Математические моделирование реальных процессов

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ

Êîíäðàòüåâ Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷ Ôèëèïïîâ Ìèõàèë Ýäóàðäîâè÷

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÅÀËÜÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠãëàâíûì èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü îáåñïå÷åíèÿ êàê àäåêâàòíîãî íàó÷íîãî óðîâíÿ ðàññìîòðåíèÿ, òàê è äîñòóïíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé äåÿòåëüíîñòè äëÿ ó÷àùèõñÿ ñðåäíåé øêîëû.  ñâåòå èçëîÐàçâèòèå ñîâðåìåííîé íàóêè, ñâÿçàíæåííîãî ïðåòåðïåâàåò îïðåäåëåííûå èçíîå ñ øèðîêèì âíåäðåíèåì ýëåêòðîííî-âûìåíåíèÿ è êîíöåïöèÿ ðàçâèòèÿ òâîð÷åñ÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè â ïðîöåññ íàó÷íîãî êèõ ñïîñîáíîñòåé îáó÷àåìûõ: ê òðàäèöèèññëåäîâàíèÿ, ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ îííûì àñïåêòàì ýòîé ïðîáëåìû, äàâíî ÿâôîðì èññëåäîâàòåëüñêîé äåÿòåëüíîñòè. Ïîëÿþùåéñÿ îáúåêòîì ñàìîãî ïðèñòàëüíîãî ÿâèëèñü äàæå íîâûå êàòåãîðèè. Íàïðèìåð, âíèìàíèÿ ïåäàãîãèêè, äîáàâëÿåòñÿ íîâûé íàðÿäó ñ òåîðåòè÷åñêîé è ýêñïåðèìåíòàëüìîìåíò, ñâÿçàííûé ñ îáÿçàòåëüíûì ïðèíîé ôèçèêîé, ïîÿâèëàñü âû÷èñëèòåëüíàÿ ñóòñòâèåì ó òâîð÷åñêè ðàçâèòîé ëè÷íîñòè ôèçèêà, õàðàêòåðèçóþùàÿñÿ ñâîèì ïðåäìåîïðåäåëåííûõ óìåíèé è íàâûêîâ, ïîçâîòîì è ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ. Õàðàêòåðíûì ëÿþùèõ ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçîâûâàòü èìåìîìåíòîì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ôèçèþùèéñÿ òâîð÷åñêèé ïîòåíöèàë. ÷åñêîé ìîäåëè è ïðîâåäåíèå âû÷èñëèòåëüÎñîáåííî âàæíûì îáñòîÿòåëüñòâîì íîãî ýêñïåðèìåíòà. Ïîäîáíàÿ ñõåìà èññëåçäåñü ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü áîëåå ðàííåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âåñüìà îáùåé è èñïîëüçóãî âêëþ÷åíèÿ îáó÷àåìîãî â ðåàëüíûå íàåòñÿ íå òîëüêî â ôèçèêå, íî è â äðóãèõ åñòåó÷íûå èññëåäîâàíèÿ, ñòâåííûõ íàóêàõ. Ïîýòîìó â ðàìêàõ ðàçâèÍàðÿäó ñ òåîðåòè÷åñêîé è îáóñëîâëåííîãî èìåííî òèÿ ñîâðåìåííûõ èí- ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôèçèêîé, ïî- íàëè÷èåì ó íåãî óêàçàíôîðìàöèîííûõ òåõíî- ÿâèëàñü âû÷èñëèòåëüíàÿ ôèçèêà, íûõ óíèâåðñàëüíûõ íàëîãèé îáó÷åíèÿ åñòå- õàðàêòåðèçóþùàÿñÿ ñâîèì ïðåä- âûêîâ. Íàëè÷èå óíèâåðñòâåííî ãîâîðèòü îá îï- ìåòîì è ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ. ñàëüíûõ èññëåäîâàòåëüðåäåëåííûõ óíèâåðñàëü- Õàðàêòåðíûì ìîìåíòîì çäåñü ÿâ- ñêèõ íàâûêîâ ïîçâîëÿíûõ èññëåäîâàòåëüñêèõ ëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ôèçè÷åñêîé åò òàêæå â íîâîì ñâåòå óìåíèÿõ è íàâûêàõ, ñâÿ- ìîäåëè è ïðîâåäåíèå âû÷èñëè- ðàññìàòðèâàòü âîïðîñ î ðåàëèçàöèè ìåæïðåäìåòçàííûõ ñ âîçìîæíîñòüþ òåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà. íûõ ñâÿçåé: åñëè ðàíüðåàëèçàöèè óêàçàííîé øå ìåæïðåäìåòíûå ñâÿçè ðàññìàòðèâàëèñü ñõåìû íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ, íåçàâèñèêàê îïðåäåëåííûé êîìïîíåíò îáó÷åíèÿ, ìî îò êîíêðåòíîãî îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ. ïðîÿâëÿþùèéñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè îïðåÅñòåñòâåííî ñòàâèòü âîïðîñ î ðàçâèäåëåííîé ïðîáëåìû â ðàìêàõ êàêîé-òî òèè òàêèõ óíèâåðñàëüíûõ íàâûêîâ â ïðîöåññå êîíêðåòíîé îáëàñòè çíàíèÿ, òî òåïåðü ìåæîáó÷åíèÿ, â òîì ÷èñëå è â ñðåäíåé øêîëå. ïðåäìåòíûå ñâÿçè ðåàëèçóþòñÿ íà ïóòè âûÇäåñü, êîíå÷íî, âîçíèêàåò ðÿä âîïðîñîâ, 1. ÊÎÌÏËÅÊÑÍÀß ÍÀÓ×ÍÀß ÏÐÎÁËÅÌÀ ÊÀÊ ÎÁÚÅÊÒ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß

ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ

3

Êîíäðàòüåâ À.Ñ., Ôèëèïïîâ Ì.Ý. ÷òî ñêàçàííîå âûøå íèêàê íå óìàëÿåò çíàáîðà êîìïëåêñíîé íàó÷íîé ïðîáëåìû, èç÷åíèå èçó÷åíèÿ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èñíà÷àëüíî íå îòíîñÿùåéñÿ ê êàêîé-ëèáî ñëåäîâàíèÿ. Îäíàêî, çäåñü ñëåäóåò ó÷èòûîäíîé îáëàñòè çíàíèÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, âàòü òåçèñ î íåîáõîäèìîñòè ïðàêòè÷åñêîê îäíîé ó÷åáíîé äèñöèïëèíå. ãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ çíàíèé ïî Îñòàíîâèìñÿ êðàòêî íà îáñóæäåíèè ìåðå èõ íàêîïëåíèÿ. Äàêðèòåðèåâ âûáîðà íàó÷íûõ ïðîáëåì, êîòîðûå Âûáèðàåìàÿ ïðîáëåìà äîë- ëåå, âûáèðàåìàÿ ïðîìîãóò ýôôåêòèâíî èñ- æíà áûòü ñîâðåìåííîé, ïîëó÷åí- áëåìà äîëæíà ëåæàòü íà ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ðàçâè- íîå ðåøåíèå äîëæíî ñîäåðæàòü ñó- ñòûêå äâóõ èëè äàæå íåòèÿ íàâûêîâ èññëåäîâà- ùåñòâåííûå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû, ñêîëüêèõ îáëàñòåé çíàòåëüñêîé äåÿòåëüíîñòè. è â òî æå âðåìÿ ýòà ïðîáëåìà íèÿ. Ýòî òðåáîâàíèå Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, äîëæíà áûòü åùå äàëåêà îò îêîí- ñâÿçàíî ñ äèäàêòè÷åñ÷òî âûáèðàåìàÿ ïðîáëå- ÷àòåëüíîãî ðàçðåøåíèÿ. Îïðåäå- êèì òðåáîâàíèåì äîñìà äîëæíà áûòü ñîâðå- ëåííàÿ íåçàâåðøåííîñòü ðåøåíèÿ òóïíîñòè: èñòèííûå íàìåííîé, ïðåäñòàâëÿòü ïðîáëåìû íåîáõîäèìà äëÿ âîçìîæ- ó÷íûå ïðîáëåìû â ðàìíåñîìíåííûé èíòåðåñ íîñòè ðàçâèòèÿ óìåíèÿ ïîñòà- êàõ ðàçâèòûõ îáëàñòåé íà äàííîì ñîâðåìåííîì íîâêè íîâûõ çàäà÷, ÷òî ïî ñâîåé - ôèçèêè, ìàòåìàòèêè è ýòàïå ðàçâèòèÿ íàóêè, åå çíà÷èìîñòè ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèå ò.ä., êàê ïðàâèëî, î÷åíü óæå ïîëó÷åííîå ðåøå- óìåíèÿ ðåøàòü ïîñòàâëåííûå ñëîæíû è íåäîñòóïíû äëÿ ðåøåíèÿ íà îáñóæíèå äîëæíî ñîäåðæàòü çàäà÷è. äàåìîì óðîâíå ïîäãîñóùåñòâåííûå íàó÷íûå òîâêè îáó÷àåìûõ. Ñôîðìóëèðîâàííîå òðåðåçóëüòàòû, è â òî æå âðåìÿ ýòà ïðîáëåìà áîâàíèå åñòåñòâåííî âûòåêàåò èç òðåáîäîëæíà áûòü åùå äàëåêà îò îêîí÷àòåëüâàíèé ñîâðåìåííîñòè íàó÷íîé ïðîáëåìû íîãî ðàçðåøåíèÿ. Ñîâðåìåííîñòü ïðîáëåè åå äîñòóïíîñòè. Íàêîíåö, óêàçàííîå ìû íå âûçûâàåò ñîìíåíèé, ïîñêîëüêó âåñü ñâîéñòâî âûáèðàåìîé ïðîáëåìû ñîîòâåòñìûñë ðàçâèòèÿ èññëåäîâàòåëüñêèõ íàâûñòâóåò âîçìîæíîñòè åå ðàçëîæåíèÿ íà áîêîâ çàêëþ÷àåòñÿ â îâëàäåíèè ñîâðåìåíëåå ìåëêèå êîíêðåòíûå çàäà÷è, îòíîñÿùèíûìè ìåòîäàìè íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. åñÿ óæå ê îïðåäåëåííîé îáëàñòè çíàíèÿ. Îïðåäåëåííàÿ íåçàâåðøåííîñòü ðåøåíèÿ Åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ïðîáëåìû íåîáõîäèìà Âûáèðàåìàÿ ïðîáëåìà äîëóæå èçâåñòíû â íàóêå, òî äëÿ âîçìîæíîñòè ðàçâèæíà ëåæàòü íà ñòûêå äâóõ èëè ðåàëèçóåòñÿ âîçìîæíîñòü òèÿ óìåíèÿ ïîñòàíîâêè íîâûõ çàäà÷, ÷òî ïî ñâî- äàæå íåñêîëüêèõ îáëàñòåé çíàíèÿ: êîìïëåêñíîãî àíàëèçà èñòèííûå íàó÷íûå ïðîáëåìû â ïðîáëåìû ñ äèôôåðåíöèåé çíà÷èìîñòè ïðåâîñðàìêàõ ðàçâèòûõ îáëàñòåé - ôèðîâàííûì ïîäõîäîì ê õîäèò çíà÷åíèå óìåíèÿ ðåøàòü ïîñòàâëåííûå çà- çèêè, ìàòåìàòèêè è ò.ä., êàê èññëåäîâàòåëüñêîé äåÿïðàâèëî, î÷åíü ñëîæíû è íåäîòåëüíîñòè îáó÷àåìûõ. äà÷è: âñå ðàçâèòèå íàñòóïíû äëÿ ðåøåíèÿ íà îáñóæäàÈòàê, êîìïëåêñóêè óáåäèòåëüíî äåìîíñòðèðóåò òîò ôàêò, ÷òî åìîì óðîâíå ïîäãîòîâêè îáó÷àå- íûé õàðàêòåð íàó÷íîé ìûõ. Óêàçàííîå ñâîéñòâî âûáèðàïðîáëåìû è ïðåäñòàâëÿñïîñîáíîñòü ê ïîñòàåìîé ïðîáëåìû ñîîòâåòñòâóåò åò ñîáîé ãëàâíîå îòëèíîâêå àêòóàëüíûõ íàó÷âîçìîæíîñòè åå ðàçëîæåíèÿ íà áî÷èå ïðåäëàãàåìîãî ïîäíûõ ïðîáëåì âñòðå÷àåòëåå ìåëêèå êîíêðåòíûå çàäà÷è, õîäà ê ðàçâèòèþ íàâûñÿ ãîðàçäî ðåæå õîðîîòíîñÿùèåñÿ óæå ê îïðåäåëåííîé êîâ èññëåäîâàòåëüñêîé øî ðàçâèòûõ ñïîñîáíîäåÿòåëüíîñòè ïî ñðàâíåñòåé ðåøåíèÿ ñôîðìó- îáëàñòè çíàíèÿ. íèþ ñ òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè ðàçâèòèÿ ëèðîâàííûõ ïðîáëåì. Íàëè÷èå óæå ïîëóòâîð÷åñêèõ ñïîñîáíîñòåé íà îñíîâå ðå÷åííûõ ñóùåñòâåííûõ íàó÷íûõ ðåçóëüòàøåíèÿ ó÷åáíûõ çàäà÷ â îïðåäåëåííîé îáòîâ íåîáõîäèìî äëÿ ñîçäàíèÿ óñòîé÷èâîëàñòè çíàíèÿ.  ðåçóëüòàòå ñîçäàþòñÿ ïðåäãî ôîíà ïîëîæèòåëüíûõ ýìîöèé, äëÿ âûïîñûëêè äëÿ óñïåøíîé ðåàëèçàöèè ìîäåðàáîòêè è çàêðåïëåíèÿ òðåáóåìûõ óìåíèé. ëè íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ. Ïîä÷åðêíåì, âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé,

