m, помещенных в целочисленных точках числовой прямой, где каждая пара соседних шаров соединена между собой упругой пружиной. Изучение таких систем с различными потенциалами является одним из интенсивно развивающихся направлений в теории динамических систем. Для них центральной задачей является изучение решений типа бегущей волны как одного из наблюдаемых классов волн. Одним из методов исследования таких систем является конструктивное построение решений, использующее явный вид правой части. На этом пути для системы (1) с гладкой периодической функцией ϕ(·) были построены специальные классы решений типа бегущей волны. Обзор по работам такого направления для бесконечномерных систем с потенциалами Френкеля—Конторовой и Ферми—Паста—Улама приведен в работе [4]. Вместе с тем такой подход не позволяет описать пространство всех решений типа бегущей волны, а также их возможные асимптотики. Другой подход для конструирования решений основан на использовании различных физических соображений относительно такой системы. На этом пути удается изучить некоторые системы и со Работа поддержана грантом № 96-15-96135 государственной программы поддержки научных школ и Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 97–01–00625). c

2003 МАИ

18

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

19

специальными типами особенностей для потенциала [6]. В частности, в [6] изучается бесконечная цепочка упругих шаров одинаковой массы. Для такой системы существует тривиальное решение типа бегущей волны, когда в каждый момент времени только одна частица имеет ненулевую скорость. Доказано, что если заменить абсолютно упругое соударение потенциальным взаимодействием между ближайшими соседями с гладким потенциалом, стремящимся к бесконечности при стремлении расстояния к нулю, то при достаточно больших энергиях существует решение типа бегущей волны, для которого вышеуказанное решение в цепочке упругих шаров является первым приближением. В работе предлагается подход, при котором решения типа бегущей волны для системы (1) могут быть реализованы как решения однопараметрического семейства уравнений опережающезапаздывающего типа [2]. При этом систему (1) с потенциалом без особенностей удается исследовать при более общих предположениях на потенциал ϕ(·) в виде условия Липщица с константой L. В рамках предложенного формализма удается описать решения типа бегущей волны, а также их асимптотики, связанные с характеристикой бегущей волны. Стационарные решения исследуются на устойчивость. Предлагаемый подход позволяет исследовать систему (1) и при неравных массах шаров. Показано, что для систем с различными массами шаров не существует решений типа бегущей волны отличных, от стационарных или прямолинейных равномерных движений. 1. ТЕОРЕМА

НЕКОТОРЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДЛАГАЕМОГО ПОДХОДА.

СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ РАВНЫХ МАСС

Определение 1. Будем говорить, что решение {yn (·)}+∞ −∞ системы (1), определенное для всех t ∈ R имеет тип бегущей волны, если существует τ >0, не зависящее от t и n, такое, что при всех n ∈ Z и t ∈ R выполнено равенство yn (t + τ ) = yn+1 (t). Константу τ будем называть характеристикой бегущей волны. Систему уравнений второго порядка (1) сведем к системе уравнений первого порядка и произведем некоторую подходящую замену времени. Для этого наряду с системой (1) рассмотрим однопараметрическую (параметр τ > 0) систему дифференциальных уравнений первого порядка u˙n = τ −1 vn , v˙n = (mτ )−1 [ϕ(un ) + un+1 − 2un + un−1 ],

n ∈ Z,

t ∈ R.

(2)

Для уравнения (2) аналогичным образом определяются решения типа бегущей волны. Предложение 1. Всякому решению {yn (·)}+∞ −∞ системы (1) соответствует решение +∞ 0 {(un (·), vn (·)) }−∞ системы (2), и наоборот. Такие решения связаны соотношениями: для любых n ∈ Z, t ∈ R yn (tτ ) = un (t), y˙ n (tτ ) = vn (t). +∞ При этом решению {yn (·)}−∞ системы (1) типа бегущей волны с характеристикой τ > 0 соот0 ветствует решение {(un (·), vn (·)) }+∞ −∞ системы (2) типа бегущей волны с характеристикой 1, и наоборот. Весьма важно, что мы изучение однопараметрического семейства решений (параметром выступает характеристика τ бегущей волны в уравнении (1)) заменили на изучение семейства решений типа бегущей волны с характеристикой 1 для однопараметрического (параметр τ ) семейства уравнений (2). В рамках предлагаемого формализма систему уравнений (2) следует представить в операторной форме. Для этого рассмотрим векторное пространство Y+∞ R2n = R2 , n ∈ Z. R2n , K2 = −∞

со стандартной топологией полного прямого произведения. Элементами пространства K 2 будут бесконечные последовательности κ = {(un , vn )0 }+∞ −∞ ,

(un , vn )0 ∈ R2 ,

n ∈ Z.

20

Л. А. БЕКЛАРЯН

Топология пространства K 2 совместима с метрикой ρ(κ, κ e) =

+∞ X −∞

0 k(un , vn )0 − (f un , vf n ) kR 2 . 0 2|n| [1 + k(un , vn )0 − (f un , vf n ) kR2 ]

Определим линейный оператор A, оператор сдвига T и нелинейный оператор F, действующие непрерывно из пространства K 2 в себя по следующему правилу: для любых n ∈ Z, κ ∈ K 2 (Aκ)n = (τ −1 vn , (mτ )−1 [un+1 − 2un + un−1 ])0 , (Tκ)n = (un+1 , vn+1 )0 , (F(κ))n = (0, (mτ )−1 ϕ(un ))0 . Заметим, что оператор сдвига T перестановочен с операторами A и F. Система уравнений (2) может быть переписана в следующем эквивалентном виде κ˙ = A(κ) + F(κ),

t ∈ R.

