Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье: Методические указания к типовому расчету по высшей математике

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

Ульяновск 2003

УДК 517(076) ББК 2.193 я 7 Ч-67

Рецензент канд.физ.-мат.наук, доцент Ш. Т. Ишмухаметов

Одобрено секцией методических пособий научно- методического совета университета

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье: Методические указания к типовому расчету по высшей математике / Сост.: М. Е. Чумакин, Г. Д. Павленко.─ Ульяновск:УлГТУ, 2003.─ 39с. Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика» Настоящие методические указания составлены в соответствии с программами курса высшей математики для студентов младших курсов всех специальностей УлГТУ. Изложена методика выполнения типового расчета по числовым и функциональным рядам и рядам Фурье, даны образцы решения задач с предварительным теоретическим обоснованием.

УДК 517(076) ББК 2.193 я 7

© Оформление. УлГТУ, 2003 2

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ……………………………… 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ…...……………………………………………… 2.1. Указания к задаче 1………………………………………... 2.2. Указания к задаче 2………………………………………. 1.3. Указания к задаче 3………………………………………. 2.4. Указания к задаче 4………………………………………. 2.5. Указания к задаче 5………………………………………… 2.6. Указания к задаче 6………………………………………… 2.7. Указания к задаче 7………………………………………… 2.8. Указания к задаче 8………………………………………… 2.9. Указания к задаче 9 ……………………………………….. 2.10. Указания к задаче 10………………………………………. 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ……...…………………………………. 3.1. Указания к задаче 11……………………………………… 3.2. Указания к задаче 12……………………………………….. 3.3. Указания к задаче 13……………………………………….. 3.4. Указания к задаче 14……………………………………….. 3.5. Указания к задаче 15……………………………………….. 3.6. Указания к задаче 16……………………………………….. 3.7. Указания к задаче 17……………………………………….. 3.8. Указания к задаче 18………………………………………. 3.9. Указания к задаче 19………………………………………. 3.10. Указания к задаче 20……………………………………… 4. РЯДЫ ФУРЬЕ……...…………………………………………………… 4.1. Указания к задаче 21……………………………………… 4.2. Указания к задаче 22……………………………………… БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...…………………………………

3

4 4 4 5 6 8 9 9 10 11 12 13 14 14 16 18 18 18 19 20 23 24 26 26 30 35 39

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В целях лучшего усвоения курса математики и интенсификации самостоятельных занятий студентов в программах по высшей математике предусмотрено выполнение типовых расчетов. Каждый типовой расчет должен быть заданием по целому разделу курса и состоять из теоретических вопросов, теоретических упражнений, задач и примеров. Теоретические вопросы и теоретические упражнения должны быть общими для всех студентов, примеры и задачи ─ индивидуальными. Предлагаемые методические указания являются руководством для выполнения типового расчета по теме «Ряды» из учебного пособия Л. А. Кузнецова «Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)», который удовлетворяет вышеуказанным требованиям программы к типовым расчетам. В связи с отсутствием в указанном сборнике Л. А. Кузнецова рядов Фурье в данное пособие включены задания по рядам Фурье. Сначала предлагается найти ответы на теоретические вопросы в учебниках [1-3] и в конспектах лекций, а затем выполнять теоретические упражнения и решать задачи и примеры. Выполнение теоретических упражнений и решение задач и примеров помогут приобрести студентам первоначальные навыки в научно-исследовательской работе по математике и в решении прикладных задач. Все примеры указаний имеют двойную нумерацию. Например, номера 1.1 и 1.2 означают, что они даны к задаче 1 сборника Л. А. Кузнецова, примеры 2.1 и 2.2 даны к задаче 2 и т.д. 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2.1.Указания к задаче 1 Пусть а1 , a 2 ,..., a n ,..., ─ заданная числовая последовательность. Выражение ∞

a1 + a 2 + ... + a n + ... = ∑ a n

(1.1)

n =1

называется числовым рядом. Конечные суммы (1.2) S1 = a1 , S 2 = a1 + a 2 ,..., S n = a1 + a 2 + ... + a n ,... называются частичными суммами ряда (1.1). Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (1.2) S = lim S n , то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S ─ суммой ряда n→∞

(1.1). Если ряд (1.1) сходится, то lim a n = 0 (необходимый признак сходимости). n →∞

4

Пример 1.1. Найти сумму ряда ∞

∑ 49n n =1

2

14 ⋅ − 70n − 24

(1.3)

Решение. Сначала решим уравнение 49 x 2 − 70 x − 24 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа x1 = −

2 12 и x 2 = , следовательно, 7 7

2  12   49 x 2 − 70 x − 24 = 49 x +  x −  = (7 x + 2)(7 x − 12). 7  7 

Теперь методом неопределенных коэффициентов 14 разложим на простейшие дроби: 49 x 2 − 70 x − 24

выражение

A B 14 14 = = + , 49 x − 70 x − 24 (7 x + 2)(7 x − 12) 7 x + 2 7 x − 12 2

откуда

A(7 x − 12) + B(7 x + 2 ) = 14 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений:  7 A + 7 B = 0,  − 12 A + 2 B = 14, из которой находим: А=-1 и В=1, следовательно, 14 1 1 = − ⋅ 49 x − 70 x − 24 7 x − 12 7 x + 2 2

(1.4)

Учитывая (1.4), частичную сумму ряда (1.3) можно записать следующим образом: n n 14 1  1 1 1 1 1 1  1 = − + Sn = ∑  =− − + − + − ∑ 2 7k + 2  5 9 2 16 9 23 k =1 49k − 70k − 24 k =1 7 k − 12 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − + − + 16 30 23 37 7(n − 2 ) − 12 7(n − 2 ) + 2 7(n − 1) − 12 7(n − 1) + 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 + − =− + − − = − − , 7n − 12 7n + 2 5 2 7(n − 1) + 2 7n + 2 10 7n − 5 7n + 2 следовательно, +

1 1  3 −  = 0,3. lim S n = lim  − n→∞ n → ∞  10 7n − 5 7n + 2 

Значит, ряд (1.3) сходится и его сумма S = 0,3.

2.2 Указания к задаче 2 Задача 2 решается аналогично задаче 1. Пример 2.1. Найти сумму ряда 3n + 8

∞

∑ n(n + 1)(n + 2) ⋅ n =1

5

(2.1)

Решение. Методом неопределенных коэффициентов общий член ряда (2.1) разложим на простейшие дроби 3n + 8 4 5 1 1   1 1  1 = − + = 4 − − − . n(n + 1)(n + 2) n n + 1 n + 2  n n +1  n +1 n + 2 

Тогда частичную сумму ряда (2.1) можно записать в виде n n 1 3k + 8 1  n 1 1   = 4∑  − − Sn = ∑  − ∑ = k + 1  k =1 k + 1 k + 2  k =1 k (k + 1)(k + 2 ) k =1 k 1 1   1 1 1 1 1 = 41 − + − + − + ... + − − n n +1  2 2 3 3 4 1 1  1  1 1  1 1 1 1 1 1  −  − + − + − + ... + −  = 41 − − − = n +1 n + 2  2 3 3 4 4 5  n +1  2 n + 2  4 1 = 3,5 − + , n +1 n + 2

значит, 4 1   +  = 3,5 , lim S n = lim  3,5 − n + 1 n + 2   n→∞ n→∞ следовательно, ряд (2.1) сходится и имеет сумму S = 3,5.

2.3 Указания к задаче 3 Ряд ∞

a1 + a 2 + ... + a n + ... = ∑ a n

(3.1)

n =1

называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∞

a1 + a 2 + ... + a n + ... = ∑ a n .

(3.2)

n =1

Если ряд (3.1) сходится, а ряд (3.2) расходится, то ряд (3.1) называется условно сходящимся. Если члены ряда (3.1) для всех номеров n , начиная с некоторого, удовлетворяют условию

a n ≤ bn , причем знакоположительный ряд

∞

∑b

n

n =1

сходится, то ряд (3.1) сходится абсолютно. Если для всех номеров n , начиная с некоторого, члены ряда (3.1) удовлетворяют условию 0 < c n ≤ a n , причем ряд ∞ ∑ c n расходится, то ряд (3.1) также расходится (признак сравнения). n =1

6

∞ ∑ d n сходится абсолютно и существует конечный предел n =1 а n = q < +∞ , то ряд (3.1) сходится абсолютно. Если члены рядов ∞ a и ∑ n lim d n→∞ n n =1

Если ряд

a ∞ n < +∞ , то эти ряды либо оба сходятся, либо ∑ bn положительны и 0 < lim b n→∞ n n =1

оба расходятся (предельный признак сравнения). Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд nπ 3 2  ∞  3 + 2 cos 2  n ⋅ ∑ 6 11 n =1 n + 10

Решение. Так как cos x ≤ 1,

0<

6

n 11 + 10 > 6 n 11 , то

nπ 3 2   3 + 2 cos  n 2   6

11

(3.3)

n + 10

<

53 n 2 6

n

11

5

= n

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

7

(3.4) 6

∞ 1 сходится при ∑ α n =1n

α >1

∞

5 сходится. Поэтому, в силу 7 n =1 6 n

и расходится при α ≤ 1 . Следовательно, ряд ∑ соотношения (3.4), ряд (3.3) также сходится.

Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд ∞ n3 + 2 ⋅ ∑ n = 1 n 2 sin 2 n

Решение. Так как 3

n3 + 2 n 2 1 > = 1 n 2 sin 2 n n 2 n 2 ∞

и ряд ∑

1

1 n =1 n 2

расходится , то ряд (3.5) также расходится. 7

(3.5)

Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд ∞

∑

arctg n 2 − 3 n 2 − 4n

n =2

(3.6)

⋅

∞

1 расходится и n =1 n

Решение. Гармонический ряд ∑

    π n  arctg n 2 − 3 1  = , :  = lim  arctg n 2 − 3 ⋅ lim  n  2 − 4n  2  n→∞ n → ∞  n 2 − 4n n   

следовательно, ряд (3.6) расходится.

2.4. Указания к задаче 4 Задачу 4 можно решить, пользуясь предельным признаком сравнения. Пример 4.1. Исследовать на сходимость ряд ∞

∑ arcsin n =1

Решение. Так как

arcsin

(n

n 2

)

+3

5

(n ~

2

n 2

)

+3

(n

5

n 2

(4.1)

⋅ 2

+3

)

5

при n → ∞ , то 2

          n n n5 1  1  = : : lim  arcsin  = lim   = lim 5 4 5 4 5 n → ∞  n 2 + 5  2 n  n → ∞   n 2 + 3  2 n  n → ∞  n 2 + 3  2              1 = 1. = lim 5 n →∞  2 1 + 3     n2  ∞

1 сходится, следовательно, ряд (4.1) также сходится. 4 n =1 n

Кроме того, ряд ∑

8

Пример 4.2. Исследовать на сходимость ряд ∞ 5n ⋅ ∑ n = 1 2 n  2 n − 1  

(4.2)

∞  5 n Решение. Так как ряд ∑   расходится и n = 1 4    n n  2n 5 1 5   : = = lim = 1,   lim lim n 1 n n 4       n → ∞  2  2 − 1  n → ∞ 2 −1 n → ∞ 1 −     2n

то

ряд

(4.2)

также

расходится.

2.5. Указания к задаче 5 ∞

Если члены ряда a1 + a 2 + ... + a n + ... = ∑ a n

(5.1)

n =1

таковы, что существует конечный предел

a lim n→∞

n + 1 = l , то при 0 ≤ l < 1 ряд a n

(5.1) сходится абсолютно, при l > 1 ─ расходится, а при l = 1 требуется дополнительное исследование (признак Даламбера). Пример 5.1. Исследовать на сходимость ряд 1 ⋅ 4 ⋅ 7...(3n − 2 ) 2 n +1 ⋅ n! n =1 ∞

∑

Решение. Имеем a n =

1 ⋅ 4 ⋅ 7...(3n − 2 ) , 2 n +1 ⋅ n!

1 ⋅ 4 ⋅ 7...(3n − 2 )(3(n + 1) − 2) 1⋅ 4 ⋅ 7...(3n − 2 )(3n + 1) = , 2 ( n +1)+1 ⋅ (n + 1)! 2 n + 2 (n + 1)! a 1 ⋅ 4 ⋅ 7...(3n − 2 )(3n + 1) ⋅ 2 n + 1 n! 3n + 1 3 n +1 = = lim = >1 , lim lim n → ∞ an n → ∞ 2 n + 2 (n + 1)!1⋅ 4 ⋅ 7...(3n − 2) n → ∞ 2(n + 1) 2 a n +1 =

следовательно, ряд (5.2) расходится.

9

(5.2)

2.6. Указания к задаче 6 Если существует конечный предел lim n a n = l , то при 0 ≤ l < 1 ряд n→∞

∞

∑ an

n =1

сходится абсолютно, при l > 1 ─ расходится, а при l = 1 ─ требуется дополнительное исследование (признак Коши). Пример 6.1. Исследовать на сходимость ряд ∞

∑n

4

arctg 2 n

n =1

π ⋅ 4n

(6.1)

Решение. Имеем  4  4 arctg 2n π =  n n arctg 2 π  = 0, n n lim lim 4n n → ∞  4n  n→∞  

так как

1

lim x x = 1 . Действительно, логарифмируя функцию x→∞

получаем ln y =

(6.2)

y=x

1

x

,

ln x , отсюда по правилу Лопиталя x

1 ln x x =0 , = lim lim ln y = lim x 1 x → +∞ x → +∞ x → +∞

следовательно,

lim x → +∞

y = e 0 = 1 , т.е.

lim x → +∞

1 x x = 1.

Из равенства (6.2) следует, что ряд (6.1) сходится.

2.7. Указания к задаче 7 Если a n = f (n ) , где функция f ( x ) непрерывная в промежутке [1, ∞ ) , а при ∞

∞

n =1

d

x ≥ d ≥ 1 неотрицательная и невозрастающая, то ряд ∑ a n и интеграл ∫ f ( x )dx сходятся или расходятся одновременно (интегральный признак Коши). Пример 7.1. Исследовать на сходимость ряд ∞

∑ (n n =2

2

3n ⋅ − 2 ln 2n

)

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд 10

(7.1)

∞

1

∑ n ln 2n ⋅

(7.2)

n =2

1 в промежутке [2,+∞ ) удовлетворяет условиям x ln 2 x 1 = f (n ) (n = 2,3,4,...), то исследование интегрального признака Коши и n ln 2n

Так как функция f ( x ) =

сходимости ряда (7.2) сводится к исследованию сходимости интеграла

+∞

dx

∫ x ln 2 x . 2

b d ln 2 x + ∞ dx b = lim ∫ = lim ln ln 2 x = +∞ , следовательно, ряд Но интеграл ∫ 2 2 x ln 2 x b → +∞ 2 ln 2 x b → +∞

(7.2) расходится.

Теперь найдем предел отношения соответствующих членов рядов (7.1) и    3n 1  3n 2 ln 2n  = lim = 3 , значит, ряд (7.1) также : (7.2): lim  2 n ln 2 n 2       n → ∞   n − 2  ln 2n  n → ∞  n − 2  ln 2n     

расходится. 2.8. Указания к задаче 8 Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся рядом. Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают и n-ый член стремится к нулю при n → ∞ , то этот ряд сходится, а его сумма имеет знак первого члена и не превосходит этого члена по абсолютной величине (признак Лейбница). Пример 8.1. Исследовать на сходимость ряд ∞

sin nα

∑ (ln 4) n =1

Решение. Так как

sin nα

(ln 4)

n

≤

1

(ln 4 )

n

n

(8.1)

⋅

, а ряд

∞

1

n =1

(ln 4)n

∑

геометрическим рядом со знаменателем q = абсолютно.

является сходящимся

1 , то ряд (8.1) сходится ln 4

Пример 8.2. Исследовать на сходимость ряд n3 (− 1) ⋅ ∑ (n + 1)! n =1 ∞

n

Решение. Ряд из абсолютных величин членов ряда (8.2) сходится, так как 11

(8.2)

 (n + 1)3 (n + 1)3 = 0 < 1. n 3   : = lim  lim  n → ∞  (n + 2 )! (n + 1)!  n ← ∞ n 3 (n + 2)

Следовательно, ряд (8.2) сходится абсолютно. Пример 8.3. Исследовать на сходимость ряд ∞

∑ (− 1)

n +1

n =1

1 ⋅ 2n

(8.3)

Решение. Члены данного знакочередующегося ряда (8.3) по абсолютной 1 1 > и 2n 2(n + 1)

величине монотонно убывают

1 = 0 , следовательно, ряд lim n → ∞ 2n

(8.3 ) сходится. ∞ 1 , составленный из абсолютных величин членов ряда (8.3), ∑ 2 n n =1 ∞ 1 получается из гармонического ряда ∑ в результате умножения всех его n =1n 1 членов на . Гармонический ряд расходится, значит, указанный ряд также 2

Ряд

расходится. Таким образом, ряд (8.3) сходится условно (неабсолютно). 2.9. Указания к задаче 9 Остаток ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, также удовлетворяет условиям этого признака. Поэтому сумма остатка такого ряда имеет знак первого члена остатка и не превосходит его по абсолютной величине. Отсюда следует, что если при вычислении суммы ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, мы ее приближенно заменяем частичной суммой, то допущенная ошибка имеет знак первого отброшенного члена и не превосходит его по абсолютной величине. Пример 9.1 Вычислить сумму ряда ∞ (− 1)n n ∑ n = 1 1 + n 3  2    

(9.1)

с точностью α = 0,001 . Решение. Если в качестве суммы ряда (9.1) взять сумму первых n-1 членов, то ошибка по абсолютной величине не превосходит числа a n = a = 4

4 1 + 4 3   

2

=

4 < 0,001, 4225

a = 3

3 1 + 33   

2

имеем 12

=

n 2 1 + n 3   

. Так как

3 > 0,001 , то с точностью до 0,001 784

∞

∑ n =1

(− 1)n n

(1 + n )

3 2

3

≈∑ n =1

(− 1)n n

(1 + n )

3 2

=−

1 2 3 14551 + − =− . 4 81 784 63504

Однако при записи простых дробей в десятичной форме с определенным числом знаков после запятой мы допускаем ошибки. Следовательно, общая ошибка может оказаться больше требуемой точности. Поэтому с целью улучшения точности в качестве суммы ряда (9.1) возьмем сумму первых четырех членов с четырьмя знаками после запятой (округление отбрасыванием): ∞ (− 1)n n 4 (− 1)n n 1 2 3 4 ≈ ∑ =− + − + ≈ −0,2500 + 0,0246 − 0,0038 + ∑ 4 81 784 4225 n = 1 1 + n 3  2 n = 1 1 + n 3  2         + 0,0009 = −0,2283 ≈ −0,228.

