Логико-методологический анализ работы И. Лакатоса ''Доказательства и опровержения'': Учебно-методические указания по теме ''Математическая логика. Логика роста и развития математического знания''

М атем ати ч еск и й ф ак у льтет

К аф едра ф у нк ци ональног о анали за Л О ГИК О -М ЕТО Д О Л О ГИЧЕСК ИЙ АНАЛ ИЗ РАБО ТЫ И.Л АК АТО СА «Д О К АЗАТЕЛ ЬСТВА И О ПРО ВЕРЖ ЕНИЯ » У ч ебно-м етоди ч еск и еу к азани я по тем е «М атем ати ч еск ая лог и к а. Л ог и к а роста и разви ти я м атем ати ч еск ог о знани я » Д л я сту д ен то в старш их ку рсо в у н ив ерситето в и асп иран то в

Состави тель:

М ои сеев В.И.

2

В спецк у рсе по м атем ати ч еск ой лог и к е, к оторы й автор ч и тал на протя ж ени и ря да лет на 4-м и 5-м к у рсах м атем ати ч еск ог о ф ак у льтета ВГУ , одной и з важ ны х тем я вля ется тем а «Л ог и к а роста и разви ти я м атем ати ч еск ог о знани я » , в рам к ах к оторой рассм атри ваю тся разли ч ны е соврем енны ем одели разви ти я нау ч ног о знани я . О дни м и з вли я тельнеш и х направлени й в э той области я вля ется подход у ч ени к а К .Поппера, создателя поня ти я «нау ч но-и сследовательск ая прог рам м а» , Им реЛ ак атоса. О днак о, к ак

прави ло,

им я

и

направлени е и сследовани й

э тог о

ви дног о

представи теля соврем енной лог и к и и ф и лософ и и нау к и преи м у щ ественно и ог рани ч и вается и зу ч ени ем у к азанног о вы ш епоня ти я . В то ж еврем я на ру сск ом я зы к еи м еется зам еч ательная работа И.Л ак атоса «Д ок азательства и опроверж ени я » , в к оторой автор, к ак м непредставля ется , постарался во м ног ом подня ться над разли ч ны м и враж ду ю щ и м и ш к олам и в соврем енной ф и лософ и и нау к и и лог и к и , представи в в сж атом ви де рек онстру к ци ю разви ти я раци ональног о знани я , ег о лог и к у и ди нам и к у . С э той точ к и зрени я работа Л ак атоса представля ет собой п ри м ер редк ог о соч етани я г лу бок ог о лог и к о-м етодолог и ч еск ог о анали за и у дач ной попу ля ри заци и . Так ог о рода особенность э той работы стави т, по м оем у м нени ю , задач у ак ти вног о ееи спользовани я в у ч ебном процессе. О днак о следу ет отм ети ть, ч то даж е несм отря на больш у ю работу в направлени и п опу ля ри заци и , проделанну ю Л ак атосом , м атери ал к ни г и опи рается на м нож ество поня ти й и невсег да м ож ет бы ть охвач ен в своем еди нствесту дентам и . В свя зи с э ти м

су щ еству ет насу щ ная п роблем а своег о рода к онцентраци и

и

си стем ати заци и основны х и дей э той работы . В предлаг аем ы х ни ж е м атери алах к ак раз и проводи тся подобная си стем ати заци я . К ак надеется автор, так ог о рода представлени е основны х и дей И.Л ак атоса в к ни г е «Д ок азательства и опроверж ени я » позволи т сту денту , аспи ранту и ли преподавателю бы стро вой ти в проблем ати к у к ни г и и постоя нно и м еть перед собою своег о рода к онспек т э той зам еч ательной работы . В к онце

3

сж атог о и злож ени я основны х и дей Л ак атоса я делаю ря д вы водов и обобщ ени й , позволя ю щ и х г овори ть о нек отором еди ном м етодеразви ти я раци ональног о знани я . Так ог о рода обобщ ени е, с м оей точ к и зрени я , м ож ет пом оч ь сту денту охвати ть лог и к у разви ти я знани я и непотону ть в разног о рода ч астностя х. К ни г а И.Л ак атоса «Д ок азательства и опроверж ени я » (1) п остроена в ф орм еполи лог а м нож ества у ч ени к ов и у ч и теля в нек отором воображ аем ом к лассе. У ч ени к и обознач аю тся названи я м и г реч еск и х бу к в: «Альф а» , «Д ельта» , «Си г м а» , и т.д. О бсу ж дается теорем а Э й лера «Д ля лю бог о м ног ог ранни к а верно, ч то V-E+F=2» , г де V – ч и сло верш и н, E – ч и сло ребер, F – ч и сло г раней м ног ог ранни к а. Послевы дви ж ени я э той дог адк и у ч и тель предлаг ает док азательство, затем

нач и нается

к ри ти к а к ак

док азательства, так и сам ой дог адк и в ф орм е вы дви ж ени я разны м и у ч ени к ам и тех и ли и ны х к онтрпри м еров. В ди ск у сси и у ч ени к ов и у ч и теля Л ак атос

в

сж атой ,

к онцетри рованной

ф орм е

рек онстру и ру ет

дей стви тельное разви ти е м атем ати к и , ч то подтверж дается постоя нны м и ссы лк ам и на и стори ч еск и е ф ак ты в подстроч ны х при м еч ани я х. Л ак атос вы деля ет три ви да к онтрпри м еров: 1)лок альны е, но не г лобальны е – к онтрпри м еры для док азательства (лем м ы ), но недля основной дог адк и , 2)лок альны е и

г лобальны е к онтрпри м еры

– к онтрпри м еры

и

для

док азательства и для основной дог адк и , 3)г лобальны е и не лок альны е к онтрпри м еры

– проти в основной

дог адк и , но не док азательства.

М нож ество п ри води м ы х к онтрпри м еров разног о ви да п роблем ати зи ру ю т первонач альну ю

дог адк у и док азательство, в резу льтате прои сходи т

постоя нное у точ нени е и переф орм у ли ровк а си стем ы находи тся

в

подробней ш и м

постоя нном образом

знани я , знани е

процессе трансф орм аци и ,

и

Л ак атос

отслеж и вает все ню ансы э той трансф орм аци и ,

вы дви г ает разли ч ны е возни к аю щ и е по ходу м етоды трансф орм аци и

4

знани я , постепенно дви г ая сь к о все более слож ном у образу расту щ ег о знани я . При веду

внач але сж ату ю

сводк у

основног о хода

и злож ени я

в

“Д ок азательствах и опроверж ени я х” (названи я ч астей и м етодов невсег да соответству ю т так овы м у Л ак атоса). 1. Задач а и дог адк а. Возни к ает основная дог адк а. 2. Д ок азательство. У ч и тель предлаг ает док азательство для основной дог адк и (и дея э тог о док азательства, к ак пи ш ет Л ак атос, восходи т к О .К ош и ). Предполаг ается , ч то м ног ог ранни к м ож но представи ть к ак бы сделанны м и з рези ны . Из нег о м ож но вы резать одну г рань и растя ну ть оставш у ю ся ч асть на

доск е, к ак

плоск у ю

сеть. Тог да для сети

соотнош ени еV-E+F у м еньш и тся на 1 (у далена одна г рань) по сравнени ю с V-E+F для м ног ог ранни к а. Затем проводя тся ди аг онали в г раня х, пок а не бу ду т полу ч ены треу г ольны е г рани (три анг у ля ци я г раней ). Нак онец, треу г ольны е г рани нач и наю т у даля ться , п ок а не останется последня я треу г ольная г рань. У тверж дается , ч то при отбрасы вани и треу г ольни к ов соотнош ени еV-E+F неи зм еня ется относи тельно так ог о для п лоск ой сети . Д ля последнег о треу г ольни к а V-E+F=1. Следовательно, для всей сети VE+F=1. Следовательно, для м ног ог ранни к а V-E+F=2. Э то док азательство опи рается на следу ю щ и етри лем м ы : Л ем м а 1. Л ю бой м ног ог ранни к после у странени я одной г рани м ож ет бы ть растя ну т плоск о на доск е. Л ем м а 2. При три анг у ля ци и сети всег да полу ч ается новая г рань п ри проведени и новой ди аг онали . Л ем м а 3. При лю бом отбрасы вани и треу г ольни к ов и з три анг у ли рованной сети к аж ды й раз возни к аю т тольк о двеальтернати вы : 1)ли бо E у м еньш ается до Е-1 и F у м еньш ается до F-1, 2)ли бо V у м еньш ается до V-1 и E у м еньш ается до E-2 и F у м еньш ается до F-1. В лю бом слу ч аеобщ еесоотнош ени еV-E+F нем еня ется . 3. К ри ти к а док азательства при пом ощ и к онтрпри м еров, я вля ю щ и хся лок альны м и , но нег лобальны м и . Нач и нается вы дви ж ени ек онтрпри м еров.

5

У ч ени к “Гам м а” вы дви г ает к онтрпри м ер проти в третьей лем м ы – э то так ой поря док вы ни м ани я треу г ольни к ов и з три анг у ли рованной сети для к у ба, к ог да внач але вы ни м ается вну трення я г рань. У ч и тель у точ ня ет ф орм у ли ровк у третьей лем м ы , требу я к аж ды й раз вы ни м ать тольк о г рани ч ны е треу г ольни к и . Так Л ем м а 3 зам еня ется Л ем м ой 3*. Затем “Гам м а” вы дви г ает новы й к онтрпри м ер теперь у ж е для Л ем м ы 3*, предлаг ая специ альны й поря док вы ни м ани я г рани ч ны х треу г ольни к ов и з три анг у ли рованной сети для к у ба, при к отором несвя зны х

треу г ольни к а,

для

к оторы х

в к онце остаю тся два

V-E+F=2,

т.е. нару ш ается

соотнош ени еV-E+F. У ч и тель вы ну ж ден вновь у точ ни ть теперь у ж еЛ ем м у 3* до Л ем м ы

3**, вводя у слови е свя зности

сети

при

вы ни м ани и

треу г ольни к ов. Но возни к ает вопрос, а м ож но ли обеспеч и ть так ой поря док вы ни м ани я треу г ольни к ов для лю бой сети лю бог о м ног ог ранни к а, и тог да у ч и тель предпоч и тает при ня ть неболееп роблем ати ч ное, но более су щ ественное у слови е (обобщ аю щ ее и у слови е вы ни м ани я г рани ч ны х треу г ольни к ов и у слови е свя зности сети ) так ог о поря дк а вы ни м ани я треу г ольни к ов и з сети , при к отором нем еня ется соотнош ени еV-E+F на к аж дом э тапе. М ож но сч и тать, ч то в к ач ествеЛ ем м ы 3** при ня та теп ерь Л ем м а 3 и м енно с э ти м доп олни тельны м обобщ енны м у слови ем . 4. К ри ти к а дог адк и при пом ощ и г лобальны х к онтрпри м еров. У ч ени к “Альф а” п редлаг ает г лобальны й к онтрпри м ер “влож енны й к у б” (к у б в к у бе, Cb2). Э то к онтрп ри м ер для основной дог адк и , т.к . здесь V-E+F=4. И э то к онтрпри м ер для Л ем м ы 1, т.к . в Cb 2 есть г рани (напри м ер, г рани вну треннег о к у ба), после у далени я к оторы х оставш у ю ся поверхность нельзя бу дет растя ну ть на плоск ости . а) М етод сдач и (М et1). Возм ож на так ая точ к а зрени я , при к оторой м ож но посч и тать, ч то на основани и г лобальног о к онтрпри м ера следу ет отброси ть основну ю дог адк у . Так ая пози ци я вы раж ает нек отору ю м етодолог и ю , обознач аем у ю Л ак атосом к ак «м етод сдач и » .

