Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1
УДК 517.11:518.5
АРИФМЕТИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПУЛЬСИРУЮЩИЕ ИЕРАРХИИ Е. В. Гайлит
Аннотация: Осуществляется машинно-оракульное моделирование арифметики IIго порядка средствами итерированной клиниевской вычислимости. Искомый оракул строится посредством пульсирующего трансфинитного процесса, представляющего собой модификацию аналогичного процесса, использованного Н. В. Белякиным для решения частного случая этой задачи. Библиогр. 5.
1. Данная статья посвящена машинно-оракульному моделированию классического анализа (арифметики второго порядка). В теории вычислений с оракулами [1] приводятся дополнительные требования к оракулам, которые обеспечивают «комфортную» вычислимость. Эти условия должны обеспечивать замкнутость множества вычислимых функций относительно разнообразных квазиалгоритмических процедур, так или иначе связанных с бесконечным перебором. Основное условие — регулярность или наличие селекторного свойства, т. е. такой вычислимой процедуры, которая по коду непустого F -перечислимого множества (области определения F -вычислимой функции) находит его элемент. Другое полезное условие, накладываемое на оракул F : если у F -вычислимого дерева обрываются все F -вычислимые цепи, то у него обрываются все цепи. Последнее условие равносильно F -вычислимости функционала E1 (гиперджампа): 0, если (∀η)(∃t)(β(¯ η (t)) = 0), E1 (β) = 1 в противном случае, где η¯(t) = hη(0), . . . , η(t − 1)i. Это значит, что E1 (λt{y}F (t)) F -вычислимо равномерно по y ∈ B ∗ (F ), где B ∗ (F ) — множество, состоящее из всевозможных F -кодов тотальных F -вычислимых функций. Пусть MF — множество всех таких функций. Задача заключается в построении такого оракула F , чтобы MF давало модель арифметики второго порядка. Нас будут далее интересовать оракулы, построенные средствами итерированной клиниевской вычислимости [2]. Напомним их определение. Пусть ν — ординальная нумерация (вообще говоря, многозначная), т. е. отображение некоторого числового множества K [ν] на ординал |ν|; ν τ — начальный отрезок нумерации ν длины τ ; Nντ — номерное множество ординала τ . Каждому τ 6 |ν| ставится в соответствие оракул Hντ , определяемый как частичная числовая функция (удовлетворяющая некоторому условию минимальности), для которой (равномерно по ν, τ ) выполнены условия: а) функционал E1 Hντ -вычислим; б) графики Hνσ и номерные множества Nνσ (σ < τ ) Hντ -разрешимы равномерно по ν-номерам σ. c 2002 Гайлит Е. В.
34
Е. В. Гайлит
В дополнение к сказанному отметим, что все оракулы Hντ по построению регулярны и τ1 < τ2 6 |ν| влечет Hντ1 ⊆ Hντ2 . Кроме того, упомянутая равномерность по ν, τ означает, что при построении Hντ используются только ν-номера ординалов σ < τ . Множество MHντ будем в дальнейшем обозначать через Mντ . Ординал τ 6 |ν| называется точкой насыщения нумерации ν, если [ B ∗ (Hντ ) = B ∗ (Hνσ ). σ<τ
Множество всех точек насыщения обозначим через N00 [ν]. Пусть N0γ+1 [ν] — множество элементов N0γ [ν], являющихся предельными точками N0γ [ν]. Для T 0 0 Nη [ν]. Если τ ∈ N0γ [ν] − N0γ+1 [ν], то будем предельных γ пусть Nγ [ν] = η<γ
говорить, что τ — точка насыщения ранга γ. Множество всех точек насыщения ранга γ обозначим через Nγ [ν]. |ν| Ниже мы построим нумерацию ν такую, чтобы Mν давало (стандартную) модель арифметики второго порядка. Для этого, как известно, достаточно, |ν| чтобы в Mν выполнялась схема аксиом свертывания, т. е. |ν|
