SZÉCHENYI EGYETEM
ISTVÁN
Reviczky László Bars Ruth Hetthéssy Jenő Barta András Bányász Csilla
SZABÁLYOZÁS TECHNIKA
UNIVERS1TAS- GYŐR Kht.
Keviczky László Bats Ruth - Hetthéssy Jenő B a r t a A n d r á s — B á n y á s z Csilla
SZABÁLYOZÁSTECHNIKA
Keviczky László Bars Ruth - Hetthéssy Jenő Barta András — Bányász Csilla
SZABÁLYOZÁSTECHNIKA
UIVERSITAS-GYŐR Kht. • Győr, 2006
K 643.761
05
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐR
Jelen kiadás a szerzők által az a d o t t t é m a k ö r b e n írott jegyzet első változata.
írta:
Keviczky László Bars Ruth Hetthéssy Jenő Barta A n d r á s B á n y á s z Csilla
Lektorálta:
Sziray J ó z s e f
© Keviczky László, Bars R u t h , H e t t h é s s y J e n ő , Barta A n d r á s , Bányász Csilla, 2006 M i n d e n jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a m ű bővített, illetve rövidített v á l t o zata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes m ű , s e m an n a k része semmiféle f o r m á b a n n e m sokszorosítható.
Kiadja az U N I V E R S I T A S - G Y Ő R K h t . Felelős kiadó dr. Szily István. Műszaki szerkesztő Bányász Csilla. K é s z ü l t a Palatia N y o m d a és K i a d ó Kft. nyomdájában. Felelős v e z e t ő R a d e k József.
Tartalomj egy zék Jelölések Előszó 1. Bevezetés 1.1.
1.2. 1.3.
1.4.
10 12 15
Alapfogalmak Az irányítási folyamat alapműveletei A jel fogalma, a jelek felosztása A rendszertechnikai összefüggések ábrázolása Vezérlés, szabályozás, zavarkompenzáció A szabályozásokkal szemben támasztott követelmények Néhány szabályozási példa A szabályozástechnika történetéből Rendszer és modellje A modellek fajtái Rendszertulajdonságok Példák egyszerű rendszerek jelátviteli tulajdonságainak A statikus karakterisztika linearizálása Relatív egységek Gyakorlati szempontok
17 18 19 19 20 24 26 28 31 32 32 33 35 38 39
leírására
2. Folytonos idejű lineáris rendszerek leírása az idő-, az operátor- és a frekvenciatartományban 41 2.1.
2.2.
2.3. 2.4.
2.5.
Folytonos idejű rendszerek leírása az időtartományban n-edrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet és megoldása az időtartományban Differenciálegyenletek állapotváltozás alakja Tipikus vizsgálójelek, súlyfüggvény, átmeneti függvény A rendszer válasza tetszőleges bemenőjelre Elsőrendű differenciálegyenlet megoldása Transzformálás az időtartományból a frekvencia-, illetve az operátortartományba F O U R I E R sor, F O U R I E R integrál, F O U R I E R transzformáció L A P L A C E transzformáció Az átviteli függvény Tagok alapkapcsolásai. Blokk-diagram algebra, hatásvázlat átalakítások Lineáris rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban A frekvenciafüggvény grafikus megjelenítése Tipikus tagok jellemző függvényei Ideális alaptagok Tárolós tagok Arányos tárolós, integráló tárolós, differenciáló tárolós tagok A zérusok hatása Nem minimumfázisú rendszerek Aszimptotikus B O D E diagram gyors felvázolása A paraméterváltozások hatása
41 45 46 48 50 51 51 54 58 62 66 68 69 70 73 82 83 86 88 88
Közelítő leírások Domináns póluspár Többtárolós tagok közelítése holtidős egytárolós
89 89 90
vagy kéttárolós
taggal
41
6
2.6.
Holtidős tag átviteli függvényének közelítése racionális törtfüggvénnyel Példák folytonos idejű rendszerek leírására Egyenáramú motor Folyadéktartály Két tartályos rendszer Hőfolyamat Mozgó fordított inga
3. Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben 3.1. 3.2. 3.3.
3.4.
Az állapotegyenletek megoldása a fekvenciatartományban Az állapotegyenletek megoldása az időtartományban Az állapotegyenletek transzformációja, kanonikus alakok Diagonális kanonikus alak Irányítható kanonikus alak Megfigyelhető kanonikus alak Az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalma A KÁLMÁN-/e7e dekompozíció Közös pólus és zérus hatása Fordított inga
107
'
4. A negatív visszacsatolás 4.1. 4.2.
Irányítás nyitott és zárt körben A negatívan visszacsatolt szabályozási kör alapvető tulajdonságainak szemléltetése 4.3. A visszacsatolt műveleti erősítő 4.4. A szabályozási kör eredő átviteli függvényei 4.5. Statikus jelátviteli tulajdonságok 4.6. A nyitott és a zárt kör frekvenciafüggvényeinek kapcsolata Az M-a és E-P görbék 4.7. A negatív visszacsatolás érzékenysége a paraméterváltozásokra 4.8. A szabályozásokkal szemben támasztott követelmények 4.9. A szabályozás zavarelhárító képességének növelése Zavarkompenzáció Kaszkád szabályozás 4.10. Visszacsatolásos kompenzáció 4.11. Szabályozás kisegítő módosított jellemzővel
5. Lineáris szabályozások stabilitása 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
5.5.
91 93 93 99 101 103 105
A stabilitás fogalma A szabályozási kör stabilitása A folytonos idejű lineáris szabályozási rendszer stabilitásának matematikai megfogalmazása Analitikus stabilitási kritériumok Stabilitásvizsgálat a R O U T H séma alapján Stabilitásvizsgálat a H U R W I T Z determináns alapján Stabilitásvizsgálat a gyökhelygörbe alapján A gyökhelygörbe módszer alapösszefüggései A gyökhely görbe megszerkesztésének néhány szabálya Néhány példa a gyökhelygörbe meghatározására a szerkesztési szabályok alapján A gyökhelygörbe menete a huroktényezőtől eltérő paraméter változása esetén
109 111 112 113 114 116 117 124 125 127
129 129 130 133 135 139 143 144 148 151 154 155 156 159 159
161 161 163 165 166 166 168 168 169 171 173 175
7
5.6.
5.7.
stabilitási kritérium A csillapítatlan lengés kialakulásának szemléltetése a frekvenciatartományban Az egyszerűsített N Y Q U I S T stabilitási kritérium Az általánosított N Y Q U I S T stabilitási kritérium Néhány példa a N Y Q U I S T stabilitási kritérium alkalmazására A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai Strukturális és feltételes stabilitás A stabilitás megítélése a B O D E diagramból
185 188 190
Robusztus stabilitás
192
NYQUIST
6. Tervezés a frekvenciatartományban 6.1. 6.2. 6.3.
A z idő- és frekvenciatartománybeli jellemzők kapcsolata A minőségi előírások megfogalmazása a frekvenciatartományban A felnyitott kör frekvenciakarakterisztikájának formálása
7. Stabilis folyamatok irányítása 7.1. 7.2. 7.3.
7.4. 7.5.
A YOULA-parametrizálás A S M I T H szabályozó A T R U X A L - G U I L L E M I N szabályozó A beavatkozó jelre vonatkozó korlátozások hatása A z elérhető legjobb szabályozás fogalma Altalános elmélet Tapasztalati összefüggések
8. Hagyományos szabályozók tervezése
177
111 178 180 183
195 195 196 199
205 205 214 216
217 218 218 223
225
8.1.
A PID szabályozó család és tervezése P szabályozók hangolása I szabályozók hangolása Pl szabályozók hangolása PD szabályozók hangolása PID szabályozók hangolása A holtidő hatásának figyelembevétele PID szabályozók megvalósítása
226 230 231 231 232 234 236 237
8.2.
Maradék rendszerek tervezése Holtidős integráló maradék rendszer Egytárolós integráló maradék rendszer Tapasztalati szabályozó hangolási módszerek
238 239 242 244
A Z I E G L E R - N I C H O L S szabályok O P P E L T módszere C H I E N - H R O N E S - R E S W I C K módszere S T R E J C módszere
244 245 246 246
8.3.
relé módszere
247
Az Á S T R Ö M - H Á G G L U N D módszer
248
ÁSTRÖM
8.4. 8.5.
Korlátozások kezelése: "anti-reset windup" Néhány speciális szakasz szabályozása Kétszeresen integráló szakasz kompenzálása Labilis szakasz kompenzálása 8 . 6 . Szabályozótervezés 6 0 ° - o s fázistöbbletre a póluskiejtés módszerével
9. Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök 9.1. 9.2.
Póluselhelyezés állapotvisszacsatolással Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás
249 251 252 254 259
265 266 269
8
9.3. 9.4. 9.5.
Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás ekvivalens átviteli függvényekkel Kétlépcsős tervezési módszerek állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoló LQ szabályozó
10. Altalános polinomiális módszer szabályozók tervezésére 11. Mintavételes szabályozási rendszerek
272 275 277
279 285
11.1. Mintavételezés 11.2. Tartás 11.3. Diszkrét idejű jelek leírása z-transzformáltakkal, a z-transzformáció és inverzének alapösszefüggései A z-transzformáció néhány alaptulajdonsága Elemi jelsorozatok z-transzformáltja Inverz z-transzformáció Végértéktételek
292 293 295 297 299
11.4. Mintavételes rendszerek leírása az idő-, az operátoros és a frekvenciatartományban Allapotteres modell Az eltolási operátor alkalmazásán alapuló bemeneti-kimeneti A z-transzformáció alkalmazásán alapuló modellezés A zérusok transzformációja 11.5. Az állapotegyenletek strukturális tulajdonságai
300 300 303 306 314 315
_ modellek
12. Mintavételes szabályozások tervezése stabilis folyamatok irányítására 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6.
A Y O U L A - s z a b á l y o z ó mintavételes rendszerekre A S M I T H szabályozó mintavételes szabályozási körben A TRUXAL-GU1LLEMIN szabályozó mintavételes rendszerekben Véges beállási idejű szabályozók tervezése Predikciós szabályozók Az elérhető legjobb diszkrét idejű szabályozás Altalános elmélet Tapasztalati összefüggések
13. Hagyományos diszkrét idejű szabályozók tervezése 13.1. A mintavételes PID szabályozó család és tervezése Mintavételes Pl szabályozók hangolása Mintavételes PD szabályozók hangolása Mintavételes PID szabályozók hangolása 13.2. További tervezési módszerek Közbenső folytonos idejű szabályozó tervezése és diszkretizálása Diszkrét idejű szabályozó tervezése diszkretizált folyamatmodell alapján Diszkrét idejű szabályozó tervezése folytonos idejű folyamatmodell alapján 13.3. Mintavételes maradék rendszerek tervezése Kéttárolós folytonos holtidős folyamat
287 289
321 321 324 325 326 333 335 335 336
337 339 340 341 342 344 346 355 356 359 359
T U S C H Á K módszere
362
Kéttárolós
diszkrét holtidős folyamat
364
14. Allapotvisszacsatolás mintavételes rendszerekben
367
14.1. 14.2. 14.3. 14.4.
Diszkrét idejű póluselhelyezés állapotvisszacsatolással Diszkrét idejű megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Kétlépcsős mintavételes tervezési módszerek állapotvisszacsatolással Diszkrét idejű állapotvisszacsatoló LQ szabályozó
368 370 373 375
15. Általános polinomiális módszer diszkrét idejű szabályozók tervezésére Függelék F-l. F-2. F-3. F-4. F-5.
Matematikai összefoglaló Jelek és rendszerek összefoglaló Szabályozástechnikai szabványos jelek és elnevezések Szabályozástechnikai C A D Bizonyítások, levezetések
Irodalomjegyzék
Jelölések Folytonos idejű rendszerek átviteli függvénye:
H
Diszkrét idejű rendszerek átviteli függvénye:
G
Szabályozó:
C
Folyamat:
P
Diszkrét idejű folyamat
G
Érzékenységi függvény:
S
Kiegészítő érzékenységi függvény:
T
Hurokátviteli függvény:
L
Körerősítés
K
Hurokátviteli tényező
k
YOULA
paraméter:
(vagy P ) d
Q
Folytonos idő:
(')
Diszkrét idő:
M
LAPLACE
transzformáció
z-transzformáció Komplex operátoros argumentum ( i f transzf.) Komplex operátoros argumentum ( ^ - t r a n s z f . )
if{...} *{•••} s
Szabályozott jellemző:
z r y
Hibajel:
e
Beavatkozó jel:
u
Alapjel:
(vagy y ) r
Bemeneti zavarás Kimeneti zavarás
y
(vagy y )
Mérési zaj
y
Vektor
a,b,c,...
Sorvektor
a\b ,c\...
Mátrix
A,B,C,...
Mátrix transzponáltja
A
Mátrix adjungáltja
adj(A)
Mátrix determinánsa
det(A)
Állapotváltozó:
x
Állapotegyenlet paraméterei (folytonos):
A,
Állapotegyenlet paraméterei (diszkrét):
F,g,h,d
n
n o
2
T
T
(vagy \A\)
b,c,d
Diagonális mátrix Egységmátrix Mintavételezési idő: Holtidő (folytonos):
/ = diag[U...,l]
11
Holtidő (diszkrét):
d
Járulékos holtidő
\
Átmeneti függvény
v(f)
Súlyfüggvény
w{t)
Frekvencia (körfrekvencia)
CO
Folytonos jel spektruma Mintavételezett jelsorozat spektruma
F,U<°)
Diszkrét idejű modell spektruma
F (j(o)
Polinomok
A, B, C, V, g, deg{.4}
Polinom fokszáma Karakterisztikus egyenlet Szabályozó kimenőjelének korlátja Gradiens Minden co-ra Komplex szám vagy függvény szöge
á
Tizes alapú logaritmus
T
A(s) = 0
U grad[/(x)] Vco ^
Exponenciális függvény Természetes alapú logaritmus
(vagy G(;co))
(vagy arg(...)) (vagy exp(...))
log(-)
12
Előszó "Navigare necesse est", azaz hajózni muszáj, mondták az ókori görögök. "Controlare necesse est", azaz irányítani muszáj mondjuk a X I X századi technikai forradalom óta. Valóban mindennapi életünkben környezetünkben szinte alig találunk olyan berendezést, amelyben ne lenne legalább egy vagy jónéhány olyan szabályozási probléma, amelyet automatika old meg helyettünk, és ami a legfontosabb, értünk. A vasalóban egy relés hőmérséklet szabályozás működik, a gázfűtésünkszintén a hőmérsékletet szabályozza, de a jobbak már figyelembe veszik a környezeti hőmérsékletet is A z otthonunkban lévő korszerű audiovizuális eszközökben már tucatszám található olyan automatikus m ű k ö d é s ű szabályozási feladat, amelyet szintén megfelelő automatika lát el: a szalagos audio és video magnó sebessége, indítási és leállítási feladata; a C D és D V D rendszerek hasonló működésmódjai; az asztali számítógépünkben a processzor hőmérséklet szabályozása, a merevlemez fejeinek pozícionálása, stb. Ha beülünk az autónkba akkor a korszerűek már az üzemanyag mennyiségét, a fékek összehangolt működését szintén automatikus szabályozó berendezésekkel oldják meg. Ha repülőgépre szállunk, eszünkbe jut-e, hogy ezek a gépek n e m tudnának repülni szabályozás nélkül, hiszen önmagukban a labilis rendszerek tipikus példái. A mai korszerű repülőgépeken a szabályozási feladatok száma már inkább a százas nagyságrendbe esik. Az emberiség nem tudott volna elindulni az űr meghódításának szép és nehéz útján sem,ha nem old m e g és realizál sok száz automatikus vezérlési és szabályozási feladatot a rakéta technika és a szatellitek pályára illetve célba juttatása során. A legutóbbi Mars-járók esetében pedig már a berendezésbe épített helyi intelligencia is olyan magas szintű, amelyet nem említhetünk az egyszerű szabályozási feladatok között. Nagyipari folyamatainkban a megoldandó szabályozási feladatok száma inkább az ezres vagy tízezres nagyságrendbe esik már. A gyártandó termék mennyisége, minősége, a környezet megvédése nem biztosítható ezen automatikusan m ű k ö d ő rendszerek nélkül. A termékek piacra kerülése elengedhetetlen követeleményként igényli számos mennyiség igen pontos (sokszor előírt pontossági sávon belüli) szabályozását. Szinte minden szerelő üzemben - az egyszerű termelő szalagtól kezdve az automatikusrobotokig - ezek is mind a szabályozás, irányítás automatikus megoldásait (control) alkalmazzák. Az orvosbiológia fejlődésével felfedezték, hogy az élő szervezetekben, így az emberébens több tucat alapvető sajátos szabályozási folyamat (vérnyomás, hőmérséklet, vércukor szint, hormon szintek, stb.) zajlik és a mai technika kezd eljutni oda, hogy ezek közül némelyet már berendezéseinkkel át tudunk vállalni betegség vagy egyéb probléma esetén. A közgadaságtan számos alapfolyamata (kereslet-kínálat, raktározás-készlet, makro és mikro mérlegek, stb.) szintén magában hordozza a természetes, vagy az emberi beavatkozás következtében mesterséges vezérlés, irányítás, szabályozás folyamatait. A hétköznapi ember szinte alig találkozik közvetlenül aszabályozás fogalmával, bár azt naponta működteti a nyomógombokon, kapcsolókon és egyéb kezelőeszközökön keresztül. Ezért szokásos rejtett (hidden) technológiáról is beszélni. Ez a rejtett jelleg okozza sokszor azt a vulgáris véleményt, amely szerint nincs szükség az irányítás és szabályozás elméletének, technológiájának tanulmányozására, hiszen az jön az eszközökkel, berendezésekkel, készülékekkel együtt, azokba beépítve. N e m szabad azonban elfelejtkeznünk aról, hogy ezeket
valakiknek meg kell tervezni, le kell gyártani, tulajdonságaival a világpiacon helyt kell állni, tehát mindazokban a folyamatokban élenjáróan részt kell venni, amelyek egy országot a fejlett országok sorába tudunk emelni. A XIX. század korszerű technológiáiban az alapvető feldolgozó, értékelő és döntést hozó berendezés ma már a legtöbbször a számítógép (computation). A valós időben m ű k ö d ő folyamatok jellemzőinek, jeleinek a megfigyelését, ezek átalakítását és továbbítását, valamint a (communication) végrehajtási parancsok, rendelkezések továbbítását is a digitális hírközlés végzi. Ezért szokásos a fentemlített három terület Control-Computation-Communication=C^ szerves együtteséről (synergy) beszélni. A Szabályozástechnika jegyzet azt a célt tűzte ki,hogy összefoglalja mindazokat az ismereteket, amelyek bevezető kurzusok keretében szerte a világon az egyetemi oktatástszolgálják. Az egyes fejezetek, részek közötti hangsúlyok természetesen változhatnak, de a jegyzet megpróbál olyan konvertibilis tudást nyújtani, hogy ezen ismeretek birtokában a világ bármelyik egyetemén megfelelő alapokkal (basic-course) indulhasson a hallgató a szabályozástechnika és irányításelmélet további, magasabb szintű tanulmányai felé. A jegyzet az egyváltozós (egy bemenetű és egy kimenetű), lineáris, állandó paraméterű, tehát legegyszerűbb, rendszerekkel foglalkozik. így nem tárgyalja a többváltozós, nemlineáris, változó paraméterű, sztochasztikus rendszereket. (Hasonlóképpen n e m foglalkozik a korszerű adaptív, optimális és robusztus szabályozók elméletével sem.) T u d n u n k kell, hogy a valóság ennél sokkal bonyolultabb, tehát többváltozós, nemlineáris, stb., azaz a jegyzet anyaga az első lépés a valódi rendszerek irányítási módszereinek elsajátításához. Másrészt meg kell említenünk, hogy számos gyakorlati feldat során is igen jó eredményeket kapunk az itt szereplő egyszerűsített megközelítések alkalmazásával. Viszonylag nagy teret szánunk a szabályozástechnika megalapozásában oly nélkülözhetetlen "Jelek és rendszerek" témaköreire. Erre azért van szükség, mert tapasztalataink alapján ezt a tudást nem naprakészen, és nem kellő színvonalon hozzák magukkalhallgatóink. Akinek tudása bizonytalan, a megfelelő fejezetekben azt felfrissítheti. Ez kis részben igaz a Függelékben összefoglalt matematikai alapismeretekre is. Szeretnénk elérni, hogy a jegyzet megértéséhez az olvasónak ne kelljen más jegyzethez, könyvhöz fordulnia. A jegyzetben sok képlet szerepel. Ez egy ilyen tárgy, ez egy ilyen témakör, ami sokszorjesztő a hallgatóknak. A szükséges számítások bonyolultsága viszont sehol sem haladja m e g a mérnöki számítások bonyolultságát, illetve ahol ez kézzel nehezen végezhető el, ott utalunk a számítástechnikai eszközök, célszoftverek szükségességére. Tudni kell, hogy aiemzetközipicra gyártó cégek tervező mérnökei felé ez a szint ma alapkövetelmény, hozzátéve persze, hogy az elméleti tudás csak sokéves gyakorlati tapasztalattal tud igazán hasznosulni. ("Semmi sem gyakorlatibb, mint egy j ó elmélet!") Az általunk oktatotttárgy vizsga-statisztikái igazolják, hogy semmivel sem rosszabbak más hasonló jellegű tárgy statisztikáinál. A szerzők arra számítanak, hogy a jegyzet kellő alapot nyújt a hazai megújuló alapszintű (BSc) oktatás mindazon szakjai számára, ahol a Szabályozástechnika oktatandó tárgy és ahol a cél a következő, mesterszintű (MSc) oktatás előkészítése. Ezt a jegyzetet egy tanszéki (BMGE Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék) munkaközösség készítette el Keviczky László vezetésével. A z anyag támaszkodik a tanszék korábbi, évtizedes egyetemi oktatási tapasztalatára és jegyzeteire, de természetesen a mostani
14 anyag nem összevethető a korábbiak céljaival és terjedelmével. A z egyes fejezetek megírásában a munkacsoport következő tagjai játszottak elsődleges szerepet 1. Fejezet 2. Fejezet 3. Fejezet 4. Fejezet 5. Fejezet 6. Fejezet 7. Fejezet 8. Fejezet 9. Fejezet 10. Fejezet 11. Fejezet 12. Fejezet 13. Fejezet 14. Fejezet 15. Fejezet
(Bars Ruth) (Bars Ruth és Barta András) (Keviczky László) (Bars Ruth és Barta András) (Bars Ruth) (Keviczky László és Bars Ruth) (Keviczky László) (Keviczky László és Bars Ruth) (Keviczky László) (Keviczky László) (Hetthéssy Jenő) (Keviczky László) (Keviczky László és Hetthéssy Jenő) (Keviczky László) (Keviczky László)
A jegyzet elkészítésében további meghatározó munkát végzett m é g Bányász Csilla. A jegyzet ábráinak elkészítésében aktív szerep hárult Bogárdi-Mészöly Ágnes, Dávid Zoltán és S o m o g y i Gábor doktorandusz hallgatókra. A jegyzethez laboratóriumi gyakorlati anyag is tartozik külön kiadvány formájában, valamint egy vizsgakérdés és feladatgyűjtemény teszi teljessé a hallgatók alapos felkészülésének segítését.
1. Bevezetés Az irányítás egy folyamatba való beavatkozás adott cél elérése érdekében. A z ipari termelési folyamatok irányításakor rendszerint technológiai folyamatokról van szó, de bármilyen fizikai, kémiai, biológiai, hírközlési, gazdasági, társadalmi folyamatok kívánt mederben tartásához irányításra van szükség. Irányítási módszereket kell alkalmazni, ha valamilyen mennyiséget kívánt értéken kell tartani. Irányítással kell biztosítani például, hogy lakásunk hőmérséklete télen és nyáron egyaránt kellemes legyen. Egy repülőgép irányításakor a pilótának (vagy robotpilótának) rendkívül sokrétű irányítási feladatokat kell ellátnia, hogy a repülőgép sebességét, irányát, magasságát a kívánt értéken tartsa. Irányítási rendszerek az élet minden területén jelen vannak, a háztartásban (pl. mosógép programjának beállítása, hőfokszabályozós vasaló, légkondicionáló berendezés, stb.), a közlekedésben, az űrkutatásban, a hírközlésben, az ipari termelésben, a gazdasági életben, az orvostechnikai rendszerekben, stb. Számos irányítási rendszer létezik az élő szervezetekben is.
meleg víz ^ hidegvíz
^ / ^ |
1.1. ábra A zuhanyozás, mint irányítási feladat Irányítási rendszerek környezetünkben mindenütt jelen vannak. Irányítási rendszert valósítunk meg például zuhanyozás közben, amikor a zuhany hőmérsékletét a számunkra kellemes hőmérsékleten kívánjuk tartani (1.1. ábra). Ha a testünkkel érzékelt hőmérséklet eltér a kívánt értékétől, beavatkozunk, jobban megnyitjuk a hideg vagy meleg vízcsapot. A hideg és a meleg víz keveredés után a zuhanycsövön keresztül halad, a változtatás hatása késleltetéssel érvényesül. A késleltetés hatását figyelembe kell venni egy esetleges újabb beavatkozás eldöntésekor. A lejátszódó irányítási folyamatot az 1.2. ábra blokkvázlata szimbolizálja. Kívánt hőmérséklet
o
Hiba
Döntés késleltetés
Késleltetés a döntés és a beavatkozás között
Vízcsap állítása
Áramlási késleltetés
Zuhany hőmérséklet
Érzékelt hőmérséklet Kézi érzékelés
1.2. ábra Zuhanyozás irányítási blokkvázlata Az 1.3. ábra egy szoba hőmérsékletének beállítására szolgáló irányítási rendszert mutat be vázlatosan villamos fűtés esetén. Az 1.4 ábra néhány folyamatot szemléltet, amelyek megfelelő működéséhez irányításra van szükség. A motor fordulatszámát vagy szöghelyzetét,a tartály folyadékszintjét kívánjuk állandó értéken tartani. A hőcserélőben az átfolyó folyadék hőmérsékletét, a kémiai reaktorban a vegyi átalakulás során létrejövő anyagok minőségét és mennyiségét kell beállítani. A desztillációs
16 kolonnában a bejövő kőolajból kívánjuk szétválasztani az egyes komponenseket, ehhez az oszlopban lévő tányérok hőmérsékletét kell egymáshoz képest megfelelően irányítani. A mindennapi gyakorlatban, a háztartásban, továbbá a legkülönbözőbb termelési folyamatokban számos irányítási feladatot kell megoldani. Kívánt szobahőmérséklet
Fűtés be- vagy kikapcsolása Tényleges _ szobahőmérséklet
FOtötest
Relé
1.3. ábra Szoba hőmérsékletének irányítása
6n Folyadékáram
Hűtfifolyadékj
Motor
Hőcserélő
Tartály
Fejtermék
Reagens vegyi anyagok Hűtőfolyadék Betáplálás
Hűtőfolyadék' Fenóktermék Vegyi reaktor
Desztillációs kolonna
1.4. ábra Néhány tipikus irányítási feladat A továbbiakban műszaki rendszerek irányítási folyamatait tárgyaljuk. A z ipari termelési folyamatok irányításának lényeges szerepe van a jobb termékminőség biztosításában, az energiafelhasználás minimalizálásában, a biztonság növelésében, a környezetszennyezés csökkentésében. A z anyagi javakat előállító termelési folyamatokban anyag- és energiaátalakítási folyamatok mennek végbe. Irányítással biztosítani kell e folyamatok megfelelő elindítását, fenntartását, leállítását. Egy hőerőműben például a szén kémiai energiája az elégetéskor hőenergiává alakul át A hőt gőz előállítására használják fel. A gőz meghajtja a gőzturbinát, mechanikai forgási energia jön létre. A turbina forgatja a szinkrongenerátor forgórészét az állórész mágneses terében. Ezáltal villamos energia jön létre. Ezeket a folyamatokat előírt mederben kell tartani. A folyamatokat el kell indítani, működésüket megadott előírásoknak megfelelően kell fenntartani. Az energiatermelési folyamatnál biztosítani kell például, hogy a változó napi terhelés ellenére a villamos energia előírt feszültségen és frekvencián előírt pontossággal álljon rendelkezésre. A folyamatok leállítását is biztonságosan kell végrehajtani. A folyamatok kívánt fenntartása különböző fizikai mennyiségek állandó értéken tartását vagy adott törvényszerűség szerinti megváltoztatását jelenti. Ilyen fizikai mennyiségek lehetnek például egy közeg hőmérséklete, nyomása, egy anyag összetétele, egy gép fordulatszáma, egy tengely szöghelyzete, egy tartály folyadékszintje, stb.
KÖRNYEZET
Villamos energia
Fűtőanyag (kémiai energia)
1.5. ábra A rendszer és a környezet Egy folyamat olyan rendszert alkot, amely sokrétűen kapcsolódik környezetéhez. Egy hőerőmű például a fűtőanyag kémiai energiáját villamos energiává alakítja át. A rendszer több egymáshoz kapcsolódó berendezésből áll (kazán, gőzturbina, szinkrongenerátor, segédberendezések). A rendszer a bemenő mennyiséget (fűtőanyag) kimenő mennyiséggé (villamos energia) alakítja át, miközben a környezettel sokoldalú kapcsolatban áll (hulladék anyagot termel, a környezetbe hőt ad le, mechanikai rezgést és zajt kelt, stb.). A rendszer és a környezet kapcsolatát az 1.5. ábra szemlélteti. Ha az energiatermelés részét képező turbógenerátor működését kívánjuk vizsgálni, a rendszert és környezetét másként állapítjuk m e g (1.6. ábra). A rendszert a turbógenerátor jelenti, amely a gőz hőenergiáját villamos energiává alakítja. KÖRNYEZET Gőz
__.
Villamos energia
I
Fáradt gőz
1.6. ábra A rendszer és a környezet A környezetből a rendszerbe menő mennyiségek a bemenetek, a rendszerből a környezetbejövő mennyiségek a kimenetek. A z irányítással a bemenő mennyiségek megfelelő módosításán keresztül a kimenő mennyiségeket az előírásoknak megfelelő értékeken kívánjuk tartani. 1.1. Alapfogalmak Az irányítás olyan művelet, amely valamely folyamatba annak elindítása, fenntartása, megfelelő lefolyásának biztosítása, megváltoztatása vagy megállítása végett beavatkozik. Az irányítás alapja a folyamatról illetve környezetéről való információszerzés, megfigyelés, érzékelés, mérés útján. A különböző fizikai mennyiségek méréséhez mérőműszerekre van szükség. Az irányítási cél ismeretében és a folyamatról illetve környezetéről szerzett információ alapján döntést hozunk a folyamatba történő megfelelő beavatkozásra. Az irányítás műveletére jellemző, hogy nagy energiájú folyamatokat rendszerint kis energiájú hatásokkal befolyásol.
Az irányítás módja az, hogy egy e célra létesített külső berendezés mért vagy más úton szerzett adataik alapján megváltoztatja a folyamat közvetlenül befolyásolható jellemzőit, és ezen keresztül eléri más jellemzőknek a kívánt változását is. Az irányított folyamat és az irányító berendezések együttese az irányítási rendszer.
ff
Q
1.7. ábra Kézi szintbeállítás
1.8. ábra Automatikus vízszintállítás
Az irányítás lehet kézi vagy automatikus irányítás. Kézi irányítás esetén a megfigyelt mennyiség alapján a kezelő személy hoz döntést és avatkozik be a folyamatot befolyásoló mennyiség megváltoztatásával. Automatikus (önműködő) irányítás esetén a döntéshozás és beavatkozás funkcióját gépi berendezések veszik át. Az ember feladata ekkor az irányító berendezések beállítása, ellenőrzése, karbantartása. Kézi irányítás a zuhanyozás (1.1. ábra), kézi irányítást szemléltet az 1.7. ábra is. A kezelő személy figyeli a tartályban a folyadék szintjét és az elfolyó mennyiséget befolyásoló csap szelephelyzetével állítja be a kívánt folyadékszintet. Az 1.8. ábra automatikus vízszintállítást mutat. A folyadékszintet úszó érzékeli. H a a szint eltér kívánt értékétől, a befolyó mennyiséget befolyásoló szelep jobban vagy kevésbé nyit. A z irányítástechnika az irányítási rendszerek törvényszerűségeivel, az irányítási műveletek vizsgálati módszereivel, az irányítási rendszerek tervezésével, megvalósításával foglalkozik. Zavarás
Irányítási cél
Információ feldolgozás és döntés
Seavakozó (módosított) jellemző beavatkozás
FOLYAMAT
Irányított jellemző
Információ szerzés, érzékelás
1.9. ábra Irányítási rendszer működési vázlata A z irányítási folyamat alapműveletei A z irányítási folyamat a következő műveletekből áll (1.9. ábra): Érzékelés: információszerzés az irányítandó folyamatról és környezetéről ítéletalkotás: az értesülés feldolgozása és az irányítási cél alapján döntéshozás a rendelkezés szükségességéről Rendelkezés: utasítás a beavatkozásra Jelformálás: a beavatkozás módjának, jellegének befolyásolása Végrehajtás, beavatkozás: az irányított folyamat befolyásolása a rendelkezés alapján. Az egyes műveleteket megfelelő szerkezeti egységek, ún. szervek hajtják végre.
19
A jel fogalma, a jelek felosztása Az irányításhoz a folyamat változását érzékelni kell. A folyamat változása külső és belső hatások következtében áll elő. A folyamat jellemzőit, amelyekben a változás megnyilvánul, valamint a külső és belső hatásokat jelek testesítik meg. A jel olyan fizikai mennyiség, vagy a fizikai mennyiség megváltozása, amelynek információtartalma van. Jellemzőnek nevezzük azokat a jeleket, amelyek a folyamat változását mutatják, függetlenül a folyamathoz kapcsolódó irányítási rendszertől. A jel az irányítási rendszerben megjelenő információ. A jel információ szerzésére, továbbítására, tárolására alkalmas. A jeleket és jellemzőket mérőműszerekkel érzékelhetjük. A jeleknek van fizikai megjelenési formája (áram,feszültség, hőmérséklet, stb.) ez a jelhordozó, és van információtartalma - amely a jel által képviselt hatást (pl. az áram időbeli változását) mutatja. A jeleket különböző szempontok szerint oszthatjuk fel. Az időbeli lefolyás szerint a jel lehet folyamatos, ha adott időtartományban megszakítás nélkül fennáll; diszkrét idejű vagy mintavételezett a jel, ha csak meghatározott időközönként és időtartamban szolgáltat információt. Értékkészlete szerint a. jel lehet folytonos, ha értékkészlete összefüggő tartomány; szakaszos, ha csak meghatározott értékeket vehet fel. Az információ megjelenési formája szerint a jel lehet analóg, ha az információt a jelhordozó értéke közvetlenül képviseli; digitális, ha az információ a jelhordozó digitálisan kódolt formában, diszkrét értékeiben van jelen. Az érték meghatározottsága szerint a jel lehet determinisztikus, ha értéke egy meghatározott időfüggvénnyel egyértelműen megadható; sztochasztikus, ha véletlen lefolyású és statisztikai módszerekkel írható le. A folyamat jellemzői lehetnek bemenőjelek, kimenőjelek és belső változók. A bemenőjelek közül azokat, amelyekkel a folyamatot befolyásolni kívánjuk, beavatkozó jellemzőknek nevezzük. A többi b e m e n ő változó a folyamat zavaró jellemzője. A rendszertechnikai összefüggések ábrázolása Az irányítási rendszer részei egymással kölcsönhatásban vannak. A z egyes részek kapcsolatát különböző hatásvázlatokkal adhatjuk meg. Amint azt a korábbiakban említettük, az irányítási feladatokat ellátó berendezéseket szerveknek nevezzük (pl. érzékelő szerv, beavatkozó szerv, stb.); a szervek szintén szerepelnek a hatásvázlatokban. A szerkezeti vázlat a rendszert alkotó berendezésekről és azok kapcsolatáról ad áttekintést. Elsősorban a rendszer irányítástechnikai szempontból lényeges részeit tünteti fel. Rendszerint az adott szakterület szabványos jelöléseit alkalmazza. Rendszertechnikailag n e m az egyes szervek működése, hanem a műküdésük által kiváltott információ tovaterjedő hatása az érdekes. A működési vázlat a szerkezetek kapcsolódását, egymásra hatását mutatja, a szerkezetek fizikai jellegétől elvonatkoztatva. A szerkezeteket a vázlatban téglalap szimbolizálja. A szerkezetet jelképező téglalapba befutó, nyíllal ellátott irányított vonal a bemenőjelet, a téglalapból kilépő irányított vonal a kimenőjelet jelenti. A nyilak iránya a hatásirány. A téglalapokba a szerkezeti egység funkcióját írjuk be (pl. érzékelő szerv, beavatkozó szerv, szabályozó, stb.).
20 Egy irányítás megvalósításakor először a folyamat kívánt műküdésével szemben támasztott követelményeket, az irányítás célját fogalmazzuk meg. Ezután a feladat megoldásához megválasztjuk az irányítási rendszer egyes szerveit, amelyek a folyamathoz és egymáshoz kapcsolódnak. A z irányítási rendszer működésének vizsgálatakor ellenőrizni kívánjuk, hogy az irányítás eleget tesz-e a minőségi előírásoknak. Ehhez az egyes elemek jelátviteli tulajdonságait és azok kapcsolódását kell áttekinteni. A hatásvázlatban (blokk-diagramban) a működési vázlat egyes elemeit jelátviteli tulajdonságaikkal, a kimenő- és bemenőjeleik kapcsolatát leíró matematikai összefüggésekkel adjuk m e g . Ezek az összefüggések lehetnek matematikai egyenletek, táblázatok, jelleggörbék, műveleti utasítások, stb. Az egyes elemek jelátviteli tulajdonságait az elem fizikai működésének matematikai leírásával, továbbá a leírásban szereplő paraméterek megadásával jellemezhetjük. A gyakran előforduló műveletek jelzésére a téglalapba beírt jel (pl. integrálás jele) szolgál. A z összegezés vagy különbségképzés szimbólumát az 1.10. ábra mutatja. A hatásvázlat elemeit tagoknak nevezzük. Azon tagok összessége, amelyeken a jel azonos hatásirányban áthalad, a hatáslánc.
•o
y> -y
o
+
y\
y
y
2
2
2
2
1.10. ábra Összegezés és különbségképzés jelölései A hatásvázlat az irányítási rendszer modelljének tekinthető. E modellben a rendszer jelátviteli tulajdonságait tartjuk szem előtt, egyéb tulajdonságait figyelmen kívül hagyjuk. A hatásvázlat alapján vizsgálhatjuk az irányítási rendszer statikus (stacioner állapotbeli) és dinamikus viselkedését. A hatásvázlat alapul szolgál az irányítási rendszer megtervezéséhez is. Természetesen a rendszer tényleges megvalósításakor a jelátviteli tulajdonságokon kívül más szempontokat is figyelembe kell venni (pl. energetikai korlátozások, szabványos megoldások). Vezérlés, szabályozás, zavarkompenzáció Ha az információt nem közvetlenül az irányított jellemző érzékelésévelnyerjük, vezérlésről vagy nyílt hurkú irányításról beszélünk. Ha az információt az irányított jellemző mérésével kapjuk, szabályozásról vagy visszacsatolt zárt hurkú irányításról van szó. A z 1.11. ábra egy szabályozási kör működési vázlatát adja meg. Zavarás
Alapja) kép2és Alapjelképzö szerv
r Alapjai
ítéletalkotás. kölönbségképzés
e
Szabályozó
Erősítés, jelformálás
Végrehajtás, beavatkozás
y
Beavakozó (módosított) jellemző
Szabályozott jellemző
U
Végrehajtó szerv Beavatkozó szerv Érzékelés
Érzékelő szerv
1.11. ábra Szabályozás működési vázlata Vezérlésre példa a mosógép időprogram szerinti irányítása az egymást követő műveletek (öblítés, mosás, centrifugálás) elvégzésére. A kimenőjelet (a ruhák tisztaságát) n e m mérjük. Ha egy terem fűtését a külső hőmérséklet értékétől függően állítjuk, ugyancsak vezérlésről van szó. Szabályozás esetén magát az irányítandó mennyiséget, a szabályozott (irányított) jellemzőt
21
érzékeljük. A szabályozási eltérés, a szabályozott jellemző aktuális és kívánatos értékének eltérése befolyásolja a folyamat (szakasz) bemenőjelét. A szabályozási kör szervei az érzékelő szerv, az alapjelképző szerv, a különbségképző szerv, az erősítő és jelformáló szerv, a végrehajtó és a beavatkozó szerv. A folyamatok jellemzőit műszerekkel érzékeljük. Anűszer az érzékelő szerv, az általa szolgáltatott mennyiség összehasonlítható az alapjelképző szerv által előállított alapjellel. A műszerek a különböző fizikai mennyiségekkel arányos jeleket szolgáltatnak. Az érzékelővel szemben az alábbi követelményeket támasztjuk: - megbízhatóan és a kívánt mérési tartományban működjön - ebben a tartományban legyen lineáris - legyen pontos - időkésleltetése legyen sokkal kisebb a folyamat időállandóinál - a mérési zajok legyenek minél kisebbek. Az érzékelő szerv az adott fizikai mennyiséget, a szabályozott jellemzőt méri, és olyan fizikai mennyiséggé alakítja, amely az előírt kimenőjel értékével arányos, és az alapjelképző szerv által előállított alapjellel összehasonlítható. A z összehasonlítást a különbségképző szerv végzi. A szabályozott jellemző mért értékét, az ellenőrző jelet összehasonlítjuk az alapjelképző szerv kimenőjelével, az alapjellel. A különbségi jelet rendelkezőjelnek nevezzük. A rendelkezőjel működteti a szabályozót. A szabályozó kimenőjele működteti a végrehajtószervet, amely a beavatkozószerv bemenőjelét szolgáltatja. A beavatkozószerv kimenete a módosított jellemző, ami a folyamat bemenőjele. A rendelkezőjel a szabályozott jellemzőnek a kívánt értékétől való eltérését mutatja. Ha értéke zérustól eltérő, beavatkozásra van szükség a hiba kiküszöbölésére. A szerveket gyakorlati megfontolások alapján választjuk meg. A z adott fizikai változók jeltartományába eső, a kereskedelmi forgalomban hozzáférhető érzékelőkből, beavatkozó szervekből és további irányítási egységekből állítjuk össze a szabályozási kört. A szabályozás alapja a negatív visszacsatolás (feedback), a rendelkezés az alapjel és a visszacsatolt érzékelt szabályozott jellemző értékének összehasonlítása révén jön létre. ( A z irányítás általános problematikájának többféle sémája létezik, de mindegyik lényege a visszacsatolás.) A jeleknek a hatásláncon való áthaladásához - a folyamat és a szabályozási rendszer egyes elemeinek dinamikája miatt - időre van szükség. Egy jól megtervezett szabályozó figyelembe veszi a zárt szabályozási hurok dinamikáját és biztosítja a szabályozási rendszerrel szemben támasztott minőségi követelmények teljesítését. A vezérlés és a szabályozás
összehasonlítása
Ha a beavatkozójel (módosított jellemző) és az irányított jellemző közötti kapcsolat pontosan ismert és az irányítási hatáslánc valamennyi eleméről és a zavaró jellemzőkről megbízható információk állnak rendelkezésre, a vezérlés jó irányítást biztosíthat. Ha azonban ismereteink a rendszerről és a zavarásokról pontatlanok, a vezérlés működése nem lesz kielégítő. A vezérlés olcsó irányítási lehetőséget biztosít, mivel n e m alkalmaz költséges érzékelő berendezéseket az irányítandó mennyiség mérésére, hanem előzetes ismereteket, vagy külső mennyiségekrőlkapott információt használ fel az ítéletalkotáshoz. Vezérléskor nem lépnek fel stabilitási problémák. A zárt hurkú szabályozás költségesebb, mint a vezérlés. Az irányított jellemzőt érzékelő műszerrel mérjük, és a beavatkozás az alapjel és az érzékelt kimenőjel eltérése alapján történik. A szabályozás képes az alapjel követésére és a zavarások elhárítására. Mivel a szabályozott jellemző értékét befolyásolják a zavarások, a szabályozás elhárítja az előre n e m ismert zavarások
22 hatását, és kompenzálja a folyamat modelljének pontatlanságából eredő paraméter bizonytalanságok hatását is. A szabályozás működésbe lép a kimenőjelnek a kívánt értéktől való eltérésének kiküszöbölésére, akármilyen hatás okozta is az eltérést. A negatív visszacsatolás következtében azonban stabilitási problémák léphetnek fel, a rendszerben nemkívánatos lengések jöhetnek létre. A rendszer stabilitása a szabályozó megfelelő tervezésével biztosítható.
•O
)
}
u
.
p
1.12. ábra Zavarkompenzáció Ha a zavarás mérhető, sokszor a zárt hurkú szabályozást kiegészítjük a zavarásról vett előrecsatolással (vezérléssel). Ezt a megoldást zavarkompenzációnak (angolul feedforward) nevezzük. A zavarkompenzáció hatásvázlatát a 1.12. ábra mutatja. A mért zavaró jellemzőtől függő jelet vezetünk vissza a hatáslánc valamelyik alkalmas jelösszegzési pontjára. A vezérlési kör tehermentesíti a szabályozási kört a zavarelhárításban. A z előrecsatolás a zavaró jellemző hatását igyekszik kiegyenlíteni. Ez a beavatkozás nyílt láncú, a zavaró jellemző befolyásolja az irányított jellemző értékét, a beavatkozás azonban magára a zavaró jellemzőre nem hat vissza.
1.13. ábra Kompaund gerjesztésű egyenáramú generátor A zavarkompenzációra klasszikus példa a villamos generátorok kompaund gerjesztése (1.13. ábra). A kapocsfeszültség az irányított jellemző, a gerjesztés a módosított jellemző. A generátor kapocsfeszültségét a terhelő áram (zavaró jellemző) lecsökkenti. Kompaundáláskor a gerjesztés egy részét maga a terhelőáram létesíti, így a zavaró jellemző azonnal létrehozza a semlegesítő hatást, és ezzel nagymértékben stabilizálja a generátor feszültségét. Ezen túlmenő finomabb feszültségszabályozásra zárt hurkú szabályozási kör alkalmazható. x
\
A és B keveréke
A anyag
X
2
ve,
[rO 1.14. ábra Keverő tartály
X w
—l
23 Tekintsük az 1.14. ábrán látható keverő tartályt. W j az A és B anyag keverékéből áTJó anyagnak a tartályba befolyó mennyisége. A keverékben az A anyag részaránya x . w a tartályba befolyó tiszta A anyagból álló mennyiség, x = 1. w az elfolyó JC összetételű anyagmennyiség. Feltételezzük, hogy W j állandó, x állandó, és a tartályban a keveredés tökéletes. A z irányítás célja az elfolyó anyag x összetételének (irányított jellemző) előírt értéken tartása az x^ értékében (zavaró jellemző) fellépő ingadozások ellenére. A beavatkozás a w beáramló mennyiség (módosított jellemző) változtatásával történhet a szelep állításával. A z irányítást szabályozással valósítjuk meg, ha az elfolyó anyag x összetételét mérjük és ettől függően állítjuk a w beáramló mennyiséget (1.15. ábra). Vezérlésről beszélhetünk, ha a befolyó keverékanyag x± összetételét mérjük, és ennek megfelelőenmódosítjuk a w beáramló mennyiséget (1.16. ábra). Az 1.17. ábra zavarkompenzációs megoldást szemléltet, amikor mérjük az elfolyó anyag x összetételét és a befolyó keverékanyag x összetételét is, és a w beáramló mennyiséget mindkét mért értéktől függően megfelelően állítjuk. (Az ábrákon az érzékelők, szabályozók, szelepek szabványos jelöléseit alkalmaztuk, lásd a Függelék F-3. pontját.) x
2
2
2
2
2
2
x
2
Villamos jel
Összetétel szabályozd Szabályozó szelep í-
x =1 2
ve2 AT )-—>
-y.LH]:-
Összetétel érzékelő
1.15. ábra A keverő tartályban a folyadék összetételének irányítása szabályozással
•vOr Összetétel szabályozó
JC, =1
Szabályozó £ szelep
-ID-Hl 1.16. ábra A keverő tartályban a folyadék összetételének irányítása vezérléssel
*, =1
összetétel érzékelő
1.17. ábra A folyadék összetételének irányítása zavarkompenzációval
A következő példa egy motor fordulatszámának beállítását mutatja vezérléssel és szabályozással. Egy C D lejátszóban a CD-t tartó tárcsát állandó fordulatszámmal kell forgatni. Beavatkozó szervnek választhatunk egy egyenáramú motort, amelynek szögsebessége arányos a kapocsfeszültséggel. A z 1.18. ábra a feladat megoldását nyílt hurokban, vezérléssel mutatja be. A motor kapocsfeszültségét egy egyenáramú tápegység szolgáltatja egy erősítőn keresztül. A fordulatszám arányos a kapocsfeszültséggel. Az (a) ábra a vázlatos szerkezeti vázlatot, a (b) ábra a működési vázlatot adja meg. A z 1.19. ábra a feladat szabályozással való megoldását mutatja
24 sematikusan. Az (a) ábra a szerkezeti vázlatot, a (b) ábra a működési vázlatot szemlélteti. A motor fordulatszámát tachométerdinamóval mérjük, amelynek kimenő feszültsége arányos a fordulatszámmal. A mért feszültséget összehasonlítjuk a tápegységgel beállított alapjel feszültséggel, amely az előírt fordulatszámmal arányos. A rendelkezőjel az erősítőn keresztül működteti a beavatkozószervet, az egyenáramú motort. Tápegység
t
ErősIKÍ
(a) Szerkezeti vázlat Irányító berendezés
Beavatkozó szerv
Folyamat
Erősítő
OC motor
Forgöasztal
A kívánt sebességgel arányos feszültség
Tényleges sebesség
(b) Működési vázlat
1.18. ábra C D lejátszó fordulatszámvezérlése Tápegység
(a) Szerkezeti vázlat
A klvént sebességgel arányos feszültség
Irányító berendezés
Beavatkozó szerv
Folyamat
Forgóasztal
Tényleges sebesség
Mért sebesség (feszfllteég)
(b) Működési vázlat
1.19. ábra C D lejátszó fordulatszámszabályozása A szabályozással a berendezés pontosabb, megbízhatóbb m ű k ö d é s e biztosítható. A szabályozás nemcsak az alapjel követését biztosítja, hanem kiküszöböli a terhelés változásából adódó szögsebességváltozásokat is. A gyakorlatban a szabályozások mellett fontos szerepet kapnak a vezérlések is. Egy bonyolult rendszer indítása és leállítása során bonyolult vezérlési műveletsorozatot kell végrehajtani. A Logic Controller), egyszerűbb esetben vezérlést rendszerint intelligens PLC (Programmable egy mikrokontroller berendezés hajtja végre. A z egyes fizikai mennyiségek állandó értéken tartását zárt hurkú szabályozások valósítják meg. A szabályozásokkal szemben támasztott követelmények A szabályozás alapvető célja az alapjel követése és a zavaró hatások kiküszöbölése. A szabályozás minőségére vonatkozóan statikus és dinamikus követelményeket támasztunk. A szabályozásnak elsősorban stabilisnak kell lennie, másszóval a szabályozási körben állandó
amplitúdójú, vagy egyre növekvő amplitúdójú lengések nem engedhetők meg. A bemenőjelek megváltozásakor be kell állnia az új egyensúlyi állapotnak. A stabilitás problémája a szabályozási kört realizáló negatív visszacsatolásból adódik. Mivel a szabályozási eltérés fellépése után a valóságos rendszerben a beavatkozás csak késleltetve tud érvényesülni, előfordulhat, hogy nem kívánt tranziensek lépnek fel (az 1.1. ábrán például a zuhanyozáskor a víz hol túl meleg, hol túl hideg lesz, nem áll be a kívánt hőfok). A stabilis működést a szabályozó megfelelő megtervezésével kell biztosítani. (A stabilitásvizsgálattal az 5. Fejezet foglalkozik részletesen.) A statikus előírások megadják, hogy állandósult állapotban, a tranziensek lezajlása után a kimenőjel legfeljebb mekkora állandósult hibával követheti az alapjelet, illetve mekkora lehet maximálisan a zavarások hatására fennmaradó állandósult eltérés a kimenőjelben. A z irányítandó folyamattól, a technológiától függ, hogy egyáltalán megengedhető-e statikus hiba, és ha igen, mekkora lehet annak maximális értéke. y
1.20. ábra Dinamikus minőségi előírások A dinamikus előírások a tranziensek lefolyására adnak megkötéseket. Tekintsük a szabályozás egységugrás alapjelre adott válaszát (1.20. ábra). A c százalékos túllendülést az alábbi összefüggéssel definiáljuk: o=
V m a
*~
V á 1 1
-100%
Váll
Vannak olyan folyamatok, amelyek aperiodikus viselkedést követelnek m e g (plszerszámgépek, repülőgép landolás, stb.), más folyamatoknál sokszor tolerálható 5-10%-os túllendülés. A í szabályozási idő megadja, hogy mennyi idő alatt áll be az átmeneti folyamat állandósult s
értékének ± A % - o s (általában ± ( l - 2 ) % ) környezetébe. Szokásos m é g előírni a szabályozási időn belül megengedhető lengések számát is. A szabályozás beavatkozójele (a módosított jellemző) a beavatkozó szerv kimenőjele. A beavatkozójel a fizikai megvalósításnak megfelelő korlátos értéket vehet csak fel (például egy tartályba beáramló folyadékmennyiséget beállító szelep maximálisan nyitott állapotában egy maximális folyadékmennyiséget enged át, amelynél nagyobb értéket n e m képes biztosítani, hiába kapna erre parancsot). H a ennél nagyobb értéket kívánnánk érvényesíteni, a beavatkozószerv „betelít", csupán a lehetséges maximális értéket adja, és ezáltal átmenetileg „nyitja" a szabályozási kört. A beavatkozójel lehetséges korlátozásának jelenségét a szabályozás tervezésekor kezelni kell, lehetőleg biztosítani kell, hogy a beavatkozójel a megadott tartományba essen, illetve ha azt mégis meghaladná, lehetőleg ne lépjenek fel a szabályozási körben a normális működést lényegesen torzító jelenségek.
A szabályozást az adott szabályozott szakaszhoz tervezzük a minőségielőírások biztosítására. A szakasz jelátviteli tulajdonságait, a szakasz jelátviteli modelljét a fizikai működés matematikai leírásával kaphatjuk meg. A z egyenletekben szereplő paraméterek értékeit rendszerint mérésekkel határozzuk meg. A paraméterek értékeiben tehát mérési pontatlanságok lehetnek. A szabályozási körnek megfelelően (robusztusán) kell működnie akkor is, ha az irányítandó folyamat tényleges paraméterei és a folyamat modelljében figyelembevett paraméterek bizonyos mértékben eltérnek egymástól. A szabályozással szemben támasztott követelményeknek reálisaknak kell lenniük. Egy lassú hőfolyamattól nem kívánhatunk m e g rendkívül gyors beállást, mivel ez igen nagy beavatkozó hatásokat eredményezne. A realizálhatóság érdekében ilyenkor engedni kell az előírások szigorúságából. A szabályozásokkal szemben támasztott minőségi előírásokkal a 4. Fejezetben részletesebben.
foglalkozunk
Néhány szabályozási példa Az alábbiakban néhány szabályozási példát mutatunk be vázlatosan. Hőmérsékletszabályozás Az 1.21. ábra egy előírt hőmérsékletű meleg vizet előállító berendezés sematikus szerkezeti vázlatát mutatja. A kazán tűzterében elhelyezett csövekben cirkulál a víz. A tüzeléshez használt szenet villamos motorral hajtott szállítószalag viszi a széntárolóból a fűtőberendezésig. A szalag sebessége, illetve ezzel a szállított szén mennyisége a villamos motor fordulatszámával szabályozható. A szabályozó a meleg víz előírt hőfokának és mért tényleges hőmérsékletének különbsége alapján egy előerősítőn és egy teljesítményerősítőn keresztül állítja be a villamos motor tápfeszültségét, amely megszabja a fordulatszámot. Az 1.22. ábra a szabályozás m ű k ö d é s i vázlatát adja meg. Meleg víz Motor
D Előirt hőfok
Erősítő
Szabályozó
Mért hőfok
Hideg vfz Túztér
Teljesítmény erősítő
Hőmérséklet mérés
1.21. ábra Hőmérsékletszabályozás sematikus szerkezeti vázlata £ kiírt hőfok
Szabályozó
Erősítő
Teljesítményerősitö
Vízhőfok Motor
Szénszállító
Vízmelegítő
Zavarójelek
1.22. ábra Hőmérsékletszabályozás működési vázlata
27 Fordulatszámszabályozás Az 1.23. ábra egy állandó külsőgerjesztésű egyenáramú motor fordulatszámszabályozásának szerkezeti vázlatát mutatja. A motor fordulatszáma a kapocsfeszültséggel változtatható (módosított jellemző). A motor által meghajtott munkagép a motorra nézve változó terhelést jelent (zavaró jellemző), amely fordulatszámingadozást eredményez. A motor kapocsfeszültsége a tirisztoros egységgel változtatható. A motor fordulatszámát egy tachométergenerátorral érzékeljük, amely a fordulatszámmal arányos feszültséget szolgáltat. Ezt a feszültséget összehasonlítva a tápegység által szolgáltatott alapjellel kapjuk a rendelkezőjel feszültséget. Ennek jelszintjét teljesítményerősítővel ( E l és E2) megnővelve,és szűrővel jelalakját módosítva nyerünk egy beavatkozójelet, amely a tirisztoros egység gyújtásszögének változtatásával a kapocsfeszültséget a rendelkezőjelnek megfelelően növeli vagy csökkenti, annak érdekében, hogy a fordulatszám elérje a tápegység alapjelfeszültsége által előírt értékét. A szabályozás működési vázlatát az 1.24. ábra adja meg.
> T
1.23. ábra Egyenáramú motor fordulatszámszabályozása
Motor
«.
/ — U .
)
Erősítő
ErSsitfi. Jelfbrmáló
"v
Tirisztoros egység
Motor
Tachométer
1.24. ábra Fordulatszámszabályozás működési vázlata Szintszabályozás, összetételszabályozás, nedvességszabályozás Ipari vegyi folyamatokban gyakori feladatok: egy tartályban folyadékszintszabályozás, nyomásszabályozás, hőmérsékletszabályozás, keverék anyagok összetételszabályozása, nedvességtartalom szabályozása, stb. A z 1.25. ábra folyadékszintszabályozásra mutat két megoldást. A felső ábrán bemutatott megoldás a befolyó, az alsó ábra megoldása a kifolyó mennyiség módosításával szabályoz. A z 1.26. ábra p H szabályozás vázlatát szemlélteti. A z
28 1.27. ábra szárítási folyamatban szemcsés anyag nedvességszabályozásának megoldását adja meg vázlatosan. Az anyag nedvességtartalmát érzékeljük, és a kívánt értéktől való eltérés esetén módosítjuk az anyagot szállító szalag sebességét, illetve megváltoztatjuk az anyagot szárító gőz (vagy forró levegő) átáramló mennyiségét.
összetételmérés és szabályozás
Í X 3
LQ ) szintszabályozó
1.26. ábra p H szabályozás
1.25 ábra Tartály szintszabályozása
alapjel
Gőz
FC
Göz
KA/W\A
I
Gőzátáramlás szabályozás
Nedvesség mérés MT
Szalaghajtó motor SC
Fordulatszám szabályozás
| alapjel
1.27. ábra Nedvességszabályozás 1.2. A szabályozástechnika történetéből A szabályozástechnika napjainkban is dinamikusan fejlődik. A z újabb eszközök és technikák újabb elméleti kérdéseket vetnek fel, és újszerű alkalmazásokat tesznek lehetővé. A negatív visszacsatolás alkalmazása n e m új elv, már az ókori görögök is alkalmazták. Visszatekintve a szabályozástechnika fejlődésének történetére néhány tendenciát figyelhetünk meg. A negatív visszacsatolás alkalmazása mérnöki feladatok megoldásához kapcsolódik. A szabályozástechnika fejlődése szorosan kötődik azokhoz a gyakorlati feladatokhoz, amelyek az
29
emberiség történetének egy-egy szakaszában megoldásra vártak. A történelem egyes korszakai, amelyek jelentős befolyással voltak a szabályozástechnika fejlődésére - az ókori görög és arab kultúra (ie. ~300 - iu. ~1200), - az ipari forradalom kora (1700-as évek, de a kezdetek már 1600 körül), - a távközlés kezdetei (1910-1945), - a számítógép megjelenése, az űrkutatás kezdete (1957-). Ezeket a korszakokat tekintve megállapíthatjuk, hogy az ember kereste először helyéta térben és időben, majd igyekezett környezetét alakítani és életét kényelmesebbé tenni,ehhez hozzájárult az ipari termelés. Ezután a kommunikációt is felhasználva megalapozza helyét, helyzetét a társadalomban, majd igyekszik kapcsolatot teremteni a világmindenséggel. Már az ókori görögök is használtak különböző automatákat. A z egyik első szabályozási rendszer az alexandriai KTESIBIOS vízórája volt (ie. 270). A szerkezet úszót használt egy tartály szintjének érzékelésére és állandó értéken tartására. Ha a tartályban a víz szintje lecsökkent, egy szelep nyitott és a tartály újratöltődött. A z állandó szint biztosította a tartályból kifolyó víz mennyiségének állandó értékét. A kifolyóvíz egy második tartályt töltött. E z a tartály az idővel arányosan töltődött. A bizánci P H I L O N (ie. 250) szintén úszós szabályozót használt egy olajlámpa olajszintjének szabályozására. A z alexandriai HERON (iu. 1. század) is hasonló szerkezeteket alkalmazott szintszabályozásra, boradagolásra, templomajtók nyitására, stb. Az arab mérnökök iu. 800 és 1200 között számos úszós szabályozó szerkezetet használtak. Felfedezték az állásos - ki/be kapcsolással működő - szabályozásokat is. A mechanikai óraszerkezetek feltalálásával az úszós vízórák elfelejtődtek. A szabályozás elve az ipari forradalom idején talált újabb alkalmazásokra.
Gőz
1.28. ábra Centrifugáiszabályozó Az ipari forradalom korában számos ö n m ű k ö d ő berendezést fedeztek fel. Ezekben a berendezésekben automatikus szint-, hőmérséklet-, nyomás- és sebességszabályozási feladatokat oldottak m e g . Már az 1600-as évektől kezdődően voltak különböző szabályozási alkalmazások (szélmalmok fordulatszámszabályozása, kemencék hőfokszabályozása (Cornelis DREBBEL), nyomásszabályozás (PAPIN), stb.) A z ipari forradalom kezdetét James WATT gőzgépének felfedezése jelzi (1769). Az első ipari szabályozásnak WATT centrifugáiszabályozója tekinthető, amelyet a gőzgép fordulatszámszabályozására alkalmazott (1.28 ábra). A centrifugáiérzékelő helyzete a gőzgép fordulatszámától függ. A z érzékelő a mozgató emelőkaron keresztül állítja a gőzdugattyú helyzetét, befolyásolva a gőzgépbe beáramló gőz mennyiségét és ezáltal a gőzgép fordulatszámát. (Érdekességként megemlítjük, hogy majd
30 száz további év telt el, mire MAXWELL megadta a rendszert pontosan leíró egyenletek rendszerét.)
differenciál
A z ipari forradalom után a szabályozástechnika fejlődésében lényeges előrelépést jelentett a szabályozási körök matematikai leírási módszereinek megadása, ami lehetővé tette a szabályozási rendszerek viselkedésének szigorúbb és pontosabb vizsgálatát. A szabályozástechnika egy újabb fejezete kezdődött a telefon felfedezésével, és a visszacsatolt műveleti erősítők alkalmazásával az információ továbbításakor fellépő csillapítás kompenzálására. A második világháború idején számos precíziós szabályozási rendszert dolgoztak ki, automata repülésirányítási rendszereket, radar antenna beállító rendszereket, tengeralattjárók irányító berendezéseit, stb. Ezek a technikák azután később az ipari termelésben is alkalmazást nyertek. A számítógépek elterjedése új korszakot nyitott a szabályozási rendszerek fejlődésében. A számítógép nemcsak mint külső eszköz jelenik m e g , amellyel a tervezés körültekintőbben és könnyebben elvégezhető, hanem valós idejű alkalmazásokban a szabályozási kör részét képezi. A folyamat és a folyamatirányító számítógép perifériákon keresztül kapcsolódnak egymáshoz, és szoftver úton minden mintavételezési időpontban kiszámított beavatkozó jel kerül a folyamat bemenetére. A számítógép tehát a szabályozási kör szerves része. Megjelentek a precíziós feladatokat végző ipari robotok. A robot egy számítógép által vezérelt automatizált gép. A robotokban sokszor emberi tulajdonságokat utánoznak, pl. robot manipulátoroknál a kéz mozgását képezik le. A m o z g ó robotokat bizonyos intelligenciával igyekeznek felruházni, mint pl. a térben való mozgáskor az akadályok felismerése és elkerülése. Az űrkutatás újabb kihívást jelent a szabályozási rendszerekkel szemben. A z űrrepülőgépek, mesterséges űrobjektumok pályára állítása, célba juttatása igen pontos, a körülményekhez alkalmazkodni tudó, tanuló szabályozási rendszereket igényel, amelyeknél rendkívül fontos a biztonságos működés. M a a különböző szabályozási rendszerek megvalósításakor a szabályozási elvek, a számítógép és a kommunikációs rendszerek együttes alkalmazásával és kölcsönhatásával kell számolni. A z új technikai lehetőségek új irányítási alkalmazási lehetőségekre irányítják a figyelmet. A z új miniatürizált érzékelő és beavatkozó szervek megjelenésével új távlatok nyílnak m e g az irányítástechnikában. Az ipari termelési folyamatokban megjelentek az elosztott irányítási rendszerek; számos térben elosztott irányítási rendszer működik összehangoltan biztosítva a magasszintű termelést. Ezek a rendszerek egymással kommunikálnak, információt cserélnek, parancsokat továbbítanak és hajtanak végre összehangoltan. Megjelentek az ilyen szintű működést biztosító hardver és szoftver elemek (PLC-k, profibus, TCP/IP, ipari hálózati szabványok, stb.). A szabályozáselmélet a szabályozási rendszerek felépítésével, analízisével és szintézisével foglalkozik. A szabályozáselmélet klasszikus korszaka (~1960-ig) megadta a negatív visszacsatoláson alapuló szabályozások működésének, analízisének és szintézisének alapelveit. A szabályozáselmélet modern korszaka (~1960-1980) az irányítási rendszerek állapotváltozós leírására és az ezen alapuló tervezési módszerekre fektetett hangsúlyt. M a a robusztus, a paraméterváltozásokra kevésbé érzékeny, megbízható szabályozások tervezése került előtérbe. A nemlineáris rendszerek irányítása, a környezet változásait felismerő,
31
azokhoz alkalmazkodó intelligens, tanuló rendszerek, a hálózati összekapcsolást messzemenően felhasználó irányítási rendszerek alkalmazása újabb távlatokat nyit a szabályozástechnikában. 1.3. Rendszer és modellje A modellalkotás a szabályozási rendszerek vizsgálatának lényeges eleme. A modell a rendszer jelátviteli tulajdonságait írja le matematikai formában. Segítségével anélkül analizálhatjuk a rendszer statikus és dinamikus viselkedését, hogy a valóságos rendszeren kísérleteket végeznénk. A rendszer modellje alapján számításokat végezhetünk és numerikusan szimulálhatjuk a rendszer viselkedését. A rendszer modelljét használjuk fel a szabályozó tervezéséhez is. A szabályozási kör elemeit gyakorlati megfontolások alapján választjuk meg. A szabályozási kör működését a működési vázlat alapján követhetjük, amely az egyes berendezések kapcsolódását és egymásra hatását mutatja. A hatáslánc egyes elemeinek matematikai modellje a jelátviteli tulajdonságokat írja le. A hatásvázlatban a szabályozási kör valamennyi elemének jelátviteli tulajdonságait matematikai összefüggésekkel újuk le. A hatásvázlat a szabályozási kör modelljének tekinthető. Segítségével vizsgálhatjuk a szabályozási kör statikus és dinamikus viselkedését, megállapíthatjuk, hogy a szabályozás kielégíti-e a vele szemben támasztott minőségi előírásokat. Az egyes elemek jelátviteli tulajdonságai a fizikai működést leíró matematikai összefüggésekkel adhatók meg. A matematikai leíráshoz a fizikai működés mély megértése szükséges. A matematikai egyenletekben szereplő paraméterek értékei számítással vagy méréssel határozhatók meg. Egy rendszer statikus és dinamikus viselkedése meghatározható a bemenőjelek és a hatásukra létrejövő kimenőjelek elemzésével is. A z elemzés alapjául szolgáló információk megszerzését célzó kisérlet elvégzéséhez lényeges a bemenőjelek megfelelő megválasztása. A z eljárás feltételezi a rendszer modelljének valamilyen alakját, és a modell paramétereit úgy határozza meg, hogy a rendszer és a modell kimenőjelei adott gerjesztésre minél jobban illeszkedjenek egymáshoz. Ezt az eljárást identifikációnak nevezzük. Mivel a paraméterek értékeit rendszerint mérés útján határozzuk meg, értékük nem egészen pontos, de többnyire megadható a paraméterbizonytalanságok értéke, a paraméterek értékeinek figyelembe veendő tartománya. RENDSZER
MODELL
1.29. ábra A rendszer modelljének megalkotása A rendszer modelljének meghatározásához a legtöbbször identifikációt együttesen alkalmazzuk (1.29 ábra).
a fizikai
modellezést és
az
32
A modell akkor megbízható, ha kimenőjele egy adott bemenőjelre jól közelíti a rendszer tényleges kimenőjelét. A modellnek megadható az érvényességi tartománya (például a bemenőjelnek mely tartományában érvényes). A modellek fajtái Egy modell lehet statikus, ha a kimenőjele bemenőjelének csupán az aktuális értékétől függ. Statikus rendszer például egy ellenállás, amelynek bemenőjele a feszültség, kimenőjele az áram A modell dinamikus, ha kimenőjele korábbi jelértékektől is függ. Egy villamos áramkör, amely egy sorbakapcsolt ellenállásból és kapacitásból áll, dinamikus rendszert alkot, mivel a kapacitáson fellépő feszültségesés a töltéstől, és így az áram korábbi értékeitől függ. Egy modell lehet lineáris vagy nemlineáris. A statikus karakterisztika a kimenőjel állandósult értékét ábrázolja a bemenőjel állandósult értékének függvényében. Ha a statikus karakterisztika egyenes vonallal adható meg, a rendszer lineáris, egyébként nemlineáris. Egy modell lehet determinisztikus vagy sztochasztikus. A determinisztikus modelljelei leírhatók analitikus (képletekkel, explicit vagy implicit egyenletekkel adott) összefüggésekkel. A sztochasztikus modellben a jelek valószínűségi változókkal adhatók m e g és bizonytalanságokat tartalmaznak. Egy modell lehet a térben koncentrált paraméterű vagy elosztott paraméterű. A koncentrált paraméterű rendszerek közönséges differenciálegyenletekkel, míg az elosztott paraméterű rendszerek parciális differenciálegyenletekkel írhatók le. Egy modell lehet folytonos idejű (FI) vagy diszkrét idejű (Dl). A folytonos modell a rendszer folytonos kimenőjelei és bemenőjelei között adja m e g a kapcsolatot rendszerint differenciálegyenlet formájában. H a a bemenőjeleket és kimenőjeleket mintavételezzük, diszkrét idejű vagy mintavételezett rendszerről beszélünk, amelyben a kimenő- és bemenőjelek közötti kapcsolatot differenciaegyenlet írja le. A bemenőjelek és kimenőjelek számát tekintve a modell lehet egy bemenetű - egy kimenetű (SISO - Single Input Single Output), lehet több bemenetű- több kimenetű (MIMO - Multi Input Multi Output), egy bemenetű - több kimenetű (SIMO - Single Input Multi Output) vagy több bemenetű - egy kimenetű (MISO - Multi Input Single Output). A b e m e n ő és kimenőjeleken kívül definiálhatjuk a rendszer állapotváltozóit. A z állapotváltozók a rendszer belső változói, amelyek pillanatnyi értéke a rendszer korábbi változása révén jött létre. Értékük általában nem változhat hirtelen a bemenőjelek ugrásszerű változásakor. A bemenőjelek és az állapotváltozók pillanatnyi értéke meghatározza a rendszer további mozgását. Vizsgálatainkat korlátozni fogjuk dinamikus, lineáris, egyváltozós, állandó paraméterű rendszerek irányítására. Az ilyen rendszerek leírására az irodalom alapvetően négy módszert ismer: - n-edrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek alkalmazása - állapotegyenletek módszere - átviteli és frekvencia függvények alkalmazása - időfüggvények alkalmazása Rendszertulaj donságok Néhány fontos rendszertulajdonság - amely a kimenőjel és a bemenőjel kapcsolatát jellemzi - a
33
linearitás, a kauzalitás és az időinvariancia. Linearitás: Egy rendszer lineáris, ha a szuperpozíció és a homogenitás elve alkalmazható rá. Ha a rendszer az u bemenőjelre yj = / ( « i ) , az " 2 bemenőjelre pedig y - f{u ) x
2
+ "2);
válaszol, akkor a szuperpozíció elve azt jelenti, hogy y + y = l
szerint k-szoros
bemenőjel változásra k-szoros
2
kimenőjellel
homogenitás elve
kimenőjel változást kapunk: ky = f(ku).
is mondhatjuk, hogy az txu + |3M bemenőjelre a rendszer válasza ay x
2
a
2
í
Azt
+ py . 2
Kauzalitás: A kimenőjel egy adott időpontban a bemenőjel múltbeli értékeitől és aktuális értékétől függ. N e m függ a bemenőjel jövőbeni értékeitől. Időinvariancia: Egy rendszer időinvariáns, ha a bemenőjelre adott válasza nem függ a bemenőjel alkalmazásának időpontjától; egy x idővel késleltetett adott bemenőjelre ugyanazt a választ adja T időeltolással (1.30. ábra). Az időinvariáns rendszerben a késleltetett kimenetre fennáll, hogy y (t) = y(t-x). x
yQ)
"(0
RENDSZER
u(t-x)
r\ 1
f 1
Af
1.30. ábra Időinvariáns rendszer A lineáris időinvariáns rendszerekre az angol elnevezés után (LTI - Linear Time-Invariant) általánosan elterjedt LTI jelöléssel szoktunk hivatkozni.
az
Példák egyszerű rendszerek jelátviteli tulajdonságainak leírására Az alábbiakban néhány példán mutatjuk be, hogyan írhatjuk le matematikailag egy fizikai rendszer jelátviteli tulajdonságait, kimenő- és bemenőjeleinek kapcsolatát. A fizikai rendszerek viselkedésének leírása rendszerint differenciálegyenletekre vezet. 1.1. Példa: Mechanikai rendszer Tekintsük az 1.31. ábrán látható mechanikai rendszert, amely egy gépkocsi alvázának egy részét modellezheti, m a tömeg, c és c rugóállandók, k az olajfék csillapítási együtthatója. A tömeget koncentrált tömegnek tekintjük. A rugókban az elmozdulással arányos erők ébrednek. A csillapító dugattyú a sebességgel arányos fékező erőt fejt ki. Felírhatjuk az alábbi erőegyensúlyi egyenleteket. A felső rugóban ébredő erő: c (x - x ) = f. A tömegre ható erők egyensúlyi egyenlete: x
2
1
1
2
34 A rendszer viselkedését tehát differenciálegyenlet írja le. A differenciálegyenlet megoldásával meghatározhatjuk az adott erő hatására fellépő x és x elmozdulások időfüggvényeit. x
2
1/
m
1.32. ábra Külsőgerjesztésű egyenáramú generátor vázlata
1.31. ábra Mechanikai rendszer vázlata
1.2. Példa: Egyenáramú generátor Vizsgáljuk az 1.32. ábrán látható külsőgerjesztésű egyenáramú generátor jelátvitelét az gerjesztőfeszültség, mint bemenőjel és az n gerjesztőtekercs
ellenállása
R,
k
g
armatúrafeszültség, mint kimenőjel között. A
induktivitása
g
u
L .
A
g
gerjesztőkörre
felírható
az
alábbi
differenciálegyenlet:
~dt
+ RJ g g
Feltételezzük, hogy a gép mágnesezési jelleggörbéjének lineáris szakaszán üzemel, így
L
g
állandónak tekinthető. Feltételezzük továbbá, hogy a generátor fordulatszáma állandó. A generátort n e m terheljük, üresen jár. A generátor kapocsfeszültsége arányos a gerjesztőfluxussal, illetve a lineáris mágnesezési jelleggörbe feltételezésével a kapocsfeszültség arányos a gerjesztőárammal: w = K i , ahol K a gép szerkezeti adataitól függő tényező, k
g g
g
dimenziója [V/A]. Keverő
1.33. ábra Keverőtartály 1.3. Példa: Vegyi folyamat Tekintsük az 1.33. ábrán látható keverőtartályt. A c koncentrációjú oldatot vízzel keverjük, hogy c koncentrációjú oldatot nyerjünk. A beáramló víz q mennyisége állandó, a beáramló oldat q mennyiségét szeleppel szabályozzuk. A koncentrációt az oldat egy literére eső oldott anyag grammokban kifejezett értékével jellemezzük. A rendszer bemenőjele a szelepszár h elmozdulása, kimenőjele a kapott oldat c koncentrációja. A beáramló oldat mennyisége a 0
k
y
0
k
szelepszár helyzetével arányos: q = Kh. A kiáramló oldat mennyisége a beáramló oldat és víz mennyiségének összegével egyenlő: q = q + q . At idő alatt q c At tömegű oldott anyag kerül a V térfogatú tartályba, és ugyanakkor q c At tömegű oldott anyag hagyja el azt. A koncentrációváltozás: 0
k
0
v
k
q
C
o
0
k
qkCk
Ac = ° °~ At. k
k
V
A rendszer differenciálegyenletét megkapjuk a At —> 0 határátmenettel:
df
V
df
V
df
v
V
y
y
Az összefüggés nemlineáris, mivel az egyenletben a c kimenőjel és a /t bemenőjel szorzata szerepel. Ha azonban feltételezhetjük, hogy q « q , akkor q ~ q = állandó, és így a differenciálegyenletben
0
y
k
v
k
1
y
dí
Cj, — k
y A«[
>•=/(«)
Au
2
A
A
Ah
1.34. ábra Egyváltozós nemlineáris statikus karakterisztika
1.35 ábra Több bemenetű - egy kimenetű statikus karakterisztika linearizálása
A statikus karakterisztika linearizálása A nemlineáris rendszerek vizsgálata nehéz feladat. A vizsgálat leegyszerűsíthető, ha a nemlineáris statikus karakterisztikát egy adott munkapont környezetében linearizáljuk. Ily módon a munkapont közelében a bemenőjelek kis megváltozására lineáris modellel közelítjük a nemlineáris rendszert. Tekintsük az y = f(u)
statikus nemlineáris karakterisztikát (1.34. ábra). A z u= u ; y = 0
munkapontban a függvény Taylor sora: +
y=y
0
A
y = fM
M
+ f'M
( - " )+• • • 0
A magasabb hatványú tagokat elhanyagolva a linearizált modell y - y = Ay = f(u )(u 0
0
- u) = 0
f'{u )Au 0
0
f(u ) 0
36 A linearizált modell a statikus karakterisztikát a munkapontban az érintővel helyettesíti. Természetesen a meredekség munkapontfüggő. Linearizálás
több bemenő változó
esetén
Legyen az y kimenőjel
]
bemenő változók vektorának a függvénye. A z y
jel tehát skalár-vektor függvény. A munkapontot jelölje az u = [ui0,u2o,..-,unoY vektor. A 0
munkapont kis környezetében a kimenőjel értéke Taylor sorfejtéssel közelítően meghatározható.
df(u)
y = y + Ay = / ( w ) + X
(«í-«fo) + - = / ( " o )
0
0
(«-M ) + .
+
A másod- és magasabbrendű deriváltakat elhanyagolva az f(u)
du
0
"o-
függvény munkapont körüli kis
megváltozása lineáris összefüggéssel adható meg:
A
4y = X A - " i A linearizált vázlatot az 1.35. ábra szemlélteti. A z A, tényezők a linearizált modell ún. statikus átviteli tényezői, amelyek értékei munkapontfüggők. 1.4. Példa Egy egyenáramú motorban keletkező m nyomaték a gerjesztő tekercsben fellépő 9 fluxus és a forgórészben létrejövő i áram szorzatával arányos (1.36. ábra). K é t változó mennyiség szorzata nemlineáris összefüggést eredményez. m = m + Am = ktyi = kq> i + ím 3(p Q
0 Q
im
A9 + di
Ai
'
A deriváltakat meghatározva, és figyelembe véve, hogy a nyomaték munkaponti értéke m = k
0
0
0
Acp Am Ai
kcpo
1.36. ábra Az egyenáramú motorban keletkező nyomaték a gerjesztőfluxus és az armatúraáram szorzatával arányos 1.5. Példa Egy tartályban a folyadék szintjének emelkedése a befolyó és a kifolyó folyadék térfogatáramának különbségétől függ (1.37. ábra). A befolyó térfogatáramot jelölje Q , a kifolyó térfogatáramot pedig jelölje £2o f A tartály keresztmetszete A , a kifolyó cső keresztmetszetepedig a. A folyadékszintet jelölje H. A folyadékszint változását az alábbi differenciálegyenlet írja le: in
U
, dH A— = dt
n
Q -Q a
oat
A kifolyó folyadékáram a v kifolyási sebességtől függ, ami a folyadékszint négyzetgyökével arányos. Q
out
= av = aj2gli~
= p4H
Állandósult állapotban a folyadékszint nem változik, a befolyó és a kifolyó folyadékáram megegyezik: Q = g in
o u t
Ön
H
0, 1.37. ábra Tartály folyadékszintjének állítása 2
A folyadékszint a i í = <2?/p értéken állandósul. A tartály statikus karakterisztikája, összefüggés a folyadékszint és a befolyó mennyiség között nemlineáris (1.38. ábra).
az
1.38. ábra A tartály statikus karakterisztikája Jelöljük a munkaponti értékeket zérus index-szel, a munkapont körüli kis megváltozásokatpedig kisbetűkkel. H =H
0
+h
Qin = Őin,o + <7in
A kifolyó mennyiség a négyzetgyökös összefüggés Taylor sorának elsőfokú közelítésével:
A differenciálegyenlet a munkaponti értékekkel és az azok körüli kis kifejezve:
megváltozásokkal
38
d(H
+ h)
0
= őin o + 9 i n - ^ ;
dt
Mivel a konstans H
0
munkaponti érték deriváltja zérus, és <2i ,o n
=
a
P V ^ o » munkapont körüli
kis megváltozásokra az alábbi differenciálegyenlet adható meg: .áh A— =o
Pp =
i n
h
Ez egy lineáris differenciálegyenlet, amelynek paraméterei azonban munkapontfüggők. Relatív egységek A jelátviteli tagok átviteli tényezői dimenziósmennyiségek. A z előző folyadéktartályos példánál a statikus karakterisztikából adódó munkapontfüggő átviteli tényező cm/(liter/perc) dimenziójú. Egy motor esetében a kimenőjel fordulatszám, a bemenőjel feszültség, így az átviteli tényező dimenziója (rad/sec)/Volt. Ha mind a bemenőjeleknél, mind a kimenőjeleknél az aktuális értékeket egy reálisan megválasztott maximális értékhez viszonyítjuk, a jeleket 0 és 1 közé eső dimenzió nélküli relatív értékekkel adhatjuk meg. Szabályozási köröknél ügyelni kell arra, h o g y az összegzési vagy különbségképzési pontoknál az összehasonlítandó mennyiségekre azonos maximális értékeket vegyünk fel. Például az alapjel, a szabályozott jellemző és a rendelkezőjel maximális értékeit azonos értékekre kell felvenni. A z idődimenziójú mennyiségeket is megadhatjuk relatív értékekkel, ha az időváltozóra is felveszünk egy maximális értéket.
1.39. ábra Helyzetbeállítás Példaképpen tekintsük az 1.39. ábrán vázolt szerkezetet. A z M egyenáramú motor áttételen keresztül mozgatja az R rudat. A bemenőjel a motor u(t) kapocsfeszültsége, kimenőjel a rúd (szelepszár) y(t) elmozdulása. Elhanyagolva a tranzienseket, a rúd elmozdulása a motor fordulatszámának integráljával, a fordulatszám pedig a kapocsfeszültséggel arányos. Ha 2 0 0 V tápláláskor lOsec alatt 5 c m elmozdulás következik be, akkor t idő alatt az u(t) b e m e n ő feszültség hatására 5cm y(t) =
10sec-200V
J
f u{t)d t = 2.5 • 10~
3
Vsec
J
í u(t)d t
elmozdulás keletkezik. Tekintsük
időegységnek
a
feszültség egységnek pedig egységek:
í
m a x
az
= 5 0 s e c - o t , elmozdulás egységnek az y =20cm-t, "max 2 0 0 V - t . A z alapegységükre vonatkoztatott relatív m a x
=
A relatív egységekkel az elmozdulás az alábbi összefüggéssel adható meg: 5cm f
'rel y
^
=
lOse^ToOV /
u
^
d
t
^ =
0
50sec
h
2
5
rel
í "rel(0dí i re
0
200V 1.4. Gyakorlati szempontok
Egy szabályozási rendszer tervezése és üzembe helyezése iterációs feladat. Először megfogalmazzuk a szabályozással szemben támasztott követelményeket. A folyamat fizikai működése alapján meghatározzuk a folyamat matematikai modelljét, amelynek paramétereit mérésekkel illetve identifikációs eljárásokkal határozzuk meg. A megadott követelményekhezés a folyamat modelljéhez megtervezzük a szabályozót. A szabályozás működését szimulációval ellenőrizzük. Ha szükséges, a szabályozót újratervezzük. A z üzembe helyezés során a szabályozó beállítását finomítjuk. A szabályozási feladat megoldása során három alapfeladat merül fel.
«(0 1.40. ábra Identifikáció Létre kell hozni a szabályozási rendszer P modelljét, minden egyes tagjának m e g kell határozni a jelátviteli tulajdonságait a tagot leíró fizikai összefüggések alapján, vagy bemenő- és kimenőjeleinek mérési adataiból, identifikáció útján (1.40. ábra). II(Í)
P 1.41. ábra Analízis Ha a bemenőjel és a P jelátviteli tag ismert, meghatározhatjuk a tag kimenőjelét, viselkedését (1.41. ábra).
analizálhatjuk
«(/)=? p 1.42 ábra Szintézis Ha a P szakasz adott, és előírjuk kimenőjelének kívánt lefolyását (1.42. ábra), a feladat az ehhez szükséges bemenőjel meghatározása (tervezés, szintézis). A szakasz bemenőjelét egy szabályozási kör állítja elő. Az irányítástechnika interdiszciplináris tudományterület. A folyamat működését meg kell érteni, ehhez fizikai, kémiai, biológiai, stb. ismeretekre van szükség. Matematikai ismeretekre van szükség a modellezéshez, az analízishez és a szintézishez. A szabályozási kör vizsgálatához ismeretekre van szükség a jelekről, rendszerekről, a negatívan visszacsatolt rendszerek viselkedéséről. A tervezés során józan megfontolásokat és alapvető korlátozásokat is figyelembe
40 kell venni. A tervezésnek ki kell terjednie a gazdaságossági, biztonsági, környezetvédelmi, stb. szempontokra is. Egy bonyolultabb irányítási feladat megoldásához sokszor különböző szakemberek összehangolt munkájára van szükség. A megvalósítás során érzékelni kell a folyamat állapotát - az adott kimenő változót megfelelő műszerrel mérni kell, a folyamatba be kell avatkozni - beavatkozó szervet kell kiválasztani. Figyelembe kell venni az érzékelők mérési zajait, a beavatkozó szervek jeltartományát, a kiadható beavatkozó hatások korlátait. A mért adatokat sokszor továbbítani kell esetleg nagyobb távolságra is, tehát az adatátvitelt biztosítani kell. Az adatátvitelre szabványok, ún. protokollok léteznek, amelyeket figyelembekell venni. Megfelelő számítási algoritmussal kell meghatározni a beavatkozó jelet és továbbítani a folyamat felé. Az irányítási algoritmus tervezésekor figyelembe kell venni a folyamatra ható zavarások és a folyamatparaméterekben meglévő bizonytalanságok, továbbá a gyakorlati megvalósításból adódó korlátozások hatását is. A z irányítás során valós adatokkal, valós idejű jelátvitellel kell dolgozni. A jelátvitel során nem determinisztikus jelkésleltetések lépnek fel, amelyek torzíthatják aműködést. M e g kell oldani az egyes elemek kapcsolódását és információcseréjét megfelelő interfészekkel. A folytonos szabályozási rendszerek mellett egyre nagyobb teret nyernek a számítógépes folyamatirányítási rendszerek, ilyenkor a folyamat és a folyamatirányító számítógép A/D és D / A (analóg/digitál, digitál/analóg) átalakítókon keresztül kapcsolódik egymáshoz. A szabályozás lényeges funkcióit a számítógép végzi valós időben, mintavételi időközönként megismételve. Ipari folyamatirányításokban elosztott irányítási rendszereket hoznak létre, ahol a térben elosztott irányítási rendszerek egymással kommunikálva összehangoltan működnek.
41
2. Folytonos lineáris rendszerek leírása az idő-, az operátor- és a frekvenciatartományban Egy folyamat szabályozásának célja a szabályozott jellemzőnek az alapjel által meghatározott értéken tartása a rendszert érő zavarások ellenére. A szabályozásnak eleget kell tennie a folyamattal szemben támasztott követelményeknek. A minőségi követelmények egyrészt a szabályozás statikus pontosságát (megengedhető állandósult hibáját), másrészt dinamikus viselkedését (szabályozási idejét, megengedhető túllendülését) írják elő. A valóságos és az előírt viselkedés összehasonlítása a szabályozási rendszer statikus és dinamikus viselkedésének vizsgálata alapján végezhető el. A legkülönbözőbb fizikai folyamatok általában matematikailag azonos alakú differenciálegyenletekkel (vagy differenciálegyenlet-rendszerekkel) írhatók le, amelyek a változók és azok megváltozásainak kapcsolatát adják meg. Mechanikai mozgások, villamos és mágneses jelenségek, hőfolyamatok, gázok és folyadékok áramlása, stb. egyaránt differenciálegyenletekkel írhatók le. Egy szabályozási körben a szabályozási funkciót ellátó szervek kapcsolódnak egymáshoz a folyamat megfelelő működtetése érdekében. A szabályozás matematikai modelljét a hatásvázlat adja meg, amely leírja az egyes berendezések egymáshoz való kapcsolódását és jelátviteli tulajdonságait. Ennek alapján a zárt szabályozási kör működése is differenciálegyenlettel adható meg. A továbbiakban állandó paraméterű folytonos, lineáris differenciálegyenlettel leírható rendszerek viselkedését vizsgáljuk. Mivel a differenciálegyenlet megoldása sokszor nehézkes, különböző módszerek alakultak ki a vizsgálatok egyszerűsítésére. A differenciálegyenlet L A P L A C E operátortartományba való transzformálásával a differenciálegyenlet helyett algebrai egyenletet kell megoldani. A frekvenciatartománybeli vizsgálatok az időtartománybeli viselkedés gyors közelítő kiértékelésére adnak lehetőséget. A következőkben röviden összefoglaljuk az állandó együtthatójú (időinvariáns) lineáris folytonos rendszerek vizsgálati módszereit az idő-, a L A P L A C E operátorés a frekvenciatartományban. (A módszerek a "Jelek és rendszerek" tárgyból ismertek, itt a szabályozástechnikai szempontból is fontos összefüggéseket foglaljuk össze.) 2.1. Folytonos rendszerek leírása az időtartományban Egy folytonos, lineáris egy bemenetű - egy kimenetű (SISO) időinvariáns rendszer az időtartományban leírható egy n-edrendű differenciálegyenlettel vagy n darab elsőrendű differenciálegyenlet rendszerével (ún. állapotegyenlettel), illetve jellemezhető tipikus gerjesztésekre adott válaszaival. n-edrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet és megoldása Egy lineáris folytonos idejű, differenciálegyenlettel írható le: n
aJ \t) = b u^\t) m
n í
+ a _ / - \t) n
l
+
m l
+ b _ J - \t) m
1
...
+
időinvariáns
rendszer
a y{t) a y(t) l
+
=
0
+ ... + b ú(t) + b u(t) l
0
működése
az
alábbi
n-edrendű
42
u a bemenőjelet, y akimenőjelet, y akimenőjel első, w a bemenőjel első, y ^ a kimenőjel nedik,
a bemenőjel m-edik idő szerinti deriváltját jelöli.
Ha a kimenőjel csak késleltetve, ún. holtidős eltolással válaszol a bemenőjel változásaira, a differenciálegyenlet jobb oldalán a változók argumentuma t-T , ahol T a holtidő. A differenciálegyenlet ekkor a következő alakú: á
^ y
(
B
)
(
( 0 + « n - i y " "
1
)
( 0 + - + «iyW+«oy(0
d
=
(2.1b) m
l
= bJ \t-T )
+ b _ u^- \t-T )
d
m
1
d
+
... + b ú(t-T ) l
+
d
b u(t-T ) 0
d
A holtidő pl. szállítási folyamatoknál jelentkezik, amikor a bemenőjel változása egy távolabbi érzékelési ponton késleltetve mérhető. A fizikai realizálhatóság feltétele m
(2.2)
ugyanis csak ennek fennállása esetén marad a kimenőjel véges a bemenőjel véges megváltozása esetén. A differenciálegyenlet elvileg végtelen sok megoldása közül azt kell kiválasztani, amely eleget tesz az y függvényre vonatkozó peremfeltételeknek. y(í)-re és differenciálhányadosaira olyan feltételt kell előírni, amelyeket a megoldásnak ki kell elégítenie. A rendszerint kezdeti feltételek, tehát y(0), y(0), ... , y (
n - 1
n db
peremfeltételek
) ( 0 ) formában adottak.
Az egyenlet jobb oldala a g(t) gerjesztés: (B
1)J
2
(t)=bj \t)+Vi« " (f)+...+MO m
3
< - )
g
A (2.1) egyenlet a teljes vagy inhomogén differenciálegyenlet, amely
= 0 esetén homogén
egyenletté válik. Az alábbiakban a (2.1a) alakú differenciálegyenlet egyes alakjait és megoldását tárgyaljuk, de a megfontolások értelemszerűen alkalmazhatók a (2.1b) egyenletre is. A differenciálegyenletet sokszor az alábbi ún. időállandós alakban írjuk fel. n
{n)
Ty n
(0 + CiV"
_ 1 )
=A[ie«<">(í)+T ahol A = b /a 0
0
(t) + - + T y (t) + y(t) = x
m
-M - Xt)+-+^0+kő] m
m
x
( 2
'
4 )
a rendszer átviteli tényezője, amely megadja a kimenőjel és a bemenőjel
viszonyát állandósult állapotban. A z átviteli tényező nemcsak puszta szám, hanem fizikai dimenziója is lehet. 7] = ija~7a^
és Xj = jjbj/b
0
időállandók, dimenziójuk sec.
Az időállandós alak előnye, hogy a differenciálegyenlet tényleges megoldása nélkül is, a paraméterek alapján következtetni lehet tipikus bemenőjelekre adott válaszok időbeli alakulására. Az átviteli tényező fenti értelmezése természetesen csak akkor érvényes, ha a és b zérustól különböző számok. Ha pl. a = 0 , az átviteli tényező A = b / a i , és ekkor az időállandók értelmezése is megváltozik. 0
o
0
0
43
A rendszer működését differenciálegyenletének megoldása írja le. A megoldás két komponensből áll, a homogén egyenlet y (/) általános megoldásából és az inhomogén egyenlet egy yj(í) partikuláris megoldásából. h
2
A karakterisztikus egyenletet úgy kapjuk meg, hogy a homogén egyenletbe y helyébe s megfelelő hatványait helyettesítjük. A karakterisztikus egyenlet tehát: n
n
as
+ ... + 0 ^ + 00 = 0
l
+ a _s ~
n
n
5
(-)
y{t)=M*)+yi{t)
l
deriváltjai
(2.6)
A homogén egyenlet általános megoldása a következő alakú: s
y (t) = V
s
+ k e ^ + ... + k e »'
h
2
(2.7)
n
ahol s ,s ,...,s a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei (valós együtthatójú polinomoknak csak valós vagy konjugált komplex gyökei lehetnek). A k, konstansokat a kezdeti értékekből kell meghatározni. l
2
n
Ha a karakterisztikus egyenlet megoldásában többszörös gyökök is előfordulnak, akkor a megfelelő tagokban az exponenciális függvény t hatványaival van megszorozva. Például, ha a karakterisztikus egyenlet első három gyöke egybeesik, a homogén egyenlet általános megoldását az alábbi alakban adjuk meg: 2
Slí3t
s
(í) = (k + k t+k t )e x
2
s
+ k e ^ + ... + k e "'
3
4
n
(2.8)
Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását, amely az u bemenőjeltől függ, jelöljük /(i/)-val. Feltételezve, hogy ezt valamilyen eljárással - pl. kísérletező feltevéssel vagy az állandók variálásának módszerével, esetleg egyszerű megfontolással - sikerült megtalálni, akkor a (2.1a) differenciálegyenlet általános megoldása: 1
y(t) = y {t) + /(«) = V ' +••• + V h
V
+ /(")
Í2.9)
A k konstansokat a kezdeti feltételek ismeretében kell meghatározni. t
A differenciálegyenlet megoldása az időtartományban sokszor bonyolult és fáradságos. A karakterisztikus egyenletnek csak negyedfokú esetig van analitikus megoldása. A z inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának megtalálása bonyolultabb bemenőjel esetén számításigényes. Ugrásalakú gerjesztésre a differenciálegyenlet alakjából a megoldás kezdeti és végértékeire néhány megállapítást tehetünk. Tekintsük a differenciálegyenlet (2.1a) alakját. Legyen a bemenőjel egységugrás, g(t) = b l(t). A t = 0 időpontban csak a legmagasabbrendű derivált értéke ugorhat. (Ugyanis a differenciálegyenlet két oldalának minden időpontban egyensúlyban kell lennie, és ha pl. a kimenőjel alacsonyabbrendű deriváltjában is ugrás lenne, az DIRAC delta változást eredményezne a magasabbrendű deriváltakban.) 0
n
aJ \t tehát
= 0) = b , o
44
n
/ \ t = 0) =
bja . n
(Mechanikai mozgást tekintve például a tömegre ható erő megváltozásakor először csak a gyorsulás értéke változik meg, majd idővel ez létrehozza a sebesség és az elmozdulás megváltozását is.) Megjegyezzük, hogy ha a gerjesztésben a bemenőjel első deriváltja is szerepel, a kezdeti időpontban a kimenőjel n-edik és ( n - l j - e d i k deriváltja is ugrás alakú változást mutat. Általános szabály, hogy a í = 0 időpillanatban ugrás alakú gerjesztésre a kimenőjel (n - m)-edik deriváltja változik ugrásszerűen ("ugrik"). Ha a tranziensek lecsengenek, a kimenőjel valamennyi deriváltja zérus értékű lesz, és a kimenőjel az átviteli tényező értékén állandósul: y(t —» °o) = b /a . 0
0
A differenciálegyenlet formális matematikai eljárása mögött a fizikai tartalom a következőképpen interpretálható. A differenciálegyenlet valamilyen rendszer mozgását írja le. A mozgás oka egyrészt az u(t) bemenőjel, másrészt az, hogy a bemenőjel megjelenése előtti időben végzett mozgás miatt a t = 0 pillanatban n e m volt egyensúly. A rendszer előéletét a kezdeti feltételek egyértelműen jellemzik. A g[t) gerjesztő jel hatására olyan új egyensúlyi állapot fog beállni, amelyet az inhomogén egyenletnek a kezdeti feltételektől független megoldása ad meg.Ez az új egyensúlyi állapot a í = 0 pillanatra a gerjesztéstől függő kezdeti feltételeket írna elő. Ha a tényleges kezdeti feltételek értéke n e m egyezik meg a gerjesztésnek megfelelő értékekkel, ez arra utal, hogy a rendszer állapota eltér a gerjesztésnek megfelelő egyensúlyi állapottól. A z eltérés ugrásszerűen nem tűnhet el, mert a rendszerben lévő energiatárolók állapotukat csak energiaközlés vagy elvonás hatására fokozatosan képesek megváltoztatni. Ehhez véges időre van szükség. A kiegyenlítő folyamat a tranziens mozgás, amelynek lefolyását a homogén egyenlet megoldása írja le. A differenciálegyenlet megoldása felbontható kvázistacionárius és tranziens összetevőkre. A bemenőjel hatására állandósult állapotban fennmaradó kimenőjel a kvázistacionárius megoldás. (Lásd az F-2. Függeléket.) A tranziens megoldás a rendszer dmamikájától, a karakterisztikus egyenlet gyökeitől függ.
R
L
(b)
(c) 2.1. ábra R L kapcsolás és tranziensei
45
Példaként vizsgáljuk egy árammentes, ellenállásból és induktivitásból álló kör szinuszos váltakozó feszültségre való kapcsolását (2.1a. ábra). A z állandósult állapotbeli egyensúlyt a váltakozó feszültséghez képest bizonyos szöggel késő I(t) szinuszos váltakozó áram jelenti. Ha a bekapcsolás olyan ^ pillanatban történik, amikor ez az áram éppen zérus értékű lenne, akkor a rendszer állapota megegyezik a bemenőjelnek megfelelő egyensúlyi állapottal, és nem jön létre tranziens mozgás (2.1b. ábra). Ha azonban a bekapcsolás olyan t időpontban történik, amikor l(t )j±0, akkor a rendszer állapota nem egyezik meg az egyensúlyi állapottal. A tényleges i(t ) = Q és az egyensúlyi I(t ) áram közötti eltérést az /(í)-re szuperponálódó AÍ'(Í) tranziens összetevő egyenlíti ki, amely a bekapcsolás pillanatában zérussá teszi az áramot, majd exponenciálisan lecseng (2. lc. ábra). 2
2
2
2
A tranziens mozgás lefolyása alapvetően tükrözi a rendszer sajátosságait. Ha a tranziens összetevők az időben csillapodnak, a gerjesztésnek megfelelő új egyensúlyi állapot képes beállni, a rendszer stabilis. Az egyre növekvő tranziens mozgás labilis viselkedést mutat, ilyenkor új egyensúlyi állapot n e m érhető el. Csillapítatlan periodikus tranziens mozgás a stabilitás határesete, ami arra is utal, hogy a tranziens lengés frekvenciájával azonos frekvenciájú gerjesztő jelekre a rendszer rezonálni fog. A rendszer stabilitása a karakterisztikus egyenlet gyökei alapján dönthető el.
2.2. ábra Differenciálegyenlet állapotváltozós alakja A tranziens viselkedést elemezve elegendő a homogén egyenlet megoldását vizsgálni. A homogén egyenlet megoldása a magára hagyott rendszernek azt a mozgását írja le, ami abból származik, hogy a í = 0 pillanatban nincs egyensúly (pl. azért, mert a rendszert előzetesen kimozdítottuk nyugalmi állapotából). Egy stabilis rendszer ilyenkor tranziens mozgása révén igyekszik újra nyugalmi állapotba jutni. A gerjesztés alatt álló rendszer tranziens jelenségei a szuperpozícióból következően ugyanilyen jellegűek, csak a nyugalmi állapotot a gerjesztőjel által leírt mozgás helyettesíti. Differenciálegyenletek állapotváltozós alakja Egy differenciálegyenlet által leírt rendszer állapotát a í = 0 időpillanatban a kezdeti feltételek egyértelműen rögzítik. Ezek a jellemzők, a kimenőjel és differenciálhányadosai minden időpillanatban jellemzik a rendszer állapotát. A bemenőjel hirtelen megváltozására nem képesek hirtelen megváltozni, megváltozásukhoz időre van szükség. Ezek a változók önálló belső változóknak, ún. állapotváltozóknak tekinthetők. Adott időpontbeli értékükből és a bemenőjelből meghatározhatók a rendszer mozgásának jellemzői a következő időpontban.
46 A z állapotváltozók bevezetésével az n-edrendű elsőrendű differenciálegyenletből álló rendszerré.
differenciálegyenlet
átalakítható
n
számú
Példaként tekintsük a (2.1) differenciálegyenletet g{t)-b u{t) gerjesztés mellett. A z legmagasabbrendű deriváltat kifejezve a differenciálegyenlet a 2.2. ábrán látható vázlattal reprezentálható. A vázlat alapján a bemenőjel és a kezdeti feltételek ismeretében a differenciálegyenlet rekurzív m ó d o n megoldható. A vázlaton látható integrátorok kimenetei az állapotváltozók tulajdonságával rendelkeznek. Jelöljük az állapotokat változókkal. A differenciálegyenlet az állapotváltozókkal az alábbi alakra hozható: 0
X] — X"
x
2
-x
3
(2.10) =
-*2'
a,
Általános esetben n számú elsőrendű formában is felírható. x(t) = Ax(t)
differenciálegyenletből
álló rendszer
vektor-mátrix
+ bu(t) (2.11)
r
y(í) = c x(t)
+ du(t)
A z x vektor elemei az állapotváltozók, A,b,c a rendszert leíró állapotmátrixok illetve vektorok, d pedig egy skalár paraméter. A kimenőjel az állapotváltozókon keresztül függ a bemenőjeltől, de a d skalár értéken keresztül közvetlen kapcsolat is lehet a bemenőjel és a kimenőjel között. A dinamikus rendszer állapotreprezentációját a 2.3. ábra szemlélteti.
u(t)
2.3. ábra Dinamikus rendszer állapotreprezentációja A dinamikus rendszerek állapotváltozós megadása a rendszer olyan belső tulajdonságait is megmutatja, amelyek a bemenőjel és kimenőjel kapcsolatát megadó differenciálegyenlet megoldásakor rejtve maradnak. A z elsőrendű differenciálegyenletrendszer megoldása egyszerűbb, mint az n-edrendű differenciálegyenleté. A szabályozási rendszerek állapotváltozós 3. Fejezet foglalkozik.
leírásával,
az állapotegyenlet
megoldásával
a
Tipikus vizsgálójelek, súlyfüggvény, átmeneti függvény A szabályozási rendszer differenciálegyenletének megoldása a kimenőjel időbeli lefolyását adja
47
meg tetszőleges bemenőjelre. A z inhomogén egyenlet egy partikuláris meghatározása annál könnyebb, minél egyszerűbb a gerjesztőfüggvény.
megoldásának
A rendszert olyan tipikus bemenőjellel célszerű gerjeszteni, amely jelentős tranziens mozgást képes előidézni. E k k o r a kimenőjel lefolyása jellemző lesz a rendszer jelátviteli tulajdonságaira, menetéből következtetéseket vonhatunk le a rendszer struktúrájára és paramétereire vonatkozóan.
2.4. ábra Tipikus bemenőjelek és válaszok Szabályozási rendszer vizsgálatakor olyan bemenőjelet célszerű választani vizsgálójelként, amelyre adott válasz információt szolgáltat a szabályozási rendszer követési tulajdonságairól. Ha értéktartó rendszerről van szó, amelyben a kimenőjelet egy adott értéken kívánjuk tartani, ugrásalakú bemenőjelet, ha követő szabályozásról van szó, amelynek egy változó jelet kell követnie, egy lineárisan változó bemenőjelet célszerű választani bemenőjelként. A legfontosabb vizsgálójelek - az egységimpulzus függvény (DlRAC delta):
8(í),
- az egységugrás függvény:
l(r),
- az egységsebességugrás függvény:
f 1(f),
- az egységgyorsulásugrás függvény:
t — 1(f).
2
A tipikus vizsgálójelekre adott válaszok, a tipikus rendszerválaszok a 2.4. ábrán láthatók. A DlRAC delta egységnyi területű, a 0 időpontban végtelen amplitúdójú impulzus. A DlRAC delta matematikai absztrakció, származtatható például egy At szélességű, 1/Af magasságú négyszögimpulzus határeseteként, ha A r - » 0 . A rendszer DlRAC deltára adott válaszát súlyfüggvénynek nevezzük és w(í)-vel jelöljük. A súlyfüggvény rendszerjellemző, menetéből következtetések vonhatók le a rendszer struktúrájára és paramétereire, sőt a stabilitásra vonatkozóan is. A súlyfüggvény jellemzi a rendszer tranziens tulajdonságait. A rendszer ilyenkor magára hagyott rendszer, mivel a gerjesztő függvény csak a f = 0 időpontban végtelenül rövid ideig hat, de ezalatt véges energiatartalma segítségével a kimenőjelet és esetleg annak differenciálhányadosait is kimozdítja nyugalmi helyzetükből. Az egységugrás jel a í = 0 időpontban 0-ról l-re ugrik. Értéke í < 0 - r a zérus, í > 0 - r a egységnyi. A rendszer egységugrásra adott válaszát átmeneti függvénynek nevezzük és v(í)-vel jelöljük.
48 Az egységsebességugrás függvény értéke f < 0 - r a zérus, í > 0 - r a pedig í. Hatására a rendszer kimenetén az egységsebességugrásra vonatkozó átmeneti függvény jelenik meg. 2
Az egységgyorsulásugrás függvény értéke f < 0 - r a zérus, í > 0 - r a pedig t /2. Hatására rendszer kimenetén az egységgyorsulásugrásra vonatkozó átmeneti függvény jelenik meg.
a
Az átmeneti függvények szintén rendszerjellemzők. A tipikus jelek között az alábbi kapcsolat áll fenn:
8(f) = w
—1(0 df
w
;
1(f) = — f 1(f) df w
w
;
(2.12)
1(f) = A r - 1(f). dí 2
w
2
(Megjegyezzük, hogy az egységugrás függvény hagyományos értelemben nem differenciálható. A 8(f) és az 1(f) jelek között a derivált összefüggés szigorúan a disztribúcióelmélettel igazolható.) A lineáris rendszer kimenetén a tipikus bemenőjelek hatására létrejövő kimenőjelek között a bemenőjelek közötti összefüggésekkel megegyező összefüggések állnaKenn. (Az összefüggés a linearitás tulajdonságaiból vezethető le.)
(2.13) A súlyfüggvény tehát az átmeneti függvény deriváltja. A rendszer válasza tetszőleges bemenőjelre H a a rendszer súlyfüggvénye vagy átmeneti függvénye ismert, zérus kezdeti feltételek mellett a kimenőjel tetszőleges bemenőjeke is meghatározható. A rendszer válasza ekkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása.
!
' " 2.5. ábra A konvolúciós integrál szemléltetése
2.6. ábra A bemenőjel felbontható egymáshoz j i e k összegére k é p e s t
e l t o l t
u g r á s
e
Határozzuk m e g a rendszer válaszát tetszőleges bemenőjelre a súlyfüggvény ismeretében. A rendszer u(t) bemenőjele közelíthető egymáshoz képest időben eltolt véges négyszöglökések sorozatával (2.5. ábra). Legyen a négyszöglökések szélessége x. A négyszöglökések száma egy adott f időpontig legyen N. Egy négyszöglökés területe közelítően W(T)AT. A 0 időponthoz képest x-val eltolt négyszögjelre adott válasz a í időpontban közelítően w ( í - x)u(x)Ax. Az adott í időpontban megjelenő kimenőjel értékét befolyásolja valamennyi, az
49 adott időpont előtt a bemenőjelben fellépő impulzus. Lineáris rendszerben a kimeneten az egyes impulzusok hatása szuperponálódik: N
Határátmenettel
í
T
c
d
y (0=íw( - )"(' ) ' o
c
2
1 4
2
1 5
( - )
i h
vagy t— x = v helyettesítéssel N a ,
w
v
M
í
ü
yih(O S ( i) ( -' /)
A u
( - )
í=i
illetve Ax> —» 0 határátmenettel y
ih
(t) = } w(\)) u(t - v) dx> o
(2.16)
A (2.14) és (2.15) összefüggés a konvolúciós integrál vagy FALTUNG tétel. A konvolúciós integrál alkalmazásával megkerülhetjük a rendszer differnciálegyenletének megoldását, azonban bonyolultabb bemenőjelre az integrál kiszámítása is fáradságos. A (2.15) egyenlet numerikus kiértékelésre ad lehetőséget abban az esetben, ha a súlyfüggvény lecsengő. A súlyfüggvényt m e g kell adnunk a u, =0,Ai),2A u ... (A''-l)Ai) mintapontokban. Feltételezzük, hogy a súlyfüggvény további részére w(i'A'o) = 0 , ha i>N. A bemenőjel aktuális értékén kívül N - \ korábbi értékét kell tárolni. ,
J
)
A kimenőjel közelítően a következő összefüggéssel számítható: y (t) ih
» [W(0)K(Í) + W ( A \ ) ) M ( Í - A D ) + W ( 2 A \ ) ) K ( Í - 2 A u ) +... + w((N - í ) A v ) u ( t - ( N
- 1)AV)]AU
(Ezt az alakot HANKEL alaknak és súlyfüggvény modellnek is hívjuk.) A rendszer válasza tetszőleges bemenőjelre meghatározható az átmeneti függvény ismeretében is. A bemenőjel közelíthető egymáshoz képest eltolt ugrásjelek összegével (2.6. ábra). A z ezekre adott eltolt súlyozott átmeneti függvény válaszokat szuperponálva megkapjuk a kimenőjelet. A kimenőjel közelítőleg az alábbi összefüggéssel adható meg: N
VihW^OMO + Xv^-T,.^.) ;=l Illetve az egyes tekintett pontokban: y(0) = (0)v(0) M
(2.17)
50
V(AT) = H(0)V(1) + AK(1)V(0) y (2Ax) = w(0)v(2) + Au(l)v(l) + AM(2)V(0)
A fenti összefüggés alapján a kimenőjel megfelelő pontossággal számítható, ha Ax kicsi. Ha Ax —> 0 , a kimenőjel meghatározására a következő összefüggést kapjuk:
(2.18)
Ez a kifejezés a DUHAMEL tétel.
Elsőrendű differenciálegyenlet megoldása A z elsőrendű differenciálegyenlet a (2.1a) n-edrendű egyenlet speciális esete. Ekkor n = l és legyen m = 0. Adjuk m e g az elsőrendű differenciálegyenlettel leírható tag súlyfüggvényét és átmeneti függvényét, valamint tetszőleges bemenőjelre adott válaszának kifejezését a konvolúciós integrállal. A differenciálegyenlet az alábbi alakban adható meg: a\y{t) + a y{t) 0
= b u(t)
(2.19)
0
A kezdeti feltétely(t = 0) = y ( 0 ) , értéke legyen zérus. A differenciálegyenlet a (2.4) időállandós alakra hozható: Ty(t) + y(t) = Au(t) ahol T = a /a x
(2.20)
az időállandó, és A-b /a
0
0
az átviteli tényező.
0
Ilyen elsőrendű differenciálegyenlettel írható le például a 2.1. ábrán látható ellenállásból és induktivitásból álló villamos kapcsolás. A kapcsolásra felírva a KlRCHHOFF hurokegyenletet: L ^ - + Ri(t) = u(t). dt w
w
Látható, hogy a fenti egyenlet a (2.20) alakra hozható. Oldjuk m e g a differenciálegyenletet egyenlet: általános
u(t) = l(í) egységugrás bemenőjelre. A karakterisztikus
7 s + l = 0. A karakterisztikus egyenlet gyöke: megoldása:
t/T
y {t)
= k e~ .
h
x
kimenőjel deriváltja zérus, és y
i h
Egységugrás
l
bemenőjeke
A
homogén
állandósult
egyenlet
állapotban
t/T
l
l
ismeretében határozható meg: y(0) = 0 = ^ + A . 1
+A.
