Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 45–58 УДК 517.9
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ c 2006 г.
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
АННОТАЦИЯ. Рассмотрена краевая задача для одного класса сингулярно возмущенных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен аналитико-численный метод решения этой задачи, основанный на сочетании операторного метода Ньютона и метода продолжения по параметру, а также построении начального приближения в явном виде. Метод применен к частному случаю этой системы, возникающему при моделировании взаимодействия физических полей в полупроводниковом диоде. Для этого случая производная Фреше и функция Грина соответствующего дифференциального уравнения найдены аналитически. Численная реализация подтвердила высокую эффективность и сверхэкспоненциальную скорость сходимости предложенного метода.
1. ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
Рассматривается следующая краевая задача для сингулярно возмущенной системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке [−1, 1] относительно функций Ψ(x), P (x) и N (x): 2 0 ε (x) Ψ0 (x) + h P (x), N (x) = sign x, (1.1) 0 0 0 fP (Ψ) P (x) + Ψ (x) gP (Ψ) P (x) = hP (x, R) , (1.2) 0 fN (Ψ) N 0 (x) + Ψ0 (x) gN (Ψ) N (x) = hN (x, R) (1.3) с граничными условиями Ψ(±1) = ±V,
P (−1) = 0,
P (1) = 1,
N (−1) = 1,
N (1) = 0.
(1.4)
Здесь ε(x) является ступенчатой функцией, определяемой по формуле ε− , x ∈ [−1, 0), ε(x) = ε+ , x ∈ (0, 1], где ε± (x) — малые положительные параметры. Функции fP , fN , gP и gN гладко зависят от Ψ, причем fP и fN не обращаются в нуль. Функция h гладко зависит от своих аргументов и удовлетворяет равенствам h P (−1), N (−1) = −1, h P (1), N (1) = 1 . (1.5) Функции hP и hN непрерывно зависят от своих аргументов. Величина R выражается через P и N в виде R(x) = R P (x), N (x) , (1.6) где функция R(P, N ) — гладкая. Уравнения (1.1)–(1.3) понимаются в смысле выполнения соответствующих интегральных тождеств, что эквивалентно поточечному удовлетворению этих уравнений на (−1, 1) \ {0} и выполнению известных условий трансмиссии в точке x = 0. При этом предполагается, что функции Ψ, P и N принадлежат классу B := C 2 (I − ) ∩ C 2 (I + ) ∩ C[−1, 1], где I ± определяются равенствами I − := [−1, 0],
I + := [0, 1]. c
2006 РУДН
45
46
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
2. СВЕДЕНИЕ
К СИСТЕМЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЙ И ПОДХОД К ЕЕ РЕШЕНИЮ
Заметим, что дифференциальные операторы в левых частях уравнений (1.2) и (1.3) линейны относительно P и N соответственно. Этот факт наряду со специальным видом этих операторов дает возможность выписать для них функции Грина P(Ψ; x, ξ) и N(Ψ; x, ξ), которые, как это нам потребуется в дальнейшем, соответствуют однородным условиям Дирихле на концах отрезка: P (Ψ; ±1, ξ) = 0,
N (Ψ; ±1, ξ) = 0.
(2.1)
Функция Грина для оператора из левой части (1.2) дается равенством P(Ψ; x, ξ) = x ∈ I ± (ξ), где отрезки I ± суть I − (ξ) := [−1, ξ],
P± (Ψ; x, ξ),
I + (ξ) := [ξ, 1],
а функции P± определяются выражениями P− (Ψ; x, ξ) := − e−FP
P+ (Ψ; x, ξ) := − e−FP
h i x F ; f −1 i E−1 P P h i , Eξ1 FP ; fP−1 −1 E FP ; fP h i h i Ex1 FP ; fP−1 ξ h i . E−1 FP ; fP−1 E FP ; fP−1 h
(2.2)
(2.3)
Здесь использованы обозначения Eαβ
Zβ [u; v] :=
1 E [u; v] := E−1 [u; v] ,
v(t) exp u(t) dt,
f −1 =
1 , f
(2.4)
α
а FP (x) определяется через коэффициенты уравнения (1.2) по следующей формуле: ZΨ FP (Ψ) :=
gP (t) dt. fP (t)
(2.5)
V
Заметим, что правые части формул (2.2), (2.3) зависят от Ψ косвенным образом через входящие в них функции fP (Ψ) и FP (Ψ). Функция Грина для оператора из левой части (1.3), соответствующая однородными условиями Дирихле (2.1), дается равенством N(Ψ; x, ξ) = N± (Ψ; x, ξ) , x ∈ I ± , где N± определяются выражениями h i x F ; f −1 h i E−1 N N −1 h i , N− (Ψ; x, ξ) := − e−FN Eξ1 FN ; fN (2.6) −1 E FN ; fN i h −1 h i Ex1 FN ; fN ξ −1 h i . N+ (Ψ; x, ξ) := − e−FN E−1 FN ; fN (2.7) −1 E FN ; fN Фигурирующая здесь функция FN (x) определяется через коэффициенты уравнения (1.3) по следующей формуле: ZΨ gN (t) dt. (2.8) FN (Ψ) := fN (t) −V
Используя функции Грина P и N и вводя обозначение для свертки
Z1
g(x, ξ) ∗ f (ξ) :=
g(x, ξ) f (ξ) dξ, −1
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДУ
47
получаем следующие представления для функций P и N — решений соответственно уравнений (1.2) и (1.3) с граничными условиями (1.4) — через Ψ и R: −1 x
−FP E−1 FP ; fP P (x) = P [Ψ, R] := P(Ψ; x, ξ) ∗ hP (ξ, R) + e , (2.9) E[FP ; fP−1 ] −1
] E 1 [FN ; fN (2.10) N (x) = N [Ψ, R] := N(Ψ; x, ξ) ∗ hN (ξ, R) + e−FN x −1 . E[FN ; fN ] Первые члены в правых частях равенств (2.9) и (2.10) представляют собой решения уравнений (1.2), (1.3) с однородными граничными условиями, а вторые — решения соответствующих однородных уравнений с неоднородными граничными условиями (1.4). Заметим, что правые части формул (2.6), (2.7), (2.9) и (2.10) зависят от Ψ косвенным образом через входящие в них функции fP (Ψ), fN (Ψ), FP (Ψ) и FN (Ψ). Подставляя P = P [Ψ, R] и N = N [Ψ, R] из формул (2.9), (2.10) в уравнение (1.1), приходим к нелинейному интегродифференциальному уравнению относительно Ψ, которое вместе с граничными условиями из (1.4) составляет краевую задачу L (R) [Ψ] = 0 ,
Ψ(−1) = −V ,
Ψ(1) = V ;
(2.11)
здесь интегродифференциальный оператор L (R) [Ψ], действующий на функцию Ψ(x), определяется по формуле 0 (2.12) L (R) [Ψ] := ε2 (x) Ψ0 (x) + H(R)[Ψ] − sign x, где введены обозначения H(R)[Ψ] = h P[R, Ψ], N [R, Ψ] .
