Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 103–115 УДК 512+517.911
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА c 2003 г.
М. ЛОДЕ—РИШО
АННОТАЦИЯ. В работе дана классификация ростков линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с мероморфными в нуле коэффициентами при сходящихся калибровочных преобразованиях и фиксированной нормальной форме в терминах неабелевого 1-когомологического множества Мальгранжа—Сибуя. (Ростки классифицируются посредством некоторого отношения этого множества.) В [L-R94] доказано, что существует естественный изоморфизм h между унипотентной группой Ли (называемой группой Стокса) и 1-когомологическим множеством Мальгранжа—Сибуя. Оказывается, естественным образом может быть конструктивно построено обратное отображение, которое заключается в выборе в каждом когомологическом классе специального коцикла, называемого коциклом Стокса. В статье рассматривается понятие коцикла Стокса и дается комбинаторное доказательство биективности отображения h; отсюда выводятся некоторые следствия, такие как теорема Рамиса о плотности в линейной дифференциальной теории Галуа. Заметим, что наше доказательство, основанное на теореме о коцикле Стокса и теории Таннакиана, не требует привлечения теории (мульти-) суммируемости.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Определения и предварительные результаты . . . . . . . . . . . 2. Теорема о коцикле Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Автоморфизмы Стокса, не являющиеся автоморфизмами Галуа Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. 103 . 106 . 108 . 113 . 115
ВВЕДЕНИЕ В работах Сибуя и Мальгранжа [Sib, M79] было показано, что мероморфная классификация линейных дифференциальных систем с мероморфными в нуле коэффициентами включает в себя неабелево 1-когомологическое множество. Таким образом, естественно описывать когомологические классы через корректно определенные коциклы с особыми свойствами. Указанное описание впервые было предложено Балсером, Юркатом и Лутцем [BJL79]. Затем практически одновременно Баббитт и Варадараджан [BV89], Мартине и Рамис [MR91], а также автор [L-R91, L-R94] предложили другие описания (основанные на различных подходах), которые, как оказалось, совпадают. Балсер, Юркат и Лутц, исследуя явление Стокса при помощи прямых Стокса, доказали, что при обходе особенности последовательность автоморфизмов Стокса (необходимых для сохранения фундаментальной асимптотики решения при аналитическом продолжении) стабилизируется за конечное число оборотов. При этом (хоть они и не используют язык когомологий) оказывается, что выбранный ими коцикл есть в точности коцикл, определяемый указанной устойчивой последовательностью автоморфизмов Стокса. Баббитт и Варадараджан развили функторный подход к изучению явления Стокса, имеющий приложение к проблеме моментов. Согласно их методу, коцикл Стокса возникает естественным образом, но конструктивно не описывается. Мартине и Рамис, изучая свойства Галуа, развили теорию (мульти-) суммирования и рассмотрели соответствующий коцикл. Возникающий у них коцикл естественным образом связывается с анти-направлениями Стокса (т. е. с бисектрисами углов Стокса, образованных парами прямых Стокса) и автоматически дает требуемые свойства Галуа. c
2003 МАИ
103
104
М. ЛОДЕ—РИШО
Нашей основной целью является выявление естественной алгебраической структуры когомологического множества Мальгранжа—Сибуя. Легко показать, что указанное множество наделяется естественной алгебраической структурой аффинного многообразия. Существует ли большая структура? Напомним, что неабелева структура H 1 , вообще говоря, не наследует алгебраические свойства пучка своих коэффициентов. Здесь снова возникают углы Стокса и их бисектрисы, анти-направления Стокса. В общем случае любому анти-направлению Стокса соответствуют два направления Стокса, определяемые сторонами угла Стокса. Таким образом, если наша цель — сохранить симметрию и независимость ориентации относительно особенности в нуле, то выбор анти-направлений Стокса априори превалирует над выбором любого из двух возможных выборов направлений Стокса. Наш подход состоит в доказательстве того, что структура Мальгранжа—Сибуя H 1 может быть отождествлена посредством естественного и конструктивного отображения с произведением неабелевых унипотентных групп Ли, которые называются группами Стокса (см. [L-R94] и теорему 2.3 данной работы). Элементы в указанном произведении канонически отождествляются с 1-коциклом, который мы называем коциклом Стокса. Такое отождествление позволяет наделить H 1 структурой унипотентной группы Ли. Касательная структура наделяет H 1 линейной аффинной структурой. Таким образом, структуру Мальгранжа—Сибуя H 1 можно отождествить с конечномерным линейным пространством CN . Как и ожидалось, оказывается, что размерность N равна иррегулярности системы. Напомним, что иррегулярность была определена Б. Мальгранжем [M74] как индекс оператора, действующего на формальные степенные ряды по модулю сходящихся рядов. Приведем еще несколько следствий из этого результата. 