6

б) О тбрасы вани е к онтрпри м ера. М етод у странени я м онстров (Met2). О днак о возм ож на и дру г ая м етодолог и ч еск ая пози ци я по отнош ени ю к г лобальном у

к онтрпри м еру ,

обознач аем ая

Л ак атосом

«м етодом

у странени я м онстров» . Ее в данном слу ч ае вы раж ает у ч ени к «Д ельта» , у тверж даю щ и й , ч то Cb2 – э то ненастоя щ и й м ног ог ранни к , э то «м онстр» , не и м ею щ и й отнош ени я к м ног ог ранни к ам

и потом у не способны й

опроверг ну ть основну ю дог адк у . Здесь нач и нается спор об определени я х. «Д ельта» г овори т, ч то м ног ог ранни к (М ) – э то всег да поверхность к ак си стем а

м ног оу г ольни к ов

(определени е-1

«Гам м а»

у тверж дает, ч то м ног ог ранни к

м ног ог ранни к а,

Df1(М )).

– э то тело, и ли , точ нее:

поверхность тела (определени е-2, Df2(М )). По первом у оп ределени ю Cb2 нея вля ется м ног ог ранни к ом , по втором у определени ю – я вля ется . Затем «Альф а»

вы дви г ает г лобальны е и

лок альны е к онтрпри м еры

и

для

определени я -1 – э то «тетраэ дры -бли знецы » , ск леенны епо одном у ребру (Td21) и по одной верш и не(Td22). «Д ельта» п родолж ает отстаи вать ч есть настоя щ и х м ног ог ранни к ов, дополня я оп ределени е-1 дву м я новы м и у слови я м и (первоеу слови е(С1) – ч тобы на к аж дом ребрем ног ог ранни к а встреч али сь тольк о два м ног оу г ольни к а, второеу слови е(С2) – ч тобы бы ло возм ож но и зну три одног о м ног оу г ольни к а п рой ти во вну трь дру г ог о лю бы м пу тем , к оторы й ни к ог да не п ересек ает ребра в верш и не) – так полу ч ается

определени е-3

м ног ог ранни к а

(Df3(М )).

Но

и

пы л

опроверг ателей не осты вает: «Гам м а» вы дви г ает новы й к онтрпри м ер – «м орск ой еж » (Echino feci, EF), и ли «м алы й звездч аты й додек аэ др» с 12 верш и нам и , 30 ребрам и и 12 пя ти у г ольны м и звездч аты м и г раня м и . «Д ельта» вновь отк азы вается при ни м ать э тот объ ек т к ак м ног ог ранни к , отверг ая возм ож ность п ересеч ени я ребер без образовани я верш и ны , к ак э то предполаг ается звездч аты м пя ти у г ольни к ом . Д и ск у сси я обращ ается к определени ю м ног оу г ольни к а (Mn), и «Д ельта» оп ределя ет м ног оу г ольни к к ак си стем у ребер, располож енны х т.о., ч то (1) в к аж дой верш и не

7

встреч аю тся тольк о два ребра, (2) ребра не и м ею т общ и х точ ек , к ром е верш и н (определени е-1 м ног оу г ольни к а, Df1(Mn)). Так к ак определени е м ног ог ранни к а зави си т от оп ределени я м ног оу г ольни к а, то и зм енени е второг о при води т и к и зм енени ю первог о. О пределени е-3 м ног ог ранни к а, строя щ ееся на основе определени я -1 м ног оу г ольни к а, обознач и м Df3(Df1)(M), и ли

определени е-4 м ног ог ранни к а (Df4(M)). Но и

к ак по

отнош ени ю к э том у определени ю «Альф а» вы дви г ает новы й к онтрпри м ер – «к арти нну ю рам у » (К Р) (см . 1, С.30, ри с.9). «Д ельта» вновь вводи т нек оторое у точ ня ю щ ее у слови е, и ск лю ч аю щ ее К Р к ак м ног ог ранни к и добавля ем ое к определени ю -4 м ног ог ранни к а, - так возни к ает новое определени е, к оторое я обознач у (Df5(M)).

Нак онец,

«Гам м а»

к ак

определени е-5 м ног ог ранни к а

предлаг ает

рассм отреть

в

к ач естве

м ног ог ранни к а ци ли ндр (Cyl), т.е. к ак к онтрпри м ер даж епо отнош ени ю к определени ю -5. Анали зи ру я э тот к онтрпри м ер, «Д ельта» у к азы вает на при су тстви е в э том

объ ек те безверш и нны х ребер, в то врем я к ак

настоя щ и й м ног оу г ольни к всег да и м еет ребра с дву м я верш и нам и – так новы м

у слови ем

у точ ня ется

определени е-1

определени я -2 (Df2(Mn)), в свя зи

с ч ем

м ног оу г ольни к а

прои сходи т и

до

и зм енени е

определени я -5 м ног ог ранни к а до оп ределени я -6 (Df6(M)). Так все новы е атак и

опроверг ателей

основной

дог адк и

у спеш но

отраж аю тся

у страни теля м и м онстров налож ени ем всеболееог рани ч и ваю щ и х у слови й на определени я . При ч ем , у страни тели м онстров сч и таю т, ч то они не и зм еня ю т определени й , а тольк о у точ ня ю т и х, я вно прог овари вая , в свя зи с тем и ли и ны м к онтрпри м ером , то, ч то с сам ог о нач ала подразу м евалось и м и нея вно и к азалось оч еви дны м . Поэ том у и основная дог адк а не отбрасы вается . О тсю да и

и х отнош ени е к

к онтрп ри м ерам

к ак

к

«м онстрам » . О проверг атели , наоборот, с сам ог о нач ала предполаг аю т возм ож ность распространени я определени я на к онтрпри м еры , и с и х точ к и зрени я у страни тели м онстров м еня ю т оп ределени я , хотя и не хотя т

8

при знаться в э том . Следовательно, и основная дог адк а к аж ды й раз отбрасы вается , зам еня я сь новой , в к оторой ф и г у ри ру ет новоеопределени е. в) У лу ч ш ени е дог адк и

м етодом

у странени я

и ск лю ч ени й

(Met3).

Недостаток м етода у странени я м онстров состои т в м етодолог и и ad hoc, т.е. в необходи м ости к аж ды й раз вноси ть нек оторы еу точ ня ю щ и еу слови я в определени я при поя влени и к аж дог о новог о к онтрпри м ера. У ч ени к «Бета» предлаг ает

преодолеть

э тот

недостаток

в

«м етоде у странени я

и ск лю ч ени й » , к ог да составля ется спи сок к онтрпри м еров и находи тся так ое ог рани ч и ваю щ ее у слови е на

определени е м ног ог ранни к а,

к оторое

заведом о и ск лю ч и т все э ти к онтрп ри м еры и обеспеч и т своег о рода «безопасну ю область» для основной дог адк и . В к ач естветак ог о у слови я он предлаг ает

рассм отреть

свой ство

«вы пу к лости »

м ног ог ранни к а,

сф орм у ли ровав основну ю дог адк у не для м ног ог ранни к ов вообщ е, но тольк о для вы пу к лы х м ног ог ранни к ов. В м етодеу странени я и ск лю ч ени й предполаг ается у ж еболееу важ и тельноеотнош ени ек к онтрпри м ерам , не к ак к «м онстрам » , а к ак к «и ск лю ч ени я м » . При знается , ч то прои сходи т отк аз от первонач альной дог адк и , ч ем у ч и ты вается м етод сдач и , и доп у ск ается более ради к альное ог рани ч ени е на м ног ог ранни к , ч то в нек оторой

более см я г ч енной ф орм е у ч и ты вает и м етод у странени я

м онстров. Т.о. Met3 вк лю ч ает в себя м ом енты и Met1 и Met2, вы сту пая вы раж ени ем болееп олной м етодолог и ч еск ой пози ци и . М етод у странени я и ск лю ч ени й – э то вы раж ени е стрем лени я к безопасности , своег о рода «стратег и ч еск оеотсту плени ев область, к оторая , к ак ду м аю т, для данной дог адк и бу дет тверды ней » (1, С.42). О днак о и в э том слу ч аем ы ни к ог да до к онца не м ож ем бы ть у верены в том , ч то оч ерч енная нам и безопасная область в сам ом

деле ок азалась так овой , и не см ож ет возни к ну ть

к онтрпри м ер и для нее. К ром е тог о, возм ож ен и «перелет» , к ог да м ы сли ш к ом

ради к ально

отсту пи м ,

остави в

за

собой

ещ е м ног о

м ног ог ранни к ов, для к оторы х основная дог адк а бы ла бы ещ еверна.

9

г ) М етод и справлени я м онстров (Met4). У ч ени к «Ро» вы раж ает ещ еодну возм ож ну ю у становк у по отнош ени ю к к онтрпри м ерам , к отору ю Л ак атос назы вает «м етодом и справлени я м онстров» . К онтрпри м ер «м орск ой еж » (EF) м ож но п ереи нтерпрети ровать к ак при м ер для основной дог адк и . Им енно, «м орск ог о еж а» м ож но трак товать не к ак м алы й звездч аты й додек аэ др с пя ти у г ольны м и звездч аты м и г раня м и , но к ак треу г ольны й г ек сак онтаэ др, состоя щ и й и з треу г ольны х г раней . В э том слу ч аедля нег о вы полня ется ф орм у ла Э й лера V-E+F=2. Э тот м етод вы сту пает к ак своег о рода м етод «леч ени я от ош и бок » , у тверж даю щ и й , ч то «су щ еству ю т не м онстры , а тольк о м онстрообразны етолк овани я . Ну ж но оч и сти ть свой у м от и звращ енны х и ллю зи й , надо нау ч и ться ви деть и прави льно определя ть, ч то ви ди ш ь» (1, С.46). В э том слу ч аем ы ви ди м возм ож ность разли ч ны х и нтерп ретаци й одног о объ ек та – и к ак к онтрпри м ера, и к ак при м ера – для основной дог адк и . М етод и справлени я м онстров предполаг ает в э том слу ч ае неравноправность всех э ти х толк овани й , на тех и ли

и ны х

основани я х вы деля я ту и з ни х, к оторая соответству ет основной дог адк е. Наоборот, для оп роверг ателей достаточ но у ж е возм ож ности толк овани я объ ек та

к ак

к онтрпри м ера,

ч тобы

допу сти ть и

реальность э той

возм ож ности . Зам еч у , ч то для м етодов 1-4 важ на тольк о г лобальность к онтрпри м ера, т.к . в э ти х м етодах реч ь и дет тольк о о вли я ни и к онтрпри м ера на основну ю дог адк у . Поэ том у здесь м ог у т рассм атри ваться и тольк о г лобальны е, и г лобальны еи лок альны ек онтрп ри м еры . д) М етод вк лю ч ени я

(и нк орпораци и ) лем м

(Met5). Здесь важ ны

г лобальны еи лок альны ек онтрпри м еры . У ч и тель предлаг ает новы й м етод –

«м етод

вк лю ч ени я

док азательства

п ри

лем м » ,

позволя ю щ и й

ф орм и ровани и

подк лю ч и ть

ог рани ч и ваю щ ег о

анали з

у слови я

на

определени е м ног ог ранни к а, и вы званног о необходи м остью и ск лю ч и ть г лобальны й

и

лок альны й

к онтрпри м ер.

