MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis, 2.Auflage GERMAN

- TJK Kfs2 Kf^

(2.152)

114

2 Modellbildung

fiir das eingepragte Moment m^ und das Zwangsmoment m^ - letzter Term - im (/)-System. Betrachten wir die von Null verschiedenen Elemente aus Impuls- und Drallsatz, dann ergeben sich 2+1=3 nichtlineare Differenzialgleichungen mit den Unbekannten ybzw. (p, R und der Schnittkraft (Normalkraft) F^. Um die Bewegungsgleichungen fiir y und R zu erhalten, muss FN eliminiert werden. Diesen Schritt voUfuhren wir zweckmaBiger Weise mit Hilfe der JACOBIMatrix der Translation Jj aus (2.142) und der der Rotation JR nach (2.145). Durch Linksmultiplikation der Teilbewegungen (2.146), (2.150) jeweils mit/^, JR und anschlieBender Summation linden wir mit (2.97) die implizite Bewegungsgleichung:

g{q,q,q) = 4 {Mt)m - iff'^) + JI (IJO)-/mi^^) = Jhfrj-Jh^,

(2.153)

0

wobei mit (2.143) und (2.145) aus (2.153) folgt: {m4jT^JllJR)q^4^^^mq-

(j} iff'^ ^Jlimf^) =0,

(2.1

Oder kurz M{q)q + f{q,q.t)

=0.

(2.155)

In (2.154) enthalt der erste Term die Massenmatrix M, der zweite die Coriolis-Krafte/Momente und der dritte die Feder-, Dampfungs- und Anregungs-Krafte/Momente. • LAGRANGE-Methode Fiir die Herleitung nach dem LAGRANGEschen Formalismus gehen wir beziiglich der Kinematik einen etwas anderen Weg. Wir legen als generalisierte Koordinaten jetzt 9 R

(2.156)

zu Grunde. In dieser Schreibweise hangt irs2{q(pj) explizit von der Zeit t ab, was bei den zeitlichen Ableitungen zu beriicksichtigen ist. In irs2{q) nach (2.141) substituieren wir zunachst 7 -^ (p + i2^, so dass irs2 {q(p, 0• ^ i ^ Absolutgeschwindigkeit lautet in diesem Fall: ,vs,{q,g,t) = ^'"i^'^''\,

+ ^"'f;''^ = JrM^tH, + v{q,,t) .

Das Ergebnis von (2.142) stimmt natiirlich mit (2.157) iiberein. In den LAGRANGE-Formalismus (2.112) gehen ein: . kinetische Energie Tiqcp^qcp.t) = - (m/vj^ jVs^ + iG)^Ii(o)

(2.158)

2.6 Anwendung der Modellerstellung

115

, potentielle Energie

V{qcp) = ^[KR-L^f

+ K(p^)

(2.159)

. generalisierte Kraft/Moment bezuglich Dampfung und Anregung Qnk%.t) = j\TiKKfD^Jl[-TlKKfp,KfD^[^.

0, - J^^CP + ^^(0 T ) •

(2.160)

Alle Terme werden wieder symbolisch mit dem Rechner ausgewertet, so dass die Bewegungsgleichung (2.161)

M{q(p)q,p + % ( p , ^ ( p ) +p(^(p) = Qnk{qcp^'^E{t))

gebildet werden kann. Die Einzelterme ergeben sich mit dem Programm I m D r L a _ l . m aus [59] zu: {{R-a)^-\-e^)m-\-Iz —me

M{qcp) =

kw(p k{R-Lo)

p{q(p)

-me Kq(pA(p) = m

2m{n-\-(p){R-a)R -m{Q-\-(pf{R-a)

Qnk%,^E{t))

-dR

M ist keine Diagonalmatrix, d. h. es besteht eine Kopplung durch die Tragheitsterme, k ist der nichtlinear Vektor der Coriolis- und Zentrifugalkrafte und koppelt ebenfalls die Bewegungen, Qnk enthalt die Dampfung und den Anregungsterm. • Linearisierung Fiir kleine Schwingungen der Scheibe cp sowie der Masse m konnen wir unter der Voraussetzung

q(p=q
WOI «

i, 1 ^ ( 0 1 « i

(2.162)

mit (2.161) eine TAYLOR-Entwicklung bis zum linearen Term durchfuhren:

dM'q^ diicp

y+

d

{k{qcp,q^)-Qnk{qcp^'^E)) j + dqcp

d{k{qcp,q^)^p{qcp))

dQnk%,
dqq)

d0E

(2.163)

0

Der Mittelwert <^oo der Erregung

aus den ersten vier Termen von (2.163) die konstante Gleichgewichtslage q(p^o{Q), q^pQ = 0,

2 Modellbildung

116

q^pQ = 0 in Abhangigkeit von Q aus %(P,o,0) -\-h{qcp^o) = 0

(2.164)

zu 0 kLo — amQ^ k-mQ^

p,0

(2.165)

folgt. Die restlichen Terme von (2.163) beschreiben die linearen Schwingungen Moy^{G^D)y^Ky

= h{t),

(2.166)

wobei . Massen-MatrixMo: aus M mit R ^ RQ Mo

(^{RQ — a)^-\-e^) m-\-Iz —me

Kreisel- und Dampfungsmatrix G =

0 2mn{Ro-a)

2mn{Ro-a) 0

D

d^ 0 0 d

Steifigkeitsmatrix und Anregungsvektor k^ 0

0 k-mQ^

h{t)

00 cos {Q t) 0

Mo und G hangen von der Gleichgewichtslage ab, G ist dariiber hinaus schiefsymmetrisch. Dampfungs- und Steifigkeitsmatrix D, K sind Diagonalmatrizen, wobei ^ fiir ^ < mQ?' negativ definit ist und somit die Schwingung nach Kapitel 3 bzw. [50], [56] instabil ist. Wir setzen deshalb k > mQ^ und nach (2.165) Lo> a mOp-/k, so dass Ro > 0, voraus. Die freien und erzwungenen Schwingungen von (2.166) konnen mit den Methoden des folgenden Kapitels berechnet werden. Die Bewegungsgleichungen und deren Linearisierung konnen auf der Basis der Programmabdrucke der letzten Abschnitte programmiert oder in [59], Programm: ImDrLa_l. m, eingesehen werden. Weitere Beispiele, in denen Bewegungsgleichungen aufgestellt werden, enthalt Kapitel 8.

3

Lineare Schwingungsmodelle

In diesem Kapitel werden lineare Systeme, d. h. Systeme, die durch lineare gewohnliche Differenzialgleichungen beschrieben werden, numerisch behandelt. AUerdings ist kein reales System streng durch lineare Differenzialgleichungen beschreibbar. Die Linearitat ist eine Idealisierung, die in vielen Fallen der Wirklichkeit sehr nahe kommt. Viele nichtlineare Systeme haben die Eigenschaft, dass Bewegungen in einer hinreichend kleinen Umgebung u. a. einer Gleichgewichtslage durch eine linearisierte Bewegungsgleichung (2.131) gut beschreibbar sind. Hierfur existieren sehr leistungsstarke und zuverlassige numerische Methoden, mit denen sich das dynamische Verhalten im Falle kleiner Bewegungen, Schwingungen um einen Arbeitspunkt, einer Gleichgewichtslage oder einer Referenzlosung untersuchen lasst. Parameterstudien lassen sich auBerst effizient durchfiihren, grafisch auswerten und per Animation verdeutlichen. Der Entwurf eines Systems wird dadurch unterstiitzt und macht z. B. die Bewegungsablaufe verstandlicher und durchsichtiger. Unter MATLAB sind die numerischen Methoden verfiigbar und fiihren bei optimaler Vektorisierung mit geringem Programmieraufwand zum Ziel. Wir zeigen dies anhand der Eigenschwingungen, der freien und fremderregten bzw. erzwungenen Schwingungen mechanischer Modelle mit mehreren Freiheitsgraden, der Ein-Massen-Schwinger ist als Sonderfall enthalten. Die zugehorigen Hilfsmittel unter MATLAB werden vorgestellt und deren Aufbereitung beispielorientiert erlautert. Besprochene sowie weiterfiihrende Programme sind in [59] abgelegt. Eigenschwingungen und freie Schwingungen u. a. mechanischer, elektrischer und mechatronischer Systeme ohne zeitabhangige Fremderregung beschreiben das Schwingungsverhalten nach anfanglicher Storung. Eine Eigenschwingung wird durch spezielle Anfangswerte, die die Eigenschwingungsform erfiillen, ausgelost; das System schwingt mit der zugehorigen Eigenfrequenz. Bei der freien Schwingung erfolgt die einmalige Schwingungsanregung durch allgemeine Anfangswerte. Sie lassen sich z. B. bei mechanischen Systemen durch einen impulsartigen Hammerschlag an einem beliebigen Ort erzeugen. Dadurch werden in der Regel alle Eigenschwingungen angestoBen. Das Frequenzband umfasst somit samtliche Eigenfrequenzen. In jedem Falle gewinnt man Aussagen beziiglich der Stabilitat der Schwingungen sowie des Einschwingverhaltens stabiler Modelle z. B. in einen stationaren Zustand, bewertet durch die Schnelligkeit und das tJberschwingen, d. h. der Frequenzanteil und das Dampfungsverhalten der Schwingung, festgeschrieben durch die Eigenwerte, sind zu beurteilen. Dies schlieBt eine Bewertung der Regelgiite aktiver linearer Systeme ein. Darliber hinaus enthalten die Eigenschwingungen Informationen beziiglich periodisch erregter Systeme, wie z. B. unwuchterregter Turborotoren [24]. Aus den Eigenwerten und Eigenvektoren lassen sich u. a. Resonanz- und Scheinresonanz-Frequenzen ableiten. Weiterhin ermoglichen die Eigenschwingungsformen Aussagen beziiglich effektiver Lagerstellen sowie Stell- und Messorte aktiver Systeme, so dass u. a. Spillover-Effekte vermieden werden konnen. Dem gegeniiber stehen die fremderregten Schwingungen. Sie treten auf, wenn am schwingenden System isolierte zeitabhangige auBere Krafte/Momente angreifen. Tritt die Zeitabhangigkeit

118

3 Lineare Schwingungsmodelle

alleine in den Koeffizienten der Bewegungsgleichung (zeitvariante Systeme) auf, so wird von parametererregten Schwingungen gesprochen, was hier nicht welter verfolgt wird. Insbesondere werden hier Systeme mit harmonischer bzw. periodischer Anregung betrachtet. Es interessieren die Antworten in Form von Amplitude und Phasenlage gegeniiber der Anregung; man spricht auch von stationaren Schwingungen. Damit lassen sich u. a. Bauteilbeanspruchungen berechnen und das Einhalten von Einbauraumen uberprufen. Z. B. muss sichergestellt werden, dass Unwuchtschwingungen eines Turbolaufers kein Anstreifen der Schaufeln oder/und des Rotors im Dichtspalt u. a. an die Gehausewandung verursacht. Anregungsmechanismen, die zu instationaren Schwingungen fiihren, werden spater per Simulation, d. h. der numerischen Integration der Bewegungsgleichungen, gewonnen, siehe u. a. Abschn. 5.3.1. Die stationaren Schwingungen des linearisierten Systems dienen dabei haufig als Interpretations-Hilfe der Simulationsergebnisse. Es konnen nur benotigte Grundlagen zu den Schwingungen angegeben werden. Die numerische Vorgehensweise, die Vektorisierung und die Programmierung stehen im Vordergrund. Ziel soil es sein, Hilfsmittel und Anregungen fur eine numerische Schwingungsanalyse bereitzustellen. Um einen unmittelbaren Bezug zur MATLAB-Formulierung zu haben, werden teilweise parallel zur analytischen Schreibweise die in MATLAB verwendeten Punktoperationen, u. a. | .* | .\ I ." |, eingefuhrt. Dies unterstiitzt die Erstellung eines vektorisierten Codes. U. a. mit [24], [27], [28], [51], [47] lasst sich die Thematik der Schwingungen vertiefen. In [35] werden die Probleme auch mit MATLAB behandelt. Insbesondere wird dort auf tJbertragungsfunktionen eingegangen.

3.1

Bewegungsgleichungen

Haufig fiihrt die mathematische Formulierung insbesondere mechanischer Modelle^ direkt oder indirekt iiber die Linearisierung nichtlinearer Bewegungsgleichungen, wie u. a. in Abschn. 2.5 und Abschn. 2.6 gezeigt, auf lineare Bewegungsgleichungen mit / Freiheitsgraden, vgl. (2.131), und somit der Ordnung n = 2f My^Py

+ Qy = h{t)

(3.1)

mit den konstanten f x /-MatrizenM, P, Q, dem / x 1-Lage-Vektory der generalisierten (verallgemeinerten) Koordinaten sowie seinen zeitlichen Ableitungen j , y. Der Vektor ^(f) beschreibt eine konstante und/oder eine explizit von der Zeit abhangige auBere Stoning. In mechanischen Modellen ist die Massenmatrix M stets symmetrisch M^ = M und positiv definit - kurz M > 0 -, d. h. jede mit einem beliebigen Vektor, auBer dem Nullvektor, gebildete quadratische Form, z. B. v^Mv ist positiv [47]. Sind P und Q unsymmetrisch, dann lassen sie sich stets in einen symmetrischen und schiefsymmetrischen Anteil entsprechend P = D^G;

Q = K^N

(3.2)

zerlegen. Die symmetrischen Anteile folgen aus: K=^{Q^Q'),

K = K^;

D=^{P^P^),

D = D^,

(3.3)

1 Definition: Mechanisches Modell wird durch ein System von Differenzialgleichungen 2. Ordnung beschrieben

3.1 Bewegungsgleichungen

119

die schiefsymmetrischen Anteile aus: G=^{P-P^),

G=-G';

N=^{Q-Q'),

N =-N^.

(3.4)

Damit gelten auch die Bewegungsgleichungen My^{G^

D)y + (J^ + N)y = h{t)

(3.5)

mit M = M^ > 0 G = —G^ D = D^ K = K^ N = —N^ h{t)

Massenmatrix, positiv definit M > 0, M = M^ stets erreichbar Matrix der gyroskopischen Krafte, schiefsymmetrisch Dampfungsmatrix, symmetrisch symmetrischer Anteil der Steifigkeitsmatrix; konservativ Matrix der nichtkonservativen Krafte, schiefsymmetrisch Anregungsvektor (auBere Stoning).

Nach den auftretenden Matrizen in einer Bewegungsgleichung wird das zugehorige mathematische Modell, z. B. MK- oder MDGK-System, benannt. Durch diese Klassifizierung gewinnt man nicht nur erhebliche Vorteile fiir die mathematische und numerische Behandlung - Strukturen der Losungen sind bekannt -, sondem auch rein qualitative Ruckschlusse auf das Systemverhalten. Dies ist insbesondere fiir Stabilitatsaussagen [50] und damit fiir die Beurteilung der gewonnenen numerischen Ergebnisse wichtig und hilfreich. Rotoren in Gleitlagern oder/und mit innerer Dampfung fiihren auf (3.5). Jedoch konnen auch spezielle Koordinatensysteme auf scheinbare nichtkonservative Krafte (—Ny) fiihren; z. B. bei dem mathematischen Modell eines Rotorsystems mit unrunder Welle formuliert im mitdrehenden Koordinatensystem. N ist somit eine Folge des gewahlten Koordinatensystems. Wegen der Linearitat von (3.5) gilt das tJberlagerungsprinzip. Die allgemeine Losung y{t) ist deshalb als Summe der allgemeinen Losung yh{t) der zugehorigen homogenen Differenzialgleichung, sie enthalt die Integrationskonstanten, und jeweils einer partikularen Losung yp{t) (h{t) y^ 0) der inhomogenen Gleichung darstellbar: y{t) =yh{t)^yp{t),

(3.6)

Die Integrationskonstanten werden durch Anpassen an die Anfangswerte bestimmt. Dies wird fiir die allgemeine Losung u. a. in Abschn. 8.2 gezeigt. Fiihren wir den Zustandsvektor

x={y',ff

(3.7)

der Zustandey, y ein, dann geht (3.1) in die Zustandsgleichung X =Ax^

bit)

(3.8)

iiber mit der n x ^-System- bzw. Zustands-Matrix A und dem n x 1-Storvektor b A =

,

b{t)=

(QT, h'it))'

.

(3.9)

120

3 Lineare Schwingungsmodelle

Die allgemeine Losung setzt sich wie in (3.6) zusammen: X = Xh{t)+Xp{t) .

3.2

(3.10)

Eigenschwingungen und freie Schwingungen

Die homogene Losung von (3.1), (3.5) entspricht einer Eigenschwingung bzw. freien Schwingung, die durch einen speziellen bzw. beliebigen Anfangszustand angestoBen wird. Diese Eigenschwingungen und freien Schwingungen soUen zunachst untersucht werden. Da es sich bei dem betrachteten System um ein Schwingungssystem handelt, liegt ein Ansatz fiir die Losung des homogenen Teils von (3.5) in der Form .X ^ xt yJt)=v Q^'\ •^^^ ^

f A = 5 + / 0) Eigenwert . /—r { ^ .IP, ../ ^. . , ? = V-1 I v = v^ + ?v^ Eigenvektor ' "^

/o 11 x (3.11) ^ ^

nahe. Damit erfassen wir den grenzstabilen Fall (5 = 0), fiir den eine harmonische Losung vermutet werden kann, bzw. den asymptotisch stabilen (instabilen) Fall mit harmonischer Losung mit exponentiell abklingender (5 < 0) (aufklingender (5 > 0)) Amplitude sowie den aperiodischen Grenzfall mit verschwindendem Imaginarteil (O) = 0). Der an die Zustandsgleichung (3.8) mit b{t) = 0 angepasste Losungsansatz der homogenen Losung ist Xh = ve^^

(mechanisches Modell: V = {v^, Xv^)^ ).

(3.12)

Neben dem hier verwendeten geschwindigkeitsproportionalen Dampfungsansatz gibt es Modelle, z. B. der auBeren und inneren Dampfung oder Strukturdampfung, die durch Differenzialgleichungen ungerader Ordnung beschrieben werden. Das einfachste Modell besteht aus einer Hintereinanderschaltung eines Federelements und eines geschwindigkeitsproportionalen Dampferelements (MAXWELL-Modell, vgl. Beispiel 5.1 und Abschn. 8.6). Dariiber hinaus sind mechanische Systeme haufig mit elektrischen, hydraulischen, pneumatischen und thermodynamischen Systemen gekoppelt und gegebenenfalls noch mit einer Steuer- oder Regeleinheit ausgestattet. Derartige Systeme lassen sich in den seltensten Fallen auf die Form (3.1) bringen, konnen aber stets in (3.8) eingearbeitet werden, so dass (3.8) die allgemeinere Formulierung darstellt. Die Eigenvektoren haben dann natiirlich nicht die in (3.12) angedeutete Struktur. Wir werden zwischen den linearen allgemeinen Systemen, deren Dynamik letztlich einem System von Differenzialgleichungen 1. Ordnung geniigt, und den speziellen mechanischen Systemen, die sich durch ein System von Differenzialgleichungen 2. Ordnung beschreiben lassen, unterscheiden. Die Koordinaten x reprasentieren den Zustandsraum, die von y den Konfigurationsraum. 3.2.1

Das Eigenwertproblem in MATLAB, allgemeine Betrachtung

Mit dem Ansatz (3.11) bzw. (3.12) erhalt man, abhangig von der Struktur der Bewegungsgleichung, ein Eigenwertproblem (genauer Eigenwert-Eigenvektorproblem). Da wir dieses numerisch losen woUen, ist von existierenden Codes fiir Eigenwertprobleme auszugehen. Es wird

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen zwischen dem allgemeinen und dem speziellen, bzw. gewohnlichen Av = ?iBv,

121

Eigenwertproblem

Av = Av

(3.13)

mit dem Eigenwert A und dem (Rechts-) Eigenvektor v unterschieden, wobei wir in dieser allgemeinen Betrachtung die in MATLAB iiblichen Bezeichnungen zunachst beibehalten. Gleichungen (3.13)i und (3.13)2 sind homogene algebraische Gleichungen, die nur fur bestimmte Werte A nichttriviale Losungen v ^0 besitzen. Darliber hinaus ist v nur bis auf einen beliebigen Faktor ermittelbar und wird deshalb geeignet normiert ausgegeben; vgl. Online-Hilfe. Fiir beide Formen existieren Codes (Unterprogramme) in unterschiedlichen Programmiersprachen, wobei vielfach durch entsprechende Transformationen vorab (3.13)2 erzeugt wird (z.B.:A:=B~^A mit B regular). Um den Rechenaufwand zu reduzieren, sind in der Regel bei der Code-Auswahl die Eigenschaften der Matrizen A, 5 , z. B. Symmetrie, zu berucksichtigen. Die MATLAB-Functions eig

eigs

nehmen einem diese Entscheidungen teilweise ab. Es werden die Eigenwerte und Vektoren von (3.13) 1,2 berechnet; vgl. Online-Hilfe: ^

help e i g ,

help e i g s

Wahrend mit eig alle Eigenwerte und Eigenvektoren z. B. einer reellen oder komplexen symmetrischen oder unsymmetrischen quadratischen Matrix A ermittelt werden, berechnet eigs alle oder wahlweise nur einige mit vorgegebenen Spezifikationen. Die quadratische Matrix A kann in diesem Fall voll besetzt sein, alle Elemente werden explizit vorgegeben, oder spdrlich hesetzt sein, nur von Null verschiedene Elemente werden gespeichert und bearbeitet. A, B sind dann SparseMatrizen, vgl. S. 14. Symmetrische oder unsymmetrische, reelle oder komplexe Sparse-Matrizen sind zulassig; siehe auch D r e h S c h w . m, Q u e r S c h _ l ^ 2 . m in [59]. Liegt ein allgemeines Eigenwertproblem vor, dann muss B symmetrisch {B^ = B) und positiv definit {B > 0) sein, well in eigs zunachst ein spezielles Eigenwertproblem mittels C H O L E S K Y Zerlegung formuliert wird. Tabelle 3.1 zeigt typische MATLAB-Aufrufe zur Eigenwert- und EiTabelle 3.1: Typische Function-Aufrufe flir eig und eigs d =eig(A) [ V, D ] = eig (A) [ V, D ] = eig (A, B)

bestimmt den Vektor d aller Eigenwerte bestimmt die Matrizen der Eigenvektoren V und der Eigenwerte D (Diagonalmatrix); spezielles Eigenwertpr. (3.13)2 allgemeines Eigenwertproblem (3.13) i

d = eigs (A) bestimmt den Vektor d der k=6 groBten Eigenwerte d = eigs (A, B, k, s i g m a , o p t s) allgemeinste Form; B muss positiv definit sein, k Anzahl der zu berechnenden Eigenwerte, Spezifikationen: sigma, z. B. ' sm' kleinsten Eigenwerte, o p t s , u. a. Genauigkeit o p t s . t o l , Ausgabe o p t s . d i s p . [V,D {^ flag ) ] = eigs (A,...) bestimmt die Matrizen der Eigenvektoren V und der Eigenwerte D (Diagonalmatrix) Konvergenzinformation: f l a g = 0 Konvergenz, sonstkeine

3 Lineare Schwingungsmodelle

122

genvektorberechnung. Die zugehorigen Online-Hilfen geben weitere Hinweise und Moglichkeiten, insbesondere auch bezuglich der Normierung der Eigenvektoren. Im Folgenden werden anhand ausgewahlter Stmkturen von (3.5) mit h{t) = 0 Methoden und spezielle Eigenschaften der Schwingungen herausarbeiten. 3.2.2

Numerische Behandlung der Eigenwertprobleme

Die Aufgabe, die sich uns stellt, ist, mit der gegebenen Bewegungsgleichung eines der Eigenwertprobleme in (3.13) zu formulieren, d.h. die Matrizen A, B zuzuordnen. Die erforderlichen Schritte werden an unterschiedlichen Bewegungsgleichungen, die in (3.5) enthalten sind, diskutiert. Dabei wird im Folgenden auf die Indizierung h, p von j , x , wie in (3.6) und (3.12), verzichtet, d. h. wir schreiben stets y, x. Was gemeint ist, folgt aus dem Zusammenhang. In den Projekten: Storgrdfienkompensation von Fundamentschwingungen Abschn. 8.2, Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag Abschn. 8.3 und Zur Stabilitdt des LevitronSpielzeug-Kreisels in [59] wird die Problematik angewendet bzw. vertieft. Zusatzliche Informationen beziiglich der Programmierung und insbesondere der Animation von Schwingungen konnen den Programmen l i n e a r _ I n D r L a . m , DrehSchw.m sowie QuerSchw_l, 2 .min [59] entnommen werden. In DrehSchw. m werden Drehschwingungen in QuerSchw_l, 2 . m Biegeschwingungen von Rotorsystemen berechnet und grafisch ausgewertet. 3.2.2.1

Das konservative System ohne gyroskopischen Einfluss

Treten keine nichtkonservativen Krafte {—Ny) auf und sind Dampfungseinfluss sowie gyroskopischer Einfluss gering und damit vemachlassigbar oder auch gar nicht vorhanden, so liegt mit £> = G = iV = 0 ein konservatives System, fiir das die Gesamtenergie wahrend der Schwingung konstant bleibt, mit der Bewegungsgleichung aus (3.5) My + Ky = 0\

M=M^

> 0 ; K = K^

(3.14)

vor. Die Gleichung (3.14) beschreibt Eigenschwingungen und freien Schwingungen ungedampfter Systemen, vielfach Strukturschwingungen [28]. Die in Bild 3.1 skizzierte Schwingerkette mit den zugehorigen Systemmatrizen mi

M-

0 0

0 m2

0

0 0

,

K =

^01+^12 -ki2

m3

0

-ku kn-\-k23 -k23

0 -k23 ^23 + ^03

(3.15)

ergibt (3.14) mitM >0, K >0;M, K e 2/2

2/1

2/3

rvw] ^1 ywv] ^^ ywv] ^^ ywvj hi

ku

hs

Bild 3.1: Schwingerkette

hs

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen

123

Tabelle 3.2: Systemparameter Parameter symmetrisch unsymmetrisch Einheit mi 2 2 kg 5 7 m2 kg 2 5 m^ kg 1000 1000 N/m ^01 N/m 750 2000 kn N/m 750 2500 ^23 N/m 1000 700 ^03

Das Eigenwertproblem und Stabilitatsaussagen: Die Eigenschwingungen geniigen (3.11), also y = ve^^; X Eigenwert; v Eigenvektor,

(3.16)

so dass das allgemeine Eigenwertproblem -A^Mv = Kv

(3.17)

folgt. Einerseits kann v nur bis auf einen beliebigen Faktor bestimmt werden, andererseits ist nur dann v 7^ 0, wenn die Koeffizienten-Determinante verschwindet: \X^M + ^ 1 = 0 .

(3.18)

Dies liefert die charakteristische Gleichung, sie ist ein Polynom /-ten Grades in A^. Folglich gibt es / Quadrate der Eigenwerte Aj^, A^,..., A?, die mit der Vielfachheit pj > 1 auftreten konnen. Unter der Voraussetzung M^ = M > 0 und K^ = K ist nach [15] der Defekt der Koeffizientenmatrix {?ijM -\-K) gleich der Vielfachheit pj von A?. D.h. es existieren genau / Quadrate der Eigenwerte A? wenn man etwaige Mehrfachwurzeln entsprechend ihrer Vielfachheit zahlt. Dariiber hinaus existieren zu den A? / linear unabhangige reelle Eigenvektoren Vj, sie sind in der Regel nicht zueinander orthogonal. Neben Ay ist auch —Ay Eigenwert von (3.18), d.h. die Losung y{t) ist nur dann (schwach) stabil bzw. grenzstabil, wenn alle Ay verschwindende Realteile haben. Aus (3.17) folgt XH^MVWKV

= 0,

(3.19)

wobei v^Mv stets positiv reell und v^^v positiv oder negativ reell oder null ist. Die Eigenwerte folgen damit aus (3.19) zu A2 = - ^ - ^ .

(3.20)

D. h. die Struktur der Eigenwerte und damit die Stabilitat won y{t) wird durch v^Kv festgeschrieben. Wir unterscheiden:

124

3 Lineare Schwingungsmodelle

v^Kvj > 0, fiir alle j pos. def.

-^

v^Kvj = 0, fiir mindestens ein j sem. def. VjKvj < 0, fiir mindestens ein j neg.

def.

-^ -^

Xf < 0, Xj = 0, ^/>0,

Xj^-^^ = ±iC0j Xj^^ 2 ~ ^

(3.21)

^7,1,2 = =^^7

Das System ist somit grenzstabil (bzw. schwach stabil) oder instabil. Bei NuU-Eigenwerten, dies ist der Fall, wenn in (3.15) ^01 = ^03 = 0 - die Schwingerkette ist nicht gefesselt -, dann treten Starrkorperbewegungen auf; siehe auch DrehSchw. m in [59]. SindM^ = M > 0 und ^ ^ = ^ > 0, dann konnen wir statt (3.16) den reellen Ansatz y = v cos cot; co Eigenkreisfrequenz; v Eigenvektor,

(3.22)

wahlen, so dass das allgemeine Eigenwertproblem (O^Mv = Kv;

d.h.A^ = -co^ -^

X = ±i(0

(3.23)

zu losen ist. MATLAB-Formulierung: Ein Vergleich von (3.17) mit (3.23) zeigt, dass das Eigenwertproblem vom jeweiligen Ansatz (3.16) bzw. (3.22) abhangt. In beiden Fallen liegt ein allgemeines Eigenwertproblem (3.13)i vor, so dass entsprechend der MATLAB-Formulierung in (3.13) f X^ A ^ K; B ^ ^M Berechnung von < 9 zu beachten ist. Wir wahlen den reellen Ansatz (3.23). Zunachst geben wir unten die Programmierung des Eigenwertproblems mit eig an. Wegen besserer tJbersichtlichkeit und weil oft nur die niedrigsten Eigenfrequenzen interessieren, sind die in d ausgegebenen Eigenkreisfrequenzen cOj mit der Sortier-Function sort in eine aufsteigende Folge, gespeichert in e s , zu bringen. Die Eigenvektoren sind anschlieBend mit dem Vektor der Sortierindizes I wieder den Eigenwerten zuzuordnen. Danach konnen sie gegebenenfalls, z. B. fiir eine bessere grafische Darstellung, umskaliert werden, z. B. so, dass das betragsmaBig groBte Element zu eins wird. Programmsegment aus f r e i . m in [59]: [ v , d ] = eig(K,M); % Eigenwertproblem [ e s , I ] = sort (sqrt (diag (d) ) ) ; % Eigenkreisf r . in V = v(:,l); % E i g e n v e k t o r e n neu v n = v / d i a g (max (abs (v) ) ) ; % Umskalierung der

auf s t e i g e n d e r zugeordnet Eigenvektoren

Folge

Die Eigenschwingungen: Die Schwingungender MK-SystemeM^ = M > 0 , K^ =K>0 sind grenzstabil; die Eigenschwingungen harmonisch. Die Eigenschwingungen bilden wir mit (3.22), d.h. (Ok.Vk reell: yk = Vk cos cokt.

(3.24)

Hierin sind die Eigenschwingungsformen (Mode shapes) enthalten. Man skizziert von (3.24) den Anfangszustand3?yt(0) = Vk (oder von jy^(O)), z. B. liber den Lagen von nik wie in Bild 3.2, in dem sich die Eigenschwingung zur Zeit ^ = 0 befindet, und erhalt somit Aussagen Uber das Verhaltnis

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen

125

der Ausschlage (bzw. Geschwindigkeiten) zu alien Zeiten. D. h. lenkt man den Schwinger anfanglich entsprechend % aus - oder befindet er sich infolge harmonischer Anregung in Resonanz - , dann schwingt er mit der zugehorigen Eigenschwingungsform mit der Eigenkreisfrequenz cOk, wie in Bild 3.3o ftir coz.

MATLAB-Grafiken der Eigenschwingungsformen: Die grafische Auswertung der Eigenschwingungsformen in Bild 3.2 mit den Systemparametem nach Tabelle 3.2 erfolgt mit dem Programmsegment aus f r e i . m in [59]: figure (1) set (gcf, ' D e f a u l t L i n e L i n e W i d t h ' , 1 ) foref=l:3 subplot (3, 2, (2*ef-l) ) plot(v(:,ef)) set(gca, 'xtick' , [1:1:3] ) axis([l,3,-l,l])

% % % % % % %

Grafik-Fenster 1 offnen alle Linienstarken geandert Ausgabe der 3 Eigenformen Unterfenster mit 2 Spalten ef-te Eigenform v oder vn Tick-Marken, Massenposition Achsenskalierung

ifef == 1 title ( ' E i g e n s c h w i n g u n g s f o r m e n ' ) ; end grid

% Bildtitel

end Die internen Bildbeschriftungen lassen sich nach Abschn. 1.4.2.4 hinzufUgen oder mit dem text-Befehl einbringen. Weitere grafische Ausgaben der Eigenschwingungsformen sind wie in D r e h S c h w . m / Q u e r S c h w _ l , 2 .maus [59] zu erzeugen. Eigenschwingungsformen

Eigenschwingungsformen '"l

=10.23 rad/s unsymm.

Bild 3.2: Eigenschwingungsformen der symmetrischen und unsymmetrischen Schwingerkette Die freien Schwingungen: Die allgemeine Losung von (3.14), d.h. die freie Schwingung, mit den ermittelten Eigenkreisfrequenzen (0^ und Eigenvektoren % stellt sich als Summe aller Eigen-

3 Lineare Schwingungsmodelle

126

schwingungen dar: / y{t) = ^ Vk{sk sin (Okt -\- Ck cos (Okt) = (Vs). * sin cot -\- {Vc). * cos fi)f, (3.25) yt=l

mit V = (Vi, V 2 , . .- V / ) fi)=

(cOi, 0)2,.. . , CO/)

<^= (<:"1, C 2 , -. .^ / ) ' ^ ^ = (^1, ^ 2 , . . .

Modalmatrix Vektor der Eigenkreisfrequenzen Vektoren der Integrationskonstanten,

wobei wir Mehrfacheigenwerte [15] ausschlieBen. Die Integrationskonstanten Sk und Q bzw. s, c ermitteln sich mit 2 / vorgegebenen Anfangswerten y(0) = yo und j(0) = VQ, Z. B . zum Zeitpunkt r = 0. Dies fiihrt auf die entkoppelten algebraischen inhomogenen Gleichungssysteme fiir c und s JQ = Vc,

(3.26)

vo = (y^).*fi).

Die Zeitverlaufe der freien Schwingungen folgen direkt aus (3.25). Fiir eine MATLAB-Formulierung gehen wir von dem Zeilenvektor t^ der diskreten Zeitpunkte t^^ ^ = 1,2,... aus und schre ben y(f)

= V{dmg{s) sin {G)f)-\-dmg{c) cos {(of))

(3.27)

mit den / x /-Diagonalmatrizen bezuglich s, c. Die Dimension der Rechteck-Matrix3?(^^) hangt von / und dem Diskretisierungsgrad von t ab. MATLAB-Formulierung und numerische Ergebnisse: Damit konnen wir (3.26) und (3.27) der freien Schwingungen und deren grafische Darstellung programmieren, vgl. f r e i . m in [59]: y O = [ l . ; 0 . ; - 1 . ] ; vO=zeros ( 3 , 1) ; % Integrationskonstanten c = v\yO; s = e s . \ ( v \ v O ) ; t e = 4*pi/es (1) ; t = linspace (0, t e ) ; y= v^ (diag (s) *sin (es^t)+diag (c) ^cos ( e s ^ t ) figure(2) set (gcf, ' Def a u l t L i n e L i n e W i d t h ' , 1) subplot (211) p l o t ( t , y ( l , : ) , t , y ( 2 , :) , ' - \ . . . t,y(3,:),'o'r'Markers!ze',2) L=axis; xHm ( [L (1) t e ] ) title ( ' F r e i e Schwingungen . . . fiir s p e z i e l l e A n f a n g s w e r t e ' ) xlabeK'Zeit t [s] ' ); ylabel ( ' y l , y 2 , y 3 ' ; legend Cyl', 'y2', 'y3' ,-1) grid

Anfangswerte

)

cos-, sin-Anteil (3.26) Zeitendpunkt, z.B. Zeitvektor, 100 Werte Schwingung nach (3.27) grafische Darstellung Linienstarke geandert

% Achsenskalierung % Bildiiberschrift % Achs-Beschriftung % Linienkennung

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen 127

Im Bild 3.3 sind die freien Schwingungen yj{t) der symmetrischen Schwingerkette - vgl. Tabelle 3.2 - fiir zwei Anfangswertzustande dargestellt. Im oberen Bild 3.3o entsprechen die Anfangsauslenkungen denen der zweiten Eigenschwingungsform aus Bild 3.2, so dass die beiden auBeren Massen gegenphasig, also mit einer Phasenverschiebung von 71 schwingen, wahrend die mittlere Masse in Ruhe bleibt. Die Schwingungsfrequenz ergibt sich aus (O2 zu f2 = ITT/COZ. Dieser spezielle Schwingungszustand folgt auch unmittelbar aus (3.25) mit y{0)=yo = av2,

y(0)=vo=0,

areell,

so dass sich aus (3.26) c = aV~^V2 = a{0 1 0)^ und ^ = 0 ergeben und schlieBlich aus (3.25) y{t) = av2 cos C02t. Im unteren Bild 3.3u sind die freien Schwingungen fur allgemeinere Anfangswerte dargestellt, es werden alle drei Eigenschwingungsformen angestoBen. Freie Schwingungen fur spezielle und allgemeine Anfangswerte 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

X /*'*•• / X *^\ / X ••'**•• / ^ .•*"*• / ^ ••**'•. / • \ /• ^

0.1

%..• 1 0.2

•\

>v-X. 1 0.3

/.

A

/•

:••«»• >s-X 1 1 1 0.4 0.5 0.6 Zeit t [s]

7\

/*

;•».•• :Nw/ 1 1 1 0.7 0.8 0.9

•\

•.••* 1 1

/•

X-/^

'.....

1 y^

0 -1 0

0.1

0.2

1

1

0.3

0.4

1

0.5 Zeit t [s]

1

0.6

1

1

0.7

1

1

0.8

Bild 3.3: Freie Schwingungen der Schwingerkette

3.2.2.2

Das konservative System mit gyroskopischem Einfluss

Der ungedampfte linearisierte Schwinger aus Abschn. 2.6 ist ein MGK-System und wird mit der vorgestellten Vorgehensweise im Programm l i n e a r _ I m D r L a .m in [59] untersucht. Dariiber hinaus wird im Projekt zum Levitron-Kreisel in [59] die Stabilisierung infolge des Kreiseleinflusses (G(i2)) in Abhangigkeit von der Winkelgeschwindigkeit Q, grafisch herausgearbeitet. Der gyroskopische Effekt tritt stets in mit Q. rotierenden Komponenten auf, so dass u. a. die Eigenwerte und Eigenvektoren i2-abhangig sind, z. B. Ay^ = Ay^(^); vgl. QuerSchw_l, 2 .m, Z e n t r i f u g e .m in [59].

128

3 Lineare Schwingungsmodelle

Die Struktur der Eigenwerte: Ausgehend von der Bewegungsgleichung My^Gy^Ky

= 0;

M=Af^>0,

K = K^;

G=-G^

(3.28)

folgt mit y = vt^'

(3.29)

das Eigenwertproblem (A^M + AG + ^)v = 0

(3.30)

als Matrizenpolynom 2-ter Ordnung und aus der Determinate der Koeffizientenmatrix die charakteristische Gleichung |A^M + A G + ^ | = 0 .

(3.31)

Da das zugehorige adjungierte Problem (A^M + AG + ^ ) ^ zwar unterschiedliche Eigenvektoren aber gleiche Eigenwerte besitzt, muss gelten |A^M + AG + ^1 = |A^M - AG + ^1 = 0,

(3.32)

so dass wieder Xk und —X^ Eigenwerte von (3.30) sind. T>,h.y{t) ist nur dann grenzstabil, wenn alle Xk verschwindende Realteile haben.

Sei v^ =v^ — iv^^ i = ^ / ^ der zu v = v^ + /v^ konjugiert komplexe Eigenvektor, dan erhalten wir aus (3.30) durch Linksmultiplikation mit v"*"^ A V^Mv + A r ^ G v + r ^ ^ v = 0,

(3.33)

woraus wir den Eigenwert

X=

^—

^

ir Mv

^

—

(3.34)

gewinnen. Das Vorzeichen vor der Wurzel muss (3.30) erfiillen. Fiir die einzelnen Terme in (3.34) konnen wir die Aussagen treffen:

r ' M v = ( V ^ ' - / V ^ ' ) M ( V ^ + /VO v^ Mv^ + v^ Mv^ v''^Kv = v^^Kv^^v^^Kv^

positiv reell positiv reell I 0 negativ reell

(3.35)

(3.36)

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen

= iiv^

Gv^ -v^ Gv^ j

129

rein imaginar,

wobei wegen G = —G^ die Terme v^ Gv^ = 0 und v^ Gv^ = 0 verscliwinden miissen. Daraus T

folgt, dass die Eigenwerte A in (3.34) fiir positiv definites K (y'^ Kv > 0) stets rein imaginar sind, was mit der obigen Aussage: Ay^, —?ik Eigenwerte von (3.30) auf ^M^

= ^icOk,

i=

\r^

fulirt. T

I s t ^ negativ definit, d. h. v^ Kvj^ < 0 fur mindestens ein k, und der Radikand in (3.34) positiv dann wird (3.34) erfiillt durch ^k,..,k-\-3 = ^{Sk^icOk)

instabil,

bzw. bei geniigend groBem Drall ^kM'^ = ^iG)k

grenzstabil.

D.h. der Kreiseleinfluss stabilisiert das System; vgl. Stabilitatssatze von THOMSON und TAIT sowie von P. C. MiJLLER in [50] und Projekt Levitron-Kreisel in [59]. Im Eall v'f^Kvk = 0 gibt es Starrkorpermoden mit Ay^ = 0 bzw. Kv^ = 0 nach (3.30). Eigenwertproblem aus der Zustandsgleichung: Das zugehorige Eigenwertproblem ist wegen (3.13) mit der Zustandsdarstellung von (3.8) zu bilden, es folgt die homogene Zustandsgleichung 0

E

X

oderkurz

x=Ax^

^=(y^7J^)

(3.38)

mit der n x n-Zustandsmatrix A. Der Ansatz (3.12) liefert direkt das spezielle Eigenwertproblem XEv = Av,

( fur mech. Systeme nach (3.1):

v = (v'^, Xv^)^ ),

(3.39)

so dass der Zustandsvektor x mit dem Eigenvektor v korreliert, E ist die Einheitsmatrix.

Die Ordnung des Eigenwertproblems (3.39) hat sich gegeniiber (3.17) verdoppelt. Wie gezeigt, existieren fiir^ > 0 ^ komplexe Eigenwerte, die paarweise konjugiert Xj^ = -\-i(Ok^ X^^x = — sind. D. h. ungedampfte gyroskopische Systeme sind mit Af = M^, ^ = ^ ^ > 0, unabhangig von G stets grenzstabil. Sie konnen aber auch fiir ^ < 0 grenzstabil sein, wenn der Drall geniigend groB, d. h. G geeignet. Wegen G{n) gilt A(f2). MATLAB-Formulierung des Eigenwertproblems fiir zuvor vereinbarte Systemmatrizen M, G, K - vgl. l i n e a r _ I m D r L a . m in [59] -:

3 Lineare Schwingungsmodelle

130

% Freiheitsgrad. des Syst. f = length (M) ; % Zustandsmatrix A (3.38) A = [zeros (f) eye(f) -M\[K G]]; % Eigenvekt. (v), Eigenwerte (d) [ v , d ] = eig(A); [ e s , I ] = sort (imag(diag (d) • ! ) ' ) ; % nur Sortierindex I wichtig % aufsteigende Vektor-Folge {(Oj) e s = d i a g ( d ( I , I) ) ; % Zuordnung der Eigenvektoren ve = V ( : , I ) ; Anteil % (...•!)' liefert konj. kompl. es zusammen % konj. kompl. Paare bleiben in Die Eigenschwingung zu Xk = -\-i(Ok, ^k+i = —i (Ok ist Xk{t) = Vk e^"""^' ^Vk^i e-^'^^' = Vk e^'^^' +v^ e"^"^^^

(3.40)

und die zugehorige Eigenscliwingungsfomi Xk{0) =Vk-\-vl

= 29t(vy^),

v^ konjugiert kompl. zu Vk

(3.41)

die 2 ist flir die grafische Darstellung bedeutungslos. Weitere Moglichkeiten zur Darstellung der Eigenschwingungsformen sind mit Q u e r S c h w _ l , 2 . m aus [59] zu erzeugen. Bearbeitet man das Eigenwertproblem mit eigs, dann kann es gegeniiber (3.38) numerisch stabiler sein, wenn von einer Zustandsgleichung der Form Bx

=Ax

(3.42)

mit den voUbesetzten Matrizen oder Sparse-Matrizen B =

E 0

0 M

A =

0 -K

E -G

B^

=B>0

(3.43)

ausgegangen wird. MATLAB-Aufruf:

[v,d]

= eigs (A, B, ' s m ' , o p t s ) ;

Im Gegensatz zu (3.38), wo die Inverse von M eingeht, wird in (3.42) mit der C H O L E S K Y Zerlegung von B gearbeitet, um zunachst ein spezielles Eigenwertproblem zu formulieren. Dies ist numerisch vorteilhafter, wirkt sich aber wegen der doppelten Dimension von B gegeniiber M nachteilig auf die Rechenzeit aus. Weitere Zustandsformen lassen sich erzeugen, vgl. [36]. Die freien Schwingungen: Die freien Schwingungen konnen im Reellen und im Komplexen formuliert werden. MATLAB-orientierter und auf allgemeine Systeme iibertragbar ist eine Formulierung im Komplexen, wobei wir Mehrfacheigenwerte ausschlieBen. Mit dem Ansatz (3.12) folgt die allgemeine Losung als Linearkombination der Eigenlosungen x{t) =

Y,CkVke^^^,

(3.44)

wobei die Koeffizienten c^ von Anfangswerten abhangen. Mit Hilfe der Modalmatrix

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen

131

und den komplexen GroBen e^^:=(e^>^...,e^O'';

c = (cj, C2,... ,C„)T

kann (3.44) in Matrizenform geschrieben werden: x{t) = V diag(c) e^^ = ydiag(e^^-^) c.

(3.45)

Mit dem reellen Anfangswertvektor ^(O) = XQ zum Zeitpunkt t = 0 folgt unmittelbar das algebraische Gleichungssystem fiir c: Vc=Xo,

MATLAB:

c = V\xO; oder

linsolve (V, xO);

(3.46)

Die Zeitschriebe x{t) werden wieder mit dem zeitdiskreten Zeilenvektor t^ (t=0 : d t : t^) gebildet, so dass (3.45) MATLAB-orientiert lautet: x{t^) = ydiag(c) Q^^^, diag(c) nxn-Matrix,

Xt^ dyadisches Produkt.

(3.47)

Jede Zeilex/(^^) entspricht einem zeitdiskretisierten Graphen; demnach istx(^^) eine Rechteckmatrix. MATLAB Code der freien Schwingungen fiir gegebene Anfangswerte xO, siehe auch l i n e a r _ I m D r L a . m i n [59]: c = v\xO; % I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e n (3.46) t e = 8 . O^pi/imag (es (1) ) ; % E n d z e i t , g e w a h l t STl/cOmin t = linspace (0, t e ) ; % 100 d i s k r e t e Z e i t p u n k t e X = real (v^diag (c) •exp (diag (d) • t ) ) ; % f r e i e Schwingung x{t^) (3.41) plot ( t , X ( 1 , : ) , ' - . r ' , t , X (2, : ) , ' b ' ) % P l o t d e r e r s t e n Komp . von x

Infolge Rundungsfehler enthalt x kleine Imaginaranteile, die mit real unterdriickt werden. 1st man nur an der Diskussion der Auslenkungy(^) interessiert oder ist der Ausgang von (3.38) eine Linearkombinationy^CO der Zustandsvariablen, kann es zweckmaBig sein, die algebraische Ausgangsgleichung (Messgleichung) yM{t)=Cx{t)

(3.48)

hinzuzufUgen. JM ist der m-dimensionale Ausgangsvektor, C die Ausgangsmatrix passender Dimension. Fiir die Eigenschwingungen und Eigenschwingungsformen gilt: yM,{t)=Cvk^^^'

^

yM,{0)=Cvk.

(3.49)

Formulierung mit der Fundamentalmatrix: Mit (3.45) und (3.46) folgt die weit verbreitete Formulierung der freien Schwingungen: x(f) = y d i a g ( e V ) y - i x o = V e^' V'^XQ =
A = diag(e^^-^),

(3.50)

mit der Fundamentalmatrix [15] 4>{t)=Vdmg{Q^J^)V-^

= e^^^~'^ = e^^

MATLAB: expm ( A ^ t ) .

(3.51)

132

3 Lineare Schwingungsmodelle

Sie ist fiir eine numerische Auswertung im AUgemeinen wenig geeignet. Wir geben dennoch eine Berechnung der homogenen Losung in [0, te] fiir den Anfangszustand Jic(O) =Xo an: t = linspace(0, t e , 2 5 0 ) ; for i i = l : l e n g t h ( t ) x ( : , i i ) = expm (A*t ( i i ) ) ^xO; end

% Zeitvektor % ii-ter Zeitschritt % Losung nach (3.50)

Diese Betrachtungsweise wird bei den erzwungenen Schwingungen im Abschn. 3.3.2.5 noch einmal aufgegriffen. 3.2.2.3

Das gedampfte gyroskopische System

Die zum MDGK-System gehorende Bewegungsgleichung erhalten wir unmittelbar aus (3.38), wenn wir in der Systemmatrix A die Matrix G durcli D-\-G ersetzen. Das linearisierte Scliwingungsmodell aus Abschn. 2.6 beziiglich der homogenen Gleichung von (2.166) ist ein MDGKSystem. Fiir das Eigenwertproblem gilt dann wieder (3.39); MDK-Systeme sind hierin enthalten. Die Dampfung ist geschwindigkeitsproportional. In vielen Fallen ist dies eine vertretbare Naherung. Die Dampfungskoeffizienten sind Erfahrungswerte oder stammen aus Experimenten. Gelegentlich setzt man die Dampfungsmatrix proportional zur Steifigkeits- oder/und Massenmatrix an: D = aM^ pK,

RAYLEIGH-Dampfung,

(3.52)

wobei a, j8 geschickt zu wahlen sind. Die Dampfung kann eine innere (Material- oder Strukturdampfung) oder auBere (umgebenes Medium, Lagerdampfung) sein. Aufgrund der Dampfung liegen im AUgemeinen K konjugiert komplexe Eigenwertpaare

Xk = —8k -\- icOky Xk-\-i = —8k — icOky k= 1, 3, 5, • • • , K (schwache Dampfung sowie R = 2{n — K) reelle Eigenwerte der Form Xr = -5r,

r = 2K^\,

2K^2,

...,

2n

und die zugehorigen Eigenvektoren mit gleicher Struktur vor. Die Schwingungen sind somit asymptotisch stabil, wenn alle Realteile 5^ groBer Null sind, im Fall eines Si gleich Null grenzstabil und im Fall eines 8^ kleiner Null instabil. Stabilitatsabschatzung liefert der Satz von THOMSON-TAIT-CHETAEV (1961) [15], [50]: Fur M = Af^ > 0, D = D^ > 0 ^ entscheidet K= K unabhangig von G iiber die Stabilitat.

(3.53)

Ist K = K^ > 0, dann ist das System unabhangig von G asymptotisch stabil. Ein statisch instabiles System, ^ < 0, kann demnach beim Vorhandensein von Dampfung nicht durch Kreiselkrafte stabilisiert werden. D. h. auch die Definitheitseigenschaften von D sind von Bedeutung: Wenn D positiv definit (D > 0), dann ist jede beliebige Bewegung mit Energieverlust, d. h. mit Dampfung,

3.2 Eigenschwingungen und freie Schwingungen

133

verbunden. Wenn D positiv semidefinit (D > 0) werden nicht alle Koordinaten direkt gedampft, die Dampfung kann aber trotzdem auf alle anderen Koordinaten durchdringen, man spricht von durchdringender Dampfung. Dies lasst sich mit Hilfe der Steuerbarkeitsbedingungen nachweisen; vgl. [15].

Die Schwingungen und DampfungsmaBe: Die komplexe Formuliemng der freien Schwingungen einschlieBlich der Anpassung an die Anfangswerte kann aus dem Abschnitt 3.2.2.2 des MGK-Systems ubernommen werden. Zur Beurteilung der Systemdampfung benutzt man neben den Abklingkonstanten 5k - auch als Eigendampfung bezeichnet - weitere GroBen, die sich ebenfalls auf die einzelnen Eigenschwingungen Xk = Vk e^^^ beziehen, wobei wir nur schwach gedampfte Schwingungen mit 8k < CO betrachten. Es seien hier die Definitionen des LEHRschen oder modalen DampfungsmaBes Dk=

^JL^,

l(ol + dl

hzw.mr\dk\«(Ok

Dk-—

^^

(3.54)

und die des logarithmischen Dekrements

^, = 4f£^ = ^ .

(3.55)

genannt. MATLAB-Umsetzung: Vorausgesetzt die Eigenwerte A sind wegen G{Q.) von der Winkelgeschwindigkeit Q. rotierender Komponenten abhangig, so lassen sich die Eigenkreisfrequenzen (0k{O'i) und die Abklingkonstanten Sk^Oe) f i i r ^ = l , 2 , - - , ^ z u ^ = l , 2 , - - ,L f2-Werten in den L x ^-Matrizen om und dk abspeichern. Die Programmierung von (3.54), (3.55) folgt in: Dk=dk./sqrt (om. "2 + dk ) t h e t a = 2 * p i * D k . / s q r t (1-Dk. "2) ; figure, plot (Om, D k ( : , l : 2 ) )

% L e h r s c h e s DampfungsmaB (3.54) % l o g a r i t h m i s c h e s Dekrem. (3.55) % G r a f i k , Dk iiber £2

Vgl. auch l i n e a r _ I m D r L a .m, Z e n t r i f u g e .m in [59]; insbesondere die zugehorigen grafischen Auswertungen. 3.2.2.4

Das allgemeine nichtkonservative System

Die Bewegungsgleichung des MDGKN-Systems entspricht der von (3.5). Das Eigenwertproblem folgt aus (3.39), wenn wir in der Systemmatrix A die Matrix G durch D-\-G und K durch ^-|-iV ersetzen. Die Aussagen Uber Anzahl und Form der Eigenwerte und -Vektoren gelten auch hier. Stabilitatssatze, die bereits Aussagen aufgrund des Gleichungsaufbaus liefern, existieren hier nicht. Die Stabilitatsaussagen miissen mit Hilfe der Realteile der Eigenwerte getroffen werden. Im Einzelnen gelten die Aussagen [15]: Die Losung x = 0 eines linearen zeitinvarianten Systems x =Ax, x{to) = XQ, ist genau dann 1. asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte Xk von A negative Realteile haben, 3i{Xk) < 0 ^=1,2,...,^, 2. stabiU wenn A keine Eigenwerte mit positivem Realteil, aber solche mit verschwindendem Realteil besitzt, 9t(Ay^) = 0, und bei mehrfachen Eigenwerten der Rangabfall der Matrix {XE —A) gleich der Vielfachheit dieser Eigenwerte ist,

134

3 Lineare Schwingungsmodelle

3. instahiU wenn mindestens ein Eigenwert Xk von A einen positiven Realteil hat, 9t(Ay^) > 0, Oder die Rangbedingung nach 2. fiir mehrfache Eigenwerte nicht erfiillt ist. Fiir die Losung gilt wieder (3.44), (3.45) unter den dort eingefiihrten Voraussetzungen. Alle Sonderfalle sind u. a. in [15] nachzulesen.

3.3

Erzwungene Schwingungen

Die Stabilitat der Schwingung wird durch die Eigenwerte der zugehorigen homogenen Differenzialgleichung festgeschrieben. Ist das System asymptotisch stabil, dann klingen im stationaren Betrieb die anfanglich angestoBenen Eigenbewegungen ab und es bleiben die erzwungenen Schwingungen. Man spricht auch von dem eingeschwungenen bzw. stationaren Zustand. Erzwungene Schwingungen sind die Folge von Fremderregung, auch dufiere Anregung bzw. Erregung oder Storfunktion genannt. Die Fremderregung tritt immer als isolierte Zeitfunktion auf. Nach (3.1) lautet die Bewegungsgleichung fiir ein System mit / Freiheitsgraden: My + Py + Qy = h(t),

P = D^G,

Q=K^N,

M, P, g konstant.

(3.56)

Beziiglich der rechten Seite unterscheidet man z. B. Krafterregung, FuBpunkterregung und Unwuchterregung. Die Bewegungen j konnen translatorischer wie rotatorischer Art sein. Beziiglich der Erregerstruktur h{t) unterscheiden wir: • Erregervektor beliebig: gesonderte Betrachtung, heute vielfach numerische Integration. • Erregervektor fastperiodisch h{t) =h^-\-Y.k{f^k si^^kt -^ hj^cosQkt)\ ^m 7^ ^n Dabei sind die Qk irgendwelche Frequenzen. Lassen sich die Qk als Linearkombinationen von endlich vielen Basis frequenzen Q^ anschreiben, z. B. nk = kn^-\-£n^-\-mQ^, k, £, mganz, so spricht man von quasiperiodischer Erregung. • Erregervektor periodisch, z. B. aus einer FOURIER-Entwicklung: h{t-\-T) = h{t), Qk = ^ Q;Q Basiskreisfrequenz, m, n ganz, T kleinste Periodendauer. Aufgrund des Superpositionsprinzips konnen die Schwingungen fastperiodischer, quasiperiodischer und periodischer Anregung stets aus Teillosungen harmonischer Erregung zusammengesetzt werden, so dass wir zur Erlauterung der Vorgehensweise nur mit dem harmonischen Erregervektor h{t)=h^-\-h'sin

nt-\-h''cos Qt = h^-\-L^ cos {eQt-0)

(3.57)

zu arbeiten brauchen, wobei ^ = ( 0 i , . . . , 0 / ) ^ der NuUphasenwinkel-Vektor (hier: Nacheilwinkel), ^ = (1, 1 , . . . )^ der Eins-Vektor sowie .* eine elementweise Multiplikation, eine Punktoperation ist. Die Losungsanteile y^^ von (3.56) mit (3.57), d. h. infolge konstanter h^ und harmonischer Terme

yp= I,

k=l,2

yp,

(3.58)

3.3 Erzwungene Schwingungen

135

fiir (3.1), werden hier ermittelt, wobei wir wieder statty^ stets kurzy schreiben. Die allgemeine Losung folgt schlieBlich aus der tJberlagerung aller Teillosungen wie in (3.6) bzw. (3.10). Sie ist an Anfangswerte anzupassen, wie in Abschn. 8.2 sowie in a n p a s s . p d f und in e r z w . m , l i n e a r _ I m D r L a .m aus [59] gezeigt. Systemparameter

///////^

Masse 1 Masse 2 Steifigkeit Steifigkeit Dampfung Dampfung Erdbeschleunigung ErregerAmplituden

^01

^01

b hr{i)y

T.

V\

m\

^12

I' ^12

h2{t)

7712

t

y2

mi M2

h\ kn

doi d\2

8 h'

it'

= = = = = = = = =

100 kg 5 kg 10^ N/m 10^ N/m 10 Ns/m INs/m 9.83 m/s^ (20, O)'^ N (50, O)'^ N

Bild 3.4: Beispiel: Zwei-Massen-Schwingerkette AUe vorgestellten Methoden werden auf die Zwei-Massen-Schwingerkette aus Bild 3.4 angewendet und programmiert. Wichtige Programmsegmente sind abgedruckt, der voUstandige Code e r z w . m mit der grafischen Auswertung in der Function: p l o t _ e r z w . m ist in [59] abgelegt. Bemerkung zum Schwinger: In der Lage y\ = 0, y2 = 0 sind die Federn entspannt, an beiden Massen greift eine harmonische Erregung an. Die Bewegungsgleichung entspricht (3.56) mit G = N = Oundh{t) nach (3.57) sowie M

mi 0

0 m2

; K

ko\ -ki2

-ki2 ki2

; D

do\ -di2

-di2 di2

; h^

mig m2g

den Erregeramplituden h ' und Parametern aus der Tabelle neben Bild 3.4. 3.3.1

Konstante Erregung

Da beziiglich (3.56) mit (3.57) auch das Superpositionsprinzip gilt, soil die konstante Erregung h^ fiir sich betrachtet werden. Die Bewegungsgleichung lautet: My -\- Py ^- Qy = h^^

speziell: h^ = [mig, m2g]^ = konst.

(3.59)

Der Losungsansatz vom Typ der rechten Seite y(^t ^ oo) =y°° = konst.,

oo kennzeichnet die eingeschwungene Lage (3.60)

fiihrt auf das algebraische inhomogene Gleichungssystem Qy^ = h''

Q regular

MATLAB:

y_inf

Q\hO

(3.61)

fijiry°°, der statischen Ruhelage, Gleichgewichtslage oder bei allgemeiner periodischer Anregung den Mittelwert der Schwingung.

136

3 Lineare Schwingungsmodelle

3.3.2

Harmonisch angeregte mechanische Systeme

Fiir den harmonischen Erregerterm in (3.57) bieten sich mehrere Formulierungen an, die sich im Losungsweg und der Interpretation der Losung unterscheiden. Einige soUen vorgestellt werden.

3.3.2.1

Reelle Formulierung der Erregung

Die Bewegungsgleichung (3.62) steht einerseits fiir eine Schwingung umy = 0 andererseits fiir eine um die Gleicligewiclitslagey'^ nacli (3.61), denn mity :=y'^ -\-y folgt aus (3.56) mit (3.57): My -\- Py -\- Qy = h' sinQt -\- fi cosQt.

(3.62)

Der Losungsansatz y[t) = f sin Qt -\-f cos Qt

(3.63)

kann entsprechend (3.57) auch als cos- (oder sin-) Funktion mit dem Phasenwinkel-Vektor ^ y{t)=y.^cos{eQt±
^ = (1, 1 , . . . , 1, 1)^ Eins-Vektor,

(3.64)

hier in MATLAB -orientierter Form, geschrieben werden, wobei (+ , —) fiir einen Phasenvoreilbzw Phasennacheilwinkel steht. Aus (3.64) folgt mit dem Additionstheorem y{t) =y.>^ {cos Qt c o s ^

=F

sin^^ sin^) .

Fin Vergleich mit (3.63) ergibt dann y^ = y.^cos
y^ = =Fy-*sin^.

und schlieBlich folgt der Amplituden-Vektor (3.65) sowie der Vektor der Nullphasenwinkel ((—) Voreil-, (+) Nacheilwinkel) 0 = arctan(^y^./y^).

(3.66)

Setzen wir (3.63) in (3.62) ein und gleichen die linear unabhangigen sin - und cos -Terme ab, so linden wir das algebraische inhomogene Gleichungssystem

Q-n^M QP

-QP Q-n^M

(3.67)

oder kurz

H{Q)y=h,

y={{r)\ (y')''f,

h = {{hy, {kyy

(3.68)

3.3 Erzwungene Schwingungen

137

und schlieBlich y={H{n)y^h=F{n)h,

MATLAB: yq=H\hq,

furr2=konst.

(3.69)

mit der reellen Frequenzgang-Matrix F{Q). Gleichung (3.69) und damit die Amplitudeny nach (3.65) sowie den Phasenwinkel 0 nach (3.66) werten wir in Abhangigkeit von Q aus und erlialten den Amplituden- und Phasenfrequenzgang. Man spricht aucli von einem quasistationaren Hochlaufvorgang. Dies lasst sich unmittelbar programmieren. MATLAB-Formulierung des MPQ- bzw. MDGKN-Systems f=length(M); n=2*f; 11=2000; Om=linspace (Oma, Ome, 11) yq=zeros ( n , I I ) ; hq= [ h _ s ; h_c] ; for i i = l : I I H= [Q-Om ( i i ) "2*M - O m ( i i ) * P ; Om(ii)^P Q-Om(ii)^2^M]; yq ( : , i i ) =H\hq; end yd_s=yq(1:f,:); yd_c=yq (f+1 : n , : ) ; yd=sqrt (yd_s . "2+yd_c . "2) ; phi=atan2 ( - y d _ s , yd_c) ;

% M, h _ s , h _ c , . . v o r a b v e r e i n b a r t % f F r e i h e i t s g r a d , n=2f S y s t e m o r d n . % I I , A n z a h l d i s k r e t e r Om-Werte % Om-Vektor, I I Werte % Vorabdimensionierung % A n r e g u n g s h y p e r v e k t o r n a c h (3.68) % Losung fiir Om(ii) % Koef f i z i e n t e n m a t r i x a u s (3.67) % % l i n e a r e G l e i c h u n g n a c h (3.69) % Daten t r e n n e n i n s i n % c o s - A n t e i l e , wie i n (3.68) % A m p l i t u d e (3.65) % P h a s e i n c o s (Om*t+Phi) (3.66)

Sind dariiber hinaus die Zeitverlaufe der liarmonisclien Scliwingung zu i2 = konst von Interesse, dann ist es zweckmaBig (3.63) auszuwerten. Mit t^ = (^i, ^2, • • •, 271/Q) geht (3. die Matrizengleichung y{f)

= f sin Qt^ + f cos nt^,

Q= konst

(3.70)

iiber, was im folgenden Programmsegment ausgewertet ist. J J= . . . . ; Omt=Om(JJ) ; t=linspace(0,2*pi/Omt,200) y t = y d _ s ( : , J J ) *sin (Omt^t) . . . +yd_c ( : , J J ) •cos(Omt*t) ; p l o t _ e r z w ( O m , y d , p h i , t , y t , 2, t i t e l )

% J J - t e Komp . a u s Om, Q = konst % Z e i t v e k t o r , 200 Werte % Z e i t v e r l a u f e (3.70) iiber e i n e % P e r i o d e T fiir Omt=Om(JJ) % P l o t - F u n c t i o n a u s [59]

Alternativ zu t kann die dimensionslose Zeit T = Qt, 0
138

3 Lineare Schwingungsmodelle hS_n nn i-,^-

Masse m^: Anregung h^=20.00. h^=50.00

0.1

0.1

E

< 20

40 n [rad/sec]

20

20

40 n [rad/sec]

20

xlO""

-0.5 -1

40 n [rad/sec]

60

40 n [rad/sec]

60

n. . 50.01

:

.xlO""

—-^

0.5 0

JU L,'

U

-100

1

L . )L

^^

a. ^50.01

rad/sec

^ ^

rad/sec

0.05 Zelt t [sec]

0.1

0.05 Zelt t [sec]

0.1

Bild 3.5: Ergebnisse zum gedampften System mit harmonischer Anregung

mit zwei rechten Seiten; nu = 2 h\h"

(3.71)

Oder kurz (3.72)

was den Rechenaufwand gegeniiber (3.67) reduziert: Ordnung ist halbiert, Umformung der Koeffizientenmatrix erfolgt nur einmal. Fiir det(Q — Q^M) = 0 tritt Resonanz auf; Q = cOj, Die Ergebnisse speichem wir in dreidimensionalen Feldern (Arrays), vgl. S. 19. Zu jeder / x Uu-Seite gehoren die Ergebnisse eines i2-Wertes. MATLAB-Formulierung des MQ-Systems, voUstandig in [59], Programm e r z w . m: % t , nUf J J u s w . v o r a b v e r e i n b a r t II=length(Om) ; y _ s c=zeros (f, n u , I I ) ; for i i = l : I I H 0 = Q - O m ( i i ) ^2^]y[; y _ s c ( : , : , i i ) = H O \ [ l i _ s , ]ri_c ] ; end

% v g l . erzw.m % D i m e n s i o n v o n Om, CI % 3D-Null-Array, II Seiten

% Losung von Seite ii % Koef f izienten-Matrix (3.72) % L o s u n g v o n (3.72), 2 r e c l i t e

S.

3.3 Erzwungene Schwingungen y d = s q r t ( y _ s c ( :, 1, 1:11) . ^2+. . . Y_sc(:,2,l:II) .^2); phi=atan2 ( - y _ s c ( :, 1, 1: I I ) , . . . y_sc(:,2,l:II)); t=linspace(0, 2 * p i / 0 m t , 200) ; y t = y _ s c ( : , 1 , J J ) ^sin ( O m t ^ t ) . . . + y _ s c ( :, 2, J J ) *cos(Omt*t) ; plot_erzw(Om,yd,phi,t,yt,1,titel)

3.3.2.2

139

% A m p l i t u d e y (3.65) % Phase

in

c o s ( O m * t + p h i ) (3.66)

% Z e i t v . , Omt=Om ( J J ) , Q = konst % Z e i t v e r l . (3.70), J J g e w a h l t , % i i b e r e i n e P e r i o d e T = 2K/Q % g r a f i s c h e Auswertung

Komplexe Anregungsfunktion

Eine weit verbreitete Formulierung basiert auf komplexen Anregungsfunktionen. Wir ersetzen hierzu die Zeitfunktionen der Anregungsterme in (3.62) durch cos i2f = i (e'"^^ + e-'"^^) ,

sin ^t = ]^i (t'^' -1''^'^

,

i=V^

und erhalten damit fiir (3.62) My^Py^Qy

= h c'^' ^ft Q''^'

(3.73)

mit den komplexen Anregungsamplitudenvektoren h= - Ih -ih

j ;

h

konj. kompl. zu h .

(3.74)

Die Losung von (3.73) y = ^-\-^^ ermitteln wir mit dem ersten Term der rechten Seite aus M | + P | + e l = hc'^'

(3.75)

und dem Losungsansatz |=|e^•^^

(3.76)

Da in ^ die Phaseninformation enthalten ist, muss auch ^ komplex sein. Der Amplitudenvektor i berechnet sich nach einsetzen von (3.76) in (3.75) zu I = {-n^M

^iQP ^Q)'^

h = F{in)h,

(3.77)

wobei F{iQ) die komplexe Frequenzgang-Matrix ist. Fur den zweiten Losungsanteil gilt ^^^^%-int

^

|''=F*(-/r2)A^

(3.78)

so dass (3.75) mit der rechten Seite h e~'^^ erfullt ist. Die Losung von (3.73) geniigt dann y{t) = I c'^' +1"^ e-^"^^ = 2 | | |. * cos {Qet + arg (I)),

1"^ konj. kompl. zu MATLAB-orientiert

|

(3.79)

3 Lineare Schwingungsmodelle

140 Oder

y{t) = 2Re{^) cos Qt - 2 / m ( | ) sin Qt =f

cos Qt -\-f sin Qt.

(3.80)

Geometrisch stellt (3.79) zwei Drehzeiger dar, die gegenlaufig mit Q umlaufen. Die Resultierende ist, wie in Bild 3.6 fur die ^-te Komponente gezeigt, die reelle Losung (3.80). i^k^i^t ^ke''''=\^k\e''''e

Im

2 | 4 | cos(m + $fc)

^*e^™ = |a|e-*^e Bild 3.6: Zeigerdarstellung zur Losung (3.79) MATLAB-Formulierung, MPQ-System mit komplexem Erregervektor, vgl. e r z w . m in [59]: xi_d=zeros (f, 11) ; hd=0.5* (h_c-i*h_s) ; for i i = l : I I H=Q-Om(ii)^2^M + i ^ O m ( i i ) ^ P ; xi_d(:,ii)=H\hd; end yd=2 . 0*abs ( x i _ d ) ; phi=angle ( x i _ d ) ; JJ= ; Omt=Om(JJ); y t = x i _ d ( : , J J) *exp (i*Omt*t) ; yt=real (yt+conj ( y t ) ) ; plot_erzw(Om,yd,phi,t,yt,3,titel)

3.3.2.3

% 2D-Zero-Array, II Om-Werte % Anregungsvektor h, (3.74) % H=inv(F) aus (3.77) % Amplitude | nach (3.77) % Amplitude y^ (3.79) % Phase cos (Om*t+Phi) (3.79) % JJ-te Komponente % Teillosung(3.76) % Z e i t v . , e i n e P e r i o d e (3.79)

Komplexe Bewegungsgleichung

Eine Variante zur Formulierung in Abschn. 3.3.2.2: Wir fugen zu (3.62) formal eine zweite Gleichung hinzu My -\- Py -\- Qy=

h sinQt -\-h cos Qt

Mx + Px + Qx = -h cos Qt -\- h sin Qt,

(3.81)

und bilden fur ^ =y-\-ix die komplexe Bewegungsgleichung (3.82)

3.3 Erzwungene Schwingungen

141

Die Losung von (3.8l)i ist d3.nny{t) = Re{^{t)). Mit dem Ansatz

ergibt sich aus (3.82) die komplexe Amplitude ^={-n^M^inP^Qy^ (h'-ih')

(3.83)

und hiermit die Losung

= |^|.*cos(i2ef + arg(^)) = Re{^) cos Qt-Im{Q

3.3.2.4

sin Qt.

(3.84)

Losungsverhalten

AUe vorgestellten Methoden zur Bestimmung der Schwingungsamplituden fuhren auf ein algebraisches inhomogenes Gleichungssystem der Struktur

H{n)u =f und damit auf

u=H-'^(Q)f

(3.85)

= F{n)f mit der Frequenzgangmatrix adj(g(^)) ^ ( ^ ^ = dct{H{n))

adj(g(I2)) = —^—

^^-^^^

aus der Adjungierten und der Determinanten von H. Demnach folgt fur eine Losungskomponente aus (3.85) Z Uj = —,

1 /v 1 aus: ^ = — a d j ( H ( ^ ) ) / = — Z,

womit vier Losungstypen zu unterscheiden sind 1. 2. 3. 4.

Zj y^ 0,N y^ 0 AUgemeine Losung, Amplituden beschrankt Zj = 0,N j^ 0 Tilgung, einzelne Amplituden verschwinden Zj 7^ 0, A^ = 0 Resonanz; Uj -^ oo Zj = 0,N = 0 Scheinresonanz; Amplituden beschrankt

1st A^ = 0 (Koeffizientenmatrix H singular), dann entspricht A^ der charakteristischen Gleichung des jeweils zugehorigen Eigenwertproblems gebildet mit e , wenn Xj = iQ; d. h. Eigenkreisfrequenz (Oj und Erregerkreisfrequenz Q stimmen uberein, es liegt Resonanz vor. Dies kann nur

142

3 Lineare Schwingungsmodelle

dann eintreten, wenn mindestens eine ungedampfte (5j = 0), also harmonische Eigenschwingung existiert, was in dampfungsfreien Systemen, d. h. in MK-, MGK-Systemen, fiir alle Eigenschwingungen gilt. Im AUgemeinen spricht man aber auch dann von Resonanz - besser von Resonanzerscheinung -, wenn N{Q) gegen ein relatives Minimum strebt und Zj ^ 0 ist. Dies ist der Fall, wenn in schwach gedampften Systemen Q. ^ cOj mit 5j ^ 0 (klein) ist. 3.3.2.5

Beschreibung in der Zustandsform

Fiir allgemeinere Systeme liegt die Zustandsgleichung (3.8) mit harmonischer Storfunktion entsprechend (3.73) x=Ax^b^^b e^' + r e-^"^'

(3.87)

zu Grunde. Der Losungsanteil infolge der konstanten Stoning ergibt sich unmittelbar zu x° = -A-^b^,

(3.88)

Fiir die harmonischen Terme betrachten wir, wie in Abschn. 3.3.2.2, die verkiirzte Anregung z=Az^bQ'^\

x = z^iz'

(3.89)

mit der komplexen Losungsamplitude z = F{iQ)b^

F{iQ) = {iQE — A)~^ kompl. Frequenzgangmatrix.

(3.90)

Die reelle Partikularlosung lautet somit Xp{t) = -A~^b^ -\-2Rc{z) cosQt + {-2lm{z)) =

x°° -\- x^ cos Qt

-\- x^ sin Qt.

sinQt

(3.91)

Die auftretenden Losungstypen sind die aus Abschn. 3.3.2.4. Angewendet wird die Vorgehensweise in Abschn. 8.2 Formulierung mit MATLAB Functions: Die komplexe Bewegungsgleichung (3.82) lasst sich am einfachsten aufbereiten, um mit der Function bode oder freqresp aus der Control System Toolbox die Frequenz- und Phasengange zu berechnen. Darauf woUen wir kurz eingehen. Der Berechnung zu diesen Functions liegt die Zustandsraumdarstellung z = Az^Bc'^'

(3.92)

y=Cz^Dc'^'

zu Grunde, mit der in der Regelungstechnik Ublichen Matrizenschreibweise. Der Ansatz z = ze'^^

und damit

y=ye'^^

3.3 Erzwungene Schwingungen

143

liefert {inE-A)z = B —> z={inE-A)-^B y =Cz^D und damit fiir die komplexe AusgangsgroBenamplitude y = C{inE-A)-^B^D.

