Непосредственные расширения прюферовых колец

Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 262—289

УДК 510.53:512.52

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ

РАСШИРЕНИЯ

П Р Ю Ф Е Р О В Ы Х КОЛЕЦ*)

Ю. Л. Е Р Ш О В

В настоящей работе изучаются вопросы, естественно возникающие при "геометрическом" взгляде на прюферовы кольца, развитом в [1]. Пред­ полагается знакомство читателя с главой 2 этой книги. Благодаря получен­ ным результатам стало возможным построение кольца главных идеалов, имеющего бесконечно много простых и такого, что его поле частных не является гильбертовым. Это дает отрицательный ответ на вопрос Ленга, сформулированный им в [2, 3] и повторенный в [4].

§ 1, Непосредственные расширения и подъемы Пусть R — прюферово кольцо с полем частных F ; через W(R) обозна­ чим семейство { Д т | т — максимальный идеал в R} колец нормирования поля F. Если W — семейство колец нормирования поля F , то через R(W) обозначим кольцо голоморфности C\{R \ R £ W} семейства W. Для прюферова кольца R выполняется равенство R(W(R))

— R. Се­

мейство W колец нормирования поля F является аффинным, если кольцо голоморфности R(W) семейства W прюферово и W = W(R(W)).

Основ­

ные результаты, касающиеся прюферовых колец и аффинных семейств, изложены в [1, глава 2]. *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00600, а также Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект N 00-15-96184. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

Непосредственные расширения прюферовых колец

263

Расширение R < До прюферовых колец называется геометрическим, если для любого максимального идеала то кольца Ro простой идеал т о П R кольца R является максимальным. Если R < RQ ~ геометрическое расши­ рение прюферовых колец, то отображение к : (i?o)mo ^ #mon/lj m o ~~ мак­ симальный идеал в Ro, является (непрерывным в топологии Зарисского) отображением из W(RQ) в W(R) и называется отображением ограниче­ ния. Геометрическое расширение R < Ro прюферовых колец (с полями частных F < FQ) называется непосредственным, если 1) отображение ограничения 7г : W(Ro) -» W(R) является гомеомор­ физмом (пространств) W(JRO) и W(R)\ 2) для любого максимального идеала т о кольца Ro расширение нор­ мированных полей (F, Дщопя) < (Foi (Ro)mo) является непосредственным. Заметим, что если R < RQ — непосредственное расширение, то R — = Ro П F. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1. Пусть R < Ro — непосредственное расши­ рение прюферовых колец и W(R) независимо. Тогда и W(Ro)

независимо.

Будем доказывать более общее утверждение: Пусть R < Ro — геометрическое расширение прюферовых колец такое, что отображение ограничения 7г : W{Ro) —> W(R) f

и, для любого R 0 £ W(RQ),

разнозначно

^R'nF ~~ конфинальное подмножество TRt

(т. е. не существует собственной выпуклой подгруппы А < Г#/ такой, что Г*Я' nF < Д)- Тогда независимость W(R) влечет независимость W{Ro). Действительно, пусть R'Q ф Щ € W(R0); R' т± R'0n F , R" ^ Щ П OF. Поскольку R'Q ф RQ, TO R9 ф R" и, следовательно, R'R" = F. Если Rx ;=± RQR'O Ф FO, TO имеется разложение R'Q = R0oRx;

этому разложению

соответствует собственная выпуклая подгруппа Д < Гя* [1, §1.1] такая, что Jf?i = RQA = {а | а € Fo, v^(a)

> О, или vR>Q(a) £ А}. По условию,

Г fit конфинальна TR>, поэтому существует у Е Г#/ \ А; выберем его от­ рицательным. Если для a G F выполняется vRi(a) = 7 < 0, то vR/ (a) = = *>Я'(а) = 7 ^ Д?

и

7 < 0 влечет, что а & R\\ с другой стороны, J?i =

= RQRQ > R'R" = F влечет, что а е Ri = Д^ д . Получили противоречие. •

264

Ю. Л. Ершов Ниже предполагается знакомство читателя с понятиями булева и по­

чти булева семейства колец нормирования, а также соответствующими им понятиями JB-кольца и iVB-кольца. ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2. Непосредственное расширение

B-(NB-)

кольца является В-(N В-) кольцом. Пусть W — булево семейство колец нормирования поля F , WQ — аф­ финное семейство колец нормирования расширения FQ ПОЛЯ F такое, что отображение ограничения 7Г : RQ К+ R0 п F , R0 E Wo, является гомеомор­ физмом WQ и W, a (F, RoOF) < (Fo, Ro) ~ непосредственным расширением для любого До £ Wo. Достаточно установить замкнутость множеств вида Vj^° для любого #0 € FQ \ {0}. Действительно, если замкнутость установлена, то 7r(V^°) является открыто-замкнутым подсемейством W и, следовательно, имеет вид Vf для подходящего а 6 F \ {0} (и тогда V^0 = Vf°).

Поскольку

W булево, то существует а* € F \ {0}, при котором W \ Vf — V^, тогда W0 \ V$ = Wo \ Vf° = Vj? и, по предложению 2.4.1 [1], W0 булево. Покажем, что Wo \ Vj^° открыто. Пусть До € WQ \ V**\ тогда VR0{a0) < 0. Поскольку Г/^ = Г л , где R^± R0nF0

« F , R) < (F0,R0)

-

непосредственное расширение!), то найдется элемент а Е F такой, что ЗДо(ао) = vRo(a) - vR(a). Пусть а* е F такой, что W\Vf

- V£. Рас­

смотрим открытое множество V ^ V^0 _х П VF°_! П V^ 0 . Из определения множества V видно, что Rf0 из Wo принадлежит V тогда и только тогда, когда vRi (a 0 ) = vR> (a) = vRinF(a)

< 0. Следовательно, R0 EV С WQ\VJ£

,

и открытость Wo \ "К£° установлена. Итак, Wo булево и R(Wo) — это JB-КОЛЬЦО.

ЗАМЕЧАНИЕ. При доказательстве булевости семейства Wo не ис­ пользовалось, что Wo аффинно; учитывалось лишь то, что п —- гомеомор­ физм (отсюда следует компактность и отделимость Wo) и ГяоПр = Гяо для любого R0 E WoОбратимся к случаю NJB-колец (почти булевых семейств). Пусть W — почти булево семейство колец нормирования поля F , Wo — аффинное семейство колец нормирования расширения FQ ПОЛЯ F такое, что отобра-

Непосредственные расширения прюферовых колец

265

жение ограничения тг : До >-» До П F , До Е Wo, является гомеоморфизмом 14^0 и W, a (F, R П F) < (FQ, RO) ~ непосредственным расширением для любого Ro Е Wo. Для доказательства почти булевости семейства WQ требуется уста­ новить, что для любого непустого открытого V С Wo семейство Wo \ V булево. Множество n(V) открыто и не пусто; тогда W \ тг(У) булево и тг"1 (W\TT(V))

= Wo\ V гомеоморфно W\ir(V).

В силу замечания W 0 \ V

булево. Предложение доказано. • Естественно встает вопрос о том, можно ли в доказательстве почти булевости Wo отказаться от условия аффинности Wo (как в случае булевых семейств)? Следующее предложение показывает, что ответ положителен в случае, когда W независимо. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3. Пусть W — независимое почти булево се­ мейство колец нормирования поля F, Fo — расширение F, WQ — семей­ ство колец нормирования поля Fo такое, что выполняются

следующие

условия: 1) для любого Ro Е WQ кольцо R ^± Ro П F принадлежит W и Г я = Г#о; 2) отображение ограничения я*: До *-> -Ro Л F, Ro Е WQ, является гомеоморфизмом Wo и W. Тогда Wo аффинно (и, следовательно, почти булево). Установим справедливость следующего утверждения: Л Е М М А 1. Для любых а0 Е F0 \ {0} и с Е R(W) \ {0} найдется элемент а Е F\ {0} такой, что и ч=± аа^1 Е R(Wo) и и £ U(R(W*r°)) (где W^^W0\V^). Множество 7г (V Д J открыто; следовательно, существует элемент 6 Е Е R(W) \ {0} такой, что 7г (vjl 0 ,) Э V £ . Элемент Ь можно выбрать так, что V^LX Э V^j (если V£LX 2 V£LX, то вместо Ь можно взять элемент Ь' = be). Из условия 1) вытекает, что для любого До Е Wo найдется элемент a

Ro E F \ {0} такой, что vRQ{a0) = F

F

v^a^).

