Regelungstechnik fur Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen, 13. Auflage

w

=~ ,iA

Somit ist der Wärmestrom tJ-tJ

1A

$= _ _ a =-/!'-(l9-ß R d a

).

(3.8)

w

Andererseits ist der Wärmestrom

dQy . dt

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

55

Die dem System zugeführte Wärmemenge ist gleich den gespeicherten bzw. abgeführten Wärmemengen

oder

dQzu

dQw

dQb

dQy

dt

dt

dt

dt

--=--+--+--. Setzt man die Beziehungen (3.5), (3.6), (3.7) und (3.8) in die letzte Gleichung ein, so erhält man

mw

Cw

dtJ(t) dtJ(t) /L A --+mb cb --+-(tJ-tJa)=Pe(t) bzw. dt dt d

d' w t) + tJ(t) = -d . P (t) + z9 . d . m w c w + mb cb . _U_\ /L A dt /L A e a Mit den Abkürzungen: K pS

=~= /LA

0,~3m

0052-.7 Sm ,

mK

2

=0,0074~

'

W

und

folgt

(3.9) Die gefundene Differentialgleichung 1. Ordnung besagt, dass die vorliegende Strecke eine PStrecke mit Verzögerung 1. Ordnung oder kurz eine P-T i-Strecke ist. Der zeitliche Verlauf der Sprungantwort IJ(t) ergibt sich, wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Schalter geschlossen wird und die elektrische Leistung Pe(t) = P eO konstant ist, d. h.

Pe (t) = PeO . (J(t) .

(3.10)

Bei der Laplace-Transformation von (3.9) ist zu beachten, dass bei der Anwendung des Differentiationssatzes die Anfangsbedingung im vorliegenden Fall nicht Null, sondern Damit folgt aus (3.9) durch Laplace-Transformation, unter Beachtung von (3.10)

Pe (s) = PeO s und

PeO tJ Ti (stJ(s)-tJa ) +tJ(s)=K pS - + -a ' s s nach ß(s) aufgelöst

~O)

= ßa ist.

3 Die Regelstrecke

56

Mit den Beziehungen 4 und 5 der Korrespondenztabelle folgt sofort t

19(t) = (K PSPeO

+ lJa )(1- e

1]) + lJa e 1]

bzw.

(3.11) Der zeitliche Verlauf der Sprungantwort ist im Bild 3.6 dargestellt. Für t = 0 ist zJXO) = ßa und für t = 00 ist zJXoo) = ßa + Kps Peo = (288 + 74) K = 362 K. Die Endtemperatur zJXoo) wird bei der gewählten Eingangsleistung erst nach t = (3 ... 5) . Tl erreicht. Durch Vergrößerung der Eingangsleistung kann der Erwärmungsvorgang wesentlich beschleunigt werden. So wird z. B. für PeO = 50 kW die Anfangssteigung

dl9(t) _ P K PS 0-dt - e Tl

--

il K

i

ß(t)

für P eO = 50 kW

fünfmal größer. Durch eine entsprechende Regeleinrichtung (die später besprochen wird) kann eine Erwärmung des Wassers über den Siedepunkt verhindert werden.

ß(oo)

Bild 3.6

ßa

Sprungantwort einer P-Tl-Strecke

273 + - - - - - - 1 f - - - - - - - - - - _t

Bei der Ermittlung des Frequenzganges GsUr4 aus GI. (3.9) ist zu beachten, dass das konstante Glied ßa entfällt, da bei sinusförmiger Eingangsgröße auch die Ausgangsgröße zJXt) sich sinusförmig ändert und nur die Änderungen (keine Absolutwerte) ins Verhältnis gesetzt werden. Man ermittelt zunächst aus GI. (3.9) die Übertragungsfunktion der Strecke ohne Vorgeschichte, d. h. für zJXO) = ßa = O.

G (s) = 19(s) = K PS . S Pe (s) 1+ sTI In dem man s durch jwersetzt, folgt daraus der Frequenzgang

G ( 'm) - 19(jm) _ K PS S } - Pe (jm) - 1 + jofIi Die zugehörige Ortskurve ergibt, wie in Beispiel 2.6, einen Halbkreis im 4. Quadranten mit

KpS als Durchmesser.

57

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung •

Beispiel 3.2

Eingangsgröße ist die Erregerspannung y und Ausgangsgröße ist die Verbraucherklemmenspannung x eines fremderregten Gleichstromgenerators (Bild 3.7).

L

Bild 3.7

Fremderregter Gleichstromgenerator

Die Antriebsdrehzahl des Generators n ist konstant. Die Induktivität des Läufers sei vernachlässigbar. Für den Erregerkreis gilt: . di(t) y(t) =/(t)·R + L - .

(3.12)

dt

Der Strom i erzeugt in der Erregerwicklung den Fluss cP. Bedingt durch die Magnetisierungskurve ist die Funktion cP=f(i) nichtlinear. Vereinfachend soll hier angenommen werden, dass die Magnetisierungskurve unterhalb der Sättigung durch eine Gerade ersetzt und der magnetische Widerstand R m als konstant aufgefasst werden kann. Der magnetische Fluss ergibt sich dann zu cP(t) = B(t) Rm mit

e

=~i(t),

(3.13)

Rm

elektrische Durchflutung

N Windungszahl der Erregerwicklung.

Die vom Generator erzeugte Leerlaufspannung ist

(3.14)

uo(t) =c n· cP(t). Der Ankerstrom ergibt sich aus

i (t) = 2

Uo (t)

Ra +Rb

und damit die Spannung am Verbraucher . x(t) = 12 (t) . Rb =

Rb

Ra +Rb

Uo (t) .

Gin. (3.13) und (3.14) in GI. (3.15) eingesetzt, ergibt

(3.15)

3 Die Regelstrecke

58

mit

Nach i(t) aufgelöst, folgt

i(t) = _1_ x(t)

K]

und nach einmaliger Differentiation

di(t)

--

1

dx(t)

K]

dt

--.--

dt

i(t) und di(t)/dt in (3.12) eingesetzt, führt zu

L dx(t) R ---+-x(t)=y(t) bzw. K] dt K]

~ dx(t) + x(t) =!!..l y(t) . R

R

dt

Mit der Zeitkonstanten des Erregerkreises T] = UR und dem Übertragungsbeiwert KpS = K]/R folgt die endgültige Form der Differentialgleichung

dx(t)

T] - - + x(t) = K pS y(t).

dt

(3.16)

GI. (3.16) ist der in Beispiel 3.1 gefundenen GI. (3.9) (bis auf den Anfangswert 6(0) = 19a) analog. Entsprechend erhält man die Lösung durch Laplace-Transformation von (3.16) (für t = 0 sei x(O) = 0) T] ·sx(s)+x(s)=K pS y(s) bzw. K pS x(s)=--y(s). 1+ sT] Wählen wir als Eingangsgröße wieder die Sprungfunktion

y(t) = yO . (J(t) , so folgt mit y(s) =

~ s

1 x(s)=K ps Y o - - s (1 + sT]) Unter Verwendung der Beziehung 4 der Korrespondenztabelle erhalten wir im Zeitbereich

59

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

x(t) = ~

K PS Ya (1- e 1]).

Aufgabe 3.1

Ermitteln Sie den Verlauf der Ortskurve des im Beispiel 3.2 durch GI. (3.16) beschriebenen Systems für Tl = 0,1 sund Kps = 10.

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung Regelstrecken, die durch die Hintereinanderschaltung von zwei P-Strecken 1. Ordnung entstehen, werden durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben. Im Gegensatz zu in sich gekoppelten Zweispeichersystemen, die in Abschnitt 3.5 behandelt werden, können sie nur aperiodische Schwingungen ausführen. Als Beispiel soll das im Bild 3.8 gezeigte System 2. Ordnung behandelt werden, das aus zwei hintereinandergeschalteten Gleichstromgeneratoren besteht und als Verstärkermaschine bezeichnet wird. •

Beispiel 3.3

Das Erregerfeld des zweiten Generators wird von dem ersten Generator erzeugt. Die Rotorwellen beider Generatoren sind gekoppelt und werden mit der Drehzahl n angetrieben. Eingangsgröße ist die Spannung y am ersten Erregerkreis, Ausgangsgröße ist die Verbraucherspannungx.

b

I

I I

1. Vierpol

Bild 3.8 •

2. Vierpol

I

P-T2 -Strecke, gebildet aus zwei hintereinadergeschalteten Gleichstromgeneratoren

Ermittlung der Übertragungsfunktion

Um die Übertragungsfunktion der in Bild 3.8 dargestellten P-T2-Strecke

G (s) = x(s)

s

3. Vierpol:

y(s)

60

3 Die Regelstrecke

zu ermitteln, kann man ebenso vorgehen wie in Beispiel 3.2. Im Ankerkreis liegt dann anstelle von Rb (Bild 3.7) (R2 + sL2) (Bild 3.8). Der Ankerstrom i1 ist dann gleich dem Erregerstrom des 2. Generators und bestimmt den Fluss eJ)2 usw. Im Folgenden soll eine andere Methode Anwendung finden. Wie Bild 3.8 zeigt, kann die Verstärkermaschine als Kettenschaltung von drei Vierpolen aufgefasst werden. Der Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass die den I. Vierpol beschreibende Kettenmatrix in ihrem Aufbau völlig identisch mit der des 2. Vierpols ist und sich nur durch die Indizes unterscheidet. Betrachten wir zunächst den 1. Vierpol bei aufgetrennten Klemmen a und b, so wird dieser durch die folgenden Gleichungen beschrieben (s.a. Beispiel 3.2): y(s) = i(s) . (R 1 + sL])

NI

(3.17)

.

(3.18)

eJ)1 =--'/(S) R m1

(3.19) (3.20)

U] (s) = u o](s) - i] (s)· Ra] .

Die Beziehung des Eingangsvektors [y, i] und des Ausgangsvektors [u), i1] lautet:

(All

y(S)) = ( i(s) A 21

(S))

A12 ) (U1 A 22 11 (s)

.

(3.21)

Durch Umformung der GIn. (3.17) ... (3.20) sollen nun die beiden in (3.21) enthaltenden Gleichungen gebildet werden. Aus GI. (3.20) folgt u o1(s) = u1 (s)

+ i 1(s)· R a1 .

(3.22)

Setzen wir (3.22) in (3.19) ein und lösen nach i(s) auf, so entsteht die zweite GI. der Kettenform i(s) = _1_ [u1 (s) + i1(s)· Rad,

K1

(3.23)

c]nN]

mit der Abkürzung K 1 = - - - .

R m1

Die erste der gesuchten Gleichungen ermitteln wir mit (3.23) in (3.17) zu

R y(s) = - 1 (l + sIJ)[ul (s)

K1

.

+ 11 (s)· Rad,

mit der Bezeichnung Tl = L1/R1. Die GIn. (3.24) und (3.23) lassen sich nun nach (3.21) zusammenfassen

(3.24)

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

61 (3.25)

Ganz analog ergibt sich für den 2. Vierpol

(l+sT;) ( ~I(S))=_I_[R2 lies) K2

Ra2 R2 (l+ST;)].(~2(S)) R a2 12(S) .

1

(3.26)

Für den 3. Vierpol (Querwiderstand) ist

0) (X(S) 1

)

(3.27)

Ix(S).

Setzen wir die GI. (3.27) in GI. (3.26) ein und das Ergebnis wiederum in GI. (3.25), so folgt

y(S)) 1 (All ( i(s) = K K I 2 A2 ]

A l2 ). (B ll A 22 B2]

(C

C]2) (X(S) )

ll B]2). B 22 C 2 ] C 22

i x (s) .

Hierin sind Aik, Bik und Cik die Elemente der 1., 2. und 3. Vierpolmatrix. Die Multiplikation der drei Matrizen, unter Beachtung der Reihenfolge, ergibt die Produktmatrix

Dl2 )

D 22

bzw.

Im vorliegenden Fall ist ix(s) = O. Zur Berechnung der gesuchten Übertragungsfunktion brauchen daher nicht alle vier Elemente der Produktmatrix D berechnet zu werden, es genügt vielmehr die Ermittlung von D ]]. Die Übertragungsfunktion ist dann G (s) S

mit

= x( s) = K I K 2 y(s)

D Il = (All B Il

,

D ll (s)

+ Al2 B 21 )· C Il + (AI] B I2 + A I2 B 22 )· C 21 .

Mit den entsprechenden Termen für Aik, Bik und Cik aus (3.25), (3.26) und (3.27) ergibt sich

D ll (s) = [R] R 2 (1 + sT] )(1 + sT2* ) + Ra] R] (1 + sT])] 1 + [R a2 R]R 2 (1 + sT] )(1 + sT2* ) + R a]R a2 R] (1 + sT])]·-. Rb

Nach einigen Umformungen gelangt man zu

62

3 Die Regelstrecke

Mit den Abkürzungen

und

folgt schließlich die Übertragungsfunktion der Strecke

_ x(s) _ GS ( s ) y(s)

K PS

(3.28)

(1 + sT] )(1 + sT2 )

Die Differentialgleichung des Systems finden wir aus (3.28) durch Anwendung des Differentiationssatzes der Laplace-Transformation

(3.29) Es handelt sich somit bei dem vorliegenden System, wie in Abschnitt 3 definiert, um eine Strecke mit Verzögerung 2. Ordnung bzw. eine P-T2-Strecke.

•

Ermittlung der Sprungantwort der P-T2-Strecke

Im Folgenden soll die Sprungantwort des im Bild 3.8 dargestellten Systems für y(t)

= Ya

. (J(t)

0-.

y(s)

=~

(3.30)

s

ermittelt werden. Lösen wir GI. (3.28) nach x(s) auf unter Berücksichtigung von (3.30), so folgt

1 x(s)=K ps Ya . - - - - - s(I + sT] )(1 + sT2 )

Die Rücktransformation in den Zeitbereich kann mittels Korrespondenztabelle, Partialbruchzerlegung oder Residuenzsatz erfolgen. Mittels letzterem erhalten wir sofort

bzw.

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

63

(3.31)

Bild 3.9 zeigt die Sprungantwort für Tl = 2· TZ. Aus (3.31) folgt für t = 0, x(O) = 0 und für t = 00, x( 00) =

dx(t) dt

Kps Ya, der stationäre Endwert. Durch Differentiation von (3.31) erhält man

= K

PS Ya [e- ;1 _e- ;2] .

Tl

-TZ

Für t = 0 ist i(O) = 0 , d. h. die Kurve beginnt für t = 0 mit waagerechter Tangente. Der Kurvenverlauf zeigt einen charakteristischen s-förmigen Verlauf, dessen Wendepunkt sich aus

dZX(t)=KPsyar_e-~ +e-;21=o dt Z

Tl

-TZ

Tl

TZ

ergibt bzw.

Speziell für Tl = 2TZ wird tw

=2TZ ·ln2=1,386TZ·

x

_.-

.--.-.-

---+ t

Bild 3.9 Sprungantwort einer P-T2-Strecke mit Zeitkonstanten Tl = 2T2

64

3 Die Regelstrecke

Wird die Sprungantwort des Systems experimentell aufgenommen, so kann zur Identifikation von Strecken 2. und höherer Ordnung, wie in Bild 3.10 gezeigt, die Wendetangente durch den Wendepunkt für t = t w gelegt werden. x

Bild 3.10 Sprungantwort und Kenngrößen: Tu

Verzugszeit

Tg x( 00)

Ausgleichszeit Beharrungszustand

Diese schneidet die Zeitachse im Punkt t = Tu und den Beharrungszustand x(oo) für t = Tu + Tg. Bei einer Strecke 2. Ordnung können aus Tu und Tg die beiden Zeitkonstanten Tl und T2 bestimmt werden.

•

Die Ortskurve der P-T2-Strecke

Aus GI. (3.28) folgt der Frequenzgang

K PS . ) _ x(jw) _ GS ( }W - - - - - - - - - - - - - ' = - - - = - - - - - y(j w) (1 + j wTI)(I + j wT2 )

(3.32)

Zur Diskussion des Ortskurvenverlaufs zerlegen wir den Frequenzgang (3.32) in seinen Realund Imaginärteil

1- w2 TI T2 Re (Gs ) = K PS 2 2 2 2 (l-w TI T2 ) +w (Tl +T2 )

Im(Gs)=-Kps

W(Tl + T2 ) 2 2 2 (I-w TI T2 ) +w (Tl +T2 ) 2

Das Vorzeichen von Re(GS) und Im(GS) wird nur durch den Zähler bestimmt, da der Nenner für beide gleich und für alle m-Werte stets positiv ist. Variieren wir m von 0 bis 00, so ist der Im(GS) stets negativ. Für den Realteil ergibt sich: 2

a) für kleine m- Werte, d. h. I > m Tl T2 ist 2

b) für m TIT2 = 1 bzw. W=

1

~

-yTI T2 2

ist

c) Für große m-Werte, d. h. I< m TIT2 ist Re(G s ) <0.

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

65

Das heißt, die Ortskurve verläuft in der Gaußschen Zahlenebene im 3. und 4. Quadranten, wie in Bild 3.11 gezeigt. Weitere markante Punkte der Ortskurve ergeben sich für Im

i

OJ

= 0 und OJ =

(siehe Tabelle).

0)

Re (GS)

Im (GS)

0

KpS

0

1

----+ Re

00

~TI T2 00

0 0

-K pS '

~TI T2 Tl +T2

0

Bild 3.11 Ortskurve einer P-T2-Strecke

Die Dämpfung des P- T2-Gliedes

•

Es soll hier gezeigt werden, dass das Übergangsverhalten eines Systems 2. Ordnung entscheidend von seiner Polverteilung abhängt. Die Übertragungsfunktion (3.28) kann wie folgt umgeschrieben werden:

Mit den Abkürzungen

Tl +T2 und 2a -- ----'----=TI T2 a

ß

ß 2 = -1- , TI T2

Abklingkonstante Kreisfrequenz des ungedämpften Systems

wird

Gs (s) = K Ps

ß

2

2

1

s +s·2a+ ß

2 .

Eine weitere wichtige Größe ist die Dämpfung D, die wie folgt definiert ist

D=a.

ß

Die beiden Pole der Gleichung (3.33) ergeben sich zu

(3.33)

66

3 Die Regelstrecke

51,2

=-a±ß~D2

(3.34)

-1

Daraus ist ersichtlich, dass abhängig von D folgende Fälle möglich sind: a) Für a > ß( D > 1) werden die beiden Pole negativ s-Ebene reell (aperiodischer Fall).

b) Für a =

ß

jw

(D = 1) ergibt sich eine doppelte Polstelle,

mit SI = s2 = - a (aperiodischer Grenzfall).

jw

--.----+--+ ( j

c) Für a < ß (0< D < I) werden die beiden Pole konjugiert komplex

512

=-a±jß~I-D2

(gedämpfte Schwingung). d) Für a = 0 (D = 0) wird der Realteil der beiden Pole

1It-----

, :---a---. ,,,

jw

(j

)

jw

Null, d. h. die Pole werden rein imaginär sl,2 = ±jß (ungedämpfte Dauerschwingung).

ß (j

ß e) Für a < 0 (D < 0) ist die Abklingkonstante negativ, die beiden Pole haben einen positiven Realteil

51,2

=+a±jß~1-D2

(aufklingende Schwingung).

jw

- - ---lil

,, ,, ,, , , a-:, ,,

(j

-----fc

Für das durch die Übertragungsfunktion (3.28) beschriebene System sind nur die Fälle a) und b) möglich (D ~ 1), denn

67

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

Mit der Abkürzung a=

~ TTl

2

bzw.! = a

~ TTl2

wird

Daraus folgt a = + I bzw. Tl = T2. Die Dämpfung des Systems ist dann

D = 1 (ein Minimum), da für a

=+ I die 2. Ableitung 2

d D 1 --2-=3>0 ist.

da

a

Für Tl *- T2 ist die Dämpfung stets größer als Eins. Bild 3.12 zeigt die Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung bei verschiedener Dämpfung.

i

----+ t

Bild 3.12 Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung bei verschiedenen Dämpfungen I - aperiodischer Fall D>I 2 - aperiodischer Grenzfall D= I 3 - gedämpfte Schwingung 0
68 •

3 Die Regelstrecke Beispiel 3.4

Das in Bild 3.13 gezeigte System besteht aus der Reihenschaltung von Wandlern und zweier Speicher, und zwar: a) dem Behälter, in dem das Gas bzw. Druckenergie gespeichert wird, b) die Feder des Membranantriebs, die potentielle Energie speichert. Obis 100% Hub Wandlung von Spannung in Strom

IF=;iL---JA p,

V

• x

Wandlung von Strom in Druck

b +-

Zuluft 1,4 bar

Bild 3.13 Ansteuerung eines pneumatischen Membranventils Derartige Anordnungen kommen in der Verfahrenstechnik, z. B. wegen des Explosionsschutzes häufig vor. Mittels elektrischer Spannung von 0 bis 10 V wird die Stellung des Ventils zwischen 0 und 100% eingestellt. Die VentilsteIlung x des pneumatischen Stellventils soll mittels eines Stellsignals Pe rückwirkungsfrei angesteuert werden. Ein vor dem Druckspeicher sitzendes Ventil ist durch eine ideale Drossel ersetzt. Das Volumen über dem Membranteller ist gegenüber dem Behältervolumen V vernachlässigbar. Dadurch sind beide Systeme rückwirkungsfrei miteinander verbunden, d. h. durch eine Verstellung der Ausgangsgröße x wird rückwirkend der Druck P im Behälter nicht verändert. Der pro Zeiteinheit durch die Drossel strömende Massenstrom dm/dt ist proportional dem Drosselquerschnitt d 2J[ /4 und der mittleren Geschwindigkeit v : Z

dm(t) = d J[. p. v(t) . dt 4

(3.35)

p Dichte des Gases. Die Drosselbohrung ist so bemessen, dass eine laminare Strömung vorliegt. Es gilt dann das Poiseull'sche Gesetz

v=k(Pe -p), mit dem Proportionalfaktor

Z d k=--32·[ ''7

(3.36)

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

69

Länge der Drossel 2 77 Zähigkeit des Gases in Ns/m •

1

GI. (3.36) in GI. (3.35) eingesetzt ergibt

dm(t) d 2 Jr - - = - - . pk·[(p (t)- p(t)].

4

dt

e

(3.37)

Nach den Gasgesetzen ist ferner

(3.38)

p·V=m·R·13 R Gaskonstante in Nmlkg·K

13 absolute Temperatur in K = konstant m die im Behälter mit dem Volumen V gespeicherte Gasmenge in kg. Durch Differentiation von GI. (3.38) folgt

V dp(t) = R13 dm(t) dt dt und damit die pro Zeiteinheit im Behälter gespeicherte Menge

dm(t)

--

V

dp(t)

R 13

dt

-----

dt

(3.39)

Durch Gleichsetzen von GI. (3.37) und GI. (3.39) erhält man

V dp(t) d 2 Jr R 13 ------;]t = -4-' P k . [(Pe (t) - pet)] bzw.