(3.93)

Ausgehend von (3.82) in Zustandsform des zu bearbeitenden Problems

r,c

i-T

z=Az-\-^b'-ib')e^\

(3.94)

mit b =

oL, {hr

b =

Oj,„ {h'V

(3.95)

lassen sich die Matrizen in (3.93) ableiten. A entspricht (3.9), C„^,2/ hangt von der Anzahl der tic Ausgangen ab. Bei der Eingangsmatrix B ist eine komplexe und eine reelle Fonnulierang b = b-ib"

Oder

B = b\ -b'

(3.96)

denkbar. Dementsprechend enthalt y„^ ^ und damit D^ci ii^ (3.93) eine oder aufgrund der zw rechten Seiten y^^ 2' ^nc,2 zwei Spalten. Wir arbeiten mit dem komplexen Eingangsvektor b aus (3.96) weiter. In erzw .m, [59] sind beide Formulierungen programmiert. Die Losung zur komplexen Eingangsmatrix lautet jnt y=ye-\

y=yRe^iyim

(3.97)

bzw. mit der Schwingungsamplitude |y|, dem Voreilwinkel 0 sowie der Punktoperation .* i

(3.98)

Die Function bode gibt \y\ und die Phase 0, die Function freqresp die komplexe Amplitude y aus. Die Phase berechnet sich anschlieBend zu 0 = arctan

(3.99)

Jedem Ergebnis |y|,
144

3 Lineare Schwingungsmodelle

kann diese Spalte unterdriickt werden. Zur Auswertung mit den beiden Functions werden unten die wesentlichen Programmschritte aus erzw.m in [59] angegeben. Weitere Aufrufvarianten sind der Online-Hilfe (z.B. help bode) zu entnehmen. In jedem Fall sind die Systemmatrizen aus (3.92) in dem State-SpaceModel (unten; s y s ) fiir zeitkontinuierliche Systeme zusammenzufassen, womit dann weiter gearbeitet wird. MATLAB-Formulierung des Zustands-Modells (State-Space-Model), Control System Toolbox % sys = S t a t e - S p a c e Modell; M_l=inv(M); A= [zeros (f) eye (f) ; -M_1^[Q P ] ] ; B= [zeros ( f , n u ) ; -M_l*[h_s h _ c ] ] ; C= [eye (f) zeros (f) ] ; Dm=zeros ( f , n u ) ; sys=ss(A,B,C,Dm);

zeitkontinuierlich % I n v e r s e von M % Zustandsmatrix

(ss)

% E i n g a n g s m a t r i x B, nu E i n g . % M e s s m a t r . , f Ausgange % Durchgangsmatrix, Nullmatr. % S t a t e - S p a c e Modell

MATLAB-Formulierung mit der Function freqresp

y_d=freqresp(sys,Om) ; % FREQRESP-Auf r ., Om gegeben % Ausgang: Komplexe Amplitude 3D-Array y_d=squeeze (y_d) ; % kompl. A m p l i t u d e (3.97) yd_abs=abs (y_d) ; % B e t r a g der Schwingungsampl. Phi=angle(y_d) ; % P h a s e n a c h (3.99) yt=real (y_d ( : , J J ) ^exp ( i ^ O m t ^ t ) ) ; % Z e i t v . , e i n e P e r i o d e (3.97)

MATLAB-Formulierung mit der Function bode

[ y d _ a b s , P h i ] =bode(sys,Om) ; % BODE-Aufruf % A u s g a n g : R e e l l e A m p l . , P h a s e i n Grad Phi=squeeze (Phi) pi/180 . ; % Phase in Radian yd_abs=squeeze (yd_abs) ; % Betrag der Amplitude yt=real (yd_abs ( : , J J) . • . . . exp ( i * P h i ( : , J J ) ) •exp (i*Omt*t) ) ; % Z e i t v . , e i n e P e r i o d e (3.98)

In Bild 3.7 ist in einer Function-Ausgabe Amplituden- und Frequenzgang mit doppeltlogarithmischer Achsteilung: 20 logio|C7(logio('^))| [dB] dargestellt. Die Grafen stimmen mit denen aus vorangegangenen Methoden iiberein. Diese Grafik wird nur erstellt, wenn keine Ausgabevariablen iibergeben werden: bode ( s y s , Om). Formulierung mit der Fundamentalmatrix: Insbesondere fiir harmonische und periodische Anregungen - sind durch FOURIER-Polynome approximierbar - sind die vorangegangenen Betrachtungen sehr geeignet. Erfolgt die Erregung u. a. durch Impuls- aber auch durch Sprungfunktionen, die gerne als Testfunktionen zur Schwingungsbeurteilung herangezogen werden, dann ist die Berechnung der allgemeinen Losung mit Hilfe der Fundamentalmatrix (3.51) geeigneter. Die allgemeine Losungsstruktur fiir (3.56) konnen wir u. a. nach [15], [66] damit angeben:

x{t) =
^{t) = e^'

(3.100)

3.3 Erzwungene Schwingungen

145

Bode Diagram

-100 ~i ^

r

-180

o P -360 -540

20

30 Frequency (rad/sec)

Bild 3.7: Erzwungene Schwingungen mit Function Bode.m; Function-Grafik-Ausgabe 6{t - ti)

s{t-ts)

t 1

Bild 3.8: Impuls- und Sprungfunktion Die Antwort (3.100) stellt im Gegensatz zur bisherigen Betrachtung bereits die tJberlagerung einer freien Xh = ^{t)xo, die den Einschwingvorgang wie in (3.50) beschreibt, und einer erzwungenen Schwingung (partikularen Losung) dar. Fiir die Impuls- bzw. Delta- und der Sprungfunktion kann das Integral auf der rechten Seite von (3.100) angegeben werden. Dies soil stichwortartig erfolgen. • Impulsfunktion: b{t) = bj 8{t— tj),

8{t — ti)

Dirac-, Delta-Funktion

(3.101)

Impulsantwort: t

xj{t)=0{t)xo^

f 0{t-T)bi5{T-ti)dr,

4>{t){xo^^{-ti)bi)

0ti

0{t) = ^' vgl. (3.50)

(3.102)

146

3 Lineare Schwingungsmodelle

• Sprungfunktion

(3.103)

b{t) = bss{t — ts)

Sprungantwort: i

Xi{t)=

0{t)xo

+ y

0{t-T)bsS{T-ts)dT

(3.104)

{ 4>{t)xo-{E-0{t-t,))A-%

0U


Die Stabilitat wird wiedemm von x/^ = ^ ( ^ ) x o bestimmt. MATLAB Code fur eine Impulsantwort bei gegebenem Eingang b l sowie vorgegebenem Anfangswert x 0: t = linspace ( 0 , 6 , 4 0 0 ) ; % diskrete Zeitwerte % Losung fur t (ii) (3.102) for i i = 1: length ( t ) if t ( i i ) - t l <= 0 x ( : , i i ) = expm ( A * t ( i i ) ) ^ x O ; % Losung vor Impuls, homog. Dgl. else x ( : , i i ) = expm (A*t ( i i ) ) ^... (xO+expm(-A*tI) * b l ) ; Losung nach Impuls end end Ein Ergebnis zur Impulsantwort mit Z?/ = [ 0, 0, 0, 0 ] und ti = 2s zeigt Bild 3.9, wobeix(O) nicht die Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t = 0 erfiillt, woraus der Einschwingvorgang in 0 < /^ < 2 s folgt. Zum Zwei-Massen-Schwinger nach Bild 3.4 ist der voUstandige Programm-Code bei Impulsoder Sprunganregung IM_SP . m in [59] zu finden. Dartiber hinaus stehen mit der Control System Toolbox die beiden MATLAB Function impulse und step zur Verfiigung, siehe diesbeziiglichen HinweisaufS. 207. b, = [0; 0; 0.4; -0.2]

b

=[.4;-.1;0;0]

2 4 Zeit t fsl

Bild 3.9: Impuls- und Sprungantwort fur das Begleitbeispiel, x{0) = [0.0005; 0; 0; 0]^

Simulation unter Simulink® Simulink ist eine interaktive grafische Entwicklungsumgebung zur Modellierung und Simulation linearer und nichtlinearer dynamischer Systeme mittels Signalflussgrafen, wobei u. a. nichtlineare Zusammenhange und viele Signalerzeugungen blockorientiert gewonnen werden. Das zu simulierende mathematische Model! eines dynamischen Systems wird dazu grafisch mit Funktionsblocken in dem Modell-Fenster nachgebildet und als MDL-File abgespeichert. Das SimulinkTool arbeitet somit gleichungsorientiert im Gegensatz zu den Tools: SimMechanics, SimDriveline, SimPowerSystems und SimHydraulics, welche auf einer physikalischen Modellierung mechanischer, elektrischer und hydraulischer Systeme in der Simulink-Umgebung basieren. Die System-Parameter/Anfangswerte lassen sich direkt in den Funktionsblocken oder indirekt mittels Workspace, also durch Tastatureingabe und/oder iiber ein M-File unter IVIATLAB, einstellen. Die Ergebnisse sind wiederum in Simulink und/oder IVIATLAB darstellbar. Eine Weiterverarbeitung der Daten in der MATLAB-Umgebung ist somit moglich. Beziiglich des Handlings beziehen wir uns auf MATLAB 7.0..7.3 und Simulink 6.0..6.5 unter Windows XP. Die Modellierung der Begleitbeispiele sowie der Erganzungen in [59] sind weitgehend so abgefasst, dass sie auch mit Vorgangerversionen, gegebenenfalls mit kleinen Anderungen, lauffahig sind. Die fiir einen Einstieg in Simulink notwendigen Kenntnisse soUen kurz zusammengefasst und spater beispielorientiert erganzt werden. Zur Vertiefung enthalt u. a. Kapitel 8 mehrere SimulinkProjekte unterschiedlicher Schwerpunkte. In Kapitel 6 werden mit der Stateflow Toolbox sowie in Kapitel 7 mit der SimMechanics Toolbox weitere Blockelemente fiir die Simulink-Umgebung eingefiihrt. Erganzende Erlauterungen zur Handhabung und Syntax sind [6] ,[8], [13], [38] zu entnehmen. Z. B. sind in [8] Grundlagen mit Beispielen sehr detailliert und iibersichtlich zusammengefasst. Zum wesentlichen Hilfsmittel soUte aber auch hier die Online-Hilfe, die von Beginn an gezielt einzusetzen ist, werden.

4.1

Zur Funktionsweise

4.1.1

Block-Struktur

Basis eines Simulink-Modells sind Funktionsblocke mit vektoriellem Eingang u, dem Ausgangsvektor y, dem Vektor der Zustande x sowie den Parametem p, wie in Bild 4.1 fiir eine ubergeordneter Struktur dargestellt. Der Zustandsvektor

[fc^ ^\)

(4.1)

148

4 Simulation unter Simulink® u ?

Eingang

^ w

Zustande x

y

Parameter p Block-Name

Ausgan

Bild 4.1: Simulink Funktionsblock, allgemein kann zeitkontinuierliche (x^) oder/und zeitdiskrete (xj^) Zustande enthalten. Es gelten die mathematischen Beziehungen y = fo{t, X, u, p) Xc=fd{t, X, u, p) ^4+1 =fu{t, X, M, p)

Ausgang (output) Ableitungsfunktion (derivative) Zeitschritt (update).

Derartige Bausteine beschreiben also das Bin- Ausgangsverhalten mit der eindeutigen Signalfluss-Richtung u ^ y. Darliber hinaus existieren Blocke ohne Eingang (Quellen, Sources), z. B. Constant Blocke, Funktionsgeneratoren und solche ohne Ausgang, z. B. To Workspace Block (Senke, Sinks). AUe Blocke sind in der Block-Library und in Blocksets zusammengefasst, vgl. Abschn. 4.3.1. Sie sind gekennzeichnet durch den Block-Namen und das Block-Icon. Bei Links-Doppelmausklick auf den Block offnet sich die Block Parameters Dialogbox, in der - neben einer kurzen Erklarung - spezifische Parameter des Blocks eingestellt werden konnen (Standard- (Default-) Werte sind vorgegeben). Darliber hinaus existiert ein Help-Button, uber den gezielt die zugehorige Online-Hilfe geoffnet werden kann. Bei Rechts-Mausklick auf den Block offnet sich ein Kontextmenii, in dem u. a. Befehle zum Editieren von Blockeigenschaften und Formatieren des Blocks ausgewahlt werden konnen. 4.1.2

Simulationsablauf

Entsprechend der mathematischen Formulierung des Problems wird das Simulationsmodell durch Verbinden geeigneter Funktionsblocke und deren zugehorigen Parametern aufgebaut. Die Simulation des Modells setzt sich dann aus den beiden Phasen Initialisierung und Ausfuhrung bezuglich der Zeit, meist numerische Integration, zusammen. • Initialisierungsphase: 1. Die Blockparameter werden an MATLAB zur Auswertung ubergeben und die sich ergebenden numerischen Werte werden den Blocken zugeordnet. 2. Die Modell-Hierarchie wird weitgehend aufgehoben, d. h. die Blocke jedes Subsystems, dessen Ausfuhrung nicht an Bedingungen gekniipft ist, werden in das GesamtModell einbezogen, so dass ein einziges Block-Modell entsteht. 3. Blocke werden entsprechend dem Ablauf der Berechnung (serielle Arbeitsweise des Digitalrechners) mittels Sortier-Algorithmus in eine abarbeitbare Reihenfolge gebracht. Dabei ist zu beachten, dass fiir jeden Block bei der Berechnung des Ausgangs der dazu benotigte Eingang bekannt ist. D. h. es muss beim Start der Simulation

4.2 Die Integrationsverfahren

149

von Blocken, die einen vorgegebenen Ausgang besitzen, z. B. die Anfangswerte der Integrierer, ausgegangen werden. Solche Blocke werden History-Blockc genannt. Blocke, die in RUckfuhmngsschleifen, z. B. ohne zwischengeschaltetem Integrierer oder Totzeitglied, liegen, bei denen der Ausgang direkt auf den Eingang wirkt, werden erkannt. Dies sind so genannte algebraische Schleifen, bei denen fo{x) selbst vom Ausgang abhangt. In Bild 4.2 ist ein derartiges Beispiel angegeben. Innerhalb dieser Schleifen sind keine seriellen Rechenschritte mehr vorgebbar. Es fiihrt nur eine konvergierende iterative Berechnung des Ausgangs zum Ziel. y1 =u2 u1

sqrt(2)*u(1)+4

sin

Fen

Trigonometric Function

Gain -<^2

y\ = v2wi + 4 ,

y2

^

ui = l.2y2

j2 = sin W2 = sin (\/2 1.2 j2 + 4), beide Seiten hangen von y2 ab Bild 4.2: Beispiel fUr eine algebraische Schleife Beispiele in [59]: a l g _ l o o p l .mdl, a l g _ l o o p _ 2 .mdl mit Angaben zum Simu\\Vik-Debugger\m\Qx: F i l e / M o d e l P r o p e r t i e s / D e s c r i p t i o n . 4. Die Verbindungen zwischen den Blocken werden auf Vertraglichkeit der Vektordimensionen des treibenden (Ausgang) und getriebenen (Eingang) Blocks uberpruft. • Ausfuhrungsphase: Danach kann die Ausfuhrung, in der Regel die numerische Integration, mit dem ausgewahlten Loser odexx durchgefiihrt werden. Hierzu miissen die Ableitungsfunktionen - z. B. entsprechend x^ = fk{tn-,x) - gebildet werden, vgl. Kapitel 5. Dies erfolgt in zwei Schritten: 1. In der festgelegten Reihenfolge wird der Ausgabewert jeden Blocks bestimmt. 2. Es konnen jetzt fiir jeden Block die Ableitungen (z. B. Xk = fkitn^^)) in Abhangigkeit von der aktuellen Zeit r„, seiner Eingangswerte und seines Zustandes berechnet werden. Der so ermittelte Ableitungsvektor wird an den Integrator odexx zuriickgegeben. Dieser ermittelt damit den neuen Zustandsvektor zum Zeitpunkt f„+i, vgl. auch Bild 5.6. AbschlieBend werden die Ausgaben, u. a. der Scopes, aktualisiert. Die Ausfiihrungsreihenfolge der Blocke lasst sich iiber den Button F o r m a t / B l o c k D i s p l a y s / S o r t e d O r d e r in der Meniileiste des Modell-Fensters zum Simulink-Modell einblenden.

4.2

Die Integrationsverfahren

Fur die numerische Bearbeitung der mathematischen Modelle dynamischer Systeme spielen die Integrationsverfahren (kurz: Integrator, Solver, Loser, Code,...) die zentrale RoUe. Sie losen ein

4 Simulation unter Simulink®

150

Anfangswertproblem u. a. der Art X = f{t,x{t))\

x{to) =Xo .

(4.2)

Der Auszug aus dem Simulink-Handbuch [6] in Tabelle 4.4, S. 200 gibt eine Kurzbeschreibung der verfUgbaren Verfahren wieder. Grundlagen der mathematischen Methoden sind [68], [69], [74], [76] zu entnehmen. Insbesondere in [76] wird sehr anschaulich darauf eingegangen. Hier geben wir nur einen kurzen tJberblick. Grundsatzlich sind Verfahren mit fester und variabler Schrittweite h zu unterscheiden. Dabei kann die Integrationsmethode ein Einschritt- oder Mehrschrittverfahren sein, vgl. Bild 4.3, S. 151. Wie die Namen zum Ausdruck bringen, benutzen diese Verfahren Information aus einem [tn^ tn+i] oder mehreren [tn-k-, • • •, ^w, ^w+i] Integrationsintervallen. Dies kann wiedemm ne explizite oder implizite Formulierung der Integrationsmethode, siehe Bild 4.3, S. 151, fiihren. Kombinationen beider Typen sind im Einsatz. Dabei werden die Formeln auf bestimmte Eigenschaften, z. B. hohe Genauigkeit, gute Stabilitat, getrimmt. Zu den modernen Verfahren fiir steife Differenzialgleichungen zahlen die Mehrschrittverfahren nach den BDF-Methoden (Backward Differentiation Formula); vgl. Bild 4.3, S. 151. Unter MATLAB gibt es eine modifizierte Methode, das NDF-Verfahren (Numerical Differentiation Formula); das BDF-Verfahren ist optional aufrufbar. 4.2.1

Methoden und Bezeichnungen

Einschrittverfahren Um einen kleinen Einblick in die Methoden mit den MATLAB-Bezeichnungen der Integrationsverfahren zu erhalten, sollen zunachst die ersten Verfahren aus Tabelle 4.4, S. 200 ode4, odeS und ode45^ kurz skizziert werden. Sie sind Vertreter der Einschrittverfahren auf der Basis der RUNGE-KUTTA-Methode. AUgemein lassen sich, ausgehend von der skalaren Differenzialgleichung X = f{t,x), die expliziten RUNGE-KUTTA-Methoden - vgl. Bild 4.4 - wie folgt beschreiben: Steigungswert in tn ki= f{tn,Xn)\ x„ : = x{tn) Steigungswerte in tn + cth

kt = f{tn + c^/z, x„ + /z Y!72\ ^ij^j)^

Ergebnis

/ = 2, . . . , s

Xn^l =Xn-\-hZUl^i^i ' Die Koeffizienten aij, Z?/, c/ charakterisieren die .s'-Schrittmethode, sie werden in der so genannten BUTCHER-Tabelle ci C2

^2,1

C3

Cl?>,\

'^3,2

Cs

Cls,l

Cls,2

bi

bi

^s,s—\

. ..

bs-i

1 ODE: Ordinaray Differential Equation

bs

4.2 Die Integrationsverfahren

151

Bild4.3: Darstellung und Methoden fur die skalare Differenzialgleichung: x = f{t, x) Steigung/„ = f{tn,Xn) Xn-l

Xn-5

^n-5

^n-4

*n-

f'n-2

t'n-l

tn

^n+1

t

Es sollen die Begriffe explizite und implizite Einschritt- und Mehrschrittverfahren am Beispiel erlautert werden. Einschrittverfahren: Information aus fe, t^^i] EULER vorwarts x„+i =Xn -\- hf{tn, Xn) - explizites Verfahren 1. Ordnung (Fehler 1. Ordnung) EULER riickwarts x„+i =x„ + hf(tn^\, - implizites Verfahren 1. Ordnung (Fehler 2. Ordnung)

^n+l)

Mehrschrittverfahren: Information aus [?„_;^, ?^+i], k > 1 ADAMS-BASHFORTH-Verfahren h Xn+l = -^^ + ^

(^^/« ~ 59/„_l + 37fn-2 - 9fn-3) ,

fn '= f{tn, Xn)

- explizites 4-Schrittverfahren 4. Ordnung ADAMS-MOULTON-Verfahren xn+i =^n + i ^

(251A+1 + 646/^ - 264A_i - 106/„_2 - 19^-3)

- implizites 4-Schrittverfahren 5. Ordnung Kombination aus explizitem und implizitem Verfahren ist ein Pradiktor-Korrektor-Verfahren. BDF-Verfahren (Backward Differenziation Formulas) 25x^+1 -48x^ + 36x„_i - 16x„_2 + 3x„_3 = 12/z/^+i - implizites 4-Schrittverfahren Bild 4.3: Zur Bezeichnung einiger Integrationsverfahren

152

4 Simulation unter Simulink®

angegeben. Damit ist das klassische RUNGE-KUTTA^-Verfahren in der Form 0 1 2

\ 0

1

1 2 6 6

2 6

0 0

1 6

formulierbar. Es ist ein 4-Schrittverfahren der Ordnung 4 mit dem algorithmischen Aufbau Steigungswerte kt

K\ — J\tn-)^n)

h h = fi^n+l,Xn-\--ki), h=

h zur Schreibweise: r„ + -t^l n-\-

usw.

f{tn^^Xn^-k2)

k4= f{tn+hXn-\-hk3) h Xn-\-i = Xn-\--{ki-\- 2^2 + 2^3 + ^4) 6

Ergcbnis, explizite Formel

sowie der geometrischen Interpretation nach Bild 4.4. Man beachte, dass jede Stufe eines RUNk3 1

Q:

•

JC^ I 1 / ^ ^n+1/2

X«+l/2

^ * -^n+l 'n+1/2

^n+1

—

Xn

Jin

\

~\

^

2

2

:\;„ + /i/:3

K\

k4

?

Bild 4.4: Geometrische Interpretation zum RUNGE-KUTTA-Verfahren 4. Ordnung GE-KUTTA-Verfahrens eine Funktionsauswertung /(•) benotigt. Ein Integrationsschritt ist daher i. a. etwa viermal so teuer wie der entsprechende EULER-Schritt, vgl. Bild 4.3, S. 151. Dennoch ist aufgrund der hohen Ordnung das Verfahren von RUNGE-KUTTA viel effizienter, da u. a. mit groBerer Schrittweite gearbeitet werden kann. Dies setzt sich fort, denn die DORMAND-PRINCEMethode [20] mit den Koeffizienten nach Tabelle 4.1 ist eine der effektivsten expliziten RUNGEKUTTA-Formeln, obwohl sich der Rechenaufwand noch einmal erhoht. Tabelle 4.1 enthalt auch die beiden MATLAB-Verfahren odeS und ode4. Die 7-Schrittmethode (^'=7) basiert auf den beiden Ergebnissen Xn und Xn , die mit den gleichen Steigungswerten kt aber unterschiedlichen Gewichtungen bj ermittelt werden. Greift man auf das Ergebnis Xn zuriick, dann handelt es sich um das des odeS Verfahrens mit fester Schrittweite h; Verfahren 5. Ordnung. Im anderen Fall ergibt sich das Ergebnis des Verfahrens ode4 der Ordnung 4. Verwendet man beide Ergebnisse, so 2 genauer: das Verfahren von KUTTA

4.2 Die Integrationsverfahren

153

Tabelle 4.1: Koeffizienten der DORMAND-PRINCE-Methode 0 1 5 3 10 4 5 8 9

1 1

~-^n^

~7^ Xfi

J 5 3 40 44 45

9 40 56 15

19372 6561 9017 3168

25360 2187

355 33

32 9 64448 6561 46732 5247

500

35 384 35 384

0

1113

0

1113

5179 57600

0

7571 16695

500

212 729 49 176 125 192 125 192 393 640

5103 18656 2187 6784 2187 6784 92097 339200

11 84 11 84 187

2100

0 1 40

wird - z. B. aufgrund der Abweichung \xn —Xn\- ein MaB zur Ermittlung der Schrittweite h, im Zusammenhang mit einem vorgegebenen Fehler £, bestimmbar. Wir erhalten Methoden mit variabler Schrittweite. Dabei kann xi ^ (ode54) oder Xn (ode45) als Ergebnis akzeptiert werden. In gleicher Weise sind die anderen Einschrittverfahren in Tabelle 4.4, S. 200 zu interpretieren. Wie die bisher betrachteten expliziten Einschritt- (RUNGE-KUTTA-) Verfahren stellt man auch die impliziten Verfahren (z. B. das EULER-Ruckwarts-Verfahren aus Bild4.3,S. 151) iibersichtlich in einem Tableau der Struktur an ... ai^s-i c\ an ^l,s ci

Cl2,l

Cl2,2

' ••

<^2,5-l

(^2,s

C3

Cl3,l

Cl3,2

' ..

^3,^-1

(^3,s

Cs

Cls,l

Cls,2

^^-1,^-1

^s,s

bx

b2

' ..

.

.

bs-\

bs

dar. Beispiel: Die Trapez-Regel Xn-\-\

^

Xyi

kann als zweistufiges implizites RUNGE-KUTTA-Verfahren aufgefasst werden: ^. . h = f{tn, Xn) k2= Xn+l =

f{tn-\-h,Xn-\-h{-ki-\--k2)) h Xn-\--{ki-\-k2).

zugehorige Tableau ^ ^ 0 1 0 1 1 1 2 1 2

2 1 2

Nachteil der impliziten RUNGE-KUTTA-Verfahren ist, dass die ki nicht nacheinander berechnet werden konnen, sondern dass in jedem Schritt ein i. a. nichtlineares Gleichungssystem von s • A^ Gleichungen in d e n k i , . . . ,ks gelost werden muss, wobei N die Dimension des Differenzialgleichungssystems bezeichnet.

154

4 Simulation unter Simulink®

Bei weniger steifen Differenzialgleichungen folgt aus dem Fixpunktsatz fiir kontrahierende Abbildungen, dass die Fixpunktiteration [76] gegen die Losung (fe)i=i,...,5 konvergiert, wenn die Schrittweite die LiPSCHlTZ-Bedingung, vgl. [74], erfUllt; z. B. fur ^2 aus der obigen impliziten RUNGE-KUTTA-Formel im ^-ten Iterationsschritt ^2^+1 = / itn-\-h, Xn-\-h i -ki + -k2^ j j , ^ = 1, 2 , . . . ,

^2i Startwert.

Bei steifen Systemen muss das nichtlineare Gleichungssystem fiir die ki immer mit dem N E W TON-Verfahren oder einer verwandten Methode gelost werden. Hierfur benotigt man die JACOBIMatrix. Fine dritte Moglichkeit ist die Kombination eines expliziten (Pradiktorschritt (P)) und eines impliziten (Korrektorschritt (K)) Verfahrens, die so genannte Pradiktor-Korrektor-Methode. Fiir die EULER-Verfahren nach Bild 4.3, S. 151 bedeutet dies: x^+i = Xn -\- hf{tn, Xn) x^^i

PrMiktorschritt P ,

= Xn -\-hf{tn-\-i, x^^i)

EULER-Vorwarts-Schritt

Korrektorschritt^ (+z.B. Fixpunkt-Iteration)

Mehrschrittverfahren In ahnlicher Weise wie die oben angesprochenen Finschrittverfahren sind auch die Mehrschrittverfahren gekennzeichnet, wobei zusatzlich die Ordnung des Verfahrens anpassbar bzw. einstellbar ist, z. B. odell3, odelSs aus Tabelle 4.4, S. 200.

Bei den linearen Mehrschrittverfahren benutzt man zur Berechnung der Naherung Xn-^s die bereits ermittelten - zeitlich zuriickliegenden Werte - Naherungen x^+^-i, Xn-\-s-2, • • ,x„. Meh schrittverfahren sind somit nicht selbststartend und arbeiten deshalb zu Integrationsbeginn u. a. mit Finschrittverfahren zusammen. Fs werden explizite und implizite 5^-Schritt-Verfahren unterschieden, vgl. Bild 4.3, S. 151. Die Mehrschrittverfahren ADAMS-BASHFORTH, ADAMSMOULTON usw. basieren auf der numerischen Losung einer Integralgleichung [74], die BDF-Methoden werden dagegen mit Hilfe der numerischen Differenziation konstruiert. Beispiele impliziter Formeln sind u. a. nach [74] ^ = 1 : Xn+i -Xn = hfn+i, fn+\ '= / ( W b -^«+i). FULER-Mcthodc; vgl. Bild 4.3 S = 2 :

3Xn^l-4Xn-\-Xn-l=2hfn^l

s = 6 : l47xn-\-i — 360xn + 450x^_i — 400x„_2 + 225x^_3 — 12xn-4 + lOxns = 60/z/^+i Fiir ^ < 6 sind die Formeln stabil, fiir 5^ > 7 instabil. Die Verfahren ^ < 6 zeichnen sich durch ein verbessertes Stabilitatsverhalten gegeniiber expliziten Verfahren, insbesondere steifer Systeme, aus. Bei impliziten Verfahren muss in jedem Schritt wieder ein nichtlineares Gleichungssystem, z. B. fiir die implizite FULER-Formel F{Xn^l)

=Xn^l

-Xn-hf{tn+\,

X„+l)

gelost werden. Dies kann z. B. mit dem NEWTON-Verfahren mit dem Startwert Xn erfolgen; hierzu muss die JACOBI-Matrix {dF/dx\x^^^), analytisch oder naherungsweise numerisch, berechnet werden, vgl. Optionen zum Aufruf der Integrations verfahren unter MATLAB in Kapitel 5.

4.2 Die Integrationsverfahren 4.2.2

155

Steifigkeit der Differenzialgleichung

Wesentlich fiir die Verfahrensauswahl ist die Kenntnis der Steifigkeit der Differenzialgleichung. Wir geben eine Definition stichwortartig an: Ein Differenzialgleichungssystem heiBt steif, wenn die Eigenwerte des Systems sehr unterschiedliche (negative) Realteile aufweisen. Als MaB der Steifigkeit gilt u. a. der Quotient der Betrage der absolut groBten und kleinsten (negativen) Realteile der Eigenwerte ^^max,-|9t(Ay)| • minj \3i{?ij)\' Bei steif en Differenzialgleichungen erreicht S Werte von 10^ und hoher. Das Problem der Steifigkeit existiert ausgepragt bei nichtlinearen Differenzialgleichungen x{t)=f{t,x{t))

x{t) e R^

(4.3)

Die Steifigkeit wird fiir das linearisierte System definiert, indem das lokale Verhalten der exakten Losung x{t) in der Umgebung von tn betrachtet wird. Hierbei liegt die Anfangsbedingung x{tn) =x„, WO Xn die berechnete Naherungslosung an der Stelle tn bedeutet, zu Grunde. Unte der Voraussetzung der gestorte Losung x{t) = Xn -\-z{t) fiir tn
Norm von z und h klein

entwickeln wir (4.3) in eine TAYLOR-Reihe und brechen nach dem ersten Glied ab Xn-\-z{t)=f{tn,

Xn)-\-

-^ z{t)

+ &{z^),

woraus schlieBlich mit (4.3) die erste Naherung

«"-a.

z{t)=J{tn,Xn)z{t)

folgt. Dies ist eine lineare Differenzialgleichung mit konstanter Koeffizientenmatrix J{tn^Xn), mit deren Eigenwerte sich S ermitteln lasst. Somit wird das qualitative Verhalten von x{t) in der Umgebung von tn durch z{t) beschrieben. Das nichtlineare Differenzialgleichungssystem wird als steif bezeichnet, falls die Eigenwerte der JACOBI-Matrix J{tn,Xn) sehr unterschiedliche negative Realteile haben und S groB ist. Das MaB der Steifigkeit von (4.3) ist bei nichtlinearen im Gegensatz zu linearen Systemen abhangig vom Zeitpunkt tn und der momentanen NaherungsLosung Xn, so dass sich S im Verlauf der Integration sehr stark andem kann. Moderne Verfahren nutzen dies zur Anpassung an den Integrationsablauf und stellen damit die Schrittweite sowie die Ordnung des Integrationsverfahrens ein. Eine sinnvolle Erweiterung der Definition fiir steife Systeme ist in [76] angegeben ^ _ max^l^^ mm^ I Ay I

Anhaltswert: S > 10^ . . . , 10^

156

4 Simulation unter Simulink®

wobei durch die Eigenwerte Xj auch schwach gedampfte, hochfrequente Losungsanteile erfasst werden. In MATLAB sind, wie schon angedeutet, zwei Methoden zur Losung steifer Systeme implementiert. Die Function odelSs verwendet BDF- oder NDF-Formeln der Ordnung ^ G { 1 , 2, 3, 4, 5}; vgl. [68], [74]. NDF-Methoden sind Modifikationen der BDF-Methoden, die ebenfalls A-stabil (absolut stabil) [68], [74] sind. Sie besitzen eine etwas groBere Genauigkeit als die BDF-Methoden. Die Function ode23s verwendet ein ROSENBROCK-Verfahren der Ordnung 3, wobei der Fehler mit einer Methode der Ordnung 2 geschatzt wird. Es ist geeignet, wenn die Genauigkeitsanspriiche nicht zu hoch sind.

4.2.3

Bemerkungen zur Wahl der Verfahren

Einer Anfangswertaufgabe sieht man nicht unmittelbar an, ob ihre Losung steif ist. Es gibt einige Aufgabenklassen, bei denen man weiB, dass steife Losungen zu erwarten sind, wie z. B. bei der VAN-DER-POL-Gleichung x-£{l-x^)x-\-x

= 0

mit sehr groBen Parametern e oder mechanischen Systemen mit sehr unterschiedlichen Steifigkeits- und Dampfungskonstanten. In diesen Fallen wird man sofort steife Loser verwenden. Liegen keine guten Grlinde dafur vor, dass eine steife Losung zu erwarten ist, wird man zuerst versuchen, das gegebene Problem mit einem nicht-steif en Loser zu behandeln, denn explizite (eingebettete) RUNGE-KUTTA-Verfahren, z. B. ode45, oder Mehrschrittverfahren vom ADAMSTyp sind wesentlich hilliger als steife Loser. Bei steifen Losem hat man in jedem Schritt ein nichtlineares Gleichungssystem zu losen und hierzu die JACOBI-Matrix der rechten Seite oder eine Naherung davon aufzustellen. Praktisch: Beobachtet man, dass der Losungsprozess nur sehr langsam voranschreitet, wird man zu einem steifen Loser wechseln. RUNGE-KUTTA-Verfahren ermoglichen eine einfache Schrittweitensteuerung (Adaptivitat), haben aber den Nachteil gegeniiber dem ADAMS-Verfahren, dass in jedem Schritt die rechte Seite von (4.2) an mehreren Stellen ausgewertet werden muss (fur das Verfahren von DORMAND und PRINCE der Ordnung 5 an 6 Stellen). Beim Pradiktor-Korrektor-Verfahren kann man hohe Ordnungen mit 2 oder 3 Auswertungen erreichen. Man wird daher ein Mehrschrittverfahren verwenden, wenn die Auswertung der rechten Seite der Differenzialgleichung sehr teuer ist. In der Regel wird man Verfahren hoher Ordnung nur dann verwenden, wenn die rechte Seite der Differenzialgleichung sehr glatt ist. Man verwendet den TAYLORschen Satz, um Methoden hoher Konsistenzordnung zu entwickeln. Eine Regel fiir die Auswahl steifer Loser ist nicht so einfach zu formulieren. Einen Anhaltspunkt geben die Stahilitdtsgebiete der Verfahren, z. B. nach [68], [74], [76]. Wenn man weiB, dass die Eigenwerte der Linearisierung der rechten Seite in der Nahe der negativen reellen Achse liegen, so wird man BDF bzw. NDF Formeln wahlen. WeiB man, dass Eigenwerte der JACOBIMatrix naher an der imaginaren Achse als an der negativen reellen Achse liegen, so wird man ROSENBROCK-Methoden oder Extrapolations verfahren verwenden.

4.3 Simulink-Gmndlagen

4.3

157

Simulink-Grundlagen

Zunachst gehen wir auf Grundlagen zum Umgang mit Si mu I ink ein, um daran anschlieBend die Modelliemng mit Si mu! ink an einem kleinen Projekt zu vertiefen. Der Zugang zu Simulink erfolgt mit dem Button ^ in der Menii-Leiste des MATLAB Desktop nach Bild 1.1. Es offnet sich der Library Browser mit der Meniileiste F i l e / E d i t / V i e w / H e l p . Insbesondere wird iiber F i l e / N e w / M o d e l oder C t r l + N ein neues Modell-Fenster mit der Menii-Leiste F i l e / E d i t / V i e w / S i m u l a t i o n / F o r m a t / T o o l s / H e l p bereitgestellt. Entsprechend sind gespeicherte Si mu! ink-Programme mit der Endung mdl zu offnen. Fiir die letzten beiden Vorgange existieren die Standard-Button ^ ^. Des Weiteren werden alle Hauptgruppen der Library angezeigt, auf die wir im Folgenden eingehen werden. 4.3.1

Die Modell-Library

Wesentlich fiir jedes Simulationsprogramm ist das Modellangebot in der verfiigbaren Library. In Simulink 6 ist die Library in die vierzehn Hauptgruppen mit den eingefarbten Symbolen nach Bild 4.5 unterteilt. Einhergehend mit der standigen Erweiterung der Libraries der Vorgangerversionen kam es zur Erganzung und teilweise Umstrukturierung der Gruppen. D. li. Blocke aus Vorgangerversionen konnen anderen Gruppen zugeordnet sein. In Bild 4.5 ist eine Auswahl der verfiigbaren Funktionsblocke abgebildet. Zu jedem Block gehort ein Parameter-Dialog-Fenster, welches sich mit einem Doppelklick der linken Maustaste offnen lasst. Neben diesen aufgefiihrten Library-Blocken existieren erganzende Blocksets, die einerseits innerhalb der Library unter Additional Math & Discrete und andererseits unter Simulink extra sowie in anderen Tools zu finden sind. Beispiel 4.1: Modellerstellung Fiir die Differenzialgleichung x= —0.5x + 5 ist das Simulink-Modell zu erstellen. Die Zeit t und x sind mit dem To Workspace Block und Xp = x mit dem Outport Block, siehe Abschn. 4.3.2, in den Workspace zu schreiben. Zur Integration von x wird ein Integrator Block, zur Abbildung der rechten Seite ein Summierer, d. h. ein Sum Block (ohne Abbildung in Bild 4.5) benotigt. Die Konstante 5 wird mit dem Constant Block und die Verstarkung von 0.5 mit dem Gain Block realisiert. Nach dem Offnen des Modell-Fensters (Ctrl+N) sind die ausgewahlten Blocke der Library mit der linken Maustaste anzuklicken und bei gedriickter Taste ins Modell-Fenster zu ziehen - click-and-drag mouse operation -. Der Signalpfad zwischen den Blocken erfolgt, ausgehend vom Ein- oder Ausgang der zu verbindenden Blocke, ebenfalls mit gedriickter linker Maustaste. Eine automatische Signalverbindung wird durch Aktivieren z. B. des Ausgangs-Blocks mit der linken Maustaste und anschlieBender Aktivierung des Folgeblocks bei gleichzeitig gedriickter S t r g - bzw. C t r l - Taste erreicht. AbschlieBend sind die Parameter 5, 0.5 sowie der Anfangswert x(0) = 0 des Integrierers in die jeweilige Dialogbox einzutragen. Der

4 Simulation unter Simulink®

158

Continuous

Discontinuities

m

Integrator

Transfer Fen

y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)

Discrete Transfer Fen

Math Operations

0 Model Verification

Discrete State-Space

Outlfc> >lln1 Subsystem

Out1

Til.

Enabled Subsystem

^TM Signal Conversion

Signal Attributes

E>'

Set bitO Comoare Compare To Zero

Logical Operator

Logic and Bit Operations

+ -

Ports & Subsystems

Crossing

I z-1 I

Lookup Tables

Timed-Based Trigger-Based Linearization Linearization

In1

Coulomb & Viscous Friction

WIWII Hi:

L»»»»»—I Model-Wide Utilities

State-Space

\^

m

Dead Zone

'Discrete-Time

ra H •

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

M

^

Lookup Table

2

-:

Signal Routing

1

k]

•

•

a To Workspace

Scope

Direct Lool
Lool
'^^ O E

I

D

f(Z):

Constant

Algebraic Constraint

•} G> Sine Wave

>^max . >|sig -

Check Discrete Gradient

Check Dynamic Gap

MATLAB Y Function

y=f8,i3>

v

>^min

Digital Clock

H

system

y

User-Defined Functions

Bild 4.5: Beispiele flir die Zuordnung der Funktionsblocke der Library unter Simulink 6 Simulationsstart mit der zuvor eingegebenen Integrationsdauer erfolgt iiber den Button S i m u l a t i o n / S t a r t oder dem ^ Button. Das komplette Modell ist in Bild 4.6 abgebildet. Zum Experimentieren dient L i b _ B e i s p . m d l aus [59]. Out1

ci>I I Constant

"V -^ \

T

Scope

' "

s

Integrator itegrat(x

•

^

n i^^"'***'^

Gain

w

rn

^ W

To Workspace

Bild 4.6: Beispiel eines einfachen Block-Modells

4.3.2

Einstellung des Integrators u n d des Datentransfers

Die Integratorauswahl erfolgt im Modell-Fenster unter dem Meniipunkt S i m u l a t i o n Option C o n f i g u r a t i o n P a r a m e t e r s ; vgl. Bild 4.7. Hier existieren in Abhangigkeit der vorhandenen Toolboxen mehrere anwahlbare Dialogseiten: S o l v e r , D a t a I m p o r t / E x p o r t , D i -

4.3 Simulink-Gmndlagen

159

] Configuration Parameters: Ctest/Configuration Simulation time

Select •••Da\a Import/Export •OphmizaNon Q Diagno=Ncs

Start time: [ a O ~

^

Stop time: [ Z 0 ~

Solver options

Sample Time

Type:

Variable-step

Data Validity

MaKstep size:

auto

1 Relative tolerance: le-3

Minstep size:

auto

[Absolute tolerance: auto

Initial step size:

auto

Tvpe Conversion Connectivity Compatibility Model Referencing Hardware Implementation Model Referencing

Zero crossing control: Use local settings

,v|Solver:

ode45 (Dormand-Prince)

iv

3

1 1 Automatically handle data transfers between tasks Solver diagnostic controls

J -'

Number of consecutive min step size violations allowed: [T Consecutive zero crossings relative tolerance: Number of consecutive zero crossings allowed:

^1

OK

^m

Apply

I

atjon Parameters: Ctest/Configu ration AJ

Load from workspace -Solver Optimization \=\ ['lagnoitics Sample Time

n

Input:

|[t.u]

n

Initial state: [^Initial

-Save to workspace

Data Validity

0

Time:

|tout

1

Type Conversion

0

States:

l^out

1 1

Connectivity Compatibility Model Referencing Hardware Implementation Model Referencing

•

Output:

|yout

•

Final states:

I^Final

|

0

Signal logging: |sigsOut

1

n

Inspect signal logs when simulation is paused/stopped

Save options 0

Limit data points to last: |1000

Format: Output options:

_J Decimation:

|1

Array Refine factor: p

Appiv

^

Bild 4.7: Configuration Parameters Fenster von Solver und Data Import/Export, Simulink 6.4

a g n o s t i c usw.. Auf der Solver-Seite werden Start- und Stopp-Zeit, das Integrationsverfahren und Daten zur Schrittweite sowie zur Toleranzvorgabe eingestellt. Unter Z e r o s c r o s s i n g c o n t r o l ist die Nullstellen-Detektion spezieller Blocke ubergeordnet ein- oder ausschaltbar. Auf der Seite D a t a I m p o r t / E x p o r t nach Bild 4.7 wird u. a. der Datentransfer zwischen Simulink und dem Workspace sowie einige Optionen organisiert: • Load from workspace: Einerseits konnen unter Input ein Zeit- und Eingangsvektor t, u und andererseits unter Initial State der Anfangswertvektor x i n i t i a l der Zustande an das Simulink-Modell ubergeben werden. Fur [ t , u] miissen im Modell dafiir Inports-Blocke aus der Ports & Subsystems-Bihliothok vorhanden sein; siehe FromWorksp . mdl in [59]. • Save to workspace: Datentransfer aus dem Simulink-Modell in den Workspace. Dies bezieht sich auf den Zeitvektor z.B. tout^ auf den Zustandsvektor Xout sowie auf die Ausgangsvaria blen yout denen Outports-Blocke - vgl. Bild 4.6 - aus der Ports & Suhsystems-E'ihlioihok zugeordnet sein miissen. Die Reihenfolge der gespeicherten Zustande (Integrator-Ausgange) wird von dem 5om*^r-Algorithmus, wie in Abschn. 4.1.2 beschrieben, festgelegt. Sie kann mit F o r m a t / B l o c k D i s p l a y s / S o r t e d O r d e r ins Modell-Fenster eingeblendet wer-

160

4 Simulation unter Simulink®

den. Dariiber hinaus konnen die Zustandswerte ( x F i n a l ) zur Stopp-Zeit gespeichert werden; siehe F r o m W o r k s p . m d l in [59]. • Im Feld Save options kann die Anzahl der gespeicherten Daten tout^ yout usw. begrenzt werden. Unter Output options/Refine o u t p u t ist es moglich, mit dem R e f i n e f a c t o r zusatzliche Ausgabewerte mittels Kurvenglattungs-Methoden im Integrationsintervall [f„,f„+i] zuerzeugen; d.h. R e f i n e f a c t o r = 1 liefert keine, R e f i n e f a c t o r = rliefert r — 1 Zwischenwerte. Der Defaultwert ist 1. Die Zwischenwerte beziehen sich nur auf die Ausgabe und nicht auf die Darstellungen im Scope oder XY Graph. Im D i a g n o s t i c - F e n s t e r kann u. a. ausgewahlt werden, wie bei den aufgelisteten Ereignissen (z. B. Algebraic loop, Date overflow usw.) wahrend einer Simulation reagiert werden soil; z. B. mit: Warning, Error (Simulationsabbruch) oder none. 4.3.3

Datentransfer uber den Workspace

Die Parameter und/oder Matrixelemente usw. der Funktionsblocke las sen sich in den zugehorigen Parameter-Dialog-Boxen als numerische oder symbolische Werte eintragen, z. B. gilt fur eine 2 x 2-Matrix: [0 1; 1 4] Oder A. Ist der symbolische Wert (A) eingetragen, z. B. im State Space Block von Bild 4.8, dann miissen die zugehorigen numerischen Werte vor dem Simulationsstart im Workspace liegen. Dieses kann u. a. iiber eine Tastatureingabe oder iiber ein angestartetes M-File erfolgen, wie in Bild 4.8 verdeutlicht. Der Datentransfer aus dem Simulink-Modell in den Workspace erfolgt u. a. iiber den TO Workspace Block in Array- oder Structure-Format, z. B. wie in Bild 4.8 fiir die Matrix s i m o u t oder den Outport Block wie in Bild 4.6 und Abschn. 4.3.2. Damit konnen die Daten in MATLAB u. a. zur grafischen Darstellung weiterverarbeitet werden. Eine weitere Moglichkeit zur SIMULINK: Modell-Fenster X = Ax + Bu y — Cx + Du To Workspace/

^

State Space

optional Blockparametrierun,

Workspace Bild 4.8: Datenaustausch am Beispiel des State Space Blocks tJbergabe der Simulationsdaten in den Workspace kann im Scope-Fenster durch aktivieren der Array- oder Structure-tJbergabe, vgl. Abschn. 4.3.5.4, S. 166, erreicht werden. 4.3.4

Simulationsaufruf aus der MATLAB Umgebung

Die Simulation kann einerseits direkt aus dem Menii-Punkt S i m u l a t i o n / S t a r t oder mit dem Start-Icon • der Meniileiste und andererseits aus der MATLAB-Umgebung, mittels Tastatur

4.3 Simulink-Gmndlagen

161

Oder M-File, erfolgen. Aus der MATLAB-Umgebung wird der Start mit dem Aufruf der Function sim eingeleitet. Optionen werden mit simset gesetzt und konnen mit simget aufgelistet werden, verfolge: help s i m usw.. Die einstellbaren Optionen umfassen z.B. die der Solver- und D a t a I m p o r t / E x p o r t - S e i t e , z.B. R e l T o l , A b s T o l , MaxRows, R e f i n e usw.. AusgabeDaten werden entsprechend dem Function-Aufruf in eckige Klammern gesetzt, sie beinhalten die GroBen der D a t a I m p o r t / E x p o r t Seite unter Save to workspace. Daten des Workspace, die im Feld Load from workspace aufgefiihrt sind, stehen im Aufruf hinter den Optionen. Die Syntax eines Aufrufs lautet: [ t o u t , x o u t , y o u t ] = sim ( ' m o d e l l ' , t i m e s p a n , o p t i o n s , t u ) mit - siehe auch F r o m W o r k s p . m d l in [59] tout Zeitvektor xout Zustande, spaltenweise yout Daten der Outports, spaltenweise ' model 1' Name der Modelldatei, z. B. 'model' ohne Endung mdl time span Zeitintervall: z. B. t e Stoppzeit (bei Startzeit 0) oder [ t a , t e ] Start und Stoppzeit usw. option mit simset zu kreierende optionale Parameter (z. B. Genauigkeit) der Simulation t u Eingangsvariablen iiber Inports Blocke t u = [ t , u ] Beispiel: Aufruf fiir eine Integration im Debugger-Mode nach Abschn. 4.3.5.6, bei der maximal 1000 Zeilenelemente ausgegeben und die Integrationsdaten mit einem zusatzlichen Zwischenwert geglattet werden soUen. Die Integrationszeit sei 10 s: m e i n e _ o p t = simset ( ' MaxRows' , 100 0 , ' R e f i n e ' , 2, ' d e b u g ' , ' o n ' ) ; [ t , x ] = sim ( ' P r o g _ N a m e ' , 1 0 , m e i n e _ o p t ) ; 4.3.5

Hilfsmittel zur Modellerstellung und Datenauswertung

Zur besseren tJbersichtlichkeit und Transparenz werden Modellgruppen, meist von Teilstrukturen wie Filter, Regler, Radaufhangung usw., zu Subsystemen zusammengefasst. Dabei ist es wesentlich, dass die zugehorigen Blocke bereits optisch Aussage iiber ihren Inhalt anzeigen. Zur diesbeziiglichen Block-Maskierung geben wir einige Anregungen. Darliber hinaus bieten die Scope Blocke Moglichkeiten zur Grafikdarstellung in der MATLAB-Umgebung, so dass Anderungen und Erganzungen leicht durchgefiihrt werden konnen. 4.3.5.1

Zur Erstellung eines Subsystems

Bei komplexeren bzw. umfangreichen Modellen gewinnt man an tJbersichtlichkeit, wenn Modellgruppen zu Subsystemen zusammengefasst werden. Dariiber hinaus konnen mehrfach eingesetzte Baugruppen in einer Modell-Bibliothek in Form von Subsystemen bereitgestellt werden. Wir unterscheiden in Bild 4.9 zwei Moglichkeiten der einfachen Subsystem-Erstellung fiir die zeitdiskrete Folge yk = yk-i + 1, ^ = 1,2,..., die wir stichwortartig beschreiben. 1. Ausschnitt eines vorhandenen Modells; vgl. Bild 4.9iinks* a. Modell kopieren, da Vorgehensweise eingeschrankt umkehrbar ist.

4 Simulation unter Simulink®

162

nSubModell 1 File Edit View

Simulation

Format

Tools

D I c ^ H a i J t ^ f e l l ^ i C l l ^

Help

• Izs

\ii^\

~_

[!!SubModeLL Z/Subsystem File Edit View Simulation Help

D

D-

GD-

Unit Delay

-•J

nSubModell 2 File Edit View

Out1

-
Scope

Gummiband IVariableStepDiscrete

^|

Simulation

Tools

Format

F 100%

D lai; H # u % fe|:Q cil • - P Model B r o w s e r - ^ 1 ^ 1

Ready

Tools

H # | Jt % e | ^ Q| • • p ^ ^

•

-
IQS;

Format

^

[VariableStepC ^ |

Help

fN^;;;;^

3ig^[?]^

x|

1100%

r

IVariableStepDiscrete" ^ |

Bild 4.9: Subsystem-Erstellung, oben: Modell-Ausschnitt, Subsystem-Block; unten: Modell mit maskiertem Subsystem

b. Bereich mit Gummiband abgrenzen: linke Maustaste gedrlickt halten und Eckpunkte des Subsystems anfahren -^ Elemente des Subsystems sind markiert. c. Button E d i t -^ c r e a t e s u b s y s t e m -^ Subsystem ist erstellt, vgl Bild 4.9unten. d. Eigene Kennung und Beschriftung einbringen; vgl. Abschn. 4.3.5.2. e. Subsystem speichem; gegebenenfalls zuvor Block zur Isolierung in neues Fenster kopieren und moglicherweise erganzen. 2. Direkte Erstellung; vgl. Bild 4.9i-echts* a. Block Subsystem aus Ports & Subsystems in das Modell-Fenster ziehen. b. Doppelklick auf den Block offnet das Fenster fiir das Subsystem; Modell kann erstellt oder hineinkopiert werden. In Bild 4.9 unten ist das Modell mit dem erstellten und anschlieBend maskierten Submodell, siehe Abschn. 4.3.5.2, dargestellt. Der Model Browser mit den Modell-Elementen wird durch den Button ^ ein-/ausgeblendet. Experimentierfiles: S u b M o d e l l _ l . m d l , S u b M o d e l l _ 2 . m d l in [59]. 4.3.5.2

Maskierung und Parameterbox

Eigens kreierte Blocke, Subblocke sowie Level-1 M-File S-Function Blocke, siehe Abschn. 4.5, lassen sich mittels Text, Grafik oder numerischer Ausdrticke kennzeichnen. Hierzu ist der zu

4.3 Simulink-Gmndlagen

163

bearbeitende Block zu aktivieren und unter dem Menii-Punkt E d i t oder im Kontextmenii (offnen mit rechter Maustaste) mit E d i t Mask bzw. C t r l + M den Mask E d i t o r zu offnen. Im D r a w i n g c o m m a n d s Fenster sind dann die Eintragungen vorzunehmen, wobei eine BeispielTabelle mit der zugehorigen Syntax dies unterstiitzt. Wir geben einige Moglichkeiten an. Texterzeugung erscheint zentriert im Block disp {' t e x t ' ) ; iiber x , y positionierbar text (x^ y^ ' t e x t ' ) ; fprintfCtext' ) disp ( ' t e x t 1 \ n t e x t 2)' ; mit tJbergang auf neue Zeile \n Grafikerzeugung Darliber hinaus kann die Funktion des zu maskierenden Subsystems durch Grafiken im Block, wie in Bild 4.9unten, hervorgehoben werden. Mittels Plot-Aufruf lassen sich 2D-Grafiken direkt erzeugen, z. B. plot (sin (0 : p i / 1 0 0 : 2 ^pi) ) ; oder p l o t ( t , y ) ;, wobei die Daten t und y im Fenster: I n i t i a l i z a t i o n / I n i t i a l i z a t i o n c o m m a n d s z. B. wie mit t = 0 : l / 1 0 0 : l ; ; y=0 . 5 + 0 . 25^sin ( 2 ^ p i ^ t ) ; erzeugt werden oder im Workespace liegen miissen. Im Icon-Fenster unter U n i t s kann die Skalierungsart eingestellt werden u. a.: N o r m a l i z e d (Fenstereckpunkte, unten links (0,0) oben rechts (1,1)) oder mit A u t o s c a l e automatisch an die Extremwerte des Fensters angepasst. 3D-Grafiken, z. B. mit plot3 erzeugt, miissen zunachst in ein spezielles Grafikformat konvertiert werden. Im AUgemeinen lassen sich Grafiken und Photos unterschiedlicher Formate (vgl. help i m r e a d ) zur Maskierung der Blocke nutzen. Wir zeigen dies mit einer 3D MATLAB-Grafik, die wir zunachst mit cplxroot {2, 15) erzeugen. Die im Grafikfenster dargestellte Grafik exportieren wir in das JPG-Format und speichern die Grafik z. B. unter S u b G r a f i k . j p g . Dieses File lasst sich mit image(imread ( ' S u b G r a f i k . j p g ' ) ) einbinden, wie in Bild 4.10 gezeigt; vgl. auch S u b D e m o _ l . m d l , SubDemo_2 . m d l in [59].

>|Eing1^f

^ - ^ ^ ^

\

>| Eing 2

Ausg 1V

^m^

Subsystem a: 3D-Einbindung

Subsystem b: Photo-Einbindung

Bild 4.10: Beispiele flir eigens kreierte Block-Maskiemngen

164

4 Simulation unter Simulink®

Labelerzeugung Weiterhin lassen sich auch eigene Label der jeweiligen In- und/oder Outports anzeigen. Wir geben zwei Moglichkeiten an, wobei vorausgesetzt wird, dass ein Block-Icon, wie in Bild 4.10, existiert. I Beschriftung der Ein- und Ausgabeports im Subsystem andem: - vorhandene Beschriftung mit rechter Maustaste anklicken - Beschriftung andem - E d i t Mask / T r a n s p a r e n c y auf T r a n s p a r e n t setzen II Fiir einen Block mit zwei Eingangen und einem Ausgang lauten die ins Drawing Comnia nd-Fenster einzutragenden Befehle: portJabelC i n p u t ' , 1 , ' E i n g 1') portjabel (' i n p u t ' ,2, ' E i n g 2' ) port_label (' o u t p u t ' ^ 1, ' Ausg 1' ) vgl. Bild 4.10, wobei unter T r a n s p a r e n c y jetzt Opaque (undurchsichtig) auszuwahlen ist. Parameter-Dialogbox Dariiber hinaus konnen auch subblockeigene Parameter-Dialog-Boxen erstellt werden, in denen, wie in Standardblocken, Parameter einzutragen oder zu aktualisieren sind, vgl. u. a. das Subsystem der Fahrbahnunebenheit Bild 4.18 bzw. s i m _ v l l s .mdl sowie s i m _ v l 2 .mdl in [59]. Wesentliche Schritte zur Parameter-Initialisierung: • • • • • • •

Feld P a r a m e t e r s im Mask E d i t o r auswahlen (siehe oben) Add Button @ anklicken (freie Zeile offnet sich) Eintrag unter Prompt, z. B.: Bezeichnung/Verwendung, wie F i l t e r k o e f f i z i e n t a l Eintrag unter V a r i a b l e , z. B. Variablen-Name: a l Eintrag wird in freigeschaltete Zeile ubernommen weitere Eintrage mit Add Button .. usw. Erganzende D i a l o g p a r a m e t e r s : Spalte t y p e : e d i t oder (checkbox oder) popup, Auswahl-Parameter im Fester Popups eingeben Spalte E v a l u a t e : ^ (aktiv)

4.3.5.3

Marken und Speicher fur den Signalfluss

In umfangreichen Modellen konnen die iiblichen durchgezogenen Signalpfade zur Uniibersichtlichkeit fiihren. Mit Hilfe der Goto/From Blocke sowie der Data Store Memory / Read / Write Blocke aus der Signal Routing Sublibrary werden Signale ohne physikalische Verbindung weitergeleitet. In Bild 4.11 sind beide Transfer-Moglichkeiten anhand des Modells zur Differenzialgleichung eines Rauber-Beute-Modells 2

2

x = 1.2x - X - -iy + y)

4.3 Simulink-Gmndlagen

165 Goto1

Rauber-Beute-Modell

Data Store Read

Integratorl

^

-•/[y_p]


u=[ y X ]

E>-

Data Store Memory

K3

Integrator

Data Store Write

Gain1

1.5*u(1)*u(2)/(u(2) + 0.2) M

n

Fen

E>

u_y = 2/3 (y jD + y)

X

XY Graph

Bild 4.11: Beispiel zum Signalfluss mit Marken y=

1.5

xy

x + 0.2

y

demonstriert, wobei alle Signalflusse lokale GroBen sind. Wahrend die Goto/From Blocke in einer Hierarchie-Ebene die Signale unmittelbar weiterleiten, benotigen die Data Store Blocke den zusatzlichen Memory Block. In beiden Fallen leitet ein Goto bzw. Data Store Memory Block die Signale an mehrere korrespondierende From bzw. Data Store Read Blocke weiter. Der Eingang z. B. in den Goto Block kann reell, komplex oder vektoriell aller Simulink-Datentypen sein. Dies gilt auch flir den portlosen Signalfluss in/aus Subsystemen, wie anhand eines Submodells zu einem Ein-Massen-Schwinger mit D a t _ t r a n s . m d l in [59] gezeigt. Dabei sind einige Regeln zu beachten, die wir anhand der Goto/From Blocke kurz erlautem, vgl. Online Hilfe. Wesentlich ist die Einstellung in der Parameterbox des Goto Blocks. Einerseits erhalt das Signal eine Bezeichnung (Tag), z. B. A wie in Bild 4.12 und andererseits den Tag Visibility Parameter: local, scoped, global, der vom Ort der Blocke in der Hierarchie-Ebene des Modells abhangig ist. Fur miteinander korrespondierender Blocke, sie enthalten den gleichen Tag Name, ist zu unterscheiden: • local: Goto und From Block liegen in einer Hierarchie-Ebene, d. h. in der Hauptmodellebene, wie in Bild 4.11, bzw. in einem Subsystem. Der Tag Name steht in eckiger Klammer, z.B. [ A ] . • scoped: Neben dem Goto und From Block wird der Goto Tag Visibility Block benotigt. Dabei konnen alle drei in einer Ebene, z. B. einem Subsystem (weniger sinnvoll), liegen oder in unterschiedlichen Ebenen, z.B. Subsystemen unterhalb des Goto Tag Visibility Blocks. Beispiel: Goto Tag Visibility und From Block in einer Ebene und der Goto Block in einem eingebettetem Subsystem, vgl. Bild 4.12 oder Goto Tag Visibility und Goto Block in der iibergeordneten Ebene und der From Block in einem Subsystem, vgl. G o t o F r o m . m d l in [59]. Bei zwei und mehr ahnlich aufgebauten Ebenen, die jeweils Bestandteil eines Subsystems sind, ist mehrfach der gleiche Tag Name zulassig. Der Tag Name steht in geschweifter Klammer, z. B. { A } wie in Bild 4.12. • global: Goto und From Block/Blocke konnen in beliebigen Ebenen eines Modells angeordnet sein. Mehrfach Tag Name sind auszuschlieBen.

4 Simulation unter Simulink®

166

{A} Goto Tag Visibility

[A]

)-H^)

From

Out1

Subsystem

Bild 4.12: Beispiel zum pfadlosen Signalfluss in zwei Hierarchie-Ebenen Zusammenfassend: Liegen die Blocke mit gleichem Tag Name in einer ebenen, so sind sie mit local zu vereinbaren. Existieren mehrere geschachtelte Subsysteme, so empfiehlt sich die scoped Vereinbamng. Namensgebungen fiihren weniger zu Konflikten. Bei ubersichtlich angeordneten Subsystemen bietet sich die global Vereinbamng an. In der Parameter-Box des Goto Blocks werden alle Verbindungen mit den korrespondierenden From Blocken angezeigt. Mit einem Mausklick auf den jeweiligen Eintrag wird der From Block im Simulink-Modell hervorgehoben. 4.3.5.4

Zur Bearbeitung der Scope-Darstellung

Linientypen, -starken und -farben einer Grafik im Scope aus Bild 4.5 sind nicht direkt manipulierbar. Es soil deshalb eine Moglichkeit zur Einblendung der Menii-Leiste entsprechend des MATLAB-Grafik-Fensters (figure) Bild 1.9 angegeben werden. Damit sind dann bekannte Anderungen und Erganzungen moglich. Einblenden der Menii-Leiste Bei geoffnetem Modell und aktiviertem Scope wird mit den Set-Befehlen set(0,'ShowHiddenHandles','On') s e t (gcf ^ ' m e n u b a r ' , ' f i g u r e ' ),

Wiederholung bei mehreren Scopes

die Meniileiste der Standard MATLAB Figure eingeblendet und somit die Grafik, u. a. mit den in Abschn. 1.4.2.4 beschriebenen Mitteln, bearbeitbar. Dies gilt auch fur den XY Graph. Nach eingeblendeter Menii-Leiste wird mit f i g u r e (gcf) das Grafik-Fenster aktiviert, um es, wie oben angegeben, zu bearbeiten. Aber auch liber Befehlseingaben im Command Window wie z. B. xlabel ('...'), ylabel ('...'), titled ' ) , grid sind jetzt Erganzungen zulassig. Darstellung im Figure-Fenster mit simplot Mit dem Befehl simplot lassen sich Daten, die u. a. mittels Scope-Eintrag unter Parameters/Data history: O Screen data to workspace (aktiv) Variable name : {ScopeData} (default) Format: Array | S t r u c t u r e | S t r u c t u r e with time in dem vereinbarten Format in den Workspace geschrieben wurden, vereinfacht grafisch darstellen, vgl. help s i m p l o t . Beispiel: s i m p l o t ( D a t a ) , wobei D a t a vom Format S t r u c t u r e w i t h t i m e ist. Dies bezieht sich auch auf die Daten aus dem To Workspace Block. Vielfach ist es sinnvoU, den simplot Befehl in Zusammenhang mit einem To Workspace Block unter

4.3 Simulink-Gmndlagen

167

F i l e / M o d e l P r o p e r t i e s / C a l l b a c k s - z . B . s i m p l o t (Data) - einzutragen, so dass dieser unmittelbar nach der Integration ausgefiihrt wird, wie u. a. in s i m _ v l 2 . mdl aus [59]. 4.3.5.5

Der Modell Explorer

Der Modell Explorer, siehe auch Abschn. 6.1.6 und Bild 6.9, S 285, liefert u. a. einen schnellen tJberblick aller in einem Simulink-Modell eingebrachten Blocke. Die iiblicherweise durch Mausklick bezuglich der Modelle/Blocke eingeblendeten Dialog-, Parameter-Boxen konnen im Explorer integriert, geoffnet, die Eintrage gesichtet und geandert werden. Dies wird um Informationen in einem Stateflow-Chart, wie in Kapitel 6, erganzt. Der Explorer wird aus der Meniileiste des Modell-Fensters unter View/Mo d e l E x p l o r e r bzw. mit dem Button IS oder iiber E x p l o r e des Kontext Mentis eines mit Rechts-Klick der Maustaste angewahlten Objekts/Blocks geoffnet. Die wesentlichen Elemente des Explorers, siehe Bild 6.9 sind die Haupt-Toolbar, die Search-Leiste und die Spalten: • Model Hierarchy • Contents / Search • Dialog Die Dialog-Spalte kann mit dem Button 13 ein- und ausgeblendet werden. Die Model Hierarchy Spalte zeigt die hierarchisch angeordnete Baumstruktur der SimulinkUmgebung mit den Haupt-Knoten Simulink Root, es folgen der Base Workspace (MATLAB Workspace) sowie Knoten der geoffneten Simulink-Modelle. Jeder Modell-Ast enthalt den Model Workspace, die Subsysteme des Modells usw.. Ein Mausklick auf den Modell-Knoten offnet die Contents Spalte zusatzlich mit den im Modell befindlichen Blocken sowie zugehoriger BlockInformationen, z. B. Sample Time. Gleichzeitig erscheinen die Modell-Eigenschaften (Model Properties) in der Dialog Spalte. Die Zusatzinformation in der Contents Spalte kann nach Einblenden des Customize Contents Fenster mit H angepasst werden. Die Dialog- und Parameter-Fenster las sen sich durch Mausklick auf ein Blocksymbol in der Contents Spalte in der Dialog Spalte anzeigen, Inhalte konnen gesichtet und geandert werden. Vorteil: Viele iiber die Kontext- (Shortcut-) Mentis angewahlten modell- und blockeigenen Boxen eines Simulink-Modells sind auch im Explorer zuganglich. In der folgenden Ausfiihrung gehen wir nur auf die Anwahl mittels Kontext-Menii aus dem Simulink-Modell ein. Das Handling mit dem Explorer ist fiir den Benutzer sehr hilfreich. Es empfiehlt sich deshalb, unterstUtzt durch die Online-Hilfe zum Explorer, mit den Beispiel-Programmen zu experimentieren. 4.3.5.6

Der Simulink-Debugger, erste Schritte

Mit dem Simulink-Debugger kann die Simulation Schritt fiir Schritt ausgefiihrt werden. Zu jedem Schritt sind Ergebnisse zuganglich, so dass diese u. a. an ausgewahlten Blocken iiberpriift werden konnen. Die einzelnen Ausfiihrungsschritte werden methods (Methoden) genannt. Pro Block konnen mehrere Methoden erforderlich sein. Der Debugger basiert auf einer grafischen Oberflache (GUI, Graphic User Interface) und auf einer Command-Zeilen-Eingabe. Wir betrachten nur die grafische Oberflache. Aus dem SimulinkModell-Fenster unter T o o l s / S i m u l i n k Debugger wird die Oberflache geoffnet. Die Hauptkomponenten sind, wie in Bild 4.13: Toolbar sowie die Unterfenster Break Points, Simulation Loop, Outputs, Sorted List und Status. Mit dem Icon ? der Toolbar lasst sich die Online-Hilfe offnen.

168

4 Simulation unter Simulink® [^ale loop 0 File Edit View

Simulation

Format

Tools

Help

D | [ ^ H # U ^ e | < ^ = > t l ^ C ! | i i I @ 0:1 Trigonometrv.Outputs.Major

h^ fej fe^ t ^ M Breakpoints

[N^;^

|

-o-

Trigonometric Function

^^k Simulink Debueger: alg loop 0

• |20

Display

P- II

| Simulation Loop |

Outputs

I Sorted List | Status |

Break^Dispiay points

rTrace: Data of 0 : 1 Trigonometry b l o c k ' a l g _ l o o p _ 0 / T r i g o n o m e t r i e F u n c ^ = [3.9999999999999996] = [-0.75680249530792798] •p_0/TEigonometEic F u n c t i o r f ^ [^| [At breaJi p o i n t : 0 b e f o r e 0 : 1 Trigonometry b l o c k methods ' alg_loop_0/T • op_0/Tr i gonome t r i c Func t i or [^ | 11

[Remove selected point! •Breakon conditions •

Zero crossings

•

Step size limited by state

•

Solver Error

•

NaN values

|[TH = 0 [ s l d e b u g @19):

] 0 : 1 T r i gonome t r y , O u t p u t s . H a j or

'alg_l

JTrace: Data of 0 : 1 Trigonometry b l o c k ' a l g _ l o o p _ 0 / T r i g o n o m e t r i e Func = [4.0000000000025722] = [-0.75680249530960952] g [At b r e a k p o i n t : 0 b e f o r e 0 : 1 Trigonometry b l o c k methods ' alg_loop_0/T|l |[TH = 0 [sldebug 019):

] 0 : 1 T r i gonome t r y . O u t p u t s . H a j or

'alg_l

Break at time :

Bild 4.13: Modell-Fenster und grafische Debugger-Oberflache Erste Schritte mit dem Debugger werden wir im Zusammenspiel mit dem Beispiel einer algebraischen Schleife aus Bild 4.2 durchfiihren. In Bild 4.13 ist dieses Modell sowie die DebuggerOberflache nach einigen Schritten dargestellt. Es lassen sich Berechnungen von Break Point zu Break Point oder unter Einbezug von Zwischenschritten zur Anzeige bringen. In beiden Fallen ist zunachst der Start/Continue Button ^ zu betatigen. Zum Setzen eines Break Points ist der Block zum zu betrachtenden Ergebnis mit einem Linksmausklick zu markieren, siehe s i n Block in Bild 4.13, um anschlieBend mit einem Linksklick auf einen der Button ^ A der Toolbar den Break Point zu setzen. Er wird unter B l o c k s der Break Points Spalte angezeigt. Hier kann ausgewahlt werden: unter o Setzen des Stopps (Break) vor dem Block, unter €h Anzeige der Ein-, Ausgangsdaten (I/O). Die zugehorigen Daten kommen nach jedem Durchlauf in der Spalte Outputs zur Anzeige. Weitere Break Points konnen gesetzt werden. Mit ^ wird die Rechnung bis zum folgenden Break Point fortgesetzt und die Ausgabe auf der Outputs Seite aktualisiert, siehe Bild 4.13. Hier zeigt TM {Major Time Step) die aktuelle Zeit an, gefolgt von dem Namen (iD, z. B. 0:1) der im nachsten Schritt ausgefiihrten Methode und der Name des Blocks auf den die Methode angewendet wird. Die Ein-, Ausgange sind Ul, Yl (mehrere sind moglich). Mit ^ lassen sich Ein-, Ausgange eines beliebigen, angewahlten Blocks anzeigen. Im Modell-Fenster wird im Animations-Mode ^^^ einerseits die Box der folgenden Methode

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

169

(Next method box), vgl. Eintrag unter Outputs, eingeblendet und nach jedem weiteren Schritt durch ^ der Block mit dem gesetzten Break Point durch einen farbigen Pfeil {Block Pointer) und einer Rachel {Method Tile) markiert. Die Kachel-Farbe und deren Lage enthalten Information Uber den Ausfiihrungsschritt, z. B. rot fUr Update, dunkelgriin fiir Outputs usw.. Fiir das Modell aus Bild 4.13 kann somit die Zeit TM sowie die Ein-, Ausgange am sin Block verfolgt werden. Insbesondere zeigt sich, dass in einem Integrations schritt versucht wird, die algebraische Schleife iterativ zu losen. Hier liegt Konvergenz vor. In der Spalte Simulation Loop Bild 4.14 wird die Liste der Methoden, die wahrend der Simulation aufgerufen werden, hierarchisch in Baumstruktur angezeigt. Jeder Knoten steht fiir eine Breakpoints | Simulation Loop Method

|

O-l

ID

|

(+)- a l g _ l o o p _ 0 . I n i t i a l : Q

6 *•

l±l-alg_loop_0.Enal3le.]Q

8

l±l-alg_loop_0.Output.]]^

10

alg_loop_0. I n i t i a l ] 1^

12

alg_loop_0.Enable

Q

13

I3-| a l g_l Q Qp_0 • S imul a t j | |

14

B - | a l g_l 0 Qp_0 • Outp- [~| I^RootSys t e m . c n l3-|RQQtSy3ti[~|

15 1^ 17

Fcn.QQ I—TTRin

l~l

Bild 4.14: Simulation Loop Fenster mit Baum der Methoden

Methode, er kann als zusatzlicher Break Point gesetzt werden. Die in der untersten Ebene auftretenden Block (Methoden) Namen, z. B. T r i g o , sind Hyperlinks. Ein Klick hierauf markiert den zugehorigen Block im Modell-Fenster. Mit den Button Es*' h:;\ fT f\ ^ konnen alle/wesentliche Schritte der Integration, also auch zu Zwischenzeiten eines Integrationsintervalls (Tm, Minor Time Step), angezeigt werden. Mit ^^ {step) werden alle Methoden aller Hierarchie-Ebenen angezeigt, mit h^ {step over) in jedem Schritt die der aktuellen Hierarchie-Ebene. Alle tiefer liegenden Methoden werden natiirlich abgearbeitet aber nicht angezeigt. Mit H^ {step out) erfolgt ein Sprung ans Ende (z. B. T r i g o ) der aktuellen Methode, alle Zwischenschritte werden ausgefiihrt. Mit ^^ {step top) wird an die Stelle der ersten Methode des nachsten Zeitschritts gesprungen (im AUgemeinen an den Anfang der Simulationsschleife). Mit M {step blockmth) erfolgt der Sprung zum jeweils folgenden Block. Diese Schritte sind auch ohne Break Point ausfiihrbar. Experimente mit weiteren Beispielprogrammen soUten spater durchgefuhrt werden.

4.4

Simulink-Modellierung eines einfachen Projekts

Wir wollen eine Einfiihrung zur Modellerstellung und Simulation unter Simulink nicht an spezifischen kleinen Beispielen, sondern schrittweise an einem kleinen Projekt vornehmen. Es werden dabei bewusst einige numerische Probleme eingearbeitet, die spater zu diskutieren sind. In den Kapiteln 5, 6, 7 und 8 folgen erganzende Beispiele/Projekte unterschiedlichster Problematiken, z. B. zur Bearbeitung von Systemen mit Zustandsereignissen (Events).

4 Simulation unter Simulink®

170 4.4.1

1/4-Fahrzeugmodell und die Bewegungsgleichungen

Das Schwingungsverhalten, angeregt durch eine Rampenauffahrt, ist fiir das 1/4-Fahrzeugmodell nach Bild 4.15 zu untersuchen. Das skizzierte Modell des Fahrzeuges, bestehend aus Aufbau Aufbau

Fahrbahn

Bild 4.15: Fahrzeugmodell auf unebener Fahrbahn (m^) und Reifen (niR, kR), bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit iiber eine Rampe xs

r 0,W

fiir t < 0,1

I 0,01 fur t > 0,1, ausschlieBlich der Fahrbahnunebenheit

(4.4)

und schlieBlich auf einer unebenen Fahrbahn. Die Radaufhangung wird durch die Feder (kA), den Dampfer (J^) und das COULOMBsche Reibelement (Reibkraft FR), Z. B . infolge eines Blattfederpakets nach [18], beschrieben; kR beriicksichtigt die Reifensteifigkeit. Die Auslenkungen x^, XR zahlen wir aus der Gleichgewichtslage, die sich infolge der Gewichte einstellt. MA = 10^ kg; MR = 10^ kg; CIA = 12 10^ N s/m kA = 40 10^ N/m; kR = 40 10^ N/m; FR = 400 N

Systemparameter:

Aufbau

XA

FR

kA{xA - XR)

FR = sign(i;A - XR) dA{xA - XR)

FR

Rad

rriR 77777

kR{xA -

Xs)

Bild 4.16: Schnittbild zum Fahrzeugmodell Die zugehorigen Bewegungsgleichungen ergeben sich mit Bild 4.16 nach schn. 2.2.2.1 zu: mAXA + kA{xA -XR)-\-dA{xA MRXR - kA{xA -XR)-dA{xA

- XR)-\-FR

sign{xA - XR) = 0

- XR) - FR sign{xA - XR) - kR{xs - XR) = 0.

NEWTON

aus Ab-

(4.5)

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

171

Aufgrund des Reibansatzes beriicksichtigen die Bewegungsgleichungen die Bereiche der Gleitreibung Vrei =XA—XR^^\ ausgedrlickt durch die Definition der sign-Funktion s i g n Vrel

{-'.

f u r Vrel >

0

fur

0

Vrel <

sign(O)

mathematisch nicht definiert.

(4.6)

Es liegen also Bewegungsgleichungen mit Unstetigkeiten vor, vgl. Kapitel 5. Dieses kann numerisch Schwierigkeiten bereiten. Aus diesem Grund entscharft man das Problem oft durch die abgebildete stuckweise stetige Reibkennlinie. FR

FR

approxim iertes Reibmodell

COULOMB-

Reibmodell "^rel

-vo

vo

Vrel

Beide Falle sollen betrachtet werden. 4.4.2

Aufbereitung der Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen (4.5) bestehen vorwiegend aus linearen Abhangigkeiten. Bei der Modellierung woUen wir deshalb auf dem State Space Block^ aus der Continuous-L\bYdiYy mit der iibergeordneten Gleichungsstruktur in Simulink-Schreibweise X

Ax + Bu

(4.7)

Cx + Du

aufbauen. Hierzu muss die Systemgleichung (4.5) in Zustandsform iiberfiihrt werden, wobei wir die Modelle ohne und mit Reibelement unterscheiden und in dieser Reihenfolge auch in Si mu I ink bearbeiten wollen. 4.4.2.1

Fahrzeugmodell ohne Reibelement

Fur die Zustandsdifferenzialgleichung fiihren wir neue Abkurzungen der Zustande ein: Xi=XA\

X2=XR;

X3=XA;

(4.8)

X4=XR.

Hiermit konnen wir die Bewegungsgleichungen (4.5) fiXr FR = 0 auf die Form Xl =

X3

X2 =

X4

X3= XA =

rriA MR

(X1-X2) [Xl - X 2 ) H

ruA rriR

(4.9)

(X3-X4) (X3-X4)

rriR

{X2-Xs)

3 auch eine vektorielle Betrachtung mit einem oder zwei Integrierer-Blocken ist moglich

4 Simulation unter Simulink®

172

bringen, wobei xs die Eingangsfunktion nach (4.4) ist. Wir wahlen xi = XA undXRX2als Ausgange. (4.9) hat somit die Struktur x= Ax -\- Bu, y=Cx.

u = Xs

(4.10)

Die Systemmatrizen stellen wir zusammen: - SystemmatrixA: 0 0 -kA/ruA kA/rriR

0 0 kA/ruA -{kA-\-kR)/mR

1 0 0 1 -dA/rriA dA/ruA dA/ruR -dA/rriR

(4.11)

- Eingangsvektor 5 fiir die EingangsgroBe u = xs: B=[0,

0, 0, kR/rriR]^

(4.12)

- Messmatrix C und DurchgangsmatrixD fiir die MessgroBen x\,X2'. 1 0 0 0 1 0

C =

0 0

(4.13)

D =

- Zustandsvektor x und Messvektor y: X=

(4.14)

(xA, XR, XA, XR)^ = ( x i , X2, X3, ^4)'^;

y={xA,

(4.15)

XR)^ = (Xi, X2)^ .

Alternativer Ausgang y: Ist man an der Beschleunigung des Aufbaus XA = X3 sowie der Reian fenkraft /R interessiert, dann erreichen wir dies mit X3

.jk

fR

0

MA

jk

MA

kR

_d^ MA

0

XX

41

MA

0

Xi

+

0 -kR

W,

U=

Xs

_ X2 _

D 4.4.2.2

u.