(3)

Здесь в левой части уравнения (3) стоит производная Гато. Решением уравнения (3) называется всякая слабо абсолютно непрерывная функция κ(·) (т. е. κ почти всюду дифференцируема по Гато и каждая ее координата является абсолютно непрерывной функцией) и удовлетворяющая почти всюду этому уравнению. Мы видим, что изучение решений системы (2) эквивалентно изучению задачи Коши для уравнения (3). Решения κ(·) уравнения (3) типа бегущей волны с характеристикой τ = 1 — это те решения, которые при любых t ∈ R удовлетворяют условию κ(t + 1) = Tκ(t).

(4)

Из системы (3)–(4) следует, что изучение решений типа бегущей волны для системы (2) эквивалентно изучению решений дифференциального уравнения (3), удовлетворяющих линейным нелокальным ограничениям (4). Ранее для уравнения (3) изучалась задача Коши, а также строились некоторые семейства решений типа бегущей волны. Так как фазовое пространство K 2 всего лишь метризуемо, то корректность задачи Коши не может быть исследована с помощью известных методов теории дифференциальных уравнений. В связи с этим для такого уравнения изучались решения задачи Коши из специальных классов функций. Была показана неоднозначная разрешимость задачи Коши в классе бесконечно дифференцируемых функций (в случае бесконечно дифференцируемого потенциала ϕ(·)), а также неразрешимость в классе аналитических функций для некоторых начальных данных (в случае аналитического потенциала ϕ(·)). Решения типа бегущей волны конструировались, используя явный вид правой части [4]. Здесь предлагается иной подход. Для регуляризации рассматриваемой задачи Коши следует несколько сузить исходное фазовое пространство так, чтобы на переопределенном фазовом пространстве существовала хорошая структура типа нормы, скалярного произведения и т. д., а множество решений, пробегающих такое фазовое пространство, было в некотором смысле представительным в пространстве всех решений. В рамках такого формализма удается сформулировать ряд интересных результатов. Для этого в пространстве K 2 определим семейство гильбертовых пространств: для любого µ ∈]0, 1[ положим ( ) +∞ X

2 2|n| 2 2 0

(un , vn ) 2 µ Kµ = κ : κ ∈ K ; < +∞ , R i=−∞

со скалярным произведением < κ, κ ¯ >µ =

+∞ X

(un u ¯n + vn v¯n )µ2|n| .

i=−∞

Очевидно, что для любого µ∈]0, 1[ ограничения операторов A, T на подпространство Kµ2 , которые будем обозначать через Aµ , Tµ , являются непрерывными преобразованиями этого пространтва. Более того, для оператора F справедлива следующая лемма.

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

21

Лемма 1 (см. [2]). Для любого µ∈]0, 1[ ограничение оператора F на подпространство Kµ2 , которое обозначается через Fµ , является преобразованием этого подпространтва и удовлетворяет условию Липшица. При каждом фиксированном µ∈]0, 1[ в фазовом пространстве Kµ2 будем рассматривать уравнение t ∈ R.

κ˙ = Aµ (κ) + Fµ (κ),

(5)

Под левой частью такого уравнения будем понимать производную Фреше, которая будет совпадать с ограничением на подпространство Kµ2 производной Гато, вычисленной в объемлющем пространстве K 2 . Решением уравнения (5) называется всякая сильно абсолютно непрерывная функция κ(·) (т. е. κ почти всюду дифференцируема по Фреше, ее производная интегрируема по Бохнеру, а сама функция κ является первообразной своей производной), удовлетворяющая почти всюду этому уравнению. Очевидно, что всякое решение уравнения (5) является решением уравнения (3). Обратное неверно. В силу свойств правой части дифференциального уравнения (5) для такого уравнения справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши, а также непрерывной зависимости решения от начальных условий. Определим подпространство \ K12 = Kµ2 . µ∈]0,1[

Подпространство K12 является полным счетно-нормированным пространством. Если A1 , F1 суть ограничения операторов A, F на подпространство K12 , то в каждой из норм, входящей в систему норм счетно-нормированного пространства K12 , они являются непрерывными преобразованиями этого пространства, а оператор F1 удовлетворяет условию Липщица. В фазовом пространстве K12 рассмотрим дифференциальное уравнение t ∈ R.