(2.13)
Отметим, что для оператора L и уравнения (2.11) функция R(x) играет роль параметра. Подставляя P = P [Ψ, R] и N = N [Ψ, R] из формул (2.9) и (2.10) в (1.6), получаем следующее интегральное уравнение для функции R(x) h i K (Ψ)[R] := R − R P [Ψ, R], N [Ψ, R] = 0. (2.14) Интегральный оператор K (Ψ)[R], определяемый первым равенством (2.14), действует на функцию R(x), а функция Ψ(x) играет в нем роль параметра. Таким образом, задача (1.1)–(1.4) для тройки функций {Ψ, P, N }V сведена к краевой задаче для интегродифференциального уравнения (2.11) и интегрального уравнения (2.14) относительно пары функций {Ψ, R}V . Индекс V в приведенных обозначениях подчеркивает зависимость решений задачи (1.1)–(1.4) или задачи (2.11), (2.14) от параметра V из граничных условий. Для решения задачи (2.11), (2.14) предлагается метод, основанный на итерационном операторном процессе Ньютона (см. [1, 5, 6]) и эффективном построении начального приближения для него при помощи способа, описанного ниже. Указанный итерационный процесс записывается в следующем виде: h i Ψn+1 = Ψn − L(Ψn , Rn ) L(Rn )[Ψn ] , (2.15) h i Rn+1 = Rn − K(Ψn , Rn ) K(Ψn )[Rn ] , (2.16) где n = 0, 1, . . .; здесь L и K — линейные операторы, действующие на аргументы в квадратных скобках и параметрически зависящие от аргументов в круглых скобках. Они являются обратными операторами к производной Фреше соответственно для операторов L и K. Таким образом, приближенное решение задачи (2.11), (2.14) строится по формулам (2.15), (2.16), а ее точное решение ищется в виде предела {Ψ, R}V = lim {Ψn , Rn }V . Подставляя предельные n→∞
функции Ψ(x) и R(x) в формулы (2.9), (2.10), вычисляем P (x) и N (x), чем и завершаем решение исходной задачи (1.1)–(1.4).
48
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
3.
МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
3.1. Метод продолжения по параметру. Настоящий раздел посвящен построению начального приближения {Ψ0 , R0 }V для итерационного процесса (2.15), (2.16). Аналитический метод построения {Ψ0 , R0 }V для отрицательных V дан ниже в пункте 3.4. Он основан на решении системы уравнений, являющейся модификацией исходной системы (1.1)–(1.4); вывод этой модифицированной системы проведен в пункте 3.2. Для положительных V начальное приближение строится при помощи метода продолжения по параметру (см. [7]), заключающегося в следующем. Пусть V ∗ > 0, а V∗ < 0. Тогда, согласно сказанному, начальное приближение {Ψ0 , R0 }V∗ строится в аналитическом виде, а само решение {Ψ, R}V∗ находится при помощи процедуры (2.15), (2.16). Чтобы получить начальное приближение при V = V ∗ , разобьем отрезок [V∗ , V ∗ ] точками Vm (где m = 0, M ) так, что V∗ =: V0 < V1 < . . . Vm < . . . < VM := V ∗ , (3.1) и обозначим через {Ψ, R}Vm решение задачи (2.11), (2.14), соответствующее V = Vm и состоящее из функций Ψ(Vm ), R(Vm ). Если решение известно для V = Vm−1 , то в качестве начального приближения {Ψ0 , R0 }Vm для {Ψ, R}Vm выбираем функции Ψ0 (Vm ) := Ψ(Vm−1 ) + (Vm − Vm−1 )x,
R0 (Vm ) := R(Vm−1 ),
m = 1, 2, . . . , M,
(3.2)
и при помощи итерационного процесса (2.15), (2.16) получим в пределе: Ψ(Vm ) = lim Ψn (Vm ), n→∞
(3.3)
R(Vm ) = lim Rn (Vm ). n→∞
Поскольку решение {Ψ, R}V0 известно, то процедура (3.3) с начальным приближением (3.2) дает продолжение решения от меньших m к большим. При m = M с помощью (3.2), (3.3) получаем начальное приближение {Ψ0 , R0 }V ∗ и само решение {Ψ, R}V ∗ задачи (2.11), (2.14). Подставляя предельные функции Ψ(V ∗ ), R(V ∗ ) в формулы (2.9) и (2.10), завершаем построение решения {Ψ, P, N }V ∗ задачи (1.1)–(1.4). 3.2. Вывод модифицированной системы уравнений. В качестве начального приближения {Ψ0 , R0 }V при отрицательных V принимаются функции Ψ0 (x) и R0 (x) = R[P0 (x), N0 (x)], где тройка {Ψ0 , P0 , N0 }V является решением модифицированная системы, получаемой из исходной (1.1)– (1.3) следующим образом. Первое уравнение сохраняется в виде 2 0 ε (x) Ψ00 (x) + h P0 (x), N0 (x) = sign x, (3.4) а вместо остальных двух используются уравнения, получаемые приравниванием к нулю выражений в квадратных скобках из (1.2), (1.3): fP (Ψ0 ) P00 (x) + Ψ00 (x) gP (Ψ0 ) P0 (x) = 0,
(3.5)
fN (Ψ0 ) N00 (x)
(3.6)
+
Ψ00 (x) gN
(Ψ0 ) N0 (x) = 0.