4V dp(t) d 2 JrpkR 13 dt

+ P (t ) -_ Pe (t ) .

Mit der Abkürzung

_ T1-

4V 2

d JrpkR13

wird

dp(t)

Tl - - + pet) = Pe(t)· dt

(3.40)

Durch Laplace-Transformation ergibt sich daraus die Übertragungsfunktion des ersten Systems

GSI(S)= pes) =_1_. Pe (s) 1 + sTI

(3.41)

Der Druck p wirkt als Eingangsgröße auf das zweite System und erzeugt mit der Membranfläche A die Kraft A· pet) . Diese ist mit den Gegenkräften c· x der Feder und b· i der Dämpfungseinrichtung im Gleichgewicht.

70

3 Die Regelstrecke

b i(t) + c x(t) = A· pet)

!!.- i(t) + x(t) = A c

c

p(t).

c Federkonstante in N/m b Dämpfungskonstante in Ns/m. Mit den Abkürzungen Kps = A / c und Tz = b / c folgt für das zweite System die DGL

T2 i(t)

+ x(t) = K PSp(t) .

(3.42)

Die zugehörige Übertragungsfunktion lautet

_ x( s) _ K PS GS2 () s ---pes)

(3.43)

1+ sT2

Bild 3.14 zeigt den Wirkungsplan des Gesamtsystems.

Bild 3.14 Wirkungsplan des Membranventils nach Bild 3.13 (P-Tz-Strecke)

Daraus folgt die Gesamtübertragungsfunktion

G (s) - G (s). G S

-

SI

S2

(s) - x(s) _ K PS - Pe(s) - (1+ sT )(l+ sT ) l

(3.44)

2

Durch Anwendung des Differentiationssatzes der Laplace-Transformation ergibt sich aus (3.44) die Differentialgleichung der P-Tz-Strecke zu

(3.45) Vergleicht man GI. (3.45) mit GI. (3.29), so sieht man deren Übereinstimmung. Die Sprungantwort, Ortskurve usw. des durch (3.45) beschriebenen Systems ergeben sich analog den in den Abschnitten 3.3.2 bis 3.3.4 gefundenen Beziehungen. ~

Aufgabe 3.2

Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion und die Differentialgleichung des in Beispiel 3.2 (Bild 3.7) behandelten fremderregten Gleichstromgenerators, unter der Voraussetzung, das die Ankerinduktivität L nicht vernachlässigt werden darf. Wie berechnen sich Kps, Tl und Tz? Hinweis: Im Bildbereich ist der Ankerwiderstand Ra durch die Impedanz (Ra + sLa) ZU ersetzen.

3.4 Strecken höherer Ordnung Die im vorherigen Abschnitt behandelten Strecken 2. Ordnung wurden durch Hintereinanderschaltung von zwei P-T I-Strecken gebildet. Wie die Darstellung im Wir-

3.4 Strecken höherer Ordnung

71

kungsplan (Bild 3.14) zeigt, ergibt sich die Gesamtübertragungsfunktion aus dem Produkt der beiden Übertragungsfunktionen GSI und GS2. Entsprechend folgt bei der rückwirkungsfreien Hintereinanderschaltung von drei PT I-Strecken (Bild 3.15) für die Gesamtübertragungsfunktion G (s)-G S

-

SI

(s)·G

S2

K pS1 ' Ta

-y-~:;---+·It:= I GSI(s)

(s).G

S3

(s)- x(s) _ KpSIKpS2KpS3 - y(s) - (1 + sTa)(1 + sT )(1 + sT ) b c

K pS2 ' Tb

xj(t)

K pS3 ' Tc

·It:= I ·It:= I-:~~---+· xz{t)

G S2 (s)

G S3 (s)

Bild 3.15 Wirkungsplan einer P-T3-Strecke, gebildet aus drei hintereinandergeschalteten P-TI-Strecken

bzw. _ x(s) _ GS ( s ) y(s)

K PS

s3 Ti +s2 Ti +sTI +1

.

(3.46)

Daraus ermittelt sich die zugehörige Differentialgleichung zu Tix"(t)

+ Ti x(t) + Tl x(t) + x(t) = K PS . y(t) .

(3.47)

Schaltet man n Glieder 1. Ordnung rückwirkungsfrei hintereinander, so nimmt die Übertragungsfunktion folgende Form an x(s) K ps Gs(s)=-= 3 3 2 2 ' n y(s) sn Tn + ... +s T +s T2 +sT1 +1 3

(3.48)

Die Differentialgleichung zu (3.48) lautet x(n)(t)T::

+ ... + x'(t)Ti + x(t) Ti + x(t) Tl + x(t) = K PS " y(t) .

(3.49)

Für den Regelungstechniker ist die möglichst genaue Kenntnis des zu regelnden dynamischen Prozesses besonders wichtig, d. h. die das System beschreibenden Parameter Kps, Tl, T2· ...Tn müssten identifiziert werden.

72

3 Die Regelstrecke

Nimmt man die Sprungantwort einer unbekannten Strecke experimentell auf, so kann die genaue Ordnung dieser Strecke nicht ohne weiteres aus dem Kurvenverlauf ermittelt werden, insbesondere, wenn die einzelnen Glieder unterschiedliche Zeitkonstanten aufweisen. Bereits bei einem System 2. Ordnung, das aus zwei P-T I-Gliedern mit den Zeitkonstanten Ta und Tb besteht, ist die Bestimmung der Zeitkonstanten nicht ganz einfach. Durch Anlegen der Wendetangente lassen sich die Verzugs- und Ausgleichszeit Tu und Tg ermitteln. Mann kann zeigen, dass zwischen den Quotienten Tu/Tg und Ta/Tb eine eindeutige Funktion besteht. Die Tabelle 1 gestattet bei bekanntem Tu/Tg das Verhältnis von Ta/Tb bzw. Ta und Tb zu bestimmen. Tabelle 1 Kennwerte eines Verzögerungsgliedes 2. Ordnung

Tu Tg

Tb

Tg

tw

Ta

Ta

0,000 0,016 0,032 0,050 0,063 0,072 0,084 0,092 0,097 0,100 0,102 0,103 0,103 0,104

0,00 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Ta 1,000 1,083 1,171 1,292 1,399 1,495 1,675 1,842 2,000 2,151 2,299 2,439 2,548 2,718

-wx(oo)

0,000 0,080 0,158 0,256 0,335 0,402 0,516 0,611 0,693 0,766 0,832 0,893 0,948 1,000

0,000 0,058 0,103 0,148 0,177 0,197 0,224 0,240 0,250 0,256 0,260 0,263 0,264 0,264

X

Bei Strecken höher als 2. Ordnung lassen sich die einzelnen Zeitkonstanten aus dem Verlauf der Sprungantworten nicht mehr ermitteln. Man gewinnt eine Näherung durch die Annahme von n hintereinandergeschalteten Verzögerungsgliedern 1. Ordnung mit gleicher Zeitkonstante T, deren Sprungantwort das gleiche Verhältnis Tu/Tg liefert, wie das der untersuchten Strecke.

Bild 3.16 zeigt den Verlauf der Sprungantworten einer P-Strecke 1. bis n-ter Ordnung mit Kps = 1 und der Übertragungsfunktion 1 Gs(s)=--(l + sT)n

3.4 Strecken höherer Ordnung

73

Bild 3.16 Sprungantworten zu P-Strecken

1.

bis 10. Ordnung mit gleicher Zeitkonstante T

Tabelle 2 Kennwerte der Sprungantworten für Verzögerungsglieder n-ter Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten n

Tg / T

Tu / T

Tu / Tg

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,000 2,718 3,695 4,463 5,119 5,699 6,226 6,711 7,164 7,590

0,000 0,282 0,805 1,425 2,100 2,811 3,549 4,307 5,081 5,869

0,000 0,104 0,218 0,319 0,410 0,493 0,570 0,642 0,709 0,773

Zeigt die experimentell aufgenommene Sprungantwort eines Systems einen charakteristischen Verlauf nach Bild 3.16, so lassen sich durch Einzeichnen der Wendetangente Tu und Tg bestimmen. Bei bekanntem Tu/Tg kann die Zeitkonstante T und die Anzahl n der Glieder aus der nebenstehenden Tabelle entnommen werden. Hier ist darauf hinzuweisen, dass dieses Verfahren, bedingt durch die Konstruktion der Wendetangente, fehlerbehaftet ist. Bereits eine geringe Änderung der Neigung der Wendetangente hat eine relativ große Auswirkung auf das Verhältnis Tu/Tg •

Ortskurven der Strecken höherer Ordnung Für eine Strecke n-ter Ordnung ergibt sich aus Gi. (3.48) folgender Frequenzgang G (jm) = x(~m) = S

y(}m)

K PS bzw. (jm)n T;: + ... + (jm)3 Ti + (jm)2 Ti + (jm) Tl + 1

74

3 Die Regelstrecke

In Bild 3.11 ist die Ortskurve einer P-Strecke 2. Ordnung (n = 2) gezeigt, die auf der reellen Achse beginnend den 4. und 3. Quadranten der Gaußschen Zahlenebene durchläuft. Bei einer Strecke 3. Ordnung (n = 3) sind die Zeitkonstanten Tl, T2 und T3 vorhanden. Der Frequenzgang lautet somit . )- x(jm) _ Gs ( jm - - - -

K ps [1- (mTz)z] + j [m1] - (mT3 )3]

y(jm)

.

Den Re(Gs) und Im(Gs) gewinnt man durch Erweiterung von Gs(jm) mit dem konjugiert Komplexen des Nenners: Gs(jm)=K

ps

[1-(mTz)z]- j[m1] -(mT3)3] =Re(G )+ ·lm(G ).

[1-(mTz)zf +[m1] -(mT3 )3]Z

Daraus folgt

Variiert man mvon 0 bis a)

mTz <1

b)

mTz =1

00,

so wird Re(Gs) für: I bzw.m
positiv Null

T2 I

bzw. m>-

c)

negativ.

T2

Entsprechend wird der Im(Gs) für

~ ;~

negativ

~ TTi

Null

~~

positiv.

a)

(WT3 )3
bzw. w<

b)

(WT3 )3

=wT

bzw. W =

c)

j

(wT3 )3 > w7j

3

bzw. w>

s

j

s

75

3.5 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung

Das heißt, die Ortskurve einer P-Strecke 3. Ordnung verläuft durch den 4., 3. und 2. Quadranten, wie in Bild 3.17 gezeigt. Im

i

K ps

Oll

OJ=O ---. Re

4. 3.

Bild 3.17 Ortskurvenverlauf von P-Strecken 1. bis 4. Ordnung

Es lässt sich zeigen, dass bei einer Strecke n-ter Ordnung n Quadranten durchlaufen werden. Für 0) = 0 ist der Re(G) stets gleich Kps und der Im(G) stets Null. Die Ortskurven laufen für 0) ~ 00 stets tangential zu den Achsen in den Ursprung; für eine Strecke I. Ordnung wird cp( 0)) = cp(00) = -90°; für eine Strecke 2. Ordnung wird cp(oo) = -180°. Allgemein gilt für eine Strecke n-ter Ordnung cp(oo) = - n·90°.

3.5 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung Sind in einem System zwei unterschiedliche Speichermöglichkeiten vorhanden, so kann das System gedämpfte Schwingungen ausführen. So z. B. in einem Feder-MasseDämpfung-System die Speicherung von potentieller und kinetischer Energie oder in einem elektrischen Schwingkreis die Energiespeicherung im elektrischen und magnetischen Feld. •

Beispiel 3.5

R

sL

J,

ML

M~

Bild 3.18 Fremderregter Gleichstrommotor

x(s)

R=0,3

Q

L=60mH

cllb = 2,33 Vs J= 0,905 Nms

2

Die in Bild 3.18 dargestellte Drehzahlregelstrecke besteht aus einem Gleichstrommotor mit konstanter Fremderregung l/Jo, dessen Abtriebswelle ein Schwungrad mit dem Trägheitsmo-

76

3 Die Regelstrecke

ment J antreibt sowie mit einem konstanten Moment ML belastet ist. Eingangsgröße ist die Ankerspannung y, durch die die Drehzahl n (Ausgangsgröße x) beeinflusst werden kann. Rund L sind der Ankerwiderstand und die Ankerinduktivität. Wir berechnen zunächst die Übertragungsfunktion _W(s)

GSI () s -

y(s)

und daraus mit OJ = 21l . n Gs(s)=n(s). y(s)

Die im Anker induzierte Spannung ist uo(s) =

C

(3.50)


Somit gilt für den Ankerkreis y(s) = i(s)' [R

+ sL] + uO(s)

bzw. i(s) = [y(s) -

uo(s)].~

(3.51)

1 + sTI

mit

L

Tl =-=0,2s.

R

Der Ankerstrom i und der konstante Fluss


Me(s)=c
Dieses ist im Gleichgewicht mit dem Lastmoment ML und dem durch die Massenträgheit verursachten Moment M m

(t) = J. dw(t) dt

bzw.

(3.53)

M m (s) = J . s· W(s), so dass gilt Me (s) = M L (s)

+M

m

(s)

oder

(3.54) Das durch die Gleichung (3.50) ... (3.54) beschriebene System kann durch den in Bild 3.19 gezeigten Wirkungsplan dargestellt werden.

3.5 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung

77

1 2

·ff

Bild 3.19 Wirkungsplan des fremderregten Gleichstrommotors nach Bild 3.18

Für ML = 0 berechnet sich die Übertragungsfunktion zu

_ Wes) _ 1 GSI () S y( s) _s_(l_+_s_TJ__)_J_R cc:t>o

n-.

+ c'Po

und daraus

Mit den Abkürzungen

K ps =

111 21lCePO

=0,0683-=4,098-Vs V min

und

erhalten wir schließlich

(3.55) Durch Anwendung des Differentiationssatzes der Laplace-Transformation bestimmt sich aus GI. (3.55) die Differentialgleichung 2. Ordnung des Systems zu

(3.56) Die Übertragungsfunktion nach GI. (3.55) hat, bei den gegebenen Daten, konjugiert komplexe Polstellen. Nach dem im Abschnitt 3.3 Gesagten, wird das System gedämpfte Schwingungen ausführen.

78 •

3 Die Regelstrecke Ermittlung der Sprungantwort einer schwingungsfähigen Regelstrecke 2. Ordnung

Für y(t) = Yo . (J(t) bzw.

y(s)=~ s

folgt aus GI. (3.55) x(s) = Gs (s)' y(s) =

K pS . Yo

T1T 2

1

1

s

s +s-+--

(3.57)

. -. - - - - -

1

1

Tl

T1T2

2

Unter Verwendung der Beziehung 13 der Korrespondenztabelle findet man mit

1 = 25a=s 2T1

1

'

und

x(s) = K pS' Yo . ß

2

s (s

2

1

2

+ s . 2a + ß )

(3.58)

.

Die Dämpfung des Systems ist definitionsgemäß

a 2,5 s-l D=-=--=0,25 und damit D
we =~ß2 _a 2 =9,68s- 1 . a, ß und f4 in die Rücktransformationsgleichung eingesetzt, ergibt x(t)=n(t)=K pS ' Yo [l-(CosWet+

~ SillWetje- at

l

(3.59)

Vielfach ist es zweckmäßig, die Sinus- und Cosinusfunktion in GI. (3.59) zu einer Schwingung gleicher Frequenz wie folgt zusammenzufassen: COS

wet + ~Sill wet = A Sill (wet + cp). We

Nach den Additionstheoremen ist

(3.60)

79

3.5 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung A (sin OJet . cos cp + cos OJet . sin cp) = A sin (OJet + cp) .

(3.61)

Durch Vergleich der Beziehungen (3.60) und (3.61) folgt

a

Acos cp=-

(3.62)

A sin cp = 1.

(3.63)

OJe

Division von (3.63) durch (3.62) ergibt

W tan cp = - e

a

bzw.

W

cp = arctan _e = 75,52° .

a

Durch Quadrieren und Addieren von (3.62) und (3.63) errechnet sich

A' (cos'

qJ+s;n' qJ)=l+(~r

bzw.

Somit wird aus GI. (3.59)

x(t) = n(t) = K ps . Yo [1- Ae- at sin (OJet + cp)].

(3.64)

Setzt man die errechneten Werte in GI. (3.64) ein, so gelangt man zu

x(t)=n(t)=IS00min- 1 . 1-1,033e [

-2,5-st , sin

t

l9,6S;+1,31S)]

mit dem in Bild 3.20 gezeigten Verlauf der SprungantwOft: x(t)

r x( =) = K ps ' Yo

__ t

Bild 3.20 Sprungantwort einer P-T2-Strecke mit einer Dämpfung D = 0,25

(3.65)

3 Die Regelstrecke

80 Aus GI. (3.64) folgt für t =

00

der stationäre Endzustand

x( 00) = K PS . Ya.

Die Schnittpunkte der Kurve mit dem Beharrungszustand x(oo) ermitteln sich aus GI. (3.64) für

x(t) = x(00) bzw. sin (OJet

+ (P) = 0 ,

d. h. für

OJet + {p = i . Jr , mit i = I, 2, 3,... Daraus folgt tj

=

i'Jr-{p OJe

.

Der Abstand zwischen zwei Schnittpunkten ist

Jr OJe

Te 2

Das heißt, dass umgekehrt aus dem Kurvenverlauf die Kreisfrequenz

2Jr

(3.66)

OJ = e

Te

bestimmt werden kann. Die relativen Maxima und Minima ergeben sich aus (3.64) durch Differentiation und Nullsetzen.

bzw. (V

tan (OJet + ep) = _e = tan ep.

a

Dies ist der Fall für

OJet = i . Jr, mit i

=0, 1, 2, 3,...

oder

i ·n

. Te

(3.67)

tMAXIMIN = - = Z · - .

2

(Oe

Setzen wir GI. (3.67) in GI. (3.59) ein, so folgt

x MAXIMIN

= K PS

0

Yo

Il1-

i-K

e-a "" cos (i off)

lJ

(3.68)

3.5 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung •

81

Ermittlung der Dämpfung aus dem Verlauf der Sprungantwort

Bezeichnet man den Betrag der Amplituden zweier aufeinander folgender Halbschwingungen und xi+l ' so folgt aus (3.68) mit

xi

i-J[

xi = K PS . YO e

-ae

Ul

I cos (i . Jr) I

(3.69)

und daraus der Quotient J[

x· ao;e. ~=e xi+l

J[

I cos (i 'Jr) I

I cos [(i + 1) 'Jr] I

ao; =e e

Durch Logarithmieren errechnet sich

a

=> 1 ( xi ) n Xi+l

lVe (Xi) a=-·ln -A-

Jr

•

xi+l

(3.70)

Andererseits ist

1

(3.71)

Mit GI. (3.70) in GI. (3.71) erhalten wir schließlich

D = ----r======

1+ (1

Xi

n Xi+l

(3.72)

)2

Mittels der Beziehung (3.72) lässt sich die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems aus einer experimentell aufgenommenen Sprungantwort bestimmen. ~

Aufgabe 3.3

Ermitteln Sie für den in Beispiel 3.5 behandelten fremderregten Gleichstrommotor anhand des Wirkungsplanes (Bild 3.19) das dynamische Verhalten bei Belastung, und zwar: a) Die Übertragungsfunktion Gs(s) = n(s) / ML(S) b) Die Sprungantwort n(t) für ML(t) = MLO·o(t), mit MLO(S) = 200 Nm. c) Den Verlauf der Ortskurve.

82

3 Die Regelstrecke

•

Beispiel 3.6

Bild 3.21 Mechanisches System mit P-Tz-Verhalten br = 4 Nms (Dämpfungsbeiwert bezogen auf den Drehwinkel im Bogenmaß)

C r = 40 Nm (Federkonstante bezogen auf den Drehwinkel im Bogenmaß) z J = 0,4 Nms (Trägheitsmoment)

Das mechanische System (Bild 3.21) besteht aus einem Dämpfungsglied (ähnlich einer Föttinger-Kupplung), einer Torsionsfeder und einer trägen Masse mit dem Trägheitsmoment J. Erregt wird das System durch die Winkelgeschwindigkeit m:. Das durch das Dämpfungsglied übertragene Moment ist proportional der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten m: und lüj.

(3.73) Dieses Moment wirkt auf die Feder mit der Federkonstante Cr und tordiert diese um den Winkel ip] -

<Pa :

(3.74) Gleichzeitig wird durch das eingeleitete Moment Me die Masse mit dem Trägheitsmoment J beschleunigt

M

m

(t) = J . dOJ a (t)

dt

bzw.

(3.75) Infolge Me = Mf = M m folgt aus (3.74) und (3.75)
J

+ - . S 'lüa (S) Cr

und durch einmalige Differentiation mit m:t) = dqXt)/dt

J 2 lül(s)=lüa(S)+-'s ·lüa(S).

cr

Ferner ergibt sich durch Gleichsetzen von (3.73) und (3.75)

J

lüe (s) = lül (s) + - . S 'lüa (s)

br

und mit GI. (3.76)

(3.76)

3.6 I-Strecken ohne Verzögerung

83 (3.77)

Mit den Abkürzungen

J

Tl =-b =O,ls

2 J 2 T 2 =-=O,Ols

und

cr

r

erhalten wir die Übertragungsfunktion des Systems zu

(3.78) Für die Dämpfung des Systems folgt mit den angegebenen Daten

a

Tl

..[i-;;;

D = - = - - = - - = 0,5 und damit D < 1 => gedämpfte Schwingungen. ß 2T2 2br Die zugehörige Sprungantwort berechnet sich entsprechend Beispiel 3.5. ~

Aufgabe 3.4

Für das durch die Übertragungsfunktion (3.78) gegebene System ist der Verlauf der Ortskurve zu bestimmen. Beweisen Sie, dass für die Resonanzfrequenz

W=W r

=ß~1-2D2

gilt

3.6 I-Strecken ohne Verzögerung Eine Regelstrecke, deren Ausgang x(t) proportional dem zeitlichen Integral der Eingangsgröße y(t) ist, bezeichnet man als integrale Strecke oder kurz als I-Strecke: x(t) = K I

f

y(t) dt

0--.

1

x(s)=KI·_·y(s). s

Die letzte Gleichung entsteht durch Laplace-Transformation und führt zu der Übertragungsfunktion der I-Strecke: Gs(s) = x(s) y(s)

=~. s

Im einführenden Abschnitt dieses Kapitels wurde bereits gesagt, dass eine solche Strecke ohne Ausgleich ist. Es sollen hier noch einige Beispiele zur Erläuterung gebracht werden.

84 •

3 Die Regelstrecke Beispiel 3.7

Bild 3.22 zeigt eine Füllstands-Regelstrecke, deren Zufluss Qe proportional der VentilsteIlung Y (Eingangsgröße) angenommen wird

(3.79)

Qe (t) = k Y(t).

