Конспект лекций по специальной теории относительности. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» __________________________________________________________

В.С. Ремизович А.С. Чернов С.Е. Муравьев С.В. Ивлиев

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (для групп вечернего факультета)

Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 530.12 ББК 22.313 Р38 Ремизович В.С., Чернов А.С., Муравьев С.Е., Ивлиев С.В. Конспект лекций по специальной теории относительности. Учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 164 с. В учебном пособии рассмотрены основные вопросы специальной теории относительности (СТС). Несмотря на значительное число монографий и другой учебной литературы, в которой рассматриваются различные аспекты СТС, остро ощущается нехватка учебного материала с учетом специфической формы подачи материала для студентов вечернего факультета. Поэтому изложение теории адаптировано для студенческой аудитории с сильной дифференциацией знаний. Помимо краткого теоретического анализа вопросов основных положений специальной теории относительности, в пособии дается подробное описание различных методов решения задач. Некоторые задачи решены одновременно несколькими методами, что дает возможность читателю непосредственно не только овладеть ими, но и составить представление о выборе наиболее оптимального способа решения той или иной задачи. Пособие снабжено богатым иллюстративным материалом. Предназначено для студентов вечернего факультета НИЯУ МИФИ по специальностям «Физика конденсированного состояния вещества», «Ядерные реакторы и энергетические установки», «Электроника и автоматика физических установок». Может быть использовано как дополнительное учебное пособие для студентов дневного отделения НИЯУ МИФИ для групп с сокращенной формой изучения раздела специальной теории относительности. Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. С.Г.Рубин Пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

ISBN 978-5-7262-1459-7

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие……………………………….……………………….…..4 ВВЕДЕНИЕ………………………………….…………………………5 Тема 1. Основные постулаты специальной теории относительности. Интервал.…………………….….……….19 Тема 2. Преобразования Лоренца и их свойства………..….….…..32 Тема 3. Преобразование скорости…………………...………....…..49 Тема 4. Функция Лагранжа, импульс, энергия свободной частицы………………….………….….….….....58 Тема 5. Четырехмерный формализм теории относительности. Четырехвектор скорости, ускорения и четырехвектор энергии-импульса………………..…………………………65 Тема 6. Распад частиц…….……………….…………………..…….78 Тема 7. Рассеяние гамма-кванта на свободном электроне. Эффект Комптона……………………………..………...…. 90 Тема 8. Упругие столкновения частиц в релятивистской механике……….………….…..…………100 Тема 9. Движение частицы в однородных магнитном и электрическом полях…………….……………...…….…..112 Примеры решения задач……………..……………………. ………126 Приложение 1. Вывод формул преобразования Лоренца…..……150 Приложение 2. Определение угла отклонения и энергии движущейся частицы m1 после её столкновения с покоящейся частицей m2 ………..153 Вопросы для самоконтроля ………………………….…………….159 Список литературы……...…………………………………………162

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие посвящено рассмотрению основных положений специальной теории относительности. Цель пособия состоит в том, чтобы, с одной стороны, восполнить нехватку учебного материала для студентов групп вечернего факультета, с другой стороны, сконцентрировать соответствующую информацию, разбросанную по различным источникам, в единое целое, с учетом специфической формы подачи материала для студентов вечернего факультета. В пособии с единой точки зрения подробно рассматриваются практически все вопросы специальной теории относительности, а именно: четырехмерный формализм, преобразования Лоренца для координат и времени, преобразование скорости, импульса и энергии релятивистской частицы, распад и столкновения частиц, эффект Комптона, движение частиц в электромагнитных полях. Особенностью пособия является то, что практически все предлагаемые задачи подробно решены, часто несколькими способами. Это, безусловно, полезно для студенческой аудитории, сильно отличающейся уровнем базовых знаний математики и физики. Такое рассмотрение позволяет каждому студенту не только овладеть этими методами, но и составить свое индивидуальное представление о выборе оптимального способа решения той или иной задачи. Методика изложения теоретического материала и задачи подобраны из расчета использования их в курсах «Специальная теория относительности» и «Электродинамика», которые читаются кафедрой №32 группам вечернего факультета по специальностям «Физика конденсированного состояния вещества», «Ядерные реакторы и энергетические установки», «Электроника и автоматика физических установок». Данное учебное пособие может быть полезным и для студентов групп дневного отделения факультета Экспериментальной и теоретической физики и Физико-технического факультета, а также Высшего физического колледжа и Высшей школы физиков им. Н.Г.Басова, начинающих изучать различные разделы теоретической физики.

4

ВВЕДЕНИЕ Возникновение и значение теории относительности Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики. Результатом анализа экспериментальных фактов и закономерностей в областях электромагнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. До конца XIX века система представлений о пространстве и времени была тесно связана с успехами классической механики. Основные принципы классических воззрений в физике состояли в следующем: 1. Всякое физическое явление можно считать изученным только тогда, когда построена его механическая модель. 2. Единственно возможный вид физической закономерности – динамическая закономерность классической механики. В классической механике принимается, что задание действующих сил и начальных условий полностью определяет движение любой механической системы. Следовательно, начальное состояние полностью предопределяет поведение системы в любой последующий момент времени. Это утверждение и является понятием о динамической закономерности. 3. Всякая физическая теория должна строиться по образу и подобию механики. Все физические процессы происходят в пространстве и во времени, свойства которых установлены в рамках классической механики. Предполагалось, что свойства пространства сводятся к равноправию всех точек (однородности) пространства, к равноправию всех направлений (изотропности), его эвклидовости. В частности, расстояние между двумя точками ( x1 , y1 .z1 ) и l12 =

( x2 , y2 .z2 ) 2

( x2 − x1 )

определяется 2

выражением

2

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) . При этом считалось, что

движение физических тел никак не влияет на свойства пространства, в котором это движение происходит. Предполагалось также, что можно ввести единое мировое время, текущее равномерно и одинаково (однородность времени), независимо от состояния движения физических тел. Таким образом, свойства пространства ни5

как не были связаны со свойствами времени. Понятие времени имело абсолютный характер. Важнейшим положением классической механики была концепция дальнодействия, согласно которой взаимодействующие на расстоянии тела воздействуют друг на друга через пустоту, причём взаимодействие осуществляется с бесконечной скоростью, т.е. «мгновенно». Следствием развития электродинамики стал переход от концепции дальнодействия к концепции близкодействия, предложенной М. Фарадеем. Концепция близкодействия предполагает, что взаимодействие передаётся с помощью промежуточных агентов – полей, заполняющих пространство. При этом встал вопрос о скоростях распространения как взаимодействий, переносимых полями, так и самих полей. Скорость распространения электромагнитного поля в пустоте вытекала из уравнений Максвелла и оказалась постоянной и равной скорости света. Однако в связи с этим встал естественный вопрос – относительно чего постоянна скорость света? На первых порах основные положения, после создания Максвеллом теории электромагнетизма, связывались с гипотезой о существовании эфира (некой упругой среды, в которой разыгрываются все электромагнитные явления). Подобная гипотеза, казалось, гармонически дополняла механику и позволяла говорить об установлении механических представлений во всей физике. Однако дальнейшее развитие физики в начале ХХ века привело к полному пересмотру системы классических представлений. В начале ХХ века работами Эйнштейна и Смолуховского была построена теория броуновского движения. Ее опытная проверка впервые установила реальность молекул (до того времени имевших гипотетический характер). Трудами Гиббса было завершено развитие статистической физики и связанной с ней молекулярной теории тепла. Эти исследования показали, что молекулярное движение имеет гораздо более сложный характер, чем это первоначально предполагалось, и его понимание связано с введением в физику нового вида статистических закономерностей, которые коренным образом отличаются от динамических закономерностей классической механики.

6

Одновременно развитие теории электромагнитного поля в конце XIX и начале ХХ века, усовершенствование экспериментальных методов изучения электромагнитных процессов позволили приступить к настойчивым поискам непосредственных доказательств существования гипотетического эфира. Однако эти поиски не увенчались успехом. Наоборот, они привели не к обнаружению эфира, а к развитию нового физического мировоззрения и к полному отказу от механистической системы представлений о пространстве и времени. Создание Эйнштейном в 1905 г. специальной (т.е. частной) теории относительности привело к радикальному пересмотру представлений о свойствах пространства и времени. Было убедительно доказано, что нет никаких оснований не только в необходимости, но и возможности создания механических моделей для всех физических явлений. Теория относительности сыграла важнейшую роль в дальнейшем развитии современной физики, в частности, атомной и ядерной. Эта роль заключалась не только в использовании принципиально новых физико-математических соотношений, описывающих различные процессы, включая и те, которые с точки зрения классической механики были просто невозможны. Теория относительности впервые показала, что классические представления, почерпнутые из повседневного опыта, которые представлялись наглядными и очевидными, оказались несостоятельными или неполными при переходе к новым областям исследований. Поэтому появление теории относительности ознаменовало начало развития новой, неклассической физики. Для описания различных процессов в природе необходимо иметь систему отсчета. Такая система отсчета включает в себя тело отсчета, с которым связана система координат для определения координат события. Кроме того, необходимо располагать некоторым способом измерения времени. Возможность измерения времени дает любой периодический процесс, именуемый часами. Таким образом, всякая система отсчета состоит из тела отсчета, с которым связанна система пространственных координат, и связанный с этой системой координат прибор (“часы”) для определения времени между событиями. Только располагая системой отсчета, можно говорить об определенном законе движения тела в пространстве. Если относить в каждый момент времени положение тела к системе отсчета, то совокупность всех его положений в пространстве обра7

зует траекторию, а последовательность прохождения различных точек траектории – закон движения. Существуют такие простейшие системы отсчета, в которых движение свободных тел, т.е. тел, не взаимодействующих ни с какими другими телами (не подверженных воздействию внешних сил), происходит равномерно и прямолинейно, т.е. с постоянной
по величине и направлению скоростью: v = const . Такие системы отсчета называются инерциальными. Особая роль инерциальных систем отсчета связана с тем, что в них движение имеет наиболее простой вид. Например, во вращающейся системе координат свободное тело не могло бы покоиться. Если скорость тела в некоторый момент времени и была бы равна нулю, то уже в следующий момент времени тело начало бы двигаться (относительно этой системы отсчета) в некотором направлении. В инерциальной системе отсчета пространство является однородным и изотропным, а время – однородным. Если две системы отсчета K и K ′ движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, и если одна из них является инерциальной, то и другая система тоже является инерциальной. Таким образом, инерциальных систем бесконечно много. Опыт показывает, что инерциальные системы существуют в природе – это фактически является утверждением первого закона Ньютона (закона инерции). Напомним некоторые понятия и определения классической механики. 1. Материальная точка (м.т.) – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь при описании его движения (понятие относительное). Часто вместо термина “материальная точка” мы будем использовать термин “частица” и говорить о системе материальных точек как о системе частиц.
2. Радиусом-вектором r ( t ) м.т. называется вектор, проведенный из начала координат в место расположения точки. Проекции радиуса-вектора на декартовы оси координат называются ко


ординатами точки: ( r )x = x ( t ) , ( r )y = y ( t ) , ( r )z = z ( t ) . Таким образом, радиус-вектор определяет положение м.т. в выбранной системе координат в любой момент времени t , т.е. определяет её закон движения. 8

3. Скоростью м.т. называется векторная величина, определяющая быстроту изменения положения м.т. в пространстве, т.е.

быстроту изменения её радиуса-вектора: v ( t ) = rɺ ( t ) : vx = xɺ ( t ) , vy = yɺ ( t ) , vz = zɺ ( t ) . (Здесь и в дальнейшем, как это принято в

теоретической физике, точкой обозначается дифференцирование по времени.) Скорость всегда направлена по касательной к траектории. Опыт показывает, что если в момент времени t известен

радиус-вектор м.т. r ( t ) и её скорость v ( t ) , то можно предсказать положение м.т. в последующий, близкий момент времени t + dt :




r ( t + dt ) = r ( t ) + v ( t ) dt , v ( t + dt ) = v ( t ) + vɺ ( t ) dt .

Как видим, для этого задание величин r ( t ) и v ( t ) в момент времени t должно однозначно определять величину ускорения м.т.


w ( t ) = vɺ ( t ) = ɺɺ r (t) . Уравнением движения материальной точки называется со
отношение, связывающее величину ускорения ɺɺ r ( t ) с величинами

r ( t ) и rɺ ( t ) . (Естественно, что всё сказанное выше относится и к системе материальных точек.) Преобразования Галилея Нашей задачей является сравнение законов движения тела в различных инерциальных системах отсчета. Если некоторый физический закон не изменяется при переходе от одной системы отсчета к другой, то говорят, что он инвариантен относительно этого преобразования. Опыт показывает, что все инерциальные системы полностью эквивалентны. Это утверждение составляет содержание одного из важнейших принципов механики – принципа относительности Галилея, который формулируется так:

9

Рис.В.1. Взаимное расположение систем координат K и K ′

Во всех инерциальных системах отсчета, свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы и все законы механики. По отношению к механике это означает, что вид уравнений движения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой. Все сказанное говорит об исключительности свойств инерциальных систем отсчета. Рассмотрим две системы отсчета K и K ′ , движущихся относительно друг друга. Систему K ′ будем называть движущейся, систему K – неподвижной. Условность такой терминологии будет ясна из дальнейшего. Скорость движения системы K ′ относитель
но системы K равна v0 . Пусть оси обеих координат параллельны, а в начальный момент времени начала координат систем O и O′ совпадают (рис.В.1). Постулируется, что время имеет абсолютный характер и одинаково во всех системах отсчета: t = t′ . (В.1) Поэтому, например, d / dt = d / dt ′ . Для нахождения законов преобразования от системы отсчета K к системе K ′ заметим, что, согласно сказанному выше, в обеих инерциальных системах отсчета закон инерциального движения м.т. должен иметь один и тот же вид. Именно, в обеих си10

стемах координат ускорение свободной м.т. одинаково и равно

r = ɺɺ r ′ = 0 . Интегрируя это соотношение, находим нулю, т. е. ɺɺ


ɺ
ɺ r = r ′ + C , здесь C – неопределенная (векторная) константа, возникающая при интегрировании. Полученное соотношение применимо к любой м.т., движение которой рассматривают два наблюдателя, один из которых находится в системе K , а другой в системе K ′ . Применим это соотношение к точке O′ , т.е. к началу коор


динат системы K ′ : rɺ = rɺ ′ + C1 . В системе K ′ скорость

() ( )

O′

( )

O′


точки O′ равна нулю rɺ ′ = 0 . В системе K скорость точки O′ O′

ɺ


равна v0 : r = v0 . Отсюда получаем, что C1 = v0 . Таким обра-

()

O′

зом, скорости м.т. в системах K и K ′ связаны соотношением:





rɺ = rɺ ′ + v0 , т.е. v = v′ + v0 . (В.2) Формула (В.2) называется законом сложения скоростей классической механики. Соотношение (В.2) называют также треугольником скоростей. Скорость м.т. относительно неподвижной системы K

называют “абсолютной” скоростью ( v = vабс ) , скорость относительно системы K ′ называют “относительной” скоростью, а ско
рость v0 , с которой система K ′ движется относительно системы

K , называют “переносной” скоростью ( v = vпер ) . При такой терминологии соотношение (В.2) записывается в виде:


vабс = vотн + vпер , и закон сложения скоростей формулируется так: Абсолютная скорость м.т. равна векторной сумме относительной и переносной скоростей. Интегрируя соотношение (В.2), получаем, что




′ r = r + v0 t + C2 . Для определения величины C2 применим полу



ченное соотношение к точке O′ : rO′ = rO′ ′ + v0 t + C2 . Положим t = t ′ = 0 , но в начальный момент времени положение точки O′

совпадает с положением точки O , т.е. rO′ ( 0 ) = rO′ ′ ( 0 ) = 0 . Отсюда
находим, что C2 = 0 . В результате получаем, что


r = r ′ + v0 t . (В.3) 11

Формулы (В.1), (В.3) называются законом преобразования Галилея для времени и координат при переходе из системы K ′ в систему K . Формулы обратного преобразования получаются заменой



r ′ → r и v0 → −v0 :





t′ = t ; v′ = v − v0 ; r ′ = r − v0 t . (В.4) Неизменность законов классической механики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой математически выражается в том, что они инвариантны относительно преобразований Галилея. Это означает, что если в уравнениях Ньютона ∂U ∂U ∂U ɺɺ = − ɺɺ = − mx ; my ; mzɺɺ = − ∂x ∂y ∂z совершить замену x → x′ , y → y′ , z → z′ , т.е. перейти от системы K к системе K ′ , то они останутся неизменными, если закон преобразования координат и времени представляет закон преобразования Галилея (В.1), (В.3). Действительно, поскольку в уравнения движения входят только ускорения, которые не изменяются при преобразованиях Галилея, в системе K ′ имеем: ∂U ∂U ∂U ɺɺ′ = − ɺɺ′ = − mx ; ; mzɺɺ′ = − , my ∂x′ ∂y′ ∂z′ что совпадает с уравнениями движения в нештрихованной системе, отсчета. Необходимо подчеркнуть, что системы отсчета K и K ′ ' совершенно эквивалентны. С равным успехом можно рассматривать переход от системы отсчета K ′ к системе K . Таким образом, равномерное и прямолинейное движение системы отсчета не влияет на механические процессы, происходящие в системе материальных точек. Это утверждение и составляет суть принципа относительности Галилея. Следует отметить, что сам термин «принцип относительности Галилея» был введен в связи с созданием теории относительности. Термин «относительность» подчеркивает полную равноценность инерциальных систем отсчета. Термины «покой» и «равномерное и прямолинейное движение» имеют относительный характер. В классической механике имеет смысл только относительное движение. Наоборот, понятие абсолютного покоя и абсолютного движения не имеют реального содержания. Принцип относительности 12

классической механики ограничен инерциальными системами отсчета. В основе принципа относительности Галилея лежат представления классической физики о свойствах пространства и времени. Этот принцип, равно как и вытекающая из него формула сложения скоростей (В.2), подтверждаются таким обширным опытным материалом, в частности, связанным с миром непосредственно окружающих нас явлений, что его принято было считать чем-то самоочевидным. Опыт Майкельсона Существует глубокое различие между уравнениями классической механики и электродинамики. Это различие заключается в следующем. Как мы только что видели, уравнения механики инвариантны относительно преобразований Галилея и удовлетворяют принципу относительности Галилея. Поэтому с точки зрения механики понятие абсолютного движения лишено всякого смысла. Уравнения Максвелла напротив, не инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Они содержат абсолютную скорость – скорость света c , которая интерпретировалась в XIX веке как скорость относительно гипотетической неподвижной среды – мирового эфира. Предполагалось, что эфир заполняет пустое пространство и является той средой, в которой разыгрываются все электромагнитные процессы. Когда стало ясно, что с уравнениями физики не все ладится, сначала подозрение пало на уравнения электродинамики Максвелла. Они только-только были написаны, им было всего 20 лет от роду. Поэтому казалось почти естественным, что они неверны. Их принялись переписывать, видоизменять и подгонять к тому, чтобы оказался выполненным принцип относительности в галилеевой форме (В.1) , (В.3). При этом в уравнениях электродинамики стали появляться новые члены, которые предсказывали новые электрические явления. Однако ни один из экспериментов этих явлений не обнаружил. Поэтому пришлось отказаться от попыток изменить уравнения Максвелла. Постепенно становилось ясно, что законы электродинамики абсолютно правильны, а возникшая проблема состоит в чем-то другом. В 1892 году Лоренц и (независимо от него) Джордж Фитцджеральд предположили, что эфир неподвижен, а длина лю13

бого тела сокращается в направлении его движения (лоренцево сокращение длины). Одновременно изучался вопрос, при каких преобразованиях координат уравнения Максвелла инвариантны. Было показано (Лармор 1900 г., Пуанкаре 1905 г.), что при подстановке в уравнения Максвелла x′ − v0 t ′ t′ − v0 x′ / c2 x= ; y = y′; z = z′; t = , (В.5) 1 − v02 / c2 1 − v02 / c2 форма уравнений после подстановки не менялась! Из соотношений (В.5) следовала формула Лоренца для сокращения длины объекта в направлении его движения и неизменности линейных размеров в поперечном направлении. По-видимому, в связи с этим Пуанкаре предложил назвать формулы (В.5) формулами преобразования Лоренца. Тем не менее Пуанкаре продолжал признавать эфир, хотя придерживался мнения, что его никогда не удастся обнаружить (доклад Пуанкаре на физическом конгрессе 1900 г.). Однако формулы преобразования Лоренца не были восприняты как новые реальные формулы перехода от инерциальной системы K ′ к системе K , движущихся друг относительно друга вдоль оси Ox . И тому были веские причины. Действительно, если предположить, что формулы Лоренца должны заменить формулы преобразования Галилея, то нарушается, казавшийся очевидным, принцип единого мирового времени, так как в соответствии с формулами (В.5), при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, изменялись не только координаты, но и время! Требовалось в корне пересмотреть свойства пространства и времени, чтобы признать истинность закона преобразований Лоренца. Вернемся снова к вопросу о существовании мирового эфира. Хотя, по мнению исследователей XIX века, имелось много фактов, косвенно подтверждавших гипотезу эфира, прямых доказательств его существования не было. Казалось, что такие данные можно было бы получить, изучая электромагнитные явления, происходящие в движущихся телах. Действительно, если источник или приемник света находятся в движении, то в системе отсчета, связанной с движущимся телом, уравнения Максвелла должны приобрести новую форму. Вместо скорости света c в них должна войти некоторая результирующая скорость света в движущейся системе отсчета. Например, в соответствии с законом сложения скоростей 14

(В.2), если источник неподвижен, а приемник движется со скоростью v относительно эфира, скорость света в системе отсчета, движущейся с приемником, будет ( c + v ) , если приемник движется навстречу источнику, или равна ( c − v ) , если приемник движется в направлении от источника. Это означает, что наблюдая в движущейся системе отсчета распространение световых волн, можно определить скорость движения системы, т.е. приемника, по отношению к неподвижному эфиру. При этом эфир приобретает характер абсолютной неподвижной системы отсчета, а скорость по отношению к эфиру – абсолютной скорости приемника. Если движение приемника как-то связать с движением Земли, то можно было надеяться определить абсолютную скорость движения Земли (относительно эфира), что представляло огромный интерес для классической физики. Были сделаны попытки определить абсолютную скорость движения Земли сквозь воображаемый “эфир”, который, как думали тогда, пропитывает собой все пространство. Ещё Максвелл в 1868 году предложил схему решающего опыта, который после изобретения интерферометра смог осуществить в 1881 году американский физик Майкельсон. Позже Майкельсон и Э. Морли повторили опыт несколько раз с возрастающей точностью. Не останавливаясь на описании многочисленных попыток измерения абсолютной скорости Земли, кратко изложим схему знаменитого опыта Майкельсона и Морли (1887 г.), завершившего эти поиски. Идея опыта заключалась в следующем. Пусть луч света от некоторого неподвижного (относительно эфира) источника проходит путь до двух зеркал и возвращается обратно к источнику. Расстояние l0 между каждым из этих зеркал и источником света было одинаковым. Первое зеркало установлено в продольном направлении, т.е. по направлению вращения Земли. Второе зеркало установлено таким образом, что движение светового луча происходит в перпендикулярном направлении1. Измерялось два времени T и T⊥ 1

Мы не останавливаемся на аппаратурном оформлении опыта. Оно приведено в любой книге по теории относительности. См. например “Феймановские лекции по физике”, Т.2, с.9.

15

прохождения световым лучом пути до этих зеркал и, после отражения от них, обратно к приемнику. Вычислим эти времена T и T⊥ , считая, что свет движется со скоростью c относительно неподвижного эфира. (Допущение об увлечении эфира Землей в своем движении по орбите было отвергнуто более ранними опытами Физо.) Поскольку первое зеркало движется вместе с Землей по отношению к неподвижному эфиру со скоростью vЗ , то за время t1 прохождения светом пути от источника до зеркала, зеркало сместится на отрезок vt1 . Поэтому по отношению к эфиру свет пройдет путь больший, чем расстояние между источником и зеркалом l0 , если они были бы неподвижны друг относительно друга: l1 = ( l + vЗ t1 ) . Требующееся для этого время можно определить из

уравнения t1 = l1 / c = ( l0 + vЗ t1 ) / c . Решая это уравнение, находим, что l0 t1 = . c (1 − vЗ / c ) При движении в обратном направлении l2 = ( l0 − vЗ t ) . Аналогичное рассуждение дает, что в этом случае l − vЗ t1′ l0 t1′ = 0 , т.е. t1′ = . c c (1 + vЗ / c ) Полное время прохождения света в обоих направлениях – от источника до зеркала и обратно от зеркала до источника (где приходящий световой сигнал регистрировался) равно: 2l0 T = t1 + t1′ = . c (1 − vЗ2 / c2 ) При движении ко второму зеркалу и обратно свет, распространяющийся перпендикулярно к направлению вращения Земли, проходит по отношению к эфиру один и тот же путь l2 . Поэтому оба времени равны t2 = t2′ . За время t2 зеркало сместится в перпендикулярном направлении на величину vЗ t2 . Поэтому 2

l2 = l02 + ( vЗ t2 ) . Для определения t2 получаем уравнение

16

2

t2 =

l02 + ( vЗ t2 ) c

Решая это уравнение, находим, что

t2 =

. l0

. c 1 − vЗ2 / c2 Полное время прохождения луча до зеркала и обратно при перпендикулярном расположении источника и зеркала относительно вращения Земли 2l0 T⊥ = 2t2 = < T . c 1 − vЗ2 / c2 Таким образом, луч света должен с точки зрения теории неподвижного эфира проходить оба пути за разное время. Измеряя разность этих времен ∆T = ( T − T⊥ ) , можно было определить скорость движения Земли vЗ относительно эфира. Оказалось, однако, что времена T и T⊥ с огромной степенью точности совпали друг с другом2. Поэтому найти скорость vЗ из опыта Майкельсона– Морли не представлялось возможным. С точки зрения классической физики отрицательный результат опыта Майкельсона казался совершенно необъяснимым. В основу опыта было положено лишь одно допущение: скорость света по отношению к неподвижному эфиру постоянна и равна c . Был сделан целый ряд попыток объяснения отрицательного результата опыта Майкельсона в рамках классических представлений. Однако все они оказались неудовлетворительными. Таким образом, в начале XX века существовали две несовместимые кинематики: классическая, с преобразованиями Галилея, и электромагнитная, с преобразованиями Лоренца. Эйнштейн предположил, что первая есть приближённый случай второй для малых скоростей, а то, что считалось свойствами эфира, есть на деле проявление объективных свойств пространства и времени. 2

Заметим, что в последнее время благодаря огромной точности измерения времени, достигнутой с помощью молекулярной электроники, опыт Майкельсона был повторен почти в точности так, как это описано в тексте.

17

Эйнштейн пришёл к выводу, что нет никакой необходимости привлекать понятие эфира только для того, чтобы доказать невозможность его наблюдения. В своей основополагающей статье «К электродинамике движущихся сред» (1905 г.) он предложил два постулата: специальный принцип относительности и наличие максимальной скорости распространения взаимодействия. Из них без труда выводятся формулы преобразования Лоренца, лоренцево сокращение, относительность понятия одновременности, ненужность эфира, новая формула суммирования скоростей и так далее. Часть учёных сразу приняли положения специальной теории относительности: Планк (1906 г.) и сам Эйнштейн (1907 г.) построили релятивистскую динамику и термодинамику. Минковский в 1907 году представил математическую модель кинематики специальной теории относительности, в которой преобразования Лоренца вытекают из геометрии четырёхмерного псевдоевклидова пространства: в пространстве Минковского преобразования Лоренца являются преобразованиями поворотов координатных осей в четырехмерном пространстве. Были, однако, и критики новых концепций, которые продолжали поддерживать концепцию эфира. Появились попытки найти в специальной теории относительности внутренние противоречия. Сам Лоренц прекратил критику специальной теории относительности только к концу жизни. Свои разногласия с теорией относительности он сам сформулировал так: “Основная причина, по которой я не смог предложить теории относительности, заключается в том, что я придерживался представления, будто лишь переменная t может считаться истинным временем, а предложенное мной “местное время” t′ должно рассматриваться только в качестве вспомогательной математической величины”. Так же, как и в случае квантовой механики, многие предсказания теории относительности противоречат интуиции, кажутся невероятными и невозможными. Это, однако, не означает, что теория относительности неверна. В действительности, то, как мы видим (либо хотим видеть) окружающий нас мир и то, каким он является на самом деле, может сильно различаться. О том, что теория верна математически, свидетельствует строгая математическая форма и чёткость всех формулировок. То, что теория относитель18

ности действительно описывает наш мир, свидетельствует огромный экспериментальный опыт. Тема 1 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ИНТЕРВАЛ Отрицательный результат опыта Майкельсона побудил Эйнштейна пересмотреть исходные понятия классической физики и прежде всего представления о свойствах пространства и времени. В результате им была создана теория относительности, именуемая также частной или специальной теорией относительности. В основу теории относительности положены два принципа или постулата. 1. Принцип относительности Эйнштейна Согласно принципу относительности Эйнштейна, равномерное и прямолинейное движение тел не оказывает влияния на происходящие в них процессы. Иными словами, все законы природы одинаковы в инерциальных системах отсчета. Если в некоторой инерциальной системе отсчета произвольный закон природы выражен в виде некоторого уравнения, в котором физическая величина является функцией координат и времени, то, совершая преобразование координат и времени к другой инерциальной системе отсчета, мы обязательно должны получить ту же самую функциональную зависимость физической величины в зависимости от новых координат и времени. Это утверждение кратко формулируется так: «законы природы инвариантны (неизменны) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой». Принцип относительности Эйнштейна является обобщением принципа относительности Галилея. Принцип относительности Галилея устанавливал относительность инерциального движения и невозможность введения понятий абсолютного движения и абсолютного покоя, но только в рамках ньютоновской (нерелятивистской) механики. Отрицательный результат опыта Майкельсона 19

означал, что понятия абсолютного движения и покоя не имеют смысла и в теории электромагнитного поля. Однако имеется глубокое различие между принципом относительности Галилея и Эйнштейна. В последнем переход от одной инерциальной системы отсчета к другой не связывается с формулами преобразования координат и законом сложения скоростей нерелятивистской механики. Действительно, как это уже отмечалось во введении, уравнения Максвелла не удовлетворяют этим преобразованиям. Поэтому закон преобразования координат и времени при переходе от одних инерциальных систем отсчета к другим должен быть найден заново. 2. Принцип существования предельной скорости распространения взаимодействий Для этой цели в теории Эйнштейна служит второй постулат теории относительности, утверждающий, что существует предельная (максимальная) скорость распространения взаимодействий в пустоте. В силу первого постулата, эта предельная скорость распространения взаимодействия единственная и должна быть одной и той же в любой инерциальной системе отсчета. Поэтому, если в результате какого-либо эксперимента будет обнаружена скорость какого-то явления, которая в пустоте не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчете к другой, то в силу её единственности именно эта скорость и должна рассматриваться как максимальная скорость распространения взаимодействия. Но именно это и показал опыт Майкельсона – Морли! Поэтому из двух постулатов теории относительности следует, что такой максимальной скоростью распространения взаимодействия является скорость света в пустоте c = 3 ⋅ 108 м с . Другими словами, второй постулат непосредственно выражает результат опыта Майкельсона и тесно связан с развитием электродинамики. Стала очевидной несостоятельность теории дальнодействия классической ньютоновской механики. Остановимся на этом вопросе более подробно. В нерелятивистской механике взаимодействие между частицами описывается посредством потенциальной энергии


U ( r1 , r2 , ...... rN ) , которая является функцией только координат всех 20

N взаимодействующих частиц и входит в функцию Лагранжа механической систем. Если, например, механическая система состоит из двух взаимодействующих частиц ( N = 2) , то в декартовой прямоугольной системе координат функция Лагранжа выглядит так:

m1v12 m2 v22





L ( v1 , v2 ; r1 , r2 ) = + − U ( r1 − r2 ) ; (1.1) 2 2 mm

U ( r1 − r2 ) = −γ
1
2 ; γ –гравитационная постоянная (1.2) r1 − r2 Сила притяжения, действующая на первую частицу со стороны второй частицы


r1 − r2

F12 = −grad r1 U ( r1 − r2 ) = −γm1 m2

3 . (1.3) r1 − r2


F12′

m1
r1


F12
r2′


∆r2
r2

m2

O Рис.1.1. Условное изображение изменения взаимодействия
двух частиц при смещении второй частицы на величину ∆r2

Из формулы (1.3) видно, что если произошло изменение положения




второй частицы m2 на величину ∆r2 ( r2 → r2′ = r2 + ∆r2 ), то мгно


венно изменяется величина и направление силы F12 ( F12 → F12′ ), действующей на первую частицу m1 (рис.1.1): 21





r1 − ( r2 + ∆r2 ) F12′ = −γm1m2


3 . r1 − ( r2 + ∆r2 )

(1.4)

Приведенный пример наглядно демонстрирует принцип
дальнодействия, так как изменение силы F12 происходит мгновен

но, независимо от расстояния r1 − r2 между частицами m1 и m2 , даже если это расстояние очень велико. Приведенный пример ещё раз иллюстрирует также неизменность законов классической механики по отношению к преобразованиям Галилея, о которых уже упоминалось во введении. Действительно, пусть система K ′ дви
жется относительно системы K с постоянной скоростью v0 . То

гда, в рамках классической механики, координаты r и r ′ одной и той же точки m в этих системах отсчета связаны соотношением:


r ( t ) = r ′ ( t ) + v0 t . (1.5) В классической механике предполагается, что время носит абсолютный характер: t = t ′ ; → ∆t = ∆t ′ . (1.6) Из формул преобразования Галилея (1.5) и (1.6) (о которых уже упоминалось во введении) следует закон преобразования скоростей при переходе из одной инерциальной системы в другую систему



v ( t ) = ∆r / ∆t = v′ ( t ) + v0 ; (1.7)


здесь v′ ( t ) = ∆r ′ / ∆t ′ = ∆r ′ / ∆t . Преобразование Галилея не изменяют основного закона классической механики – второго закона Ньютона. Так, в рассмотренном выше примере системы из двух частиц, уравнение движения первой



частицы в системе K : m1dv1 / dt = F12 ( r1 − r2 ) .