1. Пусть Yb = Fb(x)xL eQ(1/x) есть формальное фундаментальное решение системы в нуле. Из существования и единственности коцикла Стокса следует существование и единственность «сумм» • Fα для Fb в следующем смысле: коцикл Стокса (ϕα ) (где α пробегает все анти-направления Стокса), • как и любой другой коцикл, может быть записан единственным образом в виде ϕα = Fα −1 Fα+ . Здесь α+ обозначает ближайшее к α анти-направление Стокса; Fα асимптотически реализует Fb. При этом Fα следует понимать как сумму Fb в направлении α − ε, а Fα+ — как сумму в направлении α + ε (с малым ε > 0). • Совокупность (Fα ) будем называть 0-коцепочкой, связанной с (ϕα ) или с Fb (хоть она и не • является 0-коцепочкой со значениями в том же пучке, что и (ϕα )). 2. Предыдущий результат может быть уточнен следующим образом [R85, L-R94, L-R95]. Теорема 0.1. Fb(x) раскладывается существенно единственным образом в произведение Fb(x) = Fbkr (x) . . . Fbk1 (x),
k1 < . . . < kr ,
рядов Fbk1 (x), . . . , Fbkr (x), чьи коциклы Стокса имеют единственные уровни k1 , . . . , kr соответственно. «Существенно единственным образом» означает — с точностью до тривиальных промежуточных сомножителей f f −1 , где f — сходящийся ряд. Выбирая 0-коцепочку (Fk1 , α )α , . . . , (Fkr , α )α каждого сомножителя, мы можем разложить Fα в произведение Fα = Fk r , α . . . F k 1 , α . 3. Для Yb определим автоморфизмы Стокса, соответствующие коциклу Стокса, следующим образом: ( Solα −→ Solα uα : L Q(1/x) Fα x e 7−→ Fα+ xL eQ(1/x) с некоторым фиксированным выбором аргумента x (чтобы xL eQ(1/x) действительно являлось функцией). Solα обозначает пространство ростков решений в направлении α. В [L-R94] доказывается, что указанные автоморфизмы Стокса принадлежат локальной дифференциальной группе Галуа в нуле. Доказательство основано на теореме Шевалье (а также одной идее Делигне): некоторая группа порождает дифференциальную группу Галуа, если она оставляет инвариантными в
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА
105
точности все подпространства решений всех подсистем во всех конструкциях заданной системы. Следовательно, для того чтобы доказать, что автоморфизмы Стокса принадлежат локальной дифференциальной группе Галуа, достаточно проверить, что они оставляют инвариантными все пространства решений подсистем, а это есть простое следствие из общего вида коцикла Стокса. 4. Утверждение Таннакиана, являющееся обращением теоремы Шевалье (если некоторое пространство остается инвариантным, то оно является пространством решений подсистемы), может быть использовано для доказательства теоремы Рамиса о плотности: группа, порожденная экспоненциальным тором, формальной монодромией и автоморфизмами Стокса (соответствующими коциклу Стокса), является Зариски-плотной в локальной дифференциальной группе Галуа рассматриваемой системы. 5. Суммы, определяемые коциклами Стокса, являются мультисуммами Fb(x) в смысле (k1 , . . . , kr )-мультисуммируемости: Sα− Fb = Fα
и
Sα+ Fb = Fα+ .
Это следует из разложения Fα = Fkr , α . . . Fk1 , α в произведение kj -суммируемых рядов: согласно теории k-суммируемости Мальгранжа и Рамиса [MR92]) k-суммируемые ряды — это ряды, допускающие 1-коцикл уровня k (т. е. 1-коцикл с компонентами экспоненциального порядка k) в достаточно больших углах. Решения дифференциальной системы с коциклом Стокса уровня k удовлетворяют такому условию. Более того, алгебра мультисуммируемых рядов содержит алгебры k-суммируемых рядов для всех k, и различные методы суммирования оказываются совместимыми. Другое доказательство состоит в том, чтобы показать, что коцикл, определенный при помощи мультисумм, есть коцикл Стокса и затем использовать единственность коцикла Стокса. Далее мы прокомментируем сформулированные выше результаты. • Прежде всего заметим, что пункты 1–4, так же как и теорема о коцикле Стокса, доказаны независимо от теории суммирования, т. е. независимо от различных эквивалентных определений дифференциальной алгебры суммируемых рядов, наделенных гомоморфизмом. Пункт 5 объединяет все эти результаты в общую теорию мультисуммирования. • Пункт 1 элементарен. Он обеспечивает существование и единственность корректно определенных «сумм» для Fb, но никоим образом не теорию суммирования. • Пункт 2 менее тривиален. Для простоты будем называть kj -суммируемыми ряды Fbkj с коциклом Стокса уровня kj , поскольку согласно Мальгранжу и Рамису [MR92], Fbkj будут совпадать с kj -суммируемыми рядами в обычном смысле. Задача Турриттина о том, является ли ряд, представляющий решений линейного дифференциального уравнения, k-суммируемым при некотором k, имеет отрицательный ответ (см. [RS89], а также [L-R90]). Пункт 2 показывает, что такой ряд всегда принадлежит алгебре, порожденной алгебрами k-суммируемых рядов, где число индексов k конечно. Единственность разложения Fb обеспечивает корректную определенность для Fb в более точной форме по сравнению с пунктом 1 (благодаря тому что мы берем kj -суммы Fkj , α для каждого сомножителя Fbkj ). Однако это по-прежнему не обеспечивает наличие теории мультисуммируемости на алгебре, порожденной всеми k-суммируемыми рядами. Основной вопрос, на который