A k
x
paraméter értéke a kezdeti feltétel
A teljes megoldás, az átmeneti
függvény
analitikus kifejezése tehát: y(t) = v(t) =
t/T
A(l-e- )
a
(í) = y(t —> <») = A.
A teljes megoldás: y(í) = y ( f ) + y h{t) = k é~ h
s =-l/T.
(2.21)
51
amely exponenciálisan kb. 3T időn belül éri el állandósult értékét 5%-os pontosságon belül. A súlyfüggvény az átmeneti függvény deriváltja:
w ( f )
=
w
dvífÍ A -^ =
dt
(2.22)
e
T
Az átmeneti függvényt és a súlyfüggvényt a 2.7. ábra mutatja, ahol v(0) = w(0) = A/T következtében az időállandó elsőrendű rendszerekre jól ismert interpretációja olvasható le az ábráról.
2.7. ábra Elsőrendű differenciálegyenlettel leírható rendszer átmeneti függvénye és súlyfüggvénye A súlyfüggvény ismeretében tetszőleges bemenőjelre a kimenőjel a konvolúciós integrállal számítható. A teljes megoldás, figyelembevéve a zérustól eltérő kezdeti feltétel hatását is a kimenőjelre: —í
. .
\
y(0).1+
J
—(f-T) e
T
i:(T)dX
(2.23)
o 2.2. Transzformálás az időtartományból a frekvencia- illetve az operátortartományba Lineáris állandó együtthatójú differenciálegyenletek tárgyalásának a műszaki alkalmazások szempontjából előnyös módja az, ha függvénytranszformációkkal az eredeti időfüggvényekről azokkal egyértelmű kapcsolatban álló olyan függvényekre térünk át, amelyekkel az eredeti differenciálegyenlet helyett algebrai egyenletet kell megoldani. Ilyen eljárások a FOURIER és a LAPLACE transzformáció. FOURIER sor, FOURIER integrál, FOURIER transzformáció Egy periodikus y(í) jel felbontható harmonikus függvények összegére. Ez az összeg a FOURIER sort adja m e g , amelynek elemei diszkrét frekvenciákhoz rendelhetők. Legyen a jel periódusideje T, alapkörfrekvenciája pedig co = 2it/T. A FOURIER sor komplex alakja: 0
oo
y{t)
=
X < v >
a
o
i
(2.24)
52 ahol n egész szám, és 1 cn=7 1
T/
f
2
J
(2.25)
y(t)e-Wdt
-T/2
c komplex szám, amelyre fennáll a c - c_ összefüggés, ahol c konjugált komplexet jelöl. Az CŰ = « C Ű diszkrét frekvenciákhoz rendelt c amplitúdók a periodikus y(í) jel amplitúdó spektrumát alkotják. n
n
n
n
0
A F O U R I E R sor természetesen valós alakban is megadható, ahol a pozitív és negatív azonos értékű frekvenciaösszetevőkhöz tartozó tagokat szinusz vagy koszinusz függvényekké vonjuk össze.
1
_T
T 2
~ 2
t
JL
371
3ti
571
1
-1
2.8. ábra Periodikus jel
-5o„
571
I -3oo„
3u>„
5(0
o
7(0 „
2.9. ábra Periodikus jel diszkrét frekvenciaspektruma
A 2.8. ábra egy periodikus függvényt mutat. A 2.9. ábra megadja a függvény amplitúdó frekvencia spektrumát. A 2.10. ábra szemlélteti a függvény közelítését az alapharmonikussal, illetve 3 F O U R I E R összetevővel. Minél több F O U R I E R összetevőt veszünk figyelembe, annál jobb lesz a periodikus jel közelítése. (Megjegyezzük, hogy a szinusz és koszinusz függvények ortogonális rendszert alkotnak. A sor a periodikus jel egy ortogonális felbontása.
FOURIER
közelítés
közelítés
(a) (b) 2.10. ábra Periodikus jel közelítése harmonikus összetevőkkel A gyakorlatban a rendszer bemenetére többnyire nem periodikus, hanem aperiodikus jelek kerülnek (pl. egységugrás függvény). Egy abszolút integrálható aperiodikus függvény, amelyre fennáll az
\y( 0|dí=véges
(2.26)
53
összefüggés, felírható a F O U R I E R sorból határátmenettel kapható F O U R I E R integrál alakjában. Egy aperiodikus függvény ugyanis olyan periodikus függvénynek fogható fel, amelynek periódusideje végtelenhez tart. A z aperiodikus függvény származtatását a periodikus függvényből a 2.11. ábra szemlélteti. A periódusidő növelésével az amplitúdófrekvenciaspektrum vonalai egyre közelebb kerülnek egymáshoz, és határesetben a spektrum folytonossá válik, a jelben minden frekvencia előfordul adott sűrűséggel (súlyozással). A (2.24) összefüggés helyett határátmenettel kapjuk a FOURIER integrált.
(2.27)
ahol
Y(j(ú)
a jelhez
tartozó
komplex
spektrum,
az
y(t)
jel
úgynevezett
FOURIER
transzformáltja, amely az alábbi összefüggéssel kapható meg:
Y(j(0)=
\y{t)e-^át
=
(2.28)
^{y{t)}
Ez az összefüggés a F O U R I E R transzformáció alapösszefüggése. A jel a (2.27) összefüggés alapján egyértelműen visszaállítható.
FOURIER
transzformáltból a
Ha az y(t) függvény csak t>t időkre különbözik zérustól, akkor egyoldalas időfüggvényről, illetve egyoldalas F O U R I E R transzformációról beszélünk. A z általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy t = 0. Ekkor y(r)-t pozitív időfüggvénynek nevezzük. 0
0
határoló görbe /o =
A = —s 20
7
A
4Hz
T-s
Pl o T n fi , T--s 2
r-is
2.11. ábra A periódusidő növelésével a periodikus függvény aperiodikus függvényt közelít, a frekvenciaspektrum folytonossá válik. A FOURIER transzformált csak akkor létezik, ha a jel abszolút integrálható, vagyis fennáll a (2.26) összefüggés. Ez azt is jelenti, hogy a jel négyzetes integrálja is létezik, a jelnek véges
54
energiatartalma van. Az energia a frekvenciatartományban tétellel fejezhető ki:
2
]y {t)dt
=
±-]Y(j(o)Y{-JG>)d(i>
a P A R S E V A L vagy R A Y L E I G H
(2.29)
A F O U R I E R transzformációt alkalmazva egy differenciálegyenletre algebrai egyenletet kapunk. Képezzük ugyanis a (2.27) egyenlet idő szerinti deriváltját.
j_ 2n
j(út
j(üY(j(o)e dt
Látható, hogy y(t) F O U R I E R transzformáltja j(oY(j(ü),
tehát az co változó tartományában a t
szerinti differenciálás ycü-val való szorzásra egyszerűsödik. Láttuk, hogy mind a periodikus, mind pedig az aperiodikus jelek különböző frekvenciájú szinuszos jelek szuperpozíciójával adhatók meg. A periodikus jelek meghatározott diszkrét frekvenciájú szinuszos jelek összegével közelíthetők, ahol a magasabb frekvenciájú ö s s z e t e v ő k egyre kisebb amplitúdóval fordulnak elő. A z aperiodikus jelekben minden frekvencia előfordul adott súlyozással. Ha egy lineáris rendszert gerjesztünk egy jellel, amelyet k ü l ö n b ö z ő frekvenciájú szinuszos összetevőivel közelítünk, a szuperpozíció alkalmazásával a kimenőjel közelíthető a bemenőjel egyes összetevőire adott válaszok összegével. A közelítés annál j o b b lesz, minél több frekvenciaösszetevőt veszünk figyelembe. A 2.12. ábra szemlélteti egy másodrendű differenciálegyenlettel leírható rendszer periodikus négyszögjelre adott válaszát, továbbá a bemenőjel és a kimenőjel közelítését a szinuszos összetevőkkel 4 illetve 10 F O U R I E R összetevővel. Látható, hogy 10 összetevővel jól közelítjük mind a bemenőjelet, mind pedig a kimenőjelet.
1
-ti" \
(a) (b) 4 F O U R I E R összetevővel 10 F O U R I E R összetevővel 2.12. ábra Másodrendű rendszer periodikus bemenőjelének és kimenőjelének közelítése A fentiek alapján ha egy lineáris rendszer szinuszos jelekre adott válaszait ismerjük, elvileg tetszőleges bemenőjelre adott időbeli válaszait is közelítőleg megadhatjuk.
LAPLACE transzformáció A FOURIER transzformáció alkalmazásának az abszolút integrálhatóság (2.26) feltétele igen erős
korlátot szab. A feltétel számos, a gyakorlatban alkalmazott jelre sem teljesül (pl. egységugrás). A gyakorlati alkalmazhatóság érdekében a FOURIER transzformációt úgy kell módosítani, hogy alkalmazható legyen olyan jelekre is, amelyek nem abszolút integrálhatók. Az egyoldalas FOURIER transzformáció érvényességi köre nagymértékben kibővítheti), ha az y(í) transzformálandó függvényt előzetesen megszorozzuk az e ~ függvénnyel, amely a függvények széles körére biztosítja az abszolút integrálhatóságot, majd az így kapott függvénynek határozzuk meg a FOURIER transzformáltját. A g > 0 feltétellel az összes oí
a t
hatványfüggvény, a o > a feltétellel pedig a pozitív hatványkitevőjű e függvény is abszolút integrálhatóvá válik t = 0 és °° között. A szorzótényezővel módosított függvény FOURIER transzformáltja az eredeti függvény LAPLACE transzformáltja. 2.1. táblázat. Néhány függvény LAPLACE transzformá tja Y(s) y(')
5(0 i(0
ni „n+l -at
s+ a a s(s+ á)
l-e" te -at
(s+ y a
_ n-X -at
1
t
e
(fi-1)1
(s+a)
n
CO
sin(coí)
2
S +(Ü 2
COSI
2
2
A LAPLACE transzformált egyoldalas, a í = 0-ban kezdődő függvényekre:
¥{y(<)}=
I v(íK
G
V^dr=
s t
] y ( t ) e - d t = Y( ) s
ahol az í = a + /co transzformációs változó pozitív valós részű komplex szám. Tehát egy y(í) -
függvény LAPLACE transzformáltja: Y(s) =
St
¥{y{t)}=]y{t)e- át
(2.30)
56 Az inverz L A P L A C E transzformált pedig: o
1 v°° y{t) = ^{Y{s)}
=j
-
j
st
Y{s)e ás
(2.31)
Az integrálási utat úgy kell kiválasztani, hogy az Y(s) regularitási tartományában haladjon, a szinguláris helyek tőle balra essenek. Ezt az általános érvényű inverziós formulát gyakorlati esetekben szűkebb érvényű, de könnyebben kezelhető módszerekkel (pl. kifejtési tétel) lehet helyettesíteni. (Az s —»ja határátmenettel a L A P L A C E transzformáció a F O U R I E R transzformációba megy át, amennyiben az létezik.) Néhány fontosabb jel L A P L A C E transzformáltját a 2.1. táblázat adja meg. Valamennyi függvény egyoldalasán értendő. A
LAPLACE
transzformáció fontosabb műveleti szabályai:
Linearitás: A L A P L A C E transzformáció lineáris művelet. Ha az időfüggvényeket konstansokkal szorozzuk és összegezzük, L A P L A C E transzformáltjaikat is hasonló módon számíthatjuk. ^ h y i ( í ) + c y {t)} 2
= cftis)
2
+ c Y (s) 2
2
(2.32)
Differenciálás: ¥{y(t)}
=
¥{y{s)}
=
sY(s)-y(-0) (2.33) 2
s Y(s)-sy(-0)-y{-O)
Ha a függvény a í = 0 időpontban ugrik, a derivált L A P L A C E transzformáltjában kezdeti értéknek az ugrás előtti ( í = - 0 ) bal oldali értéket kell figyelembevenni. Ha az összes kezdeti érték zérus, az idő szerinti differenciálás s megfelelő hatványával való szorzásra redukálódik. Egy függvény L A P L A C E transformáltjának a z í változó szerinti deriváltja a t változóval szorzott időfüggvény L A P L A C E transzformáltját adja meg negatív előjellel:
Sf
y
J
• {0'(í)} = - Tas- ( )
2
3 4
( - )
Integrálás:
if-
y(t)dt
lo Késleltetés,
\ = -Y{s) s
(2.35)
eltolás:
¥{y{t±x)} y = 0 , h a t< x.
±sZ
= e Y(s)
(2.36) (2.37) _ í t
A z y függvény kezdőpontjának t - v a l való jobbra tolása a transzformált függvényben e - v a l való szorzásként jelentkezik.
57
Végérték tételek: y
( f = + 0 ) = lim sY(s) (2.38)
y(t -» «>) = lim í 7 ( í ) j-»0
Az állandósult értékre (r —» °°) vonatkozó összefüggés akkor alkalmazható, ha 7(í) pólusai a komplex számsík bal oldalára esnek, vagyis a tranziensek lecsengenek, létezik állandósult állapot (helytelen eredményt kapunk pl. szinusz jelre vagy exponenciálisan növekvő jelre). Konvolúció:
if'
= Y (s)Y (s) l
(2.39)
2
to A konvolúciós integrál a LAPLACE operátortartományban egyszerűen, a függvények LAPLACE transzformáltjainak összeszorzásával számítható. Racionális törtfüggvény
inverz LAPLACE
transzformáltja
Az inverz LAPLACE transzformáció (2.31) kifejezését konkrét számításokbamtkán használjuk. Lineáris állandó paraméterű rendszerek vizsgálatakor a rendszerben előforduló jelek LAPLACE transzformáltja rendszerint racionáüs törtfüggvény (valós együtthatós polinomok hányadosa). Y(s) = ^ L = ^ ^* -l K{ ) s +a _ s ~ +... m
s
n
n
n
l
1
^ + a
,
m
(2.40)
0
A racionális törtfüggvény részlettörtekre bontható és tagonként visszatranszformálható az időtartományba. Ez a kifejtési tétel, amely akkor egyszerű, ha a nevező gyökei egyszeresek. Ekkor
"
n
5
. ,
y(í) = L - - .
G( ) Si
ahol n = ^ - ,
(2.41)
S—S;
H
polinom s szerinti deriváltja.
Az időfüggvény: n Slt
y{t) = J
(2.42)
«=1
Többszörös gyökhöz a részlettörtekre bontáskor a gyök multiplicitásával azonos részlettört tartozik. Például ha az í-edik gyök kétszeres, a megfelelő részlettört r
i\
s-s,
+...
számú
r
i2
1 1
2
,
(2.43)
{s-Si)
aminek inverz transzformáltja a 2.1. táblázat szerint (r + n
Si
tr )e i2
58 Az átviteli függvény Ha a differenciálegyenletre alkalmazzuk a LAPLACE transzformációt, algebrai egyenletre jutunk. Zérus kezdeti feltételek mellett a deriváltak egyszerűen s megfelelő hatványával való szorzással adódnak. A z algebrai egyenletet megoldva megkapjuk a kimenőjel LAPLACE transzformáltját, majd inverz transzformációval visszatérünk az időtartományba. A (2.1a) differenciálegyenletet a LAPLACE transzformációval zérus kezdeti feltételek mellett a következő alakra hozhatjuk: n
n
a s Y(s)
l
+ a _ s ~ Y(s)
n
n
m
+... + a sY(s)
x
m x
= b s U{s)
+ b ^s - U{s)
m
+ a Y(s) =
x
0
+... + b U{s)
m
+ b U{s)
lS
0
illetve Y(s) =
+
y as
b
1
«~^
+ a _iS
n
+
b
i
s
+
b
o
tj^
+... + a^s+
n
ahol Y(s) = 5f{y(t)},
=
{/(j)
(2.44a)
a
0
a / / ( í ) pedig az úgynevezett átviteli függvény.
U(s) = 5?{u(t)},
Fizikailag
realizálható rendszerekre m < n. A z ilyen átviteli függvényt szabályosnak(proper) is nevezzük. Ha a szigorúbb m
n
_ 1
a s Y(s)
n
n
m
m
= [b s U(s)
l
+ b _ s ~ U{s)
m
+ a Y(s) =
ai
m
0
+ ... + b U(s)
l
lS
+
sTá
b U(s)]e0
illetve +
Y(s) = y as n
bm
XS
~ ™-\
+
+ ci -\S n
--
+...
+
b l S +
b
sT
° e~ * U(s) = H(s) U(s)
(2.44b)
+ ö j í+ a
Q
«(0 U{s)
Rendszer H(s)
Y(s)
2.13. ábra Egy lineáris rendszer leírható átviteli függvényével Egy rendszer átviteli függvénye tehát a rendszer transzformáltjainak a hányadosa (2.13. ábra).
H
w - í $
Az átviteli függvény A z alábbiakban polinom/polinom
kimenő-
és bemenőjelei
.
LAPLACE
( 2
-
4 5 )
alakjai holtidőmentes rendszereket alakban:
tekintünk. A z átviteli függvény
megadható
59
g
(
j
)
*m^+W'" as +a_s
=
n
1
n
n
n
x
+ -- + V+fco +... + a s + a x
( 2
.
4 6 )
0
A számlálónak és a nevezőnek valós vagy konjugált komplex gyökei vannak. Jelöljük a számláló g y ö k e i t - a z átviteli függvény z é r u s a i t - z z ' " - ' 2 - n i e l , a nevező gyökeit - az átviteli függvény pólusait - pedig p ,p ,...,p -nt\. A z átviteli függvény gyöktényezős, zérus-pólus alakja: 1)
x
S
Z
Z
H(s) = k ( - f - ^ ; (s-p )(s-p )...(s-p ) l
2
2
Z
2
m
n
" \
(2.47)
n
ahol a k erősítési tényezőéitéke: k = b /a . alakban is: m
n
Megadhatjuk az átviteli függvényt
részlettörtes
n
H{s) = J,^—
(2.48)
ahol Pj az átviteli függvény pólusait, r a reziduálok értékeit jelöli. Mind a pólusok, mind pedig a reziduálok lehetnek valós vagy konjugált komplex számok. t
Szabályozástechnikai alkalmazásokban az átviteli függvényben sokszor előnyös a g y ö k ö k reciprokait, az időállandókat szerepeltetni, x,- = - l / z és 7) = - 1 / p jelölések bevezetésével az átviteli függvény idóallandós alakja: ;
w
{
(i+ir,)(i+ir )...(i+ir„) 2
ahol í j és T valós vagy komplex számok, A pedig az átviteli tényező. A z A átviteli tényező értéke: t
«o
(-Pi)-(-Pn)
A nulla értékű zérusokra és pólusokra az átalakítást n e m végezzük el. A konjugált komplex gyökpárokat mind a számlálóban, mind a nevezőben célszerű összevonni másodfokú valós együtthatójú tényezőkké. Legyenek pl. p = a + j$ és p =a-y'(3 konjugált komplex pólusok. Gyöktényezőik szorzatára írhatjuk: x
(s -
= (s -
Pi)(s - p ) 2
2
ahol co = a
2
a-
,/'p)(s -
a + ;'P) = s - 2as + a + p 2
2
+ P és £ = - a / c o
0
Időállandós alakban
5
2
+
2
2^CŰ í+CŰ =CŰ 0
2
, 2 ^
1
2
2
x
2
=s
2
+ 2t G> s + co )
0
60
Bevezetve a T =l/(ü időállandót, a kifejezés jobb oldali zárójeles tényezője l + 2£,T s + T s alakba írható. A z co -t a négyzetes tag sajátfrekvenciájának (natural frequency), i;-t pedig csillapítási tényezőnek (damping factor) nevezik. 0
0
0
o
0
A konjugált komplex gyökök összevonásával az átviteli függvény az alábbi alakba írható: c
d oj
H
+
T
s
q/) 2
7
S
( ) =J -
s
e
5
< - °)
n ( i + ^ ) n ( i + 2 ^ v + 1 1
Ha í < 1, a tagban differenciáló hatás van. Ha i = 0, a tag arányos jellegű. Ha i > 1, a tag integráló jellegű. Ezek a hatások akkor jelennek m e g tisztán, ha a bemenőjel által kiváltott tranziensek már lecsillapodtak. sTd
Holtidő fellépése esetén a fenti átviteli függvényeket m e g kell szorozni az e~ Az átviteli függvény
kapcsolata
a súlyfüggvénnyel
és az átmeneti
tényezővel.
függvénnyel
Az átviteli függvény segítségével adott gerjesztésre a kimenőjel meghatározható. Y(s) =
H(s)U(s)
y(t) = ^{Y(s)}
=
ir\H(s)U(s)}
Az átviteli függvény ismeretében a súlyfüggvény és az átmeneti függvény könnyen megadható. A súlyfüggvény a rendszer DlRAC impulzusra adott válasza az időtartományban. if{8(r)} = 1, a súlyfüggvény LAPLACE transzformáltja az átviteli függvény Y(s) = U(s)H(s)
Mivel
= = i f {8(f)}tf(í) = H(s)
amiből a súlyfüggvény 1
w(t) = ST {H(s)}
és megfordítva
H(s) = 2>{w(t)}
(2.52)
Másszóval egy rendszer súlyfüggvényének LAPLACE transzformáltja a rendszer átviteli függvénye. A súlyfüggvény ismeretében tetszőleges bemenőjeke a konvolúciós integrállal határozhatjuk m e g a rendszer válaszát. A LAPLACE operátortartományban a konvolúciónak szorzás felel meg.
x
y(t) = 5r {Y(s)}
l
= ST {H(s)U(s)}
= ) w{t-x)u(z)áx
(2.53)
o A z átmeneti függvény a rendszer egységugrásra adott válasza az időtartományban. A z átmeneti függvény LAPLACE transzformáltja:
61
Y(s) = U(s)H(s)
= &{l(t)}H(s)
=
-H(s) s
Az átmeneti függvény a fenti kifejezés inverz LAPLACE transzformációjával kapható meg. (2.54)
Egy arányos jellegű tag átmeneti függvényét a 2.14. ábra szemlélteti.
2.14. ábra Átmeneti függvény Az átmeneti függvény kezdeti és végértékét, illetve deriváltjainak kezdeti értékeit megadhatjuk az átviteli függvény alapján. A végértéktételekkel az átmeneti függvény kezdeti értéke: (2.55)
v(0) = lim í ^ Í Í = lim H(s) ' s Az átmeneti függvény r-edik deriváltjának kezdeti értéke: (r)
v {0)
= lim í i ^ M
= i
i m
(o)
(2.56)
Ha s — a z átviteli függvény (2.44) kifejezésében a számlálóban és a nevezőben a legmagasabb hatványok dominálnak,
r
v ' ' ( 0 ) = lim
r s
-
B i
—=
hm-^—
(2.57)
Ha a számláló és a nevező fokszáma megegyezik, az átmeneti függvénynek ugrása van a f = 0 időpontban. H a van fokszámkülönbség a nevező és a számláló között, a í = 0-ban az r = n-medik deriváltban van ugrás, az alacsonyabbfokú deriváltak értéke a t = 0-ban zérus. Ha a fokszámkülönbség 1, az átmeneti függvény értéke a t - 0-ban zérus, de az első derivált értéke zérustól eltérő, az átmeneti függvény véges meredekséggel indul. Ha a fokszámkülönbség 2, az átmeneti függvény és első deriváltjának (a kezdeti érintő) értéke is zérus a r = 0-ban, és a második derivált véges értékű. Minél nagyobb a fokszámkülönbség, annál magasabbfokúan simul az átmeneti függvény a t = 0-ban az időtengelyhez. Az átmeneti függvény állandósult értéke (feltételezve, hogy egyáltalán beáll egy állandósult állapot, vagyis (2.50)-ben valamennyi pólus valós értéke negatív): v(t -» » ) = Hm s^^j-»0
J
- lim j->0
(2.58)
A (2.50) kifejezésben ekkor az s változót tartalmazó tagok elhanyagolhatók.
2.15. ábra Átmeneti függvény állandósult értéke Ha i = 0, egységugrás bemenőjelre az állandósult érték az A átviteli tényező értékére áll be. A z ilyen tulajdonságú tagokat arányos vagy önbeálló tagoknak nevezzük. Ha i > 1, a tag integráló jellegű, és a kimenőjel értéke °°-hez tart, i — 1 esetén lineárisan, i = 2 esetén kvadratikusán nő. Ha i < 1, a tag differenciáló jellegű és az átmeneti függvény állandósult értéke zérus (2.15. ábra). Az átviteli függvény pólusai jellemzik a tranziens viselkedést. Valós pólusok aperiodikus, konjugált komplex pólusok lengő tranzienseket eredményeznek. Az origóba esőpólus integráló hatást jelent. A komplex számsík bal oldalára eső pólusok lecsengő, a jobb oldaka eső pólusok egyre növekvő amplitúdójú tranzienseket jelentenek. A 2.16. ábrán különböző elhelyezkedésű pólusokkal rendelkező rendszerek súlyfüggvényeit tüntettük fel.
2.16. ábra Az átviteli függvény pólusai és a súlyfüggvény jellege Tagok alapkapcsolásai. Blokk-diagram algebra, hatásvázlat átalakítások A szabályozási kör tagjai valamilyen módon kapcsolódnak egymáshoz. A egymásrahatás módja a hatásvázlattal fejezhető ki. Az átviteli tagok három alapvető kapcsolása - a soros kapcsolás - a párhuzamos kapcsolás - a visszacsatolás.
kapcsolódás,
63
Határozzuk meg az alapkapcsolások eredő átviteli függvényeit. Soros
kapcsolás
Soros kapcsolásnál az egyik tag kimenőjele az utána következő tag bemenőjelét képezi (2.17. ábra). U(s)
H (s) 2
2.17. ábra Soros kapcsolás A kimenőjel L A P L A C E transzformáltja: Y(s) = Y (s)H (s) 1
=
2
U(s)H (s)H (s) l
2
Az eredő átviteli függvény tehát az egyes átviteli függvények szorzata. H(s) =
H (s)H (s) l
Párhuzamos
2
kapcsolás
Párhuzamos kapcsolásnál a tagok bemenőjele azonos, kimenőjeleik összegződnek (2.18. ábra). A kimenőjel L A P L A C E transzformáltja: Y(s) = * Í ( J ) + Y {s) = UtflH^s)
+
2
H (s)] 2
Az eredő átviteli függvény tehát az egyes átviteli függvények összege. H(s) = H (s) + 1
H (s) 2
Y(s)
U(s) H (s) 2
r (s) 2
2.18. ábra Párhuzamos kapcsolás Hangsúlyozzuk, hogy Hj és H fenti összevonása csak akkor lehetséges, ha bemenetük azonos, kimenetük pedig kizárólag egy közös pontban kerül összegezésre. 2
Visszacsatolás Visszacsatolásról beszélünk, ha valamely tag kimenőjelét - egy másik tagon keresztül vezetve a bemenőjeléhez hozzáadjuk vagy kivonjuk. Az előbbi esetet pozitív, az utóbbit negatív visszacsatolásnak nevezzük. Egy szabályozási kör tipikus alapkapcsolása a negatív visszacsatolás. A 2.19. ábra alapján határozzuk m e g a negatívan visszacsatolt kör eredő átviteli függvényét. U(s)
o
Y(s)
E(s)
U(s)
a, l±H Hi x
\H (s) 2
2.19. ábra Visszacsatolt kör
64
A kimenőjel Laplace transzformáltja Y(s) = E(s)H (s)
= [U(s) - H (s)Y(s)]H (s).
í
Y(s) =
[#i(»/l + H^sjH^s)]U(s). H
H(s) =
2
Átrendezve
l
Az eredő átviteli függvény
^
A nevezőben a negatív előjel a pozitív visszacsatolásra vonatkozik. A z L(s) = függvényt hurokátviteli
függvénynek
H (s)H (s) l
2
nevezzük.
Egy szabályozási rendszer matematikai vizsgálatát hatásvázlata alapján végezhetjük el. A vizsgálat sok esetben egyszerűsödik, ha a hatásvázlaton egyenértékű átalakításokat hajtunk végre. Egy rendszer blokk-diagramja az átalakítási szabályok segítségével más, ekvivalens alakokra hozható. A z átalakítások segítségével egyszerűbb alakot, vagy a számítások elvégzéséhez előnyősebb struktúrát kapunk. Az átalakítás során az egyes blokkokat és jeleket is át lehet helyezni, de az egyenértékű átalakítások során az egyes bemenőjelek hatása a kimenőjelekre változatlan kell, hogy maradjon. A z alábbiakban megadunk néhány egyenértékű átalakítási szabályt. Az elágazási pontok ugyanazon jekől felcserélhetők (2.20. ábra). A z összegzési pontok helye felcserélhető (2.21. ábra). A z összegzési pontok egyenértékű áthelyezését a 2.22. ábra mutatja. Az elágazási pont áthelyezését a 2.23. ábra szemlélteti.
X,(s)
XJs)
XJs)
X,(s)
2.20. ábra Az elágazási pontok felcserélhetők
X (s)
X (s)
2
X()
X (s)
3
2 S
3
2.21. ábra Az összegezési pontok felcserélhetők
O
H
H
H
H 1
—
±
x,
H
1 H
x
2
(a) (b) 2.22. ábra Összegezési pontok egyenértékű áthelyezése
x
H
x
H
2
2
H
H
x
x,
2
x,
H
(a)
H
x
2
i
(b) 2.23. ábra Elágazási pont áthelyezése
2.1. Példa A 2.24. ábrán látható hatásvázlatban egy folyamat két sorbakapcsolt átviteli függvénnyel adható
65
meg. A zavaró jellemző a két tag között hat. Redukáljuk a zavarást a kimenőjelre, illetve a bemenőjelre. A 2.25. ábra mutatja az átalakított hatásvázlatokat.
u ?1
2.24. ábra A zavarás a folyamat két sorbakapcsolódó átviteli tagja között hat
u r
p l
y
p
M
^2
2.25. ábra A zavarás a folyamat kimenetére, illetve bemenetére redukálható 2.2. Példa Határozzuk meg a 2.26. ábrán látható összetett szabályozási kör eredő átviteli függvényét az y kimenőjel és az r alapjel között.
2.26. ábra Többhurkú szabályozási kör
+ /S
»4
ff,
ff,
ff
3
+'
ff,
ff
5
ff.
H H2H H X
2.27. ábra A hatásvázlat átalakítás lépései
2
A
66
A hatásvázlat átalakítás lépéseit és az eredő átviteli függvény meghatározását mutatja.
a 2.27. ábra
2.3. Példa Adjuk meg a 2.28. ábrán látható kapcsolás eredő átviteli függvényét. H
2
+,
u
±J~~\
#3
2.28. ábra Szabályozási kör előrecsatolással A hatásvázlat átalakítás lépéseit és az eredő meghatározását a 2.29. ábra adja meg.
+
O
O
+
»: H
4
(b)
(a) u
ff. i+
ff,
ffjl+ff,ff. (C)
2.29. ábra A hatásvázlat átalakítás lépései 2.3. Lineáris rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban A következőkben a lineáris rendszer szinuszos bemenőjelekre adott válaszait vizsgáljuk. A szinuszos jelekre adott válaszok - mint láttuk a 2.2. pontban a F O U R I E R analízis kapcsán alapvető információt tartalmaznak más, nem szinuszos bemenőjelekre adott válaszokra is, hiszen egy adott bemenőjel felbontható szinuszos összetevők összegére. Lineáris rendszerben az egyes szinuszos bemenőjel összetevőkre adott válaszokat összegezve megkapjuk az adott bemenőjelre adott válasz tetszőleges pontosságú közelítését. Stabilis lineáris rendszerek alapvető tulajdonsága, hogy szinuszos bemenőjelekre állandósult állapotban, a tranziensek lecsengése után a bemenőjel frekvenciájával megegyező frekvenciájú szinuszos jelekkel válaszolnak (2.30. ábra). Akimenőjel amplitúdója és fázisszöge a frekvencia függvénye. y (/) = Af sin (mi + cpy) +
2.30. ábra Lineáris rendszer válasza szinuszos bemenőjelre
67 Legyen a rendszerünk bemenete u(t) = A sin(cor+ cp ), t > 0. A kimenőjel u
1
y{ ) - ? állandósulta)
+
u
^tranziensig-
A kimenőjel állandósult (kvázistacionárius) állapotban ^állandósult (t) = A SIN((űí + (p ). y
y
A frekvenciafüggvény
az
A /A y
amplitúdó
u
arány
és
(9 -
a
y
u
fáziskülönbség
frekvenciafüggését leíró komplex függvény, amely egyidejűleg kérendszerjellemző tulajdonság frekvenciafüggését reprezentálja. Belátható, hogy formailag a frekvenciafüggvényt az átviteli függvényből az s = j(o helyettesítéssel lehet származtatni: H(jco) = H(s)\
= \H ( j a ) ^
s=j(ú
= a(coy^)
(2.59)
A frekvenciafüggvény kifejezésében a(co) az amplitúdófüggvény (a frekvenciafüggvény abszolút értéke), 9(00) pedig a fázisfüggvény (a frekvenciafüggvény fázisszöge):
a{(ú) = \H(j(ö)\ = ^
~
cp(co) = arg{ rY(;cű)} = (p (co)-cp (co)
és
J
y
u
Bizonyítás: Legyen a rendszer átviteli függvénye: (\
H s
s z
=
s z
s z
( - i)( - z)---( - m) (s-p )(s-p )...(s-p )
k
l
2
n
Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel egyszeres pólusokat és zérusokat. A bemenőjel LAPLACE transzformáltja A
n(A
u
szinuszos
m
A kimenőjel felírható részlettörtes alakban Y(s) = U(s)H(s)
_ =
coA - ^ k s + (ú u
2
S+J(0
{s-zi){s-z )..-{s-z )
k
2
2
í
5 - p j
S-J(ű
m
(s-p )(s-p )...(s-p )
J - p
2
n
S-p
2
n
a és ÖT konjugált komplex reziduálok. Inverz LAPLACE transzformációval időfüggvénye: l
y(t) = ST {Y{s)}
j(0t
= ae-
jm
+ ae
+pV
+ § e™ 2
+ ... +
a kimenőjel
p
$ e »' n
Stabilis rendszerre a rendszer pólusait tartalmazó részlettörtekből adódó tranziensek lecsengenek, a kvázistacionárius válasz pedig a fenti összefüggésből láthatóan a bemenőjellel megegyező frekvenciájú szinuszos jelet eredményez.
68
Határozzuk m e g az a
és
a
reziduálok értékeit az
7 ( í ) - r e fentebb felírt
= -^H{-j
a =
részlettörtes
összefüggés alapján. és
^H(j(i>)
S + CŰ
Ezzel
= -£|ff(>)|e w
2;'
-7(p((ű).
"
H
1 + •
s + j(ü
h\ 04 2
j
s
-
1 j
(
0
valamint a kimenőjel állandósult, kvázistacionárius összetevője fír
^állandósultM =
^y| W
A H(j(ü) sin(cof + tp) u
Ezzel igazoltuk, hogy a frekvenciafüggvény az átviteli függvényből kapható, H(jco) =
s = ja> helyettesítéssel
H(s)[ . =j(ű
A frekvenciafüggvény a súlyfüggvény
FOURIER
transzformáltja, amennyiben az létezik.
Ha a rendszert olyan hatás éri, amely tranzienseket vált ki, kezdetben a nagyfrekvenciás (időben gyorsabban lejátszódó), a későbbiekben pedig a kisfrekvenciás tulajdonságai dominálnak. A ;'co - » 0 átmenet éppen az állandósult állapotot adja meg. Tehát az átmeneti függvény értéke állandósult állapotban (t—>°°) megegyezik a frekvenciafüggvény co = 0 értéknél felvett amplitúdójával. A z átmeneti függvény kezdeti értéke (í—>0) pedig a frekvenciafüggvény co —> oo-nél felvett értékével azonos. lm
H(jm)
0
2.31. ábra
NYQUIST
diagram
A frekvenciafüggvény grafikus megjelenítése A frekvenciafüggvény többféleképpen is ábrázolható. A N Y Q U I S T diagram a függvényt a komplex számsíkon polár diagramként ábrázolja. A kiválasztott
frekvencia frekvencia-
69 tartomány minden egyes értékére a komplex síkban az a((ú) és 9 ( 0 0 ) értékpárnak megfelelő pontot adhatunk meg. E pontok kontúrral való összekötése eredményezi a N Y Q U I S T diagramot. A N Y Q U I S T diagram ábrázolásakor a frekvenciát rendszerint nulla és végtelen között változtatjuk (2.31. ábra). A nyíl a frekvencia paraméter növekedésének irányát mutatja. A helygörbét sokszor kiegészítjük a negatív körfrekvenciákra számított értékekkel. Ilyenkor teljes N Y Q U I S T diagramról beszélünk. Agörbe -<*> < co < 0 tartományra megadott szakasza (az ábrán szaggatottan jelölve) a pozitív körfrekvenciákra számított görbe valós tengelyre vett tükörképe. Konkrét fizikai értelme csak a pozitív körfrekvenciának van. A N Y Q U I S T diagram az s = j(ú, - 0 0 < co < 00 egyenes H(s) függvény szerint vett konform leképezéseként is felfogható. A N Y Q U I S T diagram alakja jellemzi a rendszert. Analizálva a N Y Q U I S T diagramot a rendszer fontos tulajdonságairól (pl. stabilitás) kaphatunk minőségi képet. dBlszámérték
2.32. ábra BODE diagram ABODE diagram a frekvenciafüggvény a((ú) abszolút értékét és 9 ( 0 ) fázisszögét külön-külön ábrázolja egy kijelölt frekvenciatartományban (2.32 ábra). A frekvenciaskála léptéke logaritmikus, így nagy frekvenciatartomány fogható át. Azt a frekvenciatartományt, amely alatt a frekvencia tízszeresére változik, 1 dekádnak nevezzük. (A zenében használatos oktáv olyan frekvenciasávot ad meg, amely alatt a frekvencia kétszeresére változik.) A z abszolút értéket híradástechnikai hagyományokat követve - decibelben adjuk meg. A decibel (dB) a számérték logaritmusának 20-szorosa. A fázisszöget lineáris skálában ábrázoljuk. A BODE diagram egyik előnye, hogy frekvenciafüggvény tényezőinek összeszorzásakor a logaritmikus lépték miatt az egyes tényezők BODE diagramjai egyszerűen összeadódnak. A BODE diagram másik előnye, hogy rendszerint jól közelíthető aszimptotáival. A közelítő diagramok jellegéből és töréspontjaiból a rendszer tulajdonságairól gyors értékelést adhatunk. 2.4. Tipikus tagok jellemző függvényei Mint láttuk, egy lineáris, állandó paraméterű rendszer leírható a (2.1b) differenciálegyenlettel, a y W(f) + a ^ y ^ i t ) n
m
= bJ \t-T ) á
+ ... + a (t) iy
+ b _ u^-%-T ) m
l
d
+ a y(t)
=
0
+ ... + b ú(t-T ) 1
d
+
b u{t-T ) 0
d
70
illetve időállandós alakban a (2.60) szerinti átviteli függvénnyel adható meg: c
d 2
N(i+^)N(i+2c x . , 4) 7
0 7
í +
-sT
# M = A_i v
'
J
(2.60)
A
f
e
S
T
oj)
Konkrét esetekben a differenciálegyenlet megadott fokszámú, és esetleg egyes tagokat n e m tartalmaz, az átviteli függvény pedig az általános alaknak csupán egyes tényezőit tartalmazza. A H(s) átviteli függvénnyel jellemzett általános lineáris tag néhány alkalmasan választott egyszerű alaptag kombinációjából építhető fel. Az alábbiakban a legfontosabb átviteli tagok idő- és frekvenciatartománybeli tulajdonságait vizsgáljuk. Ezek az elemek az arányos, integráló, differenciáló, holtidős és tárolós jellegű tagok, illetve ezek soros és párhuzamos kapcsolásával adódó eredők. 2.2. táblázat Ideális alaptagok ><í)
"Nyquistt
Boáé
Arányos tag im
Integráló tag
lm
2MB B [0*f^>^i
T
l
10.
J-2MB '
sT,
s
Re
i l
-20áB/dífcád"
|.-0
Kétszeresen integráló tag
lm
1
A -ü»jilj...d)|-»í \ . M JE». |
2
2
s
s%
DillcrcnciSK) tng
5
. q>--90°
[jo - t o -0
ir
Re
1HŰ«.)I
Holtidős tag
sTi
Ae
»(<»)
Ideális alaptagok A z ideális alaptagok a tisztán arányos, integráló illetve differenciáló tagok, továbbá a holtidős tag. Arányos (P': proporcionális)
tag
Differenciálegyenlete
= b u(t),
a y(t) 0
0
tulajdonképpen
algebrai
egyenlet.
Arányos
tagnak
tekinthető például egy elektronikus erősítő a linearitási tartományban. Átviteli függvénye egy
konstans, az átviteli tényező. H(s) = H {s) = A = bJa . P
0
(2.61)
Súlyfüggvénye A területű DlRAC delta, átmeneti függvénye A amplitúdójú ugrásfüggvény. NYQUIST diagramja egyetlen pont a valós tengelyen. BODE amplitúdó-diagramja a frekvenciatengellyel párhuzamos egyenes, fázisszöge minden frekvencián zérus. A jelleggörbéket a 2.2. táblázat mutatja.
Integráló (I) tag Differenciálegyenlete:
a
b
i—rr dt
u
t
= o { )>
illetve időállandós alakban T ^ dt
= u(t)
1
w
vagy = Kiu(f),
ahol /sTj = 1/7}, Tj az integrálási időállandó. A differenciálegyenlet megoldása:
y(0=FÍ"W ^
dí+c
0
Zérus bemenőjel esetén korábbi állapotának kimenőjelét tartja A z integráló tag emlékező, memória tulajdonságú, kimenetén a jel akkor lehet konstans, ha bemenetén a jel értéke zérus. A kimenőjel aktuális értéke a bemenőjel múltbeli értékeitől, egész pontosan annak integráljától függ. Fizikai realizációjára példa egy folyadéktartály, ha bemenőjele a beáramló folyadékmennyiség és kimenőjele a szintmagasság, vagy egy kondenzátor kapocsfeszültsége és töltőárama közötti összefüggés, vagy e g y motor szögelfordulásának változása fordulatszámának függvényében. Átviteli függvénye: H(s) = H (s) = ^ l
-
^
Frekvenciafüggvénye pedig
(2.62)
72
Súlyfüggvénye ugrásfüggvény, átmeneti függvénye sebességugrás, amely az egységnyi értéket az integrálási idő alatt éri el. N Y Q U I S T diagramja pozitív co értékekre a negatív képzetes t e n g e l y b e e s ő egyenes. A frekvenciafüggvény amplitúdója: 201g|H(;cú)| = -201gCúrT, a B O D E amplitúdó-körfrekvencia diagram tehát -20dB/dekád meredekségű egyenes, amely a OdB tengelyt az l/Tj értéknél metszi. A frekvencia 10-szeresére történő növekedésekor az amplitúdó tizedére (-20dB-lel) csökken. A fázisszög értéke minden frekvencián - 9 0 ° . A jellegzetes görbéket a 2.2. táblázat tünteti fel. Megjegyezzük, 2
hogy 2
H(s)=K /s
2
= \/s T ,
l
ha
a
tag
NYQUIST
l
két
integráló
hatást
tartalmaz,
átviteli
függvénye
diagramja a negatív valós tengelyre esik, B O D E amplitúdó
diagramjának meredeksége -40dB/dekád, amely a «Jk~^ körfrekvencián metszi a OdB tengelyt, fázisszöge pedig - 1 8 0 ° . Differenciáló
(D) tag
Differenciálegyenlete időállandós alakban:
át amelynek megfelelő átviteli függvény H{s) = H (s) D
= sx ,
(2.63)
D
a frekvenciafüggvény pedig H (j(ü) D
= j(OX . D
Súlyfüggvényekét azonos területű és ellentétes irányú DlRAC delta. Átmeneti függvénye x területű DlRAC delta. Sebességugrásra adott válasza T amplitúdójú ugrás. Differenciáló jellegű tagok a valóságban mindig csak olyan rendszerben fordulnak elő, amely kizárja impulzus vagy ugrás alakú bemenőjel alkalmazhatóságát. A z ideális differenciáló tag n e m realizálható, hiszen reális fizikai eszköz ugrásalakú bemenetre n e m képes DlRAC impulzust előállítani. Látható, hogy a differenciáló tag állandó értékű bemenőjelre zérus kimenőjelet ad. Ezért D tagot önmagában n e m szokás a szabályozás hatásláncába sorba iktatni, mert állandósult állapotban a szabályozási kört megszakítaná. D
D
A N Y Q U I S T diagramja pozitív co értékekre a pozitív képzetes tengelybe eső egyenes. A B O D E diagramja a OdB tengelyt az l / x pontban metsző +20dB/dekád meredekségű egyenes. A fázisszög értéke minden frekvencián + 9 0 ° . A jellegzetes görbék a 2.2. táblázatban láthatók. D
Az ideális differenciáló tag fizikai realizációjára egy áramköri példa a nyitott szekunderkörű transzformátor, amelynek bemenőjele a primer áram, kimenőjele a szekundertekercsben indukált feszültség. A primer körben azonban az ismert fizikai törvények következtében a primer áram nem változhat ugrásszerűen. Holtidős
(H) tag
A valós folyamatok sokszor rendelkeznek holtidős késleltetéssel. Ha a technológiai folyamatban egy anyagot (legyen az akár szilárd, folyékony vagy gáznemű) szállítunk egyik helyről a másikra, akkor a szállításból adódóan a rendszer modelljében holtidős késleltetést kell figyelembe vennünk.
A holtidős tagnál a kimenő és a bemenőjel között T időfüggvénnyel írható le:
időeltolás lép fel, amely az alábbi
d
0, y [ t )
\u(t-T ), d
ha
t
ha
t>T
á
d
Differenciálegyenlete algebrai egyenlet: a y(t) = b u(t-T ), 0
0
vagy y(t) =
d
Au(t-T ) d
Átviteli függvénye transzcendens függvény: H(s) = H (s) H
sTá
= Ae~
(2.64)
A frekvenciafüggvénye: oT
H (ja>) = Ae-J< <, li
melynek abszolút értéke és fázisszöge: j<úT
fl(co) = \e- ö
|= A
j(oT
;
cp(co) = arg{e- «
}=
-aT
d
A jellegzetes függvényeket a 2.2. táblázat mutatja. A súlyfüggvénye egy T idővel eltolt A területű DlRAC delta, az átmeneti függvény egy T idővel eltolt A amplitúdójú ugrás. A NYQUIST diagramja az origó körüli A sugarú egymást fedő körökből áll, amelyeken a / / ( y c o ) vektor végpontja co növelésekor -(úT szöggel fordul el. Az egymástól 2n szöggel eltolt vektorok fedik egymást. A B O D E amplitúdó diagramja a frekvenciatengellyel párhuzamos egyenes (megegyezik az ideális P tag amplitúdó diagramjával), a fázisszög azonban a frekvenciával lineárisan változik. A z co = l / T körfrekvencián a fázisszög értéke - 1 rad = - 5 7 . 3 ° . d
d
H
d
d
A holtidő minden reális rendszerben jelen van, hatása azonban csak akkor jelentős, ha a rendszerben végbemenő változások időbeli lejátszódása a holtidővel összemérhető. Anyag- és energiaáramlási jelenségek leírásakor a holtidő n e m elhanyagolható (szállítószalagon vagy csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás, stb.).
Tárolós tagok Az ideális alaptagok által leírt műveleteket a valódi szerkezetekben mindig fellelhető energiatároló elemek befolyásolják. Hatásukat ún. tárolós tagokkal vesszük figyelembe. A z alaptípusok az egytárolós és a kéttárolós arányos tagok. Egytárolós arányos
tag
A tag az alábbi időállandós alakban megadott elsőrendű differenciálegyenlettel írható le:
m =
T
+y(t)
Au(l)
74
A kimenőjel differenciálhányadosát kifejezve: A dy(t) -^-L = — u(t) dt T w
1 y(t) W
T
A deriváltat integrálva megkaphatjuk a kimenőjelet. A fenti összefüggés visszacsatolt integrátorral reprezentálható (2.33. ábra).
"(0
A
J
T
I
*
alapján
a tag
At)
1
T
2.33. ábra A z egytárolós arányos tag visszavezethető visszacsatolt integrátor kapcsolásra A tag átviteli függvénye: H{s) = H {s) = T
A
(2.65)
\ + sT
a frekvenciafüggvénye pedig:
KJ
'
l + j
Inverz LAPLACE transzformációval a súlyfüggvény és az átmeneti függvény kifejezése: - ( ' ) 4 * -
í
/
r
es
, ( r ) - A ( l - « - " ) .
A függvényeket a 2.34. ábra mutatja. A z ábrán figyeljük m e g az átmeneti függvény illetve a súlyfüggvény kezdeti érintője által kimetszett szakaszokat.
6(0
A
4
T
A 1 + sT
1(0
2.34. ábra Egytárolós arányos tag súlyfüggvénye és átmeneti függvénye A NYQUIST diagramja pozitív co értékekre egy félkör, amely co = 0-nál a komplex számsík valós tengelyének A értékéből indul, co —> °o-re az origóba fut be (2.35. ábra). A BODE diagram meghatározásához írjuk fel a frekvenciafüggvény abszolút értékét.
201g|ff (JCÚ)| = 201gA-201gVl + c o r 2
2
75
A = 1 feltételezésével a kifejezés első tagja zérus. Alkalmazzuk az alábbi közelítéseket: Ha c o r « l ,
201g|ff(;a>)|«0
-201gcor 201g|#(jco)| = -201gV2 = - 3 d B
Ha a>r » 1 , 201g|tf (;co)| Haco7/ = l,
l m
co = 0
CO = CO
Re
M
1
= -
2.35. ábra Egytárolós arányos tag Nyquist diagramja A közelítő B O D E diagram tehát az © = l/T ún. sarokfrekvenciáig a OdB tengelyen halad, azután pedig -20dB/dekád meredekségű egyenes. A sarokfrekvencián pontos értéke -201gV2 = - 3 d B (2.36. ábra). Az ábrán a pontos diagramot vékony vonallal jelöltük. Ha az átviteli tényező értéke eltér az egységtől, a B O D E amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan felfelé vagy lefelé tolódik el (201gA)-val. A szakasz tehát aluláteresztő szűrőnek tekinthető, a kisfrekvenciás jeleket átengedi, míg a nagyfrekvenciás jeleket csillapítja. }
iwrjtttfl
A 1 T i i i i (
tó
5
^
^> -20dB/dekád s
i ! 1 1
2.36. ábra Egytárolós arányos tag
BODE
diagramja
A kisfrekvenciás tartományban a tag arányos taggal, a nagyfrekvenciás tartományban integráló taggal közelíthető. Ez az időtartományban azt jelenti, hogy t —> °o esetén a tag arányos jellegű, kimenőjele beáll az egységugrás jelnek megfelelő értékre, t = 0 esetén viszont, a bemenőjel bekapcsolásakor integráló jellegű hatást mutat. A fázisszög kifejezése: cp(co) = -arctgCű7\ A fázisfüggvénymenete a 2.36. ábrán látható. A z
76
c o ^ l / r sarokfrekvencián a késleltetés - 4 5 ° , a görbe meredeksége - 6 6 ° / d e k á d (lásd az F5. Függelék F-2.1. pontját a (í) = 1 + sT tagra). Egytárolós tagra példa egy sorbakapcsolt ellenállásból és induktivitásból kapcsolás, ahol a bemenőjel a kapocsfeszültség, a kimenőjel pedig az áram. Kéttárolós
arányos
álló
villamos
tag
A kéttárolós arányos tag az alábbi differenciálegyenlettel írható le: 2
d y(t)
dy(t)
dr
dí
L
Ez a differenciálegyenlet írja le például egy sorbakapcsolt R ellenállásból, L induktivitásból és C kapacitásból álló villamos kör (2.37. ábra), vagy egy m tömeg, c rugóállandójú rugó, k folyadéksurlódással jellemezhető csillapításból álló mechanikai kör (2.38. ábra) viselkedését. R
L
2.37. ábra Egy ellenállásból, induktivitásból és kapacitásból álló villamos kör működését másodrendű differenciálegyenlet írja le
J
3b
2.38. ábra Egy tömegből, rugóból és folyadéksurlódásból álló mechanikai kör működését másodrendű differenciálegyenlet írja le A villamos körre felírhatjuk az alábbi KlRCHHOFF egyenletet: u = iR + L— + — dt C
idt J
A bemenőjel az u kapocsfeszültség, a kimenőjel az i áram, illetve a q = J idt töltés. A töltés és a kapocsfeszültség közötti differenciálegyenlet: 2
dq
„dq
T
1
L—1 + R— + — q = u 2
dt
dt
C
A mechanikai körre az alábbi differenciálegyenlet adja m e g az összefüggést az F erő és a h elmozdulás között: 2
dh ,dh , _ m —=-+](: — + ch = F dt dt*
Megjegyezzük, hogy a villamos és a mechanikai kör között szoros analógia áll fenn. Az a együtthatóval elosztva a tagot leíró differenciálegyenlet mindkét oldalát az egyenlet az ún. időállandós alakra hozható: 0
2
T
^ dt
+ 2
ahol A = b /a 0
2 ^ T ^ dt
+
y(t) = Au(t) /
w
w
az átviteli tényező, amely megmutatja, hogy egységugrás bemenőjel esetén
0
állandósult állapotban milyen értéken állandósul a kimenőjel; T = ^a /a 2
l^-a^j2-^0^2
0
az időállandó,
a csillapítási tényező, amelyek a rendszer dinamikus viselkedését befolyásolják.
A szakasz átviteli függvénye: H(s) = H*(s) = W
5
W
—^ \ + 2%Ts +
5-y. Ts 2
(2.66)
2
A szakasz pólusai (a nevező gyökei):
A pólusok negatív valós értékűek, ha £ > 1 , egybeeső negatív valós értékek, ha £ = 1, és konjugált k o m p l e x értékek, ha £ < 1. Határozzuk meg mindhárom esetre a szakasz átmeneti függvényét. (a) Aperiodikus eset, í; > 1. Az átviteli függvény két egytárolós arányos tag szorzatára bontható:
H
{
S
)
, ahol Is + l/T^s
T =-l/si }
;
T =-l/s 2
2
+ l/Tz)
Az átmeneti függvény:
= A V[t)
~~s
[ S )
~ sis +
l/TJis+l/Tj
1
V
Ti-T
2
+•
Ti-To
A súlyfüggvény pedig: -t/T,
w(t) = H(s) = A Ti~T
2
-t/T-,
T-T,
A súlyfüggvény az átmeneti függvény deriváltja. Az átmeneti függvény kezdeti értéke és kezdeti deriváltja is zérus. A súlyfüggvény kezdeti értéke zérus, kezdeti deriváltjának értéke pedig AjT{T . 2
(b) Aperiodikus határeset, \ = 1. A z átviteli függvény:
78
A súlyfüggvény az átviteli függvény inverz LAPLACE transzformációjával:
Az átmeneti függvény pedig: , v
1
AÍT
v(í) =
2
a
'-
s (s+l/T)
p
t =—+— 2
s
í
i
Y 1
r- +
s+l/T
ahol a = A, P = - A és y=
(s +
—T 2
l/T)
-A/T.Tehát
v(f) = A (c) Lengő eset, ^ < 1. Az átviteli függvény: A
H(s) =
2
_ 2
A/T
2
l + 2^Ts+T s
{s-s^s-sz)'
ahol , = - 1 ± ; i 2
r
r
V l
1
? = -S©
0
±
ja> p = a ± #
konjugált komplex pólusok. Itt co = 1/r az ún. sajátfrekvencia vagy természetes frekvencia, a k o m p l e x számsíkon az origóból a komplex pólust ábrázoló pontba mutató vektor abszolút értéke. A lengő tag pólusait a komplex számsíkon a 2.39. ábra szemlélteti. 0
1
\ .
.
©
0
A ,
.... k.
i ín
üj
—
_
0
T £ = c o s Cp
2.39. ábra Lengő tag pólusai Itt co =b = 4\-^
2
lT
az átmeneti és a súlyfüggvény periodikus összetevőjének lengési 2
2
2
körfrekvenciája, a pólus képzetes része. így (ü = a + b és coscp = £ , ahol cp a pólusba mutató vektornak a negatív valós tengellyel bezárt szöge. H a T változik és í; állandó, a pólusok a valós tengellyel cp szöget bezáró egyenesen mozognak.
79
A súlyfüggvény az átviteli függvény inverz
w
(f) = - Í 2 2 _ e - ^ o ' i s
n ű )
f
LAPLACE
transzformációjával:
.
Az átmeneti függvény pedig: -4-CŰ f 0
2
1 - í; cosco f+ í;sinco í
v(f) = ^ l -
D
p
Az átmeneti függvények lefolyását különböző csillapítási értékekre a 2.40. ábra mutatja.
2.40. ábra Kéttárolós arányos tag átmeneti függvényei
\ - 0.2,0.7,1,2
csillapítási tényezőknél Az átmeneti függvény százalékos túllendülésének értéke \ < 1 esetén (az átmeneti függvény deriválásával):
v g =
V
max v
áll
1
0
0
%
=
e
áll
Az átmeneti függvény első maximumának helye (csúcsidő): 7C CO
P
CŰC
A M
1
'
Beállási időnek tekintsük azt az időt, amikor az átmeneti függvény az állandósult értéke körül megadott e %-os sávon belül marad. A z átmeneti függvény burkológörbéjére az alábbi feltételt írhatjuk fel: a
lÖÖ' ahonnan a beállási idő: t = l n ( 1 0 0 / a ) / c ; c o . A 2 % illetve 5%-on belüli beállásnál a beállási idő a
0
80 kb.
4/Í;CŰ
0
illetve 3 / £ c o
c
Határozzuk most meg a lengő tag frekvenciafüggvényét. A frekvenciafüggvény értékének kifejezése:
2
2
(l-co r ) +
abszolút
2
4^ tW
Fázisszöge pedig: (p(co) = - a r c t g — 2 - 5 - 5 - . 1,
W
|»0
£»0
\ .
"
Ré
í-0.7
4
0.2
2.41. ábra Kéttárolós arányos tag NYQUIST diagramja A NYQUIST diagram (2.41. ábra) a komplex számsík valós tengelyének A pontjából indul co = 0-nál. CD —> -nél az origóba fut be. Közben két síknegyeden halad át Ha b)<0.5, adott frekvenciatartományban a görbének kiemelése van, amplitúdóértékei nagyobbak az co = 0 körfrekvencián felvett értéknél. Ha £; = 0, a görbe a valós tengelyen halad, és co = co = 1/r-nél szakadása van. 00
0
Adjuk m e g a BODE amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbét és annak aszimptotikus közelítését. Az abszolút érték kifejezése dB-ben: 2
2
201g|#(;co)| = 2 0 1 g A - 2 0 1 g ^ ( l - c o r )
2
2
2
+ 4i; r co
2
ahol A = 1 mellett az első tag értéke zérus. Alkalmazzuk az alábbi közelítéseket: ha c o r « l , 201g|ff(./(o)|«0 ha cor » 1 , 201g|#( /co)| ~ - 4 0 lg cor, mivel a negyedfokú tag mellett a többi tag i
elhanyagolható. ha cor = 1,
201g|#(y'co)| = - 2 0 1 g 2 í ; . A törési körfrekvencián tehát az abszolút érték a
csillapítási tényezőtől függ. A sajátfrekvencián a frekvenciafüggvény abszolút értéke A = l mellett: |//(7'co )| = l/2c;, a 0
fázisszög értéke pedig - 9 0 ° . (A fázisgörbe meredekségére a - 1 3 2 ° / \ /dekád értéket kapjuk az F-5. Függelék F-2.1. pontjában bemutatott számítások alkalmazásával) A frekvenciafüggvény további jellegzetes pontja a rezonancia frekvencia, ahol az amplitúdó értéke maximális. A z abszolút érték kifejezését deriválva és értékét zérussal egyenlővé téve kapjuk:
Rezonancia frekvencia csak a % < V(X5 = 0.707 esetén létezik. Ezen a körfrekvencián az abszolút érték
2 ^ 1 ^ A vágási körfrekvencia az a frekvencia, ahol a frekvenciafüggvény abszolút értéke egységnyi. A=l átviteli tényezőt feltételezve ez akkor teljesül, ha 2
2
2
2
2
2
(i-co r ) + 4^ r cö = i ahonnan
A jellegzetes frekvenciák közötti nagyságrendi összefüggés: co < r
COp
< co < 0
CŰ . C
Ha \ < 1, az első három frekvencia igen közel esik egymáshoz (2.42. ábra).
2.42. ábra Lengő tag amplitúdó-körfrekvencia diagramja
2.43. ábra Lengő tag B O D E diagramja £ = 0.2, 0.7,1, 2 mellett
Sokszor az aszimptotikus B O D E amplitúdó-frekvencia görbét rajzoljuk fel, a pontos értékeket pedig csupán a rezonancia illetve a sajátfrekvencián számítjuk ki, ahol a görbének lényeges kiemelése lehet.
82
A BODE diagramokat ^ = 0.2,0.7,1,2 csillapítási tényezőkre a 2.43. ábra adja meg. A kisfrekvenciás tartományban az amplitúdó-körfrekvencia görbe aszimptotája vízszintes egyenes, a nagyfrekvenciás tartományban, co » 1 / T értékeknél pedig az aszimptota egy -40dB/dekád meredekségű egyenes. ( Í ; > 1 értékekre célszerű az átviteli függvényt két egytárolós tag szorzatára bontani és közben beiktatni egy -20dB/dekád meredekségű aszimptotát is.) A fázis körfrekvencia függvény 0°-ból indul, - 1 8 0 ° - h o z tart, a sajátfrekvencián értéke - 9 0 ° . Menete annál meredekebb, minél kisebb a csillapítási tényező értéke. Minél kisebb a csillapítási tényező, annál nagyobb a rendszer lengési hajlama és túllendülése, valamint annál nagyobb a kiemelés a BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramban. 0.6-nál nagyobb csillapítási tényező esetén a túllövés 10%-on belül van és az amplitúdó-körfrekvencia függvényben sincs lényeges kiemelés. 2.3. táblázat Alaptagok Átviteli tíiggvcny
Átmeneti függvény
Bode diagram
Nyquist diagram I«Ü»)|
Arányos jellegű tagok v(0
_1_
J_
i- -20dB(def
1 + sTJ '(J + s T I X l + s T j ) . .
Integráló jellegű tagok
rn s 's(l+s7í)'s(l+s7;)(l+s5)..
Í«Ü«»I Kétszeresen integráló jellegű tagok
Re
|«lito)l Differenciáló jellegű tagok
,
,
( i + i r ) 0 + sí'i)(i + i2 j)... -
l_
1_
1
Arányos tárolós, integráló tárolós, differenciáló tárolós tagok Az alaptagok soros vagy párhuzamos kapcsolásával összetett tagokat kapunk. A tisztán arányos, integráló vagy differenciáló tagok tárolós tagokkal való sorbakapcsolásával kapjuk az egytárolós arányos, kéttárolós arányos, többtárolós arányos (PT1, PT2,...), az egytárolós illetve többtárolós integráló (777, IT2,...), az egytárolós illetve többtárolós differenciáló (DTI, DT2,...) tagokat. A tagok átviteli és átmeneti függvényeit, NYQUIST és közelítő BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramjait a 2.3. táblázat adja meg. A NYQUIST diagramok a soros összetevő tagok NYQUIST diagramjainak összeszorzásával adódnak. A tekintett körfrekvencia értékeknél az egyes összetevők vektorait össze kell szorozni (a fázisszögek összeadódnak, az abszolút értékek szorzódnak). A szorzási műveletet valamennyi figyelembe vett körfrekvenciára el kell végezni. A közelítő BODE amplitúdó diagramok egyszerűen képezhetők az egyes sorbakapcsolt
83
összetevők aszimptotikus B O D E diagramjainak összeadásával. Az átmeneti függvényben a tag arányos, integráló vagy differenciáló jellege az állandósult állapotbeli viselkedésben nyilvánul meg. A tárolós tényezők a kezdeti viselkedést és a tranziensek lefolyását befolyásolják. A N Y Q U I S T diagram a kisfrekvenciás tartományban az arányos, integráló vagy differenciáló tag N Y Q U I S T diagramjának megfelelő lefolyást mutat, majd a frekvencia növekedésével annyi síknegyeden halad át, amennyi a tárolók száma. Az aszimptotikus B O D E amplitúdó diagram az arányos, integráló vagy differenciáló hatásnak megfelelően indul a kisfrekvenciás tartományban. Minden tároló az időállandó reciprokánál 20dB/dekád meredekségváltozást eredményez. A közelítő B O D E diagramból tehát a szakasz paraméterei leolvashatók.
2.44. ábra Integráló taggal sorbakapcsolt kéttárolós lengő tag B O D E és N Y Q U I S T diagramja
Sokszor elegendő a közelítő B O D E amplitúdó-körfrekvencia diagramot felrajzolni. Egyes rendszereknél a közelítő diagram mellett egyes kritikus pontokban vagy adott frekvenciatartományban pontosabban is meg kell határozni a frekvenciafüggvény menetét. Például kéttárolós integráló tag esetén, ha a tárolós tagnak konjugált komplex pólusai vannak, a töréspont környezetében pontosan is m e g kell adni a N Y Q U I S T vagy a B O D E diagram lefolyását. A tag átviteli függvénye:
s(l+257:s +
2
2
sT)
A B O D E és a N Y Q U I S T diagram menetét különböző £, csillapítási tényezők mellett a 2.44. ábra mutatja. Kis csillapítási tényező mellett a szakasznak a kéttárolós tag sajátfrekvenciája környékén igen nagy kiemelése lehet. A zérusok hatása A zérusok a (2.47) átviteli függvény számlálójának gyökei. Adjuk meg az átviteli függvényt az alábbi alakban:
84
Itt V{s) jelöli az átviteli függvény nevezőjét. A zérusok: Zi,z ,---,z . 2
m
A komplex számsík bal
oldalára eső zérusok beiktatásával a rendszer gyorsítható. Vizsgáljuk a számlálóban szereplő \+sx = x(s + \/x) ún. ideális PD tag jellemző függvényeit. Itt a zérus értéke z\ = -l/x. NYQUIST és a BODE diagramot a 2.45. ábra mutatja.
A z átmeneti függvényt, a
lm
Re |tfŰta)j«>
)
2.45. ábra A z 1 + sx átviteli függvényű ideális PD tag átmeneti függvénye, NYQUIST és BODE diagramja A tag önmagában fizikailag n e m realizálható, látható, hogy átmeneti függvényében DlRAC delta jelenik meg. A közelítő BODE diagram az egytárolós arányos tag BODE diagramjának tükörképe a frekvenciatengelyre nézve. A z amplitúdó-körfrekvencia görbe az l / t töréspontig OdB-lel, a töréspont után +20dB/dekád meredekségű egyenessel közelíthető. Fázisszöge pozitív, cp(co) =+arctgcox. Zérust beiktatni a rendszerbe realizálható módon csak pólussal együtt lehet. Határozzuk m e g a realizálható H(s) = A
l+sx 1 + sT
tag jellemző függvényeit x < T (fáziskésleltető tag: FK), illetve x > T (fázissiettető tag: FS) esetére. Az átmeneti függvényt, a NYQUISTés a BODE diagramot a 2.4. táblázat mutatja be az általános FSK esetre. A zérus beiktatásával a rendszer gyorsítható. Ennek szemléltetésére vizsgáljuk a 2.46. ábrán látható kapcsolást. E g y egytárolós arányos tag elé sorbakapcsolunk egy fázissiettető tagot.
Egységugrás bemenőjel hatására a fázissiettető tag kimenetén, az egytárolós tag bemenetén az első pillanatban nagy (10-es amplitúdójú) jel jelenik meg. Az egytárolós tag kezdetben ú g y érzékeli, mintha ezt az értéket kellene elérnie a saját időállandójával, így nagy meredekséggel indul, és mire a bemenőjel lecseng, már közel került az elérendő állandósult értékhez. A gyorsítás ára az ún. túlvezérlés, a tag bemenetén a jel kezdeti és végértékének aránya. 1-nél nagyobb túlvezérlés esetén érhető el gyorsítás. Matematikailag sokszor célszerű az ún. póluskiejtést alkalmazni, amikoris a zérussal „kiejtjük" a kedvezőtlen, lassú viselkedést eredményező pólust, és helyette egy kedvezőbb viselkedést jelentő pólust iktatunk be a rendszerbe. 2.4. táblázat Az FSK alaptag jellemzői Átviteli függvény
Átmeneti függvény
•odc diagram
Nyqyist diagram A-I
Wj"»nt H(s) = A
z
1+ít
1+
sT
7*~ rptío)
PtaBkisleltótfi tag
H(s) = A
1+
sT
Fázissjettetó tag
— í * H
1+1 Of 1+s
t——•
r
i
10
t
l+10s
y'
2.46. ábra A zérus beiktatása túlvezérlés árán gyorsítja a rendszert A zérusok gyorsító hatásának szemléltetéséhez tekintsük az alábbi átviteli függvényt: H(s) =
1+íT
(1+j)(1 + 10í)
A számlálóban lévő x időállandó értéke legyen 0, 1, 5 illetve 10. A z átmeneti függvényeket a 2.47. ábra mutatja. Ha a rendszerben csak pólusok vannak, a frekvenciafüggvényben a fázisszög monoton módon változik a frekvencia függvényében. A pólusokhoz negatív fázisszögfüggvény tartozik. Zérusok beiktatásával a fázisszöghöz pozitív fázisfüggvény adódik, a fázisszög változása n e m lesz monoton. A NYQUIST diagram adott frekvenciatartományában „behorpadások" keletkeznek. (A későbbiekben látni fogjuk, hogy zérusok megfelelő beiktatásával, a NYQUIST
86
diagram célszerű módosításával kikerülhetjük a komplex számsíknak a dinamikus viselkedés szempontjából kedvezőtlen tartományait.) A z aszimptotikus BODE amplitúdó diagram meredekségét a zérusok a töréspontokban +20dB/dekáddal változtatják meg, a fázisszög pedig pozitív értékekkel módosul. A 2.48. ábra a N Y Q U I S T diagram módosulását szemlélteti zérus beiktatásának hatására. A 2.49. ábra a BODE diagram változását mutatja.
2.47. ábra Átmeneti függvények különböző zérus értékeknél lm'
y
2.48. ábra A zérus beiktatása megszünteti a fázisszög monoton változását, a N Y Q U I S T diagramban „behorpadás" keletkezik.
2.49. ábra A zérus beiktatásának hatása a BODE diagramra N e m minimumfázisú rendszerek N e m minimumfázisú rendszereknek nevezzük azokat a rendszereket, amelyeknek a k o m p l e x számsík jobb oldalára eső zérusaik vannak. Ha egy rendszer minimumfázisú, vagyis átviteli függvényének zérusai bal oldaliak, frekvenciafüggvényében a pólusokhoz tartozó fázisszög negatív, a zérusokhoz tartozó
87 fázisszög pedig pozitív előjelű. hozzárendelhető a fázisgörbe.
Az
amplitúdó
aszimptotikus
görbéjéhez
egyértelműen
Jobb oldali (labilis) pólus pozitív, jobb oldali zérus negatív előjelű fázisszöggel módosítja a BODE fázis-körfrekvencia diagramot, tehát a zérus nem csökkenti, hanem növeli a negatív fázisszöget. (Ez a tulajdonság indokolja az elnevezést.) A nem minimumfázisú tulajdonság illusztrálására tekintsünk két átviteli függvényt 1 + sT
H (s)
es
1 + sT,
=
h
1-sT 1 + sT,
Pozitív 7\ és T esetén mindkét tag stabilis, a H -nak Mindkét tag amplitúdó frekvencia függvénye a
stabilis, H -nek b
labilis zérusa van.
l
l + ((úTY
űi(CŰ) =
•I+K)
2 ,
fázisgörbéi viszont különbözőek: (p (co) = - a r c t a n a
1+
2
(ü T T
es
(P (ö>): b
-arctan
x
A két görbét a 2.50a. ábrán
2
i + co r,r
összehasonlítva jól látható, hogy |
tartományban kisebb, mint |q> (co)|. b
Minden H nem minimumfázisú átviteli függvény átalakítható mindentáteresztő és egy H minimumfázisú tag szorzatára: Dmi
egy úgynevezett
H
má
mf
. .
1-sT
1-sT
í + sT
, ,
. .
(a) (b) 2.50b. ábra N e m minimumfázisú rendszer frekvenciafüggvénye és átmeneti függvénye A mindent áteresztő nem-minimumfázisú tag jellegzetessége, hogy abszolutérték frekvencia függvénye egységnyi konstans. A z n-edrendű mindentáteresztő tag átviteli függvénye valós pólusok esetén: S—S;
88
A nem-minimumfázisú rendszerek szokatlan viselkedéstmutatnak az időtartományban. Például egy jobb oldali zérus esetén az átmeneti függvény kezdetben az állandósult értékével ellentétes irányban indul el, majd irányt váltva éri el végül állandósult értékét. A 2.50b. ábra a / / ( í ) = ( 1 - 4 í ) / ( 1 + í)(1 + 1 0 j ) átviteli függvényhez tartozó átmeneti függvény lefolyását mutatja. Vegyi folyamatok, kazánok sokszor n e m minimumfázisú szakasszal írhatók le. Aszimptotikus BODE diagram gyors felvázolása Az aszimptotikus BODE amplitúdó-körfrekvencia diagram a korábbi megfontolások alapján könnyen felvázolható. Arányos jellegű tagok BODE amplitúdó diagramja a frekvencia tengellyel párhuzamosan indul, zérus fáziseltolással. E g y integrátort tartalmazó rendszer BODE amplitúdó diagramja -20dB/dekád meredekséggel indul - 9 0 ° fázisszöggel, míg a kettős integrátort tartalmazó rendszer BODE amplitúdó diagramja -40dB/dekád meredekséggel indul - 1 8 0 ° fázisszöggel. A tárolós tagok a töréspontokban -20dB/dekád meredekséggel változtatják az aszimptotikus BODE amplitúdó görbe meredekségét. A zérusok megjelenése +20dB/dekád meredekségváltozást okoz. A holtidő az amplitúdó diagramot n e m módosítja, de a fázisszöget lényegesen megváltoztatja. l«<j<»)i.
-40dB/dekád
Vv^-20dB/dekád \ *
>
4
> «
v
o
c
- l í
5d
ír 0
^ - " ^
- 4 0 d B / d :kádV
-60dB/dekád
N
2.51. ábra Aszimptotikus BODE diagram gyors felrajzolása A z aszimptotikus amplitúdó diagram Példaképpen a H(s) =
töréspontjai
az időállandók reciprokait
adják m e g .
16(1 + s) ^ ( 1 + 0.02^(1 + 0.01*)
átviteli függvénynek megfelelő aszimptotikus BODE amplitúdó-körfrekvencia görbét a 2.51. ábra adja meg. A OdB tengellyel való metszéspont környékén a frekvenciafüggvény abszolút értéke a 16/co összefüggéssel közelíthető (a tárolós tagok abszolút értéke itt még közel 1-gyel vehető figyelembe). A metszéspontnál az abszolút érték 1, így c o = 1 6 . Hasonló közelítésekkel a BODE amplitúdó diagram jellegzetes értékei könnyen meghatározhatók. c
A paraméterváltozások hatása A valóságos rendszerek modellalkotásakor a rendszert leíró differenciálegyenlet vagy átviteli függvény paraméterei rendszerint mérések alapján határozhatók meg. így értékük nem pontos, a névleges érték körül egy adott tartományban változhat. A rendszer vizsgálatakor, vagy a szabályozás tervezésekor fontos a paraméterváltozások hatásának figyelembe vétele.
89 Az átviteli függvény időállandós alakjából könnyen megadhatjuk az egyes paraméterek változásának hatását a rendszert jellemző függvényekre. A 2.5. táblázat néhány szakasz esetén szemlélteti a paraméterek változásának hatását az átmeneti függvényben és a BODE diagramban. 2.5. táblázat Paraméterváltozások hatása Rendszer
Átmeneti függvény
Paraméter
1
«<<)
K í
K 1+sT
¥.<»)
^
*W T |
ft
2
('
v(;)" 1 1+
2
Z\Ts + T s'
If""
í
v(/)' 1+ts
Bode fázisszög
Bode amplitúdó
l/W
T
t V
v(')'
1-TS a+ )
2
•PC")'
•—
2
El)
T
S
f
2
2.5. Közelítő leírások Sokszor célszerű a gyakorlatban a rendszer magasabbrendű modelljét egyszerűbb, könnyebben kezelhető modellel közelíteni. A nagyobb időállandók mellett a kis időállandók többnyire elhanyagolhatók, vagy hatásuk holtidős hatással vehető figyelembe. A z alábbiakban néhány sokszor alkalmazott közelítést adunk meg. Fontos megjegyzés: az alacsonyabb fokszámú közelítésével tekintett szakaszhoz tervezett szabályozót mindig az eredeti fokszámú szakasszal együtt ellenőrizzük! Domináns póluspár Egy zárt szabályozási kört sokszor ún. domináns pólusával vagy domináns póluspárjával jellemzünk. A rendszer átviteli függvényének az imaginárius tengelyhez legközelebb eső pólusát domináns pólusnak, az ahhoz legközelebb eső konjugált komplex póluspárját domináns póluspárnak nevezzük (2.52. ábra). Ha a többi pólus (balkéz felé) elég messze esik a domináns pólusoktól (valós részük legalább háromszorosa a domináns póluspár valós részének), akkor az e pólusok által létrehozott tranziensek gyakorlatilag lecsengenek, mire a domináns pólusok hatása érvényesül, így a távoli pólusok hatása elhanyagolható, és a rendszer viselkedése jól közelíthető egy másodrendű lengő tag viselkedésével. A kéttárolós lengő tag átviteli függvénye:
90
(A megfelelő kéttárolós (£;) tag tulajdonságait lásd korábban ugyanebben a fejezetben.)
©
gyorsai lecsengő tranzienseket eredményező további pólusok
domináns póluspár
2.52. ábra Domináns póluspár Többtárolós tagok közelítése holtidős egytárolós vagy kéttárolós taggal Többtárolós arányos tagok átmeneti függvénye nullából indul, ha az átviteli függvény nevezője magasabb fokszámú, mint a számlálója. A pólustöbblet (pólusok száma mínusz a zérusok száma) adja meg, hogy a kezdeti időpontban az átmeneti függvény hányadik deriváltja már n e m nulla. A többtárolós aperiodikus viselkedésű arányos tagok jól közelíthetők egy látszólagos holtidővel ( r ) sorbakapcsolt egytárolós arányos taggal (2.53. ábra). Ha a rendszer lengő viselkedést mutat, j ó közelítést ad egy látszólagos holtidővel kiegészített kéttárolós lengő tag. L
2.53. ábra Többtárolós arányos tag közelíthető egy látszólagos holtidővel sorbakapcsolt egytárolós arányos taggal Máskor a többtárolós arányos tagot egy egyenértékű tiszta holtidős taggal veszik figyelembe (2.54. ábra).
2.54. ábra Többtárolós arányos tag közelítése egyenértékű T holtidővel E
91
Holtidős tag átviteli függvényének közelítése racionális törtfüggvénnyel sTi
A holtidős tag átviteli függvénye H (s) = e~ célszerű racionális törtfüggvénnyel közelíteni.
transzcendens függvény, amelyet sok esetben
H
A tiszta holtidős tag végtelen sok azonos időállandójú tárolós arányos tag soros eredőjével közelíthető, ugyanis a matematikából ismert a következő sorozat határértéke: e
x
= lim 1 + n
Az összefüggést a holtidős tag átviteli függvényére alkalmazva kapjuk a STREJC-/
H (s)
= e~
H
1
= lim l+S V
n
Ez a holtidős tagot olyan n-szeres pólusú tárolós taggal közelíti, amelynek egyenértékű időkésése nT /n = T . Minél több tárolót kapcsolunk sorba, annál jobb a közelítés. A 2.55. ábra mutatja a holtidős tag STREJC közelítésének átmeneti függvényéin = 2,5,10-re. d
d
2.55. ábra Holtidős tag STREJC közelítésének átmeneti függvényei n = 2, 5,10-re A holtidős tag egy másik közelítése a PADE-közelítés, amely a holtidős tag átviteli függvényét olyan nem minimumfázisú racionális törtfüggvényekkel közelíti, amelyek TAYLOíDrfejtésében az első tagok megegyeznek a holtidős tag exponenciális átviteli függvénye TAYLOR sorfejtésének első tagjaival. Az n-edfokú PADE-közelítés olyan racionális törtfüggvény, amelyének n -számú zérusa csak előjelben különbözik n-számú pólusától. H
(,\- sT r
s
A
s
s
s
_ ( - i)---( - n) _ „
i \
A függvény abszolút értéke bármilyen s- y'co-nál egységnyi, így a valódi holtidős átviteli függvényhez hasonlóan csak a fázisszöge változik. Az ilyen típusú tagokat mindent áteresztő szűrőknek nevezzük. APADE közelítés nem minimumfázisú. Az s,- pólusok, illetve a számláló és nevező együtthatóinak meghatározása oly módon történhet, hogy H^s) TAYLOR-sorának első N + M + l tagja megegyezzék H (s) TAYLOR -sorának elsőN + M +1 tagjával. Itt M mm
92
a racionális törtfüggvény számlálójának, N pedig a nevezőjének fokszáma (M < N). M
í=0
Az egyenletben N + M + 2 ismeretlen együttható szerepel, ezért a c = 1 választással élve a maradó A + M + 1 paraméterre a már említett feltétel ÍV + M + 1 lineáris egyenlet felírását teszi lehetővé. A módszerrel az N = M = 3 esetre a következő alakot kapjuk 0
7
, 1 1 2 1 — x-l JC 2 10 i 1 1
1
120 1 3
2
l+-
x + — x
3
— X
+
X
2 10 120 2.6. táblázat Az e
s T d
tag első-, másod- és harmadfokú P A D E közelítései sT
H(s) = é- *
Holtidős tag
2
sTá
H(s)~ ~
Elsőfokú P A D E közelítés
w
2 + sT
á
J2-6sT
d
Másodfokú P A D E közelítés
(sT f
+
d
12 + 6sT +
(sT f
d
d
2
Harmadfokú P A D E közelítés
n
d
d
2
120 + 60s7/ + 1 2 ( í T ) + d
Az első és másodfokú i 1
PADE
2_
1 .
,
1
XH
2
=
1
,
1+
1
d
d
3
(sT ) d
approximáció képletei hasonló számítások alapján
1
X
3
l20-60sT +l2(sT ) -(sT )
1
1 2 X 12 2
(8.21)
1
1+ - X + — X 2 2 12 A közelítéseketa 2.6. táblázat foglalja össze. Minél magasabbfokú a törtfüggvény, annál több tagban egyezik m e g a két függvény T A Y L O R felbontása. - X
2.56. ábra Holtidős tag elsőfokú, másodfokú és harmadfokú P A D E közelítésének átmeneti függvényei
93
A 2.56. ábra a P A D E közelítés átmeneti függvényeit szemlélteti az első-, másod- és harmadfokú közelítésre. Látható, hogy a közelítések a kezdeti időpontokhoz kevésbé illeszkednek, az állandósult állapotot jól közelítik. Minél magasabbfokú a közelítés, annál jobb az átmeneti függvények illeszkedése. 2.6. Példák folytonos rendszerek leírására Egy rendszer modelljének megalkotásakor a bemenőjelek és a kimenőjelek közötti átviteli tulajdonságokat kívánjuk megadni. A rendszert differenciálegyenletével vagy állapotegyenletével, illetve átviteli függvényeivel írhatjuk le. A rendszer leírásához minél pontosabban meg kell ismernünk a rendszer fizikai működését. Ezután a fizikai működést matematikai összefüggésekkel jellemezzük. A z egyenletekben szereplő paramétereket előzetes ismeretek alapján vagy mérésekkel határozhatjuk meg. A fizikai rendszerek a legtöbbször nemlineáris viselkedést mutatnak. A h h o z , hogy könnyebben kezelhető lineáris modellekkel közelíthessük a rendszert, leggyakrabban munkapontok környezetében kis változásokra linearizáljuk a rendszert leíró egyenleteket. Sokszor célszerű relatív egységeket bevezetni, az aktuális jeleket maximális viszonyítva kezelni. így az egyes változók 0 és 1 közötti értékekkel szerepelnek.
a a
értékükhöz
A rendszer irányításához szükség van a folyamat modelljének ismeretére. A szabályozási rendszert a folyamat modelljének figyelembe vételével tervezzük meg a szabályozási körrel szemben támasztott minőségi követelmények biztosítására. A továbbiakban néhány szakasz matematikai modelljének meghatározását mutatjuk be. Egyenáramú motor Vizsgáljuk egy külső gerjesztésű egyenáramú motor jelátviteli tulajdonságait. A motor vázlata a 2.57. ábrán látható.
U - const t
2.57. ábra Külsőgerjesztésű egyenáramú motor vázlata A motor kimenőjele a forgórész co szögsebessége, bemenőjelei az U kapocsfeszültség illetve a motor tengelyén ható m terhelőnyomaték (zavaró jellemző). A motor U gerjesztőfeszültsége legyen állandó. a
t
t
Feladat lehet a motor szögsebességének állandó értéken tartása a változó terhelőnyomaték ellenére. Beavatkozó mennyiség lehet a motor kapocsfeszültsége és gerjesztőfeszültsége (amelyet első közelítésben állandónak tekintünk). A forgórész (armatúra) ohmos ellenállása R , induktivitása L . A motor terhelőnyomatékát a motor tengelyére redukálva m - v e l , a motor armatúraáramát i -val jelöljük. a
a
t
a
Gondoljuk át először a motor fizikai működését. Amotor villamos energiát alakít át mechanikai
94 energiává. A z állórészen elhelyezett gerjesztőtekercsben az állandó gerjesztőfeszültség hatására állandó áram j ö n létre, amely állandó gerjesztő fluxust h o z létre (feltételezzük, hogy a fluxus arányos a gerjesztőárammal). A z U kapocsfeszültség bekapcsolásával az armatúrakörben létrejön az i armatúraáram, amely az armatúrában fluxust h o z létre. A gerjesztőfluxus és az armatúrafluxus kölcsönhatásaként nyomaték jön létre, amely a terhelőnyomaték ellenében megforgatja a forgórészt. A forgórész tekercselésében ekkor U ellenfeszültség indukálódik (LENZ törvénye). ^ a
a
x
A szakasz bemenőjelei az £7 kapocsfeszültség és az m terhelőnyomaték (zavaró jellemző). A kimenőjel az co szögsebesség. Kimenőjelként vizsgálhatjuk a motor i armatúraáramát is, amely induláskor, fékezéskor, terheléskor nagy értékeket is felvehet. a
t
a
A rendszer viselkedését az armatúrakörre felírt KlRCHHOFF egyenlettel és a mechanikai viselkedést leíró egyenletekkel jellemezhetjük. A z armatúrakörben a kapocsfeszültség az ohmos, az induktív és az indukált feszültség összegével tart egyensúlyt. A z indukált feszültség az állandó gerjesztőfluxus és a szögsebesség szorzatával arányos (az arányossági tényező k{). A motor nyomatéka és a terhelőnyomaték különbsége adja a gyorsító nyomatékot, ami a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzatával fejezhető ki. A motor nyomatéka a gerjesztőfluxus és az arrmtúraáram szorzatával arányos (az arányossági tényező k ). A motor viselkedését leíró matematikai egyenletek: 2
U =iR 2L
a
+L
a
a
át
^+U
^ = ^903
i
dco m — m, = 0 — df
m = k
a
1
írjuk fel a fenti egyenletek LAPLACE transzformáltját. U
S
Á)
= »a(j)(^a +
k (p i ( í ) 2
a
-
m
t
(í) =
í L
k
a ) + l
0 s co(s)
A fenti egyenletek alapján a 2.58. ábrán látható hatásvázlat rajzolható fel követve az ok-oksági kapcsolatokat: az armatúrafeszültség és az indukált feszültség különbsége hozza létre az armatúraáramot. A z airmtúraáram és a gerjesztőfluxus kölcsönhatása hozza létre a gép forgatónyomatékát. A forgatónyomaték és a terhelőnyomaték különbsége adja a gyorsítónyomatékot, amely meghatározza a szögsebességet.
í
i.
írcp 2
m
J
o
1
(I)
s&
2.58. ábra Egyenáramú motor hatásvázlata A rendszerben két állapotváltozót adhatunk m e g , ezek az co szögsebesség és az í armatúraáram, amelyek pillanatnyi értékét a rendszer múltbeli mozgása határozza m e g , és a bemenőjelek változására értékük n e m változhat hirtelen. A hatásvázlatban az integrátor a
95
kimenetén jelennek meg (vegyük észre, hogy a tárolós tag egy visszacsatolt integrátor). írjuk fel a motor állapotegyenletét. Az állapotegyenlet általános alakja: x=Ax+Bu T
T
y-c
x+d
u
ahol JC az állapotvektor, u a bemenőjelek vektora, y pedig a kimenőjel. Itt x
'A
\
X =
;
CO
x
. 2-
«=
Az állapotegyenlet a differenciálegyenlet átrendezésével kapható. 1
át
l
dco 1 , 1 — = — fc cp i„ m. 0 ' át 0 2
2
T
a
Vektor-mátrixos alakban: A áL —
át dco
L^2J
df
U
o
0
L
0
0
Í7,
- - m,
T
= co = [0
v
1]
+
\fTo] L«t.
A hatásvázlat alapján a negatívan visszacsatolt rendszerre meghatározhatjuk az eredő átviteli függvényeket a kimenőjel és a bemenőjelek között. Ezzel megegyező eredményre jutunk, ha a lineáris rendszerre alkalmazzuk a szuperpozíció elvét, és az eredeti differenciálegyenletek LAPLACE transzformált alakjából először zérus terhelőnyomaték feltételezésével fejezzük ki a szögsebesség és a kapocsfeszültség LAPLACE transzformáltjainak hányadosát, majd zérus kapocsfeszültség felvételével határozzuk m e g a szögsebesség és a terhelőnyomaték kapcsolatát. (Az átviteli kapcsolatok természetesen az állapotegyenlet alapján is meghatározhatók.) Az eredő átviteli függvények: £ cp
1
0L,
*1
2
<ö(j)
2
m =0 t
S
R. +S
• + s-
m
0/?„
+1
s"T T m
e
+ sT + l e
L. ahol A =l/A; cp a motor átviteli tényezője, amely a kapocsfeszültség állandósult m
1
2
értékével
megszorozva megadja a szögsebesség állandósult értékét. A T =®R /k k q> az ún. elektromechanikai időállandó, amelynek értéke villamos és mechanikai paraméterektől függ, m
a
l
2
96 T = L /R kapcsolat: e
a
pedig a villamos időállandó. A szögsebesség és a terhelőnyomaték közötti átviteli
a
1+A
0
CŰ(í)
m t(')
n
K
2
0L,
1
k,k ® .2
2
í r r
+1
2
m
e
+ sT
+ i
m
Itt az A átviteli tényező a terhelőnyomaték állandósult hatását adja meg a szögsebességre. A negatív előjel mutatja, hogy a terhelőnyomaték növelése a szögsebesség állandósult értékének csökkenését vonja maga után. t
Az eredő átviteli függvényekkel a motor blokkvázlattal is.
modellje
t
2.59. ábrán
látható
o
sT +s T T m
a
J
2
l+
megadható
m
2.59. ábra Egyenáramú motor átviteli függvényei A motor a szögsebesség és a kapocsfeszültség között kéttárolós arányos taggal jellemezhető, a szögsebesség és a terhelőnyomaték között pedig a kéttárolós arányos hatással párhuzamosan differenciáló kéttárolós hatás is jelentkezik. A tranziensek lefolyásának aperiodikus vagy lengő jellege a villamos és az elektromechanikai időállandók arányától függ ( T < 4T esetén lengő a tag). m
e
Adjuk meg a motor modelljét arra az esetre is, ha a motor gerjesztőfeszültsége is változik. A gerjesztőfluxus az i gerjesztőárammal arányos. A gerjesztőtekercs ellenállása R , induktivitása L . A motor bemenőjelei tehát: az U kapocsfeszültség, az U gerjesztőfeszültség és az m terhelőnyomaték (zavarás). Kimenőjelei az co szögsebesség és az i armatúraáram A motor működését az alábbi egyenletek írják le: e
e
e
a
e
t
a
dt
dco m-m,
m
=0 '
=fc CPI 3
A
=
kkii 2
3 e a
dt
9 = *2'e
A rendszer nemlineáris. A z indukált feszültség és a motor nyomatéka két változó mennyiség szorzataként írható fel. A fenti egyenletekből fejezzük ki az állapotváltozók, az i armatúraáram és az co szögsebesség deriváltjait. A rendszer állapotegyenlete: a
FJÍ' /?„ . hky . - 7 7 = —T & ~-J - ^ l
dí
2
L
dco
L
a
1 . . . .
át
1 + T
L
a
=
a
1
fc)
í- • TT \ /l(«A» »c ö>-^A)
r
-
.
,
0
Adjuk meg a rendszer linearizált modelljét a munkapont körüli kis megváltozásokra. A z állapotegyenletben a változókat helyettesítsük munkaponti értékük és a munkapont körüli kis megváltozásuk összegével. A z egyes változók munkaponti értékei: U , i , í , m , co . A munkapont környezetében a változókat írjuk fel a munkaponti érték és a munkapont körüli kis megváltozás összegeként. ao
U =U a
Xo
0
a
»A='«)
+ A ,
A
= I
+ A I
E
EO
e o
+ AU
ao
»E
ao
m = m + Am, t
t 0
co = co + Aco 0
Egy többváltozós függvény a munkapont környezetében kifejezhető a munkaponti érték és kis megváltozás összegével. / = / + A/ = 0
/ + Xf£
A*;
0
*l0' x
2o-
Az állapotegyenletünkben szereplő nemlineáris összefüggésekre: A
í
c o
A(í
= 'EO^O + ( ' e ) = »EO°>O + ho > 'e'a
=
Aí
'eo'ao
+
^(Ae
Aí
'eo a
'ao e
A rendszer munkapont körül linearizált állapotegyenlete: d ( L + AL)
i?, ..
0
U
°
d(co
.
1.
' = - T ^ O a o + Al ) + — ( í / a
L
Üt
L
a
T
k,k? .
k,k . . hk? 7
L
L
a
^ ^
0
\
r a
^
2
dí
r
+ Aí/ ) - - " - ^ E O ^ O " " T ^ W ^ - ^ - C Ű A
a
Aco)_/: fc3 ,„ ^ 'eo'ao
0+
i e 0
'eo^'a ^
0
a
0
L
I e
a
_ j_ ^
0
'ao^'e
m
~ to
^'"t
0
0
A fenti egyenletekből a munkapontok között az alábbi összefüggéseket adhatjuk meg: = 0 =
dr
,
L
+ — £/,„, - -J-2. Í C Ű
a o
E0
L
a
dcűo__^3_. • ft
TT"
0
W
A
O
L
a
0
e
L ©
M
T
0
Látható, hogy a munkaponti értékek n e m függetlenek egymástól. A terhelőnyomaték és a gerjesztőáram munkaponti értékei meghatározzák az armatúraáram névleges értékét. A z armatúraáram, a z armatúrafeszültség é s a gerjesztőáram munkaponti értékei pedig meghatározzák a fordulatszám munkaponti értékét.
98
A munkapont körüli kis megváltozásokra pedig az alábbi egyenleteket írhatjuk fel: dAL
i? . .
k\k
a
.
2
.
1 .
k-,k
TT
..
2
z„ Aco + — At/„ - -í-*- CO„AÍ, n
dr
L
L
a
kok-* .
dAco dr
0
..
6 0
i.
a
kk
.
..
0
0
e
2
a
3
a
1 . 0
írjuk fel a linearizált állapotegyenleteket mátrix-vektor alakban A
B
~dAi ~
kk
1*2
a
2
"eo
dr dAco
Al'
^a
a
+
Aco
. dí .
-"a
0
0
3
co„
0
"a
0
A/
-2-^-1ao
Am
0
0
e
t
Az egyenletek LAPLACE transzformált]aalapján a linearizált rendszer hatásvázlata a 2.60. ábrán látható.
1 R +sL
Ai
CK)
4
*2*3'eo
4
4
Ao> 5©
*i*2'ei
2.60. ábra Változó gerjesztésű egyenáramú motor linearizált hatásvázlata Az eredő átviteli függvények: 1_
^2^3 *eo
s©(R
Aco
+ sL )
a
hk i
a
2 t
AU.
l+s s©{R
Aco Az'
2
3
2
kkki
0
k k k (ü i x
sQ
s©R
a
kkki
a
x
1+
t
2
sQ{R
a
2
3
0 t
+ sL
a
^-(/? _
x
2
a
+
3
0
í
L
a
3
0L„
a
+
2
kkki
+ sL )
x
a
a
2
3
0
kki
a
2
.
s©(R
a
i+í
0
+ sL ) a
) - ^
fclMeo
*0(/? + *L )
AL A&0°"l
0L„
+ s'
2
lAÍ/ =0 Am =0
Am,
x
a
1 ^2^3'ao
kkki
+ sL )
a
*2
®^a 1 + 5 k\k k i *-
3 e
+ s*
©L,
2
2
3
0
*l*2*3'eo
99
Az átviteli függvények kéttárolós arányos jelleget mutatnak. Látható, hogy az átviteli függvények nevezője megegyezik. A paraméterek értékei (átviteli tényezők és időállandók) a munkaponti értékektől is függnek. A gerjesztőáram növelése - a munkapontok értékétől függően - statikus esetben növelheti vagy csökkentheti a szögsebesség értékét.
Folyadéktartály Egy folyadéktartályba be- és kiömlő mennyiségek valamint a tartályban kialakuló szintmagasság közötti összefüggés nem csak a technológiai folyamatok, hanem logisztikai és általános gazdasági rendszerek, biológiai folyamatok szempontjából is alapfeladatnak számít. Tekintsük először ennek a feladatnak a legegyszerűbb megfogalmazását a 2.61. ábrán látható esetre. " = 9be
M
= 4be
P 2.61. ábra Változó és állandó keresztmetszetű folyadéktartály Itt h a folyadékszint magassága, A(h) u=q
a bemenő folyadékáram,
be
a tartály keresztmetszete, a kifolyás keresztmetszete,
y =q
tí
a kimenő folyadékáram. A folyadék
sűrűségét
állandónak feltételezve a tartályban lévő folyadék V mennyiségére fennáll dV at 2
A kifolyás folyadék (fluid) egyenlete (az mgh = mv /2 kiáramló folyadék v sebessége v = ^2gh, 9ki =
energiamegmaradási
egyenletből a
így a térfogatsebesség q^ = av)
a^2gh
Többféle módon is választhatunk állapováltozót. Egy lehetséges módszer, ha a tartály tárolását a folyadék magasságával fejezzük ki. Változó keresztmetszet esetén
4
V= J A(jc)d;c
o
Az előző egyenleteket átírhatjuk a
100
y =q
= aj2g~h
ki
alakra. A tartályt tehát elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlettel írhatjuk le. A z állapot egyenletet a q = q = u = y egyensúlyi munkapontban linearizáljuk. tí
he
ahonnan ^2 2
2ga
Legyen A a keresztmetszet a megváltozásokra: 0
dAh_
aJígK
dí
2A /i 0
_, 1
K1
Ah + -f- A
? b e
0
h
magasságban,
0
=
A/i + - f - A A„ 2A /i 0
1
a linearizált
0
dt
A ,
1
Ah
és
Ay
A
? b l
-'o
h
J
A(h)
1
egyenlet a
A>
.
4i
1 í
2.62. ábra Folyadéktartály ekvivalens hatásvázlata
3
2A h
teljes folyadék m e n n y i s é g | m ]
4o
folyadék áram j m / s j
_ — *o'-Q •'o
3
mennyiség a rendszer időállandójának tekinthető. T /2 idő szükséges az A h térfogat q folyadékárammal való feltöltéséhez. Egy ekvivalens hatásvázlat a 2.62. ábán látható. A z ábrából csak formálisan képezhető átviteli függvény 0
0
0
0
1
H(s) =
a^2gh amelynek virtuális időállandója T = A(h)ja-^2gh linearizálással kapott 94
h
aj2gh~
A 0
0
a^2gh
0
. Érdemes összehasonlítani a munkapontban
101
időállandóval. (Az átviteli függvény azért csak formális, mert érvényessége kizárólag a lineáris tartományhoz kötődik.) Két tartályos rendszer Tekintsük most a 2.63. ábrán látható két folyadéktartályból álló rendszert. A felső tartályba egy szeleppel szabályozhatóan folyik be a víz. A felső tartályból a víz átáramlik az alsó tartályba. A z alsó tartályból a folyadék kiáramlik. Feladat lehet a tartályokban a folyadék szintjének állandó értéken tartása. A folyamat a következő jelekkel jellemezhető: -
u h Aj és A ű i és a y h y x
2
2
x
2
2
a felső tartályba befolyó folyadék mennyisége a felső tartályban levő folyadékszint magassága a tartályok keresztmetszete a kifolyási nyílások keresztmetszete a felső tartályból kifolyó folyadék árama az alsó tartályban levő folyadékszint magassága a kifolyó folyadék árama Kimenőjeleknek tekinthetjük a tartályok szintmagasságát, bemenőjelnek a befolyó folyadék mennyiségét. A rendszer modelljének megalkotásához gondoljuk át a rendszer fizikai működését. Egy tartályból kifolyó folyadék sebessége függ a tartályban lévő folyadék szintjétől. A helyzeti és a mozgási energia egyensúlyát felírva:
A,.
3l
2
mgh = — mv Y2
*J 2.63. ábra Két folyadéktartályból álló rendszer
•
A z összefüggés mindkét tartályra érvényes. Innen a tartályból kifolyó folyadék sebessége kifejezhető: v = -^2gh.
A tartályból kifolyó folyadék mennyisége függ
a folyadék sebességétől,
keresztmetszetétől és a folyadék viszkozitási tényezőjétől: y = av|i =
a
kifolyócső
a^Jlg'Jh^ = k4h
Az összefüggés láthatóan nemlineáris. Az egyes tartályokban a folyadékszint emelkedése a befolyó és a kiáramló folyadék mennyiségének különbségétől függ. Az emelkedés annál gyorsabb, minél kisebb a tartály keresztmetszete. A két tartályra az alábbi differenciálegyenletek írhatók fel:
AHOL
Mivel a folyadékszintek a rendszer állapotváltozóinak tekinthetők, a felírt két elsőrendű differenciálegyenlet a rendszer nemlineáris állapotegyenletét adja meg. Célszerű az egyes változókat maximális értékükhöz viszonyítva relatív egységekben megadni u
n
-
' e
"rel ~ 7
hr,
u
s
"rel
Ezzel a differenciálegyenletek a következő alakban adhatók meg: áh X
-f~ ~ Pl,rel rel ~ l , r e l V^Ud M
a
áh a
~ P2,rel V\rd
~ 2,rel-\/\rel
ahol
P l.rel _-
M
1
max
'
a
'
a
^1 ^l.max
02, rel -
V\
max *1 A-,2 /i "2, max
l,rel ' ^1 \ m a x _ ^2 2,rel A 2
max -V
Egy nemlineáris rendszert az egyszerűbb kezelhetőség érdekében sokszor adott munkapont környezetében linearizálnak, így a munkapont körüli kis megváltozásokra a rendszer lineárisnak tekinthető. A 4h nemlineáris függvényt fejtsük TAYLOR sorba a h munkapont körül: Q
/( )=v*-v^+^-(*-*o) A
A TAYLOR sor magasabb hatványait elhanyagoljuk. Jelöljük a kis megváltozásokat A-val, így h-h =Ah
,
0
w
rel
= w + Aw 0
,
h
1
M
=h
l o K l
+ Ah
x
,
h
2
M
=h
2
o
M
+ Ah
2
A linearizált egyenletek
d(*lo,rel
+ A
M
A
= Pl,rel("o+ ")-«l,rel
df
d(^2o,rel+^ )_ 2
át
~
1
Q
H
t
Ú
- a
'lo
A munkaponti értékek kapcsolata:
rel +
rel
?Ah,
ifi 2, rel
lo.rel
4^, ifi
-Aho
rel +
2o,rel
103
áh - 0-
áh 2o
Pi
) r e
iM
a
_ 0
l , r e l V^lö^rel
- 0 - P2,relV^lo,rel
_
a
2,rel-\/^2o,rel
A munkapont körüli kis megváltozásokra írhatjuk: oc
Aw-
^ U A « j
rel áAh
_
2
P ,rel —,
An
2
a t
dí
2,rel 7 — ^A/V, rel
Látható, hogy az egyenletekben a paraméterek munkapontfüggők. A paraméterek a tartályokon végzett mérések (a tartályok feltöltése, kifolyatása) alapján, illetve a geometriai méretekből határozhatók meg. Adjuk m e g a linearizált folyamat átviteli függvényét az alsó tartály Ah szintváltozását tekintve kimenőjelnek és a befolyó mennyiség Au változását tekintve bemenőjelnek. Vezessük be az alábbi jelöléseket: 2
06
_
8i=P l.rel
Yi =
1 , rel
A
P , rel
5,=
2
Y2 =
rt
2-\/ lo,rel
rel
2, rel
2jh 2o,rel
Ezekkel az állapotegyenletek:
DA/n
^ÖjAh-YiA/ii
DÍ
dAn dí
2
=
8 Ah -y Ah 2
1
2
2
Ebből felírva az átviteli függvényt: 1
1
tf(*) = 5 i - V 5 í
lL
+
K
s 2
i + Il
(I + J T Í X I + Í ^ )
A folyamat tehát kéttárolós arányos tagnak tekinthető, amelyben az időállandók és az átviteli tényező 2
1 _ V^lo,rel Yl
a
l,rel
2o,rel
7 - , - L -
Y2
a
2,rel
2 P l , r e l #2o,rel A
2, rel
értékei függnek az adott munkaponttól. Hőfolyamat Vizsgáljuk egy két hőforrásból álló rendszer melegedési folyamatát. A z elrendezést a 2.64. ábra mutatja. A két egymásba ágyazott test melegedési viszonyai modellezhetik leegyszerűsítve például a villamos gépek hornyaiban a vasba helyezett réz tekercselés melegedési folyamatait.
104 Az m tömegű g fajhőjű test, amelyben p teljesítmény alakul hővé körülveszi az m tömegű g fajhőjű testet, amelynek hőteljesítménye p . A két test egymással, illetve a külső környezettel érintkező felülete f illetve f , h illetve h hőátadási tényezővel. 2
2
2
x
x
x
x
2
x
2
Határozzuk m e g a két test v illetve x> hőmérsékletének változását a hőfejlesztés bekapcsolása után, ha a bekapcsolás előtt a környezeti hőmér rendszer hőfoka a u sékleten volt. A rendszer bemenőjelei tehát a Pl és p fűtőteljesítmények, zavaró jellemzője a x> környezeti hőmérséklet, kimenőjelei a testek \ ) és v hőmérsékletei. x
2
0
2
*>0
0
2.64. ábra Két hőforrásból álló rendszer
x
2
A folyamat viselkedését az alábbiak szerint írhatjuk le. A hőteljesítmények bekapcsolása után a két test hőmérséklete növekedni kezd. A képződő hőenergia egyrésze a testek hőkapacitásában raktározódik, a testek hőmérsékletét növeli, másik része pedig a kialakuló hőmérsékletkülönbség hatására a határfelületeken keresztül a környezetbe távozik. Feltételezzük, hogy a testek homogénnek tekinthetők, j ó hővezetési tulajdonságuk következtében a testeken belül nem alakul ki hőmérsékletkülönbség. A belső testben Aí idő alatt képződő h ő részben Av hőfokkal növeli a test hőmérsékletét, részben pedig a külső testbe távozik. A hőátadás függ a két test hőmérsékletének különbségétől, az érintkezési felület nagyságától és a hőátadási tényezőtől. A külső testben a belsőből érkező hőmennyiséghez hozzáadódik a p teljesítményből képződő hő. E z az eredő hőmennyiség részben Ax>2 hőfokkal növeli a külső test hőmérsékletét, részben pedig a környezetbe távozik. x
2
1
/'I
1
Pl
m
gJ 2
S
m
ga l h,f,
g «"3 2
2.65. ábra A hőfolyamat hatásvázlata A x> és x> hőmérsékletek a rendszer állapotváltozóinak is tekinthetők. A két testre felírva a hőmérlegre vonatkozó egyenleteket: x
2
p At = g m A\) x
p At+ h f (\) 2
x x
x
x
x
+
x
h f (v -X) )At x x
- v )At = g m Ax> + h f (v 2
2
2
2
2 2
2
x
2
-V )At 0
Az egyenleteket gjmjAí-vel, illetve g m At-vél elosztva, majd elvégezve a Aí—>0 határátmenetet és a hőmérsékletváltozások deriváltjaira rendezve az alábbi egyenleteket kapjuk: 2
2
105
Di +
— — _
dt
gm x
D
gm
x
x
=
x
+
/ í
1
gm
dt
2
Pi
+
gm
x
^2 M, -Vl
2
2/2,
gm
2
2
2
x
2 +
_L
f t
híg.^
+
gm 2
gm
2
2
2
Ezek az egyenletek a rendszer állapotegyenletét adják meg. Az egyenletek alapján felrajzolható a rendszer hatásvázlata (2.65. ábra). A hatásvázlat alapján meghatározhatók az egyes kimenő- és bemenőjelek közötti eredő átviteli függvények és adott bemenőjelváltozásokra megadhatók a kimenőjelek időfüggvényei. Mozgó fordított inga A vizsgált mechanikai rendszer vázlatát a 2.66. ábra mutatja. Az M tömegű kocsira felszerelt súlytalannak tekintett l hosszúságú rúd egy csukló körül elmozdulhat. A rúd végére m tömegű golyó van felszerelve. A kocsira / erő hat. Ez a szerkezet az ún. inverz inga, amely mechanikailag labilis működésű. Irányítási feladat lehet az m tömeg felső egyensúlyi pontban tartása a kocsi megfelelő mozgatásával. A cirkuszi zsonglőr ilyen (kézi) irányítást valósít m e g a rúd egyensúlyozá sával. Hasonló szerkezet lehet egy m o z g ó robot része. Egy labilis szakasz stabilis irányítása n e m egyszerű feladat. A szabályo zási algoritmust a szakasz modelljének figye lembe vételével kell megtervezni.
2.66 ábra Inverz inga mechanikai modellje
Adjuk meg a rendszer mechanikai viselkedését leíró NEWTON egyenleteket az M és a m tömegek mozgására. A merev rúdban +F és —F kényszererők ébrednek. M'x = f - F sin® mx
m
my
m
= F sin 0 = Fcos® — mg
Az első két egyenlet összeadásával, illetve a második egyenletet cos 0 - v a l , a harmadik egyenletet sin 0 - v a l megszorozva majd egymásból kivonva az F kény szererő kifejezése az egyenletekből kiküszöbölhető. Ezen átalakításokkal az alábbi egyenletekre jutunk: Mx + mx
m
= f
w i c o s 0 - / n y s i n © = ragsin 0 m
m
Számítsuk ki x
m
x
és y
m
deriváltjait.
= x + Zsin©
y
jc = i + / © c o s ©
y
m
m
2
,jc = j c - / 0 s i n 0 + / 0 c o s © m
m
m
= /cos© = -/©sin© 2
y
m
=-/0 cos0-Z0sin©
106 Behelyettesítve x és y kifejezéseit az előző egyenletekbe az inverz inga viselkedésének leírására az alábbi nemlineáris differenciálegyenleteket kapjuk: m
m
2
(M + m)x - m / 0 s i n @ + m / 0 c o s 0 = / m i cos© + m / 0 = mgsin© Illetve mindkét egyenletből kifejezve a második deriváltakat: 2
= — - — f / + m / 0 sin 0 - m / 0 cos ©) M + m •• g 1 0 = —sin©—Jccosö / / A függőleges helyzet körüli kis elmozdulásokra és kis szögértékváltozásokra megadhatjuk a rendszer linearizált modelljét. Feltételezve, hogy 0 = 0 és 0 = 0, sin© = 0 és c o s 0 = l közelítéseket vehetünk figyelembe. Ezekkel az egyszerűsítő feltevésekkel a fenti egyenletek az alábbi alakra hozhatók:
M l
M M
Ml
Állapotváltozóknak tekinthetjük a © , 0 , x és x változókat. Az állapotegyenlet az alábbi alakban írható fel: 0 0
0 g M + m l
X X
M 0 mg
1
0
0
0
0 [©" 0 0
0
0
1
1 Ml f 0 1
+
X
[x
' M
0
. M
.
Kimenőjelnek tekinthetjük a 0 vagy az x változókat. Az egyenletekből meghatározhatók az átviteli függvények a 0 illetve az x kimenőjelek és az / bemenőjel között:
2
i
1
Ml
Ml
(s+a)(s-a)
/(*)
s -a
2
f{s)
s (s -a )
2
2
es
H (s) 2
= 2
{s+a){s-a)
ahol o r = — és (3 = —. Látható, hogy a linearizált rendszer átviteli függvénye egy labilis / M l pólust tartalmaz, és megjelenik egy nem minimumfázisú zérus is. A rendszer szabályozása nem egyszerű feladat.
107
3. Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Számos tudományos és mérnöki terület használja dinamikus rendszerek leírására az úgynevezett állapotegyenleteket. Az állapotteres leírás szükségességét többféle módon származtatják. Talán a legegyszerűbb annak a felismerése, hogy bonyolult dinamikus rendszerek igen széles osztályának működését viszonylag nagy pontossággal modellezhetjük elsőrendű vektor differenciál egyenlettel
(3.1) y = g{x, u) Az állapotváltozónak nevezett x vektor a rendszer állapotváltozóit, mint skalár x komponenseket gyűjti vektorba. Az u a rendszer bemenő-, az y pedig a kimenőjele. A z x f(x,u) állapotvektor dimenzióját a rendszer fokszámának vagy rendjének nevezzük. Az függvény az állapotvektor változási "sebességét" adja az állapot és a bemenőjel függvényében. A g(x,u) függvényt érzékelési illetve mérési függvénynek nevezzük, mivel a rendszer kimenőjelét szolgáltatja. Vegyük észre, hogy itt f(x, u) és g(x, u) n e m függ explicit módon az időtől. (Ezt a tulajdonságot véletlenül se keverjük össze azzal, hogy természetesen az állapotegyenlet jelei időtől függnek !!!) A z ilyen rendszereket időinvariánsnak hívjuk. A z állapotváltozókat olyan változóknak is szokták hívni, amelyek összefoglalják a rendszer múltjára vonatkozó információkat, hogy a jelek jövőbeli értékeit jósolni tudjuk, ezért az állapotvektor a rendszer memóriáját is jelentheti. t
Mérnöki rendszerekben az állapotváltozók igen sokszor kapcsolódnak olyan alapvető fizikai folyamatokhoz, ahol tömeg, áram, impulzus, energia, stb. tárolásához szükséges összefüggéseket kell kiszámítanunk. (Felhívjuk a figyelmet, hogy egyes szakterületeken például a kémiában - az állapotváltozó megnevezés nem egyezik meg a fenti általános rendszerelméleti fogalommal, sokkal inkább a vizsgálat tárgyát képező anyag, elegy, oldat, stb. fiziko-kémiai állapotára utaló változókat jelenti: nyomás, hőmérséklet, összetétel, stb.) Az állapotváltozók, mint koordináták egy teret - állapotteret {state space) - definiálnak. Ebben a térben helyezkedik el az x(t) állapotvektor. Végpontjának elmozdulása jelenti a rendszer mozgását. Az állapotvektor végpontja által leírt görbe az állapot-trajektória. A (3.1) egyenletpárral adott rendszer a nemlineáris dinamikus rendszerek egy speciális osztályát jelenti, amelynek lehetséges (x , u ) egyensúlyi állapota (ahol x = 0 ) , amely az 0
/ (
x
o ' " o )
=
0
0
(3.2)
egyenletből adódik. (Jegyezzük meg, hogy általános esetben több egyensúlyi állapot is adódhat. Az egyensúlyi állapotok különböző jellegű stabilitási állapotokat jelenthetnek. Ezek minőségi vizsgálatához az f(x, u) másodrendű deriváltjainak vizsgálata is szükséges.) Statikus rendszerek elfajult állapotegyenlettel írhatók le, hiszen nincs memóriájuk, illetve az ennek megfelelő állapotuk, tehát leírásukhoz a (3.1) egyenletpár második egyenlete elegendő: y=
(3.3)
108
TAYLOR sorba fejtve a most skalár egyenletet azw pontban az 0
y = g(u ) + ^ ^ ( u - u 0
) + ... = g(u ) + g'(u )(u-u )
0
0
0
+ ...
