Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.Г. ГЕТМАНОВ

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Издание 2-е, расширенное и переработанное Допущено УМО по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230400 «Прикладная математика» специальности 230410 «Прикладная математика»

Москва 2010

УДК 372.542 (075) ББК 32.98я7 Г44 Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. Изд. 2-е, расш. и перераб. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 232 с. Даны материалы по цифровой обработке сигналов и включены основные разделы этой технической дисциплины, касающиеся построения моделей и оценивания параметров сигналов, предварительной обработки сигналов, дискретного спектрально-корреляционного анализа и цифровой фильтрации сигналов. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 230401 «Прикладная математика», а также может быть использовано студентами, которые заняты подготовкой в области задач обработки результатов физических экспериментов и проектирования информационно-управляющих систем. Учебное пособие написано при поддержке гранта № 2.1.2/1427 программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009– 2010 годы)» Министерства образования и науки РФ. Рецензенты: декан фак. «Радиотехнические системы», зав. каф. «Техническая физика» МИРЭА, д-р техн. наук, проф. Битюков В.К.; зав. каф. «Прикладная математика» МИРЭА, д-р физ.-мат. наук, проф. Самохин А.Б; зав. каф. 405 «Теоретическая радиотехника» МАИ, д-р техн. наук, проф. Кузнецов Ю.В., проф. каф. 405, д-р техн. наук Латышев В.В.; доц. каф. 22 «Кибернетика» НИЯУ МИФИ, канд. техн. наук, доц. Мишулина О.А.

ISBN 978-5-7262-1304-0

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ..........................................................................................................

7

Глава 1. ЦИФРОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ............................................................................................. 10 1.1. Структура цифровых информационно-управляющих систем ............................. 10 1.1.1. Блок-схема и составляющие системы для цифровых информационно-управляющих систем ................................................................. 10 1.1.2. Модельная цифровая ИУС .................................................................................... 12 1.2. Сигналы и варианты алгоритмов ЦОС ................................................................. 14 1.2.1. Классификация сигналов, непрерывные и дискретные сигналы ............................................................................................ 14 1.2.2. Этапы проведения ЦОС ......................................................................................... 17 1.2.3. Варианты алгоритмов ЦОС ................................................................................... 18 1.3. Структура ССД ........................................................................................................ 20 1.3.1. Датчики ССД ........................................................................................................... 20 1.3.2. Усилители, противомаскировочные фильтры, электронные коммутаторы .................................................................................... 28 1.3.3. Аналого-цифровые преобразователи................................................................... 30 1.3.4. Устройства буферной памяти................................................................................ 33 Список вопросов для самопроверки к гл. 1........................................................... 34 Глава 2. МОДЕЛИ СИГНАЛОВ, ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ................................................................ 36 2.1. Синусоидальные сигналы ...................................................................................... 36 2.1.1. Гармонические и полигармонические сигналы .................................................... 36 2.1.2. Синусоидальные сигналы с амплитудной и частотной модуляцией ........................................................................................ 40 2.2. Комплексные сигналы. Энергетические характеристики сигналов .................... 45 2.3. Наблюдения и модели сигналов ........................................................................... 49 2.4. Оценивание параметров моделей сигналов ........................................................ 53 2.4.1. Оценивание параметров моделей как задача аппроксимации ........................................................................................................ 53 2.4.2. Оценивание параметров линейных моделей для действительных сигналов ............................................................................... 56 2.4.3. Оценивание параметров линейных моделей для комплексных сигналов .................................................................................... 58 2.5. Модели сигналов на основе рядов Фурье. Интеграл Фурье ............................... 59 2.5.1. Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье .......................................................................................................... 59 59 2.5.2. Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье ...................................... 65 2.5.3. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье ....................................................... 67 3

2.6. z-Преобразование дискретных последовательностей ........................................ 72 Список вопросов для самопроверки к гл. 2........................................................... 76 Список задач к гл. 2 ................................................................................................ 76 Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ............................... 79 3.1. Оценивание статистических характеристик для стационарных и нестационарных сигналов .................................................. 79 3.1.1. Определение статистических характеристик сигналов .................................................................................................................. 79 3.1.2. Оценивание статистических характеристик сигналов на множестве реализаций ..................................................................... 82 3.1.3. Стационарные сигналы, оценивание статистических характеристик для стационарных сигналов .................................................................................. 84 3.1.4. Нестационарные сигналы, оценивание локальных статистических характеристик для нестационарных сигналов........................... 85 3.2. Оценивание и устранение трендов для нестационарных сигналов .............................................................................. 86 3.2.1. Определение трендовых функций для нестационарных сигналов .............................................................................. 86 3.2.2. Алгоритмы локального оценивания трендовых функций, устранение трендовых функций ........................................................... 87 3.3. Фильтрация аномальных значений в наблюдениях сигналов ............................ 93 3.3.1. Определение аномальных наблюдений сигналов ............................................... 93 3.3.2. Пороговые алгоритмы ............................................................................................ 95 3.3.3. Медианные фильтры ............................................................................................. 96 3.4. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова........................ 99 3.4.1. Дискретизация во времени и задача восстановления непрерывных сигналов .............................................................. 99 3.4.2. Появление «кажущихся» частот ............................................................................ 100 3.4.3. Теорема Котельникова ........................................................................................... 103 3.4.4. Противомаскировочные фильтры ......................................................................... 105 Список вопросов для самопроверки к гл. 3........................................................... 105 Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ .................................................................... 107 4.1. Дискретное преобразование Фурье ...................................................................... 107 4.1.1. Оценивание параметров полигармонических моделей и задачи спектрального анализа ........................................................... 107 4.1.2. Дискретное преобразование Фурье для действительных сигналов ............................................................................... 109 4.1.3. Дискретное преобразование Фурье для комплексных сигналов .................................................................................... 113 4

4.2. Свойства дискретного преобразования Фурье .................................................... 118 4.2.1. ДПФ для комплексной экспоненциальной функции ............................................. 118 4.2.2. Элементарные свойства ДПФ ............................................................................... 123 4.2.3. Разрешающая способность ДПФ .......................................................................... 127 4.3. Функция спектральной плотности мощности сигналов ....................................... 130 4.3.1. Теорема Парсеваля ............................................................................................... 130 4.3.2. Определение функции спектральной плотности мощности сигналов ................................................................................................ 132 4.3.3. Функции временных окон ....................................................................................... 133 4.3.4. Технологические этапы оценивания функции СПМ сигналов ......................................................................................................... 143 4.4. Функция взаимной спектральной плотности мощности сигналов ................................................................................................. 145 4.4.1. Определение функции взаимной спектральной плотности мощности сигналов .............................................................................. 145 4.4.2. Применение функции ВСПМ в задачах оценивания разностей фаз для систем многочастотных сигналов......................................... 149 4.4.3. Применение функции ВСПМ для оценивания коэффициента когерентности колебательных сигналов..................................... 154 4.5. Алгоритм быстрого преобразования Фурье ......................................................... 158 Список вопросов для самопроверки к гл. 4........................................................... 162 Список задач к гл. 4 ................................................................................................ 164 Глава 5. ДИСКРЕТНЫЕ СВЁРТКИ ....................................................................... 166 5.1. Определение дискретных свѐрток ........................................................................ 166 5.2 Вычисление прямых и обратных круговых свѐрток ............................................. 167 5.3. Вычисление апериодических свѐрток ................................................................... 170 Список вопросов для самопроверки к гл. 5........................................................... 173 174 Глава 6. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ ............................................. 174 6.1. Разностные уравнения и импульсно-переходные функции цифровых фильтров ............................................................................... 174 6.1.1. Разностные уравнения цифровых фильтров ....................................................... 174 6.1.2. Импульсно-переходные функции ЦФ ................................................................... 177 6.2. Передаточные функции и условия устойчивости для ЦФ ............................................................................................................... 118 180 6.2.1. Передаточные функции для ЦФ ............................................................................ 180 6.2.2. Устойчивость ЦФ .................................................................................................... 188 6.3. Задачи синтеза ЦФ ................................................................................................. 191 6.3.1. Классификация фильтров по типу АЧХ ................................................................ 191 6.3.2. Постановки задач синтеза ЦФ ............................................................................... 195 6.3.3. Метод билинейного z-преобразования ................................................................. 198 5

6.4. Синтез ЦФ Баттерворта ......................................................................................... 203 6.4.1. Аналоговый фильтр Баттерворта ......................................................................... 203 6.4.2. Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта ............................................................ 207 6.4.3. Синтез высокочастотного, полосового пропускающего и заграждающего ЦФ Баттерворта ....................................................................... 209 6.5. Синтез КИХ-фильтров ............................................................................................ 210 6.5.1. Синтез КИХ-фильтров на основе метода аппроксимации в частотной области .................................................................... 211 6.5.2. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ.............................................................................. 213 6.5.3. Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций ................................................................................................................... 214 6.5.4. Синтез КИХ-фильтров методом частотных выборок ................................................................................................................... 221 6.5.5. Синтез КИХ-фильтров по методу аппроксимации во временной области ................................................................. 222 Список вопросов для самопроверки к гл. 6........................................................... 226 Список задач к гл. 6 ................................................................................................ 226 Список литературы ..............................................................................................

6

228

Предисловие Цифровая обработка сигналов (ЦОС) – техническая дисциплина, в которой рассматриваются вопросы решения вычислительных задач для больших массивов экспериментальных данных – дискретизованных сигналов. ЦОС в настоящее время стремительно развивается, в основном, по направлениям создания новейшего математического и программного обеспечения, разработки систем и элементов специализированной вычислительной техники и конструирования совершенных периферийных устройств. Техника ЦОС сейчас вытесняет системы аналоговой электроники. ЦОС имеет очень широкие приложения. Методы и системы ЦОС используются во многих фундаментальных и прикладных областях: технике обработки информации физических экспериментов, экспериментальной механике, измерительной технике; энергетике, машино-, судо-, автомобилестроении, авиации и ракетной технике, атомной технике, нефтехимической и газовой промышленностях; акустике, гидроакустике, геофизике, сейсмологии, строительной механике, материаловедении; биомеханике, медицине, физиологии; цифровой радиотехнике, техники цифровой связи, технике цифровой обработки звуковых сигналов, технике обработки цифровых изображений, цифровом телевидении, цифровой радио- и лазерной локации. На основе ЦОС решаются актуальные научно-технические проблемы, например по вибрационной диагностике машиностроительных конструкций и неразрушающему контролю сложных технических систем, по защите систем от механических вибраций и шума, по задачам типа томографии, анализу и обработке изображений, анализу нестационарных быстропротекающих физических процессов, исследованию и извлечению информации из сигналов со сложной и неопределѐнной природой и т.д. Области применения ЦОС постоянно расширяются. Следует отметить неуменьшающееся из года в год большое количество зарубежных публикаций, связанных с цифровой обработкой сигналов. В США и ряде европейских стран можно насчитать издание более двух десятков толстых научных журналов, специально посвящѐнных вопросам ЦОС, выпускается множество книг 7

по различным аспектам ЦОС, регулярно созывается большое количество международных конференций и семинаров по указанной проблематике. Имеется много различных по размерам и успешных зарубежных фирм, занятых выпуском математического и программного обеспечения, специализированных вычислительных систем и измерительных средств для обеспечения задач ЦОС. Рынок, на котором фигурируют продукты для ЦОС, обладает большой ѐмкостью, имеет свои традиции и является вполне сложившимся. Настоящее пособие написано для студентов, обучающихся по специальности 230401 «Прикладная математика» и базируется на лекциях, которые автор читает на 4-м курсе факультета «К» НИЯУ МИФИ. Материалы пособия могут быть использованы студентами, обучающимися по специальности 140306 «Электроника и автоматизация физических установок», а также полезны студентам, которые специализируются на задачах обработки экспериментальной информации в различных предметных областях. Данное пособие является расширенным и существенно переработанным изданием работы [9]. Для успешного изучения предлагаемой дисциплины «Цифровая обработка сигналов» студенты должны владеть курсом математического анализа и теории функций комплексного переменного, элементами теории вероятностей, методами оптимизации и основами теории управления. Для повышения эффективности изучения материалов пособия отдельные участки текста, основные положения, определения и т.д., являющиеся информативно значимыми, или на которые студентам, по мнению автора, следует обратить внимание, отмечены курсивом. Цель пособия состоит в ознакомлении студентов с основными методами и алгоритмами цифровой обработки сигналов в части построения моделей и оценивания параметров сигналов, реализации предварительной обработки сигналов, спектрально-корреляционного анализа и цифровой фильтрации. Первая глава пособия является вводной и в ней помещены материалы, связанные со структурами ЦОС и системами сбора данных. Во второй главе приведены необходимые математические сведения, касающиеся характеристик сигналов, параметров и моделей сигналов, задачи оценивания параметров сигналов. В третьей главе собраны материалы, объединѐнные общим названием «Предварительная обработка сигналов» и включающие задачи вычисления статистических характеристик сигналов, устранения трендов и аномаль8

ных наблюдений. В этой же главе приведены сведения по теореме Котельникова. Основу четвѐртой главы составляет дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Предложен вывод формул коэффициентов ДПФ, основанный на задаче оценивания параметров полигармонических моделей сигналов, рассмотрены свойства ДПФ. Приведены сведения относительно функции спектральной плотности мощности сигналов. В краткой форме содержится вывод алгоритма быстрого преобразования Фурье. Пятая глава представляет собой краткое изложение вопросов вычисления дискретных свѐрток и ковариационных функций. В шестой главе вводятся основные понятия теории цифровой фильтрации, рассматриваются основные практические задачи синтеза БИХ и КИХ-фильтров. В пособии помещѐн список из 27 источников, достаточно полно представляющих весь спектр существующей литературы по ЦОС. Ознакомление хотя бы с некоторыми из них будет полезно для студентов, приступающих к изучению ЦОС. Однако, к сожалению, большинство книг из списка являются малодоступными. Приведѐнные литературные источники целесообразно подразделить на три группы. Книги [10, 19, 17, 13, 26, 6, 11], в основном, иностранных авторов являются классическими работами по ЦОС, однако они изданы давно и в настоящее время представляют собой настоящие раритеты; они часто цитируются и в них изложены базисные вопросы ЦОС. Книги [10, 19, 6] из этой группы целесообразно использовать для первоначального ознакомления с ЦОС. Другая часть приведѐнных источников по ЦОС [1, 22, 14, 15, 20, 23, 7, 8, 5, 25] издана относительно недавно и в них содержится много материалов, отражающих современную проблематику ЦОС. Как правило, эти книги изданы малыми тиражами – в библиотеках вузов они, быть может, имеются, но в очень ограниченных количествах. В книгах [2, 12, 21, 18, 3, 4, 16, 24, 27] рассматриваются вопросы ЦОС, частично отражѐнные в пособии с учѐтом особенностей содержания стандарта 230401 в части задач анализа характеристик колебательных сигналов, задач построения моделей и оценивания параметров сигналов на основе оптимизации и элементов технологий обработки данных на ЭВМ. В предлагаемом учебном пособии имеются контрольноизмерительные материалы в виде списков вопросов для самопроверки и задач, помещѐнных в конце каждой главы.

9

Глава 1. ЦИФРОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ 1.1.

Структура цифровых информационно-управляющих систем

1.1.1. Блок-схема и составляющие системы для цифровых информационно-управляющих систем Структура цифровых информационно-управляющих систем (ИУС) для общего случая представлена на блок-схеме рис. 1.1.1. Типовая цифровая ИУС состоит из четырѐх составляющих систем: 1) ОУ – объекта управления; 2) ССД – системы сбора данных; 3) СОИ – системы обработки информации; 4) СВУ – системы выработки управления. На рис. 1.1.1 системы ОУ, ССД, СОИ и СВУ изображены прямоугольниками; для каждой из систем стрелками показаны направления движения входной и выходной информации.

Рис. 1.1.1. Блок-схема цифровой информационно-управляющей системы

Система ЦОС, являющаяся частью ИУС, состоит из ССД и СОИ и помещена в пунктирный прямоугольник. Функционирование систем ЦОС, как правило, не осуществляется отдельно от ОУ и СВУ. Реализация ЦОС почти всегда производится с учѐтом осо10

бенностей информации от ОУ и требований к информации для СВУ. Рассмотрим более детально назначения и основные характеристики составляющих систем. ОУ – объект управления – характеризуется векторами входных управляющих переменных u1(Ti) (u1 (t )) и векторами выходных переменных, которые в ряде случаев определяются как векторы фазовых координат x(t) x( p(t ), t ), p(t ) – векторные параметрические функции. Решение задач ЦОС, в ряде случаев, может быть сопряжено с необходимостью построения для ОУ математических моделей, которые связывают зависимостями входные и выходные переменные. В простейшем случае для статических ОУ связь между входными и выходными переменными определяется модельными нелинейными функциями от нескольких переменных, которые можно представить в скалярном или векторном виде:

x1(t )

f1( p1(t ),..., pq (t), u11(t),..., u1m (t)),

x1(t )

f1( p1(t ),..., pq (t ), u11(t),..., u1m (t)),

. . .

x(t )

f ( x(t ), p(t ), u1(t )) .

(1.1.1) (1.1.2)

Связь между векторами управляющих переменных и векторами фазовых координат для динамических ОУ определяется системами модельных дифференциальных уравнений. Для динамических ОУ с сосредоточенными параметрами модельные дифференциальные уравнения в векторном виде представляются следующим образом: dx f ( x(t ), p(t ), u1(t )) . dt ОУ с распределѐнными параметрами описываются модельными дифференциальными уравнениями с частными производными. Необходимо отметить отличия параметрических функций p(t ) и управляющих переменных u1(Ti) . Управления u1 (Ti) являются полностью известными; параметрические функции p(t ) – некоторые неизвестные функции, относительно которых могут быть сведения только об их самых общих характеристиках. 11

В инженерной практике ЦОС иногда рассматриваются чрезвычайно сложные ОУ, функционирование которых не может быть адекватно описано с достаточной точностью предлагаемыми статическими или динамическими моделями. В этом случае описание моделей ОУ осуществляется с привлечением теоретико-вероятностных представлений. ССД – система сбора данных – обеспечивает промежуточное накопление и предварительную цифровую обработку многоканальной информации об объекте управления. На вход системы ССД поступает вектор фазовых координат x(t) x( p(t), t) и вектор управления u2 (Ti) , реализующий настройку ССД. Выходом ССД являются векторы наблюдений y(Ti) фазовых координат, связанные с фазовыми координатами x(Ti) и помеховыми возмущениями w(Ti) , которые обусловливают погрешности в наблюдениях. Наблюдения описываются следующей модельной зависимостью: (1.1.3) y(Ti) h( x(Ti), w(Ti), u2 (Ti)) , где вид модельной функции наблюдения h( , , ) определяется конструкцией ССД. СОИ – система обработки информации – обеспечивает по входной информации-наблюдениям от ССД y(Ti) и вектору управления u3 (Ti), который предназначен для настройки алгоритмов СОИ, решение задачи вычисления оценок фазовых координат x (Ti) и оценок параметрических функции p (Ti) , которая, по-существу, является центральной для ЦОС. СВУ – система выработки управлений – осуществляет формирование необходимых управляющих воздействий u1(Ti) для ОУ, u2 (Ti) для ССД и u3 (Ti) для СОИ по информации от СОИ. В общем виде можно записать: u1(Ti) u1( x (Ti), p (Ti)), u2 (Ti)

u2 (x (Ti), p (Ti)), u2 (Ti) u2 (x (Ti), p (Ti)), u3 (Ti) u3 (x (Ti), p (Ti)) . 1.1.2. Модельная цифровая ИУС Рассмотрим пример модельной цифровой ИУС, предназначенной для проведения виброиспытаний конструкции крыла самолѐта. 12

На рис. 1.1.2 изображена еѐ упрощѐнная блок-схема. Одна из возможных целей проведения виброиспытаний может заключаться в построении математической модели изгибно-крутильных колебаний крыла под действием распределѐнных нагрузок. При динамическом нагружении крыло ведѐт себя как упругодеформируемая система и колебательные движения крыла описываются в общем случае дифференциальными уравнениями с частными производными.

Рис. 1.1.2. Блок-схема системы виброиспытаний конструкции крыла самолѐта

На верхней поверхности крыла 1 устанавливается система датчиков виброускорений 2 в заданной системе точек. Выходные сигналы от датчиков подаются на систему усилителей 3 и далее на многоканальные входы электронного блока 4, где производится их аналоговая фильтрация, оцифровка в устройстве дискретизации и промежуточное хранение в буферном запоминающем устройстве. Специализированная ЭВМ 5 связывает блок 4 с линией локальной вычислительной сети ЛВС 6. Специализированная ЭВМ 7, подсоединѐнная к ЛВС, производит управление электронным блоком 8, который задаѐт режимы работы системы динамических вибровозбудителей 9 и реализует силовые воздействия в определѐнных точках на нижней поверхность крыла. Специализированная ЭВМ 10 управляет вибровозбудителями, производит сбор информации от датчиков и осуществляет обработку результатов виброиспытаний. Представленная блок-схема является сильно упрощѐнной. Реальные подобные цифровые ИУС включают в свой состав сотни 13

датчиков и десятки вибровозбудителей. Управление такими системами может осуществляться только на основе ЭВМ. Для малых воздействий от вибровозбудителей колебательные движения крыла описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые связывают функции смещений в заданных точках и функции силовых воздействий в определѐнной системе точек на нижней поверхности крыла. В случае, если динамические вибровозбудители реализуют тестовые синусоидальные воздействия, то установившиеся колебания в системе точек крыла, где размещены датчики виброускорений, также являются синусоидальными и характеризуются соответствующими амплитудами и фазовыми сдвигами. С помощью проведения измерений амплитуд и фазовых сдвигов колебаний в системе точек крыла и измерений системы тестовых воздействий могут быть вычислены соответствующие амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ), которые составляют основу математической модели крыла. В рассматриваемой ИУС датчики 2, усилители 3, электронный блок 4 и специализированная ЭВМ образуют ССД; вибровозбудители 9, электронный блок 8, специализированная ЭВМ 7 образуют СВУ; ЛВС 6 и ЭВМ 10 реализует СОИ; крыло 1 представляет собой ОУ. 1.2.

Сигналы и варианты алгоритмов ЦОС

1.2.1. Классификация сигналов, непрерывные и дискретные сигналы Сигналы могут классифицироваться многими способами, например, в зависимости от предметной области и решаемых задач. Сигналы бывают детерминированными и случайными: 1) детерминированными или регулярными называются сигналы, которые описываются функциями заданного вида и в которых известны все параметры этих функций; 2) квазидетерминированными называются сигналы, которые описываются функциями известного вида, однако один или несколько параметров этих функций являются случайными величинами; 3) случайными называются сигналы, значения которых в каждый момент времени представляют собой слу14

чайные величины. Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными. Сигналы различаются видом дискретизации. Дискретизация сигналов может быть осуществлена по времени и по уровню. На рис. 1.2.1а–1.2.1г проиллюстрированы различные виды дискретизации сигналов. Исходный физический сигнал x(t ) (напряжение, ток и т.д.) является непрерывной функцией времени t, определѐнной на конечном или бесконечном интервале времени (см. рис. 1.2.1а). Подобные непрерывные сигналы в ряде случаев называются аналоговыми. Последовательность чисел, представляющая собой значения сигнала в дискретные моменты времени, называется отсчѐтами сигнала и составляет дискретный ряд. Как правило, отсчѐты берутся через равные промежутки времени T, называемые периодом дискретизации (интервалом, шагом дискретизации). Процесс преобразования непрерывного сигнала в последовательность отсчѐтов называется дискретизацией и результат подобного преобразования является сигналом хДВ (Ti), в котором произведена дискретизация по времени (см. рис. 1.2.1б). Представление непрерывного сигнала в виде набора дискретных отсчѐтов приводит к потере информации, поскольку не учитываются значения сигнала в промежутках между отсчѐтами.

Рис. 1.2.1а. Непрерывный сигнал x(t ) (аналоговый сигнал) 15

Рис. 1.2.1б. Сигнал, xДВ (Ti), дискретизованный по времени

Рис. 1.2.1в. Сигнал xДУ (ti ), дискретизованный по уровню

Рис. 1.2.1г. Сигнал x(Ti), дискретизованный по времени и по уровню 16

Квантование по уровню пояснено на рис. 1.2.1в. Сигналы, квантованные только по уровню и обозначаемые как xДУ (ti ), представляют собой последовательность кусочно-постоянных функций с переключениями ti , расположенными неравномерно во времени, х – шаг квантования по уровню. При обработке сигналов в вычислительных устройствах отсчѐты представляются в виде двоичных чисел с конечным числом разрядов. Из-за этого отсчѐты могут принимать только конечное множество значений, приводящее к округлению и внесению погрешностей. Сигнал, дискретизованный во времени и квантованный по уровню x(Ti), называется цифровым (см. рис. 1.2.1г). Вычислительные устройства, предназначенные для обработки сигналов, оперируют только с цифровыми сигналами. Однако в ряде случаев, когда рассматриваются дискретные сигналы, эффекты, связанные с квантованием по уровню, не принимаются во внимание. 1.2.2. Этапы проведения ЦОС Проведение цифровой обработки сигналов удобно подразделить на два этапа. В соответствии с этими двумя этапами, на которых решаются специальные задачи, может быть произведена классификация алгоритмов ЦОС. Этап предварительной обработки. Первый этап ЦОС состоит в проведении вычислительных процедур, которые направлены на решение задач типа редактирования, повышения точности и достоверности и определения элементарных статистических характеристик для дискретизованных сигналов. На этом этапе реализуются процедуры, которые используют алгоритмы: устранения аномальных значений в дискретизованных сигналах; устранения пропусков в дискретизованных сигналах в дискретизованных сигналах; устранения помеховых аддитивных и мультипликативных трендов в дискретизованных сигналах; вычисления элементарных статистических характеристик для дискретизованных сигналов; сжатия (архивирования) и разархивирования сигналов. Разумеется, этот перечень алгоритмов может быть расширен и уточнѐн. После проведения первого предварительного этапа осу17

ществляется второй этап цифровой обработки, заключающийся в решении задач анализа сигналов. Этап анализа сигналов. Второй этап ЦОС состоит в проведении вычислительных процедур, осуществляющих, главным образом, определение физической природы (идентификации) сигналов и оценивания их параметров. Второй этап цифровой обработки, как правило, реализует алгоритмы: цифрового спектрально-корреляционного анализа дискретизованных сигналов; цифровой фильтрации дискретизованных сигналов; построения математических моделей и оценивания параметров дискретизованных сигналов. Так же, как и для первого этапа, этот перечень алгоритмов может быть уточнен и значительно дополнен. 1.2.3. Варианты алгоритмов ЦОС Опишем основные варианты типовых алгоритмов ЦОС, реализующих линейные преобразования дискретных сигналов. Будем обозначать: y(Ti) – входной, в общем случае комплексный сигнал; T – интервал дискретизации; i – дискретный индекс. В ряде случаев выходной сигнал будем обозначать как x(Ti); иногда выходную последовательность будем обозначать как c(k ). Разумеется, для ЦОС реализуются и нелинейные преобразования сигналов, например при вычислении корреляционных или ковариационных функций. Алгоритм дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Для данного алгоритма входной дискретный, в общем случае комплексный сигнал в виде конечной последовательности y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, и выходная конечная комплексная последовательность c(k ) связаны зависимостью

c(k )

1N1 e Ni 0

j

2 ki N y(i) ,

k 0, 1,..., N 1.

(1.2.1)

ДПФ представляет собой линейное преобразование вектора yT ( y(0), y(1),..., y( N 1)) в вектор cT (c(0), c(1),..., c(N 1)). 18

Данное линейное преобразование (1.2.1) может быть представлено в матрично-векторном виде

c Dy, где элементы квадратной матрицы D(N, N), обозначаемые как dik , вычисляются как значения комплексной синусоидальной функции

dik

1 e N

j

2 ki N

1 2 cos ki N N

j sin

2 ki , i, k 0, 1,..., N 1 . N

Алгоритм ДПФ является фактически основным в рассматриваемой ЦОС; одно из основных применений ДПФ – спектральный анализ дискретных данных. Алгоритм дискретной свёртки. Этот алгоритм в частном случае представлен выражением i

x(i)

h(i s) y(s) ,

(1.2.2)

s 0

где y(s) – входная последовательность, s 0, 1,..., N 1; x(i) – выходная последовательность, i 0, 1,..., N 1 , а функция целочисленного переменного h(m), являющаяся весовой, иногда называется ядром свѐртки. Далее будет показано, что алгоритм дискретной свѐртки (1.2.2) может быть реализован в форме ДПФ. Алгоритм дискретной свѐртки используется при вычислениях реакции линейных динамических систем. Алгоритм цифровой фильтрации. Дискретное разностное уравнение m

x(i)

k

br x(i r) r 1

as y(i s) .

(1.2.3)

s 0

представляет собой общее описание алгоритма цифровой фильтрации в рекуррентном виде; y(i) – фильтруемый входной, x(i) – отфильтрованный выходной сигнал Далее будет пояснено, что алгоритм цифровой фильтрации (1.2.3) может быть реализован в форме дискретной свѐртки. Алгоритмы цифровой фильтрации широко используются в решениях задач обработки дискретизованных сигналов для различных предметных областей. 19

1.3. Структура ССД Структура ССД существенным образом определяет возможности проведения ЦОС. ССД состоит из системы датчиков, усилителей, противомаскировочных фильтров, электронных коммутаторов, аналого-цифровых преобразователей и устройств буферной памяти. На рис.1.3.1 схематически изображѐн один из вариантов упрощѐнной конструкции ССД, цифрами отмечены основные элементы системы.

Рис. 1.3.1. Блок-схема системы сбора данных

1.3.1. Датчики CCД Объекту управления (ОУ) в рамках ССД придаѐтся набор первичных информационных преобразователей – система датчиков, назначение которых состоит в преобразовании фазовых координат объекта x(t ) в систему электрических сигналов – выходные напряжения V (t ) , в которых содержится информация о параметрах объекта. Каждому датчику ставится в соответствие функция преобразования, которая связывает значение величины x(t ) со значением напряжения V (t ). Функции преобразования могут быть двух видов. Для статических измерений связь между фазовыми координатами и выходными напряжениями реализуется в виде линейных или нелинейных функциональных зависимостей, соответствующих случаю статических функций преобразования. Для динамических измере20

ний связь между фазовыми координатами и выходными напряжениями реализуется в виде дифференциальных уравнений, соответствующих случаю динамических функций преобразования. Как правило, точный вид функций преобразования почти всегда оказывается достаточно сложным; поэтому в качестве функций преобразования могут выступать их модели, приближѐнно описывающие связи между фазовыми координатами и выходными напряжениями. Функции преобразования или их модели используются для решения задач ЦОС. Статические функции преобразования для датчиков устанавливают связь между входом и выходом в виде соотношений, которые являются нелинейными модельными функциями

V (t) g(x(t)).

(1.3.1)

Функции g( ) формируются на основе рассмотрения математических моделей датчиков. Функции (1.3.1) определяют вид статических характеристик датчиков. Для реальных датчиков разработана целая система вариантов модельных функций преобразования – статических характеристик. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто встречающиеся в практике ЦОС. Линейная статическая характеристика для датчика в виде функции V (t) a bx(t) является простейшим вариантом статической связи. Статическая характеристика датчика в виде нелинейной функции V (t) g(x(t)) в некоторых случаях может представляться графиком, изображѐнным на рис. 1.3.2. Условие 0 x(t ) xнс определяет рабочий диапазон датчика, точка xнс определяет границу области насыщения.

Рис. 1.3.2. Модельная статическая функция преобразования датчика 21

Описание функционирования многих типов датчиков в ряде случаев не может основываться на статических соотношениях. Благодаря наличию инерционных частей, трения и других факторов конструкций реальных датчиков между измеряемой фазовой координатой и выходным сигналом могут иметь место зависимости более сложного вида, чем статические. Достаточно часто, когда входная измеряемая фазовая координата x(t ) и выходной сигнал V (t ) являются функциями времени t (иногда x(t) x может быть константой), следует учитывать динамические свойства датчиков. Фукции преобразования для динамических датчиков устанавливают связи между входами и выходами в виде соотношений, которые являются модельными дифференциальными уравнениями. Указанные модельные дифференциальные уравнения формируются на основе рассмотрения математических моделей датчиков, которые базируются на уравнениях механики и электротехники. В инженерных приложениях наиболее часто рассматриваются модельные линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, соответствующие линейным динамическим датчикам и определяющие динамические функции преобразования. Для практики ЦОС целесообразно рассмотреть два наиболее часто встречающихся вида линейных дифференциальных уравнений, связывающих в динамике измеряемые фазовые координаты x(t ) и выходные сигналы V (t ) . Датчикам с апериодическими функциями преобразования ставятся в соответствие модельные линейные дифференциальные уравнения первого порядка

V (t )

k 1 V (t ) 0 x(t ), T T

(1.3.2)

где T – постоянная времени, обусловливающая его инерционность; k0 – коэффициент усиления. Датчики с колебательными функциями преобразования описываются модельными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка

V (t) 2

2 0V (t)

0V (t )

22

2 0k0 x(t ).

(1.3.3)

Значения параметров

,

2 0

и k0 определяют динамические свой-

2 ства датчиков. Сочетание параметров 2 0 0 соответствует колебательным функциям преобразования. Линейным динамическим датчикам ставятся в соответствие передаточные функции. Эти характеристики позволяют производить анализ динамических свойств и погрешностей линейных динамических датчиков. Передаточные функции определяются на основе применения преобразований Лапласа для функций времени

x(t), V (t): Х ( р)

х( )е

р

d , V ( р)

V ( )е

0

р

d ,

0

p – комплексный параметр. Передаточные функции H ( p) для линейных динамических датчиков определяют связь между входом и выходом при нулевых начальных условиях следующим образом:

V ( p) H( p) X ( p) . Для апериодических и колебательных динамических измерительных преобразователей (1.3.2), (1.3.3) передаточные функции записываются в виде полиномов от переменной p:

H1( p)

k0 , Tp 1

H2 ( p)

2 0 k0

p2 2 p

2 0

.

Для p j выражения X ( j ), V ( j ) представляют собой преобразования Фурье для функций времени x(t), V (t). Функция H ( j ) в этом случае для линейных динамических датчиков определяет связь входов и выходов в частотной области:

V ( j ) H( j ) X ( j ) . Функция H ( jω) является комплексной функцией частоты, которую можно представить в экспоненциальном виде:

H ( jω) где

H( j ) e j

( ),

H ( j ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

( ) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) для линейных динамических датчиков. Функции АЧХ и ФЧХ позволяют определить 23

амплитудные и фазовые искажения в зависимости от частоты для линейных динамических датчиков, когда эталонная величина x(t ) изменяется по гармоническому закону в соответствии с формулой

x(t) X cos t, для которой заданы X – амплитуда; – частота. Общеизвестно, что значение сигнала V (t ) для линейного динамического измерительного преобразователя в установившемся режиме в этом случае также будет описываться гармонической функцией

V (t) V cos( t

),

где V – амплитуда измеренного сигнала; – фазовый сдвиг между синусоидальной выходной и входной функциями. С помощью функций АЧХ и ФЧХ H ( jω) и ( ) можно оценивать амплитудные и фазовые искажения, вносимые динамическим измерительным преобразователем. Для заданной частоты амплитудное и фазовой искажение V / X и между измерительным сигналом и измеряемой величиной определяются следующим образом:

V X

H( j ) ,

( ).

Рассмотрим более детально конструкцию и характеристики одного из вариантов датчиков виброускорений. На рис. 1.3.3 представлен схематический чертѐж электромеханической конструкции пьезоакселерометра. Действие пьезоэлектрических датчиков виброускорений основано на использовании прямого пьезоэффекта – свойства некоторых материалов (пьезоэлектриков) генерировать электрический заряд под действием приложенной к ним механической силы. Инерционный элемент 3 прикреплѐн к верхней грани пьезоэлемента 2, а нижняя грань пьезоэлемента прикреплена к корпусу 1, пружина 4 воздействует на верхнюю поверхность инерционного элемента. При установке датчика на исследуемом объекте эта система воспринимает его вибрацию. Выходом пьезоэлектрического датчика является напряжение V (t), снимаемое с пьезоэлемента. 24

Рис. 1.3.3. Схематический чертѐж конструкции пьезоакселерометра

Рис. 1.3.4. Схема механической модели пьезоакселерометра

Упрощѐнная схема механической модели этого датчика приведена на рис. 1.3.4. Дифференциальное уравнение для смещения x(t ) инерционного элемента под действием комплексной гармонической силы F(t)

Fe j t , имеет вид mx cx kx Fe j t ,

где m, c, k определяют параметр массы, коэффициент демпфирования и коэффициент упругости. От данного уравнения можно перейти к дифференциальному уравнению вида

x 2

0x

2 0x

25

2 0

F j t e , k

где

2 0

k / m,

0.

c/2m

Положим, что установившееся решение

этого дифференциального уравнения имеет вид x(t)

Xe j t , где

X – комплексная амплитуда. После подстановки x выражение для амплитуды 2 F 1 0 X 2 2 2 j2 0 0 k 1 j2

t

0

Xe j

получим

F . k

(1.3.4)

0

С использованием (1.3.4) сформируем передаточную функцию H0 ( j ) , связывающую в частотной области амплитуду X с амплитудой силы F: X 1 1. (1.3.5) H0 ( j ) 2 F k 1 j2 0

0

Выделим в передаточной функции (1.3.5) действительную и мнимую часть 2 2 j 1 0 0 H0 ( j ) . 2 2

1 0

2 2

2

2

0

0

2

2

1

0

На основе формул для действительной и мнимой частей представим выражения для АЧХ H0 ( j ) и ФЧХ ( ) рассматриваемого пьезоакселерометра: 2

1

H0 ( j ) 2

2 2

1 0

2

2

, ( ) arctg

0 2

.

1 0

0

Поскольку выходное напряжение V (t ) и смещение x(t), ускорение a(t ) и возбуждающая сила F(t) связаны линейными зависимостями V (t ) kv x(t ), a(t ) ka F (t ), то передаточная функция пьезоакселерометрического датчика, связывающая V (t ) и a(t ) представится очевидным образом: 26

H ( j ) k0 H0 ( j ) . На рис. 1.3.5а–1.3.5б изображены АЧХ и ФЧХ передаточной / 0. функции H ( j ) для k0 1 и относительных частот w w2 для таких датчиков Рабочий частотный диапазон w1 соответствует почти плоскому участку АЧХ; при выборе рабочего диапазона следует учитывать величину фазового запаздывания ФЧХ. АЧХ пьезоакселерометров содержат области, примыкающие к резонансной частоте w p . Перечисленные сведения по частотным характеристикам присущи почти всем видам датчиков практически независимо от их физической природы. Здесь не конкретизируется возможный перечень типов датчиков, применяемых в системах ЦОС.

Рис. 1.3.5а. АЧХ передаточной функции пьезоакселерометра

Рис. 1.3.5б. ФЧХ передаточной функции пьезоакселерометра 27

1.3.2. Усилители, противомаскировочные фильтры, электронные коммутаторы Выходные электрические сигналы V (t ) от датчиков поступают на входы системы широкополосных усилителей (УС) с коэффициентами усиления K1; назначение данных усилителей cостоит в обеспечении усиления входных сигналов до стандартного значения: K1V (t ) V1(t ) , V1(t) V1 , чаще всего V1 1 В. Частотные характеристики передаточной функции для УС должны быть подобраны таким образом, чтобы для входного сигнала V (t ) в заданном частотном диапазоне амплитудные и фазовые искажения были незначительными. На вход аналогового противомаскировочного фильтра подаѐтся сигнал V1(t ), выходной сигнал фильтра обозначается в виде V2 (t ). Низкочастотные аналоговые фильтры (непропускающие высокие частоты) с передаточными функциями ( j ) обеспечивают устранение высокочастотных составляющих в выходном сигнале V2 (t ). Подобная аналоговая фильтрация необходима для согласования частоты последующей дискретизации и верхней частоты сигнала V2 (t ). Физическое содержание процесса противомаскировочной фильтрации будет прояснено в разд. 3.4, в котором будут рассмотрены вопросы дискретизации сигналов. Для противомаскировочного фильтра АЧХ имеет вид, изображенный на рис. 1.3.6, где параметр с – частота среза фильтра, удовлетворяет условию

(j

2 c

1/ 2 . Как правило, для противо-

маскировочных фильтров их АЧХ в точке среза с должны иметь большую крутизну. Вследствие чего в рабочей полосе частот (0, c ) коэффициент усиления фильтра должен быть примерно равен 1, в высокочастотной области ( c , ) коэффициент усиления фильтра должен быть близок к нулю:

( j ) 1, 0

(j )

c;

0,

c

.

Частота среза c аналогового фильтра обычно регулируется в зависимости от полосы исходного сигнала (его частотных свойств) и 28

заданной частоты дискретизации. Линии 1 и 2 АЧХ на рис. 1.3.6 отличаются крутизной.