Полагаем VS ?± V ° _, П V ° _x; Vg открыто и Д 0 Е V2 ; множе-

266

Ю. Л. Ершов

ство VRQ ;=Ь ^ ( V ^ ) также открыто и R ^ Д 0 П F Е V)^. Семейство Уд0, До € Wo \ V^Ji, покрывает булево пространство W \ V^LX; следовательно, существуют Д 0 , . . . , Rn Е WoXV^i такие, что W\V^X

С |J VR { . Используя

булевость W \ V£_x, найдем его открыто-замкнутое разбиение VoU . . . UVn, для которого Vi С Vnn i ^ п. Тогда Vb,... , V„, V£_x — компактное разбие­ ние почти булева семейства W. Выберем е Е R(W)D J(R(W^))\{0} что для любых г ^ п и R Е К выполняется v^a^)

таким,

> г>д(£). Используя

свойство блочной аппроксимации (см. §2.6 в [1]), найдем элемент а Е F такой, что для любых г ^. п и R E Vi имеют место vR(a — а#.) > г?д(£г) и "я (а) > г>д(е) для R E V ^ . Проверим, что ^ ( а ) = г;я0(а0) для любого R0 £ Wb° = Wo \ ^-°iДействительно, пусть для г ^ п выполняется R ^± Ro П F E Vt; С VR(. Тогда R0 Е Vg. = 7Г"1(У«,.)» *;Яо(ао) = ияЛад,-); с другой стороны, ид (а - O,R.) > vR(s) > !7д(аЛ|.) влечет, что vR(a) = ид (ад.) = ^Ло( а я,) = ^д 0 (а 0 ). Далее, если Д 0 Е К ^ С VF2X, то ид 0 (а 0 ) = 0 < идДе) < ид 0 (а). Итак, а

и

а

и

а

Яо( о) < Яо( ) Д

ля

о

всех Ro Е PVb, отсюда и ;=± aeiQ1 E Д(И/о)- Поскольку

^Яо(^о) = идо(а), «До 00 = 0 для всех Д 0 Е W F ° С РГ0 \ VbF°n то u E Е (7(fl(W c Fo )). Лемма доказана. D Установим теперь, что Wo слабо аффинно. Пусть До Е Wo и R ;=± ^ iZoHF. Пусть с Е Д(И0\{0} такой, что Д Е W F (тогда Д 0 Е Wf°). Пусть а 0 G Ло \ {0}; по лемме 1 существует элемент а Е F0\ {0}, для которого и ^=± аои"1 Е Д(И^о) и w Е С/(Д(И/(Г0)), тогда u, w~ 1 Е Д(И^°) < Д 0 . Так как 0 = VRoiu) = «/^(aao 1 ) = «ЯоИ - ^ ( a 0 ) , то идо(а) = «дЛ^о) > 0, а тогда a G Д = Д 0 П F и а 0 = агг"1 Е Д(И / 0 ) т (я 0 )пЯ(^ 0 )- Отсюда Д 0 = = i2(Wb)m(flo)nfl(Wb)

и

Wo слабо аффинно.

Поскольку Wo компактно (Wo гомеоморфно компактному W), то по замечанию 2.3.1 [1] для доказательства аффинности Wo достаточно уста­ новить, что при любых с 0 , . . . , сп Е R(WQ)\{0},

ДЛЯ

которых W0 = (J V Fo i,

идеал ( с о , . . . . Cn)fl(w0)> порожденный элементами Со,... , сп в R(Wo), яв­ ляется несобственным. Пусть / ^=± Д(ТУ) П ( с 0 , . . . , с„)я(ж0)- Если идеал I несобственный, то и идеал ( с 0 , . . . , сп)щщ) несобственный, что и требова­ лось. Предположим, что / собственный, и пусть m E mSpecR(W)

такой,

Непосредственные расширения прюферовых колец

267

что I < т . Полагаем R ^ R(W)m и пусть R0 Е Wo такое, что Ro П F = R. Пусть с Е m \ {0}; тогда R Е WCF (и i? 0 Е WCF°). Используя лемму 1, найдем элементы а о , . . . , а п € F \ {0} такие, что м, ^

««с^1 Е i^JVo),

гл,- Е 1^(Д(И^ 0 )); щ,и~1 Е i2(WcFo) < Д 0 , % ^ п. Заметим, что а; = гад E / , i ^ п. Если Wo = U V^\, то существует i ^ п, для которого i? 0 G V J i ; тогда из Ci £ Ro\ т ( Д 0 ) и щ}и^г

€ До следует, что at = и,-с,- € До \ тп(До)-

С другой стороны, CiU{ = a; E / < m < m(i?o)« Полученное противоречие завершает доказательство предложения. • В силу этого предложения для случая булева семейства W из лем­ мы 1 вытекает, что вложение Y\v < ^w0 является равенством. Здесь Tw (Туу0) — решеточно упорядоченная группа, определенная в §3 [5] (в §4.5 [1]). Если еще (F, R) < (F0,.Ro) ~ непосредственное расширение для лю­ бого До € Wo и R ;=± Ro П F , то нетрудно установить, что и вложение Щ

И R(W)/J{R(W)))

<Щ )

И «(Wb)/J(iZ(Wb)))

также является равенством. Применяя теорему 1 из §3 [5], получим СЛЕДСТВИЕ

2. Fc/ш локальные элементарные

свойства W

непрерывны, то и локальные элементарные свойства семейства Wo непрерывны. ЗАМЕЧАНИЕ. Для случая почти булевых семейств вышеприведен­ ное рассуждение показывает сохранение свойства почти непрерывноости локальных элементарных свойств (см. §4.6 [1]). В следующем разделе будет указан еще ряд свойств колец, кото­ рые сохраняются при непосредственных расширениях. Рассмотрим теперь один специальный вид непосредственных расширений, который важен при изучении следующего свойства максимальности (свойства (М)): прюферово кольцо R [кратно нормированное поле (F, R), F — по­ ле частных R) удовлетворяет свойству (М), если не существует соб­ ственного сепарабельного алгебраического расширения Fo поля F такого, что для любого Rf E W(R) имеется F'-вложение поля Fo в гензелизацию HRI(F)

поля F относительно кольца нормирования Rf,

268

Ю. Л. Ершов Непосредственное расширение Д < До прюферовых колец (с полями

частных F < FQ) назовем подъемом, если Fo — сепарабельное алгебраиче­ ское расширение F , а гензелизации #(До) И H(R'Q П F) колец RfQ и Rf0 П F совпадают (при естественном вложении H(R'Q П F) < H(RIQ)) ДЛЯ любого Rf0 6 W(R0).

Запись R <\ Д 0 {(F,R) <\ (F 0 , До)) будет обозначать, что

До является подъемом Д. Отношение <\ транзитивно и индуктивно. Сле­ довательно, по лемме Цорна для любого прюферова кольца R существует прюферово кольцо i?o такое, что R <\ Ro и До н ^ имеет собственных подъ­ емов. Интересным является случай, когда такое RQ удовлетворяет свойству (М). Подъем RQ кольца R назовем М-подъемом, если До удовлетворяет свойству (М). ЗАМЕЧАНИЕ. М-подъем До кольца Д является глобальным анало­ гом (к сожалению, с потерей единственности) гензелизации, которая яв­ ляется М-подъемом Д, когда Д — кольцо нормирования. Предложение 4.4.3 [1] дает достаточное условие (плотность F в Mft*(F) для любого Д'

E W(R))

существования М-подъема для

В-кольца Д. Это же условие является достаточным для существования М-подъемов у счетных ДГВ-колец (другое достаточное условие будет ука­ зано в следующем разделе). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 4. Пусть R — счетное NB-колъцо такое} что его радикал Дсисекобсона J(Д) тривиален, и поле частных F плотно в гензелевых нормированных полях H#/(F) для любого Д' Е И^(Д). Тогда R имеет

М-подъем.

Достаточно установить, что если Д не имеет собственных подъемов, то Д удовлетворяет условию (М). Предположим, что существует собствен­ ное конечное сепарабельное расширение Fo поля F такое, что для любого Д' £ W ^ W(R) поле F 0 будет F-вкладываться в Пусть Wo ^

HR>(F).

{Ro I Ro — кольцо нормирования поля Fo такое, что

До П F € W}. По следствию 2.5.3 [1] WQ является почти булевым семей­ ством колец нормирования поля Fo. Заметим, что для ао £ R(Wo) \ {0} имеет место включение V Д D VN°, ,х

(где N(ao) 6 Д ;=± Д(И^) — норма

элемента для расширения Fo/F), так как N(ao)aQl e

R(WQ).

Непосредственные расширения прюферовых колец

269

Используя это замечание и счетность поля FQ, находим последова­ тельность V0DVXD

...DVnD

... ,

песо

(непустых) базисных открытых подмножеств Wo такую, что Vn = V Д для подходящего ап £ R\ {0} (и тогда VF2i = л*-1 [VF^ ), где 7Г : W0 -> W — отображение ограничения), и для любого непустого V С Wo найдется к £ 6 о; такое, что Vk С У. Из последнего сразу следует, что f] Vn = 0 . Полагаем W° ^ W 0 \ Vb, • • • , W' n+1 ^ V„\ V n + b . .. и Wn ^ 7r(W n ), n

n

Тогда W™, W ~ булевы семейства и W n

Для каждого из булевых семейств W

n£u.