0
(3.4)
alakra jutunk, amelynek elsőrendű tagjából az A
y - y=y
= y - sK)
0
(" - «) = s'M
= #'K)
A
m
3 5
(-)
0
linearizált modellt kapjuk. A linearizált modell az u munkapontban az eredeti görbét az érintőjével helyettesíti és a munkapont körüli (Ay,A«) megváltozások között teremt statikus lineáris kapcsolatot. 0
Lényegében hasonló gondolatmenet alapján végezhetjük el a (3.1) állapotegyenlet linearizálását is. Az ( x , u ) egyensúlyi állapot körüli kis megváltozásokra érvényes 0
x=x
0
+ Ax
0
;
u = u +Au
;
0
y = y +Ay
(3.6)
0
jelölésekkel számítsuk ki a (3.1) elsőrendű linearizált közelítését
£
. / ( * „ + Ax, „
dí
0 +
Au) - / ( * „ , „„) +
A* í % ! f e l A u +
dx
y = g ( x + Ax, u + Au) » g ( x , « ) + ^ " ' ^ A x + dx 0
0
0
0
Használjuk fel, hogy az egyensúlyi pontban / ( x
0 >
dw
d g (
*°' au
M o )
(3.7) A
M
w ) = 0 és vezessük be az y = g ( * , w ) 0
0
0
0
jelölést, így a kis megváltozásokra érvényes linearizált modellünk az alábbi alakú lesz: d(x-x ) — dt
dAx - = dt
0 2 1
55
y-y
. , A( x - x ) + b (u - w ) = AAx + bAu N
K
T
=Ay =c
0
Á A
n 0 )
(x-x ) 0
A
n
K
0 )
+ d(u-u ) Q
(3.8) T
= c Ax
+ dAu
ahol bevezettük az d 1
=
M
/(*o> o)
dx
T
.
6
'
=
d/(x , 0
M o
)
du (3.9)
„ T _ dg(x , U ) dx Q
0
1
^_dg(x ,M ) du 0
0
jelöléseket. A kapott modell egy lineáris időinvariáns (LTI), azaz időben nem változó rendszer. Eléggé elterjedt gyakorlat, hogy az egyszerűség kedvéért a jelölt megváltozások (Ax,Au,Ay) helyett az eredeti (x,u,y) változókat használjuk és mindig munkapont körüli megváltozásokra gondolunk. így kapjuk a rendszer- és irányításelmélet általánosan használt lineáris, állandó paraméterű (LTI) állapotegyenletét
109
dx(t) = Ax(t) + b u{t) dt
— = Ax + bu dt
vagy egyszerűen
T
y = cx
T
y(t) = c x(t) + d u(t)
(3.10)
+ du
Itt A,b,c ,d a rendszer paraméter mátrixai. Mivel a jegyzetben egybemenetű - egykimenetű (SISO) rendszerekkel foglalkozunk, ezért n-edrendű esetben az A egy ( n x n ) - e s négyzetes mátrix, az ú.n. állapotmátrix, a b egy ( n x l ) - e s oszlopvektor, a c
T
egy ( l x n ) - e s sorvektor és
d skalár. A (3.10) állapotegyenletnek megfelelő blokkvázlat a 3.1. ábrán látható.
'(0)
3.1. ábra Lineáris időinvariáns rendszer állapotegyenletének megfelelő blokkvázlat 3.1. Az állapotegyenletek megoldása a fekvenciatartományban A komplex frekvenciatartományba az állapotegyenletek a (3.10) LAPLACE transzformációjával vihetők át. Jelölje az x,u,y időfüggvények transzformáltját X(s),U(s),Y(s). Figyelembevéve a differenciálhányados transzformálásának a szabályait sX(s) = A X(s) + b U(s) + x(0) = A X(s) + b U(s) +
lx(0) (3.11)
T
Y(s) = c X(s)
+
dU(s)
Az első egyenletben a kezdeti feltételek x(0) vektora olyan bemenőjelnek tekinthető, amely az / egységmátrixon keresztül hat a rendszerre. Az első egyenletből kapjuk, hogy X(s) = (sí - A)
1
l
[b U{s) + x(0)] = (sí - A)~ b
U{s) + (sí -
l
A)' x{0)
(3.12)
A mátrix invertálás szabályai szerint (3.13) V
;
det(í/-A)
Itt *¥(s) = a d j ( í / - A )
A{s)
K
A(s)
olyan mátrix transzponáltja,
]
amelynek elemei az (sI-A)
mátrix
megfelelő elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsok. A d e t ( í / - A ) pedig az (sI-A)
mátrix
determinánsa, az átviteli függvény nevezője, amely í-nek n-edfokú polinomja n
A(s) = s + k s x
n-l
+ ... +
k _ +k n
lS
n
••n(s-X ) i
i-l
=
det(sI-A)
(3.14)
110
A(s) az A mátrix úgynevezett karakterisztikus polinomja, az A(s) = 0 karakterisztikus egyenlet X ...X v
n
gyökei pedig az A mátrix sajátértékei, amelyeket a rendszer pólusainak nevezünk.
A (3.13) egyenlet számlálójában álló mátrix elemei is i-nek a polinomjai, amelyek azonban mivel ( n - l ) - e d r e n d ű aldeterminánsból származnak legfeljebb (n-l)-edfokúak, következésképpen az egyes elemek és A(s) hányadosa szigorúan szabályos átviteli függvényeket képez. A (3.12) szerint az állapotvektor mozgását az x(Ö) kezdeti állapot és az U(s) bemenő jel határozza meg. A z x(0)-tól függő rész valamennyi elemének nevezőjében a karakterisztikus polinom áll, ezért a kifejtési tételből következően időfüggvényeiket kizárólag a rendszer pólusai határozzák meg. A megoldásnak ez a része a nyugalmi helyzetből kitérített és magára hagyott rendszer mozgását írja le és mind a frekvencia, mind az időtartományban kizárólag a rendszer paraméterek egyikétől, az A állapotmátrixtól függ. A megoldásnak az U(s) -tői függő összetevőjében az egyes elemek nevezője A(s) -en kívül az U(í)
nevező polinomját is tartalmazza, így az időfüggvények nemcsak a rendszer, hanem a
bemenőjel pólusaitól is függenek. A megoldásnak ez a része a gerjesztett rendszer mozgását úja le. A kimenőjel a (3.11) és (3.12) egyenletekből T
Y(s) = c
l
(sí - A)~ [b U(s) + x(0)] + dU(s)
(3.15)
A gerjesztett mozgás kimenő jele, amikor x(0) = 0
T
1
Y(s)=\c (sI-Ay b
+ djU(s)
(3.16)
A rendszer átviteli függvénye tehát
()
P s
1
= XlÁ = T( -A)- b U(s) c
sI
+d
T
1
=c (sI-A)~ b d=o
=^ A(s)
(3.17)
A P(s) első tagja szigorúan szabályos, mivel csak szigorúan szabályos elemek (lásd (3.13)-t: az adjungált mindig alacsonyabb fokszámú, mint a determináns !) lineáris kombinációjából áll. Ha tehát d = 0, akkor P(s) szigorúan szabályos, számlálója minimálisan eggyel alacsonyabb fokszámú, mint a nevező. Ha d^O, akkor P(s) szabályos, azaz a számláló fokszáma megegyezik a nevezőjével. A d fizikai jelentése: a bemenő jel közvetlen, dinamika nélküli hatása a kimenő jelre. Jegyezzük m e g , hogy ez a hatás n e m tűnik el igen nagy frekvenciákon sem, tehát a frekvenciafüggvényre fennáll, hogy P(jco -»«>) = d. Ez egyben azt is jelenti, h o g y az átmeneti függvény ugrása a f = 0 pillanatban v(í = 0) = J . A gyakorlatban a esetet az y = y - d u új kimenőjel bevezetésével rendszerint visszavezetjük a d = 0 esetre. esetre azt is mondhatjuk, hogy n e m megfelelően történt a munkaponti linearizálás, ami korrekcióra szorul.
Ill
3.2. A z állapotegyenletek megoldása az időtartományban A (3.10) állapotegyenletek időtartománybeli megoldása az
At
A
x(t) = e x(0)
A
+ ]e ^bu(x)dT
= e 'x(0)+\
] e
A
W
u(x)d>
zárt formában is előállítható. A z első tag az jc(0) kezdeti értékből induló magára
(3.18)
hagyott
rendszer mozgása, a második tag - a konvolúciós integrál - az x ( 0 ) = 0 kezdeti értékből induló gerjesztett mozgás. A (3.18) ellenőrzéséhez deriváljuk a fenti egyenletet az idő szerint
A
= Ae
'x(O) + ] A e
A
^ bu(x)dx+bu(t)
= Ax(t)
+bu(t)
(3.19)
dt ami igazolja a (3.18) egyenlet helyességét. (A deriválást az F-5. Függelék F-3.1 pontjában A t
végeztük el.) Itt e a rendszer alapmátrixa, amelyet minden í-re konvergens TAYLOR sora definiál, mint a mátrix függvényeket általában At
e =I
+ At+±(At)
2
n
+ ... +
^(At) +...
(3.20)
Differenciálva az egyenletet az alapmátrix egy érdekes és fontos tulajdonságát kapjuk 2
3 2
^ -
= A + A t+?-A t
+ ... + - ± - A
dt
2
(N-I)!
r
n
= A i + At + ^{Atf
n
t
n
-
í
+ ...= (3.21)
+ ... + ^{At) +..
^
At
Ae
At
=e
A
A (3.12) és (3.18) egyenletek összevetéséből kapjuk az U(s) = Q esetre az alapmátrix LAPLACE- transzformáld át At
¥{e }
(3.22)
l
=
(sI-Ay ={s)
amely alapján egy újabb összefüggést kapunk az alapmátrix kiszámítására e
A t
1
l
= ST {{sI-A)- }
=
l
^ {®{s)}
(3.23)
A (3.10) és (3.18) egyenleteket kombinálva a rendszer kimenőjele
T
At
y{t) = c e x(0)
+c
A(t-X)
u(x)dx
b + du(t)
(3.24)
Zérus kezdeti feltételekre ( x ( 0 ) = 0 ) és d = 0 esetén az «(f) = ö(r) gerjesztésre az utolsó egyenletből egyszerűen kaphatjuk a rendszer súlyfüggvényét
112
T
At
T
w(t) = c e b
l
l
rl
= c Sr UsI-A)~ }b J
A súlyfüggvény időtartományban látható. A mátrix függvények és a formájában is számítható e
A x
l
=
1
J
történő származtatása
CAYLEY-HAMILTON
n
= a (x)I
T
= 2 {c (sI-Ay b}
L
(3.25)
a F-5. Függelék
F-3.2 pontjában
tétel következtében az alapmátrséges összeg
1
+ a j ( T ) A + . . . + a . (x)A ~
0
(3.26)
n l
mivel az A állapotmátrix kielégíti saját A{A) = 0
(3.27)
karakterisztikus egyenletét. (A bizonyítást lásd az F-5. Függelék F-3.3 pontjában.) 3.3. A z állapotegyenletek transzformációja, kanonikus alakok A rendszer bemenő- és kimenőjele rendszerint konkrét fizikai változó, az állapotváltozókviszont T
függnek a választott koordináta rendszertől. Az A,b,c paraméter mátrixok szintén függnek a koordináta rendszertől. Vezessük be a z új állapotvektort, amely az eredeti x-ből a z = Tx lineáris transzformációval származtatható, ahol T reguláris. A (3.10) felhasználásával az új állapotegyenlet 1
— = T(Ax
+ bu) = TAT~ z
+ Tbu = Áx + bu
dt
(3.28)
y=c
x + du-c
z + du = c z + du
T
ahol l
Á = TAT~
;
b = Tb
;
c
T
T
=c T~
l
;
d =d
(3.29)
Egyszerű ellenőrizni, hogy a rendszer súlyfüggvénye és átviteli függvénye invariáns a lineáris transzformációra T
At
T
w(t) = c e b
l
TAT
1
l
= c T- e ~
T
1
T
l
T
Tb = c e
1
1
H(s) = c (sI-Áy b=c T- (sI-TAT J' Tb
A t
b
(3.30) T
1
= c (sI-Ay b
(3.31)
A (3.30)-ban figyelembe vettük az egyszerűen belátható
c
(
r
A
r
I
" )
í =
r
e
A í
r
-
1
(3.32)
azonosságot. Ismeretes, hogy a lineáris transzformációk rendelkeznek kitüntetett irányokkal (v,), amelyekben
a vektorok irányukat megtartják, csak hosszúságukat változtatják X -szeresére, azaz t
i4v,-= A.FVJ
;
i=
(3.33)
\,...,n
Itt v, az A mátrix sajátvektora, a A., pedig a hozzátartozó sajátérték. A sajátérték probléma más formában, mint homogén n ismeretlenes egyenletrendszer is felírható: (XíI-A)v
(3.34)
= 0
ahol az ismeretlenek a v komponensei. A z egyenletnek akkor van a triviálistól (v = 0 ) eltérő megoldása, ha teljesül a átt(X I-A)
= A(X )
I
i
(3.35)
= 0
feltétel, azaz az X.,- sajátértékek a karakterisztikus polinom gyökei. Ha az egyenlet gyökei egyszeresek, akkor összesen n darab sajátérték van, és mindegyikhez egyetlen egységnyi hosszúságú sajátvektor határozható meg. Diagonális kanonikus alak Egyszeres sajátértékek esetén speciális T l
hogy T A(T y d
l
Á =T A{T y d
transzformációs mátrix megválasztásával elérhető,
diagonális legyen
á
X
0
o
X
x
d
d
=A =
d
2
.
0
.
0 =4i
0
(3.36)
0
A szükséges 7^ transzformációs mátrix a sajátvektorok mátrixának inverze T = [v v d
v
v„]
2
(3.37)
- 1
A diagonális transzformációval kapott kanonikus állapotegyenlet (diagonális alak) 0 dz_
0
X
2
. ..
0
. ..
0
:
dt .0
0
y = [Yi
Y
2
Pl z+
p
2
M = A z + fJw
(3.38)
. •• •
Jn]z + du =
A transzformált rendszer átviteli függvénye
•+d
•! 1=1
S
(3.39)
~K '
A kanonikus alakból tehát az átviteli függvény részlettörtes formában adódik. V e g y ü k észre, hogy az A mátrix sajátértékei vannak a nevezőben. Az átviteli függvény változatlan marad, ha P,- és % úgy változnak, hogy szorzatuk állandó marad. így végtelen sok olyan kanonikus alak
114
van, amelyek a 0 és y
mátrixokban különböznek, de átviteli függvényük közös.
Egyszeres pólusok esetén kanonikus koordinátákban az állapotegyenlet rendszer n egymástól független elsőrendű differenciálegyenletre esik szét. Az állapotváltozók elkülönülnek és a rendszer egy-egy pólusához rendelhetők. Ha a karakterisztikus egyenletnek többszörös gyöke van, az A
á
mátrix csak kivételes esetekben
diagonalizálható, általában azonban JORDAN alakra hozható: 0
0
J
0
0
0
/j
0
2
(3.40)
Itt 7, a A,,- sajátértékhez rendelt, a sajátérték multiplicitásával megegyező rendszámú négyzetes mátrix, amelynek főátlójában a sajátértékek, az attól jobbra eső első mellékátlóban egyesek állnak, a többi elem zérus. H a például X háromszoros sajátérték, a J részmátrix X
1
0
0
X1
1
0
0
X
X
x
(3.41)
x
u
alakú lehet. (Az egyesek száma attól függ, hogy a többszörös X sajátértékhez hány egymástól lineárisan független sajátvektor található. H a csupán egyetlen - ez a (3.38)-nek megfelelő normális eset - a mellékátló valamennyi eleme egyes. Ha ehhez képest a független sajátvektorok száma eggyel nő, az egyesek száma eggyel csökken. Ha létezik a multiplicitással azonos számú független sajátvektor, a JORDAN mátrix diagonális. Ettől az esettől eltekintve a transzformációs mátrix megkeresése a korábbiaktól eltérő megfontolásokat igényel, amelyekre itt nem térünk ki.) X
Irányítható kanonikus alak Jóllehet az állapotegyenleteket a modellezési gyakorlatban rendszerint közvetlenül írjuk fel a fizikai változókra megfogalmazott differenciálegyenletek alapján, számos alkalommal előfordul, hogy a kiindulási információ egy átviteli függvény illetve a neki megfelelő n-edrendű lineáris differenciálegyenlet. Ezt az eljárást az állapotegyenletek felírásának, konstruálásának (rekonstruálásának) is szokták nevezni. Tegyük fel, hogy egy rendszer működését az alábbi differenciálegyenlet írja le n
d n-l
n x
áy
á-y
+ a, n
1
dt
y n
dt ~
+ ... + a„y
l
=
n
b, 'dí""
,. U r
(3.42)
. + bu n
1
A Laplace-transzformáltakra érvényes egyenlet
_ b
+bn n 1
S
- + as1
lS+ lS
u[s)=P[s)u{5)
W
+ ... + a _ +a n
=m
n
n
A(s)
W
W
W
Vezessük be az alábbi állapotváltozókat LAPLACE-transzformáltjaikkal együtt
(3.43)
115 _n-l
„n-2 d
x
2
_ — Ai r
(3.44)
dí dx„ l
dí
n-l
amelyek alapján sX (s) = -a X (s)-...-a X ( ) l
1
i
n
Y(s) = b X (s) 1
n S
+ ... +
l
dx
x
U(s)
+
1
n
ax n
+u
n
(3.45)
y = bx
b X (s) n
—-űjXj -... -
~dT
1
+ ... +
bx n
n
Az eredményül kapott állapotegyenletek tehát most az alábbiak -a
2
.
1
0
.
0
1
-«1
dx_ dt
~n
1
0
0
0
0
0
x + 0
a
a
•
~ n-l
(3.46) 0
0 y = [b
b
í
. ...
2
0
1
0
x
b]
V i
n
Ezt az alakot a hozzátartozó speciális felépítésű
;
-a
í
2
.
0
.
0
0
0
0
1
.
0
0
0
0
0
.
1
0
0
~«l 1
ft
V l
*2
K]
(3.47)
rendszermátrixokkal irányítható (controllability) kanonikus alaknak vagy fázisváltozós alaknak hívjuk. Jellegzetessége, hogy - az utolsót kivéve - mindegyik állapotváltozó a hatásirányban következő állapotváltozó deriváltja, és valamennyi az első állapotváltozó bemenetére van visszacsatolva. A visszacsatolási tényezők a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói, amelyek így az A mátrix első sorában jelennek meg. A bemenőjel csak x -re hat. A kimenőjelet képező előrecsatoló tényezők az átviteli függvény számlálójának együtthatói. x
n
Amennyiben a P(s)
nem szigorúan szabályos, tehát B{s) = b s 0
n
x
+b s ~
+ ... + b _ s + b ,
x
n
x
n
az
állapotegyenletben d = b is szerepel. Az eredeti b együtthatók helyett viszont a b- együtthatók 0
t
szerepelnek, amelyeket a n l
p/A
B =
S
( )
A(s)
= V "
s
n
1
+ V " + a í 1
n
_
1
+ • • • + K-\S + ... +
+
b
a_s + a n
x
n
n
b[s =
b
o
°
+ ... + b' _ n
+ b'
lS
n
(3.48)
]
n
n
s + as~
l
{
+... + a _ s + a n
x
n
116
felbontással kapjuk. Itt a második tag már szigorúan szabályos és a számláló együtthatói a b[ = b - b a összefüggéssel számíthatók. t
0
{
Az irányítható kanonikus alak karakterisztikus polinomja S+
a
CEj
a
n
0
-1
s
0
-1
A(s) = det
a
n-l
2
0 s
= A{ )
0 0
=
s
s
A-l{ )
+
a
(3.49)
n
0
0
-1 s ahol a rekurzív összefüggést az utolsó sor szerinti kifejtéssel kapjuk. Egyszerűen belátható, hogy A (s) n
n
n
= s + as l
1
+ ... + a _ s+a n
l
-
n
A(s)
(3.50)
azaz a karakterisztikus polinom az átviteli függvény nevezője. Ezért a speciális A A(s) polinom kísérő márixának is nevezik.
c
mátrixot az
Jegyezzük meg, hogy az 0
1
.
0
0
0 0
0
0
0
0
.
~ n-\
•• •
a
1
0
0
1
~a
f l
2
- i.
; K=0
cj=[b
Vi
n
...
h
b] x
(3.51)
.1.
paramétermátrix választás szintén irányítható kanonikus alakot ad, ahol az állapotváltozók jelölésekor a sorszám fordított az előző (3.47) alakhoz képest. Megfigyelhető kanonikus alak Ennek az alaknak a konstruálásához válasszuk az állapotváltozókat transzformáltjaikkal a következő rekurzív megfogalmazás alapján X (s) l
LAPLACE-
= Y( ) S
dx sX^s)
= -ayX^s)
+ X (s)
sX (s) 2
= -a X (s)
+ X (s) +
sX (s)
= -a X,(s)
+
n
2
x
2
2
+
2
b U(s)
b U(s) l
b U(s) 2
- - -öjXj + x
+
2
bu x
dí •a x
+
2
2
x
n +
x^+b u 2
dí
(3.52)
dx
n
dt
- - - a
n
b
n
u
ahol Y(s) a (3.43) szerinti. Az összefüggések alapján az alábbi állapotegyenleteket írhatjuk fel
1
0
. .
0
0
1
. .
0
.
0 1
d£ dí
0
0
. .
0
0
. • o_
...
0
0]x
a
- n-l
y = [l
0
b
2
X +
(3.53)
Vi . b
n
_
Ezt az alakot a hozzátartozó speciális felépítésű -fl!
1
0
-02
0
1 T
c =[l
K=
4> = - a •n-l
0
0
—a„
0
0
0
...
0
0]
(3.54)
rendszermátrixokkal megfigyelhető (observability) kanonikus alaknak hívjuk. Jellegzetessége, hogy az JCJ állapotváltozó maga a kimenőjel, amely valamennyi állapotváltozó bemenetére vissza van csatolva. A visszacsatolási tényezők a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói, amelyek így az A mátrix első oszlopában jelennek meg. 0
Jegyezzük m e g , hogy az 10 1
...
0
0
0
0
-a
n
a
n-\
c
K=
4> = 1
0
-a
b
0
1
-a.
L L
2
T o
=[0
0
...
0
1]
(3.55)
2
B
J
paramétermátrix választás szintén megfigyelhető kanonikus alakot ad, ahol az állapotváltozók jelölésekor a sorszám fordított az előző (3.53) alakhoz képest. Amennyiben a P(s)
n e m szigorúan szabályos, az állapotegyenletben
d =b
0
is szerepel és
érvényesek az előzőekben a (3.48) felbontással kapcsolatban mondottak. (Ha az átviteli függvény pólusai és részlettörtes alakja is ismert, akkor további kanonikus alakok konstruálhatok.) 3.4. Az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalma Az kányítás lényeges kérdése, hogy a bemenőjellel valamennyi állapotváltozó tetszőlegesen befolyásolható-e. Erre a kérdésre a K Á L M Á N által bevezetett irányíthatóság ad választ. A rendszer áUapotirányítható, ha az állapotvektora az u irányítás hatására tetszőleges kezdeti állapotból véges ( í -t ) v
0
x(t ) 0
idő alatt a tetszőlegesen előírt x ( í ) állapotba vihető á t Ha a v
definíció csak a kimenőjeke teljesül, kimeneti irányíthatóságról van szó. Lineáris időinvariáns rendszereknél a kezdeti időpontot ( f = 0 ) - r a , így a kezdeti állapotot x(0)-ra o
választhatjuk.
118
Ilyenkor az irányíthatóság rendszerhez kötődő fogalom. Ha valamilyen kezdeti állapotra teljesül, bármilyen állapotból kiindulva is fennmarad, hiszen pl. az x(0)-ból megfelelő irányító jellel x ( í ) - b a vihető az állapotvektor. 0
Az irányíthatóság kanonikus koordinátákban mutatkozik meg a legszemléletesebben. Ha a (3.38) kanonikus alakban valamelyik állapotváltozóra p zérus, akkor ez az állapot nem irányítható. Ez annyit jelent, hogy ilyenkor a X sajátértékhez tartozó sajátvektorra semmilyen irányítás nem képez párhuzamos összetevőt, csak merőlegeset, tehát az irányítás hatása mindig a sajátvektorra merőleges síkban marad. (A kanonikus alak alapfeltételéből következve a rendszer csak akkor állapotirányítható, ha a kanonikus koordináták pólusai különböznek.) (
T
Attól, hogy a rendszer nem állapotirányítható, kimenőjele még irányítható lehet mindaddig, amíg legalább egy állapotváltozó irányítható és erre a változóra vonatkozó y,- nem zérus (lásd a (3.39)-t). A kanonikustól eltérő koordinátákban az állapováltozók kölcsönös összefüggése miatt az előzőekben megfogalmazott feltételek nem ismerhetők fel közvetlenül, ezért általánosabb kritériummal kell azokat helyettesíteni. Az egyszerűség kedvéértx(0) = 0 kezdeti feltételt választva az állapotegyenlet (3.18) megoldása
A
\e ^u(x)dx
Ax
b=
.0
J
\e u(t-x)d'
(3.56)
b
L0
alakú, ahol az alapmátrix véges összegű alakját (lásd (3.26)-t) felhasználva írhatjuk, hogy e
A z
n
= a ( t ) / + a ( x ) A + ... + a . ( x ) A " 0
1
n
1
(3.57)
1
Az állapotegyenlet megoldása így az alábbi zárt alakban adódik
n
x(t) = b]a (x)u(x)dx+Ab]a (x)u(x)dx o o 0
1
+ ... + A ~ b\a _ (x)u(x)dx o
1
n
(3.58)
1
Az egyenlet jobb oldala tehát az M
c
= [b
Ab
...
n
l
A ~ b\
(3.59)
irányíthatósági (controllability) mátrix oszlopainak a lineáris kombinációja. Ezért az a feltétel, hogy az állapottér minden pontját elérhessük, azt jelenti, hogy az M - n e k n darab lineárisan független oszlopának kell lennie, a z a z M invertálható, reguláris legyen. Mivel M az A-tól és 6-től függ ezért az A;b pár irányíthatóságáról is szokás beszélni. c
c
c
Az előző megállapításokat értelemszerűen a kimenőjelre vonatkoztatva a kimeneti irányíthatóság feltétele, hogy T
m, = [c b
T
c Ab
...
legalább egy eleme nem zérus.
T
n 1
c A - b]
(3.60)
119
A (3.46) irányítható kanonikus alak irányíthatósági mátrixa speciális
c
M
a
a
0
1
a
-1
1
x
2
x
=
c
(3.61) 0
0
0
0
0
0
a
\
1
Z
amit az alábbiak szerint láthatunk be egyszerűen ha képezzük az M \ [ M ^
A
h
b
c c
A
•••
{ cf
l
1
a
a
0
1
a
x
szorzatot
x
n-\
2
7
x
n-2
*c]
= K 0
0
0
a
0
0
0
1
w
l
w
2
•••
M'n-l]
3
6 2
( - )
x
Az A és b rendszermátrixok (3.47) szerinti speciális felépítése alapján írhatjuk, hogy c
c
w
o=*c w =a b l
í
+
c
Ab c
c
(3.63) a
A
> V l = «»-l*c + n-2 A
A
+ ••• +
nAb
( c) c
ahol a következő rekurzív összefüggés áll fenn *>k =
a
k
b
c
+
A
c
w
(3.64)
k - l
A rekurzív összefüggés felhasználásával
K
w
l
w
2
•••
W«-l] =
1
0
0
...
0
0
1
0
...
0
0
0
1
...
0
[0
0
0
...
1
(3.65)
adódik, ami bizonyítja a (3.61) érvényességét. Az irányítható kanonikus alakkal - amelyet mindig átviteli függvényből képezünk - kapott speciális
Ml
mindig reguláris,
mivel egy reguláris
mátrix
inverze.
(Háromszögmátrix
determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata, ami most egy.) Innen adódik a kanonikus alak elnevezése és ezért erre az alakra csak a megfigyelhetőség (lásd később) vizsgálható az A ;c J c
pár segítségével. Érdekes kérdés, hogy a z = Tx lineáris transzformáció hogyan befolyásolja az irányíthatósági mátrixot. A (3.29) egyenletek alapján írhatjuk
120
b = Tb Ab = TAT~
n l
Á 'b
Tb =
TAb
(3.66)
n 1
=
TA - b
amelyek alapján M
c
= [b
Áb
n
...
l
Á ~ b]
= T[b
Ab
...
n
l
A ~ b\
=
TM
(3.67)
c
Az irányíthatósági mátrix fenti transzformációs alakja alapján a
T = M£ ( M ) c
1
c
transzformációs
mátrix alkalmazásával minden irányítható rendszer irányítható kanonikus alakra hozható. Az irányíthatósági mátrixot azonban nem mindig - sőt általában nem - átviteli függvény alapján képezzük. Ilyenkor természetesen mindig közvetlenül a z M irányíthatósági mátrix vizsgálatára van szükség. c
u
3.2. ábra Egy nem irányítható rendszer 3.1. Példa Egy megegyező elsőrendű alrendszerekből álló rendszer (lásd a blokkvázlatot a 3.2. ábrán) teljes állapotegyenlete dx
-1
~dt
_0
0 -1.
1 x +
u=Ax+bu
(3.68)
!
Az irányíthatósági mátrix M
c
= [b
Ab] =
1
-1
1
-1
(3.69)
amely szinguláris, így a rendszer nem irányítható. A z irányítás lényeges kérdése, hogy a kimenőjel érzékelésével valamennyi állapotváltozó megfigyelhető-e. Erre a kérdésre a K Á L M Á N által bevezetett megfigyelhetőség ad választ. A z irányíthatósággal rokon megfigyelhetőség arra ad választ, hogy egy ismeretlen állapotú rendszer kimenő- és bemenőjelének bizonyosideig tartó mérése után rekonstruálható-e a mérés kezdetekor fennálló állapot. A rendszer megfigyelhető, ha a t < t < t intervallumban megfigyelt y(í) és u(t) jelekből JC(Í ) meghatározható. 0
0
y
A vizsgálatot elegendő u(t) = 0-ra, tehát a kezdeti értékek által generált mozgásra elvégezni. Legegyszerűbben ismét kanonikus koordinátákban lehet megállapítani a megfigyelhetőséget. Ennek két kritériuma van: az y jel valamennyi kanonikus állapotváltozótól függjön; a rendszer pólusai különbözők legyenek. Ha ugyanis (3.38)-ban bármely y zérus, a kimenőjel nem tartalmaz információt az érintett kanonikus állapotváltozóra, így azt a mérésekből nem lehet rekonstruálni. Ez annyit jelent, hogy ilyenkor a X sajátértékhez tartozó sajátvektorra semmilyen megfigyelés n e m képez párhuzamos összetevőt, csak merőlegeset, tehát a megfigyelés hatása mindig a sajátvektorra merőleges síkban marad. ;
t
A kanonikustól eltérő koordinátákban az állapováltozók kölcsönös összefüggése miatt az előzőkben megfogalmazott feltételek nem ismerhetők fel közvetlenül, ezért általánosabb kritériummal kell azokat helyettesíteni. Amikor az irányíthatóságot tárgyaltuk, akkor a rendszer kimenetét hanyagoltuk el. Most a megfigyelhetőség tárgyalásakor a rendszer bemenetét hanyagoljuk el, ahogy azt már említettük. Tekintsük tehát az alábbi rendszert
dí
(3.70) T
y= c x A kimenőjel egymásutáni deriválásával kapjuk az y dy T
cA
dí d^y
T
n
(3.71)
l
cA~
dí n-l
egyenletet, amely alapján a kimenőjel és deriváltjainak egyértelműen meghatározható, ha az
megfigyeléséből az állapotvektor
T
cA
T
(3.72)
n 1
cA-
megfigyelhetőségi(o/7íe?rva&//í'íy) mátrixnak n darab lineárisan független sora van. Azaz rp
M0
rp
nek invertálhatónak, regulárisnak kell lennie. Mivel M az A-tól és c -tői függ, ezért az A;c pár megfigyelhetőségéről is szokás beszélni. (A (3.71)-ben ( n - l ) - e d r e n d ű n é l magasabb deriváltak számítására a CAYLEY-HAMlLTONtétel következtében nincs szükség, lásd az F5. Függelék F-3.3. pontját.) 0
A megfigyelhető kanonikus alak megfigyelhetőségi mátrixa speciális
122
a
2
a
0
0
1
0
0
a.
0
0
1
0
l
1.
a
a
l n-\
T-I
0
n-2
(3.73)
amit az alábbiak szerint láthatunk be egyszerűen, ha képezzük az | M ° j 1
0
. .
0
0
l
1
.
0
0
a
c c
x
ű
a
- n-l
n-2
.
0
0
.
1
0
• .
a
1_
x
0
szorzatot
T
T
o T
T
a
M
cA
=
(3.74) T
Az A és c J rendszermátrixok (3.54) szerinti speciális felépítése alapján írhatjuk, hogy 0
T ^l
7
T =a Co
+CoA
x
0
(3.75)
ahol a következő rekurzív összefüggés áll fenn (3.76) A rekurzív összefüggés felhasználásával
T
LHVU
1
0
0
0
1
0
0
0
1
[0
0
0
(3.77)
= 1
...
1_
adódik, ami bizonyítja a (3.73) érvényességét. A megfigyelhető kanonikus alakkal - amelyet mindig átviteli függvényből speciális mindig reguláris, mivel egy reguláris mátrix inverze. determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata, ami most egy.) Innen adódik elnevezése, és ezért erre az alakra csak az irányíthatóság vizsgálható az A ;b Érdekes kérdés, hogy a z = Tx lineáris transzformáció hogyan befolyásolja a mátrixot. A (3.29) egyenleteket felhasználva írhatjuk fel az 0
0
képezünk - kapott (Háromszögmátrix a kanonikus alak pár segítségével. megfigyelhetőségi
123
1
T
c =c 'r T
T
cÁ
T
n 1
x
1
1
T
= c T TAT =c
T
n
c Á - ^c
A T
l
A ~ T-
1
(3.78)
1
egyenleteket, amelyeket mátrix alakra rendezve kapjuk, hogy ~T
C
C
T
T
cÁ
M =
T
cA
—
l
l
T~ =M T~
Q
(3.79)
0
f Á
n
- \
T
n
c A -\
A megfigyelhetőségi
mátrix
fenti
transzformációs
transzformációs mátrix (azaz T = ( M ° j 0
alakja
alapján
a
1
J- = (M )
M ) alkalmazásával minden irányítható 0
0
1
M°
rendszer
irányítható kanonikus alakra hozható. A megfigyelhetőségi mátrixot azonban n e m mindig - sőt általában n e m - átviteli függvény alapján képezzük. Ilyenkor természetesen mindig közvetlenül az M megfigyelhetőségi mátrix vizsgálatára van szükség. 0
3.3. ábra Egy nem megfigyelhető rendszer 3.2. Példa Egy megegyező elsőrendű alrendszerekből álló rendszer (lásd a blokkvázlatot a 3.3. ábrán) teljes állapotegyenlete dx
-1
0
dí
0
-1
x = Ax (3.80) T. l
y = [l
í\=c x
A megfigyelhetőségi mátrix M = 0
1
1
-1
-1
amely szinguláris, így a rendszer nem megfigyelhető.
(3.81)
124 A KÁLMÁN-féle dekompozíció Az irányíthatóság és megfigyelhetőség koncepciója lehetővé teszi, hogy megértsük egy lineáris rendszer stmktúráját. Emlékezzünk, hogy az irányítható állapotok tere az irányíthatósági mátrix oszlopai által kifeszített altér. Ha ennek dimenziója n, akkor a teljes tér irányítható. Vezessük be x - t az irányítható, jc -t a nem irányítható állapotok jelölésére. Ekkor az állapotegyenlet c
£
_d
^11
dí
0
A
12
A
2 2
(3.82)
+ -*C.
alakú, ahol világosan látszik a struktúrából, hogy az x állapotokat nem tudjuk befolyásolni uval. Hasonlóképpen vezessük be ac -t a megfigyelhető, x -t a n e m megfigyelhető állapotok jelölésére. Az így adódó állapotegyenlet z
0
z
0
d d í -*3-
A21
A
22.
-*ö-
(3.83)
T
y = [cj
0 ]
alakú, ahol jól látszik, hogy az J C állapotokra nem keletkezik kimenőjel komponens. ö
^co
3.4. ábra Lineáris rendszer KÁLMÁN-féle dekompozíciója A lineáris rendszerek négy alrendszerre bonthatók, amelyek - 5 irányítható és megfigyelhető •"•co - S Ö irányítható és nem megfigyelhető •*cö - 5 nem irányítható és megfigyelhető "co - S q nem irányítható és nem megfigyelhető C 0
C
5 o
Z
ahol a megfelelő állapotváltozókat is feltüntettük. A lineáris rendszer teljes KÁLMÁN-féle dekompozíciója így •"•co
d
A
2l
d í •^co -•*cö-
y
0
^11 —
A
A
•'"co
0
+ 0 u = Ax + bu •*co
b
23
22
0
A
. 0
0
A
0
0
A
0
w
1 3
T
2
33
cl
A44-
4 3
0'
0
(3.84)
Az egyes alrendszereket feltüntető blokkvázlat a 3.4. ábrán látható. A hatásvázlat nyilait követve megállapíthatjuk, hogy a bemenőjel az S és 5 alrendszereket befolyásolja, a kimenőjel pedig csak az S és S-^o alrendszerektől függ. Az alrendszer sem a bemenethez, sem a kimenethez nem kapcsolódik. co
c 5
c o
Egyszerű számítással kapjuk, hogy a teljes rendszer átviteli függvénye 1
P{ ) = cJ{sI-A y b S
n
(3.85)
1
azaz teljes mértékben meghatározott az S alrendszerrel. Megfordítva is mondhatjuk, hogy az átviteli függvényből csak a teljes rendszer S irányítható és megfigyelhető alrendszere adható meg. co
co
Közös pólus és zérus hatása A K Á L M Á N - f é l e dekompozícióval megmagyarázható az irányítás egy régóta fennálló problémája, nevezetesen pólusok és zérusok kiejtése. A probléma illusztrálásához tekintsük a következő példát. 3.3. Példa Legyen a folyamat átviteli függvénye P( ) = M = ÍZ1 = 1 U(s) s-l
(3.86)
J
v
;
azaz a számláló és a nevező közös gyököt tartalmaz, tehát egy zérus és egy pólus m e g e g y e z i k A mostani esetben ez a közös gyök labilis pólust is jelent egyben. Egyszerűen belátható, hogy a (3.86) átviteli függvénynek formálisan a következő differenciálegyenlet felel meg d
y -f—y dí
d« = -—u dí
(3.87)
A differenciálegyenlet integrálásával kapott megoldás y(t) = u(t) + ce
t
(3.88)
ahol c egy konstans. Kiejtésnél tehát soha n e m szabad elfelejtenünk, hogy az állapotegyenlet teljes megoldása a (3.18) szerinti, azaz szerepel benne a kezdeti feltétel is, amelynek dmarnikája (magára hagyott rendszer) a teljes rendszer pólusaitól függ, az esetleg kiejtett pólustól is. Ha ez a pólus labilis, akkor ennek nem eltűnő hatása kedvezőtlenül meg fog jelenni a megoldásban. A (3.86)-ból a póluskiejtés után kapható triviális y(í) = «(f) rendszer nyilvánvalóan nem egyezik meg a (3.88)-cal. A (3.86) egyenlet azonos átalakítással a következő alakra hozható P(s) = b
0
-^s-l
+
=d
+
-^- = l s-l
+
-°-
s-l
(3.89)
Ezen egyenlet alapján egyszerűen felírhatunk egy irányítható kanonikus alakot ÉÍL dí
=
J C l +
M
;
y =
u
(3.90)
126
amely nem megfigyelhető, és egy megfigyelhető kanonikus alakot á
x
2
_
(3.91)
y =x +u
v
2
dt
amely nem irányítható. A (3.90) és (3.91) rendszeregyenletek alapján a 3.5. ábrán bemutatjuk a teljes rendszer KÁLMÁN-féle alakját, amely az 5 , 5 és 5 alrendszerekből áll. Az S egy statikus rendszer P(s) = 1 átviteli függvénnyel. Az 5 nem megfigyelhető, de irányítható alrendszer, az 5 pedig nem irányítható, de megfigyelhető alrendszer. c 5
Ü 0
C 0
co
c 5
e o
o =
át *
2
3.5. ábra A (3.86) átviteli függvényű tag teljes KÁLMÁN-féle alakja Jegyezzük meg, hogy ha a folyamat átviteli függvénye adott, akkor először azt kell megvizsgálnunk, hogy a számláló és a nevező polinomjainak van-e közös osztója. A közös osztó csak közös gyök lehet. Célszerű a közös gyökökkel mindaddig egyszerűsíteni, amíg további közös osztó már nincs. Az ilyen polinomokat relatív prímeknek nevezzük. Egy P(s) = B(s)/A(s) átviteli függvényt nem redukálhatónak (egyszerűsíthetőnek) nevezünk, ha az A(s) és B(s) polinomok relatív prímek, amelynek algebrai feltétele, hogy a A{s)X(s)
+ B(s)y{s)
(3.92)
=\
speciális DlOPHANTOS-i (vagy BEZOUT) egyenletnek (lásd még a 9. Fejezetben) legyen megoldása (azaz a vonatkozó SYLVESTER mátrix reguláris legyen). Ha folyamatot leíró átviteli függvény nem redukálható, akkor a neki megfelelő állapotegyenlet a KÁLMÁN-féle alak 5 irányítható és megfigyelhető alrendszerének felel meg, és a többi alrendszer nem létezik. C 0
A (3.90) és (3.91) egyenleteket általánosíthatjuk arra az esetre, amikor egy irányítható és ,
r
megfigyelhető 5 J A ; í ; c ; í í J rendszer nem redukálható P(s) átviteli függvényében a számlálót C0
és a nevezőt is egy valós p pólusnak megfelelő (s- p) közös tényezővel bővítjük. Az erre az általános esetre vonatkozó redundáns nem irányítható és nem megfigyelhető rendszer állapotegyenlete: A
X
-
*\ x
\.
y = [c
T
0
T
0
T
0
0
0
X
p
0
X,
0
p
X,
b
+ 1 u =A x + b u r
0
lj x + du = cJx + du r
T
r
T
(3.93)
127
Fordított inga A következőkben megvizsgáljuk a 2.6. pont ban tárgyalt m o z g ó fordított inga legegy szerűbb alapesetét, amikor az inga felfüg gesztése rögzített. A példát azért tár-gyaljuk, mert segítségével ezen fejezet szinte minden fontosabb módszerét bemutathatjuk a lineáris modell alkotástól kezdve az irányít-hatóság és megfigyelhetőség vizsgálatáig. A 3.6. ábrán látható egyszerű sematikus formában ábrázolt fordított inga állapotegyen letéhez vezessük be a következő állapotválto zókat: X j = a és x =da/dt. (Tehát elmoz dulási szög és szögsebesség.) Az elfordulási középpontra számított nyomatékok egyenlő ségéből 2
3.6. ábra A fordított inga sematikus rajza
J—r- = m g / s i n ( a ) + dr
(3.94)
muglcosUx)
ahol az idealizált, tömeg nélküli / hosszúságú inga végén koncentráljuk az m tömeget, és 7-vel jelöljük a forgáspontra számított inerciát. A beavatkozó jel a vízszintes irányú ug értékű (azaz g-ben mért) gyorsulás, a kimenőjel pedig az a szögelfordulás. A nemlineáris állapotegyenlet doc/dr
dx w v — =x = f(x,u):
gl • / j / j \ mglu —j- sin(d ct/d t) + —j— m
,v , cos(oc)J
sin(xj) + wcos(x ) 1
(3.95)
y =a = x
x
ahol -yjj/mgl-t
választva időegységnek kapjuk a második, normalizált egyenletet.
Az
állapotegyenlet tehát egy nemlineáris, időinvariáns másodrendű nemlináris vektor differenciál egyenlet. LinearizaTjuk az egyenletet zérus beavatkozó jel esetében. Az egyensúlyi pont ilyenkor 2
o"
x =da/dí = 0
sin^j)
0.
s i n ^ ) = sin(a) = 0
x
Í =
0 = / ( K = 0) =
2
(3.96)
amelyhez a z o c = 0 é s a z a = 7c egyensúlyi pontok tartoznak. A z első egyensúlyi pontban az inga pontosan felfelé áll, a másodikban pedig lefelé. K é p e z z ü k az f(x,u)
függvény x-szerinti
és u-szerinti elsőrendű deriváltját df(x,u) dx
0
_
1
[cos(x )-Msin(x ) 1
1
Oj
df{x,u) d u
0
_
(3.97)
.
c o s
x
( i)
A felső pontban (u = 0; xj = 0 és x = 0) kiértékelve a deriváltakat az 2
128
0
1
0
A =
;
o_
.1
T
c =[l
b=
0]
(3.98)
.1.
paraméter mátrixokat kapjuk. Számítsuk ki az átviteli függvényt l
1
X
G(s) = c (sl-A)
b =
[1
s
-1
det
1
0
.1
s_
.1.
s.
-1
[s
s 0]
(3.99)
1] 2
s -\
2
s -l
+
A z Í = 1 gyök mutatja, hogy ebben a munkapontban ellenőrizhetjük, hogy az irányíthatósági mátrix M
=
c
0
1
1
0
a rendszer
labilis.
Egyszerűen
(3.100)
ami jól láthatóan reguláris, tehát a rendszer irányítható. Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a megfigyelhetőségi mátrix M
0
=
1
0
0
1
(3.101)
ami jól láthatóan reguláris, tehát a rendszer megfigyelhető is. A feladat egyszerűségénél fogva a fordított inga D l irányítása világszerte tipikus és látványos laboratóriumi példa labilis folyamat szabályozására. (A feladat bonyolultsága ugrásszerűen növekszik több inga egymásra helyezésével.) Az alsó pontban (w = 0 ; x =n
és x = 0) kiértékelve a deriváltakat pedig az
l
0
1
A =
0
; -1
2
b=
0
= [1
0]
(3.102)
-1
paraméter mátrixokat kapjuk. Számítsuk ki az átviteli függvényt r
b
2
{s +
[1
s
-1
.1
J
det
s +l
s
1
l
G(s) = c (sl-A)
1
0
1
0] -1
J. . 1 .
[s
1]
2
s +\ (3.103)
j){s-j)
A képzetes tengelyen elhelyezkedő gyökök jelzik, hog^bben a munkapontban a folyamat egy csillapítás nélküli lengő (oszcillátor) rendszer. N e felejtsük el, hogy a modellben semmilyen csillapítási hatást (lég- vagy közönséges súrlódást) nem vettünk figyelembe. Az előzőkhöz hasonló egyszerű számításokkal kapjuk, h o g y ebben a munkapontban is irányítható és megfigyelhető a rendszer.
129
4. A negatív visszacsatolás Az irányítás célja annak biztosítása, hogy egy folyamat kimenőjele minél pontosabban kövesse az alapjelet, minél jobban kiküszöbölje a zavarások hatását, kevéssé legyen érzékeny a mérési zajokra és a folyamat paramétereinek pontatlanságaira. Az irányítás tervezése során olyan rendszert kívánunk létrehozni, amellyel az előírt minőségi követelmények biztosíthatók, továbbá a szabályozó műszakilag reálisan megvalósítható, valamint gazdasági és esetleges egyéb szempontoknak (pl. környezetvédelem) is megfelel. 4.1. Irányítás nyitott és zárt körben Ha az ítéletalkotáshoz az információt nem a folyamat kimenőjeléről, hanem más forrásból vesszük, vagy előzetes ismereteket használunk fel, vezérlésről beszélünk. Ilyenkor az irányítás nyitott körben valósul meg (4.1. ábra). Az ábrán P a folyamat, C az irányító berendezés átviteli függvényét jelöli, r az alapjel, y a folyamat kimenőjele, y a bemeneti, y a kimeneti zavarás. n i
n 0
c 4 . 1 . ábra Vezérlés Az alapjelkövetés ideális lenne, ha az irányító berendezés a folyamat átviteü függvényének inverzét valósítaná meg. Vezérléssel megvalósítható az alapjelkövetés, azonban a vezérlés nem képes a zavarások hatásának kiküszöbölésére. A mérhető kimeneti zavarás kiküszöbölhető zavarkompenzációval a 4.2. ábra szerint.
a
zavarás
előrecsatolásával,
az
ún.
1
c = p-
4.2. ábra Vezérlés zavarkompenzációval A folyamat tökéletes inverze többnyire nem realizálható. (Ha például a folyamat holtidős késleltetést tartalmaz, annak inverze a folyamat jövőbeni értékeinek megadását jelentené. Ha az inverz átviteli függvény számlálója magasabbfokú, mint a nevezője, a jelátvitel fizikailag ugyancsak n e m megvalósítható.) A folyamat közelítő inverze létrehozható, ha egy nagy K erősítési tényezőjű erősítőt negatívan visszacsatolunk a folyamat modelljét leíró átviteli függvénnyel (4.3. ábra). A vezérlő egységet leíró átviteli függvény:
CH
K
4.3. ábra Vezérlés a folyamat inverzét közelítő taggal C=
K l + KP(s)
1
1 l
+
p
(
s
)
P(s)
(4.1)
130
Az irányítás negatív visszacsatolás útján valósul meg, ha a folyamat beavatkozó jelét a mért jellemző és annak kívánt, előírt értéke közötti különbség befolyásolja. A mért érték rendszerint az y mérési zajjal terhelt. A z e rendelkezőjel alapján a C szabályozó létrehozza az u beavatkozójelet, amely módosítja a P szakasz kimenőjelét. A folyamat kimenőjele a folyamat dinamikájától függő m ó d o n addig változik, amíg a kimenőjel el n e m éri kívánt értékét. A negatív visszacsatolással létrejövő irányítást szabályozásnak nevezzük. A szabályozás hatásvázlatát a 4.4. ábra adja meg. Sokszor az alapjelet egy F átviteli függvényű taggal szűrjük (az ábrán szaggatottan jelölve). z
4.4. ábra Szabályozási kör Összehasonlítva a 4.3. és 4.4. ábrát látható, hogy a zavaró hatásoktól és a mérési zajtól eltekintve, továbbá F = 1 feltételezésével a két kapcsolás egyenértékű, ha a szabályozási körben C-K arányos szabályozót alkalmazunk. Mivel azonban a szabályozási körben nem a beavatkozójelet, hanem a szakasz kimenőjelét csatoljuk vissza, a szabályozás a zavarások és a mérési zaj hatásának elnyomására is alkalmas kell, hogy legyen. A szabályozási körben bármilyen hatás következtében tér is el a szabályozott jellemző a kívánt értékétől, a rendelkezőjel zérustól eltérő lesz, és beavatkozójel jön létre az eltérés kiküszöbölésére. A szabályozási struktúrában a legjobb alapjelkövetés akkor érhető el, ha a C szabályozót úgy tervezzük meg, hogy az u beavatkozójel és az r alapjel LAPLACE transzformáltjai között az eredő átviteli összefüggés, U(s)/R(s) = C/l+CP a folyamat modelljének inverzét adja. Amennyiben a pontos inverz nem realizálható, annak legjobb realizálható közelítését kívánjuk megadni. (Megjegyezzük, hogy a folyamat inverze rendszerint csak egy adott frekvenciatartományban közelíthető jól.) A vezérlés és a szabályozás összehasonlítását megadtuk az 1. Fejezetben. A továbbiakban a szabályozás alapvető tulajdonságait tárgyaljuk. 4.2. A negatívan visszacsatolt szabályozási kör alapvető tulajdonságainak szemléltetése A negatív visszacsatolás alapvető tulajdonságait néhány egyszerű példán mutatjuk be. Stabilitás A szabályozástól megkívánjuk, hogy véges bemenőjel változásra véges kimenőjel változással válaszoljon, vagyis álljon be egy állandósult állapot. A negatívan visszacsatolt szabályozási körben felléphetnek állandó vagy egyre növekvő amplitúdójú lengések. A jelenség oka, hogy a beavatkozási döntés végrehajtását a folyamat dinamikája késlelteti. A szabályozási körben lévő nagy erősítések pedig oly mértékben növelhetik a jelek kedvezőtlen tehetetlen változását, hogya szabályozás nem lesz képes egy állandósult érték elérésére. A stabilitás problémakörét az 5. Fejezet tárgyalja részletesen. Alapjelkövetés A negatív visszacsatolással megvalósított szabályozással az alapjelet szeretnénk minél pontosabban követni. A 4.5 ábrán látható szabályozási körben a szakasz egytárolós arányos tag,
a szabályozó pedig arányos tag. Ha egységugrás alapjelet kívánunk követni, a rendszerben állandósult hiba fog fellépni, mivel csak egy állandó bemenőjel képes állandó kimenőjelet létrehozni az egytárolós arányos tag kimenetén. Az állandósult hiba nagysága á i i 1/(1+ A A ) . Értéke annál kisebb, minél nagyobb a K = A A ún. hurokerősítés vagy körerősítés. Az állandósult állapotbeli statikus pontosság biztosítható, ha az arányos szabályozó helyett integráló szabályozót alkalmazunk. Ugyanis az integrátor kimenete akkor állandósul, ha bemenőjele (az e rendelkezőjel) állandósult állapotban végüüs zérusra áll be. e
=
P
P
\+ApA
A
p =1 +. sT, 4.5. ábra Szabályozási kör arányos szabályozóval A'
K
s-2
5-2
P 4.6. ábra Labilis szakasz stabilizálható negatív visszacsatolással
r=0
y
r
=0
*• - Ö n
O
4.7. ábra A visszacsatolás csökkenti a zavarás hatását Labilis folyamat
stabilizálása
Negatív visszacsatolással stabilizálhatunk egy labilis folyamatot. 4.1. Példa Tekintsük a 4.6. ábrán l
y(t) = ¥~ {Kls{s-2)} =
látható
szakaszt. Egységugrás
2t
K(e -\}J2,
amely
alapjelre
esetén
a zárt kör
végtelenhez
tart.
kimenőjele: Negatívan
visszacsatolva egy P arányos taggal a kapcsolás eredő átviteli függvénye: K K T(s) = R{s) 1+ s+
s-2 s-2
K$-2
A visszacsatolt rendszer stabilis, tranziensei lecsengenek, ha üTp > 2. A zavarás hatásának
csökkentése
a
kimenőjelben
.A 4.7. ábrán látható nyitott körben a zavarás teljes egészében megjelenik a kimeneten. A negatívan visszacsatolt körben a zavarás hatása 1/(1 + AP), vagyis a visszacsatolás annál jobban
132
csökkenti a zavarás hatását, minél nagyobb az A(3 hurokerősítés értéke. A visszacsatolás
javíthatja
a tranziens
viselkedést
Tekintsük a 4.8. ábrán látható egytárolós arányos tagot. A konstans P visszacsatolással az eredő átviteli függvény: T(s)
_m -R(s)
K
l+
1
1 • = K'I+ST; p*1+J_ü 1 + püT
Az időállandó lecsökkent, tehát gyorsabb a rendszer viselkedése. Ugyanakkor az átviteli tényező is lecsökkent, amit általában kompenzálni kell. ti
K
K
y
+ sT,
1 +jj,
4.8. ábra A visszacsatolás módosítja a tranziens viselkedést A visszacsatolás
csökkenti a folyamat
érzékenységét
a
paraméterváltozásokra
A 4.9. ábrán a visszacsatolás nélkül az arányos tag átviteli tényezője 10. A visszacsatolt kör átviteli tényezője legyen ugyanennyi. A / ( l + A p ) = 10. Válasszuk A x
1
x
értékét 1000-re. Ezzel
P = 0.099. Ha a bemenőjel értéke 10, mindkét rendszerben a kimenőjel értéke 100. Csökkenjen az A illetve az A átviteli tényező értéke 2%-kal: A = 9.8 és A = 9 8 0 . A kimenőjel értéke az eredeti rendszerben ekkor 98, míg a visszacsatolt rendszerben 99.98. A visszacsatolt körben a paraméterváltozás miatt fellépő hiba a visszacsatolás nélküli kör hibájának (1 + A fi) -adrésze. x
x
u
V
.4 = 10
J
y
A
.4, =1000; p = 0.099
P 4.9. ábra A visszacsatolással a rendszer érzékeüenebbé válik a paraméterváltozásokra 1 H (s) 2
H (s) 2
4.10. ábra A nagy erősítések tartományában a visszacsatolás a visszacsatoló tag közelítő inverzét képezi A nagy erősítések
tartományában
a visszacsatolás
a visszacsatoló
tag közelítő inverzét
Tekintsük a 4.10. ábrán látható kapcsolást. A i f ^ í ) átviteli tagot a H (s) 2
átviteli tagon keresztül
csatoljuk vissza negatívan. A z eredő átviteli függvény: H(s) = H (s)/(l+H (s)H (s)). x
eredő frekvenciafüggvényt tekintve abban a frekvenciatartományban,
képezi
x
ahol
2
r
Az 0)
|/i (;'cú)/f2(7 )| 1
133
sokkal nagyobb 1-nél, az eredő a H átviteli tag inverzét közelíti. Ahol a nyitott kör frekvenciafüggvényének abszolút értéke 1-nél sokkal kisebb, az eredő az előrevezető ág frekvenciafüggvényének menetét közelíti. 2
A visszacsatolásnak
linearizáló
hatása van
Tekintsük a 4.11a. ábrán látható statikus nemlineáris karakterisztikát. A karakterisztika három linearizált tartományra osztható, ahol az arányos átviteli tényezőt az adott munkaponthoz illesztett egyenes A meredeksége adja meg. A z arányos visszacsatolás értéke legyen (3. A visszacsatolt körben az egyes tartományokban a meredekség, vagyis a visszacsatolt linearizált részrendszer átviteli tényezője A / ( l + A(3). Minél nagyobb az A(3 tényező értéke, annál jobban megközelíti az átviteli tényező az 1/(3 értéket, és függetlenné válik az egyes szakaszok A meredekségétől. A 4.11b. ábra feltünteti a visszacsatolt részrendszerek átviteli tényezőit (3 = 10 és (3 = 100 esetére. Látható, hogy az egyes résztartományok meredeksége közel azonos, a karakterisztika közel lineáris az egész tartományra.
(a) (b) Visszacsatolt statikus karakterisztika A visszacsatolásnak linearizáló hatása van 4.11. ábra Integrátor statikus karakterisztika
nemlineáris
taggal
való
visszacsatolásával
előállítható
az
inverz
Tekintsük a 4.12. ábrán látható kapcsolást. Egy integrátort egy kvadratikus statikus nemlineáris taggal csatolunk vissza negatívan. Mivel az integrátor kimenőjele akkor állandósul, ha 2
bemenőjele, vagyis a hibajel zérus, r = y , nemlinearitás inverzét állítja elő.
és
vagyis a kapcsolás a visszacsatoló
4.12. ábra Integrátor nemlineáris taggal való visszacsatolásával előállítható az inverz karakterisztika 4.3. A visszacsatolt műveleti erősítő A telefon feltalálásával, a távközlés fejlődésével visszacsatolt nagy átviteli tényezőjű erősítőket alkalmaztak a hosszú távvezetékeken létrejövő jelcsillapítások kompenzálására. BLACK találmánya, a negatívan visszacsatolt erősítő (1927) olyan stabilis megoldást jelentett, amely az elektroncsövekből felépített erősítő érzékenységét a karakterisztika megváltozására csökkentette
134
és az erősítő nemlineáris karakterisztikáját is nagymértékben linearizálta. Az integrált áramköri elemekből felépített műveleti erősítőt alkalmazzák erősítésre és jelformálásra.
szabályozási
körökben
is
4.13. ábra Visszacsatolt műveleti erősítő Vizsgáljuk a visszacsatolt műveleti erősítő jelátviteli tulajdonságait. A kapcsolást a 4.13. ábra mutatja. A bemenő és a visszacsatoló ágba ellenállást, kondenzátort vagy ezek valamilyen kapcsolását tehetjük. A z egyszerűség kedvéért legyen a bemenő és a visszacsatoló ágban is ellenállás. Az erősítő G erősítése igen nagy érték ( 1 0 - 1 0 U
*2
R^+R
nagyságrendű). t7,
-G
2
U R
l
+ R
2
R,
*2
R,+R
G
-U
2
2
4.14. ábra Visszacsatolt műveleti erősítő egyenértékű hatásvázlatai Határozzuk meg az erősítő átviteli függvényét és adjuk meg hatásvázlatát. A kimenő feszültség: U?=-GU
(4.2)
Ha az erősítőbe befolyó / áram elhanyagolható (az erősítő bemeneti ellenállása nagy), az erősítő bemeneti pontjára az alábbi KlRCHHOFF csomóponti törvény írható fel: (4.3) Rí
Ro
Ez utóbbi összefüggésből fejezzük ki U -t.
135
R + R\ x
u +
^u
x
(4.4)
2
2
Ezt behelyettesítve U kifejezésébe az alábbi egyenlet adódik: 2
U_
R
2
1
2
(4.5)
i3
G
R\j a két ellenállás viszonya határozza meg az eredő átviteli tényezőt. Látható, hogy G —>^°° esetén G nagy értékeire, annak változása mellett is az átviteli tényező igen stabilan tartja értékét. (Megjegyezzük, hogy ellenállástól eltérő Z és Z impedanciák mellett az átvitel közelítően -Z /Z , és az impedanciák jellegétől függően különböző matematikai műveletek realizálhatók.) t
2
2
x
A fenti összefüggések alapján felrajzolható a visszacsatolt erősítő hatásvázlata (4.14. ábra). A z ábra a hatásvázlat három egyenértékű változatát adja meg. 4.4. A szabályozási kör eredő átviteli függvényei A szabályozási kör viselkedése vizsgálható a kimenő és bemenőjelek közötti kapcsolatokat megadó eredő átviteli függvényekkel. Mivel lineáris szabályozási rendszert vizsgálunk, érvényes a szuperpozíció elve. Az egyes bemenőjelek hatása összegződik a kimenőjelben. Határozzuk m e g az eredő átviteli összefüggéseket az y szabályozott jellemző, az e rendelkezőjel, az u beavatkozójel mint kimenőjelek és az r alapjel, az y kimeneti zavarás, az y bemeneti zavarás és az y mérési zaj mint bemenőjelek között. d o
d i
n
A 4.4 ábra alapján az egyes jelek közötti kapcsolatok az alábbi összefüggésekkel adhatók meg:
m
u
(
l + C(s)P{s)
(
, W
)
=
™ R l+C(s)P(s) r
{
s ) W
'
l + C(s)P(s)
C
n
\+C(s)P(s)
o
{ o
W
s W
n
1 + C(I)P(I)
y^m°L \ + C(s)P(s)
M
s m
Á
) W
'
-
1+C(Í)P(I)
C
Z
/ ? , v,
l+C(s)P(s)
W
(t)
'
(4.8)
W
A fenti összefüggések alapján a bemenőjelek ismeretében a kimenőjelek meghatározhatók. A z időfüggvények alapján megállapítható, hogy a szabályozás eleget tesz-e a minőségi előírásoknak. Hangsúlyozni kell, hogy az egyes bemenőjelek energiatartalma általában más-más frekvenciatartományba esik. A z alapjel és a zavarások rendszerint kisfrekvenciás összetevőkből állnak, míg a mérési zaj többnyire zérus átlagú, nagyfrekvenciás összetevőket tartalmazó jel. Ha az adott bemenőjelre vonatkozó eredő átviteli függvény frekvenciafüggvényének amplitúdó függvénye egy frekvenciatartományban közel egységnyi, akkor a rendszer átviszi, követi az ebbe a tartományba eső jel komponenseket, ha viszont a zérust közelíti, a rendszer az adott jelet elnyomja.
136
Látható, hogy minden egyes eredő átviteli függvény nevezője azonos. Ez a kifejezés, 1 + C(s)P(s) adja a szabályozási kör karakterisztikus polinomját. A karakterisztikus polinom gyökei határozzák meg a szabályozás stabilitását és tranzienseinek dinamikus tulajdonságait. A stabilitáshoz, a kimenőjel tranzienseinek lecsengéséhez szükséges, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökei a komplex számsík bal oldalán helyezkedjenek el. A stabilitásvizsgálat módszereivel az 5. Fejezet foglalkozik. A (4.7) összefüggésből látható, hogy amennyiben az F(s) szűrő egységnyi átviteli tényezőjű arányos tag, az alapjelkövetés hibája és a kimeneti zavarás kiküszöbölésének hibája megegyezik, tehát a szabályozás ugyanolyan dinamikával és statikus hibával követi az alapjelet, mint ahogy a kimeneti zavarást elhárítja. A z F(s) szűrő megfelelő megválasztásával biztosíthatjuk, hogy az alapjelkövetés és a zavarelhárítás tulajdonságai különbözők legyenek. Ha F(s) = l, egy szabadságfokú (1DOF - One Degree of Freedom), ha F(s) egy megadott átviteli függvény, két szabadságfokú (2DOF - Two Degree of Freedom) szabályozásról beszélünk. 1DOF esetben 4, 2DOF esetben 6 eredő átviteli függvény határozza m e g az eredő jelátviteli viszonyokat az y és u kimenőjelek valamint a bemenőjelek: az alapjel, a kimeneti zavarás és a mérési zaj között. Mivel az y zavarás mindig áttranszformálható egyenértékű kimeneti zavarássá, továbbá az előjelek figyelmen kívül hagyhatók, így elegendő az alábbi 6 eredő átviteli függvényt vizsgálni: n i
FCP
CP
i+cp
' í+cp
' i+cp
.
_
FC l + CP
C
' 1 + CP
.
P ( 4 9 )
1
' l + CP
A z első oszlop az alapjelkövetést, a 2. és 3. oszlop a zavarások és a mérési zaj elhárítását jellemzi. Ha F(s) = l, a 2. és a 3. oszlop adja meg a 4 jellemző átviteli függvényt. Ezeket mátrixba rendszerezve kapjuk a zárt rendszer átviteli mátrixát. A szabályozási kör stabilitásának biztosításához valamennyi eredő átviteli függvénynek stabilisnak kell lennie. Mindegyik eredő átviteli függvénynek biztosítania kell az adott bemenő és kimenőjel között előírt dinamikus viselkedést. Szokásos szabályozótervezési eljárás a P szakasz kedvezőtlen pólusainak kiejtése a C szabályozó zérusaival. Látható azonban, hogy a P szakasz dinamikája megmarad a kimenőjelnek a bemeneti zavarásra vonatkozó eredő átviteli függvényében. N e m szabad a szakasz labilis pólusait kiejteni, mivel azok ugyan láthatatlanná válnak a kimenőjel és az alapjel közötti kapcsolatban, azonban megjelennek a kimenőjel és a bemeneti zavarás közötti átviteli kapcsolatban. (Megjegyezzük, hogy m é g az alapjel és a kimenőjel vonatkozásában sem ejthető ki pontosan a labilis pólus, mivel a paraméterek mérésből adódó pontatlansága vagy esetleges kis megváltozása esetén a kiejtés nem pontos, és a labilitás fennmarad a rendszerben.) A szabályozó tervezését célszerű két lépésben végezni. Először a C szabályozót tervezzük meg a zavarások és mérési zaj előírt mértékű kiküszöbölésére, majd az F szűrőt tervezzük meg a megfelelő alapjelkövetés biztosítására. A jó alapjelkövetéshez F ( s) = 1 esetén az úgynevezett kiegészítő érzékenységi függvénynek,
azaz
a T = CPJ(1 + CP) eredő átviteli függvénynek minél jobban meg kell közelítenie az egységnyi átvitelt azokon a frekvenciákon, amelyek a bemenőjelre jellemzők. Ez azt jelenti, hogy ezeken a
137
frekvenciákon megkívánjuk a CP»Í vonatkozó E(s) = [l/l+C(s)P(s)]R(s)
feltétel fennállását. Tekintsük továbbá az alapjelre eredő hibaátviteli függvényt, amelyet más néven
érzékenységi függvénynek is neveznek. A hibajelben az időtartományban a zárt rendszer pólusaiból és az alapjel pólusaiból származó komponensek is létrejönnek. A tranziensek lezajlása után a hibajelben fennmaradnak az alapjelből származó kvázistacionárius komponensek. Ha C(s) tartalmazza az alapjel pólusait, a hibajelben a szabályozó és az alapjel pólusai kiejtik egymást. Ekkor a statikus hiba az alapjelkövetéskor nullává válik. Tehát ahol K » l . A zavarelhárítást tekintve a CP»1 feltétel biztosítása esetén a C(s) = K R(s), kimeneti és bemeneti zavarások hatására létrejövő hibajel közelítőleg: E(s)~-[l/C(s)P(s)]Y (s)-[l/C(s)]Y (s). A bemeneti zavarás jó elhárításához C(s) = K Y (s) szabályozó dinamikát célszerű választani, ahol A T » 1 . A kimeneti zavarás megfelelő elnyomását érhetjük el a szabályozó C(s)-K Y (s) választásával, ismét A T » 1 biztosításával (feltéve, hogy a szakasz frekvenciafüggvényének amplitúdója nem nagy azavarás jellemző frekvenciatartományában). A jó alapjelkövetéshez, illetve a jó zavarelhárításhoz tehát a szabályozónak tartalmaznia kell az alapjel, illetve a zavarójel dinamikáját. c
c
m
c
ni
ni
C
c
no
C
4.2. Példa 3
A szakasz átviteli függvénye: P(s) = í/(l + 0.5s) . Legyen a szabályozó átviteli függvénye C(J) = 0.5(1 + 0.5 Í ) / Í . A z F előszűrővel gyorsítsuk a rendszer alapjelkövetését. Átviteli tényezője legyen egységnyi, kompenzálja a zárt szabályozási rendszer komplex konjugált pólusait, és helyettesítse azokat két egybeeső gyorsabb pólussal. FCP/ÍI+
7
/
j J 1
0
5
CP)
CP/ (\+CP)
1 O.B 0.6 0.4 0.2 0 10 0
PC/Cl+CP)
P/(1 + CP)
1 0.8 O.B Q.4 0.2 0 10 0
5 C/(\+CP)
1/(1+
2
2
1.5
1.5
1
1
7" '
0.5
0.5 0
0 5
10
CP)
ír-
í r
0
10
5
0
10
5
0
5
10
4.15. ábra A zárt szabályozási kör átmeneti függvényei Az előszűrő átviteli függvénye legyen
2
/
2
F(s) = (s + 1 . 1 6 1 s + 0 . 7 0 4 4 ) / 0 . 7 0 4 4 ( l + 0 . 4 j ) .
A
4.15. ábra az egyes bemenőjelek és kimenőjelek közötti átmeneti függvényeket mutatjaLátható, hogy a szabályozás dinamikája eltérő az alapjelre illetve a bemeneti zavarás hatására. Megfigyelhető, hogy a szűrő alkalmazása gyorsítja a szabályozott jellemző beállását. Ennek ára a beavatkozójelben fellépő túlvezérlés. A 4.16. ábra a zárt szabályozási kör frekvenciafüggvényeit adja meg. A frekvenciamenetből következtetéseket lehet levonni az időfüggvényekre vonatkozóan. Látható az is, hogy milyen frekvenciatartományban lesz hatásos a zavarelhárítás. Az ábra 3. görbéje például azt mutatja, h o g y az co = 1 körfrekvencia környékén szinusz alakú bemeneti zavarásra lesz" a kimenőjelben a legnagyobb amplitúdójú a zavarás
138
hatása. A 6. görbéből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a szinuszos kimeneti zavarásokat a rendszer az co = l körfrekvenciáig elnyomja, az annál nagyobb frekvenciájú zavarásokat azonban átviszi. A 4.15. ábra 2. görbéjéből, illetve a 4.17. ábra ezzel azonos bal felső görbéjéből látható, hogy a szabályozás állandósult hiba nélkül követi az egységugrás alapjelet. A szabályozó integráló tagot tartalmaz, amelynek pólusa a nullában van. A szabályozó tehát tartalmazza az egységugrás jel ( L A P L A C E transzformáltja l/s) pólusát. Vizsgáljuk a kimenőjel lefolyásátaz adott szabályozóval F= 1 mellett az exponenciális r(t) - e x p ( - 0 . \ t ) alapjelre. A z alapjel L A P L A C E transzformáltja: R(s) = l / ( í + 0 . 1 ) . Az alapjelet és a kimenőjelet a 4.17. ábra j o b b felső görbéje mutatja Látható, hogy a követés n e m pontos, a kezdeti tranziensek lezajlása után sem simul a kimenőjel a bemenőjelre. Legyen most a szabályozó átviteli függvénye C ( J ) = 4(1 + 0 . 5 Í ) / ( 1 + 10J) = = 0.4(1 + 0 . 5 S ) / ( Í + 0 . 1 ) . A szabályozó átviteli függvényének pólusa megegyezik a bemenőjel pólusával. A jobb alsó ábra mutatja, hogy a kimenőjel a tranziensek lecsengése után pontosan követi az alapjelet Viszont most a szabályozó n e m tartalmazza az egységugrás alapjel pólusát, és így az egységugrásra adott válaszban mutatkozik statikus eltérés (bal alsó ábra). 1
m
1
rcp/p
+ cf)
i
CP/(1 + C P )
,
P/Q + CP)
4.17 ábra Az alapjel követése állandósult állapotban akkor hibamentes, ha a szabályozó tartalmazza az alapjel pólusát
139 4.5. Statikus jelátviteli tulajdonságok Ha a szabályozási kör stabilis, állandósult állapotbeli tulajdonságai a (4.6 - 4.8) összefüggések alapján a LAPLACE transzformáció végértéktételei alapján határozhatók meg. Szabályozási körök jelátviteli tulajdonságait, az alapjelkövetésnek illetve a zavarelhárításnak a pontosságát állandósult állapotban a szabályozás ún. típusszáma és körerősítése (hurokerősítése) határozza meg. A statikus pontosság függ a rendszerre ható alapjel vagy zavarás lefolyásától is. Tegyük fel, hogy a felnyitott kör átviteli függvénye L(s) '= C(s)P(s)
időállandós alakban adott:
d
n(i+«,-)n(i+2c, L(s) = C(s)P(s)
= *r M
->T
tl
e
á
=
K
L
t
{
s
)
(
4
1
0
)
2
n(i+^)n(i+2^v+, r j.) (
7=1
7=1
Itt az i változó az ún. típusszám, az integrátorok számát adja m e g (értéke 0, 1 vagy 2 lehet), K a körerősítés vagy hurokerősítés. L (s) a felnyitott kör tranziens viselkedését befolyásoló tényezőt jelöli. Lényeges jellemzője, hogy az állandósult állapotot n e m befolyásolja, L ( í = 0) = l. t
t
A szabályozás rendelkezőjelének (merev visszacsatolás esetén ez a hibajel) az alapjelre vonatkozó eredő átviteli függvénye, ami a rendelkezőjel és az alapjel LAPLACE transzformáltjainak a hányadosa F(s) = 1 esetén:
E(s) = W
1
—R(s) 1 + L(í)
W
= -.— J+KLtis)
R(s)
(4.11)
W
A hibajel állandósult értéke: \im e(t)= lim sE(s)
(4.12)
í->°° j->0 Vizsgáljuk a szabályozás alapjelkövetési tulajdonságait egységugrás, egységsebességugrás és egységgyorsulásugrás
alapjelekre. A z alapjelek LAPLACE transzformáltja
egységugrás, j=2 sebességugrás és j=3 gyorsulásugrás alapjelre.
R(s) = l/s^,
j= 1
0-típusú szabályozás esetén az
állandósult hiba egységugrás alapjelre:
lim e(t) = \\ms--— Í^OO
sebességugrás alapjelre:
j->o
= -—-
sl + KLtls)
l i m e ( í ) = lim s \ Í^OO
i_>o
l+K — - r r = °°
s
l+KL\(s)
gyorsulásugrás alapjelre:
lim e(t) = lim s \ —— = °° Í^OO s ^ q j l + KL (s) 1-típusú szabályozás esetén az állandósult hiba 1 s egységugrás alapjelre: lim e (t) = lim s —=0 f->~ Í->O s s+KL (s) t
t
(4.13)
140
1 lim e(t) = lim s i-»o s s + KL (s)
sebességugrás alapjelre:
t
1 lim e(i) = lim s _
gyorsulásugrás alapjelre:
1
(4.14)
K
5
2-típusú szabályozás esetén az állandósult hiba
egységugrás alapjelre:
lim e{t) = lim $ j-»o J í + í : L ( í ) 2
=o
t
sebességugrás alapjelre:
1 lim e(t) = lim í — —
gyorsulásugrás alapjelre:
1 lim e(t) - lim s .
,2
í" = 0 „2
.
(4.15)
1
-
Táblázatban összefoglalva az állandósult hiba értékeit: Típusszám egységugrás alapjel, j=l
0 1
1
2
0
0
1
0
1+ K
sebességugrás alapjel, j=2
OO
gyorsulásugrás alapjel, j=3
OO
K OO
1 K
A 0-típusú szabályozás az ugrásalakú alapjelet állandósult hibával követi, amely annál kisebb, minél nagyobb a szabályozási kör hurokerősítése (4.18. ábra). Nagy erősítés azonban a szabályozás labilitását eredményezheti. A 0-típusú szabályozás n e m képes a sebesség- és gyorsulásugrás alapjelek követésére.
7Í / i
i
/ i
i
i
!
I
i
4.18. ábra A 0-típusú szabályozás az egységugrás alapjelet statikus hibával követi
4.19. ábra Az 1-típusú szabályozás a sebességugrást statikus hibával követi
Az egy integrátort tartalmazó 1-típusú szabályozás állandósult hiba nélkül követi az ugrásalakú alapjelet. A sebességugrás alapjelet állandósult hibával képes követni (4.19. ábra). A gyorsulásugrás alapjelet azonban nem tudja követni.
A két integrátort tartalmazó 2-típusú szabályozás állandósult hiba nélkül követi az ugrás- és sebességugrás alakú alapjeleket (4.20. ábra), és a gyorsulásugrásalakú alapjel követésére is képes állandósult hibával.
4.20. ábra A 2-típusú szabályozás a sebességugrást statikus hiba nélkül követi Látható, hogy korábbi, az alapjel pontos követésére vonatkozó megfontolással egyezően a szabályozás akkor képes a nulla értékű pólust tartalmazó alapjel hiba nélküli követésére, ha a hurokátviteli függvény annyi nulla értékű pólust (integrátort) tartalmaz, ahány az alapjel nulla értékű pólusainak a száma. H a a szakasz nem tartalmazza a kívánt statikus pontosság eléréséhez szükséges integrátorok számát, a szabályozóba kell beiktatni az integráló hatásokat. Az integrátor beiktatásának a statikus pontosságot növelő hatása a következő megfontolásokkal szemléltethető. H a a szabályozási kör 0-típusú, vagyis arányos jellegű, a kimeneten egy állandó érték csak egy állandó bemenőjel esetén tartható fenn. Szükségszerű tehát egy állandó értékű rendelkezőjel, egy állandósult hiba létrejötte. Az integrátor olyan elem, amelynek kimenete akkor vesz fel állandó értéket, ha bemenetén végülis nulla értékűvé válik a jel. Ha integrátor van a szabályozási kör előrevezető ágában, egységugrás alapjel esetén a kimenőjel addig nő, amíg a rendelkezőjel - az integráló tag bemenőjele - zérussá n e m válik. H a az alapjel sebességugrás, az integrátor kimenetén az állandó meredekségű változást egy konstans bemenőjel tudja fenntartani, és ez egy állandósult rendelkezőjelet, vagyis egy állandó statikus eltérést jelent. Látható, hogy az integrátorok számának növelése a hurokban javítja a szabályozás statikus tulajdonságait. A hurokerősítés növelése ugyancsak csökkenti a statikus követési hibát. Az integrátorok számát azonban nem növelhetjük tovább, mivel ez nehezen kezelhető stabilitási problémákhoz vezetne. Az erősítés növelése is stabilitási problémákat vethet fel. A statikus pontosság és a stabilitás ellentmondó követelmények. A szabályozó tervezéssel kielégítő kompromisszumot kell létrehozni mindkét követelmény kielégítésére. C(s)
P(s)
H(s)
4.21. ábra Szabályozási kör hatásvázlata Zárt szabályozási körök állandósult állapotbeli (statikus) jelértékeinek kialakulását egy négysíknegyedes ábrával is szokták szemléltetni. Az összetett ábra tengelyeire a hibajel (e), az ellenőrző jel ( y ) , a szabályozott jellemző ( y ) és a beavatkozó jel (w) kerülnek. Általában e
142 z
feltételezzük a pozitív értéktartományt. A hatásvázlatot a 4.21. ábra mutatja. A szakasz és a érzékelő statikus karakterisztikája általában nemlineáris (a karakterisztikákat sokszor egy adott munkapont környezetében linearizáljuk). Feltételezzük, hogy a szabályozás stabilis működésű. e
\.
U
r /
J y
4.22. ábra 0-típusú szabályozás statikus jelleggörbéi 0-típusú szabályozás esetére a négynegyedes statikus jelleggörbéket a 4.22. ábra mutatja. A különbségképzőt reprezentáló jobb felső negyedben r-től függő egyenesek vannak. A szabályozó statikus karakterisztikája (bal felső negyed) általában lineáris, eseüeg telítődő. A folyamat statikus karakterisztikája (általában nemlineáris) a bal alsó negyedben van, ahol a zavaró jellemzőnek, a paraméterváltozásoknak a karakterisztikára gyakorolt hatása szemléltethető. A jobb alsó negyed az érzékelő, mérő berendezés karakterisztikáját mutatja, ami sokszor szintén nemlineáris. 0-típusú szabályozásnál egységugrás alapjelre van maradó statikus hiba(e(°°)*0).
4.23. ábra 1-típusú szabályozás statikus jelleggörbéi A négynegyedes statikus viszonyokat mutató ábrán követhető, hogyan változik az állandósult állapot, ha például az alapjel megváltozik. Vizsgálni lehet, hogy ha a szakasz y(w) statikus
143 karakterisztikája a paraméterváltozások állandósult állapotokat.
hatására
megváltozik, ez hogyan befolyásolja
az
A 4.23. ábra 1-típusú szabályozás esetére mutatja a statikus görbéket. Mivel most ugrásalakú alapjelre az állandósult hiba zérus értékű, a síknegyedek a két alsó negyedre redukálódnak. M o s t elég lenne csak ezeket ábrázolni, az összehasonlíthatóság kedvéért azonban ugyanazt a koordinátarendszert adjuk meg. 4.6. A nyitott és a zárt kör frekvenciafüggvényeinek kapcsolata A nyitott kör (4.24. ábra) eredő átviteli függvénye L = CP az úgynevezett hurokátviteli függvény. A negatívan visszacsatolt zárt kör (4.25. ábra) eredő átviteli függvénye a kimenőjelés az alapjel között T = CP/(1 + CP) = L/(l + L), amelyet kiegészítő érzékenységi függvénynek is neveznek. Ennek alakulására közelítő megfontolásokat tehetünk. L
c
p
4.24. ábra Nyitott kör
y
~Qr~
cc
p
y
4.25. ábra Zárt szabályozási kör
Abban a frekvenciatartományban, ahol |L(;co)|»l
,
|r(jű))|»l;
(4.16)
abban a frekvenciatartományban, ahol |Li»|«l
,
|r(j©)| = |L(./©)|.
(4.17)
4.26. ábra Nyitott és zárt rendszer tipikus frekvenciamenete A közelítések a vágási körfrekvencia környezetében természetesen nem érvényesek. A nyitott és a zárt rendszer tipikus amplitúdó-körfrekvencia menetét a 4.26. ábra szemlélteti. A felnyitott kör integráló egytárolós szakasz. A z 1, 2, 3 görbék különböző, egyre nagyobb hurokerősítésre adják meg a nyitott és a zárt rendszer BODE amplitúdó diagramjait. Látható, hogy valóban a zárt kör diagramjai a nyitott kör vágási körfrekvenciájáig (ahol a nyitott kör BODE diagramja metszi a OdB tengelyt) közelítően az 1 értéken haladnak, azután pedig követik a nyitott kör diagramjának menetét. Nagyobb hurokerősítésnél a zárt rendszer görbéje kiemelést mutat a vágási körfrekvencia környékén, ami az átviteli függvényben konjugált komplex pólusok megjelenésére, az átmeneti függvényben pedig csillapodó lengésű tranziensekre utal. A
144 4.27. ábra a zárt kör átmeneti függvényeit mutatja a három különböző hurokerősítés értéknél.
4.27. ábra Zárt szabályozási rendszer átmeneti függvényei Ha a zárt hurok amplitúdó diagramjában nincs kiemelés, a zárt kör közelíthető egy egységnyi átviteli tényezőjű egytárolós arányos taggal, amelynek időállandója az co vágási körfrekvencia reciproka: T(s) ~ l/(l + s/(Ú ) . A további időállandó, amely a közelítő BODE amplitúdó diagram meredekségét -40dB/dekádra változtatja ezesetben elhanyagolható. A z átmeneti folyamat exponenciálisan közelíti meg az állandósult értéket, és közelítően 3 időállandónyi időtartam alatt éri el az állandósult értéket 5 % pontosságon belül. A z erősítés növelésével a vágási körfrekvencia környékén a meredekség -40dB/dekád, és a lengések lecsengésének ideje a lengő tag időállandójának ( l / c o ) tízszeresével közelíthető. A szabályozási időre tehát az alábbi közelítés adható: c
C
c
— <í <—
(4.18)
s
A lengések elkerülésére törekedni kell arra, hogy a vágási körfrekvencia környékén (előtte és utána) hosszú -20dB/dekád meredekségű szakasza legyen a nyitott kör BODE amplitúdó körfrekvencia diagramjának. Ha a rendszert gyorsítani akarjuk, a vágási körfrekvenciát minél nagyobb értékre kell beállítani. Az M-a
és E-$
görbék
A felnyitott és a zárt kör frekvenciafüggvényei közötti kapcsolat mélyebb vizsgálatához tekintsük az alábbi megfontolásokat. A zárt rendszer kiegészítő érzékenységi függvényt a
w
l + C(s)P(s)
l + L(s)
összefüggéssel számíthatjuk. A tervezés során a zárt rendszer T(s) átviteli függvénye és a felnyitott kör L(s) = C(s)P(s) átviteli függvénye közötti kapcsolatot vesszük figyelembe. E z az egyszerűnek tűnő összefüggés valójában egy nemlineáris, a komplex L(s) síkról a komplex T(s) síkra való konform leképezést jelent. Ez a nemlineáris kapcsolat az oka annak, hogy a szabályozó tervezést nem mindig lehet egyszerű módszerekkel egyértelműen elvégezni. A komplex számsík minden egyes pontjához meghatározhatjuk a (4.19) összefüggés szerint a leképező pontot (komplex vektort). Ennek a vektornak az abszolút értékét a 4.28. ábra
függőleges tengelyén ábrázoltuk. (Hasonlóan ábrázolhatjuk a fázisszöget is.) Rajzoljuk meg a komplex számsíkon a felnyitott kör NYQUIST diagramját (az ábrán vastag vonallal feltüntetve). Ha ennek pontjait felvetítjük a térbeli görbére, megkapjuk a zárt rendszer frekvenciafüggvényének abszolút értékeit, amelyeket a frekvencia függvényében ábrázolva adódik a zárt rendszer BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramja.
4.28. ábra A felnyitott és a zárt kör amplitúdó diagramjának kapcsolata A zárt rendszer frekvenciafüggvénye kifejezhető amplitúdójával és fázisszögével:
KJ
}
l + L(;co)
V
'
(4.20)
Az ábráról leolvasható, hogy a felnyitott kör nagy erősítésére (a vízszintes síkon az origótól távol eső pontok) a zárt rendszer erősítése közelíti a konstans 1 értéket. Ez az összefüggés a
|r(;co)| =
=1
(4.21)
L»l
közelítésből is látszik. Mivel a szabályozások a kisfrekvenciás tartományban általában nagy erősítést biztosítanak, ezért a zárt rendszer erősítése itt közel 1 értékű. Hasonlóan az is látható, hogy a felnyitott kör kis erősítésű értékeihez (a vízszintes síkon az origóhoz közel eső pontokhoz) ugyancsak kis erősítésű pontok tartoznak a zárt rendszerben.
HMMivel a fizikai rendszerek erősítése a nagy frekvenciákon lecsökken, ezt az összefüggést úgy lehet értelmezni, hogy nagy frekvenciákon a felnyitott és a zárt rendszer frekvencia függvényének erősítés értékei közel azonosak, azaz a szabályozó a felnyitott kört nem változtatja. Látható az is, hogy a görbének a komplex sík ( - l + 0y) pontjában szingularitása van, ezért a tervezés szempontjából ennek a környezetnek a vizsgálata kiemelt fontosságú lesz. Minél közelebb vagyunk a -1 ponthoz, annál nagyobb lesz a zárt rendszer erősítése. A tervezés során a szabályozásokkal szemben támasztott követelmények közül a rendszer túllövésének a beállítása
146
fontos szerepet kap. Ezt az időtartománybeli túllövést a frekvenciatartománybeli amplitúdó kiemelés határozza meg. Ehhez fontos megvizsgálni, hogy az azonos |r| = M értékhez tartozó pontok milyen görbén helyezkednek el. A zárt rendszer azonos amplitúdójú pontjai a komplex számsíkon körök. Ezt könnyen beláthatjuk, ha megoldjuk az
M =
1
u + jv
l + L(;co)
1 + u + jv
2
(4.22) 2
\í + 2u + u
+v
2
egyenletet. Az azonos M amplitúdóhoz tartozó görbék egyenlete a fenti egyenlet átalakításával adódik. M
\2
M
^2
(4.23)
Á
\-M
Az egyenlet egy kör egyenlete, amelynek r sugara és (w , v ) 0
M r—
"
1-AT
v = o
L
\-M
középpontja:
0
(4.24)
0.
Az állandó M zárt rendszer amplitúdóhoz tartozó köröket a 4.29. ábra szemlélteti. Im
i.i
LQ(ű)
1
=i
i .3 -1.4
/
í •-0.5
/
( f \ { \é
c
J
j
1
0
R U}(o) Re
\
\
T -10
-5
-
2
-
1
2
3
4.29. ábra Konstans M görbék Az M = 1 konstans görbe egy függőleges egyenes u = 0.5-nél. M > 1 esetén a körök ettől az egyenestől balra, M < 1 esetén pedig tőle jobbra esnek. H a M tart a végtelenhez, akkor a körök rázsugorodnak a ( - l + 0jf) pontra, ha M tart zérushoz, akkor pedig az origóra. A konstans M értékekhez tartozó, ún. archimédeszi körök mellett megadhatók a konstans a értékekhez tartozó görbék is, amelyek szintén (archimédeszi) körök. A két görbesereg együttesét szokták M - a görbéknek nevezni.
Ha a felnyitott kör NYQUIST diagramját berajzoljuk a konstans M görbéket is ábrázoló komplex számsíkra, leolvashatjuk a zárt rendszer amplitúdó-körfrekvencia diagramját. A zárt rendszer amplitúdó kiemelését az határozza, meg, hogy a felnyitott kör NYQUIST diagramja milyen közel kerül a -1 ponthoz, vagyis melyik legnagyobb erősítésű kört érinti. Az M görbék néhány jellegzetességét mutatja be a komplex síkon a 4.30. ábra. Az co körfrekvencia, ahol az L(j(a)
frekvenciafüggvény az M = l/V2
b
értékhez tartozó kört metszi a
zárt rendszer ún. sávszélessége. Feltüntettük az co vágási frekvenciát, valamint azt az c o c
m
körfrekvenciát, amihez az M = , az adott esetben maximális érték tartozik. A maximális érték az L(j(ü) függvényt érintő legnagyobb M értéket jelenti. A z L(j'to) függvény abszolútérték frekvencia függvényének csak akkor van kiemelése, ha az M = l értéknek megfelelő függőleges vonalat metszi, tehát van olyan frekvencia tartomány, ahol a görbe az egyenestől balra esik. A metszésponthoz tartozó frekvencián |r(y'cű)| = 1.
[
1 /
AÍ = V2
1/
Aí = l/V2
4.30. ábra Az M görbék néhány jellegzetessége a komplex síkon. Az átmeneti függvény és a frekvencia karakterisztika A zárt hurok amplitúdó-körfrekvencia görbéjének maximális M = M kiemelése és az átmeneti függvény v maximális értéke (4.30. ábra) között is közelítő összefüggések adhatók meg: m
m a x
m
(4.25)
4.31. ábra A zárt rendszer ideális és tényleges frekvenciagörbéje
148
A lengések és nagy túllendülés elkerülésére n e m szabad megengedni a zárt rendszer amplitúdó diagramjában a nagy kiemelést. A zárt rendszer ideális és tényleges frekvenciajelleggörbéit a 4.31. ábra szemlélteti. A
T(j(ü)
frekvenciafüggvény
M-a
görbéihez hasonlóan
az
5(;'co)
eredő
hibaátviteli
frekvenciafüggvény (érzékenységi függvény) S(ja)
= —
1
(4.26)
E(co)
L{j
értékekhez tartozó görbék
(4.27)
és a nevezőben lévő |l + Z-(jco)| mennyiség a ( - 1 + jO) ponttol való távolságot jelenti. Ezek a görbék tehát a ( - 1 + jO) pont körüli koncentrikus körök, amelyek sugara l/E.
A körök közül
kitüntetett jelentőségű az E = 1 értéknek megfelelő kör. Af = 1
Jíj=l
)
|I| = 1
£ = 1.
)
/E>\
M=l E=ly
I
• 1
£ = 1^
ly Y
M
2
íi
^
1
|L| = 1
a/
4.32. ábra Az M = 1, £ = 1 és |L| = 1 értékeknek megfelelő görbék A 4.32. ábrán feltüntettük az M = 1, E -1 és |L| = 1 értékeknek megfelelő görbéket, továbbá az |l + L\ távolságot és a maximális M L(j(ú)
karakterisztikának
az
m
E-\
érték meghatározási módját a NYQUIST diagramon.
Az
körrel való két metszésponthoz tartozó
co
CŰJ és
2
körfrekvencia jelöli azt a tartományt, ahol |S(7'co)| > 1. 4.7. A negatív visszacsatolás érzékenysége a paraméterváltozásokra Egy folyamat sokszor változásoknak van kitéve. Változhat a környezet, aminek következtében folyamat paraméterei is megváltozhatnak egy adott tartományban. A negatív visszacsatolás csökkenti a rendszer érzékenységét a paraméterváltozásokra. A szabályozó tervezés során célszerű figyelembe venni a szóbajöhető paraméterváltozásokat. A szabályozási kör viselkedése
149 elfogadható kell legyen nemcsak a névleges paraméterértékeknél, hanem a paraméterváltozások teljes szóbajöhető tartományában. Vizsgáljuk a szabályozási kör viselkedését, ha a folyamat átviteli függvénye P (s) 0
névleges
értékéről a P(s) = P (s) + AP(s) értékre változik. 0
A nyitott kör (4.24 ábra) eredő átviteli függvénye L = CP, amelynek kis megváltozása AL = —AP dP
= CAP
(4.28)
A relatív megváltozás: AL
=
CAP ^ AP
L ~ CP
(4.29)
~ P
A negatívan visszacsatolt zárt kör (4.25. ábra) eredő átviteli függvénye: CP T = -^—, l+CP
(4.30)
amelynek kis megváltozása: C
^ A P = = -—^-jAP — AT = ^AP dP (l+CP)
(4.31)
A megváltozás relatív értéke *I =_ ! _ ^ - S ^ T l + CP P P
(4.32)
Ahol S a zárt kör érzékenységi függvénye:
S
=^ f AP/P
= ^ L _ l+CP
(4.33)
Az érzékenységi függvény megmutatja, hogy a szakasz relatív megváltozása mennyire befolyásolja az eredő átviteli függvény relatív megváltozását. Abban a frekvenciatartományban, ahol |L(;'CŰ)| - » °°, az érzékenységi függvény igen kis értékeket vesz fel, és aszakaszban fellépő nagy paraméterváltozások is csak kevéssé éreztetik hatásukat az eredő átviteli függvényben, és a zárt rendszer kimenőjelében. Az érzékenységi függvénnyel a zárt rendszer eredő átviteli függvényének relatív megváltozása: ^ T
= 5 ^ P
(4.34)
Kis megváltozásokra: 5
_^yr dP/P
=
ainr dlnP
150 A zárt rendszer T eredő átviteli függvényét kiegészítő érzékenységi függvénynek is nevezzük, mivel fennáll az alábbi összefüggés: (4.36)
S+T = \
4.33. ábra A hurokátviteli függvény, az érzékenységi függvény és a kiegészítő érzékenységi függvény menete A felnyitott kör L, a T kiegészítő érzékenységi függvény és az S érzékenységi függvény tipikus lefolyású frekvenciafüggvényeit a 4.33. ábra szemlélteti.
c
p
H 4.34. ábra Visszacsatolt szabályozási kör, az érzékelő dinamikával rendelkezik Tekintsük még a szabályozás érzékenységét a visszacsatolásban szereplő átviteli paraméterváltozásaira (4.34. ábra). A z érzékenységi függvény a visszacsatoló paraméterváltozásaira a következő összefüggéssel definiálható: ÁT/T
tag tag
(4.37)
ÁH/H Most CP
így
AT =
l+CPH
f
ÁH =
- - ^ - _ ÁH, (l+CPH)
(4.38)
2
dH
tehát
Ar SH=^
—
H
T
H
CPH
ÁH
l + CPH
H
L
ÁH
(4.39)
l +L H
Mivel 5 = - L / l + L = -T széles frekvenciatartományban 1 körüli értéket kell felvegyen az alapjel jó követéséhez, a visszacsatoló tag paraméterváltozásai jelentősen befolyásolhatják a kimenőjel alakulását. Törekedni kell az igen pontos mérésre, illetve a merev (egységnyi) visszacsatolásra. H
151
Az érzékenységi függvények felhasználásával is kifejezhetjük bemenő és kimenőjelek közötti (4.6-4.8) kapcsolatokat. Y(s) = F(s)T(s)R(s)
+ S(s)Y (s)
+ P(s)S( )Y (s)
-
T{s)Y {s)
(4.40)
E(s) = F(s)S(s)R(s)
- S(s)Y (s)
- P(s)S(s)Y (s)
-
S(s)Y (s)
(4.41)
no
U(s) = F{s)C(s)S(s)R{s)
ao
S
ni
ni
- C(s)S(s)Y (s) no
- T(s)Y (s) ni
z
z
-
C{s)S{s)Y {s) s
(4.42)
Az érzékenységi függvényekkel nemcsak a paraméterváltozásokhatását vizsgálhatjuk, hanem a rendszer jelátviteli tulajdonságait is. 4.8. A szabályozásokkal szemben támasztott követelmények Egy szabályozási körnek megadott minőségi előírásokat kell teljesítenie. Ezek az előírások az kányítási céloktól, az adott folyamat technológiájától és magától a folyamattól is függnek. Egy acélhengerműben például az acéllemez egyenletes vastagságát kell biztosítani igen nagy pontossággal. A kívánt pontosságot befolyásolja, hogy mire kívánják felhasználni az acéllemezt. Egy hőkezelési folyamatnál a hőmérsékletet adott program szerint kell beállítani. Az előírt pontosságot befolyásolja, hogy a hőkezelendő anyagban ne játszódjanak le nem kívánt átalakulások. Egy repülő pályára állításának és pályakövetésének pontossága fontos a célállomás elérésének és más repülők elkerülésének biztosítására. Fontos a kívánt szabályozási beállási idő megadása is, aminek igazodnia kell a folyamat dinamikájához. Igen lassú folyamattól nem várhatunk túlságosan nagy felgyorsulást, mivel ehhez irreálisan nagy beavatkozó hatásokra lenne szükség. A z előírásoknak a lehetőségekhez kell igazodniuk. Az előírások a szabályozás statikus és dinamikus tulajdonságaira vonatkoznak. Egy szabályozással szemben támasztott követelmények: - stabilitás - megfelelő statikus pontosság alapjelkövetésre és zavarelhárításra - a mérési zaj hatásának elnyomása ? - érzéketlenség a paraméterváltozásokra - előírt dinamikus (tranziens) viselkedés - a gyakorlati megvalósításból adódó korlátozások figyelembevétele Egy lineáris szabályozási kör stabilis, állandósult állapota beáll, ha a karakterisztikus egyenlet gyökei a komplex számsík bal oldalán helyezkednek el (ld. 2. és 5. Fejezet). A szabályozás statikus pontosságát tipikus bemenőjelekre (ugrás, sebesség- és gyorsulásugrás) a nyitott körben lévő integrátorok száma határozza meg (4.4. pont). A zavarások és a mérési zaj hatásának elnyomását, továbbá a paraméterek változásának hatását vizsgálhatjuk az érzékenységi függvények alapján (4.6. pont). Az előírt dinamikus viselkedést rendszerint a szabályozási kör v(í) átmeneti függvényének jellemző paramétereivel adjuk meg (4.35. ábra). A statikus hiba vagy maradó szabályozási eltérés egyséfugrás alapjeke 1-v áll -
(4.43)
152
A százalékos túllendülés vagy túllövés: v a
=
v
max- áll v
(4 44)
1 0 Q %
áll
A t szabályozási idő az az idő, amely alatt az átmeneti függvény eléri az állandósult értéke körüli ±(2 - 5)% -on belüli sávot. s
A T emelkedési (felfutási, "raising") idő alatt az átmeneti függvény állandósult értékének 10%os értékéről eléri állandósult értékének 90%-át. A maximum elérésének az ideje pedig T . T
m
4.35. ábra Szabályozási kör dinamikus minőségi jellemzői A szabályozástechnikában a tervezés lényege, hogy egy elfogadható k o m p r o m i s s z u m o t kapjunk a nagy túllövés és a nagy szabályozási idő között. Ez a kompromisszum egyrészt a stabilitási határtól ( - 1 + jO) való távolsággal is megfogalmazható (lásd a 7. Fejezetet.), másrészt található olyan mérőszám, amelynek a minimuma (optimuma) kiegyenlíti a két szélsőséges tranziens szerinti dinamikus viselkedést. Ez(ek) a mérőszám(ok) az integrálkritérium(ok). Ilyenkor a szabályozás jóságát az e(í) = v ( ° ° ) - v ( f ) hibajel integrálkritériumainak mérőszámai alapján ítéljük meg. A szabályozó paramétereit úgy választjuk meg, hogy az adott hibaintegrál minimumot érjen el. A hibaintegrálok kifejezései:
lineáris hibaterület (szabályozási terület),
h=\e(t)át
(4.45)
o (csak aperiodikus rendszerekre alkalmazható, analitikusan számítható)
2
I = °\ e {t)át 2
négyzetes hibaterület
(4.46)
abszolútélték hibaterület
(4.47)
o (analitikusan számítható)
=Jh#=
IAE
153
(IAE - Integral of Absolute value
Error)
I = J zje(f)|df = ITAE
4.48)
idővel súlyozott abszolútérték terület
4
(ITAE - Integral of Time Multiplied
Absolute
Value Error).
A z 7 és I 3
4
csak szimulációval
értékelhető ki. Lineáris
hibaterület.
Egyszerű megfontolásokkal kapjuk, hogy
/ i = lim J e(T)dx t—>oo
(4.49)
= h m s ^ - = E(0), Í-»0
s
ahol E(s) = i f { e ( í ) } a hibajel LAPLACE-transzformáltja. Aperiodikus, r ( í ) átviteli függvénnyel (T(0) = A) megadott szabályozási folyamatra (4.36. ábra)
fl(i+«*) J » = A ^
(4.50)
=Ar( ), J
n(i+^) 7=1
számítsuk ki a lineáris szabályozási területet. A (4.49) alapján
/!=
i-r( ) f
J(A-v(í))d/=(A-r(j))i o
L
Í J
Í=0
•j=0
íi(i+^)-ri(i+«fc) = A\
n
fc=i
m
(4.51)
=A
,n(i+^)
=l J
jfc=l
Í=0
Az átviteli függvény nevezőjének időállandói növelik, míg számlálójának időállandói csökkentik a szabályozási területet. Tehát zérusok bevezetésével a rendszer gyorsítható.
4.36. ábra Aperiodikus folyamat lineáris szabályozási területe
154
Aperiodikus tranziensekre definiálható egy T egyenértékű időkésés, illetve holtidő, amely annak az A amplitúdójú ugrásfüggvénynek (r = 0)-tól mért T eltolási ideje, amelynek a tényleges átmeneti függvénnyel azonos szabályozási területe van e
t
n
j
m
r = ^ = Sl}-X'C*
(4-52)
e
A
*=l
;=1
Négyzetes
hibaterület.
A négyzetes integrálkritérium kiértékelhető. 2
I = ]e {t)dt 2
=— 2n
J-oo
o
a frekvenciatartományban
J E(-s)E(s)ds
a PARSEVAL-tétel alapján
= -]\E(j(úfd03. 7 1
(4.53)
o
A négyzetes hibaterület analitikusan számítható. Alacsony fokszámú LAPLACE transzfortmáltjának szigorúan szabályos m
is
esetekre
a
hibajel
i *
E{s) = i f -
(4.54)
;=o alakjára számítási képleteket programoznak, amelyek a c és a\ paraméterek függvényében zárt alakban adják meg I értékét adott fokszámra. N e m túlságosan bonyolult az általános képlet algoritmikus megadása sem, amely egy speciális rekurzív algoritmust takar. Megjegyezzük, hogy a hibaterületet minimalizálva a szabályozó egy paraméterének függvényében rendszerint lapos minimum adódik. A z optimális tranziens sajnos általában meglehetősen nagy túllendüléssel (20~25 %) rendelkezik, így minőségi szabályozásokban nem használható. t
2
Abszolútérték kritériumok. A z abszolútérték kritériumok analitikusan nehezen értékelhetők ki, inkább szimulációval vagy optimalizálási kereső eljárásokkal határozhatjuk meg a minimumot. A költségfüggvény minimuma azonban egy adott paraméter értéknél jellegzetes. A z idővel súlyozott abszolútérték kritérium kevésbé bünteti a kezdetben, és jobban bünteti a hibajelben a későbbi időpontokban fellépő nagy értékeket. Ezen kritérium optimuma (minimuma) biztosítja a legszebb ~5 % körüli túllendüllést. 4.9. A szabályozás zavarelhárító képességének növelése A megfelelően méretezett zárt szabályozási kör biztosítja az alapjel követését, valamint a bemeneti és kimeneti zavarások hatásának kiküszöbölését is. H a a zavarójelnek a szabályozási körben lévő hatáspontja és a kimenőjel között nagy időállandójú tagok szerepelnek, a zavarelhárítás lassú lesz. Természetesen a szabályozó tervezésben a zavarelhárításra vonatkozó megfontolásokat is figyelembe veszünk. A zavarelhárítás javítható, ha nemcsak a kimenőjelben fellépő hatását használjuk fel a zavarelhárításra, hanem esetleg közbenső mérhető jeleket is felhasználunk, amelyekben a zavarás hatása már korábban megmutatkozik, mint a kimenőjelben. Több elérhető információ
155 felhasználásával a szabályozási körben jobb, előrelátó döntések hozhatók, a szabályozás minősége ezáltal javítható. Zavarkompenzáció Ha a zavarás mérhető, a zavarásról történő előrecsatolással a szabályozás minősége, zavarelhárítási tulajdonságai lényegesen javíthatók. A zavarás mért értéke alapján már azelőtt intézkedni lehet a zavarás elhárítására, mielőtt a zavarás hatása a szabályozott jellemzőben megmutatkozna. A zavarkompenzációs szabályozás hatásvázlatát a 4.37. ábra mutatja. A C (s) zavarkompenzációs tag megfelelő méretezésével a zavarás hatása jelentős mértékben csökkenthető, esetleg teljesen meg is szüntethető. A kimenőjeke a zavarás két ágon hat. A kimenőjelnek a zavarásra vonatkozó eredő átviteli függvénye: n
Y(s)
=
P (s) + n
Y (s)
C (s)P(s) n
(4.55)
í+C(s)P(s)
n
7n
c (0 n
•9
C(s)
P(s)
4.37. ábra Zavarkompenzációs szabályozás hatásvázlata A zavarás hatása nem mutatkozik a kimenőjelben, ha a fenti kifejezés számlálója zérus: P (s) + C (s)P(s) n
a
=0
(4.56)
ahonnan a zavarkompenzációs tag átviteli függvénye: C (s) = B
[
)
-?M
'* (4.57)
P ( S )
Amennyiben ez az átviteli függvény realizálható (számlálója n e m magasabbfokú a nevezőjénél, továbbá P(s) n e m tartalmaz holtidőt), a zavarkompenzáció tökéletes, a zavarás hatása a kimenőjelben egyáltalán n e m mutatkozik. Ha C ( í ) n e m realizálható, átviteli függvényét közelítjük az azt valamilyen értelemben legjobban közelítő realizálható szabályozóval. n
A zavarkompenzációs beavatkozás nyílt hatásláncú vezérléssel egészíti ki a szabályozást. A zavarkompenzáció eredményessége attól függ, hogy milyen pontosan ismert a zavaró jellemzőnek a szabályozott jellemzőre gyakorolt hatása, és a rendelkezésre álló beavatkozási lehetőséggel mennyire lehet azt kompenzálni. Példaként tekintsük a 4.38. ábrán látható szalagszárító kemence szabályozásának vázlatát. A szárítandó anyag villamos fűtésű kemencében az M motorral hajtott G görgősoron halad végig. A szabályozott jellemző a kijövő termék nedvességtartalma. Adott szalagsebesség mellett az anyag adott ideig tartózkodik a kemencében. A beavatkozás a kemencébe betáplált
156
fűtőteljesítmény, amely az R fűtőellenállás u tápfeszültségével változtatható. A kemencéből kijövő anyag nedvességtartalmát mérjük, és az alapjeltől való eltérés esetén Pl szabályozón keresztül módosítjuk a fűtőteljesítményt. (A Pl szabályozó párhuzamosan kapcsolt arányos (P) és integráló (!) tagokból áll, lásd a 8. Fejezetben.) A legfőbb zavarforrás a beérkező anyag nedvességtartalmának változása. A változás hatásának kiküszöböléséhez a szabályozásnak időre van szüksége, a szabályozás csak azután lép működésbe, hogy a zavarás hatása a kimeneten érzékelhető. így egy adott ideig a kijövő anyag nedvességtartalma eltér a kívánt értéktől. Ha a bemenő mennyiség nedvességtartalma mérhető, akkor a mért érték alapján az anyagnak a kemencén való áthaladásának kivárása nélkül a fűtőteljesítmény azonnal arra az értékre vezérelhető a főszabályozó P részén keresztül, amely előzetes ismeretek alapján várhatóan szükséges lesz a nedvesség előírt értékének biztosításához. (A szabályozó integráló tagja nem vonható be a zavarkompenzációba, mivel az állandó bemenőjel miatt kimenete nem tudna állandósulni.) A zavarkompenzációt az ábrán szaggatott vonallal jelöltük. A szabályozási körre csak annak a hibának a korrekciója marad, amely az előzetes ismeretek pontatlanságából adódik.
4.38. ábra Szalagszárító kemence szabályozása zavarkompenzációval kiegészítve Kaszkád szabályozás A szabályozott szakaszok sokszor több sorbakapcsolt részre bonthatók, és a kimenőjelen kívül a közbenső jelek is mérhetők. A 4.39. ábra két sorbakapcsolt részből álló folyamat hatásvázlatát mutatja. A zavaró jellemzők hathatnák a kimeneten, illetve a szakasz két tagja között. Feltételezzük, hogy m a g u k a zavarások nem mérhetők.
y»2 y
7*1
2
mérhető
mérhető
4.39. ábra Két sorbakapcsolt tagra bontható szakasz A szokásos visszacsatolásos szabályozás hatásvázlatát a 4.40. ábra mutatja. A szabályozás alkalmas mind az alapjel követésének biztosítására, mind pedig a zavarások hatásának kiküszöbölésére. A h h o z , hogy a zavarelhárítás működésbe lépjen, szükséges, hogy a zavarás hatása a kimeneten megjelenjen. Ekkor jön csak létre a hibajel, amelynek hatására a szabályozás működésbe lép a zavarás hatásának elhárítására. H a a szakasz P (s) része tartalmazza a nagyobb időállandókat, a szakasz két tagja között ható y zavarás elhárítása lassú lesz. x
n 2
4íc51—o^^M^I—o
C(s)
-1>—*
4.40. ábra Visszacsatolásos szabályozás hatásvázlata Célszerű a közbenső mérhető y jelet is felhasználva kialakítani egy belső szabályozási hurkot, amely a belső zavarás gyors elhárítására képes. A belső zavarás hatása ugyanis hamarabb mutatkozik meg az y jelben, mint az y kimeneten, így a belső hurokkal gyorsan jelentősen lecsökkenthetjük annak hatását. A külső hurok biztosítja a jó alapjelkövetést, a kimeneten ható zavarás elhárítását, valamint a belső hurok által lecsökkentett belső zavarás további csillapítását. A kéthurkos ún. kaszkád szabályozás hatásvázlatát a 4.41. ábra mutatja. A kaszkád szabályozás előnye az egyhurkos szabályozáshoz képest akkor mutatkozik, ha a szakasz P^s) része tartalmazza a nagy időállandókat és a holtidőt, és P {s) része kisebb időállandójú tagokból áll. A belső hurok C (s) szabályozóját úgy tervezzük meg, hogy a belső hurok gyors m ű k ö d é s ű legyen, és így képes legyen a belső zavarás gyors elhárítására. A külső hurok Cj(í) szabályozójával biztosítani kell az alapjelkövetést és a külső zavarás elhárítását. A belső szabályozó lehet P vagy PD struktúrájú. A belső hurokban a negatív visszacsatolás gyorsító hatású, így a kisebb időállandók miatt a külső hurok kompenzálása is egyszerűbb lesz. A külső szabályozó az előírások teljesítésére lehet Pl vagy PID struktúrájú. (A PID szabályozó párhuzamosan kapcsolt arányos (P), integráló (/) és differenciáló (D) tagokból áll, lásd a 8. Fejezetben.) 2
2
x
2
2
c 0) 2
P (s) 3
-6
4.41. ábra Kaszkád szabályozás hatásvázlata Egyes alkalmazásokban célszerű a külső kör szabályozója után beiktatni egy korlátozó elemet. Ugyanis a külső szabályozó kimenőjele a belső hurok alapjelét adja, és ha ezt korlátozzuk, ezáltal az y belső jel értékét is korlátok között tarthatjuk. 2
Természetesen, ha a szabályozott szakasz kettőnél több soros részre bontható, ahol a közbenső jelek mérhetők, több egymásba ágyazott szabályozási körrel alakíthatunk ki kaszkád szabályozást. Villamos motorok fordulatszám- illetve pozíciószabályozásában sokszor alkalmazzák a kaszkád szabályozást, amikor a külső változó a fordulatszám vagy a pozíció, a belső változó pedig az armatúraáram. A kaszkád szabályozás célja ekkor főként az armatúraáram korlátozása. A z áram ugyanis a motor indításakor, fékezésekor, terhelésekor igen nagy értékeket vehet fel, miközben a fordulatszám a rendszer mechanikai tehetetlensége miatt csak lassabban alakul ki. N e m elég tehát csak a fordulatszámról létrehozni visszacsatolást, az áramot is figyelni kell és biztosítani kell, hogy értéke a megengedett tartományban maradjon. A z egyenáramú motor kaszkád szabályozását a 4.42. ábra mutatja vázlatosan.
