Физика (Термодинамика и статистическая физика). Методические указания и контрольные задания

Термодинамика и статистическая физика Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения

Министерство образования и науки Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Шелкунова З.В., Шелкунов Н.Г., Дандарон Г.-Н.Б.

Методическое указания и контрольные задания для студентов заочного обучения инженерно-технических и технологических специальностей. Содержат разделы программ ”Статистическая физика”, ”Термодинамика”, примеры решения типовых задач и варианты контрольных заданий. Ключевые слова: Внутренняя энергия, теплота, работа; изопроцессы, энтропия: функции распределения: Максвелла, Больцмана, Бозе – Эйнштейна; Ферми – Дирака; Энергия Ферми, теплоемкость.

ФИЗИКА (Термодинамика и статистическая физика) Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения

Составитель: Шелкунов Н.Г. Шелкунова З.В. Дандарон Г.-Н.Б.

Редактор Т.Ю.Артюнина Подготовлено в печать 1.06. 2004 г. Формат 60×80 1/16 Усл.п.л. 3,25; уч.-изд.л. 3,0; Тираж ____ экз. Заказ № 34. ___________________________________________________ РИО ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 40а Отпечатано на ротапринте ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 42.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Тема 1 Динамические и статистические закономерности в физике. Термодинамический и статистический методы. Элементы молекулярно-кинетической теории. Макроскопическое состояние. Физические величины и состояния физических систем. Макроскопические параметры как средние значения. Тепловое равновесие. Модель идеального газа. Уравнение состояния идеального газа. Понятие о температуре. Тема 2 Явления переноса. Диффузия. Теплопроводность. Коэффициент диффузии. Коэффициент теплопроводности. Температуропроводность. Диффузия в газах, жидкостях и твердых телах. Вязкость. Коэффициент вязкости газов и жидкостей. Тема 3 Элементы термодинамики. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. Интенсивные и экстенсивные параметры. Тема 4 Обратимые и необратимые процессы. Энтропия. Второе начало термодинамики. Термодинамические потенциалы и условия равновесия. Химический потенциал. Условия химического равновесия. Цикл Карно. Тема 5 Функции распределения. Микроскопические параметры. Вероятность и флуктуации. Распределение Максвелла. Средняя кинетическая энергия частицы. Распределение Больцмана. Теплоемкость многоатомных газов. Ограниченность классической теории теплоемкости.

Тема 6 Распределение Гиббса. Модель системы в термостате. Каноническое распределение Гиббса. Статистический смысл термодинамических потенциалов и температуры. Роль свободной энергии. Тема 7 Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц. Энтропия и вероятность. Определение энтропии равновесной системы через статистический вес микросостояния. Тема 8 Функции распределения Бозе и Ферми. Формула Планка для разновесного теплового излучения. Порядок и беспорядок в природе. Энтропия как количественная мера хаотичности. Принцип возрастания энтропии. Переход от порядка к беспорядку о состоянии теплового равновесия. Тема 9 Экспериментальные методы исследования колебательного спектра кристаллов. Понятие о фононах. Законы дисперсии для акустических и оптических фононов. Теплоемкость кристаллов при низких и высоких температурах. Электронные теплоемкость и теплопроводность. Тема 10 Электроны в кристаллах. Приближение сильной и слабой связи. Модель свободных электронов. Уровень Ферми. Элементы зонной теории кристаллов. Функция Блоха. Зонная структура энергетического спектра электронов. Тема 11 Поверхность Ферми. Число и плотность числа электронных состояний в зоне. Заполнения зон: металлы, диэлектрики и

полупроводники. Электропроводность полупроводников. Понятие о дырочной проводимости. Собственные и примесные полупроводники. Понятие о p-n переходе. Транзистор. Тема 12 Электропроводность металлов. Носители тока в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Электронный ферми-газ в металле. Носители тока как квазичастицы. Явление сверхпроводимости. Куперовское спаривание электронов. Туннельный контакт. Эффект Джозефсона и его применение. Захват и квантование магнитного потока. Понятие о высокотемпературной проводимости.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Основные формулы 1. Количество вещества однородного газа (в молях): m N ν= , или ν = , µ NA где N-число молекул газа; NA- число Авогадро; m-масса газа; µ-молярная масса газа. Если система представляет смесь нескольких газов, то количество вещества системы N N N ν = ν 1 + ν 2 + ...+ν n = 1 + 2 + ...+ n , NA NA NA или m m m ν = 1 + 2 + ...+ n ,

µ1

µ2

µn

где νi, Ni, mi, µi -соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-й компоненты смеси. 2. Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа): m pV = RT = νRT ,

µ

где m - масса газа; µ - молярная масса; R - универсальная газовая постоянная; ν = m/µ - количество вещества; Tтермодинамическая температура Кельвина. 3. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева для изопроцессов: a) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс - Т=const; m=const): pV = const , или для двух состояний газа:

p1V1 = p 2V2 , где p1 и V1 - давление и объем газа в начальном состоянии; p2 и V2 - те же величины в конечном состоянии; b) закон Гей-Люссака (изобарический процесс - p=const, m=const): V = const , T или для двух состояний: V1 V2 = , T1 T2 где V1 и Т1 - объем и температура газа в начальном состоянии; V2 и Т2 - те же величины в конечном состоянии; c) закон Шарля (изохорический процесс - V=const, m=const): p = const , T или для двух состояний: p1 p 2 = , T1 T2 где р1 и Т1 - давление и температура газа в начальном состоянии; р2 и Т2 - те же величины в конечном состоянии; d) объединенный газовый закон (m=const): pV pV pV = const , 1 1 = 2 2 , T1 T2 T где р1, V1, Т1 - давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р2, V2, Т2 - те же величины в конечном состоянии. 4. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов: р = р1 + р2 + ... +рn где pi - парциальные давления компонент смеси; n - число компонентов смеси.

5. Молярная масса смеси газов:

m1 + m2 + ...+ mn ν 1 + ν 2 + ...+ν n где mi - масса i-го компонента смеси; νi = mi/µi - количество вещества i-го компонента смеси; n - число компонентов смеси.

µ=

6. Массовая доля ωi i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах): m ωi = i , m где m - масса смеси. 7. Концентрация молекул (число молекул в единице объема): N N n = = A ρ, V µ где N-число молекул, содержащихся в данной системе; ρ плотность вещества. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества. 8. Основное уравнение кинетической теории газов: 2 p= nω , 3 где <ω> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

9. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы: 3 ω = kT , 2 где k - постоянная Больцмана. 10. Средняя полная кинетическая энергия молекулы: i ω i = kT , 2 где i - число степеней свободы молекулы.

11. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры: p = nkT. 12. Скорости молекул: средняя квадратичная

19. Работа расширения газа: vк

в

3kT = mi

=

средняя арифметическая v = наиболее вероятная v в =

где δQ - теплота, сообщенная системе (газу); dU - изменение внутренней энергии системы; δА - работа, совершенная системой против внешних сил.