= T r ^ W " ) , n 6 u?.

выполняются условия пред­

ложения 4.4.3 [1], и доказательство этого предложения позволяет найти открыто-замкнутое подсемейство Wfn С Wn такое, что п \ W„ — гомео­ морфизм W'n и Wn, а для любого R! G W'n верно H(R' П F) = Полагаем W' ^

H(R').

IJ W^, W С Wo, и W' является, по предложе-

нию 2.5.2 [1], компактным подсемейством Wo, а следовательно, по пред­ ложению 2.5.1 [1], почти булевым. Установим, что ж \ Wf является го­ меоморфизмом W' и W. Достаточно показать открытость 7г, так как 7Г непрерывно и 7г f W9 является взаимнооднозначным отображением W1 на W. Пусть V ф 0 — открытое подсемейство семейства Wo; тогда для неко­ торого к е и имеем Vk С V и 7г(У П W ) Э 7r(V)k П W7) = 7r(Vjb); последнее множество тг (Vfc) = ж ( V^?, ) = VF.i - базисное открытое. Множество У П W П (Wo \ 14) является открытым подсемейством булева семейства Wo \ Т4, и тогда, по теореме 2.2.1 [1], n(V П Wf П (Wo \ Vjk)) — открытозамкнутое подсемейство булева семейства W \ 7r(V*). Имеем n(V П W ) = = ic(VnW'n(Wo\Vk))Uir{VT\W'nVk)

и, следовательно, ir(VnW')

откры­

то. Из доказанного и построения следует, что R(W') является собственным подъемом R = J?(W), а это приводит к противоречию. Предложение дока­ зано. • ЗАМЕЧАНИЕ. Предложение 4 является правильным уточнением за­ мечания 4.4.3 [1].

270

Ю. Л. Ершов § 2. Обобщенно дедекиндовы кольца В [6] установлена следующая характеризация дедекиндовых колец

(теорема 3.16). Кольцо R является дедекиндовым тогда и только тогда, когда вы­ полняются следующие два условия: 1) для любого максимального идеала m кольца R кольцо частных Rm является кольцом дискретного нормирования; 2) любой элемент поля частных кольца R содержится почти во всех кольцах из

W(R).

Эта характеризация подсказывает введение следующего определе­ ния: прюферово кольцо R назовем обобщенно дедекиндовым, если любое непустое открытое множество U семейства W(R) коконечно (т.е.

W(R)\U

конечно) и для любого R' E W(R) группа нормирования Г#/ является ар­ химедовой. С Л Е Д С Т В И Е . Если R обобщенно дедекиндово, то любой ненуле­ вой простой идеал р кольца R является

максимальным.

Действительно, если р < m, m — максимальный идеал Д, то F ф Ф Rp > Д т , и это противоречит следствию 1.1.6 [1]. • ЗАМЕЧАНИЕ. Всякое обобщенно дедекиндово кольцо является, оче­ видно, iVS-кольцом, а всякое дедекиндово кольцо является обобщенно де­ декиндовым. Топология на семействе W(R) обобщенно дедекиндова кольца за­ служивает внимания. Топологическое пространство назовем

^-простран­

ством, если его открытыми непустыми множествами являются в точности все (непустые) коконечные множества; Ti-пространства — это простран­ ства с наименьшей Т\-топологией. Справедливы следующие простые (но весьма полезные) свойства: 1) всякое т\ -пространство компактно; 2) всякое подпространство Т\-пространства является

^-простран­

ством, в частности, любое подмножество Т\ -пространства компактно; 3) отображение f : X -~* Y Т\-пространства X в Т\-пространство

Непосредственные расширения прюферовых колец

271

Y является непрерывным тогда и только тогда, когда f~l{rj)

конечно

для любого 7] 6 Y] 4) любое отображение Ту-пространства на г\-пространство

явля­

ется открытым. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 5. Пусть R — обобщенно дедекиндово кольцо и F — его поле частных. Тогда 1) cyvjficmeyem соответствие Галуа между всеми подсемействами семейства W(R)

и всеми промежуточными

кольцами RQ (Д < RQ <

< F); в частности, любое промежуточные кольцо RQ является обобщен­ но дедекиндовым; 2) если FQ — конечное расширение F и RQ — целое замыкание R в FQ, то RQ обобщенно дедекиндово. 1) Из следствия после определения понятия обобщенно дедекиндова кольца следует, что любое промежуточное кольцо До (Д < До < F) явля­ ется геометрическим расширением кольца Д, так как т о П R — ненулевой простой идеал в R для любого максимального идеала то в RQ. Теперь утверждение 1 следует из этого замечания, свойства 2 Т\-пространств и предложения 2.3.7 (или предложения 2.5.1) [1]. 2) Так как До ~ целое замыкание Д, то W(RQ) — {R$ \ RQ — кольцо нормирования поля FQ такое, что Rf0 П F «о Е Ro \ {0} и N(a0)

E W(R)}.

Пусть

(e R \ {0}) — норма элемента а0 в расшире­

нии FQ/F; тогда iV^aoJa^1 6 До? следовательно VF2X Э V5\ как Д обобщенно дедекиндово, то W \ Vfya ,x x

шения ^ {w{R)\vS[ao).l)

Так

D W(R0)\V^

вле-

где 7г : И^(Д0) -> W(R) — отображение

ограничения (тг : Rf0 ь-> Rf0 П F , R'Q £ W(RQ))1

a nmml(Rt) содержит не

более [Fo : F] элементов для любого R1 £ W(R). пространство. Если R'0 £ W(RQ),

.

конечно, и тогда соотно-

= W(R0) \ V*^

кут конечность

w

TO вложение

Итак, W(RQ) — т\-

(F, Rf0nF) < (Fo, До) влечет,

что [Гд^ : Гд£П/г] < [F0 : F]. Так как Rf0DF £ И^(Д), то r # / n F архимедова, следовательно, и Г#/ архимедова. Предложение доказано. • П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 6. Пусть R < RQ — непосредственное расши­ рение прюферовых колец, тогда

272

Ю. Л. Ершов 1) если R обобщенно дедекиндово, то и До обобщенно дедекиндово; 2) если R дедекиндово, то и До дедекиндово; 3) если R — кольцо главных идеалов, то и RQ — кольцо главных

идеалов. 1) Поскольку W(RQ) гомеоморфно W(R), то W(RQ) является ^-про­ странством, а До — Л^Б-кольцом. Остается заметить, что непосредствен­ ность расширения (F, RfQC\ F) < (Fo, Д^) для Rf0 E И^(До) влечет архиме­ довость группы Гд/ = Гд/ П ^, что и устанавливает обобщенную дедекин­ довость До2) По 1), До обобщенно дедекиндово, и все Д^ € W(RQ) являются кольцами дискретного нормирования (так как (Fo, R'Q) — непосредственное расширение (F, Д^ П F), а R'0 П F £ W(R) — кольцо дискретного норми­ рования). По характеризации дедекиндовых колец, приведенной в начале раздела, До дедекиндово. 3) По 2), До дедекиндово. Для доказательства того, что Д 0 — коль­ цо главных идеалов, достаточно установить, что всякий ненулевой про­ стой (т.е. максимальный) идеал то кольца До является главным. Пусть пг ^=± пго П Д; m — максимальный идеал в Д; следовательно, ттг = (а)# для подходящего а £ R\ {0}. Рассмотрим разложение (а)я0 = т£° • . . . • т£* главного идеала (а)яо кольца Д 0 , где m i , . . . , т ^ — попарно различные максимальные идеалы, отличные от то- Так как а Е mi П Д и mi П R — максимальный идеал в Д, отличный от т , то включение m = (a)R < Ш\ П Д приводит к противоречию. Следовательно, к = 0. Предположение п0 > 1 противоречит неразветвленности расширения (F, Д ш ) < (Fo^omo)- Итак, ( а )я 0 ~ т о и До ~ кольцо главных идеалов. Предложение доказано. D П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 7. Всякое обобщенно дедекиндово кольцо имеет М-подъем. Достаточно установить, что если Д обобщенно дедекиндово и не име­ ет собственных подъемов, то Д удовлетворяет свойству (М). Пусть суще­ ствует собственное конечное сепарабельное расширение Fo поля частных F кольца Д такое, что для любого Д' € W(R) поле Fo будет F-вкладываться в поле

HRI(F).