При переходе в инерциальную систему K ′ m1dv1 / dt = m1dv1′ / dt . Поскольку в соответствии с (1.5)









r1 − r2 = r1′ − r2′ , то F12 ( r1 − r2 ) = F12 ( r1′ − r2′ ) .

Поэтому вид уравнения движения не изменяется:



m1dv1′ / dt = F12 ( r1′ − r2′ ) . 22

В электродинамике было установлено, что существует конечная скорость распространения электромагнитных взаимодействий, численно равная скорости света в пустоте. Принцип предельной скорости распространения взаимодействий выражает гипотезу о том, что максимальная скорость распространения взаимодействий в пустоте имеет универсальный характер и связана непосредственно со свойствами пространства и времени, а не с физической природой взаимодействия, будь то гравитационное взаимодействие или специфическое взаимодействие между ядерными частицами. Стало ясно, что мгновенных взаимодействий в природе не существует. Поэтому, если с одним из взаимодействующих тел происходит какое-нибудь изменение (изменение положения в пространстве, изменение скорости, и так далее), то на другом теле это отразится не сразу, а через некоторый промежуток времени. Только после этого промежутка времени со вторым телом начнут происходить процессы, вызванные изменением состояния первого тела. Если это расстояние достаточно мало, то изменения второго тела начнут происходить сравнительно быстро. Если же тела находятся на значительном расстоянии друг от друга, то второе тело почувствует изменение состояния первого тела только через значительный промежуток времени. (Прекрасный пример сказанному – решение уравнений Максвелла в виде запаздывающих потенциалов.) В этом и состоит принцип близкодействия. Другими словами, все виды взаимодействия имеют характер близкодействия. Существование предельной скорости распространения взаимодействия означает, что имеется некоторая связь между пространственными и временными промежутками, а также между такими понятиями, как одновременность событий в различных инерциальных системах отсчета. Всё сказанное будет наглядно продемонстрировано ниже. Понятно, что наличие предельной скорости автоматически предполагает ограничение скорости движения материальных тел величиной c . Если бы какие-либо частицы могли двигаться со скоростью большей, чем скорость света, эти частицы могли бы осуществлять взаимодействие между телами также со скоростью, превышающей предельную. Таким образом, второй постулат Эйнштейна ограничивает значение всех возможных в природе скоростей движения и распространения взаимодействия величиной c . 23

Как уже отмечалось выше, принцип существования и единственности предельной скорости распространения взаимодействий тесно связан с принципом относительности Эйнштейна (первый постулат теории относительности). Действительно, если бы скорость распространения взаимодействий зависела от скорости частиц или от природы самого взаимодействия (т.е. была бы различной, например, для электромагнитного и гравитационного взаимодействий), принцип относительности был бы нарушен. Часто распространение взаимодействий в теории относительности называют распространением сигналов. При этом под сигналом понимают любое взаимодействие между телами, находящимися на конечном расстоянии друг от друга в состоянии относительного движения или покоя. Поэтому принцип существования предельной скорости распространения взаимодействия называют принципом существования конечной скорости распространения сигналов. Таким образом, все содержание теории относительности вытекает из двух ее постулатов. В настоящее время оба постулата теории относительности подтверждаются всей совокупностью экспериментальных данных, полученных при изучении атомных и ядерных процессов, движения быстрых частиц в приборах и инженерных сооружениях (ускорители) и тому подобное. Обычно объединение принципа относительности с утверждением о конечности скорости распространения взаимодействия (и её неизменности в различных инерциальных системах отсчета) называется принципом относительности Эйнштейна (1905 г.) [2]. Механика, учитывающая конечность скорости распространения взаимодействия, т.е. основанная на принципе относительности Эйнштейна, называется релятивисткой механикой. Таким образом, после того, когда уравнениям Максвелла было отдано явное предпочтение первостепенной значимости (в смысле их общности и вытекающих из них фундаментально новых физических понятий), встал вопрос о получении новых формул преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, которые оставляли бы инвариантными эти уравнения. Кроме того, было необходимо найти новую форму записи уравнений движения, которые также были бы инвариантны относительно этих преобразований. Следует подчеркнуть, что поскольку максимальная скорость распространения 24

взаимодействия очень велика, то на практике, при изучении движения частиц со скоростями v << c , скорость распространения взаимодействия можно считать бесконечно большой ( c = ∞ ) и пользоваться обычной ньютоновской механикой. При этом новые формулы преобразования координат и времени должны переходить в формулы Галилея. Однако при изучении процессов движения частиц со скоростями v ~ c нужно учитывать конечность скорости распространения взаимодействия. Из принципа относительности Эйнштейна следует, что в релятивистской механике относительным является не только пространство, но и время. Т.е. время между какими-либо двумя событиями различно для наблюдателей в различных инерциальных системах отсчета: t ≠ t ′ ; → ∆t ≠ ∆t ′ . (1.8) K′

K

l′ O

O′


v0

B′

c

l′ A′

c

D′

A

x′ x

Рис.1.2. Иллюстрация понятия относительности одновременности

В частности, теряет смысл понятие одновременности двух событий. В то время как для наблюдателя в одной системе отсчета два события являются одновременными, для наблюдателя в другой инерциальной системе отсчета эти события уже не являются одновременными. Для иллюстрации сказанного рассмотрим простой пример. Пусть наблюдатель в системе K ′ , которая движется отно25


сительно системы K вправо со скоростью v0 , наблюдает распространение двух световых сигналов, испущенных со скоростью c из точки A′ вправо и влево. Наблюдатель в системе K ′ регистрирует моменты прихода этих сигналов в точки D′ и B′ , которые находятся на одинаковом расстоянии l′ от точки A′ в системе K ′ . Все три точки A′ , B′ и D′ движутся вместе с системой K ′ . Понятно, что в системе K ′ оба события, т.е. приход светового сигнала в точки D′ и B′ будут одновременными: tA′ ′D′ = tA′ ′B′ = l ′ / c . Совершенно иная картина предстанет перед наблюдателем в системе K (рис.1.2). Он наблюдает распространения светового сигнала из точки A , положение которой в момент времени t = 0 в системе K совпадало с точкой A′ при t ′ = 0 . Принципиально важно, что из принципа относительности Эйнштейна следует, что в системе K скорость распространения светового сигнала будет той же, что и в системе K ′ , т.е. равна c . Но точка D′ в системе K движется вдоль распространения сигнала, а точка B′ навстречу сигналу. Поэтому tAD′ > t AB′ . Это означает, что по часам наблюдателя в системе K ′ сигнал придет в точки D′ и B′ одновременно, а по часам наблюдателя в системе K не одновременно. Следует подчеркнуть, что представление об относительности одновременности было с самого начала положено в основу теории относительности (в виде принципа конечности предельной скорости распространения взаимодействий), и его можно рассматривать лишь как наглядный пример внутренней согласованности теории.

Математическое выражение принципа относительности Эйнштейна. Интервал Введем понятие события. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K ′ . Координаты в этих системах будем обозначать x, y, z и x′, y′, z′ , а время t и t ′ . Везде в дальнейшем будем считать, что декартовы оси координат обеих систем параллельны, оси x и x′ направлены по одной прямой и система K ′ движется относительно системы K вдоль оси x с постоянной 26


скоростью v0 ( v0 x ;0;0 ) . Если v0 x > 0 , то система K ′ движется

вправо, а если v0 x < 0 – влево (рис.1.3) Кроме того, оба наблюдателя включают часы, когда начала координат обеих систем O и O′ совпадают, т.е. за начало отсчета времени в обеих системах отсчета принимается момент совпадения их начал координат O и O′ . Пусть первое событие в системе K происходит в точке 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) в момент времени t1 , а второе событие происходит в точке 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) в момент времени t2 .

Рис.1.3. Взаимное расположение систем координат K и K ′

По определению, величина 2

2

2

2

S12 = c2 ( t2 − t1 ) − ( x2 − x1 ) − ( y2 − y1 ) − ( z2 − z1 )

(1.9)

называется интервалом между двумя любыми двумя событиями в системе K . Для наблюдателя в системе K ′ интервал между теми же двумя событиями будет равен 2

2

2

2

′ = c2 ( t2′ − t1′ ) − ( x2′ − x1′ ) − ( y2′ − y1′ ) − ( z2′ − z1′ ) . S12

(1.10)

Штрихи в формуле (1.10) означают, что координаты первой и второй точек берутся в системе K ′ . При этом x1′ ≠ x1 , x2′ ≠ x2 и так далее. То же относится и к моментам времени t2′ , t1′ и t2 , t1 . Понятие интервала в теории относительности является обобщением 27

обычных понятий интервала (т.е. расстояния) между двумя точками и интервала (т.е. промежутка времени) между двумя событиями. Если два события бесконечно близки друг к другу, то интервалы между ними dS = c2dt 2 − dx2 − dy2 − dz2

и dS′ = c2dt ′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 . (1.11) Установим связь между интервалами событий в координатах K и K ′ . Пусть первое событие состоит в том, что в системе K световой сигнал распространяется из точки 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) в момент

времени t1 . Второе событие состоит в том, что этот сигнал приходит в точку 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) в момент времени t2 . Так как сигнал распространяется прямолинейно со скоростью света c , а расстояние между этими точками l12 =

2

( x2 − x1 )

2

2

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) , то световой сигнал про-

ходит это расстояние за время t2 − t1 = l12 / c . Следовательно, интервал между такими двумя событиями в системе K будет равен нулю: 2

S12 = c2 ( t2 − t1 ) −

{( x

2

2

2

2

− x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )

} = 0 . (1.12)

В системе K ′ скорость распространения сигнала остается равной c . Поэтому в системе K ′ имеет место аналогичное соотношение: 2

′ = c2 ( t2′ − t1′ ) − S12

{( x′ − x′ )

2

2

1

2

2

+ ( y2′ − y1′ ) + ( z2′ − z1′ )

} = 0 . (1.13)

Таким образом, из инвариантности скорости света следует, что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в любой другой инерциальной системе отсчета. Это означает, что интервалы меду любыми бесконечно близкими событиями в инерциальных системах отсчета являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости и если отличаются, то только численным множителем: dS = α ⋅ dS′ . (1.14)

28

В силу однородности времени величина α не может зависеть от времени. В силу однородности и изотропности пространства значение α может зависеть только от величины (модуля) скорости
v0 = v0 , с которой одна инерциальная система отсчета движется по отношению к другой: dS = α ( v0 ) ⋅ dS′ . (1.15) Чтобы определить значение величины α , рассмотрим три инерци
альные системы отсчета: K , K1 и K2 . Пусть v1 – скорость, с кото
рой система K1 движется относительно K , а v2 – скорость, с которой система K2 движется относительно K (рис.1.4). Тогда, в соответствии с формулой (1.15) будем последовательно иметь:
dS = α ( v1 ) ⋅ dS1 ; dS = α ( v2 ) ⋅ dS2 ; dS1 = α ( v12 ) ⋅ dS2 . (1.16)
Здесь v12 – величина скорости, с которой система K2 движется относительно системы K1 . Из третьей и первых двух формул следует, что dS1 dS / α ( v1 ) α ( v2 ) dS1
= = , = α ( v12 ) ; dS2 dS2 dS / α ( v2 ) α ( v1 ) т.е. α ( v2 )
(1.17) = α ( v12 ) . α ( v1 )

K

K1

K2
v2
v1

Рис.1.4. Три инерциальные системы координат ( к выводу формулы (1.17))

29




Величина v12 зависит от угла между векторами v1 и v2 . Поэтому
правая часть формулы (1.17) зависит от угла между векторами v1 и
v2 . Левая часть формулы (1.17) зависит только от величин v1 и v2



векторов v1 и v2 . Следовательно, при любых скоростях v1 и v2 , равенство (1.17) возможно только в том случае, если α = const . Но, тогда из формулы (1.17) сразу следует, что эта константа равна единице: α = 1 . Таким образом, мы доказали, что: Интервал между любыми двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, независимо от характера этих событий: dS = dS′; ⇒ S = S′ . (1.18) Если два события бесконечно близки друг к другу, то интервалы между ними c2 dt 2 − dx 2 − dy2 − dz2 =

c2 dt ′2 − dx ′2 − dy′2 − dz′2 = invar . (1.19)

Инвариантность интервала является математическим выражением принципа относительности Эйнштейна. Утверждение (1.18) является фундаментальным соотношением всей специальной теории относительности. Таким образом, утверждение, что “два физических события разделены интервалом S ” имеет абсолютный характер. Оно справедливо во всех инерциальных системах отсчета. Авторы ряда популярных изложений теории относительности в 20-х годах прошлого столетия передали идейное содержание теории относительности броским, но абсолютно неверным афоризмом – “Теория относительности показала, что всё в мире относительно”. На самом деле, одна из важнейших задач, которая ставит перед собой теория относительности, заключается как раз в обратном – в нахождении абсолютных, не зависящих от выбора инерциальной системы отсчета величин и законов природы. Теперь мы имеем, по крайней мере, две величины, значения которых оди-

30

наковы во всех инерциальных системах: скорость света c и интервал S 3. Величина интервала S может быть как вещественной, так и мнимой, в зависимости от знака подкоренного выражения. Рассмотрим сначала случай вещественного интервала, когда 2

2

2

2

c2 ( ∆t ) > ( ∆x ) + ( ∆y ) + ( ∆z ) . При этом всегда можно найти такую систему отсчета, в которой два события, происходящие в системе K в разных точках пространства - x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 , z1 ≠ z2 , по отношению к наблюдателю в системе K ′ происходят в одном месте, т.е. x2′ = x1′ , y2′ = y1′ , z2′ = z1′ . Для этого необходимо, чтобы в соответствии с формулой (1.19) имело место условие: c2dt 2 − dx2 − dy2 − dz2 = cdt ′ . Полученное условие в принципе всегда может быть выполнено при вещественном значении подкоренного выражения. Поэтому вещественные интервалы получили название “времениподобных интервалов”. Очевидно, что если два события происходят с одной и той же физической системой, то интервал между этими событиями имеет времениподобный характер. Действительно, за время ∆t между двумя последовательными событиями система может пройти путь ∆l < cdt , т.е. dx2 + dy2 + dz2 < cdt , поскольку ее скорость всегда меньше скорости света. Мнимый интервал называется “пространственноподобным”. Если два события разделены пространственноподобным интервалом, то всегда можно найти систему отсчета, в которой они происходят в один и тот же момент времени. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие 2

2

2

2

c2 ( ∆t ) < ( ∆x ) + ( ∆y ) + ( ∆z ) .

3

В общей теории относительности, задача о нахождении абсолютных законов природы расширяется на любые системы отсчета.

31

Применим соотношение (1.19) к движению одной материальной точки m . Пусть первое событие состоит в том, что частица
m находится в момент времени t в точке r , а второе событие состоит в том, что в момент времени t + dt частица оказалась в точке

r + dr . Интервал между этими двумя событиями будет определяться выражением
2 dS = c2dt 2 − dx2 − dy2 − dz2 = cdt 1 − ( dr / dt ) .

Поскольку dr / dt = v ( t ) – скорость материальной точки в момент времени t , то
v2 ( t ) dS = cdt 1 − 2 . (1.20) c Поскольку v ( t ) < c , то dS является величиной действительной. Следовательно, интервал (1.20) является времениподобным интервалом.

Тема 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА И ИХ СВОЙСТВА Получим формулы, связывающие координаты и время одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета K и K ′ . Эти формулы должны быть такими, чтобы оставался инвариантным интервал между этим и бесконечно близким к нему событием: 2 dS = dS′ , т.е. dS2 = ( dS′ ) . (2.1)
Пусть, как обычно, скорость v0 направлена вдоль оси x . В начальный момент времени t = t ′ = 0 точки O и O′ совпадают. Оси координат в системах K и K ′ параллельны (рис.2.1).

32

K′ y′

K y


v0

O′

O

x′

t = t′ = 0

x

z′ Рис. 2.1. Две инерциальные системы координат

Поскольку система K ′ движется относительно системы K вдоль оси x , то поперечные координаты одинаковы в обеих системах отсчета: y = y′ ; z = z′ . (2.2) Что касается продольных координат и времени, то можно показать, что из инвариантности интервала (2.1) получаются следующие формулы, связывающие пары величин ( x, t ) и ( x′, t ′ ) : v ′ + 02x x′ t ′ ′ x + v0 x t c x= ; . t= 2

2

1 − ( v0 x / c )

1 − ( v0 x / c )

Таким образом, координаты события ( x, y, z, t ) в системе K связаны с координатами ( x′, y′, z′, t ′ ) того же события в системе K ′ следующим образом: v  x′ + β ct ′ t ′ + β x′ / c  x= ; y = y′ ; z = z′ ; t = ;  β = 0x  . (2.3) 2 2 c   1−β 1−β Соотношения (2.3) являются формулами прямого преобразования Лоренца и полностью совпадают с формулами (В.5), о которых упоминалось во введении. (Строгое доказательство формул преобразования Лоренца приведено в конце этого раздела.) Формулы прямого преобразования (2.3) позволяют, зная координаты со33

бытия в системе K ′ , определить координаты того же события в системе K . Формулы преобразования координат и времени при переходе от инерциальной системы K ′ , движущейся с постоянной ско
ростью v0 ( v0 x ; v0 y ; v0z ) относительно лабораторной системы K в общем случае, т.е. не предполагая, что система K ′ движется вдоль оси Ox системы K , выглядят так (см. задачу 2.1):

 [v
[v
, r
′]]
r ′ + v0 t ′  1 ; r= + − 1 0 02 v0 1 − β2  1 − β2 

( v , r′)
t′ + 0 2  2 v02  c t= ; β = (2.4)  . c2  1 − β2  Для того чтобы получить формулы обратного преобразования, нужно в формулах Лоренца осуществить замену v0 x → −v0 x , т.е. замену β → −β , так как при обратном преобразовании считается, что система K ′ является неподвижной, а система
K движется относительно K ′ со скоростью −v0 : x − βct t − βx / c x′ = ; y′ = y ; z ′ = z ; t ′ = (2.5) 2 1−β 1 − β2 (формулы обратного преобразования Лоренца). Убедимся непосредственным вычислением, что формулы преобразования Лоренца (2.4) оставляют инвариантным интервал 2 между событиями, т.е. что dS2 = ( dS′ ) : dS2 = c2 dt 2 − dx2 − dy2 − dz2 = 2

dS2 =

2

 dt ′ + βdx′ / c   dx′ + βcdt ′  ;  −  − dy′2 − dz′2 = c2     1 − β2 1 − β2     c2 dt ′2 + 2βcdt ′dx′ + ( β2 − 1) dx′2 − 2βcdt ′dx′ − β2c2 dt ′2 − 1 − β2

− (1 − β2 )( dy′2 + dz′2 ) 1 − β2

.

34

После приведения подобных слагаемых, получаем: c2 dt′2 (1 − β2 ) − (1 − β2 )( dx′2 − dy′2 − dz′2 ) 2 dS = = . 1 − β2 = c2 dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 . 2

Таким образом, доказано, что dS2 = ( dS′ ) . Рассмотрим предельный случай c → ∞ . В этом случае β = 0 , βc = v0x и мы получаем: x = x′ + v0x t′ ; y = y′ ; z = z′ ; t = t ′ , т.е. возвращаемся к формулам преобразования Галилея, справедливым в нерелятивистской механике. Следствия из преобразований Лоренца. Собственная длина и собственное время 1. Собственная длина Пусть в системе K покоится стержень (“линейка”), параллельная оси x . Длину этой линейки измеряют два

K′

K y

O

y′

O′


v0

x′

x x1 x2 Рис.2.2. Условное изображение процесса измерения длины стержня в различных инерциальных системах координат

наблюдателя: один находится в системе K , а другой в системе K ′ . Нужно выяснить соотношение между длинами этой линейки (стержня) в обеих системах отсчета. 35

Собственной длиной стержня l0 называется его длина в той системе отсчета, в которой стержень покоится, т.е. в собственной системе отсчета. В данном случае это длина в системе K . Пусть заданы координаты левого конца стержня x1 и правого конца – x2 в системе K . Тогда l0 = x2 − x1 . (2.6) Для определения длины стержня l′ в системе K ′ ( l′ = x2′ − x1′ ) нужно определить координаты его начала x1′ и конца x2′ одновременно, т.е. в один и тот же момент времени t′ по часам наблюдателя в этой системе. В соответствии с первой формулой прямого преобразования Лоренца (2.4) запишем: x′ + v0 x t ′ x′ + v0 x t′ x1 = 1 и x2 = 2 . 2 1−β 1 − β2 Отсюда находим, что x′ − x1′ l0 = x2 − x1 = 2 , 1 − β2 т.е. l′ l0 = ; ⇒ l′ = l0 1 − β2 < l0 . (2.7) 2 1−β Таким образом, самую большую длину стержень имеет в собственной системе отсчета. В движущейся системе отсчета длина стержня уменьшается в 1 − β2 раз. Такое сокращение размеров тела называется лоренцевым сокращение (сжатием). Необходимо подчеркнуть, что сокращение длины – сжатие тела в направлении движения – имеет чисто кинематический характер. В теле не возникает при этом каких-либо внутренних напряжений, вызывающих его деформацию. Теперь можно ответить и на вопрос об изменении объема тела. Объем в движущейся системе K ′ определяется обычной формулой: V ′ = ∫∫∫ dV ′ . Так как поперечные размеры тела не изменяются 36

( dy = dy′; dz = dz′) , а

dx′ = 1 − β2 dx , то

dV ′ = dx′dy′dz′ = dxdydz 1 − β2 = dV0 1 − β2 . Следовательно, объем тела V ′ в системе K ′ связан с собственным объемом тела V0 в системе в системе K соотношением:

⇒ V0 = V ′ / 1 − β2 ≥ V ′ . (2.8) V ′ = V0 1 − β2 Таким образом, как длина, так и объем масштаба, не подверженного действию внешних сил, оказываются величинами, имеющими относительное значение. Иными словами, утверждение: “расстояние между двумя точками пространства равно l ” не имеет смысла, без указания, к какой системе отсчета отнесена эта величина. Расстояние между двумя точками зависит от движения системы отсчета, в то время как в классической физике абсолютный характер понятия длины масштаба считался чем-то само собой разумеющимся. В этом состоит одно из фундаментальных различий во взглядах на свойства пространства в теории относительности и ньютоновской механике. Легко показать, что наличие лоренцева сокращения полностью объясняет результат опыта Майкельсона, о котором говорилось во введении. Действительно, при прохождении света вдоль направления движения Земли и в обратном направлении, с точки зрения неподвижного наблюдателя (к которому относятся все рассуждения, приведенные во введении), расстояние l между источником света и зеркалом, расположенным по направлению вращения Земли должно быть уменьшено в 1 − vЗ2 / c2 раз. При этом время T прохождения лучом света полного пути (от источника до зеркала и обратно) с точки зрения неподвижного наблюдателя равно T =

2 2 2l 1 − vЗ / c 2l 1 . = 2 2 c (1 − vЗ / c ) c 1 − vЗ2 / c2

Что касается второго зеркала, расположенного перпендикулярно направлению вращения Земли, расстояние l по отношению к неподвижному наблюдателю остается неизменным, так как поперечные размеры не изменяются, и время T⊥ будет определяться обычным образом: 37

T⊥ =

2l 1 . c 1 − vЗ2 / c2

Видим, что ∆T = T − T⊥ = 0 , что и было зафиксировано в опыте Майкельсона. 2. Собственное время Такому же фундаментальному изменению подвергается в теории относительности представление о времени. Пусть в некоторой фиксированной точке x′ в системе K ′ происходит некоторый физический процесс в течение промежутка времени ∆t0 = t2′ − t1′ , где t1′ и t2′ – время начала и конца процесса в системе K ′ . Собственным временем объекта, называется время ∆t0 , измеренное в системе отсчета, движущейся вместе с телом, в котором происходит процесс. В соответствии с формулой преобразования времени (2.3), можно записать, что v v t2′ + 02x x′ t1′ + 02x x′ c c ; . t = t = 2

1

2

1 − ( v0 x / c )

2

1 − ( v0 x / c )

Здесь t1 и t2 – время начала и конца того же процесса относительно наблюдателя в системе K . Вычитая, находим промежуток времени, прошедший от начала до конца процесса в системе K : ∆t0 2 ∆t = t2 − t1 = , ∆t0 = ∆t 1 − ( v0 / c ) . (2.9) 2 1 − ( v0 / c ) Формула (2.9) показывает, что собственное время ∆t0 между двумя физическими событиями меньше, чем время, прошедшее между 2

этими событиями в системе K в 1 − ( v0 / c ) раз. В теории относительности принято обычно говорить о сравнении хода часов в различных инерциальных системах отсчета. При этом под часами понимают произвольный периодический процесс. 38

Тогда можно сказать, что время, показываемое часами, зависит от скорости их движения. Движущиеся относительно некоторой системы отсчета часы, с точки зрения наблюдателя в этой системе, идут медленнее, чем часы, покоящиеся в этой системе отсчета (но совершенно идентичные с движущимися). Таким образом, в отличие от ньютоновской физики, течение времени оказывается зависящим от состояния движения. Не существует универсального мирового времени, и понятие промежутка времени между двумя физическими событиями оказывается относительным. Формула (2.9) для изменения хода часов была проверена на опыте несколькими способами. Один из таких опытов состоит в следующем. В космических лучах наблюдается распад отрицательного µ − - мезона (с массой 215 электронных масс) на электрон и два нейтрино. При этом наблюдался распад µ − - мезона как заторможенного почти до полной остановки, так и на лету, когда он движется со скоростью, близкой к скорости света. Время жизни покоящегося и движущегося мезона связаны релятивистским соотношением: τпок τдвиж = . v2 1− 2 c Поскольку скорость мезона v близка к скорости света, то время жизни (распада) движущегося мезона τдвиж должно быть значительно больше времени жизни покоящегося мезона τпок . Ряд экспериментальных методов позволяет определить значение τпок , которое оказывается равным 2 ⋅ 10−6 с . Если бы время жизни мезона не зависело от скорости, то он, при скорости v ≈ c , пролетал бы путь, равный vτпок ≈ 600 м . В действительности, как показывают измерения, мезон распадается, пройдя путь около 20 км . Такому пробегу отвечает время жизни τдвиж =

20 км ≈ 7 ⋅ 10−5 с ≈ 50τпок . с

39

Видим, что релятивистское изменение времени жизни оказывается в этом случае весьма эффектиным. Если в инерциальной системе отсчета K ′ в некоторой точке ′ ′ ( x , y , z′ ) происходят два последовательных события, разделенных собственным временем dt0 , то интервал между такими событиями, по определению (1.11) равен 2

dS = c2 ( dt0 ) − dx′2 − dy′2 − dz′2 = cdt0 .

Таким образом, собственное время связано с интервалом соотношением dS′ dS dt0 = = (2.10) c c и является инвариантом. Собственное время можно выразить через время dt в произвольной инерциальной системе отсчета K , которая движется
относительно системы K ′ со скоростью ( −v ) . Для этого достаточно подставить в (2.10) выражение для интервала dS в системе K : 1 2 1 2
2 2 dt0 = c ( dt ) − dx2 − dy2 − dz2 = c ( dt ) − dr 2 . c c Вынося из под знака радикала cdt , и, учитывая, что

2 ( dr / dt ) = v2 , получим: v2 . (2.11) c2 Конечный промежуток собственного времени будет определяться выражением: dt0 = dt 1 −

t

v2 dt . (2.12) ∫0 c2 Следует подчеркнуть, что формула (2.12) выведена для случая движения часов вместе с инерциальной системой отсчета, т.е. движения с постоянной скоростью. Формулу (2.12) можно использовать и в более общем случае, применяя её к произвольному виду движения тела с ускорением. Для этого проведем следующие рассуждения. Пусть одни часы t0 =

1−

40

находятся в “неподвижной” системе K , а другие часы движутся вместе с телом в системе K ′ (рис.2.3).