Fahrzeugmodell mit Reibelement

Die Systemmatrix A bleibt unverandert. Da die Relativgeschwindigkeit X3 — X4 ins Reibgesetz eingeht und wir dieses auBerhalb des State Space Blocks modellieren miissen, ist der Ausgangsvektor y gegeniiber der vorangegangenen Betrachtung zu erweitem. Einerseits konnen wir C so wahlen, dass y =x, andererseits konnen wir aber auch C so aufbauen, dass am Ausgang die Relativgeschwindigkeit X3 —X4 anliegt. tJber die Eingangsmatrix B bringen wir jetzt zusatzlich die Reibkrafte in das System ein, so dass folgende Matrizen gegeniiber dem reibungsfreien System

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

173

einzusetzen sind: - Eingangsmatrix B, Eingangsvektor u: 0 0 0 /rriR

B =

0 0 -FR/ruA

,

u =

_ sign(x3-X4)

(4.16)

FR/ITIR

- Messmatrix C und Durchgangsmatrix D, es bieten sich zwei Moglichkeiten an: a) Ausgabe aller ZustandsgroBen

C =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

' 0 0 D = 0 0

0 " 0 0 0

(4.17)

An b) Ausgabe ier derAll Auslenkungen xi, X2 sowie der Relativgeschwindigkeit X3 — X4 slenkun

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 -]

D

' 0 0 " 0 0 0 0

(4.18)

Wir arbeiten mit der Ausgabe aller ZustandsgroBen, also mit (4.17). Im Weiteren wollen wir die Simulink-Modelliemng schrittweise aufbauen. Wir beginnen mit der Formulierung des Fahrbahnprofils. 4.4.3

Das Fahrbahnprofil

Das Fahrbahnprofil werden wir in zwei Schritten erzeugen. Zunachst modellieren wir die Fahrbahnunebenheit und daran anschlieBend die Rampe und das ebene Plateau nach (4.4). Das voUstandige Fahrbahnprofil setzt sich dann auf dem Plateau additiv aus beiden Anteilen zusammen. Natiirlich konnen auch gemessene Fahrbahnunebenheiten verarbeitet werden. Liegen Messwerte sowie ein hierzu parallel aufgenommener Zeitvektor, der ein MaB fiir die Geschwindigkeit darstellt, vor, dann konnen diese mit dem From Workspace Block aus Sources in das Problem eingebunden werden. Der mit anzugebende Zeitvektor dient dabei zur Synchronisierung mit der Simulationszeit. 4.4.3.1

Modellierung der Fahrbahnunebenheit

Zur Nachbildung der Fahrbahnoberflache gehen wir von einem tiefpassgefilterten digitalen weiBen Rauschen aus, siehe Bild 4.19iinks- ^^^ Tiefpass sei ein BUTTERWORTH-Filter 3-ter Ordnung (lineare gewohnliche Differenzialgleichung 3. Ordnung) JF + j^iCOgyp + l^icolyp + Ms^gjF = l^WgU

(4.19)

4 Simulation unter Simulink®

174

mit dem Eingangssignal u und den Filterparametern jji = JI2 = 2; JI3 = 1 sowie der Grenzfrequenz (Eckfrequenz) cOg. Der Funktionsblock Band-Limited White Noise aus der Blocklibrary yp Fahrbahnunebenheit

Up

\H^

Tie^assfilter

Band-Limited White Noise

Bild 4.17: Fahrbahnmodelliemng Sources liefert das digitate Rauschsignal up- Mit dem Parameter cOg des Tiefpassfilters (Formfilters) glatten wir das Signal und steuern den Oberwellengehalt der Fahrbahnunebenheit. Die Amplitudenwerte werden iiber die Intensitat des Rauschsignals eingestellt; einfachheitshalber Ziehen wir den Koeffizienten fdsCOg in (4.19) in die Intensitatseinstellung UF hinein: d. h. UF

•

li^colu.

Diesen Blockparameter stellen wir unter N o i s e p o w e r des Rauschgenerators ein. Der Parameter S a m p l e t i m e des gleichen Fensters beschreibt die Impulsbreite, vgl. Bild 4.19, und ist somit ein weiteres MaB fur die Unebenheit der Fahrbahn in Abhangigkeit von der Fahrzeuggeschwindigkeit. Der endgultige geglattete Unebenheitsgrad in Frequenzanteil und Amplitude wird iiber das Tiefpassfilter eingestellt. Wir betrachten eine Fahrbahnunebenheit mit dem Parametersatz:

Tiefpass Rauschgenerator

100 rad/sec N o i s e power lisco^u, Z.B.: w = 0.1333 Sample t i m e 0.02 sec [23341] (standard) Seed

(Og

Die Filtergleichung (4.19) oder allgemeiner gewohnliche lineare Differenzialgleichung lasst sich auf unterschiedliche Weise modellieren. Wir geben drei Beispiele: 1. Modellierung mit den Funktionsblocken: Integrierer, Verstarker und Summierer (lineare und nichtlineare Differenzialgleichung) 2. Modellierung mit dem State Space Block; siehe Fahrzeugmodell. Der lineare Anteil der Differenzialgleichung muss in Zustandsform formuliert sein; isolierte Nichtlinearitaten lassen sich vielfach iiber die Eingangsmatrix einbringen. 3. Modellierung als tJbertragungsfunktion [35] mit dem Transfer Fen Block. nnu3*omg^3 s'^+mu1 *onng.s2+nnu2*omg'^2.s+mu3*onng'^3 Transfer Fcn1

4. Modellierung mit einer S-Function in den Programmiersprachen MATLAB, C, C++, Ada oder Fortran. Hiermit ist nahezu jede Form der Modellierung moglich. Die Handhabung ist

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

175

wegen der Synchronisation mit dem Simulationsprozess aufwendiger; die Programmstruktur ist weitgehend festgeschrieben, siehe Abschn. 4.5. Wir wollen (4.19) nach 1. mit einer Integriererkette realisieren. Hierzu losen wir (4.19) nach der hochsten Ableitung auf yp

IllCOgyF -

lllCOgJF -

(4.20)

l^3C0gyF + UF

und bilden aus y F durch Hintereinanderschalten von drei Integrierem j>, j/r, j/r. Die Gewichtungen der Ableitungen fiir die Riickkopplung erreichen wir mit Verstarker-Blocken (Gain Blocken). Mittels Summierer fassen wir alle GroBen entsprechend der rechten Seite von (4.20) zur hochsten Ableitung zusammen, so dass vor dem ersten Integrierer des Modells (4.20) realisiert ist. Bild 4.18oben zeigt das erstellte Blockmodell, mit dem die Simulation ausgefiihrt werden kann. In Bild 4.19 ist das erzeugte Rauschsignal und die erzielte Fahrbahnfunktion dargestellt. Da das Fahrbahnmodell fiir sich eine Einheit darstellt, konnen wir es als maskiertes Subsystem I Fahrbahnmodellierung ||

fiFF=^>(5>

y"'_F(t)

y"-F(t)

y'-F(t),

y_F(t)

Band-Limited Wliite Noise

Subsystem

Fahrbahnunebenheit y J Scope Falirbalin

Bild 4.18: Subsystem der Fahrbahnunebenheit (eigener Funktionsblock) mit dem Ausgang der Fahrbahnfunktion (Zeitfunktion) kreieren; vgl. Abschn. 4.3.5.1 sowie Bild 4.18unten- Wir werden es spater in das Fahrzeugmodell einbringen. Das Simulink-Modell s i m _ v l l s .mdl aus Bild 4.18 ist in [59] zu linden. Fiir die Filterparameter des Submodells ist eine Parameterbox nach Abschn. 4.3.5.2, Parameter-Dialogbox, angelegt. tjbungsvorschlag: Modellieren Sie die Filtergleichung (4.19) mit Hilfe der zugehorigen tJbertragungsfunktion und bilden Sie damit ein maskiertes Submodell mit zugehoriger Parameterbox. 4.4.3.2

Modellierung der ebenen Fahrbahnstruktur

Um einige Blocke der Simulink-Library zu prasentieren, werden wir bei der Modellierung der ebenen Fahrbahnstruktur zwei Darstellungen gegeniiberstellen. Die zuvor formulierte Fahrbahnunebenheit geht additiv in die hier zu formulierende Fahrbahnstruktur ein.

4 Simulation unter Simulink®

176

Weisses Rauschen (bandbegrenzt)

x10 ^

E

Strassenprofil

4

Bild 4.19: Rauschsignal und Fahrbahnunebenheit Modellierung mit einem Function-Block Mit den Function-Blocken in Bild 4.20 aus der User-Defined Functions Bibliothek kann der funktionale Zusammenhang von n Eingangen und m Ausgangen hergestellt werden (MIMO ^Block). Die Funktionen lassen sich einerseits direkt ins Block-Fenster, vgl. Parameterfenster des Fen Blocks in Bild 4.20, andererseits indirekt iiber eine Function (M-File) einbringen. Die I Function Block Parameters: Fen

^ w 1 Constar It

^ W

1 s

Iritegrat Dr

^u w

m

—1

rampe_1 y Embedded Funct on

u ATLAB

^ w

n

MATLAB Function

General expression block. Use " u " as the input variable name. Example: sin(u[1] "^ exp(2.3 " •u[2])) Parameters Expression: |0.1 " U M L K 0.1]+ 0.01 ' ' [ u > = 0 1 ] ; Sample time (-1 for inherited):

w Scope

OK

Cancel

Help

Apply

Bild 4.20: Function-Blocke zur Erzeugung der Rampenfunktion Function fiir den MATLAB Fen Block ist im Editor mit: function y = rampe (u) % rampe.m if u < 0.1 y = 0 . 1 * u; else y = 0.01; end zu erstellen und unter r a m p e .m abzuspeichern. Der Eintrag ins zugehorige Blockfenster umfasst u. a: \\M^LI\B function rampe, output dimensions 1, output signal type auto Das gleiche M-File r a m p e . m ist auch fiir den Fmbedded MATLAB Funktion Block (Simulink 6) 4 MIMO Multiple Input Multiple Output System

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

177

im Embedded MATLAB Editor, der sich mit einem Doppel-Mausklick auf den Block offnet, einzutragen. Der Sprachumfang hierfur ist begrenzt - vgl. Online-Hilfe iiber den Help-Button -. Der erstellte Code wird konvertiert und in einen compilierten C-Code gebracht, es wird zusatzlich das File r a m p e _ s f un . d l l angelegt. Mit diesen Formulierungen wird iiber die Unstetigkeit hinweg integriert; das Zeitereignis Rampenende wird nicht detektiert. Darliber hinaus wird eine additiv hinzugefiigte Fahrbahnunebenheit auch auf der Rampe uberlagert. Dies woUen wir aber ausschlieBen.

Modellierung mit dem Switch- und Gain Block Alternativ modellieren wir jetzt die Fahrbahn (4.4) mit einem Gain Block - die Verstarkung kann ein Skalar oder eine Matrix sein - mit dem Eingang der Zeit t und dem Ausgang 0 . l ^ t entsprechend (4.4). Der Verstarkungsfaktor 0.1 ist direkt in das zugehorige Parameterfenster des Gain Blocks einzutragen. Das Fahrbahnniveau nach der Rampenauffahrt wird durch den Constant Block mit der zugewiesenen Niveauhohe (hier: 0.01) eingestellt. Die logische Entscheidung beziiglich des Eintretens des Zeitereignisses: oberes Fahrbahnniveau erreicht (hier nach (4.4): 0 . l ^ t < 0.01), fiihren wir mit dem Switch Block - vgl. Bild 4.21 - aus, wobei der Threshold-Faimnctcr (Schwellwert-Parameter, hier: 0 . 01) im Switch Block-Fenster einzustellen ist. In Abhangigkeit des 'control inputs' und des Schwellwertes in Bild 4.21 wird der Rampenanstieg 0 . l ^ t solange duchgeschleift bis der Schwellwert erreicht ist, anschlieBend wird auf den konstanten Wert 0 . 0 1 umgeschaltet. Am Block-Ausgang liegt damit die Fahrbahnstruktur fiir 0 < ^ < ^^ an. Das zugehorige Simulink-Modell zeigt Bild 4.21i-echts- I^i Gegensatz zur Formulierung mit dem M-File rampe . m, kann der Zeitpunkt des Schaltens, also das Zeitereignis Rampenende, durch aktivieren von E n a b l e z e r o s c r o s s i n g d e t e c t i o n im Parameterfenster des Switch Blocks ermittelt werden. Es erfolgt somit im Sinne der Numerik eine exakte Anstiickelung der Integrationsbereiche. Rampenfunktion

>

if control > = threshold control input

>

• •\

0.01

output -¥

Constant 0.1

if control < threshold

Switch 1

Clock

Gain

rv Switch

Outi

Bild 4.21: Schalterfunktion und Simulink-Modell fiir die ebene Fahrbahnstruktur

4.4.4

Parametrisierung des Zustandsmodells im State Space Block

Den linearen Anteil der mathematischen Formulierung des Fahrzeugmodells nach Abschn. 4.4.2 bringen wir, wie in Abschn. 4.3.3 angegeben, iiber den State Space Block in die Modellierung ein. Hierzu tragen wir, nicht die numerische Form der Matrizen, sondern die eingefiihrte MatrizenBezeichnungen A, B, C, D in die Parameter-Dialog-Box des State Space Blocks ein. Vor dem Simulationsstart miissen die zugehorigen numerischen Werte im Workspace vorliegen. Dies lasst sich am einfachsten mittels M-File nach Bild 4.22 (sim_vl3D . m), welches die Parameter und die verwendeten Matrizen enthalt, erreichen. Das M-File sim_vl3D ist vor dem Simulations-

4 Simulation unter Simulink®

178

% Daten-Modul sim_vl3D .m % Simulink-Modell: sim_vl2.mdl fprintf ( ' L a d e D a t e n fiir R a m p e n a u f f a h r t ' ) % Systemparameter mA=1.0e+03; A u f b a u t e n - M a s s e [kg] mR=1.0e+02; Rad-Masse [kg] kA=40.0e+03; F e d e r s t . d e r Radaufliangung kR=40.0e+04; R e i f e n s t e i f i g k e i t [N/m] dA=12.0e+03; Dampfung d e r Radaufhangung FR=400.0; R e i b k r a f t [N] d=0.01; Rampenliolie [m]

[N/m] [Ns/m]

% Systemmatrix A=[zeros(2) eye(2); [-kA kA -dA dA ] / mA; [ kA -(kA+kR) dA -dA] / mR] ; % Eingangsmatrix des reibfreien Modells B=[0; 0; 0; kR/mR]; % Ausgangsmatrix des reibfreien Modells C=[eye(2) z e r o s ( 2 ) ] ; % Durcligangsmatrix des reibfr. Modells D=zeros(2,1); xi=[0;0;0;0] disp ('

% Anfangswerte

fiir d i e

Simulation

' ) r disp (' ok . ' -Daten-Modul

sim_vl3D.m

Bild 4.22: Daten-File flir das reibungsfreie ]V[odell

start auszufuhren. Automatisch erfolgt dies mit dem Eintrag des Filenamens sim_vl3D unter: File-Button -^ M o d e l l p r o p e r t i e s / C a l l b a c k s / M o d e l i n i t i a l i z a t i o n f u n c t i o n . Dieses File wird vor dem Integrations start mit die Taste s t a r t ausgefuhrt. Bin Eintrag unter Model p r e - l o a d f u n c t i o n bewirkt nur bei Offnung des IModells eine Aktualisierung der Parameter (Simulink 6). 4.4.5

IModeUierung der Reibelemente

4.4.5.1

Coulomb-Reibkennlinie

Der Coulomb and Viscous Friction Block, Bild 4.23, aus der Discontinuities-Library bietet sich auf den ersten Blick fiir eine IModellierung an. Er basiert auf y = sign{u) {Gain abs{u) -\- O f f s e t ) mit dem Ausgang y, dem Eingang u sowie den Block-Parametern Gain - Wert der viskosen Kraft (Steigung) - und O f f s e t - Wert der Gleitreibungskraft -. Da wir den Betrag der Reibkraft FR in die Eingangsmatrix B (4.16) hineingezogen haben, ist fiir die COULOMBsche Reibung des Fahrzeugmodells Of f s e t = 1 und

Gain = 0

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

179

Coulomb & Viscous Friction

Bild 4.23: Coulomb and Viscous Friction Block im Block-Parameter-Fenster zu setzen. Der Block-Eingang ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Aufbau und Rad, also u = XA — XR

= X3 — X4.

Wegen der sign-Funktion konnen Haftreibungsphasen nicht erfasst werden (MATLAB Definition: sign(0)=0). Es liegt eine Unstetigkeit vor, so dass dieser Block fiir eine numerische Integration, insbesondere wenn X3 ^ X4, ungeeignet erscheint; vgl. Abschn. 4.4.3.1. Dennoch woUen wir ihn weiterhin einsetzen. 4.4.5.2

Abschnittsweise stetige Reibfunktion

Zur Modellierung der abschnittsweisen stetigen Reibfunktion nach Bild 4.24 sollen u. a. der Switch und Gain Block zur Modellierung herangezogen werden. Die bezogene Reibkraft ergibt sich aus 1

F

Vre/

vo ' -

Slgn(v^^/)

,

fur

"^OVO

,

,

<

\Vrel\

Vrel <

SQVQ

(4.21)

>SoVo

d. h. der Switch Block muss diese GroBe in Abhangigkeit des Control-Inputs

durchschalten bis

output y Schwellwert (threshold) y ^ovo sign(t/)

-^ovo

sign(t/)=sign(v^e/) ^rel

Schwellwert \u\> threshold, dann output — sign(t/) = sign(v^e/)

output y o—U

\u\< threshold, dann output y— ^Vy^i

Bild 4.24: Reibkennlinie mit Bezeichnungen und Beschaltung des Switch Blocks der Schwellwert/Threshold ^S-Q > 1 erreicht ist. Dies ist der Fall, wenn wir an den Control-VnpvX

4 Simulation unter Simulink®

180

|j/| = -i- |v^g/| legen und den Block-Parameter t h r e s h o l d auf die maximale, bezogene Haftreibungskraft F/FR (^O ^ 1) setzen, wie in Bild 4.24 angegeben. Dadurch werden auch die unterschiedlichen GroBen von Haft- und Gleitreibung durch JIQ = SQ, jl = I nahemngsweise berlicksichtigt. Das Block-Modell der approximierten Reibkennlinie mit dem Eingang Vrei = X3 —X4 und dem Ausgang 3; sowie der Steigung im Nulldurchgang ^ = 50 s/m - vgl. Gain Block - ist in Bild 4.25 dargestellt, siehe auch Bild 4.33. Damit sind alle benotigten Komponenten modelliert, so dass wir die problemabhangigen Simulink-Modelle erstellen konnen, vgl. Bild 4.30,4.32,4.33. Sign

Switch

Abs

y\ Out1

•^44

|u| In1

Gain

approximierte Reibkennlinie

Bild 4.25: Block-Modell zur approximierten Reibkennlinie, I/VQ = 50 s/m

4.4.5.3

Statischer Test der Reibmodelle Signal Generator

Coulomb oulomb & & Viscous Friction

Scope

approximierte Reibkennlinie Scopel

Sign1 -\4Switchl

^

Abs

^ Gain

Bild 4.26: Block-Modell Ctest.mdl zum statischen Test der Reibkennlinien mit einer Testfunktion Bei nichtlinearen Funktionen, also hier den Reibmodellen, ist ein separater Test des BlockModells - C t e s t .mdl aus [59] - unumganglich. Als Eingang unserer zu testenden Modelle nach Bild 4.26 wahlen wir zunachst eine Sagezahnfunktion, die die Relativgeschwindigkeit reprasentiert. Die approximierte Kennlinie kann durch Variation der Steigung im Nulldurchgang 1 /VQ und den Schwellwert SQ verandert werden. Die erhaltenen Ergebnisse sind in Bild 4.27 wiedergegeben. Bei dem Coulomb & Viscous Friction Block wird stets der Nulldurchgang der Testfunktion

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts Coulomb-Reibung

_L

approx. Reibkennlinie

Testfunktion

/ /

_1

/

/

Y

/

A

/ 0.5

1 Zeit t [s]

1.5

0.5

approx. Reibkennlinie

Y1 r '

1 Zeit t [s]

Threshold 1 1.5

approx. Reibkennlinie

/ /

•

/

/

0.5

/

Thresh old 2

1 Zeit t [s]

1.5

2

/

/

/

A

/ /

181

0.5

A /

Threshold 2

1 Zeit t [s]

1.5

Bild 4.27: Ergebnisse zur CoULOMBschen und approximierten Reibkennlinie; Steigungen im Nulldurchgang: b), d) 5, c) 500

(Ereignis) detektiert und somit die Umschaltung ib 1 exakt vorgenommen, d. h. die Reibkennlinie zeichnet sich durch eine Diskontinuitat (Sprung) aus. Diese Arbeitsweise ist festgeschrieben und somit nicht manipulierbar. Im Gegensatz dazu kann die Arbeitsweise des Switch Blocks mit und ohne NuUstellenbestimmung (zero crossing detection) beziiglich der Umschaltpunkte erfolgen. Um dies zu verdeutlichen, sind in Bild 4.28 Ergebnisse zur approximierten Kennlinie fiir beide

mit Nullstellenermittlung Diskontinuitat Reibkraft

0.2

0.4 Zeit [s]

o.e

Bild 4.28: Ergebnisse mit und ohne Zeros Crossing Detection des Switch Blocks Arbeitsweisen des Switch Blocks gegeniibergestellt. Die Testfunktion ist jetzt ein Sinus. Einerseits ist das korrekte Einhalten der Schaltpunkte, andererseits die durch den Integrator (variable Schrittweite) vorgegebene Tastung erkennbar. Es wird iiber die Ereignisse hinweg integriert. Auf die Bearbeitung von Systemen mit Ereignissen wird im Abschn. 5.6 ausfiihrlich eingegangen.

182 4.4.6

4 Simulation unter Simulink® Die Startroutine fur die MATLAB-Umgebung

Im Allgemeinen erfolgt der Simulations start iiber den Button S i m u l a t i o n / S t a r t oder ^. Vielfach ist es wiinschenswert, die Simulation eines Block-Modells aus der MATLAB-Umgebung zu starten. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn innerhalb einer Berechnung mit einem MFile auf von einem Simulink-Modell erzeugte Daten zuriickgegriffen werden muss. In unserem % % % % %

start-File sim_vl2S .m sim_vl2S ladt und startet das Simulink-Modell: sim_vl2.mdl und stellt die Daten grafisch dar Start aus dem MATLAB Command Window oder Start-Icon im Simulink-Modell-Fenster

% % % % % %

Try: Sind die Daten nicht vollstandig im Workspace, dann wird sim_vl3D nach Fehlerauftritt gestartet, die Daten ins Workspace geschrieben und die Simulation erneut gestartet. Nur sinnvoll fur ausgetestete Programme. Nachteil: Bei Parameteranderung muss Workspace mit clear geloscht werden. sim_vl2 % offnen des Simulink-Modells try % Erklarung sielie oben % Start des Simulink-Modells t i m e = sim ( ' s i m _ v l 2 ' , 3) ; % mit Endzeitvorgabe % nach Feliler neuer S t a r t catch sim_vl3D % Aufruf des Daten-Moduls % Daten in Workspace geschr. t i m e = sim ( ' s i m _ v l 2 ' , 3) ; % siehe oben end % existiert figure? h = findobj (0, ' Name' , ' Rampe' ) ; % nein, if isempty (h) , h=figure ( ' P o s i t i o n ' , [150 1 9 4 . % dann Konfiguration % Position und BildgroBe 452 2 5 7 ] , . . . % Namensgebung 'Name','Rampe' , . . . % Nr. ausblenden 'NumberTitle' , ' o f f ) ; end % Auswertung unter MATLAB figure (h) % SchriftgroBe fiir Achsen set (h, ' D e f a u l t A x e s F o n t S i z e ' , 8) % Plot der Auslenkungen plot ( t ime f s imout ( : , 2 : 3) ) title (' Rampenauf f a h r t ' ) % Bild-Titel ylabel('x_A, x_R [m] ' ) % Achsbeschriftung xlabelCZeit [sec] ' ) set(get(gca, ' t i t l e ' ) , ' F o n t S i z e ' , 10) % ScliriftgroBe nachtr. andern legend (' x_A' , ' x_R' ) grid drawnow Plot in den Vordergrund

Bild 4.29: Start-File

4.4 Simulink-Modellierung eines einfachen Projekts

183

Fall woUen wir iiber das Anstarten eines M-Files Parameter fiir das Block-Modell s i m _ v l 2 in den Workspace schreiben, dann das Block-Modell offnen und starten und nach der Simulation die erzeugten Daten grafisch unter MATLAB auswerten; sie werden mit dem To Workspace Block transferiert. Das Parameterfile sei sim_vl3D.m von S. 178, Bild 4.22, und in [59]. Bis auf die Integrationszeit von 3 sec sollen alle weiteren Simulationsparameter u. a. im Menii C o n f i g u r a t i o n P a r a m e t e r s festgeschrieben sein. Wie in Abschn. 4.3.4 beschrieben, hat der Aufruf im Startfile s im_vl 2 S . m dann folgende Form time = sim (' s im_v 12', 3) mit der die Integration iiber das Intervall 0 < t < 3 sec ausgefiihrt wird. Dieser Aufruf ist in das M-File s i m _ v l 2 S .m, wie in Bild 4.29 beschrieben, einzubinden. Die weiteren Schritte in s i m _ v l 2 S . m lassen sich u. a. mit Hilfe der Kommentarzeilen nachvoUziehen. Der Aufruf von s im_vl 2 S erfolgt z. B. aus dem Command Window. 4.4.7

Simulink-Modelle und Simulationsergebnisse

4.4.7.1

Das reibungsfreie Modell

Mit den erstellten Einzelkomponenten ist zunachst das Fahrzeugmodell ohne Reibelement zu erstellen. Dabei ist mit dem Manual Switch Block das ebene und unebene Fahrbahnprofil auszuwahlen. Das Simulink-Modell s i m _ v l 2 . mdl ist in Bild 4.30 abgebildet. Zur Dateniibergabe in Constant2

Rampenhohe

Double click Modellstart und plot der Ergebnisse Fahrbahn

Constanti

^

Fahrbahnunebenheit y J

rXZD

Manual Switch

Subsystem 0.1 Clock

Simulation unter Simulink File: sim v12.mdl

Gain

fe Switch

Out1 y(t)

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

Scope

State-Space Fahrbahn

I Auffahrt uberRampell Scope1 t, y(t)

^

To Workspace

Bild 4.30: Fahrzeugmodell ohne Reibelement auf ebener oder unebener Fahrbahn den Workspace wahlen wir den To Workspace Block. Nach der Modellierung sind insbesondere beziiglich des State Space Modells die Parameter und Anfangswerte mit den im Parameterfile sim_vl3D .m verwendeten Bezeichnungen in der Parameter-Dialog-Box einzutragen. Dieses Modell ist dann mit dem erstellten Startfile s i m _ v l 2 S .m aus dem Command Window oder mit dem Start-Button • des Modell-Fensters, sofem das Datenfile sim_vl3D . m, entsprechend

4 Simulation unter Simulink®

184

dem Hinweis von S. 178, in dem Feld unter C a l l b a c k s eingetragen ist, zu starten. Dariiber hinaus ist eine Ausfiihrung von s im_vl 2 S . m auch bei geoffnetem Modell-Fenster durch einen Doppel-Mausklick auf den Startblock in Bild 4.30 - z. B. mit Hilfe eines Subsystemblocks erstellt - moglich. Alle angesprochenen Files sind in [59] abgelegt. Simulationsergebnisse In Bild 4.31 sind ftir beide Fahrbahnprofile die Ergebnisse gegeniibergestellt. Man liest ab: Wahrend der Rampenauffahrt folgt das Rad {XR) unmittelbar der Rampenfunktion, der Aufbau (XA) demgegeniiber leicht zeitverzogert. Dies gilt auch fiir den Einschwingvorgang in die Gleichgewichtslage. Bei unebener Fahrbahn fallt auf, dass das Rad das Profil nachfahrt - Abhebevorgange sind nicht modelliert, vgl. Abschn. 8.6 - der Aufbau aber aufgrund der Dampfung die hoherfrequenten Anteile nicht enthalt. Dies ist ein MaB fiir die mehr oder weniger gute Fahrwerksabstimmung, sie konnte noch optimiert werden. Ubungsvorschlag: Erstellen Sie auf der Basis eines Systems zweiter Ordnung

Mx^Dx+Kx = Bu von (4.5) ein Modell in vektorieller Modellierung mit zwei Integrierern. Hilfe in sim_vl4MDK.mdl aus [59]. Auslenkungen [m]

0.015

0.01

1

/oO----^

—

>^R|

// 0.005

//

:

ebene Fahrbahn ohne Reibelement 1.5 Zeit t[s]

2.5

Auslenkungen [m]

—

""R

" \ 1/^T \ 7 ^ unebene Fahrbahn ohne Reibelement 0.5

1.5 Zeit t[s]

2.5

1

Bild 4.31: Einschwingvorgang nach Rampenauffahrt bei ebener und unebener Fahrbahn

4.4.7.2

Das reibungsbehaftete Modell

Fiir beide Reibmodelle erstellen wir auf der Basis von s i m _ v l 2 .mdl nach Bild 4.30 ein

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

185

Constant2 Rampe

Simulation unter Simulink File: sim_v13.mdl Datenfile: sim v13D.m

Fahrbahn

r:^

yJ

EH Scope

Manual Switch

n

Subsystem Clock

Gain

= *

Switch

y(t)=x(t)

x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space Scope1

_

w x_1(t)

Demux

Scope2

Coulomb & Viscous Friction

EH

zF

x_2(t) Sum

EH

Relativgeschw. dotx_A-dotx_R

Scopes

Bild 4.32: Block-Modell mit COULOMBscher Reibung

Rampe

Fahrbahn Simulation unter Simulink File: sim_v14.mdl Datenfile: sim_v13D.m

approximierte Reibkennlinie

dotx_a-dotx_R

Bild 4.33: Block-Modell mit approximierter Reibkennlinie weiteres Block-Modell, wobei fur die approximierte Kennlinie in (4.5) F/?sign(xA —XR) durch F aus (4.21) zu ersetzen ist. Formal fiigen wir zu s i m _ v l 2 . m d l die getesteten Reibmodelle

4 Simulation unter Simulink®

186

hinzu und erganzen das Datenfile s i m _ v l 3 D .m um die Matrizen aus Abschn. 4.4.2.2 fiir das System mit Reibung. Die so aufgebauten Modelle sind in Bild 4.32 und Bild 4.33 abgedruckt. 15

Auslenkungen [m]

x10

Relativgeschw. [m/s] A

0.06 0.04

10

\

0.02 —

^R

\

0

ebene Fahrbahn

\l

-0.04

COULOMB-Reibungi

-0.06 0.2

15

x10"

0

0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] Auslenkungen [m]

0.2

10

— ^ . — ebene Fahrbahn approx. Reibkennlinie

^R|

0.04

\

0.02

\

0 -0.02 -0.04 -0.06

x10

0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] Relativgeschw. [m/s]

A

0.06

0.2

\y

-0.02

1V \1 V

0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] Auslenkungen [m]

0.2

0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] Relativgeschw. [m/s]

0.06 .J 0.04

L.

0.02 0 -0.02

1 V "

-0.04 -0.06 .V 0

2 Zeit t [s]

Bild 4.34: Gegeniiberstellung der Ergebnisse

4.4 Simulink-Modelliemng eines einfachen Projekts

187

Auslenkungen [m]

x^ unebene Fahrbahn ohne Reibelement 1.5 Zeit t [s] Auslenkungen [m]

Bild 4.35: Einfluss der Reibung bei unebener Fahrbahn Diskussion der Simulationsergebnisse Eine Simulation mit dem Modell nach Bild 4.32, d. h. mit dem Coulomb & Viscous Friction Block und ebener Fahrbahn lasst keine Integration mit variabler Schrittweite zu. Dies liegt, wie schon vermutet, an der sprunghaften Anderung der Reibkraft in Bereichen, in denen die Relativgeschwindigkeit ihr Vorzeichen wechselt. In diesem Fall ist die rechte Seite von (4.5) eine unstetige Funktion und somit in dieser Form nicht integrierbar. Dies hat nichts mit einer steifen Differenzialgleichung zu tun, wie vielfach in der Literatur dargestellt. Auf eine korrekte Vorgehensweise wird in den Kapiteln 5 -8 eingegangen. Um dennoch einen Einblick in das Systemverhalten zu gewinnen, integrieren wir mit fester Schrittweite, z.B. h< 0,0001. Das zugehorige Simulationsergebnis ist in Bild 4.34i dargestellt. Man erkennt, dass sich nach einem kurzen Einschwingvorgang ungedampfte Schwingungen XA{t), XR{t) mit einer konstanten Amplitudendifferenz zueinander einstellen. Wie der Verlauf der Relativgeschwindigkeit zeigt, verschwindet diese nahezu nach ca. 0,45 s. Numerisch bedeutet dies einen permanenter Vorzeichenwechsel der Reibkraft bei betragsmaBig kleiner Relativgeschwindigkeit. Die Ursache der Dauerschwingung in Bild 4.34i fiir t > 0,45 s liegt somit im Verschwinden der Relativgeschwindigkeit, was bei korrekter Betrachtung in einer Haftreibungsphase endet. Dadurch wird der Dampfer zwischen Rad (R) und Aufbau (A) nach Bild 4.15 nahezu unwirksam - beide Telle konnen als miteinander verhakt angesehen werden -, so dass aufgrund der fehlenden Dampfung sich ein konservatives Schwingungsverhalten einstellt. Die Simulationsergebnisse Bild 4.342,3 mit der approximierten Kennlinie des Modells auf ebener Fahrbahn nach Bild 4.33 zeigen im Bereich 0 < f < 1 s auf den ersten Blick vergleichbares Verhalten. Vorteil dieser Modellierung ist, dass hier mit variabler Schrittweite integriert werden kann. Aufgrund des steilen NuUdurchgangs der Reibfunktion liegt in diesem Bereich eine steife

188

4 Simulation unter Simulink®

Differenzialgleichung vor. Im Bereich kleiner Relativgeschwindigkeiten zeigt der Verlauf, wiederum wegen des steilen Nulldurchgangs, eine stiickweise stetige Anderung. Damit wirkt dieses Reibelement in der angenaherten Haftreibungszone wie ein geschwindigkeitsproportionaler Dampfer mit groBer Dampferkonstante bei kleiner Relativgeschwindigkeit. Dies wird deutlich, wenn man, wie in Bild 4.343, die Integrationszeit auf 4 s erhoht. Die Integration der Modelle mit unebener Fahrbahn zeigten sich bezuglich der Unstetigkeiten nicht so kritisch, da hier die Relativgeschwindigkeit aufgmnd der Schwingungen nach Bild 4.35 starkeren Schwankungen unterliegt, so dass Vrei ~ 0 weitgehend auszuschlieBen ist. Das dynamische Verhalten zeichnet sich wieder dadurch aus, dass das Rad {XR) dem Fahrbahnprofil unmittelbar folgt, der Aufbau {XA) verhalt sich dagegen ruhiger; Oberwellenanteile werden starker gedampft, was bei einem Fahrzeug durch eine gute Feder- und Dampferabstimmung anzustreben ist. Unberiicksichtigt bleiben Abhebevorgange, also typische Zustandsereignisse. Sie konnen mit den spater vorgestellten Methoden erfasst werden, vgl. auch Abschn. 8.6.

U LJ -2

I

ode113 t [s]

I

0.5

Bild 4.36: Auswirkung der Integratorwahl bei steifen und unstetigen Differenzialgleichungen Einfluss der Diskontinuitaten AbschlieBend woUen wir noch kurz etwas zur Integratorwahl bei steifen Differenzialgleichungen auch im Zusammenhang mit den Unstetigkeiten bemerken. Da wegen des steilen Nulldurchgangs der approximierten Kennlinie steife Differenzialgleichungen zu integrieren sind, sind dementsprechend die Integratoren odelSs oder ode23s zu wahlen. Dariiber hinaus ist zu bedenken, dass es bei Systemen mit stiickweise stetigen Funktionen ohne direkte Berlicksichtigung der Unstetigkeitsstellen, z.B. wie beim Switch Block ohne z e r o s c r o s s i n g d e t e c t i o n , zu groBeren numerischen Fehlern mit Einfluss auf die Rechenzeit kommen kann. Diese Effekte lassen sich mit dem Modell s i m _ v l 4 .mdl veranschaulichen. Hierzu wurde mit odeISs / ode45 / odell3 uber 0,5 s integriert und die bezogene Reibkraft (Switch Block-Ausgang) iiber der Zeit t aufgetragen. Bild 4.36 zeigt die Ergebnisse. Dabei wurden die Schaltereignisse (mit t h r e s h o l d = l . 2) nur in Bild 4.36^ detektiert, in den ubrigen wurde iiber die Unstetigkeiten hinweg integriert. Das Abschalten der Ereignisermittlung fiihrt in Bild 4.36/, demnach zu oszillatorischen Verlaufen um die Unstetigkeitsstelle, der steife Bereich wird sauber wiedergegeben. Das oszillatorische Verhalten verstarkt sich erheblich mit den beiden weniger geeigneten Integratoren ode45 / odell3 wie in Bild 4.36^,^ und beschrankt sich nicht nur auf die Bereiche der Unstetigkeiten. Am starksten ausgepragt ist es bei der Integration mit dem Mehrschrittverfahren (odell3). Dies ist eine bekannte Erfahrung: Mehrschrittverfahren eignen sich im AUgemeinen (konstruktionsbedingt) weniger fiir Systeme mit Diskontinuitaten. Auch eine Integration mit ode45 / odell3 und Ereignisermittlung zeigte dieses oszillatorische Verhalten, welches somit insbesondere auf die Steifigkeit der Differenzialgleichung zuriickzufiihren ist.

4.5 Modelliemng mit Hilfe einer S-Function

4.5

189

Modellierung mit Hilfe einer S-Function

Mit Hilfe eines S-Function-Blocks aus der Sublibrary User-Defined Functions konnen mit SFunctions^ z. B. eigene Programmcodes in den Programmiersprachen: • • • •

MATLAB C, C++ FORTRAN ADA

M-File, Level-1, Level-2 Standard ab Simulink 6 (R14) compiliert als Mex-File (Aufruf: mex F i l e _ n a m e . c) compiliert als Mex-File compiliert als Mex-File

in ein Simulink-Modell eingebunden werden. Die Arbeitsweise der S-Function ist festgeschrieben. Der S-Function-Block geniigt der Blockstruktur aus Abschn. 4.1.1. Die Partitionen des Zustandsvektors X nach (4.1) sind der zeitkontinuierliche Vektorx^ und der zeitdiskretexj^. Blocke ohne Zustande enthalten statt dessen den Leer-Vektor x = [ ]. D.h. zeitkontinuierliche, zeitdiskrete und hybride Systeme konnen bearbeitet werden. Dem Benutzer sind somit kaum Grenzen gesetzt. Es lassen sich u. a. • eigene Blocksets erzeugen, • Codes anderer Programmiersprachen einbinden, • umfangreiche gleichungsorientierte Modellierung formulieren, • Implementierung von Treiber, z. B. zur Ansteuerung von AD-Wandlern einer angeschlossenen Hardware, • grafische Animation ausfUhren, siehe Demo: penddemo . mdl, S-Function p e n d a n . m fiir ein inverses Pendel und 1 i s s a j . mdl mit s _ l i s s a j . m, s _ l i s s a j _ a n i . m in [59] fiir eine einfachste Animation von LiSSAJOUS-Figuren. S-Function basieren auf einer speziellen Syntax, wodurch ein strenger Bezug zu den SimulinkGleichungslosern geschaffen wird. In der Sublibrary User-Defined Functions im Block S-Function Examples sind Beispiele und Templates aller zulassiger Programmiersprachen enthalten, u. a. die Templates sfuntmpl .m (Level-1 M-File), msfuntmpl .m (Level-2 M-File) sfuntmpl_basic . c, sfuntmp_doc . c (Level-2 C-File) siehe auch: $MATLABPATH/toolbox/simulink/blocks^, $MATLABPATH/simulink/src Fiir eigene Anwendungen sollten diese Templates herangezogen werden, alle Schritte und GroBen sind dokumentiert. Insbesondere enthalt s f u n t m p l _ d o c . c ausfiihrliche Erlauterungen, die auf Level-2 M-File S-Functions ubertragbar sind. Darliber hinaus kann man sich an den Demo-Beispielen unterschiedlichster Probleme gut orientieren. 4.5.1

M-File S-Function

Eine M-File S-Function kann einerseits mit der alteren Level-1 und andererseits mit der neuen und zukiinftigen Level-2 Syntax erstellt werden. Im Gegensatz zur Level-2 sind in der Level-1 Syntax die Moglichkeiten der maBgeschneiderten Blockerstellung gegeniiber den Blocken der Si mu I ink-Library eingeschrankt. 5 Simulink-Handbuch: Writing S-Function (sfunctions.pdf, unter www.mathworks.de) 6 $MATLABPATH: MATLAB-Pfad

190

4 Simulation unter Simulink®

Fiir jede Methode existiert in der Sub-Library: User-Defined Functions ein eigener S-Function Block (system, mlfile). In der zugehorigen Dialog-Box ist der Name der zu erstellenden S-Function sowie zusatzliche Eingangsparameter pj, die durch Komma voneinander zu trennen sind, einzutragen. Bild 4.37 zeigt die Box fiir den Level-2 Standard. ra untitled * MQIX] File Edit View Simulation Format Tools Help

D la^ H S U ^

0 Function Block Parameters: M-file (lev...

®

r M -f ile-S -Function User-definable block written using the MATL^B S-Function API. Specify the name of an M-File containing a MAT LAB S-Function below. Use the Parameters field to specify a comma-separated list of parameters for this block. -Parameters— M-file name:

Parameters:

M-fileClevel-2) S-Function

r _J

F100%

OK

Cancel

Help

Apply

zi

Bild 4.37: Level-2 M-File S-Function-Block mit Dialog-Box Die M-Files bestehen jeweils aus einer Haupt-VuncXion und mehreren 5i/Z7-Functions, die einerseits indirekt iiber tin flag und andererseits direkt iiber Function-Aufrufe (Callback-Methode) von Simulink aufgerufen werden. Dies reicht von der Initialisierung bis zur Berechnung der Ausgabedaten. 4.5.1.1

Level-1 Standard Tabelle 4.2: Simulations-Phasen im Level-1 Standard Simulationsphase

Function

Initialisierung mdllnitializeSizes Ermittlung der Ableitungen mdlDerivatives Update des zeitdiskreten Zustandes mdlUpdate Ermittlung der Ausgabe mdlOutputs Ermittlung des nachsten AbtastzustandesmdlGetTimeOfNextVarHit Ende des Simulations-Task mdlTerminate

flag 0 1 2 3 4 9

In einer Level-1 M-File S-Function steuert Simulink den Ablauf mit einem flag-Parameter, der an die S-Function iibergeben wird. Das f l a g markiert die Simulationsphase. D. h. die SFunction muss festgeschriebene Sub-Function fiir zugeordnete f lag-Werte enthalten. In Tabelle 4.2 sind einige Functions sowie die f lag-Werte angegeben. Die S-Function s f_carm. m aus [59] verdeutlicht anhand des Zustandsmodells zum 1/4-Fahrzeugmodell ohne/mit Reibung aus Abschn. 4.4.1 den S-Function-Aufbau. Zunachst aber noch einige Einzelheiten. Der Function-

4.5 Modelliemng mit Hilfe einer S-Function

191

Kopf einer Level-1 S-Function hat folgende Struktur: function [sys^xO,struts]=File_name(t,x,u,flag,pi,p2, • • •) Mit den Eingangsparametem der Zeit t , dem Zustandsvektor x, der Block-EingangsgroBe u, dem Steuerflag f l a g sowie den optionalen User-Parametern p i , p 2 , . .. Die wesentlichen Ausgangswerte sind: der flag-abhangige Vektor s y s u. a. der Ableitungs- und AusgangsgroBen, der Anfangswert xO und die mx2-Matrix der m Abtastzeitinformation, z. B. [0 0] fiir eine zeitkontinuierliche Abtastung, s t r ist leer [ ] . Auf die Begriffe in der Initialisiemngsfunction woUen wir kurz eingehen. Initialisierungsfunction Der Initialisierungsteil in m d l l n i t i a l i z e S i z e s , vgl. auch Tabelle 4.3 und Beispiel-Programm s f _ c a r m . m, enthalt neben den Dimensioniemngen sizes. sizes. sizes. sizes.

NumcontStates Num.DiscStates NumOutput s Numl n p u t s

Anzahl der zeitkontinuierlichen Zustandsvariablen, Anzahl der zeitdiskreten Zustandsvariablen, Anzahl der Ausgange, Anzahl der Eingange

weitere Festschreibungen, von denen wir die Begriffe: • Direct feedhrough • Dynamically sized inputs • Setting sample times and offsets stichwortartig erlautern woUen. Direct Feedthrough: Der Ausgang oder die variable Abtastzeit hangen explizit vom Eingang u ab, d.h. - die Ausgangsfunktion ( m d l O u t p u t s , flag=3) sei eine Funktion vom Eingang u. Beispiel ist die bekannte Messgleichung aus der Regelungstechnik: y = Cx-\-Du sprungfdhiger Systeme, vgl. auch Beispiel 4.2. - bei veranderlicher Abtastung (Aufruf: mdlGetTimeOfNextVarHit, flag=4), wenn in der Berechnung zum nachsten Schritt u eingeht; vgl. Demo v c f unc . m. Dynamical Sized Inputs: S-Functions konnen fur veranderliche Dimensionen des Eingangsvektors u geschrieben werden. In diesem Fall ist s i z e s . Numl n p u t s mit — 1 zu vereinbaren. Setting Sample Times and Offsets: Die Information ist in einer mx 2-Matrix bei m Abtastzeiten in festgeschriebener Reihenfolge einzugeben, siehe Template s f u n t m p l . m: t s = [ 0 0, % zeitkontinuierlich, variable Schrittweite 0 1, % zeitkontinuierlich, konstante Schrittweite period o f f s e t ^ % diskrete Abtastzeit mit p e r i od>0^ of f s e t < p e r i o d -2 0 ] % variable diskrete Abtastzeit; f 1 a g=4! Wird die Abtastzeit vom treibenden Block ubernommen (geerbte Abtastzeit, inherited sample time), dann ist NumSampleTime = 1 und t s = [-1 0 ] zu setzen, vgl. Beispiel 4.2.

192

4 Simulation unter Simulink®

Die Initialisierungsdaten werden durch den Aufruf sizes = simsizes sechs Initialisierungsdaten nach Tabelle 4.3 sys = s i m s i z e s ( s i z e s ) im Vektor s y s gespeichert und im f l a g = 0 Schritt an Simulink ubergeben. Tabelle 4.3: Felder der Structure sizes Feld-Name

Beschreibung

s i z e s . Numcont St at e s Anzahl der zeitkontinuierlichen Zustande s i z e s . Num . D i s c S t a t e s Anzahl der zeitdiskreten Zustande s i z e s .NumOutputs Anzahl der Ausgange s i z e s .Numlnputs Anzahl der Eingange s i z e s .DirFeedthrough f l a g flir 'direkten Durchgang' s i z e s . NurnS amp 1 e T ime s Anzahl der Abtastzeiten Beispiel einer M-File S-Function und das Simulink-Modell Das Zustandsmodell des 1/4-Fahrzeuges aus Abschn. 4.4.1 ohne/mit Reibung woUen wir zunachst mit Hilfe einer Level-1 M-File S-Function s f _ c a r m . m formulieren. Dabei liegt (4.10) fiir das System ohne Reibung mit A, B, C nach (4.11), (4.12), (4.13) und der Rampenauffahrt u = Xs (4.4) als EingangsgroBe zu Grunde. Bei Beriicksichtigung der Reibung gilt die Eingangsmatrix B mit der EingangsgroBe u nach (4.16). C ist die Einheitsmatrix. Die stUckweise lineare Reibkennlinie sei die aus Abschn. 4.4.5.2 (4.21) mit ^o = 1, vgl. Bild 4.24 F=l

^"^ i""''^ ^ fUr "''^ - ''''^ - ""^ [ FRSign{Vrel) ' \Vrel\ > VQ

""''^ = ^3 - X4

^^^^^

D. h. wir integrieren iiber die Unstetigkeit hinweg. SoUte die Integration Probleme bereiten, so kann diese Unstetigkeit auch nach [17] durch Ausrunden der Anstuckelpunkte vermieden werden. AUe Parameter, Systemmatrizen und Eingange konnen einerseits innerhalb der S-Function berechnet werden, wobei darauf zu achten ist, dass dies nur einmal wahrend der Simulation erfolgen soil, z. B. in der Initialisierungsphase zu f l a g = 0 . Andererseits konnten wir sie vor dem Simulationsstart mittels Datenfile in den Workspace schreiben und dann mit dem Eintrag in die Parameter-Dialog Box, vgl. Bild 4.37, in die S-Function einbringen. Der S-Function-Aufruf enthalt diese Parameterliste nach dem f l a g : function [ s y s , x O , s t r , t s ] = sf_carm(t,x,u,flag,A,B,C,D) Hier erstellen wir die Systemmatrizen in der Function s y s p a . m , die wir an die S-Function s f_carm. m aus [59] anhangen. tJber den Eingangsparameter i f l a g = 0 / l sprechen wir das reibungsfreie / reibungsbehaftete System an. i f l a g muss in der Parameter-Dialog Box als symbolischer oder numerischer Wert stehen; im ersten Fall muss der numerische Wert im Workspace bekannt sein. Die Daten-Function s y s p a . m entspricht dem M-File sim_vl3D . m aus [59]. Da es sich um ein zeitkontinuierliches System handelt, werden nur die Function mdl I n i t i -

4.5 Modelliemng mit Hilfe einer S-Function

193

a l i z e S i z e s , m d l D e r i v a t i v e s , m d l O u t p u t s aufgerufen, die restlichen werden nichtbenotigt, siehe s f _ c a r m . m in [59]. Das zugehorige Simulink-Modell s i m _ v l 6m. mdl aus [59] ist in Bild 4.38 wiedergegeben. S-Function Parameter iflag=0 reibungsfreies Modell iflag=1 approximierte Reibkennl.

11/4 Fahrzeug: Auffahrt uber Rampe|| 0.01

M-File S-Function System |

Constant

Clock

T •^ai" Rampe

M ^

J •

sf_carm

^-•l

Switch Switch

'

Scope2 ^ |

| I

I ||

1

11 v_rel

^

Scope 1 Scope

Bild 4.38: Simulink-Modell mit S-Function-Block flir die Zustandsgleichungen

4.5.1.2

Level-2 Standard

Der Level-2 Standard ist gegeniiber dem Level-1 Standard erweitert und neu stmkturiert und mit dem C Mex-File Standard (Level-2) vergleichbar. Die Haupt-Function, z. B. function function_name(block) setup(block)

Function-Kopf Function-Aufruf

enthalt im Kopf den gewunschten Namen sowie die Function s e t u p u. a. zur Initialisiemng: • Anzahl der Bin- und Ausgange (Ports) • Setzen der Attribute: Dimension, Datentyp, Komplexitat und Abtastzeit dieser Ports • Anzahl der Parameter in der Dialog-Box • Auflistung aller benotigten Handles fiir weitere lokale Functions der S-Function innerhalb des RegBlockMethod Aufrufs, z. B. allgemein: b l o c k . R e g B l o c k M e t h o d ( ' M e t h o d e ' , ( ^ z u g e h o e r i g e r H a n d l e ) speziell: b l o c k . R e g B l o c k M e t h o d (' C h e c k P a r a m e t e r s ' , (SCheckPrms) Die Sub-Function CheckPrms ist lokale Function zur tJberpriifung der ubernommenen Dialog-B ox-Parameter. Einen tJberblick soil die Level-2 M-File S-Function s f _ c a r 2m. m zum 1/4-Fahrzeug ohne/mit Reibung vermitteln, wobei die Handhabung des Parameters i f l a g und der SystemgroBen gegeniiber der Level-1 Vorgehensweise unverandert bleibt. Es soil hier die verkiirzte Function s f _ c a r 2m. m abgedruckt werden. In [59] sind zusatzliche Optionen nachzulesen: Level-2 M-File S-Function: function sf_car2m(block) setup(block); %%endfunction sf car2m

Haupt-Function

194

4 Simulation unter Simulink®

function setup(block) % Initialisierung global A B C vO % Param.-Ubergabe [A,B,C,vO] = syspa(block.DialogPrm(1).Data); % SytemgroBen % Setzen der Block-Eigenschaften % Anzahl der Block-Ein- und -Ausgange block.NumlnputPorts = 1; block.NumOutputPorts = 1 ;

% ein Eingang % ein Ausgang

% Port-Eigensch. (Datentyp, Komplexitat usw.) dynamisch bezogen block.SetPreCompInpPortlnfoToDynamic; block.SetPreCompOutPortlnfoToDynamic; % Portdimension und Eigenschaft block.InputPort(1).Dimensions = -1;

% Dimension, Eing.-Vekt. % (-1), wie angelegt block.OutputPort (1) .Dimensions = size(C,l); % Dimension, Ausg.-Vekt. % Anzahl der iibergebenen Parameter; stehen in der Parameter-Dialogbox block.NumDialogPrms = 1 ; % !•: iflag, SteuergroBe % Abtastzeit und Offset — > hier zeitkontinuierliche Rechnung block.SampleTimes = [ 0 0]; % vgl. msfuntmpl.m % Anzahl der zeitkontinuierlichen Zustande block.NumContStates = size(A,1); % Ende Block-Eigenschaften % Benotigte Routinen in dieser S-Function, lokale Functions block.RegBlockMethod('CheckParameters',QCheckPrms); block.RegBlockMethod('InitializeConditions',@InitializeConditions); block.RegBlockMethod('Outputs', @Outputs); block.RegBlockMethod('Derivatives', ©Derivatives); %%endfunction setup %% lokale Functions

% Uberpriifung des iibergebenen Parameters

iflag

function CheckPrms(block) if block.DialogPrm(l).Data ~=0 && block.DialogPrm(1).Data ~=1 error('Fehler im Steuerparameter iflag: 0 ohne, 1 mit Reibung!'); end %%endfunction CheckPrms function InitializeConditions(block) global A % Setzen der Anfangswerte der ZustandsgroBen block.ContStates.Data = zeros(size(A,1),1); %%endfunction InitializeConditions

% Parameteriibergabe

4.5 Modelliemng mit Hilfe einer S-Function

195

function Outputs(block) global C % Parameteriibergabe % Systemausgang berechnen: y = C*x + D*u, hier: D = 0, so d a s s : y = C^x %x = block.ContStates.Data; = C * X block.OutputPort(1).Data = C ^ block.ContStates.Data; %%endfunction Outputs % Zustandsableitung: x': — > x' = A^x+B*u_ges function Derivatives(block) global A B vO X = block.ContStates.Data; u=block.InputPort(1).Data; if block.DialogPrm(l).Data == 1 vrel=x(3)-x(4); if abs(vrel) < vO reib=vrel/vO; else reib=sign(vrel); end block.Derivatives.Data = A*x + B*[u; reib]; else block.Derivatives.Data = A*x + B*u; end %%endfunction Derivatives function [A,B,C,vO] .... unvollstandig

syspa(iflag)

% % % % % % %

Parameteriibergabe Zustandsvektor EingangsgroBe Steuerung: mit R. Relativgeschw. Haft- / Gleitreibung Haftreibung

% Gleitreibung % System mit Reibung % System ohne Reibung

siehe Programmsammlung

Das zugehorige Simulink-Modell s i m _ v l 6_2m. mdl ist in [59] zu finden. In der S-Function s f _ c a r 2m. m aus [59] sind weitere Optionen zum Direct Feedthrough, zum tJberschreiben der Porteigenschaften, zur Kontrolle der Parameter sowie zur Erstellung eines TLC (Target Language Compiler)-Files eingearbeitet. AbschlieBend geben wir noch zwei Beispiele zur Level-2 Version an, die Level-1 Version ist in [59] zu finden. Beispiel 4.2: Parameteranderung in einem S i m u I i n k-Block Eine Sinusschwingung (Sine Wave-Generator) mit der Schwingungsdauer von T = 2K/5 s soil wahrend der Simulation alle 7t Sekunden ihre Amplitude umschalten. D. h. ausgehend von der Amplitude 1 soil nach K Sekunden eine Anderung auf 5 nach weiteren n Sekunden wieder auf 1 erfolgen usw.. Die Umschaltzeitpunkte sind durch ein Rechtecksignal (Signal Generator) zu erzeugen. Es liegt also ein BlockParameterwechsel infolge eines Ausgangswertes eines anderen Blocks vor. Dieses Problem ist jeweils mit einer Level-1, Level-2 M-File S-Function unter Verwendung des Befehls set_param, vgl. help/doc s e t _ p a r a m , zu losen. Syntax zum set_param Befehl set_param('meinModell/Block' , ' BlockParameter' , 'neuerWert')

196

4 Simulation unter Simulink® Losung: Das Eingangssignal u - Ausgang des (Signal Generator) Blocks - steuert iiber den set_param Befehl die Amplitude des Sine Wave Blocks in der S-Function s i n f u n c . m bzw. s i n f u n c 2 . m des Modells s i m _ s i n f u n c .mdl bzw. s i m _ s i n f u n c 2 .mdl, vgl Bild 4.39a. Wir geben hier nur die Ausgabe-Function der Level-2 M-File S-Funktion s i n f u n c 2 .m an, die voUstandigen Files stehen in [59]: %% Berechnung und Ausgabe function Output(block) % -- Amplitude des Signal-Generators abfragen am=str2num(... get_param(' sim_sinfunc2/Signal Generator','Amplitude')); % -- mit Eingang vergleichen, nur sinnvoll fur Rechtecksignal if abs (block.InputPort (1) .Data - am) < eps(am); set_param(' sim_sinfunc2/Sine Wave','Amplitude','5') else set_param('sim_sinfunc2/Sine Wave','Amplitude','1') end

Durch die Abfrage (get_parm) der Rechtecksignal-Amplitude ist jede Amplitude zulassig. Die Zeitverlaufe der Steuerfunktion (Rechteck) sowie der geschaltete SinusVerlauf sind in Bild 4.39 b dargestellt. \

DD DD o o

sinfunc2

Signal Generator

IVI-file (level-2) S-Function

fV

Sine Wave

'''1

ii

'

i;

Ji

iMiwii

\\ \\ \

signaH signal2 Mux

!j^

\ Scope

a: Simulink-Modell

i\ \

i\ ). ''!

; 1! ^1 1/ 15 Z e i t ^ 20

b: Funktionsverlaufe

Bild 4.39: Beispiel zur Parametemmschaltung in Funktionsblocken Beispiel 4.3: Animation von LISSAJOUS-Figuren unter Simulink Zur Erzeugung und zur Animation von LiSSAJOUS-Figuren x = Rsin{2t-\-
4.5 Modelliemng mit Hilfe einer S-Function

197

die Animation der Kurve programmiert, wobei die Parameter aus der Dialog-Box der ersten S-Function, z.B. R zur Skalierung, iibemommen werden. 4.5.2

C Mex-File S-Function

4.5.2.1

S-Function Builder

Der S-Function Builder unterstutzt die (automatische) Erstellung von C Mex-File S-Functions sowie die von C Quell-Codes. 1-D und 2-D Signale und Ausgange sind zulassig. Die Datentypen entsprechen denen von Simulink. Zur Modelliemng dient der abgebildete S-Function Builder Block aus der Sublibrary: User-Defined Functions. Mit einem Doppel-Mausklick der linken Taste auf das Block-Icon (oder Klick mit rechter Maustaste -^ Open Block) off net sich die S-Function Builder Dialog-Box mit der sich die S-Function fur den Block erstellen lasst. S-Function Builder S-Function Builder: Sim v16

S-function name:

Bc/5-Function BuiLder

I sf car_Bc

-S-function parametersName iflag

Data type Idouble l.0e+3

-Pfimmetei-Eintrag 1111(1 Andemng

f

m m

•PortyParameter B W lnt3Lrt Ports ^uO B H Output Port

Ovo

^

1I Initialization | Data Properties || Lilararies | Outputs | Continuous Derivatives Discrete Update Build Info

-

B t ^ l Parameters ^ iflag ^mA ^mR ^kA 4kR Vi

—

<_|

nil

1 _>

Code description Enter your C-code or call your algorithm. If available, discrete and continuous states should be referenced as, xD[0]...xD[n], xC[0]...xC[n] respectively. Input ports, output ports and parameters should be referenced using the symbols specified in the Data Properties. These references appear directly in the generated S-function. /*

Ausgabe: x_A, x_R, yO[0]=xC[0];

Relativ-Geschuindigkeit */ / * xC[0]=x_A , Aufbau

yO[l]=xC[l]; yO[2]=xC[2]-xC[3];

/ * xC[l]=x_R , Rad / * Relativ-Geschw.

*/ */ */|

0 Inputs are needed in the output f unction(direct f eedthrough) Help

Bild 4.40: Builder Dialog-Box Wie die in Bild 4.40 abgebildete Dialog-Box zeigt, ist sie in Seiten unterteilt, in die die Informationen zur Erstellung der S-Function einzutragen sind. Im Einzelnen sind dies: • Initialization (Initialisierung): Anzahl der (zeit-) kontinuierlichen und/oder diskreten Zustande, die zugehorigen Anfangswerte und Informationen zur Abtastzeit (Sample Time). • Data Properties (Daten-Eigenschaften): bezuglich der Dimension der Ein- und Ausgange (Input, Output Ports), der Parameter einschlieBlich der Datentypen. Die zugehorigen numerischen Werte sind anschlieBend in den oberen Teil (S-function parameters) einzutragen.

198

4 Simulation unter Simulink®

• Libraries: Eintrag der benotigten Standard C Header-Files und extemer Functions-Files. • Outputs (Ausgange): C-Code zur Berechnung der Ausgange yO (kontinuierlich, diskret), z. B. y 0 [ 0 ] =uO [ 0 ] und in Bild 4.40. • Continuous Derivatives (Ableitungsfunktionen, Dgl.) C Code der Differenzialgleichungen, z.B. d x [ 0 ] = x C [ 0 ] . • Discrete Update: Aktualisieren der Abtastfolge, z. B. xD [ 0 ] =uO [ 0 ] - zeitdiskret -. • Build Info: Anwahl von Optionen zur Erstellung des S-Function Mex-Files (u. a. compilieren) oder Speicherung des C Quell-Codes (Save code only aktivieren). Soil die S-Function im Beschleunigungs-Mode (accelerated mode) ablaufen, dann ist ein TLC-File zu generieren (wird nicht fiir die Simulink-Beschleunigung benotigt). Zum Compilieren muss ein/der C-Compiler, siehe Abschn. 6.1, installiert sein! Dies geschieht mit >> mex - s e t u p Die tJbersetzung erfolgt mit dem Build(Save)-Button. Sind anschlieBend Systemparameter aus dem Feld S-function parameters zu andern, dann geniigt nach der Anderung eine Speicherung: Save code only aktivieren und Save(Build)-Button betatigen. Achtung: Die eingetragenen Parameter miissen ubernommen sein. Dies ist der Fall, wenn sie linksbundig stehen. Wichtig: Die eingefuhrten und im Builder angezeigten Bezeichnungen, u. a. fur die Zustande xC, xD und fur die Ableitungen dx sind festgeschrieben. AUe weiteren Vereinbarungen sind selbsterklarend. Anhand des 1/4-Fahrzeuges ohne/mit approximierter Reibkennlinie aus Abschn. 4.4 mit den um die Reibung erweiterten Zustandsgleichungen (4.9) X\ = X3 X2 = X4 •^3 =

- ( kA{xi -X2)-\-dA{x3

M =

( kA{xi -X2)-\-dA{x3

-X4)

+ iflag F ) /MA,

-X4)-\-kR{x2

-Xs)

+ iflag F)

iflag = 0, 1

(4.23)

/niR

sowie der Reibkennlinie nach (4.22) kann die Erstellung der S-Function mit dem Builder nachvoUzogen und damit experimentiert werden. Hierzu sind die beiden Modelle: s im_vl 6_Bc und s i m _ v l 6 _ B c l . mdl in [59] abgelegt. Sie unterscheiden sich in der Handhabung des Steuerparameters i f l a g fur die Modellierung ohne/mit Reibung. 4.5.2.2

Einfache C Mex-File S-Function

Die Programmierung der S-Function in C ist weniger durchsichtig. In der Sublibrary User-Defined Function sind mit dem Block: S-Function Examples Templates und Demo-Beispiele zu offnen. Es empfiehlt sich u. a. an das Template s f u n t m p l _ b a s i c . c sowie an die zugehorigen Details aus: $MATLABPATH\simulink\src\sfuntmpl_doc.c zu orientieren. Wir konnen zur C Mex-File S-Function nur wenige grundlegende Bemerkungen machen. Bei C Mex-File S-Function werden die Routinen von Simulink direkt aufgerufen; ein f l a g Parameter existiert nicht. Dies entspricht der Arbeitsweise der Level-2 M-File S-Function. C

4.5 Modelliemng mit Hilfe einer S-Function

199

Mex-File S-Function sind vor dem Start des Simulink-Modells mit dem Aufruf mex File_name.c zu compilieren und zu linken. Wegen der hoheren Ausfuhrungsgeschwindigkeit eines compilierten Programmes gegenliber der Interpretermethode der M-File S-Function, empfiehlt sich diese Vorgehensweise bei rechenintensiven Algorithmen. Eine wichtige Anwendung von C Mex-File S-Function ist der Zugriff auf Hardware (z. B. ADWandler), dieses ist in der Programmiersprache C ublicherweise problemlos. AuBerdem konnen bereits existierende Hardwaretreiber eingebunden werden. In Anlehnung an die M-File S-Function s f _ c a r m . m zeigen wir in der Programmsammlung [59] den Quell-Code der C Mex-File S-Function s f _ c a r c . c. Grundlage war das Demoprogramm s t s p a c e . c ; es wurde lediglich auf den Eingabe-Check verzichtet. Im Gegensatz zu s f_carm. m gehen wir in s f _ c a r c . c fiir das Modell s i m _ v l 6c . mdl davon aus, dass die System-Matrizen A, B, C, D iiber das Datenfile sim_vl3D .m in den Workspace geschrieben werden und somit in der Parameter-Dialog Box des S-Function Blocks aufgefuhrt sein miissen.

200

4 Simulation unter Simulink®

Tabelle 4.4: Integrationsverfahren in Simulink und teilweise in MATLAB nach [6] Fixed-step solvers. You can choose these fixed-step solvers: odeS^ ode4^ ode3^ ode2, odel,and discrete: • ode5 is the fixed-step version of ode45, the Dormand-Prince formula. • ode4 is RK4, the fourth-order Runge-Kutta formula. • ode3 is the fixed-step version of ode23, the Bogacki-Shampine formula. • ode2 is Heun^s method, also known as the improved Euler formula. • odel is Euler's method. • discrete (fixed-step) is a fixed-step solver that performs no integration. It is suitable for models having no states and for which zero crossing detection and error control are not important. Variable-step solvers. You can choose these variable-step solvers: ode45, ode23, odell3, odelSs, ode23s,and discrete. The default is ode45 for systems with states, or discrete for systems with no states: • ode45 is based on an explicit Runge-Kutta (4,5) formula, the Dormand-Prince pair. It is a one-step solver; that is, in computing y(t n ),it needs only the solution at the immediately preceding time point, y(t n-1 ).In general, ode45 is the best solver to apply as a "first try"for most problems. • ode23 is also based on an explicit Runge-Kutta (2,3) pair of Bogacki and Shampine. It may be more efficient than ode45 at crude tolerances and in the presence of mild stiffness. ode23 is a one-step solver. • odell3 is a variable order Adams-Bashforth-Moulton PECE solver. It may be more efficient than ode45 at stringent tolerances. odell3 is a multistep solver; that is, it normally needs the solutions at several preceding time points to compute the current solution. • odelSs is a variable order solver based on the numerical differentiation formulas (NDFs). These are related to but are more efficient than the backward differentiation formulas, BDFs (also known as Gear's method). Like odell3, odel5s is a multistep method solver. If you suspect that a problem is stiff or if ode45 failed or was very inefficient, try odel5s. • ode23s is based on a modified Rosenbrock formula of order 2. Because it is a one-step solver, it may be more efficient than odel5s at crude tolerances. It can solve some kinds of stiff problems for which odel5s is not effective. • ode23t is an implementation of the trapezoidal rule using a 'free' interpolant. Use this solver if the problem is only moderately stiff and you need a solution without numerical damping. • ode23tb is an implementation of TR-BDF2, an implicit Runge-Kutta formula with a first stage that is a trapezoidal rule step and a second stage that is a backward differentiation formula of order two. By construction, the same iteration matrix is used in evaluating both stages. Like ode23s,this solver maybe more efficient than odel5s at crude tolerances. • discrete (variable-step) is the solver Simulink chooses when it detects that your model has no continuous states.

Simulation unter MATLAB* In diesem Kapitel soil die numerische Integration linearer und nichtlinearer gewohnlicher Differenzialgleichungen unter MATLAB behandelt werden, d. h. wir arbeiten skriptorientiert. Wesentlich ist die Aufbereitung und Anpassung der Differenzialgleichungen/Bewegungsgleichungen an die Moglichkeiten der Integratoren. Mogliche Simulink-Modelle werden diskutiert.

5.1

Struktur der Differenzialgleichungen

Wie in Abschn. 2.1 erlautert, unterscheiden wir prinzipiell zwischen einer impliziten g{x, X, t) = 0,

x{to) =±0, ^(^o) =^0

(5.1)

sowie einer expliziten x = g{x,t),

x{to)=xo

(5.2)

Formulierung der Differenzialgleichung mit den Anfangswerten JCQ, XQ zum Zeitpunkt to (meist to = 0). Die Gleichungen (5.1), (5.2) sind gewohnliche nichtlineare Differenzialgleichungen (ODE^) n-ter Ordnung mit der unabhangigen Variablen t. Hangt g bzw. g nicht explizit von der Zeit ab, z. B. g(x), dann sprechen wir von einer autonomen, im anderen Fall von einer nichtautonomen Bewegungsgleichung oder Differenzialgleichung. In der Regel existieren fiir (5.1), (5.2) keine analytischen Losungen, so dass auf Naherungen u. a. per numerischer Integration zurlickgegriffen werden muss. Hierzu gibt es eine Vielzahl von Codes, die auf (5.1), (5.2) aufbauen und diese als Anfangswertprobleme losen. Bei mechanischen Modellen tritt die Beschleunigung q linear auf, vgl. Kapitel 2, sie werden deshalb durch Bewegungsgleichungen mit / Freiheitsgraden Mq = fa(t, q, q),

q{to)=qo'^ q{to)=qo^

(5.3)

wobei in q Lage- und/oder Winkelvariablen (Minimalkoordinaten) und in fa Krafte und/oder Momente stehen, beschrieben. Die Massenmatrix in (5.3) kann sowohl zeit- und/oder lageabhangig, M \=M{t^ q) oder konstant sein. Gleichung (5.3) ist ebenfalls eine gewohnliche nichtlineare Differenzialgleichung 2/-ter Ordnung. Setzen wir in (5.3) ^ = v, dann folgt zunachst Eq=v E = diag(l, 1 , . . . , 1) ^ ^ Mv= fa{t,q,v)

(5.4)

mit den Anfangswerten ^(^o) = qo und v{to) = VQ zum Zeitpunkt ^o- Beide Gleichungen unter 1 ODE Ordinary Differential Equation

202

5 Simulation unter MATLAB®

(5.4) beschreiben das Anfangswertproblem in der Standardform oder expliziten Form nach (5.2) mit dem Zustandsvektor x = (^^, v^)^, wenn M invertierbar ist. Die verfugbaren Integratoren in MATLAB sind mit odexx, z. B . , gekennzeichnet. Sie verarbeiten grundsatzlich (5.2). Das Gleichungssystem (5.4) in der Form M^x = f{t, x),

AT = diag(E, Af); x(^o) =-^0

(5.5)

lassen nahezu alle Codes zu, wobei M^ konstant, zeit- oder/und zustandsabhangig sein darf. Ist M^ singular, dann wird (5.5) als differenzial-algebraisches Gleichungssystem identifiziert und bearbeitet; vgl. Abschn. 5.2.1. Ab MATLAB 7 R14 ist mit odelSi die Integration impliziter Differenzialgleichungen (5.1) nun moglich. Wir verdeutlichen die Unterschiede der mathematischen Formulierungen an einem kleinen Beispiel. Beispiel 5.1:

Strukturen der Differenzialgleichungen

Die Masse (m) ist mit einem Feder-Dampfer-Element aus einer Reihenschaltung eines KELVIN-VoiGT-Modells mit einer Feder gegeniiber der Umgebung abgestiitzt, vgl. Abschn. 8.6. Gleichgewichtsbedingungen bezuglich der Masse m und des Knotens zwischen Feder und nichtlinearem Feder-Dampfer-Element lief em mit Bild 5.1 die

mg

mx

TTTzTTT?

x — s) I

/777777777}

Modell

fD{s)+koS

Schnittbild

Bild 5.1: Masse mit nichtlinearem Feder-Dampfer-Element Bewegungsgleichungen mx-\- k{x — s) = —mg fois) + ^O'^ -k{x-s)

= 0,

(5.6)

dabei werden x und s aus der Lage der entspannten Elemente gezahlt. Dies ist ein Differenzialgleichungssystem dritter Ordnung. Da nach Voraussetzung foi^) beliebig nichtlinear in s sein soil, gelingt es in der Regel nicht, (5.6) explizit nach den hochsten Ableitungen aufzulosen. Es liegt mitx = (xi, X2, ^3)^ = (x, s, x)^ ein implizites Differenzialgleichungssystem der Form (5.1)

5.1 Stmktur der Differenzialgleichungen

i i — X3

203

= 0

mx3 -\- k{xi —X2)-\-mg= 0 fois)-\-koX2-k{xi

-X2)=

(5.7)

0 .

vor. Setzen wir speziell fois) = dos-\-ds^,

(5.8)

dann folgt fiir J = 0 unmittelbar eine lineare explizite Differenzialgleichung. Berlicksichtigen wir den quadratischen Term [75], dann miissen wir die zweite Gleicliung von (5.6) zunachst nach s auflosen

2Jo

V ^^0

d

(5.9)

d

Zum negativen Vorzeichen gehort eine instabile Losung, siehe Bild 5.11. Insgesamt ist damit (5.6) wieder von expliziter Form (5.2). Dariiber hinaus erhalten wir mit dem Zustandsvektor x = (x, AT s, x, s) 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 m 0

0 " 0 0 0

X

s X

s

+

0 0 k -k

0 0 -k k^ko

1 0 0 0

0 1 0 0

X

s X

s

+

0 0 -mg

(5.10)

eine Gleicliung mit singularer MatrixM"^, sie entspriclit (5.5) und kann als differenzialalgebraisches Gleichungssystem interpretiert werden. Beriicksiclitigen wir z. B. die Masse der Traverse zwisclien Feder und Feder-Dampfer-Element, dann ist M^ in (5.10) regular - das letzte Hauptdiagonalelement ist von null verscliieden -, so dass wir mit (M"^)"^ durchmultiplizieren und somit eine explizite Differenzialgleichung von Typ (5.2) erhalten. Anhand dieses recht einfachen Beispiels wird klar, dass wir ein und dasselbe Problem mit unterschiedlichen Methoden bearbeiten konnen. So kann (5.6) einerseits als implizites (5.7) oder mit (5.9) als explizites Differenzialgleichungssystem, andererseits mit (5.10) als differenzial-algebraisches Gleichungssystem gelost werden. Welche Form man letztendlich wahlt, hangt auch von den zur Verfiigung stehenden Integratoren sowie deren Stabilitat gegeniiber den einzelnen Formulierungen ab. Zur numerischen Auswertung von (5.7) und (5.10) greifen wir das Beispiel spater noch einmal auf. Differenzialgleichungen iibergeordneter Systeme, z. B. mechanische Modelle mit zusatzlichen elektrischen und/oder hydraulischen sowie elektromagnetischen Komponenten, sind (5.1) bzw. (5.2) zuzuordnen.

5 Simulation unter MATLAB®

204

5.1.1

Beispiele fiir eine explizite Formulierung

Die klassischen Integratoren (z. B. explizite RUNGE-KUTTA-Formeln) bauen auf der expliziten Standardform (5.2) auf. Sie zeigen gutes Stabilitatsverhalten und werden somit heute bevorzugt eingesetzt. Die aufgestellte Bewegungsgleichung muss zunachst auf diese explizite Form gebracht werden. Wir zeigen dies anhand einiger Beispiele. 5.1.1.1

Lineare mechanische, elektrische und regelungstechnische Systeme

In einem kurzen tJberblick soil auf die Aufbereitung linearer Bewegungsgleichungen eingegangen werden. Haben die Bewegungsgleichungen konstante Koeffizienten, dann ist es in der Regel vorteilhafter, mit Hilfe der Methoden der linearen Algebra - Eigenwertprobleme, lineare algebraische Gleichungen usw. - diese Gleichungen zu losen, wie in Kapitel 3, in einigen Projekten von Kapitel 8, u. a. in Abschn. 8.2 sowie dem Beitrag zum Levitron-Kreisel aus [59]. Mechanische und elektrische Systeme Im AUgemeinen lassen sich die Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme mit / Freiheitsgraden auf folgende Struktur bringen:

My^Py^Qy

= p{t).

(5.11)

Dabei diirfen M, P, Q zeitabhangig sein. Unter der Voraussetzung: M regular, det(M) ^ 0 folgt mit der Inversen M~ ^ (5.12) und fiir die Zustandsraumdarstellung mit den Abkiirzungen x\ =y Xi X2

X2=y

0

E -M-^P

xi

X2

+

0

Pit)

(5.13)

Systemmatrix A Oder kurz X = Ax-\-

Wp{t).

(5.14)

Diese Vorgehensweise ist nur fiir Systeme mit diagonaler Massenmatrix oder Systeme niedriger Ordnung und bei einmaliger Invertierung von M zweckmaBig. M ist positiv definit und symmetrisch (dies lasst sich immer erreichen), so dass man eine CHOLESKY-Zerlegung (Funct. chol) der Massenmatrix durchfiihren und damit eine explizite Inversion umgehen kann. Dies ist genauer und mit weniger Rechenaufwand verbunden und damit schneller. Insbesondere fiir zeitabhangige Massenmatrizen M = M{t), aber auch bei nichtlinearen Systemen mit lageabhangigen MassenmatrizenM(r, j ) , z. B. in Robotersystemen, ist diese Vorgehensweise zu empfehlen, da bei jedem Integrationsschritt die InverseM~^ (t) z. B. innerhalb des Intervalls [tk-i, h] mehrfach zu bilden ist.

5.1 Stmktur der Differenzialgleichungen

205

Beispiel 5.2: Elektrisches Netzwerk Als Beispiel eines strukturdiskreten, elektischen Systems betrachten wir das Netzwerk in Bild 5.2 mit den diskreten Elementen OHMscher Widerstand R, Induktivitat L und Kapazitat C sowie der Spannungsquelle u{t). Die jeweiligen Spannungsabfalle seien UR

I

UL

C

Uc

Bild 5.2: Elektrisches System UR, UL und Uc, so dass u{t) =

UR

-\-

UL

-\- Uc

und damit die Spannungsdifferenzialgleichung t

u{t) = Ri + L{i)' + - jidt\

/(O) = k

(5.15)

gilt. Urn eine explizite Form von (5.15) zu erhalten, konnen unterschiedliche Moglichkeiten zur Elimination des Integrals eingeschlagen werden: • Durch zeitliche Ableitung von (5.15) folgt L{i)"+R{i)+

-i = u{t)

(5.16)

die Differenzialgleichung 2. Ordnung fiir i{t), wobei die Anfangswerte /(O) = io\ (/)'(0) = (/)b aus (5.15) gelten. (5.16) ist noch auf Zustandsform zu bringen. Durch Einfiihren einer Abkiirzung (hier physikalisch die elektrische Ladung) t

Q = fidt erhalten wir das Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung in der Form -Q = -u(t) CL^ L i = 0 mit /(O) = /o, Q(0) = Go fiir das zeitliche Verhalten von / = i{t) und Q = Q{t).