Непосредственные расширения прюферовых колец

273

Пусть R0 — целое замыкание R в Fo, тогда, по предложению 5, До обобщенно дедекиндово. В силу условия на Fo, сформулированного выше, для любого Rf £ W{R) найдется Rf0 G W{R0) такое, что Д' < R'0 < # ( Д ' ) . Семейство WQ, состоящее из таких Rf0 (по одному для каждого Rf G И^Д)), является ^-пространством, а следовательно, компактным подсемейством Тогда WQ аффинно по предложению 2.3.7 [1]. Включения До =

W(RQ).

= Д(ЩДо)) < R{WQ) < F, по предложению 5, влекут, что R(WQ) обоб­ щенно дедекиндово, и тогда по выбору WQ, R(WQ) — (собственный) подъ­ ем Д. Полученное противоречие доказывает предложение. • Применим предложения 6 и 7 для решения одной проблемы Ленга, сформулированной в [2—4]. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 8. Существует кольцо главных идеалов, име­ ющее бесконечно много простых идеалов, поле частных которого не яв­ ляется

гильбертовым.

Пусть Е — поле вещественных чисел, 5 ^ {/ | / Е Щх] — унитар­ ный многочлен, не имеющий корней в R}; 5 является мультипликативным семейством в кольце многочленов Щх]. Полагаем Д ^± 5""1R[x]; кольцо Д является кольцом главных идеалов, а W(R) состоит из всех колец норми­ рования Д' поля Щх) таких, что Д' > Щх] и F#/ = R. В частности, Д имеет бесконечно много простых идеалов. Пусть До — М-подъем Д. Тогда До — кольцо главных идеалов, име­ ющее бесконечно много простых. Установим теперь, что поле частных Fo кольца До не является гильбертовым. Это будет следовать из такого свой­ ства поля Fo: любой элемент вида 1 + t2, t £ Fo, имеет в FQ квадратный корень. Это свойство легко вытекает из того, что До удовлетворяет свойству (М), и из следующей леммы. Л Е М М А 2. Пусть Д' — гензелево кольцо нормирования поля F' такое, что FR/ вещественно замкнуто. Тогда в поле F ' любой элемент вида 1 + t 2 , t £ F1', имеет квадратный корень. Рассмотрим два случая: С л у ч а й 1: VRt(t) > 0; тогда, если i — образ элемента t в FR/, TO

274

Ю. Л. Ершов

образом элемента 1 + t 2 в F#/ будет 1 + * 2 ;1 + * 2 > 0 и имеет квадратный корень в FR>. Тогда по лемме Гензеля и элемент 1 + t2 имеет квадратный корень в F ' . С л у ч а й 2: vRt[t) < 0; 1 + t2 = t 2 (l + *" 2 ), VR^t'1)

= -vR<(t) > 0

и согласно случаю 1 элемент 1 +1~~2 имеет квадратный корень ( в F ' ; но тогда (££)2 = t2(l + t~2) = 1 + t2 и 1 + 1 2 имеет квадратный корень в F ' . Лемма доказана. • Теперь предположим, что Fo гильбертово. Тогда по предложе­ нию 14.1 [4] должны существовать элементарное расширение F\ поля Fo и элемент t G Fi \ FQ такие, что поле Fo(t) алгебраически замкнуто в F\. Так как F\ — элементарное расширение FQ, TO поле F\ должно содержать корень квадратный из 1 + t2, что приводит к противоречию. Итак, Fo не будет гильбертовым. Предложение доказано. П ЗАМЕЧАНИЕ. После сдачи этой работы в печать автору стало из­ вестно от профессора М. Ярдена, что предложение 8 установлено и в [7, теор. 1].

§ 3. е-замкнутые кольца Предложения 1, 2 и 6 показывают, что ряд свойств прюферовых ко­ лец сохраняется при непосредственных расширениях, а предложения 4 и 7 показывают, что среди непосредственных расширений можно найти кольца с дополнительными свойствами. В этом параграфе установим ряд дополнительных свойств у е-замкнутых колец, а также покажем, что у любого (счетного) прюферова кольца существует е-замкнутое (счетное) непосредственное расширение. Прюферово кольцо R назовем е-замкнутым, если для любого непо­ средственного расширения RQ > R кольцо R е-замкнуто в RQ (R
Непосредственные расширения прюферовых колец

275

Одним из основных результатов этого раздела является Т Е О Р Е М А 1. Пусть R — счетное е-замкнутое N В-кольцо и се­ мейство W(R) независимо, тогда 1) R является кольцом Безу, 2) для любого Rf G W{R) поле F плотно в H#/(F). Сначала установим одно техническое предложение. Пусть V — независимое почти булево семейство колец нормирования счетного поля F , V - V0 D Vi I) . . . Э Vk D ... , k e w,

-

последовательность базисных открытых подсемейств семейства V такая, что р | Vk = 0 . Полагаем Wk ^ Vk\ V^+i, А; £ и; предположим, что для любого к £ и задан набор ск = с*, . . . , c^_x гс-ок элементов из -K(W)t) и % G J(i?(Wfc)) \ \{0}. Пусть рсь • •. ,9вт-- — перечисление всех ненулевых многочленов из R(V)[x0,...

,a?„-i].

Предположим, что для любого s G и; найдется ks € и> такое, что для любых к ^ ks и R G И4 образ #5(с*) элемента gs(ck) в F# отличен от нуля. Тогда справедливо следующее П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 9. Существует почти булево семейство W0 колец нормирования

поля FQ — F(^o)...

, £„_i), являющегося

трансцендентным расширением поля F, такое; что R(W°)

чисто

— непосред­

ственное расширение R(V) и для любых k G и, i < n, R G Wk выполня­ ется vRo{ii — ск) > УЦ(Щ), где RQ — [единственное) кольцо нормирования поля FQ из W0, для которого R = R° C\F. Для упрощения обозначений зафиксируем к G и и обозначим W т=± ^ Wk, с т=± ск, г) ?=± щ. Используя бесконечность кольца J?(W), нетрудно найти последовательности ст n-ок элементов из R(W) и последователь­ ность элементов So, £ i , . . • G R(W)\{0} условия: 1) с0 ^± с, е0 ^ г/2;

так, чтобы выполнялись следующие

276

Ю. Л. Ершов т + 1)
gm{cm+')

ф

Ф о, ет+1 ^ t i • Д (
- c™+1) > ед(ете+1) > зд(сГ+1 -
Зд(л(св+1)) Из этих

=

ед(л(?п))-

соотношений легко следует, что

последовательности

с^, с],. .. , е™,... являются ^-последовательностями трансцендентного ти­ па в (F, Я) для любого R Е W. Более того, если i + 1 < п и Д,- - кольцо нормирования поля F ( £ 0 , . . . ,&) такое, что (F:R) < (F(fo> • • • , ^ . Д , ) ~~ непосредственное расширение и £j является пределом ^-последователь­ ности с ° , с ] , . . . для j ^ г, то c ? + 1 , c j + 1 , . . . будет ^-последовательностью трансцендентного типа и в (F(£o> • • • , £»),Д*). Тогда для любого Д Е W существует единственное кольцо нормирования R° поля F 0 — F(£) = = F(£o> • • • ^ n - i ) такое, что (F, R) < (FO,RQ)

" непосредственное рас­

ширение и £,• является пределом ^-последовательности с?, с*,..., г < п. Пусть семейство W состоит в точности из всех колец нормирования Д° поля Fo, полученных по R Е W указанным выше способом. Л Е М М А 3. W* — булево семейство колец нормирования поля FQ, a R{W') — непосредственное расширение

R(W).

Пусть а0 Е Fo \ {0} и s 0 ,si Е а; такие, что а0 = ДвоСОлЛО""1; пусть m > so,$i. Тогда для любого Д° Е W выполняется г;#о(ао) — = VR°9BQ(0

~ vRo9Sl(0

= VRgsoic™) - vRgSl(cm)

= v«(flfeo(cTO)^1 (с™)"1),

где Д ^ Д 0 П F E W. Отсюда следует, что V*° = ^(em) f l M (gm)-n и зна­ чит, отображение ограничения 7Г : Д° н+ Д° П F , Д° Е W , является гомео­ морфизмом W и W. Тогда, по предложению 3, W булево. Очевидно, что R(Wl) — непосредственное расширение R(W). Лемма доказана. • Возвращаемся к доказательству предложения. Для любого k E и> построим, как выше, булево семейство Wf* колец нормирования поля F 0 = F(£) такое, что R{W%) — непосредственное расширение R(Wk) и