8kT = πmi

2 kT = mi

2 RT

µ

3RT

µ 8RT

πµ

;

в общем случае A =

V2

∫ pdV ;

V1

;

,

при изобарическом процессе A = p(V2 − V1 ) ; изотермическом процессе A =

m

µ

RT ⋅ ln

V2 ; V1

где mi - масса одной молекулы.

при адиабатическом процессе A = − ∆U = −

13. Относительная скорость молекулы: u = v/ vв, где v - скорость данной молекулы.

γ −1  RT1 m   V1   , или A = ⋅ 1−   γ − 1 µ   V2     где γ = c p / cv - показатель адиабаты.

14. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сv) и при постоянном давлении (ср): i R i+2 R cv = ⋅ ; c p = ⋅ . 2 µ 2 µ 15. Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями: C c = ; C = c⋅µ.

µ

16. Уравнение Роберта Майера: Cp -Cv = R. 17. Внутренняя энергия идеального газа: m i m U = ⋅ RT = CV T . µ 2 µ 18. Первое начало термодинамики: δQ = dU + δA ,

m

µ

Cv ∆T ,

20. Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатическом процессе: pV

γ

= const ; γ

p 2  V1  =  ; p1  V2 

T2  V1  =  T1  V2  T2  p 2  =  T1  p1 

γ −1

; γ −1 γ

21. Термический к.п.д. цикла: Q − Q2 T − T2 η= 1 ; η= 1 Q1 T1

;

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле) n = n0 e-U/(kT), где n - концентрация частиц; U - их потенциальная энергия; n0 -концентрация частиц в точках поля, где U=0; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура; е основание натуральных логарифмов. 2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести) p = p 0 e − mgz /( kT ) , или p = p 0 e − Mg z /( RT ) , где р - давление газа; m - масса частицы; М - молярная масса; z - координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 - давление на этом уровне; g - ускорение свободного падения; R - молярная газовая постоянная. 3. Вероятность того, что физическая величина x, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х+dx, определяется по формуле dW (x ) = f (x )dx * , где f(x) - функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности). 4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х+dx, dN = N ⋅ dW (x ) = N ⋅ f (x )dx . 5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями: a) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v+dv,

3

 m  2 − mv 2 /( 2 kT ) 2 dN (v ) = Nf (v )dv = 4πN  v dv ,  e  2πkT  где f(v) - функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v+dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N - общее число молекул; m - масса молекулы; b) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du 2 4 dN (u) = Nf (u)du = Ne − u u 2 du,

π

где u=v/vв - относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости vв ; f(u) - функция распределения по относительным скоростям. 6. Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до р+dp, 3/ 2 1   − ( p 2 ) /( 2 mkT ) 2 dN ( p ) = Nf ( p )dp = 4πN  p dp ,  e  2π ⋅ m ⋅ k ⋅ T  где f(p) - функция распределения по энергиям. 7. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от ε до ε+dε, e − ε /( kT ) 1/ 2 2 dN (ε ) = Nf (ε )dε = N ε dε , π (kT ) 3/ 2 где f(ε) - функция распределения по энергиям. 8. Среднее значение физической величины х в общем случае ∫ xf (x )dx , x = f (x )dx

а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу, x = ∫ xf (x )dx , где f(x) - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х. Например, среднее значение скорости молекулы (т.е. ∞

средняя арифметическая скорость) v = ∫ vf (v )dv ; 0

средняя v

2

арифметическая

скорость vкв = v

2 12

,

где

∞

= ∫ v 2 f (v )dv ; средняя кинетическая энергия поступа0

∞

тельного движения молекулы ε = ∫ ε ⋅ f (ε )dε . 0

9. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени, z = 2πd 2 n v , где d - эффективный диаметр молекулы; n - концентрация молекул; - средняя арифметическая скорость молекул. 10. Средняя длина свободного пробега молекул газа 1 l = . 2πd 2 n 11. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности, dv dp = η ∆Sdt , dz

dv - градиент (попеdz речный) скорости течения его слоев; ∆S - площадь элемента поверхности; dt - время переноса. 12. Динамическая вязкость 1 η= ρ v l , 3 где ρ -плотность газа (жидкости); - средняя скорость хаотического движения его молекул; - их средняя длина свободного пробега. 13. Закон Ньютона. dp dv F= = η ∆S , dt dz где F - сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. 14. Закон Фурье. dT ∆Q = − λ S∆t , dx где ∆Q - теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время ∆t; λ - теплопроводность; dT/dx - градиент температуры. 15. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа 1 1 λ = cv ρ v l , или λ = k ⋅ n v l , 3 6 где cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ - плотность газа; - средняя арифметическая скорость его молекулы; - средняя длина свободного пробега молекул. 16. Закон Фика dn ∆m = − D m1S∆t , dx

где η - динамическая вязкость газа;

где ∆m - масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время ∆t; D - диффузия ( коэффициент диффузии); dn/dx - градиент концентрации молекул; m1 - масса одной молекулы. 17. Диффузия (коэффициент диффузии) 1 D= v l . 3

ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА Основные формулы

1. Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой Um=3RT, где R -молярная газовая постоянная; T - термодинамическая температура. 2. Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энергии U по температуре, т.е. C = dU/dT. 3. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Сm химически простых твердых тел Сm = 3R. 4. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов) Cm = n⋅3R, где n - общее число частиц в химической формуле соединения. 5. Среднее значение энергии 〈ε〉 квантового осциллятора, приходящейся на одну ступень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой hω , ε =ε0 + exp hω / ( kT ) − 1

(

[

)

]

где ε0 - нулевая энергия ε 0 = 1 hω ; h - постоянная План2 ка; ω - круговая частота колебаний осциллятора; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура. 6. Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле

U m = U m0 + 3R

θE , θ   E  −1 exp T

  где Um0=3/2 RθE - молярная нулевая энергия по Эйнштейну; θ E = hω / k - характеристическая температура Эйнштейна. 7. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна θ exp E  2 T  θ E  . Cm = 3R  2  T    θ    exp E T  − 1   При низких температурах (Т<<θE) Cm = 3R(θE/T)exp(-θE/T). 8. Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения частот g(ω). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от ω до ω+dω, определяется выражением dZ = g(ω)dv. Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов, gN dZ = ω 2 dω ,

ω 3max

где ωmax -максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний. 9. Энергия U твердого тела связана с средней энергией 〈ε〉 квантового осциллятора и функцией распределения частот g(ω) соотношением U=

ω max

∫

ε g(ω )dω .