∃α ∈ Mν|ν| ∀x (α(x) = 0 ⇔ ϕMν (x)),
(1) Mν|ν|
где ϕ — произвольная формула арифметики второго порядка, ϕ — резуль|ν| тат ограничения функциональных кванторов ϕ множеством Mν . Формула ϕ может включать помимо x другие свободные переменные (числовые и функциональные), и подразумевается, что функциональные переменные замещены |ν| произвольными Hν -вычислимыми тотальными функциями. В статье [3] построена такая ν, для которой требование (1) выполнялось лишь применительно к таким ϕ, которые, будучи приведены к предваренной форме, содержат в приставке не более двух функциональных кванторов. Здесь этот результат обобщается на произвольные ϕ. Построение нужной нумерации ν осуществлялось в [3] посредством некоего «пульсирующего» процесса. В предлагаемой статье этот процесс надлежащим образом обобщается и модифицируется. 2. Осуществим некоторые вспомогательные построения. Как явствует из [4, гл. 16], для того чтобы удовлетворить схеме (1), достаточно построить такой оракул F , что для любого r ∈ B ∗ (F ) множество {a : Q1 α1 ∈ MF . . . Qn αn ∈ MF Qn+1 t({r}F (a, α ¯ 1 (t), . . . , α ¯ n (t)) = 0)}, где Q1 , . . . , Qn+1 — цепочка чередующихся кванторов ∀ и ∃, F -разрешимо равномерно по r. Принимая это во внимание, построим для произвольной много|ν| i,τ значной нумерации ν числовые множества Sν,r для r ∈ B ∗ Hν , i < ω и для i,τ подходящих τ 6 |ν|. Построение множеств Sν,r будет осуществляться индукцией по i. Чтобы уловить замысел этого индукционного построения, рассмотрим случаи i = 1, 2, 3. Дальнейший индукционный процесс после этого станет очевидным. |ν| 1,τ Итак, займемся определением множеств Sν,r . Для каждого r ∈ B ∗ Hν σ 1 (r) 1,τ существует минимальное σ 1 (r) 6 |ν| такое, что r ∈ B ∗ Hν ; множества Sν,r 1 определяются для τ > σ (r): σ 1 (r) 1,τ ¯ Sν,r = a : ∃α ∈ Mντ ∀β ∃t({r}Hν (a, α ¯ (t), β(t)) = 0) . (2)
Арифметика второго порядка
35
Легко видеть, что поскольку рассматриваемые оракулы вычисляют гиперджамп, то в формуле (2) можно неограниченный квантор ∀β заменить ограниченным квантором ∀β ∈ Mντ . Такая формула будет определять то же самое 1,τ множество. Легко видеть, что при возрастании τ множества Sν,r могут лишь расширяться. 1,τ Пусть нумерация ν такова, что всякая последовательность Sν,r (σ 1 (r) 6 |ν| 1 τ 6 |ν|) стабилизируется в некоторый момент τ (r) для каждого r ∈ B ∗ Hν . Подразумевается, что τ 1 (r) < |ν|, коль скоро σ 1 (r) < |ν|, если же σ 1 (r) = |ν|, то полагаем τ 1 (r) = |ν|. Для любого σ 6 |ν| положим [ ϕ1ν (σ) = {τ 1 (r) : σ 1 (r) 6 σ}. Легко видеть, что ϕ1ν (|ν|) = |ν| (в принципе это возможно и для σ < |ν|). Опре|ν| 2,τ и σ 1 (r) 6 τ 6 |ν|), полагая (для r ∈ B ∗ Hν делим теперь множества Sν,r σ 1 (r) ϕ1 (τ ) 2,τ ¯ Sν,r = a : ∃α ∈ Mντ ∀β ∈ Mν ν ∃η ∀t({r}Hν (a, α ¯ (t), β(t), η¯(t)) = 0) . 2,τ2 2,τ1 . ⊆ Sν,r Убедимся, что τ1 < τ2 влечет Sν,r 2,τ1 Действительно, пусть a ∈ Sν,r и α ∈ Mντ1 такова, что ϕ1 (τ )
∀β ∈ Mν ν
σ 1 (r)
∃η ∀t ({r}Hν
1,ϕ1 (τ1 )
Это означает, что a ∈ / Sν,r0ν
¯ (a, α ¯ (t), β(t), η¯(t)) = 0). для подходящего r0 ∈ B ∗ Hντ1 , а поскольку 1,ϕ1 (τ )
2,τ2 . / Sν,r0ν 2 , т. е. a ∈ Sν,r ϕ1ν (τ1 ) 6 ϕ1ν (τ2 ), то (согласно определению ϕ1ν ) a ∈ 2 2,τ Если всякая последовательность Sν,r стабилизируется в момент τ (r) 6 |ν|, то можно определить функцию [ ϕ2ν (σ) = {τ 2 (r) : σ 1 (r) 6 σ}.
