Введение в математические методы принятия решений

ËÈÏÅÖÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ Êàôåäðà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé

Ñ.Ë.Áëþìèí, È.À.Øóéêîâà

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÅÒÎÄÛ ÏÐÈÍßÒÈß ÐÅØÅÍÈÉ

Ëèïåöê 1999 1

Ââåäåíèå ...................................................................................................... 3 1. ×åòêèå è íå÷åòêèå ìíîæåñòâà 1.1. ×åòêèå ìíîæåñòâà ............................................................................... 4 1.2. Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà ........................................................................... 4 1.3. Íå÷åòêèå âûñêàçûâàíèÿ è îïåðàöèè íàä íèìè ................................. 6 1.4. Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû è èõ ñâîéñòâà .................................. 9 1.5. Íå÷åòêèå ïðåäèêàòû è êâàíòîðû ..................................................... 14 2. Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè 2.1. Íå÷åòêîå âêëþ÷åíèå è íå÷åòêîå ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ ................... 16 2.2. Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè ............................................. 19 2.3. Îñíîâíûå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ .......................................... 22 3. Íå÷åòêèå ñîîòâåòñòâèÿ è îòíîøåíèÿ 3.1. Ñïîñîáû çàäàíèÿ íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé ........................................ 25 3.2. Îáðàç è ïðîîáðàç ìíîæåñòâà ïðè íå÷åòêîì ñîîòâåòñòâèè ............ 27 3.3. Îñíîâíûå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé .................................... 30 3.4. Ñïîñîáû çàäàíèÿ íå÷åòêèõ îòíîøåíèé ........................................... 35 3.5. Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè îòíîøåíèÿìè ......................................... 39 4. Çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ íà áàçå íå÷åòêîé ëîãèêè 4.1. Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ îäíèì ýêñïåðòîì ............................... 42 4.2. Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ñ ãðóïïîé ýêñïåðòîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè ............................... 44 4.3. Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ñ ãðóïïîé ýêñïåðòîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ íå÷åòêèì îòíîøåíèåì íåñòðîãî ïðåäïî÷òåíèÿ ìåæäó íèìè ....... 47 5. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé 5.1. Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ÌÀÈ ....................................................... 50 5.1.1. Èåðàðõèè è ïðèîðèòåòû ................................................................... 50 5.1.2. Ïðèíöèï èåðàðõè÷åñêîé êîìïîçèöèè: àääèòèâíîñòü âçâåøèâàíèÿ ... 54 5.1.3. Èíòåðïðèòàöèÿ ïðèîðèòåòîâ ñ ïîìîùüþ òåîðèè ãðàôîâ ............. 56 5.1.4. Ïîëîæèòåëüíûå îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû è èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ................................................................ 59 5.1.5. Íåïðèâîäèìûå ìàòðèöû ................................................................ 60 5.1.6. Âû÷èñëåíèå ãëàâíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ................................. 72 5.1.7. Ñîãëàñîâàííîñòü .............................................................................. 73 5.2. Ïðèìåíåíèå ÌÀÈ íà ïðàêòèêå 5.2.1. Îñíîâíûå âèäû èåðàðõèé ............................................................... 88 5.2.2. Ïîñòðîåíèå èåðàðõèè ...................................................................... 89 5.2.3. Ìàòðèöû ñðàâíåíèé ........................................................................ 90 5.2.4. Øêàëà ñðàâíåíèé ............................................................................. 92 5.2.5. Ñîãëàñîâàííîñòü ìàòðèö ................................................................. 94 5.2.6. Ñèíòåç ïðèîðèòåòîâ ......................................................................... 95 2

Ââåäåíèå

Îêðóæàþùèé íàñ ìèð ïîðàçèòåëüíî ñëîæåí. È â ëþáîé ïðîôåññèîíàëüíîé îáëàñòè äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà ïîñòîÿííî âîçíèêàåò îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ñëîæíûõ ïðîáëåì, ðåøèòü êîòîðûå â îäèíî÷êó äîñòàòî÷íî òðóäíî, à ÷àùå âñåãî ïîïðîñòó íåâîçìîæíî. Åñëè ðå÷ü èäåò î ïîëèòè÷åñêèõ, ñîöèàëüíûõ èëè ýêîíîìè÷åñêèõ âîïðîñàõ, îò ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ êîòîðûõ çàâèñèò áëàãîïîëó÷èå ìíîãèõ ëþäåé, òî â ýòîì ñëó÷àå íà ëèöî, ïðèíèìàþùåå ðåøåíèå (ë.ï.ð.), ëîæèòñÿ ñåðüåçíàÿ îòâåòñòâåííîñòü çà ðàçóìíîñòü òàêîãî ðåøåíèÿ. Ïðè ýòîì îáîñíîâàííûé âûâîä ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíîãî ðàçäåëà ïðèêëàäíîé àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè – "Òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé", â ðàìêàõ êîòîðîãî ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ñïîñîáû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Âûáîð ñïîñîáà îáóñëàâëèâàåòñÿ óñëîâèÿìè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Ïðèêëàäíàÿ íàïðàâëåííîñòü òåîðèè îáøèðíà, îòìåòèì ëèøü, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ îñîáóþ àêòóàëüíîñòü ïðèîáðåòàþò ñèñòåìû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïîääåðæêè ïðîöåññîâ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, â ÷àñòíîñòè, ñîâåòóþùèå è ýêñïåðòíûå ñèñòåìû. Óñëîâíî ìîæíî âûäåëèòü äâà êëàññà îáúåêòîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñïåöèàëèñòàì ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèé – "ïðîñòûå" è "ñëîæíûå". Ïðîñòûå – òî÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, àäåêâàòíûå îáúåêòó èññëåäîâàíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé òàêèõ îáúåêòîâ èìåþòñÿ õîðîøî ðàçðàáîòàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû íà îñíîâå "îáû÷íûõ" (â êëàññè÷åñêîì ïîíèìàíèè) ìíîæåñòâ. Îäíàêî î÷åíü ÷àñòî, ìîæåò áûòü äàæå â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ, ñâåñòè íàõîæäåíèå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ê êëàññè÷åñêèì ìåòîäàì íå óäàåòñÿ. "Ñëîæíûå" îáúåêòû èìåþò ñëåäóþùèå îòëè÷èòåëüíûå îñîáåííîñòè: – íå âñå öåëè âûáîðà è óñëîâèÿ, âëèÿþùèå íà ýòîò âûáîð, ìîãóò áûòü âûðàæåíû â âèäå êîëè÷åñòâåííûõ îòíîøåíèé; – îòñóòñòâóåò, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì ôîðìàëèçîâàííîå îïèñàíèå îáúåêòà; – çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü èíôîðìàöèè, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ îáúåêòîâ, ñóùåñòâóåò â ôîðìå ïðåäñòàâëåíèé è ïîæåëàíèé ñïåöèàëèñòî⠖ ýêñïåðòîâ, èìåþùèõ îïûò ðàáîòû ñ äàííûì îáúåêòîì.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ãåíåðàöèè ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ïîäõîäû, îòëè÷íûå îò êëàññè÷åñêèõ, ïðèãîäíûå ïðè îöåíêå ôàêòà íåÿñíîñòè è íåîïðåäåëåííîñòè. Íå÷åòêàÿ ëîãèêà êàê ðàç è ïðåäïîëàãàåò íåòî÷íûå, ïðèáëèçèòåëüíûå, ïðèìåðíûå îöåíêè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îñíîâíûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû ìíîæåñòâ (ïðè êëàññè÷åñêîì ïîäõîäå) ÷èòàòåëÿì óæå çíàêîìû, ïîýòîìó îñòàíîâèìñÿ â äàëüíåéøåì ïîäðîáíî ëèøü íà îñíîâàõ àëãåáðû íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. 3

1. ×åòêèå è íå÷åòêèå ìíîæåñòâà 1.1.

×åòêèå ìíîæåñòâà

Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî À – ÷åòêîå ìíîæåñòâî, åñëè À – ÷àñòü íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî äëÿ äàííîé ïðèêëàäíîé çàäà÷è ìíîæåñòâà U, õàðàêòåðèçóþùåãîñÿ óñëîâèÿìè: – âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà ÷åòêî ðàçëè÷èìû ìåæäó ñîáîé, â ìíîæåñòâå íåò ïîâòîðÿþùèõñÿ ýëåìåíòîâ, íåñêîëüêèõ ýêçåìïëÿðîâ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ; – îòíîñèòåëüíî êàæäîãî ýëåìåíòà u∈ U ìîæíî ÷åòêî îïðåäåëèòü, ïðèíàäëåæèò îí äàííîìó ìíîæåñòâó èëè íåò. Ýòè óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò îõàðàêòåðèçîâàòü ÷åòêîå ìíîæåñòâî åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé, çàäàííîé íà óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå U è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå {0, 1}:

χ A ( u) =

RS0, u ∉ A, T1, u ∈ A.

u ∈U .

Îòêàç îò ïåðâîãî óñëîâèÿ ïðèâîäèò ê áîëåå îáùåìó, ÷åì ìíîæåñòâî, ïîíÿòèþ êîìïëåêòà, äîïóñêàþùåãî íàëè÷èå íåñêîëüêèõ ýêçåìïëÿðîâ íå-

êîòîðûõ ýëåìåíòîâ. Êîìïëåêò A õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé ýêçåìïëÿðíîñòè, çàäàííîé íà óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå U è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë: Ψ À( u) ∈ {0, 1, 2, …} – ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ ýëåìåíòà u∈ U â êîìïëåêòå À. Îòêàç îò âòîðîãî óñëîâèÿ ïðèâîäèò ê áîëåå îáùåìó, ÷åì ìíîæåñòâî, ïîíÿòèþ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà, äîïóñêàþùåãî îïðåäåëåíèå ëèøü íåêîòîðîé ñòåïåíè ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ òàêîìó ìíîæåñòâó. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî – ýòî ìîäåëü ìíîæåñòâà ñ íå÷åòêèìè èëè "ðàçìûòûìè ãðàíèöàìè" (ïåðåõîä îò ïðèíàäëåæíîñòè ê íåïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ äàííîìó ìíîæåñòâó îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñòåïåííî). 1.2.

Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà

~

Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî A õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè, çàäàííîé íà óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå U è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ âî ìíîæåñòâå ÷èñåë [0,1]: µÀ(u) ∈ [0,1], u∈U, ïðè ýòîì µÀ(u) óêàçûâàåò íà ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà u∈ U íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó. 4

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ÷åòêîå ìíîæåñòâî – ÷àñòíûé ñëó÷àé íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà, â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ 0 èëè 1 è ÿâëÿåòñÿ íè ÷åì èíûì, êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ÷åòêîãî ìíîæåñòâà.

~ À ìíîæåñòâà Õ íàçûâàåòñÿ ~ ñîâîêóïíîñòü ïàð âèäà À ={õ, µÀ(x)} , ãäå õ ∈ Õ ,

Îïðåäåëåíèå 2. Íå÷åòêèì ïîäìíîæåñòâîì

à µÀ – ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâó Õ îòðåçîê [0,1]. Õ – áàçîâîå ìíîæåñòâî èëè áàçîâàÿ øêàëà. Çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà õ íàçûâàåòñÿ åãî ñòåïåíüþ ïðèíàä-

~

~

ëåæíîñòè ýëåìåíòà Õ íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó À .  ìíîæåñòâî À íå âêëþ÷àþòñÿ ýëåìåíòû äëÿ êîòîðûõ µÀ(x)=0. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ∅ – ïóñòîå, åñëè µ∅ (õ) =0, äëÿ êàæäîãî õ∈Õ. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî Õ – óíèâåðñàëüíîå, åñëè µÕ (õ)=1, äëÿ êàæäîãî õ∈ Õ. Ïðèìåð 1. Ïóñòü Õ – ìíîæåñòâî îòå÷åñòâåííûõ ìàøèí.

Õ={"Âîëãà", "Çàïîðîæåö", "Ìîñêâè÷", "Æèãóëè"}. Òîãäà ìîæíî ~ îïðåäåëèòü íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À õîðîøèõ ìàøèí òàê: ~ À ={("Âîëãà"; 1), ("Çàïîðîæåö"; 0,4), ("Ìîñêâè÷"; 0,6), ("Æèãóëè"; 0,8)}.

Ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè âûáèðàåòñÿ ñóáúåêòèâíî, çàâèñèò îò ñóáúåêòà, åãî íàñòðîåíèÿ, öåëè ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ è ò.ä. Ïðèìåð 2. Ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ÷åòêîìó ìíîæåñòâó

Â={x 0 ≤ x≤ 2} ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1, åñëè 0 ≤ x≤ 2 è çíà÷åíèÿ 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Åå ãðàôèê ïðèâåäåí íà ðèñ.1. mÂ(õ) 1 0

2

Õ

Ðèñ. 1

5

Ãðàôèê æå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ëþáîìó íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó (çà èñêëþ÷åíèåì ïóñòîãî è óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâ) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íåêóþ êðèâóþ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî Ñ={ x "çíà÷åíèÿ õ áëèçêî ê 1"}. Ãðàôèê åãî ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ìîæåò âûãëÿäåòü òàê, êàê íàïðèìåð íà ðèñ.2 à), á). mÑ(õ)

m Ñ ( õ)

1 0

1

1

2

Õ

0

Ðèñ. 2 à), á)

1

2

Õ

~

Îïðåäåëåíèå 3. Íîñèòåëåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî À ìíîæåñòâà Õ, ñîäåðæàùåå òå ýëåìåíòû èç Õ, äëÿ êîòîðûõ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè µÀ(x) >0. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî íîñèòåëü íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà – ýòî ìíîæåñòâî â îáû÷íîì ñìûñëå. Ïðèìåð 3. Ïóñòü Õ – ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Òîãäà åãî íå÷åò-

~

êîå ïîäìíîæåñòâî Ì î÷åíü ìàëûõ ÷èñåë ìîæåò áûòü òàêèì:

~ Ì ={(1; 1), (2; 0,8), (3; 0,7), (4; 0,6), (5; 0,5), (6; 0,3), (7; 0,1)}. ~ Íîñèòåëåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà Ì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî Ì={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ýòî îáû÷íîå ÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Õ. 1.3.

Íå÷åòêèå âûñêàçûâàíèÿ è îïåðàöèè íàä íèìè

~

Îïðåäåëåíèå 4. Íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå A – ïðåäëîæåíèå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ìîæíî ñóäèòü î ñòåïåíè åãî èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Ñòåïåíü èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè

~ d ( A ) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç [0 ; 1],

ãäå 0, 1 – ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ñòåïåíè èñòèííîñòè è ñîâïàäàþò ñ ïîíÿ

6

òèÿìè "ëæè" è "èñòèíû" äëÿ ÷åòêèõ âûñêàçûâàíèé. Íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè 0,5 íàçûâàåòñÿ èíäèôôåðåíòíîñòüþ, ïîñêîëüêó îíî èñòèííî â òîé æå ìåðå, ÷òî è ëîæíî.

Ïðèìåð 4. "2 – ìàëåíüêîå ÷èñëî" – íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå, ñòåïåíü

èñòèííîñòè êîòîðîãî

~ d ( A ) =0,9.

"Ïåòðîâ çàíèìàåòñÿ áîëüøîé îáùåñòâåííîé ðàáîòîé" – íå÷åòêîå

âûñêàçûâàíèå ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè

~ d ( A ) =0,3.

~

~

Îïðåäåëåíèå 5. Îòðèöàíèåì íå÷åòêîãî âûñêàçûâàíèÿ À ÿâëÿåòñÿ  À , ñòåïåíü èñòèííîñòè êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

~ ~ . Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñòåd( À )= 1 - d ( A ) ~ ~ ïåíü ëîæíîñòè  À ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè äëÿ À . ~ ~ Îïðåäåëåíèå 6. Êîíúþíêöèåé íå÷åòêèõ âûñêàçûâàíèé À è  , íàçûâàåò~ ~ ñÿ íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå À &  , ñòåïåíü èñòèííîñòè

êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè ìåíåå èñòèí-

~

~

~

~

íîãî âûñêàçûâàíèÿ. d( À & Â )=min(d( À );d( Â )).

Îïðåäåëåíèå 7. Äèçúþíêöèåé íå÷åòêèõ âûñêàçûâàíèé

~

~

~ ~ À è Â , íàçûâàåò-

ñÿ íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå À ∨  , ñòåïåíü èñòèííîñòè êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè áîëåå èñòèí-

~

~

~

íîãî âûñêàçûâàíèÿ. d( À ∨ Â )=max(d( À );d(

Îïðåäåëåíèå 8. Èìïëèêàöèåé íå÷åòêèõ âûñêàçûâàíèé

~ Â )).

~ ~ À è Â , íàçûâàåò-

~ ~ À → Â , ñòåïåíü èñòèííîñòè ~ ~ ~ ~ êîòîðîãî d( À → Â )=max(1 - d( À ),d( Â )). Èñòèí-

ñÿ íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå

íîñòü èìïëèêàöèè íå ìåíüøå ÷åì ñòåïåíü ëîæíîñòè åå ïîñûëêè èëè ñòåïåíü èñòèííîñòè åå ñëåäñòâèÿ.

~ À èìååò ñòåïåíü èñòèííî~ ~ ~ ñòè d( À )=0,3; íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå  – d(  )=0,6. Èìïëèêàöèÿ ~ ~ ýòèõ âûñêàçûâàíèé À →  áóäåò èìåòü ñòåïåíü èñòèííîñòè Ïðèìåð 5. Ïóñòü íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå

7

~ ~ d( À → Â )=max(0,7; 0,6)=0,7.

Ñòåïåíü èìïëèêàöèè òåì âûøå, ÷åì ìåíüøå ñòåïåíü èñòèííîñòè ïîñûëêè èëè áîëüøå ñòåïåíü èñòèííîñòè ñëåäñòâèÿ. Îïðåäåëåíèå 9. Ýêâèâàëåíòíîñòüþ íå÷åòêèõ âûñêàçûâàíèé

~ ~ À è Â , íàçû-

~ ~ À ↔ Â. ~ ~ ~ ~ ~ ~ d( À ↔  )=min(max(1 - d( À ),d(  )), max(1 - d(  ),d( À ))). âàåòñÿ íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå

Èñòèííîñòü ýêâèâàëåíòíîñòè ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ èñ-

~

òèííîñòè ìåíåå èñòèííîé èç èìïëèêàöèé À

~

~

~ → Â

è  → À. Åñëè ñòåïåíü èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèé 0 èëè 1, òî âñå îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ëîãè÷åñêèì îïåðàöèÿì íàä ÷åòêèìè âûñêàçûâàíèÿìè.

~

~

Îïðåäåëåíèå 10. Äâà âûñêàçûâàíèÿ À è  íàçûâàþòñÿ íå÷åòêî áëèçêè-

~

~ ↔  áîëüøå èëè ðàâíà ~ ~ 0,5.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå áóäåì íàçûâàòü À è  âçàèìíî ìè, åñëè ñòåïåíü èñòèííîñòè À

íå÷åòêî èíäèôôåðåíòíûìè. Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé íàä íå÷åòêèìè âûñêàçûâàíèÿìè: ñêîáêè, îòðèöàíèå, êîíúþíêöèÿ, äèçúþíêöèÿ, èìïëèêàöèÿ, ýêâèâàëåíòíîñòü. Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèì ñòåïåíü èñòèííîñòè ñîñòàâíîãî íå÷åòêîãî

~

~

~

~

~

~

~

~

âûñêàçûâàíèÿ D =( À & Â ∨ À & Â )→ ( À & Ñ ); åñëè À =0,7;

~ ~  =0,4; Ñ =0,9. ~ ~ ~ & ~ ), d( ( ~ & ~ ))) = d( D )=max (1-d( À &  Â~ ∨ À À Ñ Â ~ ~ ~ ~ ~ ~ =max(1–max(d( À &  ),d(  À &  )), d(1-( À & Ñ ))) = ~ ~ ~ ~ =max ((1 – max(min(d( À ), 1 - d(  )), min (1 –d( À ),d(  )))), ~ ~ 1 – min (d( À ), d( Ñ ))) = max((1 – max(min 0,7; 0,6), min (0,3; 0,4))), 1 – min (0,7; 0,9))= = max ((1 – max(0,6; 0,3))), 0,3)= max (0,4;0,3)= 0,4. 8

1.4.

Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû è èõ ñâîéñòâà

õi – ýòî íå÷åòÎïðåäåëåíèå 11. Íå÷åòêàÿ âûñêàçûâàòåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ~ êîå âûñêàçûâàíèå, ñòåïåíü èñòèííîñòè êîòîðîãî ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå èç îòðåçêà [0; 1].

Îïðåäåëåíèå 12. Íå÷åòêîé ëîãè÷åñêîé ôîðìóëîé

~ ~ ~ ~ ~ À ( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ),

n ≥ 1 íàçûâàåòñÿ: à) ëþáàÿ íå÷åòêàÿ âûñêàçûâàòåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ èëè êîíñòàíòà èç [0; 1],

~ ~ ~ ~ ~ À ( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ), ïîëó÷åííîå èç íå÷åòêèõ ëîãè÷åñêèõ ~ ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) è À 2( ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) ïðèìåíåíèåì ê ôîðìóë À 1( ~ á) âûðàæåíèå

íèì ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.  ÷àñòíîñòè, ñîñòàâíûå íå÷åòêèå âûñêàçûâàíèÿ òàêæå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêèìè ëîãè÷åñêèìè ôîðìóëàìè, åñëè ðàññìîòðåòü îáðàçóþùèå èõ ïðîñòûå íå÷åòêèå âûñêàçûâàíèÿ êàê íå÷åòêèå âûñêàçûâàòåëüíûå ïåðåìåííûå. Îïðåäåëåíèå 13. Ñòåïåíü ðàâíîñèëüíîñòè ôîðìóë

~ ~ ~ ~ ~ ~ À 1( ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) è À 2( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ) îáîçíà~ ~ ÷àåòñÿ µ ( À 1, À 2 ) è îïðåäåëÿåòñÿ ~ ,~ )= & ( ~ (~ ~ ~ ~ µ (À ~ õ1 , ~ õ2 ,....~ õn À 1 õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ) 1 À2 ~ (~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn )). ↔À 2

Åñëè ñòåïåíü ðàâíîñèëüíîñòè íå÷åòêèõ ëîãè÷åñêèõ ôîðìóë

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À 1( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ) è À 2( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ) íà âñåõ îïðåäåëåííûõ

íàáîðàõ ñòåïåíåé èñòèííîñòè âûñêàçûâàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ áîëüøå èëè ðàâíà 0,5, òî òàêèå ôîðìóëû áóäåì íàçûâàòü íå÷åòêî áëèçêèìè íà ýòèõ

íàáîðàõ è îáîçíà÷àòü

~

~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À 1( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ) ≈ À 2( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn ).

Åñëè µ ( À 1, À 2)≤

0,5, òî ôîðìóëû íå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêî áëèçêè~ ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) » À 2( ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ). ìè: À 1( ~ ~ ~ ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) Çàìåòèì, ÷òî ïðè µ ( À 1, À 2)=0,5 ôîðìóëû À 1( ~ 9

~

õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ è íå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêî è À 2( ~ áëèçêèìè. Èõ íàçûâàþò âçàèìíî èíäèôôåðåíòíûìè è îáîçíà÷àþò ~ ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) ∼ À 2( ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ). À 1( ~

Ðàâíîñèëüíîñòü ÷åòêèõ ëîãè÷åñêèõ ôîðìóë ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì íå÷åòêîé áëèçîñòè.

~

~

Åñëè À 1 è À 2 íà îäíèõ è òåõ æå íàáîðàõ ñòåïåíåé èñòèííîñòè ïåðåìåííûõ ïðèíèìàþò îäíè è òå æå çíà÷åíèÿ ñòåïåíè èñòèííîñòè, òî çíà÷åíèå ñòåïåíè èõ ðàâíîñèëüíîñòè âñåãäà áîëüøå èëè ðàâíî 0,5, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì íå÷åòêîé áëèçîñòè. Òî åñòü, íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû, èìåþùèå íà îäíèõ è òåõ æå íàáîðàõ ïåðåìåííûõ îäèíàêîâûå ñòåïåíè èñòèííîñòè íå ðàâíîñèëüíû, à èìåþò íåêîòîðóþ ñòåïåíü ðàâíîñèëüíîñòè ≥ 0,5, íî âñåãäà ≤ 1. Ïðèìåð 7. Îïðåäåëèòü ñòåïåíü ðàâíîñèëüíîñòè ôîðìóë

~ ~ ~ (~ õ , ~y ) è À ( ~ õ , ~y ), ãäå À õ , ~y )= ~ õ → ~y , À 1( ~ 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ À 2( õ , y )= õ & ¬y , õ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ñòåïåíè èñòèííîñòè èç ìíîæåñòâà äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé {0,8; 0,6; 0,7}, à ~ y èç {0,3; 0,4}. ~

~

~ õ → ~y ) ↔ ( ~ õ & ~ y )). Âûáèðàÿ âñå âîçìîæíûå íàáîðû ñòåïåíåé èñòèííîñòè ~ õè ~ y çàïèøåì Ðåøåíèå. µ ( À 1, À 2 ) =

~ õ ,. ~y (

&

~ , ~ ) =((0,8→ 0,3)↔(0,8&  0,3))& ( 0,8→0,4) µ (À 1 À2 ↔(0,8&  0,4))& (0,6→0,3) ↔(0,6&  0,3))& ( 0,6→0,4) ↔(0,6&  0,4))& (0,7→0,3) ↔(0,7&  0,3))& ( 0,7→0,4)↔ (0,7 &  0,4)) & = (0,8↔0,7) & (0,8↔0,6)& (0,6↔0,6) & &(0,6↔0,6) & (0,7↔0,7)& (0,7↔0,6) = 0,7& 0,6 & 0,6 & 0,6 & 0,7& 0,6=0,6 ~ ~ Îòêóäà ñëåäóåò, ôîðìóëû À 1, À 2 íå÷åòêî áëèçêè ïðè çàäàííûõ íàáîðàõ ñòåïåíåé èñòèííîñòè.

Åñëè ñäåëàòü òàêóþ æå ïðîâåðêó, ïîëàãàÿ, ÷òî ~ õ ïðèíèìàåò çíà÷å-

~ ~

íèå èç íàáîðà {0,2; 0,4}, à ~ y èç {0,6; 0,7; 0,8}, òî µ ( À 1, À 2 )=0,2. È â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû íå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêî áëèçêèìè. 10

Îïðåäåëåíèå 14. Åñëè ïðè âñåõ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ñòåïåíè èñòèííî-

õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn , çíà÷åíèå ñòåñòè íå÷åòêèõ ïåðåìåííûõ ~ ïåíè èñòèííîñòè íå÷åòêîé ëîãè÷åñêîé ôîðìóëû ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) áîëüøå èëè ðàâíî 0,5, òî ôîðìóëà À(~

ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêî èñòèííîé íà äàííûõ íàáîðàõ ïåðåìåí-

~

íûõ è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç È . Åñëè çíà÷åíèå ñòåïåíè èñòèííîñòè ìåíüøå èëè ðàâíî 0,5, òî òàêóþ ôîðìóëó áóäåì íàçûâàòü íå÷åòêî ëîæíîé íà äàííûõ íàáîðàõ ïåðåìåííûõ

~ Ë. ~ ~ ~ ~ Ïóñòü È1 , È 2 , Ë1 , Ë 2 – íåêîòîðûå íå÷åòêî èñòèííûå è íå÷åòêî è îáîçíà÷èì

ëîæíûå ôîðìóëû íà îäíèõ è òåõ æå íàáîðàõ ïåðåìåííûõ, òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ.

~ ~ ~ ~ ~ ~ È1 ∨ È 2 ≈ È1 ≈ È 2 ≈ È1 & È 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ë1 ∨ Ë 2 ≈ Ë1 ≈ Ë 2 ≈ Ë1 & Ë 2 ~ ~ ~ È1 & Ë1 ≈ Ë1 ~ ~ ~ È1 ∨ Ë1 ≈ È1 ~ ~ Åñëè À 1, À 2 – ïðîèçâîëüíûå íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû, òî

ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:

~ ~ ~ ~ À 1 ∨ È1 ≈ À 2 ∨ È 2 ~ ~ ~ ~ À 1 & Ë1 ≈ À 2 & Ë 2 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ãäå À 1, À 2 , È1 , È 2 , Ë1 , Ë 2 îïðåäåëåíû íà îäíèõ è òåõ æå íàáî-

ðàõ ïåðåìåííûõ. Ïðèìåð 8. Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèé ïðèìåð íå÷åòêî èñòèííûõ è íå÷åòêî ëîæíûõ ôîðìóë.

~ ~ õ ∨ ¬~ õ. Ë =~ õ & ¬~ õ. È = ~

Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé îòðèöàíèÿ, êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè , ò.ê. ~ õ & ¬~ õ ≤ 0,5, ~ õ ∨ ¬~ õ ≥ 0,5. 11

Òîæäåñòâà ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü êëàññ íå÷åòêî áëèçêèõ ôîðìóë, íå èìåþùèõ àíàëîãîâ â íå÷åòêîé ëîãèêå. Óòâåðæäåíèå 1.

~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) À 1( ~ ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn )= f1 & ( ~ õi & ¬~ õi ), à ïðåäñòàâëåíà â âèäå À ( ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À 2( õ1 , õ2 , õ3 , ..., õn )=f2 & ( õ j & ¬õ j ), ãäå f1 è f2 – íåêîòîðûå õ ,~ õ – íå÷åòêèå õ,~ õ ,~ õ , ..., ~ õ ,à ~ íå÷åòêèå ôîðìóëû îò ïåðåìåííûõ ~ Åñëè íå÷åòêàÿ ëîãè÷åñêàÿ ôîðìóëà

1

2

3

n

i

j

õ1, ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn , òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïåðåìåííûå èç íàáîðà ~ ~ ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ) ≈ À 2( ~ õ1 , ~ õ2 , ~ õ3 , ..., ~ õn ). À 1( ~

Ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ çíà÷åíèé èñòèííîñòè íå÷åòêèõ ïåðåìåííûõ.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

12

Ïóñòü ~ õ, ~ y, ~ z – íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû.

¬ (¬~ õ) ≈ ~ õ ~ õ&~ õ≈~ õ ~ ~ ~ õ∨õ ≈õ ~ õ&~ y ≈ ~y & ~ õ

~ õ ∨ ~y ≈ ~ y∨~ õ ~ õ & ( ~y & ~z ) ≈ ( ~ õ & ~y ) & ~z ≈ ~ x&~ y & ~z ~ õ ∨ (~ y ∨ ~z ) ≈ ( ~ õ ∨ ~y ) ∨ ~z ≈ ~ x ∨ ~y ∨ ~z ~ õ & ( ~y ∨ ~z ) ≈ ( ~ õ & ~y ) ∨ ( ~ x & ~z ) ~ õ ∨ ( ~y & ~z ) ≈ ( ~ õ∨~ y ) & (~ x ∨ ~z )

¬ (~ õ & ~y ) ≈ ¬~ x ∨ ¬~y ¬ (~ õ ∨ ~y ) ≈ ¬~ x & ¬~y

~ õ ∨ (~ õ&~ y) ≈ ~ x õ & (~ õ ∨ ~y ) ≈ ~ x ,~

(8) (9)

(~ õ ∨ ~y ) ∨ ( ~ õ&~ y) ≈ ~ x ∨ ~y (~ õ∨~ y ) & (~ õ&~ y) ≈ ~ x & ~y

(10) ~ õ & ¬~ õ ≈ (11) ~ õ ∨ ¬~ õ∨

~ y & ¬~y ~y ≈ ~y ∨ ¬~y ∨ ~ x

(12) ( ~ x & ¬~ x ) & ( ~y ∨ ¬~y ) ≈ ~ x & ¬~ x ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( x ∨ ¬x ) ∨ ( y & ¬y ) ≈ x ∨ ¬x

(13) ~ x → ~y ≈ ¬~ y → ¬~ x (14) ¬~ x→~ y ≈ ¬~y → ~ x ≈~ x ∨ ~y (15) ~ x → (~ y ∨ ¬~y ) ≈ ( ~ x & ¬~ x ) → ~y x & ¬~ x) → (~ y ∨ ~z ) ≈ ( ~y & ¬~y ) → ~ x ∨ ~z (16) ( ~ Êðîìå òîãî, ïóñòü 0, ñ, 1 – êîíñòàíòû è 0
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà êàæäîãî èç âûðàæåíèé íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî

ñòåïåíü ðàâíîñèëüíîñòè øå èëè ðàâíî 0,5.