(5.17) (5.18)

206

5 Simulation unter MATLAB®

Lineare regelungstechnische Systeme s{t), Durchgangsm.

D

StorM dLr.

S—

X

Eingangsm.

B

+T+

\u{t)

J...dt

X

Ausgangsm.

c

+ yM{t)

—<J

Systemmatrix

A

Regler

Messrauschen

Bild 5.3: Linearer Regelkreis Einen allgemeinen Aufbau eines geregelten deterministischen Systems in Zustandsraumdarstellung zeigt Bild 5.3. Der homogene Teil der Strecke wird durch die Blocke Systemmatrix A und Integrator dargestellt. Der Ausgangsblock C liefert die Messwerte J M ( 0 ' ^i^ t)ei sprungfahigen Systemen mit der iiber die Durchgangsmatrix D gewichteten StellgroBe erganzt werden. Die Durchgangsmatrix ist fur die meisten Systeme eine Nullmatrix. Das Stellgesetz wird mit der MessgroBe gebildet, der ein Messrauschen iiberlagert sein kann. Die Eingangsmatrix B beschreibt die Stellorte, die Stormatrix W z.B. die Eingriffsorte einer auBeren Stoning. Weitere Beeinflussungen, z.B. iiber ein Flihrungssignal, konnen beriicksichtigt werden. Der skizzierte Regelkreis ist bei einer Ausgangsvektorruckfiihrung durch das mathematische Modell in Zustandsform Ax{t) -\-Bu{t) - Ws{t) Cx{t) -\-Du{t)

yM{t) u{t).

(5.19)

beschrieben. Hat das System mehrere Ein- und AusgangsgroBen, dann spricht man von einer MehrgroBenregelung (MIMO), im anderen Fall von einer EingroBenregelung (SISO). Ist die Systemmatrix A konstant, dann lasst sich eine exakte Losung angeben. Ist A = A(f), dann ist dies in der Regel nicht der Fall, wir sind auf eine dynamische Simulation mittels numerischer Integration angewiesen. Fur die Analyse linearer zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme) der Typen (SISO) und (MIMO) stellt MATLAB mit der Control System Toolbox einige Function bereit. Wir beschranken uns auf die einer Zustandsraumdarstellung (State-Space, SS). In diesem Fall erzeugt MATLAB zunachst ein Zustandsmodell, z. B. s y s , mit sys

=

SS(A,B,C,D) .

Damit lassen sich beispielhaft folgende Antworten berechnen:

5.1 Stmktur der Differenzialgleichungen

207

Anfangswertantwort initial ( s y s , x 0 , t e ) Impulsantwort impulse ( s y s , t e ) Sprungantwort step ( s y s ^ t e ) Systemantwort auf beliebiges Eingangssignal Isim ( s y s , u , t , x O ) mit dem Anfangswertvektor xO, der beliebigen Eingangssignalmatrix u, dem Endzeitpunkt t e . Weitere Optionen sind moglich; vgl. Online-Hilfe. Die Algorithmen basieren auf dem zugehorigen Losungsansatz fiir lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen, wie in Kapitel 3. Beispiel 5.3:

Simulation eines Regelkreises

Fiir den in Bild 5.4 skizzierten Schwinger mit zwei Freiheitsgraden sollen die Bewegungsgleichungen aufgestellt und in eine explizite Form zur Simulation gebracht werden. Die Masse mi wird durch eine auBere Kraft q cos Qt angeregt. tJber den Stellzylinder an der Masse m2 wird die Stellkraft u(t) = -kpy{t)M

-kij

yuit) df,

MessgroBe J M = J i

aus Proportional- und Integralanteil auf gebracht. Die Lage der Masse m\ liefert ein Sensor. Damit liegt ein EingroBensystem (SISO) vor. Die Bewegungsgleichung hat q cos £2t Stellzy Under

s^

V / / / / / /V777777777777 // V//////////////.

^/////////////,

Bild 5.4: Zweimassen-Schwinger als Regelstrecke die Form My ^Dy ^Ky = b''u{t) + w"" cos Qt JM = c^ y, mit dem Lagevektor

und seinen zeitlichen Ableitungen y, y, der Massenmatrix, der Dampfungs- und Steifigkeitsmatrix M = diag(mi, m2),

D

—d2

d2

;

K

kl -\- k2 -k2 —k2 k2

208

5 Simulation unter MATLAB® den Eingangsmatrizen fiir die Stell- und StorgroBe sowie der Messmatrix r

= (0, 1)T;

w* = {q, 0)T;

c*' = (1, 0).

Fiir die explizite Schreibweise der Strecke bilden wir zunachst die Systemmatrix 02x2

A

^2x2

-M-^K

-M-^D

die zugehorigen Eingangsmatrizen b" = (Oix2, ( M - l r ) T ) ;

w" = (0ix2,

(M-'w*)'')

und die angepasste Messmatrix cT = ( c * \ 0, 0) = (1, 0, 0, 0 ) . Mit dem Zustandsvektor x(r) = (xi, X2, xi, X2)^ = (y^, y^)^ folgt dann die Bewegungsgleicliung x{t) = Ax{t) + Z?w(r) + w cos Qt yuit)

=

c^x{t).

Soil das System mit gegebenem Stellgesetz u{t) simuliert werden, dann miissen wir wegen des Integralanteils wieder eine ZwischengroBe z.B. uj einfuhren u{t)

-kpC^x{t)

— ki

c^x{t)dt

= -kpC^x{t)

-

kiuiit).

ui{t)

Fligen wir ui{t) = c^x{t) zur Systemgleichung hinzu, dann folgt x{t) Ul{t) y{t)

=

= c

m

A 0 c^ 0

' x{t) _ uiit)

• x{t) Ui{t)

-

=

+

• b

0

u(t)

" 1 0 (3 0 0 " " x{t) 0 0 (3 0 1 Ui{t)

bzw. fiir den geschlossenen Kreis x(t) Ui{t) y{t)M =

A — kpbc^ c^

—kib

x{t)

0

Ui(t)

[ 1 0 0 0 0 ]

z{t) Ui{t)

Dies ist die fiir die numerische Integration benotigte explizite Form, vgl. Abschn. 8.1.

5.1 Stmktur der Differenzialgleichungen 5.1.1.2

209

Nichtlineare Systeme

Die Umformung auf eine explizite Standardform und damit verbundene Probleme zeigen wir an einigen einfachen Beispielen. In der Regel wird die Integration bezuglich der unabhangigen Variablen der Zeit t ausgefiihrt. In besonderen Fallen kann es zweckmaBiger sein, eine neue unabhangige Variable einzufiihren. Dies mag physikalische wie rechentechnische Vorteile bieten. Beispielorientiert soUen einige Vorgehensweisen erlautert werden. Beispiel 5.4: Explizite Schreibweise im Zeitbereich • AUgemeines Beispiel: Gegeben sei die Differenzialgleichung u -\- uv

= sinf

V -\- V -\- u= cost , gesucht die explizite Form (5.2). FUhren wir hierfUr die neuen Variablen y\ = u,

y2 = u,

y3 = V

ein, so konnen wir die Differenzialgleichungen damit umschreiben: j l = J2 y2= U = sint - J2J3 3)3= cost -ys - y i . Um die Standardform y = f(y, t) zu erhalten, miissen wir 3)3 in der zweiten Gleichung eliminieren und erhalten y\ = yi 3)2 = sinr - y2(cosf - J3 - y\) 3)3 = cost -ys

- yi;

y/(0) = j/o, i= 1, 2, 3.

Den letzten Schritt wird man fiir eine numerische Vorgehensweise wegen der seriellen Arbeitsweise des Digitalrechners nicht unbedingt ausfiihren; man wird vielmehr die Reihenfolge der abzuarbeitenden Differenzialgleichungen so umstellen, dass fiir den folgenden Schritt jeweils die rechte Seite bekannt ist. Dies bedeutet fiir das vorliegende Beispiel ein Vertauschen der Gleichungen 3)2 = • • • und 3)3 = • • •. • VAN-DER-POL-Schwinger ohne/mit Erregung

X-£(l

^

-x^)x^x ^

= I

^^

\ qcosQt .

^

(5.20) ^

In der Elektrotechnik wurden friiher stabile Oszillatoren (heute Quarz) in Form diskreter Netzwerke aufgebaut, welche sich u. a. durch das VAN-DER-POL-Modell mit q = 0 beschreiben lieBen. Fiir ^ = 0 ist (5.20) eine autonome Differenzialgleichung, die Zeit tritt nicht explizit auf. Die Losungen sind konstant und insbesondere periodisch. Die Periodendauer T wird durch den Parameter £ festgeschrieben. Da die periodischen

210

5 Simulation unter MATLAB® Schwingungen nur durch Energieaustausch (Dampfung/Anfachung), also ohne auBere Anregung, entstehen, spricht man von Selbsterregung bzw. selbsterregten Schwingungen im Gegensatz zur Fremderregung. Heute dient (5.20) als Standardgleichung zur Beurteilung von Integrationsalgorithmen steifer Systeme. Fiir ^ 7^ 0 treten Mitnahme -Effekte auf. Zu gegebenem q ist die periodische Losung x{T -\-t) = x{t) nur fiir bestimmte Q. stabil, diesen Bereich bezeichnet man als Mitnahmebereich. Standardformmit xi = x, X2 = x: Xi = X2 X2 = ^ ( 1 — X?)X2 — Xi -\- <

^

• Mechanische Systeme mit Minimalgeschwindigkeiten: Bewegungsgleichungen holonomer Mehrkorpersysteme in Minimalkoordinaten q E'M.-^ haben die allgemeine Form M{q,t)q + k{q,q,t)

= Q{q,q,t),

q{to) = qo, q{to) = VQ,

(5.21)

wobei der Geschwindigkeitszustand, wie in (5.4), stets durch die zeitlichen Ableitungen der Lagekoordinaten beschrieben wird. Die explizite Schreibweise entspricht (5.3). Definieren wir die Geschwindigkeitszustande s als Linearkombinationen von q mit den i. allg. lageabhangigen Linearfaktoren als Elemente der regularen MatrixH G M^'^, dann gelten die kinematischen Dijferenzialgleichungen q=H{q)s.

(5.22)

Einsetzen von (5.22) und deren zeitlichen Ableitung q = H{q)s + h{q,s)

mit h=Hs

(5.23)

in (5.21) sowie Multiplikation mit/f^ von links liefern die Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten q und Minimalgeschwindigkeiten s =. G) q = H{q)(0 _i / X ft) = M{q, t) [Q{q, ft), t) - k{q, £0, t))

(5.24)

mit den Matrizen M = H^MH,

k = H^{Mh + A:),

Q= H^Q .

Vorteil gegeniiber (5.21): Einfacherer Aufbau der Bewegungsgleichungen, vielfach kiirzere Integrationszeiten (Verlaufe s{t) glatter); Anwendung: Kreiselsysteme. Fiir H = E erhalten wir die explizite Form von (5.21). Gleichung (5.23) ist die allgemeinere Form zur Beschreibung von Mehrkorpersystemen, sie wird auch im SimMechanics Tool, vgl. Abschn. 7.1.6, zu Grunde gelegt.

5.1 Stmktur der Differenzialgleichungen

211

Beispiel 5.5: Einfuhrung einer neuen unabhangigen Variablen 1st die Ausgangsgleichung eine autonome Bewegungsgleichung, dann lasst sich eine andere unabhangige Variable als die Zeit t einfUhren. Wir zeigen dies anhand zweier Beispiele mit jeweils einem Freiheitsgrad: • Phasenebene (-raum); VAN-DER-POL-Schwinger: X - £{\ - x^)x -\- X = 0. Fiir die autonome Differenzialgleichung ist es moglich, neben der Diskussion von x{t) auch x{x) als Phasenebenendarstellung zu betrachten. Setzen wir x = v, dann folgt mit dvdx

/

X(t), 8=1

Qx at

aus der Ausgangsgleichung des VAN-DER-POLSchwingers eine Differenzialgleichung 1. Ordnung fiir v(x) ^ =v' = £ ( l - x 2 ) - - ; ox V

10

v^O.

Allgemein gilt fiir nichtlineare Systeme: dx = Pix,y) 'dt~~

Zeitt

20

X (X), 8=1

jo 0-1

= Q{x,y); dt ' so dass dy dx

P ^0,

P,Q glatt,

-2 -3

0 Ausl. X

Q{x,y) P(x,v)

• Drehschwingungssysteme: Hier lasst sich der Drehwinkel z. B. (/) als Funktion der Zeit t beschreiben oder, wenn in der Bewegungsgleichung die Zeit explizit nicht auftritt, sie also autonom ist, die Winkelgeschwindigkeit CO = (^ als Funktion des Drehwinkels (O = (o{(i>). Um dies zu verdeutlichen, betrachten wir das einfache Beispiel eines iiber das Moment M((^) = k{Q. - <^),

k, Q = const.

angetriebenen mathematischen Pendels mit der Punktmasse m und der masselosen Koppelstange der Lange £. Die zugehorige Bewegungsgleichung lautet: k{n-

M(0) (j) + -sin(/) m£^ 0(0)= 00, m = 00.

212

5 Simulation unter MATLAB® Beide oben angedeuteten Betrachtungsweisen wollen wir kurz erlautern: • Diskussion von 0 (/^), 0 (^): Dieses Ergebnis erhalten wir unmittelbar durch numerische Integration der oben angegebenen Bewegungsgleichung. Die zugehorigen Zeitverlaufe fur I = 5,0 1/s^ ,

-^

= 5,5 1/s; f2 = 1 rad/s

sind in Bild 5.51^2 dargestellt. • Da die Dgl. autonom ist, konnen wir aber auch (^(<^) diskutieren. Hierzu fiihren wir die neue unabhangige Veranderliche (/> ein und eliminieren mit &(0 _ dco (0\ dt d0

^ = CO

die Zeit t und finden ,

g . ^

M{co)

)'=d/d(^

bzw. nach Division mit (O (co ^ 0 vorausgesetzt) die Differenzialgleichung 1. Ordnungfur co(0) (Omf- '

COi

Der Graph (o{(i>) ist in Bild 5.53 wiedergegeben. Man erkennt, dass einerseits nur eine Differenzialgleichung erster Ordnung zu integrieren ist und andererseits der Funktionsverlauf einfacher erscheint, so dass dadurch mit kiirzerer Integrationszeit zu rechnen ist, rticklaufige Bewegungen seien ausgeschlossen.

0.5

20 Zeit t

40

20 Zeit t

40

Bild 5.5: Funktionsverlaufe <^{t) und (O = (j)(t)

5.2 Der gmndsatzliche Aufbau eines Simulationsprogramms 213

[tate], yo

Hauptprogramm global,,. Parameter Parametrisierung Integratoraufruf mit Optionen Ergebnisauswertung: Signalanalyse Ausgabe: plot, File

t.y ODExx('syst',[ta te],yO,,..)

function[ydot] = sys(t,y,.„) global..., Parameter

Integrationsverfahren

y = fit, y) tk^yk yk

Bild 5.6: Bausteine eines einfachen Simulationsprogramms

5.2

Der grundsatzliche Aufbau eines Simulationsprogramms

Im einfachsten Fall setzt sich ein Simulationsprogramm aus dem Hauptprogramm, dem Programmcode des Integrationsverfahrens z. B. odexx und dem Unterprogramm (Function) z. B. sys der zu bearbeitenden Differenzialgleichungen zusammen. Das Hauptprogramm umfasst mindestens die Parametrisierung des zu simulierenden mathematischen Modells mit der Parameterubergabe (u. a. uber die Global-Vereinbarung g l o b a l . . .) an die Function der Differenzialgleichungen, den Integratoraufruf mit zugehorigen Optionen (z. B. Fehlertoleranz) sowie die Ergebnisauswertung. Das Zusammenspiel der einzelnen Programme ist in Bild 5.6 veranschaulicht. 5.2.1

Moglichkeiten zum Integratoraufruf unter MATLAB

Unter MATLAB stehen die in Tabelle 5.1 aufgefuhrten Integratoren fiir den zugeordneten Differenzialgleichungstyp zur Verfugung. Die Methoden wurden in Abschn. 4.2 beschrieben, vgl. auch: MATLAB-Handbiicher und/oder Online-Hilfe. Es werden zunachst einige Moglichkeiten der Integrationsaufrufe und Beispiele zugehoriger Optionen und Steuerungen stichwortartig angegeben. Syntax [t,y] = ode. . (@f,tspan,yO), loesung = ode.. (@f,tspan,yO), [t,y] = ode..(@f,tspan,yO,options) [t,y] = ode..(@f,tspan,yO,options,pi,p2,...) [t,y,tE,yE,iE] = ode..(@f,tspan,yO,options) [t,y,tE,yE,iE] = odel5i(@f,tspan,yO,ypO,options

mit

% % % %

MATLAB 5.3 @f ^ ' f Ausgabe in Structure Ausgabevektoren t , y mit Parameteriibergabe System mit Ereignis % Implizites Verf.

214

5 Simulation unter MATLAB® Tabelle 5.1: Integratoren und deren Eigenschaften Loser

Problemkreis

Methode

ode45

nicht steife Differenzialgleichungen

Runge-Kutta

ode23

nicht steife Differenzialgleichungen

Runge-Kutta

odell3

nicht steife Differenzialgleichungen

Adams

odelSs

steife Differenzialgleichungen und DAEs

NDFs (BDFs)

ode23s

steife Differenzialgleichungen

Rosenbrock

ode23t

moderat steife Differenzialgleichungen und DAEsTrapez-Formel

ode23tb

steife Differenzialgleichungen

Trapez-BDF2

odelSi

implizite Differenzialgleichungen, ab R14

NDFs (BDFs)

f

berechnety{tn) der Dgl. y = f{t,y) oder My = f(t,y), M = const, oder ^{t^y)y = / ( ^ y ) (auBer ode23s) oder Af, M{t,y) singular, dann diff. algebr. Gleichung vom Index 1; odelSs, ode23t tspan [ ^0 te] oder [to, t\, . . . , te\ yO Anfangswerte: |ji(0); J2(0); •••] options Integratoroptionen kreiert mit odeset; vgl. Tabelle 5.2 (vgl. s i m s e t flir Simulink) p i , p2 . . . Ubergabe von Systemparametem, u. a. in f t, y Losung y oder als Structure, z. B. l o e s u n g Beispiele: Optionen und Integrationsaufrufe Anhand einiger Beispiele erlautern wir wesentliche Optionen aus Tabelle 5.2 und Integrationsaufrufe, vgl. auch: help o d e s e t und > > o d e s e t % Eingabe im Command Window • Vorgabe von Fehlertoleranzen und maximaler Schrittweite options = odeset('RelTol',le-4, 'AbsTol',[le-4 le-6 . . . ] , . . . 'MaxStep',le-2); [ t , y ] = ode45(@f,[0 1 0 ] , [ 0 1 . . . ] , o p t i o n s , p i , p2, . . .

^ '

^

^

Systemparameterlibergabe o p t i o n s kann leer sein: [] f u n c t i o n o u t = f ( t , y, p i , p 2 , . .) % zugehoriger Function-Kopf • Berechnung der Ableitungsfunktion in vektorisierter Form options = odeset CVectorized','on') function dydt = f(t,y) % Function-Kopf der Dgl. dydt = [0.5*y(l,:); ....] % fur alle (:) Zeitpunkte definiert • Steifes Problem mit analytisch ermittelter JACOBI-Matrix options = odeset CJacobian',@J) % Function J der JACOBI-M. [t,y] = odel5s(@f,tspan,yO,options,pi) % Integrator-Aufruf

);

5.2 Der gmndsatzliche Aufbau eines Simulationsprogramms

215

function dydt = f (t,y,pi, ...) % Function-Kopf der Dgl. function dfdy = J(t,y,pi,...) % Function-Kopf der JACOBI-Matrix • System der Form My = f{t,y), M konstant options = odeset('Mass',M) % M=konst im Hauptprogramm definiert • Sy stem dcY Form M{t,y)y = f{t,y) options = odeset('Mass',@mass) % M in der Function mass definiert function M = mass(t,y,pi,...) % Function-Kopf der Massen-Matrix M(l,l) = ... % Zeit- und/oder zustandsabhangige Massenmatrix • System der Form M{t)y = f{t,y) options=odeset('Mass',@mass,'MStateDependence','none','Jacobian',J) function M = mass(t,pi) % Function-Kopf der zeitabhangigen Matrix M M(l,l) = . . . % J im Hauptprogramm definiert, wenn konstant, sonst @J • System mit Zustandsereignis, siehe Abschn. 5.6 options = odeset('Events',@event,..) function dydt = f (t,y,pi, ...)

% Schaltfunktion in % Function event definiert % Function-Kopf der Dgl.

function [q,isterminal,direction] = event(t,y,pi,...)% Funct.-Kopf % des Ereignisses q = schaltfunktion isterminal = ...% Steuerung fiir Intgrationsabbruch, 0 (nein) , 1 (ja) direction = ...% Info, zur Steigung von q bei % Nulldurchgang, 0 (unbekannt), 1, -1 • Integration impliziter Differenzialgleichungen, f{t,y,y) = 0, siehe Abschn. 5.5 konsistente Anfangsbedingungen, /(^o^Jo? Jo) = ^ [yO, ypO] = d e c i c ( f , t o , y O , [ ] , y p O , [ ] ) ; % k o n s i s t e n t e Anfangswerte [ t , y] = o d e l 5 i ( f , t s p a n , y O , y p O , o p t i o n s , p i ) % Integration function res = f (t,y,yp,pl) res = y p ( l ) - y (3); . . . . Dariiber hinaus lassen sich mit O u t p u t F e n 3D-Phasenebenen o d e p h a s 2 , o d e p h a s S erreichen. Abfragen benutzereigener Optionen oder mit o d e g e t ( m e i n e _ o p t i o n , ' A b s T o l ' braclit werden.

% Function der i m p l i z i t e n

Dgl.

Ausgaben als Zeitverlaufe o d e p l o t , als 2D- und und der numerischen Zwischenwerte o d e p r i n t Standardoptionen , z. B. m e i n e _ o p t i o n konnen ) fiir die absolute Toleranz usw. zur Anzeige ge-

5 Simulation unter MATLAB®

216

Ermittlung der Losung zur vorgegebenen Zeitfolge • Integration erfasst die Zeitpunkte, z.B [t,y]=ode4 5(@f,[0:1/Istep:1-1/Istep],yO,options) • Liegt das Integrationsergebnis in Structure-Form, z.B in der Structure l o e s u n g , vor, dann lassen sich nach der Integration die Funktionswerte zu den vorgegebenen Zeitpunkten, z.B. t = 0 : 0 . 1 : 2 , mit y = deval ( l o e s u n g , t ) ermitteln. Anwendung: Kurvenglattung, FFT-Analyse, Animation fiir zeitgetreue Wiedergabe. Tabelle 5.2: Optionen Parameter

ode45 ode23 odell3 odelSs ode23s ode23t ode23tb odelSi

R e l T o l , AbsTol, NormControl OutputFcn, OutputSel, Refine, Stats Events MaxStep, InitialStep Jacobian, JPattern, Vectorized Mass MStateDependence MvPattern MassSingular InitialSlope MaxOrder, BDF

5.3

Integration von Systemen in Standardform

Es soil beispielhaft auf die Programmiemng einer Bewegungsgleichung in expliziter Form nach (5.2) bzw. nach (5.5) eingegangen werden, wobei wir auf die ebenfalls gebrauchliche Schreibweise in y y = f{t,y),

y(0)=yo,

bzw.

hty

=

g{t,y),

ubergehen, insbesondere dann, wenn nicht ausnahmslos mechanische GroBen vorkommen. Aufbereitung und zweckmaBige Schreibweisen spielen dabei eine wesentliche Rolle, woraus sich vielfach iibersichtlichere Formulierungen ergeben. Zunachst aber betrachten wir ein einfaches Beispiel einer Differenzialgleichung erster Ordnung mit dem sich u. a. das Anfangswertproblem grafisch veranschaulichen lasst.

5.3 Integration von Systemen in Standardform 217 Beispiel 5.6: Das Anfangswertproblem Fur die Differenzialgleichung 1. Ordnung y = 2sin(3;) cos(1.2r) ist das Richtungsfeld in der j , f-Ebene sowie die numerische Losung zu den Anfangswerten y{0) = 2 und y{0) = 3.5 fiir 0 < /^ < 2;r zu visualisieren. Da die Formulierung der Differenzialgleichung sehr einfach ist, schreiben wir hier keine separate Function, sondern wie in Abschn. 1.3.4.3 eine Anonymous Function, die im Script steht. Das Richtungsfeld wird mit der Built-in Function quiver erzeugt. Einige Programmschritte aus dem Script Graf i k _ E l e m e n t e .m in [59] geben wir an: odefun=@(t,y) 2*sin (y) .*cos (1.2^t); % Anonymous Function figure % Grafikfenster % Punkte der Richtungselemente in der y,t-Ebene [t,y]=meshgrid(1inspace(0,2•pi,20),1inspace(.5,5,20) yp=odefun(t,y); % Ableitungsfunktionen yp quiver(t,y,ones(size(yp)),yp) % Richtungsfeld hold on Anfangswertprobleme loesen: wir wahlen 2 Integratoren ode23(odefun,[0,2*pi],2); Auswertung iiber odeplot ode45(odefun,[0,2*pi],3.5);

1.5 1 0.5

y / X\ > -

^

r "- \

\

'A / A

Bild 5.7: Richtungsfeld mit zwei speziellen Trajektorien zu j(0) = 2, ^(O) = 3.5 Die Anonymous Function gibt den Function Handle ode fun zurlick, so dass im Gegensatz zur ublichen Formulierung mit einer Function als eigenes M-File, z. B. function yp=odefun(t,y) yp=2*sin(y)*cos(1.2*t);

% Function-Kopf % Ableitungsfunktion

5 Simulation unter MATLAB®

218

das @-Zeichen im Integratoraufruf odexx entfallt. Dariiber hinaus werden keine Daten von den Integrierern zuriickgegeben (linke Seite fehlt) wodurch automatisch die grafische Darstellung der Ergebnisse mit der Option: ' O u t p u t F c n ' , @odeplot erfolgt. Bild 5.7 zeigt das Ergebnis. Es ist deutlich erkennbar, dass durch die Anfangswerte j(0) = 2 sowie y(0) = 3.5 jeweils eine Trajektorie ausgewahlten Richtungselementen zuzuordnen ist. 5.3.1

Unwuchtiger Motor auf elastischem Fundamentblock cp, cp

Bild 5.8: Fundament mit unwuchtigem Motor und Modell des Gleichstrommotors Ein unwuchtiger Motor befindet sich auf einem elastisch abgestutztem Fundament. GegenUber dem Projekt aus Abschn. 8.2 sei der Antrieb durch ein Modell eines Gleichstrommotors Tabelle 5.3: Systemparameter Masse Massentragheitsmoment Federsteifigkeit Dampfungskonstante Unwucht Induktivitat Ankerkreiswiderstand Widerstand (Maximalwert) Widerstandsandemng bezogener Widerstand Zeitfenster der Widerst.-And. Spannung Momentenfaktor Drehdampfung im Lager Erdbeschleunigung

m J k d eruu LA RA

K

rA{t) ^Amax

th Ue

l^m

d(p 8

= = = = = = = = = = = = = = =

MQ + mu = 100 kg 0.2 kg m^ 2.25 10^ N/m 225 Ns/m 0.05 m kg, 0.01m kg 0.1 H 0.5^,... 10^ ^A+^AA^ = 2 0 0 ^ RA{l^rA^Jl-t/th)) RAN/RA

40 s 200 V INm/A 225 10-^Nms/rad 9.81 m/s^

5.3 Integration von Systemen in Standardform 219

ersetzt. Ziel soil es sein, Anfahrvorgange mit Resonanzdurchgangen, also instationare Zustande, zu simulieren. Die Bewegungen des Fundamentblocks betrachten wir um die statische Gleichgewichtslage. Das Motortragheitsmoment einschlieBlich der Unwucht niue mit der Exzentrizitat ^ sei / = Jo-\-mue^. Mit d(p(p beriicksichtigen wir eine winkelgeschwindigkeitsabhangige Drehdampfung z. B. infolge einer Lagerreibung. Der Gleichstrommotorkreis enthalt die Induktivitat LA, den Widerstand RA -\-RAN^ wobei RA der Widerstand des Ankerstromkreises und RAN der Anfahrwiderstand ist. Die angelegte Motorgleichspannung ist Ue, das Drehmoment wird mit dem Momentenfaktor km gebildet; vgl. [37], [36]. Eine Drehzahlanderung konnen wir einerseits durch eine Widerstandsanderung, andererseits durch Veranderung des Flusses 0 oder der Klemmspannung Ue erreichen. Wir verfolgen hier den Weg iiber den Anfahrwiderstand RAN5.3.1.1

Bewegungsgleichungen incp

9,

0 ,

'^ m

y\w„( ?(p

Muecp cos (p -—U—X

1

X

4

1

1

1\ ^

m k

kx

dx

Bild 5.9: Schnittbild einschlieBlich der Tragheitsterme flir die Vertikalbewegung Die Bewegungsgleichungen formulieren wir mit Bild 5.9 nach dem Prinzip von BERT, vgl. [64], womit folgt:

D'ALEM-

- Fundamentbewegung um die statische Gleichgewichtslage XQ = {mo-\-mu)g/k (mo-\-mu)x-\-dx-\-kx = mue{(p^ sin (p — cpcoscp)^

(5.25)

- Drehbewegung und Antriebsmotor {Jo-\-mue^)(p-\-d(p(p-\-mue{x-\-g) cos (p = kmiA LA(^'A)'+^A(1 + Ar^{t))iA = Ue — kfn(p^ Ar^{t) Widerstandsanderung.

(5.26) (5.27)

Dies ist ein nichtlineares Differenzialgleichungssystem 5. Ordnung fur x(r), (p(f), /A(05.3.1.2

Aufbereitung der Bewegungsgleichungen

Die mathematische Modellierung des Systems setzt sich aus zwei nichtlinearen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung fur x{t), (p{t) sowie einer linearen Differenzialgleichung erster Ord-

5 Simulation unter MATLAB®

220

nung fiir /^(r) zusammen. Die ersten beiden Gleichungen bringen wir zunachst auf eine angenahert explizite Form. Hierzu dividieren wir jeweils durch m = mo-\-mu bzw. J = JQ-\- muC^, fiihren die AbkUrzungen 25 = d/m\

(OQ = k/m;

25(p = d(p/J;

m^ = 1 mJ

cos (p

ein und eliminieren in der ersten Gleichung (p mit Hilfe der zweiten Gleichung. Danach erhalten wir fiir die ersten beiden Gleichungen /

— I—2ox — COQX -\

(p = -lOcpCp

o

.

^u^

l28(p(p-\-—-g

— [X-\-g) COS

km . \

COS (p-—-iA

.9 .

1 COS (p + (p^ }sin (p

(p-\-—-lA.

Da X auch auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung der Drehung weiterhin auftritt, muss bei der Programmierung sichergestellt werden, dass zunachst ic berechnet wird. D. h. nicht immer wird eine strenge explizite Form der Bewegungsgleichung notig. Wahlen wir die Zustandsvariablen des Zustandsvektors: y = {yu yi, j 3 , ^4, ysf

= (-^, 9 , ^i
so folgt die fiir die numerische Integration erforderliche Standardform: yi = J3 y2 = j4 3)3= {-25y3 rriue

- (OQyi-\-

20cpy4 + —gcosy2

- —ys

J4

-2d(pj4 - —

J5

--—(1 + ArA(0)j5 - -p-yA + —Ue

I cos372 +3^4 ^my2 }/^x

(5.28)

(j3 + ^ ) C0Sy2 + y j 5

LA

LA

LA

{mue.

mit der Abkiirzung rux 1 ^ 1 ^ cos ^^2- Fiir einen Anfahrvorgang iiber die bezogene Widerstandsanderung ArA(^) setzen wir ^rA{t) 5.3.1.3

rAmaA^-T,)

f^^^

^ ^/^

Programmausschnitte und numerische Ergebnisse

Hier konnen wir nur wesentliche Teile der Programme g m o t o r . m, f g m o t o r . m [59] abdrucken und kurz erlautem. Die Abkiirzungen der Systemparameter pj sind in Tabelle 5.4 erklart; sie werden als globale

5.3 Integration von Systemen in Standardform

221

Variable vereinbart, d. h. die Parameterliste mit den pj hinter dem Schlusselwort global muss im Tabelle 5.4: Parameterabklirzungen fur Typ-Vereinbamng: global Pi = P5 =

^=25, m

J

'

'

P2 =

m

P6 =

'

J '

P3 =

J = 25(p,

P4 =

P8 =

km

P9 =

LA

m

'

u

Hauptprogramm und in der Function der Differenzialgleichungen stehen. Nach der Parametrierung sind die Abkurzungen aus Tabelle 5.4 zu bilden. Es folgen die gewahlten Anfangswerte und das Integrationsintervall. Da in Bezug auf die Differenzialgleichung keine Besonderheit, z. B. Steifheit, erkennbar ist, wahlen wir den Integrator ode45 Programmausschnitte von gmot o r . m mit der Function f gmot o r . m aus [59] g l o b a l p i p2 p3 p4 p5 p6 Parameter m =100; mue=0.05; k=2.25e+06; d=225; ue=200; th=40 Parameterabkiirzungen pl=d/m; p2=k/m;

%

% %

%

p9 g

% % % %

ue LA RA rAmax t h

Masse kg Unwucht kgm Federst. N/m Dampfung Ns/m

% Klemmspannung % Hochfahrzeit

V

% siehe Tabelle

p9=1.0/LA; Anfangswerte 10=(ue-km*Om)/RAst; % Stromanfangswert yO=[0;0;0;Om;10] ; % Anfangswertvektor Integrationsintervall tlnt=[0 50]; % I n t e g r t . iiber 50 s Optionen und Integratoraufruf options = odeset CRelTol',le-04);% Optionen [t,y]=ode45(Qfgmotor,tint,yO,options); % Integratoraufruf graflsche Auswertung figure(1) % graflsche Darstellung subplot(311) plot (t,y(:,4)) % Wlnkelgeschwlndlgkelt

Die Function der Differenzialgleichungen enthalt (5.28) sowie die Ansteuerung des Motors. function yp = fgmotor(t,y) global pi p2 p3 p4 p5 p6 p8 p9 g ue LA RA rAmax th % Anfahrsteuerung p7=RA*(1.0+(t<=th)•rAmax*(1-t/th))/LA; % Anfahrwlderstand

5 Simulation unter MATLAB®

222

co=cos(y (2)); % Abkurzung mx=l.0-p4^p5*co^2; % Abkurzung yp(l)=y(3); % Fundamentblock yp(2)=y(4); % Drehbewegung yp(3)=(-pl^y(3)-p2^y(l)+p4^((p3^y(4)+...

p5^g*co-p6*y(5))*co+y(4)^2*sin(y(2))))/mx; yp(4)=-p3*y(4)-p5*(yp(3)+g)*co+p6*y(5); yp (5)=-p7^y(5)-p8*y(4)+p9^ue; % Motor yp=yp';

Simulationsergebnisse Die Simulation wurde mit den Standardparametern nach Tabelle 5.3 einerseits fiir ^ m^^ = 0.05 m kg, RA = 0.5 D. und andererseits fiir eruu = 0.01 m kg, RA = 10 ^ durchgefuhrt. Die Ergebnisse sind in Bild 5.10 grafisch dargestellt. Deutlich wird die Kopplung zwischen der Fundamentschwingung x{t) und der Drehbewegung (p{t) sowie dem damit zusammenhangenden Einfluss auf den Strom. Dadurch neigt insbesondere das Modell mit der groBeren Unwucht erriu = 0,05 mkg zu starkeren Resonanziiberhohungen im Bereich 25 < f < 42 s zu f2 ?^ 150 rad/s. Durch die damit verbundene hohe Drehbelastung gewinnt das System trotz starken Stromanstiegs kaum an Winkelgeschwindigkeit. Es bleibt nahezu in der Resonanz hdngen. Unmittelbar nach dem erreichten Spitzenwert von x{t) bzw. /A(0 andert sich Q. sprungartig und der Strom bricht aufgrund des kleinen Ankerwiderstandes schnell zusammen. Betrachten wir demgegeniiber die Zeitverlaufe bei kleinerer Unwucht und hoherem Ankerwiderstand RA, dann fallt die mit e ruu zusammenhangende geringere Resonanzuberhohung und somit die kleinere Motorbelastung auf - Skalierung beachten -. Der Widerstandseinfluss RA wird nach dem Resonanzdurchgang deutlich, der Strom fallt erheblich langsamer ab.

0.05

Resonanzdurchgang

f ° -0.05

_ ^ •-"

I-)

10

20

30

30 20 10

/ /

0

-10

40

10

20

t [s]

30

5 stationarerZustand

,^

40

2i:emu = 0.05 m kg, RA = 0.5 a

h:emu = 0.01 m kg, RA = 10 0.

Bild 5.10: Anfahrvorgange

5.3 Integration von Systemen in Standardform 223 5.3.1.4

Formulierung mit zustandsabhangiger Massenmatrix

Die oben eingeschlagene Vorgehensweise ist fiir Systeme niedriger Ordnung vertretbar, weil man noch den tJberblick behalt. ZweckmaBiger ist eine MatrixA^ektor-Schreibweise. Dazu fUhren wir den Beschleunigungsvektor (x, (py ein, so dass wir fiir (5.25)-(5.27) schreiben konnen m ruue cos (p niue cos (p J LAilA)'

X

— {dx -\- kx) -\- mueif)^ sin (p [ -d(p(p-Mueg cos (p-\-kmiA

(5.29)

RA{l-\-ArA{t))iA-km(p-\-Ue

wobei weiterhin der Zustandsvektor y = ( j i , . . . ,3^5)^ = (^, 9 , x, (p, IA)^ gilt. Die Massenmatrix in (5.29) ist zustandsabhangig. Wollen wir das System als explizites Gleichungssystem behandeln, dann miissen wir (5.29)i mit der Inversen m muC cos (p muC cos (p J

1

J -muC cos (p mJ — {rrime cos (pY -rriue cos (p m

durchmultiplizieren. Diese Inverse muss in der Regel zu jedem Integrationsschritt mehrfach numerisch ermittelt werden, was bei Systemen hoherer Ordnung sehr rechenintensiv ist. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man das System in der Form (5.5) oder sogar als implizite Differenzialgleichung losen sollte. Wahlen wir die Form (5.5)

M'iy )y =

(5.30)

Cy^fni{y),

dann gehoren hierzu " 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 m niue cosy2 0 Ar = 0 0 0 0 niue cosy2 / 0 0 0 0 0 LA _ " 0 0 1 0 0 0 C = -k ^ -d 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 -d^p ^m -km -/?A(l+ArA(0)

7

jnl

—

0 0 ruu e yj sin y2 -niu eg cosy2

Die Massenmatrix M^ ist separat zu programmieren - m g m o t o r . m - . Die Function der Differenzialgleichung enthalt nur die rechte Seite von (5.30). Eigenschaften zur Massenmatrix konnen optional angegeben werden: options=odeset('Mass',@mgmotor,'MassSingular' , ' no' , . .. 'MStateDependence','weak','RelTol' , 1.Oe-04) ; Neben dem Function-Namen m g m o t o r setzen wir die Regularitat von M'^(j(0)) zum Zeitpunkt ^ = 0, sie ist eindeutig. Der Abhangigkeitsgrad von den ZustandsgroBen

MStateDependence |none|, | {weak} |, I strong!

224

5 Simulation unter MATLAB®

ist nicht so einfach zu beantworten. Da nicht alle Elemente zustandsabhangig sind, wahlen wir weak (Standardwert). Die Eigenschaft none ist fiir eine reine zeitabhangige Matrix M'^(r) zu setzen. Welche der hier betrachteten Wege letztendlich der gUnstigste ist, kann nur mit einer Simulation geklart werden. Ist die Rechenzeit das wesentliche Kriterium, dann zeigen (5.29) trotz Invertierung und (5.28) deutliche Vorteile. Dies liegt womoglich an der giinstigen Invertierung eines 2 x 2-Systems gegeniiber der von M^ sowie dem vielfachen Aufruf der Function zur Massenmatrix. In dem Programm gmotor . m sowie in der Function f gmotor . m und mgmotor . m kann mit Hilfe des Steuerparameters IST wahlweise (5.28) oder (5.30) ausgefiihrt werden. IJbungsvorschlag: Fiihren Sie fiir das Modell des Doppelpendels aus Bild 5.16 mit (5.61)(5.63) eine Simulation mit zustandsabhangiger Massenmatrix durch. Erstellen Sie ein einfaches Animationsmodell und zeigen Sie grafisch, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie des konservativen Systems stets konstant ist. Hilfe: d o p p e l p . m in [59].

5.4

Differenzial-algebraische Gleichungen

5.4.1

Mathematische Hintergrunde

Die bisher betrachteten Bewegungsgleichungen basieren auf einem Satz von Minimalkoordinaten, sie fiihren auf gewohnliche Differenzialgleichungen, die numerisch sehr effizient zu integrieren sind. Es ist insbesondere bei mechanischen Mehrkorpersystemen nicht immer einfach bzw. oft unmoglich, die Wahl der Minimalkoordinaten a priori zu treffen. Daher verwendet man Mischformen, so genannte differenzial-algebraische^ Gleichungen, kurz DAEs ^. D. h. aufgrund der algebraischen Gleichungen, die keine Beschleunigungsterme enthalten, wird die Massenmatrix M"^ in (5.5) singular. Neben der Mechanik findet man derartige Beschreibungen in Anwendungen der Mechatronik, der Elektrotechnik und Elektronik sowie in der Chemischen Verfahrenstechnik. Z. B.: Bei der Analyse elektrischer Netzwerke mit Spannungsquellen erhalten wir mit den Maschengleichungen Differenzialgleichungen der Zweigstrome, die Knotengleichungen ergeben algebraische Bedingungen der Strome. Die wichtigste Invariante fiir die Analyse von differenzial-algebraischen Gleichungen ist der so genannte Index. In der Literatur finden sich verschiedene Indexbegriffe, z. B. der Differenziations-Index nach [16], der Storungs-Index nach [34], usw.. Am haufigsten wird der Differenziations-Index (d-Index) benutzt, da er eine groBe Klasse von praxisrelevanten Problemen abdeckt und in vielen Fallen relativ einfach zu berechnen ist. Im Wesentlichen ist der d-Index die Zahl, die man an Ableitungen der algebraischen Gleichungen benotigt, um das differenzial-algebraische Gleichungssystem in ein System gewohnlicher Differenzialgleichungen (ODE) zu iiberfiihren. Wir werden hier nur den d-Index verwenden und schreiben deshalb kurz Index. Mathematisch betrachtet sind differenzial-algebraische Gleichungen (auch: Algebro-Differenzialgleichungen) Differenzialgleichungen mit Nebenbedingungen — =/(ii,A),

0 = g{u,X);

2 auch: differentiell-algebraische 3 DAEs Differential-Algebraic Equations

u{to)=uo,

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

225

man spricht auch von Differenzialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten (z. B. Kurven oder Flachen). Differenziert man die Nebenbedingungen 0 = g{u,X) implizit nach t, so erhalt man dg

6u

dg

dX

Wenn die JACOBI-Matrix von g nach A invertierbar ist, konnen wir die obige Gleichung formal nach X auflosen. Man erhalt dX dT

||(«,A))"|(«,A)/(«,A).

Zusammen mit der Differenzialgleichung fiir u ergibt das ein gekoppeltes System von Differenzialgleichungen, welches fiir eine stetige rechte Seite eine eindeutige Losung besitzt. Da die tiberfiihrung mit einer Ableitung erreicht wurde, liegt ein Index-1-Problem vor. Falls die Index1-Bedingung verletzt ist, geht die Eindeutigkeit der Losung verloren und Bifurkationen (Losungsverzweigungen) konnen auftreten. Wir betrachten zur Erlauterung das System du

1.

Fiir die konsistenten Anfangswerte w(0) = 0 und A(0) = 1 ist die Index-1-Bedingung erfiillt. Die lokal eindeutige Losung lautet u{t) = sin^,

X{t) = co^t

und existiert fiir alle t, Bei t = K/2 ist die Index-1-Bedingung ^

= 2A = 2cos(;r/2) = 0

zum ersten Mai verletzt und eine Bifurkation findet statt. Eine zweite Losung durch (i/, A) = (1,0) lautet 1,

0.

Beispiel 5.7:

Zur Index-Ermittlung

Fiir den Einmassenschwinger nach Bild 5.1 mit nichtlinearer Dampfercharakteristik nach (5.8) konnten wir das differenzial-algebraische Gleichungssystem 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 m 0 0 0 0 0

X

s X

9

+

s

0 0 k -k

0 0 -k

k^ko

1 0 0 1

X

Q

X

0

Q

0

s s

formulieren. Die letzte Gleichung stellt die Nebenbedingung g=

-k{x-s)-\-kos-\-fD{s)

+

0 0 -mg

_ fois)

5 Simulation unter MATLAB®

226

dar, deren zeitliche Ableitung folgt zu g = -k(x -s)-\-koS-\-^;-S

.

OS

Unter der Voraussetzung df/ds ^ 0 ist die Index-1-Bedingung erfullt, so dass (5.10) als Index-1-Problem zu losen ist. Wird df/ds = 0, dann ist die Bedingung verletzt, es kann zu numerischen Schwierigkeiten kommen. Unter der Voraussetzung eines qua-

1 fp

\

stabil

instabil \v

/

sp=dQ/(2d)

X

^

0

5

^^•»^\ _,---^ 10

-15

-10

/

-5

^ 10

15

Bild 5.11: Dampferkennlinie dratischen Dampfungsgesetzes fois) = dos-\-df tritt dieser Fall fiir s = —do/{2d) ein. Mit Hilfe der Kennlinie nach Bild 5.11 ist die Situation erklarbar. Aufgrund des parabelformigen Verlaufs sind fiir //) > 0.25 do/d zwei Losungen moglich, eine ist stabil, die andere instabil. In /£> = 0.25 do/d fallen diese Losungen zusammen. 5.4.2

Moglichkeiten unter MATLAB und Simulink

Die Loser odelSs und odelSt"^ unter MATLAB (vgl. Tabelle 5.1, 5.2) sind z. Z. nur fiir Probleme vom Index 1 mit zeit- und/oder zustandsabhangiger verallgemeinerter Massenmatrix M^{t^y) konzipiert. Der Code odeISs ist eine Variante der Backward Differentiation Formulas, BDFs und wird in MATLAB als NDFs, Numerical Differentiation Formulas bezeichnet. Er ist zur Losung steifer Differenzialgleichungen (ODEs) der Form

M'{t)y=f{t,y) M'{t.y)y=f(t,y)

unter MATLAB 5.3 unter MATLAB 6.0,... 7.3

(5.31)

entwickelt. Die klassische BDF-Methode kann optional (' BDF' , ' o n ' ) aufgerufen werden. Berechnungen eines neuen Schrittes mit einem BDF oder NDF setzt keine regulare Matrix M^ 4 Public domain Codes unter C- bzw. FORTRAN: DASSL, LSODI, SPRINT

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

227

voraus. Dies erlaubt die Berechnung einer direkten Naherung von DAEs vom Index 1. lsiM^{to) bzw. M^{to,yo) zum Anfangszustand to, yo singular, dann wird (5.31) als DAE bearbeitet. Das Losen von DAEs ist komplizierter als das von ODEs. Eine DAE hat nur dann eine Losung, wenn die Anfangswerte yo konsistent bezuglich

M^{to,yo)yo = /(^o, yo)

(5.32)

sind, d. h. yQ muss Losung zum Startzeitpunkt ^o sein. StandardmaBig versucht der Integrator aus gehend von jg = ^ ™t dem vorgegebenenyo konsistente Anfangswerte zu finden. Sind bezuglich JQ Informationen bekannt, so konnen diese mit der Eigenschaft I n i t i a l S l o p e in der odeset Vereinbarung iibergeben werden. odelSs und ode23t-Code (Trapezformel) wurden so getrimmt, dass man DAEs vom Index 1 entsprechend einfach, d. h. wie ODEs losen kann. Die Codes erkennen an der Singularitat von M^ zum Anfangszeitpunkt eine DAE und bestimmen selbststandig die konsistenten Anfangsbedingungen. Die Singularitatsbestimmung von M^ kann vom Benutzer durch 'MassSingular'^ 'yes' | 'no' | {'maybe'} gesteuert werden. Da die Singularitatsbestimmung einer Diagonalmatrix, u. a. M^, unproblematisch ist, nehmen diese Systeme eine Sonderstellung ein und konnen leicht auf die semi-explizite Form explizites Differenzialgleichungssystem implizites algebraisches Gleichungssystem

u= foit, u, X) 0=g{t, u, A)

(5.33)

vom Index 1, d. h. dg/dX regular, gebracht werden. Dies gilt insbesondere bei konstanter Massenmatrix. Unter Simulink konnen direkt keine differenzial-algebraische Gleichungen gelost werden. Es lasst sich aber zeigen, dass in (5.33) X eliminiert werden kann - vgl. Abschn. 5.4.4 - und somit eine ODE vorliegt, so dass alle MATLAB-Integratoren eingesetzt werden konnen, vgl. [70]. Dies ist der Grundgedanke fiir ein Simulink-Modell, dessen Struktur in Bild 5.12 wiedergegeben ist. Das Subsystem (DGL) beschreibt die Differenzialgleichung (5.33)i, das Subsystem ( a l g e b r . r 1^.

\U Clock

0 = q(t, u, lambda) Subsystem 1

^t w

>

u

DGL

^W

u_p

lambda

L _P

Subsystem =f_D (t, u, lambda

1 s

Iritegrat Dr

u

1—• t

^u w

„f'9®^^^- lambda Gleichung lambda

r^ lambda

)

Bild 5.12: Simulink-Modell flir semi-explizite DAE vom Index 1 G l e i c h u n g ) die algebraische Gleichung (5.33)2, welche mit dem Algebraic Constraint Block gelost wird. Fiir diese ODE-Naherung konnen alle Standard-ODE-Loser angesetzt werden. Der Unterschied zum gewohnlichen ODE-Loser ist, dass der Integrator zu jedem Zeitpunkt den Wert von/£)(^, n, A) fiir bekannte (^, n, A) benotigt, demzufolge muss die algebraische Gleichung

228

5 Simulation unter MATLAB®

0 = g(r, n, A) zunachst nach A aufgelost werden. Dies erfolgt, ausgehend von Startwerten, iterativ mit Hilfe der Fixpunktmethode. Durch diese Formulierung entstehen algebraische Schleifen, die keine Probleme bereiten solange das Verfahren konvergiert, vgl. auch a l g e b _ g l .mdl in [59]. 5.4.3

Mechanische Bewegungsgleichungen mit algebraischen Bindungsgleichungen

In mechanischen Systemen beschreiben die Differenzialgleichungen Ublicherweise die Dynamik der Teilsysteme, wahrend die algebraischen Gleichungen die Zwangsbedingungen oder Bindungen z. B. infolge von Gelenken charakterisieren. Darliber hinaus erfordert die Komplexitat vieler dynamischer Prozesse bei der Modellbildung eine verstarkte Modularitat. Man fiihrt deshalb Subsysteme und ihre mathematische Formulierung ein. Fin solcher modularer Aufbau erleichtert die Modellbildung und vereinfacht u. a. die tJberschaubarkeit des Gesamtsystems. Bei diesem verkopplungsorientierten Modellierungskonzept treten zwangslaufig redundante Koordinaten bei der Systembeschreibung auf. Typischerweise sind diese Systeme dann gekennzeichnet durch Differenzialgleichungen, die die Dynamik beschreiben, und durch algebraische Gleichungen, die die Kopplungen bzw. Bindungen^ festlegen. Die Gesamtbeschreibung erfolgt demnach durch differenzial-algebraische Gleichungen. 5.4.3.1

Lagrange'sche Gleichung 1. Art

Die LAGRANGEschen Gleichungen 1. und 2. Art beschreiben das dynamische Verhalten mechanischer Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden [66]. Die beiden Gleichungsarten unterscheiden sich in der Behandlung von kinematischen Zwangsbedingungen. Falls die Systemkinematik durch verallgemeinerte Koordinaten q beschrieben wird, die die Zwangsbedingungen erfiillen, dann konnen die LAGRANGEschen Gleichungen 2. Art angewandt werden, die ausschlieBlich auf Differenzialgleichungen fuhren, vgl. Abschn. 2.4. Werden dagegen Up redundante Lagekoordinaten p verwendet, so miissen diese die nz holonomen skleronomen bzw. rheonomen Zwangsbedingungen

g(p)=0,

bzw

g(p,0=O

(5.34)

explizit erfiillen, dies fiihrt auf die LAGRANGEschen Gleichungen L Art [42]:

Hierbei ist T die kinetische und V die potentielle Energie und Q beschreibt die nichtkonservativen Krafte/Momente, wie in Abschn. 2.4, und G(p)^A die verallgemeinerten Reaktionskrafte, wobei G die JACOBI-Matrix der Zwangsbedingungen

G = G(p,0 = ^ dp

(5.36)

5 Die Bewegungsfreiheit wird durch eine oder mehrere Lagegrofien eingeschrankt (mechanische Bindungen). Zeitinvariante Bindungen heiBen skleronome Bindungen, zeitvariante rheonome Bindungen

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

229

und A der ^z-Vektor der LAGRANGEschen Multiplikatoren (Koordinaten der verallgemeinerten Reaktionskrafte) ist. 5.4.3.2

Strukturen differenzial-algebraischer Gleichungen

Die LAGRANGEsche Gleichung (5.35) oder die NEWTON-EULER-Metliode nacli Absclin. 2.3 fuliren auf Bewegungsgleicliungen in Deskriptorform mit den holonomen Bindungen (5.34), siehe [76] Up kinematische Differenzialgleichung

M{p)v=f{p,v,t)^G{p,tYX 0=8{p,t)

Up kinetische Differenzialgleichung

(5.37)

nz algebraische Gleichung.

M{p) ist die rip x rip Massenmatrix (symmetrisch, positiv definit) und/(p, v, t) der n^-Vektor der verallgemeinerten eingepragten Krafte, Kreisel- sowie Zentrifugalkrafte. (5.37) ist eine differential-algebraische Gleichung vom Index 3 eines mechanischen Systems. Mit dem Hypervektor y = [p^, v^, A^ ]^ folgt fiir (5.37) E 0 0

0 M{p) 0

0 " " P ' V 0 = 0 A

V

/(p,v,?)+G(p,f)TA 8{p,t)

(5.38)

Dies ist die allgemeine Form gewohnlicher differenzial-algebraischer Gleichungen (5.39) mit der Deskriptorvariable y und der singularen Matrix M^, Ist die Massenmatrix M invertierbar, dann ist (5.39) darstellbar als semi-explizite differenzial-algebraische Gleichungen, vgl. (5.33): u= foiUyX^t)

Differenzialgleichungen in expliziter Form

0 = / A (w, A, f)

algebraische Gleichungen, implizit

(5.40)

mit

" = [ p \ p ^ r = [ p ^ v T ] T ; Mu^,t)

=

M-^f

+ G'X)

fA{u,X,t)=g{p,t)

.

Gesucht sind die Losungeny(r) = [p(0^ ^(0^ ^ ( 0 ^ V ^^^ Anfangswertproblems (5.38) bzw entsprechend fiir (5.40) zu den Anfangsbedingungeny(fo) =yo d. h. [p{to)^, v(^o)^, A(^o)^ V = [PQ , VQ , AQ ]^. Die Anfangsbedingungen miissen u. a. die Bindungen (5.34) erfiillen. 5.4.3.3

Das Problem vom Index 1

Die Modellierung mechanischer Mehrkorpersysteme mit der LAGRANGEschen Gleichung erster Art oder dem EULER-LAGRANGE-Ansatz ergeben stets Index-3-Probleme (5.37), wobei die Bindungsgleichungen/Nebenbedingungen (5.34) auf Lageebene formuliert sind.

230

5 Simulation unter MATLAB®

AUgemein unterscheidet man Bindungen auf Lage-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsebene, denen jeweils 0 = g{p), 0 = g{p,p), 0 = g(p,p,p) zuzuordnen ist. Unter MATLAB konnen nur Systeme vom Index 1 bearbeitet werden. Um (5.37) in ein Index1-Problem zu Uberfuhren, muss nach Abschn. 5.4.1 die Bindungsgleichung (5.34) zweimal nach t differenziert werden: .

^S..dg

^..dg

^=

d^g dg d (dg\.^^d^gd^g W = dp^^dp[dp^)P^^d^tP^^

'^TpP^Tt^^^^Tt = Gp -\- y{p^ p, t)

(5.41)

und mit p = v aus (5.37)2

= G M - i ( / + GTA)+y. Das Index-1-Problem enthalt damit Bindungen auf Beschleunigungsebene p= V

M{p)v=f{p,v,t)^G{p,t)'X 0 = G(p, t)v + y(p, V, t) = G{p,t)M{p)-'

und mit v nach (5.42)2

(5.42)

{f[p,v,t)+G{p,tfX)+y{p,p,t).

Ausgehend von geeignet gewahlten Anfangswerten p(ro) = po. v(ro) = Vo, A (fo) = AQ existieren Losungenp(f), v(^), A(/^). Es sind aber nur solche Losungenp(f), v{t),X{t) von (5.42) zugleich auch Losungen der DAE (5.37), welche die in (5.42) nicht berlicksichtigten Bindungen auf Lageund Geschwindigkeitsebene erfuUen, also 0 = g(p, f),

0 = G(p, f)v + ^ ^ ^

.

(5.43)

Die Anfangswertepo, VQ, AQ miissen einerseits diese Bedingungen erfuUen (konsistente Anfangsbedingungen): 0 = g{po, to) g(p^t) 0 = G(po)vo H - ^ |p=po, t=t-o

Bedingung fur Anfangslage po Bedingung fur Anfangsgeschw. VQ

(5.44)

andererseits aber auch die auf Beschleunigungsebene aus (5.42)3 in der Form 0 = G(po,^)M(po)"^ (/(Po,vo,^o)+^(Po,^o)'^Ao) +y(po,Po.^o) •

(5.45)

Unter MATLAB konnen die Integratoren odelSs, ode23t (implizite BDF- bzw. NDF-Mehrschrittverfahren) nur fiir Index-1-Probleme verwendet werden. Die Anfangswerte po, VQ miissen die konsistenten Anfangswerte (5.44) erfuUen, (5.45) wird dagegen automatisch numerisch erfullt. Einen Uberblick beziiglich Losungsalgorithmen fiir hohere Index-Probleme finden wir in [9], [21]. Implizite Integrations-Methoden losen Index-1-Probleme, ohne die Zwangs- bzw. Nebenbedingungen differenzieren zu miissen, vgl. Abschn. 5.5.

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen 5.4.3.4

231

Erlauterung der Vorgehensweise am Beispiel r

_

dgjp)

LipQ sin (fo mgr Jpi

m

I

m

~

dp. LcpQ cos (fo

Bild 5.13: Mathematisches Pendel, Schnittbild, Anfangszustand Die Vorgehensweise soil anhand des mathematischen Pendels (Punktmasse m, Pendellange L) aus Bild 5.13, als einfachster Vertreter einer offenen Schleife, erlautert werden. Das System hat einen Freiheitsgrad. Mit den rip = 2 Lagekoordinaten pi, pi fuhren wir redundante Koordinaten ein, deren Abhangigkeit in der Bindungsgleichung - Pendel muss sich auf einer Kreisbahn bewegen - zum Ausdruck kommt. Ausgehend von der LAGRANGEschen Gleichung 1. Art (5.35) oder vom Impulssatz (2.64) fiir den freigeschnittenen Korper in Bild 5.13 folgt mitp = [p\ piY'[P\^ P2\ m 0

0 m

vi . ^2 _

p=v

n , V2 0 -mgr

=

0:

PI^PI

+

2pi 2p2

L , Lageebene

Mv =

f^G{pfX

(5.46)

0 = g{p).

Physikalisch lassen sich die Ausdrlicke dg/dpj A = 2pjX deuten als die den generalisierten Koordinaten pj zugeordneten generalisierten Reaktionskrafte/momente, durch die die Einhaltung der Bindungsgleichung erzwungen wird. Das System (5.46) ist vom Index 3, was unter MATLAB so nicht direkt losbar ist, wir uberfuhren es deshalb, wie in (5.41) durch zweimalige zeitliche Differenziation der Bindungsgleichung in ein Index-1-Problem: 0 = G{p)v = 2{pivi +P2V2), 0 = G(p)v + 7(v) = 2{pivi -\- P2V2 + V1 + V2),

Index 2, Geschwindigkeits-Ebene

(5.47)

Index 1, Beschleunigungs-Ebene.

Setzen wir v = [vi, 1)2]^ aus (5.46)2 noch ein - entspricht (5.42)3 -, so folgt 0 = G(p)M-i {f^G{pfX)^r{v)

= 2{-grP2 + m

-{PI^PD^

+ V? + v^) .

(5.48)

5 Simulation unter MATLAB®

232

Damit liegt das Index-1-System vor: p= V (5.49) 0 = G ( p ) v + 7(v) mit M, G(p), / nach (5.46) sowie 7 = 2( Vj + V2) nach (5.47)2. SchlieBlich erhalten wir mit y = [yu yi, Js, J4, ys V = [PU PI, vi, V2, A ]'^ die allgemeine Form Af^y = / ^ ( y ) ,

Af* = diag(l I m m 0) singular,

(5.50)

bzw. mit U = [Ui, W2, W3, W4J = [Ph P2i PU P2\

(5.51)

Pj

die semi-explizite Form (5.40) 2 2 —Awi, —AU2—1 u = W3, W4, m m 0= ul^uj^

2^^^^X

(5.52) - grU2,

L^ =

PI^PI'

Ausgehend von dem allgemeinen Anfangszustand (po,
Po=L

sincpo - cos (jPo

PQ

= vo = L(po coscpo sincpo

(5.53)

sowie aus (5.52)2 Ao = - ^ m ( | c o s ( p o + (Po') .

(5.54)

(5.53), (5.54) erfuUen die Bindungen auf Lage-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsebene. Numerische Vorgehensweisen Die folgende numerische Auswertung soil einerseits skriptorientiert unter MATLAB und andererseits als Simulink-Modell nach Bild 5.12 erfolgen. Skriptoriente Vorgehensweise: Wir arbeiten mit (5.50), also ohne explizite Invertierung von M. D.h. 3? = f^{y) und M^ miissen separat programmiert werden. Da M^ konstant ist, erfolgt deren Vereinbarung einmalig im Hauptprogramm mathp.m. Fur y = f^{y) ist die Function fmathp .m angelegt. Die Anfangswerte miissen die Bindungen (5.44), d. h. (5.46)3 und (5.47) zum Zeitpunkt ^o. erfuUen. Dies geschieht mit (5.53), wobei cpo, (po vorzugeben sind. Bindung (5.48) wird numerisch durch den Integrator erfiillt, so dass fiir Ao nur ein Naherungswert vorzugeben ist, z. B.3?o = [L, 0, 0, 0, 0.5]^, j(0) = 0 . I n m a t h p _ l . p d f [59] wirdgezeigt, wie sich mit der MATLAB Function decic -vgl. Abschn. 5.5 - konsistente Anfangswerte berechnen lassen, vgl. auch mathp_10 .m. Wesentliche Programmausschnitte des Hauptprogramms mathp.m

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

233

und der Function f mathp . m, vgl. [59], geben wir an: Die Function f m a t h p . m enthalt die rechte Seite der Differenzialgleichung (5.52). Function: f mathp . m % Function function yp = f m a t h p ( t , y, m, L, g r ) % Identitat YP = [ Y ( 3 ) ; y ( 4 ) ; % Differenzialgl. + 2 • y (1) • y (5) + 2 ^ y (2) ^ y (5) - m ^ g r y(3)^2 + y ( 4 ) ^ 2 . . . Bindung - g r • y ( 2 ) + 2 • L"2/m * y ( 5 )

Hauptprogramm: m a t h p . m clear, close a l l m = 1; L = 1; gr= 9 . 8 1 ; yO = zeros ( 5 , 1 ) ; y O ( l ) = L; M = diag ( [ 1 1 m m 0 ] ) ; o p t i o n s =odeset ( ' M a s s ' , M , . . . 'MassSingular','yes'... ,RelTol' , l.Oe-5) ; [ t , x] = odel5s(@fmathp, [0 1 0 ] , yO, options,m ,L, g r ) ; plot ( t , x ( : , 1:4)

% % % % % % %

Masse Pendellange Erdbeschl. spezielle Anfangswerte 'Massenmatrix' Optionen

% Integrationsaufruf % mit Parameteriibergabe % Plot-Ausg.

Simulink-Modell: Parallel dazu erstellen wir das Simulink Modell m a t h p _ S . m d l nach Bild 5.12. Mit (5.52) lassen sich die darin enthaltenen Subsysteme modellieren. Das Subsystem (DGL) in Bild 5.14 a beschreibt u = M-^foiu, A) (5.52)i - die Zeit t (Eingang: In3) tritt nicht explizit auf - das Subsystem ( a l g e b r . G l e i c h u n g ) in Bild 5.14b die algebraische Gleichung 0 = g{u, A) (5.52)2 mit dem Algebraic Constraint Block. Als Anfangsvektor ist u{0), er muss (5.46)3 und (5.47)i zum Zeitpunkt ^o = 0 erfiillen, vorzugeben. A(0) wird, ausgehend von einem Startwert, der in der Dialogbox des Algebraic Constraint Block einzutragen ist, mit (5.52)2 ermittelt. Damit sind die Anfangswerte konsistent, vgl. auch mathp_10 . m in [59]. Zur Simulation mit dem Simulink-Modell sind alle ODE-Integratoren zulassig. Das RUNGE-KUTTAVerfahren ode45 lieferte die stabilsten Ergebnisse. Bild 5.15 zeigt fiir die Parameter: m=l kg, L=l m, g^=9,81 m/s^ und u{0) = (L,0,0,0)^ ein Simulationsergebnis in Form von pi{t), P2{t) sowie die Bindungskraft f{t) in der masselosen Verbindungsstange: //Pi

''^h; dpi

/,, =dp2 ^ A ; / -\/fi+n2=

Beurteilung beider Modellierungen: Die Verfiigbarkeit der Bindungskrafte ist ein wichtiger Aspekt fiir eine derartige Vorgehensweise. Nachteilig ist aufgrund der redundanten Koordinaten die hohere Ordnung des Gleichungssystems gegeniiber einer Formulierung in Minimalkoordinaten (5.76). Dariiber hinaus muss in der Regel mit kleineren Schrittweiten gearbeitet werden, um die Bindungsgleichungen nicht zu verletzen. Wird namlich in unserem Beispiel iiber einen groBeres Zeitintervall te > 10 s mit R e l T o l l e - 0 4 integriert, dann weisen die Ergebnisse -

234

5 Simulation unter MATLAB®

m

t

XY Graph

Terminator

u_3'^2 + u_4'^2 + 2*L'^2/m lambda -u_2 g

a>-Ml

P" Algebraic Constraint f(z) = 0

P=r

N5> I 0 = g(u, lambda) ||

a: Differenzialgleichung

b: Algebraische Gleichung

Bild 5.14: Subsysteme zum Simulink-Modell des Pendels; mathp_S.mdl, mathp_Sa.m

Bild 5.15: Simulationsergebnisse mit Simulink-Modell abhangig von den Anfangsbedingungen - numerische Instabilitat auf, insbesondere erkennbar in x(5) = X{t). D.h. aufgrund von Diskretisierungs- und Rundungsfehlern stellt sich eine Losung ein, die die Bindungsgleichungen (5.46)3, (5.47) auf Lage-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsebene nicht mehr erfullt. Mit zunehmender Zeit wachst dieser Fehler rasch an. Dies ist ein bekanntes Problem bei der Bearbeitung von DAEs. Insbesondere treten diese numerischen Instabilitaten, so genannte Dn/f-Effekte, in Index-1-Problemen auf, bei denen die Bindungen mxf Beschleunigungsebene formuliert sind, vgl. Bild 5.18. Abhilfe bietet eine groBere Genauigkeit bei der Integration, z. B. ' R e l T o l ' , l . O e - 0 5 und kleiner, oder das Einfiihren von StabilisierungsMethoden [11], [21], [78], [76] sowie Abschn. 5.4.4 und Kapitel 7. Wenn moglich, ist deshalb eine Formulierung als ODE in Minimalkoordinaten anzustreben, um einerseits numerisch stabilere Modelle zu integrieren, und andererseits Rechenzeit zu sparen.

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

235

Muss das differenzial-algebraische System vom Index 1 dennoch unter MATLAB oder Simulink integriert werden, so zeigen Systeme, in denen einerseits A eliminiert, andererseits durch nochmalige Differenziation der Bindungsgleichung ein gewohnliches Differenzialgleichungssystem erzeugt wird, teilweise eine etwas bessere Handhabung. Die Drift-Effekte konnen dadurch aber nicht unterdriickt werden. Bezogen auf das Pendel bedeutet dies: Einerseits lasst sich aus der Bindungsgleichung (5.48) A ermitteln und somit in (5.46)i eliminieren, es bleibt ein gewohnliches Differenzialgleichungssystem 4. Ordnung, andererseits kann die Bindungsgleichung nochmals nach der Zeit differenziert werden, so dass wegen A ein System 5. Ordnung zu integrieren ist. tjbungsvorschlag: Durch Differenziation der Bindungsgleichung in (5.52) erhalt man eine Differenzialgleichung fiir A, so dass insgesamt ein gewohnliches Differenzialgleichungssystem vorliegt. Erstellen Sie hierfiir ein Simulink-Modell sowie ein Scriptfile und vergleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse mit denen aus der differenzial-algebraischen Gleichung (5.52) fiir einige Integrationsintervalle und Toleranzangaben, vgl. Bemerkungen aus Abschn. 5.4.4. Hilfe in: m a t h p _ S l .mdl, m a t h p _ l .m, mathp_10 .m sowie m a t h p _ l . p d f aus [59]. 5.4.4

Uberfuhrung in gewohnliche Differenzialgleichungen

AbschlieBend wollen wir die erwahnten Umformungen, mit denen sowohl eine MATLAB- als auch eine Simulink-Modellierung moglich wird, verallgemeinem. Zur Simulation konnen alle Integratoren eingesetzt werden. Die Drift-Effekte der Losungen bleiben erhalten. Dariiber hinaus werden Parallelen zu der in Kapitel 7 skizzierten Arbeitsweise von SimMechanics sowie der zugehorigen Parametereinstellungen erkennbar und verstandlicher. Der Betrachtung legen wir ein allgemeines mechanische Modell vom Index 1 zu Grunde

(5.55)

o=G(p,Op+y(pp 0

Mit (5.55) und v = p erhalten wir unmittelbar ein fiir die numerische Vorgehensweise bedingt ^eeignetes Gleichungssystem vom Index 1 E 0 0

0 0 M G^ G 0

p V

-A

V

=

.

/

-y.

E Einheitsmatrix.

(5.56)

Falls die MassenmatrixM positiv definit ist und die Bindungen unabhangig sind, d. h. die JACOBIMatrix G vollen Rang hat, ist die Koeffizientenmatrix der linken Seite in (5.56) regular und damit invertierbar. Dieses Gleichungssystem ist im Prinzip ausreichend, um fiir konsistente Anfangsbedingungen p(0) = po,

v(0) = vo,

- IXdt\(0)

die Trajektorien von ^T [p^,^'^ v" / A^ dt) zu ermitteln. Nachteil: Der Kraft- bzw. Momentenbezug iiber A ist nicht mehr direkt zuganglich.

5 Simulation unter MATLAB®

236

Elimination des Multiplikators A In einem zweiten Schritt eliminieren wir daher A in (5.55). Hierzu multiplizieren wir (5.55)i von links mitGAf-^

so dass wir mit (5.55)2 GM-^f + GM-^G^X = -Y linden. Dabei ist GM~^G^ regular, wenn G den voUen Rang besitzt, so dass wir nach X auflosen konnen: X = -{GM-^G^)

\y^GM-^f)

.

(5.57)

Setzen wir nun X in die Ausgangsgleichung (5.55)i ein, dann ergibt sich das explizite gewohnliche Differenzialgleichungssystem (Index 0)

v=M-^{{E-PGM-^)f-Py},

P = G^ {GM-^G^)

\

(5.58)

fiir p(^), v{t), womit anschlieBend aus (5.57) A(^) berechnet werden kann. AUe Losungen p{t), v{t), X{t) aus (5.58) und (5.57) erfiillen die in (5.58) berlicksichtigten Bindungen auf Beschleunigungsebene (5.55)2. Damit p{t), v{t) von (5.58) zugleich auch Losungen der DAE (5.55) sind, miissen auch hier die Anfangswerte po, VQ die Bindungen (5.44) erfiillen. Uberfiihrung in eine gewohnliche Differenzialgleichung ftir A Bilden wir ausgehend von (5.41) die dritte zeitliche Ableitung von g, so erhalten wir zunachst

^0..

g = GM-^G^X + 3 ^ p + — (GM-^G^A + 0 ) p + — (GM-^G^A + 0 ) = 0 (5.59) dp dp^ ' ^ -. , r/i- i ^^ mit 0 = GM~^/ + y und damit das gewohnliche Differenzialgleichungssystem vom Index 0 E 0

0 M

0 t

0 0 GM-^G^

' P ' V

A

V

= Z + G^A [ -l^{GM-'G^X^(l>)p-l-^{GM-'G^X+ 0)

(5.60)

womit A unmittelbar verfugbar ist. Mit (5.56) und insbesondere mit (5.58) und (5.60) wird eine Simulink-Modellierung moglich. Vergleichbare Schritte miissen deshalb auch unter SimMechanics verfolgt werden. Der Aufwand insbesondere in (5.60) steigt erheblich. Die zeitlichen Ableitungen von g wird man zweckmaBigerweise symbolisch mit der Computeralgebra ausfUhren. Die konsistenten Anfangswerte konnen, wie bereits erwahnt, ausgehend von ^ = 0, ^ = 0, ^ = 0 mit der MATLAB Function decic aus Abschn. 5.5 iterativ berechnet werden. Dabei sind einige Komponenten von p(0), p(0) festzuschreiben, fiir die restlichen sind Schatzwerte vorzugeben.

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

237

Nicht jede Kombination fiihrt zum Ziel. DiesbezUgliche Anwendungen zum Pendel nach Bild 5.13 sind mit m a t h p _ l . m , mathp_S 1. mdl, m a t h p _ l 0 . m aus [59] durchfuhrbar. In m a t h p _ l . pdf sind einige Bemerkungen zu linden. Beispiel 5.8: Anwendung auf ein Kurbeltrieb Die Vorgehensweise beziiglich der Elimination von A wenden wir auf den Schubkurbeltrieb nach Bild 5.16 - er hat einen Freiheitsgrad - an.

Bild 5.16:1: Doppelpendel, II: Schubkurbeltrieb Zur Beschreibung der Kinematik des Schubkurbeltriebs kann z. B. das Schubgelenk geschnitten werden. Der so entstandene aufgespannte Baum bzw. das offene Schleifensystem entspricht dem des Doppelpendels. Die Bewegungsgleichungen lassen sich mit den Methoden aus Kapitel 2 herleiten. Wir erhalten

M{q)q^k{q,q)=h{q)

(5.61)

mit der Massenmatrix M

{mi-\-m2)i] m2^2

(5.62)

und den Vektoren k-

m2^i^2i8^sin(a + i8) m2^i4oJ^sin(a + j8)

— (mi -\-m2)gii sin a —m2gi2 sin j8

(5.63)

sowie dem Koordinatenvektor q^ = (a, j8),

Minimalkoordinaten fiir das Doppelpendel.

(5.64)

Da der Schubkurbeltrieb nur einen Freiheitsgrad hat, fiihren wir mit a, j8 redundante Koordinaten p^ = [a, j8] ein. Dies ist mit der zusatzlichen holonomen SchleifenSchlieBbedingung ^ = 0 nach Bild 5.16 (Zwangsbedingung, Bindung), der algehrai-

238

5 Simulation unter MATLAB® schen Gleichung (s -^ g) g(a,j8)=^isina-^2sinj8 = 0 ,

(5.65)

zu beriicksichtigen. Es sind nun zwei Vorgehensweisen denkbar: • Beschreibung in Minimalkoordinaten: Wir arbeiten die Abhangigkeit von a und j8, z. B. durcli Elimination von j8, in die Bewegungsgleichung ein. Es folgt eine gewohnliche Differenzialgleichung - mit langlichen Termen - zur Beschreibung der Bewegung a(f). Bei Systemen hoherer Ordnung ist dies kaum durchfuhrbar, vgl. Abschn. 5.4.4.2. • Wir arbeiten mit den modifizierten Bewegungsgleichungen (5.61), die dann nicht in Minimalkoordinaten formuliert sind, und den algebraischen Gleichungen (5.65). Hierzu bedarf es einer speziellen Aufbereitung, die wir bezogen auf das Beispiel stichwortartig angeben wollen. Man fiihrt formal die Bindungs-JACOBI-Matrix G(p) = -4^ dp

= [^icosa, - 4 c o s j 8 ] ,

p = (a, j8)^

(5.66)

der SchlieBbedingung mittels LAGRANGEschem Multiplikator A (im Allgemeinen Vektoren), der die Reaktionskrafte im geschnittenen Gelenk beriicksichtigt, (5.61) hinzu und beachtet die Index-1-Bedingung, so dass M{p)p^k{p,p)-G{p)^X

= h{p)

(5.67)

G{p)p = -rip^p),

r=j

( ^ p )

P

(5.68)

folgt. Die zulassigen Anfangswertepo, Po' ^ miissen die Bindungen (5.44) und (5.45) erfuUen. Damit ist das System als DAE voUstandig beschrieben. Wir wollen hier das Problem als gewohnliches Differenzialgleichungssystem behandeln. Dafur bieten sich die Formulierungen (5.56), (5.58) und (5.60) an, wobei wir hier (5.58) programmieren. Die Anfangswerte a(0) = OQ, i8(0) = j8o, a(0) = OQ. jS (0) = Po miissen die beiden Bindungsgleichungen 0 = g{Po) = h sin Oo - 4 sin j8o 0 = G(po)^Po = [^1 cos Oo, - 4 cos j8o]

$0

erfiillen. Geben wir OQ und OQ vor, dann geniigen j8o und j8o den Bedingungen j8o = arcsm(— smoo), h

j8o = ^-OQ . h cos po

Als Integrationsverfahren wahlen wir ode45. Das Hauptprogrammsegment aus DAE_K, [59] mit der Berechnung der Anfangswerte und des Integratoraufrufs enthalt folgende

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

239

Befehle Hauptprogramm: D AE_K. m zu IS T=3 tO=0; te=pi; a0=pi/4; b0=asin(ll/12*sin(a0) ) ; ap0 = 12. 59995; bp0=ll/12*ap0^cos(a0)/cos(bO) ; yO=[aO; bO; apO; bpO]; ode45(@fdae_k,[to te],yO)

% Anfangs-, Endzeitpunkt % Anf angswerte : aO:=a(0) % bo: = j8(0) % apO:=a(0) % bpO:=/3(0) % Anfangswertvektor % Integratoraufruf

Dabei ist a > 12,59995 rad/s zu wahlen, wenn voUstandige Kurbeldrehungen erreicht werden sollen. Die zugehorige Function des Differenzialgleichungssystems (5.58) lautetmit 7 = -ii sinaa^+^sinjSjS^ : Function: f d a e _ k . m z u IST=3 function [ y p ] = f d a e _ k ( t , y ) global ml m2 1 1 12 g c a b = c o s (y ( 1 ) + y (2) ) ; s a b = s i n ( y (1) +y (2) ) ; M=[(ml+m2)^11^2 -m2*11^12*cab;

-m2*11^12*cab m2*12^2]; k=[m2*ll*12*y(4)^2*sab; m2*11^12*y(3)^2*sab]; h=[-(ml+m2) ^g*ll^sin(y (1) ) ; - m 2 * g * 1 2 * s i n ( y (2) ) ] ; G = [ l l ^ C O S ( y (1) ) - 1 2 ^ C 0 S ( y (2) ) ] ; g a m = 1 2 ^ y (4) ^ 2 * s i n ( y (2) ) . . . - l l * y (3) ^ 2 * s i n ( y (1) ) ; M_l=inv(M); P=G'^inv(G*M_l*G') ; y p = [ y ( 3 : 4 ) ; M_l*((eye ( 2 ) - . . . P*G*M_1) * ( h - k ) - P * g a m ) ] ;

% y: = [ p ' , v ' ] ' % Abkiirzungen % Massenmatrix

% k-Vektor % h-Vektor % Bindungs-JACOBI-Matrix % gam:=7 % I n v e r s e von M % Abkiirzung % Ableitungsfunktion % (5.58)

In DAE_K. m aus [59] sind die hier vorgestellten Wege programmiert. Sie sind mit dem Steuerparameter IST auszuwahlen: IST = 1: M * j = /(y), (5.56),

IST = 2 : j =M*"V(y), (5.56)

IST = 3 :

IST = 4 :

(5.58), A eliminiert,

gew. Dgl. (5.60) mit A .