Ясно, что ϕ2ν (|σ|) = |ν| начиная с некоторого σ 6 |ν|. Определим множество σ 1 (r) ϕ2 (τ ) ϕ1 ϕ2 (τ ) 3,τ Sν,r = a : ∃α ∈ Mντ ∀β ∈ Mν ν ∃η ∈ Mν ν ν ∀η 0 ∃t ({r}Hν ¯ (a, α ¯ (t), β(t), η¯(t), η¯ 0 (t)) = 0) |ν| для r ∈ B ∗ Hν , σ 1 (r) 6 τ 6 |ν|. Аналогично предыдущему случаю убеж3,τ1 3,τ2 даемся, что если τ1 < τ2 , то Sν,r ⊆ Sν,r и мы можем построить подходящую функцию ϕ3ν (σ), и т. д. После того как закономерность уже найдена в этом индукционном проi,τ цессе, мы можем построить функции ϕiν (σ) и множества Sν,r для всех i < ω, i,τ а также проверить монотонность всех множеств Sν,r при возрастании τ . При этом должно выполняться условие, чтобы на каждом предыдущем шаге имела место нужная стабилизация. Более формальное описание аналогичного процесса можно найти в [5]. Здесь цель состоит в построении нумерации ν таким i,τ образом, чтобы |ν| ∈ N00 [ν], множества Sν,r стабилизировались до момента |ν|, |ν|
а также все они были Hν -разрешимыми равномерно по r. 3. Переходим к описанию пульсирующего процесса. Индукцией по σ ∈ On построим последовательность многозначных нумераций νσ и вспомогательных множеств Mσ . Пусть построены νσ0 и Mσ0 (σ 0 < σ) и приняты некоторые индукционные предположения. Вводить их будем постепенно по мере надобности.
36
Е. В. Гайлит
Отметим сразу, что в этих нумерациях точки насыщения только конечных рангов и процесс будет устроен таким образом, что он оборвется при достижении первой точки насыщения ранга ω. Полученная при этом нумерация будет результирующей. Через ξσ∗ будем обозначать множество тех ξ, для которых существует σ 0 < σ такое, что для любого σ 00 такого, что σ 0 6 σ 00 < σ, верно |νσ00 | > ξ. Наименьшее такое σ 0 обозначим через σ(ξ). Будем говорить, что для ξσ∗ выполняется случай (A), если начиная с некоторого σ ∗ < σ справедливо |νσ0 | > ξσ∗ . (i) Индукционное предположение. Если σ(ξ) 6 σ 0 < σ 00 < σ и ξ 0 6 ξ < 0 0 то имеет место Nνξσ0 = Nνξσ00 (ii) Индукционное предположение. Если имеет место случай (A), то ξ∗ ξ∗ из σ ∗ 6 σ1 < σ2 < σ следует, что ∅ 6= N