Вводный курс математики: Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет»

А.П. Ильиных

В ВОДНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Екатеринбург 2006

И 45 РЕЦЕНЗЕНТ: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.А.Махнев. И 45 Ильиных А.П. Вводный курс математики: учебное пособие / Урал. гос. пед. ун-т.– Екатеринбург, 2006. – 110 с. Пособие является курсом лекций по дисциплине "Вводный курс математики"и предназначено для студентов дневного и заочного отделений математических факультетов педагогических вузов. В нем рассматриваются первоначальные понятия теории множеств и математической логики, бинарных отношений и отображений, излагаются элементы комбинаторики без повторений, бином Ньютона и метод математической индукции. Знакомство с этими разделами необходимо для усвоения основных математических курсов, введенные понятия и терминология постоянно используются при изучении алгебры, геометрии и математического анализа. Многие разделы вводного курса математики непосредственно связаны со школьной математикой. Поэтому изучение вводного курса математики способствует глубокому усвоению последующих математических дисциплин и успешному преподавания математики в школе.

c Уральский государственный ° педагогический университет, 2006 c Ильиных А.П., 2006 °

Содержание Лекция 1. Высказывания. Операции над высказываниями . . . . . . . . . . 4 Лекция 2. Формулы алгебры высказываний. Запись предложений на языке алгебры высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Лекция 3. Равносильность формул. Тождественно истинные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Лекция 4. Предикаты. Операции над предикатами . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Лекция 5. Кванторы. Запись предложений на языке логики предикатов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Лекция 6. Множества. Способы задания множеств . . . . . . . . . . . . . . . 42 Лекция 7. Операции над множествами. Свойства операций над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Лекция 8. Бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Лекция 9. Отношения эквивалентности и разбиения множеств . . . . 64 Лекция 10. Отображения множеств. Виды отображений . . . . . . . . . . 71 Лекция 11. Произведение отображений. Мощность множества . . . . 78 Лекция 12. Комбинаторика без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Лекция 13. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Лекция 14. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3

Лекция 1. Высказывания. Операции над высказываниями Высказывания. Логика — наука о построение правильных умозаключений. Математическая логика является разделом математики, посвященном изучению математических доказательств и вопросов оснований математики. Первоначальным разделом математической логики является алгебра высказываний. В этом разделе изучяются способы построения новых высказываний из уже имееющихся высказываний и законы, связанные с данными построениями. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 . Высказывание — это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами A, B, C, . . . или буквами с индексами A1 , B 1 , . . . . П РИМЕР 1.1. Следующие предложения являются высказываниями. A1 : A2 : A3 : A4 :

«Екатеринбург — город в Азии». «Число 6 больше числа 5». «Число 6 больше числа 7». «А.С.Пушкин родился в XIX веке».

Высказывания A1 и A2 являются истинными, а высказывание A3 и A4 являются ложными высказываниями. П РИМЕР 1.2. Следующие предложения не являются высказываниями. B1 : B2 : B3 : B4 :

«Какое сегодня число?» «Привет всем!» «x больше числа 7». «Прямые x и y параллельны».

Мы не можем приписать значение истина или ложь данным предложениям. Например, в предложении B3 буква x — это переменная. Если заменить x на 9, то получим истинное высказывание 9 ¡ 7. Если заменить x на 4

5, то получим ложное высказывание 5 ¡ 7. А если буква x —это переменная, нельзя приписать ни значение истина, ни значение ложь. Аналогично предложение B4 не высказывание. Также нельзя приписать значение истина или ложь вопросительному предложению B1 и восклицательному предложению B2 . Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Операции над высказываниями. Некоторые сложные высказывания построены из более простых высказываний. Для такого построения используются следующие логические знаки

^, _, Ñ, Ø,

–.

которые имеют соответственно названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. Конъюнкция высказыванией. Пусть A и B — произвольные высказывания. Тогда можно составить новое высказывание A ^ B, которое называтся конъюнкцией высказыванией A и B. Высказывание A ^ B является истинным тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания A и B. Пусть, например, имеем два высказывания A и B, где A: «Екатеринбург — город в Азии» и B: «Лена — река в Европе». Используем следующие варианты чтения высказывания A ^ B: 1) A конъюнкция B, 2) A и B. Поэтому высказывание A ^ B можно прочитать так: «Екатеринбург — город в Азии и Лена — река в Европе». Это высказывание ложно. Действительно, высказывание A ^ B является истинным в единственном случае, когда истинны оба высказывания A и B. Однако высказывание высказывание B: «Лена — река в Европе» ложно. Рассмотрим произвольные высказывания A и B и полученное из них высказывание A ^ B. Высказывания A и B является истинными или ложными. Возможны 4 варианта для значений «истина» «ложь» высказываний A и B: 1) A истинно, B истинно; 2) A истинно, B ложно; 2) A ложно, B истинно; 2) A ложно, B ложно. В каждом из этих случаев вычислим значение «истина» или «ложь» для высказывания A ^ B. Получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности для конъюнкции.

5

A И И Л Л

B A^B И И Л Л И Л Л Л

В этой таблице значения высказываний «истина», «ложь» сокращенно обозначаются через «И», «Л». Дизъюнкция высказыванией. Пусть A и B — произвольные высказывания. Тогда можно составить новое высказывание A _ B, которое называтся дизъюнкцией высказыванией A и B. Высказывание A _ B является истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний A и B. Варианты чтения высказывания A _ B: 1) A дизъюнкция B, 2) A или B. Пусть, например, имеем два высказывания A: «Екатеринбург — город в Азии» и B: «Лена — река в Европе». Высказывание A _ B можно прочитать так: «Екатеринбург — город в Азии или Лена — река в Европе». Это высказывание истинно, так как истинно высказывание A. Таблица истинности для дизъюнкции имеет следующий вид. A И И Л Л

B A_B И И Л И И И Л Л

Импликация высказыванией. Пусть A и B — произвольные высказывания. Тогда можно составить новое высказывание A Ñ B, которое называтся импликацией высказыванией A и B. Высказывание A Ñ B является ложным тогда и только тогда, когда высказывание A истинно, а высказывание B ложно. Во всех остальных случаях высказывание A Ñ B истинно. Высказывание A Ñ B, где A: «Екатеринбург — город в Азии» и B: «Лена — река в Европе» ложно, так как высказывание A истинно, а высказывание B ложно. Возможны следующие варианты чтения высказывания A Ñ B: 1) A импликация B; 2) если A, то B; 3) A влечет B; 4) из A следует B; 5) A достаточно для B; 6) B необходимо для A. 6

Таблица истинности для импликации имеет вид. A И И Л Л

B AÑB И И Л Л И И Л И

Эквиваленция высказыванией. Пусть A и B — произвольные высказывания. Тогда можно составить новое высказывание A Ø B, которое называтся эквиваленцией высказыванией A и B. Высказывание A Ø B является истинным тогда и только тогда, когда высказывание A и B оба истинны или оба ложны. Если одно из высказываний A или B истинно, а другое ложно, то высказывание A Ø B ложно. Высказывание A Ø B, где A: «Екатеринбург — город в Азии» и B: «Лена — река в Европе» ложно, так как высказывание A истинно, а высказывание B ложно. Возможны следующие варианты чтения высказывания A Ø B. 1. A эквиваленция B; 2. A равносильно B; 3. A необходимо и достаточно для B; 4. A тогда и только тогда, когда B. Таблица истинности для эквиваленции имеет следующий вид. A И И Л Л

B AØB И И Л Л И Л Л И

Отрицание высказывания. Пусть A — высказывание. Тогда можно ¯ которое называтся отрицанием выскасоставить новое высказывание A, зывания. Высказывание A¯ истинно, если высказывание A ложно, и высказывание A¯ ложно, если A истинно. ¯ где A: «Екатеринбург — город в Азии» ложно. Высказывание A, ¯ Возможны следующие варианты чтения высказывания A: 1) отрицание A; 2) не A. 7

Вместо записи A¯ в некоторых учебниках применяется запись A. Таблица истинности для отрицания имеет вид. A A И Л Л И Связь с естественным языком. Мы ввели следующие правила приписывания сложным высказываниям значений «истина» или «ложь». • Высказывание A ^ B является истинным тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания A и B. • Высказывание A _ B истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний A и B. • Высказывание A Ñ B ложно только в одном случае, когда высказывание A истинно, а B ложно; в остальных случаях высказывание A Ñ B истинно.

• Высказывание A Ø B истинно тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны. • Высказывание A имеет значение истинности, противоположное значению истинности для A. Проаналирировав предложения русского языка, мы обнаружим употребление в языке указанных выше правил приписывания высказываниям значений «истина» «ложь». При этом роль конъюнкции ^ могут исполнять союзы «и», «но», «а». • «Коля окончил школу и поступил в институт». • «Коля окончил школу, но не поступил в институт». • «Я пойду в магазин, а ты сходишь на почту». Однако в предложении «Коля окончил школу и поступил в институт» явно чувствуется некоторый порядок высказываний: «Коля сначала окончил школу, а затем поступил в институт». При употреблении конъюнкции в математике таких смысловых оттенков нет. Точно также при употреблении «или» в русском языке можно обнаружить оттенок взаимной 8

несовместимости типа «либо»: «Ты выполнишь домашнее задание или не пойдешь в кино». То же :«Либо ты выполнишь домашнее задание, либо не пойдешь в кино». В употреблении дизъюнкции в математике такого смысла нет: высказывание A _ B истинно и в случае когда истинны оба высказывания A и B. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение высказывания. 2. Приведите примеры предложений, не являющихся высказываниями. 3. Дайте определение конъюнкции и дизъюнкциии высказываний. 4. Дайте определение импликации и эквиваленции высказываний. 5. Сформулируйте определение отрицания высказывания. 6. Приведите примеры использования логических знаков в естественном языке. Упражнения З АДАЧА 1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? а) Екатеринбург имеет более миллиона жителей. б) Число 6 является простым числом. в) Число 23
1 — простое число. г) p3 5q2 1. д) Купите эту книгу. е) x2 ¡ 3. ж) Лондон — столица Франции. з) Какое сегодня число? и) Манная каша — вкусное блюдо. к) В латинском алфавите 26 букв. З АДАЧА 2. Определите значение истинности следующих высказываний. а) Екатеринбург имеет более миллиона жителей и Лондон — столица Франции. б) Екатеринбург имеет более миллиона жителей или Лондон — столица Франции. в) Если 3 является простым числом, то 6 — простое число. 9

в) г) д) е)

Если 6 — простое число, то 12 является простым числом. 2>3 или 3>2. Неверно, что 2>3. Неверно следующее утверждение: 2>3 или 3>2.

З АДАЧА 3. Пусть заданы некоторые натуральные числа a и b, и A, B, C — следующие высказывания про эти числа: A : a   b,

3  b,

B : a2

Прочтите следующие высказывания: а) A ^ B; б) A _ C; в) B Ñ C; д) pA ^ B q Ñ C;

C : 3a  b.

в) A Ø B;

г) A;

З АДАЧА 4. Следующие составные высказывания образованы из простых высказываний. Выделите эти простые высказывания, введите их буквенные обозначения, и с помощью логических знаков выразите сложные высказывания через данные буквы. а) Если число a делится на число c и число b делится на число c, то число a b делится на число c. б) Если ab  0, то a  0 или b  0. в) Если a и b является четными числами, то оба числа a b и a
b также четны. д) Екатеринбург — город в Азии, но неверно, что Амазонка — река в Африке. З АДАЧА 5. Замените простые высказывания на составные высказывания, образованные с помощью логических знаков –, ^, _, Ñ, Ø. а) ab  0, б) | a |¡ 3, в) a2 b2  0, г) ab  0, д) a2 b2  0, е) ab ¡ 0. З АДАЧА 6. Даны высказывания A и B. Требуется с помощью логических знаков составить из высказываний A и B составное высказывание X, такое, что: а) X истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание B и ложно высказывание A; б) X истинно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания A и B; в) X ложно тогда и только тогда, когда высказывания A и B имеют противоположные значения; 10

З АДАЧА 7. Даны высказывания A, B, C. Построить из высказываний A, B, C составное высказывание X такое, что: а) X истинно тогда и только тогда, когда истинны все высказывания A, B, C; б) X истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний A, B, C; б) X истинно тогда и только тогда, когда истины высказывания A и B и ложно высказывание C; г) X ложно тогда и только тогда, когда хотя бы два высказывания из высказываний A, B, C ложны.

11

Лекция 2. Запись предложений на языке алгебры высказываний. Формулы алгебра высказываний. Запись предложений на языке алгебры высказываний. Все высказывания мы разделяем на простые и составные высказывания. Составные высказывания получаются из простых высказываний с помощью логических знаков –, ^, _, Ñ, Ø. Рассмотрим высказывание «Коля окончил школу и поступил в институт». Оно образовано из простых высказываний «Коля окончил школу» и «Коля поступил в институт» с помощью конъюнкции ^. Обозначим эти высказывания через A и B соответственно. Тогда сложное высказывание «Коля окончил школу и поступил в институт» имеет вид A ^ B. При этом высказывания «Коля окончил школу» и «Коля поступил в институт» нельзя представить в виде составных высказываний. Поэтому A и B — простые (элементарные) высказывания. З АДАЧА 1. Дано высказывание «Если число a делится на c и число b делится на c, то их сумма a b делится на c». Обозначить буквами простые высказывания и, используя логические знаки – , ^, _, Ñ, Ø, выразить данное высказывание через простые высказывания. Решение. Обозначим буквами A, B, C следующие высказывания: • A: «число a делится на c», • B: «число b делится на c», • C: «сумма a

b делится на ».

Тогда высказывание «Если число a делится на и число b делится на , то их сумма a b делится на » имеет вид pA ^ B q Ñ C. При этом A и B нельзя представить в виде составных высказываний. Поэтому A и B — простые высказывания.

12

Формулы алгебры высказываний. Числовые переменные — наиболее употребительные объекты в математике. Значения числовых переменных берутся из некоторого числового множества, например, из множества действительных чисел R. В логике рассматриваются пропозициональные переменные. Значения пропозициональных переменных берутся из множества всех высказываний. С помощью логических знаков –, ^, _, Ñ, Ø и пропозициональных переменных A, B, C, . . . можно составлять сложные высказывания. Мы называем эти высказывания формулами алгебры высказываний. При этом пропозициональные переменные будем далее называть просто переменными. Например, формула X  pA ^ B q Ñ pA _ B q получена так. Вначале построены формулы A ^ B и A _ B. Затем из этих формул с помощью знака Ñ получена формула X. Вместо переменых в формулу можно подставлять произвольные высказывания. Однако в большинств случаев нас будет интересовать только значение формулы «истина» или «ложь». При вычислении значения формулы неважно как сформулированы входящие в нее высказывания, важны только их значения «истина» или «ложь». Порядок построения формулы X  pA ^ B q Ñ pA _ B q позволяет составить таблицу истинности для формулы X. Придадим произвольные значения «истина» или «ложь» буквам A и B из формулы X. Эти значения кратко обозначаем «И» или «Л». Тогда формулы A ^ B и A _ B примут некоторые значения. Из этих значений с учетом правила приписывания значений «И» или «Л» для импликации Ñ получим значение формулы X. Все вычисления помещаем в следующую таблицу: A B A^B A_B X

 pA ^ B q Ñ p A _ B q

И И

И

И

И

И Л

Л

И

И

Л И

Л

И

И

Л Л

Л

Л

И

Таблица истинности для формулы X

 pA ^ B q Ñ pA _ B q

Заметим, что для данной формулы X, все ее значения равны «И». 13

В курсе математической логики дается следующее строгое определение формулы алгебры высказываний с помощью следующих правил. 1. Буквы (переменные) является формулами. 2. Если U и V — формулы, то выражения U,

pU ^ V q, pU _ V q, pU Ñ V q, pU Ø V q

являются формулами. 3. То, что выражение A является формулой, устанавливается несколькими применениями правил 1 и 2. З АДАЧА 2. Доказать, что выражение X ется формулой.

 ppA _ B q Ø Aq явля-

Решение. Производим следующую сборку формулы X. Буквы A и B — формулы по правилу 1. Так как B — формула, то B — формула по правилу 2. Затем по правилу 2 формулами являются выражения pA _ B q и X  ppA _ B q Ø Aq. Итак, выражение X является формулой. З АМЕЧАНИЕ 2.1 . Выражения, полученные при сборке формулы называются ее частями. Например, формула X  ppA _ B q Ø Aq имеет следующие части: A,

B,

B,

pA _ B q, ppA _ B q Ø Aq.

В дальнейшем при записи формул будем придерживаются следующих правил. 1. Внешние скобки в формуле можно опускать. Например, вместо ppA _ B q Ø Aq записываем pA _ B q Ø A. 2. В арифметике при отсутствии скобок вначале выполняется умножение, а затем сложение, т.е. умножение имеет более высокий приоритет (связывает сильнее) по сравнению со сложением. Например, выражение a  b c считается выражением вида pa  bq c, а не вида a  pb cq. Считая знак ^ аналогом , знак _ аналогом , мы вместо A ^ B _ C подразумеваем pA ^ B q_ C. Приоритеты логических знаков в порядке убывания следующие: –,

^, _, Ñ, Ø . 14

Каждый прешествующий знак связывает сильнее, чем последующие знаки. Поэтому вместо записи pA Ñ B q Ø C можно применять запись A Ñ B Ø C, вместо записи pA _ B q Ø C использовать запись A _ B Ø C и т.д.

3. Если в формуле X  A ^ B ^ C ^    ^ D опущены скобки, то подразумевается левосторонняя расстановка скобок, т.е. считаем, что X  ppA ^ B q^ C q^  ^ D. То же в случае формул имеющих только знак ^, знак Ñ или знак Ø. З АДАЧА 3. Восстановить все скобки, кроме внешних, в формуле

 A _ B _ C Ñ D. Решение. По правилам 2 и 3 имеем X  ppA _ B q _ C q Ñ D. X

Тождественно истинные формулы — законы логики. Среди всех формул алгебры высказываний особое значение имеют тождественно истинные формулы. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Формула X называется тождественно истинной формулой (тавтологией), если она принимает значение «И» (истина) при всех значениях входящих в эту формулу букв. Из таблицы истинности на стр. 13 видно, что значение формулы X  pA ^ B q Ñ pA _ B q всегда равно «И». Поэтому формула X является тождественно истинной. Тождественно истинные формулы — это законы логики. Существуют две причины, по которым мы считаем какое-либо суждение истинным. Рассмотрим, например, предложение «Екатеринбург — город в Европе». Мы объявляем это высказывание ложным. Значение «ложь» приписывается исходя из свойств обсуждаемых объектов. Точно также в случае высказывания «2  3  6 » значение «истина» установлено из свойств рассматриваемых объектов. Однако существует случаи, когда приписывание предложению значение «истина» или «ложь» не учитывает свойств обсуждаемых объектов, а имеет другую природу — логическую истинность. Рассмотрим предложение «верно, что студент Иванов не сдал зачет по логике или он сдал зачет». Любой человек может объявить, что это утверждение истинно, даже не зная конкретной информации про Иванова. Почему это так? Мы понимаем, что имеем дело с предложением вида 15

A _ A, где A — «Иванов сдал зачет». Поскольку формула A _ A является тождественно истинной, то независимо от значения A, значение нашего предложения истинно. Мы можем заменить предложение «Иванов сдал зачет» на предложение «Екатеринбург — город в Европе», и снова получим истинное высказывание A _ A. Можно обнаруживать все новые и новые законы логики, например, закон A Ñ A или pA Ñ B q Ø pA _ B q. Поэтому возникает вопрос: как получить способ конструирования всех таких законов логики. Этот вопрос изучается в дисциплине «Математическая логика». О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2 . Формула X называется тождественно ложной формулой, если она принимает значение «Л» (ложь) при всех значениях входящих в эту формулу букв. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Формула X называется выполнимой формулой, если у нее имеются как значения «И», так и значения «Л». Из предыдущих определений следует, что для произвольной формулы X верно одно и только одно из утверждений: 1) формула X тождественно истинна, 2) формула X тождественно ложна, 1) формула X выполнима. З АДАЧА 4. Определить, является ли формула X

 pA _ B q Ñ p A ^ B q

тождественно истинной, тождественно ложной, или выполнимой формулой. Решение. Составим таблицу истинности для формулы X. A B A_B A^B X

 pA ^ B q Ñ p A _ B q

И И

И

И

И

И Л

И

Л

Л

Л И

И

Л

Л

Л Л

Л

Л

И

Поскольку формула X принимает как значения «И», так и значения «Л», то X — выполнимая формула.