Граничные условия для модифицированной системы (3.4)–(3.6) выбираем следующим образом. Полагаем, что функция Ψ0 по-прежнему удовлетворяет граничным условиям (1.4), а для функций P0 (x) и N0 (x) вместо (1.4) принимаем условия (1.5), т. е. Ψ0 (±1) = ±V, h P0 (−1), N0 (−1) = −1, h P0 (1), N0 (1) = 1 . (3.7) Разрешая уравнения (3.5) и (3.6) относительно P0 и N0 соответственно, получаем представления для этих функций через Ψ0 : P0 (x) = P0 (Ψ0 ) = C1 e−FP (Ψ0 ) ,
N0 (x) = N0 (Ψ0 ) = C2 e−FN (Ψ0 ) ,
Ψ0 = Ψ0 (x),
(3.8)
где FP и FN даются равенствами (2.5) и (2.8). Неизвестные постоянные C1 и C2 в выражениях (3.8) для P0 и N0 находятся из системы двух уравнений h C1 e−FP (−V ) , C2 = −1, h C1 , C2 e−FN (V ) = 1 , (3.9) получаемых подстановкой (3.8) в два последние краевые условия (3.7).
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДУ
49
Подставляя решения (3.8) второго и третьего уравнений модифицированной системы (3.4)–(3.6) в первое и учитывая первое равенство (3.7), сводим эту систему к следующей краевой задаче для одного уравнения относительно Ψ0 (x): 0 2 ε (x) Ψ00 (x) + H Ψ0 (x) = sign x, Ψ0 (−1) = −V, Ψ0 (1) = V < 0, (3.10) где введено обозначение H(Ψ0 ) := h P0 (Ψ0 ), N0 (Ψ0 ) .
(3.11)
3.3. Постановка задачи. Таким образом, начальное приближение Ψ0 для функции Ψ при отрицательных V есть решение краевой задачи (3.10), где уравнение понимается в смысле выполнения соответствующего интегрального тождества, что эквивалентно поточечному его удовлетворению на (−1, 1) \ {0} и выполнению следующих условий трансмиссии в точке x = 0: Ψ0 (−0) = Ψ0 (+0),
ε2− Ψ00 (−0) = ε2+ Ψ00 (+0).
(3.12)
При этом предполагается, что Ψ0 принадлежит классу B. Начальные приближения для функций P и N выражаются через Ψ0 по формулам (3.8). Заметим, что из (3.7), (3.8) и (3.11) вытекают равенства H(−V ) = −1,
(3.13)
H(V ) = 1.
В дальнейшем будем предполагать, что для функции H(Ψ0 ) выполняется условие монотонного убывания; это согласуется с равенствами (3.13), поскольку V < 0. В силу принятой гладкости функции h и вытекающей из (3.8) гладкости P0 и N0 , это условие эквивалентно следующему: H 0 (Ψ0 ) < 0.
(3.14)
Теорема 3.1. Если выполняется условие (3.14), то решение задачи (3.10), (3.12) единственно в классе B. e 0 задачи (3.10), (3.12). Тогда Доказательство. Пусть, напротив, существует еще одно решение Ψ e 0 (x)−Ψ0 (x) принадлежит классу B и является решением следующей краевой их разность η(x) := Ψ задачи: 2 0 ε (x) η 0 (x) = H Ψ0 (x) − H Ψ0 (x) + η(x) , (3.15) η(±1) = 0,
η(−0) = η(+0),
ε2− η 0 (−0) = ε2+ η 0 (+0).
(3.16)
Покажем, что у задачи (3.15), (3.16) нет других решений, кроме η ≡ 0. Если это не так, то существует интервал I, быть может, совпадающий с исходным, на концах которого функция η(x) обращается в нуль, а внутри него знакопостоянна. Если η > 0,
x ∈ I,
(3.17)
то правая часть уравнения (3.15) положительна и, значит, должно выполняться неравенство η 00 (x) > 0, x ∈ I \{0}. Но из него и из нулевых граничных условий на концах I следует η < 0, x ∈ I, что противоречит исходному предположению о положительности η на интервале I. Аналогично, при предположении обратного неравенства в (3.17) правая часть уравнения (3.15) отрицательна и η 00 (x) < 0, x ∈ I \ {0}, что с учетом нулевых условий на концах I приводит к противоречию с исходным предположением. Таким образом, η ≡ 0 и предложение доказано. 3.4. Интегральное представление для обратной функции. Заметим, что уравнение (3.10) можно переписать следующим образом: ε2− Ψ000 (x) = −1 − H(Ψ0 ),
x ∈ (−1, 0) ,
ε2+ Ψ000 (x) = 1 − H(Ψ0 ),
x ∈ (0, 1),
(3.18)
50
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
где правые части (3.18) явно зависят лишь от Ψ0 . Домножая оба уравнения (3.18) на Ψ00 (x), получаем уравнения, интегрирование которых дает 2 ε2− 0 Ψ0 (x) = −Ψ0 (x) − V − 2
ΨZ0 (x)
H(τ ) dτ + α− ,
x ∈ (−1, 0),
(3.19)
x ∈ (0, 1),
(3.20)
−V
2 ε2+ 0 Ψ0 (x) = Ψ0 (x) − V − 2
ΨZ0 (x)
H(τ ) dτ + α+ , V
где неизвестные (неотрицательные) постоянные α− и α+ определяются равенствами 2 2 ε2 ε2 α− := − Ψ00 (−1) , α+ := + Ψ00 (+1) . 2 2 ± Вводя функции Ω (V, t) по формулам Zt
−
Ω (V, t) := −t − V −
H(τ ) dτ,
Zt
+
Ω (V, t) := t − V −
−V
(3.21)
H(τ ) dτ, V
переписываем уравнения (3.19), (3.20) для Ψ0 (x) в виде 2 2 ε2− 0 ε2+ 0 Ψ0 (x) = Ω− (V, Ψ0 ) + α− , Ψ0 (x) = Ω+ (V, Ψ0 ) + α+ , 2 2 откуда получаем интегральные представления для функции x(Ψ0 ) ε− x (Ψ0 ) = ± √ 2
ZΨ0
dt p
Ω− (V, t)
V0
+ α−
,
ε+ x (Ψ0 ) = ± √ 2
ZΨ0
dt p
Ω+ (V, t)
V0
+ α+
,
(3.22)
в которых фигурирует неизвестная величина V0 := Ψ0 (0). Для завершения построения функции x(Ψ0 ) следует, основываясь на граничных условиях (3.10) и условиях трансмиссии (3.12), определить V0 , α± и установить знак перед интегралами (3.22). Применение такого подхода для построения начального приближения и реализация итерационной процедуры (2.15), (2.16) даны в последующих разделах на частном случае задачи (1.1)–(1.4), возникающем при моделировании полупроводникового диода. 4.