Рис. 1.3.6. АЧХ противомаскировочного фильтра

Выход противомаскировочного фильтра V2 (t ) фактически является информационным сигналом, который далее подвергается дискретизации. Электронный коммутатор (мультиплексор) реализует переключение измерительных каналов с частотой дискретизации fd 1/ T , T – интервал временной дискретизации. На вход электронного коммутатора поступают аналоговые сигналы от противомаскировочных фильтров V2i (t ), i 1,..., n, n – число информационных каналов ССД (по числу датчиков). На единственном выходе электронного коммутатора формируется последовательность кусочнопостоянных сигналов VМП VМП (t ), которая подаѐтся на устройство дискретизации. Пример временной диаграммы работы электронного коммутатора для трѐх информационных входных каналов, на которые подаются напряжения V21(t ), V22 (t ), V23 (t ) , приведѐн на рис. 1.3.7. С временным шагом дискретизации T происходит запоминание на время t k (время коммутации) соответствующего кусочнопостоянного напряжения, которое предназначено для подачи в устройство дискретизации. Для работы электронного коммутатора T. должно выполняться соотношение n tк 29

VМП (t )

tк

Рис. 1.3.7. Временная диаграмма работы электронного коммутатора

Для некоторых задач цифровой обработки при многоканальном вводе высокочастотных сигналов необходимо учитывать фазовые сдвиги для информации в дискретизованных сигналах, которые вносятся при работе по предлагаемой схеме. Следует отметить, что использование в ССД электронного коммутатора не является обязательным; его применение диктуется в ряде случаев требованием уменьшения аппаратурных затрат для снижения числа микросхем АЦП или, например, для обеспечения идентичности дискретизации по различным каналам. Вполне возможно построение ССД без электронного коммутатора с использованием в каждом канале отдельных микросхем АЦП. 1.3.3. Аналого-цифровые преобразователи Аналого-цифровые преобразователи (АЦП) осуществляют преобразование последовательности кусочно-постоянных напряжений от мультиплексора VМП VМП (t ) в последовательность цифровых кодов у0 y0 (Ti) . Следует отметить существенные параметры АЦП для формирования систем ЦОС: 1) tАЦП – время преобразования АЦП аналогового напряжения V2i (t ) в цифровой код; очеtk ; 2) LA – число видно, должно выполняться неравенство tАЦП 30

разрядов цифрового кода с выхода АЦП (не считая знака); 3) VАЦП – рабочий диапазон АЦП по входному напряжению; этот параметр устанавливается стандартным рядом значений – чаще всего VАЦП 1 и 5 В. Последовательность y0 (Ti) с выхода АЦП является дискретизованной по времени и по уровню. Благодаря дискретизации по времени из непрерывного информационного сигнала V2 (t ) с шагом T формируется последовательность значений V2 (Ti). Вследствие дискретности по уровню последовательность V2 (Ti) преобразуется с помощью функции преобразования АЦП FАЦП в последовательность целых чисел y0 (Ti) :

y0 (Ti)

FАЦП (V2 (Ti), VАЦП , LA ) .

На рис. 1.3.8 показан график рассматриваемой нелинейной функции преобразования FАЦП для VАЦП 5 В, LA 4 . В соответствии с принятыми значениями параметров АЦП преобразуемые сигналы y0 (Ti) представляются целыми числами в диапазоне от 0 до 15 (без учѐта знака).

FАЦП

Рис. 1.3.8. Функция преобразования АЦП

31

Дискретность по уровню вносит погрешности в информационVАЦП ный сигнал. Нетрудно подсчитать величину

VАЦП /(2LA 1) , соответствующую цене одного разряда АЦП, которая позволяет ориентировочно оценить величину погрешности от дискретизации по уровню. При работе АЦП следует обеспечивать согласование (примерное равенство) максимального значения напряжения сигнала V2 и диапазона VАЦП . Рассмотрим необходимость такого согласования. С

этой

целью

смоделируем

синусоидальный

сигнал

вида

N 1000; V2 (Ti) Asin(2 f Ti), i 0, 1,..., N 1; T 0,01 c; f 0,1 Гц и двумя амплитудами А1 4,32 , А2 0,65 Для АЦП были выбраны параметры VАЦП 5 В, LA 4, для которых

VАЦП 0,33 В. На рис. 1.3.9 помещены графики дискретизованных по уровню модельных синусоидальных сигналов, кусочно-постоянная линия с индексом 1 соответствует А1 4,32 , линия с индексом 2 соответствует А2 0,65 . Из-за того, что во втором случае амплитуда

Рис. 1.3.9. Результаты дискретизации синусоидальных сигналов 32

синусоиды существенно меньше величины VАЦП , преобразованный синусоидальный сигнал на выходе представляет собой двухуровневую последовательность. 1.3.4. Устройства буферной памяти На вход буферного запоминающего устройства (БЗУ) поступают данные от АЦП. БЗУ обеспечивает промежуточное хранение массивов дискретизованных данных. Для БЗУ следует отметить параметры, существенные при реализации сбора данных: 1) tБЗУ – время ввода одного кода от АЦП в БЗУ; tБЗУ T n ; 2) объем памяти БЗУ – VБЗУ в Кб (Мб), где б – байт. При формировании конкретной системы сбора данных необходим учѐт типа памяти БЗУ. При использовании микросхем с электродинамической памятью реализуется принудительный режим регенерации; при отключении питания в подобных БЗУ информация не сохраняется. При использовании в БЗУ элементов памяти электромагнитного типа при отключении питания информация сохраняется. При реализации сбора дискретных данных целесообразно рассмотреть особенности организации непрерывного сбора (режим "пинг-понг") для обеспечения сбора без пропусков наблюдений. Основной фактор, который необходимо учитывать при организации непрерывного сбора, состоит в необходимости согласования частоты дискретизации с максимально возможной частотой ввода оцифрованных данных в ОЗУ или ДЗУ. Обозначим tо , tз – время, затрачиваемое на открытие и закрытие файла; tN – время передачи файла из N чисел из ОЗУ в ДЗУ; tВ – время ввода одного числа в ОЗУ, tКПД – время ввода одного кода в ОЗУ по каналу прямого доступа (с автоматической адресацией). Первый вариант сбора в режиме "пинг-понг" реализуется на основе разбиения БЗУ на две переключающиеся зоны, в каждой из которых записывается по N чисел (рис. 1.3.10а); условие непрерывности ввода представляется неравенством NtБЗУ NtB to tз tN . Второй вариант организации непрерывного сбора осуществляется на основе канала прямого доступа (КПД) в ОЗУ и выделении программным способом в ОЗУ двух переключающихся зон 33

(массивов) по N чисел (рис. 1.3.10б); в этом случае непрерывность сбора данных обеспечивается при выполнении неравенства

NtКПД to tз tN .

Рис. 1.3.10а. Схема режима «пинг-понг» для БЗУ

Рис. 1.3.10б. Схема режима «пинг-понг» для ОЗУ

Список вопросов для самопроверки к гл. 1 1. Каково назначение основных элементов для структуры системы ЦОС? 2. Из каких элементов состоит ССД? 3. Какие основные элементы входят в состав конструкций пьезоэлектрических датчиков ускорений? 4. В чѐм состоит назначение усилителей выходных сигналов датчиков ССД? 5. В чѐм состоит назначение противомаскировочных фильтров? 34

6. Какие основные характеристики противомаскировочных фильтров существенны при построении систем ЦОС? 7. В чѐм состоит назначение электронных коммутаторов каналов (мультиплексоров) для ССД? 8. Какие основные характеристики мультиплексоров существенны при построении систем ЦОС? 9. В чѐм состоит назначение АЦП? 10. Какие основные характеристики АЦП существенны при построении систем ЦОС? 11. Каким образом разрядность и диапазон по входному напряжению АЦП влияют на точность ЦОС? 12. В чѐм состоит назначение БЗУ? 13. Какие основные структуры БЗУ используются в системах ЦОС? 14. Какие основные типовые алгоритмы реализуются в СОИ?

35

Глава 2. МОДЕЛИ СИГНАЛОВ, ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 2.1. Синусоидальные сигналы 2.1.1. Гармонические и полигармонические сигналы Сигналы, которые рассматриваются в технической дисциплине ЦОС, определяются устройством и особенностями конструкции объектов управления, видом управляющих воздействий и описываются различными функциями времени. Как правило, сигналы – это действительные функции времени, обозначаемые как x(t ) , опt ределѐнные на бесконечном или на конечном t0 t t f временном интервале. Для наиболее типичных случаев ЦОС, имеющих многочисленные приложения, используются варианты синусоидальных сигналов. Гармонический (синусоидальный или монохроматический) сигнал являет собой простейший пример сигнала, который рассматривается в ЦОС. Общий его вид представляется выражением

x(t) Acos( t

)

a cos t bsin t ,

(2.1.1)

где a Acos , b Asin , A (a2 b2 )1/2 – амплитуда гармонического сигнала; (t) – фазовая функция; – начальная t фаза и arctg( b / a) . Частота сигнала связана с фазовой функцией через производную – (t) . Поскольку в данном случае фазовая функция изменяется по линейному закону, то частота гармонического сигнала постоянна во времени. Частота, обозначаемая в виде , измеряется в рад/с ; частота сигнала, обозначаемая в виде f и удовлетворяющая соотношению 2 f , измеряется в Гц. Полигармонический сигнал описывается в виде суммы нескольких гармонических составляющих L

L

Al cos( l t

x(t)

l)

(al cos l t bl sin l t ).

l 1

(2.1.2)

l 1

Частоты l для (2.1.2) в общем случае являются произвольными и для определѐнности будем считать их упорядоченными – удовле36

творяющими системе неравенств

1

2

...

L,

(al2 bl2 )1/2 Al

амплитуды, arctg( bl / al ) l – начальные фазы гармонических составляющих, l 1,..., L . Составить наглядное представление о полигармонических сигналах позволяет их амплитудный и фазовый спектр – графическое изображение распределения амплитуд Al и начальных фаз l гармонических составляющих по дискретным частотам l , l 1,..., L. Отметим, что значения начальных фаз l приводятся к диапазону [0, 2 ] . Пример амплитудного и фазового спектра для некоторого полигармонического сигнала изображѐн на рис. 2.1.1а, 2.1.1б.

Рис. 2.1.1а. Амплитудный спектр полигармонического сигнала

Рис. 2.1.1б. Фазовый спектр полигармонического сигнала 37

Модулированный по амплитуде и фазе (модулированнный по частоте) синусоидальный сигнал является обобщением монохроматического сигнала и представляется следующим выражением:

x(t) E(t)cos (t), где E(t) – амплитудная функция (огибающая); (t ) – нелинейная фазовая функция. При фиксированном значении x(t ) амплитуда и фаза модулированного сигнала не определены однозначно, поскольку для любого момента времени t справедливо соотношение

x(t)

E1(t )cos 1(t )

E2 (t )cos

2 (t ) .

Для обеспечения однозначности представления необходимо введение дополнительных условий, накладываемых на сигнал. Производная по времени фазовой функции есть мгновенная частота сигнала по определению, т.е. (t) (t) . Вследствие этого модулированной фазовой функции соответствует модулированная частотная функция и наоборот. Если выполняется неравенство для частоты 0 (t ) , то x(t ) является полосовым сигналом, 0 – его средняя 0 частота, 2 – ширина частотной полосы сигнала. Узкополосный сигнал с условием 2 0 может быть записан в виде

x(t)

a(t )cos

0t

b(t )sin

0t

E(t )cos( 0t

где функции a(t) E(t)cos (t) , b(t) E(t)sin ниченные нулевые и первые производные

a01

a(t )

a02 , b01

b(t )

b02 , a11

a(t )

(t )) ,

(t) имеют огра-

a12 , b11

b(t )

b12 .

Очевидно, амплитудная функция E2 (t ) a2 (t) b2 (t) в этом случае ограничена сверху и снизу: 2 b2 2 2 2 a01 01 E (t ) a02 b02 .

Для фазовой функции справедливы соотношения

(t )

0t

После дифференцирования ной во времени частоты

(t ) ,

(t) arctg( b(t) / a(t)) .

(t ) получим выражение для перемен38

b(t )a(t ) b(t )a(t ) . a2 (t ) b2 (t ) С учѐтом введѐнных ограничений на амплитуды и их производные из последней формулы вытекает неравенство для частоты (t ): 2 b2 ) , , (t) 0 (b12a02 b02a12 ) / (a01 0 01 (t )

0

где 2 – верхнее значение полосы сигнала. Ограничения на производные для амплитуд a(t), b(t) влияют на ширину полосы узкополосного сигнала и обусловливают медленные изменения амплитудой E(t) и частотой (t ) функций. На рис. 2.1.2а представлен пример реализации сигнала x(t ) с модулированными по синусоидальному закону амплитудными и фазовыми функциями

х(t ) E(1 1 cos(2 f1t 1)) (2.1.3) cos(2 f0t 2 sin(2 f2t 2 ) 0 ). Для (2.1.3) E(t ) E(1 1 cos(2 f1t 1)) представляет собой выражение для модулированной амплитудной функции, (t) 2 f0t 2 sin(2 f2t 2 ) 0 – для модулированной фазовой функции.

Рис. 2.1.2а. Реализация узкополосного сигнала с синусоидальной амплитудной и частотной модуляцией 39

Рис. 2.1.2б. Функция синусоидальной частотной модуляции

Сигнал рис. 2.1.2а определѐн на интервале времени t f

15,5 c

0), E 1, несущая частота f0 1,5 Гц, 0 0,5, 1 0,5 – глубина амплитудной модуляции, f1 0,05 Гц – частота амплитудной модуляции, 1 0,1 , 2 10 – индекс модуляции фазовой функции, f2 0,075 Гц – частота фазовой модуляции, 2 1,5. Для данного узкополосного сигнала частотная функция f (t) меня(t0

ется в соответствии с

(t)

f (t)

f0

2 f2 cos(2

f2t

2) ,

(2.1.4)

где 2 f2 – индекс частотной модуляции. На рис.2.1.2б изображен график частотной функции f (t) (2.1.4). 2.1.2. Синусоидальные сигналы с амплитудной и частотной модуляцией Рассмотрим простейшие случаи синусоидальных амплитудных и фазовых модуляций гармонических сигналов, которые обусловливают их полигармонический характер. Гармонический сигнал с амплитудной синусоидальной модуляцией представляется выражением

x1(t ) E(1

1 cos(2

f1t 40

1))cos(2

f0t

0 ).

(2.1.5)

На рис. 2.1.3а изображена реализация сигнала с амплитудной модуляцией, определѐнного на отрезке времени 0 t t f ,

t f 14,5 c, E 1, несущая частота f0 1,5 Гц, 0 0,5, 1 2,1.

1

0,4, f1 0,12 Гц,

Рис. 2.1.3а. Реализация сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией

Рис. 2.1.3б. Реализация сигнала с синусоидальной частотной модуляцией 41

Сигнал (2.1.5) может быть разложен на сумму трѐх гармонических составляющих сигналов с частотами 0 , 0 , 0 , где 2 f1. Положим для удобств выкладок, что 0 0, 0 2 f0 , 0, разложим произведение косинусов в сумму

x1(t ) E cos

0t

E cos(( 2

)t )

0

E cos(( 2

0

)t ).

Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией, изображѐн на рис. 2.1.4.

Рис. 2.1.4. Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией

Гармонический сигнал с фазовой (частотной) синусоидальной модуляцией описывается выражением

x2 (t ) E cos(2 f0t Для

(2.1.6)

2 sin(2

f2t

2)

0 ).

(2.1.6)

модулированная

фазовая функция имеет вид (t ) 2 f0t 2 sin(2 f2t 2 ) 0 . Введѐм обозначения 0 2 f0 , 2 f2 , 2 , положим 0, 0 0. Для сигнала (2.1.6) частота модулируется по гармоническому закону

(t )

cos t,

0

где определяет амплитуду функции частотной модуляции; – частота частотной модуляции. На рис. 2.1.3б представлен пример реализации модельного сигнала с частотной модуляцией, 42

определѐнный на отрезке времени 0 t t f , t f

2 f0 , f0 1,5 Гц,

14,5 c, E 1,

2 f2 , f2 0,15. Глубина частотной модуляции составляет величину f2 0,6 Гц и частота 0

4,

2

данного частотно-модулированного сигнала колеблется в пределах

(0,9 2,1) Гц.

Сигнал (2.1.6) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических составляющих. Запишем (2.1.6) в виде

x2 (t ) E(cos

0t sin(

sin t ) sin

0t cos(

sin t).

(2.1.7)

Воспользовавшись работой Г.М. Фихтенгольца , разложим периодические функции sin( sin t) и cos( sin t) в ряд по синусам и косинусам кратных дуг

sin( sin t ) 2

J 2l 1( )sin(2l 1) t, l 1

(2.1.8)

cos( sin t ) J0 ( ) 2

(

1)l 1 J

2l (

)cos2l t,

l 1

где Jl ( ) – функции Бесселя первого рода порядка l, для которой справедливо разложение в степенной ряд

Jl ( ) m

( 1)m 0 m!(m l )! 2

2m l

, l 0.

На рис. 2.1.5 представлены графики функции Бесселя в зависимости от для 0 , 15 и l 0, 1, 2. Подставим в (2.1.7) выражения разложений (2.1.8), получим

x2 (t )

ЕJ2l 1( )sin(2l 1) t

сos 0t 2 l 1

sin

0t

ЕJ0 ( ) 2

( 1)l 1 ЕJ2k ( )cos2l t . l 1

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с. 43

Рис. 2.1.5. Графики функций Бесселя первого рода

Сделаем очевидные преобразования

x2 (t ) ЕJ0 ( )sin

( 1)l 1 ЕJ2l ( )[sin(

0

0t

2l )t sin(

2l )t ]

0

l 1

ЕJ2l 1( )[sin(

0

(2l 1) )t sin(

(2l 1) )t]

0

l 1

и соберѐм гармонические составляющие с частотами 0 , 0 2l , 0 (2l 1) , 0 2l , 0 (2l 1) , которые располагаются с дискретным шагом по частоте относительно несущей частоты

x2 (t) ЕJ0 ( )sin 0t

( 1)l 1 ЕJ 2l ( )sin(

0

2l )t

l 1

ЕJ 2l 1( )sin(

0

(2l 1) )t )

(2.1.9)

l 1

( 1)l 1 ЕJ 2l ( )sin(

0

2l )t

ЕJ 2l 1( )sin(

l 1

0

(2l 1) )t ).

l 1

Из (2.1.9) видно, что амплитуды гармонических составляющих определяются значениями функций Бесселя. 44

На рис. 2.1.6 представлен пример амплитудного спектра частотно-модулированного по синусоидальному закону сигнала вида (2.1.9), симметричного относительно f0 , Al ЕJl ( ) , l 0, 1,..., 8; для l 8 , Jl ( ) 0. Из (2.1.9) можно заключить, что данный частотно-модулированный сигнал допускает представление в виде полигармонического сигнала с достаточно широким спектром, который в данном случае состоит из 15 гармонических составляющих.

2.1.6. Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной частотной модуляцией

2.2. Комплексные сигналы. Энергетические характеристики сигналов Комплексные сигналы являются естественным обобщением действительных сигналов и записываются в виде

x(t) x1 (t) jx2 (t) , где x1(t ), x2 (t ) – действительная и мнимая составляющие комплексного сигнала x(t), которые определены на бесконечном инt тервале или конечном интервале t0 t t f времени. Комплексные сигналы могут быть представлены в показательной форме 45

x(t) E(t)e j

(t ) ,

E 2 (t ) x12 (t ) x22 (t ),

(t) arctg(x2 (t) / x1(t)).

В качестве примера комплексного сигнала приведѐм выражение для комплексной синусоиды с параметрами A, 0 ,

x(t ) Ae j (

0t

)

Acos( 0t

) j Asin( 0t

).

Для любого момента времени t значения комплексных сигналов x(t ) представляют собой комплексные числа, над которыми можно производить все операции комплексной арифметики. Использование комплексных сигналов доставляет определѐнные математические удобства; в том числе основные соотношения ЦОС записываются в комплексной форме с целью обеспечения компактности формул. Многие распространѐнные программы вычислений, используемые для задач ЦОС, работают с комплексными входными и выходными данными. Энергия E комплексного сигнала x(t), по определению, записывается в виде интеграла

E

( x12 (t ) x22 (t ))dt,

x* (t ) x(t )dt

где звѐздочка наверху * является знаком комплексного сопряжения. Данное определение энергии сформулировано в соответствии с аналогией из электротехники – величиной энергии, выделяемой на активном сопротивлении R при действии комплексного тока I (t)

E

I * (t ) I (t ) Rdt.

Очевидно, что сигналы x(t), которые фигурируют в ЦОС, должны обладать конечной энергией

E

x* (t ) x(t )dt

.

Однако необходимо иметь в виду, что не все сигналы, фигурирующие в ЦОС, обладают конечной энергией; например, у периодических сигналов, очевидно, энергия бесконечна. Средняя мощность P(T0 , t ) сигнала x(t ) определяется энергией, отнесѐнной к заданному интервалу времени Т0 : 46

t T0

1 P(T0 , t ) T0

x* ( ) x( )d . t

Мгновенная мощность сигнала P0 (t ) в момент времени ляется как предел

P0 (t )

1 0 T 0

t T0

T0

x* (t)x(t).

x* ( ) x( )d

lim

t опреде-

t

Средняя мощность действительного гармонического сигнала, определѐнного в разд. 2.1

x(t) Acos( 0t

)

на интервале времени, который соответствует периоду T0 2 / 0 , не зависит от начального момента времени t, частоты 0 и начальной фазы , поскольку на таком интервале времени укладывается в точности одно колебание рассматриваемого гармонического сигнала. В самом деле, величина средней мощности гармонического сигнала может быть вычислена с помощью следующего интеграла t

2 0

P

0

2

A2 cos2 (

0

)d

0

2

t

A2

1 sin 2( 2 4

t

0

)

0

2

t

A2 . 2

Средняя мощность действительного полигармонического сигнала L

(al cos l t bl sin l t )

x(t) l 1

на отрезке времени Т 0 должна представиться в виде интеграла

P(T0 , t )

1 T0

t T0

2

L

(al cos t

l

bl sin

l

d ,

l 1

который вычисляется достаточно сложным образом для произвольных значений t, T0 и частот 1,..., L. Рассмотрим частный случай, когда частоты сигнала являются упорядоченными 1 < 2 <...< L, k l и 2 ,..., L кратны наименьшей частоте 1. Последнее означает, что существуют целые числа kl , l 1,..., L, k1 1 и kl 1 kl , которые обеспечивают равенства l kl 1, 47

l 1,..., L, являющееся условием кратности для частот. Рассмотрим интервал интегрирования T0 2 / 1, равный наибольшему периоду для частот 1,..., L , составляющих полигармонического сигнала. Кратность указанных частот означает, что все составляющие укладываются в точности целое число раз на времени Т0 и выполняются следующие равенства t T0

t T0

cos

l1

cos

l2

d

0,

sin

t

l1

sin

l2

d

0, l1 l2 ;

t t T0

cos

l1

sin

l2

d

0.

t

Благодаря указанным равенствам для полигармонических составляющих следует, что средняя мощность P такого полигармонического сигнала равняется сумме средних мощностей Pl гармонических составляющих

Pl

Al2 , 2

L

l 1,..., L,

P

Pl . l 1

Для полигармонических сигналов с кратными частотами возможно наглядное представление дискретного спектра мощности сигнала в виде набора дискретных значений отдельных мощностей Pl , соответствующих частотам составляющих 1 kl , где 1

(рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Дискретный спектр мощности 48

2.3. Наблюдения и модели сигналов Из разд. 1.1 (см. рис. 1.1.1) следует, что исходный сигнал

x(t) x( p(t), t) определяется фазовыми координатами объекта управления и зависит от параметрической функции p(t ). В параметрической функции p(t ) содержится вся полезная информация об объекте. Обычно должно выполняться соотношение p(t) P0 , где P0 – заданное множество, к которому принадлежат параметрические функции. Будем полагать, что наблюдаемый сигнал y(t ) связан с исходным сигналом x(t) x( p(t), t) и случайным помеховым возмущением w(t ) через модельную функцию наблюдения h( , ) известного вида (2.3.1) y(t) h(x(t), w(t)) h(x( p(t), t), w(t)). В частном случае модельная функция наблюдения может быть аддитивной и представится выражением (2.3.2) y(t) x(t) w(t) x( p(t), t) w(t), где w(t ) – случайная погрешность наблюдения с заданными статистическими характеристиками. Выражения (2.3.1), (2.3.2) являются моделями, по которым формируются наблюдения y(t). Для задач ЦОС необходимо располагать видом функций h( , ), х( , t ) и статистическими характеристиками w(t), чтобы по наблюдениям y(t ) осуществить определение оценок фазовых координат x (t ) и параметрических функций p (t ). Наблюдения для задач цифровой обработки сигналов, как правило, задаются на конечном интервале времени в виде набора дискретных данных y(i), i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений. Чаще всего наблюдения осуществляются через равные промежутки времени, y(i) y(Ti), T – интервал дискретизации; однако вполне возможны ситуации, когда наблюдения производятся неравномерно во времени. Наблюдения, в общем случае, могут быть комплексными y(i) y1(i) jy2 (i). Математические модели сигналов должны соответствовать физическим сигналам, для описания которых они предназначены. Выбор моделей зависит от объѐма и характера априорной инфор49

мации о физических сигналах. Будем рассматривать модели сигналов двух типов – функциональные и параметрические. Функциональная модель сигнала представляется соотношением вида (2.3.3) xM ( p, t) xM ( p(t), t), p(t) P0. Для модели (2.3.3) должна быть задана функция известного вида х( , t), в которую осуществляется подстановка функций

p p(t) P0. Параметрическая модель сигнала определяется функцией известного вида yМ (c, Ti), определѐнной на заданном конечном временном интервале в точках i 0, 1,..., N 1 и зависящей от вектора параметров cT (c1,..., cm ) размерности (m,1), служит в качестве модели сигнала. Будем считать, что вектор с в общем случае принадлежит некоторому ограничивающему множеству R0m ,

c R0m

Rm , иногда R0m

Rm . Выбор вида функции модели про-

изводится на основе априорных сведений о природе сигнала и объекта управления. Вектор параметров модели с назначается таким образом, чтобы модель yМ (c, Ti) на заданном временном интервале описывала с заданной точностью исходный сигнал x(Ti). Определение вектора с для модели yМ (c,Ti) реализуется на основе решения задачи аппроксимации наблюдений y(Ti) (приближения наблюдений). Рассмотрим некоторые примеры моделей, которые могут использоваться для задач цифровой обработки сигналов. Узкополосному сигналу на малом интервале времени может быть поставлена в соответствие модель в виде кусочносинусоидальной функции yM (c, Ti) a cos Ti bsin Ti, i 0, 1,..., N 1, (2.3.4) где сТ (a, b, ) – вектор параметров модели, имеющий размерность (3,1). Амплитуды a, b входят в выражение для модели линейно, частота нелинейно. Данная модельная функция имеет постоянную амплитуду и частоту. Разумеется, модельная функция (2.3.4) не в полной мере соответствует исходному узкополосному сигналу с переменной амплитудой и частотой; однако несоответствие мо50

жет быть тем меньше, чем меньше рассматриваемый временной интервал. В случае, если требуется реализовать построение модели узкополосного сигнала на большом интервале времени, то в качестве такой модели может быть использована последовательность кусочно-синусоидальных модельных функций вида (2.3.4). Возможно уточнение модели для узкополосного сигнала на малом интервале времени, учитывающее в сигнале частотную модуляцию. Примем модель yМ (c, Ti) в виде кусочно-синусоидальной функции с линейной частотной модуляцией yM (c, Ti) a cos( Ti (Ti)2 /2) b sin( Ti (Ti)2 /2), где сТ (a, b, , ), амплитудные параметры a, b входят в выражение для модели линейно, частота и скорость частоты входят нелинейно. Дальнейшее уточнение модели для узкополосного сигнала может быть реализовано на основе одновременного учѐта амплитудной и частотной модуляции. В этом случае примем модель yМ (c, Ti) в виде кусочно-синусоидальной функции с линейной частотной и амплитудной модуляцией yM (c, Ti) ( A BTi)cos( Ti (Ti)2 /2 ), где вектор параметров сТ (a, b, , , ); амплитудные параметры A, B входят в выражение для модели линейно; частота , скорость частоты и начальная фаза входят нелинейно. Иногда узкополосный сигнал может реализовываться в аддитивной смеси с низкочастотным трендом, природа которого бывает самой различной. В этом случае модель сигнала с трендом на малом интервале времени для i 0, 1,..., N 1 целесообразно принять в виде

yM (c, Ti) a cos Ti bsin Ti d1 d2Ti, где параметры сT (a, b, d1, d2 ) входят в выражение для модели линейно; частота нелинейно. Низкочастотный аддитивный тренд на малом временном интервале представится в виде модельной кусочно-линейной функции d1 d2Ti. Для полигармонического сигнала, состоящего из суммы разночастотных узкополосных сигналов, на малом временном интервале для i 0, 1,..., N 1 возможно использование следующей модели 51

L

yM (c, Ti)

(al cos lTi bl sin lTi). l 1

В этом случае вектор параметров cT (a1,..., aL , b1,..., bL ,

1,...,

L)

размерности (3L,1) . Амплитуды a1,..., aL , b1,..., bL входят в модель линейно, частоты 1,..., L нелинейно. Следует отметить важный для дальнейших рассмотрений класс моделей сигналов, которые линейно зависят от вектора параметров

cT (c1,..., cm ) m

yM (c, Ti)

cr

r (Ti),

i 0,1,..., N 1.

(2.3.5)

r 1

Для линейных по параметрам моделей должны быть введены базисные функции r (Ti), r 1,..., m, известного вида, зависящие от дискретных аргументов. Модель (2.3.5) может быть представлена в виде скалярного произведения

yM (c, Ti) сT (Ti),

(2.3.6)

где T (Ti) ( 1(Ti),..., m (Ti)) – векторная базисная функция. Достаточно часто встречаются модели, линейные по части параметров yM (c, Ti) yM (c1, c2 , Ti) с1T (c2 , Ti). (2.3.7) Параметры модели (2.3.7) объединяются в блочный вектор сT c1T , c2T , где вектор с1Т с1,1,..., с1, m размерности m1, 1 1

входит в модель линейно, вектор

с2Т

с2,1,..., с2,m2 размерности

m2 ,1 входит в модель нелинейно. Отметим особо подкласс линейных моделей, для которых дискретные базисные функции являются ортогональными. По определению, функции r (Ti) , r 1,..., m, составляют ортогональный базис для точек i 0,1,..., N 1, если выполняется условие N 1 r (Ti) s (Ti) i 0

52

2, r

0,

r s; r s.

(2.3.8)

2.4. Оценивание параметров моделей сигналов 2.4.1. Оценивание параметров моделей как задача аппроксимации Рассмотрим возможную постановку задачи оценивания параметрических модельных функций сигналов. Реализуем подход, связанный с оптимальной аппроксимацией наблюдений сигналов. Допустим, что имеется возможность замены параметрической функции сигнала p(t ) на (t0 , t f ), p(t ) P0 , на специальную подобранную модельную параметрическую функцию сигнала в виде функции известного вида f (c, t), зависящей от конечно-мерного вектора параметров cT (c1,..., cm ). Будем считать, что функции

f (c, t ) принадлежат некоторому множеству F0 , которое, в свою очередь, является подмножеством множества Р0: f (c, t) F0 P0. Условие принадлежности f (c, t ) F0 будем считать эквивалентным введению ограничивающего множества для вектора параметров с R0m , где R0m – заданное подмножество множества R m ,

R0m

Rm , Rm – множество всех возможных векторов размерности

m. Примем, что множества F0 и R0m являются замкнутыми. Из-за того, что вектор с является конечно-мерным, в общем случае оказывается невозможным осуществить замену p(t ) на f (c, t ) с бесконечно малой погрешностью. Однако всегда можно подобрать такую функцию f (c, t), которая с некоторой заданной конечной точностью смогла бы заменить параметрическую функцию p(t ). Последнее означает, что для любой функции p(t), принадлежащей к P0 , и некоторых малых , 0 (не любых малых), должны найтись векторы c Rm0 и, соответственно, функции f (c, t) F0 , которые обеспечивали бы выполнение неравенств p(t ) f (c, t ) , x( p(t), t) x( f (c, t), t) (2.4.1) 0. В связи с условием (2.4.1) в качестве параметрической модели сигнала может быть принята функция вида yM (c, t) x( f (c, t), t). (2.4.2) 53

Примем, что функция наблюдения у(t ), модель сигнала x( f (c, t), t) и погрешности наблюдений w(t) cвязаны соотношением

у(t )

x( f (c, t), t) w(t ).

Введѐм функционал S (c, y), являющийся мерой близости наблюдений у(t ) и модельной функции x( f (c, t ), t ):

S (c, y)

y(t ) x( f (c, t ), t ) .

Оценка p (t ) исходной параметрической функции вследствие замкнутости R0m определяется на основе решения задачи оптимальной и аппроксимации наблюдений заданной моделью сигнала, сводящейся к применению нелинейного программирования (2.4.3) c arg{ min S( у, c)}, p (t) f (c , t). c R0m

Таким образом, благодаря введению замены функции p(t ) на f (c, t ) с удовлетворением условий (2.4.1), формированием соответствующей модели сигнала x( f (c, t), t) (2.4.2) и введению функционала S (c, y) предложена технология решения задачи получения оценок исходных параметрических функций p (t ) на основе нелинейного программирования в задаче (2.4.3). Поясним особенности выбора модельных параметрических функций f (c, t ) на примере для нестационарного колебательного сигнала x(t), рассматриваемого на некотором ограниченном интервале времени

x(t) E(t)cos (t). Амплитудная и фазовая функции E(t), (t) служат в качестве параметрических функций для сигнала x(t), pT (t) (E(t), (t)), p1(t) E(t), p2 (t) (t). Векторная параметрическая функция p(t ) для сигнала имеет размерность (2, 1). Положим, из априорных сведений, связанных с физическими особенностями сигнала и объекта, что сигнал x(t ) имеет почти синусоидальную амплитудную модуляцию и его несущая частота меняется почти линейно во времени. В этом случае параметрической функции p1(t ) может быть поставлена в соответствие модельная 54

функция f1(c, t) c10 c11 sin(c12t c13 ), параметрической функции

p2 (t) – модельная функция f2 (c, t ) c20 c21t c22t 2. Вектор cT (c10 , c11, c12 , c13 , c20 , c21, c22 ) для f (c, t ) имеет размерность m 7. С учѐтом введѐнных формул для f1(c, t), f2 (c, t) функция f (c, t ) примет следующий вид f1(c, t ) c10 c11 sin(c12t c13 ) . f (c, t) f 2 (c, t ) c20 c21t c22t 2 В качестве модели сигнала может выступать функция

x( f (c, t)t) (c10 c11 sin(c12t c13 ))соs (c20 c21t c22t 2 ) . Рассмотрим возможную постановку задачи нахождения решения для задачи (2.4.3) – оценивания параметрических функций сигналов в дискретном случае. Положим, что все переменные заданы в дискретные моменты времени Ti, i 0, 1,..., N 1, T – шаг дискретности по времени. Отрезок времени наблюдения (t0 , t f ) определяется условиями: t0 0,

tf

T (N 1). Разберѐм случай наблюдений, который представля-

ется следующей моделью

y(i) x( f (c, Ti), Ti)) w(i). Пусть погрешности наблюдений w(i) являются некоррелированными нормально распределѐнными нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Функционал S( y, c) с учѐтом заданных свойств погрешностей запишется в виде соотношения N 1

( y(i) x( f (c, Ti), Ti))2.

S ( y, c)

(2.4.4)

i 0

Минимизация функционала S( y, c) по вектору параметров с R0m приводит к задаче нелинейного программирования. Нахождение оптимального вектора параметров с позволяет построить оптимальную аппроксимационную модель x( f (c , t ), t ), оценку для параметрической модельной функции f (c , Ti) и на еѐ основе определить оценку параметрической функции сигнала p (Ti) 55

c

arg{ minm S( у, c)}, p (Ti)

f (c , Ti), i 0,1,..., N 1.

c R0

2.4.2. Оценивание параметров линейных моделей для действительных сигналов Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для действительных сигналов. Пусть произведены наблюдения y(i) y(Ti) на конечном временном интервале для i 0,1,..., N 1. Представим линейную по параметрам модельную функцию сигнала с использованием (2.3.6)

yM (c, Ti) cT (Ti). Сформируем функционал S (c, y), являющийся мерой близости модели и наблюдений, который определяется разностями y(c, Ti) y(i) cT (Ti). Вследствие линейности модели S(c, y), представляет собой квадратичную форму от c N 1

N 1

y 2 (c, Ti)

S (c, y) = i 0

( y(i) cT (Ti))2.

i 0

Введѐм векторно-матричные переменные:

X

y(0) y(1) Y , c . y( N 1) 1 (T 0), 2 (T 0), 1 (T 1), 2 (T 1), . . ( T ( N 1)), ( T ( N 1)), 1 2

c1 c2 , . cm ... ... ... ...

m (T

0) m (T 1) , . m (T ( N 1))

где Y – вектор наблюдений размерности (N,1); c – вектор параметров модели размерности (m, 1); X – матрица плана сигнала размерности ( N, m). Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели может быть сформирована в векторном виде 56

Y (c) Y Xc .

(2.4.5) На основе введѐнных векторов и матриц функционал S(c, Y ) записывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму

Y T (c) Y (c) (Y Xc)T (Y Xc)

S (c, Y )

(2.4.6)

Y T Y Y T Xc cT X T Y cT X T Xc. С учѐтом того, что имеет место равенство Y T Xc cT X TY , можно записать

S(c, Y ) YTY 2cT X TY cT X T Xc. Нетрудно проверить, что для квадратичной формы S(c, Y ) справедливо равенство YTY 2cT X TY cT X T Xc Y T Y (( X T X ) 1 X TY c)T ( X T X )

(( X T X ) 1 X TY c) Y T X ( X T X ) X TY. Очевидно, минимальное значение этой квадратичной формы достигается при (2.4.7) c ( X T X ) 1 X T Y. Последнее выражение может быть представлено в виде системы линейных уравнений

X T X c X TY. Введѐм обозначения D X T X , b X TY. Матрица D имеет размерность (m, m); элементы этой матрицы симметричны относительно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций N 1

drs

r (Ti) s (Ti),

r, s 1,..., m.

i 0

Элементы вектора b X TY размерности (m,1) – коэффициенты Фурье, вычисляются как взвешенные суммы наблюдений N 1

br

r (Ti) y(i) ,

r 1,..., m.

i 0

Нахождение оптимального вектора параметров c сводится к решению линейной системы уравнений

Dc 57

b.

2.4.3.

Оценивание параметров линейных моделей для комплексных сигналов

Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для комплексных сигналов. Введѐм комплексные наблюдения y(i) y1(i) jy2 (i) и комплексную модель сигнала cT (Ti), определяемую комплексным вектором параметров cT (c1,..., cm ) и комплексной

базисной

функцией

T (Ti)

( 1(Ti),...,

m (Ti)),

сr c1r jc2r , r 1,..., m, r (Ti) 1r (Ti) j 2r (Ti), i 0,1,..., N 1. Функционал (2.4.6) в этом случае запишется с использованием суммы произведений сопряженных комплексных множителей N 1

( y(i) cT (Ti))* ( y(i) cT (Ti)).

S (c, Y )

(2.4.8)

i 0

По аналогии с (2.4.5) введѐм комплексную разность функции наблюдения и модели Y (c) Y Xc. Воспользовавшись введѐнными векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал S(Y , c) (2.4.8) T

Y * (c) Y (c) (Y

S(Y , c)

T

T

Т

Xc)* (Y

Xc).

T

С учѐтом равенства Y * Xc c* X * Y запишем Т

S (Y , c) (Y Xc)* (Y Xc) T

T

T

(2.4.9)

T

(Y * X *c* )T (Y Xc) Y * Y 2Y * Xc c* X * Xc. Очевидно, справедливо равенство T

T

T

Т

T

Y * Y 2Y * Xc c* X * Xc Y * Y Т

Т

Т

Т

Т

(( X * X ) 1 X * Y c* )T T

T

( X * X ) (( X * X ) 1 X * Y c) Y T X * ( X * X ) 1 X * Y. Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) достигается при T T (2.4.10) c ( X * X ) 1 X * Y. Оценка с  из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений 58

T

T

(2.4.11) ( X * X ) c X * Y , Dc b. Коэффициенты матрицы D вычисляются в виде скалярных произведений векторов *r (Ti), s (i), i 0,1,..., N 1: N 1 * (Ti) (Ti) , r s

drs

r, s 1,..., m.

(2.4.12)

i 0

Коэффициенты вектора b (коэффициенты Фурье) вычисляются в * (Ti), виде скалярных произведений векторов y(i), r

i 0,1,..., N 1: N 1 * (Ti) y(i) , r

br

r 1,..., m.

(2.4.13)

i 0

Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица D будет диагональной с элементами

drr

2 r,

r 1,..., m, drs

0, r s.

Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье 1 N1 * br сr (2.4.14) , r 1,..., m. r (Ti) y(i) 2 2 r i 0

r

2.5. Модели сигналов на основе рядов Фурье. Интеграл Фурье 2.5.1. Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье Рассмотрим построение моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье. Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функции y(t ) на конечном интервале времени 0 t T0. Рассмотрим варианты условий сходимости рядов Фурье для y(t ) . Первый вариант: если в некотором промежутке (t0 h, t0 h) с центром в точке t0 функция y(t ) имеет ограниченное изменение, то еѐ ряд Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с. 59

Фурье в указанном интервале для t0 , 0 t0 T0 , сходится к y(t0 ). Второй вариант: если функция y(t ), определѐнная на интервале

0 t T0 , имеет на нѐм не более чем конечное число точек разрыва, еѐ ряд Фурье в точке непрерывности t0 сходится к y(t0 ) или к сумме ( y(t0 0) y(t0 0))/2 в каждой точке разрыва t0 . Будем полагать, что для рассматриваемого сигнала y(t ) выполнены сформулированные условия сходимости. Выбирается модель для указанного сигнала в форме действительного ряда Фурье следующего вида

yM (c, t) Значения

2 /Т0 ,

a0 2

модельных l

(al cos l t bl sin l t ).