необходимо ответить, следующий. Получим ли мы одну и ту же сумму, если возьмем k-суммы в двух различных разложениях ряда как суммы произведений k-суммируемых рядов. Насколько нам известно, к настоящему времени нет ни одного прямого доказательства этого трудного результата. • Так как суммирование есть гомоморфизм дифференциальных алгебр, автоморфизм Стокса, построенный с помощью процесса суммирования, автоматически попадает в локальную дифференциальную группу Галуа. Таким образом, пункт 5 дает другое доказательство того факта, что автоморфизмы Стокса (связанные с коциклом Стокса) попадают в эту группу Галуа. Однако это не доказывает теорему Рамиса о плотности. Все сформулированные результаты доказаны в [L-R94]. В данной статье мы бы хотели сформулировать теорему о коцикле Стокса и привести план ее доказательства. При этом мы рассмотрим несколько подробнее более легкую часть теоремы
106
М. ЛОДЕ—РИШО
(инъективность), которая рассматривалась в [L-R94]. Кроме того, мы приведем примеры обычных автоморфизмов Стокса (не связанных с коциклами Стокса), не являющихся автоморфизмами Галуа. 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
b = C[[x]][1/x] поля сходящихся и соответственно формальОбозначим через K = C{x}[1/x] и K ных рядов Лорана в окрестности нуля. Рассмотрим линейную дифференциальную систему размерности n dY − A(x)Y = 0 dx с мероморфными в начале координат комплекснозначными коэффициентами (A ∈ gl(n, K)). Калибровочное преобразование Z = RY , где R ∈ GL(n, K), переводит ∆ в ∆Y ≡
dZ R dR −1 − AZ, где RA = R + RAR−1 . dx dx Если элементы R сходятся, то сходятся и элементы RA. Также возможна ситуация, когда R расходится и множество b b ∈ GL(n, K) b | RbA ∈ gl(n, K)} G(∆) = {R ∆ = R−1 ∆R =
R
b оказывается шире, чем G = GL(n, K). Хорошо известно, что G(∆) совпадает с G тогда и только тогда, когда 0 является либо обычной точкой, либо регулярной особой точкой для ∆. b b Группа G действует на G(∆), и отношение G\G(∆) формальных калибровочных преобразований по модулю сходящихся преобразований к левой части есть множество формальных классов калибровочных преобразований системы ∆. b L ∈ gl(n, C), Q(1/x) Пусть ∆Y = 0 — некоторая система и Fb(x)xL eQ(1/x) (где Fb ∈ GL(n, K), есть диагональная матрица, диагональные элементы которой являются полиномами относительно 1/x или относительно дробной степени 1/t = 1/x1/p от 1/x) — некоторое формальное фундаментальное решение. Случай Q ≡ 0 соответствует обычной или регулярной особой точке 0. Случай Q 6≡ 0 соответствует нерегулярной особенности в точке 0. Свяжем с ∆ нормальную форdY му ∆0 Y ≡ − A0 (x)Y = 0, имеющую фундаментальное решение Yb0 = xL eQ(1/x) . dx Явление Стокса заключается в нарушении непрерывности асимптотического решения при обходе вокруг особой точки. Это явление возникает, только когда 0 есть нерегулярная особая точка, b 0 ) формальных калибровочных преобразований сии связано с расходимостью Fb. Классы G\G(∆ стемы ∆0 Y = 0 включают в себя все возможные типы расходимости калибровочных преобразований Fb системы ∆0 = 0 и, следовательно, все возможные типы явлений Стокса с фиксированной формой ∆0 . Описать явление Стокса при заданной Fb — значит определить элемент отношения b 0 ). Теорема, полученная Сибуя и переформулированная Мальгранжем, отождествляет это G\G(∆ отношение с неабелевым когомологическим множеством, которые мы опишем ниже. Пусть S 1 есть окружность направлений с центром в нуле. Выберем формальное Fb и совокупность секторов (Uj ), накрывающую S 1 . Секторы выбираются настолько узкими, чтобы мы могли применить основную асимптотическую теорему существования (см. [Was]). Тогда мы получим совокупность матричнозначных функций Fj , аналитичных на Uj , асимптотически приближающихся к Fb (TUj Fj = Fb, где TUj обозначает отображение Тейлора в нуле на Uj ) и таких, что Fj∆0 = ∆ (Fj Y0 суть решения системы ∆Y = 0, где Y0 обозначает функцию, полученную из Yb0 выбором определенного arg x в Yb0 ). Совокупность {Fi−1 Fj }(i, j) определяет 1-коцикл покрытия U = {Uj }j со значениями в пучке Λ<0 (∆0 ) = { ростки f ∈ GL(n, A) | f∆0 = ∆0 и T f = id} плоских изотропий ∆0 (T — отображение Тейлора, A — пучок асимптотических функций в нуле). Нетрудно проверить, что g Fb (где g ∈ G) соответствует такой же коцикл и что различным выборам реализаций Fj соответствуют некоторые когомологические коциклы. Таким образом, мы определили отображение b 0 ) −→ H 1 (U; Λ<0 (∆0 )). expµ : G\G(∆
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА
107
Поскольку Λ<0 (∆0 ) есть пучок неабелевых групп, то 1-когомологическое множество, которое мы получаем, является неабелевой структурой H 1 . Соответствующее определение в явном виде можно найти в [F57]. Мы ограничимся напоминанием следующего утверждения. Два 1-коцикла (fY i, j ) и (gi, j ) над U являются когомологическими, если существует Γ(Uj , Λ<0 (∆0 )), такая, что для всех i, j выполняется соотношение 0-коцепочка (ϕj ) ∈ j
fi, j = ϕ−1 i gi, j ϕj . В абелевом случае когомология пространства S 1 определяется следующим образом: 1 <0 H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) = lim −→ H (U; Λ (∆0 )).