КРАЕВАЯ
ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА
4.1. Постановка задачи. При моделировании полупроводникового диода в одномерном диффузионно–дрейфовом приближении (см. [4]) возникает частный случай рассмотренной выше краевой задачи (1.1)–(1.4). При этом функция Ψ представляет собой с физической точки зрения безразмерный электрический потенциал, а P и N — соответственно безразмерные плотности дырок и электронов; функция sign x описывает плотность вмороженных зарядов. Здесь рассматривается случай, когда материал диода однородный и, следовательно, ε не зависит от x; эта величина представляет cобой малый параметр порядка 10−4 . В рассматриваемом случае фигурирующие в системе (1.1)–(1.3) функции имеют следующий вид: h(P, N ) = P − N,
fP (Ψ) = fN (Ψ) = gP (Ψ) = 1,
gN (Ψ) = −1,
(4.1)
hP (x, R) = δP R, hN (x, R) = δN R, где δP и δN суть малые параметры порядка 10−4 , R(x) — рекомбинационная функция, взятая в виде, предложенном в [4], P N − Ni2 R(x) = R P, N := , (4.2) N + Ni + τ (P + Ni ) где параметры τ лежит в диапазоне [0.1, 10], а параметр Ni имеет порядок 10−9 . Из (4.1) следует, что функции FP и FN , определяемые в (2.5), (2.8), принимают в данном случае вид FP (Ψ) = Ψ − V,
FN (Ψ) = Ψ + V.
(4.3)
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДУ
51
Отметим еще, что величина V ∈ [−100, 100], фигурирующая в граничных условиях (1.4), является половиной безразмерной разности потенциалов, подаваемой на диод. Таким образом, для рассматриваемого случая задача (1.1)–(1.4) превращается в следующую (см. [2]): ε2 Ψ00 + P − N = sign x, P 00 + Ψ0 P 0 + Ψ00 P = δP R, Ψ(±1) = ±V,
P (−1) = 0,
(4.4)
N 00 − Ψ0 N 0 − Ψ00 N = δN R,
P (1) = 1,
N (−1) = 1,
N (1) = 0.
(4.5) (4.6)
Решение задачи (4.4)–(4.6) ищется в классе Be := C 2 [−1, 0] ∩ C 2 [0, 1] ∩ C 1 [−1, 1]. Задача (4.4)–(4.6) является сингулярно возмущенной, поскольку множителем при старшей производной в уравнении (4.4) служит малый параметр ε2 . 4.2. Сведение к системе двух уравнений. Поскольку краевая задача (4.4)–(4.6) является частным случаем задачи (1.1)–(1.4), то, в соответствии со сказанным в разделе 2, она сводится к задаче (2.11), (2.14), где оператор L (R) [Ψ] имеет теперь вид L (R) [Ψ] := ε2 Ψ00 (x) − sign x + H (R) [Ψ] ,
(4.7)
а R в операторе K(Ψ) [R] определяется по формуле (4.2). Интегральный оператор H (R) [Ψ] в (4.7) определяется выражением E x [Ψ] E 1 [−Ψ] H (R) [Ψ] := eV −Ψ −1 − eV +Ψ x + E [Ψ] E [−Ψ]
+ δP P(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) − δN N(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) ,
(4.8)
где использованы обозначения Eαβ [u] :=
Zβ
exp u(t) dt,
1 E [u] := E−1 [u] .
(4.9)
α
Функции Грина в свертках (4.8) даются формулами P(Ψ; x, ξ) = P± (Ψ; x, ξ),
N(Ψ; x, ξ) = N± (Ψ; x, ξ),
x ∈ I ± (ξ),
в которых для P± и N± справедливы следующие частные случаи формул (2.2), (2.3), (2.6), (2.7): x [Ψ] E−1 E x [Ψ] , P+ (Ψ; x, ξ) := e−Ψ(x) E1ξ [Ψ] 1 ; E[Ψ] E[Ψ] N± (Ψ; x, ξ) = P± (−Ψ; x, ξ).