In Bild 5.17 ist ein Ergebnis dargestellt. Danach lauft die Kurbel um, wobei im unteren Totpunkt aufgrund von a(0) Kurbel und Pleuel nahezu zur Ruhe kommen, vgl. a, j8 und die Animation mit Kurbel_qO 1. m in [59]. Beim Durchgang der oberen Totpunktlage sind a, j8 maximal. Hierzu gehort auch eine starke Anderung der Normalkraft z. B. A am Gleitschuh. Weitere Beispielrechnungen zeigen wieder DriftEffekte, wenn mit ' R e l T o l ' , 1 0 e - 0 4 gerechnet wird. Die Bindungsgleichungen werden mit fortschreitender Zeit immer schlechter erfiillt. Abhilfe bietet wieder nur eine Integration mit kleiner Fehlertoleranz, z.B. ' R e l T o l ' , l e - 0 5 . . . l e - 0 6 . Die stabilsten Ergebnisse wurden mit (5.58), IST=3 erreicht.

240

5 Simulation unter MATLAB®

, 40r

. 201 L — 0^

_

-|

"""""

0.4

"O

^

. V,^

0 -0.4

_

•^ ^_ e

i

I

/\

_:

1

10

^ p x /

3

i

iSr.

.^ \J

4

5

6

/°^P

0

^• •\

Li^r=^

" ^ — • • i "

^

A

0

^-^"Mn-^f-^H^^—Hf '

^ 0 ^-5

i

:/..>^.. 2

• 0

i

ft

•

k

3 Zeit t [s]

'

A

•

' J

4

Bild 5.17: Simulationsergebnisse zum Kurbeltrieb

5.4.4.1

Bemerkung zur Drift-Unterdruckung

Aufgmnd der numerischen Drift bei der Losung sowohl von Index-1-DAEs (5.42) als auch der UberfUhrten ODEs (5.58), (5.60) miissen in der Regel zur abgesicherten Integration numerische Stabilisierungsmethoden, wie u. a. in [11] und [21] beschrieben, eingefiihrt werden. Es soUen die beiden Methoden: 1. BAUMGARTE-Stabilisierung, 2. Projektionsmethode skizziert werden. numerische Naherungslosung

Konsistente Anfangsbedingungen: PQ auf Bindungsflache: giPo) = 0 VQ tangential zur Bindungsfl.: G(PQ)VQ = 0 Bindungsflache g{p) = 0

Drift exakte Losung p{t) auf Bingungsflache Po,

to

Bild 5.18: Drift der Losung Die BAUMGARTE-Stabilisierung nach [11] versucht die SchlieBbedingungen durch hinzufugen von Termen zu stabilisieren, so dass trotz Integrationsfehler u. a. ^ ^ 0 naherungsweise eingehalten wird. D. h. verlasst die Losung p{t) die Bindungsmannigfaltigkeit g(p), wie in Bild 5.18 fiir eine Bindungsflache g{p) = 0 angedeutet, so wird durch geeignet eingefuhrte Zusatzterme diese zurlickgefuhrt. Bezogen auf die Index-1-DAE (5.42) mit holonomen skleronomen Bindungen bedeutet dies:

5.4 Differenzial-algebraische Gleichungen

p=v M{p)v=f{p,vj)^G{pfX

^ 0 = G{p)v + y{t, V, p\ +2JG(p)v + (o^g{p) . g

241

(5.69)

g

Nachteil: Es gibt keine allgemein giiltigen Regeln fiir die Wahl von d und CO in den Zusatztermen. Dariiber hinaus verfalsclien diese Terme die Systemdynamik. Fiir das Pendel und den Kurbeltrieb bedeutet dies: g + 2Jg + (O^g = 0; J > 0,

(5.70)

mit geeignet gewahltem d und (O. Dies ist fiir sich eine homogene Schwingungsgleichung fiir g mit asymptotisch stabilem Losungsverhalten. Setzen wir g und g nacli (5.41) noch ein, dann folgt (5.69)3. Das Hauptproblem ist die Wahl von d und CO in Abhangigkeit von der Fehlertoleranz. In m a t h p _ S t .m [59] ist fiir das mathematische Pendel aus Abschn. 5.4.3.4 (5.69)3 eingearbeitet. Bei der Projektionsmethode wird nach jedem Integrationsschritt, dem Pradiktorschritt, die Losung p^^j zum Zeitpunkt t^-^i wieder auf die Bindungsmanigfaltigkeit projiziert, so dass sich die Naherungslosung Pk-\-i, Vy^+i einstellt. Dies fiihrt z. B. auf ein iteratives Minimierungs-Problem mit nichtlinearen Nebenbedingungen in Form der Bindungen: 1- (Pk^i-PM) =^mm, g{Pk+\) = 0

2. (vy^+i-vf+i) =^ G{pk^i)vk^i = 0.

min

Beide Stabilisierungsmethoden sind in SimMechanics, siehe Kapitel 7, implementiert. Differenzial-algebraische Gleichungen unterliegen also speziellen Vorgehensweisen. U. a. in [12], [21] findet man einige Ansatze zur Behandlung von DAEs unterschiedlichster Struktur. 5.4.4.2

Ubergang auf Minimalkoordinaten

Durch tJbergang auf explizite Bindungen p{q) konnen die Reaktionskrafte/momente G^A eliminiert werden. Es ergeben sich gewohnliche Differenzialgleichungen in Minimalkoordinaten q. Wir beschranken uns hier auf skleronome Bindungen. Die Bindungen g{p{q)) und deren zeitlichen Ableitungen werden von q, q erfiillt, womit die expliziten Bindungen p = p{q) p=^q=J{p)q

(5.71)

p=J{p)q^J{p)q angegeben werden konnen, vgl. Kapitel 2 und insbesondere Abschn. 2.2.1.3. Mit (5.71) folgt aus (5.42)2 bei gleichzeitiger Linksmultiplikation mit/^ J^MJq = J^ {f{q, q, t) -MJq)

+ J^G^X .

(5.72)

5 Simulation unter MATLAB®

242

Die Bindungskrafte/momente werden wegen {GJy Mgq =

= J^G^ = 0 ausgeblendet, es bleibt:

fq{q,q,t)

(5.73)

mit

Mq=rMj,

fq=J^f{q.q.t)-J^MJq.

Bei baumstrukturierten Systemen, wie Einfach- und Doppelpendel, lassen sich explizite Bindungen (5.71) auswerten. Bei Schleifensystemen, z. B. Kurbelsystem nach Bild 5.16, ist der tJbergang auf explizite Bindungen schwieriger, vgl. M i n M _ p d f . p d f in [59]. Beispiel 5.9: Mathematisches Pendel: Ubergang auf Minimalkoordinaten Ausgehend von der differenzial-algebraischen Gleichung (5.46) des Pendels nach Bild 5.13 ist die gewohnliche Differenzialgleichung fiir die Minimalkoordinate q = (p herzuleiten. Mit (p nach Bild 5.13 gilt die explizite Bindung P(
Lsincp —Lcoscp

(5.74)

womit sich die JACOBI-Matrix zu

* ) = ^ «

Lcoscp Lsincp

(5.75)

berechnet. Aus (5.46)2 folgt mit (5.72) unmittelbar mL^ip •--mgrL sin (p

(p =

sin (jp .

(5.76)

tJbungsvorschlag: Wie lautet die gewohnliche Differenzialgleichung fiir die Minimalkoordinate a{t) des Kurbeltriebs aus Bild 5.16? Hinweise in: MinM_pdf . p d f und K u r b e l _ q 0 1 .m, K u r b e l _ q 0 2 .mmit f K u r b e l _ q . m aus [59].

5.5

Implizite Differenzialgleichungen

Die Function odelSi lost implizite Differenzialgleichungen und differenzial-algebraische Gleichungen vom Index 1 fit,

j , y) = 0

(5.77)

ausgehend von konsistenten Anfangswertenyo^ ^o ^ ^ ^ Zeitpunkt to, d. h. sie erfuUen /(^o, ^0. yo) = 0,

Jo =y(^o),

yo =y{to) .

(5.78)

Die Berechnung konsistenter Anfangswerte fiihrt in der Regel auf nichtlineare algebraische Gleichungen. Meist wird man einige Komponenten von JQ, JQ aus physikalischen Grlinden vorgeben,

5.5 ImpliziteDifferenzialgleichungen

243

die restlichen miissen dann (5.78) erfullen. Die Built-in Function decic berechnet konsistente Anfangsbedingungen mit Hilfe der Function der Differenzialgleichung. Syntax: [yOmod, ypmod (, res)] =decic (@f ode, tO, yO, f ixed_yO, ypO, f ixed_ypO (, p i , p2, . .)) mit dem optionalen MaB r e s (Residuum, Defekt) der erreichten Genauigkeit, so dass

Die festgeschriebenen Komponenten von y^, yo sind mit fixed_yO ( i ) =1 und/oder f ixed_ypO ( i ) =1, die iibrigen mit 0 zu kennzeichnen, mit f i x e d _ y 0= [ ] werden alle Komponenten berechnet. Es soUten allerdings nicht mehr GroBen als unbedingt notig festgeschrieben werden. Mit welcher Genauigkeit (5.78) erfiillt werden soil, kann optional vorgegeben werden (default: R e l T o l l e - 3 ) . Wir zeigen den Ablauf einer Simulation anhand des anfanglich eingefiihrten Einmassenschwingers aus Beispiel 5.1 mit nichtlinearem Dampfer. Die Bewegungsgleichungen (5.7) mit der quadratischen Dampfercharakteristik (5.8) lauten in impliziter Form yi-ys =0, my3 + k{yi -y2)-\-mg= 0 dyl + ^on + koy2 - k{yi -y2)=

y= (yi, y2, ysV = (^^ ^^ ^V (5.79) 0.

Dies ist eine implizite Differenzialgleichung 3. Ordnung. Wir gehen davon aus, dass die Anfangswerteyo = (JIQ? y2o^ y^o)^ gegeben seien, die Ableitungen JQ miissen dann so bestimmt werde dass sie (5.79) geniigen. Ausgehend von der Function der Differenzialgleichungen (5.79) function res = fDAE_i(t,y,yp) global m k kO d dO g res=[yp(1)-y (3); m^yp (3) +k^(y(1)-y(2))+m^g; d0*yp(2)+d*yp(2)^2 - k*(y(1)-y(2))+kO*y(2)];

wobei die Parameter im Hauptprogramm DAE_i. m festgeschrieben sind, ermitteln wir zunachst die konsistenten Anfangswerte % Konsistente Anfangswerte berechnen yO=[0.1; 0.0; -0.1]; % Anfangswertvektor, Vorgabe ypO=zeros(3,1); % zeitl. Ableitung, Vorgabe [yO^ypO] = decic(@fDAE_i,0,yO,ones(3,1),ypO,[]) % Anfangswerte

Ergebnis: yO =

l.OOOOe-001 0 -l.OOOOe-001

ypO = -l.OOOOe-001 1.3736e+000 -1.1810e+001

244

5 Simulation unter MATLAB®

Da in jedem Integrationsschritt ein nichtlineares Gleichungssystem zu losen ist, miissen die hierzu benotigten JACOBI-Matrizen naherungsweise ermittelt werden, sofem sie nicht analytisch angebbar sind. Wir bereclinen sie:

dy

0 k -k

0 -1 -k 0 ko-\-k 0

dy

1 0 0 0 0 m 0 do-\-2dy2 0

(5.80)

Weil Jy zustandsabhangig ist, miissen wir eine Function anlegen: function [dfdy,dfdyp]=fJAC_i(t,y,yp) % Jacobi-Matrizen global k kO d dO nu dfdy=[0 0 -1; k -k 0; -k k+kO 0]; dfdyp=[l 0 0; 0 0 1; 0 d0+2*d*yp(2) 0];

SchlieBlich sind die Optionen zu setzen und der Integrator aufzurufen Integration options = odeset('Jacobian',@fJAC_i,'AbsTol',le-05); [t,y]=odel5i(@fDAE_i,[to te],yO,ypO,options); % Int.- Verfahren

AUe Einzelschritte sind in DAE_i . m, [59] nachzulesen. Dariiber hinaus ist die explizite Form mit (5.9) sowie die DAE-Formulierung (5.10) dort programmiert. In Bild 5.19 ist fur die Parameter m=l kg, k=20 N/m, kO=10 N/m d 0 = l , 2 5 Ns/m d = 0 . 2 3 Ns^/m^ ein Einschwingvorgang dargestellt. 1 0

10 Zeitt

20

Bild 5.19: Einschwingvorgang eines Einmassenschwingers mit nichtlinearer Dampferkennlinie tjbungsvorschlag: Integrieren Sie das differenzial-algebraische Gleichungssystem des Kurbeltriebs (5.67), (5.68) als implizites System. Hilfe: DAE_Ki .m in [59].

5.6

Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

Simulationen dynamischer Systeme basieren zunehmend auf einer immcr feineren Modellierung der zu untersuchenden Systeme. Dies beinhaltet auch die Formulierung von Unstetigkeiten, z. B. verursacht durch Getriebelose oder durch hochfrequente Schaltvorgange elektronischer Komponenten in mechatronischen Systemen [65]. Damit wird eine detailliertere Simulation moglich, so dass sich zusammenhangende Phanomene vollstandiger und damit besser klaren lassen.

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten 245

w

Sperrung Durchlass

Diode

sehr genaues Modell

Modell nach [?]

ideales Modell

Bild 5.20: Modellgegenliberstellung am Beispiel einer Diode Unstetigkeiten ergeben sich in den meisten Fallen aus vereinfachten Annahmen, denn bei geniigend genauer Modellierung treten keine Unstetigkeiten auf, wie das sehr genaue Diodenmodell in Bild 5.20 aus [52] verdeutlichen soil. AUerdings erhoht sich der Aufwand zur Parameterermittlung solch sehr genauer Modellelemente erheblich. Darliber hinaus ist mit wesentlich langeren Rechenzeiten zu rechnen, da die Integratoren zur Simulation dieser Modellkomponenten, z. B. mit sehr steilen Kennlinien und zusatzlichen Dynamikanteilen, mit sehr kleinen Schrittweiten arbeiten miissen. Nach [29] wird das ideale Diodenmodell gegeniiber dem sehr genauen ca. 10-50 mal schneller simuliert. In [17] wird eine Modellierung mit stiickweise stetigen Elementen, u. a. Geraden, und ausrunden der tJbergange zur Einhaltung der Stetigkeit vorgeschlagen, siehe Bild 5.20. Die Steilheit der Kennlinien bleibt erhalten. Wir wollen mit einer beispielorientierten Vorgehensweise aufzeigen, wie Probleme mit Unstetigkeiten unter MATLAB und Simulink gelost werden konnen. 5.6.1

Beispiele fiir Unstetigkeiten in den Bewegungsgleichungen

Wir betrachten Differenzialgleichung

jW=/(^y(0),

y{to)=yo

(5.81)

mit stiickweise stetiger Vektorfunktion / , so dass Unstetigkeiten, ausgelost durch formulierbare Ereignisse, sich auf / beziehen und dadurch auf die Losung y{t) auswirken. Man spricht auch von ereignis- (event-) gesteuerten Systemen. Wir unterscheiden Zustands- und Zeitereignisse. Typische Elemente, die zu Unstetigkeiten, insbesondere in den ZustandsgroBen eines dynamischen Systems, fuhren, sind:

• Reibung: Gleit- und Haftreibung weisen in den tJbergangen sprunghafte Unstetigkeiten auf. • StoBvorgange: StoBe fuhren zu sprunghafter Anderung in der Geschwindigkeit, z. B. Lose in Getrieben. • Approximationen von Charakteristiken mit stiickweise stetigen Funktionen, z. B. progressive oder degressive Kennlinien. • Strukturvariable Systeme: Die Anzahl der Freiheitsgrade andert sich; z. B. tJbergang von Gleit- in Haftreibung, Abheben eines Fahrzeugrades wie in Abschn. 8.6. • Hysteresis: Systeme, die von der Vorgeschichte der Bewegung abhangig sind. • Digital geregelte Systeme: Die wahrend eines Abtastschritts konstante StellgroBe andert sich sprunghaft an den Grenzen der Abtastintervalle. • Schaltende elektronische Komponenten: Dioden, Transistoren usw..

246

5 Simulation unter MATLAB®

• Getaktete Endstufen: Die erzeugte Spannung wechselt pulsweitenmoduliert ihr Vorzeichen. Die Schaltpunkte werden z. B. als NuUstellen eines Dreiecksignals mit der IstgroBe des Prozesses bestimmt oder direkt von einem MikrokontroUer erzeugt. • Zeitabhangige Eingangsfunktionen: Systemerregungen werden oft als zeitabhangige Funktionen modelliert, die zu bekannten Zeitpunkten Unstetigkeiten aufweisen, es liegt ein Zeitereignis vor.

Die Falle, bei denen die Unstetigkeiten zu bekannten Zeitpunkten auftreten, sind unproblematisch, da die Integration zu diesen Zeitpunkten gestoppt und mit neu generierten Anfangswerten wieder gestartet werden kann. Weitaus komplizierter sind zustandsabhangige Unstetigkeiten. Es miissen die Unstetigkeitsstellen zweckmaBigerweise als NuUstellen zu formulierender Schaltfunktionen parallel zur Integration ermittelt und ausgewertet werden. In der Praxis werden Systeme mit Unstetigkeiten vielfach ohne dessen Lokalisierung bearbeitet; d. h. es wird iiber die Unstetigkeitsstelle hinwegintegriert. Bezogen auf Systeme mit COULOMB scher Reibung bedeutet dies, dass man von einem System mit Gleitreibung, also mit nicht verschwindender Relativgeschwindigkeit zwischen der Reibpaarung, ausgeht. In Zeitabschnitten moglicher Haftung neigt die numerische Losung dann zu hochfrequenten Schwingungen um die so genannte Schaltmannigfaltigkeit; es existiert bei dieser Formulierung keine zugehorige Losung. Diese Stellen sind somit sehr uneffizient zu integrieren. D. h. liegt eine Unstetigkeit in dem Integrationsintervall [tn^ tn-\-h] vor, dann wird die vorgegebene Fehlerschranke eines schrittweitengesteuerten Integrationsverfahrens trotz sehr kleiner Schrittweite h nicht einzuhalten sein. x10 ^

0.28

0.3

0.32 Zeit t[s]

0.34

0.36

Bild 5.21: Relativgeschwindigkeit eines Zwei-Massen-Reibschwingers mit Ausschnitt um die Nullage In Bild 5.21 ist die Situation fur das Beispiel des einfachen Fahrzeugmodells aus Abschn. 4.4 wiedergegeben. Dabei ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Rad und Aufbau dargestellt. Insbesondere der Zeitausschnitt weist auf das oszillierende Verhalten um Vrei = 0 hin. Um iiberhaupt eine Losung zu erhalten, musste mit einem RUNGE-KUTTA-Verfahren 4. Ordnung ohne Schrittweitensteuerung (h=0.0005) integriert werden. Solche Systeme lassen sich nur dann effizient numerisch integrieren, wenn die Bewegungsgleichungen an die stiickweise stetigen Intervalle angepasst werden. Wir woUen hier die Formulierung der Schaltfunktion, mit der die Bewegungsgleichungen umgeschaltet werden, diskutieren und eine Moglichkeit der NuUstellensuche skizzieren - vgl. auch [21] -, um solche Systeme numerisch zu losen und besser zu verstehen. Beispiele verdeutlichen die Vorgehensweise unter MATLAB und Simulink und spater mit Hilfe des Stateflow-Tools im Kapitel 6.

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten 5.6.2

247

Formulierung von Schaltfunktionen

Wir setzen voraus, dass die Bedingungen, unter denen die Unstetigkeiten eintreten konnten, bekannt sind und als Nullstellen der vektoriellen Schaltfunktion

q{t,y{t)) = {qiitMt)). • • .,^.,(^3^(0))^

(5-82

formuliert werden konnen. FUhren wir mit Hilfe der sign-Funktion den Schaltvektor der Schaltkoeffizienten Sk s = (^1, ^2, . . . , Sn^)

= (sign(^i), sign(^2), • • •, sign(^„J)

,

der bei einer Zweipunkt-Schaltlogik nur die Zustande Sj = ±1 annimmt, ein, dann hat die Bewegungsgleichung (5.81) die Form

m=f{tMt),s)-

(5.84)

Elemente der Schaltfunktion konnen einfache Zeitfunktionen q\{t) q2{t)

q{t)

t-t\ t-t2

(5.85)

mit den Zeitereignissen zu den Zeitpunkten t\, t2 oder vom Zustand abhangig sein, wie in y=\yV

(5.86)

wofiir wir y={

{ y fur ^ = sign q= \ ^ ^.. ^ ^ . { —y fur ^ = s i g n ^ = - l

• / N m\i q{t,y)=y, ^v'^/

. -^ y = sy

^^ o^x (5.87)

schreiben konnen. Unstetigkeiten konnen somit nur dann auftreten, wenn mindestens eine Komponente von q ihr Vorzeichen wechselt.

Die Losung kann Sprlinge aufweisen. So andert sich bei StoBvorgangen zwischen zwei Korpem die Geschwindigkeitsvariable sprunghaft. Die Zeit t"^ des eintretenden Ereignisses ist somit immer NuUstelle der /-ten Schaltfunktion ^K^^r(n) = o

(5.88)

mit der zeitlichen Anderung j~(f) vor dem Ereignis. Die Losung y+(f) nach dem Ereignis setzt sich dann aus dem Funktionswert vor dem Ereignis y~ (f^) und der durch das Ereignis (z. B. StoB) verursachten sprunghaften Anderung

y+{n=y-{n+^{t*,y-(n)

(5.89)

zusammen, vgl. auch Bild 5.22. y^i^^) ist der Anfangswert fur das neue Integrationsintervall.

5 Simulation unter MATLAB®

248

yUt)

iit) 1

ijit\y-it*))

Bild 5.22: Spmnghafte Losungskomponente Damit setzt sich die Losung wie folgt zusammen: t) t) 5.6.3

fur t < t^ fiir t>f.

(5.90)

Lokalisierung der Schaltpunkte

Die Unstetigkeitsstelle zu lokalisieren entspricht der Suche nach der Nullstelle der Schaltfunktion

q{t\y{f))

=0;

q:=qj

(5.91)

zum Zeitpunkt t^ G [tn^ ^w+i]. Da die exakte Losung y{t) nicht bekannt ist, muss die Nullstelle der Schaltfunktion numerisch ermittelt werden. Hierzu benotigen wir eine eindimensionale NuUstellensuche. Dies ist im AUgemeinen ein nichtlineares Problem, welches iterativ zu losen ist. Dabei ist es nicht ausreichend, die Funktionswerte der Schaltfunktion und der Variablen yj zu den aufeinander folgenden diskreten Zeitpunkten tn^ ^^+i zu kennen, sondern auch innerhalb des Intervalls [tn, Wi]Zur Bestimmung der NuUstellen bieten sich ableitungsbehaftete, z. B. NEWTON-Methode, Oder ableitungsfreie Methoden, z. B. Bisection [21], an. ZweckmaBiger sind ableitungsfreie Vorgehensweisen, die auf einer einfachen NuUstellensuche mit anschlieBender Intervallverkleinerung basieren. Die Methode muss sicherstellen, dass ein erfolgreicher Neustart nach der Unstetigkeitsstelle moglich wird. D. h. nach der Lokalisierung der Schaltstelle zum Zeitpunkt f^ ist darauf zu achten, dass die Integration unmittelbar hinter der Schaltstelle im Punkt t mit t>t^ neu gestartet wird. Damit ist sichergestellt, dass kein emeuter Vorzeichenwechsel der Schaltfunktion fiir die gleiche Nullstelle auftritt. Es ist also wichtig, nicht nur eine Folge von approximierten NuUstellen x'^ von f^, sondern eine Folge von Intervallen /y, die stets t^ beinhalten, zu bestimmen, so dass h = [^j^ ^7+l]C^7-b

t^'^Ij.

(5.92)

Die Bedingung t^ G Ij stellt sicher, dass q{Xj)q{Tjj^\) < 0 ist. Der Neustart ist dann mit f = Ty+i auszufuhren, wenn Ty+i — Tj geniigend klein ist. Bild 5.23 demonstriert anhand der Dgl. y = /(r, y) eine solche NuUstellensuche mittels Regula Falsi^. 6 Man bewegt sich nur von einer Seite auf die Nullstelle zu; deshalb gleichzeitig Intervallteilung einarbeiten.

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

249

yn+i qiitn,yn)

y(rt) = y*

4

- -

qiitn+l,yn+l)

yn q2{tn,yn) = q2i{ri,yn)

q2{tn+l,yn+l) qi{tn,yn) qi{tn+i,yn+i)

> 0

keine NuUstelle

q2{tn,yn) q2{tn+i,yn+i) < 0 q2{tn,yn) q^i'Tt^y*) < 0 q2{tn+i,yn+i) qi{rt,y*) > 0

NuUstelle Nullstelle keine Nullstelle

y, q 2. Iterationsschritt q22{r2,y{T2)) I

q2i{rt,y^)

-Ah2\^

-

= ^22 ('^3,2/(^3)) 6

Stichwortartige Erklamng zur Vorgehensweise mittels Regula Falsi fiir die Dgl. y =

f{t,y):

• Integrator berechnet yn{tn), j«+i (tn+i) (•) mit der Schrittweite h • Berechnung der Schaltfunktionen: qj {tn, yn) und qj {tn+1, yn+1), 7 = 1, 2, (o) 7 • Nulldurchgangprufen(^y(r;,,3;„)^y(r„+i,3;„+i) < 0): ^ 2 ( ^ j ) besitztNullstelle • 1. Iterationsschritt - Regula Falsi: Naherungsweise Bestimmung der Nullstelle -^ TJ" - Integration ausgehend von ^„, yn flihrt auf ^ Tj^ = ^„ + /zi, J ( T J ' ) =y^ - Komponente ^2 der Schaltfunktion berechnen: ^2i {^i^J^) 7 7 - Nullstellenprufung: q2, (TJ^, J*) qi, (-^i, J«) < 0 oder q2, {T\, J * ) q2, (T2, j „ + i ) < 0 - Zeitintervallneu abstecken: ^ [T2, T3] • 2. Iterationsschritt

Bild 5.23: Erlauterung zur Nullstellensuche des Schaltfunktionvektors q= {q\^ ^2) A l l g e m e i n u n t e r s c h e i d e n w i r z w i s c h e n einer Z w e i p u n k t - , D r e i p u n k t - u n d M e h r p u n k t - S c h a l t logik. B e i der Z w e i p u n k t - S c h a l t l o g i k (^ = ± 1 ) existiert ein eindeutiger Schaltvorgang an der

250

5 Simulation unter MATLAB®

Ereignisgrenze, d. h. die Schaltfunktion q andert das Vorzeichen; vgl. Beispiel in Abschn. 5.6.4.2. Die Dreipunkt-Schaltlogik {s±\ oder s = 0) zeichnet sich dadurch aus, dass moglicherweise an der Ereignisgrenze ein weiterer Zustand eintreten kann. Dies tritt z. B. beim tJbergang von einer Gleitreibungsphase in die Haftung auf. 5.6.4

Beispiele zur Zwei-Punkt-Schaltlogik

In MATLAB und Simulink lassen sich Zeit- und Zustandsereignisse bei der Integration von Bewegungsgleichungen einarbeiten. Das Ereignis wird unter MATLAB der Nullstelle zum approximierten Zeitpunkt x'^ zugeordnet. Schalten wir beim Eintreten eines Ereignisses direkt auf einen neuen Zustand um (^ = ±1), dann sprechen wir von einer Zwei-Punkt-Schaltlogik. Wir woUen dies anhand einfacher Beispiele erlautem. 5.6.4.1

Der springende Ball im umgebenen Medium

Den Grundgedanken der Vorgehensweise zeigen wir anhand der Bewegungsgleichung eines Ballwurfes im umgebenen Medium, z. B. Luft, x-\-c^vx = 0

Horizontalbewegung;

y-\-c^vy

= —g

Vertikalbewegung

mit den Anfangswerten und SystemgroBen Abwurfgeschwindigkeit Abwurfhohe Abwurfwinkel

VQ = 25 m/sec /? = 1 m a = 15°

Ballgeschwindigkeit v = \/{x^ -\-y^) Widerstandsbeiwert c^^ =0,01 StoBfaktor £, = 0,9.

Bild 5.24 gibt die Simulink-Modellierung wieder, auf S. 253 ist der bezuglich der Ereignisse erweiterte MATLAB Code angegeben. Das gemeinsame Zustandsereignis ist das Auftreffen des Balls zur Hohe y{t'^) = 0, so dass die Schaltfunktion q{t) = y{t) anzusetzen ist. D. h. parallel zur Integration muss q auf mogliche Nullstellen untersucht werden. Diese kann hier nur bei fallender Bewegung von y bzw. von q auftreten, was zusatzlich genutzt wird. Simulink-Modell: Wir gehen nur auf die wesentlichen Beschaltungen der Modellkomponenten in Bild 5.24 ein. Horizontal- und Vertikalbewegungen sind uber den (Luft-) Widerstand gekoppelt, sie werden jeweils mit zwei Integrierer gelost. Die Anfangswerte werden teilweise extern vorgegeben, hierzu ist der zugehorige Port am Integrierer anzuzeigen. Das Ereignis bezieht sich nur mxfy{t). Die Nullstellensuche bezuglich q{t) wird mittels Trigger- bzw- Reset-Eingang des I n t e g r a t o r 1, der auf fallende Eingangsfunktion reagiert, durchgefuhrt. Dadurch lassen sich nicht interessierende Nullstellen, insbesondere unmittelbar aufeinander folgende, ausschlieBen. Die Triggerschwelle ist wegen q{t^) = 0 auf null zu setzen, wodurch die Integration beim NuUdurchgang zum Zeitpunkt T^ gestoppt wird. Der Abprall entspricht einem Neustart in r"^ mit veranderter Geschwindigkeitskomponente 3)+(T*)

=

-0.93)"(T'^),

£, = 0.9, StoBfaktor.

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten 251

y_P(T) Aufprall-Geschw. State Prot Signal

Wurf-Trajektorie, File: wurf_S.mdl Abwurfhohe: 1 m c_w unter Callbacks Anfagsgeschw.: horizontal: dot(x)=24.148 m/sec vertikal : dot(y)= 6.4705 m/sec Plot-File: ball_pp.m Froml [V] \ 4 - \

sqrt(u(1)-2+u(2)-2) IVJP]\ From2

Ball-Geschwindigkeit

To Workspace2

MATLAB in der Ingenieurpraxis Simulation unter l\/1ATI_AB File: wurf_s Letzte Anderung 02-Dec-2004 11:40:08

Wurftrajektorie

Bild 5.24: Simulink-Realisierung mit StoBfaktor Eg = 0.9

D.h. y'^{T^) muss auf den IC Block^, der im Anfangszustand den eingestellten, spater den angelegten Wert durchschaltet, zurlickgekoppelt werden. Um algebraische Schleifen zu vermeiden, miissen wir das State Port Signal y_p (T) nutzen. Die Signalbegrenzung auf y^/„ = 0 a m l n t e g r a t o r 2 verhindert bei sehr kleinen Amplituden y mogliche Fehlentscheidungen bei der Nullstellenbestimmung. Fur j ^ 0 ist dieses Modell nicht mehr geeignet. Die Bewegungsgleichung andert sich, es liegt ein strukturvariables System vor, vgl. Abschn. 6.3. MATLAB Script und Function: Das Programmpaket besteht aus dem Hauptprogramm wurf .m, der Function der Differenzialgleichung fwurf .m, sowie der der Schaltfunktionen ewurf .m, sie sind auf S. 253 abgedruckt. Zunachst betrachten wir nur Bewegungen bis zum ersten Auf7 Initial Condition

5 Simulation unter MATLAB®

252

treffen. Neu gegeniiber den bisherigen Betrachtungen ist in wurf .m die Aktivierung der Option ' E v e n t s ' , @ewurf in wurf .m - vgl. Abschn. 5.2.1 -. Danach muss in der Function ewur f . m u. a. die Schaltfunktion q = y programmiert werden, auf die bei der NuUstellensuche zurlickgegriffen wird. Dariiber hinaus sind die Steuerparameter: isterminal

direction

= {

1 0

Abbruch bei NuUstelle kein Abbruch

1

NuUstellensuche bei steigender Funktion q{t) NuUstellensuche in jedem Fall NuUstellensuche bei fallender Funktion q(t)

0 -1

anzugeben; vgl. e w u r f . m. Der MATLAB Code sucht infolge d i r e c t i o n = - l nur bei fallender Funktion q{t) nach NuUstellen und bricht die Integration infolge i s t e r m i n a l = l nach der ersten NuUstelle q{T'^) ~ 0 ab. Erganzend zur bisherigen Betrachtung, der Detektierung des Auftreffpunkts durch q\{t) =y{t), soil der hochste Punkt der Wurfbahn mit der Schaltfunktion q2{t) = y{t) sowie die Zeit, bei dem der Ball die Hohe h durchfallt, mit der Schaltfunktion ^3 {t) = h—y{t) ermittelt werden. Jeder Schaltfunktionskomponente qj ist ein i s t e r m i n a l / d i r e c t i o n Wert vektoriell zuzuordnen. Die Vereinbarungen sind in der Function ewur f. m nachzulesen. Tabelle 5.5: Ereignispunkte zum Ballwurf unter MATLAB Ereignis iE =

2 3 1

Zeitr tE = 5.0347e-001 1.0839e+000 1.2680e+000

yE = 9.4602e+000 1.6649e+001 1.8455e+001

2.4671e+000 l.OOOOe+000 -1.1102e-016

1.4941e+001 1.0321e+001 9.3081e+000

-1.0880e-014 -4.7998e+000 -6.0453e+000

Tabelle 5.5 zeigt die iiber t E , yE^ iE zusatzlich ausgegebenen numerischen Werte zu den gefundenen Ereignissen bis zum ersten Auftreffpunkt. t E ist der Zeitpunkt des Ereignisses, yE die zugehorigen Zustandswerte und iE der Index der Komponente des Schaltvektors q = (y, 3), h — y) zum detektierten Ereignis. Soil die weiterfuhrende Ballbewegung wie in Bild 5.24 berechnet werden, dann muss im Hauptprogramm ein Neustart mit geeigneten Anfangswerten organisiert werden, z. B.: % Ausgabedaten, l e e r = []; t o u t = [ ] ; yout= % Zeitschleife while t e > t o [ t , y , t E , y E , i E ] =ode23(@fwurf, [tO te]fyO,options); % Dateniibernahme tout=[tout;t] ; yout=[yout; y ] ; % Startwerte fiir yO=y (end, : ) ; yO(4)=-0.9^y0 (4); tO=t (end) ; nachstes I n t e r v a l l end vgl. auch wurf . m in [59]. Die Integration wird bis zum Zeitpunkt t e fortgesetzt. In jedem Fall ist neben der Formulierung der Schaltfunktion q{t) auch die Steigung ( d i r e c t i o n ) von q{t), fiir die die NuUstellensuche erfolgen soil, entscheidend. Da nach Bild 5.5 ein Neustart kurz hinter dem Ereignis erfolgt, miissen wir d i r e c t i o n = - l setzen, so dass die im

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

253

aufsteigenden Ast evtl. unmittelbar folgende NuUstelle kein Ereignis darstellt. Dies wird erkannt und in den Ausgaben t E , yE, iE angezeigt. Will man die Information der auftretenden Ereignisse iiber iE steuem, so mtissen die uberflussigen Daten zunachst herausgefiltert werden. Eine eindeutige Vorgabe mit d i r e c t i o n ist somit vorteilhaft. Altemativ kommen wir mit d i r e c t i o n = 0 zum Ziel, wenn wir statt mit der berechneten NuUstelle y{T^) ~ 0 mit y{T^) = 0 den Neustart beginnen. D. h. wir korrigieren den Ort der NuUstelle bei unveranderter Zeit und umgehen somit eine NuUstelle im aufsteigenden Ast von y. Nachteil: Es wird bei steigender wie fallender Funktion nach NuUstellen gesucht. Hauptprogramm: wur f . m aus [59] % Wurf-Trajektorie (im umgebenen Medium) % — Initialisierung global g h c_w g=9.81; % E r d b e s c h l e u n i g u n g m/s c_w=0.05; % Widerstandsbeiwert % — Anfangswerte % Hohe [m] h=l; % Geschw. [m/s] v0=25; % WinJcel [ r a d ] alpha=pi/180*15; % Anfangswert yO= [0, h, vO^cos ( a l p h a ) , vO^sin ( a l p h a ) ] % %% Flugzeit geschatzt! te=3.; %— O p t i o n e n fiir I n t e g r a t o r % ref=4; % Kurvenglattung options=odeset (' Events' , @ewurf, ' Refine' , ref) ; % — Losung [t, y, tE, yE, iE]=ode23 (@fwurf, [0 te],yO,options);

Function der Differenzialgleichung und der Schaltfunktion: f wur f. m, ewur f. m aus [59] function y d o t = fwurf ( t , y ) global g c_w v=sqrt ( y ( 3 ) ^ 2 + y ( 4 ) ^ 2 ) ydot=[y(3); y(4);-c_w^v^y(3); function [q, i s t e r m i n a l , d i r e c t i o n ] global h q=[y(2) y(4) h-y(2)] isterminal=[1 0 0 ] ; direction= [-1 0 1 ] ;

5.6.4.2

% Ballgeschwindigkeit -g-c_w*v^y(4)]; % Dgl.

ewurf(t,y) % % % % %

Vektor der Schaltfunktionen Stopp (1) nach NuUstelle Nullstellensuche nur bei fallender/steigender/immer (-l)/(l)/(0) Funkt. q(t)

Unstetige Kennlinie und das StoBproblem

Zur Vertiefung der Schaltfunktionsformulierung betrachten wir das einfache Beispiel nach Bild 5.25 mit unstetiger Federkennlinie sowie den Parametern aus Tabelle 5.6. Die IMasse m setzt

5 Simulation unter MATLAB®

254

bei Auslenkungen von |x| > Xs auf eine weitere masselose Feder (^2) auf. Im Fall sehr groBer Steifigkeit der parallel geschalteten Feder (^2) ftihren wir einen StoBvorgang ein. Fiir den EinFeder 2; ^2 ; t e = OJ^i)

/

Schaltpunkt

Federkennlinie

77777777 Bild 5.25: Schwinger mit Schaltstellen Tabelle 5.6: Systemparameter

Masse Steifigkeit Steifigkeit Steifigk.-Koeff.

m

h

ki-- = aki a

5.0 kg 981 N/m 300 . . . 3000

Dampfung d Erregeramplitude Q Q Erregerkreisfr. Schaltpunkt Xs

y^i/100 = 9.81Ns/m 400 N 20 rad/s 0.04 m

massenschwinger mit stiickweise linearer Federkennlinie soil das Aufsetzen der Masse auf die zweite Feder (^2 = ock\) am Ort |x| = x^ iiber eine Schaltfunktion formuliert und die Simulation mit NuUstellensuche durchfuhrt werden. Die zugehorige Bewegungsgleichung lautet mx-\-dx-\- f{x) =mg -\- QcosQt

(5.93)

mit der stiickweise linearen Federkraft

m

kix fiir kix-\-kia{x — XsSign{x)) fiir

(5.94)

wobei X = 0 zur entspannten Federlage gehort. Die Schaltfunktion Fiir die Schaltfunktion bieten sich auf den ersten Blick mit (5.94) zwei Formulierungen an: • ^ = x —x^ sign(x) wobei unter MATLAB sign(O) = 0 gesetzt wird. Die erste Schaltfunktion weist, wie in Bild 5.26 dargestellt, Spriinge infolge der Vorzeichenwechsel um x ^ 0 auf, so dass sie wegen des zusatzlichen Vorzeichenwechsels von q damit ungeeignet ist. Wir arbeiten mit ^ = |x| — x^. Fiihren wir

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten 255 0.05

0.05

A\ 'A

-0.05

0

0 t

0.05

0.1

0.15

•

0.2

0.25

-0.05

^'^

.

,. ^

y v^^ ^^-^ 0

0.05

q = x — Xs sign(x)

0.1

0.15

0.2

0.25

q=\x\—Xs

Bild 5.26: Zeitlicher Verlauf der Schaltfunktionen noch den zugehorigen Schaltkoeffizienten s = sign(^) ein, dann gilt fur die Federkraft

f{x)= kix^^.5{\^-s)kia{x-Xs sign(x)), ^ = ±1 = ^ix + 0.5(l+^)^ia sign(x)(|x| — x^) ;

(5.95)

es liegt ein Zwei-Punkt-Schaltproblem vor.

Numerische Vorgehensweise und Programmcodes Die Bewegungsgleichungen sind stuckweise linear, so dass wir diese mit analytischen Methoden des Kapitels 3 losen konnten, trotzdem kommen wir zum Anstiickeln der Bewegungen aber nicht um die Nullstellensuche herum. Da die Unstetigkeiten insbesondere auch bei nichtlinearen Bewegungsgleichungen eine wesentliche RoUe spielen, woUen wir die Vorgehensweise auf die numerische Integration beschranken. Parallel zur numerischen Integration ist nun jedes Intervall [^„, f„+i] auf mogliche NuUstellen von q zu untersuchen, um dementsprechend die zugehorige Federcharakteristik zu aktivieren. Da die Federkraftkomponente erst nach einer erfolgreichen Nullstellensuche umgeschaltet wird, ist gewahrleistet, dass selbst kurz aufeinanderfolgende NuUstellen gefunden werden. Die Umschaltung organisieren wir einfachheitshalber im Hauptprogramm s c h a l t p . m iiber den Schaltkoeffizienten s. Ausgehend von einem definierten Anfangszustand, z. B. mit s = l , schalten wir nach jeder Nullstelle durch Vorzeichenwechsel von s um; vgl. die Programmcodes s c h a l t p . m, f s c h a l t p .m und e s c h a l t p .m [59]. Diese einfache Umschaltung s ^ —s ist nicht immer ausreichend, so dass vielfach weitere programmseitige KontroUen eingearbeitet werden miissen. Programmbeschreibung: Die Systemparameter werden in s c h a l t p . m als Structure p vereinbart und hinter o p t i o n s im Integrationsaufruf aufgelistet und damit an die anderen Function ubergeben, wenn sie ebenfalls im Function-Kopf stehen. Die Structure-Vereinbarung empfiehlt sich immer bei einer groBeren Parameteranzahl, vgl. auch Abschn. 8.6. Die Ausgabe von p ist sehr ubersichtlich: m: 5 kl: 981 alpha: 3000 d: 9.8100e+000 xs : 4.0000e-002

Q: 0 OM: 20

Im Folgenden ist das verkiirzte Hauptprogramm s c h a l t p . m sowie die Function der Diffe-

256

5 Simulation unter MATLAB®

renzialgleichung f s c h a l t p . m und die der Schaltfunktion ^ e s c h a l t p . m mit dem Zustandsvektory = (x, x)^ abgedruckt. Es konnen wahlweise die freien oder erzwungenen Schwingungen von (5.93), vgl. Kapitel 3, berechnet werden. Hauptprogramm s c h a l t p . m aus [59]: %

%

%

Parameter als Structure p.m=5.0; p.kl=981.; weitere Parameter p.OM=20.;

% Masse [kg] % Federsteifigkeit [N/m]

% Anregungskreisfrequenz [rad/sec] Initialisierung tO=0; % Anfangszeitpunkt ier=input(' freie oder erzwungene Schwingungen f oder e ',' s')} if ier=='f' p.Q=0.; te=1.75; yO=[-0.; 2 ] ; % Endzeitpunkt, Anfangswerte else te=0.7; yO=[-0.; 0 ] ; % Endzeitpunkt, Anfangswerte end s = sign (abs (yO (1) )-p.xs) ; % Schalter fiir Start Integrationinitialisierung options=odeset('Events', @eschaltp,'RelTol',1.Oe-8,'Refine', 4); tout=tO; yout=yO.'; % Ausgabedaten while te > to % Zeitschleife [t,y,tE,yE,IE]=ode23(@fschaltp,[tO te],yO,options,p,s); % tE, yE, IE optionale Ausgabe tout=[tout;t(2:end)]; % Datenubernahme yout=[yout; y(2:end,:)]; yO=y(end, : ) ; % Startwerte fiir tO=t(end); % nachstes Intervall s=-s; % Intervallwechsel end figure(1), elf subplot (311),

% grafische Ausg.

Function der Bewegungsgleichung: f schaltp . m aus [59]: function yp = fschaltp(t,y,p,s) % Federkraft fx= p.kl*(y(l)+0.5^(1+s)^p.alpha*(y(1)-p.xs*sign(y(1)))); yp=[Y(2); ( - f x - p . d * y ( 2 ) + p . Q * c o s ( p . O M * t ) ) / p . m - 9 . 8 1 * 0 ] ; \% ohne Gewicht Function des Ereignisses: e s c h a l t p .m aus [59]: function [q,isterminal,direction] q =abs(y(1))-p.xs; isterminal= 1; direction= -s;

= % % %

eschaltp(t,y,p,s) Schaltfunktion Stopp nach Nullstelle Flanke

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten 257 In Bild 5.27 ist ein Simulationsergebnis der erzwungenen Schwingungen zu a = 3000 und g=0 m/s^ , also mit einer relativ steifen zweiten Feder aber ohne Gewichtseinfluss, ausgehend von den Anfangswerten x(0) = 0 m, x(0) = 0 m/s dargestellt. Das Aufsetzen auf die zweite Feder entspricht elastischen StoBvorgangen. Dies kommt insbesondere durch die Geschwindigkeitsanderungen x{t) sowie die kurz aufeinanderfolgenden Nullstellen von q zum Ausdruck. Bild 5.28 a zeigt die freien Schwingungen zu a = 3000 und den Anfangswerten (x(0), i(0))^ = (0, 2)^, denen in Bild 5.28 b ein noch zu erlauternden StoBvorgang gegeniibergestellt ist.

Parameter: Q = 400 N; ^2 = 20 rad/s; a = 3000; Anfangswerte: x{0) = i(0) = 0 Bild 5.27: Aufsetzen auf eine relativ steife zweite Feder; erzwungene Schwingungen ohne Gewicht Der StoBvorgang Erhohen wir die Steifigkeit der zweiten Feder mit a » 3000, dann kann es zweckmaBig sein, einen StoBvorgang zu formulieren, wobei der Geschwindigkeitssprung durch X'^{t) = -£sX~{t),

0<£s
mit dem StoBfaktor £s gegeben sei. Der Schaltzeitpunkt miisste jetzt durch den linken Intervallrand der Nullstellensuche T~^ — AT (AT < < 1), d. h. kurz vor der eigentlichen NuUstelle, festgele werden. Mit der geanderten Anfangsgeschwindigkeit ware dann ein Neustart erfolgreich. Dies ist in MATLAB anders organisiert. Um dennoch aufeinanderfolgende Nullstellen auseinander zu halten, kann einerseits die Steigung von q zur gezielten Nullstellensuche ( d i r e c t i o n a l , siehe Bild 5.26), andererseits ein korrigierter Ort X{T^) herangezogen werden. D.h. die Auslenkung

zur NuUstelle ist durch den exakten Wert X(T'*') = XsSign^x^T'*')) zu ersetzen - vgl. Alter nativvorschlag zum Beispiel des Ballwurfs -, wobei d i r e c t i o n = 0 / l zulassig ist. Dies ist im Programm s t o s s .m (Function-Formulierung) in [59] nachzulesen. Wie schon erwahnt, ist in Bild 5.28 b ein solcher Vorgang fiir den Schwinger ohne Erregung und Gewichtseinfluss mit dem StoBfaktor £^ = 0,9 dargestellt. Die Anregung erfolgte, wie in Bild 5.28 a, iiber die gleichen Anfangswerte (x(0), x(0))^ = (0, 2)^, d. h. iiber einen Anfangsimpuls. Aufgrund der Dampfung klingt der Schwingungsvorgang langsam ab, so dass keine Schaltvorgange mehr auftreten. Beide Einschwingvorgange in Bild 5.28 unterscheiden sich durch die

X(T'*')

5 Simulation unter MATLAB®

258

Anzahl der Kontakte mit der Feder ^2. Infolge des gewahlten StoBfaktors £s wird durch den StoB mehr Energie absorbiert. 0.05

i

0 -0.05

"0

3.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.6

••«p 1 W Vv'vi • • \ ^ ^ H / " 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 Zeitt[s]

1.2

1.4

1.6

a: 2 = 0 N; a=3000; jc(0) = 0 m, i(0) = 2 m/s

b: 2 = 0 N; £^=0.9; x{0) = 0 m, i(0) = 2 m/s

Bild 5.28: Freie Schwingungen: Aufsetzen auf eine relativ steife zweite Feder und das StoBproblem Bemerkung: Bei massebehafteter Feder k2 bzw. massebehaftetem Anschlag wird das Schwingungsverhalten erheblich komplexer. Das Federsystem bildet dann ebenfalls ein schwingungsfahiges System. 5.6.5

Dreipunkt-Schaltlogik am Beispiel eines Zwei-Massen-Schwingers mit Reibung

5.6.5.1

Zur Modellierung der Reibkraft

In der Literatur findet man viele Modellierungen zur Reibkraft. Wir woUen zwei Unterscheidungsmerkmale kurz ansprechen. Die Haftreibungskraft wird einerseits als Zwangskraft und andererseits als eingepragte Kraft modelliert. Die Beschreibung uber eine eingepragte Kraft basiert auf der Deformation der Rauhigkeitsspitzen aufgrund mikroskopisch kleiner tangentialer Verlagerungen der Oberflachen. Zur Modellierung verwendet man u. a. Dampfer mit groBen Dampfungskonstanten (statisches Modell) Oder Burstenmodelle (dynamisches Modell), siehe [53] und L u G r e . p d f in [59]. Demgegeniiber resultiert die Zwangskraft aus dem Verschwinden der Relativgeschwindigkeit im Kontaktpunkt. Die Gleitreibungskraft ist eine eingepragte Kraft, z. B. COULOMB-Gesetz, das fur kleine Relativgeschwindigkeiten gilt. Bei groBeren Relativgeschwindigkeiten wird die Gleitreibungskraft vielfach durch die SXRIBECK-Kurven beschrieben; sie steigt mit zunehmender Relativgeschwindigkeit, vgl. Bild 5.29///, an. Der tJbergang zwischen Haften und Gleiten ist somit vom Modellansatz abhangig. Im Fall der Modellierung iiber eingepragte Krafte erhalten wir stetige Beschleunigungsubergange, bei der Modellierung iiber Zwangskrafte Beschleunigungsspriinge. Die Wahl des Kraftansatzes beeinflusst also den Modellierungs- und den Simulationsaufwand. Da wir uns mit der Integration von Systemen mit Unstetigkeiten befassen, betrachten wir die Haftreibungskraft als eine Zwangskraft. Weitere Vorgehensweise und Literaturangaben findet man in [29] und [55].

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten 259 Die Gleit-Reibkraft fu ist von der Relativgeschwindigkeit VreU der Normalkraft fy und dem Reibkoeffizienten ju(|v^^/|) im Kontaktpunkt abhangig: fR{Vrel) = sign(v^^/)/yvjU(|v^e/|),

Vrel ^ 0,

(5.96)

wobei unterschiedliche Ansatze fiir \i(\vyrei\) ^us der Literatur bekannt sind, drei nennen wir: fur

I: Ai(kr^/I II: At(|v..;|)= , f , / III: \I{\VM\)

=

j"'-^'! ^ ^

I +M,

, ^ ~ ^ I +^l

l+b\Vrel\

COULOMB (5.97)

^>0 + a\vrei\\

b>0,a>0.

Die zugehorigen unstetigen Reibkrafte sind in Bild 5.29 dargestellt. Daruber hinaus wird, wie ^H:'N

^^*N

0

^^*N

^^'N

0

0

-^^
-^^*N

-^^'N

0

-^^*N

0

0

Bild 5.29: Reibkrafte in Abhangigkeit von der Relativgeschwindigkeit v^ei oben erwahnt, die Haftzone gerne durch ein Geradenelement mit geniigend groBer Steigung (Dampfer) oder durch kontinuierliche Reibkraftverlaufe, wie in Bild 5.30, verarbeitet. In diesen Fallen sind die Bewegungsgleichungen steife Differenzialgleichungen, was bei der Auswahl des Integrationsverfahren beriicksichtigt werden muss. Die Reibkrafte sind eingepragte Krafte. Beispiel:

fo

fR = h

y

+^2tanh(^)

Reibkraftverlauf mit: ki = 0.56, k2 = 0.3, k3 =0.001, y^4 = 0.5

5.6.5.2

K

i fo Bild 5.30: Stetiger Reibkraftverlauf

Reibmodell mit einem Reibkontakt

Wir wollen die Reibproblematik mit Hilfe einer relativ einfachen Dreipunkt-Schaltlogik^ anhand des in Bild 5.31 dargestellten Reibschwingers - zunachst nur mit einem Reibkontakt - losen. Die beiden Massen m\,m2 sind uber die Federn (^i, ^2.-^1 = ^2 = 0 entspannte Feder) an die Umge bung gekoppelt. Die Masse m2 bewegt sich reibungsfrei auf der Unterlage. Zwischen den Massen 8 Untersuchung mit Fiinfpunkt-Schaltlogik vgl. [29]

260

5 Simulation unter MATLAB®

rauh (fi, jio) flit)

Reibmodell (COULOMB)

fR'

flit)

Vrel

Bild 5.31: Reibschwinger und Reibmodell

wirkt die COULOMBsche-Reibkraft mit dem Reibkoeffizienten fi fiir Gleiten und /io fiir Haften (MO ^ M)- An jeder Masse greift eine auBere Anregung f\ (t) bzw. f2{t) an. Setzen wir entgegen der Bewegungsrichtung xi > ±2 die Reibkraft fR an, dann gelten die Bewegungsgleichungen miXi-\-kixi

=

f\{t)-fR

(5.98)

m2X2-\-k2X2 = f2{t) -\-fR^

Wir unterscheiden die Zeitabschnitte der Gleit- und Haftreibung. Zunachst betrachten wir die Gleitbewegungen mit Vrei =x\—X2^0. Hierfur gilt das Reibgesetz /R = II/N sign(ii -X2);

(5.99)

/N = mxg

und somit die Bewegungsgleichungen mixi + ^ i x i = f\{t)-jlfy

sign(^)

m2X2 + k2X2 = f2{t)-\-l^fN

(5.100)

sign(^)

mit der Schaltfunktion q, die der Relativgeschwindigkeit in den Kontaktpunkten der beiden Massen entspricht q = xi-X2;

sign(^)

{-'.

fiir q>0 fiir ^ < 0

(5.101)

wobei sign(O), d. h. Haften, nicht definiert ist. Fiir die numerische Bearbeitung von (5.100) ist es zweckmaBig, den Schaltkoeffizienten s einzufiihren und ki xi X2

mi

1

Xl^—{Mt)-llfNs) mi

fo

1

m2

m2

: sign(^)

(5.102)

Oder kurz ..

-/ . X f /+(^,x,x) •'^ ' ' ' ^ \ f~{t,x,x)

fur ^ = 1 mit X fur ^ = -

{Xi, X2f

(5.103)

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

261

zu schreiben. Verschwindet die Relativgeschwindigkeit zwischen den Massen, dann liegt Haftung vor und es gilt das Reibgesetz \fRo\<^fN-

(5.104)

Beide Massen bewegen sich mit xi = X2 und xi =±2, so dass aus (5.98) die Bewegungsgleichungen (mi+m2)ici+^1X1+^2^2= X2=

fi{t)-\-f2{t)

X\\

X2= Xi

folgen. Um die Losungen numerisch zu ermitteln, miissen wir weitere Schaltbedingungen einfuhren, die den aktuellen Zustand erkennen, um somit die eine oder andere Bewegungsgleichung zu integrieren. Schaltlogik Die zentrale Schaltfunktion ist weiterhin (5.101). Deren Nullstelle alleine gibt allerdings keine Aussage darliber, welche Gleichung aktiviert werden muss. Wir unterscheiden hier drei Bewegungsphasen:

• tJbergang von einer Bewegung mit positiver Relativgeschwindigkeit (5* = 1) in eine Bewegung mit negativer Relativgeschwindigkeit (s = —1) und in umgekehrter Reihenfolge; Annahme: Durchschwingen ohne Haftung. • tJbergang von einer Bewegung mit positiver Relativgeschwindigkeit (^ = 1) in den Haftreibungsbereich und umgekehrt. • tJbergang von einer Bewegung mit negativer Relativgeschwindigkeit (^ = — 1) in den Haft reibungsbereich und umgekehrt. D. h. es muss zwischen diesen drei Zustanden hin und her geschaltet werden. Um diese einzelnen Phasen gezielt anzusteuern, fuhren wir, wie in [21], Hilfs-Schaltfunktionen ein, die auf der zeitlichen Ableitung von q, also — =qxX^qt

= qxf-\-qt

fur ^ = ^(f,x), hier: qt=0

(5.106)

aufbauen. (5.106) ist hier die Relativbeschleunigung. Mit den hieraus abzuleitenden Hilfs-Schaltfunktionen wollen wir, ausgehend von q ^ 0, entscheiden, ob beim Eintreten des Ereignisses q = 0 das System im Haftreibungsbereich verharrt oder ob es diesen nur durchlauft, so dass wieder q j^ 0 vorliegt. Diese Moglichkeiten sind nur abhangig von den Kraftverhaltnissen im Haftreibungsbereich, wobei beide Vorzeichen der Relativgeschwindigkeit eingearbeitet werden miissen. Beides erreichen wir mit q nach (5.106), wenn wir ^^ = Qxft-\- Qt ^ -"^ ^

(5.107)

5 Simulation unter MATLAB®

262

einfuhren, wobei sich / J aus der rechten Seite von (5.102) ergibt, wenn wir fiir /i den Haftreibungskoeffizienten JUQ setzen

ft

-—X1 + — ( / i W T M o / i v ) (5.108) -—X2^— (flit) m2 m2

±110/N)

und damit die Situation wahrend der Haftung beurteilen. S~^ und S konnen, wie in Bild 5.32 dargestellt, als Richtungselemente bezUglich ^ = 0 in der q, f-Ebene aufgefasst werden. Nehmen

S+

Bild 5.32: Richtungsfeld wir an, fiir t = t^ gilt q{t^^x{t^)) = 0 und beide Richtungselemente 5'+ < 0 und S- > 0,

S^ := S^it"")

streben gegen q = 0, dann kann dieser Zustand nicht mehr verlassen werden. Es liegt Haftreibung vor; es muss auf (5.105) umgeschaltet werden. Dieser Zustand q = 0 wird erst dann wieder verlassen, wenn eine der Richtungen von S~^ oder S~ das Vorzeichen wechselt. Ahnliche Interpretation findet man bereits in [40]. Damit konnen wir die Schaltbedingungen mittels der HilfsSchaltfunktionen fiir den tJbergang aus der Haftreibungsphase in die Gleitreibung mit positiver (^ = 1) bzw. negativer (^ = — 1) Relativgeschwindigkeit formulieren: Gleitreibung (s = 1) Haftreibung 0 A 5^+ < 0 A S'-

s- = 0

Gleitreibung (s = —1)

Die zugehorigen Schaltbedingungen fiir einen direkten tJbergang von einer Gleitphase in die andere ohne kurzzeitiges Haften lassen sich anschaulich mit Hilfe des Richtungsfeldes in Bild 5.32 finden. Danach erfolgt ein Wechsel von einer Bewegung mit positiver Relativgeschwindigkeit zu einer mit negativer Relativgeschwindigkeit ( ^ = 1 ^ ^=—1), wenn q = 0 A 5" < 0

(5.109)

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

263

und in umgekehrter Richtung, wenn (5.110)

q = 0 A 5+ > 0. Definieren wir noch den Haftreibungsbereich q=0 A

S^<0

A S->0

durch ^ = 0,

(5.111)

dann liegt insgesamt folgender Satz von Bewegungsgleichungen

xi= X2=

1

m\ M2

—{f\{t)-iifys-kxxi) fur ^ = ±1

{f2{t)+^fNS-k2X2)

(5.112)

xx = X2 = ^ (/i (0 + / 2 ( 0 - hxi - k2X2) fur ^ = 0 m\ -\-m2 fiir das einfache Reibschwingungsproblem zu Grunde, es ist ein strukturvariables System. Die Hilfs-Schaltfunktionen S^ ergeben sich mit (5.107) zu 1 S = — [f\{t)^migiM)-k\X\) mi

1 1712

[f2{t)±migjM)-k2X2),

(5.113)

sie sind fiir ^ = 0 auszuwerten. Die zugehorige Dreipunkt-Schaltlogik ist in Bild 5.33 zusammengefasst.

^^^x

g = 0 A ^S- < 0

g = 0A < 0 A 5'- > 0

^ = 0A 5'+ < 0 A ^ -

Bild 5.33: Dreipunkt-SchaMogik

Anschauliche Deutung der Schaltzustande

Es soil die erarbeitete Schaltlogik mit Hilfe der Kraftverhaltnisse wahrend der Haftphase anschaulich erlautert werden. Dies bezieht sich insbesondere auf die Hilfs-Schaltfunktionen. Dazu gehen wir vom Haftzustand mit der Reibkraft I/^^QI < jl^fy aus; d.h. /^^ kann beliebige Werte

264

5 Simulation unter MATLAB®

aus dem Intervall [-/io/iv,

+MO/A^]

annehmen. Voraussetzung des Haftens ist

q = xi—X2 = 0 A q = xi—X2 = 0.

(5.114)

Die zugehorige Kraftbilanz erhalten wir mit (5.114) aus (5.112) 12, wenn wir fiir die Reibkraft jU/iv ^s" die Haftkraft /RQ setzen 1

XI -X2 = — {fl{t)-hxi) mi

1

^7l^ -\- TVLi

I

- — {f2{t)-k2X2) m2 m\m2

^fR, = 0.

(5.115)

Da nach (5.114) die Beschleunigungsdifferenz verschwindet, konnen wir nach der Haftkraft auflosen fR, =

1

[m2 {fi{t)-kixi)-mi

{f2{t)-k2X2)] =: F{t),

(5.116)

d. h. Haften liegt vor, wenn -lM)fN <

/RO

< lM)fN, d. h. - iM)fN < F{t) <

IIQ/N^

hier:

/N

= mig.

(5.117)

Die der Reibkraft entgegenwirkende Kraft F{t) setzt sich aus den Anregungskraften und den Federkraften zusammen und ist unabhangig von den Beschleunigungen. Mit F{t) und der betragsmaBig groBten Haftreibungskraft {/R^ \ = fAofy lasst sich eine Kraftdifferenz, wie in Bild 5.34 dargestellt, bilden, die Aufschluss bezuglich der Fortsetzung der Bewegungszustande liefert. Nach / ^O/N

> F{t)

!M)fN-

\m

Haften:

Vrel

-lM)fN < F{t) -!M)fN ^

Bild 5.34: Krafte im Haftreibungsbereich Bild 5.34 hangt es von der jeweiligen Kraftdifferenz ab, ob es beim Haftzustand bleibt oder ob ein Verlassen oder ein Durchschwingen auftreten kann. Dies wollen wir in drei Schritten erlautern. 1. Befindet sich der Schwinger im Haftzustand {s = 0), dann kann dieser nach (5.117) nur verlassen werden, wenn F{t'^) = |/i?Q |. Dies ist der Fall wenn,

F{f) - jM)fy = 0

^=

0 ^ ^ = 1

s+ oder wenn, F{t'^) -\- j^ofy = 0

^ = 0 -^ ^ = —1,

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

265

wobei wir die Kraftdifferenzen entsprechend der in (5.113) eingefuhrten Hilfs-Schaltfunktionen S"^ mit S"^ abkiirzen, sie unterscheiden sich nur durch einen unwesentlichen positive Faktor (mi -\-1712)/{mi 1712).

2. Bewegen sich die Massen vor dem Eintreten des Ereignisses q{t'^) = 0 mit ^ 7^ 0, d. h. 5" = ibl, dann wird sich nach dem Ereignis Haften einstellen, wenn mit (5.117) -IIO/N

< Fif") < iM)fN

gilt, woraus wir F(0-Aio/^<0 A F(0+Mo/^>0 ablesen, d. h. ^+ < 0

A

^" > 0.

3. Bewegen sich die Massen vor und nach dem Eintreten des Ereignisses q^t'*') = 0 mit q^O d.h. s = ±l -^ 5' = =F1, tritt also Durchschwingen- ohne Haftung - ein, dann muss gelten -Aio/yv > F{f) > iiofN. woraus F{t'')-iM)fN

> 0; d.h. 5+ > 0,

^ = -1 ^

F{t'')^lM)fN

< 0,

^=1 ^

^=1

und d.h. 5 " < 0,

^=-1

folgt. Damit sind alle zuvor eingefuhrten Schaltzustande auch mit Hilfe der aktuellen Kraft F{t)m der Haftreibungsphase und dem Schwellwert der Haftung {fR^ \ = iM)fy zu erklaren. Die Schaltzustande sind somit von der Gleitreibungscharakteristik unabhangig und beschranken sich nicht auf die COULOMB-Reibkennlinie unseres Beispiels, d.h. auch die aus Bild 5.29 konnen hier eingearbeitet werden. Numerische Umsetzung, Programmausschnitte Bezuglich der Programmierung woUen wir die Programmstruktur nach Bild 5.35 angeben und daraus einzelne Programmsegmente besprechen. Die vollstandigen Codes r e i b _ 1 2 .m (Hauptprogramm), f r e i b _ 1 2 . m (Function der Bewegungsgleichungen), e r e i b _ 1 2 . m (Function der Ereignisse q^ S) sowie spm_12 .m (Function der Hilfs-Schaltfunktionen, S^) sind der Programmsammlung [59] zu entnehmen. Zunachst muss aus den Anfangswerten der momentane Zustand (Haften/Gleiten) ermittelt werden. Die Initialisierung des Schaltkoeffizienten s lassen sich mit zugehorigem q aus der Dreipunkt-Schaltlogik nach Bild 5.33 ablesen: tO=0.0; yO=[0.; 0.;

0.; 0.];

% Startzeitpunkt % Anfangswerte

266

5 Simulation unter MATLAB® I Integrator / Nullstellenbestimmung i

*o, 2/0 t, yj

^owtj Vout

reib_12.m global... Beispiel 1, 2

'[y

freib_12.m Dgl.: Haften Gleiten

t,y^~ ereib_12.in Qk = 0 5± = 0

\'q 5± t,y

spm_12.m S+ =:sp

- S'± Schaltlogik — I 5, p - 5± Plot-Daten -

Bild 5.35: Stmktur des Programmpakets reib_12.m q=y0(3)-y0(4);

% Schaltfunktion

[sp,sm]=spm_12(tO,yO.') , if q == 0 ; if sm < 0 s=-l; elseif sp > 0 s=l; else s = 0; end else if q < 0 s=-l; else s =1; end end

% Hilfs-Schaltfunktion fiir Start % Initialisierung zum Start

(Relativgeschw.)

% sp < 0 & sm > 0

wobei NuUstellen von S^ ausgeschlossen sind. Zur Integration benutzen wir das Verfahren ode45 mit den Optionen und dem Integrationsaufruf:

RUNGE-KUTTA-

options=odeset('Events',@ereib_12,'RelTol',l.Oe-6); [t,y,tE,yE,iE]=ode45(@freib_12,[tO te],yO,options);

Wesentlich ist auch die Programmierung der Schaltlogik nach Bild 5.33 mit der die neue Situation nach einem Ereignis bestimmt wird. Insbesondere ist eine Fehlergrenze (hier: f eps) fiir die numerische Null der Relativgeschwindigkeit und der Hilfs-Schaltfunktionen sp := S^, sm := S~ abzuschatzen. Dies ist problemabhangig; Anhaltswert: f e p s ^ lO^AbsTol. Die Umsetzung der Schaltlogik nach Bild 5.33 konnte folgende Stmktur haben: if s==0 [x, I]=min(abs ( [sp, sm] ); if X <= feps if 1 == 1, s=l; else s=-l; end end else if abs(q) <= feps if s==l

Schaltlogik-Anfang % Haftung % betragsmaBiger Minimalwert

Nullstelle der Relativ-Geschw. aus Gleitphase

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

267

if sm < 0, s=-l; elseif sp < 0 && sm > 0, s=0; end elseif s == -1 if sp > 0, s = 1; elseif sp < 0 && sm > 0, s = 0; end end end end Schaltlogik-Ende

Die Bewegungsgleichungen sind in der Function f r e i b _ 1 2 .m, die Schaltfunktionen q^ S^ zur Nullstellensuche in der Function e r e i b _ 1 2 . m zu programmieren. Die Integrationsroutine (hier: ode45) ruft nacheinander f r e i b _ 1 2 und e r e i b _ 1 2 - vgl. Bild 5.35 - ab. Die Function der Bewegungsgleichungen sowie die der Hilfs-Schaltfunktionen S^ enthalten keine Besonderheiten, so dass wir hier nur die Function der Ereignisermittlung angeben wollen. function

[q,isterminal,direction]

if

s==0 [sp,sm]=spm_12(t,y.'); q=[sp; sm]; isterminal= [1; 1]; d i r e c t i o n = [0; 0 ] ; else q=[y(3)-y(4)]; isterminal= 1; direction= -s; end

= ereib_12(t,y)

% Schaltparameter % S c h a l t f u n k t i o n e n S+, S% N u l l s t e l l e von S+, S% Stopp nach N u l l s t e l l e % Flanke % Nullstelle der Relativgeschw. % Stopp nach Nullstelle % Flanke

Erlauterung: Liegt Haftung {s = 0) vor, dann ermitteln wir zunachst zu den aktuellen Werten t , y die Hilfs-Schaltfunktionen S^ mit der Function spm_12 . m und untersuchen diese auf NuUdurchgange. tJber die Steigung im NuUdurchgang (Flanke der Hilfs-Schaltfunktion) konnen wir keine Angabe machen, so dass jeweils d i r e c t i o n = 0 zu setzen ist. Fiir s^^O ist die Schaltfunktion die Relativgeschwindigkeit an dem Reibkontakt. Da mit dieser Nullstelle das Durchschwingen {s=\ ^^ s = —\ und umgekehrt) entschieden wird, konnen wir die Steigung von q im NuUdurchgang zu —s angeben. Nach jedem Ereignis wird die Integration unterbrochen. Numerische Ergebnisse AbschlieBend fiihren wir mit r e i b _ l 2 . m fur das anfanglich eingefuhrte Beispiel nach Bild 5.31 mit den beiden Parametersatzen nach Tabelle 5.7 Simulationen durch. Aufgrund der harmonischen Anregung sind periodische Schwingungen zu erwarten, wenn die Erregerkrafte groB genug Oder die Reibkrafte klein genug sind. Ansonsten wird der Schwinger in der Haftung verharren. Ausgehend von den allgemeinen Anfangswerten xi(0) = 0, X2(0)=0, x i ( 0 ) = 0 , X2(0)=0, die nicht einer moglichen periodischen Bewegung geniigen, betrachten wir zunachst einen Einschwingvorgang zum Parametersatz des 1. Beispiels. In Bild 5.36 sind die Zeitverlaufe der Aus-

268

5 Simulation unter MATLAB® Tabelle 5.7: Beispiel-Parameter des Zwei-Massen-Reibschwingers mit einem Reibkontakt Beispiel Masse mi Masse M2 Steifigkeit h Steifigkeit ki Gleitreibkoeffizient M Haftreibkoeffizient Mo Erdbeschleunigung 8 Erregerkraft /i Erregerkraft /2

1

2

Einheit

1.0 1.5 10 10 0.040 0.080 9.81 5 sin? 0

1.0 1.5 10 10 0.04 0.06 9.81 sin? 2cos(?+f)

kg kg N/m N/m m/s^ N N

lenkungenxi(f) ^X2{t), der Geschwindigkeitenxpi :=xi{t) ^xp2 :=X2{t), der Relativgeschwindigkeit zwischen den Massen Vrei =x\—X2 und der Hilfs-Schaltfunktionen 5*+, S~ zusammengestellt. Man erkennt, dass die Haftreibungszeitabschnitte nur dann verlassen werden, wenn NuUstellen von S^ oder S~ vorliegen, was auch den Geschwindigkeitsverlaufen abzulesen ist. Ob ein tjbergang vom Gleiten in die Haftung erfolgt, wird durch die NuUstelle von q = Vrei und durch die unterschiedlichen Vorzeichen von S^ und S~ festgelegt; vgl. Bild 5.36. Ein direktes Durchschwingen {s=\ -^ 5" = — 1), so dass sich zwei Gleitreibungsphasen aneinanderreihen, tritt bei t '^ 1.6 sec auf; es ist ^ = 0 A S~ < 0. Insbesondere fallt auf, dass einerseits die einzelnen Zeitabschnitte ohne jede tJberlappung aneinanderstoBen, und andererseits, dass die Ruhelage exakt eingehalten wird. Dies ermoglicht eine effiziente numerische Integration. In Tabelle 5.8 sind in Auslenkungen

Relativgeschwindigkeit

/ \:

1' :\

7

:

/\ \

\ \ \ A /

:^ ^ : 0

2

4

6

0

2

4

t [sec]

t [sec]

Geschwindigkeiten

Hilfs-Schaltfunktionen

Bild 5.36: Beispiel 1: Zeitverlaufe des Zwei-Massen-Reibschwingers mit einem Reibkontakt

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

269

einem SchaltprotokoU ausgehend von den Startwerten alle Ereignisfalle in Form des Schaltkoeffizienten s, des Ereigniszeitpunkts T^ (Naherung von t"^), der Schaltfunktion q sowie der beiden Hilfs-Schaltfunktionen S^, S~ aufgefUhrt. Mit diesem SchaltprotokoU sowie Bild 5.33, Bild 5.36 sind alle Schaltvorgange nachvollziehbar. Tabelle 5.8: Beispiel 1: Schaltzustande Schaltprotok:oll: s 0 0 1 -1 0 1 0

tau^

0 2..6902e-001 1..6076e+000 4..4139e+000 5..1583e+000 7..6160e+000 8..5177e+000 1.00006+001

sp

q 0 0 -1,.8041e--016 4,.9960e--015 4,.9960e--015 -1,.0036e--013 -1,.0036e--013 -6.12176-001

sm

1,.3080e+000 -1,.3080e+000 -1,.6154e-014 2,.6160e+000 -2,.8366e+000 -2,.20566-001 -2,.7078e-001 2,.3452e+000 8,.9817e-014 2,.6160e+000 -1,.5734e+000 1,.04266+000 -2,.6160e+000 -2,.46366-013 -1.41896+000 1.19716+000

Fiir den zweiten Parametersatz nach Tabelle 5.7 - Beispiel 2 - gehen wir von den Anfangswerten xi(0) =-0.073269, X2(0) = 0.17881, i:i(0) =-0.15717, i:2(0) =-0.17973, die einer periodischen Losung geniigen, aus. Sie ergaben sich, ausgehend von beliebigen Anfangswerten, aus einer Integration iiber mehrere Perioden (Periodendauer T = 2;r), wobei am Ende die freien Schwingungen abgeklungen sein miissen; vgl. Bild 5.37, Bild 5.38. Die periodischen Losungen in Bild 5.37 zeichnen sich dadurch aus, dass sich die Losungen nach der Periodendauer T = 271 wiederholen, Xj{T-\-t)=Xj{t),

Xj{T-\-t)=Xj{t),

j = l , 2; S^{T-\-1) = S^(t) usw..

Fur die Phasenkurven in Bild 5.38 bedeutet dies: geschlossene Kurvenzuge. Der Mehrfachumlauf (fetter Linienzug) weist auf eine erste Oberschwingung hin. Dies bestatigt Bild 5.37i fiir xi{t). Typische Merkmale fiir Haft-Gleit-Systeme sind Spriinge und Knicke in den Phasenkurven Xj{xj), 7 = 1, 2 von Bild 5.382- Zustandsiibergange zum Haften sowie Wechsel in der Gleitrichtung fiihren zu Spriingen in den Beschleunigungen. tJbergange vom Haften zum Gleiten sind wegen der Reibkennlinie mit einem Knick in den Beschleunigungen verbunden. Fiir die Geschwindigkeiten bedeutet dies, dass sie zwar stetig aber nicht differenzierbar sind, vgl. Bild 5.373. Die LagegroBen xi, X2 sind dagegen immer glatt. Die gegenseitige Beeinflussung durch die Tangentialkraft driickt sich durch die Knicke und Spriinge in beiden Koordinaten gleichzeitig aus. Die sich abwechselnden Haft- und Gleitbewegungen bezeichnet man auch als Stick-Slip-Schwingungen. Das in Abschn. 4.4 behandelte 1/4-Fahrzeug mit Reibelement kann mit den hier besprochenen Methoden auch unter MATLAB gelost werden. Hierzu dient das Programm r e i b _ F .m der

270

5 Simulation unter MATLAB® Auslenkungen

Relativgeschwindigkeit

0.2 [ 0.1 0

-\x-\

\ / \/

.-0.1 ^ -0.2

-- ^

-0.3

I — 2

><2

4 t [sec] Geschwindigkeiten

Hilfs-Schaltfunktionen 3

- - S" — S"

2

0

-X

^

\

\ :/ \ ' V^:

-

•2

2

\^ :

4 t [sec]

Bild 5.37: Beispiel 2: Periodische Schwingungen des Zwei-Massen-Reibschwingers mit einem Reibkontakt

1.5 r 1

"V

. 0.5

1—^"^2

f

-0.5 -1 -1.5 -0.4

-0.2

0 xp.,xp

0.2

Bild 5.38: Beispiel 2: Phasendiagramme der periodischen Schwingungen des Zwei-MassenReibschwingers mit einem Reibkontakt

Programmsammlung [59], in das das Zeitereignis - Auffahrt iiber die Rampe - und das Zustandsereignis - Haft- und Gleitreibung - realisiert sind. Dariiber hinaus wird in Abschn. 4.4.1 die Modelliemng des Beispiels unter Simulink mit dem Stateflow Tool gezeigt. tjbungsvorschlag: Die Masse m des skizzierten Schwingers bewegt sich infolge Reibung auf dem mit VQ umlaufenden Band. Die Fesselung von m erfolgt liber eine Feder (Federsteifigkeit k) und einen Dampfer (Dampfungskoeffizient d). Beide Kraftcharakteristiken sind linear (Ff = kx, FD = dx).