Теорему Мальгранжа—Сибуя можно сформулировать следующим образом. Теорема 1.1 (Мальгранж—Сибуя). Отображение b 0 ) −→ H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) expµ : G\G(∆ биективно. Пример (уравнение Эйлера x2 y 0 + y = x). В однородной форме уравнение имеет вид x3 y 00 + (x2 +X x)y 0 − y = 0, и его формальные решения 1/x порождаются экспонентой e и рядом Эйлера fb(x) = (−1)n n! xn . Соответствующая система n>0
обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде " # 0 1 dY 1 1 , = AY, где A = 1 − 2+ dx x3 x x и имеет формальное фундаментальное решение Yb (x) = Fb(x)eQ(1/x) , где # " 0 0 fb(x) 1 1 . Fb(x) = b0 и Q(1/x) = 1 0 f (x) − 2 x x Асимптотическое решение для fb, заданное на
R+
+∞ Z
формулой f (x) =
e−ξ/x dξ, допускает 1+ξ
0
3π 3π аналитическое продолжение при − < arg x < . При этом соответствующие функции fπ+ и 2 2 fπ− , заданные на Re x < 0, удовлетворяют соотношению fπ+ (x) − fπ− (x) = 2πie1/x . В матричной форме это соотношение принимает вид 1 0 Fπ+ (x)eQ(1/x) = Fπ− (x)eQ(1/x) . 2πi 1 n 3π 3π o Рассмотрим покрытие U окружности S 1 , состоящее из одного сектора U = x − < argx < 2 2 с самопересечением на Re x < 0. С Fb и U можно связать 1-коцикл 1 0 −Q(1/x) −1 Q(1/x) Fπ− (x) Fπ+ (x) = e e на Re x < 0 2πi 1 Этот коцикл с дополнительным тривиальным компонентом id на Re x > 0 в действительности 1 0 является коциклом Стокса Fb, а матрица является Галуа матрицей Стокса (ср. раздел 3). 2πi 1 Также можно было бы рассмотреть покрытие V = {V1 , . . . , V4 }, где V1 = {Re x > 0}, V2 = {Im x > 0}, V3 = {Re x < 0}, V4 = {Im x < 0},
108
М. ЛОДЕ—РИШО •
•
которые пересекаются по четвертям U 1 , . . . , U 4 , и соответствующий коцикл вида • • • • 1 0 −Q(1/x) Q(1/x) 1 a −Q(1/x) Q(1/x) F1 = e e на V1 , F2 = e e на V2 , 0 1 2πib 1 • F3
Q(1/x)
=e
• 1 0 −Q(1/x) e на V3 , 2πi(1 − b) 1
• F4
Q(1/x)
=e
• 1 −a −Q(1/x) e на V4 . 0 1
В соответствии с нашим определением этот последний коцикл не является коциклом Стокса, но два указанных коцикла являются когомологическими в H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )), несмотря на то что внешне •
•
различаются. Как мы увидим в разделе 3, F2 и F3 входят в локальную дифференциальную группу •
•
Галуа системы Эйлера, тогда как F1 и F4 не входят. 2.
ТЕОРЕМА
О КОЦИКЛЕ
СТОКСА
Для того чтобы получить теорему о коцикле Стокса, необходимо ввести некоторые определения и сформулировать некоторые результаты. 2.1. Пучок Λ<0 (∆0 ) плоских изотропий нормальной формы ∆0 . Росток f ∈ Λ<0 (∆0 )θ является элементом GL(n, Aθ ) (Aθ обозначает пространство ростков асимптотических функций в направлении θ в нуле), удовлетворяющим следующим двум условиям ( f A0 = A0 (f есть изотропия), Tθ f = id
(f плоский).
Здесь Tθ снова обозначает отображение Тейлора в направлении θ. Выберем некоторое значение θe аргумента θ и обозначим через Y0, θe росток решения системы ∆0 Y = 0 в θ, полученный соответствующим выбором в xL eQ(1/x) . Тогда два вышеуказанных свойства принимают вид ( f (x)Y0, θe(x) = Y0, θe(x)CY0, θe , где CY0, θe ∈ GL(n, C), eQ(1/x) CY0, θe e−Q(1/x) ≡ cj, ` eqj −q` ∼θ I (I есть единичная матрица). Таким образом, получаем −1 f (x) = Y0, θe(x)CY0, θe Y0, θe(x) (и cj, j = 1 ∀j CY0, θe = [cj, ` ] удовлетворяет cj, ` = 0 при j 6= `, и eqj −q` не сходится асимптотически к 0. Отсюда нетрудно получить следующее утверждение. Предложение 2.1. Λ<0 (∆0 ) есть кусочно постоянный пучок неабелевых унипотентных групп Ли. Два отношения порядка — анти-направления Стокса. Пусть 1 a 1 (qj − q` ) = k + слагаемые с меньшими степенями относительно , x x x где a 6= 0. Определим следующие два отношения порядка: 2.2.