4

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 1999 ã.

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ Îñíîâíûìè ýòàïàìè ðåàëèçàöèè ìîäåëè íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ: - ïîëó÷åíèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ èëè (÷òî áîëåå ðåàëüíî) ñáîð è àíàëèç óæå èìåþùèõñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ îòíîñèòåëüíî êàêîé-íèáóäü ãðóïïû èíòåðåñíûõ ÿâëåíèé; - ðàñ÷ëåíåíèå îáùåé âîçíèêàþùåé ïðîáëåìû íà ãðóïïó êîíêðåòíûõ ÷àñòíûõ çàäà÷, èìåþùèõ ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ è äîïóñêàþùèõ ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê èõ ðåøåíèþ â ðàìêàõ êîíêðåòíûõ íàóê (îáëàñòåé çíàíèÿ); - ðàçðàáîòêà ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëåíèé, ôèãóðèðóþùèõ â ðàìêàõ óêàçàííîé êîìïëåêñíîé ïðîáëåìû, íà îñíîâå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîãî ïîäõîäà ñ îïîðîé íà ôóíäàìåíòàëüíûå ïîëîæåíèÿ è çàêîíû ôèçèêè è, âîçìîæíî, äðóãèõ íàóê; - ðàçðàáîòêà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îòäåëüíûõ âîçíèêàþùèõ çàäà÷ è ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âñåé êîìïëåêñíîé ïðîáëåìû; - ïðîâåäåíèå âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà íà îñíîâå ðàçâèòûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Íèæå ìû ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ôàêòû è îáñóäèì âîçìîæíîñòü ðàçáèåíèÿ îáùåé ïðîáëåìû íà ðÿä áîëåå ìåëêèõ êîíêðåòíûõ çàäà÷, äîñÄàëüíåéøåå îáñóæäåíèå áóäåì ïðîòóïíûõ äëÿ íåçàâèñèìîãî èññëåäîâàíèÿ. âîäèòü íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå êîìïëåêÒðîìáîç íå ðàçâèâàåòñÿ áåç ïîâðåæñíîé íàó÷íîé ïðîáëåìû ëàçåð-èíäóöèðîäåíèÿ ñîñóäèñòîé ñòåíêè, î ÷åì èçâåñòíî âàííîãî òðîìáîîáðàçîâàíèÿ â ìèêðîñîåùå ñî âðåìåí Ð. Âèðõîâà. Ëàçåðíîå èçñóäàõ æèâûõ îðãàíèçìîâ, èçó÷åíèå êîòîëó÷åíèå â òîé èëè èíîé ìåðå âñåãäà îáåñðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ â òå÷åíèå ïîñëåäíèõ ïå÷èâàåò ïîâðåæäåíèå ýíäîòåëèÿ âñëåäëåò â ðÿäå íàó÷íûõ öåíòðîâ ÑØÀ è ßïîñòâèå ïîãëîùåíèÿ ýíåðãèè. íèè è íà êàôåäðå ïàòîôèçèîëîãèè ÑàíêòÐîñò òðîìáà îñóùåñòâëÿåòñÿ â òðè Ïåòåðáóðãñêîãî Ìåäèöèíñêîãî Óíèâåðñèñòàäèè: íà÷àëüíàÿ ñòàäèÿ, â òå÷åíèå êîòîòåòà. Âîçäåéñòâèå ëàçåðíûì ëó÷îì, ñôîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðâè÷íàÿ àäãåçèÿ êóñèðîâàííûì â ïîëîñòü îáúåêòà ÷åðåç ïëàñòèíîê òðîìáîöèòîâ íà ñîñóäèñòóþ ìèêðîñêîï, ðàññìàòðèâàåòñÿ â íàñòîÿùåå ñòåíêó; àãðåãàöèîííàÿ ñòàäèÿ, êîãäà òðîìá âðåìÿ êàê îäèí èç íàèáîëåå ïåðñïåêòèâðàñòåò âñëåäñòâèå îñåäàíûõ ñïîñîáîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâðåæäåíèÿ Ðåøåíèå çàäà÷ òðåáóåò ñî- íèÿ êðîâè íà ðàíåå ìèêðîñîñóäîâ è ôîðìè- çäàíèÿ êîíêðåòíîé ôèçè÷åñêîé, îñåâøèå òðîìáîöèòû, è ðîâàíèÿ òðîìáà â æè- õèìè÷åñêîé, áèîëîãè÷åñêîé è ìà- çàêëþ÷èòåëüíàÿ ñòàäèÿ, âûõ îðãàíèçìàõ (in òåìàòè÷åñêîé ìîäåëåé ÿâëåíèÿ. çàâåðøàþùàÿñÿ ëèáî çàvivo). Ýòîò ìåòîä äàåò Îáùåé ÷åðòîé âñåõ ôèãóðèðóþ- êóïîðêîé ñîñóäà, ëèáî âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü ùèõ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé ÿâëÿ- îòðûâîì òðîìáà îò âîñïðîèçâîäèìûå ðå- åòñÿ ñîçäàíèå êà÷åñòâåííîé êàð- ñòåíêè. Ïðè ýòîì ïðåäçóëüòàòû ïðè ñòðîãî äî- òèíû ïðîèñõîäÿùèõ ÿâëåíèé, êî- ìåòîì èçó÷åíèÿ â ðàìçèðîâàííîì âîçäåéñòâèè òîðàÿ äîïîëíÿåòñÿ ó÷åòîì êî- êàõ ôåíîìåíîëîãè÷åñíà ìèêðîñîñóä. ëè÷åñòâåííûõ ñîîòíîøåíèé, êîãäà êîãî ïîäõîäà åñòåñòâåííî âûáðàòü âòîðóþ è Óêàçàííàÿ ïðî- ýòî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì. òðåòüþ ñòàäèþ, òàê êàê áëåìà äåéñòâèòåëüíî ïåðâàÿ ñòàäèÿ, ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ òðîìïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïëåêñíóþ àêòóàëüáîîáðàçîâàíèå â ðåçóëüòàòå êàêîãî-ëèáî íóþ íàó÷íóþ ïðîáëåìó, ëåæàùóþ íà ñòûïîâðåæäåíèÿ ñîñóäà, îïðåäåëÿåòñÿ ìåõàêå íåñêîëüêèõ îáëàñòåé çíàíèÿ, ïðåäñòàâíèçìîì âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîòåêàþùåé êðîëÿþùóþ èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêèé òåîðåòèâè ñ ïîâåðõíîñòüþ ïîâðåæäåííîé ñòåíêè. ÷åñêèé è ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ. 2. ÏÐÈÌÅÐ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ

ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ

5

Êîíäðàòüåâ À.Ñ., Ôèëèïïîâ Ì.Ý. 2) ôèçè÷åñêèå, áèîëîãè÷åñêèå è õèìè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ ïîâðåæäåíèÿ ñòåíêè ñîñóäà ëàçåðíûì èçëó÷åíèåì; 3) îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè êðîâîòîêà, ñîñòàâ êðîâè è ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ è ðîñòà òðîìáà âáëèçè ïîâðåæäåííîãî ó÷àñòêà ñòåíêè ñîñóäà; 4) ãèäðîäèíàìè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè êðîâîòîêà è èõ èçìåíåíèå â ðåçóëüòàòå âîçíèêíîâåíèÿ è ðîñòà òðîìáà.  ðåçóëüòàòå òàêîãî ðàçáèåíèÿ âûðèñîâûâàåòñÿ ïîñëåäíÿÿ, çàêëþ÷èòåëüíàÿ çàäà÷à â âûáðàííîì íàïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ, ðåøåíèå êîòîðîé ïîòðåáóåò ïðåäâàðèòåëüíîãî ðåøåíèÿ âñåõ ïðåäûäóùèõ çàäà÷: 5) ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ðîñòà òðîìáà è àíàëèç âëèÿíèÿ ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ íà ýòîò ïðîöåññ, âêëþ÷àþùèé åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå. Ðåøåíèå êàæäîé èç ýòèõ çàäà÷ òðåáóåò ñîçäàíèÿ êîíêðåòíîé ôèçè÷åñêîé, õèìè÷åñêîé, áèîëîãè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëåé ÿâëåíèÿ, èëè êîíêðåòíîé ìîäåëè ÿâëåíèÿ, ó÷èòûâàþùåé ðàçëè÷íûå ôàêòîðû. Òàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå, íà ïåðâûé âçãëÿä, ÷èñòî ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî çàäà÷å (5), à âñå îñòàëüíûå çàäà÷è òðåáóþò ñîçäàíèÿ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé, ó÷èòûâàþùèõ ôàêòîðû ðàçëè÷íîé ïðèðîäû; îäíàêî âñå îíè â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ñîäåðæàò ôèçè÷åñêóþ êîìïîíåíòó. Êàê ìû óâèäèì, äëÿ ïîëíîãî ñîãëàñîâàíèÿ âñåõ ñôîðìóëèðîâàííûõ çàäà÷ (äàæå â çàäà÷å (5)) ïðèõîäèòñÿ ó÷èòûâàòü ñóùåñòâåííûå áèîëîãè÷åñêèå ôàêòîðû. Îáùåé ÷åðòîé âñåõ ôèãóðèðóþùèõ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ ñîçäàíèå êà÷åñòâåííîé êàðòèíû ïðîèñõîäÿùèõ ÿâëåíèé, êîòîðàÿ äîïîëíÿåòñÿ ó÷åòîì êîëè÷åñòâåííûõ ñîîòíîøåíèé, êîãäà ýòî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì. Ñòåíêà êðîâåíîñíîÐèñóíîê 1. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ðîñòà òðîìáà ãî ñîñóäà ïîäâåðãàåòñÿ îò ñêîðîñòè êðîâîòîêà. êðàòêîâðåìåííîìó âîçäåé-

