Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МАШИН И СИСТЕМ

И. И. ГОРБАНЬ

ТЕОРИЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ: ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ÏÐÎÅÊÒ «ÍÀÓÊÎÂÀ ÊÍÈÃÀ»

КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 2011

ÓÄÊ 519.2: 530.1: 600.1 Ìîíîãðàôèÿ ïîñâÿùåíà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îïèñûâàþùåé ôèçè÷åñêèå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû, ïðîöåññû è ïîëÿ â óñëîâèÿõ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ ÷èòàòåëåé ñ ðàçíûì óðîâíåì ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè: òåõ, êòî ëèøü ïîâåðõíîñòíî çíàêîì ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è õîòåë áû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ìåòîäàìè ó÷åòà íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, à òàêæå äëÿ èíæåíåðîâ, øèðîêî èñïîëüçóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû, ìàòåìàòèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, è ôèçèêîâ, ñòðåìÿùèõñÿ ïîñòè÷ü îñíîâû ìèðîçäàíèÿ. Ìîíîãðàô³ÿ ïðèñâÿ÷åíà ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³é òåî𳿠ã³ïåðâèïàäêîâèõ ÿâèù, ùî îïèñóº ô³çè÷í³ ïî䳿, âåëè÷èíè, ïðîöåñè ³ ïîëÿ â ñòàòèñòè÷íî íåñò³éêèõ óìîâàõ. Äëÿ ÷èòà÷³â ç ð³çíèì ð³âíåì ìàòåìàòè÷íî¿ ï³äãîòîâêè: òèõ, õòî ìຠëèøå çàãàëüíå óÿâëåííÿ ïðî òåîð³þ éìîâ³ðíîñòåé ³ áàæຠïîçíàéîìèòèñü ç ìåòîäàìè âðàõóâàííÿ ïîðóøåíü ñòàòèñòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ ðåàëüíèõ ô³çè÷íèõ ÿâèù, à òàêîæ äëÿ ³íæåíåð³â, ÿê³ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòü ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè, ìàòåìàòèê³â, ÿê³ ñïåö³àë³çóþòüñÿ ó ãàëóç³ òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé, òà ô³çèê³â, ÿê³ íàìàãàþòüñÿ îñÿãíóòè îñíîâè âñåñâ³òó. The monograph is dedicated to the physico-mathematical theory which describes physical events, variables, processes, and fields in non-constant statistical conditions. The book is oriented to different readers: ones that have only some images about probability theory and want to obtain information about modern statistical methods taking into consideration statistical instability of real physical phenomena, engineers that widely use statistical methods, mathematicians working in probability theory area, and physicists looking for the basis of universe. Ð å ö å í ç å í ò û: ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, ä-ð òåõí. íàóê Í.Þ. Êóçíåöîâ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Ï.Ñ. Êíîïîâ, ä-ð òåõí. íàóê À.Ì. Ðåçíèê Ðåêîìåíäîâàíà ê èçäàíèþ ó÷åíûì ñîâåòîì Èíñòèòóòà ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû (ïðîòîêîë ¹ 9 îò 08.09.2010 ã.)

Âèäàííÿ çä³éñíåíå çà äåðæàâíèì êîíòðàêòîì íà âèïóñê íàóêîâî¿ äðóêîâàíî¿ ïðîäóêö³¿

Íàó÷íî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé è òåõíè÷åñêîé ëèòåðàòóðû Ðåäàêòîð Â.Â. Âåðîöêàÿ

ISBN 978-966-00-1093-2

© È.È. Ãîðáàíü, 2011 © ÍÏÏ «Èçäàòåëüñòâî “Íàóêîâà äóìêà” ÍÀÍ Óêðàèíû», äèçàéí, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

–Êàê óñòðîåí íàø ìèð? Îêðóæàþùèé ìèð ïîä÷èíÿåòñÿ îïðåäåëåííûì ôèçè÷åñêèì çàêîíàì, ñðåäè êîòîðûõ îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ìàññîâûõ ÿâëåíèé – óäèâèòåëüíûé ôèçè÷åñêèé ôåíîìåí, ôèêñèðóåìûé âî ìíîãèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèÿõ. Ñîâðåìåííàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé (âêëþ÷àþùàÿ â øèðîêîì ïîíèìàíèè è ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó) èçó÷àåò çàêîíû ìàññîâûõ ÿâëåíèé, îïèñûâàÿ èõ ñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíûõ (âåðîÿòíîñòíî-ñëó÷àéíûõ èëè, èíà÷å, ñòîõàñòè÷åñêèõ) ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, õàðàêòåðèçóåìûõ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé.  îñíîâå ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ìîäåëåé ëåæèò ôèçè÷åñêàÿ ãèïîòåçà àáñîëþòíîé (èäåàëüíîé) ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ñîáûòèé, èç êîòîðîé ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü (ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîãíîçèðóåìîñòü) ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê ëþáûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé – ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé. Òåì ñàìûì ïðèçíàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà ïî ñëó÷àéíîìó ïðèíöèïó. Ìíîãèå ãîäû ãèïîòåçà èäåàëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñ÷èòàëàñü íåçûáëåìîé, õîòÿ íåêîòîðûå ó÷åíûå äîïóñêàëè, ÷òî â ðåàëüíîì ìèðå îíà ñïðàâåäëèâà ëèøü ñ îïðåäåëåííûìè îãîâîðêàìè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ãèïîòåçà èäåàëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ïîäòâåðæäàåòñÿ.  ðåàëüíîé æèçíè âñåãäà ïðîèñõîäÿò áîëåå èëè ìåíåå çíà÷èìûå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ñâÿçàíû îíè ñ òåì, ÷òî îêðóæàþùèé ìèð – îòêðûòàÿ ñèñòåìà. Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ðåàëüíûõ îáúåêòîâ è óñëîâèÿ èõ íàáëþäåíèÿ ïîñòîÿííî ìåíÿþòñÿ. Èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò íà âñåõ óðîâíÿõ, â òîì ÷èñëå ñòàòèñòè÷åñêîì. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè, ôîðìèðóåìûå íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèõ âðåìåííûõ, ïðîñòðàíñòâåííûõ èëè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ, îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïðè âîçðàñòàíèè îáúåìà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ óðîâåíü ôëóêòóàöèé èõ çíà÷åíèé óìåíüøàåòñÿ, ÷òî ñîçäàåò èëëþçèþ èäåàëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî îáúåìà, ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà

3

Предисловие äàííûõ óðîâåíü ôëóêòóàöèé íå òîëüêî íå óìåíüøàåòñÿ, à, íàîáîðîò, âîçðàñòàåò. Èññëåäîâàíèÿ íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëåíèé è ðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ìèðà ñ ó÷åòîì òàêèõ íàðóøåíèé ïðèâåëè ê ïîñòðîåíèþ íîâîé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè – òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áàçîâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè (ìîäåëÿìè) ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå ñîáûòèå, âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ; â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé â òàêîì êà÷åñòâå âûñòóïàþò ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèå, âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìíîæåñòâà íåñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí è ôóíêöèé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé áàçèðóåòñÿ íà êëàññè÷åñêèõ àêñèîìàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé À.Í. Êîëìîãîðîâà, ôèçè÷åñêàÿ – íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ãèïîòåçàõ: ãèïîòåçå îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé è íà ãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ýòèõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ãèïîòåçû ñïðàâåäëèâû äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ïðèâîäèò ê íîâîé êîíöåïöèè óñòðîéñòâà ìèðà íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Îñíîâîïîëàãàþùàÿ ðîëü â íåé îòâîäèòñÿ íå àáñîëþòíîé, êàê â êîíöåïöèè óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ, à îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé – âåòâü òåîðèè âåðîÿòíîñòåé; ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè – íîâàÿ òåîðèÿ, îñíîâàííàÿ íà íîâûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ îá îêðóæàþùåì ìèðå. *

*

*

Ìîíîãðàôèÿ íàïèñàíà íà îñíîâå îðèãèíàëüíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé àâòîðà, ðåçóëüòàòû êîòîðûõ îïóáëèêîâàíû â íàó÷íûõ æóðíàëàõ [Ãîðáàíü, 2005–2010, Gorban, 2008–2010] è ìîíîãðàôèè [Ãîðáàíü, 2007]. Îñíîâîïîëàãàþùèå èäåè êíèãè ôîðìèðîâàëèñü â õîäå âûïîëíåíèÿ ðàáîò, êîòîðûå àâòîð ïðîâîäèë â îáëàñòè ãèäðîàêóñòèêè, íà÷èíàÿ ñ êîíöà 70-õ ãîäîâ (èõ ðåçóëüòàòû îáîáùåíû â êóðñå ëåêöèé [Gorban, 1998] è ìîíîãðàôèÿõ [Ãîðáàíü, 2008, Gorban, 2008]). Ïðåäëàãàåìàÿ êíèãà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ìîíîãðàôèè 2007 ã., êàê ïî îáúåìó, òàê è ñîäåðæàíèþ. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî â íåé ôèçè÷åñêîé ñòîðîíå òåîðèè è ýêñïåðèìåíòàëüíîìó ïîäòâåðæäåíèþ îñíîâíûõ åå ïîëîæåíèé. Êðîìå òîãî, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü çíà÷èòåëüíî ðàñøèðåíà è óòî÷íåíà çà ñ÷åò íîâûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïîñëåäíåå âðåìÿ. Äàííàÿ ìîíîãðàôèÿ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ óíèâåðñèòåòîâ òåõíè÷åñêîãî, ôèçè÷åñêîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîôèëåé, àñïèðàíòîâ, ó÷åíûõ è ñïåöèàëèñòîâ, çàíèìàþùèõñÿ ðàçðàáîòêîé ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé,

4

Предисловие ïîñòðîåíèåì íîâûõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ðàçâèòèåì òåîðåòè÷åñêîé áàçû ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé, ðàçðàáîòêîé ìåòîäîâ îöåíêè ïàðàìåòðîâ è îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ, à òàêæå äëÿ âñåõ, êòî çàäóìûâàåòñÿ íàä âîïðîñîì óñòðîéñòâà îêðóæàþùåãî ìèðà. Ìàòåðèàë èçëîæåí ñ îðèåíòàöèåé íà ÷èòàòåëåé ñ ðàçíûì óðîâíåì ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè: • òåõ, êòî ëèøü ïîâåðõíîñòíî çíàêîì ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è õîòåë áû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ñîâðåìåííûìè ìåòîäàìè ó÷åòà íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, • èíæåíåðîâ, øèðîêî èñïîëüçóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû â ñâîåé ïîâñåäíåâíîé äåÿòåëüíîñòè, • ìàòåìàòèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, è ôèçèêîâ, ñòðåìÿùèõñÿ ïîñòè÷ü îñíîâû ìèðîçäàíèÿ. Ïåðâóþ êàòåãîðèþ ÷èòàòåëåé ìîãóò çàèíòåðåñîâàòü ââåäåíèå, ãëàâû 1, 2, 4, 14 è ïîñëåñëîâèå. Èíæåíåðàì ê òîìó æå ìîãóò áûòü èíòåðåñíû ãëàâû 3, 5, 6 è 8, à òàêæå ãëàâû 11, 13, 15 – 20. Àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî ôèçèêîâ è ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé çàèíòåðåñóþò è äðóãèå ãëàâû, ïðè÷åì íàñòîëüêî, ÷òî îíè ïðî÷èòàþò êíèãó öåëèêîì. *

*

*

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ëåæèò íà ñòûêå ôèçèêè, ìàòåìàòèêè è òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïîýòîìó ê ðåöåíçèðîâàíèþ áûëè ïðèâëå÷åíû ó÷åíûå ðàçíûõ ñïåöèàëüíîñòåé. Àâòîð ïðèçíàòåëåí âñåì, êòî ïðî÷èòàë ðóêîïèñü, âûñêàçàë ñâîè êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ è ïðèíÿë ó÷àñòèå â êîíñòðóêòèâíîì îáñóæäåíèè êíèãè. Îñîáóþ áëàãîäàðíîñòü àâòîð õîòåë áû âûðàçèòü îôèöèàëüíûì ðåöåíçåíòàì: ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Êóçíåöîâó Í.Þ., ä.ô.-ì.í., ïðîô. Êíîïîâó Ï.Ñ., ä.ò.í. Ðåçíèêó À.Ì., à òàêæå àêàä. ÐÀÍ Øîêèíó Þ.È., ä.ô.-ì.í., ïðîô. Òóòóáàëèíó Â.Í., ä.ò.í., ïðîô. Ïàâëîâó À.À., ä.ô.-ì.í. ßðîùóêó È.Î., ä.ô.-ì.í. Êëþøèíó Ä.À., ä.ò.í. Êîíîíîâó À.À., ä.ô.-ì.í., ïðîô. Øàðîìó Ñ.Ï., îçíàêîìèâøèìñÿ ñ ðóêîïèñüþ è âûñêàçàâøèì ðÿä êðèòè÷åñêèõ çàìå÷àíèé, ñïîñîáñòâîâàâøèõ óëó÷øåíèþ êíèãè. Àâòîð áëàãîäàðåí àêàä. ÍÀÍ Óêðàèíû Êîâàëåíêî È.Í., ÷ë.-êîð. ÀÍ Ìîëäàâèè Ãàèíäðèêó Ê.Â., ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Òîì÷óêó Ï.Ì., ä.ô.-ì.í., ïðîô. Ñàðáåþ Î.Ã., ä.ò.í., ïðîô. Èâàíåíêî Â.È. è ä.ò.í., ïðîô. Øëåçèíãåðó Ì.È. çà ïðåäîñòàâëåííûå âîçìîæíîñòè âûñòóïèòü íà ðóêîâîäèìûõ èìè ñåìèíàðàõ, à òàêæå âñåì ó÷àñòíèêàì ýòèõ ñåìèíàðîâ çà ïëîäîòâîðíîå îáñóæäåíèå ìàòåðèàëîâ ìîíîãðàôèè. Àâòîð ïðèçíàòåëåí àêàä. ÐÀÍ Àêóëè÷åâó Â.À., àêàä. ÐÀÍ Íèãìàòóëèíó Ð.È., àêàä. ÍÀÍ Óêðàèíû Ãðèí÷åíêî Â.Ò., ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Ëûñåíêî Â.Ñ., ä.ò.í., ïðîô. Çèíüêîâñêîìó Þ.Ô., ä.ò.í., ïðîô. Ñèâîâó Í.Ñ., ä.ò.í., ïðîô. Æóêó Ñ.ß., ä.ò.í., ïðîô. Ïîïîâó Ì.À., ä.ò.í., ïðîô.

5

Предисловие Ëèòâèíîâó Â.Â., ä.ò.í., ïðîô. Êàçèìèðó Â.Â., ä.ò.í., ïðîô. Ñòðåëüíèêîâó Â.Ï., ä.ò.í., ïðîô. Õàð÷åíêî À.Â., ê.ò.í. Âèøíåâñêîìó Â.Â., ê.ò.í. Êðèñèëîâó À.Ä. è ìíîãèì äðóãèì, ïðîÿâëÿþùèì óñòîé÷èâûé èíòåðåñ ê ïðîâîäèìûì èì ðàáîòàì, â ÷àñòíîñòè â îáëàñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Àâòîð áëàãîäàðåí äèðåêòîðó ÈÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðàèíû ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Ìîðîçîâó À.À. è çàìåñòèòåëþ äèðåêòîðà ïî íàó÷íîé ðàáîòå ä.ô.-ì.í., ïðîô. Êëèìåíêî Â.Ï. çà ïîääåðæêó èññëåäîâàíèé â îáëàñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé è ïîìîùü, îêàçàííóþ èìè ïðè ïîäãîòîâêå äàííîé ìîíîãðàôèè. Ñ ÷óâñòâîì îñîáîé áëàãîäàðíîñòè àâòîð âñïîìèíàåò ëþäåé, êîòîðûõ óæå íåò â æèâûõ, íî áåç êîòîðûõ ýòîé êíèãè íå áûëî áû. Ïðåæäå âñåãî, ðîäèòåëåé, áàáóøêó è òåòþ, âîñïèòàâøèõ åãî è ñ äåòñòâà ïðèâèâøèõ ëþáîâü ê íàóêå, ñâîèõ ó÷èòåëåé – ïðîô. ßðåì÷óêà Ô.Ï., ðàñêðûâøåãî ïåðåä íèì êðàñîòó ìàòåìàòèêè, è ïðîô. Ãàòêèíà Í.Ã., ñûãðàâøåãî âàæíóþ ðîëü â ôîðìèðîâàíèè åãî íàó÷íûõ èíòåðåñîâ è âçãëÿäîâ, à òàêæå áëèçêîãî äðóãà – òàëàíòëèâîãî êîíñòðóêòîðà è ó÷åíîãî, Ãëàâíîãî êîíñòðóêòîðà ãèäðîàêóñòè÷åñêîé ñòàíöèè Áîæêà Þ.Ä., îáùåíèå ñ êîòîðûì ñïîñîáñòâîâàëî ðàçâèòèþ ó àâòîðà êðèòè÷åñêîãî îòíîøåíèÿ ê óñòîÿâøèìñÿ èñòèíàì è ìíåíèÿì. Àâòîð áëàãîäàðåí êîëëåãàì ïî ýêñïåðòíîìó ñîâåòó ÂÀÊ Óêðàèíû è ñïåöèàëèçèðîâàííûì ñîâåòàì ïî çàùèòå äèññåðòàöèé, ñ êîòîðûìè åìó ïîñ÷àñòëèâèëîñü ñîòðóäíè÷àòü íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò, à òàêæå êîëëåãàì ïî ðàáîòå çà èõ äîáðîæåëàòåëüíîå îòíîøåíèå è ïîääåðæêó. Àâòîð èñêðåííå áëàãîäàðåí ñâîåé æåíå çà åå ÷óòêîñòü, òåðïåíèå, çàáîòó è ëþáîâü. *

*

*

Çàìå÷àíèÿ è ðåêîìåíäàöèè ìîæíî íàïðàâëÿòü àâòîðó ïî àäðåñó: Èíñòèòóò ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû ïð. Ãëóøêîâà, 42, Êèåâ, 03187, Óêðàèíà, àäðåñ ýëåêòðîííîé ïî÷òû: [email protected].

6

ВВЕДЕНИЕ

Îäíîé èç îñíîâíûõ ïðîáëåì ïîçíàíèÿ ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîå ïðåäñòàâëåíèå îêðóæàþùåãî ìèðà. Ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, èñïîëüçóåìûå äëÿ îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé, ïîñòîÿííî ñîâåðøåíñòâóþòñÿ. Ñ ïîëó÷åíèåì íîâûõ äàííûõ è ðàçâèòèåì ïðåäñòàâëåíèé î ìèðå ñòàðûå ìîäåëè îòõîäÿò íà âòîðîé ïëàí, çàìåíÿþòñÿ íîâûìè, áîëåå ñîâåðøåííûìè. Åñëè äî ñåðåäèíû ñðåäíåâåêîâüÿ ìèð âèäåëñÿ íåèçìåííûì è îïèñûâàëñÿ ïðåèìóùåñòâåííî äåòåðìèíèðîâàííûìè ìîäåëÿìè, òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ îí ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äèíàìè÷íî ìåíÿþùàÿñÿ ñòðóêòóðà. ×ðåçâû÷àéíî âàæíóþ ðîëü ñûãðàëî óñòàíîâëåíèå ôàêòà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìàññîâûõ ÿâëåíèé, ïîðîäèâøåãî òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó. Îäíèì èç îñíîâíûõ ñðåäñòâ îïèñàíèÿ ìèðà ñòàëè ñëó÷àéíûå (âåðîÿòíîñòíî-ñëó÷àéíûå èëè, èíà÷å, ñòîõàñòè÷åñêèå [Êîëìîãîðîâ, 1956]) ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè.  ýòèõ ìîäåëÿõ â êà÷åñòâå àáñòðàêòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ âûñòóïàþò ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ – ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè, õàðàêòåðèçóåìûå âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé.  ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ äåòåðìèíèçì íå èçæèò ïîëíîñòüþ. Îí ïðèñóòñòâóåò â íèõ è èãðàåò âàæíóþ ðîëü. Ñ óðîâíÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî îïèñàíèÿ ÿâëåíèé îí ïåðåøåë íà óðîâåíü äåòåðìèíèðîâàííîãî îïèñàíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ – âåðîÿòíîñòåé, ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîìåíòîâ, êóìóëÿíòîâ è ïð.  ýòèõ ìîäåëÿõ ãëàâíóþ ðîëü èãðàåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé – äåòåðìèíèðîâàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà, äàþùàÿ èñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ. Ïîñëåäíèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ôàêò ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìàññîâûõ ÿâëåíèé íå òà-

7

Введение

êîé óæ íåîñïîðèìûé, êàê êàçàëñÿ ðàíåå. Ïî âñåé âèäèìîñòè, èìååò ìåñòî íå àáñîëþòíàÿ, à îãðàíè÷åííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ÿâëåíèé. Èññëåäîâàíèÿ íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëåíèé è ðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ìèðà ñ ó÷åòîì ýòèõ íàðóøåíèé ïðèâåëè ê ïîñòðîåíèþ íîâîé ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè – òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.  ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëÿõ, î êîòîðûõ ïîéäåò ðå÷ü äàëåå, íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óñèëåíà, à äåòåðìèíèðîâàííàÿ – îñëàáëåíà. Äîñòèãíóòî ýòî ââåäåíèåì äîïîëíèòåëüíîé ñòåïåíè ñâîáîäû. Çà ñ÷åò óñèëåíèÿ íåîïðåäåëåííîé ñîñòàâëÿþùåé ñòàëî âîçìîæíûì îïèñûâàòü ðåàëüíûå ÿâëåíèÿ áîëåå àäåêâàòíî ñ ó÷åòîì ïðèñóùèõ èì ýëåìåíòîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåïðåäñêàçóåìîñòè (íåïðîãíîçèðóåìîñòè). Âî âñåõ òåîðèÿõ âàæíóþ ðîëü èãðàåò òî÷íîñòü ôîðìóëèðîâîê èñõîäíûõ ïîíÿòèé. Ïîýòîìó ïðåæäå, ÷åì èçëàãàòü ñóòü òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ åå áàçîâûõ ïîíÿòèÿõ. Óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ, øèðîêî èñïîëüçóåìîå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìíîãî÷èñëåííûõ åå ïðèëîæåíèÿõ, äî ñèõ ïîð íå èìååò îäíîçíà÷íîãî òîëêîâàíèÿ, ïðè÷åì äàæå ñðåäè ìàòåìàòèêîâ. Èñïîëüçóåìàÿ â äàííîé ìîíîãðàôèè ìàòåìàòè÷åñêàÿ òðàêòîâêà ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîìó ïîäõîäó, ðàçðàáîòàííîìó À.Í. Êîëìîãîðîâûì [Êîëìîãîðîâ, 1936]. Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ. Ñëó÷àéíîå ñîáûòèå îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, çàäàâàåìîãî òðèàäîé ( Ω, ℑ, P ), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω ∈ Ω , ℑ – áîðåëåâñêîå ïîëå ( σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé) è P – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà (âåðîÿòíîñòü) ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé. Èìåííî òàêèì îáðàçîì ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ â íîâîì ìåæäóíàðîäíîì ñòàíäàðòå ISO [International standard, 2006]. Ïîä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ïîíèìàåòñÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå Ω ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ω , à ïîä ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé – ôóíêöèÿ íåçàâèñèìîãî àðãóìåíòà, çíà÷åíèå êîòîðîé ïðè ôèêñèðîâàííîì åãî çíà÷åíèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Ïîä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì ïîíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò (ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, âåëè÷èíà èëè ôóíêöèÿ), êîòîðûé èñ÷åðïûâàþùå õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííûì, âïîëíå êîíêðåòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.

8

Введение

 äàëüíåéøåì ÿâëåíèå èëè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, íå îïèñûâàåìàÿ êîíêðåòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, ñëó÷àéíûì íå ñ÷èòàåòñÿ. Ýòî ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîå ïîëîæåíèå, íà êîòîðîå ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå. Ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé êëþ÷åâûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ.  ïðèâåäåííîì âûøå îïðåäåëåíèè îíî íå èìååò ôèçè÷åñêîé òðàêòîâêè. Ïðè áîëåå íàãëÿäíîì ñòàòèñòè÷åñêîì îïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòè (ïî Ð. ôîí Ìèçåñó [Mises, 1919, 1928, 1964, Ìèçåñ, 1930]) âåðîÿòíîñòü P ( A ) ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ïðåäåë ÷àñòîòû p N ( A ) åãî íàáëþäåíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè îïûòîâ â îäèíàêîâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ è óñòðåìëåíèè êîëè÷åñòâà îïûòîâ N ê áåñêîíå÷íîñòè: P ( A ) = lim p N ( A ) . N →∞

Ïðè íåáîëüøèõ çíà÷åíèÿõ N ÷àñòîòà p N ( A ) ñèëüíî ôëóêòóèðóåò, îäíàêî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ N ïîñòåïåííî ñòàáèëèçèðóåòñÿ è ïðè N → ∞ ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëó P ( A ) . Âàæíûì çâåíîì, ñâÿçûâàþùèì äâà ðàçíûõ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, ñëóæèò çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèé ñõîäèìîñòü ÷àñòîòû ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ê åãî âåðîÿòíîñòè. Àêñèîìû è ãèïîòåçû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Âñå òåîðèè îñíîâûâàþòñÿ íà íåäîêàçóåìûõ àêñèîìàõ, ïîñòóëàòàõ è ïîëîæåíèÿõãèïîòåçàõ. Ëþáàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ áàçèðóåòñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîìàõ è ïîñòóëàòàõ, îáðàçóþùèõ îñíîâó åå ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè, à òàêæå ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåçàõ, îáåñïå÷èâàþùèõ èíòåðïðåòàöèþ ðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî ìèðà ñ ïîìîùüþ åå ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ ìíîãî÷èñëåííûìè åå ïðèêëàäíûìè ðàçäåëàìè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ. Îñíîâîé åå ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè ñëóæàò àêñèîìû À.Í. Êîëìîãîðîâà. Êîððåêòíîå èñïîëüçîâàíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà ïðàêòèêå îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðèíÿòèåì ôèçè÷åñêîé ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé èëè ýêâèâàëåíòíîé åé ôèçè÷åñêîé ãèïîòåçå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîãíîçèðóåìîñòè) ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé – ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé. Îáû÷íî ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-

9

Введение

íèé. Èíûìè ñëîâàìè, ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Îäíèì èç îñíîâíûõ òðåáîâàíèé ê íàó÷íûì ôèçè÷åñêèì ãèïîòåçàì ÿâëÿåòñÿ èõ ñîãëàñîâàííîñòü ñ îïûòíûìè äàííûìè. Ìíîãèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîäòâåðæäàþò ñïðàâåäëèâîñòü ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îäíàêî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíà ñïðàâåäëèâà íå âñåãäà. Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé ïðèìåð ñ ïîäáðàñûâàíèåì ìîíåòû. Ïðèìåð èãðû â îðëÿíêó 1. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû èñõîäû îïûòîâ íîñÿò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð è âåðîÿòíîñòü Pî âûïàäåíèÿ îðëà ðàâíà âåðîÿòíîñòè Pp âûïàäåíèÿ ðåøêè: Pî = Pp = 0,5 .

Íà ïåðâûé âçãëÿä, íåò îñíîâàíèé ñîìíåâàòüñÿ â àäåêâàòíîñòè îïèñàííîé ìîäåëè. Òåì áîëåå, ÷òî ôàêò ðàâåíñòâà âåðîÿòíîñòåé ïîäòâåðæäàåòñÿ ðÿäîì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé. Íàïðèìåð, Áþôôîí ïîäáðàñûâàë ìîíåòó 4 040 ðàç. Îðåë âûïàë 2 048 ðàç. Ê. Ïèðñîí ïðîâåë äâå ñåðèè îïûòîâ: ñ ïîäáðàñûâàíèåì ìîíåòû 12 000 è 24 000 ðàç.  ïåðâîé ñåðèè îðåë âûïàë 6 019 ðàç, âî âòîðîé – 12 012 ðàç. Ïîäîáíûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëè è äðóãèå ó÷åíûå. Ðåçóëüòàòû ýòèõ èññëåäîâàíèé ïîäòâåðæäàþò, ÷òî ÷àñòîòà âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè ïðèìåðíî îäèíàêîâû. Îäíàêî, åñëè ðàçîáðàòüñÿ â çàäà÷å äåòàëüíî, òî ñòàíåò ÿñíî, ÷òî îñíîâàíèÿ äëÿ ñîìíåíèé â àäåêâàòíîñòè ìîäåëè âñå æå åñòü. È ñîìíåíèÿ äîñòàòî÷íî îáîñíîâàííûå. Âåðîÿòíîñòè Pî , Pp çàâèñÿò îò óñëîâèé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà (òàê íàçûâàåìûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé).  ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ ïðè óñòðåìëåíèè ÷èñëà îïûòîâ N ê áåñêîíå÷íîñòè ÷àñòîòû âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè ñòðåìÿòñÿ ê îïðåäåëåííûì âåðîÿòíîñòÿì Pî è Pp (â ÷àñòíîñòè îíè ìîãóò áûòü ðàâíûìè). Íî íà ïðàêòèêå íå ïðèõîäèòñÿ ðàññ÷èòûâàòü íà èäåàëüíóþ ñòàáèëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé. Åñëè ýòè óñëîâèÿ ìåíÿþòñÿ, ïðè÷åì áåç êàêîé-ëèáî ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè, óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè N → ∞ ÷àñòîòû âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè ñòðåìÿòñÿ ê êîíêðåòíûì âåðîÿòíîñòÿì, íåëüçÿ.  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé íå ñóùåñòâóþò.

1 Äàëåêî íå íà âñåõ ìîíåòàõ èçîáðàæåí îðåë. Ïîýòîìó íàçâàíèå èãðû â îðëÿíêó íåëüçÿ ïðèçíàòü óäà÷íûì. Îäíàêî â ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå ýòî íàçâàíèå óêîðåíèëîñü.

10

Введение

Êàê ïîäîéòè ê ïîñòðîåíèþ ìîäåëè, àäåêâàòíî îïèñûâàþùåé èãðó? Ìîæíî èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå âåðîÿòíîñòè Pî , Pp äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà. Åñëè ýòè âåðîÿòíîñòè èçâåñòíû, òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü èíòåðâàëû âåðîÿòíîñòåé, â êîòîðûõ áóäóò íàõîäèòüñÿ ÷àñòîòû ïðè N →∞. Ìîäåëü, êîððåêòíî ó÷èòûâàþùàÿ âîçìîæíûå êîëåáàíèÿ ÷àñòîò âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè â îïðåäåëåííûõ èíòåðâàëàõ âåðîÿòíîñòè, î÷åâèäíî, áîëåå àäåêâàòíî îïèñûâàåò ðåàëüíóþ ñèòóàöèþ, ÷åì ìîäåëü ñëó÷àéíîãî òèïà, íåîáîñíîâàííî ïðåäïîëàãàþùàÿ, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ ýòè ÷àñòîòû ñòðåìÿòñÿ ê ôèêñèðîâàííûì âåðîÿòíîñòÿì. Ðàññìîòðèì äðóãîé ïðèìåð. Îöåíêà êó÷íîñòè ñòðåëüáû. Ïóñòü íåîáõîäèìî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì îöåíèòü êó÷íîñòü ñòðåëüáû îðóæèÿ, íàïðèìåð, àâòîìàòà îïðåäåëåííîãî òèïà. Êîíêðåòèçèðîâàòü ýòó çàäà÷ó ìîæíî ïî-ðàçíîìó. Åñëè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ êó÷íîñòü ñòðåëüáû êîíêðåòíîãî îáðàçöà îðóæèÿ, òî çàäà÷à äîñòàòî÷íî ëåãêî ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ïðîâåäÿ ñåðèþ âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè, ìîæíî îöåíèòü äèñïåðñèþ èëè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Åñëè êîëè÷åñòâî âûñòðåëîâ äîñòàòî÷íî âåëèêî, òî ìîæíî ïîëó÷èòü ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà âûñòðåëîâ ýòè îöåíêè ñòðåìÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì äèñïåðñèè, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó îòêëîíåíèþ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è åå ðåøåíèå, îäíàêî, âûãëÿäÿò ñîâåðøåííî èíà÷å, åñëè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ êó÷íîñòü ñòðåëüáû àâòîìàòîâ, ïîñòàâëÿåìûõ íà îðóæåéíûé ñêëàä ñ ðàçíûõ îðóæåéíûõ çàâîäîâ. Êó÷íîñòü ñòðåëüáû êàæäîãî èç àâòîìàòîâ ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíà îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ðàçíûõ îáðàçöîâ îðóæèÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçíàÿ. Êîððåêòíîå ðåøåíèå çàäà÷è òðåáóåò ó÷åòà ðàçëè÷èÿ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé è ðàñ÷åòà íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ, äàþùèõ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î êà÷åñòâå íàõîäÿùåéñÿ íà ñêëàäå ïðîäóêöèè. Çàäà÷à åùå áîëåå óñëîæíÿåòñÿ, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî îáîðóäîâàíèå, íà êîòîðîì èçãîòàâëèâàþòñÿ àâòîìàòû, ìåíÿåòñÿ, è ìåíÿþòñÿ çàâîäû, ïîñòàâëÿþùèå ïðîäóêöèþ. Ýòè ñòàòèñòè÷åñêè íåïðåäñêàçóåìûå îáñòîÿòåëüñòâà ïðèâîäÿò ê ñòàòèñòè-

11

Введение

÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûì èçìåíåíèÿì õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ êà÷åñòâà àâòîìàòîâ.  äàííîé ñèòóàöèè íèêàêîå äàæå î÷åíü äëèòåëüíîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå êó÷íîñòè ñòðåëüáû íå ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü ïîëó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ îöåíîê äèñïåðñèè èëè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàêñèìóì, íà ÷òî ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü, – ïîëó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ îöåíîê ãðàíèö äèñïåðñèè, ãðàíèö ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé èëè ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Èçìåí÷èâîñòü ìèðà. Àíàëèç ïîäîáíûõ çàäà÷ ïðèâîäèò ê îñîçíàíèþ, ÷òî îêðóæàþùèé ìèð ïî ñâîåé ïðèðîäå èçìåí÷èâ. Ïðàêòè÷åñêè âñå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ðåàëüíûõ îáúåêòîâ è óñëîâèÿ èõ íàáëþäåíèÿ ìåíÿþòñÿ. Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü, âîçìîæíî, ëèøü ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû, òàêèå êàê ñêîðîñòü ñâåòà, ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ è ïð.2 Èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò íà ðàçíûõ óðîâíÿõ, â òîì ÷èñëå, êàê ïîêàçûâàþò ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, è íà ñòàòèñòè÷åñêîì óðîâíå. Ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ÿâëåíèé íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ. Îáû÷íî íà íåáîëüøèõ âðåìåííûõ, ïðîñòðàíñòâåííûõ èëè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ìàëî ìåíÿþòñÿ (ïðàêòè÷åñêè ñòàáèëüíû) è ïîòîìó ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè õîðîøî îïèñûâàþò ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ. Íà áîëüøèõ æå èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ íåóñòîé÷èâîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïðîÿâëÿåòñÿ ñèëüíåå. Îíà îáíàðóæèâàåòñÿ ïîâñåìåñòíî ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ñóùåñòâåííî, ÷òî èçìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê íîñÿò íåïðåäñêàçóåìûé (íåïðîãíîçèðóåìûé) õàðàêòåð. Îíè íå îïèñûâàþòñÿ êàêèìè-òî çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó êëàññè÷åñêèå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè îêàçûâàþòñÿ ìàëîïðèãîäíûìè. Äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ îêðóæàþùåãî ìèðà òðåáóþòñÿ ìîäåëè äðóãîãî òèïà, ïîçâîëÿþùèå ó÷èòûâàòü êàê ñòàòèñòè÷åñêóþ íåóñòîé÷èâîñòü õàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé, òàê è íåóñòîé÷èâîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ýòèõ ÿâëåíèé. Íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ðåàëüíîì ìèðå ÿâëÿþòñÿ ïðîÿâëåíèÿìè íåîïðåäåëåííîñòè. 2

Ýêñïåðèìåíòàëüíî äîêàçàòü ïîñòîÿíñòâî ýòèõ âåëè÷èí íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì èç-çà îãðàíè÷åííîé òî÷íîñòè ðåàëüíûõ èçìåðåíèé.

12

Введение

Íåîïðåäåëåííîñòü è ñïîñîáû åå ó÷åòà. Íåîïðåäåëåííîñòü – øèðîêîå ïîíÿòèå, íå èìåþùåå îäíîçíà÷íîãî òîëêîâàíèÿ ñðåäè ó÷åíûõ. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå åãî òðàêòîâêè è êëàññèôèêàöèè.  ýòèõ êëàññèôèêàöèÿõ ñëó÷àéíûì ÿâëåíèÿì, êàê ïðàâèëî, îòâîäèòñÿ íåáîëüøîå ìåñòî [Áî÷àðíèêîâ, 2001]. Äëÿ ó÷åòà íåîïðåäåëåííîñòè ðåàëüíûõ ñîáûòèé, ïðîöåññîâ è ïîëåé èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ïîäõîäû. ×àñòî ïðèìåíÿþò ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå ìíîãîìåðíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. Îäèí èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ïîäõîäîâ – èñïîëüçîâàíèå ñëó÷àéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ è íåîäíîðîäíûõ ïîëåé. Äðóãîé ïîäõîä – ââåäåíèå â ìîäåëü äîïîëíèòåëüíûõ ýëåìåíòîâ íåîïðåäåëåííîñòè íåñëó÷àéíîãî òèïà [Ëåìàí, 1971, Êîðîëþê è äð., 1985, Ëåâèí, 1976, Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ, 1984, Âàí Òðèñ, 1972, 1975, 1977, Õüþáåð, 1984, Êíîïîâ, 1981, Êðàâöîâ, 2003 è äð.]. Ýòè è äðóãèå ïîäõîäû äàþò íåïëîõèå ðåçóëüòàòû ïðè ðåøåíèè ðÿäà çàäà÷, îäíàêî íå ðåøàþò ïðîáëåìó â öåëîì. Ñòðåìëåíèå íàéòè óíèâåðñàëüíûå è ýôôåêòèâíûå ñðåäñòâà ó÷åòà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè è íåîïðåäåëåííîñòè èãðàëî, ïî âñåé âèäèìîñòè, íå ïîñëåäíþþ ðîëü ïðè ôîðìèðîâàíèè ðÿäà îòíîñèòåëüíî íîâûõ òåîðèé, òàêèõ êàê òåîðèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ [Çàäå, 1976, Zadeh L.A., Kacprzyk, 1992, Äþáóà, Ïðàä, 1990, Êîôìàí, 1982, Îðëîâñêèé, 1981, Áî÷àðíèêîâ, 2001], òåîðèÿ èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà [Êàíòîðîâè÷, 1962, Øîêèí, 1981, Øàðûé, 2010, Àëåôåëüä, Õåðöáåðãåð, 1987, Moore, 1966, Sunaga, 1958, Neumaier, 1990], ðàçëè÷íûå òåîðèè íåîïðåäåëåííîñòè, ñóáúåêòèâíûõ è èíòåðâàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé, èíòåðâàëüíîé ñòàòèñòèêè [Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990, Kyburg, 1998 – 2000, Walley, 1991, Êóíöåâè÷, 2006, Îðëîâ, 2002, 2006, Âîùèíèí, Ñîòèðîâ, 1989, Kreinovich, 2005, Êóçíåöîâ, 1991 è äð.], òåîðèÿ äèíàìè÷åñêîãî õàîñà [Crownover, 1995, Sharkovsky, Romanenko, 2005, Ïðèãîæèí, Ñòåíãåðñ, 2009, Ãðèí÷åíêî è äð., 2005], áóäñòðåï-àíàëèçà [Ýôðîí, 1988] è ïð.3 3 Ñðåäè ïåðå÷èñëåííûõ òåîðèé îñîáî õîòåëîñü áû îòìåòèòü ïðàêòè÷åñêè íåèçâåñòíóþ øèðîêîé íàó÷íîé îáùåñòâåííîñòè èíòåðâàëüíî-ñòàòèñòè÷åñêóþ òåîðèþ Â.Ï. Êóçíåöîâà [Êóçíåöîâ, 1991]. Ýòà òåîðèÿ, àëüòåðíàòèâíàÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, áàçèðóåòñÿ íà îðèãèíàëüíîé ñèñòåìå àêñèîì ñðåäíèõ è èñïîëüçóåò â êà÷åñòâå èñõîäíûõ ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ èíòåðâàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ñðåäíèå ìíîæåñòâà ÷èñëîâûõ ïðèçíàêîâ.

13

Введение

Ê ÷èñëó òàêèõ òåîðèé ìîæíî îòíåñòè è ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ. Ïîä ãèïåðñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí èëè ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà g ∈ G , êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ è àññîöèèðóåòñÿ ñî ñòàòèñòè÷åñêèìè óñëîâèÿìè íàáëþäåíèÿ (èëè óñëîâèÿìè ôîðìèðîâàíèÿ) ðàññìàòðèâàåìîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà. Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ òåòðàäû ( Ω, ℑ,G , P g ), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω ∈ Ω , ℑ – áîðåëåâñêîå ïîëå, G – ìíîæåñòâî óñëîâèé g ∈ G , P g – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé, çàâèñÿùàÿ îò

óñëîâèÿ g . Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà çàäàåòñÿ äëÿ âñåõ ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé è âñåõ âîçìîæíûõ óñëîâèé g ∈ G . Ìåðà æå äëÿ óñëîâèé g ∈ G îñòàåòñÿ íå îïðåäåëåííîé. Èñïîëüçóÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä, ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå A ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñîáûòèå, ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ êîòîðîãî p N ( A ) ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ N íå ñòàáèëèçèðóåòñÿ è ïðè N → ∞ íå èìååò ïðåäåëà.  äàííîì ñëó÷àå ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îáëàäàåò íå ÷àñòîòà ñîáûòèÿ, à ãðàíèöû äèàïàçîíà åå èçìåíåíèÿ. Ãèïåðñëó÷àéíîå ÿâëåíèå – ýòî îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ. Ïîýòîìó ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âûðîæäåííûå ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ. Ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå èñ÷åðïûâàþùå îïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì, à ãèïåðñëó÷àéíîå ÿâëåíèå – ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X , íàïðèìåð, ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) , à ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X = {X / g ∈ G } – ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x / g ) , g ∈ G . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñâîèìè ìîìåíòàìè èëè äðóãèìè ïàðàìåòðàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíè íåîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ýòî, ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòèõ ïàðàìåòðîâ âñåãäà ïðåäïîëàãàþò, ÷òî õîòÿ çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëíîñòüþ íåèçâåñòåí, îí âñå æå ñóùåñòâóåò.

14

Введение

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà íå òîëüêî ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, íî è äðóãèìè õàðàêòåðèñòèêàìè è ïàðàìåòðàìè, â ÷àñòíîñòè âåðõíåé F S ( x ) = sup F ( x / g ) è íèæíåé F I ( x ) = inf F ( x / g ) ãðàíèöàìè g ∈G

g ∈G

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, öåíòðàëüíûìè è íåöåíòðàëüíûìè ìîìåíòàìè ýòèõ ãðàíèö, ãðàíèöàìè ìîìåíòîâ è äð. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû íåîäíîçíà÷íî îïèñûâàþò ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ýòî, ïðè ðàññìîòðåíèè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âñåãäà èñõîäÿò èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé, îïèñûâàþùèõ ðàññìàòðèâàåìóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, è ýòî ìíîæåñòâî ôèêñèðîâàíî. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ó êîòîðîé ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò: F S ( x ) = F I ( x ) = F ( x ) . Äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó x 0 ïðèáëèæåííî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âûðîæäåííûé ñëó÷àé ñëó÷àéíîé (èëè ãèïåðñëó÷àéíîé) âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) , èìåþùåé åäèíè÷íûé ñêà÷îê â òî÷êå x 0 . Èíòåðâàëüíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóåìàÿ ãðàíèöàìè èíòåðâàëà x 1 , x 2 , ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ó êîòîðîé ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F S ( x ) , F I ( x ) èìåþò åäèíè÷íûå ñêà÷êè ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ x 1 è x 2 . Ïðè óñòðåìëåíèè òî÷êè x 1 ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, à x 2 – ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè èíòåðâàëüíàÿ âåëè÷èíà [ x 1 , x 2 ] ñòðåìèòñÿ ê ïîëíîñòüþ íåîïðåäåëåííîé âåëè÷èíå, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê «õàîòè÷åñêóþ». Òàêèì îáðàçîì, ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèé äåòåðìèíèðîâàííîé, ñëó÷àéíîé è èíòåðâàëüíîé âåëè÷èí. Áëàãîäàðÿ òàêîé óíèâåðñàëüíîñòè ñ ïîìîùüþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ðàçíîîáðàçíûå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, îáëàäàþùèå ðàçíîé ñòåïåíüþ íåîïðåäåëåííîñòè. Óìåñòíî áóäåò îáðàòèòü âíèìàíèå åùå íà îäíî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî: â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, êàê è â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, äåòåðìèíèçì ïîëíîñòüþ íå èçæèò. Ñäàâ ïðåæíèå ïîçèöèè, êîòîðûå çàíèìàë â êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, îí ïåðåìåñòèëñÿ íà óðîâåíü óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ,

15

Введение

ãðàíèö ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ãðàíèö ìîìåíòîâ è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê è âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåìûõ â ðàìêàõ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí êàê äåòåðìèíèðîâàííûå. Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñîñòàâëÿþò ðåàëüíûå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ – ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû, ïðîöåññû è ïîëÿ, à ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ – íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èìååò ìàòåìàòè÷åñêóþ è ôèçè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü áàçèðóåòñÿ íà êëàññè÷åñêèõ àêñèîìàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ôèçè÷åñêàÿ – íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ãèïîòåçàõ: ãèïîòåçå îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé è ãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ãèïîòåçû ñïðàâåäëèâû äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Òåì ñàìûì ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Îñíîâîïîëàãàþùàÿ ðîëü â íåé îòâîäèòñÿ íå èäåàëüíîé, êàê â êîíöåïöèè óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ, à îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ãëàâíûìè ñòðóêòóðíûìè ýëåìåíòàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè íîâîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ íå àáñîëþòíî ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûå îáúåêòû – ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå â êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, à îáúåêòû ñ îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ – ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñôîðìèðîâàíà ïî êëàññè÷åñêîé ñõåìå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ôèçè÷åñêîé ÷àñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé áîëåå ñïåöèôè÷íà. Ïîñêîëüêó òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èñïîëüçóåò ñèñòåìó ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåòâü òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé – íîâàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, áàçèðóþùàÿñÿ íà íîâûõ ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåçàõ, ïîçâîëÿþùèõ âçãëÿíóòü íà îêðóæàþùèé ìèð ïîä íîâûì óãëîì çðåíèÿ è îáåñïå÷èâàþùàÿ íîâóþ åãî òðàêòîâêó.

16

Введение

Ïîýòîìó â öåëîì òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé – íîâàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ïðåäîñòàâëÿþùàÿ íîâûå âîçìîæíîñòè ïîçíàíèÿ ìèðà. Ïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Íå ñëåäóåò êàê ïåðåîöåíèâàòü, òàê è íåäîîöåíèâàòü âîçìîæíîñòè ýòîé òåîðèè. Áîëüøèíñòâî òåîðèé, â îñîáåííîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ, ôîðìèðóþòñÿ êîíñòðóêòèâíî íà îñíîâå äðóãèõ òåîðèé ñ ñîõðàíåíèåì èñõîäíîé àêñèîìàòè÷åñêîé áàçû ïóòåì ââåäåíèÿ íîâûõ îáîáùàþùèõ îáúåêòîâ è óñòàíîâëåíèÿ ïðàâèë ðàáîòû ñ íèìè. Òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, òåîðèÿ ìàòðèö, òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, îïåðàòîðíûõ ìåòîäîâ è ìíîãèå äðóãèå. Ê èõ ÷èñëó îòíîñèòñÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, áàçèðóþùàÿñÿ íà êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îñîáåííîñòüþ ýòèõ òåîðèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ðåøåíèÿ ëþáîé çàäà÷è, ïîëó÷åííûå ñ èõ ïîìîùüþ è ñ ïîìîùüþ ïîðîæäàþùèõ èõ òåîðèé, ýêâèâàëåíòíû. Ïîýòîìó îò ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé íåëüçÿ îæèäàòü êàêèõ-ëèáî ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå ïîòåíöèàëüíî íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Öåííîñòü òåîðèé, ïîñòðîåííûõ êîíñòðóêòèâíûì ïóòåì (â òîì ÷èñëå òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé), ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè, áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ îáîáùàþùèõ ïîíÿòèé, ïîçâîëÿþò âçãëÿíóòü íà ðåøàåìûå çàäà÷è ñ áîëåå îáùèõ ïîçèöèé è óëîâèòü çàêîíîìåðíîñòè è îñîáåííîñòè èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé, êîòîðûå íà óðîâíå ïîðîæäàþùèõ òåîðèé áûëè ñêðûòû ãðîìîçäêîñòüþ ðàññóæäåíèé è âûêëàäîê.  ðåçóëüòàòå ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, à ñàìî ðåøåíèå óäàåòñÿ ïðåäñòàâèòü â êîìïàêòíîì âèäå. Ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ òàêèõ òåîðèé íà ïðàêòèêå îïðåäåëÿåòñÿ ñòåïåíüþ àäåêâàòíîñòè îïèñàíèÿ ÿâëåíèé ðåàëüíîãî ìèðà ñ ïîìîùüþ èõ ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ. Âïå÷àòëÿþùèå óñïåõè òåîðèè ìàòðèö èëè, íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà îáóñëîâëåíû â ïåðâóþ î÷åðåäü òåì, ÷òî ìíîãèå ðåàëüíûå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ àäåêâàòíî ïðåäñòàâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè è íåïðåðûâíûìè ìîäåëÿìè. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ó÷èòûâàåò ñ ïîìîùüþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îäíó èç îñíîâíûõ îñîáåííîñòåé ðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî ìèðà, èãíîðèðóåìóþ êëàññè÷åñêîé òåîðèåé

17

Введение

âåðîÿòíîñòåé, – îãðàíè÷åííîñòü ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ýòî äåëàåò íîâóþ òåîðèþ ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì ðåøåíèÿ çàäà÷, â êîòîðûõ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü. Äëÿ èëëþñòðàöèè îòêðûâàþùèõñÿ âîçìîæíîñòåé ðàññìîòðèì ïðîáëåìó èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ïðîáëåìà èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ïðè ïîñòðîåíèè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé èçìåðåíèé, êàê ïðàâèëî, ïðåäïîëàãàþò, ÷òî âåëè÷èíû, ïîäëåæàùèå èçìåðåíèþ, íîñÿò äåòåðìèíèðîâàííûé, à èõ îöåíêè – ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ïîýòîìó äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí îáû÷íî èñïîëüçóþò äåòåðìèíèðîâàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, à äëÿ îïèñàíèÿ èõ îöåíîê – ñëó÷àéíûå (ñòîõàñòè÷åñêèå) ìîäåëè ñ îïðåäåëåííûìè çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà ýòîì ïîñòðîåíà âñÿ ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ èçìåðåíèé, ÿâëÿþùàÿñÿ òåîðåòè÷åñêîé áàçîé ïðèêëàäíîé ìåòðîëîãèè. Äîïóùåíèÿ î äåòåðìèíèðîâàííîì õàðàêòåðå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è ñëó÷àéíîì õàðàêòåðå îöåíêè çà÷àñòóþ âïîëíå îáîñíîâàíû, íî íå âñåãäà. Ïðåäñòàâëåíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Ïðèíèìàåìûå â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ãèïîòåçû ãèïåðñëó÷àéíîñòè êàñàþòñÿ ðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé, â òîì ÷èñëå âåëè÷èí, ôóíêöèé è ïîëåé, ïîäëåæàùèõ èçìåðåíèþ, äåéñòâóþùèõ ïîìåõ, à òàêæå ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ.  îáåèõ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿõ èçìåðåíèé (îñíîâàííûõ íà êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè [Òþðèí, 1973] è êîíöåïöèè íåîïðåäåëåííîñòè [Ðóêîâîäñòâî ïî âûðàæåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèé, 1999]) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îòêëîíåíèå ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû íîñèò èñêëþ÷èòåëüíî ñëó÷àéíûé õàðàêòåð.  ðàìêàõ êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå ñîñòàâëÿþùèå: ñèñòåìàòè÷åñêàÿ è ñëó÷àéíàÿ, ââåäåííûå åùå Ãàëèëåî Ãàëèëååì [Ãàëèëåé, 1948]. Ïîä ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ïîäðàçóìåâàåòñÿ ÷àñòü ïîãðåøíîñòè, íå ìåíÿþùàÿñÿ îò èçìåðåíèÿ ê èçìåðåíèþ èëè èçìåíÿþùàÿñÿ ïî èçâåñòíîìó çàêîíó. Ïîä ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé ïîíèìàåòñÿ èçìåíÿåìàÿ ÷àñòü ïîãðåøíîñòè, èìåþùàÿ ñëó÷àéíûé õàðàêòåð è îïèñûâàåìàÿ îïðåäåëåííûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè

18

Введение

ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ è â öåëîì ïîãðåøíîñòü ñòðåìèòñÿ ê ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé.  ðàìêàõ ãèïåðñëó÷àéíîé ïàðàäèãìû ïîãðåøíîñòü íîñèò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð è îïèñûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.  îáùåì ñëó÷àå âûäåëèòü â ãèïåðñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè îòäåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå íå óäàåòñÿ.  îäíîì èç ïðîñòåéøèõ ñëó÷àåâ, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö, ïîãðåøíîñòü ìîæíî ðàçäåëèòü íà ñèñòåìàòè÷åñêóþ, ñëó÷àéíóþ è íåîïðåäåëåííóþ (íåïðîãíîçèðóåìóþ). Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, ïîäîáíî ñëó÷àéíîé, èçìåíÿåòñÿ îò îïûòà ê îïûòó, íî ïðè ýòîì, â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåé, íå ïîä÷èíÿåòñÿ êàêîìó-ëèáî çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòó ñîñòàâëÿþùóþ ìîæíî îïèñàòü èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíîé.  îáùåì ñëó÷àå ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè ãèïåðñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ñòðåìèòñÿ íå ê îïðåäåëåííîé ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè, à ê ñóììå ñèñòåìàòè÷åñêîé è èíòåðâàëüíîé ïîãðåøíîñòåé. Ãèïåðñëó÷àéíûì õàðàêòåðîì ïîãðåøíîñòè ìîæíî îáúÿñíèòü ìíîãèå èçâåñòíûå, íî äîëãîå âðåìÿ îñòàâàâøèåñÿ íåïîíÿòíûìè ôàêòû, â ÷àñòíîñòè, ïî÷åìó òî÷íîñòü ëþáûõ ôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé îãðàíè÷åíà, ïî÷åìó ïðè èñïîëüçîâàíèè áîëüøîãî ÷èñëà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ òî÷íîñòü íå çàâèñèò îò îáúåìà äàííûõ è äð. Ãëîáàëüíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î íàëè÷èè ïðåäåëà ïîçíàíèÿ ìèðà. Èç òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ãîðèçîíò ïîçíàíèÿ. Îí îïðåäåëÿåòñÿ ãðàíèöàìè íåïðåäñêàçóåìîãî (ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìîãî) èçìåíåíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è óñëîâèé èõ íàáëþäåíèÿ. Îãðàíè÷åíèå â ïîçíàíèè ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ðåàëüíûé ìèð – îòêðûòàÿ ñèñòåìà. *** Ñòðóêòóðà ìîíîãðàôèè. Êíèãà ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé. Ïåðâàÿ ÷àñòü (ñ ïåðâîé ïî ÷åòâåðòóþ ãëàâû) ïîñâÿùåíà èñòîêàì òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, âòîðàÿ (ñ ïÿòîé ïî òðèíàäöàòóþ ãëàâû) – ìàòåìàòè÷åñêèì îñíîâàì íîâîé òåîðèè, òðåòüÿ (íà÷èíàÿ ñ ÷åòûðíàäöàòîé ãëàâû) – åå ôèçè÷åñêèì îñíîâàì. Íèæå ïðèâåäåíû àííîòàöèè ãëàâ.

19

Введение

Ãëàâà 1. Ðàññìîòðåíû îáùèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ íàó÷íûõ òåîðèé, ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé è ìèðîâîççðåíèÿ. Èññëåäîâàíû ïðîöåññû ìûøëåíèÿ è ïîçíàíèÿ ìèðà. Îáðàùåíî âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñå íàó÷íûå òåîðèè áàçèðóþòñÿ íà íåäîêàçóåìûõ àêñèîìàõ, ïîñòóëàòàõ è ãèïîòåçàõ è âàæíóþ ðîëü â ïîçíàíèè èãðàåò èçìåðåíèå. Ïðîàíàëèçèðîâàíà ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé. Ðàññìîòðåíà ñïåöèôèêà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Àêöåíòèðîâàíî âíèìàíèå íà òîì, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ òåîðèÿ ñîñòîèò èç ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè, áàçèðóþùåéñÿ íà ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì, è ôèçè÷åñêîé ÷àñòè, îñíîâàííîé íà ôèçè÷åñêèõ ïîëîæåíèÿõ-ãèïîòåçàõ. Ãëàâà 2. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà îáùåïðèçíàííîé êîëìîãîðîâñêîé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé àêñèîìàòèêå, à ôèçè÷åñêàÿ ÷àñòü – íà ãèïîòåçå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé èëè ýêâèâàëåíòíîé åé ãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé (ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé) ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè.  ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ò.å. ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Êðàòêî èçëîæåíà èñòîðèÿ èññëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îáñóæäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíû íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ãëàâà 3. Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ïðîòèâîðå÷èò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Ïðè íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé íå èìåþò ïðåäåëîâ. Îäíàêî ðàçíîñòü ìåæäó âûáîðî÷íûì ñðåäíèì è ñðåäíèì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè. Âûÿñíåíî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû – îñîáûé êëàññ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Íà îñíîâå àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âûäâèíóòà ãèïîòåçà, ÷òî ïðè÷èíîé íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íà îãðàíè÷åííîì

20

Введение

èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñâåðõíèçêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ ñðåäíåãî 4. Ïðåäëîæåíû ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ. Ãëàâà 4. Ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðÿäà ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è âåëè÷èí íà ïðåäìåò èõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, â òîì ÷èñëå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ, ñïåêòðîâ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ øóìîâ ìîðñêèõ ñóäîâ, êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè, âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ, ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è êîòèðîâêè âàëþò. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íà íåáîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå îáíàðóæèâàþòñÿ, îäíàêî íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ âñå îíè îêàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè. Òîò ôàêò, ÷òî èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñîâåðøåííî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïðèâîäÿò ê îäíîìó è òîìó æå âûâîäó, ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùå ìíîãèì, åñëè íå âñåì, ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì. Ãëàâà 5. Ââåäåíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè è ãðàíèöû âåðîÿòíîñòåé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Ãëàâà 6. Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ åå îïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äàþùèå èñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû), ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòû, à òàêæå ãðàíèöû ìîìåíòîâ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ. Ãëàâà 7. Ââåäåíî ïîíÿòèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìåòîäû îïèñàíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáîáùåíû íà ñëó÷àé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ãëàâà 8. Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû åå ïðåäñòàâëåíèÿ. 4

Íåäàâíèå èññëåäîâàíèÿ [Ãîðáàíü, 2011] ïîêàçàëè, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûçûâàþò è äðóãèå ïðè÷èíû.

21

Введение

Äëÿ îïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äàþùèå íàèáîëåå ïîëíóþ õàðàêòåðèñòèêó ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè), à òàêæå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ìîìåíòû ãðàíèö è ãðàíèöû ìîìåíòîâ. Ãëàâà 9. Ââåäåíû ïîíÿòèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà è ãèïåðñëó÷àéíîãî îïåðàòîðà. Ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû îïèñàíèÿ ýòèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà èõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ. Ãëàâà 10. Ââåäåíû ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé, à òàêæå ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ãëàâà 11. Ôîðìàëèçîâàíû ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãîäè÷íîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðåíû ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíûõ è ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ãëàâà 12. Ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îáîáùåíî íà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå èçâåñòíûì óðàâíåíèÿì Êîëìîãîðîâà äëÿ ñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ðàññìîòðåíû âèíåðîâñêèé è ãàóññîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. Ãëàâà 13. Ïðîàíàëèçèðîâàíû èçâåñòíûå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ íà ïðåäìåò öåëåñîîáðàçíîñòè èõ ïðèìåíåíèÿ ïðè îïèñàíèè ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ïðåîáðàçîâàííûõ è èñõîäíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ. Äàíû ðåêîìåíäàöèè ïî èñïîëüçîâàíèþ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ, à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðè áåçûíåðöèîííûõ è èíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Ãëàâà 14. Ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå ãèïîòåçû òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå êîððåêòíîå åå èñïîëüçîâàíèå íà ïðàêòèêå: ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ãèïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Ðàññìîòðåíà êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñò-

22

Введение

ðîéñòâà ìèðà. Ñîïîñòàâëåíû ãèïåðñëó÷àéíûå è ñëó÷àéíûå ìîäåëè. Î÷åð÷åíû îáëàñòè èõ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Ãëàâà 15. Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè è îïðåäåëåíû åå ñâîéñòâà. Îïèñàíà ìåòîäîëîãèÿ ôîðìèðîâàíèÿ îöåíîê õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíà ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ê ñîîòâåòñòâóþùèì òî÷íûì õàðàêòåðèñòèêàì. Ãëàâà 16. Ñôîðìóëèðîâàí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèé óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äîêàçàíà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåðíóëëè äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Ãëàâà 17. Äîêàçàíà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, àíàëîãè÷íàÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ãëàâà 18. Îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Èññëåäîâàíà äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ. Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ââåäåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷íîé îöåíîê, à äëÿ èíòåðâàëüíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê – ïîíÿòèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà è ãðàíèö äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè. Äîêàçàíû òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Ïîêàçàíî, ÷òî èç-çà íåêîíòðîëèðóåìîé èçìåí÷èâîñòè óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí íå ñîñòîÿòåëüíû, à òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ – îãðàíè÷åíà. Ãëàâà 19. Ðàññìîòðåíà ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ. Âûâåäåíû ôîðìóëû, îïèñûâàþùèå ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â îáùåì è ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðàññ÷èòûâàòü ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ãëàâà 20. Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ââåäåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷íîé îöåíîê. Äîêàçàíû òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Äàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå èçâåñòíîãî èç ïðàêòèêè ôàêòà, ÷òî òî÷íîñòü ëþáûõ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ èçìåðå-

23

Введение

íèé èìååò ïðåäåë, ïðåîäîëåòü êîòîðûé íå óäàåòñÿ äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîì îáúåìå äàííûõ. Ãëàâà 21. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê äåòåðìèíèðîâàííûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îáîáùåíû íà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îáîñíîâàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âñå ðåàëüíûå îöåíêè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íå ñîñòîÿòåëüíû, à òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ, êàê è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îãðàíè÷åíà.  Ïðèëîæåíèå âûíåñåíû âûñêàçûâàíèÿ èçâåñòíûõ ó÷åíûõ ïî ïîâîäó ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.  ñïèñîê ëèòåðàòóðû âêëþ÷åíû ðàáîòû îòå÷åñòâåííûõ è çàðóáåæíûõ àâòîðîâ, èñïîëüçîâàííûå ïðè íàïèñàíèè ìîíîãðàôèè.

24

ЧАСТЬ І

ИСТОКИ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Глава 1 ПРИНЦИПЫ ПОЗНАНИЯ МИРА Ðàññìîòðåíû îáùèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ íàó÷íûõ òåîðèé, ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé è ìèðîâîççðåíèÿ. Èññëåäîâàíû ïðîöåññû ìûøëåíèÿ è ïîçíàíèÿ ìèðà. Îáðàùåíî âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñå íàó÷íûå òåîðèè áàçèðóþòñÿ íà íåäîêàçóåìûõ àêñèîìàõ, ïîñòóëàòàõ è ãèïîòåçàõ è âàæíóþ ðîëü â ïîçíàíèè èãðàåò èçìåðåíèå. Ïðîàíàëèçèðîâàíà ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé. Ðàññìîòðåíà ñïåöèôèêà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Àêöåíòèðîâàíî âíèìàíèå íà òîì, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ òåîðèÿ ñîñòîèò èç ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè, áàçèðóþùåéñÿ íà ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì, è ôèçè÷åñêîé ÷àñòè, îñíîâàííîé íà ôèçè÷åñêèõ ïîëîæåíèÿõ-ãèïîòåçàõ. 1.1. ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ТЕОРИЙ Âîïðîñû î òîì, êàê óñòðîåí íàø ìèð, êàê ÷åëîâåê ïîçíàåò åãî, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåññ ïîçíàíèÿ, ñóùåñòâóþò ëè ãðàíèöû ïîçíàíèÿ, âîëíîâàëè ÷åëîâå÷åñòâî èçäàâíà. Íàéòè èñ÷åðïûâàþùèå îòâåòû íà ýòè âîïðîñû, ñêîðåå âñåãî, íèêîãäà íå óäàñòñÿ. Çäåñü ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ èçâåñòíîé â ôèëîñîôèè ïðîáëåìîé ïðèíöèïèàëüíîé íåäîêàçóåìîñòè ñïðàâåäëèâîñòè ëþáîé òåîðèè åñòåñòâîçíàíèÿ.  îñíîâå âñåõ åñòåñòâåííûõ íàóê ëåæàò õîðîøî ñîãëàñóþùèåñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå íåâîçìîæíî íè äîêàçàòü, íè îáúÿñíèòü. Ýòè ïîëîæåíèÿ ïðèíèìàþòñÿ íà âåðó è âîçâîäÿòñÿ â ðàíã àáñîëþòíûõ èñòèí, îñòàþùèõñÿ òàêîâûìè äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïðîèçîéäåò èõ ïåðåîöåíêà. Ïî òåðìèíîëîãèè, ïðèíÿòîé â ôèëîñîôèè íàóêè, îíè íîñÿò íàçâàíèå ôóíäàìåíòàëüíûõ àáñòðàêòíûõ îáúåêòîâ [Ñòåïèí, 1999]. Ïðèìåðîì òàêèõ ïîëîæåíèé ñëóæàò çàêîíû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè Íüþòîíà, äîëãîå âðåìÿ ñ÷èòàâøèåñÿ àáñîëþòíûìè èñ-

25

Глава 1. Принципы познания мира

òèíàìè, òî÷íî îïèñûâàþùèìè ðåàëüíûé ìèð. Íî îáíàðóæåííûå íà ðóáåæå ÕIÕ–ÕÕ âåêîâ íåñîîòâåòñòâèÿ ðåçóëüòàòîâ ðÿäà îïûòîâ ýòèì ïîëîæåíèÿì ïîêîëåáàëè ñóùåñòâóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ è ïðèâåëè ê ôîðìèðîâàíèþ íîâûõ çàêîíîâ, ñîñòàâèâøèõ îñíîâó êâàíòîâîé ìåõàíèêè è òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà. Íåäîêàçóåìûå ïîëîæåíèÿ ëåæàò â îñíîâå íå òîëüêî åñòåñòâåííûõ íàóê. Äàæå ìàòåìàòèêà, ïðåòåíäóþùàÿ íà àáñîëþòíóþ ñòðîãîñòü, ñîäåðæèò íåäîêàçóåìûå ýëåìåíòû – àêñèîìû è ïîñòóëàòû. Èñïîëüçîâàíèå ïîñòóëàòîâ ñèñòåìàòèçèðóåò çíàíèÿ è îáëåã÷àåò ôîðìèðîâàíèå ñòðîãèõ óìîçàêëþ÷åíèé. «Ìåòîä ïîñòóëèðîâàíèÿ, – ñ þìîðîì îòìå÷àë Áåðòðàí Ðàññåë [Ëèòëâóä, 1962, ñ. 67], – èìååò ìíîãî ïðåèìóùåñòâ, ñîâïàäàþùèõ ñ òåìè, êîòîðûå ïðèñóùè âîðîâñòâó ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷åñòíûì òðóäîì». Êàê íè ñòðàííî êàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, îñíîâîé ïîçíàíèÿ ìèðà ñëóæàò ñîãëàñóþùèåñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè, íî íåäîêàçóåìûå è ïðèíèìàåìûå íà âåðó ïîëîæåíèÿ-ãèïîòåçû. Îíè îáðàçóþò àêñèîìàòè÷åñêèé áàçèñ òåîðèé. Çäåñü óìåñòíî íàïîìíèòü ñëîâà Ìàêñà Ïëàíêà: «Íî íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ìîæíî äàæå ñ ñàìîé òî÷íîé èç âñåõ åñòåñòâåííûõ íàóê ïðîäâèíóòüñÿ âïåðåä áåç âñÿêîãî ìèðîñîçåðöàíèÿ, ò.å. áåç íåäîêàçóåìûõ ãèïîòåç. Äëÿ ôèçèêè òàêæå èìååò ñèëó èçðå÷åíèå, ÷òî íåò ñïàñåíèÿ áåç âåðû, ïî êðàéíåé ìåðå, áåç âåðû â íåêîòîðóþ ðåàëüíîñòü. Òîëüêî ýòà òâåðäàÿ âåðà è óêàçûâàåò ïóòü òâîð÷åñêîìó ñòðåìëåíèþ, òîëüêî îíà äàåò òî÷êó îïîðû ïðîäâèãàþùåéñÿ îùóïüþ ôàíòàçèè, òîëüêî îíà â ñîñòîÿíèè âñÿêèé ðàç îáîäðèòü ìûñëü, óñòàëóþ îò íåóäà÷, è ñíîâà âîîäóøåâèòü åå. Èññëåäîâàòåëü, êîòîðûé íå ðóêîâîäèòñÿ â ñâîèõ ðàáîòàõ êàêîé-ëèáî ãèïîòåçîé, õîòÿ áû îñòîðîæíîé è ïðåäâàðèòåëüíîé, òåì ñàìûì çàðàíåå îòêàçûâàåòñÿ îò áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ñâîèõ ñîáñòâåííûõ ðåçóëüòàòîâ» [Ïëàíê, 1966, ñ. 82, 83]. Ê ñèñòåìå áàçèñíûõ ãèïîòåç ïðåäúÿâëÿþòñÿ òå æå òðåáîâàíèÿ, ÷òî è ê ñèñòåìàì àêñèîì, èñïîëüçóåìûì â ìàòåìàòèêå, – íåïðîòèâîðå÷èâîñòü è âçàèìíàÿ íåçàâèñèìîñòü. Îò ãèïîòåç åñòåñòâîçíàíèÿ òðåáóåòñÿ, êðîìå òîãî, ñîãëàñîâàííîñòü ñ îïûòíûìè äàííûìè. Îá ýòîì Ìàêñ Ïëàíê ãîâîðèë òàê: «Ïðàâäà, îäíîé âåðû íåäîñòàòî÷íî. Êàê ïîêàçûâàåò èñòîðèÿ íàóêè, îíà ÷àñòî ìîæåò áûòü ïðè÷èíîé çàáëóæäåíèé, îãðàíè÷åííîñòè è ôàíàòèçìà. Äëÿ òîãî ÷òîáû îíà îñòàâàëàñü íàäåæíûì ïóòåâîäèòåëåì, åå íåîáõîäèìî

26

1.1. Основы научных теорий

ïîñòîÿííî ïðîâåðÿòü çàêîíàìè ìûøëåíèÿ è îïûòîì» [Ïëàíê, 1966, ñ. 83]. Ãèïîòåçû åñòåñòâîçíàíèÿ ìîãóò áûòü îáùåãî õàðàêòåðà, íàïðèìåð, ÷òî â îñíîâå óñòðîéñòâà ìèðîçäàíèÿ ëåæàò ñëó÷àéíûå ïðèíöèïû è ïîýòîìó ìèð õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè (â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòà ãèïîòåçà øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíà), èëè áîëåå êîíêðåòíûìè, íàïðèìåð, ÷òî ìèð îïèñûâàåòñÿ çàêîíàìè Íüþòîíà èëè Ýéíøòåéíà. Çàìåíà ðåàëüíûõ îáúåêòîâ, îòíîøåíèé è îïåðàöèé îïðåäåëåííûìè ìîäåëÿìè, îñíîâàííûìè íà ïðèíèìàåìûõ ãèïîòåçàõ, ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ïðîöåññ ïîçíàíèÿ è îáåñïå÷èâàåò ñòàáèëüíóþ ïëàòôîðìó äëÿ èçó÷åíèÿ ìèðà, íî, âìåñòå ñ òåì, ñîçäàåò íåïðåîäîëèìûå (â ðàìêàõ ïðèíÿòîé ñèñòåìû ãèïîòåç) ïðåïÿòñòâèÿ äëÿ ïðîíèêíîâåíèÿ â ñóòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Îòáðàñûâàíèå íåñóùåñòâåííûõ, êàê íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, íþàíñîâ ðåàëüíîñòè âåäåò ê ïîòåðå ïîíèìàíèÿ ñóùíîñòè ìèðà. Ñêëàäûâàåòñÿ ïàðàäîêñàëüíàÿ ñèòóàöèÿ: áåç ñèñòåì áàçîâûõ ãèïîòåç íåâîçìîæíî ïîçíàíèå, íî íàëè÷èå òàêèõ ñèñòåì ñäåðæèâàåò ïîíèìàíèå îñíîâ ìèðîçäàíèÿ. Îãðàíè÷èâàÿ ñâîè âîççðåíèÿ íà ìèð îïðåäåëåííûìè ãèïîòåçàìè, êîòîðûå ñ÷èòàåì ñïðàâåäëèâûìè, ìû îòìåòàåì âñå, ÷òî íå âïèñûâàåòñÿ â óñòàíîâëåííûå ðàìêè. Îäíàêî ðàíî èëè ïîçäíî ïðèõîäèì ê ïîíèìàíèþ, ÷òî ïðèíÿòûå ãèïîòåçû èìåþò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ è íóæäàþòñÿ â ïåðåñìîòðå. Ìèð çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì ìû ïûòàåìñÿ åãî ïðåäñòàâèòü. Íàøè ãèïîòåçû – ëèøü ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïîñòðîèòü óïðîùåííûå ìîäåëè, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèå ðåàëüíûé ìèð. Ìíîæåñòâî ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ðåàëüíîãî ÿâëåíèÿ íà áàçå íåçàâèñèìûõ ñèñòåì áàçîâûõ ãèïîòåç ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü åãî ïðîåêöèé íà ðàçíûå àáñòðàêòíûå ïëîñêîñòè. ×åì áîëüøå ñèñòåì ãèïîòåç è ïîñòðîåííûõ íà èõ îñíîâå òåîðèé, òåì áîëüøå ïðîåêöèé, òåì ãëóáæå âîçìîæíî ïîçíàíèå ìèðà. Ïîÿâëåíèå íîâûõ òåîðèé, ïîçâîëÿþùèõ âçãëÿíóòü íà èçâåñòíûå ôàêòû ïîä íîâûì óãëîì çðåíèÿ, îáåñïå÷èâàåò ðàçâèòèå íàóêè.  ðàìêàõ ôèêñèðîâàííîãî íàáîðà ãèïîòåç íàóêà ðàçâèâàåòñÿ ýêñòåíñèâíî. Äëÿ èíòåíñèâíîãî åå ðàçâèòèÿ íåîáõîäèìà ðàçðàáîòêà íîâûõ àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç è òåîðèé. Áåç íèõ ïðîãðåññ ÷åëîâå÷åñòâà íåìûñëèì. Îñíîâîé ëþáîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ ìîäåëè.

27

Глава 1. Принципы познания мира

1.2. МОДЕЛИ

1.2.1. Неформализованные модели Îêðóæàþùèé ìèð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíóþ ñèñòåìó, ñîäåðæàùóþ áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî âçàèìîñâÿçàííûõ ýëåìåíòîâ – îáúåêòîâ. Êàæäûé îáúåêò õàðàêòåðèçóåòñÿ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñâîéñòâ, îïðåäåëÿþùèõ åãî îñîáåííîñòè. Îòäåëüíûå ñâîéñòâà ðàçíûõ îáúåêòîâ ìîãóò ñîâïàäàòü èëè áûòü áëèçêèìè ïî îïðåäåëåííîìó êðèòåðèþ. Îáúåêòû ñ îäèíàêîâûìè èëè áëèçêèìè ñâîéñòâàìè ãðóïïèðóþòñÿ â íàøåì ñîçíàíèè â êëàññû ïîäîáíûõ îáúåêòîâ. Êàæäûé îáúåêò ìîæåò âõîäèòü â ñîñòàâ íåñêîëüêèõ êëàññîâ. Êëàññû ìîãóò âõîäèòü â ñîñòàâ äðóãèõ êëàññîâ. Ñâîéñòâà, ïðèñóùèå ïîäîáíûì îáúåêòàì êëàññà, ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê çàêîíîìåðíîñòè. Çàêîíîìåðíîñòè òîæå ÿâëÿþòñÿ îáúåêòàìè. Êàê è äðóãèå îáúåêòû, îíè ìîãóò îáðàçîâûâàòü êëàññû. Çàêîíîìåðíîñòè îïðåäåëÿþò ñïåöèôè÷åñêèå îñîáåííîñòè ñâÿçåé îáúåêòîâ, âõîäÿùèõ â êëàññ, ñ îáúåêòàìè ýòîãî æå êëàññà è ñ îáúåêòàìè äðóãèõ êëàññîâ. Êëàññàìè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, âñå çàêîíû ìåõàíèêè, ïðåäìåòû, ðàçìåð êîòîðûõ ìåíüøå èëè áîëüøå îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû, ðàñòåíèÿ èëè æèâîòíûå îïðåäåëåííîãî âèäà, ëþäè îïðåäåëåííîé íàöèîíàëüíîñòè, âåðû, ðàñû èëè âîçðàñòíîé êàòåãîðèè, æèòåëè îäíîé ñòðàíû è ò.ä. Ñèñòåìàòèçàöèÿ (ôîðìèðîâàíèå ñèñòåìû âçàèìîñâÿçàííûõ êëàññîâ îáúåêòîâ) è êëàññèôèêàöèÿ (ðàñïðåäåëåíèå îáúåêòîâ ïî êëàññàì) – êðàåóãîëüíûå êàìíè ïîçíàíèÿ ìèðà. Îíè âêëþ÷àþò âûÿâëåíèå íîâûõ îáúåêòîâ, èññëåäîâàíèå è îïèñàíèå èõ ñâîéñòâ, ïîïîëíåíèå èçâåñòíûõ êëàññîâ íîâûìè îáúåêòàìè, îáðàçîâàíèå íîâûõ êëàññîâ è èçúÿòèå èç ñèñòåìû óñòàðåâøèõ êëàññîâ.  ðåçóëüòàòå ñèñòåìàòèçàöèè è êëàññèôèêàöèè â ñîçíàíèè ÷åëîâåêà ôîðìèðóþòñÿ íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè, äàþùèå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î êëàññàõ ïîäîáíûõ îáúåêòîâ. Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè íå èäåíòè÷íû ðàññìàòðèâàåìûì îáúåêòàì, òàê êàê íåñóò èíôîðìàöèþ î ìíîæåñòâå ïîäîáíûõ îáúåêòîâ, âõîäÿùèõ â êëàññû, è ÿâëÿþòñÿ èõ îñðåäíåííûìè îáðàçàìè. Êàæäûé íîâûé îáúåêò ÷åëîâåê ïûòàåòñÿ îòíåñòè, êàê ïðàâèëî, ïîäñîçíàòåëüíî ê ðàçíûì íåôîðìàëèçîâàííûì ìîäåëÿì. Ìî-

28

1.2. Модели

äåëè, ê êîòîðûì ýòîò îáúåêò íàèáîëåå ïîäõîäèò, àññîöèèðóþòñÿ ñ îáúåêòîì è, íàîáîðîò, îáúåêò àññîöèèðóåòñÿ ñ ýòèìè ìîäåëÿìè.  ðåçóëüòàòå ôîðìèðóåòñÿ ìíîæåñòâî íåôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé, ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ âîñïðèíèìàåòñÿ ÷åëîâåêîì êàê íåêèé èíòåãðàëüíûé îáðàç îáúåêòà. Ìíîæåñòâî òàêèõ îáðàçîâ ðàçíûõ îáúåêòîâ ñîçäàåò ñóáúåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ÷åëîâåêà î ìèðå. Îêðóæàþùèé ìèð ïîñòîÿííî ìåíÿåòñÿ, èçìåíÿþòñÿ îáúåêòû è èõ ìîäåëè. Èçìåíåíèå ìîäåëåé îáóñëîâëåíî íå òîëüêî èçìåíåíèåì ñàìèõ îáúåêòîâ, íî è èçìåíåíèåì êðèòåðèåâ êëàññèôèêàöèè. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü ïðè âûáîðå êðèòåðèÿ èãðàþò ïðèîáðåòåííûé ðàíåå îïûò, îêðóæàþùàÿ ñðåäà è ìíîãèå äðóãèå ôàêòîðû. Ëþäè ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé è ðàçëè÷àþòñÿ óñëîâèÿ èõ æèçíè. Ïîýòîìó äëÿ ðàçíûõ ëþäåé ðàçíûìè îêàçûâàþòñÿ íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îäíèõ è òåõ æå îáúåêòîâ è ïðåäñòàâëåíèÿ î ìèðå. Ðåàëüíûå îáúåêòû âîñïðèíèìàþòñÿ ÷åëîâåêîì ñ ïîìîùüþ îðãàíîâ ÷óâñòâ â ôîðìå îöåíîê, êîòîðûå òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáúåêòû. Îöåíêà çàâèñèò îò ìíîæåñòâà ñóáúåêòèâíûõ è îáúåêòèâíûõ ôàêòîðîâ (óñëîâèé). Îöåíêà îòëè÷àåòñÿ îò ðåàëüíîãî îáúåêòà. Îòëè÷èå âûçâàíî, âî-ïåðâûõ, íåñîâåðøåíñòâîì íàøèõ îðãàíîâ ÷óâñòâ è ñðåäñòâ íàáëþäåíèÿ, à âî-âòîðûõ, íàëè÷èåì ðàçëè÷íûõ ïîìåõ. Ïðè èçìåíåíèè óñëîâèé (íàïðèìåð, óõóäøåíèè çðåíèÿ, èñïîëüçîâàíèè áîëåå èëè ìåíåå ñîâåðøåííûõ ñðåäñòâ íàáëþäåíèÿ, èçìåíåíèè õàðàêòåðèñòèê ïîìåõè è äð.) îöåíêà ìåíÿåòñÿ. Ìîäåëü è îöåíêà – ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Åñëè ìîäåëü îáúåêòà – îáîáùåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ñîâîêóïíîñòè ïîäîáíûõ îáúåêòîâ, òî îöåíêà – áîëåå èëè ìåíåå èñêàæåííîå ïðåäñòàâëåíèå îá îäíîì îáúåêòå. Ïî ñîâîêóïíîñòè îöåíîê ñòðîèòñÿ óñðåäíåííàÿ îöåíêà è ìîäåëü îöåíêè. Ìíîæåñòâî ðàçíûõ îöåíîê, îòíîñÿùèõñÿ ê îäíîìó è òîìó æå îáúåêòó èëè ðàçëè÷íûì îáúåêòàì îïðåäåëåííîãî êëàññà, ïîðîæäàåò â ñîçíàíèè ÷åëîâåêà íåôîðìàëèçîâàííóþ ìîäåëü îöåíêè. Ýòà ìîäåëü, êàê è ìîäåëü îáúåêòà, ïîñòîÿííî ìåíÿåòñÿ. Èçìåíåíèÿ âûçûâàþòñÿ èçìåíåíèåì îáúåêòîâ, îöåíîê è êðèòåðèåâ êëàññèôèêàöèè îáúåêòîâ è èõ îöåíîê. Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îöåíîê ÿâëÿþòñÿ áàçîé äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ íåôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé îáúåêòîâ.

29

Глава 1. Принципы познания мира

Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îáúåêòîâ è íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îöåíîê – ðàçíûå êàòåãîðèè. Îäíàêî â ñîçíàíèè ëþäåé îíè îáû÷íî îòîæäåñòâëÿþòñÿ.

1.2.2. Физические и математические модели Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îáúåêòîâ è îöåíîê ìîæíî ôîðìàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé, ó÷èòûâàþùèõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå èõ îñîáåííîñòè, è îïèñàòü ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè. Äëÿ êàæäîé ñîâîêóïíîñòè ðåàëüíûõ îáúåêòîâ è ñîâîêóïíîñòè îöåíîê ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé. Êàæäàÿ ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü îïèñàíà ïî-ðàçíîìó ìíîæåñòâîì ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Íà ýòàïå ôîðìàëèçàöèè ÷àñòü îáúåêòîâ, âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ îáúåêòîâ, ìîæåò íå îïèñûâàòüñÿ ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ. Âìåñòå ñ òåì â íåå ìîãóò áûòü âêëþ÷åíû îáúåêòû, íå âõîäÿùèå â ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, êàê ïðàâèëî, âñå îáúåêòû ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà, ïîïàâøèå â ôèçè÷åñêóþ ìîäåëü, îïèñûâàþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ. Íà ðèñ. 1.1 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ïîäîáíûå îáúåêòû îäíîãî êëàññà, èõ îöåíêè, ðàññìàòðèâàåìûé îáúåêò x , åãî îöåíêà x * , ìîäåëè îáúåêòà (íåôîðìàëèçîâàííàÿ N x , ôèçè÷åñêàÿ Px è ìàòåìàòè÷åñêàÿ M x ), à òàêæå ìîäåëè îöåíêè (íåôîðìàëèçîâàííàÿ N x * , ôèçè÷åñêàÿ Px * è ìàòåìàòè÷åñêàÿ M x* ). Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî êðèòåðèåâ êëàññèôèêàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. ×àñòî ïðèáåãàþò ê ôîðìàëüíîé êëàññèôèêàöèè, îñíîâàííîé íà êëàññèôèêàöèè èñïîëüçóåìûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñðåäñòâ, íàïðèìåð, ðàçëè÷àþò ìîäåëè ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå, ñîñðåäîòî÷åííûå è ðàñïðåäåëåííûå, äåòåðìèíèðîâàííûå è ñòîõàñòè÷åñêèå, äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå è ò.ä. [Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå]. Èñïîëüçóþò òàêæå êëàññèôèêàöèþ ïî ñïîñîáó ïðåäñòàâëåíèÿ îáúåêòà, âûäåëÿÿ ïðè ýòîì ñòðóêòóðíûå è ôóíêöèîíàëüíûå ìîäåëè [Ìûøêèñ À.Ä., 2007]. Ïåðâûå ïðåäñòàâëÿþò èçó÷àåìûé îáúåêò â âèäå ñèñòåìû, èìåþùåé îïðåäåëåííóþ ñòðóêòóðó è àëãîðèòì ðàáîòû, à âòîðûå – â âèäå «÷åðíîãî ÿùèêà», äëÿ êîòîðîãî âàæíû ëèøü âíåøíèå ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè.