1. qj ≺ q`
⇐⇒
Re(ae−ikθ ) < 0 e
⇐⇒
θe
2. qj
≺
q`
⇐⇒
(ae−ikθ ) < 0 e
eqj −q` ∼θe 0.
⇐⇒
eqj −q` имеет максимальную скорость убывания
e max θ,
e вдоль θ. В последнем случае θ называется анти-направлением Стокса (для ∆0 или, более точно, для eqj −q` ).
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА
109
2.3. Представление плоских ростков изотропии. Росток f (x) = Y0, θe(x)CY0, θe Y0, θe(x)−1 представляется постоянной матрицей CY0, θe , и эта матрица имеет вид CY0, θe = I +
X
cj, ` Ej, `
(j,`)|qj ≺q` e θ
(Ej, ` — элементарная матрица с единицей на пересечении j-й строки и k-ого столбца). Эти матрицы являются матрицами Стокса в обычном смысле, и, вообще говоря, они не связаны с коциклами Стокса. e если он представляется матрицей CY 2.4. Ростки Стокса. f есть росток Стокса для ∆0 в θ, e 0, θ вида X CY0, θe = I + cj, ` Ej, ` . (j, `)|qj ≺ q` e max θ,
e Это множество состоит из Обозначим через Stoθe(∆0 ) множество всех ростков Стокса для ∆0 в θ. матриц Стокса, связанных с коциклом Стокса. Предложение 2.2. Stoθe(∆0 ) есть подгруппа Λ<0 (∆0 )θe. Заметим, что эта группа тривиальна (Stoθe(∆0 ) = {id}), если θ не является анти-направлением Стокса для ∆0 . Теперь мы можем сформулировать теорему о коцикле Стокска. Теорема 2.3 (теорема о коцикле Стокса). Каноническое отображение Y h: Stoα (∆0 ) −→ H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) α∈A
биективно, и обратное отображение c : H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) −→
Y
Stoα (∆0 )
α∈A
является конструируемым и естественным в том смысле, что оно коммутирует с изоморфизмами. A обозначает множество всех анти-направлений Стокса. Отображение h определяется следующим образом: рассмотрим покрытие окружности S 1 , не содержащее пересечений 3 на 3, чей 1-нерв (пересечения 2 на 2) представляет собой последовательные малые окрестности анти-направлений Стокса. Тогда заданные ростки живут на 1-нерве и определяют элемент из H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )). Определение 2.4. Коциклы, состоящие из ростков Стокса, каждый из которых соответствует своему анти-направлению Стокса, называются коциклами Стокса. В теореме 2.3 утверждается, что любой когомологический класс из H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) содержит единственный коцикл Стокса, и существует алгоритм, позволяющий вычислить этот коцикл. Далее мы приведем схему доказательства биективности отображения h. Алгоритм нахождения коцикла Стокса и его конструктивное вычисление описаны в [L-R94]. Инъективность h означает, что когомологические коциклы Стокса тождественны между собой. Сюръективность означает, что любой когомологический класс содержит коцикл Стокса. Отметим, что доказательство сюръективности — это наиболее сложная часть в доказательстве теоремы. Далее нам потребуются некоторые дополнительные определения и результаты, которые приводятся ниже. Будем считать, что Q(1/x) не содержит корней x (случай отсутствия ветвей). Случай наличия p ветвей возникает из рассмотрения p-листного покрытия C∗ и проектирования.
110
М. ЛОДЕ—РИШО
2.5. Уровень ростка плоской изотропии. Уровнем ростка f будем называть максимальную степень полиномов qj − q` , возникающих в представлении данного ростка. Сужение пучка Λ<0 (∆0 ) на ростки уровня k, уровней 6 k или < k дает подмножества, которые мы будем обозначать через Λk (∆0 ), Λ6k (∆0 ), Λ
i
id −→ Λk (∆0 ) −→ Λ6k (∆0 ) −→ Λ
•
Для такого покрытия мы можем определить сужение 1-нерва U = {Uj = Uj−1 ∩ Uj }j∈J=Z/pZ последовательных пересечений, вместо всех возможных 2 на 2 пересечений. Всюду далее, говоря об 1-нерве, будем иметь в виду указанное сужение 1-нерва. Предложение 2.6. Множество 1-коциклов U канонически изоморфно множеству сужений •
1-коцепочек на U без каких-либо коциклических условий, т. е. сужений на произведение Y • Γ(Uj , Λ<0 (∆0 )). j∈J
Доказательство. Пусть U1 ∩ U3 6= ∅, тогда U1 ∩ U3 вложено и в U1 ∩ U2 , и в U2 ∩ U3 . Если известны f1, 2 и f2, 3 , то коциклическое условие f1, 3 = f1, 2 f2, 3 дает f1, 3 . Существуют произвольные точные циклические покрытия окружности S 1 и произвольные точные циклические покрытия, являющиеся ацикличными для Λ<0 (∆0 ). Для таких покрытий U теорема Лере дает: H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) = H 1 (U; Λ<0 (∆0 )). Доказательство теоремы о коцикле Стокса в случае единственного уровня k. Рассматривается случай, когда для всех qj 6= q` степень qj − q` равна k. В этом случае ситуация значительно упрощается благодаря следующему факту. Поскольку все π дуги Стокса (т. е. дуги различных экспонент eqj −q` ) имеют один и тот же раствор , множеk ство всех этих дуг образуют 1-нерв циклического покрытия U, определяемый следующим образом: пусть α1 , . . . , α2ν (полагаем α2ν+1 = α1 ) обозначает анти-направления Стокса для ∆0 , упоря•
доченные в соответствии с выбранной ориентацией S 1 , и пусть U αj =]aj , bj [ обозначает дугу •
Стокса, соответствующую αj (αj — середина U αj ). Для всех j положим Uαj =]aj−1 , bj [, при этом •
U αj = Uαj ∩ Uαj+1 . Покрытие U есть покрытие дугами Uαj . Это цикличное и ацикличное покрытие для Λ<0 (∆0 ) (более того, оно является наиболее точным среди ацикличных цикличных покрытий). Следовательно, H 1 (S 1 ; Λ<0 (∆0 )) = H 1 (U; Λ<0 (∆0 )).