158
4.42. ábra Egyenáramú motor kaszkád szabályozása A 4.43. ábra egy terem hőmérsékletszabályozására mutat kaszkád megoldást. A szabályozott jellemző a T terem t> hőmérséklete, amelyet gőzzel fűtött H hőcserélőn átfúvott levegővel állítanak a kívánt értékre. A módosított jellemző a hőcserélőn átáramló gőzmennyiség, amelyet a B szelep mint beavatkozó szerv állít. A leglényegesebb zavaró jel a gőz nyomása, mivel adott szelep állásban ettől függ a H hőcserélőbe érkező gőzmennyiség, illetve a hőteljesítmény. A kaszkád fokozathoz belső szabályozott jellemzőnek választhatjuk a hőcserélőbőlkilépő gőz i } hőmérsékletét, mert abban a fűtőteljesítmény változása hamarabb mutatkozik, mint a terem hőmérsékletében. k
levegő
levegő
^
4.43. ábra Terem hőmérsékletszabályozásának kaszkád megoldása Az egyhurkos szabályozási körben a kimenőjelet csatoljuk vissza. A kaszkád szabályozásban a kimenőjelen kívül egy vagy több mérhető közbenső jelet is visszacsatolunk, ezáltal a szabályozás minősége javítható. A szabályozás gyorsabb lesz, és hatékonyabban hárítja el a zavarások hatását. Ezek a közbenső változók rendszerint a rendszer állapotváltozói. Egy rendszerben a belső változók, az ún. állapotváltozók határozzák m e g a rendszer viselkedését. Pillanatnyi értéküket a rendszer bemenőjeleinek korábbi mozgásai alakítják ki. A z állapotváltozók és a bemenőjelek pillanatnyi értékeinek ismeretében megadhatók a rendszer állapotai és kimenőjelei a következő időpontban. Nemcsak egyetlen kimenőjel, illetve a kaszkád szabályozásban felhasznált néhány további jel érzékelése lényeges a szabályozási kör kialakításában, hanem lényeges lenne valamennyi (egy n-edrendű differenciálegyenlettel leírható rendszerben n db.) állapotváltozó mérése és visszacsatolása. Ez a szabályozási elv az állapotvisszacsatolás, amely a kaszkád elv általánosításának is tekinthető. A z állapotvisszacsatolásos szabályozással a 10. Fejezet foglalkozik részletesen.
4.10. Visszacsatolásos kompenzáció Ha a szabályozott szakasz valamelyik közbenső jele mérhető, annak visszacsatolásával a szabályozás viselkedését kedvezően befolyásolhatjuk. A visszacsatolásos kompenzáció blokkvázlatát a 4.44. ábra mutatja. A visszacsatolásos kompenzáció egyenértékű soros kompenzációs megfelelője meghatározható. A visszacsatolásos kompenzáció előnye azonban, hogy a belső hurok ki és bemenő jelei közötti összefüggést linearizálja és nagymértékben függetleníti a visszacsatolt tagok paraméterváltozásaitól. A belső hurok hatásos a belső zavarások elhárításában is. A visszacsatolásos kompenzáció előnyös viselkedést mutathat a beavatkozójel korlátozása esetén is. Megfelelő belső visszacsatolással a szabályozott szakasz közelítő inverze állítható elő, ami a szabályozás szempontjából előnyös megoldást jelenthet.
K™)™—"O—* ^1
—*0~
3
o
4.44. ábra A visszacsatolásos kompenzáció hatásvázlata Rendszerint elegendő, ha a belső hurok csak a tranziens állapotban működik, állandósult állapotban pedig csak a főkör hatásos. Ez egytárolós differenciáló taggal történő visszacsatolással érhető el. A visszacsatoló tag átviteli függvénye ekkor C (s) - A sx/(l + sT^. v
y
4.11. Szabályozás kisegítő módosított jellemzővel Sokszor a szabályozott szakasz bemenetén több beavatkozási lehetőség is van. A folyamat jellegétől függően az egyik beavatkozási lehetőség lehet az alapvető, és a másikat kisegítő lehetőségként használhatjuk fel, amely a folyamat jellegéből következően rendszerint csak átmeneti lehet.
o
c
839BKV1
BEAVATKOZÓ ymi
***
>*
SZERV 2
4.45. ábra Kéthurkos szabályozás hatásvázlata kisegítő módosított jellemzővel A szabályozási kör hatásvázlatát a kisegítő hurokkal a 4.45. ábra mutatja. Alkalmazási példaként tekintsük a 4.38. ábrán látható szalagszárító kemence szabályozását. Ha a kenmencébe bemenő anyag nedvességtartalma hirtelen megváltozik, a zavarkompenzáció alkalmazása nélkül ennek hatása a kimenő oldalon csak akkor mutatkozik, amikor a kemence már a megváltozott tulajdonságú anyaggal van tele. Ilyenkor, ha csupán a kemence fűtését változtatjuk, viszonylag nagy tömegű anyag kerül ki, amelynek nedvességtartalma eltér az előírttól, mivel a kemence hőtehetetlensége nagy, és hőmérsékletét csak lassan képes változtatni. A beavatkozás hatásosabbá válik, ha az M motor fordulatszámának megváltoztatásával átmenetileg megváltoztatjuk a szalagsebességet, és ezzel az anyag kemencében tartózkodásának idejét. A
160
kisegítő beavatkozás átmeneti lehet, ami például úgy oldható m e g , hogy a rendelkezőjelről a kisegítő szabályozási körben egy arányos szabályozót működtetünk, ami a motor kapocsfeszültségét befolyásolja. A fő szabályozási körben alkalmazott Pl szabályozó miatt állandósult állapotban a rendelkezőjel zérus értékre áll be, így ekkor a kisegítő szabályozási kör kiiktatódik.
5. Lineáris szabályozások stabilitása A szabályozási körök stabilitása alapvető fontosságú követelmény a gyakorlati alkalmazásuknál. Sem az értéktartó, sem pedig a követő szabályozás feladata nem oldható meg labilis szabályozási körrel. N e m szabad azonban összetéveszteni ezt a stabilitási kérdést a folyamat stabilitásával. Előfordul olyan eset is, amikor egy labilis folyamatot kell stabilizálni a szabályozási körrel. Vannak olyan rendszerek, amelyek szabályozás nélkül nem működnének, mert a szabályozási kör stabilizálja a folyamatot. Az egyik legismertebb ilyen rendszer a repülőgép és irányítása, a hétköznapi életben pedig a kerékpár vezetése. A zárt szabályozási kör meglepő jelenségeket tud felmutatni. Ezek a jelenségek mind arra vezethetők vissza, hogy a folyamatok dinamikával,tehetetlenséggel, késleltetéssel rendelkeznek, tehát a bemenetükre ható parancsokat nem azonnal, és igen sokszor nem az emberi ítélőképesség időrendjében (sokszor jóval lassabban, vagy pedig gyorsabban) követik. Néhány esetben pedig a rövid idejű válasz nem felel meg annak, amit egy kicsit tovább várva tapasztalnánk (nem minimumfázisú folyamatok). Ezért a tapasztalati alapú stabilitásvizsgálat a rendszerint igen drága folyamat kezelésében, irányításában n e m elfogadható. Pontos, legtöbbször matematikai eszközöket használó módszerekre van szükségünk, hogy a stabilitási kérdésekre választ adhassunk.
5.1. A stabilitás fogalma A stabilitás a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotából kimozdítva újra egyensúlyba képes kerülni. Ha a rendszer nemlineáris, a stabilitás a bemenőjeltől és a munkaponttól is függ. Ebben az esetben a stabilitás nem a rendszernek, hanem a rendszer egy állapotának a jellemzője. Lineáris rendszer esetén a stabilitás a rendszer jellemzője, a rendszer struktúrájától és paramétereitől fiigg, de független a bemenőjeltől. A stabilitásnak több meghatározása is létezik. A magára hagyott rendszer
stabilitása
A rendszer stabilis, ha nyugalmi állapotából kimozdítva majd magára hagyva visszatér eredeti állapotába Ha eredeti állapotától eltávolodik, működése labilis. Határesetben nem tér ugyan vissza a nyugalmi állapotba, de n e m is távolodik el attól, hanem annak a kitérítés mértékétől függő környezetében marad (például a kiindulási állapot körül korlátos amplitúdójú csillapítatlan lengéseket végez). Nemlineáris rendszereknél stabilisnak tekintjük a rendszert akkor is, ha a határesetben a kimozdítás után a nyugalmi állapot tetszőlegesen előírható kis környezetébe tér vissza. A rendszer aszimptotikusan stabilis, ha egyensúlyi állapotából való kimozdítása után visszatér kiindulási helyzetébe. Egy stabilis lineáris rendszer aszimptotikusan stabilis. Egy lineáris rendszer w(t) súlyfüggvénye aszimptotikus stabilitás esetén lecsengő, lim w{t) = 0
(5.1)
illetve abszolút integrálható: oo
(5.2)
o
162
A gerjesztett rendszer
stabilitása
Stabilis a rendszer, ha korlátos bemenőjelre korlátos kimenőjellel válaszol bármilyen kezdeti feltétel mellett. A gerjesztett rendszer stabilitását az angolszász szakirodalomban BIBO (Bounded-Input - Bounded Output) stabilitásnak nevezik.
5.1. ábra Szabályozási rendszer blokkvázlata Lineáris rendszerben a stabilitás a rendszer tulajdonsága. A stabilitás n e m függ a gerjesztés nagyságától. Ha egy lineáris rendszerben a magára hagyott rendszer stabilis, a gerjesztett rendszer is stabilis lesz. A stabilitás egyértelműen megítélhető valamilyen egyszerű bemenőjeke adott válaszból. Belső
stabilitás
Egy zárt szabályozási rendszer akkor teljesíti az úgynevezett belső stabilitás követelményét, ha bármely külső gerjesztő jelre a kimenőjel és valamennyi belső jel stabilisán válaszol. Vizsgáljuk az 5.1. ábrán látható szabályozási rendszert. A z r alapjel követésén kívül vizsgáljuk a P szakasz bemenetén ható y és a szakasz kimenetén ható y zavarások elhárítását, valamint az y mérési zaj hatását a kimenőjelre. A rendszer stabilis, ha a vizsgált valamennyi korlátos bemenőjeke a választott y szabályozott jellemző, az u beavatkozójel és az e rendelkezőjel is korlátos. Belátható, hogy az 5.1. ábra szerinti struktúrában mindig elegendő két tetszőleges külső és két tetszőleges belső jelet választani. A belső stabilitás az alábbi négy eredő átviteli függvény stabilitásának vizsgálatát kívánja meg: CP'/l + CP, 1/1 + CP, P/l + CP, C/l + CP. Ezt a zárt szabályozási kör úgynevezett átviteli (transfer) mátrixába szokták összefoglalni: n i
n o
z
CP l + CP C 11+CP
P l+CP 1
(5.3)
1+CPJ
Egy zárt szabályozási kör belső stabilis, ha a T mátrix stabilis, azaz valamennyi eleme stabilis. t
A belső stabiktás akkor egyenértékű a gerjesztett rendszer stabilitásával, ha a felnyitott rendszernek nincsenek nem megfigyelhető vagy nem irányítható jobb oldali pólusai (vagyis a szabályozó zérusai nem ejtik ki a szakasznak a komplex számsík jobb oldalára eső pólusait). (Megjegyezzük, hogy a szakasz labilis pólusát nem szabad a szabályozó jobb oldali zérusával kiejteni, mivel a labilis pólus csupán a szabályozott jellemző és az alapjel közötti kapcsolatban válik láthatatlanná, de a labilis pólus megmarad a szakasz előtt ható zavarás és a szabályozott jellemző között.) LIAPUNOV
stabilitás
LAGRANGE energiaelmélete szerint egy rendszer akkor van egyensúlyban, ha potenciális energiája minimális. LJAPUNOV egy általános (nemlineáris állandó paraméterű) rendszert leíró
163 differenciálegyenlethez vagy állapotegyenlethez egy energia tulajdonságú ún. LJAPUNOV skalár függvény meghatározását írja elő. Ha ez a függvény az állapotváltozók vizsgált tartományában pozitív, és deriváltja negatív, a rendszer aszimptotikusan stabilis. LJAPUNOV vizsgálati módszerei elégséges feltételeket adnak nemlineáris rendszerek stabilitási viszonyainak meghatározására. A LJAPUNOV függvény megválasztása nem mindig egyszerű. Kiindulásul LJAPUNOV az egyes munkapontokban linearizált rendszer stabilitásvizsgálatát javasolja. LJAPUNOV módszere így lineáris rendszerek stabilitásvizsgálatára is alkalmazható. Lineáris rendszerek stabilitásvizsgálatára azonban célszerű közvetlenebb módszereket alkalmazni.
c
u
P
5.2. ábra Szabályozási kör dinamikája 5.2 A szabályozási k ö r stabilitása A negatív visszacsatolás, ami a szabályozási kör alapvető struktúrája, magában rejti a labilitás veszélyét. Ennek érzékeltetésére tekintsük az 5.2. ábrán látható szabályozási kört. A z alapjel egységugrásszerű változásakor a kimenőjel nulláról indulva növekedni kezd. A hibajel értéke egyről kiindulva csökken. Ha a szabályozó átviteli tényezője nagy, a szakasz bemenetén kezdetben nagy bemenőjel jelenik m e g , ami a szakasz kimenőjelének gyors felfutását eredményezi. A változás dinamikáját a P folyamat és a C szabályozó dinamikája, átviteli tényezői és időállandói határozzák meg. Mikor a kimenőjel eléri az alapjel által meghatározott értéket, a hibajel nulla értéket vesz fel. A jelek azonban a rendszer tehetetlensége miatt n e m állnak be azonnal a kívánt értékükre, hanem az addigi meredekséggel tovább változnak. Ha a kimenőjel túllendül előírt értékén, a hibajel negatívvá válik, ami egy idő után csökkenteni fogja a kimenőjel értékét. A szakasz és a szabályozó nagy időállandói és nagy átviteli tényezői mellett a túllendülés jelentős lehet. A rendszerben állandósult vagy egyre növekvő lengések jelenhetnek meg. A stabilitás problémáját az okozza, hogy a rendszer a rendelkezőjel által szolgáltatott információt késleltetve használja fel, és nagy átviteli tényezők mellett a késleltetés időtartama alatt a kimenőjel értéke annyira „megszalad", hogy a szabályozás már n e m képes visszaszabályozni azt a kívánt értékre. A szabályozó paramétereit úgy kell megválasztani, hogy a szabályozás stabilis legyen.
o
K
1 .)
y
5.3. ábra Holtidős szabályozási kör A visszacsatolt rendszer labilitását a zárt körben lévő késleltetések és nagy erősítési tényezők okozzák. A jelenséget szemlélteti az 5.3. ábrán látható szabályozási kör viselkedése. A folyamat egységnyi erősítésű holtidős szakasz, amelyet átmeneti függvényével adunk meg. A holtidős szakasz a bemenetére kerülő u jelet a T holtidő elteltével követi. A szabályozó A átviteli tényezőjű arányos tag, a felnyitott kör hurokerősítése így K- A. Vizsgáljuk a szabályozási kör jeleit egységugrás alapjelre, ha K = 0.5, 1 illetve 2. A jelek alakulása könnyen követhető. A z 5.4. ábra az alapjelet, a rendelkezőjelet és a szabályozott jellemzőt mutatja. K = 0.5 mellett a szabályozás stabilis (de igen pontatlan, a kimenőjel 1 helyett 1/3 értékre áll be). K = 1 esetén á
164
állandósult lengések lépnek fel, a rendszer a stabilitás határhelyzetébe kerül. K = 2 esetén a rendszer labilis működésű. A jelek értéke az egyes időtartományokban analitikusan is számítható az 5.1. táblázat szerint. Látható, hogy az e rendelkezőjel az idő előrehaladtával egy mértani sorral adható meg, amelynek kvóciense -K. K< \ esetén a sor konvergens és lim e(t) = \/\ + K, a szabá-
j*
lyózott jellemző határértéke pedig lim
>
= K/1 + K A stabilitás határa tehát K = l. Minél nagyobb K értéke, annál kisebb a szabályozási kör állandósult hibája, azonban a stabilitás határt szab K növelésének. Általában a stabilitás és a statikus pontosság sokszor ellentmondó követelmények. A sza-bályozás tervezése során megfelelő kompro-misszumra kell törekedni a stabiUtás és a kívánt statikus pontosság biztosítására.
;*
c
c
'
u
A 1 L - 1 -
j
i i
-
i
-
j
5.5. abra A labilis rendszer akkor is beeeried, .. - j . j • - . • J ha bemeneten rövid ideig hat a gerjesztés u
u
A stabilitás a lineáris rendszer tulajdonsága. Labilitás esetén a rendszer akkor is begerjed, ha átmenetileg valamilyen zajhatás éri, például egy impulzus kerül a bemenetére. A z 5.5. ábra K = 2 esetére mutatja a jelek alakulását, ha a rendszer bemenetére alapjelként rövid ideig , . , , , ... ható egységnyi amplitúdóm impulzus kerül. * * b J
b
J
J
5.1. táblázat Holtidős szabályozás jeleinek értékei t időtartomány e rendelkezőjel y szabályozott jellemző 0-T 1 0 T ~2T \-K K 2T -3T K{\-K) l-K{\-K) 3T -4T \-K[\-K{\-K)} K[\-K{\-K)} D
D
Á
D
D
D
D
X»
A'= 0.5
;
0.375
y(t)=.
i
1
K»2
i
„ 5.4. ábra Holtidős szabályozási kör jelei
165
5.3. A folytonos idejű lineáris szabályozási rendszer stabilitásának matematikai megfogalmazása A magára hagyott zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a tranziens mozgását leíró időfüggvény csillapodó összetevőkből áll. A tranziens időfüggvény olyan exponenciális összetevők kombinációja, amelyek kitevői a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei. Irányítható és megfigyelhető rendszerben (amikoris a szabályozó zérusai n e m ejtik ki a szakasz pólusait) a karakterisztikus egyenlet gyökei megegyeznek a zárt rendszer eredő átviteli függvényének pólusaival. A rendszert leíró differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete formailag megegyezik a zárt rendszer eredő átviteli függvényének nevezőjével. Ugyanis a zárt rendszer eredő átviteli függvénye az y kimenőjel és az r alapjel között:
{
]
R(s)
l+C(s)P(s)
l + L(s)
A rendszer differenciálegyenlete az alábbi kifejezés inverz Laplace transzformáltja: [l + L(s)]Y(s)
= C(s)P{s)R(s)
(5.5)
A karakterisztikus egyenlet pedig formailag megegyezik az 1 + L(s) = 0
(5.6)
egyenlettel. A karakterisztikus egyenlet gyökei tehát megegyeznek a zárt rendszer eredő átviteli függvényének pólusaival. Ha a felnyitott kör átviteli függvénye racionális törtfüggvény, L(s) = Aí(s)/T>(s), V(s) polinomok, a karakterisztikus egyenlet a következő alakban is megadható: V(s) + Aí{s) = 0
•<
ahol A / ( Í ) és
(5.7)
illetve n
as n
n
1
+ a _s ~ n
l
+... + a s + a = a (s-p^s-p )...(s-p ) x
0
n
2
n
=0
(5.8)
Ha a rendszert állapotegyenletével írjuk le, amelynek állapotmátrixa egyenlet a
A , a karakterisztikus
det(í/-A) = 0
(5.9)
összefüggéssel adható m e g (lásd a 3. Fejezetet). Ha a karakterisztikus egyenlet együtthatói valósak, akkor az egyenlet gyökeu valós vagy konjugált komplex számok. Az aszimptotikus stabilitásnak az a feltétele, hogy a zárt rendszer p pólusai negatív valós részűek legyenek, mivel ezek eredményeznek időben lecsengő tranzienseket. A feltétel úgy is megfogalmazható, hogy a zárt szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabilis, ha valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik. {
166 Ha bármelyik pólus a jobb oldaü félsíkra esik, a rendszer labilis. Ha a bal oldak félsíkra eső pólusokon kívül a képzetes tengelyen az origóban is van pólus, a rendszerben integráló hatás van, és tranziense ugyancsak a végtelenbe tart Ha a képzetes tengelyen egyszeres konjugált komplex pólusok vannak, a tranziensekben csillapítatlan lengések lépnek fel. Többszörös pólusok esetén a lengések növekvő amplitúdójúak. A gyakorlatban a zárt rendszer stabilitását illetően csak az aszimptotikus stabilitás elfogadható.
5.4 Analitikus stabilitási kritériumok A stabilitás eldönthető a karakterisztikus egyenlet gyökei, a zárt szabályozási rendszer pólusai alapján. Holtidő nélküli esetben a karakterisztikus egyenlet algebrai egyenlet, amelynek gyökei analitikusan ún. megoldóképlettel csak ötödfokúnál alacsonyabb fokszám esetén adhatók meg ( G A L O I S tétel). Ennél magasabb fokszámnál numerikus gyökkereső módszerek alkalmazhatók, amelyekkel a gyökök megadott pontossággal határozhatók meg. sTi
Holtidőt is tartalmazó |zabályozási körben a karakterisztikus egyenlet V(s) + Af(s)e~ =0 transzcendens egyenlet, amelynek megoldása n e m egyszerű, és labiktás esetén nehéz ana következtetni, hogy milyen módon lehet stabilizálni a rendszert. Ilyenkor a holtidős tagnak valamilyen racionális törtfüggvényre vezető közelítésével lehet a rendszer karakterisztikus egyenletét közelíteni, vagy pedig frekvenciatartománybeli vizsgálatokat kell elvégeznünk (lásd az 5.6. pontot). Több eljárást dolgoztak ki, amelyekkel a karakterisztikus egyenlet megoldása nélkül is eldönthető a stabilitás. Ezek az eljárások az ún. stabilitási kritériumok. Az analitikus stabilitási kritériumokkal holtidő nélküli esetben az algebrai egyenlet gyökei és együtthatói között fennálló összefüggések alapján megállapítható, hogy a gyökök a k o m p l e x számsík bal oldalán helyezkednek-e el, vagyis stabilis-e a rendszer vagy sem. A stabilitás szükséges feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója azonos előjelű legyen és egyik együttható értéke se legyen nulla. Az (5.8) egyenlet alapján ez könnyen belátható. Ha ugyanis valamennyi pólus negatív valós értékű, a gyöktényezőket összeszorozva csupa pozitív együttható adódik. Ha konjugált komplex gyökök is előfordulnak negatív valós résszel, ezek gyöktényezőinek összeszorzásával is az egyenletben pozitív együtthatók adódnak. Legyen p = - c x ± 7 P , ahol o c > 0 és P > 0 . A gyöktényezők 1 2
összeszorzásával
2
[s - ( - a + ;'p)] [s - ( - a - j'P)] = s + 2as + a
2
2
+p .
Látható,
hogy
az
együtthatók pozitívak. Első és másodfokú esetben az együtthatók azonos előjele egyben a stabilitás elégséges feltétele is. A stabilitás eldöntésére a karakterisztikus egyenlet együtthatói alapján két analitikus módszert adunk meg bizonyítás nélkül.
Stabilitásvizsgálat a ROUTH séma alapján Az (5.8) karakterisztikus polinom együtthatóiból az alábbi sémát képezzük:
a
a
n-2
a
a
n-6
•••
n-\
a
n-3
a
a_
...
n-2
b
n-4
b
n-6
b
n-S
•••
c
n-5
c
n-l
c
n-9
•••
n
a
b
c
n-3
n-4
n-5
n
7
(5.10)
ahol a
. n-2-
a
a
._ n-\ n-2~
b
a
a
n n-3
a
_ n-\ n-4 > °n-4 ~
"n-1 b
C„_3=
a
a
u
„
> °n-6
"n-1 a
n-2 n-3
a
~ n n-5
u
" b
~ n-\ n-4
f l
„
n
5
~
a
a
a
n-l n-6~ n n-l ~ n-l
>•••
a
a
b
_ ^n-2 n-5 ~ n - l n - 6
.C _ -
a
_
/•<
m
(5.11)
A sorok hosszúsága egyre csökken. Ha a karakterisztikus polinom n-edfokú, a séma n + l sorból áll. Az ( 5 . 1 1 ) elrendezést ROUTH sémának nevezzük. A rendszer akkor stabilis, ha a karakterisztikus polinom valamennyi együtthatója pozitív és a ROUTH séma első oszlopának valamennyi eleme is pozitív. Ha az első oszlopban szereplő elemek n e m mind pozitívak, a rendszer labilis, és az előjelváltások száma megadja a zárt rendszer jobb oldali pólusainak számát. Ha az első oszlopban nulla jelenik meg, ez a karakterisztikus egyenletnek az imaginárius tengelyre eső gyökére utal. Ilyenkor a sémát úgy folytatjuk, hogy a nulla helyett egy tetszőlegesen kicsi £ számértéket veszünk figyelembe. 5.1. Példa Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye: L(s) = K/s(l +s)(l +5s). Negatívan visszacsatolt szabályozási körben egységnyi (merev) visszacsatolást alkalmazunk. Határozzuk m e g a K hurokerősítés kritikus értékét, amelynél a szabályozási kör a stabilitás határhelyzetébe kerül. A karakterisztikus egyenlet: 1 + L(J) = 1 + -7-
V
1
.
v =
0,
s{\ + s)(l + 5 s) vagyis 3
5s
2
+6s
+s +K = 0
Mivel valamennyi együttható pozitív kell legyen, a stabilitás szükséges feltétele, hogy K > 0 legyen.
A ROUTH séma:
5
1
6
K
(6-5K)/6
0
K A stabilitás biztosításához az első oszlop minden egyes elemének pozitívnak kell lennie. A stabilitás feltétele tehát: Q
168
Stabilitásvizsgálat a HURWITZ determináns alapján
Az (5.8) karakterisztikus polinom együtthatóiból képezzük az alábbi n x n elemű HURWITZ determinánst: a
n-\
a
a
a
n
0
n-3
a
n-5
a
n-2
a
n-A
a
a
n-l n-6
n-\
a
n-3
a
a
a
n-2
a
0
n
0
0
n-5
(5.12)
n-A
a
a
n-l
n-3
Negatív indexű elemeket nullával veszünk figyelembe. A rendszer akkor stabilis, ha a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója pozitív, és a HURWITZ determináns főátlóra támaszkodó valamennyi aldeterminánsa is pozitív: A,- > 0. A z aldeterminánsok: n-\
a
a
a
a
a
a
n-3
n-5
a
Aj = a _ n
n-3
;A =
x
a„
n-2
n
2
n-A
, ... , A
n
(5.13)
l
n-2
0
a
n-\
a
n-3
5.2. Példa Adjuk m e g az 5.1. példában vizsgáitrendszer stabilitását a HURWITZ determináns alapján. A karakterisztikus egyenlet: 3
2
5 í +6s
+s +K =0
Mivel valamennyi együttható pozitív kell legyen, K > 0. A HURWITZ determináns: 6
K
0
5
1
0
0
6
K
(5.14)
A főátlóra támaszkodó aldeterminánsok: A! = 6 > 0 ; A = 6 - 5 * T > 0 ; A = . r ? A > 0 . 2
3
2
A stabilitás feltétele tehát: 0 < K < 1.2 5.5. Stabilitásvizsgálat a gyökhelygörbe alapján A gyökhelygörbe a karakterisztikus egyenlet gyökeit adja m e g a komplex számsíkonmiközben a rendszer valamelyik paramétere (a leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik. Ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis. A kritikus körerősítésnél a gyökhelygörbe metszi az imaginárius tengelyt. Azon körerősítéseknél, ahol a gyökhelygörbe átkerül a jobb oldali félsíkra, a rendszer labilissá válik.
169 A gyökhelygörbe alapján nemcsak a rendszer stabilitása dönthető el, hanem a g y ö k ö k elhelyezkedéséből a rendszer dinamikus tulajdonságai is hozzávetőlegesen meghatározhatók. A gyökhelygörbe megrajzolásához elvileg a karakterisztikus egyenletet kell megoldani különböző paraméterértékek mellett. A megoldáshoz a mai számítógépes technika és a CAD programok nagy segítséget nyújtanak. Sokszor szükség van azonban gyors kvalitatív elemzésre a tervező gondolkodásának segítéséhez. Ezért számos kidolgozott szabály könnyíti meg a gyökhelygörbe felrajzolását. (A módszert kifejlesztőjéről EVANS módszernek is nevezik.) A gyökhelygörbe módszer alapösszefüggései A zárt szabályozási rendszer 1 + L(s) = 0 karakterisztikus egyenlete felírható az alábbi alakban is:
L(s) = -l = k ^
,
(5.15)
U(s-Pi)
i=l ahol Z a zérusok, P a pólusok számát jelöli (P > Z ) és k a huroktényező. A gyökhelygörbe pontjaira teljesülnie kell az (5.16)
|L(,)| = 1 abszolút érték feltételnek, és a cp = ± M 8 0 °
;
(5.17)
# = 1,3,5,...
szögfeltételnek. A gyökhelygörbe megszerkesztéséhez tehát olyan pontokat kell keresni a komplex számsíkon, amelyekre mind a szögfeltétel, mind az abszolút érték; feltétel teljesül.
' lm
Z
F
f
j
f t
s
s
Pi
5.6. ábra A felnyitott kör pólusait illetve zérusait a gyökhely görbe pontokkal összekötő vektorok jelölései Jelöljük a valamelyik Zj zérusból a komplex sík tetszőleges s pontjába befutó vektor abszolút értékét C - v a l , a pozitív valós tengellyel bezárt szögét pedig y - v a l . A p pólusból az s pontba ;
;
t
befutó vektor abszolút értékét D -vel, fázisszögét pedig 8,-vel jelöljük (5.6. ábra). Ezekkel a (
jelölésekkel
és (5.19) A szögfeltétel az alábbi alakban adható meg:
p
z
8
XY;-X *'
=±Ari80
°
í
# = 1,3,5,...
1 8 0
°
í
# = 1,3,5,...
(5.20)
illetve
p
z 5
X Í-XY7 i=l
=
+^
(5.21)
7=1
Az abszolút érték feltétel pedig:
(5.22)
7=1
A komplex számsík egy pontja akkor pontja a gyökhelygörbének, ha teljesül rá aszögfeltétel és az abszolút érték feltétel. A szögfeltétel szavakban kifejezve: valamely s pont akkor pontja a gyökhelygörbének, ha a felnyitott kör zérushelyeiből kiinduló és az s pontban végződő vektorok szögének összegéből levonva a pólusokból kiinduló vektorok szögének összegét ±180° páratlan számú többszörösét kapjuk. Az abszolút érték feltétel azt mondja ki, hogy valamely s pont akkor pontja a gyökhelygörbének, ha a pólusokból kiinduló és az s pontban végződő vektorok abszolút értékeinek szorzata elosztva a zérushelyekből kiinduló vektorok abszolút értékeinek szorzatával éppen a huroktényezővel egyenlő. A gyökhelygörbe pontjait általában a szögfeltételből határozzuk meg, az abszolút érték feltételből pedig megadjuk az adott gyökhelygörbe ponthoz tartozó huroktényező értékét. A huroktényezőből azután kiszámítható az időállandós alakhoz tartozó K hurokerősítés is:
K = L(s)[_
0
=k ^ U(-Pi)
(5.23)
171
A gyökhelygörbe megszerkesztésének néhány szabálya A gyökhelygörbe felrajzolását néhány egyszerű szabály könnyíti m e g : 1. A gyökhely görbe szimmetrikus a valós tengelyre. 2. Annyi ága van, amennyi a felnyitott kör átviteli függvénye pólusainak száma. 3. A gyökhely görbe a felnyitott kör pólusaiból indul (ekkor K = 0) és a zérusokba vagy a végtelenbe tart, ha K —> <». H a a pólusok száma P , és a zérusok száma Z , Z számú ág a zérusokba, P - Z számú ág pedig a végtelenbe fut. H a P = Z , a gyökhelygörbe teljes egészében a véges tartományba esik. 4. A valós tengelyen akkor lehetnek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a pólusok és a zérusok együttes száma páratlan. (Elég a valós pólusokat és zérusokat számbavenni, mivel a komplex pólusok illetve zérusok együtt szerepelnek.) 5. A gyökhelygörbe aszimptotáinak irányát az M80° a =+ y - ^ -
;
N = 1,3,5,...
(5.24)
összefüggés adja meg. 6. A gyökhelygörbe aszimptotái a valós tengelyt az
XP;-X*7 j=l
i=l
X _ i=l
P - Z
R e
Pí~X
R e
Z;
7=1
(5.25)
P - Z
kifejezés által meghatározott pontban metszik. 7. A valós tengelyből való kilépés (vagy beérkezés) helye az alábbi egyenlettel határozható meg: p
1
X—" *-A Í = 1
z
1
X—^ ;
=0
(5.26)
= 1
8. A kritikus huroktényező a karakterisztikus egyenletből határozható m e g a ROUTH sémával vagy a HURWTTZ determinánssal. A z imaginárius tengellyel való metszéspontok a karakterisztikus egyenletből állapíthatók m e g annak ismeretében, hogy ekkor a gyökök közül kettő tisztán imaginárius konjugált komplex gyök. A szerkesztési szabályok indokolása 1. Mivel a karakterisztikus egyenlet együtthatói valósak, gyökei vagy valósak, vagy konjugált komplex párokat alkotnak. Ezért a gyökhelygörbe szimmetrikus a valós tengelyre. 2. A karakterisztikus egyenlet fokszáma megegyezik a felnyitott rendszer pólusainak számával. Ugyanis, ha a felnyitott k ö r átviteli függvénye racionáks tört, L(s) = M(s)/T>(s), a karakterisztikus egyenlet 1 + L ( Í ) = 1 + J \ Í { S ) / V ( S ) = 0, illetve V(s) + J\í(s) = 0 . Mivel V(s) fokszáma nagyobb M(s) fokszámánál vagy azzal egyenlő, a karakterisztikus egyenlet fokszáma megegyezik V(s) fokszámával, és gyökeinek száma a felnyitott kör pólusainak számával egyenlő. A huroktényező változásával így a gyökhelygörbének annyi ága lesz, amennyi a felnyitott kör pólusainak száma.
172
3.
Az ( 5 . 1 5 ) összefüggésből
Ű(s-Pi) -k
= if
;
P>Z.
(5.27)
n('-*,) 7=1
k = 0 akkor állhat fenn, ha s = /?,-. A gyökhely görbe tehát a felnyitott rendszer pólusaiból indul ki, ha k = 0. A k = °° érték akkor állhat fenn, ha s = Zj, vagy Í—>°°. Tehát k—»°» esetén a karakterisztikus egyenlet gyökei a felnyitott rendszer zérusaiba futnak be, illetve P > Z esetén P-Z számú gyök a végtelenbe kerül. 4 . Ha az s gyökhelygörbe pont a valós tengelyen van, a konjugált komplex pólusokból (illetve zérusokból) kiinduló vektorok páronként 0 ° vagy 3 6 0 ° szöget szolgáltatnak, tehát figyelmen kívül hagyhatók. A valós pólusok illetve zérusok, ha az adott s ponttól balra vannak, 0 ° szöget, ha pedig attól jobbra esnek, 1 8 0 ° szöget adnak. Az ( 5 . 1 7 ) szögfeltétel kielégítéséhez az s ponttól jobbra a pólusok és zérusok számának összege páratlan kell legyen. 5 . Az aszimptoták a gyökhely görbe igen távoli pontjait közelítik, ahonnan a felnyitott kör
p
i
pólusai és Zj zérusai mind azonos a szög alatt látszanak. A szögfeltétel tehát az alábbi alakban írható: Pa-Za
=
+NlS0°
(5.28)
ahonnan az aszimptoták szöge _/V180° oc = + -
N = 1,3,5,...
P-Z
(5.29)
6 . A pólusokat + 1 , a zérusokat - 1 súllyal véve figyelembe, az aszimptoták kiindulási pontja éppen a súlypontban van, mert nagyobb távolságból nézve a rendszert a súlypontja helyettesíti. A szabály analitikusan is levezethető. 7. A valós tengelyből való kilépés (vagy beérkezés) x helyére is teljesül a szögfeltétel. A z 5 . 7 . ábra szerint a valós tengelyből kis E távolsággal merőlegesen kilépve és a kis szögeket tangensükkel helyettesítve írhatjuk: p
2-
z 0
- E -
y=l
(5.30)
J
A fenti összefüggésből következik ( 5 . 2 6 ) .
5 . 7 . ábra A gyökhely görbe valós tengelyből való kilépési helyének meghatározása
8. A stabilitás határhelyzetében a karakterisztikus egyenletnek az imaginárius tengelyre kerülnek gyökei. Néhány példa a gyökhelygörbe meghatározására a szerkesztési szabályok alapján 5.3. Példa Tekintsük az 5.1. illetve 5.2. példákban vizsgált rendszert. A felnyitott kör átviteli függvénye L(s) = K/s(l + s)(l + 5s). A negatívan visszacsatolt rendszerben merev visszacsatolást alkalmazunk. Adjuk meg az L ( Í ) átviteli függvényt zérus-pólus alakban.
K
)
^ + 1 ) ^ + 0.2)'
ahol k = 0.2K a huroktényező. Határozzuk meg a gyökhely görbe menetét. A változó paraméter a k huroktényező.
5.8. ábra Mereven visszacsatolt kéttárolós integráló tag gyökhelygörbéje A szerkesztési szabályok alapján megállapíthatjuk, hogy a gyökhelygörbének 3 ága van. A z ágak a felnyitott rendszer pólusaiból, az ^ = 0 , s = -0.2, s = - l pontokból indulnak, és a végtelenbe tartanak. A valós tengelyen a gyökhelygörbének a 0 és a -0.2 pontok között, valamint a -1 és a —°° tartományban van szakasza. A 0 és a -0.2 pontok között a gyökhelygörbe 2
3
kilép a valós tengelyből. A végtelenbe tartó ágak aszimptotáinak szöge: a = ± M 8 0 ° / ( 3 - 0 ) , 7v* = l-nél ±60°, -1.2/3 =-0.4.
7Y = 3-nál 180. A z aszimptoták kiindulási pontja a valós tengelyből: A gyökhely görbe valós tengelyből való kilépési helye az
— + — - — h — - — = 0 egyenlet megoldásával adódik. A megoldások: x =-0.7055, x x +l x + 0.2 x = - 0 . 0 9 4 5 . Csupán x lehet a megoldás, mivel j c b e n a gyökhelygörbének n e m lehet pontja. A gyökhelygörbe menetét az 5.8. ábra szemlélteti. A kritikus huroktényező a karakterisztikus egyenletből pl. a ROUTH vagy a HURWITZ kritériummal határozható meg. Ennél a huroktényező értéknél a gyökhelygörbe metszi az imaginárius tengelyt. A z 5.1. illetve 5.2 példáknál mindkét módszerrel meghatároztuk a kritikus hurokerősítés értékét. A rendszer stabilitási tartománya: 0
2
2
r
3
2
s(s + í){s + 0.2) + 0.24 = s + l.2s
+ 0.2s + 0.24 = 0
174
A gyökök közül kettő az imaginárius tengelyre esik. írhatjuk tehát, hogy 2
2
s + l.2s
+0.2Í +
0.24 = ( j + y)(s + jr\)(s-
2
jr[) = (s + y)(s
2
2
2
2
+ r\ } = s + ys + r\ s +
yiV
Az együtthatók összehasonlításával kapjuk a 7=
1.2 ; T) = VÖT2 =
0.4472.
paramétereket. A lengési körfrekvenciát az imaginárius tengellyel való r| metszek adja meg.
o
< x—H
x > o xj*
5.9. ábra Zérus beiktatásának hatása a gyökhelygörbére További példák a gyökhely görbe
menetére
Néhány rendszer gyökhelygörbéjének menetét léptékhelyességre való törekvés nélkül az 5.2. táblázat tünteti fel. Az ábrákat összehasonlítva látszik, hogy egy újabb pólus megjelenése a gyökhelygörbe ágakat taszítja. Egy újabb zérus megjelenése viszont a gyökhelygörbe ágait vonzza. A z 5.9. ábra szemlélteti, hogy 3 pólus esetén egy zérust beiktatva, az hogyan módosítja a gyökhelygörbe menetét. A zérus megfelelő elhelyezésével a szabályozási kör a huroktényező teljes tartományában stabilissá tehető. A z 5.10. ábra egy labilis nyitott rendszerre adja meg a gyökhelygörbét. A felnyitott rendszer átviteli függvénye:
W
s(s-l)(s+6)
A felnyitott rendszer egy labilis pólussal rendelkezik. A zérus beiktatásával biztosítható, hogy a negatívan visszacsatolt zárt rendszer megfelelő huroktényező választása mellett stabilissá váljon (k>k =7.5). krít
Megjegyezzük, hogy a gyökhelygörbe alakja analógiát mutat az elektrosztatikus tér erőterével. Ha a pozitív és negatív töltések a síkban helyezkednek el, az elektrosztatikus erőtér aszimptotái a gyökhelygörbe alakját mutatják, ha a pozitív töltések helyére a pólusokat, a negatív töltések helyére pedig a zérusokat tesszük. (Általában források és nyelők potenciálterével.)
175
5.10. ábra Labilis felnyitott rendszer stabilizálása negatív visszacsatolással zérus beiktatásával A gyökhelygörbe menete a huroktényezőtől eltérő paraméter változása esetén Ha nem a huroktényező, hanem más változó paraméter függvényében kívánjuk megadni a gyökhelygörbét, a karakterisztikus egyenletet át kell alakítani aH(s)
= -l
alakra, ahol a a változó paraméter, H(s)
pedig az átalakítás során kapott átviteli függvény.
Ezután a gyökhelygörbe szerkesztésekor a veszi át az erősítés szerepét, H(s)
pedig egy
konstruált hurokátviteli függvény. 5.4. Példa Az eljárást egy kéttárolós visszacsatolt rendszeren mutatjuk be, ahol n e m a huroktényező, hanem a rendszer egyik pólusa (időállandója) változhat. A felnyitott kör átviteli függvénye legyen 10 L(s) = (s-a)(s + 5) A változó paraméter az a pólus. A karakterisztikus egyenlet: ( s - a ) ( j + 5 ) + 10 = 0 illetve s ( í + 5 ) - a ( í + 5) + 10 = 0 Átrendezve: s+5 1-0C-. J
2
+ 5J+10
A gyökhelygörbét a
=0
5.2. táblázat
X
1
0
Átviteli függvény
Átviteli függvény
Gyökhelygőrbe
Gyökhelygörbe
>
K s
1 1
/
\+sT
K
1
K ""•
* —
^1'
\ + sT
/ k
/
k
T >T > %
K
<
K(l+sT )
3
H
0 < K
».
2
(l+eTIXl + íT,)
(l+^Xl+sTj) >
>
1
2 tV
1
'.;
K
:! r /
K (\ +
< w M>l<x
/
>
sT )(ü+sT )CÍ+efr ) l
a
M—i
O < KW>(<
»
\
l
\ 3
K
r" ír
/ \
J5T(1+ sr )
ft ^
a
3
u
2
0 + s2^r + í r )(i + sr ) 1
1
3
1,
ff(j)
=
a-=-k s +
hurokátviteli függvényre határozzuk m e g (5.11. ábra). Látható, hogy kis a értékekre ( - 1 1 . 3 2 < a < 0 ) a zárt rendszerben csillapodó lengések lépnek fel. Ha a értéke tovább nő, a
177
tranziensek aperiodikus viselkedést mutatnak. A mai korszerű számítástecnika lehetővé teszi a hurokerősítés mellett egy további paraméter változásának hatását megfigyelni oly módon, hogy a klasszikus gyökhelygörbét a másik paraméter (pl. a ) diszkrét értékeire számítjuk ki és a görbesereget három dimenzióban (3D) ábrázoljuk. A z alapvető két dimenzió maga a komplex számsík, amely fölé "szeletenként" felrajzoljuk a további gyökhelygörbéket. A harmadik tengely tehát az a változó. A 3D-s ábrázolásnak számtalan hatékony grafikus szoftver eszköze ismeretes, amelyek segítségével nagyon hasznos felületeket ábrázolhatunk.
f
Ims
5 . 1 1 . ábra Kéttárolós arányos rendszer gyökhely görbéje az egyik pólus változása esetén 5.6 A NYQUIST stabilitási kritérium Az analitikus R O U T H - H U R W I T Z kritériumokkal a karakterisztikus egyenlet együtthatói alapján megállapíthatjuk a zárt rendszer stabilitását, de labilitás esetén nehéz megmondani, hogyan változtassuk a rendszer paramétereit a stabilitás és a megfelelő dinamikus viselkedés biztosításához. A gyökhelygörbe szemléletes képet ad aszabályozási kör karakterisztikus egyenlete gyökeinek alakulásáról egy változó paraméter függvényében, így átfogó képet kaphatunk a rendszer stabilitási és dinamikus viszonyairól. A N Y Q U I S T kritériumalapján a felnyitott kör frekvenciadiagramjából következtethetünk a zárt rendszer stabilitására. A módszer szemléletes, és labilitás esetén könnyen megadható, hogyan célszerű a szabályozási kör struktúráját és paramétereit módosítani. A frekvenciafüggvény megfelelő alakításával - járulékos zérusok és pólusok beiktatásával - formálhatjuk a frekvenciafüggvényt a zárt kör előírt tulajdonságainak, stabilitásának, statikus és dinamikus tulajdonságainak biztosítására. A csillapítatlan lengés kialakulásának szemléltetése a frekvenciatartományban A zárt szabályozási rendszer karakterisztikus egyenlete 1 + L ( Í ) = 0 , ahol L(s) a felnyitott kör átviteli függvénye. A z
s= y'co helyettesítéssel vizsgálhatjuk, hogy az egyenletnek van-e
megoldása az imaginárius
tengelyen. Ha van olyan
co
0
frekvencia, amelyre teljesül az
1 + L(y'co ) = 0 , illetve az L(yco ) = - 1 feltétel, a zárt rendszerben ezen a 0
0
körfrekvencián
csillapítatlan lengések keletkeznek, a rendszer a stabilitás határára kerül. Ekkor a felnyitott kör NYQUIST
diagramja áthalad a komplex számsík - 1 + jO pontján.
178 lm
o
-1.
I
Re
Kf 5.12. ábra A stabilitás határán működő szabályozási kör
NYQUIST
diagramja
A csillapítatlan lengés kialakulását a következőképpen szemléltethetjük. Tekintsük az 5.12. ábrán látható szabályozási kört. A felnyitott kör N Y Q U I S T diagramja az co körfrekvencián áthalad a - 1 + jO ponton. Képzeletben nyissuk fel a rendszert a B-K pontnál. Legyen a rendszer r alapjele co körfrekvenciájú szinuszos jel. Ezt a jelet a rendszer azonos amplitúdóval, de ellenkező előjellel viszi át. Ha most a B-K pontokat összekötjük, a negatív visszacsatolás miatt az e hibajel megegyezik a bemeneti szinuszosjellel. Ez a csillapítatlan szinuszos jel akkor is fennmarad a rendszerben, ha az alapjelet megszüntetjük. Ilyen frekvenciájú lengések jönnek létre a rendszerben akkor is, ha az alapjel az adott szinuszos jeltől eltérő, más determinisztikus jel, például egységugrás. Ugyanis az alapjel frekvenciaspektrumában valamennyi frekvencia előfordul, ezekből a szinuszos összetevőkből az alapjel felépíthető. A z co körfrekvenciájú összetevő a rendszerben fennmarad. 0
0
0
Az egyszerűsített NYQUIST stabilitási kritérium Tételezzük fel, hogy a felnyitott kör átviteli függvényének nincsenek jobtoldaü pólusai, tehát a felnyitott rendszer stabilis. Rajzoljuk fel a frekvenciafüggvényt a komplex számsíkon az - ° ° < c o < ° ° tartományra (teljes N Y Q U I S T diagram). Járjuk körül a N Y Q U I S T diagramot a növekvő frekvenciák irányában. Ha a Ha a Ha a
NYQUIST NYQUIST NYQUIST
diagram nem veszi körül a - 1 + jO pontot, a zárt szabályozási kör stabilis. diagram átmegy a - 1 + jO ponton, a rendszer a stabiütás határán van. diagram körülveszi a - 1 + /O pontot, a rendszer labilis.
Egyszerűbb megfogalmazásban: Elegendő a N Y Q U I S T diagramot a pozitív co értékekre fekajzolni. Ha a diagramot co = 0-tól °°-ig végigjárjuk, és a - 1 + ; 0 pont a görbétől bal kéz felé esik, a zárt szabályozási rendszer stabilis. Ha a görbe áthalad a - 1 + jO ponton, a rendszer a stabiktás határán van. Ha a - 1 + jO pont a görbétől jobb kéz felé esik, a rendszer labilis. hal
lm'
-
{Conform lcképacs
I \
/
t
I
f
/
\1
'
í-.£(s)
0
Re*
11
1
m«>)
1
Rc
y
i.(-o+j«>)
5.13. ábra Az egyszerűsített N Y Q U I S T stabilitási kritérium a konform leképzéssel bizonyítható A z egyszerűsített
NYQUIST
stabilitási kritérium a konform leképezés alapján bizonyítható.
Az
179
L(j(o) NYQUIST diagram az imaginárius tengely konform leképezése az L ( Í ) függvény szerint miközben co = -<» és +°° között változik (5.13. ábra). Tekintsük az imaginárius tengellyel párhuzamos - o + j(£> és o + yco egyeneseket, ahol a egy adott pozitiv szám. A konform leképezés szög és aránytartó. Ebből adódóan a -a + j(ü egyenes L(-a + y'co) konform leképezése az L(jco) -tói balra, míg a o + y'co egyenes L(o + j(ú) képe L(y'co)-tól jobbra esik. Ha tehát az L(;'co) görbe a valós tengelyt a - 1 + j'O ponttól jobbra metszi, és így nem fogja azt körül, akkor az L(s ) = - 1 egyenlet csak olyan gyökökre teljesülhet, amelyeknek t
valós része negatív, vagyis a tranziensek lecsengenek. Ekkor tehát a zárt szabályozási rendszer stabilis. Hasonlóan, ha az L(j(£>) görbe a valós tengelyt a - 1 + jQ ponttól balra metszi, és így azt körülfogja, az L ( Í ) = - 1 egyenlet csak olyan gyökökre teljesülhet, amelyeknek valós része !
pozitív, a tranziensek növekvő amplitúdójúak, tehát a rendszer labilis.
o
K
5.14. ábra Háromtárolós arányos rendszer stabilitásvizsgálata 5.5. Példa Tekintsük az 5.14. ábrán látható szabályozási kört. A NYQUIST stabilitási kritérium alapján határozzuk m e g a kritikus hurokerősítés értékét.
5.15. ábra Háromtárolós arányos rendszer NYQUIST diagramja a stabilitás határhelyzetében Az 5.15. ábra a felnyitott rendszer NYQUIST diagramját mutatja a stabilitás határhelyzetében. A Nyquist diagram az co körfrekvencián áthalad a komplex számsík - 1 + ; 0 pontján. Ezen a körfrekvencián a frekvenciafüggvény fázisszöge -180°, abszolút értéke pedig 1. Továbbá 0
(p(co ) = - 3 a r c t g ( c o r ) = - 1 8 0 ° , 0
o
ahonnan co r = V 3 . í g y o
2
= ^Jl + (úlT ^
= 8, ami független a T időállandó értékétől.
5.6. Példa A NYQUIST kritérium holtidős rendszerre is alkalmazható. Tekintsük az 5.3. ábrán
látható
180
holtidős szabályozási kört. A felnyitott rendszer NYQUIST diagramja a frekvencia növelésével egy önmagát végtelen sokszor körbejáró K sugarú kör (5.16. ábra). A stabilitás határhelyzetében a kör átmegy a -1 ponton, tehát = 1, összhangban az 5.4. ábrával és az 5.1. táblázat alapján megállapított konvergencia feltétellel.
5.16. ábra Holtidős rendszer NYQUIST diagramja Az általánosított NYQUIST stabilitási kritérium
Az általánosított NYQUIST stabilitási kritérium arra az esetre is megadja a stabilitás feltételét, amikor a felnyitott körnek van jobb oldali pólusa, vagyis a felnyitott kör labilis. A kérdés az, hogy ilyenkor a negatív visszacsatolással a zárt szabályozási kör stabilizálható-e. Az általánosított NYQUIST kritérium a következőképpen fogalmazható meg: ha a felnyitott rendszer labilis, és jobb oldali pólusainak száma P, a zárt szabályozási rendszer aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes NYQUIST diagramja annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a - 1 + jO pontot az óramutató járásával ellentétes pozitív irányban,, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma, azaz P -szer
5.17. ábra A teljes NYQUIST diagram képzése
5
1 8
á b r a
A
- ' képzendő zárt görbe, ha L(s)nek van az imaginárius tengelyre eső pólusa
A teljes NYQUISTdiagramot most az előző pontban megadott megfogalmazásnál precízebben adjuk meg. Az s komplex síkon az s = y'co egyenest ( - » < co < °°) zárjuk egy végtelen sugarú jobb oldali félkörrel az 5.17. ábra szerint. Ennek a zárt görbének az L(s) függvény szerinti
leképezése a felnyitott kör teljes N Y Q U I S T diagramja. (Megjegyezzük, hogy ha az L(s) racionális tört nevezője magasabb fokszámú a számlálójánál, a végtelen sugarú félkör a zérus pontba képződik le.) Ha L(s)-nek van pólusa az imaginárius tengelyen, a zárt görbét az 5.18. ábra szerint úgy módosítjuk, hogy az egy zérushoz tartó S sugarú félkörrel kerülje meg az adott pontot jobbról vagy bakói. Ha az 5.18. ábra szerint jobbról kerüljük meg az imaginárius tengelyen lévő pólust, az bal oldak pólusnak tekinthető. Ha a megkerülés bal oldakól történik, akkor a pólus j o b b oldalinak számít. Az általánosított N Y Q U I S T s t a b i ü t á s i kritérium komplex függvénytani megfontolásokkal látható be. Legyen f(s)
m
az s komplex változó alábbi függvénye: f(s) = (s-s ) , 0
Vizsgáljuk meg, hogyan v á l t o z i k / ( í ) vektora, ha az s— s
Q
ahol s
Q
adott pont.
vektor végpontja az Í síkon olyan
zárt görbén halad végig az óramutató járásával megegyező kányban, amely mentén az
f(s)
függvény reguláris (differenciálható).
(c) (d) 5.19. ábra Komplex függvénytani megfontolások Ha az s pont a zárt görbe belsejébe esik (5.19a ábra), az Í - J vektor valamilyen kezdeti pontból kiindulva és a görbét az óramutató járásával megegyező kányban bejárva visszakerül eredeti helyzetébe, de közben fázisszöge -2n értékkel megváltozik. Eközben az f(s) függvény képe -m2n szöggel fordul el a kiindulási ponttól az f(s) függvény által meghatározott görbe mentén. Ez a görbe m teljes fordulattal veszi körül az origót az óramutatóval azonos ( m pozitív), vagy azzal ellentétes ( m negatív) kányban (5.19b ábra). Ha viszont az s pont a zárt görbén kívül fekszik (5.19c ábra), a zárt görbét körüljárva az Í - Í vektor szöge először egyik kányban növekszik, majd azután a másik irányban ugyanannyival csökken, és az f(s) függvény által leírt görbe végülis n e m veszi körül az origót (5.19d ábra). 0
0
0
c
Alkalmazzuk a fenti megfontolásokat a zárt szabályozási kör karakterisztikus függvényére. Legyen a felnyitott kör átviteU függvénye racionáks törtfüggvény, amelynek számlálója az Af(s), nevezője pedig a V(s) polinom, L(s) = J\f{s)/V(s). A karakterisztikus függvény:
182
Zj-vei jelöltük a számláló gyökeit, amelyek az l + L(s) függvény zérushelyei, p v e l pedig a nevező gyökeit, amelyek az 1 + L(s) függvény pólusai, k konstans. A z 1 + L(s) függvény pólusai megegyeznek a felnyitott kör átviteli függvényének pólusaival. (A többszörös g y ö k ö k megfelelő számú gyöktényezővel szerepelnek a kifejezésben.) r
V e g y ü k fel a komplex számsíkon a zárt görbét az 5.17. ábra szerint. Végighaladunk az imaginárius tengelyen - ° o - t ő l +°°-ig, majd a görbét a jobb félsíkon haladó végtelenhez tartó sugarú félkörrel zárjuk. Ezt a görbét képezzük le az (5.31) karakterisztikus függvény szerint. Az (5.31) egyenlet valamennyi gyöktényezőjére fennállnak a fenti komplex függvénytani megfontolások. (Azérusokra Í = z ,z »---.z„ és m = 1, míg a pólusokra s = p ,p ,---,p és m = - l . ) A z l + L(s) függvény fázisszöge az egyes tényezők fázisszögének előjeles összege. Ha az 1 + L(s) függvénynek Z számú zérusa és P számú pólusa van a jobb oldali félsíkon, az 5.17. ábrán látható zárt görbén belül, az l + L(s) függvénynek a tekintett zárt görbe szerinti leképzése annyiszor veszi körül az origót az óramutató kányában, amennyi a görbe által közrefogott zérusok és pólusok számának különbsége. A kezdeti és a végállapot közötti szögeltérés -2%(Z-P). A z origó körüli R körülfordulások száma pedig 0
1
2
0
R = P-Z
i
2
n
(5.32)
ahol az óramutató járásával ellenkező irányú körülfordulást tekintjük pozitív előjelűnek (a részletes levezetést lásd az F.5. Függelék 5.1. pontjában).
Im< j -• /Us) 1
-l
1
+ 1
-
Re
5.20. ábra A z L(s) és 1 + L(s) vektorok kapcsolata Mivel az 1 + L(s) függvényt egyszerűen úgy is tekinthetjük, hogy az L(s) görbét a - 1 + jO pontból mint origóból szemléljük (5.20. ábra), az L(s) függvény leképzése az 5.17. ábra zárt görbéje szerint (az ún. teljes NYQUIST diagram) R = P- Z-szer veszi körül a - 1 + jO pontot. P a karakterisztikus függvény jobb oldali pólusainak száma. Ezek a pólusok viszont az (5.31) egyenlet szerint megegyeznek a felnyitott rendszer jobb oldali, labilis pólusaival. Z a karakterisztikus egyenlet jobb oldak zérusainak száma. Stabilis viselkedés esetén a karakterisztikus egyenletnek n e m lehetnek jobb oldali zérusai. A stabilitás feltétele tehát Z =0
,
illetve R = P.
(5.33)
Az általánosított NYQUIST stabilitási kritériumból következik az egyszerűsített NYQUIST kritérium is. Ha ugyanis a felnyitott rendszernek nincs jobb oldali pólusa, vagyis P = 0 a zárt rendszer akkor stabilis, ha R = 0, vagyis a NYQUIST diagram n e m veszikörül a - 1 + jO pontot. Megjegyezzük, hogy a gyakorlati esetek többségében afelnyitott kör stabilis, és a szabályozási
183
körben a visszacsatolás eredményezheti a labilis működést. D e előfordulnak labilis szakaszok is, amelyeket szabályozással, negatívan visszacsatolt körben kívánunk stabilizálni. Labilis szakasz például az inverz inga. A cirkuszi zsonglőr képes egyensúlyozni az eldőlni akaró rudat - kézi szabályozást valósítva meg - megfelelően gyors, a rúd eldőlési dmamikájánál gyorsabb mozgással (5.21. ábra). Az inverz inga stabilizálásának automatikus megoldását vázlatosan az 5.22. ábra szemlélteti.
O 5.21. ábra A zsonglőr egyensúlyozni tudja az alul alátámasztott rudat 1
9
Érzékelő
Szabályozó
5.22. ábra Inverz inga mozgásának stabilizálása Néhány példa a NYQUIST stabilitási kritérium alkalmazására 5.7. Példa Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye: l-s s-l L(s)= Állapítsuk meg, stabilis-e a zárt szabályozási kör. C
lm'
/
\ o -co
<ű =
\o= 0
fs
-co
* \
R' e
/ /
kompenzált rendszer
5.23. ábra Negatívan visszacsatolt labilis szakasz stabilitásvizsgálata
184
A rendszemek egy jobb oldali pólusa van, tehát P = l. A NYQUIST diagramot az 5.23. ábra mutatja. Mivel a diagram n e m fogja körül a -1 pontot, R = 0, a zárt rendszer labilis. A rendszer stabilizálható, ha az előrevezető ágba sorosan egy előjelfordító A = - l átviteli tényezőjű ún. kompenzáló tagot iktatunk be. Ezzel a NYQUIST diagram az origóra tükröződik (pontvonallal jelzett görbe), és a -1 pont körül a körülfordulások száma R = P = 1 lesz. 5.8. Példa Tekintsük például azt az esetet, mikor a felnyitott kör egy integrátor, L(s) = Ki/s, amelynek pólusa az origóba esik. A leképzendő zárt görbét a pólus jobbról való megkerülésével és a hozzá tartozó teljes NYQUIST diagramot az 5.24a. ábra mutatja, míg a balról való megkerülés esetét az 5.24b ábra tünteti fel. A z s síkon a pólust megkerülő kis kör 1, 2, illetve 3-mal jelölt pontjai az L(s) síkon az 1', 2 ' , illetve 3 ' pontokba képződnek le. A z (a) esetben P = 0 és R = 0, a (b) esetben P = í és R = l, tehát bármelyik megkerülést választjuk, a zárt rendszer stabilis működését állapíthatjuk meg.
(a)
(b)
i
I
5.24. ábra Negatívan visszacsatolt integráló tag szabályozási körének stabilitásvizsgálata 5.9. Példa A felnyitott kör legyen egy háromtárolós arányos tag, L(S) = K/(1 +sT )(l +sT )(l +sT ). A pólusok: p = -l/Ti, p =-l/T , P3 = -l/T$ d bal oldaliak, tehát P = 0 . Alkalmazzuk az általánosított NYQUIST stabiktási kritériumot. A felnyitott kör teljes NYQUIST diagramját az 5.17. ábrán adott görbe leképzésével az 5.25. ábra mutatja. Ha a NYQUIST diagram áthalad a -1 ponton, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a NYQUIST diagram nem foglalja magába a -1 pontot (K hurokerősítés), R = P = 0, a szabályozás stabilis. Ha a NYQUIST diagram magába 1
m
x
x
2
2
m
2
3
185
foglalja a - 1 pontot (K hurokerősítés), R^P, a szabályozás labilis. Az R körülfordulások számának meghatározásához szúrjuk képzeletbeli körzőnk hegyét a -1 pontba, és járjuk körbe a körző végével a NYQUIST diagramot £ű = -°o-től +°o-ig. A körülfordulások száma R = -2 (az óramutató járásával megegyező irány). A karakterisztikus egyenletnek két jobb oldali gyöke van, Z = 2,mive\R = -2 = P-Z = 0-Z. 2
Megjegyezzük, hogy stabilis felnyitott rendszer esetén elegendő az egyszerűsített NYQUIST stabilitási kritériumot alkalmazni. Stabilis esetben a - 1 + jO pont a pozitív NYQUIST diagramtól bal kéz felé, labilis esetben attól jobb kéz felé esik. A z egyszerűsített stabilitásvizsgálat alkalmazható azokra az esetekre is, mikor a felnyitott kör integrátorokat tartalmaz, tehát vannak pólusai az origóban. lm
s
'
1 1 1 1
\
/ /
/
\
,»
\
y
^ \
t
Yi /
N
/
"
^
^
+CO
o = -ra
\
\
t
,Ki
i
K
|
J
B-0
3
Sí
Re'
5.25. ábra Háromtárolós arányos rendszer stabilitásvizsgálata A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai Stabilis felnyitott kör esetén tehát a zárt szabályozási kör akkor stabilis, ha a NYQUlSTdiagram nem veszi körül a - 1 + jO pontot. Mondhatjuk, hogy a rendszernek stabilitási tartaléka van, ha a NYQUIST diagramot „kellően távol tartjuk" a - 1 + ;'0 ponttól. Definiálhatunk mérőszámokat, amelyek jelzik, milyen messze van a felnyitott rendszeiN YQUIST diagramja a - 1 + jO ponttól. Ilyen mérőszámok a fázistartalék vagy fázistöbblet (phase mar gin), az erősítési tartalék (gain margin), a modulus tartalék (modulus margin) és a késleltetési tartalék (delay mar gin).
Im f
5.26. ábra A fázistöbblet értelmezése
186
Fázistartalék
vagy
fázistöbblet
Rajzoljuk fel a felnyitott rendszernek a pozitív frekvencia értékekhez tartozó NYQUIST diagramját. Határozzuk meg a NYQUIST diagramnak az egységsugarú körrel való metszéspontját. A metszésponthoz tartozó körfrekvenciát vágási körfrekvenciának nevezzük és co -vel (cut-offfrequency) jelöljük. Kössük össze egy egyenessel az origót és metszéspontot. Ennek az egyenesnek a negatív valós tengellyel bezárt szögét fázistartaléknak vagy fázistöbbletnek nevezzük (5.26. ábra). c
(5.34)
co =
c
c
Ha a fázistöbblet pozitív, a rendszer stabilis. H a fázistöbblet zérus, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a fázistöbblet negatív, a rendszer labilis. Tehát op > 0
Stabilis rendszer
cp = 0
Határhelyzet
cp < 0
Labilis rendszer
t
t
t
(5.35)
A fázistöbblet, mint egyetlen mérőszám alapján akkor ítélhetjük meg a rendszer stabilitását, ha a NYQUIST diagram csak egyszer metszi az egységsugarú kört. Erősítési
tartalék
Határozzuk m e g a NYQUIST diagramnak a negatív valós tengellyel való metszését és ezen pontnak a - 1 + jO ponttól való K = |1 + L ( / C Ű ) | távolságát (5.27. ábra). Nyilvánvaló, hogy a 180
K > 0 esetre az egyszerűsített NYQUIST kritérium stabilitási tartományát kapjuk. A z erősítési tartalék, mint egyetlen mérőszám alapján akkor ítélhetjük meg a rendszer stabilitását, ha a NYQUIST diagram csak egyszer metszi a negatív valós tengelyt.
5.27. ábra Az erősítési tartalékok értelmezései A ún. módosított erősítési tartalékot az 5.27. ábrán látható K' = L ( ; C O ) = 1 - K metszékkel definiáljuk. Ha K ' < 1 , a rendszer stabilis. Ha K' = 1, a rendszer a stabilitás határán van. Ha K' > 1, a rendszer labilis. Tehát 1 8 0
K' < 1 Stabilis rendszer K' = 1 Határhelyzet K' > 1 Labilis rendszer
(5.36)
A K jelentése szemléletesebb, a K'-nak a reciproka, viszont azt jelenti, hogy hányszorosára övelhetjük m e g a körerősítést a stabilitási határ eléréséig. Ezért szokásos m é g a g = l/V = t
= l /|i,(yco )| mennyiséget is mint relatív erősítési tartalékot használni. A /
g
t
értékével
meg.
Egyszerű
180
megszorozva
a
körerősítést,
a
kritikus
megfontolásokból kapjuk a g > M /(M t
m
m
körerősítés
értékét
kapjuk
-1) és cp > 2 a r c s i n ( l / M ) egyenlőtlenségeket. ( A z t
m
M jelentéséhez lásd (4.25)-t.) m
lm'
5.28. ábra Amikor a fázistöbblet és az erősítési tartalék nem értelmezhető Az 5.28. ábra egy olyan rendszer NYQUIST diagramját mutatja, ahol sem a fázistöbblet, sem az erősítési tartalék n e m értelmezhető. (A NYQUIST diagram ilyen lefolyását lengő tagok és zérusok jelenléte alakíthatja.) Ilyenkor az egész NYQUIST diagramot kell tekinteni. Az egyszerűsített NYQUIST kritérium alapján eldönthető a stabilitás: mivel a görbét körüljárva a - 1 + jO pont jobb kéz felé esik, a rendszer labilis. A stabilitás mellett a megfelelő tranziens viselkedéshez, a zárt rendszer átmeneti függvényében a kb. 10% alatti túllendülés biztosításához a megkívánt fázistöbblet 60° körüli, a g relatív erősítési tartalék értéke pedig kb. 2 ( K ~ K' = 0.5). Ezek a jellemző értékek akkor tekinthetők irányadónak a gyakorlatban, ha nincsenek rezonáns jelenségek a hurokátviteli függvény frekvencia függvényében. t
Imt
5.29. ábra Amikor megfelelő fázistöbblet és erősítési tartalék mellett sem lesz kielégítő a rendszer dinamikus viselkedése A kielégítő fázistöbblet és erősítési tartalék n e m minden esetben adnak megbízható információt a rendszer stabilitási tartalékáról. Tekintsük például az 5.29. ábrán látható NYQUIST diagramot. Annak ellenére, hogy mind a fázistöbblet, mind az erősítési tartalék megfelelő, a zárt kör L/(l + L) frekvenciafüggvényében a vágási körfrekvencia környékén nagy kiemelések jöhetnek létre, mivel a frekvencia növelésével L amplitúdója alig változik, viszont az 1 + L vektor amplitúdója jelentősen csökken. Nagy kiemelés a zárt rendszer frekvenciafüggvényében a vágási körfrekvencia környékén lengésekre utal az átmeneti függvényben. Továbbá, ha a
188
szakasz paraméterei kissé megváltoznak, a rendszer akár labilissá is válhat. A fázistöbblet vagy erősítési tartalék akkor jellemzik a rendszer stabilitási viszonyait, ha a NYQUIST diagram a vágási körfrekvencia előtt és után n e m közelíti meg túlságosan az egységsugarú kört.
5.30. ábra A modulus tartalék értelmezése Modulus
tartalék
Az p modulus tajtalék a - 1 + 7O pont és a NYQUIST diagram távolsága, tehát a —1 + 7O középpontú - a diagramot m é g érintő - legkisebb kör sugara (5.30. ábra). A modulus tartalék szemléletesen mutatja, milyen messze van a rendszer legkevésbé stabilis pontja a stabilitás határától. A modulus tartalékra ésszerű előírás, hogy lehetőleg legyen p > 0.5. m
m
A p modulus tartalékot NYQUIST stabilitási tartaléknak is hívják. Igen fontos összefüggés, hogy p megegyezik az érzékenységi függvény (lásd a 6. Fejezetet) maximális abszolút értékének a reciprokával: m
m
(5.37) (0
A c p , K , p tartalékok analóg fogalmak, hiszen mindegyik valamilyen m ó d o n a - 1 + ; 0 ponttól való távolságot kívánja garantálni. t
m
Késleltetési
tartalék
A késleltetési tartalék megadja a holtidőnek azt a legkisebb értékét, amelyet a felnyitott körbe sorosan beiktatva a zárt rendszer a stabilitás határára kerül. A késleltetési tartalék a radiánban mért fázistöbbletből az alábbi összefüggéssel számítható ki: (5.38)
ahol co a vágási körfrekvenciát jelöli. c
A stabilitási tartalékok alapján nemcsak a stabilitást dönthetjük el, hanem azt is megállapíthatjuk, „milyen messze van" a rendszer a stabilitás határától. Strukturális és feltételes stabilitás Tételezzük fel, hogy A felnyitott rendszer stabilis, tehát a zártrendszer stabilitása megítélhető az egyszerűsített NYQUIST kritérium alapján.
189
A legtöbb rendszer általában kis hurokerősítési értékekre stabilis, egy adott kritikus hurokerősítésnél a rendszer a stabiütás határára kerül, majd a hurokerősítést növelve labilissá válik. (Ilyen rendszer a háromtárolós arányos szakasz visszacsatolásával adódó szabályozási kör, ld. az 5.5. és az 5.9. példákat.)
5.31. ábra Strukturálisan stabilis rendszerek NYQUIST diagramjai
5.32. ábra Feltételesen stabilis rendszer NYQUIST diagramja
Vannak azonban struktúrájuknál fogva mindig stabilis rendszerek, amelyek bármilyen hurokerősítés érték mellett stabilisak maradnak. Ezeket a rendszereket strukturálisan stabilis rendszereknek nevezzük. Ilyen rendszerek például a negatívan visszacsatolt egytárolós és kéttárolós arányos rendszer, a visszacsatolt tiszta integráló tag és egytárolós integráló tag, amelyek NYQUISTdiagramja nem fogja körül a -1 pontot, akármekkora is a hurokerősítés. A hurokerősítés növelésével a rendszer nem válik labilissá, azonban a stabilitási tartalékok csökkennek. E rendszerek NYQUIST diagramját az 5.31. ábra szemlélteti. Vannak olyan rendszerek is, amelyek a hurokerősítés egyes megadott tartományaiban stabilisak, más tartományokban viszont labilisak. E rendszereknél ügyelni kell tehát a hurokerősítés beállítására. Ezeket a rendszereket feltételesen stabilis rendszereknek nevezzük. Egy feltételesen stabilis rendszer NYQUIST diagramjára az 5.32. ábra mutat példát. A NYQUIST diagram alakulását a pólusok mellett a beiktatott zérusok befolyásolják. H a a hurpkerősítés kicsi, a -1 pont a NYQUIST diagramtól bal kéz felé esik, tehát kis hurokerősítésekre a'szabályozási rendszer stabilis. A hurokerősítés növelésével a -1 pont a görbétől jobb kéz felé esik, tehát a rendszer labilissá válik. A hurokerősítést tovább növelve a -1 pont a diagramtól bal kéz felé kerül, tehát a rendszer stabilissá válik. A hurokerősítés további növelésével a diagram ismét körbeveszi a -1 pontot, tehát a szabályozási kör labilis lesz.
5.33. ábra A fázistöbblet és az erősítési tartalék leolvasása a BODE diagramból
190
A stabilitás megítélése a BODE diagramból A fázistöbblet és az erősítési tartalék a felnyitott rendszer BODE diagramjából is leolvasható. A z co vágási körfrekvenciánál a frekvenciafüggvény abszolút értéke egységnyi. A BODE amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbe ennél a frekvenciánál metszi a vízszintes nulla dB tengelyt. Az ehhez a körfrekvenciához tartozó fázisszögnek a - 1 8 0 ° - t ó i való eltérése adja a c
fázistöbbletet. A 9 = - 1 8 0 ° - h o z tartozó frekvenciánál leolvasott abszolút érték meadja a K paraméter értékét dB-ben, amiből meghatározható az erősítési tartalék (5.33. ábra). Ha a felnyitott kör minimumfázisú (átviteli függvénye n e m tartalmaz jobb oldak zérusokat és pólusokat), továbbá a szabályozási kör nem tartalmaz holtidős tagot, a stabilitás igen egyszerűen megállapítható a felnyitott kör közelítő amplitúdó-körfrekvencia görbéje alapján. Ekkor a BODE amplitúdó diagramból egyértelműen következik a fázisszög menete, ugyanis a pólusokhoz pozitív, a zérusokhoz pozitív arctg görbe szerinti lefolyású fázisszög tartozik. Egy minimumfázisú holtidőmentes szabályozási rendszer stabilis, ha a felnyitott kör aszimptotikus BODE diagramja a -20dB/dekád meredekségű szakaszon metszi a frekvenciatengelyt. rendszer biztosan labilis, ha a metszés meredeksége -60dB/dekád vagy ennél nagyobb. H a a metszési szakasz meredeksége -40dB/dekád, a rendszer lehet stabilis vagy labilis is, de fázistartaléka biztosan megengedhetetlenül kicsi (5.34. ábra). «jö>)l t
5.34. ábra Minimumfázisú holtidőmentes rendszer stabilitása megítélhető az aszimptotikus Bode amplitúdó-körfrekvencia diagramból A fenti állítás az alábbi megfontolásokkal látható be. Tekintsük az 5.35. ábrán
látható
aszimptotikus BODE diagramot. A vágási körfrekvencia a -20dB/dekád meredekségű szakaszra esik. A fázisszög co környékén megközelíti a - 9 0 ° -ot. A vágási körfrekvenciától jobbra eső töréspontból adódó fázisszög (különösen ha a töréspont elég messze esik co -től, legalább annak ötszöröse) az co -nél adódó fázisszöget csupán kismértékben befolyásolja. A 20dB/dekád meredekségű szakasz előtt a BODE diagramnak lehetett vízszintes, -20dB/dekád vagy -40dB/dekád meredekségű szakasza. A z ezekből adódó fázisszög menetét az ábrán szaggatottan, pontozottan, illetve pontvonallal ábrázoltuk. Ezen szakaszok hatása a fázisszöget az co körfrekvenciánál csak kismértékben befolyásolja (különösen ha az co előtti töréspont elég messze esik
c
c
c
c
c
5.35. ábra -20dB/dekád meredekségű szakaszra eső vágási körfrekvencia esetén a rendszernek biztosan van pozitív fázistartaléka Ha a vágási körfrekvencia -40dB/dekád meredekségű szakaszra esik, a korábbi töréspontokból adódó fázisszöggel az co körfrekvencián a fázisszög megközelítheti vagy kissé meghaladhatja a - 1 8 0 ° értéket, így a rendszer közel kerül a stabilitás határához (5sp6. ábra). Ilyenkor a stabilitás eldöntéséhez meg kell határozni a fázistöbblet értékét. c
A
5.36. ábra -40dB/dekád meredekségű szakaszra eső vágási körfrekvencia esetén a rendszer közel kerül a stabilitás határához
192
Ha a vágási körfrekvencia -60dB/dekád vagy annál meredekebb szakaszra kerül, a fázistöbblet már biztosan negatívvá válik. A stabilitás biztosításához tehát a vágási körfrekvenciának -20dB/dekád meredekségű szakaszra kell esnie. (Ez a szakasz legyen elegendően hosszú, hogy a fázistöbblet is megfelelő,60° körüli legyen.) Ha felnyitott rendszer n e m minimumfázisú, illetve tartalmaz holtidőt is, csupán a BODE amplitúdó diagramból n e m ítélhető m e g a stabilitás. Ilyenkor a BODE amplitúdó és fázis diagramot együttesen kell tekinteni. 5.7. Robusztus stabilitás A szakasz paraméterei általában mérési eredményekből adódnak. A paraméterek értékei a névleges értékük körül egy megadott tartományban változhatnak. A zárt szabályozási körnek a paraméterek megadott bizonytalansági tartományai mellett stabilisnak kell lennie. Tételezzük fel, hogy a felnyitott rendszer stabilis. A névlegesszakaszhoz tervezett szabályozó a névleges zárt szabályozási kör stabilitását biztosítja. Vizsgáljuk, hogy a rendszer stabilis marade a felnyitott kör paraméter bizonytalanságai mellett. A stabilis működés fennáll, ha a módosult felnyitott kör NYQUIST diagramja sem veszi körül a - 1 + jO pontot.
5.37. ábra Bizonytalan rendszer NYQUIST diagramjának változása A folyamat bizonytalanságát az abszolút AP =
P-P
(5.39)
és relatív P-P
(5.40)
P modell hibával szokták jellemezni, ahol P a tervezéshez rendelkezésre álló vagy úgynevezett névleges modell, míg P a valódi folyamat. H a a folyamat ismeretében A P bizonytalanság (vagy paraméterváltozás) jelentkezik, akkor ez ugyanazon szabályozó mellett teljes egészében megjelenik a hurokátviteli függvény AL = C AP abszolút hibájában, a relatív hibája pedig
193
AL
L-L
CP-CP
P-P
(5.41)
CP megegyezik a folyamat bizonytalanság relatív hibájával. Itt L a névleges, L pedig a valódi hurokátviteli függvény. A zárt rendszer legrosszabb esetben bekövetkező paraméterváltozására vonatkozó stabilitását (robusztus stabilitás) úgy tudjuk megfogalmazni, hogy az ebből adódó AL hatására sem következhet be labilis működés. A AL-re vonatkozó korlátot az 5.37. ábra alapján egyszerű geometriai megfontolások alapján fogalmazhatjuk meg: a NYQUIST diagram akkor nem veszi körül a - 1 + jO pontot, ha minden frekvenciára teljesül az alábbi összefüggés: |AL(7Cű)| = |*(JCD)||L(7©)| < |l + L(;co)
(5.42)
Vco
További átalakításokkal kapjuk a robusztus stabilitás szükséges és elégséges
Vco
(5.43)
feltételét, ahol f = LJ{\ + £ ) a névleges kiegészítő érzékenységi függvény. Az (5.43) feltétel fordított alakja ;
(;co)|<j!j
(5.44)
Vco
Szokásos még a robusztus stabilitás fenti egyenlőtlenségeit szorzat alakban is megadni |<1
(5.45)
Vco
amely alakot a tervezés dialektikus összefüggésének is nevezik. A|r( /'co)| első tényező ugyanis -
a folyamat feltételezett (ismert) névleges paramétereire adódik a tervezés folyamán, tehát tőlünk függ. A z \£\ második tényező n e m (vagy csak részben) tőlünk függ, hiszen a folyamat ismeretének bizonytalanságát vagy a nem várt paraméter megváltozásokat tartalmazza. A z o k b a n a frekvencia tartományokban, ahol nagy a bizonytalanság, sajnos csak kicsiny átviteli erősítést méretezhetünk a zárt rendszerre. Ott ahol pedig r(./'co)| nagy, ott igen pontos információval kell rendelkezzünk, hogy a hiba kicsiny legyen. Minél nagyobb a kiegészítő érzékenységi függvény abszolút értéke, annál kisebb a megengedhető paraméter bizonytalanság. Az (5.43) feltétel minden frekvenciára vonatkozó egyenlőtlenség meglehetősen szigorú, ezért ezt praktikusabb feltételre szokták cserélni, ha |r(./'co)j m a x i m u m a ismert. Legyen T
m
= max r(jco) CO
akkor segítségével az (5.43) alak az
(5.46)
194
\t(j(o)\<^
Vco
elégséges feltételre egyszerűsíthető. (Idézzük fel a 4. Fejezetet, amely szerint M(co) =
(5.47)
|r( 7Cű)|.)
Ha a felnyitott kör labilis, és a visszacsatolás stabilizálja a névleges rendszert, a paraméter bizonytalanságok esetén a rendszer akkor marad stabilis, ha a bizonytalanságok mellett a felnyitott kör jobb oldali pólusainak száma n e m változik, és a NYQUIST diagram - 1 + jO pont körüli körülfordulásainak száma sem változik meg.
195
6. Tervezés a frekvenciatartományban Egy szabályozási körnek megadott minőségi előírásokat kell teljesítenie. Ezek a minőségi követelmények: -
stabilitás megfelelő statikus pontosság alapjelkövetésre és zavarelhárításra a mérési zaj hatásának elnyomása érzéketlenség a paraméterváltozásokra előírt dinamikus (tranziens) viselkedés a gyakorlati megvalósításból adódó korlátozások figyelembevétele
Általában a rendszerek viselkedése nem felel m e g mindezen elvárásoknak. A szabályozás megfelelő megtervezésével biztosíthatjuk a kívánt működést. A leggyakoribb szabályozási elrendezés a 6.1. ábrán látható soros szabályozási kör. Az adott szabályozandó folyamathoz olyan sorbaiktatott szabályozót kívánunk megadni, amellyel a zárt szabályozási rendszer stabilis működésű és megfelel a szabályozással szemben támasztott követelményeknek.
"(0 U(s)
y(0
P(s)
6.1. ábra Soros szabályozási kör A szabályozási körben P(s) a folyamat (szabályozott szakasz), C(s) a szabályozó átviteli függvénye. A z y szabályozott jellemzőt negatív visszacsatolással vezetjük vissza a bemeneti különbségképzőre. A zavaró jelek hatását a y ( r ) kimeneti zavaró jellemzőben v e s s z ü k figyelembe. Ez a zavarási modell általában elégséges a gyakorlati problémák kezelésére. n
Az alábbiakban a szabályozó összefüggések felhasználásával.
tervezésére
adunk
szempontokat
frekvenciatartománybeli
6.1. Az idő- és frekvenciatartománybeli jellemzők kapcsolata A minőségi előírások szemléltethetők a frekvenciatartományban rendszer frekvenciafüggvényének menetén.
is a nyitott illetve a zárt
A szabályozási kör stabilitását, lengési hajlamát a zárt kör BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramjának kiemelése jellemzi, amely a nyitott kör vágási körfrekvencia körüli tartományában léphet fel. A stabilitás, a lengési hajlam, a tranziens viselkedés megállapításához a középfrekvenciás tartományban kell vizsgálni a frekvenciafüggvénymenetét (4.6. pont). Mint láttuk, a szabályozási idő a vágási körfrekvenciából becsülhető. A NYQUIST és BODE diagramok alapján történő stabilitásvizsgálattal részletesen foglalkoztunk az 5. Fejezetben. A statikus tulajdonságokra a frekvenciafüggvény kisfrekvenciás tartománybeli lefolyásából lehet következtetni. Mint láttuk, az ugrás, sebességugrás és gyorsulásugrás alakú tipikus bemenőjelekre a követési illetve zavarelhárítási hiba a szabályozás típusszámától (a nyitott körben lévő integrátorok számától) valamint a hurokerősítés értékétől függ. A felnyitott kör közelítő BODE amplitúdó diagramja 0-típusú szabályozás esetén a 0 dB tengellyel párhuzamosan
196
indul a kisfrekvenciás tartományban a K hurokerősítési értékkel. 1-típusú szabályozásnál a diagram -20dB/dekád meredekséggel indul, amelynek meghosszabbítása a K hurokerősítésnek megfelelő körfrekvencián metszi a 0 dB tengelyt. 2-típusú szabályozás BODE diagramja 40dB/dekád meredekséggel indul, aminek meghosszabbítása a ^K~l értéknél metszi a vízszintes tengelyt. A statikus minőségi előírások kielégítéséhez a felnyitott kör BODE diagramjának kisfrekvenciás tartományát kell megfelelően kialakítani (6.2. ábra). 0
x
\L(Jco)\
6.2. ábra A szabályozás statikus pontosságát a kisfrekvenciás tartomány jellemzi Az alapjelkövetésre, zavar- és zajelhárításra, a paraméterbizonytalanságok hatásának kompenzálására a nyitott és zárt rendszer frekvenciafüggvényei közötti kapcsolat (4.6. pont) alapján az alábbi megállapításokat tehetjük: - a j ó alapjelkövetéshez \L( j(o)\ legyen minél nagyobb - a bemeneti és kimeneti zavarások minél hatásosabb elhárításához \L( JG>)\
legyen
minél nagyobb - a jó mérési zajelhárításhoz \L( j(ü)\ legyen minél kisebb - a folyamatmodell paraméterbizonytalanságai hatásának kompenzálásához
\L( jca)\
legyen minél nagyobb - a túlságosan nagy beavatkozójelek elkerüléséhez a gyorsítás legyen mérsékelt, co ne legyen túlságosan nagy. c
Egyes követelmények egymásnak ellentmondóak és ugyanazon frekvencián egyidejűleg nem biztosíthatók. Ezért rendszerint különböző tartományokban más és más feltételeket kell előírnunk. 6.2. A minőségi előírások megfogalmazása a frekvenciatartományban Mint a 4. és 5. Fejezetekben láttuk, a minőségi előírások szemléltethetők a frekvenciatartományban is a zárt, illetve a felnyitott rendszer frekvenciafüggvényének menetén. A zárt szabályozási kör viselkedését a zárt rendszer eredő frekvenciafüggvénye jellemzi. Mint láttuk, a zárt rendszer amplitúdó-körfrekvencia függvényének M maximális kiemelése jellemzi az időtartományban az átmeneti függvény túllendülését. Tapasztalat szerint, ha M < 1 . 2 5 , m
m
akkor az átmeneti függvényben nincs számottevő túllendülés. A zárt rendszer sokszor jól közelíthető egy domináns póluspárral, tehát helyettesíthető egy másodrendű lengő taggal, amelynek csillapítási tényezője meghatározza a maximális túllendülés értékét. Ha a zárt rendszer amplitúdó-körfrekvencia görbéjének nincs kiemelése, az átmeneti függvényben sincs túllendülés. A domináns póluspárból adódó közelítő lengő tag 0.5-nél nagyobb csillapítási tényezője aperiodikus viselkedést biztosít. 0.6-0.7 értékű csillapítási tényező esetén az átmeneti függvény túllendülése 5-10% körüli. A nyitott és a zárt rendszer átviteli függvényei közötti összefüggések alapján a zárt rendszer frekvenciafüggvénye helyett vizsgálhatjuk a felnyitott rendszer amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbéjének menetét is. A túllendülés a fázistöbblettel hozható kapcsolatba. cp =60°-nál a csillapítási tényező értéke £ ~ 0.7, cp növelésével \ is nő, cp > 90°-nál a tranziens viselkedés aperiodikus lesz. H a a fázistöbblet csökken, a csillapítási tényező is csökken, cp = 30°-nak £ ~ 0.2 - 0.3 körüli érték felel meg, ami már jelentős, de még csillapodó lengésekkel jár. Ezek az egyszerű összefüggések tájékozódás céljára kielégítőek. t
t
t
t
A szabályozást úgy kell megtervezni, tehát az adott folyamathoz a szabályozót úgy kell megválasztani, hogy a szabályozás eleget tegyen a minőségi előírásoknak. A minőségi előírásokhoz a felnyitott kör BODE amplitúdó diagramját a 6.3. ábrának megfelelően kell kialakítani (loop-shaping). L(M\
A Botía diagram a korlát alatt haladjon a mdréal zajok csökkenfltaériez
6.3. ábra Szempontok a felnyitott kör BODE amplitúdó diagramjának kialakításához Az alapjelkövetéshez és a zavarások elhárításához, illetve a mérési zaj hatásos elnyomásához |L(yco)|-ra ellentétes előírásokat kell betartani. A gyakorlatban azonban rendszerint az alapjel és a mérési zaj jellegzetes frekvenciatartománya eltérő, az alapjel a kisfrekvenciás tartományban, míg a mérési zaj a nagyfrekvenciás tartományban tartalmaz összetevőket. így \L( j(ú )\ lehet nagy a kisfrekvenciás tartományban, és kicsi a nagyfrekvenciás tartományban. Megfelelő kompromisszumot kell kötni a stabilitás, a j ó dinamikus viselkedés elérése valamint a szabályozás gyorsaságának és korlátos beavatkozójelének biztosítása között. A szabályozás csak nagyobb beavatkozó hatások árán gyorsítható. A nagy beavatkozójelet a beavatkozó szervnek kell biztosítania, aminek sokszor realizálási korlátai vannak.
198
A kisfrekvenciás tartomány menete a statikus tulajdonságokat határozza meg. 0-típusú rendszeméi a BODE diagram vízszintesen indul, 1-típusú rendszernél a kezdeti meredekség 20dB/dekád, 2-típusú rendszernél a görbe -40dB/dekád meredekséggel indul. Az előírt statikus pontosság határozza meg, milyen típusú szabályozást kell kialakítani. A középfrekvenciás tartomány határozza meg a rendszer stabilitását és dinamikus tulajdonságait. Mint azt az 5. Fejezetben megmutattuk, a stabilitás biztosításához az co vágási körfrekvenciának egy elegendően hosszú -20dB/dekád meredekségű szakaszra kell esnie. Ez a feltétel elegendő a stabilitás biztosításához, ha a rendszer minimumfázisú és nincs holtideje. Ha ez nem áll fenn, a fázistöbbletet (vagy az erősítési tartalékot) meg kell határozni. A pozitív fázistöbblet, illetve az 1-nél nagyobb erősítési tartalék biztosítja a stabilitást. A stabilitás mellett megfelelő dinamikus viselkedés (10%-nál kisebb túllendülés) érhető el, ha kb. 60° fázistöbbletet biztosítunk. A későbbiekben belátjuk, hogy minimumfázisú, T holtidőt tartalmazó rendszeméi co ~ l/2r d választással érhetjük el a 60° körüli fázistöbbletet. A szabályozási idő az co vágási körfrekvenciával hozható kapcsolatba. Minél nagyobb co , annál kisebb a t szabályozási idő. A szabályozási idő, mint azt a 4. Fejezetben beláttuk, az alábbi összefüggéssel becsülhető: 3/co < t < 10/co . c
d
c
c
c
s
c
s
c
'í.
Holtidős rendszerekríél az co vágási körfrekvencia nem növelhető a holtidő reciprokának felénél túl, ami határt szab a rendszer gyorsíthatóságának. c
A BODE diagram kisfrekvenciás és nagyfrekvenciás szakaszának 6.2. ábra szerinti formálásával biztosíthatjuk a mérési zaj elnyomását és a szabályozás érzéketlenségét a paraméterek bizonytalanságaka is. Az egyes követelmények sokszor egymásnak ellentmondóak. Megfelelő kompromisszumot kell kötni a stabilitás, a j ó dinamikus viselkedés elérése valamint a szabályozás gyorsaságának és korlátos beavatkozójelének biztosítása között. A szabályozás csak nagyobb beavatkozó hatások árán gyorsítható. A nagy beavatkozójelet a beavatkozó szervnek kell biztosítania, aminek sokszor realizálási korlátai vannak. A beavatkozószerv a gyakorlatban csak egy adott tartományban képes jeleket kiadni. Lényeges, hogy működés közben az u(i) beavatkozójel lehetőleg ebben a tartományban maradjon, maximális értéke ne haladja m e g a ténylegesen kiadható maximális értéket. Ha a beavatkozójel értékére ennél nagyobb parancsot adunk ki, az „bekorlátoz", maximális értékére áll be mindaddig, amíg a rendelkezőjel a kimenőjel növekedésével olyan kis értékűvé nem válik, hogy a szabályozó kimenőjele kikerül a telítési tartományból. Erre a jelenségre már a szabályozó tervezési fázisában figyelni kell. A tervezésnél tehát a felnyitott kör frekvenciafüggvényének a -1 pont körüli viselkedését kell beállítani. A -1 pont a komplex síkon két feltétellel írható le, az erősítés egységnyi és a fázisszög - 1 8 0 ° , azaz | L ( ; ( ü ) | = l ,
199
A felnyitott kör frekvenciafüggvényénekmenete tehát az co vágási körfrekvencia környékén kritikus. Egyes esetekben n e m elegendő csupán ennél a frekvenciaértéknél meghatározni a fázisszög értékét, hanem a frekvenciafüggvény alakulását ennek környezetében is vizsgálni kell. c
6.4. ábra A NYQUIST diagram menete co környezetében és a -1 pont körül c
jelentősen befolyásolja a túllendülést A 6.4. ábra két NYQUIST diagramot mutat, amelyeknél a fázistöbblet azonos. L
x
körfrekvencia után gyorsan tart az origóba.
a vágási
viszont megközelíti a -1 pontot. A z első
rendszernél a zárt rendszer \T\ = |L/(l + L)| = |L|/|l + L\ amplitúdója co után gyorsan csökken, c
míg a második esetben jelentős kiemelést mutathat. Ugyancsak kiemelést mutat ekkor ebben a tartományban az |S| = l/|l + L| érzékenységi függvénye is. 6.3. A felnyitott k ö r frekvenciakarakterisztikájának formálása A H(j(ü)
frekvenciafüggvény alkalmazásakor ismernünk kell BODE tételeit. Azelső BODE tétel
azt mondja ki, hogy bizonyos feltételek (stabilis és m i n i m u m fázisú)nellett a H(j&)
amplitúdó
frekvencia függvénye egyértelműen meghatározza a fázis frekvencia függvényt. Nevezetesen egy adott co körfrekvencián 0
co + co. 7C
co
K
CO'
dlogco
dco ~
CŰ-CŰ,
(6.1)
n dlog|ff (yco) 2
dlogco
Az összefüggés szerint tehát egy adott co frekvencián a fázis frekvencia függvény teljes alakja 0
közrejátszik a ponthoz tartozó
Ugyanakkor a belső
log
co + co co-co
r
(6.2)
r
súlyfüggvény következtében távoli pontok aligérezhető hatást gyakorolnak az co környékére. A (6.1) képlet azt jelenti, hogy ha egy pont környezetében logaritmikus ábrázoláskor a meredekség + 1 , akkor annak +TC/2 fázisszög felel meg. (Decibelben számolva: +20dB/dekád meredekség felel m e g a + l - n e k . ) 0
200
Hasonló összefüggés adható m e g az amplitúdó frekvencia függvénynek a fázis frekvencia függvénytől való függésére is, tehát itt egy-egyértelmű kölcsönös megfeleltetésről van szó. A z egy-egyértelmű megfeletetés nem áll fenn n e m minimumfázisú esetre. Amennyiben a frekvencia függvény törésponti frekvenciái elég távol esnek egymástól, akkor a hosszú egyenes szakaszokon a fázis frekvencia függvényvízszintes, és értéke cp(co) = ± j n / 2 , a töréspontok közelében pedig nem vízszintes és cp(co) = ±(2 j + l)n/4. A z előző fejezetekben bemutattuk, hogy a zárt szabályozási kör stabilitása, robusztussága, minőségi tulajdonságai mind tervezhetők a felnyitott kör fekvencia függvényének formálásával (loop-shaping). BODE, részben tapasztalati alapon, arra a következtetésre jutott, hogy a felnyitott kör L(j(a) frekvencia függvényének optimális (ideális) alakja 1 L
(6.3)
id (;'o>) =
amelynek a komplex számsík origóján átmenő egyenesekfelelnek m e g n e m egész értékű r| -ra Ezen általános alaknak az n-edrendű integrátorok speciális esetei, amikor r\ egész. N e m egész értékű alakokat viszont koncentrált paraméterű lineáris rendszerek nem tudnak képezni, így ez az elvárás csak elméleti jelentőségű és megközelítésére törekedhetünk. Ha az co vágási frekvencián egy L (co) alakú karakterisztikára állíttanánk be a cp fázistöbbletet, akkor az L (co) erősítésében (átviteli tényezőjében) bekövetkező bármilyen bizonytalanság a tervezési feltételt n e m befolyásolná. A z ideális esetet legjobban megközelítő helyzet az, amikor a fáziskarakterisztika dcp/dco meredeksége az co vágási frekvencián minimális. Ezt úgy tudjuk biztosítani, ha az co -vel szomszédos törésponti frekvenciák a lehető legtávolabb vannak (lásd BODE első tételét). c
id
t
id
c
c
Re{L(jco)}{
6.5. ábra A z érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvény kiemelését korlátozó területek A modulus tartalék tárgyalásakor láttuk, hogy értéke az érsékenységi függvény maximális abszolút értékének a reciproka. A geometriai értelmezés szerint pedig értéke a NYQUIST diagramnak a - 1 + jO ponthoz képest a legközelebbi pontjának a ponttól mért távolsága. A harmadik és negyedik síknegyedbe eső NYQUIST görbékre (ezek az úgynevezett pozitív valós rendszerek) az érzékenységi függvény n e m lehet nagyobb egynél. A n e m pozitív valós rendszerek között azért m é g lehet olyan rendszer, amelyre az érzékenység szintén kisebb egynél. A z M - a és E-$ görbék jelentése alapján (lásd a 4.6. pontot) egyszerűen megadható az a
tartomány, ahol egyidejűleg biztosítódik az |S(./co)| = £(CÖ) < 1 és |v"(;'co)| = M(co) < 1 frekvencia kiemelés nélküli feltétel. A 6.5. ábra azt a korlátozott (bevonalkázott) területet mutatja be, ahol |S(y"co)|-nek vagy |r(yco)|-nek már kiemelése lesz. A z ábrán feltüntetett L( /co)-hez tartozó -
S(j(ü)
érzékenységi függvénynek nincs kiemelése. Szükséges
feltétel,
hogy
az
L(s)
pólustöbblete egy legyen, azaz co —><*= esetén az L(j(£>) ~~ja> feltételt biztosítsuk. (Az ábrán érdekességként feltüntettük azt a nem nagyon ismert tényt is, hogy integráló típusú rendszerekre rendszerint R e J L ^ c o ) } ^
^0,
azaz a görbe nem a képzetes tengelyből indul.) A geometriai
kép alapján könnyen megérthetjük, hogy a szabályozástechnikában kisebb jelentőségű, de a távközlésben nagyobb fontosságú ún. pozitív
valós frekvenciafüggvényekre ( R e [ í f ( j c o ) ] > 0 )
automatikusan teljesül a kiemelés nélküli S(j(ü) feltétele. -
Az L(7 co)-nak az E = l egységsugarú körrel és M = l egyenessel való metszései úgyszintén lényeges információt adnak a felnyitott és zárt kör frekvencia karakterisztikáinak alakulásáról.
6.6. ábra Az S(j(ú) és T(J
co -nál ismét |S(,/co)| = l. Ha az L(j(ú) 3
nagy frekvenciánál zérushoz Art, akkor 5(yco) az
egységhez tart. A z elemzésből következtethetünk arra, hogy holtidős (tárolós, integráló, stb.) rendszerekre, amelyek frekvenciafüggvényei soha nem tudják elkerülni az
E -1 kört, |S(yco)|-
nak mindig van kiemelése. ( A z £ = 1 feltételt KÁLMÁN-HO feltételnek is nevezik.) lm
E=l
j
M=2
Re
^L(;co)| = l M = \
6.7. ábra A z |5(7"co)| < 2 és |r(;'co)| < 2 feltételeket biztosító korlátozó területek
202 A z M - a és E - P görbék szerkesztési szabályai alapján könnyű megszerkeszteni azokat a köröket (vonalkázott területek), amelyeket a 6.7. ábra mutat be az feltételek biztosításához.
Az
Af = -V2/2
értékhez
tartozó
|S(y'co)|<2
frekvencia
a
és zárt
|r(y'co)|<2 rendszer
sávszélessége. A z érsékenységi függvény tetszőleges alakításának sajnos elméleti korlátai is vannak. BODE második tétele szerint amennyiben L(s) az l/j-nél gyorsabban tart zérushoz nagy í-ekre (tehát a pólustöbblet legalább 2), akkor fennáll a következő integrál egyenlet
6
]log|s(yco)|dco = ] i o g ^ - ^ - j d o ) = 7 i X R e A -
ahol a p k r
4
( - )
a jobb oldali labilis pólusokat jelölik. V e g y ü k a legegyszerűbb esetet, amikor nincs
jobb oldali pólus, tehát L(s) stabilis, vagy a stabilitás határán van, ekkor
] l o g | S ( » | dco =
0
(6.5)
Ezt az egyenletet már könnyebb értelmezni, mert hatása az úgynevezett "vízágy" effektus, amelyet, ha egy helyen lenyomnak, akkor egy másik helyen kitüremkedik. H a például alacsony frekvencián erőfeszítéseket teszünk arra,
hogy
|S(./<ö)| kicsiny legyen,
akkor
a magas
frekvenciákon nagy lesz. Ez amiatt van, hogy egy abszolút érték logaritmusát integráljuk, tehát az
egységnyi érték alatti területe meg fog egyezni az egység feletti területével
|5(7Cű)|
(logaritmikus skálában a zérus decibeles tengely alatti az afeletti területtel). Jegyezzük meg, hogy a NYQUIST diagram ábrázolásmódja és a fentiekben áttekintett összefüggések igazolják, hogy a frekvenciafüggvény alakulásából lényeges stabilitási és/vagy robosztussági tulajdonságokat olvashatunk le. Ugyanezeket a tulajdonságokat valamivel nehezebb felismerni a BODE diagramon. Sajnos a minőségi tulajdonságok felismerését egyik ábrázolásmód sem könnyíti meg.
6.1. Példa Tekintsük a következő felnyitott körű szabályozást l
L{s)=
+
S X
(6.6)
amelynek frekvenciafüggvénye
T
/ \
1+
= W
7
7C0X 1
jaOi{l +jtít)
X-T
.
r = —; (l + co T ) 2
~J
2
Tl
\
tcn\
; t - t t = Re(co) + ;Im(co) olifl + m !' )
ti
(6.7)
2
l+CŰ Xr 2
2
/ K
\ i )
't
/ K
A valós rész értéke zérus frekvencián D
,
Re( co - > v
x
x-T
0) = '
T
= T
x
l > 0 ,ha
x>T
=i T
x
T
x
[ < 0 ,ha
(6.8) x
és
Re(co->0) = — - < 1 ,
ha
x
(6.9)
I
ami szükséges feltétel, hogy a r(y'co) kiegészítő érzékenységi függvénynek ne legyen kiemelése. A hurokátviteli függvény pólustöbblete egy, ami szükséges feltétel ahhoz, hogy az érzékenységi függvénynek ne legyen kiemelése. Vizsgáljuk m e g az elégséges feltételt is. A z érzékenységi függvény egyszerű számítással adódik
1+L
j71(l+sr) + ( l + J T )
amelyhez tartozó frekvenciafüggvény
v
;
+ j a ^ + Q + jax)
jaT^l
(l-co^rj
+X ^
+ T)
Az 5(;co)-nek nincs kiemelése, ha
2
2
\S( >)\ = E = Ll 1 2 (l-co 7ir) +(ú (T + x)
<1
JG
2
(6.12)
2
l
Az egyenlőtlenség megoldásából kapjuk, hogy az elégséges feltétel
— >
1+— -1
(6*13)
A zárt kör kiegészítő érzékenységi függvénye
r =
_L_
Lt£E
=
í+L
(6.14)
j7i(i+jr)+(i+jT)
amelyhez tartozó frekvenciafüggvény
T
, {
j ( Q
\
l + JCOT
=
l + j(ÜX
=
7(0^(1+jíor) + ( l + ; í D x )
)
(l-co^rJ + j c o ^
+ T)
A r(;'co)-nak nincs kiemelése, ha
!
!
M =« =-rri—i 2
2
( l - a > r 7 j +co (T, + i;) T
s
l
(616)
204
A z egyenlőtlenség megoldásából kapjuk, hogy az elégséges feltétel kiemelés tehát, ha T-T j2<x
\>T-T j2.
+T
x
Nincs
x
(6.17)
X
A gyökhelygörbe módszerrel ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer egy strukturálisan stabilis rendszer. H a x>T, akkor csak valós pólus adódik. H a x < T csak a K K tartományra kapunk valós pólust, azaz a K
l
K 1,2
2T_ *
N 1
+ J
2T
l
1
Y
2
\2
-1
(6.18)
2
205
7. Stabilis folyamatok irányítása Szabályozók tervezésére a kezdeti időszakban inkább a próbálgatásos, heurisztikus, ökölszabályokon alapuló módszerek terjedtek el legjobban. Ugyanakkor folyamatosan történtek törekvések arra is, hogy általános matematikai módszertant dolgozzanak ki a tervezés elméleti megközelítésére. Egy m-edrendű szabályozó szabályos átviteli függvénye (2m + l) ismeretlen paramétert tartalmaz. Magasabb fokú szabályozók behangolásakor hamar tapasztalták, hogy az adott tervezési célt többféle paraméter halmazzal el lehet érni, továbbá ennek megfelelően igen sokszor a paraméterek nem voltak függetlenek egymástól, tehát a szabályozó paraméterezése redundáns volt. A fő kérdés az, hogy lehetséges-e egy stabilizáló szabályozó általános paraméterezését oly módon leírni, hogy a zárt szabályozási kör alapvető tervezési feladatait minimális számú és n e m redundáns paraméterekkel oldjuk meg. A z egyik legfontosabb megoldást az úgynevezett YOULA-paraméterezés szolgáltatta. A YoULA-paraméter tulajdonképpen egy (felépítéséből adódóan) stabilis, szabályos átviteli fügvény, amelynek definíciója
Q(s) =
C{s) l+C(s)P(s)
vagy röviden
C
Q -
(7.1)
l + CP
ahol C(s) egy stabilizáló szabályozó, P(s) pedig egy stabilis folyamat átviteli függvénye. Egy zárt rendszer belső stabilitását ahhoz kötjük, hogy bármely pontján beadott korlátos jel a kör egy másik pontján korlátos jelet hoz létre (lásd az 5.2. pontot). A belső stabilitás vizsgálatához a zárt kör úgynevezett átviteli mátrixát (5.3) kell megkonstruálnunk, amelynek felépítése CP T (P,C)-
l + CP
t
c l+CP
l + CP 1
1 l+CP
CP
p
c
1
(7.2)
l+CPJ
Az átviteli mátrix segítségével két független külső és két belső jel között fejezhetjük ki a kapcsolatot. A zárt rendszer akkor és csak akkor belső stabilis, ha T^P.C) minden eleme stabilis. 7.1. A YOULA-parametrizálás
Az átviteli mátrixot a C(s) szabályozó helyett a Q(s) YOULA-paraméter segítségével is megadhatjuk: QP fi
P{l-QP) i-QP
(7.3)
.
ahonnan jól látható, hogy stabilis folyamatra bármely stabilis Q(s) biztosítja a belső stabilitást.
A YOULA-paraméter definíciójából következik, hogy az ígparaméterezett szabályozási körben a realizálható és stabilizáló szabályozó struktúrája kötött: (7.4)
206 A YOULA-parametrizált (YP) szabályozási kör a 7.1. ábrán látható, ahol r az alapjel, e a hibajel, u a szabályozó kimenőjele (beavatkozó jel), y a kimenetre ható zavarójel és y folyamat kimenőjele, a szabályozott jellemző. n
•6 V
M
GM
i-j2(í)P(í) C(5)
7.1. ábra FP-szabályozási kör A zárt rendszer átviteli függvénye (kiegészítő érzékenységi függvénye) C(s)P(s\ T(s) = \ V ' l+C(s)P(s)
CP s
p s
v a
= Q( ) ( )
K
W
W
§ y röviden ^
T =
(7.5)
=QP l+CP
amely lineáris a Q(s)-ben. (Ez a linearitás, mint azt a későbbiekben látni fogjuk, nagymértékben megkönnyíti az egys^abadságfokú zárt rendszer előírt dinamikus viselkedésének a tervezését.) A z érzékenységi függvény pedig ír
s { s )
=
i c( )p(s) +
=
s
^ ~
Q
{
s
)
P
{
v a
^
§y
r o v i d e n
s
=
Y T c p
=
{
í
~
q
p
)
(
7
,
6
)
alakú. Egyszerű számításokkal kapjuk a zárt rendszer legfontosabb jelei közötti összefüggéseket u=
Qr-Qy
n
e=
{í-QP)r-{l-QP)y =Sr-Sy n
y = QPr+(l-QP)y =Tr J1
n
(7.7)
+ Sy
R
Az r és y hatás M-ra és e-re (az előjeltől eltekintve) teljesen szimmetrikus. A folyamat bemenőjele ebben a rendszerben tehát csak a külső jelektől és a Q(s) -tői függ. n
7.2. ábra yP-szabályozó realizálása Érdekes megfigyelni, hogy a (7.4)-szerinti YP-szabályozót a 7.2. ábrán látható pozitív visszacsatolása egyszerű szabályozási körrel realizálhatjuk. Ezt a sémát is felhasználva, azonos átalakításokkal a 7.1. ábrán látható kör a 7.3. ábra szerinti ekvivalens hatásvázlatra hozható. Ezt a sémát a belső modell elven (Internal Model Principle: IMC) m ű k ö d ő szabályozásnak hívják. Ezen szabályozás lényege, hogy csak a folyamat és a folyamat modell kimenőjeleinek a különbségét ( e ) csatoljuk vissza a szabályozás hibajelének képzéséhez. Ez a hiba zérus abban az ideális esetben, ha a belső modell pontosan megegyezik a folyamattal. Most ezt az esetet
ábrázoltuk! A valóságban a belső modell P(s) közelítése a
P(s)
átviteli függvénye legfeljebb csak egy jó
folyamatnak, hiszen az elméleti igazi rendszert n e m ismerjük.
Az
egyszerűsített tárgyalás céljából itt csak az ideális esetet vizsgáljuk. T(~" FOLYAMAT
YOULA PARAMÉTER
Q
o BELSŐ MODELL
L_ SZABÁLYOZÓ
7.3. ábra Az ekvivalens IMC elven működő szabályozási kör A (7.7) összefüggések utolsó egyenlete alapján láthatjuk, hogy az IMC szabályozás az alapjel követésre QPr átvitellel rendelkezik. Ha most a Q inverzét sorba kapcsoljuk a 7.1. ábra szabályozási körével a 7.4a. ábra szerint, akkor a követési tulajdonság Q-tól független lesz, azaz P r, tehát formálisan "felnyitottuk" a zárt kört. K ö n n y e n ellenőrizhetjük, hogy ez a hatásvázlat ekvivalens a 7.4b. ábrán láthatóval. Ez utóbbi kör elvi működésének magyarázatakor figyelemreméltó, hogy az alapjel részben közvetlenül a folyamat bemenetére hat, tehát nem vezetjük át a szabályozón és a zárt rendszeren. Az alapjelre vonatkozó további szabályozó hatás pedig csak akkor működik, ha a belső modell nem egyezik meg a valódi folyamattal.
u
Q l-QP
-H e-
P
ho
p
)
Q l-QP
BELSŐ MODELL
(a) (b^s 7.4. ábra A zárt szabályozási kört "felnyitó" hatásvázlatok
Vr
Q l-QP BELSŐ MODELL
7.5. ábra A IT-szabályozási kör kétszabadságfokú változata A fenti gondolatmenettel bevezethetjük a YOULA-parametrizálás kiterjesztését két szabadságfokú szabályozási körökre is. Ehhez egyszerűen alkalmazzunk a követési tulajdonság tervezésére egy Q paramétert, amelyet a 7.4. ábra körével sorba kapcsolunk, így a 7.5. ábra szerinti hatásvázlatra jutunk. Erre a rendszerre az eredő átviteli karakterisztikák x
u=
Q y -Qy T
T
n
e=
(l-Q P)y -(l-QP)y =(l-T )y -Sy I
y = Q Py T
I
+ {l-QP)y =T y n
r
r
r
n
T
+ {l-T)y =T y
I
n
T
I
(7.8)
n
+
Sy
n
208
szerintiek, ahol a követési tulajdonságokat a T = Q P - b e n a Q paraméter megválasztásával, a zavarelhárítási tulajdonságokat pedig a T = QP-ben a Q megválasztásával tervezhetjük. A kétféle tulajdonság tehát egymástól függetlenül írható elő. A teljes rendszer alapjelét y -rel jelöltük. A ő r - r e ugyanazon feltételezésekkel élünk, m i n t ő - r a . A T az egy szabadságfokú zárt kör T kiegészítő érzékenységi függvényének analóg megfelelője a követési tulajdonságokra, azaz a kétszabadságfokú zárt rendszer eredő átviteli függvénye az alapjeke vonatkozóan. T
r
T
r
x
A 7.3. ábra szerinti IMC szabályozás működése továbbfejleszthető a 7.6. ábrának megfelelően. Itt a folyamat és a modell kimenőjelének e különbségéből egy R prediktor segítségével a kimeneti y zavarás egy y előre becslését próbáljuk előálktani. Hasonlóképpen az R prediktor az y alapjelre vonatkozó y előre becslést szolgáltatja. A szabályozó zavarkompenzálása úgy működik, hogy a zavar - y jósolt értékét a folyamat inverzén keresztül adjuk a folyamat bemenetére, tehát pontos becslés esetében a zavart kiküszöböljük. Hasonlóképpen működik az alapjelkövetés is. Ez utóbbinál nyilvánvaló, h o g y P működése egy referencia modellnek (előírt rendszer dinamikának) is megfeleltethető, ezért a bevezetett prediktorokat referencia modelleknek is hívjuk. Ezért általában előírjuk, hogy ezek szigorúan szabályosak legyenek egységnyi R (co = 0) = 1 és P (co = 0) = 1 statikus erősítéssel. n
n
n
T
r
r
n
r
r
n
i INVERZ MODELL
r_F O L Y A M A T R Ó
BELSŐ MODELL
SZABÁLYOZÓ
7.6. ábra Az IMC elven működő ideális szabályozási kör kiterjesztése A kétszabadságfokú szabályozási kör legtökéletesebb működését a speciális R =R =\, illetve 1 - R = 0 feltételekkel fogalmazhatnánk meg, ami azonban - ezt később látni fogjuk- gyakorlati rendszereknél általában nem valósítható meg. I
n
a
A 7.6. ábra hatásvázlata azonos blokk átalakításokkal a 7.7. ábrán látható ekvivalens hatásvázlatokra hozható. A legfontosabb megfigyelésünk itt az, hogy a szabályozó átviteli függvénye az ideális esetben, amikor a folyamat inverze realizálható és stabilis: K ^
-id
1
) 1
Í-^P- )?