30

1.3. Формирование знаний

Ðèñ. 1.1. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ìîäåëåé è îöåíîê

Èíòåðåñíà ñîäåðæàòåëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ Ð. Ïàéåðëñà, âûäåëÿþùàÿ ñëåäóþùèå ñåìü òèïîâ ìîäåëåé [Ïàéåðëñ Ð.Ý., 1983]: 1. Ãèïîòåçà (òàêîå ìîãëî áû áûòü). 2. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü (âåäåì ñåáÿ òàê, êàê åñëè áû…). 3. Ïðèáëèæåíèå (÷òî-òî ñ÷èòàåì î÷åíü ìàëûì èëè î÷åíü áîëüøèì). 4. Óïðîùåíèå (îïóñòèì äëÿ ÿñíîñòè íåêîòîðûå äåòàëè). 5. Ýâðèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü (êîëè÷åñòâåííîãî ïîäòâåðæäåíèÿ íåò, íî ìîäåëü ñïîñîáñòâóåò áîëåå ãëóáîêîìó ïðîíèêíîâåíèþ â ñóòü äåëà). 6. Àíàëîãèÿ (ó÷òåì òîëüêî íåêîòîðûå îñîáåííîñòè). 7. Ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò (ãëàâíîå ñîñòîèò â îïðîâåðæåíèè âîçìîæíîñòè). 1.3. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ Çíàíèå – ñîâîêóïíîñòü ñâåäåíèé â êàêîé-íèáóäü îáëàñòè [Îæåãîâ, 1960]. Çà ïðîøåäøèå òûñÿ÷åëåòèÿ ðàçâèòèÿ öèâèëèçàöèè ÷åëîâå÷åñòâîì íàêîïëåí êîëîññàëüíûé îáúåì çíàíèé îá îêðóæàþùåì ìèðå. Òåìï ïîñòóïëåíèÿ íîâîé èíôîðìàöèè ïîñòîÿííî âîçðàñòàåò. Îðèåíòèðîâàòüñÿ â åå ïîòîêå ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå è áîëåå òðóäíî. Íà ïîìîùü ïðèõîäèò îòðàáîòàííûé ïðèðîäîé ìåõàíèçì ñèñòåìàòèçàöèè, êëàññèôèêàöèè è îáîáùåíèÿ äàííûõ î ïîäîáíûõ îáúåêòàõ.

31

Глава 1. Принципы познания мира

Çíàíèÿ ÷åëîâåêà – íå ïðîñòî ñîâîêóïíîñòü ðàçðîçíåííûõ ñâåäåíèé, à ñèñòåìà âçàèìîñâÿçàííûõ ñèñòåìàòèçèðîâàííûõ, êëàññèôèöèðîâàííûõ è îáîáùåííûõ äàííûõ – ìîäåëåé. Âîçìîæíîñòè ÷åëîâåêà ïî âîñïðèÿòèþ è ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè îãðàíè÷åíû. Ìåõàíèçì ïîçíàíèÿ ìèðà ñ ïîìîùüþ ìîäåëåé çàùèùàåò ÷åëîâå÷åñêèé îðãàíèçì îò èíôîðìàöèîííîé ïåðåãðóçêè. Çíàíèÿ ÷åëîâå÷åñòâà ôîðìèðóþòñÿ íà îñíîâå çíàíèé îòäåëüíûõ ëè÷íîñòåé ïóòåì êîëëåêòèâíîé ñèñòåìàòèçàöèè, êëàññèôèêàöèè è îáîáùåíèÿ çíàíèé îòäåëüíûõ èíäèâèäóóìîâ. Çíàíèÿ ëè÷íîñòè è ÷åëîâå÷åñòâà ñîñòîÿò èç ôîðìàëèçîâàííûõ è íåôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé. Ìîäåëè â îáëàñòè òî÷íûõ íàóê â îñíîâíîì ôîðìàëèçîâàíû, à êàñàþùèåñÿ ãóìàíèòàðíîé îáëàñòè – íåôîðìàëèçîâàííûå. 1.4. МИРОВОЗЗРЕНИЕ И МЫШЛЕНИЕ Ïðåäñòàâëåíèÿ ÷åëîâåêà îá îêðóæàþùåì ìèðå, åãî ìèðîâîççðåíèå – íè ÷òî èíîå, êàê ñîâîêóïíîñòü ìîäåëåé, îáðàçóþùèõ çíàíèÿ, è ëè÷íàÿ (ñóáúåêòèâíàÿ) îöåíêà ýòèõ ìîäåëåé ïî ìíîæåñòâó êðèòåðèåâ (îïàñíîñòè, äîñòîâåðíîñòè, âàæíîñòè, íîâèçíû, ñîîòâåòñòâèÿ îïðåäåëåííûì íîðìàì è ïð.). Çàìåòèì, ÷òî îöåíêè ìîäåëåé è ìîäåëè îöåíîê ñîâåðøåííî ðàçíûå êàòåãîðèè. Åñëè êðèòåðèè çàâèñèìû, òî îöåíêè ïî ðàçíûì êðèòåðèÿì âçàèìîñâÿçàíû. Çíàíèÿ è ñóáúåêòèâíûå îöåíêè ðàçíûõ ëþäåé â îïðåäåëåííîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè, íåñìîòðÿ íà èíäèâèäóàëüíîñòü ëè÷íîñòè, ìîãóò áûòü ñõîæèìè. Ëþäè ñ îäèíàêîâûìè âçãëÿäàìè íà æèçíü, îáùèìè èíòåðåñàìè, îäíîé ðåëèãèè, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó ýòíîñó, ïîëó÷èâøèå îäèíàêîâîå îáðàçîâàíèå – âñå ýòî ëþäè ñ ïîäîáíûìè ìîäåëÿìè è ñõîæèìè ñóáúåêòèâíûìè îöåíêàìè ìîäåëåé ïî ìíîæåñòâó ðàçíûõ êðèòåðèåâ. Îöåíêè ìîäåëåé îòäåëüíûõ ñóáúåêòîâ ñëóæàò îñíîâîé ôîðìèðîâàíèÿ êîëëåêòèâíûõ îöåíîê. Ìîäåëè è îöåíêè (ñóáúåêòèâíûå è êîëëåêòèâíûå) – îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâûå ôîðìèðîâàíèÿ, ìåäëåííî èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíèõ ôàêòîðîâ. Ïîýòîìó ìèðîâîççðåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâûõ ìîäåëåé ñ îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâûìè îöåíêàìè. Ìîäåëè èìåþò ðàçíûé óðîâåíü îáîáùåíèÿ. Íà îñíîâå èìåþùèõñÿ ìîäåëåé íèçêîãî óðîâíÿ âîçìîæíî ñîçäàíèå ïðîèçâîäíûõ ìîäåëåé áîëåå âûñîêîãî óðîâíÿ.

32

1.5. Познание мира

Ìîäåëè ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà: ìîäåëè ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ è ñâÿçè ìåæäó íèìè. Ïîñëåäíèå ïðåäñòàâëÿþò ìîäåëè ðåàëüíûõ çàêîíîìåðíîñòåé ïðèðîäû. Ñèíòåç íîâûõ ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, óñòàíîâëåíèå íîâûõ ñâÿçåé, ôîðìèðîâàíèå íîâûõ îöåíîê è èõ ïåðåñìîòð ñîñòàâëÿþò ñóòü ìûøëåíèÿ. Êàê íè ïàðàäîêñàëüíî êàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, èìåííî áëàãîäàðÿ óñòîé÷èâîñòè ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñâÿçåé ìåæäó íèìè è èõ îöåíîê îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ñîçäàíèå ïðîèçâîäíûõ ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, óñòàíîâëåíèå íîâûõ ñâÿçåé, ôîðìèðîâàíèå íîâûõ îöåíîê è èõ ïåðåñìîòð. Ïðîöåññ ìûøëåíèÿ çàâèñèò îò ñòåïåíè óñòîé÷èâîñòè èñõîäíûõ çíàíèé: ÷åì îíà âûøå, òåì áîëüøåå êîëè÷åñòâî óðîâíåé ïðîèçâîäíûõ ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñâÿçåé è îöåíîê ìîæåò áûòü ñôîðìèðîâàíî. Ñóäÿ ïî ðåçóëüòàòàì öåëîãî ðÿäà áèîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, ÷åëîâåê ñóùåñòâåííî óñòóïàåò ìíîãèì æèâîòíûì ïî ñïîñîáíîñòè âîñïðèÿòèÿ, ïåðåðàáîòêè èíôîðìàöèè è îïåðàòèâíîãî çàïîìèíàíèÿ (ò.å. ïî ñïîñîáíîñòè ôîðìèðîâàòü èñõîäíûå ìîäåëè), îäíàêî áëàãîäàðÿ îïðåäåëåííîìó «êîíñåðâàòèçìó» (èíåðöèîííîñòè ìûøëåíèÿ) çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò èõ ïî ñïîñîáíîñòè óñòàíàâëèâàòü ñâÿçè ìåæäó ìîäåëÿìè ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ è ñèíòåçèðîâàòü ïðîèçâîäíûå ìîäåëè. Ñî âðåìåíåì ïîä âîçäåéñòâèåì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ ìîäåëè ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñâÿçè ìåæäó íèìè è îöåíêè èçìåíÿþòñÿ. Ñîçäàþòñÿ íîâûå ìîäåëè ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, íîâûå ñâÿçè è íîâûå êðèòåðèè èõ îöåíêè. Ïðîèñõîäèò óòî÷íåíèå è èñêëþ÷åíèå óñòàðåâøèõ è íåâîñòðåáîâàííûõ ýëåìåíòîâ, çàìåíà ñòàðûõ ýëåìåíòîâ íà íîâûå, ôîðìèðîâàíèå îöåíîê è èõ ïåðåñìîòð. 1.5. ПОЗНАНИЕ МИРА Ïîçíàíèå – ïðîöåññ ïðèîáðåòåíèÿ çíàíèé è ïîñòèæåíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé îáúåêòèâíîãî ìèðà [Îæåãîâ, 1960]. Ïîçíàíèå ìèðà (ëè÷íîñòüþ è ÷åëîâå÷åñòâîì) ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà ýòàïà: • ôîðìèðîâàíèå èñõîäíûõ çíàíèé (èñõîäíîé ñîâîêóïíîñòè ìîäåëåé) è îöåíîê, • àêòóàëèçàöèÿ (îáíîâëåíèå, óòî÷íåíèå) èìåþùèõñÿ çíàíèé è îöåíîê.

33

Глава 1. Принципы познания мира

Ðèñ. 1.2. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé

Íà ïåðâîíà÷àëüíîì ýòàïå îñîáóþ ðîëü èãðàþò íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè, â äàëüíåéøåì – êàê íåôîðìàëèçîâàííûå, òàê è ôîðìàëèçîâàííûå. Ïî ìåðå ðàçâèòèÿ ëè÷íîñòè è ÷åëîâå÷åñòâà âñå áîëåå è áîëåå çíà÷èìóþ ðîëü, ïî âñåé âèäèìîñòè, ïðèîáðåòàþò ôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè. Îáà ýòàïà ïîçíàíèÿ ìèðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáó÷åíèå. Îáó÷åíèå ëè÷íîñòè ìîæåò ïðîõîäèòü áåç ïîñòîðîííåé èëè ñ ïîñòîðîííåé ïîìîùüþ. Ñïîñîáû ïåðåäà÷è çíàíèé îò ñóáúåêòà ê ñóáúåêòó ðàçíûå: ïóòåì ïðÿìîãî îáùåíèÿ ñóáúåêòîâ èëè îïîñðåäñòâåííî ñ èñïîëüçîâàíèåì âñïîìîãàòåëüíûõ ñðåäñòâ (êíèã, âèäåîòåõíèêè è êîìïüþòåðîâ, Èíòåðíåòà è ïð.), îáåñïå÷èâàþùèõ çàïèñü, õðàíåíèå, èíîãäà ïåðåðàáîòêó è âîñïðîèçâåäåíèå èíôîðìàöèè. Îïèñàííàÿ ìîäåëü ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé ñõåìàòè÷íî ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1.2. Ïîçíàíèå – ñëîæíûé ìíîãîïëàíîâûé ïðîöåññ, òðåáóþùèé ôîðìèðîâàíèÿ îöåíîê, ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé, ñðàâíåíèÿ, ñîïî-

34

1.6. Измерение

ñòàâëåíèÿ, ñèñòåìàòèçàöèè, êëàññèôèêàöèè, îáíàðóæåíèÿ è öåëîãî ðÿäà äðóãèõ äåéñòâèé, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæèò ïðîöåäóðà èçìåðåíèÿ. 1.6. ИЗМЕРЕНИЕ

1.6.1. Метрические пространства Âñå íåôîðìàëèçîâàííûå, ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îáúåêòîâ è îöåíîê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáúåêòû. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè íåîáõîäèìî ââåäåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà – ìíîæåñòâà S , äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ x , y êîòîðîãî îïðåäåëåíà âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ µ(x , y ) (ìåòðèêà èëè ðàññòîÿíèå), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì ïîñòóëàòàì: µ(x , y ) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y ; µ(x , y ) ≤ µ(z , x ) + µ(z , y ) (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà), ãäå x , y , z – ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà S . Ìåòðèêà – íåîòðèöàòåëüíàÿ âåëè÷èíà è µ(x , y ) = µ(y, x ) . Èçâåñòíî, ÷òî íå äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ìîæíî ïîñòðîèòü ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Íàïðèìåð, äëÿ ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå, ïîñòðîåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó íåëüçÿ ïîñòðîèòü ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, âêëþ÷àþùåå ìîäåëü ðåàëüíîãî îáúåêòà è ìîäåëè âñåõ ïîòåíöèàëüíî âîçìîæíûõ åãî îöåíîê. Ñóçèâ êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé, íàïðèìåð, äî íåïðåðûâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîñòðîèòü ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, îïèñûâàåìûõ òàêèìè ôóíêöèÿìè, ìîæíî îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå. Íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå S ðàçíûå ìåòðèêè ïîðîæäàþò ðàçíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Âàðèàöèîííûé ðÿä ðàññòîÿíèé ìåæäó êîíêðåòíûìè ýëåìåíòàìè x , y , z ,K çàâèñèò îò ìåòðèêè. Ïîýòîìó â äâóõ ðàçíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ, ïîñòðîåííûõ íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå, âêëþ÷àþùåì ìîäåëü ðåàëüíîãî îáúåêòà è ìîäåëè åãî îöåíîê, ê ìîäåëè ðåàëüíîãî îáúåêòà íàèáîëåå áëèçêî ðàñïîëîæåííûìè ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàçíûå ìîäåëè îöåíîê. Âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå öåëîãî êëàññà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, çàäàííûõ íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå, äëÿ êîòîðûõ íàèáîëåå áëèçêîé îêàçûâàåòñÿ îäíà è òà æå ìîäåëü îöåíêè. Ââå-

35

Глава 1. Принципы познания мира

Ðèñ. 1.3. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îáúåêòà, îöåíêè è èõ ìîäåëåé

äåíèåì ìåòðèêè óñòàíàâëèâàåòñÿ ýòàëîííàÿ âåëè÷èíà (íåêàÿ óñëîâíàÿ åäèíèöà), ñ êîòîðîé ñðàâíèâàåòñÿ ðàññòîÿíèå.  ìåòðîëîãèè èñïîëüçóåòñÿ, îáû÷íî, åâêëèäîâà ìåòðèêà.

1.6.2. Расстояние Áëèçîñòü ìîäåëåé

M x′ ,

M x′*

ê ñîîòâåòñòâóþùèì îáúåêòàì

(µ (x , M x′ ) ∼ 0, µ (x * , M x′* ) ∼ 0) òàê æå, êàê è áëèçîñòü ìîäåëè îöåíêè M x′′* ê ìîäåëè ðåàëüíîãî îáúåêòà M x′′ (µ (M x′′, M x′′* ) ∼ 0), íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî îöåíêà è åå ìîäåëü áëèçêè ê ðåàëüíîìó îáúåêòó (ðèñ. 1.3, à). Îöåíêà x * , ìîäåëü îöåíêè M x* è ìîäåëü îáúåêòà M x ìîãóò íàõîäèòüñÿ íà íåáîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, îäíàêî âäàëè îò ñàìîãî îáúåêòà x (ðèñ. 1.3, á). Íà ïðàêòèêå äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ àäåêâàòíîñòè òåîðèè ÷àñòî ïðèáåãàþò ê ïðîâåðêå áëèçîñòè òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìàëîå ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ, îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìîå êàê íåîñïîðèìûé äîâîä âåðíîñòè òåîðèè, â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îöåíêó, à òåîðåòè÷åñêèé ðåçóëüòàò – ìîäåëü äðóãîé îöåíêè. Áëèçîñòü ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ñâèäåòåëüñòâóåò ëèøü î òîì, ÷òî îíè ìàëî ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé, íî íå î áëèçîñòè èõ ê ðåàëüíîìó îáúåêòó. Âîïðîñ îá àäåêâàòíîñòè ìîäåëè îñòàåòñÿ îòêðûòûì äî òåõ ïîð, ïîêà íå óñòàíîâëåí ôàêò áëèçîñòè ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ðåçóëüòàòà ê èññëåäóåìîìó îáúåêòó.

1.6.3. Проблема построения адекватных оценок и моделей Èñòèííàÿ (íåèñêàæåííàÿ) èíôîðìàöèÿ î ðåàëüíîì îáúåêòå x íåäîñòóïíà. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü ñòåïåíü áëèçîñòè ê

36

1.6. Измерение

îáúåêòó íè îöåíêè x * , íè ìîäåëè îöåíêè M x* , íè ìîäåëè îáúåêòà M x . Âñëåäñòâèå ýòîãî çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ.  äàëüíåéøåì ïîä àäåêâàòíûìè ïîäðàçóìåâàþòñÿ îöåíêè è ìîäåëè, íàõîäÿùèåñÿ â îêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà. Ñîâïàäåíèå îöåíêè, ìîäåëè îöåíêè èëè ìîäåëè îáúåêòà ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ðåàëüíûì îáúåêòîì ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Ïðè÷èí òîìó ìíîãî. Ñðåäè íàèáîëåå ñóùåñòâåííûõ ìîæíî îòìåòèòü ñëåäóþùèå: • ó÷åò ïðè ôîðìèðîâàíèè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé íå âñåõ ôàêòîðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ðåàëüíîãî îáúåêòà è îöåíêè; • ôîðìèðîâàíèå ìîäåëè îáúåêòà íà îñíîâå ìîäåëè îöåíêè; • íåñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðåàëüíîãî îáúåêòà è îöåíêè; • «îòñòàâàíèå» ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé îò òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà è îöåíêè; • «îòñòàâàíèå» ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îò ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé; • ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåïðåäñêàçóåìîñòü ïîâåäåíèÿ îáúåêòà è îöåíêè; • âîçäåéñòâèå ðàçëè÷íûõ ìåøàþùèõ ôàêòîðîâ (ïîìåõ), ïðèâîäÿùåå ê èñêàæåíèþ îöåíêè, ìîäåëè îöåíêè è ìîäåëè ðåàëüíîãî îáúåêòà; • ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåïðåäñêàçóåìîñòü õàðàêòåðèñòèê ïîìåõ; • íåñîâåðøåíñòâî ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è äð.

1.6.4. Погрешность измерения Ðàññòîÿíèå ìåæäó îöåíêîé è îáúåêòîì (ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, ïðîöåññîì, ïîëåì) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ. Ïîãðåøíîñòü îáóñëîâëåíà íåàäåêâàòíûì âîñïðèÿòèåì èññëåäóåìîãî îáúåêòà, à òàêæå âîçäåéñòâèåì ïîìåõ. Íåàäåêâàòíîå âîñïðèÿòèå ìîæåò áûòü âûçâàíî îáúåêòèâíûìè è ñóáúåêòèâíûìè ïðè÷èíàìè. Ïîìåõè, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàíû ñ îáúåêòèâíûìè ôàêòîðàìè. Ðàçíûé õàðàêòåð ïðè÷èí, âûçûâàþùèõ îòëè÷èå îöåíêè îò ðåàëüíîãî îáúåêòà, òðåáóåò ðàçíûõ ïîäõîäîâ ê ó÷åòó è êîìïåíñàöèè ñâÿçàííûõ ñ íèìè ñîñòàâëÿþùèõ ïîãðåøíîñòè. Îäíàêî ñòðàòåãèÿ îáû÷íî ïðèìåíÿåòñÿ îäíà è òà æå: íàêîïëåíèå äàííûõ è ïîñëåäóþùåå èõ óñðåäíåíèå.

37

Глава 1. Принципы познания мира

Êîìïåíñàöèÿ íåàäåêâàòíîãî âîñïðèÿòèÿ îáúåêòà, âûçâàííîãî îáúåêòèâíûìè ïðè÷èíàìè, áàçèðóåòñÿ íà ôîðìèðîâàíèè ðÿäà îöåíîê, ïîëó÷åííûõ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Êîìïåíñàöèÿ íåàäåêâàòíîãî âîñïðèÿòèÿ, îáóñëîâëåííîãî ñóáúåêòèâíûìè ïðè÷èíàìè, – íà ìíîãîêðàòíîé îöåíêå îáúåêòà ðàçíûìè ñóáúåêòàìè, à êîìïåíñàöèÿ âîçäåéñòâèÿ ïîìåõ â ñòàòèñòè÷åñêè ïîñòîÿííûõ óñëîâèÿõ – íà ìíîæåñòâå îöåíîê, ïîëó÷åííûõ â îäíèõ è òåõ æå ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. Ðåçóëüòàòû ìíîãîêðàòíîé îöåíêè îáúåêòà ðàçíûìè ñïîñîáàìè è ðàçíûìè ñóáúåêòàìè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ óñðåäíåííîé îöåíêè. Ïîëó÷àåìàÿ òàêèì îáðàçîì óñðåäíåííàÿ îöåíêà, õîòÿ è îêàçûâàåòñÿ áëèæå ê ðåàëüíîìó îáúåêòó, ÷åì áîëüøàÿ ÷àñòü èñõîäíûõ îöåíîê, íî âñå æå íå ñîâïàäàåò ñ ðåàëüíûì îáúåêòîì. Îáóñëîâëåíî ýòî íå òîëüêî òåì, ÷òî îáúåì äàííûõ âñåãäà îãðàíè÷åí è ñïîñîá óñðåäíåíèÿ, êàê ïðàâèëî, íå îïòèìàëåí. Ãëàâíàÿ ïðè÷èíà â òîì, ÷òî íå óäàåòñÿ îòñëåäèòü âñå èçìåíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìîãî îáúåêòà è äåéñòâóþùèõ ïîìåõ.

1.6.5. Современные подходы к оценке точности измерений Òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ – êà÷åñòâåííàÿ êàòåãîðèÿ, õàðàêòåðèçóåìàÿ êîëè÷åñòâåííî ïîãðåøíîñòüþ èëè íåîïðåäåëåííîñòüþ èçìåðåíèÿ.  ìåòðîëîãèè äëÿ õàðàêòåðèñòèêè òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðèìåíÿþòñÿ äâà ïîäõîäà. Îäèí èç íèõ îñíîâàí íà êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ, äðóãîé – íà êîíöåïöèè íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèÿ.  ðàìêàõ êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè, ïðåäëîæåííîé åùå Ãàëèëåî Ãàëèëååì [Ãàëèëåé, 1948], ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ è ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïîä ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîíèìàþò ïîãðåøíîñòü, êîòîðàÿ ïðè ìíîãîêðàòíîì èçìåðåíèè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé èëè èçìåíÿåòñÿ ïî îïðåäåëåííîìó çàêîíó, à ïîä ñëó÷àéíîé – ïîãðåøíîñòü, êîòîðàÿ ïðè ïîâòîðíûõ èçìåðåíèÿõ èçìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì [Òþðèí, 1973]. Âîçíèêíîâåíèå ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè îáû÷íî ñâÿçûâàþò ñî ñëó÷àéíûìè âðåìåííûìè è (èëè) ïðîñòðàíñòâåííûìè èçìåíåíèÿìè âëèÿþùèõ âåëè÷èí, à ñèñòåìàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü – ñ îòêëîíåíèÿìè ïàðàìåòðîâ èëè óñëîâèé èçìåðåíèÿ îò èäåàëüíûõ. Ñëó÷àéíóþ ïîãðåøíîñòü ìîæíî óìåíüøèòü ïóòåì ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ðÿäà èçìåðåíèé, ñèñòåìàòè÷åñêóþ

38

1.6. Измерение

îøèáêó, êàê ïðàâèëî, – ïóòåì ó÷åòà òåõ èëè èíûõ èçâåñòíûõ çàâèñèìîñòåé ðåçóëüòàòà èçìåðåíèé îò ïàðàìåòðîâ, âëèÿþùèõ íà ðåçóëüòàò. Åñëè ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü íå ìåíÿåòñÿ îò èçìåðåíèÿ ê èçìåðåíèþ (ýòîò ôàêò, êàê ïðàâèëî, ïðèíèìàåòñÿ ïî óìîë÷àíèþ, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå), òî ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñóììàðíîé ïîãðåøíîñòè. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Ïîãðåøíîñòü îöåíêè Θ* èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ îáû÷íî õàðàêòåðèçóþò ëèáî ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ ε0 (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ïîãðåøíîñòè) è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σθ* îöåíêè Θ* , ëèáî äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì I γ ( p) = [Θ* − ε0 − ε, Θ* − ε0 + ε] ,

ñîîòâåòñòâóþùèì

îïðåäåëåííîé

äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = P ( θ − ε0 − θ ≤ ε) òîãî, ÷òî àáñî*

ëþòíîå îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* − ε0 îò èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ íå áîëüøå íåêîòîðîé çàäàííîé âåëè÷èíû ε .  ðÿäå ñëó÷àåâ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ÷àñòè÷íî ìîæåò áûòü ñêîìïåíñèðîâàíà ïóòåì ïðèìåíåíèÿ îñîáûõ ñïîñîáîâ èçìåðåíèÿ, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü áåç îïðåäåëåíèÿ åå âåëè÷èíû óìåíüøèòü åå âëèÿíèå íà êîíå÷íûé ðåçóëüòàò. Èçâåñòåí öåëûé ðÿä òàêèõ ñïîñîáîâ: çàìåùåíèÿ, êîìïåíñàöèè ïîãðåøíîñòè ïî çíàêó, ïðîòèâîïîñòàâëåíèÿ, ñèììåòðè÷íûõ íàáëþäåíèé è äð. [Òþðèí, 1973]. Èäåÿ êîìïåíñàöèè ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè ñïîñîáîì ïðîòèâîïîñòàâëåíèÿ ìîæåò áûòü ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðå âçâåøèâàíèÿ ãðóçà íà ðàâíîïëå÷èõ âåñàõ. Ýòîò ñïîñîá áûë ïðåäëîæåí åùå Ãàóññîì. Ðåàëüíàÿ äëèíà ïëå÷ âåñîâ íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò âçâåøèâàíèÿ P1 íå ðàâåí èñòèííîìó âåñó ãðóçà P . Ñèñòåìàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü, âûçâàííóþ ðàçíîé äëèíîé ïëå÷, ìîæíî ñêîìïåíñèðîâàòü ïóòåì ïîâòîðíîãî âçâåøèâàíèÿ ãðóçà, ïîìåíÿâ ìåñòàìè ãðóç è ãèðè. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âåñ ãðóçà ðàâåí ñðåäíåãåîìåòðè÷åñêîìó ðåçóëüòàòîâ äâóõ âçâåøèâàíèé: P = P1P2 , ãäå P2 – ðåçóëüòàò ïîâòîðíîãî âçâåøèâàíèÿ. Ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü óìåíüøåíà ïóòåì ìíîãîêðàòíîãî èçìåðåíèÿ è óñðåäíåíèÿ ïîëó÷åííûõ äàííûõ.

39

Глава 1. Принципы познания мира

 ðàìêàõ êîíöåïöèè íåîïðåäåëåííîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà òèïà íåîïðåäåëåííîñòåé èçìåðåíèÿ: ïî òèïó A è ïî òèïó B . Ïîä íåîïðåäåëåííîñòüþ ïî òèïó A ïîäðàçóìåâàþò âñå ñîñòàâëÿþùèå íåîïðåäåëåííîñòè, îöåíèâàåìûå ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, à ïîä íåîïðåäåëåííîñòüþ ïî òèïó B – âñå ñîñòàâëÿþùèå, îöåíèâàåìûå äðóãèìè ñïîñîáàìè [Ðóêîâîäñòâî ïî âûðàæåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèé, 1999]. Íåîïðåäåëåííîñòü èçìåðåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ õàðàêòåðèçóåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ uAθ ïî òèïó A , íåîïðåäåëåííîñòüþ uBθ ïî òèïó B , ñóììàðíîé ñòàíäàðòíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ uθ = uA2 θ + uB2θ è ðàñøèðåííîé íåîïðåäåëåííîñòüþ U θ = kuθ (ãäå k – êîýôôèöèåíò îõâàòà), êîòîðàÿ â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ êîìïîíåíòû uBθ òðàêòóåòñÿ êàê íåîïðåäåëåííîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ . Äåëåíèå ïîãðåøíîñòåé íà ñëó÷àéíûå è ñèñòåìàòè÷åñêèå îáóñëîâëåíî ïðèðîäîé èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ïðîÿâëåíèÿ â õîäå èçìåðåíèé, à äåëåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ïî òèïàì A è B – ìåòîäàìè èõ ðàñ÷åòà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ìíîãèå ìåòðîëîãè ñ÷èòàþò, ÷òî êîíöåïöèÿ íåîïðåäåëåííîñòè áîëåå ïðîãðåññèâíà, ÷åì êîíöåïöèÿ ïîãðåøíîñòè. Ñ òàêèì ìíåíèåì ñëîæíî ñîãëàñèòüñÿ. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ïðàâèëüíîé òî÷êà çðåíèÿ, âûñêàçàííàÿ Á.Â. Ãíåäåíêî â êîììåíòàðèè ê øåñòîé ïðîáëåìå Ãèëüáåðòà [Ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà, 1969]: «… êàæäàÿ åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ äèñöèïëèíà èìååò ñâîé ìàòåðèàëüíûé îáúåêò èññëåäîâàíèÿ è åå ñîäåðæàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðîäîé òåõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé, êîòîðûå îíà èçó÷àåò. Íå ìåòîä èññëåäîâàíèÿ, à ìàòåðèàëüíûé ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ êàæäîé íàóêè î ïðèðîäå». Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ðàçëè÷èå ïîäõîäîâ, îáå êîíöåïöèè îïèðàþòñÿ íà ïðåäñòàâëåíèè î òîì, ÷òî ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ ìîãóò âûçûâàòüñÿ ëèøü äåòåðìèíèðîâàííûìè è ñëó÷àéíûìè ôàêòîðàìè. Äðóãèå òèïû ôàêòîðîâ âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàþòñÿ. Ýòà äîñòàòî÷íî îðòîäîêñàëüíàÿ ïîçèöèÿ íóæäàåòñÿ, ïî âñåé âèäèìîñòè, â ïåðåñìîòðå. Îá ýòîì áóäåò èäòè ðå÷ü äàëåå.

40

1.7. Физико-математические теории

1.7. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè. Ôîðìèðîâàíèå ýòèõ òåîðèé îáû÷íî ïðîõîäèò â òðè ýòàïà: • íàêîïëåíèå ðàçðîçíåííûõ ìàòåðèàëîâ, • îáîáùåíèå íàêîïëåííîãî ìàòåðèàëà, • ôîðìàëèçàöèÿ òåîðèè. Ñîçäàíèå áîëüøèíñòâà èçâåñòíûõ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ïðîäèêòîâàíî ïîòðåáíîñòüþ îïèñàíèÿ ðåàëüíîãî ìèðà ñî âñå âîçðàñòàþùåé òî÷íîñòüþ. Òàê ñîçäàâàëèñü, íàïðèìåð, ïðàêòè÷åñêè âñå ðàçäåëû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìíîãèå äðóãèå òåîðèè. Ïåðâûì øàãîì íà ýòîì ïóòè ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòèå ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåç, ôîðìàëèçóþùèõ èçó÷àåìóþ ðåàëüíîñòü ñ ïîìîùüþ îáîáùåííîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè. Ñëåäóþùèé øàã – ôîðìàëèçàöèÿ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì. Îïèñàííàÿ ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íå åäèíñòâåííàÿ. Èçâåñòíû òåîðèè (íàïðèìåð, òåîðèÿ ÷èñåë, ãåîìåòðèè Ðèìàíà è Ëîáà÷åâñêîãî è äð.), ñîçäàâàåìûå âíà÷àëå êàê àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè íà áàçå ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì è ëèøü ïîòîì íàøåäøèå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå. Íàäî îñîáî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ – àáñòðàêòíàÿ òåîðèÿ, îïèñûâàþùàÿ íåêèå èäåàëüíûå (ïî Ïëàòîíó) ñóùíîñòè [Ïåíðîóç, 2007]. Îíà îñòàåòñÿ òàêîâîé äî òåõ ïîð, ïîêà åå íå íà÷èíàþò ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Êîððåêòíîå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè, òåõíèêè, ñîöèàëüíûõ íàóêàõ è ïð. âîçìîæíî ëèøü ïðè íàëè÷èè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, ïîäòâåðæäàþùèõ ôàêò àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè.  ÷àñòíîñòè, äëÿ êîððåêòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ â ôèçèêå êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåîáõîäèìû äàííûå îá àäåêâàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íåïðåðûâíûìè äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè, à äëÿ êîððåêòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé – äàííûå, ïîäòâåðæäàþùèå àäåêâàòíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ èññëåäóåìûõ ôèçè÷åñêèõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè.

41

Глава 1. Принципы познания мира

Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïîëíîñòüþ àäåêâàòíûõ ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì, íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Äàæå åñëè áû òàêèå ìîäåëè è ñóùåñòâîâàëè, ñòðîãî äîêàçàòü èõ àäåêâàòíîñòü áûëî áû íåâîçìîæíî èç-çà îãðàíè÷åííîé òî÷íîñòè ëþáûõ èçìåðåíèé. Èìåÿ â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ðÿä îïûòíûõ äàííûõ, ìîæíî îöåíèòü ñòåïåíü ñîãëàñîâàííîñòè ìîäåëåé ñ ðåàëüíûìè îáúåêòàìè èññëåäîâàíèÿ. Êàêàÿ áû íè èñïîëüçîâàëàñü ïðè ýòîì ìåòîäèêà àíàëèçà, ïîëó÷èòü àáñîëþòíî òî÷íûé îòâåò îá àäåêâàòíîñòè ìîäåëåé íåëüçÿ. Ïîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîì óðîâíå ñîãëàñîâàííîñòè ìîäåëåé ðåàëüíûì äàííûì ïðèõîäèòñÿ ëèøü äîâîëüñòâîâàòüñÿ ïðèíÿòèåì ãèïîòåçû àäåêâàòíîñòè ìîäåëåé. Àêñèîìà àäåêâàòíîñòè – ôèçè÷åñêàÿ ãèïîòåçà, îáåñïå÷èâàþùàÿ ñâÿçü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ îêðóæàþùåé äåéñòâèòåëüíîñòüþ. Ýòà àêñèîìà îòêðûâàåò âîçìîæíîñòü êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íà ïðàêòèêå. Áëàãîäàðÿ åé ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðèîáðåòàåò íîâîå êà÷åñòâî: ñòàíîâèòñÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé. Ê ïðèìåðó, ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, áàçèðóþùàÿñÿ íà òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ àêñèîìàõ Êîëìîãîðîâà, ëèøü ïîñëå ïðèíÿòèÿ äîïîëíèòåëüíîé ãèïîòåçû àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñòîõàñòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè è ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ëèøü ïîñëå ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû îá àäåêâàòíîì îïèñàíèè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íåïðåðûâíûìè äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè ñòàíîâÿòñÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèìè òåîðèÿìè. Øèðîêîå ïðèìåíåíèå òîé èëè èíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íà ïðàêòèêå ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðèçíàíèè, ÷òî îêðóæàþùèé ìèð èëè çíà÷èòåëüíàÿ åãî ÷àñòü ïîñòðîåíû íà ïðèíöèïàõ ñîîòâåòñòâóþùåé àêñèîìû àäåêâàòíîñòè.  ÷àñòíîñòè, ïîâñåìåñòíîå ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ åñòåñòâîçíàíèÿ îçíà÷àåò ïðèíÿòèå ãèïîòåçû, ÷òî ôèçè÷åñêèé ìèð (âî âñÿêîì ñëó÷àå, ìàêðîìèð) íåïðåðûâåí, à ïîâñåìåñòíîå ïðèìåíåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé – ïðèíÿòèå ãèïîòåçû, ÷òî ýòîò ìèð íîñèò ñëó÷àéíûé (ñòîõàñòè÷åñêèé) õàðàêòåð. Êàêèì áû íè áûë ðåàëüíûé ïóòü ïîñòðîåíèÿ ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, åå ìîæíî èçëàãàòü, îòòàëêèâàÿñü êàê îò àáñòðàêòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì, òàê è îò ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåç. Îáà ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòåðèàëà âûãëÿäÿò íà ïåðâûé âçãëÿä ýêâèâàëåíòíûìè. Îäíàêî ýòî íå ñîâñåì òàê. Äåëî â òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè ñ èñ-

42

1.7. Физико-математические теории

ïîëüçîâàíèåì ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îñíîâàííûõ íà ðàçíûõ ñèñòåìàõ àêñèîì. Ìíîãîçíà÷íîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ èíòåðïðåòàöèé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, çà÷àñòóþ íåñóùåñòâåííàÿ ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ñòàâèò ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ñëîæíóþ çàäà÷ó âûáîðà ñðåäè âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ íàèëó÷øåãî. Ôèçè÷åñêàÿ æå èíòåðïðåòàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, êàê ïðàâèëî, îäíîçíà÷íà.  ýòîì ñëó÷àå ïðîáëåìà âûáîðà íå ñòîèò. Ïîýòîìó èçëîæåíèå ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ÷àñòî íà÷èíàåòñÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñîçäàâàëèñü ýòè òåîðèè â íà÷àëå êàê ïðèêëàäíûå. Õàðàêòåðíûé ïðèìåð – ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ ìíîãî÷èñëåííûìè åå ïðèêëàäíûìè ðàçäåëàìè. Ýòà òåîðèÿ ôîðìèðîâàëàñü íà ïðîòÿæåíèè íåñêîëüêèõ âåêîâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü, êàê èíñòðóìåíò ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Ôèçè÷åñêàÿ îñíîâà ïðîñëåæèâàåòñÿ â íåé î÷åíü ÷åòêî. Îäíàêî, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòà òåîðèÿ ïîäàåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, èìåþùàÿ îïðåäåëåííóþ ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Òàêèì îáðàçîì, êàê áû íè èçëàãàëàñü (ïðåäñòàâëÿëàñü) òà èëè èíàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, â åå îñíîâå ëåæàò êàê ìàòåìàòè÷åñêèå àêñèîìû, òàê è ôèçè÷åñêèå ãèïîòåçû.

43

Глава 2 ФЕНОМЕН СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Ïðîàíàëèçèðîâàíû ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà îáùåïðèçíàííîé êîëìîãîðîâñêîé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé àêñèîìàòèêå, à ôèçè÷åñêàÿ ÷àñòü – íà ãèïîòåçå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé èëè ýêâèâàëåíòíîé åé ãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé (ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé) ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè.  ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ò.å. ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Êðàòêî èçëîæåíà èñòîðèÿ èññëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îáñóæäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíû íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. 2.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Íà ïðîòÿæåíèè âåêîâ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ôîðìèðîâàëàñü êàê ïðèêëàäíàÿ òåîðèÿ, îðèåíòèðîâàííàÿ íà îïèñàíèå ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé. Ëèøü â íà÷àëå ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ â ðåçóëüòàòå ñòðîãîé ôîðìàëèçàöèè åå áàçîâûõ ïîíÿòèé è ñèñòåìàòèçàöèè îñíîâíûõ ïîëîæåíèé îíà ïðèîáðåëà ÷åðòû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè è áûëà ïðèçíàíà ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè. Ñîâðåìåííóþ òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, èìåþùóþ îáøèðíóþ îáëàñòü ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîé îñíîâîé ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëóæèò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé À.Í. Êîëìîãîðîâûì, è ïðåäëîæåííàÿ èì ñèñòåìà àêñèîì [Êîëìîãîðîâ,

44

2.1. Теория вероятностей: физические и математические основы 1936]. Èìåííî òàêèì îáðàçîì ôîðìàëèçîâàíû ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â íîâîì ìåæäóíàðîäíîì ñòàíäàðòå ISO [International standard, 2006]. Îáúåêòàìè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿþòñÿ àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû – ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè (ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ), ïðåäñòàâëÿåìûå áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñâîèõ ðåàëèçàöèé è èñ÷åðïûâàþùå õàðàêòåðèçóåìûå îïðåäåëåííûìè, âïîëíå êîíêðåòíûìè, çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû (ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ). Çàìåòèì, ÷òî ÿâëåíèå, íå îïèñûâàåìîå êîíêðåòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, äàëåå ñëó÷àéíûì íå ñ÷èòàåòñÿ. Ìîñòîì, ñâÿçûâàþùèì ðåàëüíûé ìèð ñ àáñòðàêòíûì ìèðîì âåðîÿòíîñòíûõ ïîíÿòèé, ñëóæèò ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, èçó÷àþùàÿ ñëó÷àéíûå âûáîðêè. Êëþ÷åâûì â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ÿâëÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, äîêàçàííûé ß. Áåðíóëëè òðèñòà ëåò íàçàä [Bernoulli, 1713, Áåðíóëëè, 1986].  þáèëåéíîé ðå÷è, ïîñâÿùåííîé äâóõñîòëåòèþ çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë, À.À. Ìàðêîâ ñôîðìóëèðîâàë ýòîò çàêîí ñëåäóþùèì îáðàçîì [Áåðíóëëè, 1986, ñ. 10]: «Åñëè ïðîèçâîäèòñÿ íåîãðàíè÷åííûé ðÿä èñïûòàíèé è ïðè âñåõ ýòèõ èñïûòàíèÿõ íåêîòîðîå ñîáûòèå èìååò îäíó è òó æå âåðîÿòíîñòü, òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå èõ ìîæíî óòâåðæäàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê äîñòîâåðíîñòè, ÷òî îòíîøåíèå ÷èñëà ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ ê ÷èñëó èñïûòàíèé îòêëîíèòñÿ îò âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ìåíåå, ÷åì íà äàííîå ÷èñëî, êàê áû ìàëî îíî íè áûëî». Èíûìè ñëîâàìè, ïðè ïðîâåäåíèè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ, êîãäà íåêîòîðîå ñîáûòèå èìååò îäíó è òó æå âåðîÿòíîñòü, à ÷èñëî èñïûòàíèé íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåðîÿòíîñòè. Êîððåêòíîå ïðèìåíåíèå ëþáîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íà ïðàêòèêå âîçìîæíî ëèøü ïðè íàëè÷èè ãèïîòåçû àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè. Îá ýòîì øëà ðå÷ü â ïàðàãðàôå 1.7. Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòè íà ïðàêòèêå è, â ÷àñòíîñòè, çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë íåîáõîäèìî ïðèíÿòèå ôèçè÷åñêîé ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (ñòàòèñòè÷åñêîé ñòàáèëüíîñòè) ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé.  äàííîì ñëó÷àå ïîä ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ ÷àñòîòû ñîáûòèÿ ïîíèìàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà, ê êîòîðîìó ñòðå-

45

Глава 2. Феномен статистической устойчивости

ìèòñÿ ýòà ÷àñòîòà ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé. Òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ýêâèâàëåíòíà ãèïîòåçå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé. Ýòîò ïðåäåë òðàêòóåòñÿ ôèçèêàìè è èíæåíåðàìè êàê âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà èçó÷àåò âûáîðêè ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòèê – ôóíêöèé âûáîðîê. Âûáîðêè ìîãóò áûòü îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îäíîðîäíîé âûáîðêè ïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû âûáîðêè èìåþò îäèí è òîò æå çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè ýòîì ñòàòèñòèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêè. Îñíîâíàÿ òåîðåìà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè (òåîðåìà Ãëèâåíêî) óòâåðæäàåò [Ãíåäåíêî, 1961], ÷òî ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà îäíîðîäíîé âûáîðêè ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ïî âûáîðêå, ñõîäèòñÿ (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) ê èñòèííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èñ÷åðïûâàþùå õàðàêòåðèçóåò ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê èñòèííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ðàçëè÷íûõ ýìïèðè÷åñêèõ (âûáîðî÷íûõ) õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ (â ÷àñòíîñòè, îöåíîê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîìåíòîâ, êóìóëÿíòîâ è ïð.), ñõîäÿùèõñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì õàðàêòåðèñòèêàì è ïàðàìåòðàì èñòèííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (êîíå÷íî, åñëè òàêîâûå ñóùåñòâóþò). Òåì ñàìûì ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âûáîðî÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è äðóãèå âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ðåàëüíûõ âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé. Ýòî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñàìîãî ðàññìàòðèâàåìîãî ôèçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ãàðàíòèðóåò òåîðåòè÷åñêè àáñîëþòíî òî÷íûé ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ èññëåäóåìîãî ÿâëåíèÿ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ îäíîðîäíîé âûáîðêè, îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé íåîäíîðîäíîé âûáîðêè, ýëåìåíòû êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ ðàçíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ.

46

2.2. Экскурс в историю исследования феномена …  ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàþò íåîäíîðîäíûå âûáîðêè, ó êîòîðûõ ÷åðåäîâàíèå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîèñõîäèò ïî ñëó÷àéíîìó çàêîíó, îïèñûâàåìîìó îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñòàòèñòèêà, ðàññ÷èòàííàÿ ïî âûáîðêå, õàðàêòåðèçóåò íå òîëüêî ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, íî òàêæå è çàêîí ÷åðåäîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèé. Äëÿ òàêîé âûáîðêè ëþáàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåðèçóåìóþ êîíêðåòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàêàÿ ñòàòèñòèêà îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Èç ïðèâåäåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòîì ñëó÷àéíîñòè (ñòîõàñòè÷íîñòè) ÿâëåíèÿ. Èìåííî òàê òðàêòóåòñÿ ýòî ïîíÿòèå â äàëüíåéøåì. Òàêèì îáðàçîì, ïðèíÿòèå ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé ïðèâîäèò ê ïðèíÿòèþ ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ñëåäóþùèì øàãîì ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòèå ãèïîòåçû àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè. Áåç ýòèõ ãèïîòåç íåâîçìîæíî êîððåêòíîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Êàê îòìå÷àëîñü â ãëàâå 1, â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Èíûìè ñëîâàìè, ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. 2.2. ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ ИССЛЕДОВАНИЯ ФЕНОМЕНА СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Íà ôåíîìåí ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû âïåðâûå îáðàòèë âíèìàíèå â 1669 ã. òîðãîâåö ñóêíîì Äæ. Ãðàóíò [Graunt, 1939]. Ñîõðàíèëèñü îòðûâî÷íûå ñâåäåíèÿ îá èññëåäîâàíèÿõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, ïðîâîäèìûå â ïåðèîä ñ êîíöà XVII ïî êîíåö XIX ñòîëåòèÿ Ä. Âåííîì, Ñ.Ä. Ïóàññîíîì, È.Æ. Áüåíåìå, Î. Êóðíî, À. Êåòëå, ß. Áåðíóëëè è äð. [Øåéíèí, www, ×àéêîâñêèé, 2004]. Ñèñòåìàòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà÷àëèñü â êîíöå XIX âåêà. Íåìåöêèé ñòàòèñòèê Â. Ëåêñèñ â 1879 ã. âïåðâûå ïîïûòàëñÿ ñâÿçàòü ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ñ äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íà ðóáåæå ñòîëåòèé è â íà÷àëå XX âåêà èññëåäîâàíèåì ñòàòèñòè÷åñêîé

47

Глава 2. Феномен статистической устойчивости

óñòîé÷èâîñòè çàíèìàëèñü Ê. Ïèðñîí, À.À. ×óïðîâ, Â.È. Áîðòêåâè÷, À.À. Ìàðêîâ, Ð. ôîí Ìèçåñ è äð. [Øåéíèí, www, ×àéêîâñêèé, 2004]. Èçâåñòíî, íàïðèìåð, ÷òî ÷àñòîòó âûïàäåíèÿ îïðåäåëåííîé ñòîðîíû ìîíåòû èññëåäîâàëè Ëàïëàñ, Áþôôîí, Ê. Ïèðñîí è ìíîãèå äðóãèå ó÷åíûå (ñì. ââåäåíèå). Îïèñàíèå ýòèõ è äðóãèõ ïîäîáíûõ èññëåäîâàíèé ïðèâåäåíî â ðÿäå ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêîâ, â ÷àñòíîñòè [Ãíåäåíêî, 1961, 1988]. Ðåçóëüòàòû ìíîãèõ ýêñïåðèìåíòîâ óêàçûâàþò íà ïðàâäîïîäîáíîñòü ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ÿâëåíèé, à ýòî ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, êàê îòìå÷àë Á.Â. Ãíåäåíêî [Ãíåäåíêî, 1961, ñ. 42], «íàëè÷èå íå çàâèñÿùèõ îò èñïûòàòåëÿ çàêîíîìåðíîñòåé òå÷åíèÿ ÿâëåíèÿ, ïðîÿâëåíèå êîòîðûõ è çàêëþ÷àåòñÿ â óêàçàííîì ïî÷òè ïîñòîÿíñòâå ÷àñòîòû».  íà÷àëå ïðîøëîãî âåêà âñòàë âîïðîñ î ôîðìàëèçàöèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Íà II Ìåæäóíàðîäíîì êîíãðåññå ìàòåìàòèêîâ, ïðîõîäèâøåì â 1900 ã., Äàâèäîì Ãèëüáåðòîì áûëè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè [Ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà, 1969]. Øåñòîé ïðîáëåìîé èì áûëî íàçâàíî ìàòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå àêñèîì ôèçèêè. Ðàñêðûâàÿ ñóòü ýòîé ïðîáëåìû, Ä. Ãèëüáåðò àêöåíòèðîâàë âíèìàíèå íà àêñèîìàòèçàöèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïðåäëàãàëèñü ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ ýòîé ïðîáëåìû. Ïåðâóþ íå ñîâñåì óäà÷íóþ ïîïûòêó àêñèîìàòèçàöèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðåäïðèíÿë Ã. Áîëüöìàí [Bohlmann, 1908].  1918 ã. Ñ.Í. Áåðíøòåéí ïðåäëîæèë ñèñòåìó àêñèîì [Áåðíøòåéí, 1918, 1946], îñíîâàííóþ íà êà÷åñòâåííîì ñðàâíåíèè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïî èõ áîëüøåé èëè ìåíüøåé âåðîÿòíîñòè. Ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàëàñü êàê áóëåâà àëãåáðà. Ñ ïîçèöèé åñòåñòâîèñïûòàòåëÿ ïîäîøåë ê ïðîáëåìå ìàòåìàòèê è ìåõàíèê Ð. ôîí Ìèçåñ [Mises, 1919, 1928, 1964, Ìèçåñ, 1930]. Îí ïðåäëîæèë îðèãèíàëüíóþ ñèñòåìó àêñèîì, îñíîâàííóþ íà ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ. Êëþ÷åâóþ ðîëü â åãî ïîäõîäå èãðàëà ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ÷àñòîòû. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ îïðåäåëåíà èì êàê ïðåäåë ÷àñòîòû ïðè óñòðåìëåíèè êîëè÷åñòâà îïûòîâ ê áåñêîíå÷íîñòè.  1923 ã. À. Ëîìíèöêèé íà áàçå èäåé Ý. Áîðåëÿ î ñâÿçè ïîíÿòèé âåðîÿòíîñòè è ìåðû [Borel, 1909] ïðåäëîæèë ñâîþ ñèñòåìó àêñèîì [Lomnicki, 1923].

48

2.2. Экскурс в историю исследования феномена …  êîíöå 20-õ ãîäîâ À.Í. Êîëìîãîðîâûì áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ñòàâøàÿ êëàññè÷åñêîé ñèñòåìà àêñèîì, îñíîâàííàÿ íà òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè ìåðû [Êîëìîãîðîâ, 1929, 1936]. Ïîçäíåå, â 60-õ ãîäàõ îí íà÷àë ðàçðàáàòûâàòü èíûå, àëãîðèòìè÷åñêèå, ïðèíöèïû ôîðìàëèçàöèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îáùåïðèçíàííûì â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñ÷èòàåòñÿ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûé ïîäõîä À.Í. Êîëìîãîðîâà. Õîòÿ â ðåçóëüòàòå íàó÷íûõ ñïîðîâ ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä Ð. ôîí Ìèçåñà áûë îòâåðãíóò áîëüøèíñòâîì ìàòåìàòèêîâ, ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðîäîëæàåò èãðàòü áîëüøóþ ðîëü. Ñâÿçàíî ýòî ñ òåì, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ÿâëÿåòñÿ îáúåêòèâíîé ðåàëüíîñòüþ ôèçè÷åñêîãî ìèðà. Óñïåõè â ðàçâèòèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñîçäàþò èëëþçèþ, ÷òî ïðè îïèñàíèè ìàññîâûõ ÿâëåíèé íå äîëæíî áûòü ñåðüåçíûõ ïðîáëåì. Îäíàêî îêàçûâàåòñÿ, íå âñå òàê ïðîñòî. Ïðåäñêàçûâàåìàÿ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé âîçìîæíîñòü òåîðåòè÷åñêè àáñîëþòíîãî òî÷íîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðîãíîçà õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè, ê ñîæàëåíèþ, íå íàõîäèò ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ. Êðîìå òîãî, íå óäàåòñÿ äîñòè÷ü è áåñêîíå÷íî âûñîêîé òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, òàêæå ïðåäñêàçûâàåìîé òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ýòè è äðóãèå ïðîòèâîðå÷èÿ ìåæäó òåîðèåé è ïðàêòèêîé óêàçûâàþò íà íåàäåêâàòíîå îïèñàíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Êðóïíûå ó÷åíûå, ãîâîðÿ î ôåíîìåíå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, ïðîÿâëÿëè è ïðîÿâëÿþò áîëüøóþ îñòîðîæíîñòü â ôîðìóëèðîâêàõ, îáðàùàÿ âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìîãóò èìåòü ìåñòî íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íåêîòîðûå âûñêàçûâàíèÿ ïî ýòîìó ïîâîäó ïðèâåäåíû â ïðèëîæåíèè 1. Ïðîáëåìà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äîñòàòî÷íî àêòèâíî îáñóæäàëàñü è ïðîäîëæàåò îáñóæäàòüñÿ â íàó÷íîé ëèòåðàòóðå. Íî çà÷àñòóþ ìàòåìàòèêè ñ÷èòàþò, ÷òî âîïðîñ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå èìååò ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê ìàòåìàòèêå, à ôèçèêè ïîëàãàþò åãî ñóãóáî ìàòåìàòè÷åñêèì âîïðîñîì.  èòîãå ïðîáëåìà íàðóøåíèÿ è ó÷åòà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äî íåäàâíåãî âðåìåíè îñòàâàëàñü ìàëîèçó÷åííîé. Îòñóòñòâèå íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ñåðüåçíîãî èíòåðåñà ê ïðîáëåìå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèõ âðåìåííûõ, ïðîñòðàíñòâåííûõ è ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé

49

Глава 2. Феномен статистической устойчивости

îáû÷íî ìàëî èçìåíÿþòñÿ è ïîýòîìó êëàññè÷åñêèå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè îáåñïå÷èâàþò âïîëíå àäåêâàòíîå èõ ïðåäñòàâëåíèå. Âîçðàñòàþùàÿ ïîòðåáíîñòü ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè èçìåðåíèé ïðèâåëà â ïîñëåäíèå ãîäû ê íåîáõîäèìîñòè çíà÷èòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ èíòåðâàëîâ îáðàáîòêè. Íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ, êàê ïîêàçûâàþò ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, íàáëþäàþòñÿ ñóùåñòâåííûå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Âñå óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âñå ðåàëüíûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, ïðîöåññû è ïîëÿ (çà èñêëþ÷åíèåì, âîçìîæíî, ëèøü íåêîòîðûõ ôóíäàìåíòàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ ïîñòîÿííûõ, òàêèõ êàê ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå) îáëàäàþò íå àáñîëþòíîé, à âñåãî ëèøü îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ. Î÷åíü ñóùåñòâåííî, ÷òî íàðóøåíèÿ óñòîé÷èâîñòè íîñÿò ñòàòèñòè÷åñêè íåïðåäñêàçóåìûé (íåïðîãíîçèðóåìûé) õàðàêòåð, íå ïîääàþùèéñÿ âåðîÿòíîñòíîìó îïèñàíèþ ñ ïîìîùüþ êàêèõ-ëèáî çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. 2.3. НАРУШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Åñëè âûáîðêà îäíîðîäíàÿ, òî âñå åå ñòàòèñòèêè (ôóíêöèè âûáîðêè) îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Åñëè æå âûáîðêà íåîäíîðîäíàÿ, òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñòàòèñòèêè îêàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè.  ýòîé ñâÿçè íà ïðàêòèêå ïî âîçìîæíîñòè ïûòàþòñÿ èçáåãàòü íåîäíîðîäíûõ âûáîðîê. Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêîé íåîäíîðîäíîñòè ïîëåçíû ìåòîäû ïðîâåðêè íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç, îñíîâàííûå íà êðèòåðèè Êîëìîãîðîâà, Ïèðñîíà, îìåãà-êâàäðàò è ïð. [Áîëüøåâ, Ñìèðíîâ, 1983, Êîðîëþê è äð., 1985, Ãîðáàíü, 2003]. Âûáîðêè, ñîîòâåòñòâóþùèå íåáîëüøèì èíòåðâàëàì íàáëþäåíèÿ, êàê ïðàâèëî, îäíîðîäíû. Ïðè ýòîì ïðîáëåìû íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íåò. Âûáîðêè æå, ñîîòâåòñòâóþùèå áîëüøèì èíòåðâàëàì íàáëþäåíèÿ, îáû÷íî íåîäíîðîäíû. Òîãäà ìîãóò ïðîèñõîäèòü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.  ïàðàãðàôå 2.1 ðàññìàòðèâàëñÿ âàðèàíò ÷åðåäîâàíèÿ â íåîäíîðîäíîé âûáîðêå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñëó÷àéíîìó çàêîíó. Ñòàòèñòèêè, ñôîðìèðîâàííûå ïî òàêîé âûáîðêå, ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûå. Îäíàêî âîçìîæíî íåðåãóëÿðíîå ÷åðåäîâàíèå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, íå îïèñûâàåìîå ñëó÷àéíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ.

50

2.4. Неопределенные и случайные модели  ýòîì ñëó÷àå äàëåêî íå êàæäàÿ ñòàòèñòèêà èìååò êîíêðåòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñòàòèñòèêà, íå îïèñûâàåìàÿ êîíêðåòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Òàêèå ñòàòèñòèêè íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îòìåòèì, ÷òî íåêîòîðûå ñòàòèñòèêè è ïðè íåðåãóëÿðíîì ÷åðåäîâàíèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ îñòàþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ñâîéñòâî ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âûáîðêó ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè èç èíòåðâàëà [m1 , m2 ] ïðè íåðåãóëÿðíîì ÷åðåäîâàíèè çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.  äàííîì ñëó÷àå ñðåäíåå âûáîðêè – íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïîñêîëüêó îíà íå îïèñûâàåòñÿ êîíêðåòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.  ðåçóëüòàòå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå íå èìååò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îäíàêî, äàæå ïðè ïðîèçâîëüíîì ÷åðåäîâàíèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïóòåì óñðåäíåíèÿ äàííûõ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñëó÷àéíûå îöåíêè, íàïðèìåð, îöåíêè ãðàíèö ñðåäíåãî, ñõîäÿùèåñÿ ê m1 è m2 . Çàìåòèì, ÷òî ïðè êîíêðåòíîì ÷åðåäîâàíèè çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåäíåå âûáîðêè – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî. Çíà÷åíèå ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå [m1 , m2 ] . Íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñîçäàåò ñåðüåçíûå ïðîáëåìû, ïîñêîëüêó êëàññè÷åñêèå ïîäõîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè çà÷àñòóþ îêàçûâàþòñÿ ìàëîïðèãîäíûìè. Òðåáóþòñÿ íîâûå ïîäõîäû è íîâûå ìîäåëè. 2.4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ Ïîçíàíèå îêðóæàþùåãî ìèðà îñíîâàíî íà ïîñòðîåíèè íåôîðìàëèçîâàííûõ è ôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé (ñì. ãëàâó 1). Ôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå. Ñðåäè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé îáû÷íî âûäåëÿþò äåòåðìèíèðîâàííûå è ñëó÷àéíûå (èëè ñòîõàñòè÷åñêèå) ìîäåëè, äîïóñêàþùèå

51

Глава 2. Феномен статистической устойчивости

àäåêâàòíîå îïèñàíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîìîùüþ äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñëó÷àéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Òàêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ íå î÷åíü óäà÷íîé, ïîñêîëüêó ïðè ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ (ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû, ïðîöåññà, ôóíêöèè) ñ èñïîëüçîâàíèåì, íàïðèìåð, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé àêñèîìàòèêè À.Í. Êîëìîãîðîâà îñòàåòñÿ âíå ðàññìîòðåíèÿ êëàññ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Áîëåå êîíñòðóêòèâíûì, íà íàø âçãëÿä, ïðåäñòàâëÿåòñÿ äåëåíèå ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà äåòåðìèíèðîâàííûå è íåäåòåðìèíèðîâàííûå (èëè, èíà÷å, íåîïðåäåëåííûå) ìîäåëè. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ êëàññèôèêàöèè íåîïðåäåëåííûõ ìîäåëåé (ñì., íàïðèìåð, [Áî÷àðíèêîâ, 2001]). Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî âî âñåõ êëàññèôèêàöèÿõ, êàê ïðàâèëî, ñëó÷àéíûå ìîäåëè çàíèìàþò ëèøü íåáîëüøóþ ÷àñòü. Áîëüøèíñòâî æå ñîñòàâëÿþò íåñëó÷àéíûå ìîäåëè. Ñìåøàííûå ìîäåëè, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò ñëó÷àéíûå è íåñëó÷àéíûå ñîñòàâëÿþùèå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê íåñëó÷àéíûå. Çàìåòèì, ÷òî ïðè òàêîé êëàññèôèêàöèè ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè, ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîé êíèãå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîäêëàññ íåîïðåäåëåííûõ ìîäåëåé, â ñîñòàâ êîòîðîãî âõîäÿò ñëó÷àéíûå ìîäåëè.

52

Глава 3 СТАТИСТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕССЫ

Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ïðîòèâîðå÷èò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Ïðè íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé íå èìåþò ïðåäåëîâ. Îäíàêî ðàçíîñòü ìåæäó âûáîðî÷íûì ñðåäíèì è ñðåäíèì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè. Âûÿñíåíî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû – îñîáûé êëàññ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Íà îñíîâå àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âûäâèíóòà ãèïîòåçà, ÷òî ïðè÷èíîé íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íà îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñâåðõíèçêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ ñðåäíåãî 1. Ïðåäëîæåíû ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ. 3.1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРОЦЕССОВ Â ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íåîäíîðîäíàÿ ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ íåðåãóëÿðíûì ÷åðåäîâàíèåì ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, íå îïèñûâàåìûì ñëó÷àéíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæåò èìåòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ñòàòèñòèêè. Ðàññìîòðèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå îêàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X 1 , X 2 ,... ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíóþ âûáîðêó) áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâîé (ñòàòèñòè÷åñêè ñòàáèëüíîé), åñëè ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûáîðî÷íîé äèñïåð1

Ñì. ñíîñêó íà ñ. 21.

53

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

ñèè DYN =

1 N

N

∑ (Yn − mY n =1

N

)2

ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî

1 n 1 N X i ( n = 1, N ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ãäå mYN = ∑ ∑ Yn – n i =1 N n =1 âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íå óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ, áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì (ñòàòèñòè÷åñêè ñòàáèëüíûì), åñëè ïðè óñòðåìëåíèè âðåìåíè íàáëþäåíèÿ T ê áåñêîíå÷íîñòè ìàòåìàòè1T (Y (t ) − myT )2 dt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ÷åñêîå îæèäàíèå èíòåãðàëà ∫ T 0 Yn =

1t 1T X (t1 )dt1 – íàêîïëåííîå ñðåäíåå, myT = ∫ Y (t )dt – ∫ t 0 T 0 ñðåäíåå íàêîïëåííîãî ñðåäíåãî. Ïðîöåññû, íå óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ, áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè.  äàííîì ñëó÷àå òèï ñõîäèìîñòè íå ñòîëü ñóùåñòâåí, íî äëÿ ïðèäàíèÿ îïðåäåëåíèÿì íåîáõîäèìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî ïðèáëèæåííî äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó x0 ìîæíî ñ÷èòàòü âûðîæäåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ó êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå x0 [Ãîðáàíü, 2005 (1), 2007 (1)]:

ãäå Y (t ) =

F ( x ) = sign[ x − x0 ] ,

à äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ x0 (t ) – âûðîæäåííîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé, ó êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ; t ) = sign[x − x0 (t )] , 0 ïðè x ≤ 0, ãäå sign [ x ] =  1 ïðè x > 0. Ïîýòîìó ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ïðèìåíèìû òàêæå äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí è äåòåðìèíèðîâàííûõ ôóíêöèé. Ñòåïåíü ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ìîæåò áûòü ðàçíàÿ.  îäíîì ñëó÷àå ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêî-

54

3.2. Закон больших чисел при нарушении статистической устойчивости

íå÷íîñòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, â äðóãîì ñëó÷àå – îêàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà C ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ôëóêòóàöèè õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü íåóñòîé÷èâîñòè. 3.2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ПРИ НАРУШЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Èçâåñòíàÿ òåîðåìà ×åáûøåâà, âûðàæàþùàÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X 1 ,..., X N ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ êîíå÷íûå äèñïåðñèè è ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx1 ,K , mxN , óòâåðæäàåò [Ãíåäåíêî, 1988, Ãîðáàíü, 2003], ÷òî ïðè óñòðåìëåíèè N ê áåñêîíå÷íîñòè âûáîðî÷íîå 1 N ñðåäíåå Y N = ∑ X n ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó N n =1 1 N myN = ∑ mx ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx1 ,K , mxN . N n =1 n Îáðàòèì âíèìàíèå íà îäíó òîíêîñòü, óñêîëüçàþùóþ îò ìíîãèõ: ýòà òåîðåìà íå ãîâîðèò î ñõîäèìîñòè íè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Y N , íè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé myN , à óòâåðæäàåò ñõîäèìîñòü ýòèõ âåëè÷èí äðóã ê äðóãó èëè, èíà÷å, óòâåðæäàåò ñõîäèìîñòü ê íóëþ èõ ðàçíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå Y N è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé myN ìîãóò íå èìåòü ïðåäåëà. Îíè ìîãóò, íàïðèìåð, ôëóêòóèðîâàòü âîêðóã êîíñòàíòû, íî ïðè ýòîì îíè èçìåíÿþòñÿ ñèíõðîííî. Èç òåîðåìû ×åáûøåâà ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òîãäà è òîëüêî òîãäà ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâà, êîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé myN ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òåîðåìû, ýòî ïîëîæåíèå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ïðèìåíèòåëüíî ê ñëó÷àéíîìó ïðîöåññó òåîðåìà ×åáûøåâà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ñå÷åíèÿ X (t1 ), X (t2 ),K ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå êîíå÷íûå

55

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

äèñïåðñèè è ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx (t1 ), mx (t2 ),K . Òîãäà ïðè óñòðåìëåíèè âðåìåíè íàáëþäåíèÿ t ê áåñêîíå÷íîñòè ñðåä1t íåå ïðîöåññà Y (t ) = ∫ X (t1 )dt1 ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåät 0 íåìó my (t ) =

1t mx (t1 )dt1 ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. t ∫0

Åñëè ïðåäåë ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé my (t ) ñóùåñòâóåò, òî ïðè t → ∞ ïðîöåññ Y (t ) , çàòóõàÿ, ñòðåìèòñÿ ê ýòîìó ïðåäåëó. Åñëè æå ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî ïðè t → ∞ ïðîöåññ Y (t ) è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé my (t ) ñèíõðîííî ôëóêòóèðóþò, ïðè ýòîì ôëóêòóèðóþò òàêèì îáðàçîì, ÷òî Y (t ) → my (t ) , ò.å. çíà÷åíèå ïðîöåññà Y (t ) ïðèáëèæàåòñÿ ê çíà÷åíèþ ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé my (t ) . 3.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ И ПРОЦЕССАХ Ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûìè ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè ïåðâûìè äâóìÿ ìîìåíòàìè, à òàêæå íåîäíîðîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè ïåðâûìè äâóìÿ ìîìåíòàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ýòèõ âåëè÷èí èìååò ïðåäåë. Ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèé äåòåðìèíèðîâàííûé ïðîöåññ. Ïðèìåðû ìîäåëåé ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ ïðîöåññîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 3.1: ìîäåëü áåëîãî ãàóññîâñêîãî øóìà (ìîäåëü 1) è ìîäåëü ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ìîäåëü 2). Åñëè ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå èìååò ïðåäåëà (íàïðèìåð, ôëóêòóèðóåò), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü – ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâà. Ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâîé íåñõîäÿùèéñÿ ðÿä. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïîíÿòèÿ íåñòàöèîíàðíîñòè è ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè íå òîæäåñòâåííû. Ñòàöèîíàðíûå ýðãîäè÷åñêèå ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ïðîöåññû [Ãîðáàíü, 2003] ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâû. Ñðåäè íåñòàöèîíàðíûõ âñòðå÷àþòñÿ êàê ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûå, òàê è ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû.

56

3.4. Причины нарушения статистической устойчивости

Ðèñ. 3.1. Ìîäåëü áåëîãî ãàóññîâñêîãî øóìà (ìîäåëü 1) (à), ìîäåëü ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ìîäåëü 2) (â) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû – îñîáûé êëàññ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. 3.4. ПРИЧИНЫ НАРУШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Ïðåäñòàâèì íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) â âèäå ñóììû åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mx (t ) è ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà o

X (t ) ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì: o

X (t ) = mx (t ) + X (t ) .

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî my (t ) îïðåäåëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mx (t ) :

57

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

my (t ) =

1t mx (t1 ) dt1 . t ∫0

Ïîýòîìó äëÿ èçó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mx (t ) . Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ òðåìÿ òèïàìè èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mx (t ) : ïåðèîäè÷åñêèì, ñêà÷êîîáðàçíûì è àïåðèîäè÷åñêèì.

3.4.1. Случайные процессы с периодически изменяющимся математическим ожиданием Ïóñòü mx (t ) – ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T . Òîãäà åå ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå: mx (t ) =

∞

 j2π  kt  ,  T 

∑ a&k exp 

k =−∞

(3.1)

ãäå a&k = ak exp( jϕk ) – êîìïëåêñíûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ, ak – àìïëèòóäà, ϕk – ôàçà. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî ∞

my (t ) = a0 + 2 ∑ ak k =1

sin πtk T cos(πtk T + ϕk ) . πtk T

(3.2)

Èç âûðàæåíèÿ (3.2) ñëåäóåò, ÷òî ïåðåìåííàÿ ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî îïèñûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, çàòóõàþùèìè ïî çàêîíó sin x / x . Ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ ýòèõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïåðèîäà T : ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ïåðèîäà ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ óìåíüøàåòñÿ, à ïðè T → ∞ îíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ – ó ïåðâîãî ÷ëåíà ðÿäà (ñîîòâåòñòâóþùåãî k = 1 ).  ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè ñðåäíåãî (3.2) ãàðìîíèêè âûñøåãî ïîðÿäêà, ïðèñóòñòâóþùèå â ðàçëîæåíèè (3.1), îêàçûâàþòñÿ ïîäàâëåííûìè. ×åì âûøå ïîðÿäîê ãàðìîíèêè, òåì ñèëüíåå ïîäàâëåíèå. Åñëè äëèòåëüíîñòü t èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøå ïåðèîäà T , èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî my (t ) íåçíà÷èòåëüíû. Ýòî – îáëàñòü âûðàæåííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ñèòóàöèÿ, îäíàêî, ìåíÿåòñÿ ïî ìåðå ïðè-

58

3.4. Причины нарушения статистической устойчивости

Ðèñ. 3.2. Ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ âûñîêîé (ìîäåëü 3) (à) è íèçêîé (ìîäåëü 4) (â) ÷àñòîòîé êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

áëèæåíèÿ äëèòåëüíîñòè t ê ïåðèîäó T . Íà èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ t ∈ [0,T ] , êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (3.2), ïðîèñõîäÿò çíà÷èòåëüíûå èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î âûðàæåííîé òåíäåíöèè íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Õàðàêòåðèçóÿ ïðîöåññ íà ýòîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü åãî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Çàìåòèì, ÷òî îùóòèìûå èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî è íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîãóò òàêæå ðåãèñòðèðîâàòüñÿ è íà èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ, ñóùåñòâåííî áîëüøèõ ïåðèîäà T . Ýòî èìååò ìåñòî, êîãäà ãàðìîíèêè âûñøåãî ïîðÿäêà äîñòàòî÷íî âåëèêè, à èõ íîìåðà íå î÷åíü áîëüøèå. Îïèñàííûå îñîáåííîñòè ïðîèëëþñòðèðîâàíû ðèñ. 3.2 (ìîäåëè 3, 4). Ïðè ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâàëàñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

59

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

xn = a + σ1 n0l nn + σ2 cos(2πfn / N ) ,

ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè t = ∆tn â ÷àñàõ ( n = 1, N , ∆t = 0,2 ñ), ñ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ÷àñòîòû f .  ìîäåëè 3 f = 400 (ðèñ. 3.2, à, á), à â ìîäåëè 4 – f = 1 (ðèñ. 3.2, â, ã).  îáåèõ ìîäåëÿõ a = 220 , σ1 = 1 , ìíîæåñòâî îòñ÷åòîâ ðàçáèòî íà L áëîêîâ ïî M îòñ÷åòîâ â êàæäîì ( N = ML , M = 64 ), n0l – ñîîòâåòñòâóþùèé l -ìó áëîêó îòñ÷åò ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé, nn – n -é îòñ÷åò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé, σ2 = 10 . Èç âûðàæåíèÿ (3.2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t → ∞ è êîíå÷íîì T ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî my (t ) ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, íåñìîòðÿ íà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà îïðåäåëåííîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ, ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì â öåëîì ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) , ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ñóììó Q ïðèìåðíî îäèíàêîâûõ ïî óðîâíþ ïðîöåññîâ X q (t ) ñ ïåðèîäàìè èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ T1 ,T2 ,K ,TQ . Ïåðèîä Tq +1 êàæäîãî ñëåäóþùåãî ïðîöåññà X q +1 (t ) çíà÷èòåëüíî áîëüøå ïåðèîäà Tq ïðåäûäóùåãî ïðîöåññà X q (t ) . Íà èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ îò íóëÿ äî t , çíà÷èòåëüíî ìåíüøåì T1 , ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðàêòè÷åñêè íå ïðîÿâëÿþòñÿ è ïîýòîìó ïðîöåññ X (t ) ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè óñòîé÷èâûì. Ïðè ïðèáëèæåíèè t ê T1 ïðîöåññ X 1 (t ) (à ñëåäîâàòåëüíî, è ïðîöåññ X (t ) ) ñòàíîâèòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè âðåìåíè íàáëþäåíèÿ íà÷èíàþò ïðîÿâëÿòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîöåññà X 1 (t ) è îí ïîñòåïåííî ïðèîáðåòàåò õàðàêòåð óñòîé÷èâîãî ïðîöåññà. Ïðè ýòîì ïðîöåññ X (t ) òàêæå íà÷èíàåò ïîõîäèòü íà ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûé ïðîöåññ. Ïðè ïðèáëèæåíèè t ê T2 ïðîöåññ X 2 (t ) ñòàíîâèòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðîöåññà X (t ) íàðóøàåòñÿ è ò.ä. Ïðè Q → ∞

60

3.4. Причины нарушения статистической устойчивости

Ðèñ. 3.3. Ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ñîäåðæàùèì òðè ñèëüíî îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà ïî ÷àñòîòå ãàðìîíèêè (ìîäåëü 5) (à) è ïÿòü áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ïî ÷àñòîòå ãàðìîíèê (ìîäåëü 6) (â), à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

÷åðåäîâàíèå óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé îõâàòûâàåò áåñêîíå÷íûé èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ è â öåëîì ïðîöåññ îêàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Êîãäà ïåðèîäû ñâÿçàíû íåðàâåíñòâàìè Tq +1 < 2Tq , îáëàñòè íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé ñëèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé è ïðàêòè÷åñêè íà âñåì èíòåðâàëå [T1 ,TQ ) ïðîöåññ îêàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Îïèñàííàÿ ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ îáëàñòåé ïðîèëëþñòðèðîâàíà ìîäåëÿìè 5 è 6 (ðèñ. 3.3). Ìîäåëü 5 îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì 3

xn = a + σ1 n0l nn + σ2 ∑ cos(2πf i n / N ) , i =1

61

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

ãäå f1 = 256 , f 2 = 16 , f 3 = 1 , à ìîäåëü 6 – âûðàæåíèåì 5

xn = a + σ1 n0l nn + σ2 ∑ cos(2πf i n / N ) , i =1

ãäå f1 = 16 , f 2 = 8 , f 3 = 4 , f 4 = 2 , f 5 = 1 .  îáåèõ ìîäåëÿõ íåîãîâîðåííûå ïàðàìåòðû òàêèå æå, êàê â ìîäåëè 3. Îïèñàííàÿ àääèòèâíàÿ ìîäåëü ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå ìîäåëè ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ. Íàëè÷èåì â íåé ñëó÷àéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìèñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ìîæíî îáúÿñíèòü ÷åðåäîâàíèå â ðåàëüíûõ ïðîöåññàõ ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé.

3.4.2. Случайные процессы со скачкообразно изменяющимся математическим ожиданием Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñî ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáîãî èíòåðåñà, ïîñêîëüêó ïðè íàëè÷èè ñèëüíî âûäåëÿþùèõñÿ îòñ÷åòîâ ñðåäíåå îòêëèêàåòñÿ íà âîçäåéñòâèå âñïëåñêàìè óðîâíÿ, íî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îíè áûñòðî ñãëàæèâàþòñÿ (ìîäåëü 7, ðèñ. 3.4, à, á).  ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè îòñ÷åòû âõîäíîãî ïðîöåññà îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèåì xn = a + σ1n1n + σ2 ε p (1 + | n2n |) , ãäå σ2 = 20 , n1n , n2n – ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé,

0, åñëè n íå êðàòíî p, εp =  1, åñëè n êðàòíî p, p = 4000 , à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû òàêèå æå, êàê â ìîäåëè 3.

3.4.3. Случайные процессы с апериодически изменяющимся математическим ожиданием Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ðàññìîòðåííûå â ï. 3.4.1, íà èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ äëèòåëüíîñòüþ ìåíåå ïåðèîäà T ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðîöåññû ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ïðîöåññû ìîãóò

62

3.4. Причины нарушения статистической устойчивости

Ðèñ. 3.4. Ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ïåðèîäè÷åñêè ñêà÷êîîáðàçíûì èçìåíåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (ìîäåëü 7) (à), ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì (ìîäåëü 8) (â) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

áûòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè íà îïðåäåëåííûõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ. Ïóñòü mx (t ) äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Ìàêëîðåíà: mx (t ) =

∞

∑ ak t k .

(3.3)

k =0

Òîãäà my (t ) =

∞

a tk

∑ k k+ 1 .

(3.4)

k =0

Èç âûðàæåíèÿ (3.4) ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mx (t ) ïî çàêîíó t k ïðèâîäèò ê òàêîìó æå çàêîíó èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî my (t ) . Ýòî îçíà÷à-

63

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

åò, ÷òî åñëè mx (t ) = t k , òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâ íà ëþáîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ â ðàçëîæåíèè (3.4) äîïîëíèòåëüíûõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçëîæåíèåì (3.3) êîýôôèöèåíòîâ (k + 1)−1 çàêîí èçìåíåíèÿ my (t ) â îáùåì ñëó÷àå íå ïîâòîðÿåò çàêîí èçìåíåíèÿ mx (t ) , à ïîòîìó íå îáÿçàòåëüíî ïðîöåññ ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ó êîòîðîãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mx (t ) â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå èçìåíÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì T .  ýòîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ðÿäîì mx (t ) =

 j2π  k ln t  .  T 

∞

∑ a&k exp 

k =−∞

Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ ñ íîðìèðîâêîé íà t äàåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî my (t ) , êîòîðîå ñ ïîìîùüþ íåñëîæíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ∞

my (t ) = a0 + 2∑

k =1

ak 1 + 4 π2 k 2 / T 2

×

× sin(2πk ln t T + ϕk +arctg(T / 2πk )).

Êàê âèäíî, äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå ôóíêöèè mx (t ) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî my (t ) îïèñûâàåòñÿ ðÿäîì íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêîé ïðîöåññ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâ íà èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ [0, ∞) . Íà ðèñ. 3.4, â, ã ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ìîäåëè, ïðåäñòàâëÿåìîé ôóíêöèåé xn = a + σ1nn + σ2 cos(2πf lg n/ lg N )

(ìîäåëü 8), ãäå σ2 = 10 , f = 20 , à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû è âåëè÷èíû òàêèå æå, êàê è â ìîäåëè 3. Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ âðÿä ëè îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè òèïà t k èëè êîñèíóñ-ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèåé. Îñíîâíàÿ ïðè÷èíà òîìó – èõ íåèíâàðèàíòíîñòü ê ñäâèãó.

64

3.5. Оценка степени нарушения статистической устойчивости …

Ïðè ýòîì, îäíàêî, íå ñëåäóåò èñêëþ÷àòü âîçìîæíîñòü, ÷òî îòäåëüíûå ôðàãìåíòû ðåàëèçàöèé ìîãóò îïèñûâàòüñÿ ïîäîáíûìè ôóíêöèÿìè ñ âûòåêàþùèìè èç ýòîãî ïîñëåäñòâèÿìè. 3.5. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ НАРУШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ НАБЛЮДЕНИЯ Óñòàíîâèòü íà ïðàêòèêå ôàêò ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ðåàëüíîãî ïðîöåññà ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ âñåãäà îãðàíè÷åí. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå íåâîçìîæíî âû÷èñëèòü ãðàíèöó C ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî, õàðàêòåðèçóþùóþ ñòåïåíü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èññëåäóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ïðîöåññà. Ïî àíàëîãèè ôîðìàëèçàöèè øèðîêî èñïîëüçóåìîãî èíæåíåðàìè ïîíÿòèÿ èíòåðâàëà ñòàöèîíàðíîñòè (ïîä êîòîðûì îáû÷íî ïîäðàçóìåâàåòñÿ èíòåðâàë, íà êîòîðîì ïðîöåññ íå òîëüêî ñòàöèîíàðåí, íî è ïðàêòè÷åñêè ýðãîäè÷åí) ìîæíî ôîðìàëèçîâàòü ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ. Îñíîâîé äëÿ ôîðìàëèçàöèè ìîæåò ñëóæèòü âûÿâëåíèå ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà îáðàáàòûâàåìûõ äàííûõ òåíäåíöèè ñòàáèëèçàöèè óðîâíÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî èëè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî. Íàëè÷èå òàêîé òåíäåíöèè ÿâëÿåòñÿ êà÷åñòâåííûì ïîêàçàòåëåì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îòñóòñòâèå òàêîé òåíäåíöèè ñâèäåòåëüñòâóåò î íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ñòåïåíè íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå ôëóêòóàöèþ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Y N èëè ôëóêòóàöèþ ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé myN . Óðîâåíü ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Y N ïðåäñòàâëÿåò âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ DYN ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Y n .  êà÷åñòâå ïàðàìåòðà, õàðàêòåðèçóþùåãî ñòåïåíü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæåò ñëóæèòü ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî. Ýòîò ïàðàìåòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè DYN , íîðìèðîâàííîå íà äèñ-

65

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

ïåðñèþ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî DyN = N : γ1N =

1 N2

N

∑ Dx n =1

è îáúåì âûáîðêè

n

M  DYN  , ãäå M[⋅] – îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèNDyN

äàíèÿ, Dxn – äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X n . Óðîâåíü ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé myN ïðåäñòàâëÿåò äèñïåðñèÿ ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáî1 N 1 N ðî÷íîãî ñðåäíåãî Dmy = (myn − mmy )2 , ãäå mmy = ∑ ∑ my – N N N N n =1 N n =1 n ñðåäíåå ôëóêòóàöèé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ myn âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî. Ïîýòîìó ïàðàìåòðîì, õàðàêòåðèçóþùèì ñòåïåíü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæåò ñëóæèòü òàêæå ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè Dmy N , ïðåäñòàâëÿþñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé γ 2 N = NDyN ùèé ñîáîé äèñïåðñèþ ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Dmy , íîðìèðîâàííóþ íà äèñïåðñèþ âûN

áîðî÷íîãî ñðåäíåãî DyN è îáúåì âûáîðêè N . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèÿìè

γ1N

N  M  ∑ (Y n − mYN )2   n =1 , = N ∑ D xn n =1

N

γ2N =

∑ (my n =1

n

N

− mmy )2

∑ D xn

N

.

n =1

Íà îñíîâàíèè òåîðåìû ×åáûøåâà ïðè N → ∞ ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî γ1N ñòðåìèòñÿ ê ïàðàìåòðó ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé γ 2 N , ïðè÷åì êàê â ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ, òàê è â ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

66

3.5. Оценка степени нарушения статистической устойчивости …

Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ðàâíû íóëþ (òàê êàê M  DYN  → 0 , à NDyN – êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà), à äëÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòè âåëè÷èíû ìîãóò ïðèíèìàòü íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå, ôëóêòóèðîâàòü èëè ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè γ1N , γ 2 N çàâèñÿò êàê îò âåëè÷èíû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè M DYN  ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è äèñïåðñèè ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Dmy

N

âûáîðî÷íîãî

ñðåäíåãî, òàê è îò äèñïåðñèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî DyN : ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðîâ ôëóêòóàöèè M DYN  è Dmy ïàðàìåòðû ñòàòèN ñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè γ1N , γ 2 N óìåíüøàþòñÿ, à ïðè óìåíüøåíèè äèñïåðñèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî DyN – âîçðàñòàþò. Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èíîãäà ìîãóò áûòü áîëåå óäîáíûìè äðóãèå ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè – ïàðàìåòðû µ1N , µ2 N , ñâÿçàííûå ñ ïàðàìåòðàìè γ1N , γ 2 N ñîîòíîøåíèÿìè µ1N =

γ1N /(1 + γ1N ) , µ 2 N =

γ 2 N /(1 + γ 2 N ) .