Так как значение первого члена ряда точное и a = 5

5 1 + 5 3   

2

=

5 < 0,0004, 15876

то вся ошибка по абсолютной величине меньше, чем 0,0003+3⋅0,0001+0,0004=0,001. Таким образом, с точностью α = 0,001 ∞

∑ n =1

(− 1)n n

(1 + n )

3 2

≈ − 0,228.

Отметим, что с целью уменьшения ошибки вычислений можно было округлять по правилам округления, а не отбрасыванием. 2.10. Указания к задаче 10 В задаче 10 следует доказать равенство вида lim a n = 0.

n→∞ ∞ С этой целью можно рассматривать ряд ∑ a n . Если этот ряд сходится, то n =1 a = 0 . lim n

Пример 10.1. Доказать справедливость равенства n2 + 1 ⋅ lim ( 2 n ) ! ! n→∞

(10.1)

Доказательство. Рассмотрим ряд ∞ n 2 +1 ∑ n = 1 (2n )!! n 2 +1

. Вычислим предел с общим членом a n = (2n )!!

13

(10.2)

 (n + 1)2 + 1 ⋅ (2n )!! n 2 + 2n + 2   n +1 = = lim = 0 <1. lim lim n → ∞ an n → ∞ (2(n + 1))!! n 2 + 1 n → ∞ 2(n + 1) n 2 + 1     a

Следовательно, по признаку Даламбера ряд lim a n = 0 , т.е. имеет место равенство (10.1).

(10.2)

сходится,

значит,

n→∞

3.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 3.1. Указания к задаче 11 Пусть функции U n (x ),

n ∈ N , определены в области D. Выражение

∞ U ( x ) + U ( x ) + ... + U ( x ) + ... = ∑ U ( x ), x ∈ D 1 2 n n n =1

называется функциональным рядом.

( )

∞ ∑ U n x0 n =1

Если для x 0 ∈ D числовой ряд

(11.1)

сходится, то говорят, что

функциональный ряд (11.1) сходится в точке x 0 . Если функциональный ряд (11.1) сходится в каждой точке x ∈ E ⊂ D , то этот ряд называется сходящимся на множестве Е. Если на множестве E ⊂ D сходится ряд

∞

∑ U (x ) , n

то ряд (11.1) называется

n =1

абсолютно сходящимся на множестве E . Для определения области абсолютной сходимости ряда (11.1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Если

(x ) n +1 = l( x ) lim n → ∞ U n (x ) U

или lim n U n ( x ) = l( x ), n→∞

то для определения области абсолютной сходимости ряда (11.1) следует решить функциональное неравенство l(x ) < 1 , а для определения области расходимости ─ неравенство l(x ) > 1 . Для выяснения сходимости ряда в точках, в которых l( x ) = 1 , требуется дополнительное исследование. Пример 11.1. Найти область сходимости функционального ряда ∞ x 2n . ∑ 2 n + 1 n = 11 + x x 2n

Решение. Члены U n (x ) = 1 + x 2n + 1

(11.2)

ряда (11.2) не определены при x = −1.

Предположим x ≠ −1 и найдем предел 14

l( x ) = lim n→∞

(x ) n +1 = lim U (x ) n→∞ n

U

2 n + 1

x 2n x 2 + x 2n + 3 = = lim 2 n + 1 + 1 1 + x 2n + 1 n → ∞ 1 + x 2n + 3 1+ x x

:

 x 2 при x < 1, = 1 при x = 1 или x > 1.

Следовательно, области абсолютной сходимости принадлежать значения x , удовлетворяющие системе

ряда

(11.2)

будут

 x < 1,  2  x < 1,

значит, − 1 < x < 1 , а при x = 1 или x > 1 требуется дополнительное исследование. Так как 1  2 при x = 1, x2 U ( x ) = = lim lim 1 2 n +1 n n→∞ n → ∞1+ x  при x > 1, x

x = 1 ряд (11.2) отличен от нуля, то при любом фиксированном x > 1 или расходится. Таким образом, ряд (11.2) абсолютно сходится в точках интервала (-1,1), а во всех остальных точках расходится. Пример 11.2. Найти область сходимости функционального ряда n

∞

n  x    . ∑ n =1 n + 1 2 x + 1 

(11.3)

n

1 n  x  Решение. Члены U n (x ) =   ряда (11.3) определены для всех x ≠ − . Так n + 1 2x + 1  2

как n

n  x  x , то ряд (11.3) сходится абсолютно   = lim n U n ( x ) = lim n 2x + 1 n→∞ n → ∞ n + 1  2x + 1  x при < 1. 2x + 1

Решениями последнего неравенства являются решения системы неравенств  x  2 x + 1 < 1,  x  > −1. 2x +1

Решая эту систему, получаем, что ряд (11.3) сходится абсолютно при x < −1 или 1 x>− . 3

При x = −1 и x = − ∞

∑ n =1

1 соответственно получаем числовые ряды 3

(− 1)n n , которые расходятся. n +1

15

∞

n

∑ n +1 n =1

и

Итак, ряд (11.3) сходится при x ∈ (− ∞,−1)U  − , ∞  , притом абсолютно. 1  3



Пример 11.3. Найти область сходимости функционального ряда ∞

x

∑n+x n =1

2

(11.4)

⋅

Решение. Члены ряда (11.4) определены для всех x ∈ R . При x = 0 ряд (11.4) сходится. Покажем, что при любом x ≠ 0 он расходится. Действительно, ряд ∞

1

∑ n+x n =1

2

расходится, так как lim  n→∞

1 1 :  = 1. 2 n + x n

Следовательно, данный ряд ∞

∞ x 1 x = ∑ ∑ 2 2 n =1 n + x n =1 n + x

также расходится при x ≠ 0 . 3.2. Указания к задаче 12 Задача 12 решается аналогично задаче 11. Пример 12.1. Найти область сходимости функционального ряда ∞

∑ n =1

32 n 4

2n

x 2 n sin ( x − nπ ) .

(12.1)

Решение. Учитывая справедливость равенства sin ( x − nπ ) = (− 1) sin x, n

n∈ N ,

общий член ряда (12.1) можно переписать в виде U n (x ) =

(− 1)n 32 n x 2 n sin x . 4

2n

Так как 2 n + 1 (x ) 2 n + 1 ( ( − 1)n + 1 3  − 1)n 3 2n 2n n +1 x sin x : x sin x = 9 x 2 , = lim lim 4 2(n + 1) 4 2n n → ∞ U n (x ) n→∞ U

1 3

то ряд (12.1) абсолютно сходится при 9 x 2 < 1 , т.е. при x < .

При x =

1 3

получаем знакочередующийся числовой ряд sin

1 ∞ (− 1)n + 1 , ∑ 3 n = 1 4 2n

(12.2)

который, по теореме Лейбница, сходится. Но ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (12.2), расходится, значит, ряд (12.2) сходится условно. 1 ∞ (− 1) , который также сходится условно. ∑ 3 n =1 4 2n 1 1 1 1 Итак, ряд (12.1) сходится при x ∈ − ,  , притом абсолютно при x ∈  − ,  .  3 3  3 3 1 3

При x = − получаем ряд sin

n +1

16

Пример 12.2. Найти область сходимости функционального ряда n

4⋅3 2 n tg 2 x . ∑ n n =1 ∞

(12.3)

Решение. Члены ряда (12.3) U n (x ) =

4⋅3

n

2

tg n 2 x

n

π 4

определены для x ≠ (2k + 1), k ∈ Z . При этих значениях x имеем n 4⋅3 2

lim n U n ( x ) = lim n n→∞ n→∞

n

1 1 n3 2 4 tg n 2 x = lim tg 2 x = 3 tg 2 x , 1 n→∞ n 2n

1 2n = 1 (см. решение примера 6.1). Следовательно, ряд (12.3) n lim n→∞ 1 1 3 tg 2 x < 1 , т.е. − < tg 2 x < , значит, сходится абсолютно, если 3 3

так как

π π π π π π + k < x < + k , k ∈ Z . При x = + k , k ∈ Z , получаем расходящийся 12 2 12 2 12 2 ∞ 1 π π числовой ряд 4∑ 1 , а при x = − + k , k ∈ Z ─ условно сходящийся ряд 12 2 n =1 n 2 ∞ (− 1)n 4∑ 1 . n =1 n 2 π π  x ∈  (6k − 1), (6k + 1), k ∈ Z Таким образом, ряд (12.3) сходится при 12 12  π π причем, при x ∈  (6k − 1), (6k + 1), k ∈ Z , абсолютно. 12  12  −

Пример 12.3. Найти область сходимости функционального ряда ∞

∑

(− 1)n x+2

n =1

− n 4 arcsin

3 n2 x

.

− n 4 arcsin

3

3

(12.4)

Решение. Все члены ряда (12.4) n ( − 1) U n (x ) =

x+2

определены при x ∈ [3,+∞ ) . Для всех x ≠ 0

arcsin

3 2

n x

~

3 2

n x

3

при

17

n2 x

(n = 1,2,3...)

n → ∞ , значит,

( − 1)n n ⋅3 U ( x ) = lim n lim n x 2 + n→∞ n→∞

3n 2 − x

1 = 0 <1 = lim 3 n 1 n→∞ 2n x (x + 2 ) 3

при

всех x ∈ [3,+∞ ) . Следовательно, областью сходимости ряда (12.4) является промежуток [3,+∞ ) , притом сходимость всюду абсолютная. 3.3. Указания к задаче 13 Задача 13 решается аналогично задачам 11 и 12. Пример. 13.1. Найти область сходимости функционального ряда n

1 −  + 3   4 ∑ n n =1 ∞

n2 x n

.