16

Вопросы для самопроверки 1. Приведите примеры простых и составных высказываний. 2. Приведите примеры формулы алгебры высказываний. 3. Что такое таблица истинности для формулы? 4. Дайте определение тождественно истинной формулы. 5. Дайте определение тождественно ложной формулы. 6. Дайте определение выполнимой формулы. 7. Приведите примеры предложений, истинность которых следует из свойств обсуждаемых объектов, и примеры предложений, истинность которых основана на законах логики. Упражнения З АДАЧА 1. Какие из следующих выражений являются формулами алгебры высказываний? Опишите построение формулы и перечислите ее части. а) pA ^ B q Ñ C; б) A ^ B q Ñ C; в) pA ^ B q Ñ A; г) Ñ C; д) pA ^ B q Ø C; е) pA ^ Aq Ñ pB _ C q; ж)
AB;
з) A ^ B Ñ pA _ B q Ø B _ C ; З АДАЧА 2. Составьте таблицу истинности для формулы.


а) A ^ B








Ñ pA _ B
q Ø B ;
б) pA ^ B q Ø B Ñ A _ B ;

в) A _ C Ñ pA Ø B q Ñ C ;

г) pA Ñ B q Ø C ^ B ^ C ;

д) pA Ø B q Ñ C _ B _ C ;

е) A ^ C Ñ pA Ø B q ^ C ;

ж) pA ^ B q Ø A ^ B _ C ;

з) pA _ Aq Ñ B _ B _ C ;

17

З АДАЧА 3. Является ли данная формула тождественно истинной, тождественно ложной, выполнимой формулой? а) pA ^ B q Ñ pA _ B q; б)
pA _ B q Ñ pA ^ B q; в) A ^ pA Ñ B q Ñ B; г) pA Ñ B q Ñ pB Ñ Aq;

д) A _ C Ñ pA Ø B q Ñ C ; е) pA Ñ B q Ñ






pB Ñ C q Ñ p A Ñ C q ; ж) A ^ B Ñ A _ B; з) A _ B Ñ A ^ B; З АДАЧА 4. Доказать тождественную истиность формулы методом от противного. а) A Ñ A; б) pA Ñ B q Ø pB
в) pA Ñ C q ^ pB г)

Ñ Aq;
Ñ C q Ñ pA _ B q Ñ C ;
pA Ñ B q Ñ pB Ñ C q Ñ p A Ñ C q ;

З АДАЧА 5. Элементарной дизъюнкцией называется формула, являющаяся дизъюнкцией нескольких переменных или их отрицаний, например формула A _ B _ C _ B _ A. Докажите, что злементарная дизъюнкция является тождественно истиной формулой, тогда и только тогда, когда в ней есть вхождение некоторой буквы вместе с вхождением отрицания этой буквы. З АДАЧА 6. Элементарной конъюнкцией называется формула, являющаяся конъюнкцией нескольких переменных или их отрицаний. формула B ^ B ^ C ^ B ^ C. Докажите, что элементарная конъюнкция является тождественно ложной формулой, тогда и только тогда, когда в ней есть вхождение некоторой буквы вместе с вхождением отрицания этой буквы.

18

З АДАЧА 7. Учитывая приоритеты логических знаков, опустить, где это возможно, скобки в записи формулы. а) pA ^ B q Ñ pA _ B q;
б) pA ^ B q ^ C ^ D; в) г)






pA _ B q _ C Ñ pB ^ Aq; A ^ B q _ C Ñ B;




З АДАЧА 8. Восстановить опущенные скобки в записи формулы. а) б) в) г) д)

A _ B _ C; A _ B _ C Ø B ^ C ^ D; B _ C Ñ A; B _ C Ñ A; A ^ B ^ C _ B ^ A ^ C _ C ^ B ^ A;

19

Лекция 3. Равносильность формул алгебры высказываний. Основные равносильные формулы Равносильность формул алгебры высказываний. Пусть даны две формулы алгебры высказываний X и Y , например, формулы X

AÑB

и

Y

 B Ñ A.

Буквы в этих формулах — пропозициональные переменные. Придадим этим переменным произвольные значения «истина» или «ложь». Вычислим значения как формулы X, так и формулы Y . Занесем полученные результаты в таблицу, и сравним значения формул X и Y . A B X

AÑB

Y

BÑA

И И

И

И

И Л

Л

Л

Л И

И

И

Л Л

И

И

Из данной таблицы видно, что что истинностные значения формул X и Y совпадают при любом наборе значений переменных. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1 . Формулы алгебры высказываний X и Y называются равносильными, если при любом наборе значений переменных, входящих в эти формулы, истинностные значения формул X и Y совпадают. То, что формулы X и Y равносильны, записываем в виде X предыдущей таблицы получаем равносильность AÑB

 B Ñ A.

20



Y . Из

(3.1)

Основные равносильные формулы. Приведем основные законы, связанные с равносильностью формул. Т ЕОРЕМА 3.1. Справедливы следующие равнсильности формул. 1q A ^ B

B^A

Законы

Законы 2q A ^ pB ^ C q  pA ^ B q ^ C 3q A ^ A  A

Законы

коммутативности 11 q A _ B  B _ A ассоциативности 2 1 q A _ p B _ C q  pA _ B q _ C идемпотентности 31 q A _ A  A

Законы дистрибутивности 4qA ^ pB _ C q  pA ^ B q _ pA ^ C q 41 qA _ pB ^ C q  pA _ B q ^ pA _ C q 5q A ^ B

A_B

Законы

де Моргана 51 q A _ B  A ^ B

6q A ^ A  Л

61 q A _ A  И

7q A ^ И  A

71 q A _ Л  A

8q A ^ Л  Л

81 q A _ И  И Закон двойного отрицания 9q AA

В приведенных законах через «И» обозначены тождественно истинные формулы, а через «Л» — тождественно ложные формулы. Доказательство. Проверим, например, закон 4). Для этого выпишем все возможные наборы значений переменных A, B, C. Таких наборов ровно 8. Мы будем в дальнейшем выписывать эти наборы в определенном порядке, как в следующей таблице. Для каждого набора переменных сравним значение формулы X  A ^ pB _ C q со значением формулы Y  p A ^ B q _ p A ^ C q. 21

A И И И И Л Л Л Л

B И И Л Л И И Л Л

C B _ C A ^ B A ^ C A ^ pB _ C q И И И И И Л И И Л И И И Л И И Л Л Л Л Л И И Л Л Л Л И Л Л Л И И Л Л Л Л Л Л Л Л

pA ^ B q _ p A ^ C q И И И Л Л Л Л Л

Сравнивая два последних столбца, заключаем равносильность формул X  A ^ pB _ C q и Y  pA ^ B q _ pA ^ C q, что и требовалось доказать. Остальные равносильности проверяются аналогично. Теорема доказана. Рассмотрим применение законов, связанных с равносильностью формул. Предположим, что разговаривают двое закомых: Андрей и Николай. • Андрей: «Дима не поступил в институт». • Николай: «Нет, зто неверно, я точно знаю». Считая, что Николай прав, Андрей говорит своей знакомой про Диму: «Дима поступил в институт». Какой закон алгебры высказываний он применяет? Обозначим высказывание «Дима поступил в институт» буквой A. Тогда высказывание Андрея имеет вид A, а высказывание Николая имеет вид A. По закону двойного отрицания 9) высказывание A равносильно высказыванию A, что и передал своей знакомой Андрей. Хотя предложения «неверно, что Дима не поступил в институт» и «Дима поступил в институт» различны, но они взаимозаменяемы, так как имеют одинаковые значения «истина», «ложь». Такая замена высказывания на равносильное высказывание осуществляется как в обычной речи, так и в математических рассуждениях. Поэтому важной задачей является установление равносильности формул. В следующей теореме мы установим дополнительные равносильности формул, которые используются наиболее часто.

22

Т ЕОРЕМА 3.2. Справедливы следующие равносильности AÑB

 B Ñ A, A Ñ B  A _ B, A Ø B  pA Ñ B q ^ pB Ñ Aq, A ^ B  A _ B.

(3.2) (3.3) (3.4) (3.5)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1. Т ЕОРЕМА 3.3 . Для произвольной формулы алгебры высказываний существует равносильная ей формула, которая из всех логических знаков –, ^, _, Ñ, Ø содержит только знак отрицания – и знак дизъюнкциии _. Доказательство. В произвольной формуле X могут присутствовать знаки ^, Ñ, Ø. Избавимся от этих знаков, заменяя части формул, содержащие эти знаки, на равносильные формулы по следующим правилам. 1. Заменяем A Ø B на pA Ñ B q ^ pB

Ñ Aq и избавляемся от знака Ø. 2. Заменяем A Ñ B на A _ B и избавляемся от знака Ñ. 3. Заменяем A ^ B на A _ B и избавляемся от знака ^. Эти замены возможны по предыдущей теореме. Теорема доказана. З АДАЧА 1. Для формулы X

 pA ^ B q Ñ C

получить равносильную формулу Y , содержащую только логические знаки –, _. Решение. Мы будем применять равносильные преобразования. В элементарной математике применяются тождественные преобразования. Для выражения X записывается ряд равенств X  X1  X2      Y . В итоге получается, что выражение X равно выражению Y . В данном случае рассматриваются высказывания, а знак  заменяется на знак эквивалентности . Получаем записи вида X  X1  X2      Y . В итоге получаем X  Y . 23

Применяя равносильные преобразования, укажем сверху номер равенства (3.3) из теоремы 3.2 и номер правила 3 из теоремы 3.1. Имеем

 pA ^ B q Ñ C p3.3  q A ^ B _ C 3 A _ B  pA _ B q _ C. На последнем шаге применен закон двойного отрицания A  A. Из приX

веденных рассуждений следует, что в алгебре высказываний можно ограничиться только знаками –, _. Более того, можно даже не использовать скобки [6]. Обратная и противоположная теоремы. Как мы уже отмечали, замена высказывания на равносильное высказывание возможна как в обычной речи так и в математических рассуждениях. Пусть T некоторая теорема, имеющая вид A Ñ B. (3.6) Говоря слова «теорема T », можно подразумевать обязательно истинное высказывание. Однако мы не будем придерживаться такого соглашения. Тогда допустимы слова «верна или нет следующая теорема?» Назовем теорему T  A Ñ B прямой теоремой. Составим следующие три высказывания:

 B Ñ A — обратная теорема для теоремы T ; 2. T2  A Ñ B — противоположная теорема к теореме T ; 3. T3  B Ñ A — обратная для противоположной теоремы к теоре1. T1

ме T .

Рассмотрим следующую задачу. Известно, что теорема T истинна. Что можно сказать об истинности теорем T1 , T2 , T3 ? Рассмотрим вначале обратную теорему T1  B Ñ A для теоремы T . Обратная теорема T1 может оказаться ложной. Приведем следующий пример. Пусть A — предложение «Число n делится на 12», B — предложение «Число n делится на 3». Тогда теорема T  A Ñ B (прямая теорема) имеет формулировку: «Если число n делится на 12, то число n делится на 3». Обратная теорема T1  B Ñ A для теоремы T имеет формулировку: «Если число n делится на 3, то число n делится на 12». Ясно, что теорема T верна, а теорема T1 не верна. Пусть A — предложение « 3 ¥ 5», B — предложение «Число 5 ¥ 3». Рассмотрим высказывание T  A Ñ B (прямая теорема). Теорема 24

T верна, так как высказывание T  A Ñ B является высказыванием вида Л Ñ И, и по определению импликации истинно. Противоположная теорема T2 к теореме T имеет формулировку «Если 5 ¥ 3, то 3 ¥ 5 », т.е.вида И Ñ Л. Эта теорема неверна. Рассмотрим теперь теорему, обратную теорему для противоположной теоремы к T . Т ЕОРЕМА 3.4. Пусть T3  B Ñ A — обратная теорема для противоположной теоремы к теореме T  A Ñ B. Теорема T3 верна тогда и только тогда, когда верна теорема T . Доказательство. Теорема T имеет вид A Ñ B, а теорема T3 имеет вид T3  B Ñ A. По теореме 3.2 на стр. 23 справедлива равносильность A Ñ B  B Ñ A. Поэтому утверждение T  A Ñ B верно тогда и только тогда, когда верно утверждение T3  B Ñ A. Теорема доказана. Вопросы для самопроверки 1. Приведите определение равносильности формул. 2. Перечислите основные равносильные формулы. 3. Описать доказательство равносильности формул с помощью таблицы истинности. 4. Описать доказательство равносильности формул с помощью преобразований 5. Приведите пример использования равносильности формулы в естественном языке. 6. Дайте определение обратной теоремы. 7. Дайте определение противоположной теоремы. 8.Пусть дана теорема T вида A Ñ B. Какой вид имеет теорема противоположная к обратной теореме для T ? 9. Пусть справедлива теорема T : A Ñ B. Справедливость какой из следующих теорем T1 : B

Ñ A,

T2 : A Ñ B,

имеет место в общем случае?

25

T3 : B

ÑA

Упражнения З АДАЧА 1. С использованием таблицы истинности доказать равносильности из теоремы 3.1 а) A ^ B  B ^ A, A _ B  B _ A; б) A ^ pB ^ C q  pA ^ B q ^ C, A _ pB _ C q  pA _ B q _ C; в) A ^ A  A, A _ A  A; г) A ^pB _ C q  pA ^ B q_pA ^ C q, A _pB ^ C q  pA _ B q^pA _ C q, д) A ^ B  A _ B, A _ B  A ^ B; е) A ^ A  Л, A _ A  И; ж) A ^ И  A, A _ Л  A; з) A ^ Л  Л, A _ И  И; и) A  A. При этом через «И» обозначены тождественно истинные формулы, а через «Л» — тождественно ложные формулы. З АДАЧА 2. Доказать равносильности из теоремы 3.2 а) A Ñ B  B Ñ A; б) A Ñ B  A _ B; в) A Ø B  pA Ñ B q ^ pB Ñ Aq; г) A ^ B

 A _ B;

З АДАЧА 3. Доказать равносильность формул с помощью преобразований. а) б) в) г) д)

A Ñ pA ^ B q  A Ñ B; A Ñ p B _ C q  p A Ñ B q _ p A Ñ C q; A Ñ p B ^ C q  p A Ñ B q ^ p A Ñ C q; A Ñ p B Ø C q  p A Ñ B q Ø p A Ñ C q;
pA _ C q Ñ pA _ C q ^ B  pA _ C q Ñ B;


е) A Ñ A ^ pB _ C q



 A Ñ p B _ C q;

26

З АДАЧА 4. Доказать тождественную истинность формулы с помощью преобразований.

pA Ñ B q Ñ A; pA ^ B q Ñ A; A Ñ p A _ B q;
A Ñ B Ñ pA ^ B q ;
д) A Ñ pB ^ C q Ø pA Ñ B q ^ pA Ñ C q;
е) pA ^ C q Ñ pA ^ C q _ B ;
ж) pB _ Aq ^ B Ñ pB _ Aq; а) б) в) г)

З АДАЧА 5. Доказать, что формулы A и B равносильны тогда и только тогда, когда формула A Ø B является тождественно истинной формулой. З АДАЧА 6. Доказать, что формулы A и B равносильны тогда и только тогда, когда формула A Ø B является тождественно ложной формулой З АДАЧА 7. Для формулы алгебры высказываний найти равносильную ей формулу, которая содержит только знак отрицания – и знак дизъюнкциии _. а) pA ^ B q Ñ C; б) pA _ B q Ø C; в) pA ^ B q Ñ pB Ø C q; Указание. Для чтобы избавиться от знаков ^, Ñ, Ø., заменяем части формул, содержащие эти знаки, на равносильные формулы по следующим правилам. 1. Заменяем A Ø B на pA Ñ B q ^ pB

Ñ Aq и избавляемся от знака Ø. 2. Заменяем A Ñ B на A _ B и избавляемся от знака Ñ. 3. Заменяем A ^ B на A _ B и избавляемся от знака ^.

27

Лекция 4. Предикаты. Операции над предикатами Предикаты. При изучении высказываний мы отмечали, что предложения с переменными не является высказываниями. Можно, например, рассмотреть предложение P pxq : x2 1 ¡ 5 с переменной x, принимающей значения во множестве M , где M — множество действительных чисел. Это предложение не высказывание, поскольку ему нельзя приписать значение «истина» или «ложь». Однако если заменить переменную x в предложение x2 1 ¡ 5 на ее значение x  1, то получим высказывание 2 ¡ 5. Это высказывание ложно. Заменив переменную x на ее значение x  3, получим истинное высказывание 10 ¡ 5. Итак, мы имеем предложение P pxq, которое не является высказывание, но превращается в высказывание при замене переменной на ее значения их множества M . О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1 . Одноместным предикатом, определенным на множестве M , называется предложение с переменной, которое превращается в высказывание при замене этой переменной на ее значения из множества M . Одноместный предикат будем называть также унарным предикатом или или предикатом от одной переменной. Переменную, входящую в предикат, будем называть предметной переменной. Ее значения берутся из множества M , которое может быть, например, числовым множеством, множеством векторов, множеством всех людей и т.п. П РИМЕР 4.3. Следующие предложения являются одноместными предикатами, определенными на множестве M . 1. P pxq : x 2 ¡ 3, M — множество действительных чисел. 2. Qpxq : Вектор x имеет длину 1; M — множество всех векторов плоскости. 3. Rpy q : y родился в XIX веке; M — множество всех людей. П РИМЕР 4.4. Следующие предложения не являются одноместными предикатами. 1. 2 ¡ 3, 2. Прямая x параллельная прямой y. Можно рассмотривать предложения P px1 , x2 , . . . , xn q с n предметными переменными. В этом случае значения переменной x1 , x2 , . . . , xn берутся 28

соответственно из некоторых множеств M1 , M2 , . . . , Mn . Мы можем рассмотреть M — множество всех строк pa1 , a2 , . . . , an q, которые используются для замены переменных x1 , x2 , . . . , xn на a1 , a2 , . . . , an . Mножество M называется областью определения предиката P px1 , x2 , . . . , xn q. Областью истинности предиката P px1 , x2 , . . . , xn q называется множество всех строк pa1 , a2 , . . . , an q P M таких, что при замене x1 на a1 , x2 на a2 ,. . . , xn на an получается истинное высказывание. З АДАЧА 1 . На множестве M  t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u рассмотрим одноместный предикат P pxq : x — простое число. Найти A — область истинности предиката P pxq. Решение. По определению области истинности предиката имеем A  ta P M | P paq— простое число u. Поэтому M  t2, 3, 5, 7u. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. n-местным предикатом, называется предложение P px1 , x2 , . . . , xn q с n переменными, которое превращается в высказывание при замене переменных x1 , x2 , . . . , xn на их значения из множеств M1 , M2 , . . . , Mn . П РИМЕР 4.5 . Пусть M1 — множество всех людей, M2 — множество всех городов. Рассмотрим предложение с 2 переменными: «Человек x проживает в городе y». Тогда это предложение является двухместным предикатом, Предикаты будем обозначать заглавными латинскими буквами с указанием в скобках всех входящих в них переменных. Примеры предикатов: 1. P pxq : «x — простое число», M1 — множество натуральных чисел; 2. Qpx, y q : x ¡ y,

M1 , M2 — множества действительных чисел;

3. Rpx, y q : «треугольник x подобен треугольнику y», M1 и M2 — множества всех треугольников; 4. S px, y, z q : «точки x, y, z лежат в одной плоскости», M1 , M2 , M3 — множества точек пространства. При этом предикат P pxq одноместный предикат, предикаты Qpx, y q и Rpx, y q — 2-местные предикаты, а S px, y, z q — 3-местный предикат.

29

Операции над предикатами. Свойства операций над предикатами. В алгебре высказываний рассматривалось построение сложных высказываний из простых высказываний с помощью логических знаков –,

^, _, Ñ, Ø .