(2.5.1)

l 1

частот

фиксированы

l

l,

2 l T0 и определяются длиной интервала наблю-

дения, модельные синусоиды располагаются с шагом по частоте , который зависит от Т0 . Вектор параметров модели имеет бесконечную размерность, сT (a0 , a1, a2 ,....., b1, b2 ,....), b0 0. Благодаря выбору частотного параметра оказывается, что на интервале времени Т0 укладывает целое число периодов базисных функций cos l t cos lt и sin l t sin lt. Вследствие этого, указанные базисные функции являются ортогональными. Функционал для решения задачи аппроксимации функции наблюдений y(t ) на основе сформированной модели имеет вид T0

S(c, y) 0

a y(t ) 0 2

2

(al cos l t bl sin l t ) dt. l 1

Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала, который, очевидно, является квадратичным по с:

с

arg{min S (c, y)}, c

T

c

(a0 , a1 , a2 ,...., b1 , b2 ,...).

Ограничимся конечным числом синусоид, составляющих модель, равным L. В этом случае вектор базисных функций для моде60

ли (2.5.1) имеет размерность (2L 1, 1) и выглядит на интервале 0 t T0 следующим образом: T (t )

(1 2, cos t, cos2 t,..., cos L t, sin t, sin 2 t,..., sin L t ). Нетрудно убедиться в том, что для 0 t T0 составляющие базис функции ортогональны. Действительно, легко проверить, что интегралы от произведений базисных функций равняются нулю: Т0 Т0 1 1 cos l tdt 0, sin l tdt 0, l 1,..., L , 2 2 0 0 Т0

Т0

cos l1

t cos l2

tdt 0,

cos l1

0

t sin l2

tdt 0,

0 Т0

sin l1

tdt 0, l1 l2 и l1, l2 1,..., L.

t sin l2

0

Вычислим интегралы от квадратов базисных функций: Т0 0

Т0 1 1 dt , 2 2 4

Т0

T0

cos2 l

tdt

0

0 Т0

sin 2 l

1 (1 cos2l 2

t )dt

T0 , 2

T0 . 2

tdt

0

Основываясь на произведѐнных выкладках, с учѐтом формулы (2.4.14) для решения линейной системы с ортогональными базисными функциями, получим оптимальные значения коэффициентов модели для фиксированного L:

a0

4 T0

T0 0

1 y(t )dt 2

bl

2 T0

T0

y(t )dt,

al

0

2 T0

2 T0

T0

y(t )cos l

tdt,

0

T0

y(t )sin l

tdt.

0

Устремим число базисных функций в бесконечность, L . Естественно, можно сразу записать, опустив знак , формулы для оп61

тимальных параметров модели, которые являются известными коэффициентами разложения Фурье:

2 T0

al

T0

y(t )cos l tdt, bl 0

2 T0

T0

y(t )sin l tdt, l 0,1, 2,... . 0

В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье мощность P сигнала, сформированного на основе ряда Фурье, слагается из мощностей составляющих синусоид Pl , мощность для l-й синусоиды определяется амплитудами

P

Pl ,

Pl

l 1

Al2 , 2

Al2 al2 bl2 , l 0, 1, 2,... .

Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений Pl . Сходимость функций модельного ряда Фурье зависит от числа членов, которые учитываются в разложении и от свойств аппроксимируемого сигнала. В случае, если производные для сигнала y(t ) претерпевают разрывы или резкие изменения, то модельный ряд Фурье становится колебательным в области разрывов (резких изменений) и возникает так называемый эффект Гиббса. Рассмотрим численные примеры вычисления модельных рядов Фурье с конечным числом членов, основываясь на (2.5.1):

yM (с, t)

a0 2

L

(al cos l t bl sin l t ), сТ (a0 , a1,..., aL , b1,..., bL ).

l 1

Пример 1. Содержит разложение в ряд Фурье на интервале времени T0 для ступенчатого сигнала y1(t ):

y1(t) 1, для 0 t T01, y1(t) 0 для Т01 t T0.

(2.5.2) Коэффициенты Фурье для ряда Фурье вычисляются по следующим формулам, исходя из вида аппроксимируемой функции y1(t ):

а0

2Т01 , al Т0

2 T0

T01

2 1 cos lt dt, bl T0 0 l 1,..., L. 62

2 T0

T01

1 sin 0

2 lt dt, T0

Проинтегрируем, опустим промежуточные выкладки, получим

1

al

(cos lT01 1),

1

bl

l

sin lT01,

l

l

2 l. T0

На рис. 2.5.1а изображѐн график функции модельного ряда Фурье yM1(с, t) для Т0 1, Т01 0,6 и L 25 – кривая 1, в точках разрыва ряд Фурье стремится к значению 1/2. Пунктирной линией 2 изображѐн аппроксимируемый сигнал y1(t ). Видно, что функция

yM1(с, t) претерпевает довольно значительные колебания в областях нарушения непрерывности y1(t ) (в окрестности точек Т0 и Т01), т.е. имеет место эффект Гиббса. Пример 2. Содержит разложение в ряд Фурье на интервале времени длительностью T0 для кусочно-линейного непрерывного сигнала y2 (t ):

y2 (t) 1 для 0 t T02 , y2 (t) с1t d1 для Т02 t T03 , y2 (t) 0 для T03 t T04 , y2 (t) с2t d2 для Т04 t T0.

(2.5.3)

Уменьшение колебаний из-за эффекта Гиббса может быть достигнуто при условии, если аппроксимируемый сигнал будет непрерывным. Непрерывность y2 (t ) обеспечивается при условии выполнения равенств

с1 1/ (T02 T03 ), d1

c1T03 , с2 1/ (T0 T04 ), d2 c2T04. Для нахождения коэффициентов Фурье al , bl , l 1,..., L, запишем интегралы

a1l

2 T0

T01

T

2 2 03 2 1 cos lt dt , a2l (с1t d1)cos lt dt , T0 Т T0 T0 0 02

T0

a3l

2 2 (c2t d2 )cos lt dt , b1l T0 T T0 04

T03

b2l

a2l

1 sin 0

2 lt dt , T0

2 2 (c2t d2 )sin lt dt , T0 T T0

02

a1l

T01

T0

2 2 (с1t d1 )sin lt dt , b3l T0 Т T0 al

2 T0

04

a3l , bl 63

b1l b2l b3l ,

(2.5.4)

a0

2 (T (T03 T02 ) /2 (T0 T04 ) /2) . T0 02

Вычисления (2.5.4) произведены с помощью табличных интегралов t 1 t cos tdt sin t cos t C, 2

t sin tdt

t

cos t

1 2

sin t C.

На рис. 2.5.1б изображѐн график функции модельного ряда Фурье yM 2 (с, t). Для y2 (t ) приняты значения Т0 1, Т02 0,55, Т03 0,65, Т04 0,95 и L 25. Колебания функции модельного ряда уменьшились, эффект Гиббса почти устранѐн.

Рис. 2.5.1а. Функция модельного ряда Фурье для ступенчатого сигнала

Рис. 2.5.1б. Функция модельного ряда Фурье для кусочно-линейного непрерывного сигнала 64

2.5.2. Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье Для многих задач ЦОС используется обобщение разложения Фурье на комплексный случай. Пусть произведено наблюдение комплексной функции y(t ) на интервале 0 t T0 , модель сигнала представится комплексным рядом Фурье l

yM (c, t )

cl e j lt ,

2 /Т0

l.

l

(2.5.5)

l

Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную размерность cT (..., c 2 , c 1, c0 , c1, c2 ,...). Функционал остаточной суммы примет вид Т0

*

l

S(c, y)

сl

y(t )

e j lt

l

y(t )

l

0

cl e j

lt

dt. (2.5.6)

l

Так же как и для разд. 2.5.1, ограничимся конечным числом комплексных модельных синусоид, которые составляют модель; пусть число модельных синусоид равняется L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.5) имеет размерность (2L 1, 1) и выглядит следующим образом T (t )

e

j

ej

Lt ,

j

e

1t ,...,

ej

( L 1)t ,..., ( L 1)t ,

e

ej

j

1t , Lt

ej

0t ,

.

Нетрудно убедиться в том, что на интервале времени 0 t T0 составляющие базис функции ортогональны. Действительно, интеL,..., L, гралы от произведений базисных функций для l1, l2 l1 l2 , равняются нулю; нетрудно видеть, что с учѐтом комплексности выполняется равенство: T0

e

j

l1t e j

l2t dt

0.

0

Для l1 l2 справедливо соотношение T0

e

j

lt e j

0

65

lt dt

Т0 .

Оптимальные параметры модели cl , обеспечивающие минимум функционала (2.5.6), после того как сделаны необходимые выкладки и предельный переход L определяются следующими интегралами (опущен знак  ):

1 T0

cl

T0 j

y(t )e

lt dt ,

l

.

(2.5.7)

0

Пусть для рассматриваемой функции сигнала y(t ) выполняются сформулированные в разд. 2.5.1 условия сходимости с учѐтом комплексности. Тогда на оптимальных cl из (2.5.7), очевидно, должно выполняться равенство l

cl e j

y(t )

lt .

(2.5.8)

l

Вследствие (2.5.8) остаточная сумма квадратов (2.5.6) – значение функционала для оптимальных параметров – должно принимать нулевое значение S (c , y) 0 . Таким образом, можно записать два взаимных равенства:

1 T0

cl

T0

l

y(t )e

j

lt dt ,

l

cl e j

, y(t )

lt .

l

0

Для действительных сигналов y(t ) y1(t ) j 0 можно выяснить соотношения между коэффициентами действительного al , bl и комплексного сl рядов Фурье. Действительно, можно записать

cl c

l

1 T0

1 T0

T0

y1(t )(cos

lt

j sin

lt )dt, l 1,2,..., ,

0 T0

T0

y1(t )(cos

lt

j sin

lt )dt, l 1,2,..., , с0

y1 (t )dt . 0

0

Тогда легко видеть, что справедливы следующие равенства для al , bl и сl : cl c l al , c l cl jbl и cl (al jbl ) / 2,

c

l

(al

jbl ) / 2, l 1, 2,..., .

Мощность l-й комплексной модельной синусоидальной функции вычисляется интегрированием на интервале 0 t T0 : 66

1 T0

Pl

yl (t ) (c1l

jc2l )(cos l t

yl*(t)

jc2l )(cos l t j sin l t ),

(c1l

j sin l t ),

T0

l

yl (t ) yl* (t )dt (c12l c22l ) cl*cl , P

Pl . l

0

Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот. 2.5.3. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье Интеграл Фурье реализуется на основе рассмотрения комплексного ряда Фурье для бесконечного временного интервала; будем полагать, что сигнал y(t ) с конечным числом точек разрывов t определѐн для и для него выполняется условие абсолютной интегрируемости T0

y(t ) dt

.

0

Данные условия являются достаточными для существования преобразования Фурье сигнала y(t). Без потери общности примем временной интервал симметричным T0 /2 t T0 /2, пусть этот интервал расширяется

T0 2

k, k

1,

2,...,

l

2 l T0

2 l 2 k

l . k

Запишем коэффициенты разложения комплексного ряда Фурье для расширяющегося временного интервала T0 2 k

cl ,k

k

1 2 k

yk (t )e

l j t k dt ,

l

yk (t )

cl ,k e

l j t k .

l

k

Подставим выражение cl ,k в yk (t ) : l

yk (t ) l

Устремим k

l j t k e

1 2 k

k

yk ( )e

l k

d

.

k

, обозначим l k d , l k 67

j

, получим в пределе

1 2

y(t )

y( )e

j

d e j td .

Сформируем интегралы

C( j )

1 2

y(t )e

j t dt ,

С( j )e j t d .

y(t)

Функцию C( j ) называют интегралом Фурье, или преобразованием Фурье для y(t). Два последних интеграла являются прямым и обратным преобразованием Фурье. Сигнал представляется как во временной области при традиционном анализе, так и в частотной области в виде непрерывных коэффициентов разложений Фурье

C( j ),

.

Физический смысл функции C( j ) очевиден. Преобразование Фурье C( ) представляет собой предельную функцию коэффициентов комплексного ряда Фурье. Функция C( ) в общем случае является комплексной функцией частоты и допускает следующие представления:

C( ) C1 ( ) jC2 ( ), C( ) C( j ) e j ( ) , где C1 ( ) и C2 ( ) – действительные и мнимые части; C( j ) , ( ) – модуль и фаза преобразования Фурье. Разберѐм некоторые свойства преобразований Фурье. 1. Из определения преобразования Фурье следует его линейность или свойство суперпозиции. Пусть функция y(t ) представляет собой взвешенную сумму функций ys (t ), для которых заданы их преобразования Фурье Cs ( j ) : k

y(t )

s ys (t ),

Cs ( j ) F[ ys (t )].

s 1

Тогда, очевидно, преобразование Фурье C( j ) для y(t ) вычисляется как взвешенная сумма преобразований Фурье Cs ( j ) : k

C( j ) F[ y(t)], C( j )

sCs ( j s 1

68

).

2. Пусть – масштабирующий множитель, преобразующий функцию y(t ) в y(t ) y( t), и C( j ) F[ y(t)]. Вычислим преобразование Фурье для y (t ). Определим C( j ) и C( j ) :

1 2

С( j )

y(t )e

j t dt ,

Введѐм переменную t1

1 2

С( j )

t, dt dt1

y( t )e

j t dt.

, сделаем подстановку в

C( j ) и выразим C( j ) через C( j ) : 1 С( j ) 2

y(t1)e

t j 1

1

1

dt1, C( j )

С j

.

3. Пусть задано преобразование Фурье для функции y(t): C( j ) F[ y(t)]. Введѐм запаздывание (сдвиг по времени) для функции y(t ), сформируем y(t) y(t ). Вычислим преобразование Фурье для y (t ) :

C( j )

1 2

y(t

)e

1 2

j t dt

y(t

)e

j (t

)e j

dt,

откуда вытекает

C( j ) C( j )e

j

.

Сделав аналогичные выкладки, получим, что преобразование Фурье для функции y(t ), умноженной на e j 0t , сдвигается по частоте

y (t) y(t) e j 0t , C( j )

C( j (

0 )).

4. Вычисление преобразование Фурье для комплексной синусоиды y(t ) e j 0t требует предварительного определения -функции. Импульсной -функцией называется такая функция, которая удовлетворяет следующим двум условиям: 1) (x) 0 для x 0 и (x) для x 0; 2)

( x) 1 для любого

0. 69

Импульсная -функция может рассматриваться как предел обычной функции ( х) при 0. Например, и (x) 0 для х ( x) 1/ 2 для х . Для -функции устанавливается важное равенство: b

( x0 ), a x0 b; 0, x0 a, x0 b,

( x) ( x x0 )dx a

если ( x) непрерывна в точке x0 и a b. Данное свойство может быть доказано путѐм вычисления следующего предела: b

( x0 )

lim

0

( x) a ( x x0 )dx. a

С учѐтом сделанного определения можно записать преобразование Фурье для y(t ) e j 0t :

C( j )

1 2

ej

0t e j t dt

(

0 ).

Действительно, подставив в выражение для обратного преобразования Фурье, получим тождество

y(t )

(

0 )e

ej

j td

0t .

5. Пусть С( j ) – преобразование Фурье для функции y(t). Найдѐм выражение для преобразования Фурье для производной y(t ) Запишем выражение для обратного преобразования Фурье и продифференцируем его:

y(t )

C( j )e j t d , y(t )

C( j )( j )e j t d .

Из последнего выражения следует, что

F[ y(t)] ( j )C( j ). Сделав почти аналогичные выкладки, можно записать преобразование Фурье для интеграла от y(t ), которое будет иметь вид

F

y(t )

1 C( j ). (j ) 70

6. Вычислим преобразование Фурье для симметричного единичного импульса:

y(t) 1, 1 2

C( j )

t

T0 , y(t) 0, 2

T0 /2

1e

sin (T0 / 2) sin (T0 / 2)

1 2

j t dt

T0 /2

T0 , 2

t

T0 T0 sin 2 . T0 2 2

Ввиду симметричности рассматриваемого единичного импульса его преобразование Фурье C( j ) является действительной функцией. 7. Найдѐм преобразование Фурье для произведения функций y(t) x(t)z(t), Cx ( j ), Cz ( j ) – соответственно, преобразования Фурье для x(t), z(t). Запишем интегралы

Cy ( j ) 1 2

Сx ( j 1)e j 1t d

1 2

y(t )e

j t dt

Cz ( j

1

2 )e

j 2t d

2

e

j t dt.

Изменив порядок интегрирования, с учѐтом выражения интеграла Фурье для комплексной синусоиды получим

1 2

d 1Cx ( j 1) Cz ( j

e j 1t e j

2 )d 2

d 1Cx ( j 1) Cz ( j Cx ( j 1)Cz ( j(

2 )d 2

(

1

2t e j t dt

2)

1 ))d 1.

Преобразование Фурье от произведения функций равняется свѐртке преобразований Фурье сомножителей. 71

2.6. z-Преобразование дискретных последовательностей Положим, что сформирована комплексная бесконечная последовательность y(Ti), i 0, 1,..., и z – некоторое комплексное число. Обозначим через Y ( z) сумму

y(Тi) z i .

Y (z)

(2.6.1)

i 0

По определению, выражение Y ( z) есть z-преобразование последовательности y(Ti), при условии существовании суммы (2.6.1). Рассмотрим некоторые простейшие примеры вычисления z-преобразований. Для единичной последовательности вида y(iT ) 1, i 0, y(Тi) 0, i 0 z-преобразование Y ( z) имеет следующий вид: 1 Y ( z) . 1 z 1 Для комплексной экспоненциальной последовательности y(iT )

ej

Ti ,

i 0, y(Тi) 0, i 0 Y ( z) представится в виде

1 . 1 ej Tz 1 Поскольку (2.6.1) является степенным рядом переменной z 1 , то целесообразно проанализировать вопрос о сходимости этого ряда. Область сходимости ряда (2.6.1) определяется известным условием абсолютной сходимости Y ( z)

y(Ti) z

i

.

(2.6.2)

i 0

Для того, чтобы найти область сходимости для ряда (2.6.1), заменим модуль произведения в (2.6.2) произведением модулей

y(Ti) z

i

y(Ti) z i .

i 0

i 0

Вынесем нулевое слагаемое за знак суммы:

y(Ti) z

i

y(Ti) z i .

y(T 0)

i 0

i 1

Представим сумму в виде 72

y(Ti) z

y(Ti) 1/i z

i

i 1

1

i

.

i 1

Обозначим верхний предел последовательности R max y(Ti) 1/i , i 1, 2, 3... Поскольку значение любого отсчѐта конечно, то условие (2.6.2) выполняется, если

Ri z

i

,

i 1

что возможно только при R z 1 1. На комплексной плоскости область сходимости располагается вне круга радиусом R. i область сходимоДля дискретной последовательности y(i) сти Y ( z) определяется из условия сходимости

y(Ti) z

i

i 0

которое выполняется при

iz i i 0 z1

z

1i

,

i 0

1, откуда получаем область схо-

димости z и радиус сходимости R . На основе определения (2.6.1) z-преобразованию последовательности y(Ti) в форме Y ( z) может быть поставлена в соответствие частотная функция с помощью подстановки z e j T :

Y (e j

y(Тi)e j

T)

Ti .

(2.6.3)

i 0

Формулу Y (e j T ) (2.6.3) можно интерпретировать как аналог преобразования Фурье для дискретного случая. Очевидно, последовательность y(Ti) есть обратное z-преобразование для Y ( z), которое может быть найдено из (2.6.1) с использованием теоремы Коши. Для этого сначала умножим обе части равенства (2.6.1) на z k 1 и затем произведѐм интегрирование по замкнутому контуру обеих частей равенства. Если контур интегрирования лежит внутри области сходимости бесконечного ряда (2.6.1), то операцию суммирования и интегрирования можно поменять местами: 73

Y ( z) z k 1dz

y(Ti) z k

i 1dz.

(2.6.4)

i 0

Согласно теореме Коши, в случае если контур интегрирования охватывает начало координат, то имеет место равенство zk i 1dz 0 (2.6.5) для всех k , за исключением k i. Для k i интеграл (2.6.5) равен 2 j. Применим теорему Коши к выражению (2.6.4), получаем теорему об обратном z-преобразовании

y(Ti)

1 Y ( z) zi 1dz. 2 j

Рассмотрим степенную последовательность y(Ti) но, что

(2.6.6) i.

Тогда вид-

z . z Для того, чтобы убедиться в том, что y(Ti) есть обратное z-преобразование от Y ( z), применим (2.6.6) и выполним интегрирование Y ( z)

1

1

z

1

вдоль окружности радиуса большего, чем . Запишем

y(Ti)

1 2 j

zi z

dz.

(2.6.7)

Интеграл (2.6.7) вычисляется с помощью применения теоремы о i , если контур интегривычетах, на основании которой y(Ti) рования охватывает полюс при z . Таким образом, подходящим контуром оказывается окружность радиусом . Рассмотрим z-преобразование от дискретной свѐртки, представленной в виде i

x(i)

h(s) y(i s).

(2.6.8)

s 0

Пусть Y ( z) – z-преобразование от y(Ti); H (z) – z-преобразование от h(Ti); Х ( z) – z-преобразование от х(Ti). Рассмотрим произведение z-преобразований:

Y (z)H (z) ( y(0) y(1)z 1 y(2)z 2 ...) (h(0) h(1)z 1 h(2)z 2 ...) y(0)h(0) z 1( y(0)h(1) 74

y(1)h(0)) z 2 ( y(0)h(2) y(1)h(1) y(2)h(0)) ..., из которого при условии (2.6.8) следует, что X (z) Y (z)H (z). Рассмотрим z-преобразование от произведения двух последовательностей, которое представляется формулой

x(Ti) y(Ti) z i .

U ( z)

(2.6.9)

i 0

Для X ( z) – z-преобразования от x(Ti) и для Y ( z) – z-преобразования от y(Ti) запишем выражения для обратных z-преобразований:

x(Ti)

1 1 X (v)vi 1dv, y(Ti) Y (v)vi 1dv. 2 j 2 j

Выберем контур интегрирования в виде единичной окружности. Будем иметь

U ( z)

x(Ti) z

i

i 0

1 Y (v)vi 1dv. 2 j

Поменяв местами операции интегрирования и суммирования и рассматривая результирующее суммирование как z-преобразование, получим

U ( z)

1 z 1 Y (v) X v dv. 2 j v

Последнее равенство представляет собой теорему о комплексной свѐртке. Это действительно свѐртка, в чѐм можно убедиться, если использовать условие, что контур интегрирования представляет собой единичную окружность. Сделаем подстановки v e j , z e j и в результате получаем выражение в форме свѐртки

U (e j )

1 2

2

Y (e j ) X (e j (

T 2

.

(2.6.10)

0

Если сделать замены T, ки для частотных функций

U (e j T )

)d

1T

в (2.6.10), то получим свѐрт-

2 /T

Y (e j 0

75

1T ) X (e j (

1)T )d

1.

(2.6.11)

Список вопросов для самопроверки к гл. 2 1. Какие основные характеристики гармонических и полигармонических сигналов приведены в разд. 2.1.1? 2. Какие основные характеристики колебательных сигналов с модулированными амплитудными и фазовыми функциями указаны в разд. 2.1.2? 3. Какие основные характеристики колебательных сигналов с синусоидальной амплитудной и фазовой модуляцией приведены в разд. 2.1.2? 4. В чѐм состоит определение для полной энергии сигналов? 5. В чѐм отличие определений для средней и мгновенной мощности сигналов? 6. В чѐм состоят особенности вычисления средней мощности для полигармонических сигналов? 7. Какие варианты моделей наблюдений сигналов для задач ЦОС приведены в разд 2.3? 8. Какие варианты моделей сигналов приведены в разд. 2.3? 9. В чѐм состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи оценивания параметров сигналов на основе аппроксимации? 10. В чѐм состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи аппроксимации наблюдений для линейных моделей в действительном случае? 11. В чѐм состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи аппроксимации наблюдений для линейных моделей в комплексном случае? 12. В чѐм состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи построения моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье? 13. В чѐм состоит формулировака основной постановки и описание этапов задачи построения моделей сигналов на основе комплексного ряда Фурье? 14. В чѐм состоит формулировка основной постановки и описание этапов вывода преобразования Фурье? 15. В чѐм состоит физический смысл преобразования Фурье? 16. Каковы основные свойства преобразования Фурье?

76

Список задач к гл. 2 1. Для приведенных ниже моделей указать параметры сигналов, входящие в состав вектора параметров; записать выражения для базисных функций; записать вид матрицы плана сигнала X; записать вид матрицы A X T X ; сформировать вектор наблюдений Y; сформировать вектор коэффициентов Фурье b X T Y ; сформировать линейную систему Ac b для вычисления оптимальных линейных коэффициентов модели. Модели: 1) yM (c, Ti) c1 c2Ti , i 0, 1,..., N 1; 2) yM (c, Ti) c1 c2Ti c3 (Ti)2 , i 0, 1,..., N 1; m

3) yM (c,Ti)

cr

r (Ti),

i 0, 1,..., N 1,

r (Ti)

– дискретные

r 1

базисные или дискретные базисные ортогональные функции,

r 1,..., m; m

cr (Ti)r 1, i 0, 1,..., N 1.

4) yM (c, Ti) r 1

2. Для приведенных ниже моделей указать параметры сигналов, входящие в состав вектора параметров; указать линейные и нелинейные параметры; фиксировать нелинейные параметры; записать выражения для базисных функций; записать вид матрицы плана сигнала X; записать вид матрицы A X T X ; сформировать вектор наблюдений Y; сформировать вектор коэффициентов Фурье b X T Y ; сформировать линейную систему Ac b для вычисления оптимальных линейных коэффициентов модели; записать выражение для остаточной суммы; сформировать процедуру подпоиска по нелинейным параметрам. Модели: 1) yM (c, Ti) a cos Ti b sin Ti, i 0, 1,..., N 1; 2) yM (c, Ti) a cos( Ti

(Ti)2 / 2) bsin( Ti

(Ti)2 / 2),

i 0, 1,..., N 1; 3) yM (c, Ti) ( A BTi)cos( Ti (Ti)2 /2), i 0, 1,..., N 1; 4) yM (c, Ti) Ae Ti cos( Ti ), i 0, 1,..., N 1; 77

5) yM (c, Ti)

A1e

T1i cos(

1Ti

1)

A2e

2Ti

cos( 2Ti 2 ), i 0, 1,..., N 1; 6) yM (c, Ti) a cos Ti b sin Ti d1 d2Ti, i 0, 1,..., N 1; L

(al cos lTi bl sin lTi), i 0, 1,..., N 1.

7) yM (c, Ti) l 1

3. Вычислить параметры моделей 1–5 для непрерывных сигналов на основе разложения в действительный ряд Фурье

y(t ), 0 t T0 , yM (c, t ) l

al

2 T0

a0 2

(al cos l t bl sin l t ), l 1

2 / Т0 ,

l,

T0

y(t )cos l tdt, l 0, 1, 2,..., bl 0

2 T0

T0

l 1, 2,..., сT (a0 , a1,..., b0 , b1,...), т.е. найти al , bl для: 1) y(t ) 2) y(t) 3) y(t)

1,0 t T01, 0,T01 t T0 ;

Acos(2 f0t 0 ), 0 t T0 ; t, 0 t T0 ;

ty0 /(T0 /2), 0 t T0 /2, ty0 /(T0 /2) 2 y0 , T0 /2 t T0 ; 2 5) y(t ) 1 cos t, T0 / t T0 /2. T0 4) y(t )

78

y(t )sin l tdt, 0

Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ 3.1. Оценивание статистических характеристик для стационарных и нестационарных сигналов 3.1.1. Определение статистических характеристик сигналов Дадим определения для основных статистических характеристик случайных сигналов, используемых в практике ЦОС. Пусть случайный сигнал обозначается как Y (t ), t , и его значения рассматриваются для некоторого момента времени ti . Тогда Y (ti ) будет представлять собой случайную величину. Для случайной величины Y (ti ) можно определить функцию одномерного закона распределения вероятностей F1( yi , ti ) как вероятность выполнения неравенства

F1( yi , ti )

P{Y (ti ) yi }.

Функции F1( yi , ti ) являются монотонно неубывающими; если у2i y1i , то должно выполняться соотношение F1( y2i , ti ) F1( y1i , ti ). Из физических соображений, очевидно, справедливы равенства F1( , ti ) 0 и F1( i , ti ) 1. Вероятность выполнения неравенства P{y1i Y (ti ) y2i } находится с помощью функции

F1( yi , ti ) : P{y1i Y (ti ) y2i }

F1( y2i , ti ) F1( y1i , ti ).

Общий вид функции одномерного закона распределения вероятностей F1( yi , ti ) для некоторого момента времени ti представлен на рис. 3.1.1а. Если функция F1( yi , ti ) дифференцируема по уi , то вводится функция одномерной плотности распределения вероятностей

dF1 ( yi , ti ) . dyi Вероятность выполнения неравенства P{y1i Y (ti ) y2i } находится с помощью интегрирования функции р1( yi , ti ) : p1 ( yi , ti )

79

y2i

p( yi , ti )dyi .

P{y1i Y (ti ) y2i } y1i

Рис. 3.1.1а. Функция закона распределения случайной величины

Рис. 3.1.1б. Функция плотности распределения вероятностей случайной величины

Для функции р1( yi , ti ) должно выполняться вполне естественное равенство

p1 ( yi , ti )dyi 1. 80

Общий вид функции плотности распределения вероятностей р1( yi , ti ) представлен на рис. 3.1.1б. Функция двумерного закона распределения вероятностей F2 ( yi , ti , y j , t j ) определяется как вероятность одновременного выполнения двух неравенств

F2 ( yi , ti , y j , t j )

P{Y (ti ) yi , Y (t j ) y j }.

В том случае, если функция F2 ( yi , ti , y j , t j ) дифференцируема по

уi , y j , то вводится функция двумерной плотности распределения вероятностей p2 ( yi , ti , y j , t j ) на основе частных производных

p2 ( yi , ti , y j , t j )

2F ( y , t , 2 i i

yi y j

yj, tj)

.

Функция n-мерного закона распределения вероятностей для случайного сигнала определяется на основе обобщения одномерного и двумерного законов и вычисляется как вероятность одновременного выполнения системы из n неравенств для моментов времени t1, t2 ,..., tn :

Fn ( y1, t1, y2 , t2 ,..., yn , tn )

P{Y (t1) y1, Y (t2 ) y2 ,..., Y (tn ) yn} .

Рассмотрим моментные характеристики первого порядка для одномерных функций плотности распределения вероятностей случайного сигнала. Математическим ожиданием и дисперсией случайного сигнала Y (t ) называются неслучайные функции my (t ),

Dy (t ), которые при каждом значении времени t ti равны математическому ожиданию и дисперсии случайной величины Y (ti ) : my (ti )

yp1( yi , ti )dyi , Dy (ti )

( y my )2 p1( yi , ti )dyi .

Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного сигнала Y (t ) называется функция Ryy (ti , t j ), значения которой для моментов времени ti , t j равны корреляции для центрированных случайных

величин

Y (ti ) my (ti ), 81

Y (t j ) my (t j ).

Функция

Ryy (ti , t j ) является неслучайной и определяется на основе функции двумерной плотности распределения вероятностей:

Ryy (ti , t j )

( yi my (ti ))( y j my (t j )) p2 ( yi , ti , y j , t j ) dyi dy j .

Очевидно, в соответствии с определением, корреляционная функция не изменится, если к рассматриваемому случайному сигналу добавить произвольную детерминированную функцию. Если берутся два случайных сигнала X (t), Y (t), то для них определяется взаимная корреляционная функция, которая принимает вид

Rxy (ti , t j )

( xi mx (ti ))( y j my (t j )) p2 ( xi , ti , y j , t j ) dxi dy j .

Введѐнные моментные характеристики имеют вполне наглядный физический смысл: my (t ) определяет функцию времени для среднего значения случайного сигнала, Dy (t ) представляет собой функцию времени для среднеквадратичного отклонения случайного сигнала от среднего значения. Функция двух временных переменных Ryy (ti , t j ) определяет усреднѐнное произведение центрированных значений сигнала для разнесѐнных моментов времени ti , t j . 3.1.2. Оценивание статистических характеристик сигналов на множестве реализаций Рассмотрим получение для случайных сигналов оценок функций плотностей распределения вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций. Пусть yn (t ) – реализации случайного сигнала Y (t ), n 1,..., M, M – число реализаций сигнала. Будем полагать, что для некоторого момента ti имеются M значений наблюдений yn (ti ). Для вычисления оценки функции одномерной плотности распределения вероятностей в виде гистограммы найдѐм максимальное ymax и минимальное ymin значения наблюдения сигнала для ti : ymin

yn (ti ) ymax , n 1,..., M. Разобьѐм интервал ( ymin, 82

ymax) на k интервалов выбранными точками y1, y2 ,..., yk 1, ymin

y1

y2 ,..., yk

1

ymax ( ymin

y0 , ymax

yk ).

Определим индикаторную функцию: I (x) 1, x 0, I (x) 0, x 0. Для интервала (ts 1, ts ) , s 1,..., k, подсчитаем M s (ti ) число выполнений неравенства ts 1 yn (ti ) ts : M

I ( yn (ti ) ys 1) I ( ys

M s (ti )

yn (ti )).

n 1

Оценка плотности вероятности случайного сигнала для момента времени ti на интервале с номером s вычисляется в виде кусочнопостоянной функции как отношение

M s (ti ) , ys 1 yi ys ; p1s ( yi , ti ) 0, yi ys 1, yi ys . M Для всего интервала ymin y(ti ) ymax оценка функции плотности p1s ( yi , ti )

распределения вероятностей представится системой кусочнопостоянных функций k

p1 ( yi , ti )

p1s ( yi , ti ). s 1

На рис. 3.1.2 схематически изображена кусочно-постоянная функция p1 ( yi , ti ) оценки одномерной плотности распределения вероятностей, полученная в форме гистограммы.

Рис. 3.1.2. Функция оценки одномерной плотности распределения вероятностей 83

Оценки моментных характеристик случайных сигналов для времени t i (ti , t j ) на множестве реализаций вычисляются по следующим формулам:

my (ti )

1 m 1 M yn (ti ), Dy (ti ) ( y (t ) my (ti ))2 , Mn1 M 1n 1 n i

Ryy (ti , t j )

1 M ( y (t ) my (ti ))( yn (t j ) my (t j )). M 1n 1 n i

3.1.3. Стационарные сигналы, оценивание статистических характеристик для стационарных сигналов Стационарность случайных cигналов подразумевает неизменность их статистических характеристик во времени. Случайный сигнал называется стационарным в узком смысле, если его n-мерные функции закона распределения вероятностей для группы переменных у1,..., уn , сдвинутых на время , совпадают и, таким образом, не зависят от времени сдвига

Fn ( y1, t1

, y2 , t2

,..., yn , tn

)

Fn ( y1, t1, y2 , t2 ,..., yn , tn ).

Случайный сигнал является стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени – my (t ) my , Dy (t ) Dy , а его корреляционная (ковариационная) функция зависит от разности аргументов – Ryy (ti , t j )

Ryy (ti t j )

Ryy ( ), ti t j

.

Стационарный сигнал является эргодическим, если нахождение его статистических характеристик может быть осуществлено усреднением по одной реализации y(t ) с помощью интегрирования на конечном временном интервале длительностью T0 с последующим предельным переходом T0 :

my (T0 ) 1 Dy (T0 ) T0

1 T0

T0

y(t )dt, 0

lim my (T0 ) my ,

T0

T0

( y(t ) my )2 dt, 0

84

lim Dy (T0 ) Dy ,

T0

Ryy (T0 , )

1 T0

T0

( y(t ) my )( y(t

) my )dt,

0

lim Ryy (T0 , ) Ryy ( ).

T0

При дискретизации единственной реализации случайного стационарного эргодического сигнала y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений сигнала, возможна запись оценок математического ожидания и дисперсии в следующем виде:

my

1N1 y(i), Dy Ni 0

1 N1 ( y(i) my )2 . N 1i 0

Оценка корреляционной функции представится как функция дискретного аргумента m, m 0, 1,..., N 1 :

Ryy (m)

1 N m

N m 1

( y(i) my )( y(i m) my ). i 0

3.1.4. Нестационарные сигналы, оценивание локальных статистических характеристик для нестационарных сигналов К нестационарным сигналам относятся все случайные сигналы, не удовлетворяющие сформулированным ранее условиям стационарности. Параметры или статистические характеристики нестационарных сигналов зависят от времени и в общем случае могут быть установлены усреднением на множестве реализаций. Однако во многих инженерных приложениях для анализа сигналов на стационарность, как правило, не бывает достаточного количества реализаций (чаще всего в распоряжении бывает только одна реализация), и это обстоятельство затрудняет проведение статистического оценивания. Один из подходов к исследованию статистических характеристик нестационарных сигналов состоит в реализации разбиения основного временного интервала наблюдения сигнала на некоторое количество локальных (малых) временных интервалов, на которых рассматриваемый нестационарный сигнал допустимо считать квазистационарным (почти стационарным), и проведения соответствующего статистического анализа на образованной последовательности локальных интервалов, с последующим объединением 85

набора локальных оценок для получения нестационарных статистических характеристик сигнала в целом. На локальных интервалах более удобно осуществлять определение статистических характеристик, которые в этом случае являются локальными и оцениваются на основе построения упрощѐнных локальных моделей сигналов. Пусть наблюдается в общем случае нестационарный случайный сигнал y(i), i 0, 1,..., N f 1, N f – общее число наблюдений. Ставится задача получения функций оценок математических ожиданий и дисперсий для нестационарного сигнала по одной реализации. Общий интервал времени наблюдения разбивается на m локальных интервалов, j – номер локального интервала, j 1, 2,..., m, через N1, N2 ,..., Nm 1 обозначаются номера точек, где происходит стыковка локальных интервалов. К локальному интервалу с номером j принадлежат точки с номерами, которые удовлетворяют неравенствам: N j 1 i N j , N0 0, N0 N f . В пределах выделенных локальных интервалов будем считать, что случайные сигналы являются квазистационарными. Тогда последовательность для локальных оценок математических ожиданий и дисперсий исследуемого сигнала на локальных интервалах вычисляется следующими суммами:

my, j

1 Ni

Nj 1

y(i), Dy, j Nj 1

1 N 1i

Nj 1

( y(i) my, j )2 , j 1, 2,..., m. Nj 1

Оценки указанных статистических характеристик нестационарного сигнала на основном временном интервале будут представляться в виде кусочно-постоянных функций. 3.2. Оценивание и устранение трендов для нестационарных сигналов 3.2.1. Определение трендовых функций для нестационарных сигналов В ряде случаев нестационарные сигналы могут обладать особенностями, которые значительно упрощают задачи цифровой обработки. Вполне возможны ситуации, когда исследуемые случайные нестационарные сигналы имеют специальную структуру, позво86

ляющую выделить в них детерминированные низкочастотные трендовые функции. Положим, что рассматриваемые нестационарные сигналы описываются функциональными моделями, которые специальным образом учитывают их нестационарный характер. Пусть является заданным исходный стационарный широкополосный сигнал х0 (t ) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией и составляющие модулирующие функции р1(t ), р2 (t ), р3 (t ). На их основе определяются нестационарные сигналы х1 (t ), х2 (t ), х3 (t ) с модулирующими функциями, которые действуют мультипликативно, аддитивно или изменяют временной масштаб:

х1(t )

р1(t ) х0 (t ), х2 (t )

х0 (t ) р2 (t ), х3 (t ) х0 (tр3 (t )). (3.2.1)

Возможны определения нестационарных сигналов вида х4 (t ) с действием комбинаций модулирующих функций, например, в виде

х4 (t )

р1(t ) х0 (tр3 (t )) р2 (t ).

(3.2.2)

Формулы для функциональных моделей сигналов (3.2.1), (3.2.2) допускают различные варианты обобщений; так, в ряде случаев нестационарные сигналы могут состоять из суммы нескольких модулированных несущих сигналов или быть многомерными. Модулирующие функции р1(t ), р2 (t ), р3 (t ) обусловливают нестационарный характер сигналов х1 (t ), х2 (t ), х3 (t ) и х4 (t ). Как правило, функции р1(t ), р2 (t ), р3 (t ) являются низкочастотными; по отношению к этим функциям сигнал х0 (t ) имеет существенно более высокие частоты. Условие низкочастотности для функций р1(t), р2 (t ), р3 (t ) почти эквивалентно введению ограничений на их производные; поэтому в ряде случаев используется термин «медленные» модулирующие функции. Иногда модулирующие функции р1(t ), р2 (t ) называются трендовыми. 3.2.2. Алгоритмы локального оценивания трендовых функций, устранение трендовых функций В практике ЦОС существует целое множество задач, в которых требуется произвести оценивание указанных трендовых функций 87

для нестационарных сигналов или осуществить их устранение (центрирование и нормализацию). Перейдѐм от непрерывных функций в (3.2.1), (3.2.2) к дискретным x(Ti), x0 (Ti), p1(Ti), p2 (Ti). Будем рассматривать наблюдения нестационарных сигналов, описываемых функциональными моделями типа (3.2.1), (3.2.2), y(Ti), i 0, 1,..., N f 1. Осуществим разбиение временного интервала наблюдения на m равных локальных интервалов по N точек, допустим, что mN N f . К локальному интервалу с номером j, j 1,..., m, принадлежат точки с номерами, которые удовлетворяют неравенствам N( j 1) i Nj 1 . Пусть модельные наблюдения формируются с помощью соотношения (3.2.3) y(Ti) x(Ti) w(Ti), где w(Ti) – модельные помехи, являющиеся случайными независимыми нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2w. Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с мультипликативным и аддитивным трендами вида (3.2.4) х(Ti) р1(Ti) х0 (Ti) р2 (Ti). . Будем полагать, что трендовые функции р1(Ti), р2 (Ti) , являющиеся медленными, могут быть заменены на локальных интервалах на кусочно-постоянные. Примем, что мультипликативная трендовая функция всегда положительна p1(Ti) p0 0; в этом случае оценки трендовых функций p1 j (Ti), p2 j (Ti) на локальных интервалах совпадают с оценками математических ожиданий и дисперсий:

mj

1 Ni

Nj 1

y(Ti), D j N ( j 1) 2

j

p1 j (Ti)

j,

1 N 1i

Nj 1

( y(Ti) m j )2 , N ( j 1)

Dj , j 1,..., m,

p2 j (Ti)

(3.2.5)

m j для N( j 1) i Nj 1,

p1 j (Ti) 0, p2 j (Ti) 0 для 0 i N( j 1), N ( j 1) i N f 88

1.