κ˙ = A1 (κ) + F1 (κ),

(6)

В этом случае под левой частью уравнения будем понимать производную Фреше в каждой из норм, входящей в систему норм счетно-нормированного пространства K12 . Она будет совпадать с ограничением на подпространство Kµ2 , µ∈]0, 1[, производной Гато, вычисленной в объемлющем пространстве K 2 . Для такого дифференциального уравнения также справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши, а также непрерывной зависимости решения от начальных условий. Заметим, что подпространство K12 (подпространство специальных конфигураций) плотно вкладывается в исходное пространство K 2 . Из корректности задачи Коши для уравнения (6) следует предложение. Предложение 2. Для любого начального значения κ из плотного подпространства K12 задача Коши для уравнения (3) имеет решение, которое лежит в этом же подпространстве. В предложении 2 отсутствует утверждение об единственности, так как для уравнения (3) с начальными значениями из K12 могут существовать решения, не лежащие в этом подпространстве, либо существовать решения пробегающие подпространство K12 , и при этом для них не будет существовать производной Фреше ни по какой из упомянутых выше норм. Здесь весьма важным является вопрос о представительности пространства решений уравнения (6) в пространстве всех решений уравнения (3). В рамках данной статьи этот вопрос обсуждаться не будет. Перейдем к изучению решений типа бегущей волны. В силу предложения 1 всякому решению системы (1) типа бегущей волны с заданной характеристикой τ > 0 соответствует решение системы (3)–(4), и наоборот. Перепишем заново систему (3)–(4): κ˙ = Aκ + F(κ),

t ∈ R,

κ(t + 1) = Tκ(t),

(7) (8)

22

Л. А. БЕКЛАРЯН

представляющую из себя дифференциальное уравнение (7) с линейными нелокальными ограничениями (8). Наряду с ней рассмотрим краевую задачу κ e˙ = Ae κ + F(e κ ), t ∈ [0, 1], (70 ) (80 )

κ e (1) = Te κ (0)

с нелокальными краевыми условиями. Очевидно, для любого решения системы (7)–(8) его ограничение на интервал [0, 1] является решением краевой задачи (70 )–(80 ). Верно и обратное. 0 0 Предложение 3. По всякому решению κ e (·) = {(e un (·), ven (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (7 )–(8 ), рас2 сматриваемой в исходном фазовом пространстве K , однозначно строится решение

κ(·) = {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞ системы (7)–(8) следующим образом: κ(t) = κ e (t),

t ∈ [0, 1];

κ(t + 1) = Tκ(t),

t ∈ R.

Предложение 3 является следствием перестановочности оператора сдвига T с операторами A и F. Для систем с различными массами шаров такой перестановочности нет, и аналог предложения 3 неверен. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом x˙1 (t) = τ −1 x2 (t), x˙2 (t) = (mτ )−1 [ϕ(x1 (t)) + x1 (t + 1) − 2x1 (t) + x1 (t − 1)],

t ∈ R.

(9)

Решением системы (9) называется всякая абсолютно непрерывная функция (x1 (·), x2 (·))0 , почти всюду удовлетворяющая этому уравнению. Установим связь между решениями краевой задачи (70 )–(80 ) и дифференциального уравнения (9). Здесь имеются в виду решения, заданные на всем интервале определения соответствующих дифференциальных уравнений. 0 0 Предложение 4. Всякому решению κ e (·)= {(e un (·), ven (·))0 }+∞ −∞ системы (7 )–(8 ), рассматрива2 емой в исходном фазовом пространстве K , соответствует решение (x1 (·), x2 (·))0 системы дифференциальных уравнений (9), и наоборот. Такие решения связаны следующим образом: для любого t ∈ R x1 (t) = u[t] (t − [t]), x2 (t) = v[t] (t − [t]).

Определим шкалу банаховых пространств   m (k) (k) m (r) −δ|t| Lµ C (R) = x(·) : x(·) ∈ C (R, R ) , max sup kx (t)e kRm < +∞ , 06r6k t∈R

k = 0, 1, . . . ,

−δ

µ=e

µ ∈]0, 1[.

,

Заново перепишем систему (4)–(5): κ˙ = Aµ κ + Fµ (κ),

t ∈ R,

κ(t + 1) = Tκ(t),

(10) (11)

рассматриваемую в фазовом пространстве Kµ2 , µ∈]0, 1[. Систему (10)–(11) будем называть системой с параметром µ. Наряду с ней рассмотрим краевую задачу κ˙ = Aµ κ + Fµ (κ),

t ∈ [0, 1],

κ(1) = Tκ(0)

(100 ) (110 )

с нелокальными краевыми условиями. Очевидно, что для любого решения системы (10)–(11) его ограничение на интервал [0, 1] является решением краевой задачи (100 )–(110 ). Верно и обратное в виде аналога предложения 3. 0 0 Предложение 30 . По всякому решению κ e (·) = {(e un (·), ven (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (10 )–(11 ), рассматриваемой в фазовом пространстве Kµ2 , µ∈]0, 1[, однозначно строится решение

κ(·) = {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

23

системы (10)–(11) следующим образом: κ(t) = κ e (t),

t ∈ [0, 1];

κ(t + 1) = Tκ(t),

t ∈ R.