 îòëè÷èå îò ïàðàìåòðîâ γ1N , γ 2N , îãðàíè÷åííûõ ëèøü ñíèçó íóëåâûì çíà÷åíèåì, ïàðàìåòðû µ1N , µ2N îãðàíè÷åíû êàê ñíèçó, òàê è ñâåðõó: ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ýòèõ ïàðàìåòðîâ ðàâíî íóëþ, à ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå – åäèíèöå. ×åì ìåíüøå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ µ1N , µ2N , òåì áîëåå óñòîé÷èâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ µ1N , µ2N , áëèçêèå ê íóëþ ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè N , ñâèäåòåëüñòâóþò î âûñîêîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, áîëüøèå æå çíà÷åíèÿ – î åå ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè. Ðåàëüíûå ïðîöåññû ñîäåðæàò êàê ñòàòèñòè÷åñêè ïðîãíîçèðóåìóþ, òàê è ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìóþ ñîñòàâëÿþùèå. Õîòÿ âñå ðàññìîòðåííûå ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè – îòíîñèòåëüíûå (áåçðàçìåðíûå) âåëè÷èíû, ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå. Ïàðàìåòðû γ1N , γ 2N õàðàêòåðèçóþò àáñîëþòíûé óðîâåíü íåóñòîé÷èâîñòè, à µ1N , µ2N – îòíîñèòåëüíûé óðîâåíü.

67

Глава 4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ

Ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðÿäà ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è âåëè÷èí íà ïðåäìåò èõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, â òîì ÷èñëå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ, ñïåêòðîâ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ øóìîâ ìîðñêèõ ñóäîâ, êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè, âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ, ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è êîòèðîâêè âàëþò. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íà íåáîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå îáíàðóæèâàþòñÿ, îäíàêî íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ âñå îíè îêàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè. Òîò ôàêò, ÷òî èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñîâåðøåííî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïðèâîäÿò ê îäíîìó è òîìó æå ðåçóëüòàòó, ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùå ìíîãèì, åñëè íå âñåì, ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì. 4.1. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ЯВЛЕНИЙ Äîëãî èñêàòü ïðèìåðû ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ÿâëåíèé íå ïðèõîäèòñÿ. Ïðè äëèòåëüíîì íàáëþäåíèè ïðàêòè÷åñêè ëþáîé âåëè÷èíû èëè ïðîöåññà 1 ïðîèñõîäèò íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íà ðèñ. 4.1, à – ç ïðèâåäåíû ñïåêòðû ñîáñòâåííûõ øóìîâ íèçêîêà÷åñòâåííîãî óñèëèòåëÿ ïðè ðàçíîì êîëè÷åñòâå óñðåäíåíèé 2. Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà óñðåäíåíèé ïðè îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì èõ êîëè÷åñòâå (â äàííîì ñëó÷àå äî ñîòíè ðåàëèçàöèé ìãíîâåííîãî ñïåêòðà) íàáëþäàåòñÿ óìåíüøåíèå óðîâíÿ ôëóêòóà1

Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü ëèøü ìèðîâûå êîíñòàíòû. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðåäíàìåðåííî áûë âûáðàí íèçêîêà÷åñòâåííûé óñèëèòåëü, òàê êàê íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà÷èíàåò ïðîÿâëÿòüñÿ â íåì óæå íà íåáîëüøîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ. 2

68

4.1. Примеры статистически неустойчивых явлений

Ðèñ. 4.1. Ñïåêòðû ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ ïðè 2, 8, 32, 128, 256, 512, 1024 è 2048 óñðåäíåíèÿõ ìãíîâåííûõ ñïåêòðîâ (ñîîòâåòñòâåííî à – ç)

69

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

Ðèñ. 4.2. Ñïåêòðû øóìîâ îäíîãî è òîãî æå ñóäíà â ðàçíûå ïåðèîäû íàáëþäåíèÿ

öèé, îäíàêî äàëåå ôëóêòóàöèè âîçðàñòàþò. Ïðè äàëüíåéøåì íàêîïëåíèè ñïåêòðîâ (â äàííîì ñëó÷àå äî òûñÿ÷è ðåàëèçàöèé ìãíîâåííîãî ñïåêòðà) ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå óðîâíÿ ôëóêòóàöèé, à äàëåå – îïÿòü èõ âñïëåñê. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò, ÷òî äëèòåëüíîå íàêîïëåíèå äàííûõ íå âñåãäà ïðèâîäèò ê æåëàåìîìó ïîäàâëåíèþ øóìîâ 3. Äðóãîé ïðèìåð êàñàåòñÿ ãèäðîàêóñòèêè. Íà ðèñ. 4.2 ïðèâåäåíû ñïåêòðû øóìîâ ìîðñêîãî ñóäíà, ïîëó÷åííûå àâòîðîì â îäíîé èç

3

Ïðèâåäåííûå ñïåêòðû áûëè ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû àâòîðîì íåäàâíî. Â.È. Èâàíåíêî, äàâíî è ïëîäîòâîðíî çàíèìàþùèéñÿ ïðîáëåìîé íåîïðåäåëåííîñòè (ñì., íàïðèìåð, [Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990]), ñîîáùèë àâòîðó â ÷àñòíîé áåñåäå, ÷òî àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ îí ïðîâîäèë åùå â 60-õ ãîäàõ è ïðèøåë ê òåì æå âûâîäàì.

70

4.1. Примеры статистически неустойчивых явлений

Òèõîîêåàíñêèõ ýêñïåäèöèé 80-õ ãîäîâ 4 (ñì. [Ãîðáàíü, 2008, Gorban, 2008]). Ñïåêòðû ñíÿòû â ñðåäíå÷àñòîòíîì äèàïàçîíå â ìîìåíòû âðåìåíè, îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà ïðèìåðíî íà 10 ìèíóò. Êàê âèäíî, îíè ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Äèñêðåòíûå ñîñòàâëÿþùèå íà ÷àñòîòàõ 200 è 300 Ãö, ïðèñóòñòâóþùèå â ñïåêòðå, ïðåäñòàâëåííîì íà ðèñ. 4.2, à, îòñóòñòâóþò â ñïåêòðàõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 4.2, á, â. Äèñêðåòíûå ñîñòàâëÿþùèå íà ÷àñòîòàõ 625 è 650 Ãö âíà÷àëå òðàíñôîðìèðóþòñÿ â äèñêðåòíóþ ñîñòàâëÿþùóþ íà ÷àñòîòå 650 Ãö, à çàòåì èñ÷åçàþò. Çàòî ïîÿâëÿþòñÿ äðóãèå äèñêðåòíûå ñîñòàâëÿþùèå, â ÷àñòíîñòè íà ÷àñòîòàõ 225, 250, 830, 925 Ãö. Ñïåêòðû øóìîèçëó÷åíèÿ ñóäîâ è êîðàáëåé íà áîëåå íèçêèõ ÷àñòîòàõ (äî 100 Ãö) çíà÷èòåëüíî áîëåå èçðåçàíû. Èññëåäîâàíèå äèíàìèêè èçìåíåíèÿ íèçêî÷àñòîòíûõ ñïåêòðîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî îíè òîæå ìåíÿþòñÿ, õîòÿ è íå òàê áûñòðî. Èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ øóìîèçëó÷åíèÿ ñâÿçàíû ñî ìíîãèìè ïðè÷èíàìè, â ÷àñòíîñòè ñ èçìåíåíèåì ðåæèìîâ ðàáîòû ñóäîâûõ óñòðîéñòâ è ìåõàíèçìîâ. Î÷åíü âàæíóþ ðîëü, êàê âûÿñíÿåòñÿ [Ãîðáàíü, 2008, Gorban, 2008], èãðàåò äâèæåíèå èñòî÷íèêà çâóêà îòíîñèòåëüíî ïðèåìíèêà. Ãèäðîàêóñòè÷åñêàÿ ñðåäà ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé ñóùåñòâåííî íåîäíîðîäíà, â îñîáåííîñòè ïî ãëóáèíå.  ðåçóëüòàòå ýòîãî âîçíèêàþò ýôôåêòû ìíîãîëó÷åâîãî (íà âûñîêèõ è ñðåäíèõ ÷àñòîòàõ) è ìíîãîìîäîâîãî (íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ) ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé. Ïàðàìåòðû ëó÷åé èëè ìîä, ïðèõîäÿùèõ â òî÷êó ïðèåìà, îïðåäåëÿþòñÿ ãèäðîëîãè÷åñêèìè óñëîâèÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé, èõ ÷àñòîòîé, à òàêæå ðàññòîÿíèåì ìåæäó èñòî÷íèêîì çâóêà è ïðèåìíèêîì. Ïðè âçàèìíîì ïåðåìåùåíèè èñòî÷íèêà è ïðèåìíèêà ðàññòîÿíèå ìåíÿåòñÿ, ÷òî âûçûâàåò ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûå íàðóøåíèÿ êîãåðåíòíîñòè ñèãíàëà è, êàê ñëåäñòâèå, íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïåêòðà ïðèíèìàåìûõ êîëåáàíèé. Ïîýòîìó â óñëîâèÿõ äâèæåíèÿ ñïåêòð ïðèíèìàåìîãî êîëåáàíèÿ çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ñïåêòðà èçëó÷åííîãî êîëåáàíèÿ. Èíòåðâàë âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ñïåêòð ìàëî ìåíÿåòñÿ, ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ è ñêîðîñòè âçàèìíîãî ïå4 Èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü íà íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ñóäàõ «Àêàäåìèê À.Ï. Âèíîãðàäîâ» è «Àêàäåìèê Ì.À. Ëàâðåíòüåâ» ïî ïðèãëàøåíèþ Òèõîîêåàíñêîãî îêåàíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÄÂÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ (íûíå ÄÂÎ ÐÀÍ).

71

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

ðåìåùåíèÿ èñòî÷íèêà çâóêà è ïðèåìíèêà, à òàêæå îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé. ×åì áûñòðåå ìåíÿåòñÿ ðàññòîÿíèå, òåì ìåíüøå ýòîò èíòåðâàë, ïðè÷åì äëÿ âûñîêèõ ÷àñòîò îí ìåíüøå, ÷åì äëÿ íèçêèõ ÷àñòîò. Ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíîãî ïåðåìåùåíèÿ èñòî÷íèêà çâóêà è ïðèåìíèêà ýôôåêò íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè òàêæå íàáëþäàåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå îí âûçâàí äèíàìèêîé èçìåíåíèÿ ñðåäû. Ïîñêîëüêó èçìåíåíèÿ ñðåäû ïðîòåêàþò äîñòàòî÷íî ìåäëåííî, èíòåðâàë âðåìåíè, íà êîòîðîì ñïåêòðû ìàëî èçìåíÿþòñÿ, ñóùåñòâåííî áîëüøå. Èçìåí÷èâîñòü ñïåêòðîâ ïðèíèìàåìûõ êîëåáàíèé îãðàíè÷èâàåò äîïóñòèìóþ äëèòåëüíîñòü èõ íàêîïëåíèÿ. Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé äèíàìèêè èçìåíåíèÿ ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ è ñïåêòðà øóìîâ ñóäíà ñâèäåòåëüñòâóþò î èõ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè.  ýòèõ èññëåäîâàíèÿõ ñòåïåíü íàðóøåíèÿ óñòîé÷èâîñòè êîëè÷åñòâåííî íå îöåíèâàëàñü. Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû äðóãèõ èññëåäîâàíèé, â êîòîðûõ ïðîâîäèëèñü ðàñ÷åòû ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè. 4.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАПРЯЖЕНИЯ ГОРОДСКОЙ ЭЛЕКТРОСЕТИ Ïàðàìåòðû ýëåêòðîñåòè, â òîì ÷èñëå è íàïðÿæåíèå, ìåíÿþòñÿ. Ñóùåñòâóåò ñòàíäàðò [ÃÎÑÒ Ð 51317.3.3–99, 1999], îïðåäåëÿþùèé äîïóñòèìûå îòêëîíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ îò íîìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ, âûçûâàåìûå òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè. Ñîãëàñíî ýòîìó ñòàíäàðòó ìàêñèìàëüíîå îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ íå äîëæíî ïðåâûøàòü 1,33 ⋅ 4 % = 5,32 %, åñëè ýòè èçìåíåíèÿ «âûçâàíû ðó÷íûìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè èëè ÷àñòîòà èõ ïîâòîðåíèÿ ìåíüøå 1/÷». Äëÿ èçó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìåäëåííûõ êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè áûë èçãîòîâëåí ìàêåò, âêëþ÷àþùèé ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð, ñîãëàñóþùåå óñòðîéñòâî (äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ) è êîìïüþòåð. Ââîä ñèãíàëà îñóùåñòâëÿëñÿ ñ ÷àñòîòîé äèñêðåòèçàöèè 5 êÃö. Ïî êàæäûì 1024 îòñ÷åòàì âû÷èñëÿëèñü äåéñòâóþùèå (ýôôåêòèâíûå) çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ, çàïèñûâàåìûå â ïàìÿòü êîìïüþòåðà ñ 16 ðàçðÿäíîé çâóêîâîé êàðòîé. Çàïèñü âåëàñü ñåàíñàìè íà ïðîòÿæåíèè äâóõ ìåñÿöåâ ñ ïåðåðûâàìè â íåñêîëüêî äíåé.

72

4.2. Экспериментальные исследования … напряжения …

Ðèñ. 4.3. Èçìåíåíèå âî âðåìåíè íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè íà ïðîòÿæåíèè äâóõ ñåàíñîâ çàïèñè (à, â) è ñîîòâåòñòâóþùèå íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

Ïðîäîëæèòåëüíîñòü êàæäîãî ñåàíñà ñîñòàâëÿëà îêîëî 60 ÷àñîâ. Çà âðåìÿ ñåàíñà çàïèñûâàëîñü N = 220 ≈ 1 ìëí îòñ÷åòîâ íàïðÿæåíèÿ. Îáðàáîòêà ïîëó÷åííûõ çàïèñåé ïîêàçàëà, ÷òî íàïðÿæåíèå ñåòè ïîñòîÿííî ìåíÿëîñü.  ðàçíûõ ñåàíñàõ èçìåíåíèÿ íîñèëè ðàçíûé õàðàêòåð. Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 4.3, à, â ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèÿ ñåòè îò âðåìåíè (â ÷àñàõ), ïîëó÷åííûå íà ïðîòÿæåíèè äâóõ ñåàíñîâ, è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå. Àíàëèç ïîëó÷åííîãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìàòåðèàëà âûÿâèë õàðàêòåðíóþ îñîáåííîñòü, ïðèñóùóþ âñåì çàïèñÿì: íåçàòóõàþùèé õàðàêòåð íàêîïëåííîãî ñðåäíåãî (ðèñ. 4.3, á, ã). Ýòîò ðåçóëüòàò, ñòðàííûé íà ïåðâûé âçãëÿä, ðåçêî êîíòðàñòèðóåò ñ ðàññìîòðåííûìè â ãëàâå 3 ðåçóëüòàòàìè äëÿ áåëîãî ãàóññîâñêîãî øóìà è ïåðèîäè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ñì. ðèñ. 3.1), äåìîíñòðèðóþùèìè ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè íàêîïëåíèÿ çàòóõàíèå íàêîïëåííîãî ñðåäíåãî.

73

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

Ðèñ. 4.4. Ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî γ1N (à) è ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé γ 2N (á)

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî γ1N è ïàðàìåòðà íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé γ 2N äëÿ îïèñàííûõ â ïðåäûäóùåé ãëàâå âîñüìè ìîäåëåé è ÷åòûðåõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïî-

74

4.2. Экспериментальные исследования … напряжения …

Ðèñ. 4.5. Ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî

µ1N (à) è ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé µ 2N (á)

ëó÷åííûõ çàïèñåé, âêëþ÷àÿ ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 4.3, ïðèâåäåíû íà ðèñ. 4.4, à ðåçóëüòàòû àíàëîãè÷íûõ ðàñ÷åòîâ ïàðàìåòðîâ íåóñòîé÷èâîñòè µ1N , µ2N – íà ðèñ. 4.5.

75

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

Òîíêèìè ëèíèÿìè 1, 2 è 7, 8 èçîáðàæåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ìîäåëåé 1, 2 è 7, 8 ñîîòâåòñòâåííî, ïîëóæèðíûìè ëèíèÿìè 3 – 6 – ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ìîäåëåé 3 – 6 ñîîòâåòñòâåííî, à æèðíûìè ëèíèÿìè 9 – 12 – ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ÷åòûðåõ çàïèñåé íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè. Ïðè ðàñ÷åòàõ âõîäÿùèå â ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè äèñïåðñèè çàìåíÿëèñü îöåíêàìè, ôîðìèðóåìûìè ïî âûáîðêå. Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ ìîäåëåé è ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî γ1N è ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé γ 2N ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ïðè îöåíêå ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ëþáîé èç ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Òàêîé æå âûâîä ìîæíî ñäåëàòü è äëÿ ïàðàìåòðîâ íåóñòîé÷èâîñòè µ1N , µ 2N : ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ íàáëþäåíèÿ ïàðàìåòðû µ1N è µ2N

îêàçûâàþòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâûìè ( µ1N ≈ µ2N = µ N ). Äëÿ ìîäåëåé 1 – 3 è 7, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïðîöåññàì, ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè íàáëþäåíèÿ t çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ìîíîòîííî óìåíüøàþòñÿ, à äëÿ ìîäåëåé 4 – 6 è 8, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì ïðîöåññàì, – âîçðàñòàþò. Äëÿ âñåõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ ïðîöåññîâ â îáëàñòè áîëüøèõ âðåìåí íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ ëèáî âîçðàñòàþò, ëèáî, äîñòèãíóâ ìàêñèìóìà, êîëåáëþòñÿ, îñòàâàÿñü ïðè ýòîì ïðèìåðíî íà îäíîì è òîì æå óðîâíå.  îáëàñòè áîëüøèõ âðåìåí íàáëþäåíèÿ äëÿ ìîäåëåé ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ïðîöåññîâ ïàðàìåòðû γ1N , γ 2N è µ1N , µ2N ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ, áîëüøèå, ÷åì äëÿ ìîäåëåé ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ ïðîöåññîâ. Ýòî ïîäòâåðæäàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ γ1N , γ 2N (èëè µ1N , µ2N ) äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ôàêòà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ïî äèíàìèêå èçìåíåíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî ñóäèòü îá èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ, íà êîòîðûõ èññëåäóåìûé ïðîöåññ îêàçûâàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì èëè ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Äëÿ âñåõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ çàïèñåé (íå òîëüêî ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. 4.4, 4.5) çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè γ1N , γ 2N , µ1N , µ2N â êîíöå 60-÷àñîâîãî

76

4.3. Экспериментальные исследования … высоты морских волн …

íàáëþäåíèÿ îêàçàëèñü áîëüøèìè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè íîñÿò âûðàæåííûé ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûé õàðàêòåð. Èíòåðâàë, íà êîòîðîì ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ïðèíèìàþò áîëüøèå çíà÷åíèÿ, íà÷èíàåòñÿ îò íåñêîëüêèõ ÷àñîâ è äîõîäèò äî êîíöà çàïèñåé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáëàñòü ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíà è ïåðåêðûâàåò äèàïàçîí îò íåñêîëüêèõ åäèíèö äî íå ìåíåå 60 ÷àñîâ. Óñòîé÷èâûé õàðàêòåð íàáëþäàåìûõ íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé ýëåêòðîñåòè, à òàêæå ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà ïîçâîëÿþò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî àíàëîãè÷íûå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùè è äðóãèì ôèçè÷åñêèì (à, âîçìîæíî, è íå òîëüêî ôèçè÷åñêèì) ÿâëåíèÿì. 4.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫСОТЫ МОРСКИХ ВОЛН И ПЕРИОДА ИХ СЛЕДОВАНИЯ Â íàñòîÿùåå âðåìÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ìîðñêèõ âîëí (ñì., íàïðèìåð, [Ïîëíèêîâ, 2007]). Îäíàêî íåò èíôîðìàöèè î ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïàðàìåòðîâ âîëíåíèÿ. Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ áûëè ïðîâåäåíû ñïåöèàëüíûå èññëåäîâàíèÿ. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàëèñü ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå î ïàðàìåòðàõ âîëíåíèÿ ìîðÿ, ïîëó÷åííûå Èíñòèòóòîì îêåàíîëîãèè èì. Ï.Ï. Øèðøîâà ÐÀÍ çà 15 ìåñÿöåâ íàáëþäåíèÿ â ðàéîíå Íîâîðîññèéñêà (ñ ñåíòÿáðÿ 2001 ã. ïî äåêàáðü 2003 ã.) [Åäèíàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ ñèñòåìà èíôîðìàöèè îá îáñòàíîâêå â ìèðîâîì îêåàíå ÅÑÈÌ]. Äàííûå ñîáðàíû ñ ïîìîùüþ âîëíîâîé ñòàíöèè, ïîêàçàíèÿ êîòîðîé ðåãèñòðèðîâàëèñü ñ èíòåðâàëîì îò îäíîãî äî íåñêîëüêèõ ÷àñîâ. Âîëíåíèå ìîðÿ çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ èçìåíÿëîñü â øèðîêèõ ïðåäåëàõ, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóþò ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 4.6 êðèâûå äëÿ òðåõ ìåñÿöåâ íàáëþäåíèÿ (êàæäàÿ êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò ìåñÿöó íàáëþäåíèÿ). Ïî ñîáðàííûì äàííûì áûëè ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µ N âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ (ðèñ. 4.7).

77

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

Ðèñ. 4.6. Çàâèñèìîñòè âûñîòû ìàêñèìàëüíûõ âîëí (à) è ïåðèîäà ìàêñèìàëüíûõ âîëí (á) îò âðåìåíè

Äèñêðåòíîñòü âûâîäà ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè – ïðèìåðíî 10 ÷. Íóëåâîé îòñ÷åò âðåìåíè ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó ðåçóëüòàòó ðàñ÷åòà. Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µ N âåçäå ïðèíèìàåò áîëüøèå çíà÷åíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà âñåì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ çàâèñèìîñòè âûñîòû è ïåðèîäà âîëí îò âðåìåíè íîñÿò ÿâíî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûé õàðàêòåð. Ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç ýòèõ ïàðàìåòðîâ íà èíòåðâàëå âðåìåíè ñâûøå ïîëóñóòîê ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæåí.

78

4.4. Экспериментальные исследования …магнитного поля Земли

Ðèñ. 4.7. Çàâèñèìîñòè óñðåäíåííûõ ïî 15 ìåñÿöàì çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µN (íåïðåðûâíûå êðèâûå) è ãðàíèö èçìåíåíèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà (òî÷å÷íûå êðèâûå) îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ: à – äëÿ âûñîòû ìàêñèìàëüíûõ âîëí, á – äëÿ ïåðèîäà ìàêñèìàëüíûõ âîëí

4.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ Ìàãíèòíîå ïîëå Çåìëè ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå. Íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ Çåìëè âåäåòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêîå íàáëþäåíèå çà åãî êîëåáàíèÿìè. Òàêèå ðàáîòû

79

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

Ðèñ. 4.8. Èçìåíåíèå x -, y - è z -ñîñòàâëÿþùèõ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (à, â, ä) è ñîîòâåòñòâóþùèõ íàêîïëåííûõ ñðåäíèõ (á, ã, å) çà 13 ëåò íàáëþäåíèÿ â ðàéîíå Ìîñêâû

ïðîâîäèò, â ÷àñòíîñòè, Èíñòèòóò çåìíîãî ìàãíåòèçìà, èîíîñôåðû è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí èì. Í.Â. Ïóøêîâà ÐÀÍ. Íà ðèñ. 4.8, à, â, ä ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè x -, y è z -ñîñòàâëÿþùèõ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå äàííûõ ýòîãî èíñòèòóòà [Äàííûå î âàðèàöèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàéîíå Ìîñêâû], íà ðèñ. 4.8, á, ã, å – ñîîòâåòñòâóþùèå çàâèñèìîñòè íàêîïëåííûõ ñðåäíèõ, à íà ðèñ. 4.9 – ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µ1N , µ2N , ðàññ÷èòàííûå ïî îïèñàííîé âûøå ìåòîäèêå. Äàííûå ðåãèñòðèðîâàëèñü ñ èíòåðâàëîì â îäèí ÷àñ. Îöåíêà äèñïåðñèè Dxn âû÷èñëÿëàñü ïî 16 èçìåðåíèÿì. Àíàëèç ðèñóíêîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî â öåëîì ìàãíèòíîå ïîëå Çåìëè ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâî, õîòÿ ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû îòíîñèòåëüíîé óñòîé÷èâîñòè. Äëèòåëüíîñòü ýòèõ èíòåðâàëîâ íî-

80

4.5. Экспериментальные исследования … котировки валют … Ðèñ. 4.9. Èçìåíåíèå âî âðåìåíè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ x -, y è z -ñîñòàâëÿþùèõ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñîîòâåòñòâåííî êðèâûå 1, 2, 3) çà 13 ëåò íàáëþäåíèÿ â ðàéîíå Ìîñêâû, à òàêæå äëÿ êîíòðîëüíîãî áåëîãî ãàóññîâñêîãî øóìà (êðèâûå áåç íîìåðà). Ñïëîøíûì ëèíèÿì ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µ1N ,

òî÷å÷-

íûì – ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µ2N

ñèò íåðåãóëÿðíûé õàðàêòåð è êîëåáëåòñÿ îò íåñêîëüêèõ ìåñÿöåâ äî íåñêîëüêèõ ëåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñâûøå íåñêîëüêèõ ìåñÿöåâ ïðîáëåìàòè÷åí, à ñâûøå íåñêîëüêèõ ëåò – ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæåí. 4.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОТИРОВКИ ВАЛЮТ Ïðåäñòàâëåíèå î ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè êîòèðîâêè âàëþò äàþò êðèâûå íà ðèñ. 4.10, ïîëó÷åííûå ïî äàííûì FOREX [FOREX]. Èç ãðàôèêîâ ñëåäóåò, ÷òî ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ïðèíèìàåò áîëüøèå çíà÷åíèÿ ñ ïåðâûõ æå ÷àñîâ íàáëþäåíèÿ è ïîñòîÿííî âîçðàñòàåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êóðñ âàëþò êðàéíå ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâ è åãî ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæåí. *

*

*

Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé äèíàìèêè èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ, ñïåêòðîâ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ øóìîâ ìîðñêèõ ñóäîâ, êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè, âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ, ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è êîòèðîâêè âàëþò

81

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

Ðèñ. 4.10. Óñðåäíåííûé ïî 16 äåêàäàì ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè µ N (íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ) è ãðàíèöû èçìåíåíèÿ ýòîãî óñðåäíåííîãî ïàðàìåòðà (ïóíêòèðíûå êðèâûå), îïðåäåëÿåìûå ÑÊÎ, äëÿ êîòèðîâêè êîíâåðòèðóåìîãî àâñòðàëèéñêîãî äîëëàðà (AUD) ïî îòíîøåíèþ ê äîëëàðó ÑØÀ (USD) çà 2001 ã. (à) è 2002 ã. (á)

ñâèäåòåëüñòâóþò î íàðóøåíèÿõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ýòèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îíè ïðåäñòàâëÿþò ÿâëåíèÿ ñîâåðøåííî ðàçíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùå ìíîãèì, åñëè íå âñåì, ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì.

82

4.5. Экспериментальные исследования … котировки валют …

Íå ñëåäóåò ïîíèìàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû êàê îïðîâåðæåíèå ôàêòà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ðå÷ü íå îá ýòîì. Îïðîâåðãàåòñÿ ôàêò àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé óêàçûâàþò íà òî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íîñèò îãðàíè÷åííûé õàðàêòåð. Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñ ó÷åòîì íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ðàçíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ñïîñîáàìè. Äàæå â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âîçìîæíî íåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ ôîðì ïðåäñòàâëåíèÿ. Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íàïðèìåð, ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, íåîäíîðîäíîé âûáîðêè, îáëàäàþùåé îñîáûìè ñâîéñòâàìè, è, íàêîíåö, ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåìûì êàê åäèíûé ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, – ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ îïèñàíèÿ â óñëîâèÿõ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ðàññìàòðèâàåìûå êàê öåëüíûå îáúåêòû, – ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè. Îïèñàíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ïîñâÿùåíà âòîðàÿ ÷àñòü ìîíîãðàôèè.

83

ЧАСТЬ II

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Глава 5 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Ââåäåíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè è ãðàíèöû âåðîÿòíîñòåé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ ïàðàìåòðîâ. 5.1. СЛУЧАЙНЫЕ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ íå èìååò îäíîçíà÷íîãî òîëêîâàíèÿ, ïðè÷åì äàæå ñðåäè ìàòåìàòèêîâ.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé óòâåðäèëîñü êîëìîãîðîâñêîå (òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå) [Êîëìîãîðîâ, 1936] îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû, îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà (áîðåëåâñêîãî ïîëÿ âåðîÿòíîñòåé), çàäàâàåìîãî òðèàäîé ( Ω, ℑ, P ), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω ∈ Ω , ℑ – áîðåëåâñêîå ïîëå (σ-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé) è P – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé [Êîëìîãîðîâ, 1974]. Èìåííî òàêèì îáðàçîì ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ â íîâîì ìåæäóíàðîäíîì ñòàíäàðòå ISO [International standard, 2006]. Ïðè áîëåå íàãëÿäíîì ñòàòèñòè÷åñêîì ïîäõîäå (ïî Ð. ôîí Ìèçåñó [Ìèçåñ, 1930]) âåðîÿòíîñòü P ( A ) ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ïðåäåë ÷àñòîòû pN ( A ) íàáëþäåíèÿ ýòîãî ñîáûòèÿ â ôèêñèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ïðè

84

5.1. Случайные и гиперслучайные события

óñòðåìëåíèè êîëè÷åñòâà îïûòîâ N = lim pN ( A ) .

ê áåñêîíå÷íîñòè: P ( A ) =

N →∞

Èçâåñòåí àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîñòè, ïðåäëîæåííûé â 60-õ ãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ À.Í. Êîëìîãîðîâûì, îñíîâàííûé íà àíàëèçå àëãîðèòìè÷åñêîé ñëîæíîñòè ïðîãðàììû ïåðåâîäà èçâåñòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â èññëåäóåìóþ [Êîëìîãîðîâ, 1987]. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïîäõîäû, î ÷åì óïîìèíàëîñü â ïàðàãðàôå 2.2. Íà ïðàêòèêå â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ñëó÷àéíîñòè ôèçèêàìè íåðåäêî èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ýìïèðè÷åñêèå, ïîëóýìïèðè÷åñêèå, ïîëóôîðìàëèçîâàííûå èëè äàæå íåôîðìàëèçîâàííûå êðèòåðèè: ñïàäàþùåé êîððåëÿöèè, ñïëîøíîãî ñïåêòðà, íåâîñïðîèçâîäèìîñòè, íåïîâòîðÿåìîñòè, íåêîíòðîëèðóåìîñòè, íåïðåäñêàçóåìîñòè è äð. [Êðàâöîâ, 1989].  äàëüíåéøåì áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ êîëìîãîðîâñêîãî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäîìó ñîáûòèþ A áîðåëåâñêîãî ïîëÿ ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ( A / g ) , îïðåäåëÿåìàÿ ïðè íåêîòîðûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ g .  ðåçóëüòàòå òðèàäà ( Ω, ℑ, P ) çàäàåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî äëÿ óñëîâèé g . Óñëîâèÿ g ìîãóò áûòü äåòåðìèíèðîâàííûìè (åñëè g ôèêñèðîâàíî) èëè ñëó÷àéíûìè (åñëè îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ( g ) ∀g ∈ G ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ A ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì – ñîáûòèåì, äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà. Ïðè íåîïðåäåëåííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ g , êîãäà èçâåñòíî ëèøü ìíîæåñòâî G âîçìîæíûõ çíà÷åíèé g , âåëè÷èíà P ( A / g ) îêàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîé.  ýòîì ñëó÷àå ñîáûòèå A íåëüçÿ îòíåñòè ê ñëó÷àéíûì ñîáûòèÿì. Ýòî ñîáûòèå äðóãîé ïðèðîäû, íàçûâàåìîå â äàëüíåéøåì ãèïåðñëó÷àéíûì. Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ðàññìàòðèâàåìîå êàê ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, çàäàåòñÿ àíàëèòè÷åñêè òåòðàäîé (Ω, ℑ,G , Pg ) , ãäå Pg – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè g ∈ G .

Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, çàâèñÿùèõ îò óñëîâèé g . Äëÿ êàæäîãî èç âõîäÿùèõ â ýòî ìíîæåñòâî ñîáûòèé îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà Pg , íî äëÿ óñëîâèé g ìåðà íå îïðåäåëåíà.

85

Глава 5. Гиперслучайные события

5.2. ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ И ИХ СВОЙСТВА Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A çàäàòü âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó íåëüçÿ, íî ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííûå âåëè÷èíû, êîëè÷åñòâåííî õàðàêòåðèçóþùèå äèàïàçîí èçìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòè ýòîãî ñîáûòèÿ: åå âåðõíþþ PS ( A ) è íèæíþþ PI ( A ) ãðàíèöû, íàçûâàåìûå â äàëüíåéøåì ãðàíèöàìè âåðîÿòíîñòè (ðèñ. 5.1). Ýòè ãðàíèöû îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè PS ( A ) = sup P ( A / g ), g ∈G

PI ( A ) = inf P ( A / g ). g ∈G

(5.1)

Èñïîëüçóÿ íå ñòðîãèé ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä, ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå A ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñîáûòèå, ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ êîòîðîãî pN ( A ) ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ N íå ñòàáèëèçèðóåòñÿ è ïðè N → ∞ íå èìååò ïðåäåëà. Åñëè ìíîæåñòâî óñëîâèé ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà ( g = const ), ýòè ãðàíèöû ñîâïàäàþò. Òîãäà ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíîå. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà P ( A ) = PS ( A ) = PI ( A ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A . Íà îñíîâå àêñèîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî 1) PS ( A ) ≥ 0,

PI ( A ) ≥ 0;

(5.2)

2) äëÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé PS (U An ) ≤ n

∑ PS ( An ), n

PI (U An ) ≥ n

∑ PI ( An );

(5.3)

n

3) PS (Ω) = PI (Ω) = 1.

(5.4)

Èç âûðàæåíèé (5.1)–(5.4) ñëåäóåò, ÷òî PS ( A ) è PI ( A ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íîðìèðîâàííûå ïîëóìåðû, óäîâëåòâîðÿþùèå

Ðèñ. 5.1. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè P ( A / g ) (ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êàì) è ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè PS ( A ) , PI ( A )

(ñîîòâåòñòâóþùèå

ïóíêòèðíûì ëèíèÿì) ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A

86

5.2. Параметры гиперслучайного события и их свойства

âñåì àêñèîìàì ìåðû, çà èñêëþ÷åíèåì àêñèîìû ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè. Ïðè ýòîì 0 ≤ PS ( A ) ≤ 1,

0 ≤ PI ( A ) ≤ 1,

PS (∅) = PI (∅) = 0.

Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû: 4) åñëè Am ⊂ Am +1 , m ≥ 1, òî M

M

PS ( U Am ) = PS ( AM ),

PI ( U Am ) = PI ( AM ),

m =1

m =1

(5.5)

∞

PS ( U Am ) = lim PS ( AM ) ; m =1

M →∞

5) åñëè Am +1 ⊂ Am , m ≥ 1, òî M

PS ( I Am ) = PS ( AM ), m =1

M

PI ( I Am ) = PI ( AM ), m =1

∞

PI ( I Am ) = lim PI ( AM ). m =1

(5.6)

1

M →∞

Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâ (5.5) è (5.6) îñíîâàíî íà òîì, ÷òî îáúåäèíåíèå ñîáûòèé A1 ,..., AM , ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì A1 ⊂ ... ⊂ AM , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîáûòèå AM , à ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé A1 ,..., AM , ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì A1 ⊃ ... ⊃ AM , òîæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîáûòèå AM . Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé A1 è A2 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà PS ( A1 U A2 ) ≤ PS ( A1 ) + PS ( A2 ) − PI ( A1 I A2 ), (5.7) PI ( A1 U A2 ) ≥ PI ( A1 ) + PI ( A2 ) − PS ( A1 I A2 ),

(5.8)

àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèþ, îïèñûâàþùåìó òåîðåìó ñëîæåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé: P ( A1 U A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 I A2 ). 1

 îáùåì ñëó÷àå ôîðìóëû ∞

∞

PI ( U Am ) = lim PI ( AM ) , PS ( I Am ) = lim PS ( AM ) m =1

M →∞

m =1

M →∞

äëÿ ñîîòâåòñòâåííî Am ⊂ Am +1 è Am +1 ⊂ Am ( m ≥ 1 ) íåâåðíû. Íà ýòî îáðàòèë âíèìàíèå àâòîðà Â.Í. Òóòóáàëèí.

87

Глава 5. Гиперслучайные события

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ (5.7), (5.8) ðàññìîòðèì äâà ñîáûòèÿ A1 è A2 , â îáùåì ñëó÷àå ñîâìåñòíûõ. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A1 U A2 PS ( A1 U A2 ) = sup(P ( A1 / g ) + P ( A2 / g ) − P ( A1 I A2 / g )) ≤ g ∈G

≤ sup(P ( A1 / g ) + P ( A2 / g )) − inf (P ( A1 I A2 / g ). g ∈G

g ∈G

Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (5.7). Íèæíÿÿ ãðàíèöà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A1 U A2 PI ( A1 U A2 ) = inf (P ( A1 / g ) + P ( A2 / g ) − P ( A1 I A2 / g )) ≥ g ∈G

≥ inf (P ( A1 / g ) + P ( A2 / g )) − sup(P ( A1 I A2 / g )). g ∈G

g ∈G

Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (5.8). Îòìåòèì, ÷òî, êîãäà ñîáûòèÿ A1 è A2 íåñîâìåñòíûå, òî PS ( A1 I A2 ) = 0 , PI ( A1 I A2 ) = 0 è èç âûðàæåíèé (5.7), (5.8) ñëåäóåò PS ( A1 U A2 ) ≤ PS ( A1 ) + PS ( A2 ), PI ( A1 U A2 ) ≥ PI ( A1 ) + PI ( A2 ).

(5.9)

Êîãäà A1 ⊂ A2 , òî ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (5.5) PS ( A1 U A2 ) = PS ( A2 ),

PI ( A1 U A2 ) = PI ( A2 ) .

 îáùåì ñëó÷àå äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé A1 è A2 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà PS ( A1 I A2 ) ≤ PS ( A1 )PS ( A2 A1 ), PI ( A1 I A2 ) ≥ PI ( A1 )PI ( A2 A1 ),

(PS ( A1 ) ≠ 0), (PI ( A1 ) ≠ 0),

(5.10)

àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèþ P ( A1 I A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ),

îïèñûâàþùåìó òåîðåìó óìíîæåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïðè P ( A1 ) ≠ 0 .  äàííîì ñëó÷àå ïîä PS ( A2 A1 ) è PI ( A2 A1 ) ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A2 ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå A1 . Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ (5.10) àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó.

88

5.3. Аналоги формулы полной вероятности и теоремы гипотез

Ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ A1 è A2 áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûìè, åñëè ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñîáûòèé ôàêòîðèçóþòñÿ: PS ( A1 I A2 ) = PS ( A1 )PS ( A2 ),

PI ( A1 I A2 ) = PI ( A1 )PI ( A2 ). (5.11)

Ñìûñë ôîðìóë (5.11) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè íåçàâèñèìûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèÿõ A1 è A2 ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ñîáûòèé îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ A1 è ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ A2 . Ïðè ýòîì íåñóùåñòâåííî, ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå A1 äî âûÿñíåíèÿ, êàêîâû ãðàíèöû ñîáûòèÿ A2 , è ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå A2 äî âûÿñíåíèÿ, êàêîâû ãðàíèöû ñîáûòèÿ A1 . Ðåçóëüòàò áóäåò îäèí è òîò æå. Ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ A1 è A2 áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñîáûòèé ôàêòîðèçóþòñÿ: P ( A1 I A2 / g ) = P ( A1 / g )P ( A2 / g ).

Íåçàâèñèìûå ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è íåçàâèñèìûå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ – ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Èç íåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü è, íàîáîðîò, èç íåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü ïðè âñåõ óñëîâèÿõ. 5.3. АНАЛОГИ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОТЕЗ Àíàëîãàìè ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è òåîðåìû ãèïîòåç (òåîðåìû Áàéåñà) òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëóæàò ñëåäóþùèå òåîðåìû, äîêàçûâàåìûå ïî ðàññìîòðåííîé âûøå ñõåìå. Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñîáûòèå A ìîæåò ïðîèçîéòè ñîâìåñòíî ñ îäíèì è òîëüêî îäíèì ñîáûòèåì H 1 ,K , H M , îáðàçóþùèì ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé (ãèïîòåç). Òîãäà PS ( A ) ≤

M

∑ PS (H m )PS ( A

m =1

H m ),

89

Глава 5. Гиперслучайные события

PI ( A ) ≥

M

∑ PI (H m )PI ( A

m =1

(5.12)

H m ).

Òåîðåìà 2. Ïóñòü H 1 , H 2 ,K – ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé (ãèïîòåç), îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó. Òîãäà äëÿ êàæäîé ïàðû ñîáûòèé (H m , A ) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà PS (H m A ) ≤

PS (H m I A ) P (H )P ( A H m ) ≤ ∞S m S , PI ( A ) ∑ PI (H m )PI ( A H m ) m =1

PI (H m A ) ≥

PI (H m I A ) ≥ PS ( A )

PI (H m )PI ( A H m ) ∞

∑ PS (H m )PS ( A H m )

m =1

90

.

Глава 6 СКАЛЯРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ åå îïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äàþùèå èñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû), ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòû, à òàêæå ãðàíèöû ìîìåíòîâ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ. 6.1. СКАЛЯРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå Ω ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ω . Ïðè ýòîì çíà÷åíèå x ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå íåêîòîðîé ôóíêöèè x = ψ(ω) , ãäå ω ∈ Ω . Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàåòñÿ íå òîëüêî ïðîñòðàíñòâîì åå çíà÷åíèé, íî è ïàðàìåòðàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ òåõ èëè èíûõ çíà÷åíèé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.  äàëüíåéøåì îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé èçìåðèìûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Åñëè ïðîñòðàíñòâî çíà÷åíèé èìååò îäíî èçìåðåíèå, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé; â ñëó÷àå íåñêîëüêèõ èçìåðåíèé îíà íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîé. Ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîëüíóþ ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà ïðîñòðàíñòâå Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω , äëÿ êîòîðîé ïðè ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ íàáëþäåíèÿ g ∈ G îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, íî äëÿ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íå îïðåäåëåíà. Çíà÷åíèÿ x ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , êàê è â ñëó÷àå ñëó-

91

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

÷àéíîé âåëè÷èíû, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôóíêöèè x = ψ(ω) , ãäå ω ∈ Ω . Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g : X = { X / g ∈ G } . Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñâÿçàíû ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ïîäîáíî òîìó, êàê âåêòîðíûå âåëè÷èíû – ñî ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè: âåêòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ìíîæåñòâîì ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí; ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíà ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ×àñòíûì ñëó÷àåì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð, ÷àñòíûì ñëó÷àåì ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. 6.2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g ( g ∈ G ) , íàïðèìåð, óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 6.1) F (x / g ) = P {X < x / g } , ãäå P { X < x / g } – âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà X < x â óñëîâèÿõ g , óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (ðèñ. 6.2) f (x / g ) =

dF ( x / g ) , dx

óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè Q ( jω / g ) =

∞

∫

f ( x / g ) exp( jωx )dx ,

−∞

îáðàçóþùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ, ôóíêöèè ôàêòîðèàëüíûõ ìîìåíòîâ è äð.  äàëüíåéøåì íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé è óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé áóäåì èñïîëüçîâàòü äðóãèå, ýêâèâàëåíòíûå èì – Fx / g ( x ) , f x / g ( x ) , Q j ω / g ( j ω) . Íàèáîëåå ïîëíîå îïèñàíèå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äàåò ìíîæåñòâî óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âñåõ g ∈ G .

92

6.3. Границы функции распределения и моменты границ …

Ðèñ. 6.1. Ìíîæåñòâî óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) (òîíêèå ëèíèè) è ãðàíèöû öèè ðàñïðåäåëåíèÿ

ôóíêFSx(x) ,

FIx ( x ) (æèðíûå ëèíèè) ãè-

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

Ðèñ. 6.2. Ìíîæåñòâî óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ f x / g ( x ) ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

Ìåíåå ïîëíîå îïèñàíèå îáåñïå÷èâàþò ìíîæåñòâà öåíòðàëüíûõ è íåöåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g ∀g ∈ G , â ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâà óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx / g = M[ X / g ] =

∞

∫ xf ( x / g ) dx ,

−∞

ìíîæåñòâà óñëîâíûõ äèñïåðñèé Dx / g = D[ X / g ] = M[( X / g − mx / g )2 ]

è ïð., ãäå M[⋅] è D[⋅] – îïåðàòîðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû òàêæå è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû. 6.3. ГРАНИЦЫ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МОМЕНТЫ ГРАНИЦ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Îáùåå ïðåäñòàâëåíèå î ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå äàþò ôóíêöèè FS ( x ) = sup P { X < x / g } = sup F ( x / g ), g ∈G

g ∈G

93

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

FI ( x ) = inf P { X < x / g } = inf F ( x / g ), g ∈G

(6.1)

g ∈G

ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ X < x , ò. å. ÿâëÿþùèåñÿ ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x / g ) .  äàëüíåéøåì íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ FSx ( x ), FIx ( x ) , â êîòîðûõ ïðèíàäëåæíîñòü ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ïîä÷åðêíóòà ñîîòâåòñòâóþùèì èíäåêñîì (ñì. ðèñ. 6.1). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ F ( x ) ìîãëà áûòü ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà íåóáûâàþùåé ïðè âñåõ x , íåïðåðûâíîé ñëåâà è èìåëà ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ F (−∞) = 0 , F (+∞) = 1 [Ãíåäåíêî, Êîëìîãîðîâ, 1949]. Ðàññìîòðèì ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X / g , îïèñûâàåìûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿìè F ( x / g ) ( g ∈ G ) . Âñå ýòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåóáûâàþùèå, íåïðåðûâíûå ñëåâà è èõ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ðàâíû íóëþ è åäèíèöå. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (6.1), òàêæå óäîâëåòâîðÿþò âñåì ýòèì óñëîâèÿì. Ïîýòîìó ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåêèõ âèðòóàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êðîìå òîãî, FS ( x ) ≥ FI ( x ) , ïðè ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (åñëè îíî ñóùåñòâóåò) ãðàíèöû ñîâïàäàþò è ðàâíû íóëþ, à ïðè ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè (åñëè îíî ñóùåñòâóåò) ãðàíèöû ñîâïàäàþò è ðàâíû åäèíèöå. Ìåæäó ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïîëîæåíà çîíà íåîïðåäåëåííîñòè (çàòåìíåííàÿ îáëàñòü íà ðèñ. 6.3, à). Åå øèðèíà îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ∆F ( x ) = FS ( x ) − FI ( x ) : ÷åì áîëüøå íåîïðåäåëåííîñòü, òåì áîëüøå âåëè÷èíà ∆F ( x ) . Âûðîæäåííûé ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò ñ åå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) : FS ( x ) = FI ( x ) = F ( x ) è ðàçíîñòü ∆F ( x ) ðàâíà íóëþ (ðèñ. 6.3, á). Äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó a , êàê îòìå÷àëîñü â ïàðàãðàôå 3.1, ïðèáëèæåííî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè-

94

6.3. Границы функции распределения и моменты границ …

Ðèñ. 6.3. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS(x), FI(x) íåâûðîæäåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (à), ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (á), äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû (â) è èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíû (ã)

÷èíó X , ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) êîòîðîé èìååò âèä åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå a : F ( x ) = sign [ x − a ] (ðèñ. 6.3, â). Èíòåðâàëüíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ èíòåðâàëîì [a, b ] , òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X , âåðõíÿÿ ãðàíèöà êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå a : FS ( x ) = sign [ x − a ] , (6.2) à íèæíÿÿ – ôóíêöèåé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå b : FI ( x ) = sign [ x − b ]

(6.3)

(ðèñ. 6.3, ã). Åñëè a → −∞ , à b → ∞ , òî ñêà÷êè âåðõíåé ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, à íèæíåé ãðàíèöû – ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè. Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ òàêèìè ãðàíèöàìè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîëíîñòüþ íåîïðåäåëåííóþ èëè õàîòè÷åñêóþ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îïðåäåëÿåìàÿ òàêèì îáðàçîì õàîòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, åñëè è èìååò, òî êîñâåííîå îòíîøåíèå ê ïîíÿòèþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà, øèðîêî èñïîëüçóåìîãî â ëèòåðàòóðå.

95

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

Òàêèì îáðàçîì, äåòåðìèíèðîâàííóþ, ñëó÷àéíóþ è èíòåðâàëüíóþ âåëè÷èíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó áóäåì íàçûâàòü íåïðåðûâíîé, åñëè íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå ãðàíèöû åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíû è ñóùåñòâóþò èõ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå. Äëÿ íåïðåðûâíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû àíàëîãàìè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîãóò ñëóæèòü ôóíêöèè fS (x ) =

d FS ( x ) , dx

fI (x ) =

d FI ( x ) , dx

(6.4)

ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïðîèçâîäíûå âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è íàçûâàåìûå ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö. Èñïîëüçóÿ îáîáùåííûå ôóíêöèè, â ÷àñòíîñòè δ-ôóíêöèþ, ìîæíî îïðåäåëèòü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö íå òîëüêî äëÿ íåïðåðûâíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íî è äëÿ òåõ, ó êîòîðûõ ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, â òîì ÷èñëå äëÿ ôóíêöèé (6.2), (6.3). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: ïîñêîëüêó FS ( x ) è FI ( x ) íåóáûâàþùèå, òî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö íåîòðèöàòåëüíû ( f S ( x ) ≥ 0 , f I ( x ) ≥ 0 ), ïîñêîëüêó ïåðâîîáðàçíûå FS ( x ) , FI ( x ) ôóíêöèé f S ( x ) , f I ( x ) ïðè x → ∞ ðàâíû åäèíèöå, òî ∞

∫

fS ( x )d x =

−∞

è

FS ( x2 ) − FS ( x1 ) =

∞

∫

f I ( x )d x = 1

−∞ x2

∫

x1

fS ( x )d x , FI ( x2 ) − FI ( x1 ) =

x2

∫

f I ( x )d x .

x1

Àíàëîãàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîãóò ñëóæèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîä êîòîðûìè ïîíèìàåòñÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö:

96

6.3. Границы функции распределения и моменты границ …

QS ( jω) =

∞

∫

fS ( x ) exp( jω x )d x ,

−∞

QI ( jω) =

∞

∫

f I ( x ) exp( jω x )d x .

(6.5)

−∞

Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñòâàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè: îíè îãðàíè÷åíû ( QS ( jω) ≤ QS (0) = 1, QI ( jω) ≤ QI (0) = 1 ) è â ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí îáëàäàþò ñâîéñòâîì êîìïëåêñíîé ñîïðÿæåííîñòè (QS (− jω) = = QS ∗ ( jω) , QI (− jω) = QI ∗ ( jω) ).

Çäåñü è äàëåå çâåçäî÷êîé îáîçíà÷åíà îïåðàöèÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.  îòëè÷èå îò ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö íå ñòîëü íàãëÿäíî õàðàêòåðèçóþò çîíó íåîïðåäåëåííîñòè, õîòÿ ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëåçíûå â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âåëè÷èíû, íàïðèìåð ∆f ( x ) = f S ( x ) − f I ( x ) . Èíôîðìàòèâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèå ãðàíèö: ñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F0 ( x ) = (FS ( x ) + FI ( x )) / 2

è ñðåäíåå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f 0 ( x ) = ( f S ( x ) + f I ( x )) / 2 .

Ýòè ñðåäíèå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì: f0 (x ) =

d F0 ( x ) . dx

Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ìîìåíòû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö, äèñïåðñèè ãðàíèö, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö è äð. Ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö MS [ ϕ( X )] , MI [ ϕ( X )] ôóíêöèè ϕ (X ) ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x ) , f I ( x ) áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëû

97

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

MS [ ϕ ( X )] =

∞

∫ ϕ ( x ) fS (x )d x,

−∞

M I [ ϕ ( X )] =

∞

∫ ϕ ( x ) f I ( x )d x.

(6.6)

−∞

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ñóùåñòâóþò íå âñåãäà: òîëüêî êîãäà ñóùåñòâóþò (â ñìûñëå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè) èíòåãðàëû (6.6). Èç âûðàæåíèé (6.5), (6.6) âèäíî, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö – ýòî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû exp( jωX ) . Èç âûðàæåíèé (6.6) ñëåäóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mS x , mIx ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ, ïðåäñòàâëÿåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ϕ( X ) = X , îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè mSx = MS [ X ] =

∞

∫ x fS (x )d x, mIx

−∞

= MI [ X ] =

∞

∫ x f I ( x )d x

(ñì. ðèñ. 6.1). Äëÿ âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ãðàíèö DSx è DIx ìîæíî îïðåäåëèòü êàê DSx = MS ( X − mSx )2  ,

(6.7)

−∞

äèñïåðñèè

DIx = MI ( X − mIx )2  ,

(6.8)

à ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö σSx è σIx – êàê σSx = DSx ,

σIx = DIx .

(6.9)

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx è mIx ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X õàðàêòåðèçóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ X , ðàññ÷èòàííûå äëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ. Äèñïåðñèè ãðàíèö DSx è DIx âåëè÷èíû Õ, à òàêæå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö σSx è σIx âåëè÷èíû X õàðàêòåðèçóþò ðàçáðîñ çíà÷åíèé X îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mSx è mIx . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè FS ( x1 ) = FI ( x2 ) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî x1 ≤ x2 , íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî mSx ≤ mIx , ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷è-

98

6.4. Границы вероятностных характеристик и границы моментов …

íà X âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Âåëè÷èíà æå äèñïåðñèè DSx ìîæåò áûòü áîëüøå, ìåíüøå èëè ðàâíà âåëè÷èíå DIx .  êà÷åñòâå èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ôóíêöèè φ( X ) , îïðåäåëÿåìîå êàê M0 [ ϕ( X )] =(MS [ ϕ( X )] +MI [ ϕ( X )]) / 2 ,

ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , îïðåäåëÿåìîå êàê m0 x = (mSx + mIx ) / 2 , ñðåäíåå äèñïåðñèé ãðàíèö D0x = M0 ( X − m0x )2  è ñðåäíåå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé ãðàíèö σ0 x = D0 x . Ïðåäñòàâëåíèå î ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå äàþò è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè, â ÷àñòíîñòè, íà÷àëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö mSxν è mIxν ν-ãî ïîðÿäêà, îïðåäåëÿåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ϕ( X ) = X ν , öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö µSx ν è µIx ν ν-ãî ïîðÿäêà, îïðåäåëÿåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèö ôóíêöèé ϕ ( X ) = ( X − mSx )ν è ϕ ( X ) = = ( X − mIx )ν è äð.

6.4. ГРАНИЦЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ГРАНИЦЫ МОМЕНТОВ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû äðóãîãî òèïà, íå îñíîâàííûå íà ãðàíèöàõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, ãðàíèöû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå äëÿ ñêàëÿðíîé âåùåñòâåííîé âåëè÷èíû X ñëåäóþùèì îáðàçîì: f s ( x ) = sup f ( x / g ), g ∈G

f i ( x ) = inf f ( x / g ) , g ∈G

ãäå f ( x / g ) – ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè óñëîâèè g ∈ G . Íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè ãðàíèö ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíûå f sx ( x ), f ix ( x ), â êîòîðûõ ôàêò ïðèíàäëåæíîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå îòðàæåí â èíäåêñå.

99

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

Äëÿ îïèñàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ãðàíèöû ìîìåíòîâ. Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè ϕ( X ) ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∞

∫ ϕ ( x ) f ( x / g )d x,

M s [ϕ( X )] = sup

g ∈G −∞

Mi [ϕ( X )] = inf g ∈G

∞

∫ ϕ ( x ) f ( x / g )d x.

(6.10)

−∞

Ê ÷èñëó ãðàíèö ìîìåíòîâ îòíîñÿòñÿ âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû íà÷àëüíîãî ìîìåíòà ν-ãî ïîðÿäêà: ∞

∫x

msx ν = M s [X ν ] = sup

g ∈G −∞

mix ν = Mi [ X ν ] = inf g ∈G

∞

∫x

ν

ν

f ( x / g )d x ,

f ( x / g )d x ,

(6.11)

−∞

à òàêæå ãðàíèöû öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà ν-ãî ïîðÿäêà: ∞

∫ ( x − mx / g )

µ sx ν = M s [( X − mx / g )ν ] = sup

ν

f ( x / g )d x ,

ν

f ( x / g )d x ,

g ∈G −∞ ∞

∫ ( x − mx / g )

µix ν = Mi [( X − mx / g )ν ] = inf g ∈G

(6.12)

−∞

ãäå mx / g = M[ X / g ] – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ â óñëîâèÿõ g . ×àñòíûì ñëó÷àåì ãðàíèö ìîìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X : msx = sup

∞

∫ xf ( x / g )d x,

g ∈G −∞

mix = inf g ∈G

∞

∫ xf ( x / g )d x

(6.13)

−∞

(ñì. ðèñ. 6.1). Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, êàê ñëåäóåò èç âûðàæåíèé (6.10) è (6.11), ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöàìè íà÷àëüíîãî ìîìåíòà ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ãðàíèöàìè öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû äèñïåðñèè Dsx = µ sx 2 , Dix = µix 2 . Êîðíè èç ýòèõ âåëè÷èí σsx =

Dsx , σix =

Dix ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãðàíèöû

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ.

100

6.5. Связь между границами моментов и моментами границ …

6.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ГРАНИЦАМИ МОМЕНТОВ И МОМЕНТАМИ ГРАНИЦ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Â îáùåì ñëó÷àå îïåðàòîðû M s [⋅] , Mi [⋅] íå ñîâïàäàþò ñ îïåðàòîðàìè MS [⋅] , MI [⋅] , à ãðàíèöû ìîìåíòîâ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû msx ν , mix ν , µ sxν , µixν íå ñîâïàäàþò ñ ìîìåíòàìè ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ mSx ν , mIx ν , µSxν , µIxν . Çàìåòèì, ÷òî êàê ãðàíèöû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, òàê è ãðàíèöû ìîìåíòîâ íåñóò èíôîðìàöèþ íå î ãðàíèöàõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, à î äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê ïðè èçìåíåíèè óñëîâèé g â ïðåäåëàõ ìíîæåñòâà óñëîâèé G . Ãðàíèöû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö – ðàçíûå õàðàêòåðèñòèêè, à ãðàíèöû ìîìåíòîâ è ìîìåíòû ãðàíèö – ðàçíûå ïàðàìåòðû, ïî-ðàçíîìó ïðåäñòàâëÿþùèå ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ïðè÷èí âîçìîæíûõ îòëè÷èé ãðàíèö õàðàêòåðèñòèê îò ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê ãðàíèö íà ðèñ. 6.4 ïðèâåäåíû íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò íå ïåðåñåêàòüñÿ (ðèñ. 6.4, à, á), à ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 6.4, â, ã).  ñëó÷àÿõ «à» è «á» ãðàíèöû äâóõ ïåðâûõ ìîìåíòîâ ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìîìåíòàìè ãðàíèö, â ñëó÷àå «â» íàáëþäàåòñÿ ÷àñòè÷íîå, à â ñëó÷àå «ã» – ïîëíîå íåñîâïàäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê. Åñëè ñóùåñòâóþò ìèíèìàëüíûå è ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx è mIx ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mix è msx íåðàâåíñòâîì mSx ≤ mix ≤ msx ≤ mIx .

Äîêàçàòåëüñòâî áàçèðóåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèÿõ. Ïóñòü FSx ( x ) è FIx ( x ) – ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = { X / g ∈ G } , mSx è mIx – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ýòèõ ãðàíèö, Fix ( x ) è Fsx ( x ) – ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (èç ÷èñëà îáðàçóþùèõ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X = { X / g ∈ G } ) ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ñîîòâåòñòâåííî mix è msx .

101

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

Ðèñ. 6.4. Ðàçëè÷íûå òèïû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Òîíêèìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x / g ) , à æèðíûìè – ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx(x), FIx(x)

Íà íåêîòîðûõ ó÷àñòêàõ ôóíêöèè FSx ( x ) è Fix ( x ) ìîãóò ñîâïàäàòü, íà íåêîòîðûõ – íå ñîâïàäàòü. Íà èíòåðâàëàõ, ãäå îíè íå ñîâïàäàþò, êðèâàÿ FSx ( x ) ðàñïîëàãàåòñÿ ëåâåå êðèâîé Fix ( x ) . Ïîýòîìó 1

1

0

0

∫ xd FSx ( x ) ≤ ∫ xd Fix ( x ) , ò. å. mix ≥ mSx . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî msx ≤ mIx .

102

Глава 7 ВЕКТОРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Ââåäåíî ïîíÿòèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìåòîäû îïèñàíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáîáùåíû íà ñëó÷àé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 7.1. ВЕКТОРНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И МОМЕНТЫ Ìàòåðèàëû øåñòîé ãëàâû îáîáùàþòñÿ íà âåêòîðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êàæäàÿ êîìïîíåíòà êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêàëÿðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. r Ì-ìåðíóþ âåêòîðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâî âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí r X / g ∈ G èëè êàê âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç M ñêàëÿðíûõ ãèïåð-

{

}

cëó÷àéíûõ âåëè÷èí X m (m = 1, M ) .

r Äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = (X1,… K , X M ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèr ñòèêè óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g ( g ∈ G ) , íàïðèìåð, óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: r F ( x / g ) = F ( x1 ,K , xM / g ) = P { X 1 < x1 ,K , X M < xM / g } ,

ãäå P { X1 < x1,K, X M < xM / g} – âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ X 1 < x1 ,K , X M < xM â óñëîâèÿõ g , óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé:

r r ∂ M F (x / g ) f (x / g ) = , ∂ x1 K ∂ xM

103

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè: ∞

∞

−∞

−∞

r Q ( jω / g ) =

∫K

∫

r r r r f ( x / g ) exp( jω x )d x ,

óñëîâíûå îáðàçóþùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ, óñëîâíûå îáðàçóþùèå ôóíêöèè ôàêòîðèàëüíûõ ìîìåíòîâ è äð. Ìíîæåñòâî ëþáûõ èç ýòèõ óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ âñåõ g ∈ G äàåò íàèáîëåå ïîëíîå îïèñàíèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìåíåå ïîëíîå îïèñàíèå îáåñïå÷èâàþò öåíòðàëüíûå è íåöåír òðàëüíûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g ∀g ∈ G . Îñíîâíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè âåêòîðíîé L-ìåðr íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = ( X 1 ,K , X L ) ñ óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ f ( x1 ,K , x L / g ) ÿâëÿþòñÿ óñëîâíûå ìàòår r ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ Ì-ìåðíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ϕ( X ) äëÿ âñåõ g ∈ G , îïðåäåëÿåìûå êàê r r M ϕ ( X ) / g  =

∞

∞ r K ∫ ∫ ϕ ( x1 ,K , xL ) f ( x1 ,K , xL / g )d x1 K d xL

−∞

−∞

(åñëè èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò). ×àñòíûì ñëó÷àåì ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ âåêòîð óñëîâr r íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mxr / g = M  X / g  ñëó÷àéíûõ âåêr òîðîâ X / g . r Äëÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ñ âåùåñòâåííûìè êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà ìîæåò ñëóæèòü âåêòîð r óñëîâíûõ äèñïåðñèé Dxr / g , ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèé r r ϕ ( X / g ) = (( X l / g − mxl / g )2 ,

l = 1, L),

r è âåêòîð óñëîâíûõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé σ xr / g , êîìïî-

íåíòû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ êàê âåëè÷èíû, ðàâíûå êâàäðàòíîìó r êîðíþ èç êîìïîíåíò âåêòîðîâ Dxr / g , ãäå mxl / g – l-å êîìïîíåíòû r âåêòîðîâ mxr / g . Âåñüìà ïîëåçíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè L-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àér íîé âåëè÷èíû X ìîãóò áûòü óñëîâíûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû mxr / g ν1Kν L

104

7.1. Векторная гиперслучайная величина…

ïîðÿäêà ν = ν1 + K + ν L , îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ν mxr / g ν1Kν L = M  X 1ν1 K X L L / g 

( νl – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, l = 1, L ), à òàêæå óñëîâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû µ xr / g ν1Kν L ïîðÿäêà ν = ν1 + K + ν L , îïðåäåëÿåìûå êàê µ xr / g ν1Kν L = M ( X 1 − mx1 / g )ν1 K ( X L − mxL / g )ν L / g  . Ñìåøàííûå óñëîâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà µ x1 x2 / g âåùåñòâåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 ìîæíî íàçâàòü óñëîâíûìè êîâàðèàöèîííûìè ìîìåíòàìè, ñìåøàííûå óñëîâíûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà mx1 x2 / g – óñëîâíûìè êîððåëÿöèîííûìè ìîìåíòàìè, à ñìåøàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà, íîðìèðîâàííûå íà ñîîòâåòñòâóþùèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σ x1 / g è σ x2 / g , – óñëîâíûìè êîýôôèöèåíòàìè êîððåëÿöèè: rx1 x2 / g =

µ x1 x2 / g σ x1 / g σ x2 / g

.

Óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû µ x1 x2 / g , óñëîâíûå êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû mx1 x2 / g è óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx1 / g , mx2 / g ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè µ x1 x2 / g = mx1 x2 / g − mx1 / g mx2 / g . r r Âåêòîðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G , åñëè ôàêòîðèçóþòñÿ r r r r âñå óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: f ( x , y / g ) = f ( x / g ) f ( y g ) ∀g ∈ G . r r Äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí X è Y ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ôàêòîðèçóþòñÿ íå òîëüêî âñå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, íî è âñå óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, è âñå óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè: r r r r F ( x , y / g ) = F ( x / g )F ( y g ) ,

105

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

r r r r Q ( jωx , jωy / g ) = Q ( jωx / g ) Q ( jωy / g ) .

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè îòñóòñòâóåò ñâÿçü. Ïðîñòî íà óðîâíå ðàññìàòðèâàåìûõ õàðàêòåðèñòèê îíà íå ïðîÿâëÿåòñÿ. Óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóåò òðàêòîâàòü òàê æå: ñâÿçü ìåæäó ðàññìàòðèâàåìûìè âåëè÷èíàìè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü, õîòÿ íà óðîâíå âåðîÿòíîñòíîé ìåðû îíà íå ïðîÿâëÿåòñÿ. 7.2. ГРАНИЦЫ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МОМЕНТЫ ГРАНИЦ ВЕКТОРНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èr íû X = ( X 1 ,K , X M ) îïðåäåëèì êàê r FS ( x ) = sup P { X 1 < x1 ,K , X M < xM / g } , (7.1) g ∈G

r FI ( x ) = inf P { X 1 < x1 ,K , X M < xM / g } , g ∈G

ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö – êàê r r r r ∂ M FS ( x ) ∂ M FI ( x ) fS (x ) = , fI (x ) = , ∂ x1 K ∂ xM ∂ x1 K ∂ xM

(7.2)

(7.3)

à õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö – êàê r QS ( jω) = r QI ( jω) =

∞

∞

−∞

−∞

∫ K∫

r r r r f S ( x ) exp( jω x )d x ,

∞

∞ r r r r K ∫ ∫ f I ( x ) exp( jω x )d x.

−∞

−∞

Çäåñü óìåñòíî áóäåò ñäåëàòü íåêîòîðîå îòñòóïëåíèå. r Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ F ( x ) ìîãëà áûòü ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé M-ìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëèr ÷èíû X = ( X 1 ,K , X M ) , ãäå M ≥ 2 , íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà áûëà íåóáûâàþùåé ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, íåïðåðûâíîé ñëåâà ïî êàæäîìó àðãóìåíòó è óäîâëåòâîðÿëà ñîîòíîøåíèÿì F ( +∞ , K , +∞ ) ,

106

7.2. Границы функции распределения и моменты границ …

lim F ( x1 ,K , xM ) = 0 (1 ≤ m ≤ M ) . Îäíàêî, ýòèõ ñâîéñòâ íå äîñòàr òî÷íî. Äëÿ òîãî ÷òîáû F ( x ) áûëà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ òðåõ ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ, âûïîëíÿëîñü åùå îäíî, ÷åòr r âåðòîå, òðåáîâàíèå: ïðè ëþáûõ a = (a1 ,K , aM ) è b = (b1 ,K , bM ) xm →−∞

( a1 ≤ b1 ,K , aM ≤ bM ) âûðàæåíèå M r r r r P {a ≤ x < b } = F (b ) − ∑ pm + m =1

r

∑ pmn + K + (−1)M F (a )

m
äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì, ãäå pmnKk – çíà÷åíèå ôóíêöèè F (c1 , c2 ,K , cM ) ïðè cm = am , cn = an , …, ck = ak è ïðè îñòàëüíûõ cs , ðàâíûõ bs [Ãíåäåíêî, 1988]. Ñìûñë ÷åòâåðòîãî òðåáîâàíèÿ î÷åâèäåí: âåðîÿòíîñòü íàõîær äåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â ìíîãîìåðíîì ïàðàëëåëåïèïåäå r r r a ≤ X < b íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé. Áîëå ãëóáîêèé ñìûñë ýòîãî òðåáîâàíèÿ ðàñêðûâàåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ïðÿìîóãîëüíèêå ñ âåðøèíàìè (a1 , a2 ) , (b1 , a2 ) , (b1 , b2 ) , (a1 , b2 ) îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì r r r P {a ≤ x < b } = ∆Fb2 − ∆Fa2 , ãäå ∆Fb2 = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) , ∆Fa2 = F (b1 , a2 ) − F (a1 , a2 ) – ïðèðàr ùåíèÿ ôóíêöèè F ( x ) â ñå÷åíèÿõ x2 = b2 è x2 = a2 ñîîòâåòñòâåííî. Âåëè÷èíà, îïèñûâàþùàÿ ýòó âåðîÿòíîñòü, íåîòðèöàòåëüíà, r åñëè ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè F ( x ) â ñå÷åíèè x2 = b2 íå ìåíüøå, ÷åì åå â ïðèðàùåíèå â ñå÷åíèè x2 = a2 ( ∆Fb2 ≥ ∆Fa2 ). Ïîíÿòíî, ÷òî àíàëîãè÷íîå òðåáîâàíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïî îòíîøåíèþ ñå÷åíèé âäîëü îñè x1 . Îáîáùàÿ, äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ÷åòâåðòîå òðåáîâàíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ r ëþáîé êîîðäèíàòû ïðèðàùåíèå ôóíêöèè F ( x ) â ñå÷åíèÿõ íå äîëæíî óìåíüøàòüñÿ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ M ≥ 3 ÷åòâåðòîå òðåáîâàíèå, â ïðèíöèïå, òàêæå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî íà îñíîâàíèè ïîíÿòèé ïðè-

107

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

ðàùåíèé. Îäíàêî, óãëóáëÿòüñÿ äàëåå â ýòîò âîïðîñ, íà íàø âçãëÿä, íå èìååò ñìûñëà, ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ áîëüøîé ìåðíîñòè íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ êðàéíå ðåäêî. Ïåðå÷èñëåííûå ÷åòûðå òðåáîâàíèÿ êàñàþòñÿ íå òîëüêî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íî è ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. r r Çàìåòèì, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ FS ( x ) èëè FI ( x ) , ïîëó÷åííàÿ ïóòåì ðàñ÷åòà ãðàíèö, óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì òðåáîâàíèÿì, ÷òîáû áûòü ôóíêöèåé íåîïðåäåëåííîñòè êàêîé-òî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.  äàëüíåéøåì áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî âñå ÷åòûðå óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ äëÿ îáåèõ ãðàíèö.  ýòîì ñëó÷àå ïàðû õàðàêòåðèñòèê îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, ïðèñóùèìè ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé è õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè âåêòîðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, à òàêæå ñâîéñòâàìè, õàðàêòåðíûìè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàð õàðàêòåðèñòèê ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èr r íû.  ÷àñòíîñòè FS ( x ) ≥ FI ( x ), ïðè÷åì ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòðåìÿòñÿ ê ñîâïàäåíèþ ïðè óñòðåìëåíèè êîìïîíåíò r âåêòîðà x ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè è ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè. r r r Ðàññìîòðèì L-ìåðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Z = ( X ,Y ) , ñîr ñòîÿùóþ èç M-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X è (L — M)-ìåðr íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y . Ââåäåì ïîíÿòèÿ ãðàíèö óñëîâr r r r íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS ( y x ) , FI ( y x ) , óñëîâíûõ ïëîòíîr r r r ñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( y x ) , f I ( y x ) è óñëîâíûõ õàðàêòår r r r ðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ãðàíèö QS ( jωy x ) , QI ( jωy x ) ãèïåðñëó÷àéíîé r r âåëè÷èíû Y ïðè óñëîâèè, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðèr íÿëà êîíêðåòíîå çíà÷åíèå x . r r r r Ñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x , y ) , f I ( x , y ) r r r ñèñòåìû ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Z = ( X ,Y ) ñâÿçàíû ñ óñëîâr r r r íûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( y x ) , f I ( y x ) ãèr ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y è ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàr r r íèö f S ( x ) , f I ( x ) ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íåðàâåíñòâàìè r r r r r r r r r r f S ( x , y ) ≤ f S ( x ) fS ( y x ), f I ( x , y ) ≥ f I ( x ) f I ( y x ), (7.4) ñëåäóþùèìè èç âûðàæåíèé (5.10).

108

7.2. Границы функции распределения и моменты границ …

r r Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûr r r r ìè, åñëè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x , y ) è f I ( x , y ) äîïóñêàþò ôàêòîðèçàöèþ: r r r r r r r r f S ( x , y ) = f S ( x ) f S ( y ), f I ( x , y ) = f I ( x ) f I ( y ). (7.5) r r Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí X è Y ôàêòîðèçóþòñÿ íå òîëüêî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, íî òàêæå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö: r r r r r r r r FS ( x , y ) = FS ( x )FS ( y ), FI ( x , y ) = FI ( x )FI ( y ), r r r r QS ( jωx , jωy ) = QS ( jωx )QS ( jωy ), r r r r QI ( jωx , jωy ) = QI ( jωx )QI ( jωy ).

Çàìåòèì, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è èõ íåçàâèñèìîñòü ïðè âñåõ óñëîâèÿõ – ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö M-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( X 1 ,K , X M ) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè íåðàâåíñòâàìè: f S ( x1 , K , xM ) ≤ fS ( xM x1 , K , xM −1 ) K f S ( x2 x1 ) fS ( x1 ),

(7.6)

f I ( x1 , K , xM ) ≥ f I ( xM x1 , K , xM −1 ) K f I ( x2 x1 ) f I ( x1 ).

(7.7)

Çäåñü f S ( xm x1 ,K , xm −1 ), f I ( xm x1 ,K , xm −1 ) (m = 2, M ) – îäíîìåðíûå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö; f S ( x1 ) , f I ( x1 ) – îäíîìåðíûå áåçóñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö. Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ íåðàâåíñòâ ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì íåðàâåíñòâ (7.4). Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû f S ( x1 ,K , xM ) = f S ( x1 ) K f S ( xM ), f I ( x1 ,K , xM ) = f I ( x1 ) K f I ( xM ).

Äëÿ M-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà ìîæíî îïðåäåëèòü ñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ñðåäíåå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì: r r r F0 ( x ) = (FS ( x ) + FI ( x )) / 2 , r r r f 0 ( x ) = ( f S ( x ) + f I ( x )) / 2 .

109

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

Ýòè ñðåäíèå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé î÷åâèäíûìè ñîîòíîøåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè ñêàëÿðíîìó ñëó÷àþ: r r ∂ M F0 ( x ) f0 (x ) = . ∂x1 K ∂xM  êà÷åñòâå îñíîâíûõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèr r äàíèÿ ãðàíèö M-ìåðíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ϕ( X ) ãèïåðñëó÷àéíîé r L-ìåðíîé âåëè÷èíû X = ( X 1 ,K , X L ) ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x1 ,K , x L ) è f I ( x1 ,K , x L ) , îïðåäåëÿåìûå êàê r r MS  ϕ ( X ) = r r MI  ϕ ( X ) =

∞

∞

−∞

−∞

r

∫ K ∫ ϕ ( x1 ,K , xL ) fS ( x1 ,K , xL )d x1 K d xL ,

∞

∞

−∞

−∞

r

∫ K ∫ ϕ ( x1 ,K , xL ) f I ( x1 ,K , xL )d x1 K d xL

(7.8)

(7.9)

(åñëè èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò). ×àñòíûì ñëó÷àåì õàðàêòåðèñòèê (7.8), (7.9) ÿâëÿþòñÿ ìàòår r ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSxr è mIxr ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà r X , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö r r r ôóíêöèè ϕ( X ) = X : r r r r mSxr = MS  X  , mIxr = MI  X  . (7.10) r Äëÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ñ âåùåñòâåííûìè êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà ìîãóò ñëóæèòü äèñïåðr r ñèè ãðàíèö DSxr , DIxr , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèé r r ϕS ( X ) = (( X l − mSxl )2 , l = 1, L), r r ϕI ( X ) = (( X l − mIxl )2 ,

l = 1, L)

r r è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σSxr , σIxr ãðàíèö, êîìïîíåíòû êîòîðûõ îïðåäåëåíû êàê âåëè÷èíû, ðàâíûå êâàäðàòíîìó êîðíþ r r èç êîìïîíåíò âåêòîðîâ DSxr , DIxr , ãäå mSxl è mIxl – l-å êîìïîr r íåíòû âåêòîðîâ mSxr è mIxr ñîîòâåòñòâåííî.

110

7.2. Границы функции распределения и моменты границ …

Ïîëåçíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ìîãóò áûòü íà÷àëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö mSxr ν1Kν L è mI xrν1KνL ïîðÿäêà ν = ν1 + K + ν L L-ìåðíîé ãèïåðr ñëó÷àéíîé âåùåñòâåííîé âåëè÷èíû X , îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ν mSxrν1Kν L = MS  X 1ν1 K X LL  , ν mIxrν1Kν L = MI  X 1ν1 K X L L 

(7.11)

( νl – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, l = 1, L ), à òàêæå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö µSxrν1Kν L è µIxrν1Kν L ïîðÿäêà ν = ν1 + K + ν L , îïðåäåëÿåìûå êàê µSxrν1Kν L = MS ( X 1 − mSx1 )ν1 K ( X L − mSxL )ν L  ,

(7.12)

µIxrν1Kν L = MI ( X 1 − mIx1 )ν1 K ( X L − mIxL )ν L  .

(7.13)

Ñìåøàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà µSx1 x2 è µIx1 x2 âåùåñòâåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 ìîæíî íàçâàòü êîâàðèàöèîííûìè ìîìåíòàìè ãðàíèö, ñìåøàííûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà mSx1 x2 è mIx1 x2 – êîððåëÿöèîííûìè ìîìåíòàìè ãðàíèö, à ñìåøàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà, íîðìèðîâàííûå íà ñîîòâåòñòâóþùèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σSx1 , σSx2 è σIx1 , σIx2 ãðàíèö, – êîýôôèöèåíòàìè êîððåëÿöèè ãðàíèö rSx1 x2 =

µSx1 x2 σSx1 σSx2

,

rIx1 x2 =

µIx1 x2 σIx1 σIx2

.

(7.14)

Êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö µSx1 x2 è µIx1 x2 , êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö mSx1 x2 è mIx1 x2 è ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx1 , mSx2 , mIx1 è mIx2 ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè µSx1 x2 = mSx1 x2 − mSx1 mSx2 ,

µ Ix1 x2 = mIx1 x2 − mIx1 mIx2 ,

(7.15)

àíàëîãè÷íûìè èçâåñòíîìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X 1 è X 2 áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè èõ êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö ðàâíû íó-

111

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

ëþ: µSx1 x2 = µIx1 x2 = 0 . Ïðè ýòîì rSx1 x2 = rIx1 x2 = 0 è êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (7.15), ñâÿçàíû ñëåäóþùèìè çàâèñèìîñòÿìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö: mSx1 x2 = mSx1 mSx2 , mIx1 x2 = mIx1 mIx2 . Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X 1 è X 2 áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûìè, åñëè êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö ðàâíû íóëþ: mSx1 x2 = mIx1 x2 = 0 . Ïðè ýòîì êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö µSx1 x2 è µIx1 x2 , êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (7.15), îêàçûâàþòñÿ ñâÿ-

çàííûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö ñëåäóþùèì îáðàçîì: µSx1 x2 = −mSx1 mSx2 , µIx1 x2 = −mIx1 mIx2 . Åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X 1 è X 2 íåêîððåëèðîâàíû, òî ïðè ãàóññîâñêèõ çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö îñè ýëëèïñîâ ðàññåÿíèÿ îðèåíòèðîâàíû âäîëü îñåé êîîðäèíàò. Åñëè ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, òî rSx1 x2 = rIx1 x2 = 1 è ýëëèïñû ðàññåÿíèÿ âûðîæäàþòñÿ â îòðåçêè ïðÿìûõ x2 =

σSx2 σSx1

    σSx2 σIx2 σIx x1 +  mSx2 − mSx1  , x2 = x1 +  mIx2 − 2 mIx1  .     σSx1 σIx1 σIx1    

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç íåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 ñëåäóåò èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî.  âåêòîðíîì ñëó÷àå äëÿ ñðåäíèõ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè: âåêòîð ñðåäíåãî r r ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ôóíêöèè ϕ( X ) : r r r r r r M0  ϕ( X ) = (MS ϕ( X ) + MI  ϕ( X )) / 2, âåêòîð ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî r r r r âåêòîðà X : m0 xr = (mSxr + mIxr ) / 2, âåêòîð ñðåäíåãî äèñïåðñèé ãðàíèö r D0 xr = (M0 ( X l − m0xl )2  , l = 1, L) , âåêòîð ñðåäíåãî ñðåäíåêâàäðàr òè÷åñêèõ îòêëîíåíèé ãðàíèö σ0 xr , êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû r êîðíþ èç êîìïîíåíò äèñïåðñèè D0 xr , ñðåäíåå íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö

112

7.3. Границы моментов векторных гиперслучайных величин

m0 xrν1Kν L = (mSxrν1Kν L + mIxrν1Kν L ) / 2,

ñðåäíåå öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö µ 0 xrν1KνL = (µSxrν1Kν L + µ Ixrν1KνL ) / 2 è äð. Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 î÷åâèäíûì îáðàçîì ìîæíî ââåñòè ñðåäíåå êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö µ 0 x1 x2 = (µSx1 x2 + µ Ix1 x2 ) / 2 è ñðåäíåå êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö m0 x1 x2 = (mSx1 x2 + mIx1 x2 ) / 2.

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû

íåêîððåëèðîâàíû, òî ñðåäíåå êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö µ0 x1 x2 ðàâíî íóëþ, åñëè æå îíè îðòîãîíàëüíû, òî ðàâíî íóëþ ñðåäíåå êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ m0 x1 x2 . Êðîìå óêàçàííûõ õàðàêòåðèñòèê, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äðóãèå ïàðàìåòðû, àíàëîãè÷íûå ïðèìåíÿåìûì ïðè îïèñàíèè ñêàëÿðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 7.3. ГРАНИЦЫ МОМЕНТОВ ВЕКТОРНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН r Îïðåäåëèì äëÿ L-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ãðàíèöû ìàr r òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M-ìåðíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ϕ( X ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: r r M s [ϕ (x )] = r r Mi [ϕ (x )] =

∞ ∞ r sup ... ∑ ∫ ∫ ϕm ( x1 ,..., xL ) f ( x1 ,..., xL / g )d x1 ...d xL em , M

m =1 g ∈G −∞

−∞

M

∞

∞

m =1

−∞

−∞

r

... ∫ ϕm ( x1 ,..., x L ) f ( x1 ,..., x L / g )d x1 ...d x L em , ∑ inf g ∈G ∫

r r ãäå ϕm ( x1 ,..., x L ) – m-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ϕ( x1 ,..., x L / g ) , em – m-é îðò ýòîãî âåêòîðà. Ê òàêèì ïàðàìåòðàì îòíîñÿòñÿ ãðàíèöû L-ìåðíîãî ìàòåìàr r òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msxr , mixr âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû r r r r r X : msxr = M s [X ] , mixr = Mi [ X ] è ãðàíèöû L-ìåðíîé äèñïåðñèè: r r Dsxr = M s [( X l − mxl / g )2 , l = 1, L] , Dixr = Mi [( X l − mxl / g )2 , l = 1, L] ,

ãäå mxl / g – l-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî r r îæèäàíèÿ mxr / g = M[X / g ] .