5.6 Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen mit Unstetigkeiten

d, k

I

271

Rjeibkennlinie f^o_

KW^^^-^^

//// Bild 5.39: Reibschwinger und Kennlinie Gegeben:

m=l,5kg ^ = 2N/m

D = 0... 0.01 vo = l,Om/s

jU = 0,08 JUQ = 1,5/i

g=9,81m/s2

1. Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen fiir die Gleit- und Haftphase. 2. Formulieren Sie die Schaltfunktionen und Hilfs-Schaltfunktionen fiir eine numerische Integration. 3. Erstellen Sie die Programme fiir die Simulation der selbsterregten Schwingungen. 4. Fiihren Sie fiir die Anfangswerte xo = ( - 0 . 1 , - 2 . 0 v o ) ^ xo = ( - 0 . 1 , 2.0 vo)^ jco = ( - 0 . 1 , - 1 . 5 vo)^ xo = ( - 0 . 1 , 1.5 vo)^ eine Simulation durch und stellen Sie die Ergebnisse in der Phasenebene x{x) dar. Hinweise in: s _ r e i b . p d f in [59]. 5.6.5.3

Reibschwinger mit zwei Reibkontakten

Generell steigt der Aufwand, wenn in einem Modell mehrere Ereignisse zum selben Zeitpunkt eintreten. Dies ist z. B. der Fall, wenn mehrere Reibkontakte in einem Modell vorhanden sind. Die Mannigfaltigkeit der moglichen Bewegungsformen und der Schaltzustande erhoht sich erheblich. Das Auffinden der richtigen Kontaktzustande resultiert in einem kombinatorischen Problem. Tabelle 5.9: Beispiel-Parameter des Zwei-Massen-Reibschwingers mit zwei Reibkontakten Beispiel Masse m\ Masse m^ Steifigkeit h Steifigkeit k2 Gleitreibkoeffizient Ml Haftreibkoeffizient Mio Gleitreibkoeffizient M2 Haftreibkoeffizient M2o Erdbeschleunigung 8 Erregerkraft /i Erregerkraft /2

3 1.0 1.5 10 10 0.040 0.060 0.002 0.004 9.81 sin^ 0

4

Einheit

1.0 kg 1.0 kg N/m 0 N/m 150 1 1 1 1 10 m/s^ 15 cos(2;r? + ;r) N N 60 cos {2m)

Dieses lasst sich am Reibschwinger nach Bild 5.31 mit der hier eingefiihrten Vorgehensweise

272

5 Simulation unter MATLAB®

verdeutlichen, wenn wir in beiden Kontaktflachen Reibung zulassen. Die Reibkoeffizienten zwischen den beiden Massen bezeichnen wir mit jUi, /iio und zwischen der Masse m2 und der Auflagemit;U2, 1120Um die vorgeschriebene Seitenzahl des Buches einzuhalten, miissen wir diese Vorgehensweise auslagern. Der entsprecliende Beitrag (reibung_2.pdf) ist in der Programmsammlung [59] zu Kapitel 5 enthalten. Wir diskutieren dort die Ergebnisse der Beispiele 3 und 4 mit den Parametern nach Tabelle 5.9. Beispielrechnungen sind mit dem in [59] abgelegten Programm r e i b _ 3 4 . m durchzufUhren. Die Parameter zum dritten Beispiel sind [29] entnommen. Zusammenfassend lasst sich festhalten: Treten mehrere Ereignisse in einem System und dariiber hinaus zum gleichen Zeitpunkt auf, dann wird die Betrachtung erheblich komplexer und umfangreicher. Bezuglich der Reibung existiert im SimMechanics Tool, Kapitel 7, ein Block, mit dem Reibung in Gelenken unter Simulink recht einfach modellierbar wird. Dies bezieht sich auch auf die angesprochenen Mehrfachkontaktprobleme. Wir zeigen im Abschn. 7.2 diese Modellierung anhand der Beispiele 3 und 4.

6

Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

Wie insbesondere in den letzten Abschnitten gezeigt, sind bei der Modellierung dynamischer Systeme zunehmend ereignisgesteuerte Simulationen durchzufUhren. Z. B. konnen abschnittsweise geltende Differenzialgleichungen durch eine Steuerlogik aktiviert bzw. deaktiviert werden. Man spricht auch von reaktiven Systemen. Das Stateflow Tool unterstutzt anschaulich u. a. die Modellierung und Animation der Steuerlogik derartiger Systeme in der Simulink-Umgebung. Es ist somit fiir die Modellierung eventgetriebener Systeme ein interessantes Werkzeug. Insbesondere wird anhand der Dreipunkt-Schaltlogik aus Abschn. 5.6.5 zur Modellierung des COULOMBElementes in Verbindung mit dem 1/4-Fahrzeug aus Abschn. 4.4 die unmittelbare Umsetzung derartiger Logiken in der Simulink-Umgebung verdeutlicht. Weitere Stateflow-Elemente diskutieren wir anhand des Ballwurfes aus Abschn. 5.6.4.1. Wir konnen hier nur Anregungen zur Modellierung mit dem Stateflow Tool vermitteln. Hierfiir geben wir zunachst einen kurzen Einblick beziiglich der Arbeitsweise von Stateflow (Version 6.1,..,6.5) und erlautern einige fiir unsere Betrachtung wesentliche Elemente. Weiterfiihrende Grundlagen sind u. a. in [7], [8], [38] zu finden. Erganzende Information enthalten die DemoBeispiele zum Tool. Sie erreicht man iiber den Library Browser und das Symbol der Sublibrary Stateflow: Nach Mausklick mit der rechten Taste wird der Button Open t h e S t a t e f l o w l i b r a r y sichtbar; Klick mit linker Taste offnet das Fenster sflib mit dem Examples-Block (oder kurz: >> sf). Letztendlich enthalt die Online-Hilfe im Help Browser u. a. mit dem Stateflow User's Guide - offnet mit >> sfhelp - detaillierte und stets aktuelle Informationen und Anleitungen. Insbesondere unter Stateflow/Examples (Help Navigator) sind alle Elemente beispielorientiert erklart.

6.1

Stateflow-Elemente

Das Stateflow Tool ist ein Entwurfs- und Entwicklungswerkzeug fiir die Simulink-Umgebung. Es lassen sich in einem Stateflow Chart Block aus der Stateflow Library, grafische StateflowDiagramme fiir logische und ereignisgetriebene Ablaufe, so genannte endliche Zustandsautomaten (finite state machines) erstellen. Das komplette Stateflow-Modell wird auch State Machine genannt. Das Stateflow Chart stellt ein C-Code S-Function (Mex-File, fnc_name_sfun.mexw32) dar. Die Function wird mit dem Simulationsstart automatisch generiert und Informationen im Unterverzeichnis s f p r j abgelegt. Zur Erzeugung der C-Code S-Function ist ein C-Compiler erforderlich. Mit >> mex - s e t u p kann unter Windows der mitgelieferte Compiler Lcc und unter Unix/Linux der GNU C-Compiler Gcc aktiviert werden (einmaliger Vorgang, vgl. Abschn. 4.5). Optional sind andere Compiler auswahlbar. Fiir den Modelltest stehen ein Parser (LFberpriifung der Semantik), ein Debugger (gezielte Fehlersuche durch schrittweise AusfUhrung des Charts) zur VerfUgung.

274

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

Wahrend der Simulation werden die jeweils aktiven tJbergange und Zustande im geoffneten Stateflow-Diagramm animiert dargestellt. Es lassen sich Diagramme mit und ohne Zustande, d. h. Zustandsdiagranmie und Flussdiagranome (stateless), grafisch im Chart erstellen. Dabei unterscheidet man grafische und nichtgrafische Elemente. Zu den nichtgrafischen Elementen eines Charts zahlen Events, Daten unterschiedlichen Typs sowie Ein- und Ausgange zu Simulink. Sie werden im Data Dictionary gespeichert, dies ist vergleichbar mit dem MATLAB Workspace, und iiber den Model Explorer verwaltet. Ein Simulink-Modell kann mehrere Charts enthalten. Stateflow besitzt einen objektorientierten Aufbau, d. h. jedes Objekt (Element) besitzt ein eindeutiges Eltern-Objekt (parent) mit beliebig vielen Kind-Objekten (children). Eltem-Objekt -^ Stateflow Chart Kinder des Charts -^ Im Chart enthaltende Elemente: Zustande, Events, Variablen, Funktionen In den folgenden Abschnitten werden wir einige grundlegende grafische und nichtgrafische Elemente erlautem, siehe im Help Browser: Stateflow/Stateflow Notation sowie /Examples. 6.1.1

Das Chart

Ein leeres Chart erhalt man einerseits innerhalb eines neuen Simulink-Modells durch die Eingabe: >> s f new , andererseits aus der Stateflow Library, die auch durch den Aufruf >> s t a t e f l o w oderkurz: >>sf geoffnet wird. In diesem Fall ist das Chart in das Simulink-Modell zu ziehen (click-and-drag). Mit einem Doppelklick auf das Chart offnet sich der grafische Editor, vgl. Bild 6.1, mit der vertikalen Tool-Leiste der grafischen Elemente. Sie konnen in das Diagramm-Editor-Fenster gezogen

File

Edit

View

Q^H#

State

SJ

Embedded ivIATLAB Function

Tools

Add

History Junction

Default Transition

TrutiiTabie Function

Simulation

Help

I ^ a | ^ - ^ t | B H | > II • iii # @ ^^#hi)|l^ 1 pJI Add Note Cut Copy Paste

Hl|

Connective Junction

Go To Parent Execution Order

Grapliical Function

MJ MJ

Back Forward

V

Font Size

^

Arrowhead Size

V Exclusive (OR)

Box

Fit To View

Parallel (AND)

Select All Explore

Zoom Selection

1 100-^

Debug... Find... Edit Library

LJZ

[Ready

Send to Workspace

Jj

Properties

Bild 6.1: Stateflow-Diagramm-Editor mit Erklamng der Tool-Leiste und Shortcut Menli zur Arbeitsweise werden. Ein Chart enthalt danach die grafischen Elemente: State (Zustand), History Junction (Gedachtnis fiir zuletzt aktiven Zustand), Default Transition (Standardverbindungen), Connective

6.1 Stateflow-Elemente

275

Junction (Verzweigungspunkte) usw.. Boxes sind im Wesentlichen grafische Hilfsmittel zur visuellen Organisation in einem Chart. Bei mehreren Boxes wird die Ausfulirungsreihenfolge geregelt. MATLAB Embedded Function und Graphical Function werden in ExpSt a t e f l o w _ l . mdl aus [59] erklart. Truth Table gestattet die Erstellung logischer Wahrheitstabellen mit dem Truth Table Editor. Die tJbergangspfade, die Transitionen, zwischen Zustanden untereinander und mit Verzweigungspunkten (Connective Junction), wie in Bild 6.2, werden mit dem Mauszeiger erzeugt. Fiir alle Bedingungen der Zustand-tJbergange an den Transitionen sowie die der ZustandAktionen, vgl. Bild 6.3, werden L a b e l , deren Elemente in d^r Action Language (vgl. Stateflow User's Guide) spezifiziert sind, gesetzt.

History Junction

Bild 6.2: Grundelemente eines Charts

6.1.2

Zustand und Zustand-Label

Grundsatzlich werden zwei Zustandsformen unterschieden: Exklusiv-Zustdnde: zu einem Zeitpunkt kann nur ein Zustand aktiv sein, (Oder-Zustande) grafisch: durchgezogene Rechtecke, vgl. Bild 6.2, Bild 6.4 Parallel-Zustdnde: (Und-Zustande)

es konnen mehrere Zustande gleichzeitig aktiv sein, grafisch: parallel angeordnete gestrichelte Rechtecke; die Ausfiihrungsreihenfolge wird durch Nummern angezeigt, vgl. Bild 6.4 und Demo f u e l s y s Die Typ-Zuweisung erfolgt mit dem Shortcut Menii iiber den Menii-Punkt: Decomposition, wie in Bild 6.1 eingeblendet. Der aus dem State Tool in den grafischen Editor gezogene Zustand (State) enthalt zunachst in der oberen linken Ecke eine Eingabeaufforderung oder den Label " ? ". Er ist unmittelbar oder nach Klick der linken Maustaste auf " ? " durch den Zustand-Label, wie in Bild 6.3, vollstandig oder teilweise zu ersetzen, siehe auch Help Browser: State Action Types. Der Label beginnt zwingend mit einem gewahlten Zustand-Namen (erlaubt: Buchstaben, Unterstriche). Der Name ist, sofem kein Return folgt, mit einem Slash abzuschlieBen. Kommentare sind zulassig, sie beginnen

276

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

wie iiblich in MATLAB mit % oder wie in C /*...*/ bzw. C++ //.... Nach dem Zustand-Namen konnen optionale Zustand-Aktionen folgen, die sich aus dem Schlusselwort e n t r y (Kurzform: en), d u r i n g (du), e x i t (ex), b i n d und on event, fiir den Typ der Aktion mit einem abschlieBenden Doppelpunkt sowie der eigentlichen Aktionsanweisung, wie in Bild 6.3, zusammensetzen. Es konnen Wertzuweisungen, logische Operationen und Events-Aktivierungen ausgefuhrt werden. Die Syntax ist der der Programmiersprache C ahnlich. Fur jeden Typ konnen mehrere Aktionsanweisungen, getrennt durch Komma, Semikolon oder Return (vgl. MATLAB-Vereinbarungen) aufgefuhrt sein. Jede Zustand-Aktion beginnt mit einer neuen Zeile. Sind nur Aktionen vom Typ e n t r y auszufuhren, so konnen sie unmittelbar hinter dem Slash oder in einer neuen Zeile nach dem Zustand-Namen ohne Schlusselwortangabe aufgelistet werden. Ein Zustand wird aktiv bzw. inaktiv, wenn eine zufuhrende bzw. wegfuhrende Transition gultigen ist. zustandsname/ entry: eingangs_aktion1; % kurz: en:. during: wahrend_aktion2; % kurz: du:. exit: ausgang_aktion3; % kurz: ex:. bind: ereignis, daten; on event nanne:on event name aktion

Bild 6.3: Zustand (State) mit vollstandigem Label Die Schlusselworte im Zustand-Label, wie in Bild 6.3, wollen wir kurz erlautern: • Entry Action: Die Entry Action wird nach der Aktivierung des Zustandes, also beim Eintritt in den Zustand, ausgefuhrt. • During Action: Eine During Action wird wahrend der aktiven Phase des Zustandes ausgefuhrt. Die Haufigkeit der Ausfiihrung der During Action ist von der Einstellung der UpdateMethode des Charts abhangig. • Exit Action: Eine Exit Action wird beim Verlassen infolge einer wegfuhrenden, gultigen Transition oder des Eintretens eines Ereignisses {event, siehe On-Event Action) ausgefuhrt. • On-Event Action: Eine On-Event Action wird in der aktiven Phase des Zustandes ausgefuhrt, wenn das angegebene Event auftritt. Mehrere Events sind zulassig: on eventl, event2, events:aktionl23 • Bind Action: Eine Bind Action, z. B. b i n d : w e r t , des zugehorigen Zustands oder eines diesbeziiglichen Kind-Objekts lasst die Anderung des Wertes/Events w e r t nur innerhalb des Zustands zu. Andere Zustande konnen auf w e r t in ihren Aktionen zugreifen, ihren Wert aber nicht andern. 6.1.3

Transitionen

Eine Transition ist ein verformbarer Pfeil, der ausgehend vom Quell- zum Zielobjekt zwei Grafikobjekte verbindet (unidirektionaler Signalfluss). Wie u. a. in Bild 6.2, 6.4, 6.8 gezeigt, konnen Transitionen zwischen zwei Zustanden und zwischen Verbindungspunkten (Connective Junction) und Zustanden verlaufen. Mit Hilfe der linken Maustaste wird ausgehend von einer geraden Kante des Quellobjekts durch Ziehen an eine gerade Kante des Zielobjekts, die Verbindung erzeugt.

6.1 Stateflow-Elemente

277

Die Transitionen konnen Label enthalten, deren Bedingungen fiir eine Aktivierung giiltig sein miissen. Sie werden bei aktivem Quellobjekt auf ihre Giiltigkeit uberpruft. Es kann nur immer eine wegfulirende Transition aktiv sein. Verbindungspunkte (Junctions) unterteilen eine voUstandige Transition zwischen Quell- und Zielobjekt. Jeder Teil der Transition muss giiltig sein, um das Zielobjekt zu aktivieren. Der Transitions-Label setzt sich aus einem Event, einer Bedingung {Condition), einer Bedingungsaktion {Condition Action) und einer Ubergangsaktion {Transition Action) zusammen. Jedes dieser Elemente ist optional. Ein Label kann auch leer sein. Die allgemeine Form eines Labels ist: event[condition]{condition_action}/transition_action Die ersten drei Elemente des Labels werden nacheinander abgearbeitet. Sind alle Bedingungen t r u e , dann ist die Transition giiltig. Nicht gesetzte Bedingungen sind t r u e . Ist die Transition giiltig, dann wird die Transitionsbedingung {Transition Action), die mit einem Slash / beginnt, ausgefUhrt. Die Bedingung {Condition) ist ein boolscher Ausdruck. 6.1.3.1

Aktivierungsregeln

Existieren zwei oder mehrere wegfiihrende Transitionen eines Quellobjekts - Zustand (State) Oder Verbindungspunkt (Connective Junction) - dann erscheinen ab Version 6.3 im StateflowDiagramm numerierte Transitionen 1,2,... entsprechend ihrer LFberprlifungsreihenfolge auf Giiltigkeit, bzw. Ausflihrung. Diese Reihenfolge ergibt sich aus festgeschriebenen Regeln und wird als implizite Methode bezeichnet. Demgegeniiber steht ab Version 6.3 die vom Benutzer festgelegte oder explizite Ausflihrung. In diesem Mode setzt der Benutzer die Folge, in der die Transitionen fiir die Ausflihrung iiberprlift werden, teilweise oder vollstandig fest. Dieser Mode ist im Modell-Explorer bei aktiviertem Chart in der Model Hierarchy Spalte, vgl. Bild 6.9, durch Anwahl von User s p e c i f i e d s t a t e / t r a n s i t i o n e x e c u t i o n o r d e r in der rechten Spalte, Chart:chart_name, zu aktivieren. Der explizite Mode bezieht sich auf Parallel-Anordnungen von Zustanden, wie in Bild 6.4, als auch auf die Prioritaten der Transitionen. Die Anderung der Folge erfolgt anschlieBend im, durch Rechtsmausklick auf die Transition geoffneten, Shortcut-Menii unter Execution Order. Die Reihenfolge der restlichen Transitionen wird automatisch angepasst. Die implizite Methode ist der Standard-Mode fiir alle Stateflow-Versionen. Modelle von Vorgangerversionen werden in diesen Mode konvertiert. Aus diesem Grund folgen noch einige Bemerkungen zur impliziten Festlegung der Prioritat. Grundsatzlich liegen fiir mehrfach wegfiihrende Transitionen von einem Quellobjekt (Zustand, Verbindungspunkt) drei Vorgehensweisen zu Grunde. Sie sind im Bild 6.4 in einer ParallelAnordnung von Superstates AA, AB, AC demonstriert. Diesbeziigliche Experimente konnen mit P r i o r i t a e t .mdl aus [59] durchgefiihrt werden. Vorgehensweisen: 1. Endpunkt Hierarchic {Endpoint Hierarchy): Transitionen, dessen Endpunkte zu einer hoheren Hierarchie-Ebene flihren, werden zunachst iiberprlift und diejenige, die die Aktivierungsbedingung erfUllt, siehe Bild 6.4i, ausgefUhrt. 2. Label: Transitionen mit Endpunkten auf gleicher Hierarchie-Ebene werden bezUglich ihres Label-Eintrags Uberpriift und gegebenenfalls aktiviert, siehe Bild 6.42:

278

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool • • • •

Label mit Events und Bedingungen (conditions) Label mit Event Label mit Bedingungen kein Label, leere Transition

3. Winkellage der wegfuhrenden Transition: Gleichwertige Transitionen bezuglich der Label und der Hierarchie-Ebene der Endpunkte, siehe Bild 6.43, werden nach der Winkellage am Quellobjekt iiberprlift und aktiviert. Beispiel: Eine Transition mit einer 2-Uhr-Lage hat eine hohere Prioritat als eine mit einer 4-Uhr-Lage. Eine Transition in 12-Uhr-Lage hat die kleinste Prioritat. Es werden zunachst alle gultigen Transitionen im animierten Chart angezeigt, sofem im Debugger-Fenster (Grafik-Editor: T o o l s / D e b u g ) Transition Conflict aktiv ist. Ein solcher Konflikt sollte vermieden werden. {x=Oi) B du:y=1;

AB x1=0;} en:x1=x1+2;L2jclu:y1=2; [Kl==21^ B du:y1=1;

HierarcNeEbene

Labef-Priontai

Bild 6.4: Beispiele zu Aktivierungsbedingungen von Transitionen in Parallel-Zustanden

6.1.4

Default Transition

Die Default Transition oder Standardtransition hat, wie in Bild 6.2, Bild 6.4i 2 und 6.8, kein Quellobjekt. Sie endet an einem Zustand oder Verbindungspunkt, siehe u. a. Bild 6.8. Existieren in einer Hierarchieebene mehrere inaktive exklusiv (OR) Zustande, dann wird der Zustand, an dem die Default Transition hangt, zuerst aktiviert. Es konnen aber auch in einer Hierarchieebene mehrere Standardtransitionen eingesetzt werden. In diesem Fall miissen Ereignisse/Bedingungen sicherstellen, das stets eine Transition gultig ist. 6.1.5

Verbindungspunkte

Die kreisformigen Verbindungspunkte {Connective Junctions), u. a. in Bild 6.43, sind Elemente des Connective Junction Tools, vgl. Bild 6.2. Sie konnen Verzweigungspunkte, von denen dann mehreren Transitionen wegfiihren, bilden. Unterschiedlichste Konstruktionen bezuglich hin- und wegfiihrender Transitionen sind moglich; vgl. Stateflow User's Guide sowie DemoBeispiel s f _ b o i l e r u. a. mit f u n c t i o n t u r n _ b o i l e r (mode). Dariiberhinaus sinddamit f or-Schleifen, do-while-Schleifen und i f - t h e n Abfragen, zustandsfreie Flussdiagramme usw. realisierbar, verfolge: Help Navigator/ search/ Connective Junction und aus der Programmsammlung [59] E x p S t a t e f l o w _ l , 2 .mdl.

6.1 Stateflow-Elemente 6.1.6

279

Der Modell-Explorer

Aufbauend auf Abschn. 4.3.5.5 setzen wir die Betrachtung zum Modell-Explorer im Zusammenhang mit dem Stateflow Tool fort. Alle Events, Variablen, Eingange und Ausgange (interne, externe Variablen) von und zu Simulink miissen deklariert werden. Dies geschieht mit dem Model Explorer nach Bild 6.9. Er wird u. a. mit dem Button 1^ aus der Menli-Leiste des GrafikEditors, Bild 6.2, oder Simulink-Modell-Fensters geoffnete. Die deklarierten GroBen und ihre Eigenschaften werden im Data Dictionary verwaltet. Auf der linken Seite des Explorers wird u. a. die Modell-Hierarchie Chart/Zustande (Einriickungen kennzeichnen Eltern-Kind-EQz\Q\mng) angegeben. Es sind alle momentan geojfneten Charts/Zustande enthalten. Im anschlieBenden Teil {Contents Spalte) werden alle nicht-grafischen Elemente mit ihren Eigenschaften angezeigt. Auf der rechten Seite, Dialog Spalte, des Modell-Explorers kann die den Elementen zugeordnete Dialogbox der Eigenschaften mit dem Button: i3 in der Explorer-Meniileiste - sie sind auch separat zu offnen - ein- und ausgeblendet werden. Es konnen dort in Abhangigkeit von den mit einem Mausklick aktivierten Elemente/Objekte der ersten beiden Fenster zugehorige Eigenschaften angezeigt und eingestellt werden. Z. B. bei aktiviertem Chart-Symbol kann insbesondere die Update method fiir die Aktivierung nach jedem Abtastschritt {Discrete, Continuous) des Simulink-Modells, beim Auftreten eines externen Triggersignals oder bei jeder Neuberechnung der Eingangssignale {inherented) ausgewahlt werden. Inherited ist die Standardmethode, die Abtastrate des Charts wird von den Simulink-Eingangen vererbt. Wird ein Zustand im Explorer aktiviert, dann erscheint das Zustand-Label, welches editiert werden kann. Dies erreicht man ebenfalls uber das Shortcut Menii unter Properties des ausgewahlten Zustands. Beziiglich der Variablen, Events usw. werden Namen, Scope, Datentyp, Initialisierung/rom Data Dictionary oder Workspace usw. einstellbar. Eigenschaften bereits eingetragener Variablen/Events werden nach deren Aktivierung im mittleren Fenster angezeigt. Weitere Deklarationen konnen u. a. iiber die Meniipunkte Add/Data - Ctrl+D -, Add/Event - Ctrl+E - oder die Knopfe: ['-] ^ des Explores hinzugefugt werden. Diese Daten sind mit einem Namen, dem Datentyp double, single, int32, boolean usw. zu versehen. Fiir die Variablenspezifikation ist das Scope, z. B. auf lokal, Constant, Input, Output zu setzen, d. h. zur Vereinbarung eines Eingangssignals einer Variablen von Simulink mxf Input. Dadurch wird am Chart ein Eingangsport angezeigt. Zusatzlich sind Datentyp und evtl. Portnummer zuzuweisen. Ausgangsvariable nach Simulink erhalten die Spezifikation: Output, der Ausgangsport wird angezeigt. Der Datentyp constant wird durch Einstellung des Scopes auf Constant deklariert. Fine Konstante kann nicht modifiziert werden. Das Feld Units dient Dokumentationszwecken beziiglich der verwendeten Einheit. Im Fensterbereich Limit Range wird der zulassige Wertebereich der Variablen festgelegt; er muss eingehalten werden. Matrizen-Deklarationen erfolgen durch den Eintrag im Feld Size, z. B. 5 fiir 5xl-Matrix und [5 4] fiir eine 5x4-Matrix, siehe E x p S t a t e f low_2 .mdl [59]. Soil eine Variable statt aus dem Data Dictionary aus dem MATLAB Workspace initialisiert werden, so kann dies auf der Seite Value Attributes unter Initialize from ausgewahlt werden. Deklarierte Events {Add/Event, Ctrl+E) erhalten ebenfalls einen Namen, sie konnen als lokale Events oder als Input/Output-Events vereinbart werden. Dariiber hinaus sind Triggerart {Rising, Falling,..) und gegebenenfalls Port-Nummer sowie Debugger-Funktionen auszuwahlen. Sind Aktivitaten von Zustanden an Simulink zu iibergeben, dann ist dazu auf der linken Seite, Model Hierarchy Spalte, im Explorer der Zustand auszuwahlen und auf der rechten Seite, Dialog Spalte, die Eigenschaft Output State Activity zu aktivieren. Es wird ein weiterer Port am Chart

280

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

angezeigt, siehe Bild 6.15. 6.1.7

Erweiterte Strukturen

Neben der Modellierung in einer Hierarchieebene des Charts erlaubt Stateflow unterschiedliche Arten der Gruppierung und Hierarchiebildung. Zum einen dienen sie einer besseren tJbersichtlichkeit, zum anderen lassen sie aber auch Konstruktionen mit erweiterten Funktionalitaten eines Charts zu, siehe [8] sowie Bild 6.4. Mit einem Superstate lassen sich zusammengehorige Zustande (Substates) zu einem iibergeordneten Zustand zusammenfassen, wie in Bild 6.4 und in Bild 6.16 zu Demo-Zwecken eingebracht. Bin Superstate ist demnach das Eltern-Objekt fiir weitere Zustande, vgl. Bild 6.8. Er ist genau dann aktiv, wenn mindestens eines seiner Kind-Objekte aktiviert wird oder er selbst das Ziel einer Transition ist; d. h. ein Superstate kann nie fiir sich alleine aktiv sein. Die Funktionsweise der Superstates hangt davon ab, ob sie in Exklusiv-Oder oder Parallel-Anordnung, vgl. Bild 6.4, verwendet werden. Weitere Einbettungen von Charts und Zustanden sind moglich, so dass sich beliebige Schachtelungen erzeugen lassen.

6.2

Beispiel: Schwinger mit Coulomb-Reibung

Anhand des 1/4-Fahrzeuges aus Abschn. 4.4, Bild 4.15 sowie der Dreipunkt-Schaltlogik aus Abschn. 5.6.5, Bild 5.33 wollen wir nun ein SIMULINK-Modell, in dem die Schaltlogik mit Stateflow-Elementen realisiert wird, aufbauen. Damit wird es moglich, alle Bewegungsphasen des Modells korrekt nachzubilden. 6.2.1

Bewegungsgleichungen und Schaltbedingungen

Wir ubemehmen die Bewegungsgleichungen (4.5) der Gleitphasen in der Form XA=

-COi {XA - XR) - 5i {XA - XR)

XR=

(02{XA-XR)-\-52{XA-XR)-\

MA

FR MR

S, S-\

kR MR

S = Sign {XA - XR) (XS-XR),

^6-1)

wobei 2 (Oi=

kA

2 ^A r. dA r. dA , 0)2 = , Oi = , 62 = . MA MR MA rriR

Die Variablen und Parameter sind in Abschn. 4.4 erklart. Haftung tritt auf, wenn die Beschleunigungen beider Massen (m^, ITIR) gleich sind, d. h. XA=XR. Damit folgt aus (6.1) XA =

•

mA-\-mR

(XS-XR)

.

(6.2)

Der zugehorige Schaltkoeffizient ist per Definition ^ = 0. Die Gleichungen (6.1) und (6.2) beschreiben somit die Bewegungsphasen Gleiten und Haften. tJber die Dreipunkt-Schaltlogik muss entschieden werden, welche der Bewegungsformen zu

6.2 Beispiel: Schwinger mit Coulomb-Reibung

281

aktivieren ist. Zu diesem Zweck fiihren wir die Schaltfunktion q, sie entspricht der Relativgeschwindigkeit von Aufbau und Rad, und den Schaltkoeffizient s q

=XA-XR

_( sign^, ^ ~ \ 0,

Gleiten: ^ ± 1 Haften

(6.3)

ein. Die Hilfs-Schaltfunktionen 5^ folgen nach (5.106) aus q = XA—XRZU S^ = -{cof + coi){xA -XR) - (5i + 52){xA -XR)TFR \mA

( — + — ) - — f e -^R)' niRj MR

(6.4)

Mit (6.3) und (6.4) kann die Dreipunkt-Schaltlogik nach Bild 5.33 aufgebaut werden. 6.2.2

Simulink-Modell mit Chart

6.2.2.1

Datenfile

Die fur die Simulation benotigten Parameter sowie die Initialisierung der Anfangswerte und Anfangszustande fassen wir im unten abgedruckten Daten-Modul d F a h r z .m aus [59] zusammen. Der Ausfiihrungsvorgang erfolgt durch Eintrag des Filenamens d F a h r z unter Menii: File/Model properties, Callbacks/Model, initialization function. Daten-Modul: dFahrz.maus [59] fprintf ('Lade Daten fiir Rampenauf fahrt') %

Systemparameter mA=1.0e+03; mR=1.0e+02; kA=40.0e+03; kR=40.0e+04; dA=12.0e+03; FR=400.0; d=0.01;

% % % % % % %

Aufbauten-Masse Rad-Masse Federsteifigkeit der Radaufhangung Reifensteifigkeit Dampfung der Radaufhangung Reibkraft Rampenhohe

[kg] [kg] [N/m] [N/m] [Ns/m] [N] [m]

oml=kA/mA; om2=kA/mR; deltal=dA/mA; delta2=dA/mR; % Abkiirzungen xAO=0.0; xRO=0.0; xApO=0.0; xRpO=0.0; % Anfangswerte % % Initialisierung der Schalt-Logik q=xApO-xRpO; % Schaltfunktion (Relativgeschwindigkeit) y=[xAO xRO xApO xRpO]; if q == 0 % Schaltfunktion (Relativgeschwindigkeit) xs=0.0; % Fahrbahnanfangszustand % Initialisierung der Hilfs-Schaltfunktionen S+, S-; sp=-(oml+om2)*(y(l)-y(2))-(deltal+delta2)^(y(3)-y(4))... -FR*(l/mA+l/mR)-l/mR*(kR^(xs-y(2) ) ) ; sm=-(oml+om2)*(y(l)-y(2))-(deltal+delta2)•(y(3)-y(4))...

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

282

+FR*(1/mA+l/mR)-1/mR*(kR^(xs-y(2))); if sm < 0 sO=-l; % vgl. Dreipunkt-Schaltlogik elseif sp > 0 sO=l; % Gleiten, positive Relativgeschw. else sO=0; % Haften end else if q < 0 sO=-l; Gleiten, negative Relativgeschw. else sO = 1 ; Gleiten, p o s i t i v e Relativgeschw. end end dispC ' ) ; d i s p C o k . ' ) ; dispC ')

6.2.2.2

Simulink-Subsystem des Fahrzeugs

Das Fahrzeugmodell nach Hierzu wahlen wir: Eingange: s xs Ausgange: xA xR xAp xRp xAp_state xRp_state

(6.1), (6.2) formulieren wir als Subsystem F a h r z e u g , vgl. Bild 6.5. Schaltkoeffizient s aus Zustands-Logik Fahrbahnprofil (Rampenauffahrt) Fahrzeugaufbau-Auslenkung XA Rad-Koordinate XR Geschwindigkeit XA Geschwindigkeit XR XA, State Port-Ausgsing XR. State Port-Ausgang

xAp_state RAihkraft

f^

: Tmi

-•CID xpA

->CZ3 xpR

CI>

Bild 6.5: Subsystem des 1/4-Fahrzeuges

Da ein stmkturvariables System vorliegt, muss in Abhangigkeit vom Schaltkoeffizienten s (^ = 0, ^ = ±1) nach (6.3) zwischen den Bewegungsgleichungen (6.1) und (6.2) hin und her ge-

6.2 Beispiel: Schwinger mit Coulomb-Reibung

283

schaltet und gleichzeitig bei jedem Wechsel die Integratoren mit den Beschleunigungseingangen neu gestartet werden. Hierzu setzen wir einerseits einen Switch Block mit dem Kontrolleingang \s\ und dem Schwellwert von < 1 (z. B. 0.5) ein. Dies garantiert einen Schaltvorgang bei einem Wechsel |^| = 1 ^ ^ = 0, so dass zwischen Gleiten und Haften bezuglich der Bewegungsgleichungen unterschieden werden kann, wenn wir den Schalterausgang auf die Trigger-Eingange der Integrierer (fallende Flanke) legen. Die zu setzenden Anfangswerte (Geschwindigkeiten) werden auf die extern geschalteten Integrierer-Eingange der Anfangswerte gelegt. Hierzu werden IC-Blocke verwendet, die bei Simulationsstart die vorgegebenen Anfangswerte und spater die Endwerte des Integrationsintervalls iiber die State Ports der Integrierer durchschalten. Dies ist zutreffend, well die Geschwindigkeitsverlaufe zwar Knicke aber keine Spriinge aufweisen. Um algebraische Schleifen zu vermeiden, benutzen wir die State Por^Ausgange auch zur Nullstellbestimmung der Schaltfunktion (6.3) auBerhalb des Subsystems. Der weitere Subsystemaufbau in Bild 6.5 ist aus vorangegangenen Beispielen bekannt und somit nachvoUziehbar. 6.2.2.3

Das ubergeordnete Simulink-Modell xR, xA, xpR, xpA

s Schaltkoeffizient

©Hj^=-^te MATLAB in der Ingenieurpraxis 1/4-Fahrzeugnnoclell DatenfileidFahrz.m Aufruf: Model Properties/Callbacks File: Fahrz.mdl Letzte Anderung

Floating Scope

AktivitatderZustande: Haften Gleiten mit neg. Relativgeschw, Gleiten mit pso. Relativgeschw.

10-Sep-2006 19:48:35

Bild 6.6: Gesamtmodell des 1/4-Fahrzeuges Das SIMULINK-Modell F a h r z .mdl in [59] enthalt neben dem aus Abschn. 4.4 bekannten ebenen Fahrbahnprofil fe) insbesondere die Formuliemng der Schalt- und Hilfs-Schaltfunktionen {q^ S^), deren Nullstellenermittlung sowie das Chart {State Machine) mit der DreipunktSchaltlogik nach Abschn. 5.6.5, Bild 5.33. Die Schaltfunktion q nach (6.3) ergibt sich unmittelbar mit den Ausgangen der State Ports der Integrierer im Subsystem des Fahrzeuges. Die Hilfsschaltfunktionen S"^ nach (6.4) realisieren wir mit Hilfe zweier Function-Blocke, vgl. Bild 6.7. Der zugehorige Eingangsvektor u setzt sich aus vier Ausgangen des Subsystems F a h r z e u g und des Fahrbahnprofils Xs zusammen. Dazu

284

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

werden statt der Geschwindigkeiten XA, XR (xAp, xRp) die Werte der State Port-AusgmgQ verwendet. Dies vermeidet algebraischen Schleifen. Damit konnen wir die Hilfs-Schaltfunktionen anschreiben:

-(om1+om2)*(u(1)-u(2))-(delta1+delta2)*(u(3)-u(4))-FR*(1/mA+1/mR)-kR/mR*(u(5)-u(2)) Sp HilfsSchaltfunktionen -(om1+om2)*(u(1)-u(2))-(delta1+delta2)*(u(3)-u(4))+FR*(1/mA+1/mR)-kR/mR*(u(5)-u(2))

Sm

Bild 6.7: Function-Blocke der Hilfsschaltfunktionen S"^ Auftretende Nullstellen der Schalt- und der Hilfs-Schaltfunktionen (^, S"^) werden mit den Hit Crossing Blocken durch 0 (keine NuUstelle) oder 1 (NuUstelle), wie in Bild 6.13 dargestellt, angezeigt. Zum Aufbau der Schaltlogik miissen die Hilfs-Schaltfunktionen Sp:=5'^, Sm:=S~ sowie die boolschen Werte (0 oder 1) fur eine vorliegende NuUstelle von q, Sp_I und Sm_I am Eingang des Charts Z u s t a n d s - L o g anliegen. 6.2.2.4

Das Stateflow-Diagramm und Testmoglichkeiten [q & Sp > 0]

pgleiten/ entry:s=1;

[q & (Sp<0 & Sm>0)]

^

[q & (Sp<0 & Sm >0)]

Bild 6.8: Stateflow-Logik der Dreipunkt-Schaltlogik Die bekannte Dreipunkt-Schaltlogik nach Bild 5.33 konnen wir, aufbauend auf den EingangsgroBen q, Sp, Sm, Sp_I, Sm_I, direkt umsetzen. Die deklarierten Daten werden im Explorer

6.2 Beispiel: Schwinger mit Coulomb-Reibung

285

von Bild 6.9 angezeigt. Ausgehend von den im Daten-Modul d F a h r z . m formulierten Anfangsbedingungen sowie des hieraus resultierenden Schaltkoeffizienten s 0 wird bei Simulationsstart die Default Transition aktiviert und gibt somit den Weg zum zunachst aktiven Zustand frei. Im Modell-Explorer Bild 6.9 sind die Daten des Charts deklariert. Die Einstellung von s 0 ist dabei so gewahlt, dass sie iiber den Workspace eingelesen wird. Die Update method ist auf Inherited zu stellen, womit das Chart von der schnellsten, anhegenden Datenleitungen getrieben wird. mmmmm I X I • • <E % [IH] I? # A) I Search: | by Block Type

J l Type: | Chart

Model Hierarchy j|SimulinkRoot I • U Base Workspace |-%Configuration Preferences 3-HFshrz • I J Model Workspace ••••*^ Configuration (Active) I'AdvicetorFahrz ••••^Fahrzeug ^Modelinto

"3| [^

Search

Contents of: Fahrz/Zustands-Log LabelStrinc Scopt Port Data Type Mc' | V CONNECTIVE \C^ [q ^ (Sp<0 a Sm >0)] [q & (Sp<0 h (Sp<0 fi. Sm>0)] [qS:(Sp<0£ [q a Sm < 0] [q a Sp > 0] [sO==0]

Chart: Zustands-Log Name: Zustands-Log Parent: Fahrz Machine: (machine) Fahrz Update method:| Inherited n Enable C-bit operations I

^ SampleTime:|^ Apply to all charts in machine nt

n User specified stateAransition execution order n Export Chart Level Graphical Functions (Make Global) 0 Use Strong Data Typing with Simulink I/O n Execute (enter) Chart At Initialization n Initialize Outputs Every Time Chart Wakes Up Debugger breakpoint: n On chart entry

[

Description:

Bild 6.9: Explorer mit Stateflow-Daten

Test des Charts Mit drei, z. B. sinusformigen, Testsignalen lasst sich die Logik im Chart iiberpriifen, vgl. Bild 6.10 sowie s _ t e s t .mdl in [59]. Hierzu sind Signalamplituden von 1 sowie drei unterschiedliche Frequenzen, z. B. 0.75 | 1.0 | 1.2, und Phasen, z. B. 7tl6 \ 0 | TtIA in den Sine Wave Blocken einzustellen. Der Anfangswert sO=l muss im Workspace liegen. Wesentlich ist, dass nur eine giiltige wegfiihrende Transition eines Zustandes moglich ist. Dies ist nur mit unterschiedlichen Phasen der Testsignale erreichbar. Bei geoffnetem Grafik-Editor kann der Logik-Ablauf, gegebenenfalls mit Totzeiteinstellung im Debugger, verfolgt werden. Bild 6.11 bestatigt die Richtigkeit der abgebildeten Logik. 6.2.2.5

Simulationsergebnisse zum Fahrzeugmodell

Gegeniiber der bisherigen SIMULINK-Modellierung mit dem Coulomb & Viscous Friction Block aus Abschn. 4.4.1 bietet dieser Losungsweg eine unproblematische numerische Integration. Die Simulationsergebnisse nach Bild 6.12 zeigen an den tJbergangen von Gleiten/Haften und umgekehrt definierte Schaltzustande, so dass stiickweise stetige Funktionen zu integrieren sind. Mit dem Floating Scope in Bild 6.6 lassen sich Aktivitaten und Daten einzelner Zustande im Chart anzeigen. Hierzu ist aus der Menii-Leiste des Scope-Fensters, siehe Bild 6.14, mit dem Signal selection Button "^ der Signal Selector zu offnen und die gewiinschte Ausgabe anzuwahlen. In B ild 6.14 sind die aktiven und inaktiven Phasen der Zustande h a f t e n , n g l e i t e n , p g l e i t e n

286

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

n

Scope q=xAp_state-xRp_state

Scope

Schaltfunktion

H

Nullstelle q=1 sonst q=0

Nullstelle q

H

Ch

m

Nullstelle Sp

H

Nullstelle Sm

S-Test 0 muss im Workspace liegen le: Model Properties / Callbacks Letzte Anderung

12-Sep-2006 17:16:55

•

•

Scope Sm_l

Scope Sp_l

Display S m J

Bild 6.10: Testaufbau zur tJberprufung der Dreipunkt-Schaltlogik im Chart

5

10

15

20 Z e i t t [S]

25

30

35

Bild 6.11: Testergebnisse zur tJberprufung der Dreipunkt-Schaltlogik im Chart; Signale: s^ q, 5+, S in Abhangigkeit von t nach Bild 6.8 aufgezeichnet. Die einzelnen Reibphasen lassen sich interpretieren und mit den anderen Ergebnissen in Einklang bringen.

6.3

Beispiel: Springender Ball

Anhand des springenden Balls im umgebenen Medium aus Abschn. 5.6.4.1 wie einerseits ein Zustandsereignis, ein Event, der Simulink-Umgebung das ternes Triggersignal aktiviert und andererseits ein lokales Event des Charts Simulink-Komponenten herangezogen werden kann. Die in Abschn. 5.6.4.1

woUen wir zeigen, Chart iiber ein exzur Steuerung von eingefuhrten Para-

6.3 Beispiel: Springender Ball

287

0.1 0.05

E

o[ -0.05 -0.1

0.^ 0.6 Zeitt [s]

0.2

0.^

0.6

0.8

Zeitt [s]

a: Geschwindigkeiten

b: Relativgeschwindigkeiten

Bild 6.12: Geschwindigkeiten von Aufbau und Rad sowie zugehorige Relativgeschwindigkeit

• 0

0.1

0.2

0.3

0.^

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Z e i t t [S]

Bild 6.13: Boolsche Werte der Nullstellen von q

Select s i g n a l s for object F a h n ' |Axes 3

13 ^ ^ NEra

Model hierarchy

List contents: [

Fahrz p-w-Jhj Fahrzeug

n

0

" S Model Info

pgleiten

haften

•

ngleiten

Show signal names matching: |

Bild 6.14: Haft- und Gleitphasen im Floating Scope meter und die Bewegungsgleichungen fiir das Zeitintervall ^
= 0

Horizontalbewegung;

y^c^vy


= —g

Vertikalbewegung,

wobei V = A / X ^ + J ^ die Ballgeschwindigkeit ist. Das Springen soil beendet sein, wenn die Auftreffgeschwindigkeit eine vorgegebene Schranke, z. B. |v| = 10~^ m/s, unterschreitet, so dass im zweiten Bewegungsabschnitt tu
Horizontalbewegung;

j ' = 0,

mit y{tu) =0, y{tu) =0,

Vertikalbewegung

288

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

gelten. Es ist ein strukturvariables System zu modellieren.

Bild 6.15: Simulink-Modell zum springenden Ball Auf der Basis des Simulink-Modells aus Abschn. 5.6.4.1, Bild 5.24 ist das angepasste SimulinkModell in Bild 6.15 dargestellt und in [59] unter b a l l _ s t a t e f l o w . mdl abgelegt. StateflowElemente Ubernehmen die Berechnung der StoBgeschwindigkeiten (v+ = —£sV~) und die Integrierersteuerung. Zur Integration der Bewegungsgleichung benotigen wir fiir jede Bewegungsrichtung zwei Integrierer. Neben den Signaleingangen werden beim ersten Integrierer der Vertikalbewegung y auch der Triggereingang zur Integrationsunterbrechung beim Aufprall und der Eingang zum externen Setzen des Anfangswerts zu Simulationsbeginn und nach jedem Aufprall benotigt. Dariiber hinaus muss iiber den State Port die aktuelle Ballgeschwindigkeit Ve als ChartEingangssignal ausgegeben werden. Die Zeitpunkte der NuUstellen der Ballposition y (Schaltfunktion) werden durch den Hit Crossing Block detektiert. Dabei wird das Ausgangssignal beim Auftreten eines Ereignisses (NuUstelle) kurzzeitig wie in Bild 6.17c von 0 auf 1 und unmittelbar danach wieder auf 0 gesetzt. Die aufsteigende und abfallende Flanke {either) dieses Signals nutzen wir als extemes Triggersignal (Event) zur Steuerung des Logik-Ablaufs im Chart, Dazu muss das Event A u f p r a l l im Explorer als Simulink-Eingang mit beiden Trigger-Flanken (steigend/fallend - either -) deklariert werden, vgl. die Explorer-Einstellung. Beim Start einer Simulation ist die State Machine und damit das Chart zunachst in Ruhe\ es muss durch ein externes Event aufgeweckt werden. Ist die Update-Methode Inherited eingestellt, dann erfolgt der Weckvorgang durch die schnellste angelegte Simulink-Signalleitung. Unabhangig von der Update-Methode kann aber auch im eingeblendeten Menii Chart Properties durch Aktivieren von Execute Chart At Initialization bei der Initialisierung des umgebenen SimulinkModells im Chart ein implizites Event ausgelost werden. Dadurch befindet sich das Chart zum Simulationsbeginn f = 0 in einer definierten Ausgangslage, ohne dass explizit ein Event auftritt. Bemerkungen zum Chart, Bild 6.16 Variablen: Mit der Variablen Re s wird der Integrierer gesteuert; die erzeugte steigende Flanke 0 ^ 1 unterbricht die Integration. v_0 ist die Geschwindigkeit nach dem StoB, g die negative

6.3 Beispiel: Springender Ball

289

Erdbeschleunigung g:= —g. Res, v_0, g sind somit die Output-Variablen. Die Input-Variable v_e ist die Aufprallgeschwindigkeit. e p s , s sind lokale Variablen des StoBfaktors sowie des Steuerparameters zur Umschaltung von v_0 und g wahrend der RoUphase. Ball Aufprall^ Bewegung

I Stoss /* Stosszustand*/! v_0=-v_e*eps; :s*g;

[fabs(v_e)<=1.0e-03]{s=0;eps=0;}

Bild 6.16: Stateflow-Diagramm mit Steuerlogik

Das Chart in Bild 6.16 besteht aus dem Superstate B a l l sowie den beiden Substates Bewegung und S t o s s . Das Superstate dient hier nur zur Demonstration, es kann entfallen. Ist B a l l aktiv, dann wird zunachst die Standardtransition ausgefuhrt und aktiviert den Zustand Bewegung, so dass die Entry-Aktion Res=0 ausgefuhrt wird. Bewegung wird inaktiv nachdem das externe Event steigende/fallende Flanke wahr wird. Die Transition mit dem Label A u f p r a l l aktiviert den Zustand S t o s s . Die Entry-Aktionen zu v_0, R e s = l und g=s^g - zunachst mit s = l - werden abgearbeitet. Durch Res 0 ^ 1 wird die Integration gestoppt, der neue Anfangswert v_0 gesetzt und die Integration fortgesetzt. Da die label-freie, wegfiihrende Transition stets wahr ist, das gesetzte Label an der Transition vom Verbindungspunkt bis zum folgenden Zustand falsch ist, wird die ungesetzte Transition ausgefuhrt. Der Zustand Bewegung ist bis zum Einsatz des nachsten externen Events wieder aktiv. Dies setzt sich bis zum vorletzten Durchlauf, bei dem Ve < 10"-^ ist, fort. Da in diesem Fall der Transitions-Label wahr ist, wird die gesetzte Transition gegeniiber der ebenfalls giiltigen leeren Transition ausgefiihrt, d. h. die Aktionen s=0 und eps=0 werden zugewiesen. Das hat zur Folge, dass nach dem nachsten externen Event v_0 = 0 und g=0 ausgegeben werden und die Integration hiermit zu Ende gefiihrt wird. Altemativ kann zur Integrierer-Steuerung, statt der Flanke von Res 0 ^ 1, auch die Aktivierung des Zustandes S t o s s herangezogen werden. Dazu muss dieses interne Event an Simulink iibergeben werden. Hierzu ist z. B. im Explorer nach Anklicken des Zustandes S t o s s im Model Hierarchy Fenster die Eigenschaft Output State Activity im rechten Fenster zu aktivieren. Beide Realisierungen sind, wie in Bild 6.15 gezeigt, mit dem Manual Switch Block auszuwahlen. Die Animation der Ablaufe im Chart sind im offenen Grafik-Editor zu beobachten. Detaillierter wird die Animation im Debugger-Modus. Hierzu ist mit T o l l s / D e b u g . . das zugehorige Fester zu offnen und die Breakpoints z. B. Chart Entry und State Entry zu setzen. Die Ablaufe im Chart, sowie die der Simulationsergebnisse im S c o p e l sind nun, z. B. im Step-Modu^, zu verfolgen. Simulation Zur Simulationsinitialisierung und der Darstellung der Ergebnisse kann das folgende M-File b a l l _ s t a t e _ s t a r t . m aus [59] genutzt werden:

290

6 Modellierung und Simulation mit dem Stateflow® Tool

¥20 X

)

5

1

_ 20 t

10

MNIIIIlii \ Zeitt[s]

Bild 6.17: Simulationsergebnisse mit Nullstellenzeitpunkte, Ausgangssignal des Hit Crossing Blocks % Optionen und Simulations-Aufruf options=simset('RelTol',l.Oe-3,'MaxStep',0.01,'Refine',4); [t,y,q]=sim('ball_stateflow',[0, 10],options); % Darstellung der Ergebnisse figure (1); subplot(321) plot(t, y(:,2)) grid ylabeK'x [m] ' ) subplot(322) plot(t,y(:,l) ) grid ylabelCy [m] ' ) % Fortsetzung siehe ball-statef l_start .m Wesentlich sind die gesetzten Optionen R e l T o l , Max S t e p und R e f i n e . Insbesondere die Optionen M a x S t e p und/oder R e f i n e beeinflussen die Simulation im Ubergangsbereich zum Rollen maBgeblich. Die unmittelbar aufeinanderfolgenden Auftreffpunkte, vgl. Bild 6.173, konnen nur durch eine richtige Abstimmung detektiert werden. Gegebenenfalls ist das Abbruchkriterium |v| < 10"-^ zu entscharfen. Die Simulationsergebnisse von Bild 6.17 sind selbsterklarend. Insbesondere der Einfluss des Widerstandes infolge des umgebenen Mediums wird deutlich. tJbungsvorschlag: Modellieren Sie ein Chart, bei dem der tJbergang in den RoUzustand durch einen weiteren Zustand erreicht wird, d. h. die mit dem Label [fabs(v_e)<=1.0e-03]{s=0;eps=0;} in Bild 6.16 gesetzte Transition ist zu ersetzen. Hilfe: b a l l _ s t a t e f l o w _ l . m d l aus [59].

7

Physikalische Modelle unter Simulink®

Zur Bearbeitung z. B. von Mehrdomanen-Modellen wie in der Mechatronik, bietet die objektorientierte Modelliemng physikalisclier Systeme ein geeignetes Werkzeug. DiesbezUglich sind u. a. die Simulationsprogramme MODELICA^ [19], [71], ITI-Sim und Saber einzuordnen. In der MATLAB/Simulink-Umgebung stehen z.Z. die blockorientierten Tools SimPowerSystems (1998) fiir elektrische/elektronische Modelle, SimMechanics (2001) fiir mechanische Mehrkorpersysteme, SimDriveline (2004) fiir Antriebsstrange und Sim Hydraulics (2006) fiir hydraulische Komponenten zur Verfiigung. Bild 7.1 zeigt in Form der Sublibraries zweier Tools einen tjberblick vorhandener Elementgruppen. Damit ist eine erweiterte Multidomanen-Simulation in der Simulink-Umgebung moglich, Co-Simulation mit anderen Programmsystemen entfallen. Zur Modelliemng werden keine Experten der einzelnen Disziplinen benotigt. C!3 Simulink Library Browser File

Edit

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m^Bwiffliiimmffifflgi

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Help

D G^ ^a *4 | r

D (^ Hw tf4 i r

Extra Librarj^: powerlib/Extra Library

Bodies: mblibvl/Bodies

^•••H Simulink SI Control System Toolbox $ " f i | Real-Time Workshop M Report Generator $•••• SimDriveline $•••• SimEvents I?"fil SimMechanics

^

S - ^ Extra Library l i - S Application Libraries I S Electrical Sources j S Elements I S Machines I S Measurements • S Power Electronics MM

Ewtra Library

Application Libraries

T

Electrical Sources

Elements

K

Y

Machines

Measurements

Power Electronics

powergui

1

Ready

a: SimPowerSystems-Library

I I I I I I

Simulink Control System Toolbox Real-Time Workshop Report Generator SimDriveline SimEvents

H Bodies S Constraints & Drivers S Force Elements [|]-H Joints H Sensors & Actuators S Utilities I?-SI SimPowerSystems S-fil Simulink Extras ^ ~iiii 1 >i [Ready

Bodies

Constraints St Drivers

^ '//'

Force Elements

Joints

Sensors S( Actuators

Utilities

b: SimMechanics-Library

Bild 7.1: Elemente der sfSimPowerSystems- und der SimMechanics-Library Die Arbeitsweise mit diesen Tools woUen wir anhand von SimMechanics etwas naher erlautern; das Einarbeiten von SimPowerSystems-, SimDriveline- und SimHydraulics-Elementen, wie z. B. Elektromotor, Getriebe, Kupplung, Hydraulikpumpe ist unproblematisch. In [61] wird dies anhand eines Hebemechanismusses einer PKW-Seitenscheibe mit einem Elektromotor gezeigt. Ausfiihrliche Information sind in der Online-Hilfe sowie den Handbiichern [2], [3], [4], [5] der Tools zu finden. Dartiber hinaus existieren SimMechanics-Demos und von The Mathworks angebotene Webinare, die ein- und weiterfiihrende Themen behandeln. 1 http://www.modelica.org

7 Physikalische Modelle unter Simulink®

292

"^ Bodies

^

Fofce Etements

O

gcsi®cs2 Body

1- ^ Ground

Angle Driver

T%^T 1"C^ Gear Constraint

Sensors a Actuators

QB

FP

»p

Joint Spring B Damper

JB.

I

Point-CurvB Constraint

^^>

Fp

^k^ P

<^^"\^P

Connection Port

Body Actuator

Body Spring & Damper

Env Environment

^

| \

Constraints a Driv&rs

W External Aciuation >] Kinetic Friction

Median ical Biancliing Bar > Angl=

>] Foward Stiction Limit W Static Friction W l=Lever3e Stiction Limit

Joint Stiction Actuator

C o ntin LJDUS Anglo R

Continuous Angle

Bild 7.2: Beispiele aus den SimMechanics-Sublibraries Die Modellierung mit SimMechanics setzt einige Grundlagen der Mehrkorperbeschreibungen voraus, auf die hier nicht ausfuhrlich eingegangen werden kann. Es soil trotzdem versucht werden, einige Begriffe in die Vorstellung einzuarbeiten. Im Einzelfall muss aber auf SpezialLiteratur wie u. a. [12], [21], [36], [66], [77] verwiesen werden. Die weitere Betrachtung basiert auf SimMechanics 2.2-2.5; Abweichungen gegeniiber Vorgangerversionen werden teilweise angegeben.

7.1

SimMechanics Tool

Dieser Abschnitt enthalt erste Schritte zur Arbeitsweise mit SimMechanics. Einige Blocke sowie die unterschiedlichen Analyse-Methoden und Visualisierungs-Optionen werden vorgestellt. Beispiele runden die Einfuhrung ab. 7.1.1

Funktionsweise

Wie schon erwahnt, werden mechanische Systeme mit Blocken der Modell-Library, die jeweils ein mechanisches Element reprasentieren, modelliert. Einige Elemente sind in Bild 7.2 zusammengestellt. Sie werden in der Simulink-Umgebung mit den zugehorigen Parameter-DialogBoxen konfiguriert. Im Gegensatz zu herkommlichen Simulink-Blocken, die mathematische Operationen darstellen und signalflussorientiert vom Ausgang eines Blockes zum Eingang des Folgeblocks, also unidirektional, arbeiten, reprasentieren SimMechanics Blocke mit zugehorigen geometrischen und kinematischen Vertraglichkeiten physikalische Komponenten, d. h. die Blocke haben hier eine eindeutige mechanische Bedeutung. Dadurch wird nicht mehr gleichungsorientiert sondern objektorientiert gearbeitet. Die Datenflussrichtung zwischen verbundenen Blocken verlauft in beide Richtungen (bidirektional), die Pfade zeigen keine Pfeile. Man denke nur an die Kraftwirkung zweier miteinander verbundener Massen (actio und reactio), wobei es keine definierte Richtung des Signalflusses gibt. Damit sind auch Verzweigungen wie in Simulink unter

7.1 SimMechanics Tool

293

SimMechanics nicht moglich. Ausgehend von der Topologie des Modells mit den Systemparametern, z. B. Masse, Tragheitstensor, geometrische Abmessungen, werden die Bewegungsgleichungen fiir eine Simulation im Rechner generiert. Die abhangigen Variablen sind Relativkoordinaten bezogen auf die durch die Geometrie vorgegebene Referenzlage. Neben einfachen Standardblocken - Body, Ground, Joint Sensor usw. - existieren solche mit komplexer Funktionalitat, was die Modelliemng erheblich erleichtert. Z. B. kann mit dem Joint Stiction Actuator in Abhangigkeit von Ereignissen ein Gelenk (Dreh- oder Schubgelenk) zeitweilig blockiert und anschlieBend wieder freigegeben werden. Typische Anwendungsfalle sind Reibverbindungen mit Stick-Slip-Bewegungen, wie bereits in Kapitel 5.6.5 aber auch spater unter SimMechanics behandelt. Darliber hinaus existieren in der Sublibrary Joints/Disassembled Joint Elemente die aufgeschnitten werden konnen, womit Systeme mit geschlossenen Schleifen - vgl. Kurbeltrieb in Kapitel 5.4 - in solche mit offenen Schleifen iiberfiihrt werden konnen. Eine solche Situation iiberbestimmter Systeme erkennt SimMechanics aber auch automatisch, so dass der Anwender diesen tJbergang nicht explizit einleiten muss, vgl. Demo-Beispiel: m e c h _ f o u r _ b a r .mdl. Insbesondere die Ermittlung konsistenter Anfangsbedingungen bei nichtlinearen Systemen wird dadurch erleichtert. Die Verbindungen zu Simulink-Komponenten werden durch die Sensor- und Actuator Blocke aus der Sensor & Actuator-Lihmry hergestellt. Wie der Name schon andeutet, transformieren Actuator Blocke Simulink-Signale in Bewegungen, Krafte oder Momente. Umgekehrt iiberfiihren Sensor Blocke mechanische Variable in Signale. Insbesondere lassen sich damit geregelte mechanische Systeme in einer Umgebung bearbeiten. Sie sind ab der Version 2 echtzeitfahig, womit Hardware-in-the-Loop (HIL)-Ablaufe realisierbar sind. 7.1.2

Untersuchungsmethoden

SimMechanics unterscheidet vier Methoden zur Analyse mechanischer Systeme: • Forward Dynamics: Berechnet die Bewegung (Zeitverlaufe) eines Modells infolge der angreifenden Krafte/Momente sowie der Zwangsbedingungen ausgehend von vorgegebenen Anfangsbedingungen (Lage, Geschwindigkeit). Dies entspricht der bisherigen Simulation durch numerische Integration der Differenzialgleichungen. • Inverse Dynamics: Bestimmt die Krafte/Momente die erforderlich sind, um eine vorgegebene Bewegung in offenen Schleifensystemen aufrecht zu erhalten, z. B. die Antriebsmomente eines Roboters bei vorgegebener Endeffektor-Bewegung. • Kinematics: entspricht der inversen Dynamik bei geschlossenen Schleifensystemen. • Trimming: Berechnung von stationaren oder Gleichgewichtszustanden; dies dient vielfach der Linearisierung um SoUbewegungen oder Arbeitspunkten bzw. Gleichgewichtslagen, vgl. Abschn. 8.4.7. Die Methodenauswahl erfolgt ab SimMechanics 2.2 in der Dialog-Box des Machine Environment Blockes. 7.1.3

Erstes SimMechanics-Modell

Um einen ersten Einblick in die Modelliemng zu erhalten, betrachten wir zunachst den Einmassenschwinger nach Bild 7.3. Er ist zwar kein Reprasentant eines Mehrkorpermodells, zeigt aber

294

7 Physikalische Modelle unter Simulink®

h IZ

m

V-& ^° //////.

-

B

KX IXG

glatt

jX

Bild 7.3: Einmassenschwinger und Koordinatensysteme zur Modelliemng mit SimMechanics Uberschaubar und nachvoUziehbar die Arbeitsweise von SimMechanics und die Ankopplung an Simulink-Komponenten. Der Quader mit den Kantenlangen a = b = 0,1 m, Hohe c = 0,05 m und der Masse m = 1,5 kg gleitet zunachst auf einer glatten Ebene. Er wird einerseits mit einem Feder-Dampfungs-Element k = 2 N/m, d = 0,02 Ns/m mit der Federlange £FD = 0,1 m der entspannten Feder an die Umgebung gekoppelt, andererseits durch die auBere Kraft f{t) = 20 sin5r angeregt. Neben den Modellparametern und der Geometrie mit vertraglichen Einheiten (in der Regel im MKS-System) spielen die verwendeten Koordinatensysteme (CS Coordinate System) u. a. zur Festschreibung der Topologie eine zentrale Bedeutung. In SimMechanics wird unterschieden: • Das Inertial-, bzw. Welt-, bzw. World-Koordinatensystem /^, (7)^ly, iz - (rechtsorientiert. kartesisch), worin alle folgenden eingebettet sind. • Das Ground-System (G) - /XG, lyc^ IZG -'-> ^s beschreibt einen Fixpunkt des Modells innerhalb von (/) und ist hierzu parallel. • Das korperfeste System (K) - /^x, Ky, KZ - fur Lage und Orientierung. Die Orientierung (Drehung) gegeniiber (7) kann mit definierten EULER-Winkeln, Quaternionen oder 3x3 Transformationen geandert werden. Die Kontaktpunkte zweier benachbarter Korper - die Bindung -, hier den der glatten Unterlage und den des Quaders werden durch die Punkte B (Basis) und F (Follower), vgl. Prismatic Block in Bild 7.5, charakterisiert. Dadurch konnen iiber einen Joint Sensor Block neben den RelativgroBen Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung von F gegeniiber B auch Reaktionskrafte beziiglich B oder F gemessen werden. Dariiber hinaus muss bei der Einfuhrung der Koordinatensysteme sichergestellt werden, dass - wie hier - bei einer Translationsbewegung F und B auf einer Achse oder in einer Ebene liegen, d. h. es ist auf Vertraglichkeit zu achten. Da die Masse nach Voraussetzung nur einen translatorischen Freiheitsgrad hat, konnten wir sie als Punktmasse behandeln, womit u. a. die Koordinatensysteme zusammenfallen konnten. Um aber das Handling mit den Koordinaten zu zeigen, benutzen wir die eingefiihrten geometrischen 2 Wir bleiben bei der bisherigen Bezeichnung (/) fur Inertialsystem; SimMechanics verwendet (W)

7.1 SimMechanics Tool

295

Abmessungen a, Z?, c, /?, ^FD- Zunachst wahlen wir den Bezugspunkt 0 nach Bild 7.3 als Ursprung des World-Systems (/) mit der angegebenen Orientiemng - es ist also gegeniiber Bild 7.3 neu zu positionieren. Den Ursprung des dazu parallel angeordneten Ground-Systems (G) legen wir im Abstand h auf die neue /j-Achse von (/), so dass B auf JXQ liegt. Damit ist die Lage von {K) - hier CS2 - nicht mehr frei wahlbar, /XG und K^ miissen wie in Bild 7.3 zusammenfalien. Parameters: Body1 Joint Sensor Represents a user-defined rigid body. Body defined by mass m. inertia tensor L and coordinate origins and axes for center of gravity (CG) and other user-specified Body coordinate systems. This dialog sets Body initial position and orientation, unless Body and/or connected Joints are actuated separately. Mass Properties

1 Ikg Mkg«m^2

'""^"•|diag([LxxJ_yyJ_zz])

v|

Measurement Connected to primitive:

v|

Body coordinate systems Position

1 Orientation 1

1 Show Port

Port Side

Name

Origin Position Vector [x y z]

Units

b0

J CG

[a/2 b/2 0]

m

^ CS2

Left

J CS2

[IFD h 0]

m

d World

0

Right

]^ CS1

[0 b/2 0]

Right

^ CS3

[0 0 c/2]

rn

•[S2

Right

m

b b b 1• b 1 1bb 1

. • CS2

% CS4

[a 0 c/2]

Right

0 CSS

[a 0 -c/2]

Right

% CSG

[0 0 -c/2]

Right

9 CS7

[0 b c/2]

Right

g CSS

[a b c/2]

Right

^ CSS

[a b -c/2]

m

Right

J CS10

[0 b -0/2]

m

1p 1

rn rn

. m

Components In 1 Axes Of 1

Translated From Origin Of

Left

•[.S2

•CS2 a [S2 fl LSI a CS2 a CS2 a CS2

^ CS2 10

World

CS2 C52 0 C52 0 CS2 S CS2 S CS2 a CS2 J CS2 a CS2 S 0

101 0

0I m • ll 10 1^1 10 I0I dj

j

Measures linear/angular position, velocity, acceleration, computed force/torque I and/or reaction force/torque of a Joint primitive. Spherical measured by quaternion. Base-follower sequence and joint axis determine sign of forward motion. Outputs are Simulink signals. Multiple output signals can be bundled into one signal. Connect to I Joint block to see Connected to primitive list.

1 p-]

0

Position units:

| m

v|

0

Velocity units:

| m/s

r\

0

Acceleration units:

| m/s'^2

rJ

•

Computed force units:

•

ffl

0

|j\|

Reaction torque units:

With respect to Lb:

|

| N'^m

Reaction force units:

Heaction measured on:

liJ

.v|

|

r\

|N 1 Follower

v|

d

Absolute fv/orld)

m

1

•m\ 111

AM. Apply

I

LJ

1

OK

|[

Cancel

][

Help

]

Apply

|

Bild 7.4: Dialog-Boxen zum Body und Joint Sensor Block

Weitere korperfeste Punkte, z. B. der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt, Center of Gravity) CG und der Feder-Dampfer-Angriffspunkt CSl sind in (K) oder (/) beschreibbar; vgl. Body Block in Bild 7.5. Sie erhalten zunachst die Orientiemng von (/). Auf der Seite Orientation in der Body-Dialog-Box kann diese jedoch verandert werden. Darliber hinaus kann sich das Koordinatensystem mit seiner Orientiemng auf den vorangegangenen Korper (Adjoining) beziehen, die dann iibemommen wird. Zusatzliche Korperpunkte CSS, 4,... wie in Bild 7.4 sind u. a. zur anschaulichen Darstellung in einer Animation festschreibbar. Diese geometrischen Daten sowie die der Masse m und des Tragheitstensors ICG =diag(/jcx, lyy^ hz) bezogen auf das Schwerpunkt Koordinatensystem mit dem Urspmng in CG sind in der Dialog-Box nach Bild 7.4 des jeweiligen Korpers (Body) einzutragen. Wir wollen nun schrittweise den Block-Modell-Aufbau - man spricht auch von der Maschine (Machine) - nach Bild 7.5 besprechen. Zu eigenen Experimenten dient das Programm Ml_sm. mdl in [59]. Zunachst wird mit dem Ground Block der Fixpunkt in (/) mit /x =/ z = 0, iy = h festgeschrieben, hierzu ist der Vektor [0, /z, 0] in die Ground-Dialog-Box einzutragen. Jede Maschine muss mindestens einen Ground Block enthalten. Erganzend miissen die Umgebungsparameter der Maschine im Machine Environment Block angegeben werden. Hierzu ist in der Ground-Dialog-Box das Fenster Show Machine Environment Port zu aktivieren. Danach sind beide Blocke miteinander zu verbinden. Zu den Umgebungsparametern zahlen u. a. der Gravitationsvektor in Bezug auf

7 Physikalische Modelle unter Simulink®

296

Machine Environment

r-<>| - | Env

1-te Alternative

Body Actuator

Gain1 [10 0]U

|[Lk_ci]^ From1

Joint Spring & Damper

2-te Alternative Joint Sensor

Goto3

Ausgangssituatlon

Bild 7.5: SimMechanics-Modell eines Einmassenschwingers mit Altemativen zur Modellierung das gewahlte World-System (/); hier [0, —9.81, 0] m/s^ sowie die angestrebte Untersuchungsmethode hier: Forward Dynamics. Alle weiteren Einstellungen ubernehmen wir zunachst, einige diesbezUgliche Erlautemngen folgen spater. Die prismatische FUhrung (Schubgelenk) des Quaders wird mit dem Prismatic Block modelliert. Der Basis-Punkt B liegt dabei an Ground, der Folgepunkt F ist Punkt des Korpers. Die translatorische Bewegungsrichtung des Schubgelenkes bezUglich der eingefUhrten Koordinatensysteme ist in vektorieller Form - hier: [1 0 0], da x die Bewegungsrichtung ist - in die Dialog-Box einzutragen. Die Anzahl weiterer Ports z. B. fiir den Joint Sensor Block sowie den AnfangswertBlock IC konnen angezeigt werden. In den jeweiligen Dialog-Fenstem sind einerseits die gewunschten AusgabegroBen in die Simulink-Umgebung auszuwahlen und andererseits sind die Anfangswerte als numerische oder symbolische GroBe vorzugeben. Der IC Block enthalt hier Lage und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ^ = 0 bezUglich der konfigurierten Gleichgewichtslage. Der Quader wird durch den Body Block reprasentiert. In der Dialog-Box nach Bild 7.4 sind hierfur die GroBe der Masse - symbolisch m oder numerisch 1.5 -, der Tragheitstensor/CG? hier beliebig, mit den verwendeten Einheiten einzutragen. Gehen wir von einer Punktmasse aus, dann ist IcG der Null-Tensor, was zum Warning fiihrt. Die Lagen der korperfesten Punkte gegeniiber einer gewahlten Basis u. a. World sind im unteren Box-Bereich unter Body coordinate systems vorzugeben; Block-Ports z. B. fiir den Body Actuator Block sind zu aktivieren - Spalte: Show port -. Daten, auf die nur zur Darstellung in einer Animation zuriickgegriffen wird, benotigen keinen Port; vgl. die vorgenommene Parameter-Einstellung in Bild 7.4. Das Feder-Dampfer-Element sowie die Anregung f(t) modellieren wir zunachst mit bekannten Simulink-Komponenten. Das so erzeugte vektorielle Kraftsignal [//j^, 0, 0] ist iiber den Body Actuator Block auf den Korper zu bringen. SchlieBlich gehen wir noch kurz auf mogliche Modellvarianten ein. Diese beziehen sich auf die Realisierung und Aufschaltung des Feder-Dampfer-Elements. Hierfur bieten sich die in Bild 7.5 aufgenommenen drei alternativen Losungen - gepunktete Signalpfade - an. Da alle GroBen von F gegeniiber B des Prismatic Blocks gemessen und aufgeschaltet werden konnen

7.1 SimMechanics Tool

297

und speziell B ein Festpunkt ist, lasst sich, wie in der 1. Alternativen in Bild 7.5 dargestellt, die mit Simulink-Elementen modellierte Kraft komplett iiber einen Joint Actuator Block einbringen. Entsprechend ist die 2. Alternative zu verstehen, bei der das Feder-Dampfer-Element durch den Joint Spring & Damper Block aus der Force Elements Sublibrary von SimMechanics ersetzt wurde. In der 3. Alternativen wird eine Modellierung mit dem Body Spring & Damper Block aus der gleichen Sublibrary vorgeschlagen. Dies erfordert einen weiteren Ground Block und einen zusatzlichen Port am Body Block. Sind die Parameter in symbolischer Form, m fiir die Masse usw., eingetragen, dann konnen die fiir Simulink geltenden Moglichkeiten der numerischen Wertzuweisung, u. a. M-File, Tastatureingabe, iibemommen werden. Die Daten miissen also vor dem Start des SimMechanics-Modells im Workspace stehen. Wir wahlen den direkten Eintrag unter: F i l e / M o d e l P r o p e r t i e s / C a l l b a c k s in den Fenstern M o d e l p r e - l o a d (kurz: P r e L o a d F c n ) f u n c t i o n und/oder M o d e l i n i t i a l i z a t i o n f u n c t i o n (kurz: I n i t F e n ) . Unter P r e L o a d F c n eingetragene Datenzuweisungen oder M-Files werden bei Programm-Block-Offnung ausgefiihrt. Parameteranderungen werden nur nach erneuter Modell-Offnung aktiviert. Im Gegensatz dazu wird der Eintrag unter: 1 n i t F e n bei jedem Simulations-Start ausgefiihrt. Konfigurationsparameter (Button: Simulation/Configuration Parameters), z. B. die Start- und Stoppzeit in symbolischer Form t s t a r t , t e n d oder Toleranzwerte miissen ab Simulink 6 unter P r e L o a d F c n aufgefiihrt werden und stehen nur dann vor dem Modell-Start im Workspace. Auf dieser Basis lassen sich Mehrkorpersysteme modellieren, wie das folgende Beispiel zeigen wird. Beispiel 7.1:

Schwingungen eines Roboter-Modells

Das Modell eines Roboters in Bild 7.6 besteht aus dem Gestell (Quader: Kantenlange l\) und den beiden in A und B angelenkten Armen (5*2, S^). Das Gestell ist iiber ein Feder-Dampfer-Element an die Umgebung gekoppelt. In den Drehgelenken A, B wir-

ly,

ms

IVG KX^

i

v

Bild 7.6: Modell des Roboters

298

7 Physikalische Modelle unter Simulink® ken Dreh-Feder-Dampfer-Elemente, die in der skizzierten Referenzlage, siehe auch Bild 7.8, entspannt sind. Aus dieser Referenzlage bei gleichzeitig entspannter Translationsfeder {k, Lange (.FD) schwingt das System in seine Gleicligewiclitslage. Dieser Einschwingvorgang ist ausgehend von der Referenzlage mit Hilfe der Vorwartsdynamik (Forward dynamics) zu untersuchen. In einem zweiten Schritt soil der Endeffektor (Greifer) einem vorgegebenen Zeitsignal folgen, was durch die Blocke Angle driver, Driver Actuator aus der Constraints & Drivers Library zu realisieren ist. Tabelle 7.1: Wesentliche Modellparameter Massen mi, m2, m3 Tragheitstensor ^32 Tragheitstensor Os, Gestellabmessung h Gelenkabstande h.h Referenzlagen 920, 930 entspannte Federlange ^FD Feder-, Dampferkonstante Kd Dreh-Feder-, -Dampferk. ^12,23,^12,23 Erdbeschleunigung g

20, 5.64, 2.92 kg diag(2.1, 630, 630) 10-3 kgm^ kgm^ diag(l.l, 88, 88)10-3 0.4 m m 0.48, 0.24 ;r/4, 7t/6 rad 0.6 m 400,5 N/m, Ns/m 200, 16, 2, 0 Nm/rad, Nms/rad 9.81 m/s^

Losung Modellerstellung: Anhand von Bild 7.6 und Bild 7.8 sowie den Parametem nach Tabelle 7.1 lasst sich das SimMechanics Modell Bild 7.7 erstellen. Der Ursprung 0 des Inertialsystems (/) bzw. (yV) liegt im FederfuBpunkt, das Ground-System fallt mit (/) zusammen. Gestell (Quader), Arm 1 und Arm 2 entsprechen jeweils einem Body Block. Das Gestell fiihrt, wie im einfiihrenden Quader-Modell, eine Translationsbewegung durch, was ein Prismatic Block (Schubgelenk) mit dem Ground Block liefert. Die Gelenke A und B sind Drehgelenke, wozu jeweils ein Revolute Block benotigt wird.