(13.1) n2

− 1 Решение. Члены ряда (13.1) U n (x ) =  3 +  ⋅ 4 x определены при x ≠ 0 и n  n2 n n − − n  0 при x > 0, 1 1     3 +  ⋅ 4 x = lim  3 +  ⋅ 4 x =  lim n U n ( x ) = lim n n ∞ при x < 0. n→∞ n→∞  n → ∞

Следовательно, ряд (13.1) абсолютно сходится для x ∈ (0,+∞ ) . 3.4. Указания к задаче 14

Задача 14 решается аналогично задачам 11, 12 и 13. Пример 14.1. Найти область сходимости функционального ряда ∞ (n + 1)5 x 2 n . ∑ 2n + 1 n =1 5 ( n + 1) x 2n и Решение. Так как общий член ряда (14.1) U n ( x ) = 2n + 1

(14.1)

(x )  (n + 2)5 x 2n + 2 (n + 1)5 x 2n  n +1  = x2, = lim  : lim 2n + 3 2n + 1  n → ∞ U n (x ) n → ∞   U

то ряд (14.1) сходится абсолютно при x 2 < 1 , т.е. в интервале (-1,1). При x = ±1 ∞ (n + 1)5 имеем числовой ряд ∑ , который расходится, так как общий член этого n =1 2 n + 1 ряда не стремится к нулю при n → ∞ . Таким образом, областью сходимости ряда (14.1) является интервал (-1,1), притом сходимость всюду абсолютная.

18

3.5. Указания к задаче 15 ∞

Функциональный ряд ∑ U n ( x ) , сходящийся в области D, называется n =1

равномерно сходящимся в этой области, если для любого ε > 0 найдется такое число N = N (ε ) , не зависящее от х, что при всех n > N (ε ) для всех x ∈ D имеет место неравенство ∞

Rn (x ) = ∑ U k ( x ) < ε . k = n +1

Пример 15.1. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда ∞ xn n (15.1) ∑ (− 1) 3 3 n =1 n −6 на отрезке [0,1]. При каких n абсолютная величина остатка ряда не превосходит 0,1 для всех x ∈ [0,1] ? Доказательство. При любом фиксированном x ∈ [0,1] ряд (15.1) является знакочередующимся рядом, члены которого, начиная со второго, по абсолютной величине монотонно убывают и n-й член стремится к нулю при n → ∞ . Следовательно, этот ряд сходится, и сумма его остатка не превосходит первого члена этого остатка по абсолютной величине: n +1 ∞ x xk k (n = 2,3,4...), ≤ R n ( x ) = ∑ (− 1) 3 3 3 3 k = n +1 k −6 (n + 1) − 6 значит, для всех x ∈ [0,1] 1 Rn (x ) ≤ . 3 3 (n + 1) − 6 1 1 < ε , отсюда n > 3 3 + 6 − 1 . Взяв любое ε > 0 , потребуем, чтобы ε 3 (n + 1)3 − 6 Положив, таким образом, N = 3

1

+ 6 − 1 , мы убеждаемся, что при n > N ,

ε действительно, R n ( x ) < ε для всех x из отрезка [0,1]. Тем самым равномерная сходимость ряда (15.1) на отрезке [0,1] доказана. Так как для любого x ∈ [0,1] 1 ≤ 0,1 Rn (x ) ≤ 3 3 (n + 1) − 6 при 1 n≥3 + 6 − 1 ≈ 8,98 (0,1)3 3

19

и n является натуральным числом, то абсолютная величина остатка ряда (15.1) не превосходит 0,1 для всех x ∈ [0,1] при n=9,10,11… 3.6. Указания к задаче 16 ∞

Если члены функционального ряда ∑ U n ( x ) в области D не превосходят по n =1

абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда ∞

∑ an

с положительными членами, то этот функциональный ряд сходится в

n =1

области D равномерно и абсолютно (признак Вейерштрасса). При этом ряд ∞

∞

n =1

n =1

∑ a n называется мажорирующим для ряда ∑ U n ( x ) .

Пример 16.1. Доказать равномерную сходимость функционального ряда ∞ ( x + 1)n (16.1) ∑ 2 n =1 (n + 1) ln (n + 1) на отрезке [-2,0]. Доказательство. Так как x + 1 ≤ 1 при x ∈ [− 2,0], то

( x + 1)n 1 (n = 1,2,3,...) . ≤ (n + 1) ln 2 (n + 1) (n + 1) ln 2 (n + 1) Числовой ряд ∞

∑

n =1

с

положительными 1 f (x ) = (x + 1) ln 2 ( x + 1)

1

членами в

(16.2)

(n + 1) ln 2 (n + 1) сходится.

промежутке

интегрального признака Коши и f (n ) =

Действительно,

функция

удовлетворяет

условиям

[1,+∞ )

1 (n = 1,2,3,...) , причем (n + 1) ln 2 (n + 1)

несобственный интеграл

d ln ( x + 1) dx 1 ∫1 (x + 1) ln 2 (x + 1) = ∫1 ln 2 (x + 1) = ln 2

+∞

∞

сходится.

Таким образом, ряд (16.2) является мажорирующим для ряда (16.1) на отрезке [-2,0], следовательно, ряд (16.1) сходится на этом отрезке равномерно и абсолютно. 3.7. Указания к задаче 17 ∞

Если члены функционального ряда ∑ U n ( x ) непрерывны на отрезке [a,b] и n =1

ряд сходится на [a,b] равномерно, то интеграл от суммы ряда, взятый по отрезку [a,b], равен сумме ряда, полученного почленным интегрированием: 20

∞ b  ∞  ∫  ∑ U n (x ) dx = ∑  ∫ U n ( x )dx . n =1  a   a  n =1 В частности, сумма степенного ряда интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале сходимости, причем интеграл суммы ряда можно получить почленным интегрированием данного ряда. Кроме того, при почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 17.1. Найти сумму ряда ∞ x 2n+2 . (17.1) ∑ n = 0 (2 n + 2 )(2n + 3) Решение. Интегрируя дважды почленно в пределах от 0 до x при x < 1 геометрический ряд ∞ x , ∑ x 2 n +1 = 1− x2 n=0 получаем: x ∞ x 2n+2 x 1 =∫ = − dx ln 1 − x 2 , ∑ 2 2 n = 0 2n + 2 01− x b

(

)

x 2n+3 1x = − ln 1 − x 2 dx. ∑ ∫ 20 n = 0 (2n + 2 )(2n + 3) Последний интеграл возьмем по частям, полагая 2 xdx U = ln 1 − x 2 , dU = − , dV = dx, V = x : 1− x2

(

∞

(

x

(

)

)

( (

2 2 ∫ ln 1 − x dx = x ln 1 − x 0

(

)

x

)) 0x − 2∫ − x 0

(

2

x

)

dx 1  = x ln 1 − x 2 − 2 ∫ 1 − 2 1− x 1− x 2 0

)

(

)

 dx = 

1 1+ x x 1+ x  2 , = x ln 1 − x 2 − 2 x − ln  = x ln 1 − x − 2 x + ln 2 1− x0 1− x  следовательно, ∞ x 2n+3 1 1 1+ x = x − x ln 1 − x 2 − ln , отсюда при x ≠ 0 и x < 1 ∑ 2 2 1− x n = 0 (2n + 2 )(2n + 3) сумма ряда (17.1) ∞ x 2n+2 1 1 1+ x = 1 − ln 1 − x 2 − S (x ) = ∑ ln . 2 2x 1 − x n = 0 (2n + 2 )(2n + 3) Очевидно, что S (0 ) = 0 и ∞ ∞  1 1 1  S (− 1) = S (1) = ∑ = ∑  − = (2n + 3)  n = 0 (2 n + 2 )(2 n + 3) n = 0 2 n + 2 1 1 1 1 1 1 = − + − + ... + − + ... (17.2) 2 3 4 5 2n 2n + 1 Известно, что для всех значений x из промежутка [-1,1] имеет место равенство

(

)

(

21

)

k x2 x3 x4 k −1 x + − + ... + (− 1) + ..., ln(1 + x ) = x − 2 3 4 k в частности, при x=1 1 1 1 1 1 1 ln 2 = 1 − + − + − ... − + − ..., 2 3 4 5 2n 2n + 1 следовательно, 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − + ... = 1 − ln 2 . 2 3 4 5 2n 2n + 1 Сравнивая (17.2) и (17.3), получаем S (− 1) = S (1) = 1 − ln 2 . Таким образом, ряд (17.1) сходится на отрезке [-1,1] и его сумма равна  0 при x = 0,  1 1 1+ x при 0 < x < 1, S ( x ) = 1 − 1 − x 2 − ln − x 1 x 2 2  1 − ln 2 при x = 1, а во всех остальных точках расходится. Пример 17.2. Найти сумму ряда ∞ ctg n x . ∑ n = 2 (n − 1)n Решение. Рассмотрим сходящийся при y < 1 геометрический ряд ∞ 1 . ∑ y n−2 = 1− y n=2 Интегрируя дважды этот ряд в пределах от 0 до y при y < 1 , находим: y ∞ y n −1 dy = = − ln (1 − y ), ∑ ∫ n=2 n − 1 01− y