_
Q l-QP
R
n
p-1
(7.9)
1-Rn
egy yP-szabályozó a Q=R P~
l
n
(7.10)
YOULA-paraméterrel. A követésre vonatkozó paraméter pedig (7.11)
(Egyszerűen belátható, hogy a C
i d
szabályozó realizálható, ha az R J
vagy egyenlő a folyamaténál. A z R =
+ sT )
n
n
pólustöbblete nagyobb
alakú referenciamodellel például egyszerűen
n
biztosíthatunk j értékű pólustöbbletet.)
r FOLYAMAT
p-
1
p
INVERZ MODELL
MOH
KP'
BELSŐ MODELL
SZABÁLYOZÓ
(a)
r FOLYAMAT
,6
INVERZ MODELL
I SZABÁLYOZÓ
(b)
7.7. ábra A kiterjesztett IMC elvet használó ekvivalens ideális szabályozási körök A zárt kör legfontosabb jelei az ideális esetre 1
1
u =R P- yT-R P~ yu ii
T
a
id
*id = (i - * ) y - (i - *„) y „ = (i - r ) - 5 r
r
r
r
n
tehát az ideáüs esetben a
y + (í - r ) y = r y + 5 y
n
r
ld r
(7.12)
idy n
id
y = * r y + (i - R ) y = id
y r
r
= /? és T
id
r
iá
n
r
r
id
n
= / ? egyenlőségek valósulnaKimeg, ami a tervezési n
célunk volt. Jegyezzük meg, hogy az eddigiekben követett gondolatmenet csupán a YOULA-parametrizálás tartalmának és az IMC elv szerinti szabályozással való ekvivalenciájának a bemutatására szolgált. A z eredményül kapott sémák realzálhatóságának ugyanis egy kritikus pontja van: nevezetesen realizálható-e a P folyamat inverze. Ez sajnos, ritka kivételektől eltekintve, FI rendszerekre általában n e m igaz. A gyakorlati alkalmazhatósághoz a fenti megközelítés olyan változatát kell megkeresnünk, amelyben a két szabadságfokú rendszer minden eleme realizálható. Az általánosan alkalmazható szabályozó bevezetéséhez a stabilis folyamat átviteli függvényét a következő faktorizált alakban tételezzük fel sTd
P(s) = P (s)P(s)_=P (s)P_(s)e~ +
ahol P
+
+
vagy röviden
stabilis, inverze szintén stabilis és relizálható (ISR).
Unstable: IU) és n em realizálható (IUNR).
slá
P = P P_ = P P_e~ +
+
P_ inverze labilis
(7.13) (Inverse
A P_ inverze labilis (IU). Itt általában az
sTi
e~
210
holtidős rész inverze nem realizálható, mert az egy ideális prediktor lenne. A bevezetett általános folyamat struktúrára is alkalmazható az általánosított IMC elve, amelyet a 7.8. ábrán mutatjuk be. REALIZÁLHATÓ"! INVERZ MODELL
TfOLYAMAT
1
7.8. ábra Az általánosított IMC elven működő optimális szabályozási kör
R
K
an l-R K P
K
r
D
n
'opt
7.9. ábra Az általánosított IMC elvnek megfelelő ekvivalens optimális szabályozási kör A 7.8. ábra hatásvázlata azonos blokk átalakításokkal a 7.9. ábrán látható ekvivalens rendszerre hozható, ahol az általános esetre kapott optimális realizálható YP szabályozó _ Q>pt
őopt
_
R
G
P
1
nn+
_
(7.14) sl
1-QaptP
l-R G P_e- * n
l~R K P
n
n
n
ahol az optimális YOULA-paraméter Öopt =
R G P? n
n
és
= RK n
n
K
(7.15)
1
=
a
G^;
valamint ö = R&P;
1
=RK
r
T
(7.16)
X
és
r
K = G,PT
A z így kapott általános szabályozási kör a YP következtében stabilis folyamatokra strukturálisan a legjobb szabályozót adja. A szabályozó további optimalitását a G és G átviteli függvényekkel állíthatjuk be. Ennek megértéséhez tekintsük ismét a két szabadságfokú zárt szabályozási kör legfontosabb jeleit: r
e
opl
y
= (l-R
l G l
sT
o p t
P_e-^)y -(\-R G P_e-^)y
= R G P_e- * t
t
T
n
n
T
y + (l-R G P_e~* *)y„ = r
n
n
n
n
= ( 1 - ^ ) ^ - 5 ^ y +(l-T^)y r
(7-17) pt
n
= T°
y + t
y
n
ahol a
r
opt r
= R G P_e~
sTi
T
és 7/
T
opt n
sTá
= R G P_e~ n
Hasonlítsuk össze a (7.12) idális y
i d
egyenlőségek valósulnak meg.
n
és a (7.17) optimális y
referencia modellekkel meghatározott ideális R illetve R T
kimenőjeleit. Jól látható, hogy a
o p t
tervezett átvitelek nem érhetők el,
n
_,srd
csak megközelíthetők. A közelítő átvitelekben megjelenőP_e tényezőt nem kiküszöbölhető (invariáns) faktornak nevezzük. N e m tudjuk tehát semmilyen szabályozással sem eliminálni a folyamat e~ holtidejét és a P_ inverz labilis (IU) összetevőt. A FI folyamatok esetében ez utóbbi a nem m i n i m u m fázisú folyamatok labilis zérusait és a stabilis folyamat összetevő azon pólusait tartalmazza, amelyek a (7.13)-ban az invertálható P képzésekor abba nem kerülhettek be. A gyakorlati realizáláskor a P stabilis zérusainak megfelelő számú leglassúbb pólusokat vesszük figyelembe P - b a n , a többi pólus a P_-ba kerül. Az invariáns P_ hatását csak csökkenteni lehet, mégpedig erre szolgálnak a G és G átviteli függvények. sTd
+
+
r
n
r
r 7
l-fl.G.P.e-' '
P
1
P P_e-
H*
sTd
+
K > f
REALIZÁLHATÓ [INVERZ MODELL
SZABÁLYOZÓ L
,
SZABALYOZÓ
(a)" ~ " ^ ~(b) ~ ~ " 7.10. ábra Az elérhető legjobb optimális szabályozási kör ekvivalens alakjai
Képezzük az ideális és az elérhető legjobb kimenetének különbségét Ay = y
i d
- y
sT
o p t
realizálható
= R (l - G P_e~ *) y + R (l - G ^ t
t
r
n
7
(optimális)
" " ) y
szabályozási
körök
(7.18)
n
ahol mind a követési tulajdonságban mind pedig a zavarelhárításban
RJ\-G P_e K
sTá
) x=r,n
alakú dinamikán keresztül jön létre a hiba. Ennek a hibának különbözS kritériumok szerinti minimalizálását (az elméleti vizsgálatoknál az úgynevezett H és 7"C optimalitást) végezhetjük el G | optimális megválasztásával. (Az optimalizás elmélete kivezet a jegyzet témaköréből.) 2
x
x = r n
Az elérhető legjobb optimális szabályozási kör további ekvivalens alakjait mutatjuk be a 7.10. ábrán. A z egyes változatok közül az adott feladatnál az egyszerűbben realizálhatót kell választani. A (b) ábra arra is nyújt tanácsot, hogy a holtidőt is tartalmazó szabályozót hogyan realizáljuk. A 7.9. ábrán látható szabályozási kört a kétszabadságfokú rendszerek legáltalánosabb (generikus) alakjának nevezzük. (A YOULA-parametrizálást kétszabadságfokú rendszerekre KEVICZKY és BÁNYÁSZ terjesztette ki a Q helyébe két további tervezési paramétert, az R -t és R -t bevezetve (AT-ií-pararnetrizálás). A generikus sémák származtatása és optimalizálási lehetőségeik bemutatása is nevükhöz fűződik.) T
n
A realizálhatóság kérdéseivel hosszasan foglalkozhatnánk. Ha az optimális szabályozó tervezése magában foglalja G és G optimakzálását, akkor ez az eljárás önmagában biztosítja a G P_ és r
n
T
l
G P_ átviteli függvények realizálhatóságát, a többi tényező ( R G P + , R G P^ és R G P_) realizálhatóságát pedig ezen részeredmények figyelembevételével kell biztosítanunk. Mint azt már említettük, itt nem foglalkozunk G és G optimalitásának elméletével. Az ebben az esetben n
T
r
n
T
n
n
n
n
212
alkalmazható G = G = 1 választás változatlanul helyben hagyja az invariáns tényezőt, következményként ez a rendszer jeleiben változatlanul jelenik meg r
1
u=
P_ folyamat
n
1
R P; y -R P; y I
r
Xi
n
sT
s T
e = (l-R P_e~ *)y t
-(l-R P_e~ *)y
r
sT
n
= (1 - T ) y - S
n
x
s T
y = R P_e- «
y + (l-R P_e~ *)y =T y
T
r
n
n
T
I
+
r
a
(l-T )y = n
y
(7.19)
n
T y + 5 y
n
r
r
n
n
1
továbbá az R P \ / ? P valamint # / l . átviteli függvények realizálhatósága lesz a kérdés. Jól látható, hogy a realizálhatóság kérdése ilyenkor az R és / ? referencia modellek fokszámának X
+
n
+
n
T
n
és pólustöbbletének alkalmas megválasztásával egyszerűen kezelhető, például R = l / ( l + r
sT )
J
T
alakú (ugyanez R -ve is) tervezési előírással. A realizálható, de nem optimális szabályozási kör n
a 7.11. ábrán látható.
7.11. ábra A YoULA-parametrizált realizálható szabályozási kör a G = G = 1 választással r
n
Habár a szabályozó realizálható, a gyakorlatban nem várható, hogy FI rendszerek esetében a folyamat holtidejével megegyező nagyságú ideális holtidős elemet létre tudunk hozni a szabályozó belső pozitív visszacsatolású körében és a soros kompenzátorban. Ezért FI holtidős rendszerekre a bemutatott optimális szabályozó sémának inkább csak elméleti jelentősége van. Néhány esetben megkísérelhetjük továbbá a holtidős tagot magasabb fokszámú PADE approximációjával helyettesíteni. N e m ez lesz a helyzet a számítógépes D l (mintavételes) szabályozások esetében (lásd a 12. Fejezetet), ahol a módszer teljes egészében alkalmazható. 7.1. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy egytárolós holtidős folyamat 1
1 + 10Í
-e~*
azaz
P =
1
+
-5j
és
(7.20)
P_ = 1
1 + 10Í
amelyet szeretnénk a szabályozással felgyorsítani. A követési és zavarelhárítási modellek legyenek R = r
1 1 + 4Í
és
1
R
n
referencia
(7.21)
1 + 2Í
Mivel P_ -1, így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a G = 1 és G = 1 választással élhetünk. Az optimális szabályozó r
n
213
R
G
P
1
nn+
'
o p t
1
sTá
1 - R G P_e~ n
r.
P
1+ 10Í_(1+.2J)(1 + 1 0 Í )
:1
- i _
l-R e
n
-5s
n
l + 2s
(
7
2
2
)
l + 2s-e~
l + 2s a soros kompenzátor pedig l
l
R K = R G P7 = R P7 = 1±1^ r r r r + r + j T
T
T
r
(7.23)
T
+
4
j
tehát az optimális kétszabadságfokú szabályozási kör a 7.12. ábra szerinti lesz. V e g y ü k észre, hogy C ( í = 0) = o°, azaz a szabályozó integráló jellegű, ami az R (s = 0) = 1 feltételből o p t
n
következik.
i
r e -5s l + 10i
1 + IOJ 1 + 4Í
O
O
•"opt
1 + IOJ
V
l + 2s
--
/
l + 10i ^-^
1 + lOi
7.12. ábra A 7.1. példa optimális szabályozási köre Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer kimenőjele (7.24)
ami teljesen megfelel a tervezett kétszabadságfokú szabályozási körnek. 7.2. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy kéttárolós folyamat
(i 5,)q 6,) +
+
a z a z
(7.25)
(1 + 1 0 Í ) ( 1 + 8 Í )
A követési és zavarelhárítási referencia modellek legyenek ismét a (7.21) szerintiek. Mivel P_ = 1, így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a G = 1 és G = 1 választással kell élnünk. Az optimális szabályozó most r
R
G
P
nn+
r
n
1 (1 + 10J)(1 + 8 J )
1
1-R G P_e~ n
n
S J á
l-R ~ n
2s (l + 5s)(l + 6 J )
Q id
(7.26)
tehát megfelel az ideális szabályozónak, a soros kompenzátor pedig D
_ »
K r
r
r
r r
P +
- i _» r
(1 + 10J)(1 + 8 J ) (1 + 4J)(1 + 5J)(1 + 6 J )
Most közvetlenül is jól látható, hogy a szabályozó integráló, ahogy a 7.13. ábra is mutatja.
(7.27)
214
Jegyezzük m e g , hogy ideális esetben a szabályozóban lévő R /(l-R ) n
n
faktor egy olyan
integrátornak felel m e g , amelynek az integrálási ideje megegyezik az egytárolós R
n
referencia
modell időállandójával.
+ (1 + 10J)(1 + 8J)
1 (1 + 10J)(1 + 8J) 2s (1 + 5Í)(1 + 6 S )
(1 + 4J)(1 + 5J)(1 + 6Í)
-K^
' TÓ
'opt
7.13. ábra A 7.2. példa optimális szabályozási köre 7.2. A S M I T H szabályozó Holtidős folyamatok holtidejének kezelése kezdettől fogva különleges követelmények elé állította a szabályozási körök tervezőit. Elsőnek Otto SMITH javasolt egy technikát, amelynek segítségével sokáig úgy vélték, hogy a holtidő hatása nélkül is lehetséges a szabályozó tervezést megoldani. Módszerériez tekintsünk egy egyszerű holtidős folyamatot a (7.13) nyomán = P (s) P_ (s) = P (s) e +
s T á
vagy röviden
+
P = P P_=P +
(7.28)
é
+
ahol P stabilis. SMITH eredeti javaslatát a felépítendő szabályozási körre a 7.14a. ábra mutatja be. Mivel a kör ekvivalens a 7.14b. ábra hatásvázlatával, itt célja nagyon jól látható: az eredeti holtidőt is tartalmazó zárt kört szétválasztani egy olyan zárt körre, amelyben nincs benne a holtidő, és az azzal sorosan kapcsolódó holtidős tagra í g y a C szabályozó a P folyamathoz hagyományos (holtidőt n e m figyelembevevő) módszerrel is tervezhető. +
+
+
r_FOLYAMAT
t
T
1 P e" * 1 1 +
1
y
SMITH SZABÁLYOZÓ
(b)
(a) 7.14. ábra A SMITH szabályozó hatásvázlata A 7.14a. ábra a 7.15. ábra (a) és (b) ekvivalens formáira manipulációs műveletekkel. A 7.15a. ábra IMC struktúrája világosan mutatja, a speciális O =
C
+
C
l +CP +
+
+
P
+
l
p~ +
1 + C+P+
L
alakítható
át egyszerű
blokk
hogy a SMITH szabályozó egy FP-szabályozó
(7.29)
1
^P;'=R P; 1+ L +
+
YOULA-paraméterrel, ha a C szabályozó stabilizálja a folyamat P +
+
holtidő nélküli részét. Itt
L =CP +
+
+
a 7.14b. ábra zárt körének hurokátviteli függvénye, továbbá
T =R +
+
1+ L
(7.30) +
kiegészítő érzékenységi függvény lesz az R referencia modell. Mivel az IMC struktúrában a belső modell a folyamat kimenőjelét becsüli, innen ered a SMITH-prediktor elnevezés. Bevezetésekor az általános IMC elv és a YOULA-parametrizálás még nem volt ismeretes. +
r
r
Pe +
P e' t sT
+
tó L
0+
BELSŐ MODELL
(a) (b) 7.15. ábra Ekvivalens SMITH szabályozó hatásvázlatok A 7.15b. ábra az egyenértékű teljes zárt szabályozási kört mutatja, ahol az eredő (YOULAparametrizált) soros szabályozó -C K +
sTd
1 - ö f P e~ +
+
(7.31)
s
sTi
1 + C P (l -
e~ )
+
amely egyben a realizálás módját jelentő belső zárt kört is mutatja. Itt y? -sel jelöltük azt a soros átviteü függvényt, amellyel a SMITH szabályozó az eredeti C szabályozó hatását módosítja. Tehát s
+
1
K* =
1 sT&
1 + C P (l - e~ ) +
+
(7.32) sTi
1 + L (l - e-
1
+
A stabilitási határon L = - 1 , tehát a +
1
1 sT
l + (-l)(l-e- *)
1-1 + e
sT
•= e*
=
J<*J
e
(7.33)
d
ICO-
alakot kapjuk, amely szerint a SMITH szabályozó tekintélyes pozitív fázistöbbletet visz be az eredeti zárt körbe, ezért alkalmazható számos esetben sikereresen stabilizálásra. Ugyanakkor az ilyen szabályozási kör igen érzékeny a paraméterek megváltozására. Sajnos itt is elmondhatjuk, hogy FI rendszerek esetében a gyakorlatban nem várható a folyamat holtidejével megegyező nagyságú ideális holtidős elem létrehozása a SMITH szabályozó realizálásához. (Lásd az előző pont 7.1. példájánál elmondottakat.) A SMITH szabályozó teljes értékeléséhez hozzátartozik, hogy az csak egyszabadságfokú kör tervezésére, rendszerint követésre alkalmas. A szabályozó az alapjelkövetési tulajdonságot is csak indirekt módon tervezi, mint azt a (7.30)-beli T = R kifejezése mutatja. A YOULA+
+
216
parametrizálás kidolgozása óta pedig ismeretes, hogy segítségével két szabadságfokú esetre is egyszerű tervezési módszer áll rendelkezésre mind a követési, mind pedig a zavarelhárítási tulajdonságok pontos tervezésére a referencia modelleken keresztül. 7.3. A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó
A YOULA-parametrizálás előtt TRUXAL és GUILLEMIN javasolt egyszerű algebrai módszert egyszabadsági fokú szabályozási körök szabályozójának tervezésére. A módszer szerint azelőírt tervezési célt a zárt rendszer átviteli függvényére kell megfogalmazni CP
R„=T
(7.34)
l + CP
amely feltételből egy egyszerű algebrai egyenletet CP =
(7.35)
R +CPR„ n
kapunk C-re. Innen a szabályozót kifejezve
jo=-^-l
l-R P
= cTG
(7.36)
n
szerint kell a szabályozót megválasztanunk. Vegyük észre, hogy ez az alak megegyezik a YOULA szabályozó (7.9) szerint alapesetével, a C szabályozóval. A szabályozó realizálása a 7.16. ábra szerint történhet. i d
r
i_
r
-r(y?o I
p
+
cTG 7.16. ábra A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó realizálása A z R tehát megfelel a YOULA módszer egyik referencia modelljének. A z egy szabadságfokú esetre egyébként R =R . Legyen a referencia modell R = B /A , a folyamat a P = B/A alakban adott. A szabályozó polinomiális alakja így n
a
t
n
n
n
(7.37)
A szabályozó realizálható, ha az R pólustöbblete nagyobb vagy egyenlő a folyamaténál. Ha R egységnyi erősítésű (i? (0) = l), akkor a szabályozó 1-típusú. TRUXAL észrevétele, hogy n
n
n
k
L = TJs V
R =T n
= CV alakú k-típusú hurokátviteli függvényt az f + f s + ... + f _ s 0
= k
N +sV
1
k
k
f
0
l
+ f s + ... + f _ s ~ x
k
x
k-l
1
+ / + . . . d_
n
s*
+k
217 k-l
fo +
+ — + fk-l*
n
R
/ +/ 0
l í +
... / , _ / +
1
_ 1
— k — l>n — m
(7.38)
R
+ ^(l + - ^ ^ ) R
referencia modellel érhetünk el, ahol a nevező első k tagja megegyezik a számlálóval. 7.4. A b e a v a t k o z ó j e l r e v o n a t k o z ó k o r l á t o z á s o k h a t á s a A zárt szabályozási körökben alkalmazott szabályozók kimenőjele, vagy ezt a jelet megfelelő szintre erősítő beavatkozó szerv kimenőjele mindig amplitúdó korlátozott \u(t)\
(7.39)
Ez azt jelenti, hogy w-ban akármekkora ugrás, illetve a kezdeti értéknek a végértékhez képest jelentős értékváltozása, azaz tetszőleges túlvezérlés nem képzelhető el. A 2.4. pontban láthattuk, hogy a pólusok kiejtése zérusok beiktatásával lehetséges, ami a rendszer gyorsítására vezet. Ez a gyorsítás mindig túlvezérlést igényel. A 7. Fejezetben eddig tárgyalt optimális szabályozási módszereknél láthattuk, hogy szinte kivétel nélkül alkalmaznak valamilyen szintű póluskiejtést, azaz túlvezérlést (lásd a 7.17. ábrát). A most említett gyakorlati amplitúdó korlátozás azt jelenti, hogy hiába számítjuk ki egy optimális szabályozó paramétereit, az általa szolgáltatott kimenőjel a korlátozás miatt nem realizálódik. A z elérhető gyorsítás a valóságban tehát attól függ, hogy milyen mértékű túlvezérlést alkalmazhatunk.
1X1. ábra Tipikus szabályozó kimenőjel (beavatkozójel) túlvezérlés esetében
7.18. ábra Szabályozó kimenőjelének jeltartomány tervezése
A szabályozó kimenőjele jeltartományának megtervezése az adott berendezések függvényében gondos munkát igényel. Általában a jeltartomány közepére tervezik a munkapontot és ehhez képest a megváltozások lehetséges nagyságát is úgy kell méretezni, hogy ne csak munkapont körüli túlvezérlés férjen el felütközés nélkül (7.18.ábra). A leggondosabb tervezés esetére is előfordul, hogy egy adott méretezésből származó szabályozó túlvezérelt kimenőjele nem fér el a tartományban. Ilyenkor nincs más hátra, mint fel kell adni az eredeti tervezési célunkat. A generikus kétszabadságfokú szabályozási körök KBparaméterezésének előnye, hogy ilyenkor elegendő a problémás (túlságosan igényes) R vagy R referencia modellt megváltoztatni lassúbb, kevésbé igényes tervezési feltéteke. Ez a változtatás rendszerint csak lépésekben, iterációs folyamat keretében képzelhető el. Itt a T
n
218
lépésekbe beleérthetjük mind a modellen történt szimulációt, mind pedig a valóságos rendszerben végrehajtott kísérletet is. (Alacsony fokszámú referencia modellek esetében lehetséges a modell időállandójára (sávszélességére) explicit tervezési képletet kidolgozni a folyamat modell és az í / amplitúdó korlát ismeretében.) m a x
Sok esetben nemcsak a szabályozó kimenőjelének amplitúdójára, hanem változási sebességére is gyakorlati korlát érvényes. Gondoljunk nagyméretű csővezetékek szabályozó szelepeire, ahol a működtető motornak meglehetősen sokáig kell forognia, amíg az egyik pozícióból a másikba eljut. A z ilyen, úgynevezett sebesség típusú korlátok m é g nehezebben kezelhetők analitikus módszerekkel, marad a szimuláció illetve a gyakorlati kísérlet. A z alkalmazható módszer megegyezik az előzővel: csökkenteni kell a tervezési elképzelésünkben megfogalmazott igényünket. Összefoglalva kijelenthetjük, hogy az elérhető leggyorsabb szabályozás nagymértékben és elsődlegesen függ a szabályozó kimenetére fennálló korlátoktól. Ez a korlát nem tőlünk, vagy a szabályozó beállítási módszertől függ, hanem a technológiában alkalmazott berendezés típusától, így megváltoztatni alapvetően csak másik berendezés választásával vagy a folyamat újratervezésével lehet.^ A dinamikus
túlvezérlés fogalma
és
számítása
A szabályozási rendszerekben az M(Í) beavatkozó jelnek fontos szerepe van, mert ez a folyamat bemenőjele, és itt lépnek fel a fizikai korlátozások. A z r(r) referencia jel változásának hatására a rendszer dinamikájától függően tranziens jelenségek zajlanak le. Általában a tranziens lecsengése alatt a beavatkozó jel jóval nagyobb értéket ér el, mint a statikus értéke. Ennek a nagyságát a dinamikus túlvezérléssel írjuk le. A dinamikus túlvezérlést a következőképpen definiáljuk. „
__^max_~"(°) U(t
-» oo)
U„
Általában a maximális érték a kezdeti érték lesz, ezért a számítások egyszerűsítése érdekében ezzel közelítjük. A dinamikus túlvezérlést csak akkor lehet így értelmezni, ha u n e m egyenlő nullával. Ez megtörténhet, ha a folyamat tartalmaz integrátort, mivel ilyenkor a rendszer csak < . • úgy tud nyugalomba kerülni, hogy az integrátor bemenete nullára áll be. Ebben az esetben a dinamikus túlvezérlést az í / értékkel helyettesítjük. x
m a x
7.5. Az elérhető legjobb szabályozás fogalma Általános elmélet Az előző pontban láthattuk a szabályozó kimenőjelére fennálló korlátok alapvető fontosságát az elérhető legjobb szabályozás biztosításakor. A 7.1-7.3. pontok alapján azonban további lényeges, nem tőlünk függő korlátokat is meg kell említenünk. Ezek közül a legfontosabb a folyamat holtideje, amely invariáns bármilyen szabályozási módszerre, azaz hatása nem küszöbölhető ki. A másik ilyen invariáns tényezőt a folyamat labilis zérusai jelentik, amelyek ugyancsak nem ejthetők ki, n e m kiküszöbölhetők semmilyen módszerrel sem. Az invariánxérusok hatása, nem kedvező hatásuk a tranziens folyamatokra bizonyos mértékben kompenzálható, csökkenthető.
(Ez a kompenzálás történhet a G és G belső szűrők optimáüs megválasztásával, ami n e m tárgya a jegyzetnek.) r
n
Tehát mind a folyamat holtideje, mind pedig labilis zérusai tőlünk független folyamat tulajdonságnak tekinthetők, amelyek nem változtathatók m e g szabályozó tervezési módszerrel, csak a folyamat áttervezésével. A szabályozó tervezési módszereket általában úgy tárgyaltuk, hogy a folyamat P átviteli függvényét ismertnek tételeztük fel. A valóságban a folyamatnem, annak csak egy P modellje ismert. Ezt a megkülönböztetést eddig csak a robusztus stabilitás fogalmának tárgyalásakor használtuk az 5.7. pontban. A zárt rendszer tervezésekor tudnunk kell, hogy az egy szabadságfokú modell alapú tervezés által biztosított CP
f=
~ l +CP
(7.40)
kiegészítő érzékenységi függvény nem egyezik meg a valóságos CP - l+£ T = -^— =T - ^ l + T£ l +CP
(7.41)
szerinti esettel. Itt £ a folyamat modell (5.40) szerinti relatív bizonytalanságát jelöli. A valódi zárt kör érzékenységi függvénye az alábbi összefüggés szerinti dekompozícióban írható fel
5
=
+
5
(*
n
terv
5
f
) - (
T
f
~ S
real
= Q-Rn) + ij^T) = S
) =
5
terv + S
^mod
+
t e r v
= (l - f) + 5 5
=
^szab
l + Smod =
m o d
Smin +
r e a
+
m o d
=
(7.42)
s z a b
^mod
^
+
*^terv ^real
Itt 5
t e r v
= (1 - R ) a tervezés, S N
rea]
= ( p - f ) a realizálhatóság, 5 n
m o d
= -(T - f ) = f - T pedig
a modellezés miatti veszteség (nem ideális alakulás) hozzájárulása az érzékenységi függvényhez. A másik felbontásban
S ^ = ( l - í ) a szabályozás, SZA
S =(R -T) MIA
N
a minőség szerinti
dekompozíciós tagot jelenti. A z egyes összetevők értelmezése egyszerű és könnyen magyarázható. A z R referencia modell jelentését az előző pontokban tárgyaltuk. Nyilvánvalóan A
fennállnak a triviális S = \-T S =— é l +CP Az S
m o d
s
és 5 = 1 - 7 / egyenlőségek, ahol
S = —-— = S—^=S l+CP l + T£
+S
(7.43)
—TS£
(7.44)
mod MOD
tag tovább egyszerűsíthető -A y\
5
mod
= S-S=T-T
=
TS£ — = -TS£\ Í + T£
220
Könnyen belátható, hogy |rs|-nek az co vágási frekvenciánál van a maximuma, tehát ennek a c
frekvenciának a közelében kell a modellünknek a legpontosabbnak lennie. Egy kétszabadságfokú szabályozási körre a kiegészítő érzékenységi függvény fogalmának megfelelő teljes átviteli függvényt általában egy T = FT szerinti kiegészítéssel kapjuk. A modell alapú szabályozási körre amelyre (7.41)-hez hasonlóan most is r
(7.45)
T = T -^Í1 + T£ X
X
Természetesen itt is fennáll a triviális S = 1 - T egyenlet és a (7.42)-ben bevezetett hármas dekompozíció T
S = ( 1 " Rt) + (R:-T )~ r
Az S
-f )
t
=S
t
T
r t
+5 ^ +S
erv
(7.46)
m o d
tag tovább egyszerűsíthető
m o d
f S£
Cd = 7r-:r = r
moa
r
- -
T
—^ = -T S£ j+ 77
~-T S£
T
(7.47)
r
r
r
r
£-»0
A z ideális szabályozási körnek az / ? és i ? (pontosabban l-R ) szerinti rendszerválaszt kell pontosan követnie, tehát a zárt rendszer ideális válasza (7.12) szerint r
y
i d
n
N
= y° = R< yr - (i - * ) y „ = y ° + y ° n
r
(7.48)
n
Elméletileg (7.48) helyett csak a y = T y - S y = T y - (l - r) y T
x
n
t
r
(7.49)
n
zárt rendszer érhető el, és a valóságban még ez is módosul a modell alapú tervezéssel y=í y -Sy r
r
n
=f y -(l-í)y r
r
(7.50)
n
Az idális ( y ° ) és az elméletileg elérhető rendszer eltérése 0
Ay = y -y
1
= (R -T ) -(R -T)y = T
T YI
w
S^ y - 5
n
r
y
m i n
n
(7.51)
ahol í ^ n a minőségi veszteség a követésre, S^n = S^n pedig a minőségi veszteség a zavar elhárításra. Hasonló összefüggés kapható az ideális ( y ° ) és a modell aíapú tervezéssel kapott y különbségére 0
T
Ay = y - y = (R - f ) y - ( i ? - f) y = S t
T
T
n
n
Kal
y - ^ r
a
l
y
n
(7.52)
Jegyezzük meg, hogy a fenti dekompozíciókban az 5 és S^eai tagok zérussá csak inverz stabilis rendszerekre tehetők, míg inverz labilis folyamatokra ezen tagok soha nem lehetnek zérusok. r e a l
Az érzékenységi függvények fenti hármasdekompozíciója bepillantást nyújt a zárt szabályozási körök úgynevezett határ-optimalitásába, azaz az elérhető legjobb szabályozás jellemzésére. Ehhez olyan optimalitási kritériumot kell alkotnunk, amely a három tagra külön is megfogalmazható, azaz J
J
J
J
követés — terv ~ real ~ mod zavaréi
terv
J
r p f l
l ' real
J
m 'mod
J
terv
Pterv
+
Síreal +
+115,reall
mod
(7.53)
^od
mind a követés, mind pedig a zavarelhárítás feladatára. Itt a ||...|| jelölést használtuk az optimalitási kritérium kifejezésére. (Szigorú matematikai analíziskor a jelölés az átviteli függvény választott normájára vonatkozik.) A tervezési veszteség
optimalizálása
Az első tag optimalizálása elsődlegesen az elérhető legjobb (leggyorsabb) R = /?°
pt
a
/?
o p t r
R = /? T
opt r
és
referencia modellek meghatározását jelenti. Ez az alábbi korlátozás melletti
=arg|min(7^ )
= arg m i n | M | | |
e s
r
ueUJ opt
tf =arg n
min(j
n d
es
L
= &rg\ min l - i ?
) ueU.
(7.54) n
ueí/J
r
optimum feladat megoldását jelenti, ahol a választott / = | | l - P | | és / " = | | l - R \\ kritériumok azt fejezik ki, hogy mindegyik referencia modellnek azg ideális egységet kell legjobban megközelítenie. Ezt a feladatot a szabályozó kimenetére vonatkozó u € U korlátozás mellett kell megoldanunk. Itt U rendszerint az u megengedett tartományát jelenti, azaz az U:\ul < 1 amplitúdó korlátozást (lásd a 7.4. pontot). t
e r v
r
t
r v
n
A (7.54) feladat egy nehéz optimaktási feladat, mert a megoldás mindig a korlátos tartomány határán van. Analitikus megoldás, néhány alacsony fokszámú egyszerű esettől eltekintve nem adható. Rendszerint szimulációs CAD eszközökkel határozzuk m e g az optimális referencia modelleket. Jegyezzük meg, hogy a (7.54) feladat megoldásánál gyorsabb referencia modellt az adott korlátozás mellett n e m alkalmazhatunk. Megfordítva: ha egy adott korlátozás mellett a tervezési célt megfogalmazó referencia modellre nem kapunk megoldást, akkor nincs más választásunk, mint kevésbé igényes (rendszerint lassúbb) modellt előírni. Ennek a függvényében a zárt rendszer elérhető legjobb (leggyorsabb) válasza alapvetően a szabályozó kimenetére fennálló korlátozástól függ. A (7.54)-ben nagyon bolyolult módon természetesen benne van az alkalmazott szabályozó és a folyamat is, azaz a valódi zárt kör. Ezért a tag optimalitása a folyamattól, annak modelljétől és az invariáns tényezőktől is függ. Mivel az általános YOUL A tervezés fontos paramétere a referencia modell, ezért segítségével a
222
robusztus stabilitás (5.45)-ben bemutatott feltétele is garantálható. Egyszerűen belátható a (7.5) alapján, hogy az (5.45) feltétel YP szabályozási körökre QPÍ
<1
(7.55)
Vco
Ez a feltétel rendszerint tovább egyszerűsíthető az (7.56)
feltételre. Ez utóbbi feltétel alapján például megállapíthatjuk, hogy egytárolós R referenciamodellt választva a robusztus stabilitás száz százalékos relatív modell hiba esetén is biztosítható. n
A realizálhatósági
veszteség
Ezen feladat célja a
Gf' = arg|rmn(7;
optimalizálása
és 7 °
e a l
a l
realizálhatósági veszteség tagok
) j = argjmin (7.57)
G
opt n
-f
= a r g { m i n ( / £ ) j = argjmin al
szerinti optimalizálása, amely az optimális a G = G r
o p t r
és G = G ° n
p t
optimális választással
biztosítható (7.1. pont). Mint azt már említettük az ISR esetre a R = T T
r
és R = T n
n
feltétel
elvileg elérhető, ami a triviális G = G = 1 megoldást jelenti. A z általánosabb IU esetre az r
n
optimális átviteli függvényeket meg kell határozni. A modellezési A 7
m o d
veszteség
optimalizálása
modellezési veszteség optimalitása egy speciális y = y ° r
p t
az alapjel helyén alkalmazott
o p t
optimális gerjesztés és a segítségével egy P = P optimális folyamat modell meghatározását jelenti az alábbi úgynevezett minimax probléma megoldásaként
P
o p t
= argjmin
• argí min max LP
L P
(7.58)
mod
Ez a feladat kétlépéses: az optimális alapjel (az alkalmazott kritériumtól függő) rendszerint maximális kimenőjel szórást biztosít amplitúdó korlátozott y esetében. A zárt rendszer így kapott kimenőjelét mérve megfelelő modellezési (identifikációs) módszerrel meghatározzuk a r
modellezési hiba választott
°mod
optimalitási kritériumának a minimumát biztosító folyamat
modellt. A (7.58) feladatot a legrosszabb esethez (worst case) tartozó identifikációs feladatnak nevezzük. Mindhárom tagot egyidejűleg optimalizálni nem egyszerű feladat. A gyakorlatban
iterációs
technikát használnak, megoldása történik.
amelyben egy-egy lépésben
mindig
egy
optimalizálási
probléma
(A fentiekben szereplő ||.. .|| kritériumként rendszerint a magasabb szintű szabályozáselmélet gyakorta alkalmazott 7i vagy normáját választjuk. Mint már említettük, ezen feladatok tárgyalása nem része a jegyzetnek.) 2
Tapasztalati összefüggések Az elérhető legjobb szabályozás vizsgálatakor már az eddigiekben is láttuk, hogy az alapvető korlátozás a beavatkozó szerv telítődéséből és magától a folyamat dinamikájától származik. A z egyik legfontosabb dinamikai korlát a folyamat holtideje, amely nem küszöbölhető ki, hiszen egy folyamat valóban nem tud válaszolni a holtidejénél rövidebb idő alatt. A holtidős tagoknak már tárgyaltuk az elsőfokú PADE közelítését, amely szerint ,-ITH
^-sT /2_s-2/T _s-Zi d
\ + sT /2 d
s+2/T
d
d
s + Zj
vagyis egy jobboldali Z j zérus j ó közelítéssel egy T = 2jz^ hotidős tagnak felel meg. Ez egyben d
azt is jelenti, hogy a folyamat jobboldali zérusai mindenképpen korlátoknak felelnek meg. Egy kis értékű slabilis zérus nagy holtidőnek felel meg. Intuitív módon gondolhatjuk, hogy a folyamat labiktását okozó gyökei is korlátokat jelentenek. Azt várhatjuk, hogy megfelelően gyors szabályozó szükséges egy labiks folyamat stabilizálására. Összefoglalóan a holtidő és a labilis, jobb félsíkra eső zérus ( z j ) valamint pólus (pj) eredményezik a folyamat dinamikájából adódó korlátokat. A tapasztalati és alapvető elméleti megfontolások alapján a korlátok a következők:
t - Egy jobboldali labilis (JL) Zj folyamat zérus a vágási frekvenciát az alábbiak szerint korlátozza co <0.5zj c
(7.60)
Lassú JL zérus különösen rossz hatású. - A holtidő is korlátozza a vágási frekvenciát, tapasztalati alapon
co <0.5— c
(7.61)
- Egy JL pólus nagy vágási frekvenciát igényel co > 2 p j c
- Olyan rendszer, amely JL zérussal és pólussal is rendelkezik általában nem
(7.62)
szabályozható, hacsak a pólus és a zérus nincs kellő távolságban egymástól Pj>6zj
(7.63)
Labilis holtidős rendszerek nem szabályozhatók, hacsak nem teljesül a
<0A6—
(7.64)
Pi
J
T
á
szeparációs (távolsági) feltétel.
8. Hagyományos szabályozók tervezése A szabályozó tervezés feladata, hogy a folyamathoz egy olyan szabályozót adjunk meg, amellyel a zárt szabályozási kör teljesíti a minőségi előírásokat. A szabályozási kör hatásvázlata a 6.1. ábra szerinti. Ezt a struktúrát soros szabályozási struktúrának nevezzük, mivel a szabályozó sorosan kapcsolódik a szabályozott szakaszhoz. A szabályozó struktúrájának megválasztása után a szabályozó paramétereit kell ennek megfelelően beálKtani. A frekvenciatartományban a szabályozó megfelelő megválasztásával a felnyitott kör frekvenciafüggvényét alakítjukaz előírt minőségi követelményeknekmegfelelően (6.2. ábra). A 7. Fejezetben láthattuk, hogy stabilis folyamatokra pontos elméleti módszerek állnak rendelkezésre, amelyek alapján a legkülönbözőbb esetekre meghatározható az optimális szabályozó struktúrája és paramétereinek optimális értéke. Már jóval ezen elméleti módszerek kidolgozása előtt kialakult viszont a szabályozó berendezések egy olyan, a gyakorlatban is kipróbált, jól bevált és emiatt igen széles körben elterjedt osztálya, amely mind a mai napig meghatározó jelentőséggel bír az ipari folyamatok és technológiák irányításában. Ezen hagyományos vagy klasszikus szabályozók kialakulásában meghatározó jelentőségű volt az elektronikus eszközök technológiájának fejlődése, amely egyre bonyolultabb átviteli függvények egyre pontosabb realizálását tette lehetővé. Ez a folyamat a passzív R - L - C áramköröktől a műveleti erősítőkig terjedt. A fejlődés eredményeként jött létre az úgynevezett PID szabályozók családja. (Mechanikus, pneumatikus, stb. jeleken alapuló szabályozók esetében főleg a realizálási korlátok miatt ez a fejlődés inkább csak a PID szabályozók egyes alosztályaiig tartott.) A PID szabályozókat azon elv alapján alakították ki, hogy a szabályozási hiba aktuális értékére arányosan, a múltjára a hiba integráljával arányosan reagáljon, a jövőt pedig a hiba differenciálhányadosával (hiba trenddel) vegye figyelembe. A 8.1. ábra szemlélteti, hogy a PID szabályozó a rendelkezőjel aktuális (P hatás) és múltbeli értékei alapján (/ hatás), és a változás meredekségével a jövőbeni viselkedés előrevetített tendenciáját is felhasználva (D hatás) számítja a beavatkozójelet. hiba
8.1. ábra A PID szabályozó a rendelkezőjel aktuális és múltbeli értékei, illetve a változás meredeksége alapján előrevetített tendenciát is felhasználva számítja a beavatkozójelet APID szabályozók elterjedtsége a világban teljesen általános, a realizált szabályozási feladatok több, mint 90 százalékában ez az osztály szerepel. Az ipari folyamatirányításban a leggyakrabban alkalmazott szabályozók is PID jellegű szabályozók. Ennek oka az, hogy PID szabályozóval a minőségi előírások többnyke teljesíthetők, felépítése egyszerű, paraméterei változtatásának hatása könnyen követhető, és gyakorlati megvalósítása is egyszerű. A PID
226 szabályozók tervezése mint frekvenciatartománybeli tervezési módszertan és mint pólus-zérus kiejtéses technika is tárgyalható. 8.1. A PID szabályozó család és tervezése Az ideális PID szabályozó átviteli függvényét az alábbi két alakban szokták megadni: \
1 + — + s T ,D = A + k -
CpiD -
P
1
J
+ k s = -^Ti
í
D
s
(8.1)
LTI s
Az itt szereplő szabályozó paraméterek: A az arányos átviteU tényező, T az integrálási idő és r a differenciális idő. A szabályozó átmeneti függvénye P
Y
D
C
L
5
~ PID(' ')
Ap + ^ £ - í + A r 8 ( í ) P
D
(8.2)
r>0
amely a 8.2. ábrán látható
8.2. ábra A z ideális PID szabályozó átmeneti függvénye A PID szabályozó párhuzamosan kapcsolt P (Proporcionális), / (mtegráló) és D (Differenciáló) jellegű hatásokat tartalmaz. A z ideáüs szabályozó kimenőjelének időfüggvénye, azaz az e(t) hibajelen végrehajtott művelet u(t) = A e( 0+ P
*ií e(l)dx+k
de(t) D
(8.3)
dt
ami világosan mutatja a szabályozó három csatornájának említett jellegét. A szabályozónak a pólusa az origóban, két zérusa pedig a > 4T feltétel teljesülésekor a negatív valós tengelyen található. Ez a feltétel az integrálási és differenciállási időállandók szignifikáns elkülönülését, a nekik megfelelő törésponti frekvenciák legalább négyszeres távolságát követeli meg. D
A z ideális PID szabályozó pólus/zérus eloszlását a 8.3. ábrán, aszimptotikus amplitúdó és fázisfüggvényét bemutató BODE diagramját a 8.4. ábrán láthatjuk. A z ideális PID szabályozó nem realizálható, csak elméleti vizsgálatokhoz és magyarázatokhoz szokták alkalmazni. A Dhatás realizálhatóságának biztosításával (kis tárolós időállandóval) egy közelítő, de realizálható PID szabályozóra jutunk.
227
-©-
Pi
8.3. ábra Az ideális P / D szabályozó pólusa és zérusai
-90°
8.4. ábra Az ideális PID szabályozó aszimptotikus BODE diagramja
8.5. ábra A közelítő PID szabályozó átmeneti függvénye A közelítő PID szabályozó átviteli függvényének az alábbi két alakja ismeretes: /
1
1+
1
JT,
T
+
Síri
— 1 + sT
^
,
2
a i+j(7 + r ) + j r ( r + 7') p
Ti
I
I
s(l + sT)
D
(8.4)
228
A szabályozó átmeneti függvénye :
s
Cpm( )
A
p
+
Í P
f
+
M E L
e
- ^
>o
t
(8.5)
amely a 8.5. ábrán látható. A közelítő PID szabályozó pólus/zérus eloszlását a 8.6. ábrán, aszimptotikus amplitúdó és fázisfüggvényét leíró BODE diagramját a 8.7. ábrán mutatjuk be.
-x-
-Í/T
Zi
*2
Pl
8.6. ábra A közelítő PID szabályozó pólusai és zérusai
8.7. ábra A közelítő PID szabályozó aszimptotikus BODE diagramja és átmeneti függvénye A szabályozónak a pólusa most az origóban és a -l/T
helyen jelentkezik, két zérusa pedig a
r <{Ti - T) j\Ti feltétel teljesülésekor továbbra is a negatív valós tengelyen található. E z a feltétel ismét az integrálási és differenciálási időállandók szignifikáns elkülönülését, a nekik megfelelő törésponti frekvenciák számottevő távolságát követeli meg. 2
D
A közelítő PID szabályozó átmeneti függvénye már n e m a 8(r) függvénnyel kezdődik a í = 0 pontban, de a létrejövő A (l+T /T) kezdeti ugrás meghaladhatja a beavatkozószerv linearitási tartományát és az eszköz telítődésbe kerülhet. Ezt egyrészt azért kell elkerülnünk, mert a beavatkozó szerv normális működése a linearitási tartomány, másrészt a szabályozó beállítása (stabilitás, minőség, pontosság, stb.) szintén csak a lineáris modellekre igaz. A kezdeti ugrást meghatározó T /T viszonyszámot túlvezérlésnek is hívjuk, értéke a valóságos rendszerekben ?
D
D
nem haladhatja meg a T^/T < 10 határértéket és igen sokszor találkozunk a beavatkozó szerv kialakításától függően, a 4
Meg kell jegyeznünk, hogy gyakran alkalmazzáka PID szabályozóknak azt a változatát, amely nagymértékben csillapítja az alapjel esetleges ugrásszerű beállításakor a zárt rendszert érő külső hatást egy egyszerű mechanizmuson keresztül. Ezekben a szabályozókban a módosított jellemző számítása a szokásos (8.3) összefüggés helyett az«(í) = A e ( í ) + &i } e(x)dx + P
p
k de (t)/dt D
d
o képlettel történik. Itt e (t) = br(t) és e (t) = c r(i), ahol a b és c beállítási paraméterek (értékük v
d
általában a 0.2-0.8 tartományba esik). Az ideális PID szabályozóból különböző szabályozó típusok nyerhetők: P
A 1
P
#T
'2i 1+ V
PI
PD
(8.6)
1
A (i+ír ) P
D
A közelítő PID szabályozót a közelítő PD szabályozó vezeti be 1 + ^ PD
(8.7)
\+sT
Ezt a tagot FSK (fázis siettető/késleltető) tagnak is hívják, mert a T >T esetben közelítő differenciáló (PD), a T < T esetben pedig közelítő PI szabályozót valósít meg. D
D
A közelítő PID szabályozó paraméterezése számos gyakorlati esetben $gy is történhet, hogy átviteli függvényét az alábbiakban adjuk meg
CpiD -
(8.8)
5^(1+sT)
Ezen alak előnye, hogy a törésponti frekvenciákat pontosan az 1/Tj, 1/T és Í/T pontokra helyezi, amelyek az adott integrálási, differenciálási időhöz és a szükséges tároló hatás időállandójához kötődnek. A pólus/zérus eloszlás most a 8.8. ábrán látható. D
W
-l/T
-l/T
D
-i/r,
8.8. ábra A (8.8) szerinti közelítő PID szabályozó pólusai és zérusai
230
A szabályozónak a pólusai most az origóban (p{) zérusa pedig a -l/T
és a p = - 1 / 7 / helyen jelentkeznek, két 2
és —1/7} pontokban van.
D
A PID szabályozót egy általános másodfokú szabályozóként is fel lehet fogni, amely elég nagy szabadságfokú ahhoz, hogy számos egyszerű alkalmazásra megfelelő megoldást adjon. P szabályozók hangolása A P szabályozó ( C ( Í ) = A ) általában 0-típusú szabályozási kört eredményez (kivétel, ha a P
P
folyamat önmagában integráló jellegű). A 0-típusú kör véges 1/(1 + K) értékű hibával szabályoz, a zárt kör eredő átviteli függvényének erősítése Kj(1 + K), ahol K = A P ( 0 ) a felnyitott kör (és P
n e m a szabályozó!) hurokerősítése. Ilyenkor a szabályozó realizálásakor az alapjel állításához egy (\ + K)/K
statikus kompenzációt alkalmazunk (kalibrációs faktor). A z arányos szabályozó
egy konstans szorzást jelent és csak a frekvenciafüggvény amplitúdó menetét befolyásolja, fázismenetére nincs hatással:
|c
P
( 7"co)| = A ;
arg{c (jco)} = 0. P
A z A konstans változtatásával a felnyitott kör erősítése és így a vágási körfrekvencia is állítható. A BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan eltolható, ezáltal a vágási körfrekvencia változtatható oly módon, hogy a rendszer megfelelő fázistöbblettel rendelkezzen. P
A szabályozási rendszer tehát egy P szabályozóval stabilizálható, az átmeneti függvény túllendülése megfelelő fázistöbblet beáUításával a megengedett korláton belül tartható. Mivel a vágási körfrekvencia n e m növelhető túlságosan, a szabályozás lassú lesz. H a a szakasz nem tartalmaz integráló tagot, a szabályozás 0 típusú, és csupán az egységugrás követésére képes. A szabályozás állandósult hibával működik. Az ipari szabályozókban az arányos szabályozó A tartományt (PB - Proportional
P
átviteli tényezője helyett az ún. arányossági
Band) lehet beáUítani:
PB = [1/A ] 1 0 0 % . A z arányossági P
tartomány az a bemenő jeltartomány, amelyre a kimenőjel éppen befutja a teljes jeltartományát. A P szabályozóban csak egy paramétert, az A erősítést állíthatjuk. Ez azt jelenti, hogy egyidejűleg a statikus hiba és az előírt fázistöbblet már n e m mindig biztosítható. A kettős tervezési előírás csak szerencsés esetben érhető el. A tervezés szokásos menete szerint először meghatározzuk az előírt fázistöbblethez ( 9 ) tartozó maximális körerősítés l f ( < p o ) értékét. A maximális elérhető körerősítés megadja az elérhető minimális statikus hibát P
t 0
^
m
H
e
(
s
U
=
—
max
t
^
,8.9)
H a a feladat megfordítva adott, tehát K^-t
a maximálisan megengedett hibából
akarjuk
kiszámítani, akkor
e
* + max
Amennyiben teljesül a
P
max
/ szabályozók hangolása Az I szabályozó egyik legfontosabb célja, hogy a szabályozási kört 1-típusúvá tegye, azaz az állandósult hiba zérus legyen. Az / szabályozó (8.11) STj
S
alakjának méretezése viszonylag egyszerű, hiszen egyetlen állítható paramétere van. így például az előírt fázistöbblethez (cp ) tartozó maximális integrális körerősítés K ((p ) a szokásos módszerekkel könnyen meghatározható, m a j d ^ = K /P{Q). t0
max
t0
mzx
PI szabályozók hangolása A P-szabályozónál láttuk, hogy a minőségi kritériumtól függő K ^{(^ ) maximálisan megengedhető körerősítés nem elég nagy ahhoz, hogy elég kicsi állandósult szabályozási hibát biztosítson. Lényegében ennek a problémának az eliminálására kezdték alkalmazni a PI szabályozót, amely legalább 1-típusú szabályozást biztosít, így a hiba állandósult értéke ugrás alakú zavarásra zérus. A PI szabályozó m
C
P I
(•$•)- A 1 + P
Xo
(8.12) sT,
alakja lehetővé teszi, hogy a folyamat legnagyobb időállandóját kiejtsük a T = max{T } = T választással. A szabályozási körben az előírt fázistöbblethez (cp ) tartozó maximális integrális körerősítés K (<$> ) a szokásos módszerekkel meghatározható, majd a szabályozó integrális erősítése K =A /T =K /P(Ö). A hurokátviteli függvény L ( ; C ű ) amplitúdó frekvencia diagramja -20 dB/dekád meredekséggel indul, hiszen a PI szabályozó a folyamat legnagyobb időállandójának megfelelő legkisebb törésponti frekvenciát ( l / T i ) zérus pontba helyezi át, továbbá a folyamat amplitúdó frekvencia diagramját a vízszintes tengellyel párhuzamosan eltolja Y
i
í
t0
msiX
1
P
Xo
l
max
a
A párhuzamos alak alapján könnyen felrajzolható a szabályozó átmeneti függvénye, míg a szorzat alakból egyszerűen felvázolható az aszimptotikus BODE amplitúdó diagram. A 8.9. ábra megadja a PI szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját, ez utóbbit A = 1 esetre. Ha az erősítési tényező ettől eltérő, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan tolódik el. P
|Cű»)|
8.9. ábra PI szabályozó átmeneti függvénye és közelítő BODE diagramja Az PI szabályozó a kisfrekvenciás tartományban biztosítja a nagy erősítést. Az integráló hatás
232
1-gyel növeli a szabályozás típusszámát. Arányos szakasz esetén állandó alapjelre a statikus hiba nulla lesz. A vágási körfrekvencia megfelelő elhelyezésével stabilis, kellő fázistöbblettel rendelkező szabályozási kör alakítható ki. Mivel a vágási körfrekvencia n e m helyezhető a nagyfrekvenciás tartományba, a szabályozás lassú lesz. A Pl szabályozó közelítő realizálását a C (s) ?1
=A
j ^ ± =
?
(8.13)
C (s) FK
alakú szabályozóval (FK tag) biztosíthatjuk, ahol T>T . így most a T =max{T } =T választással a legkisebb törésponti frekvenciát (1/7}) az l/T pontba (balra tolással) helyezi á t A hurokátviteli függvény L(jca) amplitúdó frekvencia diagramja most 0 meredekséggel indul, alkalmazása a -20 dB/dekád meredekségű szakasz tehát a szabályozás 0 típusú marad. C meghosszabításával rendszerint nagyobb K (q> ) megengedhető körerősítést biztosít, mint az egyszerű P szabályozó. Egyszeres közelítő Pl szabályozó egy egyszeres töréspontot képes kisebb frekvenciára áthelyezni. l
1
i
l
P I
max
t0
|C(Jö>)i
8.10. ábra A fáziskésleltető tag átmeneti függvénye és közelítő BODE diagramja A 8.10. ábra megadja a fáziskésleltető szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját. Látható, hogy a tag a kis idők tartományában, illetve a nagyfrekvenciás tartományban közelíti a Pl tag jelleggörbéit. Szinuszos bemenőjelekre a kimenőjel fázisban késik a bemenőjelhez képest (innen a tag elnevezése). Mivel a szabályozó n e m tartalmaz integráló hatást, beiktatása nem biztosít zérus értékű állandósult hibát. PD szabályozók hangolása A z ideális
C
P D
(Í) =
1+.sT
D
PD szabályozót n e m tudjuk realizálni, ezért csak a közelítő
realizálható C (s) ?D
=A
- ^ = Ap| l + l + sT l + sT
P
(8.14)
T +x
alaknak van gyakorlati alkalmazása (FS tag), amely formailag teljesen megegyezik C - v e l . A lényeges különbség, hogy itt T >T és a differenciáló csatorna differenciálási ideje x. A C szabályozó a r = T választással, ahol T a folyamat második legnagyobb időállandója, a -20 dB/dekád meredekségű szakasznak a nagyfrekvenciás részét nyújtja m e g az l/T törésponti frekvenciának az l/T pontba (jobbra) történő tolásával. E z javítja a fázisviszonyokat, adott fázistöbblet eléréséhez növelhető
D
D
P D
2
2
2
c
megválasztásának gyakorlati korlátja van, ugyanis a szabályozó átmeneti függvényében a í = 0 időpontban A T /T nagyságú ugrás lép fel, amely aszimptotikusan elhal, a végértéke A . A túlvezérlés tehát T| = r jT, azaz megegyezik a pólusáthelyezési aránnyal. Ezt az ugrást n e m minden beavatkozó szerv tudja végrehajtani. A mechanikus, nagyméretű beavatkozó szervek legfeljebb 2-3 szoros, az elektronikus, fejlettebb eszközök legfeljebb 10-szeres ugrást tudnak elviselni. Ezért a tervezéskor 3-5 szőrös ugrást engednek m e g , majd a gyakorlatban tesztelik, hogy a beavatkozó szerv n e m kerül-e telítésbe (nem éri-e el jeltartományának határát). Néhány esetben lehetséges a T = T ( T a harmadik legnagyobb időállandó) választás is, de ennek hatása kisebb jelentőségű. P
D
P
D
D
3
3
A 8.11. ábra megadja a PD szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját, ez utóbbit A = 1 esetre. H a az erősítési tényező ettől eltérő, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan tolódik el. A tagot fázissiettető tagnak is nevezzük, mivel fázisszöge pozitív, szinuszos bemenőjel esetén a kimenőjel fázisban siet a bemenőjelhez képest. P
8.11. ábra PD szabályozó átmeneti függvénye és közelítő BODE diagramja A PD szabályozónál lehet legkönnyebben megérteni a szabályozás gyorsító hatását. A folyamatok tehetetlen, inerciózus viszelkedését csak extra gyorsító energia bevitelével lehet legyőzni. Ezt szolgálja a túlvezérlés. (Lásd a 2.4. pontot.) 4
A PD szabályozót akkor alkalmazzuk, ha a rendszert gyorsítani akarjuk^Ezt a gyorsítást ú g y érjük el, hogy a PD szabályozó BODE diagramjának +20dB/dekád meredekségű szakaszát abba a frekvencia tartományba helyezzük el, ahol a folyamat BODE diagramjának meredeksége 40dB/dekád. í g y a felnyitott kör BODE amplitúdó diagramjának -20dB/dekád meredekségű szakasza meghosszabbodik, és a vágási körfrekvencia a nagyobb frekvenciák tartományába helyezhető el. A gyorsítás mértéke annál nagyobb, minél nagyobb az r\ paraméter értéke. A PD szabályozó tehát a B O D E diagram egyik egyszeres töréspontját (rendszerint a másodikat) nagyobb frekvenciára helyezi át, de egyidejűleg az áthelyezési aránnyal megegyező nagyságú túlvezérlést okoz. A folyamat amplitúdó frekvencia diagramját a vízszintes tengellyel párhuzamosan eltolja ( A ) . P
A PD szabályozóval tehát a rendszer stabilizálható. A rendszer gyorsítható. A megfelelő fázistöbblet beállításával előírt dinamikus viselkedést érhetünk el. Mivel azonban a szabályozó arányos jellegű, arányos szabályozott szakasz mellett a szabályozásnak egységugrás alapjelre lesz statikus hibája. A gyorsítás azzal magyarázható, hogy a rendelkezőjel kezdetben a PD szabályozót gerjesztve annak kimenetén nagy jelet h o z létre, a szabályozott szakasz így átmenetileg ezt a nagy értéket igyekszik követni a saját időállandójával, tehát a kimenőjel nagy meredekséggel indul el. A
234
szabályozási körben azután a rendelkezőjel értéke csökken, és a szabályozott jellemző beáll állandósult értékére. PID szabályozók hangolása A legcélszerűbb PID szabályozó parametrizálás a (8.8) szerinti, azaz - A (
C C
p
i
D
_
A
p
1 +
^I)(
1 +
^D)
(8.15)
, 7 1 ( 1 + 57-)
Ez a szabályozó az előző két szabályozó (Pl és PD) kombinációját jelenti, lényegében sorba kapcsolásukat. így az ott bemutatott méretezési eljárást kell itt együtt megismételni. A 7} =max{7}} = r választással állítjuk be az integrálási időt, T = T választással pedig a differenciális időt. Ezzel a méretezéssel a -20 dB/dekád meredekségű szakaszt hosszabbítjuk meg a szabályozó struktúrájából adódó lehetséges maximális mértékben. A szabályozási körben az előírt fázistöbblethez (cp ) tartozó maximális integrális körerősítést K (y ) meghatározva a szabályozó integrális erősítését Ki=A /T =K /P(0) szerint kapjuk. A közelítő differenciálás T ^ á l l a n d ó j á n a k megválasztásával kapcsolatban a PD szabályozóknál mondottakra utalunk, viszont a túlvezérlés számítása integrátort tartalmazó szabályozási körökben más gondolatmenet szerint történik. Mivel egy integrátor működése addig tart, amíg a bemenetére zérus n e m kerül, ezért a kör állandósult állapota csak a hibajel zérus értéke esetén A következik be. A PID szabályozó kezdeti ugrása egységugrás alapjel esetén A T /T. folyamat bemenőjelének az állandósult értéke pedig l / P ( 0 ) . A z így számítható túlvezérlés most r\ = A P(Ö)T /T = KT /T. A túlvezérlés tehát a körerősítés és a pólusáthelyezési arány szorzata. 1
D
t0
2
mdJÍ
P
1
l0
m!ÍX
P
P
D
D
D
A (8.15) szorzat alakban megadott szabályozó szemléletesebben alkalmazható a frekvenciatartománybeli viselkedés vizsgálatára. A 8.12. ábra megadja a PID szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját, ez utóbbit A = 1 esetre. H a az erősítési tényező ettől eltérő, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan tolódik el. P
*0
8.12. ábra PID szabályozó átmeneti függvénye és közelítő BODE diagramja A PID szabályozót akkor alkalmazzuk, ha a rendszer statikus pontosságát növelni kívánjuk és ugyanakkor a rendszert gyorsítani is akarjuk. A PID szabályozó BODE diagramjának kezdeti 20dB/dekád meredekségű szakaszával a felnyitott rendszer BODE diagramjának kisfrekvenciás szakaszát módosítjuk, ezzel növelve a szabályozás típusszámát és statikus pontosságát. A szabályozó BODE diagramjának +20dB/dekád meredekségű szakaszával a középfrekvenciás
viselkedést módosítjuk. Mivel megfelelő fázistöbblet biztosításával most avágási körfrekvencia nagyobb értékre helyezhető, a szabályozás gyorsabb működését érhetjük el. A PID szabályozó viselkedése közelíthető egy ún. fáziskésleltető-siettető (FKS) taggal is, amelynek átviteli függvénye:
l +
CFKSM = F K S W
p
S T l
l +
S T l
,
i + j r i + jr 3
ahol
(8.61)
T > 7i > T > T . 3
2
3
4
4
i
2
4
Az FKS tag átmeneti függvényét és közelítő BODE diagramját a 8.13. ábra adja meg. Mivel a tag nem tartalmaz integráló hatást, beiktatása nem biztosít zérus értékű állandósult hibát.
_1_
_1_
7,
8.13. ábra FKS tag átmeneti függvénye és közelítő Bode diagramja A szabályozót a folyamathoz (illetve annak modelljéhez) tervezzük a minőségi követelmények kielégítésére. Először eldöntjük, hogy az adott folyamathoz és minőségi előírásokhoz m i legyen a szabályozó struktúrája, majd megválasztjuk a szabályozó paramétereit. Egy PID szabályozóban például négy szabad paraméter van, A , TJ, T és T. A szabályozó tervezése a paraméterek megválasztását jelenti. A tervezést el lehet végezni az időtartományban vagy a frekvenciatartományban. Számos eljárást, módszert fejlesztettek ki a tervezés megvalósítására. A tervezési módszerek sokrétűsége abból is származik, hogy az egyes alkalr^izásokbana tervezési előírások nagy eltérést mutathatnak. Sok esetben az előírások egymásnak ellentmondó követelményrendszert alkotnak. Általános esetben ez egy optimalizálási problémának felel meg, amikor az ellentmondó követelmények kielégítésre megfelelő kompromisszumot alakítunk kiA gyakorlatban sokszor az optimalizálás elvégzése helyett valamilyen iterációs (intelligens találgatás) eljárást alkalmaznak. P
D
Összefoglaló méretezési táblázat: Szabályozó P
Ti
Ki
A A =K/P(0) P
I
Ki=K JP(0)
PI
K =K JP(0)
m
Tl
H
PD
T
PID
T
2
2
m
K =K JP(0) PD
m
K
P
0
•^PID = - ' m a x / - ( )
Az eddig bemutatott P, PI, PD és PID szabályozókat kompenzációs szabályozóknak is nevezik, mert hatásukat a felnyitott kör hurokátviteli függvényére soros tagként tudjuk legegyszerűbben felmérni és tervezni.
236
Foglaljuk össze a póluskiejtéses PID jellegű szabályozó tervezésére vonatkozó gyakorlati szabályokat. P szabályozót akkor alkalmazhatunk, ha a szabályozással szemben nincsenek a statikus pontosságra vonatkozóan nagy igények, és a szabályozás lehet lassú működésű. Ha a szakasz tartalmaz integráló hatást, az arányos szabályozóval statikus szempontból is megfelelő működésű szabályozás tervezhető. Pl szabályozót akkor alkalmazunk, ha állandósult állapotban pontos beállást követelünk meg egységugrás alapjelre. A z integráló hatás fogja biztosítani a hibamentes beállást. A Pl szabályozóval a szabályozás lassú működésű lesz. A PD szabályozó beiktatása gyorsítja a rendszert. Ezt a hatást a szabályozó túlvezérlésével éri el. PID szabályozót akkor alkalmazunk, ha a szabályozás pontosságát és gyorsaságát is növelni kívánjuk. Arányos szakaszhoz póluskiejtéses szabályozó tervezés esetén a paramétereket a következőképpen választjuk meg: a T paramétert (az integrálási időállandót) a folyamat legnagyobb időállanaöjával megegyezőnek választjuk (legkisebb frekvenciájú pólus), a T paramétert pedig a második legnagyobb időállandóval tesszük egyenlővé. így elérhetjük, hogy a behozott zérusok kiejtsék a folyamat pólusait. A differenciáló jellegű tag nevezőjében szereplő T paramétert T = T /r\ alakban adjuk meg, ahol T | a pólus áthelyezési arány, amely megadja, hogy a PD tag hányszoros frekvenciára tolja el a kompenzált pólust. Ha nagyobbra választjuk, akkor a rendszer gyorsabb lesz, de ennek ára az, hogy a beavatkozó jel maximuma is nagyobb lesz. Mivel a A paraméter értéke n e m befolyásolja a felnyitott kör fázismenetét, ezért ezt arra használhatjuk, hogy beállítsuk az előírt fázistartalék értéket. T
D
D
P
H a a szakasz n e m arányos jellegű, közelítő BODE diagramja alapján dönthetjük el, milyen típusú szabályozóval formálhatjuk a BODE diagramot a minőségi előírásoknak megfelelően. A póluskiejtéses technika ilyenkor is célszerűen alkalmazható. A holtidő hatásának figyelembevétele A folyamat holtidejének figyelembevétele a soros kompenzációk között relatíve egyszerű, ugyanis sT
H
H
(s) = e~ * => H (jco) H
= e-
j(űTá
= e~
j<9á
(8.16)
azaz egységnyi abszolút értékű és (p = -CúT fázisszögű taggal kell módosítani a felnyitott kör d
d
hurokátviteli függvényének L(jcú) frekvencia karakterisztikáját, azaz csak a fáziskarakterisztika módosul. E z úgy is figyelembe vehető, hogy az eredeti ( p 9to
=
t0
tervezett fázistöbblet helyett a
9 to + ^^d értéket használjuk.
Mivel a holtidő átviteli függvénye n e m racionális törtfüggvény, mindazok az általános számítógépes programok, amelyek ilyen tagok kezelésére készültek fel (pl. M A T L A B ® ) nem tudják egyszerűen figyelembe venni hatását általános hatásvázlatban. Ilyenkor a holidős tag valamilyen közelítését használjuk a racionális törtfüggvények osztályában. A holtidő racionális törtfüggvénnyel való közelítésére szolgáló módszereket a 2.5. pontban mutattuk be.
237
8.14. ábra Szabályozó megvalósítása műveleti erősítővel PID szabályozók megvalósítása Az analóg szabályozó visszacsatolt műveleti erősítővel valósítható meg (8.14. ábra). A műveleti 5
7
erősítő igen nagy feszültségerősítéssel rendelkezik ( 1 0 - 1 0 ) , bemenő ellenállása pedig szintén nagy. A kimenőjel és a bemenőjel közötti összefüggés: C[s) = Z ( j ) / Z ( j ) , ahol Z a visszacsatoló, Z pedig a bemeneti impedancia. A 8.15. ábra a tisztán integráló, illetve a PI szabályozó kapcsolását mutatja. v
b
v
b
°—1_
8.15. ábra / és PI szabályozó kapcsolása A kapcsolásoknak több módosított változata adható meg. Például szempont lehet olyan változat kialakítása, ahol egy elem (rendszerint ellenállás) megváltoztatása csak egy szabályozó paramétert állít, a többit nem befolyásolja. A közelítő FK, FS, FKS szabályozók passzív elemekből építhetők fel, a kapcsolás nem tartalmaz műveleti erősítőt. A 8.16. ábra mutatja ezen szabályozók felépítését ellenállásokkal és kondenzátorokkal. c
C
*=J=
i
X
14.
1
(a) (b) (c) 8.16. ábra FK, FS és FKS szabályozó realizálása ellenállásokkal és kondenzátorokkal A kompakt szabályozó az automatika elemeket gyártó cégek terméke, ahol a szabályozó struktúra (P, PI, PD vagy PID) kapcsolható, és a paraméterek általában potenciométerek állításával
hangolhatok.
238
Alapjeilíépüő Alapjel átkapcsol6
PID
vtei-HArró 87FIÍV
K0
0
Kézi VIGTEHAJTÓJEI képző '
mérömüsawr
8.17. ábra P / D szabályozó blokkvázlata kézi-automatikus átkapcsolással A szabályozók megvalósítják a kézi üzemmódról az automatikus szabályozási üzemmódra történő kapcsolás lökésmentességét, és a telítődés esetleges bekövetkezésekor az integrátor telítési jelenségét is kezelik. A PID szabályozó blokkvázlatát a kézi - automatikus átkapcsolás feltüntetésével a 8.17. ábra szemlélteti. A z alapjel átkapcsolható két különböző jeladó között. A rendszer átkapcsolható a kézi és az automatikus ü z e m m ó d között. Lassú folyamatok esetén automatikus állásból kézi ü z e m m ó d b a való átkapcsoláskor a kezelő a végrehajtójelet mérő műszer által mutatott értéket beáUítja a kézi végrehajtójelet képző potenciméteren, és ezután kapcsol. A kézi állásból az automatikusba való átkapcsolás kritikusabb, ugyanis a kézi üzem alatt a szabályozó integráló ágán a kimenőjel nagy valószínűséggel "megszalad". Pl szabályozó esetén a 8.18. ábrantnutat egy lehetséges megoldást a kézi-automatikus átkapcsolásra az "elintegrálódás" elkerülésével. A kézi ü z e m m ó d ideje alatt a C kondenzátor a kézi végrehajtójel értékére töltődik fel, és átkapcsolás után az integrálás erről a kezdeti értékről indul. Az R ellenállás biztosítja kézi üzemmódban a műveleti erősítő visszacsatolását, így a műveleti erősítő nem kerül telítésbe. A korlátozás kezelésével a 8.4. pontban foglalkoztunk.
Kézi
'ijg:
végrehajtójel
kép*A
8.18. ábra Pl szabályozó kézi-automatikus átkapcsolással M a az analóg technikák helyett egyre inkább PLC (Programmable Logical Controller) vagy számítógép realizálja a szabályozót. A folyamat A/D átalakítóval csatlakozik a számítógéphez. A PID jellegű szabályozási algoritmust program valósítja meg. A szabályozó kimenőjele pedig D/A átalakítón keresztül csatlakozik a folyamat bemenetére. Aprogramnak kell gondoskodnia a korlátozás jelenségének kezeléséről és a kézi - automatikus átkapcsolás lökésmentességéről is. A digitális PID szabályozókkal a 13. Fejezetben foglalkozunk részletesen. 8.2. Maradék rendszerek tervezése Néhány tipikus esetre a szabályozó tervezése analitikusan is elvégezhető. A hagyományos szabályozók tervezésekor láthattuk, hogy a legáltalánosabban elterjedt és legegyszerűbb
239 módszernél a PID szabályozó integrálási és differenciálási idejének megfelelő töréspontokat a folyamat két legnagyobb időállandójához tartozó töréspontokhoz illesztjük. A szabályozónak ezután már csak az erősítési tényezőjét kell beállítanunk mint egyetlen szabad paramétert. A z erősítést előírt fázistartalék, erősítési tartalék vagy NYQUIST stabilitási tartalék szerint szokták megválasztani. Amennyiben a két domináns időállandó kiejtése után kapott maradék (reziduális) vagy redukált rendszer egyszerű alacsony fokszámú, akkor ezt a méretezést nagyon könnyen elvégezhetjük, igen sokszor explicit analitikus eredményre jutva. Ha a maradék rendszer magasabb fokszámú bonyolultabb rendszer, akkor csak a számítógépes számítások (MATLAB®) alkalmazhatók. A következőkben néhánytipikus maradék rendszerre elvégezzük a körerősítés méretezését. Holtidős integráló maradék rendszer Mint korábban láttuk, egy tisztán holtidős tagot negatívan visszacsatolva a szabályozás a stabilitás határára kerül, ha a hurokerősítés egységnyi. Arányos szabályozó helyett integráló szabályozót alkalmazva a szabályozás stabilizálható és statikus pontossága javítható. Legyen a maradék rendszer a 8.19. ábra szerinti, amelynek hurokátviteli függvénye
L(S)-
Ke
L(j(o) =
:
= a(co)e
y n
'
(8.17)
8.19. ábra Holtidős integráló maradék rendszer A felnyitott kör amplitúdó-körfrekvencia görbéje -20dB/dekád meredekségű egyenes, a K = 1/Tj hurokerősítési tényező megadja a felnyitott kör vágási körfrekvenciáját. A m e n n y i b e n (p az előírt fázistartalék, akkor a t
-iz/2-(oT
d
= - 7 t + cp
(8.18)
t
szögfeltételnek és a (8.19)
co
abszolútérték feltételnek kell fennállnia. A két egyenlet megoldásából kapjuk a körerősítést _7t/2-cp
K =
t
_7t-2cpt
_
(8.20)
27/H
Ha a szabályozó erősítési tényezője A , a folyamaté pedig A , akkor a szabályozó beállítandó c
p
átviteli tényezőjét (erősítését) az K,
r
(8.21)
240
képlet szerint számíthatjuk ki. Az így kapott (8.20) beállítási képletet integráló szabályozó méretezésére is felhasználhatjuk, ha a folyamat tiszta holtidős tag. Ha tehát a holtidős taghoz I szabályozót használunk, annak integrálási idejét az alábbiak szerint méretezzük T, = — = — = —
(8.22)
amelynek a holtidőhöz viszonyított relatív értéke íj _
1
_
2
(8.23)
2d"E_ "*-2
1
Néhány tipikus érték: ha (p = 30° = K / 6 , akkor r x /r d = 3 / r c « 1 ; ha
d
t
t
á
Holtidőt is tartalmazó minimumfázisú rendszer esetén tehát n e m elegendő, hogy a vágási körfrekvencia a -20dB/dekád meredekségű szakaszra essen, a vágási körfrekvenciát a kb. cp = 60° fázistöbblet biztosításához a holtidő reciprokának a felére kell helyezni. t
Legyen a K erősítési tartalék (lásd az 5.6. pontot) adott. Most a szögfeltétel ~-coT =-%
(8.24)
d
ahonnan a frekvencia függvénynek a negatív valós tengellyel való metszéspontjához tartozó körfrekvencia co = —
(8.25)
ahol a hurokátviteli függvény abszolú t értéke t
K
^
— = 1-K
(8.26)
CŰ=CO„
Az utóbbi két egyenlet megoldásából kapjuk a körerősítés képletét K =^
2T
(8.27)
d
Egy tipikus érték: ha a = 0 . 5 , akkor t
r /r T
d
= 4 / n = 1 . 2 . A stabilitási határ (
= 0 ) tehát most is
T / 7 = 2 / í i » 0.637. I
d
A tiszta holtidős taghoz használt 7 szabályozó integrálási idejének a beállítási képlete
241 A p =Pmin N Y Q U I S T stabilitási tartalék a felnyitott kör L(y'co) frekvenciafüggvényének a - 1 + jO ponthoz legközelebb eső pontjának a - 1 + jO ponttól mért távolsága. Ezt a távolságot általában n e m könnyű explicit algebrai kifejezéssel megadni, mivel egy szélsőérték feladat megoldásából származtatható. Ezért általában értékének grafikus ábrázolására törekednek. A 8.20. ábrán p ^ - n a k a Ti/T hányadostól való függését ábrázoltuk. m
á
1
1
1
1
1
I
i
1 I
Pmin
•
'
.5
8.20. ábra A p ^ , ,
I
•
.5 NYQUIST
•
i
I
1
.5
I
Tift L_
.5
.5
stabilitási tartalék a T J / T J függvényében
Amint azt az 5. Fejezetben láttuk, a negatívan visszacsatolt tiszta holtidős tag csak akkor stabilis, ha a hurokerősítése 1-nél kisebb. Ekkor azonban a statikus hiba igen nagy. Ezért gyakran előfordul, hogy nemcsak a póluskiejtéses szabályozó méretezési technikáknál, hanem a tiszta holtidős szakasz / szabályozóval történő irányításánál is a fenti megfontolásokat használhatjuk. A ( p = 6 0 ° = 7c/3 esetre a felnyitott rendszer BODE amplitúdó diagramját a 8.21. ábra szemlélteti. (8.23)-ból látható, hogy holtidős rendszer kompenzálásakor a vágási körfrekvencia a kialakított hosszú -20dB/dekád meredekségű szakaszon a holtidő reciprokának kb. felére helyezendő. A stabilitás határán cp = 0, és ekkor K = n/2T ~ l.57/T . t
t
Y
á
d
(Z,(jc }[' ö
- 20dB/dekád
1 7,
8.21. ábra Kompenzált holtidős rendszer BODE amplitúdó diagramja Egy aperiodikus folyamatot egytárolós (esetleg kéttárolós) holtidős taggal elég jól lehet közelíteni (lásd a 8.3. pontot). A magasabb minőségi követelmények kielégítésére az / helyett Pl szabályozót is alkalmazhatunk. A Pl tag zérusával „kiejthetjük" a szakasz pólusát, és helyette integráló hatást „hozunk be". Ezzel a Pl kompenzálással a felnyitott kör ismét holtidős integráló:
242
Ke
l + sT
s
-sT*
(8.29)
s
{
A K paraméter, amely a felnyitott kör vágási körfrekvenciáját is megadja, a 6.2. pont szerint, célszrűen 60°-os fázistöbbletre tervezhető: K - co = l / 2 r . T = 1 0 és Ti = 2 esetén a szabályozás átmeneti függvényét és beavatkozójelét a 8.22. ábra mutatja. A holtidő a rendszerből nem küszöbölhető ki, a kimenőjel csak a holtidő letelte után kezd változni. c
d
d
«(')
10 H
20 1
1
1
501
1
1
1
1
100 (-
8.22. ábra PI taggal kompenzált holtidős rendszer átmeneti függvénye és beavatkozójele (Megjegyezzük, hogy egytárolós holtidős szakasz esetén nincs értelme PD kompenzáció hozzáadásának. Kéttárolós holtidős szakasz esetén a PD hatás hozzáadása csak akkor gyorsítja a rendszert, ha a tárolós időállandók a dominánsak. Ha a holtidő a köztes vagy a legnagyobb időállandó, a holtidőből adódó nagy fázistolás miatt a PD hatással a fázistöbblet n e m javítható lényegesen, így alkalmazásának nincs értelme. Mivel a holtidő korlátozza a vágási körfrekvencia növelhetőségének mértékét, a holtidős szabályozás lassú működésű lesz.) Egytárolós integráló maradék rendszer Legyen a maradék rendszer most az 8.23. ábra szerinti, amelynek hurokátviteli függvénye L(S):
K
1
s(l + sT)
sT^l + sT)
K
-r / . \
L(yco) =
;co(l + ;coT)
, x ^ y'cp(oj) : ö(co)e J
(8.30)
K 5(1 + sT)
8.23. ábra Holtidős integráló maradék rendszer A zárt rendszer eredő átviteli függvénye, azaz a kiegészítő érzékenységi függvény (8.30) alapján T(s) =
K
1
K+s+Ts
2 1 +
J_ K
J +
1 Z. 2 K S
1+ 2£T5+TV
(8.31)
243 tehát egy másodrendű ideális lengő tag, amelynek csillapítási tényezője a körerősítéssel pontosan beállítható. Együttható összehasonlítással kapjuk, hogy
A közismerten "szép" átmeneti tranzienst nyújtó ^ = 7 2 / 2 = 0.707 csillapítási tényezőt a K = 0.5/T körerősítéssel kapjuk. A bizonyos alkalmazásoknál nagy jelentőségű aperiodikus beállás % > 1 határhelyzetének a K < 0.25/7/ érték felel meg. Legyen (p az előírt fázistartalék, akkor a hurokátviteli függvény alapján írhatjuk a t
- ^ - a r c t g ( c o 7 / ) = -7t + (p
(8.33)
t
szögfeltételt és a K
=1 2
üWl + cu 7/
(8.34)
2
abszolút érték feltételt. A két egyenlet megoldásából kapjuk a körerősítés képletét
* 4T t g ( 9 0 - , ^ Mí 4cos- (^ ^ 90-(p )
(8-35)
0
t
ahol figyelembe vettük a / x / rTT tg(^)Vl + tg (x) 2
=
sin(jc) \
sin(x)
=
1-sin (x)
,„„~ (8.36)
cos (x)
trigonometriai azonosságot. Néhány tipikus érték: ha
t
KT = 2/3 = 0.667. Adott £-hez tartozó cp is kiszámítható. Ha £ = 7 2 / 2 = 0.707 csillapítási t
tényezőt akarunk, ahhoz (p = 65.53° adódik. t
Mivel ezen maradék rendszer NYQUIST diagramja nem lép át a harmadik síknegyedbe, ezért erősítési tartalék most nem tervezhető ( K = 1.0). Ez a rendszer strukturálisan stabilis. T
A Pjnjn NYQUIST stabilitási tartalékot itt is csak grafikusan tudjuk ábrázolni, a Tj/r-től való függését az 8.24. ábrán láthatjuk. Egytárolós integráló maradék rendszerre jutunk például, ha egy kéttárolós arányos tagot Pl szabályozóval póluskiejtéses technikával kompenzálunk, akkor a felnyitott kör Us) W
= A P
p
!±í£-
s
A
§
(1 +sT^l-r
=
sT ) 2
P*P
=
s(í + sT )
alakú lesz, azaz megegyezik a (8.30)
2
K _
s(í+sT)
=
1
(
g
3
7
)
sT^l + sT)
szerinti esettel, és a fenti méretezési
képletek
244
használhatóak. Előírt £ csillapítási tényező esetén a szabályozó erősítése kiszámítható. Ha £ = 1, akkor K = 1/4T , és a rendszernek két egyenlő valós pólusa lesz. A zárt rendszer átviteli függvényének m é g éppen n e m lesz túllövése. 2
Ha ^ = V 2 / 2 = 0.7, akkor K = l/2T és a rendszer fázistartaléka
t
P
P
Pmin .9 -
8.24. ábra A
P
I
(
!
I
!
!
f
'.
'•
-
-
'r
'-
-
P
!
P
2
T :•
NYQUIST stabilitási tartalék a TJ/r
függvényében
8.3. Tapasztalati szabályozó hangolási módszerek A szakasz modelljén alapuló szabályozótervezési módszerek mellett, amelyek áttekintést nyújtanak a szabályozás várható tulajdonságairól, az ipari folyamatirányításban számos tapasztalati PID szabályozó beállítási módszert javasoltak, többségében stabilis folyamatokra. Ezeket a módszereket a szabályozó üzembehelyezése során sokszor alkalmazzák. A javaslatok, "receptek" a szabályozó paramétereinek beállítására a folyamaton végzett néhány előzetes mérésen, szimulációs vizsgálatokon és gyakorlati megfigyeléseken alapulnak. Megjegyezzük, hogy ezek a módszerek alkalmasak a szabályozók gyors üzemi behangolására, de a szabályozás viselkedésének áttekintésére, változások esetén a hangolás módosítására jobb alapot nyújtanak a modell alapú tervezési eljárások. A tapasztalati módszereket rendszerint megfelelő kezdeti beállításoknak tekintjük alaposabb elméleti eljárások bevezetése előtt. A ZlEGLER-NlCHOLS szabályok Frekvencia
válasz
módszer
A módszer alkalmazhatóságához feltételezzük, hogy a folyamat technológiája megengedi, hogy a zárt szabályozási kör rövid időre a stabilitás határhelyzetére hozható csak arányos szabályozást alkalmazva. A z ilyen kísérlet alatt a szabályozó integráló és differenciáló csatornáját kikapcsoljuk (Tj =°° és r = 0), majd A óvatos emelésével elérjük a stabilitás határát, ahol szinuszos lengések keletkeznek. Minden A változtatás után m e g kell várni az állandósult állapot elérését, ami összességében tetemes idő lehet. Legyen A ^ a határhelyzethez tartozó erősítés, pedig az állandósult szinuszos lengés periódusideje. ZlEGLER és NICHOLS mintegy £ = 0.25-ös csillapítási tényezőt (ami elég magas, kb. 40%-os túllendülésnek felel meg, tehát a D
P
P
P
245
gyakorlatban csak lassan változó zavarások kompenzálására alkalmas) tervezve a következő szabályozási paramétereket javasolták: A ZlEGLER-NlCHOLS féle szabályozó beállítás (I) A Szabályozó Ti 0.5A P P
P k r
Átmeneti függvény
Pl
0.85 7 ^
PID
0.5 7/^
0.45A 0.1257^
0.6A
P i k r
P k r
módszer
Számos stabilis ipari folyamat holtidős, aperiodikus beállási jelleget mutat egységugrás alakú bemenetre (8.25. ábra). A z átmeneti függvény inflexiós pontjában húzott egyenes által meghatározott, az ábrán bejelölt mennyiségeket látens holtidőnek ( T ) és látens meredekségnek ( M = A / T ) nevezve ZlEGLER és NICHOLS átmeneti függvények kiértékelésén alapuló beállítást is javasol, amelyet az alábbi táblázat foglal össze: L
L
L
F
A ZlEGLER-NlCHOLS féle szabályozó beállítás (II) A Szabályozó Ti 7b VT M P 37L 0.9/T M Pl P
L
L
L
27L
PID
L
i.2/r M
0.57L
L
L
A fenti táblázatokból látható, hogy a { A , 7 " T , T } hármas mindkét javasolt beállításnál két P
d
megfigyelt értéken alapszik, majd a D-csatorna
70 = ^ / 4
beállítása
szerint történik. E z
nyilvánvalóan további tervezői szabadság forrása. i
v(t)
A,
/
m = a /t l
l
f
t r, 8.25. ábra A folyamat mért átmeneti függvénye
OPPELT módszere A folyamat mért átmeneti függvényére többféle grafo-analitikus módszerrel is illeszthetjük a (8.38) szerinti közelítő egytárolós holtidős tag átmeneti függvényét. P(s) = - ^ - e 1 + sT ¥
s
T
^
;
A =^-^°- u L
,
T = - t L
h
és
0
T =t -t F
2
v
(8.38)
0
Kézi beállítással állítsuk be a névleges munkapontot, ahol u
0
bemenőjelre a kimenőjel értéke
246 y . A t időpontban adjunk egy ugrás bemenőjelet a szakaszra, ahol az w bemenőjel « -ról u^re ugrik. A kimenőjel a 8.26. ábrán látható (a két ábrán látható T felfutási idő definíciója különböző, mivel OPPELTnem tételez fel inflexiós pontot). 0
0
0
P
A
-> t
8.26. ábra Aperiodikus átmeneti függvény közelítése egytárolós holtidős taggal Az OPPELT-féle szabályozó paraméter beállítási értékeket ^ = 0.25-ös csillapítási tényezőhöz a (8.38) közelítő modell paramétereihez határozták meg. A ZlEGLER-NlCHOLS módszerhez hasonlóan tehát itt is nagy túllendülést várhatunk. A javasolt beállítási értékeket az alábbi táblázatban foglaltuk össze: Az OPPELT-féle szabályozó beállítás Szabályozó P PD PI PID
A M r 1 1.2 0.8 1.2 P
L
L
Ti/T
7b/T
L
L
0.25 3 2
0.42
CHIEN-HRONES-RESWICK m ó d s z e r e A szabályozó paramétereinek beállítására CHIEN, HRONES és RESWICK az alábbi táblázatban összefoglalt javaslatot adták. Szabályozó beállítás CHIEN-HRONES-RESWICK szerint Leggyorsabb lengő átmenet, Leggyorsabb aperiodikus Szabályozó legfeljebb 20% túllendüléssel átmenet A =0JT /T P A P = O.3TF/TL A = 0.6T /T A = 0.35 T /T PI 7i = i.or F 7i = i . 2 r A = 0.6T /T A P = o.95r F /r L PID 71=1.07^ r! = i.35r F P
P
F
L
F
L
P
F
F
P
F
7/ = 0.57/ D
STREJC módszere STREJC a folyamat modelljének a
L
L
r = o.47r D
L
L
247
A
p ( ) = — L— -'TL {l + sT) s
(8.39)
e
W
n
közelítő alakot választotta. A közelítő modell paraméterei alapján összefoglalt értékeket javasolta a PID szabályozó család beállítására.
az alábbi
táblázatban
A STREJC féle szabályozó beál lítás A
Szabályozó
Ti
P
1 P
A (n-l) L
Pl
n+2
T(n + 2)
4A («-1)
3
7n + 16
T ( 7 n + 16)
T(n + í)(n + 3)
16A (n-2)
15
7 « + 16
L
PID
L
ÁSTRÖM relé módszere A zárt szabályozási kör stabilitási határhelyzetéhez tartozó kritikus körerősítést valódi ipari folyamatoknál igen nehéz beállítani. Ennek a tartománynak a megközelítését biztonsági szempontok miatt általában nem is engedélyezik. Ha a kritikus körerősítésen alapuló szabályozó beáUítást akarjuk használni, akkor célszerű más módszerrel ezt az értéket meghatározni. A gyakorlatban is jól használható módszert javasolt Á S T R Ö M . A módszer szerint a zárt körben ki kell cserélni a PID szabályozót egy hiszterézises relé karakterisztikával rendelkező erősítővel (lásd a 8.27. ábrát).
P(s) U
PID
8.27. ábra A PID szabályozó hangolása relés módszerrel Speciális zárt nemlineáris rendszerek stabiktásvizsgálatára ismert az úgynevezett leírófüggvény módszer. A z N(ja,
a) leírófüggvényt úgynevezett harmonikus linearizálással kapjuk, amikor a
statikus nemlineáris tagra
a amplitúdójú szinuszos gerjesztést
adunk, majd a
alapharmonikusának és a b e m e n ő szinusz jelnek a komplex hányadosát képezzük.
kimenőjel N(j(ü,a)
általában komplex függvény, amely az a függvényében parametrizált. A stabihtás vizsgálatakor a (-1 + jO) pont szerepét a -l/N(j(0,a)
függvény veszi át. A stabihtás határhelyzete abban az
(co^űia.) pontban következik be, ahol az L(j(űi) hurokátviteli függvény NYQUIST görbéje metszi a -l/N(j(s3,a)
inverz negatív leírófüggvényt, azaz (8.40)
Itt
a határhelyzetben fellépő periodikus lengés közelítő amplitúdója. (Azért n e m a teljesen
pontos érték, mert a harmonikus linearizálás csak az első felharmonikust veszi figyelembe.) A
248
periodikus jel r co = 27i/7
,
kr
kr
kr
periódus idejéből a kritikus ponthoz tartozó körfrekvencia j ó becslése az
érték.
Legyen a hiszterézis holtsávja zérus, tehát a szabályozó egy kétállású relé. Ebben az esetben a folyamat bemenetére egy négyszöghullám kerül, a folyamat kimenetén pedig állandósult állapotban egy periodikus jel jelenik meg. Lineáris esetben a kritikus erősítésre a karakterisztikus egyenlet szerint fennáll, hogy l+L(cű ) = l + A kr
Pikr
P(cö ) = 0 kr
azaz
Ap kj. — —
(8.41)
tehát (8.40) és (8.41) összevetéséből egyszerű összefüggést kapunk a kritikus erősítés becslésére A
P > k r
= - l / P K ) = A^ctv, a)
(8.42)
Ha a folyamat bemenetén +Aw, a kimenetén pedig ±Ay amplitúdójú állandósult lengést mérünk, akkor a kritikus körerősítés A p , = iV(a) = ~ KÁy
(8.43)
kr
ahol N(a) most a relé csak amplitúdótól függő leírófüggvénye. A módszer legfontosabb előnye, hogy a folyamat kimenőjelének oszcillációja fokozatosan beállítható egy még megengedett értékre, a AM = h ugyanis a relé karakterisztika (fél)magassága és Ay = a. Ha a relével egy integrátort kötünk sorba, akkor a folyamat - 2 7 0 ° fáziseltoláshoz tartozó erősítését határozhatjuk meg a módszerrel. A hiszterízis karakterisztikához tartozó leírófüggvény alapján
Ah
Ah
AAu
4AM
azaz a negatív valós tengellyel párhuzamos egyenes. Itt g a hiszterézis (fél)szélessége. Innen egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy ismét az
összefüggést kapjuk. Korszerű elektronikus kompakt szabályozókban a relés hangolás ma már beépített lehetőség. ( A relé h és g értékeinek változtatásával a NYQUIST diagram további pontjait is feltérképezhetjük.) Az ÁSTRÖM-HÁGGLUND m ó d s z e r Ez a módszer is a (8.38) egyszerű grafikus közelítést használja kiindulásként, de tervezési paraméterként megjelenik a kiegészítő érzékenységi függvény M maximális értéke is. A z ehhez tartozó M görbe képezi a ( - 1 + jO) ponttól való távolság tartás alapját, így bizonyos mértékig a szabályozó robusztussága is tervezhető lesz. A módszerhez használt PID szabályozó egyenlete m a x
249
u(t) = A M t ) - y ( * ) + ^ <
x
^
Y
y
+
T
(8.46)
^ a t
i o
ahol a hiba képzésekor az r(t) alapjelet különböző súllyal ( p ) vesszük figyelembe, mint a folyamat y(t) kimenőjelét. A (8.38) közelítő alak alapján vezessük be az
a =A —
és
L
(8.47)
y-
relatív paramétereket. ÁSTRÖM és HÁGGLUND úgy találta, hogy a szabályozó paraméterei az 2
f{y) = a cxp{a y+a j } 0
1
(8.48)
2
függvény szerint adhatók meg. A Pl és PID szabályozó paramétereit meghatározó függvény a , ŰJ és a együtthatóit a következő táblázatok tartalmazzák. 0
2
Pl szabályozó paramétereinek beállítása M =2 ^max=l-4 max
a
a
o
aA Ti/T
P
L
P
0.29 8.9 0.79 0.81
-2.7 -6.6 -1.4 0.73
3.7 3.0 2.4 1.9
0.78 8.9 0.79 0.44
l -4.1 -6.6 -1.4 0.78
PID szabályozó paramétereinek beállítása Mmax=2 a a 2 o
f(y) aA
x
P
Ti/T Ti/Tp T /T T /T L
D
L
D
¥
P
3.8 5.2 0.46 0.89 0.077 0.4
-8.4 -2.5 2.8 -0.37 5.0 0.18
a
7.3 -1.4 -2.1 -4.1 -4.8 2.8
a
8.4 3.2 0.28 0.86 0.076 0.22
x
-9.6 -1.5 3.8 -1.9 3.4 0.65
a
2
5.7 3.0 2.4 -0.45
a
2
9.8 0.93 -1.6 -0.44 -1.1 -0.051
Hasonló táblázatot dolgoztak ki arra az esetre is, amikor a folyamat önmagában is integráló. 8.4. Korlátozások kezelése:
"anti-reset windup"
A szabályozási rendszerek tervezésénél figyelembe kell venni, hogy az u(t) beavatkozó jelre korlátozások érvényesek. Ezek a korlátozások számos forrásból származhatnak. A korlátozás adódhat a beavatkozószerv felépítéséből. A beavatkozószerv sokszor egy maximális értékű bemenőjelnél n e m képes nagyobbat kiadni. Például egy szelep maximálisan nyitott állapotában egy maximális átáramló mennyiséget bocsát át. H a ennél nagyobb átáramló mennyiség átbocsátására kap parancsot, azt n e m tudja teljesíteni, "betelít". A folyamat bemenetén szándékosan alkalmazott korlátozás legfontosabb szerepe, hogy a folyamatot megvédje olyan káros mértékű túlvezérléstől, ami meghibásodást okozhat a folyamatban.
250
Akár a folyamat természetéből adódóan léphet fel a korlátozás, akár mesterségesen iktattuk azt be a szabályozási körbe, figyelembe kell venni a korlátozás által kiváltott hatásokat. Célszerű már a szabályozó tervezésekor figyelembe venni a korlátozást, és olyan szabályozót tervezni, amelynek kimenőjele nem éri el a korlátot. Ha ez nem lehetséges, akkor kezelni kell a korlátozás fellépésekor jelentkező járulékos jelenségeket. A szabályozónak, vagy az azt követő beavatkozó szervnek tehát a lineáris jeltartománya véges. Ezen amplitúdó korlátozásnak a tervezési célokkal való összefüggését, azokat alapvetően korlátozó jellegét már tárgyaltuk a 7.4. pontban. A szabályozási kör tehát a telítés alatt egy felnyitott körhöz hasonlóan működik, mert a korlátozás kimenete állandó és így a folyamat bemenete is állandó. A folyamat kimenete a saját dinamikája szerint alakul. Integrátoros szabályozóknál azonban egy másik probléma is előfordul: nagy hibajeleknél a szabályozó kimenete a telítéses jelleggörbe vízszintes szakaszára kerülhet. Ha az integrátor tovább integrál, akkor a telítési jellegörbe bemenőjele tovább nő és a hiba előjelének megfordulásakor még hosszú időnek kell eltelnie, amíg a bemenőjel ismét visszakerül a jellegörbe lineáris szakaszára, ha ez egyáltalán bekövetkezik. Emiatt a szabályozási tranziensek ideje elfogadhatatlanul megnő, állandósult, a folyamatra káros lengések is kialakulhatnak. A megoldást az ARW (Anti Reset Windup) vagy "antiwindup" technika jelenti. Ennek a technikának a lényege, hogy alkalmazza a telítődéses statikus karakterisztika modelljét és megfelelő visszacsatolással a munkapontot a lineáris és a telítődéses szakasz találkozásának helyére vezeti. A (7.39)-nél specifikusabb korlát a szokásos
^max : haw (r)>t7 c
<(*) =
max
u(t) -t/
c
max
(8.49)
; ha|w(f)|<[/ ; hau (r)<-t/
max
c
max
telítéses karakterisztika (lásd a 8.28. ábrát).
*(0
OA
ZABÁLYOZÓ
"(0
«(r) c
OLYAMAT
Át)
ELÍTÉS
8.28. ábra Szabályozó és beavatkozó szerv telítéses karakterisztikával Az ARW hatás egy egyszerű visszacsatolással elérhető, amelyet a 8.29. ábrán mutatunk be. A külön visszacsatolás addig működik, amíg a vízszintes, telítődéses szakaszon vagyunk. Hatására a szabályozó kimenőjele a törésponthoz tartozó u(t) = u (t) feltételt biztosítja. c
ELÍTÉS
CK>-
U(t) ZABÁLYOZÓ
OLYAMAT
9 8.29. ábra Az ARWhatást
realizáló bővített szabályozó
Át)
251
Folytonos rendszerben a realizálás attól függ, hogy az u (t) jel hozzáférhető-e. Ha a szabályozó és a beavatkozójel egymástól elkülönül, akkor az u {t) és az u(t) is mérhető, a visszacsatolás a Y elemen keresztül egyszerűen realizálható. Ha ez nem áll fenn, akkor a telítéses szakasz modelljét létre kell hozni. (Jóval egyszerűbb az ilyen típusú algoritmusok realizálása mintavételes rendszerekben, lásd a 13. Fejezetet.) A y alkalmas megválasztásával biztosítani kell, hogy az általa létrehozott visszacsatolás gyorsabban hasson, mint a folyamat saját dinamikája. c
c
Egy további lehetőséget is bemutatunk a telítés bekövetkezésének észlelése után a szabályozó integráló összetevőjének bemenetére kerülő jel nullázására (az integrátor "reszetelésére").
r(t)
u(t)
_*(í)
y(t)
1
8.30. ábra
FOXBORO
szabályozó
Az integrátor visszaállításának ("reszetelésének") hátránya az, hogy amikor a szabályozó kikerül a korlátozásból, a szabályozó és a folyamat állapotváltozói között illesztetlenség jön létre, ami a szabályozás leromlásához vezet. Ezt egy olyan struktúrával lehet kompenzálni, ahol a folyamat és a szabályozó bemenetét hasonlóan korlátozzuk, azaz a szabályozót a telítés visszacsatoló ágába tesszük. E n n e k egyik tipikus példája a F O X B O R O szabályozó (8.30. ábra), ami egy korlátozott PI szabályozásnak felel meg. Ugyanis ha a szabályozó nincs korlátozva, akkor a pozitívan visszacsatolt egytárolós tag átviteli függvénye PI szabályozónak felel meg:
C{s) = A • P
1
1 + jTj 1
(8.50)
\ + sTj Ebben a struktúrában nem lép fel az "elintegrálódás" jelensége. A legtöbb megoldás a korlátozás megszűnése után az integrátor értékét állítja be valamilyen értékre. Számos eljárást (némelyik igen bonyolult) fejlesztettek ki a "reszetelési" érték kiszámítására és beállítására N e m létezik olyan eljárás, amely minden esetben biztosítja a megfelelő működést, de a fenti egyszerű eljárások olyanok, amelyek sok esetben elégséges működést biztosítanak. A korlátozás figyelembe vételének még számos módszere ismeretes, amelyekre itt n e m térünk ki. 8.5. Néhány speciális szakasz szabályozása Az alábbiakban kétszeresen integráló, majd labilis szakaszok kompenzálására mutatunk be szabályozó tervezési példákat. Megmutatjuk azt is, hogy egyes esetekben a tervezés analitikusan is elvégezhető a domináns póluspár szemlélet alapján.
252 Kétszeresen integráló szakasz kompenzálása 2
Legyen a folyamat átviteli függvénye: P(s) = K/S . A szakasz kétszeresen integráló, negatívan visszacsatolt szabályozási körben arányos szabályozóval a szabályozás a stabihtás határán működik. A karakterisztikus egyenlet: 1 + K/S = 0 , illetve s + K = 0 , amelynek s ~ ± J^K gyökei az imaginárius tengelyre esnek. Jó szabályozás helyett j ó oszcillátor kapcsolást állítottunk elő. A felnyitott kör N Y Q U I S T diagramja a 8.31. ábrán látható. A N Y Q U I S T diagram áthalad a -1 ponton, így a szabályozási kör a stabilitás határán van. A B O D E diagramot a 8.32. ábra tünteti fel. 2
2
l 2
Im'
>
RÍ
-'l
8.31. ábra Kétszeresen integráló szabályozás
NYQUIST
diagramja
A szabályozással szemben támasztott követelmények: legyen stabilis, a kedvező dinamikus viselkedést biztosítsuk 60° körüli fázistöbblettel, továbbá a szabályozás kövesse statikus hiba nélkül az egységugrás és a sebességugrás alapjelet (vagyis típusszáma maradjon 2). \Hjm)\' s-40dB/dekád
9'
>
to 1 80°
8.32. ábra Kétszeresen integráló szabályozás
BODE
diagramja
A követelmények olyan kompenzáló szerv alkalmazásával teljesíthetők, amely képes a fázisviszonyok javítására, nevezetesen a cp (co) = (p (co) + (p (co) = 9 ( c o ) - 1 8 0 fázis összefüggésből adódóan éppen a keresett szabályozó fogja a (p (co) = 180° + (p (co ) = 9 ( c o ) szerint a fázistartalékot szolgáltatni. A 0
L
c
P
t
C( ) 5
w
= A1±H,
L
L
c
c
c
x>T
i+,r
fázissiettető tag (lásd a 2.4. pontot)) pozitív fázisszög hozzáadását garantálja, hiszen (p (co) = arctg(coT)-arctg(cor)>0,ha t>T. Látható, hogy ( P e l ) ^ nagyobb értéket tud felvenni, minél jobban eltoljuk egymáshoz képest a két arctg(...) függvényt, azaz minél 0
c
253
nagyobb a t / T arány. Az elnevezéseket illetően a fázissietető tagot közelítő P D szabályozónak is hívják, ugyanis a
Cm = A
= A 1+
=A
l + sT
1+ ÍT
w
alakból jól látható, hogy
C(s)
egy
arányos
és egy közelítő (más
megfogalmazásban
megvalósítható) differenciáló csatorna párhuzamos eredője, amelyre a Cp (*) = A p D
D
i ± ^ , 1+ Í J
(8.51)
T >T. D
jelölést használják a gyakorlatban (bevezetve a t = T differenciálási időt, lásd (8.14)-t). A korrekt "közelítő P D " szabályzó megnevezés helyett sokszor kissé felületesen egyszerűera P D megnevezést használják. Ez a pontatlanság annyiban indokolt, hogy nem-közelítő, azaz pólus nélküli P D szabályozó nem is létezhet a gyakorlatban (nagyfrekvenciás erősítése végtelen nagy lenne). D
A 8.33. ábra megmutatja, hogy a P D szabályozóval a BODE diagramon kialakítható egy 20dB7dekád meredekségű szakasz. A vágási körfrekvenciát ezen a szakaszon helyezzük el. í g y a rendszernek pozitív fázistöbblete lesz, és viselkedése is gyors lesz, mivel co a nagyobb frekvenciák tartományába tolódik el. A szabályozó erősítési tényezője úgy is megválasztható, hogy a fázistöbblet maximális legyen. A z elérhető maximális fázistöbblet függ a T^/T aránytól. Ez az arány befolyásolja a szakasz bemenetén az egységugrás alapjel hatására a bekapcsolás pillanatában fellépő maximális beavatkozójelet is, amelynek értéke w = A T /T. c
m a x
?
D
8.33. ábra P D szabályozóval kompenzált kétszeresen integráló szakasz BODE diagramja A BODE diagramból látható, hogy a szabályozás strukturálisan stabilis, bármilyen hurokerősítés mellett a fázistöbblet pozitív. A kompenzált rendszer NYQUIST diagramját a 8.34. ábra szemlélteti. (Megjegyezzük, h o g y integráló jellegű szakaszoknál, amikor a komplex számsík origójában vannak pólusok, nem szükséges a teljes NYQUIST kritérium alkalmazása, a leképezéskora 5.18. ábra görbéje szerint kikerülve kis sugarú körrel ezen pólusokat, hanem a NYQUIST diagramot elegendő csak a
254 pozitív körfrekvencia értékekre felrajzolni, és megnézni, hogy a görbét bejárva co = 0-tól co = oo-ig a -1 pont a görbétől balkéz felé esik-e. Ezesetben a rendszer stabilis, és a stabilitás határától való távolságának mérésére használhatjuk a fázistöbbletet vagy az erősítési tartalékot.) lm f
8.34. ábra PD szabályozóval kompenzált kétszeresen integráló szakasz NYQUIST diagramja A 8.35. ábra a rendszer gyökhelygörbéjét adja meg. A strukturális stabilitást mutatja, hogy a gyökhelygörbe pontjai, a karakterisztikus egyenlet gyökei minden erősítés értékre a bal oldali félsíkon maradnak. Imf
*
>
8.35. ábra PD szabályozóval kompenzált kétszeresen integráló szakasz gyökhelygörbéje Labilis szakasz kompenzálása A szabályozott szakasz és a szabályozó átviteli függvényeinek pólusaihoz az állapottérben állapotváltozók kötődnek, amelyek együttesen a felnyitott kör állapotváltozóit alkotják. Amikor póluskiejtéssel a szabályozó zérusával kiküszöböljük a szakasz kedvezőtlen pólusát, valójában a rendszer megfelelő változóját a kimenő vagy a bemenő oldalról hozzáférhetetlenné, tehát vagy nem megfigyelhetővé, vagy n e m irányíthatóvá tesszük (3.4. pont). Attól azonban, hogy egyes változók nem jelennek m e g a felnyitott kör eredő átviteli függvényében, a rendszernek részei maradnak. A rendszer stabilitásához nemcsak az átviteli függvény pólusai, hanem a nem megfigyelhető és a nem irányítható pólusok is a bal oldali félsíkra kell, hogy essenek. Egy labilis rendszer labilis pólusait tehát nem szabad a szabályozó zérusaival "kiejteni". Ezt a tilalmat azzal is indokolhatjuk, hogy mint a 4. Fejezetben láttuk, a szabályozási kör viselkedését nemcsak a kimenőjel és az alapjel közötti eredő átviteli függvény jellemzi, hanem figyelembe kell venni a bemeneten és a kimeneten ható zavarásokra vonatkozó eredő átviteli függvényeket, továbbá a beavatkozójelnek az alapjelre vett eredő átviteli függvényét is. A bemeneti zavarásra
255
vonatkozó eredő átviteli függvényben jelentkezik a labilis pólus, így a szabályozási kör labilitása a kompenzálás ellenére megmarad. További megfontolás, hogy valóságos rendszereknél a paraméterek, így a pólusok és a zérusok megadása nem egészen pontos, tehát a pólusnak a zérussal való tökéletes „kiejtése" nem létezik, és a labilitás fennmarad a rendszerben. Ez a jelenség a gyökhelygörbével jól szemléltethető. Tekintsük példaként a 8.36a. ábrán látható szabályozási kört. A felnyitott kör átviteli függvénye kéttárolós arányos tag, amelynek egyik pólusa labilis pólus. A gyökhelygörbéből (8.36b. ábra) látható, hogy a zárt szabályozási kör minden hurokerősítés értékre labilis. Ha a szabályozó zérusával pontosan kiejtenénk a labilis pólust, a rendszer strukturálisan stabilissá válna, a gyökhelygörbének egyetlen ága lenne a komplex számsík bal oldalán. Mivel azonban a tökéletes kiejtés gyakorlatilag nem valósítható meg, a gyökhelygörbének marad ága a jobb oldali félsíkon is, így a zárt szabályozási rendszer labilis marad (8.36c. ábra). (Megjegyezzük, hogy kompenzáláskor egy zérus önmagában nem realizálható, mindig egy pólussal együtt valósítható meg.) Im'
lm
o
Re
-1
K (* + ! ) ( * - 5 )
Re
(b) (a) (c) 8.36. ábra Tökéletlen zérus-pólus kiejtéssel a gyökhely görbének marad ága a komplex számsík jobb oldalán Labilis szakaszok kompenzálásakor a stabilis működés biztosítására az általánosított N Y Q U I S T stabilitási kritériumot kell szem előtt tartani. Kompenzáló tagokként ilyen esetekben is a PID jellegű szabályozókat alkalmazhatjuk. 8.1. Példa Vizsgáljuk meg, hogy a
A(') = (-Í +
1
0.2 (1 + J ) ( 1 - 0 . 2 J )
1)(J-5)
(8.52)
szakasz, illetve a 0.2 P
z
=
^ (s-í){s
+ 5)
=
" (1 - j ) ( l + 0.2J)
szakasz stabilizálható-e C(s) = A
P
(8.53)
arányos szabályozóval?
Mivel a felnyitott körben egy labilis pólus van, stabilis működés akkor biztosítható, ha a diagram egyszer veszi körül az óramutató járásával ellenkező kányban a -1 pontot.
NYQUIST
Az első szakasz esetén a felnyitott kör N Y Q U I S T diagramját a 8.37a. ábra adja meg. Láthatóan a diagram az óramutató járásával megegyező irányban kerülheti csak m e g a -1 pontot, tehát a rendszer arányos szabályozóval n e m stabilizálható. Ezt erősíti m e g a 8.37b. ábrán látható gyökhelygörbe is, amely mutatja, hogy a gyökhelygörbe minden erősítésnél tartalmaz jobb
256
oldali pólust. (Itt egy PD jellegű kompenzációval próbálhatjuk meg a rendszer stabilizálását, pl. C( s) = A (l + 0.2s)l{\ + 0.02 s).) P
lm
< x
Re
(a)
(b) diagram Gyökhelygörbe 8.37. ábra Labilis szakasz szabályozása arányos szabályozóval: a rendszer nem stabilizálható ! NYQUIST
A második szakasz stabilizálható arányos szabályozóval, ugyanis a N Y Q U I S T diagram körülfordulása az óramutató járásával ellentétes, tehát megfelelő (K>5) erősítési tényező választásával a N Y Q U I S T diagram egyszer körülveszi a -1 pontot (8.38a. ábra). Ezt a 8.38b. ábra gyökhelygörbéje is alátámasztja. A gyökhelygörbe a körerősítés növelésével a bal oldali félsíkra kerül. A szabályozás azonban 0-típusú, így statikus hibával rendelkezik. A statikus pontosság javítható PI szabályozó alkalmazásával, amely azonban n e m "ejti ki" a labilis pólust. A szabályozó átviteli függvénye: C(s) = A ( l + s)/s. P
lm' lm
Rc
X >
Re
Ü.2K >1 K >5
(a)
(b) diagram Gyökhelygörbe 8.38. ábra Labilis szakasz szabályozása arányos szabályozóval: a rendszer stabilizálható arányos szabályozóval. NYQUIST
A felnyitott kör átviteli függvénye: L(s) = C(s)P (s) 2
l +s 0.2 = -A • s ( 1 - J ) ( 1 + 0.2J)' P
(8.54)
A z eredeti és a kompenzált rendszer B O D E diagramját a 8.39a. ábra, a kompenzált rendszer N Y Q U I S T diagramját (amelynek menete a B O D E diagram menetéből kikövetkeztethető) a 8.39b. ábra, a gyökhelygörbe menetét pedig a 8.39c. ábra adja meg. Látható, hogy adott erősítést meghaladva a zárt szabályozási rendszer stabilis lesz, a teljes N Y Q U I S T diagram egyszer pozitív irányban körülveszi a -1 pontot. A A paramétert maximális fázistöbbletre tervezhetjük. (Láthatóan a fázistöbblet fogalma ilyenkor is alkalmazható.) A 8.40. ábra a szabályozás átmeneti függvényét mutatja. P
257 lm'
1
5
/
—
-180°
/
\ \
1 - 270P
(a) (b) (c) 8.39. ábra Pl szabályozóval kompenzált labilis szakasz B O D E diagramja, N Y Q U I S T diagramja és gyökhelygörbéje
8.40. ábra Pl szabályozóval kompenzált labilis szakasz átmeneti függvénye 8.2. Példa Egy labilis szabályozott szakasz átviteli függvénye: P{s) =
0.5
1
(s - 0. l)(s + í)(s + 5)
( l - l 0 J)(1 + s)(l + 0.2 J )
(8.55)
Tervezzünk olyan szabályozót, amely stabilis működést biztosít, statikus hiba nélkül követi az egységugrás alapjelet, és a beavatkozójel kezdeti értéke nem haladja meg az 50-et.
