Теория функций комплексного переменного: Практикум по специальности 010100 - ''Математика''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Т Е О РИ Я Ф У Н К Ц И Й К О М ПЛЕ К СН О ГО ПЕ РЕ М Е Н Н О ГО практ и кумпо специ альност и «М ат емат и ка» 010100

В оронеж 2003

2

У т в ержд ено науч но-мет од и ч ески мсов ет ом мат емат и ч еского ф акульт ет а 28.05.03.

Сост ав и т ель: К апланА .В .

Практ и кумпод гот ов ленна каф ед ре теори и ф ункци й и геомет ри и мат емат и ч еского ф акульт ет а В оронежского госуд арст в енного уни в ерси т ет а. Рекоменд ует ся д ля ст уд ентов 2 курса мат емат и ч еского ф акульт ета.

3

О т соста в ител я . В т еч ени е уч ебного семест ра ст уд енты в ы полняю т 12 и нд и в и д уальны х зад ани й . К ажд ое зад ани е д олжно бы т ьв ы полнено на от д ельномод и нарном ли ст е, на кот оромд олжно бы т ьуказано: • ф ами ли я и и мя; • номер группы и под группы ; • номер пост оянного в ари анта; • номер в ы полняемого зад ани я; • услов и е, реш ени е, от в ет ; • д ат а сд ач и зад ани я. Зад ани я можно сд ат ьт олько на практ и ч ески х занят и ях в св оей группе. Прав и льноев ы полнени е в сех зад ани й необход и мо и д ост ат оч но д ля получ ени я зач ет а и д опуска кэ кзамену. Ж ел а ю успеха ! А .В .К а пл а н .

4

За да н ие 1. Д робн о-л ин ейн ые преобра зов а н ия . Н ай т и образ Ε област и ∆ при зад анномд робно-ли ней ном от ображени и : 1. ∆ = {z : z ≤ 1 }, w =

z+2 . 1 + 2z z−i . z+i

2. ∆ = {z : Re z > 0 , Im z > 0}, w =

1 π 3. ∆ =  z :1 ≤ z ≤ 2 , 0 ≤ arg z ≤  , w =1 + z . 

4

z π . 4. ∆ =  z : 0 < arg z <  , w = z 4 −1 

5. ∆ = {z : z <1, Im z > 0}, w = i

z −1 . z−2

6. ∆ = {z : 0 < Re z <1}, w =

7. ∆ = {z : z < 1, Im z > 0}, w = 8. ∆ = {z : 1 < z < 2 }, w =

1− z . 1+ z

z . z −1

9. ∆ = {z : 0 < Re z < 1}, w =

10.

1− z . 1+ z

z −1 . z

∆ = {z : z <1, Im z > 0}, w =

2z − i . 2 + iz

5

За да н ие 2. П ростейш ие св ойств а тра н сцен ден тн ых фун к ций. Д оказат ьф ормулы : 1.

sh ( z + πi ) = – sh z .

2.

ch ( z + πi ) = – ch z .

3.

sh z = – i sin (iz).

4.

sh (iz) = i sin z .

5.

cos (iz) = ch z .

6.

сh (iz) = cos z.

7.

tg (iz) = i th z .

8.

th (iz) = i tg z.

9.

ctg (iz) = – i cth z.

10.

cth (iz) = – i ctg z .

За да н ие 3. П ростейш ие тра н сцен ден тн ые ура в н ен ия . Н ай т и в се реш ени я след ую щи х урав нени й : 1.

sh (iz) = – 1 .

2.

cos z = 0 .

3.

sh z = 0 .

4.

сh z = 0 .

5.

sin z =

3i . 4

6.

сos z =

7.

tg z =

5i . 3

8.

сtg z = −

9.

sh z =

1 . 2

10.

3+i . 4 3i . 5

ez = i .

За да н ие 4. У сл ов ия К ош и-Рима н а . Д ля ф ункци й и з зад ани я 3 пров ери т ьв ы полнени е услов и й К ош и – Ри мана и най т и и х прои зв од ны е.

6

За да н ие 5. Ин тегра л ы от фун к ций к омпл ек сн огоперемен н ого. В ы ч и сли т ьи нтегралы по зад анны мконт урам: 1.

∫ (z + z )dz ,

3π гд е γ =  z : z = 1, 0 ≤ arg z ≤  .

∫ z 3 dz ,

гд е γ – д уга кри в ой у= 2 2 х от z1 = 0 д о z2 = 2 + 4i .