K′

K

t + dt

t

m


v(t )

Рис.2.3. Движение частицы по произвольной траектории ( к выводу формулы (2.13))

Собственным временем объекта t0 называется время, определяемое по часам, движущимся вместе с объектом. За бесконечно малый промежуток времени движение любого объекта можно рассматривать как прямолинейное и равномерное, а связанную с ним систему координат, как инерциальную. Тогда последовательно имеем:
dS = dS′ ; dS = c2dt 2 − dr 2 . Так как в движущейся системе отсчета K ′ объект покоится, то
dr ′2 = 0 . Поэтому
dS′ = c2dt ′2 − dr ′2 = cdt ′ . 2

2


2

2

2

Отсюда получаем, что c dt − dr = c dt ′ . Следовательно, t2
2
2 ⌠ v (t ) v (t )  dt0 = dt ′ = dt 1 − 2 ; ⇒ t0 = t2′ − t1′ =  dt 1 − 2 . (2.13)  c c ⌡ t1


2 Обратим внимание, что в формулах (2.13) v ( t ) / c2 не есть
2 β2 = ( vox / c ) , так как v ( t ) есть скорость объекта в момент вре-

41

мени t




( v ( t ) ≠ const ) , в то время как

в формуле (2.12) v есть

скорость движения системы K ′ относительно системы K
( v = const ) . Следует заметить, что в специальной теории относительности не могут рассматриваться ускоренно движущиеся системы отсчета. Поэтому величина t0 , определяемая формулой (2.13) , в случае произвольного движения тела, не имеет, вообще говоря, смысла собственного времени, о котором говорилось при получении формулы (2.12). Однако величина t0 , определяемая формулой (2.13), является удобной величиной, инвариантной относительно преобразований Лоренца. Задача: Тело m равномерно вращается по окружности радиусом R с постоянной скоростью v0 .Определить период обращения тела по часам, связанным с телом, т.е. собственный период вращения T0 . Решение: В неподвижной системе координат период вращения T равен T = 2πR / v0 . Собственный период вращения определяется по формуле (2.13): T

T0 =

⌠    ⌡

dt 1 −

v02 v02 = T ⋅ 1 − . c2 c2

0

Как и должно быть T0 > T . Возникает естественный вопрос: почему до появления теории относительности вся совокупность имевшихся опытных фактов находилась в согласии с ньютоновскими представлениями об абсолютном характере длин тела и о едином мировом времени и являются ли сокращение размеров движущихся тел и замедление хода движущихся часов реальными или кажущимися? Ответ на первый вопрос весьма прост. До опытов, имевших своей целью обнаружение движения Земли относительно эфира, физики не сталкивались с процессами, происходящими с такими объектами, которые двигались со скоростью, сравнимой со скоро42

стью света c . Иными словами, скорости всех тел, наблюдавшихся в физике до открытия электрона, были малы по сравнению со скоростью света. Как уже отмечалось выше, при скоростях движения, малых по сравнению со скоростью света, можно с достаточной степенью точности пользоваться старыми представлениями о пространстве и времени, так как формулы преобразования Лоренца переходят в формулы преобразования Галилея. Более того, к моменту создания Эйнштейном теории относительности опыт Майкельсона был единственным бесспорным указанием на недостаточность классической физики того времени. За прошедшие более ста с лишним лет ситуация коренным образом изменилась. Теория относительности, подтвержденная многочисленные опытными данными (с которыми мы познакомимся ниже), стала одной из основ современной теоретической и ряда областей экспериментальной физики. В частности, атомная и особенно ядерная физика, как правило, изучают процессы и поведение движущихся частиц, скорости которых весьма близки к скорости света. Поэтому все основные соотношения теории относительности широко используются в ядерной физике для чисто практических расчетов, результаты которых полностью согласуются с данными экспериментов. Что касается второго вопроса, следует подчеркнуть, что весьма распространенные формулировки “кажущееся сокращение масштаба” и “кажущееся изменение хода часов”, являются неудачными. Обычно авторы стремятся термином “кажущееся” подчеркнуть чисто кинематический характер сокращения. Вместе с тем, сокращение масштаба и замедление хода часов представляют реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с какимилибо иллюзиями наблюдателя. Само собой разумеется, что все значения длины данного масштаба или промежутков времени, полученные в различных системах отсчета, являются равноправными. Все они «правильные». Трудность понимания этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой считать понятия длины и промежутка времени абсолютными понятиями, когда в действительности они есть понятия относительные. Поэтому бессмысленно спрашивать, какая длина масштаба является истинной, а какая – кажущейся, как бессмысленно говорить: “в действительности дан43

ное тело движется (или покоится)”. Понятия длины и промежутка времени столь же относительны, как и понятия движения и покоя. Истинный характер сжатия движущегося масштаба можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть имеются две заряженные сферы A и B . Пусть тело A неподвижно относительно наблюдателя в системе K ′ , которая равномерно движется относительно системы K , в которой находится тело B . С точки зрения наблюдателя в системе K продольные размеры тела A сокращаются, а поперечные нет. Поэтому для наблюдателя в системе K тело B является сферой, а тело A эллипсоидом. Поэтому для него взаимодействию между телами A и B отвечает взаимодействие между эллипсоидом A и сферой B . (Полный заряд тел A и B естественно один и тот же в обеих системах отсчета.) С точки зрения наблюдателя в системе K ′ тело A остается сферой, а тело B превращается в эллипсоид. Однако величина взаимодействия тел A ↔ B будет одной и той же в обеих системах отсчета. Приведем ещё один важный пример из электродинамики, демонстрирующий относительность понятия напряженности электрического и магнитного полей. Пусть заряд q движется равно
мерно и прямолинейно со скоростью v0 относительно системы K . Совместим начало координат системы K ′ с движущимся зарядом. Поскольку заряд движется равномерно и прямолинейно, то система K ′ будет инерциальной относительно системы K . По отношению к наблюдателю в системе K ′ заряд покоится, и поэтому этот наблюдатель регистрирует обычное электростатическое кулоновское поле точечного заряда, напряженность которого – E ′ ~ q / r ′2 .
Магнитное поле в системе K ′ отсутствует: H ′ = 0 . Совершенно иная картина предстает перед наблюдателем в системе K . Движущийся в системе K заряд создает ток, что приводит к появлению магнитного поля. Поэтому наблюдатель в системе K будет регистрировать отличные от нуля напряженности как электрического,

так и магнитного полей: E ≠ 0 , H ≠ 0 . Таким образом, не только понятия длины, времени, одновременности событий носят относительный характер. Относительным являются и напряженности электромагнитного поля. 44

Описанная задача подробно изучается в курсе электроди

намики. При этом вычисление напряженности полей E и H в лабораторной системе K может быть осуществлено двумя способа

ми. Первый способ состоит в вычислении величин E и H непосредственно из уравнений Максвелла, записанных в системе K .

Второй способ состоит в вычислении величин E и H , вообще не используя уравнения Максвелла. Для этого из формулы Кулона для покоящегося заряда в системе K ′ , с помощью формул преобразования Лоренца для координат и времени и соответствующих фор

мул Лоренца для преобразования полей E′ , H ′ из системы K ′ в систему K (эти формулы выводятся в курсе электродинамики),

получают выражения для величин E и H в системе K . Оба подхода к вычислению поля равномерно движущегося заряда приводят к одинаковым результатам. Вывод формул преобразований Лоренца В классической физике (когда время имеет абсолютный характер) всякий закон формулируется так, т.е. записывается в виде некоторого уравнения, что входящие в него физические величины относятся к некоторой системе координатных осей. В силу однородности пространства вид этих уравнений не должен изменяться при параллельном переносе системы координат (при этом направление осей не изменяется). Параллельный перенос представляет тривиальное преобразование, сводящееся в трехмерном координатном пространстве только к изменению начала отсчета системы координат. В силу изотропности пространства, т.е. равноправия всех направлений, уравнения не должны изменяться при повороте систем координат. Например, уравнения движения ɺɺ = Fx ; ɺɺ = Fy ; mx my mzɺɺ = Fz остаются неизменными при любом повороте системы координат, так как каждая проекция ускорения и силы при повороте координат преобразуются по одному и тому же закону. Напомним, что, как известно из курса линейной алгебры, существует только два типа линейных преобразований, при которых не изменяется расстояние между двумя произвольными точками в пространстве координат – 45

преобразование параллельного переноса и вращение. Если эти точки близки друг к другу, то 2 2 dx2 + dy2 + dz2 = dxɶ 2 + dyɶ 2 + dzɶ 2 , т.е. ( ds ) = ( dsɶ ) . Здесь ds , dsɶ – расстояние между этими точками в исходной и повернутой системе координат соответственно. При повороте систем координат некоторые величины остаются неизменными – это скаляры. Другие физические величины (векторы и тензоры) изменяются по определенному закону. Например, при повороте вокруг оси Oz на некоторый угол ϕ , проекция любого вектора, в том числе и радиуса-вектора м.т.) на ось Oz не изменяется ( z = zɶ ) , а x -я и y -я компоненты любых векторов преобразуются по тому же закону, что и декартовы координаты точки x , y , лежащие в плоскости XoY , перпендикулярной оси поворота: x = xɶ cos ϕ − yɶ sin ϕ; (2.14)   y = yɶ cos ϕ + xɶ sin ϕ. Из (2.14) следует, что, как и должно быть x2 + y2 = xɶ 2 + yɶ 2 . (2.15) 2 2 2 2 2 2 Поэтому x + y + z = xɶ + yɶ + zɶ , т.е. квадрат длины радиусавектора остается неизменным. Теория относительности выдвигает более общее требование – требование инвариантности интервала 2 (2.1) dS2 = ( dS′ ) , т.е. c2dt 2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2 dt ′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 . Введем обозначение τ = ict . Тогда c2dt 2 = −d τ2 и dS2 = − ( d τ2 + dx2 + dy2 + dz2 ) .

(2.16) (2.17) (2.18)

С геометрической точки зрения соотношение (2.18) представляет квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в квазиевклидовом четырехмерном пространстве (пространство Минковского). Теперь условие (2.16) будет выглядеть так: d τ2 + dx2 + dy2 + dz2 = d τ′2 + dx′2 + dy′2 + dz′2 . (2.19)

46

Следовательно, преобразование Лоренца является таким линейным преобразованием, которое оставляет неизменным расстояние между двумя точками в пространстве Минковского. Но, как отмечалось выше, единственным не тривиальным линейным преобразованием, оставляющим неизменным расстояние между точками, является вращение системы координат в этом пространстве. Следовательно, только при повороте в пространстве Минковского величина интервал между событиями будет оставаться неизменной. Следует подчеркнуть, что представление о четырехмерном пространстве Минковского ( x, y, z, τ ) имеет формальный характер. Оно отнюдь не равнозначно утверждению о существовании реального пространства четырех измерений, поскольку четвертая координата τ является чисто мнимой величиной. Это подчеркивает её особый характер и принципиальное отличие от пространственных координат x, y, z . Тем не менее введение временной координаты τ имеет глубокий физический смысл, поскольку в силу соотношения (2.19) указывает на принципиально неразрывную связь пространства и времени, о которой говорилось ранее. Приступая к выводу формул преобразований Лоренца заметим, что если инерциальная система K ′ движется относительно системы K в продольном направлении вдоль оси Ox , а их оси параллельны, то поперечные координаты события в обеих системах одинаковы: y = y′ , z = z′ . (2.20) 2 2 2 2 Следовательно, dy + dz = dy′ + dz′ , и из (2.18) следует, что dx2 + d τ2 = dx′2 + d τ′2 . (2.21) Формально соотношение (2.21) совпадет с (2.15): сумма dx2 + d τ2 есть квадрат элемента длины на плоскости ( x, τ ) в про-

странстве Минковского: dl 2 = dx2 + d τ2 . Поэтому условие (2.21) означает, что искомое преобразование не должно изменять квадрата длины в плоскости ( x, τ ) (рис.2.4). Следовательно, пары величин ( x, τ ) и ( x′, τ′ ) должны быть связаны соотношениями, аналогичными (2.14):

47

x = x′ cos ϕ − τ′ sin ϕ; (2.22)   τ = τ′ cos ϕ + x′ sin ϕ. Здесь ϕ – угол поворота в плоскости ( x, ϕ ) относительно оси “перпендикулярной” к этой плоскости в пространстве Минковского.

τ

τ′

a

τ

x′ x′ τ′

ϕ

x

x

Рис. 2.4. Условное изображение поворота системы координат в пространстве Минковского

Для определения угла поворота ϕ нужно учесть, что для точки O′ абсцисса x′ = 0 в системе K ′ . Абсцисса той же точки в системе K есть x = v0x t . Положим в формулах (2.21) x′ = 0 и x = v0x t . Тогда получим два уравнения: v0 t = −τ′ sin ϕ; (2.23)   τ = τ′ cos ϕ. Из этих уравнений можно определить угол поворота ϕ : v t v tgϕ = − 0 x , т.е. tgϕ = i 0x = iβ . (2.24) τ c Здесь β = v0 x / c . Теперь, зная tg ϕ , можно найти cos ϕ и sin ϕ , входящие в искомые формулы преобразования (2.22): 1 1 tgϕ iβ cos ϕ = = ; sin ϕ = = . (2.25) 2 2 2 1 + tg ϕ 1−β 1 + tg ϕ 1 − β2

48

Подставляя (2.25) в (2.22) и учитывая, что τ = ict , получим формулы преобразования Лоренца (2.3): v t ′ + 02x x′ x′ + v0 x t ′ c t= x= ; y = y′ ; z = z′ ; . 2 1 − β2 1−β Формулы преобразования можно получить разными способами. Ещё один способ получения формул преобразования Лоренца (без использования четырехмерного пространства) приведен в приложении П.1. Тема 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СКОРОСТИ Пусть два наблюдателя, один в системе K , а другой в системе K ′ , следят за движением одного и того же тела m . Получим формулы, связывающие скорость этого тела в системе K

v ( vx ; vy ; vz ) со скоростью того же тела v′ ( v′x ; vy′ ; vz′ ) , относительно наблюдателя в системе K ′ . Определение понятия скорости тела по отношению к каждому наблюдателю в его системе отсчета остается неизменным, т.е. тем же, что и в ньютоновской механике – это быстрота изменения положения тела в пространстве:
dx dy dz
dr v= ; ⇒ vx = ; vy = ; vz = ; (3.1a) dt dt dt dt
dr ′ dx′ dy′ dz′
v′ = ; ⇒ vx′ = ; vy′ = ; vz′ = . (3.1b) dt ′ dt ′ dt ′ dt ′ Из формул прямого преобразования Лоренца (2.3) имеем: v dt ′ + 02x dx′ dx′ + v0 x dt ′ c dx = ; dy = dy′ ; dz = dz′ , dt = ; 2 1−β 1 − β2 v0x   (3.2) β = . c   Подставим (3.2) в формулы (3.1a) и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на dt ′ :

49

dx′ + v0 x dt ′ ( dx′ / dt′ ) + v0 x dx = = ; v v dt dt ′ + 02x dx′ 1 + 02x ( dx′ / dt ′ ) c c dy′ / dt ′ ) ( dy dy′ vy = = 1 − β2 = 1 − β2 ; v0 x dt dt ′ + v0 x dx′ 1 + 2 ( dx′ / dt ′ ) c2 c ′ ( dz′ / dt′) dz dz vz = = 1 − β2 = 1 − β2 . v v dt dt ′ + 0 x dx′ 1 + 02x ( dx′ / dt ′ ) c2 c С учетом формул (3.1b) для скорости тела в системе K ′ получаем: vx =

vx′ + v0 x vx = ; v0 x ⋅ v′x 1+ c2

2

1 − ( v0 x / c ) vy = vy′ ; v0 x ⋅ v′x 1+ c2 2

1 − ( v0 x / c ) vz = vz′ . (3.3) v ⋅ v′ 1 + 0x 2 x c Формулы (3.3) позволяют, зная скорость тела в системе K ′ , определить скорость того же тела в системе K . Это формулы прямого преобразования скорости. Для того чтобы получить формулы обратного преобразования, нужно в формулах (3.3) осуществить замену v0 x → −v0 x , так как при обратном преобразовании считается, что система K ′ является неподвижной, а система K движется относительно K ′ со
скоростью ( −v0 ) : 1 − β2 1 − β2 vx − v0 x ; vy′ = vy ; vz′ = v . (3.4) v0 x ⋅ vx v0 x ⋅ vx v0 x ⋅ vx z 1− 1− 1− c2 c2 c2 Формулы (3.3) и (3.4) определяют закон сложения скоростей при переходе из одной инерциальной системы в другую в теории относительности Эйнштейна. Они заменяют формулы сложения скоростей классической механики (1.7). Видим, что правило параллелограмма (правило треугольника для сложения скоростей) в теории vx′ =

50

относительности не имеет места. В частности, проекции скорости на поперечные оси, т.е. vy и vz , зависят не только от этих величин в системе K ′ и от скорости движения системы K ′ относительно системы K , но и от проекции скорости тела vx на ось x ! В общем случае, когда система K ′ движется с постоянной
скоростью v0 ( v0 x ; v0 y ; v0z ) , направленной не обязательно вдоль оси Ox , из общих формул (2.4) преобразования радиуса-вектора материальной точки и времени (см. задачу 3.1.), следует, что век


торы скоростей v , v′ и v0 связаны соотношением:



1

2 [v0 [v0 , v′]]  ′ v=

v + v + 1− 1−β ; v v′  0 v02  1 + 02  c (3.5) (β2 = v
02 / c2 ) .

(

)

Формула (3.5) является общей векторной формулой “сложения скоростей” в релятивистской механике, которая заменяет привычное “правило параллелограмма” сложения скоростей в классической механике. В предельном случае c → ∞ ( β → 0 ) формулы (3.3), (3.5) принимают вид:


vx = v0 x + v′x ; vy = vy′ ; vz = vz′ ; v = v0 + v′ . Это в точности совпадает с формулами преобразования Галилея для скоростей в ньютоновской механике. Непосредственной проверкой убедимся, что при переходе от одной системы к другой, величина скорости света не изменяется, т.е. c′2 = c2 . Рассмотрим самый простой случай, когда фотон дви
жется вдоль оси Ox системы K : с ( сx ,0, 0 ) . Нужно определить
скорость фотона с′ в системе K ′ . Для этого воспользуемся формулами обратного преобразования (3.4). Так как сy , сz = 0 , то с′y , сz′ = 0 . Поэтому изменяется только проекция скорости фотона

на горизонтальную ось. Полагая vx = cx и vx′ = c′x из первой формулы (3.5) получим: 51

v0 x − cx v − cx = cx 0 x ; ⇒ c′x = cx . (3.6) v0 x ⋅ cx v − c 0 x x 1− cx2 Таким образом, как проекция скорости фотона на ось O′x′ , так и c′x =

величина скорости фотона c = cx2 + cy2 + cz2 = c′ не изменились. Теперь рассмотрим общий случай, когда фотон движется в
системе K со скоростью c в произвольном направлении.

K y


c

K′ y′

θ

γ

z

θ′


v0

O′

O


c′

x′

x

z′

Рис. 3.1. Распространение фотона в двух инерциальных системах координат

Систему K всегда можно выбрать так, чтобы скорость фотона
лежала в плоскости XoY . Тогда c ( cx ; cy ;0 ) . В системе K ′ фотон
тоже будет двигаться в плоскости X ′o′Y ′ , так, что c′ ( c′x ; cy′ ; 0 ) (рис.3.1). Докажем, что в системе K ′ , которая движется относительно K вдоль оси Ox с произвольной по величине скоростью
v0 ( v0 x ;0;0 ) , величина (модуль) скорости фотона останется прежней: c′2 = c2 , т.е. 2

( c′x )

2

2

+ ( c′y ) = ( cx ) + ( cy ) . 2

Для этого воспользуемся формулами обратного преобразования (3.4) для скорости фотона:

52

1 − β2 cx − β c ; c′y = cy ; cx cx 1−β 1−β c c Последовательно будем иметь: c′x =

(β = v0x / c ) .

cz′ = 0 ;

(3.7)

2  cy2 (1 − β2 )  2 2 2 2  ( cx − β c ) ′ ′ ′ . + ( c ) = ( cx ) + ( cy ) = c  2 2 ( c − βcx )   ( c − β cx )

Так как cy2 = c2 − cx2 , то 2

2

( c′ ) = c

2

( cx − βc )

+ ( c2 − cx2 )(1 − β2 ) 2

= c2

(c

2

− 2β ccx + β2cx2 ) 2

= c2 .

( c − βcx ) ( c − βcx ) 2 ( c′) = c2 независимо от величины v0x и направле-

Таким образом, ния распространения фотона в системе K . Аберрация света

Теперь обратимся к вопросу о том, как изменяется направление распространения фотона при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть угол между вектором скоро
сти фотона c и осью Ox в системе K будет θ , а угол между век
тором скорости фотона c′ в системе K ′ будет θ′ (см. рис.3.1). Тогда cx = c cos θ ; cy = c sin θ ; c′x = c cos θ′ ; c′y = c sin θ′ . (3.8) Установим связь между углами θ и θ′ . Для этого воспользуемся формулами прямого преобразования (3.3) для скорости фотона: 1 − β2 cx′ + β c ; cy = cy′ ; cz = 0 ; ( β = v0 x / c ) . c′x c′x 1+β 1+β c c Поскольку cy ( cy′ / c ) 1 − β2 , 1 − β2 tgθ = = c′y = cx cx′ + β c β + ( cx′ / c ) получаем: cx =

53

(3.9)

sin θ′ 1 − β2 ; ; ( β = v0 x / c ) . (3.10) ′ β + cos θ Формулу (3.10) можно записать несколько иначе, если учесть, что tgθ =

sin θ = tgθ / 1 + tg2 θ , а cos θ = 1/ 1 + tg2 θ . Теперь формула (3.10) будет выглядеть так: tgθ = tgθ′

1 − β2

;

(β

2

= v02 / c2 ) .

(3.11) 1 + β 1 + tg θ′ Формула (3.11) связывает тангенсы углов θ и θ′ . Поскольку 2

1 − β2 ≤ 1 , то при β = v0 x / c ≥ 0 tgθ ≤ tgθ′ , т.е. θ ≤ θ′ . Формулы (3.10) – (3.11) связывают углы θ и θ′ при любых значениях β , т.е. при любых значениях v0 x и являются абсолютно точными. Изменение угла наклона распространения фотонов в различных системах отсчета называется явлением аберрации света. Величина ∆θ = θ′ − θ называется углом аберрации. При переходе к классической механике, когда скорость распространения c → ∞ , т.е. β → 0 из (3.11) получаем, что tgθ = tgθ′ , т.е. θ = θ′ . Т.е. в классической механике явление аберрации полностью отсутствует. Если в системе K ′ фотон распространяется в направлении, перпендикулярном к оси Ox′ , т.е. θ′ = π / 2 ( tgθ′ → ∞ ) , то по отношению к наблюдателю в системе K из (3.11) получаем, что tgθ = 1 − β2 / β . Поскольку cos θ = 1/ 1 + tg2 θ , то в рассматриваемом случае cos θ = β , т.е. θ = arccos β . При β → 0 получаем, что θ = π / 2 , т.е. ∆θ = θ′ − θ = 0 , т.е. угол аберрации равен нулю. В обратном предельном случае, когда система K ′ движется относительно системы K со скоростью очень близкой к скорости света ( v0x ~ c ) значение β ≈ 1 и θ = 0 . В этом случае угол аберрации достигает набольшего значения: ∆θ = θ′ − θ = π / 2 . Таким образом, в этом предельном случае, для наблюдателя в системе K ′ фотон распространяется перпендикулярно к оси Ox ( θ′ = π / 2 ) , а

54

для наблюдателя в системе K – вдоль оси Ox ( θ = 0 ) , т.е. явление аберрации очень существенно. Во многих случаях системы отсчета движутся друг относительно друга со скоростями, много меньшими скорости света: v0 x << c ; ( 0 ≤ β << 1) . В этом случае из общей формулы (3.11) можно получить простую формулу для угла аберрации ∆θ . Формулу (3.11), с точностью до членов второго порядка малости ~ β2 запишем так: sin θ′ . tgθ ≈ tgθ′ 1 − β 1 + tg2 θ′ = tgθ′ − β cos2 θ′ Следовательно, sin θ′ tgθ′ − tgθ ≈ β . (3.12) cos2 θ′

(

)

2

С точностью до членов ~ ( ∆θ )

sin ( θ′ − θ ) sin ( ∆θ ) ∆θ . = ≈ cos θ′ cos θ cos θ′ cos ( θ′ − ∆θ ) cos2 θ′ С учетом сказанного, из формулы (3.11) получаем элементарную формулу для угла аберрации света известную из курса общей физики: v ∆θ ≈ β sin θ′ = 0 x sin θ′ ; (3.13) (β << 1) . c tgθ′ − tgθ =

Относительная скорость частиц Получим формулу для относительной скорости двух частиц. Пусть две частицы m1 и m2 движутся вдоль оси Ox со ско

ростями v1 ( v1x ; 0;0 ) v2 ( v2x ; 0; 0 ) в лабораторной системе координат K . Перейдем в систему координат K ′ , связанную с первой частицей. Скорость второй частицы относительно наблюдателя в системе K ′ и будет истинной относительной скоростью второй
частицы относительно первой v21 . Следовательно, нужно определить скорость второй частицы в системе K ′ , зная её скорость в ла55

бораторной системе K . Для этого воспользуемся формулой обратного преобразования скоростей (3.4): vx − v0 x vx′ = . (3.14) v ⋅v 1 − 0x 2 x c Обратимся к рис.3.2. В рассматриваемой задаче:
v0 x = v1x , vx′ = ( v21 ) x , vx = v2 x . Подставляя это в формулу преобразования, получим: v −v
( v21 )x = 2xv ⋅ v1x . 1 − 1x 2 2 x c v2 x − v1x
. vотн = v ⋅v 1 − 1x 2 2 x c

(3.15b)

K′

K


v!


v2

m1 O

(3.15a)

m2

x′

O′

x Рис. 3.2 Встречное движение двух частиц

Пусть частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v . Тогда v1x = v , v2 x = −v . Из формулы (3.15b) получаем, что величина их относительной скорости будет равна 2v
vотн = < 2v . (3.16) v2 1+ 2 c Пусть v = 3 / 2 c . Если бы были справедливы формулы сложе-

(

ния

скоростей

)

Галилея,

то 56

мы

получили

бы,

что

vотн = 2v = 3c > c . Однако из формулы (3.16) получаем совсем иной результат: 3c 4 3
vотн = = c ≈ 0.987c < c . 1+3/ 4 7 Если навстречу друг другу летят два фотона v1 = v2 = c , то их относительная скорость vотн = c !

Если учесть, что v1x ⋅ v2x = ( v1 , v2 ) , то формулу (3.14) можно записать в векторном виде:

v2 − v1

vотн = v21 = (3.17)

. v1 , v2 ) ( 1− c2 Формула (3.17) позволяет определить относительную скорость частиц при произвольном направлении их движения (не обязательно вдоль оси Ox ). В заключение этого раздела следует подчеркнуть, что под
скоростью тела v в полученных формулах следует понимать такую скорость, с которой может перемещаться реальное тело или распространяться реальный процесс взаимодействия (сигнал). Не входя в противоречие с теорией относительности, можно представить себе ситуации (имеющие кинематический характер и не связанные с перемещением реальных тел или распространением реальных взаимодействий), в которых скорости превышают скорость c.

xa ( t )

B

a

L

B

ω

A

x

ϕ O

Рис.3.3. Неподвижная линейка

57

A и вращающаяся линейка B

Рассмотрим, например, скорость движения воображаемой точки a , в которой пересекаются неподвижная горизонтальная линейка A с вращающейся в вертикальной плоскости с постоянной угловой скоростью ω линейкой B . В начальный момент времени линейки были взаимно перпендикулярны (рис.3.3). Тогда в момент времени t положение точки a будет определяться выражением xa ( t ) = L tgϕ ( t ) = L tg ( ωt ) . Скорость её перемещения вдоль линейки A будет: ωL va = xɺ a = . cos2 ( ωt ) В то же время реальная скорость элемента линейки B , соответствующего точке пересечения, равна ωL vB = < c. cos ωt Видим, что vB va = . cos ( ωt ) Из последних двух формул видно, что всегда va > vB . При некоторых значениях ωt скорость vB будет оставаться меньше скорости света, в то время как скорость va может оказаться больше скорости света. Тема 4 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА, ИМПУЛЬС, ЭНЕРГИЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ 1. Функция Лагранжа свободной частицы Этот раздел посвящен механике релятивистских частиц. Вводятся такие важнейшие величины, как функция Лагранжа, импульс и энергия свободной релятивистской частицы. Как и в нерелятивистской механике будем исходить из принципа наименьшего действия: существует такой интеграл – действие, который вдоль истиной траектории минимален. Опреде58

лим интеграл действия для свободной частицы. Этот интеграл не должен зависеть от выбора инерциальной системы отсчета, чтобы во всех инерциальных системах отсчета уравнения движения имели бы один и тот же вид. Следовательно, он должен быть взят от скаляра. Единственным, известным нам скаляром для свободной частицы, является интервал ds между близкими событиями:
v2
(4.1) ds = c2 dt 2 − dr 2 = cdt 1 − 2 . c

Вектор скорости частицы v = dr / dt . Поэтому t2

S=

⌠ −αc ⌡


v2 dt 1 − 2 ; c

( α > 0) .

(4.2)

t1

Знак ( − ) берется для того, чтобы интеграл действия имел именно минимум. Дальнейшие вычисления покажут, что именно при таком выборе знака будет иметь место правильный переход к нереляти
вистской теории, когда v << c . С другой стороны, t

2

S = ∫ dtL ( r ; v; t ) ,

(4.3)

t1



где L ( r ; v; t ) − функция Лагранжа свободной частицы. Из сравнения формул (4.2) и (4.3) видим, что
v2 L = −αc 1 − 2 . (4.4) c Параметр α характеризует данную частицу. Значение α определим их условия, чтобы при v << c функция Лагранжа (4.4) переходила бы в функцию Лагранжа для свободной нерелятивистской частицы: mv2 L ( v << c ) = . (4.5) 2 Используя известную приближенную формулу

(1 − x )

α

≈ 1 − αx / 2 при x << 1 , запишем выражение (4.4) в виде:

59

 1 v2  α v2 L ( v << c ) ≈ −αc 1 − c = −α + .  2 c  2 c2 

(4.6)

Известно, что в классической механике функция Лагранжа определяется с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени df ( q; t ) / dt . Поскольку −αc = d ( −αct ) / dt , то первое слагаемое в формуле (4.6) можно опустить. Тогда получим простое уравнение для определения величины α : α v2 mv2 = . (4.7) 2 c 2 Отсюда находим, что α = mc . Подставляя найденное значение α в формулу (4.4), получим:
v2 L = −mc2 1 − 2 . (4.8) c Это и есть искомое выражение для функции Лагранжа свободной релятивистской частицы.

2. Импульс и энергия свободной частицы Теперь, зная функцию Лагранжа, можем определить импульс и энергию свободной частицы по тем же формулам, что и в нерелятивистской механике: 1. Импульс частицы:
∂  v2 

∂L p =
; ⇒ p =
 −mc2 1 − 2  , т.е. ∂v ∂v  c 
mv
p= . (4.9) v2 1− 2 c 2. Энергия свободной частицы:

v2


mv E = ∑ pi q i − L = pv − L ; E = v + mc2 1 − 2 . c v2 1− 2 c 60

После элементарных вычислений получим: mc2 E= . (4.10) v2 1− 2 c 2 2 При малых скоростях, когда v / c << 1 , из формул (4.9) и (4.10) получаем: mv2

p ( v << c ) ≈ mv , E ( v << c ) ≈ mc2 + . (4.11) 2 Видим, что покоящаяся частица имеет нулевой импульс, но её энергия вовсе не равна нулю: E ( v = 0 ) = mc2 .

(4.12)

Это знаменитая формула Эйнштейна. Величина mc2 называется энергией покоя, или собственной энергией частицы. Второе слагаемое в формуле для E есть обычная кинетическая энергия в нерелятивистской теории.

E

p

Рис.4.1. Графики зависимости приведенного импульса и энергии от отношения v / c

На рис.4.1 представлены графики зависимости приведенного импульса ( p = p / mc ) – пунктирная кривая и приведенной 61

энергии ( E = E / mc2 ) – сплошная кривая, от отношения скорости частицы к скорости света v / c : p=

( v / c) 2 1 − (v / c)

Видно, что при v → c ниченно возрастают.

E=

;

1 2

.

1 − (v / c)

( v / c → 1) , значения этих величин неогра3. Функция Гамильтона

Функция Гамильтона свободной частицы есть её энергия,

выраженная не через скорость частицы v , а через её импульс p :
H = E(p) . (4.13)

Для свободной нерелятивистской частицы ( v << c ) , когда p = mv

mv2 p2 E= ; ⇒ H= . (4.14) 2 2m Получим выражение для функции Гамильтона свободной релятивисткой частицы. Для этого нужно выразить её энергию (4.10) через её импульс. Из формулы (4.9) для импульса частицы последовательно получаем:

mc2 v v v2 p2 c2

p= ; ⇒ p = E ; ⇒ = 2 . 2 c2 c2 E v2 c 1− 2 c Подставляя полученное значение для v2 / c2 в формулу для энергии, находим: mc2 E= , т.е. E 2 − p2 c2 = mc2 . 2 2 pc 1− 2 E Из этого уравнения определяем значение E ( p ) , т.е. функцию Гамильтона свободной частицы: E 2 ( p ) = p2 c2 + m 2c4 ;

⇒ 62

H = c p 2 + m 2 c2 .

(4.15)

При малых скоростях ( v << c; p << mc ) H ≈ mc2 (1 + p2 / 2m 2c2 ) , т.е.

H ≈ mc2 + p2 / 2m . Таким обра-

зом, за вычетом энергии покоя, получаем известное классическое выражение (4.14) для функции Гамильтона свободной нерелятивистской частицы. 4. Зависимость скорости частицы от её импульса

Зависимость скорости частицы от её импульса v ( p ) играет важную роль при решении уравнений движения частиц. Как будет показано ниже, именно импульс входит в релятивистское уравнение движения частицы. Поэтому определив зависимость импульса
от времени p ( t ) , можно по формуле, которая связывает скорость частицы с импульсом, определить зависимость скорости частицы


от времени v ( t ) . Затем из уравнения dr / dt = v ( t ) после интегрирования можно определить зависимость координат частицы от
времени, т.е. определить закон движения частицы r ( t ) . Из соотношений (4.9), (4.10) получаем выражение для им

пульса частицы через его скорость и энергию p = vE / c2 . Отсюда находим, что

v = pc2 / E . (4.16) Подставляя в (4.16) значение энергии, выраженное через её импульс (4.15) (т.е. функцию Гамильтона), приходим к искомой формуле, которая связывает скорость и импульс частицы:
pc
v= . (4.17) p2 + m2 c2 При v << c , т.е. когда p << mc , из формулы (4.17) получаем известное соотношение нерелятивистской механики:

v = p/m ; (4.18) ( v << c ) . Видим, что точная и приближенная формулы радикально отличаются. Из соотношения (4.18) следует, что скорость нерелятивистской частицы пропорциональна её импульсу и поэтому при неограниченном увеличении импульса, скорость частицы тоже неограни63

ченно возрастает и формально может превышать скорость света (рис.4.2). Однако частицы не могут двигаться со скоростью, большей скорости света, хотя их импульс может быть сколь угодно большим, когда v ≈ c (рис.4.1). Именно эта особенность и учитывается точной формулой (4.17). При p → ∞ , величина скорости стремится к конечному пределу v → c .