Оценки трендовых функций представятся в виде суммы оценок на локальных интервалах m

p1 (Ti)

m

p1 j (Ti), p2 (Ti) j 1

p2 j (Ti), i 0, 1,..., N f 1. j 1

Проиллюстрируем предложенный алгоритм вычислениями на математических моделях. Сигнал x0 (Ti) сформируем с использованием датчика нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; возьмѐм N f 512,

T 0,02 c. Модели для трендовых функций примем в виде р1 (Ti) p01e Ti , р2 (Ti) p02 cos(2 f Ti ), где параметры этих функций принимают следующие значения: 0,2, р02 8, f 0,04 Гц, р01 2,7, 3,1. На рис. 3.2.1 изображена отдельная реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала (3.2.3), (3.2.4) с 2w 0.

Рис. 3.2.1. Реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала

Рис. 3.2.2а и 3.2.2б содержат изображения оценок трендов в виде кусочно-постоянных функций – линии 1, полученные с помощью (3.2.5). Для вычисления оценок число локальных интервалов было принято равным m 16 (N 32). Одновременно на этих же рисунках отмечены пунктирными линиями 2 модельные трендовые функции. 89

Рис. 3.2.2а. Функция оценки мультипликативного тренда

Рис. 3.2.2б. Функция оценки аддитивного тренда

Устранение трендов в нестационарных сигналах реализуется на основе применения операций центрирования и нормализации:

x (Ti) ( y(Ti) p2 (Ti)) / p1 (Ti). Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с медленным аддитивным трендом вида х(Ti) х0 (Ti) р2 (Ti). (3.2.6) Введѐм локальные интервалы. Будем полагать, что трендовая функция р2 (Ti) может быть с достаточной точностью заменена на локальных интервалах последовательностью локальных модельных кусочно-линейных функций вида 90

yM (c j , Ti) c1 j c2 jTi, сTj (c1 j , c2 j ), j 1,..., m. Для наблюдений y(Ti) из (3.2.3), в соответствии с (3.2.6), сформируем локальные функционалы S (c j , y j ) : Nj 1

( y(Ti) c1 j c2 jTi)2.

S (c j , y j ) i N ( j 1)

Отыскание локальных оценок аддитивной трендовой функции yM (c j , Ti) сводится к задаче минимизации локальных функционалов:

с j arg{min S (c j , y j )}, c

yM (c j , Ti) c1 j c2 jTi для N( j 1) i Nj 1, yM (c j , Ti) 0, для 0 i N( j 1), N ( j 1) i N f

1.

Минимизация квадратичных функционалов S (c j , y j ) реализуется по схеме, которая была предложена в разд. 2.4. С этой целью были сформированы соответствующие локальные базисные функции 1 (Ti) 1, 2 (Ti) Ti, i 0, 1,..., N 1, , на основе которых произведены вычисления весовых коэффициентов

N, a12 1T 2 TN(N 1) / 2, a21 a12 , a11a22 a12a21. a22 T 2 N(N 1)(2N 1) / 6, Введѐм локальные векторы сигналов y j (Ti) размерности (N, 1), a11

T 1

соответствующие локальному интервалу с номером j y j (Ti) y(i N( j 1)), i 0, 1,..., N 1, j 1,..., m. С использованием локальных векторов сигналов и локальных базисных функций вычислим локальные коэффициенты Фурье b1 j yTj 1, b2 j yTj 2 , с помощью которых находим оптимальные параметры с1 j , c2 j локальных моделей для аддитивной трендовой функции  c1 j (b1 j a22 b2 j a12 ) / , c2 j (b2 j a11 b1 j a21) / . Оценка трендовой функции p2 (Ti) может быть представлена в виде суммы модельных локальных оценок yM (c j , Ti) 91

m

p2 (Ti)

yM (c j , Ti). j 1

Проиллюстрируем результаты с помощью вычислений на математических моделях нестационарных сигналов. Сформируем сигнал x0 (Ti) по аналогии, возьмѐм N f 512, T 0,08 c. Модели для трендовых функций примем в виде

р1(Ti) 1, р2 (Ti)

p02 cos(2 f Ti

),

где параметры этих функций принимают следующие значения: р02 8, f 0,04 Гц, 2,6. На рис. 3.2.3 изображена отдельная реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала (3.2.5) с 2w 0.

Рис. 3.2.3. Реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала с аддитивной трендовой функцией

На рис. 3.2.4 изображена оценка трендовой функции в виде кусочно-линейных функций линии 1. Для вычисления оценки трендовой функции число локальных интервалов принято равным m 16 (N 32). Одновременно на этом же рисунке отмечена пунктирной линией 2 модельная трендовая функция. 92

Рис. 3.2.4. Оценка аддитивной трендовой функции

3.3. Фильтрация аномальных значений в наблюдениях сигналов 3.3.1. Определение аномальных наблюдений сигналов При решении некоторых задач ЦОС, например оценивания параметров моделей, могут возникать проблемы аномальных наблюдений. Присутствие аномальных значений в наблюдениях сигналов приводит к грубейшим погрешностям в оценках. Как правило, аномальные наблюдения имеют импульсный характер или представляются кратковременно действующими шумами большой интенсивности. Аномальные наблюдения возникают, в основном, вследствие внезапного нарушения структуры или параметров системы сбора данных. Аномальные наблюдения определѐнным образом противопоставляются обычным наблюдениям. Предполагается, что аномальные и обычные наблюдения формируются на основе различных статистических механизмов. Следует отметить, что в практике ЦОС отсутствует общепринятое определение аномальных наблюдений. Так, отдельные наблюдения, которые резко выделяются по своим значениям среди ряда обычных наблюдений, можно определить как аномальные. Бывают, как аномально большие, так и аномально малые наблюдения. Необходимо подчеркнуть, что данное определение является в значительной степени качественным и его 93

уточнение может быть осуществлено с помощью использования математических моделей возникновения аномальных наблюдений. Рассмотрим частные примеры возникновения аномальных наблюдений. Первый пример связан с предметной областью экспертного анализа. Экспертные оценки эффективности некоторых сложных систем, выставляемых коллективом из нескольких экспертов, формируются в конечную последовательность и могут интерпретироваться как произведѐнные наблюдения эффективности. В основном, значения экспертных оценок группируются вблизи некоторого среднего с небольшим разбросом. Однако вполне возможны ситуации, когда кто-либо из экспертов по ряду причин выставляет экспертную оценку, сильно уклоняющуюся от среднего в сторону завышения или занижения. В этом случае, очевидно, последовательность таких оценок будет содержать видимые на глаз аномальные значения. Второй пример связан с предметной областью радиолокационных измерений координат движущихся объектов. Достаточно часто радиолокационные измерения происходят в условиях применения специально организованных помеховых воздействий, имеющих шумовой характер и препятствующих процессу измерения. В наблюдения координат под действием помех вносятся большие погрешности, катастрофически искажающие информацию – наблюдения становятся аномальными. Модель статистического механизма возникновения аномальных наблюдений в значительной степени зависит от устройства конкретной системы сбора данных. Как правило, эта модель никогда не бывает точно известной, и может быть описана только приближенно, на основе дополнительных гипотез. Разберѐм пример упрощенного модельного статистического механизма возникновения аномальных наблюдений. Пусть для дискретного момента с номером i формируется погрешность наблюдения w(i). С вероятностью q датчик случайных чисел вырабатывает числа w(i), которые подчиняются нормальному закону распределения с параметрами N(0, 2 ) и с вероятностью 1 q вырабатывает числа w(i), подчиняющиеся нормальному закону распределения с 2 ). Формирование аномальных погрешностей параметрами N (0, производится для q 1 и 1 – аномальные наблюдения являются редкими и значительными по величине. Для q = 1 погрешности w(i) становятся обычными гауссовыми. 94

Рассматриваемый механизм формирования аномальных наблюдений может быть промоделирован, и наблюдения представятся следующим образом: (3.3.1) y(i) E01 E0 cos(2 f0T (i 1)) w(i), где E01 1; E0 1,2; f0 0,005 Гц; Т 1; i 1,..., N; N 56; параметры случайных погрешностей w(i) принимали значения 0,5; q 0,95; 400. На рис. 3.3.1 изображена дискретная модельная последовательность y(i), состоящая из обычных и возникающих отдельных аномальных наблюдений в соответствии с механизмом (3.3.1).

Рис.3.3.1. Модельные аномальные наблюдения

Ставится задача разработки алгоритмов фильтрации (обнаружения и устранения) аномальных наблюдений. Здесь будут рассмотрены пороговые и медианные алгоритмы, которые применяются на этапах предварительной обработки сигналов. 3.3.2. Пороговые алгоритмы Достаточно распространенная группа методов фильтрации аномальных наблюдений базируется на применении пороговых алгоритмов. Пусть задана последовательность наблюдений y(i), i 1,..., N , с возникающими отдельными (редкими) аномальными наблюдениями. В простейшем варианте порогового алгоритма фильтрации аномальных наблюдений вычисляются скользящие оценки математи95

ческого ожидания и дисперсии с временным окном шириной k для i k, k 1,..., N :

m (i)

1 ks

i

y(s), D (i) i k 1

(i) (D

1 ks

i

( y(s) m (i))2 , i k 1

(i))1/2.

Вычисляется текущий параметр ri :

ri

y(i) m (i) , (i)

который сравнивается с некоторым числом R, так называемым порогом. Достаточно часто имеет место R (2 3) (i). Если ri R, то принимается решение, что соответствующее этому номеру наблюдение y(i) относится к обычным; если ri R, то считается, что наблюдение y(i) относится к аномальным и удаляется из последовательности (отбраковывается). Описанный алгоритм, естественно, не свободен от недостатков. Он работает надѐжно для случая редких аномальных наблюдений. Эффективность порогового алгоритма зависит от назначаемого порога R : при малых значениях порога возможны ложные срабатывания – некоторые наблюдения могут приниматься за аномальные; при завышенных значениях порога возможен пропуск аномальных наблюдений. Данный вариант порогового алгоритма должен рассматриваться всего лишь как основа для реального порогового алгоритма фильтрации аномальных наблюдений. Точная настройка пороговых алгоритмов зависит от дополнительной априорной информации. 3.3.3. Медианные фильтры Алгоритмы фильтрации (обнаружения и устранения) аномальных наблюдений, основанные на использовании медианной фильтрации, широко применяются в многочисленных приложениях ЦОС. Рассмотрим простейший вариант алгоритма медианного фильтра для конечной последовательности из k наблюдений y(1), y(2),..., y(k), пусть k – нечѐтное число, k 2n 1, n 1, 2,... . Подвергнем элементы этой последовательности преобразованию упорядочения U ( , ,..., ): образуем из элементов исходной после96

довательности новую последовательность, в которой элементы переставлены в порядке возрастания или убывания:

U ( y(1), y(2),..., y(n 1), y(n), y(n 1),..., y(k )) ( y (1), y (2),..., y (n 1), y (n), y (n 1),..., y (k )), y(1) y(2) ... y(n 1) y(n) y(n 1) ... y(k). Выберем среднее по номеру в новой последовательности, которое имеет фиксированное обозначение y (n). Результатом работы медианного фильтра для последовательности y(1), y(2),..., y(k) является определѐнная выше величина y (n) : y (n) Med ( y(1), y(2),..., y(k)). . Медианная фильтрация может реализовываться с помощью временного окна шириной k, скользящего по исходной последовательности наблюдений y(i), i 0, 1,..., N 1. . В результате медианной фильтрации производится вычисление y (i) для точек

i n, n 1,..., N 1 n : y (i) Med ( y(i n), y(i n 1),..., y(i n)). Видно, что первые и последние n точек в отфильтрованной последовательности отбрасываются. Для аномальных наблюдений, представленных на рис. 3.3.1, применена медианная фильтрация. Работа медианного фильтра с временным окном шириной k 3 проиллюстрирована на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2. Результаты медианной фильтрации аномальных наблюдений

В табл. 3.3.1 помещена реализация y(i) с аномальными наблююдениями и соответствующие результаты медианной фильтрации y (i) для i 2,..., 25. 97

Таблица 3.3.1

i y(i) y  (i)

2 3 4 5 6 7 8 9 2,7762 2,1206 2,4639 1,2434 2,1455 -5,5005 1,2403 2,6210 2,7762 2,4639 2,1206 2,1455 1,2434

1,2403 1,2403 2,6210

i

10 11 12 13 14 2,7828 2,1510 1,4643 3,2001 1,7698

Продолжение табл. 3.3.1 15 16 17 2,4053 1,8566 2,5572

2,6210 2,1510 2,1510 1,7698 2,4053

1,8566 2,4053 2,0359

y(i) y  (i) i

y(i) y  (i)

Окончание табл. 3.3.1 18 19 20 21 22 23 24 25 2,0359 -2,9164 1,8595 1,7410 15,9350 2,0894 1,8893 1,3731 2,0359 1,8595 1,7410 1,8595 2,0894

2,0894 1,8893 1,3731

Видно, что наблюдение для i 22 является аномальным: y(22) 15,9350. Можно проследить, как происходит фильтрация этого аномального наблюдения. Для окна y(20) 1,8595, y(21) 1,7410, y(22) 15,9350 выбирается среднее 1,8595 и формируется результат фильтрации y(21) 1,8595; для окна y(21) 1,7410, y(22) 15,9350, y(23) 2,0894 выбирается среднее 2,0894 и формируется результат фильтрации y(22) 2,0894; для окна y(22) 15,9350, y(23) 2,0894, y(24) 1,8893 выбирается среднее 2,0894 и формируется y(23) 2,0894. Таким образом, данный медианный фильтр обнаруживает и устраняет аномальные наблюдения. В медианных фильтрах реализуется нелинейная обработка наблюдений. Применение медианной фильтрации в ряде случаев оказывается более эффективным с точки зрения точности по сравнению с применением фильтров, основанных на линейной обработке наблюдений. Линейная обработка наблюдений является оптимальной по точности для гауссовых погрешностей и совершенно неудовлетворительной по точности для сигналов с аномальными наблюдениями. В случаях с аномальными наблюдениями медианные фильтры дают лучшую точность, чем традиционные линейные фильтры. 98

Специфическая особенность медианных фильтров состоит в их слабой чувствительности к наблюдениям, которые резко выделяются на фоне обычных наблюдений, что позволяет применять медианные фильтры для фильтрации аномальных наблюдений. Функционирование алгоритмов медианной фильтрации в малой степени зависит от законов распределения случайных погрешностей, входящих в последовательность данных, подозрительных на наличие аномальных наблюдений. Медианные фильтры обладают двумя основными достоинствами: 1) хорошим подавлением импульсных помех шириной менее половины временного окна; 2) хорошим пропусканием регулярных сигналов при малой ширине временного окна. Однако медианные фильтры по эффективности уступают линейным при подавлении обычных гауссовых погрешностей. Повышение эффективности медианных фильтров может быть реализовано с помощью адаптивного изменения ширины временного окна в зависимости от характеристик шумовых погрешностей. 3.4.

Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова

3.4.1. Дискретизация во времени и задача восстановления непрерывных сигналов Положим, что задан исходный непрерывный сигнал y(t ), t , который является в общем случае комплексным и определѐнным в бесконечных временных пределах. Для данного сигнала производится дискретизация во времени, где T – интервал дискретизации; y(Ti) – дискретные значения непрерывного сигнала; fd 1 T – частота дискретизации, Гц; d 2 fd – круговая частота дискретизации. При фиксированном временном интервале T, дискретизация осуществляется равномерно для моментов времени ti Ti. Дискретизация может производиться неравномерно для произвольных моментов времени ti и еѐ результатом служит соответствующая последовательность дискретных значений непрерывного сигнала y(ti ). Здесь будем рассматривать только равномерную дискретизацию во времени; пренебрежѐм погрешностями, возникающими из-за дискретизации по уровню. 99

Задача восстановления непрерывного сигнала y(t ) по его дискретным значениям y(Ti) фактически представляет собой задачу интерполяции. Восстановление сигнала здесь состоит в том, что по бесконечной последовательности дискретных значений сигнала y(Ti), i , необходимо найти значения непрерывного сигнала для промежуточных моментов времени t Ti. Пусть исходный сигнал y(t ) принадлежит к некоторому заданному классу функций; допустим, что можно подобрать, учитывая свойства этого заданного класса функций, соответствующие базисi . Сформируем функные функции i (t, T ), t , цию y(t, N), представляющую собой конечную взвешенную сумму базисных функций i (t, T ) с весовыми коэффициентами y(Ti). В качестве восстановленного сигнала y (t ) для y(t ) примем предел N

y(Ti) i (t, T ), y (t)

y(t, N) i

N

lim y(t, N ).

N

Задача восстановления может считаться успешно решѐнной, если будет выполнено равенство (3.4.1) y (t ) y(t). Возможность восстановления сигнала по его дискретизованным значениям зависит от частотных свойств сигнала и выбранной частоты дискретизации. Высокая частота дискретизации, очевидно, позволит осуществить восстановление сигнала; для низкой частоты дискретизации восстановление в ряде случаев проблематично. 3.4.2. Появление «кажущихся» частот Неправильно выбранная частота дискретизации, которая не согласована с частотными свойствами сигналов, приводит к появлению так называемых «кажущихся» частотных составляющих. Разберѐм пример, в котором дискретизации подвергается непрерывный синусоидальный сигнал вида y(t ) sin2 f0t с периодом T0 1 f0 . На рис. 3.4.1 исходный сигнал y(t ) изображен сплошной линией.

100

Рис. 3.4.1. Появление «кажущихся» частотных составляющих

Подвергнем исходный непрерывный сигнал y(t ) дискретизации с частотой fd1 4 f0 – четыре точки дискретизации на один период T0 , интервал дискретизации T1 1/ 4 f0 , T1 T0 / 4. Дискретизованные значения исходного сигнала отмечены чѐрными жирными точками для синусоидального сигнала y1(T1i) (см. рис. 3.4.1). Уменьшим частоту дискретизации, примем еѐ равной fd 2 4 / 3 f0 , период дискретизации Td 2 4 / 3T0 , эти точки дискретизации на графике сигнала y2 (T2i) отмечены кругами на пунктирной линии. В первом случае частота дискретизации больше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk1 T0 и его «кажущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала fk1 f0 . Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk 2 3T0 и его кажущаяся частота меньше частоты исходного сигнала fk 2 1/ Tk 2 f0 / 3. Вследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информации, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1. Рассмотрим более детально существо проблемы возникновения «кажущихся» частотных составляющих для дискретной синусоидальной функции y(i) sin(2 f0Ti). Введѐм частоту Найквиста, равную половине частоты дискретизации, f N 1/ 2T. Всегда можно представить f0 f N p q, где p – целое, q 1. Учитывая ра( p q)i, запишем: венство 2 f0Ti 101

y(i)

sin ( p

q)i

sin pi cos qi cos pi sin qi cos pi sin qi. Разберем первый пример – частота Найквиста больше частоты сигнала – р 0, тогда f0 / f N 1 и справедливо: y(i) sin qi sin 2 fk1Ti. Следует, что 2 fk1T q, fk1 f N q и fk1 f0 – «кажущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Разберѐм второй пример – частота Найквиста меньше частоты сигнала – в частном случае положим p четным, f0 / f N 1, при этом fk 2 f N q f0q / ( p q) и fk 2 f0 . Оказывается, что во втором примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходного сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты дискретизуемого сигнала. Вследствие неправильного выбора частоты дискретизации «кажущиеся» частоты приводят к эффекту маскировки (эффекту наложения частот). Рассмотрим двухчастотный сигнал y(i) A1 sin 2 f1Ti A2 sin 2 f2Ti. Допустим, что выбрана частота дискретизации таким образом, что выполнились условия f1 f N , f2 f N . Расположение частот f1, f2 и частоты Найквиста f N проиллюстрировано на амплитудном спектре, изображѐнном на рис. 3.4.2.

Рис. 3.4.2. Амлитудный спектр двухчастотного сигнала и эффект маскировки

При такой частоте дискретизации, которая определяется положением частоты f N , первая синусоида воспринимается с «кажу102

щейся» частотой f k1

f1 , вторая синусоида воспринимается с «кажущейся» частотой f k 2 f 2. В данном дискретизованном двухчастотном сигнале появляется ложный сигнал с низкой частотой – смещѐнный в низкочастотную область, который во многих случаях может «маскировать» исходный сигнал, так как fk 2 f1 . Дискретизация с такими параметрами может катастрофически исказить исходный сигнал – спектр высокочастотного сигнала перемещается в низкочастотную область, и наложиться на спектр основного сигнала. 3.4.3. Теорема Котельникова Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В рамках теоремы Котельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финитным преобразованием Фурье. Сигнал y(t ) имеет финитное преобразование Фурье, обозначаемое как С f ( j ), если: 1) С f ( j ) 0 для всех частот

; 2) С f ( j ) тождественно не

равно нулю для частот , где – верхнее значение частоты сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразованием Фурье возможно точное восстановление сигнала по дискретным наблюдениям, если круговая частота дискретизации d удовлетворяет строгому нера2 f p , f p – полоса сигнала, Гц, fd 2 f p . венству d 2 , где Представим исходный сигнал y(t ) на основе обратного преобразования Фурье, если С f ( j ) – финитное преобразование Фурье:

y(t )

C f ( j )e j t d .

, разложим функцию С f ( j ) в комплексный ряд Фурье на данном интервале ( , ): Возьмѐм

Сf ( j )

c fl e l

j

2 l 2

, c fl

1 2 103

C f ( j )e

j

2 l 2

d .

(3.4.2)

Учитывая введѐнное соотношение между величинами пишем

C f ( j )e j t d

y(t )

C f ( j )e j t d .

и

, за(3.4.3)

Справедливо равенство, вытекающее из (3.4.2), (3.4.3), связывающее дискретные значения сигнала и коэффициенты фурьеразложения

1 y 2

c fl

2 l . 2

Подставим коэффициенты фурье-разложения c f l в выражение для

С f ( j ) из (3.4.2): 1 y 2

Сf ( j ) l

2

2 l e j2 2

l

.

(3.4.4)

Подставим выражение (3.4.4) в ( 3.4.3)

y(t ) l

1 y 2

2

j 2 l e 2 2

l

e j td .

Переменим порядок интегрирования и суммирования 2

j l t 1 2 y l e 2 d . 2 2 l T , при этом частота дискретизации окаСделаем замену 2 / 2 жется равной d 2 , и переобозначим индексы суммирования l i: 1 y(Ti) e j (t Ti ) d . y(t ) (3.4.5) 2 i

y(t )

Интеграл в (3.4.5) легко вычислить

e j (t

Ti )

d

2sin (t Ti) . (t Ti)

В результате сигнал y(t ) на основании (3.4.5) может быть представлен в виде разложения по базисным функциям i (t, T ) с весовыми коэффициентами y(Ti) : 104

y(t )

y(Ti) i (t, T ),

i (t , T )

i

sin (t Ti) . (t Ti)

Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе частоты дискретизации d 2 допускает точное восстановление – выполнение равенства (3.4.1). Теорема Котельникова имеет чрезвычайно большое значение для практики задач ЦОС. 3.4.4. Противомаскировочные фильтры Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами. Во-первых, устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретизации, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы еѐ величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала. Во-вторых, если по некоторым техническим причинам нельзя назначить высокую частоту дискретизации, то исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискретизации, следует пропустить через аналоговый низкочастотный фильтр с частотой среза с 2 fс и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6. В отфильтрованном сигнале не должны содержаться составляющие с частотой выше, чем указанная частота среза c . Низкочастотный фильтр должен отсечь неинформативные (помеховые) высокочастотные составляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходимо выполнение неравенства fd 2 fc . Указанная фильтрация называется противомаскировочной, а используемые аналоговые фильтры – противомаскировочными. Список вопросов для самопроверки к гл. 3 1. Какое определение для функций законов распределения для случайных сигналов приведено в разд. 3.1? 2. Какое определение для функций плотностей вероятностей для случайных сигналов приведено в разд. 3.1? 105

3. Какое определение для моментных характеристик случайных сигналов приведено в разд. 3.1? 4. В чѐм состоит алгоритм вычисления оценок плотностей вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций случайных сигналов? 5. Какие варианты определений для стационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС? 6. Какое определение для эргодических случайных сигналов используется в задачах ЦОС? 7. В чѐм состоит алгоритм вычисления оценок моментных характеристик для стационарных эргодических случайных сигналов в дискретном случае? 8. Какие определения для нестационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС? 9. Какие определения для локальных интервалов используются в задачах ЦОС? 10. В чѐм состоит алгоритм вычисления локальных оценок статистических характеристик нестационарных случайных сигналов? 11. В чѐм состоят причины возникновения аддитивных и мультипликативных трендов в сигналах? 12. В чѐм состоит методика устранения трендов для нестационарных случайных сигналов? 13. В чѐм состоят причины возникновения аномальных значений в наблюдениях случайных сигналов? 14. В чѐм состоит методика устранения аномальных значений в наблюдениях сигналов? 15. Какие варианты и характеристики процедур дискретизации непрерывных сигналов приведены в разд. 3.4? 16. В чѐм состоит формулировка и описание основных этапов вывода теоремы Котельникова? 17. В чѐм состоят причины возникновения «кажущихся частот» в дискретизованных сигналах? 18. В чѐм состоит методика устранения «кажущихся частот» в дискретизованных сигналах?

106

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ 4.1.

Дискретное преобразование Фурье

4.1.1. Оценивание параметров полигармонических моделей и задачи спектрального анализа Пусть y(i) y(Ti) – наблюдения действительного дискретизованного сигнала, представляющего собой сумму гармонических (узкополосных) составляющих, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. Рассмотрим для подобного сигнала на ограниченном временном интервале модельную полигармоническую функцию вида L

(al cos lTi bl sin lTi), i 0, 1,..., N 1. (4.1.1)

yM (c, Ti) l 1

Вектор параметров для этой модели сТ (a1,..., aL , b1,..., bL , 1,..., L ) имеет размерность 3L . Будем полагать, что имеет место случай, когда L – число составляющих в сигнале – известно из априорных сведений. Для решения задачи оценивания параметров модели (4.1.1) необходимо сформировать функционал S (c, y) , являющийся мерой близости наблюдений и модели, который записывается известным образом: N 1

S (c, y)

2

L

y(i) i 0

al cos lTi bl sin lTi

.

(4.1.2)

l 1

Оценивание оптимального вектора параметров полигармонической модели с сводится к решению задачи минимизации сформированного функционала

с

arg{min S(c, y)}, с c

T

(a1 ,..., aL , b1 ,..., bL ,

1 ,...,

L ).

Нахождение оптимального вектора параметров с  осуществляется на основе решения достаточно сложной задачи поиска минимума функционала S(c, y). Проблемы определения минимума функционала (4.1.2) обусловлены спецификой модели (4.1.1), представляю107

щей собой сумму синусоидальных функций, нелинейно зависящих от частотных параметров 1,..., L . В силу указанных особенностей модели функционал S(c, y) является многоэкстремальным. Применим технологическое упрощение в задаче минимизации рассматриваемого функционала, заключающееся в разделении параметров, входящих в модель (4.1.1) линейно и нелинейно. Нелинейные параметры фиксируются и находятся частично оптимальные линейные параметры с помощью решения соответствующей системы линейных уравнений. Вычисляется значение частично оптимального функционала при фиксированных нелинейных параметрах и частично оптимальных линейных параметрах. Далее производится поиск минимума частично оптимального функционала по нелинейным параметрам, позволяющий получить окончательное решение. Поясним методику реализации предлагаемого технологического упрощения. Положим, что Т ( 1,..., 2L ) (a1,..., aL , b1,..., bL ) вектор размерности (2L, 1), состоящий из параметров, входящих в модель линейно; T ( 1,..., L ) – вектор размерности (L, 1), состоящий из нелинейных параметров. Введѐм векторную базисную функцию ( , Ti) размерности (2L, 1), состоящую из синусоидальных функций T(

, Ti) (cos 1Ti,..., cos

LTi,

sin 1,..., sin

LTi).

Модель полигармонического сигнала в таком случае можно будет записать в виде скалярного произведения T

yM ( , , Ti)

( , Ti).

Оптимизируемый функционал S ( , , y) оказывается квадратичной формой от линейных параметров : N 1

S ( , , y)

( y(i)

T

( , Ti))2.

(4.1.3)

i 0

Фиксируем частотные параметры сonst для функционала (4.1.3) и на первом этапе оптимизации находим частично оптимальные линейные параметры ( ) из решения системы линейных уравнений

( ) arg{ min ,

const

S( , , y}.

Записываем выражение для вычисления значений частично оптимального функционала 108

N 1

S ( ( ), , y)

( y(i)

T

( , Ti))2

i 0

и на втором этапе оптимизации на его основе находим оптимальные нелинейные частотные параметры путѐм подпоиска по частотным параметрам для частично оптимального функционала. Необходимо отметить, что функционал S( ( ), , y) является многоэкстремальным. Оптимальные линейные параметры являются функциями оптимальных частотных параметров ( ). arg{min S ( ( ), , y)}, Описанное технологическое упрощение, очевидно, эффективно лишь при малой размерности вектора нелинейных параметров. Вычислительные трудности оптимизации сформированного функционала происходят от того, что для достижения достаточно высокой точности подгонки модели к наблюдениям осуществляется подпоиск многоэкстремального функционала по частотным нелинейным параметрам. Проблемы решения задачи оценивания параметров полигармонической модели многократно увеличиваются, если оказывается неизвестным число гармонических (узкополосных) составляющих в наблюдениях сигнала. Оценивание параметров полигармонических моделей применяется для решения одного из вариантов задачи спектрального анализа – определения оценок амплитуд и частот составляющих в наблюдениях. 4.1.2. Дискретное преобразование Фурье для действительных сигналов Один из возможных путей, радикально упрощающий задачу оценивания параметров для полигармонических моделей, состоит в подмене исходной задачи на видоизменѐнную задачу с линейной моделью, в которой используются синусоидальные базисные функции с фиксированными частотами. Частоты базисных функций располагаются равномерно на частотной оси с достаточно мелким шагом; как правило, число синусоидальных базисных функций в модели должно быть много больше числа частотных составляющих в наблюдениях. 109

Перейдѐм к рассмотрению дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для действительных сигналов. Так же как и в разд. 4.1.1, y(i) y(Ti) являются наблюдениями действительного дискретизованного сигнала, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. В самом общем случае для ДПФ не выдвигается никаких специальных требований к наблюдениям сигнала. Полигармоническую модель с фиксированными частотами для ДПФ в действительном случае примем в следующем виде:

a0 2

yM (c, Ti) Указанные частоты ниям:

k

N 1

(ak cos

k Ti

bk sin

k Ti).

(4.1.4)

k 1

для модели (4.1.4) подчиняются соотноше-

2 2 k. k, k 1, 2,..., N 1, , k NT NT Вектор параметров модели cT (a0 , a1,..., aN 1, b1,..., bN 1) имеет размерность (2N 1, 1). Оптимизируемый квадратичный по с k

функционал S (c, y) записывается по аналогии с (4.1.2): N 1

S (c, y) i 0

a y(i) 0 2

2

N 1

ak cos

k Ti

bk sin

k Ti

. (4.1.5)

k 1

Оценки параметров c  для модели (4.1.4) находятся из решения задачи минимизации функционала (4.1.6) с arg{min S(c, y)}. c

Для модели (4.1.4) введѐм векторную базисную функцию ( , Ti) размерности (2N 1, 1) : Т(

, Ti) ( 1( , Ti), 2 ( , Ti),..., 2 N 1( , Ti)) 1 2 2 2 2 , cos 1Ti,..., cos ( N 1)Ti , sin 1Ti,..., sin ( N 1)Ti . 2 NT NT NT NT Обратим внимание на то, что благодаря выбранным частотам данная векторная базисная функция не зависит от интервала дискретизации T: T(

, i)

1 2 2 2 2 , cos 1i,..., cos ( N 1)i, sin 1i,..., sin ( N 1)i . 2 N N N N 110

Модель (4.1.4) и функционал (4.1.5) могут быть представлены с использованием скалярных произведений

yM (c, Ti)

сТ ( , i), S(c, y)

N 1

( y(i) сТ ( , i))2. (4.1.7)

i 0

Введем на основе материалов разд. 2.4 векторно-матричные обозначения для вектора наблюдений Y размерности (N, 1), вектора параметров с размерности (2N 1, 1) и матрицы плана сигнала X размерности (N, 2N 1) :

Y

y(0) y(1)

a0 a1

,

c

y( N 1)

T(

aN 1 b1 bN

, X

T( T(

,0) ,1)

, N 1)

1

1 2 2 , cos 1 0,..., cos 0 0, sin 1 1,..., sin 0 0 2 N N 1 2 2 , cos 1 1,..., cos 0 1, sin 1 1,..., sin 0 1 , 2 N N 1 , cos 0 1,..., cos 0 ( N 1), sin 0 1,..., sin 0 ( N 1) 2 где

2 ( N 1) N . Оптимизируемый квадратичный по с функционал S(c, Y ) запишется с помощью векторно-матричных обозначений в виде скалярного произведения, тождественно совпадающего с функционалом (4.1.5), (4.1.7) S(c, Y ) (Y Xc)T (Y Xc). Оценки параметров модели с , соответствующие задаче минимизации (4.1.6), могут быть вычислены с помощью формулы (2.4.7) 0

с

( X T X ) 1 X T Y.

Рассмотрим скалярные произведения синусоидальных базисных функций l ( , Ti), l 0,..., 2N 1. Благодаря предложенному рас111

положению частот в модели введѐнные базисные функции являются ортогональными N 1 l1 (

i 0

, Ti)

l2 (

, Ti) 0, l1, l2 1,..., 2N 1 и l1 l2 .

В этом можно убедиться, если произвести вычисления скалярных произведений для базисных функций на основе использования табличных формул для тригонометрических сумм. В самом деле, вычислим скалярные произведения базисных функций для разных индексов N 1 i

N 1

1 2 cos ri 0, N 02

1 2 sin ri 0, r 1,..., N 1, N 02

i N 1

N 1

N 1 2 2 2 2 2 2 ri cos si 0, sin ri sin si 0, cos ri sin si 0 N N N N N N i 0 i 0 i 0 для r, s 1,..., N 1, r s. Вычислим скалярные произведения базисных функций для одинаковых индексов:

cos

N 1 l

( , Ti)

l

( , Ti)

2 l,

l 1,..., 2N 1,

i 0

2 0

N 1 i

11 0 22

N 1

N , 4

2 l

cos i 0

N 1 2 l N

sin i 0

2 2 li cos li N N

2 2 li sin li N N

N , l 1,...., N 1, 2

N , l 1,...., N 1. 2

Вследствие ортогональности введѐнных синусоидальных базисных функций матрица D Х Т Х размерности (2N 1, 2N 1) является диагональной:

D

N 4

0

0

N 2

0

0

0

0

0 , D 0 N 2 112

1

4 N

0

0

0

2 N

0 .

0

0

0

0 2 N

Вектор коэффициентов Фурье b X TY размерности (2N 1, 1) представляет собой набор скалярных произведений вида N 1 N 1 N 1 1 2 2 y(i), bT y(i)cos 1 i,..., y(i)cos ( N 1) i , N N i 02 i 0 i 0 N 1

N 1 2 2 1 i ,…, y(i)sin ( N 1) i . N N i 0 i 0 Оптимальные параметры модели для ДПФ выразятся через коэффициенты Фурье bl , l 0,...,2N 1. с D 1b, cl (4.1.8) 2

y(i)sin

l

Основываясь на (4.1.8), запишем формулы, определяющие оптимальные параметры для модели (4.1.4) и являющиеся коэффициентами ДПФ для случая действительных наблюдений и действительной модели: 2N1 2N1 2 a0 y(i), ak y(i)cos ki, k 1,..., N 1, Ni 0 Ni 0 N

2N1 2 (4.1.9) y(i)sin ki, k 1,..., N 1. Ni 0 N В формулах (4.1.9) опущен знак оптимальности « ». В соответствии с (4.1.9) ДПФ осуществляет линейное преобразование вектора наблюдений сигнала ( y(0), y(1),..., y(N 1)) размерности ( N, 1) в вектор параметров модели (a0 , a1,..., aN 1, b1,..., bN 1) размерности (2N 1, 1). bk

4.1.3. Дискретное преобразование Фурье для комплексных сигналов Обобщим ДПФ, предложенное в разд. 4.1.2, для комплексных сигналов. Пусть y(i) y1(i) jy2 (i) – комплексные наблюдения, i 0, 1,..., N 1. Введѐм комплексную модель для наблюдений в точках i 0, 1,..., N 1 N 1

c (k )W ki .

yM (c, Ti) k 0

113

Для этой модели c(k ) c1(k )

jc2 (k ) – комплексные параметры, W – корень N-й степени из единицы, W ki – комплексные базисные функции, k 0, 1,..., N 1, i 0, 1,..., N 1 : W e

j

2 N

cos

2 N

2 2 , W ki cos ki N N k, i 0, 1,..., N 1. j sin

j sin

2 ki, N

Функционал S(c, Y ) – мера близости комплексных наблюдений и модели, запишется с помощью суммы комплексно-сопряженных сомножителей N 1

S(c, Y )

*

N 1

c(k )W ki

y(i) i 0

k 0

N 1

c(k )W ki . (4.1.10)

y(i) k 0

Введѐм комплексные векторно-матричные переменные – вектор комплексных наблюдений Y размерности (N, 1), вектор c комплексных параметров модели размерности (N, 1) и комплексную матрицу плана сигнала X размерности (N, N): y(0) c(0) y(1) c(1) , c , Y

y( N 1)

X

c( N 1)

W0 0

W10

W10

W11

W (N W (N

1) 0 1) 1

.

W 0 ( N 1) W1( N 1) W ( N 1)( N 1) С учѐтом сопряжѐнности, основываясь на (2.4.9), запишем выражение для оптимальных оценок параметров Т Т с ( X * X ) 1 X * Y. T

T

Матрица D X * X и вектор коэффициентов Фурье b X * Y выразятся с использованием комплексных сопряжений. Коэффициенты ДПФ находятся из системы Dc b, с D 1b. Базисные комплексные синусоидальные функции W ki ортогональны, и поэтому матрица D диагональна. Вычислим коэффициенты этой матрицы, сформировав тригонометрические суммы, являю114

щиеся скалярными произведениями для столбцов комплексной матрицы плана сигнала: N 1

N 1

(W ki )*W si

dks i 0

W (s

1

k, s 0,..., N 1.

i 0

Для индексов s k имеем dkk Тогда нетрудно видеть, что

D

k )i ,

N , для s k следует, что dks

0.

N 1

1 N

0

0

0

1 N

0

0

0i

y(i)W

1i

i 0 N 1 T

X* Y

, b

,

i 0

0 1 N

0

y(i)W

N 1

y(i)W

( N 1)i

i 0

c (k )

1 b , k 0, 1,..., N 1. dkk k

Коэффициенты ДПФ для случая комплексных наблюдений и комплексной модели запишутся следующим образом:

c(k )

1N1 y(i)W Ni 0

ki ,

k 0, 1,..., N 1.,

(4.1.11)

где так же, как и в (4.1.9), опущен знак оптимальности. Вычислим остаточную сумму для оптимальных коэффициентов комплексного ДПФ. Подставим под знак суммы (4.1.10) полученные выражения для коэффициентов с(k ) : N 1

S(c, Y )

N 1

1N1 y(s)W Ns 0

y(i) i 0 N 1

y(i) k 0

k 0 N 1

1 N

y(s)W

si

* si

W ki

W ki .

s 0

Рассмотрим отдельно выражение в скобках под знаком суммы, переставим порядки суммирования, учитывая, что N 1

W k (i k 0

s)

N для s i,

N 1

W k (i k 0

115

s)

0 для s i,

N 1

y(i) k 0

1N1 y(s)W Ns 0

ksW ki

y(i)

N 1 1N1 y(s) W k (i Ns 0 k 0

y(i)

s)

1 y(i) N 0. N

Нетрудно видеть, что имеет место равенство S(c , Y ) 0. Остаточная сумма для функционала (4.1.10) на оптимальных коэффициентах ДПФ равняется нулю – предлагаемая тригонометрическая модель с нулевой погрешностью аппроксимирует наблюдения. Благодаря этому обстоятельству можно записать формулы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье, физический смысл которых очевиден

c(k )

1N1 y(i)W Ni 0

N 1 ki ,

c(k )W ki ,

k 0, 1,..., N 1, y(i) k 0

i 0, 1,..., N 1. Приведѐм показательную форму для комплексного ДПФ. Определим амплитуды с(k ) и фазы (k ) составляющих ДПФ в зависимости от дискретного номера k:

c(k ) c1(k ) jc2 (k ), c(k )

с(k) (c12 (k) c22 (k))1/2 ,

c(k ) e j k ,

(k ) arctg(c2 (k )/ c1(k )), k 0, 1,..., N 1.