~ ~ ~ ~ µ ( A1 , A2 ) îáðàçóþùèõ åãî ôîðìóë A1 , A2 áîëü~ ~

Ýòî âîçìîæíî òîãäà, êîãäà ôîðìóëû A1 , A2 ïðèíèìàþò îäíè è òå æå çíà÷åíèÿ ñòåïåíè èñòèííîñòè íà îäèíàêîâûõ íàáîðàõ ïåðåìåííûõ, ëèáî èìåþò ñòåïåíü èñòèííîñòè îäíîâðåìåííî ìåíüøå èëè ðàâíî 0,5 èëè áîëüøå èëè ðàâíî 0,5 íà îäèíàêîâûõ íàáîðàõ ïåðåìåííûõ.

(6) ¬ ( ~ õ & ~y ) ≈ ¬~ x ∨ ¬~y ; îáîçíà÷èì ~ ~ õ, ~ y ) = ¬ (~ õ & ~y ) , A2 ( ~ õ, ~ y ) = ¬~ x ∨ ¬~y . A1 ( ~ Äîêàæåì ôîðìóëó

13

~ d ( A1 ( ~ x,~ y )) = 1 − min( ~ x, ~ y) , ~ x < ~y , òîãäà d ( A2 ( ~ x,~ y )) = max(1 − ~ x ,1 − ~ y ) . Åñëè ~ ~ ~ ~ ~ d( A1 ( ~ õ, ~ y ) )= 1 − ~ x ñòåïåíè õ , ò.å. ïðè âñåõ ~ õ è d( A2 ( õ , y ) )= 1 − ~ ~ ~ èñòèííîñòè ôîðìóë A ( ~ õ, ~ y ) è A (~ õ, ~ y ) ñîâïàäàþò, îòêóäà ñëåäóåò ~ ~ µ ( A1 , A2 ) ≥ 0,5.

1

2

~ ~ ~ ~ ~ õ, ~ y ) )= 1 − ~ x > ~y , òî d( A1 ( ~ y , d( A2 ( õ , y ) )= 1 − ~y , îò~ ~ êóäà ñëåäóåò µ ( A1 , A2 ) ≥ 0,5. ~ ~ ~ ~ õ, ~ y ) ) = 1 − ~y , îòx , d( A2 ( ~ Åñëè ~ x=~ y , òî d( A1 ( õ , y ) )= 1 − ~ ~ ~ êóäà ñëåäóåò µ ( A1 , A2 ) ≥0,5. Åñëè

1.5.

Íå÷åòêèå ïðåäèêàòû è êâàíòîðû

Îïðåäåëåíèå 15. Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû, êîòîðûå îïðåäåëåíû íà êàêîì-ëèáî ìíîæåñòâå Õ è ïðèíèìàþò ñâîè çíà÷åíèÿ èç çàìêíóòîãî èíòåðâàëà [0, 1] íàçûâàþò íå÷åòêèì ïðåäèêàòîì. Íàïðèìåð,

µ A – ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ÿâëÿåòñÿ îäíîìåñòíûì

íå÷åòêèì ïðåäèêàòîì.

Õ={1, 2, 3, …, 10}, òîãäà íå÷åòêèé ïðåäèêàò "áûòü ~ íåáîëüøèì ÷èñëîì" ïðèíèìàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: À (1)=1 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ À (2)=0,9, À (3)=0,7, À (4)=0,5, À (5)=0,1, À (6)=0, À (7)=0, ~ ~ ~ À (8)=0, À (9)=0, À (10)=0 è ôàêòè÷åñêè çàäàåò íå÷åòêîå ìíîæå~ ñòâî À ={(1; 1), (2; 0,9), (3; 0,7), (4; 0,3), (5; 0,1)} â ìíîæåñòâå Õ. ~ Ïóñòü îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ íå÷åòêîãî ïðåäèêàòà À ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî Õ={õ 1 , õ 2 , õ 3 , …, õ n }, òîãäà äëÿ êàæäîãî õ ∈ Õ ìîæåò áûòü ~ âû÷èñëåíî çíà÷åíèå µ A (õ) ïðåäèêàòà À (õ). Ïðèìåð 9.

14

Îïðåäåëåíèå 16. Âåëè÷èíà

~ µ ( A) = µ A (õ 1)& µ A (õ2)& µ A (õ3)&…

& µ A (õn ) = & µ À ( õ) íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ îáùíîñòè õ∈Õ

~ ñâîéñòâ À (õ) äëÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Õ. ~ ~ Åñëè µ ( A ) ≥ 0,5, òî íà ëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó À (õ) ìîæåò áûòü ~ íàâåøàí êâàíòîð íå÷åòêîé îáùíîñòè ∀ , êîòîðûé ÷èòàåòñÿ "äëÿ âñåõ" èëè "äëÿ ëþáîãî".

Îïðåäåëåíèå 17. Âåëè÷èíà

~ ν (A) = µ A (õ1)∨ µ A (õ2)∨ µ A (õ3)∨ µ A (õn) =

µ À ( õ) íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ñóùåñòâîâàíèÿ ñâîé~ ñòâà À (õ) äëÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Õ. ~ ~ Åñëè ν (A) ≥0,5, òî íà ëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó À (õ) ìîæåò áûòü íà~ âåøàí êâàíòîð íå÷åòêîãî ñóùåñòâîâàíèÿ ∃ , êîòîðûé ÷èòàåòñÿ "ñóùå= ∨

õ∈Õ

ñòâóåò òàêîé" èëè "èìååòñÿ òàêîé".

~ À (õ) – íå÷åòêàÿ ëîãè÷åñêàÿ ôîðìóëà îò îäíîé ïåðåìåííîé, ~ ~ ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ èç Õ. Âûðàæåíèå ( ∀ õ∈ Õ) À (õ) ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêî èñòèííîé ôîðìóëîé è ÷èòàåòñÿ "äëÿ ëþáîãî õ∈ Õ ñòåïåíü èñòèííî~ ñòè À (õ) áîëüøå èëè ðàâíî 0,5". Ïóñòü

15

2. Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè 2.1.

Íå÷åòêîå âêëþ÷åíèå è íå÷åòêîå ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ

Òàê æå êàê íàä ÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè îïðåäåëÿþòñÿ îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ, ðàâåíñòâà, îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, äîïîëíåíèÿ, è ò.ä., îïðåäåëÿþòñÿ îíè è íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè, òîëüêî äåëàåòñÿ ýòî ïðè ïîìîùè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè.

~ ~

Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü çàäàíû íå÷åòêèå ïîäìíîæåñòâà À,  ìíîæåñòâà

~ ~ Õ. Ñòåïåíü âêëþ÷åíèÿ ν ( À,  ) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ~ ~ À â íå÷åòêîå ìíîæåñòâî  íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå ~ ~ ν( À,  )= & ( µ À ( õ) → µ  ( õ)) , ãäå µ À ( õ), µ  ( õ) õ∈ Õ

ïîíèìàþòñÿ êàê íå÷åòêèå âûñêàçûâàòåëüíûå ïåðåìåííûå, → – èìïëèêàöèÿ, & – îïåðàöèÿ êîíúþíêöèè, êîòîðàÿ áåðåòñÿ ïî âñåì õ∈ Õ.

~ ~ ~ ~  )≥ 0,5, òî À íå÷åòêî âêëþ÷àåòñÿ â ìíîæåñòâî  è ~ ~ ~ ~ ~ îáîçíà÷àåòñÿ À Ì Â . Åñëè ν ( À,  )≤ 0,5, òî À íå÷åòêî íå âêëþ÷àåòñÿ ~ ~ ~ â ìíîæåñòâî  è îáîçíà÷àåòñÿ À Ì Â . Ýòî ïîíÿòèå ÿâëÿåòñÿ Åñëè ν ( À,

îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ âêëþ÷åíèÿ äëÿ ÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü À è B – ÷åòêèå ìíîæåñòâà è À⊆ Â, îòñþäà ñëåäóåò ν (À,Â)=1. Åñëè æå À⊄ Â, òî ν (À,Â)=0. Ïðèìåð 1.

~ Õ={õ1, õ2, …,õn}. À ={(õ2;0,3), (õ3;0,6),

~ (õ5;0,4)},  ={(õ1;0,8), (õ2;0,5), (õ3;0,7), (õ5;0,6)}, òîãäà ~ ~ ν( À,  ) =(0 →0,8)&(0,3→0,5)&(0,6→0,7)&(0,4→0,6)= =1& 0,7&0,7& 1&0,6= 0,6. ~ ~ Àíàëîãè÷íî ìîæíî âû÷èñëèòü ν (  , À )=0,2, îòêóäà ñëåäóåò ~ ~ ~ ~ À Ì Â , íî Â Ì À . 16

~ ~ ~ ~ À âêëþ÷àåòñÿ âî ìíîæåñòâî  — À ⊂  åñëè ∀ õ ∈ Õ, µ À (õ) ≤ µ  (õ). ~ Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À ~ âêëþ÷àåòñÿ â íå÷åòêîå ìíîæåñòâî  (ñì. îïðåäåëåíèå 2), òî âûïîëíÿåòñÿ ~ ~ è íå÷åòêîå âêëþ÷åíèå À Ì Â . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ ∀ õ∈ Õ, µ À (õ) ≤ µ  (õ), ~ ~ äîêàæåì, ÷òî ν ( À,  )≥ 0,5 . Åñëè µ À (õ) ≤ µ  (õ) ≤ 0,5, òî ~ ~ ν ( À,  )=(µ À (õ1) →µ  (õ1 ))& (µ À(õ2 ) →µ  (õ2 ))&…(µ À (õn ) →µÂ (õn))= =(max(1-µÀ (õ1 ), µ  (õ1 )))& (max(1-µ À (õ2 ), µ  (õ2 )))&… & (max(1-µ À (õn ), µ  (õn ))) = (1-µ À (õ1 ))& (1-µ À (õ2 ))& … & (1-µ À (õn )). Èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè êîíúþíêöèè ñëåäóåò, ÷òî ðåçóëüòàò áóäåò ìèíèìàëüíûì èç âñåõ (1-µ À (õi)), i=1..n. À ïîñêîëüêó ~ ~ äëÿ ∀ õ ∈ Õ µ À (õ)≤ 0,5, òî ν ( À,  )≥0,5. Åñëè 0,5<µ À (õ) ≤ µ  (õ), òî ~ ~ ν ( À,  )=(µÀ ( õ1 ) →µ  ( õ1 ))& (µ À (õ2 ) →µ  (õ2 ))& … & ( µ À (õ n )→ µ  (õ n ))=(max(1- µ À (õ 1 ), µ  (õ 1 ))) & & (max(1- µ À (õ 2), µÂ(õ2))) &... & (max(1-µ À (õn), µ  (õn))) = =( µ  (õ 1 )) & ( µ  (õ 2 )) & … & ( µ  (õn)). ~ ~ Òàê êàê äëÿ ∀ õ ∈ Õ µ  (õ)>0,5, òî ν ( À,  )>0,5. ~ ~ Òî åñòü, äëÿ ëþáûõ ν ( À,  )≥0,5 äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè µ À (õ) è µ  (õ), ∀ õ ∈ Õ. ~ ~ Åñëè æå âûïîëíÿåòñÿ ν( À,  )≥0,5, òî èç ýòîãî íå ñëåäóåò, ÷òî ∀ õ ∈ Õ, µ À (õ) ≤ µ  (õ). Äåéñòâèòåëüíî, ~ ~ ν ( À,  )=(µ À (õ1) →µÂ(õ1))& (µ À (õ2) →µ  (õ2))& …(µÀ(õn) →µ  (õn))= =(max(1-µ À (õ1), µ  (õ1)))& (max(1-µ À (õ2), µ  (õ2))) &… ~ ~ &(max(1-µ À (õn), µ  (õn))), òàê êàê ν ( À ,  )≥ 0,5, òî ïî îïðåäåëåíèþ Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî

17

îïåðàöèè êîíúþíêöèè ìèíèìàëüíîå, à çíà÷èò è âñå îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé max(1-µ À (õi ), µ  (õi ))≥0,5. Îäíàêî çàìåòèì, åñëè, íàïðèìåð µ À (õi )=0,3, à µ  (õi )=0,2, òî max(1-µ À (õi ), µ  (õi ))≥0,5,

~

~

íî µ À (õi )≥ µ  (õi ). Òî åñòü, âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâà À âî ìíîæåñòâî  íå ãàðàíòèðóåò íå÷åòêîãî âêëþ÷åíèÿ, à ÿâëÿåòñÿ ëèøü äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íå÷åòêîãî âêëþ÷åíèÿ.

~ ~

Îïðåäåëåíèå 3. Ñòåïåíü ðàâåíñòâà äâóõ íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ À,  ìíîæåñòâà

~ ~ Õ îïðåäåëÿåòñÿ êàê µ ( À, Â ), ãäå

~ ~ µ(À , Â )= & (µ À (õ) ↔µ Â (õ)). õ∈Õ

~ ~ ~ ~ Åñëè µ ( À,  )≥0,5, òî ìíîæåñòâà íå÷åòêî ðàâíû À ≈  . Åñëè ~ ~ ~ ~ µ (À ,  )≤0,5 , òî ìíîæåñòâà íå÷åòêî íå ðàâíû À »  . Åñëè ~ ~ ~ ~ µ(À ,  )=0,5, òî ìíîæåñòâà âçàèìíî èíäèôôåðåíòíû À ~  .

Ïîíÿòèÿ íå÷åòêîãî ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà, íäèôôåðåíòíîñòè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèé ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà äëÿ ÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü À è  – ÷åòêèå ìíîæåñòâà, òîãäà â ñëó÷àå À=Â, µ (À,Â)=1, åñëè æå À≠ Â è µ (À,Â)=0. Ïðèìåð 2. Õ={õ1,

õ2, õ3, …, õ5 },

~ À ={(õ2; 0,8), (õ3; 0,6), (õ5; 0,1)}, ~ Â ={(õ1; 0,3), (õ2; 0,6), (õ3; 0,7), (õ4; 0,2), (õ5; 0,3) }. ~ ~ µ( À , Â )=(0↔0,3)&(0,8↔0,6)&(0,6↔0,7)&(0↔0,2)&(0,1↔0,3)= ~ =0,7& 0,6& 0,6& 0,8& 0,7=0,6, îòêóäà ñëåäóåò À ≈ Â~ . Ïðåîáðàçóåì ñòåïåíü ðàâåíñòâà

~ ~ & µ(À , Â )= õ∈Õ (µ À (õ) ↔µ Â õ))=

= õ& ((µÀ (õ) →µÂ(õ))& (µ  (õ) →µ À (õ))), ââèäó êîììóòàòèâíîñòè ∈Õ ~ ~ êîíúþíêöèè µ( À,  )=( & (µÀ (õ)→µÂ(õ)))& õ∈Õ

18

( & (µ Â (õ)→µ À (õ))), îòñþäà ñëåäóåò õ∈Õ

~ ~ ~ ~ ~ ~ µ(À ,  ) = ν( À,  )&ν(  , À ), ò.å. ñòåïåíü ðàâåíñòâà íå÷åòêèõ

ìíîæåñòâ ðàâíà ìèíèìàëüíîé èç ñòåïåíåé èõ âçàèìíîãî âêëþ÷åíèÿ.

~ ~ ~ ~  )≥0,5, ò.å. ìíîæåñòâà À,  íå÷åòêî ðàâíû, òî ~ ~ ~ ~ )≥0,5 , ⇒ ~ Ì ~ è ~ Ì ~ . Îòñþäà ν ( À,  )≥0,5 è ν (  À   À ,À Åñëè µ ( À,

ñëåäóåò ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íå÷åòêîãî ðàâåíñòâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, îñíîâàííûé íà äîêàçàòåëüñòâå âçàèìíîãî íå÷åòêîãî âêëþ÷åíèÿ. Îïðåäåëåíèå 4. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî

~ ~ À ðàâíî íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó Â

~ ~ À = Â , åñëè ∀ õ ∈ Õ, µ Â (õ) =µ À (õ).

~ ~

Íåòðóäíî çàìåòèòü, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ À = Â ,

~

òî ýòè ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ è íå÷åòêî ðàâíûìè À

~ ≈ Â . Äåéñòâèòåëüíî,

~ ~ & µ Â (õ) = µ À (õ) ∀ õ ∈ Õ, òî µ ( À , Â )= õ∈Õ (µ À (õ)↔µ Â (õ))= ~ ~ ~ ~ =ν(À , Â )& ν ( Â , À )≥ 0,5.

åñëè

2.2.

Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè

~ ~

Ïóñòü çàäàíû íå÷åòêèå ïîäìíîæåñòâà À,  ìíîæåñòâà Õ.

~ ~ À ={<x, µÀ (õ)>},  ={<x, µ  (õ)>}, õ ∈ Õ. Îïðåäåëåíèå 5. Îáúåäèíåíèåì íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ

~

~

~

~ ~ À ∪ Â ÿâëÿåòñÿ

íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À ∪  ={õ, µ À∪  (õ)}, õ∈ Õ, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ ê êîòîðîìó îïðåäåëÿåòñÿ êàê µ À ∪  (õ)= max{µ À (õ), µ  (õ)}= =µ À (õ)∨µ  (õ). (ñì. ðèñ. 3)

~

~

~

~

Ò.å. À È Â - ýòî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, òàêîå, ÷òî À Ì À ∪  è

~ ~ ~ Â Ì À∪ Â .

19

mÀÇÂ(õ)

mÀÈÂ(õ) 1

Ðèñ. 3

mÂ(õ)

mÀ(õ)

0

mÀ(õ)

1 0

Õ

Õ

Ðèñ. 4

Îïðåäåëåíèå 6. Ïåðåñå÷åíèåì äâóõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ

~

åòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À

mÂ(õ)

~ ~ À ∩ Â íàçûâà-

~ ∩ Â ={õ, µ À ∩ Â (õ)},

õ ∈ Õ, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ ê êîòîðîìó îïðåäåëÿåòñÿ êàê µ À ∩ (õ) = min{µ À (õ), µ  (õ)} =µ À (õ)&µ  (õ). (cì. ðèñ.4)

~ ~ ~ ~ ~ À ∩  – ýòî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, òàêîå, ÷òî À ∩ Â Ì À ~ ~ ~ è À ∩ÂÌ Â. ~ Îïðåäåëåíèå 7. Äîïîëíåíèåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ íå÷åò~ êîå ìíîæåñòâî  À , õ∈ Õ, òàêîå, ÷òî µ  À (õ) = 1 - µ À (õ), õ∈ Õ. ~ Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî  , ÷èñåë, ãîðàçäî áîëüÒî åñòü

øèõ íóëÿ. Äîïîëíåíèåì ê ýòîìó ìíîæåñòâó áóäåò ÿâëÿòüñÿ ìíîæå-

m 1 0 Ðèñ. 5

20

mÀ(õ)

~

ñòâî À , ÷èñåë, ãî-

mÂ(õ)

ðàçäî íóëÿ.

Õ

ìåíüøèõ

Îïðåäåëåíèå 8. Ðàçíîñòüþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

~ ~ À \ Â ={õ, µ À\ Â (õ)}, õ∈ Õ, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè

ýëåìåíòîâ ê êîòîðîìó îïðåäåëÿåòñÿ êàê µ À \ Â (õ) = =µ À & µ Â(õ). (cì. ðèñ.5)

~

Îïðåäåëåíèå 9. Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ À

~

ñòâî À ãäå µ À

~

~ Â íàçûâàåòñÿ ìíîæå-

~ Â = {<x; µ À Â (õ)>}, (õ)= µ À\ Â (õ)∨µ Â\ À (õ). Â

Ïðèìåð 4. À ={(õ1;

0,3), (õ3; 0,8), (õ6; 0,4)},

~ Â ={(õ1; 0,9), (õ2; 0,2), (õ3; 0,4), (õ4; 0,5)}. ~ ~ À ∨ Â ={(õ1; 0,9), (õ2; 0,2), (õ3; 0,4), (õ4; 0,5), (õ6; 0,4),}. ~ ~ À ∧ Â ={(õ1; 0,3), (õ3; 0,4)}.

~  À ={(õ1; 0,7), (õ2; 1), (õ3; 0,2), (õ4; 1), (õ5; 1), (õ6; 0,6), (õ7; 1)}. ~ ~ À \ Â ={(õ1; 0,1), (õ3; 0,6), (õ6; 0,4)}. ~ ~ À Â ={(õ1; 0,7), (õ2; 0,2), (õ3; 0,2), (õ4; 0,5), (õ6; 0,6)}.

Îïðåäåëåíèå 10. Âûïóêëîé êîìáèíàöèåé ìíîæåñòâ À1, À2 , … Àn íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ À (õ) = ∑λ i µ i(x), ãäå λ i ≥0, i=1, 2, 3, …. n, è

∑λ i=1.

~

Îïðåäåëåíèå 11. Ìíîæåñòâîì óðîâíÿ α íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà À â Õ, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî â îáû÷íîì ñìûñëå, ñîñòàâëåííîå èç ýëåìåíòîâ õ∈Õ, ñòåïåíè ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðûõ íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó À áîëüøå èëè ðàâíû α.

Àα={õ | õ ∈ Õ, µ À (õ) ≥ α}.

2.3. 1.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ

~ ) ≈ ~ èíâàëþöèÿ  ( À À

21

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 22

~ ~ ~ À ∨ À ≈ À èäåìïîòåíòíîñòü ~ ~ ~ À∧ À≈ À ~ ~ ~ ~ À ∨  ≈  ∨ À êîììóòàòèâíîñòü ~ ~ ~ ~ À∧ ≈ ∧ À ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À ∨(  ∨ C )≈( À ∨  )∨ C ≈ À ∨  ∨ C àcñîöèàòèâíîñòü ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À ∧ (  ∧ C )≈( À ∧  )∧ C ≈ À ∧  ∧ C ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À ∨(  ∧ C )≈( À ∨  )∧( À ∨ C ) äèñòðèáóòèâíîñòü ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À ∧ (  ∨ C )≈( À ∧  )∨ ( À ∧ C ) ~ ∨ ~ ) ≈  ~ ∧  ~ çàêîíû äå Ìîðãàíà (À  À  ~ ~ ~ ~  ( À ∧  ) ≈ À ∨   ~ ~ ~ ~ À∨  À ≈ ∨   ~ ~ ~ ~ À∧  À ≈  ∧   ~ ~ ~ ~ ~ ~ À∨  À∨  ≈ ∨   ∨ À ~ ~ ~ ~ ~ ~ À∧  À∧  ≈  ∧   ∧ À ~ ∨  ~ )∨ ( ~ ∧ ~ )≈ ~ ∨ ~ (À À   À À ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( À ∧ À )∧ (  ∨  )≈ À ∧ À ~ ~ ~ ~ À \  ≈ À ∧  ~ ~ ~ ~ À Â≈ À ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ À (  C )≈( À  ) C ≈ À  C ~ ~ ~ ~ ~ ~ À  ≈( À \  )∨(  \ À ) ~ Ì ~ )≈( ~ Ì  ~ ) (À   À ~ ~) ~ ~ ( À Ì Â )≈( Â Ì À ~ Ì ( ~ ∨ ~ ))≈(( ~ ∧ ~ )Ì ~ ) (À   À À  ~ ∧ ~ )Ì ( ~ ∨ ~ ))≈(( ~ ∧ ~ )Ì ( ~ ∨ ~ ) (( À À  C   À C

18.

19.

~ ~ ~ À ∨∅≈ À À ∧∅≈∅ ~ ~ ~ À ∧Õ≈ À À ∨Õ≈Õ

Ïåðå÷èñëåííûå âûøå îñíîâíûå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ åùå íå ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìîé àêñèîì. Ñòðîãàÿ æå ñèñòåìà àêñèîì, àäåêâàòíàÿ, â ÷àñòíîñòè, àëãåáðå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ áûëà ñôîðìóëèðîâàíà çà 7 ëåò äî èõ âîçíèêíîâåíèÿ. Ñîîîòâåòñòâóþùàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà îïðåäåëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå Õ ñ äâóìÿ ñèñòåìàìè îïåðàöèé: <Õ, +, *, , 0,1> èëè <Õ, ∨, ∧, , 0,1>, ãäå x ∧ y=(x+ y)*y, x∨ y=(x* y)+y (ñèìâîëû îïåðàöèé âûáðàíû äëÿ ïðîñòîòû ôîðìóëèðîâîê, èõ íå ñëåäóåò âîñïðèíèìàòü áóêâàëüíî, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå àðèôìåòè÷åñêèå èëè ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè). Ñèñòåìà àêñèîì

4.

Çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ íà áàçå íå÷åòêîé ëîãèêè

 [3] âûäåëÿåòñÿ íåñêîëüêî òèïîâ çàäà÷ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé íà áàçå íå÷åòêîé ëîãèêè. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

õ+y=y+x x + (y + z) = (x + y) + z x+ ù x = 1 x+1=1 x+0=x (x + y) = ù x * ù y x = ù (ù x) 0=1 xÚy=yÚx x Ú (y Ú z)= (x Ú y) Ú z x + (y Ù z) = (x + y)Ù(x + z)

1'. 2'. 3'. 4'. 5'. 6'.

õ*y=y*x x * (y * z) = (x * y) * z x*ùx=1 x*0=0 x*1=x (x * y) = ù x + ù y

9'. x Ù y = y Ù x 10'. x Ù (y Ù z)= (x Ù y) Ù z 11'. x * (y Ú z)=(x*y)Ú(x * z)

Ýòà ñèñòåìà àêñèîì ïîëíà. Ïîäàëãåáðà ÂÕ òåõ ýëåìåíòîâ èç Õ, äëÿ êîòîðûõ õ + õ = õ (èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî õ*õ=õ), ÿâëÿåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé, â êîòîðîé x + y = x ∨ y, x*y = x ∧ y. Ñâÿçü ñ íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè ñòàíîâèòñÿ ÿñíîé ïîñëå ðàññìîòðåíèÿ êëàññà ïðèìåðîâ òàêèõ àëãåáð, îáðàçîâàííîãî ìíîæåñòâàìè S äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìåæäó 0 è 1, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì (äâîéíûå 23

++, -- îáîçíà÷àþò îáû÷íûå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè): 1. 0∈ S è 1∈ S; 2. åñëè x, y ∈ S, òî min(1, x++y)∈ S; 3. åñëè x, y ∈ S, òî max(0, x++y – 1)∈ S; 4. åñëè x ∈ S, òî 1—x∈ S. Îïåðàöèè â S îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x + y = min(1, x++y), x*y = max(0, x++y – 1),  x = 1 - x, x∨y = max(x,y), x∧y=min(x,y).

Áåç òðóäà ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî òàê îïðåäåëåííàÿ ñòðóêòóðà óäîâëåòâîðÿåò ïðèâåäåííûì àêñèîìàì, íî íå àêñèîìàì áóëåâîé àëãåáðû. Ñôîðìóëèðîâàííûì óñëîâèÿì 1 – 4 óäîâëåòâîðÿþò ðàçëè÷íûå êîíêðåòíûå ìíîæåñòâà, íàïðèìåð, S={0,1}; S=[0,1]; S={âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ìåæäó 0 è 1}; S(m)={âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà âèäà n/m äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî íàòóðàëüíîãî m è öåëûõ 0≤ n ≤ m}, ñ îïåðàöèÿìè Íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî À óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U ìîæåò áûòü

îïðåäåëåíî ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(À,õ)∈Õ, ãäå Õ óäîâëåòâîðÿåò

òðåáóåìûì àêñèîìàì (òðàäèöèîííî Õ=S=[0,1]); µ(U,u) = 1. Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè îïðåäåëÿþòñÿ â òåðìèíàõ èõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè è ñâîäÿòñÿ (“ïîòî÷å÷íî”) ê îïåðàöèÿì íàä çíà÷åíèÿì ïîñëåäíèõ, òî åñòü ê îïåðàöèÿì â Õ. Îïåðàöèè  , +, * â ñëó÷àå Õ=S =[0,1] è ÿâëÿþòñÿ èçâåñòíûìè â òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ äîïîëíåíèåì, ãðàíè÷íûìè ñóììîé è ïðîèçâåäåíèåì, ìåíåå ïîïóëÿðíûìè, ÷åì ∨, ∧, íî íàõîäÿùèìè ñâîå îáîñíîâàíèå â íîâîì êîíòåêñòå. Âíå ýòîãî êîíòåêñòà, (â ÷àñòíîñòè, â ðàìêàõ áóëåâîé àëãåáðû) íåïîñðåäñòâåííóþ ñâÿçü ìåæäó îïåðàöèÿìè ∧, ∨ è  íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè óñòàíîâèòü çàòðóäíèòåëüíî.

24

3. Íå÷åòêèå ñîîòâåòñòâèÿ è îòíîøåíèÿ 3.1.

Ñïîñîáû çàäàíèÿ íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé

Îïðåäåëåíèå 1. Íå÷åòêèì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó ìíîæåñòâàìè Õ è Y íà-

~

~

çûâàåòñÿ è ÷åðåç à = (Õ, Y, F ) îáîçíà÷àåòñÿ òðîéêà ìíîæåñòâ, â êîòîðîé X, Y – ïðîèçâîëüíûå ÷åòêèå ìíîæå-

~

ñòâà, F - íå÷åòêîå ìíîæåñòâî â ÕõY. Ïîäîáíî íàçâàíèÿì ýëåìåíòîâ ÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìíîæåñòâî Õ íàçûâàþò îáëàñòüþ îòïðàâëåíèÿ, ìíîæåñòâî Y- îáëàñòüþ ïðèáû-

òèÿ, à

~ F

– íå÷åòêèì ãðàôèêîì íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ.

~

~

Íàçîâåì íîñèòåëåì íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ à = (Õ, Y, F ) ñîîòâåòñòâèå à = (X, Y, F), ó êîòîðîãî ãðàôèê F ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì íå÷åòêî-

~

ãî ãðàôèêà F . Íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå ìîæåò áûòü çàäàíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííî, ãðàôè÷åñêè è â ìàòðè÷íîì âèäå. Äëÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî çàäàíèÿ íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ íåîáõîäèìî ïåðå÷èñëèòü ýëåìåíòû ìíîæåñòâ Õ è Yè çàäàòü íå÷åòêîå ìíî-

~

æåñòâî F â ÕõY.

~

~

 ìàòðè÷íîì âèäå íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå à = (Õ, Y, F ) çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû èíöèäåíöèé Rà , ñòðîêè êîòîðîé ïîìå÷åíû ýëåìåíòàìè x i ∈X (i∈I={1, 2, ..., n}) , ñòîëáöû – ýëåìåíòàìè y i ∈ Y (j∈ £={1, 2, ...,m}), à íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè õi è ñòîëáöà ój ñòàâèòñÿ ýëåìåíò rij=mF<xi,yj>, ãäå mF – ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ èç ÕxY íå÷åòêîìó ãðàôèêó. Íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå ìîæíî çàäàòü â âèäå îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí X∪ Y, êàæäîé äóãå <x , y >, êîòîðîãî ïðèïèi j ñàíî çíà÷åíèå µF<xi ,yj > ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè.

~

~

Ïðèìåð 1. Çàäàäèì íåêîòîðîå íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå à = (X,Ó, F ), îïðåäåëèâøè X è Y êàê Õ= {õ1,õ2,...,õ5}, Y={ó1, y2, yç, y4},

25

~ F ={<0,2/<x1,y2>>, <1/<x3,y1>>, <0,4/<x3,y3>>,

<0,3/<x4,y2>>, <0,7/<x5,y2>>, <0,8/<x5,y3>>}. Ìàòðèöà èíöèäåíöèé Rã è ãðàô íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 6. x1

x2

~ Ã

0,2

y1

x3

x4

0,4

1

0,3

y2

0,7

x5

x1 x2 RÃ = x3 x4 x5

0,8

y3

y4

y1

y2

y3

0 0,2 0 0 0 0 1 0 0,4 0 0,3 0 0 0,7 0,8

y4 0 0 0 0 0

Ðèñ. 6 Ãðàôè÷åñêîå è ìàòðè÷íîå çàäàíèå íå÷åòêîãî ñîîòâåò-

~

~

ñòâèÿ à = (X, Ó, F ). Àíàëîãè÷íî ñòåïåíè ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ ââåäåì ïîíÿòèå ñòåïåíè ðàâåíñòâà äâóõ íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé.