Рис.4.2. График зависимости приведенной скорости от приведенного импульса

На рис.4.2 представлены графики зависимости приведенной скорости частицы v / c от величины приведенного импульса p / mc . Пунктирная прямая – нерелятивистский случай, когда v / c = p / mc . Сплошная жирная кривая – общий случай, когда v/c =

( p / mc ) 2 1 + ( p / mc )

.

Из формулы (4.17) следует, что если масса частицы равна нулю ( m = 0 ) , то такие частицы могут двигаться только со скоростью света:

p v
v ( m = 0) = c = c ; ⇒ v ( m = 0) = c . (4.19) p v Примером такой частицы является фотон (гамма-квант). У гаммакванта энергия и импульс связаны соотношением: Eγ = cpγ . (4.20) Таким образом, энергия гамма-кванта пропорциональна его импульсу. 64

Тема 5 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ЧЕТЫРЕХВЕКТОР СКОРОСТИ, УСКОРЕНИЯ И ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 1. Матрица преобразования Лоренца Вернемся снова к формулам преобразования Лоренца для координат и времени: v t ′ + 02x x′ x′ + v0 x t ′ v   c x= ; y = y′ ; z = z′ ; t = ;  β = 0 x  . (5.1) 2 2 c   1−β 1−β Формулы обратного преобразования v t − 02x x x − v0 x t c x′ = ; y′ = y ; z ′ = z ; t′ = . (5.2) 2 1−β 1 − β2 Удобно записать эти формулы, используя четырехмерный формализм специальной теории относительности. Для этого введем следующие обозначения: x1 = x ; x2 = y ; x3 = z ; x4 = τ ; (5.3) ( τ = ict ) . Здесь i – мнимая единица: i 2 = −1 . Величины x1 , x2 , x3 и x4 определяют “координаты” события в комплексном четырехмерном пространстве. В новых обозначениях формулы прямого и обратного преобразования Лоренца выглядят очень просто: x1 =

x1′ − iβx4′ 2

1−β

; x2 = x2′ ; x2 = x3′ ;

x4 =

x4′ + iβx1′

1 − β2

v0 x   β = . c   x1′ =

x1 + iβx4 2

1−β

; x2′ = x2 ; x2′ = x3 ; x4′ =

65

; (5.4)

x4 − iβx1

1 − β2

.

(5.5)

Преобразования Лоренца являются линейными преобразованиями. Поэтому все четыре формулы можно записать в матричном виде, если ввести матрицу преобразований Лоренца α ik ( β ) : 4

xi =

∑ α ( β ) x′ ik

k

= α i1x1′ + α i 2 x2′ + α i 3x3′ + α i 4 x′4 ; ( i = 1, 2,3, 4 ) . (5.6)

k =1

Удобно использовать правило суммирования Эйнштейна: если индекс суммирования повторяется дважды, то по этому индексу молчаливо подразумевается суммирование, при этом знак суммы опускается. С учетом этого правила формула (5.6) запишется так: xi = α ik ( β ) xk′ . (5.7) Матрица преобразований Лоренца является квадратной матрицей. Она состоит из четырех строк и четырех столбцов, т.е. содержит 16 элементов. Элементы матрицы Лоренца зависят от величины β = v0 x / c , где v0 x – проекция скорости системы K ′ относительно системы K на ось x (направление осей x и x′ совпадают). В явном виде матрица Лоренца выглядит так: − iβ   1 0 0   2 1 − β2   1−β  0 1 0 0  α ik ( β ) =  (5.8) . 0 1 0   0  iβ 1  0 0   2 1 − β2   1 − β Непосредственной подстановкой матрицы Лоренца в формулу (5.6) легко убедиться, что получим формулы прямого преобразования (5.4). Формулы обратного преобразования (5.5) получаются простой заменой в формулах (5.4) β → −β . Поэтому обратная матрица

Лоренца α −1 = α ( −β ) выглядит так:

66

iβ   1 0 0   2 1 − β2   1−β  0 1 0 0  (5.9) ( α−1 )ik = αik ( −β ) =  0 0 1 . 0    −iβ 1  0 0   2 1 − β2   1 − β Легко проверить (см. задачу 5.1), что, как и должно быть α −1 ⋅ α = α ⋅ α −1 = I , здесь I – единичная матрица. Другими словами, ( α −1 ⋅ α ) = ( α ⋅ α −1 ) = ( α −1 ) ( α ) jk = δik . Здесь δik – символ ik

ik

ij

Кронекера. Из формулы (5.9) видно, что обратная матрица Лоренца совпадает с транспонированной матрицей прямого преобразования (5.8) – строки обратной матрицы совпадают со столбцами прямой матрицы. Другими словами, α −1 ( β ) = αɶ ( β ) , т.е.

(α ) −1

ik

= αɶ ik = αki .

Отсюда следует важное соотношение: ( α−1 ) ( α )kj = αki αkj = δij . ik

(5.10) (5.11)

2. Понятие четырехвектора Те величины, которые не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой, т.е. инвариантны относительно преобразований Лоренца, называются четырехскалярами, или просто скалярами. Примерами скалярных величин являются собственная масса частицы m , элементарный заряд e (например, заряд электрона), число частиц N , интервал между событиями dS и так далее. В то же время, например, координаты события ( x1 , x2 , x3 , x4 ) изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Введем важное понятие четырехвектора. Четырехрадиусом-вектором xi , называется совокупность четырех величин ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , которые при переходе от одной 67

инерциальной системы отсчета к другой преобразуются по формулам Лоренца (5.7). Четырехвектором Ai называется совокупность любых четырех величин ( A1 , A2 , A3 , A4 ) , которые при переходе от одной инерциальной системы к другой преобразуются как компоненты четырехрадиуса-вектора ( x, y, z, τ ) , т.е. по формулам Лоренца: Ai = α ik ( β ) Ak′ . (5.12) Введенное четырехмерное пространство является квазиевклидовым пространством (пространством Минковского). В обычном трехмерном евклидовом пространстве скалярное произведение векторов определяется выражением

AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz = A1B1 + A2B2 + A3 B3 = Ai Bi ;

( i = 1,2,3 ) .

(5.13) Аналогично определяется скалярное произведение двух четырехвекторов в пространстве Минковского: Ai Bi = A1B1 + A2 B2 + A3 B3 + A4 B4 . (5.14) Соответственно определяется и квадрат четырехвектора: 2

( Ai )

= A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 + A4 A4 = Ai Ai ( i = 1, 2,3, 4 ) . (5.15) Квадрат четырехвектора есть квадрат его “длины” в четырехмерном комплексном пространстве, так же как и квадрат обычного трехмерного вектора есть квадрат его длины в обычном трехмерном пространстве. Длина вектора не изменяется при повороте системы координат. Как отмечалось в разделе 2, преобразование Лоренца есть поворот в плоскости ( x; ict ) = ( x1 , x4 ) четырехмерного пространства (рис.2.4). Поэтому длина четырехвектора тоже не должна изменяться, т.е. должна быть четырехскаляром. Действительно, 2 ( Ai ) = Ai Ai = α ik Ak′ α im Am′ = α ik α im Ak′ Am′ .

Но в силу равенства (5.11) α ik α im = δkm . Поэтому 2

( Ai )

2

= δkm Ak′ Am′ = Ak′ Ak′ = ( Ak′ ) .

68

2

Если квадрат четырехвектора ( Ai ) > 0 , то такой четырехвектор называется пространственноподобным вектором. Четырех2

вектор, у которого ( Ai ) < 0 , называется времениподобным. Рассмотрим, что представляет собой квадрат четырехрадиусавектора: 2

2

( dxi ) = dx12 + dx22 + dx32 + dx42 = dx2 + dy2 + dz2 + ( dict ) 2 т.е. ( dxi ) = dx2 + dy2 + dz2 − c2dt 2 .

,

Следовательно, 2

2

( dxi )

= − ( dS ) . (5.16) Но квадрат интервала между событиями не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой. Следовательно, вели2

чина ( dxi ) является четырехскаляром. Применительно к движению одной материальной точки в соответствие с (1.20) величина dS является действительной, т.е. 2

времениподобным интервалом. Поэтому ( dxi ) < 0 и четырехрадиус-вектор является времениподобным. Аналогично можно доказать, что скалярное произведение двух любых четырехвекторов является четырехскаляром: Ai Bi = α ik Ak′ α im Bm′ = α ik α im Ak′ Bm′ = δkm Ak′ Bm′ = Ak′ Bk′ .  δkm

Следовательно, 2

Ai Bi = invar; (5.17) ( Ai ) = Ai Ai = invar. Практически очень важно установить, набор каких физических величин образуют четырехвекторы. После этого сразу становится известным закон их преобразования при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. 1.Первым, если можно так выразиться, “базовым” является определенный выше четырехрадиус-вектор xi : xi ( x, y, z, ict ) ; xi2 = −S2 ;

2

( dxi )

2

= − ( dS ) .

(5.18)

2. Используя четырехрадиус-вектор, можно сконструировать четырехвектор скорости ui . Для этого напомним, что время, от69

считываемое по часам, движущимся вместе с объектом (материальной точкой), называется собственным временем этого объекта. Если объект движется относительно системы K со скоростью
v ( t ) , то промежуток собственного времени dt0 выражается через промежуток времени dt в системе K по формуле dt0 = dt 1 − v2 ( t ) / c2 . При этом, в соответствии с (2.10), величи-

на dt0 является инвариантом и связана с интервалом dS соотношением dt0 = dS / c . Четырехвектор скорости образуется в виде производной от четырехрадиуса-вектора по некоторому инварианту – скаляру. Выбор этого скаляра определяется тем, что при малых скоростях v << c (или, что то же самое, при c → ∞ ), пространственные компоненты четырехвектора скорости должны превращаться в компоненты обычной скорости. В силу всего сказанного выше естественно определить четырехвектор скорости как производную от четырехрадиуса-вектора по собственному времени объекта: dxi dx (5.19) ui = =c i, ( i = 1, 2,3, 4 ) . dt0 dS При таком определении размерность величин ui такая же, как и размерность обычной скорости: [ ui ] = м/с . Из определения (5.19) находим важное выражение для квадрата четырехвектора скорости: 2

2

( ui )

=

( dxi ) 2 ( dt0 )

2

= c2

− ( dS ) 2

( dS )

= − c2 .

(5.20)

Таким образом, четырехвектор скорости является времениподобным вектором, а его квадрат, как и должно быть, является скаляром, равным квадрату скорости света, взятому со знаком минус. Это свойство четырехвектора скорости связано, разумеется, с тем, что скорость движения материальной точки не может превышать скорость света. Отметим, что во многих случаях (например, в книге Ландау, Лифшиц “Теория поля”) четырехвектор скорости определяется несколько иначе:

70

dxi . (5.21) dS При таком определении величины ui являются безразмерными, а квадрат четырехвектора ui =

2

( dxi ) ( ui ) = 2 ( dS ) 2

2

=

− ( dS ) 2

( dS )

= −1 .

(5.22)

Сравнивая (5.19) и (5.21) видим, что приведенные выше два выражения для четырехвектора скорости отличаются только численным множителем – скоростью света c . Используя определение (5.19), получим в явном виде ком2

поненты четырехскорости. Так как dt0 = dt 1 − v ( t ) / c2 , то     vy dx i vx vz 1 c  .(5.23) ui = = ; ; ;i 2 2 2 2   dt 1 − v2 / c2 v v v v 1− 2 1− 2 1− 2   1− 2 c c c c   Следовательно,
  v (t) ic  . ui ( t ) = ; (5.24)  1 − v
2 ( t ) / c2 1 − v
2 ( t ) / c2    Формула (5.24) устанавливает связь компонент четырехвектора
скорости с проекциями обычного вектора скорости v ( vx ; vy ; vz ) , v2 = vx2 + vy2 + vz2 . Нетрудно показать, что используя выражение

(5.24) для четырехвектора скорости, можно получить формулы преобразования Лоренца для обычного вектора скорости (3.3) (см. задачу 5.2). 3. Четырехвектор ускорения Четырехвектор ускорения определяется по аналогии с определением ускорения в нерелятивистской механике, как производная от четырехвектора скорости по собственному времени объекта: 71

wi =

Величины

wi

[ wi ] = м / с2 .

dui du =c i , ( i = 1, 2,3, 4 ) . dt0 dS имеют размерность обычного

(5.25) ускорения:

2

Учитывая, что dt0 = dt 1 − v ( t ) / c2 и используя

формулу (5.23) для четырехвектора скорости, запишем: dui ( t ) 1 wi ( t ) = . 2 2 dt 1 − v (t ) / c

(5.26)

Выполняя дифференцирование, получим (см. задачу 5.3),

  v
 v
 , w
  , w 
v  c  1 c  ;i   wi ( t ) = w+   . (5.27) c (1 − v2 / c2 ) (1 − v2 / c2 )3/ 2  1 − v 2 / c2   

ɺ Величина w ( t ) = v ( t ) есть обычный (трехмерный) вектор ускорения. Из формулы (5.27) следует, что в нерелятивистском случае ( v << c ) w1 ≈ wx , w2 ≈ wy и w3 ≈ wz , т.е. пространственные компоненты четырехвектора ускорения равны проекциям обычного ускорения. Сравнивая формулы (5.24) и (5.27) видим, что в то время, как все четыре компоненты четырехвектора скорости

определяются вектором обычной трехмерной скорости v = rɺ , компоненты четырехускорения определяются не только трехмерным

ускорением w = vɺ , но зависят также от трехмерной скорости
v (t ) . Нетрудно показать (см. задачу 5.4), что квадрат четырехускорения определяется следующим выражением:

2
2 [ v, w] w − c2 w2i = (5.28)
2 3 .  v  1 − 2  c  

Здесь [ v, w] – векторное произведение трехмерной скорости и


2 трехмерного ускорения. Поскольку v / c < 1 , то w2 > [ v, w] / c2 . 72

Следовательно, w2i > 0 . Таким образом, четырехускорение, в отличие от четырехвектора скорости, является пространственноподобным вектором. В заключение заметим, что если соотношение (5.20) продифференцировать по собственному времени t0 , получим du d 2 (5.29) ( ui ) = 2ui i = 2ui wi = 0 , т.е. ui wi = 0 . dt0 dt0 Последнее соотношение означает, что четырехвекторы скорости и ускорения ортогональны друг к другу в четырехмерном пространстве. 4. Четырехвектор энергии-импульса Из полученного выражения (5.20) легко получить выражение для четырехвектора, компоненты которого связаны с релятивистским импульсом и энергией частицы. Инерционные свойства тела можно охарактеризовать некоторым скаляром – массой m . Значение массы является константой, характерной для каждого вида элементарных частиц. Например, масса электрона −31 −27 me ≈ 9,1 ⋅ 10 кг ; масса протона mp = 1, 67 ⋅ 10 кг , т.е. mp = 1836me ; масса нейтрона mn ≈ mp . Умножим все компонен-

ты четырехвектора скорости (5.19) на массу частицы m . После этого получим новый четырехвектор, который называется четырехвектором энергии - импульса: dx dx (5.30) pi = mui = m i = mc i . dt0 dS 2

Поскольку, в соответствии (5.20) ( ui ) = −c2 , получаем следующее выражение для квадрата четырехимпульса: 2

( pi )

2

= m2 ( ui ) = −m2 c2 . (5.31) Как и должно быть, квадрат четырехимпульса является скаляром, т.е. не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Соотношение (5.31) часто используется при решении различных задач теории относительности, существенно упрощая промежуточные вычисления. 73

Выпишем в явном виде компоненты четырехвектора энергии импульса, используя формулы (5.20) и (5.21):
  mv ( t ) i mc2 . pi ( t ) = mui ( t ) =  ; (5.32)  1 − v
2 ( t ) / c2 c 1 − v
2 ( t ) / c2    Поскольку в соответствии с (4.9), (4.10)

2 2

2 2 2 mv / 1 − v / c = p и mc / 1 − v / c = E , то окончательно получаем следующее выражение для четырехвектора энергииимпульса: 
E pi =  p; i  . (5.33) c 
Таким образом, пространственные компоненты pi есть импульс p релятивистской частицы, а временная (мнимая) компонента только множителем отличается от энергии E частицы. Теперь можно написать формулы преобразования Лоренца для импульса и энергии частицы: pi = α ik ( β ) pk′ . (5.34) Используя значения элементов матрицы Лоренца (5.8) получим,
например, формулу для преобразования проекции импульса p на ось Ox . Поскольку px = p1 , то в соответствии с (5.34), запишем: px = p1 = α1k pk′ = α11px′ + α12py′ + α13 pz′ + α14 p4′ = α11px′ + α14 p4′ . Здесь учтено, что α12 = α13 = 0 . Поскольку α11 = 1/ 1 − β2 , α14 = iβ / 1 − β2 и p4′ = iE′ / c , получим: 2

 E′  p′x + v0 x E′ / c i = .  1 − β2 1 − β2  c  1 − β2 Аналогичным образом с помощью (5.34) получаются формулы преобразования для остальных компонент четырехвектора энергииимпульса. В результате получаем формулы преобразования Лоренца для импульса и энергии частицы: p′ + v0 x E′ / c2 E′ + v0 x px px = x ; py = py′ ; pz′ = pz ; E = . (5.35) 2 1−β 1 − β2 px =

1

px′ + i

β

74

Формулы обратного преобразования получаются заменой в (5.35) vox → −v0 x : px′ =

px − v0 x E / c2

; p′y = py ; pz′ = pz ; E′ =

E − v0 x px

. (5.36) 1−β 1 − β2 Используя выражение для четырехвектора энергииимпульса легко получить выражение для функции Гамильтона
(4.15) свободной частицы. Поскольку pi = ( p; iE / c ) , то
2 ( pi ) = p2 − E2 / c2 . Но в соответствии с формулой (5.31) 2

2

( pi )

= −m2 c2 . Следовательно,
p2 − E 2 / c2 = −m2 c2 . Отсюда сразу получаем:

(5.37)

H = c p 2 + m 2 c2 .

(5.38)

5. Относительная энергия частиц во встречных пучках Пусть два пучка одинаковых частиц массой m движутся

навстречу друг другу (вдоль оси x ) со скоростями v1 и v2 относительно лабораторной системы координат K (рис.5.1). Определим относительную кинетическую энергию частиц во встречных пучках.

K

K′

m O


v1


v2

m x′

O′

x Рис.5.1. К получению формулы (5.42) для относительной энергии во встречных пучках

75

Вычисление относительной энергии частиц имеет большое значение в физике, так как реакции между частицами зависят от их относительной скорости, т.е. от их относительной энергии. Вычисление относительной энергии частиц можно определить двумя способами. Первый способ состоит в том, чтобы воспользоваться полученным ранее выражением для относительной скорости, скажем второй частицы v2отн относительно первой. Затем, по формуле (4.10) вычислить энергию второй частицы в той системе отсчета, в которой первая частица покоится (см. задачу 5.5). Здесь мы рассмотрим проблему вычисления относительной энергии, используя формулу Лоренца для преобразования энергии. Перейдем в систему K ′ , в которой первая частица покоится. Система K ′ будет инерциальной по отношению к лабораторной системе K . Тогда, для наблюдателя в системе K ′ , энергия второй частицы и будет относительной энергией частиц: Eотн = E2′ . (5.39) Для вычисления величины E′ воспользуемся формулой обратного преобразования для энергии (5.36): E2 − v0 x p2x Eотн = E2′ = . (5.40) 2 1 − ( v0 x / c ) В рассматриваемой задаче mc2 −mv2 E2 = ; v0 x = v1 ; p2x = . (5.41) 2 2  v2   v2  1−  1−   c   c  Подставляя (5.41) в формулу (5.40) сразу находим значение Eотн : v ⋅v 1+ 1 2 2 c Eотн = mc2 . (5.42) 2  v1   v22  1 − 2  1 − 2  c  c   Теперь рассмотрим частный, но важный случай одинаковых скоростей, когда v1 = v2 = v . В этом случае формула для величины Eотн становится значительно проще: 76

1 + v 2 / c2 . (5.43) 1 − v 2 / c2 Кинетической энергией частицы называется разность между полной энергией E и энергией покоя mc2 :   1 (5.44) T = E − mc2 = mc2  − 1 .  1 − v2 / c2    Следовательно, значение относительной кинетической энергии будет определяться выражением v 2 / c2 1   = 2mc2  − 1 . (5.45) Tотн = Eотн − mc2 = 2mc2 2 2 2 2 1− v /c 1 − v / c  Выразим относительную кинетическую энергию частиц ( T )отн че-

Eотн = mc2

рез кинетическую энергию T в лабораторной системе координат. Из формулы (5.44) находим, что 2

1 T   = 1 +  . 2 2 mc2  1− v /c  Подставляя это в формулу (5.45) получаем: 2   T  T   Tотн = 2mc2  1 + − 1 (5.46) Tотн = 2T  2 + . 2  mc  mc2     Из формулы (5.46) находим отношение относительной кинетической энергии к кинетической энергии каждой из частиц в системе K: Tотн T   = 2 2 + (5.47) . T mc2   Для нерелятивистских частиц, когда T << mc2 из формулы (5.47) получаем: Tотн / T ≈ 4 , (5.48) ( v << c ) . Т.е. в нерелятивистском случае относительная кинетическая энергия всего в четыре раза больше кинетической энергии каждой из частиц. Совсем иначе обстоит дело в релятивистском случае. Если T >> mc2 , то Tотн / T ≈ 2T / mc2 >> 1 . Рассмотрим численный пример. Пусть летящими частицами являются электроны. Энергия

77

покоя электрона mec2 ≈ 0, 5 МэВ . В этом случае формула (5.47) принимает вид: ( Te )отн (5.49) = 4 {1 + Te ( МэВ )} . Te Из формулы (5.49) следует, что если, например, кинетическая энергия летящих релятивистских электронов будет всего 10 МэВ , то отношение ( Te )отн / Te = 4 ⋅ 11 = 44 , т.е. ( Te )отн = 440 МэВ ! Тема 6 РАСПАД ЧАСТИЦ При решении многих задач релятивистской механики широко используются законы сохранения. В частности, для замкнутой механической системы, как следствие однородности пространства и времени, имеют место законы сохранения релятивистского импульса и энергии:

 ∑ pнач = ∑ pкон ; (6.1)   ∑ Eнач = ∑ Eкон . При решении уравнений (6.1) удобно использовать выражения для энергии частиц, выраженных не через их скорость, а через их импульс (функция Гамильтона): E = c p 2 + m 2 c2 , (6.2a) и следствие этой формулы p 2 c2 = E 2 − m 2 c 4 . (6.2b) В релятивистской теории свойства массы частицы, существенно отличаются от тех, которые приписываются массе в классической механике, где она определяла только инерционные свойства тела. В классической механике имеет место закон сохранения массы. Например, если одно тело массой M распадалось на два тела с массами m1 и m2 , то M = m1 + m2 . В релятивистской механике это положение не имеет места – масса частицы не удовлетворяет закону сохранения. Существуют физические процессы, при которых масса до начала реакции не 78

равна массе частиц, образующихся после окончания процесса. Необычность подобного рода явлений (с точки зрения классической механики) особенно ясна из того факта, что наличие массы не является обязательным свойством частиц. Экспериментально установлено, что в природе существуют такие частицы, масса которых равна нулю. Такими частицами являются, например, световые (гамма) кванты и нейтрино4. Трудно представить себе второй закон Ньютона для частицы с нулевой массой! Поскольку, однако, фотоны имеют отличную от нуля энергию, то из формулы E = mc2 / 1 − v2 / c2 сразу следуют, что такие частицы должны распространяться со скоростью света. Несмотря на свои необычные свойства, масса является важнейшей характеристикой тел. Каждая элементарная частица имеет вполне определенное, не изменяющееся от экземпляра к экземпляру значение массы (включая и значение равное нулю). Поэтому масса является фундаментальной характеристикой каждой элементарной частицы. Многие процессы, происходящие с атомными ядрами и элементарными частицами, состоят в реакциях распада или объединения (синтеза) частиц. Однако законы сохранения импульса и энергии накладывают существенные ограничения на такого рода процессы.

1. Распад покоящейся частицы Простейшей задачей релятивистской механики, решение которой основано на использовании законов сохранения импульса и энергии, является распад покоящейся частицы M на две частицы m1 и m2 . Пусть покоящаяся частица массой M самопроизвольно (т.е. в результате внутренних изменений, без воздействия на неё внешних сил) распадается на две частицы с массами m1 и m2 . (Такого рода реакции распада наблюдаются экспериментально.) Нужно определить энергии распадных частиц E1 и E2 , и выяснить, 4

По последним данным собственная масса нейтрино не равна нулю. Но она столь

мала

(10−5 эВ) , что при решении многих задач ею можно пренебречь.

79

при каких условиях такой процесс возможен. Поскольку рассматриваемая система является замкнутой, то имеют место законы сохранения импульса и энергии (6.1). До распада импульс начальной частицы M равнялся нулю, а её энергия – энергии покоя Mc2 . По

сле распада две частицы будут иметь импульсы p1 , p2 и энергии E1 , E2 соответственно. С учетом сказанного уравнения (6.1) принимают вид:

0 = p1 + p2 (6.3)  2  Mc = E1 + E2 .

Из первого уравнения следует, что p1 = −p2 . Следовательно, после распада частицы движутся в противоположные стороны и имеют одинаковую величину импульсов (рис.6.1): p1 = p2 = p . (6.4)


p1 M

E2
p2

E1 m1

m2

Рис. 6.1. Распад покоящейся частицы M на две частицы

Полная энергия распадных движущихся частиц E1 > m1c2 и E2 > m2c2 . Поэтому из закона сохранения энергии следует, что M > m1 + m2 . (6.5) Условие (6.5) принято записывать в виде ∆m = mкон − mнач = ∑ m i − M < 0 . (6.6)

80

Величина ∆m называется дефектом массы. Дефект массы определяется разностью масс частиц после распада и массой исходной частицы. В соответствии с (6.6) самопроизвольный распад частицы возможен, если дефект массы будет отрицательным. Если дефект массы положителен, частица M устойчива по отношению к указанной реакции распада. Таким образом, при распаде масса продуктов распада уменьшается на величину ∆m , и часть энергии покоя ( ∆m ⋅ c2 ) = Mc2 − ( m1 + m2 ) c2 превращается в кинетическую энергию движущихся частиц. Перепишем систему уравнений (6.3) в виде: p1 = p2 ,  2  Mc = E1 + E2 .

(6.7)

Умножим первое уравнение на c2 . С учетом формулы (6.2b), получим: E12 − m12c4 = E22 − m22c4 , (6.8)  2  Mc = E1 + E2 . Из системы двух алгебраических уравнений (6.8) можно определить величины энергий E1 и E2 . Первое уравнение преобразуем так:

E12 − E22 = c4 ( m12 − m22 ) ,

( E1 − E2 ) ( E1 + E2 ) = c4 ( m12 − m22 ) .

Но

из

т.е. второго

уравнения

E1 + E2 = Mc2 . В результате получаем систему двух линейных уравнений относительно величин E1 и E2 : E1 − E2 = c2 ( m12 − m22 ) / M; . (6.9)  2 E1 + E2 = Mc . Складывая и вычитая уравнения (6.9), окончательно находим выражения для энергии распадных частиц: M 2 + m12 − m22 M 2 + m22 − m12 E1 = c2 ; E2 = c2 . (6.10) 2M 2M

81

Кинетические энергии распадных частиц есть разность между полной энергией каждой из частиц и её энергией покоя. Из (6.10) находим, что 2

2

2

T1 = E1 − m1c = c

T2 = E2 − m2 c2 = c2

( M − m1 )

− m22

2M 2 ( M − m2 ) − m12

;

(6.11a)

. (6.11b) 2M Суммарная кинетическая энергия частиц после распада: T1 + T2 = c2 ( M − m1 − m2 ) = −∆m ⋅ c2 > 0 . (6.12) Величина ∆m есть указанный выше дефект массы рассматриваемой реакции распада. 2. Устойчивость атомных ядер по отношению к распаду Полученные выше результаты позволяют изучить важный вопрос об устойчивости атомных ядер. Ядро каждого элемента таблицы Менделеева состоит из нуклонов – положительно заряженных протонов и нейтральных нейтронов. Ядро каждого элемента характеризуется порядковым номером Z – числом протонов, и массовым числом A , т.е. числом нуклонов. За единицу измерения массы в ядерной физике и физике элементарных частиц принята одна атомная единица массы (а.е.м.). Атомная единица массы – внесистемная единица массы, применяемая для масс молекул, атомов, атомных ядер и элементарных частиц. Атомная единица массы равна 1 / 12 массы нуклида углерода C12 : 1а.е.м. = 1.66053878 ⋅ 10−27 кг . (6.13) Нуклид (лат. nucleus — «ядро») – вид атомов, характеризующийся определёнными массовым числом, атомным номером и энергетическим состоянием их ядер, и имеющий время жизни, достаточное для наблюдения. Введенная таким образом а.е.м. пришла на смену водородной и кислородным единицам массы, когда за одну а.е.м. принимались либо масса атома водорода (Дальтон, 1803 г.), либо 1/16 атома кислорода O16 (1906 г.). Поскольку использование двух шкал имело ряд недостатков, с 1961г. перешли к единой углеродной шкале. 82

С другой стороны, 1 а.е.м. – это величина, обратная числу Авогадро, т.е. 1/ NA . Такой выбор атомной единицы массы удобен тем, что молярная масса данного элемента, выраженная в граммах на моль, в точности совпадает с массой этого элемента, выраженной в а.е.м. Поскольку массы элементарных частиц обычно выражаются в МэВ , важным является переводной коэффициент между МэВ и а. е. м.: 1а.е.м. = 931, 494028 МэВ / c2 , 1МэВ / c2 = 1.073544 ⋅ 10−3 а.е.м. (6.14) В таб. 6.1 приведены данные основных элементарных частиц. Рассмотрим для примера протон. Его масса 1, 007286 а.е.м. (см. третью строку, третий столбец таб. 6.1). Его энергия покоя в МэВ есть произведение массы в а.е.м., умноженной на первый переводной коэффициент в (6.14): mpc2 = (1, 007286 × 931, 494028 / c2 ) c2 ≈ 938.3 МэВ .

Это в точности совпадает с данными таб. 6.1 (третья строка, четвертый столбец). Рассмотрим сначала вопрос об устойчивости ядра по отношению к полному распаду его на нуклоны, т.е. на отдельные протоны и нейтроны. Пусть заряд ядра Z , а его массовое число A . Следовательно, такое ядро состоит из Z протонов и ( A − Z ) нейтронов. Масса ядра M . Поэтому речь идет о реакции распада вида: M → Z ⋅ m p + ( A − Z ) ⋅ mn . (6.15) Такая реакция распада может иметь место, только если энергия покоя ядра больше, чем энергия покоя образовавшихся протонов и нейтронов Mc2 > Z ⋅ mp c2 + ( A − Z ) ⋅ mn c2 . (6.16) Тогда ядро развалится на нуклоны, и часть энергии покоя исходного ядра превратится в кинетическую энергию распадных нуклонов.

83

Таблица 6.1

Частица, атом Электрон

e, m

Заряд

−19

−1.60 ⋅ 10 Кл

e

Позитрон

e+ Протон

p , mp

−31

0.5486 ⋅ 10

−31

0.5486 ⋅ 10

9.1 ⋅ 10 кг

−19

+1.60 ⋅ 10 Кл

9.1 ⋅ 10 кг −27

−19

+1.60 ⋅ 10 Кл

Энергия покоя

Масса (а.е.м.)