Здесь мы уточним предложение 4, установив связь между решениями системы дифференциальных уравнений опережающе-запаздывающего типа (9) с заданной асимптотикой и решениями краевой задачи (100 )–(110 ), рассматриваемой в фазовом пространстве Kµ2 , µ∈]0, 1[. Предложение 5 (см. [2]). Для всякого решения κ(·) = {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (100 )–(110 ), рассматриваемой в фазовом пространстве Kµ2 , µ∈]0, 1[, соответствующее решение (x1 (·), x2 (·))0 системы дифференциальных уравнений (9) (см. предложение 4) принадлежит пространству L2µ C (0) (R). Для всякого решения (x1 (·), x2 (·))0 системы дифференциальных уравнений (9), принадлежащего L2µ C (0) (R), соответствующее решение κ(·)= {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (70 )–(80 ) (см. предложение 4), будет решением краевой задачи (100 )–(110 ) в фазовом 2 пространстве K[µ−ε] , µ∈]0, 1[, с параметром [µ − ε] со сколь угодно малым ε > 0. К системе уравнений опережающе-запаздывающего типа (9) можно применить методы, используемые для обоснования теорем существования и единственности для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [1]. Это позволит получить теоремы существования решений типа бегущей волны для исходной системы (1). Для этого рассмотрим начальную задачу для дифференциального уравнения опережающе-запаздывающего типа t ∈ R,

x(t) ˙ = f (x(t + h1 ), . . . , x(t + hs )), x(r) = x ¯,

r ∈ R,

m

x ¯∈R .

(12) (13)

Полагаем, что функция f удовлетворяет условию Липщица с константой M . Теорема 1 (см. [1]). Пусть для некоторого µ∈]0, 1[ выполняется неравенство M

s X

µ−|hj | < ln µ−1 .

j=1

Тогда для любых фиксированных x ¯ ∈ Rn , r ∈ R существует решение x(·) ∈ L2µ C (0) (R) начальной задачи (12)–(13). Такое решение является единственным. Применим теорему 1 к системе (9). Для этого определим M (τ ) = max{τ −1 ; (mτ )−1 max[L, 2]}.

(14)

Условие, фигурирующее в теореме 1, в применении к системе (9) будет иметь вид   M (τ ) 2µ−1 + 1 < ln µ−1 , µ ∈]0, 1[. (15)  −1  Определим функцию g(τ, µ) = M (τ ) 2µ + 1 − ln µ−1 , τ ∈]0, +∞[, µ∈]0, 1[. Несложно заметить, что существует τˆ > 0 такое, что при каждом τ , 0 < τ < τˆ, уравнение g(τ, µ) = 0 не имеет решения и для любых τ ∈]0, τˆ[, µ∈]0, 1[, справедливо неравенство g(τ, µ) > 0; при τ = τˆ уравнение g(ˆ τ , µ) = 0 имеет единственное решение (ˆ τ, µ ˆ), для которого сраведливо условие gµ0 (ˆ τ, µ ˆ) = 0; при каждом τ , τˆ < τ < +∞ уравнение g(τ, µ) = 0 имеет два решения (τ, µ1 ), (τ, µ2 ) и при этом для любых τ ∈]ˆ τ , +∞[, µ∈]µ1 , µ2 [ справедливо неравенство g(τ, µ) < 0. Так как µ1 и µ2 однозначно определяются значением τ , τˆ 6 τ < +∞, то эти зависимости будем обозначать в виде функций µ1 (τ ) и µ2 (τ ). Функция µ1 (τ ) является монотонно убывающей, и µ(τ ) → 0 при τ → +∞. Функция µ2 (τ ) является монотонно возрастающей, и µ(τ ) → 1 при τ → +∞. Значение µ ˆ = µ1 (ˆ τ ) = µ2 (ˆ τ ) определяется из системы условий g(ˆ τ, µ ˆ) = 0, gµ0 (ˆ τ, µ ˆ) = 0 и равно µ ˆ = 2M (ˆ τ ). Так как µ∈]0, 1[, то для величины M (ˆ τ ) получаем некоторую абсолютную оценку M (ˆ τ ) < 1/2. Переформулируем теорему 1 применительно к системе дифференциальных уравнений (9). Теорема 2. Для любых начальных данных a, b ∈ R, r ∈ R и характеристик τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞,

24

Л. А. БЕКЛАРЯН

существует единственное решение (x1 (·), x2 (·))0 системы дифференциальных уравнений опережающе-запаздывающего типа (9), такое, что оно удовлетворяет начальным условиям x1 (r) = a, x2 (r) = b и для любого µ∈]µ1 (τ ), µ2 (τ )[ принадлежит пространству L2µ C (0) (R). Пользуясь предложениями 30 и 5, мы можем теорему 2 переформулировать в терминах системы (10)–(11). Теорема 3. Для любых начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, r ∈ R и характеристик τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, для системы (10)–(11) с произвольным параметром µ∈]µ1 (τ ), µ2 (τ )[ существует единственное решение κ(·)= {(un (·), vn (·))0 }+∞ ¯ (r) = a, vn ¯ (r) = b. −∞ , удовлетворяющее начальным условиям un Переформулируем теоремы 2 и 3 в терминах исходной системы дифференциальных уравнений (1). Теорема 4. При любых начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристиках τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, для исходной системы дифференциальных уравнений (1) существует единственное решение {yn (·)}+∞ −∞ типа бегущей волны с характеристикой τ , такое, что оно удовлетворяет начальным условиям yn¯ (t¯) = a, y˙ n¯ (t¯) = b, а каждая координата yn (·), n ∈ Z, принадлежит простран(1) (R) при любом значении параметра µ∈]µ (τ ), µ (τ )[. ству L1√ 1 2 τ µC Для заданных начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристик τ > 0, τˆ < τ < +∞ S 1 (1) теорема 4 утверждает не только о существовании в пространстве Lµ C (R) решения типа 0<µ<1