У ч и тель

рассм атри вает

к онтрпри м ер «к арти нная рам а» (К Р). Э тот к онтрпри м ер я вля ется и

10

г лобальны м

и

лок альны м . К ак

лок альны й

к онтрпри м ер, К Р – э то

к онтрпри м ер для Л ем м ы 1 «Л ю бой м ног ог ранни к послеу странени я одной г рани м ож ет бы ть растя ну т плоск о на доск е» (э то у слови еэ к ви валентно у слови ю г ом еом орф ности м ног ог ранни к а сф ере, в то врем я к ак К Р г ом еом орф на тору ). Д алеев опроверг аем ой лем м евы деля ется то у слови е, к оторое не вы п олня ется для к онтрпри м ера, и оно добавля ется – к ак ог рани ч и ваю щ ее у слови е – к определени ю м ног ог ранни к а. Зам ети м , однак о, ч то, в отли ч и е от м етода у странени я м онстров, в м етоде и нк орпораци и лем м (к ак , впроч ем , и в м етоде у странени я и ск лю ч ени й ) ог рани ч и ваю щ ее у слови е рассм атри вается не к ак составля ю щ ая ч асть определени я м ног ог ранни к а, а к ак нек оторое у слови е, ог рани ч и ваю щ ее поня ти ем ног ог ранни к а до нек оторог о ви да м ног ог ранни к ов. Правда, и в э том

слу ч ае не и ск лю ч ена возм ож ность трак товк и ог рани ч и ваю щ ег о

у слови я и к ак составля ю щ ей определени я м ног ог ранни к а вообщ е. В наш ем при м ере в к ач естве у слови я у ч и тель берет вы п олни м ость всей первой лем м ы , назы вая ег о свой ством «бы ть просты м » для м ног ог ранни к а. Тог да первонач альная основная дог адк а «Д ля лю бог о м ног ог ранни к а верно, ч то V-E+F=2» (г и потеза-0, H0) отбрасы вается и зам еня ется на ог рани ч енну ю дог адк у «Д ля лю бог о простог о м ног ог ранни к а верно, ч то V-E+F=2» (H1). В э том

слу ч ае док азательство м ы м ож ем сохрани ть неи зм енны м , м еня я

тольк о дог адк у . Так лем м а вк лю ч ается в у точ ненну ю дог адк у . Д алее у ч ени к «Альф а» вы дви г ает новы й г лобальны й и лок альны й к онтрп ри м ер и для у точ ненной дог адк и – «у венч анны й к у б» (CbCb), т.е. м алы й к у б, при пая нны й сверху к больш ом у к у бу (при п ая нная г рань м алог о к у ба у далена). К ак лок альны й к онтрпри м ер, у венч анны й к у б опроверг ает Л ем м у 2 «При три анг у ля ци и сети всег да полу ч ается новая г рань при проведени и новой ди аг онали » . Анали з основани я лож ности э той лем м ы для данног о к онтрпри м ера при води т к вы я влени ю нали ч и я в у венч анном к у бе к ольцевы х г раней , т.е. так и х г раней , для к оторы х проведени е

11

ди аг онали не при води т к поя влени ю новой г рани . Так и е г рани ещ е назы ваю т м ног освя зны м и . О тсю да станови тся я сны м (основани е нелож ности ), при к отором

и

то у слови е

Л ем м а 2 остается верной для

м ног ог ранни к а, - э то нали ч и ев м ног ог ранни к етольк о односвя зны х г раней . Так новоесвой ство «и м еть тольк о односвя зны ег рани » вновь добавля ется к ч и слу у слови й на м ног ог ранни к и в основной дог адк е, в свя зи с ч ем возни к ает новая у точ ненная дог адк а «Д ля лю бог о простог о м ног ог ранни к а с односвя зны м и г раня м и верно, ч то V-E+F=2» (H 3). К ак и в м етоде у странени я и ск лю ч ени й , в м етоде и нк орпораци и

лем м

дости г ается

объ еди нени е средств м етодов сдач и и у странени я м онстров. О днак о преи м у щ ество м етода вк лю ч ени я лем м , в отли ч и еот м етода у странени я и ск лю ч ени й , состои т в том . ч то здесь «прои зводя т тщ ательны й анали з док азательства и на э том запрещ енной

п лощ ади »

взаи м оопределени е

основани и даю т оч ень тонк ое ог рани ч ени е (1, С.53). К ром е тог о, в Met5 дости г ается

«лог и к и

отк ры ти я »

(дви ж ени е

от

анали за

док азательства к и справлени ю дог адк и ) и «лог и к и оправдани я » (дви ж ени е от основной дог адк и к еедок азательству ). О днак о и м етод вк лю ч ени я лем м нем ож ет бы ть полностью г аранти рованны м от недостатк ов м етодолог и и ad hoc, бу ду ч и вы ну ж денны м к аж ды й раз и нк орпори ровать лем м у для к онтрпри м ера, хотя , по-ви ди м ом у , он обладает более г аранти ру ю щ ей и точ ной способностью ог рани ч ени я области и сти нности основной дог адк и , ч ем м етод у странени я и ск лю ч ени й . 5. К ри ти к а г лобальны м и , но нелок альны м и к онтрпри м ерам и . а) М етод э к спли к аци и нея вны х лем м (Met5.1). Э тот м етод и м еет дело с г лобальны м и и нелок альны м и к онтрпри м ерам и , для к оторы х не бы л определен м етод и нк орпораци и лем м . Так и е к онтрпри м еры , опроверг ая основну ю дог адк у , неопроверг аю т к ак у ю -ли бо лем м у . О днак о подобну ю си ту аци ю всег да м ож но представи ть к ак слу ч ай г лобальног о и лок альног о к онтрпри м ера,

предполаг ая

э к спли к аци ю

нек оторой

лем м ы

в

12

док азательстве, к оторая ранее бы ла дана нея вно. В остальном Met5.1 не отли ч ается от Met5. Так и м образом , специ ф и к а м етода э к спли к аци и лем м сравни тельно с м етодом

вк лю ч ени я лем м

состои т ли ш ь в том , ч то

и нк орпори ру ем ая лем м а одноврем енно э к сп ли ци ру ется , делается я вной , к онтрпри м ером . Д ля у точ ненной дог адк и H3 у ч ени к «Гам м а» вновь вы дви г ает свой к онтрпри м ер ци ли ндр (Cyl). «Гам м а» сч и тает, ч то ци ли ндр – э то простой м ног ог ранни к с односвя зны м и г раня м и , но для нег о VE+F=1. Здесь п редп олаг ается , ч то для просты х м ног ог ранни к ов м ож но док азать вы полнени е Л ем м ы 3**, в свя зи с ч ем третья лем м а для док азательства H 3 специ ально не ну ж на. Т.о. ци ли ндр, не опроверг ая перву ю и втору ю лем м ы , не опроверг ает ни одной я вной лем м ы , и не я вля ется лок альны м

к онтрпри м ером . О днак о здесь возраж ает у ч ени к

«Альф а» , пы тая сь у тверж дать, ч то ци ли ндр опроверг ает Л ем м у 1, не я вля я сь просты м . М ож но вы ну ть бок ову ю г рань и з ци ли ндра, и тог да оставш ая ся ч асть распадется на два несвя зны х к у ск а. Э то не бу дет, по м нени ю «Альф ы » , растя г и вани ем на плоск ости , т.к . «растя г и вать» означ ает в том ч и сле«бы ть одни м к у ск ом » , «бы ть свя зны м » . «Гам м а» ж е зам еч ает, ч то «Альф а» добавля ет новое у слови е «свя зности » к сетк е, э к спли ци ру я тем сам ы м э то у слови е. Э то тот ж е ход, ч то и в м етоде у странени я м онстров, но при м еня ем ы й нек определени ю м ног ог ранни к а, а к

нек отором у

определени ю

(в

данном

слу ч ае

определени ю

«растя г и вани я » ) и з лем м ы , док азательства. То ж есам оеп рои сходи т и для слу ч ая , к ог да «Альф а» п ы тается у тверж дать, ч то ци ли ндр оп роверг ает и втору ю

лем м у ,

не обладая

односвя зны м и

г раня м и .

Свой ство

«односвя зности » , по м нени ю «Альф а» , - э то непросто у вели ч ени еч и сла г раней

при

проведени и

ди аг онали , но э то ещ е и

у тверж дени е о

су щ ествовани и ди аг оналей у г рани , в то врем я к ак для г раней ци ли ндра поня ти еди аг онали нем ож ет бы ть определено. Но э то вновь э к спли к аци я доп олни тельног о у слови я «су щ ествовани я ди аг оналей у г рани » , к оторое

13

ранее ли ш ь нея вно предполаг алось. Итак , тот ж е сам ы й

процесс

э к спли к аци и нея вны х допу щ ени й , к оторы й ранее м ы м ог ли ви деть в м етоде у странени я м онстров для оп ределени я м ног ог ранни к ов, теп ерь возни к ает для

определени й

и з док азательства

основной

дог адк и .