0

10. Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

U m = U m0

 T  + 3RT ⋅ 3  θ D 

3θ D /T

∫

0

x2 dx , exp( x) − 1

где U m0 = 9 Rθ D - молярная нулевая энергия кристалла по 8 Дебаю; θ D = hω max / k - характеристическая температура Дебая. 11. Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю θD   θ 3 D   T 3 3   T   x dx  Cm = 3R 12 T . θ D  ∫ exp( x) − 1 −  θ  0 exp D  − 1 T    Предельный закон Дебая. В области низких температур (T<<θD) последняя формула принимает вид

12π 3 Cm = 5

3

 T  R  . θ D 

12. Энергия ε фонона связана с круговой частотой ω колебаний классической волны соотношением ε = h ⋅ω . 13. Квазиимпульс фонона p = 2π ⋅ h / λ . 14. Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле u = dε /dp. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадут: u = v = ε /p. Скорости продольных (vl) и поперечных (vt) волн в кристалле определяются по формулам v = E , v = G , l

ρ

t

ρ

где Е и G - модули соответственно продольной и поперечной упругости. Усредненное значение скорости звука v связано с vl и vt соотношением 3 2 1 = + . 3 3 v vt v l3 15. Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt, равно

(

dQ = −λ dT

dx

)Sdt ,

где λ - теплопроводность; dT/dx - градиент температуры. Знак минус в формуле показывает, что направление теплового потока противоположно вектору градиента температуры. 16. Теплопроводность λ, теплоемкость С, рассчитанная на единицу объема, скорость v звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега Λ фононов связаны соотношением λ = 13 C ⋅ v ⋅ Λ . 17. Относительное изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера, ∆ω v = cosϑ (v<
(

)

Г=h ,

τ

где τ - среднее время жизни ядра(атома) в возбужденном состоянии. 20. Сила f(x), возвращающая частицу в положение равновесия при ангармонических колебаниях, определяется выражением f ( x) = − β ⋅ x + γ ⋅ x 2 , где β - коэффициент гармоничности, связанный с равновесным расстоянием r0 между атомами кристалла и модулем продольной упругости Е соотношением β = r0E; γ -коэффициент ангармоничности, характеризующий ассиметрию колебаний атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величин можно принять 1 β γ = ⋅ . 2 r0 21. Коэффициент линейного расширения, по определению, 1 dl α= ⋅ . l dT Теоретически он выражается через коэффициенты β γ ⋅k k 1 и γ формулой α = 2 , или приближенно α = ⋅ 2 2 , 2 r0 β β r0

где k - постоянная Больцмана.

Примеры решения задач Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V=1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул. Решение. Число n молекул, содержащихся в некоторой массе m, равно произведению числа Авогадро NA на количество вещества ν: N = νNA. Так как количество вещества ν = m/µ, где µ - молярная масса, то m N = NA.

Если молекулы воды, плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V1=d3, где d - диаметр молекулы. Отсюда d = 3 V1 . (2) Объем V1 найдем, разделив молярный объем Vµ на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро NA: V1 =Vµ /NA. Подставим полученное выражение V1 в формулу (2): d = 3 Vµ / N A . Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением Vµ =µ /ρ. Тогда искомый диаметр молекулы d=3 µ

µ

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим ρ ⋅V N= NA (1)

µ

Подставим в формулу (1) следующие значения величин: ρ=103 кг/м3; V= 1 мм3=10-9 м3; µ=18⋅10-3 кг/моль; NA=6,02⋅1023 моль-1 и произведем вычисления: 10 3 ⋅ 10 −9 N= ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 молекул=3,34⋅1019 молекул. −3 18 ⋅ 10 Массу m1 одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро: m1 =

µ

.

NA Подставив сюда числовые значения µ и N, найдем массу молекулы воды:

m1 =

18 ⋅ 10 −3 6,02 ⋅ 10

23

кг = 2,99⋅10-26 кг.

(3)

ρN A

Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины: 1

 1к г  3  [ µ ]    м о ль = 1 м. [ d ] =  ρ N  =  к г -1  [ ][ ] ⋅ 1 1 м о ль A     м3   Теперь подставим числовые значения физических величин в формулу (3) и произведем вычисления: 1

d=

3

3

18 ⋅ 10 −3 3

10 ⋅ 6,02 ⋅ 10

23

м = 3,11⋅10-10 м = 311 пм.

Пример 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р1=1 МПа и при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2=290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа: m p 2V = 2 RT2 , (1)

µ

где m2-масса гелия в баллоне в конечном состоянии; µ - молярная масса гелия; R - молярная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление р2: m RT p2 = 2 ⋅ 2 . (2) µ V Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона: m2 = m1 - m. (3) Массу гелия m1 найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию: µ ⋅ p1V . (4) m1 = RT1 Подставляя в выражение (3) массу m1 из формулы (4), а затем полученное выражение m2 в формулу (2), найдем  µ ⋅ p1V  RT p2 =  − m 2 ,  RT1  µV или после преобразования и сокращения T m RT p 2 = 2 p1 − ⋅ . (5) µ V T1 Пример 3. Баллон содержит m1=80 кг кислорода и m2=320 г аргона. Давление смеси p=1 МПа, температура Т=300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона. Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, ко-

торое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью. По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления кислорода p1 и аргона р2 выражаются формулами: m RT m RT p1 = 1 ; p2 = 2 . µ1 V µ2 V Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов m m RT р = р1+р2, или p = , V откуда объем баллона  m m  RT (1) V =  1 + 2   µ1 µ 2  p Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в формулу: m1=80 г=0,08 кг, µ1=32⋅⋅10-3 кг/моль, m2=320 г=0,32 кг, µ2=40⋅10-3 кг/моль, р=1 МПа=106 Па, R=8,31 Дж/(моль⋅К). Подставим числовые значения в формулу (1) и произведем вычисления:

0,32  831 ⋅ 300 3  0,08 V = + м = ⋅ −3 40 ⋅ 10− 3  106  32 ⋅ 10 = 0,0262 м 2 = 26,2 л. Пример 4. Вычислить удельные теплоемкости сv и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона w2=20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера. Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме cv найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ∆Т, выразим двумя способами:

Q=cV(m1+m2)∆T, (1) (2) Q=(cV,1m1+cV,2m2)∆T, где сV,1 - удельная теплоемкость неона; сV,2 - удельная теплоемкость водорода. Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ∆Т, получим сV(m1+m2)=cV,1 m1+cV,2 m2, откуда m1 m2 cV = cV ,1 + cV ,2 , (3) m1 + m2 m1 + m2 или сV = cV,1 w1+cV,2 m2, (4) m1 m2 где w1 = и w2 = - массовые доли неона и m1 + m2 m1 + m2 водорода в смеси. Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем: сV = (6,24⋅102⋅0,8+1,04⋅104⋅0,2) Дж/(кг⋅К) = = 2,58⋅103 Дж/(кг⋅К). Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении: ср = ср,1 w1 + cp,2 w2. (5) Подставим в формулу (5) числовые значения величин: ср= 1,04⋅103⋅0,8+1,46⋅104⋅0,2 Дж/(кг⋅К)=3,75⋅103 Дж/(кг⋅К). Пример 5. Кислород массой m=2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением р1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3=0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа выражается формулой i R ∆U = cv m∆T = m∆T (1) 2µ где i-число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i=5); µ-молярная масса. Начальную и конечную температуру газа найдем из m уравнения Клапейрона-Менделеева pV = RT :