8.41. ábra Arányos szabályozóval kompenzált labilis szakasz
NYQUIST
diagramja
Arányos (P) szabályozóval a felnyitott kör minőségileg helyes N Y Q U I S T diagramját a 8.41. ábra mutatja. Mivel a felnyitott körnek egy jobb oldak pólusa van, a zárt kör akkor lesz stabilis, ha a - 1 + jO pont a baloldah hurokba esik. Ennek feltétele, hogy a szokásosan értelmezett, az ábrán bejelölt fázistöbblet pozitív legyen. A B O D E diagram aszimptotikus amplitúdó-körfrekvencia és fázis-körfrekvencia görbéjét a 8.42. ábra mutatja. Kedvezőbb fázistartalék és nagyobb fázistöbblet elérése céljából PD
258
kompenzációt alkalmazunk. Ezzel a -20dB7dekád meredekségű szakasz meghosszabbodik, és a vágási körfrekvencia co ~ l-re tehető. A statikus hiba eltüntetése céljából további PI szabályozót alkalmazunk. A teljes PID kompenzáló tag átviteli függvénye: c
C{s) = 10
1 + 10J
l+s
10s
1 + 0.2J
(8.56)
A felnyitott kör átviteli függvénye pedig:
L(s) = -
1 + 10*
(8.57)
J(1-10J)(1 + 0.2J)
8.42. ábra PID szabályozóval kompenzált labilis szakasz B O D E diagramja
10
15
40
10
15
40
«(<) 40
204
8.43. ábra PID szabályozóval kompenzált labilis szakasz átmeneti függvénye és beavatkozójele Az co = 0.1 pontban a B O D E amplitúdó diagramban a zérus és a labiüs pólus ellentétes hatása miatt a töréspont megszűnik, azonban megmarad mint sarokpont, ahol a fázisszög aszimptotikusan - 2 7 0 ° -ról - 9 0 ° - r a változik.
259
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája és fázistartaléka: co = 0.964, (p = 56.25. A beavatkozójel kezdeti értéke éppen 50. A kimenőjel időbeli lefolyását és a beavatkozójel menetét egységugrás alapjelre a 8.43. ábra mutatja. c
t
8.6. Szabályozótervezés 60°-os fázistöbbletre a póluskiejtéses módszerével A szabályozót a folyamathoz (illetve annak modelljéhez) tervezzük a minőségi követelmények kielégítésére. Gyakori kompenzálási technika a póluskiejtés, amelyben a szabályozó átviteli függvényének zérusait a folyamat pólusaival megegyezőnek választjuk: „kiejtjük" a folyamat kedvezőtlen pólusait, és helyettük kedvezőbbeket hozunk be. Példaképpen tekintsünk egy háromtárolós arányos folyamatot. A szakasz átviteli függvénye: 1
P(s) =
T >T >T . l
(1 +
J7i)(l+
2
(8.58)
3
f
sT )(l+sT ) 2
3
(a) Legyen a minőségi előírás a szabályozási körre a stabilis működés és a kb. 10%-nál kisebb túllendülés. Ez utóbbi követelmény a frekvenciatartományban kb. 60° fázistöbblet biztosításával teljesíthető. A követelmények egyszerű arányos szabályozóval teljesíthetők: C(s) = A . P
A felnyitott kör
közelítő BODE diagramját a 8.44. ábra mutatja. A stabihtás biztosításához az co vágási fázistöbblet körfrekvenciának a -20dB/dekád meredekségű szakaszra kell esnie. A biztosításához co -t oda helyezzük el, ahol a fázisszög cp = - 1 2 0 . Ehhez először A = 1 mellett vizsgáljuk m e g a felnyitott kör frekvenciafüggvényét(szaggatott vonal az ábrán), majd az Ap átviteli tényezőt az ennél a fázisszögnél adódó amplitúdó reciprokára kell beállítani. c
D
P
c
cp—120
8.44. ábra Soros kompenzálás arányos szabályozóval Az arányos szabályozóval a megadott követelmények kielégíthetők. A szabályozás lassú lesz, mivel co -nek a kisfrekvenciás tartományba eső -20dB/dekád meredekségű szakaszon kell lennie. A szabályozás 0 típusú, így az egységugrás alapjeke statikus hibával áll be, aminek értéke a hurokerősítéstől függ. c
(b) Legyen a minőségi előírás a szabályozási körre a stabilis működés, a 10%-nál kisebb túllendülés, továbbá az, hogy a szabályozás statikus hiba nélkül kövesse az egységugrás alapjelet Ezek az előírások Pl szabályozóval teljesíthetők.
260
Válasszuk a TJ időállandót a szakasz legnagyobb időállandójával egyenlőnek, 7} = 7j ("kiejtjük" a szakasz legnagyobb időállandóját és helyette "behozunk" egy integráló hatást). A 8.45. ábra szerint a felnyitott kör B O D E diagramjában a kisfrekvenciás tartományban létrejön egy hosszú -20dB/dekád meredekségű szakasz. A szabályozó A erősítési tényezőjével a B O D E amplitúdó diagramot önmagával párhuzamosan olyan mértékben toljuk el, hogy a vágási körfrekvenciához számított fázistöbblet 60° körüli legyen. P
A PI szabályozóval a szabályozási kör 1 típusú, az előbbi stabilitási és dinamikus viselkedésre vonatkozó előírások mellett teljesíti a statikus előírást is. Mivel azonban a vágási körfrekvencia a kisfrekvenciás szakaszra tehető, a szabályozás lassú lesz. (c) Legyen a minőségi előírás a szabályozási körre a stabilis működés, a 10%-nál kisebb túllendülés, és a gyorsabb működés. Az előírások PD szabályozóval teljesíthetők: C (s) = A p ^ B . 1 + sT P D
;
r >r
(8.60)
D
Válasszuk a 7 időállandót egyenlőnek a szakasz második legnagyobb időállandójával, T = T (azzal az időállandóval megegyezőnek, amelynek megfelelő töréspontban a B O D E diagram meredeksége -20dB/dekádról -40dB/dekád meredekségűre vált). Az r[ = T /T arányt a beavatkozójel gyakorlati korlátjának megfelelően választjuk meg. ("Kiejtjük" a rendszer kedvezőtlen időállandóját, és helyette egy sokkal kisebb időállandót "hozunk be".) Ezek után a szabályozó A erősítési tényezőjével a B O D E amplitúdó diagramot önmagával párhuzamosan olyan mértékben toljuk el, hogy a vágási körfrekvenciához számított fázistöbblet 60° körüli legyen. A kompenzálás hatását a felnyitott kör B O D E diagramján a 8.46. ábra szemlélteti. D
D
2
D
P
A szabályozás stabilis működésű lesz, kis túllendüléssel rendelkezik,gyors lesz, de mivel a kör 0 típusú marad, egységugrás alapjelre a hurokerősítés értékétől függő statikus hibával rendelkezik. A gyorsítást a beavatkozójel kezdeti u(t = 0) = A r\ nagy értéke eredményezi. P
261
PD
szabályozó
8.46. ábra Soros kompenzálás PD szabályozóval (d) Legyen a minőségi előírás a szabályozási körre a stabilis m ű k ö d é s , a 10%-nál kisebb túllendülés, a gyors m ű k ö d é s , továbbá a szabályozás statikus hiba nélkül kövesse az egységugrás alapjelet. Az előírások a Pl és a PD szabályozó lehetőségeit egyesítő PID szabályozó alkalmazásával teljesíthetők. 1 + sTj l + sT
D
'PID
sT,
(8.61)
l + sT
A négy szabad paraméterből kettőt a folyamat pólusai alapján választunk meg. A 7} paramétert a folyamat legnagyobb időállandójával megegyezőnek vesszük fel, a R paramétert pedig a második legnagyobb időállandóval tesszük egyenlővé. A 7} = T és a T = T választással a felnyitott kör átviteli függvényében egyszerűsítéseket lehet elvégezni, azaz a behozott zérusok "kiejtik" a folyamat pólusait. D
x
L(J) = C(J)P(J) = -A (I+SR )(I+JR )(I+SR ) W
W
W
1
2
3
L
2
P
JTÍ
-=
D
2
~z í7/ (I+SR)(I+J7/ ) 7
I+ST
1
(8.62)
3
Láthatjuk, hogy a megmaradt rendszer átviteli függvénye leegyszerűsödött, ezzel megkönnyítve a tervezés további fázisait. A megmaradt két paramétert a rendszer gyorsasági és dinamikus túlvezérlési előírásai alapján vesszük fel. A T paramétert a póluseltolási arány alapján választjuk meg, a A értékkel pedig be tudjuk álhtani kívánt fázistöbbletet (illetve a kimenőjel túllövését). A felnyitott kör B O D E diagramján jól látható, hogy a póluskiejtés hatására a felnyitott kör amplitúdó menetében a 20dB/dekád meredekségű szakasz hosszabb lesz a T
D
P
P
c
c
262
v-m'
PID komp cnzáló tag
1
1
^2
ft Ü3
1
7
5
- 20*
>
• 40
\_ c p ~ - -120°
\
**
-6
\ 8.47. ábra Soros kompenzálás PZD szabályozóval V e g y ü k észre azonban, hogy a póluskiejtés formális, a valóságban n e m esnek ki pólusok. A folyamatot nem tudjuk megváltoztatni, annak pólusai megmaradnak. Valójában n e m a zérusok és pólusok ejtik ki egymást, hanem hatásaik kompenzálják egymást. A 8.48. ábra szemlélteti, hogy póluskiejtéskor a sorbakapcsolt szabályozóból és folyamatból álló eredő valóban ú g y viselkedik, mintha valódi póluskiejtés történt volna, az u(t) beavatkozó jelben azonban megjelenik a szabályozó zérusának a hatása. A túlvezérlés a beavatkozójelben a szabályozó zérusának és pólusának arányától függ, a beavatkozójelben megjelenő ún. gyorsító terület csökkenti a szakasz átmeneti függvényének beállási idejét jellemző ún. lassító területet az eredő rendszer gyorsabb működését eredményezve.
8.48. ábra A kompenzáláskor a póluskiejtés látszólagos A póluskiejtéses módszer lényege, hogy kiejtjük a szakasz kedvezőtlen pólusait, és a szabályozó pólusaival kedvezőbb dinamikát biztosítunk a szabályozási körben. Mivel valódi póluskiejtés úgysem történik, ezért n e m szükségszerű pontosan megválasztani a szabályozó zérusait. A tervezést utólagosan még lehet hangolni, ha a zérusokat elmozdítjuk a póluskiejtéses helyükről. (e) Legyen a minőségi előírás a szabályozási körre a stabilis m ű k ö d é s , a 10%-nál kisebb túllendülés, a gyors működés, továbbá a szabályozás statikus hiba nélkül kövesse az egységugrás és a sebességugrás alapjelet is. A statikus követelmények kielégítéséhez a szabályozásnak 2-típusúnak kellennie, két integráló hatást kell tartalmaznia. A BODE diagram kisfrekvenciás szakaszának -40dB/dekád meredekségűnek kell lennie. Az előző póluskiejtéses szabályozót egy olyan soros Pl hatással egészítjük ki, amely afelnyitott kör BODE diagramját a 8.49. ábra szerint formálja. A szabályozó átviteli függvénye:
263
(8.63)
8.49. ábra Soros kompenzálás PID és járulékos PI szabályozóval Ezzel a szabályozóval a 6.3. ábra szerint a szabályozás nemcsak a jobb alapjelkövetést, hanem a kedvezőbb zavarelhárítást, és a paraméterváltozásokra való kisebb érzékenységet is biztosítja. 8.3. Példa Legyenek a fentiekben vizsgált folyamat időállandói: 7 \ = 1 0 , T = l, T =0.2. A fenti követelményekhez megtervezett szabályozókat és a szabályozási kör jellemzőit a 8.1. táblázat adja meg. 2
3
A 8.50. ábra a szabályozási kör átmeneti függvényeit, a 8.51. ábra a beavatkozójeleket mutatja. Látható, hogy csak az integráló hatást is tartalmazó szabályozó esetén nincs statikus hiba. A P és PI szabályozás lassú, a PD és PID, PI-PID jellegű szabályozások gyors működést biztosítanak, aminek ára azonban a nagy túlvezérlés.
8.50. ábra A kompenzált szabályozási körök átmeneti függvényei
8.51. ábra A kompenzált szabályozó körök beavatkozójelei
264
8.1. táblázat Háromtárolós arányos szakaszhoz tervezett PID jellegű szabályozók és jellemzőik C(s)
L(s)
7.51
7.51 (l + 1 0 í ) ( l + s ) ( l + 0 . 2 í )
p Pl
5.04
5.04
10s(l+s)(l+0.2s)
10s PD
16.55
"fflJB
X+
16.55
S
1+0.2í
(l+10s)(l+0.2e)
0.1174
7.51
0.62
0
5.04
0.45
0.057
82.7
1.51
0
71.36
1.33
0
71.5
1.34
a
14.27 PID
14.27
1 + 1 0 5
10s PI-FID
1
+
5
l+0.2s
,„ „ l + 5 0 s l + 1 0 s 1 + s 14.3 50í 10s l + 0 . 2 s
10s(l+0.2s)
2
14.3(1+50sj 2
500s (l+0.2s)
2
265
9. Allapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök A harmadik fejezetben bemutattuk, hogy hogyan történik folyamatok leírása az állapottérben. Igen sok esetben számítanunk kell arra, hogy elsődlegesen ez a leírás áll rendelkezésünkre és nem a szabályozott szakasz átviteli függvénye. Részben ez a magyarázata annak, hogy közvetlenül az állapotteres leírásra épülő szabályozó tervezési módszertan is kialakult. Ennek bemutatásához tekintsük egy szabályozandó lineáris (LTI) folyamat állapotegyenletét dx
=x =
Ax+bu
dí
(9.1) T
y-c
x
amely megfelel a (3.10) egyenletnek a d = 0 esetre. Ez, mint már említettük, nem jelenti az általánosság lényeges megsértését, mert ritkán használunk modellünkben a kimenetet közvetlenül befolyásoló arányos csatornát. Az egyenletnek megfelelő blokkvázlat a 10.1 ábrán látható.
9.1. ábra Lineáris időinvariáns rendszer állapotegyenletének megfelelő blokkvázlat Itt u és y a folyamat be- és kimenőjele, x pedig az állapotvektora. Az ekvivalens átviteli függvény (3.17) alapján most i
P(s) = c
(sI-A)
l
b =
(9.2) det (sí - A)
1QS
A(s)
n
1
s +a/ "
1
+... + a_ n
J
iS
+ a
n
X 9
c
T
y
T
9.2. ábra Lineáris szabályozó állapotvisszacsatolással Az állapotegyenletes leíráshoz közvetlenül illeszkedő, ma már klasszikusnak számító zárt szabályozási kört a 9.2 ábrán mutatjuk be, ahol r-rel jelöltük az alapjelet. A zárt kör az állapotvektorról az k formában u = k r-k T
x
lineáris arányos visszacsatoló vektor segítségével jön létre az alábbi
(9.3)
266
A 9.2. ábra alapján egyszerűen felírható a teljes zárt rendszer állapotegyenlete is. r
— =
(A-bk )x+k br T
dí
'
*
(9.4)
T
y =c
x
azaz az állapotvisszacsatolással az eredeti A rendszermátrix szerinti dinamika a bk szorzattal
diadikus
-re módosul.
A zárt szabályozási kör átviteli függvénye , * Y(s) rv(s) = -TT = c R(s)
x
/
r
T
r
y
A
l
T
r
T
i
r
+ bk )
1
_ 1
c (í/-A) öÁ: bk=—\= '±l+ k (sI-A)- b
T
(sI-A
U
I
r
'
T
l
(9.5)
H(s) = T
l
l + k (sI-Ay b
A{s) + l
amely az X(s) = (sI-A)
T
k V(s)b T
bU(s)
(lásd (3.12)-t), az U(s) = k R(s)-k t
X(s) (lásd (9.3)-t), és az
T
Y(s) = c X(s) (lásd (9.1)-t) Laplace transzformáltakra érvényes egyenletek összevetéséből adódik a mátrixinverziós lemma felhasználásával (részletesen az F-5. Függelék F9.1. pontjában). V e g y ü k észre, hogy az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait érintetlenül T
hagyja, és csak a zárt rendszer pólusai tervezhetők £ - v e l . A k
r
úgynevezett kalibrációs tényezőt azért vezetjük be, hogy segítségével a
erősítése
egységnyi legyen ( r ( 0 ) = l ) . A felnyitott kör ugyanis jól láthatóan n e m integráló jellegű, így r y
zérus hibát és egységnyi statikus átvitelt nem tud eredményezni. Ez csak akkor lehetséges, ha biztosítjuk az
*, =
= ? — = *!^»=l
(9.6)
r
T
T
c (A-í* )
c
b
feltételt (lásd a F-5. Függelék F-9.2. pontját). A fentiekben bemutatott speciális zárt szabályozási kört állapotvisszacsatolásnak hívjuk.
9.1. Póluselhelyezés állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoláshoz
legtermészetesebben kötődő tervezési módszer az úgynevezett
póluselhelyezés. Ennél a módszernél úgy kell megválasztania k visszacsatoló vektort, hogy a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete az előírt Tl(s) polinom legyen, azaz n n
n X
K{s) = s + r s x
+ ... + r _ s+r =ll{ -s ) i=l n
T)
= d e t ( j / - A + bk j
1
n
S
= A(s) +
=
i
(9-7) Tx
k ¥(s)b
267
A megoldás mindig létezik, ha a folyamat megfigyelhető. (Célszerű, ha ÍZ fokszáma megegyezik az A fokszámával.) H a a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatok. Az irányítható kanonikus alak (3.47) alapján a rendszermátrixok f l
- i 1
-«2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
"n-1
0
;
= [b b ,...,b ] v
2
;
n
b = c
(9.8)
i
[\ 0,...,0] 1
szerint alakulnak. Figyelembevéve A és b speciális alakját, egyszerűen belátható, hogy az c
T
A -b k c
=
c
...
~ n-\
~n
1
...
0
0
0
-a
-«l 1
2
0
c
a
a
0
1
...
0
0
0
0
0
1
0
-
-r
2
T
0 k
0
...
r
- n-\
r
~n
1
0
...
0
0
= 0
1
...
0
0
0
0
0
1
0
(9.9)
tervezési egyenlet szerint a T
k
=kl
=\r -a ,r -a ,...,r -a \ x
x
2
2
n
n
(9.10)
választás biztosítja a (9.7) szerinti karakterisztikus egyenletet, azaz az előírt pólusokat. A kalibrációs tényező megválasztása egyszerű számítással adódik =
a +(r -a ) n
n
n
=
r
n
(9.11)
A (9.4) és (9.6) egyenletek alapján egyszerűen belátható, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye állapotvisszacsatolásos póluselhelyezés esetén k B(s) r
(9.12)
mint ahogy azt (9.5) kapcsán már jeleztük. Az állapotvisszacsatolás leggyakoribb esete viszont az, amikor a szabályozott szakasznak n e m az átviteli függvénye, hanem az állapotteres alakja adott. A (3.67) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden irányítható rendszer irányítható kanonikus alakra hozható a - 1
T = Ml ( M ) c
c
transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a
visszacsatoló vektort is T
c
l
k =kjT =kjM Mc
c
c
(9.13) T
k
l
=bjM- 1l(A) c
=
l
[l,0,...,0]M- K(A) c
Az irányítható kanonikus alakra vonatkozó (9.10) szerinti méretezést, a (9.13) első sorában
268
szereplő nem irányítható alaknak megfelelő hasonlósági transzformációs összefüggéssel együtt BASS-GURA algoritmusnak nevezik. A (9.13) második sorában szereplő algoritmust ACKERMANN módszernek nevezik kidolgozója után (lásd a levezetést az F-5. Függelék F9.3. pontjában) A BASS-GURA algoritmushoz tehát egyrészt képeznünk kell az M irányíthatósági mátrix inverzét az általános felépítésű A és b rendszermátrixokkal, másrészt az kányítható kanonikus alak Ml kányíthatósági mátrixát (lásd (3.61)-t). Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezőjében lévő a együtthatóktól függ, így képzéséhez a nevezőt ki kell számítani: A(s) = d e t ( j / - A ) . Mivel [1,0,...,OjM^ az kányíthatósági mátrix inverzének az utolsó sora, és ezen kívül 7£(A) számítására van szükség, elvileg ACKERMANNmódszeréhez nem feltétlenül kell A(s) -t kiszámítanunk. c
t
1
B(s) A(s)
A(s) K
7l(s)
y
P(s)
(a) P(s)
A(s)
K(s)-A(sf
(b) (c) 9.3. ábra Az állapotvisszacsatolás ekvivalens sémái átviteli függvényekkel és polinomokkal Egyszerűen belátható, hogy az állapotvisszacsatolás formálisan egy Rg = A(s)/lZ(s) soros kompenzációnak felel m e g (9.3a ábra). Az állapotvisszacsatolás valódi működésének és hatásának megértését könnyítik m e g a 9.3 ábrán látható átvitek függvényeket használó egyenértékű hatásvázlatok. A zárt kör Rf(s) "szabályozója" a visszacsatoló ágban (9.3b ábra) van. A zárt rendszer (9.12)-vel megegyező átviteli függvénye T
( A 17
k
*
U
B
(
S
K(s)
) -
k B S
r()
k P s
-
A{s) + )C( ) S
r()
í+
_
K (s)P(s) k
(9.14) k A(s) = Y T R
B(s) \ >
,
, v , . =k R,(s)P(s) T
ahol R
.
T
1
,_IC(s)_TZ(s)-A( )_k (sI-A)- b
K
(
S
(9.15)
a kalibrációs tényező pedig T
k =
1
k A- b-l_l T
c A~'b
+
K (0)P(0) k
P(0)
(9.16)
269 A 9.3. ábra hatásvázlatai alapján megállapíthatjuk, hogy az állapotvisszacsatolás labilis szakaszokat is stabilizál, hiszen az tC(s) = Tl(s) - A(s) polinom hatásaként tetszőleges folyamat esetében megvalósul a póluselhelyezés, így stabilis 7l(s) választásával a stabilizálás megtörténik. A
}C(s)
visszacsatoló polinom tehát formálisan
megfontolást érdemel az a körülmény, hogy a K (s)
megfelel
T
fc -nek.
Külön
nevezőjében szerepel a folyamat
k
B(s)
számlálója. Ilyen esetekben azt szoktuk mondani, hogy a szabályozó csak minimum fázisú (inverz stabilis)
folyamatokra
alkalmazható,
amelyeknél
B(s)
gyökei
stabilisak.
Az
állapotvisszacsatolás különleges jellege következtében azonban B(s) -t nem mi képezzük le egy B(s) modellen keresztül, hanem a pontos l/B(s)-t
realizálja maga a módszer.
T
A póluselhelyező k állapotvisszacsatoló vektor kiszámítására további módszerek is léteznek. Ezek közül röviden bemutatjuk m é g az úgynevezett MAYNE-MURDOCH módszert, amelynek alapján hasznos megállapítást tehetünk. A B A S S - G U R A é s ACKERMANN módszereknél az irányítható kanonikus alaknak volt kitüntetett szerepe. Hasonlóan fontos kanonikus alak a diagonális alak is. Legyen A = diag{Á, ,..., A,„} diagonális a A,, sajátértékekkel (ezek az A(s) gyökei) és legyenek az H(s) tervezési polinom gyökei, azaz az előírt gyökök, {Hi,...,M.„} d
1
értékűek. Egyszeres sajátértékeket feltételezve a MAYNE-MURDOCH módszer afef bf szorzatra ad zárt kifejezést a
VIS
-Vj)
kfbf=J^
i = l,...,n
(9.17)
n (*,-*,,)
formában, ahonnan kf már egyszerűen meghatározható. A bizonyítást lásd az F-5. Függelék F j
j
r
J
Hl'^
9.4. pontjában. I t t a bf együttható a diagonális alak b = I # [ , . . . , &°|
X
r
=[p ,...,p ] 1
n
paraméter
vektorának az eleme (lásd m é g (3.38)-t). A (9.17) összefüggés legérdekesebb következménye, hogy világosan bemutatja, hogy a póluselhelyezéshez szükséges kf abszolút értéke egyenes arányban növekszik a
JX,. -ja.j ;
visszacsatoló erősítés
"elmozdítási" távolsággal, vagyis a
felnyitott és zárt kör pólusainak távolságával.
9.2. Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatolás előző pontban leírt módszere azt igényli, hogy a folyamatot leíró állapotegyenlet állapotváltozó vektorát közvetlenül mérni tudjuk. Ez csak nagyon ritkán áll rendelkezésünkre, általában csak alacsony fokszámú dinamika esetében (pl. út, sebesség, gyorsulás mechanikai rendszerekben). A módszer használhatósága tehát attól függ, hogy tudunk-e mérést vagy becslést kapni az állapotvektorról. Az állapotvektor előállítására az T
úgynevezett megfigyelő elvet dolgozták ki. Ehhez a módszerhez az A , b és c rendszermátrixok ismerete szükséges, amelyek segítségével létrehozzuk a folyamat pontos mását és ugyanolyan gerjesztésnek kitéve, mint az eredeti szakaszt ez a modell ("megfigyelő") előállítja számunkra az x és y változók x és y becsült értékét. A z állapotvisszacsatolás az x felhasználásával valósul meg. Az elvet a 9.4. ábrán mutatjuk be.
270
-K>f
MEGFIGYELŐ
r ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁS
9.4. ábra Állapotvisszacsatolás megfigyelő alkalmazásával T
T
Ha szigorúak lennénk, akkor a megfigyelőben A, b és c helyett ezek becsült Á, b és c értékeit kellene szerepeltetnünk. A megfigyelő különlegessége azonban, hogy nemcsak egyszerűen egy párhuzamos modellt alkalmaz, hanem a folyamat valódi és becsült kimenőváltozójának a különbségéből egy £ = y - y hibát képez, amelyről a / arányos visszacsatoló vektoron keresztül a megfigyelő integrátorának a bemenetére csatol vissza. E z a visszacsatolás addig működik, amíg a hibajel fennáll, azaz a folyamat és a megfigyelő kimenete n e m egyezik meg. Ez a működési m ó d a rendszermátrixok ismeretében meglévő meglehetősen nagy hibákat is kompenzálni tud. Az ábrán az is látható, hogy az állapotvisszacsatolás most az
x
u = k r—k r
(9.18)
formában jelenik meg, tehát egyszerűen x helyébe JC lépett. Meglehetősen hosszú és bonyolult levezetéssel, aminek a részleteit itt nem közöljük, kapjuk a teljes zárt rendszer eredő átviteli függvényét _k B(s) T
T
x
\+k {si-A)~ b~
(9.19)
7e(j)
ami talán egy kicsit meglepő módon, de pontosan megegyezik (9.12)-vei, azaz a megfigyelő nélküli állapotvisszacsatolás esetével. (A levezetést lásd az F-5. Függelék F-9.5. pontjában.) Ez tehát azt jelenti, hogy a zárt rendszer követési tulajdonsága n e m függ a / vektor megválasztásától. (Az elméleti magyarázat erre a jelenségre az, hogy a megfigyelő nem irányítható része a teljes zárt rendszernek.) Most is lehetséges a 9.3. ábrán bevezetett visszacsatoló "szabályozó" meghatározása
271
-rx-l T
T
R =k (sI-A
+ bk
f
T
+lc )
T
k (sI-A 1= i l + c (sI-A r
T
l
+ bk ) ,
l —
T
+ bk )
(9.20)
T
l
ami lényegesen bonyolultabb felépítésű, mint (9.15) volt. A megfigyelő működésének vizsgálatához képezzük az állapothiba
x = x-x
(9.21)
különbség vektorát, amelyre felírhatjuk, hogy dí
(9.22)
d
ami nagyon hasonló a (9.4)-hez gerjesztés nélkül. A megfigyelők tervezésére az állapotvisszacsatoláshoz nagyon hasonló módszert használunk, ahol a / megválasztásakor az a célunk, hogy a (9.21) rendszer dinamikáját a T
det( J / - A +1 c ) = f(s) = s + fts"- +... + /„_! J + / „ n
(9.23)
1
karakterisztikus polinom biztosítsa. A megoldás mindig létezik, ha a folyamat irányítható. (Célszerű, ha T fokszáma megegyezik az A fokszámával.) Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatok. A megfigyelhető kanonikus alak (3.53) alapján a rendszermátrixok
-a
1 0
-a
0
x
2
1 cJ=[l,0 ...,0] J
-a,n-l
0
0
—a„
0
0
szerint alakulnak. Figyelembevéve A és c 0
-a. -a 2
A -lc> c
0
; b =
[b b ,...,b Y
Q
v
2
n
speciáks alakját, egyszerűen belátható, hogy az
1
0
-fx
1 0
0
1
~h
0
1 (9.25)
-/[L0,...,0] =
= -a, n-l -a
n
0
0
0
0
(9.24)
/»-! í-fn
0
0
0
0
tervezési egyenlet szerint a X l
=
l
a
a
a
o=[h- \>f2- 2>--->fn- n]
választás biztosítja a (9.23) szerinti karakterisztikus egyenletet, azaz az előírt pólusokat.
(9.26)
272 Az általános eset most is az, amikor a szabályozott szakasznak nem az átviteli függvénye,hanem az állapotteres alakja adott. A (3.79) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden megfigyelhető
rendszer
megfigyelhető
kanonikus
alakra
hozható
a
T - [M°^J 0
M
0
transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a visszacsatoló vektort is X
(9.27)
x
l={T )- l =M M° l 0
0
0
0 0
A (9.27) kiszámításához tehát egyrészt képeznünk kell az M inverzét az általános felépítésű A
és c
megfigyelhetőségi mátrix
0
rendszermátrixokkal. Másrészt a
megfigyelhető
kanonikus alak M° megfigyelhetőségi mátrixát (lásd (3.73)-t). Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezőjében lévőa,- együtthatóktól függ, így képzéséheza nevezőt ki kell számítani:
A(s) = d e t ( s / - A ) . A bemutatott két alapesetre
számítási módját kidolgozója után
ACKERMANN
vonatkozó megfigyelő vektor
módszernek nevezzük.
Az állapotvisszacsatolás és a megfigyelő dinamikájának tervezési módszerei között érdekes hasonlóság, úgynevezett dualitás áll fenn, azaz egymásnak megfelelnek a következő T
T
T
c
megfeleltetések mellett: A <-> A , b <-> c , k <-> l , W <-> (w °) c
o
A z állapothiba (9.21) és a folyamat (9.1) egyenletei alapján megfigyelő együttes egyenlete _d_
l
l
A-bk
bk
A-lc [x_ T.
e=y-y=c
az állapotvisszacsatolás
és
1
T
_0 .
T
0
dí
X
.
(9.28)
x
Mivel a jobb oldal rendszermátrixa blokk-diagonális, a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete J
det(í I - A + b k )
det( J J - A + / c ) = TZ(s) F(s) T
(9.29)
A polinom tehát két tényező szorzata: az egyik az állapotvisszacsatolással, a másik pedig a megfigyelővel van kapcsolatban. Fontos ismét megjegyezni, hogy az T^s) a (9.29) ellenére nem jelenik meg a zárt rendszer (9.4) szerinti T (s) átviteli függvényében. Ezt az érdekes ry
tulajdonságot a következőkben a teljes rendszer 9.4 ábra szerinti hatásvázlatának - alkalmas átviteli függvények segítségével történő - újra fogalmazásával tudjuk megmagyarázni. A megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás (9.29) egyenletét, amely szerint az állapot visszacsatolás és a megfigyelő karakterisztikus egyenlete egymástól független, szeparációs elvnek is nevezik.
9.3. Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás ekvivalens átviteli függvényekkel A 9.3 ábránál már alkalmaztunk egy átviteli függvényeket tartalmazó hatásvázlatot. Az itt alkalmazott megközelítésnek használhatjuk egy további még általánosabb formáját, amelyet a 9.5 ábrán mutatunk be.
273
P(s)
u
P(s)
P(s)
(a) (b) 9.5. ábra Az állapotvisszacsatolás további ekvivalens sémái átviteli függvényekkel A 9.5 ábrából következik, hogy az eredő ekvivalens soros kompenzátor ismét 1 l + RP f
_
1 l + KP k
s
A S
A)
_()
A(s) + 1C(s)
1l{s)
(9.30)
Fontos megjegyeznünk, hogy fiktív, csak a végső jelformálás bemutatására használjuk, azaz kjRgP ugyanazt a T^-t biztosítja, mint (9.14). Ha az által reprezentált póluskiejtést a valóságban is egy soros kompenzátorral szeretnénk megvalósítani, akkor az labilis folyamatokra nem lenne alkalmazható, hiszen labilis zérusok és pólusok kiejtéssel nem eliminálhatók. A 9.4 ábrán bevezetett 3c jel (amely nem egyezik meg x-szel) azt reprezentálja, hogy végülis mind az állapotvisszacsatolás, mind pedig a megfigyelő egy bemenetű egy kimenetű alrendszerek, amelyek jelformálására használható átviteli függvények, így mindig lehetséges bemenetre, kimenetre ekvivalens reprezentációkat találni. Ezt a megközelítést alkalmazva a 9.4. ábra alapján felrajzolhatjuk a 9.6. ábrán látható átviteli függvényeket alkalmazó hatásvázlatot. P(s)
1 + P K
k > 'PK^K,
* (
l+
P^+K,)
P(s)
9.6. ábra Állapotvisszacsatolás és megfigyelő 9.7. ábra Az állapotvisszacsatolás és megfigyelő átviteli függvényekkel redukált hatásvázlatai Blokk manipulációk egymásutáni alkalmazásával hosszadalmas átalakítások után egy igen egyszerű merev visszacsatolású zárt szabályozási körre vezethetjük vissza a 9.6 ábra hatásvázlatát. Az eredő ekvivalens szabályozási kör a 9.7. ábrán látható. Itt ismét használtuk a K -t definiáló (9.15) összefüggést és analóg módon vezettük b e K t k
r
(9.31)
274
ahol a kétféle póluselhelyezés követelményeiből adódnak a K(s) = H(s)-A(s)
és
C(s) =
(9.32)
F(s)-A(s)
tervezési polinomiális egyenletek. Továbbá egyszerűen belátható, hogy a 9.7. ábra belső zárt rendszerének eredő átviteli függvénye PK^ 2
l + P(K +K ) k
+ PKK
l
k
PK,
\ + PK \
l
K
+ PK
k
K C
A + KA
t
+C
(9.33)
ÍZT
speciális alakú, de nevezője teljesen megfelel a (9.29) karakterisztikus egyenletnek, azaz két sorbakapcsolt független zárt rendszer szerinti (lásd a 9.8. ábrát). Ezt a tulajdonságot nevezik az állapotvisszacsatolás és megfigyelő szeparációs elvének. A stabilitáshoz mindkét körnek stabilisnak kell lennie. Ezt a megfelelő póluselhelyezési tervezésekkel érhetjük el. P(s)
P(s)
9.8. ábra A belső zárt rendszer ekvivalens hatásvázlata
9.9. ábra Állapotvisszacsatolás és megfigyelő redukált hatásvázlata a követési tulajdonságokra
A teljes rendszer átviteli függvénye ugyanakkor
l +
T í-)-k r
y
W
r
P
K
k
PK[K
k
P
K
l
l + PK
P
t
K
k
k
l + PK
k
k B(s) r
P
< ~ l + PKi
i + JLJC AB
A + JC
(9.34)
TZ( ) S
amely pontosan megegyezik (9.19)-cel. Ahogy az várható volt, a megfigyelő pólusai nem szerepelnek 2^,-ban. A z eredő rendszer belső tulajdonságai m é g jobban látszanak a követési tulajdonságokra felrajzolt végső hatásvázlatban a 9.9. ábrán. Ez az egyszerű struktúra már nem mutatható ki a zárt kör zavarelhárító képességére. Ezt legegyszerűbben úgy láthatjuk be, hogy képezzük a belső zárt kör érzékenységi függvényét 1 l
1+
PK K k
V
1+ t
l + P^+K^
1++
P
2
^
í-
(9.35)
ami mutatja, hogy a zavarelhárító képesség átviteli függvényében már mind ÍZ mind pedig T szerepel a (9.29)-nak megfelelően. A (9.35) alak igen speciális, hiszen formailag két sorbakapcsolt zárt kör kimeneti zavarelhárítási átviteli függvényének á szorzataként adódik, miközben tudjuk, hogy a követési tulajdonságok ilyenkor valóban az átviteli függvények szorzataként adódnak, de ez nem áll fenn az érzékenységi függvények szorzataira. M e g kell jegyeznünk, hogy az eredő zavarelhárítási tulajdonság n e m független a követési tulajdonságtól, ezért az állapotvisszacsatolás és megfigyelő együttes alkalmazása valódi két szabadságfokú szabályozási kör létrehozására nem alkalmas.
275 9.4. Kétlépcsős tervezési módszerek állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozás tárgyalásakor legelőnyösebb tulajdonságai:
láthattuk, hogy
a módszer
- a módszer alkalmazhatósága nem függ attól, hogy a folyamat stabilis vagy labilis - a követési tulajdonság nem függ az alkalmazott megfigyelőtől, tehát közvetlenül tervezhető - a módszer nem nagyon érzékeny az állapotegyenlet paraméter mátrixainak pontos ismeretére (Ez utóbbi tulajdonságot rendszerint csak kisérleti és szimulációs vizsgálatokkal szokták szemléltetni, pedig bebizonyítható, hogy a folyamat állapotegyenletének egyszerű párhuzamos modelljével számított modellezési hibájához képest a megfigyelő alkalmazásával a hibát az eredeti [l + K ( Í ) P ( Í ) ] -ed részére csökkenthetjük, tehát mintha egy l / [ l + K ( Í ) P ( Í ) ] zárt körön keresztül képeznénk. így a megfigyelő K[(s) visszacsatolásának segítségével adott frekvenciatartományban csökkenthetjük. Ha a folyamat modelljét alkalmazzuk, ami a mindennapi gyakorlat, akkor a 9.8. ábra mindkét körének robusztusán is stabilisnak kell lennie.) t
l
A n e m kívánatos, vagy kedvezőtlen tulajdonságok: - az állapotvisszacsatolás alapvetően 0-típusú szabályozás, ezért a maradék hibát a kalibrációs tényezővel tudjuk kiküszöbölni, amely folyamat modell használata esetén soha n e m pontos - az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait nem tudja megváltoztatni - a zavarelhárítási tulajdonság nem tervezhető közvetlenül Főleg a felsorolt utóbbi jellemzők miatt rendszerint egy további lépcső is alkalmazásra kerül állapotvisszacsatolást alkalmazó kányítási rendszerekben. A kalibrációs tényező szükségességét legegyszerűbben úgy eliminálhatjuk, hogy egy kaszkád integráló szabályozót alakítunk ki a 9.10. ábra szerint 1
8 V
iQJL
K
s
9.10. ábra Állapotvisszacsatolás és integráló szabályozó együttes alkalmazása A zárt rendszer együttes állapotegyenletét, amely most (9.4) helyébe lép a h(t) új állapotváltozó - amely a külső kör e(t) = r(t) — y(t) hibájának az integrálja - bevezetésével a következő alakban írhatjuk fel 'x(t)
A
M
c
0 x(t)
T
= (A*-b*kJ)x*(t)
0
m
+
b 0.
+ v*r(t)
'
u(t) +
o"
-1
it): (9.36)
276
A bővített állapotegyenletben figyelembevettük az A
0
;
T
c
0_
b* =
b
0
*
;
0_
v =
(9.37)
_-i
jelöléseket, valamint az új bővített
T
u(t) = -[k
k] t
x(t)
8(r)_
= -kJx*(t)
T
= k \e(x)dx-k x(t) o
(9.38)
I
T
visszacsatolási egyenletet. A (9.38) egyenlet világosan mutatja az integráló hatást, a k x(t)
tag
pedig a differenciáló hatás általánosításának tekinthető. Az integrátort is alkalmazó zárt szabályozási kört tehát eggyel magasabb dimenziójú állapotegyenlettel tudjuk leírni, ahol most k is meghatározandó együttható az k mellett. A kibővített rendszer tervezéséhez eggyel magasabb fokszámú TZ* (s) karakterisztikus polinomot kell előírnunk, majd az A C K E R M A N N módszer (9.10) tervezési képlete közvetlenül itt is alkalmazható. Ha a folyamat n e m átviteli függvény formájában adott, akkor az általános állapotegyenletet először irányíthatósági kanonikus alakra kell hozni, ahogy azt (9.13) kapcsán már láttuk. T
Jegyezzük meg, hogy a kibővített feladat n e m oldható meg szekvenciálisan, azaz oly módon, T
hogy először meghatározzuk az 7£(s)-hez tartozó k -t, k -t
majd a TZ*(s) = TZ(s)(s-s )
A feladatot egy lépésben kell TZ*(s) alapján megoldani
r
n+1
alapján a
kJ-re.
Integráló hatást úgy is bevihetünk a rendszerbe, hogy a folyamat P(s) átviteli függvénye helyett egy módosított P*(s) = P(s)/s
folyamatra tervezzük meg az állapotvisszacsatolást. Jegyezzük
m e g , hogy az előbbi esetre és ezen megközelítésre kapott két állapotvisszacsatoló vektor nem azonos! Természetesen az /-szabályozó mellett magasabb fokszámú szabályozó is alkalmazható, a póluselhelyezés megoldása azonban n e m mindig automatikusan adódik az A C K E R M A N N módszerrel és bonyolult nemlineáris egyenletrendszerre is vezethet. A megfigyelőt is alkalmazó állapotvisszacsatolás esetében a megfigyelő hiba visszacsatolásában is alkalmazhatunk n e m 0-típusú, hanem / vagy magasabb fokszámú szabályozót az itt bemutatott módszerekkel. A folyamat változatlanul hagyott zérusait egy soros
K (s) = G (s)£& s
(9.39)
s
kompenzátorral tudjuk módosítani, ahol a 7. Fejezetben alkalmazott módszer szerint feltételeztük, hogy a folyamat számlálója B(s) = B (s)B_(s). Itt B a stabilis, B_ pedig a labiüs zérusokat tartalmazza. Az J\f(s)/B (s)-nék a reakzálhatósághoz szabályosnak kell lennie, tehát csak annyi zérust helyezhetünk el a zárt rendszer átvitek függvényében, ahány stabilis zérusa +
+
+
277
van a folyamatnak. A z eredő átviteli függvény végezetül
Try(s) = ^KG (s)B_( ) s
(9.40)
S
alakú lesz, ahol az invariáns B_(s) hatását a G (s) s
szűrővel csillapíthatjuk optimálisan. S o k
esetben az egyszerű, de nem optimális G (s) -1 választással élünk. s
A zavarelhárítási tulajdonság kedvező tervezhetőségét csak úgy érhetjük el, hogy a külső kaszkád körben egy YOULA-parametrizált szabályozót alkalmazunk. Ezt megtehetjük, mert az állapovisszacsatolással tetszőleges, még labilis folyamatot is stabilizálhatunk. Labilis folyamatok minőségi szabályozása általában kétlépcsős. Az első lépcsőben a szabályozással stabilizáljuk a folyamatot, majd egy második külső szabályozási körrel biztosítjuk a kívánt minőségi célokat akár két szabadságfokú struktúrában is. Az állapotvisszacsatolás alkalmazásával nyerhető stabilizáló szabályozó csak holtidő nélküli folyamatra alkalmazható. Ha a folyamatnak számottevő késleltetése van, akkor az egyik lehetőség a holtidő racionális törtfüggvénnyel történő közelítése (2.5. pont). A másik lehetőség a mintavételes szabályozásra való áttérés (15. Fejezet).
9.5. Az állapotvisszacsatoló LQ szabályozó A fejezet előző pontjaiban bemutatott módszerrel a folyamat állapotvektoráról történő ún. állapotvisszacsatolással tetszőleges (stabilizáló) póluselhelyezést tudtunk megvalósítani. Az állapotvisszacsatolás technikájával egy további optimalizálási feladatot is meg tudunk oldani. Ezen feladat célja a (9.1) LTI folyamat optimális szabályozása egy
I=
« J [* (') x*(0 + W T
w
2
u
2
u {t)] d t
(9.41)
o
összetett optimalitási kritérium minimalizálásával. Itt W az állapotvektort súlyozó valós szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, W pedig a beavatkozó jelet súlyozó pozitív skalár. A kritériumot minimalizáló megoldás egy x
u
u{t) = -kl x(t)
(9.42)
Q
alakú állapotvisszacsatolás (lásd (9.3)-t), ahol a k^q visszacsatoló vektor
T
kl =é-b P W
(9.43)
Q
" u
alakú. Itt a szimmetrikus pozitív szemidefinit P mátrix az úgynevezett r
T
PA + A P——Pbb P
= -W
x
(9.44)
algebrai RICCATI mátrix egyenlet megoldása. A RlCCATI egyenlet egy nemlineáris egyenlet Pre, ezért explicit algebrai megoldása nincs. A szabályozástechnikában használatos CAD rendszerek viszont rendszerint többféle numerikus algoritmussal is szolgálnak az egyenlet
278
megoldására. Ezt a szabályozót LQ (Linear Quadratic: szabályozónak hívják.
linear regulator
- quadratic
criterion)
Az LQ szabályozóval kapott zárt rendszer állapotegyenlete = (A-bkl )x
^
;
Q
(9.45)
A=A-bkl
Q
alakú lesz. A z LQ szabályozó fenti módszerének a levezetését az F-5. Függelék F9.6. pontjában mutatjuk be. (A fenti szabályozó rendkívül egyszerű, a levezetése viszont meglehetősen hosszadalmas.) Amennyiben a folyamat átviteli függvénye ismert, az irányítható kanonikus alak egyszerűen felírható. A speciális A - és b -te c
c
a (9.10) egyenlet adta a klasszikus állapotvisszacsatolás
tervezési algoritmusát A z LQ szabályozónál a tervezésből (a RICCATI egyenlet megoldásából) adódik a k^q visszacsatoló vektor. így (9.10) származtatásának megfordításával megadható az eredő zárt rendszer TZ(s) karakterisztikus polinomja az együtthatóival: T
L
> , r , . . . , r ] =fcL + 1
2
n
a ,...,a„]
Q
T
(9-46)
2
Az LQ szabályozó esetén is lehetséges megfigyelőt alkalmazni az állapotvektor előállítására. A mérnöki megközelítés szerint egyszerűbb a stabilizálási feladatot megoldani a klasszikus póluselhelyező állapotvisszacsatolással, hiszen ott az előírt pólusok közvetlenül ismertek. Kétségtelen, hogy ilyenkor a tranziens folyamatok minőségéről csak keveset tudunk. A z LQ szabályozó a stabilizás mellett egyidejűleg a tranziens folyamatok minőségét is tervezhetővé teszi, ugyanakkor meglehetősen hosszú gyakorlat szükséges az adott feladathoz rendszerint csak próbálgatásos módszerrel megadható, alkalmas W súlyozómátrix és W súlyozó faktor előírásához. x
u
Az LQ szabályozó egyszerűbb változata amikor az állapotok helyett csak a kimenőjel négyzetét súlyozzuk, a bemenőjelhez hasonlóan, azaz (9.41) helyett a
^^JK^W 1
2
+ ^ u "
(9-47)
^ ) ] ^
o
kritériumot használjuk. Ez a feladat (d = 0 esetén) a 2
T
Wy
T
T
T
= yW y=x cW c x=x (cW c ^
y
y
y
y
T
T
= x (W cc ")x y
(9.48)
azonos átalakítások alapján visszavezethető az eredeti LQ szabályozóra a speciális T
W =W cc x
y
súlyozómátrix választással.
(9.49)
279
10. Általános polinomiális módszer szabályozók tervezésére A 7.1. pontban bemutattuk, hogy stabilis folyamatokra célszerűen használhatjuk a Y O U L A parametrizálást az optimális szabályozó tervezésére. Az általános módszernek egyetlen hátránya, hogy labilis folyamatokra n e m használható. Labilis folyamatokra másféle parametrizálást kell bevezetnünk. Keressük a C(s) szabályozót szabályos racionális törtfüggvény alakjában
Legyen a zárt szabályozási kör előírt stabilis karakterisztikus polinomja
7Z(s),
azaz
a
karakterisztikus egyenlete 7Z(s) = 0. A z állapotvisszacsatáláshoz hasonlóan tehát itt is előírt pólusokon keresztül (pole-placemenf)
végezzük el a stabilizálást és a minőségi jellemzők
tervezését. Legyen a holtidő nélküli folyamat szabályos átviteli függvénye
A tervezési célt megfogalmazó karakterisztikus egyenlet A(s)X(s)
+ B(s)y(s)
= AX + By = K = TZ(s)
(10.3)
Ahol A, B és TZ ismert, a meghatározandó ismeretlen paraméterek az X és y polinomokban szerepelnek. A (10.3) alakú egyenletet DlOPHANTOS-i egyenletnek (DE) nevezzük. Mivel a folyamatról n e m kellett feltételezni, hogy stabilis, ezért az eredményül kapott szabályozót sokszor stabilizáló szabályozónak is hívják. A D2J-nek akkor és csak akkor van megoldása, ha az A és B valamennyi közös osztója alZnek is közös osztója. A m e n n y i b e n ^ , és B relatív prímek (nincs polinomiális közös osztójuk), akkor a DE-nék mindig van megoldása tetszőleges TZ -re, a megoldások száma végtelen. Ha egy X , y pár kielégíti az egyenletet, akkor az 0
o
X = X +VB 0
; y = y -VA
(10.4)
0
páros is megoldása a ŰE-nek, ahol V tetszőleges polinom. Relatív prím folyamat polinomok esetében (ha A * 0) mindig létezik egy olyan X , 0
megoldása a DE-nek,
ahol vagy y = 0 o
vagy deg{y }
< deg{A}.
megoldás sem létezik, amelyre a polinomok fokszáma kisebb lenne az
y
0
y
o
olyan X,
o
Ez utóbbi X ,
y
o
megoldást minimálisnak nevezzük, mert egyetlen y
fokszámánál. A DE végtelen sok megoldása közül létezik olyan, amelyre teljesül a deg{*}<deg{8}
(10.5)
fokszám feltétel. Hasonlóképpen létezik olyan megoldás , amelyre teljesül a deg{^}<deg{X}
(10.6)
fokszám feltétel. Mindkét feltétel egyidejűleg teljesül, h a d e g { ^ } + deg{fí}>deg{7e}
(10.7)
o
280
Ha (10.6) fennáll, akkor a D/i-nek speciális minimális fokszámú megoldása van, amikor ,
deg{A } = d e g { ^ }
(10.8)
Ha (10.6) nem teljesül, akkor létezhet olyan megoldás, amikor X vagy y minimális. A gyakorlati feladatoknál két alapesetet szoktunk megkülönböztetni: (a) Legyen TZ(s) tetszőleges dcg{V} DE
megoldását
= 2 d e g { Á } - l fokszámú polinom. Ekkor lehetséges a
degjA*} = d e g { ^ 4 } - l
és
deg{y}=deg{A}-l
fokszámú
szabályozó
polinomokkal keresni. A szabályozó ennek megfelelően szabályos lesz. (b) Legyen TZ(s) tetszőleges deg{7£} = 2 d e g { A } fokszámú polinom. Ekkor a DE megoldását deg{A*} =deg{.4} és deg{y}=deg{A}-l
fokszámú szabályozó polinomokkal kereshetjük. A
szabályozó ennek megfelelően szigorúan szabályos lesz. Ezért n-edfokú folyamathoz rendszerint ( n - l ) - e d f o k ú stabilizáló szabályozót keresünk, ilyenkor ugyanis mindig van a DE-nek. megoldása. A (10.4)-ből jól látható, hogy y lehet kisebb fokszámú, mint A. Elvileg X lehetne kisebb fokszámú, mint B, de akkor a kapott szabályozó nem realizálható. Ezért keressük a stabilizáló szabályozót (n - 1 ) -edfokúként. Célszerűnek tűnhet, ha TZ fokszáma megegyezik az A fokszámával. Szerencsés esetben egynél nagyobb pólustöbbletű folyamathoz lehetséges ugyan megfelelő fokszámú és pólustöbbletű stabilizáló szabályozót keresni, ez az eljárás azonban nehezen szisztematizálható, és (10.7) szerint a megoldás nem biztosan minimális. A (10.4) egyenlet érvényes D=QjV racionális törtfüggvényre is. Ilyenkor a zárt rendszer eredő átviteli függvényének nevezőjében megjelenik a V is az TZ mellett. A (10.4) alak az összes stabikzáló szabályozót paraméterezi D szerint. A z itt szereplő D paramétert YOULAKUCERA paraméternek nevezik. r
y X
+
C(s)
u
B A P(s)
10.1. ábra Egy szabadságfokú stabilizált zárt szabályozási kör Egyszerűen belátható, hogy a 10.1. ábra egy szabadságfokú stabilizált zárt szabályozási körének az átviteli függvénye T =
By AX + By
= ^rB = R' B TZ n
(10.9)
A (10.9)-ből jól látható, hogy a stabilizálás megtörtént, de a folyamat számlálója valamint a DE megoldásából származó y polinom megjelenik az eredő számlálójában. Ezek egyikét sem tudjuk közvetlenül befolyásolni, így a zárt rendszer átviteli függvényének számlálóját nem tudjuk tervezni. (Vegyük észre a hasonlóságot az állapotvisszacsatolással kapott eredménnyel.) A nem teljesen kedvező tervezési lehetőség ellenére az eddigiek alapján kialakítható egy olyan kétszabadságfokú szabályozási kör, amelyben legalább az alapjelkövetés tervezhető. Ez a kör a 10.2a. ábrán látható. A 10.2b. ábra egy ekvivalens hatásvázlatot mutat, amely közvetlenül
281
összevethető a YOULA parametrizált szabályozóval stabilis folyamatra kapott 7.10b. ábra szerinti generikus két szabadságfokú szabályozási körrel. A szabályozó most természetesen más. y
MOH
B A
u
y
C(s)
V
A
X
P{s)
P(s)
K--
(a) (b) 10.2. ábra Kétszabadságfokú stabilizált zárt szabályozási kör A 10.2. ábra szabályozási körének átviteli függvénye (10.10)
T =R B r
r
Itt már nem jelenik meg y, csak a folyamat számlálója, és R független R -től, tehát valóban két szabadságfokú a szabályozás. A zavarelhárítási tulajdonság marad a T-ből számítható r
S = \-T
= \-R'B
=
n
n
(10.11)
\-—B 71
A YOULA-parametrizált szabályozó tárgyalásakor már láthattuk, hogy a folyamat átviteli függvényének számlálójában a stabilis zérusokat kiejthetjük. Ezt a módszert kiterjeszthetjük a DE-et használó tervezési módszer esetében a nevező stabilis zérusaira is. Tételezzük fel, hogy a folyamat átviteli függvénye P(s) = P (s)P_(s)
vagy röviden
+
(10.12)
P = P P_ +
ahol P stabilis, inverze szintén stabilis (SIS: Stable Inverse Stable). P_ labilis és inverze szintén labilis (UIU: Unstable Inverse Unstable). A folyamat célszerű faktorizálása tehát +
= & B B_ _(B YB_
p
=
+
+
(10.13)
Itt A+ tartalmazza a stabilis, A_ pedig a labilis folyamat pólusokat. Hasonlóképpen B a stabilis, B_ pedig a labiüs zérusokat tartalmazza. A DE-t úgy fogjuk megfogalmazni, hogy az lehetővé tegye a stabilis B és A+ gyökök kiejtését. A tervezés teljesen általános megfogalmazása érdekében a szabályozó számlálójában és nevezőjében is bevezetünk y és X előre megválasztott polinomokat. Erre a legáltalánosabb esetre felírhatjuk a következő tervezési DE-t +
+
d
{A A_){B X X ) + (B+B_) (A^Y) r
+
+
A
á
X
+
B
y
= K'=
AJ3 7l +
=n'
á
(10.14)
A redukálható faktorokkal egyszerűsítve egy alacsonyabb fokszámú D £ - r e jutunk
(A_X ) X' + (B_y d
A'
d
X'
ahol A' = A_X
+
d
)y'-Ti
B' y = n és B' = B_y
d
ismertek, a szabályozó pedig
(10.15)
282
(10.16) X
B X X' +
d
Jól látható, hogy a stabilizáló szabályozó csak a stabilis zérusokat és pólusokat ejti ki, továbbá beviszi a számlálóba és a nevezőbe a kívánt y és X polinomokat. A YOULA-szabályozó integráló, ha biztosítjuk az egységnyi átviteli tényezőt a referencia modellre: R (co = 0) = R (s = 0) = 1. Ez automatikusan n e m biztosítható a ŰZs-ből származó stabilizáló szabályozóra. Egy garantált megoldás viszont, ha X behozza az s = 0 pólust a nevezőbe. d
n
d
a
d
Mivel most y tekinthető a referencia modell számlálójának, TZ pedig a nevezőjének, így a korrigált referencia modell az általános esetben d
R: =
(10.17) TZ
amely csak tőlünk függ, tehát tervezhető. Az általános stabilizált szabályozási kör ekvivalens hatásvázlatait a 10.3. ábrán mutatjuk be. yn
u y,
B X X'
O'-
+
P
d
, /
\
(b) (a) 10.3. ábra Kétszabadságfokú általános stabilizált zárt szabályozási kör Könnyen ellenőrizhető, hogy a teljes kör átviteli függvénye (10.18)
T =P G B_ r
t
T
a zárt kör érzékenységi függvénye pedig S=
(10.19)
\-P^y'B_
így a teljes szabályozási kör átviteli karakterisztikája y =Ty T
I
+
Sy = n
R G B_ y + (1 - R^/B.) T
r
T
y
n
(10.20)
Jól látható, hogy a G szűrő szabadon választható, így a B_ hatásának gyengítésére optimalizálható. Sajnos ugyanez n e m mondható el a zavarelhárítás optimálási lehetőségéről. Itt ugyanis y' a módosított (10.15) DE-boí származik, így szabadon nem választható, ezért itt a B_ hatásának gyengítése nem oldható m e g olyan egyszerűen, ahogy azt a YoULA-parametrizálásnál és a (10.20) követési tulajdonságánál láttuk. r
A z eredményül kapott stabilizáló (10.16) szabályozó alakja tovább egyszerűsíthető
283
A
71 v'
_ A+y y
c
á
y
p' w
>
a
r
(10.21)
ami nagyon hasonlít az optimális YOULA szabályozó (7.14) alakjához. V e g y ü k észre, hogy bár csak az A+ és B stabilis tényezőket ejtettük ki, formailag a szabályozó a folyamat teljes nevezőjét kiejti. +
A m e n n y i b e n a zavarelhárításra kapott (10.20)-beli tulajdonság n e m elfogadható, egy külső kaszkád szabályozási kört kell alkalmaznunk, amelynek a tervezésére a YOULA-parametrizálás már alkalmazható, hiszen a belső körrel stabilizáltuk a rendszert. Ezt a kétlépcsős módszert az állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök fejezetében tárgyaltuk részletesen (lásd a 9.4. pontot). A DE alkalmazásával nyerhető stabilizáló szabályozó csak holtidő nélküli folyamatra alkalmazható. H a a folyamatnak számottevő késleltetése van, akkor az egyik lehetőség a holtidő racionális törtfüggvénnyel történő közelítése (2.5. pont). A másik lehetőség a mintavételes szabályozásra való áttérés (14. Fejezet). 10.1. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsőrendű (« = 1) labilis folyamat
í
=
4 = ^ = ^ A
1-0.5*
( 1 0
.
2 2 )
s-2
amelynek a p = 2 pólusa a jobb oldali félsíkon h e l y e z k e d i k e l . Keressük azt a C = szabályozót, amely stabilizálja
a folyamatot az 7£(Í) = Í + 2 = 0 karakterisztikus
y/X
polinom
előírásával. A szabályozót n -1 = 0-adrendű alakban keressük, amit a y K C =^ = - =K rí 1
(10.23)
struktúrával biztosíthatunk, azaz egy arányos szabályozóval. A 10.3. alapján írhatjuk, hogy AX
+ By
= 7l (10.24)
(s-2)-K
= s+ 2
ahonnan C = K = - 4 adódik a szabályozóra. Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye 4 T =
2 =
s+2
(10.25) 1 + 0.5*
tehát sikerült a labilis pólust tükrözni a képzetes tengelyen, és ezzel stabilizálni a szakaszt. A zárt rendszer statikus átvitele n e m egységnyi, mert a szabályozó arányos és n e m integráló. Minőségi szabályozás eléréséhez egy további külső kaszkád szabályozási kör alkalmazása célszerű, amint azt az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozásnál láthattuk. A (10.4) összefüggés alapján a 10.1. táblázatban különböző D(s) = QjV paraméterre megadtuk az eredményül kapott stabilizáló C(s) szabályozót és T(s)-t. A táblázat első sora a (10.23)-ben és (10.25)-ben kapott első meg-
284
10.1 táblázat
D{ )=g/v
C(s)
s
0
T(s) 4
-4
s+2 s-6
s-6
í
2
s+2
2
s -s-6
1+ Í
s -s-6
s+2
s+2
s+2
2
Í -4Í-8
1
Í +
2
2s + 3
2
s -4s-S (Í +
1)(Í + 2)
oldást tartalmazza. Jól látható, hogy csak ez az első szabályozó realizálható, így a többi megoldásnak csak elvi jelentősége van. Magasabb fokszámú folyamatoknál az össze függések sokkal bonyolultabbak, de akkor is célszerű a különböző fokszámú megoldásokat táblázatokban összefoglalni és kiválasztani a legalacsonyabb fokszámú realizálható szabá lyozót. Ugyanígy célszerű lehet az ( n - 1 ) edfokú szabályozónál alacso-nyabb fokú esetleg adódó megoldásokat is feltüntetni.
10.2. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsőrendű (n = 1) stabilis folyamat P =
B
1
A
1 + 10Í
0.1 Í
(10.26)
+ 0.1
amelyet gyorsítani szeretnénk. Egy szabadságfokú rendszert feltételezve, tervezési célunkat az R -R T
=
n
1
0.5
l + 2s
s + 0.5
(10.27)
referencia modellben fogalmazzuk meg. A YOULA-szabályozó most
-l ^opt
—
Qd
1-
l-Pn
1 \ + 2s
VI
1 + 10Í
1 + 10Í
1 + 2Í
2s
(10.28)
egy integráló szabályozó, amelynek alkalmazásával a zárt rendszer eredő átviteli függvénye 1
T(s):
(10.29)
l + 2s
A DE alapján történő tervezéshez a karakterisztikus egyenlet (10.27) alapján 1Z(s) = s+0.5 = 0 . A szabályozót az előző példa alapján ismét n - 1 = 0-adrendű alakban keressük, tehát a (10.23) szerinti arányos szabályozót alkalmazzuk. A (10.3) egyenlet most AX
+ By
= 1l
( Í + 0.1)+ 0 . 1 ^ = Í + 0 . 5
(10.30)
ahonnan C = K = 4 adódik a szabályozóra. Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye 0.4 Í
+ 0.5
0.8 1 + 2Í
(10.31)
Az előírt - 0 . 5 pólust sikerült elhelyezni, de a szabályozási kör 0-típusú, ezért a T erősítése 0.8ra adódik. A két példa jól reprezentálja azt a gyakorlatot, hogy stabilis folyamatokra célszerű a YOULA parametrizálást alkalmazni, míg labilis folyamatok stabilizálására a DE alkalmazása vagy a 9. Fejezetben tárgyalt állapotvisszacsatolás nyújthatja a megoldást.
285
11. Mintavételes szabályozási körök felépítése Napjaink gyakorlatára egyre növekvőbb mértékben jellemző, hogy az irányítási rendszereket megfelelő valós idejű (real-time) szolgáltatásokkal is rendelkező digitális berendezések valósítják meg. Attól függően, hogy egy adott alkalmazáson belül hány és milyen bonyolultságú szabályozási kör feladatát kell ellátni, a digitális irányító berendezések köre az egyetlen chip-ből álló mikrokontrollerektől a nagyobb teljesítményű midi/mini gépekig terjed. A digitális berendezések hálózatba szervezésének fejlettsége lehetővé teszi elosztott irányítási rendszerek létrehozását is. A szabályozási funkció digitális megoldása az iparban alkalmazott irányítástechnikai kultúrát is jellemzi. Nevezetesen arról van szó, hogy a gyakorlati irányítástechnika a különböző vezérlési és szabályozási feladatok kombinációinak egységes - kézenfekvően digitális rendszerű megvalósítását igényli. diszkrét idejű beavatkozó jel
folytonos beavatkozó jel Tartószerv
Szabályozó: digitális szabályozó algoritmus
alapjel
Szabályozott szakasz: folytonos folyamat
Mintavevő szerv diszkrét idejű szabályozott jellemző
folytonos szabályozott jellemző
11.1. ábra Zárt mintavételes szabályozási kör alapvető elvi felépítése Zárt mintavételes szabályozási körök alapvető elvi felépítését a 11.1. ábra szemlélteti. A szabályozott szakasszal kapcsolatban - az ábrából is láthatóan - azzal a feltételezéssel élünk, hogy az egy folytonos idejű (FI) folyamat. A FI folyamat időben folytonos bemenőjelével és kimenőjelével ellentétben a digitális irányító rendszer működése diszkrét idejű (Dl), hiszen a folyamatirányítást megvalósító program adott működtetési frekvenciával működő CPU vezérelte irányító berendezésen fut. A FI folyamat analóg jellegű és az irányító berendezés digitális jellegű jelfelületét nyilvánvalóan illeszteni kell egymáshoz, ezt a feladatot a zárt szabályozási körbe beiktatott átalakító szervek látják el. A tartószerv alapfeladata a D l jelsorozatból FI bemenőjel előállítása. A z elnevezéseket illetően analóg digitális irányban mintavevő szervről, digitális analóg irányban tartószervről beszélünk. A mintavevő szerv gyakorlatilag minden esetben egy a digitális technikából jól ismert A / D (Analog to Digital) átalakító, a tartószerv tipikusan, de n e m feltétlenül - D / A (Digital to Analog) átalakító. A 11.2. ábrán látható, hogy a mintavevő és tartószervek működését, a digitális berendezés központi egységét, lényegében a rendszer szinkronizálását közös rendszeróra vezérli. Miután a zárt szabályozási rendszerben FI és D l jelek is szerepelnek, továbbá ugyanazon jelről analóg és digtális információ is állhat rendelkezésre, a rendszer jeleire vonatkozóan, összhangban a 11.2. ábrával, az alábbi egyértelmű jelölésrendszert vezetjük be: -
x(í):FTjel
- x[k] = x(kT ): s
Dl j e l , ahol T jelöli a mintavételezési időt (sampling s
k = 0,1,2,... pedig a mintavételezés sorszámát.
time),
286
A mintavételes szabályozási kör blokkvázlatát tanulmányozva és összehasonlítva a FI szabályozási rendszereknél alkalmazottakkal láthatjuk, hogy amíg a szabályozást megvalósító jelformálást FI esetben egy C(s) átviteli függvényű szabályozó valósította meg, mintavételes esetben egy adott real-time programkörnyezetben futó digitális szabályozási algoritmus szolgáltatja a bemenőjelet. A 11.2. ábrán láthatóan a digitális szabályozónak három jelfelületen az alábbi három funkciót kell ellátnia: - a mintavételezett és digitalizált FI kimenőjel fogadása és továbbítása a szabályozót megvalósító algoritmus felé - a szabályozási algoritmus által minden mintavételt követően kiszámított Dl, digitális bemenőjel továbbítása a D/A átalakító felé - a szabályozás alapjelének fogadása közvetlenül egy ember-gép kapcsolati felületről (Man-Machine interface - MMI) vagy egy kommunikációs hálózaton keresztül. i
diszkrét idejű jelek { folytonos jelek Real-time óra
u[k] D/A szabályozó algoritmus
Real-time környezet (ütemezés)
Folytonos folyamat
A/D
Ember gép kapcsolati interfész
A folyamat bemenőjele u(t)
A folyamat kimenőjele y(f)
Hálózati interfész
alapjel, mintavételezési idö, szabályozó paraméterek
11.2. ábra Zárt mintavételes szabályozási kör részletes felépítése A szabályozási algoritmusokat körülvevő technológiák (intelligens érzékelők és beavatkozó szervek, fejlett MMI technikák, olcsó és megbízható hálózati technológia) fejlődése egyértelműen abba az irányba mutat, hogy a digitális szabályozások egyre nagyobb mértékben fognak teret hódítani a jövőben. A mintavételes rendszerek előnyös tulajdonságait az analóg rendszerekkel való összevetésben az alábbiakban lehet összegezni: - a digitális technológia megbízhatóbb és olcsóbb - a megvalósítható algoritmusok körét tekintve a digitális technológia rugalmasabb - módosítások és bővítések egyszerűen kivitelezhetőek, adminisztrálhatok, a pontosság hosszú időn keresztül garantált - az alapjel megadására, a szabályozó paraméterek megváltoztatására, valamint a működés monitorozására egyaránt egyszerű és hatékony módszerek állnak rendelkezésre. Vannak azonban olyan szempontok is, amelyekre különös figyelmet kell fodítania a mintavételes rendszer tervezőjének: - két mintavétel között a zárt rendszer lényegében nyitott rendszerként működik, így ezen periódusban a visszacsatolás előnyös tulajdonságai nem jutnak érvényre - a mintavételezési időt gondosan kell megválasztani: egyrészt összhangban kell lennie
287 az irányítandó folyamat dinamikájával, másrészt a real-time feldolgozó rendszer képességeivel (műveletvégző sebesség, számábrázolás pontossága) - a szabályozó kimenetének jelformája a tartószerv által meghatározott, nem szabadon választott - a mintavételezés a tervezés számára kihívásokat jelentő járulékos tényezőket generál (holtidő, a mintavételezés következtében megjelenő dinamika). 11.1. Mintavételezés Egy FI folyamat működéséről a folyamat időben folytonosan létező jeleinek megfigyelésével nyerhetünk információt. Ha a jelek által képviselt információt egy digitális berendezéssel kívánjuk feldolgozni, akkor a feldolgozás során a FI jeleket diszkrét mintavételi időpillanatokban vett digitális mintáik képviselik. Időben egyenközű (ekvidisztáns) mintavételezést feltételezve, a jelek és rendszerek területéről egy nagyon fontos elméleti eredmény áll rendelkezésünkre annak eldöntésére, hogy mintavételezett értékeiből egyértelműen vissza tudunk-e álktani egy (sávkorlátozottnak feltételezett) FI jelet. A reprodukálhatóság törvénye fogalmazza meg, amely szerint a mintavételezést feltételét SHANNON mintavételezési minimálisan olyan frekvenciával kell megvalósítani, hogy a FI jel legnagyobb frekvenciájú komponenséből legalább két minta álljon rendelkezésünkre minden mintavételezési periódusban. A mintavételezési törvény jelentőségét illetően elegendő arra utalnunk, hogy ez a törvény képezi az elvi alapját annak a gyakorlati megfontolásnak, hogy FI jelek jelfeldolgozását (pl. vizualizáció, frekvencia analízis) rugalmas, programozható, digitális környezetben végezhessük el. Amint azt a korábbiakban már említettük, a fizikai mintavételezés megvalósítására analógdigitális (A/D) átalakítókat (másszóval konvertereket) használunk. A z A/D konverterek a digitális rendszer real-time órajelével vezérelt elemek, amelyek az x(t) FI analóg jelből közvetlenül az x[k] jelsorozatot állítják elő, mégpedig kódolt digitális formában. Az A / D konverter működési lényegét egy periodikusan rövid időre záródó kapcsolóval szokásos szimbolizálni (Id. a 11.3. ábrát). Nyitva — „
n
Zárva
x(t)
x[k]
11.3. ábra Az A/D átalakító működését szimbolizáló kapcsoló A különböző alkalmazásokhoz választandó A / D konverterek számos fontos paraméterrel rendelkeznek, amelyek közül az átalakítás gyorsaságát jellemző konverziós idő akár (usee nagyságrendűén kicsi is lehet. További fontos választási szempont a konverter zavarszűrő képessége, valamint a felbontás, amely a digitalizált jel bitszélességét jelenti. Ez utóbbi érték szokásos tartománya 8 és 16 bit közé esik. A mintavételes rendszerek tárgyalásához a korábbiakban bevezetett jelöléseket alkalmazva az f[k] = f(kT ) összefüggés szerinti mintavételezést matematikai mintavételezésnek nevezzük. Az x[k] jelsorozatot impulzus modulációval származtathatjuk, ahol s
288
/•(')= I
(H-D
f(nT )b(t-nT ) s
s
másszóval az / * ( í ) analóg jel DlRAC-impulzusok sorozata, f[k] pedig ezen DlRACimpulzusok területi mérőszámaiból képzett számértékek sorozata. A 11.4. ábra az /(«!T ) = 0, ( n < 0 ) feltétel mellett illusztrálja az impulzus modulációt. A matematikai mintavételezés bevezetésével alapvető frekvenciatartománybeli vizsgálódásokat tehetünk, amelyek jól szemléltetik a mintavételezési törvény szükséges feltételét. S
"
o r,
f
f
1
•
K
IT.
o r, 27", 11.4. ábra Impulzus moduláció Legyen f(t)
egy FI jel, amelynek frekvecia spektruma
elméletéből ismert, hogy az f*(t) 1
F(jat).
A jelek és rendszerek
mintavételezett jelsorozat frekvencia spektruma
°° (11.2)
L
*k=
ahol co = 2%/T a mintavételezési körfrekvencia s
s
Kun)
11.5. ábra A FI jel spektruma Látható, hogy a mintavételezés következtében az F(j(£> + jk(ú ) oldalfrekvenciák átlapolódása, azaz a frekvencia spektrum torzulása n e m következik be, ha co > 2 c o illetve c o / 2 > c o fennáll, ahol C ű a sávkorlátozottnak feltételezett / ( r ) jel maximális körfrekvenciája. A mintavételezett jel spektrumára vonatkozóan kiemelt jelentőséggel bíró c o / 2 frekvenciát NYQUISTfrekvenciának is nevezik. A jelenséget a 11.5., 11.6. és 11.7. ábrákon követhetjük végig, ahol rendre a FI jel spektrumát, a megfelelő frekvenciájú mintavétel mellett, majd a túl alacsony mintavételi frekvenciájú esetet tüntettük fel. A 11.8. ábrán azt mutatjuk be, hogyan s
s
m a x
s
m a x
m a x
m a x
289
jelenik m e g egy nemlétező frekvenciájú komponens a nem kellően magas frekvenciájú mintavétel következtében. A nagyfrekvenciás összetevőből nem veszünk periódusonként legalább két mintát, ennek következtében egy nemlétező (alias), alacsonyfrekvenciás szinuszos összetevőre következtethetünk a minták alapján. Egy zárt szabályozási körben a nemlétező komponens kompenzálására tett szabályozási lépések nyilván feleslegesek és így további zavarásokat indukálnak a körben. Az £ ű sávkorláton belüli, ún. fő tartományban a mintavételezettjei spektruma m a x
F {jco) = ±-F{jcö)
(11.3)
s
11.6. ábra A mintavételezett jel spektruma megfelelő mintavételezés esetén
11.7. ábra A mintavételezett jel spektruma alacsony mintavételezési frekvencia esetén
11.8. ábra Nemlétező frekvenciájú összetevő megjelenése az alacsony mintavételezési frekvencia következtében 11.2. Tartás Egy zárt mintavételes szabályozási kör jelkészletét tekintve hibrid rendszer, amelyben szimultán módon jelennek m e g analóg és digitális jelek. Rendszertechnikailag arról van szó, hogy a folytonos idejűnek feltételezett folyamat és a diszkrét időpillanatokban működő digitális szabályozó működési időtartományát egymáshoz kell illeszteni. A mintavételezés aFI-DI kányú
290
átalakítást realizálja, szükségképpen egy DI-FI jellegű átalakítást végző szervet, a tartószervet is be kell iktatnunk a kör zárására. A tartószerv is vezérelt elem, feladata egy kódolt digitális jel fogadása, dekódolása és FI kimenőjel biztosítása két mintavételi időpillanat között. A két mintavételi időpillanat közötti tartás jellegére (konstans, lineáris, másodrendű, stb.) nincsenek korlátozó előírások, azonban a megvalósítás gyakorlati egyszerűsége a két mintavételi időpillanat között konstans értékekkel dolgozó zérusrendű tartószerv alkalmazása mellett szól. A zérusrendű tartószerv alkalmazása a 11.9. ábrán látható jellegzetes lépcsős görbét eredményezi.
T,
3T AT
2T
S
S
S
11.9. ábra Zérusrendű tartószerv alkalmazása Említettük, hogy a tartószervek két mintavételi pont közötti dinamikája természetesen nem korlátozott a nulladrendű tartásra (konstans érték tartása), hanem elsőrendű illetve magasabb rendű is lehet. Elsőrendű tartószerv esetén a két utolsó mintavételi pontra fektetett egyenes határozza m e g a tartószerv kimenetét az aktuális periódusban, amint azt a 11.10. ábra is szemlélteti. Miután viszonylag kicsi vagy közepes mintavételezési idők esetén a zérusrendű tartás minden vonatkozásban kielégíti a gyakorlati igényeket, így a magasabb rendű tartószervekkel a továbbiakban nem foglalkozunk.
T,
2T
t
3r, 4T
f
11.10. ábra Elsőrendű tartószerv alkalmazása
18(0 W
zérusrendű tartószerv
1 W
>
11.11. ábra Zérusrendű tartószerv impulzus válaszfüggvénye
291
A zérusrendű tartás (az angol elnevezést követő rövidítés használva ZOH - Zero Order Holding) matematikai leírásának a 11.11. ábrán szemléltetett működést kell követnie. V e g y ü k észre, hogy a zérusrendű tartószerv impulzus válaszfüggvénye l ( í ) - l ( í - r ) . Miután a DIRACs
sTs
impulzusból az egységugrást egy integrátor állítja elő, a T holtidőt pedig az e~ átviteli függvény írja le, ezért felvázolhatjuk a 11.12. ábrát, ahonnan leolvasható a zérusrendű tartószerv átviteli függvénye: s
e
s
l-e
.-sT,
(11.4)
-» í -H
s
A-i* dirac delta
11.12. ábra Zérusrendű tartószerv impulzus válaszfüggvényének komponensei Az átviteli függvény ismeretében meghatározható a zérusrendű tartószerv frekvenciafüggvénye, ezt az F-5. Függelék F-l 1.1. pontjában mutatjuk meg. A zérusrendű tartószerv egy alapvető jellegzetességét azonban részletes frekvenciatartománybeli vizsgálódások nélkül is felfedezhetjük. Tekintsük az alábbi elsőrendű TAYLOR közelítést: 2
l-sT
s
+
2
sT
s
l-e W n(s) ZO
s
í— -+.. 2
=
-sT,/2
(11.5)
A mintavételezett jelek spektrumáról a 11.1. Fejezetben leírtak szerint ha tehát egy zérusrendű tartószerv van sorbakapcsolva egy FI rendszer H(s) átviteli függvényével, akkor az eredő FI rendszer átviteli frekvencia karakterisztikájának j ó közelítése 1 Jf (yti>) = ^H(jco) d
1 = -^T e-W H(jCö) 2
s
,-
= e „-J
(11.6)
(Itt H a zérusrendű tartószerv és az eredeti FI rendszer sorbakapcsolásával létrejött szintén FI rendszer közelítő átviteli függvénye.) Látható, hogy a kisfrekvenciás tartományban alkalmazható közelítés szerint a zérusrendű tartószerv közelítőleg a mintavételezési idő felének megfelelő holtidőt iktat be a zárt körbe. Amint azt korábban a FI szabályozási körök
292
vizsgálatánál láttuk, a holtidő növekedése nem kedvező jelenség sem a stabilitás, sem pedig a zárt kör megfelelő minőségi jellemzőinek biztosítása szempontjából. Hangsúlyozni kellazonban, hogy csupán e kedvezőtlen hatás elkerülésére nem mondhatunk le a tartószerv alkalmazásáról, mert annak alapfunkciójára, a D l és FI jeltartományok illesztésére elengedhetetlenül szükségünk van. A 11.13. ábrán látható elrendezés vizsgálatával egy a fenti közelítést verifikáló fizikai képet kívánunk kialakítani. A FI szinuszos jelet mintavételezve a mintavett értékek egy zérusrendű tartószerv bemenetére kerülnek, a kimeneti folytonos lépcsős görbének az ábrán bejelöltük az alapharmonikusát és ugyanitt feltüntettük az eredeti FI szinuszos görbét is. E két görbe fáziseltolása függ a mintavételi időtől és a szinuszos jel frekvenciájától, de láthatóan jól közelíthető a holtidő felével.
11.13. ábra Vizsgálati elrendezés a zérusrendű tartószerv késleltetésének bemutatására A mintavételi idő megválasztása egy olyan aspektusa a mintavételes szabályozótervezésnek, amellyel a FI tervezéskor nem kellett foglalkozni. Erre a kérdésre a tervezési módszerek tárgyalásakor vissza fogunk térni, azonban bármekkora mintavételezési időt is választunk, egyúttal egy c o = c o / 2 NYQUIST frekvenciát is választunk, ezért a mintavételezés következtében esetlegesen kialakuló spektrum torzulás elkerülésére az analóg jeleket az co > c o feltételt biztosítandó egy aluláteresztő szűrőn engedjük á t A teljes szabályozási elrendezés blokkvázlatát a rendszer jeleinek jellegével együtt a 11.14. ábrán tüntettük fel. N
N
s
m a x
LiL. u(t) alapjel
yít)
H ZOH
H
C(z) diszkrét idejű szabályozó
zerusrendö tartószerv
mintavevő
folytonos folyamat
atuláteresztö szűrő
J-L.
11.14. ábra A zárt mintavételes szabályozási rendszer elemei és jelei 11.3. Diszkrét idejű jelek leírása z-transzformáltakkal, a z-transzformáció és inverzének alapösszefüggései A z-transzformáció D l jelek illetve jelek kapcsolatát megvalósító rendszerek leírásának széles körben alkalmazott módszere. Egy f[k] (k = 0,1,2,...) D l jel z-transzformáltját a
egy
oo
*{/[*]} = X « " * / [ * ] = / [ ° ] + * k=0
- 1
2
/ [ 0 ] + z~ f[0]
+ ...
(11.7)
293
végtelen hatványsor definiálja, ahol a z változó a z-transzformáció komplex értékű változója. Megjegyezzük, hogy az f[k] jelről feltételezzük, hogy ún. pozitívidő függvény, másszóval /[i]sO
(k < 0 ) . Bár -?"{/[&]} közvetlenül z
szokásos jelölés F(z) = %{f[k]}
_ 1
függvénye, a z-transzformáltakra alkalmazott
•
A komplex sík azon R sugarú körének sugarát, amelyen kívüli értékekre az F(z)-í x
végtelen
hatványsor
konvergens,
_ 1
2
F(z) = f[0] + z / [ l ] + z~ f[2]
a
konvergencia
sugarának
definiáló
nevezzük, másszóval
az
+ ... konvergenciájának feltétele |z| > R . l
A FI szabályozási rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy ott a LAPLACE- transzformáció alkalmazásakor időtartományban megfogalmazott feladatokat az s komplex frekvencia (LAPLACE) operátor terébe transzformálva lényegesen egyszerűbben kapunk megoldásokat, viszont az eredményeket vissza kell transzformálnunk az időtartományba, ezért inverz LAPLACE-transzformációs módszerek alkalmazására is szükségünk volt. DI rendszerek esetén hasonló módon járunk el, ezért inverz z-transzformációs technikákat is ki kell majd dolgoznunk a későbbiekben. A inverz z-transzformáció analitikus összefüggése az alábbi ún. inverziós integrállal adott:
/[*] = ^{F(z)}
k X
=
<J) F{z)z - dz, 2
ahol R
J R
%
(11.8)
2
annak az origó középpontú körnek a sugara a komplex síkban, amelyen belül
2
k
X
helyezkedik el F(z)z ~
minden pólusa. Az inverziós integrál elméleti jelentőségű összefüggés,
bizonyítását az F 5. Függelék F - l 1.2. pontjában adtuk meg.
A z-transzformáció néhány alaptulajdonsága
Legyen az f[k] Konstanssal
(k = 0,1,2,...) DI jel z-transzformáltja F(z) =
való
Konstansnak
%{f[k]}.
szorzás
feltételezett
c
esetén
vizsgáljuk meg
a
g[k] = cf[k]
(k = 0,1,2,...)
jel z-
transzformáltját:
k
X{g[k}}
= X z~ 8[k]
= cf[0]
l
2
k
+ z~ c f [0] + ~ c f [0] + . . . = c X z~ g[0] = c F(z) z
k=0
(11.9)
k=0
Linearitás Konstans c és c együtthatókat feltételezve az előzőek értelmében írhatjuk, hogy x
2
oo
^{c / [*] + 1
1
c / [*]}=2z-*(c / [*] + c 2 2
1 1
2
/ [*]) = c F ( ) + F (z) 2
1
1
Z
C 2
2
(11.10)
fe=0
amely összefüggés a z-transzformáció lineáris tulajdonságát megfogalmazó feltétel: két jel kneáris kombinációjának z-transzformáltja egyenlő a jelek z-transzformáltjának ugyanazon
294
lineáris kombinációjával. Eltolási tétel Keressük az f[k]
D l jel egy időben eltolt f[k-n]
alakjának z-transzformáltját, ahol n egy
nemnegatív egész számot jelöl. Tekintsük először az időbeli késleltetést, X{f[k-n]}
amelyre fennáll, hogy (11.11)
n
=
z- F{z)
hiszen az m = k-n
változó bevezetésével és f[m] = 0
k
n
/ [* - "]} = X / [* " n]z~
{k
(m < 0) alkalmazásával
n)
= z~ X / [k - n] z- ~
k=0
=
k=0
= z""
X
/N«"
m
n
m
n
= z~ X f[m] -
= z~
Z
m=-n
F(z)
m=0
Hasonló módon az időbeli származtatható:
siettetésre
k
vonatkozó - kissé bonyolultabb - összefüggés is
n
%{ f [* + »]} = X / [* + n] z~ = z X / [* + n] z - (
fe+n
) =
k=0
fc=0
n-1
= *"1 X
/ [* + n] z ^
k
+ X / [k] z~ - X / [k] z~ t = z- lf[k]z- -lf[k]z-
k + n )
k
k=0
k
k=0
k=0
k=0
k=0
n-1 n
n
n
l
= z F(z) - z f [0] - z n-1 ~ f [1] - . . . - z f [n -1]
F(z)-lf[k]z-
= z
k=o Szorzás egy a alakú
tényezővel
Feltéve, hogy ismerjük az
f[k]
D l jel z-transzformálját,
keressük
az
tfV[fc]
e
Jl
z
~
transzformáltját:
*{«*/[*]}
= l<* f[k]zk
k
lf[k](a- z)~ =F(a- z) l
=
k=0
k
l
(11.12)
k=0
Figyeljük meg, hogy a fenti képlet alkalmazása során a komplex értékű is lehet, ekkor a tételt L
a =e
bevezetésével
*{«-*/[*]}
= le- f[k]z~ bk
k
lf[k](e zj- =F(e z) b
=
k=0
formában szokásos megfogalmazni.
k=0
k
b
(11.13)
295
Elemi jelsorozatok z-transzformáltja A következőkben származtassuk néhány elemi DI függvény Egység impulzus:
f[k] = 1, k = 0, egyébként f[k] = 0
oo
oo
k
1
*{/[*]}= X z~ f [k] = 1 + X z"* 0 = k=0
Egységugrás:
z-transzformáltját.
1 1
( • 14)
k=\
f[k] = 1, k = 0 , 1 , 2 , . . .
és
/[fc] = 0 k<0.
Alkalmazzuk a
geometriai
sor
összegképletét, ekkor a |z| > 1 konvergencia tartomány mellett:
*{/[*]} = X z~ f[k\ = X z* k
ik=0
Egység
1= — ^ 1
fe=0
sebességugrás:
=
Z
f[k]=kT ,
(11.15)
Z
k = 0 , 1 , 2 , . . . . Ismét a | z | > l
s
konvergencia
tartomány
mellett:
*{f
[*]} = X *"*/[*] = X z~ kT k
= T ^ l + 2z
s
_ 1
2
+ 3z~ + ...) =
fc=0 fe=0
i
~
S
,
r
(11-16)
2
(!_ -i) ~Vl)
2
z
Hatványfüggvény:
k
f[k] = a , k = 0,1,2,... és a komplex konstans. A |z|>|a| konvergencia
tartomány mellett:
*{f
k
k
M} = X r* / [*] = X z~ a *=o *=o
A fenti összefüggés az a is adódik:
k
=
= x
~
a
z
(11.17) z
~
a
tényezővel való szorzásra levezetett tétel alkalmazásával közvetlenül
l
*{a[k]}
ár z
= X{a[k] 1[*]} = z
Exponenciális
függvény:
1
lí^fl- ?
k
a ^-1
l-flz
f[k\ == e- - a w ,, k = 0 , 1 , 2 , . . . . a
összefüggést felhasználva a z > e
X{f[k]}=lz- f[k]
1
k
aT&
akT
= Zz~ e- *
s
A
1
hatványfüggvényre
származtatott
konvergencia tartomány mellett:
=
_
L aT
(
1 U 8
>
Szinusz
f[k] = sin(cofcr ), k = 0 , 1 , 2 , . . . . A z exponenciális függvényre származtatott
ftiggvény:
s
összefüggést és a
ún((úkT ) s
j
= j:(e >
- e ' ^ )
(11.19)
azonosságot felhasználva a z > 1 konvergencia tartomány mellett:
(11.20) k=Q
Eredményeinket, néhány további időfüggvény z-transzformáltjával kiegészítve, a 1 1 . 1 . táblázatban foglaltuk össze. A táblázat használatával kapcsolatban egy fontos megjegyzést kell tennünk. A táblázat négy oszlopot tartalmaz, de egyértelmű leképzés csak az / ( Í ) H F ( J ) illetve az f[k] F(z) párok között létezik. Adott f(t) FI jelet mintavételezve ugyan mindig a táblázatbeli F(z) transzformáltat kapjuk, azonban adott F(z) transzformáltból kiindulva csak olyan időfüggvényt tudunk visszaállítani, amely a mintavételi pontokban meghatározott értékű, így e mintákra végtelen sok, a mintavételi pontok között eltérően viselkedő FI jelet illeszthetünk.
F(s)
/(')
1
8(f)
b[k]
10
\[k)
1
s
f[k] =
F(z)
s
1
z z-l
1
-akT
at
e'
s+a
f(kT )
e
z -T
s
z-e Tz
kT
1
s
s
t
2
s
(z-lf
1
aT
te~
2
T e~ *z s
akT
kT e~ s
at
{s+a)
l s
s
2
(z-e-^)
1
2
T z(z
2
t
3
s
+ l) 3
(z-l)
b-a (s+á)(s
+ b)
at
bt
e- -e-
-akT
e
s
_ ~bkT e
s
aT
bT
(z-e- >)(z-e- *)
co 2
2
* + co
zsin((úT ) s
sin(co£T ) s
2
z -2zcos((úT )
+l
s
s 2
sin(coí)
2
s + CO
cos(cor)
z -
cos(co^r )
zcos((oT ) s
s
2 2
Z -2ZCOS(CÚ7/ ) + 1 S
297
Inverz z-transzformáció Legyen egy f[k] F(z)
D l jel z-transzformáltja F(z).
Most arra a kérdésre keressük a választ, hogy
ismeretében hogyan tudjuk meghatározni az f[k]
jelet. Ez a feladat az inverz z-
transzformáció. Az elvi választ a korábban már említett
/[*] = X-'iFiz)}
k
=
l
<$ F(z)z ~ dz 2
K
JR
(11.21)
2
formula adja. A gyakorlatban a következő három módszer egyikét alkalmazhatjuk: Polinomiális
osztás
Legyen F(z) = 1 0 z / [ ( z - l ) ( z - 0 . 2 ) ] . A számlálóbeli és nevezőbeli polinomok osztásával az /[0],
/[l],
/[2],...
együtthatókat
folyamatosan,
az
osztás
eredményeképpen
adódó
együtthatók leolvasásával kaphatjuk meg: 2
1
2
( l 0 z ) : ( z - 1.2z + 0.2) = / [ 0 ] +z f[l]
+z f[2]
Az osztás első néhány lépését elvégezve az első néhány értékre / [ 0 ] = 0, / [ 0 ] = 10, f[2] = 12, f[3] = 12.4 adódik. A módszer nem igazán hatékony, ráadásul CAD eszközök birtokában jóval gyorsabban juthatunk a numerikus értékek birtokába. A diszkrét idejű impulzusválasz
számítása
Az adott F ( z ) z-transzformáltat egy impulzusátviteli függvénynek (lásd később)
felfogva,
annak kimenetét Y{z) = F{z)U{z)
(11.22)
szerint tudjuk számítani. Amennyiben a bemenőjel egy D l egységimpulzus, akkor U(z) -1, ennek következtében Y(z) = F(z).
és
Természetesen ismét a korábbi módszerrel adódott értékeket
kapjuk. Részlettörtekre
bontás
A módszer lényege, hogy olyan elemi részek összegére bontjuk fel az F(z) függvényt, amely elemi összetevők inverze vagy közvetlenül kiolvasható a z-transzformációs táblázatból vagy valamelyik z-transzformációs tulajdonság alkalmazásával határozható meg. Figyeljük m e g a táblázatban F(z) felépítését. Annak érdekében, hogy a részlettörtek számlálójában biztosítsuk a z tényező megjelenését, a részlettörtekre bontást
£W £ =
Z
a
+
Z
_£i_ Z-p
+
x
_£ _ 2
Z-p
2
+
! - - +
_£ _ a
( 1 L 2 3 )
Z~p
n
szerint végezzük el (egyszeres pólusokat feltételezve). F ( z ) _ 12.5 z
~ z-l
12.5 z-0.2"
298
Innen 12.5z
F(z)-.
12.5z
z-1
z-0.2
így
l
f[k] = %- {F{z)}
=^
{
^
J -
=
1
2
-
5
(
L
- ° -
2
K
) >
K
=
1
2
O ' > >- • •
V e g y ü k észre, hogy a részlettörtekre bontás viszonylag bonyolult számításainak eredményeképpen a kapott megoldás analitikus, tehát f[k] értékét tetszőleges k>0 értékre közvetlenül m e g tudjuk határozni. Komplex pólusok
kezelése
Még az előzőkben feltételezett egyszeres pólusok eseténél is bonyolultabb a kiértékelés, h a F ( z ) pólusai komplex értékűek. 11.1. Példa Tekintsük az alábbi rendszert:
F
z
( )> =
z3 - z 2 — z — i
7
7
?
A részlettörtekre bontás az alábbi alakra vezet: F(z) _
0.5
w
0.643 +
=
z
z
c
c
z-p
z-p
_
+
z-2
;
ahol c = 0.429 + ;'0.0825 és p = - 0 . 5 - / 0 . 8 6 6 , továbbá c és p a megfelelő komplex konjugáltakat jelölik. A részlettörtes alak utolsó két tagját összevonva a transzformációs táblázat alkalmazásával egy szinuszos és egy koszinuszos tagot kapunk. Egy másik lehetséges módszer e két tag egyetlen koszinuszos tagként való meghatározására a következő: k
f[k] = - 0 . 5 8[*] + 0.643(2)* + c (p)
k
+ c(p)
=
= - 0 . 5 b[k] + 0.643(2)* + 0.873 cos — £ + 10.89° v3 j mivel elemi trigonometriai azonosságok következtében k
c (p)
+ c(p) jQ
ahol c = Ce
k
k
= 2Ca
és p =
cos(Q£ + 0 ) , ja
ae .
299
Többszörös
pólusok
kezelése
11.2. Példa Többszörös pólusokkal kapcsolatban egy egyszerű példa vizsgálatára szorítkozunk. Legyen 3
2
. . 6z +2z -z W =2 — T z -z -z + l
F
A részlettörtes alak stmktúráját ismét F(z) p
x
2
= 1 és p = - 1 , tehát a p 3
F(z)
5.25
—^ = z
3.5
+ z-l
= 1 kétszeres pólus. Ennek megfelelően a részlettörtes alak
2
0.75 T
(z-l)
i
pólusai határozzák meg. Jelen esetben a pólusok
+
2
z+l
Figyeljük meg, hogy a részlettörtes alakban a kétszeres pólus egyszeres és kétszeres formájában is szerepel. A visszatranszformálás ezekután: f[k] = 5.21(1)* + 3.5k + 0 . 7 5 ( - l ) * , Általános
módszer egyszeres
k = 0,1,2,...
pólusokra
A m e n n y i b e n adott a FI jel LAPLACE-transzformáltja az F(s) = ^(s)/^(s) F
p
alakban (itt !F és Z
a számláló és nevező polinomjai), akkor a jel z-transzformáltját az alábbi általános egyenlet
szolgáltatja F M - j ^ P . ) W
z
=
T
h^(Pi)z-e" -
f
f
M
1
( 1 1 2 4 )
k ^ P d i - e ^ z - '
(
U
-
2
4
)
Egyszeres pólusokra fennáll a kifejtési tételekben használt egyszerű reziduum számítási technika
1
lim(í-/>,.)-^TT
(11.25)
ami megkönnyíti F(z) kiértékelését. A módszer gyakorlati megvalósítása azt jelenti, hogy a nevezőt gyöktényezős alakban kell ismerni. A képlet szummájának az adott pólusra vonatkozó összetevőjét úgy számítjuk ki, hogy az adott (s- p ) pólus tényezőt letakarjuk és az F(s) maradó részébe helyettesítjük be p t. t
r
Végértéktételek A végértéktételek F(z)
ismeretében / [ 0 ] illetve l i m / [ f c ] közvetlen, inverz z-transzformációt
nem igénylő kiértékelését szolgáltatják. Kezdeti érték tétel (k —> 0) A z-transzformáció definíciójából kiindulva
300
*{/[*]} = I
k
l
z- f[k]
= f[0] + z~ f[l]
2
+ z~ f[2]
+...
*=o látható, hogy f[0] értéke a z - > « feltétellel választható le a végtelen sorból: (11.26)
f[0]=\imX(z).
Végérték tétel
(k—>°°)
Az alapgondolat az f[k]
sor "utolsó" elemének leválasztása az eredeti és a késleltetett sor
különbségének képzésével: = (/[0] + / [ l ] + / [ 2 ] + . . . ) - ( / [ - l ] + / [ 0 ] + / [ l ] + . . . )
lim / [ * ] = lim lF(z) - z-'Fiz)}
Továbbra is pozitívidő függvényeket fektételezve f [k] = 0, k < 0 ) a fentiek alapján (11.27)
11.4. Mintavételes rendszerek leírása az idő-, az operátoros és a frekvenciatartományban A FI rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy a zárt szabályozási rendszerek analíziséhez és tervezéséhez egyaránt absztrakt rendszerleírásra van szükségünk. Mintavételes rendszerek esetén zérusrendű tartószervet feltételezve a szabályozott szakasz bemenetének és mintavett kimenetének értéke csak a mintavételi időpontokban változik. Célszerű tehát egy olyan matematikai leírást, másszóval modellt létrehoznunk, amely a FI szakasz viselkedését közvetlenül a mintavételi pontokban írja le, szükségtelenné téve a fizikai mintavételezési folyamat megismétlését, azaz a folytonos időfüggvények mindenkori előállítását és mintavételezését. Egy FI folyamat D l viselkedésének leírását a továbbiakban diszkretizálásnak fogjuk nevezni. A számos megközelítési lehetőség közül az állapotteres leírást választjuk kiindulópontként, majd ebből az alakból két további leírásmódot, az impulzusátviteli függvény alakot és a differencia egyenlet alakot is fogjuk származtatni. Ez a leírási hármas összhangban van azzal a hármassal, amelyet a FI rendszerek tárgyalásánál is használtunk (állapottér, differenciálegyenlet, átviteli függvény).
Állapotteres modell Legyen a T mintavételezési idő mellett diszkretizálni kívánt FI rendszer LTI modellje (lásd (3.10)-t): S
x(t) = Ax(t)
állapotteres
+ bu(t) (11 28)
T
y(t) = c
x(t) + du(t)
A z állapotegyenlet megoldása a t
0
kezdeti időpontra és az jc(f ) kezdeti állapotvektorra
támaszkodva a FI rendszereknél tárgyaltak szerint (3.2.1)
0
301
;(í) =
A e
f
f
( - o)
x
(í ) + } e
A(í_T)
0
b u(x)dx
A
=e
^
x(t )
íe
+
0
A(í-T)
(x)d x
(11.29)
M
Feltéve, hogy diszkretizált modellünket egy zérusrendű tartószerv előzi majd m e g abban a környezetben, ahol a modellt alkalmazni kívánjuk (egyszerűbben szólva feltételezve, hogy a modellünk bemenete lépcsős függvény: lásd később az SRE transzformáció (11.68) egyenletét), végezzük el az integrálást a &-adik és a ( £ + l ) - e d i k mintavételezési időpillanat közötti időtartományra (a kezdeti időpont tehát t = kT ): 0
AT
x(kT + T ) = e °x{kT ) s
s
+
s
s
A{kT
J
+T
e * >-%u(x)dx
kT. kT ±T s
AT
= e °x(kT )
+ bu(kT )
s
s
T
s
'/ '
A e
^
+
T
AT
AX
^ d x = e >x(kT )
+ i{kT )\e dX
s
b
s
A fenti átalakításoknál figyelembe vettük, hogy u(x) = állandó a mintavételezési periódusban [kT < x<(k s
+ l)T ], s
bevezettük a
nevezetesen u(x) = u(kT ), s
% = kT + T -x s
továbbá az integrál egyszerű kiértékeléséhez
változót. Korábbi
s
x(kT + T ) = x[k + l], s
s
x(kT ) s
= x[k]
és
u(kT ) = u[k] jelöléseinket alkalmazva írhatjuk, hogy s
AT
x[k + l] = e >x[k]
AX
+ \e dX
(11.30)
LO
illetve bevezetve a diszkretizált modell
AT
paraméter
AX
és
&
g=\e d'kb
mátrixait,
a
(11.31)
diszkretizált
rendszer
Megjegyezzük, hogy amennyiben az A l
integrálás elvégezhető és a g = A~ [e
ATs
T
y(r) = c x(t)
+ du(t)
állapotegyenlete
x[fc + l] = F
+
mátrix invertálható, a g vektor kifejezésében az -í^b
zárt összefüggést kapjuk. A FI állapotmodell
kimeneti egyenletének diszkretizált alakja a t=kT
s
helyettesítés után
közvetlenül adódik T
(kT )
y
= c x(kT )
s
s
+
du(kT ) s
illetve a diszkrétidejűséget jobban szemléltető formalizmussal: r
y[k]=c x[k]
+ du[k]
A DI állapotmodellünket tehát az
(11.32)
302
x[k + \] = Fx[k]
+ gu[k]
(11.33)
állapot differencia egyenlet és a (11.32) kimeneti egyenlet határozza m e g k = 0,1,2,... értékekre. A kapott modellt a FI állapotteres modellel összevetve jegyezzük meg, hogy az állapot differencia egyenlet paraméter mátrixait a (11.31) szerint kell származtatnunk a FI rendszer T
paraméter mátrixaiból, míg a kimeneti egyenlet paraméterei ( c és d) azonosak a FI és a D l rendszerben. Az F mátrix elnevezése állapotátmeneti mátrix, zérus bemenet esetén ugyanis a rendszer állapotátmenetét a fc-adik és a (k +1) -edik lépés között (11.34)
x[k + l] = Fx[k] szerint éppen az F mátrix elemei vezérlik.
11.3. Példa Vizsgáljuk meg a diszkretizálás során elvégzendő műveletek jellegét és amintavételi időtől való függés megjelenését az összefüggésekben. A z állapotmodell diszkretizálását egy másodrendű példával illusztráljuk az alábbiakban. Legyen a FI rendszerünk egy kettős integrátor, válasszuk meg az állapotokat a 11.15. ábrának megfelelően. «(r)
1
x (t) w
F
s
y(0=x (í)
1
2
t
F
5
11.15. ábra Kettős integrátor Az állapotegyenletek: x\{t) = x {i) 2
x (t) 2
= u(t)
A FI állapotmodell
x(t) =
(t)
Xl
0
f
*i(0
0
0.
_*2(0-
"o"
+ . 1 . u(t) = Ax(t) + bu(t),
ebből következően
AT
F =e *
= e-
0
1
0
0
A mátrix exponenciális függvény kiértékelésére alkalmazzuk az AT
e *
2
=I +
2
AT +-A T. +. S
s
2
s k
sorbafejtést (3.20) és (3.26). Esetünkben A
=0 1
s
2
s
= /+az; =0
(k > 2 ) , így 0 1
1
0
+
—
0
0
0
1.
303
es 1 AX
g=\e dXb
= J
0
X
2
dX
1
Magasabb fokszámú rendszerek számítások elvégzésére. Az
állapot
differencia
dX =
esetén
T /2 s
természetesen
egyenlet megoldását
x[0]
CAD
eszközöket használunk
kezdeti érték
mellett
a
a
k = 0,1,2,...
időpillanatokra a jelek és rendszerek elméletéből jól ismert k-i k
x[k] = F x[0]
+ X
k
m
l
F ~ ~ gu[m]
(11.35)
m=0
összefüggés szolgáltatja, ahol az első tag a kezdeti értéktől függő komponens, míg a második tag a 0 , l , . . . , ( £ - l ) időpillanatbeli bemeneti minták súlyozott összege. A fenti megoldásban az F állapotátmeneti mátrix kulcsszerepet játszik. A későbbiekben látni fogjuk, hogy egy mintavételes rendszer karakterisztikus tulajdonságait (így a stabilitását is) az F áUapotátmeneti mátrix határozza meg.
Az eltolási operátor alkalmazásán alapuló bemeneti-kimeneti modellek A bemeneti-kimeneti modelleket a bemenőjel és kimenőjel közötti kapcsolat leírására szolgáló operátorok szerint fogjuk sorravenni. A diszkretizált állapotteres leírásból kiindulva először egy szemléletes megközelítést, az egylépéses eltolási operátor alkalmazásán alapuló modellezést mutatjuk be, amely közveüenül támogatja a differencia egyenlet formájában történő tárgyalást is. A FI rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy egy differenciálegyenletével vagy átviteli függvényével adott bemeneti-kimeneti modellhez végteles sok ún. input-output ekvivalens állapotteres modell tartozik, egy adott állapotteres modellből viszont egyetlen bemeneti-kimeneti modell áUítható elő. E z a tulajdonság a DI rendszerekre is igaz, ennek belátására először vezessünk be egy eltolási operátort az alábbiak szerint: qx[k] = x[k + l]
(k = ...,-1,0,1,...)
(11.36)
A q operátor funkcióját tekintve egy siettető operátor, amelynek argumentuma egy skalár vagy vektor értékű DI x[k] jelsorozat. Egy jelsorozatra a q operátort alkalmazva a jelsorozat egy lépéssel siettetett verzióját állítjuk elő. Az eltolási operátor ismételt alkalmazásával egy sorozatot több lépéssel is eltolhatunk a pozitív mintavételezési pillanatok irányába, m lépés esetén a teljes operációra a m
q x[k]
= x[k + m]
(£=...,-1,0,1,...)
(11.37)
jelölést alkalmazzuk. Késleltetést a q operátor inverzének alkalmazásával valósíthatunk meg: 1
q~ x[k]=x[k-l] illetve
(£=...,-1,0,1,...)
(11.38)
304
m
q~ x[k]=x[k-m]
(k =...,-1,0,1,..-)
(H-39)
l
A q~ operátort késleltetési operátornak hívjuk. A állapotmodell
q operátort alkalmazva a diszkretizált
x[k +1] = qx[k] = Fx[k] + g u[k] (11.39) T
y[k] = c x[k]
+ du[k]
alakban írható fel. Az állapot differencia egyenletből x[k] -t kifejezve l
x[k] = {qI-F)- gu[k]
(11.40)
adódik, amelynek segítségével a kimeneti egyenlet az T
_ 1
T
_ 1
y [k] = c (ql - F ) g u[k] + d u[k] = [c (ql - F ) formát ölti. Vezessük be az alábbiak jelsorozattól: r
l
y[k] = G{q) u[k] = [c (ql Itt a G(q)
- F)~ g
g + d\u[k]
(11.41)
szerint a kimeneti jelsorozat függését a bemeneti
+ d\u[k]
(11.42)
racionális törtfüggvényt impulzusátviteli
operátornak
fogjuk nevezni. A
G(q)
kifejezését diszkutálva látható, hogy G(q) szabályos racionális törtfüggvény, hiszen
r
ahol d e t ( g / - F ) és c adj(ql
-F)g
egyaránt a q operátor valós együtthatós polinomja így
G(q) két polinom n
AÍq) = det (ql -F) = q + ' ' B{q) = b q »+b q »- +... V
n
1
aq~
+... + a
x
n
V
n
0
n
(11.44)
l
+ b
l
hányadosaként
írható
fel. A
nB
bevezetett
A(q)
és
megjegyezzük, h o g y n az állapotváltozók száma, n B
polinomok
fokszámát
illetően
pedig a B(q) polinom fokszáma, amelyre
B
fennáll az n
B{q)
reláció. Ha d = 0, ami az esetek döntő többségében teljesül, a (11.43)
szigorúan szabályos racionális törtfüggvény, így célszerűbb (11.44) helyett a n
A{q) = det (ql -F) nA
B(q) = b q x
l
x
n
2
+ bq~ 2
n
= q + aq~
n
X
n
+ ... + b =q n
n
+... + a = q (l + a q~ + ... + a q~ ) n
x
l
2
(b q~ + b q~ x
2
n
+ ... + b q~ n
)=
n
=
n
n
1
q A{q- ) X
q B[q~ )
jelöléseket használni. A D l modell karakterisztikus egyenlete a fentiek értelmében az . 4 ( 4 ) = 0 alakban is felírható. Hasonlóan a FI rendszereknél bevezetett terminológiához, az A(q) = 0
305
egyenlet gyökeit pólusoknak, a B(q) = 0 egyenlet gyökeit pedig zérusoknak hívjuk. A bevezetett polinomok alapján, továbbá felhasználva az eltolási operátor közvetlen időtartománybeli jelentését, egyszerűen származtatni tudjuk a DI rendszer egy további modelljét, a rendszert leíró differencia egyenletet. A korábbiak szerint y[k] = G{q)u[k] = ^u[k]
(11.46)
ahonnan A{q)y[k]
= B{q)u[k]
(11.47)
majd tovább részletezve az operátoros n
[q + a ^ " -
1
+ . . . + a )y[k] n
=( b ^
1
n
2
+ bq~ 2
+ ... + b )u[k]
(11.48)
n
egyenletet, az y[k + n] + a y[k + n-!]
+ ... + a y[k] = b u[k + n -1] + b u[k + n-2]
x
n
x
x
+... + b u[k] n
n
bemeneti-kimeneti differencia egyenletet kapjuk. Osszuk el (11.48) mindkét oldalát ekkor az l
n
(l + a q~
+... + a q- )
x
n
l
2
y[k] = (b ~
+ b q~
iq
2
n
+...+ b q~ )u[k]
q -ne\,
(11.49)
n
operátoros egyenlet adódik, amelynek az y[k] = b u[k-1]
+ b u[k-2]
x
x
+ ... + b u[kn
n]- a y[k-1]-... x
- a y[k-n]
(11.50)
n
bemeneti-kimeneti differencia egyenlet felel m e g . Ez az összefüggés egy további fontos interpretációját jelenti a (11.46) összefüggésnek. Ez az egyenlet ugyanis n e m más, mint egy rekurzív formula a D I kimenőjel előállítására. Jól láthatóan a rekurzív alakhoz a (11.45) l
polinomjainak
a q~ -szerint rendezett alakjait
használtuk fel közvetlenül. Ezért a
G(q)
ekvivalens
V
'
A[q
l
)
l + A(q
l
)
alakját szűrő alaknak is nevezik. A (11.51) alapján ugyanis mindig egyszerűen fel tudjuk írni a rekurzív (11.50) egyenletet l
1
y[k] = B(q- ) [k]-Á(q- )y[k] U
= b u\k -1] + b u\k-2] x
x
= + ... + b u[k — n] — a y\k-1]-... n
x
- a y[kn
n]
amely lineáris az a,;fy paraméterekben és igen könnyen realizálható számítógépes környezetben.
306 11.4. Példa Nézzük meg, hogyan alakul a fentiekben származtatott G(q) bemeneti-kimeneti modell a 11.3. példában korábban levezetett diszkretizált kettős integrátor esetén ( T = 1 választás mellett): s
T
l
G(q) = c {qI-F)- g
+ d = [l
A rendszer mindkét pólusa p
0]
-l
di
'q-l
-l"
. 0
q-l_
-1
0.5" _ 0 . 5 ( g + l ) _ 0.5^ + 0.5 . 1 ."
(q-lf
2
+l
~q -2q
értékű, míg a rendszer egyetlen zérusa z = - 1 . d
A z-transzformáció alkalmazásán alapuló modellezés A z-transzformáció egy Dl jelsorozatra értelmezett művelet, f[k] (k = 0,1,2,...) jelsorozat z-transzformáltja definíció szerint
*{/[*]} = X *"*/[*] = / [0] + z-'Al] + z " / [ 2 ] 2
nevezetesen
egy
(11.53)
+...,
fc=0
ahol a z változó a z-transzformáció komplex változója, melynek kapcsolata a LAPLACE transzformáltak körében használt s komplex frekvencia változóval egyszerűen megmutatható. Alapelvként abból indulunk ki, hogy olyan diszkretizálását keressük egy FI rendszernek, amelynek matematikai mintavételezése során keletkező impulzus sorozatok mérőszámai megegyeznek a diszkretizált rendszer mintavett értékeivel. Ezt az alapelvetzmpw/zwi invariancia névvel illeti a hibrid rendszerek elmélete. Tekintsük egy FI f(t) jel matematikailag mintavételezett alakját:
/>)=X/M)8(f-mr ),
(11.54)
s
m=0
majd ezen impulzus sorozat LAPLACE transzformáltját:
if{/*(r)} = if
J,f{mT )d{t-mT ) s
= f(0) + f(T )e-^
s
s
+
2sT<
f(2T )e-^+... s
lm=0
Megjegyezzük, hogy a matematikailag mintavételezett f*(t)
jel diszkrét idejű. A z impulzus
invariancia elvnek való megfelelés tehát az (11.55)
*{/*(')} = *{/[*]} egyenlet formájában fogalmazható meg, amiből /(0)
+/(r ) -^ s
e
2sT
+f{2T )e- * s
1
2
+ ... = / [ 0 ] + z - / [ l ] + z " / [ 2 ] + .
adódik, ami a transzformációs változók között a z=e
s
(11.56)
307
sTs
kapcsolat fennállását jelenti. A z = e összefüggés fontosságát hangsúlyozandó könnyen belátható, hogy a F I rendszerek Í = O" + j(ú komplex frekvenciatartománybeli stabilitási sT$
tartományát (bal oldali félsík) a z = e leképzés a z-síkon egy egységsugarú kör belsejébe viszi át, hiszen az s = j(ú, (-<*><cu<°o) egyenes a z = e^ egységsugarú körré képződik le, továbbá a növekvő frekvenciák kányában haladva balkéz felé esik a stabilitási tartomány. Pontosabban a bal oldali stabilis s félsík —iz/T <(£>
S
S
S
Egyszerű alaptagoknak megfelelő DI modell számítható a FI operátornak a mintavételezett jel sorozatán értelmezett közelítésével. Tekintsük először az egyszerű differenciálás esetét. Hátratartó
dy dí
(backward)
differencia:
y[*]-y[*-l],. T
y[k]
T
s
(11.57)
s
közelítés alapján a H (s) = s differenciáló operátor DI megfelelője D
G (z) D
=^ =
Előretartó
)
- ^ - .