Y

e::::::t*1

Mittels der Pumpe wird aus dem Behälter die Menge Qa abgepumpt. Es ist leicht einzusehen, dass für Qe = Qa das Volumen im Behälter und damit der Flüssigkeitsstand H (Ausgangsgröße) unverändert bleiben wird. Bild 3.22 Füllstands-Regelstrecke Für Qe *- Qa ergibt sich die zeitliche Volumenänderung im Behälter zu

(3.80) und durch Integration

(3.81) Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Anfangsbedingung. Bei konstantem Abfluss Qa (t) = QaO = konst. wird das Eingangsventil mit Y = Yl so eingestellt, dass

und H = Ho ist. Damit folgt aus (3.81)

C=H O' Diese Anfangsbedingung in (3.81) eingesetzt, ergibt

H(t)=

~f[kY(t)-kYj]dt+Ho.

(3.82)

Führt man den Integrierbeiwert K,s = k / A ein und betrachtet, wie in der Regelungstechnik üblich, nur die Änderungen von Ein- und Ausgangsgröße (siehe Abschnitt 2.1), so kann man mit

h = H - HO und

y = Y - Yj

schreiben

h(t) = K I f y(t) dt .

(3.83)

3.6 I-Strecken ohne Verzögerung

85

Für einen Eingangssprung y(t) = Ya . a(t)

wird

(3.84)

h(t) = K I . Ya . t mit der in Bild 3.23 gezeigten Sprungantwort.

i

Bild 3.23 Sprungantwort einer I-Strecke ohne Verzögerung

-t Die Übertragungsfunktion ergibt sich aus (3.83) durch Laplace-Transformation zu GS(s)= h(s) y(s) ~

=~.

(3.85)

s

Aufgabe 3.5

Ermitteln Sie den Verlauf der Ortskurve des durch (3.85) gegebenen Systems. Für welche Kreisfrequenz aJwird IGs(JaJ) = I?

I

•

Beispiel 3.8

Bild 3.24 zeigt den Support einer Werkzeugmaschine, der durch die Spindel mit der Gewindesteigung a translatorisch bewegt wird.

Bild 3.24 Support einer Werkzeugmaschine

Dreht sich die Spindel mit der Drehzahl n, so ist die zeitliche Änderung der Längsbewegung des Supports

dX (t) = a . n(t) dt

(3.86)

bzw. der zurückgelegte Weg

X(t) = a In(t) dt

+ x(O).

(3.87)

86

3 Die Regelstrecke

Betrachten wir wiederum nur die Wegänderung gegenüber dem Anfangswert X(O) und bezeichnen X(t) - X(O) = x(t) und den Integrierbeiwert Kr = a, so erhalten wir mit x(t)

= Kr

(3.88)

fn(t) dt

eine analoge Beziehung zu GI. (3.83). Aufgabe 3.6

~

Zeigen Sie, dass für einen Kondensator mit der Kapazität C zwischen dem Strom i (Eingangsgröße) und der Spannung u (Ausgangsgröße) eine zu GI. (3.88) analoge Beziehung besteht.

3.7 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Bei I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung beginnt die Sprungantwort, im Gegensatz zu denen ohne Verzögerung, mit der Anfangssteigung Null. In der Differentialgleichung kommt das durch ein weiteres Glied mit der 1. Ableitung der Ausgangsgröße zum Ausdruck. Die Übertragungsfunktion einer solcher Strecke kann als Reihenschaltung einer I-Strecke mit einer P-TI-Strecke dargestellt werden: Gs(s)= x(s)

y(s)

•

=~.~= s

l+sTI

Kr

s(l+sTI )

Beispiel 3.9

-i

y

1 Bild 3.25 Werkzeugschlitten, angetrieben von einem fremderregten Gleichstrommotor R J

clPQ n a

=0,3 Q =0,905 Nms 2

(Ankerwiderstand) (Trägheitsmoment der rotierenden Massen) = 2,33 Vs (Erregerfluss) = Drehzahl der Motorwelle = 1 mmlUmdr. (Gewindesteigung)

Eingangsgröße ist die Klemmenspannung y, Ausgangsgröße der vom Werkzeugschlitten zurückgelegte Weg x. Die Ankerinduktivität sei vernachlässigbar klein. Für den Ankerkreis gilt

y(s) = i(s)' R + ccPO . W(s).

(3.89)

87

3.7 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Der Ankerstrom i erzeugt mit dem konstanten Fluss


Me (s) = c
(t) = J . dOJ(t) dt

bzw.

(3.91) ist. Die zeitliche Wegänderung des Werkzeugschlittens ist proportional der Drehzahl n dx(t) dt

oder mit

OJ

= a. n(t)

0--.

s· x(s) = a· n(s)

= 2Jrn

2Jr

(3.92)

OJ(s) = - . s· x(s).

a

Aus GI. (3.91) folgt unter Berücksichtigung von GI. (3.90) i(s) = _J_. s· OJ(s). c
(3.93)

Mit (3.93) in (3.89) erhalten wir y(s) = c
JR

+ - - . s· OJ(s)

(3.94)

c
und mit Gl. (3.92) in (3.94)

21r [ c
(3.95)

bzw.

a '!Y(S)=X(S)[l+S JR 21iC
006831 mm , Vs und

Tl =

JR (c
=005 s '

2]'

(3.96)

3 Die Regelstrecke

88 ein, so folgt aus (3.96) schließlich die Übertragungsfunktion des Systems KI _ x(s) _ GS ( s ) y(s) s (l + sTI )

(3.97)

Die sich aus (3.95) oder (3.97) ergebende Differentialgleichung Tl x(t)

+ x(t) = K I

. y(s)

wird meistens als Integro-Differentialgleichung in der Form Tl x(t)

+ x(t) =

KIf y(t) dt

(3.98)

geschrieben. Sie zeigt, dass [Tl x(t)

+ x(t)]

proportional dem zeitlichen Integral der Eingangsgröße y ist;

daher die Bezeichnung integrales Verhalten mit Verzögerung 1. Ordnung oder kurz I-TI-Verhalten. Wie der in Bild 3.26 dargestellte Wirkungsplan zeigt, kann die durch GI. (3.97) beschriebene I-TI-Strecke als Reihenschaltung eines P-TI-Gliedes und eines I-Gliedes aufgefasst werden. Der Proportional- und Integrierbeiwert können auch zu K, zusammengefasst und einem der beiden Blöcke zugeordnet werden. Allerdings hat dann die Größe zwischen den beiden Blöcken keinen physikalischen Sinn. KI~ ,Tl

a

--;----'~ ~Ir=~~~ Bild 3.26 Wirkungsplan des durch GI. (3.97) gegebenen Systems

•

Sprungantwort der I-TI-Strecke

Zur Ermittlung der Sprungantwort lösen wir GI. (3.97) nach x(s) auf und erhalten mit y(t) = Ya . O"(t)

0--.

y(s) =

~ s

1

1

x(s) = K I . Ya - 2 - - s (l + sTI )

(3.99)

Für einen n-fachen Pol in a gilt der Residuensatz Res[Gs(s)e

st

Damit folgt aus (3.99)

1

] s=a = - - -

(n -I)!

d n- l lim --[(s-a)n ·Gs(s)e st ]. S---M

ds n --- I

(3.99a)

89

3.7 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

bzw.

(3.100) Für t > 5T[ ist der Term mit e - tlF[ vernachlässigbar klein und x(t) läuft, wie Bild 3.27 zeigt, asymptotisch gegen die Gerade xA(t)=K r · Ya ·(t-TI )· Die Asymptote verläuft parallel zur Sprungantwort eines Systems ohne Verzögerung (Tl

=0).

x(t)

i

Bild 3.27 Sprungantwort einer 1-T[-Strecke

-t

•

Ortskurve der I-TI-Strecke

Aus GI. (3.97) folgt der Frequenzgang

. ) - x(jOJ) Gs ( JOJ y(j OJ)

K....c.. I __ j OJ (l + j OJ T[)

- OJ

2

1] + jOJ

•

Durch Erweiterung mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erhalten wir:

Re (Gs ) =

K I 1] 1+(OJ1])2

Bild 3.28 zeigt den Verlauf der Ortskurve des I-TI-Gliedes

(3.101)

90

3 Die Regelstrecke

OJ

=

------

Re (G s )

0

-KITI

-00

1

1 --KIT[

1 --KITI

0

0

----+ Re

t,K 00

(()

-

r Tl 2

Tl

2

00

2

Bild 3.28 Ortskurve eines 1-T ]-Gliedes

OJ

r •

Im (G S )

Beispiel 3.10

Gegeben ist die Flüssigkeitsstandregelstrecke nach Bild 3.29 mit dem Ventilhub y als Eingangsgröße und dem Flüssigkeitsstand x als Ausgangsgröße. Es sollen folgende Voraussetzungen gelten: a) Die pro Zeiteinheit zufließende Menge Qe ist proportional dem Ventilhub y. Für y = y] = 1 cm ist Qe = Qo =10 11min.

t -h

Y

(3.102)

Qe =Qo ' - . Yl

b) Die aus dem 1. Behälter ausfließende Menge Qa ist proportional dem Flüssigkeitsstand h (laminare Strömung). Für h = h] = 40 cm ist

x

Qa = Qo =10 lImin.

h Qa =QO'h;'

(3.103)

Für die zeitliche Änderung des Flüssigkeitsstands im 1. Behälter gilt

Bild 3.29 Flüssigkeitsstandregelstreeke 2 A]=A2= 100em

und nach y aufgelöst Al h l . dh(t)

Qo

dt

+ h(t) =

y(t)

.!!l. Yl

(3.104)

3.7 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

91

Mit den Abkürzungen

hj Aj h j . K j = - = 40 und Tj = - - = 0,4 mm = 24 s

Yj

Qo

folgt aus (3.104) die Differentialgleichung des 1. Teilsystems

dh(t) Tj--+h(t)=Kj'y(t) dt

~

Tj·s·h(s)+h(s)=Kj·y(s)

(3.105)

mit der korrespondierenden Übertragungsfunktion GSj(s)= h(s)

y(s)

=~.

(3.106)

l+sTj

Die zeitliche Änderung des Flüssigkeitsstandes im 2. Behälter ist

A

2

dx(t) = Q (t) = Qo h(t) . a hj dt

Setzen wir K 2 =

(3.107)

~ = 2,5 min -j = 0,0417 s -j = 24 s, so folgt aus GI. (3.107) A 2 hj

dx(t) = K 2 . h(t) dt

(3.108)

bzw. die Übertragungsfunktion des 2. Teilsystems

G

S2

(s)

= x(s) = K 2 h(s)

s

.

(3.109)

Wie die Gleichungen (3.106) und (3.109) zeigen, ist die Ausgangsgröße h des 1. Teilsystems gleich der Eingangsgröße des 2. Teilsystems. Beide Systeme sind somit, wie Bild 3.30 zeigt, hintereinander geschaltet und ergeben mit K, = K]Kz = 1,67 s-j die resultierende Übertragungsfunktion

x(s)

K,

y(s)

s(l+sTj )

GS(s) = - - = G Sj (s)· G S2 (s) =----=--

(3.110)

Bild 3.30 Wirkungsplan der Flüssigkeitsstandregelstrecke nach Bild 3.29 Vergleichen wir die Übertragungsfunktion (3.110) mit der in Beispiel 3.9 ermittelten GI. (3.97), so sehen wir deren Identität. Die Sprungantwort sowie der Ortskurvenverlauf ergeben sich entsprechend Beispiel 3.9.

3 Die Regelstrecke

92 ~

Aufgabe 3.7

Die Kraft-Geschwindigkeits-Kennlinie eines Linearmotors kann in erster Näherung durch eine Gerade Fb =f (va) (Bild 3.31) dargestellt werden. Hierin bedeuten: Fb beschleunigende Kraft Va Geschwindigkeit des Linearmotors Vs synchrone Geschwindigkeit des Wanderfelds x zurückgelegter Weg des Linearmotors K Proportionalitätsfaktor m Masse des Linearmotors Die vom Linearmotor erzeugte Kraft Fb dient zur Beschleunigung der Masse m des Linearmotors.

Vs

-va

Bild 3.31 Angenäherte Kennlinie eines Linearmotors

Gesucht sind: a) Fb = f (va, vs) b) Die Differentialgleichung des Systems mit der Eingangsgröße vs(t) und der Ausgangsgröße va(t). (Abkürzung Tl = m / K)

c) Die Übertragungsfunktion

va (s)

GSl(s)=-v s (s) d) Die Übertragungsfunktion x(s) G S (s) = - mit x(t) = v s (s)

f

va (t) dt

e) Die Sprungantwort x(t) für v s (t) = va . (J(t).

3.8 Strecken mit Totzeit T t Gibt man auf den Eingang einer Strecke mit Totzeit (Tt -Strecke) ein Eingangssignal y(t), so erscheint am Ausgang das Eingangssignal, allerdings um die Totzeit Tt ver-

schoben (Bild 3.32). Ist y(t) die Eingangsfunktion, so ist das Ausgangssignal x(t) =

0 für t
~

Tt .

(3.111)

Ursache für das Auftreten einer Totzeit ist die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Signals zwischen Stell- und Messort bzw. zwischen Sende- und Empfangsort.

3.8 Strecken mit Totzeit Tt

93

Bild 3.32 Ein- und Ausgangssignal einer Strecke mit Totzeit Tt

Typische Regelstrecken mit Totzeit sind Förderbänder (Bild 3.33). Eingangsgröße ist die Schieberstellung y und Ausgangsgröße ist die pro Zeiteinheit vom Band geförderte Mengex.

Bild 3.33 Förderband x

Der Schieber sei zunächst geschlossen und werde zum Zeitpunkt t = 0 sprunghaft geöffnet: y(t) = Yo . (J'(t) .

Nach Verlauf der Totzeit Tt wird am Ausgang eine der Schieberstellung proportionale Menge x(t) = K PS . Yo . (J'(t - Tt )

vom Band laufen, mit der in Bild 3.34 gezeigten Sprungantwort. x

Y

i

i

t

Yo

0

-t

0

~

0 0

K ps ' Yo

-t

Bild 3.34 Eingangssprung und Sprungantwort einer P-Strecke mit Totzeit

Die Totzeit ergibt sich aus der Entfernung I zwischen Stell- und Messort und der konstanten Bandgeschwindigkeit v zu I

Tt =v

94

3 Die Regelstrecke

Übertragungs/unktion, Frequenzgang und Ortskurve des reinen Totzeitgliedes Im Gegensatz zu den bisher in diesem Kapitel besprochenen Systemen, kann ein System mit Totzeit nicht durch eine gewöhnliche Differentialgleichung, sondern nur durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben werden. Einen wesentlich einfacheren Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße gewinnt man im Bildbereich in Form der Übertragungsfunktion. Unterziehen wir GI. (3.111) der Laplace-Transformation, so ist L[x(t)]= jy(t-Tt)·e-stdt.

o

°

Da y(t - T t ) = für t < Tt ' können wir die untere Integrationsgrenze bei t nen lassen und erhalten

= Tt begin(3.112)

L[x(t)]= jy(t-Tt)·e-stdt. Tt

Wir bilden nun folgende Substitution r=t-Tt t=r+Tt dt=dr.

(3.113)

Die untere Integrationsgrenze ist für t = Tt r= 0, die obere r=

00.

Damit wird

L[x(t)] = jy(r)oe- ST ·e- sTt dr

o L[x(t)]=e- sTt jy(r).e- sT dr=e- sTt oL[y(t)].

(3.114)

o Aus GI. (3.114) folgt unmittelbar die Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes - x(s) _ -sT GS ( s ) - - - - e t . y(s)

(3.115)

GI. (3.115) zeigt, dass die Beziehung zwischen Ein- und Ausgangsgröße durch den Verschiebungssatz der Laplace-Transformation wiedergegeben wird. Wir erhalten aus GI. (3.114) den Frequenzgang, in dem wir s = jmsetzen . ) - x(jm) _ - jUJTt GS ( Jm - - - - e . y(jm)

(3.116)

3.8 Strecken mit Totzeit Tt

95

Zur Darstellung der Ortskurve kann Gs(jm) in seinen Real- und Imaginärteil zerlegt werden Gs (j m) = e- j01TI = cos m Tl - j . sin m Tl . Günstiger ist hier die Darstellung von Gs(jm) durch Betrag und Phase Gs(jm) = mit

IGs(jm)l· e-

IGs (jm)1 = 1 und

qJ=

jg>

= 1· e- j01TI

(3.117)

,

-m~. Das heißt, die Ortskurve ist der Einheitskreis, be-

ginnend bei m = 0 auf der reellen Achse und läuft im Uhrzeigersinn periodisch um, mit der Kreisfrequenz big vieldeutig. Im

t

m= 2Jr/Tt. Jeder Punkt der Ortskurve (Bild 3.35) ist also belie-

1,5

1r

01=Tl

01=0

-1,5

1,5-Re

Bild 3.35 Ortskurve eines reinen Totzeitgliedes

1r

01=2Tt

-1,5

In der Elektrotechnik treten Totzeiten verhältnismäßig selten auf, so z. B. bei der Anschnittsteuerung von Thyristoren, bei der Bildung der Auto- und Kreuzkorrelation stochastischer Signale sowie bei der Nachrichtenübertragung auf langen elektrischen Leitungen. Beabsichtigt ist dieser Effekt bei Verzögerungsleitungen (Delay Line) in der Oszillographen- und Impulstechnik. Ferner macht sich die Totzeit bei der drahtlosen Nachrichtenübermittlung über große Entfernungen bemerkbar. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen ist gleich der Lichtgeschwindigkeit. Bei den auf der Erde zu überbrückenden Distanzen spielt die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit noch keine Rolle. Bereits bei der Entfernung Erde-Mond beträgt die Totzeit ca. 1 s, d. h. eine auf der Erde gesendete Nachricht wird erst 1 s später auf dem Mond empfangen. Eine Antwort kann erst nach 2 s auf der Erde eintreffen und macht sich bei der Kommunikation schon unangenehm bemerkbar. Noch größer wird die Diskrepanz, wenn die Nachricht über eine Entfernung Erde-Mars mit Tt ca. 22,2 min (bei maximaler Entfernung) gesendet wird. In der Verfahrenstechnik kommt die Totzeit häufiger vor. Beispiele dafür sind die Temperartur- und Druckregelstrecken. Eine Wärme- oder Druckleitung kann man als Reihenschaltung von mehreren P-T i-Strecken darstellen. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass auch eine P-Tn-Strecke sich durch die Totzeit ersetzen lässt.

96

3 Die Regelstrecke

3.9 Regelstrecken mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung Vielfach kommen Totzeiten in Verbindung mit Verzögerungen vor, wie im nachfolgenden Beispiel einer Mischregelstrecke. •

BeispieI3.11

In den Mischbehälter (Bild 3.36) mit dem Volumen V fließen die Mengen Ql und Q2 mit den Konzentrationen Cl und C2. Die Streckenparameter sind: QI = 4l/s

V =0,5 m

3

h = Im 1= 10 m.

Q2 = Il/s

Durch das Rührwerk wird im Mischbehälter eine gleichmäßige Durchmischung erreicht mit der Konzentration Ca. Der Zufluss (QI + Q2) sei gleich dem Abfluss Qa und konstant. Dann ergibt sich für die Konzentrationsänderung im Mischkessel

dCa (t) Qj C j (t)+Q2 C 2 (t)-Qa Ca(t)=V--. dt

(3.118)

Im stationären Zustand ist dCa (t) = 0 und folglich

dt

Ql Cl (t) + Q2 C 2 (t) - Qa Ca (t) = 0 .

(3.119)

Messfühler

Bild 3.36 Mischbehälter mit nachfolgender langer Leitung

Ändert sich die Konzentration Cl um LI Cl = CI und folglich die Ca um LI Ca = Ca, so wird

Durch Subtraktion der GI. (3.118) von GI. (3.120) ergibt sich

dCa (t) Qj Cj(t)-Qa ca(t)=V-dt

97

3.9 Regelstrecken mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung bzw. in Normalform

Mit den Abkürzungen

Q]

V

Qa'

Qa

K p =-=08 und T] =-=100s S

erhalten wir die Differentialgleichung dCa (t) T]--+ca(t)=K ps c](t)

(3.121)

dt

bzw. die Übertragungsfunktion

G ! (s) S

= ca (s) =~. c](s)

(3.122)

l+sT]

Die Änderung am Ausgang des Mischkessels wird erst nach Verlauf der Totzeit

am Messort wirksam. Der Mischkessel ist ein P-T [-Glied mit der Übertragungsfunktion (3.122), während die nachgeschaltete Rohrleitung eine reine Totzeit mit folgender Übertragungsfunktion darstellt:

G S2 (s) =e

-sT.

(3.123)

t.

Die Gesamtstrecke lässt sich somit durch die Reihenschaltung zweier Glieder (des Verzögerungs- und des Totzeitgliedes) im Wirkungsplan darstellen (Bild 3.37).

K PS -sT. G S (s)=G S ](s).G S2 (s)=--e t. 1+ sT]

(3.124) KpS,T j

1,Tt

~1~HLc~ Bild 3.37 Wirkungsplan einer Strecke mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung

i o -+--....,..------'L.----~--t

Bild 3.38 Sprungantwort einer Strecke mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung

98

3 Die Regelstrecke

Die Sprungantwort des Systems hat den in Bild 3.38 gezeigten Verlauf mit

0 für ca (t) =

•

{

t
clO K Ps [1 - e

Tl]

für t?:. Tl .

Frequenzgang und Ortskurve

Aus GI. (3.124) folgt der Frequenzgang des Systems

Gs(jOJ)=

K ps

1+ jOJ'Ft

e- jOJTt

(3.125)

Die Ortskurve des Verzögerungsgliedes 1. Ordnung ist ein Halbkreis im vierten Quadranten. Durch das Totzeitglied wird die Phase zusätzlich um den Winkel rpt = -OJTt gedreht. Es entsteht die in Bild 3.39 gezeigte Spirale. Im

0)=0 __ Re

Bild 3.39 Ortskurve einer Strecke mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung

99

4 Regeleinrichtungen Die Regeleinrichtung ist der Teil des Regelkreises, der die zu regelnde Größe der Regeistrecke mit einem vorgegebenen, konstanten Sollwert Xsoll bzw. mit einer zeitlich veränderlichen Führungsgröße w vergleicht und über ein Stellglied die Regelstrecke so beeinflusst, dass die Regeldifferenz e Null oder möglichst klein wird. Die Regeleinrichtung enthält mindestens je eine Einrichtung: 1. zum Erfassen der Regelgröße x, 2. zum Vergleich mit dem Sollwert Xsoll bzw. der Führungsgröße w,

3. zum Bilden der Reglerausgangsgröße YR bzw. Stellgröße y. Die Einteilung der Regeleinrichtungen erfolgt nach verschiedenen Gesichtspunkten:

a) Regeleinrichtung ohne und mit Hilfsenergie Bei den Regeleinrichtungen ohne Hilfsenergie wird die zum Verstellen des Stellgliedes erforderliche Energie von der Regelgröße x über den Messfühler direkt geliefert.