Э к спли ци рованны е определени я и з док азательства всег да м ог у т бы ть сф орм у ли рованы

в

ви де нек оторы х

новы х

лем м ,

опроверг аем ы х

к онтрпри м ером , ч то обеспеч и вает превращ ени еMet5.1 в Met5. б) М етод док азательств и опроверж ени й (Met6). Э тот м етод объ еди ня ет в себем етоды и нк орп ораци и лем м (Met5) и м етод э к спли к аци и лем м (Met5.1). О днак о пок а здесь Л ак атос представля ет си ту аци ю так и м образом , ч то все к онтрпри м еры (в том

ч и сле лок альны е и не г лобальны е) м ог у т бы ть

сведены к г лобальны м и лок альны м к онтрпри м ерам , для к оторы х у ж е определен м етод вк лю ч ени я лем м . К ром етог о, м етодом док азательств и опроверж ени й

предполаг ается

более

тесное

взаи м оопределени е

док азательств и опроверж ени й (к онтрпри м еров). Д ок азательство, лем м ы нач и наю т рассм атри ваться нетольк о к ак средства обосновани я основной дог адк и , но и к ак средства г енераци и лок альны х к онтрпри м еров, к оторы е затем необходи м о п ы таться сделать и г лобальны м и . Та ж е м етодолог и я поп ы тк и оп роверж ени я предлаг ается и для основной дог адк и – ну ж но пы таться нетольк о вы дви г ать, но и опроверг ать основну ю дог адк у ч ерез пои ск г лобальны х к онтрпри м еров, к оторы е затем

опя ть необходи м о

представи ть

О днак о

и

к ак

док азательств и

лок альны е к онтрпри м еры .

опроверж ени й

в

представленном

и

м етод

вы ш е вари анте

ок азы вается неи збавленны м от недостатк ов м етодолог и и ad hoc, бу ду ч и вы ну ж денны м

к аж ды й раз переф орм у ли ровать основну ю дог адк у и ли

док азательство п ри поя влени и к онтрпри м еров. К ром е тог о, к оль ск оро подобная атак а к онтрпри м еров м ож ет продолж аться беск онеч но, то и сч езает вообщ е возм ож ность дости ч ь к ог да-ли бо

ок онч ательног о

док азательства и ок онч ательны х ф орм у ли ровок теорем ы . М ож но ли

14

останови ть э тот рег ресс в беск онеч ность? Предлаг аем ы е основани я остановк и – рели г и озны й ск епти ци зм и отк аз от познани я вообщ е(и сти на тольк о для Бог а), отк аз от строг ости (введени е «более-м енее строг и х» су ж дени й ), праг м ати зм (и сти на – средство п рак ти к и ), и стори зм (и сти на – средство «ду ха врем ени » ), к ак к аж ется , отверг аю тся Л ак атосом . Проблем а в том , ч тобы вы рази ть основани еостановк и раци ональны м и средствам и , в рам к ах нек оторой новой э пи стем олог и и . Подводя нек оторы й и тог м етоду док азательств и опроверж ени й , Л ак атос к асается к ратк ог о анали за и стори и м атем ати к и в 19-20 вв. с точ к и зрени я соотнош ени я док азательства (м атем ати к и ) и анали за док азательства (лог и к и ). О т наи вной веры в абсолю тность м атем ати ч еск ог о док азательства к ак нек оторог о м ы сленног о э к спери м ента в нач але 19 в. (Э й лер, К ант) прои сходи т постепенны й переход к осознани ю важ ности анали за док азательства под давлени ем разног о рода к онтрпри м еров. Здесь Л ак атос вы деля ет три револю ци и строг ости . Первая бы ла свя зана с и м енем К ош и и вы рази ла себя в состоя ни и м етода анали за док азательства на у ровне м етода у странени я и ск лю ч ени й . Вторая револю ци я строг ости свя зана с и м енем Вей ерш трасса, разви в м етод анали за док азательства до у ровня м етода док азательств и опроверж ени й . Строг ость анали за док азательства стала стави ться вы ш е строг ости сам ог о док азательства. Новы й у рож ай к онтрпри м еров в нач але 20 век а, свя занны й с теори ей м нож еств К антора, при вел к осознани ю рег ресса в беск онеч ность в анали зедок азательства и постави л проблем у основани я остановк и э тог о рег ресса. Третья револю ци я строг ости – э то и нту и ци они стск ая к онтрреволю ци я , реш и вш ая отброси ть разру ш аю щ и й лог и к о-ли нг ви сти ч еск и й п еданти зм анали за док азательства и разработать новы еэ к стрем и стск и естандарты строг ости для док азательства. Л ог и к а и м атем ати к а вновь бы ли разведены . В к ач естве основани я остановк и Ги льбертом

бы ло

вы дви ну то

требовани е

«к ри стально

я сной

совм ести м ости док азательств с и нту и ци они стск ой м етатеори ей » (1, С.80).

15

При

к аж дой

револю ци и

прони к новени е

строг ости

к ри ти ци зм а,

прои сходи т все более г лу бок ое

позволя ю щ ег о

подверг ать

к ри ти к е

к онтрпри м ерам и все более г лу бок и е слои знани я , ранее сч и тавш и еся непри к основенны м и . При последней револю ци и строг ости и нту и ци они зм сделал попы тк у

останови ть к ри ти к у

у

сам ог о порог а м ы сленны х

э к спери м ентов м атем ати к и к ак «обосновательног о слоя » (foundational layer) «хорош о знак ом ог о основног о знани я »

(familiar background

knowledge). Пози ци я Л ак атоса, к ак э то ви дно и з всей к ни г и , состои т, п ови ди м ом у , в том , ч то дальней ш ееразви ти ек ри ти ци зм а в 20 в. при води т к атак е и на э тот последни й оп лот дог м ати зм а, вп ервы е распространя я к ри ти ци зм на сф еру всег о м атем ати ч еск ог о знани я в целом . 6. М етод трансф орм аци и лем м (Met0). Д и ск у сси я вновь возвращ ается к лок альны м и нег лобальны м к онтрпри м ерам , и возни к аю щ и й здесь м етод я у словно обознач у к ак «м етод трансф орм аци и лем м » . О г рани ч ени елем м в э том слу ч ае (см . вы ш е) при анали зе основани я и х лож ности (напри м ер, ог рани ч ени е Л ем м ы 3 до Л ем м ы 3*) п ри води т к вк лю ч ени ю в объ ем теорем ы к онтрпри м еров к ак при м еров. Так и м

образом , если в м етоде

док азательств и оп роверж ени й ог рани ч ени я на док азательство и основну ю дог адк у су ж аю т область при м еров, то в м етоде трансф орм аци и лем м ог рани ч ени я док азательства при водя т к расш и рени ю области при м еров. Д алее Л ак атос предполаг ает два вари анта м етода трансф орм аци и лем м , к оторы е я бу ду у словно обознач ать к ак «слабы й » (Met00) и «си льны й » (Met10) вари анты . В слабом предполаг ается

так ая

вари анте м етода трансф орм аци и

трансф орм аци я

лем м ы , при

к оторой

лем м

на нее

нак лады вается ли ш ь нек оторое ог рани ч и ваю щ ее у слови е. В си льном вари антеодна лем м а м ож ет зам еня ться при нци пи ально дру г ой лем м ой , и даж е одно док азательство – дру г и м

док азательством , ли ш ь бы тольк о

расш и ря лась область при м еров теорем ы . В к ач естве и ллю страци и си льног о вари анта м етода трансф орм аци и лем м Л ак атос при води т при м ер

16

перехода от док азательства Ж ерг онна к док азательству К ош и для дог адк и Э й лера. В док азательстве Ж ерг онна вы полнени е свой ства V-E+F=2 (свой ства

э й леровости )

док азы вается

для

«к вази вы пу к лы х»

м ног ог ранни к ов, г де«бы ть к вази вы пу к лы м » для м ног ог ранни к а означ ает, «и м еть г рань, с к оторой м ож но у ви деть всю вну тренность м ног ог ранни к а» . Свой ство

«к вази вы п у к лости » ,

к ак

затем

ок азалось,

я вля ется

несу щ ественны м для э й леровости , в свя зи с ч ем для перехода к более су щ ественном у

док азательству

К ош и

необходи м о бы ло прои звести

ради к альны й пересм отр док азательства, отк азавш и сь вообщ е от старог о вари анта док азательства (при ч ем , в э том

слу ч ае новое док азательство

бу дет одноврем енно и новой основной дог адк ой ). На основепредлож енной вы ш е верси и м етода док азательств и опроверж ени й так ог о п ерехода ни к ог да нельзя бы ло бы соверш и ть, т.к . э тот м етод м ож ет тольк о су ж и вать область

при м еров,

но

не

расш и ря ть

ее.

У ч ени к

«О м ег а» ,

пропаг анди ру ю щ и й м етод трансф орм аци и лем м , при зы вает так разви вать теорем у , ч тобы нетольк о и ск лю ч ать и з неег лобальны ек онтрпри м еры , но и вк лю ч ать в неепри м еры к ак лок альны ек онтрпри м еры , стрем я сь вообщ е к вы я влени ю необходи м ог о и достаточ ног о (а не тольк о достаточ ног о) у слови я для свой ства э й леровости . М етод док азательств и опроверж ени й позволя ет

дви г аться

к

нек оторой

предельной

области

анали за

док азательства (терм и н Л ак атоса) сверху вни з, су ж ая область при м еров. Слабы й

вари ант м етода трансф орм аци и

дви г аться к

нек оторой

предельной

лем м , наоборот, позволя ет

области

док азательства (терм и н

Л ак атоса) сни зу вверх, расш и ря я область п ри м еров. Си льны й вари ант м етода трансф орм аци и лем м , образу я расш и ря ю щ и е области при м еров последовательности областей

док азательств,

док азательств для

образу ет

и

последовательность

к аж дог о и з ни х. Возм ож но, ч то э та

последовательность областей док азательств в свою оч ередь стрем и тся к нек оторой предельной области – области наи вной дог адк и (терм и н

17

Л ак атоса). В и деале область наи вной дог адк и – э то одноврем енно и область анали за док азательства, при бли ж аем ая так и м образом и сверху м етодом док азательств и опроверж ени й , и сни зу - м етодом трансф орм аци и лем м . Зам еч у , ч то, хотя Л ак атос не ф орм у ли ру ет э тог о я вно, но, п ови ди м ом у , подобны еж еслабы й и си льны й вари анты возм ож ны и в м етоде док азательств и опроверж ени й , к ог да м ы м ож ем непросто ог рани ч и вать основну ю

дог адк у

(ви д

м ног ог ранни к ов,

обладаю щ и й

свой ством

э й леровости ), но и более-м енееради к ально трансф орм и ровать достаточ ное у слови еэ й леровости , нек оторы й при м ер ч ег о м ы м ог ли ви деть в м етоде у странени я и ск лю ч ени й . 7. М етоды анали за (MetA) и си нтеза (MetS). Все рассм отренны е вы ш е м етоды относи ли сь к м етоду анали за, поск ольк у и м и предполаг алось основноедви ж ени еанали за в док азательствеот у ровня основног о объ ек та, м ног ог ранни к а, к у ровню

ег о э лем ентов – м ног оу г ольни к ов, ребер,

верш и н. Сам о док азательство в э том слу ч аестрои тся анали ти ч еск и - к ак переход