µ

pVµ . (2) mR Выпишем заданные величины в единицах СИ: m=2 кг, µ=32⋅10-3 кг/моль, R=8,31 Дж/(моль⋅К), V1=1 м3, V2=V3=3 м3, р1=р2=0,2 МПа=2⋅105 Па, р3=0,5 Мпа = =5⋅105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим: T=

T1 = T2 =

2 ⋅ 10 5 ⋅ 1 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 К = 385 К; 2 ⋅ 8,31

2 ⋅ 10 5 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 К = 1155 К = 1,16 кК; 2 ⋅ 8,31

5 ⋅ 10 5 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 К = 2887 К = 2,89 кК. 2 ⋅ 8,31 Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него, и выполняя арифметические действия, находим 5 8,31 ∆U = ⋅ ⋅ 2(2887 − 385) Дж= 3,24⋅106 Дж =3,24 МДж 2 32 ⋅ 10−3 Работа расширения газа при постоянном давлении m выражается формулой A = R ∆T . T3 =

µ

Подставив числовые значения величин, получим

A1 = 8,31 ⋅

2 32 ⋅ 10

−3

⋅ (1155 − 385) Дж = 0,400⋅106 Дж.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2=0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна А=А1+А2=0,4⋅106 Дж. Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы А: Q = ∆U+A, следовательно, Q=0,4⋅106 Дж+3,24⋅106 Дж=3,64⋅106 Дж=3,64 МДж. График процесса приведен на рис.1. Пример 6. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T=300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2=5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически. Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

T2  V1  =  T1  V2 

γ −1

T2 1 = , T1 n γ −1 где γ-отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ=1,4): n1 = V2/V1 = 5. Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры Т2: T T2 = 1 . n1γ −1 Подставляя числовые значения заданных величин, находим 300 300 T2 = K= K. 1,4 −1 5 50,4 Так как 50,4=1,91 (находится логарифмированием), то 300 T2 = К= 157 К. 1,91 Работа А1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле m m i A1 = C v ( T1 − T2 ) = ⋅ R( T1 − T2 ) , µ µ 2 где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

, или

Подставив числовые значения величин: R=8,31 Дж/(моль⋅К), i=5 (для водорода как двухатомного газа), µ=2⋅10-3 кг/моль, m=0,02 кг, Т1=300 К, Т2=157 К в правую часть последней формулы и выполняя арифметические действия, получим 0,02 ⋅ 5 ⋅ 8,31 A1 = ( 300 − 157) Дж=2,98⋅104 Дж. −3 2 ⋅ 10 ⋅ 2 Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде V m 1 m A2 = RT2 ln 3 , или A2 = RT2 ln , µ n2 µ V2 где n2=V2/V3=5. Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, и выполняя арифметические действия, находим 0,02 1 A2 = ⋅ 8,31 ⋅ 157 ln Дж= = -2,10⋅104 Дж. −3 5 2 ⋅ 10 Знак “минус” показывает, что работа совершается над газом внешними силами. График процесса приведен на рис.2

Пример 7. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1=500 К. Определить термический к.п.д. η цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А=350 Дж. Решение. Термический к.п.д. тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой A η= , Q1 где Q1 - теплота, полученная от нагревателя; А - работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим 350 η= = 0,35 . 1000 T − T2 опЗная к.п.д. цикла, можно по формуле η = 1 T1 ределить температуру охладителя Т2: Т2=Т1(1-η). Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д. и температуры Т1 нагревателя, получим Т2=500(1-0,35) К=325 К. Пример 8. В сосуде объемом V=30 л находится m=100 г кислорода под давлением р=3⋅105 Па. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул О2. Решение. Вероятное значение кинетической энергии молекул соответствует максимум кривой распределения Максвелла по кинетическим энергиям

3

Ek

 1  2 1 2 − kT f ( E ) = 2π  (1)  E e  π ⋅ kT  Задача сводится к нахождению экстремума функции f(E).

Определим первую производную g’(E) и приравняем ее нулю, получим

 1  f ' ( E ) = 2π    πkT  3

3

2

E'

 1 − E 2  −  e kT +  kT  1

−

Ek kT

(2)

 1  1 E 2e +2π  =0   πkT  2 Отсюда Ев=kT/2 (3) температуру найдем из уравнения Менделеева-Клайперона pVµ T= (4) (mR) Подставим (4) в (3) и получим −1

2

5

−3

−3

3 ⋅ 10 ⋅ 30 ⋅ 10 ⋅ 32 ⋅ 10 k ⋅ pVµ pVµ = = 2mR 2mN A 2 ⋅ 10−1 ⋅ 6,02 ⋅ 1023 =1,6⋅10-21 Дж.

Eв =

=16⋅10-22Дж=

Пример 9. Определить массу воздуха в цилиндре с основанием ∆S=1 м2 и высотой h=1 км. Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Решение. Распределение Больцмана для одномерного случая имеет вид mg −U ( x ) kT e dx dω ( x) = kT Число молекул dN в слое воздуха толщиной dx на высоте х от поверхности Земли Nmg −mgx kT dN ( x) = e dx kT Проинтегрировав dN(x) по х в пределах от 0 до h, найдем полное число молекул в данном цилиндре h − mgh  − mgh    Nmg − mgh kT kT  = ∆Sp0  1 − e kT  N= e dx = N 1 − e  kT ∫0 mg    

Умножив N на массу одной молекулы, получим искомую массу − mgh  ∆S ⋅ p0  kT  , m= 1 − e g  

m=

=

10

5 ⋅1   Mgh   mgh  10  1 − exp 1 − exp −  =  =   9,8   RT   kT  9,8 

10 5

9,8

5

−3 3  29 ⋅ 10 ⋅ 9,8 ⋅ 10  4 1 − exp  ≈ 10 8,3 ⋅ 273  

(

⋅ 1− e

−0,13

) ≅ 10 3 кг

Пример 10. Кислород, масса которого m=20 г, нагревают от температуры t1=270C до t2=1270С. Найти изменение энтропии, если известно что начальное и конечное давление одинаковы и близки к атмосферному.