-.03

Roboter-Modell Daten unter: File / Model Properties / Callbacks

n

•a c s i ^ c s 2 U-

' ^CS2U-

ic

O

Body Spring & Damper

Revolutel

J

-4• I

Scope

Tt'

™csi^ Body2 Joint Spring & Damperl

H^^ Joint Spring & Damper

Joint Sensor2

Dreh-Feder und -Dampfer

h

il

H3

^ Dreh-Feder und -Dampfer

Bild 7.7: SimMechanics-Modell des Roboters Das translatorische Feder-Dampfer-Element zwischen Quader und Umgebung wird mit dem Body Spring & Damper Block abgebildet, wozu ein weiterer Ground Block erforderlich wird. Die Dreh-Feder-Dampfer-Elemente, Joint Spring & Damper Block,

7.1 SimMechanics Tool

299

in den Gelenken A, B erzeugen aufgrund der Relativbewegungen innere Momente und sind somit an den jeweiligen Revolute Block (weitere Ports miissen angezeigt werden) anzuschlieBen. In die zugehorigen Parameter-Boxen sind Feder- (Spring Constant), Dampferkonstante (Damper Constant) sowie gegebenenfalls die Lange der entspannten Federn, hier: ifo, einzutragen. Als MessgroBen bieten sich u. a. die Relativwinkel (Angle) A(f>2 Acps sowie die damit berechenbaren Gelenkmomente (Computed torque) in A, B sowie die Translationsbewegung von m\ an. Im jeweiligen Joint Sensor Block sind zugehorige GroBen auszuwahlen, womit sie als Simulink-Signal, z. B. angezeigt werden konnen. Wesentlich sind die Eintragungen in die Block Parameters Fenster der Body Blocke. Sie beinhalten neben den Masseeigenschaften die Referenzlagen, die hier der Konfiguration mit entspannten Federn entspricht; z. B. die Schwerpunktslage (CG) des Gestells im /-System, [ i,pD + 0.5^i, 0, 0 ], von wo aus sich die Ankopplungen CS1, CS2, CSS vermaBen lassen. Weitere Korperpunkte konnen fiir die Visualisierung niitzlich sein. Entsprechend sind die Masseeigenschaften der Roboter-Arme aus Tabelle 7.1 einzutragen. Die Vorgabe von Positionen und Orientierung von Arm 1 verdeutlichen wir mit Bild 7.9. Danach wird die Position von CSl, also die Anlenkung in A, vom vorangeA(^2

A(^:

A:23A(^3 B2

/223A(^; Bs

msg A(p2 + A(ps (P20 + A(p2

Bild 7.8: Winkel-Beziehungen und Schnittbild zur Berechnung der Gleichgewichtslage gangenen Block ubernommen (Adjoining). Bezuglich dieser Lage lassen sich Schwerpunkt (CG) und Gelenklage B im korperfesten System angeben. Die Orientierung (pio von Arm 1 entspricht der Referenzlage in Bild 7.8 bzw. Bild 7.6. Das so schrittweise aufgebaute Modell stellt man zweckmaBigerweise im Visualisierungs-Fenster, vgl. Bild 7.10 und Abschn. 7.1.5, dar: E d i t / U p d a t e Diagram oder C t r l + D . Koordinatensystem, Schwerpunkt usw. lassen sich ein- und ausblenden. Fiir Arm 2 ist entsprechen zu verfahren. Ergebnisse: Wenn moglich sollten zunachst KontroUgroBen berechnet werden. Dies waren hier die Relativwinkel Acpzo^ A2 — (pio = A(p2, cpio = 0 Arm 2 (ms) gegebiiber Arm 1 (m2) : (A(jf>2 + Acp^) — A(p2 = Acp^ .

300

7 Physikalische Modelle unter Simulink® Body coordinate systems Position!

Orientation Translated From Origin Of

Origin Position Vector [y. y z]

P0

Left

V CG

iLeft

V CS1 "

M

[Right

v;|CS2

[3^'=ip'^if^g

I^Bodi^ coordinate si^stems— Position IShow Porl

h

j Orientation! Port Side

Name

Left tJCG Left 1^1 C51 Right |i|cS2

0 0

Orientation Vector

Relative

Units

[0 0 pi/4]

rad

L3

CS World

[0 0 pi/4]

rad

^

[0 0 pi/4]

rad

Specified Using Convention

1 1 |

J

EULERX-Y-Z

1^1

World

|J

tSlv/orld

J

EULERX-Y-Z EULERX-Y-Z

m\ dl

Bild 7.9: Ausschnitte aus der Parameter-Box zu Arm 1

Die in Bild 7.7 eingefuhrten Scopes zeigen also unmittelbar die relativen Drehwinkel A(p2, A(p3 an. Mit dem Schnittbild in Bild 7.8 lasst sich das statische Gleichgewicht beziiglich A und B^ anschreiben: ^M(^) = 0= Y^^iBs)

ki2A(p2-k23A(l>3-\-8h{m2-\-2m3)cos{(l)20-\-A(p2)

= 0 = %A(jf)3+m3g-^3COs(-(p30 + A(p2 + A(p3) .

Dies sind zwei nichtlineare algebraische Gleichungssysteme fiir A(p2, Aqh,, die in R o b i D a t e n . m , vgl. auch N e w t o n . p d f , aus [59] mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens gelost werden; es ergeben sich die Gleichgewichtslagen (Acpj -^ Acpjo) und die Gelenkmomente zu: -0.25077 rad,

A(jP30

-0.23019 rad

-^i2A(p2o = 50.1548 Nm,

m

-y^23A(p3o = 3.6830 N m .

Diese Ergebnisse lassen sich mit R o b i . m d l aus [59] nach dem Einschwingvorgang bestatigen. 0.8 0.6 tn

0.4

X

>• 0.2

w-^ -0.2

e & 0.5

1 X-axis

1.5

Bild 7.10: SimMechanics-Visualisierung in der Referenzlage

7.1 SimMechanics Tool

301

Die, um die zeitliche Winkelvorgabe des Endeffektors, erweiterte Modellierung ist im MDL-File RobiAkt [59] gezeigt. 7.1.4

Arbeitsweise des Joint Stiction Actuators

Bin typischer Vertreter eines komplexeren Objekts ist der Joint Stiction Actuator. Anwendungen sind Gelenke mit Reibung, wobei Gleit- und Haftreibungsphasen, also spezielle ereignisgesteuerte Phasen, auftreten. Die Bezeichnungsweise zur Formulierung der ReibgesetzmaBigkeiten unter SimMechanics unterscheidet sich von der der deutschsprachigen Literatur, wie in Abschn. 5.6.5. Zur besseren Abstimmung mit den SimlVleciianics-Komponenten benutzen wir weitgehend die SimlVleciianics-Schreibweise. Bin Bezug u. a. zu Abschn. 5.6.5 ist einfach herzustellen. Der Joint Block Parameters: Joint Stiction Actuator Ertemal Aquation k

Kinetic Friction k

Joint Stiction Actuator Actuates a Joint primitive with stiction force/torque. Locked if static friction remains within range of forward ar . External actuation and kinetic friction require units. Veloc..^ ,.il) units. Base-follower sequence and joint axis determine sign of forward motion. Inputs are Simulink signals. Connect to Joint block to see the Connected to primitive list. Parameters

Fowand Stiction Limit k

Connected to primitive: External force units: Kinetic friction units: Velocity threshold (MKS-SI units):

Anzelge: ohne Verbindung Unknown verbunden mit Block Prismatic P1 Revolute R1

m 1=

Reverse Stiction Limit k Apply Joint Stiction Actuator

Bild 7.11: Joint Stiction Actuators und Prismatic Block sowie zugehorige Dialog-Box Stiction Actuator aus der Library Sensors & Actuators mit seiner Dialog-Box ist in Bild 7.11, woraus auch die Beschaltung hervorgeht, dargestellt. Weitere Information ist der Online-Hilfe bzw. [4] zu entnehmen. Der Actuator ist im Zusammenhang mit einem Schub- bzw. Drehgelenk (kein Kugel-Gelenk, spherical primitive) einzusetzen. Dementsprechend sind die BingangsgroBen Krafte/Momente mit festzuschreibenden Binheiten (MKS- oder SI- Binheiten) in die zugehorigen Dialog-Boxen, wie z. B. in Bild 7.11, einzutragen. Das Objekt des Actuators ist das COULOMBsche Reibgesetz nach Bild 7.12. Die Bxtremwerte der Haftung sind F / , F / {s stiction, / forward, r reverse) beziiglich der Vorwarts- und Riickwartsbewegung. F^ (k kinetic) ist die vorzeichenbehafteteGleitreibungsgroBe. Liegt die Relativgeschwindigkeit v innerhalb des Intervalls [—v^/^, -\-Vth] nach Bild 7.12, dann wird numerisch zwischen Haften und Gleiten entschieden. Die verwendete Schaltstrategie ist der Online-Hilfe zum Joint Stiction Actuator zu entnehmen. Da der Schwellwert (threshold) Vth > 0 von der Integrationsschrittweite abhangig sein muss, ist gleichzeitig die Absolute Tolerance der Integrierereinstellung zu beachten; die Binstellung auto ist somit nicht erlaubt. Anhaltswert: Vfh soUte 10 mal groBer als die Absolute Tolerance gewahlt werden. Zur Brlauterung der Beschaltung des Joint Stiction Actuators betrachten wir wieder den Binmassenschwinger nach Bild 7.3, wobei in den Kontaktpunkten B/B eine Reibkraft mit dem Gleitreibungskoeffizienten }i =0,8 und dem Haftreibungskoeffizienten JUQ =1,5 wirken soil. Die Binstel-

302

7 Physikalische Modelle unter Simulink® Kraft/Moment Ti

n

Riickwarts-Bewegung (r)

+Vth

-Vth

Ff

I I I .

V

Vorwarts-Bewegung (/) Fk

Bild 7.12: Reibelement des Joint Stiction Actuators mit Bezeichnungen

lungen der Dialog-Box in Bild 7.11 iibemehmen wir. Die Eingangssignale des Actuator Block • Kinetic Friction F^ = jimg • Forward Stiction Limit F / = —jiomg • Reverse Stiction Limit F / = +jUo ^ g sind eindeutig. Die beiden restlichen Signale sind von der Modellierung der Maschine abhangig. Deshalb erlautern wir zunachst den External Actuation Eingang Fext, woriiber sich auch andere als Reibkrafte/momente aufschalten lassen. Bezuglich unseres Beispiels konnen wir, wie gezeigt, die Kraft aus der Anregung f{t) und der des Feder-Dampfer-Elements iiber den Body Actuator Block direkt auf den Body Block legen, so dass dann Fext = 0 ist. D. h. neben den Relativkraften der Reibung werden keine weiteren vom Joint Stiction Actuator iibergeben. Wir konnen aber auch, ahnlich der 1. Alternativen in Bild 7.5 mit den dort aufgefuhrten Griinden, die SimulinkModellierung der (Relativ-) Kraft Fext = -kx

- dx -\- f{t)

auf den Eingang External Actuation in Bild 7.11 geben. Abhangig von diesen Darstellungsmoglichkeiten ist jetzt die Static Test Friction Ft est zu formulieren. Ftest ist u. a. nach [4] ein MaB fiir Kraft/Moment wahrend der Haftphase F / < Ffest < F/, sie dient der Berechnung des tJbergangs zur Gleitphase innerhalb von [—v^/^, -\-Vth]- Diese Kraft/Momenten-Signale werden nicht zur Integration der Bewegung herangezogen, sie dienen lediglich der Ermittlung von Schaltpunkten, vgl. Abschn. 5.6.5. Wesentlich sind insofem nur die Relationen zueinander. Dies erklart auch, dass diesbezuglich kein Eintrag in der Dialog-Box zu finden ist. Insbesondere fiir Einsteiger ist es jedoch einfacher, sich an die bereits festgeschriebenen Krafteinheiten z. B. von Fk zu orientieren. In unserem sowie in den meisten Reibmodellen kann Ftest = Fs gesetzt werden. Fs ist die statische Haftkraft und liegt demnach auch in [ F / , F[], WOZU die Relativbeschleunigung x = a = 0 und -geschwindigkeit x = v = 0 gehort. f r

Fs ' und Ftest konnen von den Systemzustanden und/oder der Zeit t abhangen; vgl. auch Demo-Beispiel: Double Pendulum with Stiction, m e c h _ d p e n _ s t i c k y . mdl. Fiir unser einfaches Beispiel lasst sich Fs aus der als bekannt vorausgesetzten Bewegungsglei-

7.1 SimMechanics Tool

303

chung mx^

dx^kx

- f(t) - \

'

= 0

fur V = 0 J ^ fur V 7^ 0

(7.1)

mit der Gleitreibungskraft (kinetic friction) F^ = —jlmg sign(v) und der Haftreibungskraft (static friction) Fs ermitteln. Aus (7.1) folgt fiir v = 0, x = a = 0 unmittelbar Fs = kx-

f{t).

(7.2)

Bei komplexeren Systemen, z. B. mit mehreren Reibelementen, ist dies nicht mehr so einfach zu durchschauen und auch nicht erstrebenswert. Um die Vorgehensweise zu verallgemeinem, greifen wir deshalb auf errechnete Gelenkkrafte, die als Simulink-Signale am Joint Sensor Block anliegen Computed force/torque Reaction force/torque

Fc (eigene Bezeichnung) FRe = (/x, fy, fz)Re,

zurlick. Dabei ist Fc hier die auf F gegeniiber B bezogene Kraft in Richtung der prismatischen Fuhrung (prismatic axis). Sie wird vom Joint Stiction Actuator erzeugt. Fiir die beiden Modellie-

iiH dx -\- kx

m - ^

mg

direkt

FM

I

iiH

m

FC = FR

^

mg

indirekt

I

m

Fc =

FR^f{t)-dx-kx

FM

Bild 7.13: Schnittbilder zur direkten (Fext = 0) und indirekten (Fext 7^ 0)Kraftaufschaltung

rungen mit direkter {Fext = 0) und indirekter {Fext 7^ 0) Kraftaufschaltung sind die Situationen in Bild 7.13 in Form der Schnittbilder dargestellt. Danach folgt fiir die direkte Modelliemng unmittelbar Fc =

{i-{

FR

kx - fit) —llnig sign(v)

J fiir V = 0 1^ furv^ 0

(7.3)

'

d. h. Fc entspricht der Reibkraft FR im Haft- und Gleitbereich. Insbesondere ist Fc = Fg in [—v,/,, +Vth\- Beziiglich der indirekten Modellierung lesen wir aus Bild 7.13 ab: FR =

<

PI

=Fc + dx + kx-

fit)

=Fc-

f fiirv = 0 Fe„ \ furv7^0

'

(7.4)

so dass insbesondere Fs = Fc - Fext

fiir V = 0, a = 0 .

(7.5)

304

7 Physikalische Modelle unter Simulink®

Resultat: In jedem Falle lasst sich also die Haftreibungskraft (static friction) Fs = Ftest aus der berechneten Kraft Fc oder der entsprechenden Komponente der Reaktionskraft FRe (siehe Joint Sensor) und der am Actuator angelegten externen Kraft Fext erzeugen; es gilt (7.5). Anregung u n d F e d e r - D a m p f e r - E l e m e n t direkteKraftaufschaltung

,(t) Gaini

I

Hj IC

^^Signa,^^

Anregung From?

nioo]U

•d cs;^si

H I

I ^^

L—<
Feder

fur indirekte Aufsch.

FromS

X, xp = V, x p p = vp = a

<3 {^ •<3

- K

'••-d^l

laJ I

Goto1

direkte Aufsch.

^^^^^

EH

Goto2

Fr|

•^F_Re]|

direkt

^

-<3

Reverse limit Forward limit Friction force

FromS

Manual Switchi

Actuator

External Actuation

|[F_Rej)

indirekte Aufschaltung

Joint 1 Stiction Model

From6

J

•

Bild 7.14: SimMechanics-Modell des Einmassenschwingers mit Reibung bei direkter und indirekter Kraftaufschaltung

-CD

External Actuation



Kinetic friction

Kinetic Friction

In1

Gleitreibungskoeffizient

r—~r

Foward Stiction Limit!

Forward limit

Haftreibungskoeffizient

•

CZ>-

Reverse Stiction Limit

"1

J Reverse limit

Joint Stiction Actuator


^

Friction force

X

^ ^

<

mu_0 Haftreibuns

L_LJ^

Bild 7.15: Reibkraft-Actuator zum Einmassenschwinger mit Reibung Beide vorgestellten Modellierungen sind in dem in Bild 7.15 dargestellten Blockdiagramm wiedergegeben. Die jeweilige Modelliemng ist durch die beiden Manual-Switch-Schatterstellun-

7.1 SimMechanics Tool

305

gen auszuwahlen. Es miissen stets beide Schalterstellungen geandert werden! Bild 7.16 zeigt ein 0.51

^

<

<

<

0

-0.5

1 Zeit t [s]

Bild 7.16: Zeitverlaufe: Position x{t), Geschwindigkeit v(^), Beschleunigung a{t) zum Reibschwinger Ergebnis in Form der Zeitverlaufe. Danach treten Stick-Slip-Bewegungen auf, d. h. Haft- und Gleitreibungsphasen wechseln sich ab. Der Korper verharrt in den Umkehrpunkten von x{t) zeitweilig in der gleichen Position. Ahnliche Ergebnisse haben wir schon in Abschn. 5.6.5, 5.6.5.3 diskutiert. tJbungsvorschlag: Das Modell des Einmassenschwingers ohne/mit Reibung ist durch ein am Quader angebrachtes Pendel mit quadratischem Querschnitt (Kantenlange: ap = 0,01 m), der Pendellange von Ip = 0,5 m und der Pendelmasse nip = 0,5 kg zu erganzen. Hilfestellung in: M l _ p e n d e l _ s m . m d l [59]. 7.1.5

Visualisierung und Animation der Maschine

Neben den iiblichen grafischen Darstellungen unter MATLAB/Simulink steht eine zusatzliche Moglichkeit im SimMechanics Visualisierungs-Fenster nach Bild 7.17 zur Verfiigung. Es konnen auf der Basis der in der Body Dialog-Box festgeschriebenen Korperpunkte sowie der Masseeigenschaften die Korper der Maschine automatisch dargestellt werden. Dabei wird zwischen statischer Darstellung, bei der sich die Auswirkungen z. B. der Maschinenparameter unmittelbar beobachten lassen und der Animation dieser Darstellung wahrend der Simulation unterschieden. Die Visualisierungsart wird im Rahmen der Maschinen-Konfiguration in der Machine Environment und Simulation/Configuration Parameters Dialog-Box eingestellt: Z. B. erfolgt dies zunachst in der Machine Environment Box, wo das Feld Visualization zu aktivieren ist. tJber den Button Open Configuration Parameters gelangt man zur zugehorigen Dialog-Box in der unter SimlVlechanics/Visualization zwischen • Update machine visualization on update diagram • Animate machine during simulation ausgewahlt werden kann. Im ersten Fall werden die Korper der Maschine statisch im SimlVlechanics Visualisierungs-Fenster dargestellt, siehe Bild 7.10. D.h. Parameteranderungen oder hin-

306

7 Physikalische Modelle unter Simulink® Machine for model: Ml sm Visu

Bild 7.17: SimMechanics Visualisiemngsfenster mit unterschiedlichen Abbildungen des Quaders zufUgen von Korpern wird wahrend der Modelliemng angezeigt. Hierzu ist das Fenster durch Update Diagram im Simulink-Edit-Menii (oder Ctrl+D) oder mit dem zugehorigen Button in der Meniileiste des Visualisiemngsfensters nach Bild 7.17 zu offnen und nach jeder Komponentenund Parameteranderung zu aktualisieren. Diese Art der Vorgehensweise ist eine gute Kontrolle der parallel laufenden Modelliemng insbesondere bei komplexen Modellen. Es konnen eine oder beide Visualisierungsmoglichkeiten gleichzeitig ausgewahlt werden. Entscheidet man sich nur fiir die Animation, dann wird das Visualisiemngsfenster bei Simulationsstart automatisch geoffnet. Die Animation erhoht die Rechenzeit erheblich. Weitere Visualisiemngseigenschaften einschlieBlich des Simulationsstarts sind in der MeniiLeiste des Visualisiemngsfensters, wie in Bild 7.17, zu finden. Dazu gehort auch die Abbildungsart der Korper. Hier wird zwischen • Equivalent ellipsoids basierend auf der Masseeigenschaft und der Schwerpunktslage (Tragheitsellipsoid) • Convex hulls basierend auf den Korperkoordinaten (CSs) - vgl. Body Dialog-Box -. unterschieden. Die Darstellung des Tragheitsellipsoids mit dem Haupttragheitsmoment des Korpers sowie den Tragheitsradien als Hauptachsen ist nur bei angenahert gleichen GroBenordnungen der Tragheitsmomente aller Korper der Maschine iibersichtlich. Unter Convex hulls Abbildungen werden die vorgegebenen korperfesten Punkte (CSl, CS2,...) als 2D- bzw. 3DAbbildungen - Linien, Flachen, Volumen - markiert und untereinander verbunden. Dadurch entstehen wahlweise Gitter- oder ausgefiillte Flachenmodelle, die alle Korperpunkte umschlieBen. In Bild 7.17 ist der Quader des Einmassenschwingers in den beschriebenen Abbildungen dargestellt. Zusatzlich lassen sich u. a. Schwerpunkte * und Koordinatensysteme l^li ein- und ausblenden. Darliber hinaus kann die Animation im AVI-Format ^ abgespeichert und somit von MATLAB unabhangig vorgefiihrt werden. Eine realistischere Wiedergabe der Korper ist mit der Virtual Reality Toolbox erreichbar. Beliebige virtuelle Welten konnen geschaffen werden.

7.1 SimMechanics Tool 7.1.6

307

Einige mathematische Aspekte

Wir woUen auf einige gmndlegende Aspekte zur numerischen Behandlung von mechanischen Mehrkorperproblemen im Zusammenhang mit SimMechanics insbesondere beziiglich der einzustellenden Parameter eingehen. Einen voUstandigeren tJberblick mit den umgesetzten mathematischen Methoden ist in [78] und in der dort aufgefuhrten Literatur zu linden. Einige Probleme und Erfahrungen haben wir bereits in Abschn. 5.4 kennen gelernt. Danach ergaben sich fiir ein mechanisches Mehrkorpermodell differenzial-algebraische Gleichungen vom Index 3, die Bindungsgleichungen bzw. Nebenbedingungen beruhen dabei auf Lageebene. Weiterhin wurde dort erwahnt, dass unter Si mu I ink auBer gewohnlichen Differenzialgleichungen nur eine spezielle Klasse differenzial-algebraischer Gleichungen vom Index 1 und somit Mehrkorpermodelle in der Regel nicht direkt losbar sind. Die erforderliche Index-Reduktion erfolgt nach den in Abschn. 5.4 angegeben Methoden durch Differenziation der Bindungsgleichungen nach der Zeit. Der damit eingehandelte Drift-Effekt und eine diesbezugliche Stabilisierung spielen auch hier eine wesentliche Rolle. Ein mechanisches Mehrkorpermodell besteht aus mehreren massebehafteten starren Korpem, die durch masselose Kraftelemente (Feder, Dampfer oder Stellmotoren) und durch masselose starre Verbindungen (Gelenke, Koppelstangen) miteinander verbunden sind. Grundsatzlich wird zwischen zwei topologischen Typen unterschieden und zwar der Baumstruktur, einem System aus offenen Schleifen und solchen mit geschlossenen Schleifen, vgl. [12], [21], [36], [78]. Unabhangig von der Herleitung konnen beide Falle u. a. nach [78] durch die Bewegungsgleichung in Deskriptorform q=Hv M{q)v = f{t,q,v) + H\q)G'{t,q)X

(7.6)

0=g{t,q) formuliert werden, siehe auch Abschn. 5.4. Dabei ist der kinematische Zusammenhang zwischen der zeitlichen Ableitung der Struktur- bzw. Konfigurationsvariablen q und der Geschwindigkeitsvariablen v durch (7.6)i hergestellt. In vielen Anwendungen ist H die Einheitsmatrix, so dass (7.6) 1 eine Identitat darstellt. Dies kennen wir von der Erzeugung der Standardform zur Integration gewohnlicher Differenzialgleichungen. Die Differenzialgleichung (7.6)2 beschreibt die Dynamik des Systems. M ist die positiv-definite Massenmatrix, / der Vektor der Zentrifugalund Coriolis-Krafte/Momente einschlieBlich der auBeren Anregungen. Der letzte Term auf der rechten Seite von (7.6)2 enthalt die Anteile der Reaktionskrafte infolge der Kinematik. A reprasentiert den Vektor der LAGRANGEschen Multiplikatoren. SchlieBlich beschreiben (7.6)3 die kinematischen Bindungen, die die Bewegung einschranken. Die explizite Zeitabhangigkeit von g erlaubt z. B. die Einarbeitung zeitabhangiger Antriebselemente. Die Struktur insbesondere von M und g hangen im hohen MaBe von der Koordinatenwahl ab. Viele kommerzielle Software-Pakete fiir Mehrkorpersysteme (u. a. ADAIVIS) benutzen eine Formulierung in Absolutkoordinaten. D. h. jeder Korper des Systems hat zunachst sechs Freiheitsgrade. Die Einschrankung der Bewegung, z. B. infolge von Gelenken, wird durch die zugehorigen Bindungsgleichungen festgeschrieben. Das Ergebnis ist ein System mit vielen Strukturvariablen. Redundanzen in den Koordinaten werden durch einfach aufgebaute Bindungsgleichungen be-

308

7 Physikalische Modelle unter Simulink®

riicksichtigt. Man erhalt ein groBes System von differenzial-algebraischen Gleichungen mit einer sparlich besetzten Massenmatrix (Sparse-Matrix). Diese Sparse-Besetzung und der einheitliche Aufbau der Bewegungsgleichung wird softwareseitig konsequent ausgenutzt. In SimMechanics wird diese Strategie nicht verfolgt. Man benutzt eine Formulierung mit Relativkoordinaten. Dadurch werden weit weniger Konfigurationsvariablen und Bindungsgleichungen benotigt. Nachteilig ist die dicht besetzte Massenmatrix und die komplexer aufgebauten Bindungsgleicliungen. Wie schon erwahnt, werden in SimMechanics gesclilossene Sclileifenstrukturen durcli Aufschneiden geeigneter Gelenke in solclie mit offener Schleifenstruktur uberfulirt, was zusatzliche SchlieBbedingungen erfordert, so dass sich mathematisch wieder das Verhalten des Ausgangsystems ergibt. Dies kann automatiscli oder iiber den User erfolgen. In jedem Falle liegt ein Index-3-Problem vor, welches fiir eine Behandlung unter Simulink zunachst auf ein gewohnliches Differenzialgleichungssystem zuriickzufuhren ist. Wie in Abschn. 5.4 gezeigt, werden hierzu die Bindungsgleichungen mehrfach nach der Zeit differenziert. Den weiteren Ablauf kann man in zwei Schritte unterteilen. In dem ersten Schritt wird fiir (7.6) ein explizites Differenzialgleichungssystem aufgestellt. Hierzu existieren unterschiedliche Methoden, die meisten von ihnen sind rekursive Verfahren. Wird die spezielle Struktur der mechanischen Gleichungen, insbesondere die der Massenmatrix M, ausgenutzt, dann wird durch so genannte Order n-Formalismen ein Rechenaufwand erreicht, der nur linear mit der Anzahl n der Korper im System steigt. Anderenfalls wiirde der Aufwand wie rv' anwachsen; vgl. [78]. Im zweiten Schritt wird dann die Integration des expliziten Differenzialgleichungssystem zur Bestimmung der Gelenk-Trajektorien durchgefiihrt. Probleme ergeben sich, wenn der Mechanismus sich in einer nahezu singularen Konfiguration befindet, d. h. Bindungen sind nicht mehr unabhangig voneinander und die Losung X somit nicht mehr eindeutig, es gibt numerische Probleme. Aus diesem Grunde kann der User zwischen zwei numerischen Methoden im Machine Environment Block auf der Seite Constraint auswahlen. Die iiblicherweise eingestellte Methode (default, Feld ist nicht markiert) basiert auf der CHOLESKYZerlegung, die altemativ auszuwahlende auf der QR-Zerlegung. Die erste Methode ist im Allgemeinen schneller, die zweite robuster bei Singularitaten. Sie soUte nur ausgewahlt werden, wenn die CHOLESKY-Zerlegung nicht zum Ziel fiihrt. Ein weiteres Problem ist der durch die Vorgehensweise verursachte Drift-Effekt, siehe Bild 5.18, der auch schon in Abschn. 5.4 untersucht wurde. Unter SimlVJecinanics kann zur Unterdriickung dieses Effektes eine Stabilisierung nach [11] durch hinzufiigen stabilisierender Terme wie in (5.69) und eine Koordinaten-Projektion (coordinate projection) im Environment Block ausgewahlt werden. Bei der Projektionsmethode wird nach jedem Integrations schritt die numerische Losung auf die Bindungen in Lage- und Geschwindigkeitsebene zurilckprojiziert, wodurch diese im Rahmen einer vorgegebenen Toleranz verbessert werden kann. Die Stabilisierungs-Methode ist schneller und ab Version 2 somit fiir eine Echtzeitverarbeitung geeignet, sie verfalscht allerdings die Dynamik des Ausgangssystems. Die Koordinatenprojektion ist, entsprechend einer vorgegebenen Toleranz, genauer. Fiir die Simulation (Vorwartsdynamik) ist also unter SimMechanics die Bewegungsgleichung (7.6) in ein explizites, gewohnliches Differenzialgleichungssystem zu iiberfiihren und mit einem gewahlten Integrator zu losen. Im Falle der inversen Dynamik gestaltet sich die Aufgabe erheblich einfacher. Ausgehend von einer festgelegten Bewegung (Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung) sind die zugeordneten Reaktionen (Gelenk-Krafte/Momente) zu ermitteln. Dies fiihrt auf ein algebraisches Problem.

7.2 Anwendungen und Ausblick

309

Ereignisse in Form von Unstetigkeiten, wie in Abschn. 5.6 behandelt, lassen sich unter SimMechanics unmittelbar nur im Rahmen des Joint Stiction Actuator bearbeiten. Die Modellierung als Simulink-Modell aucli unter Einbezug des Stateflow Tools gilt weiterhin uneingeschrankt.

7.2

Anwendungen und Ausblick

In Abschn. 8.4 sind Modellierungen zum Hebelmechanismus einer Pkw-Klimaanlage und in Abschn. 8.5 zum Dreifachpendel nachzulesen. Darliber hinaus wird mit Dreh_SimMech.mdl in [59] ein Drehschwinger modelliert. Die Ergebnisse sind denen einer konventionellen Methode auf der Basis von Bewegungsgleichungen gegeniibergestellt. Mit dem SimMechanicsModell r e i b _ 1 2 s m aus [59] kann der Schwinger mit einem Reibkontakt nach Bild 5.31 aus Abschn. 5.6.5 simuliert werden. In jedem Fall erwies sich das SimMechanics Tool als eine sehr sinnvoUe Erganzung und Alternative fiir komplexere Modelle mittleren AusmaBes, insbesondere im Zusammenhang mit regelungstechnischen Komponenten. Erweiterungen zu MultidomanModellen mit den Tools SimPowerSystems, SimDriveline, SimHydraulics sind sehr vielversprechend. AbschlieBend woUen wir an das Modell des Zweimassenschwingers mit zwei Reibkontakten aus Abschn. 5.6.5.3 ankniipfen und hierfiir ein SimlVlechanics Modell erstellen. Die skriptorientierte Realisierung mit r e i b _ 3 4 .m aus [59] stellte sich als sehr anspruchsvoU heraus. Nutzt man die Bemerkungen zum Joint Stiction Actuator in Abschn. 7.1.4, dann bereitet die Modellierung nach Bild 7.18 des Block-Modells r e i b _ 3 4 sm. mdl aus [59] keine Probleme. x_2, xp_2 Scope

1-

ru

ic

IC

IP

C G ^ C S I U-

Prismatid

|

1

Body

[xp_1] Goto4

•acG®

1

'-><^

V

w

•^-•
><][xP-12_reir|

Goto1

[ix^2J>^3cope6

B^

I

r

Joint Sensor2

Reverse limit Forward limit Friction force Joint 2 Stiction Model2

. ftT Be dy Sens Dr1

H^ i-l^ H^ Scopes

Reverse limit Forward limit Friction force Joint 1 Stiction IVIodell

Bild 7.18: Modell zum Reibschwinger aus Abschn. 5.6.5.3 mit zwei Reibkontakten Numerische Ergebnisse Wir fiihren Simulationen zu den Beispielen 3 und 4 mit den Parametem nach Tabelle 5.9 durch. Fiir Beispiel 3 betrachten wir ausgehend von den Anfangswerten xi(0) = 0, X2(0)=0, jei(0)=0.1, i:2(0) = -0.1 den Einschwingvorgang fiir 0 < ^ < 16. Die Ergebnisse sind in Bild 7.19 dargestellt. Gegeniiber

310

7 Physikalische Modelle unter Simulink®

ni/^rN 6

8 10 Zeit t [s]

12

•xpp^

-xpp.

14

16

Bild 7.19: Beispiel 3: Einschwingvorgang des Zwei-Massen-Reibschwingers mit zwei Reibkontakten dem Modell mit einem Reibkontakt nach Abschn. 5.6.5 ist die jetzige Situation wesentlich vielfaltiger. Es existieren in kurzen Zeitintervallen mehrere Ereignispunkte, welche insbesondere in den Beschleunigungsverlaufen zum Ausdruck kommen. Dem Beispiel 4 liegen die Anfangswerte

Bild 7.20: Beispiel 4: Phasendiagramme der periodische Schwingungen des Zwei-MassenReibschwingers mit zwei Reibkontakten XI (0) = 4 . 5 2 5 4 0 0 9 6 8 6 6 8 0 8 1 ^ - 0 0 1 ,

X2(0) = 4 . 7 5 6 6 5 4 7 6 5 6 5 8 9 9 3 ^ - 0 0 1

i i ( 0 ) = 1.671443845733659^ + 000,

JC2(0) = 1.671443845733659^ + 000 ,

die einer periodischen Schwingung geniigen, zu Grunde. Die Schwingungen mit der Periodendauer r = 1 s sind als Phasenkurven Xj{xj) sowie Xj{xj) in Bild 7.20 dargestellt. Einerseits treten die bereits erwahnten Knicke in den Geschwindigkeitsverlaufen, andererseits die Spriinge in den Beschleunigungsverlaufen auf. Die Ergebnisse entsprechen denen aus Abschn. 5.6.5.3 mit r e i b _ 3 4 . m.

8

Projekte

Anhand einiger Projekte ausgewahlter Modelle wollen wir die bisherigen Gmndlagen und deren Anwendung vertiefen. Jedes Projekt beginnt mit einer Aufgabenstellung, der einige modellspezifische Aufbereitungen folgen. Darauf aufbauend wird es moglich, einzelne/alle Projektpunkte selbststandig zu erarbeiten oder dem hier eingeschlagenen Losungsweg zu folgen. Dieser beinhaltet die erforderlichen theoretischen Gmndlagen sowie wesentliche programmtechnische Umsetzungen. Aus Platzgriinden konnen nur einzelne Programmausschnitte abgedruckt werden, die voUstandigen Programme stehen online unter www . t e u b n e r . d e auf der Homepage zum Buch [59] zur Verfugung. Damit konnen alle Berechnungen nachempfunden werden. Eigenstandige Parameterstudien ohne/mit AnderungenA^erbessemngen sind durchfUhrbar. Einzelne Programmteile las sen sich in eigene Projekte ubemehmen oder regen zur Programmierung vorliegender Probleme an. Aus Platzgriinden musste das Projekt: Dynamik des Levitron-Kreisels [25], [22], [39], [44], welches im Wesentlichen die rechnerorientierte Aufbereitung einer linearen Bewegungsgleichung sowie die Stabilitatsuntersuchung mittels Eigenwertbestimmung enthalt, ausgelagert werden. Es ist in der Programmsammlung zu Kapitel 8 in [59] unter L e v i t r o n . pdf abgelegt. Die Zuordnung der Programme und schlagwortartige Inhaltsangaben werden stets in den Kopfzeilen zum jeweiligen Projekt angegeben. Damit kann gezielt speziellem Interesse nachgegangen werden.

8.1

Permanentmagnet gelagerter Rotor

Schlagworte: Simulink-Modelle, Modellbeschreibung, instabile Strecke, Spulenmodell, aktive Stabilisierungy unstetiges Anschlagmodell, Reglemuslegung, Regie rums chaltung Programme: Mag_Rotpd.mdl, Mag_Rotpidy.mdl, Mag_Rotpidi.mdl, Mag_Rotpidsub.mdl, Mag_RotD.m, Mag_RotG.m, Mag_Rotpidya.mdl, Mag_pidyb.mdl

Sensor verlauf

Stator

"^

f 1 I

Leistungsschalter Spulen

L

R

i Strommessung Magnet- ^ ^ Ring I

//////////////////.

Spulen Stator

Bild 8.1: Modell der Rotorlagemng und der Leistungselektronik

312

8 Projekte

Fiir das Modell des magnetisch gelagerten Rotors mit permanentmagnetischer Radiallagerung nach Bild 8.1 soil eine aktive Stabilisierung der Axialbewegung entworfen und das Schwingungsverhalten insbesondere beim Abhebevorgang aus der oberen bzw. unteren Lagerbegrenzung unter Simulink simuliert werden. Auf der Basis der in Abschn. 8.1.1-Abschn. 8.1.4 vorgestellten Systembeschreibung und Modellierung zur Axialbewegung mit elastischer Lagerbegrenzung sowie der aktiven Ablenkspule mit idealem Verstarker sind folgende Punkte zu bearbeiten: 1. Aufbauend auf dem vorgestellten Streckenmodell ist ein Zustandsregler-Entwurf, d. h. mit voUstandiger Riickfuhrung von y = {y^y, i)^ mittels Polvorgabe und LQ-Algorithmus vorzunehmen. Fiir die Systemparameter und die Reglerauslegung ist ein M-File anzulegen. 2. Entwurf des Simulink-Modells beziiglich des Rotors und des Spulensystems sowie des Reglers in Form eines Subsystems. Simulieren Sie Abhebevorgange, wenn der stehende Rotor sich in der unteren bzw. oberen Lagerbegrenzung befindet. Anhaltswert: 0
8.1.1

4,6 kg 3,4 Ohm 26,875 mH 32,23 N/A 6.255 1,25 10^ N/m 43,77 10^ N/m 124 10-6 m

Systembeschreibung

Zunachst stellen wir das Lagerprinzip eines radial permanentmagnetisch (passiv) und axial elektromagnetisch (aktiv) gelagerten Rotors nach Bild 8.1 stichwortartig vor. Wahlen wir fiir die gegeniiberliegenden Permanentmagnetringe des oberen und unteren Lagers ungleichnamige Magnetpole, dann entsteht eine anziehende Axialkraft; der Rotor legt sich je nach anfanglicher axialer Stoning oben oder unten an die Lagerbegrenzung an. Dabei nimmt die anziehende Kraft mit enger werdendem Spalt zu. Im Gegensatz zu dieser destabilisierenden Kraft kommt es bei einer radialen Rotorauslenkung zu einer stabilisierenden Kraftkomponente (passives stabiles Gleichgewicht). In Richtung des Flusses bedarf es also einer aktiven Stabilisierung der Axialbewegung.

8.1 Permanentmagnet gelagerter Rotor

313

Turbomolekularpumpe (S chnittdarstellung) Bild 8.2: Magnetisch gelagerter Rotor einer Turbomolekularpumpe; Leybold, Koln

Die aktive Stabilisierung erreicht man dadurch, dass dem Fluss der Permanentmagnete ein in Abhangigkeit von der Rotorauslenkung y und dem Spulenstrom / geregelter Fluss eines elektrischen Spulensystems iiberlagert wird, so dass die in Flussrichtung wirkende Kraft mit zunehmender Spaltweite nicht mehr abnimmt sondern ansteigt. Um dies zu erreichen, sind die obere und untere Spule in Bild 8.1 hintereinander geschaltet, so dass in Abhangigkeit von der Stromrichtung z. B. im oberen Lager eine Verstarkung und im unteren Lager eine Abschwachung der Flussdichte und somit eine resultierende Kraft in Richtung von y erzeugt wird. Bei entgegengesetztem Stromfluss dreht sich die Kraftrichtung um. Eine Stabilisierung erreichen wir somit durch eine gezielte Ansteuerung der Schalter des Leistungsteils in Bild 8.1. Der Lastkreis, d. h. die Spulen, werden abwechselnd an die Spannung UM = ± ^ M gelegt. Der Mittelwert der Spannung UM wird durch das Verhaltnis der Einschaltdauer der Schalterpaare, d. h. das Pulsweiten-Verhaltnis der am Lastkreis liegenden Rechteckspannung, gesteuert. Dies kann mit Hardware-PWMs sowie mit MikrokontroUem oder speziellen Signalprozessoren realisiert werden. 8.1.2

Rotor- und Magnetmodellierung

Die Rotorauslenkung y{t) betrachten wir aus der Spaltmitte, die gleichzeitig der Kraftmittelpunkt der Magnetanordnung sein soil. Die destabilisierende Permanetmagnetkraft sei linear abhangig von y und somit liber die Federsteifigkeit kpm zu beschreiben. Die Axiallagerbegrenzung sei elastisch mit der Steifigkeit k^. Die Kraftverhaltnisse aus Permanentmagnetlagerkraft und Lagerbegrenzung sind in Bild 8.3 veranschaulicht. Die Krafte der Schwebe- und Lagerkontaktphase lassen sich dann wie folgt formulieren:

f{y)

l^pmy

-kpmy-\-k^{y--Jm^xsigny)

fur fiir

-yn


(8.1)

Fiir die Magnetspulen wahlen wir das einfache Modell nach Bild 8.4 aus OHMschem Widerstand R sowie weg- und frequenzunabhangiger Induktivitat L (L=const.). Die axialen Krafte der symmetrischen Rotoraufhdngung lassen sich aus der Differenz der Felddriicke an den Rotorenden berechnen. Damit lauten die Bewegungsgleichungen des Rotors vom Gewicht mg sowie des Spulenmodells

314

8 Projekte

Lagerkrafte Kontaktkrafte

Bild 8.3: Destabilisierende Lagerkrafte und Kontaktkrafte

my-\- f{y) =

-kMi-mg

(8.2)

L{i)'-\- Ri = UM'

Die stromdurchflossenen Spulen erzeugen die auf den Rotor wirkende Kraft kMi, die Permanentmagnete die Kraft kpmy nach (8.1). Unberiicksichtigt blieben bei der Modellierung: Kopplung zwischen Radial- und Axialbewegung, weg- und frequenzabhangige Spuleninduktivitat, Spulenkapazitat, Nichtlinearitat der Permanentmagnete, Dynamik der Sensorkreise, Filter zur Signalglattung (u. a. RC-Filter fiir WM-Glattung) usw. I

UM

L

1 1

R

1 1

Bild 8.4: Spulenmodell

8.1.3

Die aktive Stabilisierung, Reglerstrukturen

Fiir die Stabilisierung des aus einer mechanischen und elektromagnetischen Teilstruktur zusammengesetzten Systems bieten sich die in Bild 8.5 angegebenen beiden Reglerstrukturen an. Wir woUen sie kurz besprechen. Die Rotorlage und der Strom werden messtechnisch erfasst, die Sensordynamik bleibt aber unberiicksichtigt; die Verstarkungen setzen wir zu eins. Der Kaskadenregler, Bild 8.5oben besteht aus dem Lageregler {iy) und dem intemen Riickkopplungsregler (innere Regelschleife, Hilfsregler), dem Stromregler {ut). Der Lageregler berechnet den zur Rotorstabilisierung erforderlichen Strom iy. Die innere Regelschleife regelt diesen Strom und steuert die Leistungselektronik, um die erforderliche Spannung fiir die Magnete zu erzeugen; kurz Stromregler. Man spricht auch von einem stromgesteuerten System, wobei der Stromregler wesentlich schneller als der Lageregler ausgelegt werden muss. Dieser Reglertyp ist in der Industrie insbesondere wegen seiner geringen Storempfindlichkeit und der guten Einstellmoglichkeit (Tuning) sehr verbreitet.

8.1 P e r m a n e n t m a g n e t gelagerter Rotor

^f +

LageRegler

ys

+

/y ' tV

StromRegler

Ui

1

UM

elektn

is

Lage-

Leistungs-

1

Sensor

Magnet

Rotor

Magnet

Rotor

315

i

StromSensor

y

^f

+ Regler

U

Leistungs-

1

UM

elektn

is

1

Strom-

i

Sensor

AusgangsgroBen-Regler LageSensor

Bild 8.5: Zwei Reglerstmkturen

Bei der zweiten Regelstrategie, dem AusgangsgroBenregler nach Bild 8.5unten, erfolgt die Stabilisierung iiber ein einziges Stellgesetz u. Es kann die Form eines PD, PID oder Zustandsreglers mit/ohne I-Anteil haben. Dabei gehen wir davon aus, dass die zeitliche Ableitung von y bzw. js durch einen Differenzierer oder Beobachter rekonstruiert oder sogar gemessen wird. Man spricht von einem spannungsgesteuerten System.

8.1.4

Das kontinuierliche Modell

Wir werden hier den zweiten Reglertyp zu Grunde legen. Dariiber hinaus ersetzen wir die Leistungsstufe durch einen idealen Leistungverstarker. D. h. wir ersetzen den entsprechenden Block in Bild 8.5unten durch ein Proportionalglied mit dem Proportionalfaktor ki, so dass UM

^

(8.3)

kiu

Der Verstarkungsfaktor der Leistungsstufe ist nach Tabelle 8.1 ^/ = 6,255. Mit diesen idealisierten Modellkomponenten wollen wir mittels Zustandsregler ohne/mit IAnteil (auch kurz nach seinem Verhalten PD/PID-Regler genannt) eine aktive axiale Rotorstabilisierung erreichen. Dabei sind drei ausgezeichnete Betriebszustande mit den stationaren Gleichgewichtszustanden fiir r ^ oo 37(00) ^ 0 A /(oo) ^ 0,

y{oo) ^ 0 A i{oo) ^ 0 bzw. y{oo) ^ 0 A i{oo) -^ 0

realisierbar. Dies erreichen wir mit den Stellgesetzen

8 Projekte

316

1.

37(00)A/(oo) ^ 0 :

u=

2.

3;(oo) ^

Uy = -kpj - kdj -k

3.

iH^O:

0:

-kpy-kjy-kpii

u, =

8.1.5

Reglerentwiirfe

8.1.5.1

Zustandsregler

ydtkp '^pi''

(8.4)

-k^-k^-kuji6t-k,a.

Wir woUen zunachst nur den Fall y{^) A i{oo) ^ 0 verfolgen. Basis des Entwurfes ist somit eine voUstandige ZustandsrUckfuhrung ohne integralem Anteil. HierfUr gilt die Zustandsgleichung (ohne FiihrungsgroBe) y y

(0r ys ys

0

1

m

0 0

0 =

I ^'

% 0 0

0 ksy

0

0 m R L

y y i

+

0 0 kj_

L L J

" 0 " u-\- 1 ifw-mg) m 0

0 1 0

(8.5)

(8.6)

ks.

mit der Lagerkontaktkraft nach (8.1) fw(y)

=kw{y-Jm«jcSign(j))

fur

-ymax

>y>yrr

Oder kurz z = Az-\-Bu-\-Vv y=Cz^

(8.7)

Einfachheitshalber setzen wir weiterhin in (8.6) die Sensorverstarkungen L , ks- zu 1. Das Stellgesetz lautet: -Kz,

(8.8)

wobei der Reglerentwurf sich auf die ungestorte (v = 0) Bewegungsgleichung (8.7) bezieht. VoUstandige Steuer- und Beobachtbarkeit folgt aus der Anschauung. Einen numerischen Nachweis erhalten wir iiber den Rang der Steuerbarkeitsmatrix Co bzw. Beobachtbarkeitsmatrix Ob Co=rank (ctrb (A, B) ) ; Ob=rank (obsv (A, C) ) ; MATLAB-Auf r u f . Aus der Vielzahl der Regler-Entwurfsmethoden woUen wir drei aus der Control System Toolbox heranziehen, die auf zwei unterschiedlichen Bewertungen basieren. Auf die Algorithmen konnen wir dabei nicht naher eingehen; vgl. [1], [36], [45], [46]. Wir beschranken uns auf die Function-Aufrufe:

8.1 Permanentmagnet gelagerter Rotor

317

• Polvorgabe (Polzuweisung, pole placement): K = place (A, B, p) Die Routine aus [41] errechnet die Regler-Matrix K fiir (8.8), so dass die Eigenwerte von (A — BK) denen von p entsprechen. In Bezug auf einen erforderlichen P- und D-Anteil sind die Eigenwerte in p zu wahlen; z. B. p = (-520 + /20; - 5 2 0 - / 2 0 ; -750)^^,

i=

^/^,

Alternativ kann fiir Single-Input-Systeme der Algorithmus von ACKERMANN [1] genutzt werden K = acker (A, B, p) • Optimaler Zustandsregler (LQ-Regelung, RICCATI-Regler, Linear Quadratic Regulator): Der Reglerentwurf wird mit Hilfe eines integralen Gutekriteriums (cost functional, performance index) /=

{z^Qz-\-u^Ru-\-2z^Nu)dt

(allgemein)

mit zu wahlenden Bewertungsmatrizen jg, /?, N ausgefuhrt. Dieser Entwurf bewertet also die Stell- und ReglergroBen kontinuierlich iiber das gesamte Zeitintervall beziiglich z und u. Die Bewertungsmatrizen werden praktisch als Diagonalmatrizen angesetzt. Der MATLABAufruf lautet [K, S, E] = lqr(A, B, Q, R, N) ;0 vgl. auch lqr2, Iqry, dlqr (zeitdiskret). Ausgang der Routine ist die Reglermatrix K, die Losung S = S^ der RICCATI-Gleichung - vgl. [36], [46] und Online-Hilfe - und die Eigenwerte E des geschlossenen Kreises. Der auf (8.7) basierenden Programm-Code - Ausschnitt des Datenfiles Mag_RotD . m - geben wir an. % %

Reglerauslegung I) Zeitkontinuierliche Iqr-Auslegung Q=[.l 0 0 ;0 .1 0 ; 0 0 10]; % Bewertungsmatrizen RR=1; N = [0; 0; 0]; [K,S,E] = Iqr(A,B,Q,RR,N) % Iqr-Algorithmus

%

II) Polvorgabe p=[-520+i^20; -520-1^20; -750]; [Kp,prec,message] = place(A,B,p) Ka=ac]cer (A, B, E)

% Pollagen % Algorithm, nach KAUTSKY % Algorithm, nach AcJcermann

Z. B. liefert der Iqr-Algorithmus die Reglermatrix K = [ -4.2670e+005 -8.1530e+002 7.1625e+000 ]

8 Projekte

318

8.1.5.2

Regler mit Integralanteil

Die Koeffizienten der Integralanteile kt, ku in (8.4) konnen manuell eingestellt werden, wenn man die dadurch liervorgemfenen Eigenwertverschiebungen kontrolliert, z. B. durch das Einschwingungsverhalten mittels Simulation. Anhaltswerte: kt = —10^, ku = —500, vgl. Bild 8.7. Darliber hinaus ist es moglich, mit Hilfe erweiterter Systemmatrizen neue Reglerentwiirfe u. a. per Polvorgabe durchzufuhren, wobei die Eigenwerte des PD-Verhaltens iibernommen werden. Dies wollen wir fiir die Ermittlung des Integralanteils (kt) beziiglich y, so dass y(oo) -^ 0, zeigen. Zunachst ersetzen wir den I-Anteil im Stellgesetz durch

Q = Jydt, so dass

Q=y

mit dem Anfangswert zur Ruhelage des Rotors (oberer bzw. unterer Lageranschlag) aus Uy{0) = -kpy{0)-kiQ{0)

Q{0) =

=0

--^y{0).

Damit liegt fiir die erweiterte Reglerauslegung ein Differenzialgleichungssystem 4. Ordnung my + f{y) = -kui - mg, L{i)'-\-Ri= kjUy, Q

1

y{0)

k^;

kpm

{Kymax sign(};o) - m g ) , y{0) = 0

/(O) = 0

=y,

2(0)

ki

(8.9)

yo

und das Stellgesetz -kpy - kdy - kQ - kpti,

(8.10)

Uy{0) = 0

vor. Es hat die Matrizenstruktur Zy = Ay Zy -\-ByUy-\-VyV

J (oo)

(8.11)

mit A 1 0 Ky = [K,ki],

0

0 0

B.

B 0

V 0

A, B, V nach (8.7)

z j = [ z ^ Q]

sowie dem Anfangswertvektor zj(0) = [);(0), 0, 0, -K{\)/kiy{0)],

K=[K{\),

K(2),...],

wobei y(0) = — {mg =bk^ymax)/{kw — kpm) mit (+) fiir den Start aus dem unteren und (—) fiir de aus dem oberen Lageranschlag eines stehenden Rotorsystems. Den Vektor der bisher angesetzten

8.1 Permanentmagnet gelagerter Rotor 319 Pole p erweitern wir um einen weiteren, z. B.

Mit (8.11) konnen wir dann den neuen Reglerentwurf durchfuhren. Die ursprlinglich vorgegebenen Pole p (der rechten Seite) bleiben Teil des geschlossenen Kreises. Entsprechendes gilt fiir den stromlosen Betrieb mit Qt = J i dt Zi = Ui =

AiZi-\-BiUi-\-ViV

0 0

/(oo)

—KiZi,

mit Ai

0

A 0

Ki = [K,ku],

0 1 0 zj=[z^,

Br

B 0

Vi

V 0

A, B, V nach (8.7)

Qi].

Aufgrund der Anfangswerte /(O) = 0 und 2/(0) = —kp/kuyifi) kann mit ut der Rotor nicht aus der Ruhelage in die Lage y(oo) ^ 0, /(oo) -^ 0 gebracht werden. Man startet deshalb z. B. mit einem Zustandsregler und schaltet nach dem Abheben den I-Anteil hinzu.

8.1.6

Parametrierung und Reglerkoeffizienten

ZweckmaBigerweise fassen wir die Parametrierung sowie den Reglerentwurf in dem M-File Mag_RotD .m zusammen. Dieses ist in der Programmsammlung [59] zu linden, wir drucken es hier nicht ab. tJber den manuell einzustellenden Steuerparameter ou (oben/unten) sind die Anfangswerte fiir einen Start aus der oberen bzw. unteren Lagerbegrenzung auszuwahlen. Das File Mag_RotD .m ist vor dem Simulationsstart auszufuhren. Fiir eine grafische Darstellung unter MATLAB dient das M-File Mag_RotG .m. Es ist manuell bzw. automatisch nach dem Simulationsvorgang zu starten.

8.1.7

Simulink-Modelle

Die jeweiligen Regler formulieren wir als Subsysteme mit zugehorigen Parameterfenstem. Die Simulink-Modelle enthalten dann die Modellierung der Strecke nach (8.2) mit (8.3), vgl. Bild 8.9, sowie das jeweilige Subsystem eines der Reglerstrategien. In Bild 8.9 ist ein Zustandsregler (kurz: PD-Regler) realisiert, vgl. Rot_Magpd.mdl. Fiir einen Betrieb mit Reglerumschaltung sind die beiden Entwurfe M a g _ R o t p i d i . mdl und M a g _ R o t p i d s u b . mdl vorgesehen. Im ersten Modell wird die Reglerumschaltung mit dem Switch Block, vgl. Bild 8.10, erreicht, im zweiten Modell wird mit schaltbaren Subsystemen gearbeitet, vgl. [59]. Ist die Geschwindigkeit y nicht messbar, dann kann versucht werden, diese durch numerisches Differenzieren zu beriicksichtigen. Dies zeigen die Simulink-Modelle M a g _ R o t p i d y a . mdl und Mag_pidyb. mdl der Programmsammlung [59].

320

8.1.8

8 Projekte Simulationsergebnisse

Bild 8.6 zeigt zwei Abhebevorgange mittels PD-Regler jeweils aus der oberen bzw. unteren Lagerbegrenzung. In beiden Fallen lost sich der Rotor unmittelbar nach StellgroBenaufschaltung. Dabei ist der Stromanstieg betrachtlich. Der Strom steigt in 1 ms auf nahezu 5 A und stellt sich im eingeschwungenen Zustand auf ^ -5 A ein. Die Rotorendlage j(oo) befindet sich in unmittelbarer Nahe der Lagerbegrenzung. Diese ungiinstige Endlage und der damit zusammenhangende hohe Dauerstrom von -5 A machen diesen Entwurf zunichte. Mit einem hoheren P-Anteil (hohere Steifigkeit) lieBe sich der stationare Zustand verbessern. Nachteilig wird sich aber der noch hohere Stromanstieg beim Abhebevorgang auswirken. Einerseits durch die Taktung der Endstufe und andererseits durch die realen Komponenten, u. a. der Spule, ist dies nicht mehr zu erreichen. Die Auswirkung eines zusatzlichen I-Anteils ist in Bild 8.7 dargestellt, wobei sich dieser zunachst auf j und nach 125 ms auf / bezieht. Dadurch behalt der Rotor in der Abhebephase langer Lagerbegrenzungskontakt, der Strom steigt in dieser Phase linear mit der Zeit bis auf den Abhebestrom an. Daran schlieBt sich der Einschwingvorgang auf die stationaren Werte mit y ^ 0 an. Zum Zeitpunkt ^ = 125 ms wird auf die StellgroBe eines Regelgesetzes mit Kompensation des Stromes umgeschaltet, wobei die Anfangswerte der StellgroBe nicht an die vorangegangene Situation angepasst wurden. Dadurch entsteht ein deutliches tJberschwingen bevor der neue stationare Zustand mit / -^ 0 angenommen wird. Der Rotor wird also unabhangig von einer statischen Last nahezu leistungsfrei in seiner Position gehalten. Frage: In welche Richtung y bewegt sich der Rotor, wenn in Richtung der Gravitationskraft eine zusatzliche konstante Last aufgebracht wird?

10

15

20

25

I" " E E,

10

15

20

25

I -'\ < _

15

20

25

15

20

25

20

10

0

i -5 10

15 Zeit t [ms]

20

25

10

15 Zeitt[ms]

20

25

Bild 8.6: Abhebeverhalten aus oberer und unterer Lage mit PD-Regler

8.2

StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Storungen

Schlagworte: Simulink-Modell, S-Function, M-File, vektorisierter Code, Beobachter-, Reglerentwuff, Zustandsmodell, analytische Losung, freie und erzwungene Schwingungen, Eigenwerte, anstuckeln von Losungen Programme: St_Beob_M.m, St_Beob_Mkonst.m, St_Beob_s.mdl, St_Beob_sD.m, St_Beob_sRm, St_Beob_sf.mdl (sfjbeob.m)

8.2 StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Stomngen321

_zn

-^.y^^

O

0

i:

50

100

150

200

250

50

100

150

200

250

50

100 150 Zeitt[ms]

200

250

An

O

0

-xx^

50

100

50

100

il

150

200

250

150

200

250

200

250

-VT 100 150 Zeitt[ms]

Bild 8.7: Abhebeverhalten aus oberer und unterer Lage sowie Umschaltung auf stromlosen Zustand mit PID-Regler

^

Gain1 Integralery-Anteil, PID-Regler alle GroRen gemessen

Integrator Integraler i-Anteil alle groBen gemessen

Bild 8.8: Reglerstmkturen zum Modell mit Reglemmschaltung Der unwuchtige Motor nach Bild 8.11 lauft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Q und regt das Fundament zu Schwingungen an. tJber den Stellzylinder (u{t)) sollen diese Vertikal-Schwingungen kompensiert werden. Die Fundamentbewegungen x und x werden gemessen. Fur die aktive Kompensation - vgl. [57], [60] - dieser speziellen Stoning soil ein StorgroBenbeobachter z. B. nach [45], [46], [49] eingesetzt werden. Die notwendigen Grundlagen werden kurz dargestellt, so dass auf dieser Basis folgende Punkte erarbeitet werden konnen. 1. Erstellen Sie fur die tJbergabe in die Simulink-Umgebung ein Parameter-File (M-File) mit den wesentlichen Parametem sowie der Berechnung zum Beobachterentwurf. 2. Fiir das unbeeinflusste System {u{t) = 0, Strecke) ist das Simulink-Modell zu entwerfen und zu testen. 3. In das gleiche Modellfenster ist der Beobachterentwurf als Subsystem einzubringen und zu testen. 4. Mit einem Switch Block soil die StorgroBenkompensation iiber u{t) nach ts =0.2 s aufgeschaltet werden. 5. Formulieren Sie die Beobachtergleichung einschlieBlich der Schaltbedingungen in einer MFile S-Function und erstellen Sie das zugehorige Simulink-Modell. 6. Da Strecke und Beobachter ein lineares System mit konstanten Koeffizienten darstellt, ist eine direkte Losung des Problems mit den Mitteln der linearen Algebra aus Kapitel 3 moglich.

322

8 Projekte

Magnetkraft

MATLAB in der Ingenieurpraxis Projekt: Magn. gelagerter Rotor Simulation unter Simulink File: Mag_RotjDd Letzte Anderung 16-Sep-2006 16:09:02

Bild 8.9: Zustandsregler

Magnetkraft y p p __> y j 3

y_p —> y

-•H Erdbeschleunigung

Dead Zone Lagerbegrenzung


IVIATLAB in der Ingenieurpraxis Projekt: IVIagn. gelagerter Rotor Simulation unter Simulink File: Mag_Rotpidi Letzte Anderung

06-Oct-2006 14:48:50

elektromagn. Kraft Regler 2

-•I Gain

PID-Reglei^-^ y —> 0 y mag. Rotor .

. R/L Outi Gain/

Regler 3

--<^kll1^ u

y_p PID-Regler i —> 0 ^ mag. Rotor ' Strg

-•0~)

y-p

Out2

k3

-XX) Outs

alle groRen gemessen

Bild 8.10: Modell mit Reglemmschaltung auf stromlosen Betrieb

8.2 StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Stomngen323

Parameter: m:= m-\-mu k d eruu kj = —

= 20 1/kg

n

= 300 rad/s 12 10^ N

m

qo

.\\\\\\\\\v

= 100 kg = 36 10^ N/m ^lO-'^y^Ns/m = 0.5 m kg

Bild 8.11: Unwuchtiger Motor

Bringen Sie die zugehorigen Bewegungsgleichungen in eine der Vorgehensweise angepassten Form. Formulieren Sie die Losungsansatze und die Losungen. Erstellen Sie fiir diese Vorgehensweise ein M-File. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen aus der SimulinkSimulation. 7. Diskutieren Sie den Kompensationsvorgang in Verbindung mit den rekonstmierten Signalen. Beurteilen Sie die Beobachterdynamik und den Einfluss der Systemparameter k, d. tiberpriifen Sie die Parameterempfindlichkeit des Beobachterentwurfs, indem Sie die Fundamentfedersteifigkeit k bei der Beobachterauslegung als fehlerbehaftet ansehen. 8. Aufbauend auf der analytischen Vorgehensweise ist eine zusatzliche konstante Stoning qo zuzulassen und mittels eines erweiterten StorgroBenbeobachters ebenfalls zu kompensieren. 8.2.1

Grundlagen zur Strecke und zum Beobachterentwurf

Bewegungsgleichung der Strecke fiir die Schwingungen um die statische Gleichgewichtslage: x-\-25x-\- (OQX = kTu{t)-\-qcos {Qt-\-0),

beliebig

(8.12)

mit den Abkurzungen 2 o = —;

(OQ

= —;

kj

q=

—eii .

m m Fiir den Beobachterentwurf muss die Stoning w = ^cos {Q.t -\-
Durch Umordnen bzw. Transformation gewinnen wir die fiir einen Beobachterentwurf allgemein gUltige Darstellung w = Pw-\-Qy-\-Du{t) y=Rw^Sy^Eu{t),

y={yu

yi)^ = (x, x)^ ,

8 Projekte

324

wobei auf der linken Seite der ersten Gleichung die Ableitung des Stormodells w und in der zweiten Gleichung die der MessgroBe y steht. Bezogen auf unser Beispiel bedeutet dies ausfuhrlich: Stormodell: W2

= \

1 (3

^

Wl

,

W2

mit

W2

=

w w

yi

+

2 = 0, D = 0,

^

mechanisches Modell:

jl 1 = . 3^2 J

0 0" 1 0

+

W2

• 0 -0)2

1 -25

"

0

w(f)

Oder kurz W = (Wi, W2)^ = (w,

W = iV,

.y = / ?w-\-.Sy-\-Eu{

y= ^X, Xj

0

y = ( j b y7

5

w)^

(8.13)

T.

Der Beobachter fiir die zu rekonstruierende GroBe w wird in der Form: v = Lv-\-My-\-Nu{t) ' q cos {Qt + <^) fiir f ^ oo w= V-\-Hy rekonstruierte Stoning: w\{t)

(8.14)

angesetzt. Dies ist ein dynamisches Modell, fur welches zunachst die unbekannten Matrizen L, M, N, H und damit die Dynamik zu ermitteln sind. Hierzu formulieren wir den Fehler e, der aus der tatsachlichen w und rekonstruierten w StorgroBe: e = w — w gebildet wird. Die rekonstruierte StorgroBe w strebt gegen die tatsachliche w, wenn e ^0 moglichst schnell abklingt. Um die Dynamik von e zu beurteilen, formulieren wir die Fehlerdifferenzialgleichung und setzen w, w aus (8.13), (8.14) ein: e = w—w = Le+ (P-L-HR)w

+ {LH-M-HS)y-

{N+HE)u{t).

Forderung nach asymptotischer Stabilitat des Fehlers e fiihrt auf die beiden Bedingungen: 1. e= he, e ist asymptotisch stabil, wenn fiir die Realteile der Eigenwerte 9t(Ay^(L)) < 0 gilt

2. P-L-HR = 0 LH-M-HS = 0 N^HE=0

L=P-HR M = LH-HS N = -HE.

Hierin sind P, /?, 5, E aus (8.13) bekannt, H, L, M, N unbekannt. Sie miissen die obigen Bedingungen erfiillen. Zunachst betrachten wir die Dynamik der Fehlergleichung, womit H und L ermittelbar sind: - KoeffizientenmatrixL = L =

"

0 -Q^

1 • 0

P—HR hu

hi2

/Z21

h22

0 1

0" 0 =

-hi2

1

-

^^ 0

-h22

8.2 StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Stomngen - charakteristische Gleichung zu e=Le

325

mit e = vt^^ nach Kapitel 3

d e t | L - A / | = A ^ + /zi2A+/z22 + ^ ^ = 0,

/

Einheitsmatrix.

(8.15)

Zur Festlegung der Dynamik von e geben wir die Pole (Eigenwerte) X\, A2 vor, sie geniigen dem Polynom. (A - Ai)(A - A2) = A^ - (Ai + A2)A + A1A2 = 0 .

(8.16)

Ein Koeffizienten-Vergleich beider Polynome (8.15), (8.16) ergibt h\2 = —Ai—A2,

/?22 = A1A2 — ^

.

Alternativer Weg zur Ermittlung von H: Wir betrachten das zur Fehlergleichung e =Le gierte Problem e

adjun-

=L^e=P^e^R^{-H^e) = Ae -\- Bu,

u = —Ke = —H e

Standardform

und haben damit ein Regelproblem zu losen. Zur Bestimmung der Reglermatrix H^ stehen mit der Control System Toolbox mehrere Algorithmen zur Verfugung. Wir wahlen wieder eine Polvorgabe, z. B. mit zwei reellen Polen p = (Ai, A2) = (—100, - 3 0 0 ) ,

reelle Eigenwerte.

Hierfiir existieren die beiden Function a c k e r . m und p l a c e . m. Die erste Function setzt Systeme mit einem Eingang voraus, so dass wir mit p l a c e . m arbeiten miissen; MATLAB-Aufruf: H = place(P',

R',

p) ' ;

P^ ^

P\R^

^

R',H

^

E.

M i t H ist auchL und damit iV,M der 2. Bedingung bekannt. Der StorgroBenbeobachter ist ausgelegt. Die StorgroBenaufschaltung erfolgt schlieBlich mit u{t) = 8.2.2

-—wi{t)'

Parameterfile und Simulink-Modell

Zu 1.-4.: Die Strecke und der Beobachter sind lineare Systeme. Wir wollen die Strecke mit zwei Integrierer modellieren. Fiir den Beobachter (8.14)i wahlen wir einen State Space Block. Hierbei gehen wir von der angepassten Beobachtergleichung ^ = Lv-\-ByUy{t) y^ = CyV-\-DyUy{t)

^}f^^ Space^ Block

x = Ax + Bu y = Cx + Du

mit By =Cv = I2 X 2 als Einheitsmatrix sowie der 2 x 2-Durchgangsmatrix Dv = 0 und dem Eingangsvektor Uy{t)

=My-\-Nu{t)

326

8 Projekte

aus. Damit liegt am Ausgang des State Space Blocks der voUstandige Beobachtervektor yv =v an. Die rekonstruierte GroBe wi folgt aus Wl = ( 1 , 0 ) ( V + H y ) ,

-^

Wl=Vl+/Zl2X,

was aber nicht den Schluss zulasst, dass nur die MessgroBe x benotigt wird; beachte My. NatUrlich kann die Rekonstmktion (Schatzung) der Auslenkung x und/oder der Geschwindigkeit x eingearbeitet werden. Eine diesbeztigliche Messung wird damit Uberfliissig. Modellgleichungen: Die zur Modellierung benotigten Gleichungen stellen wir zusammen: - Strecke mit Beeinflussung nach (8.12) x-\-25x-\- COQX = kTu{t) -\-qcos {Qt-\- 0),

u{t) = --—wi{t)

(8.17)

- Beobachter nach (8.14) i^=Lv+My+Nu{t) w\= (1, 0)(v+Hy),

^^^^^ wi (f) rekonstruierte Stoning.

Ins Parameter-File arbeiten wir neben den Systemparametem der Strecke auch die Polvorgabe zum Beobachterentwurf sowie die Berechnung der Systemmatrizen eini vsl. St Beob sD.m in [59]. Da die Parameter vor dem Simulationsstart im Workspace stehen miissen, muss das File zuvor manuell oder automatisch durch den Eintrag des File-Namens unter dem File-Button -^ M o d e l l P r o p e r t i e s , C a l l b a c k s , Feld: Model i n i t i a l i z a t i o n f u n c t i o n gestartet werden. Die grafische Ausgabe findet teilweise auch unter MATLAB statt. Hierzu dient das M-File St_Beob_sP .m. Zur automatischen Ausfiihrung tragen wir es, wie das Parameterfile, jetzt aber in das Feld: S i m u l a t i o n s t o p f u n c t i o n ein. Das Simulink-Modell St_Beob_s .mdl [59] einschlieBlich des Beobachter-Subsystems mit dem Schalter zur Aufschaltung der rekonstruierten Stoning kTu{t) = —w\ ist in Bild 8.12 dargestellt. 8.2.3

Beobachter uber S-Funktion

Zu 5.: Im Simulink-Modell ist nur das Beobachter-Subsystem durch einen S-Function-Block zu ersetzen, Ein- und AusgangsgroBen sind identisch. Die Beobachtermatrizen werden weiterhin iiber das Parameterfile St_Beob_sD .m erzeugt, so dass die BeobachtergroBen an den SFunction-Block iibergeben werden konnen. Das zugehorige Level-1 M-File s f _ B e o b . m sowie das Block-Modell S t _ B e o b _ s f . mdl sind [59] zu entnehmen. 8.2.4

Analytische Ermittlung der Losungen

Zu 6., 8.: Das Gesamtmodell aus Strecke (Schwinger) und Beobachter ist ein lineares System mit konstanten Koeffizienten, so dass sich die Losungen bezliglich der freien und erzwungenen Schwingungen mit Kapitel 3 analytisch angeben lassen, siehe auch [23], [27], [28], [35], [51], [75]. Wegen des Schaltvorganges bei ^^=0,2 s, liegt ein System mit einem Zeitereignis vor. In

8.2 StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Stomngen327 Strecke x"(t)

Integrator

Integratorj

Scope

Gain

uain I

om2 I

q cos(Om t)

H

Eth

y(t)

StdrgroBenkompensation mit Beobachter

Sine Wave

•

Scope2

Scopes

StorgroBenBeobachter Subsystem

Beobachter-Subsystem

Bild 8.12: Simulink-Modell mit Subsystem des Beobachters

beiden Zeitabschnitten sind die freien und erzwungenen Schwingungen zu ermitteln und zu iiberlagem. Sie enthalten Integrationskonstanten, die einerseits mit vorgegebenen Anfangswerten und andererseits mit tJbergangsbedingungen in ts, d. h. der Endzustand zum Schaltzeitpunkt ts ist Anfangszustand fiir den zweiten Zeitabschnitt, zu ermitteln sind. SchlieBlich sind die Losungen fur diskrete Zeitpunkte auszuwerten. Die Vorgehensweise ist ein typischer Vertreter der aus der Literatur bekannten Anstuckelmethoden [23]. Insbesondere wird gezeigt, wie man durch systematische Vektorisierung einen sehr iibersichtlichen, kurzen und mit der analytischen Formulierung vergleichbaren Code erzeugen kann. Basis fiir diese Vorgehensweise ist eine zweckmaBige Zustandsdarstellung fiir das Gesamtmodell. Das Zustandsmodell der Strecke (8.17) bilden wir mit dem Zustandsvektor y: y = A^y + buu{t) + bm cos {Qt + 0 ) ,

^?

8 Projekte

328 mit

;

-25

-W

0

bu

0

Fur das Gesamtsystem ist die Beochtergleichung (8.18)i noch hinzuzufUgen: Ayfi M

0 L

+

bu N

bm

u{t) -h

0

cos(^f-h<J>).

Darin gilt mit (8.18)2 wieder die StellgroBe -^^(v+Hy),

cT = ( l , 0 ) .

Setzen wir dies nocli ein, dann folgt fiir den geschlossenen Kreis: Ayfi M

0 L

+

bu N

/

1

cUv^Hy)

\

+

cos{Qt-\-
.

Wj

aufzusclialtender Anteil

Die beiden ersten Terme auf der rechten Seite konnen wir nocli zu A (y^, v^) Fiir den Cos-Term der Anregung fiihren wir die komplexe Relation cos (nt^0)

= 1 (e^-(^r+^) +e-"(^^+^)),

zusammenfassen.

i=V^

ein, sielie Absclin. 3.3.2.2, so dass das Gesamtsystem folgende Form erlialt: x=Ax

+ fei(e'* e'^' + e " ' * e " ' ^ ' ) ,

x = ( / , v'')^,

b = {bl,

O'f

Oder in der fiir die weitere Betrachtung zweckmaBigen Form

x=Ax^he^'

^h"

e-'^\

zb^ e

, 0

(8.19)

h ist der zu h konjugiert komplexe Vektor. Die letzte Gleichung gilt fiir beide Zeitabschnitte, wir formulieren deshalb zunachst die allgemeine Losung, sie setzt sich aus der freien und erzwungenen Bewegung zusammen, und passen sie spater an die beiden Zeitabschnitte an. Den freien Bewegungen liegt die homogene Gleichung Xh

=Axh

8.2 StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Stomngen

329

zu Grunde. Der Ansatz Xh = v c^^ fiihrt auf das Eigenwertproblem {XI — A)v = 0 mit den Eigenwerten in A = (Ai,..., ^4)^, den Eigenvektoren V£, mit denen die Modalmatrix V = ( v i , . . . , V4) gebildet wird. Das Eigenwertproblem losen wir numerisch [V, Lambda] =eig (A) ; lambda=diag (Lambda) ; MATLAB Die freien Schwingungen ergeben sich nach Abschn. 3.2.2.2 damit zu 4

Xh = Y^ CjVj eV = ydiag(c) c^\

c = (ci, C2, C3, €4)^ ,

7=1

wobei Cj die Integrationskonstanten sind.

Fiir die erzwungenen Schwingungen liegt die inliomogene Differenzialgleichung des obigen Gesamtsystems (8.19) zu Grunde. Das Ergebnis setzt sich nach Abschn. 3.3.2.2 aus zwei partikularenTeillosungen ^,^^ entsprechend derbeiden Anregungstermehe'^^ undh e^^-^^zusamm

Zur Ermittlung von § betrachten wir das reduzierte System

Der Losungsansatz vom Typ der rechten Seite

^ = I e^' fiihrt auf das algebraische Gleichungssystem (/r2/-A)| =A

^

I = {iQI-A)~^h,

I Einheitsmatrix,

was wir wiederum numerisch losen. Die reelle Partikularlosung lautet dann Xp = 2 9 t ( | e^'^0Die voUstandige Losung ergibt sich wiederum durch tJberlagerung x = Xh-\-Xp zu: x = ydiag(c)e^^ + 2 9 t ( | e^'^O • Die Integrationskonstanten sind einerseits mit den Anfangswerten zum Zeitpunkt to und andererseits fur den Bereich der Kompensation mit den tJbergangsbedingungen zum Zeitpunkt ^o zu ermitteln. Gehen wir von einem allgemeinen Zustand zum Zeitpunkt ^0 aus, dann gilt fiir die Anfangswerte bzw. tJbergangsbedingungen Jic(fo) = XQ, SO dass xo = ydiag(c) e^'o + 2 9 t ( | e^'^'o),

to = 0, bzw. to = 0,2s .

Damit sind die Integrationskonstanten ermittelbar: c = e^'o \ (y\^j^^ _ 29t(| c'^'^)))

teilweise MATLAB-Schreibweise (Punktop. .\)!

330

8 Projekte

Zur grafischen Auswertung legen wir flir jeden Zeitabschnitt einen Zeit-Vektor ^^ aus diskreten Zeitpunkten an. Damit lautet die Losungsmatrix x{f)

=ydiag(c) e^^^ +29t(|e''^^^) .

Programmtechnisch arbeiten wir die beiden Zeitabschnitte innerlialb einer for-Sclileife ab. Die StorgroBenaufschaltung erfolgt Uber einen logischen Ausdmck. Wesentliche Programmzeilen aus St_Beob_M. m, [59] zur obigen Vorgehensweise geben wir an. Programm-Ausschnitt: tO=0; t = l i n s p a c e ( t o , t s , 2 0 0 ) ; % Z e i t v e k t o r im e r s t e n B e r e i c h , 1=1 f o r 1=1:2 % B e r e i c h 1, 2 A=[Am z e r o s ( 2 ) ; M L ] . . . % Systemmatrix mit + ( I = = 2 ) • [ - b u ; -N ]*[cw*H cw]/kT; % z u g e s c h a l t e t e m A n t e i l e r z w u n g e n e Schwingungen xi_d=(i^Om^eye(4)-A)\hd; % komplexe T e l l - A m p l i t u d e Eigenschwingungen, Gesamtlosung [V,D]=eig(A); % Eigenwertproblem e=diag(D); % Eigenwerte cl=exp(e*tO).\(V\(xO-... % Integrationskonstanten 2.O^real(xi_d*exp(i^Om^tO))));

% %

x = r e a l ( V ^ d i a g ( c l ) * e x p ( e * t ) ) + . . . % Gesamtlosung, Losungsmatrix 2.O^real(xi_d*exp(i^Om^t)); D a t e n s i c h e r u n g + g e n e r i e r e n d e r A n f a n g s w e r t e fiir 1 = 2 tg=[tg t ] ; % Daten, Z e i t v e k t o r xg=[xg x ] ; % Daten, Zustande tO=t (end) ; % A n f a n g s z e i t fiir 1 = 2 xO=x(:,end); % Anfangs- / Ubergangswerte t = l i n s p a c e ( t s , 2 . 5 * t s , 300) ; % Z e i t i n t e r v a l l fiir 1 = 2

%

end

Das Programm St_Beob_Mkonst .m in [59] ist bezuglich einer zusatzlichen konstanten Stoning erweitert. 8.2.5

Ergebnisse

Zu 7.: Den Zeitverlaufen in Bild 8.13, insbesondere x{t), lesen wir ab:

• 0 < /^ < 0,15 s: Einschwingvorgang des unbeeinflussten Systems; den Unwuchtschwingungen x{t) sind aufgrund der Anfangswerte Eigenschwingungen iiberlagert. Eigenkreisfrequenz des dampfungsfreien Systems ^ = y ^ = 600 rad/s, Periodendauer 7Q = 0.0105 s, Erregerkreisfrequenz Q = 300 rad/s, Periodendauer T = 2To. • 0,15
8.2 StorgroBenkompensation harmonischer und konstanter Stomngen331

• t > ts-\-T s: Eigenschwingungen werden durch Systemdampfung d abgebaut; Vorgang ist nicht durch Beobachterpole beeinflussbar. Strecken- und Beobachterdynamik sind separiert, dies steckt im Beobachterentwurf. 500

-500

0.05

0.1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

500

-500

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Bild 8.13: Kompensation der Unwuchtschwingungen des Fundamentblockes Zur Parameterempfindlichkeit beim Beobachterentwurf: Da der Beobachterentwurf von den Sy2n

Bild 8.14: Kompensation mit fehlerbehaftetem Streckenparameter k

stemparametern der Strecke und dessen Modellierung abhangig ist, miissen u. a. die Parameter sehr genau bekannt sein. Erhohen wir z. B. die Federkonstante k der Fundamentfeder beim Beobachterentwurf um 10 %, also auf ^5 = 39,6 10^ N/m, dann erhalten wir einen deutlich schlech teren Einschwingvorgang nach der Kompensation, worauf Bild 8.14 hindeutet. Eine Anderung um 20 % fiihrt bereits zur Instabilitat des Systems - die anfanglich vorhandene Separierbarkeit von Strecke und Beobachterentwurf ist verletzt -. Diese Parameterempfindlichkeit im Zusammenhang mit einer getreuen Strecken-Modellierung machen den Einsatz in der Praxis problematisch.