113

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

r r Ñ ïîìîùüþ ãðàíèö äèñïåðñèè Dsxr , Dixr ìîæíî îïðåäåëèòü r r ãðàíèöû L-ìåðíîãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ σ sxr , σixr êàê âåêòîðû, êîìïîíåíòû êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîðíè èç êîìïîíåíò ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíèö äèñïåðñèè. r Ïàðàìåòðàìè âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ msxr ν1 ... ν L , mixrν1 ... ν L ïîðÿäêà ν = = ν1 + ... + ν L , îïðåäåëÿåìûå êàê msxr ν1 ... νL = M s [X 1ν1 ...X LνL ],

mixr ν1 ... νL = Mi [ X 1ν1 ...X LνL ],

r è ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ µ sxr ν1 ... νL , µixν ïîðÿäêà ν = 1 ... ν L

= ν1 + ... + ν L , îïðåäåëÿåìûå êàê µ sxrν1 ... ν L = M s [( X 1 − mx1 / g )ν1 ...( X L − mxL / g )ν L ] , µixrν1 ... ν L = Mi [( X 1 − mx1 / g )ν1 ...( X L − mxL / g )νL ] .

 äâóìåðíîì ñëó÷àå (L = 2) ãðàíèöû ñìåøàííîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà msx1 x2 è mix1 x2 áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöàìè êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà è îáîçíà÷àòü K sx1 x2 è K ix1 x2 , à ãðàíèöû ñìåøàííîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà µ sx1 x2 è µix1 x2 – ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà è îáîçíà÷àòü Rsx1 x2 è Rix1 x2 . Ãðàíèöû êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè îïðåäåëèì êàê rsx1 x2 = sup g ∈G

Rx1 x2 / g σ x1 / g σ x2 / g

, rix1 x2 = inf g ∈G

Rx1 x2 / g σ x1 / g σ x2 / g

.

Ãðàíèöû ìîìåíòîâ íàõîäÿòñÿ â ðåçóëüòàòå îòáîðà ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèé èç ìíîæåñòâà çíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì óñëîâèÿì g ∈ G . Ïðè ýòîì ðàçíûì ãðàíèöàì ìîìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþò â îáùåì ñëó÷àå ðàçíûå óñëîâèÿ g . Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà Rsx1 x2 ≠ K sx1 x2 − msx1 msx2 , Rix1 x2 ≠ K ix1 x2 − mix1 mix2 .

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X 1 è X 2 áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè ãðàíèöû èõ êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ Rsx1 x2 è Rix1 x2 ðàâíû íóëþ.

114

7.4. Параметры скалярных комплексных гиперслучайных величин

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X 1 è X 2 áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè ãðàíèöû èõ êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ K sx1 x2 è K ix1 x2 ðàâíû íóëþ. Åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X 1 è X 2 íåêîððåëèðîâàíû ïðè âñåõ óñëîâèÿõ è óñëîâíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ – ãàóññîâñêèå, òî îñè ýëëèïñîâ ðàññåÿíèÿ îðèåíòèðîâàíû âäîëü îñåé êîîðäèíàò. Èç íåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 è X 2 ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ñëåäóåò èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü ïðè âñåõ óñëîâèÿõ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî. Ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè âñåõ óñëîâèÿõ îòëè÷àþòñÿ îò ïîíÿòèé íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè, ñâÿçàííûõ ñ ðàâåíñòâîì íóëþ ñîîòâåòñòâåííî êîâàðèàöèîííûõ è êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ãðàíèö ìîìåíòîâ, â îòëè÷èå îò ñîâîêóïíîñòè ìîìåíòîâ ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ, íå îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ãðàíèöû ìîìåíòîâ íå èñïîëüçóþò èíôîðìàöèþ î ãðàíèöàõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó èõ ðàñ÷åò òðåáóåò, êàê ïðàâèëî, ìåíüøèõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, ÷åì ðàñ÷åò ìîìåíòîâ ãðàíèö. Äëÿ èíòåãðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ñðåäíèå ãðàíèö ïàðàìåòðîâ. 7.4. ПАРАМЕТРЫ СКАЛЯРНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Óñëîâíûå êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû mz& / g êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z& = X + jY ìîæíî îïðåäåëèòü êàê óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé óñëîâíîé âåëè÷èíû Z& / g : mz& / g = M[XY / g ] , à óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû µ z& / g – êàê óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ åå öåíòðèðîâàííûõ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé: µ z& / g = M[( X / g − mx / g )(Y / g − my / g )] . Çäåñü è äàëåå òî÷êà íàä áóêâîé îçíà÷àåò êîìïëåêñíûé õàðàêòåð îïèñûâàåìîé åþ âåëè÷èíû, òàê, êàê ýòî ïðèíÿòî â ðàäèîòåõíèêå.

115

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

Ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè âñåõ óñëîâèÿõ îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé N êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X& 1 ,..., X& N áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè (ïîïàðíî) ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè äëÿ âñåõ n ≠ m, n, m = 1, N èìåþò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: M[ X& n X m∗ / g ] = M[X& n / g ]M[ X m∗ / g ]

è îðòîãîíàëüíûìè (ïîïàðíî) ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè M[ X& n X m∗ / g ] = 0 . Êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö mSxy è mIxy êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z& = X + jY ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ïðîèçâåäåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé åå ÷àñòåé: mSxy = MS [XY ] , mIxy = MI [ XY ] , à êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö µSxy è µ Ixy – êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ïðîèçâåäåíèÿ åå öåíòðèðîâàííûõ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé µSxy = MS [( X − mSx )(Y − mSy )] , µ Ixy = MI [( X − mIx )(Y − mIy )] .

Ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé N êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X& 1 ,..., X& N áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè (ïîïàðíî), åñëè äëÿ âñåõ n ≠ m,

n, m = 1, N èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: MS [ X& n X m∗ ] = MS [ X& n ]MS [ X m∗ ] , MI [ X& n X m∗ ] = MI [X& n ]MI [ X m∗ ] ,

è îðòîãîíàëüíûìè (ïîïàðíî), åñëè ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ MS [ X& n X m∗ ] = MI [ X& n X m∗ ] = 0 .

Ãðàíèöàìè êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z& = X + jY íàçîâåì âåëè÷èíû K sxy = M s [ XY ] , K ixy = Mi [ XY ] ,

116

7.5. Параметры векторных комплексных гиперслучайных величин

à ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà – âåëè÷èíû Rsxy = M s [( X − mx / g )(Y − my / g )] , Rixy = Mi [( X − mx / g )(Y − my / g )] .

7.5. ПАРАМЕТРЫ ВЕКТОРНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН r& r r Äëÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî êîìïëåêñíîãî âåêòîðà Z = X + jY õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà ìîæåò ñëóæèòü âåêòîð óñëîâíûõ êîìr& ïëåêñíûõ äèñïåðñèé Dzr / g , ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé L-ìåðíûå ìàòå-

ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåêòîðîâ (( X l / g − mx

2

) l /g

+ j(Yl / g − my

2

) l /g

,

l = 1, L) ,

è âåêòîð óñëîâíûõ êîìïëåêñíûõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé r σ& zr& / g , âåùåñòâåííûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ðàâíû êîðíþ èç âåùåñòâåííûõ êîìïîíåíò âåêòîðà óñëîâíûõ êîìïëåêñíûõ äèñïåðñèé r& Dzr& / g , à ìíèìûå – êîðíþ èç ìíèìûõ êîìïîíåíò ýòèõ æå âåëè÷èí. Õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî êîìr& r r ïëåêñíîãî âåêòîðà Z = X + jY ìîãóò ñëóæèòü òàêæå êîìïëåêñíûå r& r& äèñïåðñèè ãðàíèö DSzr& , DIzr& , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé L-ìåðíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåêòîðîâ (( X l − mSx )2 + j(Yl − mSy )2 ,

l = 1, L) ,

(( X l − mIx )2 + j(Yl − mIy )2 ,

l = 1, L),

l

l

l

l

r r è êîìïëåêñíûå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö σ& Szr& , σ& Izr& ,

âåùåñòâåííûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ðàâíû êîðíþ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ âåùåñòâåííûõ êîìïîíåíò êîìïëåêñíûõ äèñïåðñèé ãðàr& r& íèö DSzr& , DIzr& , à ìíèìûå – êîðíþ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíèìûõ êîìïîíåíò ýòèõ æå âåëè÷èí. Äëÿ îïèñàíèÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî êîìïëåêñíîãî âåêr& r r òîðà Z = X + jY ìîæíî èñïîëüçîâàòü ãðàíèöû êîìïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:

117

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

r r r m& szr& = M s [ X + jY ] = r r r m& izr& = Mi [X + jY ] =

L

∞

∑[ ∫

l = 1 −∞ L

∞

∑[ ∫

l = 1 −∞

∞ r xl f (xl / g sl )dxl + j ∫ yl f (yl / g sl )dyl ]el , −∞

∞ r xl f (xl / g il )dxl + j ∫ yl f (yl / gil )dyl ]el , −∞

ãäå g sl è g il – çíà÷åíèÿ g , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè 2

2

∞  ∞   ∫ xl f (xl / g )dxl  +  ∫ yl f (yl / g )dyl  ,  −∞   −∞ 

è ãðàíèöû ìîìåíòîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö êîìïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M-ìåðíîé êîìïëåêñíîé r r& âåêòîðíîé ôóíêöèè ϕ& (Z ) : ∞ ∞ M r r& M s [ϕ& (Z )]= ∑ [ ∫ ... ∫ ϕ& m ( x1 , y1 ,..., x L , y L ) × m =1 - ∞

-∞

r × f ( x1 , y1 ,..., x L , yL / g sm )dx1dy1 ...dx L dy L ] em , ∞ ∞ M r r& Mi [ϕ& (Z )]= ∑ [ ∫ ... ∫ ϕ& m ( x1 , y1 ,..., x L , y L ) × m =1 -∞

-∞

r × f ( x1 , y1 ,..., x L , yL / g im )dx1dy1 ...dx L dyL ] em , r r ãäå ϕ& m ( x1 , y1 ,..., x L , yL ) – m-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ϕ& (z& ) ; g sm , g im – çíà÷åíèÿ g , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè ∞

∞

-∞

-∞

2

∫ ... ∫ ϕ& m (x1 , y1 ,..., xL , yL ) f (x1 , y1 ,..., xL , yL /g)dx1dy1 ...dxL dyL .

Ê ÷èñëó ãðàíèö ìîìåíòîâ êîìïëåêñíîãî âåêòîðà îòíîñÿòñÿ, â r& r& ÷àñòíîñòè, ãðàíèöû êîìïëåêñíîé äèñïåðñèè Dszr& , Dizr& , îïðåäåëÿåìûå êàê ãðàíèöû êîìïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âåêòîðà L

∑ [( X l l =1

118

r − mxl / g )2 + j(Yl − myl / g )2 ]el .

7.5. Параметры векторных комплексных гиперслучайных величин

Ñ ïîìîùüþ ãðàíèö êîìïëåêñíîé äèñïåðñèè ìîæíî îïðåäår ëèòü ãðàíèöû êîìïëåêñíîãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ σ& r , sz&

r σ& izr& êàê âåêòîðû, âåùåñòâåííûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ðàâíû êîð-

íþ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ âåùåñòâåííûõ êîìïîíåíò ãðàíèö êîìr& r& ïëåêñíîé äèñïåðñèè Dszr& , Dizr& , à ìíèìûå êîìïîíåíòû – èç ñîîòr& r& âåòñòâóþùèõ ìíèìûõ êîìïîíåíò äèñïåðñèé Dszr& , Dizr& .  íàñòîÿùåé ãëàâå áûëè ðàññìîòðåíû ìåòîäû îïèñàíèÿ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÷àñòíîãî âèäà, ó êîòîðûõ äëÿ ðàçíûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò óñëîâèÿ g îäèíàêîâûå. Çàìåòèì, ÷òî ýòè ìåòîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ òàêæå âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáùåãî âèäà, ó êîòîðûõ ýòè óñëîâèÿ ðàçíûå äëÿ ðàçíûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò (â ýòîì ñëó÷àå óñr ëîâèÿ îïèñûâàþòñÿ âåêòîðîì g ). Ñ òàêèìè âåêòîðíûìè ãèïåðñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè íàì ïðèäåòñÿ ñòîëêíóòüñÿ ïðè îïèñàíèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé îáùåãî âèäà.

119

Глава 8 СКАЛЯРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû åå ïðåäñòàâëåíèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äàþùèå íàèáîëåå ïîëíóþ õàðàêòåðèñòèêó ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè), à òàêæå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ìîìåíòû ãðàíèö è ãðàíèöû ìîìåíòîâ. 8.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Ïîä ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèåé X (t ) áóäåì ïîíèìàòü ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ íåçàâèñèìîãî àðãóìåíòà t , çíà÷åíèå êîòîðîé ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè t ∈ T (ãäå T – îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, íàçûâàåìóþ ñå÷åíèåì. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âñåõ ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé S (ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî). i-é ðåàëèçàöèåé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) (âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé) áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ xi (t ; g t ) (îáîçíà÷àåìóþ òàêæå êàê xi (t ) / g t ), êîòîðàÿ äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îïûòà i ∈ I ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó t ∈ T è êîíêðåòíîìó óñëîâèþ g t ∈ Gt îäíî èç çíà÷åíèé x ∈ S . Ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) / g t (îáîçíà÷àåìûõ òàêæå êàê X (t ; g t ) ): X (t ) = {X (t ) / g t ∈ Gt } . Íàðÿäó ñ òàêèìè ãèïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè îáùåãî âèäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà, äëÿ êîòîðûõ óñëîâèÿ g t ∈ Gt íå çàâèñÿò îò t : ( g t = g , Gt = G ). Ðåàëèçàöèÿ xi (t ; g ) òàêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè (îáîçíà÷àåìàÿ òàêæå êàê xi (t ) / g ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåòåðìèíèðîâàí-

120

8.1. Основные определения

Ðèñ. 8.1. Ðåàëèçàöèè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ÷àñòíîãî âèäà

íóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îïûòà i ∈ I è ôèêñèðîâàííîãî óñëîâèÿ g ∈ G ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó t ∈ T îäíî èç çíà÷åíèé x ∈ S . Ïðåäñòàâëåíèå î ðåàëèçàöèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà, êîãäà ìíîæåñòâî G – ñ÷åòíîå, äàåò ðèñ. 8.1. Òàêàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ èìååò ÷åðòû êàê ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òàê è äåòåðìèíèðîâàííîé ôóíêöèè: ïðè ôèêñàöèè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà t ïðåâðàùàåòñÿ â ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, à ïðè ôèêñàöèè îïûòà i è óñëîâèé g – â äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ. Ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé I ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííûì, ñ÷åòíûì èëè íåñ÷åòíûì. Ðàçìåðíîñòü N îáëàñòè T îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà t ìîæåò áûòü ðàçíîé. Åñëè N = 1 , òî ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) áóäåì íàçûâàòü ãèïåðñëó÷àéíûì ïðîöåññîì è ïðåäñòàâëÿòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ X (t ) / g t . Åñëè N > 1 , òî àðãóìåíò t – âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ X (t ) áóäåì íàçûâàòü ãèïåðñëó÷àéíûì ïîëåì è ïðåäñòàâëÿòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ ïîëåé X (t ) / g t . Åñëè ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé îäíîìåðíî, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ – ñêàëÿðíàÿ, åñëè ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿ-

121

Глава 8. Cкалярные гиперслучайные функции

íèé áîëüøå åäèíèöû, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ – âåêòîðíàÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñêàëÿðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, âî âòîðîì – ìíîæåñòâîì âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Åñëè ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé âåùåñòâåííîå, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, åñëè îíî êîìïëåêñíîå, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì êîìïëåêñíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. 8.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Ñêàëÿðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ñîâîêóïíîñòüþ åå ñå÷åíèé. Äëÿ îïèñàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: r r r F ( x ; t / g ) = P {X (t1 ) < x1 ,..., X (t L ) < xM / g1 ,..., g L } r r r r (îáîçíà÷àåìûå òàêæå êàê F ( x ; t ; g ) ), ãäå x = ( x1 ,..., x L ) – L-ìåðíûé âåêòîð çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) â ìîìåíòû âðåìåíè t1 ,..., t L , îáðàçóþùèå L-ìåðíûé âåêòîð âðåìåíè r r r r t = t1 ,..., t L ; g = g1 ,..., g L – âåêòîð óñëîâèé ( g ∈ G ), ñîîòâåòñòr r âóþùèé âåêòîðó âðåìåíè t ; P { A / g } – âåðîÿòíîñòü âûïîëíår íèÿ íåðàâåíñòâà A ïðè óñëîâèÿõ g , à òàêæå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ r r r r r r ∂ L F (x; t / g ) f (x; t / g ) = ∂ x1 ...∂ x L r r r (îáîçíà÷àåìûå òàêæå êàê f ( x ; t ; g ) ), óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ∞ ∞ r r r r r r r r r Q ( jω; t / g ) = ∫ ... ∫ f ( x ; t / g ) exp( jω x )d x −∞

−∞

è äð. Ïðåäñòàâëåíèå îá óñëîâíûõ ïëîòíîñòÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà äëÿ ìíîæåñòâà óñëîâèé {1,...,G } äàåò ðèñ. 8.2. Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü öåíòðàëüíûå è íåöåíòðàëüíûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) / g t ( g t ∈ Gt ) , â ÷àñòíî-

122

8.2. Вероятностные характеристики скалярной гиперслучайной функции

Ðèñ. 8.2. Óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ÷àñòíîãî âèäà

ñòè, óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx / gt (t ) = M [X (t ) / gt ] , óñëîâíûå äèñïåðñèè Dx / gt (t ) = D [ X (t ) / g t ] = M [( X (t ) / g t − mx / gt (t ))2 ] ,

óñëîâíûå êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû K x / gt

g 1 t2

(t1 , t2 ) = M[( X (t1 ) / g t1 )( X (t2 ) / g t2 )] ,

óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû Rx / gt

g 1 t2

(t1 , t2 ) = M[( X (t1 ) / g − mx / gt (t1 ))( X (t 2 ) / g t2 − mx / gt (t2 ))] 1

2

è ïð. Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû òàêæå àíàëîãè ïåðå÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãðàíèö. Ê ÷èñëó âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê îòíîñÿòñÿ ãðàíèöû ôóíêr r r r öèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS ( x ; t ), FI ( x ; t ) , ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö r r r r r v f S ( x ; t ) , f I ( x ; t ) è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö QS ( j ω; t ) , r r QI ( j ω; t ) , îïðåäåëÿåìûå ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì: r r r FS ( x ; t ) = sup P {X (t1 ) < x1 ,..., X (t M ) < xM / g }, r r g ∈G

r r r FI ( x ; t ) = inf r r P { X (t1 ) < x1 ,..., X (t M ) < x M / g }, g ∈G

r r r r ∂ L FS ( x ; t ) fS (x; t ) = , ∂ x1 ...∂ x L

r r r r ∂ L FI ( x ; t ) f I ( x; t ) = , ∂ x1 ...∂ x L

(8.1) (8.2)

123

Глава 8. Cкалярные гиперслучайные функции

r r QS ( jω; t ) = r r QI ( jω; t ) =

∞

∞

−∞

−∞

∞

∞

−∞

−∞

∫ ... ∫

∫ ... ∫

r r rr r f S ( x ; t ) exp( jω x )d x , r r rr r f I ( x ; t ) exp( jω x )d x .

(8.3)

Ýòè õàðàêòåðèñòèêè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àíàëîãè÷íûå õàðàêòåðèñòèêè âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñì. ïàðàãðàô 7.2). Øèðèíà çîíû íåîïðåäåëåííîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿìè r r r r r r ∆F ( x ; t ) = FS ( x ; t ) − FI ( x ; t ) è r r r r r r ∆f ( x ; t ) = f S ( x ; t ) − f I ( x ; t ) . Äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ýòè ôóíêöèè ðàâíû íóëþ. Ïðè ïîër r íîé íåîïðåäåëåííîñòè (ïîëíîì õàîñå) ∆F ( x ; t ) = 1 . Ïðåäñòàâèì ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) ñîâîêóïíîñòüþ L åå ñå÷åíèé X (t1 ; g t1 ) ,…, X (t L ; g tL ) . Ðàçäåëèì ýòè ñå÷åíèÿ íà äâå ãðóïïû. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíåñåì ëþáûå M ñå÷åíèé, íàïðèìåð ïåðâûå, à êî âòîðîé – îñòàëüíûå (L — M) ñå÷åíèé. Òîãäà L-ìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x1 ,..., x L ; t1 ,..., t L ) , f I ( x1 ,..., x L ; t1 ,..., t L ) ñâÿçàíû ñ M-ìåðíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M ) , f I ( x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M )

è óñëîâíûìè (L — M)-ìåðíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( xM +1 ,..., x L ; t M +1 ,..., t L / x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M ) , f I ( xM +1 ,..., x L ; t M +1 ,..., t L / x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M )

ñëåäóþùèìè íåðàâåíñòâàìè: f S ( x1 ,..., x L ; t1 ,..., t L ) ≤ f S ( x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M ) × × f S ( xM +1 ,..., x L ; t M +1 ,..., t L / x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M ), f I ( x1 ,..., x L ; t1 ,..., t L ) ≥ f I ( x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M ) × × f I ( xM +1 ,..., x L ; t M +1 ,..., t L / x1 ,..., xM ; t1 ,..., t M ),

124

8.3. Моментные функции границ распределения скалярной …

âûòåêàþùèìè èç àíàëîãè÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ñå÷åíèÿ t1 , t2 ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûìè, åñëè äâóìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ôàêòîðèçóþòñÿ: f S ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) = f S ( x1 ; t1 ) f S ( x2 ; t2 ), f I ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) = f I ( x1 ; t1 ) f I ( x2 ; t2 ).

(8.4)

Ñå÷åíèÿ t1 ,…, t L ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) íàçîâåì íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñå÷åíèÿì, ò. å. âîçìîæíî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö: L

f S ( x1 ,..., x L ; t1 ,..., t L ) = ∏ f S ( xl ; tl ), l =1

f I ( x1 ,..., x L ; t1 ,..., t L ) =

L

∏ f I ( xl ; tl ).

(8.5)

l =1

Êàê è â ñëó÷àå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, èç íåçàâèñèìîñòè â ñîâîêóïíîñòè ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñëåäóåò ïîïàðíàÿ èõ íåçàâèñèìîñòü. Îáðàòíîå æå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. 8.3. МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ ГРАНИЦ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ϕ( X (t1 ),..., X (t L )) çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) â L òî÷êàõ X 1 = X (t1 ) ,…, ÕL = = X (t L ) îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè MS [ϕ( X (t1 ), K , X (t L ))] =

=

∞

∞

−∞

−∞

∫ K ∫ ϕ( x1 ,K , xL ) fS ( x1 ,K , xL ; t1 ,K , t L )d x1 K d xL , MI [ϕ( X (t1 ), K , X (t L ))] =

=

∞

∞

−∞

−∞

∫K

∫ ϕ( x1 ,K , xL ) f I ( x1 ,K , xL ; t1 ,K , t L )d x1 K d xL .

(8.6)

125

Глава 8. Cкалярные гиперслучайные функции

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö. Íà÷àëüíûìè L-ìåðíûìè ìîìåíòíûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö ïîðÿäêà ν = ν1 + K + ν L ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) áóäåì íàçûâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ϕ ( X (t1 ), K , X (t L )) = X ν1 (t1 ) K X νL (t L ) : mS ν1 ...ν L (t1 ,K , t L ) = MS [X ν1 (t1 ) K X ν L (t L )] = =

∞

∞

−∞

−∞

∫K

∫ x1

ν1

K x Lν L fS ( x1 ,K , xL ; t1 ,K , t L )d x1 K d x L ,

mI ν1 ...ν L (t1 ,K , t L ) = MI [ X ν1 (t1 ) K X ν L (t L )] = =

∞

∞

−∞

−∞

∫ K ∫ x1

ν1

K x Lν L f I ( x1 ,K , x L ; t1 ,K , t L )d x1 K d x L ,

(8.7)

ãäå νl – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (l = 1, L ) . Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) îïðåäåëèì êàê mSx (t ) = MS [ X (t )] , mIx (t ) = MI [ X (t )] .

Öåíòðàëüíûìè L-ìåðíûìè ìîìåíòíûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö ïîðÿäêà ν = ν1 + K + ν L áóäåì íàçûâàòü ñëåäóþùèå ôóíêöèè: µS ν1 ...ν L (t1 ,K , t L ) = MS [( X (t1 ) − mSx (t1 ))ν1 K ( X (t L ) − mSx (t L ))νL ], µI ν1 ...νL (t1 ,K , t L ) = MI [( X (t1 ) − mIx (t1 ))ν1 K ( X (t L ) − mIx (t L ))ν L ]. (8.8)

×àñòíûì ñëó÷àåì ýòèõ ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ äèñïåðñèè ãðàíèö DSx (t ) , DIx (t ) , îïðåäåëÿåìûå êàê DSx (t ) = DS [ X (t )] = MS [( X (t ) − mSx (t ))2 ], DIx (t ) = DI [ X (t )] = MI [( X (t ) − mIx (t ))2 ].

(8.9)

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx (t ) , mIx (t ) õàðàêòåðèçóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) , ðàññ÷èòàííûå äëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, à äèñïåðñèè ãðàíèö DSx (t ) , DIx (t ) è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö, îïðåäåëÿåìûå êàê

126

8.3. Моментные функции границ распределения скалярной …

σSx (t ) = DSx (t ) , σIx (t ) = DIx (t ) ,

õàðàêòåðèçóþò ñòåïåíü ðàçáðîñà ýòîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mSx (t ) è mIx (t ) . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî mSx (t ) ≤ mIx (t ) , à ñîîòíîøåíèå ìåæäó DSx (t ) è DIx (t ) ìîæåò áûòü ëþáûì. ×àñòíûìè ñëó÷àÿìè âûðàæåíèé (8.7), (8.8) ÿâëÿþòñÿ êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè RSx (t1 , t2 ) = MS [( X (t1 ) − mSx (t1 ))( X (t 2 ) − mSx (t2 ))], RIx (t1 , t2 ) = MI [( X (t1 ) − mIx (t1 ))( X (t 2 ) − mIx (t2 ))]

è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö K Sx (t1 , t2 ) = MS [ X (t1 ) X (t 2 )], K Ix (t1 , t2 ) = MI [ X (t1 )X (t2 )].

(8.10)

Îíè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: RSx (t1 , t2 ) = K Sx (t1 , t2 ) − mSx (t1 )mSx (t2 ), RIx (t1 , t2 ) = K Ix (t1 , t2 ) − mIx (t1 )mIx (t 2 ).

(8.11)

Êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö, à òàêæå íîðìèðîâàííûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö rSx (t1 , t2 ) =

RSx (t1 , t2 ) , σSx (t1 )σSx (t2 )

rIx (t1 , t2 ) =

RIx (t1 , t 2 ) σIx (t1 )σIx (t2 )

(8.12)

õàðàêòåðèçóþò çàâèñèìîñòü ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ñå÷åíèÿ t1 , t2 ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè äëÿ ýòèõ ñå÷åíèé êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö RSx (t1 , t2 ) = RIx (t1 , t2 ) = 0 . Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (8.11), K Sx (t1 , t2 ) = mSx (t1 )mSx (t2 ) , K Ix (t1 , t2 ) = mIx (t1 )mIx (t 2 ) .

Ñå÷åíèÿ t1 , t2 ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûìè, åñëè äëÿ íèõ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö K Sx (t1 , t2 ) = K Ix (t1 , t2 ) = 0 . Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (8.11),

127

Глава 8. Cкалярные гиперслучайные функции

RSx (t1 , t 2 ) = −mSx (t1 )mSx (t 2 ) , RIx (t1 , t 2 ) = −mIx (t1 )mIx (t 2 ) .

Ïîíÿòèÿ íåçàâèñèìîñòè, íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè àíàëîãè÷íû òàêèì æå ïîíÿòèÿì ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Åñëè ñå÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè êîððåëèðîâàíû, òî îíè çàâèñèìû. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Åñëè ñå÷åíèÿ íåçàâèñèìû, òî îíè íåêîððåëèðîâàíû. Åñëè ñå÷åíèÿ îðòîãîíàëüíû, òî îíè ìîãóò áûòü êàê çàâèñèìûìè, òàê è íåçàâèñèìûìè, êàê êîððåëèðîâàííûìè, òàê è íåêîððåëèðîâàííûìè. Åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö õîòÿ áû îäíîãî èç äâóõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñå÷åíèé ðàâíû íóëþ, òî èç îðòîãîíàëüíîñòè ñå÷åíèé ñëåäóåò èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü, à èç íåêîððåëèðîâàííîñòè – èõ îðòîãîíàëüíîñòü. 8.4. ГРАНИЦЫ МОМЕНТОВ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðÿä äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê, àíàëîãè÷íûõ ðàññìîòðåííûì â ïàðàãðàôå 7.3 äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îñíîâîé ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷år r ñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè ϕ(X ; t ) = = ϕ( X 1 ,..., X L ; t1 ,..., t L ) ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) : r r M s [ϕ( X ; t ] = sup r r

∞

∞

g ∈G −∞

−∞

r r Mi [ϕ( X ; t )] = inf r r

∞

g ∈G

r r

r r

∫ ... ∫ ϕm ( x; t ) f ( x; t ∫

−∞

r r / g )d x ,

∞ r r r r r r ... ∫ ϕm ( x ; t ) f ( x ; t / g )d x . −∞

×àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx (t ) = M s [X (t )] , mix (t ) = Mi [X (t )] ,

ãðàíèöû äèñïåðñèè Dsx (t ) = M s [( X (t ) − mx / gt (t ))2 ] , Dix (t ) = Mi [( X (t ) − mx / gt (t ))2 ] ,

ãäå mx / gt (t ) = M[ X (t ) / g t ] – çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â óñëîâèÿõ g t ∈ Gt , à òàêæå ãðàíèöû íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ

128

8.4. Границы моментов скалярной гиперслучайной функции

ms ν1 ... νL (t1 ,..., t L ) = M s [ X ν1 (t1 )...X νL (t L )] , mi ν1 ... ν L (t1 ,..., t L ) = Mi [ X ν1 (t1 )...X ν L (t L )]

ïîðÿäêà ν = ν1 + ... + ν L è ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ µ s ν1 ... ν L (t1 ,..., t L ) = M s [( X (t1 ) − mx / gt (t1 ))ν1 ...( X (t L ) − mx / gt (t L ))ν L ], 1

L

µ iν1 ... ν L (t1 ,..., t L ) = Mi [( X (t1 ) − mx / gt (t1 ))ν1 ...( X (t L ) − mx / gt (t L ))ν L ] 1

L

ïîðÿäêà ν = ν1 + ... + ν L . Ãðàíèöû ñìåøàííîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ms11 (t1 , t 2 ) , mi11 (t1 , t 2 ) áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöàìè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè è îáîçíà÷àòü K sx (t1 , t2 ) , K ix (t1 , t 2 ) , ãðàíèöû ñìåøàííîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà – ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè è îáîçíà÷àòü Rsx (t1 , t2 ) , Rix (t1 , t2 ) . Êàê è â ñëó÷àå ãðàíèö êîððåëÿöèîííîãî è êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòîâ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èç-çà òîãî, ÷òî ãðàíèöû êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè è ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçr ëè÷íûì óñëîâèÿì g , â îáùåì ñëó÷àå Rsx (t1 , t2 ) ≠ K sx (t1 , t 2 ) − msx (t1 )msx (t 2 ) , Rix (t1 , t2 ) ≠ K ix (t1 , t2 ) − mix (t1 )mix (t2 ) .

Îòñ÷åòû ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) â ìîìåíòû t1 , t 2 áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè Rsx (t1 , t 2 ) = Rix (t1 , t2 ) = 0 , è îðòîãîíàëüíûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè K sx (t1 , t 2 ) = K ix (t1 , t2 ) = 0 . Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè îòñ÷åòîâ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, äëÿ îïèñàíèÿ ñèòóàöèé, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå êîððåëÿöèîííûå è êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíû íóëþ, îòëè÷àþòñÿ îò ïðèâåäåííûõ çäåñü ïîíÿòèé. Èç íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè îòñ÷åòîâ íå ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü è îðòîãîíàëüíîñòü ïðè âñåõ óñëîâèÿõ.  îáùåì ñëó÷àå è èç íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè îòñ÷åòîâ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå ñëåäóåò ñîîòâåò-

129

Глава 8. Cкалярные гиперслучайные функции

ñòâåííî èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü è îðòîãîíàëüíîñòü. Ïîñëåäíåå r r ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS ( x ; t ) , r r FI ( x ; t ) íå âñåãäà ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó óñëîâíûõ ôóíêöèé r r r r r ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ; t / g ) , g ∈ G . Åñëè æå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âñå æå ïðèíàäëåæàò ýòîìó ìíîæåñòâó, òî èç íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè îòñ÷åòîâ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü è îðòîãîíàëüíîñòü. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìíîæåñòâî ãðàíèö âñåõ ìîìåíòîâ íåîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ðàñïðåäåëåíèÿ.

130

Глава 9 ВЕКТОРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ, ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ

Ââåäåíû ïîíÿòèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà è ãèïåðñëó÷àéíîãî îïåðàòîðà. Ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû îïèñàíèÿ ýòèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà èõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ. 9.1. ВЕКТОРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèåé áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíóþ r ôóíêöèþ X (t ) , êîìïîíåíòû êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñêàr ëÿðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè: X (t ) = ( X 1 (t ),..., X H (t )) . r Âåêòîðíóþ H-ìåðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) ìîæíî îïèñàòü ìíîæåñòâîì HL-ìåðíûõ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëår r r r r r r r íèÿ F ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , t H / g1 ,K , g H ) , ãäå L-ìåðíûå âåêòîðû xh , th , r r g h õàðàêòåðèçóþò h-å êîìïîíåíòû âåêòîðà X (t ) â óñëîâèÿõ r r g h ∈ Gh ( h = 1, H ). Êðîìå òîãî, åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü óñëîâíûìè öåíòðàëüíûìè è íåöåíòðàëüíûìè ìîìåíòàìè, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â ïàðàãðàôå 8.2. Ýòó ôóíêöèþ ìîæíî îïèñàòü òàêæå â L ñå÷åíèÿõ ãðàíèöàìè r r r HL-ìåðíîé ñîâìåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , r r r r r r r t H ) , FI ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , t H ) , ãäå L-ìåðíûå âåêòîðû xh è t h õàðàêòår ðèçóþò h-å êîìïîíåíòû âåêòîðà X (t ) (h = 1, H ) , ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö r r r r r r r r f S ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , t H ) , f I ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , t H ) èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö

131

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции …

r r r r r r r r QS ( jω1 ,K , jωH ; t1 ,K , t H ) , QI ( jω1 ,K , jωH ; t1 ,K , t H ) .

Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè X 1 (t ) è X 2 (t ) áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûìè, åñëè ïðè ïðîèçâîëüíîì íàòóðàëüíîì L åå 2L-ìåðíûå ñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ôàêòîðèçóþòñÿ: r r r r r r r r f S ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) = f S ( x1 ; t1 ) f S ( x2 ; t2 ), r r r r r r r r f I ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) = f I ( x1 ; t1 ) f I ( x2 ; t2 ). (9.1) r Êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè ôàêòîðèçóþòñÿ åå ñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö: H r r r f S ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , t H ) = ∏ f S ( xh ; t h ), h =1

H r r r f I ( x1 ,K , xH ; t1 ,K , t H ) = ∏ f I ( xh ; t h ).

(9.2)

h =1

r Åñëè êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ïîïàðíî íåçàâèñèìû, òî íå îáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè åå êîìïîíåíòû. r r Ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mS (t ) , mI (t ) áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå âåêòîðíûå ôóíêöèè, êîìïîíåíòû êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêr öèè X (t ) : r r r r mS (t ) = MS [ X (t )], mI (t ) = MI [ X (t )]. (9.3) r r Äèñïåðñèÿìè ãðàíèö DS (t ) , DI (t ) âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå âåêòîðíûå ôóíêöèè, êîìïîíåíòû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ äèñïåðñèÿìè ãðàíèö ñîîòr âåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ôóíêöèè X (t ) : r r r r DS (t ) = DS [ X (t )], DI (t ) = DI [X (t )]. (9.4)

Êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö H-ìåðíîé âåêòîðíîé ãèr ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) áóäåì íàçûâàòü êâàäðàòíûå ìàòðèöû RS , RI ðàçìåðîì H × H ñ ýëåìåíòàìè

132

9.1. Векторные гиперслучайные функции

RShk (t1 , t 2 ) = MS [( X h (t1 ) − mSxh (t1 ))( X k (t 2 ) − mSxk (t2 ))], RIhk (t1 , t 2 ) = M I [( X h (t1 ) − mIxh (t1 ))( X k (t 2 ) − mIxk (t2 ))].

(9.5)

Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ýòèõ ìàòðèö ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö êîìïîíåíò. Íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îïèñûâàþò êîâàðèàöèîííûå ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòàìè. Ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòàìè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü òàêæå íîðìèðîâàííûìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö, îïðåäåëÿåìûìè îäíèì èç ñëåäóþùèõ îáðàçîâ: rShk (t1 , t 2 ) = rIhk (t1 , t 2 ) = rShk (t1 , t 2 ) = rIhk (t1 , t 2 ) = rShk (t1 , t 2 ) =

RShk (t1 , t2 ) RShh (t1 , t 2 )RSkk (t1 , t2 ) RIhk (t1 , t 2 ) RIhh (t1 , t 2 )RIkk (t1 , t 2 ) RShk (t1 , t2 ) RShk (t1 , t1 )RShk (t2 , t2 ) RIhk (t1 , t2 ) RIhk (t1 , t1 )RIhk (t 2 , t 2 )

RShk (t1 , t2 ) DSh (t1 )DSk (t 2 )

, rIhk (t1 , t 2 ) =

,

;

,

;

RIhk (t1 , t2 ) DIh (t1 )DIk (t2 )

,

ãäå h, k = 1, H . Ïîäîáíî êîâàðèàöèîííûì ôóíêöèÿì ãðàíèö ìîæíî îïðåäåëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè: K Shk (t1 , t 2 ) = MS [ X h (t1 )X k (t 2 )], K Ihk (t1 , t 2 ) = MI [ X h (t1 )X k (t 2 )].

Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö, äèñïåðñèé ãðàíèö, êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö è êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñîâïàäàþò ñî ñâîéñòâàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñì. ïàðàãðàô 7.2).

133

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции …

9.2. ПАРАМЕТРЫ КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö K& Sx (t1 , t 2 ) , K& Ix (t1 , t2 ) êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X& (t ) áóäåì íàçûâàòü äâóìåðíûå íà÷àëüíûå ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà: K& Sx (t1 , t 2 ) = MS [X& (t1 )X * (t 2 )], K& Ix (t1 , t 2 ) = MI [X& (t1 )X * (t 2 )],

(9.6)

à êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö R&Sx (t1 , t2 ) , R&Ix (t1 , t 2 ) – äâóìåðíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà: * R&Sx (t1 , t 2 ) = MS [( X& (t1 ) − m& Sx (t1 ))( X * (t2 ) − mSx (t2 ))], * R&Ix (t1 , t2 ) = MI [( X& (t1 ) − m& Ix (t1 ))( X * (t 2 ) − mIx (t2 ))].

(9.7)

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: * K& Sx (t1 , t 2 ) = R&Sx (t1 , t 2 ) + m& Sx (t1 )mSx (t 2 ) , * K& Ix (t1 , t 2 ) = R&Ix (t1 , t2 ) + m& Ix (t1 )mIx (t2 ) .

Åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ðàâíû íóëþ, òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîâàðèàöèîííûì ôóíêöèÿì ãðàíèö: K& Sx (t1 , t 2 ) = R&Sx (t1 , t2 ) , K& Ix (t1 , t 2 ) = R&Ix (t1 , t 2 ) .

Çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X& (t ) â ìîìåíòû âðåìåíè t1 , t2 áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö R& (t , t ) = R& (t , t ) = 0 . Ïðè ýòîì Sx

1

2

Ix

1

2

* * K& Sx (t1 , t 2 ) = m& Sx (t1 )mSx (t2 ) , K& Ix (t1 , t 2 ) = m& Ix (t1 )mIx (t 2 ) .

Çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X& (t ) â ìîìåíòû âðåìåíè t1 , t2 áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûìè, åñëè êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö K& (t , t ) = K& (t , t ) = 0 . Òîãäà Sx

1

2

Ix

1

2

* * R&Sx (t1 , t 2 ) = −m& Sx (t1 )mSx (t 2 ) , R&Ix (t1 , t 2 ) = −m& Ix (t1 )mIx (t 2 ) .

134

9.2. Параметры комплексных гиперслучайных функций

Âçàèìíûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö K& Sxy (t1 , t2 ) , K& Ixy (t1 , t 2 ) è âçàèìíûìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö R&Sxy (t1 , t 2 ), R& (t , t ) êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X& (t ) è Y& (t ) áóäåì Ixy

1

2

íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî äâóìåðíûå íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå âçàèìíûå ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà: K& Sxy (t1 , t2 ) = MSxy [ X& (t1 )Y * (t 2 )], K& Ixy (t1 , t 2 ) = MIxy [X& (t1 )Y * (t 2 )],

(9.8)

* R&Sxy (t1 , t 2 ) = MSxy [( X& (t1 ) − m& Sx (t1 ))(Y * (t2 ) − mSy (t2 ))],

R&Ixy (t1 , t 2 ) = MIxy [( X& (t1 ) − m& Ix (t1 ))(Y * (t2 ) − mIy* (t 2 ))].

(9.9)

Êîððåëÿöèîííûå è êîâàðèàöèîííûå ñâÿçè ìåæäó ñå÷åíèÿìè êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X& (t ) è Y& (t ) â ìîìåíòû âðåìåíè t1 , t2 îïèñûâàþòñÿ êîððåëÿöèîííûìè è êîâàðèàöèîííûìè ìàòðèöàìè ãðàíèö: K& Sx (t1 , t2 ) K& Sxy (t1 , t 2 ) , K& S (t1 , t2 ) = K& Syx (t1 , t2 ) K& Sy (t1 , t 2 )

(9.10)

K& Ix (t1 , t 2 ) K& Ixy (t1 , t2 ) , K& I (t1 , t 2 ) = K& Iyx (t1 , t 2 ) K& Iy (t1 , t 2 )

(9.11)

R&Sx (t1 , t2 ) RSxy (t1 , t 2 ) , R&S (t1 , t2 ) = R&Syx (t1 , t2 ) R&Sy (t1 , t 2 )

(9.12)

R&Ix (t1 , t2 ) R&Ixy (t1 , t 2 ) . R&I (t1 , t2 ) = R&Iyx (t1 , t2 ) R&Iy (t1 , t 2 )

(9.13)

Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè X& (t ) è Y& (t ) áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t1 , t2 (t1 ≠ t2 ) âçàèìíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

135

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции …

R&Sxy (t1 , t2 ) = R&Syx (t1 , t2 ) = R&Ixy (t1 , t2 ) = R&Iyx (t1 , t2 ) = 0 ,

ò. å. ìàòðèöû (9.12), (9.13) – äèàãîíàëüíûå. Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè X& (t ) è Y& (t ) áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûìè, åñëè äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t1 , t2 (t1 ≠ t2 ) âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö K& Sxy (t1 , t2 ) = K& Syx (t1 , t2 ) = K& Ixy (t1 , t 2 ) = K& Iyx (t1 , t 2 ) = 0 , ò. å. ìàòðèöû (9.10), (9.11) – äèàãîíàëüíûå. Íîðìèðîâàííûìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèè R&Sx (t1 , t2 ) r&Sx (t1 , t2 ) = , DSx (t1 )DSx (t2 ) r&Ix (t1 , t2 ) =

R&Ix (t1 , t2 ) R&Sxy (t1 , t2 )

r&Sxy (t1 , t2 ) =

DSx (t1 )DSy (t2 )

r&Ixy (t1 , t2 ) =

,

(9.14)

.

(9.15)

DSx (t1 )DSx (t2 ) ,

R&Ixy (t1 , t 2 ) DSx (t1 )DSy (t2 )

Ñâîéñòâà êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé êîìïëåêñíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.  ÷àñòíîñòè, êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñòâàìè: • ýðìèòîâîñòè, ò. å. R& (t , t ) = R * (t , t ) , R& (t , t ) = R * (t , t ) ; Sxy

1

2

Syx

2

1

Ixy

1

2

Iyx

2

1

• îãðàíè÷åííîñòè, à èìåííî 2 R&Sxy (t1 , t2 ) ≤ DSx (t1 )DSy (t2 ) , 2 R&Ixy (t1 , t2 ) ≤ DIx (t1 )DIy (t2 )

(çíàêè ðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî, êîãäà Y (t1 ) = aX (t1 ) + b , ãäå a è b – êîíñòàíòû);

136

9.2. Параметры комплексных гиперслучайных функций

• íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè, ïîä êîòîðîé ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t1 ,..., t L è êîìïëåêñíûõ z&1 ,..., z&L L

âåëè÷èíû

∑

l ,m =1

L

∑

R&Sx (tl , t m )z&l z m* ,

l ,m =1

R&Ix (tl , tm )z&l z m* âåùåñòâåííû è íå-

îòðèöàòåëüíû. Îñíîâîé îïèñàíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Z& (t ) = X (t ) + jY (t ) ÷àñòíîãî âèäà ìîãóò áûòü òàêæå ãðàíèöû ìàr& r òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèè ϕ& (Z ; t ) = ϕ& (X 1 , Y1 ,..., X L ,Y L ; t1 ,..., t L ) : r r M s [ϕ& (Z ; t )] =

∞

∞

−∞

−∞

∫ ... ∫ ϕ& ( x1 , y1 ,..., xL , yL ; t1 ,..., tL ) ×

× f ( x1 , y1 ,..., x L , y L ; t1 ,..., t L / g s )dx1dy1 ...dx L dyL , r r Mi [ϕ& (Z ; t )] =

∞

∫

−∞

∞

... ∫ ϕ& ( x1 , y1 ,..., x L , yL ; t1 ,..., t L ) × −∞

× f ( x1 , y1 ,..., x L , y L ; t1 ,..., t L / g i )dx1dy1 ...dx L dy L ,

ãäå g s , g i – çíà÷åíèÿ g , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè ∞

∞

−∞

−∞

| ∫ ... ∫ ϕ& ( x1 , y1 ,..., x L , yL ; t1 ,..., t L ) × × f ( x1 , y1 ,..., x L , y L ; t1 ,..., t L / g )dx1dy1 ...dx L dyL | 2 .

 ÷àñòíîñòè, êîãäà ϕ& (Z& (t )) = X (t ) + jY (t ) ,

ïîëó÷àåì ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ m& sz& (t ) = m& iz& (t ) =

∞

∞

−∞

−∞

∞

∞

−∞

−∞

∫ xf ( x; t / g s )dx + j ∫ ∫ xf ( x; t / gi )dx + j ∫

yf ( y ; t / g s )dy , yf ( y ; t / g i )dy ,

êîãäà ϕ& (Z& (t )) = ( X (t ) − mx / g (t ))2 + j(Y (t ) − my / g (t ))2 ,

137

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции …

èìååì ãðàíèöû äèñïåðñèè D& sz& (t ) =

∞

∫ ( x − mx / g

−∞

s

(t ))2 f ( x ; t / g s )dx +

∞

+ j ∫ ( y − my / g s (t ))2 f ( y ; t / g s )dy, −∞

D& iz& (t ) =

∞

∫ ( x − mx / g (t ))

2

−∞

i

f ( x ; t / g i )dx +

∞

+ j ∫ ( y − my / gi (t ))2 f ( y ; t / g i )dy . −∞

9.3. ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ Íàáîð ïðàâèë, êîòîðûå ñòàâÿò êàæäîìó îáúåêòó x êëàññà (ìíîæåñòâà) A â ñîîòâåòñòâèå îáúåêò y êëàññà (ìíîæåñòâà) B , íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì èëè îòîáðàæåíèåì êëàññà A â êëàññ B . Áóäåì ðàçëè÷àòü òðè òèïà ïðåîáðàçîâàíèé. Åñëè ýëåìåíòû êëàññîâ A è B – ìíîæåñòâà âåëè÷èí, òî y ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåíòà x . Åñëè êëàññ A – ìíîæåñòâî ôóíêöèé, à êëàññ B – ìíîæåñòâî âåëè÷èí, òî y ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì x . Åñëè æå îáà êëàññà A è B – ìíîæåñòâà ôóíêöèé, òî ïðåîáðàçîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïåðàòîð. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâ A è B ìîãóò áûòü äåòåðìèíèðîâàííîãî, ñëó÷àéíîãî èëè ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà. Ñî÷åòàíèÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A ñ ðàçëè÷íûìè òèïàìè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà B ïîðîæäàþò äåâÿòü âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé. Ïîä ãèïåðñëó÷àéíûì ôóíêöèîíàëîì X (ϕ) áóäåì ïîíèìàòü îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà Ô ôóíêöèé ϕ (äåòåðìèíèðîâàííûõ, ñëó÷àéíûõ èëè ãèïåðñëó÷àéíûõ) íà ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðè ëþáîé ôèêñèðîâàííîé ϕ ∈ Ô îòîáðàæåíèå äàåò ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, íàçûâàåìóþ ñå÷åíèåì. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âñåõ ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé S (ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî). i -é ðåàëèçàöèåé ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà X (ϕ) (âûáîðî÷íûì ôóíêöèîíàëîì) áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûé ôóíê-

138

9.3. Гиперслучайные функционалы и операторы

öèîíàë xi (ϕ) , êîòîðûé äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îïûòà i ∈ I è ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèé g ∈ G ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé ôóíêöèè ϕ îäíî èç çíà÷åíèé x ∈ S . Ãèïåðñëó÷àéíûé ôóíêöèîíàë èìååò ÷åðòû êàê ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, òàê è äåòåðìèíèðîâàííîãî ôóíêöèîíàëà. Ïðè ôèêñàöèè ôóíêöèè ϕ îí ïðåâðàùàåòñÿ â ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ, à ïðè ôèêñàöèè îïûòà è óñëîâèé – â äåòåðìèíèðîâàííûé ôóíêöèîíàë. Ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé I ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííûì, ñ÷åòíûì èëè íåñ÷åòíûì. Ãèïåðñëó÷àéíûì îïåðàòîðîì áóäåì íàçûâàòü îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà ôóíêöèé Φ (äåòåðìèíèðîâàííûõ, ñëó÷àéíûõ èëè ãèïåðñëó÷àéíûõ) íà ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé Ψ . Ðåçóëüòàòîì âîçäåéñòâèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ýòîì íå èìååò çíà÷åíèÿ òèï èñõîäíîé ôóíêöèè, íà êîòîðóþ âîçäåéñòâóåò îïåðàòîð. Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèîíàëîâ è ãèïåðñëó÷àéíûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîäõîäû, ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè, ïðèìåíÿåìûå äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Íàïðèìåð, ñêàëÿðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ôóíêöèîíàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîâîêóïíîñòüþ ñå÷åíèé. Äëÿ îïèñàíèÿ ìîæíî èñr r r r ïîëüçîâàòü ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS ( x ; ϕ), FI ( x ; ϕ) , r r r r ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f S ( x ; ϕ) , f I ( x ; ϕ) è õàðàêòåðèr r r r ñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö QS ( jω; ϕ) , QI ( jω; ϕ) , îïðåäåëÿåìûå ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì: r r FS ( x ; ϕ) = sup P {X (ϕ1 ) < x1 ,..., X (ϕM ) < xM / g }, g ∈G

r r FI ( x ; ϕ) = inf P {X (φ1 ) < x1 , ..., X (φ M ) < xM / g }, g ∈G

r r r r ∂ L FS ( x ; ϕ) f S ( x ; ϕ) = , ∂x1 ...∂x L r r QS ( jω; ϕ) =

∞

∞

−∞

−∞

∫ ... ∫

r r r r ∂ L FI ( x ; ϕ) f I ( x ; ϕ) = , ∂x1 ...∂x L rr r v r f S ( x ; ϕ) exp( j ωx )dx ,

139

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции …

r r QI ( jω; ϕ) =

∞

∞

−∞

−∞

∫ ... ∫

rr r v r f I ( x ; ϕ) exp( j ωx )dx ,

r ãäå x = ( x1 ,..., x L ) – L -ìåðíûé âåêòîð çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àé-

íîãî ôóíêöèîíàëà X (ϕ) äëÿ âåêòîðà ôóíêöèé (ϕ1 ,..., ϕL ) . Äëÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû öåíòðàëüíûå è íåöåíòðàëüíûå ìîìåíòû, à òàêæå äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè, íåñóùèå îáîáùåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ðàññìàòðèâàåìîì ôóíêöèîíàëå.

140

Глава 10 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Ââåäåíû ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé, à òàêæå ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. 10.1. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ íåîáõîäèìî ââåñòè ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé.  ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ íå íàêëàäûâàëèñü îãðàíè÷åíèÿ íà ìíîæåñòâî óñëîâèé G . Äàëåå íàì ïîòðåáóåòñÿ êîíêðåòèçèðîâàòü ýòó ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü G êàê ìåòðè÷åñêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ îïðåäåëåííîé ìåòðèêîé. Ââîäèìûå ïîíÿòèÿ îñíîâàíû íà ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, [Ãíåäåíêî, 1988, Àíãî, 1967]). Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X = {X 1 ,..., X N } è ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ. Äëÿ âñåõ X 1 ,..., X N è Õ îïðåäåëåíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx1 / g1 ( x ) ,..., FxN

/ gN

( x ) è Fx / g ( x ) äëÿ âñåõ óñëîâèé g1 ,K , g N ∈ G , g ∈ G .

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X 1) ñõîäèòñÿ (â ñìûñëå Áåðíóëëè) ê X ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( FxN ( x ) → Fx ( x ) ), åñëè â êàæäîé òî÷êå x , ãäå Fx / g ( x ) íåïðåðûâíà, äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G ïðè N → ∞ è g N → g Fx N

/ gN

( x ) → Fx / g ( x ) ,

(10.1)

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

141

Глава 10. Дифференцирование и интегрирование гиперслучайных функций

X 1 / g1 ,..., X N / g N ñõîäèòñÿ ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X / g ;

2) ñõîäèòñÿ ê X â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì (M[ X N − X åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G ïðè N → ∞ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ M[ X N / g N − X / g

2

2

] → 0) ,

è g N → g óñëîâíûå

] → 0,

(10.2)

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 / g1 ,..., X N / g N ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X / g â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Ïðè òàêîé ñõîäèìîñòè áóäåì ïèñàòü l . i . m . X N / g N = X / g èëè N →∞ gN → g

l.i.m. XN = X . N →∞

(10.3)

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî äâóìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X N / g N è X / g ; 3) ñõîäèòñÿ ê X ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà – P ( X N → X ) = 1 ), åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G ïðè N → ∞ è g N → g óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü P (X N / g N → X / g ) = 1 ,

(10.4)

ò. å. åñëè ∀g ∈ G ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X 1 / g1 ,..., X N / g N ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X / g . Ïðè òàêîé ñõîäèìîñòè áóäåì ïèñàòü lim X N = X ; (10.5) N →∞

4) ñõîäèòñÿ ê X ïî âåðîÿòíîñòè (P ( X N − X > ε) → 0) , åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G è ε > 0 ïðè N → ∞ è g N → g P ( X N / g N − X / g > ε) → 0 ,

(10.6)

ò. å. åñëè ∀g ∈ G ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X 1 / g1 , ..., X N / g N ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X / g . Çàìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ÷èñåë, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà, ìîæíî ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè

142

10.2. Сходимость последовательности гиперслучайных функций

Ðèñ. 10.1. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàçíûìè òèïàìè ñõîäèìîñòè

ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ê ýòîìó ìíîæåñòâó ÷èñåë. Êîãäà ýòî ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåðâàë, ìîæíî ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ê ýòîìó èíòåðâàëó. Òàêæå, êàê è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íàèáîëåå ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí – ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Áîëåå ñèëüíàÿ ñõîäèìîñòü – ïî âåðîÿòíîñòè. Åùå áîëåå ñèëüíàÿ ñõîäèìîñòü – â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì è ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî íåêîòîðûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì, íî íå ñõîäÿòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà; äðóãèå æå – ñõîäÿòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, íî íå ñõîäÿòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Ýòè ïîëîæåíèÿ ïðÿìî ñëåäóþò èç àíàëîãè÷íûõ ïîëîæåíèé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàçíûìè òèïàìè ñõîäèìîñòè óñëîâíî èçîáðàæåíû íà ðèñ. 10.1. 10.2. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóåìûå â äàëüíåéøåì ñõîäèìîñòü â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì è ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå. Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X(t ) = {X 1 (t ),..., X N (t )}

è ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) (t ∈ T ) , äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx1 / g1 ( x ; t ),..., FxN / gN ( x ; t ) , Fx / g ( x ; t ) .

143

Глава 10. Дифференцирование и интегрирование гиперслучайных функций

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X(t ) 1) ñõîäèòñÿ ê X (t ) â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì, åñëè äëÿ âñåõ t ∈ T è g ∈ G ïðè N → ∞ è g N → g 2

M[ X N (t ) / g N − X (t ) / g ] → 0 ,

(10.7)

ò. å. l.i.m. X N (t ) = X (t ) ; N →∞

2) ñõîäèòñÿ ê X (t ) ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà), åñëè äëÿ âñåõ t ∈ T è g ∈ G ïðè N → ∞ è g N → g P ( X N (t ) / g N → X (t ) / g ) = 1 ,

(10.8)

ò. å. lim X N (t ) = X (t ) . N →∞

Çàìåòèì, ÷òî â ïðèâåäåííûõ îïðåäåëåíèÿõ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé ôèãóðèðóåò óñëîâèå g N → g . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è îáúåêòà, ê êîòîðîìó ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòðåìèòñÿ, ìîãóò îòëè÷àòüñÿ. Åñëè g1 = K = g N = g , òî äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ òèïîâ ñõîäèìîñòè óñëîâèå g N → g îòñóòñòâóåò. Ïðè ýòîì â âûðàæåíèÿõ (10.1), (10.2), (10.4), (10.6) – (10.8) óñëîâèå g N ìåíÿåòñÿ íà óñëîâèå g . Íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. 10.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) ( t ∈ T ) áóäåì íàçûâàòü ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèåé âòîðîãî ïîðÿäêà, åñëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íèæíåé ãðàíèöû êâàäðàòà ýòîé ôóíêöèè îãðàíè÷åíî äëÿ âñåõ t ∈ T : MI [ X 2 (t )] < ∞ . Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ âòîðîãî ïîðÿäêà X (t ) = {X (t ) / g t ∈ G } áóäåì íàçûâàòü íåïðåðûâíîé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êå t , åñëè l.i.m. X (t + ∆t ) = X (t ) , ∆t → 0

144

10.3. Непрерывные, дифференцируемые и интегрируемые …

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g t , g t +∆t ∈ G lim M[ X (t + ∆t ) / g t +∆t − X (t ) / g t

∆t → 0 g t + ∆t → g t

2

]= 0.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) âòîðîãî ïîðÿäêà íàçîâåì äèôôåðåíöèðóåìîé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êå t , åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ X ′(t ) (ïðîèçâîäíàÿ), îïèñûâàåìàÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: X (t + ∆t ) − X (t ) X ′(t ) = l.i.m. , ∆t → 0 ∆t ò. å. åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g t , g t +∆t ∈ G  X (t + ∆t ) / g t +∆t − X (t ) / g t lim M  − X ′(t ) / g t ∆t → 0 ∆t  g t + ∆t → g t

2

  = 0. 

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåì íàçûâàòü èíòåãðèðóåìîé íà èíòåðâàëå T (τ) , åñëè ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàçáèåíèè èíòåðâàëà T (τ) íà N èíòåðâàëîâ ∆tn = tn − tn −1 íåçàâèñèìî îò âûáîðà òî÷åê tn ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ Y (τ) (èíòåãðàë ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ), îïðåäåëÿåìàÿ âûðàæåíèåì Y (τ) =

lim

∑ X (tn ) ∆ tn

max ∆tn → 0 n gtn → gt

=

∫

X (t ) dt ,

T ( τ)

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ g tn , g t ∈ G (n = 1, N )  M  ∑ ( X (tn ) / g tn ) ∆ t n − ∫ ( X (t ) / g t )dt max ∆tn → 0  n T ( τ) g tn → g t  lim

2

  =0.  

Èíà÷å, ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) âòîðîãî ïîðÿäêà íåïðåðûâíà, äèôôåðåíöèðóåìà èëè èíòåãðèðóåìà, åñëè íåïðåðûâíû óñëîâèÿ è ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíû, äèôôåðåíöèðóåìû èëè èíòåãðèðóåìû ñîñòàâëÿþùèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè X (t ) / g t äëÿ âñåõ g t ∈ G . Çàìåòèì, ÷òî íà îñíîâàíèè èçâåñòíûõ òåîðåì äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, [Ãîðáàíü, 2003]) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

145

Глава 10. Дифференцирование и интегрирование гиперслучайных функций

1) ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) âòîðîãî ïîðÿäêà íåïðåðûâíà â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êå t òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñåõ g t ∈ G ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx / gt (t ) ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) / g t íåïðåðûâíû â òî÷êå t , à êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè Rx / gt gt (t1 , t2 ) ýòèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíû â 1

2

òî÷êå t = t1 = t2 ; 2) ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) âòîðîãî ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå t òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñåõ g t ∈ G ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx / gt (t ) ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) / g t äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå t è â òî÷êå t1 = t 2 ñóùåñòâó-

þò ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà îò êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé Rx / gt

g 1 t2

∂2 Rx / gt gt (t1 , t2 ) 1 2 ∂ t1∂ t2

(t1 , t2 ) ;

3) ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mx / gt (t ) è êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè Rx / gt

g 1 t2

∫

T ( τ)

mx / gt (t ) d t ,

(t1 , t2 ) èíòåãðèðóåìà, åñëè ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû

∫ ∫

T ( τ) T ( τ)

Rx / g t

g 1 t2

(t1 , t 2 )d t1d t 2 . Ïðè ýòîì

  M  ∫ X (t ) / g t d t  = ∫ mx / gt (t ) d t , T ( τ)  T ( τ)   M  ∫ ∫ ( X (t1 ) / g t1 )( X (t2 ) / g t2 ) d t1d t2  = T ( τ) T ( τ)  =

∫ ∫

T ( τ) T ( τ)

Rx / g t

g 1 t2

(t1 , t 2 ) d t1d t2 +

∫

T ( τ)

mx / gt (t ) d t 1

∫

T ( τ)

mx / gt (t ) d t . 2

Ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ïîñòðîåíû â äàííîì ñëó÷àå íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ýòè æå ïîíÿòèÿ íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè è ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Îïðåäåëåíèå ýòèõ ïîíÿòèé íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðÿä ëè èìååò ñìûñë èç-çà íåîïðåäåëåííîãî õàðàêòåðà ñõîäèìîñòè â ñìûñëå Áåðíóëëè [Àíãî, 1967].

146

Глава 11 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Ôîðìàëèçîâàíû ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãîäè÷íîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðåíû ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíûõ è ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. 11.1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Íåêîòîðûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñòàöèîíàðíîñòè. Ïðåæäå, ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, íàïîìíèì ðàçëè÷íûå âàðèàíòû îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, è îñíîâíûå èõ ñâîéñòâà [Ãíåäåíêî, 1988, Ãîðáàíü, 2003]. Îïðåäåëåíèå 1. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå (ñòðîãî), åñëè åå L-ìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ëþáîì L çàâèñÿò òîëüêî îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëîâ t 2 − t1 ,..., t L − t1 è íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ íà îñè t , ãäå t1 ,..., t L – çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè X (t ) . Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, íå îòíîñÿùèåñÿ ê ñòàöèîíàðíûì ôóíêöèÿì, íàçûâàþòñÿ íåñòàöèîíàðíûìè. Ãëàâíîé îñîáåííîñòüþ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü åå âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ëþáîé ìåðíîñòè L îò ñìåùåíèÿ çíà÷åíèé àðãóìåíòà t , â ÷àñòíîñòè L-ìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé f ( x1 ,K , x L ; t1 ,K , t L ) = f ( x1 ,K , x L ; t1 + τ,K , t L + τ) ,

(11.1)

ãäå τ – ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Äðóãîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü åå îäíîìåðíûõ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê îò àðãóìåíòà t , â ÷àñòíîñòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f ( x ; t ) = f ( x ) (ðèñ. 11.1).

147

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

Òðåòüÿ îñîáåííîñòü – äâóìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) çàâèñÿò òîëüêî îò ðàçíîñòè τ = t2 − t1 çíà÷åíèé àðãóìåíòà t , â ÷àñòíîñòè ïëîòíîñòü Ðèñ. 11.1. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêâåðîÿòíîñòåé f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) = f ( x1 , öèè X (t ) x2 ; τ) . Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mx (t ) è äèñïåðñèÿ Dx (t ) ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè ( mx (t ) = mx = = const , Dx (t ) = Dx = const ), à êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ Rx (t1 , t2 ) è íîðìèðîâàííàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ rx (t1 , t 2 ) îïðåäåëÿþòñÿ ðàçRx (τ) ). Dx Èíîãäà ñòàöèîíàðíóþ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ îïðåäåëÿþò èíà÷å. Îïðåäåëåíèå 2. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå ïîðÿäêà K , åñëè åå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîðÿäêà L ≤ K èíâàðèàíòíû ê ñäâèãó âäîëü îñè t , â ÷àñòíîñòè ðàâåíñòâî (11.1) èìååò ìåñòî ïðè L ≤ K . Îïðåäåëåíèå 3. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå, åñëè åå L-ìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè âñåõ L èìåþò ïðåäåëû ïðè óñòðåìëåíèè ê áåñêîíå÷íîñòè ñìåùåíèÿ τ âäîëü îñè t , â ÷àñòíîñòè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé:

íîñòüþ ñâîèõ àðãóìåíòîâ ( Rx (t1 , t2 ) = Rx (τ) , rx (t1 , t 2 ) = rx (τ) =

lim f ( x1 ,K , x L ; t1 + τ,K , t L + τ) . τ→∞

Îïðåäåëåíèå 4. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå íà èíòåðâàëå T , åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ 1 äëÿ âñåõ t ∈ T . Îïðåäåëåíèå 5. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷íî ñòàöèîíàðíîé (öèêëîñòàöèîíàðíîé) â óçêîì ñìûñëå, åñëè åå L-ìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè âñåõ L ïåðèîäè÷íû ñ ïåðèîäîì T0 , â ÷àñòíîñòè f ( x1 ,K , x L ; t1 ,K , t L ) = f ( x1 ,K , x L ; t1 + kT0 ,K , t L + kT0 ) ,

ãäå k = 0, ±1,K .

148

11.1. Стационарные случайные функции

Ïîíÿòèå ñòàöèîíàðíîñòè â óçêîì ñìûñëå îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé äâóõ è íåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îñòàíîâèìñÿ íà îñíîâíîé ìîäèôèêàöèè ýòîãî ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèå 6. Äâå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè X (t ) è Y (t ) íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè â óçêîì ñìûñëå, åñëè èõ ñîâìåñòíûå (N + M )-ìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè ëþáûõ N è M çàâèñÿò ëèøü îò äëèíû èíòåðâàëîâ t 2 − t1 ,..., t N − t1 ; t1′ − t1 ,..., t M′ − t1 , ãäå t1 ,..., t N – çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè X (t ) ,

à t1′ ,..., t M′ – çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè Y (t ) . Èç ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f N + M ( x1 ,..., xN , y1 ,..., yM ; t1 ,..., t N , t1′,..., t M′ ) = = f N + M ( x1 ,..., xN , y1 ,..., yM ; t1 + τ,..., t N + τ, t1′ + τ,..., t M′ + τ) ,

ãäå τ – ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Çàìåòèì, ÷òî èç ñòàöèîíàðíîñòè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) íå âûòåêàåò, ÷òî îíè ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàíû â óçêîì ñìûñëå. Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò åùå äðóãîå ïîíÿòèå ñòàöèîíàðíîñòè. Îïðåäåëåíèå 7. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîñòîÿííî ( mx (t ) = mx = const ), à êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè çíà÷åíèé àðãóìåíòà t : Rx (t1 , t2 ) = Rx (τ) . Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè â óçêîì ñìûñëå è øèðîêîì ñìûñëå íå òîæäåñòâåííû. Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ñòàöèîíàðíûå â óçêîì ñìûñëå, ñòàöèîíàðíû è â øèðîêîì ñìûñëå. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî. Äëÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè â óçêîì è øèðîêîì ñìûñëå òîæäåñòâåííû. Èíîãäà èñïîëüçóþò ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíûõ â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåííûì âûøå ìîäèôèêàöèÿì ñòàöèîíàðíûõ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ òàêæå ïîíÿòèå ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, àíàëîãè÷íîå ïîíÿòèþ ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

149

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

Îïðåäåëåíèå 8. Äâå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè X (t ) è Y (t ) íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè èõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïîñòîÿííû, à âçàèìíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èíâàðèàíòíà ê ñäâèãó âäîëü îñè t : K xy (t1 , t2 ) = M xy [X (t1 )Y (t 2 )] = K xy (τ), τ = t 2 − t1 .

Êàê è â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ñòàöèîíàðíîñòü â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî îíè ñòàöèîíàðíî ñâÿçàíû â øèðîêîì ñìûñëå. Âåùåñòâåííûå ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè îáëàäàþò ðÿäîì ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ: • Rx (τ) ≤ Dx , | rx (τ) |≤ 1 ; • ìàêñèìóìû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè è íîðìèðîâàííîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþò τ = 0 : Rx (0) = Dx , rx (0) = 1 ; • êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ è íîðìèðîâàííàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ – ÷åòíûå: Rx (τ) = Rx (−τ) , rx (τ) = rx (−τ) ; • âçàèìíûå êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ è íîðìèðîâàííàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèè íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, îäíàêî Rxy (τ) = = Ryx (−τ) , rxy (τ) = ryx (−τ) ;

• åñëè êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïðè τ = 0 , òî îíà íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì τ . Òåðìèí «ñòàöèîíàðíîñòü» ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò â òîì ñëó÷àå, êîãäà àðãóìåíò t – âðåìÿ. Åñëè ôèçè÷åñêèé ñìûñë àðãóìåíòà t èíîé, óïîòðåáëÿþò òåðìèí «îäíîðîäíîñòü».  ñëó÷àå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ, ñðåäè êîòîðûõ åñòü âðåìÿ, ïðèìåíÿþò îáà òåðìèíà. Ïðè ýòîì, ðàññìàòðèâàÿ âðåìåííîé àðãóìåíò, óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ñòàöèîíàðíîñòü», à àíàëèçèðóÿ îñòàëüíûå àðãóìåíòû – «îäíîðîäíîñòü». Ñëó÷àéíîå ïîëå ìîæåò áûòü ñòàöèîíàðíûì, íî íåîäíîðîäíûì, ìîæåò áûòü îäíîðîäíûì ïî îäíèì àðãóìåíòàì è íåîäíîðîäíûì ïî äðóãèì.

150

11.2. Стационарные гиперслучайные функции

11.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) = { X (t ) / g ∈ G } , ãäå X (t ) / g – ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ â óñëîâèÿõ g , íàçîâåì ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå (ñòðîãî), åñëè ãðàíèöû åå L-ìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè ëþáîì L çàâèñÿò òîëüêî îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëîâ t2 − t1 , ..., t L − t1 è íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ íà îñè t . Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè, íå îòíîñÿùèåñÿ ê ýòèì ôóíêöèÿì, áóäåì íàçûâàòü íåñòàöèîíàðíûìè â óçêîì ñìûñëå. Ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïîäîáíû ñâîéñòâàì ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè: ãðàíèöû ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìíîãîìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ìíîãîìåðíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö íå çàâèñÿò îò ñìåùåíèÿ ïî t . Êðîìå òîãî, ïåðå÷èñëåííûå îäíîìåðíûå õàðàêòåðèñòèêè íå çàâèñÿò îò àðãóìåíòà t , à äâóìåðíûå õàðàêòåðèñòèêè çàâèñÿò îò ðàçíîñòè τ = t2 − t1 çíà÷åíèé àðãóìåíòà t , ò. å. f Sx ( x ; t ) = f Sx ( x ) , f Ix ( x ; t ) = f Ix ( x ) , f Sx ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) = f Sx ( x1 , x2 ; τ) , f Ix ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) = f Ix ( x1 , x2 ; τ) .

Ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö è äèñïåðñèè ãðàíèö ïîñòîÿííû ( mSx (t ) = mSx , mIx (t ) = mIx , DSx (t ) = DSx , DIx (t ) = DIx ), à êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö K Sx (t1 , t 2 ) = MS [ X (t1 ) X (t 2 )] , K Ix (t1 , t 2 ) = MI [ X (t1 )X (t 2 )] ,

êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö RSx (t1 , t 2 ) = MS [( X (t1 ) − mSx )( X (t 2 ) − mSx )] , RIx (t1 , t2 ) = MI [( X (t1 ) − mIx )( X (t 2 ) − mIx )]

è íîðìèðîâàííûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö rSx (t1 , t 2 ) =

RSx (t1 , t2 ) DSx (t1 )DSx (t 2 )

, rIx (t1 , t 2 ) =

RIx (t1 , t 2 ) DIx (t1 )DIx (t2 )

151

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ èíòåðâàëà τ = t2 − t1 íà îñè t : K Sx (t1 , t 2 ) = K Sx (τ) , K Ix (t1 , t 2 ) = K Ix (τ) , RSx (t1 , t 2 ) = RSx (τ) , RIx (t1 , t2 ) = RIx (τ) , rSx (τ) = RSx (τ) / DSx , rIx (τ) = RIx (τ) / DIx .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) íàçîâåì ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ åå ãðàíèö ïîñòîÿííû (mSx (t ) = mSx , mIx (t ) = mIx ) , à êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö çàâèñÿò òîëüêî îò ðàçíîñòè çíà÷åíèé àðãóìåíòà t : K Sx (t1 , t 2 ) = MS [ X (t1 ) X (t 2 )] = K Sx (τ) , K Ix (t1 , t 2 ) = MI [ X (t1 )X (t 2 )] = K Ix (τ) .

Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ñòàöèîíàðíûå â óçêîì ñìûñëå, ñòàöèîíàðíû è â øèðîêîì. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî. Äâå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè X (t ) è Y (t ) íàçîâåì ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ èõ ãðàíèö ïîñòîÿííû, à èõ âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö èíâàðèàíòíû ê ñìåùåíèþ âäîëü îñè t : K Sxy (t1 , t2 ) = MS [ X (t1 )Y (t2 )] = K Sxó (τ) , K Ixy (t1 , t2 ) = MI [ X (t1 )Y (t 2 )] = K Ixó (τ) .

Îòìåòèì, ÷òî ñòàöèîíàðíîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé â øèðîêîì ñìûñëå íå ãàðàíòèðóåò èõ ñîâìåñòíóþ ñòàöèîíàðíóþ ñâÿçàííîñòü â øèðîêîì ñìûñëå. Êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö è íîðìèðîâàííûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö âåùåñòâåííûõ ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) , Y (t ) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: • RSx (τ) ≤ DSx , rSx (τ) ≤ 1 , RIx (τ) ≤ DIx , rIx (τ) ≤ 1 ; • ìàêñèìóìû êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö è íîðìèðîâàííûõ êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè èìåþò ìåñòî ïðè τ = 0 ; • ôóíêöèè RSx (τ) , RIx (τ) , rSx (τ) , rIx (τ) – ÷åòíûå; • RSxy (τ) = RSyx (−τ) , RIxy (τ) = RIyx (−τ) , rSxy (τ) = rSyx (−τ) , rIxy (τ) = rIyx (−τ) ,

152

11.2. Стационарные гиперслучайные функции

ãäå RSxy (τ) , RIxy (τ) – âçàèìíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö, rSxy (τ) , rIxy (τ) – íîðìèðîâàííûå

âçàèìíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö: rSxy (τ) = = RSxy (τ) DSxy , rIxy (τ) =

DSxy = RSxy (0),

= RIxy (τ) DIxy , DIxy = RIxy (0).

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) = { X (t ) / g ∈ G } íàçî-

Ðèñ. 11.2. Óñëîâíûå îäíîìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) = {X (t ) / g , g = 1,2,K,G }

âåì ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G , åñëè ïðè âñåõ g åå óñëîâíûå L-ìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ëþáîì L çàâèñÿò òîëüêî îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëîâ t 2 − t1 ,..., t L − t1 è íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ íà îñè t . Îäíîìåðíûå óñëîâíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàöèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, â ÷àñòíîñòè óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ; t / g ) = F ( x / g ) è óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé f ( x ; t / g ) = f ( x / g ) (ðèñ. 11.2). Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) íàçîâåì ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G , åñëè ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì óñëîâèè g óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mx / g (t ) = =

∞

∫

x f ( x ; t / g )dx íå çàâèñèò îò àðãóìåíòà t ( mx / g (t ) = mx / g ), à

−∞

óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ K x / g (t1 , t2 ) =

∞ ∞

∫ ∫ x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 / g )dx1dx2

−∞ −∞

çàâèñèò ëèøü îò ðàçíîñòè çíà÷åíèé àðãóìåíòà t è óñëîâèÿ g : K x / g (t1 , t2 ) = K x / g (τ) .

Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì óñëîâíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ

153

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции ∞ ∞

Rx / g (t1 , t2 ) =

∫ ∫ ( x1 − mx / g )(x2 − mx / g ) ×

−∞ −∞

× f ( x1 , x2 ; t1 , t2 / g )dx1dx2

òàêæå çàâèñèò òîëüêî îò τ è g . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx (t ) = sup mx / g (t ), mix (t ) = inf mx / g (t ) g ∈G

g ∈G

ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t , ò. å. mix (t ) = mix , à ãðàíèöû êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè

msx (t ) = msx ,

K sx (τ) = sup K x / g (τ), K ix (τ) = inf K x / g (τ) g ∈G

g ∈G

è ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè Rsx (τ) = sup Rx / g (τ) , Rix (τ) = inf Rx / g (τ) g ∈G

g ∈G

çàâèñÿò òîëüêî îò τ . Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè X (t ) è Y (t ) íàçîâåì ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g , åñëè óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ýòèõ ôóíêöèé mx / g (t ) , my / g (t ) íå çàâèñÿò îò àðãóìåíòà t ( mx / g (t ) = mx / g , my / g (t ) = my / g ), à óñëîâíàÿ âçàèìíîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ K xy / g (t1 , t 2 ) =

∞ ∞

∫ ∫ xyf ( x, y; t1 , t2 / g )dxdy

−∞ −∞

èíâàðèàíòíà ê ñìåùåíèþ âäîëü îñè t : K xy / g (t1 , t 2 ) = K xy / g (τ) .

Ïðè ýòîì óñëîâíàÿ âçàèìíî-êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ Rxy / g (t1 , t 2 ) =

∞ ∞

∫ ∫ ( x − mx / g )( y − my / g ) ×

−∞ −∞

× f ( x , y ; t1 , t 2 / g )dxdy

òàêæå èíâàðèàíòíà ê ñìåùåíèþ âäîëü îñè t :

154

11.3. Спектральное описание стационарных гиперслучайных функций

Rxy / g (t1 , t2 ) = Rxy / g (τ) .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû âçàèìíî-êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè K sxy (τ) = sup K xy / g (τ), K ixy (τ) = inf K xy / g (τ) g ∈G

g ∈G

è ãðàíèöû âçàèìíî-êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè Rsxy (τ) = sup Rxy / g (τ), g ∈G

Rixy (τ) = inf Rxy / g (τ) g ∈G

çàâèñÿò òîëüêî îò τ . Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè è ôóíêöèè, ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, – ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Îáùèìè äëÿ íèõ ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íàÿ äëèòåëüíîñòü ðåàëèçàöèé è èíâàðèàíòíîñòü ê ñäâèãó îïðåäåëåííûõ (ïðè ýòîì ðàçíûõ) õàðàêòåðèñòèê. Ââåäåííûå â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè áàçèðóþòñÿ íà îïðåäåëåíèÿõ 1 è 7 ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íà îñíîâå äðóãèõ ìîäèôèêàöèé ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. 11.3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé â ðÿäå ñëó÷àåâ ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò èõ àíàëèç.  ïåðâóþ î÷åðåäü ýòî êàñàåòñÿ ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ñòàöèîíàðíîñòè. Íàçîâåì ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö (ýíåðãåòè÷åñêèìè ñïåêòðàìè ãðàíèö) ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ôóíêöèè SSxx ( f ) , S Ixx ( f ) , ñâÿçàííûå ñ êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö K Sx ( f ) , K Ix ( f ) ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: SSxx ( f ) =

∞

∫ K Sx (τ) exp(− j2πf τ)dτ,

−∞

S Ixx ( f ) =

∞

∫ K Ix (τ) exp(− j2πf τ)dτ,

−∞

155

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

K Sx (τ) =

∞

∫ SSxx ( f ) exp( j2πf τ)df ,

−∞

K Ix (τ) =

∞

∫ SIxx ( f ) exp( j2πf τ)df .

−∞

Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, õàðàêòåðíûìè äëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà: • ýíåðãåòè÷åñêèå ñïåêòðû (âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ X (t ) âåùåñòâåííîé èëè êîìïëåêñíîé) äåéñòâèòåëüíû è íåîòðèöàòåëüíû, ò. å. SSxx ( f ) ≥ 0 , S Ixx ( f ) ≥ 0 ; • ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö äåéñòâèòåëüíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ÷åòíûå, ò. å. SSxx ( f ) = SSxx (− f ) , S Ixx ( f ) = S Ixx (− f )

(ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ÷åòíûå). Íàçîâåì ãèïåðñëó÷àéíûì áåëûì øóìîì ñòàöèîíàðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ N (t ) ñ íóëåâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö, ó êîòîðîé ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, ò. å. SSnn = N S 2 , S Inn = N I 2 , ãäå N S , N I – êîíñòàíòû. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ δ -ôóíêöèè: K Sn (τ) = N S δ(τ) 2 , K In (τ) = N I δ(τ) 2 . Îòìåòèì, ÷òî ýòèìè æå âûðàæåíèÿìè îïèñûâàþòñÿ è êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà, òàê æå, êàê è ïðè îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà, íå èñïîëüçîâàíû ïîíÿòèÿ ãàóññîâîñòè è íåçàâèñèìîñòè ñå÷åíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûé áåëûé øóì ìîæåò áûòü íåãàóññîâñêèì è ñ çàâèñèìûìè (â òîì ñìûñëå, êàê ýòî ïîíèìàåòñÿ â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé) ñå÷åíèÿìè. Ìåòîä ñïåêòðàëüíîãî îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé äîïóñêàåò îáîáùåíèå íà ñëó÷àé ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

156

11.3. Спектральное описание стационарных гиперслучайных функций

Âçàèìíûìè ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè ãðàíèö äâóõ ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè S& ( f ) è Sxy

S&Ixy ( f ) , îïðåäåëÿåìûå êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âçàèìíûõ êîð-

ðåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö K Sxy (τ) è K Ixy (τ) : S&Sxy ( f ) =

∞

∫ K Sxy (τ) exp(− j2πf τ)dτ,

−∞

S&Ixy ( f ) =

∞

∫ K Ixy (τ) exp(− j2πf τ)dτ.

−∞

Âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñâÿçàíû ñ âçàèìíûìè ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè ãðàíèö îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå: K Sxy (τ) =

∞

∫ S&Sxy ( f ) exp( j2πf τ)df ,

−∞

K Ixy (τ) =

∞

∫ S&Ixy ( f ) exp( j2πf τ)df .

−∞

 îòëè÷èå îò ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ìîùíîñòè ãðàíèö îäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, âçàèìíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö S&Sxy ( f ) è S&Ixy ( f ) â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè. Êðîìå òîãî, îíè íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, îäíàêî îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ýðìèòîâîé ñîïðÿæåííîñòè: S& ( f ) = S * ( f ), S& ( f ) = S * ( f ). Sxy

Syx

Ixy

Iyx

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âçàèìíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö S&Sxy ( f ) , S&Ixy ( f ) ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) ñâÿçàíû ñî ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè ãðàíèö SSxx ( f ) , S Ixx ( f ) è SSyy ( f ) , S Iyy ( f ) ýòèõ ôóíêöèé ñëåäóþùèìè íåðàâåíñòâàìè: 2 S&Sxy ( f ) ≤ SSxx ( f )SSyy ( f ), 2 S&Ixy ( f ) ≤ S Ixx ( f )S Iyy ( f ).

157

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòåïåíè è õàðàêòåðà ñâÿçè ìåæäó ãèïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè X (t ) è Y (t ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü 2 ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö γ Sxy ( f ) , γ 2Ixy ( f ) , îïðå-

äåëÿåìûå ïîäîáíî ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè äâóõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé: 2 S&Sxy ( f ) 2 γ Sxy ( f ) = , SSxx ( f )SSyy ( f ) γ 2Ixy ( f ) =

2 S&Ixy ( f )

S Ixx ( f )S Iyy ( f )

.

Ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö ëåæàò â èíòåðâàëå [0,1]. Åñëè ôóíêöèè X (t ) è Y (t ) íåêîððåëèðîâàíû, òî äëÿ âñåõ f ≠0

2 γ Sxy ( f ) = γ 2Ixy ( f ) = 0 , åñëè æå îíè ëèíåéíî ñâÿçàíû, òî

2 γ Sxy ( f ) = γ 2Ixy ( f ) = 1 .

Ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö ïîäîáíû íîðìèðîâàííûì êîâàðèàöèîííûì ôóíêöèÿì ãðàíèö rSxy (τ) , rIxy (τ) , îäíàêî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíèõ îíè õàðàêòåðèçóþò íå òîëüêî ëèíåéíûå, íî è íåëèíåéíûå ñâÿçè ìåæäó ãèïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè. Ìãíîâåííûì ñïåêòðîì ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) = {X (t )/ g ∈G } â óñëîâèÿõ g áóäåì íàçûâàòü êîìïëåêñíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ S&x / g ( f ) , ñâÿçàííóþ ñ íàáëþäàåìûì ïðè óñëîâèè g ïðîöåññîì X (t ) / g ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå: S&x / g ( f ) =

∞

∫ (X (t ) / g ) exp(− j2π ft )dt .

−∞

Ìãíîâåííûé ñïåêòð ñòàöèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, ïîäîáíûìè ñâîéñòâàì ìãíîâåííîãî ñïåêòðà ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mS& ( f ) ìãíîx/g

âåííîãî ñïåêòðà ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ñâÿçàíî ñ óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mx / g ôóíêöèè X (t ) âûðàæåíèåì mS&

158

x/g

( f ) = mx / g δ( f ) .