ξ P− (Ψ; x, ξ) := e−Ψ(x) E−1 [Ψ]
Для функций P (x) и N (x) имеем вместо (2.9), (2.10) следующие представления через Ψ и R:
E x [Ψ] P (x) = P [Ψ, R] := δP P(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) + eV −Ψ(x) −1 , E[Ψ]
E 1 [−Ψ] N (x) = N [Ψ, R] := δN N(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) + eV +Ψ(x) x . E[−Ψ]
(4.10) (4.11)
Для решения задачи (2.11), (2.14) в рассматриваемом случае, как и в общем, применяется изложенный в разделе 2 метод, включающий итерационный процесс (2.15), (2.16) в сочетании с эффективным построением начального приближения, описанным в разделе 3. Для данного случая операторы L и K из (2.15), (2.16) построены в аналитическом виде в разделе 6, а начальное приближение {Ψ0 , R0 } — в разделе 5. Заметим также, что при реализации процесса (2.15), (2.16) удалось избежать численного дифференцирования (см. пункт 6.5).
52
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
5.
НАЧАЛЬНОЕ
ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА
5.1. Постановка задачи для начального приближения. Подставляя формулы (4.3) для FP и FN в общие представления (3.8) для P0 и N0 и определяя входящие в них постоянные C1 и C2 из уравнений (3.9) с учетом вида (4.1) функции h, получаем выражения для P0 и N0 в случае модели полупроводникового диода e − Ψ0 (x) eΨ0 (x) , N0 (x) = N0 (Ψ0 ) = − . (5.1) 2sh V 2sh V Подставляя (5.1) в (3.11) с учетом вида h из (4.1), находим H(Ψ0 ) в рассматриваемом случае: P0 (x) = P0 (Ψ0 ) = −
shΨ0 (x) . shV Отсюда и из (3.10) вытекает постановка задачи для начального приближения Ψ0 в данном случае: H(Ψ0 ) =
shΨ0 (x) = sign x, Ψ0 (−1) = −V, Ψ0 (1) = V, (5.2) shV e при этом Ψ0 ищется в классе B. После решения задачи (5.2) функции P0 и N0 вычисляем по формулам (5.1); подставляя найденные P0 и N0 в формулу (4.2), получаем функцию R0 в виде ε2 Ψ000 (x) +
R0 (x) =
P0 (x)N0 (x) − Ni2 , N0 (x) + Ni + τ P0 (x) + Ni
(5.3)
чем и завершаем построение начального приближения {Ψ0 , R0 }V . Заметим, что в рассматриваемом случае моделирования диода, т. е. при выполнении равенств (4.1), (4.2), модифицированная система (3.4)–(3.6) превращается в систему ε2 Ψ000 (x) + P0 (x) − N0 (x) = sign x, P00 (x)
+
Ψ00 (x)P0 (x)
= 0,
N00 (x)
−
Ψ00 (x)N0 (x)
(5.4) = 0,
(5.5)
P0 (1) − N0 (1) − 1 = 0 ,
(5.6)
граничные условия (3.7) — в условия Ψ0 (±1) = ±V,
P0 (−1) − N0 (−1) + 1 = 0,
а соотношения (5.1), (5.2) для P0 , N0 и Ψ0 легко вытекают из краевой задачи (5.4)–(5.6). Сама же эта задача имеет ясный физический смысл. А именно, уравнения (5.4), (5.5) являются следствием предположения отсутствия электронного и дырочного токов во всех точках диода, принятого вместо диффузионно–дрейфовой модели, лежащей в основе уравнений (4.4), (4.5), а два последних граничных условия (5.6) отвечают условию отсутствию электрического заряда на концах диода. Поэтому соотношения (1.5), которым удовлетворяет функция h, фигурирующая в постановке (1.1)–(1.4) исходной задачи, можно рассматривать как обобщенные условия отсутствия заряда. При построении начального приближения оказывается удобным вместо Ψ0 использовать функцию u — решение задачи, аналогичной (4.6), на бесконечном интервале: sh u (x) , x ∈ (−∞, ∞), u(−∞) = −V, u(∞) = V. (5.7) sh V Функции P0 и N0 вычисляются по формулам (5.1), в которые вместо Ψ0 следует подставить u: ε2 u00 (x) = sign x −
P0 (x) = −
e − u (x) , 2sh V
N0 (x) = −
eu (x) . 2sh V
(5.8)
Если V лежит в диапазоне [−100, Ve ], а остальные параметры подчинены условиям, описанным в пункте 4.1, то с помощью предложенного метода могут быть установлены следующие оценки между точным решением {Ψ, P, N }V задачи (4.4)–(4.6) и решением {Ψ0 , P0 , N0 }, соответствующим описанной бестоковой модели (5.7), (5.8): max Ψ (x) − u (x) < C1 e2V , x ∈ [−1,1]
max
x ∈ [−1,1]
P (x) − P0 (x) < C2 e2V ,
max
x ∈ [−1,1]
P (x) − P0 (x) < C3 e2V .
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДУ
53
Заметим, что переход от задачи (5.2) на отрезке [−1, 1] к задаче (5.7) на бесконечном интервале правомерен в силу следующего утверждения, справедливого при V ∈ [−100, Ve ], где, напомним, ε ' 10−4 — малый параметр. Предложение 5.1. Для модуля разности функций Ψ0 и u(x) справедлива оценка √ max Ψ0 (x) − u (x) 6 C exp (−δ −1 ) , δ := ε−1 −cthV . x∈[−1, 1]
(5.9)
Доказательство. Оценка (5.9) вытекает из легко устанавливаемого принципа максимума для уравнения (4.6) и следующих неравенств, которым подчиняются граничные значения u(x): |u(±1) ∓ V | < Cexp (−δ −1 ); последние получаются из представления функции u(x) в виде степенного ряда, см. пункт 5.2. 5.2. Решение задачи для начального приближения. Разрешимость задачи (5.7) для функции u устанавливает следующее утверждение. Теорема 5.1. Решение u(x) задачи (5.7), где V < 0, существует и единственно в классе C 1 (−∞, ∞) ∩ C 2 (−∞, 0] ∩ C 2 [0, ∞), причем u0 (x) < 0 на интервале (−∞, ∞). Обратная функция x (u) представляется в следующем виде: Zu ε dt q x(u) = − √ (5.10) , 2 Ω V, −|t| 0 где функция Ω определяется по формуле ch t − ch τ . (5.11) sh V Доказательство. Единственность решения задачи (5.7) доказывается аналогично тому, как доказывается единственность решения задачи (3.10), (3.12) в теореме 3.1. Приступая к доказательству остальных утверждений теоремы, заметим, что, предполагая существование решения Ψ0 задачи (5.7), легко убеждаемся в его нечетности. Поэтому вместо (5.7) достаточно рассматривать следующую задачу на половине вещественной оси: Ω (τ, t) := t − τ −
sh u (x) , x ∈ (0, ∞), shV u(0) = 0, u(∞) = V .