Bild 4.1 zeigt eine Flüssigkeitsstandregelung mit einer Schwimmer-Regeleinrichtung ohne Hilfsenergie. Die Regelgröße (Flüssigkeitsstand) wirkt auf den Schwimmer und dieser verstellt über einen Hebel die Ventilöffnung des Eingangsventils. Ist die abfließende Menge Qa größer als die zufließende Menge Qe, so fällt der Flüssigkeitsstand, der Schwimmer öffnet das Eingangsventil und vergrößert damit Qe. Bei verringertem Verbrauch steigt der Flüssigkeitsstand und das Ventil wird entsprechend geschlossen. Bild 4.2 zeigt ebenfalls eine Flüssigkeitsstandregelung, allerdings mit einer Regeleinrichtung mit Hilfsenergie. Der Schwimmer formt die Höhendifferenz in eine analoge elektrische Spannung um, die dann verstärkt dem Motorventil zugeführt wird und dieses entsprechend verstellt. Für Qa > Qe sinkt der Flüssigkeitsstand und die abgegriffene Spannung hat die gezeichnete

Bild 4.1 Flüssigkeitsstandregelung mit einer Regeleinrichtung ohne Hilfsenergie

Bild 4.2 Flüssigkeitsstandregelung mit einer Regeleinrichtung mit Hilfsenergie

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_4, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

4 Regeleinrichtungen

100

Polarität, das Motorventil öffnet. Dadurch wird Qe größer, der Flüssigkeitsstand steigt bis u = O. Ist Qa < Qe, so steigt der Flüssigkeitsstand, die abgegriffene Spannung hat nun die entgegengesetzte Polarität, d. h. das Motorventil wird geschlossen, was zur Abnahme des Flüssigkeitsstandes führt und damit zu einer Abnahme der Spannungsdifferenz bis der Motor steht.

b) Stetige und unstetige Regeleinrichtungen Man unterscheidet ferner zwei unterschiedliche Regeltechniken, die sich im Laufe der Entwicklung herausgebildet haben: mittels stetiger Regeleinrichtung, mittels unstetiger Regeleinrichtung. Als stetig wird eine Regeleinrichtung bezeichnet, wenn die Stellgröße YR im Beharrungszustand jeden Wert innerhalb des Stellbereiches annehmen kann. Die in den Bildern 4.1 und 4.2 gezeigten Regeleinrichtungen sind stetig. Eine Regeleinrichtung wird als unstetig bezeichnet, wenn die Ausgangsgröße YR nur wenige diskrete Werte annehmen kann.

Bild 4.3 zeigt den Bimetallregler zur Konstanthaltung der Bügeleisentemperatur. Im kalten Zustand sind die Kontakte und damit der Stromkreis geschlossen. Mit zunehmender Erwärmung krümmt sich die Bimetallfeder nach oben und unterbricht den Kontakt nach Erreichen einer ganz bestimmten Temperatur. Dreht man die Sollwertschraube weiter nach oben, so erhält die Bimetallfeder eine größere Vorspannung und trennt die Kontakte erst bei einer höheren Temperatur. Bei geöffneten Kontakten kühlt sich das Bügeleisen sowie die Bimetallfeder ab, bis die Kontakte geschlossen werden und die Aufheizung erneut beginnt. Damit kann die Stellgröße nur die zwei Werte EIN und AUS annehmen.

230V

Bild 4.3

Bimetallregler (unstetiger Regler) zur Konstanthaltung der Bügeleisentemperatur

Man bezeichnet solche Regeleinrichtungen als Zweipunktregler. Der Nachteil eines solchen Zweipunktreglers ist, dass die Regelgröße den Sollwert nicht genau innehält, sondern um diesen pendelt. Für viele Zwecke ist die Toleranz, mit der der Sollwert eingehalten wird, vollkommen ausreichend. Gegenüber einem stetigen Regler ist der Zweipunktregler einfacher im Aufbau und daher billiger. Die unstetigen Regeleinrichtungen wurden ursprünglich für Regelaufgaben verwendet, bei denen keine hohen Anforderungen an die Regeleinrichtung gestellt wurden. Heute werden unstetige Regeleinrichtungen in etwas aufwendigerer Form (elektrisch und elektronisch) auch zur Regelung von schwieriger zu regelnden Regelstrecken eingesetzt.

4.1 Elektronische Regler mittels Operationsverstärker

101

4.1 Elektronische Regler mittels Operationsverstärker Im Folgenden werden die Grundformen klassischer elektronischer Regler und deren Aufbau mittels Operationsverstärker behandelt. Solche Operationsverstärker können aus diskreten Elementen aufgebaut oder als integrierte Linearverstärker in einem einzigen Siliziumkristall (auf einem Chip) untergebracht sein. Verstärker in diskreter Bauweise enthalten im Allgemeinen verhältnismäßig wenige Transistoren und ihr Verstärkungsfaktor (VO > 5000) ist deshalb um eine Größenordnung kleiner als der von integrierten Operationsverstärkern (Vo> 50 000), die etwa die dreifache Anzahl an Transistoren aufweisen. Es soll hier nicht auf den z.T. sehr komplizierten inneren Aufbau von Operationsverstärkern eingegangen werden, sondern wir wollen den Operationsverstärker als einen Gleichspannungsverstärker betrachten, dessen Verstärkung (meist in mehreren Stufen) im Leerlauf Vo beträgt. Der Operationsverstärker kann näherungsweise durch das in Bild 4.4 gezeigte Ersatzschaltbild beschrieben werden.

Bild 4.4 Ersatzschaltbild des Operationsverstärkers

Die heute zum Einsatz kommenden Operationsverstärker haben einen Ausgangswiderstand von Ra = 100 Q. Dieser ist gegenüber von Lastwiderstand ZL und Rückführungswiderstand Zr in der Größenordnung> 10 kQ vernachlässigbar und wird im weiteren mit Ra = Za = 0 angenommen. Damit folgt aus dem Ersatzschaltbild: i 1 = ie

i2

+ ir

= i3 - ie

Vo 'uD=u a

~

~

~

U1 -uD -U3

Z1 u2 -u3

Z2 ua uD=-'

Vo

uD

uD +U3 -u a

Ze

Zr

=-+

U3

uD

Z3

Ze

---

(4.1)

(4.2)

(4.3)

102

4 Regeleinrichtungen

Die Ausgangsspannung U a wird durch die Betriebsspannungen begrenzt und liegt in der Größenordnung von ca. ± 10 V. Gemäß GI. (4.3) wird für Vo > 5000 die Differenzspannung UD < 2 mV und somit in den GIn. (4.1) und (4.2) vernachlässigbar. Aus GI. (4.1) folgt

~-U3[-1 +_1 ]=_~ Zl

Zl

Zr

(4.4)

Zr

und aus GI. (4.2)

~_U3[_1_+_1]=0 Z2

Z2

Z3

bzw. (4.5) Mit (4.5) in (4.4) erhalten wir schließlich Zr Z3 Zl +Zr u a =-ul-+u2-·-----'------'--Zl Zl Z2 +Z3

(4.6)

Aus der GI. (4.6) lassen sich nun einige Grundschaltungen ableiten.

a) Invertierende Schaltung Für Z3 = 0 und U2 = 0 wird Zr

(4.7)

Ua = - U l - '

Zl

d. h., die Ausgangsspannung dem Faktor

Zr / Zl

Ua

ist die invertierte Eingangsspannung, gewichtet mit

(Bild 4.5). Zur Kompensation des Einflusses des Eingangsruhestroms wird Z3 nicht gleich Null, sondern Z3 =R3 =Zrll Zl/w=O gewählt. Infolge der vernachlässigbaren Diffe-

Bild 4.5 Invertierende Schaltung

renzspannung UD "" 0, liegt der invertierende Eingang des Operationsverstärkers (Punkt A in Bild 4.5) nahezu auf Massepotential und wird vielfach als "virtuelle Masse" bezeichnet.

4.1 Elektronische Regler mittels Operationsverstärker

103

b) Nichtinvertierende Schaltung Für U1 = 0 und Z3 = u a = Uz

00

in Bild 4.4 wird

[~: + 1]

(4.8)

mit der in Bild 4.6 gezeigten Schaltung. Für Zr = 0 und Zl =

00

folgt aus GI. (4.8) (4.8a)

Die sich so ergebende Schaltung hat einen hohen Eingangs- und einen niedrigen Ausgangswiderstand.

22 o-----L_J---+-----l +

j

Sie wird als Impedanzwandler zur Entkopplung von Netzwerken benutzt. Der Widerstand Zz ist nicht unbedingt erforderlich. Wählt man Zz =R z =Zlll ZrIOJ=ü'

a

U20----1- - - + - - - - - - - - - 0 u

so kann auch hier der Einfluss des Eingangsruhestroms kompensiert werden.

Bild 4.6 Nichtinvertierende Schaltung

c) Differenzschaltung Aus (4.6) folgt für Zz = Zl und Z3 = Zr die in Bild 4.7 gezeigte

Schaltung zur Differenzbildung der beiden Eingangsspannungen Ua

= (u2

Zr - ul)-. (4.9) Zl

Bild 4.7 Differenzschaltung

d) Additionsschaltung

iJ..

Z\

Schaltet man in der in Bild 4.5 gezeigten Inverterschaltung einen weiteren Eingangswiderstand Zz hinzu (Bild 4.8), so gilt für den Knotenpunkt A (virtuelle Masse)

~

Z2

u\

",j

Zr

A

+

Bild 4.8 Additionsschaltung

bzw.

104

4 Regeleinrichtungen (4.10)

und mit Zz = Zl u a = -(ul

Zr

+ uz)-· Zl

Das heißt, die Ausgangsspannung ist gleich der negativen Summe der beiden Eingangsspannungen multipliziert mit Zr / Zl.

4.2 Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises Bevor wir spezielle Regelkreise betrachten, soll zuvor in allgemeiner Form das Führungs- und Störverhalten eines Regelkreises ermittelt werden. Im Bild 4.9 ist der Wirkungsplan eines Regelkreises dargestellt, worin Gs(s) die Übertragungsfunktion der Regelstrecke und GR(s) die Übertragungsfunktion der Regeleinrichtung bedeuten.

z

~x

------~

Bild 4.9 Wirkungsplan des Regelkreises

Bei der Beurteilung eines Regelkreises interessieren u.a.: a) das dynamische Verhalten der Regelgröße x auf eine Sollwertänderung, das so genannte Führungsverhalten und b) die dynamische Reaktion der Regelgröße x auf eine Störung, das so genannte Störverhalten. Im Idealfall sollte die Regelgröße stets gleich der Führungsgröße sein und eine Störung sofort kompensiert werden, so dass keine Auswirkung auf die Regelgröße erfolgt. Beide Forderungen sind nicht realisierbar. 4.2.1 Führungsübertragungsfunktion Aus dem Wirkungsplan (Bild 4.9) folgt YR (s) = [w(s) - x(s)]G R (s)

(4.11)

+ z(s)]GS (s).

(4.12)

und x(s) = [YR (s)

Mit (4.11) in (4.12) folgt

4.2 Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises X(s) = {[ w(s) - x(s)]G R (s)

105

+ z(s)]G s (s)

bzw. x(s)[l

+ G R (s)Gs (s)] = w(s)G R (s)Gs (s) + z(s)Gs (s)

Wir betrachten zunächst den Fall, dass für w =

WI

xI (s)[l + G R (s)GS (s)] = wl (s)G R (s)GS (s)

Nehmen wir nun an, dass bei gelgröße dass gilt:

X

.

(4.13)

x = Xl ist, d. h.

+ z(s)GS (s).

(4.14)

z = konst. w den Wert Wz annimmt, dann wird sich Re-

ebenfalls ändern und wir wollen den neuen Wert mit xz bezeichnen, so

Xz (s)[l + G R (s)Gs (s)] = Wz (s)G R (s)Gs (s) + z(s)G s (s).

(4.15)

Subtraktion der GI. (4.14) von GI. (4.15) liefert [xz (s) - xl (s)]· [1 + G R (s)G s (s)] = [wz (s) - wl (s)]· G R (s)Gs (s).

(4.16)

Betrachten wir nur die Änderungen und bezeichnen diese mit

bzw.

so wird x(s)[l

+ G R (s)Gs (s)] = w(s)G R (s)Gs (s).

(4.17)

Das Verhältnis der Laplace-transformierten Regelgröße zur Führungsgröße wird als Führungsübertragungsfunktion (4.18) bezeichnet. Vielfach ist die Aufgabe gestellt, in einem Regelkreis mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen die Abhängigkeit zwischen einer bestimmten Ausgangsgröße X a und einer bestimmten Eingangsgröße Xe ZU ermitteln. Bezeichnet man den Zweig zwischen Ein- und Ausgang als den Vorwärtszweig und den zwischen Aus- und Eingangsgröße als Rückführungszweig, so erhalten wir ganz allgemein 1 G

1

(4.19)

( ) - GRückf. (s)

Vorw. s

Hierbei ist die im Kreis nach Bild 4.9 vorhandene Vorzeichenumkehr zu beachten.

4 Regeleinrichtungen

106

4.2.2 Störübertragungsfunktion Betrachten wir nun die Änderung der Regelgröße x (Ausgangsgröße) auf eine Änderung der Störgröße z (Eingangsgröße), so können wir nach dem im vorherigen Abschnitt Gesagten sofort die zugehörige Übertragungsfunktion angeben. Im Vorwärtszweig liegt Gs(s) und im Rückführzweig - GR(S), bedingt durch die Vorzeichenumkehr. Nach Gleichung (4.19) ist dann Gz(s)= x(s) = z(s)

I _1_+ (s) GR Gs(s)

bzw. G (s) = x(s) = GS (s) z z(s) I+GR(s)GS(s)

(4.20)

die gesuchte Störübertragungsfunktion.

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen Entsprechend den in Kapitel 3 behandelten Regelstrecken werden auch die Regeleinrichtungen nach ihrem Zeitverhalten unterschieden. Nicht alle Regeleinrichtungen sind zur Regelung von bestimmten Regelstrecken geeignet. So führt z. B. wie in diesem Kapitel gezeigt wird, die Regelung einer I-Strecke mit einer I-Regeleinrichtung zu Dauerschwingungen. Andere Kombinationen können zur Instabilität führen.

4.3.1 P-Regeleinrichtung Bild 4.10 zeigt den Wirkungsplan eines Reglers mit der Regeldifferenz e als Eingangsgröße und der Stellgröße YR des Reglers als Ausgangsgröße.

--+~

Die Bezeichnung P-Regler besagt, dass die Ausgangs-

Bild 4.10 Wirkungsplan des P-Reglers

größe YR proportional der Eingangsgröße eist: YR (t) = K PR . e(t) .

e~

(4.21)

KpR ist der Proportionalbeiwert, der in weiten Grenzen eingestellt werden kann. Aus

(4.21) folgt die Übertragungsfunktion des P-Reglers YR (s)

GR(s)=--=K pR . e(s)

(4.22)

Die Sprungantwort einer solchen Regeleinrichtung ist, bei Vernachlässigung der immer vorhandenen Verzögerungen, ebenfalls eine Sprungfunktion mit

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

107

YR (t) = K PR . eo . (J(t) .

Bild 4.11 zeigt die technische Realisierung eines elektronisches P-Reglers mittels der in Abschnitt 4.1 behandelten Invertierschaltung. Mit

Zr = Rr und Zl = Rl folgt aus GI. (4.7) die Übertragungsfunktion

G R (s)

= YR (s) = u a (s) = -KPR' e(s)

(4.23)

Ul (s)

Bild 4.11 P-Regeleinrichtung mittels Operationsverstärker

R r = 100 kQ und Rl = 10 kQ würde z. B. ein KpR = 10 ergeben. Das negative Vorzeichen kann vielfach anderweitig ausgeglichen werden, indem z. B. die Regeldifferenz nicht positiv, sondern negativ zugeführt wird oder ein nachfolgendes Stellglied eine weitere Vorzeichenumkehr bewirkt. •

Beispiel 4.1

In Bild 4.12a ist eine pneumatische Regeleinrichtung nach dem Düse-Prallplatte-System gezeigt. Die Regeldifferenz e = w - x bestimmt über den Waagebalken den Abstand h zwischen Düse und Prallplatte. Durch den mit h veränderlichen Druckabfall an der Auslassdüse wird der Steuerdruck variiert. Die statische Kennlinie YR = fee) bzw. YR = feh) ist nicht linear (Bild 4.12b). Der Verlauf der Kennlinie ist abhängig vom Verhältnis des Düsen- zum Vordrosseldurchmesser d / d v . Durch eine Gegenkopplung kann die Kennlinie linearisiert werden.

I I I I

a)

b)

I

+---- -~-~-"'"I--­ I

o

d/4 - h

Bild 4.12 Pneumatische P-Regeleinrichtung nach dem Düse-Prallplatte-System (a) und die statische Kennlinie (b) Der Durchmesser der Austrittsdüse ist ca. 0,5 ... 1,5 mm. Bei entfernter Prallplatte ist der Austrittsquerschnitt ein Maximum. Hat die Prallplatte zur Düse den Abstand h, so ist der Ringquerschnitt

für den Luftaustritt maßgebend. Für h = d / 4 wird

AR = A max

.

Somit verliert die Prallplatte ihre Steuerwirksamkeit für einen Abstand h > d / 4 zur Düse.

4 Regeleinrichtungen

108

4.3.1.1 P-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tl-Strecke Dynamisch erscheint eine P-Regeleinrichtung ideal zur Regelung geeignet, allerdings erzeugt sie am Ausgang nur dann eine Stellgröße, wenn eine Regeldifferenz am Eingang vorhanden ist. Der bezüglich seines Führungs- und Störverhaltens zu untersuchende Regelkreis ist in Bild 4.13 dargestellt, mit der Übertragungsfunktion der Strecke Gs(s)=x(s)= K ps y(s) l+sTl

(4.24) Bild 4.13 Wirkungsplan des Regelkreises, bestehend aus einer P-T ]-Strecke und einer P-Regeleinrichtung

und der Regeleinrichtung G R (s)

YR (s)

=- - = K PR'

(4.25)

e(s)

a) Führungsverhalten Zur Ermittlung des zeitlichen Verlaufs der Regelgröße x(t) auf eine Sollwertänderung benutzen wir die in Anschnitt 4.2.1 abgeleitete Führungsübertragungsfunktion (4.18). Mit den Übertragungsfunktionen (4.21) und (4.25) des Regelkreises ist dann Gw(s)=x(s)= GR(s)GS(s) = KpRK ps wes) I+G R (s)G S (s) 1+ KpRK ps +sTl

(4.26)

Für einen Sollwertsprung w(t)

= Wo . (J(t)

wes)

0-.

= Wo s

folgt aus (4.26) nach x aufgelöst x(s)=

KpRK ps 1+ KpRK ps

1

(

s 1+ s

T

1

1+ KpRK ps

wo·

(4.27)

J

Nach Rücktransformation in den Zeitbereich erhalten wir x(t) =

mit

K

PR

K

t

PS

I+K pR K ps

--

(1- e T )wo '

(4.28)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

109

Wie Bild 4.14 zeigt, wird der vorgegebene Sollwert Wo von der Regelgröße x auch im stationären Endzustand nicht erreicht. Aus GI. (4.28) folgt für t ~ 00 x(oo) =

KpRK ps 1+ KpRK pS

wo.

und die bleibende Regeldifferenz e( 00 ) =

Wo - x( 00 )

=

1

1+ KpRK ps

x(t)

Wo .

(4.29)

e( (0)

i Wo

KpRK pS

1+ KpRK ps

Bild 4.14 Führungssprungantwort des Regelkreises nach Bild 4.13

'wo

! o -f---+------'------'--+--- t

Wie GI. (4.29) zeigt, kann die bleibende Regeldifferenz durch Vergrößern von KpR verringert werden. Dies führt jedoch bei Strecken 2. Ordnung zur Verringerung der Dämpfung und bei Strecken noch höherer Ordnung zur Instabilität des geschlossenen Regelkreises. Hierin besteht der Hauptnachteil des P-Reglers.

b) Störverhalten Die Abhängigkeit der Regelgröße x beim Auftreten einer Störgröße ermitteln wir mit Hilfe der Störübertragungsfunktion (4.20) und den gegebenen Übertragungsfunktionen GR und Gs. K pS

Für eine sprungförmige Störgröße mit z(t)

= Zo

. (J(t)

wird

mit T= _ _T---,l~_

1+ KpRK ps

0--.

z(s)

=~ s

110

4 Regeleinrichtungen

Interessiert man sich nur für den stationären Endzustand, so ist es bei komplizierteren Regelkreisen einfacher x( 00) im Bildbereich mittels des Grenzwertsatzes der Lap1aceTransformation zu ermitteln. Danach ist lim x(t) = lim s . x(s) t---7 oo

(4.31)

S---70

und es folgt aus (4.30) sofort

K PS . 0 1 + K PR K PS s

x(oo) = lim x(t) = lim t

S ---7

---700

x(oo)= lim x(t) = t ---700

s

(l + sT)

. Zo

ps

(4.32)

K z00 1 + K PR K PS

Wie Bild 4.15 zeigt, ist auch das Störverhalten nicht voll befriedigend. Die infolge der Störgröße auftretende bleibende Regeldifferenz kann zwar durch Vergrößern von KpR verringert, aber nicht vollkommen beseitigt werden.

x(t)

t

Bild 4.15 Stärverhalten des Regelkreises nach Bild 4.13 für z(t)= zo·(j(t)

0+-....L---'------------1-

°

-- t

Im folgenden Beispiel soll gezeigt werden, dass sich ein Regelkreis, bestehend aus einer P-T2-Strecke und einem P-Reg1er im stationären Endzustand genauso verhält, aber die Dämpfung mit zunehmendem KpR verringert wird. •

Beispiel 4.2

Gegeben ist der in Bild 4.16 gezeigte Regelkreis mit

K PS - x( s) _ GS ( s ) y(s) sZT:j+sTI +l

YR (s)

G R (s) = - - = K ps, e(s)

Bild 4.16 Regelkreis bestehend aus einer P-T2-Strecke und einer P-Regeleinrichtung KpS = 0,5; KpR = 16;

Tl = 3 s;

TZ = 1 s

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

111

Gesucht sind: a) Die Dämpfung DI der ungeregelten Strecke. b) Die bleibende Regeldifferenz bei einem Sollwertsprung w(t)= wo·a(t). c) Die Dämpfung D2 des geschlossenen Kreises. Zu a): 2

KpSßI

Mit ßI

=-

1

T2

und al

T

= _1_ 2T{

2

1

2

s + s 2al + ßI

erhalten wir die Dämpfung der ungeregelten Strecke

a Tl D=-=-=15>1. ß 2T2 ' Zu b): Durch Einsetzen von GR und GS in GI. (4.18) erhalten wir die Führungsübertragungsfunktion

G ()= x(s) = w s

w(s)

KpRK pS 2 2 s T2 +sTI +1 + KpRK pS

(4.33)

Für w(s)= wO /s ergibt sich

x(s) =

K PR K PS .W 2 2 0 s(s T2 +sTI +1+K pR K pS )

(4.34)

und daraus nach dem Grenzwertsatz

x(oo) = lim x(t) = lim s· x(s) = wO' lim G w (s) t---?oo

x( 00 ) =

K

PR

s---?O

K

. Wo

PS

1+ KpRK ps

s---?O

.