(

(17.3)

)

(17.4)

y yn = − ∫ ln(1 − y )dy. ∑ n = 2 (n − 1)n 0 dy Положим U = ln(1 − y ), dU = − , dV = dy, V = y, тогда по формуле 1− y интегрирования по частям получаем y y y  − ydy 1  dy = = y ln(1 − y ) − ∫ 1 − ∫ ln(1 − y )dy = y ln(1 − y ) − ∫ 1 − y  0 0 1− y 0 = y ln (1 − y ) − y − ln (1 − y ) = ( y − 1) ln (1 − y ) − y , следовательно, при y < 1 ∞

yn = y + (1 − y ) ln (1 − y ). ∑ n = 2 (n − 1)n ∞

При y=1 имеем 22

∞ 1 1  1 = − , ∑ ∑ n n = 2 (n − 1)n n = 2 n − 1 следовательно, частичная сумма k 1 1 1 1 1 1 1 1  1 −  = 1 − + − + − ... + − = 1− →1 ∑ n 2 2 3 3 k −1 k k n = 2 n − 1 значит, ∞ 1 = 1. ∑ n = 2 (n − 1)n Далее, при y=-1 находим: ∞

при

k → ∞,

(− 1)n = ∞ (− 1)n  1 − 1  =   ∑ ∑ n = 2 (n − 1)n n=2  n −1 n  ∞

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + + − − + ... + − − + + ... = 2 2 3 3 4 4 2 k − 1 2k 2k 2k + 1 1 1  1 1 1  = 1 + 2 − + − + ... − + − ... = 1 + 2(ln 2 − 1) = 2 ln 2 − 1 2 k 2k + 1  2 3 4  (см. пример 17.1). Таким образом,  y + (1 − y ) ln (1 − y ) при y < 1, ∞ yn  = 1 при y = 1, (17.5) ∑ n = 2 (n − 1)n  2 ln 2 − 1 при y = −1.  Для данного ряда (17.4), полагая y = ctgx в соотношении (17.5), получаем =1−

ctgx + (1 − ctgx ) ln (1 − ctgx ) при ctgx < 1, ctg n x  = 1 при ctgx = 1, ∑ n = 2 (n − 1)n  2 ln 2 − 1 при ctgx = −1  ∞

или

π 3π  ( ) ( ) π + − − + < < + πk , ctgx 1 ctgx ln 1 ctgx при k x  4 4  ∞ ctg n x π = при x = + πk , 1 ∑  4 n = 2 (n − 1)n  π 3  + πk , k ∈ Z , 2 ln 2 − 1 при x=  4 а во всех остальных точках ряд (17.4) расходится. 3.8. Указания к задаче 18 ∞

Пусть члены функционального ряда ∑ U n ( x ) определены на отрезке [a,b] и n =1

имеют в нем непрерывные производные U n′ ( x ) . Если на отрезке [a,b] не только 23

сходится ряд

∞

∑ U n (x ) ,

∞

∑ U n′ ( x ) , то

но и равномерно сходится ряд

n =1

n =1

′ ∞  ∞ U n ( x ) = ∑ U n′ ( x ). В частности, степенной ряд можно дифференцировать n∑  n =1 =1 почленно внутри его интервала сходимости. Кроме того, при почленном дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 18.1. Найти сумму ряда

∑ (n 2 + 9n + 5)x n +1 . ∞

(18.1)

n=0

Решение. Возьмем сходящийся при x < 1 геометрический ряд ∞

∑x

n +1

=

x 1− x

n

=

n =0

(18.2)

и дифференцируем его дважды ∞

∑ (n + 1)x n =0

∑ (n ∞

2

)

+ n x n −1

n =1

1 , (1 − x )2 2 = . (1 − x )3

(18.3) (18.4)

Ряд (18.1) представим в виде

∑ (n ∞

2

n =0

)

(

∞

)

∞

∞

n=0

n=0

+ 9n + 5 x n +1 = x 2 ∑ n 2 + n x n −1 + 8 x ∑ (n + 1)x n − 3∑ x n +1 . n =1

(18.5)

Из равенств (18.2)-(18.5) следует, что при x < 1

∑ (n ∞

2

)

+ 9n + 5 x

n =0

При

и

x =1

x = −1

n +1

=

2x 2

+

8x

(1 − x )3 (1 − x )2

получаем

3x 5 x − 3x 3 − = . 1 − x (1 − x )3

соответственно

ряды

∑ (n ∞

2

+ 9n + 5

)

и

n =0

∑ (− 1) (n ∞

n +1

2

)

+ 9n + 5 , которые расходятся.

n =0

Таким образом, ряд (18.1) сходится лишь при x < 1 и его сумма равна S (x ) =

5 x − 3x 3 , (1 − x )3

x ∈ (− 1;1) .

3.9. Указания к задаче 19 Если функция f (x ) допускает в некоторой окрестности точки a разложение в степенной ряд по степеням x − a , то этот ряд имеет вид

(n ) f ′′(a ) (x − a )2 + ... + f (a ) (x − a )n + ... (19.1) 2! n! Ряд (19.1) называется рядом Тейлора. При a = 0 ряд Тейлора называется также

f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) +

рядом Маклорена. Равенство (19.1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора (n )   f ′′(a ) (x − a )2 + ... + f (a ) (x − a )n  → 0 Rn ( x ) = f ( x ) −  f (a ) + f ′(a )( x − a ) + 2! n!  

24

при n → ∞ . Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой Rn ( x ) =

f

(n +1)

(a + Θ(x − a )) (x − a )n +1 , (n + 1)!

0 < Θ < 1,

называемой остаточным членом в форме Лагранжа. Имеют место следующие равенства: x2 xn + ... + + ..., x ∈ (− ∞,+∞ ) , 2! n! x3 x5 x 2 n +1 + ..., x ∈ (− ∞,+∞ ) , 2) sin x = x − + − ... + (− 1)n (2n + 1)! 3! 5! x 1!

1) e x = 1 + +

2n x2 x4 n x + − ... + (− 1) + ..., x ∈ (− ∞,+∞ ) , (2n )! 2! 4! n x2 x3 n −1 x + − ... + (− 1) + ..., x ∈ (− 1,1] , (19.2) 4) ln(1 + x ) = x − 2 3 n α (α − 1) 2 α (α − 1)...(α − n + 1) n x + ... + x + ..., x ∈ (− 1,1) 5) (1 + x )α = 1 + αx + 2! n! (при х=1 это равенство справедливо для α > −1 , а при х=-1 для α > 0 ), в частности, при α = −1 получаем геометрический ряд со знаменателем –х: 1 n = 1 − x + x 2 − ... + (− 1) x n + ..., x ∈ (− 1,1) , (19.3) 1+ x 1 x3 1 ⋅ 3 x 5 1 ⋅ 3...(2n − 1) x 2 n +1 6) arcsin x = x + ⋅ + + ... + + ..., x ∈ [− 1,1] , 2 3 2⋅4 5 2 ⋅ 4...2n 2n + 1 x3 x5 x 2 n −1 7) arctgx = x − + − ... + (− 1)n −1 + ..., x ∈ [− 1,1] . 3 5 2n − 1 2+ x в ряд Тейлора по степеням х. Пример 19.1. Разложить функцию ln 1− x

3) cos x = 1 −

Решение. Данную функцию представим в виде 2+ x x  = ln 2 + ln1 +  − ln (1 + (− x )) 1− x  2 x На основании равенства (19.2) при − 1 < ≤ 1 , т.е. при − 2 < x ≤ 2 можем записать 2 n ∞ x  n −1 x ln1 +  = ∑ (− 1) , 2n n  2  n =1 аналогично при − 1 < − x ≤ 1 , т.е. при − 1 ≤ x < 1 ∞ xn ln (1 + (− x )) = −∑ , n =1 n ln

следовательно,

∞  (− 1)n −1 + 1 x n , x ∈ [− 1,1) . 2+ x = ln 2 + ∑   n 1− x 2n n =1   3 в ряд Тейлора по степеням х. Пример 19.2. Разложить функцию 2 − x − x2

ln

Решение. Данную дробь разложим на простейшие 3 1 1 = + . 2 2 + x 1− x 2− x−x 25

Пользуясь разложением (19.3), находим: n ∞ 1 1 1 n x = ⋅ = ∑ (− 1) n +1 , x n=0 2+ x 2 2 1+ 2 ∞ 1 = ∑ x n , x < 1, 1 − x n =0

следовательно,

∞  (− 1)n + 1 x n , 3  = ∑  2 − x − x 2 n=0  2 n +1 

x < 2,

x ∈ (− 1,1) .

3.10.Указания к задаче 20 При приближенном вычислении определенного интеграла часто, особенно в случае, когда соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции в конечном виде, бывает удобно представить его в виде суммы ряда. Для этого сначала подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд, а затем интегрируют почленно. 0 ,1

Пример 20.1. Вычислить интеграл ∫ cos(100 x 2 )dx с точностью до 0,001. 0

Решение. Полагая в разложении

(− 1)n t 2 n , (2n )! n =0 ∞

t ∈ (− ∞,+∞ ) ,

cos t = ∑ t = 100x 2 получаем

(

)

(− 1)n 10 4 n x 4 n , (2n )! n =0 ∞

cos 100 x 2 = ∑

следовательно,

(− 1) 10 x ∫ cos(100 x )dx = ∑ ∫ (2n)!