бегущей волны с характеристикой τ , но и выделяет единственное решение типа бегущей волны, p для которого нижняя грань показателей асимптотики на бесконечности равна − ln τ µ2 (τ ). Так как для любого τ , τˆ < τ < +∞, справедливо включение µ ˆ∈]µ1 (τ ), µ2 (τ )[, то на основании теоремы 4 мы можем сформулировать одно полезное замечание. Замечание 1. При любых начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристиках τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, для исходной системы дифференциальных уравнений (1) существует единственное решение {yn (·)}+∞ −∞ типа бегущей волны с характеристикой τ , такое, что оно удовлетворяет начальным условиям yn¯ (t¯) = a, y˙ n¯ (t¯) = b, а каждая координата yn (·), n ∈ Z, принадлежит простран(1) (R). ству L1√ τ C µ ˆ 2.

ИССЛЕДОВАНИЕ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В СЛУЧАЕ РАВНЫХ МАСС

Исследуем на устойчивость стационарные состояния дифференциального уравнения (7). Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками поверхности в пространстве K 2 , описываемой уравнением Aκ + F(κ) = 0. (16) +∞ 0 Из определения операторов A и F следует, что состояние κ= {(un , v n ) }−∞ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия: для любого n ∈ Z ϕ(un ) + un+1 − 2un + un−1 = 0,

v n = 0.

(17)

Так как операторы A и F перестановочны с оператором сдвига T, то множество стационарных состояний инвариантно относительно действия оператора сдвига. Стационарное состояние κ является решением типа бегущей волны (условие (8)) тогда и только тогда, когда оно является неподвижной точкой оператора сдвига, т. е. κ = Tκ.

(18)

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

25

В таком случае из условий (17)–(18) следует, что состояние κ= {(un , v n )0 }+∞ −∞ является стационарным состоянием типа бегущей волны тогда и только тогда, когда для любого n ∈ Z un+1 = un = u,

ϕ(u) = 0,

v n = 0.

(19)

Заметим, что всякое стационарное решение типа бегущей волны принадлежит подпространству K12 . Предложение 6. Если потенциал ϕ(·) тождественно не равен нулю, то для исходной системы дифференциальных уравнений (1) существуют решения типа бегущей волны с наперед заданной характеристикой τ , τˆ < τ < +∞, отличные от прямолинейного равномерного дви+∞ жения {yn (t)}+∞ −∞ = {bt + bnτ + α}−∞ (b 6= 0) и стационарного (b = 0). Доказательство. Пусть a ∈ R удовлетворяет условию ϕ(a) 6= 0. Тогда для любых начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристиках τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, по теореме 4 существует соответствующее решение типа бегущей волны. Так как ϕ(a) 6= 0, то по условию (19) такое решение не может быть стационарным. Но такое решение не может задавать и +∞ равномерное движение. Действительно, подставив решение {yn (t)}+∞ −∞ = {bt + bnτ + α}−∞ (b 6= 0) в уравнение (1), в частности, получим, что ϕ(y0 (t)) ≡ 0, т. е. ϕ(bt + α) ≡ 0. Так как b 6= 0, то отсюда следует, что ϕ(·) ≡ 0. Полученное противоречие доказывает предложение. Если ϕ(·) ≡ 0, то при любых a, b ∈ R и τ > 0 набор линейных фунций +∞ {yn (t)}+∞ −∞ = {(bt + bnτ + a)}−∞

является решением типа бегущей волны с характеристикой τ , т. е. реализуется либо равномерное движение шаров (b 6= 0), либо состояние покоя (b = 0). В действительности можно сказать больше. Предложение 7. Если потенциал ϕ(·) тождественно равен нулю, то для исходной системы дифференциальных уравнений (1) любое решение волны с характеристикой τ , S типа1 бегущей (1) τˆ < τ < +∞, принадлежащее пространству Lµ C (R), имеет вид µ1 (τ )<µ<1 +∞ {yn (t)}+∞ −∞ = {(bt + bnτ + a)}−∞ ,

a, b ∈ R.

Доказательство. Выше уже отмечалось, что такие линейные функции являются решениями типа бегущей волны. Очевидно, что они принадлежат пространству L1µ C (1) (R) при любом µ∈]0, 1[. Тогда утверждение предложения следует из единственности решения при заданных начальных данных в теореме 4. Стационарное решение κ уравнения (7) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 и любого t0 найдется δ > 0, такое, что для всякого другого решения κ(·), определенного в окрестности точки t0 , из неравенства ρ(κ(t0 ), κ) < ε следует, что κ(·) определено при всех t > t0 и ρ(κ(t), κ) < ε (t > t0 ). Так как фазовое пространство K 2 всего лишь метризуемо, то стационарные состояния уравнения (7) не могут быть исследованы на устойчивость по Ляпунову с использованием известных методов теории дифференциальных уравнений. Наряду с уравнением (7) будем изучать на устойчивость стационарные решения уравнения (10) при различных значениях параметра µ∈]0, 1[. Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками поверхности в пространстве Kµ2 , описываемой уравнением Aµ κ + Fµ (κ) = 0. {(un , v n )0 }+∞ −∞