~

~ ~

~

Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü à =(X, Ó, F ), ∆ = (X, Ó, P ) – íåêîòîðûå íå÷åòêèå ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè Õ è Y. Îïðåäåëèì

~ ~

ñòåïåíü ðàâåíñòâà µ( Ã , ∆ ) ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

~ ~ µ ( Ã , ∆) =

~ ~

&

< x , y∈ XxY >

( µ F < x, y >↔ µ p < x, y >)

Åñëè µ ( Ã , ∆ ) ≥ 0,5, òî áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâèÿ

íå÷åòêî ðàâíû, è îáîçíà÷àòü ýòî

~ ~ Ãè∆

~ ~ ~ ~ Ã ≈ ∆ . Åñëè µ ( Ã , ∆ )≤0,5, òî ïîëàãà-

~ ~ ~ .  ñëó÷àå, à è ∆ íå÷åòêî íå ðàâíû, è îáîçíà÷àåì ýòî Ã~ » ∆ ~ ~ ~ ~ êîãäà µ ( à , ∆ )=0,5, ñîîòâåòñòâèÿ à è ∆ îäíîâðåìåííî íå÷åòêî ðàâíû ~ ~ è íå ðàâíû, ò.å. âçàèìíî èíäèôôåðåíòíû. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ à ~ ∆ . åì, ÷òî

26

3.2. Îáðàç è ïðîîáðàç ìíîæåñòâà ïðè íå÷åòêîì ñîîòâåòñòâèè

Äàäèì îïðåäåëåíèÿ èíâåðñèè è êîìïîçèöèè íå÷åòêèõ cîîòâåòñòâèé.

Îïðåäåëåíèå 3. Èíâåðñèåé íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ

~ Ã = (X, Ó, F~ )îáî-

~ ~ à -1 = (X, Ó, F -1 ) , ó ~ ~ êîòîðîãî ãðàôèê F -1 ÿâëÿåòñÿ èíâåðñèåé ãðàôèêà F , ìíîæåñòâî Y – îáëàñòüþ îòïðàâëåíèÿ, à Õ – îáëàñòüþ ïðèáûçíà÷àåòñÿ íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå òèÿ.

Îïðåäåëåíèå 4. Êîìïîçèöèåé íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé

~ ~ ∆ = (Y, Z , P )

~ Ã = (X, Ó, F~

)è

íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå

~ ~ ~ ~ ~ Ô = (Õ, Z, S) , îáîçíà÷àåìîå Ô = à o ∆ , ó êîòîðîãî

îáëàñòü îòïðàâëåíèÿ ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îòïðàâëåíèÿ

~ à , îáëàñòü ïðèáûòèÿ – ñ îáëàñòüþ ïðèáû~ ~ òèÿ ñîîòâåòñòâèÿ ∆ , à ãðàôèêîì S ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèÿ ~ ~ ãðàôèêîâ F è P . ~ ~ Ïðèìåð 2. Ïóñòü à è ∆ — íå÷åòêèå ñîîòâåòñòâèÿ, ãðàôû êîòîðûõ ñîîòâåòñòâèÿ

îïðåäåëåíèþ êîìïîçèöèè, ïîêàçàí íà ðèñ. 6 è ðèñ. 7. Ãðàô ñîîòâåòñòâèÿ

~ ~ ~ Ô = Ã o ∆ , ïîñòðîåííîãî ïî îïðåäåëåíèþ êîìïîçèöèè, ïîêàçàí íà ðèñ. 8. y1

~ ∆

y2

y3

0,8 0,7

1

0,2 z1

z2

X1

0,5

0,5 0,4

y4

z3

~ Ô

0,6

~

X3

z4

z5

X4 0,1

0,4

0,7 0,3

0,2 z6

z1

z2

X5 0,5

0,1

0,3

Ðèñ. 7 Ãðàô íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ ∆

X2

z3

0,4 z4

z5

z6

Ðèñ. 8 Ãðàô íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ

~ Ô

27

Ïóñòü

~ ~ à = (X, Y, F~ ) - íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå, à À – íå÷åòêîå ìíî-

Õ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ À . ~ ~ Îáðàçîì ìíîæåñòâà À ïðè ñîîòâåòñòâèè à íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ~ ~ ìíîæåñòâî à (À) â Y, îïðåäåëÿåìîå âûðàæåíèåì ~ ~ à (À) = {< µ ã (A)( y ), y >}, y ∈Y , ãäå æåñòâî â

µ ã (A)( y ) = ∨ ( µ À ( x )& µ F < x , y >) . x ∈À

Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîñêîëüêó êàæäûé ýëåìåíò ó ∈ Y ìîæåò ñîîòâåòñòâî-

~

âàòü íåñêîëüêèì ýëåìåíòàì õ∈ À, ãäå À – íîñèòåëü ìíîæåñòâà À , òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà ó íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó

~ ~ à (À) îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèáîëüøåå èç çíà÷åíèé, ïîëó÷àåìûõ ñ ïîìî-

ùüþ âûáîðà ìèíèìàëüíîãî ìåæäó çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñ-

~ À íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó À è çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïðè~ íàäëåæíîñòè ïàðû (õ, ó ) íå÷åòêîìó ãðàôèêó F . Åñëè íàõîäèòñÿ îáðàç ~ ~ ~ à (À) ÷åòêîãî ìíîæåñòâà À ïðè ñîîòâåòñòâèè à , òî ~ ~ à (À) = {< µ ã (A)( y ), y >}, y ∈Y , ãäå

òè êàæäîãî õ∈

µ ã (A)( y ) = ∪ µ F < x , y > . x ∈À

Ïðèìåð 3. Ïóñòü äàíî íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå èçîáðàæåí íà ðèñ. 6. Äàíî íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî

~ Ã , ãðàô êîòîðîãî

~ À ={< 0,6/x1>,<0,9/x4>, <0,1/õ5>) ìíîæåñòâà X. Íåîáõîäèìî ~ ~ íàéòè îáðàç À ïðè ñîîòâåòñòâèè à . Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ êàæäîãî ó∈Ó îïðåäåëèì çíà÷åíèå

µ ã (A)( y1 ) = ( µ À ( x1 )& µ F < x1 , y1 >) ∨ ( µ À ( x4 )& µ F < x4 , y1 >) ∨

∨( µ À ( x5 )& µ F < x5 , y1 >) = 0 ;

µ ã (A)( y2 ) = ( µ À ( x1 )& µ F < x1 , y2 >) ∨ ( µ À ( x4 )& µ F < x4 , y2 >) ∨

28

∨( µ À ( x5 )& µ F < x5 , y2 > ) = (0,6& 0,2) ∨ ( 0,9& 0,3) ∨ ( 0,1&0,7 ) = =0,2∨0,3∨0,1=0,3 Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì

~

µ ã (A)( y3 ) = 0,1; µ ã (A)( y4 ) = 0 .

Îáðàçîì ìíîæåñòâà À ïðè ñîîòâåòñòâèè

~ ~ à = (X, Y, F ) ÿâëÿåòñÿ íå÷åò-

~ ~ à (À) = {< 0,3 / y 2 >, < 0,1 / y3 >} . ~ ~ Äëÿ îáðàçîâ íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ À è B ìíîæåñòâà Õ ïðè

êîå ìíîæåñòâî

íå÷åòêîì ñîîòâåòñòâèè

~ ~ Ã = (X, Y, F ) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.

~ ~ , òî ÀÌ Â ~ ~ ~~ Ã(À) Ì Ã(Â) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ã(À ∪ Â) ≈ Ã (À) ∪ Ã (Â) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ã(À ∩ Â) ≈ Ã (À) ∩ Ã (Â)

Åñëè

Åñëè

~ ~ Ã = (X, Y, F

)è

~ ~ ∆ = (Y, Z, P ) – íå÷åòêèå ñîîòâåòñòâèÿ, à

~ ~ ~ Ô = (Õ, Z, S) èõ êîìïîçèöèÿ, òî äëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà À â Õ èìååò ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ìåñòî Ô(À) ≈ (à o ∆ )(À) ≈ ∆ ( Ã(À)) .

Ïî àíàëîãèè ñ ÷åòêèìè ñîîòâåòñòâèÿìè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïðîîáðàçà íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ïðè äàííîì íå÷åòêîì ñîîòâåòñòâèè. Ïóñòü

~ ~ à = (X, Y, F ) – íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå, à B~

– íå÷åòêîå

Y ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ B . Ïðîîáðàçîì ~ ~ ~ ~ à −1(B) ìíîæåñòâà B ïðè ñîîòâåòñòâèè à íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ìíî~ ~ æåñòâî à −1(B) â Õ, îïðåäåëÿåìîå ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: ~ ~ à −1(B) = {< µ à -1 (B) ( x ), x >}, x ∈ X , ãäå

ìíîæåñòâî â

µ Ã -1 (B) ( x ) = ∨ ( µ B ( y )& µ F < x , y >) . y ∈B

~ Ã

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðîîáðàç ìíîæåñòâà

ñîâïàäàåò ñ îáðàçîì

~ ~ B ïðè ñîîòâåòñòâèè Ã

−1

~ B ïðè ñîîòâåòñòâèè

. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 29

ñâîéñòâà, êîòîðûìè îáëàäàåò ïðîîáðàç íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ïðè ñîîòâåòñòâèè ñòâèè

3.3.

~ Ã , ñîâïàäàþò ñî ñâîéñòâàìè îáðàçà ýòîãî ìíîæåñòâà ïðè ñîîòâåò-

~ Ã

−1

.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé

Îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè íå÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêàÿ ôóíêöèîíàëüíîñòü, íå÷åòêàÿ èíúåêòèâíîñòü, íå÷åòêàÿ âñþäó îïðåäåëåííîñòü, íå÷åòêàÿ ñþðúåêòèâíîñòü, íå÷åòêàÿ áèåêòèâíîñòü. Äëÿ ÷åòêèõ ñîîòâåòñòâèé à = ( X , Y, F ) ñâîéñòâî ôóíêöèîíàëü-

íîñòè, îïðåäåëåííîå êàê îòñóòñòâèå â ãðàôèêå F äâóõ ïàð âèäà <x, y1> è

<x, y2>, y1 ≠ y2 , ìîæíî çàäàòü, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ïðîîáðàçà ïðè äàííîì ñîîòâåòñòâèè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîîòâåòñòâèå Ã = ( X , Y, F ) íåôóíê-

öèîíàëüíî, åñëè äëÿ êàêèõ-ëèáî äâóõ ýëåìåíòîâ y1,

y2∈Y èìååò ìåñòî

Ã-1 (y1 ) ∩ Ã-1 (y 2 ) ≠ ∅ . Îòñþäà â ôóíêöèîíàëüíîì ñîîòâåòñòâèè äëÿ

ëþáûõ y1, y2∈Y ñïðàâåäëèâî

Ã-1 (y1 ) ∩ Ã-1 (y 2 ) = ∅ . Ýòè ðàññóæäåíèÿ

áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì. Ïóñòü

~ ~ à = (X, Ó, F ) –

ïðîèçâîëüíîå íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå.

Çàïèøåì äëÿ êàæäîãî y∈Y íå÷åòêîå ìíîæåñòâî

à -1 (y) .

à -1 (y) = {< µ à -1 (y) ( x ) / x >} , ãäå µ à -1 (y) ( x ) = µ F < x , y > , ïîñêîëü-

êó Â={y}, à

µ B = 1 . Ïîëó÷èì ñåìåéñòâî íå÷åòêèõ ïðîîáðàçîâ âñåõ ýëå~ ìåíòîâ ïðèáûòèÿ ñîîòâåòñòâèÿ à . ~ Îïðåäåëåíèå 5. Ñòåïåíü íåôóíêöèîíàëüíîñòè ñîîòâåòñòâèÿ à áóäåì ~ íàçûâàòü âåëè÷èíó α ( Ã) fon è îïðåäåëèì åå ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

~ α ( Ã) fon = ∨ ( ∨ ( µ Ã -1 (y ) ( x )& µ Ã -1 (y ) ( x ))) . yi , y j ∈Y x ∈X

i

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà 30

j

~ α ( Ã) fon ñîâïàäàåò ñ íàè-

áîëüøèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè òåõ ýëåìåíòîâ x ∈ X , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî íå÷åòêèìè ïðîîáðàçàìè ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ y1 , y2 ∈Y . Åñëè íåôóíêöèîíàëüíî.

~ ~ α ( Ã) fon ≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ~

Îïðåäåëåíèå 6. Ñòåïåíü ôóíêöèîíàëüíîñòè ñîîòâåòñòâèÿ Ã áóäåì íàçû-

~ ( Ã) fon è îïðåäåëèì åå ñ ïîìîùüþ âûðà~ ~ æåíèÿ β ( Ã) fon = 1 − α ( Ã) fon . ~ ~ Åñëè β ( Ã) fon ≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ôóíêöèîíàëüíî. ~ ~ ~ Åñëè α ( Ã) fon = β ( Ã) fon =0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ôóíêöèîíàëüâàòü âåëè÷èíó β

íî è íå÷åòêî íåôóíêöèîíàëüíî, ò.å. ôóíêöèîíàëüíî èíäèôôåðåíòíî. Íå-

~

òðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ôóíêöèîíàëü-

íî, äëÿ ëþáûõ

~ ~ yi , y j ∈Y ñïðàâåäëèâî, ÷òî Ã -1 (y i ) ∩ Ã -1 (y j ) ≈ ∅ .

Ïðèìåð 4. Ïóñòü çàäàíî íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå ïîêàçàííîå íà ðèñ.9.

X1

~ 0,4 Ã y1

X2 0,3

0,2

X3

~ ~ Ã = (X, Y, F

),

X4 0,8

0,7

0,9 y2

Äëÿ êàæäîãî

1 y3

Ðèñ. 9 Ãðàô íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ.

y ∈Y

îïðåäåëèì

~ Ã -1 ( y2 ) = {< 0,3 / x1 >, < 0,9 / x3 >, < 0,8 / x4 >} ,

~ à -1 (y) . Ïîëó÷èì

~ Ã -1 ( y2 ) = {< 0,3 / x1 >, < 0,9 / x3 >, < 0,8 / x4 >} , ~ Ã -1 ( y3 ) = {< 0,7 / x2 >, < 1 / x3 >} . 31

Îïðåäåëèì α

~ ( Ã) fon .

~ α ( Ã) fon = (( 0,4&0,3) ∨ (0,4&0) ∨ (0,2&0) ∨ (0,2&0,7) ∨ ∨(0&0,9) ∨ (0&1) ∨ (0&0,8) ∨ (0&0) ∨ (0,3&0) ∨ (0&0,7) ∨ ∨ ( 0 , 9 & 1 ) ∨ ( 0 ,8 & 0 ) ) = 0 , 3 ∨ 0 , 2 ∨ 0 , 9 = 0 , 9 ∨(0,9&1) ∨ (0,8&0)) = 0,3 ∨ 0,2 ∨ 0,9 = 0,9 . ~ ~ Îòñþäà β ( Ã) fon =0,1. Ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî íåôóíêöèîíàëüíî. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè íîñèòåëü Ã(X, Y, F) íå÷åòêîãî ñîîòâåò-

~ ~ ñòâèÿ à (X , Y , F ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì ñîîòâåòñòâèåì , òî âåëè÷èíà

~ ~ ~ α ( Ã) fon =0, β ( Ã) fon =1, ò.å. ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ôóíêöèîíàëüíî.

Îïðåäåëèì ñòåïåíü íåèíúåêòèâíîñòè è èíúåêòèâíîñòè íå÷åòêîãî

ñîîòâåòñòâèÿ. Äëÿ ÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ Ã(X, Y, F) ñâîéñòâî íåèíúåêòèâíîñòè ìîæíî çàïèñàòü êàê íàëè÷èå õîòÿ áû äâóõ òàêèõ ýëåìåíòîâ

x1 , x2 ∈ X , äëÿ êîòîðûõ Ã(x1 ) ∩ Ã(x 2 ) ≠ ∅ , à ñâîéñòâî èíúåêòèâíîñ-

òè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ

Ã(x1 ) ∩ Ã(x 2 ) = ∅ .

xi , x j ∈ X ñïðàâåäëèâî

~ ~ Ïóñòü à (X , Y , F ) – ïðîèçâîëüíîå íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå. Îïðåäå-

ëèì äëÿ êàæäîãî x∈ X íå÷åòêîå ìíîæåñòâî

~ Ã(x) :

~ Ã(x) = {< µ Ã(x) ( y) / y >}, y ∈Y , ãäå µ Ã( x ) ( y) = µ F < x , y > ,

À={x}, µ A ( x ) = 1 . Ïîëó÷èì ñåìåéñòâî íå÷åòêèõ îáðàçîâ ~ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ îáëàñòè îòïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâèÿ à . ~ Îïðåäåëåíèå 7. Ñòåïåíüþ íåèíúåêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâèÿ à áóäåì íà-

ïîñêîëüêó

~

çûâàòü âåëè÷èíó α ( Ã) inj è îïðåäåëèì åå ñ ïîìîùüþ

  ~ âûðàæåíèÿ α ( Ã) inj = x , x∨∈X  ∨ ( µ Ã(x ) ( y )& µ Ã(x ) ( y )) .  y∈Y 

~

i

j

Åñëè α ( Ã) inj ≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå 32

i

j

~ à íå÷åòêî íåèíúåêòèâíî.

~

Îïðåäåëåíèå 8. Ñòåïåíüþ èíúåêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâèÿ Ã áóäåì íàçû-

~

âàòü âåëè÷èíó β ( à ) in j è îïðåäåëèì åå ñ ïîìîùüþ âûðà-

æåíèÿ

~

Åñëè β ( Ã ) inj

~

~ ~ β ( Ã) inj = 1 − α ( Ã) inj . ~

≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî èíúåêòèâíî. ~

~

Åñëè α ( Ã) inj = β ( à ) inj =0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî èíúåêòèâíî è íå÷åòêî íåèíúåêòèâíî, ò.å. èíúåêòèâíî èíäèôôåðåíòíî.  ñëó÷àå,

~

êîãäà ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî èíúåêòèâíî, äëÿ ëþáûõ ëèâî, ÷òî

~ ~ Ã -1 (x i ) ∩ Ã -1 (x j ) ≈ ∅ .

xi , x j ∈ X ñïðàâåä-

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè íîñèòåëü Ã(X, Y, F) íå÷åòêîãî ñîîòâåò~ ~ ñòâèÿ à (X , Y , F ) ÿâëÿåòñÿ èíúåíêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì , òî âåëè÷èíà

~ ~ α ( Ã) inj =0, β ( à ) inj =1, ò.å. ñîîòâåòñòâèå Ã~ íå÷åòêî èíúåíêòèâíî.

~

Îïðåäåëåíèå 9. Ñòåïåíüþ âñþäó îïðåäåëåííîñòè ñîîòâåòñòâèÿ à áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó β âûðàæåíèÿ

~ ( Ã) def è îïðåäåëèì åå ñ ïîìîùüþ

  ~ β ( Ã) def = &  ∨ µ Ã( x ) ( y ) . x ∈X  y∈Ã( x ) 

~ ~ β ( Ã) def ≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî âñþäó îïðåäåëåíî. ~ ~ Åñëè β ( Ã) def ≤0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî íå âñþäó îïðåäåëåíî. ~ ~ Åñëè β ( Ã) def =0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à èíäèôôåðåíòíî îòíîñèòåëü~ íî âñþäó îïðåäåëåííîñòè.  ñëó÷àå, êîãäà ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî âñþäó ~ îïðåäåëåíî, äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñïðàâåäëèâî Ã(x) » ∅. ~ ~ Åñëè íîñèòåëü Ã(X,Y, F) íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ à (X , Y , F ) ÿâ~ ëÿåòñÿ íå âñþäó îïðåäåëåííûì ñîîòâåòñòâèåì, òî β ( Ã) def =0. Åñëè

33

Îïðåäåëåíèå 10. Ñòåïåíüþ íå÷åòêîé ñþðúåêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâèÿ

~ ~ à áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó β ( Ã) è îïðåäåëèì åå ñ sur

ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

Åñëè

  ~ β ( Ã) sur = &  ∨-1 µ -1 ( x ) . y∈Y  x∈Ã ( y ) Ã ( y ) 

~ ~ β ( Ã) sur ≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ñþðúåêòèâíî. Åñëè

~ ~ β ( Ã) sur ≤0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî íå ñþðúåêòèâíî. Åñëè ~ ~ β ( Ã) sur =0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à ñþðúåêòèâíî èíäèôôåðåíòíî. ~  ñëó÷àå, êîãäà ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî ñþðúåêòèâíî, äëÿ ëþáîãî ~ y ∈ Y ñïðàâåäëèâî Ã-1(y) » ∅. ~ ~ Åñëè íîñèòåëü Ã(X,Y, F) íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ à (X , Y , F ) ÿâ~ ëÿåòñÿ íåñþðúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì, òî β ( Ã) sur =0. ~ ~ Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå à (X , Y , F ) , ïîêàçàí-

íîå íà ðèñ 10. Äëÿ êàæäîãî

~ x ∈ X çàïèøåì Ã( x ) . Ïîëó÷èì

~ Ã( x1 ) = {< 0,3 / y1 >, < 0,8 / y 2 >} ,

~ Ã( x2 ) = {< 0,1 / y1 >, < 0,7 / y 2 > , < 0,5 / y 3 >} , ~ Ã( x3 ) = {< 0,6 / y1 >, < 0,4 / y 2 > , < 0,2 / y 3 > , < 0,9 / y 4 >} . Íàéäåì

~ β ( Ã) def = (0,3 ∨ 0,8)& (0,1 ∨ 0,7 ∨ 0,5)& (0,6 ∨ 0,4 ∨ 0,2 ∨ 0,9) =

= 0,8&0,7&0,9 = 0,7 .

~

Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâèå à ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêî âñþäó îïðåäåëåííûì. Çàïèøåì äëÿ êàæäîãî y ∈ Y ýòîãî æå ñîîòâåòñòâèÿ ìíîæåñòâà

~ ~ à -1 . Ïîëó÷èì à -1 ( y1 ) = {< 0,3 / x1 >, < 0,1 / x2 > , < 0,6 / x3 >} , ~ à -1 ( y2 ) = {< 0,8 / x1 >, < 0,7 / x2 > , < 0,4 / x3 >} ,

34

~ Ã -1 ( y3 ) = {< 0,5 / x2 >, < 0,2 / x3 >} , ~ Ã -1 ( y4 ) = {< 0,9 / x3 >} . Íàõîäèì

~ β ( Ã) sur = (0,3 ∨ 0,1 ∨ 0,6)& (0,8 ∨ 0,7 ∨ 0,4)& (0,5 ∨ 0,2)& (0,9) = ~ = 0,6&0,8&0,5&0,9 = 0,5 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâèå Ã ñþðú-

åêòèâíî èíäèôôåðåíòíî.

Ðèñ. 10 Ãðàô íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ èç ïðèìåðà 5.

~

Îïðåäåëåíèå 10. Ñòåïåíüþ íå÷åòêîé áèåêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâèÿ à áó-

~

äåì íàçûâàòü âåëè÷èíó β ( Ã) bij è îïðåäåëèì åå ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

~ ~ ~ ~ β ( Ã) bij = β ( Ã) fon & β ( Ã) def & β ( Ã) sur .

~

~

Åñëè β ( Ã) bij ≥0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî áèåêòèâíî. Åñëè

~ ~ β ( Ã) bij ≤ 0,5 , òî ñîîòâåòñòâèå à íå÷åòêî íåáèåêòèâíî. Åñëè ~ ~ β ( Ã) bij =0,5, òî ñîîòâåòñòâèå à áèåêòèâíî èíäèôôåðåíòíî. 3.4.

Ñïîñîáû çàäàíèÿ íå÷åòêèõ îòíîøåíèé

Îïðåäåëåíèå 11. Íå÷åòêèì îòíîøåíèåì íà íåïðîèçâîëüíîì íåïóñòîì ìíîæåñòâå Õ íàçûâàåòñÿ è ÷åðåç

ïàðà ìíîæåñòâ, â êîòîðîé æåñòâîì Õ2.

~ ϕ~ ( X , F ) îáîçíà÷àåòñÿ

~ F ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì ïîäìíî35

 îòíîøåíèè

~

~ ϕ~ ( X , F ) ìíîæåñòâî Õ íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ çàäà-

íèÿ, à F íå÷åòêèì ãðàôèêîì îòíîøåíèÿ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé íå÷åòêîãî ñîîòâåòñòâèÿ

~ ~ Ã = ( X , Y , F ) , ó êîòîðîãî Õ=Y.

~

~

Íîñèòåëåì íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ϕ ( X , F ) , íàçûâàåòñÿ ÷åòêîå îò-

~

~

íîøåíèå ϕ ( X , F ) , ó êîòîðîãî ãðàôèê F ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì ãðàôèêà F . Ñóùåñòâóþò ÷åòûðå ñïîñîáà çàäàíèÿ íå÷åòêèõ îòíîøåíèé: òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé, ãðàôè÷åñêèé è ñ ïîìîùüþ íå÷åòêèõ ïðåäèêàòîâ. Äëÿ çàäàíèÿ íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîì âèäå íåîáõîäèìî ïåðå÷èñëèòü ìíîæåñòâî Õ={xi} (i∈I={1,2...,n}) è çàäàòü

~ F = {< µ F < xi , x j >, < xi , x j >>}, < xi , x j >∈ X 2 . ~ çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìàò ìàòðè÷íîì âèäå íå÷åòêîå îòíîøåíèå ϕ

íå÷åòêèé ãðàôèê

ðèöû ñìåæíîñòè

Rϕ , ñòðîêè è ñòîëáöû êîòîðîé ïîìå÷åíû ýëåìåíòàìè

x ∈ X , à íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà ñòàâèòñÿ ýëåìåíò rij = µ F < xi , x j > , ãäå µ F - ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ èç Õ2 ~ íå÷åòêîìó ãðàôèêó F . ~ ϕ~ ( X , F ) Íå÷åòêîå îòíîøåíèå

ñòâîì âåðøèí Õ, äóãàì çíà÷åíèå

ìîæíî çàäàòü â âèäå ãðàôà ñ ìíîæå-

< xi , x j > êîòîðîãî ïðèïèñàíî ñîîòâåòñòâóþùåå

µ F < xi , x j > ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè.

~

~

Ïðèìåð 6. Çàäàäèì íåêîòîðîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå ϕ ( X , F ) , ó

Õ={x1,x2,...,x6}, à íå÷åòêèé ãðàôèê ~ F = {< 0,5/ < x1 , x6 >>,

êîòîðîãî

< 0,7 / < x1 , x5 >>, < 0,4 / < x2 , x3 >>, < 0,8/ < x3 , x3 >>,

< 0,2 / < x4 , x3 >>, < 0,1/ < x4 , x1 >>, < 0,3/ < x4 , x6 >>, < 0,6/ < x6 , x4 >>, < 1/ < x6 , x3 >>, < 1/ < x6 , x6 >>}. 36

Ìàòðèöà ñìåæíîñòè è ãðàô ýòîãî îòíîøåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñ.11.

Ðèñ. 11 Ìàòðèöà ñìåæíîñòè è ãðàô îòíîøåíèÿ èç ïðèìåðà 6.

~ ϕ ( X , F ) - ïðîèçâîëüíîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå. Åñëè ~ < µ F < a , b > / < a , b >>∈ F , a , b ∈ X , òî âûðàæåíèå aϕ~b ïðåäñòàâÏóñòü

ëÿåò ñîáîé íå÷åòêîå ëîãè÷åñêîå âûñêàçûâàíèå , çíà÷åíèå èñòèííîñòè êî-

µ F < a , b > . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ çàäàíèÿ íåêîòîðîãî ~x îò ~ íà Õ íå÷åòêóþ ëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó x ϕ íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ϕ òîðîãî ðàâíî

i

j

äâóõ ïåðåìåííûõ èëè íå÷åòêèé ïðåäèêàò, êîòîðûé îïðåäåëåí íà ìíîæåñòâå Õ2, à çíà÷åíèå ïðèíèìàåò èç èíòåðâàëà [0;1].

~ ~ ϕ~ ( X , F ) è ψ~ ( X , P ) – íåêîòîðûå îòíîøåíèÿ ~ ,ψ~ îáîçíà÷àåòíà Õ . Ñòåïåíü ðàâåíñòâà îòíîøåíèé ϕ ~ ,ψ~ ) , ãäå ñÿ µ (ϕ

Îïðåäåëåíèå 12. Ïóñòü

µ (ϕ~ ,ψ~ ) =

&

< xi , x j >∈X 2

( µ F < xi , x j >↔ µ P < xi , x j >) .

µ (ϕ~ ,ψ~ ) ≥0,5, òî îòíîøåíèÿ ϕ~ ,ψ~ áóäåì íàçûâàòü íå÷åòêî ~ ≈ ψ~ . Åñëè µ (ϕ ~ ,ψ~ ) ≤0,5 òî îòíîøåíèÿ ϕ ~ ,ψ~ ðàâíûìè è îáîçíà÷àòü ϕ Åñëè

~ » ψ~ .  ñëó÷àå, êîãäà íå÷åòêî íå ðàâíû è îáîçíà÷àòü ϕ

µ (ϕ~ ,ψ~ ) =0,5,

~ ,ψ~ îäíîâðåìåííî íå÷åòêî ðàâíû è íå÷åòêî íå ðàâíû, ò.å. îòíîøåíèÿ ϕ ~ ∼ ψ~ . âçàèìíî èíäèôôåðåíòíû, ÷òî îáîçíà÷àåòñÿ ϕ

37

~ ϕ~ ( X , F ) - íåêîòîðîå îòíîøåíèå íà Õ . Ñòåïå~) , íüþ íå÷åòêîñòè îòíîøåíèÿ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ρ (ϕ

Îïðåäåëåíèå 13. Ïóñòü

ρ (ϕ~ ) = 1 − µ (ϕ~ , ϕ ) , ãäå ϕ − íîñèòåëü íå÷åòêîãî îòíî~. øåíèÿ ϕ ãäå

Íà îñíîâàíèè ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü

ρ (ϕ~ ) = 1 −

&

< xi , x j >∈X 2

( µ F~ < xi , x j >↔ µ F < xi , x j >) , ãäå

1, å ñ ëè < xi , x j >∈ F , µ F < xi , x j >=  0, å ñ ëè < xi , x j >∉ F . Åñëè

µ F~ < xi , x j >= 0 , òî < xi , x j >∉ F , ò.å. µ F < xi , x j >= 0 .

Îòñþäà ñòåïåíü èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèÿ

µ F~ < xi , x j >↔ µ F < xi , x j > ðàâíà 1. Ïîýòîìó â ôîðìóëå

ρ (ϕ~ ) ìîæíî çàìåíèòü

&

< xi , x j >∈X 2

íà

&

< xi , x j >∈F

. Äàëåå, òàê êàê äëÿ âñåõ

< xi , x j >∈ F âåëè÷èíà µ F < xi , x j >= 1 , òî âûðàæåíèå ρ (ϕ~ ) ìîæ-

íî çàïèñàòü â âèäå

ρ (ϕ~ ) = 1 − ρ (ϕ~ ) = 1 −

&

< xi , x j >∈F

&

< xi , x j >∈F

( µ F~ < xi , x j >↔ 1) èëè, îêîí÷àòåëüíî,

µ F~ < xi , x j > .

Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ

~ ϕ~ = ( X , F ) ìîæíî ïîëó÷èòü åäèíñòâåí-

íîå ÷åòêîå îòíîøåíèå ϕ* = ( X, F*) , íå÷åòêî ðàâíîå èëè èíäèôôåðåíòíîå

ϕ~ . Äëÿ ýòîãî ñòðîèì ãðàôèê F* ñëåäóþùèì îáðàçîì:

F* = {< xi , x j >∈ X 2 }, µ F~ < xi , x j > > 0,5 .