Результаты вычисления составляющих ДПФ можно графически изображать в виде амплитудного и фазового спектров. Для удобств изображений амплитудных спектров применяется логарифмический масштаб:

L с(k )

20log10 c(k ) .

Вполне правомерно введение зависимости от частоты для составляющих спектра ДПФ. Шаг дискретности по частоте для составляющих определяется интервалом наблюдения NT, 2 / NT, f 1/ NT. Составляющие спектра – амплитуды и фазы модельных комплексных синусоид – располагаются равномерно по оси частот, с(k) c( k ) , с(k) c( fk ) , (k ) ( k ), (k ) ( fk ) , где так же, как и разд. 4.1.2, k k , fk f k , k 0, 1,..., N 1. Рассмотрим пример вычисления амплитудного и фазового спектра ДПФ для сигнала в виде единичного прямоугольного импульса: 116

y(i) 1 для 0 i N0 1, y(i) 0 для N0 i N 1. (4.1.12) Нахождение ДПФ для данного сигнала сводится к суммированию комплексной геометрической прогрессии со знаменателем W k :

1 N0 1 c(k ) 1W N i 0

ki

1 1 W kN0 N 1 W k

1W N W k 0, 1,..., N 1.

kN0 2 k 2

W

kN0 2 k W2

W

KN0 2

W

k 2

,

Cделаем необходимые выкладки, чтобы получить формулы для значений амплитудного и фазового спектров

1W N W

kN0 2 k 2

kN0 W 2 k W2

W

kN0 2

W

k 2

k kN0 W2 2

1 N

N0 k N , k sin N

sin

N0 k 1 sin N 2 k kN0 с(k ) , (k ) (1 N0 )k , N sin k N 2 2 N N k 0, 1,..., N 1. (4.1.13) Для расчѐтов c(k ) по формулам (4.1.13) взяты значения N 512, N0 126. На рис. 4.1.1 изображен логарифмический амплитудный спектр ДПФ L c(k ) сигнала (4.1.12) для точек k 0, 1,..., 199.

Рис. 4.1.1. Логарифмический амплитудный спектр ДПФ для прямоугольного импульса 117

В практике обработки дискретных наблюдений, как правило, приходится иметь дело с действительными сигналами. Однако многие программы алгоритмов вычисления коэффициентов ДПФ ввиду определѐнных удобств записываются в комплексной форме. Чтобы можно было воспользоваться этими программами для вычисления ДПФ действительных сигналов, необходимо положить в комплексных наблюдениях мнимую составляющую, равную нулю:

y(i) y1(i)

j 0, y2 (i) 0, i 0, 1,..., N 1.

Для комплексного сигнала с нулевой мнимой составляющей проведѐм вычисления коэффициентов ДПФ, получим

c1(k )

1N1 2 1N1 2 y1(i)cos ki, c2 (k ) y1(i)sin ki, Ni 0 N Ni 0 N k 0, 1,..., N 1.

Коэффициенты комплексного и действительного ДПФ связаны простыми соотношениями, которые следует применять для пересчѐта: a k 2c 1 (k ) , k 0,1,...,N 1 , bk 2c2 (k ) , k 1,...,N 1 . 4.2. Свойства дискретного преобразования Фурье 4.2.1. ДПФ для комплексной экспоненциальной функции Необходимость вычисления дискретного преобразования Фурье для комплексной экспоненциальной функции может возникать для многих задач ЦОС. Комплексная экспоненциальная функция определяется в дискретных точках i 0, 1,..., N 1 с помощью формулы

y(i) Ae j(2

fTi

),

(4.2.1)

где A – амплитуда; f – частота, Гц; – начальная фаза; T – интервал дискретизации; NT – длительность интервала наблюдения. Величина T0 1 f является периодом рассматриваемой функции. Возможно представление (4.2.1) в эквивалентном виде:

y(i) Acos(2 fTi

)

j sin(2 fTi

), i 0, 1,..., N 1.

Вычисление ДПФ для (4.2.1) может быть реализовано на основе суммирования с применением табличных тригонометрических формул 118

cc((kk)) cc11((kk)) jcjc22((kk)) =

1 N

N 1

( A cos(2 fTi

)

j sin

2 ki , N

2 ki Asin(2 fTi N

)sin

2 ki , N

2 ki Asin(2 fTi N

)cos

2 ki . N

jAsin 2 fTi

cos

i 0

c1(k )

1N1 Acos(2 fTi Ni 0

)cos

c2 (k )

1N1 Acos(2 fTi Ni 0

)sin

2 ki N

Вычисление ДПФ для комплексной экспоненциальной функции может быть произведено с помощью суммирования специально сформированной геометрической прогрессии. Введѐм параметр q, равный числу периодов функции (4.2.1), укладывающихся на интервале наблюдения, и приведѐм очевидные равенства

q

NT T0

NT 1/ f

f NT , fT

2 q , 2 fTi qi, e j 2 N N

fTi

W qi .

Функция (4.2.1) может быть записана с учѐтом последнего равенства следующим образом: y(i) Ae j(2 fTi ) Ae j e j 2 fTi Ae j W qi , i 0, 1,..., N 1. (4.2.2) Для y(i) в форме (4.2.2) нахождение коэффициентов с(k ) ДПФ сводится к вычислению суммы N членов комплексной геометрической прогрессии со знаменателем W q k

с(k )

1 N 1 j qi Ae W W Ni 0

ki

1 j Ae N

N 1

W (q

k )i

i 0

1 1 W (q k ) N Ae j , k 0, 1,..., N 1. N 1 Wq k Воспользуемся приѐмом, который был ранее использован в (4.1.12), сделаем необходимые преобразования для с(k ) : (q k ) N

1 1 W (q k ) N Ae j N 1 Wq k

(q k ) N

(q k ) N

2 1 W 2 W W 2 с(k) Ae j . q k q k q k N W 2 W 2 W 2 Получим амплитудные с(k ) и фазовые (k ) зависимости для данного ДПФ, k 0, 1,..., N 1 :

119

c(k )

AW N

(q k ) N 2

W

(q k ) N 2

q k 2

W

q k 2

W 2 (q k ) N sin A N 2 2 ( q k) N sin N 2 (k )

arg W

(q k ) N 2

arg W

A sin (q k ) , N sin (q k ) N

q k 2

2 (q k ) N N 2

(q k )

N 1 . N

(4.2.3)

2 (q k ) N 2 (4.2.4)

Вычисление модулей нормированных коэффициентов ДПФ c(k ) N удобно проиллюстрировать с помощью аппарат-

c0 (k)

ной функции u( q , q0 , k ), которая образуется на основе (4.2.3):

u( q , q0 , k )

1 sin (q0 N sin (q N 0

q k)

, k 0, 1,..., N 1,

q k)

q

.

На рис. 4.2.1 изображѐн график аппаратной функции u( q ) при q0 k , N 512 и переменная q удовлетворяет неравенству 10 q 10. Нетрудно убедиться в том, что аппаратная функция быстро уменьшается с ростом q; так, при q 10 и q N значения функции u( q) 0,05 становятся существенно малыми.

Рис. 4.2.1. График аппаратной функции 120

Аппаратная функция может быть представлена в зависимости от частотного параметра f в виде u( f ); очевидно, для f 10 f , где f – шаг дискретности по частоте, должно выполняться неравенство u( f ) 0,05. На рис. 4.2.2 помещѐн график для вычисления нормированных коэффициентов ДПФ c0 (k ) , для примера взяты численные значения N 512, q0 4, q 0,25. На этом графике представлена аппаратная функция, смещѐнная вправо на величину q0 q. Значения c0 (k ) отмечены жирными точками и пунктирными линиями, которые соответствуют целочисленным k. Ясно, что максимальное значение модуля коэффициента ДПФ приходится на номер k q0 . Очевидно, что при q 0 и k q0 4 модуль коэффициента ДПФ

с(4) 1; для k 4 с0 (k)

0 – все остальные модули коэффициентов ДПФ равняются нулю. Для q0 4 имеет место с0 (4) 1 и для k 4 выполнятся условие с0 (k) 0.

Рис. 4.2.2. График для вычисления нормированных коэффициентов ДПФ c0 (k )

В том случае, когда комплексная синусоида укладывается почти целое число периодов на интервале наблюдения, примерно равное q0 , амплитудный спектр ДПФ сосредоточен в области значений k, 121

близких к q0 ; вне этой области амплитудный спектр ДПФ является почти нулевым. Для случаев, когда комплексная синусоида не укладывается целое число периодов на интервале наблюдения, амплитудный спектр ДПФ является «размазанным». Рассмотрим вид зависимости амплитудного спектра ДПФ – модулей коэффициентов с(k ) от дискретного номера k для комплексной экспоненциальной функции. Для (4.2.1) зададим А 1, f 29,4 Гц, 0,5, N 512, T 0,01 c; для данной функции параметр q NTf 150,25, q0 150, q 0,25. На рис. 4.2.3 изображѐн график амплитудного спектра ДПФ в логарифмическом масштабе L c(k ) , k 0, 1,..., N 1. Шаг дискретности по частоте 0,1953 Гц. Значениям спектра составляет величину f 1/ NT L c(k ) могут быть поставлены в соответствие дискретные частоты fk f k [Гц], k 0, 1,..., N 1, которые изменяются в диапазоне

0

fk

f N 1.

Из рис. 4.2.3 следует, что график L c(k ) содержит резкий спектральный максимум в области k q0 : в указанной области сосредоточены основные значения амплитудного спектра, вне области значения амплитудного спектра пренебрежимо малы. На основе графика амплитудного спектра может быть произведена оценка

Рис. 4.2.3. Амплитудный спектр ДПФ комплексной экспоненциальной функции в логарифмическом масштабе 122

параметров комплексной экспоненциальной функции. По значению номера k , соответствующего спектральному максимуму на графике рис. 4.2.3,

k

arg{ min

0 k N 1

и в предположении малого значения

L c(k )}

q, оценивается частота f и

амплитуда A исходной экспоненциальной функции. В данном случае k 150 и можно считать, что с некоторой погрешностью

f

с(k ) 10

fk 1,5/20

29,295 Гц и А

с(k ) ,

L c(k )

1,5 Дб,

0,8411 . Максимальная погрешность оценки час-

тоты составляет величину f f / 2 0,0977 Гц. Максимальная погрешность амплитуды определяется формулой

A sin / 2 1 , N sin 2N и при N 512 принимает значение A 0,38. Разумеется, при q 0 величины данных погрешностей стремятся к нулю. A

С использованием (4.2.4) можно заключить, что оценка начальной фазы

(k ) и для случая

(q k )

N 1 , N

q 0 близка к значению начальной фазы

.

4.2.2. Элементарные свойства ДПФ Рассмотрим некоторые простейшие свойства ДПФ, которые будут использованы в дальнейшем. 1. ДПФ является линейной операцией. Пусть дискретная последовательность z(i) образуется как сумма последовательностей x(i), y(i) , i 0, 1,..., N 1 , с весами , и известны ДПФ этих последовательностей: cх (k ), cy (k ), k 0, 1,..., N 1. Тогда ДПФ

сz (k ) для последовательности z(i) представляет собой взвешенную сумму ДПФ cx (k ), cy (k ) : 123

z(i)

x(i)

y(i), i 0, 1,..., N 1 , сz (k ) k 0, 1,..., N 1.

cx (k )

cy (k ),

2. Благодаря особенностям ДПФ от комплексной экспоненциальной функции и свойству линейности с использованием ДПФ оказывается удобным производить анализ многочастотных сигналов. Пусть наблюдаемый сигнал представляет собой сумму нескольких синусоид с частотами, которые различаются в достаточной степени. Тогда амплитудный спектр ДПФ такого сигнала содержит набор спектральных максимумов: количество спектральных максимумов равняется числу частотных составляющих в сигнале, а частотные координаты и высоты спектральных максимумов определяются частотами и амплитудами составляющих. На основе амплитудного спектра ДПФ возможно приближѐнное решение достаточно сложной задачи оценивания параметров многочастотных сигналов. Проведѐм вычисления ДПФ для суммы трѐх комплексных экспоненциальных функций с различными частотами 3

y(i)

As e j (2

fsTi

s),

i 0, 1,..., N 1.

(4.2.5)

s 1

Для (4.2.5) примем значения параметров A1 0,5; f1 14,6 Гц; 1 1,0; A2 1,0; f2 29,4 Гц; 1 0,5 и A3 1,5; f1 48,76 Гц; f 1/ NT 0,1953 Гц. На рис. 4.2.4 1 1,5; N 512; T 0,01 c;

Рис. 4.2.4. Амплитудный спектр ДПФ для трехчастотной комплексной функции 124

изображѐн логарифмический амплитудный спектр ДПФ трѐхчастотной комплексной функции (4.2.5). Видно наличие в нѐм трѐх спектральных максимумов, соответствующих частотам f1, f2 и f3 . По виду графика L c(k ) рис. 4.2.4 определяются положения спектральных максимумов k1 74, k2 150, k3 249, на основе которых оцениваются соответствующие частоты fs fks ; s = 1, 2, 3; f1 0,1953 74 14,45 Гц; f21 0,1953 150 29,29 Гц;

f3

0,1953 249 48,63 Гц

и

логарифмические

амплитуды 20 Дб. После пере-

L c(k1 ) 7 Дб; L c(k2 ) 1 Дб; L c(k3 ) счѐта получаются оценки амплитуд А1 10 7/20 0,447; А2 10 1/20 0,891; А3 10 20/20 0,1. В силу различия в достаточной степени частот f1 f3 амплитудный спектр ДПФ для подобной трехчастотной функции может представляться в виде суммы амплитудных спектров ДПФ составляющих. 3. Воспользовавшись свойством линейности можно вычислить ДПФ действительной косинусоидальной (синусоидальной) функции y(i) cos2 fTi, i 0, 1,..., N 1. Приведѐм известные соотношения W qi e j 2 fTi cos2 fTi j sin2 fTi, q NTf , W Ni 1, W qi W qi W qi W ( N q)i cos2 fTi . (4.2.6) 2 2 Из (4.2.6) следует, что ДПФ для функции y(i) cos2 fTi представляет собой сумму ДПФ для комплексных экспоненциальных функций с параметрами q и ( N q). На рис. 4.2.5 изображѐн логарифмический амплитудный ДПФ-спектр для косинусоидальной функции y(i) cos2 fTi. Анализируя график рис. 4.2.5 можно сделать вывод, что ДПФ косинусоидальной функции состоит из двух составляющих, симметричных относительно точки N/2. 4. Рассмотрим влияние сдвигов при вычислении ДПФ. Пусть задана последовательность y(i), i 0, 1,..., N 1. Продолжим эту последовательность с периодом N. Осуществим сдвиг данной последовательности на i0 единиц, образуем новую последовательность 125

z(i) y(i i0 ). Вычислим коэффициенты ДПФ для последовательности z(i), с учѐтом периодичности

сz (k )

1N1 y(i i0 )W Ni 0

ki

1N1 y(i i0 )W Ni 0

k (i i0 )W ki0

W

ki0 c

у (k ).

Рис. 4.2.5. Амплитудный спектр ДПФ для косинусоидальной функции

Справедливо и обратное утверждение. Если z(i) W k0i y(i), тогда c помощью почти аналогичных выкладок получим

сz (k )

1 N 1 k0i W y(i)W Ni 0

ki

1N1 y(i)W Ni 0

(k k0 )i

cy (k k0 ).

5. Коэффициенты ДПФ c(k ) можно рассматривать для k . Тогда можно утверждать, что c(k ) периодичны по k с периодом N. В самом деле

c(k)

1N1 y(i)W Ni 0

ki

1N1 y(i)W ( Ni 0

k N )i

c(k N).

6. Установим для действительных последовательностей модулей коэффициентов ДПФ с(k ) свойство симметрии относительно точки k N /2. Положив мнимую составляющую наблюдений y2 (i) 0, представим выражения для действительной и мнимой частей ДПФ:

c1(k )

1N1 2 y1(i)cos ki, c2 (k ) Ni 0 N 126

1N1 2 y1(i)sin ki. Ni 0 N

Запишем очевидные равенства

cos

2 N k i N 2

2 N 2 N k i k i, sin N 2 N 2 2 N k i, = sin N 2 cos

из которых следует свойство симметрии

с1

N k 2

c1

c

N N k , с2 k 2 2

N 2

k

c

N 2

c2

N k , 2

k .

При анализе действительных сигналов вполне оправданно рассмотрение амплитудных спектров ДПФ для точек

k 0, 1,..., N/2 1. Аналогичным образом может быть установлено свойство центральной симметрии для фазовых углов ДПФ (k ) относительно точки k N /2. 4.2.3. Разрешающая способность ДПФ Амплитудный спектр ДПФ для многочастотных сигналов в общем случае, с учѐтом некоторых упрощающих предположений, состоит из набора спектральных максимумов. С помощью оценивания параметров амплитудного спектра ДПФ возможно решение многих задач анализа сложных колебательных сигналов. Однако в ряде случаев проведение анализа сигналов на основе амплитудного спектра ДПФ сопряжено с рядом проблем. Эффективность анализа сигналов зависит, в частности, от разрешающей способности ДПФ-возможности различения на амплитудном спектре ДПФ спектральных максимумов составляющих для многочастотных сигналов с близкими частотами. Рассмотрим пример двухчастотного действительного сигнала

y(i) A1 cos(2 f1Ti

1)

A2 cos(2 f2Ti

2 ),

i 0, 1,..., N 1.

(4.2.7) с параметрами A1 1; A2 1,5; 1 0,5; 2 0,8; Т 0,01. Для (4.2.7) f1 20 Гц, f2 20,06 Гц – частоты составляющих. Для рас127

сматриваемого двухчастотного сигнала разность частот для составляющих принимает значение f1 f2 0,06 Гц. Для (4.2.7) вычислим ДПФ при различных вариантов величин интервалов наблюдений. Вид амплитудного спектра зависит от разности частот f1, f2 и шага дискретности спектра по частоте и особенностей аппаратной функции. На рис. 4.2.6а изображены результаты вычисления логарифмического амплитудного спектра L c( fk ) для N1 512 2 1024 и длины интервала наблюдения, составляющей 10,24 c . Кружками

Рис. 4.2.6а. Логарифмический амплитудный спектр ДПФ двухчастотного сигнала, f1 0,0976 Гц

Рис. 4.2.6б. Логарифмический амплитудный спектр ДПФ двухчастотного сигнала, f2 0,0031 Гц 128

отмечены

восемь

значений

L c( fk ) с шагом дискретности f1 1/ N1T 0,0976 Гц, для k 201 208, соответствующих частотам 19,62 20,30 Гц . В данном случае f1 f2 f1, ( f1 f2 / f1 0,62 – расстояние по частоте между составляющими сигнала меньше шага дискретности спектра. В силу указанных неравенств на данном амплитудном спектре принципиально не могут быть видны раздельно составляющие сигнала – частотные составляющие в сигнале не разрешимы на основе ДПФ с f1 0,0976 Гц. Для повышения разрешающей способности ДПФ производится увеличение временного интервала наблюдения. На рис. 4.2.6б изображены результаты вычисления логарифмического амплитудного спектра L c( fk ) для N2 512 64 32768; длина временного интервала наблюдения и дискретность спектра по частоте составляют 327,68 c и f2 1/ N2T 0,0031 Гц. Поскольку в данном случае f1 f2 f2 ( f1 f2 / f2 19,35), то в силу указанных неравенств амплитудный спектр ДПФ состоит из двух отчѐтливо видимых раздельно спектральных максимумов – две частотные составляющие в сигнале разрешимы на основе ДПФ с f2 0,0031 Гц . Разрешающая способность ДПФ определяется величиной f 1/ NT , которая совпадает с шагом дискретности по частоте амплитудного спектра. Если обратиться к (4.2.7) и учесть свойства аппаратной функции, то спектр первой составляющей сосредоточен около частоты f1 и для частот fk , удовлетворяющих неравенству

fk

f1 10 f , спектр первой составляющей становится сущест-

венно малым. Аналогично, для второй составляющей спектр сосредоточен около частоты f 2 и для частот дискретных fk , удовлетворяющих неравенству fk f2 10 f , спектр второй составляющей становится существенно малым. Общее правило приближѐнного определения разрешимости составляющих сигнала с близкими частотами f1, f2 на основе спектра ДПФ с учѐтом значения шага дискретности по частоте f может быть сформулировано следующим образом. Если для частот составляющих в сигнале выполняется неравенство 129

f1

f2

(5 10) f ,

то составляющие не разрешимы на основе ДПФ. Если для частот составляющих в сигнале выполняется противоположное неравенство

f1

f2

(5 10) f ,

то составляющие разрешимы на основе ДПФ. 4.3. Функция спектральной плотности мощности сигналов 4.3.1. Теорема Парсеваля Существуют два подхода, которые обычно применяются при исследовании свойств и характеристик сигналов. Первый подход базируется на обычных представлених во временной области, при которых сигналы у(t ) рассматриваются как функции времени для t . Второй подход связан с представлениями в частотной области, при которых сигналы или образы сигналов в виде преобразований Фурье C( j ),рассматриваются как функции частоты для . Указанные подходы, являющиеся равноправными и двойственными, базируются на возможности реализации прямого и обратного преобразований Фурье, взаимнооднозначно связывающих временные и частотные представления сигналов. Теорема Парсеваля позволяет устанавливать величину полной энергии комплексных сигналов с помощью интегрирования либо во временной, либо в частотной областях. Основываясь на разд. 2.2, обратимся к выражению для вычисления энергии E комплексного сигнала у(t ) во временной области в виде интеграла

Е

y* (t ) y(t )dt.

(4.3.1)

Используем обратное и комплексно-сопряжѐнное обратное преобразования Фурье, сформируем выражения для сигналов y(t ) и y* (t ) :

y(t )

C( j )e j t d , y* (t )

C* ( j )e

j td

.

(4.3.2)

Подставим выражения (4.3.2) в интеграл (4.3.1) и переставим порядки интегрирования 130

C( j )e j t d

E E

C ( j )d

j 1t d

C* ( j 1)e C( j 1 )d

e j(

1

1 )t d

2 (

(4.3.3)

1 )t dt.

Последний интеграл будет представлять собой разд. 2.5.3

e j(

dt ,

1

-функцию из

1 ).

Нетрудно видеть, что справедливо равенство, из которого величина полной энергии сигнала может быть вычислена на основе интегрирования в частотной области:

E

C* ( j 1)d 1 2 (

C( j )d

Е

y* (t ) y(t )dt

1)

2

С* ( j )С( j )d ., (4.3.4)

2

С* ( j )С( j )d .

(4.3.5)

Равенство (4.3.5) представляет собой формулировку теоремы Парсеваля и позволяет вычислять полную энергию сигнала как во временной, так и в частотной областях. Прямое и обратное ДПФ может служить дискретным аналогом прямого и обратного непрерывного преобразования Фурье. Разберѐм вывод дискретного аналога теоремы Парсеваля. Запишем обратное и сопряжѐнное обратное ДПФ для дискретных значений сигнала y(i), i 0, 1,..., N 1 : N 1

N 1

c(k )W ki , y* (i)

y(i) k 0

c* (k )W

ki .

k 0

y* (i) y(i),

Образуем произведения просуммируем их по i, изменим порядок суммирования и получим N 1

E

N 1 N 1

y* (i) y(i) i 0 N 1

N 1

c* (k ) k 0

i 0 k 0 N 1

W (s

c(s) s 0

N 1

c* (k )W

i 0

k )i

ki

c(k )W si

s 0 N 1 N c* (k )c(k ). k 0

131

(4.3.6)

На основе (4.3.6) сформируем выражение, которое является дискретным аналогом теоремы Парсеваля: N 1

N 1

y* (i) y(i)

E

c* (k )c(k ).

N

i 0

(4.3.7)

k 0

4.3.2. Определение функции спектральной плотности мощности сигналов Определение функции спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов связано с аналогией из электротехники – вычислении мощности, выделяемой на активном сопротивлении (см. разд. 2.2). Применим теорему Парсеваля (4.3.5) для нахождения величины энергии сигнала y(t ), приходящейся на узкий интервал частот ( , d ):

E( y, , d ) 2 C*y ( j )Cy ( j )d . Для функции спектральной плотности мощности для стационарного эргодического сигнала Pyy ( ) в непрерывном случае сформируем отношение части мощности сигнала в частотном диапазоне ( , d ) к величине d . Для этого рассмотрим прямое и комплексно-сопряжѐнное прямое преобразование Фурье для сигнала y(t ) на интервале времени T0 / 2 t T0 / 2, которые представляются интегралами

Сy ( j ,T0 ) С*y ( j ,T0 )

1 2 1 2

T0 /2

y(t )e

j t dt ,

T0 /2 T0 /2

(4.3.8)

y* (t )e j t dt.

T0 /2

Энергия сигнала y(t ) длительностью T0 в частотном диапазоне ( , d ) может быть найдена на основе интегралов (4.3.8)

E( у, , d , T0 ) 2 C*y ( j , T0 )Cy ( j , T0 )d . Функция СПМ Pyy ( ) для рассматриваемого стационарного эргодического сигнала запишется в виде предела, в предположении, что этот предел существует: 132

1 2 * C ( j ,T0 )C y ( j ,T0 )d E( y, , d ,T0 ) T0 T0 y , Pyy ( ) lim lim T0 T0 d d 2 (4.3.9) C* ( j ,T0 )Cy ( j ,T0 ). Pyy ( ) lim T0 Т0 y Функция Pyy ( ) в общем случае определена во всѐм частотном диапазоне и является положительной Pyy ( ) 0. Рассмотрим обобщение определения функции СПМ сигналов (4.3.9) для дискретного случая. Пусть задаѐтся набор дискретных значений сигнала y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, T – интервал дискретизации. Интегралы Фурье из (4.3.8) могут быть заменены дискретными суммами, которые являются фактически оценками указанных интегралов для заданной частоты k 2 k/( NT ), k 0, 1,..., N 1 и и с учѐтом t Ti, T0 TN : 2

j kTi 1 N1 1 Cy ( j k , TN ) T y(i)e NT TNcу (k ), 2 i 0 2 1 * Cy ( j k , TN ) TNc*у (k ). . 2

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье сформированы в виде ДПФ. Поэтому Pyy ( k ) – оценка функции СПМ дискретизованного сигнала для фиксированных частот числена через коэффициенты ДПФ:

Pyy (

k)

2 * Cy ( j TN

Pyy (

k)

k

– может быть вы-

2 1 1 TNc* (k ) TNc(k ), TN 2 2 TN P0c* (k)c(k), k 0, 1,..., N 1, P0 . (4.3.10) 2 k ,TN )Cy ( j k ,TN )

4.3.3. Функции временных окон Погрешности предложенной оценки (4.3.10) функции СПМ Pyy ( k ) стационарного эргодического сигнала обусловливаются, в основном, двумя факторами: заменой непрерывного сигнала на дискретный и конечностью интервала наблюдения. Точность оце133

нивания функции СПМ будет повышаться при уменьшении интервала дискретизации и увеличении длительности времени наблюдения. Проанализируем возможность повышения точности оценивания функции СПМ для фрагмента сигнала, определѐнного на некотором конечном интервале времени. Рассмотрим погрешность, которая вносится конечностью интервала интегрирования при вычислении преобразований Фурье. Для сигнала y(t ) запишем преобразование Фурье на бесконечном и конечном симметричном временном интервале Т0 /2 t T0 /2:

C( j )

1 2

y(t )e

j t dt ,

C0 ( j ,T0 )

1 2

T0 /2

y(t )e

j t dt.

T0 /2

что С( j ) С0 ( j , T0 ) и С( j , T0 ) С( j ) С0 ( j , T0 ) – погрешность преобразования Фурье сигнала y(t ),

Очевидно,

вызванная конечным интервалом интегрирования;

С2 (T0 )

С( j , T0 ) – мера погрешности. Преобразование Фурье на конечном интервале может замениться вычислением интеграла на бесконечном интервале, если ввести функцию прямоугольного временного окна w0 (t, T0 ) 1 для Т0 /2 t T0 /2 и w0 (t, T0 ) 0 для t T0 /2, t T0 /2:

1 2

С0 ( j , T0 )

w0 (t , T0 ) y(t ) e

j t dt.

При стремлении величины временного интервала интегрирования T0 к бесконечности имеет место очевидный предел

lim

T0

С2 (Т0 ) 0.

Согласно сделанным ранее рассмотрениям в разд. 2.5.3, преобразование Фурье от произведений функций вычисляется как интегральная свѐртка преобразований Фурье сомножителей:

C0 ( j , T0 )

W0 ( j(

1 ),

T0 )С( j 1)d 1,

(4.3.11)

где W0 ( j , T0 ) – преобразование Фурье функции прямоугольного временного окна w0 (t, T0 ). Приведѐм выражение преобразования 134

Фурье, которое в силу чѐтности w0 (t, T0 ) является действительной функцией

W0 ( j , T0 )

T0 T0 sin 2 . T0 2 2

(4.3.12)

График модуля W0 ( j , T0 ) для частного значения T0 /2 1 изображѐн на рис. 4.3.1. Функция W0 ( j , T0 ) состоит из главного лепестка, ширина которого определяется из соотношения T0 /2 , и системы медленно спадающих по амплитуде боковых лепестков.

Рис. 4.3.1. Модуль преобразования Фурье функции прямоугольного окна

При увеличении Т 0 для прямоугольного окна его преобразование Фурье W0 ( j , T0 ) вида (4.3.12) стремится к -функции; преобразование Фурье С0 ( j , T0 ), в соответствии с формулой интегральной свѐртки (4.3.11), стремится к С( j )

lim W0 ( j , T0 )

T0

( ),

lim С0 ( j , T0 )

T0

С( j ).

Возможность снижения погрешности оценивания функции СПМ, возникающей из-за конечности временного интервала, может реализовываться на основе выбора подходящей функции временного окна w(t, T0 ) w0 (t, T0 ), w(t, T0 ) 0 вне интервала 135

Т0 /2 t T0 /2. Умножение сигнала y(t ) на функцию временного окна w(t, T0 ) на интервале Т0 /2 t T0 /2, y (t, T0 ) y(t )w(t, T0 ) описывается свѐрткой в частотной области

C ( j ,T0 )

1 ), T0 )С ( j 1 )d 1.

W ( j(

(4.3.13)

Пусть функция временного окна w(t, T0 ) будет устроена таким образом, что еѐ преобразование Фурье W ( j , T0 ) оказывается близким к -функции; W ( j , T0 ) должна будет иметь высокий и узкий главный лепесток и систему малых боковых лепестков. Тогда имеются основания полагать, что в результате интегрирования свѐртки (4.3.13) преобразование Фурье C( j ) будет близко к C( j ). Последнее соответствует реализации приближѐнного равенства C( j ) C( j ), что эквивалентно снижению погрешности при оценивании функции СПМ. , и Перейдѐм к дискретным значениям сигнала y(i), 0 i функции временного окна w(i), определѐнной на конечном интервале наблюдения i 0, 1,..., N. После умножения наблюдений на функцию временного окна получим последовательность y(i) w(i) y(i), i 0, 1,..., N. . Вычислим z-преобразование для последовательности y (i), которое может быть найдено на основе z-преобразований последовательностей y(i) и w(i) : N

y(i) z i , W (z)

Y ( z) i 0

w(i) z i , Z{y(i)} Y (z). i 0

Воспользуемся материалами разд. 2.6 и формулой (2.6.3), сделаем подстановку z e j T и запишем выражение для частотной функции Y (e j T ) на основе свѐртки частотных функций окна W (e j T ) и сигнала Y (e j T ) :

Y (e j

T)

T 2

2 /T

W (e j

1T )Y (e j (

1 )T )d

1.

0

Очевидно, для того, чтобы частотная функция Y (e j T ) была близка к частотной функции Y (e j T ), необходимо, чтобы частотная функ136

ция окна W (e j T ) была близка к -функции – имела бы высокий главный лепесток в узком частотном диапазоне и незначительные боковые лепестки. Рассмотрим некоторые варианты оконных функций. Примем для удобств выкладок временной интервал симметричным, положим N чѐтным и определим окно в точках N /2 i N /2 (в N + 1 точках). Функция прямоугольного временного окна w0 (i) является базисной для настоящего рассмотрения и представляется соотношениями w0 (i) 1 для N /2 i N /2 , w0 (i) 0 для i N /2, i N /2 . Вычислим в соответствии с (2.6.3) частотную функцию для прямоугольного окна

W0 (e j T )

N /2

e

j Ti

ej

i N /2 j T ( N 1)/2 e e j T ( N 1)/2

e j T /2

e

j T /2

TN /2

e 1 e

j TN /2e j T j T

sin( T ( N 1)/2) . sin( T /2)

(4.3.14)

В силу чѐтности w0 (i) функция W0 (e j T ) является действительной.

Рис. 4.3.2. Модуль частотной функции прямоугольного окна

На рис. 4.3.2 изображѐн график модуля частотной функции

W0 (e j

T)

в зависимости от переменой 137

Т /2, для примера взято

значение N 256. Частотная функция W0 (e j T ) является аналогом преобразования Фурье W0 ( j , T0 ). Функции временных окон Хэннинга wH (i) и Хэмминга wHm (i) отличаются параметрами и описываются формулой wH (i) (1 )cos(2 i / N ) для N / 2 i N / 2, (4.3.15) wN (i) 0 для i N / 2, i N / 2, для окна Хэннинга выбирается значение 0,5 , для окна Хэмминга – 0,54 . Вычисления частотных функций окон Хэннинга и Хэмминга производятся на основе частотных функций прямоугольного окна, сдвинутых вправо и влево на :

sin( T ( N 1) / 2) sin( T / 2) 1 sin( T ( N 1) / 2 ( N 1) / N ) 2 sin( T / 2 / N) 1 sin( T ( N 1) / 2 ( N 1) / N ) . 2 sin( T / 2 / N)

WH (e j T )

(4.3.16)

На рис. 4.3.3а, 4.3.3б изображены функция временного окна Хэннинга wH (i) для N 256 и модуль еѐ частотной функции в зависимости от переменой Т /2.

Рис. 4.3.3а. Функция временного окна Хэннинга 138

Рис. 4.3.3б. Модуль частотной функции окна Хэннинга

Рис. 4.3.4а, 4.3.4б содержат изображения функции временного окна Хэмминга wHm (i) для N 256 и модуля еѐ частотной функции.

Рис. 4.3.4а. Функция временного окна Хэмминга 139

Рис. 4.3.4б. Модуль частотной функции окна Хэмминга

Функция временного окна Блэкмана вой функцией

wB (i) описывается весо-

wB (i) 0,42 0,5сos2 i / Ni 0,08cos4 i / N для N /2 i N /2 , wB (i) 0 для i N /2, i N /2 .

(4.3.17)

На рис. 4.3.5а, 4.3.5б изображены функция временного окна Блэкмана wB (i) для N 256, и модуль частотной функции окна Блэкмана.

Рис. 4.3.5а. Функция временного окна Блэкмана 140

Рис. 4.3.5б. Модуль частотной функции окна Блэкмана

Функции временных окон wH (i), wHm (i) и wB (i) при визуальном анализе не очень сильно отличаются друг от друга. Однако различия в кривизне окон во временной области приводят к их существенным отличиям в частотной области – в размерах главного и боковых лепестков модулей частотных функций. Очевидно, что требования снижения ширины главного лепестка и амплитуд боковых лепестков являются противоречивыми. Наглядное представление о частотных характеристиках функций временных окон могут дать графики модулей частотных функций в логарифмическом масштабе. С их помощью можно оценить ширину главных лепестков В Т и соотношение амплитуд главных и первого бокового лепестков – коэффициент пульсации k р . На рис. 4.3.6а

L W0

(e j T )

для

прямоугольного

20log10 W0

(e j T ) ,

окна

изображѐн

график

на рис. 4.3.6б–4.3.6г, соответст-

венно, – графики L WH (e j T ) , L WHm (e j T ) и L WB (e j T ) . Сравнительные характеристики функций временных окон для

N 256, позволяющие судить об их эффективности при решении задачи повышения точности оценивания функций СПМ, помещены в табл. 4.3.1.

141

Рис. 4.3.6а. Модуль частотной функции прямоугольного окна в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6б. Модуль частотной функции окна Хэннинга в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6в. Модуль частотной функции окна Хэмминга в логарифмическом масштабе 142

Рис. 4.3.6г. Модуль частотной функции окна Блэкмана в логарифмическом масштабе Таблица 4.3.1 Тип окна Прямоугольное окно Окно Хэннинга Окно Хэмминга Окно Блэкмана

Ширина главного лепестка В Т

2 4 4 6

/N /N /N /N

Коэффициент пульсаций K р , % 21,7 2,64 1,23 0,112

4.3.4. Технологические этапы оценивания функции СПМ сигналов Теперь опишем последовательность технологических этапов получения оценок функции СПМ для стационарных эргодических сигналов, наблюдаемых на большом интервале времени 0 t t f . Будем полагать, что обрабатываемые сигналы y(t ) задаются в непрерывной форме, например в виде записей на аналоговом магнитофоне. Этап 1. Выбор частоты дискретизации. Пусть – верхнее значение частоты полосы сигнала. Чаще всего величина должна быть известной из априорных сведений о сигнале; полоса может регулироваться с помощью противомаскировочного фильтра. Согласно теореме Котельникова, частоту дискретизации d следует выбирать, исходя из неравенства ( fd d 2 d /2 , Гц; T 1/ fd ). На практике обычно принимают частоту дискретизации 143

равной d (4 10) . Если в обрабатываемом сигнале доминирует синусоидальная составляющая с частотой , то на период синусоиды T0 2 / должно приходиться (4 10) точек дискретизации. Общее число дискретизванных значений сигнала равняется величине N f t f /T . Объѐм памяти ЭВМ (ДЗУ), который займут введѐнные дискретизованные сигналы, в случае, если на одно дискретное значение сигнала отводится 4 байта, составит VДЗУ 4N f /1024 Кб. Кбайт. При вводе дискретных данных в ЭВМ следует учитывать ограничение памяти ДЗУ ЭВМ VДЗУ – должно выполняться неравенство VДЗУ VДЗУ . Этап 2. Выбор параметров локальных интервалов. Если N – выбранное число точек на локальном интервале, m – число локальных интервалов, то должно выполняться условие Nm N f . Необходимо выбор параметров локальных интервалов осуществлять таким образом, чтобы числа N, m были целыми. Длина локального временного интервала NT подбирается, исходя из обеспечения требуемой разрешающей способности ДПФ f (см. разд. 4.2.3). Для этой цели должна быть определена минимальная разность частот двух соседних частотных составляющих f1 f2 в обрабатываемом многочастотном сигнале. Величины f и f1 f2 для обеспечения разрешения должны быть связаны неравенством, предложенным в разд. 4.2.3:

f1

f2

(5 10) f .

Для улучшения разрешения, естественно, следует назначать длинные локальные интервалы. Однако при обеспечении хорошего усреднения результатов цифровой обработки требуется увеличивать m – реализовывать большое количество локальных интервалов и тем самым уменьшать длины локальных интервалов. Требования удовлетворительного усреднения и хорошей разрешающей способности являются противоречивыми. Выбор параметров N, m связан с принятием компромисса. Этап 3. Умножение сигналов на локальных интервалах на функцию временного окна. Пусть для дискретизованного сигнала y(s), s 0, 1,..., N f 1, исходный большой интервал времени разбивается на m локальных интервалов по N точек. Дискретизован144

ный сигнал на j-м локальном интервале имеет вид y(i N( j 1)), j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1. Для каждого локального интервала осуществляется умножение части дискретизованного сигнала на N- точечное временное окно w(i)

y(i N( j 1)) y(i N( j 1))w(i),

j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1.

Этап 4. Вычисление локальных ДПФ и локальных оценок функции СПМ. Нахождение локальных коэффициентов ДПФ производится в соответствии с формулой ДПФ

с j (k )

1N1 y (i N ( j 1))W Ni 0

ki ,

k 0, 1,..., N 1, j 1,..., m.

Локальные оценки функции СПМ находятся с использованием локальных коэффициентов ДПФ

Pyy, j (k) P0c*j (k)c j (k ), k 0, 1,..., N 1,

j 1,..., m.

Этап 5. Вычисление оценок функции СПМ. Оценка функции СПМ для стационарного эргодического сигнала вычисляется на основе усреднения оценок Pyy, j (k ) по множеству локальных интервалов

Pyy (k )

1 m P (k ), k 0, 1,..., N 1. . m j 1 yy, j

Усреднение обеспечивает снижение шумовых порешностей в оценке функций СПМ сигналов. На основе предложенной последовательности технологических этапов оценивания функций СПМ достаточно эффективно решаются многие задачи оценивания параметров сигналов, которые иногда не могут быть успешно решены другими методами. Возникающие при этом погрешности в оценках в ряде случаев могут компенсироваться достигаемым большим быстродействием и простотой вычислительных процедур. 4.4.