(4.35)

Die bleibende Regeldifferenz

e( 00 ) = Wo - x( 00 ) = ist identisch mit GI. (4.29). Zu c): Aus GI. (4.33) folgt

1

I+K pR K ps

. Wo

(4.36)

112

4 Regeleinrichtungen

Hierin ist 2 _ 1 + K PR K PS

ß2

-

T2 2

Tl

und a2 = 2Tf .

Für den geschlossenen Regelkreis errechnet sich die Dämpfung zu

a2 D2 = = ß2

Tl

------;=~===

2T2~1+KpRKps

~1+ KpRK ps

(4.37)

D 2 =0,5 <1. Die GIn. (4.36) und (4.37) zeigen, dass die beiden Forderungen bezüglich kleiner bleibender Regeldifferenz und ausreichender Dämpfung sich widersprechen, so dass vielfach nur ein Kompromiss möglich ist.

~

Aufgabe 4.1

Gegeben ist der im Bild 4.17 dargestellte Regelkreis.

x

Ermitteln Sie: a) Die bleibende Regeldifferenz für w(t)= wO'(J(t); (z = 0).

b) Die bleibende Regeldifferenz infolge z(t)= Zo ·(J(t).

c) Worin unterscheidet sich das Führungs- und Störverhalten?

Bild 4.17 Wirkungsplan des Regelkreises, bestehend aus einer I-Strecke und einer P-Regeleinrichtung

4.3.2 I-Regeleinrichtung Die Bezeichnung I-Regeleinrichtung (integral wirkend) besagt, dass die Stellgröße YR proportional dem Zeitintegral der Regeldifferenz e = w - x ist: YR (t) = KIR fe(t)dt

(4.38)

oder (4.39) Aus GI. (4.39) folgt die Übertragungsfunktion der I-Regeleinrichtung mit

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

113 (4.40)

Insbesondere, wenn Ein- und Ausgangsgröße des Reglers die gleiche Dimension haben, wird die Zeitkonstante eingeführt: 1

TI = - - . KIR

Die Sprungantwort der I-Regeleinrichtung erhalten wir aus Gin. (4.40) mit z(t) =

Zo . CY(t)

z(s) =

0--.

~ s

bzw. (4.41) Wie Bild 4.18 zeigt, steigt die Sprungantwort linear mit der Zeit an und erreicht für t = I/KIR bzw. t = TI den Wert YR (TI) =

eo·

Bild 4.18 Eingangssprung und Sprungantwort einer I-Regeleinrichtung

Bild 4.19 zeigt einen elektronischen I-Regler mittels beschaltetem Operationsverstärker (Invertierschaltung). Betrachten wir die Laplacetransformierten Spannungen, so ist Ua(s)

-Uj

(s)

Zr(s)

---

Zj (s)

c

1

---

sCR j

U1l

Mit TI = CR j wird G (s) = YR (s) = u a (s) = __1_. R

e(s)

Uj

(s)

sTI

(4.42)

0-----+-------0 Bild 4.19 I-Regeleinrichtung mittels Operationsverstärker

4 Regeleinrichtungen

114 •

Beispiel 4.3

YR

t

Stellzylinder Steuerkolben

Stellkolben

Druckkanal +--

EJJ:::::=**==

Saugkanal ---+

Bild 4.20 Hydraulische I-Regeleinrichtung

Zur Regelung von Systemen, bei denen hohe Stellkräfte erforderlich sind, wie z. B. bei Walzgerüsten, kommen insbesondere hydraulische Regeleinrichtungen zum Einsatz. Die in Bild 4.20 gezeigte hydraulische I-Regeleinrichtung soll nur qualitativ in ihrer Funktionsweise erklärt werden. Der Stellkolben befindet sich in Ruhestellung, wenn der Steuerkolben die Zuund Abflüsse der Ölkanäle sperrt (gezeichnete Stellung), d. h. wenn die Kraft x und die Führungsgröße w gleich sind. Tritt eine Regeldifferenz auf, z. B. x > w, so wird sich der Steuerkolben nach oben bewegen, bis infolge der größeren Federkraft wieder ein Gleichgewicht eintritt. Dies bewirkt, dass der mittlere Steuerkolben den Druckkanal freigibt, der auf die Unterseite des Stellkolbens wirkt.

Gleichzeitig wird durch den oberen Steuerkolben der Saugkanal freigegeben, so dass das im oberen Teil des Stellzylinders befindliche Öl abströmen kann. Die Änderungsgeschwindigkeit, mit der sich der Stellkolben nach oben bewegt, ist proportional der freigegebenen Kanalöffnung bzw. proportional der Regeldifferenz, konstanter Öldruck vorausgesetzt. dYR (t) _ e(t) dt

bzw. YR (t) = KIR fe(t)dt.

4.3.2.1 1-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tl-Strecke Regelstrecke und Regeleinrichtung sind zu einem Regelkreis gemäß Bild 4.21 zusammengeschaltet.

Bild 4.21 Regelkreis gebildet aus einer P-T 1Strecke und einer I-Regeleinrichtung

Im Folgenden soll wieder das Führungs- und Stärverhalten untersucht werden.

a) Führungsverhalten Ausgehend von der Führungsübertragungsfunktion GI. (4.18) erhalten wir für das System nach Bild 4.21

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen G (s)= x(s) =

GR(s)GS(s)

K1RK ps

=

I + G R (s)G s (s)

w(s)

W

115

s2 T ] + s + KIR K PS

(4.43)

Wie GI. (4.43) zeigt, ist die Ordnung des geschlossenen Kreises um Eins höher als die der ungeregelten Strecke. Indem wir in GI. (4.43) den Koeffizienten der höchsten Potenz von s des Nennerpolynoms zu Eins machen, erhalten wir mit den Abkürzungen ß2 = K1RK pS T]

G () = x(s) W

s

I

a=-

und

=

w(s)

s

2

2T]

ß2

+ s· 2a+ ß

(4.44)

2 .

Ein Maß für die Dynamik des Systems ist die Dämpfung

D=a= ß

1

(4.45)

2~KIRKpsTl

Wir sehen aus (4.45), dass durch Vergrößern von KIR die Dämpfung verringert wird und für D < 1 zu gedämpften Schwingungen führt. Der stationäre Endzustand der Regelgröße x bei Annahme einer sprungförmigen Führungsgröße W(t) = Wo . (J'(t)

0--.

w(s) = Wo

s

bestimmt sich aus GI. (4.43) zu x(s)=Gw(s).w(s)=Gw(s). Wo

s

und mittels Grenzwertsatz erhalten wir x(oo) = lim x(t) = lim s· x(s) = wo' lim G w (s) t~=

s~o

s~o

x(oo) = wo.

Das heißt, die bleibende Regeldifferenz e( 00 ) = Wo - x( 00 ) = 0 .

(4.46)

b) Störverhalten

Ganz entsprechend erhalten wir mit der Störübertragungsfunktion GI. (4.20) und den gegebenen Übertragungsfunktionen GR und Gs Gz(s)

= x(s) = z(s)

Gs(s) 1+ ~ (s)Gs(s)

s·Kps

s

2

11 + s+ KIRK pS

(4.47)

116

4 Regeleinrichtungen

Die Nenner Gz und G w (GI. (4.47) und GI. (4.43», die das dynamische Verhalten eines Systems bestimmen, sind gleich und ebenso die Dämpfung. Mit den Abkürzungen

ß 2= KIRKps/TI

und a= 1/2 Tl erhalten wir

G (s)= x(s) = K ps . s Z z(s) Tl s2+ s . 2a +ß2

(4.48)

und (4.49) Für einen Störsprung z(t) = Zo . C5(t)

0-.

z(s) =~ s

wird x(oo)= lim x(t) = lim s·x(s)=O. t~oo

(4.50)

s~o

Das heißt, der Einfluss der Störgröße wird vollkommen beseitigt. Das untersuchte System zeigt bei Führung und Störung das gleiche dynamische Verhalten. Wie in diesem Kapitel noch gezeigt werden wird, ist das nicht generell so. Es kann vorkommen, dass im Zähler- und Nennerpolynom von Gw oder Gz gemeinsame Linearfaktoren enthalten sind, die sich herauskürzen und somit die Ordnung des Systems reduzieren. Der Vorteil der I-Regeleinrichtung besteht darin, dass nur eine vorübergehende, keine bleibende Regeldifferenz auftritt. Trotz bestehender Störgröße wird nach abgeschlossenem Regelvorgang der Sollwert wieder erreicht. Nachteilig ist, dass mit zunehmendem I-Einfluss (größerem KIR) die Dämpfung kleiner wird. •

Beispiel 4.4

Für den Regelkreis nach Bild 4.21, mit KIR

=0,1

s-l

Kps = 2

= 20 s soll das Führungsverhalten von x(t) für w(t) = wo·(J(t) ermittelt werden. Nach GI. (4.45) ergibt Tl

sich die Dämpfung zu

a

1

D=-=

ß 2~KlRKpsTI

und

a = _1_ = 0 025 s -1. 2T I

'

,

=025<1 '

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

117

Dass heißt, dass die Regelgröße gedämpfte Schwingungen ausführen wird. Zur Bestimmung der Sprungantwort lösen wir die Übertragungsfunktion (4.44) nach x(s) auf x(s)=Gw(s)'w(s)=

2

s

ß2

+ s· 2a+ ß

2

Wo s

und erhalten unter Verwendung der Beziehung 13 der Korrespondenztabelle

x(t) =

[1_e- at (cos av+ ~ sin av )} Wo

(4.51) mit dem in Bild 4.22 gezeigten Verlauf der Sprungantwort. In GI. (4.51) ist

x(t)

1

{Oe

=~ß2 _a 2

{Oe

= 0,0968 s-1

die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems. ----+ t

Bild 4.22 Führungssprungantwort des Regelkreises mit I-Regler

4.3.2.2 I-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke Dass eine I-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke (Bild 4.23) ungeeignet ist, lässt sich leicht zeigen. Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet: Bild 4.23 Regelkreis gebildet aus einer I-Strecke und einer I-Regeleinrichtung

G (s) = x( s) = K IS S y(s) s

(4.52)

und entsprechend für den Regler G (s) = YR (s) = KIR. R e(s) s

(4.53)

Setzen wir (4.52) und (4.53) in die Führungsübertragungsfunktion (4.18) ein, so folgt G (s) w

= x(s) = w( s)

KIRK IS

s2

+ KIR K IS

s2

ß2 . + ß2

bzw. mit ß2 = K1RKps G (s) w

= x(s) = wes)

(4.54)

118

4 Regeleinrichtungen

Wie der Nenner (4.54) zeigt, fehlt der die Dämpfung mitbestimmende Faktor a, d. h. D=

a =0.

ß

Zur Ermittlung der Sprungantwort lösen wir (4.54) nach x(s) auf und erhalten mit w(t)

= Wo

x(s) =

ß

2

. (j(t)

2

0-.

1

s (s + ß

2

)

wes)

= Wo s

wo·

(4.55)

Unter Verwendung der Beziehung 13 der Korrespondenztabelle folgt mit a= 0 x(t)=(I-cosßt)·wo.

(4.56)

Die Sprungantwort zeigt, was aufgrund D = 0 zu erwarten war, eine Dauerschwingung um den Mittelwert Wo mit der Kreisfrequenz des ungedämpften Systems

ß=~KIRKIS und bestätigt die eingangs gemachte Feststellung über die Unverträglichkeit einer 1Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke. ~ Aufgabe 4.2 Ermitteln Sie für den in Bild 4.23 gezeigten Regelkreis die Sprungantwort x(t) auf eine Störung z(t) = zo ·(J'(t). Wie groß ist die mittlere bleibende Regeldifferenz?

4.3.3 PI-Regeleinrichtung Es liegt nahe, die in Abschnitt 4.3.1 und 4.3.2 behandelten P- und I-Regler zu einer Regeleinrichtung zu kombinieren, ihre spezifischen Vorteile zu nutzen und ihre Nachteile zu unterdrücken. Die Bezeichnung PI (proportional-integral wirkend) besagt, dass die Ausgangsgröße einer PI-Regeleinrichtung gleich der Addition der Ausgangsgrößen einer P- und einer I-Regeleinrichtung ist und durch folgende Gleichung beschrieben wird. YR(t)=K pR ·e(t)+K I · fe(t)dt.

(4.57)

Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, anstelle des Parameters KI die Zeitkonstante T n = KpR/KI einzuführen und GI. (4.57) in der folgenden Form anzugeben YR(t)=KPR[e(t)+)n fe(t)dt].

(4.58)

Hierin sind KpR der Proportionalbeiwert und T n die Nachstellzeit, die beiden einstellbaren Parameter des Reglers.

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

•

119

Sprungantwort

e

Die Sprungantwort der PI-Regeleinrichtung für

i

e(t) = eo . (J(t)

o

folgt unmittelbar aus GI. (4.58)

-t

YR (l) = K PR eO

Bild 4.24 Eingangssprung und Sprungantwort einer PI-Regeleinrichtung

[I :n ] +

(4.59)

mit dem in Bild 4.24 gezeigten Verlauf.

Die Steigung der Sprungantwort ist dYR (t) K pR - - - = - - e = konstant. dt Tn 0

Aus GI. (4.58) folgt durch Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion der PIRegeleinrichtung

1+-J. 1

YR (s) GR(s)=--=K pR ( e(s)

•

(4.60)

sTn

Frequenzgang und Ortskurve

GI. (4.60) liefert mit s = jlüden Frequenzgang der PI-Regeleinrichtung

G R

(j'lü) = YR(jlü) ') e(jlü

=K

PR

(1+_I_J . T jlü n

(4.61)

'

dessen Real- und Imaginärteil wie folgt lauten

Im

Re(G R )= K pR Re I

0)=-

Tn

0)

i

Bild 4.25 Ortskurve eines PI-Reglers

Variiert man lü von 0 ... 00, so erhält man den in Bild 4.25 gezeigten Ortskurvenverlauf, eine Parallele zur negativ imaginären Achse.

Bild 4.26 zeigt die technische Realisierung eines elektronischen PI-Reglers mittels Inverterschaltung.

120

4 Regeleinrichtungen

Mit der Rückführimpedanz Zr(s) = R2 + lIsC und der Eingangsimpedanz ZI(S) = RI

folgt aus GI. (4.7) die Übertragungsfunktion GR(s)= ua(s) =_ Zr(s) =_ R 2 (1+_1_). ue(s) Zl(s) RI sCR 2

(4.62)

Ein Vergleich von (4.62) mit (4.60) zeigt, dass

R RI

2 K pR = -

und Tn =CR 2

ist. Da R2 sowohl KpR als auch Tn beeinflusst, wird man KpR durch RI und Tn durch C verändern.

Bild 4.26 PI-Regeleinrichtung mittels Operationsverstärker

~

Aufgabe 4.3

Entwerfen Sie eine PI-Regeleinrichtung, in der der P-Anteil und der I-Anteil durch die in den Bildern 4.11 und 4.19 gezeigten Schaltungen getrennt erzeugt werden und deren Ausgänge mittels eines Summierers (Bild 4.8) gemäß GI. (4.60) addiert werden. Welche Elemente bestimmen KpR und Tn ?

4.3.3.1

PI-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tl-Strecke

Anhand des Wirkungsplanes (Bild 4.27) soll das Führungs- und Störverhalten untersucht werden. KpR,Tn

+Iz

Kps,T I

~~6-4lcf----.--'x ~ -

GR(s)

Gs(s)

Bild 4.27 Regelkreis bestehend aus einer P-Tl-Strecke und einer PIRegeleinrichtung

a) Führungsverhalten Die Übertragungsfunktion der Strecke ist mit G (s)

s

= x( s) = y(s)

K PS

l+sTI

(4.63)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

121

gegeben. Für die Regeleinrichtung lautet die Übertragungsfunktion nach GI. (4.60) YR (s) 1 + sTn . GR(s)=--=K pR e(s) sTn

(4.64)

Mit (4.63) und (4.64) in (4.18) eingesetzt, erhalten wir die Führungsübertragungsfunktion G (s) = x(s) = wes)

w

1 (l+sTI)sTn

+1

(4.65)

K PR K PS (1 + sTn )

bzw. Gw(s)= x(s) = KpRKPSO+sTn) wes) (l+sTI)sTn +KpRKPSO+sTn)

(4.66)

Wählen wir in (4.66) den Regelparameter Tn = Tl, so wird x(s) KpRKpsO+sTI) G w (s) = - - = --"-=------"-=----------"--wes) (l+sTI)(KpRKps +sTI )

(4.67)

Dieser Ausdruck zeigt, dass Zähler und Nenner den gleichen Linearfaktor besitzen, der sich herauskürzt und die Ordnung des Systems um Eins auf ein System 1. Ordnung reduziert. Gw(s)= x(s) = KpRK ps wes) KpRK ps +sTI

(4.68)

Für Tn 7: TI wird die Dämpfung des Regelkreises D =

a

ß

= 1+ K PR K PS

2

(4.69)

KpRKpsli

Zur Beurteilung des stationären Verhaltens ermitteln wir für w(t) = wo·o-(t) den Endwert von x(t) mittels Grenzwertsatz. lim x(t) = lim s· wes) ·Gw(s) = wo' lim Gw(S) = wo.

1---7=

S---70

S---70

Die bleibende Regeldifferenz wird unabhängig vom gewählten Tn stets gleich Null e( 00 ) = Wo - x( 00 ) = 0 .

b) Störverhalten Setzen wir (4.63) und (4.64) in die Störübertragungsfunktion (4.20) ein, so erhalten WIr

122

4 Regeleinrichtungen

bzw. (4.71)

Im Gegensatz zum Führungsverhalten kommt in Gz(s) kein gemeinsamer Linearfaktor im Zähler und Nenner von GI. (4.71) vor, so dass das System stets von 2. Ordnung ist. Lediglich für Tn ~ 00 bzw. D ~ 00 wird der Regelkreis zu einem System 1. Ordnung. Die Regeleinrichtung hat dann aber kein PI-, sondern nur noch P-Verhalten. Der das dynamische Verhalten des Systems bestimmende Nenner von Gz ist für Tn ;r= Tl identisch mit dem von Gw. Mit

a=

1 + K PR K PS 2T1

und ß=

K PR K PS Tn T1

erhalten wir wie in GI. (4.69) D _ a _ _l_+_K---'p'-"R"--K----"-p:::..s ß 2

(4.72)

Die Nullstelle s = 0 von Gz(s) sorgt dafür, dass die bleibende Regeldifferenz infolge einer Störung verschwindet. Für z(t) = Zo . (j(t)

0-.

z(s) =

~ s

folgt aus GI. (4.71)

und lim x(t) = lim s·x(s)=O. t~=

s~o

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine PI-Regeleinrichtung, im Gegensatz zum P-Regler, keine bleibende Regeldifferenz verursacht. Gegenüber dem reinen I-Regler wird die Dämpfung durch den zusätzlichen P-Anteil größer. Bei Strecken höherer Ordnung führt allerdings die Vergrößerung von KpR ebenfalls zur Verringerung der Dämpfung oder sogar zur Instabilität.

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen •

123

Beispiel 4.5

Unter Verwendung der gleichen Kenngrößen wie in Beispiel 4.4 sollen im Folgenden die Vorzüge der PI- gegenüber der I-Regeleinrichtung aufgezeigt werden. Für den in Bild 4.27 gezeigten Regelkreis mit Kps = 2;

TI = 20 s;

Kr = 0,1 s

·1

und der zusätzlichen Annahme von KpR = 2,5 wird

K pR T =--=25s. n Kr Die Dämpfung ergibt für das Führungs- und Störverhalten den gleichen Wert

a

D=

ß =1,5>1.

W(t)

= wo' (J(t)

Für 0--.

wes)

= Wo s

folgt aus GI. (4.66) x(s) =

p2(I+sTn ) Wo s(s2 + s. 2a+ p2)

(4.73)

(4.74) Da D > 1 ist, ergeben sich zwei reelle Pole sl,2

=-a±~a2 _p2

SI =

-0,0382 s-I

s2 =

-0,2618 s·l.

=-a±w

Die Beziehungen 13 und 11 der Korrespondenztabelle liefern zu GI. (4.74) im Zeitbereich

X(t)=[I+~eSlt _les2t + ß2 Tn (e slt -e S2t )]wo 2w

2w

2w

124

4 Regeleinrichtungen

x(t)

und mit den Zahlenwerten

- - - -:.;:-:---.,r-----

i

x(oo)= Wo

x(t) = 1- 0,0528e [

o+------.L----

o

--t

0382~

s - 0,9472e

-0

2618~-

s wo.

In Bild 4.28 ist der Verlauf der Sprungantwort gezeigt. Im Gegensatz zur Regelung mit einem I-Regler (Bild 4.22) tritt durch die Hinzunahme des P-Anteils kein Überschwingen auf.

Bild 4.28 Führungssprungantwort des Regelkreises mit PI-Regler ~

-0

Aufgabe 4.4

Das Stärverhalten des in Bild 4.27 dargestellten Regelkreises wird durch die Übertragungsfunktiün (4.71) beschrieben. Für welches KpR wird bei Tn = TI die Dämpfung D ein Minimum und wie groß ist dieses?

4.3.3.2

PI-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke

An die Stelle der P-TI-Strecke in Bild 4.27 tritt nun eine I-Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion - x(s) _ K IS GS (S ) y(s)

s

(4.75)

•

Die Übertragungsfunktion der PI-Regeleinrichtung ist durch GI. (4.60) gegeben - YR (s) _ K 1+ sTn GR ( S ) -PR' e(s)

(4.76)

sJrn

In Abschnitt 4.3.2.2 wurde gezeigt, dass die Regelung einer I-Strecke durch eine 1Regeleinrichtung, infolge verschwindender Dämpfung D = 0, nicht möglich ist. Mit (4.75) und (4.76) in (4.18) erhalten wir die Führungsübertragungsfunktion

Gw(s)= x(s) = wes)

(4.77)

KpRKrs(l+sJrn)

T[s2+ SK n

PR

K +KPRK Is ] T

IS

n

und für das Störverhalten gemäß GI. (4.20)

G(s)=x(s)= s·KIS z z(s) s2 +sK K + KpRKrs PR

IS

T

n

Sowohl für das Führungs- wie auch für das Störverhalten ergibt sich mit

(4.78)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

125

die Dämpfung des Systems zu D=

a =!~KpRKlsTn

ß

2

(4.79)

.