11.3. Спектральное описание стационарных гиперслучайных функций

Îïðåäåëèì óñëîâíûé ñïåêòð ìîùíîñòè S xx / g ( f )

ôóíêöèè

X (t ) êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óñëîâíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè K x / g (τ) : S xx / g ( f ) =

∞

∫ K x / g (τ) exp(− j2πf τ)dτ,

−∞

ãäå

K x / g (τ)

ñâÿçàíà ñ

S xx / g ( f )

îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì

Ôóðüå: K x / g (τ) =

∞

∫ S xx / g ( f ) exp( j2πf τ)df

.

−∞

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâíóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ìãíîâåííîãî ñïåêòðà K S& / g ( f1 , f 2 ) ñòàöèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâèx

ÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: K S& / g ( f1 , f 2 ) = S xx / g ( f1 )δ( f 2 − f1 ) . (11.2) x

Èç âûðàæåíèÿ (11.2) ñëåäóåò, ÷òî • ìãíîâåííûé ñïåêòð ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé ôóíêöèåé; • îòñ÷åòû ìãíîâåííîãî ñïåêòðà, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì ÷àñòîòàì, îðòîãîíàëüíû; • ïðè íóëåâûõ ãðàíèöàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îòñ÷åòû ìãíîâåííîãî ñïåêòðà, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì ÷àñòîòàì, íå òîëüêî îðòîãîíàëüíû, íî è íåêîððåëèðîâàíû. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâíûé ñïåêòð ìîùíîñòè S xx / g ( f ) ñâÿçàí ñ óñëîâíûì ìãíîâåííûì ñïåêòðîì S& ( f ) , âû÷èñëÿåìûì íà èíxT / g

òåðâàëå T , ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì: 1 S xx / g ( f ) = lim M[S&xT / g ( f )S x∗T / g ( f )] . T →∞ T Ãðàíèöû ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ìîæíî îïðåäåëèòü òàêèì îáðàçîì: S sxx ( f ) = sup S xx / g ( f ) , Sixx ( f ) = inf S xx / g ( f ) . g ∈G

g ∈G

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñâÿçàíû ñ åå ìãíîâåííûì ñïåêòðîì ïðè óñëîâèè g ñîîòíîøåíèÿìè

159

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

S sxx ( f ) = lim sup

1 M[S&xT / g ( f )S x∗T / g ( f )] , T

Sixx ( f ) = lim inf

1 M[S&xT / g ( f )S x∗T / g ( f )] . T

T →∞ g ∈G

T →∞ g ∈G

Íàçîâåì ãèïåðñëó÷àéíûì áåëûì øóìîì ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ñòàöèîíàðíóþ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ N (t ) , ó êîòîðîé óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íóëþ, à óñëîâíûé ñïåêòð ìîùíîñòè íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû, ò. å. S nn / g = N g 2 , ãäå N g – êîíñòàíòà, â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿùàÿ îò óñëîâèÿ g . Óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî øóìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé δ-ôóíêöèþ: K n / g (τ) = N g δ(τ) 2 . Ýòèì æå âûðàæåíèåì îïèñûâàåòñÿ è åãî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ïîíÿòèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå íàëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ íà óñëîâíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëèøü â ÷àñòíîì ñëó÷àå îíè ìîãóò áûòü ãàóññîâñêîãî òèïà. Îïðåäåëèì óñëîâíûé âçàèìíûé ñïåêòð ìîùíîñòè S&xy / g ( f ) ñòàöèîíàðíûõ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óñëîâíîé âçàèìíî-êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè K xy / g (τ) : S&xy / g ( f ) =

∞

∫ K xy / g (τ) exp(− j2πf τ)dτ,

−∞

ãäå K xy / g (τ) ñâÿçàíà ñ S&xy / g ( f ) îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå: ∞

K xy / g (τ) =

∫ S&xy / g ( f ) exp( j2πf τ)df

.

−∞

Ãðàíèöû âçàèìíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: S& ( f ) = M [S& ( f )] , S& ( f ) = M [S& ( f )] . sxy

i

xy

ixy

s

xy

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî óñëîâíûé âçàèìíûé ñïåêòð ìîùíîñòè S&xy / g ( f ) è ãðàíèöû âçàèìíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà S& ( f ) è S& ( f ) â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûsxy

160

ixy

11.4. Эргодические случайные функции

ìè ôóíêöèÿìè, íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè è îáëàäàþò ñâîéñòâîì ýðìèòîâîé ñîïðÿæåííîñòè: * * * & & S&xy / g ( f ) = S yx / g ( f ) , S sxy ( f ) = S syx ( f ) , S ixy ( f ) = S iyx ( f ) . Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòåïåíè è õàðàêòåðà ñâÿçè ìåæäó ãèïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè X (t ) è Y (t ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü 2 ãðàíèöû ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè γ 2sxy ( f ) , γ ixy ( f ) , îïðå-

äåëÿåìûå êàê γ

2 sxy

(f ) =

2 S&sxy ( f )

S sxx ( f )S syy ( f )

, γ (f ) = 2 ixy

2 S&ixy ( f )

S sxx ( f )S syy ( f )

.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî óñëîâíûé âçàèìíûé ñïåêòð ìîùíîñòè S&xy / g ( f ) ñâÿçàí ñ óñëîâíûìè âçàèìíûìè ñïåêòðàìè ìîùíîñòè S xx / g ( f ) è S yy / g ( f ) ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì: 2 S&xy / g ( f ) ≤ S xx / g ( f )S yy / g ( f ) ,

îäíàêî ãðàíèöû âçàèìíîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè S&sxy ( f ) , S&ixy ( f ) íå èìåþò ïîäîáíîé ñâÿçè ñ ãðàíèöàìè ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ìîùíîñòè S sxx ( f ) , Sixx ( f ) è S syy ( f ) , Siyy ( f ) , ò. å. íå âñåãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà 2 S&sxy ( f ) ≤ S sxx ( f )S syy ( f ) , 2 S&ixy ( f ) ≤ Sixx ( f )Siyy ( f ) .

Ïîýòîìó ãðàíèöû ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè γ 2sxy ( f ) , 2 γ ixy ( f ) ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ïðåâûøàþùèå åäèíèöó.

11.4. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Íåêîòîðûå ñòàöèîíàðíûå (îäíîðîäíûå) ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè îáëàäàþò ñïåöèôè÷åñêèì ñâîéñòâîì ýðãîäè÷íîñòè. Ïðåæäå, ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, íàïîìíèì ðàçëè÷íûå âàðèàíòû îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ ýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðî-

161

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

ÿòíîñòåé, è îñíîâíûå ñâîéñòâà òàêèõ ôóíêöèé [Ãíåäåíêî, 1988, Ãîðáàíü, 2003]. Äëÿ íåêîòîðûõ ñòàöèîíàðíûõ (èëè îäíîðîäíûõ) ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ðàñ÷åò õàðàêòåðèñòèê ìîæåò áûòü ïðîâåäåí íå ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé, à óñðåäíåíèåì äàííûõ ëèøü îäíîé ðåàëèçàöèè. Òàêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ýðãîäè÷åñêèìè. Èçâåñòíî íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé ïîíÿòèÿ ýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Îïðåäåëåíèå 1. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé, åñëè ëþáàÿ åå õàðàêòåðèñòèêà, ïîëó÷åííàÿ óñðåäíåíèåì ïî ìíîæåñòâó âîçìîæíûõ ðåàëèçàöèé, ñ âåðîÿòíîñòüþ ñêîëüêî óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå ðàâíÿåòñÿ ñðåäíåìó ïî âðåìåíè, ïîëó÷åííîìó èç îäíîé-åäèíñòâåííîé ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïóòåì óñðåäíåíèÿ çà áåñêîíå÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè. Òåîðåìà 1. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýðãîäè÷íîñòè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ åå ñòàöèîíàðíîñòü â óçêîì ñìûñëå. Îïðåäåëåíèå 2. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ (ïðîöåññ) X (t ) íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ, åñëè l.i.m. T →∞

T 2

1 T

∫

X (t )d t = m x .

−T 2

Çàìåòèì, ÷òî íå êàæäàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé. Òåîðåìà 2 (ýðãîäè÷åñêàÿ). Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå m x ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïîñòîÿííî, à åå êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ R x (t 1 , t 2 ) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ lim

T →∞

1 T2

T 2 T 2

∫ ∫

R x (t 1 , t 2 )d t 1d t 2 = 0 .

(11.3)

−T 2 −T 2

Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà (11.3) ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå lim R x (t 1 , t 2 ) = 0 , t 2 − t 1 →∞

ò. å. ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ R x (t 1 , t 2 ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ìîäóëÿ ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ t 2 − t1 .

162

11.4. Эргодические случайные функции

Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ îáû÷íî âûçûâàåò ìåíüøèå òðóäíîñòè, ÷åì ïðîâåðêà óñëîâèÿ (11.3). Äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé óñëîâèå (11.3) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: lim

T →∞

1 T

T



τ

0





∫ 1 − T  R x (τ)d τ = 0 .

Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå lim R x (τ) = 0 . τ →∞

Îïðåäåëåíèå 3. Ñòàöèîíàðíàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ ê êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè R x (τ) , åñëè R x (τ) = lim T →∞

1 T

T 2

∫

o

o

X (t + τ) X (t )dt ,

−T 2

o

ãäå X (t ) – öåíòðèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) . Òåîðåìà 3. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ýðãîäè÷íîñòè ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïî îòíîøåíèþ ê êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè R x (τ) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî lim

T →∞

1 T

T



τ

∫ 1 − T  [R x

2

(τ) + R x (τ + τ 0 )R x (τ − τ 0 )]dτ = 0

0

ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì τ 0 . ×àñòî ýðãîäè÷åñêàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ åùå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëåíèå 4. Ñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X (t ) íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé, åñëè äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ϕ ( x (t 1 ),..., x (t N )) óñðåäíåííîå ïî àðãóìåíòó t åå çíà÷åíèå M[ϕ (x (t 1 ),..., x (t N )] = lim T→ ∞

1 T

T 2

∫

ϕ (x (t 1 + t ),..., x (t N + t )dt

−T 2

ïî÷òè íàâåðíîå ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ M [ϕ( X (t 1 ),... ..., X (t N )]. Íåêîòîðûå â öåëîì íåñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ïðîÿâëÿþò ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãîäè÷íîñòè íà èíòåðâàëàõ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè.

163

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции Ðèñ. 11.3. Îäíîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) ñ ôðàãìåíòàìè, îïèñûâàåìûìè îäíîìåðíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ f h ( x ) , T h − T h −1 = T , h = 1,2,K

Ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) , ñîñòîÿùóþ èç ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûõ ýðãîäè÷åñêèõ ôðàãìåíòîâ îïðåäåëåííîé äëèòåëüíîñòè T (ðèñ. 11.3). Ïîä ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûì ýðãîäè÷åñêèì ôðàãìåíòîì ñëó÷àéíîé ôóíêöèè â äàííîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàåòñÿ òàêîé åå ôðàãìåíò, õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîãî (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ è äð.) ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ïîãðåøíîñòüþ ïî îäíîé ðåàëèçàöèè ýòîãî ôðàãìåíòà. Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ âàæíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå äëèòåëüíîñòè T ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûõ ôðàãìåíòîâ, èíà÷å ãîâîðÿ, èíòåðâàëà ñòàöèîíàðíîñòè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. 11.5. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Ñòàöèîíàðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ (ïðîöåññ) Õ(t) = ∈ G } = { X g (t ), g ∈ G }

áóäåì

íàçûâàòü

ýðãîäè÷åñêîé

{X (t ) / g ∈ ïðè

âñåõ

óñëîâèÿõ g , åñëè äëÿ âñåõ g ñîñòàâëÿþùèå åå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè X g (t ) ÿâëÿþòñÿ ýðãîäè÷åñêèìè. Ïîä ýðãîäè÷åñêèìè ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè ìîæíî ïîíèìàòü ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìó èç îïðåäåëåíèé, ïðèâåäåííûõ â ïàðàãðàôå 11.4. Ïðè èñïîëüçîâàíèè, â ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèÿ 4, ïîä ãèïåðñëó÷àéíîé ýðãîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðîöåññ X (t ) = { X (t ) / g ∈ G } , äëÿ êîòîðîãî ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ñðåäíåå çíà÷åíèå M[ϕ( x (t 1 ) / g ,..., x (t L ) / g )] ôóíêöèè ϕ( x (t 1 ) / g ,..., x (t L ) / g ) , ðàññ÷èòàííîå ïî ïðîèçâîëüíî âûáðàííîé ðåàëèçàöèè

164

11.5. Эргодические гиперслучайные функции

x (t ) / g ñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) / g ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïî t íà èíòåðâàëå (−∞, ∞) , ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå, ðàâíî ñðåäíåìó, ðàññ÷èòàííîìó äëÿ ôóíêöèè ϕ( X (t 1 ) / g ,..., X (t L ) / g ) ïóòåì óñðåäíåíèÿ ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé ôóíêöèè X (t ) / g . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäíåå ïî t íà èíòåðâàëå äëèòåëüíîñòüþ T

{

}

M T [ϕ( x (t 1 ),..., x (t L ))] = M T [ϕ( x (t 1 ) / g ,..., x (t L ) / g )],  1 = T

T /2

∫

ϕ( x (t 1 + t ) / g ,..., x (t L + t ) / g )d t ,

−T / 2

g ∈G =

 g ∈G  

ìíîæåñòâà ôóíêöèé ϕ( x (t 1 + t ) / g ,..., x (t L + t ) / g ) , g ∈ G ñõîäèòñÿ ïðè T → ∞ ïî÷òè íàâåðíîå ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ M[ϕ( X (t 1 ),..., X (t L ))] – ìíîæåñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé M[ϕ( X (t 1 ) / g ,..., X (t L )) / g ] ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ϕ( X (t 1 ) / g ,..., X (t L ) / g ) , âû÷èñëåííûõ äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèé g ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé: lim M T [ϕ( x (t 1 ),..., x (t L ))] = M[ϕ( X (t 1 ),..., X (t L ))] .

T →∞

Åñëè ýëåìåíòû ìíîæåñòâà G îäèíàêîâûå, ãèïåðñëó÷àéíàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíóþ ýðãîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ. Ãðàíèöàìè ñðåäíåãî íà èíòåðâàëå äëèòåëüíîñòüþ T ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé x (t ) = { x (t ) / g ∈ G } = { x g (t ), g ∈ G } ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) íàçîâåì ôóíêöèè m sxT = sup m xT / g , g ∈G

ãðàíèöàìè ôóíêöèè

êîððåëÿöèîííîé K sxT (τ) = sup K xT g ∈G

m ixT = inf m xT / g ,

ôóíêöèè /g

g ∈G

ìíîæåñòâà

ðåàëèçàöèé –

(τ) , K ixT (τ) = inf K xT / g (τ) , g ∈G

à ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé – ôóíêöèè R sxT (τ) = sup R xT g ∈G

/g

(τ) , R ixT (τ) = inf R xT / g (τ) , g ∈G

165

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

ãäå

m xT / g =

K xT / g (τ) = =

1 T

1 T

T 2

1

∫

T

x g (t ) d t – ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè

x g (t ) ,

−T 2

T 2

∫

−T 2

x g (t + τ) x g (t ) dt – àâòîêîððåëÿöèîííàÿ, à R xT

/g

(τ) =

T 2

∫

−T 2

[x g (t + τ) − m xT

/g

][x g (t ) − m xT

/g

]d t – àâòîêîâàðèàöèîííàÿ

ôóíêöèÿ ôóíêöèè x g (t ) íà èíòåðâàëå äëèòåëüíîñòüþ T . Ïðè T → ∞ ãðàíèöû ñðåäíåãî ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé m sx , m ix ïî÷òè íàâåðíîå ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: m sx = m sx , m ix = m ix , ãðàíèöû êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé K sx (τ) , K ix (τ) – ê ãðàíèöàì êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè K sx (τ) , K ix (τ) , ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé R sx (τ) , R ix (τ) – ê ãðàíèöàì êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè R sx (τ) , R ix (τ) , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû äèñïåðñèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé D sx = R sx (0) , D ix = R ix (0) – ê ãðàíèöàì äèñïåðñèè D sx , D ix . Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.  ÷àñòíîñòè, ãðàíèöàìè âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé x (t ) = { x g (t ), g ∈ G } , y(t ) = { y g (t ), g ∈ G } ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) = { X (t ) / g ∈ G } = { X g (t ),

g ∈ G} ,

Y (t ) = {Y (t ) / g ∈ G } = {Y g (t ),

g ∈ G}

ìîæíî íàçâàòü ôóíêöèè K sxyT (τ) = sup K xyT g

à ãðàíèöàìè âçàèìíîé ðåàëèçàöèé – ôóíêöèè

/g

(τ) , K ixyT (τ) = inf K xyT / g (τ) ,

êîâàðèàöèîííîé

g

ôóíêöèè

ìíîæåñòâà

R sxyT (τ) = sup R xyT / g (τ) , R ixyT (τ) = inf R xyT / g (τ) , g ∈G

ãäå

166

g ∈G

11.5. Эргодические гиперслучайные функции

K xyT / g (τ) =

1 T

T 2

∫

x g (t + τ) y g (t )d t

−T 2

– âçàèìíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, à R xyT / g (τ) =

1 T

T 2

∫

−T 2

( x g (t + τ) − m xT

/g

)( y g (t ) − m yT / g )d t

– âçàèìíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèé x g (t ) è y g (t ) . Ïðè T → ∞ ãðàíèöû âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé K sxy (τ) , K ixy (τ) ïî÷òè íàâåðíîå ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè K sxy (τ) , K ixy (τ) , à ãðàíèöû âçàèìíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé R sxy (τ) , R ixy (τ) – ê ãðàíèöàì âçàèìíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè R sxy (τ) , R ixy (τ) . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû è äðóãèå óñðåäíåííûå õàðàêòåðèñòèêè. Çàìåòèì, ÷òî òàê æå, êàê è â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äðóãîé òèï ñõîäèìîñòè, íàïðèìåð, âìåñòî ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå ïðèìåíÿòü ñõîäèìîñòü â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Âñÿ èíôîðìàöèÿ î õàðàêòåðèñòèêàõ ñëó÷àéíîé ýðãîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñîäåðæèòñÿ â ëþáîé åå ðåàëèçàöèè. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü ìîìåíòû è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè ïî îäíîé ðåàëèçàöèè. Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíîé ýðãîäè÷åñêîé ôóíêöèè îäíîé ðåàëèçàöèè íåäîñòàòî÷íî. Íåîáõîäèìî ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé – ïî îäíîé äëÿ êàæäûõ óñëîâèé. Ýòî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò ðàñ÷åòû. Îáîéòèñü îäíîé ðåàëèçàöèåé ìîæíî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ïðîÿâëÿåò ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãîäè÷íîñòè íà èíòåðâàëàõ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè. Î òàêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèÿõ èäåò ðå÷ü â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

167

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

11.6. ФРАГМЕНТАРНО-ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРИ ВСЕХ УСЛОВИЯХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíóþ ýðãîäè÷åñêóþ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ U (t ) = {U (t ) / h, h = 1,2,K , H } ñî ñòàöèîíàðíûìè ýðãîäè÷åñêèìè ñëó÷àéíûìè ñîñòàâëÿþùèìè U (t ) / h . Ïóñòü íà èíòåðâàëàõ äëèòåëüíîñòüþ T ñîñòàâëÿþùèå U (t ) / h – ïðàêòè÷åñêè ýðãîäè÷åñêèå, ò. å. èõ õàðàêòåðèñòèêè ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ïîãðåøíîñòüþ ïî îäíîé ðåàëèçàöèè äëèòåëüíîñòüþ T . Ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèåé áóäåì íàçûâàòü ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ X (t ) = = { X (t ) / g ,

g = 1,2,K ,G } ,

ñîñòàâëÿþùèå

êîòîðîé

X (t ) / g –

ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ñôîðìèðîâàííûå èç ôðàãìåíòîâ ïðàêòè÷åñêè ýðãîäè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ U (t ) / h äëèòåëüíîñòüþ T (ðèñ. 11.4, 11.5). Êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íåñåò èíôîðìàöèþ î õàðàêòåðèñòèêàõ âñåõ ôðàãìåíòîâ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê òàêîé ôóíêöèè äîñòàòî÷íî îäíîé (ëþáîé) ðåàëèçàöèè. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî äëÿ ôðàãìåíòàðíîýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè (ñì. ðèñ. 11.3) ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèé fh(x) äåòåðìèíèðîâàí; äëÿ ôðàãìåíòàðíî-

Ðèñ. 11.4. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ôðàãìåíòàðíîýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè X(t)/g èç ñòàöèîíàðíîé ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè U (t ) = {U (t ) / h, h = 1, 2, K,H }

168

11.6. Фрагментарно-эргодические при всех условиях гиперслучайные …

Ðèñ. 11.5. Îäíîìåðíûå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) = = {X (t ) / g ,

g = 1,2,K,G } ñ ôðàãìåíòàìè, îïèñûâàåìûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ f h ( x ) , h = 1,2,K, H

ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè (ñì. ðèñ. 11.5), êîãäà óñëîâèÿ g ôèêñèðîâàíû, ýòîò ïîðÿäîê òîæå äåòåðìèíèðîâàí, îäíàêî, êîãäà óñëîâèÿ íå ôèêñèðîâàíû, ïîðÿäîê íå îïðåäåëåí.

169

Глава 12 МАРКОВСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îáîáùåíî íà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå èçâåñòíûì óðàâíåíèÿì Êîëìîãîðîâà äëÿ ñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ðàññìîòðåíû âèíåðîâñêèé è ãàóññîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. 12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Ïóñòü X 0 = X (t 0 ),..., X N = X (t N ) – çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) â ïðîèçâîëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè t 0 < t1 < ... < t N . Ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) íàçîâåì ìàðêîâñêèì, åñëè äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t N è ëþáîãî óñëîâèÿ g tN ∈ G îäíîìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f1 ( xN ; t N ; g tN / x0 ,..., xN −1; t 0 ,..., t N −1; gt0 ,..., gtN −1 ) = = f1 ( xN ; t N ; g tN / xN −1; t N −1; gtN −1 ).

(12.1)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: f N ( x0 ,..., xN ; t 0 ,..., t N ; g t0 ,..., g tN ) = N

= f1 ( x0 ; t 0 ; g t0 )∏ Π( xn ; t n ; g tn / xn −1 ; tn −1 ; g tn −1 ),

(12.2)

n =1

ãäå Π( xn ; tn ; g tn / xn −1 ; tn −1 ; g tn −1 ) = f1 ( x n ; t n ; g tn / x n −1 ; t n −1 ; g tn −1 ) – ïëîò-

170

12.2. Уравнения Колмогорова для марковского гиперслучайного процесса

íîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (t ) / g t , íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè xn −1 â ìîìåíò âðåìåíè tn −1 â óñëîâèÿõ g tn −1 , â ñîñòîÿíèå xn â ìîìåíò âðåìåíè t n â óñëîâèÿõ g tn . Èç âûðàæåíèÿ (12.1) ñëåäóåò, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â ëþáûå íåñîâïàäàþùèå ìîìåíòû âðåìåíè íåçàâèñèìû ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g t , òî ïðîöåññ – ìàðêîâñêèé. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà Π( x ; t ; g t / x ′; t ′; g t ′ ) ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, íîðìèðîâàííîé ê åäèíèöå: ∞

∫ Π( x; t ; gt / x ′; t ′; gt ′ )dx = 1 .

−∞

Êðîìå òîãî, ýòà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñèíãóëÿðíîñòè: lim Π( x ; t ; g t / x ′; t ′; g t ′ ) = δ( x − x ′) t →t ′ gt → gt ′

è óäîâëåòâîðÿåò îáîáùåííîìó óðàâíåíèþ Ìàðêîâà (óðàâíåíèþ Ñìîëóõîâñêîãî): Π( x ; t ; g t / x 0 ; t 0 ; g t 0 ) = =

∞

∫ Π( x; t ; gt / x ′; t ′; gt ′ )Π( x ′; t ′; gt ′ / x0 ; t0 ; gt

−∞

0

)d x ′.

12.2. УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ МАРКОВСКОГО ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) èç ñîñòîÿíèÿ x0 â ìîìåíò âðåìåíè t 0 â óñëîâèÿõ g t0 â ñîñòîÿíèå x â ìîìåíò âðåìåíè t â óñëîâèÿõ g t îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì −

=

∞

∑

ν=1

∂ Π( x ; t ; g t / x 0 ; t 0 ; g t 0 ) = ∂t 0

Aν ( x0 ; t 0 ; g t0 ) ∂ ν Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 )

ν!

∂x0ν

,

(12.3)

171

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы

ãäå Aν ( x0 ; t 0 ; g t0 ) =

lim

∆t → 0 g t 0 + ∆t → g t 0

1 M ( X (t 0 + ∆t ; g t0 +∆t / x0 ; t 0 ; g t0 ) − ∆t 

− X (t 0 ; g t0 / x0 ; t 0 ; g t0 ))ν  .

Ýòî âûðàæåíèå ïðÿìî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà [Êîðîëþê è äð., 1985, Ãîðáàíü, 2003]. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X (t 0 + ∆t ; g t0 +∆t / x0 ; t 0 ; g t0 ) − X (t 0 ; g t0 / x0 ; t 0 ; gt0 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèðàùåíèå ñîñòîÿíèÿ, ïðîèñõî-

äÿùåå çà âðåìÿ ∆t . Ïîýòîìó êîýôôèöèåíòû Aν ( x0 ; t 0 ; g t0 ) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ëîêàëüíûå ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ ν -ãî ïîðÿäêà ïðèðàùåíèÿ ñîñòîÿíèÿ. Ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèÿìè, îïèñûâàþùèìè äèôôóçèîííûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, ãèïåðñëó÷àéíûå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå óðàâíåíèåì (12.3) ñ êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè íóëþ äëÿ âñåõ ν ≥ 3 , áóäåì íàçûâàòü ïåðâûì (îáðàòíûì) óðàâíåíèåì Êîëìîãîðîâà: −

∂ ∂ Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) = a( x0 ; t 0 ; g t0 ) Π( x ; t ; g t / x 0 ; t 0 ; g t 0 ) + ∂t 0 ∂x0 1 ∂2 + b( x0 ; t 0 ; g t0 ) 2 Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ), 2 ∂x0

(12.4)

à óðàâíåíèå ∂ Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) = ∂t =−

∂ a( x ; t ; g t )Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) + ∂x 

+

1 ∂2 b( x ; t ; g t )Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) 2 ∂x 2 

(12.5)

– óðàâíåíèåì Ôîêêåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà èëè ïðÿìûì óðàâíåíèåì Êîëìîãîðîâà, ãäå a( x0 ; t 0 ; g t0 ) = A1 ( x0 ; t 0 ; g t0 ) – êîýôôèöèåíò ñíîñà, à b( x0 ; t 0 ; g t0 ) = A2 ( x0 ; t 0 ; g t0 ) – êîýôôèöèåíò äèôôóçèè.

172

12.2. Уравнения Колмогорова для марковского гиперслучайного процесса

Ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå óðàâíåíèÿìè (12.4), (12.5), áóäåì íàçûâàòü äèôôóçèîííûìè. Óðàâíåíèÿ (12.4) è (12.5) – çàâèñèìûå. Èç óðàâíåíèÿ (12.5) ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ îäíîìåðíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé: ∂ ∂ f1 ( x ; t ; g t ) = − [a( x ; t ; g t ) f1 ( x ; t ; g t )] + ∂t ∂x +

1 ∂2 [b(x; t ; gt ) f1 ( x; t ; gt )] . 2 ∂x 2

(12.6)

Ãèïåðñëó÷àéíûé äèôôóçèîííûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíûì âî âðåìåíè, åñëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) íå çàâèñèò ïðÿìî îò ìîìåíòîâ âðåìåíè t , t 0 è óñëîâèé g t , g t0 , à îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü èõ ðàçíîñòÿìè τ = t − t 0 , g τ = g t − g t0 : Π( x ; t ; g t / x0 ; t 0 ; g t0 ) = Π( x / x0 ; τ; g τ ) . Îäíî-

ìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé òàêîãî ïðîöåññà f1 ( x ) , à òàêæå êîýôôèöèåíòû ñíîñà a( x ) è äèôôóçèè b( x ) íå çàâèñÿò îò âðåìåíè è óñëîâèé. Åñëè íåïðåðûâíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñòàöèîíàðåí â óçêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, òî îí îäíîðîäåí. Ýòî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ [Êîðîëþê è äð., 1985]. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Èç ñîîòíîøåíèÿ (12.6) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî â óçêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ äèôôóçèîííîãî îäíîðîäíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà d [b( x ) f1 ( x )] = 2a( x ) f1 ( x ) + C , dx

ãäå C – êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè. Ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, îïèñûâàþùèì ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ, áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèå âèäà dx = h( x , t , g t ) + g ( x , t , g t )n(t ; g t ) , dt

ãäå h( x , t , g t ) è g ( x , t , g t ) – äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ Ëèïøèöà:

173

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы

h( x , t , g t ) − h( y , t , g t ) + g ( x , t , g t ) − g ( y, t , g t ) ≤ L x − y

(L = const > 0) , N (t ) = {N (t ; g t ), g t ∈ G } – ãèïåðñëó÷àéíûé ãàóññîâñêèé øóì, ïðåä-

ñòàâëÿþùèé ñîáîé ìíîæåñòâî ãàóññîâñêèõ íåêîððåëèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ N (t ; g t ) ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ìîùíîñòè N 0 ( g t ) / 2 , çàâèñÿùåé îò óñëîâèé g t â ìîìåíò âðåìåíè t . 12.3. ВИНЕРОВСКИЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïóñòü â ãàçå èëè æèäêîñòè íàõîäèòñÿ ìèêðî÷àñòèöà åäèíè÷íîé ìàññû. Òåìïåðàòóðà ñðåäû T íåïðåäñêàçóåìî ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ [T1 ,T2 ] . Ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå T ñêîðîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû â ôèêñèðîâàííîì íàïðàâëåíèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïèñûâàåìóþ â ïðèáëèæåíèè Ìàêñâåëëà ãàóññîâñêèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé kT / m [ßâîðñêèé, Äåòëàô, 1968], ãäå k – ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, m – ìàññà ìîëåêóëû. Èç-çà íåïðåäñêàçóåìîãî èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ñðåäû ñêîðîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâà è ìîæåò áûòü îïèñàíà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ãðàíèöû äèñïåðñèè êîòîðîé ðàâíû kT1 / m , kT2 / m . Ìîëåêóëû, ñòàëêèâàÿñü ñ ÷àñòèöåé, âûçûâàþò åå ïåðåìåùåíèå.  êàæäûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè ïðîèñõîäèò áîëüøîå ÷èñëî òàêèõ ñòîëêíîâåíèé. Ñèëó óäàðà N (t ) , âûçûâàþùåãî äâèæåíèå ÷àñòèöû âäîëü çàäàííîãî íàïðàâëåíèÿ, è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû V (t ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ãàóññîâñêîãî òèïà. Åñëè ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ g t (òåìïåðàòóðå ñðåäû) ñèëà óäàðà îïèñûâàåòñÿ ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé N (t ; g t ) â âèäå ãàóññîâñêîãî áåëîãî øóìà ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ìîùíîñòè N 0 ( g t ) / 2 , òî íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ñêîðîñòü

174

12.3. Винеровский гиперслучайный процесс

äâèæåíèÿ ÷àñòèöû V (t ; g t ) îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì: dv(t ; g t ) = n(t ; g t ) . dt

(12.7)

Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè ( v(0; g 0 ) = 0 ) ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî äèôôóçèîííûé (âèíåðîâñêèé) ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ: t

v(t ; g t ) = ∫ n(t1 ; g t1 ) dt1 .

(12.8)

0

Èç âûðàæåíèÿ (12.8) âèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ïðîöåññà â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè t â óñëîâèÿõ g t îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé â ìîìåíò âðåìåíè t è ïðåäøåñòâóþùèå åìó ìîìåíòû âðåìåíè t1 < t . Ýòî çíà÷åíèå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âñòðå÷àåìîñòè â ðåàëèçàöèè òåõ èëè èíûõ óñëîâèé. Ãèïåðñëó÷àéíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, ïîõîæèìè (íî íå èäåíòè÷íûìè) ñâîéñòâàì ñëó÷àéíîãî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà: • ãèïåðñëó÷àéíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ öåíòðèðîâàííûì ( mv (t ) = M[V (t , g t )] = 0 ), • äèñïåðñèÿ ýòîãî ïðîöåññà îïèñûâàåòñÿ èíòåãðàëîì: σv2 (t ) =

t t

∫ ∫ M[N (t1 ; gt )N (t2 ; gt 1

2

)]dt1dt 2 =

0 0

1t N 0 ( g t1 ) dt1 , 2 ∫0

• ïðîöåññ – ãàóññîâñêèé. Åãî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì f1 (v; t ; g t ) =

 v2  exp  − 2  , 2πσv (t )  2σv (t )  1

(12.9)

• ïðîöåññ – ìàðêîâñêèé (òàê êàê îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì t3

v(t3 ) = v(t2 ; g t2 ) + ∫ n(t , g t ) dt ), t2

• ïðîöåññ èìååò íóëåâîé êîýôôèöèåíò ñíîñà ( a(v; t ; g t ) = 0 ) è êîýôôèöèåíò äèôôóçèè b(v; t ; g t ) = N 0 ( g t ) / 2 , â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿùèé îò âðåìåíè.

175

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèÿ g t íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t ( g t = g ), äèñïåðñèÿ âèíåðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà σ2v (t ) = N 0 ( g )t / 2 .

Ãðàíèöû äèñïåðñèè σiv2 (t ) , σ2sv (t ) ýòîãî ïðîöåññà îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè σiv2 (t ) = N i 0 t / 2 , σ2sv (t ) = N s 0t / 2 , ãäå N i 0 /2 è N s 0 /2 – ñîîòâåòñòâåííî íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè N 0 /2 ãèïåðñëó÷àéíîãî ãàóññîâñêîãî øóìà N (t ) . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèàïàçîí èçìåíåíèÿ äèñïåðñèè âèíåðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ðàñøèðÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè t . Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííûõ ñâîéñòâ ïðÿìîå óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà èìååò âèä ∂f1 (v ; t ; g t ) 1 ∂ 2 f1 (v; t ; g t ) , = N 0 ( gt ) 4 ∂t ∂v 2

à åãî ðåøåíèå îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (12.9). 12.4. ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Îáîáùåíèåì ðàññìîòðåííîãî âèíåðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèé ìàðêîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) , ñëó÷àéíûå ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò ñòîõàñòè÷åñêîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ: dx (t ; g t ) + αx (t ; g t ) = γ n(t ; g t ) , dt

(12.10)

ãäå α, γ – ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Ê òàêîìó óðàâíåíèþ ìîæíî ïðèéòè, â ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðèâàÿ ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó ñ ó÷åòîì âÿçêîñòè ñðåäû. Òîò ôàêò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèì, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî N (t ; g t ) – ãàóññîâñêèé áåëûé øóì, à óðàâíåíèå (12.10) – ëèíåéíîå. Òî, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ; g t ) – ìàðêîâñêèé [Êîðîëþê è äð., 1985].

176

12.4. Гауссовский марковский гиперслучайный процесс

Îáùèì ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèþ (12.10), ÿâëÿåòñÿ x (t ; g t ) = C exp( − αt ) , ãäå C – êîíñòàíòà. ×àñòíûì ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ t

x (t ; g t ) = γexp( − αt )∫ n(t1 , g t1 )exp(αt1 )dt1 , 0

à åãî îáùèì ðåøåíèåì – t

x (t ; g t ) = x (0, g 0 )exp( − αt ) + γexp( − αt )∫ n(t1 , g t1 )exp(αt1 )dt1 , (12.11) 0

ãäå x (0, g 0 ) – íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè â óñëîâèÿõ g 0 . Èç âûðàæåíèÿ (12.11) âèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ïðîöåññà â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè t â óñëîâèÿõ g t òàê æå, êàê è äëÿ âèíåðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé g t1 â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè t1 < t è â ìîìåíò âðåìåíè t . Íî â îòëè÷èå îò âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ýòî çíà÷åíèå çàâèñèò íå îò ÷àñòîòû âñòðå÷àåìîñòè â ðåàëèçàöèè òåõ èëè èíûõ óñëîâèé g t1 , à îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäîâàíèÿ ýòèõ óñëîâèé. Ãèïåðñëó÷àéíûé ãàóññîâñêèé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, ïîõîæèìè (íî íå èäåíòè÷íûìè) ñâîéñòâàì ñëó÷àéíîãî ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà: • ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà íå çàâèñèò îò èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè óñëîâèé è îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè g 0 â ïåðâîíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè: mx (t ) = x (0; g 0 ) exp(−αt ), • äèñïåðñèÿ ýòîãî ïðîöåññà σ2x (t ) =

γ2 t N 0 ( g t1 ) exp(2α(t1 − t ))dt1 , 2 ∫0

• êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà Rx (t1 , t2 ) = σ2x (t ) exp(−α|τ|),

ãäå τ = t2 − t1 ; t = min(t1 , t 2 ) ≥ 0 ,

177

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы

Ðèñ. 12.1. Ãðàíèöû äèñïåðñèè (à) è ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè (á) ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

• êîýôôèöèåíò ñíîñà a( x ; t ; g t ) = −αx (t ; g t ) , à êîýôôèöèåíò äèôôóçèè b( x ; t ; g t ) = N 0 ( g t )γ 2 / 2 . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè

α>0

ãðàíèöû äèñïåðñèè,

σ (t ) , σ (t ) è ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè Rix (t1 , t2 ) , Rsx (t1 , t2 ) ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè 2 ix

2 sx

σix2 (t ) =

N i 0 γ2 (1 − exp( − 2αt )) , 4α

σ2sx (t ) =

N s 0 γ2 (1 − exp( − 2αt ) ) , 4α

Rix (t1 , t2 ) = σix2 (t ) exp(−α|τ|), Rsx (t1 , t2 ) = σ2sx (t ) exp(−α|τ|).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì t äèàïàçîí èçìåíåíèÿ äèñïåðñèè ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò, íî ïðè t → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íåçàâèñÿùåìó îò âðåìåíè èíòåðâàëó  N i 0 γ 2 /(4α), N s 0 γ 2 /(4α) (ðèñ. 12.1, à). Äèñïåðñèÿ ïðîöåññà â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè óñëîâèÿìè â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè è ïðåäøåñòâóþùèå åìó ìîìåíòû âðåìåíè. Ïðè óâåëè÷åíèè âåëè÷èíû τ (èíòåðâàëà ìåæäó îòñ÷åòàìè) äèàïàçîí èçìåíåíèÿ êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ è ïðè τ → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ðèñ. 12.1, á). Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ïðîöåññà

178

12.4. Гауссовский марковский гиперслучайный процесс

rx (t1 , t2 ) =

Rx (t1 , t2 ) = exp(−α τ ) σ2x (t )

íå çàâèñèò îò èçìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé âî âðåìåíè. Ïðÿìîå óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èìååò âèä ∂f1 ( x ; t ; g t ) γ 2 N 0 ( g t ) ∂ 2 f1 ( x ; t ; g t ) ∂ = α [ xf1 ( x ; t ; g t )] + . ∂t ∂x 2 ∂x 2

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ãàóññîâñêîé ôóíêöèåé f1 ( x ; t ; g t ) =

 ( x − mx (t ))2  exp  − . 2σ2x (t )  2πσ x (t )  1

179

Глава 13 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ

Ïðîàíàëèçèðîâàíû èçâåñòíûå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ íà ïðåäìåò öåëåñîîáðàçíîñòè èõ ïðèìåíåíèÿ ïðè îïèñàíèè ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ïðåîáðàçîâàííûõ è èñõîäíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ. Äàíû ðåêîìåíäàöèè ïî èñïîëüçîâàíèþ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ, à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðè áåçûíåðöèîííûõ è èíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. 13.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ïðîöåññû ïîäâåðãàþòñÿ ðàçëè÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê îïèñàòü âåëè÷èíó èëè ïðîöåññ ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè èçâåñòíû ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè äî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå âîïðîñà ñ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

13.1.1. Описание преобразования с помощью условных функций распределения и их моментов Ïîñêîëüêó ñêàëÿðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñêàëÿðíûõ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äëÿ åå îïèñàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå ñïîñîáû îïèñàíèÿ ïîñëåäíèõ. Èçìåíåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå ïðè ïðåîáðàçîâàíèè, ìîãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ê òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì è ïàðàìåòðàì îòíîñÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-

180

13.1. Преобразование скалярной гиперслучайной величины

íèÿ, óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå öåíòðàëüíûå è íåöåíòðàëüíûå ìîìåíòû ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé. Åñëè óñëîâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X / g ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f x / g ( x ) ïîäâåðãàåòñÿ îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ y = ϕ( x ) , èìåþùåìó îäíîçíà÷íóþ îáðàòíóþ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ x = η( y ) , òî [Ëåâèí, 1974, Òèõîíîâ, Õàðèñîâ, 1991, Ãîðáàíü, 2003] óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y / g çàïèñûâàåòñÿ òàê: f y / g ( y ) = f x / g (η( y ))

dη( y ) . dy

(13.1)

Íà÷àëüíûé my / g ν è öåíòðàëüíûé µ y / g ν ìîìåíòû ν -ãî ïîðÿäêà ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû Y / g îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëàìè my / g ν = M[Y ν /g ]=M[ϕν (X )/g ] ,

µ y / g ν = Μ[(Y − my / g )ν ] = Μ[(ϕ(X )/g − mϕ(x ) / g )ν ],

ãäå my / g è mϕ( x ) / g – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y / g è ϕ( X ) / g : ∞

my / g = Μ[(Y / g ] =

∫

y f y / g ( y )dy ,

−∞

mϕ( x ) / g = Μ[(ϕ( X ) / g ] =

∞

∫ ϕ( x ) f x / g ( x )dx .

−∞

Çàâèñèìîñòü ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðîÿâëÿåòñÿ òàêæå íà óðîâíå äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ.

13.1.2. Описание преобразования с помощью границ функций распределения и их моментов Òåîðåìà 1. Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X = { X / g ∈ G } ñ ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx ( x ) , FIx ( x ) è ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f Sx ( x ) , f Ix ( x ) ïîäâåðãàåòñÿ îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ y = ϕ( x ) , èìåþùåìó îäíîçíà÷íóþ îáðàòíóþ íå-

181

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

ïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ x = η( y ) . Òîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSy ( y ) , FIy ( y ) è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f Sy ( y ) , f Iy ( y ) ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè FSy ( y ) = FSx (η( y )), FIy ( y ) = FIx (η( y )),

f Sy ( y ) = f Sx (( y ))

(13.2)

dη( y ) dη( y ) , f Iy ( y ) = f Ix (η( y )) , dy dy

(13.3)

åñëè η( y ) – âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, è FSy ( y ) = 1 − FIx (η( y )), f Sy ( y ) = − f Ix (η( y ))

dη( y ) , dy

FIy ( y ) = 1 − FSx (η( y )), f Iy ( y ) = − f Sx (η( y ))

dη( y ) , dy

(13.4) (13.5)

åñëè η( y ) – óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóë (13.2)–(13.5) îñíîâàíî íà òîì ôàêòå, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g è Y / g ∀g ∈ G , à óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f y / g ( y ) ïðåîáðàçîâàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y / g ñâÿçàíà ñ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f x / g ( x ) èñõîäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X / g ñîîòíîøåíèåì (13.1). Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSy ( y ) , FIy ( y ) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå y

FSy ( y ) = sup

∫

g ∈G −∞

y

f y / g ( y1 )dy1 , FIy ( y ) = inf g ∈G

∫

f y / g ( y1 )dy1 .

−∞

Èç ýòèõ âûðàæåíèé ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (13.1) è î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà a sup ψ(g ) + b, åñëè  g ∈G  sup(a ψ(g ) + b) = a inf ψ(g ) + b, åñëè g ∈G g ∈G  b, åñëè a = 0,

a > 0, a < 0,

ãäå a, b – êîíñòàíòû, ψ(g ) – ôóíêöèÿ g ∈ G , ïîëó÷àþòñÿ ôîð-

182

13.1. Преобразование скалярной гиперслучайной величины

ìóëû (13.2), (13.4). Äèôôåðåíöèðîâàíèå âûðàæåíèé (13.2), (13.4) ïðèâîäèò ê ôîðìóëàì (13.3), (13.5). Ñëåäñòâèå. Èç ôîðìóë (13.2), (13.4) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû ãðàíèöû FSx ( x ) , FIx ( x ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X òðàíñôîðìèðóþòñÿ â ãðàíèöû FSy ( y ) , FIy ( y ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , ïðè÷åì, åñëè ôóíêöèÿ η( y ) – ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ, òî ãðàíèöû FSx ( x ) , FIx ( x ) ïðåîáðàçóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî â âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû FSy ( y ) , FIy ( y ) , à åñëè ôóíêöèÿ η( y ) – ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ, òî – ñîîòâåòñòâåííî â íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíèöû FIy ( y ) , FSy ( y ) .

Íå âñåãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðåîáðàçóþòñÿ â ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y . Ïîýòîìó íà÷àëüíûå mSy ν , mIy ν è öåíòðàëüíûå µSy ν , µ Iy ν ìîìåíòû ν -ãî ïîðÿäêà ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y mSy ν = Μ Sy [Y ν ] =

∞

∫

y ν f Sy ( y )dy ,

mIy ν = Μ Iy [Y ν ] =

−∞

µSy ν = Μ Sy [(Y − mSy )ν ] =

∞

∫

y ν f Iy ( y )dy ,

−∞ ∞

∫ ( y − mSy )

ν

fSy ( y )dy,

ν

f Iy ( y )dy

−∞

µ Iy ν = Μ Iy [(Y − mIy )ν ] =

∞

∫ ( y − mIy )

−∞

ìîãóò îòëè÷àòüñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòîâ mS ϕ( x )ν , mI ϕ( x )ν , µS ϕ( x )ν , µ I ϕ( x )ν ãðàíèö ôóíêöèè ϕν ( X ) , ðàññ÷èòûâàåìûõ ïî ôîð-

ìóëàì mS ϕ( x )ν = Μ Sx [ϕν ( X )] =

∞

∫ ϕ ( x ) fSx ( x )dx, ν

−∞

mI ϕ( x )ν = Μ Ix [ϕν ( X )] =

∞

∫ ϕ ( x ) f Ix (x )dx, ν

−∞ ν µS ϕ( x )ν = Μ Sx ( ϕ( x ) − mS ϕ(x ) )  =  

∞

∫ ( ϕ( x ) − mS ϕ(x ) )

ν

f Sx ( x )dx ,

−∞

183

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов ν µ I ϕ( x )ν = Μ Ix ( ϕ( x ) − mI ϕ(x ) )  =  

∞

∫ ( ϕ( x ) − mI ϕ(x ) )

ν

f Ix ( x )dx ,

−∞

ãäå Μ Sy [⋅] , Μ Iy [⋅] – îïåðàòîðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ

ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû

Y ;

mSy = Μ Sy [Y ] ,

mIy = Μ Iy [Y ] – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Y ; Μ Sx [⋅] , Μ Ix [⋅] – îïåðàòîðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ; mS ϕ(x ) = Μ Sx [ϕ( X )] , mI ϕ(x ) = Μ Ix [ϕ( X )] – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ( X ) . Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Òîãäà íà÷àëüíûå mSy ν , mIy ν è öåíòðàëüíûå µSy ν , µ Iy ν ìîìåíòû ν -ãî ïîðÿäêà ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìîìåíòàìè mS ϕ( x )ν , mI ϕ( x )ν , µS ϕ( x )ν , µ I ϕ( x )ν ν -ãî ïîðÿäêà ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ(X ) ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè: mSy ν = mS ϕ( x )ν , mIy ν = mI ϕ(x )ν , µSy ν = µS ϕ( x )ν ,

µ Iy ν = µ I ϕ( x )ν ,

(13.6)

åñëè η( y ) – âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, è mSy ν = mI ϕ(x )ν ,

mIy ν = mS ϕ(x )ν ,

µSy ν = µ I ϕ( x )ν ,

µ Iy ν = µS ϕ( x )ν ,

(13.7)

åñëè η( y ) – óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ñëåäñòâèè òåîðåìû 1. Ñëåäñòâèå. Èç âûðàæåíèé (13.6), (13.7) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ y = − x ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSy , mIy ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y

ñâÿçàíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè

îæèäàíèÿìè ãðàíèö mSx , mIx ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè mSy = −mIx , mIy = −mSx , à äèñïåðñèè ãðàíèö DSy , DIy ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y – ñ äèñïåðñèÿìè ãðàíèö DSx , DIx

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

DIy = DSx .

184

ñîîòíîøåíèÿìè

DSy = DIx ,

13.1. Преобразование скалярной гиперслучайной величины

Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè èçìåíåíèè çíàêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ðàâíû ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö èñõîäíîé âåëè÷èíû, âçÿòûì ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì. Äèñïåðñèè æå âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ðàâíû äèñïåðñèÿì ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö èñõîäíîé âåëè÷èíû.

13.1.3. Описание преобразования с помощью границ моментов Òåîðåìà 3. Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X = { X / g ∈ G } ñ óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ

f x / g ( x ) ïîäâåðãàåòñÿ

ïðåîáðàçîâàíèþ y = ϕ( x ) . Òîãäà âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû íà÷àëüíîãî ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà msy ν , miy ν ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöàì ms ϕ( x )ν , mi ϕ( x )ν ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè ϕν ( X ) : msy ν = ms ϕ( x )ν , miy ν = mi ϕ( x )ν , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû

öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà µ sy ν , µiy ν

ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Y – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì ms ϕ( x )ν , mi ϕ( x )ν öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ϕ( X ) : µ sy ν = µ s ϕ( x )ν , µiy ν = µi ϕ( x )ν , ãäå msy ν = M s [Y ν ] = sup M[(Y / g )ν ] , g ∈G

miy ν = Mi [Y ν ] = inf M[(Y / g )ν ] , g ∈G

∞

∫ ϕ ( x ) f x / g ( x )dx,

ms ϕ( x )ν = Μ s [ϕν ( x )] = sup

ν

g ∈G −∞

mi ϕ( x ) ν = Μi [ϕν ( x )] = inf

g ∈G

∞

∫ϕ

ν

( x ) f x / g ( x )dx ,

−∞

µ sy ν = Μ s [(Y − my / g )ν ] = sup Μ[(Y / g − my / g )ν ], g ∈G

µiy ν = Μ i [(Y − my / g )ν ] = inf Μ[(Y / g − my / g )ν ], g ∈G

185

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

µ s ϕ( x )ν = Μ s [(ϕ( X ) − mϕ( x ) / g )ν ] = sup Μ[(ϕ( X ) / g − mϕ( x ) / g )ν ], g ∈G

µi ϕ( x )ν = Μ i [(ϕ( X ) − mϕ( x ) / g )ν ] = inf Μ[(ϕ( X ) / g − mϕ( x ) / g )ν ], (13.8) g ∈G

Μ s [⋅] , Μ i [⋅] – îïåðàòîðû ãðàíèö ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

Òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ íà îñíîâå îïðåäåëåíèé (13.8) ãðàíèö ìîìåíòîâ. Ñëåäñòâèå 1. Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msy , miy ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ms ϕ( x ) , mi ϕ( x ) ôóíêöèè ϕ( X ) : msy = ms ϕ( x ) = Μ s [ϕ( X )] , miy = = mi ϕ( x ) = Μ i [ϕ( X )] , à ãðàíèöû äèñïåðñèè Dsy , Diy – ñîîòâåòñò-

âåííî ãðàíèöàì äèñïåðñèè Ds ϕ( x ) , Di ϕ( x ) ôóíêöèè ϕ( X ) : Dsy = Ds ϕ( x ) = Μ s [(ϕ( X ) − mϕ( x ) / g )2 ] , Diy = Di ϕ( x ) = Μ i [(ϕ( X ) − mϕ( x ) / g )2 ] .

Ñëåäñòâèå 2.  ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ y = − x ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msy , msy ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx , mix ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè msy = −mix , miy = −msx , à ãðàíèöû äèñïåðñèè Dsy , Diy âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè äèñïåðñèè Dsx , Dix âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè Dsy = Dsx , Diy = Dix .

Òàêèì îáðàçîì, ïðè èçìåíåíèè çíàêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èñõîäíîé âåëè÷èíû, âçÿòûì ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû äèñïåðñèè ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû – ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöàì äèñïåðñèè èñõîäíîé âåëè÷èíû. Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé òåîðåìû. Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïîäâåðãàåòñÿ ëèíåéíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ y = ax + b . Òîãäà ñîãëàñíî âûðàæåíèÿì (13.2)– (13.5) âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû FSy ( y ) , FIy ( y ) ôóíêöèè ðàñïðå-

186

13.1. Преобразование скалярной гиперслучайной величины

äåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f Sy ( y ) , f Iy ( y ) ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöàìè FSx ( x ) , FIx ( x ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f Sx ( x ) , f Ix ( x ) èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: FSy ( y ) = FSx (( y − b) / a ), FIy ( y ) = FIx (( y − b) / a ), f Sy ( y ) =

1 1 y −b  y −b fSx   , f Iy ( y ) = f Ix  , a a a    a 

åñëè a > 0 , è FSy ( y ) = 1 − FIx (( y − b) / a ), FIy ( y ) = 1 − FSx (( y − b) / a ), f Sy ( y ) = −

1 1 y −b y −b f Ix   , f Iy ( y ) = − fSx  , a a a    a 

åñëè a < 0 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðåîáðàçîâàíèè y = ax + b âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû FSx ( x ) , FIx ( x ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà a òðàíñôîðìèðóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî â âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû FSy ( y ) , FIy ( y ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , à ïðè îòðèöàòåëüíîì çíà÷åíèè ýòîãî êîýôôèöèåíòà – ñîîòâåòñòâåííî â íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíèöû FIy ( y ) , FSy ( y ) ýòîé âåëè÷èíû. Ïðè ýòîì ñîãëàñíî ôîðìóëàì (13.6), (13.7) ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSy , mIy è äèñïåðñèè ãðàíèö DSy , DIy ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mSx , mIx è äèñïåðñèåé ãðàíèö DSx , DIx èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè mSy = amSx + b, mIy = amIx + b,

DSy = a 2 DSx ,

DIy = a 2 DIx ,

åñëè

a >0,

è

mSy = amIx + b, mIy = amSx + b, DSy = a DIx , DIy = a DSx , åñëè a < 0 . 2

2

Ñ ó÷åòîì ñëåäñòâèÿ 1 èç òåîðåìû 3 ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msy , miy ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx , mix èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè msy = amsx + b,

187

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

miy = amix + b, åñëè a > 0 , è msy = amix + b,

miy = amsx + b, åñëè

a < 0 . Ãðàíèöû æå äèñïåðñèè Dsy , Diy ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y âíå çàâèñèìîñòè îò çíàêà êîýôôèöèåíòà a ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàì äèñïåðñèè Dsx , Dix ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè Dsy = a 2 Dsx , Diy = a 2 Dix .

13.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

13.2.1. Описание преобразования с помощью условных функций распределения и их моментов Âåêòîðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî âåêòîðíûõ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîýòîìó ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåçàâèñèìîå ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ åå ñîñòàâëÿþùèõ. Åñëè óñëîâíàÿ H -ìåðíàÿ âåêòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà r r X / g ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f xr / g ( x ) ïîäâåðãàåòñÿ îäíîr r r çíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ y = ϕ( x ) , èìåþùåìó îäíîçíà÷íóþ r r r îáðàòíóþ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ x = η( y ) , òî [Ëåâèí, 1974, Òèõîíîâ, Õàðèñîâ, 1991, Ãîðáàíü, 2003] ïëîòíîñòü r ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y / g ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: r r r r f yr / g ( y ) = f xr / g (η1 ( y ),K , ηH ( y )) J H ( y ) , r ãäå J H ( y ) – ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ: r r ∂η1 ( y ) ∂η1 ( y ) ... ∂y1 ∂yH r J H ( y ) = LLLLLLL . r r ∂ηH ( y ) ∂ηH ( y ) ... ∂y1 ∂yH

Çàìåòèì, ÷òî çàâèñèìîñòü ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ r r Fyr / g ( y ) , Fxr / g ( x ) ïðåîáðàçîâàííîé è èñõîäíîé ñëó÷àéíûìè âå-

188

13.2. Преобразование векторной гиперслучайной величины

r r ëè÷èíàìè Y / g è X / g íîñèò ñóùåñòâåííî áîëåå ñëîæíûé õàðàêòåð, ÷åì ìåæäó ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñêîëüêó èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ r Fyr / g ( y ) =

y1

yH

−∞

−∞

∫K∫

r r r r f yr / g ( y )dy = ∫ K ∫ f xr / g ( x )dx r V (y)

r (ãäå V ( y0 ) – îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â ñèñòåìå êîîðäèíàò r r x1 ,K , xH , ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåðàâåíñòâàì y1 < y01 ,K , yH < y0 H â ñèñòåìå êîîðäèíàò y1 ,K , yH ), â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ r ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X / g . Ñëîæíûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè èìååò ìåñòî äàæå ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè ñ ïîâîðîòîì îñåé êîîðäèíàò. Ëèøü â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïîêîîðäèíàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îïèñûâàåìîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè ôóíêöèÿìè xh = ηh ( yh ) , r h = 1, H , ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü Fyr / g ( y ) = Fxr / g (η1 ( y1 ),... K , ηH ( yH )) .  äâóìåðíîì ñëó÷àå, êîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà r X = ( X 1 , X 2 ) ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ, îïèñûâàåìîìó ôóíê-

öèÿìè y1 = ϕ1 ( x1 , x2 ) , y2 = x2 , èìåþùèìè íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå îäíîçíà÷íûå îáðàòíûå ôóíêöèè x1 = η1 ( y1 , y2 ) , x2 = y2 , óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòû Y1 ãèïåðñëó÷àéíîãî ∞ r ∂η ( y , y ) âåêòîðà Y èìåþò âèä f y1 / g ( y1 ) = ∫ f xr / g (η1 ( y1 , y2 ), y2 ) 1 1 2 dy2 . ∂y1 −∞ Ýòà èçâåñòíàÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , ïîëó÷àåìîé â ðåçóëüòàòå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä ãèïåðñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X 1 , X 2 .  ÷àñòíîñòè, ïðè ñëîæåíèè âåëè÷èí óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f y / g (y) =

∞

∫

f xr / g ( y − x2 , x2 )dx2 ,

−∞

ïðè âû÷èòàíèè – f y / g (y) =

∞

∫

f xr / g ( y + x2 , x2 )dx2 ,

−∞

ïðè óìíîæåíèè –

189

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

f y / g (y) =

∞

 y

0



∫ f xr / g  x

 dx , x2  2  x2

2

è ïðè äåëåíèè – f y / g (y) =

∞

∫ f xr / g ( yx2 , x2 ) x2 dx2 . 0

r r r Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè y = ϕ( x ) íà÷àëüíûé myr / g ν1 ,K,νH è öåí-

òðàëüíûé µ yr / g ν1 ,K,νH ìîìåíòû ν1 ,K , ν H -ãî ïîðÿäêà ïðåîáðàçîr âàííîé âåëè÷èíû Y / g èìåþò ñëåäóþùèé âèä: r r myr / g ν1 ,K,νH = M[Y1ν1 KY HνH /g ]=M[ϕ1ν1 (X ) K ϕνHH (X )/g ], µ yr / g ν1 ,K,νH = Μ[(Y1 − my1 / g )ν1 K (Y H − myH / g )νH ] = r r = M[(ϕ1 (X )/g − mϕ1 (xr ) / g )ν1 K (ϕH (X )/g − mϕH (xr ) / g )νH ],

(13.9)

ãäå myh / g è mϕh (xr ) / g – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ h -é êîìïîíåír òû ñîîòâåòñòâåííî óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y / g è r r ϕ( X ) / g : myh / g = Μ[Y h / g ] =

∞

∫

−∞

r mϕh ( xr ) / g = Μ[ϕh ( X ) / g ] =

y f yh / g ( y )dy ,

∞

r

∫ ϕh ( x ) f x

−∞

h

/g

r r ( x )dx .

13.2.2. Описание преобразования с помощью границ функций распределения и их моментов Êàê ñëåäóåò èç èçëîæåííîãî âûøå, â ñêàëÿðíîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû äîñòàòî÷íî ïðîñòî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òàêèå æå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ãðàíèö èñõîäíîé âåëè÷èíû. Ýòî çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò àíàëèç. Ê ñîæàëåíèþ, ïîëó÷èòü â âåêòîðíîì ñëó÷àå ïîäîáíûå ïðîñòûå çàâèñèìîñòè íå óäàåòñÿ. Âûçâàíî ýòî òåì, ÷òî ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîár ðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñëîæíûì îáðàçîì çàâèr ñÿò îò ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé âåëè÷èíû X .

190

13.2. Преобразование векторной гиперслучайной величины

r r r Ðàñ÷åò ãðàíèö FSyr ( y ) , FIyr ( y ) ïî äàííûì âåëè÷èíû X òðåáór åò çíàíèÿ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fxr / g ( x ) ∀g ∈ G è

ïðåäïîëàãàåò âûïîëíåíèå ðÿäà øàãîâ: r • ðàñ÷åò ïî óñëîâíûì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ Fxr / g ( x ) èñr õîäíîé âåëè÷èíû X óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ r ∂ H Fxr / g ( x ) r r , f x / g (x ) = ∂x1 K ∂xH r • íàõîæäåíèå óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ f yr / g ( y ) r ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû Y ñ ó÷åòîì ÿêîáèàíà ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ, • îïðåäåëåíèå óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ r Fyr / g ( y ) =

y1

yH

−∞

−∞

∫K

∫

r r f yr / g ( y ) dy ,

• ðàñ÷åò âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ r r FSyr ( y ) , FIyr ( y ) . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ìîæíî íàéòè ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: r r ∂ H FSyr ( y ) ∂ H FIyr ( y ) r r . f Syr ( y ) = , f Iyr ( y ) = ∂x1 K ∂xH ∂x1 K ∂xH Íà÷àëüíûå

mSyrν1 ,K,νH ,

mIyrν1 ,K,νH

è

öåíòðàëüíûå

r , µSyν 1 ,K,ν H

r ìîìåíòû ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåêòîðíîé ãèïåðñëóµ Iyν 1 ,K,ν H

÷àéíîé âåëè÷èíû âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïëîòíîñòåé ðàñïðår r äåëåíèÿ ãðàíèö f Syr ( y ), f Iyr ( y ) : mSyrν1 ,K,νH = MS [Y1ν1 KY HνH ],

mIyrν1 ,K,νH = MI [Y1ν1 KY HνH ],

µSyrν1 ,K,νH = Μ S [(Y1 − mSy1 )ν1 K (Y H − mSyH )νH ], µ Iyrν1 ,K,νH = Μ I [(Y1 − mIy1 )ν1 K (Y H − mIyH )νH ].

191

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

13.2.3. Описание преобразования с помощью границ моментов Ðàñ÷åò ãðàíèö ìîìåíòîâ íå ñòîëü ñëîæåí. Ìîìåíòû ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé. r Òåîðåìà 4. Ïóñòü H -ìåðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X r r r ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ y = ϕ( x ) . Òîãäà ãðàíèöû íà÷àëür r íûõ msyrν1 ,K,νH , miyrν1 ,K,νH è öåíòðàëüíûõ µ syν , µiyν ìîìåí1 ,K,ν H 1 ,K,ν H r òîâ ν1 ,K , ν H -ãî ïîðÿäêà ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû Y îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëàìè r r msyrν1 ,K,νH = M s [Y1ν1 KY HνH ]=M s [ϕ1ν1 (X ) K ϕνHH (X )]=ms ϕr ( xr )ν1 ,K,νH , r r miyrν1 ,K,νH = Mi [Y1ν1 KY HνH ]=Mi [ϕ1ν1 (X ) K ϕνHH (X )]=mi ϕr ( xr )ν1 ,K,νH , µ syrν1 ,K,νH = Μ s [(Y1 − my1 / g )ν1 K (Y H − myH

/g

)νH ] =

r r = Μ s [(ϕ1 (X ) − mϕ1 (xr ) / g )ν1 K (ϕH (X ) − mϕH (xr ) / g )νH ] = µ s ϕr ( xr )ν1 ,K,νH , µiyrν1 ,K,νH = Μ i [(Y1 − my1 / g )ν1 K (Y H − myH

/g

)νH ] =

r r = Μ i [(ϕ1 (X ) − mϕ1 (xr ) / g )ν1 K (ϕH (X ) − mϕH (xr ) / g )νH ] = µi ϕr ( xr )ν1 ,K,νH . (13.10)

Ñîîòíîøåíèÿ (13.10) ñëåäóþò èç ôîðìóë (13.9). Ñëåäñòâèå. Èç ñîîòíîøåíèé (13.10) âèäíî, ÷òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msyh , miyh h -é êîìïîíåíòû ãèïåðñëór ÷àéíîé âåëè÷èíû Y îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè r msyh = M s [Y h ] = M s ϕh ( X ) = ms ϕh ( xr ) , r miyh = Mi [Y h ] = Mi ϕh ( X ) = mi ϕh ( xr ) , (13.11) à ãðàíèöû äèñïåðñèè Dsyh , Diyh h -é êîìïîíåíòû – âûðàæåíèÿìè r Dsyh = Μ s [(Y h − myh / g )2 ] = Μ s [(ϕh ( X ) − mϕh ( x ) / g )2 ] = Ds ϕh ( xr ) , r Diyh = Μ i [(Y h − myh / g )2 ] = Μ i [(ϕh ( X ) − mϕh ( x ) / g )2 ] = Di ϕh ( xr ) . (13.12)

192

13.3. Преобразование гиперслучайного процесса

13.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

13.3.1. Безынерционное преобразование гиперслучайного процесса Ïðè áåçûíåðöèîííîì ïðåîáðàçîâàíèè ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) = {X (t ) / g ∈ G } â ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ Y (t ) = {Y (t ) / g ∈ G } êàæäîå ñå÷åíèå âîçäåéñòâèÿ X (t ) ïîðîæäàåò ñîîòâåòñòâóþùåå ñå÷åíèå îòêëèêà Y (t ) . Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèé g ∈ G M -ìåðíîå óñëîâíîå ðàñr r r r ïðåäåëåíèå Fxr / g ( x ; t ) ( x = ( x1 ,K , xM ), t = (t1 ,K , t M ) ) ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) / g ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ ðàñïðåäår r ëåíèÿ Fxr / g ( x ) óñëîâíîé âåêòîðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X / g , êàæäàÿ m -ÿ êîìïîíåíòà êîòîðîé ðàâíà ñå÷åíèþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) / g â ìîìåíò âðåìåíè tm ( m = 1, M ). Ïîýòîìó âñå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) ñîâïàäàþò ñ õàðàêòåðèñòèêàìè è ïàðàìåòðàìè ñîîòâåòñòâóþùåé r âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Àíàëèòè÷åñêàÿ çàïèñü õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îòëè÷àåòñÿ îò çàïèñè õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ëèøü ôîðìàëüíî íàëè÷èåì ïàðàìåòðà, óêàçûâàþùåãî íà çàâèñèìîñòü ýòèõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ îò âðåìåíè. Óêàçàííîå ñîâïàäåíèå õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ áåçûíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñîîòíîøåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

13.3.2. Преобразование гиперслучайного процесса линейным инерционным оператором Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûé ñòàöèîíàðíûé ôèëüòð, õàðàêòåðèçóåìûé èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêîé h(τ) . Îòêëèê y (t ) òàêîãî ôèëüòðà íà âîçäåéñòâèå ïðîöåññà x (t ) îïèñûâàåòñÿ ñâåðòêîé

193

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов ∞

y (t ) = ∫ x (t − τ) h(τ)dτ . 0

Ïðè ïîñòóïëåíèè íà âõîä ôèëüòðà ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) = {X (t ) / g ∈ G } , ïðåäñòàâëÿåìîãî ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ r r ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fxr / g ( x ; t ) , íà âûõîäå ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ Y (t ) = {Y (t ) / g ∈ G } îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ r r r r ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fyr / g ( y ; t ) . Ðàñ÷åò ôóíêöèè Fyr / g ( y ; t ) – íåïðîñòàÿ çàäà÷à. Îäíàêî îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè îòêëèêà ñâÿçàíû ñ õàðàêòåðèñòèêàìè âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî.  ÷àñòíîñòè, ïåðâûå äâà ìîìåíòà ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà Y (t ) / g äëÿ ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèé g îïèñûâàþòñÿ [Ëåâèí, 1974, Ãîðáàíü, 2003] ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè: t

my / g (t ) = ∫ mx / g (t − τ) h(τ)dτ , 0

K y / g (t1 , t2 ) =

t1 t2

∫ ∫ K x / g (t1 − τ1 , t2 − τ2 ) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 , 0 0

Ry / g (t1 , t 2 ) =

t1 t2

∫ ∫ Rx / g (t1 − τ1 , t2 − τ2 ) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 ,

(13.13)

0 0

Rxy / g (t1 , t2 ) =

t2

∫ Rx / g (t1 , t2 − τ) h(τ)dτ , 0

ãäå my / g (t ) , mx / g (t ) – óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ îòêëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ; K y / g (t1 , t2 ) , K x / g (t1 , t2 ) – óñëîâíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îòêëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ; Ry / g (t1 , t2 ) , Rx / g (t1 , t2 ) – óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè îòêëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ; Rxy / g (t1 , t 2 ) – óñëîâíàÿ âçàèìíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ îòêëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ. Çíàíèÿ óñëîâíûõ ìîìåíòîâ íåäîñòàòî÷íî äëÿ ðàñ÷åòà ìîìåíòîâ ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîãî ïðîöåññà, íî äîñòàòî÷íî äëÿ ðàñ÷åòà ãðàíèö åãî ìîìåíòîâ: msy (t ) = sup my / g (t ) , miy (t ) = inf my / g (t ) , g ∈G

194

g ∈G

13.3. Преобразование гиперслучайного процесса

Rsy (t1 , t 2 ) = sup Ry / g (t1 , t2 ), Riy (t1 , t 2 ) = inf Ry / g (t1 , t2 ) g ∈G

g ∈G

è äð.  ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X (t ) , êîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì g ∈ G óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mx / g íå çàâèñèò îò àðãóìåíòà t , à óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ K x / g (τ) çàâèñèò ëèøü îò ðàçíîñòè τ çíà÷åíèé àðãóìåíòà t è óñëîâèé g , ñîîòíîøåíèÿ (13.13) èìåþò áîëåå ïðîñòîé âèä: t

my / g (t ) = mx / g ∫ h(τ)dτ , 0

K y / g (t1 , t2 ) =

t1 t2

∫ ∫ K x / g (t2 − τ2 − (t1 − τ1 ) )h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 , 0 0

Ry / g (t1 , t2 ) =

t1 t2

∫ ∫ Rx / g (t2 − τ2 − (t1 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 , 0 0

Rxy / g (t1 , t2 ) =

t2

∫ Rx / g (t2 − τ − t1 ) h(τ)dτ . 0

Èç ýòèõ âûðàæåíèé âèäíî, ÷òî îòêëèê íà âîçäåéñòâèå ñòàöèîíàðíîãî ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â îáùåì ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè îòêëèêà â ìîìåíòû âðåìåíè, îòñòîÿùèå îò íà÷àëà âîçäåéñòâèÿ âõîäíîãî ïðîöåññà íà âåëè÷èíó, ïðåâîñõîäÿùóþ äëèòåëüíîñòü èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè T , îòêëèê îêàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, ïðîöåññû X (t ) è Y (t ) – ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ è ôîðìóëû ïðèîáðåòàþò ñëåäóþùèé âèä: T

my / g = mx / g ∫ h(τ)dτ , 0

K y / g (τ) =

TT

∫ ∫ K x / g (τ − (τ2 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 , 0 0

Ry / g (τ) =

TT

∫ ∫ Rx / g (τ − (τ2 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 , 0 0

195

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов T

Rxy / g (τ) = ∫ Rx / g (τ − t1 ) h(t1 )dt1 .

(13.14)

0

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì óñëîâíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè îòêëèêà S y / g ( f ) è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ S x / g ( f ) ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì S y / g ( f ) = | K ( f ) |2 S x / g ( f ) ,

(13.15)

ãäå K ( f ) – ïåðåäàòî÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôèëüòðà.  ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 4. Ïóñòü ñòàöèîíàðíûé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx , mix , ãðàíèöàìè ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè S sx ( f ) , Six ( f ) , êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ýòèõ ãðàíèö K Ssx (τ) , K Six (τ) è èõ êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè RS sx (τ) , RSix (τ) ïîä-

âåðãàåòñÿ ôèëüòðàöèè ôèëüòðîì, îïèñûâàåìûì êîìïëåêñíîé ⋅

ïåðåäàòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé K ( f ) , ñîîòâåòñòâóþùåé èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêå h(t ) äëèòåëüíîñòüþ T . Òîãäà îòêëèê ôèëüòðà â ìîìåíò âðåìåíè t > T ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàöèîíàðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà msy = K (0)msx , miy = K (0)mix , åñëè K (0) > 0 , è msy = K (0)mix , miy = K (0)msx , åñëè K (0) < 0 , ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè 2

2

S sy ( f ) = K ( f ) S sx ( f ) , Siy ( f ) = K ( f ) Six ( f ) ,

êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè K Ssy (τ) =

TT

∫ ∫ KS

sx

(τ − (τ2 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 ,

ix

(τ − (τ2 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 ,

0 0

K Siy (τ) =

TT

∫ ∫ KS 0 0

à êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè

196

13.3. Преобразование гиперслучайного процесса

RS sy (τ) =

TT

∫ ∫ RS

sx

(τ − (τ2 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 ,

0 0

RSiy (τ) =

TT

∫ ∫ RS

ix

(τ − (τ2 − τ1 )) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 .

0 0

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ñîîòíîøåíèÿõ (13.14) è (13.15). Ñëåäñòâèå. Èç äâóõ ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè îòêëèêà DS sy =

TT

∫ ∫ RS

sx

(τ2 − τ1 ) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 ,

ix

(τ2 − τ1 ) h(τ1 )h(τ2 )dτ1dτ2 .

0 0

DSiy =

TT

∫ ∫ RS 0 0

Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé òåîðåìó. Ïðè ïîñòóïëåíèè íà âõîä ôèëüòðà ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî ïðè âñåõ óñëîâèÿõ øóìà, îïèñûâàåìîãî óñëîâíûìè ñïåêòðàëüíûìè ìîùíîñòÿìè S n / g = N g / 2 , ãäå N g – êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèÿìè g , ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îòêëèêà msy = miy = msx = mix = = 0 , ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ïðîöåññà íà âûõî2

2

äå S sy ( f ) = K ( f ) N s / 2 , Siy ( f ) = K ( f ) N i / 2 , à êîððåëÿöèîííûå è êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè N T K Ssy (τ) = RS sy (τ) = s ∫ h(τ − τ2 ) h(τ2 )dτ2 , 2 0 K Siy (τ) = RSiy (τ) =

Ni 2

T

∫ h(τ − τ2 ) h(τ2 )dτ2 , 0

ãäå N s è N i – ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû êîíñòàíòû N g . * * * Àíàëèç èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ (ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ) è èõ ìîìåíòîâ,

197

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ è ãðàíèö ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ) ïîêàçûâàåò: • âñå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé ñêàëÿðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; • äëÿ îïèñàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîáíûìè îêàçûâàþòñÿ ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è óñëîâíûõ ìîìåíòîâ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ìîìåíòîâ; • âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ìîìåíòîâ ãðàíèö äëÿ îïèñàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îãðàíè÷åíû, ÷òî âûçâàíî çíà÷èòåëüíûìè âû÷èñëèòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî äàííûì èñõîäíîé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû; • äëÿ îïèñàíèÿ áåçûíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; • ïðè èíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ îñíîâíûìè ñïîñîáàìè ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿþòñÿ óñëîâíûå ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ (â ïåðâóþ î÷åðåäü óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè), ãðàíèöû ýòèõ ìîìåíòîâ, à òàêæå ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè. * * * Ðàçðàáîòàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ îïèñàíèÿ ðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñ ó÷åòîì ïðèñóùåé èì ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè. Äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà íà ïðàêòèêå íåîáõîäèìà ôîðìàëèçàöèÿ ïåðåõîäà îò ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãèïåðñëó÷àéíûì ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì. Ê ðàññìîòðåíèþ ýòîãî âîïðîñà ìû è ïðèñòóïèì.

198

ЧАСТЬ III

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Глава 14 ФИЗИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå ãèïîòåçû òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå êîððåêòíîå åå èñïîëüçîâàíèå íà ïðàêòèêå: ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ãèïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Ðàññìîòðåíà êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà. Ñîïîñòàâëåíû ãèïåðñëó÷àéíûå è ñëó÷àéíûå ìîäåëè. Î÷åð÷åíû îáëàñòè èõ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. 14.1. ГИПОТЕЗЫ ГИПЕРСЛУЧАЙНОСТИ Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, îïèñàííûå â ãëàâå 4, è ìàòåðèàëû ìíîæåñòâà äðóãèõ èññëåäîâàíèé ñâèäåòåëüñòâóþò îá îòñóòñòâèè àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íàáëþäàåòñÿ ëèøü îãðàíè÷åííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè – ýôôåêò, ïðèñóùèé âñåì ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì. Òàêèì îáðàçîì, âûäâèãàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ýòà ãèïîòåçà ìîæåò áûòü ôîðìàëèçîâàíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè, îäèí èç êîòîðûõ – ñ ïîìîùüþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Êîððåêòíîå èñïîëüçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé íà ïðàêòèêå òðåáóåò ïðèíÿòèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé àêñèîìû àäåêâàòíîñòè – ôèçè÷åñêîé ãèïîòåçû, ïðåäïîëàãàþùåé âîçìîæíîñòü àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè.

199

Глава 14. Физические гипотезы и модели теории гиперслучайных явлений

Ãèïîòåçû ãèïåðñëó÷àéíîñòè – ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ãèïåðñëó÷àéíàÿ àêñèîìà àäåêâàòíîñòè – ÿâëÿþòñÿ áàçîâûìè ãèïîòåçàìè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèìè êîððåêòíîå åå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå. Ïðèíèìàÿ ãèïåðñëó÷àéíóþ àêñèîìó àäåêâàòíîñòè, ìû íå òîëüêî ïðèçíàåì ãèïîòåçó îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, íî òàêæå äîïóñêàåì âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ â ðåàëüíîì ìèðå ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûõ (íåïðåäñêàçóåìûõ) ÿâëåíèé. Ýòî äîïóùåíèå íå òàêîå àáñóðäíîå, êàê ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Ñóùåñòâîâàíèå ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûõ ÿâëåíèé ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ðåàëüíûé ìèð – íå çàìêíóòàÿ, à îòêðûòàÿ ñèñòåìà.  îòêðûòîé ñèñòåìå èíôîðìàöèÿ î ëþáîì ôèçè÷åñêîì ÿâëåíèè, ïîëó÷åííàÿ äàæå íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ, íå ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü àáñîëþòíî òî÷íûé ïðîãíîç áóäóùåãî, òàê êàê â òàêîé ñèñòåìå íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ íîâûõ íå äåéñòâîâàâøèõ ðàíåå ôàêòîðîâ, êîòîðûå ìîãóò â êîðíå èçìåíèòü ñèòóàöèþ. Îñíîâíûìè ìåòîäàìè ïðîãíîçèðîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû, ýêñïåðòíûå îöåíêè è ìîäåëèðîâàíèå. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðîãíîçèðîâàíèå áàçèðóåòñÿ íà äîïóùåíèè, ÷òî óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ äàííûõ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðîãíîçà, ïðåíåáðåæèìî ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò óñëîâèé, äëÿ êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîãíîç 1. Àâàðèè, êàòàñòðîôû è êàòàêëèçìû, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàíû ñ ñóùåñòâåííûì íåïðîãíîçèðóåìûì èçìåíåíèåì óñëîâèé. Äåëàÿ òîò èëè èíîé ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç, ìû ïðèíèìàåì (õîòÿ è íå âñåãäà îñîçíàííî) ãèïîòåçó ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ïîäàâëÿþùåå ÷èñëî òåîðèé åñòåñòâîçíàíèÿ ðàçðàáàòûâàëèñü äëÿ çàêðûòûõ ñèñòåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî óñëîâèÿ (íå òîëüêî ñòàòèñòè÷åñêèå) ôèêñèðîâàíû. Ê ÷èñëó òàêèõ òåîðèé îòíîñèòñÿ è êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, â êîòîðîé ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èãðàåò ïåðâîñòåïåííóþ ðîëü. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé îðèåíòèðîâàíà íà îïèñàíèå îòêðûòûõ ñèñòåì. Îíà èñõîäèò èç òîãî, ÷òî ðåàëüíûå óñëîâèÿ ìîãóò èçìåíÿòüñÿ. Ýòèì òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé êîðåí1

200

Èëè, åñëè è èçìåíÿþòñÿ, òî ïðåäñêàçóåìî.

14.1. Гипотезы гиперслучайности

íûì îáðàçîì îòëè÷àåòñÿ îò ìíîãèõ äðóãèõ èçâåñòíûõ òåîðèé, â òîì ÷èñëå è îò êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Íåîáõîäèìîñòü ó÷åòà íàðóøåíèÿ ñòàáèëüíîñòè ðåàëüíûõ óñëîâèé îñîçíàâàëàñü äàâíî. Ýòî íàøëî îòðàæåíèå â ðÿäå òåîðèé, ñôîðìèðîâàâøèõñÿ çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà, òàêèõ êàê òåîðèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ [Çàäå, 1976, Zadeh L.A., Kacprzyk, 1992, Äþáóà, Ïðàä, 1990, Êîôìàí, 1982, Îðëîâñêèé, 1981, Áî÷àðíèêîâ, 2001 è äð.], òåîðèÿ èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà [Êàíòîðîâè÷, 1962, Øîêèí, 1981, Øàðûé, 2010, Àëåôåëüä, Õåðöáåðãåð, 1987, Moore, 1966, Sunaga, 1958, Neumaier, 1990], òåîðèè íåîïðåäåëåííîñòè, ñóáúåêòèâíûõ è èíòåðâàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé, èíòåðâàëüíîé ñòàòèñòèêè [Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990, Kyburg, 1998 – 2000, Walley, 1991, Êóíöåâè÷, 2006, Îðëîâ, 2002, 2006, Âîùèíèí, Ñîòèðîâ, 1989, Kreinovich, 2005, Êóçíåöîâ, 1991 è äð.], òåîðèÿ äèíàìè÷åñêîãî õàîñà [Crownover, 1995, Sharkovsky è äð., 1995, Ïðèãîæèí, Ñòåíãåðñ, 2009, Ãðèí÷åíêî è äð., 2005], áóäñòðåï-àíàëèçà [Ýôðîí, 1988] è ïð. Ñðåäè ìíîæåñòâà ýòèõ òåîðèé õîòåëîñü áû âûäåëèòü òåîðèþ èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà è ñâÿçàííûå ñ íåé òåîðèè. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà íà÷àëà èíòåíñèâíî ðàçâèâàòüñÿ ñ ñåðåäèíû ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ. Îáúåêòîì åå èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ èíòåðâàëû.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èíòåðâàëüíûå ïîäõîäû ïðèìåíÿþòñÿ íå òîëüêî äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ, íî è âåðîÿòíîñòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé [Îðëîâ, 2004, Øàðûé, 2010, Kyburg, 1998 – 2000, Walley, 1991, Kreinovich è äð., 2005]. Ýòè ïîäõîäû áëèçêè ïî äóõó, õîòÿ è íå èäåíòè÷íû, ê ïîäõîäàì, ðàçðàáàòûâàåìûì â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ ìîãóò èçìåíÿòüñÿ â ðàìêàõ çàðàíåå îãîâîðåííîãî ìíîæåñòâà óñëîâèé, êîòîðîå ìîæåò áûòü êîíå÷íûì, ñ÷åòíûì èëè íåñ÷åòíûì. Îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ íåñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî, ïðåäñòàâëÿþùåå èíòåðâàë. Ïîýòîìó òåîðèþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî êàê îáîáùåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, íî òàêæå êàê îáîáùåíèå ðÿäà äðóãèõ òåîðèé, èñïîëüçóþùèõ èíòåðâàëüíî-âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè. Ïðåäñòàâëåíèå î ñâÿçè ìîäåëåé ðàçëè÷íîãî òèïà äðóã ñ äðóãîì äàåò ðèñ. 14.1. Ýòîò ðèñóíîê îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî âûðîæäåííûì ñëó÷àåì ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå ìîäåëè, âûðîæ-

201

Глава 14. Физические гипотезы и модели теории гиперслучайных явлений

Ðèñ. 14.1. Ñâÿçü ìîäåëåé äðóã ñ äðóãîì: ãèïåðñëó÷àéíûõ (ÃÑÌ), ñëó÷àéíûõ (ÑÌ), äåòåðìèíèðîâàííûõ (ÄÌ) è èíòåðâàëüíûõ (ÈÌ)

äåííûì ñëó÷àåì ñëó÷àéíûõ ìîäåëåé – äåòåðìèíèðîâàííûå ìîäåëè, à èíòåðâàëüíûå ìîäåëè ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü â ëþáîì èç ïåðå÷èñëåííûõ êëàññîâ ìîäåëåé. 14.2. КОНЦЕПЦИЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО УСТРОЙСТВА МИРА Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà êîíöåïöèè óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Îá ýòîì øëà ðå÷ü â ïàðàãðàôå 2.1. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èñõîäèò èç äðóãîé êîíöåïöèè – êîíöåïöèè ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà, ïðåäïîëàãàþùåé, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ãèïîòåçû, ðàññìîòðåííûå â ïàðàãðàôå 14.1, ñïðàâåäëèâû äëÿ øèðîêîãî êðóãà ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü íåêîòîðûå ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû, òàêèå êàê ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ è äð.1 , 2 Ïðèíÿòèå êîíöåïöèè ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà îçíà÷àåò ïðèçíàíèå òîãî, ÷òî â îñíîâå ìèðîçäàíèÿ ëåæàò ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûå ÿâëåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ âî âñåõ ðåàëüíûõ ñîáûòèÿõ, âåëè÷èíàõ, ïðîöåññàõ è ïîëÿõ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âîçìîæíîñòè ïîçíàíèÿ ìèðà ñòàòèñòè÷åñêèì ïóòåì îãðàíè÷åíû. Èíà÷å ãîâîðÿ, â ìèðå ñóùåñòâóþò îáëàñòè çíàíèé, ïðîíèêíóòü â êîòîðûå ïóòåì îáðàáîòêè íàêîïëåííûõ äàííûõ íåëüçÿ.