Функция взаимной cпектральной плотности мощности сигналов

4.4.1. Определение функции взаимной cпектральной плотности мощности сигналов Определение функции взаимной спектральной плотности мощности (ВСПМ) сигналов вытекает из задачи электротехники – вычис145

лении выделяемой мощности на реактивном сопротивлении. В формировании функции ВСПМ участвуют сигналы x(t), y(t); функция ВСПМ является обобщением функции СПМ на случай двух сигналов. Запишем, опираясь на естественное обобщение теоремы Парсеваля (4.3.5), выражение для величины взаимной энергии сигналов x(t), y(t), приходящейся на интервал частот ( , d )

E(x, y, , d ) 2 Cx*( j )Cy ( j )d .

(4.4.1)

Для функции ВСПМ Pxy ( ) стационарных эргодических сигналов в непрерывном случае сформируем отношение части взаимной мощности сигналов в частотном диапазоне ( , d ) к величине d . Для этого рассмотрим комплексно-сопряжѐнное прямое и обычное прямое преобразования Фурье для сигналов x(t), y(t) на конечном интервале времени T0 2 t T0 2, которые представляются интегралами

Сx* ( j

1 , T0 ) 2

1 Сy ( j , T0 ) 2

T0 /2

x* (t )e j t dt,

T0 /2 T0 /2

(4.4.2)

y(t )e

j t dt.

T0 /2

Взаимная энергия сигналов x(t), y(t) для интервала T0 /2 t T0 /2 в частотном диапазоне ( , d ) может быть найдена на основе интегралов (4.4.2) с использованием выражения (4.4.1)

E(x, у, , d , T0 ) 2 Cx*( j , T0 )Cy ( j , T0 )d . Функция ВСПМ Pxy ( ) для указанных сигналов, так же как и функция СПМ Pуy ( ) для разд. 4.3, запишется в виде предела, в предположении, что предел существует

2 * 1 C ( j , T0 )Cy ( j , T0 )d E( x, y, , d , T0 ) T0 x T0 Pxy ( ) lim lim , T0 T0 d d 2 C* ( j , T0 )Cy ( j , T0 ). (4.4.3) Pxy ( ) lim T0 Т0 x 146

Функция ВСПМ сигналов, определѐнная в общем случае во всѐм частотном диапазоне , в отличие от функции СПМ является комплексной, что следует из определения (4.4.3) и представляется соотношением Pxy ( ) P1xy ( ) jP2 xy ( ), где P1xy ( ),

P2 xy ( ) – действительная и мнимая составляющие функции ВСПМ. Возможно представление функции ВСПМ в показательной форме

Pxy ( )

Pxy ( ) e j

где Pxy ( ) – функция модуля;

xy (

функции ВСПМ сигналов; Pxy ( )

xy ( ) ,

) – функция фазового угла

(P12xy ( ) P22xy ( ))1/2 ,

xy (

)

arctg(P2 xy ( ) / P1xy ( )). Из определения для функции ВСПМ сигналов вытекает, что Pyx ( )

Pxy* ( ).

Рассмотрим обобщение определения функции ВСПМ сигналов (4.4.3) для дискретного случая и конечного интервала времени. Пусть задаѐтся набор дискретных значений сигналов x(i) x(Ti), y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, T – интервал дискретизации. Интегралы Фурье из (4.4.2) заменяются дискретными суммами, которые можно принять в качестве оценок указанных интегралов для заданk 0, 1,..., N 1 и с учѐтом ной частоты k 2 k /( NT ),

t Ti, T0 TN: 2

Cy ( j

j kTi 1 1 N1 TNcу (k ), T y(i)e NT 2 2 i 0 1 * Cх ( j k , TN ) TNc*x (k ). 2

k , TN )

(4.4.4)

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье (4.4.4) сформированы в форме ДПФ. Поэтому Pxy ( k ) – оценка функции ВСПМ дискретизованного сигнала для фиксированных частот быть выражена через коэффициенты ДПФ:

Pxy (

k)

2 * Cx ( j k , TN )Cy ( j k , TN ) TN 2 1 1 TNc*x (k ) TNcy (k ) , TN 2 2 147

k

может

Pxy (

k)

P0c*x (k)cy (k ), k 0, 1,..., N 1, P0

TN . 2

(4.4.5)

Действительные и мнимые компоненты оценки функции ВСПМ (4.4.5) вычислим через действительные и мнимые коэффициенты ДПФ:

Pxy (k) P0 (c1x (k ) jc2x (k ))(c1y (k ) jc2 y (k )), P1xy (k) P0 (c1x (k)c1y (k ) c2x (k )c2 y (k )), P2xy (k) P0 (c1x (k)c2 y (k ) c2x (k )c1y (k )). Если дискретизованные сигналы x(i), y(i) являются комплексными одночастотными синусоидами, которые отличаются начальными фазами, то, очевидно, функция модуля функции ВСПМ для этой пары сигналов ведѐт себя почти аналогично функции модуля ДПФ комплексной синусоиды. Когда для стационарных эргодических сигналов оценивание функции ВСПМ осуществляется на большом временном интервале, то указанная оценка может находиться с помощью усреднения. Для этой цели на большом временном интервале формируются локальные интервалы, на которых вычисляются локальные коэффициенты ДПФ исследуемой пары сигналов, с учѐтом умножения на функции временных окон. Далее находятся локальные оценки функции ВСПМ, которые затем усредняются. Пусть реализованы дискретизованные сигналы x(t), y(t), s 0, 1,..., N f 1; m – число локальных интервалов; N – число точек на локальном интервале, Nm N f . Сигналы, соответствующие j-му локальному интервалу, имеют вид x(i N( j 1)) y(i N( j 1)), j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1. Для каждого локального интервала осуществляется умножение части дискретизованных сигналов на выбранное N – точечное временное окно w(i):

x(i N( j 1)) x(i N( j 1))w(i), y(i N( j 1)) y(i N( j 1))w(i), j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1, и нахождение локальных коэффициентов ДПФ 148

сx, j (k )

1N1 1N1 x (i N ( j 1))W ki , сy, j (k ) y (i N ( j 1))W Ni0 Ni0 k 0, 1,..., N 1, j 1,..., m.

ki ,

Оценивание комплексной функции ВСПМ сигналов производится отдельно для действительной и мнимой компонент на основе усреднения

Pxy, j (k) P0c*x, j (k)cy, j (k), j 1,..., m, Pxy (k )

P1xy (k )

1 m P (k ), m j 1 xy, j

1 m 1 m P1xy, j (k ), P2 xy (k ) P (k ), mj 1 m j 1 2 xy, j k 0, 1,..., N 1. .

(4.4.6)

Вычисление оценок функций модуля и функций фазового угла производится на основе (4.4.6) и представляется формулами

Pxy (k ) xy (k )

(P1xy (k )2 P1xy (k )2 )1/2 , arctg(P2xy (k) / P1xy (k)), k 0, 1,..., N 1.

(4.4.7)

4.4.2. Применение функции ВСПМ в задачах оценивания разностей фаз для систем многочастотных сигналов Применение функции ВСПМ позволяет решать задачи оценивания разностей фаз для систем сложных многочастотных сигналов. Прежде всего, отметим, что для двух синусоидальных сигналов x(t), y(t) с постоянными во времени амплитудами и одинаковыми частотами, которые описываются системой (4.4.8) x(t ) A1 cos( t 1), y(t ) A2 cos( t 2 ), разность фаз xy определяется как разность фазовых функций 1 (t )

t 1, 2 (t ) t разности начальных фаз

2,

xy

что в данном случае эквивалентно 1

2.

В том случае, если сигналы x(t), y(t) являются многочастотными, состоящими из суммы синусоидальных составляющих с одинако149

выми частотами, то разности фаз

xy,l

, l 1,..., L определяются

отдельно для каждой пары составляющих с одинаковыми частотами L

x(t )

L

A1l cos( l t

1l ) , y(t )

A2l cos( l t

l 1

2l ) ,

l 1 xy,l

2,l .

1,l

(4.4.9)

Определение разностей фаз для многочастотных сигналов (4.4.6) является естественным обобщением определения разностей фаз для одночастотного случая (4.4.8). Возможно определение функций разностей фаз (4.4.8) и (4.4.9) на случай полосовых сигналов (4.4.10) x(t ) Е1(t )cos 1(t ), y(t ) Е2 (t )cos 2 (t ), где E1(t ), E2 (t ) – медленно меняющиеся амплитудные функции; 1 (t ), 2 (t ) – фазовые функции. Для полосовых сигналов в общем случае разность фаз меняется во времени xy (t ) 1(t ) 2 (t ). В ряде случаев разность фаз для сигналов (4.4.10) на некотором интервале времени 0 t t f может изменяться незначительно и приниматься в виде константы L

x(t )

Е1l (t )cos

xy (t )

1l (t ),

xy . L

y(t )

l 1

Соотношения

Е2l (t )cos

2l (t ),

l 1 xy,l (t )

1,l (t )

2,l (t ),

l 1,..., L,

(4.4.11)

служат определением разностей фаз для сигналов, являющихся суммой полосовых сигналов. Представим некоторые модельные варианты систем сигналов, для которых здесь рассматривается задача оценивания разностей фаз. Модель системы сигналов x(t), y(t) в простейшем случае описывается соотношениями x(t ) A1 cos( t 1) w1(t ), y(t ) A2 cos( t 2 ) w2 (t ), (4.4.12) которые представляют собой аддитивную смесь монохроматических сигналов и широкополосных шумов w1(t ), w2 (t ) (белых шумов). Оценивание разностей фаз 150

xy

для (4.4.12) производится на

основе цифровой обработки зашумлѐнных сигналов x(t), y(t) (4.4.12) на заданном интервале времени 0 t t f . Модель системы сигналов x(t), y(t) для многочастотного случая описывается соотношениями L

Е1l (t )cos

1l (t )

w1(t) ,

E2l (t )cos

2l (t )

w2 (t ) .

x(t ) l 1 L

y(t )

(4.4.13)

l 1

Вычисление оценок разностей фаз

xy,l ,

l 1,..., L, для частот-

ных составляющих сигналов производится на основе цифровой обработки зашумлѐнных многочастотных сигналов x(t), y(t) (4.4.13) на заданном интервале времени 0 t t f . Перейдѐм к дискретизованным сигналам x(i) x(Ti), y(i) y(Ti), которые определены в N точках, i 0, 1,..., N 1. Наметим подход к оцениванию разностей фаз колебательных сигналов с использованием оценок функций ВСПМ. Пусть заданы два синусоидальных комплексных дискретизованных сигнала j qi qi (4.4.14) x(i) Ae 1 W , y(i) A2W , i 0, 1,..., N 1, где A1, A2 – постоянные амплитуды; W e j 2 / N ; T – интервал дискретизации; f – частота сигналов; q f /(1/ NT )), q q0 q, q0 – целое, q 1. Очевидно, разность фаз между сигналами x(i), y(i) (4.4.14), по определению, . xy Найдѐм оценку функции ВСПМ для сигналов (4.4.14). Вычислим коэффициенты ДПФ cx (k ), cy (k ) cигналов x(i), y(i), пусть

с(k) – коэффициенты ДПФ для W qi . Тогда очевидны соотношения, вытекающие из (4.4.14), j c(k ), c* (k ) Ae cx (k) Ae 1 x 1

j 1c* (k ),

cy (k ) A2c(k ).

На основе cx (k ), cy (k ) запишем выражения для оценки функции ВСПМ сигналов – оценки еѐ модуля и фазового угла

Pxy (k) P0 Ae 1

j

c*x (k) A2c(k ),

Pxy (k) 151

P0 A1A2 c(k) 2 ,

xy (k )

.

Заметим, что в данном частном случае для комплексных синусоидальных сигналов фазовый угол функции ВСПМ не зависит от индекса k. Будем находить оценку искомой разности фаз xy из оценки фазового угла ВСПМ в точке координаты максимума модуля функции ВСПМ. В данном случае эта координата равна k q0 :

q0

2

arg{max Pxy (k ) },

xy

k

xy (q0 )

.

Продолжим рассмотрение задачи оценивания разности фаз, когда два синусоидальных комплексных сигнала аддитивно смешаны с шумами: j qi w (i), y(i) A W qi w (i), i 0, 1,..., N 1, (4.4.15) x(i) Ae 1 2 1 W 2

где w1 (i), w2 (i) – шумовые комплексные последовательности независимых нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2. Коэффициенты ДПФ для синусоид x(i), y(i) (4.4.15) запишутся с учѐтом аддитивности шумов: j c(k ) c (k ), с (k ) Ae j c(k ) c (k ), сx (k ) Ae 1 w1 x 1 w1

где сw1 (k ), cw2 (k ) – коэффициенты ДПФ для w1(i), w2 (i), i 0,

1,..., N 1. Для точки k q0 и в еѐ окрестности, соответствующей расположению максимума модуля функции ВСПМ, должны выполняться неравенства, при условии малых 2 :

сw1 (q0 )

A1c(q0 ) , сw2 (q0 )

A2c(q0 ) .

Для оценки функции ВСПМ комплексных синусоидальных сигналов (4.4.15) оказываются справедливыми приближѐнные равенства с учѐтом малости шумов:

Рxy (q0 )

P0 A1A2 c(q0 ) 2 ,

xy

xy (q0 )

.

Алгоритм оценивания разностей фаз для системы синусоидальных сигналов в шумах на основе функций ВСПМ, таким образом, состоит из этапов: 1) вычисления оценки функции ВСПМ сигналов Pxy (k ), k 0, 1,..., N 1 и еѐ составляющих – функции модуля

Pxy (k ) и функции фазового угла

xy (k );

ты максимума функции модуля ВСПМ 152

2) вычислении координа-

q0

k , k

arg{ max

k 0,1,..., N 1

Pxy (k )};

3) вычислении оценки разности фаз по функции фазового угла ВСПМ xy xy (q0 ). Для повышения точности оценивания разности фаз на больших временных интервалах применяется процедура усреднения. Предложенный алгоритм может быть обобщѐн на случай многочастотных сигналов. Рассмотрим численный пример моделирования предложенного алгоритма оценивания разности фаз для системы зашумлѐнных двухчастотных сигналов. Смоделируем систему предлагаемых сигналов x(i) x(Ti), y(i) y(Ti), определѐнных в N f точках, i 0, 1,..., N f 1,

x(i) A11 cos(2 f1Ti 11) A12 cos(2 f2Ti 12 ) w1(i), y(i) A211 cos(2 f1Ti 21) (4.4.16) A22 cos(2 f2Ti 22 ) w2 (i) . Для (4.4.16) дискретные шумы w1 (i), w2 (i) моделируются независимыми нормальными числами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями 12 , 22. Модельные сигналы (4.4.16) имеют следующие исходные параметры: A11 1,0; A12 2,0, A21 4,5; A22 5,5, f1 10,0 Гц; f2 18 Гц , 11 1,5; 12 4,0, 21 3,0; 22 1,0; 1 1,5; 2 1,5. Разности фаз, приведѐнные к диапазону 2 для частотной составляющей с частотой f1 , составляют величину 12,1 11 21 4,78, для частоты f 2 – величину

12,2

12

22

3,0.

Интервал

дискретизации

T 0,01 c, локальный интервал состоит из N 512 точек, число локальных интервалов m 32. На рис. 4.4.1а представлен график оценки модуля функции ВСПМ модельных сигналов (4.4.16) для диапазона 0 k N / 4 1. Положение максимумов может быть оценено на основе визуального анализа графика рис. 4.4.1а или, исходя из рассмотрений разд. 4.2.1, q01 k1 f1NT 10 512 0,01 52. Оценки разностей фаз для составляющих сигнала c частотами f1 , f 2 определяются из расчѐтов или графика рис. 4.4.1б и принимают значения 153

xy,1

xy (q01)

4,75,

xy,2

xy (q02 )

3,02, удовлетвори-

тельно соответствующие исходным параметрам.

Рис.4.4.1а. Оценка модуля функции ВСПМ модельных сигналов (4.4.13)

Рис.4.4.1б. Оценка фазового угла функции ВСПМ модельных сигналов (4.4.13)

4.4.3. Применение функции ВСПМ для оценивания коэффициента когерентности колебательных сигналов На основе ВСПМ вычисляется коэффициент когерентности

xy ,

являющийся параметром, который служит мерой взаимосвязи двух 154

случайных сигналов x(t), y(t). Определим некоторые очевидные свойства, которыми может быть наделѐн вводимый коэффициент. 1. Коэффициент когерентности должен быть ограниченным: 0 xy 1 (как один из вариантов определения). Если xy 1, то имеет место полная взаимосвязанность двух сигналов; если xy 0, то сигналы являются полностью несвязанными. 2. Очевидно, что для синусоидальных сигналов y(t ) A1 cos( t 1), x(t ) A2 cos( t 2 ) коэффициент когерентности должен удовлетворять равенству xy 1. Для синусоидальных сигналов аддитивно смешанных с шумами y(t ) A1 cos( t 1) w1(t ), x(t ) A2 cos( t 2 ) w2 (t ) коэффициент когерентности должен быть меньше единицы xy 1. Естественно, что при увеличении интенсивности шумов коэффициент когерентности уменьшается. 3. Если два случайных сигнала статистически независимы, например x(t ) w1(t ), y(t ) w2 (t ), – независимые белые шумы, то должно выполняться соотношение xy 0. 4. Если два сигнала связаны некоторой линейной зависимостью, то, очевидно, xy 1. Рассмотрим неравенство, позволяющее сделать обоснование для вводимого коэффициента когерентности: сy (k ) cx (k )e j yx (k ) с*y (k ) c*x (k )e j yx (k ) 0. Сделаем соответствующее перемножение модулей, получим в качестве слагаемых выражения для оценок функций СПМ и ВСПМ: 2 P (k ) yy

Pyx (k)e

j yx (k )

Pxy (k)e j

xy (k )

Pxx (k ) 0.

Приведѐм соотношения, с помощью которых выведем основное неравенство, используемое для определения коэффициента когерентности:

Pyx (k )

Pyx (k ) e j

yx (k ) ,

2 P (k ) yy

2 Pyx (k )

Pyx (k )

155

Pyx (k ) e j

Pxx (k ) 0.

yx (k ) ,

Последнее выражение можно рассматривать как квадратный полином от ; для обеспечения его положительности необходимо, чтобы его дискриминант был меньше нуля: 2

2

4 Pxy (k ) 4Pxx (k )Pyy (k ) 0, Pxy (k ) Pxx (k )Pyy (k ). Полученное неравенство ложится в основу эмпирического определения функции коэффициента когерентности, для которого выполняется условие 0 xy 1: 2

Pxy (k ) . Pxx (k )Pyy (k )

xy (k )

С использованием оценок функций СПМ и ВСПМ сигналов записывается оценка функции коэффициента когерентности в дискретных частотных точках k : 2

Pxy ( k ) , k 2 k , k 0, 1,..., N 1. xy ( k ) Pxx ( k )Pyy ( k ) NT Рассмотрим вычисление функции коэффициента когерентности j qi для комплексных синусоид без шумов. Положим x(i) Ae 1 W , j y(i) A2W qi , cx (k) Ae 1 c(k ), cy (k ) A2c(k ). Здесь c(k ) – коэффициенты ДПФ для W qi . Тогда

Pxy (k) P0c*x (K)cy (k ) P0 A1A2e j c*x (k )cx (k ), Pxy (k )

2

P02 ( A1A2 )2 c(k ) 2 ,

2 Pxx (k) P0 A12 c(k) 2 , Pyy (k ) P0 A22 c(k ) .

Видно, что для рассматриваемого примера имеет место равенство xy 1. Для комплексных синусоид с малыми шумами j qi w (i), y(i) A W qi w (i), x(i) Ae 1 W 1 2 2 запишем выражения для коэффициентов ДПФ j c(k ) c (k ), c (k ) A c(k ) c (k ). cx (k ) Ae y 2 w2 1 w1

Для k

q0

A2c(q0 ) индексов

(k q0 ) в предположении, что A1c(q0 )

cw2 (q0 ) , следует, что xy (k

q0 ) 0. 156

xy (k

cw1 (q0 ) ,

q0 ) 1, для остальных

На основе системы модельных сигналов (4.4.16) произведены вычисления оценки функции коэффициента когерентности xy (k ). На рис. 4.4.2а приведѐн график оценки

m 32;

1

1,5;

2

xy (k ),

соответствующий

1,5, – расчѐтный пример 1.

Рис. 4.4.2а. Оценка коэффициента когерентности модельных сигналов (4.4.16) – пример 1

На рис. 4.4.2б приведѐн график оценки

xy (k ),

соответствую-

щий m 32; 1 7,5; 2 7,5, – расчѐтный пример 2 с увеличенной дисперсией шумов. На рис. 4.4.2в приведѐн график оценки xy (k ) параметров m 64; 1 7,5; 2 7,5, – расчѐтный пример 3 с увеличенным числом локальных интервалов.

Рис.4.4.2б. Оценка коэффициента когерентности модельных сигналов (4.4.13) – пример 2 157

Рис.4.4.2в. Оценка коэффициента когерентности модельных сигналов (4.4.13) – пример 3

Введѐнная эмпирическим путѐм функция коэффициента когерентности является чувствительным индикатором наличия связей между сигналами. 4.5. Алгоритм быстрого преобразования Фурье Оценим временные затраты, необходимые для вычисления коэффициентов дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для последовательности данных y(i), i 0, 1,..., N 1, непосредственно по формулам из определения. Запишем ещѐ раз выражение для прямого ДПФ, включающее в себя операции сложения, умножения и вычисления тригонометрических функций:

c(k )

1N1 y(i)W Ni 0

ki ,

k 0, 1,..., N 1.

Если предположить, что в памяти ЭВМ заранее сформирована таблица значений базисных синусоидальных функций W ki , а также справедливо соотношение для времени выполнения операций комty , плексного сложения tc и умножения t y в виде неравенства tc то время вычисления N комплексных коэффициентов ДПФ приближѐнно оценивается по формуле

158

N 2t y .

TДПФ

(4.5.1)

Временные затраты вычисления коэффициентов дискретного преобразования Фурье на основании определения растут пропорционально N 2 и для больших N составляют значительную величину. Предлагаемый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) обеспечивает существенное снижение временных затрат вычисления коэффициентов ДПФ. Однако применение этого алгоритма возможно только для некоторых значений N; здесь будет рассмотрен вариант алгоритма БПФ для N 2r – числа наблюдений, равного целой степени двойки. В основе предлагаемого алгоритма БПФ лежит возможность сведения вычисления ДПФ для N чисел к вычислению двух ДПФ для N 2 чисел с проведением дополнительных операций умножения. Рассмотрим снова выражение для вычисления коэффициентов ДПФ; опустим для дальнейших удобств выкладок множитель 1 N , который можно будет учесть на последнем шаге: N 1

c(k )

y(i)W

ki ,

k 0, 1,..., N 1.

i 0

Разобьѐм последовательность y(i), i 0, 1,..., N 1, на две подпоследовательности с чѐтными и нечѐтными номерами входных данных: g(s) y(2s), h(s) y(2s 1), s 0, 1,..., N 2 1. Коэффициенты ДПФ исходной последовательности могут быть записаны в виде двух сумм, k 0, 1,..., N 1:

с(k )

N /2 1

g (s)e

j

2 k 2s N

N /2 1

h(s)e

s 0

j

2 k (2s 1) N .

s 0

Сформируем указанные суммы в виде ДПФ размерности N 2:

с(k )

N /2 1

g (s)e

j

2 ks N /2

e

j

2 N /2 1 2 k j ks N h(s)e N /2 .

s 0

s 0

Обозначим коэффициенты ДПФ cg (k ), ch (k ) для введѐнных чѐтных и нечѐтных подпоследовательностей: 159

N /2 1

сg (k )

g (s)e

j

2 ks N /2 ,

сh (k )

s 0

N /2 1

h(s)e

j

2 ks N /2 ,

s 0

k 0, 1,...., N 2 1. Запишем, введя множитель WN k , первые N /2 коэффициентов ДПФ с(k ): j

2

WN k e N , с(k ) cg (k ) WN k ch (k ), k 0, 1,..., N /2 1. Eсли осуществить сдвиг индекса k на N /2, то оставшиеся коэффициенты ДПФ исходной последовательности с номерами от N /2 до N /2 1 записываются аналогично: WN (k N /2) WN k , с(k N /2) cg (k) WN k ch (k ), k 0, 1,..., N /2 1. Из приведѐнного рассмотрения следует, что нахождение ДПФ для последовательности из N чисел свелось к вычислению двух ДПФ для двух подпоследовательностей из N /2 чисел и N /2 операций комплексных умножений. Вычисление ДПФ можно реализовать пошагово. На предпоследнем шаге можно осуществить переход к вычислению ДПФ для подпоследовательностей из N /2 чисел через ДПФ для подпоследовательностей из N /4 чисел и т.д. Общее число шагов подобного алгоритма составляет значение показателя степени двойки r log2 N. Проанализировав структуру формул алгоритма вычисления ДПФ из N чисел через вычисление ДПФ для подпоследовательностей из N /2 чисел, можно заметить, что алгоритм распадается на последовательность однотипных подалгоритмов. Действительно, выделим типовой подалгоритм с(k ) cg (k ) WN k ch (k ), с(k N /2) cg (k) WN k ch (k ), (4.5.2) k 0, 1,..., N /2 1. Указанный подалгоритм называется «бабочка»; граф «бабочки» – схематическое изображение вычислительных операций, соответствующих (4.5.2) представлен на рис. 4.5.1.

160

Рис. 4.5.1. Граф операции «бабочка»

Комбинации однотипных «бабочек» при вычислении коэффициентов ДПФ составляет основу алгоритма БПФ. На рис. 4.5.2 представлен в качестве примера граф алгоритма БПФ для N 8, состоящий из трѐх шагов.

Рис. 4.5.2. Граф алгоритма БПФ для N 8

Для удобств рассмотрений введены индексы для промежуточных коэффициентов ДПФ сgN /2 (k), сhN /2 (k ); показатель N /2 определяет размерности ДПФ, реализуемых на соответствующем шаге работы алгоритма. Чтобы предлагаемый алгоритм БПФ начал работать, необходима всего лишь предварительная перетасовка входных данных во временной области. Работу алгоритма перетасовки, в соответствии с разработанным графом рис. 4.5.2, удобно анализировать с право161

го конца (от конца к началу), что приллюстрировано на диаграмме рис. 4.5.3. Оценим временные затраты, необходимые для работы алгоритма БПФ. На каждом шаге алгоритма БПФ выполняется N /2 операций «бабочка»; в каждой «бабочке» реализуется только одно комплексное умножение, поэтому временные затраты на каждом шаге предлагаемого алгоритма приближѐнно составляют величину N /2 t y . Число шагов в алгоритме БПФ уже было подсчитано ранее; поэтому время вычисления N коэффициентов дискретного преобразования Фурье по предлагаемому алгоритму БПФ представится следующей оценкой TБПФ N /2t y log2 N. (4.5.3)

Рис. 4.5.3. Перетасовка входных данных для алгоритма БПФ с N 8

Определим возможный выигрыш во времени по предлагаемому алгоритму БПФ по сравнению с вычислением ДПФ на основе формул (4.5.1) и (4.5.3):

TДПФ ТБПФ

N 2t y ( N / 2)t y log2 N

2N . log2 N

Имеем следующие значения введѐнного показателя эффективности: N 512, 9 113, N 1024, 10 204, N 8192, 13 1203. Из 162

полученных оценок выигрышей следует, что алгоритм БПФ радикально уменьшает временные затраты при вычислении ДПФ. Список вопросов для самопроверки к гл. 4 1. В чѐм состоит формулировка задачи аппроксимации дискретных наблюдений сигналов полигармоническими моделями и каковы особенности еѐ решения? 2. В чѐм состоят особенности задачи аппроксимации дискретных наблюдений сигналов на основе моделей, линейных по части параметров? 3. В чѐм состоит формулировка задачи аппроксимация дискретных наблюдений сигналов на основе дискретного преобразования Фурье для действительного случая? 4. В чѐм состоит формулировка задачи аппроксимация дискретных наблюдений сигналов на основе дискретного преобразования Фурье для комплексного случая? 5. В чѐм состоит алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье для комплексной синусоиды? 6. В чѐм состоит определение для разрешающей способности ДПФ? 7. Какие свойства дискретного преобразования Фурье приведены в разд. 4.2? 8. В чѐм заключается формулировка теоремы Парсеваля для случая непрерывных сигналов? 9. Каким образом реализуется вывод теоремы Парсеваля для случая дискретных сигналов? 10. В чѐм состоит определение для функции спектральной плотности мощности сигналов (СПМ)? 11. Каким образом реализуется вывод оценки функции СПМ для стационарных эргодических дискретных сигналов? 12. Для каких целей применяются временные окна? 13. Каким образом реализуется алгоритм вычисления оценок параметров сигналов на основе функции СПМ? 14. Каким образом определяется функция взаимной спектральной плотности мощности сигналов (ВСПМ)? 15. Каким образом реализуется алгоритм вычисления оценок разностей фаз на основе функции ВСПМ? 163

16. Каким образом реализуется алгоритм вычисления оценок передаточных функций линейных систем на основе функции ВСПМ? 17. Каким образом реализуется алгоритм вычисления оценок функции когерентности на основе функций СПМ и ВСПМ? 18. Каким образом реализуется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ)? Список задач к гл. 4 1. Вычислить коэффициенты ДПФ ck , если

y(i), i 0, 1,..., N 1, сk

1N1 y(i)W Ni 0

ki ,

k 0, 1,..., N 1,

для заданных временных дискретных последовательностей: 1) y(i) Ae j (2 f0Ti ) ; y 0, 1,..., N 1; k 0, 1,..., N 1; 2) y(i) Acos(2 f0Ti ); i 0, 1,..., N 1; k 0, 1,..., N 1; 3) y(i) Asin(2 f0Ti ); i 0, 1,..., N 1; k 0, 1,..., N 1;

1, i 0,..., N0 1; k 0, 1,..., N 1; 0, i N0 ,..., N 1, 1, i i0 ; k 0, 1,..., N 1; 5) y(i) 0, i 0,..., i0 1, i0 1,..., N 1, 1, i N1,..., N2 1; k 0, 1,..., N 1; 6) y(i) 0, i 0,..., N1 1, i N2 ,..., N 1, 7) y(i) Ae Ti ; i 0, 1,..., N 1; k 0, 1,..., N 1; 8) y(i) Ae Ti ; cos(2 fTi ); i 0, 1,..., N 1; k 0, 1,..., N 1; Asin(2 f0Ti ), i 0,..., N0 1; 9. y(i) , k 0, 1,..., N 1; 0, i N0 ,..., N 1, Asin(2 f0Ti), i N1,..., N2 1; k 0, 1,..., N 1; 10) y(i) 0, i 0,..., N1 1, i N2 ,..., N 1, 11) y(i) Ti; i 0, 1,..., N 1; k 0, 1,..., N 1; 12) y(i) x(i) z(i); k 0, 1,..., N 1 13) y(i), i 0, 1,..., N 1, y (i) y(i i0 ), k 0, 1,..., N 1; 4) y(i)

164

14) y(i), i 0, 1,..., N 1, y(i)

y(i)e

j ( Ti

),

k 0, 1,..., N 1; 15) y(i) x(i)z(i), k 0, 1,..., N 1. 2. Определить характеристики разрешения составляющих двухчастотного сигнала на основе ДПФ y(Ti) A1 cos2 f1Ti A2 cos2 f2Ti, i 0, 1,..., N 1. 1. Разрешимы ли составляющие сигнала с параметрами: A1 1,0; A2 1,5; f1 5 Гц; f2 5,5 Гц; T 0,01 c; N 512? 2. Разрешимы ли составляющие сигнала с параметрами: A1 1,0; A2 1,5; f1 5 Гц; f2 10,5 Гц; T 0,01 c; N 512? 3. Для параметров сигнала: A1 1,0; A2 1,5; f1 5 Гц; f2 5,5 Гц; T 0,01 c, какое необходимо задать N для обеспечения разрешения составляющих? 4. Для параметров сигнала: A1 1,0; A2 1,5; f1 5 Гц, f2 5,5 Гц, какой необходимо задать интервал наблюдения NT для обеспечения разрешения составляющих? 5. Для параметров cигнала: A1 1,0; A2 1,5; f1 5 Гц и интервала наблюдения NT 4 c, какое минимальное значение частоты f 2 может обеспечить разрешение составляющих?

165

Глава 5. ДИСКРЕТНЫЕ СВЁРТКИ 5.1. Определения дискретных свёрток Дискретные свѐртки достаточно часто встречаются в различных задачах ЦОС, например при вычислении выходных сигналов линейных динамических систем. Приведѐм определения для дискретных свѐрток, основываясь на предварительных сведениях, помещѐнных в разд. 1.2.2. Пусть заданы две последовательности h(i), y(i), определѐнные в дискретных точках. Первая последовательность h(i) служит ядром свѐртки, вторая последовательность y(i) представляет собой дискретные значения входного сигнала. Будем полагать, что дискретные индексы для указанных последовательностей могут принимать значения в заданных диапазонах. Этим двум последовательностям ставится в соответствие выходная дискретная последовательность x(i). Устанавливаются нижние и верхние пределы суммирования в свѐртках S1, S2 и пределы изменения индексов I1, I2 для выходной последовательности. Дискретные свѐртки с постоянными и с переменными пределами суммирования представляются формулами S2

x(i)

S2 (i )

h(i s) y(s), x(i) s S1

h(i s) y(s), I1 i I 2 . (5.1.1) s S1(i )

Свѐртка двух бесконечных последовательностей h(i), y(i) определяется следующим образом:

x(i)

h(i s) y(s),

i

.

(5.1.2)

s

Свѐртки типа (5.1.2) называются линейными, их не следует путать с круговыми свѐртками для периодических последовательностей, которые будут рассматриваться позже. Целесообразно отметить существенное обстоятельство для свѐрток – различное направление изменения (с разными знаками) индексов сомножителей при суммировании. Задачи, которые возникают при нахождении дискретных свѐрток, состоят, в основном, 166

в эффективном вычислении по точности и быстродействию выходной последовательности x(i) для заданных дискретных последовательностей h(i), y(i) с учѐтом их особенностей. 5.2. Вычисление прямых и обратных круговых свёрток Перейдѐм к определению круговых свѐрток (прямых круговых свѐрток). Пусть заданы дискретные периодические с периодом N последовательности h(i), i , h(i) h(i N), x(i), y(i) y(i N). По определению дискретная круговая свѐртка представляется выражением N 1

h(i s) y(s), i 0, 1,..., N 1.

x(i)

(5.2.1)

s 0

Процедуру вычисления круговой свѐртки удобно наглядно представить на круговых диаграммах, изображѐнных на рис. 5.2.1а, 5.2.1б в виде систем из внутренней и внешней окружностей, которые могут пошагово вращаться друг относительно друга.

Рис. 5.2.1б. Процедура вычисления круговой свѐртки для i = 1, N = 12

Рис. 5.2.1а. Процедура вычисления круговой свѐртки для i = 0, N = 12

Значения

для периодического входного сигнала y(s), s 0, 1,..., N 1, располагаются на внутренней окружности данной круговой диаграммы, значения для периодического ядра – на внешней окружности. Нахождение свѐртки x(i), i 0, 1,..., N 1, сводится к пошаговому вращению внешней окружности с после167

дующим попарным умножением и суммированием. На рис. 5.2.1а, 5.2.1б проиллюстрировано вычисление x(0), x(1): N 1

x(0)

N 1

h(0 s) y(s), x(1) s 0

h(1 s) y(s). s 0

Сделаем в свѐртке (5.2.1) замену переменных: i s m. Из равенства s 0 получаем m i; из s N 1 следует m i (N 1). Тогда на основе изменения пределов суммирования записывается равенство для новой круговой свѐртки: i ( N 1)

h(m) y(i m), i 0, 1,.., N 1.

x(i) m i

Проанализировав вычисления на представленной круговой диаграмме, нетрудно заметить, что результат суммирования не изменится, если произвольно изменить точку начала и направление суммирования на круговой диаграмме. Справедливо равенство N 1

x(i)

h(m) y(i m).

(5.2.2)

m 0

Круговую свѐртку в ряде случаев удобно представлять с помощью введения векторно-матричных переменных:

x

H

x(0) x(1)

,

y

x( N 1) h(0), h( 1), h(1 0), h(1 1), h(( N 1) 0)

y(0) y(1)

,

y( N 1) h( ( N 1)) h(1 ( N 1))

, (5.2.3)

h(( N 1) ( N 1))

где выходные и входные векторы x, y имеют размерность (N, 1), матрица свѐртки H имеет размерность ( N, N). Результат свѐртки с использованием (5.2.3) записывается в виде векторно-матричного произведения x Hy. Очевидно, что временные затраты на нахождение свѐртки, если следовать в вычислениях непосредственно определению (5.2.2), 168

(5.2.3), сравнимы с временными затратами на нахождение ДПФ по прямым формулам. Рассмотрим алгоритм вычисления круговых свѐрток, позволяющий существенным образом уменьшить временные затраты. Возьмѐм выражение для круговой свѐртки (5.2.1), найдем ДПФ от его левой и правой части:

1N1 x(i)W Ni 0

ki

1N1 W Ni 0

N 1 ki

h(i s) y(s). s 0

Переставив порядок суммирования, с учѐтом периодичности, получим

сx (k )

1N1 y(s)W Ns 0

ks N

1N1 h(i s)W kiW ks Ni 0

1N1 1N1 y(s)W ks N h(i s)W k (i s) . Ns 0 Ni 0 Окончательно запишем выражение в частотной области через произведения ДПФ cx (k ) Ncy (k )ch (k ), k 0, 1,..., N 1. (5.2.4) Круговые свѐртки могут быть вычислены на основе обратного дискретного преобразования Фурье для произведений ДПФ входной последовательности и дискретной последовательности ядра: N 1

cy (k )ch (k )W ki , i 0, 1,..., N 1.

x(i) N k 0

Временные затраты по предлагаемому методу эквивалентны выполнению трѐх ДПФ и N комплексных умножений. Выигрыш по времени при вычислении круговых свѐрток в частотной области очевиден. Рассмотрим алгоритм вычисления обратных круговых свѐрток. Нахождение свѐрток, о которых шла речь, обычно интерпретируется как прямая задача, связанная с определением выходной реакции линейной системы с известной импульсной переходной функцией на заданное входное воздействие. Однако возможна другая постановка, имеющая широкие приложения, состоящая в необходимости определения входного воздействия на линейную систему по известной выходной реакции и известной импульсно-переходной функции – эта задача интерпретируется как обратная. 169

Запишем выражение для дискретной круговой свѐртки в скалярном и эквивалентном векторно-матричном виде N 1

h(i s) y(s), i 0, 1,..., N 1, x Hy.

x(i) s 0

Нахождение

вектора

yT

входного воздействия на систему ( y(0), y(1),..., y(N 1)) по известному выходному вектору

xT

(x(0), x(1),..., x(N 1)) и квадратной матрице свѐртки H из

(5.2.3) сводится к решению системы линейных уравнений и записывается в виде y H 1x. Решение подобной задачи во временной области сопряжено со значительными проблемами – необходимо, чтобы матрица H имела ненулевой определитель – матрица должна быть хорошо обусловленной и размерность этой матрицы должна быть не очень большой, для обеспечения эффективного решения системы линейных уравнений. В большинстве практических задач последнее условие в ряде случаев трудно обеспечить. Нахождение искомого вектора y, с учѐтом сказанного, удобно производить в частотной области с использованием процедур ДПФ. Воспользуемся сделанной записью свѐртки (5.2.4) на основе ДПФ, выразим ДПФ для искомого входного вектора y через отношение ДПФ выходного вектора x ДПФ переходной функции – ядра, и далее вычислим обратное ДПФ

c y (k )

N 1 1 cx (k ) , y(i) cy (k )W ki N ch (k ) k 0 i 0, 1,..., N 1.

N 1 k

1 cx (k ) ki W , 0 N ch (k )

Предложенное решение задачи – вычисление обратной свѐртки в частотной области с точки зрения временных затрат, очевидно, значительно эффективнее процедуры решения во временной области. 5.3. Вычисление апериодических свёрток Рассмотрим алгоритмы вычисления апериодических свѐрток. Пусть последовательности h(i), y(i), входящие в свѐртки (5.1.1), определены в N1, N2 точках, h(i) 0 для i 0, i N1, y(i) 0 для 170

i 0, i N2 . Апериодическая свѐртка определяется следующим выражением i

x(i)

h(i s) y(s), i 0, 1,..., N1 N2 2.

(5.3.1)

s 0

На рис. 5.3.1 схематически изображена процедура вычисления апериодической свѐртки, основанный на движении вправо графика функции h(i s) за счѐт увеличения индекса i.