(forward)
(11.58)
differencia:
g - ^ - ^ ' - ^ M - ^ M . dí
T
T
s
01.59)
Tz
s
s
amelyből a H (s) = s differenciáló operátor DI megfelelője D
G (z) D
=^ =
1
X
s
- ^ - . Tz
(11.60)
s
Tekintsük most az egyszerű integrálás esetét: Hi(s) = l/s. Jobb oldali téglalap t
y{t) = Ju{x)dx 0
szabály: k
k
« X"(0r = T Xu{i) s
i=0
s
= y[k] = y[k-l]
+ T u[k], s
(11.61)
!=0
amelyből a következő rekurzív összefüggés nyerhető _ 1
y[k] - y[k -1] = (l - z ) y [k] = r u[k]. s
(11.62)
308 Tehát
0,(2) = - 5 — Ü L 1-z
- 1
(11.63)
z-l'
Bal oldali téglalap
szabály: k
(t) = ] u{%) dx
y
=ZX "(0 s T
0
i=0
=T
S
X "(0 =
= y[* - 1 ] + r «[* - 1 ] . s
(11.64)
1=0
amelyből a következő rekurzív összefüggés nyerhető y[k + l]-y[k]
=
(11.65)
(z-l)y[k]=T u[k]. s
Tehát
-l
r z"
(11.66)
s
z-l
1-z
-1 •
Visszaidézve a FI szabályozási rendszerek módszertanát, a L A P L A C E transzformációs technika alkalmazhatósága döntően a különböző átviteli függvények bevezetésén keresztül érvényesült. Amennyiben a D l rendszerek tekintetében hasonló szerepet szánunk a z-transzformáltaknak, először z-transzformáltakat használó átviteli függvényeket, az ún. impulzusátviteli függvényeket kell bevezetnünk két z-transzformáltjával adott jel hányadosaként. Továbbmenve, olyan elrendezésben kell gondolkodnunk, amelyben a bemeneti és a kimeneti oldalon is D l jelek jelennek meg. Ez azt jelenti, hogy az eddigiekben lépcsősnek feltételezett bemenőjelek helyett most magát a tartószervet is figyelembe kell vennünk, hiszen ez az egység, amelynek D l a bemenete. A z u[k] D l bemenettel és y[k] D l kimenettel rendelkező rendszer blokkvázlata a 11.16. ábrán látható. u[k]
ZOH (D/A)
u(t) w
W
H(s)
w
A/D
11.16. ábra Zérusrendű tartószervvel és mintavételezővel kiegészített FI tag D l blokkvázlata A diszkretizált rendszert leíró impulzusátviteli
függvény
(zérus kezdeti feltételek mellett)
X{y[k}} G(z) =
(11.67)
%{u[k]}'
Tetszőleges bemenőjel esetén a kimenőjel mintavételezett értékei (11.68)
szerint számíthatók. Látható, hogy a kifejezés kiértékelése bemenőjelfüggő, másszóval általános
309
összefüggés származtatása helyett csupán bizonyos bemenőjel osztályra ekvivalens DI modell Response létrehozásáról beszélhetünk. Tűzzük ki célul egységugrás ekvivalens (SRE: Step Equivalent) DI modell megalkotását. Ekkor u[k] DI egységugrás és u(t) FI egységugrás, tehát
(11.69)
y[k]=Zs
t=kT . s
(11.70)
melynek mintavett értékei
v[£] = i T
(11.71)
1
s
H=kT,
így a keresett DI modell
G(z) =
*M*]}
*M*]}
z
%{u[k]}
-\
X{v[k]}
=
(11.72)
l
(l- - )X{v[k]} Z
z-l Megjegyezzük, hogy a fenti fontos összefüggés némi pontatlansággal
(11.73)
alakban is megtalálható számos anyagban. Bár a kifejezés kompakt és formailag kifejező, matematikailag helytelen és n e m is értelmezhető, hiszen egy LAPLACE transzformáltnak közvetlenül n e m létezik z-transzformáltja. A korrekt eljárás a folytonos időtartományba való visszatérésnek megfelelő inverz LAPLACE transzformáció elvégzése, majd a kapott Fffüggvény mintavételezése a t = kT behelyettesítés szerint. A z SRE transzformáció elvileg megegyezik azzal az alapesettel, amikor zérusrendű tartószervet alkalmazunk a zárt körben. Itt ugyanis az egyes mintavételi időpontok között mindig ugrás alakú gerjesztés lép fel. s
Hasonló módszerrel számíthatjuk ki a sebességugrás Equivalent) DI modell összefüggéseit az
y[k\ = X S
2
>
. t=kT . t
ekvivalens
(RRE:
Ramp
Response
(11.74)
310 egyenlőség biztosításával. A z RRE transzformáció elvileg megegyezik azzal az alapesettel, amikor elsőrendű tartószervet alkalmazunk a zárt körben. Itt ugyanis az egyes mintavételi időpontokban között mindig sebességugrás alakú gerjesztés lép fel. 11.5. Példa Alkalmazzuk a kapott eredményeket és határozzuk m e g a FI kettős integrátor egységugrás ekvivalens D l z-transzformációs modelljét. A kettős integrátor ámeneti függvénye 2
t v(f) = -
(t>0),
(11.75)
így mintavételezés után
v
W
ffif
=
(
k
>
0
)
)
(
1
L
7
6
)
majd a z-transzformáció eredményeképpen
1
(z-l)
végül G(z) = ( l - r V{v[Jfc]} = ^X{v[k]} z W
1
1
X
1
1
L
= £Z1££Í£LÜ = Z Ü i l z 2 ( _i) 2 ( _i)
J /
3
z
2
l.
( 1 L
78)
2
z
2
T = 1 választás mellett G(z) = (z + l ) / 2 ( z - 1 ) = (0.5z + 0 . 5 ) / ( z - 2z +1) s
Figyeljük m e g a G(q) impulzusátviteli operátorral és a z-transzformációs technikával kapott eredmények formai azonosságát. Miután a z-transzformációs összefüggések a z-vel való szorzást sietésnek, a z - g y e l való szorzást késleltetésnek értelmezik, ezért általánosan is igaz, hogy a G(z) impulzusátviteli függvényt meghatározva, a G(q) impulzusátviteli operátor z-q helyettesítéssel megkapható. A formai egyezés ellenére legyünk tudatában annak, hogy az eltolási operátor és a z-transzformáció változója különböző mennyiségek! _1
Az eltolási operátor tárgyalásakor bemutatott levezetést megismételve a G(z) impulzusátviteli függvény G(z)= W
=c
T a <
^ ( ^ — ^ I g + d alakban is felírható, ahonnan látható, hogy a det(z/-F) 5
A{z)
diszkretizált rendszer karakterisztikus
egyenlete
d e t ( z / - F ) = 0, amelynek a sajátértékekre
vonatkozó |z, | < 1 i = 1,2,.., n feltétele pedig a diszkretizált rendszer stabilitásának feltétele. 11.6. Példa Vezessünk le analitikus összefüggést a H{s) = K/l + sT egytárolós tag egységugrás ekvivalens diszkretizált
modelljére.
A
1
G(z) = {l-z~ ^jX{H(s)/s}
egyszerűsített
jelölést
követve
esetünkben
+ sT 1
z-l V
z-e
l + az
l —e
s
-T./T
z-e
(11.79)
1
x
A 11.17. ábrán K = 5 és 7/= 10 esetére felrajzoltuk a FI és a DI rendszer átmeneti függvényét. Ellenőrizzük az átmeneti függvény kezdeti és végértékét a korábban levezetett összefüggések felhasználásával:
Z
y[0] = lim Y(z) = Hm {U(z)G{z)} z->~ z-*°°
K
= lim \ z-^oo z — 1
(
l
)
z —e
\= 0
illetve _ 1
_ 1
h m y[k]= l i m { ( l - z ) F ( z ) } = l i m { ( l - z ) í / ( z ) G ( z ) } =
lim
v
7
z-l
T."
z-e
2
.-T./T
sec
11.17. ábra Egytárolós rendszer FI és egységugrás ekvivalens DI modelljének átmeneti függvénye Érdekes lehet a G(z) számlálójában és nevezőjében lévő b és a együtthatók függése a T-től és r -től. Vezessük be az x = T /T relatív mintavételezési időt, amelynek segítségével x
s
s
x
312
x
b,
=K(\-e~ ) v
„ _
;
(11.80)
-x
cii = —e Most még könnyebben ellenőrizhetjük a statikus átviteli tényezőt: G(z = l)-K. pólusa pedig p\ = -a 11.7. Példa Másodrendű
FI
a
x
-
x
A G(z)-nek
e~ .
alaptag
SRE
transzformációjának
levezetése jóval
hosszadalmasabb
az
elsőrendűnél, néha viszont szükség van az összefüggéseire. Legyen a FI rendszer konjugált komplex póluspárja
p\
= a± jb, ahol a t, csillapítási tényezővel és az co
2
0
sajátfrekvenciával
2
való jól ismert összefüggések: a = - ^ c o és b - c o - / l - i; . A D l konjugált komplex póluspár 0
[2e >cos{bT j\z aT
2
(z ~ Pi)(z ~Pi)
0
=z -
aT
+e *
s
(11.81)
alakú lesz. Diszkrét idejű rendszerek
vizsgálata
a
frekvenciatartományban
A szinuszos gerjesztésekre adott válaszok elemzésén alapuló vizsgálatok a rendszeranalízis alapvető eszközei. Nézzük meg, milyen választ ad egy
<*>= y":y~iv Z +a z ~ +a z ~ +... n
n
1
n
l
2
+a
2
+K
^ A(z)
n
impulzusátviteli függvénnyel jellemzett stabilis D l rendszer egy (co)szinuszos, u[k] =
Kcos((ú k) 0
alakú D l gerjesztésre. A 11.1. táblázat alapján U(z) = Z{u[k]} W
1
L
J /
=K
/ - ^ o T
)
s
2
z + 2zcos(co r ) + l o
s
a kimenőjel z-transzformáltja pedig
Y( ) = U(z)G(z) Z
=K
f - ^ M z +2zcos(co r ) + l 2
o
s
További átalakításokkal:
Y(z)_ z
z-cos(co r ) o
s
B{z)
(z-e*°?')A{z)
A részlettörtekre bontást követően
G
{
z
)
=
K
f - ^ M z +2zcos((ü T ) 2
0
s
+
M lA(z)
313
lífLM z
+•
ja
T
A(z) ' -e ° °
0
'
z
z-e-* '?*
adódik, ahol V(z) egy n-nél alacsonyabb fokszámú polinom, a c együtthatóra pedig írhatjuk, hogy Y(z)
(z-e**?')
= . . . = f G ( ^ . ) ,J<»0
Miután c a c együttható komplex konjugáltja, ezért
z - e ^
z-e
következtében a kimenőjel egy y [k] tt
J*>oT
s
tranziens és egy y&\[k]
állandósult
komponens
összegeként y[k] = y [k] tI
(11.83)
+ y [k] m
formában frható fel. A stabilitásra tett feltételünkből adódóan
lim y [k] = 0 az állandósult t r
komponens pedig y
(11.84)
T
á l l
[k] = K\G[e*°° * )|cos(cű r £ + 0 ) , o
s
ahol G ( e ^
=
\ p ^
0
T
s
j
e
J e
(11.85)
A szinuszos gerjesztésre a stabilis D I rendszer áüandósult állapotbeli válasza a gerjesztéssel azonos frekvenciájú szinuszos jel, amelynek amplitúdóját és fázisát (11.86)
G(z)\ j. r =G(e^)=G(e^) z=e
0
s
értéke határozza meg. A kapott eredmény megfelel a FI rendszerek frekvenciatartománybeli vizsgálatakor származtatott összefüggésnek. Természetesen n e m arról van szó, hogy egy FI rendszer és annak D I modellje azonos frekvenciafüggvénnyel rendelkezik, csupán a FI és DI frekvenciafüggvények hasonló tulajdonságait mutattuk ki. Az eddigiek alapján a mintavételes rendszereknél elég általános, hogy a G(z) impulzusátviteli l
függvény vagy a G(q) impulzusátviteli operátor argumentumában n e m z és q, hanem z~ x
illetve q~
szerepel. A
<J(Z ) _ 1
_1
illetve G(
a G(z)
és G(^)-nak a
nevezőjükben lévő a z illetve q legnagyobb fokszámú taggal történő osztással juthatunk. Ezek
314
az alakok
v
'
-4(z
)
l+
z
+a z
+... + a z
2
n
l + a,z
M
x
+ a z
n
+ --- + a z
2
n
illetve
G (
,-, 44 ) =
v
7
^
=
)
t
-
w
^
r
l + atf
.
r
1
.
^
1
+ aq
+...
2
,
-
> ^ - ' + . . . + M - < " - y n
+ aq
\ +a q
n
x
1
+ aq 2
1
(
l
l
8
8
)
n
+... +a q n
Jegyezzük meg, hogy ha a FI rendszer átviteli függvénye szigorúan szabályos akkor SRE transzformáció esetén a G(z) illetve G(q) mindig eggyel alacsonyabb fokszámú, mint a nevező, sTi
tehát a pólustöbblet egy, függetlenül attól, hogy a FI folyamat e~ z~
d
;
q~
holtidejét a
d
(11.89)
alakok reprezentálják, ahol
d =
intj|-j
(11.90)
Itt int{...} az egészrész képzést jelöli. Az~
d
megfelel a (11.11) általános késleltetési képletnek.
_ 1
A fentiekben bemutatott G ( Z ) és tartoznak a holtidőt reprezentáló z~ célszerű a
1
b
+
GÍz" ) = > ' l + az v
x
b
l
f
+
-
+ 2
+a z
b
z
n ~
{
alakok számlálójában szereplő z~
d
d
és q~
n
1
~
)
Z
+... + a z
2
l
l
és q~
nem
tényezőkhöz. Egy reális holtidős folyamatra tehát
-
W
(11.91)
n
n
impulzusátviteli függvényt feltételezni, amely az általános m
n(-*f) H(s) = k-i^
sTi
e~
;
m
(11.92)
Ü(s-Pf) 1=1
FI rendszer átviteli függvényének SRE transzformációja. A D l és FI állapótteres alakban d = 0 .
A zérusok transzformációja Érdekesen alakul az általános n-edrendű G(z) pólusainak és zérusainak elhelyezkedése is SRE transzformáció esetén. A pólusok transzformációja az egytárolós tagra kapott eredménye alapján
315
Xi
valós pólusok esetén pf = e~ szerint alakul, ahol x = 7/ /7]. A FI rendszer pólusa: - 1 / 7 ] . (Az összefüggés igaz komplex pólusokra is, de azokat célszerű konjugált páronként szerepeltetni, amelyre a transzformációs összefüggés viszont már jóval bonyolultabb.) Az exponenciális leképezés stabilis FI rendszer pólust stabilis DI rendszer pólusra képez le, tehát bal oldalit az egységsugarú kör belsejébe, labilis FI rendszer pólust pedig labilis DI rendszer pólusokra, azaz a jobb oldalit pedig a körön kívülre. A zérusok transzformációja nem követi ezt az exponenciális alakot. A G(z) -nek mindig ( n - l ) számú zérusa van. Ha a FI rendszemek csak m számú stabilis zérusa van, akkor az ( n -1) DI zérus közül m transzformációja elég jó közelítéssel a pólusokéhoz hasonlóan történik (a valódi összefüggés jóval bonyolultabb), azaz t
s
Xi
zf ~e~ . A többi ( n - m - 1 ) zérus transzformációja más törvényszerűség szerint történik, ezeknek ugyanis nincs FI megfelelőjük, rendszerint a negatív valós tengelyre esnek. Ha a FI rendszer átviteli függvényében a pólustöbblet nagyobb mint egy, akkor még minimumfázisú rendszerek (stabilis zérusok) esetében is mindig kell számítanunk arra, hogy az ( n - m -1) D I rendszer zérusai között lesz (a FI nem minimum fázisú esetnek megfelelő) labilis is. Hasonlóképpen fontos észrevétel, hogy a nem egész értékű holtidő miatt is számíthatunk labilis zérusra G(z)-ben. Mivel a labilis zérusok (inverz labilitás) fontos szerepet kapnak a szabályozók tervezésekor, ezért jegyezzük meg, hogy amíg FI rendszereknél csak különleges technológiák, folyamatok rendelkeznek a nem minimumfázisú jelleggel, addig DI folyamatoknál ez általános, tehát szabályozó tervezési módszereinket erre mindig fel kell készíteni.
11.5. Az állapotegyenletek strukturális tulajdonságai Egy mintavételes rendszer állapotteres leírása az x[k + í] = Fx[k]
+ gu[k]
(11.93)
állapot differencia egyenlet és az T
y[k]=c x[k]
(11.94)
+ du[k]
kimeneti egyenlet együttese. A rendszemek egy késleltető elem beiktatásávalkapott realizációját a 11.18. ábrán tüntettük fel.
4*J
11.18. ábra Diszkrét idejű rendszer állapotegyenletének blokkvázlata Az állapot differencia egyenlet a rendszer állapotváltozóinak fejlődését, míg a kimeneti egyenlet a kimenetnek az állapotváltozóktól való függését, illetve az esetleges közvetlen bemeneti hatást írja le. A rendszer impulzusátviteli függvénye (zérus kezdeti feltételek mellett)
316
°« = ÍJÍHV-F)-W.
(...95,
A folytonos rendszereknél tapasztaltakkal egybevágóan, egy adott impulzusátviteli függvényhez végtelen sok olyan állapotteres leírást állíthatunk elő, amelyek adott bemenetre azonos kimeneti választ generálnak (ezeket a leírásokat input-output ekvivalens leírásoknak nevezzük). Ezt az állítást verifikálandó a következőkben egy adott impulzusátviteli függvényből különböző input output ekvivalens állapotteres leírásokat fogunk származtatni.
11.8. Példa Legyen az impulzusátviteli függvény 3
G { z )
2
Kz +b[z +b z
=
z + az
2
+V
2
3
bz bz
=
x
+a z + a
x
2
+
2
z + az
3
b
+
3
+
^
(
n
9
6
)
+ az + a
x
2
3
alakú és végezzük el az alábbi átalakítást: „/x G{z) =
x
b z~ + b z~ x
2
+ b z~
2
1
—
1+ az
_,
x
2
+ az
3
,
3
_
3 2
— z T
+
+ az
2
/ u n ™ (11.97)
rf,
3
ekkor
lZ
b2Z
b3Z
Y(z) =^ ~^ ~\t ~\ U(z) 1 + az + az
+ dU(z).
3
x
(11.98)
+ az
2
3
Figyeljük meg, hogy d értéke csak akkor különbözik zérustól, ha G(z) számlálója és nevezője azonos fokú (a számláló fokszáma legfeljebb annyi lehet, amennyi a nevezőé). Realizáljuk
először
az
2
3
a
X
a
+ b z~ + b z~ ) / ( l + \Z~
Y (z) =
2
+ iZ
3
2
3
+ a z~ )] U (z) 3
összefüggést, ennek kimenetéhez majd hozzá kell adnunk d U (z) értékét. Átszorozva X
2
Y(z) + a z~ Y{z) + a z- Y(z) x
2
3
+ a z~ Y{z) 3
1
2
= fo z" í/(z) + b z~ U{z) 1
3
(11.99)
3
(11.100)
+ b z" U{z)
2
3
majd rendezve X
y(z) = [b U{z) - a Y(z)]zx
x
2
+ [b U(z) - a Y(z)]z~ 2
2
+ [b U{z) - a Y{z)]z~ 3
3
Realizáción egy olyan blokkvázlatot fogunk érteni, amely konstansokon és összaadókon kívül X
csak az egylépéses késleltetést megvalósító, z~ impulzusátviteli függvényű blokkot tartalmaz. z
A fenti egyenletből látható, hogy a [^i<7(z) - ^ ( z ) ] jelnek egy, a [b U(z) - Ö 2 ^ ( ) ] jelnek két, 2
míg a [b U(z)-a Y(z)] 3
3
jelnek három késleltetésen kell keresztül mennie, ebből kiindulva a
11.19. ábrán fekajzoltuk a keresett realizációt. A z állapotváltozókat kimenetén az ábrán bejelölt módon felvéve írhatjuk, hogy
a késleltető elemek
x [k +1] = —a x [k] + b u[k] x
x
3
+
2 [k 1]
=
3
3
a
x
+
[k] ~ 2 3 [k]
b u[k] 2
(11.101) x
x
a x
3 [k +1] - 2 [k] ~ \ 3
[k] + b u[k] x
y[k] = x [k] + du[k] 3
A b
2
X2W
,
p
-a
3
11.19. ábra Megfigyelhető kanonikus alak blokkvázlata Megjegyezzük, hogy a 11.19. ábrán az időtartománybeli és a z tartománybeli jelölések egyszerre szerepelnek, ezáltal a realizáció egyenletei közvetlenül "leolvashatók" , hiszen ha egy késleltető elem kimenete x, [k], akkor a bemenete szükségképpen x [k +1]. Az ábrán jól látható, hogy az u[k] és y[k] közötti közvetlen, dinamika nélküli csatorna csak d*0 esetén létezik. Más szavakkal ez azt jelenti, hogy egy a bemenőjelben bekövetkező vátozás azonnali változást okoz a kimenőjelben, ha az impulzusátviteli függvény számlálójának és nevezőjének azonos a fokszáma. H a ez a feltétel nem teljesül, a bemenőjel változása csak későbbi lépésekben érezteti a hatását a kimenőjelben. Végül a fentiekben származtatott egyenleteket az állapotteres leírás szerinti alakba rendezve t
x^k + l]
=
x[k + í] = x [k + l] 2
x [k +1] 3
"o
0
-a
b
1
0
- 2
f l
x[k) + b
0
1
3
3
2
u[k] = F x[k]
Pl.
0
+
g u[k] 0
(11.102)
x
i[k]
y[k] = [0
0
1] x [k] 2
+ d u[k] = c J x[k] + d u[k]
l 3Ík\ x
közvetlenül egy állapotteres leírást kapunk. Megjegyezzük, h o g y a származtatott állapotteres leírás az ún. megfigyelhető kanonikus alak (lásd az elnevezés magyarázatát a FI eset (3.55) alakjára).
318
11.20. ábra A közbenső változó előállítása írjuk fel most az
Y ( z ) = [(fciZ
egy másik realizációját
1
2
+ bz
(a du[k]
3
+ bz
2
3
/
)/ (l +
a z 1
l
+ az 2
2
+ az 3
taggal a dinamikus alrendszer
3
)\u(z)
realizációját
alrendszer majd
ismét
kibővítjük). Ehhez a következőképpen fogunk eljárni: keresztbeszorzás után definiálunk egy közbenső változót, először ezt állítjuk elő a bemenőjelek segítségével, majd a v[k]
közbenső
változó segítségével a kimenetet. Legyen
(11.103) bz
X
2
+ bz
x
3
+ bz
2
l+
3
1
ajz
2
+ az 2
3
+ az 3
Tekintsük először az
(11.104)
r-"W 1 + az x
+ az
+ az
2
3
egyenletet, amely az időtartományban a v
(11.105)
-
v[k] = w [ £ ] - a v [ £ - l ] - a 2 [ ^ 2 ] - a v [ £ - 3 ] 1
3
rekurzív kifejezést szolgáltatja. A realizációt illetően induljunk ki három sorosan kapcsolt késleltető elemből, amely soros láncot az u[k] jel hajt m e g (11.20. ábra). Visszatérve a l
2
3
V(z) = Y(z)/(b z~ +b z~ + l
b z~ ^)
2
egyenletre
3
a
kimenőjelet
leíró
differencia
egyenlet
y[fc] = b v[A:-l] + fc2v[£-2] + & 3 v [ & - 3 ] alakban fejezhető ki az időtartományban, így a teljes 1
realizáció felvázolható (11.21. ábra). Az ábra alapján a következő egyenletek írhatók fel: x
+
= —
tfi*i[fc] —
x [& + l] =
x
x [ £ + l] =
x [k]
—
a
3
J C
3
W
+
M
M
i[k]
2
3
(11.106)
2
y[k] = b x [k] + b x x
x
így az állapotteres modell
2
2
[k] + b x 3
3
[k] + d u[k]
319
x^k
+ l]
-a
-a
x
x[k + l] = x [k + l] x [k +1] 3
3
1
0
0 x[k] + 0 u[k] = F x[k]
_0
1
0_
-
2
Y
-a
2
+
c
g u[k] c
_0_ (11.107)
x [k] x
y[k] = [h
b ) x [k]
b
2
+ d u[k] = c
2
3
J x[k]
+ d u[k]
A fenti modellt irányítható kanonikus alaknak nevezik (lásd az elnevezés magyarázatát a FI eset (3.46) alakjára) és a 11.21. ábrán mutatjuk be. l
A D l állapotteres rendszer x[k] = (qI-F) gu[k] alakú megoldása közvetlenül mutatja, hogy az F állapotátviteli mátrix diagonális volta esetén elkerülhető a mátrix inverzió, következésképpen az impulzusátviteli függvény egy diagonális alakot eredményező átalakítása előnyös struktúrára vezet. Legyen általánosan
(11.108) \ + az x
Á
+a z
+...
2
+ az
1
J^H-a,*
n
ekkor az állapotváltozókat Xi
(11.109)
[k +1] = p>[&] - a,-*, [k]
szerint bevezetve a + l]
X j ^
-CCl
0
x [k + l]
0
-oc
;
0
0
. 0
0
2
x[k + l]
x„[* + l l
2
0
0
Xl
[k]
0
0
x [k] 2
0
+
0
P
2
u[k] = F x[k] d
+ g u[k] d
(11.110)
fin.
állapot differencia egyenletet és az y[*] = [l
1 •••
l]x[k] + du[k]=c]x[k]
(11.111)
+ du[k]
kimeneti egyenletet kapjuk. A fentiekben feltételeztük, hogy G(z) pólusai valósak és egyszeresek. A származtatott alakot párhuzamos kanonikus alaknak nevezzük, a realizációt a 11.22. ábra mutatja be. Könnyen belátható, hogy F = d i a g j - a p - a , . . . , - a „ } mellett az d
x[k + l] = F x[k] d
+
2
g u[k] d
(11.112) y[k]=cjx[k]
+du[k]
állapotmodell párhuzamos kanonikus alakú, ahol & c -= & = (3,- teljesül. (A FI (3.38)-(3.39) alakkal összevetve jól látható, hogy a D l diagonális alaknál a y,- = 1 választás egyszerűségével éltünk.) (
320 (Az állapotteres alakokban, a hagyományoknak megfelelően, a konstans közvetlen átviteli csatorna erősítését J - v e l jelöltük, amelynek értéke mind a FI, mind pedig a DI esetre megegyezik. Mivel DI esetben értéke általában zérus, ezért n e m különösebben zavaró hogy ugyanezt a betűt használjuk a diszkrét holtidő jelölésére is.)
11.21. ábra Az irányítható kanonikus alak realizációja
-on
«[*]
-a
2
-Hg>-
11.22. ábra Párhuzamos kanonikus alak blokkvázlata
321
12. Mintavételes szabályozások tervezése stabilis folyamatok irányítására A 7. és 9. Fejezet összevetéséből láthatjuk, hogy FI szabályozók tervezésekor érdemes megkülönböztetni vajon a folyamat stabilis-e vagy labilis. Stabilis folyamatokra lényegében a YoULA-parametrizáláson alapuló, vagy arra visszavezethető pontos matematikai módszerek állnak rendelkezésünkre. Még a hagyományos PID szabályozó is - a szokásos hangolás mellett - a YOULA-szabályozóegy durva közelítésének feleltethető meg. A labilis folyamatok más módszereket igényelnek, ahol az első legfontosabb lépés a folyamat stabilizálása. Erre mutattuk be a 9. Fejezetben a DlOPHANTOS-i egyenleten alapuló általános polinomiális módszert, és a 10. Fejezetben az állapotvisszacsatoláson és megfigyelőn alapuló módszereket. Mintavételes rendszerek szabályozóinak a tervezését hasonló logika mentén fogjuk tárgyalni. A lényeges különbséget az adja, hogy a D l szabályozási köröket megvalósító számítógépes irányító rendszerekben a különböző módszereket realizáló jelformáló tagok létrehozása lényegesen egyszerűbb. X
l
A fejezetben szereplő G(...) átviteli operátorok a z vagy z~ illetve a q vagy q~ függvényei lehetnek a D l leírás jellegétől függően. A z itt bemutatott tervezési módszerek lényegében polinomiális (algebrai) módszerek, így a mintavételes rendszerekre tárgyalt valamennyi modellünkre alkalmazhatóak, csak a a választott modell formát következetesen kell alkalmazni.
12.1. A YOTJLA-szabályozó mintavételes rendszerekre A 7. Fejezetben egy általános szabályozó parametrizálási módszert és az ezen alapuló tervezési technikát mutattunk be. Ezen, az úgynevezett YOULA-parametrizáláson alapuló módszertegy- és két szabadságfokú szabályozási körök tervezésére javasoltuk. A módszer előnye, hogy a zárt rendszer tervezését két referencia modellhez köti, az alapjelkövetési tulajdonságokat az i? , a zavarelhárítási tulajdonságokat pedig az R modellhez, valamint a szabályozó tervezése egy viszonylag egyszerű zárt formában megadható. A módszer hátránya, hogy csak stabilis folyamatokra alkalmazható. r
a
A YOULA-parametrizálás bemutatása, az IMC elvvel való kapcsolata, az optimalitás és az elérhető legjobb szabályozás szemléltetése olyan általánosan történt, hogy a legtöbb esetben elegendő az átviteli függvényeket impulzusátviteli függvényre cserélni, és az elmondottak itt is érvényesek, ezért most nem ismételjük meg a 7. Fejezet általános megállapításait, hanem főleg az eltérésekre, különbségekre koncentrálunk. 1
l
1
G(z~ ) = G (z- )G^(z- ) +
ahol G
+
1
1
d
= G {z~ )G_{z~ )z-
d
röviden
+
G = G G_ = G G_z~ +
stabilis, inverze szintén stabilis és relizálható (ISR).
(12.1)
+
G_ inverze labilis
(Inverse
d
holtidős
Unstable: IU) és nem realizálható (IUNR). A G_ inverze labiüs (IU). Itt általában a z rész inverze nem realizálható, mert az egy ideális prediktor lenne. Az általános esetre kapott optimális szabályozó (lásd a (7.14)-t)
C
°«* " 1 - R K G ~ n
n
d
" l-R G G_z-
ahol az optimális YOULA-paraméter
a
a
pt
" " °
^
322
R
G
G
öopt íopt - n n +
l
R
K
é s
= nn
(12.3)
K
n =
valamint R
G
Ö = fir ~+
=RK
r
X
K = G G~-1
és
X
x
(12.4)
X
A z általánosított IMC elvnek megfelelő ekvivalens optimális szabályozási kör mintavételes rendszerekre is teljesen megegyezik a 7.9. ábrán láthatóval, amelynek egy egyszerűsített változatát itt is bemutatjuk a 12.1. ábrán.
R
RGG x
x
l
G
G
nn+
+
&
G
l-Rn n -Z G
*
T Ő
'opt
12.1. ábra Az általánosított IMC elvnek megfelelő optimális mintavételes szabályozási kör A két szabadságfokú zárt szabályozási kör legfontosabb jelei most M
y
opt =
t
R
G
G ;
' n n
+
1
d
d
opt
e
opt
=(l-R G G_z- )y -(l-R G G_z- )y
y
o p t
= R G G_z~ y + (l - R G G_z~ ) y = T
I
I
T
n
^(l-T )y -STy
n
IÍ
x
d
x
d
x
r
n
d
o p t
n
n
opt
x
pt
x
(12.5)
n
y + (l - T°*) y = x
y + S* y„ x
n
_í/
= R G G_z~ és T° = i ? G G _ z egyenlőségek valósulnak m e g . A z elérhető ahol a r legjobb optimális szabályozási kör további ekvivalens alakjait mutatjuk be a 12.2. ábrán. (Ezek az ábrák csak szemléltetési céka készültek, a realizálhatóságot minden egyes esetben külön meg kell vizsgálni!) r
x
x
n
n
r
r
FOLYAMAT
g;
TO
-R„G„G_ Z
1
REALIZÁLHATÓ INVERZ MODELL
C
°opt
L
SZABÁLYOZÓ
SZABÁLYOZÓ
(a) (b) 12.2. ábra Az elérhető legjobb optimális mintavételes szabályozási kör ekvivalens alakjai Mint azt már említettük, itt n e m foglalkozunk G és G optimalitásának elméletével. Ebben az egyszerűbb esetben alkalmazható G = G = 1 választás változatlanul helyben hagyja az invariáns G_ folyamat tényezőt, következményként ez a rendszer jeleiben változatlanul jelenik meg r
r
1
n
n
1
R G- y -R G- y
u=
x
x
n
n
d
d
e = (l- R G_z~ ) y - (l - R G_z~ ) y =(\-T )y x
r
n
n
x
x
S y n
n
323
d
d
y = R G_z~
y + (l- R G_ - )y
T
t
n
Z
= T y + (1 - T ) y
n
T
r
n
=T y +5
n
t
T
n
y
(12.6)
n
1
és az / ? G + \ R^G^ valamint R G_ átviteli függvények realizálhatóságát kell biztosítanunk. Jól látható, hogy a realizálhatóság kérdése ilyenkor az R és R referencia modellek fokszámának és pólustöbbletének alkalmas megválasztásával egyszerűen kezelhető. A realizálható, de nem optimális szabályozási kör a 12.3 ábrán látható. r
n
T
n
r >
R G;
1
d
G G_z~
T
+
y d
G G_z~ +
'opt
12.3. ábra A YOULA-parametrizált realizálható mintavételes szabályozási kör a G = G = 1 választással r
n
Mintavételes rendszerek esetében érdemes megjegyezni, hogy a folyamat impulzusátviteli függvényében a holtidő nélküli részre (G+G_) SRE transzformáció esetében, a FI folyamat 1
pólus többletétől függetlenül mindig igaz, hogy a pólus többlet egy. így az / ^ G ^ és ^ „ G ^ tagok realizálhatósága már elsőfokú R és R referenciamodellek esetében is biztosított. r
1
n
12.1. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy egytárolós holtidős folyamat _ G =
0.2z
_1
l-0.8z
vZ -1
_
3
0.2z
=
- 4
r
l-0.8z
_ G =
azaz
-1
0.2z"
és
+
(12.7)
G_=l
l-0.8z~
amelyet szeretnénk a szabályozással felgyorsítani. A követési és zavarelhárítási modellek legyenek
*r = ,
i
\-0.2z~
es
R
n
(12.8)
-1
l-0.5z
referencia
Mivel G_ = 1, így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a G = 1 és G = 1 választással élhetünk. Az optimális szabályozó r
R
•-opt
G
n
G
nn+
1
R G~J = " n
\-R G G_z~ n
d
d
+
l-R z~
TÍ
n
1
1
1-
0.5z
0.5Z" - 1
l-0.5z
_ l-0.5z 3
_ 1
a soros kopenzáció pedig
1
- 1
1
l-O.Sz" , 0.2z
_1
0
8
1
^K - - ^ ) l - 0 . 5 z - 0 . 5 z- 4 _ 1
(12.9)
324
,
RG t
+
0.8Z-
=•
1
1-0.8Z-
1-0.2Z"
1
0.2z
1
1
^l-O.Sz" )
_1
(12.10)
1
l-0.2z~
alakú, tehát az optimális kétszabadságfokú szabályozási kör a 12.4. ábra szerinti lesz (12.2b. alak). V e g y ü k észre, hogy C (z = l) = °°, azaz a szabályozó integráló jellegű, ami az R ( = 1) = 1 feltételből következik. opt
n z
1
^l-O.oz" )
0.2z" l-0.8z"
l-0.2z~
2.5(l-0.8z-')
_ _ S \ t _ ° l L ^
l-O.Sz-'-O.Sz-
V
4
W
>A
N
l-ft8z-'
^
'opt
12.4. ábra A 12.1. példa optimális szabályozási köre Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer kimenőjele d
yp 0
= RrZ
t
y + (i-R z I
d
n
= ,°'*í
)yn
-it
3
y
t
+
1-
1 — u.zz 0.8z"
í-
l-0.2z
0.5z~ l-0.5z"
(12.11)
-4
0.5z
l-0.5z~
y
n
ami teljesen megfelel a tervezett kétszabadságfokú szabályozási körnek. 12.2. A SMITH szabályozó mintavételes szabályozási k ö r b e n A mintavételes szabályozási körben tekintsünk egy egyszerű holtidős folyamatot a (12.1) nyomán 1
1
1
G(z~ ) = G (z~ )G_(z~ ) +
l
1
d
= G (z- )G_(z- )z~
röviden
+
d
G = G G_^G G_z~ +
+
(12.12)
ahol G stabilis. A S M I T H szabályozó 7.1. pontban bemutatott elvét a (12.12) DI folyamatra a 12.5a. ábrán megadott szabályozási körben mutatjuk be. Mivel a kör ekvivalens a 12.5b. ábra hatásvázlatával, itt célja nagyon jól látható: az eredeti holtidőt is tartalmazó zárt kört szétválasztani egy olyan zárt körre, amelyben nincs benne a holtidő, az ugyanis a körön kívül sorosan jelenik meg. így a C szabályozó a G folyamathoz hagyományos (holtidőt nem figyelembevevő) módszerrel is tervezhető. +
+
i
r FOLYAMAT
+
1
G z" +
y
SMITH SZABÁLYOZÓ
(a) 12.5. ábra A mintavételes
SMITH
(b) szabályozó hatásvázlata
325
A 12.5a. ábra a 12.6. ábra (a) és (b) ekvivalens formáira manipulációs műveletekkel. i
1
i
1
alakítható
r ->
,
i +
blokk
i
1 Gz
át egyszerű
1
c
y
-d
r
,-d
1
h Ó
d
G z' +
BELSŐ MODELL
(a) (b) 12.6. ábra Ekvivalens mintavételes SMITH szabályozó hatásvázlatok A 12.6a. ábra IMC struktúrája világosan mutatja, hogy a mintavételes SMITH szabályozó is egy YOULA-parametrizált szabályozó a speciális CG +
+
1
1
G; = - ^ G : = R G ; 1+CG 1+L J
+
l+ CG +
+
+
+
+
(12.13)
1
+
H
+
+
YOULA-paraméterrel, ha a C szabályozó stabilizálja a folyamat G holtidő nélküli részét. Itt L = C G a 12.5b. ábra zárt körének hurokátviteli függvénye, továbbá +
+
+
+
+
(12.14) 1+ U kiegészítő érzékenységi függvény lesz az R referencia modell. +
A 12.6b. ábra az egyenértékű teljes zárt szabályozási kört mutatja, ahol az eredő YP mintavételes soros szabályozó -C K
C =
+
s
d
\-&G z-
l+
+
(12.15)
s
d
C G (l- - ) +
+
Z
amely egyben a realizálás módját jelentő belső zárt kört is mutatja. Itt ÁT -sel jelöltük azt a soros s
átviteli függvényt, amellyel a SMITH szabályozó az eredeti C
+
szabályozó hatását módosítja.
Tehát 1
1 d
+
(12.16) d
l + C G (l-z~ )
l + L (l-z~ )
+
+
A FI rendszerekkel ellentétben a mintavételes SMITH szabályozó realizálása nem okoz gondot a gyakorlatban, hiszen C akár teljes egészében, akár részenként könnyen realizálható számítógépes irányításokban. (Lásd az előző pontban elmondottakat a lineáris Dl szűrőkről.) s
12.3. A TRUXAL-GUILLEMIN s z a b á l y o z ó m i n t a v é t e l e s r e n d s z e r e k b e n A TRUXAL és GUILLEMIN módszert egy szabadságfokú mintavételes szabályozási körök szabályozójának tervezésére is alkalmazhatjuk. A módszer szerint az előírt tervezési célt a zárt rendszer átviteli függvényére kell megfogalmaznunk, amely egy holtidős folyamatra
326
d
CG T =l + CG~
CG z~
=
+
(12.17)
R z~ tt
l+CG+z'
alakú, ahol feltételeztük, hogy a DI folyamat (12.1) alakjában egyszerű algebrai egyenletet CG
(12.18)
d
=R +
+
G_ = l , amely feltételből egy
CG - R
n
+Z
n
kapunk C-re. Innen a szabályozót kifejezve R
(12.19)
n
TG
1-R z n
szerint kell a szabályozót megválasztanunk. V e g y ü k észre, hogy ez az alak megegyezik a mintavételes YOULAszabályozó (12.2) szerint alapesetével ( G = l, G_ = l ) . A szabályozó realizálása a 12.7. ábra szerint történhet, de n e m okoz gondot a (12.19) szerinti alak teljes leképezése számítógépes irányítási rendszerekben. n
r
1 G
1 d
i
Gz'
.-d 'TG
12.7. ábra A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó realizálása Az R tehát megfelel a YoULAmódszer egyik referencia modelljének. A z egy szabadságfokú esetre egyébként R =R . Legyen a referencia modell R = B /A , a folyamat a G-BjA alakban adott. A szabályozó polinomiális alakja így n
D
C
B
n
n
n
A
n
TG
T
(12.20)
BB n
A szabályozó realizálható, ha az R pólustöbblete nagyobb vagy egyenlő a folyamaténál. Diszkrét idejű esetben a 11. Fejezetben láthattuk, hogy a folyamat impulzusátviteli függvényének pólustöbblete (a gyakorlatban legáltalánosabb zérus rendű tartószervre, tehát egységugrás ekvivalens transzformáció esetén) egy. így a (12.20) szabályozó általában realizálható, mert n e m szokásos olyan R választása, amelyre a pólustöbblet kisebb, mint egy. Ha az R egységnyi erősítésű ( i ? ( l ) = 1), akkor a szabályozó 1-típusú. n
n
n
n
12.4. Véges beállási idejű szabályozók tervezése Mintavételes rendszerek esetében lehetséges olyan szabályozót kialakítani, amely az ugrás alakú alapjelet véges lépés alatt tökéletesen követi, illetve a hibajelet véges lépés alatt zérussá teszi. Ezt a szabályozót véges beállási idejű szabályozónak nevezik. (Az angol elnevezés DeadBeat. DB.) Tételezzük fel, hogy az egy szabadságfokú szabályozási körben a relatív prím G = B/A a DI folyamat és C a tervezendő "deadbeat" szabályozó. A z alapjel helyén egységugrást D B
327
feltételezve az
alapjel
z -transzformáltja
R(z) = z/(z -1) = 1/(1 - z
megköveteli, hogy a hibajel z-transzformáltja C
véges
véges fokszámú polinom legyen: V (z), e
beállás
azaz
G
DB
1--
A
1+ C
D B
G
R(z) = V (z) e
(12.21)
Innen következik, hogy a zárt rendszer eredő impulzus átviteli függvényénekis véges fokszámú polinomnak kell lennie, hiszen (12.21)-ből
1
T=
TXF^
=1
"tv
z
~
l
f c ® =
v
W
y
(12 22)
-
1
1+C G ami szintén véges fokszámú polinom. Hasonlóképpen meg kell követelnünk, hogy a szabályozó kimenőjelére vonatkozó impulzusátviteli függvényének is véges fokszámú polinomnak kell lennie D B
'DB
1+ C
D B
•V (z)
(12.23)
u
G
A z ilyen típusú átviteli függvényeket FIR típusú, vagy mozgóátlagú szűrőknek nevezzük. eddigiek alapján írhatjuk, hogy
= ^yW =
12
Az
24
( - )
^u(z)-r
ahonnan a véges beállás feltétele
44
= ^4
=1
U2.25)
a
A(z) K(z)
ami relatív prím folyamat polinomok esetében csak a V {z)
= M{z)B{z)
y
;
V {z) = M{z)A{ ) u
z
(12.26)
feltételek teljesülésekor állhat fenn. Mivel állandósult állapotban a hiba zérus, ezért teljesülnie kell a V (1) = 1 feltételnek is. Ez a feltétel maga után vonja az M(z) y
tervezési polinom
erősítésére az
feltételt. Végezetül a szabályozóra (12.23), (12.24) és (12.26) alapján a C
D B
=
V
»
=
M
A
(12.28)
alakot kapjuk. Tehát a véges beállású szabályozó legfontosabb lépése az M(z) tervezési polinom megválasztása. A véges beállás a folyamat be- és kimenőjelére a (12.26) szerint alakul. Tanulságos megvizsgálni a hibajel alakulását (12.21) és (12.28) alapján
328
z-l
l-z
Itt figyelembevettük(12.27)-t, amely szerint az (l-MB)
tényezőnek mindig gyöke a z = l,
hiszen 1 - M(l) B{\) = 0 . A (12.28)-nak további alakjai is léteznek
c =^^=-^=-A_A .l^A m
=
D B
l-MB
1-V
1-P
y
( 1 2
B
y
l-R
n
.30)
B
ahol az R = V helyettesítéssel éltünk. Tehát ismét ugyanazt az alakot kaptuk, mint a T R U X A L n
y
G U I L L E M I N szabályozó (12.19) vagy a Y O U L A szabályozó alapesete (7.9). A lényeges különbség, hogy most R egy FIR szűrő, tehát polinom és (12.29)-nek is teljesülnie kell. n
A véges beállású korlátokat:
szabályozó tervezésével kapocsolatban
foglaljuk össze az
alkalmazott
- feltételeztük, hogy a szabályozott szakasz stabilis - feltételeztük, hogy a zárt kör alapjele egységugrás alakú - a véges beállás csak a mintavételi időpillanatokra vonatkozik. Megjegyezzük, hogy ha a fenti feltételeknem állnak fenn, bizonyos esetekben akkor is tudunk véges beállású szabályozót tervezni (például polinomiális vagy állapotteres technikával), de nem a most bemutatandó egyszerű és jól átlátható tervezési módszerrel. 12.2. Példa A módszert egy másodrendű holtidős folytonos szakasz esetére mutatjuk be. L e g y e n a FI folyamat átviteli függvénye
P(s) = -. 77 r-. (1 + 10Í)(1 + 5J)
(12.31)
W
A z első lépés most is a folytonos szakasznak diszkretizálása. T = 1 sec mintavételezési idő mellett
a
zérusrendű
tartószervvel
együttes
s
C M V
;
5
® -
A(z)
°-
0 Q 9 1
(*
+
Q
-
9
0
4
8
)
(
1
2
3
2
)
{z - 0.9048) ( z - 0 . 8 1 8 7 ) z
adódik a diszkretizált (SRE transzformáció) modelke. Figyeljük meg a nevezőben megjelenő z tényezőt, ami a T = 1 sec holtidőt reprezentálja, lévén T -T . A holtidő hatásának megjelenését a á
0.009 v
'
1 ( z
s
+ 0.9048)
d
,
(z-0.9048)(z-0.8187)
alak még egyértelműbben illusztrálja. A tervezés célját illetően az alábbi megfontolásokat tehetjük. Ha nem lenne holtidő a folyamatban, akkor a i = 0 mintavételi időpillanatban a zérusrendű tartószervre adott u[6] * 0 bemenőjel hatása a folyamat tárolós jellege következtében
329 legkorábban a k = l mintavételi időpillanatban mutatkozna meg a kimenőjelben. Következésképpen T = 1 sec holtidő mellett u[ö] ^ 0 hatása legkorábban a k = 2 mintavételi időpillanatban mutatkozik meg. Ebből következően a legjobb követő szabályozás, amit konstruálhatunk, az y [&] = l[&] egységugrás alapjelre az y[&] = l [ & - 2 ] diszkrét jelet eredményezi. Impulzusátviteli függvényben gondolkodva a zárt rendszer átviteli függvényére példánkban a d
r
_C(z)G( )_
_
£
y [ Z )
l+C(z)G(z)
Z
2
'
feltételt fogalmazhatjuk meg (12.24), amely feltételből a keresett szabályozó meghatározható: V '
1
v
1
2
l-V B
2
(l- - )G(z)
y
G{z){z -\)
z
A szabályozót a diszkretizált folyamat átviteli függvényének polinomjaival kifejezve: 1
3
A(z)
(12.34)
C(z) = G(z)(z B(z)(z •-!)' 2
2
1 0 9 . 9 ( z - 1 . 7 2 3 6 z + 0.7408z)
2
3
2
z +0.904Sz -z
-0.9048
Jól látható, hogy egységugrás alakú alapjelre hibamentes beállást várhatunk, hiszen az L(z) = C(z)G(z) hurokáviteli függvénynek pólusa van a z = 1 helyen, másszóval a szabályozó integrátort tartalmaz. A zárt kör viselkedését a 12.8. ábra mutatja. A z eredmény a diszkrét időpillanatokat tekintve a várt értékeket adja, azonban a mintavételes rendszerek esetén a zárt szabályozási kör viselkedésének minőségét végsősoron a folytonos kimenet határozza meg, ez pedig elfogadhatatlan oszcillációt mutat. Ezen túlmenően a beavatkozójel változásai is extrém dinamikájúak. u 200 150 100 50 0 -50
...
-100 -150 í tsec]
-200 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
'[sec] 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
12.8. ábra Véges beállású szabályozás (2 lépés) Vizsgáljuk meg a mintavételezési pontok közötti "rejtett" oszcillációt, ezt az angolszász irodalomban "intersampling ripples" elnevezéssel illetett jelenséget. Az idődiagramok alapján látható, hogy a folytonos kimenet oszcillációját a zérusrendű tartószerv által generált lépcsős folytonos bemenőjel értékeinek oszcillációja okozza. Ezeket az értékeket pedig maga a szabályozó állítja elő annak következtében, hogy egy p = - 0 . 9 0 4 8 értékű, ún. gyengén csillapított pólussal rendelkezik. Ennek a minősítésnek a helytállóságát kétféleképpen is tudjuk indokolni. Kizárólag a jelzett pólus hatásának jellegét vizsgálva nézzük meg a
330
z+ l
(12.35)
z + 0.9048 impulzusátviteli függvény átmeneti függvényét a 12.9. ábrán.
0.9
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
12.9. ábra A beavatkozójel nemkívánt dinamikája Az ábra alapján joggal merül fel a kérdés, hogy önmagában a szabályozó impulzusátviteli függvényét tekintve, hová esnek azok a pólusok, amelyek stabilis, jól csillapított átmeneti függvényt eredményeznek, másszóval egységugrás alakú bemenetre nem generálnak oszcilláló kimenetet. Folytonos rendszerekre a jól és gyengén csillapított pólusok tartományát az s komplex frekvenciatartományban a konstans csillapításnak megfelelő félegyenesek választják szét. Ezek a félegyenesek állandó, a csillapítás értékétől függő cp szöget zárnak be a negatív valós tengellyel: cosfcpj = ^. Ennek a félegyenesnek a leképzését kell most megkeresnünk a z 2
síkban. A z s síkon az s = o + j(£> pontok az (£> = G^l-t,
j % feltétellel esnek a konstans s
J
s
_ q
csillapítás félegyenesére. Adott csillapítás esetén a z = e leképzés z = e ' formában, különböző o értékekre kiszámítható és ábrázolható. Például a £ = 0.4 konstans félegyenes z síkbeli megfelelője a 12.10. ábrán látható. A z ábrán bejelölt, jól csillapított ( £ < 0.4) területet a szakirodalom "szívalakú görbeként" is említi.
+Re
12.10 ábra Jól csillapított pólusok elhelyezkedése a z-síkban Vizsgálataink alapján megállapíthatjuk, hogy az oszcillációt maga a szabályozó generálja, mert a
331
Az)
C(z) =
(12.36)
2
B{z)[z -\) alakból jól láthatóan C(z) pólusként tartalmazza a B{z) polinom gyökeit (esetünkben B(z) elsőrendű, csak egy gyöke van), amelyek gyök(ök) oszcillációt eredményező hatása attól függ, hogy egy adott csillapításhoz rendelt szívalakú görbéhez képest hol helyezkedik/helyezkednek el. Jelen esetben B(z) gyöke z = - 0 . 9 0 4 8 , amely kívül esik a jól csillapított tartományon. A z oszcilláció elkerülése érdekében el kell kerülnünk B(z) gyengén csillapított gyökeinek közvetlen kompenzálását, egyszerűbben szólva kiejtését a szabályozó egy megfelelő pólusával. Válasszuk szét B(z) gyökeit úgy, hogy B (z) tartalmazza B(z) jól csillapított (a szívalakú görbén belüli) gyökeit és B_(z) tartalmazza gyengén vagy n e m csillapított (a szívalakú görbén kívüli) gyökeit +
B(z) =
(12.37)
B (z)B_(z) +
szerint úgy, hogy B_(z)\
- B_(í) -1
z=í
B(z) = B (z)B_(z)
teljesüljön: (12.38)
= 0.01733(0.525z + 0.475),
+
ahol # ( z ) = 0.01733 (a B (z) polinomnak nincs jól csillapított gyöke) és B_(z) = 0.525z + 0.475 (a B(z) polinomnak van egy gyengén csillapított gyöke). A továbbiakban legyen m és m_ rendre a B (z) illetve B_(z) polinomok fokszáma. +
+
+
+
A tervezési specifikációban vegyük figyelembe az éppen elvégzett szeparációt, a zárt diszkrét idejű rendszer impulzusátviteli függvényére vonatkozóan módosítsuk a zárt rendszerre vonatkozó elvárásunkat:
r
= T ^ )
=
W
^
=
B
-
W
z
"
V
=
"
B
-
(
z
)
^ "
2
(12.39)
-
A fenti feltételből a szabályozó: 3
A( )
2
5 7 . 7 ( z - 1 . 7 2 3 6 z + 0.7408z)
z
(12.40)
C(z) =
J
z -0.525z-0.475
3
B (z)[z -B_(z) +
y
u 60
1.4 1.2
40
1 20 0.8 0 0.6 -20
0.4
-40
0.2 ísec]
-60
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
/ [sec]
Q
0
2
4
12.11. ábra Véges beállású szabályozás (3 lépés)
10
332
A fenti alakból jól látható, miért kell a B_(z)|
= B _ ( l ) = l feltétételt kikötnünk a
i
polinom felbontásakor. Ekkor ugyanis
z -B_(z)\
=0
B(z)
következtében z = l továbbra is
pólusa az L(z) hurokáviteli függvénynek, másszóval a rendszer 1-típusú. A módosított szabályozóval kapott eredményeket a 12.11. ábra szemlélteti. A zárt rendszer lelassult, a beállási idő 2 másodpercről 3 másodpercre, másszóval 2 lépésről 3 lépésre nőtt, ugyanakkor a beavatkozójel mérsékelt dinamikája is megfigyelhető. A z oszcillációt teljes mértékben sikerült kiküszöbölni, ám a beavatkozójel kezdeti értékének a nagysága nem minden alkalmazás szempontjából tekinthető elfogadhatónak. A további lassításnak számtalan lehetősége van, ezekből egy olyan megoldást mutatunk be, amely megtartja a véges beállási jelleget, de a beállási időt egy tervezési polinom fokszámától függően tovább növeli. Legyen a tranziens viselkedést lassító m = 2 fokszámú és a ^(z)| = = 1 normálás szerint választott tervezési polinom T
z = 1
2
T{z) = PJz)
= 0.2z
(12.41)
+ 0.3z + 0 . 5 ,
amelyet a tervezési specifikációt jelentő zárt kör impulzusátviteli függvényében az alábbiak szerint alkalmazunk:
i +•C(z)G(z) CMsIz)
=
^ y ( ^ - ( ^ "
2
"
m
-
W
(12.42)
5
=r (z)B_(z)z- ,
T
y
Innen a szabályozót kifejezve 5
C(z) =
3
2
5
3
2
z - 0 . 1 0 5 z - 0 . 2 5 2 5 z - 0.405z - 0.2375
5
B (z)[z -B_(z)V (z) +
4
1 1 . 5 4 ( z - 0 . 2 2 3 5 Z + 0 . 6 5 5 5 z - 3 . 1 9 8 z +1.852z)
Az)Vy(z) y
A zárt kör időtartománybeli működését a 12.12. ábrán láthatjuk. 20
10
-10
-20 t [sec
-30 4
6
8
10
t [sec] 0
2
4
6
12.12. ábra Véges beállású szabályozás (5 lépés) A (12.30) szabályozó alaknál már utaltunk arra, hogy a véges beállású szabályozó tervezési egyenlete lényegében megfelel a Y O U L A szabályozó (7.9) alapesetének. A z általános esetre kapott (12.2) alakkal való összevetéshez tekintsük a DI folyamat (12.1) szerinti alakját a fenti
333 (12.37) szerinti felbontásra
D
2
G = G G_ +
= ^=-z~
Z
(12.43)
ahol B+(z) = 0.01733
és
B_(z) = 0.525z + 0.475
(12.44)
Itt B az elfogadható inverzű, S_ pedig a n e m elfogadható inverzű tényező az impulzusátviteli függvény számlálójában. Jegyezzük meg, hogy B inverze most nem labilis, viszont gyengén csillapított, ezért szintén a nem kívánatos folyamat tényezők közé soroljuk. A z általános esetre kapott optimális szabályozó (12.2) szerinti alakja a G = G = 1 választással +
R
_
c
°
pt
W
_ d
-PyG?
_
D
N
VA
D
Y
+
Y
z~ A 2
l-R G_z- ~l-V G_z- ~B (l-V B_ - ) N
2
_
y
1
B {\-z~ B_ - )
Z
+
'
Z
amely pontosan megegyezik a (12.40) szerinti szabályozóval.
C( ) = z
3
a(z) f^l B {z)[z -B_(z)]
2
5 7 . 7 Í z - 1 . 7 2 3 6 e + 0.7408z) L z -0.525z-0.475
m
3
( 1
2.
4 6
)
3
+
Ismét megerősítést nyert a YOTJLA-szabályozó stabilis folyamatokra vonatkozó általános érvényessége. 12.5. P r e d i k c i ó s szabályozók Tételezzük fel, hogy egy egy-szabadságfokú szabályozási körben a szabályozott szakasz impulzusátviteli függvénye
G
( -i) = ^ z A(z j z
r
f
1
1
= G ( - )G_(z- ) +
Z
;
l
d
G_(z- ) = z-
(12.47)
amely egy holtidős FI folyamatnak felel meg. Olyan összefüggést keresünk, amely segítségével ezen folyamatra a fc-adik mintavételezési időpontig rendelkezésre álló információ alapján jósolni tudjuk a folyamat kimenőjelének (k + J ) - e d i k pillanatban bekövetkező értékét. Ehhez vezessük be a speciális l = AF
d
+ Vz~
(12.48) 7
pohnomiális egyenletet, amelynek megoldása ( d - l)-edrendű J és ( n - l)-edrendű V-t keresve egyértelmű, ha az A polinom n-edfokú. A (12.48) egyenlet a 10. Fejezetben tárgyalt DE-ntk
X
egy speciális változata. A z o n o s átalakításokkal a folyamat G{z~ j alakja a következők
szerint felbontható
334
B
-
BAT
d
+ BVz~
d
-
d
BT +
A d
= BTz~
.-d
A
+ Vy ^z~ \~ = d
BVz
d
d
(12.49) d
BTz~ +VGz~
Alkalmazzuk mindkét oldalt az u[k] bemenőjel sorozatra d
y[k] = BTz'
d
d
u[k] + Vz~ Gu[k]
= BTu[k-d]
= BT u[k -d] + V z~ y[k] ••
+ Vy[k-d]
=
(12.50)
y[k\k-d]
Az egyenletet felírhatjuk a (k + d)-edik időpillanatra is (12.51)
y[k+ d] = BT u[k] + V y[k] = y[k + d\k]
ahol az y[fc + d | & ] mennyiség az y[k] sorozat (fc + d)-edik időpillanatban bekövetkező értékére vonatkozó jóslása, predikciója. Vegyük észre, hogy az előrejelzés hibamentes és csak a fc-adik időpillanatig rendelkezésre álló értékeit használja mind a bemenőjel, mind pedig a X
kimenőjel tekintetében. Mind a BT, mind pedig a V polinom, amelyek a z~ polinomjai csak a k és megelőző időpillanatbeli értékeket súlyoznak (12.51)-ben. A ú?-lépéses prediktor alapján speciális, úgynevezett predikciós szabályozót konstruálhatunk. Ha azt akarjuk, hogy a folyamat egy R referenciamodell kimenetét kövesse, akkor a szabályozót meghatározó egyenlet T
R y [it] = y [k + d | k] = BT u[k] + Vy[k] r
(12.52)
r
ahonnan a folyamat bemenetére kapjuk
Rry [k]-Vy[k] r
u[k] = •
(12.53)
BT A (12.53) egyenlet közvetlen leképezése a 12.13a. ábrán látható, a 12.13b. ábra ekvivalens hatásvázlata pedig a szokásos zárt szabályozási kört mutatja. 1
r
\u[k\
BT
PREDIKCIÓS SZABÁLYOZÓ
)
G
T Ó
r V \-Vz-"
A B
PREDIKCIÓS SZABÁLYOZÓ
(b) (a) 12.13. ábra A predikciós szabályozó alakjai A predikciós szabályozó tehát V d
\-Vz~
A B
(12.54)
335
alakú, vagyis a zavarelhárításra vonatkozó referencia modell most R =V
(12.55)
n
ami n e m tőlünk függ, hanem (12.48)-ből kiadódik. A C
p r
predikciós szabályozó formailag d
teljesen megegyezik egy olyan YOULA szabályozóval, ahoEL = z~ '• A teljes szabályozási kör átviteli karakterisztikája d
d
y = R z~
d
y + (l - R z~ )
x
r
y = R ^ y + (l - Vz~ ) y
a
n
r
(12.56)
n
amely szerint alapjelkövetésre a predikciós szabályozó tökéletesen megoldja feladatát, de R nem tervezhető. A predikciós szabályozó alapját képező (12.51) J-lépéses prediktor lineáris a paraméterekben, ezért nem nehéz paraméterbecslő (identifikációs) technikát alkalmazni ezen együtthatók meghatározására. A fentiekben bemutatott egyszerű szabályozó konstruálási elvből nőtt ki napjaink egy széles körben elterjedt számítógépes irányítási metodikája, amelyet modell Control). predikciós szabályozásnak hívnak (MPC: Model Predictive n
A zárt rendszer zavarelhárítási tulajdonságának tervezésére olyan módszert vezettek be, amely bünteti a bemenőjel varianciáját, megváltozását. így a zárt kör dinamikája korlátozott m ó d o n ugyan, de elfogadhatóan alakítható a büntető súly megválasztásával. 12.6. Az elérhető legjobb diszkrét idejű szabályozás Általános elmélet A szabályozási hibának a 7.5. pontban bemutatott dekompozíciója természetesen teljes mértékben érvényes D l rendszerekre is, így valamennyi összefüggés változatlan formában használható. Érdemes megjegyezni, hogy D l esetben az elérhető leggyorsabb elsőrendű referencia modell könnyen meghatározható a szabályozó kimenőjelének
KOh^max
(12-57)
amplitúdó korlátozása esetén, ha YP szabályozót alkalmazunk. Legyen az elsőrendű egységnyi erősítésű referencia modell 1
R
(l + a )zn
l+a z n
_(l+a ) n
(12.58)
z+ a
n
Legyen a folyamat impulzusátviteli függvényének számlálójában az első (úgynevezett vezető) együttható) b , akkor az átmeneti függvény sorozat első legnagyobb ugrására a x
^ ^ m a x
(12-59)
korlátozásnak kell teljesülnie, amiből a referencia modell a együthatójának legnagyobb értéke n
336
«n
í/max " I
(12-60)
T a p a s z t a l a t i összefüggések Az elérhető legjobb szabályozás vizsgálatakor már az eddigiekben is láttuk, hogy az alapvető korlátozás a beavatkozó szerv telítődéséből és magától a folyamat dinamikájától származik. Ehhez most még a mérési zaj problémáját is megemlítjük. Ezt a zajt okozhatja az érzékelő fizikai működése, de okozhatja a benne m ű k ö d ő elektronika is, D l szabályozásnál pedig az A / D átalakító. A mérési zajok legtöbbször a magas frekvenciájú tartományban jelentkeznek, ezért az általuk okozott bizonytalanság a szabályozó A^ nagyfrekvenciás erősítését korlátozza. A z egyszerűség kedvéért tételezzünk fel általánosan használt 12 bites A/D és D / A átalakítókat. A 12 bit megfelel 4096 szintnek, tehát egy bitnyi konverziós hibavagy mérési zaj 4096 szorosára, erősödve eléri a teljes jeltartomány szintjét. Egy gyakorlati szabályozási körben nem célszerű 5%-nál nagyobb mérési zaj okozta ingadozást megengedni. Ez azt jelenti, hogy a szabályozó nagyfrekvenciás erősítésének kisebbnek kell lennie 200-nál, azaz A^ < 2 0 0 .
13. Hagyományos diszkrét idejű szabályozók tervezése A 12. Fejezetben láthattuk, hogy stabilis folyamatok mintavételes szabályozóinak tervezésére a folytonos idejű szabályozáshoz hasonlóan pontos elméleti módszerek állnak rendelkezésre, amelyek alapján a legkülönbözőbb esetekre meghatározható az optimális szabályozó struktúrája és paramétereinek optimális értéke. Mintavételes szabályozók esetében nem mondható, hogy már jóval ezen elméleti módszerek kidolgozása előtt kialakult a szabályozó berendezések egy olyan, a gyakorlatban is kipróbált, jól bevált és emiatt igen széles körben elterjedt osztálya, amely mind a mai napig meghatározó jelentőséggel bír ipari folyamataink és technológiáink irányításában, hiszen ezek a szabályozók a számítógépes irányítások elterjedésével egyidejűleg terjedtek el. A fejlődésre inkább az volt a jellemző, hogy a mintavételes szabályozók ez első időkben rendszerint csak a hagyományos folytonos szabályozókat másolták. Ennek oka valószínűleg az volt, hogy a folytonos szabályozók több évtizedes történetükben nagy megbízhatóságot és elismertséget szereztek a gyakorlatban. Miközben a számítógépes irányítás keretében igen egyszerű a 12. Fejezet magasabb fokszámú, nagy bonyolultságú szabályozóinak a realizálása, mind a mai napig itt is vezetnek a hagyományos szabályozók a megvalósított és működő rendszerekben. Ezért tárgyaljuk itt is külön fejezetben ezt a szabályozó családot. Mivel a mintavételes szabályozókat szoftver úton realizált algoritmusokkal hozzák létre, ezért szokásos a DI szabályozókat algoritmusnak is hívni. Mintavételes szabályozási körök tervezésére számos módszer áll rendelkezésünkre. A gyakorlatban is használt módszerek nagy számát egyrészt az a tény indokolja, hogy egy diszklét idejű szabályozási algoritmust nem egy passzív elemekből felépülő elektronikus berendezés, hanem egy program valósít meg. Ez a tény nagyfokú rugalmasságot biztosít a tervezőnek, másrészt a tervezési probléma hibrid jellege - gondoljunk a folytonos és diszkrét tartományban való szimultán gondolkodás szükségességére - is teret nyújt különböző tervezési elvek alkalmazásához. A módszertani sokszínűség mellett látnunk kell, hogy bármilyen stratégiát is választunk, a diszkrét idejű szabályozónkegy olyan digitális jelfeldolgozó egységként interpretálható, amely a fc-adik mintavételi pillanatban az aluláteresztő szűrővel fogadott, majd mintavételezett kimenőjel y[k\y[k-\],y[k-2],...
(13.1)
értékei és a korábbi mintavételi pillantokban az kányítási algoritmus által meghatározott u[k-í\,u[k-2],u[k-3],...
(13.2)
bemenőjel minták alapján határozza meg az u[k] bemenőjelet. Általánosan megfogalmazva a digitális szabályozó az {y[k\ y[k - l],y[k - 2],. ..;u[k-1],
u[k - 2],u[k - 3 ] , . . . => u[k]}
(13.3)
leképzést valósítja meg. A leképzés legegyszerűbb esete, amikor egy soros, C(z) impulzusátviteli függvényével adott szabályozót valósítunkmeg. A szabályozó bemenete soros szabályozó esetén az e[k]=r[k]-y[k] hibajel, ahol r[k] az alapjel, a szabályozó kimenete pedig a folyamat u[k] bemenőjele:
(13.4)
338
(13
C W = 77T E{z)
5)
-
A leképzés mibenlétét szemléltetendő tételezzük fel, hogy a szabályozó másodrendű: c
r \ z
u z =
()
2
=
g z + giz + g 2 0
2
E(z)
z + r +r lZ
1
=
g + G\Z + g z ' 0
2
l
(
1
3
6
)
2
1 + r z~ + r z~
2
x
2
ahonnan a l l . Fejezetben bemutatott rekurzív kifejtéssel u[k] = q e[k] + q^k 0
- 1 ] + q e[k - 2] - r^k 2
- 1 ] - r w[fc - 2] 2
(13.7)
adódik a megvalósítás algoritmusára. A bemutatott példában célzatosan választottuk a szabályozó számlálóbeli polinomjának fokszámát a nevező fokszámával azonos értékűre. Ekkor ugyanis a szabályozó egy e[j) = 0 (j
Példaképpen feltételezzük, hogy a szabályozási algoritmus számítási ideje kisebb a mintavételi időnél, de közel azonos vele. Ekkor a leképzés nyilván [y[k], y[k - 1 ],y[* - 2 ] , . . .\u[k\ u[k -l],u[k
- 2],. ..=>u[k +1]}
T
(13.8)
alakú. Ebből következően a £-adik mintavételi pillanatban alkalmazható u[k] bemenőjelet az {y[k-1],y[k-2],y[k-3],...;u[k-1],u[k-2],u[k-3],...
=> u[k]}
(13.9)
s
339
leképzés szerint tudjuk előállítani. Ez azt jelenti, hogy azt a digitális szabályozót, amelyet egy T holtidejű folyamathoz terveztünk, át kell terveznünk egy T + T holtidejű folyamathoz, így figyelembe tudjuk venni a számítások okozta holtidő növekedést. d
á
s
13.1. A mintavételes PID szabályozó család és tervezése A (8.1) szerinti ideális PID szabályozó mintavételes változatának kialakításakor az integráló tagot közelítsük a j o b b oldali téglalap szabállyal, a differenciáló hatást pedig a hátratartó differenciával. Az így nyert impulzusátviteli függvény
C*PID(Z)
A
=
AP T-z . ^ z-l = A + - r r — — + A 7/ Tj z - l Zz
1+4-^ + r,D Z - l z-l
Í
D
P
(13.10)
D
A jobb oldalt közös nevezőre hozva egy másodrendű DI szűrő alakját kapjuk
C (z) PSD
=
%+
+
(13.11)
l-z'
ahol
' í + ^ + r ,D "
^
[
27/tD
1+
q
2
= A
t
(13.12)
<s J
A 8.4. Fejezetben, a hagyományos FI szabályozók tárgyalásakor, már foglalkoztunk a korlátozások hatásával és az ARW kiegészítés bevezetésével. A FI szabályozók esetében általában nem nagyon van lehetőség a szabályozó belső stmktúrajába történő jel bevezetésre. Ezért történik a korlátozásról a visszacsatolás a hibajel helyén, amely általában hozzáférhető (lásd a 8.29. ábrát). Mintavételes szabályozók realizálásakor általában a részletek is a kezünkben vannak, így a visszavezetésközvetlenül az integrátor bemenetére is történhet, ahogy azt a 13.1. ábrán láthatjuk. A (8.4.) közelítő PID szabályozó mintavételes változatának a megvalósításához az alábbi SRE alakot szokták használni: •Ap Ts
C?ID(Z)
- A
P
+
l-Z~ APr, D T l-g-^/V
z
P
1
T\ l-z'
1
(13.13)
1
s
Összevonások után ez a szabályozó is egy másodrendű DI szűrő alakját mutatja:
CPID(Z)-
1
+ qz (l-z-'jfl-e-^V ) % + Q\Z
2
2
X
q +qiZ
1
2
+q Z
0
2
l+r z~ +
(13.14) r z~
X
2
x
2
ahol 1+-
a = 2
q = x
T
A \e- ^ P
T l-is. Ti
-A
F
l+e
-Ts/T
.is.
2Tr D
+•
(13.15)
^ + •
(13.16)
340
T
= -(l
e~^ )
+
;
(13.17)
T
r =
e~^
2
Az ARW kiegészítés megvalósítása itt is a 13.1 ábra szerint történhet.
e[k]
6
1
1-z"
ELÍTÉS
13.1. ábra Az ARW hatást realizáló bővített mintavételes szabályozó A közelítő folytonos idejű PID szabályozó (8.8) szerint paraméterezett alakjának egy
C
P I D
- Jf
U)
(z
c
_^ _ _ e
r>/r
j - tf ^ — ^ — ^ ^ _ c
C p I D l z
)
(13.18)
Dl alak felel meg. M i n t a v é t e l e s PI s z a b á l y o z ó k h a n g o l á s a A (13.18) alakból következik, hogy a mintavételes PI szabályozó impulzusátviteli függvénye Z-Z\ CPI(Z) =
cd
d
:K
*C
z-l
l-zi z , _i 1-z
- 1
1
c
=
C
PI
í (z )
(13.19)
_ 1
d
A diszkrét idejű PI szabályozó a FI folyamat D l impuzusátviteli függvényének egyik /?f (rendszerint a legnagyobb időállandónak megfelelő legkisebb) pólusát a z-l pólussal helyettesíti (az co = 0 frekvenciára helyezi át). A PI szabályozó méretezése tehát a
C (z) Pl
Dl
= K
c
—
=
K
c
! _
z
- i —
=
C
P i K
T
Tx
szerint
T = max{T \.
A szabályozó K
erősítését a FI folyamatnak a mintavételezéssel módosított
i
c
s
P(j(ü)
s
= e ^
választással,
ahol
frekvenciafüggvényének alapján kell beállítani. A gyakorlatban ez a
beállítás úgy történik, hogy a (j(£>) ~ a(j(ü),
zf = p
p d
átviteli függvény
= „-;(or /2
a
1
rendszer
l
történik
(13.20)
)
a folyamat
abszolútérték
viszont a fázis frekvenciafüggvény
frekvencia
függvénye
kedvezőtlen irányban
változatlan megváltozik:
(p (y'co) = cp(y'co)- coJ . Ez a hatás igen egyszerűen úgyis figyelembe vehető, hogy az eredeti FI s
s
rendszerre megfogalmazott cp fázistöbblet előírás szigorúbbra változik: (p[ = cp + cor . t0
Q
t0
s
A diszkrét idejű PI kompenzáló szabályozó algoritmus ugyanolyan hatású, mint a folytonos idejű PI szabályozó és hangolási elvük teljesen megegyezik.
341
M i n t a v é t e l e s PD s z a b á l y o z ó k h a n g o l á s a A (13.18) alakból következik, hogy a mintavételes PD szabályozó impulzusátviteli függvénye CC
7 —
C (z)
*
-Kc
PD
1 — 7°^7~ =
K
c ,
X
=
cd - i
(13.21)
1
^PD^" )
amely SRE megfelelelője a FI (8.14) PD szabályozónak. A (13.21) mintavételes PD szabályozó a FI folyamat DI rendszer átviteli függvényének p^
á
pólusát egy nagyobb frekvenciájú
Z\
á
pólusra cseréli, tehát gyorsítja. A (13.21) PD szabályozó átmeneti egységugrásra adott válaszának végértékei _
f= 0
;
t = oo
cd
\ i m - ^ - K ^ - \ =K z->°°Z-l z - P\ c
;
i
i
m
( _i)^jr ,lZÍL. Z - l Z- Pi z
z->l
(13.22)
c
<
=
A i
,lz£L. 1 - p\
(13.23)
tehát a gyorsításhoz alkalmazott túlvezérlés
* =
(".2., cd
Az
alkalmazott
gyorsító
méretezésnél
tehát
elsődlegesen, majd a megengedett legnagyobb T | T
p f > l - ( l - e -
^
m
a
a m a x
d
d
zi° = p
2
T
= e~ ^
Tl
választással
túlvezérlésből meghatározhatjuk
d
d
: r
d
=p
2
7 ,
^max{0,l-(l-e- '/ 2)Tl »}
egyenlőséget be kell tartanunk. A határesetnek megfelelő p\ T
d
T
T
= e~ ^
-hez tartozó T időállandó
T
r
^ 1. így az (13.26)
m
T = — —, ~ Í ,„ , ln[l-(l- - ^)r,
d
p\ -t (13.25)
x
Stabilis, megfelelően mintavételezett folyamatokra 0 < p j < 1 és 0 < z{ pf
élünk
(13.27)
r
e
Ideális esetben pi
d
C ( z ) = K ^-fP D
c
m a x
= 0, amikoris
=#
(l-^fV ) = C 1
c
1
(z' )
(13.28)
?D
/
d
A z ideáüs mintavételes PD szabályozóra a túlvezérlés értéke r\ = l / ( l - z [ ) . Az ideális
342 szabályozó kisfrekvenciás közelítést leképező folytonosidejű PD szabályozó átviteli függvénye á
á
(lásd az F-5. Függelék F-13.1. pontjában) a z\ - p
T
-K {\-pf){\
CRDW
+s T
c
2
) e <
T
Tl
= e~ ^
2
esetben
= Kc(l-e~ ^){\
+ J r 2 ) c -'
T
^
r
«
(13.29)
ahol T=
/ '
d2
(13-30)
1 +
Ha r > 3T , akkor (13.27)-ben s
2
A kisfrekvencián érvényes közelítő folytonos idejű PD szabályozó végezetül sT
CPDW = K
c
2
^ ( 1 + sT )e- *l
(13.32)
2
A diszkrét idejű PD kompenzáció hatása a vizsgált frekvenciatartományban tehát olyan, mintha egy FI kompenzáló tag a folyamat T időállandóját egy T /2 nagyságú holtidőre cserélné és közben T /T (pontosabban (13.24) szerinti) túlvezérlést okoz. Másszóval minden egyszeres diszkrét idejű PD tag a felnyitott körben a FI rendszer átviteli függvényének egyik pólusát T /2 holtidőre cseréli olyan túlvezérléssel, mintha a pólus sarokfrekvenciáját az co = l/r pontba helyezné át. (Ezt a törvényszerűséget a felfedezője után TUSCHÁK hatásnak nevezzük.) 2
2
s
s
s
s
A mintavételes PD szabályozó kedvezőbb túlvezérlési viszonyokat produkál, mint a folytonos idejű PD szabályozó. E z annak a következménye, hogy akezdeti túlvezérlés a teljes mintavételi intervallumban fennáll. í g y kisebb amplitúdó mellett is elegendő energiát tudunk a folyamattal közölni. A túlvezérlés ugyanis az általa átadott energiatöbblettel gyorsítja a folyamatot. A szabályozó erősítésének a méretezése adott fázistöbbletre a klasszikus módszer szerint történik az eredeti FI rendszerre megfogalmazott cp fázistöbblet előírás cpfo t0
=
^to
+
szerinti
megváltoztatásával. M i n t a v é t e l e s PID szabályozók h a n g o l á s a A diszkrét idejű PID szabályozó gyakorlatban legjobban elterjedt alakja a (13.18) szerinti. Ez az alak tulajdonképpen a (13.19) diszkrét idejű PI és a (13.21) diszkrét idejű PD szabályozó kombinációja, lényegében sorba kapcsolása. í g y az előző két esetre vonatkozó méretezési eljárást kell együtt megismételni. Legyen tehát
(í-zfV'Xi-^r ) - , 1
( z - z ? ) ( z - z ? )
ahol zf = pf
T
/Tl
= e~ *
d
és zf = p
2
T
Tl
= e~ ^
választással hangoljuk be a paramétereket. A
343
(13.18) PID szabályozó átmeneti egységugrásra adott válaszának végértékei a zárt körben
f=0
A
;
/ v
l i m — Kr
„-J,=Kr
(13.34)
1 '
(13.35)
P(0)
tehát a gyorsításhoz alkalmazott túlvezérlés (13.36) P(0) Formálisan úgy tűnik, hogy a K
C
a diszkrét idejű PID szabályozó erősítése, pedig ez n e m így
van. A Kq egy szorzó tényező. Ha a C
P I D
erősítését egységnyire normáljuk, akkor a
(13.37)
alakban már Icq a szabályozó valódi erősítése. A két alak összevetéséből
K
= kc
C
d
(13.38)
d
M )M )
es így
(13.39) ^(0) (l-zf)(l-zf)
T
P{0)
A megengedett legnagyobb T |
T
[l-e- ^){\-e- ^)
d
max
túl vezérlésből meghatározhatjuk p [ , illetve T-t (13.40)
A (13.26)-tal kapcsolatban elmondottakra itt is ügyelnünk kell. A határesetnek pf
T
T
= ~ ^ -hcz e
tartozó T időállandó -T.
T = In
!_
megfelelő
(13.41) ^H0)^_ -TjT^_ -T /T j e
e
s
2
A mintavételes PID szabályozó is kedvezőbb túlvezérlési viszonyokat produkál, mint a folytonos idejű PID szabályozó. Ez annak a következménye,hogy a kezdeti túlvezérlés a teljes mintavételi intervallumban fennáll. így kisebb amplitúdó mellett is elegendő energiát tudunk a folyamattal közölni. A túlvezérlés ugyanis az általa átadott energiatöbblettel gyorsítja a folyamatot.
344
A szabályozó erősítésének a méretezése adott fázistöbbletre most is a klasszikus módszer szerint történik az eredeti FI rendszerre megfogalmazott t p
t0
fázistöbblet előírás cpjo
=
^to +
szerinti megváltoztatásával. A diszkrét idejű PID szabályozó (13.10) alakját használjuk, akkor a szabályozó beállítása a { 7 ^ , 7 } , r } paraméternégyes meghatározását jelenti, feltéve, hogy mindhárom csatornát D
használni kívánjuk. H a a (13.13) formából indulunk ki, akkor a
paraméterötös
{T^A.T^Tq.T}
:d
a méretezés tárgya. H a pedig a (13.18) alak a realizáció alapja, akkor JT ,£ ,zí ,Z2 ,rJ a s
tervezés hangolási
célja. A
{r ,A,T,T ,t} s
l
i3
és
^r ,K ,zf,zf s
c
j}
:d
c
paraméter
halmazok
egymásba átszámíthatóak. A z ember/gép kapcsolatban általában a FI szabályozó paramétereit használjuk, a számítógépes programozáshoz viszont a D l alak paraméterei a hasznosabbak. A mintavételezési idő felvételére egy gyakorlati ökölszabály atranziensekből 7-10 minta vételét javasolja. A tényleges mintavételezési idő így természetesen a szabályozott szakasz, a technológia jellege szerint veendő fel. Jellegzetes értékek: áramlásszabályozás (1-3 sec), szintszabályozás (5-10 sec), nyomásszabályozás (1-5 sec), hőmérsékletszabályozás (10-20 sec). 13.2. T o v á b b i tervezési m ó d s z e r e k A továbbiakban elsősorban a tervezési kérdésekkel fogunk foglalkozni, de ahol szükséges, kitérünk a realizációs vonatkozásokra is. A FI zárt rendszerek struktúrájával összehasonlítva a mintavételes rendszerek jellemzője, hogy az illesztési feladatok ellátására itt a szabályozón és a folyamaton kívül további konverziós egységek is szerepelnek a körben. Láttuk, hogy a mintavételezés természetes módon szolgáltatja a mintákat a diszkrét időpillanatokban lefutó szabályozási algoritmus részére, a tartószerv azonban egy FI dinamikus előtaggal bővíti a FI folyamatot. A 11. Fejezetben láttuk, hogy zérusrendű tartószerv esetén ez a dinamika egyrészt a
WzoH
=
1
~
e
(13.42) s
átviteli függvénnyel jellemzett, másrészt a közelítő hatása egy a mintavételezési idő felének megfelelő holtidős tagnak felel m e g , amelyet könnyű a frekvenciatartományban figyelembe venni. Joggal merülhet fel a kérdés, hogy a FI rendszerek szintézisére bemutatott technikák mechanikus alkalmazása miért n e m elegendő a mintavételes rendszerek tervezéséhez. Látni fogjuk, hogy a folytonos rendszerek koncepcionális alapvetéseinek D l megfelelői rendre kidolgozhatók a mintavételes rendszerekre is, azonban a mechanikus másolás természetesen ebben az esetben sem követhető metodika. Ennek szemléltetésére vizsgáljuk m e g a folytonos rendszerek elméletéből jól ismert strukturális stabilitás elvét. 13.1. Példa Tekintsük a
345
átviteli függvénnyel adott FI folyamatot, amelyet r = 1 [sec] mellett mintavételesen kívánunk zárt körben, soros arányos (P) szabályozó és zérusrendű tartószerv beiktatásával szabályozni. A FI folyamat és a tartószerv együttes diszkrét idejű SRE modellje s
, .
0.0091? + 0.0082
d
0.0091(2 + 0.9048)
2
z - 1 . 7 2 3 6 z +0.7408 " ( z - 0 . 9 0 4 8 ) ( z - 0.8187)'
Az egységnyi erősítésű FT folyamattal az arányos szabályozó erősítése körerősítéssel A = K, és így a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete l + KP {z)
= 0,
d
megegyezik a
(13.43)
illetve polinomiális formában: 2
z + (0.009 WT-1.7236) + 0 . 0 0 8 2 # + 0.7408 = 0.
(13.44)
A FI rendszerek gyökhelygörbéjével kapcsolatos megállapítás (a gyökhelygörbe K = 0 esetén a nyitott rendszer pólusaiból indul ki) itt is helytálló, hiszen K = 0-ra a zárt rendszer pólusai azonosak a nyitott rendszerével ( p j = 0 . 9 0 5 4 , p = 0.8182 a z-síkban). K növelésével a zárt kör pólusai egyre közelebb kerülnek az egységsugarú körhöz, végül i?" = 31.6 értéknél a zárt kör pólusaira ( p = 0.718 ± ;'0.696) teljesül a \p\ \ = 1 feltétel. Végül a K > 31.6 tartományra a zárt kör pólusai az egységsugarú rendszeren kívülre kerülnek, így a zárt rendszer labilissá válik. Ez első ránézésre váratlan eredmény, mert az 2
l j 2
L(s) = KP{s) W
W
>2
=£ r (1 + 5J)(1 + 10J)
(13.45)
/
hurokátviteli függvényű FI rendszer struktúlásian stabilis. A strukturális stabilitás koncepciója tehát n e m vihető át a FI rendszerek elméletéből a mintavételes rendszerekre. Magyarázatként elég arra gondolnunk, hogy a tartószerv által a rendszerbe behozott holtidő kizárja a strukturális stabilitás fennállását. A 12. Fejezetben tárgyalt módszerek gyakorlatilag mind a z változó racionális törtfüggvényeivel, ezek számlálójában és nevezőjében lévő polinomokkal dolgoztak. A hagyományos PID szabályozó család mintavételes változatait a 13.1. pontban tárgyaltuk. A FI rendszerekre bemutatott általános polinomiális módszert valamint az állapotvisszacsatolást használó szabályozót mintavételes rendszerekre a 14. és 15. Fejezetben tárgyaljuk. Célszerű foglalkoznunk olyan módszerekkel is, amelyek bizonyos értelemben a FI rendszerek frekvenciatartománybeli tervezését terjesztik ki a D l esetre. Az alábbiakban ezeket az irodalomban előforduló további megközelítéseket is bemutatjuk. A mintavételes szabályozások sokszínűségére való tekintettel a további tervezési módszereket három lehetséges úton tárgyaljuk, ezeket a tervezési stratégiákat az alábbi elnevezésekkel illetjük: (a) Közbenső folytonos szabályozó tervezése és diszkretizálása A folytonos szabályozó tervezése a tartószervvel kibővített folyamatmodell alapján történik. A megtervezett folytonos szabályozó szükségképpen csak közbenső állomása lehet a tervezésnek, hiszen a tervezési eljárás végülis egy eltolási operátorral leírható diszkrét idejű összefüggésre kell, hogy vezessen. (b) Diszkrét idejű szabályozó
tervezése diszkretizált folyamatmodell
alapján
346
E módszert követve a teljes tervezési feladatot a diszkrét időtartományba transzformáljuk. Ehhez a folytonos folyamatot a tartószervvel együtt egy diszkrét idejű folyamatmodellbe integráljuk. (c) Diszkrét idejű szabályozó közvetlen tervezése folytonos folyamatmodell alapján A módszer lényege, hogy a folytonos folyamat kisfrekvenciás viselkedése és a zárt körre vonatkozó specifikációk alapján a diszkrét szabályozót soros Pl és PD elemek egymás utáni hozzáadásával alakítjuk ki, amely elemeket a folytonos rendszer frekvencia diagramjának töréspontjaihoz illesztünk. Közbenső folytonos szabályozó tervezése és diszkretizálása A tervezés alapelvét megismételve itt arról van szó, hogy egy folytonos szakaszhoz tervezünk egy folytonos szabályozót, amelyet először diszkretizálunk, majd a diszkretizált szabályozó interpretációja alapján előállítjuk a szabályozási algoritmust realizáló programkódot. Szigorúan véve az a folytonos szakasz, amelyhez a szabályozót tervezzük, az eredeti folyamatP(s) átviteli f ü g g v é n y é n e k é s a zérusrendű tartószerv W
Z0H
=(l
_
e
~
S T s
)/
s
átviteli függvényének soros
eredője:
PÁ*) = WZOH P(s) =
Í
Z
£
- ^
1
P M
(13.46)
s Mivel ez az eredő jellegében transzcendens, így közelítéshez kell folyamodnunk. A közelítés lehet egylépéses, ekkor közvetlenül a nulladrendű tartószervre vonatkozik (tipikusan a mintavételezési idő felének megfelelő holtidővel váltjuk ki a zérusrendű tartószervet, ami ettől az átalakítástól ugyan továbbra még transzcendens marad, de folytonos tervezési módszereink által uralt jellegűvé válik) vagy kétlépéses, amikor először egységugrás ekvivalens transzformációval megkeressük a folytonos szakasz és a tartószerv együttes diszkrét alakját, majd ezt a már n e m transzcendens alakot visszatranszformáljuk a folytonos tartományba. Megjegyezzük, hogy a közbenső folytonos szabályozó tervezésének módszerét a gyakorlatban akkor használják, amikor nagyfrekvenciás mintavételezésre van lehetőség, ekkor pedig az egyes diszkretizálási módszerek között nincs lényeges eltérés a pontosságot illetően. A lehetséges módszereket sematikusan összefoglalva, az egylépéses diszkretizálás lépései: P {s)~e~Wp{s)
C(s)
=>
t
=>
C (z) d
=>
C {q),
(13.47)
d
míg a kétlépéses diszkretizálásé:
P (z) = ( l - z d
1
) ^ | ^ |
=>
P„(Í)
=>
C(s)
==> C (z) d
=>
C {q). á
(13.48)
A fenti átalakítási sor tartományait az egyes fázisok egyértelmű követhetősége érdekében
=>
P {w) á
=*
C(w)
=>
C {z) d
=>
C {q) d
(13.49)
formában szokásos tárgyalni, ahol a w ugyanolyan komplex frekvencia változó, mint a megszokott s, a megkülönböztetett jelölés a P (w) alak helyére utal a fenti sémában. d
Látható, hogy a C ( j ) = > C ( z ) d
diszkretizálás mindkét séma eleme, így először ezzel az
347
átalakítással foglalkozunk, ugyanakkor a Q (z) => C (#) átalakítás formális behelyettesítést d
jelent: C {q) = C {z) d
d
Tegyük fel, hogy rendelkezésünkre áll egy a diszkrét idejű megvalósítás alapját képező, megtervezett C(s) szabályozó. A diszkretizálást ekvivalens diszkrét idejű modell megkeresése vagy numerikus integrálás formájában hajthatjuk végre. Ekvivalens diszkrét idejű modell
felállítása
Ebben az esetben a szabályozó diszkretizálása során a C(s) átviteli függvény egy ekvivalens diszkrét idejű megvalósítását keressük. Ehhez definiálnunk kell, hogy milyen szempont szerint keressük az ekvivalens diszkrét modellt. Az ekvivalenciát abban az értelemben keressük, h o g y azonos jellegű bemenet (pl. egységugrás vagy egységsebességugrás, szinuszos gerjesztés) esetén a két rendszer viselkedése valamilyen tartományban legyen azonos. Lehetséges kritériumok: azonos átmeneti függvény, azonos impulzus válasz, azonos frekvenciaátvitel, azonos pólusok-zérusok, stb. Látnunk kell, hogy ha az egyik kritériumra teljesül az ekvivalencia, a másikra nem garantált sem az egyezés ténye, sem az egyezés mértéke. A n n y i t érezni, hogy ritkább mintavételezéssel n e m javulnak a viszonyok. A kvantálás és a véges szóhossz problémájával ezen a helyen külön nem kívánunk foglalkozni. Egységugrás ekvivalens diszkretizálás: Legyenek a folytonos szabályozó kimenetének mintái: (13.50)
Ekkor a mintavételes szabályozó kimenetének ^-transzformáltja: (13.51)
L
U(z)-— z C (z), i-z T
d
amiből
(13.52)
azaz a korábbiakban m á r megismert összefüggést kaptuk vissza. Impulzus válasz ekvivalens diszkretizálás: Célunk az u[k] = T u(t) _ feltétel biztosítása, ehhez a diszkretizálás során a s
(
kT
s
Q (z) = T X{u[k]} s
=T
s
sjiT
1
[C(s)] } t=kTs
= T C(z) s
(13.53)
összefüggés szerint kell eljárni. Ekvivalens pólus/zérus leképzést biztosító diszkretizálás: sTs
Ebben az esetben minden pólust illetve zérust a z = e
leképzés szerint transzformálunk, a
348
statikus átvitelt pedig azonos értéken tartjuk. Eközben felmerülhet egy különleges probléma: mi a teendő, ha nincs zérusa a rendszemek? Megfigyelhetjük, hogy olyan dinamikus FI rendszemek, amelynek nincs zérusa, a frekvencia amplitúdó függvénye végtelen frekvenciák esetén zérushoz tart. DI rendszereknél a legnagyobb frekvencia c o = 7t /T , itt z értéke m a x
•e
s
jK
= e =-\. í
s
(13.54)
=y max
Következésképpen a nemlétező FI zérust a z = - 1 zérushelyre kell leképezni, másszóval FI zérus hiánya esetén a diszkretizált modell számlálójában a (z + l) tényezőnek kell megjelenni. Diszkretizálás
numerikus
integrálással
A diszkretizálási algoritmusok származtatásához ismét tekintsük át a numerikus integrálás néhány alapösszefüggését. Legyen feladatunk egy folytonos f(t) függvény integrálása és jelöljük az integrálás eredményét i(i) -vei: t
J /(f)dx
i(t)=
(13.55)
T=0
A z f(t) függvény T mintavételi időnként rendelkezésre álló f[k] mintái alapján az integrál értéke a t=kT mintavételi időpontokban különbözőképpen közelíthető. Jobb oldali téglány összegekkel: s
s
+ T f[k]
i[k] = i[k-l]
s
;
I=>-**L s q-í
(13.56)
Bal oldali téglány összegekkel: i\k] = i\k-l]
+ T f[k-í\
;
s
-=>-^r s q-l
(13.57)
Trapéz közelítéssel:
; I=.il±l
1
frMt-U+r,**- ^*' 2
s
(13.58)
2q—\
Bilineáris transzformáció: Bilineáris transzformáción azt az átalakítást értjük, amely a trapéz szabály szerinti közelítésen alapuló numerikus integrálást alkalmazva az eltolási operátor racionális törtfüggvényeként diszkretizál egy C(s) átviteli függvényével adott folytonos rendszert. Vizsgáljuk meg, hogy a (13.58) szerinti formális helyettesítés milyen eltérést eredményez a FI és a D I modell frekvencia függvényében. Egy adott co körfrekvencián a folytonos rendszer frekvenciafüggvénye C(/co) = C(s)\ _ . A diszkretizálást az s
, =
Tq + 1
(13.59)
s
helyettesítéssel megvalósítva a diszkretizált modellben az co körfrekvencia az alábbiak szerint
349 alakul: 2
z-l
Tz
+l
s
T
T e^ s
j(űTs
'z=e
+1
s
T e ^
/
2
s
+e ~ ^
/
2
J
tg
T { s
(13.60)
2
A fenti egyenlet jelentése: a folytonos rendszer frekvenciafüggvénye és a diszkretizált rendszer frekvenciafüggvénye eltér egymástól. Az eltérés frekvenciafüggő, hiszen egy adott co körfrekvencián s = jca helyettesítéssel kiértékelt racionális törtfüggvény és ugyanezen racionális törtfüggvény .2
helyettesítés
( coTI
(13.61)
szerinti
kiértékelése
szükségképpen
eltérő
eredményt
ad.
A
—tg
coTI
összefüggésben testet öltő frekvencia torzítás mértéke az alacsony frekvenciatartományban a
F
2
2
tg
¥
COT;
2
s
(13.62)
= co
közelítés következtében n e m jelentős, a mintavételezési frekvenciához közeledve azonban az eltérés növekszik. Ugyanakkor azt is látnunk kell, hogy a diszkretizálást az Cűj
"tg
2
q-l
Tq
+l
s
(13.63)
frekvencia "átskálázás" bevezetésével egyetlen, a szabályozó tervezője által választható C0j frekvencia értéken hibamentessé tehetjük.
tetszőlegesen
Delta transzformáció: A delta transzformáció a bal oldali téglány összegekkel való numerikus integrálási technika alkalmazására épül. Delta operátornak a (13.57) összefüggéséből származó
8=
q-l
(13.64)
differenciálási operátort nevezik, amelyet egy
/[&r ] D l jelsorozatra s
alkalmazva
(13.65)
Egy rendszer delta operátorral kifejezett átviteli függvénye (röviden delta transzformáltja) formálisan FI alakból és D l alakból is származtatható. E z nyilvánvaló, hiszen a (13.64) szerinti és q = 8r + 1 helyettesítések elvégezhetők, ám m e g kell jegyezni, hogy aEgyik behelyettesítés közelítő, a másik pontos eredményre vezet. s
A D l alakkal kezdve a q = 8r + 1 helyettesítéssel az eltolási operátor átviteli függvényével adott rendszerre belátható, hogy a delta operátorral is racionális törtfüggvény alakban fejezhető ki: s
350
Bkl *Lt]i
G (w 9 ) =
A H(s)
A(q)
=
A(dT +\) s
=
4i
A(S)
= G(8) '
(.3.66)
K
FI átviteli függvényből is származtatható delta transzformált, ekkor G ( 8 ) =
#(Í)|
Í = 8
szerint járunk el, tehát a H(s) struktúráját (pl. a pólustöbbletét) megtartja. A delta transzformáció elméleti jelentőségét jól mutatja, hogy közvetlen kapcsolatot teremt a FI és a DI rendszerek között. Egy H(s) átviteli függvényű FI rendszerre ugyanis igaz, hogy lim G(8) = H(s). r ->o
(13.67)
s
Ugyanakkor a delta transzformáció alkalmazása az utóbbi években folyamatosan a gyakorlati megvalósítások egyik favorizált módszerévé is vált. Ennek oka éppen a (13.67)összefüggésben rejlik, ugyanis delta transzformáltak alkalmazásakor kis mintavételi időknél a delta átviteli függvény és a folytonos rendszer pólusai és zérusai egymáshoz közel esnek. A z egységugrás ekvivalens alakra visszatérve, ahol a r
P(s) = -. V
1
(13.68)
(1 + 5J)(1 + 10J)
átviteli függvény diszkretizált alakjára T = 1 [sec] mellett a s
P d ( z )
0.009l(z + 0 . 9 0 4 8 ) -( -0.9048)(z-0.8187)
( 1 3
Z
'
6 9 )
sTs
modellt kaptuk, a pólusokra vonatkozó információ a z - e leképzés következtében az 1 értéktől való kicsiny eltérésben, így numerikusan kedvezőtlen módon jelenik meg. A mintavételi idő csökkenésével tovább romlik a helyzet, pl. T = 0.1 [sec] esetén: s
P
Á
z
d
W
)
9.9006(^0.99)10-* (z - 0.9900) ( z - 0 . 9 8 0 2 )
A digitális szabályozókat realizáló hardver platformok fejlődése egyre kisebb mintavételezési idők alkalmazását engedi meg, ezért kerülhet előtérbe a delta transzformáltak használata a diszkretizáció során. Gyors mintavételezés esetén a delta transzformáció (13.64) megfelelő pontossága ugyanakkor a frekvencia torzítás lekezelésének nehézségével terhelt bilineáris transzformáció használatát is elkerülhetővé teszi. PID szabályozók
diszkretizálása
A PID szabályozók a folyamatok széles körére kínálnak megoldást, így a gyakorlati irányítástechnika legismertebb szabályozó típusát képviselik. A PID elnevezés arra utal, hogy ez a szabályozás három párhuzamos átviteli függvény (ún. csatorna) eredőjeként áUítja elő a hibajelből a beavatkozójelet. Ezen alapelven túlmenően a PID szabályozók formai leírása úgy a folytonos, mind a diszkrét időtartományban számos variánst foglal magába. A mintavételes PID szabályozó család tervezésének tárgyalásakor a 12. Fejezetben csak a SRE transzformációt használtuk. A m i a DI variánsokat illeti, adott folytonos PID szabályozóból nyilván annyiféle diszkretizált alak álk'tható elő, ahány különböző diszkretizálási technikát alkalmazunk a FI-DI átalakításra. A z alábbiakban mintaképpen mutatunk be néhány származtatási technikát,
351
hangsúlyozva, hogy további verziókhoz is hasonló módon juthatunk. A PID különböző analóg és digitális megvalósítási formái a beavatkozójelet az
u(t) = A
szabályozók
(13.71) T=0
1
elvi egyenlet alapján generálják a hibajelből, ahol a hibajel a kimenőjelnek az alapjeltől való eltérése: (13.72)
y -y{t)-
e{t) =
r
Kétpontos differenciálást és jobb oldali téglány szabály szerinti integrálást választva az egyes csatornák működése közvetlenül felírható: P-csatorna: u [k] = Ae[k]
(13.73)
P
/-csatorna:
M l
(13.74)
[*]= [A:-l] + 4 r ^ M M l
h
D-csatorna: U (s)
= AsT»E(s)
D
=»
u [k] =
AT
n
—?-(e[k]-e[k-l]).
D
(13.75)
A teljes bemenőjel ezekután: AT
u[k] = w [k] + Wj [k] + u [k] • A +
S
A7b
(
Q
D
P
(13.76) = A\ 1 +
Tq s
T (q-l) D
•+
J
Tq s
e[k]
Egy másik numerikus integrálást választva fejezzük ki először a PID jelformálást L A P L A C E transzformáltakkal: U(s) = A
E(s).
(13.77)
Válasszuk a bilineáris transzformáció szerinti diszkretizálást:
e[k] =
u[k] = A
27} l-q~
T V
>
s
(13.78)
V = K
l
1+-^-
2r
T
+
JLJ«l. 5i( _ -i) +
2^ í-^-
1
1
í
'
^ p + ^ - ^ + ^ i - ^ i-#
1
) _
352
ahol
ATI
K
=
D
2
AT D
(13.79)
A diszkrét idejű PID szabályozó a fenti összefüggéséből az eltolási operátor alkalmazásával \2] l
(l - q~ )u[k]
l
= Kp(l-
1
q~ ) + ffj
(13.80)
1
-
D
q~ )'
majd további rendezés után u[k] = u[k-1]
+ (K
P
+ K )e[k]-
(K
D
P
-Kj+
2K )e[k-1] D
+K
D
e[k-
2]
formában adódik. A diszkrét idejű PID szabályozó fenti alakját pozíció nevezzük, a beavatkozójel növekményének felírása pedig az ún. sebesség eredményezi: u[k]-
u[k-1]
= (K
+ K )e[k]
P
- (Kp -K +
D
2K^)e[k-l]
Y
+K
D
e[k-
2]
(13.81) algoritmusnak algoritmust
(13.82)
Zajos mérési környezetben a £>-csatorna gyakorlati megvalósítása természetesen n e m történhet az elvi egyenletben szereplő T de(t)/dt kifejezés szerint, mert a mérési zajokkal terhelt kimenőjel indokolatlanul nagy amplitúdójú beavatkozójeleket eredményezne. Megjegyezzük, hogy mintavételes rendszerek esetén a kimenőjel méréseit fogadó aluláteresztő szűrő alkalmazása csökkenti a nagyfrekvenciás mérési zajok érvényre jutását. A z általános és a korábbi fejezetekben megismert megoldás a differenciális hatás szűrése egy tárolós tag segítségével. Áttérve a L A P L A C E transzformáltakra: D
U(s) = A 1 +
S7/t
• +
D E(s), 1 + sr /iV j
(13.82)
D
ahol N szokásos értéke 5 és 20 között változik. A nagyobb N értékek a magasabb frekvencia tartományokra engedélyezik a differenciáló hatás érvényre jutását. A z arányos (P), integráló (/) és differenciáló (£>) csatorna diszkretizált alakját egymástól függetlenül, egyszerű megfontolásokat követve, a numerikus integrálás formalizmusának felhasználása nélkül is elő tudjuk álKtani: P-csatoma: w [fc] = P
(13.83)
Ae[k]
/-csatorna: AT «I[*]=I«I[*-1] +
(13.84)
^-M*]
D-csatorna: U (s) D
=K
^ ^ E ( s ) l + sT /N' D
=> U (s) D
+ ^U (s) D
=
AT sE(s) D
(13.85)
353
A differenciálást a két egymást követő minta figyelembevételével
r
dí
(13.86) s
szerint elvégezve (13.87) adódik, ahonnan u [k]-D
^—u [k-l] T +NT D
D
J
+
^-(e[k]-e[k-l}).
T +NT
S
D
(13.88)
S
A csatornánkénti megvalósítás egy párhuzamos struktúrájú realizáció, így a beavatkozójel «[ik]=iip[ife] +
u[jfe] + I
ií [Jk].
(13.89)
D
A párhuzamos PID realizáció alkalmazásakor átláthatóvá válik az egyes csatornák működése. A módszer további előnye, hogy egyszerű módon teszi lehetővé speciális megfontolások beiktatását. Például abban az esetben, ha az alapjelben bekövetkező változásokat n e m kívánjuk bevonni a differenciális csatorna működésébe, akkor ez
"D [*] = T ^ b r «d[* - 1 ] T +NT D
S
(13.90)
(y [*] -y[k-1])
T +NT< D
szerint közvetlenül megvalósítható. Hasonlóképpen az integrátor telítésének közvetlenül az u^k] változó figyelésével és korlátozásával oldható meg.
lekezelése
A fenti összefüggések természetesen az eltolási operátor alkalmazásával is megfogalmazhatók, ekkor az /-csatornára A 71 «I[*] = *" «I[*-1] + V - « [ * ]
(13.91)
e[k],
!
a D-csatornára pedig
[
1\
«dM = / 1-
«M =
T
\
T +NT -q D
(13.92)
\e[k)
J
T
s
D
T +NT D
S
adódik. Az egyes komponenseket összevonva:
u[k] = u [k] + Ui[k] + u [k] - A P
1
D
+
—
i
— +
D
—
ik] =
r 1
T + NT -q-%
Ttfl-q- )
s
(13.93) Ti (l ~ q '
1
) ^ +NT -
q-%)
S
+ (l - g - % NT (l~ L
1
1
2i(i- - )(r +Arr,- - r ) í
D
í
D
l
q~ ) + T
s
354 Vegyük észre, hogy további rendezés után a PID szabályozó általános alakja az eltolási operátor függvényében az b
+b
+b q
2
u[k]= ° ^ i ~ e[k] 1 + aq + aq
(13.94)
2
x
2
struktúrát követi, amiből a megvalósítás rekurzív összefüggése közvetlenül felírható: u[k]=b e[k]
+ b e[k-l]
0
+ b e[k-2]-a u[k-l]-a u[k-2]
1
2
1
A bemutatott diszkretizálási módszereken alapuló csoportra oszthatók: Tervezés a bilineáris
transzformáció
(13.95)
2
(w-transzformáció)
tervezési eljárások
lényegében
három
módszerével
A tervezés lépései a következők: 1>
(1) Állítsuk elő a P (z) = ^l-z~ j%'{P(s)/s} d
(2) Tervezzünk egy folytonos C(w)
diszkrét folyamatmodell
szabályozót a folytonos P{w)
tervezési módszerek egyikével. Ez a tervezés tipikusan a P{w)
w-transzformáltját:
szakaszhoz a folytonos
szakasz P(jv) -
P{w)\ j
w= w
frekvenciafüggvénye alapján történik. (3) A w-transzformáció bemutatott összefüggésének ismételt felhasználásával transzformációval) határozzuk meg a diszkrét idejű szabályozót C
W
=
C
W
w = 2
13
(i- -)/r (i -) z
s
(inverz
w-
97
< - >
+ z
szerint. (4) A megtervezett szabályozóval ellenőrizzük a zárt kör működését. A z ellenőrzés minden szabályozó tervezési eljárás elengedhetetlen záró lépése, jelen esetben 2 szerinti frekvencia torzulás okoz-e ellenőrzéskor azt is látni fogjuk, hogy a v = — t a n v 2 lényegi minőségi romlást a zárt kör tervezett viselkedésében. Ha igen (ez viszonylag alacsony frekvenciás mintavételezésnél fordulhat elő), akkor a w-transzformáció során alkalmazhatjuk a Z
w' =
— — —r szerinti átskálázást (prew arping) annak érdekében, hogy a t a n ( w r / 2 ) l + zfrekvencia torzulás az co vágási körfrekvencia környezetében ne jelentkezzen. M e g kell jegyezni, hogy a w-transzformációs tervezés folytonos tervezési lépése - C(w) meghatározása nem szokványos tervezési feladat, mivel.P(H') nem-minimumfázisú. 1
c
s
c
Tervezés a delta transzformáció
(h-transzformáció)
módszerével:
A gyakorlatban egy folytonos szabályozó delta transzformáltakkal történő diszkretizálása során úgy járunk el, hogy felvázoljuk a folytonos szabályozó egy realizációját (folytonos
355
integrátorokból és konstansokból illetve összeadókból álló blokkvázlatát), majd a folytonos 1 T integrátorokat — = —— delta integrátorokkal váltjuk fel, ami a korábbiakban bemutatott o q-l i[k] = i[k-l]
+ T f[k-l]
(13.98)
s
összefüggés szerint újítja fel minden lépésben a realizáció diszkrét idejű integrátorait. Tervezés a diszkretizált
PID szabályozók
alkalmazásával
A bemutatott származtatási módszerek valamelyikével kapott pozíció vagy sebesség algoritmus közvetlenül szolgáltatja a szabályozási algoritmust. Összefoglalásképpen megállapíthatjuk, hogy a közbenső folytonos szabályozó tervezési módszere elsősorban kis mintavételezési idők esetén indokolt, ekkor numerikusan kedvezők az alkalmazási feltételek. További előny, hogy a folytonos rendszereknél megismert technikák közvetlenül átvehetők. A módszer hátránya is ez: alkalmazásakor n e m lépünk túl a folytonos tervezési technikák korlátain. Diszkrét idejű szabályozó tervezése diszkretizált folyamatmodell alapján A tervezés során azt az elvet követjük, hogy a hibrid (folytonos és diszkrét idejű) feladatot egy tisztán diszkrét idejű feladattá alakítjuk és ezt a tervezési feladatot oldjuk meg. Az átalakítás első lépéseként a folytonos folyamatot a tartószervvel együtt egy diszkrét idejű folyamatmodellbe integráljuk. Zérusrendű tartószervet feltételezünk, ekkor a diszkretizált modell lényegében a folytonos folyamat egységugrás ekvivalens diszkrét idejű megfelelője:
P ( ) = D
Z
(l- -i)jr|MJ.
(13.99)
z
A tervezés célja egy C(z) impulzusátviteli függvényű soros szabályozó meghatározása, amely mellett a zárt rendszer T(z)= K
)
C
f
d
^ ^ \ l+C(z)P {z) d
vagy általánosan
T(z)= K
)
Z
°^}^ }, l + C{z)G{z)
(13.100)
eredő impulzusátviteli függvénye előre meghatározott tervezési specifikációkat elégít ki. Lényegében ezekkel a módszerekkel foglalkoznak a 12., 14. és 15. Fejezetek, ezért itt a módszerekre nem térünk ki. Diszkrét idejű szabályozó tervezése folytonos folyamatmodell alapján A módszer alapja az a megfigyelés, hogy a frekvenciafüggvények vonatkozásában az alacsonyfrekvenciás tartományban a mintavételes rendszerek jól közelíthetők folytonos rendszerekkel. A folytonos rendszerek tipikus frekvenciatartománybeli tervezésének lépéseke visszaemlékezve felidézhetjük, hogy a statikus pontosság biztosítására Pl jellegű soros elemeket terveztünk a szabályozóba, majd a zárt kör szervo és zavaráselhárítási tulajdonságait javítandó, a metszési frekvenciát közelítő PD (valójában fázissiettető) tagok beiktatásával igyekeztünk megnövelni, végül a stabilitás mértékét előírt fázistartalék formájában az erősítés beáUításával határoztuk meg. A Pl és a közelítő PD tagok sarokfrekvenciái a jellegzetes,
356
aluláteresztő szűrő jellegű folyamatokra az alacsony illetve középfrekvenciás szakaszra estek. A diszkrét idejű szabályozó tervezésénél hasonlóan járunk el. A PI és PD jellegű soros elemeket továbbra is a folytonos szakasz frekvenciafüggvénye, gyakorlatilag a közelítő B O D E diagram alapján vesszük fel, azonban miután ezen soros elemek jellegét (PI vagy PD) és törési frekvenciáit megválasztottuk, n e m folytonos szabályozó tagokat, hanem közvetlenül diszkrét idejű soros elemeket képezünk. A z erősítés beállítása most is a tervezés parametrikus beállítási fázisának befejező lépése lesz. A módszer lépéseit összefoglalva: (1) PI és PD jellegű kompenzáció bevezetése a folytonos szakasz frekvenciafüggvénye alapján (2) Az első lépésben bevezetett PI és P D jellegű kompenzáció diszkrét idejű alakjának képzése és hozzáadása (soros elemként) a korábban meghatározott elemekhez (3) A szabályozó erősítésének megválasztása előírt fázistartalék elérésére (4) A metszési körfrekvencia ellenőrzése megfelelőség szempontjából (5) A zárt kör ellenőrzése a beavatkozójel és a kimenőjel megfelelősége szempontjából (statikus és tranziens valamint a mintavételezési pontok közötti viselkedés). A folytonos rendszerbeli tervezéssel összehasonlítva a jelen tervezés a második, a harmadik és az ötödik lépés tekintetében igényel speciális megfontolásokat. A PI és PD jellegű kompenzáció
diszkrét idejű alakjának
képzése
A diszkretizált alakokat a pólus-zérus ekvivalencia módszere szerint állítjuk elő:
Plmg: Legyen a folytonos átviteli függvény(1+ sT^/s,
a további jellemzőket táblázatba foglalva: Diszkrét idejű
Folytonos idejű 1 + sTi
Átviteli függvény
k
s Zérus
'2PI=-1/21
Pólus
PPI =
= ^iT
Z x
e
0
s
Z
~ ' z-Pi
s
-T /T,
=
e
PpiT
=e *
P l
A P / t a g diszkrét idejű megfelelője: [z-e
Z
x
1
s
=1
A z erősítéstől azért tekintünk el, mert
csak az együttes erősítést kívánjuk meghatározni az eljárás végén. PDtag: Legyen a folytonos átviteli függvény (1 + sx)/(l + sT), a további jellemzőket táblázatba foglalva:
Diszkrét idejű
Folytonos idejű l + sx Átviteli függvény
Z
k
1 + sT
2
Z 2
~ Z-P
2
="IÁ
Zérus
ZPD
Pólus
P?D=-V
T
p = 2
P e
m
T
s
=
e~
Ts/T
357
A PD tag diszkrét idejű megfelelője: [z-e
s
I [z-e
5
. A z erősítéstől azért tekintünk el,
mert csak az együttes erősítést kívánjuk meghatározni az eljárás végén. impulzusátviteli függvényt vegyük figyelembe, hogy T értéke, amely ötöde, tizede vagy huszada szokott lenni, most tetszőlegesen kis érték esetben az 1 + sx tag frekvenciafüggvényének amplitúdó függvénye a frekvencia következtében n e m tarthat a frekvencia növekedésével gyakorlatban ezért az e
s
következtében a [z-e
Diszkutálva a kapott folytonos esetben x lehet, hiszen extrém véges mintavételezési a végtelenhez. A
= 0 feltételnek eleget tevő T értékkel számolhatunk, aminek )/z
impulzusátviteli függvényt fogjuk használni a PD tag diszkrét
megfelelőjeként, amit csupán a megválasztott törési frekvencia szerint kell paramétereznünk. A diszkrét idejű szabályozónk egy-egy Pl illetve PD tagot feltételezve ezekután
(13.101)
alakú, a szokásos elnevezése - a bemutatott eljárás lépéseke utalva - PIPD szabályozó. Megjegyezzük, hogy természetesen m ó d van több Pl és/vagy PD tag alkalmazására is. A szabályozó A erősítésének megválasztása a tervezési eljárás harmadik lépése. Ebben a lépésben a struktúrájában rögzített, az egyetlen szabad paraméterrel, a K = AP (l) hurok erősítéssel képzett L(z) = C(z)P {z) hurokátviteli függvényt kell vizsgálnunk, amelyben a K függvényében m e g kell határoznunk az co metszési frekvenciát, majd az ahhoz tartozó fázistartalékot. Olyan K értéket keresünk, amely a tervezett fázistartalékot eredményezi. K meghatározására több utat követhetünk. Választhatunk a próbálgatás egy szervezett módjaként egy iteratív technikát, ami jó érzékkel megválasztott lépések sorozatával meglepően gyorsan tud konvergálni. Alkalmas módszer lehet a C(z) szabályozó dinamikus elemeinek frekvenciatartománybeli közelítése. Mindkét módszert gyors és pontos számításokkal váltja fel egy C A D környezet, ahol L(z) frekvenciafüggvénye egységnyi erősítés mellett felvázolható és azonnal leolvasható, milyen mértékben kell módosítani az erősítést, hogy a fázistartalék a kívánt értékű legyen. Ezt a kritikus lépést a 13.2. Példán keresztül fogjuk részletezni. d
d
c
A módszer utolsó pontja az ellenőrzés. Itt arra kell felhívni a figyelmet, hogy a zárt kör vizsgálatát ki kell terjeszteni a kimenőjelnek a mintavétek pontok közötti viselkedésének szimulációjával.