Масса (кг)

1.6726 ⋅ 10 кг

m p / me

1, 007286

mc −3

−3

2

0.511 МэВ

∞

0.511 МэВ

∞

938, 3 МэВ

−27

1.6749 ⋅ 10 кг

0

939, 6 МэВ

m n ≈ 1.0014m p

α - частица (ядро

He24 )

1, 008665

2 e

π+ , π− мезоны

π0

3727.4 МэВ

−27

e

mµ / me

≈ 207

±

e

mπ / me

≈ 273.2

mπ / me

≈ 264.2

0

≈ 885

6.645 ⋅ 10 кг

±

мезон

29

сек

Мюон

µ+ , µ−

> 3 ⋅ 10 лет

= 1836

Нейтрон

n

Время жизни

105.66 МэВ

2.2 ⋅ 10

−6

сек

−6

139.6 МэВ

2.6 ⋅ 10 с

0.84 ⋅ 10 135.0 МэВ

−16

сек

Для того чтобы ядро было устойчивым и движение ядерных частиц не могло привести к его самопроизвольному развалу, необходимо, чтобы энергия покоя ядра была меньше, чем суммарная энергия покоя образовавшихся нуклонов, т.е. выполнялось неравенство, обратное (6.16): Mc2 < Z ⋅ mp c2 + ( A − Z ) ⋅ mn c2 . (6.17)

84

Поделив обе части на c2 , неравенство (6.17) можно записать в виде: ∆m = {Z ⋅ mp + ( A − Z ) ⋅ mn } − M > 0 . (6.18) N

∆m = mкон − mнач =

∑m

i

−M.

(6.19)

k =1

Величина ∆m есть дефект массы по отношению к любой реакции распада, в процессе которой исходное ядро M распадается на N различных частиц или других ядер. Таким образом, условие абсолютной устойчивости ядра по отношению к любой реакции распада состоит в том, чтобы по отношению к любой реакции дефект массы был положителен, и суммарная масса продуктов распада была больше массы исходного ядра. В рассматриваемой нами реакции полного развала ядра N = A и N

∑m k =1

A −Z

Z

i

=

∑m 1

p

+

∑m

n

=Z ⋅ mp + ( A − Z ) ⋅ mn .

(6.20)

1

Во многих случаях оказывается, что по отношению к одним реакциям распада ядро устойчиво (∆m > 0) , однако по отношению к другим реакциям распада ядро может оказаться неустойчивым. В этом случае ядро не является абсолютно устойчивым, и вероятен его распад. Рассмотрим, например, реакцию распада ядра по схеме M ( Z; A ) → M1 ( Z1 ; A1 ) + M2 ( Z2 ; A2 ) . (6.21) Из закона сохранения заряда и числа нуклонов в исходном ядре и образовавшихся новых ядер M1 ( Z1 ; A1 ) и M2 ( Z2 ; A2 ) следует, что атомные номера Z1 , Z2 и A1 , A2 должны удовлетворять равенствам: Z1 + Z2 = Z ; A1 + A2 = A . (6.22) Рассмотрим в качестве примера ядро бериллия Be84 , у которого Z = 4 и A = 8 . Такое ядро состоит из четырех протонов и четырех нейтронов. Соответствующий атом имеет четыре электрона. Ядро Be84 имеет массу M = 8.00785 а.е.м. . Проверим, возможен ли самопроизвольный полный развал этого ядра на четыре протона и четыре нейтрона, т.е. по схеме M → 4m p + 4m n . (6.23) 85

Дефект массы такой гипотетической реакции распада определяется формулой (6.19) ∆m = mкон − mнач = 4 ( mp + mn ) − M . (6.24) Подставляя сюда численные данные из таб. 6.1, запишем: ∆mа.е.м. = 4 (1.00727 + 1.00866) − 8.00785 = 0.05587 а.е.м. > 0 . (6.25) Таким образом, дефект масс положителен (суммарная масса продуктов распада больше массы исходного ядра). Поэтому ядро Be84 устойчиво по отношению к полному развалу на протоны и нейтроны. Однако это не означает абсолютную устойчивость ядра. Покажем, что указанное ядро может распасться на две α -частицы, которые являются ядрами атома гелия He24 : Be84 → 2He24

(6.26)

Дефект массы реакции ∆mа.е.м. = 2MHe − M = 2 ⋅ 4.00390 − 8.00785 = −0.00005 а.е.м. < 0 . (6.27) Видим, что дефект масс такой реакции отрицательный – масса продуктов распада меньше собственной массы исходного ядра. Поэтому ядро Be84 неустойчиво к реакции распада (6.26). Заметим, что распад ядра Be84 на две α -частицы наблюдается экспериментально. 3. Энергетический выход ядерных реакций Важным примером несохранения массы в релятивистской механике, при безусловном законе сохранения энергии, являются реакции типа A + B → C + D. (6.28) Здесь A и B – исходные ядра, а C и D – продукты реакции. Применение закона сохранения энергии к указанной реакции Eнач = Eкон (6.29) позволяет найти энергетический выход реакции Q , если известны массы всех ядер до и после реакции. Поскольку Eнач = ( MA + MB ) c2 – есть энергия покоя ядер A и B до реакции,

86

а Eкон = ( MC + MD ) c2 + Q – конечная энергия после реакции, то из уравнения (6.29) получаем: Q = δm ⋅ c2 , где δm = ( MA + MB ) − ( MC + MD ) = −∆m . (6.30) В качестве примера, на котором соотношения теории относительности можно проверить с высокой степенью точности, рассмотрим реакцию Li73 + H11 → 2He24 , т.е. Li73 + p → 2He24 . (6.31) Реакция (6.31) приводит к образованию двух α -частиц. Массы всех ядер в реакции (6.31) измерены с большой точностью: M ( Li73 ) = 7.01822 а.е.м. ; M ( H11 ) = 1.00812 а.е.м. ; M ( He24 ) = 4.00390 а.е.м.

В результате реакции масса покоя частиц уменьшается на величину δm = M ( Li73 ) + M ( H11 ) − 2He24 = 0.0185 а.е.м. . Учитывая первую формулу (6.14), получим Q = δm ⋅ c2 = {0.0185 а.е.м. × 931, 494028 МэВ / c2 } c2 = 17.2 МэВ . (6.32) Полученный результат (6.32) с большой точностью совпадает с результатами измерений. На этом примере видно, что масса покоя частиц не сохраняется. В процессе реакции, часть массы покоя, равная δm бесследно исчезает. Однако закон сохранения полной энергии, безусловно, выполняется: mLi c2 + mH c2 = 2mHe c2 + THe . (6.33) Здесь THe – кинетическая энергия двух α -частиц после реакции. Понятно, что Q = THe . Другими словами, после реакции образуются две α -частицы, имеющие суммарную кинетическую энергию 17.2 МэВ . Энергия покоя одной α -частицы mHec2 ≈ 3730 МэВ (см. табл.6.1). Следовательно, THe << mHec2 , т.е. образовавшиеся α -частицы имеют нерелятивистскую энергию. Поэтому кинетическая энергия каждой α -частицы определяется нерелятивистской формулой. В частности, для первой α -частицы 87

( THe )1

≈

mHe v12 v2 = mHe c2 12 . 2 2c

Отсюда находим: v1 ≈ c

2 ( THe )1

. (6.34) mHe c2 Предположим, что вся кинетическая энергия распределяется поровну между двумя α -частицами: ( THe )1 = ( THe )2 . Тогда 2 ( THe )1 = THe = Q . В этом случае из формулы (6.34) получаем, что

v1 ≈ c

Q 2

mHe c

=c

17.2 МэВ ≈ 0.068 ⋅ c = 20 ⋅ 103 км/с . 3730 МэВ

(6.35)

4. Распад элементарных частиц Целый ряд элементарных частиц оказывается неустойчивым по отношению к реакциям распада. Установление различных схем распада элементарных частиц имеет фундаментальное значение для современной физики. До сих пор мы рассматривали реакции распада покоящихся частиц. Теперь в качестве примера рассмотрим распад движущегося π0 - мезона на два γ -кванта: π0 → γ1 + γ 2 . (6.36) Гамма-кванты регистрируются по создаваемой ими ионизации. Оказывается так же возможным с высокой точностью измерить энергию каждого γ - кванта.

Как известно, обнаружено три вида π -мезонов. Два из них – π+ и π− -мезоны – заряженные частицы. Величина их заряда численно равна заряду электрона, а их массы покоя m π+ = mπ− ≈ 273me . π0 -мезон является нейтральной частицей с массой mπ0 ≈ 264me . Все π -мезоны неустойчивые частицы. Время жиз-

ни π± -мезонов составляет примерно 2.6 ⋅ 10−6 с , а время жизни π0 мезона – 0.84 ⋅ 10−16 с , т.е. примерно в 3 ⋅ 109 раз меньше, чем время жизни π± -мезонов. 88


Пусть начальный импульс π0 -мезона равен p0 . Импульсы и

энергии образовавшихся γ -квантов будут ( pγ1 ; Eγ1 ) и ( pγ 2 ; Eγ 2 )

соответственно. Законы сохранения импульса и энергии для рассматриваемой реакции будут выглядеть так:


pπ = pγ1 + pγ 2 ; (6.37)  Eπ = Eγ1 + Eγ 2 .
Из закона сохранения импульса следует, что все три импульса pπ ,

pγ1 и pγ 2 лежат в одной плоскости, например в плоскости XoY (рис. 6.2).

y


pγ 1

α
pπ

O

x


pγ 2 Рис. 6.2. Векторная диаграмма импульсов 0

при распаде движущегося π - мезона на два γ - кванта

Имеется определенная связь между углом разлета γ -квантов α = θ + ϕ и их энергиями Eγ1 , Eγ 2 . Требуется определить зависимость угла разлета γ -квантов α , считая энергии Eγ1 и Eγ 2 известными. Возводя 2

( Eπ )

2 2 π

оба

уравнения

в

квадрат

и,

учитывая,

что

2 4 π

= p c + m c , запишем: pπ2 = p2γ1 + pγ22 + 2pγ1pγ 2 cos α;  2 2 2 4 2 2 pπ c + mπ c = Eγ1 + Eγ 2 + 2Eγ1Eγ 2 .

89

(6.38)

Умножая обе части первого уравнения на c2 и учитывая, что cpγ1 = Eγ1 , cpγ 2 = Eγ 2 , преобразуем систему уравнений (6.38) к виду: p2π c2 = Eγ21 + Eγ22 + 2Eγ1Eγ 2 cos α; (6.39)  2 2 2 4 2 2 pπ c + mπ c = Eγ1 + Eγ 2 + 2Eγ1Eγ 2 . Чтобы исключить величину pπ2 c2 , вычтем из второго уравнения первое. Тогда получим уравнение для определения угла разлета γ квантов: α mπ2 c4 = 2Eγ1Eγ 2 (1 − cos α ) = 4Eγ1Eγ 2 sin2 . (6.40) 2 Из уравнения (6.40) находим: mπ c2 α sin = . (6.41) 2 2 E γ 1E γ 2

Зависимость угла разлета γ -квантов (6.41) от их энергий хорошо согласуется с результатами эксперимента. Тема 7 РАССЕЯНИЕ ГАММА-КВАНТА НА СВОБОДНОМ ЭЛЕКТРОНЕ. ЭФФЕКТ КОМПТОНА В этом разделе мы рассмотрим упругое рассеяние γ -кванта (фотона) на покоящемся свободном электроне. Это явление было первоначально тщательно изучено в связи с выяснением квантовой природы света при облучении атомов вещества потоком фотонов с достаточно большой энергией Eγ0 . Обычно это рентгеновское излучение. Рассматриваемая задача является наиболее простой из класса задач об упругом столкновении частиц, которым посвящен следующий раздел. Значительное упрощение достигается за счет того, что фотон имеет нулевую массу покоя и, как следствие этого, простую формулу, связывающую энергию и импульс γ -кванта. Взаимодействуя с атомными электронами наружных оболочек, фотоны передают им энергию, значительно превышающую 90

энергию их связи с атомом. Поэтому внутриатомной связью электронов можно пренебречь. Это позволяет считать атомные электроны свободными и рассматривать процесс рассеяния фотонов на свободном покоящемся электроне. При взаимодействии с электроном фотон изменяет направление движения, рассеиваясь на угол θ по отношению к направлению первоначального распространения. Как показал опыт, при этом изменяется и энергия фотона, а, следовательно, его частота и длина волны. Считая известным угол рассеяния гамма-кванта θ , нужно получить зависимость его энергии Eγ ( θ ) после рассеяния (формула Комптона). Поскольку рассматриваемая система (фотон + электрон) является замкнутой, то имеют место законы сохранения импульса и энергии (6.1). Импульс и энергия налетающего гамма-кванта до
рассеяния pγ 0 , Eγ0 = cpγ 0 . После рассеяния гамма-кванта на угол
θ его импульс и энергия pγ ( θ ) , Eγ ( θ ) = cpγ , а импульс и энергия
электрона отдачи pe и Ee = c pe2 + me2c2 . Угол вылета электрона – ϕ . Из закона сохранения импульса следует, что все три импульса


pγ 0 , pγ и pe лежат в одной плоскости, например в плоскости XoY . Обратимся к векторной диаграмме (рис.7.1), которая отражает закон сохранения импульса в рассматриваемой задаче.

y

O


A pγ θ
ϕ pγ 0

ϕ

B x


pe

γ - кванта
с импульсом pγ 0 с покоящимся электроном m e

Рис.7.1. Векторная диаграмма столкновения

91

Законы сохранения импульса и энергии будут выглядеть так:


pγ 0 = pγ + pe ; (7.1)  2 mec + Eγ 0 = Eγ + Ee .


Из первого уравнения системы (7.1) следует, что pe = pγ 0 − pγ . Возводя обе части этого векторного равенства в квадрат, получим: pe2 = pγ20 + pγ2 − 2pγ 0 pγ cos θ . (7. 2) Соотношение (7.2) есть теорема косинусов, примененная к треугольнику OAB . Умножая обе части равенства (7.2) на c2 , получим: pe2c2 = Eγ20 + Eγ2 − 2Eγ 0 Eγ cos θ , т.е. Ee2 − me2c4 = Eγ20 + Eγ2 − 2Eγ 0 Eγ cos θ . После этого, вместо системы трех уравнений (7.1), будем иметь систему из двух уравнений, в которую не входит угол вылета электрона ϕ : Ee2 − me2c4 = Eγ20 + Eγ2 − 2Eγ 0Eγ cos θ; . (7. 3)  2 Ee − me c = Eγ 0 − Eγ . Поскольку Ee2 − me2c4 = ( Ee − me c2 )( Ee + me c2 ) , то с учетом вто-

рого уравнения получаем: Ee2 − me2c4 = ( Eγ 0 − Eγ ) ( Ee + me c2 ) . Теперь систему уравнений (7. 3) можно записать в виде:  Eγ20 + Eγ2 − 2Eγ 0 Eγ cos θ 2 E + m c = ;  e e Eγ 0 − Eγ .   2 Ee − me c = Eγ 0 − Eγ ; Вычитая в (7.4) из первого уравнения второе, получим:

(7. 4)

2

2me c2 ( Eγ 0 − Eγ ) = Eγ20 + Eγ2 − 2Eγ 0Eγ cos θ − ( Eγ 0 − Eγ ) .

(7.5)

После приведения подобных членов в квадратном уравнении (7.5) величины Eγ20 и Eγ2 сокращаются, и получается уравнение первого порядка относительно Eγ : me c2 ( Eγ 0 − Eγ ) = Eγ 0 Eγ (1 − cos θ ) .

Решая это уравнение, находим значение Eγ : 92

E γ0

Eγ ( θ ) =

.

E γ0

(7. 6)

(1 − cos θ ) m e c2 Поскольку энергия γ -кванта связана с его частотой соотношением Eγ = ℏω ( ℏ – постоянная Планка), то из формулы (7.6) получаем: 1+

ω ( θ) =

Eγ ( θ ) ℏ

ω0

= 1+

.

Eγ0

(7.7)

(1 − cos θ) me c2 Это и есть формула Комптона, которая позволяет определить энергию (частоту) γ -кванта после рассеяния, если известен угол рассеяния 0 ≤ θ ≤ π . Эффект изменения частоты γ -кванта при рассеянии на свободном электроне был обнаружен американским физиком Артуром Комптоном в 1923 г. для рентгеновского излучения. В 1927 г. Комптон получил за это открытие Нобелевскую премию по физике. Формула Комптона выглядит особенно просто, если энергию гамма-кванта измерять в единицах mec2 :

ε γ0 = Eγ 0 / mec2 и ε γ = Eγ / mec2 , где mec2 ≈ 0.5 МэВ – энергия покоя электрона. Тогда формула (7.6) будет выглядеть так: ε γ0 εγ ( θ) = . (7.8) 1 + ε γ0 ⋅ (1 − cos θ ) Проведем анализ приведенной энергии γ -кванта ε γ в зависимости от его приведенной начальной энергии ε γ 0 . Значение величины ε γ ( θ ) наибольшее при рассеянии вперед

( θ = 0) .

Наименьшее

значение ε γ при рассеянии назад, когда θ = π :

(ε )

γ max

= ε γ ( θ = 0 ) = ε γ0 ; ( ε γ )min = ε γ ( θ = π ) =

93

ε γ0 1 + 2ε γ0

.

(7.9)

Таким образом, энергия гамма-кванта после рассеяния на свободном электроне изменяется в пределах: εγ0 ≤ ε γ ( θ ) ≤ ε γ0 ; (7.10) ( εγ = Eγ / me c2 ) . 1 + 2ε γ 0 Из второй формулы (7.9) видим, что при достаточно больших энергиях ε γ 0 >> 1 , т.е. когда Eγ 0 >> me c2 ≈ 0.5 МэВ , при рассеянии назад

(θ = π)

(ε )

≈ 1/ 2 , т.е. Eγ ( θ = π ) ≈ 0.25 МэВ . Уменьшение энергии

γ min

гамма-квант всегда имеет одну и ту же энергию

фотона после комптоновского рассеяния называется комптоновским сдвигом. Формулу Комптона (7.7) можно записать не для частоты гамма-кванта после рассеяния, а для длины его волны λ = cT = 2πc / ω . Поскольку ω = 2πc / λ , (7.11) то, подставляя (7.11) в (7.7), получим: 1 1 = . λ λ + 2πℏ 1 − cos θ ( ) 0 me c Из последней формулы следует простое выражение для длины волны γ -кванта после рассеяния: λ = λ0 + λ K (1 − cos θ ) .

(7.12)

Здесь λ0 , λ – длина волны γ -кванта до и после рассеяния соответственно. Величина λ K – есть так называемая комптоновская длина волны электрона: 2πℏ (7.13) λK = = 2.4 ⋅ 10−12 м . me c При длине волны λ = λK энергия гамма-кванта

(E )

γ K

= 2πℏc / λ K = me c2 . Таким образом, энергия γ -кванта с

комптоновской длиной волны равна энергии покоя электрона: (Eγ )K = 0.5 МэВ . 94

Из формулы (7.12) видно, что длина волны γ -кванта после рассеяния всегда больше его длины волны до рассеяния: λ ≥ λ0 . При рассеянии на свободном электроне длина волны γ -кванта изменяется на величину ∆λ ( θ ) = λ − λ0 = λ K ⋅ (1 − cos θ ) . (7.14) При рассеянии вперед

( θ = 0)

длина волны не изменяется:

∆λ ( θ = 0 ) = 0 . При рассеянии назад ( θ = π ) длина волны γ кванта увеличивается на удвоенную комптоновскую длину волны: ∆λ ( θ = π ) = 2λ K = 4.8 ⋅ 10−12 м .

Зная зависимость Eγ ( θ ) , из второго уравнения системы (7.1) можно получить зависимость кинетической энергии электрона отдачи от угла рассеяния γ - кванта: Te ( θ ) = Ee ( θ ) − me c2 = Eγ 0 − Eγ ( θ ) .

(7.15)

Подставляя в (7.15) значение Eγ ( θ ) , определенное формулой (7. 6), получим: E γ0

(1 − cos θ ) m e c2 (7.16) Te ( θ ) = Eγ 0 . E γ0 1+ (1 − cos θ ) me c2 Поскольку Eγ0 = 2πℏc / λ0 , то формулу (7.16) можно записать в виде Te ( θ ) =

λ K ⋅ (1 − cos θ ) λ0 + λ K ⋅ (1 − cos θ )

Eγ 0 .

(7. 17)

Следует отметить ту огромную роль, которую оказал эффект Комптона на развитие квантовой механики и доказательство корпускулярно-волнового дуализма, присущего как микрочастицам, так и γ -квантам (свету). Опыты показали, что у микрочастиц имеет место сочетание корпускулярных и волновых свойств, не объяснимое с точки зрения обычных наглядных представлений классической физики. Вы95

ражаясь точнее, в некоторых условиях микрочастицы ведут себя как корпускулы, а в других условиях те же микрочастицы обнаруживают чисто волновые свойства. Но самое удивительное состоит в том, что в некоторых опытах и корпускулярные, и волновые свойства микрочастиц проявляются одновременно. Корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) свойств физических объектов был первоначально обнаружен в опытах со световыми квантами. Волновые свойства электромагнитного поля были достаточно хорошо известны и многократно проверены на эксперименте (интерференция и дифракция волн). Например, корпускулярная теория Ньютона могла успешно конкурировать с волновой теорией света в объяснении таких явлений, как прямолинейное распространение и преломление света. Однако эта теория была полностью оставлена после открытия интерференции, дифракции и двойного лучепреломления. Что же касается корпускулярных свойств электромагнитного поля, то они особенно наглядно проявляются именно в эффекте Комптона, который допускает только одну, корпускулярную интерпретацию. Как уже отмечалось выше, эффект Комптона – это процесс рассеяния электромагнитного излучения (гаммаизлучения) на свободном электроне. Процесс рассеяния электромагнитных волн на свободных электронах, если рассматривать его по классической теории, должен выглядеть так. Падающая волна с



частотой ω0 и напряженностью E = Eo cos(kr − ω0 t) приводит электрон в колебательное движение. Если электрон находится в

начале координат, то на него действует сила F = eEo cos(ω0 t) и электрон получает ускорение w ~ cos ω0 t . Поэтому он сам становится излучателем и рассеивает волны в различных направлениях. Вторая производная дипольного момента,
ɺɺ

d = ew = ( e2 / me ) Eo cos(ω0 t) , определяет интенсивность излучения электрона в различных направлениях. При этом, в каком бы направлении ни распространялась рассеянная волна, её частота непременно должна совпадать с частотой падающих на электрон электромагнитных волн: ω = ω0 . Данный тип рассеяния был объяснен английским физиком Дж. Дж. Томпсоном. Таким образом, в 96

классической электродинамике рассеяние электромагнитной волны на заряде (томпсоновское рассеяние) не сопровождается изменением её частоты. Однако опыты Комптона показали совершенно иное. Вопервых, частота рассеянных волн не остается равной частоте падающего излучения, а зависит от угла рассеяния θ . Частота рассеянного излучения уменьшается с увеличением угла рассеяния θ . Вовторых, чем больше частота падающего излучения ω0 , тем сильнее уменьшается частота ω рассеянного излучения по сравнению с падающим (при данном угле рассеяния θ ). В рамках классической электродинамики объяснить эффект Комптона невозможно, поскольку с точки зрения классической физики электромагнитная волна является непрерывным объектом и в результате рассеяния на свободных электронах изменять свою длину волны не должна. Однако полученный результат легко объясняется в свете квантовых представлений. Рассеяние рентгеновых лучей (гаммаквантов) на свободном электроне следует рассматривать как столкновение двух частиц. Одну из них – электрон – надо считать покоящейся до столкновения, а другую – гамма-квант (фотон большой энергии) – как обычную материальную частицу, обладающую энергией и импульсом. Другими словами, гамма-квант нужно рассматривать не как электромагнитную волну с частотой ω , а как частицу, имеющую массу равную нулю и движущуюся с постоянной скоростью света. Энергия гамма-кванта не может зависеть от скорости – тогда все гамма-кванты имели бы одинаковую энергию. Поэтому их энергия и импульс зависят от частоты ω . Если встать на такую точку зрения, то для описания рассеяния гамма-кванта на электроне можно использовать законы сохранения энергии и импульса, так как система (квант + электрон) является замкнутой, что и было сделано выше. Сталкиваясь с электроном, квант передает ему некоторый импульс. За счет этого его собственный импульс и энергия уменьшаются. Поэтому частота рассеянного излучения становится меньше частоты падающего излучения (7.7). Формула (7.7) определяет зависимость частоты рассеянного излучения от угла рассеяния θ . Она полностью согласуется с опытом. Именно такая зависимость ω ( θ ) от угла рассеяния была обнаружена в опытах Комптона. Поэтому эффект Комптона является прямым 97

доказательством квантования электромагнитной волны, другими словами, подтверждает существование фотона и является ещё одним доказательством справедливости корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. Таким образом, волновая электромагнитная теория света Максвелла, успешно применявшаяся при рассмотрении широчайшего круга электромагнитных явлений, оказалась совершенно непригодной для объяснения ряда процессов, в которых проявлялась корпускулярная природа света. Создавшуюся ситуацию кратко можно охарактеризовать так: имеется дуализм свойств электромагнитного поля. Иногда свет проявляет волновую природу, иногда ведет себя как поток фотонов. Более того, комптоновская длина волны является тем характерным масштабом длин, когда классическая электродинамика становится непригодной. В этом можно убедиться, анализируя формулу (7.17), которая определяет энергию, передаваемую гаммаквантом покоящемуся электрону. При λ0 >> λ K кинетическая энергия электрона (при любых углах рассеяния гамма-кванта) оказывается малой, по сравнению с первичной энергий гамма-кванта: λ (7. 18) Te ( θ ) ≈ K (1 − cos θ ) Eγ0 << Eγ0 ; ( λ0 >> λ K ) . λ0 Наоборот, при λ0 ~ λ K , энергия, передаваемая электрону, оказывается значительной, порядка Eγ0 . При λ0 >> λ K , Te ( θ ) ≈ Eγ0 . Важность этого вывода состоит, в частности в том, что он имеет вполне общий характер. При λ0 >> λ K в соответствии с формулой (7.14) относительное изменение длины волны ∆λ λ K (7.19) = ⋅ (1 − cos θ ) << 1 , λ0 λ0 мало. Следовательно, ∆λ << λ0 . Малой оказывается и энергия (7.18), передаваемая свободному электрону. Поэтому рассеяние света достаточно хорошо описывается классической теорией. По мере приближения λ0 к λ K (жесткие рентгеновские лучи и γ лучи) классическое рассеяние заменяется комптон-эффектом. Явление приобретает явно выраженный квантовый характер, и клас98

сическое рассмотрение явления рассеяния становится совершенно невозможным. В заключение этого раздела отметим, что из системы уравнений (7.11) можно определить кинетическую энергию электрона после его взаимодействия с γ -квантом как функцию угла вылета электрона отдачи (см. задачу 7.1): Eγ20 cos2 ϕ 2 2 . (7.20) Te ( ϕ ) = Ee − me c = 2me c me c2 ( me c2 + 2Eγ 0 ) + Eγ20 sin2 ϕ Формула (7.20) выглядит значительно проще, если все энергии измерять в единицах me c2 : Te ( cos ϕ ) = 2

ε2γ 0 cos2 ϕ 2

(1 + ε ) γ0

− ε2γ 0 cos2 ϕ

.

(7.21)

2

Здесь Te = Te / me c , ε γ 0 = Eγ 0 / me c2 . Если γ -квант не рассеивается ( θ → 0 ) , то электрон остается в покое и его кинетическая энергия равна нулю. Из формул (7.21) видно, что при этом ϕ → π / 2 . При рассеянии γ -кванта назад ( θ = π ) , электрон приобретает наибольшую энергию, что соответствует значению ϕ = 0 , т.е. , “лобовому” столкновению. После лобового столкновения электрон начинает двигаться в направлении первоначального распространения γ -кванта. Его приведенная энергия ε (7.22) ( Te )max = Te ( ϕ = 0) = 2εγ0 1 + 2γ0ε . γ0 Если энергия γ -кванта достаточно велика ( ε γ 0 >> 1) , то из формулы (7.22) следует, что

(T )

e max

≈ ε γ 0 , т.е. в этом случае при лобо-

вом столкновении практически вся энергия γ -кванта превращается в кинетическую энергию электрона отдачи.

99

Тема 8 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ Пусть на покоящуюся частицу массой m2 налетает частица массой m1 . Рассмотрим процесс упругого столкновения частиц. Упругим называется такое столкновение, при котором не меняется внутреннее состояние частиц. Поэтому их энергия до и после взаимодействия связана с импульсом соотношением: E = c p2 + m2 c2 ; т.е. p2c2 = E 2 − m 2c4 . (8.1)
Пусть p10 , E10 – импульс и энергия частицы с массой m1 (первой
частицы) до столкновения; p1 , E1 – импульс и энергия первой ча
стицы после столкновения; p20 = 0 , E20 = m2 c2 – импульс и энер
гия покоящейся (второй частицы) до столкновения; p2 , E2 – импульс и энергия второй частицы после столкновения. Поскольку рассматриваемая система является замкнутой, то имеют место законы сохранения импульса и энергии – полный импульс и полная энергия системы не изменяются в процессе взаимодействия:

Pнач = Pкон ; (8.2)  Eнач = Eкон .

Здесь Pнач = p10 , Eнач = E10 + m2c2 – импульс и энергия механи


ческой системы до взаимодействия; Pкон = p1 + p2 , Eкон = E1 + E2 – импульс и энергия механической системы после взаимодействия, т.е. спустя некоторое время после взаимодействия между частицами, когда расстояние между частицами становится таким, что взаимодействие между ними практически отсутствует. С учетом сказанного, систему уравнений (8.2) можно записать так:


p10 = p1 + p2 ; (8.3)  2 E10 + m2c = E1 + E2 . (Здесь и в дальнейшем индекс 0 относится к импульсам и энергиям частиц до рассеяния.)

100

Из первого (векторного) уравнения системы (8.3) следует,
что вектор p10 лежит в той же плоскости, в которой лежат вектора




p1 и p2 , т.е. все три вектора p10 , p1 и p2 лежат в одной плоскости. Поэтому векторная диаграмма для импульсов частиц имеет вид, изображенный на рис.8.1.

A


p1

θ1

O

θ2


p10

θ2

B


p2 Рис.8.1. Векторная диаграмма импульсов при столкновении движущейся частицы m1 с покоящейся частицей

m2

На диаграмме отмечены два угла: θ1 и θ2 : θ1 – угол между направлением движения первой частицы до взаимодействия и направлением её движения после столкновения, т.е. угол рассеяния первой частицы; θ2 – угол между первоначальной траекторией первой частицы и направлением движения второй частицы после столкновения. 1. Определение энергии покоящейся частицы m2 после столкновения Наиболее просто вычислить значение кинетической энергии T2 – второй покоящейся частицы, после взаимодействия, считая угол θ2 известным. Из первого уравнения системы (8.3) следу


ет, что p1 = p10 − p2 . Возводя это равенство в квадрат, получим: 2 p12 = p10 + p22 − 2p10 p2 cos θ2 .

101

(8.4)



Здесь учтено, что ( p10 , p2 ) = p10 p2 cos θ2 . Формула (8.4) есть не что иное, как теорема косинусов, примененная к треугольнику OAB векторной диаграммы (см.рис.8.1). Умножая обе части равенства на c2 , и учитывая, что в соответствии с (8.1) 2 c2p12 = E12 − m12c4 ; c2p10 = E102 − m12c4 ; c2p22 = E22 − m22c4 , (8.5) получим следующую систему уравнений: E12 = E102 + E22 − m22c4 − 2c2p10 p2 cos θ2 ; (8.6)  2 E1 = E10 + m2 c − E2 ;

(слагаемые m12 c4 в правой и левой частях первого уравнения взаимно уничтожились). Подставляя значение E1 , определяемое вторым уравнением в первое, после возведения в квадрат и приведения подобных членов, получим: 2

c2p10 p2 cos θ2 = m2c2E2 + E10 E2 − ( m2 c2 ) − E10 m2c2 .

(8.7)

Учитывая, что 2

m2c2 E2 + E10 E2 − ( m2c2 ) − E10 m2 c2 = ( E10 + m2 c2 )( E2 − m2c2 ) ,

получаем: cos θ2 =

(E

10

+ m2c2 )( E2 − m2c2 ) c2p10 p2

.