Auch hier zeigt sich der Vorteil der PI- gegenüber der I-Regeleinrichtung. Während erstere im Zusammenwirken mit einer I-Strecke nur aperiodische Sprungantworten oder gedämpfte Schwingungen ausführen kann, führt die zweite mit einer I-Strecke zu unvertretbaren Dauerschwingungen. Ferner sieht man mittels des Grenzwertsatzes, dass für eine sprunghafte Erregung der Führungsgröße w(t) = wo·(j(t) lim x(t) = lim s· w(s)· G w (s) = lim Gw (s)· Wo = wo'

1---700

5---70

5---70

d. h. die bleibende Regeldifferenz e( co) wird Null. Ebenso erhalten wir für einen Störsprung z(t) = zo .(j(t) lim x(t) = lim s· z(s)·Gz(s) = zo' lim Gz(s) =0. 1---700

5---70

5---70

Die bleibende Regeldifferenz wird hier ebenfalls Null trotz bestehender Störung.

4.3.4 D-Verhalten Das im Folgenden beschriebene D-Glied (differenzierend wirkend) ist allein zur Regelung ungeeignet. Kombiniert man den D-Einfluss mit anderen Zeitverhalten, so gelangt man zu Regeleinrichtungen mit PD- bzw. PID-Verhalten. Bei einem realen D-Glied ist die Ausgangsgröße X a proportional dem zeitlichen Differential der Eingangsgröße Xe (t) _

X

a

dX e (t)

dt

bzw. (4.80) Der Proportionalitätsfaktor in (4.80) wird als Differenzierbeiwert KD bezeichnet. Aus GI. (4.80) folgt durch Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion des D-Gliedes (4.81)

126

4 Regeleinrichtungen

Systeme, die durch eine Übertragungsfunktion beschrieben werden, deren Zähler von höherer Ordnung ist als der Nenner, sind physikalisch nicht realisierbar. Theoretisch ermitteln wir für einen Sprung der Eingangsgröße Xe (t) = x eo ·O'(t)

0--.

aus GI. (4.81) die Sprungantwort xa(s)=KD·x eo

für t:;t 0

(4.82)

für t = O.

Bild 4.29 zeigt die Sprungantwort eines idealen D-Gliedes, die man sich auch durch formales Bilden der Ableitung des Eingangssprungs entstanden denken kann. Die Steigung des idealen Sprungs ist für t = 0 gleich Unendlich und für t> 0 gleich Null. Bild 4.30 zeigt einen bescha1teten Operationsverstärker zur angenäherten Differentiation.

0-+------'------

o

-t

o

-t

Bild 4.29 Eingangssprung und Sprungantwort eines idealen D-Gliedes

1

RI

I sC I

~

xe (s)

l

Bild 4.30 D-TI-Glied bzw. D-T2-Glied xis)

zur angenäherten Differentiation

o-------i-------o

Die Übertragungsfunktion der in Bild 4.30 dargestellten Invertierscha1tung lautet: a) ohne C2 (4.83)

b) mit C2 (4.84)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

127

GI. (4.83) stellt eine Differentiation mit Verzögerung 1. Ordnung dar, weil GD(S) als Reihenschaltung eines idealen D-Gliedes und eines P-T I-Gliedes aufgefasst werden kann. Entsprechend ergibt sich GI. (4.84) durch Reihenschaltung eines D-Gliedes und eines P-Tz-Gliedes. Man könnte versucht sein, die Differenzierschaltung nach Bild 4.30 ohne den Widerstand RI zu betreiben und würde aus GI. (4.83) für RI = 0 x a (s)

--=-sCIR z ,

xe (s)

ein ideales D-Glied erhalten. Eine solche Schaltung führt jedoch zu einem verrauschten Ausgangssignal, da die immer vorhandenen hochfrequenten Störsignale (Rauschen) am Ausgang verstärkt erscheinen. Das heißt, der Widerstand RI ist unbedingt zur Glättung erforderlich und vielfach noch nicht ausreichend, so das man gezwungen ist, zur weiteren Glättung einen zweiten Kondensator Cz parallel zu Rz zu schalten, wobei die beiden Zeitkonstanten RICI und werden.

RzCz

gleich groß gewählt

Bild 4.31 zeigt die Ortskurven der D-, D-TI- und D-Tz-Glieder.

Bild 4.31 Ortskurven des D-, D-TI- und D-TZ-Gliedes

4.3.5 PD-Regeleinrichtung Durch die Hinzunahme des D-Anteils wird bereits während des Entstehens einer Regeldifferenz, bevor diese sich voll ausgewirkt hat, eine Stellgröße erzeugt und somit die Regelung schneller. Bei einer PD-Regeleinrichtung entspricht die Stellgröße YR einer Addition der Ausgangsgrößen eines P- und eines D-Gliedes. Die Differentialgleichung lautet demzufolge de(t) YR (t) = KpRe(t) + K D - dt

bzw. KD de(t)] YR(t)=K pR e(t)+---[ K pR dt

mit

KpR

Proportionalbeiwert

KD

Differenzierbeiwert.

(4.85)

128

4 Regeleinrichtungen

Den Quotienten K D =T K y pR

bezeichnet man als die Vorhaltzeit und erhält damit YR (t) = K PR [ e(t) + Ty

de(t)] ----:it .

(4.86)

Hierin sind KpR und T y die beiden an realen Regeleinrichtungen einstellbaren Parameter. Die Übertragungsfunktion der idealen PD-Regeleinrichtung folgt aus GI. (4.86) durch Laplace-Transformation YR (s) G R (s) = - - = K pR (l + sTy ). e(s)

(4.87)

Auch hier gilt, dass ein solches System gemäß GI. (4.87), bei dem die Ordnung des Zählers höher ist als die des Nenners, physikalisch nicht realisierbar und immer mit einer Verzögerung behaftet ist. Vielfach kann jedoch diese Verzögerung gegenüber den anderen im Regelkreis vorhandenen Zeitkonstanten vernachlässigt und mit der idealen Übertragungsfunktion (4.87) gerechnet werden. Die theoretisch e sich ergebende Sprungantwort für

t

e(t) = eO . (J'(t) 0--. e(s) =

----. t Bild 4.32 Eingangssprung und Sprungantwort der idealen PD-Regeleinrichtung

~ s

folgt aus GI. (4.87) YR (s) =

KPR(~+ T

y )-

eo

(4.88) mit dem in Bild 4.32 gezeigten Verlauf. Zur technischen Realisierung einer PD-Regeleinrichtung können der P- und D-T 1Anteil parallel mit den Schaltungen nach Bild 4.11 und 4.30 erzeugt und die Ausgänge mittels eines Summierers nach Bild 4.8 addiert werden.

Bild 4.33 zeigt eine Schaltung, die mit nur einem Operationsverstärker auskommt. Zur Ermittlung der Übertragungsfunktion des beschalteten Operationsverstärkers nach Bild 4.33 ist es zweckmäßig, infolge des in der Rückführung liegenden T-Gliedes, von den Strömen auszugehen. Für den Knotenpunkt V.M. gilt i 1 (s) = i 2 (s) = i 3 (s)

+ i 4 (s).

(4.89)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

l

0----+----------0

129

Bild 4.33 PD-T ]-Regeleinrichtung mittels Operationsverstärker YR(s)

Da der invertierende Eingang des Operationsverstärkers wieder als "virtuelle Masse" angesehen werden kann, folgt: (4.90)

i2 (s)=-YR(s) Rr

Rr ] 1 _ 2 +1. r + R + _I_ _R_r (R + _1_) [ _R_ 2 p sC 2 p sC

(4.91)

-+-----'-----'--

2

Rr 1 -+R +2 p sC

Nach einigen Umformungen folgt aus 01. (4.91) die Übertragungsfunktion der PD-T]Regeleinrichtung G (s) = YR (s) = R

e(s)

_!!.L

l+sC _r R +R ] [

R]

4 p 1+ sCR p

(4.92)

Mi den Abkürzungen K pR =

~:;

T y =c( R; +Rp );

T] =CR p

(4.93)

erhalten wir YR (s) 1 + sTy GR(s)=--=-KpR .

e(s)

1 + sT]

(4.94)

Die reale PD-T]-Regeleinrichtung nach 01. (4.94) geht für Rp = 0 bzw. T] = 0 in den idealen PD-Regler nach 01.(4.87) über. Dieser Fall ist aber wegen des sonst auftretenden verrauschten Ausgangssignals nicht möglich. Die so genannte parasitische Zeitkonstante T], die die Verzögerung bewirkt, wird von R p bestimmt und sollte möglichst klein gegenüber Ty sein.

130 •

4 Regeleinrichtungen Sprungantwort

Zur Ermittlung der Sprungantwort des PD-TI-Reglers lösen wir die GI. (4.94) nach YR( s) auf und erhalten bei Vernachlässigung des negativen Vorzeichens mit e(t) = eo . (j'(t)

0--.

e(s) =

~ s

(4.95)

Die Rücktransformation in den Zeitbereich mittels Residuensatz ergibt YR (t) =

K pR ~.

Tl - T{ 1-

r

T; Je Ty

-7:t I

j

(4.96)

eo

bzw. (4.97)

Bild 4.34 zeigt die entsprechende Sprungantwort. Ty KRPTeO

YR

e

t

t

I

t

0

•

t eo 0

----+

t~ K pR eo

TI 0

0

----+ t

Bild 4.34 Eingangssprung und Sprungantwort eines PD-Tl-Reglers

Frequenzgang und Ortskurve

Vernachlässigen wir in GI. (4.94) das durch die invertierende Wirkung der Schaltung (Bild 4.33) bedingte negative Vorzeichen, so erhalten wir daraus den Frequenzgang ' )_YR(jOJ)_K l+jOJTy GR ( JOJ - PR e(jOJ) 1+ jOJ'Tt

.

(4.98)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil ergibt: 2

Re(G )=K l+w ~Ty R PR1+(w~)2

(4.99)

Im(G ) = K w(Ty -Ti) R PR 1+(w~)2

(4.100)

131 Im

0)=00

In Bild 4.35 sind die Ortskurvenverläufe des PD-, PD-TI- und PD-T2-Gliedes dargestellt.

Bild 4.35 Ortskurvenverlauf des PD-, PD-TI- und PD-T2-Gliedes

PD-TI-Glied:

PD-T2-Glied: Re (GR)

0)

0 -

1

Tl

00

~

Im (GR)

K

pR 2

0

0

K pR y

[1+ T ] Tl

Ty K pR Tl

K

pR 2

Re (GR)

0)

y [T Tl

-1]

K pR

0

0

Ty K pR Tl

0

T2

Ty K pR Tl

T -K pR - 2 Tl

00

0

0

Ty -Tl

~

Im (GR)

TiT y -

1

Aufgabe 4.5

Die Differentialgleichung eines PD-T2-Gliedes lautet

Ti YR (t) + Tl YR (t) + YR (t) = K PR [e(t) + Tye(t)] . Gesucht ist der Verlauf der Ortskurve, insbesondere für Schnittpunkte mit den Achsen.

4.3.5.1

0)=

0 und

0)=

00

sowie die eventuellen

PD-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-TrStrecke

Im Gegensatz zu den Abschnitten 4.3.2.1 und 4.3.3.1 soll im Folgenden der in Bild 4.36 gezeigte Regelkreis, in dem eine P-T2-Strecke von einer PD-Regeleinrichtung geregelt wird, auf sein Führungs- und Stärverhalten untersucht werden.

132

4 Regeleinrichtungen

a) Führungsverhalten Bild 4.36 Regelkreis bestehend aus einer P-T2-Strecke und einer PD-Regeleinrichtung

Die Übertragungsfunktionen der Strecke und der Regeleinrichtung lauten (Bild 4.36): G ( ) - x(s) _ K PS s s - 2 2 y(s) s T 2 +sTI +1 YR (s) GR (s) = - - = K pR (1+ sTy c(s)

(4.101)

(4.102)

).

Mit (4.101) und (4.102) in (4.18) erhalten wir die Führungsübertragungsfunktion G (s) = x(s) = wes)

w

1

s2 T22

(4.103)

+ sTI + 1

--=------'------

K PR K PS (1 + sTy

+1

)

bzw. (4.104)

Handelt es sich bei der Strecke um zwei in Reihe geschaltete P-T I-Strecken oder liegen zwei reelle Pole vor, so wird man T y gleich der größten dieser Zeitkonstanten wählen und damit, wie GI. (4.103) zeigt, die Ordnung des geschlossenen Systems um 2 Eins reduzieren. Zum Beispiel kann für Tl = 3 sund T2 = 2 s2 das Nennerpolynom von Gs wie folgt in zwei Linearfaktoren zerlegt werden s2T

i +sTI +l=(l+sTa )(1+sTb ) mit Ta =ls und Tb =2s.

Wählen wir T y = Tb, so vereinfacht sich die GI. (4.103) zu einem P-TI-Verhalten Gw(s)=

KpRK ps 1+ KpRK ps +sTa

(4.105)

Ist die Polverteilung der Strecke konjugiert komplex, d. h. keine Zerlegung in reelle Linearfaktoren möglich, dann folgt aus GI. (4.104)

~l+KpRKpS ß = --,---------,:....::..:..-....::...c:.... T2

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

133

und daraus die Dämpfung des geschlossenen Kreises

a _ Tl + TyKpRKpS - ß - 2 T2 ~l + K PR K PS

D_

(4.106)

Durch den D-Anteil wird die Dämpfung mit zunehmendem Ty vergrößert. Den stationären Endwert der Regelgröße x auf einen Eingangssprung w(t) =

Wo . CY(t)

wes) =

0--.

Wo s

ermitteln wir wieder mittels Grenzwertsatz im Bildbereich. Danach ist (4.107)

x(oo) = lim x(t) = lim s· x(s). t~oo

s~o

GI. (4.104) nach x(s) aufgelöst ergibt (4.108)

x(s) = G w (s) . wes) .

Mit (4.108) in (4.107) folgt

.

Wo

KpRK ps

x(oo) = 11m s·Gw(s)·-= s~0 s 1+ K PR K PS

Wo

bzw. bleibende Regeldifferenz (4.109) GI. (4.109) ist identisch mit der in Abschnitt 4.3.1.1 für einen Regelkreis mit reinem P-Regler abgeleiteten Beziehung (4.29).

D=~ x

fi

x

i

i

1

--I -e(oo)

r

Ty = Ta Ty = Tb

x(oo)

x2

xl

j ---+

1

t

0

j 0

---+

Bild 4.37 Führungs- und Störverhalten des Regelkreises nach Bild 4.36 für verschiedene Vorhaltezeiten T y (Ta

= 1 s; Tb = 2 s)

t

134

4 Regeleinrichtungen

Das heißt, dass der PD- gegenüber dem P-Regler bezüglich des stationären Verhaltens keinen Vorteil besitzt. Ferner sieht man aus GI. (4.109), dass die bleibende Regeldifferenz unabhängig von der Ordnung der P-Strecke ist. In Bild 4.37 ist die Führungsund Störsprungantwort für verschiedene Vorhaltzeiten aufgezeichnet und zeigt, dass die Dynamik weitgehend durch die Wahl von Ty beeinflusst werden kann. Hingegen hängt die bleibende Regeldifferenz nur von KpR ab, da der D-Anteil nur am Anfang wirksam ist und im Beharrungszustand seine Wirkung verliert.

b) Störverhalten Um den Einfluss der Störgröße z auf die Regelgröße x zu ermitteln, setzten wir die GIn. (4.10 1) und (4.102) in die Störübertragungsfunktion (4.20) ein und erhalten G (s) = x(s) = z

z(s)

2[ 2

T2 s + s

K PS Tl + TyKpRKpS 2 T2

.

+

(4.110)

1+ KPRK PS ] 2

T2

Mit den Abkürzungen

1i + KpRKpSTy und a = --'-----"--'-'-::--''--''----'-2T:j

wird (4.111) Die Dämpfung wird wie beim Führungsverhalten bestimmt durch D_

a _ Tl + KpRKpSTy

(4.112)

- ß - -2----"T2-~rl==+=K==p==R=K==p=s .

Ändern wir die Störgröße sprunghaft mit z(t) = Zo . (J(t)

0--.

z(s) =

~, s

so folgt aus (4.110) x(s) =

G z (s)· z(s) = G z (s)· ~ s

und mittels Grenzwertsatz x(oo) = lim x(t) = lim s'x(s)= t --'> 00

S

--'> 0

ps K zo0 1+ K PR K PS

(4.113)

Da wir nur die Änderung von x infolge z betrachten und nicht die Absolutwerte, stellt (4.113) die durch z verursachte bleibende Regeldifferenz dar. Durch Vergleich von (4.113) mit der in Abschnitt 4.3.1.1 für einen Regelkreis mit P-Regler abgeleiteten

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

135

Beziehung (4.32) wird evident, dass eine PD-Regeleinrichtung ebenso wie eine PRegeleinrichtung nicht in der Lage ist, den Einfluss einer Störung vollkommen zu kompensieren, sondern nur auf K ps

----=-=-- Zo 1+ KpRK ps

zu mindern. Die Gegenüberstellung in Bild 4.37 zeigt, dass die beiden Forderungen nach möglichst gutem Führungs- und Störverhalten kontrovers sind und nicht gleichzeitig erfüllt werden können. So wird z. B. das Führungsverhalten am günstigsten, wenn Ty gleich der größten Streckenzeitkonstante gewählt wird. Das Störverhalten ist dann aber keineswegs optimal. Ein Kompromiss, der ein befriedigendes Führungs- und

Störverhalten liefert, wird für D = 11 J2 erreicht. Der Nachteil der PDRegeleinrichtung ist die bei der Regelung von P-Strecken auftretende bleibende Regeldifferenz. Wie durch die GI. (4.79) zum Ausdruck kommt, bringt die Regelung von I-Strecken mittels PI-Regler Schwierigkeiten bezüglich der Dämpfung, während der Einsatz eines PD-Reglers zumindest für das Führungsverhalten keine bleibende Regeldifferenz ergibt. ~

Aufgabe 4.6

Gegeben ist ein Regelkreis bestehend aus einer I-Strecke mit

und einer PD-Regeleinrichtung. Ermitteln Sie die Sprungantwort für

W(t) = Wo . (J(t) .

4.3.6 PID-Regeleinrichtung Durch Kombination der drei grundsätzlichen Zeitverhalten (P, I und D) gelangt man zur PID-Regeleinrichtung, deren Stellgröße YR gleich der Addition der P-, 1- und DRegeleinrichtungen ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

J

de(t) YR (t) = K PR e(t) + K I e(t)dt + K D - dt bzw.

J

KI K D de(t)] . YR(t)=K pR e(t)+-e(t)dt+---[ K pR K pR dt Mit den bereits bekannten Zeitkonstanten K K T =~ und T =_D_ n K y K I

pR

(4.114)

(4.115)

4 Regeleinrichtungen

136 wird YR (t) = K PR e(t) + - 1 [ T

n

Je(t)dt + Ty -de(tdt-J] .

(4.116)

Die Übertragungsfunktion der idealen PID-Regeleinrichtung folgt aus (4.116) durch Laplace-Transfonnation zu

[1

]

YR (s) GR(s)=--=K pR l+-+sTy . e(s) sTn

(4.117)

Bringen wir diesen Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner, so wird YR (s) s2TnTy + sTn + 1 G R (s) = - - = K PR ---"-----'------~e(s) sTn

(4.118)

Die Nullstellen dieses Ausdrucks liegen bei sI2=1- [ -1±

.

2Ty

Pf4T

Y 1--• . Tn

(4.119)

Für Tn ~ 4 Ty liegen zwei reelle Nullstellen vor und der Zähler in (4.118) lässt sich in zwei reelle Linearfaktoren zerlegen YR(s) , (1+sT~)(1+sT;) GR(s)=--=K pR , e(s) sTn .,

T~

T'

l1llt K pR =K pR - ; Tn

n

=-~.'

(4.120) T' = __ 1

sI

y

s2

Die Form (4.120) ist besonders geeignet, wenn Polstellen der Strecke durch Nullstellen der Regeleinrichtung kompensiert werden sollen. Ferner ist diese Zerlegung vorteilhaft zur Darstellung im Bode-Diagramm. Zwischen den Parametern der GIn. (4.118) und (4.120) bestehen die folgenden Beziehungen:

, ( T;)

(4.121)

K PR = K PR 1 + T~

Sowohl in (4.118) als auch in (4.120) ist der Zähler von höherer Ordnung als der Nenner, d. h. eine solche PID-Regeleinrichtung ist physikalisch nicht realisierbar. Zur Ermittlung der Sprungantwort erhalten wir mit e(t) = eo . O'(t)

aus GI. (4.117)

0--.

e(s) = ~ s

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen YR (s) = KPRe o

[.!. s

++ s Tn

+Ty

137 (4.122)

-.

Durch Rücktransformation in den Zeitbereich folgt aus (4.122) die Sprungantwort der idealen PID-Regeleinrichtung YR(t)=KPReo[l+

;n

YR

+Ty 5(t)}4.123)

i

mit dem in Bild 4.38 dargestellten Verlauf.

Zur Realisierung einer PID-Regelo einrichtung gibt es viele Möglichkeiten, - - - - - - - - - - ~-----i----''------ t z. B. durch parallele Erzeugung des P-, 1Tn----.rl--- Tn und D-T I-Anteils mittels der Schaltung nach Bild 4.11,4.19 sowie 4.30 und Addition der Ausgangsgrößen durch einen Summierer (Bild 4.8).

Bild 4.38 Sprungantwort eines idealen PIO-Reglers

Bild 4.39 zeigt eine vielfach angewandte Schaltung, ähnlich der PD-T 1Regeleinrichtung nach Bild 4.33. Das in der Rückführung liegende T-Glied ist allerdings durch den als Impedanzwandler geschalteten Operationsverstärker OP2 entkoppelt (s. a. Abschnitt 4.1, Bild 4.6, GI. (4.8a». Man spricht hier von aktiver Rückkopplung, während in Bild 4.33 eine passive Rückkopplung vorliegt. Am nichtinvertierenden Eingang des OP2 liegt die durch den Spannungsteiler gebildete Spannung

(4.124)

Bild 4.39

l

PIO-T 1-Regeleinrichtung mit aktiver Rückführung

YR(s)

0----------'-+-------''-----4-------0-

Für den invertierenden Eingang V.M. gilt

i1(s) = i z (s)

(4.125)

4 Regeleinrichtungen

138 . . () e(s) mIt I[ s = - -

(4.126)

R[

X2(S)

sC 2

=-X2(s)

1

(4.127)

1+ sC 2 R 2

R2+-sC 2

Setzen wir (4.126) und (4.127) in (4.125) unter Berücksichtigung von (4.124) ein, so folgt: YR(s) R 2 (1+SC2R2)[1+sC3(R3+Rp)] GR(s)=--=-e(s) R[ sC 2R 2 (1+sC 3R p )

(4.128)

und mit den Abkürzungen , R K pR = -2 ;

R[

,

Tn =C 2 R 2 ;

,

T y =C3 (R 3 +R p );

T[=C 3R p ;

YR(s) , (l+sT~)(l+sT~) GR (s) = - - = K pR - - - - = - - - - - - - - ' - - - e(s) sT~ (1 + sT[)

(4.129)

Hierin ist T[ die die Verzögerung bewirkende parasitische Zeitkonstante. Die Übertragungsfunktion des realen PID-T [-Reglers kann man sich durch Reihenschaltung des idealen PID-Reglers nach (4.120) und eines P-T [-Gliedes mit 1 G(s)=-1+ sT[

entstanden denken. Für Rp = 0 bzw. T[ = 0 geht GI. (4.129) in GI. (4.120) über.