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА
111
Это покрытие не допускает 0-коцепочек из Λ<0 (∆0 ), так как раствор каждой дуги Uj больше, чем π π , а сегменты пучка Λ<0 (∆0 ) живут на дугах, раствор которых не превосходит . Следовательно, k k Y • 1 <0 <0 H (U, Λ (∆0 )) = Γ(U αj , Λ (∆0 )). j∈J •
Наконец U αj есть естественная область существования ростков Стокса, соответствующих αj , и •
только такие ростки Стокса являются сегментами Λ<0 (∆0 ) на всех U αj . Следовательно, получаем Y • Y канонический изоморфизм Γ(U αj , Λ<0 (∆0 )) ' Stoαj (∆0 ). j
j∈J
2.7. Покрытия Стокса U 6k = {Uj6k }, U
•
•
•
•
•
k и уровня > k соответственно. π Пучок U k есть пучок, определенный выше при помощи всех дуг Стокса раствора , т. е. тех дуг, k на которых живут сегменты уровня k. Существуют различные возможности выбора U 6k . В данном случае не существует единственного циклического покрытия, ацикличного для Λ6k (∆0 ), которое является менее точным, чем любое другое покрытие. Один из возможных способов построения •
U 6k заключается в том, что мы начинаем с 1-нерва U k и затем добавляем к нему дуги Стокса, уровни которых последовательно убывают. При этом следует усекать дуги с одной или с обеих сторон так, чтобы сохранялся 1-нерв циклического покрытия (ср. [L-R94, раздел II.3.1]). Доказательство теоремы о коцикле Стокса в случае нескольких уровней k1 < . . . < kr . Вначале докажем сюръективность отображения h: Лемма 2.7. Рассмотрим отображение Y Y Y • • •
σ:
α∈Ak • •
•
•
f = (f α ), g = (g α )
•
α∈A6k • •
7−→ (f α g α | • 6k ), Uα
•
где берется f α = id, если α ∈ A6k \ A
Отображение H сюръективно. Доказательство. i. Согласно предложению 2.5 существует единственное разложение ростков по уровням.
112
М. ЛОДЕ—РИШО •
• •
•
•
ii. Пусть (hα = f α g α ) есть 1-коцикл в H 1 (U 6k ; Λ6k (∆0 )), где (f α ) имеет уровень < k, а (g α ) имеет уровень k. •
Поскольку U 6k уточняет U
когомологично (f α ). Это означает, что существует 0-коцепочка (cα ) ∈ •
•
0 для которой выполняется c−1 α f α cα+1 = F α и, следовательно, Y • • k k Γ(U 6k (c−1 α , Λ (∆0 )) (нормальность Λ (∆0 )). α+1 g α cα+1 ) ∈ α∈A6k
•
•
Y
α∈A6k • • 0 (c−1 g c−1 h c = F α α+1 α α α+1 α cα+1 ), •
•
•
где
•
6k коцикла Стокса (G ) из При этом 1-коцикл (G0α = c−1 α α+1 g α cα+1 ) является сужением на U Y • • • • k k 0 k 0 Γ(U α , Λ (∆0 )) уровня k (т. е. Gα = Gα | • 6k для α ∈ A , в противном случае Gα = id). Uα
α∈Ak
•
Здесь можно рассуждать следующим образом: для анти-направления Стокса α уровня k дуга U 6k α является естественной областью определения для ростков Стокса уровня k, соответствующих α; •
для анти-направления Стокса α, максимальный уровень которого < k, дуга U 6k α имеет раствор большое, чем π/k, и, следовательно, не имеет нетривиальных сегментов уровня k. •
•
•
0 0 Таким образом, 1-коцикл (c−1 α hα cα+1 ) = (F α Gα ) имеет требуемую форму, и H есть сюръекция.
Предположим, что имеется только два уровня в Λ6k (∆0 ). Тогда пучок Λ
Y
•
Γ(U kα , Λk (∆0 )) = H 1 (U k ; Λk (∆0 )).