13.2. Példa Legyen a folytonos szabályozott szakasz átviteli függvénye -s
P(s) =
e (1 + 10Í)(1 + 5Í)"
(13.102)
Tervezzünk mintavételes PIPD szabályozót T = lsec mintavételezési idő mellett úgy, hogy a s
kör 7 = 1 típusszámú, a fázistartalék közlítően 60° legyen. A tervezést a szakasz diszkretizálása előzi meg:
358
P (z) á
l
l
= z - ( l - z - ) z l
w
V
[(1 + 10j)(1 + 5s)s
/ (
=0.0091,
Z
+
4
T
8
)
. ,
=0.009!
z
+
&
9
0
4
8
1 3
< ) (z-0.9048)(z-0.8187)z
< -
1 0 3
>
10
z-e
V
J
A folytonos tervezésnél megismert elveket követve a PI szabályozó törési ©i = 1/10-re, a PD szabályozó törési frekvenciáját co = 1/5-re választjuk, ekkor
frekvenciáját
2
z-e"
Cpi(z):
1 / 1 0
z-0.9048
(13.104)
z-l
z-l
illetve 1
z-e" /
5
z-0.8187
C (z) =
(13.105)
P D
Ezzel
'PIPD (z)
= A
z-0.9048 z-0.8187 z-l
(13.106)
z
Az
L(z) = C {z)P (z) nPD
= A
d
z - 0.9048 z - 0.8187
0.009l(z + 0.9048) (z-0.9048)(z-0.8187)z
z-l
(13.107)
0.009 l(z + 0.9048) z(z-l) hurokátviteli függvény
^ = a((ü)e^°^
frekvenciafüggvényét A = 1 választás mellett
kiértékelve a cp(co) fázisfügvény a 9 = - 1 2 0 ° fázistolás értéket az amplitúdó függvény i20 0-0661 értékénél éri el. Mivel az A erősítés változtatásával a fázisfüggvény nem változik, csak az amplitúdó függvény változik éppen A-szorosára, ezért A = 1/0.0661 = 15.13 erősítést =
a
beállítva a
fázisfügvény a c p = - 1 2 0 ° t
értékénél
éri
(p = 180° + )| t
el,
ez
pedig
fázistolás értéket az amplitúdó függvény azt
jelenti,
j = 180° - 1 2 0 ° = 60°. A keresett PIPD szabályozó tehát z-0.9048 z-0.8187
C
PIPDG0
=
1
hogy
5.13
z-l
z
A zárt kör időtartománybeli működését a 13.2. ábrán láthatjuk.
a
a o =1 12
fázistartalék
359
10
15
20
0
5
10
15
t [sec] 20
13.2. ábra A zárt DI kör működése PIPD szabályozással 13.3. Mintavételes maradék rendszerek tervezése Folytonos rendszerek esetén gyakran előfordul, hogy a szabályozó tervezést követően a hurokátviteli függvény korlátozott bonyolultságúra adódik. Ilyenkor az ún. maradék rendszerek analitikus formában is tárgyalhatók. Mintavételes rendszerek esetén, ha a folytonos folyamat és a nulladrendű tartószerv együttes z-transzformáltjához tervezünk diszkrét idejű szabályozót, hasonló vizsgálati lehetőségeket várunk. Ez azonban sajnos nincs így, mert csak a 8transzformáció biztosítja ugyanazt a struktúrát a DI modelke, mint a FI modell esetében volt. Emlékeztetünk arra, hogy a széleskörben használt SRE transzformáció mindig egységnyi pólustöbbletet biztosít. Mivel a z-transzformáció egy «-ed rendű folytonos folyamat és a nulladrendű tartószerv együttes diszkrét idejű modelljének előállításakor n számú pólust és általában ( n - l ) számú zérushelyet eredményez a z síkban, ezért a maradék rendszerek vizsgálata több paraméter terében történő vizsgálódásra vezet, mint folytonos esetben. Ehhez járul még a mintavételi idő, mint további szabad paraméter figyelembe vétele. Az elmondottakat pontosan követhetjük az alábbi példán keresztül. Kéttárolós folytonos holtidős folyamat Tekintsük a
(13.108)
P(s) = (1 + ÍZÍ)(1 + Í T ) 2
átviteli függvénnyel adott holtidős folytonos folyamatot, ahol T =dT , d
(13.109)
( d = 0,L2,...)
s
formában feltételezzük, hogy a T holtidő a T mintavételezési idő egész számú többszöröse. Ekkor a folytonos folyamat és a nulladrendű tartószerv együttes DI modellje á
s
(13.110) á
{
Z
)
~
Z
d
(z- )(z-p )-z (z- )(z-p ) Pí
2
Pí
2
Legyen a póluskiejtéses technikával tervezett diszkrét idejű PID szabályozónk impulzusátviteli függvénye
360
K
C ( \ - (z)r C(z)-C
z
z
(-)- c(^-Pi)( -P2)
7
?lD
(13.111)
ekkor a hurokátviteli függvény j (A - t
7
\ p(A
c z)
P(z)
r
L )
-
{ z
{
K
- C P { ~ l) K
z
z
{Z~Zi)
K
_ L
-
_ Kj
- p r r - - ^
(Z-ZT)
- - J W ^
(13.112) •
ahol. A z L(z) frekvenciafüggvénye így
^[cosfoTj + jsinfoT;)-^]
=
cos[(d + 2)co7;] + ; s i n [ ( J + 2 ) c o r ] - c o s [ ( J + l)cor ]-7'sin[(á + l)cor ] s
s
(13.113)
s
A fentiek alapján . . . sin(cor) arc{L(;co)} = arctg - i — ^ " cos^rj-z! 1
arctg
v
s i n [ ( á + 2)cor l-sin(cűr ) g — - ± í—^cos[(d + 2)(úT -cos(cor ) s
s
1
Mivel a kisfrekvenciás tartományban az z^
= -90°-co(J + l)
arc
s
d
+
s
(13.114)
s
kifejezés fázisszöge j ó közelítéssel
\-\)
180°
(13.115)
TZ
így ebben a tartományban rn - m arc{L(;co)} = arctg
sin(a>2;) v
^180 9 0 -co(<2 +1) n n e
s /
cos((úT )-Zi
"
s
(13.116)
n
'
Amennyiben cp = 60° értékű fázistartalékra tervezünk, akkor az t
arc{L(jCú)} = - 1 2 0
o
(13.117)
feltételt kell kielégíteni. Ehhez az /j in ° co (d +1) — 1 8 0
íz
™° sin(co7/ ) 30° = arctg—t-i'cos((üT )-zi L
s
(13.118)
s
transzcendens egyenletből kell meghatároznunk az co metszési körfrekvenciát, majd az c
egyenletből
(13.120)
„7'co r,
„
c
alapján a K hurokerősítés értékét, végül x
K
=K
c
(13.121)
K
l/ P
szerint a szabályozó keresett erősítését. Látható, hogy különösen a transzcendens kiindulási egyenlet következtében bonyolult számításokat kell végeznünk, CAD eszközök birtokában viszont n e m kell veszni hagynunk a hurokátviteli függvényre kapott kompakt K (z-z ) l
{
)
l
(13.122)
z ^ \ z - í )
kifejezést, amely kényelmesen kezelhető. Például megfelelő függvények egyetlen lépésben megadhatják egy kívánt frekvenciatartományban (a függvényhíváskor megadandó frekvencia felbontás mellett) az L(z) impulzusátviteli függvény frekvenciafüggvényének összetartozó frekvencia, amplitúdó és fázis értékeit, közöttük a számunkra fontos arc{L(7Co)} = - 1 2 0 ° környezetben is. A közelítés a frekvenciatartomány folyamatos szűkítésével, felbontásának finomításával tetszőlegesen pontossá tehető. N e felejtsük el, hogy a frekvenciafüggvény számításakor az említett függvényhívásoknak „tudni kell" a tervezés kezdetén választott T s
mintavételi időről, hiszen ennek ismerete a formális
sT%
z =e
behelyettesítéskor is S=j(Ű
szükséges. Megjegyezzük, hogy holtidő mentes folyamat esetén k = 1, következésképpen ekkor az
co
180°
n n n
sin (cor,) v
30° = arctg -' 'cos^r^-zj
(13.123)
transzcendens egyenletből kell kiindulni. További megjegyzés, hogy kéttárolós, egy zérust is tartalmazó
P(s).
(l + yc)e -'Ti (l+íIiXl+rfi)
alakú folytonos holtidős folyamat szintén a
(13.124)
362
(13.125) d
{
)
Z
d
( -Pi)(z-P )
z (z- )(z- )
2
Pl
P2
diszkretizált alakra vezet. TUSCHÁK m ó d s z e r e TUSHÁK módszere azon alapul, hogy a D l szabályozók tervezése módszerei is lényegébenpólus (zérus) kiejtési módszereket használnak. Ezért sok esetben j ó eredményt kapunk, ha a szabályozó tervezést a FI folyamatmodell alapján végezzük, viszont a mintavételezés miatt bekövetkező extra, rendszerint fázistorzulást figyelembe vesszük. A legegyszerűbb mT
2
fázistorzulást már tárgyaltuk, hiszen a zérusrendű tartószerv alkalmazása egy e~^ ^ nagyszágú extra holtidőt helyez el a zárt körbe, ami azt jelenti, hogy a fáziskarakterisztika kedvezőtlen irányba változik cp (;co) = 9(700) - a>T szerint. s
s
A z SRE transzformációval kapott D l modellek további nemkívánt torzulást Vizsgáljuk először egy P(s) = 1/(1 + sT) egytárolós tag SRE modelljét, ahol
l-e 1
l + az
l - -TJT _-l
z+a
x
1
z-e
(
-TJT
jelenthetnek.
-TJT
(13.126)
z-e-W K=\
Az exponenciális tagokat közelítsük TAYLOR sorukkal 1 - \-T /T
2
+
s
(TjT) /2-..: (13.127)
2
l + ;cor + ( 7 C o r ) / 2 + ... s
s
-
2
\-T /T+(TjT) /2-..] s
A másod és magasabbfokú tagokat elhanyagolva kapjuk, hogy 1 d
^
J ( Ü )
(13.128)
1 + j(úT
1 + (j(üT
-1) T J2T s
1 + ;'CÚ7/ '
ahol
7r>
TJ2
(13.129)
1-TJ2T
T «r s
A kisfrekvenciás tartományban tehát a járulékos holtidő megegyezik a mintavételezés miatt figyelembevett T /2 értékkel, viszont nagyobb mintavételezés időre ez jóval nagyobb is lehet, s
például T =T S
esetén már
T^=T . S
Mind a FI folyamat zérusaiból, mind pedig a mintavételezésből is jelennek m e g zérusok az impulzusátviteli függvényben. Tekintsünk egy egységnyi erősítésű P
363
v P (j(ú) á
J(üT
2
e °+y í + j(oT + (j(üT ) 2 =— U — , ' 1+ y 1+ Y s 5
v
+ ... + y
s s ;
L
(13.130)
A számlálót és a nevezőt (1 + y) -val osztva majd a négyzetes valamint magasabbfokú tagokat elhanyagolva
i aT
P {j(0)~l
+ j(ü^-~e- ' * 1+ y
i
(13.131)
ahol a járulékos negatív holtidő (tehát siettetés)
=T
(13.132)
S
1 + Y|7=0 H a y értéke kicsi, akkor r
+ h
= r , ha nagy, akkor T / 2 - n é l is kisebb lehet. s
s
A fentiek alapján a teljes járulékos holtidő legdurvább becslése p
f
h
T
( -Z) s
=
(13.133)
ahol P a DI modell pólusainak, Z pedig a zérusainak a száma. Ez n e m sokkal mond többet, mint a tartószerv miatt figyelembevett egyszeres g - * ^/ késleltetés (SRE diszkretizálásra ugyanis P-Z = l), ezért mindig célszerű a (13.129) és (13.132) képletekkel pontosan kiszámítani a pólusonkénti és zérusonkénti valamennyi járulékos holtidőt -
z
7
07
2
p
*h=2Xi-5Xi í=l
(13.134)
j=l
73.3. P e t á a Legyen a folytonos szakasz átviteli függvénye:
P(s) = ' (1+J)(1 + 5J)(1+10J)
(13.135)
1
V
A mintavételezési idő legyen T = 1. Az impulzusátviteli függvény: s
d V
;
(z-0.9048)(z-0.8187)(z-0.3679)
A közelítő diszkrét frekvenciafüggvény a kisfrekvenciás <£>< l/T = 1) tartományban: s
_J_0^ _0^ _0^__ +
+
1 / 1
. 903-l/3.747l] 1
z , ^ . ^ , ( l + 0-1903)(l + 2.7471> U-o.5i-o.ii-o.05 ) P (;co) = 0 . 0 0 2 4 ^ £ 4, w w r ( l - 0 . 9 0 4 8 ) ( l - 0 . 8 1 8 7 ) ( l - 0 . 3 6 7 9 ) ( l + 107Cú)(l + 5;co)(l + ;'co) d d
r
V
;
(13.137)
364
illetve -;ú)(2.089-0.84-0.2669)
g
(1 + 107CŰ)(1 + 57CŰ)(1 + 7CO)
-;(ű0.875
(l + 10;cű)(l + 5;(ö)(l + ycű)
(13.138)
Tehát a szokásos fél mintavételnyi (0.5) időhöz képest itt egy kicsit nagyobb értéket kaptunk. K é t t á r o l ó s d i s z k r é t h o l t i d ő s folyamat A (13.108) kéttárolós FI holtidős folyamat SRE diszkrét idejű modellje a (13.110) szerint, amelyet szokásos m é g a
K
'
1+ a z
+fl z
t
1 + ci\ z
2
+a z 2
alakban is felírni. Érdemes megjegyezni, hogy a (13.64) szerinti 8-transzformáció esetén a
P
^ ) = v
/°-f\ 1 +«! q + a
;
q
2
-2 < f S
, 1+ a q
.
+a
x
2
q
-
^
2
(13-140)
k
alakot kapjuk, ahol d"=d + 2. Mindkét alak tehát egy P =Bz~ /A függvénnyel adható m e g , amelyek a B és k értékében térnek el egymástól.
impulzusátviteli
á
A D l hagyományos legegyszerűbben a
c [ z )
=
% +^ -
l +
q
PID
2
z -
szabályozó
2 G
Á
z
)
=
^M
1-z
klasszikus
Gf{z)
pólus
kiejtéses
tervezési
módszerét
(13.141)
t
l-z
szabályozó alakkal írhatjuk le, ahol G (z)
a szabályozón belüli soros szűrő. A z ily m ó d ó n
F
történő kompenzálás eredményeként kapott maradék hurokátviteli függvény
L{z) = ^ G 1-z
F
( z ) z -
k
=
j
°° l-z
=
]
\
•
(13-142)
l-z
Az egyszerű maradék zárt körben cp = 60° fázistöbblethez nagyon szép (1-5 %-os) túllendülés tartozik. A beállítandó integrális hurokátviteli tényező kiszámításához sajnos egy t
, „ l-2arctg
ysinx '
I ± £ ° » =*(*).
(13.143)
2J-1 nemlineáris egyenletet kell megoldanunk és a megoldást felhasználva J 2 ( l - cosx) =L= +lycos X + Y
K^-J-L-
(13.144)
365
A z utóbbi két egyenletből K optimális beállítási értékére kapott megoldások görbeseregét a 13.3. ábán mutatjuk be k és y függvényében. Pozitív y értékekre a két egyenlet függvényeinek TAYLOR soros közelítését felhasználva közelítő zárt alakot kapunk K -re: x
x
1
(13.145)
(Y>0)
2*(1 + Y ) - ( 1 . - Y )
-0.5
0.5
0
13.3. ábra Az optimális K a d és y függvényében x
A 8-transzformációnál oly gyakori y = 0 esetre (BANYASZ-KEVICZKY módszer) 1
1 2k-l
2k-l
k = d
.
2(d + 2)-\
(Y=0)
2d+3
(13.146)
Egyszerűen ellenőrizhető, hogy 1
T ->0 s
(13.147)
lim
= lim
T?
T
s
T ^o s
2T
d
+ 3T
s
2T
d
ami megfelel a FI maradékrendszerre kapott (8.23) szerinti megoldásnak. Jegyezzük meg, hogy a y < 0 tartományra az egyszerű
G (z) F
=
1
(13.148)
í + yz~ soros szűrő alkalmazható. Ez az eset a DI közelítő PID szabályozó (13.14) alakjának felel meg. Ez a lényegében zérus kiejtéses technika jól alkalmazható abban az esetben, ha a Z\ = -y zérus stabilis. A m e n n y i b e n a zérus labilis, akkor egy p =\/z\ értékű pólussal sikeresen csökkenthetjük a zárt kör átmeneti függvényében a n e m kívánt "negatív" túllendülést. Ezt a pólust helyezhetjük el a í
366
Gp( ) = I ± I z
-J—,
soros szűrő választással (BÁNYÁSZ-KEVICZKY-HETTHÉSSY módszer).
(13.149)
367
14. Állapotvisszacsatolás mintavételes rendszerekben A 9. Fejezetben bemutattuk FI folyamatokra az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozó tervezési technikát. A z alábbiakban ezt a módszert a mintavételes rendszerekre foglaljuk össze. Ennek bemutatásához tekintsük egy mintavételes szabályozandó lineáris (L77) folyamat állapotegyenletét a 11.4. pont alapján a d = 0 esetre x[k + l] =
Fx[k]+gu[k] (14.1)
y[k] =
T
c x[k]
Az egyenletnek megfelelő blokkvázlat a 14.1 ábrán látható. u[k]
14.1. ábra Lineáris idő invariáns mintavételes rendszer állapotegyenletének megfelelő blokkvázlat Itt u[k] és y[k] a folyamat be- és kimenőjele, JC pedig az állapotvektora. Az ekvivalens impulzusátviteli függvény most
r
G{z) = c (zl-F)
'g =
B(z) det(zI-F) u[k\
_B(z) A(z)
n l
_
b z - +... x
n
z
n 1
+a z - +... x
+ b_z + b n
x
n
+ a_z n
(14.2)
+ a
x
n
x[k + \] -1
z
*[*] c
T
y[k]
14.2. ábra Lineáris diszkrét idejű szabályozó állapotvisszacsatolással A z állapotegyenletes leíráshoz közvetlenül illeszkedő, ma már klasszikusnak számító, zárt szabályozási kört a 14.2 ábrán mutatjuk be, ahol r[&]-val jelöltük az alapjelet. A zárt kör az állapotvektorról a k formában T
u[k] = k [k]-k ir
lineáris arányos visszacsatoló vektor segítségével jön létre az alábbi
x[k]
A 14.2. ábra alapján egyszerűen felírható a teljes zárt rendszer állapotegyenlete is.
(14.3)
368
T
x[k + l] = (F-gk )x\k]+k g
r\k]
T
\
I
( 1 4
4)
T
y[k]=c x[k] azaz az állapotvisszacsatolással az eredeti F rendszermátrix szerinti dinamika a gk
diadikus
T
szorzattal (F - g k j -re módosul. A zárt szabályozási kör átviteli függvénye
T (z) = ^ c V z I - F M*J [Zi F R { z )
T
1+ / ( z / - F )
_ 1
l
+
+
g^)- gk gk J gk
=
r
g
A{z) +
l
c
l +
1
V - ^ ) " ^l k
T
{
z
I
_
F
)
-
8
(14.5)
T
k V{z)g T
amely az X(z) = {zí-F)~ gU(z)
(lásd (3.12)-t), az U(z) = k R(z)-k T
X(z)
(lásd (9.3)-t), és
(lásd (9.1)-t) L A P L A C E transzformáltakra érvényes egyenletek az Y(z) = c X(z) összevetéséből adódik a mátrixinverziós lemma felhasználásával (a bizonyítást lásd részletesen az F-5. Függelék F-9.1. pontjában FI rendszerre). Vegyük észre, hogy az állapotvisszacsatolás a T
folyamat zérusait érintetlenül hagyja, és csak a zárt rendszer pólusai tervezhetők k Az k
-vei.
úgynevezett kalibrációs tényezőt azért vezetjük be, hogy segítségével a 7^
t
erősítése
egységnyi legyen ( T ( l ) = 1). A felnyitott kör ugyanis jól láthatóan n e m integráló jellegű, így ry
zérus hibát és egységnyi statikus átvitelt ne m tud eredményezni. Ez csak akkor lehetséges, ha biztosítjuk a
k
T
-1 = — — — ^ =
_ 1
Jfe F e-l
1
t
(i4.6)
feltételt (lásd a F-5. Függelék F-9.2. pontját). A fentiekben bemutatott speciális zárt szabályozási kört állapotvisszacsatolásnak hívjuk.
14.1. Diszkrét idejű póluselhelyezés állapotvisszacsatolással A z állapotvisszacsatoláshoz
legtermészetesebben kötődő tervezési módszer az úgynevezett r
póluselhelyezés. Ennél a módszernél úgy kell megválasztani a k visszacsatoló vektort, h o g y a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete az előírt 1Z(z) polinom legyen, azaz D l esetben n n
n
ll(z) = z + r z ~ x
l
+ ... + r _ n
lZ
+r = n
Y[(z - * , - ) = d e t ( z / - A + bk ) T
T
= A(z) + k W(z)b
(14.7)
i=i A megoldás mindig létezik, ha a folyamat megfigyelhető. Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatok. Az irányítható kanonikus alak (3.47) illetve (11.107) alapján a rendszermátrixok
369
-a
2
...
~ n-l
1
0
...
0
-a 0
0
1
...
0
0
0
0
0
1
0
f l
c
l c
= [b b ....b ] h
2>
;
n
g
= [l,0
c
O]
1
(14.8)
szerint alakulnak. Figyelembevéve F és g speciális alakját egyszerűen belátható, hogy az -a
-°2
T
=
c
c
n-l
~n
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-r
2
...
-'"n-l
1
0
...
0
0
= 0
1
...
0
0
0
0
0
1
0
a
0
1 F ~gJ
c
T
\k
0
(14.9)
tervezési egyenlet szerint az T
k
=kj
(14.10)
=[r -a ,r -a ,...,r -a ] l
l
2
2
n
n
választás biztosítja a (14.7) szerint karakterisztikus egyenletet, azaz az előírt pólusokat. A kalibrációs tényező megválasztás egyszerű számítással adódik ^a
n
+ (r -a ) n
r
_r
n
n
7
(14.11)
7_
A (14.4) és (14.6) egyenletek alapján egyszerűen belátható, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye állapotvisszacsatolásos póluselhelyezés esetén
(14.12) Tl{z) mint ahogy azt (14.5) kapcsán már jeleztük. A z állapotvisszacsatolás leggyakoribb esete viszont az, amikor a szabályozott szakasznak nem az átvitek függvénye, hanem az állapotteres alakja adott. A (3.67) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden kányítható rendszer kányítható kanonikus alakra hozható a T = Ml ( M ) c
c
_ 1
transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a
visszacsatoló vektort is T
jfc =kjT
c
=kj
C
!
l
M M ; = bjM- TZ(F) C
c
= [1,0
OjM^F)
(14.13)
A (14.13) kiszámításához tehát egyrészt képeznünk kell a z M kányíthatósági mátrix inverzét az c
általános felépítésű F és g rendszermátrixokkal. Másrészt az kányítható kanonikus alak Ml irányíthatósági mátrixát is létre kell hozni (lásd (3.61)-t). Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezőjében lévő a együtthatóktól függ, így képzéséhez a nevezőt ki kell számítani: A(z) = det (zl - F). Ugyanez igaz a második alakban a ~R{F) számítására is. A póluselhelyező állapotvisszacsatoló vektor bemutatott számítási módját kidolgozója után t
370
ACKERMANN módszernek nevezzük. Jegyezzük m e g , hogy a FI és a D l állapotegyenletek transzformációs tulajdonságai, kanonikus alakjai és az irányíthatósági/megfigyelhetőségi fogalmai formailag teljesen megegyeznek. Ebből adódóan a mintavételes rendszerek irányítására vonatkozó állapotvisszacsatolási technikák is nagy hasonlóságot mutatnak a FI esetben bemutatott módszerekkel. 14.2. Diszkrét idejű megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás A z állapotvisszacsatolás előző pontban leírt módszere azt igényli, h o g y a folyamatot leíró állpotegyenlet állapotváltozó vektorát közvetlenül mérni tudjuk. Ez csak nagyon ritkán áll rendelkezésünkre, általában csak alacsony fokszámú dinamika esetében (pl. út, sebesség, gyorsulás mechanikai rendszerekben). A módszer használhatóság tehát attól függ, hogy tudunke mérést vagy becslést kapni az állapotvektorról. A z állapotvektor előállítására az úgynevezett T
megfigyelő elvet dolgozták ki. Ehhez a módszerhez az F, g és c rendszermátrixok ismerete szükséges, amelyek segítségével létrehozzuk a folyamat pontos mását és ugyanolyan gerjesztésnek kitéve, mint az eredeti szakasz ez a modell ("megfigyelő") előállítja számunkra az x[k] és y[k] változók x[k] és y[k] becsült értékét. A z állapotvisszacsatolás az x[k] felhasználásával valósul meg. Az elvet a 14.3. ábrán mutatjuk be.
r[k]
14.3. ábra Állapotvisszacsatolás megfigyelő alkalmazásával Ha szigorúak lennénk, akkor a megfigyelőben F, g és c helyett ezek becsült F, g és c értékeit kellene szerepeltetnünk. A megfigyelő különlegessége azonban, hogy nemcsak egyszerűen egy párhuzamos modellt alkalmaz, hanem a folyamat valódi és becsült kimenőváltozójának a különbségéből egy e[k] = y [ £ ] - y [ £ ] hibát képez, amelyről a / arányos
371 visszacsatoló vektoron keresztül a megfigyelő integrátorának a bemenetére csatol vissza. Ez a visszacsatolás addig működik, amíg a hibajel fennáll, azaz a folyamat és a megfigyelő kimenete nem egyezik meg. Ez a működési m ó d a rendszermátrixok ismeretében meglévő meglehetősen nagy hibákat is kompenzálni tud. Az ábrán az is látható, hogy az állapotvisszacsatolás most az T
u[k] = k r[k]-k
x[k]
T
(14.14)
formában jelenik meg, tehát egyszerűen x[k] helyébe x[k] lépett. Meglehetősen hosszú és bonyolult levezetéssel, aminek a részleteit itt nem közöljük, kapjuk a teljes zárt rendszer eredő átviteli függvényét
[cV-F)"V
T
\-k (sI-F
+ gk
T
T
1
+/c )
b T
T
1
• = c ( z / - F + £* )~ g* 1
1 + ^(zI-F _
T
+ gí
+lc )~ g
c'Xzl-FY'gk, T
l+* (z/-F)
_ 1
g
(14.15)
k G(z)
_k B{z)
x
T
r
l
T
X
\ + k (sI-Fy g
K{z)
ami talán egy kicsit meglepő módon, de pontosan megegyezik (14.12)-vel, azaz a megfigyelő nélküli állapotvisszacsatolás esetével. Ez tehát azt jelenti, hogy a zárt rendszer követési tulajdonsága nem függ a l vektor megválasztásától. A megfigyelő működésének vizsgálatához képezzük az állapothiba x[k] =
x[k]-x[k]
(14.16)
különbség vektorát, amelyre felírhatjuk, hogy 7
x[k] =
(F-kc )x[k]
(14.17)
amely nagyon hasonló a (14.1)-hez gerjesztés nélkül. A megfigyelők tervezésére az állapotvisszacsatoláshoz nagyon hasonló módszert használunk, ahol a / megválasztásakor az a célunk, hogy a (14.17) rendszer dinamikáját a T
n
n l
det(* / - F + le ) = T(s) = s + f -
+ ... +
lS
f _ +f n
lS
(14.18)
n
karakterisztikus polinom biztosítsa. A megoldás mindig létezik, ha a folyamat irányítható. (Célszerű, ha T fokszáma megegyezik az A fokszámával.) Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatok. A megfigyelhető kanonikus alak (3.53) alapján a rendszermátrixok -a
1
0
-a
0
1
x
2
^0
;
=
-a
n
0
0
0
0
1
Co =[1,0,...,0]
; g = 0
[b ,b ,...,b y 1
2
n
(14.19)
372
szerint alakulnak. Figyelembevéve F és e j speciális alakját egyszerűen belátható, hogy az 0
- a
F 1
2
1
0
. .
0
-/i
1
0
. .
0
0
1
. .
0
- f l
0
1
. .
0
-/[i,o,. .,o] =
-le l
C
V
0 fl
~ n-l
0
0
. .
0
0
.
1
(14.20) _
• o.
/n-l
.-/»
0
0
. .
1
0
0
. .
0
tervezési egyenlet szerint a T '
=
Z
o = [fl
a
~ l> fl
a
~ 2--•>
(14.21)
a
fn ~
n]
választás biztosítja a (14.18) szerint karakterisztikus egyenletet, azaz az előírt pólusokat. A z általános eset most is az, amikor a szabályozott szakasznak n e m az átviteli függvénye, hanem az állapotteres alakja adott. A (3.79) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden megfigyelhető
rendszer
megfigyelhető
kanonikus
alakra
hozható
a
T = (M° j 0
M
0
transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a visszacsatoló vektort is X
(14.22)
x
l={T y l =M- M° l Q
0
0
0 0
A (14.22) kiszámításához tehát egyrészt képeznünk kell az M inverzét az általános felépítésű F és c
megfigyelhetőségi mátrix
0
rendszermátrixokkal. Másrészt meg kell adnunk a
megfigyelhető kanonikus alak M° megfigyelhetőségi mátrixát (lásd (3.73)-t). Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezőjében lévő a, együtthatóktól függ, így képzéséhez a nevezőt ki kell számítani: A(z)
= det (zI-F).
A megfigyelő vektor bemutatott számítási
módját kidolgozója után ACKERMANN módszernek nevezzük. Az állapotvisszacsatolás és a megfigyelő dinamikájának tervezési módszerei között érdekes hasonlóság, úgynevezett dualitás áll fenn, azaz egymásnak megfelelnek a k ö v e t k e z ő T
T
megfeleltetések mellett: F <-> F , g <-> c , k <-> f,
c
W <-> (W °) . c
0
A z állapothiba (14.16) és a folyamat (14.1) egyenletei alapján megfigyelő együttes egyenlete x[k + l] x[k + í\
gk
0
F-lc _ x[kl
e[k] = y[k]-y[k]
T
J _ I T
=
és
x[k]
r
F-gk
az állapotvisszacsatolás
. 0 .
(14.23)
T
c x[k]
Mivel a jobb oldal rendszermátrixa blokk-diagonális, a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete T
det(z / - F + gk )
T
d e t ( z / - F +1c )
= TZ(z)T{z)
A polinom tehát két tényező szorzata: az egyik az állapotvisszacsatolással,
(14.24) a másik pedig a
373 megfigyelővel van kapcsolatban. Fontos ismét megjegyezni, hogy az ^(z) a (14.24) ellenére nem jelenik meg a zárt rendszer (14.12) és (14.15) szerinti T^z) átviteli függvényében. A megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás (14.24) egyenletét, amely szerint az állapot visszacsatolás és a megfigyelő karakterisztikus egyenlete egymástól független, szeparációs elvnek is nevezik. 14.3. Kétlépcsős mintavételes tervezési módszerek állapotvisszacsatolással A z állapotvisszacsatoláson alapuló legelőnyösebb tulajdonságai:
szabályozás
tárgyaláskor
láthattuk,
hogy
a
módszer
- a módszer alkalmazhatósága nem függ attól, hogy a folyamat stabilis vagy labilis - a követési tulajdonság nem függ az alkalmazott megfigyelőtől, tehát közvetlenül tervezhető - a módszer nem nagyon érzékeny az állapotegyenlet paraméter mátrixainak pontos ismeretére A n e m kívánatos, vagy kedvezőtlen tulajdonságok: - az állapotvisszzacsatolás alapvetően 0-típusú szabályozás, ezért a maradék hibát a kalibrációs tényezővel tudjuk kiköszöbölni, amely folyamat modell használata esetén soha n e m pontos - az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait nem tudja megváltoztatni - a zavarelhárítási tulajdonság nem tervezhető közvetlenül Főleg a felsorolt utóbbi jellemzők miatt rendszerint egy további lépcső is alkalmazásra kerül állapotvisszacsatolást alkalmazó kányítási rendszerekben. A kakbrációs tényező szükségességét legegyszerűbben úgy eliminálhatjuk, hogy egy kaszkád integráló szabályozót alakítunk ki a 14.4. ábra szerint x[k + \] =
Fx[k]+gu T
y[k] = c x[k]
x[k]
14.4. ábra Állapotvisszacsatolás és integráló szabályozó együttes alkalmazás A zárt rendszer együttes állapotegyenletét,
amely most (14.4) helyébe lép, a
állapotváltozó - amely a külső kör e[k] = r[k]-y[k]
x[k + l]
8[* + l]_
F c
= (F*-g*kJ)x*[k]
T
0 x[k) 0
8[*]J
+ v*r[k]
új
hibájának az integrálja - bevezetésével
frhatjuk fel a
x*[k + l] =
8[&]
u[k} +
ik] = (14.25)
374
bővített állapotegyenletet, ahol figyelembevettük az F _c
0
T
0.
*
;
g
g =
_o_
;
*
0
v =
-i.
(14.26)
jelöléseket, valamint az új bővített x[k] u[k]
=-\k
T
= -kJx*[k]
= —^e[k]-k x[k] 1-z
(14.27)
T
visszacsatolási egyenletet. A (14.27) egyenlet világosan mutatja az integráló hatást, a & x[fc] tag pedig a differenciáló hatás általánosításának tekinthető. Az
integrátort
is alkalmazó zárt
szabályozási
állapotegyenlettel tudjuk leírni, ahol most k
r
kört tehát eggyel magasabb
dimenziójú
is meghatározandó együttható az k
mellett. A
kibővített rendszer tervezéséhez eggyel magasabb fokszámú 71*(z) karakterisztikus polinomot kell előírnunk, majd az A C K E R M A N N módszer (14.13) tervezési képlete közvetlenül itt is alkalmazható. H a a folyamat n e m átviteli függvény formájában
adott, akkor az általános
állapotegyenletet először irányíthatósági kanonikus alakra kell hozni, ahogy azt (10.13) kapcsán már láttuk. Jegyezzük meg, hogy a kibővített feladat n e m oldható m e g szekvenciálisan, azaz oly m ó d o n , T
hogy először meghatározzuk az 7£(z)-hez tartozó k -t,
majd a 7Z*(z) = 7i(z)(z-z i)
az k -t. A feladatot egy lépésben kell 71* {z) alapján megoldani t
n+
alapján
kJ-re.
Integráló hatást úgy is bevihetünk a rendszerbe, hogy a folyamat G(z) átviteli függvénye helyett egy módosított G*(z) = z G ( z ) / ( z - l ) folyamatra tervezzük meg az állapotvisszacsatolást. Jegyezzük m e g , hogy az előbbi esetre és ezen megközelítésre kapott két állapotvisszacsatoló vektor n e m azonos! Természetesen az /-szabályozó mellett magasabb fokszámú szabályozó is alkalmazható, a póluselhelyezés megoldása azonban nem mindig automatikusan adódik az A C K E R M A N N módszerrel és bonyolult nemlineáris egyenletrendszerre is vezethet. A megfigyelőt is alkalmazó állapotvisszacsatolás esetében a megfigyelő hibavisszacsatolásában is alkalmazhatunk n e m 0-típusú, hanem / vagy magasabb fokszámú szabályozót az itt bemutatott módszerekkel. A folyamat változatlanul hagyott zérusait egy soros K (z) s
= G (z)^\ s
(14.28)
kompenzátorral tudjuk módosítani, ahol a 7. Fejezetben alkalmazott módszer szerint feltételeztük, hogy a folyamat számlálója B(z) = £ + ( z ) # _ ( z ) . Itt B a stabilis, B_ pedig a labilis zérusokat tartalmazza. Az J\f{z)/B (z)-nék a realizálhatósághoz szabályosnak kell lennie, tehát csak annyi zérust helyezhetünk el a zárt rendszer átviteli függvényében, ahány stabilis zérusa van a folyamatnak. Az eredő átviteli függvény végezetül +
+
375
Try{z) = ^KG {z)B_{z)
(14.29)
s
alakú lesz, ahol az invariáns B_(z) hatását a G (z) szűrővel csillapíthatjuk optimálisan. S o k esetben az egyszerű, de nem optimális G (z) -1 választással élünk. s
s
A zavarelhárítási tulajdonság kedvező tervezhetőségét csak úgy érhetjük el, hogy a külső kaszkád körben egy YP szabályozót alkalmazunk. Ezt megtehetjük, mert az állapovisszacsatolással tetszőleges, még labilis folyamatot is stabilizálhatunk. Labilis folyamatok minőségi szabályozása általában kétlépcsős. A z első lépcsőben a szabályozással stabilizáljuk a folyamatot, majd egy második külső szabályozási körrel biztosítjuk a kívánt minőségi célokat akár két szabadságfokú struktúrában is. A z állapotvisszacsatolás alkalmazásával nyerhető stabilizáló szabályozó csak holtidő nélküli folyamatra alkalmazható. Ha a folyamatnak számottevő késleltetése van, akkor az egyetlen lehetőség az általános polinomiális módszert használó mintavételes szabályozásra való áttérés (14. Fejezet). 14.4. Diszkrét idejű állapotvisszacsatoló LQ szabályozó A fejezet előző pontjaiban bemutatott módszerrel a folyamat állapotvektoráról történő ún. állapotvisszacsatolással tetszőleges (stabilizáló) póluselhelyezést tudtunk megvalósítani. Az állapotvisszacsatolás technikájával egy további optimalizálási feladatot is meg tudunk oldani. Ezen feladat célja a D I (11.33-34) LTI folyamat optimális szabályozása egy
2
/ = - X {* [*]W x[*] + W > [ / c ] } T
(14.30)
x
^ k=0
összetett optimalitási kritérium minimalizálásával. Itt W a DI állapotvektort súlyozó valós szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, W pedig a DI beavatkozó jelet súlyozó pozitív skalár. A kritériumot minimalizáló megoldás egy x
ü
u[k]=-kl x[k]
(14.31)
Q
alakú állapotvisszacsatolás (lásd (9.3)-t), ahol a k^q visszacsatoló vektor
*Iq=7£-8 P T
(14-32)
" u
alakú. Itt a szimmetrikus pozitív szemidefinitP mátrix az úgynevezett T
PF + F P——
r
Pgg P
= -W
x
(14.33)
algebrai RICCATI egyenlet megoldása. A RlCCATI egyenlet egy nemlineáris egyenlet P-re, ezért explicit algebrai megoldása nincs. A szabályozástechnikában használatos CAD rendszerek viszont rendszerint többféle numerikus algoritmussal is szolgálnak az egyenlet megoldására. Ezt a szabályozót LQ {Linear Quadratic: linear regulator - quadratic criterion) szabályozónak hívják.
376
Az LQ szabályozóval kapott zárt rendszer állapotegyenlete * [ * + 1] = ( F - * * Z Q ) x [ * ]
;
(14.34)
F=F-gkl
Q
alakú lesz. (A FI rendszerek LQ szabályozójának a levezetését az F-5. Függelék F9.6. pontjában mutattuk be, a DI szabályozó levezetése teljesen hasonló logikával elvégezhető.) Amennyiben a folyamat átviteli függvénye ismert, az kányítható kanonikus alak egyszerűen felírható. A FI (9.10) egyenlettel analóg módon a (14.8) szerint képezhető speciális F - és g - r e C
a klasszikus DI állapotvisszacsatolás
tervezési algoritmusa
a (14.10)
szabályozónál a tervezésből (a RlCCATI egyenlet megoldásából) a k q L
c
szerinti. Az
LQ
visszacsatoló vektor
adódik. így (14.10) származtatásának megfordításával megadhatók az eredő zárt rendszer 7£(Í) karakterisztikus polinomjának együtthatói: [h,r ,..., 2
r
T
n]
= kl
Q
+
[a ,a ,...,a f l
2
n
(14.35)
Az LQ szabályozó esetén is lehetséges megfigyelőt alkalmazni az állapotvektor előállítására.
377
15. Általános polinomiális módszer diszkrét idejű szabályozók tervezésére A DE alkalmazása sajnos FI folyamatoknál n e m teszi lehetővé holtidő feltételezését, mert a megoldási módszer csak polinomokra alkalmazható. Holtidős rendszerek stabilizálása csak a mintavételes szabályozások körében oldható meg. Tételezzük fel, hogy a folyamat impulzus átviteli függvénye 1
G[z- ) ahol G
+
1
l
l
= G (z' )G_(z~ )
l
d
= G (z~ )G_(z~ )z~
+
d
röviden
+
G = G G_ = G G_z~ +
stabilis, inverze szintén stabilis (SIS: Stable Inverse
Stable).
+
(15.1)
G_ labilis és inverze d
szintén labilis (UIU: Unstable Inverse Unstable). A G_ szintén UIU. Itt általában a ~ holtidős rész inverze nem realizálható, mert az egy ideális prediktor lenne. A folyamat célszerű faktorizálása tehát Z
a j *
= G G_z-d
(15.2)
+
Itt A+ tartalmazza a stabilis, A. pedig a labilis folyamat pólusokat. Hasonlóképpen B a stabilis, B_ pedig a labilis zérusokat foglalja magába. A z általános tervezési DE-t mintavételes +
d
rendszerekre egyszerűen kapjuk a (10.14)-ből, formailag csak B_-t kell B_z~ -vt\ kicserélni, így a (10.14) új alakja r
d
(A+A.)(B X X ) + (B B_ - ){A y y) = K'= A B 7l A X + B y =n' +
d
+
Z
+
d
+
+
(15.3)
A módosított DE pedig d
{A_x )x'+(B_ - y )y=n A' x'+ B' y=n i
z
d
ahol A'= A_X
és B' - B_z~ y
d
y
c=
i
ismertek, a szabályozó pedig ismét
d
A y y_ X B XX g =
+
+
i
d
(15.4)
TI W'A
K,y
A d
d
\-^y'B_z~
\-P^yB_z~
(15.5)
B
+
K alakú lesz. A YOULA-szabályozó integráló, ha biztosítjuk az egységnyi átviteli tényezőt a referencia modellre: /? (co = 0) = / ? ( z = l) = l. Ez automatikusan nem biztosítható a DE-bő\ származó stabilizáló szabályozóra. Egy garantált megoldás viszont, ha X behozza a z = l pólust a nevezőbe. A (15.4) szerinti DE egyenlet megoldásához az egyenletet a z hatványai szerint kell elrendezni. n
n
d
Ebben a fejezetben n e m ismételjük m e g mindazt, amit a 10. Fejezetben a DE-t alkalmazásával kapcsolatban részletesen tárgyaltunk. Éredemes megjegyezni viszont, hogy a teljes szabályozási
378
kör átviteli karakterisztikája d
y = Ty I
d
+ Sy =R G B_z- y +(l-R yB_z- )y
I
n
T
r
I
n
n
(15.6)
Jól látható, hogy a G szűrő szabadon választható, így a B_ hatásának gyengítésére optimalizálható. Sajnos ugyanez nem mondható el a zavarelhárítás optimálási lehetőségéről. Itt ugyanis y' a módosított (15.4) Dis-ből származik, így szabadon n e m választható, ezért itt a B_ hatásának gyengítése n e m oldható meg olyan egyszerűen, ahogy azt a YOULA-parametrizálásnál és a (15.6) követési tulajdonságánál láttuk. x
15.1. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsőrendű (n = 1) labilis D l folyamat
G ( Z V
-
4 ^ A(z~ )
=
1 )
l
'
^
=^
1-1.2Z"
1
z-1.2
(15.7)
amelynek a p = 1.2 pólusa az egységsugarú körön kívül h e l y e z k e d i k e l . Keressük azt a C = y/X
szabályozót, amely stabilizálja a folyamatot a 7£(z) = z - 0 . 2 = 0 karakterisztikus
polinom előírásával. A szabályozót n -1 = 0-adrendű alakban keressük, amelyet a y C=j^
K =- =K
(15.8)
struktúrával biztosíthatunk, azaz egy arányos szabályozóval. A 14.4. alapján írhatjuk, hogy AX+By=K (15.9) (z-1.2)-0.2* =
z-0.2
ahonnan C = K = - 5 adódik a szabályozóra. Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer impulzusátviteli függvénye 1 T = z-0.2
z"
1
= — r l-0.2z
(15.10)
_ 1
tehát sikerült a labilis pólust az egységsugarú körön belülre az előírt helyre helyezni, s ezzel stabilizálni a szakaszt. A zárt rendszer statikus átvitele n e m egységnyi, mert a szabályozó arányos és n em integráló. Minőségi szabályozás eléréséhez egy további külső kaszkád szabályozási kör alkalmazása célszerű, amint azt az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozásnál láthattuk. 15.2. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsőrendű (n = 1) stabilis D l folyamat
G
(
1
- . ) . $ 4 . _ « l 1 A(z~ ) l-0.8z 1
T _ 1
=
J » _ z-0.8
(mi)
amelyet gyorsítani szeretnénk. Egy szabadságfokú rendszert feltételezve, tervezési célunkat az
379
n R
0.8z
n
t =
R
1
r=
n =
l-0.2z
_ 1
0.8 ÍTTT z-0.2
v
(15.12) '
referencia modellben fogalmazzuk meg. A YOULA-szabályozó most C C
o
p
t
- r -Q d
1
/
?
n
1
1 -i
^
4
ft8z
l-0.2z
1
0-Sz1-0-8Z- . . . l - O . S z i - 0 , , - i - q ^ " ' ^ ? "
1
1
(15-13)
2
_ 1
egy integráló szabályozó (mert a nevező zérus a ( z = 1) helyen), amelynek alkalmazásával a zárt rendszer eredő átviteli függvénye: 0.8z
_1
l-0.2z
0.8 _ 1
(15.14)
z-0.2
amelynek statikus átvitele egységnyi az 1-típusú szabályozásnak megfelelően. A DE alapján történő tervezéshez a karakterisztikus egyenlet (15.12) alapján 7£(z) = z - 0.2 = 0. A szabályozót az előző példa alapján ismét n -1 = 0-adrendű alakban keressük, tehát a (15.8) szerinti arányos szabályozót alkalmazzuk. A (15.9) egyenlet most AX
+ By = ll (15.15)
(z-0.8) + 0.2A> z - 0 . 2 ahonnan C = K = 3 adódik a szabályozóra. Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye
z-0.2
l-0.2z
_ 1
Az előírt 0.2 pólust sikerült elhelyezni, de a szabályozási kör 0-típusú, ezért a T erősítése 0.75re adódik. A két példa jól reprezentálja azt a gyakorlatot, hogy stabilis folyamatokra célszerű a YOULA-parametrizálást alkalmazni, m í g labilis folyamatok stabilizálására a DE alkalmazása vagy a 15. Fejezetben tárgyalt állapotvisszacsatolás nyújthatja a megoldást. 15.3. Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsőrendű (n = 1) labilis, holtidős D l folyamat
1
j
í
A(z~ )
1-1.2Z
- 1
1-1.2Z"
1
z(z-1.2)
amelynek a p = l.2 pólusa az egységsugarú körön kívül h e l y e z k e d i k e l . Keressük azt a 2
2
C = y/X szabályozót, amely stabilizálja a folyamatot a ^ ( z ) = ( z - 0 . 2 ) = z - 0 . 4 z + 0.04 karakterisztikus polinom előírásával. A folyamat formálisan másodrendű, ezért választottunk 7c-nek is másodrendű polinomot, a szabályozót pedig n - l = l, tehát elsőrendű alakban keressük. A vonatkozó DE felírását tanulmányozva célszerű a szabályozó elsőrendű alakjára a
380
y y C= ~ . / ° X l + xjz =
_
0
yz 0
- 1
(15-18)
z+ x
x
struktúrát megadni. A meghatározandó paraméterek száma 2, a DE pedig AX+By=K 2
2
(z -1. 2z)(z + xj) - 0.2 y z = z - 0.4z + 0.04
(15.19)
0
ahonnan az egyenletet y - r a é s x -re megoldva 0
5
c= ~ * = z + 0.8
~
x
5
l + 0.8z
(15.20) _1
adódik a szabályozóra. Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye 2
1 T =(^-0.2)
z~ =- = 2
=1
(1-0.2Z- )
(15.21)
2
Az előírt, a 0.2 helyen lévő kétszeres pólust sikerült elhelyezni, de a szabályozási kör 0-típusú, ezért a T erősítése 1.25. Egy viszonylag egyszerű struktúrájú szabályozóval most egy nehéz problémát oldottunk meg, egy labilis holtidős folyamatot sikerült stabilizálni.
FÜGGELÉK
382
F-l. Matematikai összefoglaló A m á t r i x a l g e b r a n é h á n y alaptétele Mátrixnak
nevezzük az
a a
A =
a
l2
...
22
•••
n
a
2\
a
in
a
2n
(F.l.l)
a,m2 elrendezést, táblázatot. Az
mennyiségeket elemeknek
nevezzük. H a az elemek valósakya/oí
mátrixról, ha komplexek, komplex mátrixról beszélünk. Az A mátrixnak m sora és n oszlopa van. A mátrix dimenziója (mérete) m x n. Az m x n típusú mátrixot téglány mátrixnak, az n x n mátrixot négyzetes (kvadratikus) mátrixnak, az mxl mátrixot oszlopmátrixnak (oszlopvektornak), az l x » mátrixot sormátrixnak (sorvektornak), az l x l mátrixot skalárnak nevezzük. A mátrixok jelölésére vastag ("bold", "fat") nagybetűket, oszlop- vagy sormátrixok jelölésére vastag kisbetűket használunk. A négyzetes A mátrix elemeiből alkotott determinánst |A|, ritkábban det (A) alakban jelöljük. Az A mátrix transzponálván a főátlóra tükrözött elemekből álló A a
a
u
'12
a
A
T
mátrixot értjük
2 1
'22
(F.1.2)
a
l ln
Ha A mxn
T
2n
mátrix, akkor tükrözöttje
- A akkor tükrösmátrixrél
(transzponálja)
nxm
T
mátrix, nyilván ( ^ )
= A . Ha
beszélünk.
A vektorokat a szokásnak megfelelően oszlopmátrixokkal képviseltetjük, a sormátrixokat általában oszlopmátrixok transzponáltjaiként jelöljük, pl.:
x -
= [x
xf
L
n
T
=[x ]
1
(F.1.3)
A O zérusmátrix vagy nullamátrix illetve a 0 zérusvektor minden eleme zérus. A D = diag[a ,a ,...,a„„] n
2 2
(F.1.4)
átlós (diagonális) mátrixnak csak főátlójában vannak zérustól különböző elemei. H a az utóbbiak valamennyien egységnyiek, akkor az / egységmátrixról beszélünk: / = d i a g [1,1,..., 1]. Két mátrix egyenlő, ha a megfelelő elemeik megegyeznek. Két vagy több azonos típusú mátrix
383 összegmátrixát a megfelelő elemek összeadásával képezzük. Egy mátrixot skalárral úgy szorzunk, hogy minden egyes elemét megszorozzuk a skalárral. A legjellegzetesebb szabály a k é t , p l . A és B mxl és Ixn mátrixösszeszorzásának szabálya C = AB
(F.1.5)
ahol
E
.
L • \j
l — = l 2
1,
. . . , II l 16
„
(F- )
vagyis a C mxn mátrix í-edik sorában és ;'-edik oszlopában álló elemet úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix í'-edik teljes sorát komponáljuk (szorozzuk) a B mátrix 7-edik oszlopával. (Az A mátrix oszlopai / számának meg kell egyeznie a B mátrix sorai / számával.) A mátrixszorzás asszociatív és disztributív, de általában nem kommutatív: AB^BA. Ha mégis AB = BA, akkor felcserélhető mátrixokról beszélünk. Megemlítjuuk, hogy a négyzetes C szorzatmátrix |C| determinánsa megegyezik a tényezőmátrixok |A| és determinánsának szorzatával: |C| = |A||fi|. Két azonos dimenziójú vektor (néha ponttal jelölt) skaláris következőképpen fejezhetjük ki: r
szorzatát mátrixszorzással
r
a b = a b = b a=b a
a
(F.1.7)
Ha két zérustól különböző vektor skaláris szorzata zérus, akkor a két vektort (egymásra merőlegesnek) nevezzük.
ortogonálisnak
Felhívjuk a figyelmet az T
T
r
[AB] =B A
(F.1.8)
szabályra. Egy négyzetes, zérustól különböző|A| determinánsú, tehát nemszinguláris, A
- 1
reguláris
A mátrix
inverzén olyan mátrixot értünk, amelyre 1
1
A~ A
= AA~ =I
(F.1.9)
A z A inverzét az A "
1
- ^
(F.1.10)
szabállyal határozhatjuk meg. Itt |A| a mátrix (zérustól különböző) determinánsa, míg az a d j (A) (adjungált) mátrixot az A mátrix egyes elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsokból mint elemekből képzett mátrix tükrözésével állítjuk elő. Mivel fennáll az | A # | = |A||2?| szabály, ezért _ 1
1 = / = |A A A
1
IA" \A\ szerint az A mátrixnak csak akkor van egyértelműen meghatározott 1
inverze, ha A * 0 , vagyis az A mátrix nem szinguláris. Nyilván
384
- 1
1
A ] " =A
1
és
T
T
[A- ] =[A ]"
(F.l.ll)
1
Továbbá, ha A és B reguláris négyzetes mátrixok l
x
(F.1.12)
x
[AB]- =B- A-
Az si-A, illetve az A - sí mátrixot az A négyzetes mátrix karakterisztikus mátrixának, az A(s) = \sl -A\ = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük. A karakterisztikus egyenlet X (i = \,2,...,n) gyökei az A mátrix sajátértékei. A főtengelytétel szerint az A mátrix v (i -1,2,... n) sajátvektorai kielégítik az t
f
Av
i
=\ v i
i
(F.1.13)
(i = l,2,...,n)
vektoregyenleteket. Ez éppen a sajátvektorok definíciója. H a a v,- vektorok egymástól lineárisan függetlenek, akkor az A mátrixot egyszerű szerkezetűnek, ha pedig egymástól n e m függetlenek, akkor elfajulónak nevezzük. A mátrixelméletben alapvető a CAYLEY-HAMlLTONtétel: bármely A mátrix kielégíti a saját l
karakterisztikus egyenletét, azaz A(A) = 0. (Itt az A(s) = 0 skalár polinomiális egyenletben s 1
helyébe A (i = l,2,...,n), m í g s° helyébe A ° = / polinomiális egyenletet kapunk.)
helyettesítendő, így végül egy mátrix
Sokszor szükség van a mátrixok belső struktúrájának kifejezésére úgynevezett blokkmátrixokat alkalmazni, mint például M
A
B
C
D
(F.1.14)
A megfelelő dimenziójú blokkmátrixokon végzett mátrixszorzás szerint A
B
E
F
AE + BG
AF + BH
_C
D_ G
H
CE + DG
CF + DH_
(F.1.15)
A kvázidiagonális mátrix determinánsa A
B
O
D
= det
A
B
O
D
: d e t ( A ) d e t ( D ) = |A||Z>|
(F.1.16)
A z ab szorzatot diadikus szorzatnak nevezzük. A diadikus szorzattal bővülő mátrix inverze egyszerűen képezhető, ha az A inverze már ismert
1
(^^-U-.-^'ff v
1
T
l+ 6 A
_ 1
a
A vektoranalízis alapjai Az euklideszi térre vonatkozó vektoranalízisben az ún. skalár-skalár
(F.1.17)
385 (F.1.18)
/ = /(*) függvényeken kívül ún. skalár-vektorfüggvények
(F.1.19)
/ = /(*) és vektor-vektorfüggvények
(F.1.20)
/ = /(*) fordulnak elő. (Mindezek a legáltalánosabb, de ritkán előforduló F = F(X) függvények speciális esetei.) Gyakran találkozunk többváltozós skalár-skalár, vagy vektor-vektorfüggvény ékkel is, például f = f(x,u)
;
f = f(x,u)
;
f = f(x,u)
mátrix-mátrix skalár-vektor-
(F.1.21)
vagy a független változót (rendszerint időt, esetleg paramétert) tartalmazó függvényekkel f = f(x,u,t)
;
f = f(x,u,t)
;
f=f{x,u,t)
(F.1.22)
Különösen fontos néhány differenciálási szabály megállapítása. A skalár szerint vett derivált egyszerű, például: dx(t)
dx
x
dt
dt
dx
dx
2
n
dt '12
dA(t)
J
21
a
22
(F.1.23)
:
- [i ,i .---.-< , ] —x 1
dt
2
I
"In á
2n
= A
(F.1.24)
dt a
a
L ml
m2
a„
A skalár vektorfüggvény gradiensén a
grad[/(x)]=^M =
d/(x)
d/(x)
d/(x)
dx
dx
dx„
x
2
7T
(F.1.25)
oszlopvektort értjük, ami a többváltozós .
ir (F.1.26)
dx
[dxj
dx
2
dx„
differenciál-operátor alkalmazása, tehát (F.1.27)
Sokszor szerepel továbbá a JACOBI-féle derivált mátrix is:
386
d/i
d/i
d/i
djcj d/ = dxj
dx d/ dx
dx d/ dx„ 2
2
2
J = J(f,x)
n
2
2
(F.1.28)
d/»
d/ dxj m
dx
d*„
2
A nehézkes jelölés elkerülésére a JACOBI-mátrixot szimbolikusan (F.1.28) dx alakban, transzponáltját T
J
_d/ (x) if'*)* dx
1
(F.1.29)
alakban jelöljük. A gradiens vektor transzponáltja tehát
d/W
g r a di T l[ / ( x ) ] : T
(F.1.30)
dx
dx
F-2. Jelek és rendszerek összefoglaló A "jelek és rendszerek" általános témakörnek a szabályozástechnikát legközvetlenebbül érintő kérdéseit a fő fejezetekben egyidejűleg tárgyaltuk. Van néhány speciális terület, amelynek hatását és érvényességét a teljesség kedvéért ismerni kell, viszont nehezen kapcsolható közvetlenül szabályozástechnikai anyaghoz. Ezek közé tartozik a periodikus speciális jellel történő gerjesztés, amely témakörből csak a frekvenciafüggvény megértésében alapvető fontosságú szinuszos gerjesztést tárgyaltuk. Periodikus jellel gerjesztett lineáris folyamat dinamikája Legyen u(t)
a í = 0-tól kezdve az idő periodikus függvénye J
p
periódusidővel,
vagyis
M ( r + r ) = w(f). A periodikus jelet lényegében meghatározó alapfüggvény (vagy csonkított p
függvény) jelölésére vezessük be az u (t) A
függvényt, amely a 0
p
tartományban
megegyezik «(r)-vel, egyébként mindenütt nulla: u(t) t T
t
=
»A{t)=[K )-K - p)]< ) t
A periodikus
u(i)
0
;
0<í
függvény nyivánvalóan
(F.2.1)
t>T„ előállítható
az
u (t) A
alapfüggvény
ismételt
eltolásával és összegezésével
u{t)=J,u (t-jT ) A
v
=
l (t)u(t) A
(F.2.2)
387
ahol l ( í ) - t ismétlési operátornak nevezzük. Képezzük az w ( í ) alapfüggvény A
A
transzformáltját, az U (s)
függvényt. Az eltolási tétel értelmében
A
T
^ { « a ( í - 7 p)} =
LAPLACE
JsTp
e~ U (s)
(F.2.3)
A
amelyet (F.2.2)-ben felhasználva a periodikus a(í) jel LAPLACE transzformáltja oo
oo
= if { l ( í ) u{t)} = X e- *U (s) isT
J7(j) = if
A
jsT
= U (s)^e- ^
A
(F.2.4)
A
;=o
7=0
Vegyük észre, hogy itt alkalmazható a végtelen mértani sor összegképlete és U(s) = ^{l (t)u(t)}
=- ^ l-e
A
A m e n n y i b e n egy jel felhasználva az u (t) A
(F.2.5) p
L A P L A C E transzformáltja
U(s)
az (F.2.5)
alakra
hozható,
akkor
1
= i f " { t 7 ( í ) } alapfüggvényt, a periodikus jel időfüggvénye egyszerűen A
képezhető. Teljesülnie kell még, hogy w (f) = 0 legyen t > T -re. A
p
A következőkben azt vizsgáljuk, hogy egy LTI rendszer bementére adva a periodikus jelet, hogyan alakul a folyamat válasza, dinamikája. A folyamat kimenőjelének L A P L A C E transzformáltja alapján kaphatjuk meg a választ, ha a rendszer eredetileg energiamentes. A z átviteli függvény szokásos H(s) = B(s)/A(s) jelölésével a kimenőjel LAPLACE transzformáltja
l-e
Í
7
A(s)
P
A z Y(s) általában n e m egy periodikus függvény transzformáltja, hiszen nem teljesül t > 7 - r e az p
1
1
i r { y ( í ) } = i T { í / ( j ' ) / 7 ( í ) } = 0 feltétel. A H(s) A
törtfüggvény, az U (s)
(nem holtidős esetben) mindig racionális
viszont már n e m feltétlenül az. Bontsuk fel az Y(s)
A
függvényt egy
periodikus és egy n e m periodikus függvény összegére
Y
{
S
)
+
-l-e-^A(s)
i- -^ A{s)
1
ahol y (t)
= i f " { i ( í ) } és y (t
A
^
e
A
A
> T ) = 0, valamint C(s) egy ismeretlen polinom. A felbontási p
egyenletből kifejezhető a kimenőjel periodikus összetevőjének alapfüggvénye sT
B( )U (s)-(l-e~ Ac(s) S
.
A
A z F ( í ) - t visszatranszformálva minden t>T A
alapján
p
tudjuk meghatározni
feltételezve
C(s)-t.
.
c ( s )
időpontra zérust kell kapnunk. Ezen feltételek
Alkalmazzuk a kifejtési tételt egyszeres
pólusokat
388
(F.2.9) M O - !
W
P i í
Mivel az e
)
—
0
*
;
í
>
7
p
tényezők n e m lehetnek sérusok, ezért a z y ( í ) függvény csak akkor lehet minden A
t > T időpontban nulla, ha mind az n összetevő együtthatója nulla, azaz p
(F.2.10) P l
l-e
p
Ez a feltétel adja egyben az ismeretlen C(s) együtthatóira a megoldást., hiszen n számú független lineáris \ + cp x
+ c p? + ... + c p?
i
2
n
=ai
;
(F.2.11)
i = l,...,n
egyenletet tudunk felírni. A keresett együtthatókat ezen egyenletrendszer megoldásából kapjuk, amelynek kompakt alakja --1 c
c
i
Pl
2
Pl 2 P2
P2
C
\- n
IPn
Pl
-l
Pl
-1
P-n - 1 .
n
Pn
(F.2.12)
Pn
A folyamat kimenőjelének teljes időfüggvénye (F.2.7) alapján = 1
(F.2.13)
+
y(0 A(OyA(í) ytr(0 ahol y (t)
az úgynevezett n e m periodikus tranziens összetevő
ü
^iJ ytr
{ T )
C(s) \_f
C( )
f
Pi
~*
B{ )
U( )
Pt
A
Pi
- f ; % ) i - ^
E
\A{S)\-^A\ ) PI
Mivel a kifejtési tételhez csak a C( ) Pi
,
(F.2.14)
helyettesítési értékek kellenek, ezért most az (F.2.12)
egyenletrendszer megoldására nincs is szükség. A kimenőjel y (t) A
y (t)
1
=
A
alapfüggvényét (F.2.8) alapján az
0
1
^ {H( )U ( )}-^ < S
A S
n
(F.2.15)
A * ) . -sT„p
inverz LAPLACE transzformáltak segítségével kapjuk. (Itt az (F.2.8)-ban szereplő e hatását nem kell figyelembe vennünk, mert válasza az alap perióduson kívülre esik.) A kifejtési tételt alkalmazva 1
yA
( ) = sr Í - ? í i u (s)\ - flM- p,t t
A
e
=
389
l
Jegyezzük m e g , h o g y y ( í ) * sr {H(s)U (s)}, A
K
tehát F ( s ) * A
H(s)U (s). A
Periodikus jellel gerjesztett LTI folyamat kimenőjelének tehát két összetevője van: egy periodikus és egy tranziens jel. A tranziens jel lezajlása után csak a tiszta periodikus összetevő marad. A két összetevő akkor is jelentkezik, ha a folyamat kezdeti energiatartama nulla (az állapotegyenletben a kezdeti állapotvektor zérus), azaz n e m szabad a fenti két összetevőt összetéveszteni az állapotegyenlet homogén (magára hagyott) és inhomogén (gerjesztett) megoldás összetevőivel. A periodikus gerjesztésre kapott válasz fenti összetevői akkor is jelentkeznek, ha a kezdeti feltétel n e m zérusvektor. A z általános esetben a folyamat válaszának tehát három összetevője van.
F-3. Szabályozástechnikai szabványos jelek és elnevezések Szabályozástechnikai szabványos jelölések A folyamatirányítási rendszerek tervezése, üzembehelyezése, üzemeltetése, karbantartása megkívánja, hogy a feladat megoldásában résztvevők hatékonyan tudjanak együttműködni. Ehhez szükséges, hogy a rendszer dokumentációjában az egyes folyamatirányítási funkciójú berendezéseknek egységes jelölésrendszere legyen. A dokumentációban az irányítástechnikai berendezések jelölése technikai megvalósításukra és a folyamathoz való csatlakozásukra utal. Szabványos grafikus és betűjelzések segítik az irányítástechnikai tervrajzokat olvasó mérnököket, technikusokat a tervrajzok értelmezésében.
r - - ~ 0 i
Összetétel szabályozó
Összetétel érzékelő
F-3.1. ábra A műszerezési tervekben alkalmazott tipikus jelölések Az azonosítási rendszerek és szabványos ajánlások energiaipar, mezőgazdaság, stb.).
iparáganként
különböznek (vegyipar,
A D I N (Deutsches Institut für Normung) 19227 szabvány számos grafikus szimbólumot ad meg érzékelőkre, szabályozókra, beavatkozó szervekre, irányítástechnikai segédberendezésekre. A D I N 1946, 2429, 2 4 8 1 , 1 9 2 3 9 és 30600 további ajánlásokat adnak. A műszerezési és irányítási funkciót egy kör vagy egyovális görbe és az abban szereplő betűk
390
és számjelzések jelölik. A betűk a fizikai mennyiség jellegére és az irányítási funkció jellegére utalnak, a számok megadják az egységnek a folyamatban elfoglalt helyét (pl. hányadik szelep, motor vagy érzékelő). A műszerezési tervekben alkalmazott jelöléseken (lásd az F-3.1. ábrát) a körben szereplő betűjelzésben az első betű a mért, vagy szabályozott mennyiség jellegére utal. Néhány első betűjel jelentése: E - villamos jellemző, F - átáramló mennyiség, G - elmozdulás, pozíció, L: szint, P - nyomás, Q - összetétel vagy más anyagtulajdonság (sokszor A is összetételt jelölhet), S - sebesség, T - hőmérséklet, V - viszkozitás A második betű irányítási funkciót jelöl, pl. T - érzékelés, C - szabályozás. Például a körben szereplő L C jelölés szintszabályozót jelöl. További betűk további funkciókra utalnak, ilyenek lehetnek például vészjelzésre, biztonsági működtetésre, számítógépes csatlakozásra, távadásra, stb. utaló betűk. A z alábbi ábra egy keverőtartályban a folyadék összetételszabályozását szemlélteti. Az ábrán látható a szelep valamint az összetételérzékelő és szabályozó dokumentációban szereplő szabványos jelölése. Egy másik szabvány a német villamosenergiaiparban kialakult és elsősorban európai cégek által általánosan használt szabványrendszer a K K S (Kraftwerk Kennzeichen System). Egy objektum K K S jelölése a technológia funkcionális struktúrájához igazodik. A folyamatkányítási funkciók és jelölések a gépészeti és villamos erőátviteli funkciókhoz és jelölésekhez igazodnak. A berendezések egységes jelölése lehetővé teszi egy bonyolult, több részre osztható technológiában az egyes egységek azonosítását. Egy szelep jelölése például 0 3 G C R 3 1 A A 1 0 1 , ahol a 0 3 jelzi, melyik nagy rendszerben szerepel az adott szelep, G C R ezen belül a résztechnológia jele, 3 1 a csővezeték sorszáma, A A jelzi, melyik készülékhez csatlakozik a szelep, 101 pedig a szelep sorszáma. Ez a részletes jelölés lehetővé teszi a berendezések egyértelmű azonosítását. Az egyes technológiákhoz megadják a rendszer azonosítási jelöléseit. A zárt szabályozási kör legfontosabb jeleinek elnevezése Az F-3.1 táblázat megadja az irányítási körre vonatkozó magyar és angol elnevezéseket. F-3.1. tá ílázat Magyar elnevezések Angol elnevezések control káhyítás vezérlés open-loop control szabályozás closed-loop control, feedback control folyamat, szabályozott szakasz process, plant sensor érzékelő szerv actuator beavatkozó szerv controller, control algorithm szabályozó, szabályozási algoritmus szabályozott jellemző output signal, controlled variable y zavaró jellemző
y
disturbance, noise
módosított jellemző
"m
manipulated variable
alapjel ellenőrző jel
r
reference signal, set-point measured output, sensor output
rendelkező jel beavatkozó jel
n
y e u e
error signal control signal
A szabályozási kör működési vázlatát az F-3.2. ábra mutatja. A beavatkozó szerv és az érzákelő szerv dinamikáját sokszor összevonják a szakasz dinamikájával. Az összevont hatásvázlatot a F 3.3. ábra mutatja.
391
szabályozó
beavatkozó szerv
szakasz
érzékelő szerv
F-3.2. ábra Szabályozási kör működési vázlata
F-3.3. ábra Szabályozási kör összevont hatásvázlata
F-4. Számítógépes tervező (CAD) rendszerek Bonyolultabb szabályozások tervezése manapság már elképzelhetetlen lenne számítógép nélkül. A gyors számítógépek, a kifinomult fejlesztő környezetek és a jól kidolgozott tervezési algoritmusok lehetővé teszik egyszerű, pontos és rugalmas szabályozási rendszerek tervezését és szimulációját. A rendszerek tervezése két fázisból áll, a szabályozó tervezésébőlés a rendszer szimulációjából. A tervezés fázisában a minőségi előírások alapján határozzuk m e g a szabályozó paramétereit. A szimuláció során adott paraméterekre vizsgáljuk a rendszer működését, valamilyen mérőszám vagy vizuális megjelenítés alapján. A grafikus megjelenítés egyre inkább előtérbe kerül, mivel a technika lehetővé teszi a gyors, pontos és információban gazdag megjelenítést. Számos programcsomag képes szabályozástechnikai rendszerek tervezésére. Ezeket két fő csoportra lehet osztani. Az első csoportba tartoznak az általános matematikai számításokra tervezett csomagok, amelyeket kiterjesztettek szabályozók tervezésére. A másik csoportot az ipari szabályozási rendszerek alkotják, amelyek elsődleges célja a szabályozások végrehajtása, de ezek lehetővé teszik speciális tervezési feladatok ellátását is. F-4.1. M a t e m a t i k a i p r o g r a m c s o m a g o k A legismertebb szabályozástechnikai tervezési programcsomagokat általános matematikai számításokra fejlesztették ki, és csak később egészítették ki olyan speciális eszközkészlettel, amely segíti a tervezési eljárásokat. Számos olyan programcsomag is létezik, amelyeket ugyan n e m szabályozók tervezésére hoztak létre, de mégis matematikai és grafikai lehetőségeik miatt alkalmazhatók tervezésre. MATLAB® A M A T L A B ® tudományos és mérnöki számítások, szimulációk és grafikus adatmegjelenítés
392
elvégzésére kidolgozott programcsomag. A M A T L A B ® erős hátteret biztosít mátrix algebra, differenciálegyenletek és más matematikai problémák megoldására és az eredményeket képes jó minőségben, grafikusan megjeleníteni. A M A T L A B ® elterjedtsége és széleskörű alkalmazása abból adódik, hogy a M A T L A B ® utasításkészlete kiterjeszthető toolbox-ok segítségével. A toolbox tulajdonképpen egy függvénykönyvtár, amelyet különféle szakterületek támogatására fejlesztettek ki. A M A T L A B ® j ó grafikusképességekkel rendelkezik, és viszonylag bonyolult tervezési feladatokat is el lehet vele végezni elfogadható futási idővel. A M A T L A B ® programozása interaktív alapú, ami azt jelenti, hogy soronként hajtja végre az utasításokat fordítás nélkül. A gyorsaságot úgy éri el, hogy egyrészt a kritikus programrészek, függvények kódolása valamilyen alacsonyabb szintű nyelven, általában C vagy C++ -ban történik, másrészt a rendszer mátrix struktúrájú programozáson alapszik. A mátrix programozás lényege, hogy n e m kell külön egymásba ágyazott ciklusokat írni a mátrix műveletek számítására, hanem a meghívott függvények automatikusan végrehajtják a műveleteket a mátrix minden elemére. A M A T L A B ® számos matematikai műveletet, eljárást támogat (például komplex számok kezelése, mátrix inverz és sajátérték számítása, Fourier transzformáció, konvolúció számítása és egyenletek gyökeinek meghatározása). A M A T L A B ® közvetlenül n e m támogatja a szimbolikus számításokat, de lehetővé teszi azt a Symbolic Math Toolbox segítségével. A Symbolic Toolbox a M A P L E ® programozáson alapszik, csak hozzáillesztették a M A T L A B ® kezelő felülethez. A M A T L A B ® főleg mérnöki területeken terjedt el. Egyúj algoritmus vagy elmélet nem sokkal a megjelenése után azonnal megjelenik egy toolbox vagy függvénygyűjtemény formájában az algoritmus vizsgálata és más módszerekkel való összehasonlítása érdekében. A Control System Toolbox a szabályozási rendszerek tervezésére és szimulációjára alkalmas függvényeket tartalmaz. A szabályozót átvitelifüggvény és állapotteres leírásban lehet megadni. Folytonos és diszkrét rendszerek vizsgálatára alkalmas az idő- és a frekvenciatartományban. Képes egy- és több bemenetű, lineáris és nemlineáris rendszerek tervezésére. A toolbox nyitott, könnyen kiterjeszthető más függvényekkel és algoritmusokkal. A Control System Toolbox jól használható más hasonló toolbox-okkal együtt, például Fuzzy Logic Toolbox, Model Predictive Control Toolbox, Nonlinear Control Design Blockset, Sytem Identification Toolbox és Robust Control Toolbox. A S I M U L I N K ® egy grafikus programcsomag dinamikus rendszerek modellezésére és szimulációjára. A szimuláció interaktív, ezért könnyen látható a paraméterek változásainak hatása. A S I M U L I N K ® - b e n egy dinamikus rendszert blokk-diagrammal lehet megadni. A blokkokat nem kell külön előálktani, egy könyvtárból ki lehet őket másolni. A S I M U L I N K ® képes lineáris és nemlineáris rendszerek szimulációjára folytonos, diszkrét és hibrid tartományban. A S I M U L I N K ® a modellek szimulációját közönséges differenciálegyenletek integrálásával végzi. Számos integrálási módszer használatát teszi lehetővé. A szimuláció eredményét a M A T L A B ® felületen lehet felhasználni további adatfeldolgozásra vagy grafikus megjelenítésre. A S I M U L I N K ® grafikus felülete jelentősen megkönnyíti a szabályozók tervezését is szimulációját. MATHEMATICA® A M A T H E M A T I C A ® egy interaktív rendszer matematikai számítások elvégzésére. Támogatja numerikus és szimbolikus számítások elvégzését, és magában foglal egy magas szintű programozási nyelvet, amely lehetővé teszi, hogy a felhasználó saját eljárásokat hozzon létre.
393
A M A T H E M A T I C A ® általános matematikai számítások elvégzésére az egyik leghatékonyabb rendszer, melynek közel két millió felhasználója van világszerte. A z 1960-as évektől kezdve már léteztek egyedi programok speciálisszámítások elvégzésére, de a teljesen új szemléletű M A T H E M A T I C A ® lehetővé tette a műszaki számítások különböző területeinek egységes kezelését. A M A T H E M A T I C A ® 1988-as megjelenésével számos területen alapvető változást hozott a számítógépek használatában. A programot Stephen WOLFRAM irányítása alatt a Wolfram Research kutatócsoportja hozta létre. A kulcsfontosságú fejlesztés egy új szimbolikus számítógép nyelv létrehozását jelentette, amely először tette lehetővé a műszaki számításokhoz szükséges széles skálájú objektumok kezelését néhány alapkategória (primitivek) segítségével. Felhasználói és fejlesztői körébe igen nagyszámú matematikus, kutató és mérnök tartozik. Nagyon elterjedt az oktatásban is; manapság több száz tanagyag épül rá és fontos eszközzé vált a diákok számára világszerte. Segítségével bonyolult tanulmányokat lehet kényelmesen létrehozni, mivel egységes környezetben lehetőséget ad számításokra, modellezésre, szövegszerkesztésre és grafikus megjelenítésre. Egyik hátránya, h o g y tanulási görbéje igen meredek; az alapvető működés elsajátítása kicsit nehézkés. Nagy előnye, hogy nyitott architektúrájú és könnyen kiterjeszthető új területekre is, mint például alkalmazott matematika, informatika, szabályozástechnika, gazdaság, szociológia. A M A T H E M A T I C A ® - b a n az alapvető aritmetikai műveletek elvégezhetők. K o m p l e x számokat is lehet kezelni vele. Egyik legfontosabb adatstmktúrája a lista, amely tulajdonképpen egy halmaznak felel meg. Listákat egymásba ágyazottan lehet definiálni és rajtuk számos műveletet lehet végrehajtani, például egyesítés, metszet, elem hozzáadás és törlés. A mátrixok a listák egy speciális alakját képezik. Mátrixokra a tipikus mátrix műveletek alkalmazhatók, például inverz és sajátértékképzés. Szimbolikus képességeinek köszönhetően jól használható algebrai átalakításokra. Számos olyan átalakítást lehet vele egyszerűen elvégezni, amelyet kézzel igen nehéz kiszámolni, például tört egyszerűsítés, sorfejtés, részlettörtekre való bontás, egyenlet megoldás, minimumkeresés, deriválás és integrálás. A M A T H E M A T I C A ® - b a n a függvények formális transzformációs szabályok. Bármilyen objektum szerepelhet a függvény ki- és bemeneteként. A függvény állhat matematikai utasításokból, programvezérlő utasításokból (például if, then, for) vagy akár más programozási nyelven (Fortran, C) is létrehozható. Grafikai képességei lehetővé teszik, hogy az adatokat 1-, 2- és 3-dimenziós ábrákon jelenítse meg. MAPLE® A MAPLE® egy általános számítógépes algebrai rendszer, amelyet azzal a céllal fejlesztettek ki, hogy matematikai problémákat oldjon m e g és kiváló minőségű műszaki ábrákat hozzon létre. Egyszerű megtanulni, és pillanatok alatt bárki el tud vele végezni bonyolult matematikai számításokat. A M A P L E ® magában foglal magas szintű programozási nyelveket, ami lehetővé teszi, hogy a felhasználó saját eljárásokat definiáljon. Fő jellemzője, hogy szimbolikus számításokat is lehetővé tesz. Algebrai átalakításokat, sorfejtést, integrálást és differenciálszámítást lehet vele elvégezni. A matematika számos területén használható, például lineáris algebrai, statisztikai, csoportelméleti feladatok megoldására. A z utasításokat végre lehet hajtani interaktív m ó d o n vagy csoportosan is (batch mode). Jól használható oktatásra és fejlesztésre. Képességeit ki lehet terjeszteni külső függvények hozzáadásával. Több mint 2500
394
függvény áll rendelkezésre különféle szakterületeken. Ezek egy részét külső független vállalatok, kutatóintézetek fejlesztették ki. A leggyakoribb használatos függvénykönyvtárak, toolbox-ok a következők: - Global Optimization Toolbox - Database Integration Toolbox - Fuzzy Sets - M A P L E ® Professional Math Toolbox for LabVIEW® - Analog Filter Design Toolbox - ICP for MAPLE® (Intelligent Control and Parametrization: Lehetővé tesz automatikus, intelligens és robusztus szabályozó tervezést). A M A P L E ® matematikai képességei és az ICP toolbox lehetővé teszik szabályozástechnikai problémák megoldását, mégis főleg statisztikusok és matematikusok használják, a szabályozástechnikában és a mérnöki tervezésben kevésbé terjedt el. SysQuake® A SysQuake® a M A T L A B ® - h o z utasításaiban rendkívül hasonló rendszer, amelyet arra készítettek, hogy közvetlen képernyőn történő bevatkozással interaktív módon oldjuk m e g a tervezési feladatot. Segítségével a pólusok és zérusok helyét, a törésponti frekvenciákat, a szabályozó vagy folyamat paramétereket közvetlenül változtatva egyszerre több rendszerjellemző függvény (BODE diagram, NYQUIST diagram, gyökhelyörbe, a zárt kör jeleinek átmeneti függvényei) alakulását követhetjük nyomon a tervezéssel egyidőben. A z ember-gép kapcsolatot megvalósító szoftver eszközök objektum orientált struktúrában egyszerűen realizálhatóak. F-4.2 Ipari szabályozási rendszerek A z ipari szabályozó rendszerek manapság már külön számítógépes tervező rendszerrel vannak felszerelve. Ezek nem biztosítanakmindig széleskörű tervezési lehetőséget, hanem csak azokra az algoritmusokra terjednek ki, amelyek az adott rendszer működését biztosítják. Sok esetben ez csak egyszerű PID szabályozót jelent, amelynek paramétereit egy szimulációs felületen lehet állítani. A z ipari szabályozó rendszerek sok esetben lehetőséget adnak valamilyen automatikus tervezés megvalósítására. Ilyenek például az adaptív rendszerek, amelyek a szabályozó paramétereit automatikusan beállítják a rendszer viselkedése alapján. Számos nagy ipari váUalat rendelkezik komoly rendszer és szabályozó tervezési háttérrel. Ezeket a cégeket funkciójuk szerint a következőképpen lehet csoportosítani: - Integrált irányító rendszereket gyártó vállalatok: Rockwell, Honeywell. Teljes gyárak, vállalatok irányítását elvégzik, például a Rockwell Automation vállalat Rockwell Software programcsomagja lehetővé teszi teljes gyárak integrált kányítását, magában foglalva az automatizálási feladatok elvégzését is. - A robot gyártó vállalatok: Fanuk, Panasonik, ABB. Az előre gyártott ipari robotok valósítják meg manapság az automatizált gyártás nagy részét. - P L C gyártó vállalatok: Siemens, Allen Bradly (Rockwell), Toshiba. A P L C (Programable Logic Controller) az ipari folyamatirányító rendszerek egyik fő építőeleme. - Adatgyűjtő és mérőrendszereket gyártó vállalatok: National Instruments,
Siemens.
Számos cég több feladatot is eUát, de a besorolást a fő tevékenységük szerint végeztük. A
395
felsorolt vállalatok általában csak olyan programrendszereket fejlesztenek, amelyeket csak a saját gépeikre és eszközeikre lehet alkalmazni. A számos ipari rendszer közül talán csak a National Instruments által gyártott Lab VIEW® programcsomag vált széles körben elterjedt eszközzé és más cégek által is elfogadott fejlesztési környezetté. Lab VIEW® A L a b V I E W ® grafikus fejlesztési környezetet biztosít adatgyűjtésre, jelfeldolgozásra, adatmegjelenítésre. Rugalmas, magas szintű programozást tesz lehetővé a programozási nyelvek bonyolultsága nélkül. Megvannak mindazok a programozási eszközök (mint például adatstruktúrák, ciklusok és események kezelése), amelyek a hagyományos programozási nyelvekben is adottak, de sokkal egyszerűbb kezelői környezetben. A LabVIEW®-ban egy beépített fordító is megtalálható, ami hasonló teljesítményt biztosít, mint egy C fordító mind sebességben, mind pedig memóriaigényben. A L a b V I E W ® használhatósága és elterjedtsége annak köszönhető, hogy számos (jelenleg k b . 50) programkönyvtár, Toolkit áll a fejlesztők rendelkezésére. Ezek magukban foglalnak különféle virtuális eszközöket, mintaprogramokat és dokumentációkat, és jól beilleszkednek a fejlesztő környezetbe és alkalmazásokba. Ezeket a függvényeket olyan speciális igényekre tervezték és optimalizálták, amelyek széles területet fognak át a jelfeldolgozástól, a kommunikáción át az adatstruktúrákig. A főbb toolkit-ek a következők: - Application Deployment & Targeting Modules - Software Engineering & Optimization Tools - Data Management and Visualization - Real-Time and FPGA Deployment - Embedded System Deployment - Signal Processing and Analysis - Automated Test - Image Acquisition and Machine Vision - Control Design & Simulation - Industrial Control A Control Design Toolkit szabályozások tervezésére és analizálására környezetben. A Control Design Toolkit főbb jellemzői:
alkalmas L a b V I E W ®
- A L a b V I E W ® Control Design Toolkit, alkalmas szabályozások tervezésére és analizálására LabVIEW® környezetben. Interaktív grafikkus tervezést tesz lehetővé, például gyökhelygörbe segítségével. - A folyamat és a szabályozó megadható átviteli függvény alakban és állapotteres leírásban. - Ezek a modulok a LabVIEW® Simulation Module-M össze vannak integrálva. - A rendszer viselkedését számos eszköz segítségével lehet vizsgálni, mint például az átmeneti függvény, a Bode diagram, a zérusok és pólusok elhelyezkedése, stb. A L a b V I E W ® integrált környezetet biztosít az adatgyűjtésre, az identifikációra, szabályozó tervezésre és szimulációra. A rendszer viselkedése grafikusan vizsgálható, miközben változtatjuk a rendszer állítható paramétereit.
396
F-5. Bizonyítások, levezetések F-2.1 Egyszerű meghatározni a j ?mT
H(s) = l+sT,
H(j(u) = l + j(aT = \H(j(i))\e '
(F.2.1)
alak BODE diagramját. Az abszolút érték és fázisszög függése a körfrekvenciától 2
2
2
2
|//(;co)| = Vl + co 7; = [ l 0 1 g ( l + c o r ) ] dB
;
cp(co) = arctgcor
(F.2.2)
A függvények aszimptotikus viselkedését vizsgálva kapuk, hogy #(;'co) = l , |H(/co)| = 0 d B ; op(co) = 0 , h a
cú«co =l/r
(F.2.3)
1
valamint H(j(o)«j(oT
, |/í(;co)|«(201gco + 201gr) dB ; (p(co)» 9 0 ° , ha co»(ú =l/T
(F.2.4)
l
Ha a körfrekvenciát logaritmikus léptékben visszük fel, akkor az amplitúdó mindkét aszimptótája egyenes. A frekvenciatengelyen 1 dekád távolságra van egymástól két olyan pont, amelyekre 0 0 2 = 1 0 © ! , azaz l g c o = l + lgco . Logaritmikus léptékben tehát a dekád állandó távolságot jelent. Tehát az c o » c o tartományban a görbe aszimptótája egy 20db/dekád meredekségű egyenes, amely a OdB-es tengelyt az Cűj körfrekvencián metszi (törésponti körfrekvencia). Itt a pontos érték 2
1
1
| # ( 7 C O , ) | = (201g2)dB = 3dB
,) = arctgl = 45°
és
(F.2.5)
A függvények érintői d|i/(;co)|
dlg(l +
JSLJl
=
io
dlgco
dcpH
i
2
2
co r ) L
dco
=
darctgcor _dco_
dlgco
dco
2
2G>T
d Q )
= 10 dlgco
=
dlgco
T 1 + co r
, , c o dB/dekád 1 + co T
c o j ^ Ige
(F.2.6)
(
p
2
? )
n
amelyek meredeksége a törésponti körfrekvencián d|#(jco)|
= 10 dB/dekád
(F.2.8)
dlgco dcp(co) dlgco
= 66 fok/dekád to
0
(F.2.9)
397 F-3.1 Az állapotegyenlet megoldását a (3.18) egyenlet adja. Bizonyításához deriváljuk az egyenletet d_ \e ^ hu(x)dx = ±[^',(0)1 + díL ^ dí A
^
x
(F.3.1)
n
dí
itt At
±- [e x(0)]
At
=
t
Ae x(0)
(F.3.2)
es d_
(x)dx
dí o d0_ dí
= ÍA[^(-).„ ]d, f[^<'-^»w]„,W
+
(F.3.3) A(t X
A{ t x
- hu{x)}
= \Ae - - hu{x)dx J
+ bu(x)
„
x=0
ahol figyelembevettük, h o g y d í / d í = l, d 0 / d í = 0 é s
^
= 1. A (3.18) deriváltja tehát
(F.3.4)
F-3.2 Zérus kezdeti feltételekre (JC(0) = 0 ) és d = 0 esetén az w(í) = 8(í) gerjesztésre a rendszer súlyfüggvényét (3.18)-ből is kiszámíthatjuk
x(t)=
A
í)
]e ^~' bb(x)dx A
At
= e ' [-e~ (t)
w
T
=e
A t
A0
8(0)] b =
8(í) + e~
= y(t) = c x(t)
=
T
\e~
Az
b(x)d
A
Ax
b = e \e~
8(x)]^ =
At
eb
(F.3.5)
At
ce b
ami megegyezik az operátoros tartományban kapott (3.25)-tel. F-3.3 A mátrixelméletben alapvető a CAYLEY-HAMILTONtétel: bármely A mátrix kielégíti a saját karakterisztikus egyenletét, azaz a A(A) = 0 = d e t ( s / - A ) = 0 egyenletet a formailag azonos A(A) = 0 mátrix formában
(F.3.6) (lásd az F - l . Függeléket). Az (F.3.7) egyenletet az A
mátrix
V(A)
398
mátrixpolinomja is kielégíti, de kielégíti olyan F ( A ) mátrix függvény is, amelyhez tartozó
f(s)
függvény analitikus (reguláris) a komplex s sík origóját körülvevő bizonyos tartományban. Legyen most F ( A ) = e e
A x
A x
= C X ( T ) / + a {x)A 0
L
az alapmátrix, akkor a fentiek alapján fennáll, hogy + ... + a ^ A " '
1
(F.3.7)
F-5.1 A NYQUIST stabilitási kritérium a komplex függvénytan CAUCHY argumentum vezethető le. Az argumentum
elvéből
elv
Legyen T egy önmagát n e m metsző zárt görbe a komplex számsíkon, amely körülhatárol egy D tartományt. Tekintsük a z komplex változó egy f(z) függvényét. A z f(z) függvénynek a D tartományban P számú pólusa és Z számú zérusa van. Mind a pólusokat, mind a zérusokat multiplicitásukkal vesszük figyelembe. A függvény a tartomány többi pontjában analitikus(tehát ezekben a pontokban differenciálható). Az argumentum elv szerint a zárt görbét az óramutató járásával ellentétes irányban körüljárva az f(z) függvény A a r g / ( z ) szögváltozása 2 % ( Z - P ) - v e i egyenlő. r
± -.j-im . AM)
iz=z P
( F
.5,)
Bizonyítás Tételezzük fel, hogy / ( z ) - n e k a z = a pontban egy m multiplicitása zérusa van. A zérus m
környezetében az f{z)
függvény az alábbi alakban írható fel: f(z) = [z-o) g[z),
analitikus függvény. Képezzük az f\z)/ m f(z)
= J?^ z-a
+
f{z)
ahol
g(z)
kifejezést:
iM g(z)
(F.5.2)
A (F.5.2) kifejezés jobb oldalán a második tag z = a - b a n analitikus. A z első tag számlálója a reziduumot adja meg. A z (F.5.1) kifejezésben a zárt görbementi integrál a reziduumok összege a zérusokat és a pólusokat tekintve Z-P. Másrészt figyelembevéve, hogy (R5 3)
W)-l^
-
a következő összefüggés vezethető le:
J^
á Z =
d
ln/
=
J" ( W) J d H | / W N p ( ; a r g / ( z ) ) } )
=
399
= j dln|/(z)| + j J d(arg/(z)) r
= jA arg/(z) r
= 2nj{Z-P)
(F.5.4)
r
Ezzel beláttuk az ( F . 5 . 1 ) összefüggéssel megadott argumentum elvet, tehát -!-A arg/(z) = Z - P r
(F.5.5)
Z7C
A Nyquist stabilitási
kritérium
Vizsgáljuk egy negatívan visszacsatolt zárt szabályozási rendszer stabilitását. A karakterisztikus egyenlet: 1 + L(J) = 0
(F.5.6)
ahol L(s) a felnyitott kör átviteli függvénye. Tekintsük a komplex számsíkon az 5 . 1 7 . ábra szerinti zárt görbét. Ha az imaginárius tengelyen is vannak L(s) -nek pólusai, azokat egy kis sugarú körrel kerüljük meg az 5 . 1 8 . ábra szerint. A karakterisztikus polinomot az alábbi alakban ( 5 . 3 1 ) is felírhatjuk:
Tekintsük a karakterisztikus polinomot a leképzendő f{z) függvénynek. A z 5 . 1 7 . ábra szerinti görbét leképezve a karakterisztikus polinom szerint alkalmazhatjuk az argumentum elvet. Mivel az 5 . 1 7 . ábra szerinti görbét az óramutató járásával megegyező irányban járjuk körül, a leképzett görbe R körülfordulásainak száma a 0 pont körül: ^ - A a r g / ( z ) = /? = P - Z r
(F.5.8)
Z7C
A stabilitás biztosításához a karakterisztikus egyenletnek n e m lehetnek jobb oldali gyökei, tehát a stabilitás feltétele: Z= 0
(F.5.9)
és ezzel R=P
(F.5.10)
Vagyis a szabályozási rendszer stabilis, ha az 5 . 1 7 . ábra görbéjét a karakterisztikus polinom szerinti leképező görbe annyiszor veszi körül az óramutató járásával ellentétes pozitív irányban a 0 pontot, amennyi a felnyitott rendszer labilis, jobb oldali pólusainak a száma. A karakterisztikus polinom helyett az L(s) görbét leképezve kapjuk az ún. teljes NYQUIST görbét. Ennek körülfordulásait a - 1 pont körül vizsgálva a ( F . 5 . 1 0 ) feltétel teljesülése esetén a rendszer stabilis.
400
F-9.1 T
T
A c (sI-A
l
+ bk ^)
b összetett alak egyszerűsítéséhez használjuk a (3.13)-ban bevezetett
•i _ a d j ( s Z - A ) _ a d j (sí -A) (sI-A)~ det(j/-A) A(s)
<&(s) =
_ *¥(s)
(F.9.1)
A(s)
jelölést és használjuk fel az T
l
+ bk J
(sI-A
1
T
1
T
=[O~ (Í)+6Á: ]~ = 0 ( Í ) - 0 ( Í ) & [ I + Á : O ( Í ) & ] ~ V O ( Í )
(F.9.2)
mátrix inverziós lemmát, amelynek alapján (F.9.3) T
l+A: <Í>(s)&
l
\+k Q>{s)b
így (9.5) további alakulása (F.9.4) r y l
1+* O(S)6
j
t
Vegyük észre, hogy itt T
T
- 1
c 0(í)6 = c ( 5 / - A ) f t = H(j):
m
(F.9.5)
A(s) amelynek segítségével T
c Q(s)bk
_
T
k
r
B(s)
-H(s):
A(s)
A(s)
(F.9.6)
k B(s) T
Tx
A(s) +
k ¥(s)b
¥-9.2 A
k
kalibrációs tényező segítségével tudjuk a zárt rendszer T^s)
x
átviteü
függvényének
egységnyi statikus átvitelét biztosítani. A
s
T
0
= c T
(-
A
+
b
k
T
y
bk
*
=
l
(F.9.7)
feltételből kapjuk, hogy k = - \ c
T
*(A-bk j
(F.9.8)
401
A mátrix inverziós lemmát most a nevezőben alkalmazva —
\1
T]
ÍA-bk j
=A
1
_ 1
+A
1 r
_ 1
1 1
HTT
-
~^*Tj—1
e[l-A: A V
(F.9.9)
kapjuk, hogy - u
^
c
T
i t
-i
T
T
'
1
T
1
T
1
T -i^_c A- ft(l+fe A- ft-t A- ft)
A J t
A
_1
1-A: A Z
T
_1
l-Jfc A ft
(F.9.10)
T
c A-^ T
- 1
l-* A a így az (F.9.8) további alakja -1
T
* A
T
T
c (A-** )
_ 1
c
A
T
_ 1
a
_
ft-l 1
(F.9.11)
*
F-9.3 T
T
Mint azt a (9.10) származtatásakor láthattuk a póluselhelyező £ = & állapotvisszacsatoló vektort igen könnyű kiszámítani az irányíthatósági kanonikus alakból. A (3.67) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden irányítható rendszer irányíthatósági kanonikus alakra c
1
hozható a T =M^(M ) c
transzformációs mátrix alkalmazásával. Innen kaptuk a visszacsatoló
C
vektor hasonlósági (9.13) transzformációját T
c
k
l
=kjT =kjM Ml c
(F.9.12)
c
A viszonylag bonyolult T transzformációs mátrix alkalmazása helyett található egy egyszerűbb számítási módszer is. A hasonlósági transzformáció T mátrixát a c
l
A = TAT
és
c
b =Tb
(F.9.13)
c
összefüggések alapján keressük. A z A mátrix hasonlósági transzformációja a (F.9.14)
A T = TA C
alakú egyenlettel is kifejezhető. Itt a T mátrix soraira a í,- jelölést bevezetve írhatjuk, hogy -a
2
...
a
~ n-\
a
~n
r
T
1
AT = C
0
...
0
0
T
tjA
T
tjA
t\ t l
l
/ *2
*2 T
0
1
...
0
0
. 0
0
0
1
0 . t
r
3
= TA = t h
T
A kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk, hogy
l?n J
A = tjA
(F.9.15)
402
-Ö2*2 • •
-01*1
a
_
ÍJA
t
n-\ n-\
n 2
tjA A T=\ C
tjA
l
2
tlA -
=
A = TA
L
l
n-\
l
n
A két oldal megegyezéséből azt a következtetést kell levonnunk, hogy sorvektorokra az alábbi rekurzív összefüggés áll fenn, ha tj T i
l
; i=
n,n-l,...,2
illetve más formában tf-\=t A ; i= T
í,-
(F.9.17) A
i
az egyes
ismert:
T
t _ =t
(F.9.16)
n M
(F.9.18)
n,n-\,...,2
n
amelyet fel is tüntettünk a sorok képzésekor. Tehát az irányítható kanonikus alakra alakító transzformációs mátrix
2
tjA"-
T = T = t A~ T
C
n
(F.9.19)
3
n
Hasonló gondolkodással kapjuk szintén (F.9.13) és (F.9.16) alapján, hogy r
n
-2 -3
b = tjA -
= Tb =
c
-l
tjA -
»2
b
n
tlA -
i
n
l
Ln J
.
tlA«~
l
n
2
n
3
tjA -
b
tjA ~
.
tl
b (F.9.20)
b
tlb
amelynek transzponált alakja bj=tj[b
Ab
...
n
2
A~
n l
A ' b]=tjM
c
(F.9.21)
ahol M az irányíthatósági mátrix. Innét c
tI=bJ(M )
-l
c
Tehát t
n
(F.9.22)
az első sora az irányíthatósági mátrix inverzének, ugyanis
T
6 =[1,0,...,0] C
Tekintsük most a visszacsatoló vektor (F.9.12) transzformáltját
(F.9.23)
403
T
k
=kjT
c
=
[p -a p -a ,...,p -a ] í 1
h
2
2
n
n
T B
A-
(F.9.24)
3
A kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk az T
T
* =í« XflA-'-í
T B
Í^A-
(F.9.25)
í
i=l
í=I
egyenletet, amelyben mindkét szummához A " - t hozzádva az alábbi különleges alakra jutunk r
(F.9.26)
T
k =t V(A)-t^A(A) n
Mivel a CAYLEY-HAMILTON tétel következtében minden négyzetes mátrix kielégíti a karakterisztikus polinomját, ezért A(A) = V(A) = 0. Az (F.9.26) végső alakja tehát *
T
(F.9.27)
=tJP(A)
Ez utóbbi egyenletet ACKERMANN formulának nevezzük. Az (F.9.12) szerinti összefüggést könnyebb kiértékelni számítógépes módszerekkel, mint az (F.9.27)-t. F-9.4 A póluselhelyezés alapvető (9.7) összefüggéséből a diagonális kanonikus alakra alapozottan azonos átalakításokkal kapjuk, hogy -
V(s)-A(s)-
g ( j )
1
_
A
l
d
kJ(sI-A )- b =A(s)kJ(sI-A y b
t
d
d
d
(F.9.28)
cJ>/-A )-V d
ahonnan (F.9.29) A(s) A bal oldalt részlettörtekre bontva, valamint figyelembevéve a rendszer diagonális jellegét írhatjuk, hogy n
,d
I
(F.9.30) A(s)
1=1
'
1=1
1
A részlettörtre bontás egyszeres pólusokra érvényes kifejtési tételét alkalmazva, tehát szorozzuk meg mindkét oldalt {s- A,/)-vei és helyettesítsük be az s = X értéket kapjuk a t
(F.9.31)
404 összefüggést. Ezt mindegyik pólusra el kell végeznünk. F-9.5 Az alábbaiakban a lépésenkénti átalakítás jól követhető, ha az F - l . Függelék (F.17) mátrix inverziós azonosságát figyelembe vesszük, így T
1 + ^(sI-A
= c - ( s i - A V
+
T
V \-k (sI-A
r
c (sI-A)
+ bk
1
T
+ bk +
b k ^ b k '
c
x
l
íc )
s
i
A
\ K
b c (sI-AY b\
= ^ - y \ + k (sI-AY b T
T
+íc )
T
X
h
)
l
l
(F.9.32) k
= \+
^ \sI-A)~ b k (sI-AYh T
l
V(s)
F-9.6 A 9.5. pontban tárgyalt, úgynevezett LQ szabályozó egy általánosan optimalizálási probléma speciális esete. Az általános feladat során az
megfogalmazható
(F.9.33)
*(0=^=/MM')] állapotegyenlettel leírható rendszer olyan minimalizálja a
u(t)
irányítását
szeretnénk meghatározni,
• = - j F [ x ( f ) , i i ( í ) ] d f =/[11(f)]
amely
(F.9.34)
általános integrálkritériumot. A megoldást az úgynevezett m i n i m u m elv szolgáltatja, szerint képeznünk kell a H(t) = F[x(t), u(t)} + X(tff[x(t),
u(t)]
amely
(F.9.35)
HAMILTON függvényt, amelyre a szélsőérték dH(t)
dH(t)_
dX(t)
du(t)
dx(t)
dt
=
-X(t)
(F.9.36)
2
2
szükséges feltételeinek kell fennállniuk. (A m i n i m u m elégséges feltétele, hogy d H/du >0 legyen.) A HAMILTON fügvény és a m i n i m u m (F.9.35) szükséges feltétele formailag íeltételes optimum LAGRANGE módszerének felel m e g %. tehát a módszer társvektora), hiszen az /[«(í)] minimumát az (F.9.33) feltétel mellett kell elérnünk. (Az állapottérben ugyanis tetszőleges mozgás n e m engedhető meg, csak olyan, amely megfelel (F.9.33)-nak.) A megoldásnál rendszerint feltételezzük, hogy X(t) = P(t)x{t), azaz az állapotvektorból lineáris transzformációval előállítható, így X(t) = P(t)x(t)
+
Px(t)
(F.9.37)
405
H a az integrál felső határa végtelen ( T = °°), akkor P(t)=P f
X(i) = Px(t)
és
állandó így P= 0, tehát
Í(t) = Px(t)
(F.9.38)
Az LTI folyamat LQ szabályozójának a
T
I = n[x (t)W x(t)
2
+
x
W u (t)]di[ t = min
(F.9.39)
u
u(t)
feladatot a lineáris rendszer dinamikáját leíró x(t)-Ax(t)
+ bu(t)
(F.9.40)
feltétel mellett kell megoldania. A HAMILTON függvény most T
H(t) = - [x
2
T
(t) W x(t) + W u (t)] x
2
(F.9.41)
+ X [A x(t) + b u(t)]
u
2
amelynek második deriváltja d H/du
=W
U
> 0 , így a szükséges feltétel biztosítása egyben
elégséges feltétel is. A szükséges feltétel egyrészt dH(t) du(t)
_
T
W u(t) + X b u
T
= W u(t) + b X u
=0
(F.9.42)
ahonnan az optimális irányítás »(') -
-T^* M') = -é-b Px(t) T
= -kl
r
Q
(F.9.43)
x(t)
Másrészt meg kell határoznunk az itt szereplő P mátrixot. Ehhez tekintsük a zárt rendszer eredő állapotegyenletét
x = Ax -bk^Q
x = ^A - bk^Q^jx = '
1 T A—-bb P T
^
\x=Ax
(F.9.44)
w amely pontosan olyan alakú, mint az állapotvisszacsatolásnál. A z LQ szabályozó tehát egy állapovisszacsatoló szabályozó. Az (F.9.36) és (F.9.44) egyenletek alapján a társvektor {
X = Px = PA
1 T
Pbb P
x =
(F.9.45)
PAx
amelynek ki kell elégítenie az (F.9.36) szükséges feltételből adódó
X(t) = ~^~^
r
= - W x ( í ) - A X(t) x
= -W x(t) K
T
-A Px(t)
T
= -{W
K
+A p)x(í)
(F.9.46)
egyenletet. Az utolsó két egyenletet összevetve a T
PA——Pbb P
T
)
= -(w +A P J x
(F.9.47)
406 egyenlőség adódik a szimmetrikus P meghatározására. Átrendezve kapjuk az úgynevezett nemlineáris algebrai RlCCATI mátrix egyenletet T
T
PA + A P——
Pbb P
= W
(F.9.48)
x
W„ amelynek explicit algebrai megoldása nincs, de számos numerikus módszer létezik viszont gyors számítógépes megoldására. A zárt rendszer állapotvektorának és a társvektornak az együttes állapotegyenletét egyszerűen felírhatjuk a (F.9.44) és (F.9.46) egyenletek alapján T
A
—bb P (F.9.49)
W
-A
x
T
.
Jegyezzük meg, hogy ha az integrál felső határa véges ( T < » ) , akkor P= P(i) időfüggő és a f
RlCCATI mátrix egyenletet a teljes 0 < t < T tartományra előre meg kell oldani. f
A következőkben megmutatjuk, hogy a RlCCATI mátrix egyenlet P megoldásának különleges jelentése van. Helyettesítsük be az optimális irányítás (F.9.41) egyenletét az (F.9.37) kritériumba
1
T
= j J[ *
+
W
w
d
»At)] <
=2/ \
x T
( 0 +
W [-kl u
Q
x(t)} | d t = (F.9.50)
T
JC (t)W x(t)
+^ J C
x
T
T
(t)
T
P bb Px(t) dt =
1
00 T
-\[x (t)W x(t)]dt x
ahol T
T
W =W +—P bb P W„ x
(F.9.51)
x
A gerjesztés nélküli (F.9.44) szerinti zárt rendszer megoldása It
x(t) =
e x(0)
(F.9.52)
így a gerjesztés nélküli esetre az (F.9.50) kritérium
T
A
h
A
t
I = ±][x (0)e ~ W e ~ x(0)]dt x
=
T
±x (0)Px(0)
(F.9.53)
ahol feltételeztük, hogy 00 A
e
At
'W e dt x
Ennek bizonyításához végezzük el az integrálást
(F.9.54)
407
AT
At
P=]e 'W e df-
AT
l
T
ATt
1
At
\A e W A- e dt
At
e 'W A- e
x
(F.9.55)
x
x
o
o Továbbá, ha A stabilis, akkor írhatjuk, hogy
l
P =
T
AT
-W A~ -A
T
l
1
e
A t
l
T
\A~ =-W A~ -A
x
Itt felhasználtuk, hogy A PA+A
At
e 'W e dt
v
x
At
=e A
1
PA
(F.9.56)
\ Végezetül a (F.9.57)
P = -Wv
egyenletet kapjuk, amelyet LJAPUNOV egyenletnek hívnak. A z egyenlet csak látszólag lineáris P-ben, mert W és A is függ P-től. A z egyenletet tovább átalakítva ismét az (F.9.48) algebrai RlCCATI mátrix egyenletre jutunk. Ezzel egyrészt bebizonyítottuk P - r e az (F.9.54) szerinti összefüggést, másrészt bemutattuk a P jelentését: gerjesztés nélküli esetben az (F.9.37) kritérium minimumát biztosító szabályozáshoz tartozó kvadratikus költségfüggvény mátrixa. x
Érdekes m é g megvizsgálni, hogy hogyan változik az időben maga a HAMILTON függvény. Képezzük az időben deriváltját dH
dH
dt
dx
TT
dx dH -+ du dí
TT
du
d7• +
dH dX
TT
dX
(F.9.58)
dt
Mivel (F.9.33) és (F.9.35) alapján fennáll, hogy dH
dH
dX
dx
(F.9.59)
= f
valamint vegyük figyelembe az (F.9.36) egyenletet, így dH
dx
TT
dx • dí
dH
TT
dX
+
dX
dt
=0
(F.9.60)
Tehát végezetül dH
= 0
(F.9.61)
dt azaz a HAMILTON függvény állandó (feltéve, hogy sem az irányítás,sem pedig az állapotvektor nem esik korlátozás alá Tehát korlátozás nélküli esetben a HAMILTON függvény időben invariáns és invariáns a bemenőjelre is (lásd a szélsőérték (F.9.36) szükséges feltételét).
F 11.1 A zérusrendű tartószerv
408
l-e
- Í R .
(F.ll.l)
átviteli függvénye alapján a tartószerv frekvenciafüggvénye
-JVTJ2 ZOHW|
í = ; ( ű
j
(
j
J
2
j
(
j
(
F
U
2
)
s
}
alakban írható fel. A fentiek alapján felírható a zérusrendű tartószerv abszolút érték függvénye \sin((üT /2)\ s
(F.11.3)
cor /2 s
valamint a fázisfüggvénye (F.11.4)
4 ^ Z O H O"©)} = Z { s i n ( ( ű r / 2 ) } - c o r / 2 s
s
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
F-l 1.1. ábra A zérusrendű tartószerv frekvenciafüggvényének abszolút érték függvénye
10
20
15
F - l 1.2. ábra A zérusrendű tartószerv frekvenciafüggvényének fázis függvénye A frekvenciafüggvény mindkét komponensét r = 1 sec választással ábrázoltuk az F - l 1.1. és s
az F-l 1.2. ábrán. Látható, hogy az abszolút érték függvény az co = 2n/T s
s
= 6 . 2 8 rad/sec
409 mintavételezési körfrekvencián és annak egész számú többszörösénél nullává válik, a fázisfüggvény pedig lineáris jellegű, T =T /2 értékű holtidős tagnak megfelelő mértékű, a h
s
szinguláris pontokban a fázis +180° értékkel változik. A z F - l l . l . ábrán az c o < c o / 2 = c o tartományban aktív ideális szűrő karakterisztikáját is feltüntettük. Látható, hogy az amplitúdó torzítás csak a legalacsonyabb frekvencia tartományban hanyagolható el. s
m a x
F-11.2 Induljunk
ki
az
f[k]
(k =0,1,2,...)
diszkrét
idejű
jel
z-transzformáltját
végtelen
hatványsorként definiáló
k
^{f[k]}
í
= F(z)=f f[k]z- =f[0]
+ f[l)z-
í
+ fm
(F.ll.l)
k=0 k
l
összefüggésből. Mindkét oldalt beszorozva a z ~ k
l
F(z)z ~
k 1
= f[0]z -
k 2
k
+ f[l]z -
3
+ f[2]z ~
k
1
adódik, ami nem más, mint a z " F(z)
tényezővel
+... + f[k]z~
l
+...
(F. 11.2)
kifejezés z = 0 hely körüli LAURANT sora. Tekintsük k
l
most azt a komplex sík origója köré írt C kört, amely magába foglalja z ~ F(z) Mivel a fenti kifejezésben z'
1
együtthatója f[k],
minden pólusát.
másrészt ez az együttható egyúttal
k
l
z ~ F(z)
reziduuma, így írhatjuk, hogy f[k] = %-\F{z)}
k
l
= A-.ÍF{z)z - áz
c
(F.l 1.3)
410
IRODALOMJEGYZÉK Áström, K.J.: Control System Design. Lecture Notes, University of California, 2002. Áström, K.J. and B. Wittenmark: Computer Controlled Systems. Theory and Design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984. Bosgra, O.H., H. Kwakernaak and G. Meinsma: Design Methods for Control Systems. Winter Course, Dutch Institute of Systems and Control, 2004. Csáki Frigyes: Szabályozások dinamikája. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1966. Csáki Frigyes: Fejezetek a szabályozástechnikából. Állapotegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Fodor György: Lineáris rendszerek analízise. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1967. Horowitz, I.M.: Synthesis of Feedback Systems, Academic Press, N e w York, 1963. Kailath, T.: Linear Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1980. Lantos Béla: Irányítási rendszerek elmélete és tervezése I (Egyváltozós szabályozások). Akadémiai Kiadó, Budapest, 2 0 0 1 . Mikles, J. and M . Fikar: Process Modelling, Identification and Control 2 (Identification and Optimal Control), S T U Press, Bratislava, 2004. Ogata, K.: Discrete-Time Control Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1987. Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994.