от

м ног ог ранни к а

к

три анг у ли рованной

сети ,

далее к

треу г ольни к ам . К ром етог о, сам о свой ство э й леровости ни к ог да ни одни м анали ти ч еск и м

м етодом

не подверг алось сом нени ю . У ч ени к «Д зета»

предлаг ает постави ть более общ у ю соотнош ени е f(V,E,F)=0

проблем у – и сследовать общ ее

к оли ч ества

верш и н,

ребер

и

г раней

м ног ог ранни к ов, и спользу я м етод си нтеза. Э тот последни й зак лю ч ается в том , ч то м ы нач и наем с у становлени я нек оторог о соотнош ени я f(V,E,F)=0, к ак V-E=0, для м ног оу г ольни к ов (для м ног оу г ольни к а ч и сло верш и н равно ч и лсу ребер), и затем , вы страи вая (си нтези ру я ) и з м ног оу г ольни к ов по определенны м

прави лам

си стем ы

м ног оу г ольни к ов и

к онтроли ру я

соотнош ени еf(V, E, F)=0 для к аж дог о э тапа так ог о к онстру и ровани я , м ы затем м ож ем перей ти к м ног ог ранни к ам к ак нек отором у ч астном у слу ч аю си стем м ног оу г ольни к ов, полу ч ая нек отороесоотнош ени еf(V, E, F)=0 и для э тог о последнег о э тапа. В э том слу ч аесоотнош ени еf(V, E, F)=0 для

18

м ног ог ранни к а полу ч ается нек ак наи вная дог адк а, резу льтат озарени я , но к ак деду к ти вная дог адк а, полу ч енная в м етоде си нтеза. Но и наи вная дог адк а, сч и тает Л ак атос, - э то нерезу льтат и нду к ци и . О на полу ч ена на основе вы дви ж ени я и опроверж ени я ещ еболееранни х наи вны х дог адок (так ч то с э той точ к и зрени я су щ еству ю т, по-ви ди м оу , более и м енее наи вны едог адк и ). М ож но дви г аться от дог адк и к дог адк ебез вы дви ж ени я док азательств и и х анали за. Л ак атос при зы вает м и ни м и зи ровать так ог о рода

у ч астк и ,

по-ви ди м ом у ,

сли ш к ом

п рои звольны е, и

поск орее

переходи ть к м етоду док азательств и опроверж ени й вм есте с м етодом трансф орм аци и лем м , а затем

и к

м етоду си нтеза, порож даю щ ем у

деду к ти вну ю дог адк у . По-ви ди м ом у , Л ак атос так ж е полаг ает, ч то м етод си нтеза обладает больш ей достоверностью и надеж ностью , ч ем м етоды анали за, хотя и м етод си нтеза в к онеч ном и тог енем ож ет г аранти ровать от дальней ш ей к ри ти к и к онтрпри м ерам и . Постепенно Л ак атос нач и нает трак товать м етод док азательств и оп роверж ени й к ак наи более полну ю м етодолог и ю , вби раю щ у ю в себя отдельны ем етоды – к ак м етоды анали за, так и си нтеза. В э той тенденци и м ож но отм ети ть стрем лени е опи сать нек оторы й наи более полны й и нвари ант познавательной дея тельности , всег да дем онстри ру ю щ и й себя в познани и в разнообрази и свои х сторон к ак более ч астны х дея тельностны х рег у ля ти вов. Д алее я бу ду и м енно в э том см ы слеи спользовать поня ти е“м етод док азательств и опроверж ени й ”, вы деля я в нем м етоды анали за и м етод си нтеза. М етод си нтеза м ож ет бы ть продолж ен соотнош ени я

на

си стем ы

м ног ог ранни к ов,

при водя

f(V,E,F)=0 на разног о рода к лассы

к

обобщ ени ю

м ног ог ранни к ов,

вы ходя щ и е за рам к и э й леровы х м ног ог ранни к ов и вк лю ч аю щ и й в э ти более ш и рок и е к лассы наработанны ена э тапах м етодов анали за разног о рода к онтрп ри м еры . Здесь возни к аю т следу ю щ и епоследовательны еэ тапы м етода си нтеза, если ег о нач и нать вообщ е с вы я снени я соотнош ени я f(V,E,F)=0 для верш и ны :

19

1)

V=1 для одной верш и ны

2)

V=E для всех соверш енны х м ног оу г ольни к ов

3)

V-E+F=1

для

всех

норм альны х

отк ры ты х

си стем

для

всех

норм альны х

зак ры ты х

си стем

м ног оу г ольни к ов 4)

V-E+F=2

м ног оу г ольни к ов (для (зак ры ты х) норм альны х м ног ог ранни к ов) 5)

V-E+F=2 – 2(n-1) для норм альны х n-свя зны х м ног ог ранни к ов

6)

V-E+F=2 – 2(n-1) +

F

∑l K =1

K

для норм альны х n-свя зны х с F lK-

свя зны м и г раня м и м ног ог ранни к ов P

V-E+F= ∑ {2 – 2(n-1) +

7)

j =1

F

∑l K =1

K

} для норм альны х n-свя зны х с F lK-

свя зны м и г раня м и м ног ог ранни к ов и Р полостя м и Здесь: Соверш енны й

м ног оу г ольни к

– м ног оу г ольни к

с n ребрам и

(n-

у г ольни к ), к оторы й м ож ет бы ть построен, и сходя и з одной верш и ны , при к лады вани ем к ней снач ала (n-1) ребер без и зм енени я V-E (я сно, ч то в э том слу ч аеV-E=1) и , нак онец, последнег о зак ры ваю щ ег о ребра, к оторое у м еньш ает V-E на еди ни цу . Норм альны й (зак ры ты й ) м ног ог ранни к – м ног ог ранни к с n г раня м и (nг ранни к ), к оторы й

м ож ет бы ть построен, и сходя и з соверш енног о

м ног оу г ольни к а, при к лады вани ем к нем у (а) п ервы х F-2 г раней без и зм енени я V-E+F (э то бу дет отк ры ты й норм альны й м ног ог ранни к , и в э том

слу ч ае V-E+F=1) и (б) нак онец, зак ры ваю щ у ю г рань, к оторая

у вели ч и вает V-E+F на еди ни цу (и превращ ает отк ры ты й м ног ог ранни к в зак ры ты й ). n-свя зны й м ног ог ранни к – м ног ог ранни к , к оторы й распадается на два норм альны х м ног ог ранни к а м и ни м у м п ослеn рассеч ени й . n-свя зная г рань – г рань, даю щ ая нову ю г рань п осле проведени я м и ни м у м n ди аг оналей

20

(так ова к ольцевая г рань в «у венч анном к у бе» ). М ног ог ранни к с полостью –

норм альны й

м ног ог ранни к ,

вну три

к оторог о

находи тся

дру г ой

м ног ог ранни к (так ов «к у б в к у бе» ). 8. О бразовани епоня ти й . Су м м и ру я опи санны евы ш ем етоды , Л ак атос отм еч ает, ч то в основе процесса трансф орм аци и знани я леж и т процесс расш и рени я поня ти й . В анали ти ч еск и х м етодах к ри ти к а к онтрп ри м ерам и к аж ды й раз заставля ет пересм отреть то и ли и ное поня ти е - поня ти е м ног ог ранни к а и ли ег о ч астей , поня ти я и з док азательств (напри м ер, «растя г и вани есетк и » , «односвя зность г рани » ), и т.д. Здесь м ож но стать на лю бу ю и з дву х возм ож ны х точ ек зрени я : 1) опроверг атели сч и таю т, ч то они

не расш и ря ю т

расш и ри тельном

поня ти я ,

толк овани и ,

но

поня ти я

способном

и знач ально

даны

распространя ться

в на

к онтрпри м еры , и с и х точ к и зрени я у страни тели м онстров су ж аю т поня ти я . К онтрпри м еры

в э том

слу ч ае пони м аю тся к ак

лог и ч еск и е

к онтрпри м еры , т.е. способны еопроверг ну ть по modus tollens то и ли и ное су ж дени е,

содерж ащ ее соответству ю щ ее п оня ти е.

2)

наоборот,

у страни тели м онстров сч и таю т, ч то э то не они су ж аю т поня ти я , а, наоборот, опроверг атели недопу сти м о расш и ря ю т и х. В э том к онтрпри м еры

слу ч ае

заставля ю т тольк о у точ ни ть и знач альное пони м ани е

поня ти я , к оторое не распространя ется на к онтрпри м ер и нем ож ет бы ть опроверг ну то и м возм ож ностью

в составе тог о и ли и,

по

больш ом у

и ног о су ж дени я . В свя зи

сч ету ,

равноправностью

с

э ти х

альтернати вны х подходов, ни оди н к онтрпри м ер нем ож ет у ж ебезу словно сч и таться лог и ч еск и м , вы сту пая ск ореек ак э ври сти ч еск и й к онтрпри м ер, доп у ск аю щ и й свою трак товк у и к ак к онтрп ри м ера, и к ак и ск лю ч ени я . Так находи т свое оправдани еи м етод у странени я м онстров. Я п ри м у теп ерь болееобщ и й терм и н «обог ащ ени епоня ти я » , к оторы й вк лю ч ает в себя к ак возм ож ность ог рани ч ени я , так и расш и рени я поня ти я . И ог рани ч ени е, и расш и рени е– э то ф орм ы обог ащ ени я поня ти я . О бог ащ аться , по-ви ди м ом у ,

21

м ог у т и у ж е ранее обог ащ енны е поня ти я . Так постепенно в резу льтате к ри ти к и к онтрпри м ерам и наи вная си стем а поня ти й всеболеезам ещ ается обог ащ енной си стем ой поня ти й . Так ой рост знани я сопровож дается , по м нени ю Л ак атоса, постоя нной см еной я зы к ов. Нап ри м ер, он пи ш ет: «О бы ч но при поя влени и к онтрпри м ера вы м ож ете вы би рать: и ли вы отк азы ваетесь зани м аться и м , так к ак на ваш ем д ан н о м я зы к еL1 он совсем не к онтрпри м ер, и ли вы сог ласи тесь и зм ени ть ваш я зы к при пом ощ и расш и рени я поня ти я и при ня ть э тот к онтрпри м ер на ваш ем новом я зы к е L2» (1, С.129). И далее: «По м ерероста знани я м еня ю тся я зы к и . «К аж ды й творч еск и й пери од я вля ется одноврем енно пери одом и зм енени я я зы к а» (ссы лк а на Felix. L’aspect moderne des mathematiques. Paris. P.10. – В.М .). Рост знани я нельзя п ром одели ровать на лю бом