Теперь мы будем использовать данные логические знаки для построения из заданных предикатов новых предикатов. Отрицание предиката. Пусть P pxq одноместный предикат, определенный на множестве M . С помощью знака отрицания «–» построим из предиката P pxq новый предикат P pxq, который назовем отрицанием предиката P pxq. Предикат P pxq принимает значение «ложь» для тех и только тех значений x, для которых P pxq имеет значение «истина». Пусть P pxq и Qpxq — одноместные предикаты, определенные на множестве M . Конъюнкция предикатов. С помощью знака конъюнкции ^ построим новый предикат P pxq ^ Qpxq который назовем конъюнкцией предикатов P pxq и Qpxq . Предикат P pxq _ Qpxq принимает значение «истина», для тех и только тех значений x, для которых как P pxq, так и Qpxq имеют значение «истина». Дизъюнкция предикатов. С помощью знака дизъюнкции _ построим новый предикат P pxq _ Qpxq который назовем дизъюнкцией предикатов P pxq и Qpxq . Предикат P pxq _ Qpxq принимает значение «истина», для тех и только тех значений x, для которых P pxq или Qpxq имеет значение «истина». Импликация предикатов. С помощью знака импликации Ñ построим новый предикат P pxq Ñ Qpxq который назовем импликацией предикатов P pxq и Qpxq . Предикат P pxq _ Qpxq принимает значение «ложь», для тех и только тех значений x, для которых как P pxq имеет значение «истина», а Qpxq имеет значение «ложь». Эквиваленция предикатов. С помощью знака эквиваленции Ø построим новый предикат P pxq Ø Qpxq который назовем эквиваленцией предикатов P pxq и Qpxq . Предикат P pxq Ø Qpxq принимает значение «истина», для тех и только тех значений x, для которых как P pxq и Qpxq имеют одинаковые значения «истина», «ложь». З АДАЧА 2. Рассмотрим одноместные предикаты P px q : x 2

¡ 5, 30

Q px q : x   7

и предикат Rpxq : «x — простое число», определенные на множестве натуральных чисел. Найти значение предиката
P pxq ^ Qpxq Ñ Rpxq при x  3. Решение. Подставим x следующие значения

 3 в предикаты P pxq, Qpxq, Rpxq. Получим

P p3q  И,

Qp3q  И,

Rp3q  И.




Далее Qp3q  Л. Поэтому значение предиката P pxq ^ Qpxq Ñ Rpxq при x  3 имеет вид pИ ^ Лq Ñ И, т.е. равно «И». Аналогично определяются рассмотренные операции над n- местными предикатами. Применяя операции над предикатами мы получаем составные преди
каты, например, P pxq ^ Qpxq Ñ Rpxq. Они является формулами алгебры предикатов. Пусть даны две такие формулы P pxq и Qpxq, определенные на множестве M . Назовем формулы P pxq и Qpxq эквивалентными, если для любого значения переменной x значения P pxq и Qpxq совпадают. То, что формулы P pxq и Qpxq эквивалентны, выражаем записью P pxq  Qpxq. Рассмотрим формулы Apxq ^ B pxq и B pxq ^ Apxq. Они похожи на формулы A ^ B и B ^ A из алгебры высказываний. В алгебре высказываний установлен закон A ^ B  B ^ A. Нетрудно проверить аналогичный закон для предикатов A px q ^ B px q  B px q ^ A px q. Более того, для предикатов справедливы все законы, аналогичные законам 1 – 8, 11 – 81 ,9 из теоремы 3.1 на стр. 21. В этих законах употреблены буквы «И» и «Л».В случае предикатов это сответственно тождественно истинные и тождественно ложные предикаты, имеющюе следующие определения. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3 . Предикат P px1 , x2 , . . . , xn q называется тождественно истинным, если при любой замене переменных x1 , x2 , . . . , xn на их значения предикат превращается в истинное высказывание. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4 . Предикат P px1 , x2 , . . . , xn q называется тождественно ложным, если при любой замене переменных 31

x1 , x2 , . . . , xn на их значения предикат превращается в ложное высказывание. П РИМЕР 4.6. Рассмотрим одноместный предикат P pxq : cos2 x

sin2 x  1

с переменной x, определенный на множестве множестве действительных чисел R. Тогда при любой замене переменных x на ее значения x  a P R получаем истинное высказывание cos2 a sin2 a  1. Поэтому предикат P pxq тождественно истинный. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение предиката. 2. Приведите примеры трехместных предикатов. 3. Сформулируйте определения конъюнкции и лизъюнкция предикатов. 4. Сформулируйте определения импликации и эквиваленции предикатов. 5. Сформулируйте определение отрицания предикатов. 6. Перечислите свойства операций над предикатами. Упражнения З АДАЧА 1. Какие из следующих предложений являются высказываниями, какие — одноместными или двухместными предикатами? Переменные в данных предложениях принимают значения из множества M . а) x y  1, M  R; б) Число x является четным числом, M  Z; в) Сумма чисел x и y делится на 3, M  Z; г) px y q2 1, M  R; д) 2  3, M  R; е) 2  x, M  R; ж) x2 y 2 z 2  1, M  R; з) Точки x, y, z лежат на одной прямой, M — множество точек некоторой плоскости; и) Человек x знаком с человеком y, M — множество всех людей. 32

З АДАЧА 2. Найти область истинности предикатов P, Q, R, . . ., определенных на множестве M . а) P pxq : x ¡ 5, M  t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u; б) P px, y q : x ¡ y, M — множество всех пар pa, bq, где 1 ¤ a, b ¤ 6; в) P pxq : x — простое число, M  t1, 2, 3, . . . , 50u. г) P px, y q : — число x делится на число y, M  tpa, bq | 1 ¤ a, b ¤ 5u; д) P px, y q : — числа x и y взаимно просты M  tpa, bq | 1 ¤ a, b ¤ 4u; З АДАЧА 3. Даны следующие высказывания (или одноместные предикаты). Найдите такие одноместные или двухместные предикаты, что данные высказывания (или одноместные предикаты) получаются из найденного предиката при некоторых значениях переменных. а) 2 ¡ 3; б) 2 ¡ y; в) г) д) е)

x ¡ 3; Екатеринбург город а Азии; Николай уважает Сергея; x уважает Сергея;

З АДАЧА 4. Пусть даны предикаты P pxq и Qpxq, определенные на множестве M  t1, 2, 3, . . . , 20u. Найдите область истинности предикатов P pxq, P pxq ^ Qpxq, P pxq _ Qpxq, P pxq Ñ Qpxq, P pxq Ø Qpxq, где: а) P pxq : x ¡ 12 , Qpxq : x ¡ 10; б) P pxq : x — простое число, Qpxq : x ¡ 10; в) P pxq : x — простое число, x 2 — простое число. З АДАЧА 5. Проверьте равносильность предикатов A px q ^ B px q  B px q ^ A px q, а также все следующие равносильности предикатов, аналогичные законам из теоремы 3.1 на стр. 21. Буквы «И» и «Л» обозначают сейчас соответственно тождественно истинные и тождественно ложные предикаты,

33

а) Apxq ^ B pxq  B pxq ^ Apxq, Apxq _ B pxq  B pxq _ Apxq; б) Apxq ^ pB pxq ^ C pxqq  pApxq ^ B pxqq ^ C pxq, Apxq _ pB pxq _ C pxqq  pApxq _ B pxqq _ C pxq; в) Apxq ^ Apxq  Apxq, Apxq _ Apxq  Apxq; г) Apxq ^ pB pxq _ C pxqq  pApxq ^ B pxqq _ pApxq ^ C pxqq, Apxq _ pB pxq ^ C pxqq  pApxq _ B pxqq ^ pApxq _ C pxqq, д) Apxq ^ B pxq  Apxq _ B pxq, A px q _ B px q  A px q ^ B px q; е) Apxq ^ Apxq  Л, Apxq _ Apxq  И; ж) Apxq ^ И  Apxq, Apxq _ Л  Apxq; з) Apxq ^ Л  Л, Apxq _ И  И; и) Apxq  Apxq.

З АДАЧА 6. Пусть P pxq и Qpxq — одноместные предикаты, определенные на множестве M . Доказать, что:

а) P pxq ^ Qpxq — тождественно истинный предикат, тогда и только тогда, когда P pxq и Qpxq — тождественно истинные предикаты. б) P pxq _ Qpxq — тождественно ложный предикат, тогда и только тогда, когда P pxq и Qpxq — тождественно ложные предикаты. б) Докажите, что предикаты P pxq и Qpxq равносильны тогда и только тогда, когда предикат P pxq Ø Qpxq является тождественно истинным предикатом.

34

Лекция 5. Кванторы. Запись предложений на языке логики предикатов Кванторы. В алгебре высказываний применялись логические знаки –, ^, _, Ñ, Ø для записи различных уверждений. Однако нам недостаточно этих знаков для того, чтобы выражать мысль типа «всякий элемент x из множества M обладает свойством P pxq». Введем два новых логических знака @ и D. Знак @ называется квантором всеобщности (квантором общности), а знак D называется квантором существования. Пусть P pxq — предикат от одной переменной, определенный на множестве M . Используя квантор всеобщности и предикат P pxq можно составить следующее высказывание

@ x P px q

(5.1)

Это высказывание является истинным тогда и только тогда, когда предикат P pxq превращается в истиное высказыванием при любой замене переменной x на ее значение из M . Варианты чтения высказывание @x P pxq: 1) Для всякого x P pxq, 2) Для всякого x верно P pxq, 3) Для всякого x справедиво P pxq и т.п.

П РИМЕР 5.7 . Пусть P pxq предикат x2 1 ¡ 0, определенный на множестве M  R. Тогда высказывание @x P pxq имеет вид @x x2 1 ¡ 0. Это истиное высказывание, так как любой значении переменной x  a P R получаем истиное высказывание a2 1 ¡ 0.

Однако высказывание @x x2 1 ¡ 5 ложно, так как при x  1 получаем ложное высказывание 2 ¡ 5. Пусть P pxq — предикат от одной переменной, определенный на множестве M . Используя квантор существования и предикат P pxq можно составить следующее высказывание

Dx P px q

(5.2)

Это высказывание является истинным тогда и только тогда, когда предикат P pxq превращается в истиное высказыванием хотя бы при одном значении переменной x. Варианты чтения высказывание: 1) существует x такой, что P pxq, 2) существует x с условием P pxq и т.п. 35

П РИМЕР 5.8 . Пусть P pxq предикат x2 1 ¡ 5, определенный на множестве M  R. Тогда высказывание Dx P pxq имеет вид Dx x2 1 ¡ 0. Это истиное высказывание, так как при значении переменной x  3 P R получаем истиное высказывание 10 ¡ 5. Аналогично получаем, что высказывание Dx x2   0 ложно. Запись предложений на языке логики предикатов Используя логические знаки –, ^, _, Ñ, Ø, предикаты и кванторы @, D, можно составлять формулы логики предикатов. Приведем примеры таких формул, где предикаты определенны на множестве R.

p@x x2 1 ¡ 5q _ pDx x2   0q; 2. Dx x2   0; 3. px2 1 ¡ 5q Ñ px ¥ 2q; 4. px2 1 ¡ 5q Ø px ¥ 2q;
5. Dx px2 1 ¡ 5q Ñ px ¥ 2q ;
2 6. @x px 1 ¡ 5q Ø px ¥ 2q ; 1.

Выражения 3 и 4 являются одноместными предикатами, а выражения 1, 2, 5, 6 являются высказываниями. Высказывание 2 может читаться так: неверно, что существует x такое, что x2   0. Высказывания 2 и 5 истинны, а высказывания 1 и 6 ложны. С точки зрения логики важно не то, о чем высказываются, а важен окончательный итог: истина или ложь. Если какое-либо высказывание высказано в другой форме, но значение то же самое, то вместо первого высказывание можно употребить второе. В таком случае, между такими высказываниями ставится знак . Т ЕОРЕМА 5.1. Пусть P pxq — одноместный предикат. Тогда выполнены следующие равносильности

@x P pxq  Dx P pxq, Dx P px q  @ x P px q.

(5.3) (5.4)

Доказательство. Проверим вначале утверждение (5.3). Нужно установить, что значения «истина» или «ложь» для левой части @x P pxq совпадает со значением правой части Dx P pxq. 36

Случай 1, высказывание @x P pxq истинно. Тогда высказывание @x P pxq ложно. Поэтому для некоторого значения x  a имеем P paq ложно. Тогда P paq истинно. Итак, для некоторого значения x  a P paq истинно. Поэтому высказывание Dx P pxq в правой части истинно, что и нужно. Случай 2, высказывание @x P pxq ложно. Тогда высказывание @x P pxq истинно. Поэтому для всякого значения x  a получаем, что P paq истинно, а P paq ложно. Тогда не существует значения x  a такого, что P paq истинно. Поэтому высказывание Dx P pxq в правой части ложно, что и нужно. Утверждение (5.3) доказано. Доказательство утверждения (5.4) аналогично. Теорема доказана. Правила перестановки кванторов. Мы рассматривали высказывания @x P pxq и Dx P pxq, приписывая к предикату с одной переменной квантор всеобщности или квантор существования. Возьмем предикат P px, y q от двух переменных и припишем квантор Dx. Получим формулу Dx P px, yq (5.5) Чем является эта формула: высказыванием, предикатом от олной или двух переменных? Покажем, что формула (5.5)— одноместный предикат от переменной y. Для этого нужно проверить, что при замене буквы y в (5.5) на произвольное значение b получается высказывание. Заменим y в формуле (5.5) на значение b. Получаем выражение

Dx P px, bq.

(5.6)

При этом P px, bq — одноместный предикат от переменной x. В выражении Dx P px, bq к одноместному предикату P px, bq с переменной x приписан квантор всеобщности. Поэтому Dx P px, bq – высказывание, что требовалось установить. Аналогично получаем, что Dy P px, y q одноместный предикат от переменной x. Поэтому можно обозначить Qpxq  Dy P px, y q. Обозначим A  DxDy P px, y q. Тогда A  Dx Qpxq. Т ЕОРЕМА 5.2. Выражение A  DxDy P px, y q является высказыванием, истинным тогда и только тогда, когда существуют значения x  a и y  b, при которых предикат P px, y q превращается в истинное высказывание P pa, bq. 37

Доказательство. Проверим вначале, что A — высказывание. Имеем A  Dx Qpxq, т.е. A получено приписыванием квантора Dx к предикату Qpxq. Следовательно, A — высказывание. Приведем еще две теоремы, доказательство которых аналогично доказательству предыдущей теоремы. Т ЕОРЕМА 5.3. Выражение A  Dy Dc P px, y q является высказыванием, истинным тогда и только тогда, когда существуют значения x  a и y  b, при которых предикат P px, y q превращается в истинное высказывание P pa, bq.

Т ЕОРЕМА 5.4 . Выражения @x@y P px, y q и @y @x P px, y q являются высказываниями, истинными тогда и только тогда, когда для всез значений переменных x и y предикат P px, y q превращается в истинное высказывание. Следующия теорема позволяет заменять одно высказывание на другое, переставляя одноименные кванторы. Т ЕОРЕМА 5.5 ( П РАВИЛО ПЕРЕСТАНОВКИ ОДНОИМЕННЫХ КВАНТОРОВ ) . Справедливы следующие равносильности

Dx Dy P px, yq  Dy Dx P px, yq, @x @y P px, yq  @y @x P px, yq,

(5.7) (5.8)

Доказательство. Проверим вначале (5.7). Нужно показать, что левая часть истинна тогда и только тогда, когда истинна правая часть. Условие истинности левой части дано в теореме 5.2, а Условие истинности правой части — в теореме 5.3. Эти условия совпадают. Поэтому что левая часть истинна тогда и только тогда, когда истинна правая часть. Утверждение (5.7) доказано. Из теоремы 5.4 аналогично получаем (5.8). Теорема доказана. Однако разноименные кванторы переставлять нельзя. Рассмотрим, например, предикат P px, y q : x y  1, определенный на множестве R. Тогда высказывание Dx@y x y  1 можно прочитать так: существуют число x, которое в сумме с любым y равно 1. Это ложное высказывание. Переставим разноименные кванторы Dx и @y в высказывании Dx@y x y  1. Получим @yDx x y  1. Это высказывание можно прочитать так: для всякого y существуют число x, которое в сумме с любым y равно 1. Это истинное высказывание. 38

Получили, что высказывания Dx@y x y  1 и Dx@y x y  1 имеют различные значения «истина», «ложь». Итак, мы имеем следующие два правила перестановки кванторов. 1) Можно переставлять одноименные кванторы в высказываниях Dx Dy P px, yq и @x @y P px, yq. В результате получится равносильное высказывание. 2) Нельзя переставлять разноименные кванторы, например, кванторы Dx и @y в высказывании Dx@y P px, yq, так как можно получить высказывание @y Dx P px, y q с другим значением «истина», «ложь». Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте условие истиности высказывания @x P pxq. 2. Сформулируйте условие истиности высказывания Dx P pxq. 3. Приведите примеры формулы логики предикатов, содержащей кванторы и знаки ^, _. 4. Приведите примеры равносильных формул в логике предикатов. 5. Какие формулы X и Y присутствуют в следующих правилах для построения отрицания

@ x P px q  X Dx P px q  Y ? 6. Сформулируйте правила перестановки кванторов. 7. Приведите пример, когда перестановка разноименных кванторов дает высказывание с другим значением «истина», «ложь» по сравнению с исходным высказыванием.

39

Упражнения З АДАЧА 1. Прочтите следующие высказывания и определите, истинны они или ложны. Переменные x, y, z пробегают действительные числа. а) б) в) г) д) е)

Dx Dy @x @y Dx @y @x Dy Dy @x @y Dx

x y  2; 2x y  2; x 2y  2; 2x 3y  2; x
y  2; x y  2.

З АДАЧА 2. Определите, являются ли следующие предложения высказываниями или предикатами от n переменных. Все переменные принимают значения во множестве R. а) б) в) г) д) е)

Dx Dy x2 y2  1. Dx 2x 3y  5. @y x2
y2  1. @x Dy x y z  1. Dy @x Dz x y z  1. @y Dx x y  2.

З АДАЧА 3. Построить отрицания, для следующих высказываний или предикатов, где знак отрицания может располагаться только над предикатом. а) б) в) г)

Dx x2
y2  3. Dx x y  5. @x Dy x 2y  1. Dy @x Dz x y z  1.

З АДАЧА 4. Запишите с использованием предикатов и кванторов следующие утверждения: а) б) в) г)

Число a является наименьшим числом во множестве A; Число b равно некоторому числу из множестве A; Сумма квадратов двух действительных всегда еотрицательна. Множество A имеет два различных элемента. 40

З АДАЧА 5. Постройте отрицания формул, полученных в предыдущей задаче. Прочитайте полученные отрицания. З АДАЧА 6. Пусть f pxq — функция, определенная на множестве R. Записать с использованием предикатов и кванторов следующие определения: а) б) в) г) д)

Функция f pxq является четной функцией. Функция f pxq является нечетной функцией. Число T является периодом функции f pxq. Функция f pxq является периодической функцией. Функция f pxq является возрастающейц функцией.

З АДАЧА 7. Постройте отрицания формул, полученных в предыдущей задаче. Прочитайте полученные формулы. З АДАЧА 8. Приведите примеры формул вида Dx@y P px, y q и вида @xDy P px, yq в которых нельзя переставить кванторы.