(8.8)

Поскольку cp10 = E102 − m12c4 ;

E2 − m2 c2 = cp2

E2 − m2c2 E22 − m22c4

=

E2 − m2c2 , E2 + m2c2

находим: cos θ2 =

(E

10

+ m 2 c2 )

E102 − m12c4

E2 − m2c2 . E2 + m2 c2

(8.9)

Формула (8.9) позволяет определить значение угла θ2 , если известно значение полной энергии второй частицы после взаимодействия, т.е. определить значение θ2 ( E2 ) , поскольку величины E10 , m1 и m2 известны. Чтобы определить значение полной энергии второй частицы E2 , считая известным угол θ2 , нужно решить 102

уравнение (8.9) относительно E2 . Для этого возведем обе части (8.9) в квадрат. Тогда получим:

(E

10

2

2

− m12 c4 )( E2 + m2c2 ) cos2 θ2 = ( E10 + m2c2 ) ( E2 − m2c2 ) .(8.10)

Важно, что уравнение (8.10) является линейным уравнением относительно E2 . Поэтому его решение единственно и определяется сравнительно простым выражением: E2 = m2 c

2

(E (E

2

10

+ m2 c2 ) + ( E102 − m12 c4 ) cos2 θ2

10

+ m2c2 ) − ( E102 − m12 c4 ) cos2 θ2

2

.

(8.11)

Выражение (8.11) можно записать в более компактном виде: E2

2

10

+ k ) + ( E102 − 1) cos2 θ2

10

+ k ) − ( E102 − 1) cos2 θ2

(E = (E

2

.

(8.12)

Здесь E10 – полная энергия налетающей частицы в единицах её энергии покоя m1c2 ; E2 – полная энергия покоящейся частицы в единицах её энергии покоя m2 c2 ; k – отношение массы покоящейся частицы m2 к массе налетающей частицы m1 : E E2 m ; (8.13) E10 = 10 2 ; E2 = k= 2. m1c m2 c2 m1 Величины E10 и E2 называются приведенными энергиями (относительно энергии их покоя). Как уже отмечалось ранее, на эксперименте обычно измеряют не полную, а кинетическую энергию частицы: m2c2 ( T10 + 2m1c2 ) cos2 θ2 . (8.14) T2 ( θ2 ) = 2T10 2 ( T10 + m1c2 + m2c2 ) − T10 ( T10 + 2m1c2 ) cos2 θ2 При написании формулы (8.14) учтено, что E10 = T10 + m1c2 . В терминах приведенных значений для кинетических энергий T T T10 = 10 2 ; T2 = 2 2 , m1c m2 c формула (8.14) будет выглядеть так: 103

T2 ( θ2 ) = 2T10

(T (T + 1 + k )

10 2

10

+ 2) cos2 θ2 − T10 ( T10 + 2) cos2 θ2

.

(8.15)

Общая формула (8.15) позволяет определить значение приведенной кинетической энергии второй частицы через её угол отклонения θ2 ; приведенную кинетическую энергию налетающей частицы T10 и массы частиц m1 и m2 , значения которых могут быть произвольными. Важной особенностью полученного выражения (8.15) является однозначная связь между углом рассеяния второй частицы и приобретенной ею при этом энергией. Рассмотрим простой частный случай, когда налетающей частицей является фотон ( m1 = 0, T10 = Eγ 0 ) , а покоящейся части-

( m2

цей является электрон

= me ; T2 = Te ) . Обозначая в формуле

(8.14) θ1 = θ и θ2 = ϕ , получим: Te ( ϕ ) = 2me c

E 2 γ 0 cos2 ϕ

2

me c2 ( me c2 + 2Eγ 0 ) + E 2 γ 0 sin2 ϕ

.

(8.16)

Это в точности совпадает с выражением (7.19) для кинетической энергии электрона отдачи при взаимодействии его с γ -квантом с начальной энергией Eγ 0 . Определив энергию отдачи покоящейся частицы, из закона сохранения энергии T1 ( θ2 ) = T10 − T2 ( θ2 ) можно определить кинетическую энергию первой частицы после рассеяния: T1 = T10

(T

10

2

+ m1c + m2c

2

2

) − {T

2 10

+ 2T10 ( m1 + m2 ) c + 4m1m2c 2

2T10 m2c + ( m1 + m2 ) c + T10 ( T10 + 2m1c 2

2

4

2

) sin

2

4

} cos

2

θ2

θ2

(8.17) Если ввести приведенные значения кинетических энергий первой частицы до и после взаимодействия T10 = T10 / m1c2 и T1 = T1 / m1c2 , то формула (8.17) преобразуется к виду:

104

T1 ( θ2 ) = T10

(T

2

10

+ 1 + k ) − ( T10 + 2k )( T10 + 2) cos2 θ2

(T

10

2

+ 1 + k ) − T10 ( T10 + 2) cos2 θ2

.

(8.18)

Формулы (8.17), (8.18) позволяют определить энергию первой частицы, если известен угол рассеяния θ2 второй частицы. Если вторая частица отсутствует ( m2 = 0 ) , то k = 0 и из формулы (8.18) получаем, что энергия первой частицы остается неизменной ( T1 ≡ T10 ) , так как нет объекта для её взаимодействия. Формулы (8.15) и (8.18) существенно упрощаются, если массы обеих частиц одинаковы. Полагая в (8.15) и (8.18) m1 = m2 = m , т.е. k = 1 , получаем ( T10 = T10 / mc2 ) : T2 ( θ2 ) =

2T10 T2 = cos2 θ2 , 2 2 mc 2 + T10 sin θ2

( m1

= m2 ) ;

(8.19)

T10 + 2 T1 = T10 sin2 θ2 , ( m1 = m2 ) . (8.20) 2 mc 2 + T10 sin2 θ2 Непосредственной проверкой легко убедиться, что сумма величин (8.19) и (8.20) равна T10 . Из формулы (8.15) видно, что с уменьшением угла θ2 , когда cos θ2 увеличивается, числитель формулы (8.15) возрастает, а знаменатель уменьшается. Поэтому значение энергии T2 возрастает с уменьшением θ2 . Если первая частица пролетает на очень большом расстоянии от покоящейся частицы, то взаимодействие между ними практически отсутствует и кинетическая энергия покоящейся частицы после взаимодействия T2 = 0 . Из формулы (8.15) видно, что это возможно при условии, что cos θ2 = 0 , т.е. θ2 = π / 2 . Наибольшее значение покоящаяся частица получает при T1 ( θ2 ) =

лобовом столкновении ( θ2 = 0 ) , когда после столкновения вторая частица m2 движется в направлении движения первой частицы до столкновения. Следовательно, угол θ2 может изменяться в пределах: 0 ≤ θ2 ≤ π / 2 . (8.21) 105

2. Лобовое столкновение частиц Наибольший интерес представляет случай лобового столкновения частиц, когда после столкновения обе частицы движутся вдоль оси x . При этом вторая частица после столкновения может двигаться только в положительном направлении оси OX , т.е. p2x > 0 , что выражает неравенство (8.21). Что же касается первой частицы, то значение p1x может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Всё зависит от соотношения между массами частиц. Лобовое столкновение интересно тем, что при этом происходит наибольшая передача энергии от движущейся частицы к покоящейся частице. Следовательно, возможно определить зависимость наибольшей энергии, которая теряет налетающая частица в зависимости от масс частиц m1 , m2 и начальной энергии налетающей частицы T10 . Это дает возможность достаточно просто и наглядно проанализировать принципиально новые релятивистские эффекты при столкновении частиц, по сравнению с результатами классической ньютоновской механики. При лобовом столкновении θ2 = 0 величина T2 достигает наибольшего значения. Частица m1 будет иметь при этом минимальную энергию. Полагая в (8.18) θ2 = 0 , получим: 2

(T )

1 min

= T1 ( θ2

(1 − k ) = 0 ) = T10 . 2 2kT10 + (1 + k )

(8.22)

Таким образом, величина максимальной энергии, которую теряет движущаяся частица при лобовом столкновении с покоящейся частицей, будет определяться выражением: (8.23) ( ∆T1 )max = T10 − ( T1 )min = 2T10k T10 + 2 2 . 2kT10 + (1 + k ) Если частицы имеют одинаковую массу ( m1 = m2 = m ) , т.е. k = 1 , то из общей формулы (8.23) получаем: T +2 = T10 , ( m1 = m2 = m ) . (8.24) ( ∆T1 )max = T10 10 T10 + 2 106

Из

формул

(8.19)

и

(8.20)

следует,

что

при

θ2 = 0

T2 ( θ2 = 0; m1 = m2 = m ) = T10 и T1 ( θ2 ; m1 = m2 = m ) = 0 , что находится в полном согласии с (8.24). Таким образом, как и в нерелятивистской механике при лобовом столкновении частиц одинаковой массы, налетающая частица теряет всю свою кинетическую энергию и останавливается. Покоящаяся частица приобретает энергию T2 = T10 и начинает двигаться вдоль оси OX со скоростью первой частицы, т.е. частицы “обмениваются скоростями”. Относительная доля энергии, теряемая налетающей частицей при лобовом столкновении ∆T ( θ = 0 ) (8.25) 100 % . δ1 = 1 2 T10 Подставляя в (8.25) выражение (8.23), получим: T10 + 2 (8.26) δ1 = 2k 100 % . 2 2kT10 + (1 + k ) Приступим к анализу потерь энергии первой частицей при лобовом столкновении.

Нерелятивистский случай. Произвольные массы m1 и m2 Проанализируем полученный общий результат (8.24) в нерелятивистском случае, когда скорость налетающей частицы v10 << c , т.е. T10 ≈ m1v12 / 2 << m1c2 . В этом случае из общей формулы (8.23) получаем хорошо известный результат классической механики:

( ∆T1 )max

=

4k 2

(1 + k )

T10 =

4m1 m2 2

( m1 + m2 )

T10 ,

( v10

<< c ) .

(8.27)

Рассмотрим три случая. a) Масса налетающей частицы много меньше массы покоящейся частицы: m1 << m2 , т.е. k >> 1 . Тогда из формулы (8.27) получаем: m 4 ∆T1max ≈ T10 = 4 1 T10 << T10 , ( v10 << c; m1 << m2 ) . (8.28a) k m2 107

Следовательно, легкая нерелятивистская налетающая частица теряет лишь малую часть своей первоначальной энергии. b). Масса налетающей частицы равна массе покоящейся частицы: m1 = m2 , т.е. k = 1 . В этом случае ∆T1max = T10 , (8.28b) ( v10 << c; m1 = m2 ) . Следовательно, при лобовом столкновении нерелятивистских частиц одинаковой массы, налетающая частица теряет всю свою энергию и останавливается. Покоящаяся частица приобретает энергию T10 и начинает двигаться со скоростью v10 (частицы обмениваются скоростями). Как мы видели выше, аналогичная картина имеет место и при произвольной энергии налетающей частицы. c). Масса налетающей частицы много больше массы покоящейся частицы: m1 >> m2 , т.е. k << 1 . В этом случае из формулы (8.28) находим: m ∆T1max ≈ 4kT10 = 4 2 T10 << T10 , ( v10 << c; m1 >> m2 ) . (8.28c) m1 Следовательно, при лобовом столкновении нерелятивистской тяжелой частицы с покоящейся легкой частицей, налетающая частица теряет незначительную часть своей начальной энергии. Рассмотрим простой пример. Пусть на покоящийся электрон массой m2 = me налетает протон массой m1 = mp . Энер-

гия покоя электрона mec2 ≈ 0.5 МэВ . Масса протона примерно в 2000 раз (точнее, в 1836 раз) больше массы электрона. Поэтому энергия покоя протона mp c2 ≈ 1000 МэВ . Если кинетическая энергия протона Tp0 << 1000 МэВ , то его можно рассматривать как нерелятивистскую налетающую частицу. В этом случае, в соответствие с формулой (8.29a) Tp 0 me Tp 0 ≈ . ( ∆Tp )max ≈ 4 m 500 p Следовательно, нерелятивистский протон, при лобовом столкновении с покоящимся электроном может потерять только ~ 1/ 500 часть своей начальной энергии. 108

Релятивистский случай Ситуация существенно изменяется, если скорость налетаv1 ~ c , т.е. ющей частицы сравнима со скоростью света T10 ~ m1c2 . Случай частиц равных масс был уже рассмотрен выше: первая частица (независимо от её энергии) останавливается, а вторая частица начинает двигаться со скоростью первой частицы. Поэтому представляет интерес рассмотреть те случаи, когда частицы имеют разные массы. a). Легкая частица налетает на покоящуюся тяжелую частицу: m1 << m2 , k >> 1 . (8.29) В классической механике, легкая частица, согласно формуле (8.29a), могла бы при этом передать тяжелой частице только ничтожную часть своей начальной кинетической энергии: δ1 ≈ 4 / k << 1 . Однако такое положение не имеет места при релятивистской энергии налетающей частицы. При k >> 1 вместо точной формулы (8.26) можно использовать приближенную формулу,

полагая в (8.26)

2

(1 + k )

≈ k2 :

2T10 + 4 100 % . (8.30) ( m1 << m2 ; k >> 1) . 2T10 + k Из выражения (8.30) видно, что при выполнении неравенства T10 ≥ k >> 1 , т.е. когда кинетическая энергия первой частицы сравнима (или больше) с энергией покоя второй частицы (T10 / m2c2 ∼ 1) , δ1 =

T10 / m1c2 ~ m2 / m1 , ⇒ T10 ≥ m2c2 = m1c2

Теперь формула (8.30) запишется так: 2T10 δ1 ≈ 100 % . 2T10 + k

m2 >> m1c2 . m1

(8.31)

(8.32)

Если T10 >> k , т.е. T10 >> m2 c2 , то δ1 ~ 100 % . Из (8.31) следует, что кинетическая энергия легкой частицы при этом должна быть порядка энергии покоя тяжелой покоящейся частицы. Следует особо подчеркнуть, что условие (8.31) является более жестким, чем 109

условие релятивизма налетающей частицы T10 ~ m1c2 , так как m1 << m2 . Поэтому условие (8.31) означает, что легкая частица должна иметь ультрарелятивистскую энергию. Следовательно, легкая ультрарелятивистская частица ( T10 ≥ m2 c2 ) может передать покоящейся тяжелой частице почти всю свою энергию. Рассмотрим простой пример. Пусть на покоящийся протон массой m2 = mp налетает электрон массой m1 = me . Энергия покоя электрона mec2 ≈ 0.5 МэВ . Масса протона примерно в 2000 раз больше массы электрона. Поэтому k = mp / me ≈ 2000 . Электрон можно считать релятивистским, если

его

энергия

2

Te0 ~ 0.5 МэВ .

Энергия

покоя

протона

2

mp c ≈ 1000 МэВ >> me c . В рассматриваемой задаче формула

(8.26) запишется так: Te + 1 (8.33) 100 % . 4Te + 2000 Здесь Te – энергия электрона в МэВ . Рассмотрим два случая: 1. Начальная энергия электрона Te0 = 1МэВ , т.е. Te0 = 2 . Поэтому в этом случае пренебрегать единицей в числителе дроби нельзя. В результате получаем: 2 +1 δ1 ≈ 4 100 % ≈ 0.6 % . (8.34) 2000 Таким образом, хотя налетающий электрон и имеет релятивистскую энергию, относительная потеря энергии при лобовом столкновении с покоящимся протоном очень мала. 2.Начальная энергия электрона Te0 = 103 МэВ , т.е. δ1 = 4

Te0 ( МэВ ) = 2 ⋅ 103 .

В

рассматриваемом

случае

Te0 ( МэВ ) + 1 ≈ Te0 ( МэВ ) . Подставляя числовые данные в формулу (8.32), получим: 2000 δ1 ≈ 4 100 % ≈ 80 % . (8.35) 8000 + 2000

110

Таким образом, когда электрон имеет ультрарелятивистскую энергию, его относительные потери энергии могут быть очень значительными. b). Тяжелая частица налетает на покоящуюся легкую частицу: m1 >> m2 , k << 1 . (8.36) В классической механике, тяжелая частица, согласно формуле (8.29с), могла бы передать легкой частице только малую часть своей начальной кинетической энергии: δ1 ≈ 4m2 / m1 << 1 . Однако при очень больших энергиях налетающей частицы такое положение не имеет места. В рассматриваемом случае k = m2 / m1 >> 1 . Поэтому вместо точной формулы (8.26) можно использовать приближенную формулу T +2 δ1 ≈ 2k 10 100 % . (8.37) (k << 1) . 2kT10 + 1 Из формулы (8.37) видно, что, если T10 >> 1 и при этом ещё kT10 >> 1 , т.е. T10 m >> 1 , ⇒ 2 m1c m2 то

T10 >> m1c2

m1 >> m1c2 , m2

(8.38)

T10 100 % ≈ 100 % . (8.39) 2kT10 Следовательно, в отличие от результатов нерелятивистской механики, тяжелая частица очень большой энергии может передать почти всю свою энергию покоящейся легкой частице. Таким образом, например мезон или протон очень большой энергии может практически “остановиться” при лобовом столкновении с покоящимся электроном. Термин “очень большая энергия” в соответствии с неравенством (8.38) означает, что налетающая тяжелая частица должна обладать не просто релятивистской энергией ~ m1c2 , т.е. двигаться со скоростью порядка скорости света, а обладать энергией большей её энергии покоя в m1 / m2 >> 1 раз, т.е. речь идет о тяжелых частицах с ультрарелятивистской энергией. δ1 ≈ 2k

111

Остался не исследованным вопрос о зависимости энергии первой частицы от угла её рассеяния θ1 . Учитывая громоздкость получаемых выражений, вычисление зависимости T1 ( θ1 ) вынесено в приложение. Тема 9 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ В этом разделе мы решим две простые, но важные для понимания релятивистских эффектов задачи о движении частицы в однородных магнитном и электрическом полях. Уравнение движения релятивисткой частицы имеет тот же вид, что и в нерелятивистской механике:
dp
= F. (9.1) dt Все отличие уравнения (9.1) от уравнения движения в классической механике (второй закон Ньютона) состоит только в том, что значения импульса и энергии в (9.1) определяются теперь релятивистскими формулами:
mc2 mv
E= p= ; . (9.2) 1 − v 2 / c2 1 − v 2 / c2 Как уже отмечалось ранее, из формул (9.2) следует, что скорость частицы связана с её импульсом соотношением:


pc2 pc

pc2 v= , т.е. v = = . (9.3) E p2 c2 + m2 c4 p2 + m2 c2

(В классической механике p = mv .)
Величина F – сила Лоренца, которая состоит из двух частей – электрической и магнитной составляющих. Электрическая состав
ляющая определяется напряженностью электрического поля E и не зависит от скорости частицы. Магнитная составляющая опреде
ляется напряженность магнитного поля H и зависит от скорости частицы: 112




e
F ( t ) = eE ( t ) + v ( t ) , H ( t )  . (9.4) c С учетом последней формулы, уравнение движения (9.1) будет выглядеть так:

e

dp = eE + v, H  , (9.5) dt c где скорость частицы связана с её импульсом соотношением (9.3).

1. Движение частицы в однородном магнитном поле Пусть частица m с зарядом e > 0 начинает двигаться с
начальной скоростью v0 в однородном магнитном поле напря
женностью H0 . Вектор начальной скорости частицы перпендику

лярен к вектору напряженности поля: v0 ⊥ H0 .

y
v0

m

x z


H0


F0

Рис.9.1. Направление полей и положение частицы в начальный момент времени


Выберем ось Oz вдоль вектора H0 , а ось Ox вдоль векто
ра начальной скорости v0 . Начало координат поместим в точку нахождения частицы в начальный момент времени t = 0 (рис.9.1). В процессе движения на частицу действует только магнитная составляющая силы Лоренца. Поэтому уравнение движения (9.5) будет выглядеть так:
dp e

= v, H0  . (9.6) dt c 

113

В уравнение (9.6) входят одновременно как импульс частицы, так и её скорость, т.е. две неизвестные величины, связанные соотношением (9.3). Для решения уравнения (9.6) докажем, что при движении в магнитном поле энергия частицы, а следовательно, и величина её скорости не изменяются. Это связано с тем, что в магнитном поле сила Лоренца в любой момент времени перпендикулярна к скорости. Поэтому мощность магнитной составляющей силы Лоренца

равна нулю: N = (F, v) = 0 и магнитная составляющая силы Лоренца не совершает работы. Для доказательства умножим обе части уравнения (9.6)
скалярно на вектор скорости v . Тогда получим:


dp e



dp   v = v v, H0  , т.е. v = 0. (9.7) dt c 

dt   0

Докажем, что величина v ( dp / dt ) есть производная от энергии частицы E , которая определяется второй из формул (9.2). Проще всего это сделать, если учесть, что pi2 = − m2 c2 . Следовательно,

(

)

d ( pi2 ) / dt = 0 . Здесь pi – четырехвектор энергии импульса:

pi = ( p; iE / c ) и поэтому pi2 = p2 − E2 / c2 . С учетом сказанного, получим, что
dpi2 d 
2 E2 
dp 2E dE = − = 0, т.е. p − 2  = 2p dt dt  c  dt c2 dt

pc2 dp dE = . E dt dt

Поскольку в соответствии с первой из формул (9.3) pc2 / E = v , то

dp dE v = . (9.8) dt dt Следовательно, с учетом (9.8) из (9.7) имеем: dE = 0, т.е. E = const . (9.9) dt

114

Соотношение (9.9) означает, что в любой момент времени в процессе движения энергия частицы будет равна её энергии в начальный момент времени, т.е. mc2 E ( t ) = E0 = . (9.10) 1 − v02 / c2 Тот факт, что при движении в магнитном поле энергия частицы не изменяется, радикально упрощает первую формулу (9.3), из которой получаем, что при движении в магнитном поле m
E

p = 20 v = m ∗v , где m ∗ = . (9.11) c 1 − v02 / c2 Таким образом, импульс частицы при движении в магнитном поле оказывается пропорционален её скорости так же, как это имеет место в нерелятивистской механике. Вся разница состоит лишь в том, что нужно сделать замену: m ⇒ m∗ . Поэтому задача о движении релятивисткой частицы в магнитном поле практически ни чем не отличается от задачи о движении в магнитном поле нерелятивистской частицы. С учетом соотношения (9.11) уравнение движения (9.6) принимает вид:


ex e x e x

dv e

dv e m∗ = v, H0  , т.е. = vx vy vz . (9.12) dt c dt cm ∗ 0 0 H0 Проектируя уравнение (9.12) на декартовы оси, получим: vɺ x = ωvy ;  (9.13) vɺ y = −ωvx ; . vɺ = 0.  z Здесь eH0 ω= ; (9.14) [ω] = 1/ с . cm∗ Начальные условия для скорости частицы в рассматриваемой задаче имеют вид: vx ( t = 0 ) = v0 ; vy ( t = 0 ) = 0 ; vz ( t = 0 ) = 0 . (9.15) 115

Из третьего уравнения системы (9.13) и соответствующего начального условия для vz следует, что vz = const = 0 . Это означает, что частица будет двигаться в плоскости XoY . Поэтому для определения величин vx ( t ) и vy ( t ) остаются два уравнения: vɺ x = ωvy ;  vɺ y = −ωvx ; . (9.16)  vx ( t = 0 ) = v0 ; v ( t = 0 ) = 0.  y Дифференцируя первое уравнение (9.16), с учётом второго уравнения, получаем: ɺɺx = ωvɺ y , т.е. ɺɺx + ω2vx = 0 . v v

Решая это уравнение и, учитывая, что vy = vɺ x / ω , находим: vx ( t ) = C1 cos ωt + C2 sin ωt ; vy ( t ) = −C1 sin ωt + C2 cos ωt . (9.17)

Неизвестные константы C1 и C2 определяем из начальных условий (9.10): vx ( t = 0 ) = C1 = v0 ; , т.е. C1 = v0 , C2 = 0 .  vy ( t = 0 ) = C2 = 0; Окончательно для проекций скорости частицы на оси, получаем: vx ( t ) = v0 cos ωt ; vy ( t ) = −v0 sin ωt . (9.18) Из (9.18) следует, что v2 ( t ) = vx2 ( t ) + vy2 ( t ) = v02 . Как и должно быть, при движении в магнитном поле величина скорости не изменяется и равна начальной скорости частицы. Изменяется только направление движения частицы. Теперь, зная зависимость проекций вектора скорости от времени, можно найти закон движения из двух уравнений:  dx  dt = vx = v0 cos ωt; ,   dy = v = −v sin ωt; y 0  dt т.е. 116

t  v0 x t = v sin ωt; ( )  0 ∫ cos ωt dt = ω  0 (9.19)  t y ( t ) = −v sin ωt dt = − v0 ( cos ωt − 1) . 0∫  ω 0  Полученные выражения (9.19) для x ( t ) и y ( t ) можно записать так: v v x ( t ) = ( v0 / ω) ⋅ sin ωt ; y ( t ) + 0 = − 0 cos ωt . (9.20) ω ω Возводя каждое из выражений (9.20) в квадрат и складывая, получим уравнение траектории: 2

2

v  eH0   v   x2 +  y + 0  =  0  , (9.21) ω = . cm ∗  ω  ω  Это уравнение окружности, лежащей в нижней полуплоскости с центром в точке с координатами ( x0 = 0; y0 = −v0 / ω) и радиусом R=

v0 v0 cm ∗ R0 = = , 2 ω eH0 1 − ( v0 / c )

где

R0 =

mv0 c . eH0

R

Рис.9.2 Траектория движения релятивистской частицы в однородном магнитном поле.

117

(9.22)

При v0 << c получаем, что R = R0 . Следовательно, величина R0
есть радиус вращения нерелятивистской частицы в поле H0 . Видим, что R > R0 . При приближении скорости частицы к скорости света радиус окружности сильно возрастает. На рис. 9.2 представлена траектория движения частицы. Радиус окружности принят равным трем: R = 3 . Следует отметить, что при решении этой задачи не учитывались потери энергии на излучение электромагнитных волн. Учет уменьшения механической энергии за счет излучения приводит к уменьшению “радиуса” окружности экспоненциально со временем. 2. Движение частицы в однородном электрическом поле Пусть частица массой m и зарядом e > 0 начинает дви
гаться с начальным импульсом p0 в однородном электрическом
поле с напряженностью Ε0 . Вектор начальной скорости (импульса)

частицы перпендикулярен к вектору напряженности поля: p0 ⊥ E0 .
Выберем ось Ox вдоль вектора Ε0 , а ось Oy вдоль вектора
начальной скорости (импульса) p0 . Начало координат поместим в точку нахождения частицы в начальный момент времени (смотри рис.9.3).


Ε0 = ( Ε0 ; 0;0 ) , p0 = ( 0; p0 ;0 ) , F0 = ( F0 ;0;0 ) .


p (t)

y


F0


p0 m, e O


E0

x

Рис.9.3. Изображение движения частицы в однородном электрическом поле

118

Понятно, что при таком выборе осей, движение частицы будет происходить в плоскости XoY . В процессе движения на частицу действует постоянная электрическая составляющая силы Ло

ренца F0 = eΕ0 , направленная по оси Ox . Уравнение движения частицы (9.5) теперь запишется так:

dp = eΕ0 . (9.23) dt Начальные условия: x (0) = 0 ; y (0) = 0 ;

px ( 0 ) = 0 ;

py ( 0 ) = p0 .

(9.24)

При решении уравнения движения нужно использовать релятивистские формулы, связывающие энергию частицу с её импульсом (функция Гамильтона) E = p 2 c2 + m 2 c 4 , (9.25) и формулу (9.3), связывающую скорость частицы с её импульсом. В начальный момент времени, при заданном значении им пульса p0 , начальная энергия и скорость частицы будут определяться выражениями:
p0 c
E0 = c p02 + m2 c2 ; v0 = . (9.26) p02 + m 2c2 Проектируя уравнение (9.23) на оси, легко находим зависимость величин px ( t ) и py ( t ) от времени: px ( t ) = eΕ0 t; pɺ x = eE0 ; , ⇒ . (9.27)  ɺ py = p0 ; py = 0; Таким образом, проекция импульса px ( t ) на ось Ox монотонно возрастает с увеличением времени и может принимать любые, сколь угодно большие значения. Проекция импульса py ( t ) остает-

ся все время неизменной, равной величине импульса частицы в начальный момент времени. В ньютоновской механике, когда импульс пропорционален

скорости ( p = mv ) , зависимость скорости от времени такая же, 119

как зависимость импульса. При этом казалось совершенно естественным, что если сила действует только вдоль оси Ox , то движение вдоль оси Oy будет равномерным, в то время как движение вдоль оси Ox будет происходить с постоянным ускорением w = F / m = eΕ / m , т.е. будет равноускоренным. В результате закон движения в нерелятивистской механике выглядел бы так: x ( t ) = wt2 / 2 = eΕ0 t 2 / 2m ; y ( t ) = v0 t . (9.28) Однако в релятивистской механике связь между импульсом частицы и её скоростью значительно более сложная. Подставляя полученные значения для проекции импульса (9.27) в формулу для скорости (9.3), с учетом того, что p2 (t) = px2 ( t ) + py2 ( t ) , получим: vx ( t ) = c

eΕ0 ct 2

;

p c + m c + ( eΕ0 ct ) 



 2 2 0

2 2

E0

т.е.

vx ( t ) = c vy ( t ) = c

eΕ0 ct 2

.

(9.29)

E02 + ( eΕ0 ct ) p0 c

2

;

p c + m c + ( eΕ0 ct ) 



 2 2 0

2 2

E0

т.е.

vy ( t ) = c

p0 c 2

.

(9.30)

E02 + ( eΕ0 ct )

Будем в дальнейшем для простоты рассматривать случай, когда начальная скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, т.е. v0 << c . Тогда p0 ≈ mv0 , E0 ≈ mc2 и точные формулы (9.29) и (9.30) будут выглядеть так: ( eΕ0 / m ) t wt vx ( t ) = , т.е. vx ( t ) = . (9.31) 2 2  eΕ0   wt  1+  1+  t   c   mc  ( v0 << c )

120

vy ( t ) =

v0

т.е. vy ( t ) =

v0

. (9.32) 2 Ε wt e     1+  1 +  0 t  c mc     Здесь w = eΕ0 / m – обычное нерелятивистское ускорение частицы под действием силы поля. Таким образом, весь релятивизм задачи проявляется в том, что знаменатели в формулах (9.31) и (9.32) отличны от единицы. Величина скорости частицы в момент времени t определяется выражением: 2

,

v02 + w2t 2 . c2 + w2 t2 Из полученных формул видно, что если wt / c << 1 , т.е. t << t0 , где t0 = c / w = cm / eΕ0 , то v ( t ) = vx2 ( t ) + vy2 ( t ) ; т.е. v ( t ) = c

vx ( t ) ≈ wt ,

vy ( t ) ≈ v0 ,

и

v ( t ) ≈ v02 + w2t 2 .

(9.33)

(9.34) (9.35)

Таким образом, при t << t0 формулы (9.31) - (9.33) переходят в обычные формулы (9.35) для скорости частицы в нерелятивистской механике. Из точных формул (9.31) и (9.32) видно, что при t → ∞ , величина vx монотонно возрастает от нуля до предельного значения равного скорости света, а величина vy монотонно убывает от начального значения v0 до нуля: vx ( t → ∞ ) → c ; vy ( t → ∞ ) → 0 ; v ( t → ∞ ) → c .

(9.36)

Выясним физический смысл характерного времени t0 = c / w . Видно, что это время, за которое частица достигла бы скорости света, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением w по законам нерелятивистской механики, когда v = wt . Если время t измерять в единицах t0 , т.е. ввести приведенное время τ = t / t0 , то полученные выше формулы будут выглядеть так: vx ( t ) = c

τ 1 + τ2

; vy ( t ) = v0

1 1 + τ2

121

2

; v (t ) =

v02 + ( cτ ) 1 + τ2

.(9.37a)

Если за единицу измерения скорости частицы принять скорость света, то формулы (9.37a) запишутся в виде: vy v0 v τ ; ; vy ( t ) = = vx ( t ) = x = 2 c c 1+ τ 1 + τ2 2

( v0 ) + τ2 v = . (9.37b) c 1 + τ2 Формулы (9.37b) удобны тем, что содержат единственный безразмерный параметр v0 = v0 / c – отношение начальной скорости частицы к скорости света, т.е. приведенное значение начальной скорости частицы. Напомним, что в рассматриваемом случае, скорость частицы в начальный момент времени считалась малой по сравнению со скоростью света, т.е. v0 << 1 . На рис. 9.4 представлены v (t ) =

графики зависимости приведенных значений vx ( τ ) , vy ( τ ) и v ( τ ) от приведенного времени τ . Графики построены для значения приведенной начальной скорости v0 = v0 / c = 0.3 .

v v0 / c = 0.3

vx vy

vy

τ

τ

Рис.9.4. Графики зависимости приведенных значений

vx ( τ ) ,

vy ( τ ) и v ( τ ) от приведенного времени τ = t / t0

Теперь, определив проекции скорости частицы, можно найти закон её движения из уравнений:

122

dx = dt

wt  wt  1+    c 

dy = dt

;

2

т.е. τ dy 1 dx ; = v0 t0 = a0 t02 2 dτ dτ 1 + τ2 1+ τ Выполняя интегрирование, получаем:

v0  wt  1+   c 

2

,

(9.38)

 wt t  = . τ = c t0  

(9.39)

τ

x ( τ) =

⌠ a0 t02  ⌡ 0

τ′d τ′ 2

1 + τ′

;

т.е. x ( τ ) = ct0

(

1 + τ2 − 1 .