0 ,1

∞ 0 ,1

2

n =0 0

0

n

4n

4n

x ∈ (− ∞,+∞ ) ,

n ( − 1) 10 4 n x 4 n+1 dx = ∑ n = 0 (4n + 1)(2 n )! ∞

0 ,1

= 0

(− 1)n . n = 0 10(4n + 1)(2 n )! ∞

=∑

Последний ряд является знакочередующимся рядом, поэтому, если в качестве его суммы взять сумму первых n-1 членов, то ошибка по абсолютной величине не будет превосходить числа an =

1 1 . Так как a1 = > 0,001, 10(4n + 1)(2n )! 100

0,001 имеем 0 ,1

(

)

1 < 0,001 , то с точностью до 2160

(− 1)n = 0,1 − 0,01 = 0,09. n = 0 10(4n + 1)(2n )! 1

2 ∫ cos 100 x dx ≈ ∑ 0

a2 =

26

4. РЯДЫ ФУРЬЕ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Теоретические вопросы Тригонометрический ряд Фурье функции с периодом 2 π . Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье функции с любым периодом. Ряд Фурье функции, заданной в конечном промежутке. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций.

Теоретические упражнения. 1. Доказать, что если функция f (x ) имеет период Т, то при любом действительном числе λ 2. Доказать, что 1, cos

λ +T

∫λ

T

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = 0

T

2

∫ f (x )dx .

−T

2

система функций

2π 2π nπ nπ π π x, sin x, cos x, sin ,..., cos x, sin x,... ортогональна на отрезке l l l l l l

[− l, l]

3. Доказать, что системы функций a) 1, cos x, cos 2 x, cos nx,...; б) sin x, sin 2 x,..., sin nx,... ортогональны на отрезке [0, π ] . Расчетные задания. Задача 21. Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции: 2 при − π < x ≤ 0, 21.1. f ( x) =  1 − x при 0 < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ); 21.2. 21.3. 21.4. 21.5.

2 x 2 + 1 при − π < x < 0, f ( x) =  − 1 при 0 ≤ x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ); 1 f ( x) = x 2 при 3 < x ≤ 5 ( f ( x + 2) ) = f ( x) ; 3 f ( x) = 1 − x при - 2 < x ≤ 2 ( f ( x + 4) = f ( x) ) ; f ( x) = x(π − x) при 0 < x ≤ π ( f ( x + π ) = f ( x) ) ;

21.6. f ( x) = e x при − 2 < x ≤ 2 ( f ( x + 4) = f ( x) ) ; − x при − π < x ≤ 0,  21.7. f ( x) =  x 2 при 0 < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) );  π  x при − π < x < 0, 21.8. f ( x) =  π при 0 ≤ x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) );

27

ax при − π < x ≤ 0, 21.9. f ( x) =  bx при 0 < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ); 21.10. f ( x) = x 2 при 0 < x ≤ 2π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ) ; 21.11. f ( x) = e x − 1 при 0 < x ≤ 2π

( f ( x + 2π ) =

f ( x) ) ;

21.12. f ( x) = e x при − l < x ≤ l ( f ( x + 2l ) = f ( x) ) ; 21.13. f ( x) = cos ax ( a ─ не целое число) при − π < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ) ; 21.14. f ( x) = sin ax ( a ─ не целое число) при − π < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ) ; 1 при 0 < x ≤ 2, 21.15. f ( x) =   x при 2 < x ≤ 4 ( f ( x + 4) = f ( x) ); 2 − x при − 2 < x ≤ 0,  21.16. f ( x) =  x 0 при 0 < x ≤ 2 ( f ( x + 4) = f ( x) ); 21.17. f ( x) = sin x ; 1 при − 1 < x ≤ 0, 21.18. f ( x) =   x при 0 < x ≤ 1 ( f ( x + 2) = f ( x) ); x при 0 < x ≤ π ,  21.19. f ( x ) = π − 1 при π < x ≤ 2π ( f ( x + 2π ) = f ( x ) ); 21.20. f ( x) = (2 − x) 2 при 0 < x ≤ 2 ( f ( x + 2) = f ( x) ) ;

21.21. f ( x) = e 3− x при − 3 < x ≤ 3 ( f ( x + 6) = f ( x) ) ; l − x при − l < x ≤ 0, 21.22. f ( x ) =  l при 0 < x < l ( f ( x + 2l ) = f ( x ) ); a при − π < x ≤ 0, 21.23. f ( x ) =  b при 0 < x < π ( f ( x + 2π ) = f ( x ) ); 21.24. f ( x) = cos x ; ax − b при − l < x < 0, 21.25. f ( x ) =  ax + b при 0 ≤ x ≤ l ( f ( x + 2l ) = f ( x ) );

π  2 при − π < x ≤ 0, 21.26. f ( x ) =   x − π при 0 < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x ) );  2 21.27. f ( x) = a | x | +b при − l < x ≤ l ( f ( x + 2l ) = f ( x) ) ; ( x − 1) 2 при − 1 < x ≤ 0, 0 при 0 < x < 1 ( f ( x + 2) = f ( x ) );

21.28. f ( x ) = 

21.29. f ( x) = x(4 − x) при 0 < x ≤ 4 ( f ( x + 4) = f ( x) ) ; 28

0 при − π < x ≤ 0, 21.30. f ( x ) =  2 2 + x при 0 < x < π

( f ( x + 2π ) =

f ( x ) ).

Задача 22. Разложить в ряд Фурье функции:

π x − в интервале (0, π ) по косинусам; 4 2 π  < ≤ x x при 0 ,  2 22.2. f ( x ) =  в интервале (0, π ) по синусам; π 0 при < x <π  2 22.3. f ( x) =| x | в интервале (− 1,1) 22.1. f ( x) =

f ( x ) = x 2 в интервале (0, π ) по синусам; f ( x) = 2 x в интервале (0,1) ; f ( x) = 10 − x в интервале (5,15) ; f ( x) = 1 − x в интервале (0,1) по синусам; f ( x) = cos 2 x в интервале (0, π ) по синусам; x  при 0 < x ≤ 2 h, 1 − 22.9. f ( x ) =  2 h в интервале (0, π ) по косинусам; 0 при 2h < x < π  x при 0 < x ≤ 1, в интервале (0,2) по синусам; 22.10. f ( x ) =  2 − x при 1 < x < 2 22.11. f ( x) = x 2 + 1 в интервале (− 2,2) ; 1 при 0 < x ≤ 2 h, в интервале (0, π ) по косинусам; 22.12. f ( x ) =  π x 0 при 2h < < 

22.4. 22.5. 22.6. 22.7. 22.8.

  x при 0 < x ≤ 22.13. f ( x ) =  l − x при l <  2   x при 0 < x ≤ 22.14. f ( x ) =  l − x при l <  2

l , 2

в интервале (0, l ) по косинусам;

x
в интервале (0, l ) по синусам;

x
22.15. f ( x) = x 2 в интервале (− 1,1) ; 22.16. f ( x) = sin ax ( a - целое число) в интервале (0, π ) по косинусам; 1 при 1 < x < 2, 22.17. f ( x ) =  2 − x при 2 ≤ x < 3; 22.18. f ( x) = 2 x − 2 в интервале (0, π ) по косинусам; 22.19. f ( x) = 2 + x 2 в интервале (0, π ) по синусам; 29

x при 0 < x < π , 22.20. f ( x ) = π в интервале (0,2π ) по косинусам; − 1 при π ≤ x < 2π ; 1 1  2 - x при 0 < x < 2 , 22.21. f ( x ) =  в интервале (0,1) по косинусам; 0 при 1 < x < 1;  2

22.22. f ( x) = cos ax ( a - целое число) в интервале (0, π ) по синусам;

22.23. f ( x) = e x в интервале (0, π ) по косинусам; 22.24. f ( x) = x в интервале (0, π ) по косинусам; 22.25. f ( x) = e x в интервале (0,1) по синусам; 22.26. f ( x) = x 3 в интервале (− π , π ) ;

22.27. f ( x) = e x − 1 в интервале (0,2π ) ; 22.28. f ( x) =| x | в интервале (−l , l ) ;  x при 0 < x ≤ 1,   3 22.29. f ( x ) =  3 в интервале  0,  по косинусам;  2 0 при 1 < x < 2 ; 22.30. f ( x) = x 2 в интервале (− π , π ) . 4.1. Указания к задаче 21 Тригонометрическая система функций 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,... является ортогональной на любом отрезке длины 2π , в частности, на отрезке [−π , π ] , т.е. интеграл по всякому отрезку длины 2π от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю. π

Если

∫ f ( x)dx

существует и конечен, то существуют числа

−π

an =

1

π

1

π

∫ f ( x) cos nxdx

(n = 0,1,2,...) ,

−π π

(21.1)

f ( x) sin xdx (n = 0,1,2,...) , (21.2) π −∫π называемые коэффициентами Фурье функции f (x) . Ряд ∞ a S ( x) = 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) , (21.3) 2 n =1 где a n и bn - коэффициенты Фурье (21.1) и (21.2) функции f (x) , называется рядом Фурье функции f (x) . bn =

30

l

Если

∫f

2

( x)dx < +∞ , то коэффициенты Фурье записываются в виде

−l

1l nπ a n = ∫ f ( x) cos xdx (n = 0,1,2,...) , l −l l

(21.4)