Решение. Найдем изменение энтропии при изобарическом процессе 2 δQ p m 2 δT m i + 2 T2 ∆S = ∫ = Cp ∫ = ⋅ R ln µ µ 2 T1 1 T 1T 0,2 5+ 2 400 ∆S = ⋅ ⋅ 8,31 ⋅ ln = 52 Дж/К. − 3 2 300 32 ⋅ 10

Пример 11. Очень небольшой теплоизолированный сосуд разделен на две части, в каждой из которых находится углекислый газ в количестве 10-8 моль. Температура газа в одной части t1=280C, в другой части t2=270C. Определить во сколько раз возрастает вероятность состояния системы при выравнивании температур. Решение. По соотношению Больцмана

∆S = S 2 − S1 = k ⋅ ln откуда

W2 , W1

W2  ∆S  = exp  .  k  W1

В результате теплообмена температура в первой части уменьшается на ∆Т, а во второй возрастает на ∆Т

∆T =

T1 − T2 . 2

При выравнивании температур Т’1 =T’2 или T1 - ∆Т = T2 + ∆Т. Найдем изменение энтропии ∆S учитывая, что объемы 1 и 2 части не изменяются

∆S = S 2 − S1 =

Т 1'

∫

T1

δQv T

+

T 2'

∫

T2

δQv T

Проинтегрируем с учетом значений T1 и T2' и получим '

∆S =

  ∆T   ∆T   Cv  ln 1 −  + ln 1 +  T1  T2   µ   

m

Т.к. ∆Т<<Т2, то натуральные логарифмы разложенны в ряд и ограничимся первыми членами. Тогда

∆S =

 1 1 Cv ∆T  − +  µ  T1 T2 

m

∆S = 1,38⋅10-12 Дж/К Отношение

W2 = exp⋅ 1011 . W1

I. Основы молекулярно-кинетической теории

1. Чему равна энергия теплового движения молекул двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом 5⋅10-3 м3 и находящегося под давлением 2,63⋅105 Па? 2. Баллон содержит водород массой 10 кг при температуре 70С. Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения и полную энергию всех молекул газа. 3. Сколько молекул идеального газа содержится в баллоне емкостью 2⋅10-2 м3 при температуре 200С и давлении 5,065⋅106 Па? 4. Сколько степеней свободы имеет молекула, обладающая кинетической энергией 9,7⋅10-21 Дж при температуре 170С? 5. При температуре 210С в сосуде содержится 1024 молекул. Определить кинетическую энергию поступательного движения молекул.

ступательного движения одной молекулы и температуру газа. 11. Сосуд объемом 6,23 л заполнен смесью газов О2 и Kr. Масса крептона 24 г смесь находится под давлением 6,2·105 Па и при температуре 310 К. Определить массу кислорода. 12. Какой объем занимает смесь газов водорода (Н2) и неона (Ne), если масса водорода 8 г, масса неона 14 г? Смесь находится под давлением 4·103 Па и температурой 200 К. 13. Смесь газов аргона (Ar) m1=20 г и водорода (Н2) m2=10 г занимает объем 9,14·10-2 м3 при температуре 420 К. Определить давление сосуда. 14. Определить температуре смеси газов гелия (Не) и неона (Nе), если объем сосуда 5,82·10-2 м3. Смесь находится под давлением 150 кПа. Масса гелия m1=12 г, масса неона m2=10 г.

6. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода, водяного пара при температуре 400К.

15. Смесь кислорода (О2) и углекислого газа (СО2) занимает объем 0,125 л при температуре 300 К. Смесь находится под давлением 100 кПа. Определить массу СО2, если масса кислорода 8 г.

7. В баллоне емкостью 0,05 м3 находится 1,2⋅102 молей газа при давлении 6⋅103кПа, определить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул газа.

16. В сосуде находится смесь газов азота (N2) m1=14 г и кислорода (О2) m2=16 г под давлением 7,5 кПа при температуре 250 К. Какой объем занимает смесь?

8. Сколько молекул содержится в 1 кг кислорода, находящегося при температуре 170С и давлении 2,026⋅105Па?

17. Под каким давлением находится смесь газов при температуре 390 К, если в сосуде объемом 4.15 л находится крептон (Kr) массой m1=6 г и неон (Nе) массой m2=5 г.

9. Определить число киломолей и число молекул газа, содержащегося в колбе емкостью 240 см3, если температура газа 200С и давление 5,054⋅104 Па. 10. Давление газа 1,33⋅104 Па, концентрация молекул равна 109 см-3. Найти среднюю кинетическую энергию по-

18. В сосуде находится m1=3,2·10-12 кг кислорода и m2=2,8·10-10 кг азота. температуре смеси Т=300 К. Давление в сосуде р=0,15 Па. Определить объем V сосуда и концентрацию n молекул смеси в нем.

19. Найдите давление р смеси газа в сосуде объемом v=5 л, если в нем находится N1=2·1015 молекул кислорода, N2=8·1015 молекул азота и m=1,0 нкг аргона. Температура смеси t=170С. 20. В сосуде находится m1=2 г водорода и m2=12 г азота при температуре t=170С и давлении р=0,18 МПа. Найти концентрацию n1 молекул водорода в смеси. Физические основы термодинамики

21. Какое количество водяного пара можно нагреть от 20 С до 1000С при постоянном давлении количеством теплоты, равным 220 Дж? На сколько изменится при этом его внутренняя энергия? 0

22. Один моль азота нагревают при постоянном давлении от 100С до 1100С. Найти изменение его внутренней энергии, работу, совершаемую при расширении, количество теплоты, сообщаемое газу. 23. Газ при постоянном давлении был нагрет от 70С до 1070С. Определить работу изобарического расширения газа, если в начале нагревания газ занимал объем 8 м3 при давлении 0,5 МПа. 24. Водород массой 100 г был изобарически нагрет так, что объем его увеличился в 3 раза. Затем водород изохорически охлаждали так, что давление его уменьшилось в 3 раза. Найти изменение энтропии. 25. Одноатомному газу сообщено 41,9 Дж теплоты. При этом газ расширяется, сохраняя постоянное давление. Найти работу расширения газа. 26. Определить работу расширения 7 кг водорода при постоянном давлении и количество теплоты, переданное водороду, если в процессе нагревания его температура повысилась на 2000С.