заданном

я зы к е…

Л и нг ви сти к а зани м ается ди нам и к ой я зы к а, а лог и к а ег о стати к ой » (1, С.129-130). Т.о. здесь у Л ак атоса я вно вы раж ена пози ци я отож дествлени я лог и к и и стати к и знани я . Нак онец, м етод си нтеза предлаг ает третью альтернати ву обог ащ ени я п оня ти я – создани еновог о, болееи нтег ральног о, поня ти я , способног о объ еди ни ть в себе и при м еры и к онтрпри м еры (так ово, нап ри м ер, поня ти еn-свя зног о м ног ог ранни к а). Л ак атос отм еч ает, ч то и нтег ральны епоня ти я м ог у т отли ч аться разной «г лу би ной си нтеза» , ослаблени е к оторой

проя вля ет

себя

в

довольно

поверхностны х

обобщ ени я х соотнош ени я f(V, E, F)=0 для 6-г о и 7-г о э тап ов м етода си нтеза. В ли це у ч ени к а “К аппы ” ф орм у ли ру ется пози ци я нек оторог о м етодолог и ч еск ог о анархи зм а, у тверж даю щ ег о ни ч ем не ог рани ч енну ю возм ож ность расш и рени я лю бы х поня ти й , в том

ч и сле и поня ти й

м етая зы к а, так и х, напри м ер, к ак поня ти е “к онтрпри м ер”, “расш и рени е поня ти й ”, и

т.д. Так ог о рода неог рани ч енное обог ащ ени е поня ти й

представля ется “К ап пой ” к ак несовм ести м оес и дея м и “док азательство” и “и сти на”. Здесь Л ак атос ф орм у ли ру ет своег о рода дополни тельность точ ности (достоверности ) и осм ы сленности поня ти я : “Если вы хоти те, -

22

г овори т он у стам и “К аппы ”, - ч тобы м атем ати к а и м ела см ы сл, то вы долж ны отк азаться от достоверности . Если вы хоти те достоверности , и збавьтесь от см ы сла. Вы нем ож етеи м еть и то и дру г ое. Тарабарщин а безо п асн а о т о п ро в ерж ен ий, имеющие смысл п ред л о ж ен ия мо гу т быть о п ро в ергн у ты расш ирен ием п о н ятий” (1, С.142). Проти вя сь так ой пози ци и , у ч ени к “Гам м а” пы тается сф орм у ли ровать ря д м етодолог и ч еск и х прави л для нек оторог о вари анта “см я г ч енног о расш и рени я ” поня ти й . Здесь предлаг аю тся следу ю щ и е ог рани ч ени я на расш и рени е: 1)расш и рени е долж но бы ть “небольш и м , ч тобы м ы нем ог ли ег о зам ети ть; если бы ег о дей стви тельная – расш и ря ю щ ая – при рода бы ла у ви дена, то оно м ог ло не бы ть при ня то к ак зак онная к ри ти к а” (1, С.142), 2) расш и рени е долж но сосредоточ и ваться “на одном ч астном поня ти и ”, не затраг и вая до п оры остальны х

п оня ти й ,

3)

п редп олаг ается

нали ч и е неопроверг аем ы х

составны х ч астей у поня ти я , напри м ер, лог и ч еск ая ф орм а поня ти я . О днак о у ч и тель сч и тает, ч то м атем ати к а при ня ла и более ради к альну ю ф орм у расш и рени я поня ти й : “Эта рев о л юц ия в математическо м критиц изме измен ил а п о н ятие о математическо й истин е, измен ил а стан д арты математическо го д о казател ьств а, измен ил а характер математическо го ро ста” (1, С.145). О днак о совм ести м а ли э та новая си стем а к ри ти ци зм а с поня ти я м и и сти ны , док азательства, и т.д., и , если да, то в к ак ой ф орм е, всеэ ти вопросы остаю тся Л ак атосом неразреш енны м и . Переходя теперь к попы тк еобобщ ени я опи санног о процесса обог ащ ени я поня ти й , введем нек оторы епредвари тельны еопределени я . 1. М ентальная онтолог и я . Во-первы х, м ы ви ди м , ч то процесс м ы ш лени я и обог ащ ени я поня ти й протек ает в нек отором «пространствем ы сли » , вк лю ч аю щ ем в себя : - объ ек ты :

основны е (м ног ог ранни к ),

объ ек ты -целы е (си стем ы

м ног ог ранни к ов), объ ек ты -ч асти (м ног оу г ольни к , ребро, верш и на), - преобразовани я объ ек тов, напри м ер, вы резани ег рани , растя ж ени е.

23

- Преди к аты

объ ек тов,

п реобразовани й ,

напри м ер,

«бы ть

м ног освя зны м » , «бы ть э й леровы м » . - Ги потезы :

основная

(основная

дог адк а),

вспом ог ательны е

(ф орм у ли ровк и лем м ). - Д ок азательство, лем м ы . - О п ределени я объ ек тов, преобразовани й , преди к атов. - К онтрпри м еры для г и потез: г лобальны еи ли лок альны е. Все подобног о рода к онцепты п ок а м ог у т бы ть вполне вы раж ены в рам к ах той и ли и ной ф орм альной теори и Т в обы ч ном ее п они м ани и (напри м ер, к ак

теори и

первог о поря дк а и ли

ф орм альной

теори и ,

и спользу ю щ ей теори ю ти пов). 2. Процесс обог ащ ени я знани я на основек онтрпри м еров. Д алее, неоднок ратно наблю дая вы ш е, к ак и м

образом

прои сходи т

обог ащ ени етог о и ли и ног о поня ти я в резу льтатеатак и к онтрпри м ерам и , м ож но отм ети ть во всех подобны х слу ч ая х нек оторы й м ехани зм , к оторы й я бу ду назы вать процессом

ти пи ч ны й

обог ащ ени я знани я на

основек онтрпри м еров. Э тап ы э тог о процесса следу ю щ и е: 1. Есть нек оторое су ж дени е p и к онтрпри м ер k для нег о, т.е. k – э то так ая су щ ность, ч то для k неверно р. Су ж дени е р м ож ет бы ть основной

дог адк ой

ф орм у ли ровк ой

(тог да k – г лобальны й

к ак ой -ли бо

лем м ы

(тог да

к онтрпри м ер) и ли k

–

лок альны й

к онтрпри м ер). 2. О су щ ествля ется анали з основани я нелож ности су ж дени я р для к онтрпри м ера k, т.е. вы я вля ется то основани е, благ одаря к отором у р перестает бы ть лож ны м для k. Введем внач алепроцеду ру вы делени я ч астног о основани я лож ности р для k, обознач и в ееч ерез «basL(p,k)» . Предполаг ается , ч то резу льтатом э той процеду ры я вля ется нек оторое поня ти еn, к отороем ож ет бы ть п редставлено и к ак п реди к ат Р «бы ть n» . Напри м ер, п ы тая сь вы я сни ть, поч ем у у венч анны й к у б я вля ется

24

к онтрпри м ером для Л ем м ы 2, м ы м ож ем поня ть, ч то у венч анны й к у б содерж и т к ольцеву ю г рань. Поня ти е«к ольцевая г рань у венч анног о к у ба» – э то и есть ч астное основани е лож ности для Л ем м ы 2 в данном

слу ч ае к ак резу льтат процеду ры basL(p,k). Д алее ч астное

основани е лож ности обы ч но обобщ ается до общ ег о основани я лож ности .

Напри м ер,

к ольцевая

г рань

обобщ ается

до

и деи

м ног освя зной г рани вообщ е. Процеду ру обобщ ени я обознач и м ч ерез «gen» , т.е. от basL(p,k) переходя т к gen(basL(p,k)) = BasL(p,k), и , нак онец, от общ ег о основани я лож ности , BasL(p,k), переходя т к нек отором у ег о у словном у отри цани ю , т.е. отри цани ю в рам к ах нек оторог о у ни версу м а U (отри цани еп оня ти я n пони м ается к ак так ое поня ти е n, к оторое м ож ет бы ть вы раж ено преди к атом

P -

отри цани ем преди к ата Р «бы ть n» . Д алее, г оворя о п оня ти я х n, я бу ду пони м ать и х к ак преди к аты Р. В том ч и слеу ни версу м U – э то так ж е нек оторы й преди к ат). В наш ем п ри м ере так и м у ни версу м ом бу дет пространство «односвя зность - м ног освя зность» , в свя зи с ч ем у словны м

отри цани ем

м ног освя зности

ок аж ется

поня ти е

«односвя зности » . Если у словноеотри цани ев рам к ах у ни версу м а U обознач и ть ч ерез U, г де UР = (Р) ∧ U, г де ∧ - к онъ ю нк ци я , то ок онч ательно процеду ру анали за основани я нелож ности су ж дени я р для к онтрпри м ера k, (BasТ(p,k)), м ож но запи сать в ви де: BasТ(p,k) = Ugen(basL(p,k)) = С. Резу льтатом

анали за основани я нелож ности

к онтрпри м ера k для су ж дени я р бу дет основани е нелож ности С су ж дени я р для к онтрпри м ера k, т.е. нек оторое ог рани ч и ваю щ ее поня ти е (преди к ат) (в наш ем при м ере С – «бы ть односвя зны м » ), добавлени ек оторог о к нек отором у поня ти ю в су ж дени и р при ведет к так ом у ог рани ч ени ю э тог о поня ти я , ч то р у ж еперестанет относи ться к к онтрпри м еру k. В наш ем п ри м еретак и м поня ти ем в Л ем м е2 бу дет поня ти е«г рань» . О бознач и м п оня ти е, к ри ти к у ем оек онтрп ри м ером k

25

в су ж дени и р, ч ерез N (N так ж епони м ается к ак нек оторы й п реди к ат). Тог да су ж дени е р, содерж ащ ее поня ти е N, м ож но обознач и ть к ак p[N]. В и тог е для

у страни телей

м онстров поня ти е N ог рани ч и вается

основани ем нелож ности С – так обог ащ ени епоня ти я вы раж ается в данном слу ч ае в ег о ог рани ч ени и . Посм отри м

теперь более при стально на

отнош ени епоня ти й N и С. Д ля наш ег о при м ера N – э то «бы ть г ранью » , С – «бы ть односвя зной г ранью » . О сновани енелож ности С и общ ееосновани е лож ности UС («бы ть м ног освя зной г ранью » в наш ем при м ере) образу ю т вм есте у ни версу м U = С ∨UС, г де ∨ - ди зъ ю нк ци я . Поня ти е N м ож ет при обретать дальней ш у ю ди ф ф еренци ровк у в рам к ах у ни версу м а U, при ни м ая ли бо свой ство С, ли бо свой ство UС. Так и м образом , поя влени е к онтрпри м ера k заставля ет отк ры вать нек оторы й у ни версу м U возм ож ной дальней ш ей ди ф ф еренци аци и к ри ти к у ем ог о п оня ти я N. В э том у ни версу м е поня ти еN м ож ет при ня ть на себя разли ч ны есоставля ю щ и е: у страни тели м онстров полаг аю т, ч то п оня ти е N и знач ально несет в себе основани е нелож ности С, в то врем я к ак оп роверг атели , наоборот, предполаг ая возм ож ность при м ени м ости поня ти я N к к онтрпри м еру k, для к оторог о верно к ак ч астное, так и общ ее основани е лож ности UС, тем сам ы м доп у ск аю т, ч то поня ти еN и знач ально расш и рено в своем определени и до обои х альтернати вны х определени й у ни версу м а U= C ∨ UС. Э ти си ту аци и м ож но вы рази ть специ альной рассм атри ваем ое в свя зи с тем