Âòîðàÿ, àãðåãàöèîííàÿ ñòàäèÿ, õàðàêòåðèçóåòñÿ ðîñòîì òðîìáà è îïðåäåëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, íå çàâèñÿùèìè îò òèïà ïîâðåæäåíèÿ: ôèçèîëîãè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè âçàèìîäåéñòâèÿ òðîìáîöèòîâ ñ ðàñòóùèì òðîìáîì è ãèäðîäèíàìè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ïðîòåêàíèÿ êðîâè â ñâÿçè ñ ÷àñòè÷íîé èëè ïî÷òè ïîëíîé çàêóïîðêîé ñîñóäà ñ òðîìáîì. Ãèäðîäèíàìè÷åñêèå è ôèçèîëîãè÷åñêèå ôàêòîðû, îïðåäåëÿþùèå êèíåòèêó îáðàçîâàíèÿ òðîìáà, ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íû íà íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ýòàïàõ ïðîöåññà òðîìáîîáðàçîâàíèÿ. Íàó÷íîå èññëåäîâàíèå ïðåäïîëàãàåò âûäåëåíèå íàèáîëåå ñóùåñòâåííûõ ÷åðò â èçó÷àåìîì ÿâëåíèè. ×àñòî âûäåëåíèå òàêèõ ÷åðò ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê áîëåå ïðîñòîìó îáúåêòó, êîòîðûé îòðàæàåò îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè ÿâëåíèÿ è äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü î íåì íîâóþ èíôîðìàöèþ. Òàêîé îáúåêò è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäåëü èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îïèñûâàåìûé îáúåêò ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ áëîêîâ, ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ ìû íàçûâàåì îáîáùåííîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëüþ. Ïðèìåíèòåëüíî ê ïðîáëåìå ëàçåð-èíäóöèðîâàííîãî òðîìáîîáðàçîâàíèÿ ñîçäàíèå îáîáùåííîé ìîäåëè ïðèâîäèò ê âûÿâëåíèþ çàäà÷: 1) ëàçåðíîå èçëó÷åíèå è åãî âçàèìîäåéñòâèå ñî ñòåíêàìè êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ;

6

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 1999 ã.

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ ñòâèþ ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî íà ïîðàæåííîì ó÷àñòêå âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ñîñóäà íà÷èíàåòñÿ ðîñò òðîìáà. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäîâàíèå ýòîãî ïðîöåññà ïîêàçàëî, ÷òî ñêîðîñòü ðîñòà òðîìáà ÿâëÿåòñÿ íåìîíîòîííîé ôóíêöèåé ñêîðîñòè êðîâîòîêà, èìåþùåé ÿðêî âûðàæåííûé ìàêñèìóì ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè (ðèñ. 1). Èçìåíåíèå ñêîðîñòè êðîâîòîêà â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðîâ ðàñòóùåãî òðîìáà ïîêàçàëè, ÷òî ïðè ìàëûõ ðàçìåðàõ òðîìáà èçìåíåíèå ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè, à  íà÷àëüíîé ñòàäèè ðîñòà òðîìáà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè äàëüíåéøåì äîñòèæåíèè ïåðâè÷íàÿ àäãåçèÿ ïëàñòèíîê òðîìáîöèòîâ íà òðîìáîì îïðåäåëåííîãî ðàçìåñîñóäèñòóþ ñòåíêó. ðà, ñêîðîñòü íà÷èíàåò ðåçêî ùèõñÿ ó øêîëüíèêîâ çíàíèé ïî ìåõàíèêå óìåíüøàòüñÿ è îáðàùàåòñÿ â íóëü. Îñíîæèäêîñòè è äàæå ïî ðåîëîãèè êðîâè. âûâàÿñü íà ýòèõ äâóõ íàäåæíî óñòàíîâÏîëó÷åííûå äàííûå ñâèäåòåëüñòâóëåííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòàõ, ìîæþò î òîì, ÷òî íà íà÷àëüíîé ñòàäèè ðîñòà íî ðàçâèòü ïðîñòóþ ìîäåëü êèíåòèêè ðîñòðîìáà ñêîðîñòü êðîâîòîêà âîçðàñòàåò, à òà òðîìáà, ñïîñîáíóþ ïðîäåìîíñòðèðîâàòü çàòåì â îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé çíà÷èâ âû÷èñëèòåëüíîì ýêñïåðèìåíòå âñå íàáëþòåëüíîìó ïåðåêðûòèþ ñîñóäà ðàñòóùèì äàåìûå íà îïûòå ðåæèìû ðîñòà òðîìáà. òðîìáîì, íà÷èíàåò ðåçêî óáûâàòü è îáðàÏåðâûé èç óêàçàííûõ ýêñïåðèìåíùàåòñÿ â íóëü. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ýòîãî ÿâòàëüíûõ ôàêòîâ ïîëó÷àåò êà÷åñòâåííîå ëåíèÿ ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ñôîðìóëèîáúÿñíåíèå â ðàìêàõ áèîëîãè÷åñêîé êîíðîâàííûì â ôèçèîëîãèè êðîâîîáðàùåíèÿ öåïöèè âðåìåíè àêòèâàöèè òðîìáîöèòîâ ïðèíöèïîì øóíòèðîâàíèÿ îòäåëüíûõ ó÷àâ ïîòîêå êðîâè ïðè ïîïàäàíèè â îáëàñòü ñòêîâ ïðè äîñòèæåíèè ãðàäèåíòîì äàâëåïîðàæåííîãî ó÷àñòêà ñòåíêè. íèÿ íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ. Íà ôåíîìåíîëîãè÷åñêîì óðîâíå âçàÏðèáëèæåííîå îïèñàíèå ýêñïåðèìåíèìîäåéñòâèå òðîìáîöèòîâ ñ ðàñòóùèì òàëüíîé êðèâîé, ïîêàçàííîé íà ðèñ.1, ñîòðîìáîì ìîæåò áûòü îïèñàíî ïóòåì ââåîòâåòñòâóåò ïîñòðîåíèþ ïðîñòåéøåé ìàòåäåíèÿ óíèâåðñàëüíîãî ïàðàìåòðà, èìåþìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàññìîòðåííîãî ïðîöåñùåãî ñìûñë “âðåìåíè àêòèâàöèè” (òî åñòü ñà ñóæåíèÿ ñîñóäà çà ñ÷åò ðîñòà òðîìáà. âðåìåíè, ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî òðîìáîÄëÿ òîãî, ÷òîáû îïèñàòü ïîâåäåíèå öèò â êðîâè, ïîïàâ â çîíó ïîðàæåíèÿ, ñòàýòîé êðèâîé, ââåäåì ôóíêöèþ íîâèòñÿ ñïîñîáíûì ê àãðåãàöèè) è íå çàâèñÿùåãî îò êîíêðåòíîé ïðè÷èíû âîçíèêe − εM íîâåíèÿ òðîìáà. ϕ(M ) = (1) 1 − γMe − εM Ðàññìîòðåíèå çàäà÷è (4) î ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòÿõ êðîâîòîêà ìîæåò ãäå γ è ε - íåêîòîðûå ôåíîìåíîáûòü ïðîâåäåíî íà áîëåå âûñîêîì, íî äîñëîãè÷åñêèå ïàðàìåòðû. Ýêñïîíåíòà â çíàòóïíîì ó÷àùèìñÿ íàó÷íîì óðîâíå, ïî ñðàâìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (1) ââîäèòñÿ äëÿ òîãî, íåíèþ ñ äðóãèìè çàäà÷àìè. Îíî îòêðûâà÷òîáû γ ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ôåíîìåíîåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ ïîñëåäîâàëîãè÷åñêèì ïàðàìåòðîì ðàçâèâàåìîé òåîòåëüíîãî àäåêâàòíîãî óãëóáëåíèÿ èìåþðèè. ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ

7

Êîíäðàòüåâ À.Ñ., Ôèëèïïîâ Ì.Ý. Ôóíêöèÿ v( M ) = v0ϕ( M ) , ãäå ϕ ( M ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (1), êà÷åñòâåííî ïðàâèëüíî ïåðåäàåò õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè êðîâè íà îñè ñîñóäà îò ðàçìåðîâ òðîìáà. Äîñòàòî÷íî ïðîñòîé âèä ôóíêöèè ϕ ( M ) îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü ýëåìåíòàðíîãî èññëåäîâàíèÿ îáëàñòè âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ γ è ε. Íà íà÷àëüíîé ñòàäèè ðîñòà òðîìáà ñêîðîñòü êðîâîòîêà â ñîñóäå âñåãäà âîçðàñòàåò. Îòñþäà ñëåäóåò óñëîâèå: γ ε > 1 . Çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ (1) äîëæåí áûòü ïîëîæèòåëüíûì ïðè ëþáîì çíà÷åíèè M ; îòñþäà ñëåäóåò óñëîâèå: γ ε < e .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì îáëàñòü âîçìîæíûõ èçìåíåíèé ïàðàìåòðà γ ε : 1 < γ ε < e. Èññëåäîâàíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ( M ) , îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (1), èìååò ìàêñèìóì

ëîæåíèå ìàêñèìóìà îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè äâóõ ïàðàìåòðîâ: γ è ε . Ïðè èçó÷åíèè ïðèâåäåííîãî ìàòåðèàëà íåîáõîäèìî ÷åòêî èçëîæèòü ó÷àùèìñÿ èäåþ ââåäåíèÿ ôóíêöèè ϕ ( M ) : àïïðîêñèìèðîâàòü àíàëèòè÷åñêè ýêñïåðèìåíòàëüíóþ êðèâóþ ìîæíî ðàçëè÷íûìè ôóíêöèÿìè; âûáîð ôóíêöèè ϕ( M ) èìåííî â ôîðìå (1) ñîîòâåòñòâóåò âîçìîæíîñòè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà - ïðè íè÷òîæíûõ ðàçìåðàõ òðîìáà ( εM << 1 ) èçìåíåíèå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êðîâè â ñîñóäå äîëæíî îïðåäåëÿòüñÿ ÷èñòî ãèäðîäèíàìè÷åñêèìè ñîîòíîøåíèÿìè, â äàííîì ñëó÷àå, óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè. Òîëüêî ïðè äîñòèæåíèè òðîìáîì çíà÷èòåëüíûõ ðàçìåðîâ âêëþ÷àþòñÿ îïðåäåëåííûå áèîëîãè÷åñêèå ôàêòîðû, â ÷àñòíîñòè, ïðèíöèï øóíòèðîâàíèÿ ïîâðåæäåííûõ ó÷àñòêîâ. Ìåòîäèêà ïðîâåäåíèÿ èññëåäîâàíèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèâåäåííûõ ðåçóëüòàòîâ ε γ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íîé â çàâèñèìîñòè îò ϕ max = 1 − ln(γ ε ) , óðîâíÿ ïîäãîòîâêè ó÷àùèõñÿ.  øêîëàõ è êëàññàõ ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåêîòîðûé ðåàëèçóåòñÿ ïðè çíà÷åíèè ìàòèêè ìîæíî ïðîâåñòè àíàëèòè÷åñêîå èñM1 , ðàâíîì ñëåäîâàíèå, îñíîâàííîå íà èñïîëüçîâàíèè 1 ñâîéñòâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè.  M1 = ln(γ ε ) . ε îáû÷íûõ øêîëàõ ìîæíî îñóùåñòâèòü âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ñ ïîìîùüþ êîìÂèäíî, ÷òî âåëè÷èíà ìàêñèìóìà ϕ( M ) ïüþòåðà èëè äàæå ãðàôè÷åñêîãî êàëüêóëÿòîçàâèñèò òîëüêî îò îòíîøåíèÿ γ ε , à ïîðà, ñòðîÿ ãðàôèêè çàâèñèìîñòè âåëè÷èíû v( M ) îò M ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ γ è ε. Ïîñòðîåííûå ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ðàññìàòðèâàåìîé êîìïëåêñíîé ìîäåëè ïîçâîëÿþò ïîäîéòè ê ðåøåíèþ çàêëþ÷èòåëüíîé çàäà÷è (5) è óñòàíîâèòü çàêîí ðîñòà òðîìáà ñî âðåìåíåì. Óñòàíîâëåíèå îáùåé ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ïðîöåññà òðîìáîîáðàçîâàíèÿ äåëàåò âîçìîæíûì ñîçäàíèå äîñòàòî÷íî ïðîñòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âñåãî ÿâëåíèÿ è ïðîâåäåíèå âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà. Ñîçäàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè çàêëþ÷àåòñÿ â Âî âòîðîé, àãðåãàöèîííîé, ñòàäèè òðîìá ðàñòåò íàïèñàíèè çàìêíóòîãî óðàâíåíèÿ âñëåäñòâèå îñåäàíèÿ êðîâè íà ðàíåå îñåâøèå (èëè ñèñòåìû óðàâíåíèé), îïèñûòðîìáîöèòû. âàþùèõ âñå ñòîðîíû ðàññìàòðè-

8

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 1999 ã.