ε2 u00 (x) = 1 −
(5.12) (5.13)
Умножая обе части уравнения (5.12) на u0 (x), получаем уравнение, интегрирование которого дает ε2 0 2 u (x) = Ω V, u(x) + α2 , (5.14) 2 где Ω определяется формулой (5.11), а величина α2 (неизвестная постоянная, возникающая при 2 интегрировании) определяется формулой α2 := ε2 u0 (∞) /2 > 0. Нетрудно убедиться, что функция ω(t) := Ω(V, t) + α2 , V < 0, неотрицательна; ее производная ω 0 (t) обращается в нуль в одной единственной точке t = V , являющейся точкой минимума ω(t), причем (5.15) ω(V ) = α2 , ω(t) = α2 + (t − V )2 + o (t − V )2 , t → V. Поскольку правая часть уравнения (5.14) равна ω u(x) , то из указанных свойств функции ω и соотношения (5.14) следует, что производная u0 (x) отлична от нуля при любом α2 6= 0; если же α = 0, то u0 может обращаться в нуль лишь в точке χ, где значение самой функции равно u(χ) = V . Суммируя сказанное и привлекая граничные условия (5.13), в которых V < 0, приходим к выводу, что соотношение u0 (x) < 0 выполняется для всех x ∈ [0, ∞). С учетом этого неравенства из уравнения (5.14) относительно u(x) находим представление для обратной к ней функции x(u): Zu ε dt p x(u) = − √ . (5.16) 2 ω (t) 0
54
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
Второе граничное условие (5.13) дает x(V ) = ∞ и интеграл (5.16) должен расходиться при u = V . Из (5.15) вытекает, что это возможно лишь при α2 = 0 и, таким образом, вместо (5.16) имеем Zu dt ε p . x(u) = − √ 2 Ω (V, t) 0
Осуществляя нечетное продолжение последнего интеграла, приходим к представлению (5.10) для x(u). Для того чтобы дать эффективные представления решения u(x) задачи (5.12), (5.13), рассмотрим обратную к нему функцию x(u) и ее аналитическое продолжение ϕ(w) = x(w) + iy(w), w = u + iv, с вещественной оси в полосу Π := {w = u + iv : 0 < Im v < π}, определяемое по формуле Zw ε dt p ϕ(w) := − √ , 2 Ω(V, t) 0
где путь интегрирования лежит в Π. Обозначим через λ образ прямой {Im w = π} при отображении ϕ(w) и положим P + := ϕ(+∞), P − := ϕ(−∞), R := min |z|. z∈λ
Эффективные представления для функции u(x) основывается на ее нечетности и разложениях в ряды, определяемых в следующей теореме. Теорема 5.2. Решение u(x) задачи (5.12), (5.13) представимо в виде ряда ∞ x − x X 0 u(x) = V + bn exp n , δ
(5.17)
n=1
сходящегося на множестве {x ∈ R+ ∩ [Re P − , +∞]}, где x0 := ϕ V +
∞ P
bn , а также в виде
n=0
ряда u(x) =
∞ X
An xn ,
(5.18)
n=1
сходящегося на множестве {x ∈ [0, R]}. Доказательство построено в [2] на основе анализа конформного отображения полосы Π, осуществляемого функцией ϕ(w), и подхода, развитого в теории конформного отображения сингулярно деформируемых областей (см. [3]). 5.3. Формулы для коэффициентов в представлениях для начального приближения. Коэффициенты bn в разложении (5.17) даются равенствами b1 = 1,
bn = −
n−1 X
bk Fk, n ,
n = 2, 3, . . . ,
k=1
в которых величины F1, k вычисляются по рекуррентным формулам F1, k = εk ,
n > 1,
Fn, k =
k−1 X
F1, k−m Fn−1, m ,
k > 2,
n > k.
m=n−1
Здесь εk определяются выражениями ε1 = 1,
εn+1
n X σ1k = Ek, n , k! k=1
где Ek,n находятся из рекуррентных соотношений E1, m =
m−1 X σm , Ek, m = E1, m−n Ek−1, n , m σ1 n=k−1
k > 2,
m > k,
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДУ
55
а σn — из соотношений δ1 σ1 = , 2
σ0 = 1,
σm
m−1 i X 1h = δm − σk σm−k , 2
m = 2, 3, . . . ,
k=1
в которых δk , в свою очередь, определяются по формулам δ0 = 1,
δn = −
n−1 X
δk ωn−k ,
n = 1, 2, . . . ,
k=0
через ωk 2 2 th (−V ) , ω 2m = , (2m + 1)! (2m + 2)! Коэффициенты An в разложении (5.18) представляются в виде √ n An = (−1)n an 2T ε−1 , T := th (V /2) − V, ω 2m−1 = −
ω0 = 1,
m > 1.
где коэффициенты an вычисляются по рекуррентным формулам a1 = 1,
an = −
n−1 X
ak Gk, n ,
n = 2, 3, . . . .
k=1
Здесь Gk, n находятся из рекуррентных соотношений G1, n
sn−1 = , n
n > 1,
Gk, n =
n−1 X
G1, n−m Gk−1, m ,
k > 2,
n > k,
m=k−1
а sn — из соотношений s0 = 1,
d1 s1 = ; 2
n−1 i X 1 h sn = dn − sk sn−k , 2
n = 2, 3, . . . ,
k=1
в которых dn , в свою очередь, определяются по формулам d0 = 1,
dn = −
n−1 X
dk c n−k ,
n = 1, 2, . . . ,
−1 c2m = (2n)! T sh (−V ) ,
c2m+1 = 0,
k=0
через ck : c0 = 1,
c1 = T −1 , 6.