= ( X , P ) ìîæíî ïîëó÷èòü áåñ~ êîíå÷íî ìíîãî îòíîøåíèé ψ , íå÷åòêî ðàâíûõ èëè èíäèôôåðåíòíûõ îòÄëÿ ëþáîãî ÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ψ

38

íîøåíèé ψ . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëþáîãî èç íèõ äîñòàòî÷íî âñåì ïàðàì

< xi , x j >∈ P ïðèïèñàòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè áîëüøèå

0,5, à âñåì ïàðàì èç X 2 \ P – çíà÷åíèÿ ìåíüøèå èëè ðàâíûå 0,5. Èç ïîñòðîåíèÿ íå÷åòêèõ îòíîøåíèé, íå÷åòêî ðàâíûõ îòíîøåíèþ

ψ = ( X , P ) , è îïðåäåëåíèÿ íå÷åòêîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî âñå ïîëó÷åííûõ ïî ψ íå÷åòêèå îòíîøåíèÿ áóäóò íå÷åòêî ðàâíû ìåæäó ñîáîé èëè âçàèìíî èíäèôôåðåíòíû. Ïðèâåäåì ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå óñòàíîâèòü íå÷åòêîå ðàâåíñòâî èëè íåðàâåíñòâî îòíîøåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî âçàèìíîé èíäèôôåðåíòíîñòè. Ïóñòü çàäàíû äâà íå÷åòêèõ îòíîøåíèÿ ~ ~ ϕ~ = ( X , F ),ψ~ = ( X , P ) . Ïîñòðîèì äëÿ íèõ ÷åòêèå îòíîøåíèÿ

ϕ * = ( X , F* ),ψ * = ( X , P* ) .

ϕ * = ( X , F* ),ψ * = ( X , P* ) ~ ~ íå÷åòêî ðàâíû ~ = ( X , F ),ψ~ = ( X , P ðàâíû, òî íå÷åòêèå îòíîøåíèÿ ϕ ) Ïðåäïîëîæåíèå 1. Åñëè îòíîøåíèÿ

èëè âçàèìíî èíäèôôåðåíòíû.

ϕ * = ( X , F* ),ψ * = ( X , P* ) ~ íå÷åòêî íå ~ = ( X , F~ ),ψ~ = ( X , P íå ðàâíû, òî íå÷åòêèå îòíîøåíèÿ ϕ ) Ïðåäïîëîæåíèå 2. Åñëè îòíîøåíèÿ

ðàâíû èëè âçàèìíî èíäèôôåðåíòíû.

3.5. Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè îòíîøåíèÿìè

~ ~ ϕ~ = ( X , F ),ψ~ = ( X , P ) ïðîèçâîëüíûå íå÷åòêèå îòíîøå~ íå÷åòêî âêëþ÷àåòíèÿ íà ìíîæåñòâå Õ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòíîøåíèå ϕ Ïóñòü

~ ~ . Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ ϕ~ Ì ψ~ . FÌ P ~ è ψ~ íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå Îïðåäåëåíèå 14. Îáúåäèíåíèåì îòíîøåíèé ϕ ~ = ( X , S~ ) , îáîçíà÷àåìîå η~ = ϕ~ ∪ ψ~ , åñëè îòíîøåíèå η ~

ñÿ â îòíîøåíèå ψ , åñëè

~ ~ ~ S = F ∪ P . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ xi , x j ∈ X ñïðàâåä-

ëèâî

µ S < xi , x j >= µ F < xi , x j > ∨ µ P < xi , x j > .

39

~ è ψ~ íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå Îïðåäåëåíèå 15. Ïåðåñå÷åíèåì îòíîøåíèé ϕ

~ îòíîøåíèå π

~ = ( X ,U ) , îáîçíà÷àåìîå π~ = ϕ~ ∩ ψ~ , åñëè

~ ~ ~ S = F ∪ P . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ xi , x j ∈ X ñïðàâåä-

µ U < xi , x j >= µ F < xi , x j >& µ P < xi , x j > . ~ íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå îòíîÎïðåäåëåíèå 16. Äîïîëíåíèåì îòíîøåíèÿ ϕ ëèâî

øåíèå

~ . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ x , x ∈ X ~ =(X,¬F ¬ϕ ) i j

µ ¬F < xi , x j >= 1 − µ F < xi , x j > . ~ íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå îòíîøåÎïðåäåëåíèå 17. Èíâåðñèåé îòíîøåíèÿ ϕ ñïðàâåäëèâî

~ −1 ~ ϕ~ −1 = ( X , F −1 ) , òàêîå, ÷òî íå÷åòêèé ãðàôèê F ~ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíâåðñèþ ãðàôèêà F . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ xi , x j ∈ X ñïðàâåäëèâî íèå

µ F −1 < xi , x j >= µ F < xi , x j > . ~ è ψ~ íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå Îïðåäåëåíèå 18. Êîìïîçèöèåé îòíîøåíèé ϕ ~ ~ ~ , åñëè ~ ~ îòíîøåíèå k = ( X ,V ) , îáîçíà÷àåìîå k = ϕ oψ

~ ~ ~ V = F o P . Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ xi , xj , xk ∈X ñïðàâåäëè-

( µ F < xi , x k >& µ P < xi , x j >) . âî µ V < xi , x j >= ∪ xk

~

~( X , F ) è Ïðèìåð 7. Ïóñòü äàíû íå÷åòêèå îòíîøåíèÿ ϕ

~ ψ~ = ( X , P ) , ãðàôû êîòîðûõ ïîêàçàíû íà ðèñ. 12. Ãðàôû íå÷åòêèõ ~ ∪ ψ~ , ϕ ~ ∩ ψ~ , ¬ϕ ~,ϕ ~ −1 , ϕ~ o ψ~ ïîêàçàíû íà ðèñ. 13. îòíîøåíèé ϕ

40

Ðèñ.12 Èñõîäíûå ãðàôû íå÷åòêèõ îòíîøåíèé èç ïðèìåðà 7.

Ðèñ.13 Ðåçóëüòèðóþùèå ãðàôû íå÷åòêèõ îòíîøåíèé èç ïðèìåðà 7.

41

4.1.

Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ îäíèì ýêñïåðòîì

Çàäàíî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé èëè àëüòåðíàòèâ U={u1 , u2 , …un } è íå÷åòíîå îòíîøåíèå íåñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ (í.î.ï.) R íà ìíîæåñòâå U ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µR(ui, uj)∈ [0, 1] – ëþáîå ðåôëåêñèâíîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå íà U, òàê ÷òî µR(ui, uj)=1, ui∈U. Í.î.ï. çàäàåòñÿ îáû÷íî ëèöîì, ïðèíèìàþùèì ðåøåíèÿ â ðåçóëüòàòå îïðîñà ýêñïåðòîâ, îáëàäàþùèõ çíàíèÿìè èëè ïðåäñòàâëåíèÿìè î ñîäåðæàíèè èëè ñóùåñòâå çàäà÷è, êîòîðûå íå áûëè ôîðìàëèçîâàíû â ñèëó ÷ðåçìåðíîé ñëîæíîñòè òàêîé ôîðìàëèçàöèè èëè ïî äðóãèì ïðè÷èíàì. Äëÿ ëþáîé ïàðû àëüòåðíàòèâ ui, uj∈U çíà÷åíèÿ µR(ui, uj) ïîíèìàåòñÿ êàê ñòåïåíü ïðåäïî÷òåíèÿ "ui, íå õóæå uj", â çàïèñè ui ≥uj. Ðàâåíñòâî µR(ui, uj)=0 ìîæåò îçíà÷àòü êàê òî, ÷òî µR(uj, ui)>0, òî åñòü ñ ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíüþ âûïîëíåíî "îáðàòíîå" ïðåäïî÷òåíèå uj ≥ui , òàê è òî, ÷òî è µR(uj, ui)=0, òî åñòü àëüòåðíàòèâû uj è ui íåñðàâíèìû. Ðåôëåêñèâíîñòü í.î.ï. îòðàæàåò òîò åñòåñòâåííûé ôàêò, ÷òî ëþáàÿ àëüòåðíàòèâà íå õóæå ñàìîé ñåáÿ. Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ðàöèîíàëüíîì âûáîðå íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûõ àëüòåðíàòèâ èç ìíîæåñòâà U, íà êîòîðîì çàäàíî íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ R. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è 1. Ñòðîèòñÿ íå÷åòêîå îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ RS, àññîöèèðîâàííîå ñ R, îïðåäåëÿåìîå ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè

µ R (u i , u j ) − µ R (u j , u i ), µ R (u i , u j ) > µ R (u j , u i ), (u i , u j ) =  0, µ R (u i , u j ) ≤ µ R (u j , u i ). Ýòî îòíîøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå RS=R\RT, ãäå RT – "îáðàòíîå" îòíîøåíèå (ìàòðèöà îòíîøåíèé RT ïîëó÷àåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì ìàòðèöû îòíîøåíèé R). 2. Ñòðîèòñÿ íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî URnd ⊂ U íåäîìèíèðóåìûõ àëüòåðíàòèâ, àññîöèèðîâàííîå ñ R è âêëþ÷àþùåå òå àëüòåðíàòèâû, êîòî-

ðûå íå äîìèíèðóþòñÿ íèêàêèìè äðóãèìè, îïðåäåëÿåìîå ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè

µ R nd (ui ) = min {(1 − µ R S (u J , ui )} = 1 − max {µ R S (u J , ui )}, ui ∈U . u j ∈U u j ∈U

42

Äëÿ ëþáîé àëüòåðíàòèâû

u j ∈U

çíà÷åíèå

µ R nd (ui )

ïîíèìà-

åòñÿ êàê ñòåïåíü íåäîìèíèðóåìîñòè ýòîé àëüòåðíàòèâû, òî åñòü ñòåïåíü ñ êîòîðîé ui íå äîìèíèðóåòñÿ íè îäíîé èç àëüòåðíàòèâ ìíîæåñòâà U;

µ R nd (ui ) = α

îçíà÷àåò , ÷òî íèêàêàÿ àëüòåðíàòèâû uj íå ìîæåò áûòü

ëó÷øå ui ñî ñòåïåíüþ äîìèíèðîâàíèÿ áîëüøåé α; èíà÷å ãîâîðÿ, ui ìîæåò

äîìèíèðîâàòüñÿ äðóãèìè àëüòåðíàòèâàìè, íî ñî ñòåïåíüþ íå âûøå 1-α. Ðàöèîíàëüíûì åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü âûáîð àëüòåðíàòèâ, èìåþùèõ ïî âîçìîæíîñòè áîëüøóþ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó URnd . 3. Âûáèðàåòñÿ òà àëüòåðíàòèâà u*, äëÿ êîòîðîé çíà÷åíèå

ìàêñèìàëüíî:

u* = arg max µ R nd (ui ) . u i ∈U

µ R nd (u * )

Îíà è äàåò ðåøåíèå çàäà÷è. Åñëè íàèáîëüøóþ ñòåïåíü íåäîìèíèðóåìîñòè èìååò íå îäíà, à íåñêîëüêî àëüòåðíàòèâ, òî ë.ï.ð. ìîæåò ëèáî ñàì âûáðàòü îäíó èç íèõ, èñõîäÿ èç êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé, ëèáî ðàñøèðèòü êðóã ýêñïåðòîâ ïðè ôîðìèðîâàíèè èñõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è è ïîâòîðèòü åå ðåøåíèå. Ïðèìåð. Íà ìíîæåñòâå U èç ÷åòûðåõ àëüòåðíàòèâ u1, u2, u3, u4 çàäàíî îòíîøåS S íèå R ìàòðèöåé M , òîãäà îòíîøåíèå R îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé M :

R

R

0 0,3 0,7  1 1 1 0,8 0,1   MR = 0,5 0,5 1 1   1 0,5 0,5 0

0 0 0,2  0 1 0 0,3 0  S   MR = 0,2 0 0 1   0  0 0,4 0 Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà URnd ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû â ñòîëáöàõ ìàòðèöû ÌRS: m=[1; 0,4; 0,3; 1], òîãäà VRnd=[0; 0,6; 0,7; 0]. Òàê êàê µ R

Åñëè æå

nd

(u3 ) = 0,7 = max µ R (u i ), òî u * = u3 . nd

43

1 0,1 1  0 1 0,6 MR =   0,5 0,5 1   0,5 0,5 1

0,1  0   0 1 0  0 0 0,1 0,4  0,9  S  MR =   0, 4 0 0 0  0 ,    1  0   0, 4 0 1 m=[0,4; 1; 1; 0,4], òîãäà VRnd=[0,6; 0; 0; 0,6].  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå u* ìîæåò áûòü âûáðàíà êàê àëüòåðíàòèâà u1, òàê è u4. 4.2.

Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ñ ãðóïïîé ýêñïåðòîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè

Íà ìíîæåñòâå âñåâîçìîæíûõ ðåøåíèé (àëüòåðíàòèâ) U={u1 , u2 , …un } çàäàíî íåñêîëüêî íå÷åòêèõ îòíîøåíèé íåñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ (í.î.ï.). Í.Î.Ï. Rk ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå îïðîñà êàæäîãî ýêñïåðòà è çàïîëíåíèè ìàòðèöû íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ íåñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ (í.î.ï.)

Rk, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîé åñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè µR(ui, uj), âûðàæàþùåå ñòåïåíü ïðåäïî÷òèòåëüíîñòè àëüòåðíàòèâû ui, ïî ñðàâíåíèþ ñ uj. Ïðè µ(ui, uj)>0 ui ïðåäïî÷òèòåëüíåå, ÷åì uj; åñëè æå µ(ui, uj)=0, òî ëèáî ïåðâàÿ àëüòåðíàòèâà õóæå âòîðîé, ëèáî îíè íåñðàâíèìû. Ëèöî, ïðèíèìàþùåå ðåøåíèå ïî-ðàçíîìó îòíîñèòñÿ ê ýêñïåðòàì, ÷òî íàõîäèò îòðàæåíèå â âåñîâûõ êîýôôèöèåíòàõ 0≤λi,≤1,

∑λ

k

= 1 ), ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîìó èç íèõ.

λk , (ãäå

Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è 1. Ñòðîèòñÿ ñâåðòêà Ð îòíîøåíèé êàê ïåðåñå÷åíèå íå÷åòêèõ îòíîøåíèé íåñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ ýêñïåðòîâ Ð=∩ Rk (ui, uj)= min {µ(ui, uj)}; òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ íîâîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå íåñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ. Äàëåå ñ í.î.ï. àññîöèèðóåòñÿ îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ Ðs =P\PT, ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µÐs. µ ( R , ui , u j ) − µ ( R S , ui , u j ), åñëè µ ( R , ui , u j ) > µ ( R S , ui , u j ); µ ( R S , ui , u j ) =  S 0, åñëè µ ( R , ui , u j ) ≤ µ ( R , ui , u j ). Äàëåå îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóþùèõ àëüòåðíàòèâ U(Ðs; nd) c ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µS (nd, ui) = 1 - maxj {µÐS (nd, ui)}.

44

2. Ñòðîèì âûïóêëóþ ñâåðòêó Q îòíîøåíèé RK, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò-

ñÿ êàê

Q=

∑λ R K

K

,

µ Q(ui, uj)=∑λkµk(ui, uj). Îíà ÿâëÿåòñÿ íîâûì

í.î.ï., ñ êîòîðûì àññîöèèðóþòñÿ åãî îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïðåäïî÷òåíèÿ Q S è ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ àëüòåðíàòèâ U q nd . Ìíîæåñòâà U(Rs; nd) è Uqnd íåñóò äîïîëíÿþùóþ äðóã äðóãà èíôîðìàöèþ î íåäîìèíèðóåìîñòè àëüòåðíàòèâ. 3. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå ïîëó÷åííûõ ìíîæåñòâ U(Rs; nd) è U(Q, nd) . U nd = U nd ∩ U q nd ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µnd(ui)=min{µPnd(ui), µQnd(ui)}. 4. Âûáèðàåòñÿ òà àëüòåðíàòèâà u*, äëÿ êîòîðîé çíà÷åíèå µnd(u*) ìàêñèìàëüíî: u*=arg max µµnd(ui), u i ∈U. Ïðèìåð. Íà òîì æå ìíîæåñòâå U, ÷òî è â ïåðâîì ïðèìåðå, ïÿòü ýêñïåðòîâ çàäàëè îòíîøåíèÿ R1, R2, R3, R4, R5 ìàòðèöàìè M1, M2, M3, M4, M5:

1 0 M1 =  0,5  0,5 1 0,5 M3 =  0,5  0,5

1 0,2 0,4  1  1 1 0,8 0,6 , M 2 =  0,5 0,5 1 0   0,5 1 1 0,5 0,3 0,7 1  1 0,5  1 1 0,9  , M4 =  0,5 0 1 0,1   0,5 0,5 1  1

0 0,2 0,9 1 0,9 0,5 , 0,5 1 1  0,5 0 1 0,2 0,5 0  1 0 0,6 , 1 1 0,8  0,5 0,5 1 

45

 1 0,1 1 0,6 0,5 1 0,3 1  . M5 =   0 0,5 1 0   0,5 0 0,5 1 

Âåñîâûå êîýôôåöèåíòû îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ýêñïåðòîâ ñ òî÷êè çðåíèÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèÿ:

λ 1= λ 2 = λ 4 = 0,2; λ 3= 0,3; λ 5 = 0,1. Ñâåðòêè P è Q îòíîøåíèé R1, R2, R3, R4, R5 îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðè-

öàìè:

1 0 MP =  0  0,5

0 0,2 0  0,34 0,49 0,62   1   1 0 0,5 0,5 1 0,67 0,71 , M Q =  . 0,45 0,45 0 1 0 1 0,39    0 0 1 1   0,6 0,45 0,5 Ìíîæåñòâà Ps QS îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðèöàìè 0 0 = 0  0,5

0 0,2 0   0 0 0,04 0,02   0,16 0 0,22 0,26 0 0 0,5 S , M S =  . MP  0 0 0 0 0 Q 0 0     0 0 0 0   0 0 0,11 Ìíîæåñòâà UPnd UQnd îïðåäåëÿþòñÿ âåêòîðàìè vPnd=[0,5; 1; 0,8; 0,5], vQnd=[0,84; 1; 0,78; 0,74], îòêóäà

46

µ

nd

= [0,5; 1; 0,78; 0,5] ⇒ u* = u2 .

4.3. Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ñ ãðóïïîé ýêñïåðòîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ íå÷åòêèì îòíîøåíèåì íåñòðîãî ïðåäïî÷òåíèÿ ìåæäó íèìè

Ïðè æåëàíèè ïîëó÷èòü åùå áîëåå îáúåêòèâíîå ðåøåíèå, ìîæíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ ãðóïïîé ýêñïåðòîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ íå âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè ïîìîùè åùå îäíîãî í.î.ï. N, çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå E ýêñïåðòîâ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µN(åk, ål), åk, ål ∈ Å, çíà÷åíèÿ êîòîðîé îçíà÷àþò ñòåïåíü ïðåäïî÷òåíèÿ ýêñïåðòà åk ïî ñðàâíåíèþ ñ ýêñïåðòîì ål . Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è 1. Ñ êàæäûì Rk àññîöèèðóþòñÿ RkS è Uknd , ââîäèòñÿ îáîçíà÷åíèå nd µk (ui)= µÔ(ui,åk), i=1,..,n, k=1,...,m. Òåì ñàìûì çàäàåòñÿ íå÷åòêîå ñîîòâåòñòâèå Ô ìåæäó ìíîæåñòâàìè U è E. 2. Ñòðîèòñÿ ñâåðòêà à â âèäå êîìïîçèöèè ñîîòâåòñòâèé Ã=ÔT N Ô. Ïðè÷åì ðåçóëüòèðóþùåå îòíîøåíèå à îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàêñìèííîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö ÔT , N, Ô. Òî åñòü, ïîëó÷àåòñÿ åäèíîå ðåçóëüòèðóþùåå îòíîøåíèå, ïîëó÷åííîå ñ ó÷åòîì èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè í.î.ï. Rk. Ñ îòíîøåíèåì à àññîöèèðóåòñÿ îòíîøåíèå ÃS è ìíîæåñòâî UÃnd. 3. Êîððåêòèðóåòñÿ ìíîæåñòâî UÃnd äî ìíîæåñòâà U/Ãnd c ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ /Ãnd (ui)= min {µÃnd (ui) , µÃ (ui , ui)}. 4. Âûáèðàåòñÿ òà àëüòåðíàòèâà, äëÿ êîòîðîé çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ñêîððåêòèðîâàííîãî íå÷åòêîãî ïîäìíîæåñòâà U/Ãnd íåäîìèíèðóåìûõ àëüòåðíàòèâ ìàêñèìàëüíî. Ïðèìåð. Òåïåðü âìåñòî âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè íà ìíîæåñòâå Å ýêñïåðòîâ çàäàíî îòíîøåíèå N ìàòðèöåé

1 0,4  M N = 0,2   0,8  0,5

0,2 1 0,5 0,3 0,2

0,2 0,3 1 0,6 0,4

0,1 0,9  0,2 0,7   0,1 0,1 . 1 0,3 0,6 1 

47

Ïîñòðîèâ äëÿ êàæäîãî îòíîøåíèÿ

ïðèíàäëåæíîñòè ñòâèÿ Ô.

R1, R2, R3, R4, R5 ôóíêöèþ

µ 1 nd , µ 2 nd ... µ 5 nd , ôîðìèðóåì ìàòðèöó ñîîòâåò-

0 0,9 0,7 0 0 1 0,6 0    0 0,5 M Ô =  0,8 1  . 0 1 0,7 0 0,6 0,8 0 0 

Ñâåðòêà Ã îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñìèííûì ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö

0,7 0 0,8 0 0,6 0 1 1 0 0,8 ⋅ M Ã = ( M Ô ) Ò NM Ô =   0 0,6 0 1 0   0,9 0 0,5 0,7 0  0 0,9   1 0,2 0,2 0,1 0,9  0,7 0 0,4 1 0,3 0,2 0,7   0 1 0,6 0      0 0,5 = ⋅0,2 0,5 1 0,1 0,1 ⋅  0,8 1     0 1 0,7   0,8 0,3 0,6 1 0,3  0  0,5 0,2 0,4 0,6 1  0,6 0,8 0 0  0 0,9 0,7 0 0,7 0,5 0,8 0,6 0,7   0 1 0,6 0   0,5 1    1 0,6 0,8  ⋅  0,8 1 0 0,5 = = 0,8 0,6 0,6 1 0,6   0 1 0,7   0 0,9 0,5 0,6 0,7 0,9  0,6 0,8 0 0   48

 0,8 0,8 0,6  0,8 1 0,6 = 0,7 0,6 1  0,7 0,8 0,7

0,7 0,6 . 0,8  0,9

Îòíîøåíèå ÃS îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé

MÃS

0 0 0 0 = 0,1 0   0 0,2

0 0 0 0 . 0 0,1  0 0

Ìíîæåñòâî UÃnd îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì

vÃ

nd

= [ 0,9; 0,8; 1; 0,9] ,

~ à ñêîððåêòèðîâàííîå ìíîæåñòâî U Ã nd - v~Ã nd = [ 0,8; 0,8; 1; 0,9] , îòêóäà

u* = u3 .

49

5. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé

Ïðè ïðèíÿòèè óïðàâëåí÷åñêèõ ðåøåíèé è ïðîãíîçèðîâàíèè âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ ëèöî, ïðèíèìàþùåå ðåøåíèå, îáû÷íî ñòàëêèâàåòñÿ ñî ñëîæíîé ñèñòåìîé âçàèìîçàâèñèìûõ êîìïîíåíò (ðåñóðñû, æåëàåìûå èñõîäû èëè öåëè, ëèöà èëè ãðóïïà ëèö è ò.ä.), êîòîðóþ íóæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé – ÌÀÈ (Ànalitic Hierarchy Process) ñâîäèò èññëåäîâàíèå äàæå î÷åíü ñëîæíûõ ïðîáëåì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîïàðíûõ ñðàâíåíèé èõ îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ. ÌÀÈ – îòíîñèòåëüíî íîâàÿ òåîðèÿ, ñòàíîâëåíèå êîòîðîé ïðîõîäèëî â 70-ûå ãîäû â ÑØÀ. Òåîðèÿ ÌÀÈ øèðîêî ïðèìåíÿëàñü âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ ýêîíîìèêè, ïðîìûøëåííîñòè, â ïëàíèðîâàíèè ðàçâèòèÿ ïðè íåïðåäâèäåííûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ êàê îòäåëüíûõ ïðåäïðèÿòèé, òàê è öåëûõ îòðàñëåé ïðîèçâîäñòâà. Íàõîäèò ïðèìåíåíèå ìåòîä è âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðèëîæåíèÿõ: ïîêóïêà àâòîìîáèëÿ, äîìà, âûáîð ðàáîòû, ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè, êàïèòàëîâëîæåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè, áîðüáà ñ òåððîðèçìîì è ò.ä. Ïðèíèìàÿ ðåøåíèå, ãðóïïà ýêñïåðòîâ ïðîèçâîäèò äåêîìïîçèöèþ ñëîæíîé ïðîáëåìû – îïðåäåëÿåò åå êîìïîíåíòû è îòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Ïîëó÷àåòñÿ ìîäåëü ðåàëüíîé äåéñòâèòåëüíîñòè, ïîñòðîåííàÿ â âèäå èåðàðõèè. Âåðøèíà èåðàðõèè – îáùàÿ öåëü, äàëåå ðàñïîëàãàþòñÿ ïîäöåëè, çàòåì ñèëû, êîòîðûå âëèÿþò íà ýòè ïîäöåëè, ëþäè, èõ öåëè, ïîëèòèêè, ñòðàòåãèè, è, íàêîíåö, èñõîäû, ÿâëÿþùèåñÿ ðåçóëüòàòàìè ñòðàòåãèé. Íà ñëåäóþùåì ýòàïå ðåøåíèÿ ñðàâíèâàþòñÿ óæå îòäåëüíûå êîìïîíåíòû èåðàðõèè ìåæäó ñîáîé.  ðåçóëüòàòå ìîæåò áûòü âûðàæåíà îòíîñèòåëüíàÿ ñòåïåíü èíòåíñèâíîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåìåíòîâ â èåðàðõèè. Çàòåì ýòè ñóæäåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷èñëåííî.  çàâåðøåíèè àíàëèçà ïðîáëåìû ÌÀÈ âêëþ÷àåò ïðîöåäóðû ñèíòåçà ìíîæåñòâåííûõ ñóæäåíèé, ïîëó÷åíèÿ ïðèîðèòåòíîñòè êðèòåðèåâ è íàõîæäåíèÿ àëüòåðíàòèâíûõ ðåøåíèé. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíûå ýòàïû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ ÌÀÈ ñëåäóþùèå: – ïîñòðîåíèå èåðàðõèè ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìû, – ïàðíîå ñðàâíåíèå êîìïîíåíò èåðàðõèè, – ìàòåìàòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ïîëó÷åííûõ ñóæäåíèé. 5.1. Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ÌÀÈ

5.1.1. Èåðàðõèè è ïðèîðèòåòû Èåðàðõèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïåöèàëüíûé òèï óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ èëè ÷àñòíûé ñëó÷àé ãðàôà. Ïåðâàÿ èíòåðïðåòàöèÿ âûáðàíà â êà÷åñòâå îñíîâû ôîðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ, à âòîðàÿ — â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè. 50

Îïðåäåëåíèå 1. Óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî S ñ áèíàðíûì îòíîøåíèåì ≤ , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò çàêîíàì ðåôëåêñèâíîñòè, àíòèñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçíòèâíîñòè: Ðåôëåêñèâíîñòü: äëÿ âñåõ õ, õ ≤ õ. Àíòèñèììåòðè÷íîñòü: åñëè õ ≤ ó è ó ≤ x, òî õ=ó. Òðàíçèòèâíîñòü: åñëè õ ≤ ó è ó ≤ z, òî x ≤ z. Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ õ ≤ ó (÷èòàåòñÿ: õ ïðåäøåñòâóåò ó) òàêîãî òèïà ìîæíî îïðåäåëèòü õ<ó, ÷òî îçíà÷àåò õ ≤ ó è õ ≠ ó. Ãîâîðÿò, ÷òî ó ïîêðûâàåò (äîìèíèðóåò) õ, åñëè õ<ó è åñëè x
x , y ∈ S , òî èëè õ ≤ ó èëè

ó ≤ x. (Ò.å. â äàííîì ìíîæåñòâå íåò ïîâòîðÿþùèõñÿ ýëå-

ìåíòîâ) Îïðåäåëåíèå 3. Ïîäìíîæåñòâî Å óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà S íàçûâàþò îãðàíè÷åííûì ñâåðõó, åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò

s ∈S ,

÷òî x ≤ s äëÿ ëþáîãî x ∈ E . Ýëåìåíò s íàçûâàþò âåðõíåé ãðàíèöåé Å. Ãîâîðÿò, ÷òî Å èìååò ñóïðåìóì èëè íàèìåíüøóþ âåðõíþþ ãðàíèöó â S, åñëè Å èìååò âåðõíèå ãðàíèöû è ó ìíîæåñòâà âåðõíèõ ãðàíèö U

èìååòñÿ ýëåìåíò u1 òàêîé, ÷òî u1 ≤ u äëÿ âñåõ

u ∈U . Ýëåìåíò u1– åäèí-

ñòâåííûé è íàçûâàåòñÿ ñóïðåìóìîì Å â S. Ñèìâîë sup èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóïðåìóìà. Àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü äàíû äëÿ ìíîæåñòâ, îãðàíè÷åííûõ ñíèçó,– íèæíÿÿ ãðàíèöà è èíôèìóì.  ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçóþò ñèìâîë inf. Ñóùåñòâóåò ìíîãî ñïîñîáîâ îïðåäåëåíèÿ èåðàðõèè. Îñòàíîâèìñÿ ëèøü íà îäíîì èç íèõ. Âîñïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèåì õ - ={ó | õ ïîêðûâàåò ó} è õ+ = {ó | ó ïîêðûâàåò õ} äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà õ â óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå. 51

Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü Í – êîíå÷íîå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì b. Í åñòü èåðàðõèÿ, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. 1. Ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå Í íà ïîäìíîæåñòâà Lk , k=1,2...h, ãäå L1={b}. 2. Èç x ∈ Lk ñëåäóåò, ÷òî 3. Èç x ∈ Lk ñëåäóåò, ÷òî

x − ⊂ Lk +1 , k = 1,..., h − 1 .

x + ⊂ Lk −1 , k = 2,..., h .

Äëÿ êàæäîãî x∈H ñóùåñòâóåò âåñîâàÿ ôóíêöèÿ (ñóùíîñòü åå çàâèñèò îò ÿâëåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî ñòðîèòñÿ èåðàðõèÿ)

wx : x − → [0,1], ãäå

∑ w ( y) = 1.

y∈x −

x

Lk ÿâëÿþòñÿ óðîâíÿìè èåðàðõèè, à ôóíêöèÿ wx åñòü ôóíêöèÿ ïðèîðèòåòà ýëåìåíòà îäíîãî óðîâíÿ îòíîñèòåëüíî öåëè õ . Ìíîæåñòâà

x − ≠ Lk +1 (äëÿ íåêîòîðîãî óðîâíÿ Lk), òî wx ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ Lk , åñëè ïðèðàâíÿòü åå ê íóëþ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ â Lk+1, íå ïðèíàäëåæàùèõ õ . Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì èåðàðõèþ Í, ïîñòðîåííóþ äëÿ çàäà÷è âûáîÇàìåòèì, ÷òî äàæå åñëè

ðà ðóêîâîäèòåëÿ èç òðåõ êàíäèäàòîâ (ñì. ðèñ. 1, ñòð. 89). Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà Í â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ öåëü çàäà÷è è ôàêòîðû, íà íåå âëèÿþùèå, à òàêæå êàíäèäàòû íà äîëæíîñòü ðóêîâîäèòåëÿ.