1l nπ f ( x) sin xdx (n = 0,1,2,...) , ∫ l −l l

(21.5)

bn = а ряд Фурье- в виде

∞ a0 nπ nπ   + ∑  a n cos x + bn sin x. 2 n =1 l l  Если функция f (x) - четная, то

S ( x) =

2l nπ a n = ∫ f ( x) cos xdx (n = 0,1,2,...) , bn = 0 (n = 1,2,...) . l0 l Если функция f (x) - нечетная, то

(21.6)

(21.7)

2l nπ xdx (n = 1,2,...) . (21.8) a n = 0 (n = 0,1,2,...) , bn = ∫ f ( x) sin l0 l Суммы рядов (21.3) и (21.6) являются периодическими функциями соответственно с периодами 2π и 2l . Функция f (x) называется кусочно гладкой на отрезке [a, b] , если сама функция и ее производная имеют на [a, b] не более чем конечное число точек разрыва, и все они первого рода, т.е. в каждой точке разрыва x функция f (x) имеет конечный левый предел f ( x − 0) = lim f ( x − ε ) и конечный правый ε →0

предел f ( x + 0) = lim f ( x + ε ) (ε > 0) . ε →0

Если периодическая функция f (x) с периодом 2l кусочно гладкая на отрезке [−l , l ] , то ряд Фурье (21.6) сходится к значению f (x) в каждой ее точке 1 непрерывности и к значению ( f ( x − 0) + f ( x + 0) ) в точках разрыва. Если 2 дополнительно f (x) непрерывна на всей числовой оси, то ряд (21.6) сходится к f (x) равномерно. В случае разложения функции f (x) в ряд Фурье в произвольном промежутке (a, a + 2l ) длины 2l пределы интегрирования в формулах (21.4) и (21.5) коэффициентов Фурье следует заменить соответственно на a и a + 2l . В концах интервала (a, a + 2l ) сумма ряда Фурье (21.6) равна 1 S (a ) = S (a + 2l ) = ( f (a + 0) + f (a + 2l − 0) ) . 2 Пример 21.1. Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции: а) f ( x) = e ax при − π < x ≤ π ( f ( x + 2π ) = f ( x) ) ; 31

0 при − 2 < x ≤ 0,  б) f ( x) =  x  2 при 0 < x ≤ 2 ( f ( x + 4) = f ( x) ); l  − < ≤ − 0 при l x ,  2  l l  πx при − < x ≤ , в) f ( x) = cos l 2 2  l  0 при 2 < x ≤ l ( f ( x + 2l ) = f ( x) ).  Решение. Все заданные функции удовлетворяют достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Найдем их разложения. а) Пользуясь формулами:

∫ e cos bxdx =

e аx (b sin bx + a cos bx ) +c a2 + b2

ax ∫ e sin bxdx =

e ax (a sin bx − b cos bx ) +c, a2 + b2

ax

и

получим коэффициенты Фурье: 1 π 1 π ax e ax (k sin kx + a cos kx ) π = a k = ∫ f ( x ) cos kxdx = ∫ e cos kxdx = −π π −π π −π π a2 + k 2

(

=

e aπ (k sin kπ + a cos kπ ) − e − aπ (k sin(− kπ ) + a cos(− kπ )) = π a2 + k 2

(

(

)

(

)

( a cos kπ e aπ − e − aπ − 1) a e aπ − e − aπ = = π a2 + k 2 π a2 + k 2

(

bk =

1

π

)

k

(

π

∫ f (x ) sin kxdx =

−π

1

π

π

∫e

−π

ax

)

)

(k = 0,1,2,...) ;

e ax (a sin kx − k cos kx ) π = sin kxdx = −π π a2 + k 2

(

e aπ (− k cos kπ ) − e − aπ (− k cos kπ ) (− 1) к e aπ − e − aπ = π a2 + k 2 π a2 + k 2 k +1

=

)

(

(

)

)

(

)

) (k = 1,2,...) .

Поэтому ряд Фурье для данной функции имеет следующий вид: a0 ∞ e aπ − e − aπ + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) = + 2 k =1 2πa

(

)

(

)

k +1  (− 1)k a e aπ − e − aπ  ( − 1) k e aπ − e − aπ + ∑ + cos kx sin kx = π a2 + k 2 π a2 + k 2 k =1   ∞

=

(

)

(

∞ e aπ − e − aπ  1 + (− 1)k (a cos kx2 − k 2sin kx ) = ∑  π a +k  2a k =1 

32

)

e aπ − e − aπ  1 a cos x − sin x a cos 2 x − 2 sin 2 x  = − + − ....  2 2 π a +1 a +4  2a  Сумма полученного ряда S ( x ) равна значению функции f ( x ) в точках непрерывности этой функции. В точках разрыва x = (2n − 1)π (n = 0,±1,±2,...) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функций слева и справа: S ((2n − 1)π ) =

f ((2n − 1)π − 0 ) + f ((2n − 1)π + 0 ) . 2

В силу периодичности функции f ( x ) с периодом 2π ( f ( x + 2πn ) = f ( x )) имеем f ((2n − 1)π − 0 ) + f ((2n − 1)π + 0 ) = f (− π − 0 ) + f (− π + 0 ) = = f (− π − 0 + 2π ) + f (− π + 0 ) = f (− π + 0 ) + f (π − 0 ), следовательно, f (− π + 0 ) + f (π − 0 ) e a (−π + 0 ) + e a (π −0 ) = = S ((2n − 1)π ) = 2 2 =

− aπ + e aπ 1  ax + ax  = e e e . lim lim  2  x → −π + 0 2 x →π −0 

б) Вычислим коэффициенты Фурье: ak =

2

l

0

2

1 1 1 1 kπx kπx kπx kπx f ( x ) cos dx = ∫ f (x ) cos dx = ∫ f (x ) cos dx + ∫ f (x ) cos dx = ∫ 2 2 2 2 2 2 l −l l −2 −2 0

1 kπx = ∫ x cos dx. 40 2 2

Последний интеграл возьмем по частям. Положим dU = dx, 2

V=

∫

=

4 (− 1) − 1 . k 2π 2

[

k

]

dV = cos

kπx dx ; 2

тогда

следовательно

2 kπx kπx 2 kπx 2x 2  2 −∫ dx = dx =  sin sin kπ kπ 2 2 0 2  kπ

x cos

0

2 kπx sin , 2 kπ

U = x,

0

2 kπx 2 4  (cos kπ − cos 0) = =  cos 2 2 0 k π2 

Таким образом, 2  2 ( − 1)k − 1 − 1 при k = 1,3,5,... kπx 2 = k π2 a k = ∫ x cos dx = 2 2 4 2 k π  0 при k = 2,4,6,... 0

При k = 0 полученное здесь выражение для a k не имеет смысла. Поэтому коэффициент a 0 вычислим отдельно: 1 a0 = l

l

∫

−l

1 f (x )dx = 2

2

∫

−2

2 1 x 1 x2 2 1 = . f ( x )dx = ∫ dx = 2 2 4 2 0 2 0

33

Аналогично найдем 2 2 l 1 kπx 1 kπx 1  2 x kπx 2 2 kπx  bk = ∫ f ( x ) sin dx = ∫ x sin dx = cos cos dx = − +  l −l l 40 2 4  kπ 2 0 kπ ∫0 2  k +1 1 1 kπx x (− 1) =− cos kπ + 2 2 sin = (k = 1,2,3,...) . kπ 2 0 kπ k π

Выпишем найденный ряд Фурье: k k +1 a0 ∞  kπx kπx  1 ∞  (− 1) − 1 kπx (− 1) kπx  sin + ∑  a k cos + bk sin +  = + ∑  2 2 cos = 2 k =1 2 2  l l  4 k =1  k π kπ

=

1 2 πx 1 πx 1 2 3πx 1 3πx 1 − 2 cos + sin − sin πx − 2 cos + sin − sin 2πx − ... 4 π 2 π 2 2π 2 3π 2 4π 9π

Сумма найденного ряда S ( x ) совпадает с данной функцией f ( x ) В точках точках непрерывности функции f (x ). x = 4k − 2 (k = 0,±1,±2,...) S (4k − 2) =

=

во всех разрыва

f (4k − 2 − 0 ) + f (4k − 2 + 0 ) f (− 2 − 0 ) + f (− 2 + 0) = = 2 2

f (− 2 + 0 ) + f (2 − 0 ) 0 + 1 1 = = . 2 2 2

Заметим, что точки x = 4k (k = 0,±1,±2,...) являются точками непрерывности данной функции f ( x ) . В силу периодичности функции достаточно установить непрерывность f ( x ) в точке x = 0 . Это сразу следует из соотношения f (− 0 ) = f (+ 0 ) = f (0 ). в) Данная функция четная, вследствие чего все коэффициенты bk = 0 , а коэффициенты a k вычисляются таким образом:

l

2l kπx 2 2 kπx 2 l kπx a k = ∫ f ( x ) cos dx = ∫ f ( x ) cos dx + ∫ f ( x ) cos dx = l0 l l 0 l ll l 2

l

kπx 2 2 πx 1 = ∫ cos cos dx = l 0 l l l

l

2

 πx kπx   πx kπx  −  + cos +  dx = l l l l    

∫ cos

0



( ( 1 l k − 1)πx l l k + 1)πx l  2 2 = =  + sin sin ( ) + π l  (k − 1)π l k 1 l 0 0  34

=

(k − 1)π + 1 sin (k + 1)π . 1 1 sin π  k − 1 2 2  k +1

При k = 1 найденное выражение для a k непригодно, поэтому коэффициент вычислим отдельно: l

a1

l

πx πx 2l 2 2 1 2 2πx  a1 = ∫ f ( x ) cos dx = ∫ cos 2 dx = ∫ 1 + cos dx = l0 l l 0 l l 0 l  1 l 2πx  l 1 l 1 = x + sin  2= ⋅ = . l 2π l  0 l 2 2 Итак, a0 =

(k − 1)π + 1 sin (k + 1)π  1 1 1 , a1 = , a k =  sin k +1 π π k − 1 2 2 2  2

(k = 2,3,4,...) .