α∈Ak
Более того, образ отображения σ канонически изоморфен
Y
Stoα (∆0 ); отсюда вытекает нужный
α∈A
нам результат. В случае когда количество уровней больше, чем два, нужный результат получается аналогичным образом с применением индукции. Теперь докажем инъективность отображения h. Для простоты обозначим U 6k = U, где k — наивысший уровень. •
•
•
•
Пусть f = (f α ) и g = (g α ) — два когомологичных коцикла H 1 (U; Λ<0 (∆0 )). Необходимо дока•
•
зать, что f α = g α для всех α ∈ A. •
•
•
•
Вначале предположим, что f и g имеют уровень k: f α или g α либо тривиально, либо име•
•
•
ет в качестве естественной области определения U kα . Таким образом, f и g являются сужени•
•
•
•
ями на U коциклов Стокса F и G, определенных на U k . Так как естественное отображение •
•
H 1 (U k ; Λ<0 (∆0 )) → H 1 (U; Λ<0 (∆0 )) инъективно (см. [F57]), то F и G — когомологичны как 1-коциклы из H 1 (U k ; Λ<0 (∆0 )). Однако на U k не существует 0-коцепочек уровня > k, и поэтому соотношения когомологии •
•
•
принимают вид F α cα+1 = cα Gα , где cα и cα+1 имеют уровень < k при всех α. Поскольку F α и
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА
113
•k
•
Gα имеют уровень k, то cα+1 = cα на U α для всех α (предложение 2.5). Следовательно, так как Λ<0 (∆0 ) не имеет глобальных секций, кроме тривиальной, cα = id для всех α. Таким образом, •
•
f = g. Лемма 2.8. Рассмотрим отображение Y Y Y • • •
σ:
α∈Ak • •
•
•
f = (f α ), g = (g α )
α∈A6k • •
7−→ (f α g α | • 6k ) Uα
из леммы 2.7. • • • • • • Если σ(f , g) и σ(f 0 , g 0 ) когомологичны, то f и f 0 также когомологичны и удовлетворяют тем же соотношениям когомологии. Доказательство. Поскольку U 6k не имеет 0-коцепочек уровня k, то соотношение когомологии •
•
•
•
между σ(f , g) и σ(f 0 , g 0 ) имеет вид • •
• •
0 0 f α g α = ϕ−1 α f α g α ϕα+1 , где (ϕα ) имеет уровень < k •
• •
⇐⇒
•
−1 0 0 f α g α = (ϕ−1 α f α ϕα+1 )(ϕα+1 g α ϕα+1 ).
⇐⇒
•
•
0 k k В силу нормальности Λk (∆0 ) в Λ6k (∆0 ), произведение ϕ−1 α+1 g α ϕα+1 принадлежит Λ (U α ) при всех 6k α ∈ A . Далее, в силу единственности разложения по уровням < k и k (предложение 2.5) •
•
соотношение f α = ϕα f 0α ϕα+1 выполняется для всех α ∈ A6k . •
•
•
•
Теперь предположим, что имеется несколько уровней, возникающих в f = (f α ) и g = (g α ). Добавляя, если необходимо, тривиальные промежуточные сомножители, мы можем разложить как •
•
•
•
•
•
•
•
f , так и g следующим образом: f α = f kα1 . . . f kαr и g α = g kα1 . . . g kαr . Использую несколько раз подряд утверждение леммы 2.8 (или нормальность Λ>k1 в Λ<0 ), ви•
•
•
•
дим, что соотношение когомологии между f и g переносится на (f kα1 ) и (g kα1 ). Это завершает доказательство теоремы 2.3. 3.
АВТОМОРФИЗМЫ СТОКСА,
НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ АВТОМОРФИЗМАМИ
ГАЛУА
•
Коцикл Стокса (ϕα ) определяет автоморфизмы Стокса для ∆ как однозначные отображения Solα −→ Solα uα : Fα Y0, α˜ 7−→ Fα+ Y0, α˜ , •
такие, что ϕα = Fα−1 Fα+ . Говоря об автоморфизмах Стокса, будем иметь в виду лишь указанные автоморфизмы; в противном случае будем говорить об «обычных» автоморфизмах Стокса. Как уже отмечалось, подход Таннакиана, основанный на теореме Шевалье, позволяет доказать, что автоморфизмы Стокса являются автоморфизмами Галуа и что совместно с формальной монодромией и экспоненциальным тором они порождают локальную дифференциальную группу Галуа для ∆ (теорема Рамиса о плотности). Доказательство Таннакиана теоремы Рамиса о плотности содержится в [L-R94] (Теорема III.3.11); первоначальное доказательство Рамиса можно найти в [vdPS] (Теорема 8.10). Здесь мы бы хотели привести некоторые примеры обычных автоморфизмов Стокса, не являющихся автоморфизмами Галуа. Рассмотрим снова систему Эйлера " # 0 1 dY 1 1 Y = 1 − + dx x3 x2 x