41

Лекция 6. Множества. Операции над множествами Множества. Понятие множества — одно из основных понятий математики. Можно говорить о множестве жителей города Екатеринбурга, множестве целых чисел, множестве векторов плоскости, множестве решений некоторого уравненния. Множества будем обозначить большими латинскими буквами A, B, C, . . . , . буквами с индексами A1 , B 1 , . . . и т.п. Для наиболее употребимых множеств существуют следующие общепринятые обозначения, которых мы будем всегда придерживаться. • N — множество натуральных чисел. • Z — множество целых чисел. • Q — множество рациональных чисел. • R — множество действительных чисел. • C— множество комплексных чисел. Множество состоит из элементов. Элементы множеств будем обозначить малыми латинскими буквами a, b, c, . . . , или буквами с индексами a1 , b1 , . . . и т.п. То, что a является элементом множества M выражается записью a P M. Читается: a принадлежит множеству M , a содержится во множестве M . a элемент множества M и т.п. То, что a не является элементом множества M записывается в виде a R M. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством, а множество, состоящее из бесконечного числа элементов, называется бесконечным множеством. Например, множество жителей Екатеринбурга — конечное множество, а множество всех точек плоскости является бесконечным множеством. Число элементов конечного множества M называется порядком множества M и обозначается через | M |. Пусть, например, M — множество букв латинского алфавита. Тогда | M | 26. Понятия множества относится к числу первоначальных, неопределяемых понятий. Рассмотрим, почему возникают неопределяемые понятия. 42

Допустим, что в некотором разделе математики вводится понятие A. Это понятие нужно разъяснить через ранее введенные понятия B1 , B2 , . . .. В свою очередь B1 , B2 , . . . разъясняются через еще более ранние понятия C1 , C2 , . . .. Чтобы этот процесс не был бесконечен, надо принять некоторые понятия в качестве неопределяемых. Таким неопределяемыми понятиями в теории множеств являются следующие понятия: 1) понятие множества, 2) понятие элемента, 3) принадлежность элемента множеству. Способы задания множеств. Множество M задано, если определены его элементы. Тогда, имея произвольный элемент x, мы можем выяснить справедивость одного из двух утверждений: 1) x P M или 2) x R M . Задания множества с помощью перечисления. Запишем множество M виде M  ta, b, c, . . . u, где в правой части перечислены через запятые все элемент из M . Порядок, в котором перечисляются элементы, может быть любым. Чтобы выяснить факт x P M , мы должны сравнить элементы a, b, c, . . . с элементом x и найти совпадение. Задания множества с помощью характеристического свойства. Пусть P некоторое свойство элементов множества X. Тогда для любого x P X мы можем определить, выполнено или нет свойство P для элемента x, т.е. истинно или ложно P pxq. Рассмотрим множество M , состоящее из тех и только тех элементов, для которых истинно свойство P . В этом случае записываем M

 tx P X | P pxqu.

(6.1)

Если ясно, о каком множестве X идет речь, то допустима краткая запись M

 tx | P pxqu.

Равенство (6.1) — это задание множества M с помощью характеристического свойства P pxq. Читается: M — множество элементов x из X таких, что выполнено P pxq.

43

З АДАЧА 1 . Записать с с помощью характеристического свойства множество положительных действительных чисел. Решение. Обозначим множество положительных действительных чисел через M . Тогда M  tx P R | x ¡ 0u. (6.2) В данном случае характеристическое свойство P pxq — это предикат x ¡ 0. З АДАЧА 2 . Дано множество M , заданное с помощью характеристического свойства: M

 t x P Z | x2 ¤ 4 u.

Задать множество M с помощью перечисления. Решение. Множество M состоит из всех целых чисел, для которых x ¤ 4. Мы должны перечислить через запятые все элементы из M . Получаем ответ M  t
2,
1, 0, 1, 2u. 2

Подмножество. Равенство множеств. Пусть A и B произвольные множества. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A является элементом множества B. То, что множества A является подмножеством множества B, записывается в в виде A „ B. (6.3) Запись (6.3) читается так: 1) A подмножество в B, 2) A содержится в B, 3) B содержит в A и т.п. Из определения 6.3 следует, что всякое множество A является подмножеством самого себя, т.е. A „ A. Если множества A не является подмножеством множества B, то записываем A † B. (6.4) В этом случае существует элемент множества A, который не является элементом множества B. 44

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2 . Множество A равно множеству B, если множества A и B состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств A и B записывается в виде A  B. То, что A и B состоят из одних и тех же элементов, означает: 1) всякий элемент из A содержится в B (т.е. A „ B) и 2) всякий элемент из B содержится в A (т.е. B „ A. Поэтому A  B Ø p A „ B ^ A „ B q. (6.5) З АДАЧА 3. Используя логические законы, получить условие того, что множества A и B не равны. Решение. То, что A  B означает ложность высказывания A „ B ^ A „ B, т.е. истинность высказывания A „ B ^ A „ B. Испольуем логический закон X ^ Y  X _ Y , где X — высказывание A „ B, а Y — высказывание B „ A. При этом X — высказывание A † B, а Y — высказывание B † A. Получили A  B тогда и только тогда, когда A † B или B † A. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3 . Множество A называется собственным подмножеством множества B, если A является подмножеством во множестве в B и A  B. То, что множества A является собственным подмножеством множества B записывается в в виде A € B. (6.6) Пустое и универсальное множества. Если мы говорим слова «множество решений уравнения f pxq  0», то не исключается случай, когда уравнение не имеет решений. Тогда множество M не имеет ни одного элемента. Поэтому мы должны рассматривать и множество, не содержащие ни одного элемента. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается знаком H. Поэтому в задаче с условием «Найти M — множество решений уравнения f pxq  0» в случае отсутствия решений можно записать следующий ответ: «M  H». 45

Пустое множество H является подмножеством любого множества. Действительно, для любого множества M импликация x P H Ñ x P M истинна, так как посылка x P H ложна. Следовательно, H „ M . Можно рассуждать иначе. Если H † M , то существует элемент x во множестве H с условием x R M . Однако в H вообще нет ни одного элемента, тем более нет элемента с каким-то условием. Если в некоторых рассмотрениях участвуют множества A, , B, C, . . ., то можно преставить множество U , в которое мы поместили все элементы даных множеств. Тогда каждое из рассматривамых множеств A, B, C, . . . является подмножеством множества U . О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.5 . Множество U называется универсальным множеством для множеств A, B, C, . . ., если каждое из данных множеств является подмножеством множества U . Например, множество действительных чисел является универсальным множеством по отношению к множествам натуральных, целых и рациональных чисел. Вопросы для самопроверки 1. Приведите примеры неопределяемых понятий теории множеств. 2. Какое множество называется конечным множеством (бесконеченым множеством)? 3. Приведите примеры способов задания множеств. 4. Сформулируйте определения подмножества и собственного подмножества. 5. Дайте определение равенства множеств? 6. Сформулируйте определения пустого и универсального множества. Упражнения З АДАЧА 1. Задать с помощью перечисления множество X, где X — одно из следующих множеств. а) Множество всех всех делителей числа 20. б) Множество всех всех действительных корней уравнения x4
1  0.

46

З АДАЧА 2. Используя множество X  R, задать с помощью характеристического свойства следующие множества. а) Множество всех отрицательных действительных чисел. б) Множество всех действительных чисел из интервала (a,b). в) Множество всех действительных чисел из интервала p1, 8q З АДАЧА 3. Задать с помощью перечисления множество X, заданное с помощью характеристического свойства. а) X б) X в) X

 tx P Z | x2 ¤ 9u;  tx P N | x   5 ^ x  2u;  tx P Z | x2 ¤ 9 _ x  6u;

З АДАЧА 4. Задать с помощью с помощью характеристического свойства множество X, заданное с помощью перечисления. . а) б) в) г)

X  t1, 0,
1u; X  t1,
1u; X  t1, 2, 3, 7, 8, 9u; X  t0u;

З АДАЧА 5. Пусть A „ B и B

„ C. Доказать A „ C. З АДАЧА 6. Пусть A „ B и B € C. Доказать A € C. З АДАЧА 7. Пусть A „ B, B € C и C „ A. Доказать A  B  C. З АДАЧА 8. Доказать, что tHu  H. З АДАЧА 9. Доказать, что t1, 2u  tt1, 2u, 2u. З АДАЧА 10. Пусть A „ H. Доказать, что A  H. З АДАЧА 11. Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее элементов. З АДАЧА 12. Найти все подмножества множества A. а) A  tau; б) A  ta, bu; в) A  H; г) A  ta, tb, cuu.

47

Лекция 7. Операции над множествами. Свойства операций над множествами Операции над множествами. Введем операции пересечения, объединения и разности множеств. Эти операции позволяют из заданных множеств A и B создавать новые множества. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1 . Пересечением множеств A и B называется множество A X B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. Тем самым, пересечение множеств имеет задается следующим равенством: A X B  t x | x P A ^ x P B u. П РИМЕР 7.9 . Пусть A A X B  t2, 4u.

 t2, 4, 5, 7u,

B

 t2, 3, 4, 8u.

Тогда

' ' $ $ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ B A ¡ ¡ ¡ ¡ & & % %

Пересечение множеств A X B графически изображается заштрихованной областью на данном рисунке, который называется диаграммой Венна по имени английского ученого Джона Венна (1834-1923).

Рис. 1.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Объединением множеств A и B называется множество A Y B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. Из данного определения получаем равенство AYB

 t x | x P A _ x P B u.

П РИМЕР 7.10 . Пусть A A Y B  t2, 3, 4, 5, 7, 8u.

 t2, 4, 5, 7u,

B

 t2, 3, 4, 8u.

Объединением множеств A Y B графически изображается заштрихованной областью на следующей диаграмме Венна.

48

A

Тогда

$ $ ' ' ¡¡¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ % ¡ ¡ & & %

Рис. 2.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3 . Разностью множеств A и B называется множество A z B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Тем самым

AzB

 t x | x P A ^ x R B u.

Разность множеств имеет следующее изображение на диаграмме Венна. П РИМЕР 7.11 . Пусть A A z B  ta, cu.

 ta, b, c, du,

' ' $ $ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ A¡ B ¡ ¡ ¡ ¡& & % %

Рис. 3. B

 tb, d, eu.

Тогда

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4 . Пусть B — подмножество множества A. Дополнением множества B до множества A называется множество B, равное разности AzB. Поэтому B

 t x | x P A ^ x R B u.

Множество B изображается заштрихованной областью на диаграмме Венна.

,¾» , ,, , , ,, ,, ,, ,, B ,, A , ,,½¼ ,, , , ,,,,, ,, ,

Рис. 4.

П РИМЕР 7.12 . Пусть A  R, B — множество положительных действительных чисел. Тогда дополнение множества A до множества B имеет вид B  tx P R | x ¤ 0u. Пусть U — универсальное множество. Тогда все, рассмотриваемые нами множества A, B, C, . . . , являются подмножествами в U . Их дополнения до универсального множества U обозначим через A, B, C, . . . . Нетрудно проверить, что для любых множеств X и Y выполнено равенство X zY

X XY.

(7.1)

Построение отрицания условия принадлежности элемента x к пересечению, объединению и разности множеств. Из определений пересечения, объединения и разности множеств имеем xPAXB xPAYB x P AzB

Ø x P A ^ x P B, Ø x P A _ x P B, Ø x P A ^ x R B. 49

(7.2) (7.3) (7.4)

Эти равенства выражают соответственно условия принадлежности элемента x к пересечению, объединению и разности множеств. Во многих случаях требуется выразить тот факт, элемента x не прннадлежит пересечению, объединению или разности множеств. Это можно слелать следующим способом. 1) Условие для x R A X B. По (7.2) имеем: x R A X B тогда и только тогда, когда высказывание x P A ^ x P B ложно, а высказывание x P A ^ x P B истинно, т.е. истинно высказывание x R A _ x R B. Мы применили закон логики X ^ Y  X _ Y к высказываниям X : x P A и Y : x P B. При этом X означает x R A, а Y означает x R B. Итак, xRAXB

Ø x R A _ x R B.

(7.5)

Получили следующее правило. Элемент x не принадлежат пересечению A X B тогда и только тогда, когда x не принадлежат множеству A или x не принадлежат множеству B. 2) Условие для x R A Y B. По (7.3) имеем: x R A Y B тогда и только тогда, когда высказывание x P A _ x P B ложно, т.е. высказывание x P A _ x P B истинно. По закону логики X _ Y  X ^ Y имеем xRAYB

Ø x R A ^ x R B.

(7.6)

Получили правило. Элемент x не принадлежат объединению A Y B тогда и только тогда, когда x не принадлежат A и x не принадлежат B. 3) Условие для x R AzB. По (7.4) имеем: x P AzB тогда и только тогда, когда высказывание x P A ^ x R B истинно. Поэтому x R A z B тогда и только тогда, когда высказывание x R A _ x P B истинно. Поэтому xRAzB

Ø x R A _ x P B.

(7.7)

Получили правило. Элемент x не принадлежат разности A z B тогда и только тогда, когда x не принадлежат A или x принадлежат B.

50

Доказательство равенства множеств на основе определения. В предыдущей лекции введено определение равенства множеств. Множество X равно множеству Y , если множества X и Y состоят из одних и тех же элементов, т.е. выполнены следующие два условия: 1q X

„Y

и

2q Y

„ X.

(7.8)

Приведем пример решения задачи, где нужно доказать равенство множеств на основе этого определения. З АДАЧА 1. Доказать равенство множеств A z p B Y C q  p A z B q X p A z C q.

(7.9)

Решение.Обозначим левую часть данного равенства через X, а правую часть — через Y . Тогда

 A z p B Y C q, Y  p A z B q X p A z C q. Нужно проверить, что X  Y , что по (7.8) означает выполнение двух утверждений: 1) X „ Y и 2) Y „ X. 1). Проверим, что X „ Y , т.е. всякий элемент из X содержится в Y . Пусть x P X. Тогда x P AzpB Y C q, т.е. x P A и x R B Y C. Поскольку x R B Y C, то x R B и x R C. Итак, имеем x P A, x R B, x R C. Из x P A и x R B получаем x P AzB, а из x P A и x R C получаем x P AzC. Поскольку x P AzB и x P AzC, то x P pAzB q X pAzC q  Y. Следовательно, X „ Y . 2). Проверим, что Y „ X. Пусть x P Y . Тогда x P pAzB q X pAzC q, т.е. x P AzB и x P AzC. Из x P AzB следует x P A и x R B, а из x P AzC следует x P A и x R C. Итак, имеем x P A, x R B, x R C. Из x R B и x R C получаем x R B Y C. Поскольку x P A и x R B Y C, то x P AzpB Y C q  X. Следовательно, Y „ X. Из X „ Y и Y „ X получаем X  Y , что и требовалось доказать. X

51

Свойства операций над множествами. Приведем основные законы, связанные с операциями над множествами. Т ЕОРЕМА 7.1. Пусть A, B, C — произвольные множества. Тогда справедливы следующие утверждения. 1q A X B

BXA

Законы

Законы 2q A X pB X C q  pA X B q X C 3q A X A  A

Законы

коммутативности 11 q A Y B  B Y A ассоциативности 2 1 q A Y p B Y C q  pA Y B q Y C идемпотентности 31 q A Y A  A

Законы дистрибутивности 4qA X pB Y C q  pA X B q Y pA X C q 41 qA Y pB X C q  pA Y B q X pA Y C q 5q A X B

AYB

Законы

де Моргана 51 q A Y B  A X B

6q A X A  H

61 q A Y A  U

7q A X U

71 q A Y H  A

A

8q A X H  H

81 q A Y U

U

Закон двойного дополнения 9q AA

В законах 6) – 8) и 6q1 – 81 ) через H и U обозначены соответственно пустое множество и универсальное множество, которое содержит все рассматриваемые множества A, B, C. При этом через A и B обозначаются дополнения множеств A и B до универсального множества U . Заметим, что законы 1) – 8), 1q1 – 81 ) и 9) из данной теоремы аналогичны соответствующим законам из теоремы 3.1 на стр. 21. При этом знаки конъюнкции ^ и дизъюнкции _ заменяются на знаки пересечения X и объединению Y. Знак отрицания «–» заменяется на знак дополнения 52

«–». Вместо «Л» фигурирует пустое множество H, а вместо «И» — универсальное множество U . Доказательство. Приведем доказательство закона 4, т.е. равенства A X p B Y C q  p A X B q Y p A X C q. Обозначим левую часть равенства через X, а правую часть — через Y . Тогда X  A X p B Y C q, Y  p A X B q Y p A X C q. Нужно проверить, что X  Y , т.е. 1) X „ Y и 2) Y „ X. 1). Докажем, что X „ Y . Пусть x P X. Тогда x P A X pB Y C q, т.е. xPA

и

x P B Y C.

Из x P B Y C получаем два случая: а) x P B или б) x P C. Итак, в случае 1) имеются два подслучая: 1а) x P A и x P B или 1б) x P A и x P C. Пусть имеем случай 1а). Тогда x P A и x P B, т.е. x P A X B. Поэтому x P pA X B q Y pA X C q  Y,

что и нужно. Пусть имеем 1б). Тогда x P A и x P C, т.е. x P A X C. Поэтому x P A X B _ pA X C q  Y,

что и нужно. Получили X „ Y . Случай 2). Проверим, что Y

„ X. Пусть x P Y . Тогда x P p A X B q Y p A X C q. Возможны два подслучая: 2а) x P A X B или 2б) x P A X C. 2а) Тогда x P A X B, т.е. x P A и x P B. Так как x P B, то x P B Y C Поэтому

x P A X pB Y C q  X, что и нужно. 2б) Тогда x P A X C, т.е. x P A и x P C. Так как x P C, то x P B Y C. Поэтому x P A XpB Y C q  X, что и нужно. Из 2а) и 2б) получаем Y „ X. Поскольку X „ Y и Y „ X, то X  Y . Свойство 4 доказано. Остальные свойства проверяются аналогично. Теорема доказана. 53

Доказательство равенства множеств с помощью преобразований. Полученные в теореме законы позволяют доказывать равенство множеств вторым способом — с помощью преобразований. З АДАЧА 2. Доказать равенство множеств A z p B X C q  p A z B q Y p A z C q.

(7.10)

с помощью преобразований. Решение. По (7.1) имеем равенство X z Y  X X Y , где Y — дополнение множества Y до универсального множества U . Тогда A z pB X C q  A X B X C

4 A X pB Y B q 2  p A X B q Y p A X B q  p A z B q Y p A z C q.

Над знаком равенства указывается номер закона из теоремы 7.1, который применяется в данном равенстве. Итак, мы привели два основных способа доказательства равенства множеств: 1) доказательство на основе определения равенства множеств, и 2) доказательство с помощью равносильных преобразований. Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение пересечением множеств. 2. Дайте определение объединения множеств. 3. Дайте определение разности множеств. 4. Перечислите свойства операций над множествами. 5. Укажите два два основных способа доказательства равенства множеств.

54

Упражнения З АДАЧА 1. Даны множества A  t1, 3, 4, 6, 8u,

B

 t1, 4, 5, 6, 7u,

Найти следующие множества: а) pA Y B qzC;

б) pA X B qzpA Y C q;

в)

C


 t2, 4, 5, 8u.

pA X B qzC Y pC zAq.

З АДАЧА 2. Изобразить диаграммы Венна следующих множеств:

а) pA Y B qzC;

б) pA X B qzC;

в) C zpA Y B q.

З АДАЧА 3. Доказать равенство множеств из теоремы 7.1

а) A X B  B X A, A Y B  B Y A; б) A X pB X C q  pA X B q X C, A Y pB Y C q  pA Y B q Y C; в) A X A  A, A Y A  A; г) A XpB Y C q  pA X B qYpA X C q, A YpB X C q  pA Y B qXpA Y C q; д) A X B  A Y B, A Y B  A X B; е) A X A  H, A Y A  U; ж) A X U  A, A Y H  A; з) A X H  H, A Y U  U;

и) A  A. При этом U — универсальное множество, а через A и B обозначаются дополнения множеств A и B до универсального множества U . З АДАЧА 4. Используя определение равенства множеств, доказать следующие равенства. а) б) и) г) и) к)

A z p B X C q  p A z B q Y p A z C q; A z pA z B q  A X B; A Y B  A Y p B z A q; pA Y B q z C  p A z B q Y p A z C q; A z pB Y C q  pA z B q z C; A X p B z Aq  H .

З АДАЧА 5. Доказать равенство множеств из предыдущей задачи с помощью преобразований.

55

З АДАЧА 6. Доказать, что множество корней уравнения f pxqg pxq  0 является объединением множества корней уравнения f pxq  0 и множества корней уравнения g pxq  0. З АДАЧА 7. Доказать, что множество корней системы $ ' &f

pxq  0, ' %g pxq  0. является пересечением множества корней уравнения f pxq ства корней уравнения g pxq  0.