Kµ2

(20)

Состояние κ= ∈ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия (17). Как уже отмечалось выше, для уравнения (7) всякое стационарное решение типа бегущей волны (условие (8)) принадлежит подпространтсву K12 и поэтому является стационарным решением типа бегущей волны (условие (11)) для уравнения (10) при любом значении параметра µ∈]0, 1[, и наоборот. Стационарное решение κ уравнения (10) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 и любого t0 найдется δ > 0, такое, что для всякого другого решения κ(·), определенного в окрестности точки t0 , из неравенства kκ(t0 ) − κkµ < ε следует, что κ(·) определено при всех t > t0 и kκ(t) − κkµ < ε (t > t0 ).

26

Л. А. БЕКЛАРЯН

Мы уже отмечали, что для уравнения (10) задача Коши корректна и всякое решение продолжается на все R. Для исследования на устойчивость следует в уравнении (10) правую часть линеаризовать в окрестности стационарной точки. Для линеаризации потребуется наложить дополнительное ограничение на потенциал ϕ(·) в виде условия непрерывной дифференцируемости с равномерно ограниченной производной. Так как мы будем проверять стационарную точку на неустойчивость, то потребуется дополнительное условие на потенциал ϕ(·) в виде наличия второй производной, непрерывной и равномерно ограниченной. Пользуясь формализмом, развитым в работе [1], можно доказать следующую лемму. Лемма 2 (см. [1]). Пусть функция ϕ(·) является дважды непрерывно дифференцируемой с равномерно ограниченной первой и второй производными. Тогда оператор F дважды непрерывно дифференцируем по Фреше. Если F0µ (κ) — производная Фреше оператора Fµ в стационарной точке κ = {(un , 0)0 }+∞ −∞ , то линеаризованное уравнение для уравнения (10) имеет вид κ˙ = τ −1 Aµ κ,

t ∈ R,

(21)

где τ −1 Aµ = Aµ + F0µ (κ). Заметим, что для любых κ = {(un , vn )0 }+∞ −∞ и n ∈ Z (Aµ κ)n = (vn , m−1 [un+1 − (2 + γn )un + un−1 ])0 , где γn = ϕ(un ). Пространство Kµ2 , µ∈]0, 1[, представим в виде прямого произведения Kµ2 = Kµ1 ×Kµ1 c элементами κ = (χ1 , χ2 ). В пространстве Kµ1 определим тождественный оператор E и линейный непрерывный 1 оператор Bµ по следующему правилу: для любых χ = {un }+∞ −∞ ∈ Kµ и n ∈ Z (Bµ χ)n = m−1 [un+1 − (2 + γn )un + un−1 ]. Используя вид операторов Aµ и Bµ , можно установить связь между их спектрами. Лемма 3. Для любого µ∈]0, 1[ спектры операторов Aµ и Bµ связаны соотношением q σ(Aµ ) = σ(Bµ ).

(22)

Доказательство. Для любого κ = (χ1 , χ2 ) ∈ Kµ1 × Kµ1 действие оператора Aµ можно представить в следующем виде: Aµ κ = (Eχ2 , Bµ χ1 ).

(23)

Утверждение леммы непосредственно следует из представления (23). Теперь мы в состоянии сформулировать теорему о неустойчивости стационарного решения дифференциального уравнения (10). Так как для функции ϕ(·) производная равномерно ограничена, то модули |γn |, n ∈ Z, равномерно ограничены. Верхнюю грань таких чисел обозначим через γ. Теорема 5. Для дифференциального уравнения (10), определенного в фазовом пространстве Kµ2 с параметром µ < (2 + γ)−1 , любое стационарное решение неустойчиво по Ляпунову. Доказательство. Линеаризованное уравнение для уравнения (10) задается уравнением (21). Так как оператор Fµ дважды непрерывно дифференцируем по Фреше (см. [1]), то для завершения доказательства теоремы достаточно, чтобы спектру оператора Aµ принадлежала точка с положительной действительной частью. Используя вид оператора Bµ , можно непосредственной проверкой установить, что при условии µ < (2 + γ)−1 окружность на комплексной плоскости с центром в нуле и достаточно малым радиусом принадлежит точечному спектру оператора Bµ . Тогда соответствующее свойство для оператора Aµ будет следовать из представления (22) и свойств спектра оператора Bµ , установленных выше.

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

3.