γ

2.

2

γ

3.

∫ ( y + 1 − i x ) dz ,

гд е γ – от резокпрямой , соед и няю щи й точ ки

γ

z1 = 1 и z2 = – i . 4.

∫ (2 z + 1) z dz ,

гд е γ = {z : z = 1, 0 ≤ arg z ≤ π}.

γ

5.

6.

∫ ( i z 2 − 2 z )dz ,

π гд е γ =  z : z = 2 , 0 ≤ arg z ≤  .

γ



∫(

z − z dz , гд е γ = {z : z = 1, π ≤ arg z ≤ 2 π}. 3

2

)

γ

7.

∫e

z dz ,

гд е γ – от резокпрямой , соед и няю щи й т оч ки

γ

z1 = π и z2 = – i π. 8.

∫ Re (cos z )sin z dz , гд е γ = γ

9.

∫ z sin z dz , гд е γ –

π 1   z : Re z = , Im z ≤  . 3 2 

от резокпрямой , соед и няю щи й т оч ки

γ

z1 = 0 и z2 = i. 10.

z  ⋅ dz , гд е γ =  z : z = 1, 0 ≤ arg z ≤ z  γ

∫

π . 2

7

За да н ие 6. Ин тегра л ьн а я формул а К ош и. В ы ч и сли т ьи нтегралы , если в се контуры обход ят ся прот и в ч асов ой ст релки :

sh 2 z

∫

1.

z =1

3.

z3

1 z

∫ ( z 2 + 4 )2 z − 2 =1 ∫

z − i =1

z =3

z −1 =1

2

z + i =1

8.

∫

z =1

( z − 1)

3

dz . 2 1+ z

∫

6.

dz

∫

9.

z=

.

2

dz . 1 + z2

∫1

4.

dz .

dz . 2 1+ z

dz z + 2z

∫

7.

i z

z − 2 =3

e

5.

ch e π 2 dz . z3 − 4 z

∫

2.

dz .

( z + 1)

3

.

10.

π  sh  (z + i ) 2   dz . 2 z − 2z dz

∫

z +1 =1

( z − 1)

3

( z + 1)

За да н ие 7. Степен н ые ря ды. Сходимость. Н ай т и рад и усы сход и мост и след ую щи х ст епенны х ряд ов : 1.

∞

∑

z 2n .

2.

n= 0

3.

∞

∑ (n + an ) z n.

4.

∞

∑ [ ln ( n + 2 )]k z n .

9.

∞

( 2n )! z n

∑ ( n! ) 2 n=1 ∞

∑

n= 0

n n

z .

z n! .

.

∞

∑ cos ( in ) z n .

n= 0

6.

n= 0

7.

∞

n= 0

n= 0

5.

∑ [3 + (− 1) n]

8.

∞

nn zn . n = 1 n!

∑

∞

∑

n=1

10.

∞

∑

n=0

n

z . n n! 2n z .

3

.

8

За да н ие 8. Ря д Т ейл ора . Разложи т ьслед ую щи е ф ункци и в ряд Т ей лора по ст епеням z – z0 и опред ели т ьобласт и сход и мост и получ енны х ряд ов : z2 , z0 = 1 . ( z + 1 )2 1 , z0 = 3i . 1− z

1. 3.

1 , + 3 z+2 z z

5.

(z

9.

(

2

)(

+ 1 z2 − 4 1

z2 − 1

) (z 2

2

4.

z0 = – 4 .

2

7.

2.

)

+4

,

z0 = 0 .

)

,

z0 = 0 .

6.

1 , z0 = 2 . 1− z 1 , z0 = 3 . 2 − 6 z+5 z 2z − 5 , z0 = 0 . 2 z − 5z + 6

8. 10.

z3 , z0 = 0 . z 2 + 2 (z − 1 ) z , z0 = 1 . 2 z − 2z + 5

(

)

За да н ие 9. Ря ды Лора н а . Cлед ую щи е ф ункци и разложи т ьв ряд Лорана по ст епеням z – z0 в кольце ∆ и ли в окрест ност и бесконеч но уд аленной т оч ки и опред ели ть област и сход и мост и получ енны х ряд ов : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(z

1

2

)(

− 1 z2 + 4

1

в окрест ност и z0 = ∞ .

z2 − 3 z + 2 3

в окрест ност и z0 = ∞ .

2 z − 2z +1

z4

в окрест ност и z0 = ∞ .