 0 и множе-

З АДАЧА 8. Доказать, что A „ B тогда и только тогда, когда AYB

 B; З АДАЧА 9. Доказать, что A „ B тогда и только тогда, когда AXB  A; З АДАЧА 10. Доказать, что pA z B qYpB z Aq  H тогда и только тогда, когда A  B;

56

Лекция 8. Бинарные отношения Бинарные отношения. С понятием отношения мы сталкиваемся как в математике, так и в обычной жизни. Пусть M — множество всех людей. Тогда на множестве M определено отношение «уважать». Взяв a, b P M , т.е. взяв двух конкретных людей, мы имеем одну из двух возможностей: 1) a уважает b, 2) a не уважает b. Обозначив отношение «уважать» через R, в случае 1) записываем aRb. В случае 2) записываем a R { b, перечеркивая знак отношения. Пусть теперь M -множество прямых некоторой плоскости. Тогда можно рассмотреть отношение параллельности, которое вместо R обозначим знаком }. Если прямые a и b параллельны, то записываем a}b и говорим, что a находится в отношении паралельности к b. Аналогично можно рассмотреть отношения больше на M — множество действительных чисел. Для этого отношения используется знак ¡. Запись 2 ¡ 1 означает, что элементы 2 и 1 находятся в отношении ¡. Данные отношения назваются бинарными, т.к. в них участвуют два элемента. Пусть мы рассматриваем отношение «уважать», определенное на M — множестве всех людей. Для получения полной информации о том, кто кого уважает, составим следующий список R. Переберем все пары pa, bq, где a и b пробегают множество всех людей. Если a уважает b, то пару pa, bq поместим в список R. Если a не уважает b, то пара pa, bq в список R не заносится. Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли некто a человека b, то просматриваем список R. Если pa, bq P R, то заключаем, что a уважает b. В случае pa, bq R R заключаем, что a не уважает b. Поэтому отношение «уважать» можно отождествить со списком R. Итак, вместо словестного описания отношения можно задать его указанием списка R. На этом основано строгое определение понятия отношения, к рассмотрению которого мы переходим. Декартово произведение множеств. Пусть A и B — произвольные множества. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всех пар pa, bq, где a P A и b P B.

57

Декартово произведение множеств A и B обозначается A  B. Тогда AB

 tpa, bq | a P A, b P B u.

(8.1)

Если A  M и B  M — одно и тоже множество M , то получаем декартово произведение M  M , которое называется декартовым квадратом множества M и обозначается через M 2 . Поэтому M2

 tpa, bq | a P M, b P M u.

(8.2)

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2 . Бинарным отношением, определенным на множестве M называется произвольное подмножество R из декартово квадрата M 2 . Если pa, bq P R, говорят элемент a находится в отношении R к элементу b, и записывают aRb. Если a не находится в отношении R к элементу b, то записывают a R { b. З АДАЧА 1 . Рассмотрим отношение больше на множестве M  t1, 2, 3u (словестное описание). Выразить данное отношение в виде подмножества R из декартово квадрата M 2 . Решение. Составим вначале декартов квадрат множества M . Получим множество

 tp1, 1q, p1, 2q, p1, 3q, p2, 1q, p2, 2q, p2, 3q, p3, 1q, p3, 2q, p3, 3qu. Из него выберем все пары, pa, bq где a ¡ b. Получим R  tp2, 1q, p3, 1q, p3, 2qu. M2

Виды бинарных отношений. Рассмотрим некоторые виды бинарных отношений. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3 . Бинарное отношение R на множестве M называется рефлексивным, если для всякого элемента a из M , выполняется условие aRa. Другими словами R рефлексивно, если каждый элемент a из M находится в отношение R к самому себе. Это условие записывается в виде

@a P M

aRa,

(8.3)

или тоже самое в виде

@a P M pa, aq P R. 58

(8.4)

П РИМЕР 8.1. Пусть R — отношение «уважать», определенное на M — множестве всех людей. Является отношение R рефлексивным? Если «да», то каждый человек уважает самого себя. Однако есть примеры конкретных людей, которые не уважают самого себя. Поэтому R не рефлексивно. П РИМЕР 8.2 . Пусть R — отношение, определенное на множестве M  ta, b, cu. При этом R  tpa, bq, pa, aq, pb, bq, pa, cq, pc, cqu. Имеем @x P M px, xq P R. По (8.4) R рефлексивно. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4 . Бинарное отношение R на множестве M называется симметричным, если для всяких элементов a, b P M из условия aRb следует условие bRa. Тем самым R симметрично, если

@a P M @b P M

aRb Ñ bRa,

(8.5)

или тоже самое в в другом виде

@a P M @b P M pa, bq P R Ñ pb, aq P R.

(8.6)

П РИМЕР 8.3. Пусть R — отношение «уважать», определенное на M — множестве всех людей. Является отношение R симметричным? Если «да», то из того, что a уважает b всегда получим b уважает a. Это неверно, так как существует два человека a и b, где a уважает b, но b не уважает a, Поэтому R не симметрично. П РИМЕР 8.4 . Пусть R — отношение, определенное на множестве M  ta, b, cu. При этом R  tpa, bq, pb, cq, pa, aq, pb, aq, pc, bq, u. Имеем @x P M @y P M px, y q P R Ñ py, xq P R. По (8.6) R симметрично. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.5 . Бинарное отношение R на множестве M называется транзитивным, если для всяких элементов a, b, c P M из условий aRb и bRc следует условие aRc. Поэтому R транзитивно, если

@a P M @b P M @c P M

aRb ^ bRc Ñ aRc,

(8.7)

или тоже самое в в другом виде

@a P M @b P M @c P M pa, bq P R ^ pb, cq P R Ñ pa, cq P R. 59

(8.8)

З АДАЧА 2. Пусть M множество прямых некоторой плоскости. и R — отношение параллельности, т.е. aRb Ø a}b. Доказать, что отношение параллельности транзитивно. Решение. Прямая a параллельна прямой b, если a и b не имеют общих точек или совпадают. Пусть прямая a параллельна b и прямая b параллельна c. Проверим, что прямая a параллельна c. Предположим противное, a не параллельна c. Тогда a и c — различные прямые, имеющие общую точку p. При этом обе прямые a и c параллельны прямой b. Получили: «чере точку p проходит две различные прямые a и c параллельны прямой b». Это противоречит постулату Евклила о единственности прямой, проходящей чере точку p и параллельной прямой b. Следовательно, a параллельна c и отношение параллельности транзитивно. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.6 . Бинарное отношение R на множестве M называется антисимметричным, если для всяких элементов a, b P M из условий aRb и bRa следует, что a  b. Следовательно, R антисимметрично, если

@a P M @b P M

aRb ^ bRa Ñ a  b,

(8.9)

или в другой записи

@a P M @b P M pa, bq P R ^ pb, aq P R Ñ a  b.

(8.10)

П РИМЕР 8.5. Отношение ¥ на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если a ¥ b и b ¥ a, то a  b. Введем два вида отношений, играющих важную роль в математике. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.7 . Бинарное отношение R называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

60

Нетрудно проверить, что следующие отношения является отношением эквивалентности • Отношение параллельности на множестве прямых некоторой плоскости. • Отношение «проживать в одном доме» на множестве всех людей. • Отношение подобия на множестве треугольников. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.8. Бинарное отношение R называется отношением частичного порядка, если R рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Отношение ¥ на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка. Действительно, для отношения ¥ имеем 1. @a a ¥ a (рефлексивность); 2. @a @b @c

a¥b^b¥c

Ñ a ¥ c (транзитивность); 3. @a @b a ¥ b ^ b ¥ a Ñ a  b ( антисимметричность). Построение отрицаний. Пусть R—бинарное отношение на множестве M , и P – одно из следующих условий: 1) отношение R рефлексивно, 2) отношение R симметрично, 3) отношение R транзитивно, 4) отношение R антисимметрично. Построим в каждом случае отрицание выполнения условия P . 1) Отрицание рефлексивности. По определению R рефлексивно, если каждый элемент из множества M находится в отношении R к самому себе, т.е. @a P M a R a. Тогда R не рефлексивно, если существует элемент из множества M , который не находится в отношении R к самому себе, т.е. Da P M a R{ a. Это же заключение можно получить, используя законы логики. Действительно, то, что R не рефлексивно означает ложность высказывания @a P M a R a. Тогда высказывание @a P M a R a истинно. Используем равносильность @x P pxq  Dx P pxq из теоремы 5.3 на стр. 36. В нашем случае получаем @a P M a R a  Da P M aR { a, что и нужно.

61

Аналогично получаем остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения. • R не рефлексивно тогда и только тогда, когда

Da P M

aR { a.

• R не симметрично тогда и только тогда, когда

Da P M Db P M

aRb

^ bR{ a.

• R не транзитивно тогда и только тогда, когда

Da P M Db P M Dc P M

aRb

^ bRc ^ aR{ c.

• R не антисимметрично, тогда и только тогда, когда

Da P M Db P M

aRb

^ bRa ^ a  b.

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение декартова произведения множеств. 2. Приведите пример рефлексивного бинарного отношения. 3. Приведите пример симметричного бинарного отношения. 4. Приведите пример антисимметричного бинарного отношения. 5. Приведите пример транзитивного бинарного отношения. 6. Сформулируйте определение отношения эквивалентности. 7. Сформулируйте определение отношения частичного порядка. 8. Сформулируйте отрицания для свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности и антисимметричности бинарного отношения. Упражнения З АДАЧА 1. Найти декартово произведение множеств A B  t1, 2u.

 ta, b, cu и

З АДАЧА 2. Выписать элементы декартового квадрата A2 , где A  ta, b, cu. З АДАЧА 3. На множестве M задано бинарное отношение R. Определите, какими из следующих условий: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность обладает отношение R. 62

а) M — множество всех людей, aRb тогда и только тогда, когда a родился в одном году с b; б) M  R и aRb Ø a ¤ b; в) M  R и aRb Ø a  b; г) M  R и aRb Ø a  b; д) M  R и aRb Ø a ¡ b; е) M  Z и aRb Ø a ¤ b; ж) M  N и aRb Ø a делится на b; з) M  Z и aRb Ø числа a и b взаимно просты;

 t1, 2, 3qu задано бинарное отношение R  tp1, 1q, p2, 2q, p3, 3q, p2, 1q, p1, 2q, p1, 3q, p3, 1qu.

З АДАЧА 4. На множестве M

Какими из следующих условий: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность обладает отношение R. З АДАЧА 5. Построить бинарное отношение R, которое: а) не рефлексивно, не симметрично и транзитивно; б) рефлексивно, симметрично, транзитивно, но не антисимметрично; г) не рефлексивно, симметрично и не транзитивно;

63

Лекция 9. Отношение эквивалентности и разбиения множеств Классы эквивалентных элементов и их свойства. Напомним, что бинарное отношение R на множестве M называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пусть R отношение эквивалентности на множестве M и a — некоторый элемент из M . Рассмотрим множество всех элементов из M , находящихся в отношение R к данному элементу a. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Классом элементов, эквивалентных элементу a, называется множество всех элементов из M , находящихся в отношение R к элементу a, т.е. множество Ma

 tx P M |

xRau.

(9.1)

З АДАЧА 1. Пусть M — множестве всех жителей Екатеринбурга и R отношение эквивалентности «проживать в одном доме». Найти класс эквивалентных элементов Ma для a P M . Решение. Класс элементов, эквивалентных элементу a, имеет вид Ma

 tx P M | x проживает в одном доме с человеком au.

Поэтому Ma — это множество всех жителей дома, в котором проживает a. Если возьмем другой дом и его жителя b, то получим новый класс Mb — множество жителей данного дома. Свойства классов эквивалентных элементов. Пусть R отношение эквивалентности на множестве M и Ma , Mb , . . . . множество всех классов эквивалентных элементов для отношения R. Установим следующие свойства классов. С ВОЙСТВО 1. Для любого элемента a P M выполнено условие a P Ma .

(9.2)

В частности, всякий класс Ma является непустым множеством. Доказательство. По определению класс Ma имеет следующий вид: Ma  tx P M | xRau. Поэтому a P Ma Ø aRa. Однако условие aRa выполнено, т.к. отношение эквивалентности R рефлексивно. Следовательно, a P Ma , что и нужно. Поскольку класс Ma имеет элемент a, то Ma  H. Свойство доказано. 64

С ВОЙСТВО 2 ( П РИЗНАК РАВЕНСТВА КЛАССОВ ) . Пусть Ma и Mb классы эквивалентных элементов для отношение эквивалентности R. Классы Ma и Mb равны тогда и только тогда, когда элемент a находится в отношение R к элементу b. Тем самым Ma

 Mb Ø aRb.

(9.3)

Доказательство. Нужно проверить следующие два утверждения: 1q Ma

 Mb Ñ aRb

и

2q aRb Ñ Ma

 Mb .

1). Дано Ma  Mb . Нужно доказать что выполнено условие aRb. По свойству 1 имеем a P Ma . Так как Ma  Mb , то a P Mb . То, что a P Mb , влечет условие aRb. 2). Дано условие aRb. Нужно доказать равенство множеств Ma  Mb , т.е. выполнение двух утверждений: а) Ma „ Mb и б) Mb „ Ma . а) Пусть x P Ma , т.е. выполнено условие xRa. Сопоставим полученное условие xRa с данным условием aRb, и учтем транзитивность отношения R. Получим xRb. Поэтому x P Mb . Итак, Ma „ Mb . б) Пусть x P Mb , т.е. xRb. У нас дано условие aRb. По симметричности отношения R имеем bRa. Из xRb и bRa по транзитивности отношения R получаем xRa. Поэтому x P Ma . Получили Mb „ Ma . Следовательно, Ma  Mb . Свойство доказано. С ВОЙСТВО 3 . Различные классы эквивалентных элементов Ma и Mb не имеют общих элементов. Это свойство записывается в следующем виде

 Mb Ñ Ma X Mb  H . (9.4) Доказательство. Дано Ma  Mb . Предположим противное, т.е. Ma X Mb  H. Поэтому в Ma X Mb существует элемент x. Тогда x P Ma и x P Mb . Из x P Ma получаем xRa, и по симметричности R имеем aRx. Из x P Mb получаем xRb. Ma

Итак имеем aRx и xRb. По транзитивности R получаем aRb. Тогда по признаку равенства классов получаем Ma  Mb . Это противоречие, так как дано, что Ma  Mb . Следовательно, Ma X Mb  H. Свойство доказано. 65

В дальнейшем мы будем рассмотривать семейство некоторых подмножеств множества M . Эту семейство удобно обозначать в виде Mi , где индекс i пробегает некоторое множество индексов I. Пусть, например, X — семейство подмножеств множества M , состоящее из M1 , M2 , M3 . Тогда для I  t1, 2, 3u имеем X  tMi | i P I u. Можно рассмотреть X — объединение всех подмножеств Mi , где i P I. Множество X состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из подмножеств Mi и имеет запись вида X

 ¤ Mi. iPI

С ВОЙСТВО 4. Объединение всех классов эквивалентных элементов равно множеству M , т.е. ¤

aPM

Ma

 M.

(9.5)

Доказательство. Проверим равенство множеств X  aPM Ma и M . Для этого установим следующие два утверждения: 1) X „ M и 2) M „ X. ” 1) Установим, что X „ M . Пусть x P X  aPM Ma . По определению объединения множеств элемент x принадлежит какому-то члену объединения Ma . Однако элементы Ma  tx P M | xRau взяты из M . Получили x P M , что и нужно. 2) Проверим, что M „ X. Пусть a P M . По свойству 1 a P Ma . Тогда элемент a принадлежит Ma — некоторому члену объединения. По” этому a принадлежит принадлежит самому объединению X  aPM Ma . Итак, a P X, что и нужно. Свойство доказано. ”

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2 . Совокупность подмножеств Mi , где i P I, множества M называется разбиением множества M , если выполнены следующие условия: 1. Каждое из подмножеств Mi непусто. 2. Объединением всех подмножеств Mi равно множеству M . 3. Два различных подмножества Mi и Mj не имеют общих элементов. Условия 1–3 можно переписать в следующем виде: 1. @i P I Mi  H, ¤ 2. Mi  M, iPI

3. Mi X Mj

H 66

(9.6) (9.7) при Mi

 Mj .

(9.8)

Т ЕОРЕМА 9.1. Пусть R—отношение эквивалентности на множестве M . Тогда совокупность классов эквивалентных элементов для отношения R образует разбиение множества M . Доказательство. В определении разбиения 9.2 нужно в качестве подмножеств Mi подразумевать классы эквивалентных элементов Ma . Поэтому нам нужно проверить следующие условия 1–3. 1. Каждый класс эквивалентных элементов Ma является непустым множеством. Это верно по свойству 1 из свойств классов эквивалентных элементов на стр. 64. 2. Объединение всех классов Ma равно множеству M . Это выполнено по свойству 4. 3. Два различных класса эквивалентных элементов Ma и Mb не имеют общих элементов. Это верно по свойству 3. Теорема доказана. Следующую теорему можно рассматривать как обращение предыдущей теоремы. Т ЕОРЕМА 9.2. Пусть множества Mi , где i P I, образуют разбиение множества M . Тогда существует отношение эквивалентности R на множестве M такое, что совокупность классов эквивалентных элементов для отношения R совпадают с совокупностью множеств Mi , образующих данное разбиение. Доказательство. Рассмотрим отношение R на множестве M , заданное правилом: Условие aRb выполнено тогда и только тогда, когда существуетMi , где i P I, с условием a, b P Mi . Â

(9.9) ¿

Другими словами, элементы a и b находятся в отноa b шении R при условии, что они одновременно входят в Á À некоторое подмножество Mi из данного разбиения, как Mi показано на данном рисунке. Нужно проверить два утверждения: 1) R—отношение эквивалентности, 2) классы эквивалентных элементов для отношения R совпадают с множествами Mi , где i P I, образующими данное разбиение. 1) Установим, что R—отношение эквивалентности, т.е. проверим три условия для R: а) рефлексивность, б) симметричность, в) транзитивность. 67

а) Проверим, что R рефлексивно, т.е. выполнено условие aRa для всех a P M . Так как множества Mi , где i P I, образуют разбиение множества M , то объединение множеств Mi равно M . Поэтому каждый элемент a из множества M попадает в некоторое множество Mi . Тогда элемент a содержится вместе с элементом a в некотором множестве Mi . По определению (9.9) отношения R получаем aRa, что и нужно. б) Проверим, что R симметрично, т.е. для всех a, b P M из aRb следует bRa. Пусть выполнено условие aRb. Тогда элементы a и b одновременно входят в некоторое подмножество Mi из данного разбиения. Следовательно, b и a одновременно входят в Mi и, поэтому, выполнено условие bRa. в) Проверим, что R транзитивно, т.е. для всех a, b, c P M из aRb и bRc следует aRc. Пусть выполнены условия aRb и bRc. Â ¿ ¿ Из aRb заключаем: существует подмножество Mi из Â a b c данного разбиения, содержащие как элемент a, так и Á Á À À элемент b. Аналогично, из bRc получаем множество Mj Mi Mj из данного разбиения, содержащие элементы b и c. По определению разбиения различные множества Mi и Mj не имеют общих элементов. В нашем случае Mi и Mj имеют общий элемент b. Поэтому Mi  Mj . Тогда a, b, c P Mi . Поскольку множество Mi содержит как элемент a, так и элемент c, то выполнено условие aRc. Следовательно, отношение R транзитивно. Итак, R — отношение эквивалентности. 2) Проверим, что классы эквивалентных элементов для отношения R совпадают с множествами Mi , образующими заданное разбиение. Пусть a — произвольный элемент из M . Тогда существует множество Mi из данного разбиения с условием a P M . Это множество Mi определено однозначно, так как при Mi  Mj имеем a R Mj . Класс Ma для отношения R имеет вид

Ma

 tx P M | xRau  tx P M | x содержится в Miu.