РЕШЕНИЯ

27

ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В СЛУЧАЕ РАЗЛИЧНЫХ МАСС

Рассмотрим систему mn y¨n = ϕ(yn ) + yn+1 − 2yn + yn−1 ,

(1∗ )

n ∈ Z,

в которой хотя бы для двух шаров массы различны. Функция ϕ(·) также удовлетворяет условию Липщица. По аналогии со случаем равных масс определим линейный оператор A и нелинейный оператор F, действующие непрерывно из пространства K 2 в себя по следующему правилу: для любых n ∈ Z, κ ∈ K 2 (Aκ)n = (τ −1 vn , (mn τ )−1 [un+1 − 2un + un−1 ])0 , (F(κ))n = (0, (mn τ )−1 ϕ(un ))0 . Заметим, что в случае различных масс оператор сдвига T не перестановочен с операторами A и F. Для таких операторов будет изучаться уравнение (3), а также его решения типа бегущей волны с характеристикой 1. +∞ Обозначим через ζ бесконечномерный вектор {m−1 n }−∞ , который является элементом пространства K 1 . Используя формализм, развитый в работе [1], можно доказать аналог леммы 1. Лемма 1∗ (см. [1]). Пусть заданы µ∈]0, 1[, ζ ∈ Kµ1 . Тогда ограничение операторов A, F на подпространство Kµ2 , которое обозначается через Aµ , Fµ , является преобразованием этого подпространства, а оператор Fµ удовлетворяет условию Липшица. В силу леммы 1∗ при заданных µ∈]0, 1[ и ζ ∈ Kµ1 уравнение (5) определено, а задача Коши корректна. Соответственно для таким образом определенных операторов Aµ , Fµ изучается и уравнение (6). Для корректного определения уравнения (6) достаточно, чтобы ζ принадлежало пространству Kµ2 при каком-либо µ∈]0, 1[. В этом случае предложение 2 сохраняется. В силу отсутствия перестановочности между оператором сдвига T и операторами A и F, предложения 3 и 30 не сохраняются. Вместо системы дифференциальных уравнений (9) рассмотрим систему x˙1 (t) = τ −1 x2 (t), −1

x˙2 (t) = [l(t)τ ]

[ϕ(x1 (t)) + x1 (t + 1) − 2x1 (t) + x1 (t − 1)],

t ∈ R,

(9∗ )

где для любого n ∈ Z справедливо тождество l(t) ≡ mn , t ∈ [n, n + 1[. Если в предложении 4 систему уравнений (9) заменить на систему уравнений (9∗ ), то оно остается справедливым. В случае неравных масс вопрос описания решений типа бегущей волны также важен. Справедлива следующая теорема. Теорема 6. Если потенциал ϕ(·) тождественно не равен нулю, то для системы (1∗ ) всякое решение типа бегущей волны является стационарным решением. Доказательство. Достаточно показать, что всякое решение системы (7)–(8) является стационарным. Пусть κ(·) = {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞ решение системы (7)–(8). Используя нелокальное ограничение (8), несложно показать, что для такого решения при почти всяком t ∈ R справедливо равенство ATκ(t) + F(Tκ(t) = TAκ(t) + TF(κ(t)).

(24)

Следовательно, несмотря на неперестановочность оператора сдвига T с операторами A и F, они являются перестановочными на траекториях решений типа бегущей волны. Операторное равенство (24) в покоординатной форме имеет вид: для любого n ∈ Z и почти всяком t ∈ R выполняется равенство (mn τ )−1 [ϕ(un (t)) + un+1 (t) − 2un (t) + un−1 (t)] = (25) = (mn+1 τ )−1 [ϕ(un (t)) + un+1 (t) − 2un (t) + un−1 (t)]. Так как массы хотя бы двух шаров различны, то из равенства (25) следует, что для любого n ∈ Z и почти всяком t ∈ R справедливо равенство ϕ(un (t)) + un+1 (t) − 2un (t) + un−1 (t) = 0.

(26)

28

Л. А. БЕКЛАРЯН

В таком случае из уравнения (7) следует, что vn (t) = cn = const для любого n ∈ Z. Так как это есть решение типа бегущей волны, то все константы cn равны между собой. Обозначим это значение через c. Тогда из того же уравнения (7) будет следовать, что un (t) = ct + αn для любого n ∈ Z. Так как un является решением типа бегущей волны с характеристикой 1, то для любого n ∈ Z имеем αn = α0 + (n − 1)c и соответственно un (t) = ct + (n − 1)c + α0 . Но для такого решения из равенства (26) следует, что для любого n ∈ Z справедливо тождество ϕ(un (t)) ≡ 0, t ∈ R. Если c 6= 0, то из этого тождества следует другое тождество ϕ(t) ≡ 0, t ∈ R. Противоречие. Следовательно, c = 0, и решение типа бегущей волны оказывается стационарным. Теорема 7. Если потенциал ϕ(·) тождественно равен нулю, то для системы (1∗ ) всякое решение типа бегущей волны c характеристикой τ > 0 либо является стационарным, либо описывает прямолинейное равномерное движение, т. е. все решения типа бегущей волны c +∞ характеристикой τ > 0 и только они имеют вид {yn (t)}+∞ −∞ = {(bt + bnτ + a)}−∞ , a, b ∈ R. Доказательство. Для доказательства достаточно изучить решения системы (7)–(8). При доказательстве теоремы 6 мы уже показали, что любое решение κ(·)= {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞ системы (7)–(8) имеет представление 0 +∞ {(un (·), vn (·))0 }+∞ −∞ = {(ct + (n − 1)c + α0 , c) }−∞ .