Непосредственные расширения прюферовых колец

277

для любого Д° Е W% верно г>#о(& - с1-) > г;#оп/?(%), i < п. Полагаем W0 ^

|J W%\ отображение ограничения тг : R° и- R0 П F ,

Д° 6 W 0 , является взаимнооднозначным отображением W0 на V и (F, Д°П flF) < (FQ, Д°) — непосредственное расширение для любого R° Е W 0 . Используя предложение 3, устанавливаем, что для любого k Е и; се­ мейство W* ^± |J W? является булевым и Д(И^) является непосредственt
ным расширением кольца R(V \ Vk+i). Покажем, что W0 почти булево. Для этого в соответствии с пред­ ложением 3 достаточно установить, что (непрерывное) отображение тг бу­ дет гомеоморфизмом W0 и W. Для этого покажем, что тг открыто. Пусть а 0 G F 0 \ {0}; s0, si Е и таковы, что а0 = gSQ{€)g8l (О" 1 . Используя предпо­ ложение, сформулированное перед предложением, можно найти А* Е о; та­ кое, что для любых к ^ к* и Л Е W^ справедливо г;я#*0 (с*) = г;д^ 1 (ск) = 0. Тогда для любых А ^ А+ и Д° Е W£ имеем vRog8o(£) = 4R°nF0*o (cfc) = 0, V

R°9SI(0

Е И^А?,) ^

= ^ROnFffeiC^5) = 0 и t>#o(ao) = 0. Итак, для любого Д° Е (J W% получаем vRo(a0) = 0; следовательно, V _! Э W(fc*) и

тг ( Vа M Э TT(W(K)) V

о /

= K fc , + i. Далее, ^а

о

= ЩА*) U ( Vа ^ П WhA. V о

/

По от-

меченному выше тг (V Д П Wfc* J является открыто-замкнутым подмноже­ ством семейства V \ Vk + 1 ; тогда тг ( ^ 0

= тг (v^{

П И'**) U n(W(k+)) =

= тг (V Л П Wfc* ) U Vj^+i открыто и тг — гомеоморфизм. Итак, W0 почти булево и fJ(W°) -~ непосредственное расширение R(V). Тот факт, что для любого к Е OJ и любого Д° Е W 0 такого, что Д ^± R° n F E Wfc, имеет место идо(& - cf) > зд(%), i < гс, следует из построений. Предложение доказано. • Обратимся теперь к доказательству теоремы 1. Установим п. 1. Пусть а,Ь £ Д \ { 0 } . Ниже будет построено семейство W0 колец нормирования по­ ля FQ ^=± F(£o?£i)> являющегося чисто трансцендентным расширением по­ ля F , такое, что R(W°) — непосредственное расширение R] £o?£i G R(W°), и в кольце R(W°) идеал (а, Ь)щуу°)> порожденный элементами а и &, поро­ ждается элементом а£0 + Ь£ь Истинность в R(W°) формулы 3uvwoWx(a = = (aw + bw)wo Л 6 = (aw -f b ^ w i ) влечет ее истинность и в й (так как R

Ю. Л. Ершов

278

является е~замкнутым). Отсюда R — кольцо Везу. Зафиксируем некото­ рый пересчет до ^=± xoXi(axQ + bx\), gi,...

всех ненулевых многочленов из

R[x0,xi]. Поскольку R бесконечно, то для любого п G и можно найти элементы +2

CQ , С"4"2

G R такие, что

Полагаем V2 ^ V^yi,...

, Vn+2 ^ ^ . . ^ > + а ) . , , • • •; V0 ^ W(R), Vx ^

1

^ К^- ' Wn ;— Кг \ Кн-ъ п € и. Выберем е G R\ {0} таким, что е(аЬ)~г G G J(R(Wo U Wi)), и полагаем с§ т=± 1, cj ;=± е; с^ ^

£, cj ;=± 1. Далее

выбираем элементы 7/0, т / ь . . . так: щ = щ ^=± е2; ??n+2 £ J(R(Wn+2)),

п £ и.

0

Выбор последовательностей К) 2 К 2 • • • 2 Кг 2 • • •; с , . . . , сп,...; ?7ch - • 5 *?гм • • • удовлетворяет условиям, сформулированным перед предло­ жением 9. Тогда по этому предложению существует почти булево семей­ ство W0 колец нормирования поля F0 == F(foi£i) такое, что R(W°) — непосредственное расширение кольца Я, а для любого п G и и любого До € W0 такого, что R0 П F G И^, имеет место ^я0(£о ~ с о) > VRoiVn), "До ( 6 -

c

i) >

u

«o(^n)-

Из выбора пар с"-1"2 сразу следует, что для любого Ro G W° такого, что R0DF G К , vRo(£o) = ^ я Л Ы = 0- Заметим, что из V ^ ^ Э К> следует равенство t>#/(a) — VRf(b) = 0 для любого Д' G КПусть До G ТУ0 такое, что R0 П F € W0 = W(R) \ V ^ ; тогда Vi*onF(a) < ^RonF(b), ^ ( С о - 1) > vRonF(rio) = vj^nF^ 2 ); f/*o(fi - s) > > ^onF(^ 2 ), а следовательно, u#o(£0) = 0, w*0(£i) = v/fenF^) и ад0(а£0 + + 6£о) =

ЗД0«о)

= ^ДоП^(ао), ПОСКОЛЬКУ и Я о « о ) = Vfl 0 nF(a) И Vfl 0 (bfi)

=

Пусть Ro G ТУ0 такое, что RQ Г) F G W\ С V^-i; тогда t>#0nF(a) > > ^onF(b); ад0(£0 - е) > ^HonF^ 2 ), ^я0(£о) = ^ 0 n F « ) ; «>Яо(6 - 1) > > VRcnFie2), VR^iti) = 0; зд0Ко) = <>ЯопНа) + *>Яо(&) > v/fonF^) > > vRonF{b) = VRo(bCi), значит t ^ 0 « o + b£i) = ^Д 0 ( Ь Ы = ^ 0 n F ( 6 ) . Итак, для любого RQ G VT° имеем VR0(a(o + b£i) = min{t>#0nF(a)> ^onF(b)} и, следовательно, w0 ^ a(a£Q + bCi)-1» «>i ^

ь

(«£о + &6)" 1 €

Непосредственные расширения пртферфвых колец

279

€ R{W°); a = « 0 +b£i)wo, Ь = (a£o+b£i)wi n(a,b)R{Wo) = « о + Ь 6 ) н ( ^ ) . Поэтому п. 1 теоремы 1 установлен. Пусть W — независимое почти булево семейство колец нормиро­ вания счетного поля F. Пусть / G R(W)[x, уо, • • • it/n-i] ~~ абсолютно неприводимый унитарный в х многочлен; hi G R(W)[x,y] \ {0}, г < к] g G J^HQjji/] \ {0}. Предположим, что выполняются условия: 1) для любого базисного замкнутого Wd (= W\VjL1), d G R(W) \ {0} найдутся a,b £ R(W) такие, что fx(a,b) ф 0; Ы(а,Ь) ф 0, i < к] g(b) ф 0, f{a,b)f'x(a,b)~2 (ll Ы(а,Ъ)) \i
/

G J(R(Wd)) и МММ*)"" 1 G R(Wd),i < k.

2) для любого g* G #(W^)[y] \ {0} найдется базисное открытое мно­ жество V такое, что для любого R G V в FR существуют элементы a, b такие, что /(а,Ь) = 0, fx(а, 6) ^ 0, §*(Ь) ^ 0. Тогда справедливо П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 10. Если R(W) е-замкнуто, то существуют а,Ь е. R(W) такие, что /(а,5) = 0, fx(a,b) ф 0, Ы(а,Ъ) ф 0, g{b) ф 0 и hi(a,b)g(b)-1 G R{W), %< k. Пусть go ^ У,Уъ • • • >5п, • • • — пересчет всех ненулевых многочле­ нов из /2(1^) [у]. Используя условие 2, можно найти последовательность ^1 2 ^2 2 • * 2 К* 2 • • • базисных открытых подмножеств W и после­ довательность наборов «1, Ь1; «2, &2; - • • элементов из R(W) такие, что для любых т > 0 и R G W™ ;=± У т \ Vm+i образ элемента /(a m ,6 m ) в FR равен нулю, а образы элементов /^(a m ,b m ), до(ат}Ьт)^... ,<7m-i(aw, bm) в FR ОТЛИЧНЫ ОТ нуля. Используя условие 1, находим набор ао,6° эле­ ^ 0; Мао,&°) ^ 0, г < fc; #(Ь°) ^

ментов из R(W) такой, что fx(a0,b°) 7* 0; /(ao,6 0 )/i(ao,b 0 )- 2 ( П М<*о,Ь0)) \t
€ J(R(W0)) и М ^ М » 0 ) -

1

€

/

G Д(ИЪ), г < к, где Ж0 ^ W"\ У1в По предложению 9 существует почти булево семейство W0 колец нор­ мирования поля FQ = F(£Q, ... ,£n-i) такое, что R(W°) — непосредствен­ ное расширение R(W) и для любого i?o G W° из До П F 6 И7о вытекает "Яо (U ~ *?) > "Л ( / К , 5°) • /£(«о> Ь0)2 • П М*сь 5°) • у(Ь0)) , j < щ если До П F G Wm, т > 0, то и Д о ( ^ - Ь^) > 0, j < п.