Поэтому класс Ma совпадает с множеством Mi . Когда a пробегает все элементы из M классы Ma пробегают все множества Mi . Следовательно, совокупность классов эквивалентных элементов для отношения R совпадают с совокупностью множеств Mi , образующих данное разбиение. Теорема доказана. 68

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение класса эквивалентных элементов. 2. Приведите пример класса эквивалентных элементов. 3. Перечислите свойства классов эквивалентных элементов. 4. Сформулируйте признак равенства классов эквивалентных элементов. 4. Дайте определение разбиения множества. 5. Приведите пример разбиения множества. 6. Сформулируйте две теоремы о связи отношения эквивалентности с разбиением множества. Упражнения З АДАЧА 1. На множестве M задано бинарное отношение R. Докажите, что R — отношение эквивалентности и найдите классы эквивалентных элементов. а) M — множество всех людей, проживающих в городах, aRb тогда и только тогда, когда a проживает в одном городе с b; б) M  Z aRb тогда и только тогда, когда a2  b2 ; в) M — множество прямых некоторой плоскости, aRb тогда и только тогда, когда прямая a параллельна прямой b; г) M  Z aRb тогда и только тогда, когда числа a и b имеют одинаковый остаток при делении на 3; д) M — множество точек плоскости, отличных от некоторой точки O, aRb тогда и только тогда, когда точки a и b равноудалены от точки O; е) M  Rzt0u aRb тогда и только тогда, когда ab ¡ 0; ж) а) M — множество всех людей, aRb тогда и только тогда, когда a одного пола с b. З АДАЧА 2. На множестве M ние

 t1, 2, 3, 3, 5qu задано бинарное отноше-

R  tp1, 1q, p2, 2q, p3, 3q, p4, 4q, p5, 5q, p1, 3q, p2, 1q, p1, 2q, p2, 3q, p3, 1q, p3, 2qu. Докажите, что R — отношение эквивалентности и найдите классы эквивалентных элементов.

69

З АДАЧА 3. Дано множество M  ta, b, c, d, e, f u и совокупность его подмножеств B1  ta, b, c, u, B2  ta, d, e, f u, B3  tb, cu, B4  td, eu, B5  tb, c, du, B6  ta, b, c, d, e, f u, B7  ta, f u. Выберите подмножества из этой совокупности, образующие разбиение множества M . З АДАЧА 4. Постройте разбиение множества R на три подмножества A, B, C таких, что: для всех x, y P A справедливы условия x y P A и xy P A, а множество C порядка 1. З АДАЧА 5. На множестве M из n элементов задано отношение эквивалентности R. Число классов эквивалентных элементов также равно n. Опишите отношение R. З АДАЧА 6. На множестве M из n элементов задано отношение эквивалентности R. Число классов эквивалентных элементов равно 1. Опишите отношение R. З АДАЧА 7. Найдите все отношение эквивалентности на двухэлементном множестве M  ta, bu. З АДАЧА 8. Найдите все отношение эквивалентности на трехэлементном множестве M  ta, b, cu.

70

Лекция 10. Отображения множеств. Виды отображений Отображения множеств. Понятие отображения и связанная с этим понятием терминология общеупотребительны в основных математических дисциплинах и будут постоянно использоваться в алгебре, геометрии и математическом анализе. Пусть A, B — произвольные множества. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Отображением f множества A во множество B называется правило, по которому каждому элементу a P A сопоставляется однозначно определенный элемент f paq из множества B. Тем самым, мы берем элемент a P A и, пользуясь данным правилом, вычисляем элемент b  f paq P B. Элемент b  f paq называется образом элемента a при отображении f . Элемент a называется прообразом элемента b при отображении f . На правило f не накладывается никаких ограничений, требуется только выполнение следующих двух условий. 1) Образ f paq элемента a P A однозначно определен. 2) Элемент f paq принадлежит множеству B. То, что f — отображением множества A во множество B выражается записью f : A Ñ B, или записью

A Ñ B. f

З АДАЧА 1 . Пусть A  Z, B  N и f paq  a2 1 для всех a P A. Доказать, что f является отображением множества A во множество B. Решение. Проверим выполнение указанных выше условий 1) и 2). 1) Элемент f paq однозначно определен. Отрицание того, что элемент f paq однозначно определен означает или а) элемент f paq не определен, или б) имеется более одного варианта элемента f paq. В нашем случае число f paq  a2 1 однозначно определено для любого целого числа a. 71

2) Проверим, что f paq P B. Поскольку число f paq  a2 1 —целое и a2 1 ¡ 0, то f paq — натуральное число. Получили f paq P B  N. Итак, f — отображение Z в N, что выражается записью f : Z Ñ N. З АДАЧА 2 . Даны следующие множества A, B и правило f для вычисления образа f paq. Верно ли, что f является отображением множества A во множество B? 1) A  N, B  N, f paq  a
1. 2) A и B — множество всех точек некоторой плоскости, f paq — точка, удаленная от точки a на даннное расстояние r ¡ 0. 3) A  R, B — промежуток [-1,1], f paq  sinpaq. Решение. В случаях 1) и 2) f не является отображением множества A во множество B. Действительно, в случае 1) при a  1 имеем f p1q  0 R B  N. В случае 2) элемент f paq определен не однозначно. В случае 3) f является отображением множества A во множество B. Отображение f : A Ñ B обычно задается с помощью формулы или словестного описания правила для вычисления f paq. Однако отображение f : A Ñ B можно задать с помощью следующего рисунка. ¾» ¾» f a1 b1 a2 b2 a3 b3 ½¼½¼

A Здесь изображены множества A жение f : A Ñ B, где

B

 ta1, a2, a3u, B  tb1, b2, b3u и отобра-

f pa1 q  b1 , f pa2 q  b2 , f pa3 q  b3 . Виды отображений. Пусть f — отображение множества A во множество B. Определим три вида отображений. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2 . Отображение f множества A во множество B называется инъективным, если для всех элементов a1 , a2 P A из a1  a2 следует, что f pa1 q  f pa2 q.

Другими словами отображение f : A Ñ B инъективно, если образы различных элементов из A также различны.

72

Мы можем выразить инъективность отображения f : A щей записью

@a1 P A @a2 P A

a1

Ñ B следую-

 a2 Ñ f pa1q  f pa2q.

(10.1)

П РИМЕР 10.1 . Пусть A — множество всех людей, проживающих в городах, B — множество городов. Рассмотрим отображение f множества A во множество B, где f paq — город, где проживает челоовек a. Возьмем a и b — двух различных жителей Екатеринбурга. Тогда a  b, но f paq  f pbq. Поэтому отображение f не инъективно. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.3 . Отображение множества A во множество B называется сюръективным, если для всякого элемента b P B существует элемент a P A с условием f paq  b. Итак, отображение f сюръективно, если каждый элемент b P B является прообразом хотя бы одного элемента из A (имеет прообраз в A). Сюръективность отображения f : A Ñ B выражается следующей записью @b P B Da P A с условием f paq  b. (10.2) О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.4 . Отображение множества A во множество B называется биективным, если оно инъективно и сюръективно. Вместо слов: инъективное отображение, сюръективное отображение и биективное отображение будем применять следующие сокращения: инъекция, сюръекция и биекция. Биективное отображение называют также взаимно однозначным отображением. Рассмотрим три отображения f1 , f2 , f3 на следующих рисунках. ¾» ¾» f1 a1 b1 a2 b2 a3 b3 b4 ¼ ½¼½

A

B Рис. 1

¾» ¾» f2 a1 b1 µ ¡ ¡ a2 ¡ - b2 ¡ a3 ¡ ½¼½¼

A

B Рис. 2 73

¾» ¾» f3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 ½¼½¼

A

B Рис. 3

Какими из следующих свойств: инъективность, сюръективность, биективность обладают отображения f1 , f2 , f3 ? 1) Отображение f1 на рисунке 1 не сюръективно, т.к. элемент b4 не имеет прообраза в A. Однако отображение f1 инъективно, т.к. образы различных элементов из A также различны. 2) Отображение f2 на рисунке 2 сюръективно, но не инъективно. Действительно, образы различных элементов a1 и a3 совпадают. 3) Отображение f3 на рисунке 3 инъективно и сюръективно. Поэтому отображение f3 биективно. З АДАЧА 3 . Какими из свойств: инъективность, сюръективность, биективность обладает отображение f : A Ñ B? 1. A  R, B

 R и f pxq  2x 3. 2. A  R, B  R  tx P R | x ¡ 0u и f pxq  2x . 3. A – множество векторов некоторой плоскости, B и f pxq — длина вектора x.

 tx P R | x ¥ 0u

Решение. Рассмотрим пункт 1. Определим инъективность и сюръективность отображения f . а) Инъективность. Пусть x1  x2 . Проверим, что f px1 q  f px2 q, т.е. 2x1 3  2x2 3. Предположим противное, 2x1 3  2x2 3. Тогда 2x1  2x2 и x1  x2 . Противоречие, т.к. x1  x2 . Следовательно, f инъективно. б) Сюръективность. Пусть b P B  R. Найдем элемент a P A  R с условием f paq  b, т.е. с условием 2a 3  b. В равенстве 2a 3  b задан элемент b P R и нужно найти a P R. Очевидно, что a

b
3 и a P R. 2

Следовательно, отображение f сюръективно. Поскольку f инъективно и сюръективно, то f биективно. Рассмотрим пункт 2. Определим инъективность отображения f . Пусть x1  x2 . Тогда 2x1  2x2 по свойству показательной функции. Получили f px1 q  f px2 q т.е. f инъективно. Сюръективность отображения f . Пусть задан элемент b P R, где b ¡ 0. Найдем прообраз a P A  R для b, т.е. элемент a с условием 2a  b. 74

В равенстве 2a  b задан элемент b и находится элемент a. Ясно, что a  log2 pbq. Итак, f инъективно и сюръективно, т.е. f биективно. В случае 3 f не инъективно, сюръективно и не биективно. Тождественное и обратное отображения. Пусть A — произвольное множество. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.5 . Тождественным отображением множества A называется отображение E : A Ñ A, сопоставляющее каждому элементу самого себя. Другими словами E — тождественное отображение множества A, если

@a P A

E paq  a.

(10.3)

Вместо термина «тождественное отображение» применяют также термин «единичное отображение». Пусть f — биективное отображением множества A во множества B. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.6 . Обратным отображением для биекции f : A Ñ B называется отображение f
1 : B Ñ A, где f
1 pbq  a тогда и только тогда, когда f paq  b. Тем самым, если f отображает элемент a в элемент b, то обратное отображение f
1 отображает элемент b в элемент a, как показано на следующем рисунке ¾» ¾» f
1b1 a1 b2 a2 b3 a3 ½¼½¼

¾» ¾» f a1 b1 a2 b2 a3 b3 ½¼½¼

A

B

B

A

То же самое выражается равенствами


f
1 f paq



a




f f
1 pbq



 b для всех a P A и b P B. (10.4)
Действительно, обозначив f paq  b, получаем f
1 f paq  f
1 pbq  a. и

Аналогично получаем второе равенство.

З АМЕЧАНИЕ 10.1 Нетрудно проверить, что обратное отображение f
1 : B Ñ A для биекции f : A Ñ B также является биекцией. 75

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение отображения множества A во множество B. 2. Приведите примеры отображений. 3. Приведите примеры правила вычисления элемента f paq для a P A, которое не является отображением множества A во множество B. 4. Сформулируйте определение образа и прообраза элемента при отображении множеств. 5. Дайте определение инъективного, сюръективного и биективного отображений. 6. Дайте формулировку того, что отображение f : A Ñ B не инъективное. 7. Дайте формулировку того, что отображение f : A Ñ B не сюръективно. 8. Приведите пример инъективного, но не сюръективного отображения. 9. Приведите пример сюръективного, но не инъективного отображения. 10. Сформулируйте определение тождественного отображения. 11. Сформулируйте определение обратного отображения. Упражнения З АДАЧА 1. Даны множества A, B и правило f для вычисления образа f paq. Верно ли, что f является отображением множества A во множество B? а) A  Z, B  N, f paq  a2 ; б) A  N, B  N, f paq  a3 1; г) A  R, B  R, f paq  lgpaq; д) A  R, B  R, f paq — такое число b P R, что | b || a |; е) A  N, B  N, f paq НОДpa, 2q; ж) A и B — множество векторов некоторой плоскости, f paq — длина вектора a; з) A и B — множество векторов некоторой плоскости, c P A — некоторый вектор, и f paq  a c; 76

и) A — совокупность всех подмножеств множества N, B f pX q — наименьшее число во множестве X; к) A — совокупность всех подмножеств множества R, B f pX q — наименьшее число во множестве X; л) A  R, B  R, f paq  tgpaq; м) A  R, B  R, f paq  cospaq.



N и



R и

З АДАЧА 2. Дано отображение отображение f множества A во множество B. Является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным? а) A  R, B  R, f paq  cospaq. б) A  R, B  r
1, 1s, f paq  cospaq. в) A  r0, π2 s, B  r
1, 1s, f paq  cospaq. г) A  R, B  R и f pxq  x2 1; д) A  R, B  R  tx P R | x ¡ 0u и f pxq  3x ; е) A  R , B  R и f pxq  lgpxq; е) A — множество векторов некоторой плоскости, B f pxq  x c.

77

 A, c P A, и

Лекция 11. Произведение отображений. Мощность множества Произведение отображений. Пусть f — отображение множества A во множество B, g — отображение множества B во множество C, что выражается в следующем виде A Ñ B, f

B

Ñg C.

Введем отображение f g множества A во множество C, которое называется произведением отображений f и g (композицией отображений). Считам, что для всех a P A f g paq  g pf paqq. При этом f paq P B и g pf paqq P C. То, что f paq изобразить в виде f f a Ñ b и b Ñ c.

(11.1)

 b и gpf paqq  c можно

Тогда из равенства (11.1) имеем a Ñ c. fg

Получаем следующее правило, выражающее идею композиции отображений. П РАВИЛО 11.1 Если при отображении f элемент a отображается в элемент b, а при g элемент b отображается в элемент c, то при композиции отображений f g элемент a отображается в элемент c. З АДАЧА 1. Отображения f : A Ñ B и g : B Ñ C заданы формулами f pxq  x 1 и g pxq  x2 . Указать формулу для вычисления образа элемента x при отображении f g. Решение. Образ элемента x при отображении f g вычисляется по правилу (11.1). Поэтому f g pxq  g pf pxqq  g px

78

1q  px

1q2 .

Свойства произведения отображений. Укажем наиболее употребительные свойства произведения отображений. С ВОЙСТВО 1 . Произведение отображений ассоциативно, т.е. для всех отображений f : A Ñ B, g : B Ñ C, h : C Ñ D справедливо равенство pf g qh  f pghq.

Доказательство. Два отображения pf g qh и f pghq равны тогда и только тогда, когда образы любого элемент x P A при этих отображения совпадают. Поэтому достаточно установить равенство

@x P A pf gqhpxq  f pghqpxq. По правилу (11.1) имеем














pf gqhpxq  h pf gqpxq  h gpf pxq . Аналогично,




f pghqpxq  gh pf pxq



 h g pf px q .

Получили pf g qhpxq  f pghqpxq, что и нужно. Свойство доказано. С ВОЙСТВО 2 . Пусть f — отображение множества A в A, E — тождественное отображение множества A. Тогда Ef

f

и

fE

 f.

(11.2)

Доказательство. Проверим вначале равенство Ef  f . Нужно проверить, что образы элемента x P A при Ef и f совпадают. Имеем равенства Ef pxq  f pE pxqq  f pxq.

При этом учтено, что E pxq  x для тождественного отображения E. Получили Ef  f . Аналогично проверяется f E  f . Свойство доказано. С ВОЙСТВО 3. Пусть f — биективное отображение множества A в B и f
1 — обратное отображение для отображения f . Тогда f
1 f

E

и

f f
1

 E.

Доказательство. Проверим вначале равенство f
1 f имеем равенства
f
1 f pxq  f f
1 pxq  x.

(11.3)



E. По (10.4)

Поскольку E pxq  x, то f
1 f pxq  E pxq для всех x P A. Поэтому f
1 f  E. Доказательство равенства f f
1  E аналогично. Свойство доказано. 79

С ВОЙСТВО 4. Пусть f g — произведение отображений f : A Ñ B и отображения f : B Ñ C. Справедливы следующие утверждения 1. Если отображения f и g инъективны, то и отображение f g инъективно. 2. Если отображения f и g сюръктивны, то и отображение f g сюръктивно. 3 Если отображения f и g биективны, то и отображение f g биективно. Доказательство 1. Пусть a1 , a2 P A и a1  a2 . Так как отображение f инъективно, то f pa1 q  f pa2 q. Из f pa1 q  f pa2 q и инъективности g следует

g f pa1 q  g f pa2 q . Это означает f g pa1 q  f g pa2 q. Получили инъективность отображения f g. 2. Пусть c P C. Так как отображение g сюръективно, то существует элемент b P B такой, что f pbq  c. Из сюръективности f получаем эле
мент a P A такой, что f paq  b. Тогда f g paq  g f paq  g pbq  c. Итак, для любого c P C существует элемент a P A такой, что f g pbq  c. Следовательно, отображение f g сюръективно. 3. Пусть f и g биективны. Тогда отображения f и g инъективны и сюръективны. По 1 и 2 инъективно и сюръктивно отображение f g. Поэтому f g биективно, что и нужно. Свойство доказано. Мощность множества. Важной характеристикой множества является число его элементов. Мы рассмотрим понятие «мощность множества». Это понятие — обобщение понятия «число элементов множества». О ПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Множество A равномощно множеству B, если существует биективное отображение множества A во множество B. Нетрудно проверить, что в случае конечных множеств (т.е. множеств, состоящих из конечного числа элементов) A равномощно множеству B тогда и только тогда, когда число элементов в A равно числу элементов в B. П РИМЕР 11.2. Пусть A  N, B — множество четных натуральных чисел. Тогда множество A равномощно множеству B. Искомой биекцией f : A Ñ B является отображение f pxq  2x. Т ЕОРЕМА 11.1. Отношение равномощности является отношением эквивалентности. 80

Доказательство. Нужно проверить, что отношение равномощности рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. 1. Каждое множество A равномощно самому себе. 2. Если множество A равномощно множеству B, то множество B равномощно множеству A. 3. Если множество A равномощно множеству B, а множество B равномощно множеству C, то множество A равномощно множеству C. Доказательство. Проверим 1. Тождественное отображение E множества A в A биективно. Поэтому каждое множество A равномощно самому себе. Проверим 2. Пусть множество A равномощно множеству B. Тогда существует биекция f : A Ñ B. По замечанию 10.1 отображение f
1 : B Ñ A является биекцией. Поэтому множество B равномощно множеству A. Проверим 3. Пусть множество A равномощно множеству B, а множество B равномощно множеству C. Тогда существуют биекции f : A Ñ B и g : B Ñ C. По свойству произведения отображений 4 на стр. 80 отображение f g : A Ñ C является биекцией. Следовательно, множество A равномощно множеству C. Теорема доказана. Обозначим отношение равномощности знаком . Поскольку отношение  является отношением эквивалентности, то для произвольного множества A можно рассмотреть K — класс эквивалентности, содержащий A. Он состоит из всех множеств X, равномощных множеству A, т.е. K

 t X | X  A u.

(11.4)

Для всякого множества X из K говорим, что X имеет одинаковую мощность с множествм A. Для конечного множества A это будут множества, число элеметов в которых равно порядку A. Следовательно, понятие мощности множества является является обобщением понятия порядка конечного множества (числа элементов множества) на произвольные множества. Счетные множества. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2 . Множество A называется счетным множество, если A равномощно множеству натуральных чисел. Другими словами множество A счетно, если существует биективное отображение f : A Ñ N. Поскольку отношение равномощности симметрич81

но, то вместо биекции f : A f : N Ñ A.

Ñ N можно можно рассмотривать биекцию

Т ЕОРЕМА 11.2 . Множество A является счетным множеством тогда и только тогда, когда A можно занумеровать с помощью множества натуральных чисел, т.е. записать A в виде A  ta1 , a2 , a3 , . . .u,

где ai

 aj

при i  j.

(11.5)

Доказательство. 1) Пусть множество A занумеровано в виде (11.5). Докажем, что множество A является счетным множеством. Нужно построить биекцию f : N Ñ A. Зададим отображение f : N Ñ A правилом f pnq  an .