ИТЕРАЦИОННЫЙ
m = 1, 2, . . . .
МЕТОД ДЛЯ МОДЕЛИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА
6.1. Производные Фреше операторов L и K. Для того чтобы построить операторы L и K, фигурирующие в процессе Ньютона (2.15), (2.16), приведем вначале вид обратных к ним, т. е. производных Фреше операторов L и K. Производная Фреше L0 (u, f ) [v] оператора L (f ) [u] из (4.7), где H(f )[u] дается равенством (4.8), имеет вид L0 (u, f ) [v] = ε2 v 00 (x) − F (u, f ; x) v (x) + Q(u, f ) [v] . В этой формуле функция F дается равенством E x [u] E 1 [−u] F (u, f ; x) := eV −u −1 + eV +u x + E [u] E [−u]
+ δP P (u; x, ξ) ∗ f (ξ) + δN N (u; x, ξ) ∗ f (ξ) , а оператор Q — следующим равенством: x [u; v] E[u] − E x [u] E [u; v] E−1 −1 + (E[u])2 E 1 [−u; v] E [−u] − Ex1 [−u] E[−u; v] +eV +u(x) x + (E [−u])2
+δP p (u, v; x, ξ) P(u; x, ξ) ∗ f (ξ) + δN n (u, v; x, ξ) N(u; x, ξ) ∗ f (ξ) .
Q(u, f )[v] := eV −u(x)
(6.1)
56
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
Здесь использованы обозначения Eαβ [u; v], E[u; v], Eαβ [u] и E[u], введенные в (2.4) и (4.9), а функции p и n определяются выражениями p− (u, v; x, ξ) =
x [u; v] Eξ1 [u; v] E−1 E [u; v] + , − x 1 E−1 [u] E [u] Eξ [u]
p+ (u, v; x, ξ) =
ξ E−1 [u; v] E1x [u; v] E [u; v] + , − x ξ E1 [u] E [u] E−1 [u]
n − (u, v; x, ξ) = p − (−u, v; x, ξ),
n + (u, v; x, ξ) = p + (−u, v; x, ξ).
Производная Фреше K 0 (u, f ) [v] оператора K (u) [f ] из формулы (2.14), где R определяется из (4.2), имеет вид K 0 (u, f ) [v] = v (x) − δp A (u, f ) [v] ;
(6.2)
здесь оператор A (u, f ) [v] дается следующим выражением:
A (u, f ) [v] := N [u, f ] P (u; x, ξ) ∗ v(ξ) + (δn /δp ) P [u, f ] N (u; x, ξ) ∗ v(ξ) −
τ δn
P [u, f ] N [u, f ] − Ni2 − P (u; x, ξ) ∗ v(ξ) + N (u; x, ξ) ∗ v(ξ) × N [u, f ] + Ni + τ (P [u, f ] + Ni ) δp h i−1 × N [u, f ] + Ni + τ (P [u, f ] + Ni ) . e n+1 разность функций 6.2. Обращение производной Фреше оператора L. Обозначим через Ψ e n+1 := Ψn+1 − Ψn . Построение оператора L, фигурирующего в процессе НьютоΨn+1 и Ψn , т. е. Ψ e n+1 : на (2.15), эквивалентно решению следующей краевой задачи относительно Ψ e n+1 ] = −L(Rn ) [Ψn ], L0 (Ψn , Rn ) [Ψ
e n+1 (±1) = 0. Ψ
(6.3)
e n+1 будем искать в виде ряда Функции Ψ e n+1 = Ψ
∞ X
(m)
(6.4)
χn+1 ,
m=0 (m)
члены которого χn+1 являются решением следующих краевых задач: (0)
D(Ψn , Rn ) [χn+1 ] = −L(Rn ) [Ψn ], (m)
(j−1)
D(Ψn , Rn ) [χn+1 ] = −Q(Ψn , Rn ) [χn+1 ],
(0)
χn+1 (±1) = 0,
(m)
χn+1 (±1) = 0,
m = 1, 2, . . . ,
(6.5) (6.6)
где оператор D (u, f ) [v] дается равенством D (u, f ) [v] := ε2 v 00 (x) − F (u, f ; x) v (x) . (m)
Решения χn+1 задач (6.5), (6.6) представляем в виде свертки D E (0) χn+1 = − G Ψn , Rn ; x, ξ ∗ L(Rn ) Ψn , D (m−1) E (m) χn+1 = − G Ψn , Rn ; x, ξ ∗ Q(Ψn , Rn ) χn+1 , m = 1, 2, . . . , правых частей уравнений (6.5), (6.6) c функцией Грина G(u, f ; x, ξ) оператора D (u, f ) [v] с однородными условиями Дирихле v(±1) = 0. Таким образом, оператор L из (2.15) находим в виде h i e n+1 , L(Ψn , Rn ) L(Rn )[Ψn ] = −Ψ (6.7) e n+1 дается формулой (6.4). где функция Ψ
ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДУ
57
Поскольку параметр ε мал, для вычислительных целей достаточно использовать вместо функции G главный член G0 ее асимптотики при ε → 0, вид которого, полученный методом ВКБ (см. [8]), следующий: −1/4 −1 x G− F(x) F(ξ) sh I −1 sh I ξ1 / sh I , (6.8) 0 (x, ξ) = −ε G+ 0 (x,
ξ) =
G− 0 (ξ,
Iαβ
x),
:= ε
−1
Zβ p
F(t) dt ,
1 I := I−1 ;
(6.9)
α
в этих формулах для краткости
G± 0 (u, f ; x, ξ)
заменено на G± 0 (x, ξ), а F (u, f ; x) — на F (x).