114
М. ЛОДЕ—РИШО
и ее формальное фундаментальное решение fb(x) 1 Fb(x) = b0 1 f (x) − 2 x
" и
Q(1/x) =
0 0
0 1 x
# .
Ее анти-направления Стокса — это R− и R+ . Имеется единственный уровень k = 1, и покрытие n π n 3π πo 3π o < arg x < и U2 = − < arg x < Стокса U 1 имеет вид U 1 = {U1 , U2 }, где U1 = − 2 2 2 2 • • с 1-нервом U 1 = {Re < 0} и U 2 = {Re > 0}. Согласно разделу 1 ее коцикл Стокса задается следующим образом: • 1 0 −Q(1/x) −1 Q(1/x) ϕ e на Re x < 0, R− = Fπ − (x) Fπ + (x) = e 2πi 1 • ϕR+ = id на Re x > 0. Теперь для любого c ∈ C рассмотрим фундаментальные решения " # f 1 + cf e−1/x 1 0 . Yc = 0 1 f − 2 + cf 0 e−1/x 0 e1/x x " # −1/x b f 1 + cf e f 1 • На U 2 матрицы асимптотически приближаются к Fb = b0 1 1 . Таким f 0 − 2 + cf 0 e−1/x f − 2 x ( x Sol • −→ Sol • U2 U2 образом, отображения sc : являются обычными автоморфизмами Стокса. Y0 7−→ Yc Предложение 3.1. Отображение sc есть отображение Галуа тогда и только тогда, когда c = 0. Доказательство. Пусть u = f и v = e1/x . Функции u и v удовлетворяют дифференциальноалгебраическим соотношениям ( 2 0 x u + u ≡ x, x2 v 0 + v ≡ 0. Пусть E = Khu, vi есть расширение Пикара—Вессио (E есть дифференциальное поле, порожденное функциями u и v), и пусть Gal(E|) −→ GL(SolU• 2 ) ρ: u v σu σv σ 7−→ ρ(σ) : 7→ u0 v 0 σu0 σv 0 обозначает представление локальной дифференциальной группы Галуа Gal(E|K) в GL(Sol • ). Предположим, что sc есть отображение Галуа, т. е. sc = ρ(σc ) ∈ ρ(Gal(E|K)). Тогда ( σc (u) = u,
U2
σc (v) = cu + v. Рассмотрим соотношение x2 v 0 + v ≡ 0. Используя тот факт, что σc принадлежит группе Галуа, из данного соотношения получаем x2 σ(v)0 + σ(v) ≡ 0 ⇐⇒ x2 (cu + v)0 + (cu + v) ≡ 0 ⇐⇒ ⇐⇒ c (x2 u01 + u1 ) + (x2 v10 + v1 ) = 0 ⇐⇒ c = 0. | {z } | {z } =x
=0
КОЦИКЛ СТОКСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГАЛУА
115
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [BV89]
Babbitt D. G., Varadarajan V. S. Local moduli for meromorphic differential equations// Ast´erisque. — 1989. — С. 169–170 [BJL79] Balser W., Jurkat W. B., Lutz D. A. A general theory of invariants for meromorphic differential equations; Part II, Proper invariants// Funkc. Ekvacioj, Ser. Int. — 1979. — 22. — С. 257–283 [F57] Frenkel J. Cohomologie non ab´elienne et espaces fibr´es// Bull. Soc. Math. Fr. — 1957. — 85. — С. 135–220 [L-R90] Loday-Richaud M. Introduction a` la multisommabilit´e// Gaz. Math., Soc. Math. Fr. — 1990. — 44. — С. 41–63 [L-R91] Loday-Richaud M. Classification m´eromorphe locale des syt`emes diff´erentiels lin´eaires m´eromorphes: ph´enom`ene de Stokes et applications// Th`ese d ’Etat, Orsay, 1991 [L-R94] Loday-Richaud M. Stokes phenomenon, multisummability and differential Galois groups// Ann. Inst. Fourier. — 1994. — 44, № 3. — С. 849–906 [L-R95] Loday-Richaud M. Factorisation des solutions de syst`emes diff´erentiels lin´eaires// В книге: Fernandez J. M. (ред.) Coll. Medina 95: Ecuaciones diferenciales — Singularidades, Universidad de Valladolid, 1995. — C. 197–212 [M74] Malgrange B. Sur les points singuliers des e´ quations diff´erentielles// Enseign. Math., II. S´er. — 1974. — 20. — С. 147–176 [M79] Malgrange B. Remarques sur les e´ quations diff´erentielles a` points singuliers irr´eguliers// Lect. Notes Math. — 1979. — 712. — С. 77–86 [Mal] Malgrange B. Equations diff´erentielles a` coefficients polynomiaux// Prog. Math. — 1991 [MR92] Malgrange B., Ramis J.-P. Fonctions multisommables// Ann. Inst. Fourier. — 1992. — 42. — С. 353– 368 [MR91] Martinet J., Ramis J.-P. Elementary acceleration and multisummability// Ann. Inst. Henri Poincar´e, Phys. Th´eor. — 1991. — 54, № 4. — С. 331–401 [vdPS] van der Put M., Singer M. F. Galois theory of linear differential equations. — Springer: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [R85] Ramis J.-P. Ph´enom`ene de Stokes et resommation// Notes C. R. Acad. Sc. Paris, S´er. 1. — 1985. — 301, № 4. — С. 99–102 [RS89] Ramis J.-P., Sibuya Y. Hukuhara domains and fundamental existence and uniqueness theorems for asymptotic solutions of Gevrey type// Asymptotic Anal. — 1989. — 2. — С. 39–94 [Sib] Sibuya Y. Linear differential equations in the complex domain: problems of analytic continuation// Transl. Math. Monogr. — 1990. — 82 [Was] Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. — New York: Interscience, 1965; Reprint R. E. Krieger Publishing Co, Inc., 1976
Mich`ele Loday–Richaud Universit´e d’Angers, U.F.R. des Sciences, 2 boulevard Lavoisier, 49 045 ANGERS cedex 01, France E-mail: [email protected]