си м воли к ой . О бознач и м и ли и ны м

свои м

поня ти е N,

определени ем

из

у ни версу м а U, в ви депары (N, Х ), г деХ – э то та и ли и ная составля ю щ ая у ни версу м а U. Напри м ер, для у страни телей м онстров поня ти еN дано к ак пара (N, С), для опроверг ателей – к ак п ара (N, U). Т.к . С – ч асть у ни версу м а U, то с точ к и зрени я у страни телей м онстров опроверг атели «растя г и ваю т» (от С до U) поня ти я ; с точ к и зрени я опроверг ателей ,

26

наоборот, у страни тели м онстров «сж и м аю т» (от U до С) поня ти я . Д ля опроверг ателей в я вном ви деобог ащ ени езнани я вы рази тся в переходеот N к (N, U) – э то бу дет обог ащ ени ек ак расш и рени епоня ти я (сравни тельно с пози ци ей у страни телей м онстров, к оторы епереходя т от N к (N, С)). Рассм отри м

с э той точ к и все основны е м етоды анали за, опи санны е

Л ак атосом . 1. М етод трансф орм аци и

лем м

(Met0). Здесь м ы

и м еем

дело с

лок альны м и нег лобальны м к онтрпри м ером k, т.е. к онтрпри м ером для нек оторой лем м ы L в рам к ах нек оторой теори и Т. В процеду рах BasL(L,k) = UС и BasТ(L,k) = С вы я сня ю тся основани я лож ности (UС) и нелож ности (С) данной лем м ы для к онтрпри м ера. В резу льтате э тог о анали за лем м а L ог рани ч и вается основани ем нелож ности С, ч то м ож но обознач и ть к ак L↓C – «лем м а L при у слови и С» . Если N – ог рани ч и ваем ое поня ти е в лем м е L, то м ож но запи сать: L[N]↓C = L[N↓C], т.е. ог рани ч ени елем м ы L, в к отору ю входи т поня ти еN, - э то то ж есам ое, ч то вхож дени ев лем м у L и свя занны х с э ти м вхож дени й в теори ю Т ог рани ч енног о поня ти я N, т.е. поня ти я N↓C – «N при у слови и С» . О бъ ек т N↓C я бу ду пони м ать к ак пару (N,C) (см . вы ш е). Во всем остальном теори я Т не и зм еня ется . Теори ю Т, в к оторой прои зош ли опи санны е процеду ры , обознач и м

так ж е ч ерез Т↓С,

пони м ая под э ти м тольк о опи санноевы ш еи зм енени елем м ы (ни ж ев м етоде и нк орп ораци и лем м

теори я Т↓С п они м ается аналог и ч но).

Построени етеори и Т↓С при води т к вк лю ч ени ю к онтрп ри м ера k для теори и Т к ак при м ера теори и Т↓С. 2. М етод сдач и (Met1). В э том слу ч ае м ы и м еем дело с г лобальны м к онтрпри м ером

k, т.е. к онтрп ри м ером для основной дог адк и H в

нек оторой теори и Т. В процеду рах BasL(H,k) = UС и BasТ(H,k) = С м ог у т бы ть вы я снены основани я лож ности (UС) и нелож ности (С)

27

основной дог адк и для к онтрп ри м ера (хотя сам и «опроверг атели » в э том незаи нтересованы ). О проверг аем оек онтрпри м ером k поня ти е N, входя щ еев основну ю дог адк у , трак ту ется к ак пара (N,U), г деU = UС ∨ С, ч то делает опроверж и м ой к онтрпри м ером

и основну ю

дог адк у . О сновну ю дог адк у H, содерж ащ у ю поня ти е N к ак пару (N,U), я обознач у ч ерез H[(N,U)] = H[N]↓U. Если бы ть точ ны м , то м ы долж ны г овори ть все-так и о новой теори и Т↓U и в э том слу ч ае, отли ч ной от первонач альной теори и Т (под теори ей Т↓U я п они м аю здесь ту ж е теори ю Т, в к оторой тольк о вхож дени е п оня ти я N в основну ю дог адк у и свя занны ес э ти м вхож дени я поня ти я N в теори и Т

зам енены

на

вхож дени е N↓U).

Поэ том у

оп роверг ается

к онтрпри м ером k и м енно теори я Т↓U. 3. М етод у странени я м онстров (Met2). В э том слу ч аем ы так ж еи м еем дело с г лобальны м

к онтрпри м ером

k, т.е. к онтрп ри м ером

для

основной дог адк и H в нек оторой теори и Т. В процеду рах BasL(H,k) = UС и BasТ(H,k) = С вы я сня ю тся основани я лож ности (UС) и нелож ности (С) основной дог адк и для к онтрпри м ера. О проверг аем ое к онтрпри м ером

k поня ти е N, входя щ ее в основну ю

дог адк у ,

трак ту ется у страни теля м и м онстров к ак пара (N,С), ч то делает неопроверж и м ой к онтрпри м ером

основну ю дог адк у . К ром е тог о,

ог рани ч ени е поня ти я N до (N,C) рассм атри вается в данном м етоде к ак ог рани ч ени е в рам к ах определени я п оня ти я N, т.е. м нож ество объ ек тов, ранее обознач аем ы х поня ти ем

N, теперь сч и таю тся

охваты ваем ы м поня ти ем (N,C). О сновну ю дог адк у H, содерж ащ у ю поня ти еN к ак пару (N,С), я обознач у ч ерез H[(N,С)] = H[N]↓С. Т.о. теори я Т ог рани ч и вается у страни теля м и до теори и Т↓С, г деТ↓С – э то та ж етеори я Т, за и ск лю ч ени ем тог о, ч то вхож дени я поня ти я N в основну ю дог адк у H и свя занны ес э ти м вхож дени я э тог о поня ти я в

28

теори и Т м еня ю тся на (N,С) (аналог и ч но пони м аю тся теори и Т↓С и ли Т↓С* в м етодах у странени я и ск лю ч ени й и и справлени я м онстров – см . ни ж е). В резу льтатетак ог о рода процеду ры к онтрпри м ер k для теори и Т↓U ок азы вается и ск лю ч ени ем для теори и Т↓С. 4. М етод у странени я

и ск лю ч ени й

(Met3). Д ан нек оторы й

набор

г лобальны х к онтрпри м еров k1, k2,… ,kn, т.е. к онтрпри м еров для основной

дог адк и

H.

Бу дем

сч и тать,

ч то

всем и

э ти м и

к онтрпри м ерам и опроверг ается одно п оня ти еN, входя щ еев дог адк у H. Проводя тся

процеду ры

вы я снени я

основани й

лож ности

и

нелож ности , BasL(H,ki) = UiСi и BasТ(H,ki) = Сi, основной дог адк и для к аж дог о и з к онтрп ри м еров ki, i = 1,2,… , n. Затем и щ ется так ое поня ти е С*, ч то С* влеч ет к аж дое и з най денны х основани й нелож ности Сi. Поня ти е С* вы раж ает своег о рода «безопасну ю область» , позволя ю щ у ю , по м нени ю

у страни телей и ск лю ч ени й ,

и збави ть дог адк у H от к онтрпри м еров. По к рай ней м ере, ог рани ч ени е поня ти я N до (N,C*) позволя ет сделать основну ю

дог адк у Н

неопроверж и м ой для к аж дог о и з к онтрпри м еров ki. К ром е тог о, ог рани ч и ваю щ ее у слови е С*, в отли ч и е от м етода у странени я м онстров, рассм атри вается

в данном

слу ч ае не к ак

э лем ент

определени я поня ти я N, но к ак ви довой при знак , нак лады ваем ы й и звнена поня ти еN. В остальном э тот м етод неотли ч ается от м етода у странени я м онстров: теори я Т ог рани ч и вается до теори и Т↓С*, и к онтрпри м еры k1, k2,… ,kn становя тся и ск лю ч ени я м и и з теори и Т↓С*. 5. М етод и справлени я м онстров (Met4). Нач альны еу слови я здесь теж е, ч то и в м етодеу странени я м онстров. Д ан г лобальны й к онтрпри м ер k, т.е. к онтрп ри м ер для основной дог адк и H (т.е. нек оторог о поня ти я N, входя щ ег о в Н) в нек оторой теори и Т. В процеду рах BasL(H,k) = UС и BasТ(H,k) = С вы я сня ю тся основани я лож ности (UС) и нелож ности

29

(С) основной дог адк и для к онтрп ри м ера. О днак о затем ок азы вается , ч то су щ ность k м ож ет трак товаться двоя к о – к ак I1(k) и I2(k). При ч ем , одна и нтерпретаци я , напри м ер, I1(k), свя зана с основани ем лож ности UС, а дру г ая , I2(k), - с основани ем нелож ности С. Интерпретаци я су щ ности k к ак к онтрпри м ера для теори и Т↓U – э то и м енно I1(k). Вторая и нтерпретаци я , I2(k), - э то и нтерпретаци я су щ ности k к ак при м ера теори и Т↓С. Т.о. здесь ог рани ч ени етеори и Т до теори и Т↓С так ж е, к ак и в м етодетрансф орм аци и лем м , при води т к при ня ти ю k в к ач естве при м ера теори и Т↓С. При ч ем , к ак и в м етоде у странени я м онстров, ог рани ч и ваю щ ееу слови еС рассм атри вается к ак э лем ент определени я поня ти я N. 6. М етод и нк орпораци и

лем м

(Met5). Здесь м ы

и м еем

дело с

г лобальны м и лок альны м к онтрпри м ером k, т.е. к онтрпри м ером и для основной дог адк и Н и для нек оторой лем м ы L. Д алее проводи тся анали з основани я лож ности BasL(L,k) = UС и нелож ности BasТ(L,k) = С лем м ы L для к онтрпри м ера k. Вы я сня ем оеу слови енелож ности С лем м ы L для к онтрпри м ера k ог рани ч и вает далеенек отороепоня ти е N, входя щ еев основну ю дог адк у Н и опроверг аем оек онтрпри м ером k к ак

г лобальны м

к онтрпри м ером . В резу льтате п оня ти е N

ог рани ч и вается до (N,C). Соответственно, теори я Т ог рани ч и вается до теори и Т↓С, и к онтрпри м ер k ок азы вается и ск лю ч ени ем для теори и Т↓С. При ч ем , к ак и в м етоде у странени я и ск лю ч ени й , ог рани ч и ваю щ ее у слови е С

рассм атри вается

к ак

ви довое

ог рани ч ени е, нак лады ваем оеи звнена поня ти еN. 7. М етод

э к спли к аци и

лем м

(Met5.1).