)

{

}

(9.40)

τ

⌠

y ( τ ) = v0 t0  ⌡ 0

d τ′ 2

1 + τ′

; т.е. y ( τ ) = v0 t0 ln τ + 1 + τ2 . (9.41)

Поскольку, τ = t / t0 = tw / c , то в обычных размерных переменных зависимости x ( t ) и y ( t ) будут выглядеть так: 2  c2  wt 2 w   x (t ) = 1 +  t  − 1 = , 2  w c    1 + 1 +  w t   c 

(9.42)

2 c  w  w  ln  1 +  t  + t  , ( w = eΕ0 / m ) . (9.43) w  c  c     Для того чтобы из точных формул (9.42) и (9.43) перейти к формулам ньютоновской механики, нужно формально положить в них c → ∞ . Тогда, учитывая, что при таком предельном переходе 2 2  w  w  w w   w  1 +  t  → 1 ; ln  1 +  t  + t  → ln 1 + t  → t , c  c  c c   c    приходим к формулам (9.28): x ( t ) ≈ wt 2 / 2 , y ( t ) ≈ v0 t . Получим уравнение траектории частицы. Для этого нужно исключить приведенное время τ из уравнений (9.40) и (9.41). Из уравнения (9.40) находим, что

y ( t ) = v0

123

1 + τ2 = 1 + x / ct0 ,

т.е.

τ=

2

(1 + x / ct0 )

−1.

(9.44)

Подставляя это в уравнение (9.41) получим:   x x  x  c  y ( x ) = v0 t0 ln 1 + + 2 + ,   t0 =  . (9.45) ct0 ct0  ct0  w     Это и есть уравнение траектории движения частицы. Уравнение траектории удобно записать несколько иначе, поделив обе его части на ct0 . Тогда получим:

{

y ( x ) = v0 ln 1 + x +

(2 + x ) x } .

(9.46)

Здесь v y x , , v0 = 0 . (9.47) x= ct0 ct0 c При такой форме записи, за единицу измерения длины принята величина ct0 = c2 / w . Из формулы (9.40) видно, что это смещение y=

частицы по оси x за время 1 + τ2 − 1 = 1 , т.е. τ = 3 . Уравнение траектории в форме (9.46) удобно тем, что содержит единственный безразмерный параметр v0 – отношение начальной скорости частицы к скорости света. (В рассматриваемом нами случае v0 << 1 .) Из формул (9.40) и (9.41) следует, что

{

x ( τ ) = 1 + τ2 − 1 ;

}

y ( τ ) = v0 ln τ + 1 + τ2 .

(9.48)

Рассмотрим два предельных случая малых и больших времен: 1. Малые времена: t << t0 , т.е. τ = t / t0 << 1 , ( v << c ) . Из первой формулы (9.48) следует, что x ( τ << 1) ≈ τ2 / 2 << 1 . В этом случае

{

}

y ( x << 1) ≈ v0 ln 1 + 2x , или

Переходя к обычным ( x = x / ct0 , y = y / ct0 ) , получим; y ( x ) ≈ v0 2x

t0 2x = v0 , c w

124

y ( x << 1) ≈ v0 2x . (9.49)

размерным

( t << t0 ) .

переменным

(9.50)

Именно это выражение для траектории движения получается из формул (9.28), описывающих движение частицы в рамках классической механики. Как и следовало ожидать, пока частица не разогналась полем до скоростей, сравнимых со скоростью света, уравнение траектории есть классическая парабола, повернутая “рожками” вдоль оси, по которой на частицу действует сила поля. 2. Большие времена: t >> t0 , т.е. τ = t / t0 >> 1 , ( v ~ c ) Из первой формулы (9.48) следует, что в этом случае x ( τ >> 1) ≈ τ >> 1 . Поэтому точная формула (9.46) будет выглядеть так: y ( x ) = v0 ln {1 + 2x} , т.е. y ( x >> 1) ≈ v0 ln 2x . (9.51) В обычных переменных  x  y ( x ) ≈ v0 t0 ln 2 .  ct0 

y

( t >> t0 ) .

(9.52)

x

x

v0 / c = 0.3

Рис.9.5. Траектория частицы в однородном электрическом поле (в приведенных единицах)

На рис.9.5 представлен график зависимости траектории движения частицы. Отношение v0 = v0 / c принято равным 0.3. Сплошная кривая – расчет по точной формуле (9.46); пунктирная

125

кривая – траектория движения, рассчитанная в рамках классической механики по формуле (9.49). В заключение этого раздела сделаем следующее замечание. Выше предполагалось, что в начальный момент времени скорость частицы v0 << c . Это позволило приближенно записать p0 ≈ mv0 и E0 ≈ mc2 . После этого из точных формул для скорости (9.29) и (9.30) были получены более простые формулы (9.31) и (9.32), а также все последующие формулы для координат и уравнение траектории частицы. Чтобы вернуться от приближенных формул к точным, нужно в приближенных формулах сделать замену:


v0 → p0c2 / E0 и w → e Ε0 c2 / E0 . Тогда характерное время
t0 = c / w заменится на величину t0 = E0 / e Ε0 c .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задачи к разделу 2.

Преобразование Лоренца

Задача 2.1. Получить формулы преобразования координат и времени при переходе от инерциальной системы K ′ , движущейся с посто
янной скоростью v0 относительно лабораторной системы K в общем случае, т.е. не предполагая, что система K ′ движется вдоль оси Ox системы K . В начальный момент времени t = t′ = 0 точки O и O′ совпадают. Оси координат систем K и K ′ параллельны. Решение: В момент времени t положение точки O′ в системе K определяется радиусом-вектором

R0 ( t ) = v0 t . (1)

126

K ′ y′

K

y


r


r⊥

O


R0
O′
r Ωv x z′


v0

x′

z Рис.1


Представим произвольный вектор r материальной точки m в системе K в виде двух составляющих:


r = r + r⊥ . (2)

Здесь r – составляющая радиуса-вектора r , коллинеарная вектору


скорости v0 , а r⊥ – составляющая радиуса- вектора r , перпендику
лярная к вектору скорости v0 ( рис.1).
Пусть Ωv – единичный вектор скорости, т.е.

Ωv = v0 / v0 . (3)
Проекция вектора r на направление скорости равна скалярному




произведению векторов r и Ωv : ( r )v = r , Ωv . Тогда составля0

ющая радиуса-вектора r , коллинеарная вектору скорости v0 будет


определяться выражением r = Ωv ( r )v , т.е. : 0




v ( r, v )

(4) r = Ωv r , Ωv = 0 2 0 . v0 Следовательно,

(

(

)

127

)








r⊥ = r − r = r − Ωv r , Ωv . (5)
Аналогично представим радиус-вектор r ′ той же материальной точки в системе K ′ в виде векторной суммы параллельной и перпендикулярной составляющих:


r ′ = r′ + r⊥′ , (6)





v ( r ′, v )
(7) r′ = Ωv r ′, Ωv = 0 2 0 , v0






r⊥′ = r ′ − r′ = r ′ − Ωv r ′, Ωv . (8)

(

(

)

(

)

)

Если система K ′ движется относительно системы K вдоль оси



Ox , то Ωv = ex , где ex = ex′ – орт, указывающий направление осей Ox и O′x′ , так как по условию задачи оси координат систем



K и K ′ параллельны. В этом случае r , Ωv = ( r , ex ) = x ,




r = ex x . Аналогично r′ = ex x′ . Соответственно, r⊥ = ( y, z ) и
r⊥′ = ( y′, z′ ) . При движении системы K ′ относительно системы K вдоль оси Ox координаты события (x, y, z, t) в системе K связаны с координатами события (x′, y′, z′, t′) в системе K ′ обычными формулами Лоренца (2.4): v x′ t′ + 0x2  2 v02  x′ + v0x t′ c , x= ; y = y′; z = z′; t =  β = 2  . (9) c  1 − β2 1 − β2  Таким образом, поперечные координаты не изменяются



( y, z ) = ( y′, z′) , т.е. r⊥ = r⊥′ . Умножим первую формулу на ex = ex′





и учтем, что ex x = r , ex′ x′ = r′ , ex v0 x = v0 . Что касается четвер

той формулы в (9), то v0 x x′ = ( v0 , r ′ ) . С учетом всего сказанного формулы Лоренца (8) будут выглядеть так:

v0 , r ′ ) (

t′ +
r ′ + v0 t′

c2 . ; (10) r =  r⊥ = r⊥′ ; t= 1 − β2 1 − β2

(

128

)

Удобство векторной формы записи формул Лоренца состоит в том,
что они справедливы при любом направлении вектора скорости v0 ,



если величины ( r , r⊥ ) и ( r′, r⊥′ ) имеют указанный выше смысл. Теперь осталось только подставить в (10) полученные выше значения

для величин r′ и r⊥′ . В результате получим:

v0 , r′ ) (



t′ +
Ωv r′, Ωv + v0 t′




c2 . (11) r = ; r⊥ = r′ − Ωv r′, Ωv ; t = 1 − β2 1 − β2


Поскольку r = r + r⊥ , то из (11) находим:

( v0 , r ′)



′ t +

Ωv r ′, Ωv + v0 t′


c2 . (12) t= r = r′ + − Ωv r ′, Ωv , 1 − β2 1 − β2

Учитывая, что Ωv = v0 / v0 , формулы (12) можно записать в виде:

v0 , r ′ ) (



t′ +  1  v ( r ′, v ) v0 t′

c2 . (13) t= r = r′ + + − 1 0 2 0 , 2 2 v0 1 − β2 1−β  1 − β 
Формулу преобразования для радиуса-вектора r можно записать в несколько ином виде. Для этого рассмотрим двойное






векторное произведение [v0 [v0 , r ′]] = v0 ( v0 , r ′ ) − r ′v02 . Отсюда находим





v0 ( v0 , r ′ ) [v0 [v0 , r ′]]
(14) = + r′ . v02 v02 Подставляя (14) в первую формулу (13), после приведения подобных, окончательно получим:

v0 , r ′ ) (

t′ +  [v
[v
, r
′]]
r ′ + v0 t′  1 c2 . r= + − 1 0 02 , t= (15) v0 1 − β2  1 − β2 1 − β2 

(

)

(

(

)

(

)

)

Формулы (13) или (15) позволяют определить координаты события

( r , t ) в системе K , если известны координаты события ( r ′, t′) в системе K ′ . 129

Если v0 << c

(β

2

<< 1) , то 1/ 1 − β2 ≈ 1 . В результате из

формулы (15) получаем:


t ≈ t′ , r ≈ r ′ + v0 t , (16) т.е. приходим к обычным формулам преобразованию Галилея в нерелятивистской механике.

Задачи к разделу 3. Преобразование скорости Задача 3.1. Используя результаты предыдущей задачи, получить формулу “сложения скоростей” в релятивистской механике в общем
случае, при произвольном направлении вектора v0 , с которой система K ′ движется относительно системы K (рис.1 задачи 2.1). Решение: Законом сложения скоростей называется формула, связы
вающая абсолютную скорость v материальной точки m (т.е. её скорость в системе K , которая считается условно неподвижной) с

переносной скоростью v0 и относительной скоростью v′ материальной точки, т.е. с её скоростью в движущейся системе K ′ . По определению

dr ′
dr
′ v= , v = . (1) dt dt ′ Используя формулы (15) предыдущей задачи

( v0 , r ′)




′ + t  [v [v , r ′]]
r ′ + v0 t′  1 c2 , , t= (2) r= + − 1 0 02 2 v − β 1 1 − β2  1 − β2 0  находим:

 [v
[v
, dr
′]]
dr ′ + v0 dt′  1 , dr = + − 1 0 0 2 2 v0 − β 1 − β2 1  

130

(3)







( v , dr′ ) dt′ + 0

c2 . 1 − β2 Поделив выражение (3) на выражение (4) будем иметь:





1 − 1 − β2 [v0 [v0 , dr ′]] dr ′ + v0 dt′
dr v= = .

+

v0 , dr ′ ) dt ( v0 , dr ′ )  ( 2  dt′ + v0  dt′ +  c2 c2   dt =

(

)

(4)

(5)

Теперь поделим числитель и знаменатель каждой дроби в правой

части равенства (5) на dt′ . Учитывая, что dr ′ / dt′ = v′ , получим:





v′ + v0 [v0 [v0 , v′]]
dr v= =

+ 1 − 1 − β2

, v0 v′  dt 1 + v0 v′ 2  v0  1 + 2  c2 c   т.е.



1

2 [v0 [v0 , v′]]  ′ v= (6)

v + v + 1− 1−β . v v′  0 v02  1 + 02  c


Формула (6) устанавливает связь между скоростями v , v0 и v′ , о которых говорилось в условии задачи, т.е. является формулой “сложения скоростей” в релятивистской механике. Другими словами, формула (6) есть формула преобразования Лоренца для вектора скорости материальной точки.

В предельном случае малых скоростей v0 << c , v′ << c ,

(

)

(

)

когда β2 → 0 , из общей формулы (6) находим, что


v = v0 + v′ , (7) т.е. получаем обычный закон сложения скоростей в классической (ньютоновской) механике. Задача 3.2.
Фотон движется в системе K со скоростью c в произвольном направлении. В системе K ′ величина скорости фотона та же, что и в системе K , но изменяется направление его дви131

жения (см. рис. 3.1). Получить выражения, связывающие косинусы и синусы углов θ и θ′ в системах K и K ′ . Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (3.10), которая связывает тангенсы углов θ и θ′ : tgθ′ tgθ = 1 − β2 ; (1) (β2 = v02 / c2 ) . 2 1 + β 1 + tg θ′ Поскольку 1 cos θ = , ( 0 ≤ θ ≤ π / 2) , (2) 1 + tg2 θ то, подставляя (1) в (2) последовательно будем иметь: 1 β + cos θ′ cos θ = = , 2 2 2 sin2 θ′ (1 − β2 ) ′ ′ β + cos θ + sin θ 1 − β ( ) ( ) 1+ 2 (β + cos θ′) cos θ =

β + cos θ′ 1 + 2β cos θ′ + β2 (1 − sin2 θ′ )   

.

cos2 θ′

В результате получаем: β + cos θ′ . (3) 1 + β cos θ′ Обращая это равенство относительно cos θ′ , запишем: cos θ − β cos θ′ = . (4) 1 − β cos θ Как и должно быть, формула (4) получается из (3) заменой: cos θ → cos θ′ , β → −β . Если в системе K ′ фотон распространяется в направлении, перпендикулярном к оси Ox′ , т.е. θ′ = π / 2 ( cos θ′ = 0 ) , то по отношению к наблюдателю в системе K из выражения (3) получаем, что cos θ = β , т.е. θ = arccos β . cos θ =

132

Из формулы (3) легко получить формулу, связывающую синусы углов θ и θ′ : 2

 β + cos θ′  sin θ = 1 − cos θ = 1 −   .  1 + β cos θ′  Далее последовательно будем иметь: 2

sin θ =

1 + 2β cos θ′ + β2 cos2 θ′ − β2 − 2β cos θ′ − cos2 θ′ ; 1 + β cos θ′

(1 − β ) − (1 − β ) cos 2

sin θ =

(5)

2

1 + β cos θ′

2

θ′

(1 − β ) sin 2

=

2

θ′

1 + β cos θ′

.

В результате находим: sin θ′ 1 − β2 1 − β2 = sin θ′ . (6) 1 + β cos θ′ 1 + β 1 − sin2 θ′ Из формулы (6) видно, что если в системе K ′ фотон распространяется в направлении вдоль оси Ox′ , т.е. θ′ = 0 , то по отношению к наблюдателю в системе K получаем, что sin θ = sin θ′ , т.е. θ = 0 , и фотон распространяется также вдоль оси Ox . sin θ =

Задачи к разделу 4. Импульс и энергия свободной релятивистской частицы Задача 4.1. Чему равна величина скорости частицы массой m , если величина её импульса p = mc ? Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (4.9) для импульса частицы mv p= . (1) 1 − v 2 / c2 В соответствии с условием задачи 133

mv

= mc . (2) 1 − v2 / c2 Из выражения (2) получаем уравнение для определения скорости частицы v / c = 1 − v2 / c2 . Решая уравнение (3) находим: 2

(v / c)

= 1/ 2 ,

т.е.

v=

(

(3)

)

2 / 2 ⋅ c ≈ 0.707 ⋅ c

(4)

Задача 4.2. Чему равна величина скорости частицы массой m , при которой её кинетическая энергия T равна энергии покоя mc2 ? Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (4.10) для полной энергии частицы mc2 E= . (1) 1 − v 2 / c2 Кинетическая энергия частицы определяется как разность между её полной энергией E и энергией покоя. Соответственно, условие задачи запишется так: T = E − mc2 = mc2 , т.е. E = 2mc2 . (2) Подставляя (1) в (2), получаем уравнение для определения величины скорости частицы: 1 = 2. (3) 1 − v 2 / c2 Решая уравнение (3) получаем, что v2 / c2 = 3 / 4 , т.е. v = 3 / 2 ⋅ c ≈ 0.866 ⋅ c . (4)

(

)

Задача 4.3. Чему равна кинетическая энергия T частицы массой m , если величина её импульса p = mc ? Решение: 134

Для решения задачи удобно воспользоваться формулой (4.15), которая выражает полную энергию частицы непосредственно через её импульс (функция Гамильтона свободной частицы): E = c p 2 + m 2 c2 . В соответствии с условием задачи будем иметь: T = E − mc2 = c m2c2 + m 2c2 − mc2 =

(

(1)

)

2 − 1 ⋅ mc2 ≈ 0.414 ⋅ mc2 ,

(2) т.е. T / mc2 ≈ 0.414 . Задача 4.4. Чему равна полная и кинетическая энергия частицы массой m , если величина её импульса p такая же, как импульс γ - кванта с энергией Eγ ? Рассмотреть два случая: a). Eγ << mc2 ;

b). Eγ >> mc2 .

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (4.20), которая связывает энергию и импульс γ -кванта: Eγ = cpγ , т.е. pγ = Eγ / c . (1) По условию задачи p = pγ . Поэтому сразу получаем, что полная энергия частицы 2

E = c p2 + m2 c2 = c pγ2 + m2 c2 = Eγ2 + ( mc2 ) .

(2)

Соответственно, кинетическая энергия частицы 2

T = E − mc2 = Eγ2 + ( mc2 ) − mc2 .

(3)

a). Eγ << mc2 . В этом случае Eγ / mc2 << 1 . Поэтому приближенно будем иметь: 2  Eγ 1 Eγ  E = mc2 1 + Eγ2 / m 2c4 ≈ mc2  1 + = mc2 + Eγ . (4a) 2 4    2mc  2mc2  Eγ T = E − mc2 ≈ Eγ << Eγ . (4b) 2mc2 135

b). Eγ >> mc2 . В этом случае mc2 / Eγ << 1 . Поэтому приближенно будем иметь: 2



E = E γ 1 + ( mc2 ) / Eγ2 ≈ Eγ  1 +

1 m 2c4 

2  = Eγ + mc

2

2 Eγ   T = E − mc2 ≈ Eγ .

mc2

2Eγ

≈ E γ . (5a)

(5b)

Задачи к разделу 5. Четырехмерный формализм теории относительности Задача 5.1. Непосредственным вычислением убедиться, что матрица α ( −β ) является матрицей, обратной матрице Лоренца  1  1−β   0 α (β ) =   0  iβ   1 − β

0

0

2

   0    . 0   1  1−β   − iβ

1−β 1

0

0

1

0

0

2

2

2

Решение: Матрица α ( −β ) выглядит так:  1  2  1−β  0 α ( −β ) =   0  − iβ  2  1 − β

0

0

iβ

1−β 1

0

0

0

1

0

0

0

136

2

1 1 − β2

    .    

(1)

Проверим, что выполняется условие α ( β ) ⋅ α ( −β ) = α ( −β ) ⋅ α ( β ) = I , гден I – единичная матрица: ( I ) ik = δik . Здесь δik – символ Кронекера. Другими словами, нужно убедиться, что {α (β ) α ( −β )}ik = δik . Произведение двух матриц определяется обычной формулой:

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

ik

= α ( β )im α ( −β )mk =

4

∑ α (β)

α ( −β )mk .

im

(2)

m =1

Используя формулу (2) нужно показать, что − iβ   1  1 0 0 0 0    2 1−β 1 − β2 1 − β2     0 1 0 0  1 0   0  ⋅ 0 1 0   0 0 1  0  iβ   − iβ 1 0 0 0 0    2 2 1 − β2    1 − β  1 − β

iβ

1−β

2

0 0 1 1 − β2

   1  0 =  0  0  

0 0 0

 1 0 0  0 1 0 0 0 1 

(3) Вычислим для примера первые два элемента первой строки произведения матриц. Первый элемент первой строки

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

11

4

=

∑ α (β)

1m

α ( −β )m1 .

(4)

m =1

Поскольку α ( β )12 = α ( β )13 = 0 , получаем:

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

11

= α ( β )11 α ( −β )11 + α ( β )14 α ( −β )41 .

(5)

Подставляя в формулу (5) значения 1 − iβ α ( β )11 = α ( −β )11 = , α ( β )14 = α ( −β )41 = , 2 1−β 1 − β2 получим: 2

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

11

 1   −iβ =  + 2 2  1 − β   1 − β

137

2

 1 − β2 = =1 .  1 − β2 

(6)

Второй элемент первой строки 4

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

=

12

∑ α (β )

1m

α ( −β )m 2 .

(7)

m =1

Подставляя в формулу (7) значения величин α ( β )1m и α ( −β )m 2 , запишем:

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

вается, что

=

1

⋅ 0 + 0 ⋅1 + 0 ⋅ 0 +

−iβ

⋅0 = 0. (8) 1 − β2 1 − β2 Аналогичным образом вычисляются все оставшиеся четырнадцать элементов произведения матриц α ( β ) ⋅ α ( −β ) . Тем самым доказы12

{α (β ) ⋅ α ( −β )}

тельно является α ( −β ) = α −1 ( β ) .

ik

= δik , т.е. матрица α ( −β ) действи-

матрицей,

обратной

матрице

Лоренца:

Задача 5.2. Используя определение четырехскорости, получить формулы преобразования Лоренца для проекций обычного вектора скорости. Решение: Компоненты четырехскорости ui преобразуются по обычной формуле с помощью матрицы Лоренца: ui = α ik ( β ) uk′ . Положим i = 1 . Тогда, u1 = α1k uk′ = α11u1′ + α14 u4′ . Подставляя сюда значения величин u1 , u1′ , u4′ , α11 и α14 , получим: vx′ + v0 x vx 1 v′x iβ ic 1
2 =
2 −
2 =
. 2 2 2 v 1−β v′ 1−β v′ 1−β v′2 1− 2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c c Отсюда находим значение vx :
v′ + v0 x 1 − v2 / c2 vx = x . (1)
1 − β2 1 − v′2 / c2 Аналогично получаем, что при i = 2 , 3 u2 = α2k uk′ = u2′ и u3 = α3k uk′ = u3′ . Поэтому 138



1 − v 2 / c2 1 − v 2 / c2 ′ ; . (2) v = v z z

1 − v′2 / c2 1 − v′2 / c2 Выражения (1) и (2) ещё не являются формулами преобразования Лоренца для трехмерной скорости, поскольку в них входит вели

чина 1 − v2 / c2 / 1 − v′2 / c2 , которая зависит как от квадрата

скорости v2 в системе K , так и от квадрата скорости v′2 в системе K ′ . В то же время в правые части формул преобразования для скорости из системы K ′ в систему K должны входить только проекции скоростей в системе K ′ .

1 − v2 / c2 / 1 − v′2 / c2 Чтобы выразить отношение

vy = vy′

(

)(

)

(

)(

)

через величины в системе K ′ , воспользуемся формулой преобразования для четвертой (мнимой) компоненты четырехвектора скорости: u4 = α 4k uk′ = α 41 u1′ + α 44 u4′ . Подставляя сюда значения величин u4 , u1′ , u4′ , α 41 и α 44 , получим: i iβ vx′ 1 i i βvx′ / c + 1
2 =
2 +
2 =
2 2 2 v 1−β v′ 1−β v′ v′ 1 − β2 1− 2 c 1− 2 1− 2 1− 2 c c c c . ic iβ v′x 1 ic i βvx′ + c
2 =
2 +
2 =
2 2 2 v 1−β v′ 1−β v′ v′ 1 − β2 1− 2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c c Отсюда находим:
c 1 − β2 1 − β2 1 − v 2 / c2 = = . (3)
v v′ c + βv′x 1 − v′2 / c2 1 + 0 x2 x c Теперь, подставляя выражение (3) в (1) и (2), окончательно находим: vy′ v′ + v0 x vz′ vx = x ; vy = 1 − β2 ; vz = 1 − β2 . (4) v0 x v′x v0 x v′x v0 x v′x 1+ 1+ 1+ c2 c2 c2

139

Формулы (4) в точности совпадают с полученными ранее формулами (3.3) для преобразования трехмерного вектора скорости. Задача 5.3. Получить явные выражения для компонент четырехвектора ускорения. Решение: По определению компоненты четырехвектора ускорения определяются как производные компонент четырехвектора скорости ui по собственному времени движущейся частицы t0 , т.е. выражениями (5.25), (5.26): dui dui 1 wi = = , (1) ( i = 1, 2,3, 4 ) .
dt0 1 − v2 ( t ) / c2 dt
Здесь v ( t ) – обычная трехмерная скорость частицы в момент времени t . Величины ui определяются формулой (5.24):
  v (t) ic . ui ( t ) =  ;  1 − v
2 ( t ) / c2 1 − v
2 ( t ) / c2   

(2)

Подставляя (2) в (1), запишем:
d  v (t) 1 d ic  . wi = ; (3)

1 − v2 / c2  dt 1 − v2 ( t ) / c2 dt 1 − v2 ( t ) / c2  Производная по времени от пространственной компоненты в формуле (3)




v, vɺ v (t) d vɺ v , (4) = + 2 3/2

dt 1 − v
2 ( t ) / c2 1 − v2 / c2 c (1 − v2 / c2 )

Где vɺ = w ( t ) – обычное трехмерное ускорение частицы в момент времени t . Следовательно, формулу (4) можно записать в виде:



v (t) 
v ( v, w )  d 1 = (5)
w + 2 .
dt 1 − v
2 ( t ) / c2 c 1 − v 2 / c2  1 − v 2 / c2 

( )

Производная по времени от временной компоненты в формуле (3) 140



( v, w ) d ic i = . dt 1 − v
2 ( t ) / c2 c (1 − v
2 / c2 )3 / 2

(6)

Подставляя формулы (5), (6) в исходную формулу (3), получим:





v ( w, v / c ) ( w, v / c )  1 wi ( t ) = w i + ; (7)

 . 1 − v 2 / c2  c 1 − v 2 / c2 1 − v 2 / c2  Величины трехмерного ускорения и скорости в формуле (7) берут



ся в момент времени t : w = w ( t ) , v = v ( t ) . Пространственная компонента четырехвектора ускорения в нерелятивистском пределе ( v << c )




v ( w, v / c ) 
dv 1
w (t ) = (8)
w + ≈w= 1 − v 2 / c2  c 1 − v2 / c2  dt совпадает с обычным ускорением в классической механике. Задача 5.4. Используя выражение для четырехвектора ускорения, полученное в предыдущей задаче, вычислить квадрат четырехускорения. Показать, что четырехускорение является пространственноподобным четырехвектором. Решение: Квадрат четырехвектора ускорения





v ( v / c, w ) ( v / c, w )  1 wi ( t ) = ,i

w +  1 − v 2 / c2  c 1 − v 2 / c2 1 − v 2 / c2 

(1)

определяется обычным образом: w2i = w12 + w22 + w32 + w42 . (2) Из формулы (1) следует, что сумма квадратов пространственных компонент четырехускорения будет определяться выражением:

2   3 1 2 v 2 / c2 
2 ( v, w )  2  . wi = + w + ∑ 2  2 2 2 2 2 2 2 2  (1 − v / c ) (1 − v / c )   c i =1 (1 − v / c )    (3) 141

Квадрат временной (мнимой) компоненты четырехускорения



2 4

w =− v 2 / c2

Поскольку

(1 − v

2

/c

2 2

)

2

( v, w )

−

2

c

1
2 2 2 . (1 − v / c )

(4)

1 1
2 2 2 = − 1 − v
2 / c2 , (1 − v / c )

получаем, что 1

2 i

w =

1

(1 − v

2

/c

2

)

2

{





2 2 2


2 ( v, w )2 / c2  w − c2 w v − ( v, w ) w + = 3 1 − v2 / c2   (1 − v2 / c2 )

2

}

. (5)

Формулу (5) можно записать в более компактном виде, если

2

учесть, что ( v, w ) = v2 ⋅ w2 ⋅ cos ( α ) , где α – угол между вектора

ми v и w . Следовательно,

2 w2 v2 − ( v, w ) = w2 v2 ⋅ (1 − cos2 α ) = w2 v2 ⋅ sin2 α .

2

Но w2 v2 ⋅ sin2 α = [ v, w] , где [ v, w] – векторное произведение трехмерных векторов скорости и ускорения. Теперь формулу (5) можно записать в виде:
2
v
 w2 −  , w  c  . w2i ( t ) = (6)
3  v2  1 − 2  c   Величины трехмерного ускорения и скорости в правой части фор



мулы (6) берутся в момент времени t : w = w ( t ) , v = v ( t ) . По


2 скольку v / c < 1 , то w2 > [ v / c, w] . Следовательно, w2i > 0 . Таким образом, четырехускорение, в отличие от четырехвектора скорости, является пространственноподобным вектором.