27. Атомарный кислород, молекулярный кислород О2 и озон О3 отдельно друг от друга расширяются адиабатически, при этом расходуется некоторое количество теплоты. Определить, какая доля тепла расходуется: 1) на работу расширения; 2) на изменение внутренней энергии О3. 28. Азот массой 200 г расширяется изотермически при температуре 70С, причем объем газа увеличивается в 2 раза. Найти: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) совершенную при расширении газа работу; 3) теплоту, полученную газом. 29. Один киломоль воздуха при давлении 106Па и температуре 390 К изохорически изменяет давление так, что его внутренняя энергия изменяется на -71,7 кДж, затем изобарически расширяется и совершает работу 745 кДж. Определить параметры воздуха (считать теплоемкость равной 721 Дж/кг⋅К). Дать диаграмму процесса. 30. При нормальных физических условиях 1,25 кг азота подвергается изотермическому сжатию. Вычислить работу, необходимую для сжатия азота, если в результате сжатия объем его уменьшился в 3 раза. 31. Определить работу А2 изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, к.п.д. которого η=0,4, если работа изотермического расширения равна А1=8 Дж. 32. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту Q1=4,38 кДж и совершил работу А=2,4 кДж. Определить температуру нагревателя, если температура охладителя Т2=273 К. 33. Газ, совершающий цикл Карно, 3/4 теплоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Температура холодильника 00С. Определить температуру нагревателя. 34. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в 3 раза выше абсолютной температуры

холодильника. Какую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику? 35. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет температуру нагревателя 2270С, температуру холодильника 1270С. Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, чтобы КПД машины увеличился в 3 раза? 36. Температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу Карно, 4270С, холодильника 2270С, причем холодильник этой тепловой машины служит нагревателем другой тепловой машины. У какой из машин КПД больше и во сколько раз, если разность температур нагревателя и холодильника у обеих машин одинакова? 37. КПД паровой машины составляет 50% от КПД идеальной тепловой машины, которая работает по циклу Карно в том же интервале температур. Температура пара, поступающего из котла в паровую машину, 2270С, температура в конденсаторе 770С. Определить мощность паровой машины, если она за 1 ч потребляет уголь массой 200 кг с теплотворной способностью 31 МДж/кг. 38. Вычислить КПД цикла Карно, совершаемого трехатомным газом, состоящим из жестких (объемных) молекул, если при адиабатическом расширении объем его увеличивается от 6 до 7 дм3. 39. Двухатомный газ совершает цикл Карно. Определить КПД цикла, если известно, что на каждый моль этого газа при его адиабатическом сжатии затрачивается работа 2,0 кДж. Температура нагревателя 1270С. 40. Наименьший объем газа, совершающего цикл Карно, 12 дм3. Определить наибольший объем, если объем газа в конце изотермического расширения 60 дм3, в конце изотермического сжатия - 19 дм3.

Элементы статистической физики

41. Давление воздуха у поверхности Земли р=100 кПа. Считая температуру воздуха постоянной и равной Т=270 К. Определить концентрацию молекул n воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h=8 км. 42. В кабине вертолета барометр показывает давление р1=86 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если у поверхности Земли давление равно р2=0,10 МПа. Считать, что температура воздуха постоянна и равна 280 К. 43. На какой высоте h содержание водорода в воздухе по сравнению с содержанием углекислого газа увеличится вдвое? Среднюю по высоте температуру воздуха считать Т=300 К. 44. Определить число молекул в единице объема n воздуха на высоте h=2 км над уровнем моря. Температуру считать постоянной и равной 10о С. Давление на уровне моря ро=101 кПа. 45. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температуру считать всюду одинаковой и равной 0о С. 46. На поверхности Земли барометр показывает 101 кПа. Каково будет показание барометра при подъеме его на Останкинскую телевизионную башню, высота которой 540 м? Температуру считать одинаковой и равной 7о С. 47.Подъеме вертолета на некоторую высоту барометр, находящийся в его кабине, изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воздуха считать всюду одинаковой и равной 17о С. 48. У поверхности Земли молекул водорода почти в 1,0·10 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте 6

число молекул водорода будет равно молекул азота? Среднюю температуру принять равной 00С. 49. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление а) на высоте 5 км, б) на высоте 10 км, в) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для Т=293 К. Давление на уровне моря принять равным ро. 50. Вблизи поверхности Земли отношение объемных концентраций кислорода (О2) и азота (N2) в воздухе ηо=20,95/78,08=0,268. Полагая температуру атмосферы, не зависящей от высоты и равной 00С, определить это отношение η на высоте h=10 м. 51. Пользуясь распределением Максвелла и понятием относительной скорости u как отношения скорости молекул v к наивероятнейшей скорости vв, получить то же распределение в приведенном виде: dN (u) = N

4

π

e

−u 2

2

u du .

52. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наивероятнейшей не больше чем на 10 м/с, при температурах 0 и 300о С? 53. Написать выражение для среднего числа dN молекул газа, кинетические энергии которых заключены между ε и ε+dε. 54. При каком значении температуры число молекул находящихся в пространстве скоростей в фиксированном интервале (v, v+dv), максимально? 55. Найти отношение числа молекул водорода n1 скорости которых лежат в пределах от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул n2, имеющих скорости в пределах от 1500 до 1510 м/с, если температура водорода 300о С.

56. Имеется N частиц, энергия которых может принимать лишь два значения Е1 и Е2. Частицы находятся в равновесном состоянии при температуре Т. Чему равна суммарная энергия Е всех частиц в этом состоянии? 57. При какой температуре Т воздуха средние скорости молекул азота (N2) и кислорода (О2) отличаются на 300 м/с? 58. Преобразовать функцию распределения Максвелла, перейдя от переменной v к переменной u=v/vвер, где vвер наиболее вероятная скорость молекул. 59. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости молекул кислорода (О2) при 20о С. 60. Найти сумму модулей импульсов молекул, держащихся в моле азота (N2), при температуре 200 К. 61. Динамическая вязкость аргона при нормальных условиях η=22 мкПа⋅с. Вычислить длину свободного пробега λ молекулы аргона и коэффициент диффузии D аргона при нормальных условиях. 62. Кислород и углекислый газ находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов соответственно равны 0,35 нм и 0,40 нм. Найти для этих газов отношения: а) коэффициентов диффузии D1/D2; б) коэффициентов внутреннего трения η1/η2. 63. Коэффициент диффузии кислорода при 00С равен 0,19 см2/с. Определить длину свободного пробега молекул кислорода. 64. За сколько времени 720 мг углекислого газа продиффундирует из чернозема в атмосферу через 1 м2 его поверхности при среднем градиенте плотности азота в направлении, перпендикулярном площади, равном 0,5⋅10-6 г/см4? Коэффициент диффузии принять равным 0,04 см2/с.

65. Найти количество азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 10 см2 за время 5 с, если градиент плотности азота в направлении, перпендикулярном площади, равен 1,26⋅10-3 г/см4. Коэффициент диффузии 1,42 см2/с. 66. За сутки через 1 м2 поверхности дерева из подзолистой почвы продиффундировало 145 г углекислого газа. Определить коэффициент диффузии углекислого газа, если градиент плотности равен 1,4⋅10-5 г/см4. 67. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях равен 0,91 см2/с. Определить коэффициент теплопроводности водорода при этих условиях. 68. Эффективный диаметр молекулы аргона 2,7⋅10-8 см. Определить коэффициент внутреннего трения для аргона при 500С. 69. При нормальных условиях коэффициент внутреннего трения азота равен 1,7⋅10-5 Па⋅с. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота. 70. Сколько молекул содержится в 1 см3 кислорода, находящегося при давлении 1,013⋅105 Па и температуре 270С? Чему равна средняя арифметическая скорость этих молекул? Сколько соударений в секунду испытывает молекула, если ее эффективный диаметр 2,9⋅10-10 м? Энтропия

71. Азот массой m=0,28 кг нагревается от температуры t1=70С до температуры t2=1000С при постоянном давлении. Найти приращение энтропии азота. 72. Один моль двухатомного газа расширяется изобарически до удвоения его объема. Вычислить приращение энтропии ∆S газа.