Э тот м етод

отли ч ен

от

преды ду щ ег о тольк о одни м – тем , ч то к онтрпри м ер k одноврем енно с анали зом основани й лож ности и нелож ности при води т к э спли к аци и нек оторой ранеенея вной лем м ы L.

30

Итак , в лю бом

и з опи санны х м етодов м ы

м ож ем

ви деть, ч то

первонач альная теори я Т зам еня ется нек оторой теори ей Т*, г деТ* и м еет ви д Т↓Х для нек оторог о ог рани ч и ваю щ ег о поня ти я Х . Су щ ность k в э том слу ч ае я вля ется к онтрп ри м ером тольк о для теори и Т↓U и и ск лю ч ени ем для теори и Т↓С и ли Т↓С*. Поэ том у , если бы ть точ ны м , то следу ет зам ети ть, ч то су щ ность k вообщ е не определена к ак к онтрпри м ер и ли и ск лю ч ени е для теори и Т. То и ли и ное ее оп ределени е у ж е тем сам ы м предполаг ает рассм отрени е не теори и Т, но Т↓Х . В переходе ж е от Т к Т↓Х нет лог и ч еск ой необходи м ости , п о к рай ней м ере, в обы ч ном см ы сле ф орм альной лог и к и . Поэ том у Л ак атос и у тверж дает, ч то всек онтрпри м еры я вля ю тся

э ври сти ч еск и м и ,

всег да

предполаг ая

внелог и ч еск у ю

предпосы лк у зам ены теори и Т на теори ю Т↓Х . О тсю да ж е вы тек ает и постоя нная см ена я зы к ов в п роцессепознани я , т.к . новая теори я Т↓Х – э то всег да и новы й я зы к п о отнош ени ю к я зы к у теори и Т. Теори я Т м ож ет обог ащ аться по м ног и м поня ти я м Рi, неоднок ратно обог ащ ая сь в рам к ах одног о поня ти я с образовани ем всеновы х поня ти й Pji, j= 1, ni . В свя зи с оч ередны м

при ня ти ем поня ти я Pji образу ется и

соответству ю щ ая теори я Тj и з предш еству ю щ ей теори и Тj-1. В резу льтате опи санны х вы ш е неоднок ратны х обог ащ ени й теори я Т трансф орм и ру ется в теори ю Тj, и возни к ает м нож ество и ск лю ч ени й для э той теори и , бы вш и х ранее г лобальны м и к онтрп ри м ерам и для более ранни х верси й теори и Тj. О дноврем енно теори я Тj и вк лю ч ает в себя лок альны е и нег лобальны е к онтрпри м еры свои х более ранни х верси й . Так ов и тог дей стви я м етода анали за. Д алее, нач и ная с нек оторог о м ом ента, м ож ет возни к ну ть нек оторая новая теори я Т*, к оторая на основе м етода си нтеза вк лю ч и т в себя к ак при м еры теори и Тj, так и ееи ск лю ч ени я . Затем , теперь у ж епо отнош ени ю к теори и Т*, вновь м ож ет повтори ться вся опи санная процеду ра. М етод

31

си нтеза дает надеж ду

на преодолени е э тог о ди ссонанса, стрем я сь

вк лю ч и ть в теори ю Т* по возм ож ности м ак си м альноеч и сло у ни версу м ов обог ащ ени й поня ти й . Нап ри м ер, в при води м ом си нтеза

для

м ног ог ранни к ов,

вы ш е при м ере м етода

поня ти е “n-свя зности ”

ок азы вается

вк лю ч енны м в теори ю ч ерез к онстру и ровани еновог о основног о объ ек та “норм альны й

n-свя зны й

м ног ог ранни к ”, способног о содерж ать к ак

односвя зны е, так и м ног освя зны ег рани . Итак , в разви ти и знани я теперь м ож но бы ло бы г овори ть о следу ю щ и х основны х э тапах: 1. Э тап анали за, к ог да преобладает м етод анали за и прои сходи т неоднок ратноеобог ащ ени ена основек онтрпри м еров первонач альной теори и Т до нек оторой теори и Тj. 2. Э тап си нтеза, на к отором

м етодом

си нтеза создается нек оторая

теори я Т*, вк лю ч аю щ ая , к ак свои при м еры , при м еры и и ск лю ч ени я теори и Тj. Д алеелог и к а разви ти я знани я м ож ет воспрои зводи ть себя у ж ена более вы сок ом у ровнетеори и Т*. Разви ти езнани я в э той м одели предполаг ает рассм отрени епоня ти й не к ак зак онч енны х образовани й , но к ак ц еп ей, возм ож но беск онеч ны х, у ни версу м ов п оследу ю щ ей ди ф ф еренци аци и первонач альног о поня ти я . Так и е цепи тя ну тся и з лю бог о поня ти я . Теори я вк лю ч ает в себя всег да тольк о нек оторы е отрезк и поня ти й ны х цепей . При ч ем , так ое вк лю ч ени е м ож ет бы ть двоя к и м : теори я м ож ет вк лю ч ать в себя ли бо тольк о ч асти у ни версу м ов последу ю щ ей

ди ф ф еренци аци и

к онтрпри м еры ), ли бо у ни версу м ы в целом

(продолж ая

и ск лю ч ать

(вк лю ч ая в себя и бы вш и е

к онтрпри м еры ). О бразно теорети ч еск оезнани ем ож но представи ть в ви де своег о рода еж а, в к ач ествеи г олок к оторог о вы сту п аю т поня ти й ны ецепи , а сам а теори я дана к ак тот сг у сток м ентальной плоти , на м еру к оторой у дается п ог ру зи ть вну трь себя , в состав теорети ч еск и х си нтезов, отрезк и

32

поня ти й ны х цеп ей . По м ере разви ти я знани я , по-ви ди м ом у , растет к ак ч и сло и г олок (э к спли к аци я лем м в Met5.1), так и объ ем теорети ч еск ог о тела, всеполнеепог ру ж аю щ ег о в себя э ти и г лы . К ласси ч еск ая ф орм альная м одель нау ч ной теори и ок азы вается в э том слу ч аерезу льтатом ф и к саци и определенног о э тапа разви ти я нау ч ног о знани я , вы раж аем ог о в обрезани и поня ти й ны х цепей до нек оторы х проя вленны х к онтрпри м ерам и отрезк ов э ти х цепей и представлени и нау ч ной теори и в м еру дости г ну тог о ею си нтеза на так и х поня ти й ны х отрезк ах. Зам еч у ,

нак онец,

ч то

процесс разви ти я

знани я

протек ает к ак

к ом плек сная дея тельность м нож ества су бъ ек тов. О тдельны еболееч астны е м етодолог и и м етода анали за – э то одноврем енно вы раж ени я дея тельностей тех и ли и ны х су бъ ек тов. М ож но, так и м

образом , г овори ть о так и х

су бъ ек тах, к ак «трансф орм атор лем м » (Met0), «опроверг атель» (Met1) и «у страни тель м онстров» (Met2), «у страни тель и ск лю ч ени й » (Met3) и «и справи тель

м онстров»

(Met4),

«и нк орпоратор

лем м »

(Met5)

и

«э к сп ли к атор лем м » (Met5.1). Все э ти су бъ ек ты – подсу бъ ек ты су бъ ек та «анали ти к а» (MetА), к оторы й дополня ется су бъ ек том «си нтети к ом » (MetS). Нак онец,

все у к азанны е су бъ ек ты

и нтег ральног о

су бъ ек та

нау ч ног о

дея тельность в к ом плек сном

–

подсу бъ ек ты

познани я ,

нек оторог о

вы раж аю щ ег о

свою

«м етоде док азательств и оп роверж ени й » .

О сновная задач а, к отору ю стави л перед собой Л ак атос, - э то, по-ви ди м ом у , стрем лени епо возм ож ности м ак си м ально при бли зи ться к образу наи более и нтег ральног о су бъ ек та познани я , продолж аю щ ем у бы ть сам и м собой , но во все новы х образах нау ч ной м етодолог и и . Нак онец, и нтег ральны й су бъ ек т реали зу ет себя на м нож естве э м пи ри ч еск и х су бъ ек тов, роль к оторы х и г рали у ч ени к и и у ч и тель воображ аем ог о к ласса. Х отя нек оторы е и з у ч ени к ов при бли ж али сь к вы раж ени ю тог о и ли и ног о ч и стог о су бъ ек та, напри м ер, у ч ени к «Альф а» во м ног ом вы сту пает к ак «опроверг атель» , у ч ени к «Д ельта» - к ак «у страни тель м онстров» , и т.д., но рано и ли поздно

33

к аж ды й

и з ни х

обнару ж и вает зави си м ость п ри верж енности

своей

м етодолог и и от нек оторой си стем ы у слови й , и за г рани цам и э ти х у слови й они оди нак ово ок азы ваю тся ск лонны м и к обращ ени ю в «у страни телей м онстров» (ещ е более и зм енч и вой ок азы вается здесь реальная и стори я м атем ати к и , п рослеж и ваем ая Л ак атосом

в п одстроч ны х п ри м еч ани я х).

Просто у к ог о-то си стем а у слови й ок азы вается болеепросторной , у к ог о-то – м енее. Наи болееи нвари антны м вы сту пает в э том слу ч аеу ч и тель и сам автор. Зам еч у , ч то подобног о рода м етам етодолог и я , и ду щ ая ск возь все прои зведени е Л ак атоса, оч ень напом и нает м етод «к ри ти к и отвлеч енны х нач ал» в ру сск ой ф и лософ и и всееди нства (см . напр. (2, 3)), к ог да для к аж дог о и з относи тельны х нач ал рано и ли поздно обнару ж и ваю тся ег о г рани цы , и всеболееу стой ч и вы м к э той реля ти ви заци и ок азы вается ли ш ь си нтез («всееди нство» ) всех ранеевы я вленны х нач ал.

34

Л и терату ра 1. Л ак атос И. Д ок азательства и опроверж ени я . К ак док азы ваю тся теорем ы . -М .: Нау к а, 1967. - 152 с. 2. М ои сеев

В.И.

Феном ен

“си льной ”

си нерг ети к и :

м ентальное

м одели ровани е “к той ности ” и сам оразви ти я // Си нерг ети ч еск ая паради г м а. М ног ообрази е п ои ск ов и подходов. – М .: Прог рессТради ци я , 2000. – С.382 – 399. 3. М ои сеев В.И. Л ог и к о-ф и лософ ск ая рек онстру к ци я к онцепту альны х основани й ру сск ой ф и лософ и и всееди нства. – Воронеж : Изд-во Вор. ГУ , 2000. – 106 с. Состави тель - М ои сеев Вя ч еслав Иванови ч Редак тор Бу ни на Т.Д .