В случае c = 0 это стационарные решения. Если полученное представление переформулировать в терминах исходного уравнения (1∗ ), то получим утверждение теоремы. Исследуем на устойчивость стационарные состояния дифференциального уравнения (7). Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками поверхности в пространстве K 2 , описываемой уравнением (16). Из определения операторов A и F также следует, что состояние κ= {(un , v n )0 }+∞ −∞ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия (17), а состояние κ= {(un , v n )0 }+∞ −∞ является стационарным состоянием типа бегущей волны тогда и только тогда, когда справедливы условия (19). Заметим, что всякое стационарное решение типа бегущей волны принадлежит подпространтсву K12 . Если массы шаров таковы, что ζ ∈ Kµ2 при некотором µ∈]0, 1[, то наряду с уравнением (7) будем изучать на устойчивость стационарные состояния уравнения (10) при различных значениях параметра µ∈]0, µ[. Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками 2 поверхности в пространстве Kµ2 , описываемой уравнением (20). Состояние κ= {(un , v n )0 }+∞ −∞ ∈ Kµ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия (17). Как уже отмечалось выше, для уравнения (7) всякое стационарное решение типа бегущей волны (условие (8)) принадлежит подпространтсву K12 и поэтому является стационарным решением типа бегущей волны (условие (11)) для уравнения (10) при любом значении параметра µ∈]0, µ[, и наоборот. Мы уже отмечали, что если ζ ∈ Kµ2 при некотором µ∈]0, 1[, то для уравнения (10) (совпадает с уравнением (5)) с параметром µ∈]0, µ[ задача Коши корректна и всякое решение продолжается на все R. Для исследования на устойчивость следует в уравнении (10) правую часть линеаризовать в окрестности стационарной точки. Для линеаризации потребуется наложить дополнительное ограничение на потенциал ϕ(·) в виде условия непрерывной дифференцируемости с равномерно ограниченной производной. Так как мы будем проверять стационарную точку на неустойчивость, то потребуется дополнительное условие на потенциал ϕ(·) в виде наличия второй производной, непрерывной и равномерно ограниченной. При помощи формализма, развитого в работе [1], устанавливается аналог леммы 2. Лемма 2∗ (см. [1]). Пусть функция ϕ(·) является дважды непрерывно дифференцируемой с равномерно ограниченной первой и второй производными, а массы mn шаров таковы, что +∞ 2 ζ = {m−1 n }−∞ ∈ Kµ при некотором µ∈]0, 1[. Тогда для любого µ∈]0, µ[ оператор Fµ дважды непрерывно дифференцируем по Фреше. Если F0µ (κ) есть производная Фреше оператора Fµ в стационарной точке κ = {(un , 0)0 }+∞ −∞ , то линеаризованное уравнение для уравнения (10) также имеет вид (21). Заметим, что для любых κ = {(un , vn )0 }+∞ −∞ и n ∈ Z 0 (Aµ κ)n = (vn , m−1 n [un+1 − (2 + γn )un + un−1 ]) ,

УРАВНЕНИЯ ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

29

где γn = ϕ(un ). Пространство Kµ2 , µ∈]0, µ[, представим в виде прямого произведения Kµ2 = Kµ1 ×Kµ1 c элементами κ = (χ1 , χ2 ). В пространстве Kµ1 определим тождественный оператор E и линейный непрерывный 1 оператор Bµ по следующему правилу: для любых χ = {un }+∞ −∞ ∈ Kµ и n ∈ Z (Bµ χ)n = m−1 n [un+1 − (2 + γn )un + un−1 ]. Используя вид операторов Aµ и Bµ , можно установить связь между их спектрами в виде аналога леммы 3. +∞ 2 Лемма 3∗ . Если масса шаров такова, что ζ = {m−1 n }−∞ ∈ Kµ при некотором µ∈]0, 1[, то для любого µ∈]0, µ[ спектры операторов Aµ и Bµ связаны соотношением q (27) σ(Aµ ) = σ(Bµ ).

Доказательство повторяет доказательство леммы 3. Теперь мы в состоянии сформулировать теорему о неустойчивости стационарного решения дифференциального уравнения (10). Теорема 5∗ . Если массы шаров mn таковы, что координаты бесконечномерного вектора +∞ ζ = {m−1 n }−∞ равномерно ограничены, то для дифференциального уравнения (10), определенного в фазовом пространстве Kµ2 с параметром µ < (2 + γ)−1 , любое стационарное решение неустойчиво по Ляпунову. Доказательство. Так как вектор ζ принадлежит пространству Kµ2 с произвольным µ∈]0, 1[, то в этом случае утверждение леммы 3∗ справедливо для любого µ∈]0, 1[. Далее доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бекларян Л. А. Введение в качественную теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения. — М.: ЦЭМИ РАН, 1996. — 135 с. 2. Бекларян Л. А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и связанные с ними метрические инварианты// Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1999. — 67. — С. 161–182 3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1979. — 534 с. 4. Пустыльников Л. Д. Бесконечномерные нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения и теория КАМ// Усп. мат. наук. — 1997. — 52, № 3 (315). — С. 106–158 5. Френкель Я. И., Конторова Т. А. О теории пластической деформации и двойственности// ЖЭТФ. — 1938. — 8. — С. 89–97 6. Treshev D. V. Travelling waves in FPU lattices// Preprint, 2002

Левон Андреевич Бекларян Центральный экономико-математический институт РАН E-mail: [email protected]