73. Вычислить приращение энтропии ∆S при изотермическом расширении 3 молей идеального газа от давления р1=100 кПа до давления р2=25 кПа. 74. В двух сосудах одного и того же объема находятся различные идеальные газы. Масса газа в первом сосуде М1, во втором М2, давления газов и температуры их одинаковы. Сосуды соединили друг с другом, и начался процесс диффузии. Определить суммарное изменение ∆S энтропии рассматриваемой системы, если относительная молекулярная масса первого газа µ1, а второго µ2. 75. Приводимые в тепловой контакт одинаковые массы вещества имеют разные температуры Т1 и Т2. Считая, что Ср=const, найти приращение энтропии в результате установления теплового равновесия при р=const. 76. 1,000 г кислорода первоначально заключен в объеме V1=0,200 л под давлением р1=500 Па. Затем газ расширился, в результате чего объем газа стал равным V2=0,500 л, а давление - равным р2=200 Па. Считая газ идеальным, определить: а) приращение энтропии газа ∆S, б) приращение внутренней энергии газа ∆U. 77. Энтропия 1 г азота при 250С и давлении 105 Па равно S1=6,84 Дж/(моль⋅К). Определить энтропию 2 г азота при температуре 1000С и давлении 2⋅105 Па. 78. Найти изменения энтропии моля идеального газа при изохорическом, изотермическом и изобарическом процессах. 79. Идеальный газ, расширяясь изотермически (при Т=400 К), совершает работу А=800 Дж. Что происходит при этом с энтропией газа? 80. Найти приращение энтропии ∆S при превращении массы m=200 г льда, находившегося при температуре

t1=-10,70С, в воду при t2=00C. Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. Температуру плавления принять равной 273 К. 81. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди, дебаевская температура которой θD=300 К. 82. Определит максимальную частому ωmax собственных колебаний в кристалле золота, дебаевская температура которого θD=300 К. 83. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре Т<< θD, где θD – дебаевская температура,

88. Найти максимальную энергию εm фонона, который может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температуре Дебая θD=300 К. Фонон какой длины волны λ обладал бы такой же энергией? 89. Характеристическая температура Дебая для хлорида калия θD=230 К, а для хлорида натрия θD=280 К. Во сколько раз удельная теплоемкость KCl больше удельной теплоемкости NaCl при температуре 40 К? 90. Определить энергию U0 нулевых колебаний охлажденного до затвердения моля аргона (температура Дебая θD=92 К).

12 4  T  π R  . определяется соотношением С = 5 θ 

91. Определить температуру и энергетическую светимость абсолютно черного тела, если максимум излучения приходится на длину волны 600 нм.

84. Найти энергию Е фонона, соответствующего максимальной частоте ωmax Дебая, если дебаевская температура θD=250 К.

92. Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела максимум спектральной плотности энергетической светимости сместился с 2,4 мкм на 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость тела и максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости.

3

85. При давлении р=1013 гПа аргона затвердевает при температуре, равной 84 К. Температура Дебая для аргона θD=92 К. Экспериментально установлено, что при Т1=4,0 К молярная теплоемкость аргона С1=0,174 Дж/(моль·К). Определить значение молярной теплоемкости аргона С2 при Т2=2,0 К. 86. Приняв для серебра значение температуры Дебая θD=208 К, определить а) максимальное значение энергии εm фонона; б) среднее число фононов с энергией εm при температуре Т=300 К. 87. Найти молярную энергию нулевых колебаний кристалла, для которого характеристическая температура Дебая θD=320 К.

93. Поток излучения абсолютно черного тела ФЭ=10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны 0,8 мкм. Определить площадь излучения поверхности. 94. Температура абсолютно черного тела равна 2000 К. Определить: 1) спектральную плотность энергетической светимости для длины волны 600 нм; 2) энергетическую светимость в интервале для волн от 590 нм до 610 нм. Принять, что среднее значение спектральной плотности энергетической светимости тела в этом интервале равно значению, найденному для длины волны 600 нм.

95. Температура абсолютно черного тела равна 2 кК. Определить длину волны, на которую приходится максимум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости для этой длины волны.

Таблица вариантов

№

Номера вариантов

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

96. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т=0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны εf =11,7 эВ, εf =7 эВ.

1

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

2

2

12

22

32

42

52

62

72

82

92

3

3

13

23

33

43

53

63

73

83

93

97. Металл находится при температуре Т=0 К. Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от εf/2 до εf больше числа электронов с энергией от 0 до εf/2.

4

4

14

24

34

44

54

64

74

84

94

5

5

15

25

35

45

55

65

75

85

95

6

6

16

26

36

46

56

66

76

86

96

98. По функциям распределения d п(Р) электронов в металле по импульсам установить распределение п(V) по скоростям: 1) при любой температуре; 2) при Т=0 К.

7

7

17

27

37

47

57

67

77

87

97

8

8

18

28

38

48

58

68

78

88

98

99. выразить среднюю скорость электронов в металле при Т=0 К через максимальную скорость Vmax. Вычислить для металла, уровень Ферми εf которого при Т=0 К равен 6 эВ.

9

9

19

29

39

49

59

69

79

89

99

100. Концентрация свободных электронов проводимости в металле п=5·1022см -3. Найти среднее значение энергии свободных электронов при Т=0 К.

ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Плотность веществ Вещество Вещество ρ, 103 кг/м3 Твердое тело Жидкость Бензол 3,5 Алмаз Вода 2,7 Алюминий Глицерин 19,1 Вольфрам Касторовое масло 1,6 Графит Керосин 0,8 Дерево Ртуть 7,8 Железо (сталь) Спирт 19,3 Золото Тяжелая вода 8,9 Кобальт Эфир 1,8 Кирпич 0,9 Лед Газы 7,8 Олово 8,9 Медь Азот 8,8 Никель Аммиак 21,5 Платина Водород 0,2 Пробка Воздух 11,3 Свинец Гелий 10,5 Серебро Кислород 4,5 Титан Метан 19,0 Уран Углекислый газ 2,3 Фарфор Хлор 7,0 Цинк

ρ, 103 кг/м3 0,88 1,00 1,26 0,90 0,80 13,6 0,79 1,1 0,72

2. Коэффициенты теплового расширения (при комнатной температуре) Твердое Коэффициент Жидкость Коэффициент тело линейного объемного расширения расширения -6 -1 α, 10 К β,10-4 К-1 Алюминий 22,9 Вода 2,1 Латунь 18,9 Глицерин 5,0 Медь 16,7 Керосин 10,0 Сталь Ртуть 1,8 (железо) 11 Спирт Стекло этиловый 11,0 обычное 8,5 Серная киСвинец 29,0 слота 5,6