1

 ñîâðåìåííîé ôèçèêå çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ (â òîì ÷èñëå ïåðå÷èñëåííûõ) ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ïîñòîÿííûõ ñ÷èòàþòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ àáñîëþòíî òî÷íûìè, à çíà÷åíèÿ äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ ïîñòîÿííûõ ïðèíèìàþòñÿ ñ îïðåäåëåííîé ïîãðåøíîñòüþ (íåîïðåäåëåííîñòüþ) [Ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû]. 2 Åñëè ðàññìàòðèâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå âåëè÷èíû êàê âûðîæäåííûé ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âîïðîñ îá èñêëþ÷èòåëüíîì ñòàòóñå êàêèõëèáî êîíñòàíò âîîáùå íå ñòîèò.

202

14.3. Случайные и гиперслучайные модели

Íå áóäåì äàëåå óãëóáëÿòüñÿ â ôèëîñîôèþ, îòìåòèì ëèøü, ÷òî èäåÿ, ïðåäïîëàãàþùàÿ íàëè÷èå â ìèðå íåïðåäñêàçóåìûõ ÿâëåíèé, âûäâèãàëàñü è îáñóæäàëàñü ìíîãèìè ôèëîñîôàìè. Íî, íàñêîëüêî èçâåñòíî àâòîðó, îíà íå áûëà ðàçðàáîòàíà äî óðîâíÿ ôîðìàëèçîâàííûõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïîçâîëÿþùèõ äåëàòü ñòðîãèå ëîãè÷åñêèå âûâîäû. Íîâèçíà è ñïåöèôèêà òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñîñòîèò ãëàâíûì îáðàçîì â òîì, ÷òî îíà ôîðìàëèçóåò ýòó èäåþ íà ôèçè÷åñêîì óðîâíå è ïðåäëàãàåò ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. 14.3. СЛУЧАЙНЫЕ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷åì ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè ëó÷øå ñëó÷àéíûõ? ×òî îíè ìîãóò äàòü ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷? Äëÿ îòâåòà íà ýòè âîïðîñû ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð ïðåöèçèîííîãî èçìåðåíèÿ äèàìåòðà öèëèíäðè÷åñêîé äåòàëè êðóãëîãî ñå÷åíèÿ. Ýòà ñîâåðøåííî òðèâèàëüíàÿ íà ïåðâûé âçãëÿä çàäà÷à òàèò â ñåáå íåìàëî ïîäâîäíûõ êàìíåé. Çàìåòèì, ÷òî èçãîòîâèòü äåòàëü àáñîëþòíî êðóãëîãî ñå÷åíèÿ íåâîçìîæíî. Åå ñå÷åíèå âñåãäà îòëè÷àåòñÿ îò èäåàëüíîãî êðóãà: âî-ïåðâûõ, èç-çà ýëëèïñîèäàëüíîãî èëè èíîãî îòêëîíåíèÿ îò èäåàëüíîé êðóãîâîé ôîðìû, à âî-âòîðûõ, èç-çà íåðîâíîñòè ïîâåðõíîñòè. Ñëåäóåò òàêæå èìåòü â âèäó, ÷òî ðàçíûå ñå÷åíèÿ ïî îñè öèëèíäðà îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû äîëæíà ó÷èòûâàòü è îòêëîíåíèå îò èäåàëüíîé êðóãîâîé ôîðìû ñå÷åíèÿ äåòàëè, è øåðîõîâàòîñòü ïîâåðõíîñòè, è ðàçëè÷èå ñå÷åíèé âäîëü åå îñè. Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê îáùåïðèíÿòóþ ñëó÷àéíóþ, òàê è ãèïåðñëó÷àéíóþ ìîäåëè. Ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü áàçèðóåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàçìåðà äåòàëè íå èìåþò ðàçáðîñà. Êîíå÷íî, â ïðåäåëàõ íåáîëüøèõ ëîêàëüíûõ îáëàñòåé îíè ìîãóò áûòü ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûìè, îäíàêî â öåëîì ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò ðàññìàòðèâàåìîãî ñå÷åíèÿ è íàïðàâëåíèÿ, âäîëü êîòîðîãî ïðîâîäèòñÿ èçìåðåíèå. Ïîýòîìó ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ó÷èòûâàþùàÿ âàðèàáåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, áîëåå àäåêâàòíî, ÷åì ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü, îïèñûâàåò âñå

203

Глава 14. Физические гипотезы и модели теории гиперслучайных явлений

íþàíñû, ñâÿçàííûå ñ îáúåêòèâíî ñóùåñòâóþùåé ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòüþ. Ëþáûå èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â óñëîâèÿõ âîçäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ìåøàþùèõ ôàêòîðîâ (ïîìåõ).  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å â òàêîì êà÷åñòâå âûñòóïàåò çàãðÿçíåíèå ïîâåðõíîñòè äåòàëè. Ïûëü è ãðÿçü íà ïîâåðõíîñòè ñîáèðàþòñÿ íåðàâíîìåðíî.  ïðåäåëàõ íåáîëüøèõ ëîêàëüíûõ îáëàñòåé òîëùèíó çàãðÿçíåííîãî ñëîÿ ïðèáëèæåííî ìîæíî îïèñàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Íî äëÿ ðàçíûõ îáëàñòåé çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçíûå. Ïðåäâèäåòü, êàêîé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ìåñòî â êàæäîé îáëàñòè, íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó áîëåå àäåêâàòíîå îïèñàíèå òîëùèíû çàãðÿçíåííîãî ñëîÿ äàåò ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Èäåàëüíûõ, àáñîëþòíî òî÷íûõ, ñðåäñòâ èçìåðåíèÿ â ìèðå íå ñóùåñòâóåò. Íè øòàíãåíöèðêóëü, íè ìèêðîìåòð, íè êàêîé-ëèáî äðóãîé èçìåðèòåëüíûé èíñòðóìåíò íå â ñîñòîÿíèè îáåñïå÷èòü èçìåðåíèÿ ñ áåñêîíå÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ.  êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå äåéñòâóþò ðàçíûå èñòî÷íèêè ïîãðåøíîñòè. Äëÿ ìèêðîìåòðà, íàïðèìåð, òàêîâûìè îêàçûâàþòñÿ êîíå÷íûå ðàçìåðû ïîâåðõíîñòåé, ñîïðèêàñàþùèåñÿ ñ äåòàëüþ, ëþôò ìèêðîìåòðè÷åñêèõ âèíòîâ, ïåðåêîñû è äð. Îáúåäèíÿþùèì ñâîéñòâîì ôàêòîðîâ, îãðàíè÷èâàþùèõ òî÷íîñòü èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ, ÿâëÿåòñÿ èõ ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü. Ïîýòîìó ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè ñðåäñòâà èçìåðåíèÿ òàêæå èìååò ñìûñë âîñïîëüçîâàòüñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëüþ. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè ïîçâîëÿþò ó÷åñòü âñå îñîáåííîñòè, îïèñûâàåìûå ñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè, è â òîæå âðåìÿ ó÷åñòü íåêîòîðûå îñîáåííîñòè, èãíîðèðóåìûå èìè.  ïåðâóþ î÷åðåäü, ýòî âàðèàáåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê îáúåêòîâ èçìåðåíèÿ è âàðèàáåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê óñëîâèé èçìåðåíèÿ. Âîçìîæíîñòü ó÷åòà íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì ïðåèìóùåñòâîì ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè ñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Êîíå÷íî, êîãäà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðîÿâëÿþòñÿ ñëàáî (à ýòî îáû÷íî èìååò ìåñòî ïðè íåáîëüøîì îáúåìå âûáîðêè), èñïîëüçîâàòü ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè íå èìååò ñìûñëà. Çäåñü ïðåêðàñíî ðàáîòàþò êëàññè÷åñêèå âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè. Îäíàêî, êîãäà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè

204

14.3. Случайные и гиперслучайные модели

çíà÷èòåëüíû, ïðèìåíåíèå ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îêàçûâàåòñÿ îïðàâäàííûì. Îñîáóþ ðîëü â ïîçíàíèè ìèðà èãðàåò èçìåðåíèå. Ïîýòîìó ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé è îöåíîê àäåêâàòíûìè ìîäåëÿìè, ïðåäíàçíà÷åííûìè äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè ôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé. Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îöåíêó ñìåñè ðåàëüíîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ïðîöåññà èëè ïîëÿ è ïîìåõ, ìåøàþùèõ ïðîâåäåíèþ íàáëþäåíèé. Ïðèíèìàåìàÿ â ðàìêàõ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ãèïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè ïðèìåíèìà ê ðàçëè÷íûì ðåàëüíûì ÿâëåíèÿì, â òîì ÷èñëå âåëè÷èíàì, ïðîöåññàì è ïîëÿì, ïîäëåæàùèì èçìåðåíèþ, äåéñòâóþùèì ïîìåõàì, à òàêæå ïîãðåøíîñòÿì èçìåðåíèÿ. Åñëè ïîìåõà íîñèò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð, òî äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ìèðîâîé êîíñòàíòîé, ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà. Ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð îöåíêè ïðîÿâëÿåòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü â íåïðåäñêàçóåìîì äðåéôå ñìåùåíèÿ, êîòîðîå â ñèëó íåïðîãíîçèðóåìîãî õàðàêòåðà èçìåíåíèé ñêîìïåíñèðîâàòü íåâîçìîæíî. Ýòèì ìîæíî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó âñå ðåàëüíûå îöåíêè âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé èìåþò îãðàíè÷åííóþ òî÷íîñòü. Ãðàíèöû òî÷íîñòè îïðåäåëÿþòñÿ íå òîëüêî êîëè÷åñòâîì èñïîëüçóåìûõ ðåçóëüòàòîâ îäèíî÷íûõ èçìåðåíèé è èõ ñëó÷àéíûì ðàçáðîñîì, íî è, ãëàâíîå, èçìåí÷èâûì õàðàêòåðîì âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê îáúåêòà èçìåðåíèÿ è ïîìåõ. Ýòî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî, î êîòîðîì íå ñëåäóåò çàáûâàòü. Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê äåòàëüíîìó åãî èññëåäîâàíèþ, îñòàíîâèìñÿ íà áàçîâûõ ïîíÿòèÿõ ñòàòèñòèêè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, îáåñïå÷èâàþùèõ ñâÿçü ôèçè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòåé òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

205

Глава 15 ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè è îïðåäåëåíû åå ñâîéñòâà. Îïèñàíà ìåòîäîëîãèÿ ôîðìèðîâàíèÿ îöåíîê õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíà ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ê ñîîòâåòñòâóþùèì òî÷íûì õàðàêòåðèñòèêàì. 15.1. ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g , íàáëþäàåìûõ â óñëîâèÿõ g ∈ G : X = { X / g ∈ G } .  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà X / g ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó, îäíîçíà÷íî ñâÿçàííóþ ñ óñëîâèåì g ∈ G , ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X = { X / g ∈ G } âûðîæäàåòñÿ âî ìíîæåñòâî äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí. Ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = = {X / g ∈ G } áóäåì íàçûâàòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âñåõ åå ðåàëèçàöèé (÷ëåíîâ èëè ýëåìåíòîâ), íàáëþäàåìûõ âî âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G . Ýòî ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü êàê ñ÷åòíûì, òàê è íåñ÷åòíûì. Ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx ( x ) ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ìíîæåñòâà óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) ( g ∈ G ), âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx ( x ) , FIx ( x ) , ìîìåíòîâ ãðàíèö, ãðàíèö ìîìåíòîâ è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷ëåíîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè r r r r x = ( x1 ,..., xN ) = x / g ∈ G

{

}

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ïîëó÷åííîå ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå r r r N îïûòîâ â óñëîâèÿõ g ∈ G , ãäå g = ( g1 ,K , g N ) – âåêòîð óñëî-

206

15.1. Гиперслучайная выборка

r âèé, G = (G ,K ,3 G ) , áóäåì íàçûâàòü âûáîðêîé èç ãåíåðàëüíîé ñîâî1 4 24 N ðàç

êóïíîñòè, à åå ýëåìåíòû x1 ,..., xN – âûáîðî÷íûìè çíà÷åíèÿìè èëè r r ðåàëèçàöèÿìè. Êàæäàÿ êîìïîíåíòà xn / g n (n = 1, N ) âåêòîðà x / g r r r ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X â óñëîâèÿõ g ∈ G ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó, à êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ xn âåêr òîðà X áåç êîíêðåòèçàöèè óñëîâèé – ìíîæåñòâî äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìàÿ âûáîðêà ìîæåò ôîðìèðîr r âàòüñÿ â íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ g ∈ G . Ïðè ýòîì x = { x / g ∈ G } . Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âûáîðêà x1 ,..., xN ïðèíàäëåæèò ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X = { X / g ∈ G } ñ óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) ( g ∈ G ), åñëè îíà ïîëó÷åíà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, îïèñûâàåìîé ïðè ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) . r r r r Áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âûáîðîê x = ( x1 ,..., xN ) = x / g ∈ G

{

}

îáúåìîì N , ñôîðìèðîâàííûõ èç îäíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé N -ìåðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé âåêòîð: r r r r X = ( X 1 ,..., X N ) = X / g ∈ G ,

{

}

íàçûâàåìûé â äàëüíåéøåì ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêîé èëè âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà îïèñûâàþòñÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx ( x ) . Êîìïîíåíòû X n / g n (n = 1, N ) ýòîãî âåêòîðà â óñëîâèÿõ r r g ∈ G ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïèñûâàåìûå çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / gn ( x ) ñëó÷àéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / gn ( x ) çàâèñÿò îò íîìåðà ýëåìåíòà âûáîðêè îïîñðåäñòâåííî (÷åðåç óñëîâèÿ g n ). Òàêàÿ âûáîðêà – îäíîðîäíàÿ. Äðóãîé òèï âûáîðêè – íåîäíîðîäíàÿ. Íåîäíîðîäíàÿ âûáîðêà ôîðìèðóåòñÿ èç ðàçíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé. Êàæäûé åå ýëåìåíò îïèñûâàåòñÿ ñâîåé

207

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ïîýòîìó çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Fxn / gn ( x ) ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû X n / g n íåîäíîðîäíîé âûáîðêè ïðÿìî çàâèñèò îò íîìåðà ýëåìåíòà âûáîðêè n . r Êîìïîíåíòû X n ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X áóäåì ïîëàãàòü âçàèìíî íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå. Ïðè âçàèìíîé íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò óñëîâíàÿ r r ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fxr / gr ( x ) ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X â r r óñëîâèÿõ g ∈ G äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå r Fxr / gr ( x ) =

N

∏ Fx n =1

n

/ gn

( xn ) .

Ñòàòèñòèêîé áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ r r Y = Y ( X ) âûáîðêè X , âàðèàöèîííûì (ñòàòèñòè÷åñêèì) ðÿäîì â r r r r óñëîâèÿõ g ∈ G – ðåàëèçàöèè âûáîðêè x / g , óïîðÿäî÷åííûå ïî âîçðàñòàíèþ èëè óáûâàíèþ, à ðàíæèðîâàííûì ðÿäîì â óñëîâèÿõ r r r r g ∈ G – ðåàëèçàöèè âûáîðêè x / g , óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâàíèþ. Ïî ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçëè÷íûå åå õàðàêòåðèñòèêè, íàïðèìåð, óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) , ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx ( x ) , FIx ( x ) , óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mx / g , ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx , mIx , ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx , mix , óñëîâíûå äèñïåðñèè Dx / g , äèñïåðñèè ãðàíèö DSx , DIx , ãðàíèöû äèñïåðñèè Dsx , Dix è ïð. Ïî ðåàëèçàöèÿì ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåííûõ ñòàòèñòèê ìîæíî âû÷èñëèòü îöåíêè ýòèõ æå õàðàêòåðèñòèê, â ÷àñòíîñòè, îöåíêè óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx*/ g ( x ) , îöåíêè ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx* ( x ) , FIx* ( x ) , îöåíêè óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx* / g , îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà* * , mIx , îöåíêè ãðàíèö ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íèé ãðàíèö mSx

msx* , mix* , îöåíêè óñëîâíûõ äèñïåðñèé Dx* / g , îöåíêè äèñïåðñèè * ãðàíèö DSx , DIx* , îöåíêè ãðàíèö äèñïåðñèè Dsx* , Dix* è äð.

208

15.2. Модели случайных и гиперслучайных выборок

Çàìåòèì, ÷òî îïèñàííûå âûøå ñòàòèñòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ åñòåñòâåííî îáîáùàþòñÿ íà ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ôóíêöèè ïîäîáíî òîìó, êàê â êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñòàòèñòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ôóíêöèè. 15.2. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЫБОРОК Â ñòàòèñòèêå ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ðàññìàòðèâàþòñÿ íå îäèíî÷íûå ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåëè÷èíû, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé è âåëè÷èí (ðèñ. 15.1, à – ã). Îíè ìîãóò áûòü êàê îäíîðîäíûìè (èìåþùèìè îäèíàêîâûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ: ðèñ. 15.1, à, â), òàê è íåîäíîðîäíûìè (èìåþùèìè ðàçíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ: ðèñ. 15.1, á, ã).

Ðèñ. 15.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé (îäíîðîäíûõ (à) è íåîäíîðîäíûõ (á)), ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îäíîðîäíûõ (â) è íåîäíîðîäíûõ (ã)) è ñëó÷àéíûå ïðîöåññû (ñòàöèîíàðíûé (ä) è íåñòàöèîíàðíûé (å))

209

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений

Ðèñ. 15.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé (îäíîðîäíûõ (à) è íåîäíîðîäíûõ (á)), ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îäíîðîäíûõ (â) è íåîäíîðîäíûõ (ã)) è ãèïåðñëó÷àéíûå ïðîöåññû (ñòàöèîíàðíûé (ä) è íåñòàöèîíàðíûé (å))

Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííûõ (ïðîöåññû) ìîãóò áûòü ñòàöèîíàðíûìè (ðèñ. 15.1, ä) è íåñòàöèîíàðíûìè (ðèñ. 15.1, å), à ñëó÷àéíûå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ (ïîëÿ) – ìîãóò áûòü îäíîðîäíûìè è íåîäíîðîäíûìè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé èëè âåëè÷èí ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X (t ) , ó êîòîðîãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ T – äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê t1 , t 2 , K , t N . Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé äèñêðåòíî (ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ

210

15.3. Оценки характеристик и параметров гиперслучайной величины

íàñòóïëåíèþ èëè íå íàñòóïëåíèþ ñîáûòèÿ), à äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îíî ìîæåò áûòü êàê íåïðåðûâíûì, òàê è äèñêðåòíûì.  ñòàòèñòèêå ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è âåëè÷èí (ðèñ. 15.2, à–ã). Îíè ìîãóò áûòü êàê îäíîðîäíûìè (èìåþùèìè îäèíàêîâûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, à, â), òàê è íåîäíîðîäíûìè (èìåþùèìè ðàçíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, á, ã). Ãèïåðñëó÷àéíûå ïðîöåññû ìîãóò áûòü ñòàöèîíàðíûìè (îïèñûâàòüñÿ îäíèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, ä) è íåñòàöèîíàðíûìè (îïèñûâàòüñÿ èçìåíÿþùèìñÿ âî âðåìåíè çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, å). Òàêæå è ãèïåðñëó÷àéíûå ïîëÿ ìîãóò áûòü îäíîðîäíûìè è íåîäíîðîäíûìè. 15.3. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИК И ПАРАМЕТРОВ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) , ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx ( x ) , FIx ( x ) , ìîìåíòû mx / g , mSx , mIx , msx , mix , Dx / g , DSx , DIx , Dsx , Dix è ïð. ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè õàðàê-

òåðèñòèêàìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå æå îöåíêè Fx*/ g ( x ) , FSx* ( x ) , FIx* ( x ) , * * * mx* / g , mSx , mIx , msx* , mix* , Dx* / g , DSx , DIx* , Dsx* , Dix* è ïð. ÿâëÿþòñÿ

äåòåðìèíèðîâàííûìè, åñëè ïîëó÷åíû ïî êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè r ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X , è ãèïåðñëó÷àéíûìè, åñëè ðàññ÷èòàíû ïî ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Ïðîöåäóðà ôîðìèðîâàíèÿ óêàçàííûõ îöåíîê ìîæåò ñòðîèòüñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå. Äëÿ âñåãî ìíîæåñòâà G óñëîâèé g ôîðìèðóþòñÿ âûáîðêè r x = { x1 ,..., xN / g ∈ G } . Ïî âûáîðêàì äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g â îòäåëüíîñòè ðàññ÷èòûâàþòñÿ îöåíêè óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ: îöåíêà óñëîâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fx*/ g ( x ) , îöåíêà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mx* / g , îöåíêà óñëîâíîé äèñïåðñèè

211

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений

Dx* / g

è äð. Ïî îöåíêàì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ

Fx*/ g ( x )

∀g ∈ G âû÷èñëÿþòñÿ îöåíêè ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ: FSx* ( x ) = sup Fx*/ g ( x ), g ∈G

FIx* ( x ) = inf Fx*/ g ( x ) g ∈G

è îöåíêè õàðàêòåðèñòèê, õàðàêòåðèçóþùèå ýòè ãðàíèöû: ìàòå* * ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx , mIx , îöåíêè äèñïåðñèé ãðàíèö * DSx , DIx* è ïð. Ïî îöåíêàì óñëîâíûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿþòñÿ îöåíêè ãðàíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, ïî îöåíêàì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx* / g – îöåíêè ãðàíèö ìàòå-

ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx* = sup mx* / g , mix* = inf mx* / g , ïî îöåíêàì g ∈G

g ∈G

óñëîâíûõ

äèñïåðñèé

D

* x/g

–

îöåíêè

ãðàíèö

äèñïåðñèè

Dsx* = sup Dx* / g , Dix* = inf Dx* / g è ò.ä. g ∈G

g ∈G

Îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ìîæíî îæèäàòü ïðè ôîðìèðîâàr íèè òðåáóåìîé âûáîðêè x = { x1 ,..., xN / g ∈ G } èç-çà ñëîæíîñòè îáåñïå÷åíèÿ, êîíòðîëÿ è ïîääåðæàíèÿ óñëîâèé g ∈ G . Îäíàêî âîïðîñ îáëåã÷àåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà ðÿäà èñêîìûõ õàðàêòåðèñòèê íå òðåáóþòñÿ çíàíèÿ òîãî, â êàêèõ èìåííî óñëîâèÿõ ïîëó÷åíû óñëîâíûå õàðàêòåðèñòèêè. Ãëàâíîå, ÷òîáû íà óðîâíå óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê áûëè ïðåäñòàâëåíû âñå âîçìîæíûå óñëîâèÿ g ìíîæåñòâà G è â ìàññèâ äàííûõ, èñïîëüçóåìûé äëÿ ðàñ÷åòà óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê, íå ïîïàäàëè äàííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå äðóãèì óñëîâèÿì. Îáû÷íî ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå ìîæíî îáåñïå÷èòü îãðàíè÷åíèåì îáúåìà äàííûõ N , ïîñêîëüêó óñëîâèÿ, õîòÿ è ìåíÿþòñÿ çà÷àñòóþ íåïðåðûâíî, íî èçìåíÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ìåäëåííî, è ïîýòîìó íà îñíîâå íåêîòîðîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèè îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì óêàçàòü ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ N max , äëÿ êîòîðûõ óñëîâèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííûìè (ðèñ. 15.3). Ýòî ïîçâîëÿåò ñîáèðàòü äàííûå íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ, íå çàáîòÿñü î òîì, êàêîâû â êîíêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè óñëîâèÿ è â êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îíè ÷åðåäóþòñÿ. Äàëåå ïîëó÷åííûå äàííûå ìîæíî ðàçäåëÿòü íà ôðàã-

212

15.4. Сходимость гиперслучайных оценок

Ðèñ. 15.3. Ìîäåëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé (à), ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (á) è ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (â) ïðè ìåäëåííîì èçìåíåíèè óñëîâèé

ìåíòû ïî N max ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ (èëè íà ôðàãìåíòû, çàêëþ÷åííûå â íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëàõ îïðåäåëåííîé äëèòåëüíîñòè) è èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà èñêîìûõ îöåíîê. Ãëàâíîå ïðè òàêîì ïîäõîäå – îáåñïå÷èòü îõâàò âñåõ âîçìîæíûõ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ. 15.4. СХОДИМОСТЬ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК Âàæíûì ñâîéñòâîì ðÿäà ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè îíè ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì âåëè÷èíàì è õàðàêòåðèñòèêàì.

213

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений

Ïîñêîëüêó ãèïåðñëó÷àéíîå ÿâëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, òî ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê èìååò ìåñòî ïðè ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ îöåíîê. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X . Ïóñòü X 1 ,..., X N – âûáîðêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îáúåìîì N , Θ* / g – ñôîðìèðîâàííàÿ ïî âûáîðêå â óñëîâèÿõ g ñëó÷àéíàÿ îöåíêà, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ê ïàðàìåòðó θ / g .

{

Òîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* = Θ* / g ∈ G âåðîÿòíîñòè ê ìíîæåñòâó âåëè÷èí

}

ñõîäèòñÿ ïî

θ= {θ / g ∈ G } , à ãðàíèöû

îöåíêè Θ = sup Θ / g , Θ = inf Θ / g – ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãðà* s

*

* i

g ∈G

*

g ∈G

íèöàì θs = sup θ / g , θi = inf θ / g .  ÷àñòíîñòè, îöåíêè ãðàíèö ìàg ∈G

g ∈G

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx* , mix* ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ msx , mix , à îöåíêè ãðàíèö äèñïåðñèè Dsx* , Dix* – ê ãðàíèöàì äèñïåðñèè Dsx , Dix . Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñõîäèìîñòü îöåíêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê ñàìîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îñíîâíîé òåîðåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè (òåîðåìîé Ãëèâåíêî). Òåîðåìà Ãëèâåíêî. Ïóñòü F ( x ) – ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , à F * ( x ) – ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ N íàáëþäåíèé ýòîé âåëè÷èíû. Òîãäà ïðè N → ∞ ôóíêöèÿ F * ( x ) ñõîäèòñÿ ê F ( x ) ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà): P

{ sup

−∞< x <∞

}

F * (x ) − F (x ) → 0 = 1 .

Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà áîëåå ñèëüíàÿ, ÷åì ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, òî F * ( x ) ñõîäèòñÿ ê F ( x ) è ïî âåðîÿòíîñòè. Èç òåîðåìû Ãëèâåíêî ñëåäóåò, ÷òî ïðè N → ∞ îöåíêè ýìïèðè÷åñêèõ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fx*/ g ( x ) ∀g ∈ G ãè-

214

15.4. Сходимость гиперслучайных оценок

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñõîäÿòñÿ ê óñëîâíûì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ Fx / g ( x ) . Ïîýòîìó îöåíêè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

FS* ( x ) ,

FI* ( x )

ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS ( x ) , FI ( x ) , îöåíêè ìîìåíòîâ ãðàíèö – ê ìîìåíòàì ãðàíèö, à îöåíêè ãðàíèö ìîìåíòîâ – ê ãðàíèöàì ìîìåíòîâ. *  ÷àñòíîñòè, îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãðàíèö mSx , * mIx ñõîäÿòñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ãðàíèö mSx , mIx , * îöåíêè äèñïåðñèè ãðàíèö DSx , DIx* – ê äèñïåðñèè ãðàíèö DSx ,

DIx è ò.ä.

Ñïîñîá îöåíêè õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïèñàííûé â òåêóùåì è ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôàõ, äîñòàòî÷íî ïðîñò è ïðîçðà÷åí. Îäíàêî îñòàåòñÿ íåâûÿñíåííûì ðÿä âîïðîñîâ, â ÷àñòíîñòè, êàêîâû ñâîéñòâà ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê, êàêèì îáðàçîì èõ âû÷èñëÿòü ïðè áûñòðîé ñìåíå ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé è äð. Òåîðåòè÷åñêîé îñíîâîé îòâåòîâ íà ýòè âîïðîñû ñëóæàò çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåìûå â äâóõ ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ.

215

Глава 16 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Ñôîðìóëèðîâàí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèé óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äîêàçàíà òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåðíóëëè äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. 16.1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ВЕЛИЧИН Îñíîâîé ñòàòèñòèêè ñëóæèò çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, ïåðâîíà÷àëüíàÿ âåðñèÿ êîòîðîãî áûëà îïóáëèêîâàíà â ïîñìåðòíîé ðàáîòå ß. Áåðíóëëè â 1713 ã. [Áåðíóëëè, 1986]. Ýòîò çàêîí áûë äîêàçàí ß. Áåðíóëëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé â âèäå òåîðåìû, ñîâðåìåííàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîòîðîé ñëåäóþùàÿ. Òåîðåìà 1 (Áåðíóëëè). Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ â ñåðèè îïûòîâ ïîñòîÿííà è ðàâíà p0 (ñì. ðèñ. 15.1, à). Òîãäà ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ N ÷àñòîòà N 0 / N ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè (ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíî) ê âåðîÿòíîñòè p0 : N  lim P  0 − p0 > ε  = 0 , N  

N →∞

ãäå N 0 – ÷èñëî îïûòîâ, ïðè êîòîðîì ïðîèçîøëî ñîáûòèå, ε – ïðîèçâîëüíîå, êàê óãîäíî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Çà ìèíóâøèå òðè ñòîëåòèÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äåòàëüíî èçó÷àëñÿ è îáîáùàëñÿ. Âûÿñíèëîñü, ÷òî îí ñïðàâåäëèâ è äëÿ áîëåå øèðîêîãî êîìïëåêñà óñëîâèé, ÷åì ïîëàãàë ß. Áåðíóëëè, â ÷àñòíîñòè – â ìîäèôèöèðîâàííîì âèäå äëÿ íåîäíîðîäíîé ïî-

216

16.1. Закон больших чисел для последовательностей случайных событий …

ñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, à òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé. Èçâåñòíî ìíîãî âàðèàíòîâ çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí [Ãíåäåíêî, 1988]. Íàïîìíèì íåêîòîðûå èç íèõ. Òåîðåìà 2 (×åáûøåâà). Ïóñòü X 1 , X 2 ,K , X N – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè m1 , m2 ,K , mN è îãðàíè÷åííûìè äèñïåðñèÿìè. Òîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ñðåäíåå âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé X 1 , X 2 ,K , X N ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé m1 , m2 ,K , mN :  1 lim P  N →∞ N

N

1

N

∑ X n − N ∑ mn n =1

n =1

 > ε = 0 

(ε > 0) .

Òåîðåìà 3 (Õèí÷èíà). Ïóñòü X 1 , X 2 ,K , X N – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì m . Òîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ñðåäíåå âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé X 1 , X 2 ,K , X N ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ m :  1 lim P  N →∞ N

N

∑ Xn − m

n =1

 > ε = 0 

(ε > 0) .

Äëÿ íåîäíîðîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë áûë äîêàçàí À.À. Ìàðêîâûì. Òåîðåìà 4 (Ìàðêîâà). Ïóñòü X 1 , X 2 ,K , X N – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêîâûõ, ÷òî ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè 1 N  D ∑ X n  → 0 , 2 N  n =1 

ãäå

D [⋅] – îïåðàòîð äèñïåðñèè. Òîãäà ñðåäíåå ýëåìåíòîâ

X 1 , X 2 ,K , X N ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé m1 , m2 ,K , mN :  1 lim P  N →∞ N

N

1

N

∑ X n − N ∑ mn n =1

n =1

 > ε = 0 

(ε > 0) .

217

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê óãîäíî çàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé. Òåîðåìà 5. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ñðåäíåãî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 , X 2 ,K , X N ê ñðåäíåìó èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé m1 , m2 ,K , mN ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ ñòðåìëåíèå ê íóëþ âåëè÷èíû  o *r 2  mx  , M o  *2  r 1 + m x  1 N ∑ ( X n − mn ) – ñðåäíåå öåíòðèðîâàííûõ âåëè÷èí ïîN n =1 ñëåäîâàòåëüíîñòè. À.Í. Êîëìîãîðîâûì áûë äîêàçàí òàê íàçûâàåìûé óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, ïîä êîòîðûì ïîíèìàåòñÿ ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òåîðåìà 6 (Êîëìîãîðîâà). Ïóñòü X 1 , X 2 ,K , X N – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 1 N ∑ D[X n ] < ∞ , N 2 n =1 o

ãäå m *xr =

Òîãäà îíà ïîä÷èíÿåòñÿ óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñïðàâåäëèâîñòè óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ îäíîðîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äàåò òåîðåìà, äîêàçàííàÿ òàêæå À.Í. Êîëìîãîðîâûì. Òåîðåìà 7 (Êîëìîãîðîâà). Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ îäíîðîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî, î êîòîðîì øëà ðå÷ü â ïàðàãðàôå 3.2: çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå ãàðàíòèðó1 N åò, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* = ∑ X n è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åN n =1 1 N ñêèõ îæèäàíèé mx = ∑ mn èìåþò ïðåäåëû. Ýòîò çàêîí óòâåðN n =1

218

16.1. Закон больших чисел для последовательностей случайных событий …

Ðèñ. 16.1. Ñõåìû ôîðìèðîâàíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåFm* (õ) âûáîðî÷íîãî íèÿ x

ñðåäíåãî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðè N → ∞ , êîãäà âûáîðî÷íîå

ñðåäíåå

mx*

è

ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx – ôèêñèðîâàííûå âåëè÷èíû (à – ïðè ðàçíûõ, á – ïðè îäèíàêîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèÿõ ýëåìåíòîâ âûáîðêè), à òàêæå êîãäà

mx*

è mx –

êîíå÷íûå èíòåðâàëû (â)

æäàåò ëèøü ñõîäèìîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ê ñðåäíåìó ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, íå òðåáóÿ ïðè ýòîì èõ ñõîäèìîñòè ê îïðåäåëåííûì ôèêñèðîâàííûì âåëè÷èíàì. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) êîãäà èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx* è ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx ê îïðåäåëåííûì ôèêñèðîâàííûì âåëè÷èíàì (÷èñëàì), 2) êîãäà òàêîé ñõîäèìîñòè íåò. Ðàññìîòðèì îáà ñëó÷àÿ. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ïðè êîíå÷íîì îáúåìå âûáîðêè âåëè÷èíà mx* – ñëó÷àéíàÿ. Åå ìîæíî îïèñàòü ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fm* ( x ) . x

 ïåðâîì ñëó÷àå ïðåäåë ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx ìîæåò áûòü îïèñàí ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå mx . Ê íåé ñòðåìèòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fm* ( x ) âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx* ïðè N → ∞ (ðèñ. 16.1, à, á). x

219

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì âûáîðêàì, ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ (ðèñ. 16.1, à), à ìîãóò è ñîâïàäàòü (ðèñ. 16.1, á). Ñîâïàäåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî èìååò ìåñòî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âûáîðêà îäíîðîäíà èëè êîãäà îíà õîòÿ è íåîäíîðîäíà, íî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ åå ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû. Íà ðèñóíêå êðèâûìè F *r ( x ) , Fm*r ( x ) èçîáðàæåíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåämx

1

x2

íåãî äëÿ äâóõ âûáîðîê ðàçíûõ îáúåìîâ, à òî÷êàìè mxr1 , mxr2 íà îñè x – ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ. Âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè N → ∞ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx ìîãóò ëèáî ñòðåìèòüñÿ ê ïëþñ èëè ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, ëèáî ôëóêòóèðîâàòü â îïðåäåëåííûõ èíòåðâàëàõ. Âàðèàíò, êîãäà ïðè N → ∞ âåëè÷èíû mx* è mx – èíòåðâàëû, ïðåäñòàâëÿþò îñîáûé èíòåðåñ. Ðàññìàòðèâàåìûå èíòåðâàëû ìîãóò áûòü êîíå÷íûìè èëè áåñêîíå÷íûìè. Åñëè èíòåðâàëû êîíå÷íû, òî ñóùåñòâóþò ãðàíèöû mix* , msx* âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx* è ãðàíèöû mix , msx ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx . Ýòè ãðàíèöû ìîæíî îïèñàòü ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ mix* , msx* , mix , msx . Íà îñíîâàíèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë mix* ñòðåìèòñÿ ê mix , à msx* – ê msx (ðèñ. 16.1, â). Èíòåðâàë [ mix , msx ] – îáëàñòü, â êîòîðîé ôëóêòóèðóåò âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ïðè N → ∞ . Òàêèì îáðàçîì, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê îïðåäåëåííîìó ÷èñëó, ñòðåìèòüñÿ ê ïëþñ èëè ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè èëè ôëóêòóèðîâàòü â îïðåäåëåííîì èíòåðâàëå.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ê èíòåðâàëó.

16.2. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ГРАНИЦ СРЕДНЕГО ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Ðàññìîòðèì ìîäèôèêàöèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òåîðåìà 8 (àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 2). Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X = { X / g ∈ G } ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àé-

220

16.2. Теоремы о сходимости границ среднего гиперслучайной выборки

íûõ âåëè÷èí X / g äëÿ ðàçëè÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé g ∈ G ñ óñëîâíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mx / g è îãðàíè÷åííûìè óñëîâíûìè äèñïåðñèÿìè Dx / g . Íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî mix , msx . Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ïîëó÷åííîé â íåêîíòðîëèðóåìî èçìåíÿþùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, ôîðìèðóåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà { X 1 ,K , X N } îáúåìîì N ñ âçàèìíî íåçàâèñèìûìè äëÿ âñåõ óñëîâèé ýëåìåíòàìè. Ïî ýòîé âûáîðêå ðàññ÷èòûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå: mx* =

1 N

N

∑ Xn . n =1

Òîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè ( N → ∞ ) ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* ñõîäèòñÿ ïî âår r ðîÿòíîñòè ê ìíîæåñòâó mx = {mx / gr , g ∈ G } , ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé 1 N ∑ mx / gn óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ N n =1 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X / g1 ,K , X / g N , ñî-

ìíîæåñòâî ñðåäíèõ mx / gr = îæèäàíèé mx / g1 ,K , mx / g N

îòâåòñòâóþùèõ âñåâîçìîæíûì óñëîâèÿì g n ∈ G , n = 1, N , à íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ýòîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâåííî ê íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X :

{

}

* lim P inf r r mx − mix > ε = 0,

N →∞

g ∈G

  lim P  sup mx* − msx > ε  = 0, r r ∈ g G  

N →∞

(16.1)

ãäå ε – êàê óãîäíî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âûáîðêó {X / g1 ,K , X / g N } , ïîëó÷åííóþ ïðè ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâàr òåëüíîñòè óñëîâèé ( g1 ,K , g N ) ∈ G . Ðàññ÷èòàííîå ïî íåé âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* / gr =

1 N

N

∑ X / gn

ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âû-

n =1

221

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

áîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ñîãëàñíî òåîðåìå ×åáûøåâà äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx / gr :

{

}

lim P mx* / gr − mx / gr > ε = 0 .

N →∞

r r Ñõîäèìîñòü âåëè÷èíû mx* / gr ê mx / gr äëÿ âñåõ g ∈ G îçíà÷àåò

ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà r g ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû mx* / gr ê âåëè÷èíå mx / gr . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷r r r r íîãî ñðåäíåãî mx* = {mx* / gr , g ∈ G } ê ìíîæåñòâó mx = {mx / gr , g ∈ G } . Ïðè ëþáîé ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óñëîâèé è N →∞ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* / gr îãðàíè÷åíî èíòåðâàëîì * * r [mix* , msx* ] , ãäå mix* = inf mx* / gr , à ñðåäíåå óñëîâíûõ r r mx / g , msx = sup r r

g ∈G

g ∈G

ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx / gr – èíòåðâàëîì [mix , msx ] . Ïðè ýòîì ìèíèìàëüíîìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ mix ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî * îæèäàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò íèæíÿÿ ãðàíèöà inf r r mx âûáîðî÷íîãî ñðåä-

g ∈G

íåãî, à ìàêñèìàëüíîìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ msx – âåðõíÿÿ ãðàíèöà sup mx* âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, ò. å. ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (16.1). r r g ∈G

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðàññìîòðåííûå â ïàðàãðàôå 16.1 ìîäèôèêàöèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, â ÷àñòíîñòè òåîðåìà 5, îïðåäåëÿþùèå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïî âåðîÿòíîñòè (óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë). Ýòà òåîðåìà ôîðìóëèðóåòñÿ äëÿ íåîäíîðîäíîé âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òåîðåìà 9 (àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 5). Ïóñòü X 1 ,K , X N – ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, mix* , msx* – ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx* =

1 N

N

∑ Xn ,

à mix , msx – ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àér r íîé âåëè÷èíû mx = {mxr / gr , g ∈ G } , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìíîæå-

222

n =1

16.2. Теоремы о сходимости границ среднего гиперслучайной выборки

ñòâî ñðåäíèõ mxr / gr = íèé mx1 / g1 ,K , mxN / gN

1 N ∑ mx / g óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàN n =1 n n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 / g1 ,K , X N / g N .

Òîãäà íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx* ê ìíîæåñòâó mx ñðåäíèõ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè è ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ãðàíèö mix* , msx* ýòîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ñîîòâåòñòâåííî ê ãðàr r íèöàì mix , msx ÿâëÿåòñÿ ñòðåìëåíèå ê íóëþ äëÿ âñåõ g ∈ G âåëè÷èí  o *r r 2  mx/g  M , (16.2) o  * 2  1 + m xr / gr  1 N ∑ ( X n / g n − mxn / gn ) – ñðåäíåå öåíòðèðîâàííûõ óñN n =1 ëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 / g1 ,K , X N / g N . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 9 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 8. Ðàçëè÷èå ìåæäó äîêàçàòåëüñòâàìè ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî âìåñòî èñïîëüçîâàíèÿ óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ×åáûøåâà èñïîëüçóåòñÿ óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïðåäåëû óñëîâíûõ ñðåäíèõ ìàòåìàr r òè÷åñêèõ îæèäàíèé mxr / gr ïðè ôèêñèðîâàííûõ g ∈ G ìîãóò ñóo

ãäå m *xr / gr =

ùåñòâîâàòü, à ìîãóò íå ñóùåñòâîâàòü. r r Åñëè îíè ñóùåñòâóþò äëÿ âñåõ g ∈ G , òî ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* ñõîäèòñÿ ê ìíîæåñòâó äåòåðìèíèðîâàííûõ r r âåëè÷èí mx . Îòñóòñòâèå ïðåäåëà äëÿ êàêîãî-íèáóäü g ∈ G îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâíîå ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ëèáî ñòðåìèòñÿ ê ïëþñ èëè ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, ëèáî ñõîäèòñÿ ê èíòåðâàëó (ñì. ïàðàãðàô 16.1).  ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëîâ óñëîâíûõ ñðåäíèõ ìàòåìàr r òè÷åñêèõ îæèäàíèé mxr / gr äëÿ âñåõ g ∈ G ìíîæåñòâî ÷èñåë mx ìîæåò áûòü îïèñàíî ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ mxr / gr . Ãðàíèöû ýòîãî ìíîæåñòâà mix , msx îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäå-

223

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

Ðèñ. 16.2. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSm* (õ), FIm* (õ) x

x

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðè N → ∞ , êîãäà âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mx – ìíîæåñòâà ÷èñåë (à – ïðè ðàçíûõ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèÿõ mxr / gr , âñþäó ïëîòíî çàïîëíÿþùèõ èíòåðâàë [mix , msx ] , á – ïðè îäèr r íàêîâûõ mxr / gr ∀g ∈ G ), à òàêæå êîãäà mx* è mx – êîíå÷íûå ìóëüòèèíòåðâàëû (â)

ëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ mix , msx , ñîâïàäàþùèõ ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mSx , mIx ( mix = mSx , msx = mIx ) (ðèñ. 16.2, à). Íà ðèñóíêå êðèâûìè Fm*r r (õ), Fm*r r (õ) èçîáðàæåíû ôóíêöèè x1 / g1

x2 / g 2

ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî äëÿ äâóõ ðàçíûõ âûáîðîê êîíå÷íîãî îáúår r ìà â óñëîâèÿõ g1 è g 2 , à òî÷êàìè mxr1 / gr1 , mxr2 / gr2 íà îñè x – ñîîòâåòñòâóþùèå èì ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ. r r Êîãäà óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mxr / gr ∀g ∈ G âñþäó ïëîòíî çàïîëíÿþò èíòåðâàë [mix , msx ] , ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ïðèáëèæàåòñÿ ïðè N → ∞ ê èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíå [mix , msx ] , ïîêàçàííîé íà ðèñ. 16.2, à çàòåìíåííîé îáëàñòüþ. Èíòåðåñåí âûðîæäåííûé ñëó÷àé, êîãäà óñëîâíûå ìàòåìàòèr r ÷åñêèå îæèäàíèÿ mxr / gr ∀g ∈ G îäèíàêîâû ( mxr / gr = mx ). Ïðè ýòîì

224

16.3. Теорема о сходимости оценок границ выборочного среднего

ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mix , msx ñîâïàäàþò ( mix = msx = mx ) è ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòðåìèòñÿ ê äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíå mx (ðèñ. 16.2, á).  ñëó÷àå ñõîäèìîñòè ïðè N → ∞ âñåõ óñëîâíûõ ñðåäíèõ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mxr / gr ê èíòåðâàëàì (ðèñ. 16, â) ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà mx ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìóëüòèèíòåðâàë (ìíîãîñâÿçíûé èíòåðâàë [Øàðûé, 2010]) – ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ èíòåðâàëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå çàòåìíåííûìè îáëàñòÿìè. Åñëè îòäåëüíûå èíòåðâàëû ìóëüòèèíòåðâàëà ïîëíîñòüþ ïåðåêðûâàþòñÿ, òî ìóëüòèèíòåðâàë mx âûðîæäàåòñÿ â èíòåðâàë [mix , msx ] . Òîãäà âûáîðî÷íîå ñðåäíåå mx* ïðè N → ∞ ôëóêòóèðóåò â ýòîì èíòåðâàëå, íå âûõîäÿ çà åãî ãðàíèöû. Òàêèì îáðàçîì, ïðè N → ∞ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê ôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíå, ê ìíîæåñòâó ôèêñèðîâàííûõ âåëè÷èí (÷èñåë), ôëóêòóèðîâàòü â íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëàõ óñëîâíûõ ãðàíèö, ôëóêòóèðîâàòü âî âñåì èíòåðâàëå [mix , msx ] èëè ñòðåìèòüñÿ ê +∞ èëè −∞ .

Ôàêò ðàçëè÷èÿ òèïîâ âåëè÷èí, ê êîòîðûì ñòðåìÿòñÿ âûáîðî÷íûå ñðåäíèå ñëó÷àéíûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ïðèëîæåíèÿõ. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû âåðíåìñÿ ïîçæå. 16.3. ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ОЦЕНОК ГРАНИЦ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО Òåîðåìà 10. Ïóñòü X 1 ,K , X N – â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, mix , msx – ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîé r r âåëè÷èíû mx = {mxr / gr , g ∈ G } , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìíîæåñòâî ñðåäíèõ mxr / gr = mx1 / g1 ,K , mxN / gN

1 N ∑ mx / g óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé N n =1 n n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X 1 / g1 ,K , X N / g N , à âåëè-

÷èíû, îïèñûâàåìûå âûðàæåíèåì (16.2), ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè r r âñåõ g ∈ G .

225

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè â íåêîíòðîëèðóåìî ìåíÿþùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ôîðìèðóåòñÿ L íåïåðåñåêàþùèõñÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âûáîðîê ( X 11 ,..., X N 1 ),...,( X 1L ,..., X NL ) îáúåìîì N êàæäàÿ ( L ≥ 2 ). Ïóñòü ïðè L → ∞ è N → ∞ ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì âûáîðêàì ãèïåðñëó÷àéíûå âûáîðî÷íûå ñðåäíèå mx*1 =

1 N

N

∑ X n1 ,..., mx*

L

n =1

=

1 N

N

∑ X nL n =1

âñþäó ïëîòíî çàïîëíÿþò èíòåðâàë [mix , msx ] . Òîãäà ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà âûáîðîê è îáúåìà êàæäîé âûáîðêè îöåíêè ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mix* = inf mx*l ,

msx* = sup mx*l

l =1,L

(16.3)

l =1,L

ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì mix , msx ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû mx :

{ lim lim P { m

} > ε} = 0 .

lim lim P mix* − mix > ε = 0,

L →∞ N →∞

L →∞ N →∞

* sx

− msx

4

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9, äëÿ ëþáîé l -é âûáîðêè ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx*l ñòðåìÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mix , msx ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû mx . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mx*l îãðàíè÷åíà èíòåðâàëîì, ñòðåìÿùèìñÿ ê èíòåðâàëó [mix , msx ] . Ïîñêîëüêó ïðè L → ∞ è N → ∞ èìååò ìåñòî âñþäó ïëîòíîå çàïîëíåíèå èíòåðâàëà [mix , msx ] âûáîðî÷íûìè ñðåäíèìè è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà (16.3), ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà âûáîðîê è îáúåìà êàæäîé âûáîðêè îöåíêè ãðàíèö 4

Íà íåîáõîäèìîñòü îáÿçàòåëüíîãî ââåäåíèÿ â óñëîâèå òåîðåìû âñþäó ïëîòíîãî çàïîëíåíèÿ èíòåðâàëà [mix , msx ] âûáîðî÷íûìè ñðåäíèìè îáðàòèë âíèìàíèå àâòîðà Â.Í. Òóòóáàëèí.

226

16.4. Теорема, аналогичная теореме Бернулли

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mix* , msx* ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê òåì æå ãðàíèöàì mix , msx . Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè ãðàíèö ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû âû÷èñëåíèåì ñðåäíèõ ïî ìíîæåñòâó îòñ÷åòîâ äëÿ ìíîæåñòâà âûáîðîê è ðàñ÷åòà ïî íèì èñêîìûõ ãðàíèö. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêèì æå ïóòåì ìîæíî âû÷èñëÿòü ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè ãðàíèö mix* ν = inf mx*l ν , msx* ν = sup mx*l ν íà÷àëül =1,L

l =1,L

íûõ ìîìåíòîâ ëþáîãî ïîðÿäêà ν , ãäå m

* xl ν

– îöåíêà íà÷àëüíîãî

ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ l -é âûáîðêå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàññ÷èòûâàòü ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ µ*ixν , µ*sxν ïî îïèñàííîé ñõåìå, ê ñîæàëåíèþ, íåëüçÿ èç-çà îòñóòñòâèÿ íåîáõîäèìîé äëÿ ýòîãî èíôîðìàöèè îá îöåíêàõ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. 16.4. ТЕОРЕМА, АНАЛОГИЧНАЯ ТЕОРЕМЕ БЕРНУЛЛИ Òåîðåìà 11 (àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 1). Ïóñòü â íåêîíòðîëèðóåìî ìåíÿþùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ïðîâîäèòñÿ ñåðèÿ N íåçàâèñèìûõ îïûòîâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçîéòè íåêîòîðîå ñîáûòèå A , ðàññìàòðèâàåìîå êàê ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ïðåäñòàâëÿåìîå ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé A / g â óñëîâèÿõ g ∈ G : A = { A / g ∈ G } . Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A / g â ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g ∈ G ðàâíÿåòñÿ pa / g . Íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû PIa , PSa . ×àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â ðàññìàòðèNa , ãäå N N a – ÷èñëî îïûòîâ, â êîòîðûõ ïðîèçîøëî ñîáûòèå A . Ýòà ÷àñòîòà – ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñòàâëÿåìàÿ ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ξ / g ( g ∈ G ): Ξ = {Ξ / g ∈ G } .

âàåìîé ñåðèè îïûòîâ îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì Ξ =

Òîãäà ãðàíèöû FI ξ (ξ) , FS ξ (ξ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (ξ)

227

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

÷àñòîòû Ξ ïðè N → ∞ ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ôóíêöèÿì åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ PIa , PSa . Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà òåîðåìå 8. Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå A ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X , ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, êîãäà ïðîèñõîäèò ñîáûòèå A , è çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ, êîãäà ñîáûòèå íå ïðîèñõîäèò. Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mx / g ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X / g ðàâíî pa / g , à óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿ Dx / g = (1 − pa / g )2 pa / g + (0 − pa / g )2 (1 − pa / g ) = pa / g (1 − pa / g )

– âåëè÷èíà îãðàíè÷åííàÿ. Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ðàâíû PIa , PSa . Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòîòó Ξ =

Na ïîÿâëåíèÿ ñîN

áûòèÿ A . Òîãäà íà îñíîâàíèè òåîðåìû 8 ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåìîé òåîðåìû. Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ (N → ∞) ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A âíå çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà óñëîâèé G (åñëè G ≠ 1 ) íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå [PIa , PSa ] . Ïðè ýòîì ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ íå ñòðåìèòñÿ ê êàêîìó-òî êîíêðåòíîìó çíà÷åíèþ.

228

Глава 17 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äîêàçàíà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, àíàëîãè÷íàÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 17.1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îíà îïðåäåëÿåò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ òåîðåìû, íàïîìíèì áåç äîêàçàòåëüñòâà öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òåîðåìà 1 (Ëèíäåáåðãà–Ôåëëåðà). Ïóñòü X 1 ,K , X N – â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíàÿ ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, ýëåìåíòû êîòîðîé âçàèìíî íåçàâèñèìû è îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ Fxn ( x ) ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mxn è äèñïåðñèÿìè Dxn ( n = 1, N ). Âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ëèíäåáåðãà: ïðè ëþáîì ε > 0 1 N →∞ B 2 N lim

ãäå BN2 =

N

∑

n =1 x − m x

∫ n

( x − mxn )2 d Fxn ( x ) = 0,

(17.1)

> ε BN

N

∑ Dx n =1

n

– ñóììà äèñïåðñèé Dxn ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X n .

{

Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ P mx*r < x íåãî mx*r =

1 N

}

âûáîðî÷íîãî ñðåä-

N

∑ Xn

ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ãàóññîâñêîé ôóíêöèè

n =1

229

Глава 17. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин

 x − mxr  ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x / mxr , Dxr ) = Φ   ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæè Dr  x   N 1 1 äàíèåì mxr = mxn è äèñïåðñèåé Dxr = 2 BN2 : ∑ N n =1 N

{

}

lim P mx*r < x = lim F ( x / mxr , Dxr ) ,

N →∞

ãäå Φ ( x ) =

1

N →∞

x

2 ∫ exp(−z / 2)d z . 2π −∞ Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (17.1) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ê ãàóññîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ.

17.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Íàçîâåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêîé, åñëè îíà îïèñûâàåòñÿ ôðàãìåíòàìè ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé. Àíàëèòè÷åñêè òàêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå J −1  x − xj  G ( x ) = ∑ F ( x / m j , D j )rect  , j =0  x j +1 − x j  ãäå rect [ x ] – Ï-îáðàçíàÿ ôóíêöèÿ:  0 ïðè x ≤ 0, x > 1, rect [ x ] =   1 ïðè 0 < x ≤ 1, x0 , x1 ,K , x J – ïîñëåäîâàòåëüíûé ðÿä òî÷åê íà îñè x , â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ, x0 → −∞ , x J → ∞ . Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ íàçîâåì ïðåäåëüíîé ôðàãìåíòàðíîãàóññîâñêîé, åñëè îíà ïîëó÷åíà èç ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì êîëè÷åñòâå òî÷åê, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ. Òåîðåìà 2. Ïóñòü X 1 ,K , X N – â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ âçàèìíî íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñr r ëîâèÿõ g ∈ G ýëåìåíòàìè, n -é ýëåìåíò âûáîðêè â óñëîâèÿõ g n îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fxn / gn ( x ) ñ ìàòåìàòè÷å-

230

17.2. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин

ñêèì îæèäàíèåì mxn / gn è äèñïåðñèåé Dxn / xn . Ïðè âñåõ óñëîâèÿõ r r g ∈ G âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ëèíäåáåðãà: ïðè ëþáîì ε > 0 1 N →∞ B 2 N lim

ãäå BN2 =

N

∑

∫

n =1 x − m xn / g n >εBN

( x − mxn / gn )2 dFxn / gn ( x ) = 0 ,

N

∑ Dx n =1

n / gn

– ñóììà äèñïåðñèé Dxn / gn ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

X n / g n ( n = 1, N ). Òîãäà ïðè N → ∞

âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû

FSm* ( x ) , x

FIm* ( x ) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî x

r r 1 N ñðåäíåãî mx* = mx*r / gr , g ∈ G , ãäå mx*r / gr = ∑ X n / g n – ñëó÷àéíîå N n =1 r r ñðåäíåå â óñëîâèÿõ g ∈ G , ðàâíîìåðíî ñòðåìÿòñÿ ê ïðåäåëüíûì ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (òåîðåìå Ëèíäåáåðãà–Ôåëëåðà).  ñîîòâåòñòâèè ñ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fm*r r ( x ) ñëó÷àéíîãî

{

}

x/g

* r r x/g

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî m

ïðè N → ∞ ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê

ãàóññîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì 1 1 N mxr / gr = ∑ mx / g è äèñïåðñèåé Dxr / gr = N 2 BN2 : N n =1 n n

{

}

lim P mx*r / gr < x = lim F ( x / mxr / gr , Dxr / gr )

N →∞

N →∞

îæèäàíèåì

r r ∀g ∈ G .

Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSm* ( x ) , FIm* ( x ) ãèïåðñëóx

x

* x

÷àéíîãî ñðåäíåãî m ôîðìèðóþòñÿ èç ôðàãìåíòîâ ôóíêöèé ðàñr r ïðåäåëåíèÿ Fm*r r ( x ) ñëó÷àéíûõ ñðåäíèõ mx*r / gr , g ∈ G (ðèñ. 17.1). x/g

Ïðè áîëüøîì N ýòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáëèæàþòñÿ ê ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèÿì. Ïîñêîëüêó äâå ðàçíûå ãàóññîâñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå, ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSm* ( x ) , FIm* ( x ) ãèïåðx

x

231

Глава 17. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин Ðèñ. 17.1. Âååð ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fm*r

r (x ) x/g

ñëó÷àéíûõ

ñðåäíèõ

mx*r / gr

(òîíêèå êðèâûå), âåðõíÿÿ FSm* ( x ) (æèðx

íàÿ ñïëîøíàÿ êðèâàÿ) è íèæíÿÿ FIm* ( x ) x

(æèðíàÿ øòðèõîâàÿ êðèâàÿ) ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ñðåäíåãî mx* , N = const

ñëó÷àéíîãî ñðåäíåãî mx* ïðè N → ∞ ðàâíîìåðíî ñòðåìÿòñÿ ê ïðåäåëüíûì ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ òåîðåìà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Ëèíäåáåðãà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè èìååò ìåñòî ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèé õàðàêòåð ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, íå ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå 8 ïðåäûäóùåé ãëàâû, óòâåðæäàþùåé ñõîäèìîñòü ýòèõ ãðàíèö ê ôèêñèðîâàííûì âåëè÷èíàì (ãðàíèöàì âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî mix , msx ). Èíà÷å ãîâîðÿ, â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Ëèíäåáåðãà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè N ïðèáëèæàþòñÿ ê ôóíêöèÿì, îïèñûâàåìûì ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, êîòîðûå ïðè N → ∞ ïåðåõîäÿò â ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ mix è msx .

232

Глава 18 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН

Îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Èññëåäîâàíà äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ. Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ââåäåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷íîé îöåíîê, à äëÿ èíòåðâàëüíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê – ïîíÿòèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà è ãðàíèö äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè. Äîêàçàíû òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Ïîêàçàíî, ÷òî èç-çà íåêîíòðîëèðóåìîé èçìåí÷èâîñòè óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí íå ñîñòîÿòåëüíû, à òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ – îãðàíè÷åíà. 18.1. МОДЕЛИ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Ïðè ïîñòðîåíèè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí è èõ îöåíîê, êàê ïðàâèëî, ïðåäïîëàãàþò, ÷òî âåëè÷èíû, ïîäëåæàùèå èçìåðåíèþ, íîñÿò äåòåðìèíèðîâàííûé, à èõ îöåíêè èç-çà âîçäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ìåøàþùèõ ôàêòîðîâ – ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ïîýòîìó äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí ÷àñòî èñïîëüçóþò äåòåðìèíèðîâàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, à äëÿ îïèñàíèÿ èõ îöåíîê – ñëó÷àéíûå (ñòîõàñòè÷åñêèå) ìîäåëè ñ îïðåäåëåííûìè çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà ýòîì ïîñòðîåíà âñÿ ñîâðåìåííàÿ êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ èçìåðåíèé, ÿâëÿþùàÿñÿ òåîðåòè÷åñêîé áàçîé ïîâñåìåñòíî èñïîëüçóåìîé ïðèêëàäíîé ìåòðîëîãèè. Èíîãäà ïîëàãàþò, ÷òî íå òîëüêî îöåíêà, íî è èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Íà ðèñ. 18.1, 18.2 äëÿ ñêàëÿðíîé èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîò-

233

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

Ðèñ. 18.1. Äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

âåòñòâóþùèå óêàçàííûì äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé è ñëó÷àéíîñëó÷àéíîé ìîäåëÿì èçìåðåíèÿ. Ïðèáëèæåííî äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó θ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ δ -îáðàçíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå θ . Ïîýòîìó íà ðèñ 18.1 äåòåðìèíèðîâàííàÿ âåëè÷èíà θ ïðåäñòàâëåíà ñêà÷êîîáðàçíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà ðèñ. 18.1, 18.2 Fθ* (θ) – ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé îöåíêè Θ∗ ; Fθ (θ) – ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ ; ε 0 – ñìåùåíèå îöåíêè (åñëè èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà – äåòåðìèíèðîâàííàÿ, òî ε 0 = mθ* − θ , åñëè ñëó÷àéíàÿ, òî ε 0 = mθ* − mθ ); mθ* – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îöåíêè Θ∗ ; mθ – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ ; σθ , σθ* – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ è åå îöåíêè Θ∗ . Îáîáùåíèåì äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé è ñëó÷àéíî-ñëó÷àéíîé ìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ (ðèñ. 18.3) è ñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ (ðèñ. 18.4) ìîäåëè.  ïåðâîé ìîäåëè èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé, à âî âòîðîé – ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.  îáåèõ ìîäåëÿõ îöåíêà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Íà ðèñóíêàõ FS θ* (θ) è FI θ* (θ) – ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè Θ∗ ; εS 0 è εI 0 – ñìåùåíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè

Ðèñ. 18.2. Ñëó÷àéíî-ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

234

18.1. Модели измерения физических величин

Ðèñ. 18.3. Äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

Ðèñ. 18.4. Ñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

Ðèñ. 18.5. Äåòåðìèíèðîâàííîèíòåðâàëüíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè îòíîñèòåëüíî èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû (åñëè ýòà âåëè÷èíà – äåòåðìèíèðîâàííàÿ, òî εS 0 = mS θ* − θ, εI 0 = mI θ* − θ , åñëè ñëó÷àéíàÿ, òî εS 0 = mSθ* − mθ , εI 0 = mI θ* − mθ ); mS θ* , mI θ* –

ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåðõíåé è

íèæíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè; σS θ* , σI θ* – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè. Çîíà íåîïðåäåëåííîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ïîêàçàíà çàòåìíåííîé îáëàñòüþ. Îïðåäåëåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò äåòåðìèíèðîâàííî-èíòåðâàëüíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ, â êîòîðîé èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äåòåðìèíèðîâàííàÿ, à îöåíêà – êàê èíòåðâàëüíàÿ âåëè÷èíà. Íà ðèñ. 18.5 äëÿ âåëè÷èíû θ è èíòåðâàëüíîé îöåíêè Θ∗ ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà òàêàÿ ìîäåëü. Çîíà íåîïðåäåëåííîñòè èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëåíà çàòåìíåííîé îáëàñòüþ. Ñëåäóþùèì øàãîì îáîáùåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ãèïåðñëó÷àéíîãèïåðñëó÷àéíóþ ìîäåëü èçìåðåíèÿ, â êîòîðîé èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà è åå îöåíêà ïðåäñòàâëÿþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ýòà ìîäåëü íàèáîëåå òî÷íî è àäåêâàòíî îïèñûâàåò ïðîöåäóðó èçìåðåíèÿ.

235

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå ìîäåëåé èçìåðåíèÿ ñ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè. 18.2. ТОЧЕЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ ïî ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = { X / g ∈ G } . Òî÷å÷íóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê r íåêîòîðóþ ñòàòèñòèêó – ôóíêöèþ âûáîðêè X îáúåìà N èç ãèïåðñëó÷àéíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Îöåíêó Θ* ìîæíî îïèñàòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Θ* / g , ñîîòâåòñòâóþùèõ

{

}

ðàçëè÷íûì óñëîâèÿì g ∈ G : Θ* = Θ* / g ∈ G . Ñëó÷àéíàÿ îöåíêà r Θ* / g ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âûáîðêè X / g . Êîíêðåòíóþ âåëè÷èíó θ* ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâîì äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí θ* / g ,

{

}

ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì óñëîâèÿì g ∈ G : θ* = θ* / g ∈ G .  çàâèñèìîñòè îò ïîñòàíîâêè çàäà÷è òî÷íîñòü òî÷å÷íîé îöåíêè ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ïî-ðàçíîìó.  îáùåì ñëó÷àå òî÷íîñòü õàðàêòåðèçóåò ãèïåðñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü Z = Θ* − θ . Ïðè ôèêñèðîâàííîì óñëîâèè g â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà òî÷íîñòè îöåíêè Θ* ìîæåò âûñòóïàòü âåëè÷èíà ∆ 2z / g – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî êâàäðàòà ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè Z/g = Θ* / g − θ : 2 ∆ 2z / g = Μ  Θ* / g − θ  .  

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè òî÷íîñòè îöåíêè áåç êîíêðåòèçàöèè óñëîâèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåðâàë, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ âåëè÷èíà ∆ 2z / g . Îöåíêà θ* / g ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïîýòîìó âåðõíÿÿ ãðàíèöà ýòîãî èíòåðâàëà 2 ∆ 2max = max[∆Sz , ∆ 2Iz ], 2

2

2 ãäå ∆Sz = MS [ Θ* − θ ], ∆ 2Iz = MI [ Θ* − θ ] – ñðåäíèå êâàäðàòû ïî-

236

18.3. Несмещенная и состоятельная гиперслучайные оценки …

ãðåøíîñòè Z , ðàññ÷èòàííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé FS θ* (θ) è íèæíåé FS θ* (θ) ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Òî÷íîñòü òî÷å÷íîé îöåíêè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü òàêæå ãðàíèöàìè ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè Z : 2

∆iz2 = inf Μ[ Θ* / g − θ ], g ∈G

2

∆ 2sz = sup Μ[ Θ* / g − θ ]. g ∈G

18.3. НЕСМЕЩЕННАЯ И СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ áóäåì íàçûâàòü íåñìåùåííîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè äëÿ âñåõ g ∈G

ìàòåìàòè÷åñêîå

îæèäàíèå

mθ* /g = M[Θ* / g ]

óñëîâíîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* / g ðàâíî îöåíèâàåìîé âåëè÷èíå: mθ* / g = θ .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îöåíêó áóäåì íàçûâàòü ñìåùåííîé. Âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ (ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü) â óñëîâèÿõ g îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì ε 0 / g = mθ* / g − θ . Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåñìåùåííîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ìåæäó ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mθ* /g ∀g ∈ G . Ïðè ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèÿõ mθ* /g äëÿ ðàçíûõ óñëîâèé g îöåíêà Θ* îêàçûâàåòñÿ ñìåùåííîé.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî äàæå äëÿ íåñìåùåííîé îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö mS θ* , mI θ* íå âñåãäà ðàâíû ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì mθ* /g

óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ

âåëè÷èí Θ* / g . Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, åñëè óñëîâèÿ ïîñòîÿííû (ïðè ýòîì ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó). 2 , ∆ 2Iz è ∆iz2 , ∆ 2sz ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì Ãðàíèöû ∆Sz îáðàçîì: 2 2 2 ∆Sz = mSz + σSz ,

∆ 2Iz = mIz2 + σ2Iz ,

∆iz2 = inf[mz2 / g + σz2 / g ] , ∆ 2sz = sup[mz2 / g + σz2 / g ] , g ∈G

g ∈G

237

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин Ðèñ. 18.6. Âååð óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F * (θ) (òîíêèå êðèâûå) θ /g äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèé g , âåðõíÿÿ FS θ* (θ) (æèðíàÿ ñïëîøíàÿ êðèâàÿ) è íèæíÿÿ FI θ* (θ) (æèðíàÿ ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ) ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

ãäå mSz = mS θ* − θ = εS 0 , mIz = mI θ* − θ = ε I 0 – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ïîãðåøíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñìåùåíèÿ îöåíêè îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö 2 2 2 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ; σSz = ΜS ( Z − mSz )  , σIz2 = ΜI ( Z − mIz )  –     2 äèñïåðñèè ãðàíèö ïîãðåøíîñòè; σ2z / g = σ2θ* / g = Μ  Θ* / g − mθ* / g  –   óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè, ñîâïàäàþùàÿ ñ óñëîâíîé äèñïåðñèåé îöåíêè (ðèñ. 18.6). Ïîãðåøíîñòü â íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ z / g îïèñûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì εS 0 − k σSz < z / g < ε I 0 + k σIz , (18.1)

(

)

à èíòåðâàë íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ ïðè íàëè÷èè îöåíêè θ* / g – íåðàâåíñòâîì θ* / g − εI 0 − k σIz < θ < θ* / g − εS 0 + k σSz ,

(18.2)

ãäå k – êîíñòàíòà, îïðåäåëÿþùàÿ ñòåïåíü äîâåðèÿ. Åñëè óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îöåíêè Θ* / g íå ïåðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé îöåíêè mθ* /g èõ óñëîâíûå äèñïåðñèè σ2θ* / g óâåëè÷èâàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «à» â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññèôèêàöèåé, ââåäåííîé â ïàðàãðàôå 6.5) èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «á»), ýòîò èíòåðâàë îïðåäåëÿåòñÿ ãðàíèöàìè ñìåùåíèÿ εi 0 , ε s 0 è ãðàíèöàìè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ îöåíêè σiθ* , σ sθ* . Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» îí ðàâåí

238

18.3. Несмещенная и состоятельная гиперслучайные оценки …

[θ* / g − ε s 0 − k σ s θ* , θ* / g − εi 0 + k σi θ* ] ,

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» – [θ* / g − ε s 0 − k σi θ* , θ* / g − εi 0 + k σ s θ* ] .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ íàçîâåì ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåëè÷èíå: lim P { Θ∗ / g − θ > ε} = 0

N →∞

∀g ∈ G ,

ãäå N – îáúåì âûáîðêè äëÿ êàæäîãî g ; ε > 0 – êàê óãîäíî ìàëîå ÷èñëî. Äàëåêî íå âñå ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ñîñòîÿòåëüíû.  ïàðàãðàôàõ 16.2, 16.3 îáðàùàëîñü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíîå ñðåäíåå ñòðåìèòñÿ íå ê îïðåäåëåííîìó ÷èñëó, à ê ìíîæåñòâó ÷èñåë. Ëèøü â èñêëþ÷èòåëüíîì ñëó÷àå îíî ñòðåìèòñÿ ê ÷èñëó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îöåíêè, ñîõðàíÿþùèå ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ , ìîãóò áûòü íå ñîñòîÿòåëüíûìè. Íåñîñòîÿòåëüíûå ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè áóäåì íàçûâàòü îöåíêàìè ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà, à ñîñòîÿòåëüíûå – ñëó÷àéíîãî òèïà. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ íàáëþäåíèÿ âåëè÷èí ïîñòîÿííî èçìåíÿþòñÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà ïðàâäîïîäîáíûì ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî îöåíêè âñåõ ðåàëüíûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí, îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìûå êàê ñëó÷àéíûå è ñîñòîÿòåëüíûå, â äåéñòâèòåëüíîñòè íîñÿò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð è ñâîéñòâîì ñîñòîÿòåëüíîñòè íå îáëàäàþò. Ïðè èñïîëüçîâàíèè äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìåðåíèÿ ïîãðåøíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Îíà ìîæåò áûòü îïèñàíà äâóìÿ ñîñòàâëÿþùèìè: ñèñòåìàòè÷åñêîé, íå èçìåíÿþùåéñÿ â ïðîöåññå ôîðìèðîâàíèÿ âûáîðêè, è ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, èçìåíÿþùåéñÿ îò îïûòà ê îïûòó. Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ñìåùåíèåì ε0 è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ z . Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü z êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà íåðàâåíñòâîì

239

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

ε0 − k σz < z < ε0 + k σ z .

 ñëó÷àå äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìåðåíèé ïîãðåøíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ çîíîé Ðèñ. 18.7. Ìîäåëü ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè è îïèñûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì (18.1), â êîòîðîì ôèãóðèðóþò ÷åòûðå ïàðàìåòðà: εS 0 , εI 0 , σSz , σIz . Ýòè ïàðàìåòðû çàäàþò íà îñè ïîãðåøíîñòè ìåñòîïîëîæåíèå è ðàçìåð çîíû íåîïðåäåëåííîñòè (ðèñ. 18.7).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè (òîãäà σSz = σIz = σz ), ïîãðåøíîñòü Z ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà àääèòèâíîé ìîäåëüþ Z = z + Z% ñ äâóìÿ ñîñòàâëÿþùèìè: íåîïðåäå0

ëåííîé ñîñòàâëÿþùåé z 0 , õàðàêòåðèçóþùåé ìåñòîïîëîæåíèå è ïðîòÿæåííîñòü çîíû íåîïðåäåëåííîñòè, è ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé Z% , õàðàêòåðèçóþùåé ôîðìó ýòîé çîíû. Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ z 0 – ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìàÿ – ìîæåò áûòü îïèñàíà èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíîé [εS 0 , ε I 0 ] , à ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ Z% – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ z . Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ z 0 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé z 0′ = εS 0 , õàðàêòåðèçóþùåé íà÷àëî çîíû íåîïðåäåëåííîñòè, è èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíû z 0′′ = [0, εI 0 − εS 0 ] , õàðàêòåðèçóþùåé ïðîòÿæåííîñòü ýòîé çîíû íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü èìååò òðè ñîñòàâëÿþùèå: ñèñòåìàòè÷åñêóþ, ñëó÷àéíóþ è èíòåðâàëüíóþ. Òàêèì îáðàçîì, â äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé è äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëÿõ èçìåðåíèÿ ïîãðåøíîñòè îêàçûâàþòñÿ ðàçíûìè.  ïåðâîì ñëó÷àå ïîãðåøíîñòü íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð è ñîäåðæèò ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùèå. Âî âòîðîì ñëó÷àå îíà íîñèò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð è â îáùåì ñëó÷àå íå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà íà óêàçàííûå

240

18.4. Эффективная и достаточная гиперслучайные оценки …

ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùèå.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òðåìÿ ñîñòàâëÿþùèìè: ñèñòåìàòè÷åñêîé, ñëó÷àéíîé è èíòåðâàëüíîé. 18.4. ЭФФЕКТИВНАЯ И ДОСТАТОЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé îöåíêè ÿâëÿåòñÿ åå ýôôåêòèâíîñòü. Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ*e äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ íàçîâåì ýôôåêòèâíîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè Θ*e / g îò âåëè÷èíû θ ïî ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê çàäàííîãî îáúåìà N íå áîëüøå, ÷åì äëÿ ëþáûõ äðóãèõ îöåíîê Θ*i / g : Μ[(Θ∗e / g − θ)2 ] ≤ M[(Θi∗ / g − θ)2 ], i = 1, 2,...,

∀g ∈ G .

(18.3)

Âåëè÷èíà Μ (Θ* / g - θ)2  â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèåé îöåíêè σ2θ* / g . Îíà îêàçûâàåòñÿ òàêîâîé ëèøü äëÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê. Äëÿ òàêèõ îöåíîê óñëîâèå ýôôåêòèâíîñòè ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå σ2θ* / g ≤ σ2θ* / g , i = 1, 2, … ∀g ∈ G . e

i

Ýôôåêòèâíîñòü îöåíêè, êàê è íåñìåùåííîñòü, çàâèñèò îò íàëè÷èÿ àïðèîðíûõ äàííûõ î ðàñïðåäåëåíèè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ è îò âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìåðîé ýôôåêòèâíîñòè ìîãóò ñëóæèòü ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè l s , li , îïðåäåëÿåìûå êàê ãðàíèöû îòíîøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ýôôåêòèâíîé îöåíêè Θ*e ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé îöåíêè Θ* : l s = sup g ∈G

M[(Θ*e / g − θ)2 ] , M[(Θ* / g − θ)2 ]

li = inf g ∈G

M[(Θ*e / g − θ)2 ] . M[(Θ* / g − θ)2 ]

Ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëå [0,1].  ñëó÷àå, êîãäà îöåíêà ýôôåêòèâíà, l s = li = 1. Ãðàíèöû ïîãðåøíîñòè ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ òåîðåì.

241

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

r Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïî âûáîðêå x îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñr r ëîâèÿ g ∈ G ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà X = X / g ∈ G îöåíèâà-

{

}

åòñÿ äåòåðìèíèðîâàííàÿ âåëè÷èíà θ . Ïðè ýòîì ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ N-ìåðíîé óñëîâíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé r f xr / θ, g ( x ) íå çàâèñÿò îò θ , ýòà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè àáñîëþòíî r èíòåãðèðóåìà ïî x , äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ è, êðîìå òîãî, äëÿ óñëîâíîé ñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* /g ñóùåñòâóþò ïåðâûå äâà ìîìåíòà. Òîãäà ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆ 2sz , 2 2 ∆iz2 è ãðàíèöû σ2sθ* , σiθ îïðå* óñëîâíîé äèñïåðñèè îöåíêè σ * θ /g

äåëÿþòñÿ íåðàâåíñòâàìè ∆

2 sz

≥σ

2 s θ*

2  ∂ε0 / g  −1  ≥ sup  1 +  Jg , g ∈G  ∂θ   

2  ∂ε0 / g  −1  ∆iz2 ≥ σi2θ* ≥ inf  1 +  Jg , g ∈G ∂θ   

(18.4)

ãäå J g – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó: r 2 r   ∂ ln f r  ∂ 2 ln f xr / θ, g ( X )  (X )   x θ g / ,   = −M  J g = M  , 2    ∂θ ∂θ       M[⋅] – îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äåéñòâóþùèé â r äàííîì ñëó÷àå íà âåêòîð X . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà èçâåñòíîì íåðàâåíñòâå Êðàìåðà–Ðàî äëÿ ñëó÷àéíûõ îöåíîê [Ëåâèí, 1976, Âàí Òðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003]. Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ óñëîâèé äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Θ* /g ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî: 2

M (Θ − θ) / g  ≥ σθ* / g *

2

2

∂ε0 / g  −1  ≥ 1 +  Jg . ∂θ  

(18.5)

Íà åãî îñíîâàíèè ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (18.4). Èç âûðàæåíèÿ (18.4) âèäíî, ÷òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íóëåâîé äèñïåðñèè âåëè÷èíà ∂ε0 / g ∂θ äîëæíà áûòü ðàâíîé −1 . Îòñþäà

242

18.4. Эффективная и достаточная гиперслучайные оценки …

ñëåäóåò, ÷òî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ñëó÷àéíûõ îöåíîê, íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èòü íóëåâîå ñìåùåíèå è íóëåâóþ äèñïåðñèþ. Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè N  ∂ 2 ln f x / θ, g ( X ) r f xr / θ, g ( x ) = ∏ f xn / θ, g ( xn ) è J g = −NM  ∂θ2 n =1 

 . 

Âìåñòî ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíîé îöåíêè ìîæíî ââåñòè äðóãîå îïðåäåëåíèå. Ýôôåêòèâíîé îöåíêîé Θ*e íàçîâåì îöåíêó Θ* , äëÿ êîòîðîé ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè 2  ∂ε0 / g  −1  2 *   = sup  1 + Ms Θ − θ  Jg ,  g ∈G   ∂θ   

(

)

2  ∂ε0 / g  −1  2 *   = inf  1 + Mi Θ − θ  Jg .   g ∈G  ∂θ   

(

)

(18.6)

 îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ (18.3) è (18.6) íå ýêâèâàëåíòíû. Åñëè ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèÿìè (18.6) âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (18.3), òî ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (18.3) íå âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (18.6). Åñëè íå ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíîé îöåíêè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèÿìè (18.6), òî ýòè âûðàæåíèÿ õàðàêòåðèçóþò íå ïîòåíöèàëüíóþ òî÷íîñòü îöåíêè, à âåðõíþþ ãðàíèöó òî÷íîñòè îöåíêè. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà r X ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ r r âåêòîðîâ X / g S è X / g I , ñîîòâåòñòâóþùèå íåêîòîðûì âèðòóàëüíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì g S è g I , êîòîðûå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü, à ìîãóò è íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó G . r Òåîðåìà 2. Ïóñòü ïî âûáîðêå x îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîr r âèÿ g ∈ G ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà X = X / g ∈ G îöåíèâàåòñÿ

{

}

äåòåðìèíèðîâàííàÿ âåëè÷èíà θ . Ïðè ýòîì ãðàíèöû îáëàñòè îïr ðåäåëåíèÿ N-ìåðíûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé ãðàíèö f xr / θ,gS ( x ) ,

243

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

r f xr / θ,g I ( x ) íå çàâèñÿò îò θ , ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ãðàíèö àáñîr ëþòíî èíòåãðèðóåìû ïî x è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî θ .

Êðîìå òîãî, äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* ñóùåñòâóþò ïåðâûå äâà ìîìåíòà ãðàíèö. Òîãäà ñðåäíèå îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòû 2 àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ∆Sz , ∆ 2Iz è äèñïåðñèè ãðàíèö σS2 θ* , σ2I θ* îïðåäåëÿþòñÿ íåðàâåíñòâàìè 2

∂ε   2 ∆Sz ≥ σS2 θ* ≥  1 + S 0  J g−S1 , ∂θ   2

∂ε   ∆ 2Iz ≥ σ2I θ* ≥  1 + I 0  J g−I1 , ∂θ  

(18.7)

ãäå J gS , J gI – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó äëÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ: r 2  ∂ ln f r ( X ) / , x θ g S  , J gS = M     ∂θ    r 2  ∂ ln f r (X )   / , x θ g I  . J g I = M     ∂θ    Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâàíî íà íåðàâåíñòâå (18.5). Íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà (18.5) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (18.7). Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ áóäåì íàçûâàòü äîñòàòî÷íîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G N-ìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f xr / θ* , g ( x1 , ..., xN ) âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû θ , ò. å. îöåíêà íåñåò âñþ ñîñðåäîòî÷åííóþ â âûáîðêå ïîëåçíóþ èíôîðìàöèþ î θ . Åñëè îöåíêà ýôôåêòèâíàÿ, òî îíà äîñòàòî÷íàÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.

244

18.5. Интервальная гиперслучайная оценка детерминированной величины

18.5. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ðàññìîòðèì ãèïåðñëó÷àéíóþ èíòåðâàëüíóþ îöåíêó äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû. Ïóñòü äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ ñóùåñòâóåò ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* , ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè Z = Θ* − θ ýòîé îöåíêè îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè FSz (θ* − θ) , FIz (θ* − θ) , à ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö – âû-

ðàæåíèÿìè f Sz (θ* − θ) , f Iz (θ* − θ) (ðèñ. 18.8). Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîãðåøíîñòü îöåíêè íå áîëüøå −ε , îïðåäåëÿåòñÿ äâîéíûì íåðàâåíñòâîì α I ≤ P (Θ* / g − θ ≤ −ε) ≤ αS ,

à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà íå ìåíüøå ε , – íåðàâåíñòâîì βS ≤ P (Θ* / g − θ ≥ ε) ≤ βI ,

ãäå αI =

−ε

∫

f Iz (z )dz , αS =

−∞

−ε

∫

fSz (z )dz ,

−∞

βS =

∞

∫ fSz (z )dz , ε

βI =

∞

∫ f Iz (z )dz . ε

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè P (Θ* − ε < θ < Θ* + ε / g )

íàõîæäåíèÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû θ â äîâåðèòåëüíîì èíòåðâàëå I = (Θ* − ε, Θ* + ε / g ) îïðåäåëÿþòñÿ äâîéíûì íåðàâåíñòâîì 1 − (αS + βI ) ≤ P (Θ* − ε < θ < Θ* + ε / g ) ≤ 1 − (α I + βS ) .

Ïîäîáíî èíòåðâàëó [mS θ* − k σS θ* , mI θ* + k σI θ* ] , ýòî íåðàâåíñòâî õàðàêòåðèçóåò òî÷íîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè.

Ðèñ. 18.8. Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ïîãðåøíîñòè Z = Θ* − θ

245

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

*** Òàêèì îáðàçîì, èç-çà èçìåíåíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ðåàëüíûå îöåíêè íîñÿò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ïðè ýòîì îíè íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñîñòîÿòåëüíîñòè.  ðàìêàõ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìåðåíèÿ ïîãðåøíîñòü îïèñûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Åå íåëüçÿ ðàçëîæèòü íà ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùèå.  ÷àñòíîì ñëó÷àå (ïðè ñîâïàäåíèè ôîðìû ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè) ïîãðåøíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñèñòåìàòè÷åñêîé, èíòåðâàëüíîé è ñëó÷àéíîé.

246

Глава 19 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Ðàññìîòðåíà ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ. Âûâåäåíû ôîðìóëû, îïèñûâàþùèå ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â îáùåì è ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðàññ÷èòûâàòü ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 19.1. ГИПЕРСЛУЧАЙНО-ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ Ïîä ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëüþ èçìåðåíèÿ ïîíèìàåòñÿ ìîäåëü, â êîòîðîé èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà è åå îöåíêà ïðåäñòàâëÿþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü ìíîæåñòâî G îõâàòûâàåò ìíîæåñòâî âñåõ âàðèàíòîâ óñëîâèé ôîðìèðîâàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè. Çà âðåìÿ âçÿòèÿ âûáîðêè â ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g ∈ G çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû íå èçìåíÿåòñÿ. Èçìåðÿåìàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Θ/g , îïèñûâàþùèõ èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó ïðè ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g ∈ G : Θ = {Θ / g ∈ G } (ðèñ. 19.1). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ/g ìîæåò ïðèíèìàòü ìíîæåñòâî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé

{θ/g } .

Ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

{Θ}

îáðàçóåò ïðî-

ñòðàíñòâî Θ0 . Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* , ñîîòâåòñòâóþùàÿ èçìåðÿåìîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Θ , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Θ* /g , îïèñûâàþùèõ îöåíêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

{

}

Θ/g â óñëîâèÿõ g ∈ G : Θ* = Θ* / g ∈ G . Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* /g îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ

247

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

Ðèñ. 19.1. Êà÷åñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* / θ,g , îïèñûâàþùèì îöåíêó ïðè êîíêðåòíîì çíà÷åíèè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ/g , è çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ/g . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ* / θ,g

{θ

*

ìîæåò ïðèíèìàòü ìíîæåñòâî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé

}

/ θ,g . Ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê

{Θ } *

îáðàçóåò

ïðîñòðàíñòâî Θ*0 . Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* ôîðìèðóåòñÿ íà îñíîâå ãèïåðñëór r ÷àéíîé âûáîðêè äàííûõ X = X / g ∈ G èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóï-

{

}

íîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X = { X/g ∈ G } , äîñòóïíîé äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî èçìåðåíèÿ. Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* ÿâëÿåòñÿ r ôóíêöèåé (ñòàòèñòèêîé) ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X , ñëó÷àéíûå îöåíêè Θ* /g è Θ* / θ,g – ôóíêöèÿìè ñîîòâåòñòâåííî ñëó÷àéíûõ r r âûáîðîê X / g è X / θ,g , à êîíêðåòíàÿ îöåíêà θ* / θ,g – ôóíêöèr åé êîíêðåòíîé âûáîðêè x / θ,g . Âåëè÷èíû Θ , Θ* / θ,g , Θ* /g è Θ* îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ / g (θ) äëÿ âñåõ g ∈ G , óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè

f θ / g (θ) , ãðàíèöàìè

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS θ (θ) , FI θ (θ) è äð.), óñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mθ / g , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì

248

19.1. Гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения

Ðèñ. 19.2. Ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

îòêëîíåíèåì σθ / g è ò.ä.) è áåçóñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mS θ , mI θ , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö σS θ , σI θ è äð.). Ñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* / θ, g õàðàêòåðèçóåòñÿ âåðîÿòíîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ* / θ, g (θ) , ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f θ* / θ, g (θ) è ïð.) è ÷èñëîâûìè ïàðàìåòðàìè: ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mθ* / θ, g , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σθ* / θ, g è ò.ä., à ñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* / g – ôóíêöèåé ðàñïðåäåëå-

íèÿ Fθ* / g (θ) , ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mθ* / g = M[mθ* / Θ, g ] , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σθ* / g è ïð., ãäå â äàííîì ñëó÷àå îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M[⋅] äåéñòâóåò íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Θ/g . Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* îïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ* / g (θ) ∀g ∈ G , ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS θ* (θ) , FI θ* (θ) è

äð.), óñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mθ* /g , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σθ* / g äëÿ âñåõ g ∈ G è ò.ä.) è áåçóñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mS θ* , mI θ* , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö σS θ* , σI θ* è äð.).

Ñõåìàòè÷íî ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 19.2.

249

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

Îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, èìåÿ â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè êîír êðåòíóþ âûáîðêó x / θ,g , ñîîòâåòñòâóþùóþ íåèçâåñòíîé âåëè÷èíå θ è íåèçâåñòíûì óñëîâèÿì g ∈ G , à òàêæå àïðèîðíóþ èíôîðìàöèþ î ïàðàìåòðàõ è õàðàêòåðèñòèêàõ îöåíêè è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, âû÷èñëèòü îöåíêó è îöåíèòü òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. Îöåíêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íóþ èëè êàê èíòåðâàëüíóþ.  ïåðâîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ñôîðìèðîâàòü ïî âûáîðêå r x / θ,g êîíêðåòíóþ îöåíêó θ* / θ,g è äëÿ íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèé óêàçàòü ãðàíèöû ïîãðåøíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Θ è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêå Θ* . Âî âòîðîì ñëó÷àå ñ ó÷åòîì ãèïåðñëó÷àéíûõ ñâîéñòâ ïîãðåøíîñòè íàäî ðàññ÷èòàòü ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, íàêðûâàþùåãî èçìåðÿåìóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Θ . Ðàññìîòðèì îáà òèïà îöåíîê. 19.2. ТОЧЕЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКА ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Â ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g

î áëèçîñòè ñëó÷àéíîé îöåíêè

Θ /g ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Θ/g ìîæíî ñóäèòü ïî óñëîâíîé *

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fz / g (z ) ïîãðåøíîñòè Z/g = Θ* / g − Θ/g .  êà÷åñòâå ìåòðèêè ìîæíî èñïîëüçîâàòü êîðåíü èç ñðåäíåãî 2 êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆ z / g = M  Θ* / g − Θ / g  (èëè êâàäðàò   ýòîé âåëè÷èíû). Âåëè÷èíà ∆ z / g ñâÿçàíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mz / g è

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σz / g ïîãðåøíîñòè çàâèñèìîñòüþ ∆ z / g = mz2 / g + σ2z / g . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âåëè÷èíà mz / g ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñìåùåíèå îöåíêè ε g = mθ∗ / g − mθ / g â

óñëîâèÿõ g , à äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè σ2z / g ñâÿçàíà ñ óñëîâíûìè ìîìåíòàìè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè ñëåäóþùåé çàâèñèìîñòüþ: σ2z / g = σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g ,

250

19.2. Точечная гиперслучайная оценка гиперслучайной величины

Ðèñ. 19.3. Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ïîãðåøíîñòè

ãäå Rθ∗θ / g = M[(Θ* / g − mθ∗ / g )(Θ / g − mθ / g )] – óñëîâíûé êîâàðèàöèîííûé ìîìåíò îöåíêè è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.  íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèçóþò ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè FSz (z ) , FIz (z ) , à òàêæå âåëè÷èíû ∆Sz , ∆ Iz , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé

êîðíè èç ñðåäíèõ îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòîâ ïîãðåøíîñòè (ðèñ. 19.3): ∆Sz =

∞

∫

−∞

z 2 f Sz (z )dz , ∆ Iz =

∞

∫z

2

f Iz (z )dz ,

−∞

ãäå f Sz (z ) , f Iz (z ) – ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ FSz (z ) , FIz (z ) . Âåëè÷èíû ∆Sz , ∆ Iz îïðåäåëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mSz , mIz ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSz (z ) , FIz (z ) è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö σSz , σIz : 2 2 ∆Sz = mSz + σSz , ∆ Iz = mIz2 + σ2Iz .

 çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ mSz , mIz , σSz , σIz âåëè÷èíà ∆Sz ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå âåëè÷èíû ∆ Iz (ðèñ. 19.3).

Ïîãðåøíîñòü êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ z / g = θ* / θ, g − θ/g íåèçâåñòíûõ óñëîâèÿõ g ìîæíî îöåíèòü íåðàâåíñòâîì mSz − k σSz < z / g < mIz + k σIz ,

â

(19.1)

251

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

à èíòåðâàë íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ/g ïðè íàëè÷èè îöåíêè θ* / θ,g – íåðàâåíñòâîì θ* / θ, g − mIz − k σIz < θ / g < θ* / θ, g − mSz + k σSz ,

(19.2)

ãäå k – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà (ñì. ðèñ. 19.3), îïðåäåëÿåìàÿ ñòåïåíüþ äîâåðèÿ ê ðåçóëüòàòó èçìåðåíèÿ. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â íåðàâåíñòâàõ (19.1), (19.2) ó÷èòûâàåòñÿ ðàçëè÷èå äèñïåðñèé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííûì ïðè çíà÷èòåëüíîì èõ îòëè÷èè. Âûðàæåíèÿ (19.1), (19.2) óïðîùàþòñÿ, êîãäà óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè Z/g äëÿ âñåõ g ∈ G íå ïåðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîãðåøíîñòè mz / g åå óñëîâíûå äèñïåðñèè σ2z / g óâåëè÷èâàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «à» â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññèôèêàöèåé, ââåäåííîé â ïàðàãðàôå 6.5) èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «á»). Òîãäà èíòåðâàëû (19.1), (19.2) õàðàêòåðèçóþòñÿ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîãðåøíîñòè miz , msz è ãðàíèöàìè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî åå îòêëîíåíèÿ σiz , σ sz : miz = inf mz / g = inf ε g = εi , msz = sup mz/g = sup ε g = ε s , g ∈G

g ∈G

g ∈G

g ∈G

σiz = inf σz / g = inf σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g , g ∈G

g ∈G

σsz = sup σz / g = sup σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g . g ∈G

g ∈G

(19.3)

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» íåðàâåíñòâà (19.1), (19.2) èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä εi − k σiz < z / g < ε s + k σ sz , θ* / θ, g − ε s − k σ sz < θ / g < θ* / θ, g − εi + k σiz ,

(19.4)

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» – εi − k σsz < z / g < ε s + k σiz , θ* / θ, g − ε s − k σiz < θ / g < θ* / θ, g − εi + k σ sz .

(19.5)

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 , ∆ 2sz îïðåäåëÿ-

252

19.3. Аддитивная и мультипликативная модели оценки

þòñÿ ðàçíîñòüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé îöåíêè mθ* /g è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû mθ/g (ñìåùåíèåì îöåíêè ε g ), äèñïåðñèÿìè îöåíêè σ2θ* /g è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû σ2θ/g , à òàêæå êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì Rθ*θ / g ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ g ∈ G : ∆iz2 = inf ∆ 2z / g = inf (ε2g + σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g ), g ∈G

g ∈G

∆ 2sz = sup ∆ 2z / g = sup(ε2g + σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g ). g ∈G

g ∈G

Ñòðóêòóðà íåðàâåíñòâ (18.1), (19.1), îïèñûâàþùèõ ïîãðåøíîñòü ñîîòâåòñòâåííî äëÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé è ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëåé, îäèíàêîâà.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíà ÷åòûðüìÿ ïàðàìåòðàìè mSz , mIz , σSz , σIz , çàäàþùèìè íà îñè ïîãðåøíîñòè ìåñòîïîëîæåíèå è ðàçìåðû çîíû íåîïðåäåëåííîñòè.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ( σSz = σIz = σz ), ïîãðåøíîñòü Z ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà íåîïðåäåëåííîé z 0 è ñëó÷àéíîé Z% ñîñòàâëÿþùèìè. Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíîé [mSz , mIz ] , à ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ z .  ýòîì æå ÷àñòíîì ñëó÷àå äðóãîé âàðèàíò ïðåäñòàâëåíèÿ ïîãðåøíîñòè – ñ ïîìîùüþ ñèñòåìàòè÷åñêîé mSz , ñëó÷àéíîé Z% è èíòåðâàëüíîé [0, mIz − mSz ] ñîñòàâëÿþùèõ.

19.3. АДДИТИВНАЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ Â ðÿäå ñëó÷àåâ îöåíêà Θ* ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà àääèòèâíîé ìîäåëüþ, îïèñûâàåìîé ñóììîé èçìåðÿåìîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ è ãèïåðñëó÷àéíîé ïîìåõè W . Ïðè ýòîì ñìåùåíèå ε g ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ mw/g ñëó÷àéíîé ïîìåõè W / g , äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè σ2z / g – äèñïåðñèè ïîìåõè σ2w / g ,

ãðàíèöû ñìåùåíèÿ εi , ε s – ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìà-

253

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîìåõè miw , msw , à ãðàíèöû äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè σiz2 , σ2sz – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì äèñïåðñèè 2 , σ2sw . ïîìåõè σiw Òîãäà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè òèïà «à» íåðàâåíñòâà (19.4) ïðèîáðåòàþò âèä

miw − k σiw < z / g < msw + k σsw ,

θ* / θ, g − msw − k σ sw < θ / g < θ* / θ, g − miw + k σiw ,

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» íåðàâåíñòâà (19.5) – miw − k σsw < z / g < msw + k σiw , θ* / θ, g − msw − k σiw < θ / g < θ* / θ, g − miw + k σ sw .

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 = inf (mw2/g + σw2 / g ), ∆ 2sz = sup(mw2 / g + σw2 / g ) . g ∈G

g ∈G

(19.6)

Èç âûðàæåíèé (19.6) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå àääèòèâíîé ìîäåëè ïîìåõè ãèïåðñëó÷àéíûå îñîáåííîñòè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû íå âëèÿþò íà òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþò ëèøü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ïîìåõè. Ïðè ïðåíåáðåæèìî ìàëîé äèñïåðñèè σ2w / g ∀g ∈ G ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì êâàä2 ðàòà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîìåõè miw2 , msw .  äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå îöåíêà Θ* ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëüþ, îïèñûâàåìîé âûðàæåíèåì Θ* = (1 + Ξ)Θ . Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü Z/g = (Ξ / g )(Θ/g ) , ãäå Ξ , Ξ/g – ñîîòâåòñòâåííî ãèïåðñëó÷àéíàÿ è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæèòåëü ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè. Åñëè âåëè÷èíû Ξ/g , Θ/g íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g , òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè mz / g (ñìåùåíèå îöåíêè) ðàâíî mξ / g mθ / g , à äèñïåðñèÿ σ2z / g = σ2ξ / g σ2θ / g + mξ2 / g σ2θ / g + σ2ξ / g mθ2 / g ,

ãäå mξ / g , σ2ξ / g – ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ìíîæèòåëÿ Ξ / g . Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåø-

254

19.4. Гиперслучайная оценка результатов косвенных измерений …

íîñòè ∆ 2z / g = (mξ2 / g + σ2ξ / g )(mθ2 / g + σ2θ / g ) , ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 = inf [(mξ2 / g + σ2ξ / g )(mθ2 / g + σ2θ / g )] , g ∈G

∆ 2sz = sup[(mξ2 / g + σ2ξ / g )(mθ2 / g + σ2θ / g )] , g ∈G

à ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ, âõîäÿùèå â íåðàâåíñòâà (19.1) è (19.2), îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè: mSz = mS ξ mS θ , mIz = mI ξ mI θ , 2 σSz = σS2 ξ σS2 θ + mS2ξ σS2 θ + σS2 ξ mS2θ , σ2Iz = σ2I ξ σ2I θ + mI2ξ σ2I θ + σ2I ξ mI2θ ,

ãäå mS ξ , mI ξ – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, à σS2 ξ , σ2I ξ – äèñïåðñèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè. Êàê âèäíî, â äàííîì ñëó÷àå ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè äâóõ âåëè÷èí: ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. 19.4. ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé (âûõîäíîé) âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè èçìåðåíèé äðóãèõ (âõîäíûõ) âåëè÷èí. Ïóñòü âûõîäíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîé ôóíêöèåé M âõîäíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y m (m = 1, M ) : Θ = ϕ(Y1 ,...,Y M ) . Ïðè ýòîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ/g ÿâëÿåòñÿ

ôóíêöèåé

ñëó÷àéíûõ

âåëè÷èí

Y m / g (m = 1, M ) :

Θ / g = ϕ(Y1 / g1 ,...,Y M / g ) , à ñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ / g – ôóíêöèåé *

ñëó÷àéíûõ îöåíîê Y m* / g (m = 1, M ) : Θ* / g = ϕ(Y1* / g ,...,Y M* / g ) . Òîãäà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèÿìè mθ / g = ϕ(my

1

/g

,..., my

M

/g

) , mθ* / g = ϕ(my* / g ,..., my* 1

M /g

),

à ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà – âûðàæåíèÿìè

255

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

σ2θ / g =

M

m =1 l =1

σ2θ* / g = Rθ*θ / g =

ãäå my

m

/g

, my *

m

/g

∂ϕ ∂ϕ Ry y m l m ∂yl

M

∑ ∑ ∂y M

M

,

/g

∂ϕ ∂ϕ Ry * y * / g , * m l m ∂yl

∑ ∑ ∂y *

m =1 l =1 M

M

∂ϕ ∂ϕ Ry * y m l m ∂yl

∑ ∑ ∂y *

m =1 l =1

/g

,

– ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè-

∂ϕ ∂ϕ , – ïðîèçâîäíûå ∂ym ∂ym* ôóíêöèè ϕ( y1 ,..., yM ) ïî ym ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ (y1 ,..., yM ) = è (y1 ,..., yM ) = (my* / g ,..., my* / g ) ; = (my / g ,..., my / g ) Ry y / g ,

÷èí Y m / g , Y m* / g ñîîòâåòñòâåííî;

1

Ry * y * / g , Ry * y m l

m l /g

M

1

M

m l

– êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ñîîòâåòñòâåííî ïàð

âåëè÷èí (Y m / g ,Yl / g ) , (Y m* / g ,Yl * / g ) , (Y m* / g ,Yl / g ) . Ïîñêîëüêó ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè mz / g ðàâíî ñìåùåíèþ îöåíêè ε g = mθ∗ / g − mθ / g â óñëîâèÿõ g , à äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè σ2z / g ñâÿçàíà ñ óñëîâíûìè ìîìåíòàìè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè çàâèñèìîñòüþ σ2z / g = σ2θ* / g + σ2θ / g − 2Rθ*θ / g , ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / g , ðàâíûé mz2 / g + σ2z / g , îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì ∆ 2z / g = [ϕ(my* / g ,..., my*

M

1

/g

) − ϕ(my

1

M M  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +∑ ∑  * Ry * y * / g + R * m l ∂ym ∂yl ym yl m =1 l =1  ∂ym ∂yl

/g

/g

,..., my −2

M

/g

)]2 +

∂ϕ ∂ϕ R* ∂ym* ∂yl ym yl

/g

 . 

Èñïîëüçóÿ ýòî ðàâåíñòâî, íåòðóäíî ðàññ÷èòàòü ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 = inf ∆ 2z / g , g ∈G

256

∆ 2sz = sup ∆ 2z / g . g ∈G

Глава 20 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ââåäåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷íîé îöåíîê. Äîêàçàíû òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Äàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå èçâåñòíîãî èç ïðàêòèêè ôàêòà, ÷òî òî÷íîñòü ëþáûõ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé èìååò ïðåäåë, ïðåîäîëåòü êîòîðûé íå óäàåòñÿ äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîì îáúåìå äàííûõ. 20.1. НЕСМЕЩЕННАЯ И СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåì íàçûâàòü íåñìåùåííîé (íåñìåùåííîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mθ* / g ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* / g ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ mθ/g óñëîâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ / g , ò.å. åñëè ε g = 0

∀g ∈ G . Â ïðîòèâ-

íîì ñëó÷àå îöåíêó áóäåì íàçûâàòü ñìåùåííîé. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé îöåíêè äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ñîãëàñîâàíî ñ îáùåïðèíÿòûì îïðåäåëåíèåì ýòîãî æå ïîíÿòèÿ äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû è ñëó÷àéíîé îöåíêè [Ëåâèí, 1976, Âàí Òðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003], à òàêæå äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè (ñì. ïàðàãðàô 18.3). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè îöåíêà íåñìåùåííàÿ, òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè ñîâïàäàþò mi θ = mi θ* , ms θ = ms θ* . Ïðè ýòîì èç ôàêòà, ÷òî îöåíêà íåñìåùåííàÿ, íå ñëåäóåò, ÷òî îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò

257

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö (ò.å. mS θ = mS θ* , mI θ = mI θ* ).

Ñîâïàäåíèå èìååò ìåñòî ëèøü â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, êîãäà îáà ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí Θ è Θ* îòíîñÿòñÿ ê òèïó «à» èëè «á» ñîãëàñíî êëàññèôèêàöèè ïàðàãðàôà 6.5.  ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ ïðè íåñìåùåííîé îöåíêå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ðàâíû íóëþ: mSz = mIz = 0 . Îïðåäåëåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòíûé ñëó÷àé ñìåùåííîé îöåíêè – ñìåùåííîé íà ôèêñèðîâàííóþ âåëè÷èíó ε0 ∀g ∈ G . Òîãäà ãðàíèöû ñìåùåíèÿ εi = ε s = ε 0 .

Äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ è ñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* , êàê èçâåñòíî, ñîñòîÿòåëüíîé íàçûâàåòñÿ îöåíêà, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê âåëè÷èíå θ [Ëåâèí, 1976, Âàí Òðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003]. Îïðåäåëåíèå ñîñòîÿòåëüíîé ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* / θ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ äàíî â ïàðàãðàôå 18.3. Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåì íàçûâàòü ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåëè÷èíå:

{

}

lim P Θ* / g − Θ / g > ε = 0 ∀g ∈ G ,

N →∞

ãäå N – îáúåì âûáîðêè äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g . Ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ áîëåå ñëàáàÿ, ÷åì ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè [Ãíåäåíêî, 1988]. Ïîýòîìó íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* ê ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Θ ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ* / g (θ) ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ / g (θ) . ×àñòíûì ñëó÷àåì ââîäèìîãî ïîíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ , îïðåäåëÿåìàÿ ïðè ïîñòîÿííûõ è åäèíñòâåííûõ óñëîâèÿõ íàáëþäåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: lim P { Θ* − Θ > ε} = 0 . N →∞

Ñìûñë ýòîãî âûðàæåíèÿ ïîíÿòåí. Ñëó÷àéíóþ ïîãðåøíîñòü Z = Θ* − Θ ïðè îáúåìå âûáîðêè N ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïà-

258

20.1. Несмещенная и состоятельная гиперслучайные оценки …

ðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ FzN (z ) , çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà N . Ïðè óñòðåìëåíèè N ê áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FzN (z ) ïðèáëèæàåòñÿ ê ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà Fz ∞ (z ) â òî÷êå 0 . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ñîõðàíÿþùàÿ ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ , òàê æå, êàê è ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû, íåñîñòîÿòåëüíà (ÿâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêîé ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà).  ñëó÷àå ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äåëî îáñòîèò íåñêîëüêî èíà÷å. Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ ñîõðàíÿåò ïðè N → ∞ ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð, òî òåîðåòè÷åñêè îöåíêà ìîæåò áûòü êàê ñîñòîÿòåëüíîé, òàê è íåñîñòîÿòåëüíîé. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíêè ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè ïðè èçìåíåíèè óñëîâèé, ÷òî ïðàêòè÷åñêè íåðåàëüíî. Ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ àäåêâàòíîñòü îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåäóð èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè, ñëåäóåò ïðèçíàòü, ÷òî âñå ðåàëüíûå îöåíêè íåñîñòîÿòåëüíû, ò.å. ÿâëÿþòñÿ îöåíêàìè ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà. Îòñþäà ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíûé âûâîä: äîñòè÷ü áåñêîíå÷íî âûñîêîé òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ âåëè÷èí ïðèíöèïèàëüíî íåëüçÿ íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ, äàæå ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì îáúåìå äàííûõ. Ïîäòâåðæäåíèåì ýòîãî ñëóæàò ñëåäñòâèÿ èç òåîðåì, äîêàçàííûõ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.  çàêëþ÷åíèå íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà îòìåòèì, ÷òî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìåðåíèÿ, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè (ñì. ïàðàãðàô 18.3), ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû íåîïðåäåëåííîé è ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùèõ, îïèñûâàåìûõ ñîîòâåòñòâåííî èíòåðâàëüíîé è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíàìè.

259

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

20.2. ЭФФЕКТИВНАЯ И ДОСТАТОЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ*e ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåì íàçûâàòü ýôôåêòèâíîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè Θ*e / g îò âåëè÷èíû Θ / g ïî ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê çàäàííîãî

îáúåìà N (ò.å. ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / g ) íå áîëüøå, ÷åì äëÿ ëþáûõ äðóãèõ îöåíîê Θ*i / g : ∆ 2ze / g ≤ ∆ 2zi / g , i = 1,2,..., ∀g ∈ G ,

(20.1)

ãäå ∆ 2ze / g = M[(Θe∗ / g − Θ / g )2 ] , ∆ 2zi / g = M[(Θ∗i / g − Θ / g )2 ] .

Êàê è äëÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìåðåíèÿ, ìåðîé ýôôåêòèâíîñòè ìîãóò ñëóæèòü ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè li , l s , îïðåäåëÿåìûå â äàííîì ñëó÷àå êàê ãðàíèöû îòíîøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îò Θ/g ýôôåêòèâíîé îöåíêè Θ*e / g ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îò Θ / g ðàññìàòðèâàåìîé îöåíêè Θ* / g : li = inf

M[(Θ∗e / g − Θ / g )2 ] , M[(Θ* / g − Θ / g )2 ]

l s = sup

M[(Θ∗e / g − Θ / g )2 ] . M[(Θ* / g − Θ / g )2 ]

g ∈G

g ∈G

Ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëå [0,1]. Êîãäà îöåíêà ýôôåêòèâíà, li = l s = 1 . Ãðàíèöû òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè òåîðåìàìè. r r Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêå X = X / g ∈ G

{

}

îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g ∈ G îöåíèâàåòñÿ ãèïåðñëó-

260

20.2. Эффективная и достаточная гиперслучайные …

÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ , îïèñûâàåìàÿ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé f θ / g (θ) . Ïðè ýòîì ( N + 1 )-ìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü r ðàñïðåäåëåíèÿ f xr ,θ / g ( x , θ) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ , ïðîr r ∂ 2 f xr ,θ / g ( x , θ) ∂f xr ,θ / g ( x , θ) èçâîäíûå è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû ∂θ ∂θ2 r ïî x è θ , à ∞ r r lim ∫ (θ* − θ) f xr ,θ / g ( x , θ) dx = 0 . θ→±∞

−∞

Òîãäà ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 ≥ inf J g−1 , g ∈G

∆ 2sz ≥ sup J g−1 , g ∈G

(20.2)

ãäå J g – óñëîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó, îïðåäåëÿåìàÿ âûðàæåíèåì r r 2  ∂ ln f r    ∂ 2 ln f xr ,θ / g ( X , Θ)  x ,θ / g ( X , Θ)    = −M  Jg = M  .    ∂Θ ∂Θ2        

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâàíî íà èçâåñòíîì íåðàâåíñòâå Êðàìåðà–Ðàî äëÿ ñëó÷àéíûõ îöåíîê [Ëåâèí, 1976, Âàí Òðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003]. Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ â òåîðåìå óñëîâèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: ∆ 2z / g ≥ J g−1 ∀g ∈ G . Îòñþäà ñëåäóþò íåðàâåíñòâà (20.2). Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè N r f xr ,θ / g ( x , θ) = f θ / g (θ)∏ f x / θ, g ( xn ) , n =1

 ∂ 2 [ln f θ / g (Θ) + N ln f x / θ, g ( X )]   J g = −M   .  ∂Θ2  

Åñëè ýëåìåíòû âûáîðêè X n / g ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àääèòèâíóþ ñìåñü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ / g ñ äèñïåðñèåé σ2θ / g è íåçàâèñèìîé ñëó÷àéíîé îäíîðîäíîé ïîìåõè V / g ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì mv / g è äèñïåðñèåé σ2v / g , òî ïðè ãàóññîâñêîì ðàñïðå-

261

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

äåëåíèè âåëè÷èí Θ / g è X n / g óñëîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó J g =

1 N + . σ2θ / g σ2v / g

Òîãäà ïðè N → ∞ èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà ∆iz2 ≥ 0 , ∆ 2sz ≥ 0 . Íà îñíîâàíèè ýòîãî ðåçóëüòàòà ìîæåò ñëîæèòüñÿ ìíåíèå, ÷òî âûâîä ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, êàñàþùèéñÿ ïðåäåëà òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, íåâåðåí, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åííî âûñîêîé.  äåéñòâèòåëüíîñòè ýòî íå òàê. Áîëåå òî÷íûå ãðàíèöû òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå äâóìÿ ñëåäóþùèìè òåîðåìàìè, âíîñÿò íåîáõîäèìóþ ÿñíîñòü â ýòîò âîïðîñ. r r Òåîðåìà 2. Ïóñòü ïî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêå X = X / g ∈ G

{

}

îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g ∈ G îöåíèâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ , îïèñûâàåìàÿ óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ f θ / g (θ) . Ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ N -ìåðr íîé óñëîâíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f xr / θ, g ( x ) íå çàâèñÿò îò r θ , ýòà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà ïî x è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ . Êðîìå òîãî, äëÿ óñëîâíîé ñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* / θ, g ñóùåñòâóþò äâà ïåðâûõ ìîìåíòà. Òîãäà ãðàíèöû σi2θ∗ , σ2s θ∗ ñðåäíåé äèñïåðñèè σ2θ∗ / g = M[σ2θ∗ / Θ, g ] äèñïåðñèè σ2θ∗ / θ, g îöåíêè Θ* / θ, g îïðåäåëÿþòñÿ íåðàâåíñòâàìè 2   ∂εΘ / g  −1 σi2θ∗ ≥ inf M 1 + J g (Θ) ,  g ∈G ∂Θ   

σ

2 s θ∗

2   ∂ε Θ / g  −1 ≥ sup M  1 +  J g (Θ) , g ∈G ∂Θ   

(20.3)

à ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè – íåðàâåíñòâàìè   ∂εΘ / g ∆ ≥ inf M ε2Θ / g + 1 +  g ∈G  ∂Θ   2 iz

262

2   −1  J g (Θ) ,    

20.2. Эффективная и достаточная гиперслучайные …

∆

2 sz

  ∂ε Θ / g ≥ sup M ε2Θ / g +  1 +   ∂Θ g ∈G  

2   −1  J g (Θ) ,    

(20.4)

ãäå ε θ / g = (mθ* / θ, g − θ / g ) – ñìåùåíèå îöåíêè Θ* / θ, g â óñëîâèÿõ g îòíîñèòåëüíî θ / g ; J g (θ) – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó äëÿ ñëó-

÷àéíîé îöåíêè Θ* / θ, g : r 2 r  ∂ ln f r  ∂ 2 ln f xr / θ, g ( X )  (X )   / , x θ g   = −M  J g (θ) = M  .    ∂θ ∂θ2        

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà íåðàâåíñòâå Êðàìåðà– Ðàî äëÿ ñëó÷àéíîé îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* / θ, g ïðè ôèêñèðîâàííûõ âåëè÷èíàõ θ , g è âûïîëíåíèè óêàçàííûõ â òåîðåìå óñëîâèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äèñïåðñèè σ2θ∗ / θ,g è ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / θ, g = M[(Θ∗ / θ, g − θ / g )2 ] : ∂εθ / g  −1  2 2 2 ≥ 1 +  J g (θ) , ∆ z / θ, g = ε θ / g + σθ∗ / θ, g . ∂θ   2

σθ∗ / θ, g 2

Òîãäà äëÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè σ2θ∗ / g è ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / g = M[∆ 2z / Θ, g ] èìååì σ

∆

2 z/g

2 θ∗ / g

2   ∂εΘ / g  −1 ≥ M  1 +  J g (Θ) , ∂Θ   

2   ∂εΘ / g  −1  2  ≥ M εΘ / g + 1 +  J g (Θ) . ∂Θ    

(20.5)

Èç íåðàâåíñòâ (20.5) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà (20.3) è (20.4). Èç âûðàæåíèé (20.3) âèäíî, ÷òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íóëåâîé ñðåäíåé äèñïåðñèè âåëè÷èíà ∂εθ / g ∂θ äëÿ âñåõ θ / g äîëæíà áûòü ðàâíîé −1 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èòü íóëåâîå ñðåäíåå ñìåùåíèå è íóëåâóþ ñðåäíþþ äèñïåðñèþ îöåíêè.

263

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè  ∂ 2 ln f x / θ, g ( X )  J g (θ) = −NM  . ∂θ2  

Òîãäà ïðè N → ∞ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà ∆iz2 ≥ inf M[ε2Θ / g ] , ∆ 2sz ≥ sup M[ε2Θ / g ] . g ∈G

g ∈G

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ òî÷íîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ãðàíèöàìè ñðåäíåãî êâàäðàòà ñìåùåíèÿ, à áåñêîíå÷íî âûñîêàÿ òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè è îòñóòñòâèè ñìåùåíèÿ äëÿ âñåõ θ è óñëîâèé g ∈G . Ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè, êàê ïðàâèëî, ìåíÿþòñÿ àñèíõðîííî. Ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêè íåðåàëüíî, ÷òîáû îáåñïå÷èâàëîñü îòñóòñòâèå ñìåùåíèÿ äëÿ âñåõ óñëîâèé, à, ñëåäîâàòåëüíî, è áåñêîíå÷íî âûñîêàÿ òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. Âìåñòî ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíîé îöåíêè ìîæíî ââåñòè äðóãîå îïðåäåëåíèå, îñíîâàííîå íà íåðàâåíñòâàõ (20.4): ýôôåêòèâíîé ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêîé Θ*e ìîæíî íàçâàòü îöåíêó Θ* çàäàííîãî îáúåìà N , äëÿ êîòîðîé ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè   ∂εΘ / g ∆ = inf M ε2Θ / g +  1 +  g ∈G  ∂Θ  

2   −1  J g (Θ) ,    

  ∂εΘ / g ∆ 2sz = sup M ε2Θ / g + 1 +   ∂Θ g ∈G  

2   −1  J g (Θ) .    

2 iz

(20.6)

Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ (20.1) è (20.6) íå ýêâèâàëåíòíû. r r Òåîðåìà 3. Ïóñòü ïî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêå X = X / g ∈ G

{

}

îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g ∈ G îöåíèâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ , îïèñûâàåìàÿ óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ f θ / g (θ) . Ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ N-ìåðíûõ

264

20.2. Эффективная и достаточная гиперслучайные …

r r ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö f xr / θ, gS ( x ) , f xr / θ, g I ( x ) íå çàâè-

ñÿò îò θ , ýòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû r ïî x è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî θ . Êðîìå òîãî, äëÿ ñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* / θ, g ñóùåñòâóþò äâà ïåðâûõ ìîìåíòà. Òîãäà ñðåäíèå

äèñïåðñèè

ãðàíèö

ðàñïðåäåëåíèÿ

ïîãðåøíîñòè

σS2 θ∗ =

= M[σ2θ∗ / Θ, g ] , σ2I θ∗ = M[σ2θ∗ / Θ, g ] îïèñûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè I

S

σ

2 S θ∗

σ

2 I θ∗

2   ∂εΘ / gS  −1  ≥ M 1 +  J gS (Θ) , ∂Θ    2   ∂εΘ / gI  −1 ≥ M  1 +  J gI (Θ) , ∂Θ   

(20.7)

2 à ñðåäíèå îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆Sz è ∆ 2Iz –

íåðàâåíñòâàìè 2   ∂εΘ / gS  −1  2 ∆Sz ≥ M ε2Θ / gS +  1 +  J gS (Θ) , ∂Θ    

∆

2 Iz

2   ∂εΘ / g I  −1  2  ≥ M εΘ / gI + 1 +  J g I (Θ) , ∂Θ    

(20.8)

ãäå εθ / gS , εθ / g I – ñìåùåíèÿ îöåíêè äëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ; J gS (θ) , J gI (θ) – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó äëÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ: r 2  ∂ ln f r  x / θ, g S ( X )   , J gS (θ) = M     ∂θ    r 2  ∂ ln f r  x / θ, g I ( X )   . J gI (θ) = M     ∂θ   

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïîäîáíî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîð-

265

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

r êè X ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëór r ÷àéíûõ âåêòîðîâ X / g S , X / g I , ñîîòâåòñòâóþùèõ âèðòóàëüíûì óñëîâèÿì g S , g I , êîòîðûå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü, à ìîãóò è íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó G . Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâà (20.5), èìååì íåðàâåíñòâà (20.7), (20.8). Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè îáúåìîì N

 ∂ ln f x / θ, g ( X ) 2  S J gS (θ) = NM   , ∂θ     ∂ ln f x / θ, g ( X ) 2  I J gI (θ) = NM   . ∂θ   

Òîãäà ñðåäíèå îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòû ïîãðåøíîñòè 2 ∆Sz è ∆ 2Iz ïðè N → ∞ ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê M[ε2Θ / gS ] è M[ε2Θ / gI ] .

Äëÿ íåâûðîæäåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* / θ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà mθ* / θ, g < mθ* / θ, g , εθ / gS < ε θ / gI . Ñ ó÷åòîì ýòîãî S

max M[ε

I

] > 0 . Òîãäà ïðè N → ∞ ìàêñèìàëüíûé ñðåäíèé îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàò ïîãðåøíîñòè áîëüøå íóëÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îãðàíè÷åíà. Ñëåäñòâèÿ òåîðåì 2, 3 äàþò òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå õîðîøî èçâåñòíîãî èç ïðàêòèêè ôàêòà, ÷òî òî÷íîñòü ëþáûõ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé èìååò ïðåäåë, ïðåîäîëåòü êîòîðûé íå óäàåòñÿ äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîì îáúåìå äàííûõ. Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåì íàçûâàòü äîñòàòî÷íîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G N-ìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f xr / θ* , g ( x1 , ..., xN ) 2 Θ / gS

], M[ε

2 Θ / gI

âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû Θ , ò. å. îöåíêà íåñåò âñþ ñîñðåäîòî÷åííóþ â âûáîðêå ïîëåçíóþ èíôîðìàöèþ î Θ . Ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñîâàíî ñ èçâåñòíûì îïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé äîñòàòî÷íîé îöåíêè è ãèïåðñëó÷àéíîé äîñòàòî÷íîé îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû.

266

20.3. Интервальная гиперслучайная оценка гиперслучайной величины

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, òî îíà äîñòàòî÷íàÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. 20.3. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКА ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ðàññìîòðèì èíòåðâàëüíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë [z1 , z 2 ] , õàðàêòåðèçóþùèé âåëè÷èíó ãèïåðñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè Z , è ïðåäïîëàãàåìûé èíòåðâàë θ* / θ, g − z 2 < θ / g < θ* / θ, g − z1 íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ/g ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû, èñõîäÿ èç ãðàíèö äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü αS =

z1

∫

fSz (z )dz , α I =

−∞

βS =

∞

∫

z1

∫

f Iz (z )dz ,

−∞

f Sz (z )dz , βI =

z2

∞

∫

f Iz (z )dz .

z2

Òîãäà α I ≤ P (Z ≤ z1 / g ) ≤ αS , βS ≤ P (Z ≥ z 2 / g ) ≤ βI . Îòñþäà γ i ≤ P (z1 < Z < z 2 / g ) ≤ γ s , èëè γ i ≤ P (θ* − z 2 < Θ < θ* − z1 / g ) ≤ γ s ,

ãäå γ i , γ s – ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè: γ i = 1 − (αS + βI ) , γ s = 1 − (α I + βS ) .

(20.9)

Ïðè èçâåñòíûõ ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ïîãðåøíîñòè FSz (z ) , FIz (z ) ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ i , γ s îïðåäåëÿþò ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà z1 , z 2 . Äëÿ ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ñ ïàðàìåòðàìè (mSz , σSz ) , (mIz , σIz ) ðàñ÷åò ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ó÷òåì, ÷òî  z − mSz αS = Φ  1  σSz

  z1 − mIz  , α I = Φ    σIz

  , 

267

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

 z − mSz βS = 1 − Φ  2  σSz

  z 2 − mIz  , βI = 1 − Φ    σIz

  , 

ãäå Φ( x ) – ôóíêöèÿ ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé. Òîãäà èç âûðàæåíèÿ (20.9) èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé   z 2 − mIz   z1 − mSz Φ   − Φ  σ Iz     σSz   z1 − mIz   z 2 − mSz   − Φ  Φ  σ Sz   σIz  

  = γ i ,    = γ s . 

Èñêîìûå ãðàíèöû z1 , z 2 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû. 20.4. КРИТИЧЕСКИЙ ОБЪЕМ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Îáúåì âûáîðêè èìååò ñìûñë óâåëè÷èâàòü äî òåõ ïîð, ïîêà ýòî ïðèâîäèò ê îùóòèìîìó ïîâûøåíèþ òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ. Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêèé îáúåì âûáîðêè, âûøå êîòîðîãî óâåëè÷èâàòü îáúåì îáðàáàòûâàåìûõ äàííûõ îêàçûâàåòñÿ íåöåëåñîîáðàçíûì.  ýòîì îòíîøåíèè ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè âåäóò ñåáÿ ïîäîáíî èíòåðâàëüíûì îöåíêàì [Îðëîâ, 2002]. Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà Θ , r îöåíêà Θ* è âûáîðêà X – ãèïåðñëó÷àéíû. Ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà r X / g = {X n / g , n = 1, N } , ñîîòâåòñòâóþùàÿ óñëîâèÿì g ∈ G , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àääèòèâíóþ ñìåñü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ / g ñ äèñïåðñèåé σ2θ / g è ñëó÷àéíîé îäíîðîäíîé ïîìåõè, îïèr ñûâàåìîé âåêòîðîì V / g , êîìïîíåíòû êîòîðîãî íåçàâèñèìû è èìåþò ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ mv / g è äèñïåðñèè σ2v / g . Ïîìåõà íå çàâèñèò îò èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è äèñïåðñèÿ ïîìåõè ëåæèò â äèàïàçîíå ( σiv2 , σ2sv ). Ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ èçìåíÿþòñÿ íàñòîëüêî ìåäëåííî, ÷òî óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ âûáîðêè ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííûìè. Íåîáõîäèìî îöåíèòü èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó θ / g â íåèçâåñòíûõ óñëîâèÿõ g ∈ G è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ.

268

20.4. Критический объем гиперслучайной выборки

Èìåÿ N ïîäðÿä èäóùèõ îòñ÷åòîâ xn / θ,g , ìîæíî ñôîðìèðîâàòü äëÿ íåèçâåñòíûõ óñëîâèé g ∈ G îöåíêó θ* / θ, g = Ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / g = mv2 +

1 N σ

N

∑ xn / θ, g . n =1

2 v/g

. Òîãäà â ñîN îòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (19.6) ýòó âåëè÷èíó ìîæíî îöåíèòü ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì: |ε |i2 +

σiv2 σ2 < ∆ 2z / g < | ε |2s + sv , N N

(20.10)

ãäå |ε |i2 = inf mv2 / g , |ε |2s = sup mv2 / g – êâàäðàòû íèæíåé è âåðõíåé g ∈G

g ∈G

ãðàíèö ìîäóëÿ ñìåùåíèÿ îöåíêè. Ïðè N → ∞ èìååì |ε |i2 < ∆ 2z / g < | ε |2s . Èñïîëüçóÿ ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (20.10), ìîæíî îöåíèòü 10σ2sv êðèòè÷åñêèé îáúåì N 0 âûáîðêè: N 0 > . | ε |2s Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì âåðõíåé ãðàíèöû ìîäóëÿ ñìåùåíèÿ è ñ óâåëè÷åíèåì âåðõíåé ãðàíèöû äèñïåðñèè ïîìåõè σ2sv ãðàíèöà êðèòè÷åñêîãî îáúåìà âûáîðêè âîçðàñòàåò. Åñëè âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìîäóëÿ ñìåùåíèÿ ñîïîñòàâèìà ñ âåðõíåé ãðàíèöåé ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ïîìåõè, êðèòè÷åñêèé îáúåì âûáîðêè N 0 îêàçûâàåòñÿ â ðàéîíå âñåãî äåñÿòè îòñ÷åòîâ. Îïèñàííûå ìåòîäû ïðèìåíèìû äëÿ ðàñ÷åòà ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ, ñëó÷àéíûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íàáëþäàåìûõ â íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ. Îíè äàþò áîëåå îáúåêòèâíóþ èíôîðìàöèþ îá èññëåäóåìîì ÿâëåíèè, ÷åì òðàäèöèîííûå ìåòîäû, ïðåäïîëàãàþùèå îïðåäåëåííûé, íàïðèìåð ðàâíîìåðíûé, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ óñëîâèé èëè âîîáùå èãíîðèðóþùèå ôàêò èçìåíåíèÿ óñëîâèé. * * * Ðàññìîòðåííûå â ãëàâàõ 18–20 ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ r ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ïîñòðîåíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âûáîðêà X , îöåíêà Θ* , à â ãëàâàõ 19, 20 è èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà Θ àäåêâàòíî îïèñûâàþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè ÷àñòíîãî âèäà, ïðåäñòàâ-

269

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

ëÿåìûìè ìíîæåñòâàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ, r r ò.å. X = X / g ∈ G , Θ* = Θ* / g ∈ G è Θ = {Θ / g ∈ G } .

{

}

{

}

Áîëåå îáùèå ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ ó÷èòûâàþò âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ óñëîâèé â ïðîöåññå ôîðìèðîâàíèÿ âûáîðêè. Ïðè ýòîì âûáîðêà, îöåíêà è èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè îáùåãî âèäà, ïðåäñòàâëÿåìûìè ìíîæåñòâàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â èçìåíÿþùèõñÿ óñr r r r r r r s ëîâèÿõ, ò.å. X = X / g ∈ G , Θ* = Θ* / g ∈ G è Θ = Θ / g ∈ G .

{

}

{

}

{

}

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îáùåãî âèäà âî âñåõ âûðàæåíèÿõ ãëàâ 18–20, ãäå âñòðå÷àåòñÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èr íà g , ñëåäóåò ïðîñòàâèòü âåêòîð g , à òàì, ãäå âñòðå÷àåòñÿ ìíîr æåñòâî G , – ìíîæåñòâî G . Ïåðåõîä ê áîëåå îáùèì ãèïåðñëó÷àéíûì ìîäåëÿì íå ïðèâíîñèò íè÷åãî íîâîãî, ïîñêîëüêó, ïî ñóòè, ïðîñòî îäíî îáîçíà÷åíèå ìåíÿåòñÿ íà äðóãîå. * * *  çàêëþ÷åíèå ãëàâ, ïîñâÿùåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûì ìîäåëÿì èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, õîòåëîñü áû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ èç-çà èçìåíåíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ðåàëüíûå îöåíêè íîñÿò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ýòè îöåíêè íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñîñòîÿòåëüíîñòè. Ïîýòîìó ðàññìîòðåííûå ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè áîëåå àäåêâàòíî, ÷åì êëàññè÷åñêàÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþò ïðîöåäóðó èçìåðåíèÿ.  ðàìêàõ ýòèõ ìîäåëåé ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ýòó ïîãðåøíîñòü íåëüçÿ ðàçëîæèòü íà ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùèå.  ÷àñòíîì ñëó÷àå (ñîâïàäåíèÿ ôîðìû ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè) ïîãðåøíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñóììîé òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñèñòåìàòè÷åñêîé, èíòåðâàëüíîé è ñëó÷àéíîé.

270

Глава 21 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê äåòåðìèíèðîâàííûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îáîáùåíû íà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îáîñíîâàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âñå ðåàëüíûå îöåíêè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íåñîñòîÿòåëüíû, à òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ, êàê è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îãðàíè÷åíà. 21.1. ГИПЕРСЛУЧАЙНО-ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ Â ïðåäûäóùèõ äâóõ ãëàâàõ íå ñòàâèëàñü çàäà÷à îöåíêè çàêîíà èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïðè ïîñòàíîâêå òàêîé çàäà÷è â ðàìêàõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îáúåêòîì èçìåðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ Θ(t ) . Åå îöåíêîé ÿâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ Θ* (t ) , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñòàòèñòèêó âûáîðêè X (t ) , ãäå t ∈ T – âðåìÿ, T – èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ. Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè Θ(t ) , X (t ) è Θ* (t ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâîì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé: Θ(t )= {Θ(t )/g ∈ G } , X (t ) = { X (t )/g ∈ G } , Θ* (t ) = Θ* (t )/g ∈ G . Ñëó-

{

}

÷àéíûå ôóíêöèè Θ(t )/g , X (t )/g , Θ (t )/g ìîãóò ïðèíèìàòü ìíî*

æåñòâî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé (ðåàëèçàöèé)

{θ (t )/g } . Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ *

{θ(t )/g } , {x(t ) / g } ,

Θ* (t )/g ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà

{

}

ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé Θ* (t )/θ(t ), g . Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè Θ(t )/g , X (t ) / g , Θ (t )/θ(t ), g , Θ* (t )/g è *

(Θ(t ),Θ* (t ))/g îïèñûâàþòñÿ ìíîãîìåðíûìè óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè

271

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

r r r r r r r r ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ / g (θ;t ) , Fx/g ( x ;t ) , Fθ* / θ, g (θ* ;t ) , Fθ* /g (θ* ;t ) , r r r r Fθ *θ / g ( θ * , θ ; t1 , t 2 ) , ìíîãîìåðíûìè óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðår r r r r r r r r r r r äåëåíèÿ f θ/g (θ;t ) , f x/g ( x ;t ) , f θ* / θ, g (θ* ;t ) , f θ* /g (θ* ;t ) , fθ*θ / g (θ*, θ; t1,t2 ) ,

à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mθ / g (t ) , mx/g (t ) , mθ* / θ, g (t ) , mθ* / g (t ) = M[mθ* / Θ, g (t )] , mθ*θ/g (t ) , äèñïåðñèÿìè σ2θ / g (t ) , σ2x/g (t ) , σ2θ* / θ, g (t ) , σ2θ* / g (t ) , êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì

(

)

Rθ*θ / g (t ) = M  Θ* (t ) / g − mθ* / g (t ) ( Θ(t ) / g − mθ / g (t ) )   

è öåëûì ðÿäîì äðóãèõ ïàðàìåòðîâ. Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè Θ(t ) , Θ* (t ) / θ(t ) , Θ* (t ) õàðàêòåðèçóþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mS θ (t ) , mI θ (t ) , mS θ* / θ (t ) , mI θ* / θ (t ) , mS θ* (t ) , mI θ* (t ) , äèñïåðñèÿìè ãðàíèö σS2 θ (t ) , σ2I θ (t ) , σS2 θ* / θ (t ) , σ2I θ* / θ (t ) , σS2 θ* (t ) , σ2I θ* (t ) è ïðî÷èìè âåëè÷èíàìè.

Îáîáùåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ñëó÷àéíûõ ôóíêöèÿõ Θ(t )/g , Θ (t ) / θ(t ), g , Θ* (t ) / g è (Θ(t ), Θ* (t ))/g íà èíòåðâàëå T äàþò ñëó*

÷àéíûå âåëè÷èíû Θ/g , Θ* / θ, g , Θ* /g è (Θ, Θ* )/g , ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ Fθ / g (θ) , Fθ* / θ, g (θ* ) , Fθ* / g (θ* ) , Fθ*θ / g (θ* , θ) ÿâëÿþòñÿ óñðåäíåííûìè íà èíòåðâàëå T ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé: Fθ / g (θ) = Fθ / g (θ; t ) , Fθ* / θ, g (θ* ) = Fθ* / θ, g (θ* ; t ) ,

Fθ* / g (θ* ) = Fθ* / g (θ* ; t ), Fθ*θ / g (θ* , θ) = Fθ*θ / g (θ* , θ; t , t ),

ãäå ÷åðòà íàä ôóíêöèåé îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå åå ïî âðåìåíè t . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Θ/g , Θ* / θ, g , Θ* / g , (Θ* , Θ)/g ïîðîæäàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: Θ = {Θ / g ∈ G } ,

{

}

{

}

{

}

Θ* / θ = Θ* / θ, g ∈ G , Θ* = Θ* / g ∈ G , (Θ* , Θ) = (Θ* , Θ) / g ∈ G .

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Θ / g , Θ* / θ, g , Θ* / g è (Θ, Θ* ) / g îïèñûâàþòñÿ ìîìåíòàìè, â ÷àñòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäà-

272

21.2. Погрешность измерения

íèÿìè mθ / g = mθ / g (t ) , mθ* / θ, g = mθ* / θ, g (t ) , mθ* / g = mθ* / g (t ) , mθ*θ / g = = mθ*θ / g (t ) , äèñïåðñèÿìè σ2θ / g = σ2θ / g (t ) , σ2θ* / θ, g = σ2θ* / θ, g (t ) , σθ2*/ g =

= σθ2*/ g (t ) , êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì Rθ*θ / g = Rθ*θ / g (t ) è äð.

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Θ , Θ* / θ , Θ* è (Θ* , Θ) õàðàêòåðèçóþòñÿ ìîìåíòàìè ãðàíèö: ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö mS θ , mI θ , mS θ* / θ , mI θ* / θ , mS θ* , mI θ* , äèñïåðñèÿìè ãðàíèö σS2 θ , σ2I θ , σS2 θ* / θ , σ2I θ* / θ , σS2 θ* , σ2I θ* è ïð.

Çàäà÷à èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) àíàëîãè÷íà çàäà÷å èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ , ðàññìîòðåííîé â òðåõ ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ. Îäíàêî èç-çà ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè t ýòà çàäà÷à îêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëîæíîé. Åå ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èìååòñÿ êîíêðåòíàÿ âûáîðêà x (t ) / θ(t ),g , ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè θ(t ) è íåèçâåñòíûì óñëîâèÿì g ∈ G , à òàêæå àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ î ïàðàìåòðàõ è õàðàêòåðèñòèêàõ îöåíêè è èçìåðÿåìîé ôóíêöèè. Íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü îöåíêó θ* (t ) / θ(t ),g è îöåíèòü òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. 21.2. ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ â óñëîâèÿõ g ∈ G îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé

Z (t )/g =Θ* (t ) / g − Θ(t )/g

èëè

ñëó÷àéíîé

âåëè÷èíîé

Z/g =Θ* / g − Θ / g . Áëèçîñòü ñëó÷àéíîé îöåíêè Θ* (t )/g

ê èçìåðÿåìîé ôóíêöèè Θ(t )/g ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fz / g (z ; t ) ôóíêöèè Z (t )/g èëè ñðåäíèì êâàäðàòîì ïîãðåøíîñòè

(

)

2 ∆ 2z / g (t )=M  Θ* (t ) / g − Θ(t ) / g  ,  

(21.1)

à áëèçîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ* /g ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Θ/g – ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fz / g (z ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z/g èëè âåëè÷èíîé

273

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

(

)

2 ∆ 2z / g =M  Θ* / g − Θ/g  .  

(21.2)

Âûðàæåíèÿ (21.1), (21.2) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∆ 2z / g (t )=mz2 / g (t ) + σ2z / g (t ) , ∆ 2z / g =mz2 / g + σ2z / g ,

ãäå mz / g (t ) = ε g (t ) = mθ* / g (t ) − mθ / g (t ) – ñìåùåíèå îöåíêè, σ2z / g (t ) = = σ2θ* / g (t ) + σ2θ / g (t ) − 2Rθ*θ / g (t ) – äèñïåðñèÿ îöåíêè, mz / g = ε g = = mθ* / g − mθ / g – ñìåùåíèå óñðåäíåííîé îöåíêè, σ2z / g = σ2θ* / g + +σ2θ / g − 2Rθ*θ / g – äèñïåðñèÿ óñðåäíåííîé îöåíêè.

 íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèçóþò ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSz (z ; t ) , FIz (z ; t ) ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Z (t )/g è ôóíêöèè ∆Sz (t ) =

∞

∫z

2

f Sz (z ; t )dz , ∆ Iz (t ) =

−∞

∞

∫z

2

f Iz (z ; t )dz ,

(21.3)

−∞

à íà èíòåðâàëå âðåìåíè T – ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSz (z ) , FIz (z ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z / g è âåëè÷èíû ∆Sz =

∞

∫

z 2 f Sz (z )dz , ∆ Iz =

−∞

∞

∫z

2

f Iz (z )dz ,

(21.4)

−∞

ãäå f Sz (z ; t ) , f Iz (z ; t ) , f Sz (z ) , f Iz (z ) – ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ

FSz (z ; t ) ,

FIz (z ; t ) , FSz (z ) , FIz (z ) .

Ôóíêöèè ∆Sz (t ) , ∆ Iz (t ) õàðàêòåðèçóþò äèíàìèêó èçìåíåíèÿ ãðàíèö ïîãðåøíîñòè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, à âåëè÷èíû ∆Sz , ∆ Iz – çíà÷åíèÿ ãðàíèö óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå. Ôóíêöèè ∆Sz (t ) , ∆ Iz (t ) îïðåäåëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mSz (t ) , mIz (t ) ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSz (z ; t ) , FIz (z ; t ) è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö σSz (t ) ,

274

21.2. Погрешность измерения

σIz (t ) , à âåëè÷èíû ∆Sz , ∆ Iz – ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè mSz , mIz ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSz (z ) , FIz (z ) è ñðåä-

íåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö σSz , σIz : 2 2 ∆Sz (t ) = mSz (t ) + σSz (t ) , ∆ Iz (t ) = mIz2 (t ) + σ2Iz (t ) , 2 2 ∆Sz = mSz + σSz , ∆ Iz = mIz2 + σ2Iz .

Ïîãðåøíîñòü êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ z (t )/g â íåèçâåñòíûõ óñëîâèÿõ g ìîæíî îöåíèòü íåðàâåíñòâîì mSz (t ) − k σSz (t ) < z (t ) / g < mIz (t ) + k σIz (t ) ,

(21.5)

à ñðåäíþþ ïîãðåøíîñòü íà èíòåðâàëå T – íåðàâåíñòâîì mSz − k σSz < z / g < mIz + k σIz .

(21.6)

Èíòåðâàë íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé ôóíêöèè θ(t )/g ïðè íàëè÷èè îöåíêè θ* (t ) / θ(t ),g îïèñûâàåòñÿ íåðàâåíñòâàìè θ* (t ) / θ(t ), g − mIz (t ) − k σIz (t ) < θ(t ) / g < < θ* (t ) / θ(t ), g − mSz (t ) + k σSz (t ),

(21.7)

θ* (t ) / θ(t ), g − mIz − k σIz < θ(t ) / g < θ* (t ) / θ(t ), g − mSz + k σSz , (21.8)

ãäå k – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ñòåïåíüþ äîâåðèÿ ê ðåçóëüòàòó èçìåðåíèÿ.  íåðàâåíñòâàõ (21.7), (21.8), êàê è â ñëó÷àå îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ó÷èòûâàåòñÿ ðàçëè÷èå äèñïåðñèé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî ñóùåñòâåííî ïðè çíà÷èòåëüíîì èõ îòëè÷èè. Íåðàâåíñòâà (21.6) è (21.8) äàþò îáîáùåííîå ïðåäñòàâëåíèå îá îöåíêå íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå, à íåðàâåíñòâà (21.5) è (21.7), îòñëåæèâàþùèå ñïåöèôè÷åñêèå îñîáåííîñòè ñå÷åíèé, – áîëåå ïîäðîáíîå îïèñàíèå. Åñëè äëÿ âñåõ t ∈ T óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè Z (t )/g ∀g ∈ G íå ïåðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîãðåøíîñòè mz / g (t ) åå óñëîâíûå äèñïåðñèè σ2z / g (t ) óâåëè÷èâàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «à» ïî êëàññèôèêàöèè ïàðàãðàôà 6.3) èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï

275

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

ðàñïðåäåëåíèÿ «á»), òî èíòåðâàëû (21.5), (21.7) õàðàêòåðèçóþòñÿ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîãðåøíîñòè miz (t ) , msz (t ) è ãðàíèöàìè äèñïåðñèè σiz2 (t ) , σ2sz (t ) , îïðåäåëÿåìûìè

ñëåäóþùèì îáðàçîì: miz (t ) = inf mz / g (t ) = inf ε g (t ) = εi (t ) , g ∈G

g ∈G

msz (t ) = sup mz / g (t ) = sup ε g (t ) = ε s (t ) , g ∈G

g ∈G

σiz2 (t ) = inf σ2z / g (t ) = inf[ σ2θ∗ / g (t ) + σ2θ / g (t ) − 2Rθ∗θ / g (t )], g ∈G

g ∈G

σ2sz (t ) = sup σ2z / g (t ) = sup[σ2θ∗ / g (t ) + σ2θ / g (t ) − 2Rθ∗θ / g (t )]. (21.9) g ∈G

g ∈G

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» íåðàâåíñòâà (21.5), (21.7) èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä εi (t ) − k σiz (t ) < z (t ) / g < ε s (t ) + k σ sz (t ), θ* (t ) / θ(t ), g − ε s (t ) − k σ sz (t ) < θ(t ) / g < < θ* (t ) / θ(t ), g − εi (t ) + k σiz (t ),

(21.10)

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» – εi (t ) − k σsz (t ) < z (t ) / g < ε s (t ) + k σiz (t ), θ* (t ) / θ(t ), g − ε s (t ) − k σiz (t ) < θ(t ) / g < < θ* (t ) / θ(t ), g − εi (t ) + k σ sz (t ).

(21.11)

Àíàëîãè÷íî, åñëè óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè Z/g ∀g ∈ G íå ïåðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîãðåøíîñòè mz / g åå óñëîâíûå äèñïåðñèè σ2z / g

óâåëè÷èâàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ

«à») èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «á»), òî èíòåðâàëû (21.6), (21.8) õàðàêòåðèçóþòñÿ ãðàíèöàìè ñìåùåíèÿ εi , ε s è ãðàíèöàìè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ïîãðåøíîñòè σiz , σ sz . Ïðè ýòîì äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» íåðàâåíñòâà (21.6),

(21.8) èìåþò âèä

276

21.3. Аддитивная модель оценки

εi − k σiz < z (t ) / g < ε s + k σ sz , θ* (t ) / θ(t ), g − ε s − k σ sz < θ(t ) / g < θ* (t ) / θ(t ), g − εi + k σiz , (21.12)

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» – εi − k σ sz < z (t ) / g < ε s + k σiz , θ* (t ) / θ(t ), g − ε s − k σiz < θ(t ) / g < θ* (t ) / θ(t ), g − εi + k σ sz . (21.13)

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 (t ) , ∆ 2sz (t ) îïðåäåëÿþòñÿ ñìåùåíèåì îöåíêè ε g (t ) , äèñïåðñèÿìè îöåíêè σ2θ* /g (t ) è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû σ2θ/g (t ) , à òàêæå êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì Rθ*θ/g (t ) ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ g ∈ G : ∆iz2 (t ) = inf ∆ 2z / g (t ) = inf[ε2g (t ) + σ2θ∗ / g (t ) + σ2θ / g (t ) − 2Rθ∗θ / g (t )], g ∈G

∆ (t ) = sup ∆ 2 sz

g ∈G

g ∈G

2 z/g

(t ) = sup[ε2g (t ) + σ2θ∗ / g (t ) + σ2θ / g (t ) − 2Rθ∗θ / g (t )]. g ∈G

Àíàëîãè÷íî ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè ∆iz2 , ∆ 2sz îïðåäåëÿþòñÿ ñìåùåíèåì îöåíêè ε g , äèñïåðñèÿìè îöåíêè σ2θ* /g è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû σ2θ/g , à òàêæå êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì Rθ*θ / g ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ g ∈ G : ∆iz2 = inf ∆ 2z / g = inf (ε2g + σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g ), g ∈G

g ∈G

∆ 2sz = sup ∆ 2z / g = sup(ε2g + σ2θ∗ / g + σ2θ / g − 2Rθ∗θ / g ). g ∈G

g ∈G

21.3. АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ Åñëè îöåíêà Θ* (t ) îïèñûâàåòñÿ àääèòèâíîé ìîäåëüþ â âèäå ñóììû èçìåðÿåìîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ(t ) è ãèïåðñëó÷àéíîé ïîìåõè W (t ) , òî ñìåùåíèå ε g (t ) ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ mw/g (t ) ñëó÷àéíîé ïîìåõè W (t ) / g , äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè σ2z / g (t ) – äèñïåðñèè ïîìåõè σ2w / g (t ) , ãðàíèöû ñìåùåíèÿ εi (t ),

277

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

ε s (t ) – ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

ïîìåõè miw (t ) , msw (t ) , à ãðàíèöû äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè σiz2 (t ) , 2 σ2sz (t ) – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì äèñïåðñèè ïîìåõè σiw (t ) ,

σ2sw (t ) . Òîãäà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè òèïà «à» íåðàâåíñòâà (21.10) ïðèîáðåòàþò âèä miw (t ) − k σiw (t ) < z (t ) / g < msw (t ) + k σ sw (t ), θ* (t ) / θ(t ), g − msw (t ) − k σ sw (t ) < θ(t ) / g < < θ* (t ) / θ(t ), g − miw (t ) + k σiw (t ),

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» íåðàâåíñòâà (21.11) – miw (t ) − k σsw (t ) < z (t ) / g < msw (t ) + k σiw (t ), θ* (t ) / θ(t ), g − msw (t ) − k σiw (t ) < θ(t ) / g < < θ* (t ) / θ(t ), g − miw (t ) + k σ sw (t ).

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 (t ) = inf (mw2 / g (t ) + σw2 / g (t )), g ∈G

∆ 2sz (t ) = sup(mw2 / g (t ) + σw2 / g (t )). g ∈G

(21.14)

Ñìåùåíèå ε g ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ mw/g ñëó÷àéíîé óñðåäíåííîé ïîìåõè W / g , ñîîòâåòñòâóþùåé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè W (t ) / g , äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè σ2z / g – äèñïåðñèè ïîìåõè σ2w / g , ãðàíèöû ñìåùåíèÿ εi , ε s – ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîìåõè miw , msw , à ãðàíèöû äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè σiz2 , σ2sz – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì 2 äèñïåðñèè ïîìåõè σiw , σ2sw .

Òîãäà íåðàâåíñòâà (21.12) è (21.13) äëÿ ðàñïðåäåëåíèé òèïà «à» è «á» ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîîòâåòñòâåííî êàê miw − k σiw < z / g < msw + k σsw ,

278

21.4. Мультипликативная модель оценки

θ* (t ) / θ(t ), g − msw − k σ sw < θ(t ) / g < θ* (t ) / θ(t ), g − miw + k σiw

è miw − k σsw < z / g < msw + k σiw , θ* (t ) / θ(t ), g − msw − k σiw < θ(t ) / g < θ* (t ) / θ(t ), g − miw + k σ sw ,

à ãðàíèöû óñðåäíåííîãî ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè – êàê ∆iz2 = inf (mw2/g + σw2 / g ), ∆ 2sz = sup(mw2 / g + σw2 / g ) . g ∈G

g ∈G

(21.15)

Èç âûðàæåíèé (21.14) è (21.15) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå àääèòèâíîé ìîäåëè ïîìåõè ãèïåðñëó÷àéíûå îñîáåííîñòè èçìåðÿåìîé ôóíêöèè íå âëèÿþò íà òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþò ëèøü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ïîìåõè. Ïðè ïðåíåáðåæèìî ìàëîé äèñïåðñèè σ2w / g (t ) ∀g ∈ G ãðàíèöû ∆iz2 (t ) , ∆ 2sz (t ) îïðåäåëÿþòñÿ ãðàíèöàìè êâàäðàòà ìàòåìàòè÷åñêîãî 2 îæèäàíèÿ ïîìåõè miw2 (t ) , msw (t ) , à ãðàíèöû óñðåäíåííîãî ñðåä-

íåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 , ∆ 2sz – ãðàíèöàìè êâàäðàòà ìà2 . òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ óñðåäíåííîé ïîìåõè miw2 , msw

21.4. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ Â äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå îöåíêà Θ* (t ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëüþ, îïèñûâàåìîé âûðàæåíèåì Θ* (t ) = = (1 + Ξ(t ))Θ(t ) . Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü Z (t ) / g = (Ξ(t ) / g )(Θ(t ) / g ) , ãäå Ξ(t ) , Ξ(t )/g – ñîîòâåòñòâåííî ãèïåðñëó÷àéíàÿ è ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèè, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæèòåëü ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè. Åñëè ôóíêöèè Ξ(t )/g , Θ(t )/g íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g , òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè mz / g (t ) (ñìåùåíèå îöåíêè) ðàâíî mξ / g (t )mθ / g (t ) , à äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè σ2z / g (t ) = σ2ξ / g (t )σ2θ / g (t ) + mξ2 / g (t )σ2θ / g (t ) + σ2ξ / g (t )mθ2 / g (t ) ,

ãäå mξ / g (t ) , σ2ξ / g (t ) – ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ìíîæèòåëÿ Ξ(t )/g . Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò ïî-

279

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

ãðåøíîñòè ∆ 2z / g (t ) = mξ2 / g (t ) + σ2ξ / g (t ) mθ2 / g (t ) + σ2θ / g (t ) , ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ∆iz2 (t ) = inf  mξ2 / g (t ) + σ2ξ / g (t ) mθ2 / g (t ) + σ2θ / g (t )  , g ∈G ∆ 2sz (t ) = sup  mξ2 / g (t ) + σ2ξ / g (t ) mθ2 / g (t ) + σ2θ / g (t )  ,  g ∈G 

(21.16)

à ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè: mSz (t ) = mS ξ (t )mS θ (t ) , mIz (t ) = mI ξ (t )mI θ (t ) , 2 σSz (t ) = σS2 ξ (t )σS2 θ (t ) + mS2ξ (t )σS2 θ (t ) + σS2 ξ (t )mS2 θ (t ) ,

σ2Iz (t ) = σ2I ξ (t )σ2I θ (t ) + mI2ξ (t )σ2I θ (t ) + σ2I ξ (t )mI2θ (t ) ,

ãäå mS ξ (t ) , mI ξ (t ) – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, à σS2 ξ (t ) , σ2I ξ (t ) – äèñïåðñèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè. Åñëè ôóíêöèè Ξ(t )/g , Θ(t ) / g íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g , òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè mz / g ðàâíî mξ / g (t )mθ / g (t ) , à äèñïåðñèÿ σ2z / g = σ2ξ / g (t )σ2θ / g (t ) + mξ2 / g (t )σ2θ / g (t ) + σ2ξ / g (t )mθ2 / g (t ) .

Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / g =

(

)(

)

= mξ2 / g (t ) + σ2ξ / g (t ) mθ2 / g (t ) + σ2θ / g (t ) , ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà

óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè

(

)(

) ,

(

)(

)

∆iz2 = inf  mξ2 / g (t ) + σ2ξ / g (t ) mθ2 / g (t ) + σ2θ / g (t ) g ∈G  

∆ 2sz = sup  mξ2 / g (t ) + σ2ξ / g (t ) mθ2 / g (t ) + σ2θ / g (t )  ,   g ∈G 

(21.17)

à ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

280

21.5. Характерные особенности гиперслучайных оценок …

mSz = mS ξ (t )mS θ (t ) , mIz = mI ξ (t )mI θ (t ) , 2 σSz = σS2 ξ (t )σS2 θ (t ) + mS2ξ (t )σS2 θ (t ) + σS2 ξ (t )mS2θ (t ) ,

σ2Iz = σ2I ξ (t )σ2I θ (t ) + mI2ξ (t )σ2I θ (t ) + σ2I ξ (t )mI2θ (t ) .

Èç âûðàæåíèé (21.16), (21.17) âèäíî, ÷òî â ñëó÷àå ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè è äèñïåðñèÿìè êàê ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè, òàê è èçìåðÿåìîé ôóíêöèè. Ýòèì îíà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïîãðåøíîñòè â ñëó÷àå àääèòèâíîé ïîìåõè. 21.5. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Ïî àíàëîãèè ñ ãèïåðñëó÷àéíûìè îöåíêàìè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèÿ íåñìåùåííûõ, ñîñòîÿòåëüíûõ, ýôôåêòèâíûõ è äîñòàòî÷íûõ îöåíîê. Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* (t ) ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) áóäåì íàçûâàòü íåñìåùåííîé (íåñìåùåííîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè äëÿ âñåõ g ∈ G ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mθ* / g (t ) ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ* (t ) / g ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ mθ / g (t ) óñëîâíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) / g , ò.å. åñëè ε g (t ) = 0

∀g ∈ G . Â

ïðîòèâíîì ñëó÷àå îöåíêó áóäåì íàçûâàòü ñìåùåííîé. Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* (t ) ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) ìîæíî íàçâàòü ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G è âñåõ t ∈ T îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåëè÷èíå:

{

}

lim P Θ* (t ) / g − Θ(t ) / g > ε = 0 ∀g ∈ G ,

N →∞

t ∈T ,

ãäå N – îáúåì âûáîðêè äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g . Ïðèâåäåííûå îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèé íåñìåùåííîé îöåíêè è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñîãëàñîâàíû ñ îïðåäåëåíèÿìè ýòèõ æå ïîíÿòèé äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè-

281

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

÷èíû è ñëó÷àéíîé îöåíêè, äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè, à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè. Åñëè îöåíêà íåñìåùåííàÿ, òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èçìåðÿåìîé ôóíêöèè è ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îöåíêè ñîâïàäàþò: mi θ (t ) = mi θ* (t ) , ms θ (t ) = ms θ* (t ) . Ïðè ýòîì èç ôàêòà, ÷òî îöåíêà íåñìåùåííàÿ, íå ñëåäóåò, ÷òî îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö (ò.å. mS θ (t ) = mS θ* (t ) , mI θ (t ) = mI θ* (t ) ). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ñîõðàíÿþùàÿ ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ , ïîäîáíî ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêå äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû, à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íåñîñòîÿòåëüíà. Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà Θ* (t ) ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) ñîõðàíÿåò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ , òî òåîðåòè÷åñêè îöåíêà ìîæåò áûòü ñîñòîÿòåëüíîé. Òàêàÿ âîçìîæíîñòü èìååò ìåñòî, êîãäà äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G è âñåõ t ∈ T ïðè N → ∞ ñìåùåíèå îöåíêè îòñóòñòâóåò. Òàêîå òðåáîâàíèå íà ïðàêòèêå íèêîãäà íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîýòîìó âñå ðåàëüíûå îöåíêè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îêàçûâàþòñÿ íåñîñòîÿòåëüíûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ, êàê è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îãðàíè÷åíà, ïðè÷åì äàæå ïðè íåîãðàíè÷åííîì îáúåìå äàííûõ. Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ*e (t ) ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) ìîæíî íàçûâàòü ýôôåêòèâíîé, åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g ∈ G è âñåõ t ∈ T ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè Θ*e (t ) / g îò âåëè÷èíû Θ(t )/g ïî ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê çàäàííîãî îáúåìà N (ò.å. ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè ∆ 2z / g (t ) ) íå áîëüøå, ÷åì äëÿ ëþáûõ äðóãèõ îöåíîê Θ*i (t ) / g : ∆ 2ze / g (t ) ≤ ∆ 2zi / g (t ),

ãäå

i = 1,2,...,

∀g ∈ G ,

∆ 2ze / g (t ) = M[(Θe∗ (t ) / g − Θ(t ) / g )2 ] , ∆ 2zi / g (t ) = M[(Θi∗ (t ) / g − Θ(t ) / g )2 ] .

282

(21.18)

21.5. Характерные особенности гиперслучайных оценок …

Ìåðîé ýôôåêòèâíîñòè ìîãóò ñëóæèòü ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè li , l s , îïðåäåëÿåìûå êàê ãðàíèöû îòíîøåíèÿ óñðåäíåííîãî ïî âðåìåíè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îò Θ(t )/g ýôôåêòèâíîé îöåíêè Θ*e (t ) / g ê óñðåäíåííîìó ïî âðåìåíè ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îò Θ(t )/g ðàññìàòðèâàåìîé îöåíêè Θ* (t ) / g : li = inf g ∈G

l s = sup g ∈G

M[(Θ∗e (t ) / g − Θ(t ) / g )2 ] M[(Θ* (t ) / g − Θ(t ) / g )2 ]

,

M[(Θ∗e (t ) / g − Θ(t ) / g )2 ] M[(Θ* (t ) / g − Θ(t ) / g )2 ]

.

Ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëå [0,1]. Êîãäà îöåíêà ýôôåêòèâíà, li = l s = 1 . Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó Θ* (t ) ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè Θ(t ) ìîæíî íàçûâàòü äîñòàòî÷íîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ∈ G ), åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñîîòâåòñòâóþùèå âñåì t ∈ T , ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè. Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, òî îíà äîñòàòî÷íàÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.

283

ПРИЛОЖЕНИЕ

УЧЕНЫЕ О ФЕНОМЕНЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

 ôèçè÷åñêîì ìèðå íåò ìåñòà èäåàëüíûì ÿâëåíèÿì òàê æå, êàê â èäåàëüíîì ìèðå ìàòåìàòè÷åñêèõ àáñòðàêöèé – ðåàëüíûì ÿâëåíèÿì. Ýòî îñîçíàâàëè åùå ìûñëèòåëè äðåâíîñòè [Ïåíðîóç, 2007]. Ôèçè÷åñêèé ìèð è ìàòåìàòè÷åñêèé ìèð – ðàçíûå ìèðû.  íèõ ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü ïîõîæèå ýëåìåíòû, íî íå èäåíòè÷íûå. Ôèçè÷åñêèé ôåíîìåí ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì. Èñïîëüçóåìîå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû, ïîä êîòîðûì ïîíèìàåòñÿ àáñîëþòíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü – ñõîäèìîñòü ÷àñòîòû ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëó (âåðîÿòíîñòè), îïèñûâàåò ôèçè÷åñêèé ôåíîìåí ëèøü ïðèáëèæåííî. Íèæå ïðèâåäåíû âûñêàçûâàíèÿ èçâåñòíûõ ó÷åíûõ, êàñàþùèåñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, â êîòîðûõ ïðîñëåæèâàåòñÿ ìûñëü îá îòñóòñòâèè â ðåàëüíîì ìèðå àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èëè íå ñòîëü êàòåãîðè÷íîå óòâåðæäåíèå, ÷òî â ðåàëüíîì ìèðå ìîæåò íå áûòü àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. 1. Àâòîðû èçâåñòíîãî ñïðàâî÷íèêà ïî ìàòåìàòèêå [Êîðí, Êîðí, 1977, ñ. 607] ïèøóò: «Ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü â êàæäîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè åñòü ýìïèðè÷åñêèé ôèçè÷åñêèé çàêîí, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðîâåðåí òîëüêî îïûòîì. ×àñòî òî÷íîñòü ïðåäñêàçàíèÿ íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè âîçðàñòàåò ñ âîçðàñòàíèåì îáúåìà âûáîðêè (ôèçè÷åñêèé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë)». 2. À.À. Ìàðêîâ îòìå÷àåò [Ìàðêîâ, 1924, ñ. 67]: «Èç òåîðåìû Áåðíóëëè îáûêíîâåííî çàêëþ÷àþò, ÷òî ïðè áåñïðåäåëüíîì âîçðàñòàíèè ÷èñëà èñïûòàíèé îòíîøåíèå ÷èñëà ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ ê ÷èñëó èñïûòàíèé ïðèáëèæàåòñÿ ê âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ïðè îòäåëüíûõ èñïûòàíèÿõ. Ïîäîáíîå çàêëþ÷åíèå íåëüçÿ, îäíàêî, ïðèçíàòü áåçóñëîâíî ïðàâèëüíûì íå òîëüêî äëÿ òåõ ñëó÷àåâ, êîãäà óñëîâèÿ òåîðåìû Áåðíóëëè íå âûïîëíèìû, íî è äëÿ òåõ ñëó-

284

Приложение

÷àåâ, ê êîòîðûì ýòà òåîðåìà âïîëíå ïðèìåíèìà. Óñëîâèÿ òåîðåìû Áåðíóëëè ñîñòîÿò â íåçàâèñèìîñòè èñïûòàíèé è â ïîñòîÿíñòâå âåëè÷èíû âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ òåîðåìà Áåðíóëëè îáíàðóæèâàåò íåâåðîÿòíîñòü çíà÷èòåëüíûõ îòêëîíåíèé îòíîøåíèÿ m n îò p ïðè áîëüøèõ n . Íî îíà íå óñòðàíÿåò îêîí÷àòåëüíî âîçìîæíîñòè òàêèõ îòêëîíåíèé; è ýòè íåâåðîÿòíûå îòêëîíåíèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ äåéñòâèòåëüíûìè». 3. Îñíîâîïîëîæíèê ñîâðåìåííîé àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé À.Í. Êîëìîãîðîâ â ñòàòüå 1983 ã. ïèøåò [Êîëìîãîðîâ, 1986]: «Ãîâîðÿ î ñëó÷àéíîñòè â îáûäåííîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà, ìû èìååì ââèäó òå ÿâëåíèÿ, â êîòîðûõ ìû íå îáíàðóæèâàåì çàêîíîìåðíîñòåé, ïîçâîëÿþùèõ íàì ïðåäñêàçûâàòü èõ ïîâåäåíèå. Âîîáùå íåò ïðè÷èí ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå â ýòîì ñìûñëå ÿâëåíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ êàêèì-òî âåðîÿòíîñòíûì çàêîíàì. Ñëåäîâàòåëüíî, íóæíî ðàçëè÷àòü ñëó÷àéíîñòü â ýòîì øèðîêîì ñìûñëå è ñòîõàñòè÷åñêóþ ñëó÷àéíîñòü (êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé)». 4.  ðàáîòå [Ìàòåìàòèêà, åå ñîäåðæàíèå, ìåòîäû è çíà÷åíèå, 1956, ñ. 274, 275] À.Í. Êîëìîãîðîâ îòìå÷àåò: «Äîïóùåíèå î âåðîÿòíîì õàðàêòåðå èñïûòàíèé, ò.å. î òåíäåíöèè ÷àñòîò ãðóïïèðîâàòüñÿ âîêðóã ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ, ñàìî ïî ñåáå áûâàåò âåðíî (êàê è äîïóùåíèå î «ñëó÷àéíîñòè» êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ) ëèøü ïðè ñîõðàíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé, êîòîðûå íå ìîãóò ñîõðàíÿòüñÿ íåîãðàíè÷åííî äîëãî è ñ íåîãðàíè÷åííîé òî÷íîñòüþ. µ Ïîýòîìó òî÷íûé ïåðåõîä ê ïðåäåëó → p íå ìîæåò èìåòü ðån àëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîò ïðè îáðàùåíèè ê òàêîìó ïðåäåëüíîìó ïåðåõîäó òðåáóåò îïðåäåëåíèÿ äîïóñòèìûõ ñïîñîáîâ îòûñêàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïûòàíèé, êîòîðîå òîæå ìîæåò áûòü ëèøü ìàòåìàòè÷åñêîé ôèêöèåé». 5. À.Í. Êîëìîãîðîâ â ñâîåé ôóíäàìåíòàëüíîé ðàáîòå «Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé» [Êîëìîãîðîâ, 1974, ñ. 12–14] ïèøåò: «Ïðè èçâåñòíûõ óñëîâèÿõ, â êîòîðûå ìû çäåñü íå áóäåì ãëóáæå âäàâàòüñÿ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íåêîòîðûì ñîáûòèÿì A , êîòîðûå ìîãóò íàñòóïèòü èëè æå íå íàñòóïèòü ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ óñëîâèé σ, ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà P ( A ) , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

285

Приложение

À. Ìîæíî áûòü ïðàêòè÷åñêè óâåðåííûì, ÷òî åñëè êîìïëåêñ óñëîâèé σ áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ áîëüøîå ÷èñëî n ðàç è åñëè ÷åðåç m îáîçíà÷åíî ÷èñëî ñëó÷àåâ, ïðè êîòîðûõ ñîáûòèå A íàñòóïèm áóäåò ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò P ( A ) . ëî, òî îòíîøåíèå n Â. Åñëè P ( A ) î÷åíü ìàëî, òî ìîæíî ïðàêòè÷åñêè áûòü óâåðåííûì, ÷òî ïðè îäíîêðàòíîé ðåàëèçàöèè óñëîâèé σ ñîáûòèå A íå áóäåò èìåòü ìåñòà… Ïðèìå÷àíèå 1. Èç ïðàêòè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòè äâóõ óòâåðæäåíèé ñëåäóåò ïðàêòè÷åñêàÿ äîñòîâåðíîñòü óòâåðæäåíèÿ îá èõ îäíîâðåìåííîé ïðàâèëüíîñòè, õîòÿ ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè ïðè ýòîì íåñêîëüêî ïîíèæàåòñÿ. Åñëè, îäíàêî, ÷èñëî óòâåðæäåíèé î÷åíü âåëèêî, òî èç ïðàêòè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòè êàæäîãî îòäåëüíîãî èç ýòèõ óòâåðæäåíèé âîîáùå íåëüçÿ âûâåñòè íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé îòíîñèòåëüíî îäíîâðåìåííîé ïðàâèëüíîñòè âñåõ ýòèõ óòâåðæäåíèé. Ïîýòîìó èç ïðèíöèïà À íèêîèì îáðàçîì íå ñëåäóåò, ÷òî ïðè î÷åíü áîëüøîì ÷èñëå ñåðèé ïî n èñïûòàíèé â m êàæäîé ñåðèè îòíîøåíèå áóäåò ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò P ( A ) ». n 6. Ýìèëü Áîðåëü [Áîðåëü, 1961, ñ. 28, 29] òàê îáúÿñíÿåò âîçìîæíîñòü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû: «Åñëè ïðè î÷åíü áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé ýòà ÷àñòîòà íå ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó, à áîëåå èëè ìåíåå êîëåáëåòñÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðåäåëàìè, òî íàäî óòâåðæäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü p íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à èçìåíÿåòñÿ â õîäå èñïûòàíèé. Ýòî èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, äëÿ ëþäñêîé ñìåðòíîñòè â òå÷åíèå âåêîâ, òàê êàê óñïåõè ìåäèöèíû è ãèãèåíû èìåþò ñâîèì ñëåäñòâèåì óâåëè÷åíèå ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè æèçíè. Ñòàëî áûòü, âåðîÿòíîñòü p äëÿ ðîäèâøåãîñÿ ðåáåíêà äîñòè÷ü âîçðàñòà 60 ëåò èìååò òåíäåíöèþ ê ðîñòó. Ýòà ýìïèðè÷åñêàÿ òî÷êà çðåíèÿ âïîëíå ïðèåìëåìà äëÿ ñòàòèñòèêà, èçó÷àþùåãî äåìîãðàôè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, òàê êàê çäåñü ìû äîëæíû, çà íåèìåíèåì äðóãèõ íàó÷íûõ ñðåäñòâ äëÿ ïðåäâèäåíèÿ, îãðàíè÷èòüñÿ èñïîëüçîâàíèåì áåñ÷èñëåííûõ íàáëþäåíèé». 7. À.Â. Ñêîðîõîä â ïðåäèñëîâèè ê ìîíîãðàôèè [Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990] ïèøåò: «Íàèáîëåå ïîëíî ðàçðàáîòàíî ïîíÿòèå íåîïðåäåëåííîñòè, èñïîëüçóþùåå âåðîÿòíîñòíóþ ñëó÷àéíîñòü… Çàìå÷ó, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñêàæåì ÷èñåë, ïîëó÷åíà íåçàâèñèìûìè íàáëþäåíèÿìè íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íåâàæíî, èçâåñòíî èëè íåò åå ðàñïðå-

286

Приложение

äåëåíèå), íàêëàäûâàåò íà ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåñüìà æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ, êîòîðûå âðÿä ëè âûïîëíÿþòñÿ âî ìíîãèõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèÿõ». 8. Â.Í. Òóòóáàëèí â ñâîåé êíèãå [Òóòóáàëèí (2), 1972, ñ. 6, 7] îòìå÷àåò: «Íàó÷íàÿ äîáðîñîâåñòíîñòü òðåáóåò îò êàæäîãî èññëåäîâàòåëÿ ïðèìåíåíèÿ äîñòóïíûõ ìåòîäîâ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, íî íàëè÷èå åå ðåäêî ìîæíî âïîëíå ãàðàíòèðîâàòü». Äàëåå îí î÷åð÷èâàåò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: «Âñå ìûñëèìûå ýêñïåðèìåíòû ìîæíî ðàçäåëèòü íà òðè ãðóïïû. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ õîðîøèå ýêñïåðèìåíòû, â êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîëíàÿ óñòîé÷èâîñòü èñõîäà îïûòîâ. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ýêñïåðèìåíòû ïîõóæå, ãäå ïîëíîé óñòîé÷èâîñòè íåò, íî åñòü ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü. Ê òðåòüåé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ñîâñåì ïëîõèå ýêñïåðèìåíòû, êîãäà íåò è ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.  ïåðâîé ãðóïïå âñå ÿñíî áåç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, â òðåòüåé ãðóïïå îíà áåñïîëåçíà. Âòîðàÿ ãðóïïà ñîñòàâëÿåò íàñòîÿùóþ ñôåðó ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, íî ìû âðÿä ëè êîãäà-íèáóäü ìîæåì áûòü âïîëíå óâåðåíû, ÷òî èíòåðåñóþùèé íàñ ýêñïåðèìåíò îòíîñèòñÿ êî âòîðîé, à íå ê òðåòüåé ãðóïïå». 9. Àíäðå Àíãî â êíèãå äëÿ ýëåêòðî- è ðàäèîèíæåíåðîâ [Àíãî, 1967, ñ. 620] îáðàùàåò âíèìàíèå ÷èòàòåëåé íà ïðîáëåìó îãðàíè÷åííîé òî÷íîñòè èçìåðåíèé, òåñíî ñâÿçàííîé ñ ïðîáëåìîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, è äàåò ñëåäóþùèå ðåêîìåíäàöèè: «Êàçàëîñü áû, ÷òî, óâåëè÷èâàÿ ÷èñëî èçìåðåíèé, ìîæíî äî áåñêîíå÷íîñòè óâåëè÷èâàòü òî÷íîñòü. Îäíàêî, åñëè òåîðåòè÷åñêè ìîæíî ïîëó÷èòü åùå îäíó çíà÷àùóþ öèôðó, ïåðåéäÿ îò îäíîãî åäèíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ ê 100 èçìåðåíèÿì, èëè îò ãðóïïû â 10 èçìåðåíèé ê 1000 èçìåðåíèÿì, òî ïðàêòè÷åñêè ïîëó÷åíèå òàêîãî âûèãðûøà âåñüìà ñîìíèòåëüíî. Äåéñòâèòåëüíî, ñëåäóåò îïàñàòüñÿ, ÷òî ïðè òûñÿ÷íîì èçìåðåíèè èçìåðÿåìàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà áóäåò óæå íå ñîâñåì òà, ÷òî âíà÷àëå. Äðóãèìè ñëîâàìè, â óñëîâèÿõ îïûòà ìîãóò èìåòü ìåñòî íåáîëüøèå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå âîçäåéñòâóþò íà ðåçóëüòàò íåñëó÷àéíûì îáðàçîì (òàê íàçûâàåìîå «ñïîëçàíèå öåíòðà ðàññåèâàíèÿ»). Ýòî áîëåå ÷åì âåðîÿòíî, òàê êàê ñåðèÿ â 1000 èçìåðåíèé äîëæíà ïðîäîëæàòüñÿ çíà÷èòåëüíîå âðåìÿ. Ïîýòîìó íå ïðèíÿòî äåëàòü áîëüøèå ñåðèè èçìåðåíèé è ÷èñëî n ðåäêî áûâàåò áîëüøå 10. Âñå ñêàçàííîå õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðîñòûì çäðàâûì ñìûñëîì. Ëó÷øå óñîâåðøåíñòâîâàòü ýêñïåðèìåíòàëüíûé

287

Приложение

ìåòîä, ÷åì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî èçìåðåíèé; 10 õîðîøèõ èçìåðåíèé ïîëåçíåå, ÷åì 1000 ïîñðåäñòâåííûõ». * * * Îãðàíè÷åíèå òî÷íîñòè èçìåðåíèé îáóñëîâëåíî ìíîãèìè ïðè÷èíàìè, ñðåäè êîòîðûõ ñëåäóåò âûäåëèòü, ïðåæäå âñåãî, èçìåí÷èâîñòü îáúåêòà èçìåðåíèÿ, èçìåí÷èâîñòü ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê ïîìåõ, à òàêæå èçìåí÷èâîñòü ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê ñðåäñòâ èçìåðåíèÿ. Ýòè è äðóãèå ïðè÷èíû âûçûâàþò íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

288

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Ãèïîòåçà àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ïîðîäèâøàÿ â ñâîå âðåìÿ êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó, íå íàõîäèò ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ. Âñå óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â ðåàëüíîì ìèðå èìååò ìåñòî íå àáñîëþòíàÿ, à îãðàíè÷åííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü. Ïîèñê àäåêâàòíûõ ñðåäñòâ îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé ñ ó÷åòîì íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèâåë ê íîâîé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, ïðåäëàãàþùåé íîâûé âçãëÿä íà îêðóæàþùèé ìèð è íîâûå ïóòè åãî ïîçíàíèÿ. Ïåðâîî÷åðåäíûå îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ íîâîé òåîðèè, î÷åâèäíî, ñâÿçàíû ñ òåìè ðàçäåëàìè íàóêè è òåõíèêè, â êîòîðûõ êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà óæå çàâîåâàëè óâåðåííûå ïîçèöèè. Ïðåæäå âñåãî, ýòî òåîðèÿ èçìåðåíèé, ìåòðîëîãèÿ, ðàäèîòåõíèêà, ñâÿçü, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà è äð.