•

Sprungantwort

Zur Ermittlung der Sprungantwort der PIDT [-Regeleinrichtung lösen wir (4.129) nach

YR

i

YR(S) auf und erhalten mit e(t) = eo . O'(t)

0--.

e(s) =

~ s

und Vernachlässigung des negativen Vorzeichens K pR (1 + sT~ )(1 + sT~ ) YR(s)=eoT'T ( ) n [ 2 1 s s+T[

(4.130)

Bild 4.40 Sprungantwort einer PID-T [-Regeleinrichtung

Durch Rücktransformation in den Zeitbereich mittels Residuensatz erhält man

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

(s

+tc st (1 +

139

+~) (T~ + T~ + 2sT~T~) - (1 + sT~ )(1 + sT~)

('+ ;J

~

sT~)(1 ST~). + 1 s+Tl

'

n

T~ T~)

+TI2(1 - - )(1 - - C- ;]) bzw. Tl Tl

T'

T~ Je

-T]t •

cO·

(4.131)

Mit den Beziehungen (4.121) kann die Übertragungsfunktion (4.129) in 2

G (s) - K R

-

PR

s TnTy +sTn +1 sTn (1 + sTI )

(4.132)

umgeformt werden. Für die Sprungantwort erhalten wir dann die Beziehung Tl t Tl Ty -T: YR (t)=K pR l - - + - - ( l - - - - ) C t1 CO, Tn Tn Tn Tl

1

r

(4.133)

Aus den GIn. (4.131) und (4.133) folgt für t = 0 , T~ Ty YR (0) = K PR - Co = K PR - Co . Tl Tl

Für große t-Werte erhalten wir die Gleichung der Asymptote:

T~

, [ 1+--,-+-, -11 t] co=KpR [1T-l- +t] YRA(t) = K pR - co· Tn Tn Tn Tn

Diese nimmt für t = Tl den folgenden Wert an:

,(

T~) Co = K PR Co . YRA (Tl) = K PR 1 + T~ Bild 4.40 zeigt den Verlauf der Sprungantwort. • Frequenzgang und Ortskurve Der Frequenzgang des PID-TI-Reglers folgt aus (4.132), indem wir s durchjw ersetzen

140

4 Regeleinrichtungen (4.134)

Zur Diskussion des Ortskurvenverlaufs zerlegen wir (4.134) in Real- und Imaginärteil 2

Tn -1] + OJ TnTy1] Tn [I+(OJ1])2]

Re (G ) = K R

PR

Im

(i)

i

Re

Bild 4.41 zeigt den Ortskurvenverlauf des PID-, PID-T)- und PID-T2-Reglers. I~--+-I;---t- K -Ty ----+I ,...pR 1]

PID-T)-Regler: aJ

Re (GR)

Im (GR)

0

K PR (I- ;:)

-00

K pR

0

Ty K pR T)

0

1

~Tn(Ty-T) 00

4.3.6.1

Bild 4.41 Ortskurvenverlauf des PID-, PID-T)-und PID-T2-Reglers

PID-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tz-Strecke

Im Folgenden soll der Regelkreis nach Bild 4.42 untersucht werden.

Jz

KpR,Tn,Ty

K pS ,T),T22

t- -ll~::::J~6-.L..lrc J

w -0 e

+

I

GR(s)

+

Bild 4.42 Regelkreis gebildet aus einer P-T2-Strecke und einer PID-Regeleinrichtung

x

Gs(s)

Die Regelstrecke habe eine Dämpfung D > 1, mit der Übertragungsfunktion x(s)

K ps

K ps

Y(s)

s2 T22 + sT) + 1

(1 + sTa )(1 + sTb )

GS(S)=--=

.

,mIt Tb >Ta.

(4.135)

Für die Übertragungsfunktion der Regeleinrichtung wählen wir GI. (4.120), in der der Zähler in Linearfaktoren zerlegt ist. YR(s) , (l+sT~)(I+sT~) GR (s) = - - = K pR , sTn e(s)

(4.136)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

141

a) Führungsverhalten

Die Führungsübertragungsfunktion lautet mit (4.135) und (4.136) in (4.18) G (s) = x(s) = w

1

wes)

,

(4.137)

sT~ (1 + sTa )(1 + sTb )

"

K PR K PS (1 + sTn )(1 + sTy

)

+1

Es ist naheliegend, in GI. (4.137) T~ gleich der größten Zeitkonstante der Strecke (z. B. T~ = Tb) zu wählen und T; = Ta' Somit kürzen sich die beiden Linearfaktoren heraus und reduzieren die Ordnung des Systems auf G (s) = x(s) = w

wes)

1, 1+s-,----'-'--Tn

(4.138)

KpRK pS

Zur Ermittlung des stationären Endwertes von x(t) für W(t) = wo' (j(t)

0--.

wes) = Wo

s

erhalten wir aus GI. (4.137) x(s) = G w (s)· wes) = G w (s). Wo

s

und mittels Grenzwertsatz (4.139)

x(oo) = lim x(t) = lim s· x(s) = wo' lim G w (s) = wo. t---'too

s---'tO

s---'tO

Unabhängig von der Wahl von T~ und T; und unabhängig von der Ordnung der P-Strecke wird durch den I-Anteil die bleibende Regeldifferenz gleich Null. e(oo)=wo -x(oo)=O.

(4.140)

b) Störverhalten

Mit (4.135) und (4.136) in (4.20) erhalten wir die Störübertragungsfunktion Gz (S )

sT~Kps

= x(s) =

z(s)

sTn (1 + sTa )(1 + sTb ) + K pR K ps (l I

I

I

Bedingt durch den I-Anteil wird der Einfluss der Störgröße für t beseitigt. Aus (4.141) folgt x(s) = G z (s)· z(s) , und mit z(t) = zo . (j(t)

0--.

z(s) =

I

•

(4.141)

~

00

vollkommen

+ sTn )(1 + sTy )

~ s

erhalten wir x(s) = G z (s) . ~. Der Grenzwertsatz liefert s

(1.141a)

142

4 Regeleinrichtungen x(oo)= 1im x(t) = 1im s·x(s)=zo· 1im Gz(s)=O. t~=

s~o

(4.142)

s~o

Im Gegensatz zum Führungsverhalten kann die Ordnung von (4.141) nicht reduziert werden. Wählen wir auch hier T~ =Tb und T; =Ta , so folgt aus (4.141) G (s) = x(s) = z

z(s)

sTbK PS (1 + sTa )(1 + sTb )(K pR K PS

+ sTb )

bzw. (4.143)

Für die gewählten Reglerparameter sind, wie GI. (4.143) zeigt, sämtliche Pole des Kreises negativ reell und somit das System stabil. Dies ist nicht generell so. Wie in Kapitel 6 gezeigt werden wird, kann bei ungünstiger Wahl von Tn bzw. T~ das System instabil werden. In diesem Fall, der explizit vorliegenden Pole erhalten wir für (1.l41a) und aus (4.143) mittels Residuensatz die Sprungantwort

(4.144)

mit dem in Bild 4.43 gezeigten Verlauf. Der dritte Term in der eckigen Klammer von GI. (4.144) wird für großes K pR K PS vernachlässigbar klein. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass von den in diesem Kapitel behandelten Regeleinrichtungen der PID-Regler, infolge der

x

i -----------1---------

drei Parameter KpR, Tn und T y , am anpassungsfähigsten ist. Durch den I-Anteil tritt sowohl beim Führungs- als auch beim Störverhalten eine vorübergehende aber keine bleibende Regeldifferenz auf.

00

Ferner kann die Ordnung des Systems durch geeignete Wahl der Parameter reduziert werden.

Bild 4.43 Störsprungantwort des Regelkreises nach Bild 4.42 für T~ =Tb und T; =Ta

__ t

143

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren Das Bode-Diagramm dient neben der Ortskurve zur graphischen Darstellung des Frequenzganges. Während man bei der Ortskurvendarstellung den Frequenzgang G(jOJ) = x a (jm) xe (jOJ)

nach Betrag und Phase in einem einzigen Diagramm in der Gaußschen Zahlenebene darstellt, werden im Bode-Diagramm der Betrag von G und der Phasenwinkel rp in zwei getrennten Diaframmen als Funktionen der Kreisfrequenz OJ aufgetragen. Für die Darstellung von G I = J( OJ) ist sowohl OJ auf der Abszisse als auch das Amplitudenverhältnis IG I auf der Ordinate im logarithmischen Maßstab geteilt. In einem zweiten Diagramm ist dann der Phasenwinkel rp im linearen über der Kreisfrequenz OJ im logarithmischen Maßstab aufgetragen. Durch die logarithmische Darstellung erhält man leicht zu konstruierende Asymptoten des wirklichen Kurvenverlaufs I G I = J( OJ). Bei der Hintereinanderschaltung von mehreren Frequenzgängen ergibt sich der Gesamtfrequenzgang aus dem Produkt der einzelnen Frequenzgänge. Der besondere Vorteil der Darstellung eines solches Frequenzganges im Bode-Diagramm besteht darin, dass durch die Logarithmierung die Produktbildung auf eine einfache Addition zurückgeführt wird.

5.1 Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge Im Folgenden sollen die Bode-Diagramme von Regelkreisgliedern mit elementarem Zeitverhalten behandelt werden, deren Frequenzgänge bereits in den vorherigen Kapiteln abgeleitet wurden. Häufig wird der Amplitudengang wie in der Nachrichtentechnik üblich, in Dezibel (dB) aufgetragen. Definitionsgemäß gilt 1

G(jOJ) I dB = 20 .lgl G(jOJ)

I·

(5.1)

Bei der Darstellung des Amplitudenganges IG(jOJ) I ist Folgendes zu beachten: a)

Für die Ordinate und Abszisse ist der gleiche logarithmische Maßstab zu verwenden (z. B. 50 mmlDekade oder wie bei logarithmisch geteiltem Papier 62,5 mmlDekade).

b)

Die lV-Achse wird stets so gelegt, dass sie die Ordinate bei

I G(jOJ) I

= 1 bzw.

I G(j OJ) IdB = 0 schneidet. c)

Durch die logarithmische Teilung der OJ - Achse lässt sich die Frequenz OJ = 0 nicht darstellen. Im Schnittpunkt der OJ - Achse mit der Ordinate wählt man OJ gleich einer lOer Potenz, die dem darzustellenden Problem angepasst ist, d. h. 2 (l0-1 ... 10- ) ·1/Tx . Hierin ist Tx die größte Zeitkonstante des Systems.

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_5, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

144

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

5.1.1 Bode-Diagramm des Po-Gliedes Der Frequenzgang eines Po-Gliedes ist: . x a (jm) G(jm) = . = K p = konstant xe(jm) G(jm) = I G(j01) I e j9J (W) .

Daraus folgt:

IG(j01) 1= K p

Bild 5.1 zeigt für

und
Kp =

=O.

10 das Bode-Diagramm des reinen P-Gliedes. Das Amplitu-

. unabh'"anglg von 01, un d d'le Phasenversc h'le bung tms x a (jm) . 1st denverha"l' Xe

(;01)

. hen ZWISC

xa( j 01) und x e( j 01) ist für alle 01 gleich Null. 102

40

Icl dB

i

Icl

i 10

30 20

t

Kp

10 0

10- 1

10

-10

102 __ W /s-1

10- 1

-20

Bild 5.1

45°

9J

i

9J(w)

0°

10- 1

Bode-Diagramm eines PO-Gliedes (Kp = 10)

10

-45°

102 __ W /s-1

-90°

5.1.2 Bode-Diagramm eines I-Gliedes Der Frequenzgang eines I-Gliedes lautet: G(j01) = xa (jm) = K I . xe(j01) j01

Sind die Dimensionen von Aus- und Eingangsgröße gleich, so hat KI die Dimension s -I, und man kann den Kehrwert von KI als die Integrierzeit TI auffassen.

5.1 Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge

145

Diese vereinfachende Annahme wird gewählt, um den charakteristischen Verlauf

I G I = J( w) ableiten zu können. Haben X a und Xe unterschiedliche Dimensionen, so hat außer s -I die Dimensionen der Ausgangsgröße dividiert durch die der Eingangsgröße. Um den Schnittpunkt mit der w - Achse zu bestimmen, bleiben die Dimensionen von X a und Xe unberücksichtigt. Dadurch wird in unserer Betrachtung vermieden, dass der Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe genommen wird. Mit TI = 11 KI wird:

KI

G(jw) = x a(jw) = _1_. xe(jw) jwTr

Daraus folgt: IG(jw)1 = _1_, wT,

IgIG(jw)1 = -lg(wT,).

Trägt man IG(jw) I im logarithmischen Maßstab über wim gleichen logarithmischen Maßstab auf, so erhält man eine Gerade mit der negativen Steigung 1: 1, die die wAchse für w= 11 TI schneidet. Voraussetzung dafür ist, dass die w-Achse die Ordinate bei I G(jw) I = I schneidet (Bild 5.2). 40

IGI dB

i

30

20

10

o -10 -20

Bild 5.2

4SO rp

i

0°

Bode-Diagramm eines I-Gliedes (TI = 0,2 s)

10- 1

-45 0 rp(OJ}

-90 0

Infolge des fehlenden Realteils, der Imaginärteil von G(j w) ist I

Im(G)=--, wT,

ergibt sich für den Phasenwinkel Im(G) tan qJ(w) = - - = - 0 0 bzw. qJ = -90 0 = konstant. Re(G)

146

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

5.1.3 Bode-Diagramm eines D-Gliedes Ein D-G1ied hat folgenden Frequenzgang: . x a (jm) . G(JOJ) = . =JOJ·K D · xe (jOJ)

Die Dimensionen von

IGI

laufs

Xa

und

Xe

werden zur Ermittlung des charakteristischen Ver-

= I(OJ) als gleich angenommen. KD hat dann die Dimension einer Zeit und

kann als Differenzierzeit TD aufgefasst werden. Sind die Dimensionen von X a und ungleich, so gilt das in Abschnitt 5.1.2 für KI Gesagte.

Xe

Mit KD = TD wird: ' ) xa(jOJ) . 7' G( JOJ = . =JOJ10' Xe (j OJ)

Ferner ist G(jOJ) = I G(jOJ) I e j9J «(O) .

Folglich erhält man: IG(jOJ)1 = OJ· TD'

IgIG(jOJ)1 = Ig(OJTo ) .

Das ist die Gleichung eine Geraden mit der positiven Steigung 1:1, wenn IG(jOJ) I und OJ im gleichen logarithmischen Maßstab aufgetragen werden. Die OJ - Achse wird wieder so gelegt, dass sie die Ordinate für I G(j OJ) I = 1 schneidet. Wie Bild 5.3 zeigt, schneidet dann der Amplitudengang IGI = I(OJ) die OJ- Achse für OJ = 11 TD. 102

40

IGI dB

i

IGI

i 10

30 20

10

0

10- 1

-10

Bild 5.3

10- 1

-20

D-Gliedes (TD = 0,2 s)

90° 9J

i

9J((O)

45° 0° -45°

Bode-Diagramm eines

10- 1

5.1 Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge

147

Für den Phasenwinkel erhält man: Im(G) tan I/'(w) = - - = +00, Re(G)

I/' = +90 0 = konstant,

weil Re (G) = 0 und Im (G) = +wTD

.

5.1.4 Bode-Diagramm eines P-Gliedes mit Verzögerung 1. Ordnung Für ein P-Glied 1. Ordnung lautet der Frequenzgang: G(jw) =

Kp = Kp e-jarctan(WTt). 1 1+ jwT; + jWT;1 1

Daraus folgt:

IG(w)1 =

K

p

~1+(WT;)2

,

(5.2)

(5.3)

tan I/' =

-w 11 und I/' = - arctan( w T;) .

Variiert man in GI. (5.2) w von 0 ... 00, so erhält man den exakten Amplitudengang. Dieses Verfahren ist sehr zeitraubend und aufwendig. Einfacher ist die Konstruktion der Asymptoten des wahren Verlaufs, die für viele Zwecke ausreichend sind. Diese ergeben sich im vorliegenden Fall, indem man zwei w- Bereiche unterscheidet: a) Für kleine w- Werte ist: wT; «1.

Damit erhält man aus GI. (5.3) die Näherung 19l G(jw) l:o::lgK p .

(5.4)

Das ergibt für kleine w - Werte eine Gerade parallel zur Abszisse mit der Ordinate

IG I = Kp im logarithmischen Maßstab.

b) Für große

w- Werte ist:

wT; »1

und damit folgt aus GI. (5.3) die Näherung 19l G(jw) 1:0:: 19 K p -lg(wT;).

(5.5)

Das ist ebenfalls die Gleichung einer Geraden mit der negativen Steigung 1:1. Die unter a) und b) gefundenen Geraden bilden die Asymptoten. Sie schneiden sich für wE = 11 Tl, wie man durch Gleichsetzen der GIn. (5.4) und (5.5) leicht erkennt.

148

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

Für die Eckfrequenz OJ denverhältnisses zu:

E = 1/ Tl

. I Kp I G(jOJ) = .fi = 0,707· K p

errechnet sich der genaue Wert des Amplitu-

bzw.

I G(jOJ) I dB = 20 ·lg (0,707· K p ) = 20 ·lgK p - 3dB.

An dieser Stelle ist die Abweichung des wahren Verlaufs von dem der Asymptoten am größten. Der Phasengang hat den in Bild 5.4 gezeigten Verlauf, beginnend mit rp= 0° für OJ= 0 und endend bei rp= - 90° für OJ= 00. Für ~ = 1/ Tl ist rp= - 45°. 102

40

IGI dB

i

IGI

i 10

30 20

10 0 -10 10- 1

-20

45°

rp

i

0°

Bild 5.4 10- 1

Bode-Diagramm eines P-TI-Gliedes (Kp = 10; Tl = 0,1 s)

-45° -90°

5.1.5 Bode-Diagramm eines PI-Gliedes Der Frequenzgang eines PI-Gliedes ist gemäß GI. (4.61) G(jOJ) = xa Xe

(~OJ) = K (j OJ)

p

[l- i --J. 1

OJTn

(5.6)

Aus GI. (5.6) folgt: IG(OJ)I = K p

1+ (_1_)2 , OJTn

(5.7)

(5.8)

5.1 Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge

149

und Im(G) 1 tan lp(w) = - - = - - - , Re(G) wTn lp = - arctan(_l wTn

J.

(5.9)

Der exakte Amplitudengang folgt aus (5.7) durch Variation von wim Bereich 0 ... 00. Zur Ermittlung der Asymptoten unterscheidet man wie in Abschnitt 5.1.4 zwei w- Bereiche:

w- Werte ist:

a) Für kleine 1

--»1 wTn

und man erhält aus GI. (5.8) 19l G(jw)

I"" 19 K

p

(5.10)

-lg(wTn )·

Entsprechend (5.5) ist das die Gleichung einer Geraden mit der negativen Steigung 1:1. b) Für große

w- Werte ist:

_1_« 1 und es wird wTn

(5.11)

19l G(jw) 1=lgK p .

Also eine Gerade parallel zur Abszisse mit dem Ordinatenwert I G I = Kp im logarithmischen Maßstab. Durch Gleichsetzen der GIn. (5.10) und (5.11) folgt der Schnittpunkt der beiden Asymptoten für wE = 1/ Tn . Setzen wir in (5.7) wE = 1/ Tn , so ergibt sich der genaue Wert des Amplitudenganges an dieser Stelle zu IG(jw)I=K p .J2 bzw.

I G(jw) I dB =20·lg(K p .J2)=20·lgK p +3dB.

Wie Bild 5.5 zeigt, beginnt der Phasengang mit lp = - 90° für lp= 0° für w=

00.

Für die Eckfrequenz UE

= 1/ Tn wird lp= -

45°.

W =

0 und endet mit

150

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren 40

IGI dB

i

30 20

102

IGI

i 10 ;./'3 dB

10

K

0

10-2

-10

10 - . mls- I

10- 1

-20

Bild S.S

45°

rp

i

Bode-Diagramm eines PI-Gliedes (Kp = 2; Tn = 5 s)

0° 10 - . m Is- 1

-45° - 90°

5.1.6 Bode-Diagramm eines PD-Gliedes Der Frequenzgang eines PD-Gliedes lautet entsprechend GI. (4.87) G(jOJ) = x a (~OJ) = K p (l + jOJTy ) . xeCJOJ)

(5.12)

Damit folgt aus GI. (5.12):

IG(OJ)I=Kp~1+(OJTy)2 , 19l G(jOJ)

1= 19 Kp +!lg[ 1+ (OJTy )2]. 2

(5.13) (5.14)

Ferner ist Im(G) tan tp(OJ) =- - = OJTy , Re(G) (5.15) Während man den exakten Verlauf des Amplitudenganges aus GI. (5.13) erhält, ergeben sich die Asymptoten aus GI. (5.14) durch Betrachten der Grenzfälle OJ ~ 0 und OJ~ 00. a) Im Bereich kleiner OJ- Werte ist: OJTy « 1

5.1 Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge

151

und damit folgt aus GI. (5.14) 19l G(j(O) 1""lgKp ,

(5.16)

da 19(1) = O. Das heißt für kleine (0 - Werte ist die Asymptote eine Parallele zur Abszisse mit dem Ordinatenwert IG I = Kp im logarithmischen Maßstab. b) Im Bereich großer (OTy

(0 -

Werte ist:

»1.

Aus GI. (5.14) folgt dann die Näherung 19l G(j(O)

I"" 19 K

p

+ Ig((OTy ).

(5.17)

GI. (5.17) ist eine Gerade mit der positiven Steigung 1: 1. Die unter a) und b) gefundenen Asymptoten schneiden sich für (OE = 11 T y , was durch Gleichsetzen der GIn. (5.16) und (5.17) folgt. Der genaue Amplitudenwert des Amplitudenganges für die Eckfrequenz (OE = 11 T y ergibt sich aus GI. (5.13) zu IG(j(O)I=K p

.-!2

bzw. I G(j(O) I dB = 20 ·lg K p + 3dB .

Setzen wir in (5.15) (0= 0; 1ITy ; in Bild 5.6 zeigt. 40

IGI dB

i

30

00,

so folgt

qJ=

0°; + 45°; + 90°, wie der Phasengang

102

IGI

i 10

20 10

0

10- 1

-10

1

:

90°

I

I I

------------~-------I I

I

45° 0°

OJ

I

qJ

i

_

I

10- 1

- 20

102

: 10

10- 1

/s-1

Bild 5.6

Bode-Diagramm eines PD-Gliedes (Kp = 2; T y = 0,2 s)

152

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

5.1.7 Bode-Diagramm eines P-Tz-Gliedes Entsprechend GI. (3.78) ist der Frequenzgang eines P-T2-Gliedes G(jOJ)=Xa(jOJ) = Kp xe(jOJ) -(OJT2 )2 + jOJT1 +1

.