Рис. 5.3.1. Процедура вычисления апериодической свѐртки

Последовательность x(i) определена в N1 N2 1 точках. Если раскрыть выражение для апериодической свѐртки, то из представления суммы x(i) h(i) y(0) h(i 1) y(1) ... h(0) y(i) следует возможность следующей записи: i

x(i)

h(s) y(i s). s 0

Апериодические свѐртки могут быть сведены к круговым. Введѐм последовательности h1(i), y1(i), определѐнные в N1 N2 1 точках: h1(i) h(i), 0 i N1 1, h1(i) 0, N1 i N1 N2 2, y1(i) y(i), 0 i N2 1, y1 (i) 0, N2 i N1 N2 2. 171

Периодически продолжим последовательности h1 (i), y1 (i) с периодом N1 N2 1. После доопределения можно убедиться в справедливости записи исходной апериодической свѐртки в форме круговой: N1 N2 2

x1 (i)

h1(i s) y1(s), i 0, 1,..., N1 N2 2, s 0

и возможности равенства x1(i) x(i). Сведение апериодических свѐрток к круговым в ряде случаев не всегда удобно реализовывать, когда длина одной последовательности много больше длины другой, например при N2 N1. Разобьѐм интервал определения свѐртки на некоторое число состыкованных участков – локальных интервалов, и вычислим основную свѐртку по частям – осуществим секционирование свѐртки. Положим, что N1 N2 1 Nm, m – число локальных интервалов; N – число точек на локальном интервале. Последовательность y1 (i) разобьѐм на сумму m подпоследовательностей y1 j (i), j 1,..., m :

y1 j (i)

y1(i), N( j 1) i Nj 1, y1 j (i) 0, i N( j 1), i Nj 1. Благодаря такому определению входная последовательность может быть сформирована в виде суммы m

y1 (i)

y1 j (i). j 1

Выпишем выражение для образующихся секционированных свѐрток Nj 1

x j (i)

h1(i s) y1 j (s), i N ( j 1),..., Nj 1 N1, s N ( j 1)

j 1,..., m. Получим окончательный результат – апериодическая свѐртка представляется суммой перекрывающихся свѐрток m

x(i)

x j (i), i 0, 1,..., N1 N2 2. j 1

172

Вычисление x j (i) сводится к короткой круговой свѐртке размерности N N1 1, нахождение x(i) эквивалентно вычислению m круговых свѐрток длиной N N1 1 точек. Видно, что x j (i) определена в N

N1 1 точках, тогда как подпоследовательность y1 j (i) имеет длину N, поэтому суммирование при вычислении исходной свѐртки осуществляется с «перекрытием». Список вопросов для самопроверки к гл. 5 1. В чѐм состоит определение для круговых свѐрток? 2. Каким образом реализуется вычисление круговых свѐрток на круговой диаграмме? 3. Каким образом вычисление круговых свѐрток сводится к вычислениям ДПФ? 4. В чѐм состоит отличие определения для апериодических свѐрток от определения круговых вѐрток? 5. Каким образом вычисление апериодических свѐрток сводится к вычислению круговых свѐрток? 6. Каким образом реализуется секционирование апериодических свѐрток?

173

Глава 6. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ 6.1.

Разностные уравнения и импульсно-переходные функции цифровых фильтров

6.1.1. Разностные уравнения цифровых фильтров Разностные уравнения для цифровых фильтров (ЦФ) задаются соотношениями типа m

x(i)

k

as y(i s), i 0, 1, 2... .

br x(i r) r 1

(6.1.1)

s 0

В соответствии с (6.1.1), ЦФ осуществляют линейное преобразование входного сигнала в виде скалярной последовательности , y(i) y(Ti) , определѐнной для дискретных индексов k i в выходной сигнал в виде последовательности x(i) x(Ti) , . Здесь T – интервал дискретизации, хотя в явном виде m i разностные уравнения (6.1.1) не зависят от T. ЦФ полностью определяется набором коэффициентов разностного уравнения – весовыми параметрами b1 , b2 ,...,bm , a0 , a1 ,...,ak , и, как следствие, целыми числами m, k , которые задают порядок ЦФ. Формирование выходной последовательности начинают с дискретного индекса i 0 . Значение х(0) вычисляется на основе m начальных условий для входной последовательности x( 1), x( 2),..., x( m) и k 1 значений входной последовательности у(0), y( 1),..., y( k); х(1) для n 1 вычисляется на основе m значений входной последовательности х(0), x( 1),..., x( m 1) и k 1 значений входной последовательности у(1), у(0),..., y( k 1) и т.д. Выходной сигнал ЦФ (6.1.1) состоит из суммы сдвинутых и взвешенных значений входного сигнала – скользящего среднего входного сигнала и обратной связи – суммы сдвинутых и взвешенных значений выходного сигнала. ЦФ делятся на два класса. К первому классу относятся нерекурсивные цифровые фильтры (НРЦ-фильтры) или фильтры скользя174

щего среднего, разностные уравнения для которых представляются соотношением k

as y(i s), i 0, 1, 2... .

x(i)

(6.1.2)

s 0

Сигнал с выхода таких фильтров не зависит от обратной связи. Ко второму классу относятся рекурсивные цифровые фильтры (РЦфильтры), являющиеся фильтрами общего вида, разностные уравнения для которых определены в (6.1.1); для этих фильтров выходной сигнал зависит от сигнала обратной связи. Следует отметить один частный вид РЦ-фильтров без скользящего усреднения m

br x(i r) a0 y(i), i 0, 1, 2... .

x(i) r 1

В качестве примера приведѐм разностное уравнение ЦФ первого порядка в виде цифрового апериодического звена x(i) b1x(i 1) a0 y(i) (6.1.3) и разностное уравнение ЦФ второго порядка в виде колебательного звена – цифрового резонатора x(i) b1x(i 1) b2 x(i 2) a0 y(i). (6.1.4) На рис. 6.1.1а приведена иллюстрация выходного сигнала фильтра первого порядка (6.1.3) при действии входного единичного ступенчатого воздействия, полученная в результате математического мо0,75; делирования. Для расчѐта брались значения a0 0,15; b1 y(i) 1 для i 0, 1,..., 19 . Начальное условие x( 1) 0,133. Видно, что дискретные значения выходного сигнала фильтра x(i) для

i 0, 1,..., 19 стремятся асимптотически к величине y1 ( ) a0 / (1 b1) 0,15/ (1 0,75) 0,6. Рис. 6.1.1б содержит изображение выходного сигнала фильтра второго порядка (6.1.4) при действии единичного воздействия y(i) 1 для i 0, 1,..., 34. При моделировании для параметров фильтра были выбраны значения а0 0,55 и b1 0,95; b2 0,75, начальные условия – x( 1) 0,354; x( 2) 1,6367. Выходной сигнал x(i), i 0, 1,..., 34, представляет собой дискретные затухающие колебания, которые стремятся асимптотически к постоянной величине y2 ( )

a0 / (1 b1 b2 )

0,55/ (1 0,95 0,75) 0,203. 175

Рис. 6.1.1а. Выход ЦФ первого порядка при действии ступенчатого единичного входного сигнала

Рис. 6.1.1б. Выход ЦФ второго порядка при действии ступенчатого единичного входного сигнала

Возможно дальнейшее обобщение для ЦФ, когда входная y(i) и выходная x(i) последовательности являются векторами размерности q, p а весовые параметры – матрицами Br , As размерности

( p, p), ( p, q): 176

y(i)

y1 (i) y2 (i) , x(i) ... yq (i)

As

x1 (i) x2 (i)

, Br

x p (i)

b11,r b21,r

b12,r b22,r

b1 p,r b1 p,r

bp1,r

bp 2,r

bpp,r

a11,s a21,s

a12,s a22,s

a1q,s a1q,s

aq1,s

aq 2,s

aqq,s

,

.

Векторно-матричный фильтр записывается с использованием введѐнных обозначений m

x(i)

k

As y(i s), i 0, 1, 2... .

Br x(i r ) r 1

s 0

Очевидно, любой рекурсивный скалярный фильтр общего вида с помощью новых обозначений для сдвинутых переменных может быть записан в матрично-векторной форме. Действительно, для примера (6.1.4) введѐм новые переменные x1(i) x(i),

x2 (i) x(i 1) и вектор xT (i) (x1(i), x2 (i)), тогда x2 (i 1) x(i 2) и ЦФ (6.1.4) может быть переписан в виде дискретной системы x1(i) b1x1(i 1) b2 x2 (i 1) a0 y(i), x2 (i) x1(i 1). (6.1.5) Система (6.1.5), в свою очередь, может быть представлена в виде матрично- векторного ЦФ первого порядка b1 b2 a0 В1x(i 1) А0 y(i). , А0 , x(i) В1 1 0 0 6.1.2. Импульсно-переходные функции ЦФ Импульсно-переходные функции ЦФ, зависящие от целочисленных аргументов, позволяют без обратной связи, напрямую, связать значения входного сигнала с выходным. Рассмотрим общий вид ЦФ (6.1.1) в виде РЦ-фильтра. Заметим, что РЦ-фильтр является линейной структурой: если проследить по формулам (6.1.1) образование выходного сигнала для i-го момента, начиная с 177

i 0, 1, 2,..., то нетрудно понять, что для РЦФ выходной сигнал x(i) представляется в виде некоторой линейной комбинации значений начальных условий x( 1), x( 2),..., x( m) и последовательности входного сигнала y(i), y(i 1),..., y(0), y( 1), у( 2),..., y( k). Введѐм весовые коэффициенты h(i, s), h0 (i, r ), которые всегда можно определить из разностных уравнений в виде громоздких зависимостей от целочисленных переменных i, s, r. Запишем выходной сигнал РЦФ x(i) с использованием взвешенных сумм m

i

x(i)

h0 (i, r ) x( r ) r 1

h(i, s) y(s). s

(6.1.6)

k

Функции двух переменных h(i, s), определѐнные в дискретных точках, обычно называются импульсно-переходными. Необходимо, однако, иметь в виду, что выходной сигнал x(i) зависит от функции h(i, s) и функции h0 (i, r), учитывающей вклад начальных условий. Если начальные условия являются нулевыми, то формула связи (6.1.6) упрощается: i

h(i, s) y(s).

x(i) s

(6.1.7)

k

Таким образом, основываясь на (6.1.6), (6.1.7), выходной сигнал ЦФ с помощью импульсно-переходной функции может быть напрямую связан со входным сигналом. Рассмотрим вычисление импульсно-переходной функции для рекурсивного скалярного фильтра первого порядка

x(i)

b1x(i 1) a0 y(i).

Выразим x(0) через x( 1), y(0), затем x(1) через x( 1), y(0), y(1) и т.д.: x(0) b1x( 1) a0 y(0), x(1) b1x(0) a0 y(1) b1 ( b1x( 1) a0 y(0)) a0 y(1)

x(2)

b12 x( 1) b1a0 y(0) a0 y(1) , b1x(1) a0 y(2) b1 (b12 x( 1) b1a0 y(0) a0 y(1)) a0 y(2) b12 x( 1) b12a0 y(0) b1a0 y(1) a0 y(2), … 178

Из приведѐнных выкладок заключаем, что для i-го шага справедливо выражение, позволяющее вычислить значение x(i) через начальное условие x( 1) и входную последовательность y(0),

y(1),..., y(i): i

x(i) ( 1)i 1b1i 1x( 1)

( 1)i s b1i s a0 y(s).

(6.1.8)

s 0

Исходя из (6.1.8) можно записать формулу для импульснопереходной функции h(i, s) ( 1)i s b1i s a0 и функции h0 (i,1)

( 1)i 1b1i 1. Очевидно, что нахождение импульсно-переходных функций для ЦФ порядка выше первого сопряжено со сложными выкладками. Для векторно-матричной формы ЦФ первого порядка вывод, аналогичный (6.1.8), не должен измениться: n

x(i) ( 1)i 1 B1i 1x( 1)

( 1)i s B1i s A0 y(s).

(6.1.9)

i 0

Из (6.1.8), (6.1.9) следует, что импульсно-переходные функции зависят от разности аргументов

h(i, s) ( 1)i s b1i s a0 h(i s) и могут быть представлены как функции одного положительного целочисленного аргумента h(m), m 0, 1, 2,... . Выходной сигнал рекурсивного фильтра представляется в виде свѐртки. При нулевом начальном условии справедлива компактная запись для выходного сигнала i

x(i)

i

h(i s) y(s) s 0

h(s) y(i s).

(6.1.10)

s 0

Из (6.1.10) видно, что импульсно-переходная функция фильтра при нулевых начальных условиях тождественно равна реакции фильтра на импульсное единичное входное воздействие:

y(i) 1, i 0, y(i) 0, i 0, x(i) h(i). Для импульсно-переходных функций НРЦ-фильтров, с учетом формул (6.1.10), нетрудно убедиться, что справедливы следующие равенства: k

as y(i s), h(0) a0 , h(1) a1,..., h(k ) ak .

x(i) s 0

179

В данном случае импульсно-переходные функции определены в конечном числе точек. Фильтры, имеющие такие импульснопереходные функции, называются КИХ-фильтрами. РЦ-фильтры имеют импульсно-переходные функции, определѐнные в бесконечном числе точек; такие фильтры называются БИХ-фильтрами. 6.2. Передаточные функции и условие устойчивости для ЦФ 6.2.1. Передаточные функции для ЦФ Передаточные функции (ПФ) для ЦФ определяются его выходным сигналом в установившемся режиме при действии на входе фильтра единичного дискретного комплексного синусоидального сигнала

y(Тi) e j

Ti ,

0 i

,

где T – интервал дискретизации, частота входного сигнала – 2 f . В установившемся режиме выходной сигнал ЦФ представляет собой комплексную синусоидальную функцию с частотой входной синусоиды и отличающуюся от входной синусоиды амплитудными и фазовыми искажениями, которые зависят от частоты. Проиллюстрируем этот факт с помощью математического моделирования. Рассмотрим ЦФ первого порядка в виде цифрового апериодического звена (6.1.3) со входным сигналом в виде синусоиды

x(i)

b1x(i 1) a0 y(Тi), y(Ti) Asin(2 fTi i 0, 1,..., N 1.

), (6.2.1)

Для расчѐтов брались значения параметров фильтра a0

0,15; 2,636; T 0,01; N 80;

b1 0,55, начальное условие x( 1) A 1; f 5,0 Гц; /2. На рис. 6.2.1 пунктирной линией изображѐн вычисленный входной синусоидальный сигнал y(Ti), время наблюдения составляет величину T (N 1) 0,79 c, сплошной линией изображѐн вычисленный выходной сигнал ЦФ x(i) x(Ti). Видно, что после непродолжительного переходного процесса наступает установившийся режим – на выходе ЦФ формируется установившийся синусоидальный сигнал x0 (Ti) A0 sin(2 f Ti с частотой входного сигнала и с амплитудными и фазовыми искажениями. Из анализа графика выходного сигнала можно 0)

180

сделать приближѐнные оценки для искажѐнной амплитуды, которая равняется А0 0,25 и фазового запаздывания, равного 0

0,55.

Рис. 6.2.1. Моделирование установившегося режима для ЦФ

Введѐм комплексный коэффициент H ( j T ), не зависящий от дискретного индекса i и позволяющий связать входной y(Ti) и выходной x(Ti) комплексные синусоидальные сигналы вившемся режиме:

в устано-

x(Ti) H( j T ) y(Ti) H( j T ) e j Ti . Коэффициент H ( j T ) по определению является передаточной функцией. Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты и может быть представлено в показательной форме H( j T ) H1( T ) jH2 ( T ), H( j T ) H ( j T ) e j ( T ) , где H ( j T ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) для ЦФ; ( T ) – его фазочастотная характеристика (ФЧХ). Произведѐм вычисления для сдвинутых комплексных синусоид

y(i s) e j T (i s) e j Tie j Ts , x(i r) H( j T ) y(i r) H( j T ) e j Ti e

j Tr .

Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции ЦФ 181

m

H ( j T )e j

Ti

k

br H( j T ) e j

Ti e j Tr

as e j

r 1

Ti e j Ts ,

s 0 k j Ts

as e s 0 m

H( j T)

.

1

br e

(6.2.2)

j Tr

r 1

АЧХ и ФЧХ, которые вычисляются на основе ПФ (6.2.2), позволяют определить амплитудные и фазовые искажения для выходного синусоидального сигнала. Любому разностному уравнению ЦФ вида (6.1.1) может быть поставлена в соответствие передаточная функция вида (6.2.2). К примеру, для разностного уравнения

x(i) 2x(i 1) 3x(i 2) 4x(i 3) 5y(i) 6 y(i 1) передаточная функция для фиксированного значения интервала дискретизации T будет иметь вид

H( j T )

1 2e

j

5 6e j T T 3e j 2T 4e

j 3T

.

Приведѐм выражения передаточных функций для ЦФ первого и второго порядка вида (6.1.3), (6.1.4)

H( j T)

a0 1 b1e

j T

a0

, H( j T)

1 b1e

j T

b2e

j 2T

.

(6.2.3)

Очевидно, ПФ является периодической функцией частоты с периодом 2 T . В самом деле j

2 Ts T

2 T . T Для действительных параметров ЦФ a0 , a1,..., ak , , b1,..., bm

e

АЧХ N

ej

Ts e j 2 s

ej

Ts ,

H( j T) H j

симметрична относительно частоты Найквиста 2 f N 2 / 2T. Представим ПФ в виде суммы косинусных и

синусных членов, положим b0 1 k

k

as cos Ts

H( j T )

j

s 0 m

as sin Ts s 0 m

br cos Tr r 0

j

br sin Tr r 0

182

.

Рассмотрим , 1 Т

частоты,

симметричные относительно N, . Заметим, что 2 Т cos 1Ts cos 2Ts, sin 1Ts sin 2Ts. Введѐм функции частоты A( ), B( ) для действительной и мнимой части числителя ПФ, ( ), ( ) – для действительной и мнимой части знаменателя ПФ. С учѐтом того, что все параметры являются действительными, получим следующие соотношения

H ( j 1T )

A( 1 ) jB( 1 ) , H ( j 2T ) ( 1) j ( 1)

A( (

2)

jB( 2 ) , 2) j ( 2)

H ( j 1T ) H*( j 2T ). Из последнего равенства вытекает свойство симметрии АЧХ (ФЧХ) H ( j 1T ) H ( j 2T ) , ( 1) ( 2 ). Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству 0 Т 2 . Иногда целесообразно введение нормированной частоты w T /2 , и определение ПФ H (w) в виде функции введѐнной нормированной частоты с учѐтом ограничения 0 w 1. Для действительных параметров ПФ можно ограничиться диапазоном 0 w 0,5. В том случае, если значения АЧХ изменяются в широких пределах, удобно для графических рассмотрений применять логарифмический масштаб LH (w) 20log10 H (w) . Изменение АЧХ H (w) в десять раз соответствует изменениям АЧХ в логарифмическом масштабе на 20 Дб. Пользуясь таким масштабом, на одном графике можно изобразить значения АЧХ для большого динамического диапазона по амплитуде. Вычислим АЧХ H ( j T ) и ФЧХ ( Т ) для цифрового апериодического звена, сделав необходимые преобразования в (6.2.3):

H( j T)

H1 ( T )

a0 a0 j T 1 b1 cos T jb1 sin T 1 b1e a0 (1 b1 cos T ) ja0b1 sin T , (1 b1 cos T )2 (b1 cos T )2

a0 (1 b1 cos T ) a0b1 sin T , H2 ( T ) , 2 1 2b1 cos T b1 1 2b1 cos T b12 183

(H12 ( T ) H22 ( T ))1/2 a0 , (6.2.4) 2 (1 b1 2b1 cos T )1/2 b1 sin T . ( Т ) arctg(H2 ( T ) / H1( T )) 1 b1 cos T На рис. 6.2.2 представлено изображение АЧХ H (w) и ФЧХ (w) H( j T

из (6.2.4) для нормированной частоты w в диапазоне 0 w 1. Па0,55, T 0,01 c. раметры ЦФ принимали значения a0 0,15; b1 Действительный полюс данного ЦФ располагается на правой полуоси.

Рис. 6.2.2а. АЧХ для цифрового апериодического звена

Рис. 6.2.2б. ФЧХ для цифрового апериодического звена 184

Видно, что АЧХ симметрична и ФЧХ антисимметрична относительно w 0,5. Оценка амплитудного искажения может быть оценена на основе рис. 6.2.2а; для f 5 Гц и частоте Найквиста f N 1/ 2T 50 Гц вычислим нормированную частоту w f / f N 0,1 и H (0,1) 0,25. Оценка фазового запаздывания определяется из рис. 6.2.2б – (0,1) 0,55. Многие практические задачи, связанные с анализом и построением ЦФ, решаются с помощью представлений ПФ на комплексной плоскости. Вводится переменная с обозначением z 1 e j T , z e j T , которая представляет собой при фиксированной частоте некоторую точку единичной окружности на комплексной плоскости. Тогда запишем ПФ как функцию отношения полиномов от введѐнных переменных z 1, z : k

k

as z H (z

s

(z

s 0 m

1)

1

, H ( z) br z

s)

H0 z (m k ) sm1

r

, (z

r 1

r)

r 1

k

(z

H (z)

H0 zm k H0 (z),

H0 ( z )

s)

s 1 m

, (z

(6.2.5)

r)

r 1

где комплексные числа

s,

s 1,.., k, являются нулями;

r,

r 1,..., m, – полюсами ПФ; H0 может трактоваться как комплексный коэффициент усиления. Крайне полезно для задач ЦОС рассмотреть геометрическую интерпретацию ПФ. На рис. 6.2.3 изображена единичная окружность на комплексной плоскости. Угол Т задаѐт положение переменной z на единичной окружности – точку O, стрелкой обозначено направление положительного вращения. Точки с кружками соответствуют обозначению нулей ПФ ( А0 , А1,...), звѐздочки обозначают положение полюсов ( В0 , В2 ,...). Модули z s числителя ПФ H (z) определяются длинами векторов OAs ( T ) , соединяющих точку O с нулями

s.

Аналогичным образом вводятся мо185

дули векторов z r знаменателя ПФ, которые определяются длинами векторов OBr ( T ) , соединяющих точку O с полюсами s, r определяют угловой наклон векторов OAs ( T ) к . Углы и OBr ( T ).

Рис.6.2.3. Геометрическая интерпретация ПФ на комплексной плоскости

Модуль ПФ АЧХ представится как отношение произведений длин указанных векторов. ФЧХ для ЦФ, исходя из геометрической картины рис. 6.2.3, определится соответствующей угловой суммой для s , r , угол 0 задаѐтся параметром H0 : k

OAs ( T ) H( j T)

H 0 sm1

, OBr ( T )

( Т)

T (m k )

r 1 k

m s

s 1

r

0.

(6.2.6)

r 1

Рассмотрим пример построения АЧХ с использованием (6.2.6) для ЦФ в виде апериодического звена (6.1.3) с параметрами а0 0,15, b1 0,55, с расположением действительного полюса на левой полуоси, 1 0,55 (рис. 6.2.4а). Нетрудно видеть, что 186

ОВ0 ( Т ) (1 b12 2b1 cos( T ))1/2 , H0 a0 , ОA0 ( Т ) 1. Легко записать формулу для ПФ a0 . H( j T) 2 (1 b1 2b1 cos T )1/2 На рис. 6.2.4б представлена рассматриваемая АЧХ. Отметим существенную особенность данной АЧХ из-за расположения полюса – при возрастании частоты АЧХ возрастает.

Рис. 6.2.4а. Геометрическая интерпретация ПФ для апериодического звена на комплексной плоскости

Рис. 6.2.4б. АЧХ для цифрового апериодического звена с действительным полюсом на левой полуоси 187

Учитывая возможность рассмотрения ПФ на комплексной плоскости с введѐнной переменной z, найдѐм связь между ПФ, как функции z, и импульсно-переходной функцией. Запишем реакцию линейного фильтра с помощью импульснопереходной функции, для простоты рассмотрения примем начальные условия нулевыми i

h(i s) y(s), i 0, 1,...,

x(i)

.

s 0

На основании материалов разд. 2.6 можно сразу записать z-преобразования для выходной последовательности на основе произведения z-преобразований входной и весовой последовательностей

X (z)

H (z)Y (z).

Ясно, каким образом связывается импульсно-переходная функция и передаточная функция: ПФ на комплексной плоскости для принятой переменной z является z-преобразованием для импульснопереходной функции. 6.2.2. Устойчивость ЦФ Устойчивость ЦФ является исключительно важной характеристикой, которую необходимо принимать во внимание в задачах синтеза ПФ. Разберѐм определение устойчивости для ЦФ. Один из вариантов определения состоит в том, что ЦФ является устойчивым, если для любого ограниченного входного сигнала, поступающего на фильтр, выходной сигнал также является ограниченным. Это означает, что для входной последовательности с ограничением Y , для которого выполняется неравенство y(i) Y при любых i, ЦФ является устойчивым, если для выходной последовательности существует значение ограничения X , которое обеспечивает для любых i неравенство x(i) X . Очевидно, что КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми с точки зрения сделанного определения. Действительно, из разностного уравнения КИХ-фильтра при ограниченном входном сигнале и конечном числе ограниченных коэффициентов фильтра k

x(i)

s y(i s 0

188

s)

при y(i)

и as

Y i 0, 1,...,

A, s 0, 1,..., k,

следует, что выходной сигнал также ограничен k

x(i)

k

as y(i s) s 0

A

A(k 1)Y , X

y(i)

A(k 1)Y .

s 0

При синтезе ПФ для БИХ-фильтров следует иметь в виду, что одна и та же структура БИХ-фильтра при одних значениях параметров может быть устойчивой, при других значениях – неустойчивой. Приведѐм здесь достаточные условия устойчивости БИХфильтров. Разберѐм простой пример, позволяющий прояснить существо подхода. Пусть рассматривается БИХ-фильтр первого порядка с параметрами b1, a0 , которые в общем случае являются комплексными. Запишем разностное уравнение и выражение для передаточной функции:

x(n)

a0 , H ( z) 1 b1z 1

b1x(n 1) a0 y(n), H ( z 1)

a0 z . z b1

Полюс фильтра H0 ( z) является единственным и может быть легко найден: 1 b1. Воспользуемся уже выведенной формулой (6.1.8) для связи выходного и входного сигнала i

x(i) ( 1)i 1b1i 1x( 1)

( 1)i s b1i s a0 y(s). s 0

Из анализа этой формулы следует, что при b1

1 и ограниченном входном сигнале y(s) Y , s 0, 1,..., , всегда можно подобрать X , обеспечивающее неравенство x(i) X для любых i 0, 1,..., . Таким образом, для того, чтобы БИХ- фильтр первого порядка оказался устойчивым, достаточно выполнение условия: модуль полюса ПФ должен быть меньше единицы 1 1 – лежать внутри единичной окружности комплексной плоскости. Разобранный пример позволяет сделать обобщение. Обратимся к выражению для ПФ произвольного БИХ-фильтра (6.2.5), рассмотрим формулу для H0 ( z), сомножитель H0 zm k не влияет на устойчивость. Положим, что у ПФ для H0 ( z) нет кратных полюсов 189

и k m. Тогда можно записать разложение исходной ПФ в виде суммы ПФ-составляющих m

H0 ( z) Bm

H0r ( z), H0r ( z)

1 r 1

m

H0 ( z) Bm

1

Br z

, r

Br

r 1z

r

и выразить z-преобразование для выходного сигнала через сумму произведений z-преобразований входного сигнала и ПФ-составляющих m

X 0 ( z) Bm 1Y ( z)

H0r ( z)Y ( z). r 0

Видно, что для обеспечения устойчивости рассматриваемого БИХфильтра достаточно выполнения условия: все модули полюсов для ПФ-составляющих должны быть меньше единицы 1, r r 1,..., m, должны лежать внутри единичной окружности комплексной плоскости. Сформулированное достаточное условие не позволяет определить устойчивость в критическом случае для полюсов, лежащих на единичной окружности. Проделаем анализ на устойчивость БИХ-фильтра второго порядка, рассмотрим пример цифрового резонатора (колебательного звена). Воспользуемся разностным уравнением из (6.1.4)

x(i)

b1x(i 1) b2 x(i 2) a0 y(i).

Передаточная функция представляется следующим образом:

H ( z 1)

H(z)

z2

a0 1 b1z

1

b2 z

a0 z 2 = b1z b2 z 2 ( z

2

,

a0 z 2 0 )( z

1)

.

Полюса этого БИХ-фильтра находятся из квадратного уравнения 2

b1 b2 0: 0,1

b1 2

1 2 b 4b2 . 2 1

Чтобы фильтр был резонатором, необходима комплексная сопряжѐнность полюсов, которая достигается при выполнении условия 190

b12 4b2 0. На рис. 6.2.2 на плоскости (b1, b2 ) область таких параметров лежит выше параболы b2 b12 /4. Чтобы полюса располагались внутри единичной окружности, необходимо выполнение неравенства 0 1

1,

b12 4

b2

b12 4

1, b2 1,

что соответствует области, лежащей ниже прямой b2 1. Параметры на плоскости (b1, b2 ), лежащие внутри луночки, обеспечивают устойчивость рассматриваемого цифрового резонатора.

Рис. 6.2.2. Область устойчивости цифрового резонатора

6.3. Задачи синтеза ЦФ 6.3.1. Классификация фильтров по типу АЧХ Как правило, построение ЦФ начинается с выбора варианта синтезируемой передаточной функции (варианта амплитудно-фазочастотной характеристики). Для решения этой части задачи синтеза целесообразно рассмотреть достаточно часто встречающуюся классификацию фильтров по типу АЧХ. Приведѐнные здесь варианты АЧХ являются функциями, которые зависят от нормированных цифровых частот w; разумеется, представленные АЧХ могут быть рассмотрены как функции аналоговых частот . Низкочастотные фильтры (lowpass-фильтры) реализуют функцию пропускания сигналов с низкими частотами с коэффициентом усиления 1 и непропускания сигналов с высокими частотами с коэффициентом усиления 0. Общий вид функций АЧХ таких фильтров, обозначаемых как H1(w) , в зависимости от нормированной частоты для диапазона 0 w 0,5, представлен на рис. 6.3.1а. 191

Рис. 6.3.1а. АЧХ для низкочастотных фильтров

Рис. 6.3.1б. АЧХ для высокочастотных фильтров

Для АЧХ таких фильтров могут быть справедливы следующие соотношения:

H1(wc ) 2

1 , H1(wс ) 1 0,707, lim H1(w) 1, w 0 2 2 lim H1(w) 0, w 0.5

где wс – нормированная частота среза АЧХ рассматриваемых фильтров отличаются крутизной в окрестности wс (рис. 6.3.1б); так, для рис. 6.3.1а уменьшение АЧХ от единицы до нуля происходит в диапазоне 0,15 w 0,25, для слу192

чая

рис. 6.3.1в

уменьшение

АЧХ

происходит

в

диапазоне

0,18 w 0,22.

Рис. 6.3.1в. АЧХ для низкочастотных фильтров с увеличенной крутизной

Рис. 6.3.1г. АЧХ с колебаниями для низкочастотных фильтров

Во втором случае АЧХ имеет большую крутизну, чем в первом. Идеальная АЧХ для низкочастотного фильтра удовлетворяет соотношениям H1 (w) 1 для 0 w w0 , H1(w) 0 для w0 w 0,5, где w0 – граничная частота, определяющая полосу пропускания. Для некоторых типов фильтров функции АЧХ (низкочастотные и др.) допускают колебания (рис. 6.3.1г). 193

Высокочастоные фильтры (highpass-фильтры) пропускают сигналы с высокими частотами и не пропускают сигналы с низкими частотами. Общий вид АЧХ таких фильтров, обозначаемых в виде функции H2 (w) , зависящей от нормированной частоты в диапазоне 0 w 0,5, изображѐн на рис. 6.3.1б. По аналогии с низкочастотными фильтрами, запишем H2 (wc ) 0,707; lim H2 (w) 0; lim H2 (w) 1. w 0,5

w 0

Полосовые пропускающие фильтры (bandpass-фильтры) реализуют функцию пропускания сигналов в заданной полосе частот. Возможный вариант функции АЧХ H3 (w) для полосовых пропускающих фильтров имеет вид, представленный на рис. 6.3.2а. Для указанных фильтров назначаются две частоты среза wc2 , wc2 , которые определяют нормированные частоты полосы пропускания. АЧХ полосовых фильтров удовлетворяет условиям lim H3 (w) 0, H3 (wc1 ) H3 (wc2 ) 0,707. lim H3 (w) w 0

w 0,5

Для идеальной АЧХ полосового пропускающего фильтра в области частот, удовлетворяющих неравенству wс1 w wс2 , должно выполняться условие H3 (w) 1 для 0 w wc1 , H3 (w)

0 для wc2

w 0,5 .

Рис. 6.3.2а. АЧХ для полосового пропускающего фильтра 194

Рис. 6.3.2б. АЧХ для полосового заграждающего фильтра

Полосовые заграждающие фильтры (stopbandpass-фильтры) задерживают сигналы в заданной полосе частот. Вариант АЧХ H4 (w) для полосовых задерживающих фильтров изображѐн на рис. 6.3.2б. Так же как и для полосовых пропускающих фильтров, для указанных фильтров назначаются две частоты среза wс1, wс2 . АЧХ полосовых заграждающих фильтров удовлетворяет условиям lim H4 (w) 1, H4 (wc1 ) H4 (wc2 ) 0,707. lim H4 (w) w 0

w 0,5

Приведѐнная классификация типов АЧХ не является полной. АЧХ, изображѐнные на рис.6.3.1а, 6.3.1б, 6.3.2а, 6.3.2б, являются базовыми. Целый ряд АЧХ для ЦФ может быть сформирован на основе рассмотренных базовых АЧХ. 6.3.2. Постановки задач синтеза ЦФ Разберѐм некоторые варианты постановок задач синтеза ЦФ. В самом общем случае задача синтеза ЦФ интерпретируется как задача аппроксимации. Пусть задаѐтся структура синтезируемого ЦФ – определены порядки числителя и знаменателя ПФ, что означает возможность формирования вектора с, состоящего из параметров фильтра. Задание структуры фильтра и набора параметров означает, что для любых значениях , T и вектора параметров с можно вычислить зна195

чения ПФ для синтезируемого ЦФ в виде модельной комплексной функции Hd (c, j T ). Далее в задаче синтеза задаѐтся эталонная комплексная ПФ H0 ( j ), которая должна быть аппроксимирована с помощью модельной ПФ Hd (c, j T ) синтезируемого ЦФ в заданной области частот, например для 0 f . Задача синтеза состоит в подборе оптимального вектора параметров ЦФ c , который должен служить решением задачи аппроксимации эталонной комплексной функции H0 ( j ) с помощью модельной комплексной функции Hd (c, j T ). Во многих практических случаях возможны ситуации, когда требуется решать задачу синтеза ЦФ, учитывая только АЧХ H0 ( j ) , ФЧХ при этом не принимается во внимание. В более общем случае синтезируются одновременно заданного вида АЧХ и ФЧХ. Иногда при синтезе учитываются дополнительные требования на передаточную функцию. Например, требование на вид ФЧХ – обеспечение линейности ( ) а ; требования к величинам порядков k , m для числителя и знаменателя ПФ; требования, предъявляемые к параметрам c C0 , для обеспечения устойчивости; иногда при синтезе может возникать требование к крутизне АЧХ (Дб/Гц) в некотором заданном диапазоне частот на основе обеспечения неравенства 01 02 dHd (c, j T ) / d . Рассмотрим более подробно синтез ЦФ как задачу аппроксимации. Пусть задан диапазон частот ( 0 , f ), на котором рассматривается построение ЦФ, определяется набор частот 0 , 1,..., N 1, f N 1, не обязательно распложенных равномерно, и в этих частотных точках задаются значения эталонной ПФ H0 ( j i ),

i 0, 1,..., N 1. Далее определяется модель ПФ Hd (c, j T ), зависящая от вектора параметров c. Модель для ПФ может быть задана двумя способами: на основе соотношения (6.2.2), выведенного из разностных уравнений 196

k j Ts

as e

, сT

s 0 m

Hd (c, j T ) 1

br e

(a0 ,..., ak , b1,..., bm ),

j Tr

r 1

и на основе соотношении (6.2.5), выведенного из представления ПФ на комплексной плоскости k

k

(z Hd (с, j Т )

(e j

s)

H0 z (m k ) sm1 (z

(H0 ,

s)

H0 z(m k ) sm1

, (e j T

r)

r 1

сT

T

r)

r 1

1,...,

k,

1,...,

m) .

В первом и втором случаях вектор c модели Hd (c, j T ) при фиксированных значениях порядков m, k имеет размерность m k 1. Требование устойчивости цифрового фильтра r 1, r 1,..., m, удобно сформировать из второй модели. Это требование эквивалентно назначению ограничения на параметры c C0 . Затем формируются разности комплексных передаточных функций H0 ( j i ), Hd (c, j iT ) и функционал S (c, H0 ), определяющий меру их близости

Hd (c, j iT ) H0 ( j i ) Hd (c, j iT ), i 0, 1,..., N 1, N 1

Hd* (c, j iT ) Hd (c, j iT ).

S (c, H0 ) i 0

Построение ЦФ сводится к решению задачи аппроксимации, решаемой на основе нелинейного программирования:

с

arg{min S (c, H0 )}. c C0

Отметим, что сформулированная в общем виде подобная задача синтеза ЦФ может быть решена для БИХ-фильтров только в исключительных случаях из-за того, что формируемая модель Hd (c, j T ) зависит от вектора параметров c достаточно сложным образом. Для КИХ-фильтров модельная Hd (c, j T ) линейно зависит от вектора c, аппроксимационная задача сводится к решению системы линейных уравнений. 197

Следует иметь в виду, что предложенная постановка является полезной для формирования правильного подхода к задачам синтеза ЦФ. 6.3.3. Метод билинейного z-преобразования Решение задачи построения ЦФ может быть достаточно просто и эффективно осуществлено на основе метода билинейного z-преобразования с использованием аналоговых фильтров-прототипов. Рассмотрим основные соотношения для реализации указанного метода. Заметим, что ПФ для аналоговых фильтров, являющаяся комплексной функцией, определена в верхней полуоси комплексной плоскости в точках p j а , ПФ для ЦФ определена на точках единичной окружности в точках z e j dT , где a , d – частоты аналоговых и цифровых фильтров. Пусть реализуется перевод точек единичной окружности комплексной плоскости в точки верхней полуоси с помощью конформного отображения, называемого билинейным p z 1 (6.3.1) p , z , z 1 p где играет роль масштабирующего множителя. Найдѐм связь аналоговых а и цифровых d частот для указанного преобразования

j

a

e j dT 1 ej d 1

j dT e 2

e

j dT e 2

j dT e 2

j dT 2

e

j dT 2

e

j dT 2

В дальнейшем будем полагать

, j

a

j tg

dT

2

.

1. С учѐтом введѐнной нор-

мированной частоты w d T /2 запишем два варианта формул для связи аналоговых и цифровых частот в результате билинейного преобразования переменных p и z: a

tg( dT /2), 198

a

tg( w) .

(6.3.2)

На рис. 6.3.3 изображѐн график нелинейной зависимости (6.3.2), связывающей аналоговые и цифровые нормированные частоты и w.

Рис. 6.3.3. График нелинейной зависимости для аналоговых и цифровых частот и w

Исходя из предлагаемого перевода частот по формуле (6.3.2), вытекающей из билинейного z-преобразования (6.3.1), может быть предложен метод преобразования ПФ аналоговых фильтровпрототипов в ПФ для ЦФ. В заданной ПФ аналогового фильтрапрототипа, зависящей от оператора Лапласа p, сделаем формальную замену переменной p в ПФ аналогового фильтра Ha (c, p) с помощью рассматриваемого билинейного преобразования. Получим ПФ цифрового фильтра Hd (c, z) , которая зависит от оператора z:

Hа c, p

z 1 z 1

Hd (c, z) .

Очевидно, что общий вид АЧХ ЦФ будет совпадать с АЧХ аналогового фильтра прототипа, изменится только масштаб по оси частот в соответствии с выведенными формулами (6.3.2) связи аналоговых и цифровых частот. Рассмотрим пример АЧХ H ( j ) аналогового фильтра второго порядка в виде колебательного звена H ( p): 199

H ( p)

2 0 k0

p2 2 p

, 2

H( j )

(

0

2 0

2 0 k0 2 )2

(2

)2

. (6.3.3)

На рис. 6.3.4 изображена АЧХ для рассматриваемого аналогового фильтра для численных значений 0 5; 0,9; k0 2,6. Применим к ПФ H ( p) (6.3.3) аналогового фильтра-прототипа билинейное преобразование, получим ПФ для ЦФ Н (z), H (z 1):

H ( z)

2 0 k0

z 1 z 1

2

z 1 2 0 z 1 2 2 0 k0 ( z 1) , ( z 1)2 2 ( z 1)( z 1) 02 ( z 1)2 z 2 2z 1 1 . (6.3.4) H (z 1) 02k0 2 2 1 2 2 z (1 2 0 ) z ( 2 2 0 ) (1 2 0) Так как z 1 e j 2 w , то на основе (6.3.4) может быть вычислена АЧХ для ЦФ H (w) . На рис.6.3.4 изображѐн график H (w) в зависимости от нормированных частот 0 w 0,5. Процедура перевода 2

АЧХ аналогового фильтра-прототипа в АЧХ ЦФ с помощью билинейного преобразования иллюстрируется на рис. 6.3.4. Возьмѐм 1,557 и w 0,331, которые связаны с понекоторые частоты мощью формулы (6.3.2) (см. рис. 6.3.3). Видно, что применѐнное билинейное преобразование меняет только масштаб кривых АЧХ, поскольку H ( j ) H (w) .

Рис. 6.3.4. Перевод АЧХ аналогового фильтра в АЧХ цифрового фильтра с помощью билинейного преобразования 200

Рассмотрим этапы метода билинейного преобразования для задачи синтеза ЦФ. В этом методе назначаются последовательность характерных частот di для синтезируемого ЦФ (в частном случае это могут быть частоты среза), последовательность характерных значений АЧХ ЦФ Hi Hd ( j diT ) , i 1,..., m, интервал дискретизации T и задаѐтся ПФ аналогового фильтра-прототипа Hа (c, p), зависящая от вектора параметров сТ (c1,..., cm ). С использованием Hа (c, p) формируется функция АЧХ Ha (с, j ). На первом этапе на основе (6.3.2) характерные цифровые частоты di переводятся в характерные аналоговые частоты ai tg( diT /2), i = 1, 2,…, m. На втором этапе с помощью АЧХ Ha ( j ) аналогового фильтра-прототипа и последовательностей Нi , аi , i = 1, 2,…, m, записывается в общем случае нелинейная система уравнений, зависящих от параметров сi , i = 1, 2,…, m:

H1 H (c1,..., cm , H2 H (c1,..., cm ,

a1,...,

am ),

a1,...,

am ),

Hm H (c1,..., cm ,

a1,...,

am ).