Í={ðóêîâîäèòåëü, îðãàíèçàöèîííûå ñïîñîáíîñòè, ïðîôåññèîíàëèçì, ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü, êîììóíèêàáåëüíîñòü, âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì, àâòîðèòåò ñðåäè ïîä÷èíåííûõ, êàíäèäàò 1, êàíäèäàò 2, êàíäèäàò 3}. Äëÿ èåðàðõèè âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 4. 1. Ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà Í íà ïîäìíîæåñòâà L1, L2, L3 (h=3), ãäå L1={Ðóêîâîäèòåëü}, L2={îðãàíèçàöèîííûå ñïîñîáíîñòè, ïðîôåññèîíàëèçì, ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü, êîììóíèêàáåëüíîñòü, âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì, àâòîðèòåò ñðåäè ïîä÷èíåííûõ}, L3={êàíäèäàò 1, êàíäèäàò 2, êàíäèäàò 3}. 2. Ðàññìîòðèì õ=Ðóêîâîäèòåëü ∈ L1, â ýòîì ñëó÷àå x -= L2. (àíàëîãè÷íûå âûâîäû ñïðàâåäëèâû è äëÿ âñåõ äðóãèõ õ). 3. Ðàññìîòðèì õ=êàíäèäàò 1 ∈ L3, â ýòîì ñëó÷àå x += L2. (àíàëîãè÷íûå âûâîäû ñïðàâåäëèâû è äëÿ âñåõ äðóãèõ õ). 52

Îïðåäåëèì âåñîâóþ ôóíêöèþ äëÿ ýëåìåíòà õ=Ðóêîâîäèòåëü. Ýòà ôóíêöèÿ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êà÷åñòâàì ðóêîâîäèòåëÿ (ýëåìåíòàì óðîâíÿ L2.) çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [0, 1] è îïðåäåëÿåò ïðèîðèòå ýòèõ êà÷åñòâ îòíîñèòåëüíî öåëè – "Ðóêîâîäèòåëü". Âåñîâàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ñóáúåêòèâíî ýêñïåðòàìè. Ê ïðèìåðó, îíà ìîæåò áûòü òàêîé wðóêîâîäèòåëü(îðã. ñïîñîá.)=0,3; wðóêîâîäèòåëü(ïðîôåñ.)=0,2; wðóêîâîäèòåëü(ëè÷í.àêòèâ.)=0,1; wðóêîâîäèòåëü(êîììóíèêàáåëüíîñòü)=0,1; wðóêîâîäèòåëü(âíèìàíèå ê ïîä.)=0,1; wðóêîâîäèòåëü(àâòîðèòåò)=0,2. Óñëîâèå

∑ w ( y ) = 1 âûïîëíÿåòñÿ.

y∈x −

x

Îïðåäåëåíèå 5. Èåðàðõèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ âñåõ x ∈ Lk ìíîæåñòâî

x + = Lk −1 , k = 2,..., h .

Òàê â ïðåäûäóùèõ ïðèìåðàõ îáå èåðàðõèè ÿâëÿëèñü ïîëíûìè. Îñíîâíàÿ çàäà÷à. Êàê îïðåäåëèòü äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî ýëåìåíòà

x ∈ Lα è ïîäìíîæåñòâà S ⊂ Lβ ,(α < β ) ôóíêöèþ wx ,S : S → [0,1] ,

÷òîáû îíà îòðàæàëà ñâîéñòâà ôóíêöèé ïðèîðèòåòîâ wx , íà óðîâíÿõ

Lk , k = α ,..., β − 1 .  ÷àñòíîñòè, ÷òî ýòî çà ôóíêöèÿ wb , Lh : Lh → [0,1] .

Èñïîëüçóÿ ìåíåå ôîðìàëüíóþ òåðìèíîëîãèþ, çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì ñîöèàëüíóþ (èëè ýêîíîìè÷åñêóþ) ñèñòåìó ñ ãëàâíîé öåëüþ b è ìíîæåñòâîì îñíîâíûõ âèäîâ äåéñòâèé Lh . Ïóñòü ýòó ñèñòåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê èåðàðõèþ ñ ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì b è íèæ-

íèì óðîâíåì Lh . Êàêîâû ïðèîðèòåòû ýëåìåíòîâ óðîâíÿ Lh ïî îòíîøå-

íèþ ê b? Èçëîæèì ìåòîä ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

Y = { y1 ,..., ymk } ⊂ Lk , X = {x1 ,..., xmk +1} ⊂ Lk +1 (Çàìåòèì, ÷òî â ñî-

îòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì, ñëåäóþùèì çà îïðåäåëåíèåì 4, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Y=Lk, Õ =Lk+1.) Ïóñòü òàêæå ñóùåñòâóåò ýëåìåíò z ∈ Lk −1 ,

òàêîé, ÷òî

y ∈ z −1 . Ðàññìîòðèì ôóíêöèè ïðèîðèòåòîâ

wz : Y → [ 0,1], w y j : X → [0,1], j = 1,..., nk 53

Îáîçíà÷èâ ÷åðåç

w,w: X → [0,1] ôóíêöèþ ïðèîðèòåòà ýëåìåíòîâ

èç Õ îòíîñèòåëüíî z, çàäàäèì åå ñëåäóþùèì îáðàçîì: nk

w( xi ) = ∑ wy j ( xi ) wz ( y j ), i = 1,..., nk +1 . j =1

Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íå ÷òî èíîå, êàê ïðîöåññ âçâåøèâàíèÿ ïîêàçàòåëÿ âëèÿíèÿ ýëåìåíòà ói, íà ïðèîðèòåò ýëåìåíòà õi, ïóòåì óìíîæåíèÿ ýòîãî ïîêàçàòåëÿ íà âàæíîñòü ýëåìåíòà ói, îòíîñèòåëüíî z. Ñîîòâåòñòâóþùèå àëãîðèòìû óïðîñòÿòñÿ, åñëè èç w y j ( xi ) îáðàçî-

âàòü ìàòðèöó

 , ïîëîæèâ bij = w y j ( xi ) . Åñëè îáîçíà÷èòü äàëåå

Wi = w( xi ), Wj = wz ( yi ) , òî ïðèâåäåííàÿ âûøå ôîðìóëà ïðèìåò âèä. /

n

Wi = ∑ bij Wj , i = 1,..., nk +1 . /

j =1

 ðåçóëüòàòå èìååì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó W = BW / . Êîìïîçèöèÿ ïðèîðèòåòîâ âêëþ÷àåò âçâåøèâàíèå è ñóììèðîâàíèå. Ýòî òðåáóåò íåçàâèñèìîñòè êðèòåðèåâ íà êàæäîì ýòàïå, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îäèí ýëåìåíò ìîæåò ïîëó÷èòü íåêîòîðûé ïðèîðèòåò îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî ïðèçíàêà è äîïîëíèòåëüíûé ïðèîðèòåò, âûçâàííûé ïåðåêðûâàíèåì ýòîãî ïðèçíàêà ñ äðóãèì ïðèçíàêîì, ÷òî âûçîâåò äâîéíîé ó÷åò.  ïðîñòûõ òåðìèíàõ ìíîæåñòâî ïðèçíàêîâ èëè êðèòåðèåâ íàçûâàþò íåçàâèñèìûì, åñëè âîçìîæíà âçàèìîçàìåíÿåìîñòü ëþáîé ïàðû áåçîòíîñèòåëüíî âëèÿíèÿ äðóãèõ. Èíûìè ñëîâàìè, êðèòåðèè íåçàâèñèìû, åñëè ìåæäó íèìè íåò âçàèìîäåéñòâèÿ. 5.1.2. Ïðèíöèï èåðàðõè÷åñêîé êîìïîçèöèè: àääèòèâíîñòü âçâåøèâàíèÿ

Çàäàíî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà S è T. Ïóñòü S – ìíîæåñòâî íåçàâèñèìûõ ñâîéñòâ è Ò – ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, êîòîðûå â êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèê îáëàäàþò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëåííûé âåñ, ïðèîðèòåò, èëè èíäåêñ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè, wi àññîöèèðóåòñÿ ñ êàæäûì

sj∈S, òàê ÷òî

54

n

∑w j =1

j

= 1 . Ïóñòü wij≥0, j=1,...,m, óäîâëåòâîðÿþùèå óñ-

ëîâèþ

m

∑w i =1

ñèòåëüíî n

ij

= 1 , åñòü âåñà, àññîöèèðóåìûå ñ ti ∈T , i = 1,..., m , îòíî-

s j . Òîãäà âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ wij, j=1,..,n

-

∑ w w , i = 1,..., m ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëåííûé ïðèîðèòåò èëè îòj =1

ij

j

íîñèòåëüíóþ âàæíîñòü ti îòíîñèòåëüíî S. Çàìåòèì, ÷òî ïðèíöèï ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà öåïü ìíîæåñòâ. Çàìå÷àíèå. "Èåðàðõè÷åñêîå èçìåðåíèå" åñòü ïðîöåññ âçâåøèâàíèÿ "ëèíåéíûõ" ïåðåìåííûõ, àññîöèèðóþùèé êàæäûé óðîâåíü ñ íåëèíåéíûìè êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè è ñóììàìè ïåðåìåííûõ, ñâÿçàííûõ ñ âåðõíèìè óðîâíÿìè. Äîêàæåì, ÷òî ïîðÿäêîâûå ïðåäïî÷òåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ ïðè êîìïîçèöèè. Îïðåäåëåíèå 6. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîé ïîäöåëè èëè âèäà äåÿòåëüíîñòè ej â Lk ñóùåñòâóåò ïîðÿäêîâàÿ øêàëà oj íàä âèäàìè äåÿòåëüíîñòè åα (α=1,...,nk+1) â Lk+1. Îïðåäåëèì ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå Lk+1 ñëåäóþùèì îáðàçîì: åα ≥ eβ òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëè äëÿ j=1,..., nk, oαj≥οβj .

(w1j,..., wnk +1 j ) – âåêòîð ïðèîðèòåòîâ äëÿ Lk+1 îòíîñèòåëüíî ej è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí ñîõðàíÿåò ïîðÿäîê oαj. Ïóñòü W1,...., Wnk +1 – (ñîñòàâíîé) âåêòîð ïðèîðèòåòîâ äëÿ Lk+1. Òîãäà èç åα ≥ eβ ñëåäóåò, Òåîðåìà 1. Ïóñòü

÷òî Wα≥Wβ. Òàêèì îáðàçîì, èåðàðõè÷åñêàÿ êîìïîçèöèÿ ñîõðàíÿåò ïîðÿäêîâîå ïðåäïî÷òåíèå. Òåîðåìà 2. Ïóñòü Í – ïîëíàÿ èåðàðõèÿ ñ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì b è h óðîâíÿìè. Ïóñòü äàëåå Bk – ìàòðèöà ïðèîðèòåòîâ k-ãî óðîâíÿ, k=2,...,h. Åñëè W/ – âåêòîð ïðèîðèòåòîâ p-ãî óðîâíÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî ýëåìåíòà z â (ð-1) - ì óðîâíå, òî âåêòîð ïðèîðèòåòîâ W q-ãî óðîâíÿ (p
W = Bq Bq −1 ... B p +1W ′ .

Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ïðèîðèòåòîâ ñàìîãî íèçêîãî óðîâíÿ îòíîñè55

òåëüíî ýëåìåíòà b

W = Bh Bh −1... B2W ′ .

Îáû÷íî L1 ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà, W ′ – ïðîñòî ñêà-

ëÿð; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå W ′ – âåêòîð. Äëÿ ïîëíîé èåðàðõèè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ïðèîðèòåò ýëåìåíòà ëþáîãî óðîâíÿ ðàâåí ñóììå åãî ïðèîðèòåòîâ â êàæäîì ïîäìíîæåñòâå ñðàâíåíèÿ, êîòîðûì îí ïðèíàäëåæèò; èíîãäà êàæäûé èç ïðèîðèòåòîâ âçâåøèâàåòñÿ ëèøü ÷àñòüþ ýëåìåíòîâ óðîâíÿ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò äàííîìó ïîäìíîæåñòâó, è ïðèîðèòåòîì ïîäìíîæåñòâà. Ïîëó÷àþùååñÿ ìíîæåñòâî ïðèîðèòåòîâ ýëåìåíòîâ ýòîãî óðîâíÿ çàòåì íîðìàëèçóþòñÿ ïîñðåäñòâîì äåëåíèÿ íà ñóììó ïðèîðèòåòîâ ýëåìåíòîâ. Ïðèîðèòåò ïîäìíîæåñòâà íà óðîâíå ðàâåí ïðèîðèòåòó äîìèíèðóþùåãî ýëåìåíòà íà ñëåäóþùåì óðîâíå. 5.1.3. Èíòåðïðèòàöèÿ ïðèîðèòåòîâ ñ ïîìîùüþ òåîðèè ãðàôîâ

Îïðåäåëåíèå 7. Îáîçíà÷èì óçëû íàïðàâëåííîãî ãðàôà G ÷åðåç 1, 2, 3,..., n. Ñ êàæäîé íàïðàâëåííîé äóãîé õij îò óçëà i äî óçëà j àññîöèèðóåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, 0 < qij

< 1 , íàçû-

âàåìîå èíòåíñèâíîñòüþ äóãè. (Ïåòëè è êðàòíûå äóãè ðàçðåøåíû). Îïðåäåëåíèå 8. Ìàðøðóò â íàïðàâëåííîì ãðàôå åñòü ÷åðåäóþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óçëîâ è äóã, ïðè êîòîðîé êàæäûé óçåë ÿâëÿåòñÿ êîíöîì äóãè, íàõîäÿùåéñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä íèì, è èñòî÷íèêîì ïîñëåäóþùåé çà íèì äóãè. Îáå êîíöåâûå òî÷êè êàæäîé äóãè íàõîäÿòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëèíà ìàðøðóòà åñòü ÷èñëî äóã â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ìàðøðóò äëèíû k íàçûâåì "k-ìàðøðóòîì". Îïðåäåëåíèå 9. Èíòåíñèâíîñòü ìàðøðóòà äëèíû k îò óçëà i äî óçëà j åñòü ïðîèçâåäåíèå èíòåíñèâíîñòåé äóã â ìàðøðóòå. Îïðåäåëåíèå 10. Îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü âñåõ k-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî óçëà j åñòü ñóììà èíòåíñèâíîñòåé ìàðøðóòîâ. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ îáùåé èíòåíñèâíîñòè 1-ìàðøðóòîâ (ïåðâûõ ìàðòøðóòîâ) áåðåòñÿ ñóììà èíòåíñèâíîñòåé âñåõ 1-ìàðøðóòîâ îò i äî j. Âñå èíòåíñèâíîñòè âäîëü äóãè i, j ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè. Ïîýòîìó îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü îò i äî j ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé

56

tij = pij qij , ãäå pij – ÷èñëî äóã îò i

qij èíòåíñèâíîñòü êàæäîé äóãè.

äî j, à

Îïðåäåëåíèå 11. Äëÿ çàäàííîãî íàïðàâëåííîãî ãðàôà D ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòè-èíöèäåíòíîñòè U=(uij) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ uij=tij äëÿ âñåõ i è j.

Ïðèìåð 2. Íà ðèñóíêå ÷èñëî ðÿäîì ñ êàæäîé äóãîé ïîêàçûâàåò åå èíòåíñèâíîñòü. Ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòè-èíöèäåíòíîñòè U=(u ), àññî-

LM 1 U = 2/3 öèèðóåìàÿ ñ ýòèì ãðàôîì, áóäåò MM 3 N 1

1 1/2 1/2

1

2

1

1/3

1

1/3 1

1

1

3

1

1

1

1

2

ñèâíîñòü 1-õ ìàðøðóòîâ îò i äî j ïðåäñòàâëåíà (i,j)-ì ýëåìåíòîì ýòîé ìàòðèöû. Îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü ìàðøðóòà äëèíû 2 îò óçëà 1 äî óçëà 3 ðàâíà ñóììå ñëåäóþùèõ òðåõ âåëè÷èí âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ìàðøðóòîì, èçîáðàæåííûì ñïðàâà:

1

1/2

OP 3 . Îáùàÿ èíòåíP 1QP

3/ 2 2

ij

3 (1 / 2 × 1) + (1 / 2 × 1) + (1 / 2 × 1) : x12 , x23

1

1

2(1 × 1) 2(1 × 1)

: x11 , x13 : x13 , x33

Ïðè ýòîì êàæäàÿ äóãà ìåæäó ïåðâûìè äâóìÿ óçëàìè áåðåòñÿ ïî îäíîìó ðàçó ñ êàæäîé äóãîé ìåæäó äâóìÿ âòîðûìè óçëàìè. Ñóììà ýòèõ âåëè÷èí ðàâíà 17/2. Ýòî åñòü ýëåìåíò (1,3) ìàòðèöû U2. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ i è j îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü 2-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî óçëà j áóäåò (i,j)-ì ýëåìåíòîì ìàòðèöû

U

2

LM 8 = 31 / 3 MM N22 / 3

7 8

17 / 2

OP 22 / 3P . Îáîáùèì ðåçóëüòàò. 13 PQ

17 / 2

57

Òåîðåìà 3.

uij ( k ) − (i , j ) -é ýëåìåíò ìàòðèöû Uk ÿâëÿåòñÿ îáùåé

èíòåíñèâíîòñüþ k-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî óçëà j. Ñëåäñòâèå. Åñëè

qij =1 äëÿ âñåõ i è j, òî (i , j ) -é ýëåìåíò â Uk ÿâëÿ-

åòñÿ ÷èñëîì k-ìàðøðóòîâ îò i äî j. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìû âàæíà îáðàòíàÿ çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ñòåïåíåé ìàòðèöû äëÿ ïîäñ÷åòà èíòåíñèâíîñòè ìàðøðóòîâ. Áóäåì àññîöèèðîâàòü ñ êàæäûì èç n âèäîâ äåÿòåëüíîñòè íàøåé ïðîöåäóðû ïàðíûõ ñðàâíåíåèé óçåë íàïðàâëåííîãî ãðàôà D.  ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòè-èíöèäåíòíîñòè U åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìàòðèöà ñóæäåíèé. ×èñëèòåëü pij (i,j)-ãî ýëåìåíòà òàêîé ìàòðèöû (ïîëàãàÿ, ÷òî îí äàí â ñðàâíèòåëüíî ïðîñòîé äðîáíîé ôîðìå) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî äóã, íàïðàâëåííûõ îò âåðøèíû i ê âåðøèíå j. Èíòåíñèâíîñòü êàæäîé äóãè îò i äî j îäíà è òà æå è ðàâíà îáðàòíîé âåëè÷èíå

qij çíàìåíàòåëÿ ýëåìåí-

òà. Ýòî åñòåñòâåííûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ãðàôà, òàê êàê äëÿ

qij =1 îí ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîé ìàòðèöå âåðøèí, k-àÿ ñòåïåíü

êîòîðîé äàåò ÷èñëî ìàðøðóòîâ äëèíû k. Èíòåðïðåòèðîâàòü (i,j)-é ýëåìåíò ìàòðèöà À ìîæíî êàê ïðÿìîå ïðåâîñõîäñòâî, èëè èíòåíñèâíîñòü âàæíîñòè âèäà äåÿòåëüíîñòè i îòíîñèòåëüíî âèäà äåÿòåëüíîñòè j. Îí âûðàæàåò îòíîñèòåëüíûé âêëàä, êîòîðûé âèä äåÿòåëüíîñòè i âíîñèò â äîñòèæåíèå îïðåäåëåííîé öåëè ïî ñðàâíåíèþ ñ âêëàäîì, âíîñèìûì âèäîì äåÿòåëüíîñòè j. Íîðìàëèçîâàííûå ñóììû ñòðîê ìàòðèöû À ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðîâåíü âêëàäà ñîîòâåòñòâóþùèõ âèäîâ äåÿòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî âñåõ äðóãèõ âèäîâ äåÿòåëüíîñòè, à ìàòðèöà À2 – èíäåêñ îíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðåâîñõîäñòâà ñ ó÷åòîì âñåõ 2ìàðøðóòîâ. Ïîñëåäíèé îáåñïå÷èâàåò êîñâåííîå ñðàâíåíèå ïàð ÷åðåç îäíó ïðîìåæóòî÷íóþ âåðøèíó. Ñëåäîâàòåëüíî, óðîâåíü âàæíîñòè âèäà äåÿòåëüíîñòè ïîâûøàåòñÿ èëè ñíèæàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî âçàèìîñâÿçüþ ñ äðóãèìè âèäàìè äåÿòåëüíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå ýôôåêò ïðåâîñõîäñòâà ìåæäó âèäàìè äåÿòåëüíîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü, âû÷èñëÿÿ ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ñóììû ñòðîê Ak ìàòðèöà À k-îé ñòåïåíè. Êàæäîå ÷èñëî, íîðìàëèçîâàííîå ïîñðåäñòâîì ñóììû ýòèõ âåëè÷èí, ñëóæèò îáùèì èíäåêñîì ïðåâîñõîäñòâà, èëè ïðèîðèòåòîì, ñðåäè âèäîâ äåÿòåëüíîñòè. Ôîðìàëüíîå ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîãî ïðåâîñõîäñòâà âèäà äåÿòåëü58

íîñòè i íàä âèäîì äåÿòåëüíîñòè j çà k-øàãîâ ìîæíî ðàçúÿñíèòü â òåðìèíàõ îáùåé èíòåíñèâíîñòè âñåõ k-ìàðøðóòîâ îò óçëà i äî óçëà j. Îòíîñèòåëüíîå ïðåâîñõîäñòâî âèäà äåÿòåëüíîñòè i íàä äðóãèì âèäîì äåÿòåëüíîñòè j ïðÿìî è êîñâåííî, ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå âèäû äåÿòåëüíîñòè, çà køàãîâ ïðåäñòàâëåí (i,j)-ì ýëåìåíòîì ìàòðèöû Ak. Èç-çà íàëè÷èÿ ïåòëè íà êàæäîé âåðøèíå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî êàæäûé âõîä ìàòðèöû Ak ÿâëÿåòñÿ ñóììîé âñåõ ìàðøðóòîâ äëèíû, ìåíüøåé èëè ðàâíîé k. Ñêîëüêî ðàç âêëþ÷åí êàæäûé ìàðøðóò çàâèñèò îò åãî äëèíû è îò ÷èñëà ïðåñòàíîâîê åãî ïåòåëü ïðè ïîëó÷åíèè èñêîìîé äëèíû ìàðøðóòà. Ïåòëÿ ñàìà ïî ñåáå ïðèäàåò åäèíè÷íóþ èíòåíñèâíîñòü ìàðøðóòó. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùàÿ èíòåíñèâíîñòü ìàðøðóòà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðîõîæäåíèè âäîëü ïåòëè íåñêîëüêî ðàç. Òåîðåìà 4. Ïóñòü A=(aij) – (nxm)-ìàòðèöà ñðàâíåíèé; aij(k) – (i,j)-é ýëåìåíò ìàòðèöû Ak ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòíîñèòåëüíîå ïðåâîñõîäñòâî (èëè âàæíîñòü) âèäà äåÿòåëüíîñòè i íàä âèäîì äåÿòåëüíîñòè j çà køàãîâ. Îïðåäåëåíèå 12. Èíäåêñ ïðåâîñõîäñòâà wi(k) âèäà äåÿåòëüíîñòè i íàä âñåìè äðóãèìè âèäàìè äåÿòåëüíîñòè çà k-øàãîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê

n

n

n

wi ( k ) = ∑ aij ( k ) / ∑ ∑ aij ( k ). Òàêèì îáðàj =1

i =1 j =1

çîì, wi(k) – ñóììà i-îé ñòðîêè Ak, äåëåííàÿ íà ñóììó ñòðîê. Îïðåäåëåíèå 13. Îáùèé èíäåêñ ïðåâîñõîäñòâà wi âèäà äåÿòåëüíîñòè i íàä âñåìè äðóãèìè âèäàìè äåÿòåëüíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êàê

wi = lim wi ( k ) = lim k →∞

k →∞

F a ( k ) / a ( k )I ∑∑ GH ∑ JK . n

j =1

ij

n

n

i = 1 j =1

ij

Îïðåäåëåíèå 14. Èíäåêñ ïðèîðèòåòà, àññîöèèðóìûé ñ âèäîì äåÿòåëüíîñòè i, ÿâëÿåòñÿ îáùèì èíäåêñîì åãî ïðåâîñõîäñòâà wi. 5.1.4. Ïîëîæèòåëüíûå îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû è èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

Êâàäðàòíûå ìàòðèöû À=(àij), äëÿ êîòîðûõ àij>0, i, j = 1,2 ...n, àij=1/ àij, i,j= 1,2 ...n, áóäåì íàçûâàòü ïîëîæèòåëüíûìè, îáðàòíîñèììåòðè÷íûìè ìàòðèöàìè. 59

Ïîëîæèòåëüíûå îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû À=(àij), äëÿ ýëåìåíòîâ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå aik=aijajk , i,j,k = 1,2,...,n ÿâëÿþòñÿ ñîãëàñîâàííûìè. 5.1.5. Íåïðèâîäèìûå ìàòðèöû Îáðàòíîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû ïîïàðíîãî ñðàâíåíèÿ íå ñîäåðæàò íóëåé, ñëåäîâàòåëüíî îíè âñåãäà íåïðèâîäèìû. Îïðåäåëåíèå 15. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà – íåïðèâîäèìàÿ, åñëè îíà íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

LM A NA

1

2

OP Q

0 , ãäå À1 è À3 – êâàäA3

ðàòíûå ìàòðèöû, 0 – íóëåâàÿ ìàòðèöà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàòðèöó íàçûâàþò ïðèâîäèìîé.

LM−2 Ïðèìåð 3. Ìàòðèöà A = M 1 MN 3

OP PP Q

0 1 3 4 ïðèâîäèìà. 0 2

Ãðàô, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé ìàòðèöå èìååò äóãó èç ïåðâîé â ïåðâóþ è òðåòüþ âåðøèíû è àíàëîãè÷íî èç òðåòüåé â ïåðâóþ è òðåòüþ âåðøèíû, íî ïåðåõîä âî âòîðóþ âåðøèíó íåâîçìîæåí. Ñî âòîðîé âåðøèíû ìîæíî ïåðåéòè âî âñå òðè âåðøèíû. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ è òðåòüÿ âåðøèíû îáðàçóþò íåïðèâîäèìóþ êîìïîíåíòó, à âòîðàÿ ñâÿçàíà ñ íèìè. 1

1

4

2 3

1

-2

3

3 2

Çàìåòèì, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà À íåïðèâîäèìà â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè åå íàïðàâëåííûé ãðàô D(À) – ñèëüíî ñâÿçíûé. Òåîðåìà 5. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà èëè íåïðèâîäèìà, èëè íå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ïóòåì ïåðåñòàíîâîê èíäåêñîâ ê âèäó: 60

LM A MM 0M MM 0 MM A MM M NA

1

k +1,1

m1

0 A2 M 0

Ak +1,2 M Am2

L L

0 0 M L Ak L Ak +1,k M L Amk

0 0 M

L L

L 0 Ak +1 L M Am k +1 L

OP PP P 0P 0 P. P M P A PQ 0 0 M

m

ñîäåðæàùåìó áëîê – äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ñ íåïðèâîäèìûìè ìàòðèöàìè Ài íà äèàãîíàëè. Ïðè ýòîì, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà èç ìàòðèö ñ äâîéíûì èíäåêñîì â êàæäîé ñòðîêå, â êîòîðîé îíè ïîÿâëÿþòñÿ – íóëåâàÿ. Òåîðåìà 6. (Ïåððîí-Ôðîáåíèóñ). Ïóñòü À >=0 – íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà. Òîãäà: 1. À èìååò äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæèòåëüíîé ïðîñòîå (ò.å. íå êðàòíîå) ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λmax, êîòîðîå ïî ìîäóëþ íå ìåíüøå ëþáîãî äðóãîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû À (íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãóò áûòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè). 2. Ñîáñòâåííûé âåêòîð À, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λmax , èìååò ïîëîæèòåëüíûå êîìïîíåíòû è, ïî ñóùåñòâó (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ), åäèíñòâåíåí. 3. ×èñëî λmax (èíîãäà íàçûâàåìîå êîðíåì Ïåððîíà ìàòðèöû À) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

( Ax ) i ( Ax ) i = min max ; x ≥ 0 – ïðîèçâîëüíî. 1≤ i ≤ n x ≥ 0 1≤i ≤ n xi xi

λ max = max min x ≥0

Ñëåäñòâèå. Ïóñòü À>=0 íåïðèâîäèìà è ïóñòü õ>=0 ïðîèçâîëüíî. Òîãäà êîðåíü Ïåððîíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

( Ax ) i ( Ax ) i . ≤ λ max ≤ max 1≤i ≤ n 1≤i ≤ n xi xi

min

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïåðððîíà îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèå ôàêòû î ïîëîæèòåëüíûõ (nxn) ìàòðèöàõ: 61

Ïóñòü À – ïîëîæèòåëüíàÿ (nxn) ìàòðèöà, λmax – åå íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òîãäà 1. λmax îãðàíè÷åíî ñâåðõó è ñíèçó ñîîòâåòñòâåííî ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé ñòðî÷íûìè ñóììàìè ìàòðèöû À. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè À – ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìàòðèöà, ò.å. åñëè åå ñòðî÷íûå ñóììû ðàâíû åäèíèöå, òî λmax=1. 2. Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ìàòðèöû À,

òåëüíûé âåêòîð-ñòðîêà, v=(v1,

lim A k = ev , ãäå v – ïîëîæè-

k →∞

v2, ..., vn),

n

∑v i =1

i

= 1 , e = (11 , ,...,1) T .

3. Äëÿ ïîëîæèòåëüíîé ìàòðèöû À ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî λ, íóëåâàÿ âåêòîð-ñòðîêà v è íåíóëåâîé âåêòîð-ñòîëáåö w, òàêèå, ÷òî

Ak = wv . k →∞ λk 4. λ åñòü íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå À è íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, à w è v – ãëàâíûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, åäèílim

ñòâåííûå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ. 5. w îðòîãîíàëåí âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòîëáöàì, à v – âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòðîêàì. 6. Åñëè λ i – íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå À , ïðè÷åì

λ i ≠ λ j ; i ≠ j , i , j = 1,2,..., n è åñëè wi – ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð,

Ak e ñîîòâåòñòâóþùèé λi, òî lim T k = cw1 . k →∞ e A e

LMmin ∑ a M 1. M MNmin ∑ a Òåîðåìà 7. n

j

i

i =1 n

j =1

ij

ij

n

≤ λ max ≤ max ∑ aij ; j

i =1 n

≤ λ max ≤ max ∑ aij ; i

j =1

Íåðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, êîãäà ñóììû íå îäèíàêîâû. 62

2.

λ max = lim tr ( A k ) k →∞

n

3.

λ max = max min u >0

i

∑a u j =1

ij

ui

n

4.

λ max = max min u>0

j

.

1/ k

ij i

uj

= min max u>0

∑a u i =1

j

n

i

∑a u j =1

ui

n

= min max u>0

j

ij

∑a u i =1

ij i

uj

j

.

.

Äîêàçàòåëüñòâî. Êîìïîíåíòû âåêòîðà Àå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû ñòðîê ìàòðèöû À. Ïóñòü íàèáîëüøàÿ ñóììà ñòðîê åñòü Ì, à íàèìåíüøàÿ – m. Òîãäà me≤Àå≤Ìå , à ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè m=Ì. Èç

vA = λ max v

âûðàæåíèÿ

vAe = λ max ve ,

èìååì

vme ≤ λ max ve ≤ vMe . Åñëè òåïåðü ðàçäåëèòü íåðàâåíñòâî íà ïîëîæè-

òåëüíîå ÷èñëî ve, òî ïîëó÷èì

m ≤ λ max ≤ M , ïðè÷åì ðàâåíñòâî âíîâü

áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè m=M. Àíàëîãè÷íî äëÿ ñóìì ñòîëáöîâ. Äîêàçàòåëüñòâî (2) ïîëó÷àåòñÿ ëèáî èç âûðàæåíèÿ

lim tr1 / λk A k

k →∞

ëèáî èç òîãäà

1/ k

= 1 = 1 / λ lim trA k k →∞

1/ k

,

λk1 +...+ λkn = tr A k . Ïóñòü âî âòîðîì ñëó÷àå λ 1 = λ max ,

λ 1 1+ (λ 2 / λ 1 ) k +...+ ( λ n / λ 1 ) k = tr A k

1/ k

, ïðè k → ∞ ,

λ 1 → tr A k . Îñòàëüíàÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà íå ïðèâîäèòñÿ. Òåîðåìà 8. Åñëè À – ïîëîæèòåëüíàÿ (nxn) - ìàòðèöà, ó êîòîðîé ñóì-

ìà ýëåìåíòîâ êàæäîé ñòðîêè ðàâíà åäèíèöå, òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ âåêòîð-ñòðîêà

e=(1,1,...,1) . T

v,

n

∑v i =1

i

A m = ev , ãäå = 1 , òàêàÿ, ÷òî mlim →∞

63

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y0 – ëþáîé n-ìåðíûé âåêòîð-ñòîëáåö. Îïðåäåëèì óm=Àmy0 è ïóñòü am è bm – ìàêñèìàëüíàÿ è ìèíèìàëüíàÿ êîìïîíåíòû ym ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü a – ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû À. Òàê êàê ym+1=Aym, ëþáàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ym+1 ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ñòðîêè À íà óm , è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñëåäóþùèå ãðàíèöû äëÿ ïðîèçâîëüíîé êîìïîíåíòû ñ âåêòîðà óm+1:

b1 − α gb

m

+ αam ≤ c ≤ αbm + (1 − α )am .