( z + 1 )3 z

в окрест ност и z0 = ∞ .

z +1 2

z4

7.

( z − 1 )( z + 2 )

8.

(z

9.

(z

10.

2

)

+1 (z+ 2 ) 1

)

− 9 z2

z0 = 0 , ∆ : 1 < z < 2 .

,

z

2

, z0 = 0 , ∆ : z > 2 .

в окрест ност и z0 = ∞ .

z −4 z +1 2

z

)

,

z3 , (z + 1 )(z − 2 )

,

z0 = 0 , ∆ : 1 < z < 2 . z0 = 1 , ∆ : 1 < z − 1 < 2 .

z0 = – 1 , ∆ : 0 < z + 1 < 3 .

9

За да н ие 10. Изол иров а н н ые особые точк и. Н ай т и в се и золи ров анны е особы е точ ки д ля след ую щи х ф ункци й и опред ели т ьи х характ ер (д ля полю сов – поряд ок): 1

1.

cos z . 1 z2

.

3.

e

5.

z 2 sin

7.

z  e z − 1 .  

z . z +1

2.

e z + 2 z2 − 5 .

4.

1 − сos z . sin 2 z

6.

ctg z −

8.

π 4 . tg z − 1

10.

e

z−

1

sin z

9.

z

.

2

1 . z

−z

.

За да н ие 11. П рил ожен ия в ычетов : ин тегра л ы поза мк н утому к он туру. В ы ч и сли т ьи нтегралы : 1.

∫

1 2 z sin z dz . ( z − 1 )( z − 2 )

∫

z cos z + 1 dz .

4.

cos 2 ϕ dϕ .

6.

z =3

3.

2π

5.

π

∫

−π

9.

∫

sin 2 ϕ dϕ

1 − 2 a cos ϕ + a 2

z =2

z3 (

dz . z 10 − 2)

∫ −π π

∫ 13 + 12 cos ϕ

∫ 0

, a >1 .

1

sin z − 1 dz .

z −1 =1

0

7.

∫

π

z

z =2

2.

dϕ . 13 + 12 sin ϕ

cos ϕ dϕ . 1 + sin 2 ϕ 4

π

8.

∫

−π

10.

∫

сos 2 ϕ dϕ

1 − 2 a cos ϕ + a 2

z =2

z 3 dz . z 4− 1

, −1 < a < 1 .

10

За да н ие 12. П рил ожен ия в ычетов : н есобств ен н ые ин тегра л ы. В ы ч и сли тьи нтегралы : 1.

3.

5.

∞

x2 + 1 ∫ x4 + 1 dx . −∞ ∞

2 x dx ∫ x4 + 6 x2 + 25 . −∞

∞

∫

∞

(2 x

∫

−∞

9.

∞

∫

−∞

4.

3

x sin x dx. 4 x + 5 x2 + 4

−∞

7.

2.

)

+ 13 x sin x dx. 4 2 x + 13 x + 36 3

x sin x dx. 2 x + 2 x + 10

6.

∞

x4 + 1 dx . 6 x + 1 −∞

∫

∞

∫ 2 − ∞ (x ∞

∫

−∞

8.

∞

∫

−∞

10.

dx

3 + 1)

.

(x3 + 5 x ) sin x

dx.

( x − 1 ) cos 2 x

dx.

x 4 + 10 x2 + 9

2 x − 4x + 5

∞

x2 − х + 2 ∫ x4 + 10 x2 + 9 dx. −∞

Литера тура . 1. В олков ы ски й Л.И . Сборни кзад ач по т еори и ф ункци й комплексного переменного: У ч еб. пособи е д ля ст уд . в узов / Л.И . В олков ы ски й , Г.Л.Лунц, И .Г.А раманов и ч . – 4-е и зд ., перераб. – М .: Ф и змат ли т , 2002. – 312 с. 2. Зад ач ни к-практ и кумпо в ы сш ей мат емат и ке. Ч .III: Ряд ы . Т еори я ф ункци й комплексного переменного. Ряд ы и и нтеграл Ф урье: У ч еб. пособи е/ Т .Н .А нд ри анов а, В .А .В олков , Т .А .Е ф и мов а и д р.; Под ред . В .А .В олков а – СПб.: И зд ат ельст в о С.-Пет ербургского уни в ерси т ет а, 1997. – 416 с.

11

Сост ав и т ель: К апланА нат оли й В и кт оров и ч Ред акт ор Т и хоми ров а О .А .