142

Задача 5.5. Два пучка одинаковых частиц массой m движутся

навстречу друг другу (вдоль оси x ) со скоростями v1 и v2 относительно лабораторной системы координат K (рис.1). Определить относительную энергию частиц во встречных пучках, используя выражение (3.14) для относительной скорости частиц во встречных пучках. Исследовать случай одинаковых скоростей, ко

гда v1 = v2 = v . Решение:

K

K′

m O


v1


v2


v

1

x′

O′

x Рис.1

Ранее была получена общая формула (3.14) для величины относительной скорости частиц: v2x − v1x vотн = . (1) v1x ⋅ v2 x 1− c2 В рассматриваемой нами задаче v1x = v1 , а v2 x = −v2 . Поэтому v + v2 vотн = 1 . (2) v ⋅v 1+ 1 2 2 c Теперь относительную энергию частиц можно определить по обычной формуле (4.10): 143

mc2

Eотн =

1−

mc2

=

( vотн )2

1−

с2

( v1

(с

2

mc2 ( с2 + v1 ⋅ v2 )

= 2

2

( с2 + v1 ⋅ v2 ) − c2 ( v1 + v2 )

+ v2 )

+ v1 ⋅ v2 )

2

Поскольку

(с

2

2

+ v1 v2 ) − c2 ( v1 + v2 ) = 2

= ( с2 + v1 v2 + cv1 + cv2 ) ( с2 + v1 v2 − cv1 − cv2 ) = = {( c + v1 ) ( c + v1 )} {( c − v1 ) ( c − v2 )} = ( c2 − v12 ) ( c2 − v22 ) ,

получаем: v1 ⋅ v2 c2 Eотн = mc2 = mc2 . (3)  v12   v22  ( с2 − v12 )( с2 − v22 ) 1 − 2  1 − 2  c  c   Если скорости частиц равны v1 = v2 = v , то из формулы (3) следует: v2 1+ 2 c . (4) Eотн ( v1 = v2 = v ) = mc2 v2 1− 2 c Кинетической энергией частицы называется разность между полной энергией E и энергией покоя mc2 :   1 (5) T = E − mc2 = mc2  − 1 .  1 − v2 / c2    Поэтому выражение для относительной кинетической энергии частиц будет выглядеть так: 2mv2 ; (6) ( T )отн = Eотн − mc2 = ( v1 = v2 = v ) . 1 − v 2 / c2 В нерелятивистском случае ( v << c ) из формулы (6) получаем хорошо известный результат:

(с

2

1+

+ v1 ⋅ v2 )

144

. 2

mv2 ; (7) ( v << c ) . 2 Таким образом, кинетическая энергия двух одинаковых нерелятивистских частиц, летящих навстречу друг другу с одинаковой скоростью, равна учетверенному значению кинетической энергии каждой частицы. С учетом (7), формулу (6) можно записать в виде: ( н.рел ) ( T )отн ; (8) ( T )отн = ( v1 = v2 = v ) . 1 − v2 / c2 Из полученного выражения (8) видно, что в релятивистском случае, когда v ~ c

( T )(отн

н.рел )

≈ 2mv2 = 4

( н.рел ) . ( T )отн >> ( T )отн

(9)

Т.е. в релятивистском случае относительная кинетическая энергия частиц может быть сколь угодно большой при v → c . Задачи к разделу 7. Рассеяние γ -кванта на свободном электроне. Эффект Комптона Задача 7.1. Гамма-квант с энергией Eγ0 налетает на покоящийся электрон массой me . Считая известным угол отклонения ϕ покоящегося электрона после его взаимодействия с γ -квантом, определить его энергию Ee ( ϕ ) . Исследовать полученный результат. Решение: До рассеяния импульс и энергия налетающего гамма-кванта
pγ 0 , Eγ0 = cpγ 0 . После рассеяния гамма-кванта на угол θ его им
пульс и энергия pγ ( θ ) , Eγ ( θ ) = cpγ . Энергия электрона до взаи
модействия me c2 . Импульс и энергия электрона отдачи pe и Ee = c pe2 + me2c2 . Угол вылета электрона – ϕ .

145

y


pγ

A θ

O

ϕ


pe


pγ 0

ϕ

B x

Рис.1. Векторная диаграмма столкновения
γ - кванта с импульсом pγ 0 с покоящимся электроном me

Поскольку рассматриваемая система является замкнутой, то имеют место законы сохранения импульса и энергии:


pγ 0 = pγ + pe ; (1)  2 Eγ 0 + me c = Eγ + Ee .
Из закона сохранения импульса следует, что все три импульса pγ 0 ,

pγ и pe лежат в одной плоскости, например в плоскости XoY (рис.1). Удобнее вычислять не полную энергию электрона после взаимодействия, а его кинетическую энергию, которая определяется как разность между полной энергией и энергией покоя: Te = Ee − me c2 . (2) С учетом выражения (2) система уравнений (1) будет выглядеть так:


pγ 0 = pγ + pe ; (3)  Eγ = Eγ 0 − Te .


Из первого уравнения системы (3) следует, что pγ = pγ 0 − pe . Возводя это равенство в квадрат, получим:

pγ2 = pγ20 + pe2 − 2pγ 0 pe = pγ20 + pe2 − 2pγ 0 pe cos ϕ .

(4)

Формула (4) есть не что иное, как теорема косинусов, примененная к треугольнику OAB рис.1. Умножая обе части уравнения (4) на c2 , запишем: Eγ2 = Eγ20 + c2 pe2 − 2Eγ 0 cpe cos ϕ . (5) 146

Возводя обе части второго уравнения (3) в квадрат с учетом формулы (5), получим: c2pe2 − 2Eγ 0 cpe cos ϕ = −2Eγ 0Te + Te2 (6) (слагаемые Eγ20 в правой и левой частях равенства взаимно уничтожились). Учитывая, что

(T

2

e

+ me c2 ) = c2 pe2 + me2 c4 , или c2pe2 = Te2 + 2me c2Te ,

уравнение (6) будет выглядеть так: Eγ 0 cpe cos ϕ = Te ( Eγ 0 + me c2 ) .

(7) (8)

Величину cpe в правой части уравнения (8) нужно выразить через искомую величину Te . Для этого возведем обе части уравнения (8) в квадрат. Тогда с учетом второй формулы (7), запишем: Te

{(T + 2m c T ) E 2

e

e

e

2 γ0

2

cos2 ϕ − Te ( Eγ 0 + me c2 )

}=0 .

(9)

После приведения подобных членов в фигурных скобках выражения (9), получим: 2 Te Te Eγ20 cos2 ϕ − ( Eγ 0 + me c2 )  + me c2Eγ20 cos2 ϕ = 0 . (10)   Квадратное уравнение (10) имеет два решения: (11) ( Te )1 = 0 .

{

( Te )2

= Te ( cos ϕ ) = 2Eγ20 me c2

}

cos2 ϕ . (12) me c2 ( me c2 + 2Eγ 0 ) + Eγ20 sin2 ϕ

Первому решению (11) соответствует энергия γ -кванта Eγ = Eγ 0 . Другими словами, первое решение уравнения (10) описывает начальное состояние системы ( γ -квант + электрон) до взаимодействия. Так и должно быть, поскольку законы сохранения импульса и энергии определяют поведение системы как до, так и после взаимодействия (впрочем, как и в процессе взаимодействия). Второе решение уравнения (12) определяет энергию электрона отдачи после взаимодействия. Формула (12) выглядит значительно проще, если все энергии измерять в единице массы покоя электрона mec2 ≈ 0.5 МэВ : 147

Te = Te / me c2 ,

ε γ 0 = E γ 0 / m e c2 .

(13)

В приведенных единицах энергии, формула (13) запишется так: ε2γ 0 cos2 ϕ Te ( cos ϕ ) = 2 . (14) 2 (1 + εγ0 ) − ε2γ0 cos2 ϕ Из второго уравнения системы (3) ( ε γ = ε γ 0 − Te ) определяем энергию γ -кванта после рассеяния как функцию угла ϕ :   1 + ( 2ε γ 0 + ε2γ 0 ) sin 2 ϕ ε γ 0 cos2 ϕ .(15) ε γ ( ϕ ) = ε γ 0 1 − 2  = εγ0 2 1 + 2ε γ 0 + ε2γ 0 sin 2 ϕ (1 + ε γ 0 ) − ε2γ 0 cos2 ϕ   Из формулы (14) видно, что с уменьшением угла ϕ , когда cos ϕ увеличивается, числитель формулы (14) возрастает, а знаменатель уменьшается. Поэтому значение приведенной энергии электрона отдачи Te ( ϕ ) возрастает с уменьшением ϕ . Если взаимодействие

между фотоном и электроном отсутствует, то Te = 0 . Из формулы (14) видно, что это возможно только при условии, что cos ϕ = 0 , т.е. ϕ = π / 2 . При этом, из формулы (15) следует, что ε γ ( ϕ = π / 2 ) = ε γ 0 , т.е. энергия γ -кванта не изменяется.

Наибольшую энергию электрон отдачи получает при ϕ = 0 : ε (16) ( Te )max = Te ( ϕ = 0 ) = 2ε γ0 1 + 2γ0ε . γ0 При этом γ -квант будет иметь наименьшую энергию ε ( εγ )min = ε γ ( ϕ = 0) = 1 + 2γ0ε . γ0 Естественно, что в силу закона сохранения ( Te )max + ( ε γ )min = εγ0 .

(17) энергии

Как следует из формулы Комптона (6.14) ε γ0 εγ ( θ) = , 1 + ε γ0 (1 − cos θ ) γ -квант будет иметь минимальную энергию при θ = π , т.е. при рассеянии назад, что, конечно, совпадает с формулой (17).

148

Задача №.7.2. Используя результат предыдущей задачи, определить связь между углом рассеяния γ -кванта θ и углом ϕ вылета электрона отдачи. Решение: Приведенная энергия γ -кванта определяется через угол ϕ формулой (15) предыдущей задачи: 1 + ( 2ε γ 0 + ε2γ 0 ) sin2 ϕ εγ ( ϕ) = ε γ0 . (1) 1 + 2ε γ 0 + ε2γ 0 sin2 ϕ В то же время, зависимость ε γ ( θ ) определяется формулой Комптона (6.14): εγ ( θ) =

ε γ0 1 + ε γ0 (1 − cos θ )

.

(2)

Приравнивая оба эти выражения, можно установить связь между углами θ и ϕ : 1 + 2ε γ 0 sin2 ϕ + ε2γ 0 sin2 ϕ 1 = , 1 + ε γ0 (1 − cos θ ) 1 + 2ε γ 0 + ε2γ 0 sin2 ϕ

т.е., 1 + 2ε γ 0 + ε2γ 0 sin2 ϕ

1 + ε γ0 (1 − cos θ ) =

. 1 + 2ε γ 0 sin2 ϕ + ε2γ 0 sin2 ϕ Решая это уравнение, последовательно получаем: 2 cos2 ϕ ε γ0 (1 − cos θ ) = ε γ 0 , 1 + 2ε γ 0 sin2 ϕ + ε2γ 0 sin2 ϕ cos θ = 1 −

2 cos2 ϕ , 1 + 2ε γ 0 + ε2γ 0 − 2ε γ 0 cos2 ϕ − ε2γ 0 cos2 ϕ 2

cos θ =

(3)

(1 + ε ) (1 − cos ϕ ) − cos 2

2

γ0

ϕ

. 1 + 2ε γ 0 + ε − 2ε γ 0 cos ϕ − ε cos2 ϕ После приведения подобных членов в числителе и знаменателе дроби будем иметь: 2 γ0

2

149

2 γ0

2

(1 + ε ) cos θ = (1 + ε ) γ0

2

γ0

2

tg2 ϕ − 1

2

tg2 ϕ + 1

(1 + ε ) = ϕ (1 + ε )

sin 2 ϕ − cos2 ϕ

γ0

sin 2 ϕ + cos2

γ0

.

(4)

Поскольку cos θ = 1/ tg2 θ + 1 , то получаем уравнение: 2

tg2 ϕ + 1

2

tg2 ϕ − 1

(1 + ε ) tg θ + 1 = (1 + ε ) γ0

2

γ0

или 2

4 (1 + ε γ 0 ) tg2 ϕ

2

tg θ =

{

2

}

2

(1 + εγ0 ) tg2ϕ − 1

.

Окончательно находим, что tgθ =

2 (1 + ε γ 0 ) tgϕ 2

(1 + ε ) γ0

tg2 ϕ − 1

.

(5)

Если ϕ → 0 , то, как и должно быть, tgθ → −0 , т.е. θ = π . При ϕ → π / 2 (нет взаимодействия) tgθ → 0 , т.е. θ = 0 . Если ε γ 0 << 1 (т.е. Eγ 0 << 0.5 МэВ ), то 2tgϕ sin 2ϕ =− = −tg2ϕ , т.е. tgθ ≈ tg ( π − 2ϕ ) 2 tg ϕ − 1 cos 2ϕ Отсюда находим, что θ ≈ π − 2ϕ , (6) ( εγ0 << 1) . tgθ ≈

При ϕ → 0 , θ = π , а при ϕ → π / 2 , θ = 0 .

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Вывод формул преобразования Лоренца
Пусть, как обычно, скорость v0 направлена вдоль оси x . В начальный момент времени t = t ′ = 0 точки O и O′ совпадают. Оси координат в системах K и K ′ параллельны (рис.П.1.1). Формулы прямого преобразования координат и времени из системы K ′ 150

в систему K (формулы преобразования Лоренца) и формулы обратного преобразования можно получить разными способами из предположений, что интервал между любыми событиями инвариантен (2.1), а сами преобразования – линейны. Условие линейности следует из тождественности разных точек пространства и времени (однородность пространства и времени). Кроме того, при малых скоростях ( v << c ) искомые формулы должны переходить в формулы преобразования Галилея (В.4).

K y

K′ y′

O′ t = t′ = 0 O


v0

x′ x

z′ Рис. П.1.1. Две инерциальные системы координат

Поскольку система K ′ движется относительно системы K вдоль оси x , то поперечные координаты одинаковы в обеих системах отсчета: y = y′ ; z = z′ . (П.1.1) Теперь условие инвариантности интервала можно записать в виде: c2t 2 − dx2 = c2 t ′2 − x′2 . (П.1.2) Поэтому достаточно получить формулы преобразования только для продольных координат и времени. Из принципа относительности следует, что если при прямом преобразовании x = f ( x′, t ′, v ) (когда условно неподвижной считается система K ), то при обратном преобразовании x′ = f ( x, t, −v ) , где f – линейная функция координат и времени. Как пример такого вывода для формул преобразования, рассмотрим преобразование 151

x = ax′ + bvt ′; (П.1.3)  x′ = ax − bvt . При малых скоростях должны получить: x = x′ + vt ′ . Для этого необходимо, чтобы, по крайней мере, безразмерные коэффициенты a = b , причем при v << c a = b = 1 . С учетом сказанного получаем: kx = x′ + vt ′; 1 , k= . (П.1.4)  a kx′ = x − vt; Величина k должна оставаться неизменной при замене v → −v , т.е. должна быть четной функцией скорости. Кроме того, при малых скоростях k → 1 . Из уравнений (П.1.4) выразим x и t через x′ и t ′ : vt ′ + x′ (1 − k 2 ) x′ + vt ′ x= ; t= . (П.1.5) k kv

Подставляя выражения (П.1.5) в (П.1.2) получаем: 2

 vt ′ + x′ (1 − k 2 )   x′ + vt ′ 2 (П.1.6) c t ′ − x′ = c   −  . kv k     Коэффициент k не должен зависеть от величин x′ , t ′ или любой их комбинации. Поэтому найдем значение k из уравнения (П.1.6) для частного значения x′ = ct ′ : 2

2

2

{

2

2

}

c2 vt ′ + ct ′ (1 − k 2 )

= v2 {ct ′ + vt ′} , т.е. c2k 2 = {c2 − v2 } . 2

Отсюда находим: k = 1 − v2 / c2 . (П.1.7) Непосредственной подстановкой можно убедиться, что найденное значение k удовлетворяет уравнению (П.1.6) и при произвольных значениях x′ . Подставляя (П.1.7) в (П.1.5), с учетом формул (П.1.1) получаем: v  x′ + β ct ′ t ′ + β x′ / c  x= ; y = y′ ; z = z′ ; t = ;  β = 0 x  . (П.1.8) 2 2 c   1−β 1−β Это и есть формулы преобразования Лоренца (2.3).

152

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Определение угла отклонения и энергии движущейся частицы m1 после её столкновения с покоящейся частицей m2 Для определения угла отклонения θ1 ( E1 ) и энергии E1 ( θ1 ) первой частицы после рассеяния на покоящейся частице m2 опять воспользуемся уравнениями, выражающими закон сохранения импульса и энергии (8.2) для замкнутой системы из двух частиц. Для упрощения выкладок, перепишем эти уравнения в четырехмерном виде: p1(0k) + p2(0k) = p1k + p2k , (П.2.1) (k = 1, 2,3, 4 ) . Каждая величина в уравнении (П.2.1) есть четырехимпульс части
цы. Например p1(0k) = ( p10 ; iE10 / c ) – четырехвектор энергии - им
пульса первой частицы до рассеяния; p1k = ( p1 ; iE1 / c ) - четырехвектор энергии-импульса первой частицы после рассеяния и так далее. Уравнение (П.2.1) выражает закон сохранения четырехимпульса рассматриваемой замкнутой системы двух частиц. Удобство записи законов сохранения в четырехмерной форме состоит в том, что в соответствии с формулой (5.31) для любой из двух частиц квадрат четырехимпульса является инвариантом и не изменяется в процессе столкновения частиц, т.е. для каждой частицы после столкновения остается таким же, как и до столкновения: 2

( pak )

= − ma2 c2 , ( a = 1,2) . Возводя обе части уравнения (П.2.2) в квадрат, запишем: 2

2

(П.2.2)

( p( ) ) + ( p( ) ) + 2p( )p( ) = ( p ) + ( p ) + 2p p . (П.2.3) Поскольку, ( p( ) ) = ( p ) = −m c и ( p( ) ) = ( p ) = − m c , то величины ( p( ) ) , ( p ) и ( p( ) ) , ( p ) в левой и правой частях 0 1k

0 2k

0 1k

0 1k

0 1k

2

2

0 2k

2

2

1k

2k

0 2k

2 2 1

1k

2

2

1k

0 2k

2

1k

2

2k

2

2k

2 2 2

2

2k

уравнения (П.2.3) взаимно уничтожаются. В результате уравнение (П.2.3) будет выглядеть сравнительно просто: 153

p1(0k) p2(0k) = p1k p2k , (П.2.4) (k = 1, 2,3, 4 ) . Таким образом, выполнение законов сохранения энергии и импульса в четырехмерной форме записи означает, что не должно изменяться скалярное произведение четырехвекторов энергии- импуль-

са частиц до взаимодействия

( p( ) p( ) ) 0 1k

0 2k

и после взаимодействия

( p1k p2k ) .

Именно в этом и состоит упрощение при решении рассматриваемой задачи: решение уравнения (П.2.4) оказывается менее трудоемким, чем метод решения с использованием векторной диаграммы импульсов в трехмерном пространстве. В развернутой форме уравнение (П.2.4) запишется в виде: 
i 
i  
i 
i  (П.2.5)  p10 ; E10   p20 ; E20  =  p1 ; E1   p2 ; E2  . c c c  c     
Поскольку p20 = 0 , E20 = m2 c2 , то левая часть уравнения (П.2.5) существенно упрощается: E10 E20 
i 
i 

= − m2E10 . (П.2.6)  p10 ; E10   p20 ; E20  = p10 p20 − c c c2    Преобразуем правую часть уравнения (П.2.5): E1E2 
i 
i 

(П.2.7)  p1 ; E1   p2 ; E2  = p1p2 − 2 . c c c    Поскольку из законов сохранения импульса и энергии следует, что


p2 = p10 − p1 , E2 = E10 + m2c2 − E1 , то выражение (П.2.7) преобразуется к виду: E1 ( E10 + m2 c2 − E1 ) E1 ( E10 + m2 c2 )


2 2 . p1p10 − p12 − = p p cos θ + m c − 1 10 1 1 c2 c2

(П.2.8) Здесь учтено, что E12 − p12c2 = m12c4 . В результате получаем: 2 2 1

− m2 E10 = p1p10 cos θ1 + m c −

E1 ( E10 + m2c2 ) c2

Из уравнения (П.2.9) находим, что E1 ( E10 + m2 c2 ) − m2c2E10 − m12c4 cos θ1 = c2p10 p1 154

.

(П.2.9)

(П.2.10)

или cos θ1 =

E1 ( E10 + m2 c2 ) − m2c2E10 − m12c4 2 E10 − m12c4

E12 − m12 c4

.

(П.2.11)

Формула (П.2.11) позволяет определить значение угла θ1 , если известно значение полной энергии первой частицы E1 после взаимодействия, т.е. определить значение θ1 ( E1 ) , поскольку величины E10 , m1 и m2 известны. Выражение (П.2.11) можно записать в более компактном виде: E1 ( E10 + k ) − kE10 − 1 cos θ1 = . (П.2.12) 2 E10 − 1 E12 − 1

Здесь, как обычно, E10 , E1 – полные приведенные энергии первой частицы (в единицах её энергии покоя m1c2 ) до и после столкновения соответственно; k – отношение массы покоящейся частицы m2 к массе налетающей частицы m1 : E E1 m ; (П.2.13) E10 = 10 2 ; E1 = k= 2. 2 m1c m1c m1 Чтобы определить значение полной энергии первой частицы E1 или её приведенное значение E1 , считая известным угол θ1 , нужно обратить выражения (П.2.11), (П.2.12) относительно энергии первой частицы, т.е. решить уравнение (П2.11) относительно E1 или уравнение (П2.12) относительно E1 . Рассмотрим сначала простой частный случай, когда налетающей частицей является фотон ( m1 = 0, E10 = Eγ 0 ) , а покоящаяся частица – электрон

( m2

= me ) . В этом случае уравнение

(П.2.11) для величины E1 = Eγ выглядит существенно проще. Это связано с тем, что при m1 = 0 уравнение (П.2.11) сводится к линейному уравнению, поскольку

E12 − m12 c4 = E1 = Eγ . Обозначая

θ1 = θ , запишем

155

cos θ =

E γ ( E γ 0 + m e c2 ) − m e c2 E γ 0 E γ 0 Eγ

.

(П.2.14)

В результате находим, что Eγ 0

Eγ ( θ ) =

. (П.2.15) Eγ 0 1+ (1 − cos θ ) m e c2 Полученный результат полностью совпадает с формулой Комптона (7.6), которая описывает процесс рассеяния γ -кванта на свободном электроне. Теперь рассмотрим общий случай, когда налетающая частица имеет произвольную массу m1 > 0 . Возводя обе части равенства (П.2.12) в квадрат, получим:

(E

2 1

{

2

}

2 − 1)( E10 − 1) cos2 θ1 = E1 ( E10 + k ) − kE10 − 1 .

(П.2.16)

Таким образом, в отличие от линейного уравнения (8.10) для энергии E2 ( θ2 ) второй частицы, уравнение (П.2.16) для определения энергии E1 ( θ1 ) первой частицы оказывается квадратным уравнением: aE12 + bE1 + c = 0 . (П.2.17) Здесь 2 a = ( E102 − 1) cos2 θ1 − ( E10 + k )  ; b = 2 ( E10 + k ) (1 + kE10 ) ; (П.2.18a)   2 2 c = − (1 + kE10 ) + ( E10 − 1) cos2 θ1  . (П.2.18b)   Именно это обстоятельство приводит к более громоздким промежуточным выкладкам при определении величины E1 ( θ1 ) по срав-

нению с определением величины E2 ( θ2 ) , вычисление которой было выполнено в восьмом разделе. Решение уравнения (П.2.17) определяется обычной формулой: −b ± ∆ E1 = , где ∆ = b2 − 4ac . (П.2.19) 2a Вычисление дискриминанта ∆ дает 156

2

2 ∆ = 4 cos2 θ1 ( E10 − 1) ( k 2 − sin2 θ1 ) .

(П.2.20)

Теперь, подставляя значения a , b и ∆ в (П.2.19), окончательно получаем: E1 ( θ1 )

(E =

10

2 + k )(1 + kE10 ) ± ( E10 − 1) cos θ1 k 2 − sin 2 θ1

( E + k )2 − ( E 2 − 1) cos2 θ  10 1  10   m2  k = . m1   Приведенная кинетическая энергия первой T1 ( θ1 ) = E1 ( θ1 ) − 1 будет определяться выражением: T1 ( θ1 ) = T10

(T

10

{

+ 1 + k ) ( k − 1) + ( T10 + 2 ) cos θ1 cos θ1 ±

(T

10

,

(П.2.21) частицы k 2 − sin 2 θ1

2

+ 1 + k ) − T10 ( T10 + 2 ) cos2 θ1

(П.2.22) Общая формула (П.2.22) позволяет определить значение кинетической энергии первой частицы через её угол отклонения θ1 , если задана величина кинетической энергии налетающей частицы T10 и массы частиц m1 и m2 . В

нерелятивистском

2 1 10

2

2 10

случае

( v << c ) ,

когда

2

T10 = m v / m1c = v / c << 1 из общей формулы (П.2.22) находим, что T1 ( θ1 ) = T10

(k

2

{

− 1) + 2 cos θ1 cos θ1 ± k 2 − sin2 θ1 2

(1 + k )

}.

(П.2.23a)

или  m1  T1 = T10    m1 + m 2 

2

2   m 2   m2    2 2 2 1 +   − 2 sin θ1 ± 2 cos θ1   − sin θ1  . m  m1    1  

(П.2.23b) Полученный результат в точности совпадает с формулой для кинетической энергии первой частицы после столкновения с покоящейся частицей в рамках обычной ньютоновской механики [6]. 157

}.

Анализ полученного результата 1. Масса налетающей частицы равна массе покоящейся частицы m1 = m2 = m , т.е. k = 1 . Для частиц с одинаковой массой общая формула (П.II.22) существенно упрощается: T1 ( θ1 ; k = 1) = T10

{

cos θ1 cos θ1 + 1 − sin 2 θ1 2 + T10 sin 2 θ1

}=T

10

2 cos2 θ1 2 + T10 sin 2 θ1

.

(П2.24) В этом случае угол рассеяния θ1 не превышает π / 2 и каждому значению θ1 отвечает только одно значение энергии, соответствующее выбору знака “плюс” перед радикалом в формуле (П2.24). В противном случае получили бы, что T1 ≡ 0 при любом угле рассеяния θ1 (а не только при лобовом столкновении), что физически абсурдно. Лобовому столкновению соответствует значение θ1 = π / 2 и при этом T1 ( θ1 = π / 2; k = 1) = 0 , т.е. налетающая частица останавливается – частицы “обмениваются скоростями”. При θ1 = 0 направление движения первой частицы не изменяется, т.е. рассеяние отсутствует. В этом случае T1 ( θ1 = 0; k = 1) = T10 . 2. Масса налетающей частицы больше массы покоящейся частицы: m1 > m2 , т.е. k < 1 . В этом случае из условия положительности выражения под знаком радикала следует, что sin θ1 ≤ k , т.е. угол рассеяния может изменяться в ограниченных пределах: m  0 ≤ θ1 ≤ θ1max , где θ1max = arcsin  1  . (П2.25)  m2  Рассеяние первой частицы на угол θ1 > θ1max невозможно (так же как и в нерелятивистском случае). При этом каждому значению угла θ1 из диапазона значений (П2.25) отвечают два значения энергии T1 для знаков плюс или минус перед радикалом в формуле (П2.22). 158

3. Масса налетающей частицы меньше массы покоящейся частицы: m1 < m2 , т.е. k > 1 . В этом случае возможно рассеяние первой частицы на любой угол 0 ≤ θ1 ≤ π . При этом каждому углу θ1 отвечает только одно значение энергии T1 . При рассеянии на угол 0 ≤ θ1 ≤ π / 2 в формуле (П2.22) нужно выбрать знак « + ». При рассеянии на тупой угол π / 2 ≤ θ1 ≤ π , когда проекция импульса первой частицы на ось oX становится отрицательной, нужно выбрать знак « − ». Только при таком правиле выбора знаков рассеянию частицы на больший угол будет соответствовать меньшая энергия первой частицы T1 после рассеяния. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1.

2.

3. 4.

5. 6. 7.

8.

В чем разница между принципом относительности в классической механике и принципом относительности Эйнштейна? Приведите пример нарушения понятия одновременности, вытекающего из принципа относительности Эйнштейна. Что называется событием? Приведите примеры простейших событий. Что такое интервал между событиями? Напишите выражение для квадрата интервала между бесконечно близкими событиями. В чем состоит математическое выражение принципа относительности Эйнштейна? Проверьте инвариантность интервала в различных инерциальных системах отсчета. Какие фундаментальные свойства пространства и времени отражают формулы преобразований Лоренца для координат и времени? Чем формулы преобразования координат и времени в теории относительности радикально отличаются от формул преобразования Галилея в классической меха159

9.

10.

11.

12. 13.

14.

15. 16.

17.

18.

19. 20.

нике? Осуществите предельный переход в формулах Лоренца к малым скоростям. Что такое собственная длина объекта? Как измерить длину стержня в различных инерциальных системах отсчете? В чем состоит лоренцево сокращение длины? Что такое собственное время объекта? Как изменяется собственное время при переходе от одной инерциальной системы координат к другой? Что называется скоростью материальной точки в различных системах отсчета? Получите формулы преобразования скорости частицы из формул преобразования Лоренца для координат и времени. Рассмотрите переход к малым скоростям. Как выглядят формулы преобразования Лоренца для скорости фотона? В чем состоит эффект аберрации света? Как связаны между собой углы распространения фотона в разных инерциальных системах отсчета? Что называется относительной скоростью двух частиц? Чему равна относительная скорость частиц во встречных пучках при произвольных скоростях частиц? В чем её отличие от аналогичной формулы в классической механике? Чему равна относительная скорость фотонов во встречных световых потоках? Что называется действием? Напишите выражение для функции Лагранжа свободной релятивистской частицы. Рассмотрите предельный случай малых скоростей. В чем основные отличия функции Лагранжа для свободной частицы в релятивисткой механике, от функции Лагранжа в нерелятивистской механике? Используя выражение для функции Лагранжа свободной частицы, получите выражения для её импульса и энергии. Рассмотрите случай малых скоростей. Что такое энергия покоя частицы? Что называется четырехскаляром и четырехвектором? Приведите примеры основных четырехскаляров и четырехвекторов. 160

21. Выпишите в явном виде матрицу преобразования Лоренца и формулу преобразования четырехвекторов с помощью этой матрицы. Как выглядит матрица, обратная матрице Лоренца? 22. Что называется четырехвектором скорости? Чему равен квадрат четырехвектора скорости? 23. Что такое четырехвектор энергии-импульса? Напишите формулы преобразования для импульса и энергии частицы при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Осуществите предельный переход при малых скоростях. 24. Чему равен квадрат четырехвектора энергии-импульса? 25. Что называется функцией Гамильтона частицы? Получите выражение для функции Гамильтона свободной частицы. 26. Какова связь между энергией и импульсом фотона? 27. Что такое относительная энергия частиц? Чему равна относительная кинетическая энергия одинаковых частиц во встречных пучках? 28. Как формулируются законы сохранения энергии и импульса в релятивистской механике? 29. В чем состоит критерий возможности распада покоящейся частицы на две частицы? Выполняются ли при распаде частицы закон сохранения энергии и массы? 30. Что называется дефектом массы при распаде ядра? 31. Чем принципиально отличается процесс рассеяния γ кванта на покоящемся свободном электроне от процесса рассеяния электромагнитной волны? 32. В чем суть и значимость эффекта Комптона? Изменяется ли частота γ -кванта при его рассеянии на покоящемся электроне? Может ли γ -квант потерять всю свою энергию при рассеянии на свободном электроне? 33. Что называется комптоновской длиной волны λK электрона? 34. Чему равна энергия γ -кванта, если длина его волны равна λK ? 161

35. Как Вы понимаете принцип дуализма, вытекающий из опыта Комптона? 36. Какие релятивистские эффекты возникают при упругом рассеянии частицы m1 на покоящейся частице массой m2 ? 37. Может ли налетающий электрон передать всю свою энергию покоящемуся протону? 38. Может ли налетающий протон передать всю свою энергию покоящемуся электрону? 39. Напишите релятивистское уравнение движения частицы в однородном постоянном магнитном поле. Покажите неизменность энергии при движении частицы в магнитном поле. 40. Как изменяется радиус окружности при вращении релятивистской частицы в однородном магнитном поле? 41. Напишите уравнение движения релятивисткой частицы в однородном электрическом поле. 42. Как будет изменяться импульс и скорость при движении частицы в продольном электрическом поле (начальная скорость частицы равна нулю)? 43. В чем состоит основной релятивистский эффект при движении частицы в однородном постоянном электрическом поле? 44. Как Вы можете объяснить тот факт, что при движении частицы в однородном электрическом поле изменяется не только составляющая скорости вдоль направления действия силы, но и перпендикулярная составляющая скорости частицы?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная 1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, М.: Наука, 1962, 1988. 162

2. Левич В.Г. Курс теоретической физики, I, М.: Физматгиз, 1962. 3. Савельев И.В. Основы теоретической физики, Т.1,. М.: Наука, 1975. 4. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике Т.2. М.: Мир, 1965.

Дополнительная 1. Савельев И.В., Курс общей физики, Т.2. М.: Наука, 1975. 2. Алексеев А.И. Сборник задач по классической электродинамике. М.: Наука, 1977. 3. Физический энциклопедический словарь. Главный редактор Прохоров А.М. М.: «Советская энциклопедия», 1983. 4. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970. 5. Ремизович В. С., Маринюк В.В. Общие принципы классической электродинамики. Учебное пособие (для групп вечернего факультета). М.: МИФИ, 2008. 6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988.

163

Ремизович Валерий Стефанович Чернов Александр Сергеевич Муравьев Сергей Евгеньевич Ивлиев Сергей Владимирович

Конспект лекций по специальной теории относительности (для групп вечернего факультета)

Редактор Н.В. Шумакова Оригинал-макет изготовлен С.В. Ивлиевым Подписано в печать 15.12.2010. Формат 60х84 1/16 Печ. л. 10,25. Уч.-изд.л. 10,0. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/80 Заказ № 40 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш.,31 ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42