(11.6)

Установим инъективность и сюръктивность отображения f . а) Инъективность. Из (11.5) имеем i  j Ñ ai  aj . По (11.6) ai  f piq и aj  f pj q. Получили i  j Ñ f piq  f pj q, т.е. отображение f инъективно. б) Сюръективность. Пусть a P A. Нужно найти прообраз для элемента a, т.е. элемент n P N с условием f pnq  a. Так как f pnq  an , то для любого a P A нужно найти номер n, где a  an . Из (11.5) следует, что каждый элемент из A имеет некоторый номер. Поэтому отображение f сюръективно. Итак, отображение f инъективно и сюръктивно, т.е. отображение f биективно. Следовательно, множество A является счетным множеством. 2) Пусть множество A является счетным множеством. Докажем, что множество A можно занумеровать с помощью множества натуральных чисел, т.е. представить в виде (11.5). Так как множество A счетно, то существует биекция f : N Ñ A. Обозначим образ элемента n P N через an , т.е. an  f pnq. Так как f биекция, то f инъективно и сюръективно. То, что f инъективно, означает f piq  f pj q при i  j, т.е. ai  aj при i  j. Так как f сюръективно, то для любого элемент a P A существует элемент n P N с условием a  f pnq, т.е. с условием a  an ( учтено обозначение an  f pnq). Итак, каждый элемент из A имеет номер, т.е. A  ta1 , a2 , a3 . . .u. Получили запись (11.5). Теорема доказана.

82

П РЕДЛОЖЕНИЕ 11.1 Множество действительных чисел не является счетным множеством. Доказательство. Предположим противное, т.е. множество R счетно. Тогда по предыдущей теореме множество R можно записать в виде R  ta1 , a2 , a3 , . . .u,

где ai

 aj

при i  j.

(11.7)

Запишем каждое число ai в виде бесконечной десятичной дроби qi , pi,1 pi,2 pi,3 . . .

(11.8)

без девятки в периоде. При этом через qi обозначена группа цифр до запятой. Через pi,j обозначена j–вая цифра после запятой в числе ai . Получаем таблицу a1 a2 a3

 q1, p1,1 p1,2 p1,3 . . .  q1, p2,1 p2,2 p2,3 . . .  q3, p3,1 p3,2 p1,3 . . .

(11.9)

... В курсе «Числовые системы» [7] доказывается, что каждое действительных число однозначно записывается в виде бесконечной десятичной дроби без девятки в периоде. Существование записи означает, что в таблице (11.9) перечислены все действительные числа. Сейчас мы построим действительное число a, не присутствующее в таблице. Пусть a  0, p1 p2 p3 , . . . , (11.10) т.е a имеет 0 целых, p1 десятых, p2 сотых и т.д. При этом в качестве p1 берем любую цифру, отличную от p1,1 и 9, в качестве p2 — цифру, отличную от p2,2 и 9, и т.д. Тогда в числе a нет девятки в периоде. При этом число a отличается хотя бы одной цифрой от каждого числа ai . Действительно, a отличается от a1 цифрой p1 — первой цифрой после запятой, отличается от a2 цифрой p2 — второй цифрой после запятой и т.д Из однозначности записи чисел в виде бесконечной десятичной дроби без девятки в периоде получаем, что число a не совпадает ни с одним числом в таблице. Однако в таблице присутствуют все действительные числа, противоречие. Поэтому множество действительных чисел не является счетным множеством. Теорема доказана. 83

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством. По предыдущей теореме множество действительных чисел несчетно. Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение произведения отображений. 2. Перечислите свойства произведения отображений. 3. Сформулируйте определение равномощности множеств. 4. Дайте определение счетного множества. 5. Приведите пример счетного множества. 6. Дайте определение несчетного множества. 7. Приведите пример несчетного множества. Упражнения З АДАЧА 1. Заданы формулы для вычисления образа элемента при отображениях f : A Ñ B и g : B Ñ C. Укажите формулу для вычисления образа элемента x при отображении f g. а) A  B  C  R, f pxq  x2 , g pxq  x3 ; б) A  B  C  R, f pxq  2x 3, g pxq  3x 1; ? в) A  B  C  tx P R | x ¡ 0u, f pxq  x2 , g pxq  x; г) A  tx P R | x ¡ 0u, B  C  R, f pxq  lgpxq, g pxq  10x ; З АДАЧА 2. Задана формула вычисления образа элемента для биекция f : A Ñ B. Укажите формулу для вычисления образа элемента x при отображении f
1 . а) б) в) г)

A  B  R, f pxq  2x; A  B  R, f pxq  2x 1; A  B  t x P R | x ¡ 0 u, f px q  x 2 ; A  tx P R | x ¡ 0u, B  R, f pxq  lnpxq;

84

З АДАЧА 3. Даны отображения f : A следующие утверждения?

Ñ B и g : B Ñ C. Верны или нет

а) если отображение f g инъективно, то и отображения f и g инъективны; б) если отображение f g сюръективно, то и отображения f и g сюръективны; в) если отображение f g биективно, то и отображения f и g биективны; З АДАЧА 4. Докажите, что множество A равномощно множеству B. а) б) в) г) д)

A  N, B — множество натуральных чисел, делящихся на 3; A  N, B  tx P Z | x ¤
2u; A  N, B  Z; A  ta, b, c, d, eu, B  t
2,
1, 0, 1, 2u; A — множество точек плоскости, B  tpa, bq | a, b P Ru;

З АДАЧА 5. Докажите счетность множества A. а) б) в) г)

A  tx P N | x ¡ 5u; A  tx P Z | x ¤
5u; A  Z; A  Q.

З АДАЧА 6. Докажите, что подмножество счетного множества A также является счетным множеством. З АДАЧА 7. Докажите, что множество A является несчетным множеством. а) A — множество действительных чисел из промежутка p0, 1q; б) A — множество положительных действительных чисел; в) A — множество точек плоскости; г) A — множество векторов плоскости; д) A — множество квадратных трехчленов с действительными коэффициентами;

85

Лекция 12. Комбинаторика без повторений Комбинаторика — раздел математики, в котором рассматриваются задачи, связанные с выбором и расположением элементов конечного множества. Типичный пример: сколько способов выбора трех красок из имеющихся семи красок. Введем определения, и получим основные формулы для решения комбинаторных задач. Правило произведения. В комбинаторных задачах часто встречается следующая ситуация. Выбирается предмет a, и этот выбор можно сделать k способами. Каждый выбор предмета a сочетается с выбором предмета b, который можно сделать l способами. Из двух выбранных элементов составляется пара pa, bq. Необходимо выяснить, сколько способов для выбора пары предметов. Так, например, покупая ручку a и тетрадь b, мы можем выбирать из k видов ручек и l видов тетрадей. Тогда выбор покупки — это выбор пары pa, bq, где ручку a можно выбирать k способами, а тетрадь b можно выбрать l способами. Т ЕОРЕМА 12.1 (правило произведения). Пусть выбираются два предмета a и b. Предмет a можно выбирать k способами, и при каждом выборе предмета a предмет b можно выбрать l способами. Тогда пару предметов a, b можно выбрать k  l способами. Доказательство. Обозначим все возможности выбора предмета a через a1 , a2 , . . . , ak , а все возможности выбора предмета b через b1 , b2 , . . . , bl . Тогда все возможности выбора пары предметов a, b можно изобразить в виде таблицы

pa1, b1q, pa1, b2q, . . . , pa1, bl q pa2, b1q, pa2, b2q, . . . , pa2, bl q ... pak , b1q, pak , b2q, . . . , pak , bl q В каждом строке таблицы содержится l пар, а число строк равно k. Поэтому имеется k  l способов выбора пары предметов a, b. Теорема доказана. Нетрудно распостранить правило произведения на случай выбора нескольких предметов. 86

Т ЕОРЕМА 12.2 . Пусть выбираются предметы a1 , a2 , . . . , am . При этом предмет a1 можно выбрать k1 способами, предмет a2 можно выбрать k2 способами и т.д. Тогда m предметов pa1, a2, . . . , amq можно выбрать k1  k2  . . .  km способами. З АДАЧА 1 . Нужно составить подарок из альбома, книги и открытки. Имеется 5 видов альбома, 10 названий книг, 12 видов открыток. Сколько существует вариантов подарка? Решение. С каждым видом альбома можно сочетать название книги и вид открытки. По правилу произведения получаем 5  10  12  600 вариантов подарка. Размещения. Рассмотрим A — конечное множество, содержащее n элементов. Пусть B и C — подмножества во множестве A, состоящие из m элементов (m -элементные подмножества), причем

 t c 1 , c 2 , . . . , c m u. По определению равенства множеств B  C тогда и только тогда, коB

 t b 1 , b 2 , . . . , b m u,

C

гда B и C имеют одинаковый состав элементов. Порядок записи элементов множеств B и C не имеет значения. Например, для B  ta, b, cu и C  tb, a, cu имеем B  C. В некоторых случаях важен порядок записи элементов подмножества. Такое подмножество мы будем называть упорядоченным. Два упорядоченных подмножества B  tb1 , b2 , . . . , bm u и C  tc1 , c2 , . . . , cm u являются равными тогда и только тогда, когда b1

 c1, b2  c2, . . . , bm  cm.

(12.1)

Тем самым упорядоченные подмножества равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый состав элементов и имеют одинаковый порядок записи элементов. Для упорядоченных подмножеств B  ta, b, cu и C  tb, a, cu состав элементов одинаков, а порядок записи элементов различен. Поэтому B  C. Пусть A  ta1 , a2 , . . . , an u — конечное множество из n элементов.

87

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1 . Размещением из n элементов множествa A по m называется произвольное упорядоченное m -элементное подмножество множества A. Для равенства размещений B меняется правило B

C Ø

 tb1, b2, . . . , bmu и C  tc1, c2, . . . , cmu при-

 c1 ^ b2  c2 ^ . . . ^ bm  cm. правилом равенства строк pb1 , b2 , . . . , bm q b1

Это правило является pc1, c2, . . . , cmq. Поэтому возможно другое определение размещения.

и

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2 . Размещением из n элементов множествa A по m— это строка pa1 , a2 , . . . , am q из m различных элементов множества A. Рассмотрим следующий пример. В студенческой группе A  ta1 , a2 , . . . , a24 u, состоящий из 24 человек, требуется выполнить два дела: 1) выбрать команду ta, b, cu из трех человек для участия в соревнованиях; 2) выбрать руководство группы ta, b, cu, где a — староста, b — профорг и c — культорг. В чем отличие выбора команды от выбора руководство группы? Если выбрается команда ta, b, cu из трех человек, то порядок элементов не важен, а важен только состав. Два выбора B  ta, b, cu и C  tb, a, cu совпадают. Поэтому команда — это подмножество в A. Если выбрается руководство группы, то наряду с составом, важен порядок элементов. Два выбора B  ta, b, cu и C  tb, a, cu с одинаковым составом все же различны. При выборе B  ta, b, cu старостой является a, при выборе C  tb, a, cu старостой является b. Следовательно, B  C. Поэтому руководство группы— это упорядоченное подмножество, т.е. размещение из 24 элементов по 3. Установим формулу для числа размещений. Обозначим число размещений из n элементов множествa A по m через Am n . Читается «число размещений из n элементов по m». Т ЕОРЕМА 12.3 . Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле Am n

 n  pn
1q  pn
2q  . . .  pn
m 88

1q.

(12.2)

Доказательство. Составим произвольное размещение из n элементов по m. Для этого рассмотрим множество A  ta1 , a2 , . . . , an u и составим произвольную строку pb1 , b2 , . . . , bm q из m попарно различных элементов множества A. Элемент b1 можно выбрать n способами, так как можно взять любой элемент из множества A. Выбрав b1 , выберем элемент b2 . В качестве b2 можно взять любой из n
1 элементов из A, отличных от b1 . Элемент b1 выбирать нельзя, так как элементы из b1 , b2 , . . . , bm попарно различны, т.е. bi  bj при i  j. Получаем n
1 способов выбора элемента b2 . Для элемента b3 имеем n
2 способов выбора и т.д., для элемента bm получаем n
m 1 способов выбора. По правилу произведения 12.2 чило выборов m элементов pb1, b2, . . . , bmq равно произведению. n  pn
1qpn
2q . . . pn
m 1q. Получили формулу (12.2) для числа размещений. Теорема доказана. Рассмотрим произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Это число обозначается через n! и читается «n факториал». Тем самым n! записывается в виде n!  1  2  3  . . .  pn
1q  n

или в виде n!  n  pn
1q  . . .  3  2  1. Кроме того, по определению 0!  1. Тогда вместо формулы (12.2) можно записать формулу Am n

 pn
n!mq! .

(12.3)

Доказательство. Имеем Am 1q. Это n  n  pn
1q  pn
2q  . . .  pn
m выражение не изменится, если его домножить и разделить на одно и тоже число pn
mq!  pn
mq  . . .  3  2  1 Имеем

 n  pn
1q  . . .  pn
m 1q  n
mq  . . .  3  2  1s n!  rn  pn
1q  . . .rpnpn

mmq  . .1.qsrp   3  2  1s pn
mq! .

Am n

89

Перестановки. В ряде комбинаторных задач требуется расположить элементы множества A  a1 , a2 , . . . , an в определенном порядке и вычислить число всех таких расположений. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 12.3 . Перестановкой элементов множествa A называется запись элементов этого множества в произвольном порядке. З АДАЧА 2. Выписать все перестановки множества A  ta, b, cu. Решение. Выпишем все варианты расположения элементов множества A  ta, b, cu. Получим 6 перестановок 1q a, b, c;

2q a, c, b;

3q b, a, c;

4q b, c, a;

5q c, a, b;

6q c, b, a.

Пусть A — множество из n элементов A  a1 , a2 , . . . , an .

(12.4)

Рассмотрим произвольную перестановку B элементов множествa A. Тогда в B тот же состав элементов, что и в множеств A, но порядок записи произволен. Поэтому B — это размещение из n элементов множества A по n. Получаем второй вариант определения перестановки. З АМЕЧАНИЕ 12.1. Перестановка из n элементов — это размещение из n элементов по n. Число перестановок множества, состоящего из n элементов, обозначается через Pn . Из предыдущей задачи получаем, что P3  6. Найдем формулу для вычисления числа Pn . Т ЕОРЕМА 12.4. Число перестановок множества, состоящего из n элементов вычисляется по формуле Pn

 n!  n  pn
1q  . . .  3  2  1.

(12.5)

Доказательство. По замечанию 12.1 перестановка из n элементов — это размещение из n элементов по n. Поэтому Pn  Ann . По формуле (12.2) Ann  n  pn
1q  . . .  pn
pn
1qq  n  pn
1q  . . .  1  n!. Теорема доказана. 90

З АДАЧА 3. Имеются две полки. На верхней полке располагаются 10 различных книг по математике, а на нижней полке 12 различных книг по физике. Сколько способов расположения всех книг? Решение. Имеем множество A  ta1 , a2 , . . . , a10 u из 10 книг по математике. Расстановка данных книг на верхней полке это запись элементов множества A в произвольном порядке, т.е. перестановка из 10 элементов. Число способов расстановки книг равно числу перестановок из 10 элементов и по формуле (12.6) равно 10!. Аналогично число способов расстановки книг на нижней полке равно числу перестановок из 12 элементов, т.е равно 12!. Каждый выбор расстановки книг на верхней полке можно сочетать с каждым выбором расстановки книг на нижней полке. По правилу произведения число способов расположения всех книг равно 10!  12!. Сочетания. Пусть A — конечное множество из n элементов. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 12.4. Сочетанием из n элементов множествa A по m называется произвольное m -элементное подмножество множества A. Обозначим число сочетаний из n элементов по m через Cnm и получим формулу для числа Cnm . Т ЕОРЕМА 12.5. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле n! Cnm  (12.6) . m!pn
mq! Доказательство. Пусть A1 , A2 , . . . , Ak — все сочетания из n элементов множества A  ta1 , a2 , . . . , an u по m. Тогда k  Cnm . Выпишем сочетания A1 , A2 , . . . , Ak в первую строку следующей таблицы A1 B1 ... C1

A2 B2 ... C2

... ... ... ...

Ak Bk ... Ck

(12.7)

Из сочетаний A1 , A2 , . . . , Ak в первой строке таблицы получим все размещения из n элементов по m. Для этого вначале переставляем произвольным способом элементы во множестве A1 . Получаем всевозможные 91

перестановки A1 , B1 , . . . , C1 , с тем же составом элементов, что и в A1 , но другим порядком их записи. Тем самым получаем m! размещений. Эти размещения расположены в первом столбце таблице. Аналогично переставим элементы во множестве A2 и получим еще m! размещений во втором столбце таблицы и т.д. В итоге получим таблицу из m! строк, k столбцов и k  m! клеток. Справедливы следующие утверждения: 1) все полученные размещения из разных клеток данной таблицы попарно различны; 2) любое размещение из n элементов множества A по m содержится в данной таблице. Проверим 1). Пусть B и C — два размещения из разных клеток таблицы. Если B и C взяты из разных столбцов, то у них разный состав элементов. Пусть B и C из одного столбца. Тогда B и C взяты из разных строк, у них одинаковый состав, но разный порядок элементов. Поэтому B  C. Проверим 2). Пусть B — произвольное размещение из n элементов множества A по m. Учитывая только состав элементов в B, получим, что B имеет одинаковый состав с некоторым сочетанием Ai . Тогда B получается из Ai перестановкой элементов. Следовательно, B содержится в i-вом столбце. Из 1) и 2) следует, что каждое размещение из n элементов множества A по m ровно один раз входят в таблицу. Поэтому число размещений из n элементов по m равно количеству клеток таблицы, т.е. равно k  m!. Получили Am n  k  m!. При этом k

 Cnm. Следовательно, Cnm

m

 k  Am!n .

По формуле для числа размещений имеем Am n Тогда Cnm что и нужно. Теорема доказана.

 pn
n!mq! . m

 Am!n  m!pnn!
mq! ,

92

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение декартова произведения множеств.. 2. Дайте определение размещение без повторений. 3. Приведите пример размещение без повторений. 4. Дайте определение перестановки без повторений. 5. Приведите пример перестановки без повторений. 6. Дайте определение сочетания без повторений. 7. Приведите пример сочетания без повторений. Упражнения З АДАЧА 1. У одного человека есть 5 книг по математике, а у другого — 6 книг по физике. Сколькими способами они могут обменять книгу по математике на книгу по физике? З АДАЧА 2. Имеется 5 видов конвертов без марок и 6 видов марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с одной маркой для посылки письма? З АДАЧА 3. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места? З АДАЧА 4. В профкоме распределяют три одинаковых путевки среди 10 сотрудников. Сколькими способами можно распределить путевки? З АДАЧА 5. В профкоме распределяют три путевки среди 10 сотрудников. Сколькими способами их можно распределить, если все путевки различны? З АДАЧА 6. Сколько различных слов можно составить из букв слова «функция»? Под словом понимается любая последовательность букв. З АДАЧА 7. На двух полках расставляются 6 различных красных книг и 8 различных синих книг. Сколькими способами можно расставить книги, если на полке должны быть книги только одного цвета? З АДАЧА 8. Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз? З АДАЧА 9. Путешественник направляется из города A в город D. При этом он проезжает через города B и C. Из из города A в город B ведет 3 93

дороги, из B в C ведет 2 дороги , а из C в D ведет 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из A в D? З АДАЧА 10. Во взводе 4 сержанта и 20 солдат. Сколькими способами можно выделить двух сержантов и двух солдат для патрулирования? З АДАЧА 11. Из 50 сотрудников предприятия выбирается делегация для поездки на выставку. В ее составе руководитель делегации, его заместитель и 4 рядовых члена делегации. Сколькими способами можно выбрать делегацию? З АДАЧА 12. На школьном вечере присутствуют 14 девушек и 20 юношей. Сколькими способами они могут танцевать, если все девушки участвуют в танце? З АДАЧА 13. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материя 5 различных цветов? З АДАЧА 14. В сессию сдается 4 экзамена в течение 15 дней. Сколько способов для составления расписания экзаменов, если имеется только одно ограничение: в день нельзя ставить два экзамена? З АДАЧА 15. В сессию сдается 4 экзамена в течение 3 недель. Сколькими способов для составления расписания экзаменов, если имеется только одно ограничение: в первую неделю проходит 2 экзамена, во вторую и третью недели по одному экзамену? З АДАЧА 16. Праздничный подарок состоит из двух различных сортов конфет, трех видов печенья и пачки чая. Сколькими способами можно составить подарок, если магазине предлагается 10 сортов конфет, 8 видов печенья и 5 сортов чая? З АДАЧА 17. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется: 1) хотя бы один туз, 2) ровно один туз? З АДАЧА 18. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов? З АДАЧА 19. Сколько способав раскладки n различных шаров по m различным урнам? З АДАЧА 20. Сколькими способами из колоды, содержащей 52 карты, можно вынуть 6 карт карт так, чтобы среди этих 6 карт содержались все масти?