Ýòî íåðàâåíñòî îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé êîì-

ïîíåíò åò) è

èëè

ym+1 , îòêóäà

b1 − α gb

am+1 ≤ αbm + (1 − α )am (ñëåäîâàòåëüíî, àm ìîíîòîííî âîçðàñòàm

+ αam ≤ bm + 1 (ñëåäîâàòåëüíî bm ìîíîòîííî óáûâàåò),

−bm+1 ≤ −(1 − α )bm − αam è am+1 − bm+1 < (1 − 2α )(am − bm ).

Îòñþäà ïî èíäóêöèè ïîëó÷àåì

am − bm ≤ (1 − 2α ) m (a0 − b0 ) . Òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, òî àm è bm ñõîäÿòñÿ ê îáùåìó ïðåäåëó, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå êîìïîíåíòû óm ïðèáëèæàþòñÿ ê íåìó æå, ò.å. lim ym = Ce ïðè

c

m→∞

h

b0 ≤ C ≤ a0 (ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè à0=b0). Ïóñòü

y0 = y01 , y02 ,..., y0n , y0i = 1, y0j = 0, j ≠ i. Òîãäà ym åñòü i-é ñòîëáåö

ìàòðèöû Àm, è , êàê óæå óñòàíîâëåíî

ym → (ci ,... ci ) T , ïðè÷åì b0=0,

ci >b0=0. Ñëåäîâàòåëüíî, lim Am = ev. Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó êàæäàÿ m→∞

ñòðî÷íàÿ ñóììà À ðàâíà åäèíèöå, òî m

n

∑v i =1

i

= 1.

Ak = wv , λk ãäå λ – ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, v – íåíóëåâàÿ âåêòîð-ñòðîêà, à w – Òåîðåìà 9. Åñëè À – ïîëîæèòåëüíàÿ (nxn) ìàòðèöà, òî lim

64

íåíóëåâîé âåêòîð-ñòîëáåö. Êðàòêîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

S = {x| x = ( x1 ,..., xn ) T , xt ≥ 0, i=1,...,n,

fx=1}, ãäå f=(1,1,1...,1).

Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå

Tx =

n

∑x i =1

i

= 1 , ò.å.

LM 1 OP Ax, x ∈ S. Ýòî îòîáðàæåN fA Q x

LM 1 OP fAx = 1 , è ïîýòîN fA Q

íèå ïîëîæèòåëüíî: òàê êàê fx=1, òî õ èìååò íåíóëåâóþ êîìïîíåíòó, è, ñëåäîâàòåëüíî, Àõ>0 è fAx>0. Äàëåå

fTx =

x

ìó Ò îòîáðàæàåò S â S. Òàê êàê À íåïðåðûâíà, ïî òåîðåìå Áðàóåðà î íåïîäâèæíîé òî÷êå íàéäåòñÿ òî÷êà w, ÷òî

LM 1 OP A N fA Q w

w

= w . Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü ïîëîæèòåëüíà, w – ïîëî-

λ = fAw > 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, Àw=lw, l>0, w>0. Íàêîíåö, ïóñòü D – äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ dij=wi è dij=0, i ≠ j . Òàê êàê w>0, D èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó D-1, òàêæå äèàãîíàëüíóþ, ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè 1/wi, ò.å. w=De è æèòåëüíà è

D −1 (1 / λ ) AD e = D −1 (1 / λ ) A w = D −1w = e.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóììû ñòðîê ìàòðèöû

D −1 (1 / λ ) AD ðàâíû

åäèíèöå, ò.å. ýòî ìàòðèöà – ñòîõàñòè÷åñêàÿ, è, èñõîäÿ èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû, íàéäåòñÿ òàêàÿ âåêòîð-ñòðîêà V*, ÷òî

ev* = lim D −1 (1 / λ ) AD k →∞

k

= lim D −1 (1 / λk ) A k D , (ò.å. ñòðîêè k →∞

ïðåäåëüíîé ìàòðèöû âñå îäèíàêîâû), îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì

lim(1 / λk ) A k = Dev * D −1 = wv * D −1 = wv .

k →∞

65

Òåîðåìà 10. v è w – ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöà À, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ l. Äîêàçàòåëüñòâî.

(1 / λ ) Awv = (1 / λ ) A lim(1 / λ ) k A k = lim(1 / λ ) k +1 A k +1 = wv k →∞

k →∞

îòêóäà èìååì Àwv=λwv è Awve=λwve, è òàê êàê ve ïîñòîÿííàÿ, òî Aw=λw. Àíàëîãè÷íî vA=λv. Ñëåäñòâèå. Âåêòîðû v è w ïîëîæèòåëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ðàâåíñòâà Aw=λw èìååì (1/l)Aw=w. Òàê êàê λ, À – ïîëîæèòåëüíû, à w – íåîòðèöàòåëåí (ñ íåêîòîðûìè íåíóëåâûìè êîìïîíåíòàìè), âñå êîìïîíåíòû ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíû, è, ñëåäîâàòåëüíî, w – ïîëîæèòåëåí; àíàëîãè÷íî äëÿ v. Òåîðåìà 11. Âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ, ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè ìíîæèòåëÿìè w è v. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Àu=λu, òî

k k A k u = λk u , à (1 / λ ) A u = u

äëÿ âñåõ k. Ïðè k→ ∞ èìååì wvu=u. Àíàëîãè÷íî äëÿ âåêòîðîâ-ñòðîê. Òåîðåìà 12. Ìîäóëü ëþáîãî äðóãîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ h ìàòðèöû À óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |h|
wvu = lim h / λ u , è ïðåäåë â ïðàâîé ñòîðîíå äîëæåí ñóùåñòâîk →∞

k

âàòü, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè h=λ èëè |h|<λ, ïðè÷åì â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðåäåë ðàâåí íóëþ. Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ åñòü ãëàâíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû À, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ λmax, à v è w – ãëàâíûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû À. Ñëåäñòâèå. Ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð-ñòðîêà (ñòîëáåö) – v(w) îðòîãîíàëåí êî âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòîëáöàì (ñòðîêàì) ìàòðèöû À. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî wvu=0 èç äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Òàê êàê w>0, èìååì vu=0, è, ñëåäîâàòåëüíî, v îðòîãîíàëåí âåêòî66

ðó-ñòîëáöó u. Àíàëîãè÷íûé àðãóìåíò ìîæíî èñïîëüçîâàòü, ÷òîáû ïîêàçàòü îðòîãîíàëüíîñòü w êî âñåì íå ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðàì-ñòðîêàì ìàòðèöû À. Ñëåäñòâèå. vw=1. Äîêàçàòåëüñòâî.  óñëîâèÿõ òåîðåìû ïóñòü u=w, òîãäà h=λ, wvw=w. Òàê êàê vw – ÷èñëî, ïîëó÷àåì vw=1. Çàìå÷àåì, vw åñòü ñëåä ìàòðèöû wv, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ñëåä âñåãäà ðàâåí åäèíèöå. Çàìå÷àíèå. Ñèñòåìà

n

∑a j =1

ij

x j = bi , i = 1,..., n. ãäå aij≥0, dij>0,

èìååò íåîòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå xj≥0, j=1,..., n, åñëè

a11 a12 a11 a12 a11 > 0, > 0, a21 a22 a21 a22 a31 a32

a13 a23 > 0,...,| A| > 0. a33

Òåîðåìà 13. Åñëè À – íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà, òî çíà÷åíèå λmax âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ëþáîãî ýëåìåíòà aij. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü À – íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëèì Â(p)=pI-A, ãäå ð – äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð. Ïóñòü Ì – ìíîæåñòâî âñåõ ð, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò è íå îòðèöàòåëüíà îáðàòíàÿ ìàòðèöà (ðI-À)-1. Ìíîæåñòâî Ì íåïóñòî äëÿ õ>0 è îñòàåòñÿ òàêèì äëÿ ñðàâíèòåëüíî áîëüøîãî ð, ðõ>Ax, ò.å. ðõ-Àõ>0, è ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîãî ðåøåíèÿ è ýêâèâàëåíòíî âûøåîïèñàííîìó óñëîâèþ íà ãëàâíûå ìèíîðû. Òàê êàê Ì çàâèñèò îò À, îáîçíà÷èì åãî Ì(À). Ïóñòü À – íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëèì Â(r)=rI-A, ãäå r – äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð. Ïóñòü Ì – ìíîæåñòâî âñåõ r, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íå îòðèöàòåëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà (rI-A)-1. Ìíîæåñòâî Ì íåïóñòî äëÿ õ>0 è îñòàåòñÿ òàêèì äëÿ ñðàâíèòåëüíî áîëüøîãî r, rõ>Aõ, ò.å. rõ - Àõ>0, è ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîãî ðåøåíèÿ è ýêâèâàëåíòíî âûøåîïèñàííîìó óñëîâèþ íà ãëàâíûå ìèíîðû. Òàê êàê Ì çàâèñèò îò À, îáîçíà÷èì åãî Ì(À). Ïóñòü À/>=A//>=0. Òîãäà Ì(À/)Ì Ì(À//).  ñàìîì äåëå, çàìå67

òèì, ÷òî åñëè r∈ Ì(À/), òî (rI- À/)x>0 äëÿ íåêîòîðîãî õ>0 è òàê êàê rIÀ/ >=rI- À/, (rI-À//)x>0 äëÿ òîãî æå ñàìîãî õ, è, ñëåäîâàòåëüíî, r∈ Ì(À//). Òåïåðü ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λmax ìàòðèöû À>0 åñòü

infp , äëÿ êîòîðîãî (rI- À/)-1 ñóùåñòâóåò, ò.å. ýòî ïåðâîå çíà÷åíèå,

ρ ∈M(A)

äëÿ êîòîðîãî |rI-À/|=0, èáî âñå äðóãèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íå ïðåâîñõîäÿò λmax. Ïîýòîìó

λmax(À/)= ρ infp ≥ ρ ∈infp =λmax(À//). M(A ′′) ∈M(A)

Ñëåäîâàòåëüíî, λmax– ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ À. Íèæå ïîêàçàí âàæíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé λmax, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íîðìàëèçîâàííûå ñóììû ýëåìåíòîâ ñòðîê ïðåäåëüíîé ìàòðèöû â òî÷íîñòè k-é ñòåïåíè Àk ìàòðèöû À (à íå ñóììû âñåõ ñòåïåíåé À). Òåîðåìà 14.

Ak e = cw1 , k →∞ e T A k e ãäå À>0, w1 – ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîòâåòñòâóþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ1, λi≠λj äëÿ âñåõ i è j, wi – ïðàâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé λi, à ñ – ïîñòîÿííàÿ. lim

Äîêàçàòåëüñòâî

e=a1w1+...+anwn, ãäå ài, i=1,...,n – ïîñòîÿííûå.

k k k A k e = a1λ 1 w1 +...+ an λ n wn = λ 1 a1 w1 + a2 ( λ 2 / λ 1 ) k w2 +...+

+...+ an ( λ n / λ 1 ) k wn ,

λ

k e T A k e = λ 1 b1 + b2 ( λ 2 / λ 1 ) k +...+bn ( λ n / λ 1 ) k ; bi = ai e T wi .

Òàê êàê w1>0, b≠0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Îáîáùèì ýòó òåîðåìó. Íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà À ïðèìèòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò öåëîå m≥1, òàêîå, ÷òî Àm>0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàòðèöó íàçûâàþò èìïðèìèòèâíîé. Ãðàô ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû èìååò äëèíó ïóòè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè ≥ m.

68

λ

Èçâåñòíî, ÷òî íåîòðèöàòåëüíàÿ íåïðèâîäèìàÿ ìàòðèöà À ïðèìèòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà À èìååò åäèíñòâåííûé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êîðåíü ñ ìàêñèìàëüíûì ìîäóëåì, è ýòîò êîðåíü èìååò êðàòíîñòü, ðàâíóþ åäèíèöå. Òåîðåìà 15. Äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû À

lim

k →∞

Ak e = cw, A k = e T A k e , ãäå ñ – ïîñòîÿííàÿ, à w – ñîáñòâåííûé Ak

âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé λmax ≡ λ1. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì À>0. Ðàññìîòðèì æîðäàíîâó êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó  ìàòðèöû À. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû N

NAN −1

LMλ =M MM ...0 N

ãäå Âi, i=2, èìååò âèä

LMλ MM 1 M B =M MM ... MM 0 MN

1

B2

r

..., r åñòü mi x mi æîðäàíîâà áëî÷íàÿ ôîðìà, êîòîðàÿ

i

i

OP P ... P =Â, B PQ 0

0

λi 1 ... ... .. ..

.. λi 1

OP PP PP .. P PP , ãäå l2, ..., lr – ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíàP λ PQ i

÷åíèÿ ñ êðàòíîñòÿìè m2, mr ñîîòâåòñòâåííî, à 1 +

r

∑m i =2

i

= n – ðàçìåð-

íîñòü ìàòðèöû À. Âûáèðàåì ñîîòâåòñòâóþùèå áàçèñíûå âåêòîðû äëÿ êàæäîãî ïîäïðîñòðàíñòâà æîðäàíîâîé ôîðìû

69

V1

V21 , V22 , ...,V2 m2 V31 , V32 , ...,V3m3 M M Vr 1 , Vr 2 , ...,Vrmr

Îòìåòèì, ÷òî Âi=λiI+u,

LM0 1 M u=M MM MN0

è

0 1

Bik = λki I +

O 1

FG k IJ λ H 1K

OP 0 PP PP 0PQ

k −1 i

u+

FG k IJ λ H 2K

k −2 i

u 2 +...+ u k , ãäå uk – íóëåâàÿ

ìàòðèöà, åñëè k>=n, à åñëè k
u2

LM0 0 M = M1 MM0 MN0

0 0 0 1 0

Òåïåðü ïóñòü

L L L L L

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

OP PP PP PQ

e = a1V1 + a21V21 + a22V22 +...+ a2 m2V2 m2 + a31V31 +...+ armr Vrmr ,

70

r

λA k e = a1λ 1kV1 + ∑ i =2

mr

j

j =1

l =0

∑ ∑a

ij

LM k OPλ N j −lQ

V

k −l i ij ,

A k = c1λk1 + p2 , k λk2 + p2 ,k −1λk2−1 +...+ p2 ,1λ 2 +...+ prk λkr +...+ pr1λ r + c2 ãäå

pij – ïîëèíîìû îò k à ñ1, ñ2 – ïîñòîÿííûå, íå çàâèñèìûå îò k.

Ak e Âûðàæåíèå A k áóäåò èìåòü ÷ëåí

a1λk1V1 , ïðåäåë êîòîðîãî ïðè k→∞ c1λk1 + p2 ,k λk2 + p2 ,k −1λk2−1 +...+ c2

áóäåò (à1 /c1)V1, òàê êàê λ1 – åäèíñòâåííîå íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Òèïè÷íûé ÷ëåí (i>=2)

ail

LM k OPλ N j −lQ

V

k −l i ij

c1λk1 +...+ pik λki +...+ c2

áóäåò ñòðåìèòü-

k→∞ (òàê êàê λ1 ïðåâîñõîäèò âñå äðóãèå λ ). Ïîëàãàÿ e = (a1 / c1 ), V1 = w , ïîëó÷àåì òåîðåìó äëÿ À>0. Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî ñ1=0 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè à1=0. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî à1# 0, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî âñå àij â ðàçëîæåíèè å è âñå Vi äåéñòâèòåëüíû è ïîëîæèòåëüíû. Ìàëîå âîçìóùåíèå å ñîñòàâëÿåò à1# 0, à ðåçóëüòàò ïðè ýòîì îñòàíåòñÿ òåì æå ñàìûì. Òåïåðü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ïðè À ≥ 0 îòìåòèì, ÷òî èç-çà àij>0 ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå öåëîå m, ÷òî Àm>0 (ò.å. ïðè äâèñÿ ê íóëþ ïðè

æåíèè ïî ïåòëÿì â êîíå÷íîì ñ÷åòå âîçìîæíî ïîëó÷åíèå ïóòè ëþáîé æåëàåìîé äëèíû ìåæäó ïðîèçâîëüíîé ïàðîé âåðøèí ñîîòâåòñòâóþùåãî ãðàôà). Ïðèâåäåííîå âûøå äîêàçàòåëüñòâî ïðèìåíèìî ê Àm è åãî íàèáîëüøåìó ñîáñòâåííîìó âåêòîðó w(Am). Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê À – îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð (è ïîýòîìó íåïðåðûâíûé), èìååì

71

lim

k →∞

A mk +i = cw( A m ), 0 ≤ i < m . mk + i A

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî w(Am) åñòü èñêîìûé íåîòðèöàòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Çàìå÷àíèå. Ñëåäóþùàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà íåïðèâîäèìà (åå ãðàô ñèëüíî ñâÿçíûé, òàê êàê ó ëþáîé ïàðû âåðøèí èìååòñÿ ïóòü, ñâÿçûâàþùèé èõ):

LM0 A = M0 MN1

OP PP Q

2 0 0 4 . Ýòà ìàòðèöà íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðå0 0

ìû, ïîñêîëüêó îíà èìïðèìèòèâíà, èìåÿ 2 êàê åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå êðàòíîñòè 3. Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ýòîãî îòìåòèì ñëåäóþùåå:

Ae = (2,4,1) T ; íîðìàëèçàöèåé ïîëó÷àåì

x1 = (2 / 7, 4 / 7, 1 / 7) T ; Ax1 = (8 / 7, 4 / 7, 2 / 7) T ; íîðìàëèçà-

öèåé ïîëó÷àåì

x2 = (4 / 7, 2 / 7, 1 / 7) T ; Ax2 = (4 / 7, 4 / 7, 4 / 7) T ;

íîðìàëèçàöèåé ïîëó÷àåì

x3 = (1 / 3, 1 / 3, 1 / 3) T ;

Ax3 = (2 / 3, 4 / 3, 1 / 3) T è íîðìàëèçàöèåé ïîëó÷àåì

x4 = (2 / 7, 4 / 7, 1 / 7) T , ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òî è õ1 ñ çàöèêëèâàíèåì

âìåñòî ñõîäèìîñòè. 5.1.6. Âû÷èñëåíèå ãëàâíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà Âû÷èñëåíèå ãëàâíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè òåîðåìû 15. Îíà óòâåðæäàåò, ÷òî íîðìàëèçîâàííûå ñòðî÷íûå ñóììû ñòåïåíåé ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû (è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèòåëüíîé ìàòðèöû) â ïðåäåëå äàþò èñêîìûé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Ïîýòîìó êðàòêèé âû÷èñëèòåëüíûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ äàííîãî âåêòîðà – âîçâîäèòü ìàòðèöó â ñòåïåíè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò ïðåäûäóùåé. Ñòðî÷íûé ñóììû âû÷èñëÿþòñÿ è íîðìàëèçóþòñÿ. Âû÷èñëåíèÿ ïðåêðàùàþòñÿ, êîãäà ðàçíîñòü ìåæäó ýòèìè ñóììàìè â äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ âû÷èñëåíèÿõ ìåíüøå çàðàíåå çàäàííîé âåëè÷èíû. 72

5.1.7. Ñîãëàñîâàííîñòü Îáðàòíîñèììåòðè÷íûå íåîòðèöàòåëüíûå ìàòðèöû ìîãóò èìåòü êîìïëåêñíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè íå äîïóñêàþò ïðîñòî îáùåé õàðàêòåðèñòèêè. Îäíàêî ïîñêîëüêó ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ëåæèò ìåæäó íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé èç ñòðî÷íûõ ñóìì, ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà èìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, ðàâíîå ñóììå ëþáîãî èç åå ñòîëáöîâ. Ìàëîå âîçìóùåíèå íå ñèëüíî ìåíÿåò ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è îñòàëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ, ïðè÷åì èõ ñóììà – äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Âûáîð âîçìóùåíèÿ, íàèáîëåå ñîîòâåòñòâóþùåãî îïèñàíèþ âëèÿíèÿ íåñîãëàñîâàííîñòè íà âû÷èñëÿåìûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, çàâèñèò îò ïñèõîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà, èìåþùåãî ìåñòî ïðè çàïîëíåíèè ìàòðèöû ïîïàðíûõ ñðàâíåíèé èñõîäíûõ äàííûõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå âîçìóùåíèÿ, çàñëóæèâàþùèå âíèìàíèÿ, ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê îáùåìó âèäó

aij = ( wi / w j )ε ij . Ñîãëàñîâàííîñòü èìååò ìåñòî, åñëè ε ij = 1 . Íàïðè-

ìåð,

( wi / w j ) + α ij = ( wi / w j ) 1 + ( wi / w j )α ij .

Òåïåðü ïîëó÷èì íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå, îäíàêî ñóùåñòâåííûå ðåçóëüòàòû äëÿ ñîãëàñîâàííûõ ìàòðèö. Íà÷íåì ñ âûðàæåíèÿ n

λ max = ∑ aij ( w j / wi ) , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ i-îé êîìïîíåíòîé j =1

Aw = λ max w , è îïðåäåëèì µ = − Òîãäà èç

n

∑λ i =2

1 n ∑ λi . n − 1 i =2

= n ñëåäóåò, ÷òî

i

µ = ( λ max − n) / (n − 1); λ max ≡ λ 1 , è òàê êàê λ max − 1 = ∑ aij ( w j / wi ) , íàõîäèì, ÷òî j ≠i

nλ max − n =

∑a

1≤i < j ≤ n

ij

( w j / wi ) + a ji ( wi / w j ) , ïîýòîìó 73

µ=

1 1 n λ max − n = − + ∑ aij ( w j / wi ) + a ji ( wi / w j.) n −1 n − 1 n − 1 n ( n − 1) 1≤i < j ≤ n Ïîäñòàâëÿÿ

µ = −1 +

aij = ( wi / w j )ε ij , ε ij > 0 , ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

1 ∑ ε ij + (1 / ε ij ) . n(n − 1) 1≤i < j ≤ n

Çàìåòèì, ÷òî ïðè

ε ij → 1 , ò.å. ïðè äîñòèæåíèè ñîãëàñîâàííîñòè,

µ → 0 . Êðîìå òîãî, µ âûïóêëà ïî ε ij , ïîñêîëüêó ε ij + (1 / ε ij ) âûïóê-

ëî (è èìååò ìèíèìóì ïðè

ε ij = 1 ) è ñóììà âûïóêëûõ ôóíêöèé âûïóêëà.

µ ìàëî èëè âåëèêî â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áëèçêà èëè äàëåêà âåëè÷èíà ε ij îò åäèíèöû ñîîòâåòñòâåííî (ò.å. áëèçêè èëè äàëåêè ìû îò Ïîýòîìó

ñîãëàñîâàííîñòè). Íàêîíåö, åñëè íàïèøåì ε ij èìååì

LM N

OP Q

= 1 + δ ij , òî ïðè δ ij > −1

1 δ 3ij 2 µ= ∑ δ ij − 1 + δ ij . n(n − 1) 1≤i < j ≤ n

Òåîðåìà 16. λ max Äîêàçàòåëüñòâî.

(λ max − n) / (n − 1) =

≥ n.

LM N

OP Q

1 δ 2 ij ∑ n(n − 1) 1≤i < j ≤ n 1 + δ ij , ÷òî ≥ 0, òàê êàê

α ij = ( wi / w j )(1 + 1 + δ ij ) ïðè δ ij > −1 .

Òåîðåìà 17. Ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ñîãëà-

ñîâàíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ max

= n.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè À ñîãëàñîâàííà, òî

δ ij = 0 è λ max = n . Íà-

îáîðîò, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò, îòìå÷àåì, ÷òî 74

λ max = n ,

δ ij = 0 ïðè ëþáîì âûáîðå i è j, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà À – ñîãëàñîâàí-

íà. áû

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîñòèæåíèÿ ñîãëàñîâàííîñòè æåëàòåëüíî, ÷òî-

µ áûëî áëèçêî ê íóëþ, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, λ max áûëî áëèçêî ê ñâîåé

íèæíåé ãðàíèöå n. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî (λ max − n) / (n − 1) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ ñòàòèñòè÷åñêîé ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèá-

δ 3ij êè. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì, ÷òî δ ij < 1 (è, ñëåäîâàòåëüíî, 1 + δ ij

ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ

δ 2 ij ). Ýòî ðàçóìíîå äîïóùåíèå äëÿ "íåñìåùåííî-

ãî" ñóæäåíèÿ, êîòîðîå îãðàíè÷åíî "åñòåñòâåííîé" íàèáîëüøåé íèæíåé ãðàíèöåé – 1 äëÿ δ ij (òàê êàê

aij äîëæíî áûòü áîëüøå íóëÿ) è áóäåò ñòðå-

ìèòüñÿ ê ñèììåòðè÷åñêîé îöåíêå îêîëî íóëÿ â èíòåðâàëå (–1;1). Òåïåðü

µ → 0 ïðè δ ij → 0 . Óìíîæåíèå íà 2 äàåò äèñïåðñèþ

δ ij . Ïîýòîìó 2 µ è åñòü ýòà äèñïåðñèÿ.

Ìàëûå âîçìóùåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû âûçûâàþò ìàëûå âîçìóùåíèÿ â ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ îò èñõîäíîé âåëè÷èíû. Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî íåâåðíî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ìàòðèö. Äîêàæåì ýòîò ôàêò äëÿ Òåîðåìà 18. Ïóñòü δ

λ max − n <

λ max .

= max δ ij , òîãäà i, j

n −1 2 1 δ 2 ij ≤ δ . ∑ n 1≤i < j ≤ n 2

Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âîçìóùåíèå (èëè îøèáêà â ñóæäåíèè) ìàëî, è ÷èñëî ñðàâíèâàåìûõ ýëåìåíòîâ òàêæå ìàëî (íàïðèìåð, ìåíåå äåñÿòè), òî

λ max îò n òàêæå ìàëî. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû îñòàòüñÿ âáëèçè ñîãëàñîâàííîñòè, íóæíî, ÷òîáû n áûëî ìàëî. Íàïðèìåð δ =0,1; n=7 äàåò λ max − n <0,04, a δ =0,9; n=7 äàåò λ max − n <2,43.

îòêëîíåíèå

75

Çàìå÷àíèå. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà À=(

aij ) ñ ai ,i +1 =1 è ai , j = 0

– äëÿ îñòàëüíûõ i, j èìååò âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàâíûìè íóëþ, íî òà æå ñàìàÿ ìàòðèöà ñ

an1 , çàìåíåííûì íà ε , ãäå ε > 0 ìàëî, èìååò ìàêñè-

ìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå

λ max = ε 1/ n , êîòîðîå ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå

ïðè óâåëè÷åíèè n. Ïîýòîìó, õîòÿ

λ max èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ñ êîýôôèöèåíòîì ε , åå âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ áîëüøîé äàæå äëÿ ñàìûõ ìàëûõ ε . Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî îáðàòíîé ñèììåòðè÷íîñòè aij = 1 / a ji èç ðàâåíñòâà

aij a jk = aik , èìååì aij a jk a ki = 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñîâàí-

íîñòü äëÿ îáðàòíîñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû çíà÷èò, ÷òî âñå êîíòóðû äëèíû òðè èìåþò åäèíè÷íóþ èíòåíñèâíîñòü. äèì

Ïðåäïîëàãàÿ

δ ij < 1 è ðàññìàòðèâàÿ òðåóãîëüíûå êîíòóðû, íàõî-

aij a jk a ki = (1 + δ ij )(1 + δ jk )(1 − δ ik ) ≈ 1 + δ ij + δ jk − δ ik , è, ïîn

ñêîëüêó λ max = ∑ ε ij , èìååì Äëÿ

j =1

∑a a

i , j ,k

i ≠ j , j ≠ k , i ≠ k ýòà

ij

jk

a ki = n 2 λ max .

ñóììà

ñòàíîâèòñÿ

ðàâíîé

n 2 ( λ max − n) + n(n − 1)(n − 2) , òàê êàê, ïîäñòàâëÿÿ a pp = 1, a pq = aqp ,

n 2 + 2n(n − 1) ÷ëåíîâ, âåëè÷èíà êîòîðûõ ðàâíà åäèíèöå. Óñðåäíÿÿ ïî êîëè÷åñòâó ÷ëåíîâ, ò.å. n(n-1)(n-2), â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì

èìååì

n / (n − 2) (λ max − n) / (n − 1) + 1 , ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðè n ≥ 3 . Â ëþ-

áîì ñëó÷àå ïðåäìåòîì íàøåãî âíèìàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòü λ max − n . Òåïåðü ïðîâåðèì ãèïîòåçó î ñîãëàñîâàííîñòè. Ïîëíàÿ ñîãëàñîâàííîñòü ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà â âèäå íóëåâîé ãèïîòåçû:

H0 : µ = 0 , è ìû ïðîâåðÿåì åå ïî îòíîøåíèþ ê îäíîñòîðîííåé àëü-

òåðíàòèâå 76

H1: µ > 0 . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà áóäåò

~ λ max − n ~ m= , ãäå λ max – ìàêñèìàëüíîå íàáëþäàåìîå ñîáñòâåííîå çíàn −1

÷åíèå ìàòðèöû, ýëåìåíòû êîòîðîé

aij ñîäåðæàò ñëó÷àéíóþ îøèáêó. Óñ-

òàíîâëåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé ìåðû äëÿ ñîãëàñîâàííîñòè òðåáóåò íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè m. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî åå ñïåöèôè÷åñêàÿ ôîðìà âûõîäèò çà ðàìêè ìàòåðèàëà ýòîé ãëàâ, çàìåòèì, ÷òî m ñîîòâåòñòâóåò íåîòðèöàòåëüíîìó âåðîÿòíîñòíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, äèñïåðñèÿ êîòîðîãî åñòü óäâîåííîå ñðåäíåå õ, è ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷åñòü N(0,

íûì ðàñïðåäåëåíèþ

χ 2 , åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå δ

ïðèíÿòîå îòíîøåíèå

( x − µ 0 ) / 2 x , µ 0 = 0 , ò.å. èñïîëüçóåì

ij

δ )2

íà èíòåðâàëå (-1,1). Äëÿ íàøåé öåëè ïðè íåèçâåñòíîì ðàñïðåäåëåíèè èñïîëüçóåì îáùå-

x/2 â

êà÷åñòâåííîì òåñòå äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû, êîãäà òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà, äîïóñòèì ≤ 1. Ïîýòîìó ïðè õ>2, ìîæíî èçìåðÿòü íåñîãëàñîâàííîñòü. Áîëåå ïîäõîäÿùèé ìåòîä ïðîâåðêè ñòàòèñòèêè m çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçóåìîì íàìè ñðàâíåíèè ÈÑ ñ ÑÈ. åì

Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ìàòðèö À = ( aij ), W

= ( wi / w j ) èìå-

( A − W ) w = ( λ max − n) w , îòêóäà âèäíî, ÷òî àïïðîêñèìàöèÿ ( aij )

ïîñðåäñòâîì ñòàâëåíèþ

( wi / w j ) ëó÷øå, ÷åì áëèæå λ max ê n. Âîçâðàùàÿñü ê ïðåä-

aij = w j / wi + ( wi / w j )δ ij , íàõîäèì, ÷òî

δ 2 ij = aij ( wi / w j ) − 1 . Òàêèì îáðàçîì, çàìåíèâ aij íà wi / w j , 2

ïîëó÷èì

δ 2 ij = 0 , ñâåäÿ òåì ñàìûì ê íóëþ âåëè÷èíó

2( λ max − n) / (n − 1) .

Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêèé ðàç, êîãäà

δ ij < 1 , àïïðîêñèìàöèÿ ëþáîãî 77

aij âåëè÷èíîé wi / w j ïðèáëèæàåò íàñ ê ñîãëàñîâàííîñòè. Òåîðåìà 19. Åñëè ïîëîæèòåëüíàÿ ìàòðèöà À ñîãëàñîâàííà, òî êàæ-

äàÿ ñòðîêà ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì êðàòíûì ëþáîé äàííîé ñòðîêè. Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäàÿ ñòðîêà ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì ìíîæèòåëåì i-îé ñòðîêè. Èç îòíîøå-

a jk = aik / aij ñëåäóåò, ÷òî, çàôèêñèðîâàâ j è ïîëîæèâ k=1, 2, ..., n, j - ÿ ñòðîêà áóäåò ðàâíà i-é ñòðîêå, óìíîæåííîé íà ïîëîæèòåëüíóþ ïîñòîÿííóþ (1/ aij ).

íèÿ

Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåâåðíî. Ìàòðèöà åäèíè÷íîãî ðàíãà ìîæåò è íå áûòü ñîãëàñîâàííîé. Íàïðèìåð, â ìàòðèöå

LM1 2OP ýëåìåíò a N2 4Q

21

íå ðàâåí

a11 / a12 .

Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà ïðè äóþùèé îáùèé âèä:

LMa MMa MM a MM Na

/ ai1 i1 / ai 2 M i 1 / aij M i 1 / ain i1

ai 2 / ai1 ai 2 / ai 2 M K M ai 2 / ain

Òàê êàê ìàòðèöà

K K M K M K

OP PP PP PP Q

aii =1 ïðèíèìàåò ñëå-

ain / ai1 ain / ai 2 M ain / aij . M ain / ain

A = ( wi / w j ) èìååò âèä òðàíñïîíèðîâàííîé ïî

îòíîøåíèþ ê ïðèâåäåííîé ìàòðèöå, îíà ñîãëàñîâàííà. Òåîðåìà 20. Åñëè À – ïîëîæèòåëüíàÿ è ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà, òî

aij = 1 / a ji , aii = 1 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

òåëüíî,

78

aii = aii aii è, ñëåäîâà-

aii = 1 äëÿ âñåõ i . Òàêæå èç aii = aij a ji ñëåäóåò, ÷òî

aij = aii / a ji = 1 / a ji .

Òåîðåìà 21. Ïîëîæèòåëüíàÿ ìàòðèöà À ñîãëàñîâàííà â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îíà åäèíè÷íîãî ðàíãà è ýëåìåíòû åå ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàâíû åäèíèöå. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè

À ñîãëàñîâàííàÿ, òî aii = 1 .Òàêæå

aij = a1 j / a1i = (1 / ai1 )a1 j è i-ÿ ñòðîêà åñòü ïåðâàÿ ñòðîêà, óìíîæåííàÿ

íà

(1/ a1i ), è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã À ðàâåí åäèíèöå. Íàîáîðîò, åñëè ðàíã

À ðàâåí åäèíèöå è ïåðâîé ñòðîêå, ò.å.

aii = 1 äëÿ âñåõ i, òî êàæäàÿ ñòðîêà ÿâëÿåòñÿ êðàòíîé

aij = ci a1 j , a jk = c j a1k , aik = ci a1k , aij = c j a1 j ,

aij a jk = ci c j a1 j a1k = ci c j a1 j (a1k / ci ) = c j a1 j aik = a jj aik = aik , è ìàòðèöà À ñîãëàñîâàííà.

Ðàññìîòðèì èëëþñòðàöèþ ïîíÿòèÿ ñîãëàñîâàííîñòè íà ÿçûêå òåîðèè ãðàôîâ. Îïðåäåëåíèå 15. Èíòåíñèâíîñòü ñóæäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ïóòè èç i â j (íàçûâàåìàÿ èíòåíñèâíîñòüþ ïóòè), ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ èíòåíñèâíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ äóãàì ýòîãî ïóòè. Íàïîìíèì, ÷òî ïåðåêðûâàþùååñÿ äåðåâî ñ n âåðøèíàìè èìååò n-1 ðåáåð. Îíî ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ãðàôîì, âêëþ÷àþùèì âñå âåðøèíû è íå èìåþùèì êîíòóðîâ. Ïîýòîìó èìååòñÿ åäèíñòâåííûé ïóòü ìåæäó ëþáîé ïàðîé âåðøèí. Òåîðåìà 22. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîé ïîëîæèòåëüíîé ñîãëàñîâàííîé ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îáúåêòû (êàê âåðøèíû) è ñîåäèíÿþùèå èõ ñóæäåíèÿ (êàê äóãè) ôîðìèðóþò ïåðåêðûâàþùååñÿ äåðåâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Åñëè îáúåêòû ôîðìèðóþò êîíòóð, òî èìååòñÿ íå åäèíñòâåííûé ïóòü ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè â êîíòóðå, ÷òî äàåò äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ äëÿ îäíîãî è òîãî æå ýëåìåíòà. Âñå îáúåêòû äîëæíû îáðàçîâûâàòü äåðåâî, èíà÷å ñóæäåíèÿ äëÿ ñâÿçûâàíèÿ èçîëèðîâàííûõ îáúåêòîâ áûëè áû ïðîèçâîëüíûìè, ÷òî íàðóøèëî áû åäèíñòâåííîñòü ìàòðèöû. Äîñòàòî÷íîñòü. Äëÿ êàæäîé äóãè ïåðåêðûâàþùåãî äåðåâà ìû èñïîëüçóåì èíòåíñèâíîñòü âäîëü åäèíñòâåííîãî ïóòè äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòåé ìåæäó îáúåêòàìè i è j. Ýòî îïðåäåëÿåò ìàòðèöó À=(

aij ).

79

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîãëàñîâàííîñòè ìàòðèöû À ðàññìîòðèì ëþáóþ ñòðîêó, íàïðèìåð, i-þ. Äëÿ ëþáîé ïàðû âåðøèí j è k íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî

a jk , îïðåäåëåííàÿ ïðîèçâåäåíèåì äóã íà ïóòè jk, äàíà âåëè÷èíîé

aik / aij , ãäå aik , aij – ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâåäåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé äóã íà ïóòÿõ, ñîåäèíÿþùèõ i ñ k è i ñ j. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:

1. i ëåæèò íà ïóòè ìåæäó j è k.  ýòîì ñëó÷àå 2. i íå ëåæèò ìåæäó j è k , òîãäà: à) i,

a jk = a ji aik = aik / aij .

j, k îáðàçóþò ïóòü; â ýòîì ñëó÷àå ïóòü, îïðåäåëÿþùèé a jk ,

äàåòñÿ âåëè÷èíîé

aik / aij , åñëè j íàõîäèòñÿ ìåæäó i è k, è îáðàòíîé

aij / aik , ò.å. aik / aij , åñëè k íàõîäèòñÿ ìåæäó i è j, òàê êàê ïóòü

âåëè÷èíîé

äîëæåí ïðîõîäèòü îò j ê k, à íå îò k ê j; á) i, j, k îáðàçóþò âèëêó â m . Òîãäà

a jk = aimamk = a jm ami aim amk = a ji aik = aik / aij .

Òåîðåìà 23. Åñëè À – ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà, òî A = n A . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû Ñèëüâåñòðà èìååì k

k −1

∏( A − λ I) f ( A) = ∑ f ( λ ) ∏ (λ − λ ) . n

i =1

i

i

i≠ j

j ≠i

i

j

Ýòà ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñëó÷àÿ

f ( A) = A k (äëÿ êðàòíûõ

ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), êîãäà êðàòíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ðàâíî íóëþ. Ïîäñòàâëÿÿ ñíà÷àëà

f(A)=A, à çàòåì f ( A) = A k , â îáîèõ ñëó÷àÿ ïðè

λ i = n, λ j = 0, j ≠ 1 , ïîëó÷àåì

A n −1 = n n − 2 A, A k = n k − n −1 A n −1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîäñòàíîâêà

80

A n−1 èç ïåðâîãî ðåçóëüòàòà âî âòîðîé äàåò A k = n k −1 A . Òåîðåìà 24. Ëþáîé ñòîëáåö ìàòðèöû A = ( wi / w j ) ÿâëÿåòñÿ ðå-

øåíèåì çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè Àw=nw, w = ( w1 ,..., wn ) / Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ëþáîé ñòîëáåö ìàòðèöû èìååì âèä

w1 / w j , w2 / w j ,..., wn / w j

T

, òî îí ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî êðàòíûì w è, ñëå-

äîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è. Èç ïîñëåäíåé òåîðåìû ïîëó÷àåòñÿ ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà, òàê êàê åñëè îáîçíà÷èòü

ñòîëáöû

À

÷åðåç

(a1 , a2 ,..., an ),

A ⋅ A = (a1 , a2 ,..., an ) = (na1 , na2 ,..., nan ) = nA . Òåîðåìà 25. Ëþáàÿ ñòðîêà ìàòðèöû

òî

A = ( wi / w j ) åñòü ðåøåíèå

çàäà÷è vA=nv. Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî. Ñëåäñòâèå. Êîìïîíåíòû ïðàâîãî è ëåâîãî ñîáñòâåííûõ âåêòîðà, w è v, ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè âåëè÷èíàìè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ. (Áóäåì íàçûâàòü èõ äâîéñòâåííûìè âåêòîðàìè). Îïðåäåëèì íîðìó ìàòðèöû A êàê

A = e T Ae (ò.å. îíà ÿâëÿåòñÿ

ñóììîé âñåõ ýëåìåíòîâ À). Êàê èçâåñòíî, äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû À

e

j

lim A k e / A k = cwmax , ãäå ñ – ïîñòîÿííàÿ, wmax – íîðìàëèçî-

k →∞

âàííûé ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð À. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ óïðîùåííîé âåðñèåé ýòîé òåîðåìû äëÿ ñîãëàñîâàííûõ ìàòðèö. Òåîðåìà 26. Åñëè À ïîëîæèòåëüíàÿ ñîãëàñîâàííàÿ (nxn)-ìàòðèöà, Àe=Cw, ãäå Ñ>0 ïîñòîÿííàÿ è w óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó Àw=nw. Äîêàçàòåëüñòâî. Âåêòîð Àå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñòðîê À è, î÷åâèäíî ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì ëþáîãî ñòîëáöà. Ïîýòîìó îí ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè. Äðóãîé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî À èìååò åäèíè÷íûé ðàíã òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò âåêòîðû õ è y, òàêèå, ÷òî

A = xy T . Îòñþäà

81

Aw = ( y, w) x = nw, ( y, w) = y1w1 +...+ yn wn , è ñëåäîâàòåëüíî, Ae = ( y , e) x = ( y , e)

n = Cw . ( y , w)

n

Ñëåäñòâèå 1. Åñëè A = ( wi / w j ) , òî Cwi = wi / ∑ wi . i =1

Ñëåäñòâèå 2.

Ak e n k −1 Ae Ae = k −1 T = T = C ( w1 ,..., wn ), C > 0 T k e A e n e Ae e Ae

Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå ñîãëàñîâàííûõ ìàòðèö êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà èçìåíÿþòñÿ ìîíîòîííî ñ èçìåíåíèÿìè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Òåîðåìà 27. (Î ìîíîòîííîñòè). Ïóñòü

A = (aij ) – ïîëîæèòåëüíàÿ

ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà ñ ãëàâíûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì

w= ( w1 ,..., wn ) . Çàìåíèì îäèí ýëåìåíò a xy íà a xy + ε > 0 è, èñïîëü-

çóÿ ñòðîêó õ, ïîñòðîèì íîâóþ ñîãëàñîâàííóþ ìàòðèöó Ïóñòü Òîãäà

A* = (a *ij ) .

w* = ( w*1 ,..., w* n ) – ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A* .

* wx > wx .

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê è À, è A ñîãëàñîâàííû, ëþáîé íîðìàëèçîâàííûé ñòîëáåö äàåò ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð. Ðàññìîòðèì ñòîë*

áåö, ñîäåðæàùèé 1 / a xy â ìàòðèöå À, è ñîîòâåòñòâóþùèé ñòîëáåö, ñîäåðæàùèé

1 / (a xy + ε ) â ìàòðèöå A* . Äâà ñòîëáöà èäåíòè÷íû çà èñêëþ÷å-

íèåì ýòîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà. Ñóììà ýëåìåíòîâ ñòîëáöà â A ìåíüøå, ÷åì ñóììà ýëåìåíòîâ ñòîëáöà â À. Ïîýòîìó, íîðìàëèçóÿ äàííûé ñòîëáåö, ïîëó÷àåì áîëüøåå îòíîøåíèå äëÿ âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ â îáåèõ ìàòðèöàõ.  ÷àñòíîñòè, ýòî âåðíî äëÿ * wx > wx .

82

*

* wx , ïîýòîìó

Òåîðåìà 28. Åñëè À – ïîëîæèòåëüíàÿ ñîãëàñîâàííàÿ ìàòðèöà è

A/

ïîëó÷åíà èç À âû÷åðêèâàíèåì i-é ñòðîêè è i-ãî ñòîëáöà, òî A / – ñîãëàñîâàííà è åå ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð ïîëó÷àåòñÿ èç À, åñëè

ïîëîæèòü

wi = 0 è íîðìàëèçîâàòü êîìïîíåíòû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîé çàäàííîé ñòðîêè À, íàïðèìåð, äëÿ ïåð-

âîé, èìååì

a ji = a1i / a1 j , j=1, ..., n, è i-ÿ ñòðîêà À çàâèñèò îò ýëåìåíòà

i-ãî ñòîëáöà â åãî ïåðâîé ñòðîêå. Àíàëîãè÷íîå ñëåäóåò èç a jk = a1k / a1 j .

Ïîýòîìó íè îäèí ýëåìåíò â

A / íå çàâèñèò îò i-é ñòðîêè èëè i-ãî ñòîëáöà À

è, ñëåäîâàòåëüíî, A òàêæå ñîãëàñîâàííà. Òàê êàê èõ ýëåìåíòû ñîâïàäàþò çà èñêëþ÷åíèåì i-é ñòðîêè èëè i-ãî ñòîëáöà À è ðåøåíèå çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè ïðè ñîãëàñîâàííîé ìàòðèöå ïîëó÷àåòñÿ èç ëþáîãî íîðìàëèçîâàííîãî ñòîëáöà, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. /

Çàìå÷àíèå.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè

íåíèé, à

A / = (aij′ ) ïðè

A = (aij ) – ìàòðèöà ïàðíûõ ñðàâ-

aij′ = aij , i , j = 1,..., n, i ≠ k , j ≠ k , aij′ = 0, i = k èëè j=k, è åñëè

íîðìàëèçîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû óðàâíåíèé

Aw = λ max w è

A′w′ = λ max w′ – ñîîòâåòñòâåííî w, w′ , òî wk′ = 0 , îäíàêî

wα′ / wβ′ ≠ wα / wβ äëÿ âñåõ α è β . Äðóãèìè ñëîâàìè, èñêëþ÷åíèå îä-

íîé ñòðîêè èç ìàòðèöû ïàðíûõ ñðàâíåíèé íå âûçûâàåò ïðîïîðöèîíàëüíîãî ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ âåñîâ ñðåäè äðóãèõ ñòðîê. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ìåæäó îòäåëüíûìè

aij è wi / w j äîâîëüíî ñëîæíûì îáðàçîì çàâèñÿò îò âñåé ìàò-

ðèöû À è åå ñòåïåíåé.

Òåîðåìà 29. Äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû À èìååì, ÷òî

äà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

aij ≥ a kl , òîã-

wi / w j ≥ wk / wl , ïðè óñëîâèè, ÷òî

83

lim

∑a

m→∞

p≠ j

ip

( A m e) p

( A e) j m

≥ lim

m→∞

∑a q ≠l

kq

( A m e) q

( A m e) l

( ( .)p – îçíà÷àåò ð-þ êîìïîíåíòó âåêòîðà). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ðàâåíñòâà

n

∑a w j =1

ij

j

= λwi èìååì

aij = λwi / w j − (1 / w j ) ∑ aip w p p≠ j

a kl = λwk / wl − (1 / wl ) ∑ a kq wq Ïîýòîìó

p≠l

aij ≥ a kl òîëüêî ïðè

λwi / w j ≥ λwk / wl + (1 / w j ) ∑ aip w p − (1 / wl ) ∑ a kq wq p≠ j

p≠l

.

Ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà âåðíà, åñëè èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:

(1 / w j ) ∑ aip w p ≥ (1 / wl ) ∑ a kq wq p≠ j

p ≠l

.

Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ïðåäåëå äëÿ ïðèìèòèâíîé ìàòðèöû, çàìåíèì

( A m e) s êàæäûé ws íà lim T m , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. m→∞ e A e

Òåîðåìà 30. (Ñòåïåííîé çàêîí ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ). Åñëè ìàòðèöà

À= aij ( wi / w j ) ïîðÿäêà n óäîâëåòâîðÿåò îáîá-

ùåííîìó óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè, òî çàäà÷à î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè n

∑a j =1

ij

( wi / w j )q j ( w j ) = nqi ( wi ), i = 1,..., n èìååò ðåøåíèå â

âèäå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà 84

α α ( w1 ,..., wn ) ≡ q1 ( w1 ),..., qn ( wn ) .

Äîêàçàòåëüñòâî. Âûðàæåíèå

aij ( wi / w j ) = gi ( wi ) / g j ( w j ) èìå-

åò ìåñòî ïðè ðåøåíèè gi ( wi ) , i=1,..,n, çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè. Åñëè ïîäñòàâèì åãî â óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè, òî ïîëó÷èì

f gi ( wi ) / g j ( w j ) f g j ( w j ) / gk ( wk ) = f

o g (w ) / g (w ) f i

i

j

Èëè, åñëè ïîëîæèì

òî ïîëó÷èì

j

t

g j ( w j ) / gk ( wk ) .

x = gi ( wi ) / g j ( w j ) , y = g j ( w j ) / gk ( wk ) ,

f(x)f(y)=f(xy). Ýòî ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå èìååò îá-

ùåå ðåøåíèå

f ( x) = xα .

Òàêèì îáðàçîì, îáîáùàÿ óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ À íàõîäèì, ÷òî îáîáùåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè (ñ

λ max = n ) âîçìîæíî, åñëè çàìåíèì aij íà ïîñòîÿííóþ ñòåïåíü a åãî

àðãóìåíòà. Îäíàêî,

aij = wi / w j ïðè à=1, ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ,

aij = ( wi / w j )α , èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî gi ( wi ) / g j ( w j ) = ( wi / w j )α ,

i, j =1,..,n, gi ( wi ) = wi α = g ( wi ), i = 1,..., n .

Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è î ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè, äàåò îöåíêè â ñòåïåííîé øêàëå. Çàìå÷àíèå. Ðàçëè÷íûå ìàòðèöû ïîïàðíûõ ñðàâíåíèé ìîãóò äàâàòü îäèí è òîò æå ñîáñòâåííûé âåêòîð. Ýòî äîâîëüíî óäà÷íîå îáñòîÿòåëüñòâî, òàê êàê ïîçâîëÿåò çàìåíÿòü ïðèçíàêè è âñå æå ïîëó÷àòü òîò æå ñàìûé ñîáñòâåííûé âåêòîð â êà÷åñòâå îòâåòà. Ïîýòîìó ìîæíî ïîëó÷èòü îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò ñ ðàçëè÷íûõ òî÷åê çðåíèÿ è âûáðàòü òå ìàòðèöû, êîòîðûå ìû ïðåäïî÷èòàåì. Òåîðåìà 31. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ:

∑λ λ i ,k i≠ k

i

k

= 0.

85

Äîêàçàòåëüñòâî.

λ 1 +...+ λ n = tr ( A) = n, λ 12 +...+ λ n 2 = tr ( A 2 ) = n 2 , òàê êàê

λ i 2 – ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå A2 . Ïîýòîìó

λ 1 +...+ λ n = tr ( A) = n 2 = ( λ 1 +...+ λ n ) 2 = ∑ λ i 2 + ∑ λ i λ k , i =1

èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ñïðàâà ðàâíî íóëþ. Òåîðåìà 32. Ïóñòü

ýëåìåíòîâ ñ

λ max = n .

i ,k i≠k

A = (aij ) åñòü (nxn)-ìàòðèöà ïîëîæèòåëüíûõ

aij = a ji . À ñîãëàñîâàííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà −1

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óðàâíåíèÿ

nλ − n =

n

∑a w w

i , j =1 i≠ j

ij

j

i

−1

=

n

λ = ∑ aij w j wi j =1

∑ (a w w

1≤i ≤ j ≤ n

ij

j

i

−1

−1

ïîëó÷àåì

+ wi w j 1 / aij ) . −

aij = wi / w j ïîëó÷èì λ = n , à òàêæå λ max = n , òàê êàê ñóììà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ðàâíà n, ñëåäó ìàòðèöû À. Èç ðàâåíñòâà

×òîáû äîêàçàòü îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, çàìåòèì, ÷òî ïðåäûäóùåå

âûðàæåíèå ñîäåðæèò òîëüêî äâà ÷ëåíà, âêëþ÷àþùèõ

aij , à èìåííî,

aij w j wi è wi w j / aij . Èõ ñóììà èìååì âèä y+(1/y). ×òîáû óáåäèòü−1

−1

ñÿ â òîì, ÷òî n – ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå

λ max , äîñòèãàåìîå åäèíñòâåí-

aij = wi / w j , îòìåòèì, ÷òî äëÿ âñåõ ýòèõ ÷ëåíîâ y+(1/y)>=2. Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â ïðåäïîëîæåíèè y=1, ò.å. aij = wi / w j . Ïîýòîìó, êîãäà λ max = n , èìååì íûì îáðàçîì ïðè

86

n2 − n ≥

n

∑ 2 =n

i , j =1 i≠ j

2

− n , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî aij = wi / w j .

Åñëè À íåñîãëàñîâàííà, òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ

aij ≥ a kl íå ñëåäóåò wi w j ≥ wk wl . Îäíàêî, ïîñêîëüêó wi , i=1,...,n, îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ñòðîêè ìàòðèöû À, ñëåäóåò îæèäàòü, èç íåðàâåíñòâà

÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 33. (Ñîõðàíåíèå ïîðÿäêîâîé ñîãëàñîâàííîñòè). Åñëè

(o1 ,..., on ) – ïîðÿäêîâàÿ øêàëà îáúåêòîâ C1 ,..., Cn , ãäå èç

oi ≥ ok ñëåäóåò, ÷òî aij ≥ a kj , j=1,...,n, òî èç oi ≥ ok ñëåäóåò, ÷òî wi ≥ wk .

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, èç Àw= λ max w ñëåäóåò, ÷òî n

n

j =1

j =1

λ max wi = ∑ aij w j ≥ ∑ a kj w j = λ max w , è ïîýòîìó w ≥ w . i k

Òåîðåìà 34. Ëþáàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà 2x2 ñîãëàñîâàííà. Òåîðåìà 35. Êîìïîíåíòû íîðìàëèçîâàííîãî ëåâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà îáðàòíîñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà 3x3 ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè âåëè÷èíàìè êîìïîíåíò ïðàâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.

87

5.2

Ïðèìåíåíèå ÌÀÈ íà ïðàêòèêå

5.2.1. Îñíîâíûå âèäû èåðàðõèé Ñèñòåìà – ñîâîêóïíîñòü âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòåé. Ïðè àíàëèçå ðåàëüíîé ñèñòåìû ÷èñëî ýëåìåíòîâ è èõ âçàèìîñâÿçåé íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî ïðåâûøàåò ñïîñîáíîñòü ýêñïåðòîâ âîñïðèíèìàòü èíôîðìàöèþ â ïîëíîì îáúåìå.  ýòîì ñëó÷àå ðåàëüíîñòü ïîäðàçäåëÿåòñÿ íà ñîñòàâíûå ÷àñòè (êëàñòåðû) ïðè ïîìîùè èåðàðõèè. Èåðàðõèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííûì òèïîì ñèñòåìû, îñíîâàííûì íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ýëåìåíòû ñèñòåìû ìîãóò ãðóïïèðîâàòüñÿ â îòäåëüíûå ìíîæåñòâà. Ýëåìåíòû êàæäîé ãðóïïû íàõîäÿòñÿ ïîä âëèÿíèåì ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé âïîëíå îïðåäåëåííîé ãðóïïû è, â ñâîþ î÷åðåäü, îêàçûâàþò âëèÿíèå íà ýëåìåíòû äðóãîé ãðóïïû, íî ýëåìåíòû â êàæäîé ãðóïïå íåçàâèñèìû. Èåðàðõèÿ – ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç ïîäñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ êàê öåëîå íà îäíîì óðîâíå è ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòÿìè ñèñòåìû áîëåå âûñîêîãî óðîâíÿ, ñòàíîâÿñü ïîäñèñòåìàìè ýòîé ñèñòåìû.  íàèáîëåå ýëåìåíòàðíîì âèäå èåðàðõèÿ ñòðîèòñÿ ñ âåðøèíû (öåëåé – ñ òî÷êè çðåíèÿ óïðàâëåíèÿ), ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå óðîâíè (êðèòåðèè, îò êîòîðûõ çàâèñÿò ïîñëåäóþùèå óðîâíè) ê ñàìîìó íèçêîìó óðîâíþ (êîòîðûé îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷íåì àëüòåðíàòèâ). Íàïðèìåð, ïðè âûáîðå ðóêîâîäèòåëÿ ïðåäïðèÿòèÿ, ñëåäóåò ó÷åñòü íàëè÷èå ó êàíäèäàòîâ ïðîôåññèîíàëüíûõ è ëè÷íûõ êà÷åñòâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ èçáðàíèÿ íà âàêàíòíóþ äîëæíîñòü. Ýòîìó ïðèìåðó ñîîòâåòñòâóåò èåðàðõèÿ (ðèñ. 1), íà ïåðâîì (âûñøåì) óðîâíå êîòîðîé íàõîäèòñÿ öåëü – "Ðóêîâîäèòåëü", íà âòîðîì øåñòü ôàêòîðîâ, óòî÷íÿþùèõ öåëü, è íàêîíåö, íà ïîñëåäíåì óðîâíå òðè êàíäèäàòà (Ê1, Ê2, Ê3), êîòîðûå äîëæíû áûòü îöåíåíû ïî îòíîøåíèþ ê êðèòåðèÿì âòîðîãî óðîâíÿ. Ñóùåñòâóþò íåñêîëüêî âèäîâ èåðàðõèé. Äîìèíàíòíûå èåðàðõèè – èåðàðõèè ñ îñíîâîé â âåðøèíå (ïîõîæè íà ïåðåâåðíóòîå äåðåâî. ñì. ðèñ. 1). Õîëëàðõèè – äîìèíàíòíûå èåðàðõèè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ. Êèòàéñêèé ÿùèê (èëè ìîäóëÿðíûå èåðàðõèè) – èåðàðõèÿ, ðàñòóùàÿ â ðàçìåðàõ îò ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòîâ (âíóòðåííèå ÿùèêè) êî âñå áîëåå êðóïíûì ñîâîêóïíîñòÿì (âíåøíèå ÿùèêè). Èåðàðõèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè êàæäûé ýëåìåíò çàäàííîãî óðîâíÿ ôóíêöèîíèðóåò êàê êðèòåðèé äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ íèæåñòîÿùåãî óðîâíÿ (ðèñ. 1), â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èåðàðõèÿ íåïîëíàÿ.

88

Ê1

Ê2

àâòîðèòåò ñðåäè ïîä÷èíåííûõ

âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì

êîììóíèêàáåëüíîñòü

ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü

ïðîôåññèîíàëèçì

îðãàíèçàöèîíí. ñïîñîáíîñòè

Ðóêîâîäèòåëü

Ê3

Ðèñ. 1

5.2.2. Ïîñòðîåíèå èåðàðõèè Ïîñòðîåíèå èåðàðõèè èñõîäèò èç åñòåñòâåííîé ñïîñîáíîñòè ëþäåé äóìàòü ëîãè÷åñêè è òâîð÷åñêè, îïðåäåëÿòü ñîáûòèÿ è óñòàíàâëèâàòü îòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè è îïèðàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, íà ïðèíöèï èäåíòè÷íîñòè è äåêîìïîçèöèè. Íà ïðàêòèêå íå ñóùåñòâóåò óñòàíîâëåííîé ïðîöåäóðû ãåíåðèðîâàíèÿ öåëåé, êðèòåðèåâ è âèäîâ äåÿòåëüíîñòè äëÿ âêëþ÷åíèÿ â èåðàðõèþ. Ïðè ïîñòðîåíèè èåðàðõèè ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îñíîâíûå öåëè óñòàíàâëèâàþòñÿ íà âåðøèíå èåðàðõèè, èõ ïîäöåëè íåïîñðåäñòâåííî íèæå âåðøèíû, ñèëû, îãðàíè÷èâàþùèå àêòîðîâ (äåéñòâóþùèõ ëèö) åùå íèæå. Ñèëû äîìèíèðóþò íàä óðîâíåì ñàìèõ àêòîðîâ, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, äîìèíèðóþò íàä óðîâíåì ñâîèõ öåëåé, íèæå êîòîðûõ áóäåò óðîâåíü èõ âîçìîæíûõ äåéñòâèé, è â ñàìîì íèçó íàõîäèòñÿ óðîâåíü ðàçëè÷íûõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè òèïàìè èåðàðõèé ÿâëÿþòñÿ äîìèíàíòíûå èåðàðõèè, ïîäðàçäåëÿþùèåñÿ íà äâà òèïà: – èåðàðõèÿ ïðÿìîãî ïðîöåññà, ïðîåöèðóþùàÿ ñóùåñòâóþùåå ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû íà íàèáîëåå âåðîÿòíîå èëè ëîãè÷åñêîå áóäóùåå (óñëîâèÿ "ñåãîäíÿøíåãî" äíÿ ïðåäñêàçûâàþò òî, ÷òî áóäåò "çàâòðà"), – èåðàðõèÿ îáðàòíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿþùàÿ ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ æåëàåìîãî áóäóùåãî (òî, ÷òî ìû õîòèì âèäåòü "çàâòðà", îïðåäåëÿþò íàøó ïîëèòèêó "ñåãîäíÿ"). Äëÿ òàêèõ âèäîâ èåðàðõèé îïðåäåëåí íàèáîëåå îáùèé ïîðÿäîê èõ 89

ïîñòðîåíèÿ. Èåðàðõèÿ ïðÿìîãî ïðîöåññà. 1. Ìàêðîîãðàíè÷åíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû. 2. Ñîöèàëüíûå è ïîëèòè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ. 3. Ñèëû. 4. Öåëè. 5. Àêòîðû. 6. Öåëè àêòîðîâ. 7. Ïîëèòèêè àêòîðîâ. 8. Êîíòðàñòíûå ñöåíàðèè. 9. Îáîáùåííûé ñöåíàðèé. Èåðàðõèÿ îáðàòíîãî ïðîöåññà 1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñöåíàðèè. 2. Ïðîáëåìû è âîçìîæíîñòè. 3. Àêòîðû è êîàëèöèè. 4. Öåëè àêòîðîâ. 5. Ïîëèòèêè àêòîðîâ. 6. Îòäåëüíûå ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ, âëèÿþùèå íà ðåçóëüòàò. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà èåðàðõèþ îáðàòíîãî ïðîöåññà. Äîïóñòèì, òðåáóåòñÿ âûáðàòü ñöåíàðèé (à èñõîäÿ èç ýòîãî è ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ) äëÿ äàëüíåéøåãî óñïåøíîãî ðàçâèòèÿ èíñòèòóòà. Íà ïðåäâàðèòåëüíûé ñöåíàðèé (îáùóþ öåëü áëàãîñîñòîÿíèÿ ó÷ðåæäåíèÿ) âëèÿþò ðàçëè÷íûå ïðîáëåìû è ñèëû: àäìèíèñòðàöèÿ èíñòèòóòà è ãîðîäà, ïðîôåññîðñêîïðåïîäàâàòåëüñêèé ñîñòàâ, ñòóäåíòû, øåôñêèå îðãàíèçàöèè è ò.ä. Ýòè ñèëû îïðåäåëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè àêòîðàìè, ó êîòîðûõ èìåþòñÿ ñâîè ñîáñòâåííûå öåëè. Íàêîíåö, èìååòñÿ íåñêîëüêî âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ, îïðåäåëÿþùèõ ïîëèòèêè óïðàâëåíèÿ äëÿ äîñòèæåíèÿ áëàãîñîñòîÿíèÿ ó÷ðåæäåíèÿ.  âèäó ýòîãî ïîëó÷àåòñÿ èåðàðõèÿ ðèñ. 2. Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì èåðàðõèÿ äîëæíà áûòü óòî÷íåíà è ïðè íåîáõîäèìîñòè èçìåíåíà è äîïîëíåíà. Îïûò ïîêàçûâàåò: ÷åì òî÷íåå áûëà ñîñòàâëåíà èåðàðõèÿ, òåì ìåíüøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåáóþòñÿ äëÿ äîïîëíåíèÿ åå íîâûìè ýëåìåíòàìè. 5.2.3. Ìàòðèöû ñðàâíåíèé  ÌÀÈ ýëåìåíòû çàäà÷è ñðàâíèâàþòñÿ ïîïàðíî ïî îòíîøåíèþ ê èõ âîçäåéñòâèþ ("âåñó" èëè "èíòåíñèâíîñòè") íà îáùóþ äëÿ íèõ õàðàêòåðèñòèêó. Ïîëó÷åííûå ïàðíûå ñðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿþò ìàññèâ ÷èñåë, êîòîðûé îôîðìëÿåòñÿ â âèäå ìàòðèöû. Ñðàâíèâàÿ íàáîð ñîñòàâëÿþùèõ ïðîáëåìû äðóã ñ äðóãîì, ïîëó÷àåì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó. Ýòî îáðàòíîñèììåòðè÷90

Ïðåäâàðèòåëüíûé ñöåíàðèé Îáùàÿ öåëü Ñèëû Àêòîðû

Áëàãîñîñòîÿíèå èíñòèòóòà

Îáó÷åíèå

Àäìèíèñòðà öèÿ èíñòèòóòà

Îáùåñòâåí. æèçíü

Àäìèíèñòðà öèÿ ãîðîäà

Ðàáîòà, ïðîôåññèîíàëüíûé ðîñò, êà÷åñòâåííîå ïðîâåäåíèå îáó÷åíèÿ

Öåëè

Ñöåíàðèè

Àêöåíò íà ïðîôåññèîíàëüíîå îáó÷åíèå

Íàëè÷èå îáîðóäîâàí.