Решение этой системы, например, подходящим численным методом, позволяет найти параметры сТ (c1,..., cm ) аналогового фильтра-прототипа

сi с(Н1,..., Нm,

i 1,..., m, и на их основе полностью определить ПФ Hа (c, p) аналогового a1,...,

am ),

фильтра. На третьем этапе с помощью билинейного преобразования (6.3.1) ПФ Hа (c, p) полностью определѐнного аналогового фильтра переводится в ПФ ЦФ – формируется ПФ для синтезированного ЦФ в виде Hd (c, z), зависящая от оператора z, на основе которой формируется АЧХ ЦФ Hd (c, j T ) . Очевидно, для назначенных

Нi ,

синтезированный ЦФ должен обеспечить выполнение соотношений Hi Hd (c, j diT ) , i 1,..., m. di

201

Реализуем этапы задачи синтеза ЦФ низких частот с назначенными цифровой частотой среза cd и интервалом дискретизации T. Выберем апериодическое звено в качестве аналогового фильтрапрототипа. Передаточная функция Hа (c, p) и квадрат АЧХ для такого фильтра будут иметь вид

1 , Tа р 1 1 (Tа ( j ) 1)(Ta ( j ) 1) Hа ( p)

Hа (Та , j ) 2

1 Tа2 2

1

. (6.3.5)

На основе заданного значения цифровой частоты среза cd вычислим требуемую частоту среза для аналогового фильтрапрототипа ca , воспользуемся формулой (6.3.2)

tg(wcdT / 2).

ca

Найдѐм параметр Т а для аналогового фильтра-прототипа на основе найденной частоты среза сa :

1 1 3. , Ta 1 2 2 cа Благодаря найденному значению параметра Т а ПФ аналогового Hа ( j

cа )

1

2

2 Tа2 cа

фильтра-прототипа является полностью определѐнной. Сформируем ПФ для ЦФ путѐм подстановки билинейного преобразования в определѐнной ПФ аналогового фильтра-прототипа:

Hd (Та , z)

z 1 1 z 1 T ( z 1) ( z 1) Tа ( ) 1 a z 1 1 z 1 . (1 Tа ) z 1 (1 Tа )

(6.3.6)

Запишем выражение для квадрата АЧХ синтезируемого цифрового фильтра 2

1 e j T (6.3.7) . (1 Ta )e j T (1 Ta ) Разберѐм численный пример, зададим для синтеза ЦФ исходные значения cd 10,0 и T 0,2. Применив (6.3.2), найдѐм частоту Hd (Та , j T ) 2

202

среза аналогового фильтра-прототипа

1,557, на основе кото1,110. Далее ПФ (6.3.5) с

ca

рой вычислим постоянную времени Ta помощью подстановки билинейного преобразования переведѐм в ПФ ЦФ (6.3.6). На рис. 6.3.5 изображены функции АЧХ для синтезированного ЦФ Hd ( j T ) – сплошная кривая и аналогового фильтра-прототипа Hа ( j ) – пунктирная кривая, 0 f, f

14,0. Видно, что аналоговый фильтр-прототип удалось с по-

мощью билинейного преобразования перевести в ЦФ с назначенной частотой среза.

Рис. 6.3.5. Синтез ЦФ низких частот

6.4. Синтез ЦФ Баттерворта 6.4.1. Аналоговый фильтр Баттерворта Функция квадрата АЧХ для низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта (АБФ), по определению, описывается выражением

1

H( j ) 2

2N

1 са

203

,

(6.4.1)

где N – порядок фильтра;

са

– частота среза. Из (6.4.1) следует,

что, действительно, H ( j cа ) 2 1/ 2. На рис.6.4.1 представлены графики функции квадрата АЧХ рассматриваемого АБФ для значений N1 5, N2 15, N3 40 и cа 12.

Рис. 6.4.1. Квадрат АЧХ низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта

Из анализа графиков видно, что при увеличении порядка N в окрестности са увеличивается крутизна АЧХ и в полосе частот

0

са

АЧХ становится плоской. Продифференцируем функ-

цию H ( j ) 2 по , вычислим значение крутизны в точке 2N 1

d H( j ) 2 d

2N

:

1 cа

cа

( 1)

са

2N

1

,

d H( j d

cа )

2

N

. (6.4.2)

cа

cа

Для (6.4.2) можно заключить, что крутизна АЧХ для низкочастотного АБФ увеличивается при уменьшении частоты среза. Рассмотрим нахождение передаточной функции H ( j ) для низкочастотного АФБ, который в дальнейшем будет служить 204

фильтром-прототипом. Для функции квадрата АЧХ (6.4.1) может быть записано очевидное равенство

H( j ) 2

H( j ) H( j ) . Сделаем необходимые выкладки: 2N 2N 1 с с H( j ) 2 2N 2N ( )2 N (( )2 ) N cа 1 2N

2N cа

са

( 1) N

2N с 2N

2N cа

и сформируем уравнение, которое позволит найти соответствующие полюса для АФБ: 2N 0. (6.4.3) ( 1)N 2N cа На основе анализа формулы (6.4.3) следует, что 2N комплексных полюсов для ПФ H ( j ) и H( j ) располагаются на окружности радиусом са . Основываясь на симметрии можно заключить, что N полюсов расположены в левой полуплоскости, остальные N полюсов – в правой. Для того чтобы синтезируемый аналоговый фильтрпрототип был устойчив, выберем ПФ H ( j ) таким образом, чтобы все еѐ N полюсов расположились в левой полуплоскости. Соответственно, полюса цифрового фильтра Баттерворта (ЦФБ), который будет получен из аналогового с помощью билинейного z-преобразования, будут располагаться внутри единичной окружности. Вычисление полюсов связано с определением корней 2N-й степени из единицы. Отдельно разберѐм случаи нечѐтного и чѐтного N. Если N – нечѐтное, то вычисление аналоговых полюсов с учѐтом (6.4.3) производится на основании следующей формулы: a

cа (

1)1/2N ,

из которой видно, что 2N полюсов щим образом: ar

сa

cos

2 r 2N

j sin

ar

представляются следую-

2 r , r 0, 1,..., 2N 1. 2N

(6.4.4)

Полюса (6.4.4), которые лежат в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству 205

N 1 3N 1 r . 2 2

Заметим, что для нечѐтных N cреди полюсов, лежащих в левой полуплоскости, имеется один действительный, который равен ca .

aN

Если N – чѐтное, то полюса, с учѐтом (6.4.3) вычисляются по формуле

1)1/2N .

ca (

a

Справедливы следующие тождества:

1 e j ( 1), ( 1)1/2 N e

j

2N

cos

2 r 2N

j sin

e

j

2N

( 1)1/2 N

2 r , r 0,1,..., 2N 1, 2N

на основании которых для чѐтных N все 2N полюса ar могут быть найдены по формуле ar

с

cos

(2r 1) 2N

j sin

(2r 1) 2N

, r 0, 1,..., 2N 1. (6.4.5)

Полюса (6.4.5), лежащие в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

N 2 Введѐм обозначения сr

r

(

ar

3N 1. 2 * ), d ar r

* ar ar ,

где

ar ,

* ar

–

комплексно-сопряжѐнные полюса из (6.4.4) или (6.4.5). Тогда соответствующая этим полюсам составляющая ПФ от пары комплексно-сопряжѐнных полюсов будет иметь вид

(p

1 ar )( p

* ) ar

p2

1 . cr p dr

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для нечѐтных N представится в виде произведения составляющих ПФ от пар комплексно-сопряжѐнных полюсов и одного действительного полюса N cа

H ( p)

N

(p

( p2 cr p dr )

c) r ( N 1)/2

206

.

(6.4.6)

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для чѐтных N представится следующей формулой: N cа

H ( p)

.

N 1

( p2

(6.4.7)

cr p dr )

r N /2

Нетрудно видеть, что коэффициент усиления АФБ на нулевой частоте при р 0 равняется единице. 6.4.2. Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта Процедура синтеза включает следующие этапы: 1) задание частоты среза сd , интервала дискретизации T и значения порядка N для синтезируемого низкочастотного ЦФБ; 2) вычисление частоты среза аналогового фильтра-прототипа на основе формулы (6.3.2) с учѐтом интервала дискретизации T

tg(

са

cd T /2);

3) расчет параметров низкочастотного АФБ, являющегося фильтром-прототипом, – вычисление полюсов и формирование его передаточной функции; 4) перевод низкочастотного АФБ с помощью билинейного zпреобразования в ЦФБ. Рассмотрим случай нечѐтных N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из одного вещественного полюса и (N 1) / 2 пар комплексно-сопряжѐнных полюсов и представится формулой (6.4.6). Применим билинейное zпреобразование к (6.4.6), получим ПФ для ЦФБ N cа

H1( z) (

N

z 1 z 1

cа )

( r ( N 1)/2 N cа ( z

( z 1)2 ( z 1)2

cr (

z 1 ) dr ) z 1

1) N

. (6.4.8)

N

((

cа

1) z

cа

1)

(( z

1)2

cs ( z 1)( z 1) ds )

r ( N 1)/2

Рассмотрим случай чѐтных значений N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из N/2 пар 207

комплексно-сопряжѐнных полюсов и представится (6.4.7). Применим билинейное z-преобразование к (6.4.7), получим ПФ для ЦФБ N cа

H1( z)

N 1

( z 1)2 ( z 1)2

r N /2

cr (

N са ( z

z 1 ) dr z 1

1) N

.

N 1

(( z

1)2

(6.4.9)

cr ( z 1)( z 1) dr )

r N /2

Разберѐм численный пример синтеза низкочастотного ЦФБ с параметрами cd 5; T 0,2 и порядком N 3. Аналоговая частота среза примет значение са tg( cd T /2) 0,546. Аналоговый фильтр-прототип в соответствии с (6.4.6) имеет три полюса, которые лежат в левой комплексной полуплоскости:

2 r ; r 2, 3, 4; 2 3 1 3 j . a2,4 ca 2 2 Для параметров (6.4.10) при r 2 вычислим c2 сa

ar

cos

2 r 2 3

j sin

ca ;

a3

ca ,

2 ca

d2

и

сформируем передаточную функцию фильтра-прототипа

H ( p)

3 ca

(p

ca )( p

2

2 ca )

ca p

.

(6.4.10)

Применим билинейное z-преобразование к (6.4.10), получим передаточную функцию ЦФБ H1( z) или в форме H1( z 1):

H1 ( z)

H1( z)

H1( z 1)

z 1 z 1

3 ca 2

ca

z 1 z 1

3 (z са

( z(

((

ca

ca

1) (

1) (

ca

ca

1))( z 2 (1

1) z 1)((1

ca

ca

1)3 2 ca ) z(2

3 (1 z 1 )3 са 2 2 ca ca ) (2 ca

208

,

z 1 z 1 2 ca

2) z

(6.4.11)

2 ca

2) (1 1

(1

ca

ca

2 ca ))

2 2 ca ) z )

,

.

На рис. 6.4.2 показана функция квадрата АЧХ H1( j T ) 2 для синтезированного низкочастотного ЦФБ, полученная в результате подстановки в (6.4.11) z 1 e j T , z 2 e j T 2. Видно, что в синтезированном ЦФБ реализовалась заданная частота среза.

Рис.6.4.2. Квадрат АЧХ синтезированного низкочастотного ЦФ Баттерворта третьего порядка

6.4.3. Синтез высокочастотного, полосового пропускающего и заграждающего ЦФ Баттерворта Высокочастотный ЦФБ может быть синтезирован на основе ПФ низкочастотного ЦФБ. Пусть ПФ низкочастотного ЦФ, записанная для нормированных частот, представится в виде H1(w, wc1 );

0 w 0,5; 0 wс1 0,5. Очевидно, ПФ высокочастотного ЦФ может быть получена с помощью подстановки в H1 (w, wc1 ) новых переменных w2 0,5 w; w 0,5 w2 и wс2 0,5 wс1; wс1 0,5 wс2:

H1(w, wc1 )

H1(0,5 w2 , 0,5 wc2 ) H2 (w2 , wc2 ).

(6.4.12)

Сделаем переобозначение w2 w в (6.4.12) и получим окончательно ПФ H2 (w, wc2 ) для высокочастотного ЦФБ. 209

Последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ H1 (w, wc1 ), H2 (w, wc2 ) и частотами среза wc1 , wc2 , удовлетворяющих условию wс1

wс2 , очевидно позволяет сформировать

полосовой пропускающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих H3 (w, wc1 , wc2 ) H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ). (6.4.13) На основе (6.4.13) записывается АЧХ полосового пропускающего ЦФ:

H3 (w, wc1 , wc1 )

H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ) .

Аналогичным образом последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ H1 (w, wc1 ), H2 (w, wc2 ) и частотами среза, которые удовлетворяют условию wс1 wс2 , даѐт возможность сформировать полосовой заграждающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих H4 (w, wc1 , wc2 ) H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ). (6.4.14) На основе (6.4.14) записывается АЧХ полосового заграждающего ЦФ

H4 (w, wc1 , wc1 )

H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ) .

6.5. Cинтез КИХ-фильтров КИХ-фильтры были определены в разд. 6.1. Эти фильтры задаются набором коэффициентов a0 , a1,..., ak и реализуют скользящее взвешенное суммирование последовательности входного сигнала y( k), y( k 1),..., y(0), y(1), у(2)... . Выходной сигнал КИХфильтра формируется в соответствии с формулой k

as y(i s), i 0, 1, 2...,

x(i)

(6.5.1)

s 0

вычисления начинаются с i 0. Передаточная функция для разностного уравнения КИХ-фильтра (6.5.1) записывается в виде k

H( j T)

ase s 0

210

j Ts .

(6.5.2)

Импульсно-переходная функция для (6.5.1) определена в (k 1) точках, h(s) as , s 0, 1,..., k. ПФ для КИХ-фильтра (6.5.2) линейно зависит от коэффициентов a0 , a1,..., ak . Указанное обстоятельство приводит к квадратичным функционалам при решении аппроксимационных задач, что позволяет в ряде случаев эффективно реализовывать синтез КИХ-фильтров на основе соответствующих систем линейных уравнений. 6.5.1. Синтез КИХ-фильтров на основе метода аппроксимации в частотной области Рассмотрим достаточно общую постановку задачи синтеза КИХфильтров на основе метода аппроксимации в частотной области. Пусть на фиксированном частотном диапазоне ( 0 , f ) заданы частотные точки

i,

i 0, 1,..., N 1,

0

1

...

N 1,

N 1,

f

не обязательно расположенные равномерно. В этих точках определены комплексные значения эталонной ПФ H0 ( j i ), которые необходимо аппроксимировать в точках

i

с помощью комплексной

ПФ H (a, j iT ), i 0, 1,..., N 1, синтезируемого КИХ-фильтра. Будем здесь полагать, что коэффициенты as , s 0, 1,..., k, являются комплексными. Представим выражение для ПФ H(a, j T ) КИХ-фильтра в форме скалярного произведения, введя векторы a и Hd ( j T ):

aT

(a0 , a1,..., ak ), HdT ( j T ) (1, e j T , e H (a, j T ) aT Hd ( j T ).

j T 2,...,

e

j Tk ),

Сформируем квадратичный по вектору коэффициентов a функционал S (a, H0 ), определяющий близость эталонной ПФ и передаточной функции КИХ-фильтра, которая образуется в результате синтеза N 1

S (a, H0 )

(H0 ( j i ) H (a, j iT ))* (H0 ( j i ) H (a, j iT ))

i 0

N 1

(H0 ( j i ) aT Hd ( j iT ))* (H0 ( j i ) aT Hd ( j iT )).

i 0

211

(6.5.3)

Нахождение вектора a , обеспечивающего синтез КИХ-фильтра, сводится к минимизации функционала (6.5.3). Введѐм необходимые векторно-матричные обозначения H0 ( j 0 ) H0 ( j 1 ) , H0

H0 ( j

XH

1, 1,

Hd ( j 0T ) Hd ( j 1T ) Hd ( j

N 1T )

e e

1,

e

N 1) j 0T ,

j 1T , j N 1T ,

e e e

j 0Tk j 1Tk

.

j N 1Tk

Воспользуемся результатами построения линейных моделей разд. 2.4 для комплексного случая (2.4.8), (2.4.11). Вычисление a производится на основе решения системы комплексных линейных уравнений T

* X XH H a

T

* H . XH 0

(6.5.4)

В отличие от общей постановки синтеза ЦФ, описанной в разд. 6.3, как аппроксимационной задачи, решаемой на основе нелинейного программирования, изложенный подход синтеза КИХфильтра ввиду того, что оптимизируемый функционал является квадратичным, принципиально позволяет решить задачу построения КИХ-фильтров с комплексными коэффициентами as , s 0, 1,..., k, с помощью решения соответствующей комплексной системы линейных уравнений размерности (k 1) (6.5.4). Необходимо иметь в виду, что предложенный подход решает задачу аппроксимации синтезированной ПФ H (a , j iT ) к эталонной ПФ H0 ( j i ) в точках i , i 0, 1,..., N 1. Однако при этом остаѐтся открытым вопрос о поведении синтезированной ПФ H (a , j T ) для частот , находящихся между частотными точками

i 0, 1,..., N 2. Следует также учитывать, что для больших k и близких частот i , i 1 могут возникать вычислиi

i 1,

тельные проблемы, связанные с решением линейной системы (6.5.4). 212

6.5.2. КИХ-фильтры с линейными ФЧХ КИХ-фильтры с линейными ФЧХ используются в многочисленных задачах синтеза. Существуют четыре варианта КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, которые обусловлены четырьмя типами симметрии коэффициентов КИХ-фильтров. Запишем выражение для ПФ КИХ-фильтра k

H( j T )

k j T

(a0 a1e

ak e

j Tk )

ase

s 0

j Ts .

s 0

Вариант КИХ-фильтра 1. Порядок k – чѐтное число и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as ak s ,

s 0, 1,..., k /2 1, обеспечивающие симметрию as относительно коэффициента ak /2 : k

H( j T) e ak /2

j Tk /2

(a0e j

s 0 j T ( k /2 k /2) e ...

Tk /2

ak e j

a1e j

T (k /2 k ) )

k /2

ak /2

T (k /2 1)

e

...

j Tk /2

k /2

2as

k /2 cos(

Ts)

e

j Tk /2

s 1

cs cos( Ts). (6.5.5) s 0

ФЧХ для КИХ-фильтра первого вида (6.5.5) представляется линейной функцией частоты ( ) Tk /2. Вариант КИХ-фильтра 2. Порядок k – нечѐтное число и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as ak s , s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие симметрию: k

H( j T) e

j Tk /2

(a0e j

Tk /2

a1e j

s 0 (k 1)/2

e

j Tk /2

2as

k /2 cos

s 0 (k 1)/2

cs cos s 0

T (k /2 1)

T s 1 2 T s 1 . 2

... ak e j

e

T (k /2 k ) )

j Tk /2

(6.5.6)

Вариант КИХ-фильтра 3. Порядок фильтра k – чѐтное число и ak s , для коэффициентов фильтра выполняются равенства as 213

s 0, 1,..., k /2 1, обеспечивающие антисимметрию относительно ak /2 0: k

H( j T) e

j Tk /2

(a0e j

Tk /2

a1e j

T (k /2 1)

... ak e j

k /2 sin(

Ts) e

j Tk /2 j /2

T (k /2 k ) )

s 0 k /2 1

e

j Tk /2 j /2

2as s 0 k /2 1

cs sin( Ts).

(6.5.7)

s 0

Вариант КИХ-фильтра 4. Порядок фильтра k – нечѐтное число ak s , и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие антисиметрию: k

H( j T) e

e

j Tk /2

(a0e j

Tk /2

a1e j

s 0 (k 1)/2 j Tk /2 j /2 2as k /2 sin s 0 (k 1)/2

cs sin s 0

T (k /2 1)

T s 1 2

... ak e j

e

T (k /2 k ) )

j Tk /2 j /2

T s 1 . 2

(6.5.8)

6.5.3. Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций Комплексная ПФ любого ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации 2 / T. Представим эталонную ПФ H0 ( j T ) синтезируемого ЦФ еѐ в виде комплексного ряда Фурье с использованием (2.5.2):

h(s)e j

H0 ( j T )

Ts ,

(6.5.9)

s

где параметры h(s) с номерами s определяются в соответствии с известной формулой для коэффициентов комплексного ряда Фурье (2.5.4): 214

h(s)

T 2

/T

H0 ( j T )e

j Ts d

s

,

.

/T

Нетрудно убедиться из (6.5.9), что коэффициенты разложения ПФ ЦФ в ряд Фурье могут интерпретироваться как отсчѐты импульсноs . Если ввести замену переходной функции h(s),

ej

T

z, то на основе (6.5.9) можно получить ПФ ЦФ в форме

z-преобразования

h(s) z s .

H0 ( z)

(6.5.10)

s

Определѐнная подобным образом ПФ (6.5.10) описывает физически нереализуемый ЦФ бесконечного порядка. Для получения ЦФ конечного порядка k необходимо провести усечение ряда (6.5.10), полагая h(s) 0 при s k /2. Здесь примем для упрощения выкладок, что порядок k является чѐтным числом. Случай нечѐтного порядка k производится почти аналогично. Произведѐм усечение в (6.5.10), получим H0 (z): k /2

h( s) z s h(s) z

H0 ( z) h(0)

s

.

(6.5.11)

s 1

Физическая реализуемость ЦФ с передаточной функцией типа (6.5.11) может быть достигнута путѐм умножения H0 ( z из (6.5.11) на z

k /2 :

H (z) z

k /2 H ( z).

(6.5.12) Подобная модификация ПФ допустима, поскольку АЧХ при этом остаѐтся неизменной, а фазовое запаздывание уменьшается на величину Tk/2. Подстановкой z e j T в выражение (6.5.12) можно получить комплексную ПФ физически реализуемого ЦФ k /2

H( j T) e

j Tk /2

(h( s)e j

h(0)

Ts

h(s)e

j Ts )

.

s 1

Рассмотрим случаи, когда импульсно-переходная характеристика КИХ-фильтра симметрична h(s) h( s) и антисиметрична h(s) h( s), k – чѐтное число. В первом случае имеем следующее выражение для ПФ КИХ-фильтра: 215

k /2 j Tk /2

H( j T) e

h(0)

2h(s)

ej

Ts

e 2

s 1 k /2

j Tk /2

e

h(0)

j Ts

2h(s)cos( Ts) , s 1

и во втором случае ПФ КИХ-фильтра имеет вид k /2

H( j T) e

j Tk /2

h(0)

2 jh(s)

ej

Ts

s 1 k /2

ej

/2 j Tk /2

h(0)

e 2j

j Ts

2h(s)sin( Ts) . s 1

Усечение ряда (6.5.10) и формирование ПФ (6.5.12) приводит к эффекту Гиббса, связанному с образованием пульсаций АЧХ около еѐ точки разрыва (точки среза). Использование весовой последовательности конечной длины w(s), s 0, 1,..., k, которая называется оконной функцией, для умножения коэффициентов Фурье с целью регулирования сходимости усечѐнного ряда Фурье даѐт хорошие результаты в отношении устранения эффекта Гиббса. Пусть H0 (e j T ) – частотная функция неусечѐнного ЦФ из (6.5.10). Положим, что для выбранной оконной функции w(s) найдена частотная функция k /2

W (e j

T)

w(s) z s .

W ( z) Z{w(s)} s

k /2

Обозначим через Hw ( z) Z{w(s)h(s)} частотную функцию КИХфильтра, полученного в результате умножения коэффициентов импульсно-переходной функции на функцию окна. Произведение функций во временной области переводится в свѐртку в частотной области. Тогда очевидна запись в виде свѐртки

Hw

(e j T )

T 2

2 /T

H (e j

1T )W (e j (

1 )T )d

1.

0

Частотная функция окна W (e j T ) должна иметь главный лепесток, содержащий почти всю энергию окна, и боковые лепестки, которые должны обычно быстро затухать. При определѐнном выборе функции окна w(s) удаѐтся устранить явление Гиббса. Наиболее часто 216

для рассматриваемой здесь задачи используются временные оконные функции Хэннинга, Хемминга и Блэкмана. Разумеется, существует целый ряд других функций окон. Рассмотрим пример синтеза низкочастотного КИХ-фильтра с заданными c , T и заданной эталонной функцией АЧХ H0 ( j T ) в виде

H0 ( j T ) 1 при 0

0 при

H0 ( j T )

c;

2 / 2T.

c

Будем полагать, что для эталонной ПФ справедливо равенство H0 ( j T ) 1 для 0 2 / 2T и c , H0 ( j T ) 0 для c

H0 ( j T ) имеет период 2 / 2T. Найдѐм импульсно-переходную характеристику предполагаемого к синтезу КИХ-фильтра на основе разложения в ряд Фурье H0 ( j T ), вычислим интеграл в симметричных пределах:

h(s)

T 2

2 /T

H0 ( j T )e 0

T 2

c

c

j cTs

T (e

H0 ( j T )e

e j cs )

2 ( jTs)

j Ts d

/T

T e j Ts 2 ( jTs)

j Ts d

1e

/T

T 2

j Ts d

c

c

sin( cTs) . s

Запишем выражение для ПФ физически реализуемого КИХфильтра для z-переменных, пусть k – чѐтное число: k /2

H ( z) z

k /2

h(s)( z s

h(0)

z s) ,

s 1

где

a0 h(0)

cT

, as

2h(s)

2sin( cTs) , s 1,..., k 2. s

ПФ синтезированного КИХ-фильтра имеет вид k /2

H( j T) e

j Tk /2

as (e j

Ts

e

j Ts )

s 0 k /2

e

j Tk /2

as cos( s 0 217

Ts).

(6.5.13)

КИХ-фильтр (6.5.13) синтезирован с прямоугольным окном

w0 (s) 1 при 0 s k, w0 (s) 0 при s 0, s k . На рис. 6.5.1а, 6.5.1б изображены АЧХ H ( j T ) и L H ( j T ) синтезированного КИХ-фильтра (6.5.13) для k 100, c 8, T 0,2 в линейном и логарифмическом масштабе. Видно, что в окрестности частоты среза с функция АЧХ имеет значительные пульсации в полосе пропускания и задерживания.

Рис. 6.5.1а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с прямоугольным окном в линейном масштабе

Рис. 6.5.1б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с прямоугольным окном в логарифмическом масштабе

Этот же пример рассмотрим, когда для синтеза КИХ-фильтра используется окно Хэннинга. Для этого последовательность коэф218

фициентов as умножается на функцию wH (s), которая описывается весовой функцией

wH (s) 0,5 0,5сos

2 s при 0 s k , wH (s) 0 при s 0, s k. k

Модифицированная ПФ для синтезированного фильтра представляется формулой k /2

H( j T ) e

j Tk /2

as wH (s)cos( Ts).

(6.5.14)

s 0

На рис. 6.5.2а, 6.5.2б изображены АЧХ H ( j T ) синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в линейном и логарифмическом масштабе. Видно, что благодаря применению окна существенно снижаются пульсации в полосе пропускания и уровень пульсаций в полосе задержания снижается почти до 50 Дб.

Рис. 6.5.2а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в линейном масштабе

Рис. 6.5.2б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в логарифмическом масштабе 219

Рис. 6.5.3а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Блэкмана в линейном масштабе

Рис. 6.5.3б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Блэкмана в логарифмическом масштабе

Рассмотрим пример синтеза КИХ-фильтра с использованием окна Блэкманна

2 4 s 0,08cos s при 0 s k , k k wH (s) 0 при s 0, s k. ПФ для синтезированного КИХ-фильтра с wB (s) представляется wB (s) 0,42 0,5сos

формулой k /2

H( j T ) e

j Tk /2

as wB (s)cos( Ts) . s 0

220

(6.5.15)

Из рис. 6.5.3а и 6.5.3б видно, что в результате применения окна Блэкмана практически полностью устраняются пульсации в полосе пропускания и уровень пульсаций в полосе задерживания снижается до 80 Дб. 6.5.4. Синтез КИХ-фильтров методом частотных выборок Продолжим рассмотрение задачи построения КИХ-фильтров в частотной области. Передаточная функция КИХ-фильтров внешне напоминает дискретное преобразование Фурье. Воспользуемся этим обстоятельством при решении задачи синтеза. Действительно, запишем снова выражение ПФ k

H (a, j T )

ase

j Ts .

s 0

Расположим частотные точки равномерно r

r 0, 1,..., k; 2 /(k 1). Пусть комплексные значения H0 ( j rT )

r;

r;

задают эталонную ПФ для КИХ-фильтра в равномерно расположенных дискретных частотных точках. Введѐм нормированные частотные выборки H0,r H0 ( j rT )/(k 1). Очевидно, что последовательности частотных выборок H0,r и коэффициенты as связаны прямым и обратным дискретным преобразованием Фурье:

1

H0,r k

as

H0,r e r 0

k 1s j

2 rs N

k

as e 0 k r

j

2 rs k 1 ,

r 0, 1,..., k,

H0 ( j rT ) j k2 1rs e , s 0, 1,..., k. k 1 0

На практике решение задачи синтеза КИХ-фильтров практически всегда связано с тем, что требуется синтезировать АЧХ заданного вида с помощью КИХ-фильтра с действительными коэффициентами as . Воспользуемся подходом разд. 6.5.2, основанным на формировании КИХ-фильтров с линейными ФЧХ. Рассмотрим пример задачи синтеза с k-нечѐтным. Сформируем симметричную АЧХ Hr , r 0,..., k, Hr Hk 1 r , которая соответствует в точках r 0, 1,..., (k 1) / 2 значениям заданной эта221

лонной Hr

H0,r . Тогда коэффициенты КИХ-фильтра предста-

вятся следующей формулой: k

as

Hr e

j

2 rs k 1

( k 1)/2

r 0

r 0

2Hr cos 2 rs , k 1

as ak

s 0,..., (k 1)/2,

1 s.

Нетрудно видеть, что симметричные коэффициенты as являются действительными. 6.5.5. Синтез КИХ-фильтров по методу аппроксимации во временной области Данный метод синтеза основан на решении задачи аппроксимации во временной области наблюдений сигнала на ограниченном числе дискретных точек с помощью линейной по параметрам модели. Рассмотрим с учѐтом определѐнных допущений используемую здесь задачу аппроксимации и предлагаемый алгоритм синтеза. Пусть задана выборка из (k 1) наблюдений сигнала y(s) y(Ts), s 0, 1,..., k. Аппроксимируем указанные наблюдения линейной по параметрам c1, c2 ,..., cm моделью в виде полиномиальной функции m

cr (Ts)r 1.

yM (c,Ts) r 1

Cформируем квадратичный функционал k

S (c, y)

2

m

y ( s) s 0

cr

(Ts)r 1

.

r 1

Решение задачи аппроксимации связано с вычислением оптимального вектора параметров c  модели, который обеспечивает минимальное значение функционала, физический смысл которого очевиден. С помощью векторно-матричных обозначений вектора наблюдений Y и матрицы X 0 оптимальный вектор параметров c  находится следующим образом: 222

Y

y(0) y(1)

X0

,

y (k )

1 1

T 0 T 1

(T 0)m 1 (T 1)m 1

1

T k

(T k )m

, c

( X0T X0 ) 1 X0TY.

1

Для того, чтобы избежать проблем с вычислениями, будем полагать, что k , m принимают малые значения. Введѐм матрицу D размерности (m, k 1) и представим вектор

c в виде линейной функции от вектора наблюдений k

D ( X0T X0 ) 1 X0T , c 

DY , cr

drs y(s), r 1,..., m, (6.5.16) s 0

где drs , r 1,..., m, s 0, 1,..., k, – коэффициенты матрицы D. Модель сигнала для вектора параметров c в некоторой точке i, 0 i k, может быть найдена в виде линейной комбинации наблюдений m

m

cr (Ti)r

yM (c , Ti) r 1

drs y(s) (Ti)r r 1

k

k

1

1

s 0

m

drs (Ti)r

1

y(s).

s 0 r 1

Точка i в общем случае не связана со значением k; рассмотрим частный случай i k. Введѐм коэффициенты ak s , s 0, 1,..., k, и представим значение модели сигнала в точке k в виде свѐртки m

k

drs (Tk )r

1

ak s , yM (c , Tk)

r 1

ak s y(s).

(6.5.17)

s 0

Примем yM (c , Tk ) в качестве результата фильтрации наблюдений y(0), y(1),..., y(k) для точки k, введѐм обозначение x(k): k

yM (c , Tk) x(k) , x(k )

k

ak s y(s) s 0

as y(k s). (6.5.18) s 0

Основываясь на выражении (6.5.18), можно сформировать КИХфильтр. Положим, что последовательность наблюдений сигнала y(i) реализована для k i . Результат фильтрации сигнала x(i) в точке i, полученный на основе скользящего усреднения на223

блюдений y(i), y(i 1),..., y(i k) для 0 i отношением

, представляется со-

k

as y(i s), i 0, 1, 2,.. .

x(i)

(6.5.19)

s 0

Алгоритм синтеза КИХ-фильтра во временной области базируется на соотношении (6.5.16), которое позволяет вычислить по T , k , m коэффициенты drs матрицы D, и соотношении (6.5.17), на основе которого может быть вычислен вектор as (или ak s ). Разберѐм пример синтеза КИХ-фильтра во временной области по трѐм наблюдениям y(0), y(1), y(2), которые соответствуют k 2. В качестве аппроксимационной модели выбираем прямую линию yM (c, Ts) c1 c2Ts, s 0, 1, 2. Введѐм векторно-матричные обозначения Y , X 0 и произведѐм необходимые вычисления, положив T 1. Опустив промежуточные выкладки, получим

Y

y(0) y(1) , X 0 y(2)

5 6 1 2

1 0 1 T , D ( X0T X0 ) 1 X0T 1 2T

1 3

1 6. 1 2

0

Оптимальные коэффициенты модели примут вид

с1

5 1 1 y(0) y(1) y(2), 6 3 6

c2

1 1 y(0) y(2). 2 2

Значение модели в точке s 2 представится следующим образом:

x(2) yM (c , 2) c1 2c2

1 1 5 y(0) y(1) y(2). (6.5.20) 6 3 6

Уравнение КИХ-фильтра, реализующего скользящее усреднение, и его коэффициенты запишутся на основании (6.1.20):

x(i)

5 1 1 y(i) y(i 1) y(i 2), a0 6 3 6

5 , a 6 1

1 , a 3 2

1 . (6.5.21) 6

На рис. 6.5.4 представлены результаты математического моделирования работы КИХ-фильтра, синтезированного по предлагаемому алгоритму. Модельные зашумленные наблюдения y(i) y(Ti) с i 0, 1,..., N 1 формируются по формуле

y(i) y0 (i) w(i), y0 (i) 1 e 224

T (i 1) ,

(6.5.22)

где w(i) – модельные случайные нормальные числа с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2. Для (6.5.22) приняты 0,1; T 1; N 35; 0,1. В численные значения параметров качестве модельной функции, реализующей аппроксимацию наблюдений, взята прямая yM (c, Ts) c1 c2Тs, s 0, 1,..., k, k 5. Уравнение КИХ-фильтра представится следующей формулой: 5

x(i)

as y(i s), s 0

где a0

a5

0,5238; a1 0,3810; a2 0,2381; a3 0,0952; a4 0,0476; 0,1905 – значения его вычисленных по (6.5.16) и (6.5.17) ко-

эффициентов. Пунктирная кривая 1 относится к исходному экспоненциальному сигналу y0 (i), ломаная линия 2 с крестиками соответствует зашумлѐнным наблюдениям y(i), ломаная линия с кружочками обозначает выходной сигнал фильтра x(i). Вычисления x(i) реализованы для точек k i N; на кривой 3 принято x(i) y0 (i) для 0 i k 1. Анализ кривых на рис. 6.5.4 позволяет сделать вывод, что описанный метод синтеза КИХ-фильтров на основе аппроксимации во временной области является вполне работоспособным.

Рис. 6.5.4. Результаты математического моделирования работы КИХ-фильтра, синтезированного по методу аппроксимации во временной области 225

Список вопросов для самопроверки к гл. 6 1. В чѐм состоит определение для разностных уравнений ЦФ? 2. Могут ли быть определены импульсно-переходные функции для нелинейных ЦФ? 3. В чѐм состоит физический смысл определения передаточных функций ЦФ? 4. Влияет на характер устойчивости ЦФ расположение на комплексной плоскости его нулей? 5. Какие этапы можно определить при решении задачи синтеза ЦФ на основе аппроксимации? 6. Какие этапы можно определить при решении задачи синтеза ЦФ на основе билинейного преобразования? 7. В чѐм состоят постановка и основные этапы задачи синтеза ЦФ Баттерворта? 8. В чѐм состоят постановка и основные этапы задачи синтеза КИХ-фильтров с помощью оптимизации в частотной области? 9. В чѐм состоят постановка и основные этапы задачи синтеза КИХ-фильтров с использованием ДПФ? Список задач к гл. 6 1. Основные формулы для цифровых фильтров k

m

x(n)

k

br x(n r) r 1

as z s 0 m

as y(n s), H ( z 1 )

s 0

s

1

, br z

r

r 1 k

as e z

1

e

j T,

j Ts

s 0 m

H( j T) 1

. br e

j Tr

r 1

2. Записать выражение для передаточной функции ЦФ, основываясь на разностных уравнениях:

1) x(n) 1,3x(n 1) 3,5x(n 2) 5x(n 3) 1,5 y(n) 2 y(n 1) 3 y(n 3); 226

2) x(n) 13x(n 2) 3x(n 3) 12 y(n 1) 4 y(n 2); 3) x(n) 2 y(n 1) 4y(n 2) 5y(n 3) 10y(n 4); 4) x(n) 3x(n 1) 5x(n 3) 12 y(n). 3. Записать выражение для разностных уравнений ЦФ, заданных передаточными функциями: 1 1,5z 2 1) H ( z 1 ) ; 1 5z 1 1,2z 2 0,3z 3 1 2 3 2) H ( z 1) 1 1.5z 2 2z 3 3z 4 ;

1 2z 4z 6z 1 3z 2 2 z 3) H ( z 1) ; 1 5z 1 1 4) H ( z 1 ) ; 1 z 1 5) H (z 1) 1 2z 1 3z 2 4z 3.

4. Построить АЧХ для ЦФ, заданных разностными уравнениями: 1) x(n) x(n 1) y(n); 2) x(n) x(n 1) 0,5( y(n) y(n 1)); 3) x(n) y(n) y(n 1); 4) x(n) 5) x(n) 6) x(n) 7) x(n) 8) x(n)

1N1 y(n s); Ns 0 1 ( y(n) y(n 1)); 2 1 ( y(n) y(n 1) y(n 2)); 3 b1x(n 1) a0 y(n); b1x(n 1) b2 x(n 2) a0 y(n).

227

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Айчифер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход. М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. 992 с. 2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2000. 448 с. 3. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с. 4. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа: пер. с англ. М.: Мир, 1983. 312 с. 5. Васильев В.П., Муро Э.Л., Смольский С.М. Основы теории и расчѐта цифровых фильтров. М.: ACADEMIA, 2007. 272 с. 6. Введение в цифровую фильтрацию / Под. ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. М.: Мир, 1982. 216 с. 7. Гадзиковский В.И. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. М.: Радио и связь, 2004. 344 с. 8. Гадзиковский В.И. Методы проектирования цифровых фильтров. М.: Горячая линия-Телеком, 2007. 416 с. 9. Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов. М.: МИФИ, 1997. 128 с. 10. Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 368 с. 11. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. 224 с. 12. Гоноровский И.С., Дѐмин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1994. 512 с. 13. Каппелини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 360 с. 14. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. М.: ООО «БиномПресс», 2006. 656 с. 15. Лэй Э. Цифровая обработка сигналов для инженеров и технических специалистов. М.: ООО «Группа ИДТ», 2007. 336 с. 16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. В 2-х т. М.: Мир, 1983. Т.1. 251 с.; Т.2. 256 с. 17. Оппенгеймер А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2007. 856 с. 18. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982. 428 с. 228

19. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с. 20. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2002. 608 с. 21. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. В 2-х ч.: пер. с англ. М.: Мир, 1988. 22. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников. М.: Изд-во Додэка ХХI, 2008. 720 с. 23. Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьѐва Е.Б. Основы цифровой обработки сигналов. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 768 с. 24. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдения. М.: Мир, 1981. 567 с. 25. Умняшкин С.В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов: Учебное пособие. М.: Инфра-М Форум, 2009. 304 с. 26. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры / пер. с англ.; ред. пер. О.А. Потапов. М.: Недра, 1987. 221 с. 27. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. 959 с.

229

Виктор Григорьевич Гетманов

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Издание 2-е, расширенное и переработанное

Редактор М.В. Макарова Компьютерная верстка С.В. Тялиной Подписано в печать 28.07.2010 г. Формат 60 84 1/16. Уч.-изд. л. 14,5. Печ. л. 14,5. Тираж 000 экз. Изд. № 042-1. Заказ № 000 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31. Типография НИЯУ МИФИ.

230

231

232