280

Ю. Л. Ершов Многочлен /(#,£) неприводим над Fo; пусть поле i*\ ;=± Fo(af) полу­

чено присоединением к Fo корня этого многочлена. Для любого До Е W0 существует единственное кольцо нормирования R\ поля Fi, доминирую­ щее Д 0 и такое, что vRl (а/ - а 0 ) = ^Яо(/( а о^°)/х( а о, Ь 0 )" 1 ), если Д 0 G Wo, и VRx{af — а ш ) > 0, если До € И7™, m > 0. Пусть VF1 состоит из всех та­ ких R\. Заметим, что для любого До Е W0 и соответствующего R\ Е Wl расширение (FQ, До) < ( F i , # i ) является непосредственным (более того, (FuRx)

<НЯо(Л)).

Пусть Wr£ - {Д 0 | Д 0

G

VT0, R0nF

е Wm}, W^ ^ {Ri | Ri ~ кольцо

нормирования поля Fi такое, что Д1 П F 0 £ И 7 ^}, т £ и. Поскольку И7^ булево, то и W^ булево (теорема 2.4.1/ [1]). Далее, И7^ ^ W 1 П И7^ явля­ ется открыто-замкнутым подмножеством И7^; следовательно, И7^ булево и

^ Г W'm : И7^ -> W^ — гомеоморфизм. Как в конце доказательства пред­

ложения 4 устанавливается, что тг \ W1 является гомеоморфизмом W1 и W0. По предложению 3, R(Wl)

— непосредственное расширение

R(W°)j

а, следовательно, и R(W). Нетрудно проверить, что выполняются следую­ щие условия: а / , £ € R(Wl); / ( а / , 0 - 0; /£(<*/,£) ^ 0; М < * / , 0 ^ 0, i < Аг; д(£) ф 0 и hi(af,(i)g{(i)-1

£ Д(И^), г < fc. Так как Д(ТУХ) - непосред­

ственное расширение Д(И^) и R(W) является е-замкнутым, существуют элементы а,6 £ R{W) такие, что /(а, 6) = 0; /^(а,6) ф 0; К{а,Ъ) ф 0, г < А:; #(Ь) / 0 и hi(a,b)g(b)~l

Е Д(И/Г), г < А;. Предложение доказано. •

Перейдем к доказательству п. 2 теоремы 1. Сначала установим следу­ ющий критерий плотности для независимого булева семейства, имеющий и самостоятельный интерес. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 11. Пусть W — независимое булево семейство колец нормирования поля F . Тогда эквивалентны следующие два условия: 1) для любого R £ W поле F плотно в H#(F); 2) для любого унитарного многочлена f £ Д(И/Г)[ж]7 любого а £ R(W) такого, что /(а) € J(R{W))

и f'(a) Е U{R{W)), и для любого е € R(W) \

\{0} существует а€ £ R(W) такой, что f{a€)e~l

Е

J(R(W)).

1) => 2). Пусть / , а и £ такие, как в условии 2 предложения, и Д Е W. Так как F плотно в H#(F), то по предложению 1.6.1 [1] найдется элемент

Непосредственные расширения прюферовых колец

281

aR £ Я такой, что vRf(aR) > vR(e). Множество VR ^ VaR П {Vf(aR)€-i \ \ ^ / ( а я ) - 1 ) о т к Р ы т о в ^ и содержит Л. Поскольку W компактно, суще­ ствуют Ro,... , Rn £ W такие, что W = |J VRi. Используя булевость про­ гни странства, находим открыто-замкнутое разбиение W = [JWi такое, что Wi С VRi, г ^ п. В силу независимости W (свойство блочной аппрокси­ мации), находим элемент ае такой, что для любых г ^ п и R £ Wi верно V

R(G>6

- яя«) > ЗД(^)- Тогда, как легко проверить, vRf(a€)

> vR(e) для

любого R{W), т.е. / ( а ^ е " 1 Е ./(Д(ИО). 2) => 1). Пусть для W выполняется условие 2 предложения. Пусть R £ W, / Е Д[ж] — унитарный многочлен, а £ R, f(a) £ тп(Д), /'(а) € £ R\ m(i?), £ Е Д \ {0}. Установим, что найдется элемент а( £ R та­ кой, что vRf(af)

> vR(e). Не уменьшая общности, можно считать, что е Е

£ J(R(W))\{0}

н vRf(a)

< vR(e).

Пусть / = х Ч а х а ^ Ч . . .+а*, * > 1, и V ^± ( f| K , J ПУ а ПУ /Ча) -1 П n(W \ Vf(a)-i) k

— открыто-замкнутое подмножество семейства W. Пусть

l

h ^=± x "~ (x - 1) и элементы Ь ь . . . , bu £ R(W) выбраны так, что vRt(bi - а») > ид/(е) Для всех Л' Е У, г = 1 , . . . , k; vRf(bt + 1) > и Я '(£), VR/(b,-) > > vw(£) Д л я всех г = 2 , , . . . , к и R' £ W \ V. Пусть а1 £ R(W) такой, что vw(a - а;) > vRf(e) для R* £ V и vw(l

- а1) > vR,(e) для R' £ к

W\V.

Тогда, как легко проверить, для унитарного многочлена g ;=± х + b\x ~~l + + . . . + bk £ R(W)[x] и элемента а' имеет место g(a') £ J(R(W)) £ U(R(W)).

k

и д'(а') £

По условию 2 предложения найдется элемент а€ £ 1

такой, что д(а£)е~

£ J(R(W)).

Поскольку R £ У, vR(b{ - а^) >

R(W) vR(e),

г = 1 , . . . ,fc,то vR(g(a€) - /(а € )) > ид (г); учитывая vRg(a€) > vR(e), имеем ^я/(йв) > ид(е). Плотность F в H#(F) установлена. Предложение доказа­ но. П Установим еще два вспомогательных результата. Л Е М М А 4. Если W почти булево, но не булево семейство колец нормирования поля F\ то для любого п > 1 найдется непустое базисное открытое подмносмсество Vn С V такое, что для любого R £ Vn поле вычетов FR содержит не менее п элементов.

282

Ю. Л. Ершов Пусть /п(ж) — унитарный многочлен, который является произведе-

нием всех многочленов вида хр т

р

— ж, где р — простое число, т > 0 и

^ п. Поскольку .R(W) бесконечно, то найдется элемент а G R(W) та­

кой, что / п (а) ф 0. Нетрудно видеть, что базисное открытое множество V^n(a)-i удовлетворяет заключению леммы. • Л Е М М А 5. Пусть / G F[x] — многочлен степени к такой, что f G F[x] \ {0}; € G F \ {0}, д G F[y] \ {0} — многочлен степени п. Если поле F содержит не менее п(к + 1) элемента, т о найдутся

элементы

a,b e F такие, что f(a) ф 0, /(а) + еЬ = 0, #(&) / 0. Рассмотрим многочлен /i ^± g{—f{x)e"'1) G F[x], полученный подста­ новкой вместо у многочлена -/(ж)^"" 1 . Степень многочлена h равна пк] если элемент а отличен от корней многочлена / ' / i , то ff(a) ф 0, и, полагая b ;=± ~ / ( а ) £ - 1 , будем иметь #(6) = h(a) ф 0 и /(а) + £& = 0. Многочлен f'h может иметь лишь п • к + (п — 1) = п(& + 1) — 1 корней. Поэтому, если \F\ ^ п(к + 1), то такой элемент а найдется. D Обратимся теперь непосредственно к доказательству п. 2 теоремы 1. Пусть R! G W{R), / G Д'[ж] — унитарный многочлен (степени к), а Е Д', /(a) G т(Д'), / »

£ #' \ т ( # 0

и

£ С т ( # 0 \ {°}- Требуется доказать,

что существует элемент b G i?', для которого VRif(b) > v^(^)« Используя лемму 4, можно найти базисное открытое подсемейство V С W(i2) такое, что Rf £ V и для любого i?" G V поле вычетов FR// содержит по крайней мере к элементов. Принимая во внимание конструкцию из доказательства предложе­ ния 11, можно считать, что / G R[x], а е R, s e R, f(a) G J(R(W f(a)

1

G U(R(W \ V)) и e"

\ V),

G R{V). Тогда леммы 4 и 5 позволяют утвер­

ждать, что для абсолютно неприводимого многочлена f£(x, у) ^=± f(x)+s2y выполняются условия 1 и 2, сформулированные перед предложением 10 (без всяких hi и д). Тогда по этому предложению найдутся а 0 , b0 G R та­ кие, что / е (а 0 ,Ьо) = /(ао) + е2Ь0 = 0, (А)£.(а0,Ьо) = / ' Ы 7^ 0. Для Rf имеем vRff(a0)

= vR>(-e2b0) = 2г Л '(е) + иЛ/(Ь0) > 2ид/(£) > *>Я'(£), что и

требовалось. Итак, п. 2 теоремы 1 доказан. •

Непосредственные расширения прюферовых колец

283

С Л Е Д С Т В И Е 1. Если R — счетное е-замкнугпое NB-колъцо

и

W(R) независимо, то R удовлетворяет свойству (М). Это сразу следует из п. 2 теоремы 1 и предложения 4. D С Л Е Д С Т В И Е 2. Пусть R — счетное NB-колъцо W(R)

независимо и для любого R' Е W(R)

поле H#/(F) является

гензелево

алгебраически максимальным.