νσσ1 ⊆ N νσσ2 , где для любого ξ 6 ξσ∗ Nνξσ0 , если ξ < |νσ0 |, N νξσ0 = Mσ0 , если ξ = |νσ0 |. Построим вспомогательную нумерацию ν˙ σ , |ν˙ σ | = ξσ∗ , полагая по определению Nν˙ξσ = Nνξσ(ξ) для любого ξ < ξσ∗ . Из индукционного предположения (i) следует ν˙ σ |νσ(ξ) | = νσ(ξ) (ξ < ξσ∗ ), Hν˙τσ = Hντσ(ξ) для любого τ 6 |νσ(ξ) | и, значит, нумерации νσ(ξ) и ν˙ σ |νσ(ξ) | имеют одни и те же точки насыщения тех же рангов. Займемся теперь описанием структуры множеств N νξσ0 . (iii) Индукционное предположение. Если ξ 6 |νσ0 | не точка насыщения νσ0 , то множество N νξσ0 состоит из всевозможных четверок вида (0; r; a; s), где S ∗ r ∈ B ∗ Hνξσ0 − B Hνζσ0 ; ζ < ξ и ξσ∗ ,
Hνξ
∀β ∃t ({r}
σ0
¯ (a, α ¯ (t), β(t)) = 0)
для некоторой функции α, графиком которой является множество таких s, что (0; r; a; s) ∈ N νξσ0 . Говоря неформально, функция α удостоверяет принадлеж(когда ξ < |νσ0 |). Напомним, что согласно определеность a множеству Sν1,ξ+1 σ 0 ,r нию итерированной клиниевской вычислимости множество Nνξσ0 , вообще говоря, не является Hνξσ0 -разрешимым и поэтому Hνξσ0 -вычислимость α не гарантируется. Замечание. Сказанное в (iii) распространяется и на множества N ν˙ξσ для ξ, не являющихся точками насыщения нумерации ν˙ σ , так как ν˙ τ |νσ(ξ) | = νσ(ξ) . Далее ищем наименьший ординал δ = δ(σ) < |ν˙ σ | (если он существует) S ∗ δ(σ) − B Hν˙γσ : γ < δ(σ) найдутся такой, что для некоторых r ∈ B ∗ Hν˙ σ 1,|ν˙ |
δ(σ)
a ∈ Sν˙ σ ,rσ такие, что никакая четверка вида (0; r; a; s) не принадлежит Nν˙ σ . Каждую такую пару r, a будем называть нарушающей парой. Если для ν˙ σ существует хотя бы одна нарушающая пара, то будем говорить, что имеет место пульсация первого рода. В этом случае по определению νσ = ν˙ σ δ(σ). Займемся построением Mσ применительно к данному случаю. |ν˙ | Для каждой нарушающей пары r, a находим Hν˙ σ σ -вычислимую функцию αr,a (с минимальным г¨еделевским номером), «удостоверяющую» принад1,|ν˙ | лежность a множеству Sν˙ σ ,rσ , т. е. такую, что δ(σ)
¯ ∀β ∃t ({r}Hν˙ σ (a, α ¯ r,a (t), β(t)) = 0).