94

Лекция 13. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Из школьной математики известны формулы

pa pa

bq 2 bq 3

 a2 2ab b2,  a3 3a2b 3ab2 b3. Эти формулы выражают pa bqn при n  2 и n  3. Установим аналогич-

ную формулу для призвольного натурального числа n.

Т ЕОРЕМА 13.1. Справедлива формула (бином Ньютона)

pa

bq n

 Cn0an

Cn1 an
1 b1

Cnk an
k bk

...

...

Cnn bn .

(13.1)

В данной формуле произвольная натуральная степень двучлена b раскладывется в виде суммы выражений вида an
k bk . (бинома) a Правую часть формулы будем называть разложением бинома Ньютона. Числа Cn0 , Cn1 , . . . , Cnn называются биномиальными коэффициентами. В математике применяется краткая запись суммы a1

a2

в виде

...

n ¸ k 1

an

ak .

Применяя эту запись, получим более компактный вид формулы (13.1)

pa

bq

n



n ¸ k 0

Cnk an
k bk .

(13.2)

Доказательство теоремы. Заишем степень pa bqn в виде произведения n скобок, которые занумерованы через 1, 2, . . . , n

pa

bq n

 ploooomoooon a bq  ploooomoooon a bq  . . .  ploooomoooon a bq . 1

2

(13.3)

n

Для вычисления произведения нескольких сумм

px 1

x2

. . .q  p y1

. . .q  . . .  p z 1

y2

z2

. . .q

нужно каждое слагаемое из первой суммы умножить на каждое слагаемое из второй суммы и т.д. и просуммировать полученные произведения. 95

Поэтому для получения правой части в (13.3) нужно в каждой скобке сделать выбор элемента a или b, перемножить выбранные элементы и просуммировать полученные произведения. Опишем эти произведения, содержащие bk . Они получаются так: среди номеров скобок 1, 2, . . . , n сделаем произвольный выбор номеров i1 , i2 , . . . , ik . В скобках с этими номерами возьмем элемент b, а в остальных n
k скобках возьмем элемент a. Получим произведение an
k bk . Сколько таких произведений? Столько, сколько способов выбора номеров i1 , i2 , . . . , ik из чисел 1, 2, . . . , n, т.е. Cnk . Складывая все произведения an
k bk , получим выражение Cnk an
k bk . Такие выражения нужно взять для каждого k  0, 1, . . . , n и просуммировать. Получим формулу (13.1). Теорема доказана. Свойства биномиальных коэффициентов. Числа Cn0 , Cn1 , . . . , Cnn , входящие в формулу бинома Ньютона (13.1), названы биномиальными коэффициентами. Установим следующие свойства биномиальных коэффициентов. С ВОЙСТВО 1.

 n, Cn2  npn2
1q . Доказательство. Равенства Cn0  Cnn  1, Cn1  n непосредственCn0

 Cnn  1,

Cn1

но следуют из определения сочетаний. Формула для числа сочетаний Cnm

 m!pnn!
mq!

при m  2 имеет вид n! n  pn
1q  pn
2q  . . .  2  1 Cn2   2!pn
2q! 2  1  pn
2q  . . .  2  1 Свойство доказано.

 npn2
1q .

С ВОЙСТВО 2.

 Cnn
m. Доказательство. Обозначим m1  n
m. По формуле для числа Cnm

сочетаний получаем Cnn
m

 Cnm  m !pnn!
m q!  pn
mq!pnn!
pn
mqq!  pn
n!mq!m!  Cnm. 1

1

1

Свойство доказано. 96

С ВОЙСТВО 3.

Cnm
1

Cnm

 Cnm 1.

Доказательство свойства состоит из следующих равенств Cnm
1

Cnm

n! n!  1q!pm
1q! pn
mq!m!  n! 1 1

pn
mq!pm
1q! n
m 1 m  

n! n 1 pn

mq!pm
1q! pn 1
mqm  n 1 q!  Cnm 1. ppn 1q
m !m!

 pn
m



  Свойство доказано. С ВОЙСТВО 4.

Cn0

pa

Cn1



Cnn

 2n.

Доказательство. Данное равенство получается из равенства bqn  Cn0 an Cn1 an
1 b1 . . . Cnn bn при a  1 и b  1. С ВОЙСТВО 5. Cn0

Cn2

Cn4

    Cn1

Cn3

Cn5

....

Доказательство. Подставим в формулу

pa

bq n

 Cn0an Cn1an
1b1 . . . Cnk an
k bk . . . Cnnbn значения a  1, b 
1. Получим 0  pCn0 Cn2 Cn4 . . . q
pCn1 Cn3 Cn5 . . . q, откуда следует наше утверждение. Свойство доказано.

97

Треугольник Паскаля. Коэффициенты Cn0 , Cn1 , . . . , Cnk , . . . , Cnn в формуле бинома Ньютона

pa

bq n

 Cn0an

Cn1 an
1 b1

Cnk an
k bk

...

...

Cnn bn .

мы назвали биномиальными коэффициентами. Они заполняют строку с номером n в следующей треугольной таблице, которая называется треугольником Паскаля (Блез Паскаль "Трактат об арифметическом треугольнике", 1654 г.). При этом нумерация строк начинается с нуля, т.е. 1 — нулевая строка; 1,1 — первая строка; 1,2,1 —- вторая строка и т.д 1 1 1 1

1 2

3

1 3

1

1 4 6 4 1 Треугольник Паскаля Построение треугольника Паскаля производится так. Заполняем стороны треугольника единицами. Если построен некоторая строка, то следующая строка заполняется по правилу: под двумя элементами, посередине записывается их сумма. Т ЕОРЕМА 13.2 . В n-ой строке треугольника Паскаля содержатся биномиальные коэффициенты из разложения бинома Ньютона для pa bqn . Доказательство индукцией по числу n. Покажем, что утверждение верно при n  1. Пусть n  1. Ясно, что числа 1,1 в первой строке (нумерация строк начинается с нуля) — это коэффициенты для бинома pa bq1  a b, что и нужно. Предположим, что утверждение верно для числа n, т.е в n-ой строке треугольника расположены коэффициенты Cn0 , Cn1 , . . . , Cnk , . . . , Cnn из разложения бинома pa bqn . Проверим, что в последующей n 1-ой строке располагаются коэффициенты Cn0 1 , Cn1 1 , . . . , Cnk 1 , . . . , Cnn 11 из разложения бинома pa bqn 1 . 98

Заполнение n 1-ой строки начинается с левого числа 1 на стороне треугольника. Это число — Cn0 1 . Последнее число в n 1-ой строке также число 1 на стороне треугольника. Это число равно Cnn 11 . Остальные числа в n 1-ой строке получены так. Под Cn0 и Cn1 записывается их сумма Cn0 Cn1  Cn1 1 . При этом учтено свойство биномиальных коэффициентов Cnm
1 Cnm  Cnm 1 при m  1. Затем под Cn1 и Cn2 записывается их сумма Cn0 Cn1  Cn2 1 и т.д. В итоге в n 1 строку будут вписаны следующие числа: Cn0 1 , Cn1 1 , Cn2 1 , . . . , Cnn 11 . Поэтому утверждение верно для числа n 1. Следовательно, данное утверждение верно для любого натурального числа Теорема доказана. З АДАЧА 1. С помощью треугольника Паскаля найти раложение для бинома pa bq5 . Решение. Найдем вначале биномиальные коэффициенты в формуле бинома Ньютона для pa bq5 . Для этого заполним еще одну строку в данном выше треугольнике Паскаля. Получим строку 1, 5, 10, 10, 5, 1. Зная биномиальные коэффициенты, по (13.1) получаем искомую формулу pa bq5  a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5. Вопросы для самопроверки 1. Приведите формулу бинома Ньютона. 2. Дайте определение биномиальных коэффициентов. 3. Перечислите свойства биномиальных коэффициентов. 4. Приведите запись суммы a1 a2 . . . a8 с помощью знака суммирования. 5. Опишите правило построения треугольника Паскаля.

99

Упражнения З АДАЧА 1. С помощью треугольника Паскаля найдите разложение бинома pa bq6 . З АДАЧА 2. Докажите следующие свойства суммы. а) n ¸

k 1

n ¸



ak

i1

ai .

В первой сумме применяется индекс суммирования k, а во второй сумме применяется индекс суммирования i. Поэтому сумма не зависит от обозначения индекса суммирования. б) n ¸

i1

kai

n

 k ¸ ai. i1

Общий множитель k всех членов суммы можно выносить за знак суммы. г) n ¸ i1

ai

n¸
1



i0

д)

m ¸ i1

ai

ai

n ¸ m
1



1

im

n ¸ im 1

ai

ai 1
m



n ¸ i1

и т.п.

ai .

З АДАЧА 3. Решите уравнение а) A2x  Cxx
1  48; б) A3x Cxx
2  14x; в) Axx
3  xPx
2 ; Px 2 г) 4  210. P3  Axx

1 З АДАЧА 4. Докажите тождества а) Cnk б) Akn
1

3Cnk
1

3Cnk
2

 Akn
kAkn

11. 100

Cnk
3

 Cnk

3;

З АДАЧА 5. Решите систему уравнений $ ' &Ay

x ' %Ay x

3Cxy
2Cxy

 90,  40.

З АДАЧА 6. Сумма биномиальных коэффициентов бинома 

1 3n 2nx2

2nx

равна 64. Найдите член бинома, не содержащий x. З АДАЧА 7. Сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами бинома  1 n ax ? 4 x равна 512. Найдите член бинома, не содержащий x. 

З АДАЧА 8. Третий член бинома 2x

1 x3

m

не содержит x. При каких

значениях x этот член равен второму члену бинома p1

101

x3 q30 ?

Лекция 14. Метод математической индукции Пусть Apnq — некоторое утверждение о натуральном числе n и требуется доказать, что утверждение A справедливо для любого натурального числа n. В многих случаях доказательство проводится методом математической индукции. Доказательство методом математической индукции состоит из следующих двух шагов 1) и 2).

1q Проверяется, что утверждение A верно для натурального числа 1, т.е. Ap1q  И . 2) Допускается, что утверждение A выполнено для натурального числа n и, пользуясь этим, доказывается, что утверждение A выполнено для последующего натурального числа n 1, т.е. Apnq  И Ñ Apn

1q  И .

После проверки 1) и 2) делается вывод, что утверждение A верно для любого любого натурального числа. Проверка пункта 1) называется базой индукции, а проверка пункта 2) называется шагом индукции. Почему после доказательства 1) и 2) можно сделать вывод о том, что утверждение A верно для любого натурального числа? Действительно, по пункту 1) утверждение A выполнено для числа 1. Полагая n  1 в пункте 2), получим, что утверждение A выполнено для числа 2. Далее берем в пункте 2) n  2. Получим, что утверждение A истинно для числа 3 и т.д. В результате для любого заданного натурального числа n на некотором шаге получим, что Apnq истинно. Более строгое обоснование метода математической индукции рассматривается в курсе «Числовые системы» [7]. Там, исходя из аксиом системы натуральных чисел, доказывается следующее утверждение, на котором основывается метод математической индукции.

102

П РИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ . Пусть Apnq — некоторое утверждение о натуральном числе n такое, что 1q утверждение A верно для натурального числа 1, т.е. Ap1q  И ; 2q справедливость утверждения A для натурального числа n влечет справедливость утверждения A для натурального числа n 1, т.е. Apnq  И ñ Apn 1q  И. Тогда утверждение A справедливо для всех натуральных чисел. З АДАЧА 1 . Методом математической индукции доказать равенство npn 1q 1 2 ...n  (14.1) . 2 Решение. 1) (База индукции.) Проверим, что равенство верно при n  1. Подставим n  1 в левую и правую части из (14.1). Получим верное равенство 1p1 1q 1 . 2 2) (Шаг индукции.) Допустим, что требуемое равенство выполнено для натурального числа n, т.е. дано равенство (14.1). Проверим, что требуемое равенство выполнено для натурального числа n 1, т.е. 1 По (14.1) сумму 1 1

2





2

n

2

pn

n

pn

1q 

pn

1qpn 2

2q

.

(14.2)

. . . n можно заменить на npn2 1q . Получаем 1q  p

npn

2

1q

q pn

1q 

pn

1qpn 2

2q

,

что и нужно. После проверки 1) и 2) по принципу математической индукции заключаем, что равенство (14.1) выполнено для всех натуральных чисел.

103

Предположим, что у нас возникла гипотеза о справедливости некоторого утверждения A для любого натурального числа. Перед доказательством этой гипотезы методом математической индукции естественно проверить ее справедливость для начальных значений n, например, n  1, 2, . . . , 10. Если гипотеза не верна, то с большой вероятностью мы это обнаружим. Однако, разумеется, истинность утверждения A для для нескольких начальных значений n не гарантирует истинность утверждения A для всех n P N. Рассмотрим, например, квадратный трехчлен x2 x 41. Подставив x  0, 1, 2, . . . , 10 мы получим простые числа 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. После этого возникает гипотеза, что x2 x 41 — простое число для всех x  0, 1, 2, . . .. Продолжая проверку для x  11, . . . , 39, мы получаем только простые числа Однако при x  40 имеем 402 40 41  40p40 1q 41  41  41 — составное число. Поэтому наша гипотеза неверна. Вторая разновиднось метода математической индукции. Некоторые математические утверждения справедливы не для всех натуральных чисел, а для для всех чисел, начиная с некоторого числа k. Такие утверждения также можно доказывается методом математической индукции, оснванном на следующей форме принципа математической индукции. Пусть Apnq — некоторое утверждение о натуральном числе n такое, что: 1q утверждение A верно для натурального числа k, т.е. Apk q  И; 2q справедливость утверждения A для натурального числа n ¥ k влечет справедливость утверждения A для натурального числа n 1, т.е.
n ¥ k ^ Apnq  И Ñ Apn 1q  И. Тогда утверждение A верно для всех натуральных чисел n ¥ k. Доказательство методом математической индукции в данном случае состоит из двух шагов.

1q Проверяется, что утверждение A верно для натурального числа k, т.е. A pk q  И ; 104

2) Допускается, что утверждение A выполнено для натурального числа n, где n ¥ k, и, пользуясь этим, доказывается, что утверждение A выполнено для последующего натурального числа n 1, т.е.

pApnq  И ^ n ¥ kq Ñ Apn

1q  И.

После проверки 1) и 2) делается вывод, что утверждение A верно для любого любого натурального числа n, где n ¥ k. З АДАЧА 2. Доказательсть, что для любого натурального числа n ¥ 5 выполняется неравенство 2n

¡ 5n

1.

(14.3)

Решение. 1) Проверим, вначале что неравенство верно для n  5. Действительно, имеем 25 ¡ 5  5 1, т.е. 32 ¡ 26. 2) Предположим, что утверждение выполнено для натурального числа n ¥ 5, т.е. верно неравенство (14.3). Пользуясь этим, проверим, что утверждение выполнено для натурального числа n 1, т.е. верно неравенство 2n 1 ¡ 5n 6. (14.4)

Умножив неравенство (14.3) на 2, получим 2n 1 ¡ 10n 2. Для справедливости (14.4) достаточно проверить, что 10n 2 ¡ 5n 6. Неравенство 10n 2 ¡ 5n 6 равносильно неравенству 5n ¡ 4, т.е. неравенству n ¥ 5, которое дано по условию. Следовательно, неравенство (14.3) выполняется для любого натурального числа n ¥ 5. Вопросы для самопроверки 1. Опишите доказательство утверждения методом математической индукции. 2. Что такое база индукции? 3. Что такое шаг индукции? 4. Сформулируйте принцип математической индукции. 5. Опишите доказательство методом математической индукции утверждений, справедливых для всех n, начиная с некоторого числа k.

105

Упражнения Доказать методом математической индукции следующие утверждения. З АДАЧА 1. Сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле 12

22



n2

 npn

1qp2n 6

1q

.

З АДАЧА 2. Справедливо равенство 1
22

32
42

   p
1qn
1n2  p
1qn
1 npn2 1q .

З АДАЧА 3. Сумма кубов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле  npn 1q 2 3 3 3 . 1 2  n  2 З АДАЧА 4. Для всех x P R, где x  1, справедливо равенство 1

x

x



3

x

n



xn 1
1 . x
1

З АДАЧА 5. Для всех натуральных чисел справедливо равенство 12

23

34

   pn
1q  n  pn
1qn3 pn

1q

.

З АДАЧА 6. Доказать,что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9. З АДАЧА 7. Доказать формулу

pa 1

a2



an q2

 pa21



a22

a2n q

2pa1 a2

a1 a3



an
1 an q.

З АДАЧА 8. Доказать, что n-й член арифметической прорессии с первым членом a1 и разностью прогрессии d вычисляется по формуле an

 a1

dpn
1q.

З АДАЧА 9. Доказать, что n-й член геометрической прорессии с первым членом a1 и знаменателем прогрессии q вычисляется по формуле an

 a 1 q n
1 . 106

З АДАЧА 10. Доказать,что для любого натурального числа n справедливо равенство sin x

sin 2x



sin nx 

sin n 2 1 x nx sin . sin x2 2

З АДАЧА 11. Доказать, что для любого натурального числа n ¥ 3 справедливо неравенство 2n ¡ 2n 1. З АДАЧА 12. Доказать, что для любого натурального числа n a ¡
1 и a  0 справедливо неравенство

p1

aqn

¡1

¡ 1 при

na.

З АДАЧА 13. Доказать формулу бинома Ньютона методом математической индукции. З АДАЧА 14. Доказать, что число подмножеств в множестве, состоящем из n элементов, равно 2n .

107

Список литературы [1] Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств, линейные уравнения и неравенства, матрицы и определители: Учебное пособие для студентов-заочников физикоматематических факультетов педагогических институтов. М.: Просвещение, 1974. [2] Гохман и др.Сборник задач по математической логике и алгебре множеств.- Саратов.: Издательство Саратовского у-та, 1969. [3] Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов - М.: Академия, 2004. [4] Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. - М.: Академия, 2005. [5] Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. - М.: Просвещение, 1986. [6] Ильиных А.П. Математическая логика:- Екатеринбург.: Уральский гос. пед. ун-т. 2002. [7] Ильиных А.П. Числовые системы:- Екатеринбург.: Уральский гос. пед. ун-т. 2003. [8] Коробков С.С. Элементы математической логики и теории множеств: Екатеринбург.: Уральский гос. пед. ун-т. 1999. [9] Лельчук М.П., Полевченко И.И., Радьков А.М., Чеботаревский Б.Д. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Минск: Вышейшая школа, 1986. [10] Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. [11] Куликов Л.Я., Москаленко А.И., А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебн. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1993. [12] Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, 3-е изд. - М.: Наука, 1995.

108

[13] Соминский И.С. Метод математической индукции, 7-е изд. - М.: Наука, 1965. [14] Столяр А. Логическое введение в математику - Минск.: Вышэйшая школа, 1971. [15] Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Ч.1. Минск: Вышейшая школа, 1982.

109

У ЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Ильиных Анатолий Петрович Вводный курс математики Учебное пособие

Компьютерная верстка: А.П.Ильиных Редактор Т.В.Васильева

Подписано в печать 18.06.2006. Формат 60  84 1{16. Бумага для множ. аппаратов. Печать ротапринтная. Усл. печ. л. 0,0. Уч.- изд. л. 0,0. Тираж 200 экз. Заказ Оригинал макет отпечатан в отделе множительной техники Уральского государственного педагогического университета 620219 Екатеринбург, ГСП-135, пр. Космонавтов, 26

110