Легко видеть, что если k нечетное число и k ≥ 3 , то a k = 0 ; если же k четно, k = 2m , то 2(− 1)m +1 (m = 1,2,3,...) . a2 m = 2

(

)

π 4n − 1

Поэтому, учитывая непрерывность данной функции f (x ) на всей числовой оси, получим ∞ πx 2 ∞ (− 1)m +1 2mπx a kπx 1 1 (− ∞ < x < ∞ ) . = + cos + ∑ cos f ( x ) = 0 + ∑ ak cos 2 2

k =1

l

π

2

l

π

m =1 4m

−1

l

4.2. Указания к задаче 22 В силу формул (21.7) и (21.8) четная функция разлагается в неполный ряд Фурье по косинусам, а нечетная функция ─ по синусам. Функция, заданная в интервале (0, l ), может быть продолжена в интервал (- l ,0) либо как четная, либо как нечетная; следовательно, ее можно разложить в интервале (0, l ) в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам. Пользуясь формулами Эйлера, ряд Фурье (21.6) можно записать в комплексной форме +∞

S (x ) = ∑ cn e

i

nπ x l ,

n = −∞

где

при этом

−i 1 l ( ) cn = f x e ∫ 2l −l

nπ x l dx

35

(n = 0,±1,±2,...),

a0 a − ibk a + ibk (k = 1,2,3...). , ck = k , c −k = k 2 2 2 Пример 22.1. Разложить в ряд Фурье следующие функции: π −x a) f ( x ) = в интервале (0,2π ) ; 2 c0 =

 2 при 2 < x ≤ 4, 2 x при 4 < x < 6;

б) f (x ) = 

1 x на отрезке [0, l] по синусам; 2 г) f ( x ) = e x в интервале (− π , π ) в комплексной форме. Решение. В указанных промежутках данные функции можно разложить в ряд Фурье по формулам разложения периодических функций, так как их можно продолжить как периодические функции на всю числовую ось. Интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Поэтому при вычислении коэффициентов Фурье промежуток интегрирования (− l, l ) можно заменить промежутком (λ , λ + 2l ) , где λ ─ любое число. а) Вычислим значения коэффициентов Фурье: 1 2π 1 2π π − x 1  x 2  2π  πx −  = 0, a 0 = ∫ f ( x )dx = ∫ dx = π 0 π 0 2 2π  2  0 в) f ( x ) =

1 2π a k = ∫ f ( x ) cos kxdx = ∫ (π − x ) cos kxdx . π 0 2π 0 Последний интеграл возьмем методом интегрирования по частям. 1 Положим U = π − x, dV = cos kxdx ; тогда dU = −dx, V = sin kx , k следовательно, 1

ak =

=−

1 2π

2π

π − x  2π 1 2π 1  1  2π  sin kx + ∫ sin kxdx  = − cos kx  =   k  2kπ  k 0 k 0  0  

1 (cos 2kπ − cos 0 ) = 0 2k 2π

(k = 1,2,3...).

Аналогично, интегрируя по частям, найдем 1 2π 1 2π bk = ∫ f ( x ) sin kxdx = ∫ (π − x ) sin kxdx = π 0 2π 0 2π 1 2π  1 1  π −x   = (k = 1,2,3...). = − − cos kx cos kxdx ∫  k 0 k 0 2π  k  π −x Так как данная функция f ( x ) = непрерывна в промежутке (0,2π ) , то 2

36

π −x ∞ 1 = ∑ sin kx (0 < x < 2π ) . 2 k =1 k Вне промежутка равенство не справедливо. В частности, в точках x = 0 и x = 2π сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается. π Если положить в найденном разложении x = , то получим ряд 2 Лейбница: π 1 1 1 = 1 − + − + ... 4 3 5 7 б) Полагая l = 2 и разбивая интервал интегрирования (2,6) точкой x = 4 на две части (в каждой из них функция задана различными формулами), получим: 6 4 x2 4 1 λ + 2l 16 1 4  ( ) ( ) = = + = + = 12 ; 2 2 a0 = f x dx f x dx dx xdx x   ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 l λ 22 2 2 2  4 1 λ + 2l kπ 16 kπx ak = f ( x ) cos xdx = ∫ f ( x ) cos dx = ∫ 22 2 l λ l 6 1 4 kπx kπx  =  ∫ 2 cos dx + ∫ 2 x cos dx  = 2 2 2 2  4 2 kπx 4 2 x kπx 4 2 6 kπx = + − sin sin sin dx = ∫ 2 2 2 kπ 4 kπ 2 2 kπ =

4 k 2π 2

cos

[

8  − 2 2 при нечетном k ; = k π  0 при четном k;

1 λ + 2l 16 kπx kπx bk = f ( x ) sin dx = ∫ f ( x ) sin dx = ∫ 22 2 l λ l 6 1 4 kπx kπx  =  ∫ 2 sin dx + ∫ 2 x sin dx  = 2 2 2 2  4 2 kπx 4 2 x kπx 6 2 6 kπx =− − + cos cos cos dx = ∫ kπ 2 2 kπ 2 4 kπ 4 2 =−

=

]

4 4 kπx 6 k = 2 2 (cos 3kπ − cos 2kπ ) = 2 2 (− 1) − 1 = 2 4 k π k π

2 2 12 8 4 kπx 6 cos 2kπ + cos kπ − cos 3kπ + cos 2kπ + 2 2 sin = kπ kπ kπ kπ 2 4 k π

6 6 k +1 + 10(− 1) . cos 2kπ − 10 cos kπ = kπ kπ 37

Следовательно, искомое разложение имеет вид ∞  4 kπx  6 kπx  k k +1  + + 10(− 1)  sin 6 + ∑  2 2 (− 1) − 1 cos . 2 2  k =1  k π  kπ  Сумма полученного ряда S (x ) = 2 в интервале (2,4), S ( x ) = 2 x в интервале (4,6) и

[

]

S (4) =

 1 1 f ( x ) + lim f ( x ) = (2 + 8) = 5 .  lim 2  x → 4 − 0  2 x → 4+0

в) Продолжая данную функцию нечетным образом, мы получим 1 нечетную функцию f ( x ) = x на отрезке [− l, l] . Поэтому все 2 коэффициенты a k равны нулю, а коэффициенты bk выражаются интегралами: 2l kπx 1l kπx bk = ∫ f ( x ) sin dx = ∫ x sin dx = l0 l l0 l 1  lx kπx l l l kπx  kπx l l l  = − + = π cos cos cos sin dx k =  − + ∫  2 2 0 π k l  kπ l 0 kπ 0 l l π k  k +1 − 1) l ( = .

kπ Следовательно, 1 l x= 2 π

В точке x = l сумма ряда S (l ) =

∞

∑ k =1

(− 1)k +1 sin kπx , k

l

0 ≤ x < l.

1  1 1  1  l l  x + lim x =  − +  = 0. lim  2  2 2 2  x → −l + 0 2 2 x→l−0 

г) Находим: 1 π 1 π x −ikx 1 π (1−ik ) x −ikx ( ) = = ck = f x e dx e e dx dx = ∫ ∫ ∫e 2π −π 2π −π 2π −π π 1 1 = = e (1−ik ) x e π e −ikπ − e −π e ikπ . − π 2π (1 − ik ) 2π (1 − ik ) По формулам Эйлера k e ± ikπ = cos kπ ± i sin kπ = (− 1) , следовательно, k ( − 1) ck = e π − e −π . . 2π (1 − ik ) Таким образом, k ∞ eπ − e −π ∞ (− 1) e ikx x ikx (− π < x < π ) . e = ∑ ck e = ∑ 2π k = −∞ 1 − ik k = −∞

(

)

(

38

)

1. 2. 3. 4.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебник.-2-е изд., перераб. и доп. / Бугров Я. С., Никольский С. М. ─М.: Наука, 1984.─ 431с. Дифференциальное исчисление для втузов, Т.2:Учебник.-13-е изд. / Пискунов Н. С. -М.: Наука, 1985.─560 с. Курс математического анализа, Т.1.: Учебник. / Кудрявцев Л. Д. ─М.: Высш. школа, 1981.─678 с. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учебное пособие / Л. А. Кузнецов.─М.: Высш. школа, 1983.─174 с.

Учебное издание. Числовые функциональные ряды. Ряды Фурье. Методические указания к типовому расчету по высшей математике. Составители: ЧУМАКИН Михаил Егорович ПАВЛЕНКО Галина Дмитриевна Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать 31. 01. 2003. Формат 60 х 84 / 16. Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,33. Уч.- изд. л. 2,00. Тираж 300 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

39