Арифметика второго порядка
37
Для данной нарушающей пары r, a строим множество четверок вида (0; r; a; s) для всех s, принадлежащих графику αr,a . Каждое такое множество добавляем δ(σ) к номерному множеству Nν˙ σ , и эту сумму берем в качестве Mσ . Допустим, что пульсации (первого рода) нет и ξσ∗ не точка насыщения нумерации ν˙ σ . Если для ξσ∗ имеет место случай (A), то возьмем в качестве νσ нумерацию длины ξσ∗ + 1 такую, что νσ ξσ∗ = ν˙ σ и [ ξ ∗ ξ∗ Nνσσ = N νσσ0 : σ ∗ 6 σ 0 < σ . Построим множество Mσ для этого случая. Оно состоит из четверок вида (0; r; a; s) таких же, как в индукционном предположении (iii), но применительно к [ ∗ σ| r ∈ B ∗ Hν|ν − B Hνζσ : ζ < |νσ | . σ Очевидно, что Mσ непусто, поскольку |νσ | — непредельный ординал (см. [2]). Допустим, что для ξσ∗ не имеет места случай (A). Полагаем νσ = ν˙ σ . Множество Mσ построим, как в предыдущем случае. Непустота Mσ в данном случае |ν | обеспечивается тем, что ξσ∗ не точка насыщения и в B ∗ Hνσ σ наверняка найдутся новые г¨еделевские номера тождественно истинного предиката. Рассмотрим следующую возможность: когда пульсации (первого рода) нет, но ξσ∗ является точкой насыщения того или иного ранга. Тогда в зависимости от ранга ξσ∗ следует принять то или иное индукционное предположение. Займемся сначала случаем, когда ранг равен нулю, т. е. ξσ∗ — изолированная точка насыщения ν˙ σ . При этом ниже нам понадобятся множества вида Sν2,τ ˙ σ ,r и потому надо предварительно выяснить, как обстоит дело с функцией ϕ1ν˙ σ , и одновременно что-то предположить по индукции касательно функций ϕ1νσ0 (σ 0 < σ). (iv) Индукционное предположение. Пусть ξ — какая-нибудь точка насыщения нумерации νσ0 . Берем τ < ξ и любое r ∈ B ∗ Hντσ0 . Рассмотрим 0 , где τ 6 τ 0 6 |νσ0 |. Предположение заключается последовательность Sν1,τ σ 0 ,r в том, что для любого такого r эта последовательность стабилизируется на некотором шаге τ 1 (r) < ξ. (Тогда в соответствии с определением из п. 2 имеем для τ < ξ в силу регулярности оракула Hνξσ0 ϕ1νσ0 (τ ) < σ и ϕ1νσ0 (ξ) = ξ.) Очевидно, если для ξ < ξσ∗ имеет место ξ ∈ N00 [νσ(ξ) ], то для σ1 , σ2 , где σ(ξ) ≤ σ1 < σ2 < σ, справедливо ϕ1νσ1 ξ = ϕ1νσ2 ξ. Отсюда, в частности, вытекает, что ϕ1ν˙ σ (τ ) = ϕ1νσ(ξ) (τ ), если τ < |νσ(ξ) |. Так как ξσ∗ — точка насыщения, то ϕ1ν˙ σ (ξ) < ξσ∗ для ξ < ξσ∗ и ϕ1ν˙ σ (ξσ∗ ) = ξσ∗ . (v) Индукционное предположение. Если ξ 6 |νσ0 | — точка насыщеξ ния нумерации νσ0 ранга 0, то N νσ0 состоит из всевозможных четверок вида {1; r; a; s), где [ ∗ B Hνζσ0 : ζ < ξ и ζ ∈ N0 [νσ0 ] . r ∈ B ∗ Hνξσ0 − При этом для каждого такого r и для каждого a, упомянутого в четверке, содержащей r, имеет место ϕ1ν
∀β ∈ Mνσ0σ0
(ξ + )
Hνξ
∃η ∀t ({r}
σ0
¯ (a, α ¯ (t), β(t), η¯(t)) = 0)
для некоторой функции α, графиком которой является множество таких s, что (1; r; a; s) ∈ N νξσ0 (где ξ + = ξ + 1, если ξ < |νσ0 |, и ξ + = |νσ0 |, если ξ = |νσ0 |).