Примечание: 1,25⋅10-3 0,77⋅10-3 0,09⋅10-3 1,293⋅10-

3. Температура плавления и удельная теплота

Вещество

3

1,43⋅10-3 0,72⋅10-3 1,98⋅10-3 3,21⋅10-3

1 ∂l 1 ∂V ,β = ⋅ l ∂T V ∂T

α= ⋅

Алюминий Вольфрам Железо Лед Медь Олово Свинец Серебро

плавления некоторых газов Температура Удельная теплота плавплавления Т,К ления q, кДж/кг 933 400,0 3660 184,6 1803 277,0 273 335,0 1356 213,0 505 60,7 600 25,0 1233 105,0

Вещество

Бензин Дерево Каменный уголь

4. Удельная теплота сгорания Вещество Удельная теУдельная теплота сгораплота сгорания q, 107 ния q, 107 Дж/кг Дж/кг 4,61 Керосин 4,61 1,26 Нефть 4,61 Спирт 2,93 2,39

5. Постоянные некоторых жидкостей Жидкость Поверхно- Вязкость Темпера- Удельная стное наη, мПа⋅с тура паро- теплота образова- парообратяжение α ния (кипе- зования (при комния) Т,К (при темнатной пературе темпера-2 кипения) туре), 10 q, 105 Н/м Дж/кг Вода 7,4 1,0 373 22,60 2 Глицерин 6,6 8,5⋅10 Ртуть 47,1 630 2,82 1,6 Спирт 2,2 351 9,05

6. Удельная теплоемкость веществ Вещество Вещество с, кД/кг⋅К с, кД/кг⋅К Жидкость Твердое тело Бензин 2,09 0,90 Алюминий Вода 4,18 0,38 Бронза Глицерин 2,42 0,13 Вольфрам Масло 2,40 Дерево (дуб) (трансформатор0,46 Железо ное) 2,09 0,13 Золото Нефть 1,67-2,09 0,38 Латунь Ртуть 0,14 2,09 Лед Скипидар 1,76 0,39 Медь Спирт 2,42 0,46 Нихром Эфир этиловый 2,34 0,20 Олово Газы 3,20 Парафин Азот 1,04 0,13 Платина Водяной пар 2,13 2,05 Пробка Водород 14,27 0,13 Свинец Воздух 1,01 0,23 Серебро Гелий 5,20 0,50 Сталь 0,67-0,83 Двуокись Стекло углерода (СО2) 0,88 Углерод (гра0,91 0,46-0,71 Кислород фит) 2,48 0,75 Метан Фарфор 1,04 0,38 Окись углерода Цинк 0,54 Чугун 1,38 Эбонит

Газ

7. Характеристики некоторых газов Отно- γ = CC p Тепло Вяз- Диа- Постоянные V про- кость метр сиВан-дерводтельd, нм Ваальса η, ность мкПа⋅ ная молес куляр ℵ м Вт ная м⋅ К масса

а,

Па ⋅ м 6 м о ль2

b,10-6 м3 м о ль

Не 4 1,67 141,5 18,9 0,20 Ar 40 1,67 16,2 22,1 0,35 0,132 32 H2 2 1,41 168,4 8,4 0,27 0,024 27 N2 28 1,40 24,3 16,7 0,37 0,137 39 O2 32 1,40 24,4 19,2 0,35 0,137 32 CO2 44 1,30 23,2 14,0 0,40 0,367 43 H2O 18 1,32 15,8 9,0 0,30 0,554 30 Воз29 1б40 24б1 17б2 0б35 дух Примечание. Значение γ,ℵ и η - при нормальных условиях. 8. Критические температура и давление Газ tк , 0 С pк, МПа Азот -146 3,3 Водяной пар 374 22 Кислород -119 5,0 Углекислый газ 31 7,4

9. Диэлектрическая проницаемость (относительная) Диэлектрик Диэлектрик ε ε Вода 81 Слюда 7,5 воздух 1,00058 Спирт 26 Керосин 2,0 Стекло 6,0 Парафин 2,0 Фарфор 6,0 Плексиглас 3,5 Эбонит 2,7 Полиэтилен 2,3 10. Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков Парамагнетики Диамагнетики χ, 10-6 χ, 10-6 Азот 0,013 Водород -0,063 Алюминий 23 Бензол -7,5 Воздух 0,38 Висмут -176 Вольфрам 176 Вода -9,0 Жидкий кислоКаменная соль -12,6 род 3400 Кварц -15,1 Кислород 1,9 Медь -10,3 Марганец 121 Стекло -12,3 Платина 360 Эбонит 14

Z 1 2 3 4 5 6

11. Потенциал ионизации атомов Атом Потенциал Z Атом Потенциал ионизации ϕ, ионизации ϕ, В В H 13,59 7 N 14,54 He 24,58 8 O 13,62 Li 5,39 9 F 17,42 Be 9,32 10 Ne 21,56 B 8,30 11 Na 5,14 C 11,27 12 Hg 10,44

12. Подвижность ионов (см2/В⋅с) Вещество Положительные Отрицательные ионы ионы Азот 1,3 1,8 Водород 5,4 7,4 Воздух 1,4 1,9 Кислород 1,3 1,8 Оксид углерода 1,0 1,1 Хлор 0,6 0,5

Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. - М., Наука, 1989. 2. Савельев И.В. Курс физики. Т.3. - М., Наука, 1989. 3. Трофимов Т.И. Курс физики. - М., Высшая школа, 1990. 4. Яворский Б.Я, Детлаф А.А. Справочник по физике.М.: Наука, 1985. 5. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. М., Высшая школа, 1991. 6. Физика. Задания к практическим занятиям / Под ред. Ж.П. Лагутиной. – Минск: Высшая школа, 1988. 7. Сборник задач по курсу общей физики / Под ред. М.С. Цедрика. - М.: Просвещение, 1989. 8. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. - М.: Наука, 1988. 9. Сена Л.А. Сборник вопросов и задач по физике. - М.: Высшая школа, 1986. 10. Сборник задач по курсу общей физики «Термодинамика и молекулярная физика». - М.: Наука, 1976. 11. Чертов А.Н., Воробьев А.А.. Задачник по физике. М.: Высшая школа, 1988. 12. Бешков Б.С.. Решение задач по физике, общие методв.- М.: Высшая школа, 1988. 13. Фирганг Е.В.. Руководство к решению задач по курсу общей физики. - М.: Высшая школа, 1978. 14. Кузьмичев В.Е.. Законы и формулы физики. Справочник. - Киев, Наукова думка, 1989. 15. Волькенштейн В.С.. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1973.