такоеу что нормированное

Тогда R

имеет

М-подъем. Действительно, пусть йо ~ счетное е-замкнутое iVB-кольцо такое, что RQ — непосредственное расширение Д. Тогда, по предложению 1, До удовлетворяет условиям следствия 1, и, следовательно, До удовлетворяет свойству (М). Пусть F\ ~ алгебраическое замыкание поля F ;=£ q(R) в поле Fo^qiRo), Wx ^ n{R'0 П Fx | Rf0 £ W(RQ)},

Ri ^

R{WX).

Тогда нетрудно проверить, что расширение R < Ri является подъемом, и из определения Ri легко следует, что R\ удовлетворяет свойству (М), т.е. Ri является М-подъемом Д. • Введем и изучим одно интересное условие на почти булево семей­ ство Wj которое окажется достаточным (теорема 2) для того, чтобы в случае независимости W', счетности и е-замкнутости R(W) семейство W удовлетворяло важному арифметическому локально-глобальному принци­ пу: свойству LGA (СМ. §3.2 [1]). Понятие обильного поля оказалось весьма полезным (см. §3.1 [1]). Приведем эквивалентное (см. следствие 3.1.6 и предложение 3.1.5 [1]) опре­ деление этого понятия. Назовем поле F обильным, если для любого абсолютно неприводимо­ го многочлена h £ F[x, у], унитарного и сепарабельного в х, для которого существуют a, b E F такие, что h(a, Ь) = 0 и hfx(a, Ь) ф О, для любого много­ члена g G F[y] \ {0} существуют c,d £ F такие, что /г(с, d) = 0, hx(c,d) ф 0 и g(d) ф 0. В доказательстве следующей леммы будут использоваться результа-

284

Ю. Л. Ершов

ты из § 3.1, § 4.3 и конструкции из § 1.7 [1] вместе с исходным определением обильности. Л Е М М А 6* Если F ~ обильное поле характеристики 0, FQ — рас­ ширение F, До — кольцо нормирования поля Fo такое, что F < RQ и FRQ = F ,

moFKxFo.

Можно считать, что Д 0 гензелево. Пусть Г ^ Q h Z, тогда Z < Г; F(tz)

^ F{tr); F
F(tr)

HF
< (Fi,R\)

такое, что FRX =

= FR0 (= F ) , Г/^ — делимая группа и R\ гензелево. Тогда (F l5 iZi) = F =F (F(t®),F[t®}) и F О найдется элемент dn Е R(W) \ {0} такой, что для любого R Е V^-i, любого абсолютно неприводимого многочлена h Е FR[#, yo> • • • » Уп-iL унитарного и сепарабельного в х, степени ^ п (как многочлена от ж,уо>--- ^Уп-i) и любого многочлена д Е F#[y] \ {0} степени ^ п из существования а, Б Е F# таких, что h(a, b) = 0, h'x(a, b) ф 0, следует существование c,d £ FR таких, что Л(с, d) = 0, /£(с, d) ф 0 и #(J) ^ 0. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если W булево, то у I f поля вычетов обильны в бесконечности. Действительно, J(R(W))

ф {0} и любой элемент d E

Е J ( J R ( W ) ) \ {0} можно взять в качестве dn для любого п (так как Vj-i

=0).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Из определения легко следует, что если R < RQ — непосредственное расширение iVB-колеци у семейства W(R) поля вычетов обильны в бесконечности, то и у семейства W(Ro) поля вычетов обильны в бесконечности. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Условие регулярной замкнутости полей вычетов в бесконечности, рассмотренное в § 4.6 [1], является более сильным, чем усло­ вие обильности в бесконечности. Поэтому следующее предложение явля­ ется аналогом предложения 4.6.1 (доказательство этого предложения в [1]

Непосредственные расширения прюферовых колец

285

дано лишь фрагментарно, детали могут быть восстановлены по доказа­ тельству предложения 12). П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 12. Для почти булева семейства W эквива­ лентны следующие условия: (1) поля вычетов семейства W обильны в бесконечности; (2) для любого элементарного расширения (F, R{W)) •<

{F,)R(Wf))

и любого R* £ Wf такого} что F < R', поле вычетов FR/ обильно. (1) => (2). Пусть выполняется условие (1), (F,R(W)) 1

77

f

R £ И , F < R ; h £ FR/[X, y0,...

•<

(F',R(W)),

, «/m-i] — абсолютно неприводимый мно­

гочлен, унитарный и сепарабельный в х\ u,v £ FRI такие, что h{u,v)

=

= 0, h!x(u,v) ф 0, и пусть g £ Fjy[y] \ {0}. Требуется доказать, что суще­ ствуют и\ vl £ FRI такие, что h(uf, vf) = 0, h'^u', v') ф 0, g{vf) ф 0. Выберем п > 0 таким, что т ^ п, а степени многочленов h и g не превосходят п. Пусть dn £ R(W) \ {0} — элемент, существование которого предпола­ гается в определении свойства обильности полей вычетов в бесконечности. Тогда справедливо следующее (элементарное) утверждение 5 П : для любого Ь £ R(W) \ {0}, любого многочлена Н £ R(W)[x, t/o> • • • . . . , г/n-iL унитарного и сепарабельного в х, степени ^ п, любого много­ члена G £ R(W)[y] степени ^ п таких, что для любого R £ WF П VjLx редукция Н £ Ffi[x,y] многочлена Н абсолютно неприводима, дукция G многочлена G отлична от нуля; из существования £ R(w£nVf_^

таких, что H(u,v)

а ре­ u,v

£

£ J (R (wg П V j i ) ) и H'{u,v)

£

f

£ U (R I W£ П V*!i )), следует существование u ,v' £ R (W^ П Vf-i ) та­ ких, чтоН(и',&)

^ ( й ( < П ^ ) ) , #£(u',t>')

£U(R(WFnVf-i))>

Поскольку (F, R(W)) ^ (F\ R(Wf)), утверждение 5„ справедливо и для W. Пусть Н £ R{W'){x,y]

— многочлен степени ^ п, унитарный и

сепарабельный в х, такой, что его редукция Н в FRI[X,IJ\ равна h; пусть G £ R(Wf)[y] — многочлен степени ^ гг, редукция которого G £ Fw[y] равна д. Пусть с, d £ R{Wl) такие, что и ^± с + т ( й ' ) и v = d + т ( Я ' ) . Выберем V £ R(Wf) \ {0} так, чтобы выполнялись следующие условия: R' £ WS1 П Vf^; для любого R" £ WE' П VK

редукция многочлена Я

286

Ю. Л. Ершов

абсолютно неприводима, редукция G £ -Рд«[у] многочлена G отлична от н у л я ; # Ы ) € j(R(wg'

П У ^ ; ) ) , Я ; ( С ) ^ ) G tf ( й (w*" П V £ , ) ) . Тогда

по свойству 5 П в R(w£' nVJ^ij

существуют элементы с', J' такие, что

H(c'J') ej(R(w^'nv^)),

H'x(c>,d') e u{it(w^nv^)),

G(d>) e

£ U(R (W£' П V f , ) ) . В частности, для Я ' € W£" П V p имеем h(cf + + т ( Д ' ) , # + m(#')) = ff(c' + m(#'),d' + т(Д')) = 0, /^(с' + m(R'),d' + + m(R')) == #£(с' + т(/Г), (2) установлена. (2) => (1). Предположим, что не выполняется условие (1). Тогда най­ дется п > 0 такое, что для любого d £ R(W) \ {0} в V^LX существует коль­ цо нормирования Д G F# d либо hd(u,v)

ф 0, либо (hd)'x(uy v)g(v) = 0. Пусть Ф — ультрафильтр

над Д("И^) \ {0}, который содержит все множества вида fd ?=ь {е | е Е Е i?(W)\{0}, d QR(W) e}, d € R(W)\{Q).