38
Е. В. Гайлит
Функция α на этот раз удостоверяет принадлежность a множеству Sν2,ξ+1 (для σ 0 ,r ξ < |νσ0 |). Замечание. Сказанное распространяется на нумерацию ν˙ σ , как это было для индукционного предположения (iii) по аналогичной причине. Введем понятие пульсации второго рода. Ищем наименьший ординал δ = δ 2 (σ) < |ν˙ σ | (если он существует) такой, что для некоторых [ δ 2 (σ) r ∈ B ∗ Hν˙ σ − B ∗ Hν˙γσ : γ < δ 2 (σ) и γ ∈ N0 [ν˙ σ ] 2,|ν˙ |
найдутся a, принадлежащие Sν˙ σ ,rσ , такие, что никакая четверка вида (1; r; a; s) 2
δ (σ)
не принадлежит Nν˙ σ . Каждую такую пару r, a будем называть нарушающей парой (второго рода). Если для ν˙ σ существует хотя бы одна такая нарушающая пара, то будем говорить, что имеет место пульсация второго рода, и тогда положим νσ = ν˙ σ δ 2 (σ). Множество Mσ строится так. Для каждой |ν˙ | нарушающей пары r, a находим Hν˙ σ σ -вычислимую функцию αr,a (с минимальным г¨еделевским номером), «удостоверяющую» принадлежность a множеству 2,|ν˙ | Sν˙ σ ,rσ . Для каждой нарушающей пары r, a строим множество четверок вида (1; r; a; s) для всех s, принадлежавших графику αr,a . Каждое такое множество δ 2 (σ)
добавляем к номерному множеству Nν˙ σ , и эту сумму берем в качестве Mσ . Если нет пульсации (второго рода), а ξσ∗ — изолированная точка насыщения и при этом имеет место случай (A), то в качестве νσ берем нумерацию длины S ξσ∗ ξ∗ N νσ0 : σ ∗ < σ 0 < σ . |ν˙ σ | + 1, полагая νσ ξσ∗ = ν˙ σ , а Nνσσ = Если не имеет места случай (A) (и ξσ∗ ∈ N0 [ν˙ σ ]), то полагаем νσ = ν˙ σ . Строим Mσ так же, как в случае, когда ξσ∗ не была точкой насыщения, но на этот раз применительно к [ |ν˙ | r ∈ B ∗ Hν˙ σ σ − B ∗ Hν˙ζσ , ζ < |ν˙ σ |, ζ ∈ N0 [ν˙ σ ] 2,|ν˙ |
(и для a ∈ Sν˙ σ ,rσ ). Непустота этого множества обосновывается, как выше. Случаи, когда ранг ξσ∗ больше нуля, разбираются аналогично, поскольку закономерность уже уловлена. Опишем вкратце случай, когда ξσ∗ ∈ N1 [ν˙ σ ]. Тогда на основании уже рассмотренного ранее мы можем определить функцию ϕ2ν˙ σ , предварительно приняв надлежащее индукционное предположение, которое в данном случае имеет следующий вид. (vi) Индукционное предположение. Пусть ξ — какая-нибудь точка насыщения нумерации νσ0 ранга ≥ 1. Берем τ < ξ и любое r ∈ B ∗ Hντσ0 . 0 для τ 0 > τ . Предположение заключается Рассмотрим последовательность Sν2,τ σ 0 ,r в том, что для любого r эта последовательность стабилизируется на некотором шаге τ 2 (r) < ξ. Тогда в соответствии с определением из п. 2 имеем ϕ2νσ0 (ξ) = ξ для ϕ2νσ0 (τ ) < ξ, τ < ξ. (vii) Индукционное предположение. Если ξ — точка насыщения нумеξ рации νσ0 ранга 1, то N νσ0 состоит из всевозможных четверок вида (2; r; a; s), где [ ∗ r ∈ B ∗ Hνξσ0 − B Hνζσ0 : ζ < ξ и ζ ∈ N1 [νσ0 ] .