(5.18)

Daraus folgt:

IG(jOJ) 1=

~ [1 -

K (OJ T2 )

p

2

] 2+ (OJ 1] )

2

,

(5.19)

(5.20) Ferner ist:

qJ =

-arctan

OJT,

1

1- (OJT2 )

Ist die Dämpfung D =

2'

T,

_I

2T2

eines solches Gliedes< 1, so ergeben sich wiederum zwei Asymptoten. a) Im Bereich kleiner OJ- Werte ist: OJ1] «1 und (OJT2 )2 «1.

Damit folgt aus GI. (5.20) (5.21)

19l G(jOJ) l::elgKp,

also eine Parallele zur Abszisse. b) Im Bereich großer OJ - Werte ist (OJT2 )2 »1 und (OJT2 )2 »OJ1].

Somit folgt aus GI. (5.20) 19l G(jOJ) l::e 19 K p

-

2 ·lg(OJT2 )·

•

(5.22)

(5.22) ist die Gleichung einer Geraden mit der negativen Steigung 2: 1. Den Schnittpunkt der unter a) und b) gefundenen Asymptoten findet man durch Gleichsetzen der GIn. (5.21) und (5.22) mit OJ= OJE = 11 T2.

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 102

40

IGldB

i

153

IGI

i 10

30 20

t

Kp 2D

10

0

~

10-2

-10 10- 1

-20

Bild 5.7

45° rp

i

0°

10-2

10- 1

Bode-Diagramm eines P-T2-Gliedes (Kp = 7; T2 = 2 s)

-4SO -90°

Bild 5.7 zeigt den Verlauf der Asymptoten und mit D als Parameter verschiedene Amplituden- und Phasengänge. Aus GI. (5.19) erhält man für mE = 1/ T2

IG(jm)I=~= mE TI

K p ·T2 = K p . TI

2D

Ist die Dämpfung D > 1, so lässt sich das P-T2-Glied in zwei P-T I-Glieder zerlegen. Die Darstellung von in Reihe geschalteten Gliedern in Bode-Diagramm soll im folgenden Abschnitt behandelt werden.

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 5.2.1 Konstruktion des Bode-Diagramms mittels Einzelfrequenzgängen Sehr häufig treten in einem Regelkreis Reihenschaltungen der im vorigen Abschnitt behandelten einfachen Übertragungsglieder auf. So kann z. B. ein PIO-Glied als Reihenschaltung eines PI- und eines PD-Gliedes aufgefasst oder in ein 1- und zwei PDGlieder zerlegt werden. Sind n Glieder mit den Frequenzgängen GI (J m), G2(J m), ... Gn(}m) in Reihe geschaltet, so ist der Gesamtfrequenzgang gleich dem Produkt der einzelnen Frequenzgänge G(jm) = GI (jm) . G 2 (jm)· ... · G n (jm) .

(5.23)

Zur Darstellung des Gesamtfrequenzganges im Bode-Diagramm wird G(jm) in Betrag und Phase zerlegt. G(jm) = I G(jm) Iejrp(OJ) .

Auf GI. (5.23) angewandt ergibt:

(5.24)

154

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

G(j())) = I GI (j()))

Ie jqJj (m) ·1 G 2 (j())) Ie j f/J2(m) .. ··1 G n (j())) Ie jqJn (m)

I

G(j())) = GI (j())) 1·1 G 2 (j()))

I· .. ··1 G n (j())) I· e j (lpj+qJ2+ .. ·+qJn) .

(5.25)

Durch Vergleich der GIn. (5.25) und (5.24) folgt

I G(j())) I= I GI (j())) 1·1 G 2 (j())) 1· .. ··1 G n (j())) I

(5.26)

und rp(())) =

rpl (())) + rp2 (())) + ... + rpn (())) .

(5.27)

Infolge der logarithmischen Darstellung des Amplitudenganges aus GI. (5.26) durch Logarithmieren

IG( j ())) I erhält man (5.28)

oder

I G(j())) IdB

=20lgl GI (j())) 1+ 20lg I G 2 (j())) I + ... + 20lg I G n (j()))

I

(5.29)

n I G(j())) IdB = I I Gi (j())) IdB . i=l

I G( j())) I dB ergibt sich Ordinaten der Amplitudengänge I GI (j())) I dB,

Das heißt, der Amplitudengang des Gesamtfrequenzganges durch einfache Addition der einzelnen

IG2(}())) IdB, ... , IGn(}())) IdB. Das Gleiche gilt auch für die Asymptoten. Den Phasengang r;X.())) erhält man, entsprechend GI. (5.27), ebenfalls durch Addition der ein-

zelnen Phasengänge ffJJ (())), CfJ2( ())), ... , ffJn( ())). •

Beispiel 5.1

Zwei P-T j-Glieder und ein PD-Glied sind in Reihe geschaltet, mit den Übertragungsfunktionen

K P_l_ GI (s) = __ l+sTI

Kpl = 2

Tl = 5 s

G 2 (s)= K p2 1+ sT2

KP2=4

T2 = 1 s

G3 (s) = K p3 (1 + sTy )

Kp3 = 8

Ty = 0,25 s.

Der Amplituden- und Phasengang der Einzelfrequenzgänge sowie das Bode-Diagramm der Gesamtanordnung ist zu konstruieren. Zunächst werden die Asymptoten der einzelnen Amplitudengänge gezeichnet, gemäß den Abschnitten 5.1.4 und 5.1.6, mit den Eckfrequenzen:

5.2 Darstcllung in Reihc gcschaltclcr Glieder im Bodc-Diagramm I 02-1 lVEl =-= , S

T,

155

I I-I lVE2 =-= S

T2

Am zweckmäßigsten verwendet man einen logarithmischen Maßstab mit 50 mOl/Dekade oder logarithmisch geteiltes Papier mit 62,5 mrnfDekade. Der resultierende Asymptolenverlauf von IG(jo) IdB ergibt sich durch Addition der Asympto-

tcn von IGl(jo) IdB. IG2(jo) IdB und IG3(jo) IdB· 102

40

I I

IGldB

30

20

IGI

5

IG)I_

2 10 5

10

o 5 -10

2

,

,, , ,,

-20

90'

2

,, ,, ,, ,, ,, :

~

I

:

~

:, , : :

I I I I

:

I I

I

...1-

-----------~------l----30'

,,:

_

II I I I

o'-k~:±='~~~~ 2 1 10- 2

10-

2

_ 30"

5

10

2

5

_wl.,-r

_ 60' - 90"

---------------

--::::-::-:--=-=--=-.=:::::==--=_

• Bild 5.8

Bode-Diagramm dreier in Reihe geschalteter Glieder GI(.I). G2(S) und G3(S)

156

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

Von OJ = 0 bis OJ = OJEl ist der Verlauf der resultierenden Asymptote eine Parallele zur Abszisse. Im Bereich OJEl < OJ< OJE2 laufen die Asymptoten von IG2(jOJ)

I und IG3(jOJ) I paral-

lel zur Abszisse, während die Asymptote von I GI (j OJ)

(1: 1) hat. Die resultie-

I die Steigung -

rende Asymptote hat in diesem Bereich ebenfalls eine Steigung - (I: I). Von OJ = OJE2 bis OJ = OJE3 haben die Asymptoten von IGl (jOJ)

I und IG2(jOJ) I je eine Steigung von -

(I: 1), was zu

einer resultierenden Asymptote von - (2: 1) führt. Für OJ > OJE3 kommt die Asymptote von

I G3(jOJ) I

mit der Steigung + (I: 1) hinzu und kompensiert die Steigung einer der beiden

Asymptoten IGI (jOJ) Steigung - (1: 1) hat.

I oder IG2(jOJ) I, so dass die resultierende Asymptote für OJ > OJE3 die

Betrachtet man die Amplitudengänge IGj(jOJ) I, IG 2 (jOJ) I und IG 3(jOJ) I in Bild 5.8, so sieht man, dass sie untereinander kongruent sind. Das heißt, man kann mittels einer Schablone den wahren Verlauf von IGI (j 0)) I, IG 2(j OJ) I und IG 3(j 0)) I zeichnen, indem man diese je nach der Eckfrequenz in der Zeichenebene entsprechend verschiebt, bzw. zum Zeichnen von G 3(jOJ) gegenüber IGI(jOJ) I bzw. IG 2(jOJ) I, parallel zur OJ-Achse umklappt. Das Gleiche gilt für den Phasengang. Zum Zeichnen von /PJ(co) wird die Schablone an der OJ-Achse gespiegelt.

I

I,

Eine andere Möglichkeit zur Gewinnung des exakten Amplituden- und Phasenganges besteht darin, anstelle der Schablone ein Lineal zu benutzen. Das Amplituden- sowie das Phasenlineal sind für einen logarithmischen Maßstab von 50 mmlDekade entwickelt. Der Vorteil besteht darin, dass außer dem gesuchten Amplitudengang lediglich die Asymptoten der einzelnen Frequenzgänge und die des Gesamtfrequenzganges gezeichnet werden müssen. Das Diagramm gewinnt dadurch an Übersichtlichkeit. Der Gedanke, der dem Amplitudenlineal zugrunde liegt, ist im Anhang erläutert und steht im OnlinePlus-Bereich des Verlags zum Download zur Verfügung.

5.2.2 Konstruktion mittels Asymptoten Man kann das Bode-Diagramm einer Reihenschaltung der n Glieder mit den Frequenzgängen GI (jOJ), G2(jOJ), ... Gn(jOJ) direkt nach dem Gesamtfrequenzgang (5.23)

Go (jOJ) = GI (jOJ)' G2 (jOJ)' .... Gn (jOJ) skizzieren, ohne vorher die einzelnen Frequenzgange zu bestimmen und danach zu addieren, wie es im vorherigen Abschnitt beschrieben wurde. Trägt man die Ordinaten

IGo(jOJ) IdB in Dezibel und die Abszissen in Dekaden auf, so entspricht die in vorherigen Abschnitten definierte Steigung -(1:1) einer Steigung von -20 dB/Dek, die Steigung -(2: 1) ist dann in diesen Dimensionen -40 dB/Dek usw. Bei der Bestimmung des gesamten Amplitudenganges geht man aus folgenden Eigenschaften von einzelnen Frequenzgängen aus: 1) Ist ein I-Glied im Gesamtfrequenzgang Go(jOJ) vorhanden, z. B. wie unten: G ('OJ)= K pI K P2 K I (1+ joJI'n) o} jOJTn (1 + j OJ1i)(1 + jOJT2 ) ,

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm

157

dann hat die Asymptote des gesamten Amplitudenganges im Bereich der kleinen OJ- Werte, d. h. bei OJ~ «1, die negative Steigung (1:1) bzw. -20 dB/Dek. Dies folgt aus der Annahme, dass sich der Gesamtfrequenzgang bei OJTt« 1 zu einem einzelnen I-Glied reduziert:

So ein I-Glied hat bekanntlich die Steigung der Asymptote von -20 dB/Dek und schneidet die OJ - Achse bei

- K 10- KpIKpzKI .

li{)-

Tn

2) Ist kein I-Glied im Gesamtfrequenzgang Go(jOJ) vorhanden, z. B. G ('OJ)= Kp1 Kpz (l+ jOJTy ) o } (1 + j OJTt)(1 + j OJTz ) , verläuft die Asymptote des Amplitudenganges im Bereich der kleinen OJ- Werte horizontal bzw. mit der Steigung 0 dB/Dek und schneidet die Ordinatenachse bei I Go(jOJ) I dB = 20·1gKp = 20 ·lg(KpIKpz )·

Bei weiterem Verlauf des Amplitudenganges bei der ersten Eckfrequenz OJEl gilt die Näherung 201g1 Go(jOJ)

Tt »1,

I'" 201g K p - 20 ·lg(OJT1)·

Dies bedeutet, dass sich die Steigung der Asymptote des Amplitudenganges bei der Eckfrequenz OJEl Tt »1 um -20 dB/Dek ändert und beträgt folglich

o dB/Dek -

20 dB/Dek = - 20 dB/Dek

Trifft jedoch zuerst die Eckfrequenz OJEy Ty »1 auf, wobei die Zeitkonstante Ty die differenzierende Wirkung hat bzw. sich im Zähler des Gesamtfrequenzganges befindet, dann gilt die folgende Asymptotengleichung: 201g1 GO(jOJ)

I'" 20lg K p + 20 ·lg(OJT1)

Für die Steigungsänderung bedeutet dies die Erhebung um +20 dB/Dek, so dass die die Steigung der Asymptote des Amplitudenganges nach der Eckfrequenz OJEy

o dB/Dek + 20 dB/Dek = + 20 dB/Dek beträgt. 3) Die oben im Punkt 2 beschriebene Ermittlung der Steigungsänderung bei der ersten Eckfrequenz kann für alle nachfolgende Eckfrequenzen verallgemeinert werden, nämlich: die Steigungsänderung nach jeder Eckfrequenz OJEk betrifft ±20 dB/Dek, wobei

158

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

+20 dB/Dek einer differenzierenden Zeitkonstante Tk im Zähler des Gesamtfrequenzganges und -20 dB/Dek einer Zeitkonstante Tk im Nenner des Gesamtfrequenzganges (Verzögerung) entspricht. Die Konstruktion des Amplitudenganges des Bode-Diagramms mittels Asymptoten wird am vorherigen Beispiel 5.1 erläutert. Der gegebene Gesamtfrequenzgang Go(s) = GI (s)G (s)G (s) = KplKP2 K p3(1 + sTv ) 2 3 (l + sli)(l + sT2 )

hat keinen I-Anteil, d. h. die erste Asymptote im Bereich der kleinen 0) - Werte verläuft horizontal bzw. mit der Steigung 0 dBlDek und fängt bei der folgenden Ordinate an:

I G(jOJ) I dB

= 20·lgKp = 20·lg(KI K 2 K 3 ) = 20·lg(2·4·8) = 36,1236

Da sich die Zeitkonstante Tl, die der kleinsten Eckfrequenz entspricht, im Nenner des Gesamtfrequenzganges befindet, hat die nächste Asymptote bei

U-EI =

1

02- 1

TI = ,

s

die Steigung (0 dBlDek - 20 dBlDek) = -20 dBlDek. Bei der nächsten Eckfrequenz

U-Ez = -1 = 1s 1 Tz

wirkt Zeitkonstante Tz wiederum verzögert, d. h. die Steigung der Asymptote wird noch um -20 dBlDek geändert: (- 20 dBlDek - 20 dB/Dek) = -40 dB/Dek. Die Zeitkonstante Tv befindet sich im Zähler des Gesamtfrequenzganges und hat differenzierende Wirkung, so dass die Steigung der Asymptote bei der Eckfrequenz

1 4%3=-= S

1

Ty

um +20 dB/Dek geändert wird: (- 40 dB/Dek + 20 dBlDek)

=-20 dBlDek.

Somit ergibt sich der im Bild 5.9 gezeigte Verlauf der Asymptoten des Amplitudenganges. Um den wahren Verlauf des Amplitudenganges zu erreichen, sollen die Ordinaten bei jeder Eckfrequenz um ± ~G = 3 dB korrigiert werden.

Das Phasengang ergibt sich in ähnlicher Weise wie der Amplitudengang, wobei der folgende Zusammenhang zwischen Steigung des Amplitudenganges und dem Phasenwinkel im Bereich der kleinen ü.) - Werte bzw. bei OJ~ «I besteht: Gesamtfrequenzgang Go(jw)

Steigung der Asymptote im Bereich der kleinen 0)- Werte

Phasenwinkel im Bereich der kleinen 0)- Werte

Ohne I-Anteil

o dBlDek

0°

Mit I-Anteil

-20 dB/Dek

-90°

Mit Doppel-I-Anteil

-40 dB/Dek

-180°

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm

IGol dB

1

40dB

%1=

0,2

159

S·l

I I

:

o--~-~-~_--o'~---------~dB ......-..:::.. ----f

--_

-""

dB -zo--

Dek

"" t_~_":.~,_ 3dB -------~,+,

20dB

f

I I

'

>,

-40 dB Dek

I/''<

Amplitudenga,ng

"

I I I I

°dB 0,1

1----+--+---+----1H-++-t+----+--+~...,...+_+_+_+_++-

Bild 5.9

-

Amplitudengang für Reihenschaltung GO (s) =

K PIKpZKP3(1 + sTy (1 + sTI )(1 + sTZ )

OJ

)

/s-l

mit

Kpl = 2; KpZ = 4 und Kp3 = 8, sowie TI = 5 s; T2 = 1 sund Ty = 0,25 s

Jede Änderung der Steigung der Asymptoten des Amplitudenganges um AG = dB/Dek entspricht der Änderung des Phasenwinkels um Alp = ±90°.

± 20

Bild 5.10 zeigt den Phasengang für eine Reihenschaltung von drei Gliedern mit der gesamten Übertragungsfunktion (5.32) nach dem Beispiel 5.1. rp

t

%,=0,2

-- ,

%2= I

S·l

I I

0,1

,

"

,, I I I I

- 180

0

I I I

,,

, "-

-------

I I I

Bild 5.10 Phasengang für GO(s) =

%3= 4

S·l

:I

I I

I I I

I I I

I I I

I I I I

-----

I I I

KpIKpzKp3(I+sT) (1 + sTI )(1 + sTz)

y

-

/Asymptoten

-----

__ -- --<... Phasengang

--

I I I

S·l

160 •

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren Beispiel 5.2

Gegeben sind zwei in Reihe geschaltete Glieder mit den Übertragungsfunktionen

mit K p2 =4

T3 =0,5 s

Gesucht sind: a) der Amplituden- und der Phasengang der Reihenschaltung Go(jOJ) = G1(jOJ) G 2(jOJ). b) Für welche Kreisfrequenz ist rAoJ) = - 180°? Zu a)

Zunächst muss GI( joJ) (P-TTGlied) untersucht werden, ob eine weitere Zerlegung in zwei P-T j-Strecken möglich ist. Die Dämpfung ist gleich:

D

= a =..!L = 7 s = 1,105 > 1. ß 2T2 2..Jl(;;i

Folglich ist folgende Zerlegung möglich

K pl

---.---

l+sTa l+sTb

Durch Koeffizientenvergleich findet man

(5.30)

TI =Ta +Tb

(5.31) Löst man die GI. (5.30) und (5.31) nach Ta und Tb auf, so erhält man

Ta = 2 s und Tb = 5 s . Es handelt sich hier um drei in Reihe geschaltete P-T j-Glieder mit den Eckfrequenzen

1 02wEl =-= , s Tb

1

1 1 = 05WE2 = , s

Ta

WE3

1 1 2=-= s

T3

Wir zeichnen zunächst die Asymptoten, wie in Bild 5.11 gezeigt. Um den wahren Verlauf des Amplitudenganges zu erreichen, wird der Asymptotenverlauf bei jeder Eckfrequenz mit einem Korrekturwert von ± LlG = 3 dB ergänzt. Beim Phasengang verläuft die Kurve tangentieIl zu den Asymptoten und zwar durch die Mittelpunkte bei jeder Eckfrequenz. Dies folgt daraus, dass der Phasenwinkel bei jeder Eckfrequenz OlEk = lITk beträgt ({Jk

= arctan(OJEkTk ) = arctan(l) = 45°.

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm

Dek

20dB

odB

-60 dB Dek I----+---+--I--+_+-I-+++--+--~.....-+--+-+-+-+-+++-

0,1

rp

t

0,1

-"

I I I I

I I I I

"-

"-

I I I

1

I

""-

"-

_

(f)

/s-I

I

I

I I I

"-

I I I

""-

"-

""

" "'

- 180°

"' "' "-

'"

"-

rp = -180°

Bild 5.11 Bode-Diagramm für GI (s) =

.......................

K PI

" " "-

J

1+ sTI + s2 T

" "-

.

"-

-- - --- -

K P2

1+ sT3

Zu b): Aus dem Bode-Diagramm folgt, dass der Phasenwinkel rp (liJ) quenz von ca. (f) = 1,1 S·l erreicht wird.

•

161

=-

180° bei der Kreisfre-

Beispiel 5.3

Gegeben ist eine PID-Regeleinrichtung mit der Übertragungsfunktion

GR (s) =

KPR (1 +_1_ + STv )

K PR = 20;

sTn

Tn = 10 s;

Tv = 2 s.

(5.32)

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

162

Es soll das Bode-Diagramm der Regeleinrichtung GR(joJ) ennittelt werden. Hierzu bringen wir GI. (5.32) zunächst auf einen gemeinsamen Nenner und zerlegen anschließend den Zähler in zwei Linearfaktoren (s.a. Abschnitt 4.3.6). 2

- K 1+ sTn + s TnTy GR ( s ) - PR T ' s n

(5.33)

- K (1 + sT~ )(1 + sT~) GR ( s ) - PR .

(5.34)

sTn

Durch Koeffizientenvergleich der beiden Zähler von (5.33) und (5.34) erhalten wir:

(5.35)

Tn =T~ +T;,

(5.36) Lösen wir (5.35) und (5.36) nach T~ und T~, so finden wir

T~ =(5+.J5)s=7,24s

T; =(5-.J5)s=2,76s. In der in GI. (5.34) gefundenen Form lässt sich das Bode-Diagramm des Gesamtfrequenzganges in einfacher Weise konstruieren. Die Eckfrequenzen sind:

1

1

C%n =T:"= 7 24 =0,138 Si n

1

1

Tv

2,76

C%V =-, =--=0,362 s 1.

'

Wir zeichnen zunächst die Asymptoten des Amplitudenganges. Da der Gesamtfrequenzgang einen I-Anteil besitzt, hat die Asymptote des Amplitudenganges im Bereich der kleinen (() Werte, d. h. bei OJ« C%n, die negative Steigung -20 dB/Dek und schneidet die (() - Achse bei

20 _\ K pR %=KIO =--=-=2s Tn 10 Bei der ersten Eckfrequenz atn ändert sich die Steigung der nächsten Asymptote gegenüber der vorherigen um +20 dB/Dek, da sich die Zeitkonstante T'n im Zähler der Übertragungsfunktion (5.34) befindet. Somit beträgt die resultierende Steigung der Asymptote des Amplitudenganges zwischen Kreisfrequenzen atn und atv den folgenden Wert: (- 20 dB/Dek + 20 dB/Dek)

=0 dB/Dek.

Bei der Eckfrequenz atv ändert sich die Steigung der Asymptote gegenüber der vorherigen wieder um +20 dB/Dek, da sich die Zeitkonstante T'v auch im Zähler der Übertragungsfunktion (5.34) befindet. Die resultierende Steigung der Asymptote nach der Kreisfrequenz atv ist: (0 dB/Dek + 20 dB/Dek) = 20 dB/Dek. Der Phasengang fängt bei