Заметим, что |<*оГф*1 =t(<Mi) и

р| f d = J(i?(W)) \{0} = 0 ; следовательно, Ф — неглавный ультраdeR(W)\{o} фильтр. Рассмотрим ультрастепень {F',R(Wf)) ^ я ( ж ) и о } / Ф Тогда ультрапроизведение Rf ^=±

\\

-Rd/Ф принадлежит семейству

d£R(W)\{0} f

1

W и d" Е J?' для всех d £ R(W) \ {0}; следовательно, F < R1. По­ лагаем h ^=± П /i^/Ф, У ^ П 9dl^\ h u g - многочлеdeR(W)\{0}

d£R(W)\{0}

ны степени ^ п из FR'[:r,y] такие, что /г абсолютно неприводим, уни­ тарен и сепарабелен в ж; # ^ 0 и не существуют a,b E FR/ такие, что Л(а,6) = 0, h'x(a,b) / О и д(Ь) ф 0. Хотя для w ^ П W*> dfeH(iv)\{o}

v ;=±

Д е*€Я(1У)\{0}

hx(u,v)

г;^/Ф Е F#/ ( = \

П d£R(W)\{0}

*W*)

имеем

h(u,v)

= Ои

)

ф 0; т.е. поле FR/ не является обильным. Предложение доказа­

но. • П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 13. Пусть поля вычетов независимого по­ чти булева семейства W колец нормирования поля F характеристики

Непосредственные расширения прюферовых колец

287

О обильны в бесконечности. Тогда для любого абсолютно неприводимого, унитарного и сепарабелъного в х многочлена h Е R{W)[x,y]

существует

d Е R(W) \ {0} такое, что для любого R E V£-\ выполняется условие: редукция h E FR[X, у] многочлена h в FR является абсолютно непри­ водимым многочленом и, если в R существуют элементы а, Ъ такие; что VRh(a,b) > 2vRhx(a,b),

то существуют элементы c,d E R такие,

что Л(с, d) E m(i2), h'x{c, d) E R \ т ( Д ) . Предположим противное. Пусть многочлен h E R{W)[x,y]

абсолют­

но неприводим, унитарен, сепарабелен в ж и для любого d E R(W) \ {0} найдутся Rd E Vf_x и ad,bd E Rd такие, что vRdh(ad)bd)

>

2vRdtix(ad)bd),

но не существуют c,d £ Rd такие, что h{c) d) £ т(Л^), h'x(c,d) E

Rd\m(Rd).

Пусть Ф — ультрафильтр над R(W) \ {0} такой, что для любого d E Е Л ( И 0 \ { 0 } множество | d = {е | е E i2(W)\{0}, d C#(vr) е} принадлежит Ф. Пусть ~ ультрастепень (F,R(W))R(w>>\W/$] ^±

П

#<*/$>

тог

Да й' G Г

и Д' > F. Пусть а ^

deR(W)\{0}

^ ^

П

_

пусть Я' ^ П

а

с*/Ф,

d€^(_W)\{0}

bd/Ф, тогда а,Ь Е Д' и VR(h(a,b) > 2г?д//г!г(а, Ь). Следова-

d€K(W)\{0}

тельно, в H(Rf) найдутся элементы с, d такие, что fr(c, d) == 0, ^ ( с , d) ^ 0, В силу предложения 12 поле F#/ > F является обильным и, следо­ вательно, по лемме 6, FR/ < I HRi{Ff) {FRI МОЖНО отождествить с полем представителей поля FRI В ##/(F')). Следовательно, в FRI существуют эле­ менты и, v такие, что /г(г^, С>) = 0, hfx{u,v) -ф 0. Если с, d E R! такие, что и — с + т ( Д ' ) , г; = J+m(i?'), то h(c}d) E т ( Д ' ) . Это приводит к противоре­ чию, поскольку по теореме Лося в й ' =

П

Д<*/Ф таких элементов

deR(W)\{o]

нет (таких элементов нет в Rd для любого d E #(1^) \ {0}). Предложение доказано. D Т Е О Р Е М А 2. Пусть R — счетное е-замкнутое N В-кольцо, F = —
удовлетворяет свойству HR< (см. §3.3 [1]).

,2/„~i] — абсолютно неприводимый, унитарный и

288

Ю. Л. Ершов

сепарабельный в х многочлен; /i, £ Д[ж,у], i < k, g £ R[y] такие, что для любого d £ R\ {0} найдутся а, 6 £ ^(И 7 ^), для которых hx(a,b) ф 0; М М ) ^ 0, f < *; д(Ь) ф 0; Л(а, 5 ) ^ ( а , Ь)" 2 (j[ Ы(а,Ь)д(Ь)~1

Ы(а,Ь)\

£ J(fl(W d )) и

£R(Wd),i
Покажем, что для любого G £ R[y] \ {0} найдется d £ R\ {0} та­ кой, что для любого R £ Vj-i в FR существуют элементы а, Ъ такие, что h(a,b) = 0, hx(a,b)

ф 0, G(b) ^ 0, где черта означает переход к полю

вычетов FR. Пусть N ^ п такое, что степени многочленов h и G не превосходят N. По предложению 13 найдется элемент do £ R \ {0} такой, что для любого Rf £ Vd-\ редукция h £ FRt[xyy] многочлена h абсолютно неприводима и, если в R существуют элементы а, 6 такие, что VRih{a,b) > 2vRth'x(a,b), то найдутся c,d £ Rf такие, что h(c, d) £ т ( Д ' ) , hx(c, d) £ R' \ m(i?'). Отсюда и из условий на h следует, что для любого R' £ Vd-\ в Rf существуют указанные элементы с, d. Пусть d ^ djsido, тогда для любого R1 £ Vd-i — Vd-\ П V,-i в FR( a

N

°0

f

существуют элементы с, d такие, что Л(с, d) = 0, h x(c, d) ф 0, G(d) ф 0. Таким образом, выполняются условия 1 и 2, сформулированные пе­ ред предложением 10. Тогда по этому предложению существуют a,b £ R такие, что h(a,b) = 0, h'x(a,b) ф 0; /г,(a,6) ф 0, д(Ь) ф 0 и hi(a,b)g(b)~l

£ JR,

i < к. Значит, W(R) удовлетворяет свойству HR<. По теореме 1, R является кольцом Везу, следовательно, по предло­ жению 3.3,3 [1], W(R) удовлетворяет свойству LGA- Теорема доказана. • Покажем, что существуют кольца i2, удовлетворяющие условиям те­ оремы 1 и такие, что R не удовлетворяет свойству LGAПусть RQ T=± Q[X] — кольцо многочленов от одной переменной над полем рациональных чисел Q; пусть Wo С W(RQ)

СОСТОИТ

из всех колец

нормирования R1 поля Q(x) таких, что Rf > Ro и FRI = Q (т.е. Wo = — {Ro(x-r) I r £ Q})- Тогда для любого непосредственного расширения R > R(Wo) кольцо R не удовлетворяет свойству LGA- Действительно, хо­ рошо известно, что абсолютно неприводимая аффинная кривая С, опреде­ ленная соотношением х3 + у3 — 1 = 0, имеет в Q только две Q-рациональ-

Непосредственные

расширения

прюферовых

колец

289

ных точки (1,0) и (0,1) (и они являются ее простыми точками). Если R удовлетворяет свойству

LGA-> TO

существует простая R-рациональная

точ­

ка (а, Ь) кривой С такая, что с ^ О и б ^ О (см. [1, следствие 3.2.1]). Если В! 6 V{ab)-i > г Д е

F

^ 9(Д), то а, Ь € Л / \ т ( Я / ) и (а, Ь) ^ ( а + т ( Д ' ) , 6 + т ( Д / ) )

является ^ / - р а ц и о н а л ь н о й точкой кривой С. Так как а, Ь € .FR/ = Q и а ^ 0, Ь ф 0, приходим к противоречию.

ЛИТЕРАТУРА 1. Ю.Л.Ершову

Кратно нормированные поля, Новосибирск, Научная книга,

2000. 2. S.Lang) Diophantine geometry, New York, Interscience Publ., 1962. 3. S.Lang, Fundamentals of diophantine geometry, Berlin a. o., Springer-Verlag, 1983 (имеется пер. на русск. яз.: С. Ленг, Основы диофантовой геометрии, М., Мир, 1986). 4. M.D. Fried, M.Jarden, Field arithmetic, Berlin а. о., Springer-Verlag, 1986. 5. Ю. Л. Ершов, Поля с непрерывными локальными элементарными свойства­ ми. I, Алгебра и логика, 33, N 6 (1994), 628-653. 6. G. J. Janusz, Algebraic number fields, 2-nd ed., Am. Math. Soc, 1996 (имеется пер. на русск. яз.: Г.Дж.Януш,

Алгебраические числовые поля, Новоси­

бирск, Научная книга, 2001). 7. P. Corvaja, U. Zannier, Values of rational functions on non-Hilbertian fields and a question of Weissauer, Isr. J, Math., 105 (1998), 323—335.

Адрес автора: Е Р Ш О В Юрий Леонидович, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. Тел.: (3832) 30-20-08.

Поступило 21 ноября 2000 г.