Арифметика второго порядка
39
При этом для каждого такого r и для каждого a, упомянутого в какой-нибудь четверке, содержащей r, имеет место ϕ2ν
∀β ∈ Mνσ0σ0
(ξ + )
ϕ1ν
∃η1 ∈ Mνσ0σ0
ϕ2ν
σ0
(ξ + )
∀η2 ∃t ({r}
Hνξ
σ0
¯ (a, α ¯ (t), β(t), η¯1 (t), η¯2 (t)) = 0)
для некоторой функции α, графиком которой является множество таких s, что (2; r; a; s) ∈ N νξσ0 . Функция α на этот раз «удостоверяет» принадлежность a множеству Sν3,ξ+1 (для ξ < |νσ0 |). σ 0 ,r Замечание. Сказанное в (vi) и (vii) распространяется на нумерацию ν˙ σ , как было для индукционных предположений (iii), (v) по аналогичной причине. Аналогичным образом определяем пульсацию третьего рода, и далее идет разбор тех же случаев, что в ситуации, когда ξσ∗ было точкой насыщения ранга 0. Построение νσ , Mσ осуществляется подобным образом. А именно, определяются нарушающие пары третьего рода, пульсация третьего рода, и разбираются случаи: a) пульсация есть; b) пульсации нет, но имеет место случай (A) для ξσ∗ ; c) пульсации нет, но не имеет места случай (A). По мере возрастания ранга ξσ∗ мы каждый раз принимаем надлежащие индукционные предположения, аналогичные ранее введенным, в которых задейi,τ и ϕiν для последующих i < ω. ствованы Sν,r Описание индукционного шага тем самым завершается. Нетрудно усмотреть, что индукционные предположения сохраняют свою силу при переходе от σ к σ + 1. Замечание. Когда σ — предельный ординал, мы просто объединяем семейства {νσ00 , Mσ00 | σ 00 < σ 0 } для σ 0 < σ. При таком объединении индукционные предположения тривиальным образом сохраняются. Как видно из этого описания, процесс обрывается при достижении такого σ, когда ξσ∗ ∈ Nω [ν˙ σ ]. В силу индукционных предположений (iv), (vi) и т. д. все множества вида Sνi,τ ˙ σ ,r будут разрешимы равномерно по r (в силу регулярности |ν˙ |
Hν˙ σ σ ), откуда и следует, что замыкающий оракул нумерации ν˙ σ даст искомую модель арифметики второго порядка. Осталось только показать, что процесс действительно оборвется. Предположим от противного, что процесс длится по всем ординалам. Множества N ν0σ можно определить для всех σ, и последовательность этих множеств монотонно расширяется по включению. Значит, она должна стабилизироваться на некотором σ0 . Для σ > σ0 очевидно, что |νσ | > 1, тем самым N ν1σ , σ > σ0 , могут быть определены и снова образуют монотонную последовательность, стабилизирующуюся на некотором шаге σ1 . Так как σ0 6 σ1 , то N ν0σ0 = N ν0σ1 , и поэтому N ν0σ0 и N ν1σ1 не пересекаются, будучи номерными множествами одной нумерации. Продолжая, мы построим последовательность ординалов σξ такую, что множества N νξσ определены и попарно не пересекаются. ξ Но поскольку ξ пробегает по всем ординалам, это невозможно. Значит, последовательность νσ обрывается, что и требовалось доказать. В заключение заметим, что описанный здесь «пульсирующий» процесс использует счетное число индукционных предположений. Каждое из них в отдельности выражается посредством некоторой формулы второго порядка, и по-
40
Е. В. Гайлит
i,τ скольку определения множеств Sν,r при разных i задаются разными формулами, свести все эти предположения к одной формуле (второго порядка) не удается. Более того, это невозможно в силу теоремы Г¨еделя о неполноте. Тем не менее такое сведение осуществимо в рамках теории ZFC, так как в этой теории выразима истинность формул арифметики второго порядка в их естественной интерпретации (посредством определения истинности по Тарскому). Следовательно, описанное в данной статье построение нужной модели осуществимо в ZFC.
ЛИТЕРАТУРА 1. Ганов В. А., Белякин Н. В. Общая теория вычислений с оракулами. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1989. 2. Белякин Н. В. Итерированная клиниевская вычислимость // Сиб. мат. журн.. 1989. Т. 30, № 6. С. 27–32. 3. Белякин Н. В. Пульсирующие иерархии // Сиб. мат. журн.. 1994. Т. 35, № 3. С. 520–526. 4. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972. 5. Белякин Н. В. Обобщенные вычисления и арифметика второй ступени // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 4. С. 375–405. Статья поступила 17 апреля 2001 г. Гайлит Евгения Валерьевна Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090
[email protected]