Äóõ

Øåôñêèå îðãàíèçàö.

Ñòóäåíòû

Äåÿòåëüíîñ òü âíå ó÷ðåäæäåí.

Ïðåïîäàâàò. ñîñòàâ

Ïîëó÷åíèå ðàáîòû, ïîëó÷åíèå õîðîøåãî îáðàçîâàíèÿ.

Ðåîðãàíèçàöèÿ íà äðóãîå íàïðàâëåíèå

Äàëüíåéøåå îáó÷åíèå

1 . aij Ïóñòü À1, À2, À3, …, Àn – ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ è w1, w2, w3,

íàÿ ìàòðèöà, ò.å.

a ji =

wn – ñîîòâåòñòâåííî èõ âåñà, èëè èíòåíñèâíîñòè. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ÌÀÈ ñðàâíèâàåòñÿ âåñ, èëè èíòåíñèâíîñòü, êàæäîãî ýëåìåíòà ñ âåñîì, èëè èíòåíñèâíîñòüþ, ëþáîãî äðóãîãî ýëåìåíòà ìíîæåñòâà ïî îòíîøåíèþ ê îáùåìó äëÿ íèõ ñâîéñòâó èëè öåëè. Ñðàâíåíèå  a a12 a13 L a1n  11  âåñîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìàòðè-  a a a a L  21 22 23 2n  öû.  Ìàòðèöà ìîæåò ñîñòîÿòü òîëüêî a31 a32 a33 L a3n    èç îäíîé ñòðîêè èëè îäíîãî ñòîëáöà, êî-

…

òîðûå íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè.

 M a  n1

M an 2

M an 3

M  ann 

91

A1 w1 w1 w2 w1 w3 w1 M wn w1

A2 w1 w2 w2 w2 w3 w2 M wn w2

A3 w1 w3 w2 w3 w3 w3 M wn w3

L

An w1 wn w2 wn w3 wn M wn wn

Òàê êàê, w1, w2, w3, … wn íåèçâåñòíû çàðàíåå, òî ïîïàðíûå ñðàâíåíèÿ ýëåìåíòîâ ïðîèçâîäÿòñÿ ñ èñA1 L ïîëüçîâàíèåì ñóáúåêòèâíûõ ñóæäåíèé, ÷èñëåííî îöåíèâàåìûõ ïî øêàA2 L ëå. Êîãäà ïðîáëåìà ïðåäñòàâëåíà èåðàðõè÷åñêè, ìàòðèöà ñîñòàâëÿåòñÿ A3 L äëÿ ñðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ íà âòîðîì óðîâíå ïî M îòíîøåíèþ ê îáùåé öåëè íà ïåðâîì óðîâíå. Ïîäîáíûå ìàòðèöû äîëæíû An L áûòü ïîñòðîåíû äëÿ ïàðíûõ ñðàâíåíèé êàæäîé àëüòåðíàòèâû íà òðåòüåì óðîâíå ïî îòíîøåíèþ ê êðèòåðèÿì âòîðîãî óðîâíÿ è ò.ä. Ìàòðèöà ñîñòàâëÿåòñÿ, åñëè çàïèñàòü ñðàâíèâàåìóþ öåëü (èëè êðèòåðèé) ââåðõó è ïåðå÷èñëèòü ñðàâíèâàåìûå ýëåìåíòû ñëåâà è ñâåðõó. Òàê, â ïðèìåðå ñ âûáîðîì ðóêîâîäèòåëÿ (ñì. ðèñ.1), êðèòåðèè âòîðîãî óðîâíÿ íåîáõîäèìî ñðàâíèòü ïîïàðíî ïî îòíîøåíèþ ê îáùåé öåëè ïåðâîãî óðîâíÿ. Äëÿ ýòîãî çàïîëíÿåòñÿ òàáëèöà 1. Äëÿ ñðàâíåíèÿ êàíäèäàòîâ ïîòðåáóåòñÿ óæå íå îäíà, à øåñòü ìàòðèö, ïîñêîëüêó íåîáõîäèìî ñðàâíèòü êàíäèäàòîâ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà ïî êàæäîìó êà÷åñòâó ðóêîâîäèòåëÿ (íàïðèìåð, ìàòðèöà ñðàâíåíèÿ êàíäèäàòîâ ïî îðãàíèçàöèîííûì êà÷åñòâàì ïðèâåäåíà â òàáëèöå 2). 5.4.3. Øêàëà ñðàâíåíèé Åñëè áû ïðèõîäèëîñü ñðàâíèâàòü ÿâëåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ïðåäóñìîòðåíà ñëîæèâøàÿñÿ ñèñòåìà èçìåðåíèé (îöåíêà âåñîâ êàìíåé, äëèíû ñòåðæíÿ è ò.ä.), òî â êà÷åñòâå îòíîøåíèé â ÿ÷åéêè òàáëèöû ìîæíî áûëî áû çàíîñèòü îòíîøåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìåð (äëèí, âåñîâ è ò.ä.).  ñëó÷àå æå ýêîíîìè÷åñêîé, ïîëèòè÷åñêîé è ò.ä. çàäà÷, ïàðíûå ñðàâíåíèÿ ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ñóæäåíèé îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êîìïîíåíòîâ. Çàòåì ýòè ñóæäåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷èñëåííî ïî ñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííîé øêàëå îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè (òàáë. 3). Ýôôåêòèâíîñòü øêàëû äîêàçàíà òåîðåòè÷åñêè ïðè ñðàâíåíèè ñî ìíîãèìè äðóãèìè øêàëàìè. Ñðàâíåíèå íà÷èíàþò ñ ëåâîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû è îïðåäåëÿåòñÿ íàñêîëüêî îí âàæíåå, ÷åì âòîðîé. Ïðè ñðàâíåíèè ýëåìåíòà ñ ñàìèì ñîáîé îòíîøåíèå ðàâíî åäèíèöå. Åñëè ïåðâûé ýëåìåíò âàæíåå, ÷åì âòîðîé, òî èñïîëüçóåòñÿ öåëîå ÷èñëî èç øêàëû, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ îáðàòíàÿ âåëè÷èíà.  ëþáîì ñëó÷àå îáðàòíûå äðóã ê äðóãó îòíîøåíèÿ çàíîñÿòñÿ â ñèììåòðè÷íûå ïîçèöèè ìàòðèöû. Ïîýòîìó ìàòðèöû âñåãäà

92

Êà÷åñòâà îðãàíèçàö. ñïîñîáíîñòè ïðîôåññèîíàëèçì ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü êîììóíèêàáåëüíîñòü âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì àâòîðèòåò

Îðãàíèçàö. ñïîñîáíîñòè

îðãàíèçàö. ñïîñîáíîñòè 1

ïðîôåññèîíàëèçì

ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü

êîììóíèêàáåëüíîñòü

âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì

àâòîðèòåò

1 1 1 1 1

ê1

ê2

ê3

Òàáëèöà 1

ê1 ê2

Òàáëèöà 2

ê3

Èíòåíñèâíîñòü îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè 1 3 5 7 9 2,4,6,8 Îáðàòíûå âåëè÷èíû ïðèâåäåííûõ âûøå ÷èñåë

Îïðåäåëåíèå

ðàâíàÿ âàæíîñòü óìåðåííîå ïðåâîñõîäñòâî îäíîãî íàä äðóãèì ñóùåñòâåííîå èëè ñèëüíîå ïðåâîñõîäñòâî çíà÷èòåëüíîå ïðåâîñõîäñòâî î÷åíü ñèëüíîå ïðåâîñõîäñòâî ïðîìåæóòî÷íûå ðåøåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ñóæäåíèÿìè Åñëè ïðè ñðàâíåíèè îäíîãî ïàðàìåòðà ñ äðóãèì ïîëó÷åíî îäíî èç âûøåóêàçàííûõ ÷èñåë, òî ïðè ñðàâíåíèè âòîðîãî ïàðàìåòðà ñ ïåðâûì ïîëó÷èì îáðàòíóþ âåëè÷èíó.

Òàáëèöà 3

áóäóò ïîëîæèòåëüíûìè è îáðàòíîñèììåòðè÷íûìè, äëÿ çàïîëíåíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè òîëüêî n(n-1)/2 ñóæäåíèé, ãäå n – îáùåå ÷èñëî ñðàâíèâàåìûõ ýëåìåíòîâ. Èòàê, ïðè çàïîëíåíèè ìàòðèöû ñëåäóåò ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ïðàâèëàìè: Ïðàâèëî 1. Åñëè àij=α, òî aji=1/α, α≠0. Ïðàâèëî 2. Åñëè ñóæäåíèÿ òàêîâû, ÷òî Ñi èìååò îäèíàêîâóþ ñ Ñj îòíîñèòåëüíóþ âàæíîñòü, òî àij=1, aji=1; â ÷àñòíîñòè aii=1 äëÿ âñåõ i. Ïðàâèëî 3. Âñå ÿ÷åéêè ìàòðèöû çàïîëíÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè îäíîé è òîé æå øêàëû.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàïîëíåííûå ìàòðèöû äëÿ çàäà÷è âûáîðà ðóêîâîäèòåëÿ (òàáëèöû 4). 93

ìàòðèöà ïðèîðèòåòîâ êà÷åñòâ ðóêîâîäèòåëÿ îðã.ñïî- ïðîôåñ ëè÷íàÿ êîììó- âíèìà- àâòîðèñîá. ñèîíà- àêòèâí. íèêàá. íèå ê òåò ëèçì ïîä÷èíåííûì îðã. ñïîñîáíîñòè 1 1/3 3 3 1/2 5 ïðîôåññèîíàëèçì 3 1 1/2 1 2 5 ëè÷íàÿ àêòèâíîñòü 1/3 2 1 1 3 1/2 êîììóíèêàáåëüíîñòü 1/3 1 1 1 1/3 3 âíèìàíèå ê 2 1/2 1/3 3 1 1 ïîä÷èíåííûì àâòîðèòåò 1/5 1/5 2 1/3 1 1

îðã.ñïîñîáíî

ê1 1 3 1

ê2 1/3 1 1

ê3 1 1 1

àêòèâíîñòü ê1 ê2 ê3

ê1 1 2 1

ê2 1/2 1 3

ê3 1 1/3 1

êîììóíèêàáåëüíîñòü ê1 ê2 ê3

ê1 1 3 2

ê2 1/3 1 1

ê3 1/2 1 1

ñòè ê1 ê2 ê3

ëè÷íàÿ

ïðîôåññèîíà ëèçì ê1 ê2 ê3

âíèìàíèå ê ïîä÷èí. ê1 ê2 ê3

àâòîðèòåò ê1 ê2 ê3

ê1 1 2 1/3

ê1 1 4 2 ê1 1 1 2

ê2 1/2 1 1/3 ê2 1/4 1 1 ê2 1 1 1

ê3 3 3 1 ê3 1/2 1 1 ê3 1/2 1 1

Òàáëèöà 4

5.2.5. Ñîãëàñîâàííîñòü ìàòðèö Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äåéñòâèòåëüíîñòè â ìåòîäå àíàëèçà èåðàðõèé ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåðÿòü ñîãëàñîâàííîñòü çàïîëíÿåìûõ ìàòðèö. Ïîä ñîãëàñîâàííîñòüþ ìàòðèöû ïîíèìàåòñÿ åå ÷èñëåííàÿ (êàðäèíàëüíàÿ àijajk=aik) ñîãëàñîâàííîñòü è òðàíçèòèâíàÿ (ïîðÿäêîâàÿ ñîãëàñîâàííîñòü). Ñîâåðøåííîé ñîãëàñîâàííîñòè òðóäíî äîñòè÷ü ïðè èçìåðåíèè äàæå íàèáîëåå òî÷íûìè èíñòðóìåíòàìè íà ïðàêòèêå, ïîýòîìó íóæåí ñïîñîá îöåíêè ñîãëàñîâàííîñòè. Åñëè ïðè âû÷èñëåíèè îòêëîíåíèé îò ñîãëàñîâàí94

íîñòè îíè áóäóò ïðåâûøàòü äîïóñòèìûå ïðåäåëû, òî ñóæäåíèÿ òðåáóåòñÿ ïåðåïðîâåðèòü. Âû÷èñëåíèå èíäåêñà ñîãëàñîâàííîñòè (ÈÑ). 1. Ñóììèðóåòñÿ êàæäûé ñòîëáåö ñóæäåíèé. 2. Ñóììà ïåðâîãî ñòîëáöà óìíîæàåòñÿ íà âåëè÷èíó ïåðâîé êîìïîíåíòû íîðìàëèçèðîâàííîãî âåêòîðà ïðèîðèòåòîâ (ñì. âû÷èñëåíèå ëîêàëüíûõ ïðèîðèòåòîâ), ñóììà âòîðîãî ñòîëáöà íà âòîðóþ êîìïîíåíòó è ò.ä. 3. Ïîëó÷åííûå ÷èñëà ñóììèðóþòñÿ. Èõ ñóììà îáîçíà÷àåòñÿ λmax. 4. ÈÑ=(λmax.-n)/(n-1), ãäå n – ÷èñëî ñðàâíèâàåìûõ ýëåìåíòîâ 5. Îòíîøåíèå ñîãëàñîâàííîñòè ÎÑ=ÈÑ/÷èñëî ñëó÷àéíîé ñîãëàñîâàííîñòè. Ñëó÷àéíûå ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ ìàòðèö ðàçíîãî ïîðÿäêà âûáèðàþòñÿ èç òàáëèöû 5.Âåëè÷èíà ÎÑ äîëæíà áûòü ïîðÿäêà 10% èëè ìåíüøå, ÷òîáû áûòü ïðèåìëåìîé.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî äîïóñòèòü 20%, íî Ðàçìåð ìàòðèöû Ñëó÷àéíàÿ ñîãëàñîâàí íîñòü

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0,58

0,9

1,12

1,24

1,32

1,41

1,45

1,49

Òàáëèöà 5

íå áîëåå. Åñëè ÎÑ âûõîäèò èç ýòèõ ïðåäåëîâ, òî ó÷àñòíèêàì íóæíî äîïîëíèòåëüíî èññëåäîâàòü çàäà÷ó è ïðîâåðèòü ñâîè ñóæäåíèÿ.  ïðèìåðå âûáîðà ðóêîâîäèòåëÿ ïðè èññëåäîâàíèè íà ñîãëàñîâàííîñòü ìàòðèöû êà÷åñòâ ðóêîâîäèòåëÿ (òàáëèöà 6) ïîëó÷àåì ðåçóëüòàòû:

λ max 7,7845; ÈÑ 0,3569; ÎÑ 0,2878. Êàê âèäèì, îòíîøåíèå ñîãëàñîâàííîñòè äîñòèãàåò 28%, ÷òî ãîâîðèò î æåëàòåëüíîñòè ïåðåñìîòðåòü ñóæäåíèé ïî äàííîé ìàòðèöå. Îòíîøåíèå ñîãëàñîâàííîñòè àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ è äëÿ âñåõ ìàòðèö ñðàâíåíèÿ êàíäèäàòîâ.  çàäà÷àõ, òðåáóþùèõ î÷åíü òî÷íûõ ðåçóëüòàòîâ (âîïðîñ ïðèìåíåíèÿ ëåêàðñòâ, âûáîðà ëå÷åíèÿ è ò.ä.) íåîáõîäèìî ñòðåìèòüñÿ ê âûñîêîìó óðîâíþ ñîãëàñîâàííîñòè.  çàäà÷àõ æå íå ñòîëü ñòðîãèõ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ìàëîé ñîãëàñîâàííîñòüþ. 5.2.6. Ñèíòåç ïðèîðèòåòîâ Âû÷èñëåíèå ëîêàëüíûõ ïðèîðèòåòîâ Ïî çàïîëíåííûì ìàòðèöàì ïàðíûõ ñðàâíåíèé êðèòåðèåâ ïðè ïîñëåäóþùåé ìàòåìàòè÷åñêîé îáðàáîòêå ôîðìèðóþòñÿ âåêòîðû ïðèîðèòåòîâ, âûðàæàþùèå îòíîñèòåëüíóþ ñèëó, âåëè÷èíó, æåëàòåëüíîñòü, "öåííîñòü" êàæäîãî îòäåëüíîãî îáúåêòà. 95

Âåêòîð ïðèîðèòåòî⠖ íîðìàëèçèðîâàííûé ãëàâíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû. Òàêèå âåêòîðû íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü äëÿ êàæäîé ìàòðèöû, ïðè÷åì âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîèçâåñòè ïÿòüþ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè: 1. Ñóììèðîâàòü ýëåìåíòû êàæäîé ñòðîêè è íîðìàëèçîâàòü äåëåíèåì êàæäîé ñóììû íà ñóììó âñåõ ýëåìåíòîâ; ñóììà ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ áóäåò ðàâíà åäèíèöå. Ïåðâûé ýëåìåíò ðåçóëüòèðóþùåãî âåêòîðà áóäåò ïðèîðèòåòîì ïåðâîãî îáúåêòà, âòîðîé – âòîðîãî îáúåêòà è ò.ä. 2. Ñóììèðîâàòü ýëåìåíòû êàæäîãî ñòîëáöà è ïîëó÷èòü îáðàòíûå âåëè÷èíû ýòèõ ñóìì. Íîðìàëèçîâàòü èõ òàê, ÷òîáû èõ ñóììà ðàâíÿëàñü åäèíèöå, ðàçäåëèòü êàæäóþ îáðàòíóþ âåëè÷èíó íà ñóììó âñåõ îáðàòíûõ âåëè÷èí. 3. Ðàçäåëèòü ýëåìåíòû êàæäîãî ñòîëáöà íà ñóììó ýëåìåíòîâ ýòîãî ñòîëáöà (ò.å. íîðìàëèçîâàòü ñòîëáåö), çàòåì ñëîæèòü ýëåìåíòû êàæäîé ïîëó÷åííîé ñòðîêè è ðàçäåëèòü ýòó ñóììó íà ÷èñëî ýëåìåíòîâ ñòðîêè. Ýòî – ïðîöåññ óñðåäíåíèÿ ïî íîðìàëèçîâàííûì ñòîëáöàì. 4. Óìíîæèòü n ýëåìåíòîâ êàæäîé ñòðîêè è èçâëå÷ü êîðåíü n-îé ñòåïåíè. Íîðìàëèçîâàòü ïîëó÷åííûå ÷èñëà. 5. Âîçâîäèòü ìàòðèöó â ïðîèçâîëüíî áîëüøèå ñòåïåíè. Âû÷èñëÿòü ñóììû ýëåìåíòîâ ñòðîê è íîðìàëèçîâàòü ïîëó÷åííûå ñóììû. Íàèáîëåå òî÷íûì ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèé ñïîñîá. Îäíàêî áåç ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïüþòåðíîé ïîääåðæêè îí ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííóþ òðóäíîñòü. Íà ïðàêòèêå ïðåäïî÷òèòåëüíåå òðåòèé ñïîñîá. Ðàññìîòðèì åãî. Ïóñòü äàíà ìàòðèöà Ànn . 1. Êîìïîíåíòà ñîáñòâåííîãî âåêòîðà i-é ñòðîêè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìó-  a11 a12 a13 L a1n 

  a21 a22 ëå - bi = ai1 × ai 2 × ai 3 ×K×ain .  2. Ïîñëå òîãî, êàê ïîëó÷åíû êîì-  a31 a32 ïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà äëÿ âñåõ  M M n ñòðîê (b1, b2, … bn), ïðîèçâîäèòñÿ   an1 an 2 n

åãî íîðìàëèçàöèÿ. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëÿåòñÿ ñóììà êîìïîíåíò ñîáñòâåííîãî âåêòîðà

 a23 L a2 n  a33 L a3n   M M  an 3 ann 

∑ bi . Çàòåì êàæäûé ýëåìåíò b1, b2, … bn äåëèòñÿ íà íàéäåííóþ ñóììó. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì íîðìàëèçîâàííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð.

96

îðã.ñïîñîá.

îðã.ñïîñîá. ïðîôåññèîíàëèçì ëè÷íàÿ àêòèâí. êîììóíèêàáåëüíîñòü âíèìàíèå ê ïîä÷èíåííûì àâòîðèòåò ñóììà ïî ñòîëáöàì ïðîèçâåäåíèå ñóìì íà ýëåìåíòû âåêòîðà ïðèîðèòåòîâ

ïðîôåññèî ëè÷íàÿ íàëèçì àêòèâí.

1 3 1/3 1/3 2 1/5

1/3 1 2 1 1/2 1/5

6,8667 1,5132

5,0333 1,2450

îðã.ñïîñîá. ê1 ê2 ê3

97

ïðîôåññèîí. ê1 ê2 ê3

ê1

ê1

ê2

1 3 1

1 2

1 1

ê2 1/3

1

1/3

1/2 1/3

ê3

ê3

1 1 1

3 3 1

êîììóíèê âíèìààâòîðèòåò àáåëüíèå ê íîñòü ïîä÷èíåí íûì

3 1/2 1 1 1/3 2 7,8333 1,2338

3 1 1 1 3 1/3

1/2 2 3 1/3 1 1

9,3333 1,2241

7,8333 1,2338

ïðîèçâå êîðåíü âåêòîð äåíèå ñòåïåíè ïðèîðèòå ýëåìåí. n òîâ 0,3333 3,0000 1,0000 cóììà

0,6934 1,4422 1,0000 3,1356

0,2211 0,4600 0,3189

ïðîèçâå êîðåíü âåêòîð äåíèå ñòåïåíè ïðèîðèòå ýëåìåí. n òîâ 1,5000 1,1447 0,3325 6,0000 1,8171 0,5278 0,1111 0,4807 0,1396 cóììà 3,4426

5 5 1/2 3 1 1

ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ñòðîêè

êîðåíü ñòåïåíè n èç ïðîèçâåäåíèÿ

7,5000 15,0000 1,0000 0,3333 1,0000 0,0267 cóììà

1,3991 1,5704 1,0000 0,8327 1,0000 0,5466 6,3488

15,5000 1,3345 l max

ëè÷íàÿ

ÈÑ ÎÑ

àêòèâíîñòü ê1 ê2 ê3 âíèìàíèå ê ïîä÷èí. ê1 ê2 ê3

7,7845

ê1

ê1

0,3569 0,2878 1 2 1

1 4 2

ê2 1 3

ê2 1 1

1/2

ê3

1 1

1/4

ê3 1 1

1/3

1/2

ïðîèçâå êîðåíü âåêòîð äåíèå ñòåïåíè ïðèîðèòå 0,5000 0,6667 3,0000 cóììà

0,7937 0,8736 1,4422 3,1095

0,2552 0,2809 0,4638

ïðîèçâå êîðåíü âåêòîð äåíèå ñòåïåíè ïðèîðèòå 0,1250 4,0000 2,0000 cóììà

0,5000 1,5874 1,2599 3,3473

0,1494 0,4742 0,3764

Òàáëèöû 6, 7

êîììóíèêàá. ê1 ê1 1 ê2 3 ê3 2

ê2

àâòîðèòåò ê1 ê2 ê3

ê2

ê1

1 1 2

1 1

1 1 1

1/3

ê3

ê3

ïðîèçâå êîðåíü âåêòîð äåíèå ñòåïåíè ïðèîðèòå 1/2 0,1667 0,5503 0,1692 1 3,0000 1,4422 0,4434 1 2,0000 1,2599 0,3874 cóììà 3,2525 ïðîèçâå êîðåíü âåêòîð äåíèå ñòåïåíè ïðèîðèòå 1/2 0,5000 0,7937 0,2440 1 1,0000 1,0000 0,3075 1 2,0000 1,2599 0,3874 cóììà 3,0536

Òàáëèöà 7 (Ïðîäîëæåíèå)

 b b b  X =  1 , 2 ,... n  = (x1 , x2 , x3 ,..., xn ) .  ∑ bi ∑ bi ∑ bi 

 ïðèìåðå ñ âûáîðîì ðóêîâîäèòåëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëèñü ÷åòâåðòûì ñïîñîáîì è áûëè ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáëèöàõ 6, 7. Ñèíòåç ïðèîðèòåòîâ Ïðèîðèòåòû ñèíòåçèðóþòñÿ, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî óðîâíÿ âíèç. Ëîêàëüíûå ïðèîðèòåòû ïåðåìíîæàþòñÿ íà ïðèîðèòåò ñîîòâåòñòâóþùåãî êðèòåðèÿ íà âûøåñòîÿùåì óðîâíå è ñóììèðóþòñÿ ïî êàæäîìó ýëåìåíòó â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèÿìè, íà êîòîðûå âîçäåéñòâóåò ýòîò ýëåìåíò. (Êàæäûé ýëåìåíò âòîðîãî óðîâíÿ óìíîæàåòñÿ íà åäèíèöó, ò.å. íà âåñ åäèíñòâåííîé öåëè ñàìîãî âåðõíåãî óðîâíÿ.) Ýòî äàåò ñîñòàâíîé, èëè ãëîáàëüíûé ïðèîðèòåò òîãî ýëåìåíòà, êîòîðûé çàòåì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âçâåøèâàíèÿ ëîêàëüíûõ ïðèîðèòåòîâ ýëåìåíòîâ, ñðàâíèâàåìûõ ïî îòíîøåíèþ ê íåìó êàê ê êðèòåðèþ è ðàñïîëîæåííûõ óðîâíåì íèæå. Ïðîöåäóðà ïðîäîëæàåòñÿ äî ñàìîãî íèæíåãî óðîâíÿ.  çàäà÷å âûáîðà ðóêîâîäèòåëÿ âòîðûì óðîâíåì ÿâëÿþòñÿ êðèòåðèè êà÷åñòâ ðóêîâîäèòåëÿ (ýëåìåíòû èõ âåêòîðà ïðèîðèòåòà óìíîæàþòñÿ íà åäèíèöó). Òðåòèé óðîâåíü èåðàðõèè – ïåðå÷åíü êàíäèäàòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò ýòîãî óðîâíÿ (îòíîñèòåëüíûé âåñ êàæäîãî êàíäèäàòà ïî ñðàâíèâàåìîìó êà÷åñòâó) ïåðåìíîæàåòñÿ íà ïðèîðèòåò äàííîãî êà÷åñòâà ñðåäè ïðî÷èõ, çàòåì ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñâîäíóþ òàáëèöó 8. Ãëîáàëüíûé ïðèîðèòåò ïåðâîãî êàíäèäàòà ïåðâîãî êàíäèäàòà ïîëó÷åí êàê ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèé 0,2211*0,2204+0,3325*0,2474+0,2552*0,1575+0,1692*0,1312+0,1494*0,1575+ +0,2440*0,0861=0,2379. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷åíû è ãëîáàëüíûå ïðèîðèòåòû 98

äðóãèõ êàíäèäàòîâ. Âû÷èñëèâ ãëîáàëüíûå ïðèîðèòåòû âñåõ êàíäèäàòîâ, äåëàåì âûâîä î ïðåäïî÷òèòåëüíîñòè âòîðîãî êàíäèäàòà íà äîëæíîñòü ðóêîâîäèòåëÿ. êà÷åñòâà ðóêîâîä.

îðã.ñïîñîá

ïðîôåññè ëè÷íàÿ îíàëèçì àêòèâí.

êîììóíè- âíèìàíèå àâòîðèòåò êàáåëüê íîñòü ïîä÷èíåí íûì

êàíäèäàòû

0,2204

0,2474

0,1575

0,1312

0,1575

0,0861

ê1 ê2 ê3

0,2211 0,4600 0,3189

0,3325 0,5278 0,1396

0,2552 0,2809 0,4638

0,1692 0,4434 0,3874

0,1494 0,4742 0,3764

0,2440 0,3075 0,3874

îáîáùåííûå èëè ãëîáàëüíûå ïðèîðèòåòû 0,2379 0,4355 0,3213

Òàáëèöà 8

99

Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê

1. Áåëëìàí Ð. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàòðèö. – Ì., 1969. – 368 ñ. 2. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. – Ì., 1967. – 576 ñ. 3. Ìåëèõîâ À.Í., Áàðîíåö Â.Ä. Ïðîåêòèðîâàíèå ìèêðîïðîöåññîðíûõ ñðåäñòâ îáðàáîòêè íå÷åòêîé èíôîðìàöèè. – Ðîñòîâ í/Ä: Èçäàòåëüñòâî Ðîñòîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1990. – 128 ñ. 4. Ìåëèõîâ À.Í., Áåðíøòåéí Ë.Ñ., Êîðîâèí Ñ.ß. Ñèòóàöèîííûå ñîâåòóþùèå ñèñòåìû ñ íå÷åòêîé ëîãèêîé. Íàóêà, Ãë.ðåä. ôèç.ìàò. ëèò. 1990 – 272 ñ. 5. Íàóìàí Ý. Ïðèíÿòü ðåøåíèå – íî êàê? Ìèð, 1987. – 198 ñ. 6. Îðëîâñêèé Ñ.À. Ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íå÷åòêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè. Ì.: Íàóêà, 1981. – 194 ñ. 7. Ðîçåí Â.Â. Öåëü – îïòèìàëüíîñòü – ðåøåíèå (ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðèíÿòèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé). – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. – 168 ñ. 8. Ñààòè Ò. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1993. – 320 ñ. 9. Ñààòè Ò., Êåðíñ Ê. Àíàëèòè÷åñêîå ïëàíèðîâàíèå. Îðãàíèçàöèÿ ñèñòåì. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1991. – 224 ñ. 10. Òðàõòåíãåðö Ý.À. Êîìïüþòåðíàÿ ïîääåðæêà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé: Íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêîå èçäàíèå. Ñåðèÿ "Èíôîðìàòèçàöèÿ Ðîññèè íà ïîðîãå ÕÕI âåêà". – Ì.: ÑÈÍÒÅÃ, 1998. – 376 ñ.

100