*** Âñå ãèïîòåçû è òåîðèè èìåþò îãðàíè÷åííûé ñðîê æèçíè. Íåâîçìîæíî çàðàíåå ïðåäâèäåòü, â êàêîé ìåðå îíè áóäóò âîñòðåáîâàíû. Èñòèííàÿ öåííîñòü íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ ðàñêðûâàåòñÿ â õîäå èñïûòàíèé âðåìåíåì. Õîòåëîñü áû íàäåÿòüñÿ, ÷òî òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé çàéìåò äîñòîéíîå ìåñòî â ñèñòåìå ÷åëîâå÷åñêèõ çíàíèé è ïîçâîëèò ñäåëàòü î÷åðåäíîé øàã â ïîçíàíèè îêðóæàþùåãî ìèðà.

289

СПИСОК ОСНОВНЫХ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Îïåðàòîðû D[X ]

D I [X ] , DS [X ]

M[X ] M i [X ] , M s [X ] M I [X ] , M S [X ]

— äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — äèñïåðñèè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ

M 0 [X ]

MT [ X (t )]

P { A} P (A)

— óñðåäíåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ñðåäíåå ïî t íà ãèèíòåðâàëå T ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) — âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ A — âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A

PI ( A ), PS ( A )

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A

Ñïåöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå çíàêè inf, sup lim X N

N →∞

l.i.m . XN N →∞

rect[ x ] sign[ x ]

290

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû — ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X N ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà (ïî÷òè íàâåðíîå) — ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X N â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì — П-îáðàçíàÿ ôóíêöèÿ — ôóíêöèÿ åäèíè÷íîãî ñêà÷êà

{X }

— ìíîæåñòâî X

∀

— äëÿ âñåõ — ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå

U I

∅

— ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå

— ïóñòîå ìíîæåñòâî — îöåíêà âåëè÷èíû θ — âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè x1 ,K, xN {X 1,K, X N } — ìíîæåñòâî èëè óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñ ýëåìåíòàìè X1,K, XN θ* (x1,K, xN )

Список основных условных обозначений

Ôóíêöèè Dix , Dsx

DIx , DSx

f (x )

f (x / g ) или f x / g (x )

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû äèñïåðñèè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — äèñïåðñèè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â óñëîâèÿõ g

f I ( x ), fS ( x ) — ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ñðåäíåå ïëîòíîñòåé f0 (x ) ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåF (x ) ëåíèÿ âåëè÷èíû X FI ( x ), FS ( x ) — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — óñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñF (x / g ) ïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëóили ÷àéíîé âåëè÷èíû X â Fx / g ( x ) óñëîâèÿõ g F ( x / m, D )

∆F ( x )

— ãàóññîâñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì m è äèñïåðñèåé D — ðàçíîñòü ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

F0 ( x )

K ix (t1, t2 ), K sx (t1, t2 )

K Ix (t1, t2 ), K Sx (t1, t2 )

K Ixy (t1 , t 2 ), K Sxy (t1 , t 2 )

mix , msx

mIx , mSx

mi

ν1 Kν L

ms

,

ν1 Kν L

mI

ν1 K νL

mS

ν1 Kν L

Q ( jω x )

,

— ñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) — êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) — âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ ïîðÿäêà ν = ν1 + … + νL ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà — íà÷àëüíûå ìîìåíòû íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ïîðÿäêà ν = = ν1 + … + νL ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

291

Список основных условных обозначений Q ( jωx / g )

QI ( jωx ), QS ( jωx )

Q0 ( jωx )

rix (t1 , t 2 ), rsx (t1 , t 2 )

— óñëîâíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â óñëîâèÿõ g — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ñðåäíåå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ íîðìèðîâàííûå ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t )

rIx (t1 , t 2 ), rSx (t1 , t 2 )

RIx (t1 , t 2 ), RSx (t1 , t 2 ) S ixx ( f ), S sxx ( f )

S Ixx ( f ), S Sxx ( f )

— íîðìèðîâàííûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X(t) — êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t ) — ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè X (t )

— âçàèìíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) — äåëüòà-ôóíêöèÿ — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è

S&Ixy ( f ), S&Sxy ( f )

δ 2 γixy ( f ),

γ 2sxy ( f )

Y (t )

γ 2Ixy ( f

),

2 γ Sxy (f

)

µi

ν1 K νL

µs

ν1 Kν L

— ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé X (t ) è Y (t ) — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ïîðÿäêà ν = ν1 + … + ν L ãè-

,

µI

ν1 K νL

µS

ν1 Kν L

,

ïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà — öåíòðàëüíûå ìîìåíòû íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö ïîðÿäêà ν = = ν1 + … + νL ãèïåðñëó-

Φ( x )

÷àéíîãî âåêòîðà — ãàóññîâñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Àêóëè÷åâ Â.À., Áåçîòâåòíûõ Â.Â., Êàìåíåâ Ñ.È., Êóçüìèí Å.Â., Ìîðãóíîâ Þ.Í., Íóæäåíêî À.Â. Àêóñòè÷åñêàÿ òîìîãðàôèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ âîäíîé ñðåäû â øåëüôîâîé çîíå ßïîíñêîãî ìîðÿ // ÄÀÍ. – 2001. – Ò. 381, ¹ 2. – Ñ. 243–246. 2. Àêóëè÷åâ Â.À., Áåçîòâåòíûõ Â.Â., Êàìåíåâ Ñ.È., Ëåîíòüåâ À.Ï., Ìîðãóíîâ Þ.Í. Àêóñòè÷åñêèå äèñòàíöèîííûå èçìåðåíèÿ òå÷åíèé íà øåëüôå ßïîíñêîãî ìîðÿ // Àêóñòè÷åñêèé æóðíàë. – 2004. – Ò. 50. – Ñ. 581–584. 3. Àêóñòèêà îêåàíà / Ïåð. ñ àíãë. – Ì.: Ìèð, 1982. – 318 ñ. 4. Àêóñòèêà îêåàíà / Ïîä ðåä. Ë. Ì. Áðåõîâñêèõ, È.À. Àíäðååâîé. – Ì.: Íàóêà, 1982. – 247 ñ. 5. Àêóñòèêà îêåàíà / Ïîä ðåä. Ë.Ì. Áðåõîâñêèõ. – Ì.: Íàóêà, 1974. – 693 ñ. 6. Àëåôåëüä Ã., Õåðöáåðãåð Þ. Ââåäåíèå â èíòåðâàëüíûå âû÷èñëåíèÿ. – Ì.: Ìèð, 1987. – 356 ñ. 7. Àëèìîâ Þ.È. Àëüòåðíàòèâà ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. – Ì.: Çíàíèå, 1980. – 64 ñ. 8. Àëèìîâ Þ.È., Êðàâöîâ Þ.À. ßâëÿåòñÿ ëè âåðîÿòíîñòü «íîðìàëüíîé» ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1992. – Ò. 162, ¹ 7. – Ñ. 149–182. 9. Àíãî À. Ìàòåìàòèêà äëÿ ýëåêòðî- è ðàäèîèíæåíåðîâ. – Ì.: Íàóêà, 1967. – 779 ñ. 10. Àíèùåíêî Â.Ñ., Âàäèâàñîâà Ò.Å., Îêðîêâåðöõîâ Ã.À., Ñòðåëêîâà Ã.È. Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèíàìè÷åñêîãî õàîñà // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – Ò. 175, ¹ 2. – 2005. – Ñ. 163–179. 11. Áåðíóëëè ß. Î çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë. – Ì.: Íàóêà, 1986. – 176 ñ. 12. Áåðíøòåéí Ñ.Í. Îïûò àêñèîìàòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé // Ñîîáùåíèÿ Õàðüêîâñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáùåñòâà. – 1917. – ¹ 15. – Ñ. 209–274. 13. Áåðíøòåéí Ñ.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.–Ë.: Ãîñ. èçä-âî, 1927. – 367 ñ. 14. Áåðíøòåéí Ñ.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ãîñòåõèçäàò, 1946. – 410 ñ. 15. Áîëüøåâ Ë.Í., Ñìèðíîâ Í.Â. Òàáëèöû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. – Ì.: Íàóêà, 1983. – 416 ñ. 16. Áîðåëü Ý. Âåðîÿòíîñòü è äîñòîâåðíîñòü. – Ì.: Íàóêà, 1961. – 120 ñ. 17. Áîðîâêîâ À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Íàóêà, 1986. – 432 ñ. 18. Áî÷àðíèêîâ Â.Ï. Fuzzy-òåõíîëîãèÿ: Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû. Ïðàêòèêà ìîäåëèðîâàíèÿ â ýêîíîìèêå. – ÑÏá: Íàóêà, 2001. – 328 ñ.

293

Список литературы 19. Áðèëëþýí Ë. Íàóêà è òåîðèÿ èíôîðìàöèè. – Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960. – 395 ñ. 20. Áðèëëþýí Ë. Íàó÷íàÿ íåîïðåäåëåííîñòü è èíôîðìàöèÿ. – Ì.: Ìèð, 1960. – 395 ñ. 21. Áóëèíñêèé À.Â., Øèðÿåâ À.Í. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. – Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. – 399 ñ. 22. Âàí Òðèñ Ã. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ, îöåíîê è ìîäóëÿöèè. – Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1972. – Ò. 1. – 743 ñ.; 1975. – Ò. 2. – 343 ñ.; 1977. – Ò. 3. – 662 ñ. 23. Âåíöåëü Å.Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Íàóêà, 1969. – 576 ñ. 24. Âåðîÿòíîñòü è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà: Ýíöèêëîïåäèÿ / Ãë. ðåä. Þ.Â. Ïðîõîðîâ. – Ì.: Áîëüøàÿ ðîññèéñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1999. – 910 ñ. 25. Âîùèíèí À.Ï., Áî÷êîâ À.Ô., Ñîòèðîâ Ã.Ð. Ìåòîä àíàëèçà äàííûõ ïðè èíòåðâàëüíîé íåñòàòèñòè÷åñêîé îøèáêå // Çàâîäñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ. – 1990. – Ò. 56, ¹ 7. – Ñ. 76–81. 26. Âîùèíèí À.Ï., Ñîòèðîâ Ã.Ð. Îïòèìèçàöèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. – Ì.: ÌÝÈ – Ñîôèÿ: Òåõíèêà, 1989. – 224 ñ. 27. Ãàëèëåé Ã. Äèàëîã î äâóõ ãëàâíåéøèõ ñèñòåìàõ ìèðà: ïòîëåìååâîé è êîïåðíèêîâîé. – Ì.–Ë., 1948. – 147 ñ. 28. Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ À.Â., Ðàáèíîâè÷ Ì.È. Íåëèíåéíàÿ ôèçèêà. Ñòîõàñòè÷íîñòü è ñòðóêòóðû // Ôèçèêà XX âåêà: Ðàçâèòèå è ïåðñïåêòèâû. – Ì.: Ìèð, 1984. – Ñ. 188–218. 29. Ãåéçåíáåðã Â., Øðåäèíãåð Ý., Äèðàê Ï.À.Ì. Ñîâðåìåííàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Òðè íîáåëåâñêèõ äîêëàäà. – Ë.–Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå òåõíèêîòåîðåòè÷åñêîå èçä-âî, 1934. – 76 ñ. 30. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 567 ñ. 31. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â., ßäðåíêî Ì.È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ê.: Âûùà øê., 1979. – 408 ñ. 32. Ãíåäåíêî Á.Â., Êîëìîãîðîâ À.Í. Ïðåäåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. – Ì.–Ë.: Ãîñ. èçä-âî òåõíèêîòåîðåòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1949. – 264 ñ. 33. Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèòåðàòóðû, 1961. – 406 ñ. 34. Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèòåðàòóðû, 1988. – 448 ñ. 35. Ãîðáàíü ².². Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé ³ ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà äëÿ íàóêîâèõ ïðàö³âíèê³â òà ³íæåíåð³â. – Ê.: ²ÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2003. – 245 ñ. (http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/ index.html). 36. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ è èõ îïèñàíèå // Àêóñòè÷åñêèé âåñòíèê. – 2005. – Ò. 8, ¹ 1–2. – Ñ. 16–27. 37. Ãîðáàíü È.È. Ìåòîäû îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé // Àêóñòè÷åñêèé âåñòíèê. – 2005. – Ò. 8, ¹ 3. – Ñ. 24–33. 38. Ãîðáàíü È.È. Ñëó÷àéíîñòü, ãèïåðñëó÷àéíîñòü, õàîñ è íåîïðåäåëåííîñòü // Ñòàíäàðòèçàö³ÿ, ñåðòèô³êàö³ÿ, ÿê³ñòü. – 2005. – ¹ 3. – Ñ. 41–48. 39. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè è èõ îïèñàíèå // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2006. – ¹ 1. – Ñ. 3–15. 40. Ãîðáàíü ².². Ìàòåìàòè÷íèé îïèñ ô³çè÷íèõ ÿâèù ó ñòàòèñòè÷íî íåñòàá³ëüíèõ óìîâàõ // Ñòàíäàðòèçàö³ÿ, ñåðòèô³êàö³ÿ, ÿê³ñòü. – 2006. – ¹ 6. – Ñ. 26–33.

294

Список литературы 41. Ãîðáàíü È.È. Îöåíêè õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2006. – ¹ 1. – Ñ. 40–48. 42. Ãîðáàíü È.È. Ñòàöèîíàðíûå è ýðãîäè÷åñêèå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2006. – ¹ 6. – Ñ. 54–70. 43. Ãîðáàíü È.È. Òî÷å÷íûé è èíòåðâàëüíûé ìåòîäû îöåíêè ïàðàìåòðîâ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2006. – ¹ 2. – Ñ. 3–14. 44. Ãîðáàíü È.È. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. – Ê.: ÈÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðàèíû, 2007. – 184 ñ. (http://ifsc.ualr.edu/jdberleant/intprob/, http://www.immsp. kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html). 45. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ: îïðåäåëåíèå è îïèñàíèå // Proceedings of XIII-th International conference KDS. – Sofia, Bulgaria, 2007. – P. 137–147. 46. Ãîðáàíü È.È. Ïðåäñòàâëåíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2007. – ¹ 1. – Ñ. 34–41. 47. Ãîðáàíü È.È. Èçìåðåíèå âåëè÷èí â ñòàòèñòè÷åñêè íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2008. – ¹ 8. – Ñ. 3–22. 48. Ãîðáàíü È.È. Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè // Algorithmic and Mathematical Foundations of the Artificial Intelligence. International Book Series. Number 1 ITHEA, Sofia, Bulgaria. – 2008. – P. 135–141. 49. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ìîäåëè // Proceedings of XIII-th International conference KDS-2. – Sofia – Uzhgorod, Bulgaria – Ukraine, 2008. – P. 233–242. 50. Ãîðáàíü È.È. Îáðàáîòêà ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2008. – 272 ñ. (http://www.immsp. kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html). 51. Ãîðáàíü È.È. Ãèïîòåçà ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà è âîçìîæíîñòè ïîçíàíèÿ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2009. – ¹ 3. – Ñ. 44–66. 52. Ãîðáàíü È.È. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè // Proceedings of XIV-th International conference KDS-2. Book 15. – Sofia – Kiev, Bulgaria – Ukraine, 2009. – P. 251–257. 53. Ãîðáàíü È.È. Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè // Òðóäû ïÿòîé äèñòàíöèîííîé êîíôåðåíöèè «Ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà. ÑÏÏÐ ’2009». – Ê., 2009. – Ñ. 5–9. 54. Ãîðáàíü È.È. Íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2010. – ¹ 1. – Ñ. 171–184. 55. Ãîðáàíü È.È. Èññëåäîâàíèå íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè êóðñà âàëþò // Òðóäû ïÿòîé êîíôåðåíöèè «Ìàòåìàòè÷åñêîå è èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì. ÌÎÄÑ ’2010». – Ê., 2010. – Ñ. 84–86. 56. Ãîðáàíü È.È. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2010. – ¹ 2. – Ñ. 3–15. 57. Ãîðáàíü È.È. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè // Òðóäû øåñòîé äèñòàíöèîííîé êîíôåðåíöèè «Ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà. ÑÏÏÐ ’2010». – Ê., 2010. – Ñ. 189–192.

295

Список литературы 58. Ãîðáàíü È.È. Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñ îáùåñèñòåìíûõ ïîçèöèé // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2010. – ¹ 2. – Ñ. 3–9. 59. Ãîðáàíü È.È. Ýôôåêò ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè â ãèäðîôèçèêå // Òðóäû äåñÿòîé Âñåðîññèéñêîé êîíôåðåíöèè «Ïðèêëàäíûå òåõíîëîãèè ãèäðîàêóñòèêè è ãèäðîôèçèêè». – ÑÏá: Íàóêà, 2010. – Ñ. 199–201. 60. ÃÎÑÒ Ð 51317.3.3—99 (ÌÝÊ 61000-3-3—94). Ñîâìåñòèìîñòü òåõíè÷åñêèõ ñðåäñòâ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ. Êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ è ôëèêåð, âûçûâàåìûå òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ñ ïîòðåáëÿåìûì òîêîì íå áîëåå 16 À (â îäíîé ôàçå), ïîäêëþ÷àåìûìè ê íèçêîâîëüòíûì ñèñòåìàì ýëåêòðîñíàáæåíèÿ. Íîðìû è ìåòîäû èñïûòàíèé. – Ì.: Ãîññòàíäàðò Ðîññèè, 1999. – 20 ñ. 61. Ãðèí÷åíêî Â.Ò., Ìàöèïóðà Â.Ò., Ñíàðñêèé À.À. Ââåäåíèå â íåëèíåéíóþ äèíàìèêó. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. – 263 ñ. 62. Ãð³í÷åíêî Â.Ò., Âîâê ².Â., Ìàöèïóðà Â.Ò. Îñíîâè àêóñòèêè. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. – 640 ñ. 63. Ãóñåâ Â.Ã. Ñèñòåìû ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáðàáîòêè ãèäðîàêóñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè. – Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1988. – 264 ñ. 64. Äàííûå î âàðèàöèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàéîíå Ìîñêâû. Èíñòèòóò çåìíîãî ìàãíåòèçìà, èîíîñôåðû è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí èì. Í.Â. Ïóøêîâà ÐÀÍ. – http://forecast.izmiran.rssi.ru/bankr.htm. 65. Äîáðîíåö Á.Ñ. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà. – Êðàñíîÿðñê: Êðàñíîÿðñêèé ãîñ. óíèâåðñèòåò, 2004. – 219 ñ. 66. Äîí÷åíêî Â. Ìíîæåñòâåííûå ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè: ýìïèðè÷åñêèé è ìàòåìàòè÷åñêèé àñïåêòû // Algorithmic and Mathematical Foundations of the Artificial Intelligence. International Book Series. Number 1 ITHEA, Sofia, Bulgaria. – 2008. – P. 127–134. 67. Äþáóà Ä., Ïðàä À. Òåîðèÿ âîçìîæíîñòåé. Ïðèëîæåíèå ê ïðåäñòàâëåíèþ çíàíèé â èíôîðìàòèêå. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1990. – 287 ñ. 68. Äûõíå À.Ì., Ñíàðñêèé À.À., Æåíèðîâñêèé Ì.È. Óñòîé÷èâîñòü è õàîñ â äâóìåðíûõ ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ è LC-öåïî÷êàõ // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 2004. – Ò. 1174, ¹ 8. – Ñ. 887–894. 69. Åäèíàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ ñèñòåìà èíôîðìàöèè îá îáñòàíîâêå â ìèðîâîì îêåàíå ÅÑÈÌ. Äàííûå Èíñòèòóòà îêåàíîëîãèè èì. Ï.Ï. Øèðøîâà ÐÀÍ. – http://ias.ocean.ru/esimo. 70. Æóê Ñ.ß. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè äèñêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè. – Ê.: ÍÒÓÓ «ÊÏÈ», 2008. – 232 ñ. 71. Çàäå Ë. Ïîíÿòèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèìåíåíèå ê ïðèíÿòèþ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé. – Ì.: Ìèð, 1976. – 168 ñ. 72. Èâàíåíêî Â.È., Ëàáêîâñêèé Â.À. Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. – 135 ñ. 73. Èëüè÷åâ Â.È., Êàëþæíûé À.ß., Êðàñíûé Ë.Ã., Ëàïèé Â.Þ. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. – Ì.: Íàóêà, 1992. – 415 ñ. 74. Êàëìûêîâ Ñ.À., Øîêèí Þ.È., Þëäàøåâ Ç.Õ. Ìåòîäû èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà. – Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1986. – 222 ñ. 75. Êàíòîðîâè÷ Ë.Â. Î íåêîòîðûõ íîâûõ ïîäõîäàõ ê âû÷èñëèòåëüíûì ìåòîäàì è îáðàáîòêè íàáëþäåíèé // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. – 1962. – Ò. 3, ¹ 5. – Ñ. 701–709.

296

Список литературы 76. Êàðíàï Ð. Ôèëîñîâñêèå îñíîâàíèÿ ôèçèêè. Ââåäåíèå â ôèëîñîôèþ íàóêè. – Ï.: Ïðîãðåññ, 1971. – 390 ñ. 77. Êëèìåíêî Â.Ï., Ëÿõîâ Î.Ë. ²íòåëåêòóàë³çàö³ÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñêëàäíèõ ïðèêëàäíèõ çàäà÷ ìåòîäàìè êîìï’þòåðíî¿ àëãåáðè. – Ê.: ²ÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2009. – 293 ñ. 78. Êëþøèí Ä.À., Ïåòóíèí Þ.È. Äîêàçàòåëüíàÿ ìåäèöèíà. – Ê.: Äèàëåêòèêà-Âèëüÿìñ, 2007. – 320 ñ. 79. Êëÿ÷êèí Â.È. Âåðîÿòíîñòíûå çàäà÷è ñòàòèñòè÷åñêîé ãèäðîàêóñòèêè. ×. 1. Ãðàíè÷íî-êîíòàêòíûå çàäà÷è. – ÑÏá: Íàóêà, 2007. – 629 ñ. 80. Êíîïîâ Ï.Ñ., Ãîëîäíèêîâ À.Í., Ïåïåëÿåâ Â.À. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ íàäåæíîñòè ïðè íàëè÷èè íåïîëíîé ïåðâè÷íîé èíôîðìàöèè // Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. – 2003. – ¹ 1. – Ñ. 36–37. 81. Êíîïîâ Ï.Ñ. Îïòèìàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981. – 151 ñ. 82. Êîâàëåíêî È.Í., Êóçíåöîâ Í.Þ., Øóðåíêîâ Â.Ì. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû: Ñïðàâî÷íèê. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1983. – 366 ñ. 83. Êîâàëåíêî È. Í., Ôèëèïïîâà À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Âûñøàÿ øê., 1973. – 368 ñ. 84. Êîëìîãîðîâ À.Í. Îáùàÿ òåîðèÿ ìåðû è èñ÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé // Òðóäû êîììóíèñòè÷åñêîé àêàäåìèè. Ìàòåìàòèêà. – 1929. – Ñ. 8–21. 85. Êîëìîãîðîâ À.Í. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: ÎÍÒÈ, 1936. – 175 ñ.; 1974. – 119 ñ. 86. Êîëìîãîðîâ À.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé // Ìàòåìàòèêà, åå ìåòîäû è çíà÷åíèå. – Ì., 1956. – Ò. 2. – Ñ. 252–284. 87. Êîëìîãîðîâ À.Í. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ. – Ì.: Íàóêà, 1987. – 232 ñ. 88. Êîëìîãîðîâ À.Í. Î ëîãè÷åñêèõ îñíîâàíèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Íàóêà, 1986. – Ñ. 467–471. 89. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 831 ñ. 90. Êîðîëþê Â.Ñ. è äð. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. – Ì.: Íàóêà, 1985. – 637 ñ. 91. Êîðîëþê Â.Ñ. Ñòîõàñòè÷í³ ìîäåë³ ñèñòåì. – Ê.: Ëèá³äü, 1993. – 136 ñ. 92. Êîôìàí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. – 432 ñ. 93. Êðàâöîâ Þ.À. Ñëó÷àéíîñòü, äåòåðìèíèðîâàííîñòü, ïðåäñêàçóåìîñòü // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1989. – Ò. 158, ¹ 1. – Ñ. 93–122. 94. Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè. – Ì.: Ìèð, 1975. – 648 ñ. 95. Êðîíîâåð Ð.Ì. Ôðàêòàëû è õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Îñíîâû òåîðèè. – Ì.: Ïîñòìàðêåò, 2000. – 348 ñ. 96. Êóçüìè÷åâ Â.Å. Çàêîíû è ôîðìóëû ôèçèêè. Ñïðàâî÷íèê. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1989. – 862 ñ. 97. Êóçíåöîâ Â.Ï. Èíòåðâàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1991. – 348 ñ. 98. Êóëèêîâ Å.È., Òðèôîíîâ À.Ï. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ñèãíàëîâ íà ôîíå ïîìåõ. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1978. – 296 ñ.

297

Список литературы 99. Êóíöåâè÷ Â.Ì. Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2006. – 261 ñ. 100. Êóõëèíã Õ. Ñïðàâî÷íèê ïî ôèçèêå. – Ì.: Ìèð, 1985. – 519 ñ. 101. Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1974. – Ò. 1. – 552 ñ.; 1976. – Ò. 2. – 285 ñ. 102. Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. – 454 ñ. 103. Ëåâèí Â.È. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà è èçó÷åíèå íåîïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè. – 1998. – ¹ 6. – Ýë. âåðñèÿ íà Ôåäåðàëüíîì ïîðòàëå «Èíæåíåðíîå îáðàçîâàíèå». Èíòåëëåêòóàëüíûå ñèñòåìû. 5 ìàÿ 2005. www.techno.edu.ru. 104. Ëåìàí Å. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç / Ïåð. ñ àíãë. Þ.Â. Ïðîõîðîâà. – Ì.: Íàóêà, 1971. – 375 ñ. 105. Ëèòëâóä Äæ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñìåñü. – Ì.: Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèòåðàòóðû, 1962. – 150 ñ. 106. Ëîýâ Ì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: ÈË, 1962. – 720 ñ. 107. Ìàðêîâ À.À. Èñ÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé. – Ì., 1924. 108. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. – http://ru.wikipedia.org/wiki/. 109. Ìèääëòîí Ä. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ òåîðèþ ñâÿçè. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1962. – Ò. 2. – 832 ñ. 110. Ìèçåñ Ð. Âåðîÿòíîñòü è ñòàòèñòèêà. – Ì. – Ë., 1930. – 250 ñ. 111. Ìèð ôèëîñîôèè. ×. 1. Èñõîäíûå ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû, ïîíÿòèÿ è ïðèíöèïû. – Ì.: Èçä-âî ïîëèòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1991. – 672 ñ. 112. Ìîðîçîâ À.À., Êîñîëàïîâ Â.Ë. ²íôîðìàö³éíî-àíàë³òè÷í³ òåõíîëî㳿 ï³äòðèìêè ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü íà îñíîâ³ ðåã³îíàëüíîãî ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íîãî ìîí³òîðèíãó. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2002. – 230 ñ. 113. Ìîñòåëëåð Ô., Ðóðêå Ð., Òîìàñ Äæ. Âåðîÿòíîñòü. – Ì.: Ìèð, 1969. – 433 ñ. 114. Ìûøêèñ À.Ä. Ýëåìåíòû òåîðèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. – Ì.: ÊîìÊíèãà, 2007. – 192 ñ. 115. Íèãìàòóëèí Ð.È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. – Ì.: Íàóêà, 1987. – Ò. 1. – 464 ñ.; 1987. – Ò. 2. – 359 ñ. 116. Îæåãîâ Ñ.È. Ñëîâàðü ðóññêîãî ÿçûêà. – Ì.: Ãîñ. èçä-âî èíîñòð. è íàö. ñëîâàðåé, 1960. – 900 ñ. 117. Îëüøåâñêèé Â.Â. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû â ãèäðîëîêàöèè. – Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1973. – 201 ñ. 118. Îëüøåâñêèé Â.Â. Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìîðñêîé ðåâåðáåðàöèè. – Ì.: Íàóêà, 1966. – 202 ñ. 119. Îðëîâ À.È. Ýêîíîìåòðèêà. – Ì.: Ýêçàìåí, 2002. – 576 ñ. 120. Îðëîâ À.È. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Ýêçàìåí, 2006. – 672 ñ. 121. Îðëîâñêèé Ñ.À. Ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íå÷åòêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè. – Ì.: Íàóêà, 1981. – 112 ñ. 122. Î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ïåðåïèñêà À.À. Ìàðêîâà è À.À. ×óïðîâà. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 199 ñ. 123. Ïàéåðëñ Ð. Ïîñòðîåíèå ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé // ÓÔÍ. – 1983, ¹ 6. – Ñ. 315–332. 124. Ïåíðîóç Ð. Ïóòü ê ðåàëüíîñòè èëè çàêîíû, óïðàâëÿþùèå âñåëåííîé. Ïîëíûé ïóòåâîäèòåëü. – Ì.–Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, ÍÈÖ «Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà», 2007. – 912 ñ.

298

Список литературы 125. Ïåòðîâñêèé Â.Ñ. Íåñòàöèîíàðíûå çàäà÷è ãèäðîàêóñòèêè. – Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1988. – 264 ñ. 126. Ïëàíê Ì. Åäèíñòâî ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà. – Ì.: Íàóêà, 1966. – 282 ñ. 127. Ïîëêàíîâ Ê.È., Ëîñêóòîâà Ã.Â. Ïðîñòðàíñòâåííî-÷àñòîòíûå è ÷àñòîòíî-âîëíîâûå ìåòîäû îïèñàíèÿ è îáðàáîòêè ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ïîëåé. – ÑÏá.: Íàóêà, 2007. – 348 ñ. 128. Ïîëíèêîâ Â.Ã. Íåëèíåéíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ âîëí íà âîäå. – Èçä. ãðóïïà URSS, 2007. – 408 ñ. 129. Ïîðòåíêî Í.È., Ñêîðîõîä À.Â., Øóðåíêîâ Â.Ì. Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. – Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. – ÂÈÍÈÒÈ, 1989. – 248 ñ. 130. Ïðèãîæèí È., Ñòåíãåðñ È. Âðåìÿ, õàîñ, êâàíò. – Êíèæíûé äîì «Ëèáðîêîì», 2009. – 232 ñ. 131. Ïðîáëåìû àêóñòèêè îêåàíà / Îòâ. ðåä. Ë.Ì. Áðåõîâñêèõ. – Ì.: Íàóêà, 1984. – 222 ñ. 132. Ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà / Ñá. ïîä îáù. ðåä. Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâà. – Ì.: Íàóêà, 1969. – 238 ñ. 133. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ / Ïîä. ðåä. È.ß. Êðåìåðà. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1984. – 224 ñ. 134. Ïðîõîðîâ Þ.Â., Ðîçàíîâ Þ.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Íàóêà, 1967. – 494 ñ. 135. Ïóàíêàðå À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé (1912). – Èæåâñê, 1999. – 282 ñ. 136. Ïóàíêàðå À. Î íàóêå. – Ì.: Íàóêà, 1983. – 560 ñ. 137. Ïóãà÷åâ Â.Ñ. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. – Ì.: Èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèòåðàòóðû, 1962. – 883 ñ. 138. Ïóãà÷åâ Â.Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Íàóêà, 1979. – 469 ñ. 139. Ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â ôëþêòóèðóþùåì îêåàíå / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Ë.Ì. Áðåõîâñêèõ. – Ì.: Ìèð, 1982. – 336 ñ. 140. Ðåçíèê À.Ì. Î ñòðóêòóðå îïòèìàëüíîãî ïðèåìíèêà äëÿ îáíàðóæåíèÿ ëîêàëüíîãî èñòî÷íèêà ñèãíàëà â ïîëå øóìîâîé ïîìåõè // Ðàäèîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà. – 1965. – ¹ 6. – Ñ. 979–986. 141. Ðåçíèê À.Ì. Î øóìîâîì ïîëå âíóòðè ñôåðû êîíå÷íîãî ðàäèóñà, ñîçäàâàåìîì ñëîåì ïðîñòûõ èñòî÷íèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà åå ïîâåðõíîñòè // Àêóñòè÷åñêèé æóðíàë. – 1965. – Ò. XI, ¹ 1. – Ñ. 79–83. 142. гçíèê Î.Ì. Çàãàëüíà ìîäåëü ðîçâèòêó // Ìàòåìàòè÷í³ ìàøèíè ³ ñèñòåìè. – 2005. – ¹ 1. – Ñ. 84–98. 143. Ðåçíèê À.Ì. Î ïðèðîäå èíòåëëåêòà // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2008. – ¹ 1. – Ñ. 23–45. 144. Ðåïèí Â.Ã., Òàðòàêîâñêèé Ã.Ï. Ñòàòèñòè÷åñêèé ñèíòåç ïðè àïðèîðíîé íåîïðåäåëåííîñòè è àäàïòàöèÿ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1977. – 432 ñ. 145. Ðûæèêîâ À.Â., Áàðñóêîâ Þ.Â. Ñèñòåìû è ñðåäñòâà îáðàáîòêè ñèãíàëîâ â ãèäðîàêóñòèêå. – ÑÏá: ËÝÒÈ, 2007. – 328 ñ. 146. Ðûòîâ Ñ.Ì., Êðàâöîâ Þ.À., Òàòàðñêèé Â.È. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ ðàäèîôèçèêó. – Ì.: Íàóêà, 1978. – ×. 2: Ñëó÷àéíûå ïîëÿ. – 464 ñ. 147. Ðóêîâîäñòâî ïî âûðàæåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèé. – ÑÏá: ÃÏ «ÂÍÈÈÌ» èì. Ä.È. Ìåíäåëååâà, 1999. – 126 ñ.

299

Список литературы 148. Ñâåøíèêîâ À.À. Îñíîâû òåîðèè îøèáîê. – Ë.: Èçä-âî ëåíèíãðàäñêîãî óí-òà, 1972. – 125 ñ. 149. Ñêîðîõîä À.Â. Âåðîÿòíîñòü. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ñòðóêòóðà. Ìåòîäû // Èòîãè íàóêè è òåõí. Ñåð. Ñîâðåì. ïðîáë. ìàò. Ôóíäàì. íàïðàâëåíèÿ. – 1989. – ¹ 43. – Ñ. 5–145. 150. Ñêîðîõîä À.Â. Ëåêö³¿ ç òåî𳿠âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â. – Ê.: Ëèá³äü, 1990. – 168 ñ. 151. Ñêó÷èê Å. Îñíîâû àêóñòèêè / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Ë.Ì. Ëÿìøåâà. – Ì.: Ìèð, 1976. – Ò. 1. – 520 ñ.; 1976. – Ò. 2. – 542 ñ. 152. Ñëîâíèê ç äèñòàíö³éíîãî çîíäóâàííÿ Çåìë³ / Çà ðåä. Â.². Ëÿëüêî ³ Ì.Î. Ïîïîâà. – Ê.: ÑÌÏ «ÀÂÅÐÑ», 2004. – 170 ñ. 153. Ñîñóëèí Þ.Ã. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ è îöåíèâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1978. – 320 ñ. 154. Ñòåïèí Â.Ñ. Òåîðåòè÷åñêîå çíàíèå. – Ì.: Íàóêà, 1999. – 472 ñ. 155. Ñòðåëüíèêîâ Â.Ï., Ôåäóõèí À.Â. Îöåíêà è ïðîãíîçèðîâàíèå íàäåæíîñòè ýëåêòðîííûõ ýëåìåíòîâ è ñèñòåì. – Ê.: Ëîãîñ, 2002. – 486 ñ. 156. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ / Ïîä ðåä. Ï.À. Áàêóòà. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1984. – 440 ñ. 157. Òåñëåð Ã.Ñ. Íîâàÿ êèáåðíåòèêè. – Ê.: Ëîãîñ, 2004. – 404 ñ. 158. Òèõîíîâ Â.È., Õàðèñîâ Â.Í. Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç è ñèíòåç ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ñèñòåì. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1991. – 608 ñ. 159. Òóòóáàëèí Â.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé â åñòåñòâîçíàíèè. – Ì.: Çíàíèå, 1972. – 48 ñ. 160. Òóòóáàëèí Â.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óí-òà, 1972. – 230 ñ. 161. Òóòóáàëèí Â.Í. Âåðîÿòíîñòü, êîìïüþòåðû è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1993. – Ò. 163, ¹ 7. – Ñ. 93–109. 162. Òþðèí Í.È. Ââåäåíèå â ìåòðîëîãèþ. – Ì.: Èçä-âî ñòàíäàðòîâ, 1973. – 279 ñ. 163. Óâàðîâ Á.Ì., dzíüêîâñüêèé Þ.Ô. Îïòèì³çàö³ÿ ñò³éêîñò³ äî òåïëîâèõ âïëèâ³â êîíñòðóêö³é ðàä³îåëåêòðîííèõ çàñîá³â ç ã³ïåðâèïàäêîâèìè õàðàêòåðèñòèêàìè. – Ëóãàíñüê, 2010. – 154 ñ. 164. Ôàëüêîâè÷ Ñ.Å. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ñèãíàëîâ. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1970. – 336 ñ. 165. Ôåéíìàí Ð. Õàðàêòåð ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ. – Ì.: Íàóêà, 1987. – 160 ñ. 166. Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. – Ì.: Ìèð, 1967. – Ò. 1. – 498 ñ.; 1967. – Ò. 2. – 752 ñ. 167. Ôëàòòå Ê. Ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â ôëóêòóèðóþùåì îêåàíå / Ïåð. ñ àíãë. – Ì.: Ìèð, 1982. – 336 ñ. 168. Ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû. – http://physics.nist.gov/ constants. 169. Õèí÷èí À.ß. Ó÷åíèå Ìèçåñà î âåðîÿòíîñòÿõ è ïðèíöèïû ôèçè÷åñêîé ñòàòèñòèêè // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1929. – ¹ 9. – Ñ. 141–166. 170. Õèí÷èí À.ß. Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. – Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1941. – 117 ñ. 171. Õèí÷èí À.ß. ×àñòîòíàÿ òåîðèÿ Ð. Ìèçåñà è ñîâðåìåííûå èäåè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé // Âîïðîñû ôèëîñîôèè. – 1961, ¹ 1. – Ñ. 91–102; ¹ 2. – Ñ. 77–89.

300

Список литературы 172. Õîëåâî À.Ñ. Âåðîÿòíîñòíûå è ñòàòèñòè÷åñêèå àñïåêòû êâàíòîâîé òåîðèè. – Ì.: Íàóêà, 1980. – 320 ñ. 173. Õüþáåð Ï. Ðîáàñòíîñòü â ñòàòèñòèêå. – Ì.: Ìèð, 1984. – 303 ñ. 174. ×àéêîâñêèé Þ.Â. Î ïðèðîäå ñëó÷àéíîñòè. – Ì.: Öåíòð ñèñòåìíûõ èññëåäîâàíèé–Èíñòèòóò èñòîðèè åñòåñòâîçíàíèÿ è òåõíèêè ÐÀÍ, 2004. – 280 ñ. 175. ×åðíîâ Ë.À. Âîëíû â ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. – Ì.: Íàóêà, 1975. – 165 ñ. 176. Øàðûé Ñ.Ï. Êîíå÷íîìåðíûé èíòåðâàëüíûé àíàëèç. – XYZ: Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé, 2010. – 597 ñ. (http://www.nsc.ru/interval). 177. Øåéíèí Î.Á. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Èñòîðè÷åñêèé î÷åðê. –http://www. sheynin.de. 178. Øåíäåðîâ Å.Ë. Âîëíîâûå çàäà÷è ãèäðîàêóñòèêè. – Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1972. – 352 ñ. 179. Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü è êîíöåïöèÿ ñëó÷àéíîñòè: ê 75-ëåòèþ âûõîäà â ñâåò ìîíîãðàôèè À.Í. Êîëìîãîðîâà «Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé». – 2009. – 92 ñ. 180. Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü. – Ì.: Íàóêà, 1989. – 574 ñ. 181. Øèøëÿííèêîâà Â.Í., Øèøëÿííèêîâà Ñ.Í. ×èñëåííûå è ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû. – Ðèãà: ÐÈÈÃÂÔ, 1963. – 314 ñ. 182. Øëåçèíãåð Ì.È., Ãëàâà÷ Â. Äåñÿòü ëåêöèé ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó è ñòðóêòóðíîìó ðàñïîçíàâàíèþ. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2004. – 545 ñ. 183. Øîêèí Þ.È. Èíòåðâàëüíûé àíàëèç. – Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1981. – 112 ñ. 184. Øðåäèíãåð Ý. Èçáðàííûå òðóäû ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. – Ì.: Íàóêà, 1976. – 422 ñ. 185. Ýôðîí Á. Íåòðàäèöèîííûå ìåòîäû ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà. – Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1988. – 263 ñ. 186. ßâîðñêèé Á.Ì., Äåòëàô À.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ôèçèêå äëÿ èíæåíåðîâ è ñòóäåíòîâ ÂÓÇîâ. – Ì.: Íàóêà, 1968. – 940 ñ. 187. ßðîùóê È.Î., Ïîïîâ Ã.Â. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí âî ôëóêòóèðóþùèõ ñðåäàõ. – Âëàäèâîñòîê: Äàëüíàóêà, 2000. – 156 ñ. 188. ßðîùóê È.Î., Ãóëèí Î.Ý. Ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â çàäà÷àõ ãèäðîàêóñòèêè. – Âëàäèâîñòîê: Äàëüíàóêà, 2002. – 351 ñ. 189. Batyrshin I., Kacprzyk J., Sheremetov L., Zadeh L.A. Perception-based Data Mining and Decision Making in Economics and Finance // Studies in Computational Intelligence. – 2007. – Vol. 36. – P. 55–83. 190. Bernoulli J. The art of conjecturing. – 1713. 191. Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung inihrer Anwendung auf die Lebensversicherung, Atti del IV Congresso internazionale dei Mathematici. – Roma, 6–11 Aprile 1908. – Vol. III, Secione 11b. 192. Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909. – N 26. – P. 247–271. 193. Crownover R.M. Introduction to fractals and chaos. – Boston – London: Jones and Bartlett Pub., Inc., 1995. – 195 ð. 194. Ferson S., Kreinovich V., Ginzburg L., Myers D.S., Sentz K. Constructing probability boxes and Dempster-Shafer structures / SAND report SAND20024015. – 2003. – 143 p.

301

Список литературы 195. FOREX. – http://www.forexite.com. 196. Gorban I.I. New approach in optimization of space-time signal processing in hydroacoustics // Course notes to the Tutorial on the conference «Ocean’98». – France, IEEE, 1998. – 69 p. 197. Gorban I.I. Space-time signal processing algorithms for moving antenna // IEEE «Ocean’98». Conference Proceedings. – 1998. – Vol. 3. – P. 1613–1617. 198. Gorban I.I. Space-time signal processing for moving antennae // Elsevier, Advances in Engineering Software. – 2000. – Vol. 31. – P. 119–125. 199. Gorban I.I. Mobile Sonar Systems: Optimization of Space-Time Signal Processing. – Kiev: Nauk. dumka, 2008. – 240 ð. 200. Gorban I.I. Hyper-random phenomena: definition and description // Information Theories and Applications. – 2008. – Vol. 15, N 3. – P. 203–211. 201. Gorban I.I. Cognition Horizon and the Theory of Hyper-random Phenomena // International Journal of Information Theories and Applications. – 2009. – Vol. 16, N 1. – P. 5–24. 202. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability // Information Models of Knowledge. – Kiev – Sofia: ITHEA. – 2010. – P. 398–410. 203. Graunt J. Natural and political observations made upon the bills of mortality (1662). – Baltimore. – 1939. 204. Gray R.M. Probability, Random Processes and Ergodic Properties. – Springer Verlag, 1987. – 209 p. 205. Hagan M.T., Demuth H.B., and Beale M.H. Neural network design. – Boston, MA: PWS Publishing, 1996. – 345 p. 206. Halpern J.Y. Reasoning about uncertainty. – MIT Press, 2003. – 497 p. 207. International standard ISO 3534-1:2006 (E/F). Statistics. Vocabulary and symbols. Part I: General statistical terms and terms used in probability. – 2006. – 105 p. 208. Keller J.B. The probability of heads // Am. Math. Monthly. – 1986. – Vol. 93. – P. 191. 209. Kolmogorov A.N. On logical foundations of probability // Lect. Notes. Math. – 1983. – N 1021. – P. 1–5. 210. Kreinovich V. Why intervals? A simple limit theorem that is similar to limit theorems from statistics // Reliable Computing. – 1995. – Vol. 1, N 1. – P. 33–40. 211. Kreinovich V., Berleant D.J., Ferson S. and Lodwick W.A. Combining interval and probabilistic uncertainty: foundations, algorithms, challenges. – An Overview «Proceedings of the International Conference on Fuzzy Systems, Neural Networks, and Genetic Algorithms FNG'05». – Tijuana, Mexico, 2005. – P. 1–10. 212. Kyburg H.E. Interval-valued probabilities // Imprecise Probabilities Project. – 1998–2000. – http://ippserv.rug.ac.be/. 213. Lomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math. – 1923. – Vol. 4. – P. 34–71. 214. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. Bounding approaches to system identification. – New York: Plenum Press, 1996. – 248 p. 215. Mises R. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. – 1919. – Z. 5. – P. 52–99. 216. Mises R. Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit. – Wien, 1928. 217. Mises R. Mathematical theory of probability and statistics / Edited and complemented by H. Geiringer. – N.Y. and London: Acad. Press, 1964. – 232 ð.

302

Список литературы 218. Moor R.E. Interval analyses. – Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966. – 159 p. 219. Neumaier A. Interval methods for systems of equations. – Cambridge: Cambridge University Press, 1990. – 255 p. 220. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu. Turbulence, ideal / Encyclopedia of Nonlinear Science. – N. Y. and London, 2005. – P. 955–957. 221. Shary S.P. A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity // Reliable computing. – 2002. – N 8. – P. 321–418. 222. Sunaga T. Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis // RAAG Memoirs. – 1958. – Vol. 2, Misc. II. – P. 547–564. 223. Walley P. Statistical reasoning with imprecise probabilities. – N.Y.: Chapman and Hall, 1991. – 706 p. 224. Zadeh L.A. and Kacprzyk J. Fuzzy logic for the management of uncertainty. – N. Y.: John Wiley and Sons, 1992. – 256 ð.

• Публикации конца 2010–2011 гг. • 225. Ãîðáàíü È.È. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2011 (â ïå÷àòè). 226. dzíüêîâñüêèé Þ.Ô., Óâàðîâ Á.Ì. óïåðâèïàäêîâ³ñòü ôóíêö³îíàëüíèõ õàðàêòåðèñòèê ðàä³îåëåêòðîííèõ àïàðàò³â // ³ñíèê ÆÄÒÓ. – 2010. – ¹ 1. – Ñ. 96–103. 227. dzíüêîâñüêèé Þ.Ô., Óâàðîâ Á.Ì. Ðàä³îåëåêòðîííà àïïàðàòóðà ÿê îá’ºêò òåî𳿠ã³ïåðâèïàäêîâèõ ÿâèù // ³ñíèê ÍÒÓÓ «Êϲ». Ñåð. Ðàä³îòåõí³êà. Ðàä³îàïàðàòóðîáóäóâàííÿ. – 2010. – ¹ 40. – Ñ. 100–108. 228. Çèíüêîâñêèé Þ.Ô., Óâàðîâ Á.Ì. Ãèïåðñëó÷àéíîñòü àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñîâðåìåííîé ðàäèîýëåêòðîííîé àïïàðàòóðû // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2011. – ¹ 3. – Ñ. 39–46. 229. Óâàðîâ Á.Ì. óïåðâèïàäêîâ³ ôóíêö³îíàëüí³ õàðàêòåðèñòèêè ðàä³îåëåêòðîííèõ çàñîá³â // ³ñíèê ÍÒÓÓ «Êϲ». Ñåð. Ðàä³îòåõí³êà. Ðàä³îàïàðàòóðîáóäóâàííÿ. – 2010. – ¹ 40. – Ñ. 113–121. 230. Óâàðîâ Á.Ì. Ìåòîäû ïðåäñòàâëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ðàäèîýëåêòðîííîé àïïàðàòóðû íà îñíîâå òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2010. – ¹ 10. – Ñ. 35–42. 231. Óâàðîâ Á.Ì., dzíüêîâñüêèé Þ.Ô. óïåðâèïàäêîâ³ õàðàêòåðèñòèêè òåïëîâèõ ïðîöåñ³â ó ïðèñòðîÿõ ðàä³îåëåêòðîííî¿ àïàðàòóðè // ³ñíèê ÍÒÓÓ «Êϲ». Ñåð. Ðàä³îòåõí³êà. Ðàä³îàïàðàòóðîáóäóâàííÿ. – 2010. – ¹ 41. – Ñ. 103–108.

303

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

À Àêñèîìà àäåêâàòíîñòè 42 — — ãèïåðñëó÷àéíàÿ 199  Âåêòîð ñðåäíåãî äèñïåðñèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112 — — ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112 — — — — — ôóíêöèè 112 — — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112 — óñëîâíûõ äèñïåðñèé 104 — — — êîìïëåêñíûõ 117 — — ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 104 — — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé 104 — — — — êîìïëåêñíûõ 117 âåëè÷èíà ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåêòîðíàÿ 103 — — íåïðåðûâíàÿ 96 — — ñêàëÿðíàÿ 91 — èíòåðâàëüíàÿ 95 — ñëó÷àéíàÿ 45, 91 — — óñëîâíàÿ 92 — õàîòè÷åñêàÿ 95 âåëè÷èíû ãèïåðñëó÷àéíûå âåêòîðíûå íåçàâèñèìûå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 105 — — — íåçàâèñèìûå 109 — — íåêîððåëèðîâàííûå 111 — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 114, 116 — — — êîìïëåêñíûå 116

304

— — îðòîãîíàëüíûå 112 — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 115, 116 — — — êîìïëåêñíûå 116 âûáîðêà ãèïåðñëó÷àéíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207 — èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207 — íåîäíîðîäíàÿ 46, 207 — îäíîðîäíàÿ 46, 207 âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207 âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207 à Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 206 ãèïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé íåïðåðûâíûìè äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè 42 — àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè 42, 47 — àäåêâàòíîñòè ìîäåëè 42 — ãèïåðñëó÷àéíîñòè 200 — íåïðåðûâíîñòè ôèçè÷åñêîãî ìèðà 42 — îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè 199 — ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà ìèðà 42 — ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (ñòàáèëüíîñòè) 45

Предметный указатель — — — ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé 47 — — — ÷àñòîòû 45 — ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ÷àñòîòû 46 ãðàíèöà âåðîÿòíîñòè 86 — — âåðõíÿÿ 86 — — íèæíÿÿ 86 — âçàèìíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé 160 — âçàèìíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé 166 — — êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé 166 — äèñïåðñèè 100 — — âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 113 — — — — — êîìïëåêñíîé 118 — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 100 — — âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 128 — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 138 — äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè 245 — êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 129 — — — ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 165 — êîìïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 117 — — — — êîìïëåêñíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè 118 — — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ 119 — êîìïëåêñíîé äèñïåðñèè 118 — êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 129 — — — ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 165 — êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè 114 — ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âåêòîðíîé ôóíêöèè 113

— — — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 113 — — — âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 128 — — — êîìïëåêñíîãî âåêòîðà 117 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 137 — — — — ôóíêöèè 137 — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 100 — — — ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 100 — — — — — ôóíêöèè 128 — ìîìåíòà 100 — — êîâàðèàöèîííîãî 114 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 117 — — êîððåëÿöèîííîãî 114 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 116 — — íà÷àëüíîãî 100, 114, 128 — — öåíòðàëüíîãî 100, 114, 129 — ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ 99 — ñìåøàííîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 114 — — öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà 114 — ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 237 — — ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 165 — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 114 — — — — — — êîìïëåêñíîé 119 — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 100 — óñëîâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 108 — ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 106 — — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 123 — — — — — âåêòîðíîé 131

305

Предметный указатель — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 94 — — ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé 161 — ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 159

Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 220 — — — — — — — óñèëåííûé 222 — — — — — ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 217 — — — — — — ñîáûòèé 216 — — — — — — ÿâëåíèé 216 — — — óñèëåííûé 218 çàêîíîìåðíîñòü 28 çíàíèå 31 çíà÷åíèÿ âûáîðî÷íûå (ðåàëèçàöèè) 207 — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íåêîððåëèðîâàííûå 134 — — — — îðòîãîíàëüíûå 134 çîíà íåîïðåäåëåííîñòè 94

êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ãðàíèöû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íîðìèðîâàííàÿ 133 — — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 127, 132 — — — — — íîðìèðîâàííàÿ 127, 133 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 134 — — — êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âçàèìíàÿ 135 — — — — — — íîðìèðîâàííàÿ 136 êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè 132 êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà 202 — ïîãðåøíîñòè 38 — íåîïðåäåëåííîñòè 38 — óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ 47 êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ãðàíèöû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 133 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 134 — — — êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âçàèìíàÿ 135 — — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 127 — — ìãíîâåííîãî ñïåêòðà ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè óñëîâíàÿ 159 êîýôôèöèåíò äèôôóçèè 111 — êîððåëÿöèè ãðàíèöû 111 — — óñëîâíûé 105 — ñíîñà 172

È

Ì

Èçìåðåíèå êîñâåííîå 255 èíòåãðàë ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 145 èíòåðâàë äîâåðèòåëüíûé 245 èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó 242

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãðàíèöû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 132 — — — — ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 110 — — — ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 110 — — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 98 — — — — ôóíêöèè 126 — — — ôóíêöèè 97, 125

Ä Äèñïåðñèÿ ãðàíèöû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 132 — — ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 110 — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 98 — — — ôóíêöèè 126 — óñëîâíàÿ 93, 123 Ç

Ê Êëàññèôèêàöèÿ 28

306

Предметный указатель — — óñëîâíîå 93 — — — ôóíêöèè âåêòîðíîé 104 — — — — ãèïåðñëó÷àéíîé 123 ìåòðèêà (ðàññòîÿíèå) 35 ìèðîâîççðåíèå 32 ìîäåëü 28 — àäåêâàòíàÿ 37 — äåòåðìèíèðîâàííàÿ 52 — èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãèïåðñëó÷àéíàÿ 235, 247 — — äåòåðìèíèðîâàííîãèïåðñëó÷àéíàÿ 234 — — äåòåðìèíèðîâàííîèíòåðâàëüíàÿ 235 — — äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíàÿ 234 — — ñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ 234 — — ñëó÷àéíî-ñëó÷àéíàÿ 234 — êîëåáàíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî 56 — ìàòåìàòè÷åñêàÿ 30 — íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ (íåîïðåäåëåííàÿ) 52 — íåôîðìàëèçîâàííàÿ 28 — îöåíêè 32 — — àääèòèâíàÿ 253, 277 — — ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ 254, 279 — — íåôîðìàëèçîâàííàÿ 29 — ôèçè÷åñêàÿ 30 — øóìà áåëîãî ãàóññîâñêîãî 56 ìîìåíò ãðàíèöû êîâàðèàöèîííûé 111 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 116 — — êîððåëÿöèîííûé 111 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 116 — — íà÷àëüíûé 99, 111 — — ðàñïðåäåëåíèÿ 97 — — öåíòðàëüíûé 99, 111 — óñëîâíûé êîâàðèàöèîííûé 105, 123 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 115 — — êîððåëÿöèîííûé 105, 123 — — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 115

— — íà÷àëüíûé 104 — — öåíòðàëüíûé 105 ìóëüòèèíòåðâàë 225 Í Íåîïðåäåëåííîñòü èçìåðåíèÿ 38 — ïî òèïó A 40 — ïî òèïó B 40 íåðàâåíñòâî Êðàìåðà—Ðàî 242 Î Îáúåêò ïîäîáíûé 28 îáúåì âûáîðêè êðèòè÷åñêèé 268 îäíîðîäíîñòü 150 îïåðàòîð 138 — ãèïåðñëó÷àéíûé 139 îòîáðàæåíèå 138 îòñ÷åòû âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íåêîððåëèðîâàííûå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 129 — — — — îðòîãîíàëüíûå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 129 îöåíêà 32 — àäåêâàòíàÿ 37 — ãèïåðñëó÷àéíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 247 — — — — äîñòàòî÷íàÿ 266 — — — — èíòåðâàëüíàÿ 250, 267 — — — — íåñìåùåííàÿ 257 — — — — ñìåùåííàÿ 257 — — — — ñîñòîÿòåëüíàÿ 258 — — — — òî÷å÷íàÿ 250 — — — — ýôôåêòèâíàÿ 260, 264 — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 271 — — — — äîñòàòî÷íàÿ 283 — — — — íåñìåùåííàÿ 281 — — — — ñìåùåííàÿ 281 — — — — ñîñòîÿòåëüíàÿ 281 — — — — ýôôåêòèâíàÿ 282 — — äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû 236 — — — — äîñòàòî÷íàÿ 244 — — — — èíòåðâàëüíàÿ 244 — — — — íåñìåùåííàÿ 237 — — — — ñìåùåííàÿ 237

307

Предметный указатель — — — — — —

— — — ñîñòîÿòåëüíàÿ 239 — — — òî÷å÷íàÿ 236 — — — ýôôåêòèâíàÿ 241 ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà 239 ìîäåëè 32 ñëó÷àéíàÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ ÷àéíîé âåëè÷èíû 258 — ñëó÷àéíîãî òèïà 239

ñëó-

Ï Ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè 65, 67 — âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî 65, 67 — ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 66, 67 ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé óñëîâíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 103 — — — ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 92 — ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 96 — — — — — âåêòîðíîé 106 — — — — — ñêàëÿðíîé 96 — — — — — óñëîâíàÿ 108 — — — — ôóíêöèè 123 — — — — — âåêòîðíîé 131 ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ 37 — — ãèïåðñëó÷àéíàÿ 236, 250, 273 — — èíòåðâàëüíàÿ 240, 253 — — íåîïðåäåëåííàÿ (ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìàÿ) 240, 253 — — ñèñòåìàòè÷åñêàÿ 38, 236, 253 — — ñëó÷àéíàÿ 38, 236, 253 ïîçíàíèå 33 ïîëå ãèïåðñëó÷àéíîå 121 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâàÿ (íåñòàáèëüíàÿ) 54 — — óñòîé÷èâàÿ (ñòàáèëüíàÿ) 53 ïðåîáðàçîâàíèå 138 ïðîãíîç ñòàòèñòè÷åñêèé àáñîëþòíî òî÷íûé 47 ïðîèçâîäíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 145 ïðîñòðàíñòâî ìåòðè÷åñêîå 35 — çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 91

308

— ñîñòîÿíèé (ôàçîâîå) 120, 138 ïðîöåññ ãèïåðñëó÷àéíûé 121 — — âèíåðîâñêèé (÷èñòî äèôôóçèîííûé) 175 — — ìàðêîâñêèé 170 — — — ãàóññîâñêèé 175 — — — äèôôóçèîííûé 173 — — — — îäíîðîäíûé âî âðåìåíè 173 — ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûé (íåñòàáèëüíûé) 54 — — óñòîé÷èâûé (ñòàáèëüíûé) 54 Ð Ðàññòîÿíèå (ìåòðèêà) 35 ðåàëèçàöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà 138 — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 120 ðÿä âàðèàöèîííûé (ñòàòèñòè÷åñêèé) 208 — ðàíæèðîâàííûé 208 Ñ Ñå÷åíèå 122, 138 ñå÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íåçàâèñèìûå 125 — — — — â ñîâîêóïíîñòè 125 — — — íåêîððåëèðîâàííûå 127 — — — îðòîãîíàëüíûå 127 ñèñòåìà çàêðûòàÿ 200 — îòêðûòàÿ 200 ñèñòåìàòèçàöèÿ 28 ñîáûòèå ãèïåðñëó÷àéíîå 85 — — íåçàâèñèìîå 89 — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 89 — ñëó÷àéíîå 45 ñîâîêóïíîñòü ãåíåðàëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 206 — âûáîðî÷íàÿ 207 ñïåêòð ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ìãíîâåííûé 158 — ãðàíèö ýíåðãåòè÷åñêèé 155 — ìîùíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè óñëîâíûé 159

Предметный указатель — — ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé óñëîâíûé âçàèìíûé 160 ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ìîùíîñòè ãðàíèöû 155 ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö âçàèìíûå 157 ñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 109 — — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 97 — äèñïåðñèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè 265 — äèñïåðñèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 99 — çíà÷åíèå ôóíêöèè 166 — êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö 113 — êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö 113 — ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 99 — — — — ôóíêöèè 99 — íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112 — îòíîñèòåëüíî ãðàíèöû êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 265 — ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 109 — — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 97 — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 99 — öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 113 ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 110 — — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 98 — — — — ôóíêöèè 126 — — — êîìïëåêñíîå 117 ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 236 — îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 265

ñòàòèñòèêà 46, 208 ñõîäèìîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ê èíòåðâàëó 220 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì 142 — — — — ïî âåðîÿòíîñòè 142 — — — — — ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ 141 — — — — ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1) 142 — — — ôóíêöèé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì 144 — — — — ïî âåðîÿòíîñòè 144 — — — — ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1) 144 ñòàöèîíàðíîñòü 150 Ò Òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåðíóëëè 227 — Áàéåñà 89 — Áåðíóëëè 216 — ãèïîòåç 89 — Ãëèâåíêî 214 — Êîëìîãîðîâà 218 — Ëèíäåáåðãà—Ôåëëåðà 229 — Ìàðêîâà 217 — î ñõîäèìîñòè ãðàíèö ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè 220 — — — îöåíîê ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè 225 — ñëîæåíèÿ 87 — óìíîæåíèÿ 88 — Õèí÷èíà 217 — ×åáûøåâà 55, 217 òåîðèÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ 42 — ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ 42 òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ 38 — òî÷å÷íîé îöåíêè 236 Ó Óðàâíåíèå äèôôåðåíöèàëüíîå ñòîõàñòè÷åñêîå 173

309

Предметный указатель — Êîëìîãîðîâà ïåðâîå (îáðàòíîå) äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 172 — — ïðÿìîå (Ôîêêåðà—Ïëàíêà— Êîëìîãîðîâà) äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 172 — Ìàðêîâà îáîáùåííîå (Ñìîëóõîâñêîãî) äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 171 óñëîâèå Ëèïøèöà 173 Ô Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè 89 ôðàãìåíò ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè 164 ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíûå êîìïëåêñíûå íåêîððåëèðîâàííûå 135 — — — îðòîãîíàëüíûå 136 — — íåçàâèñèìûå 132 — — ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûå â øèðîêîì ñìûñëå 152 — — — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 154 — ñëó÷àéíûå ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûå â óçêîì ñìûñëå 149 — — — — — — øèðîêîì ñìûñëå 149 ôóíêöèîíàë 138 — ãèïåðñëó÷àéíûé 138 ôóíêöèÿ àðãóìåíòà 138 — ãèïåðñëó÷àéíàÿ 120 — — âåêòîðíàÿ 131 — — âòîðîãî ïîðÿäêà 144 — — äèôôåðåíöèðóåìàÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì 145 — — èíòåãðèðóåìàÿ 145 — — íåïðåðûâíàÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì 144 — — îáùåãî âèäà 120 — — ñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå (ñòðîãî) 151 — — — — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 153 — — — â øèðîêîì ñìûñëå 152 — — — — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 153 — — íåñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå 151

310

— — ÷àñòíîãî âèäà 120 — — ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêàÿ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 168 — — ýðãîäè÷åñêàÿ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 164 — âûáîðî÷íàÿ 120 — ìîìåíòíàÿ ãðàíèöû 126 — — — íà÷àëüíàÿ 126 — — — öåíòðàëüíàÿ 126 — ðàñïðåäåëåíèÿ óñëîâíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 103 — — — — ôóíêöèè 122 — — — ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 92 — — ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêàÿ 230 — — — ïðåäåëüíàÿ 230 — ñëó÷àéíàÿ 45 — — ñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå 147 — — — — — — àñèìïòîòè÷åñêè 148 — — — — — — íà èíòåðâàëå 148 — — — — — — ïîðÿäêà K 148 — — — — øèðîêîì ñìûñëå 149 — — íåñòàöèîíàðíàÿ 147 — — ïåðèîäè÷íî ñòàöèîíàðíàÿ (öèêëîñòàöèîíàðíàÿ) 148 — — ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêàÿ 164 — — ýðãîäè÷åñêàÿ 162 — — — ïî îòíîøåíèþ ê êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè 163 — — — — — — ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ 162 — ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö 158 Õ Õàîñ äåòåðìèíèðîâàííûé 95 õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè âåêòîðíîé 131 — — — — âåëè÷èíû âåêòîðíîé 106 — — — — — ñêàëÿðíîé 96 — — — — — óñëîâíàÿ 108 — — — — ôóíêöèè 123 — — óñëîâíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âåêòîðíîé 104

Предметный указатель — — — — — ñêàëÿðíàÿ 92 — — — — ôóíêöèè 122 Ö Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 230 — — — — ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 229 Ø Øóì áåëûé ãèïåðñëó÷àéíûé 157 — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 160 — ãèïåðñëó÷àéíûé ãàóññîâñêèé 174

Ý Ýëëèïñ ðàññåÿíèÿ 112, 115 ýôôåêò ìíîãîëó÷åâîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé 71 — ìíîãîìîäîâîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé 71 ß ßâëåíèå ãèïåðñëó÷àéíîå 16 — ñëó÷àéíîå 45 — ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìîå (íåïðåäñêàçóåìîå) 200

311

БИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Ãîðáàíü Èãîðü Èëüè÷ – äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð. Ðîäèëñÿ 30 àâãóñòà 1952 ã. â ã. Êèåâå.  1975 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò ïî ñïåöèàëüíîñòè «ãèäðîàêóñòèêà», à â 1978 ã. – àñïèðàíòóðó ïî òîé æå ñïåöèàëüíîñòè.  1980 ã. çàùèòèë êàíäèäàòñêóþ äèññåðòàöèþ â ÖÍÈÈ «Ìîðôèçïðèáîð», â 1991 ã. – äîêòîðñêóþ â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ.  1989 ã. áûëî ïðèñâîåíî ó÷åíîå çâàíèå ñòàðøåãî íàó÷íîãî ñîòðóäíèêà, â 2000 ã. – ïðîôåññîðà. Äî 1992 ã. ðàáîòàë â Êèåâñêîì ÍÈÈ ãèäðîïðèáîðîâ, ó÷àñòâîâàë â ïðîâåäåíèè ðÿäà îïûòíî-êîíñòðóêòîðñêèõ è íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ðàáîò. Áûë ïåðâûì çàìåñòèòåëåì Ãëàâíîãî êîíñòðóêòîðà ãèäðîàêóñòè÷åñêîé ñòàíöèè (ÃÀÑ) ñ ãèáêîé ïðîòÿæåííîé áóêñèðóåìîé àíòåííîé, îòâåòñòâåííûì çà àëãîðèòìè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå ñòàíöèè, Ãëàâíûì êîíñòðóêòîðîì îïûòíîêîíñòðóêòîðñêîé ðàáîòû ïî ñîçäàíèþ ÃÀÑ íà îïòè÷åñêîé ýëåìåíòíîé áàçå, íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì äâóõ òèõîîêåàíñêèõ íàó÷íûõ ýêñïåäèöèé ïî èçó÷åíèþ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Ñ 1992 ã. â òå÷åíèå 12 ëåò ðàáîòàë â Èíñòèòóòå ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è ñèñòåì (ÈÏÌÌÑ) ÍÀÍ Óêðàèíû â äîëæíîñòè ãëàâíîãî íàó÷íîãî ñîòðóäíèêà, çàòåì çàìåñòèòåëÿ äèðåêòîðà ïî íàó÷íîé ðàáîòå. Ñ 2004 ïî 2008 ãã. ðàáîòàë â ÓêðÍÈÓÖ Ãîñïîòðåáñòàíäàðòà Óêðàèíû â äîëæíîñòè çàìåñòèòåëÿ ãåíåðàëüíîãî äèðåêòîðà ïî íàó÷íîé ðàáîòå.  2009 ã. âåðíóëñÿ â ÈÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðàèíû, ãäå ðàáîòàåò ïî íàñòîÿùåå âðåìÿ. Àêòèâíî çàíèìàåòñÿ íàó÷íîé, íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêîé è íàó÷íî-îðãàíèçàöèîííîé ðàáîòîé. Áûë íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì íåñêîëüêèõ íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèõ ðàáîò, ïðåïîäàâàë â Êèåâñêîì èíñòèòóòå âîåííî-âîçäóøíûõ ñèë, íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò ÿâëÿëñÿ ÷ëåíîì ýêñïåðòíîãî ñîâåòà ÂÀÊ Óêðàèíû. Ðóêîâîäèò íàó÷íîé ðàáîòîé àñïèðàíòîâ, ÷ëåí ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ñîâåòîâ ïî çàùèòå äîêòîðñêèõ äèññåðòàöèé, ÷ëåí ðåäêîëëåãèé íàó÷íûõ æóðíàëîâ è ìåæäóíàðîäíûõ îáùåñòâ, â òîì ÷èñëå Àêóñòè÷åñêîãî îáùåñòâà Àìåðèêè (ASA), Èíñòèòóòà èíæåíåðîâ â îáëàñòè ýëåêòðîòåõíèêè è ýëåêòðîíèêè (IEEE) è äð. Àâòîð òðåõ òåîðèé: òåîðèè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáðàáîòêè ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, òåîðèè áûñòðîé ìíîãîêàíàëüíîé îáðàáîòêè ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ (èõ èçëîæåíèþ ïîñâÿùåíû ìîíîãðàôèè [Gorban, 1998, Gorban, 2008, Ãîðáàíü, 2008]) è ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé (åå îïèñàíèþ ïîñâÿùåíà ìîíîãðàôèÿ [Ãîðáàíü, 2007] è íàñòîÿùàÿ êíèãà). Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé îïóáëèêîâàíû áîëåå ÷åì â 150 íàó÷íûõ òðóäàõ, â òîì ÷èñëå 8 ìîíîãðàôèÿõ, è âíåäðåíû â ðÿäå ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñòàíöèé.

312

ОГЛАВЛЕНИЕ

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ ............................................................................................... 3 ÂÂÅÄÅÍÈÅ.........................................................................................................7

Ч А С Т Ь I . ИСТОКИ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ ..............25 Глава 1. Принципы познания мира ........................................................... 25 1.1. Îñíîâû íàó÷íûõ òåîðèé ..........................................................................25 1.2. Ìîäåëè ......................................................................................................28 1.2.1. Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè .........................................................28 1.2.2. Ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ..........................................30 1.3. Ôîðìèðîâàíèå çíàíèé ..............................................................................31 1.4. Ìèðîâîççðåíèå è ìûøëåíèå ...................................................................32 1.5. Ïîçíàíèå ìèðà ..........................................................................................33 1.6. Èçìåðåíèå ..................................................................................................35 1.6.1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ............................................................35 1.6.2. Ðàññòîÿíèå .......................................................................................36 1.6.3. Ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé .................36 1.6.4. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ..................................................................37 1.6.5. Ñîâðåìåííûå ïîäõîäû ê îöåíêå òî÷íîñòè èçìåðåíèé ................38 1.7. Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè ..............................................................41

Глава 2. Феномен статистической устойчивости ...................................... 44 2.1. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé: ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ............ 44 2.2. Ýêñêóðñ â èñòîðèþ èññëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè .............................................................................................................47 2.3. Íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè .............................................50 2.4. Íåîïðåäåëåííûå è ñëó÷àéíûå ìîäåëè ....................................................51

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы ......................................................................................................53 3.1. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ïðîöåññîâ .........................................................................................................53 3.2. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ïðè íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè 55

313

Оглавление 3.3. Ïðåäñòàâëåíèå î ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ è ïðîöåññàõ .....................................................................................................56 3.4. Ïðè÷èíû íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ........................... 57 3.4.1. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì .......................................................................... 58 3.4.2. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñî ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ............................................................................62 3.4.3. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ............................................................................62 3.5. Îöåíêà ñòåïåíè íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ .................................................................... 65

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости физических величин и процессов .................................................. 68 4.1. Ïðèìåðû ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ÿâëåíèé .................................. 68 4.2. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè ..............................................................72 4.3. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ ...........................................77 4.4. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè ...................................................................................79 4.5. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè êîòèðîâêè âàëþò ..............................................................................................81

Ч А С Т Ь I I . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ ......................................................................................................... 84 Глава 5. Гиперслучайные события .............................................................. 84 5.1. Ñëó÷àéíûå è ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ ................................................. 84 5.2. Ïàðàìåòðû ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ è åãî ñâîéñòâà ............................86 5.3. Àíàëîãè ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è òåîðåìû ãèïîòåç .................89

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины ........................................91 6.1. Ñêàëÿðíûå ñëó÷àéíûå è ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ............................ 91 6.2. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè è ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................... 92 6.3. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ìîìåíòû ãðàíèö ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ..............................................................................93 6.4. Ãðàíèöû âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê è ãðàíèöû ìîìåíòîâ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ...........................................................99 6.5. Ñâÿçü ìåæäó ãðàíèöàìè ìîìåíòîâ è ìîìåíòàìè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ............................................................................................................... 101

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины ..................................... 103 7.1. Âåêòîðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, åå óñëîâíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè è ìîìåíòû ........................................................................... 103 7.2. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ìîìåíòû ãðàíèö âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ..............................................................................106

314

Оглавление 7.3. Ãðàíèöû ìîìåíòîâ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ....................113 7.4. Ïàðàìåòðû ñêàëÿðíûõ êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .........115 7.5. Ïàðàìåòðû âåêòîðíûõ êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .........117

Глава 8. Скалярные гиперслучайные функции ........................................120 8.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ ..........................................................................120 8.2. Âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 122 8.3. Ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ............................................................................................ 125 8.4. Ãðàíèöû ìîìåíòîâ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè .................. 128 Глава 9. Векторные гиперслучайные функции, гиперслучайные функционалы и операторы ..................................................... 131 9.1. Âåêòîðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ...................................................131 9.2. Ïàðàìåòðû êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ...........................134 9.3. Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèîíàëû è îïåðàòîðû .......................................138 Глава 10. Дифференцирование и интегрирование гиперслучайных функций .....................................................................................141 10.1. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ..............141 10.2. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé .............143 10.3. Íåïðåðûâíûå, äèôôåðåíöèðóåìûå è èíòåãðèðóåìûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ............................................................................................ 144

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции ...147 11.1. Ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ....................................................147 11.2. Ñòàöèîíàðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè........................................... 151 11.3. Ñïåêòðàëüíîå îïèñàíèå ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ..155 11.4. Ýðãîäè÷åñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè .....................................................161 11.5. Ýðãîäè÷åñêèå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ............................................164 11.6. Ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêèå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ........................................................................................................ 168

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы ..................................170 12.1. Îïðåäåëåíèå ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ......................170 12.2. Óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ...............................................................................................................171 12.3. Âèíåðîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ..............................................174 12.4. Ãàóññîâñêèé ìàðêîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ......................... 176

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов .................................................................................................. 180 13.1. Ïðåîáðàçîâàíèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ....................180 13.1.1. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ ...............................................................180 13.1.2. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ ....................................................................181 13.1.3. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ìîìåíòîâ .......185

315

Оглавление 13.2. Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ....................188 13.2.1. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ .............................................................. 188 13.2.2. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ ....................................................................190 13.2.3. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ìîìåíòîâ ...... 192 13.3. Ïðåîáðàçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà .......................................193 13.3.1. Áåçûíåðöèîííîå ïðåîáðàçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 193 13.3.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ëèíåéíûì èíåðöèîííûì îïåðàòîðîì .............................................................................193

Ч А С Т Ь I I I . ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ .......................................................................................................199 Глава 14. Физические гипотезы и модели теории гиперслучайных явлений .......................................................................................................... 199 14.1. Ãèïîòåçû ãèïåðñëó÷àéíîñòè ............................................................... 199 14.2. Êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà ..................................202 14.3. Ñëó÷àéíûå è ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè ................................................203

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений ........................206 15.1 Ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ......................................................................206 15.2. Ìîäåëè ñëó÷àéíûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âûáîðîê .................................209 15.3. Îöåíêè õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ... 211 15.4. Ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ..................................................213

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей ............................................................................................ 216 16.1. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è âåëè÷èí ................................................................................................216 16.2. Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè ãðàíèö ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè . 220 16.3. Òåîðåìà î ñõîäèìîñòè îöåíîê ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ........ 225 16.4. Òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåðíóëëè ...........................................227

Глава 17. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин .......................................................................................................... 229 17.1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ...............229 17.2. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ..... 230

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин ........ 233 18.1. Ìîäåëè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ........................................... 233 18.2. Òî÷å÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû .. 236 18.3. Íåñìåùåííàÿ è ñîñòîÿòåëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû ................................................................................. 237 18.4. Ýôôåêòèâíàÿ è äîñòàòî÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû .......................................................................................241 18.5. Èíòåðâàëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû.................................................................................................................245

316

Оглавление Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин .............. 247 19.1. Ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ ...........................247 19.2. Òî÷å÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ..........250 19.3. Àääèòèâíàÿ è ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ìîäåëè îöåíêè ............................253 19.4. Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ðåçóëüòàòîâ êîñâåííûõ èçìåðåíèé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .....................................................................................255

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин .......................................................................................................... 257 20.1. Íåñìåùåííàÿ è ñîñòîÿòåëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................................................... 20.2. Ýôôåêòèâíàÿ è äîñòàòî÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ........................................................................................... 20.3. Èíòåðâàëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû . 20.4. Êðèòè÷åñêèé îáúåì ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè .................................

257 260 267 268

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций ......................................................................................................... 271 21.1. Ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ ...........................271 21.2. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ......................................................................273 21.3. Àääèòèâíàÿ ìîäåëü îöåíêè ..................................................................277 21.4. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ìîäåëü îöåíêè ................................................... 279 21.5. Õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ........................................................................................... 281 ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ. Ó÷åíûå î ôåíîìåíå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ......284 ÏÎÑËÅÑËÎÂÈÅ ...........................................................................................289 ÑÏÈÑÎÊ ÎÑÍÎÂÍÛÕ ÓÑËÎÂÍÛÕ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ ..........................290 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ ............................................................................293 ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ ......................................................................304 ÁÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÀß ÑÏÐÀÂÊÀ................................................................312

317

Оглавление

318

Íàóêîâå âèäàííÿ ÍÀÖ²ÎÍÀËÜÍÀ ÀÊÀÄÅÌ²ß ÍÀÓÊ ÓÊÐÀ¯ÍÈ ²ÍÑÒÈÒÓÒ ÏÐÎÁËÅÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÈÕ ÌÀØÈÍ ² ÑÈÑÒÅÌ

ГОРБАНЬ Ігор Ілліч

ТЕОРІЯ ГІПЕРВИПАДКОВИХ ЯВИЩ: ФІЗИЧНІ ТА МАТЕМАТИЧНІ ЗАСАДИ (Ðîñ³éñüêîþ ìîâîþ) Êè¿â, Íàóêîâî-âèðîáíè÷å ï³äïðèºìñòâî «Âèäàâíèöòâî “Íàóêîâà äóìêà” ÍÀÍ Óêðà¿íè», 2011

Õóäîæí³é ðåäàêòîð ².Ð. ѳëüìàí Òåõí³÷íèé ðåäàêòîð Ã.Ì. Êîâàëüîâà Êîðåêòîð Ë.Ã. Áóç³àøâ³ë³ Îïåðàòîðè Î.Ì. Êóçüìåíêî, Î.Î. ²ùåíêî Êîìï’þòåðíà âåðñòêà Î.Î. Áàëþê

ϳäï. äî äðóêó 16.05.2011. Ôîðìàò 60 × 90/16. Ïàï³ð îôñ. ¹ 1. Ãàðí. Òàéìñ. Äðóê. îôñ. Óì. äðóê. àðê. 20,0. Óì. ôàðáî-â³äá. 20,5. Îáë.-âèä. àðê. 16,0. Íàêëàä 300 ïðèì. Çàì. ¹ 11–395 ÍÂÏ «Âèäàâíèöòâî “Íàóêîâà äóìêà” ÍÀÍ Óêðà¿íè» Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ ñóá’ºêòà âèäàâíè÷î¿ ñïðàâè äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó ÄÊ ¹ 2440 â³ä 15.03.2006 ð. 01601 Êè¿â, 1, âóë. Òåðåùåíê³âñüêà, 3 ÇÀÒ ô³ðìà “Â³ïîë” 03151 Êè¿â 151, âóë. Âîëèíñüêà, 60 Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó ñåð³ÿ ÄÊ ¹ 752 â³ä 27.12.2001