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ âàåìîãî ÿâëåíèÿ - â äàííîì ñëó÷àå áèîëîðîñòà òðîìáà, ñîäåðæàùåé ÷åòûðå ôåíîãè÷åñêèå, ãèäðîäèíàìè÷åñêèå è ò.ä., ÷òî ìåíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðà: α, β, γ, ε. äåëàåò âîçìîæíûì ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ Êà÷åñòâåííîå îáñóæäåíèå ðàññìîòðàñ÷åòîâ. ðåííîé ïðîñòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ îñêèíåòèêè ïðîöåññà ëàçåð-èíäóöèðîâàííîíîâûâàåòñÿ íà äâóõ ãî òðîìáîîáðàçîâàíèÿ Ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ÿâëå- îáÿçàòåëüíî ñëåäóåò çàòâåðäî óñòàíîâëåííûõ, ðàçîáðàííûõ âûøå íèÿ è åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îïè- âåðøèòü ïîä÷åðêèâàíèôóíäàìåíòàëüíûõ ýêñ- ñàíèå äîïîëíèòåëüíû. Äåéñòâè- åì åå ôåíîìåíîëîãè÷åñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòàõ òåëüíî, ñîçäàíèå ÿñíîé è ïîíÿò- êîãî õàðàêòåðà. Äåé- íåìîíîòîííîì õàðàê- íîé ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ÿâëåíèÿ ñòâèòåëüíî, â ðàçâèòîé òåðå çàâèñèìîñòè ñêî- óâîäèò îò ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷- òåîðèè ôèãóðèðóþò âñåðîñòè ðîñòà òðîìáà íîñòè. Íàîáîðîò, ïîãîíÿ çà òî÷- ãî ÷åòûðå ôåíîìåíîëîdM dt îò ñêîðîñòè íîñòüþ îïèñàíèÿ äåëàåò îáùóþ ãè÷åñêèõ ïàðàìåòðà, â êðîâîòîêà ν, âûðàæàå- êàðòèíó ìåíåå ïîíÿòíîé è íà- òî âðåìÿ êàê ÷èñëî íåîáõîäèìûõ ïàðàìåòðîâ ìîì ýêñïåðèìåíòàëüíîé ãëÿäíîé. â êàæäîé èç îòäåëüíûõ êðèâîé íà ðèñóíêå 1, è çàäà÷, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ îáùàÿ êîìçàâèñèìîñòè ñêîðîñòè êðîâîòîêà îò ðàçïëåêñíàÿ ïðîáëåìà, îêàçûâàåòñÿ áîëüøèì ìåðîâ òðîìáà. Êðèâóþ íà ðèñóíêå 1 ìîæ÷åòûðåõ ïðè åå ïîñëåäîâàòåëüíîì ìèêðîíî êà÷åñòâåííî àïïðîêñèìèðîâàòü âûðàñêîïè÷åñêîì àíàëèçå èëè àêêóðàòíîé àïæåíèåì: ïðîêñèìàöèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ êðèâûõ. dM = aνe− bν , Ïîýòîìó, âî-ïåðâûõ, îò ðàçâèòîé òåîðèè (2) dt íåëüçÿ òðåáîâàòü ñëèøêîì õîðîøåãî ñîãäå a è b - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. âïàäåíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ, êîãè, âî-âòîðûõ, ââåäåííûå ôåíîìåíîëîãèäà bν<<1, ïðàâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (2) ïðè÷åñêèå ïàðàìåòðû íå ìîãóò èìåòü îäíîáëèæåííî ðàâíà aν, à ïðè áîëüøèõ ν, êîãçíà÷íî òî÷íîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, òî äà bν>>1, âåëè÷èíà ñêîðîñòè ðîñòà òðîìåñòü íå ìîãóò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî îäíîé áà dM dt óáûâàåò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó êàêîé-íèáóäü õàðàêòåðèñòèêîé ðàññìàòðèçàêîíó. âàåìîé ñèñòåìû. Ñèòóàöèÿ ñ òàêèìè çàâåÈñïîëüçóÿ ðàçâèòûå ïðåäñòàâëåíèÿ äîìî óïðîùåííûìè ìîäåëÿìè õàðàêòåðèî ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòÿõ çóåòñÿ èäååé Í. Áîðà î “äîïîëíèòåëüíîñÿâëåíèÿ, ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ: òè” òàêèõ õàðàêòåðèñòèê ôèçè÷åñêîé òådM îðèè, êàê ÿñíîñòü è òî÷íîñòü: ôèçè÷åñêàÿ − bν0ϕ( M ) = aν0ϕ( M )e (3) êàðòèíà ÿâëåíèÿ è åãî ìàòåìàòè÷åñêîå dt îïèñàíèå äîïîëíèòåëüíû. Äåéñòâèòåëüíî, Ââîäÿ íîâûå êîíñòàíòû α = aν 0 è ñîçäàíèå ÿñíîé è ïîíÿòíîé ôèçè÷åñêîé β = b ν 0 , ïåðåïèøåì ñîîòíîøåíèå (3) ñëåêàðòèíû ÿâëåíèÿ òðåáóåò ïðåíåáðåæåíèÿ äóþùèì îáðàçîì: âòîðîñòåïåííûìè äåòàëÿìè è óâîäèò îò ìàdM = ψ( M ) , òåìàòè÷åñêîé òî÷íîñòè. Íàîáîðîò, ïîãî(4) dt íÿ çà òî÷íîñòüþ îïèñàíèÿ òðåáóåò ó÷åòà −βϕ ( M ) âñåõ ýòèõ âòîðîñòåïåííûõ äåòàëåé, ÷òî, . ãäå ψ ( M ) = αϕ( M )e êîíå÷íî, äåëàåò îáùóþ êàðòèíó ìåíåå ïîÓðàâíåíèå (4) äîëæíî ðåøàòüñÿ ñ íÿòíîé è íàãëÿäíîé. íà÷àëüíûì óñëîâèåì: Òåì íå ìåíåå, ðàçâèòàÿ òåîðèÿ îêàM (t ) t = 0 = M ( 0) = 0, çûâàåòñÿ ñïîñîáíîé ïåðåäàòü âñå âîçìîæíûå ðåæèìû ïðîöåññà òðîìáîîáðàçîâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèì íà÷àëó îòñ÷åòà à ââåäåííûå ïàðàìåòðû ÿâëÿþòñÿ ãåíåòè÷åñâðåìåíè â ìîìåíòà íà÷àëà ðîñòà òðîìáà. êè ñâÿçàííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñèñòåìû Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ïðî- ãèäðîäèíàìè÷åñêèìè è áèîëîãè÷åñêèìè. ñòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè êèíåòèêè ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ

9

Êîíäðàòüåâ À.Ñ., Ôèëèïïîâ Ì.Ý. Ïîëó÷åííûå ìîäåëüíûå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè M (t ) ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííîé ñãëàæåííîé êàðòèíå ðàçâèòèÿ òðîìáà, òî åñòü äîñòàòî÷íî ãðóáîìó âðåìåííîìó ìàñøòàáó ïî ñðàâíåíèþ ñî âðåìåíåì àêòèâàöèè òðîìáîöèòîâ, ñîïðîâîæäàþùåéñÿ èçìåíåíèåì èõ ôîðìû è âçàèìîäåéñòâèåì ñ óæå îáðàçîâàâøèìñÿ òðîìáîì. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà êðèâûå M (t ) íå ó÷èòûâàþò ôëóêòóàöèé ðàñïðåäåëåíèÿ òðîìáîöèòîâ â ïîòîêå, ôëóêòóàöèé èõ ñêîðîñòåé äâèæåíèÿ è ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ôîðìû â ðåçóëüòàòå àêòèâàöèè è ò.ä. Ñãëàæåííûé õàðàêòåð ìîäåëüíûõ êðèâûõ îò÷åòëèâî âèäåí ïðè èõ ñðàâíåíèè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè êðèâûìè. Ê ÷èñëó ïîëîæèòåëüíûõ ìîìåíòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ïîñòðîåíèåì ðàññìîòðåííîé ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè, ñëåäóåò îòíåñòè ïîñòðîåíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè êðîâîòîêà îò ðàçìåðîâ òðîìáà, êîòîðîå ïåðåõîäèò â âûðàæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè ïðè ìàëûõ ðàçìåðàõ òðîìáà.  îòëè÷èå îò ýòîãî, âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè ðîñòà òðîìáà èìååò ÷èñòî èíòåðïîëÿöèîííûé õàðàêòåð è òîëüêî êà÷åñòâåííî ïåðåäàåò õîä ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñïåðèìåíòàëüíîé êðèâîé. Îäíàêî, êàê ñòàíîâèòñÿ ÿñíûì èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, äåòàëè ïîâåäåíèÿ dM dt , êàê ôóíêöèè ñêîðîñòè, íå îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà êàðòèíó ðîñòà òðîìáà. Çàñëóæèâàåò îòäåëüíîãî îáñóæäåíèÿ âîïðîñ î âîçìîæíîñòè óòî÷íåíèÿ ðàçâèòîé ïðîñòîé ìîäåëè.  êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà çäåñü ñëåäóåò óêàçàòü íà íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áîëåå

ÍÀØÈ

10

ÀÂÒÎÐÛ

àêêóðàòíûõ àïïðîêñèìàöèé äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîé êðèâîé ñêîðîñòè ðîñòà òðîìáà dM dt .  ÷àñòíîñòè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ âçàèìîäåéñòâèÿ òðîìáîöèòîâ ñ ðàñòóùèì òðîìáîì, îñíîâàííûõ íà ðàçëè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ñâîéñòâàõ âðåìåíè àêòèâàöèè òðîìáîöèòîâ è î èõ ðàñïðåäåëåíèè â ïîòîêå êðîâè. ×èñëî ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåîðèè ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, óâåëè÷èâàåòñÿ. Äàëåå, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîäõîä, îñíîâàííûé íà àïïðîñêèìàöèè êðèâûõ ñ ïîìîùüþ ñïëàéíîâ. Òàêîé ïîäõîä ìîæåò ïîñëóæèòü îñíîâîé äëÿ îðãàíèçàöèè ôàêóëüòàòèâíîãî êóðñà â ðàìêàõ èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè èëè èíôîðìàòèêè. Çàâåðøèòü èçó÷åíèå ðàçáèðàåìîãî âîïðîñà öåëåñîîáðàçíî îáùèì îáñóæäåíèåì ïðè÷èíû ýôôåêòèâíîñòè ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ ìîäåëåé ïðè îïèñàíèè âåñüìà ñëîæíûõ ÿâëåíèé. Îò÷åòëèâîå ïîíèìàíèå ó÷àùèìèñÿ ýòîãî âîïðîñà ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì êîìïîíåíòîì ôîðìèðóåìîãî ó íèõ îñîçíàíèÿ ñâîåé ñïîñîáíîñòè ê îðãàíèçàöèè è ïðîâåäåíèþ èññëåäîâàíèé ñëîæíûõ ÿâëåíèé íà îñíîâå ðàçâèòèÿ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, ñîçäàíèÿ íà åå îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè è ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà íà êîìïüþòåðå. Âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû, èñïîëüçóåìûå â ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ, âåñüìà ïðîñòû è ñâîäÿòñÿ ê ñîñòàâëåíèþ ïðîãðàìì, ïîçâîëÿþùèõ ñòðîèòü ãðàôèêè ââåäåííûõ ôóíêöèé è ïðîâîäèòü ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Êîíäðàòüåâ Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷, çàâåäóþùèé êàôåäðîé ìåòîäèêè îáó÷åíèÿ ôèçèêå ÐÃÏÓ èì. À.È. Ãåðöåíà, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, äåéñòâèòåëüíûé ÷ëåí ÐÀÎ. Ôèëèïïîâ Ìèõàèë Ýäóàðäîâè÷, àñïèðàíò ÐÃÏÓ èì. À.È. Ãåðöåíà.

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 1999 ã.