en+1 разность функций 6.3. Обращение производной Фреше оператора K. Обозначим через R en+1 := Rn+1 − Rn . Построение оператора K, фигурирующего в процессе НьютоRn+1 и Rn , т. е. R en+1 : на (2.16), эквивалентно решению следующего уравнения относительно R en+1 ] = −K (Ψn ) [Rn ]. K0 (Ψn , Rn ) [R Функции Rn+1 будем искать в виде ряда en+1 = R
∞ X
(m)
δpm ηn+1 ,
(6.10)
m=0 (m)
в котором функции ηn+1 даются следующими формулами: (0)
ηn+1 = −K (Ψn ) [Rn ],
(m−1) (m) ηn+1 = A (Ψn , Rn ) ηn+1 ,
Таким образом, оператор K из (2.16) находим в виде h i en+1 , K(Ψn , Rn ) K(Ψn )[Rn ] = −R
m = 1, 2, . . . .
(6.11)
en+1 дается формулой (6.10). где функция R 6.4. Реализация итерационного процесса. На нулевом шаге итерационного алгоритма строится начальное приближение {Ψ0 , R0 }V ; способ построения такого приближения при V < Ve дан в разделе 5, а для произвольных V — в пункте 3.1. На первом и следующих шагах алгоритма вычисляются функции Ψn и Rn при помощи процесса Ньютона (2.15), (2.16), где для L и K используются формулы (6.7) и (6.11). Решение задачи (2.11), (2.14) ищется в виде предела {Ψ, R}V = lim {Ψn , Rn }V , после чего функции P и N из (4.4)–(4.6) находятся подстановкой выn→∞
численных функций Ψ и R в формулы (4.10) и (4.11). Таким образом, решение {Ψ, P, N }V задачи (4.4)–(4.6) построено. Сходимость итерационного процесса устанавливает следующая теорема. Теорема 6.1. 1) Существует такое Ve < 0, что при всех V < Ve решение {Ψ, R}V задачи (2.11), (2.14), где L и K определяются из (4.7), (2.14), (4.7), существует в классе Be и единственно в окрестности {Ψ0 , R0 }V ; здесь Ψ0 — решение задачи (5.2), а R0 определяется по формулам (5.3), (5.1) через Ψ0 . 2) Последовательность {Ψn , Rn }V , получаемая из итерационного процесса (2.15), (2.16) с начальным приближением {Ψ0 , R0 }V , сходится к решению задачи (2.11), (2.14). 3) Если решение {Ψ, R}V∗ при V∗ < Ve < 0 известно, то при достаточно мелком разбиении (3.1) алгоритм (3.3), (2.15), (2.16) с начальным приближением (3.2) дает на M -м шаге продолжения по m решение {Ψ, R}V ∗ задачи (2.11), (2.14) при V = V ∗ . Для любого V решение задачи (2.11), (2.14) существует в классе Be и единственно в окрестности начального приближения (3.2). Доказательство вытекает из теории метода Ньютона (см. [1, 5, 6]) и оценки соответствующих величин с использованием выражений (4.7), (6.1), (2.14), (4.2), (6.2) для операторов L, L0 , K и K0 .
58
С. И. БЕЗРОДНЫХ, В. И. ВЛАСОВ
6.5. Исключение операции дифференцирования. Отметим, что при осуществлении описанного в разделе 5 алгоритма появляется необходимость вычисления выражения L(Rn ) Ψn , фигурирующего в формулах (2.15), (6.5). Если для этого вычисления непосредственно использовать определение (4.7) оператора L, то возникают существенные трудности, связанные с численным дифференцированием быстро изменяющейся функции Ψ. Если же для этой цели использовать формулу (2.15) с дифференцированием по переменному x и редукцией по индексу n, то возникает необходимость вычисления сингулярных интегралов, что также приводит к большим трудностям. В данной работе предложен способ нахождения L(Rn ) Ψn , основанный на явном вычислении величины ε2 Ψ00n при помощи уравнения (6.3), исключающий операцию дифференцирования функции Ψn . Приведем соответствующие формулы для L(Rn )[Ψn ], вытекающие из (4.7), (5.2), (6.3): sh Ψ0 L (R0 ) [Ψ0 ] = − + H (R0 ) [Ψ0 ], sh V L (Rn ) [Ψn ] = H (Rn ) [Ψn ] − H (Rn−1 ) [Ψn−1 ] + e n ] − Q (Ψn−1 , Rn−1 ) [Ψ e n ], + F (Ψn−1 , Rn−1 ; x) [Ψ n = 1, 2, . . . . 6.6. Замечание об эффективности метода. Изложенный метод решения задачи (4.4)–(4.6) был программно реализован. Численные результаты получены для широкого диапазона изменения входных параметров. Метод показал высокую эффективность, в том числе сверхэкспоненциальную скорость сходимости при всех рассматривавшихся значениях входных параметров. При использовании четырех итераций метода (2.15), (2.16) решение было получено с относительной погрешностью 10−15 . Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 04–01–00723), гранта Фонда содействия отечественной науке и программы № 3 фундаментальных исследований ОМН РАН «Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач» (ГК 10002-251/ОМН03/026-024/240603-805 от 24.06.2003 г.). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987. 2. Безродных С. И., Власов В. И. Краевая задача для моделирования физических полей в полупроводниковом диоде// Журн. вычисл. мат. и мат. физ. — 2004. — 44, №12. — C. 2220–2251. 3. Власов В. И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. — М.: ВЦ АН СССР, 1987. 4. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. — М.: Мир, 1984. 5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. 6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. 7. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. — М.: МФТИ, 1994. 8. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). — М.: Мир, 1965.
Сергей Игоревич Безродных ВЦ РАН, Москва, ул. Вавилова, 40 E-mail:
[email protected] Владимир Иванович Власов ВЦ РАН, Москва, ул. Вавилова, 40 E-mail:
[email protected]