332

8 Projekte

8.3

Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag

Schlagworte: Simulink-Modell, eventgesteuertes System, Stofikraft, Sinus-Sweep, frequenzmodulierte und stationdre Schwingungen, Signalaufbereitung, Spitzenwert, Eigenwerte, Tilgerfrequenz, Amplitudengang Programme: Tilger.mdl, TilgerD.m, TilgerP.m Das Primarsystem des Schwingungstilgers besitzt die Masse m\ und ist mit einem parallelgesclialtetem Feder-Dampfer-Element (^i, di) gegeniiber der Umgebung abgestUtzt. Die Tilgermasse (m2, Sekundarsystem) ist durch ein weiteres viskoelastisclies Element (^2, ^2) an das Primarsystem angekoppelt. Die Erregung des Primarsystems erfolgt iiber die Kraft f{t)=q^in{Qt) mit der konstanten Amplitude q. Die Bewegung der Tilgermasse wird durch einen viskoelastischen Anschlag (^, J, masselos) begrenzt; das Spiel gegeniiber der Gleichgewichtslage sei A. Parameter: m\ =1 = 00.1 m2 = 25 10^ h = 4300 ki = 0.8 di = 0.1 di = qsm{Q{t)t) = 10 q Q{t) — ^^^weept A =3 = 250 10^ k d = 200 = 0.1 Sweep

m

'///////////////

kg kg N/m N/m Ns/m Ns/m N N rad/s mm N/m Ns/m Hz/s; Sweep-Rate

Bild 8.15: Tilgersystem und Parameter Die Bewegungsgleichungen beziiglich der Gleichgewichtslage lauten: mixi + dixi + d2{xi -X2) + hxi + ^2(-^i --^2) = /(O m2X2 - d2{xi -X2) - ^2(-^l -xi)

+ fN{^l,^l)

= 0

(8.20)

mit der StoBkraft (Normalkraft, Kontaktkraft) fN{x2,X2) =

k{x2 — A) + dx2 , wenn X2 > A und fy > 0 0 , wenn X2 > A und /^y < 0 0 , wenn X2 < A .

(8.21)

Die Antworten des Schwingungssystems auf die Erregung f{t) ist zu untersuchen. Hierzu sind zunachst die kritischen Frequenzen (Resonanzlagen) sowie die Tilgerfrequenz abzuschatzen. Darauf aufbauend ist ein Hochlauf {Sweep) mit ^(^) durchzufiihren, vgl. [10]. Die diesbeziiglichen

8.3 Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag

333

Schwingungssignale sind flir eine grafische Darstellung in Form des Spitzenwertes und des quadratischen Mittelwertes aufzubereiten. Folgende Punkte sind zu bearbeiten: 1. Stationarer Zustand X2=konst ohne Anschlag: Berechnung der Eigenkreisfrequenzen sowie der Tilgungsfrequenz des ungedampften Systems mit Angabe der Resonanzfrequenzen. Grafische Darstellung des Amplitudenfrequenzganges. tJberprUfen Sie die Resonanzlagen. Flir die einzelnen Berechnungsschritte und Grafiken ist ein M-File zu schreiben. Es ist gleichzeitig als Datenfile fiir das Simulink-Modell zu nutzen und somit um alle zusatzlich benotigten Parameter zu erganzen. 2. Entwurf des Simulink-Modells mit den Subsystemen der Anregung (Sinus-Sweep) fiir Q (t), des mechanischen Modells (8.20), der StoBkraft (8.21) sowie einem spater noch zu erarbeiteten Auswerteteil der Schwingungssignale einerseits beziiglich des voUstandigen Frequenzspektrums, andererseits beziiglich der Basiskreisfrequenz Q. 3. Fiir das System ohne Anschlag sei die Schwingungsantwort bei einer zeitlich veranderlichen Erregerfrequenz Q (t) mit gegebener Sweep-Rate Syy;eep im Frequenzbereich 0 < -— < 60Hz: f{t) = q sin (2;r%e^^r) zu ermitteln; frequenzmodulierte Schwingung. 4. Ermittlung der Schwingungsantwort wie unter 3. aber mit viskoelastischem Anschlag. 5. Ermittlung der stationaren Schwingungen zur Tilgungsfrequenz fttigung des ungedampften Systems. Ausgehend von den Anfangswerten XI (0) = -1.120714064744865 10"^;

X2(0) = 4.690345372471773 10"^

jei(O) = -5.823441920555026 10"^;

^2(0) = -4.819093080477291 10"^

ist die Integration tiber das Zeitintervall 0 < f < SO/ftUgung vorzunehmen. Neben dem Datenfile ( T i l g e r D .m, [59]) empfiehlt sich auch ein Plotfile ( T i l g e r P .m, [59]) zur grafischen Auswertung der Simulationsergebnisse unter MATLAB anzulegen. 8.3.1

Das stationare System ohne Anschlag

Zu 1.: Zur Beurteilung der spater zu berechnenden instationaren Schwingungen ermitteln wir zunachst einige niitzliche Systemeigenschaften des ungedampften und gedampften stationaren Systems mit Q =konst. Hierzu gehoren die Eigenkreisfrequenzen im Zusammenhang mit den Resonanzlagen, die Tilgungsfrequenz sowie der Amplitudenfrequenzgang. Die Eigenkreisfrequenzen des ungedampften Systems folgen nach Kapitel 3 aus der homogene Bewegungsgleichung nach (8.20) My-\-Ky

= 0,

k\ -\-k2 -k2 -k2

(8.22)

Eigenvektor V, Eigenkreisfrequenz (OQ

(8.23)

M = diag(mi, ^2),

K

Der reelle Ansatz y = V cosftio/^,

8 Projekte

334

nach Abschn. 3.2.2.1 fiihrt auf das Eigenwertproblem (OQMV =

(8.24)

Kv,

welches wir numerisch unter MATLAB losen: e = sqrt(eig(K,M) );

MATLAB-Aufruf

In e stehen die Eigenkreisfrequenzen e = {(OQ^ , Ci002)^- Daraus folgen die Frequenzen cOo, ^ 144 rad/s, (O02

226 rad/s,

/i = - ^ ^ 23 Hz (O02

/2

(8.25)

36 Hz.

Im ungedampften Fall herrscht Resonanz, wenn Q = (OQ^^ . Danach sind

a'kr\

144 rad/s,

Q,kr2 ~ 226 rad/s

die kritischen Kreisfrequenzen, bei denen es auch im gedampften System zu groBen Amplitudenuberhohungen kommt. Tilgung tritt im ungedampften System zu dem Q auf, bei dem die Primarmasse m\ in Ruhe bleibt und die Sekundarmasse m2 mit der Eigenkreisfrequenz des angehangten Feder-MasseSystem schwingt, d. h. Jtilgi ung

_L IK

2n \ m2

(8.26)

33 Hz

Den Amplitudenfrequenzgang ermitteln wir mit der Bewegungsgleichung des gedampften Systems My^Dy^Ky

= h sinQt,

D

d\ -\- d2 —d2 —d2 d2

;r

(8.27)

mitM, K nach (8.22). Der reelle Losungsansatz der stationaren Schwingung nach Abschn. 3.3.2.1 y = y^ cosQt + y^ sin Qt

(8.28)

fiihrt auf das lineare algebraische Gleichungssystem K-Q^M -QD

QD K-n^M

yc

(8.29)

Die Maximalamplituden yj = \/ylj + J^, in Abhangigkeit von Q werten wir in den folgenden Programmschritten aus:

8.3 Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag

335

fmax=60; % betrachtete Maximalfrequenz 0Mmax=fmax*2*pi; % max. Kreisfrequenz hd=[0; 0; q; 0]; % Anregungsamplitude magn=[]; for OM=0:OMmax/1000.0:OMmax % Amplitude(Omega) A=[K-0M^2*M OM^D; % Systemmatrix -OM^D K-0M^2^M]; x=A\hd; % Schwingungsamplituden magn=[magn;sqrt(x(1:2) .^2+x(3:4) .^2 ) . ' ] ; end

Das Ergebnis ist in Bild 8.16 dargestellt. Resonanzlagen und Tilgungspunkt stimmen mit der vorangegangenen Berechnung (8.25), (8.26) Uberein.

Resonanzlagen

Tilgungspunkt

20 40 Frequenz Hz

Bild 8.16: Amplitudenfrequenzgang

8.3.2

Entwurf des Simulink-Modells

Zu 2.: Das Simulink-Modell nach Bild 8.17 bilden wir mit den Subsystemen: Sweep-Generator, Schwinger mit StoBkraft und Auswerteblocke. 8.3.2.1

Sweep-Generator, Anregungsfunktion

Fur die Sweep-Kreisfrequenz setzen wir Q{t)

= In

(8.30)

Sweep t

mit der Sweep-Rate s^eep in Hz/s. Demzufolge sind die Kreisfunktionen der Anregung in (8.20) aber auch der spater eingefuhrten Referenzsignale mit ^in Q(t)t

-^

^in {2 KSyveept^),

cos Q{t)t

-^

cos {2 n S^eep t^)

(8.31)

zu bilden. Dies sind frequenzmodulierte Signale. Einen Bezug zur momentanen Kreisfrequenz und damit zu den Ergebnissen des stationaren Systems unter 1. ist durch trigonometrische Um-

8 Projekte

336

Sweep-Rate, Hz/s

Sweep-Rate Hz/s Sweep-Generator

s

•

MATLAB in der Ingenieurpraxis Projekt: Schwingungstilger Simulation unter Simulink File: Tilger.mdl Letzte Anderung 08-Sep-2006 10:51:32

Scopes

Scopes

Signal

FH

n

Auswertung cos/sin

RMS

J

x_1 w

• Scope

Auswertung 1

4>H

SchwingungsErregung Tilger mit Stoss

Signal

FH

Auswertung cos/sin

RMS

x_2

n Scope1

Auswertung 2 Signal

FH

Auswertung cos/sin

RMS

f

nl Scope2

Bild 8.17: Modell des Schwingungstilgers mit StoB Q:>

Sweep-Rate, Hz/s

KJD

KID Bild 8.18: Sweep-Generator flir die Anregungsfunktion und die Referenzsignale formung von (8.31) nicht zu erreichen. Wir schreiben deshalb (^

^T^Sy^QQpt

,

(8.32)

so dass nahemngsweise ^drr,

(j) = 4 71 Sweep t

(8.33)

ist. Hiermit konnen wir die Auswertung im Frequenzbereich vornehmen und haben gleichzeitig einen Bezug zu den stationaren Schwingungen mit Q = konst in (8.27) und somit zu Bild 8.16. Das Simulink-Subsystem des Sweep-Generators zeigt Bild 8.18. Zusatzlich zur Modellierung von (8.31) ist iiber den Manual Switch Block eine Betrachtung des stationaren Betriebs zu einem vorgegebenen Q =konst moglich.

8.3 Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag 8.3.2.2

337

Modell des mechanischen Schwingers und der StoBkraft

Den linearen Teil der Bewegungsgleichung (8.20) bilden wir mit vier Integratoren, vgl. Bild 8.19. Die StoBkraft fy nacli (8.21) (niclitlinearer Teil) wird in dem Subsystem S t o s s k r a f t nacli Bild 8.20 mit den Eingangen X2, X2 erzeugt. Die logische Entscheidung X2 > A bzw. X2 — A > 0 realisieren wir mit dem Dead Zone Block fiir die tote Zone [—©o, A], so dass mit dem nacligesclialteten Sign Block 1 fur X2 > A und 0 fur X2 < A durchgeschaltet wird. Die Aufschaltbedingung /iv > 0 realisieren wir mit dem logischen Relational Operator Block: stimmen die Vorzeichen von fy und X2 — A iiberein, so wird eine 1, sonst eine 0 ausgegeben. Mit den oben verwendeten unstetigen Blocken konnen wir einerseits Out3

cz>Q>

-KJD Out1

Gain

1^

Gain4

-KID

-•|l/m2^ Gains

"s

lntegrator2

Out2

Stosskraft f_N Stosskraft

x_2 xp_2

Bild 8.19: Mechanischer Schwinger iiber dieUnstetigkeitenhinwegintegrierenoder durch Auswahl von: E n a b l e z e r o c r o s s i n g d e t e c t i o n in den Block-Dialog-Boxen eine ^v^^^gesteuerte Simulation, bei der Schaltpunkte im Rahmen der numerischen Genauigkeit eingehalten werden, durchfuhren. 8.3.2.3

Auswertemodul

Das Schwingungssignal Xk{t) setzt sich aus einem Anteil mit der Erregerfrequenz (Basisfrequenz) Q - Basisharmonische - und einem mit von Q verschiedener Frequenzen cOj ^ Q zusammen, z. B. fiir ft) =COi x{t) = a cos Qt -\- b sin Qt -\- a cos cot -\- b sin cot .

(8.34)

338

8 Projekte

Sign2

LT Relational Operator

Sign

1=1, wenn x_2>delta

Oa

x_2

Constant

Dead Zone

xp_2

Sign1

CDBild 8.20: StoBkraft-Modell

Zur Ermittlung der Maximal-Amplitude (Spitzenwert) (8.35) zur Basisfrequenz Q multiplizieren wir (8.34) jeweils mit cos Qt bzw. sin Qt und bilden mit Hilfe eines Tiefpasses mit der Eckfrequenz cOg « \Q — 0)j\ die Mittelwerte x^, Xs / X ^ X{t) COSiit / N .

Tiefpass >

^

Tiefpass

x[t) smilt

—>

2«,

Xc

0

1

(vgl. cos^Qt =

-{l^coslQt))

(8.36)

b.

Xs

Die Schwingungsamplitude der Basisharmonischen folgt schlieBlich aus X = 2 Jxl

+ xl = Vcfi + b^

Signal 1.

(8.37)

Die Gleichungen (8.36) und (8.37) setzen wir in ein Simulink-Subsystem um; vgl. Bild 8.21. Zusatzlich bilden wir Amplitudenwerte der Schwingungsantwort, die neben Q auch weitere Frequenzen, z. B Eigenfrequenzen, enthalten. Dazu bauen wir auf dem quadratischen Mittelwert (Effektiv-Wert) auf. Hierzu bilden wir zunachst x^ und mit einem Tiefpass den Mittelwert x^. Wir zeigen dies wieder an dem Signal aus (8.34). Es folgt: x^ = - {a^ -\-b^) -\- ^{a^-\-b^) -\- ^ {c? - b^) cos IQt + ab sin 2Q.t + (ad-bb)

cos {Qt-\-(Ot) + {ab-\-db) sin {Qt-\-(Ot)

+ (ad-\-bb) cos (Qt-m) + -{d^-P)

coslm

- (ab-db)

+ db sinlQt

sin {Qt-(Ot)

(8.38)

8.3 Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag

339

und nach einer Tiefpassfilterung der Mittelwert ^-2 « 1(^2 + ^2) + l ( - 2 + P 1) ^2 ^ _^ 1 -2

(8.39)

bzw.

V2

-. Xrt

(rms = root mean square).

(8.40)

Dieser quadratische Mittelwert hat ausschlieBlich quantitativen Charakter. Um das Ergebnis mit der Amplitude des harmonischen Signals (8.35) vergleichen zu konnen, verwenden wir den Spitzenwert X = V2\/x^

= ^x^ + x^ Signal 2;

(8.41)

d.h., enthalt das Signal nur ^-Terme, dann geht J in x iiber. Die beiden Auswertemethoden (8.37), (8.41) realisieren wir in dem Simulink-Subsystem nach Bild 8.21. mit den ebenfalls integrierten BUTTERWORTH-Tiefpassen 3. Ordnung - vgl. (4.19) yp + MiCO^jF + M2^^JF +

MB^^JF

= l^sCOgU

(8.42)

mit dem Eingangssignal u und den Filterparametern jU^ = /i2 = 2; /is = 1 sowie der Grenzfrequenz (Eckfrequenz) cOg, vgl. Bild 4.18.

Math Function I 1 Math Functions

CT>

L"""^ Gain

outi

Math Functioni

J sqrt(2r;;>-

-KZ)

Math Function2

Out2

Bild 8.21: Auswertemodul flir die Simulationsergebnisse

8.3.3

Schwingungsantwort mit einem Sinus-Sweep des Systems ohne/mit Anschlag

Zu 3., 4.: Bild 8.23 enthalt Ergebnisse nach einem Sweep-Durchgang fiir das System ohne/mit Anschlag. Neben den beiden Zeitschrieben xi {t), X2{t) sind die Ausgange des Auswertemoduls in Form: Maximal-Amplituden nach (8.37) - Signal 1 - der Basis-Harmonischen (Frequenz Q) und des voUstandigen Signals (alle Harmonischen) nach (8.41) - Signal 2 - bezuglich der Auslenkungenxi, X2 sowie der der Kraft des Feder-Dampfer-Elementes/^^ = ^ixi -\-dixi dargestellt. Auffallig sind in Bild 8.23oben die groBen Resonanziiberhohungen beziiglich der Auslenkungen xi, X2 sowie das Kraftminimum bei der Tilgungsfrequenz von ^ 33 Hz, wenn kein Anschlag

340

8 Projekte

vorhanden ist. Da das System gedampft ist, liegt keine vollstandige Tilgung vor. Die Schwingungen enthalten, bis auf wenige schmale tJbergangsbereiche, lediglich die Basiskreisfrequenz Q.

Mit Anschlag, Bild 8.23unten, werden die Resonanziiberhohungen deutlich abgebaut. Die Tilgung wird aufgmnd des MaBstabes auch in dem Zeitsclirieb xi (t) deutlich. Bedingt durch den Anschlag enthalt das Schwingungssignal jetzt einen groBeren Anteil an Frequenzen, die nicht mit Q iibereinstimmen. Durch den StoB werden Eigenschwingungen angeregt. 8.3.3.1

Stationare Schwingungen zur Tilgungsfrequenz

Zu 5. Modellseitig ist fiir die Ermittlung der stationaren Schwingungen mit dem Schalter des Blocks Manual Switch in Bild 8.18 statt der Zeit t eine 1 durchzuschalten. Die Sweep-Rate ist im Datenfile T i l g e r D . m durch die konstante Tilgungsfrequenz s^eep = ftilgung zu ersetzen.

I 10"' 2.32

2.34

2.36

2.38

2.4

2.42

f^~

|

•§10" I 1 1— 2.32

2.34

2.36 2.38 Zeit, s

2.4

Basis-Harm. 1 alle Harm. |

2.42

Bild 8.22: Stationare Schwingungen zur Tilgungsfrequenz ftUgung'^ System mit Anschlag In den Graf en von Bild 8.22 - entsprechend der Anordnung von Bild 8.23 - spiegelt sich der Tilgungseffekt in der Signalhohe von xi und der Kraft wieder. Die unteren beiden Bilder stellen die Spitzenwerte nach (8.37), (8.41) dar. Nach dem Einschwingvorgang (r > 2 s) der Tiefpasse enthalt das stationare Schwingungssignal ausschlieBlich die Basisfrequenz Q.. Die Amplitudenwerte stimmen mit den Maximalwerten der Zeitverlaufe von x\, X2 iiberein.

8.3 Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag

+

-50

h 1 k 100

0

100

10^

o) 10

200

300

=) o

I 10° 200

< -10 10

•

• *

20

20

1

30 40 Frequenz, Hz

E 100

I ^° 0

60

1

40

50

• Basis-Harm. • alle Harm.

CO

o

A

30 40 Frequenz, Hz

tf '

10"^

300

1 ^— Basis-Harm. 1 — alle Harm

•••

Basis-Harm. alle Harm.

c

Zeit, s

. . . .

1^ ]—

CO CO

^ 50

60

20

I „

20

kXy

30 40 Frequenz, Hz

50

60

9. 10

20 E E 5

30 40 Frequenz, Hz

50

60

1 — Basis-Harm. 1 alle Harm

iB 4 CO

is

!CC •a

c

5 2 0) CO CO

•o 1 20

30 40 Frequenz, Hz

50

<

10

20

30 40 Frequenz, Hz

50

Bild 8.23: Sweep-Durchgang mitweep 5 •: 0.1 Hz/s; System ohne/mit Anschlag

341

342

8 Projekte

8.4

Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage

Schlagworte: Lagrange'sche Gleichung 1. Art, Lagrange'sche Multiplikatoren, Bindungsgleichungen, dijferenzial-algebraische Gleichungen, M-File, physikalische ModelUerung, SimMechanics-Modell und Animation, Gelenkkraftermittlung, Trimming-Mode, Gleichgewichtslagen, Newton-Verfahren Programme: Hebel.m, Hebel_Daten.m, fhebel.m, vergleich.m, Gleich_Lage.m, Hebelsm.mdl 8.4.1

Das Modell

iz, zz

Bild 8.24: Modell eines Axialkolbenverdichters Axialkolbenverdichter werden heute in der Pkw-Klimatechnik eingesetzt. Bild 8.24 zeigt ein Modell eines solchen Verdichtertyps. Der Verdichter besteht aus einer mit Q. rotierenden Welle, an die in 0// der Rebel H angelenkt ist. Das andere Hebelende ist an einer Schragscheibe S drehbar befestigt. Diese ist ihrerseits mit der Gleithiilse G iiber ein Drehgelenk in O5 verbunden. Die Gleithiilse und damit die Schragscheibe S konnen sich somit translatorisch auf der Welle bewegen, wodurch sich der Kippwinkel a verandert. tJber eine nicht mitdrehende Wobble-Scheibe Oder Taumelscheibe W, die auf der Schragscheibe gleit- oder walzgelagert ist, werden iiber Gleitsteine die 5-7 Kolben reibungsarm angelenkt. Die Zylinderbohmngen sind auf einem Teilkreisradius R in einem feststehenden Zylinderblock angeordnet. Aufgrund der Schragstellung und der Rotation kommt es zur Kolbenbewegung; der Kolbenhub ist von a abhangig. Begrenzt man die Schragstellung von S durch Anschlage, dann gehort zum kleinsten Winkel amin der kleinste, zum groBten Winkel amax der groBte Kolbenhub. Mittels der Abmessungen und der zwischen Welle und Gleithiilse wirkenden vorgespannten Feder (^, d) ist es moglich, die oberen Kolbentotlagen zu unterschiedlichen Winkeln a konstant zu halten. Mit dem Dampfungskoeffizienten d wird eine Federdampfung beriicksichtigt, so dass anfangliche Storungen abklingen. Die Kuhlleistung ist somit durch Veranderung des Kolbenhubs iiber den Kippwinkel a erreichbar. Hierzu wird der Verdichterinnenraum, in dem sich H, S, W, G usw. befinden, mit einem Steuerdruck ps, der auf die Unterseite der Kolben wirkt, beaufschlagt; er wirkt entgegen dem Kolbendruck, so dass sich damit a andert.

8.4 Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage

343

Der Arbeitsprozess konnte durch ein pV-Diagramm mit isentroper oder adiabater Verdichtung und Expansion, wie in K l i m a _ V e r d . mdl in [59], beriicksichtigt werden. 8.4.2

Der Hebelmechanismus niH, iu

Bild 8.25: Hebelmechanismus

Wir woUen bier ein Teilproblem losen, indem wir uns nur auf den Hebel H in Bild 8.24 beschranken. Die Anlenkung an die Schragscheibe S ersetzen wir, wie in Bild 8.25 skizziert, durch ein Feder-Dampferelement (ku^ du), welches bei entspannter Feder eine Lange von Ip hat. Dieser Hebelmechanismus rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Q.. Ausgehend von beliebigen Anfangswerten der Hebellage schwingt dieser um seine stationare Lage. Dieses Schwingungsverhalten ist fiir die in Tabelle 8.2 angegeben Parameter per numerischer Simulation unter MATLAB und mit Hilfe des SimMechanics Tools zu untersuchen. Im Einzelnen sind folgende Punkte zu bearbeiten:

1. Ermittlung der Bewegungs- und Bindungsgleichungen (DAEs vom Index 3) ausgedriickt durch die Schwerpunktkoordinaten z^s-, zZs sowie den Lagewinkel <^ des Rebels im rotierenden Z-Koordinatensystem. Die Gleithiilsenmasse kann vernachlassigt werden, das System hat somit einen Freiheitsgrad. tJberfuhren Sie die Bewegungsgleichungen in das zugehorige Index-1-Problem in einer semi-expliziten Form zur Integration der DAE. 2. Erstellen Sie ein M-File zur Simulation unter MATLAB mit einer Darstellungsmoglichkeit der Zeitverlaufe zXs{t)^ zZs{t)^ 0(0? ^1(0? ^lit)- Die Systemparameter nach Tabelle 8.2 sind in einem separaten Datenfile, welches auch flir die Modellierung mit dem SimMechanics Tool genutzt werden soil, zusammenzufassen. 3. Fiihren Sie einen modellbasierten Entwurf mit dem SimMechanics Tool unter Simulink durch. Es sind gegeniiber dem ersten Modell die Masseeigenschaften der Gleithiilse und ein Feder-Dampfer-Element (^, d) wie in Bild 8.24 zu berlicksichtigen, das System hat somit zwei Freiheitsgrade. Aktivieren Sie das Visualisierungsfenster und beobachten Sie darin die Einzelschritte der Modellerstellung sowie die Animation wahrend der Simulation. 4. Vergleichen Sie die Ergebnisse beider Vorgehensweisen anhand der Gelenkkrafte in 0//. 5. Untersuchen Sie mit Hilfe der Analyse-Methode Trimming die sich einstellende stationare Lage.

344

8 Projekte Tabelle 8.2: Parameter des Hebelmechanismusses Masse mu = 1,2 10~2 kg Massentragheitsmomente bez. S Ixx = 2,8 kg mm^, lyy = 3,3 kg mm^, I^z = 0,62 kg mm^ Hebellange in = 24 mm Schwerpunktslage SH = ^/f/2 AnlenkmaBe CIH = ^ mm. i>H = 20 mm Federsteifigkeit ^i^ = 10^ N/m Dampfungskonstante dn = 10~^ kn Ns/m Lange der entspannten Feder IF = ^H -\- ^H sin 7r/8 + mng/kH SH/^H Erdbeschleunigung ^ = 9,81 m/s^ Anfangswerte z. B.

8.4.3


Bewegungsgleichungen nach Lagrange

Zu 1): Das System hat einen Freiheitsgrad. Wir arbeiten aber nicht mit einer Minimalkoordinate, sondern fiihren bewusst - meist wegen einer besseren tJbersichtlichkeit - uherzahlige Koordinaten zXs{t), zZs{t), (t>{t) ein. Ausgang der Betrachtung ist deshalb die LAGRANGEsche Gleichung 1. Art nach Kapitel 5

dt

(ir-(|)'-(|^ = e' / = <—«

mit den Bindungsgleichungen g = 0 und dem Vektor der LAGRANGEschen Multiplikatoren A sowie der LAGRANGEsche- Funktion L = T — V, wobei T die kinetische und V die potentielle Energie ist. Die kinetische Energie setzt sich aus einem translatorischen und einem rotatorischen Teil zusammen: T = -MH iv] iVs + - /fi)^ //1(0

(8.44)

Index: / Inertialsystem, s Schwerpunkt SHDa der Tragheitstensor / / zeitabhangig ist, ist es zweckmaBig, die Rotationsenergie mit Hilfe der GroBen /^fi), K^ im korperfesten ^-System auszudriicken. Mit /fi) = TiK K(0, wobei TiK die Transformationsmatrix (vom ^-System ins /-System, vgl. Kapitel 2), folgt Trot = X K<0^ TKI II TIK KG> = - K(0^ RI K(0 , 2 ^^ V ' 2 KI

darin ist KI bezogen auf das korperfeste Koordinatensystem (K) und somit zeitunabhangig. Die Transformationsmatrix TJK ergibt sich aus zwei Teildrehungen, der Drehung 7 um die zz-Achse

8.4 Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage

345

und der Hebeldrehung (j)

TjK

= TfjfTy

=

cos (j) 0 0 1 sin (j) 0

— sin (^ 0 cos (j)

cos 7 sin 7 0 — sin 7 cos 7 0 0 0 1

Die Schwerpunktsgeschwindigkeit von SH folgt aus der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors jFs im Inertialsystem. Hierfiir bestimmt man zunachst den Ortsvektor z^s im Z-System, welches die Rotordrehung y mitmacht ZXs

0

zrs

ZZs

und anschlieBend (Transformation von (Z) -^ (/))

• T

T

•

I^S = Ty Z^S + Ty Z^S

—7sin7 7COS7 0

—7COS7 —7sin7 0

0 0 0

0 ZZs

+

COS 7 sin 7 0

— sin 7 0 cos 7 0 0 1

Z^s

0

Zts

bzw. ausmultipliziert

-7zx^sm7 iVs

7z-^5Cos7

0

ZXs COS 7

+

zi^ sin 7 zz^

Die Winkelgeschwindigkeit /i:fi) bilden wir mit den Elementarwinkelgeschwindigkeiten 7, (^ zu

0 " 0 y.

T^fi)

+

" 0" ^ = 0

—7sin<^ ^ ycos(j)

Damit schreiben wir die kinetischen Energien (8.44) um: rriH {f Trot = :^f

z^s + z^szz])

Ixx sin^ ^ + 2 ^ ^'' ^^^^ 0

(8.45) y+ j-

^ ^ ^ ^^

Die potentielle Energie bildet sich zu 1

V = mHg(100)/r, +

9

-kH{zXs^{iH-SH)sm(l)-iFy,

(8.46)

wenn if die Federlange der entspannten Feder ist, die generalisierte Kraft infolge der Dampfung

8 Projekte

346 zu

-dn

{zXs + {^H - SH)^ COS <^) 0 -dH [zXs + {^H - SH)^ COS 0] {(.H - SH) COS 0 J

(8.47)

Die Bindungsgleichungen formulieren wir mit Bild 8.25 bezuglich SH im Z-Systems, d. h. zXs -hH-SH zZs -an-SH

sin <^ = 0 cos 0

Oder kurz ^ = 0.

Mit der JACOBI-Matrix der Bindungsgleichung ^ und dem Vektor der LAGRANGEschen Multiplikatoren A = (Ai, ^2)^ folgt der letzte Term auf der linken Seite von (8.43)

1)^^

1 0

0 1

0 ^7^ sin (/)

—SH COS

A2 -X\SH COS (^ + A25'7^ sin (p

(8.48)

Setzen wir (8.45) - (8.48) in (8.43) ein und werten diese, z. B. mit Hilfe der Computeralgebra, fiir eine stationare Rotordrehung 7 = X2, 7 = f2r aus, dann erhalten wir die nichtlineare Bewegungsgleichungen fiir p = (zx^, zZs^ 0 ) ^ im mit Q. rotierenden Z-System: niH z^s = mn ^^

z^s - dn

{z^s + {^H - SH)(I> COS (j))

- kH {zXs + i^H - SH) sm(j)-lF)-\-h-

fnng cos Qt

f^H z'ts = A2 1

^^fe-/zz)sin2(/)

Iyy(i>

- kn {zXs + {^H - SH) sin (p - IF) {in - SH) COS (j)

(8.49)

- dn {zXs + {^H - SH)(P COS (j)) {IR - SR) COS (p -

XISH COS (p -\- X2SH sin (p

0

= zXs -bH-SH

0

=

sin (p

zZs-aH-SHCOS(p.

Dies ist ein differenzial-algebraisches Gleichungssystem vom Index 3. Fiir eine Simulation unter MATLAB ist es in ein Index-1-Problem zu iiberfiihren. Hierzu miissen die Bindungsgleichungen zweimal nach der Zeit differenziert werden, also 0 = z^s — SH{(P COS (p — (j)'^ sin 0) 0=

z'Zs-\-SH{-\-(I>^

cos (j)).

(8.50)

Statt der auf Lageebene basierenden Bindungen in (8.49)4,5 sind die auf Beschleunigungsebene basierenden (8.50) zu verwenden. Eine semi-explizite Form erhalt man, wenn auf der linken Seite der obigen drei Differenzialgleichungen nur die zweiten zeitlichen Ableitungen stehen, d. h.

8.4 Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage

347

wir miissen durch TUH bzw. lyy dividieren. 8.4.4

Das M-File, erste Ergebnisse

Zu 2): Da wir die Parameter aus Tabelle 8.2 einerseits im M-File fiir die Simulation unter MATLAB und andererseits fiir die unter Simulink benotigen, ist es zweckmaBig, das separate M-File H e b e l _ D a t e n . m in [59], das alle gemeinsamen Parameter enthalt, anzulegen. Auf der Basis des unten abgedruckten Programmausschnittes aus R e b e l .m folgen einige Bemerkungen: Mit dem Aufruf von H e b e l _ D a t e n werden die Parameter in den Workspace geschrieben und sind somit in R e b e l . m verfiigbar. Zum Transfer in die Function der Differenzialgleichung (8.49) aus [59] sind sie teilweise als globale Variable zu vereinbaren. Die konsistenten Anfangswerte p(0), p(0) konnen wir ausgehend von <^o. <^o berechnen. Da wir eine DAE mit singularer aber konstanter Massenmatrix M bearbeiten, muss diese Option aufgenommen werden und M gleichzeitig im Hauptprogramm formuliert werden. Als Integrator bieten sich ode23t und odelSs an. Die restlichen Programmzeilen - vgl. auch R e b e l .m - sind selbsterklarend. Dies gilt auch fiir die Function f h e b e l . m, in der (8.49) mit den Bindungsgleichungen (8.50) zu programmieren sind. Ausschnitt aus R e b e l . m, [59]: global m_H Ixx lyy Izz ell_H b_H Om g k_H s_H d_H IF % Parameter: Hebel_Daten % Parameter einlesen % Massenmatrix M = diag([l 1 1 1 1 1 00]); % Massenmatrix % Anfangszustande phi=phi_0; % Hebelwinkel, phi_0 oben gegeben phi_p=0; % Hebelwinkelgeschw. xs=b_H+s_H*sin(phi); % Schwerpunktskoordinaten zs=a_H+s_H*cos(phi) ; xsp=s_H*phi_p*cos(phi); % Translat.-Geschwindigkeiten zsp=-s_H*phi_p*sin(phi) ; % Anfangswerte yO=[xs; zs; phi ; xsp; zsp; phi_p; 0; 0]; % Anfangswerte o, o

tspan=[0 1]; % Integrationsintervall options = odeset('Mass',M,'MassSingular','yes','RelTol',1.Oe-5); [t,y] = ode23t(Qfhebel,tspan,yO,options); % Int.-Aufruf

In Bild 8.26 ist ein Einschwingvorgang aufgezeichnet. Danach schwingt der Hebel infolge der Dampfung in seine stationare Lage zuQ. = 250 rad/s. Weil der Gewichtseinfluss des Hebels sehr gering ist, unterscheidet sich die stationare Lage nur unwesentlich von der Gleichgewichtslage im schwerelosen Zustand (g = 0). Die GroBen Ai, A2 sind nach (8.48) bzw. (8.49) Bindungskrafte, die hier in SH angreifen und in die positiven Koordinaten-Richtungen von z^s^ zZs des mitdrehenden Z-Systems weisen, die dritte Komponente (8.48)3 entspricht einem Moment um die zy^-Achse, so dass die Bindung im Gelenk 0// eingehalten wird. Eine Reduktion der Krafte von SH in das Gelenk 0// zeigt, dass Ai, A2 gleichzeitig die Gelenkkrafte sind. Wir vergleichen die Krafte spater mit einem Ergebnis aus dem modellbasierten Entwurf.

348

8 Projekte

^ 23 E ^ 26 to

X 24 E

l/W\/\/V\AAAAAA/vN^^v

16

• 0.5 "0.4

0.4

0.6 Zeit t [ s ]

Bild 8.26: Simulationsergebnis zum Hebelmechanismus

8.4.5

Modellbasierter Entwurf

Zu 3): Erganzend zum Hebelmechanismus von Bild 8.25 sei jetzt die Gleithulse massebehaftet und bewegt sich, wie in Bild 8.24, gegen ein Feder-Dampfer-Element (k, d). Die zugehorigen Parameter sind direkt im Block-Modell Hebe I s m . mdl aus [59] eingetragen. Wir machen einige Erklarungen zum Block-Modell Hebe I s m . mdl nach Bild 8.27: Der Koordinatenursprung 0 des Inertialsystems (/, World) fallt mit dem des drehenden Z-Systems in Bild 8.25 zusammen. Die Ursprlinge der korperfesten Koordinatensysteme u. a. in 0//, am Hebelende und auf der Gleithulse lassen sich unmittelbar mit Hilfe der Abmessungen im drehenden System fiir ^ = 0 angeben, vgl. Bild 8.28. Bei der Modellierung gehen wir von einem Dreikorpersystem aus Rotor, Hebel, Gleithulse aus, jedem Korper ist ein Body Block zuzuordnen. Die Zwangsdrehung des Rotors - Winkel, Winkelgeschwindigkeit, -beschleunigung - erzeugen wir mit dem Embedded MATLAB Function Block^ Die Anbindung zur SimMechanics-Umgebung erfolgt mit dem Joint Actuator Block. Die Rotorlagerung ist das Drehgelenk (Revolute) mit einer Verbindung zur Umgebung (Ground Block) und einer zum Body Block des rotierenden Rotors. Die Ports CSS, CS4 entsprechen den Ursprlingen der Koordinatensysteme von Gelenkpunkt 0// und Gleithulse. Demzufolge schlieBen sich hieran die Basen (B) des Drehgelenks (Revolutel) und des Schubgelenks (Prismatic) an. An (F) folgen dann der Hebel (Bodyl) und die Gleithulse (Body2). SchlieBlich sind noch die Feder-Dampfer-Elemente einerseits zwischen zwei Body Blocken, andererseits zwischen Gleithulse und Ground - Dreh- und Inertial-Achse fallen zusammen - einzubringen. Die restlichen Komponenten konnen als bekannt vorausgesetzt werden. Das Datenfile H e b e l _ D a t e n . m muss vor dem Start ausgefiihrt werden, hierzu tragen wir den Filenamen 1 Simulink 6; bei Vorgangerversionen ist eine andere Modellierung zu wahlen

8.4 Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage

349

unterModel Properties/Callbacks ein. Rotor, drehende Basis vergleiche auch Analysis mode: Trimming

Environment

r

Rotorlager

Ground

Clockl

b

V

—•

Joint Actuator I r EEmbedded Constant2 MATLAB Function

CS3H—I

Dreligelenk 0_H

- H | C S ^

tt

Body

icH

—• Scope

•a CS1^CS2[B-

Joint Initial Condition

Zwangs-Drehung der Basis Scope2 MATLAB in der Ingenieurpraxis Simulation mit SimMechanics RIe: Hebelsm.mdl Parameter-File: HebeLDaten.m Letzte Anderung 09-Sep-2006 13:42:37

I

k_H, d_H

rOi

T:

I Body Spring & Damper GleithiJIse Bocly2

CS2^CS1

I L Reaktionskraftri ^^

^ Joint Spring & Damper Daten zum Kraftevergleich siehe Hebel.m

Fur Trimming-Mode !<>= 10 N/m!

Bild 8.27: SimMechanics-Modell zum Hebelmechanismus

Fefer

0

Gleithiilse

Bild 8.28: Automatische Modellgeneriemng im Visualisiemngsfenster

8.4.6

Vergleich der Ergebnisse bezuglich der Gelenkkrafte

Zu 4): Die Ergebnisdiskussion fiihren wir anhand der Gelenkkrafte in 0//. Sie werden in der Dialogbox zum Joint Sensor 1 durch Auswahl von R e a c t i o n f o r c e an den Port gelegt und mit dem Scope2 zur Anzeige gebracht sowie zusatzlich in den Workspace geschrieben. Die Kraftkomponenten einschlieBlich deren Vorzeichen beziehen sich auf das World-System, welches die Drehung Q nicht mitmacht. Demgegeniiber beziehen sich die Krdfte X\, A2 aus der vorangegangenen Simulation auf das Z-System. Wahlen wir zum Vergleich das World-System, dann miissen die X]^ transformiert werden. Beschranken wir uns auf die Krafte in der x, y-Ebene, dann bedeutet dies iFx = Ai cos Q.t^

iFy = Ai sin Q.t.

8 Projekte

350

Die programmseitige Darstellung, der grafische Vergleich und Verfahrenshinweise sind in R e b e l . m angegeben. Bild 8.29 zeigt ein Ergebnis. Danach erhalten wir - wie zu erwarten - iibereinstimmende Verlaufe. Die Parameter und Anfangswerte der GleithUlse miissen allerdings so abgestimmt sein, dass dadurch das Schwingungsverhalten nur unwesentlich beeinflusst wird, d. h.

5000 -MATLAB •

'••

-5000

0

^

^^ ;

••

. :

r.

r

; •

;^ ••

^ '

:\

.•

••'

='.

'•''

' "

0.1

;".

; 1

1

0.2 0.3 Zeit t [s]

y

SimMech |

'^

••• '^ V V

0.4

0.5

Bild 8.29: Vergleich der Gelenkkraft jFy aus beiden Modellierungen

8.4.7

Stationare Lage, die Trimming-Methode

Zu 5): Die Analyse-Methode Trimming (vgl. Machine Environment Block) bestimmt in Abhangigkeit von anfanglichen Storungen eine mogliche stationare Losung oder eine Gleichgewichtslage. Da sich in unseren Fall die GleithUlse ungehindert auf der Rotorlangsachse bewegen kann, existieren zwei stationare Lagen, d. h. die Hiilse kann sich einerseits auf der positiven, andererseits auf der negativen zZ-Achse befinden, dementsprechend folgt der Hebel. Welche Lage sich einstellt, hangt u. a. von den vorgegeben Anfangswerten ab. Einen tJberblick bezuglich moglicher Lagen erhalten wir am einfachsten fiir den schwerelosen Zustand (g = 0) mit (8.49). Zu der jetzt existierende Gleichgewichtslage (Index 0) verschwinden die zeitlichen Ableitungen in (8.49). Wir lesen direkt ab: ho = 0,

zZso =aH-SH cos 0o .

Die restlichen drei GroBen in po =

{Z^SQ^ (I>O,

^lo)^ folgen aus der nichtlinearen Vektorfunktion

ruH Q^ zXsQ - kH {zXsQ + {iH - SH) siu (po - IF) + Aio ^f22(/,_,-/,,)sin20o/(Po) = kn {zXsQ + {iH - SH) sin (po-lf) {^H - SH) COS (po - XIQSH L zXsQ -bn-SH sin 0o

(8.51)

COS <^O

Ausgehend von Schatzwerten zur Gleichgewichtslage konnen wir (8.51) mit Hilfe des NEWTONVerfahrens naherungsweise losen. Hierzu bilden wir die TAYLOR-Entwicklung bis zum linearen Glied

/(po + Ap)=/(po) + Ap = 0, Po

(8.52)

8.4 Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage

351

woraus sich die Verbesserung Po

(8.53)

fipo)

errechnet. Hiermit schreiben wir die Iterationsfolge

Apt' PI

•J-\pt)m PV-

k-l\

)^ /regular

(8.54)

-Apr

an, wobei / = df /dpo und /(po) mit den Werten aus dem k—\ Schritt zu bilden sind. /(po) und J{PQ) berechnen wir z. B. symbolisch (oder analytisch). Die zugehorigen Schritte sind in dem Programm G l e i c h _ L a g e . m [59] nachzulesen. Wir erhalten die Ergebnisse 00

0,525 rad?:^ 30° , , 2.616 rad ^ 150

zxs, = 0,026 m,

Aio = 2845,6 N,

sie entsprechen in etwa den Mittelwerten der stationaren Losungen nach der Trimming-Methode. Damit sich stets eine definierte stationare Lage einstellt, ist es sinnvoU, die Bewegung der Gleithiilse zu begrenzen.

8.4.8

Der Verdichter als SimMechanics-Modell

In K l i m a _ V e r d . m d l aus [59] ist der vollstandige Verdichter mit sieben Kolben und Arbeitsprozessen aus /^V-Diagrammen modelliert. Bild 8.30 zeigt eine Momentaufnahme der Simulation im Visualisierungsfenster.

Schragscheibe

Hebel

Rotor

Bild 8.30: SimMechanics-Modell des Verdichters, stehende Anordnung

352

8.5

8 Projekte

Dreifachpendel

Schlagworte: Lagrange'sche Gleichung 2. Art, Newton-Euler-Formalismus, symbolische Auswertungy Ubergang zur Numerik, Animationsmodell, Linearisierung, M-File, physikalisches Modell unter SimMechanics, Vorwdrtsdynamik, Inverse Dynamik Programme: Drei_Rm, Drei_PNE.m, fDrei_Rm, om_tilde.m, Drei_Psm.mdl, Drei_Psm_Lmdl Die nichtlinearen Schwingungen des skizzierten symmetrischen Dreifachpendels sind ausgehend von unterschiedlichen Anfangswerten zu untersuchen. Fiir die Simulation unter MATLAB sind insbesondere die Herleitung der Bewegungsgleichungen nach Kapitel 2 mit der Computeralgebra nacli Abschn. 1.7 und die Animation der Schwingungen auf der Basis von Abschn. 1.5.3 vorzunehmen. Diese Ergebnisse sind denen aus einer physikalischen Modelliemng unter Simulink mit Hilfe der SimMechanics Toolbox nach Kapitel 7 gegeniiberzustellen.

Bild 8.31: Dreifach-Pendel: Demo-Modell, Skizze mit Bezeichnungen Tabelle 8.3: Parameter zum Dreifachpendel Hauptpendel Masse Drehtragheit bezuglich Si Schwerpunktsabstand Lagerabstand Oi ,02, Oi ,03

0.613 1.6410-2 0.1065 0.18

kg kgm^ m m

Nebenpendel Masse Drehtragheit bezuglich ^2, ^3 Schwerpunktsabstand

m2 = mi,

C2=C3 S2=S3

Erdbeschleunigung

Im Einzelnen sind folgende Punkte zu bearbeiten:

8

0.210 kg 6.53 10-4 kgm^ 0.1145 m 9.81

m/s^

8.5 Dreifachpendel

353

1. Leiten Sie die Bewegungsgleichungen symbolisch mit Hilfe a. der LAGRANGEschen Gleichung 2. Art nach Abschn. 2.4 b. des NEWTON-EULER Formalismus nach Abschn. 2.3.1

her, erstellen Sie fiir jede ModeUierung ein M-File und vergleichen Sie die Ergebnisse. 2. Schaffen Sie einen tJbergang zur Numerik nach Abschn. 1.7.9. Binden Sie die numerische Integration der Bewegungsgleichungen ins Programm ein und erstellen Sie die Function der Differenzialgleichungen. 3. Erstellen Sie ein Animationsmodell des Pendels auf der Basis der Einzelteile nach Bild 8.32, vgl. Abschn. 1.5.3. 4. Fiihren Sie fiir unterschiedliche Anfangswerte, z. B. (jpi = 0, (pi = (P3 = 7i; (pk = 0, einige Simulationen durch und beurteilen Sie die Schwingungen. 5. Modellieren Sie das Dreifachpendel unter Simulink mit der SimMechanics Toolbox und fiihren Sie eine Vorwartsdynamik durch, vgl. Kapitel 7. 6. Beurteilen Sie die Gelenkmomente, wenn die Nebenpendel eine gleichformige Drehung mit (Pj = {—ly {j — I) Q t, J = 2, 3 vollfiihren und das Hauptpendel um (pi = 7t/^ verdreh ist - inverse Dynamik -.

380

3^2,3

3^1

^=180 mm

, \

.10^

\ V Kr•020x20

^

•^2,3

130

Iri J50 1

1

L

253

V

n20x20

50

U—

75

-75J Bild 8.32: Pendel-Abmessungen, MaBe in mm Das System hat 3 Freiheitsgrade (/ = 3). Als generalisierte Koordinaten (Minimalkoordinaten) wahlen wir die in Bild 8.31 eingezeichneten Winkel (pt jeweils gegen die Vertikale der Gleichgewichtslage gemessen, womit der Koordinatenvektor q = ((pj^ (jf>2, (ps) ,

Minimalkoordinaten

(8.55)

fest liegt. Die Bezugspunkte der korperfesten Koordinatensysteme sollen mit den Massenmittelpunkten (Schwerpunkten) der Korper zusammenfallen.

354

8 Projekte

8.5.1

Lagrange'sche Gleichung 2. Art

Zu la): Der Vorgehensweise liegen die Gmndlagen aus Abschn. 2.4 zu Gmnde. Die Ortsvektoren r^. vom Koordinatenursprung Oi zu den einzelnen Schwerpunkten Sj lauten: Korper 1-3: r^j,= (-^1 sincpi, - ^ i cos(pi, O)'^ rs2= {—icoscpi — S2sin(p2j ^sincpi — S2COS(p2j 0)

(8.56)

Ts^ = {£ COS (pi — S3 sin (pi,, —£ sin cpi — si, cos (P3, 0)

.

Die Absolutgeschwindigkeiten r^. ermitteln wir symbolisch drs^ . r,, = ^ ^ 1 drsj dvs.

. . drs^ . Oder r,, = — ^ , drs.

MATLAB: (Version 1 mit dem diff Befehl oder Version 2 mit Hilfe der JACOBI-Matrix jacobian) v_Sl=diff(r_Sl,ql)^qlp; v_S2=diff(r_S2,ql)^qlp+diff(r_S2,q2)^q2p; v_S3=diff(r_S3,ql)^qlp+diff(r_S3,q3)^q3p; Wegen der ebenen Bewegungen lauten die Winkelgeschwindigkeitsvektoren nach Bild 8.31 (Oi = (0, 0, -(Pif,

/ = 1,2, 3 .

(8.58)

Die Tragheitstensoren // bezuglich der korperfesten Hauptachsen in St haben Diagonalgestalt /,• = diag(A,-, Bi, Q),

/ = 1, 2, 3,

(8.59)

wobei in die Bewegungsgleichung nur Q eingeht. Damit konnen wir die kinetische Energie T = T1+T2 + T3 T = - {mir\ Vs, + m2r]^ r.2 + m^^r]^ r^, +

(DJIICOI

+ £o|/2fi)2 + coj/s^s)

(8.6

und die potentielle Energie V = Vi-\-V2-\-V3 infolge der Erdbeschleunigung g V = - m i (0, - g , 0) r,j - m2 (0, - g , 0) r,, - m^ (0, - g , 0) Vs,

(8.61)

angeben. Da keine weiteren eingepragten Krafte/Momente auftreten und dariiber hinaus T nicht explizit von der Zeit t abhangt, lautet die LAGRANGEsche Gleichung nach (2.112) fiir eine symbolische Auswertung

d^Kd^j ^ + a , U J ^ n ^ ^ '

='

''-''^

8.5 Dreifachpendel

355

Oder kurz M{q)q + f{qA)

=0.

(8.63)

Zur Ermittlung der Massenmatrix M sowie der Vektorfunktion / in (8.63) dient der Programmausschnitt von D r e i _ P . m aus [59], die Gleicliheit der Nebenpendel wird durch Substitution der GroBen des 2. Nebenpendels (ms, ^s-s, C3) erreicht. % kinetische Energie vgl. Drei_P.m T=l/2*(ml*v_Sl.'*v_Sl+m2*v_S2.'•v_S2+m3*v_S3.'*v_S3+... oml.'*I_l^oml+om2.'*I_2*om2+om3.'^I_3*om3); % potentielle Energie V=-[0, -g, 0]•(ml*r_Sl+m2*r_S2+m3*r_S3); % gleiche Nebenpendel, s3=s2 usw. T=subs (T, {s3,m3,C3}, {s2,m2,C2}); % Substitution V=subs(V,{s3,m3},{s2,m2});

%

Ausdriicke vereinfachen

T=simple(simple(T)); V=simple(simple(V)); % Ableitungen fiir LAGRANGEsche Gleichung 2. Art dTdv=simple(jacobian(T,q_p).'); dTdq=simple(jacobian(T, q) . ' ) ; dVdq=simple(jacobian(V,q).'); % Elemente der Bewegungsgleichung M*q_pp + f = 0, f = K^q_p + h M=simple(jacobian(dTdv,q_p)); % Massenmatrix K=simple(jacobian(dTdv,q)); % Geschw.-Term h=simple(simple(dVdq-dTdq)); % Vektorfunktion h f=K*q_p+h; % f(q,q_p)

8.5.2

Newton-Euler-Formalismus

Zu lb: Die Grundlagen stehen in Abschn. 2.3.1. Das Pendel besteht aus N = 3 starren Korpern, der Koordinatenvektor ^ nacli (8.56) gilt weiterhin. Die NEWTON-EULER Gleichung nach (2.97) lautet:

E [ 4 (Pi - fei) + Jl {i^i - "^e,)] = 0.

(8.64)

(=1

Fiir die JACOBI-Matrizen der Translation Jy;. und der Rotation JR. gilt

Da ein ebenes Problem vorliegt und wir die Massenmittelpunkte Sj als Bezugspunkte gewahlt haben, vereinfachen sich die zeitlichen Ableitungen - vgl. (2.98) - fiir den Impuls p und Drall L Pi = rriiK,

Li = Ii6)i.

(8.66)

8 Projekte

356

Die eingepragten Krafte/Momente werden durch die Gewichtskrafte verursacht / , . = (0, -niig,

0)^;

(8.67)

m,. = 0.

Wegen der ebenen Bewegung konnen wir von der reduzierten Gleicliung (2.99) - der mittlere Term verschwindet - ausgehen:

'1

Ml 0

0 M2

fe Me

Zl

0

(8.68)

mit den an (2.100)-(2.107) angepassten Matrizen fmN / = (^rp JT2^ JT3^ JRI^ JR2^ JRS)

= {^T^ JR)

M l = diag(miE3, m2^3, m s ^ s ) ;

M i G M^'^,

M2 = d i a g ( / i , / 2 , / 3 ) ;

M2GM^'^

Zl = (rj^, rj^, r J J

zi G M^

Z2 = (ft)}, fi>2 7 ^ 3 ) /

T*

T*

T* \ A

fe = (/gp /^2' -^^3/ m.

; '

'^

/ G M ' ,

E3 G M^'^

(8.70)

(8.72)

(CO; jeweils in der korperfesten Basis), (8.73)

Q

(8.74)

fe^^^

;

(8.69)

(8.71) (inertiale Basis)

Z2 G R^,

'

/ T T T\^ [m^^, m^^, m ^ J

= 3 und / = 3:

(8.75)

m^ G

ausgelien. In den Ortsvektoren (8.56) sowie den Geschwindigkeitsvektoren (8.57) tritt die Zeit t nicht explizit auf - holonome, skleronome Bindungen - , d. h. Zl = Zi{q),

Zl = Zi{q,q),

Z2 = ZiiqA)

•

Die zeitlichen Ableitungen lassen sich mit (8.65), (8.69) in der Form Zl = Jrq

und

zi =JT q -\- Jrq^

Z2 = JRq

und

Z2 =JRq + JRq

(8.76)

schreiben. Setzen wir (8.76) noch in (8.68) ein, dann folgt J^W^Jq

+ J^WJq

- J^fe me

0

(8.77)

mit der Blockdiagonalmatrix M^ = diag(Mi, M2) aus (8.68). Die Elemente M, / aus (8.63) sind mit (8.77) direkt zuzuordnen. Der folgende Programmausschnitt von D r e i _ P N E . m aus [59] zeigt die symbolische Ermittlung der Elemente der Bewegungsgleichung (8.77) in der Form von (8.63). % JACOBI-Matrizen der Translation Drei_PNE.m J_T1=jacobian(v_Sl,q_p); % oder J_T1=jacobian(r_Sl,q);

8.5 Dreifachpendel

357

J_T2 = jacobian (v_S2, q_p) ; J_T3 = jacobian (v_S3, q_p) ; % JACOBI-Matrizen der Rotation J_Rl=jacobian(oml,q_p); J_R2=jacobian(om2,q_p); J_R3=jacobian(om3,q_p); % Elemente der Bewegungsgleichung Gesamt-JACOBI-M. J=[J_T1;J_T2;J_T3;J_R1;J_R2;J_R3]; % Massenmatrix Massen-M., Transl. Ml=blkdiag(ml^eye(3), m 2 * e y e ( 3 ) , m3*eye(3) Massen-M., Rotat. M2=blkdiag(I_l, I_2, I _ 3 ) ; Gesamt-Massen-M.^^ M_star=blkdiag(Ml,M2); Massenmatrix M=J.'•M_star*J; vereinfacht M=simple(simple(M) ) ; gleiche Nebenp. M=subs(M,{s3,m3,C3},{s2,m2,C2}); % zeitl. Ableitung der JACOBI-M. J J_p=diff(J,ql)*qlp+ diff(J,q2)^q2p+ dif f(J,q3)^q3p; % zeitl. Abl. gf=simple(simple(J.'*M_star*J_p*q_p)); % Vektorfunkt. gf % eingepragte Krafte und Momente F1=[0; -ml*g; 0 ] ; F2=[0; -m2*g; 0 ] ; F3=[0; m3*g; 0 ] ; f_e=[f_el;f_e2;f_e3]; % Kraftvektor m_e=zeros(3*frg, 1) ; % Momentenvektor kf=J.'•[f_e;m_e]; % Projektionen f=simple(simple(gf-kf)) ; % f(qfq_p) f=subs(f,{s3,m3,C3},{s2,m2,C2}); % Subs titution (gleiche Nebenp.)

Damit erhalten wir die Elemente in der Form von (8.63) (Ausgabe: l a t e x (M) usw.): misp' -\-2m2f' -\- Cj M

—m2 ls2 sin(^7 — ^2)

—m2 ls2 sin(^7 ~ ^2) m2 ls2 sin(^i — Q.3)

^2 ls2 sin(^7 — qs)

C2-\-ni2 s^^

0

0

C2-\-ni2 S2^

S2 m2 cos {qj — q2) q^l — S2 m2 43I cos {qj — ^5) + gmj sj sin (qj)

f

-821712 {qjl COS {qj-q2)-g S2m2 {qjl cos {qi-q3)-\-g

Mit dem Zustandsvektor x {q^, q^y, Zustandsgleicliung

sin {q2)) sin (qj))

X e R^^ ist aus (8.63) bzw. (8.77) die nichtlineare

M{q)-'f{q,q) abzuleiten, sie muss numerisch ausgewertet werden.

(8.78)

358

8 Projekte

8.5.3

Ubergang zur Numerik und Integration

Zu 2.: Bevor wir (8.78) in der Function der Differenzialgleichung ( f D r e i _ P .m) auswerten, substituieren wir bereits im Hauptprogramm die Symbole der Systemparameter durch die numerischen Werte und bilden gleichzeitig f^ = M~^f, das Ergebnis ist vom Typ sym: % %

P a r a m e t e r fiir S i m u l a t i o n Hauptpendel ml=0.613; sl=0.1065; 1=0.18; Cl=l.6408e-02; % Nebenpendel m2=0.210; s2=0.1145; C2=6.53e-04; g=9.81; % Parameter substituiert M=subs(M); f=subs(f); f_star=inv(M)*f;

% Masse % Schwerpunktsabstand % Lagerabstand, Quertraverse % Massentragh. bez. Schwerpunkt % % % %

Masse Schwerpunktsabstand Massentragheitsmoment Erdbeschleunigung

% Massenmatrix % Vektorfunktion % Vektorfunktion M^(-l)*f

Die Vektorfunktion f _ s t a r ist immer noch exakt dargestellt, dadurch werden die Zalilenwerte z. T. aus IntegergroBen - vgl. mit s u b s ( s u b s (M) ) -, oft mit hoher Stellenzahl, gebildet; beim tJbergang zur Numerik wird gerundet. Bei groBeren Systemen kann es iibersichtlicher sein, die Zalilenwerte teilweise auszuwerten und in Gleitkommazahlen ( c l a s s sym) darzustellen. Hierzu dient die Variable precision arithmetic (vpa), z. B. mit dem Aufruf fiir 16 Stellen digits (16) ; M=vpa (M)

oder kurz

M=vpa (M, 1 6 ) .

Das Ergebnis ist weiterliin vom Typ sym - vgl. auch Abschn. 1.7.9 -. Damit bei der Animation der Schwingungen eine zeitgetreue Bewegung entsteht, walilen wir gleiche Zeitinkremente fiir die Berechnung des Zustandsvektors, z. B. ta=0; te=60; % Startzeit/Endzeit tspan=linspace(ta,te, (te-ta)/O.015); % Zeitv., gleiche Zeitdifferenzen

Mit dem Integratoraufruf organisieren wir auch die tJbergabe von f _ s t a r entsprechend (8.78) [t,

y]=ode45(@fDrei_P,tspan,yO,options,f_star);

wobei zuvor die Anfangswerte und Optionen festgesclirieben werden miissen. Die Function der Differenzialgleichung hat damit Standardform, wobei wir den symbolischen GroBen qt, qi, 1 = 1, 2, 3 in f _ s t a r die Elemente des Zustandsvektors (hier x) zuweisen miissen - zweckmaBiger ware eine Umbenennung im Hauptprogramm, vgl. m a t h p _ l . m, DAE_KKL . m -. Der tJbergang zur Numerik erfolgt dann durch eval- oder subs-Auswertungen. function xp = fDrei_P(t,x,f_star) % zu substituierende GroBen ql=x(l); q2=x(2); q3=x(3); qlp=x(4); q2p=x(5); q3p=x(6); xp=[x(4:6); -eval(f_star)];

% Differenzialgleichung

8.5 Dreifachpendel 8.5.4

359

Animationsmodell

Zu 3.: Die Einzelpendel beschreiben wir, wie in Absclin. 1.5.3, durcli geschlossene Polygonzuge. Hierzu fiihren wir die in Bild 8.33 angegebenen Knoten ein. Die Positionen der Knoten (x/, yt) 2/2,3

Xi

t /7

10 ^2,3

2"

2/1

11

1,^

12

8

K 1,6

3'

13

2

4

3

Bild 8.33: Knoten der Pendelelemente zur Erstellung des Animationsmodells in dem xi, j i — und X2, J2—Achssystem sind Elemente der zur grafischen Darstellung benotigten Vektoren: Hauptpendel: xi = ( - 1 0 , - 3 7 . 5 , - 3 7 . 5 , 3 7 . 5 , 3 7 . 5 , - 1 0 , - 1 0 , 1 9 0 , 1 9 0 , - 1 9 0 , - 1 9 0 , 1 0 , 1 0 ) ^ yi = ( - 2 6 3 , - 2 6 3 , - 3 3 8 , - 3 3 8 , - 2 6 3 , - 2 6 3 , - 1 0 , - 1 0 , 1 0 , 1 0 , - 1 0 , - 1 0 , - 2 6 3 )^ Nebenpendel: X2 = ( - 1 0 , - 2 5 , - 2 5 , 2 5 , 2 5 , 1 0 , 1 0 , - 1 0 , - 1 0 , 1 0 ^ y2 = ( - 1 3 0 , - 1 3 0 , - 1 8 0 , - 1 8 0 , - 1 3 0 , - 1 3 0 , 1 0 , 1 0 , - 1 3 0 , - 1 3 0 ) ' ^ Pendel-Lager XL=

(50,-50,-10,10,50)'^

yL=

(50,50,-8,-8,50)^.

Zur Darstellung des Pendels im xi,yi-Achssystem sind zusatzlich die Verschiebungen in die Anlenkpunkte 02,3 der Nebenpendel, Bild 8.31, additiv hinzuzufugen und gegebenenfalls die Lagerorte z. B. durch Kreise zu kennzeichnen. Die Animation baut auf den Losungen (Pkiu), ^ = 1,2,3 zu den Zeitpunkten tf auf. Um die Bewegung der Pendelelemente zu alien tt darzustellen, fiihren wir die Drehmatrix Tk{ti)

cos (pk{ti) - sin (pk{ti)

sin (pk{ti) cos (pk{ti)

k= 1,2,3,

i=

1,2,3,.,,

360

8 Projekte

ein. Die zeitabhangigen Pendelkoordinatenxy^, y^ geniigen dann: Hauptpendel:

L yjiti)

Tiiti) Null-Lage

Nebenpendel:

[ m)

Tk{ti)

4' Null-Lage

^Ti{ti)

0

k = 23.

Lage von 62,3

Die MATLAB-Umsetzung geben wir hier fiir das Nebenpendel 2 an. Der vollstandige Code ist in D r e i _ P . m bzw. Drei_PNE . m [59] zu finden. % A n i m a t i o n d e r Bewegung v g l . D r e i _ P . m , Drei_PNE.m % D r e i f a c h - P e n d e l , G e o m e t r i e , MaBe i n mm lq=1000.0*l; % Q u e r t r a v e r s e i n mm % N e b e n p e n d e l 2, 3 ( l i n k s , r e c h t s ) N u l l - L a g e x 2 = [ - 1 0 , - 2 5 , - 2 5 , 2 5 , 2 5 , 10, 1 0 , - 1 0 , - 1 0 , 1 0 ] ; y 2 = [ - 1 3 0 , - 1 3 0 , - 1 8 0 , - 1 8 0 , - 1 3 0 , - 1 3 0 , 10, 1 0 , - 1 3 0 , - 1 3 0 ] ; figure (1), elf % StandardgroBe set(gcf,'NumberTitle','off,'Name','Animation','MenuBar','none') % Nebenpendel 2 (links) h2=fill(x2-lq,y2,[0.9 0.9 0.9]); % Null-Lage + Farbe hL2=plot(-Iq,0,'o','markerfacecolor','w') % Lagerbolzen axis(2.0*[-Iq Iq -Iq Iq] ) ; axis equal, L=axis; axis off set (gca,'Visible' , 'off )

Achsskalierung Achsen ausblenden

% Losungsvektor y=(phi_l, phi_2, phi_3, phi_lp,...) set(gca,'Drawmode','Fast'); % Zeichenmodus numframes=length(y); % Anzahl Zeitschritte for count=l:numframes % Animationsschleife % Hauptpendel phi_l=y(count,1); % Winkelsignal phi_l Tl=[cos(phi_l) sin(phi_l); -sin(phi_l) cos(phi_l)]; % Drehmatrix % Nebenpendel 2 phi_2=y(count,2); % Winkelsignal phi_2 Xq=Tl*[Iq;0]*ones(1,length(x2)); % Lage von 0_1, 0_2 T2=[cos(phi_2) sin(phi_2); -sin(phi_2) cos(phi_2)]; % Drehmatrix XY2=T2*[x2;y2]-Xq; % gedrehte Koord. set (h2, 'xdata' , XY2 (1, : ) , 'ydata' , XY2 (2, : ) ) ; % Dateniibergabe

8.5 Dreifachpendel

361

set(hL2, 'xdata',-Xq(l,1),'ydata',-Xq(2,1));% Lagerbolzen axis(L) % gleiche Achsskalierung pause(0.015) % Zeitverzogerung + Bilderneuerung end;

8.5.5

Schwingungsverhalten

Zu 4.: Zur Interpretation der Schwingungen betrachten wir vorab kleine Schwingungen A(p/ um die Gleicligewiclitslage (p/ = 0, cp/ = 0, / = 1,2,3. Hierzu linearisieren wir die Bewegungsgleichung (8.63) - vgl. Abschn. 2.5 P(^, q^ q) '= M{q)q + f{q, q) = 0 um die Gleichgewichtslageq =0. Die TAYLOR-Reihenentwicklung bis zumlinearen Termergibt p{q, q, q) ^ p(0, 0, 0) + | | | o A ^ + | | | , A 4 + | ^ | , A ^ ^ 0 bzw. wegenp(0, 0, 0) = 0 M ( 0 ) A ^ + | | | o A 4 + | ^ | o A ^ = 0, so dass die lineare Variationsgleichung AfoA^ + PA^r + QA^ = 0 vorliegt. Die Koeffizienten-Matrizen MQ, P , G sind konstant; wir ermitteln sie symbolisch: f_qp=jacobian(f,q_p); % JACOBI-Matrizen f_q=jacobian(f, q) ; % Gleichgewichtslage ql=0; q2=0; q3=0; qlp=0; q2p=0;q3p=0; qlpp=0; q2pp=0;q3pp=0; M_0=subs(M); % Gleichgew.-Lage Q=subs(f_q); % eingesetzt -> P=subs(f_qp); % M_0*ypp+P*yp+Q*y=0 % E i g e n w e r t e fiir P=0 i f a n y ( P ( : ) ) == 0, e = s q r t ( e i g ( Q , M _ 0 ) ) , end % y = v * c o s ( o m e g a ^ t )

Es ergibt sich: M_0 =

Q =

3.6969e-002 0 0 6.4044e-001 0 0

0 0 3.4062e-003 0 0 3.4062e-003,

0 2.3588e-001 0

0 0 2.3588e-001

P = 0 0 0

0 0 0

0 0 0

362

8 Projekte

Danach waren alle Einzelpendel voneinander entkoppelt. Mit iSq = m nach Kapitel 3 V cos folgen unmittelbar die Eigenwerte coi = 4.1622 rad/s, (O2 = 8.3218 rad/s, CO3 = 8.3218 rad/s . Das linearisierte System ist also bezuglich der Gleichgewichtslage grenzstabil (schwach stabil). Aufgrund der Entkopplung miissten wir z. B. ein Nebenpendel anfanglich auslenken konnen, so dass es mit seiner Eigenkreisfrequenz schwingt, ohne die anderen dadurch anzuregen. Wir woUen klaren, ob dies auch fiir das nichtlineare System gilt und geben die speziellen (kleinen) Anfangswerte 0, (p2 = l / 1 8 . ; r , (?i = 0 (jPl = (jP3 vor. Die sich einstellenden Schwingungen sind in Bild 8.34 dargestellt. Demnach verhalt sich das nichtlineare System nur iiber ein kurzes Zeitintervall 0
0

10

20

30

liiiiilPi mTMii/iniifiTmiimimyiTiiM

0

10

20

0

10

20

40

50

40

50

40

50

60

MTirm

30

30 Zeit t [sec]

Bild 8.34: Nichtlineare Schwingungen nach kleinen Anfangsauslenkungen, (pi{t) in rad Die LjAPUNOVschen Stabilitatssatze, vgl. [15], losen das Problem. Wir geben eine allgemeine Formuliemng an: • Ist das z\xM{q)'q = /(^,q) linearisierte System asymptotisch stabil bzw. instabil, so ist auch das nichtlineare System asymptotisch stabil bzw. instabil. • Ist das linearisierte System grenzstabil, wie hier, so erhalten wir keine Aussage iiber die Stabilitat des nichtlinearen Systems. Die Terme hoherer Ordnung in der TAYLOR-Reihe entscheiden das Stabilitatsverhalten. Damit ist das obige Ergebnis erklarbar. Es lasst sich aber auch anschaulich verdeutlichen: Da die Frequenz des anfanglich ausgelenkten Nebenpendels mit der Eigenfrequenz des anderen Nebenpendels und mit der zweifachen Eigenfrequenz des Hauptpendels schwingt, werden letztere im richtigen Takt angeregt, so dass es zu den aufschaukelnden Schwingungen, zunachst beziiglich des Hauptpendels (pi, wie

8.5 Dreifachpendel

363

in Bild 8.34, kommen muss. Es findet ein permanenter Energieaustausch statt, wie dies auch in Bild 8.35 fiir die grofien Anfangswerte (pi(0) = 0, (jp2(0) = (jP3(0) = K, (pi{0) = 0 , indifferente Gleichgewichtslage zu beobacliten ist. Die Nebenpendel (pz,
PT

'---^^^^^'vMH^fl^^lpm

0 0

10

20

30

40

50

60

10

20

30

40

50

60

10

20

30 40 Zeit t [sec]

50

60

200 0 -200

Bild 8.35: Nichtlineare Schwingungen nach groBen Anfangsauslenkungen, (pi{t) in rad Anschaulicher wird der Vorgang in einer Animation. Bild 8.36 zeigt eine Momentaufnahme eines solchen Vorgangs. Die simulierten Bewegungen stimmen quantitativ mit experimentellen Ergebnissen am Demo-Modell nach Bild 8.31 iiberein. 8.5.6

Vorwartsdynamik mit SimMechanics

Zu 5.: Aufbauend auf den Gmndlagen aus Kapitel 7 soil anhand des Block-Diagramms nach Bild 8.38 mit den zu Grunde gelegten Koordinaten nach Bild 8.37 die physikalische Modellierung des Dreifachpendels - offenes Schleifensystem - mit den wesentlichen Elementen und Funktionen erlautert werden. Das Pendel setzt sich aus drei Starrkorpem zusammen, die durch Drehgelenke miteinander verbunden sind. Jedem Korper ist ein Body Block, vgl. Bild 8.38, zuzuordnen. Massen m/ und Tragheitsmomente Q sind aus Tab. 8.3 in die Block-Dialog-Box zu iibertragen, wobei die nicht aufgefiihrten Tragheitsmomente Aj, Bj, j = 1, 2, 3 unwesentlich sind, da sie die Bewegung nicht beeinflussen, sie sind aber auch nicht bekannt. Insofern ist die Darstellung in Form des Tragheitsellipsoids im Visualisierungsfenster, vgl. Bild 8.37, nicht aussagekraftig. Darliber hinaus miissen mindestens die Schwerpunkte und die Gelenkpunkte in ausgewahlten Koordinatensystemen angegeben werden. Zusatzliche Punkte dienen nur zur Vervollstandigung des Modells im Visualisierungsfenster, siehe Kapitel 7. Beziiglich der gewahlten korperfesten Koordinatensysteme gehen wir von der Darstellung des Pendels im Visualisierungsfenster nach Bild 8.37 mit eingeblendeten Koordinatensystemen aus. Das Inertial- oder World-System liegt in Oi, mit ihm

364

8 Projekte

Bild 8.36: Momentaufnahme der Animation

0.1 [

jCS2C^CS1)

,

•orlenUHfunj

-0.1 h fO(f^)

•0 2

/S2(^S1)

-02

^J.1

n.1

0.2

Bild 8.37: Koordinatensysteme zum Dreifachpendel im Visualisierungsfenster von SimMechanics fallt der Urspmng des korperfesten iCSl(World)-Systems zusammen. Gegeniiber diesem System sind Schwerpunkt iCG und Gelenkpunkte O2, O3 des Hauptpendels, wie in Bild 8.37 gezeigt, festzulegen. Z. B. bezeichnet iCS2(iCSl) das Koordinatensystem iCS2 mit dem Urspmng in O2 festgeschrieben in 1CS1. Dementsprechend konnen wir die zugehorigen Ortsvektoren iCS2(iCSl): ir(-s2 = ("A 0. ^f iCS3(iCSl): i r c s 3 = (^, 0, 0)^ iCG(iCSl) : ircG = (0, - ^ 1 , 0)^ angeben, sie sind in der Dialog-Box einzutragen. Zur Festlegung der korperfesten Koordinatensysteme der Nebenpendel ubernehmen wir zunachst die angrenzenden (adjoining) iCS2- und iCS3-Systeme, vgl. Eintrag in der Dialog-Box. Wir erhalten die korperfesten Systeme 2CSI und 3CSI der beiden Nebenpendel. In diesen Systemen sind die Schwerpunktslagen 2CG, 3CG mit

festzuschreiben.

8.5 Dreifachpendel

Dreifach-Pendel Vorwarts-Dynamik

MATLAB in der Ingenieurpraxis Simulation mit SimMeciianics File: Drei_Psm.mcll Letzte Anderung 06-Sep-2006 13:12:33

Machine Environment

Anfangswerte unter: Model Properties / Callbacks

365

Joint Initial Condition

IC phi_1(0)

D

phi 1

From1 [S2]

J1 ~7

phi Scope

Joint Initial Conditionl

B1 To Workspace

Nebenpendel

Nebenpendel

Bild 8.38: Physikalische Modelliemng des Dreifachpendels mit SimMechanics; Drei_Psm.mdl Jedem Drehgelenk ist nach Bild 8.38 ein Revolute Block zuzuordnen. Die Drehrichtungen aus Bild 8.31 sind in der Dialog-Box zu verwirklichen, d. h. wir miissen eine Drehung um die negative z-Achse erreichen: (0, 0, -1). Dariiber hinaus besteht in Oi eine Anbindung zur Umgebung, was wir durch den Ground Block modellieren miissen. Ab SimMechanics 2 ist stets einem Ground Block der Maschine ein Machine Environment Block zuzuordnen. Die Dialogbox enthalt Eintrage u. a. beziiglich des Gravitationsvektors und der Analyse-Methode, wie z. B. Forward dynamics oder Inverse dynamics, vgl. Kapitel 7. Da die oben eingebrachte Ausgangslage eine Gleichgewichtslage ist, miissen wir fiir die aktuellen Anfangswerte der Korper Joint Initial Condition Blocke verwenden. Messungen der Gelenkwinkel (hier: Relativwinkel) werden mit den Joint Sensor Blocken vorgenommen, sie stellen die Schnittstelle zur Simulink-Umgebung her. Um die Simulation im Visualiesierungsfenster zu verfolgen, ist u. a. im Fenster: C o n f i g u r a t i o n P a r a m e t e r s unter S e l e c t : S i m M e c h a n i c s das Visualisierungsfenster zu aktivieren, vgl. Kapitel 7. Die Simulationsergebnisse aller behandelten Methoden stimmen bei nicht iiberschlagenden Pendeln sehr gut iiberein. tJberschlagen sich die Pendel, dann konnen nur innerhalb eines kleinen Zeitfensters 0 < r < 20 s bei hoher Genauigkeit, z. B. R e l T o l 1^10"^, gute tJbereinstimmungen erreicht werden. Auch bei leicht abweichenden Anfangswerten in den einzelnen Methoden unterscheiden sich die Schwingungen immer starker mit fortschreitender Zeit. Diese Abwei-

366

8 Projekte Dreifach-Pendel inverse Dynamik

MATLAB in der Ingenieurpraxis Simulation mit SimMeciianics File: Drei_Psm_l.mdl Letzte Anderung 0 6 - S e p - 2 0 0 6 13:05:09

Joint Sense)r1

Nebenpendel

Connection Port

^P^

frnl

Scopel

Scope2

— • ^ [S2] 1

Joint Sens Dr2

• • /

Nebenpendel

Drehung der Nebenpendel

[S3]

Connection Port1 I

Bild 8.39: Modell zur inversen Dynamik; Drei_Psm_I.mdl chungen sind systembedingt: kleinste Integrationsfehler (Stomngen) fiihren zu voUig anderem Schwingungsverlauf. Dies ist einerseits auf die fehlende Dampfung, andererseits aber auf das chaotische Verhalten zuriickzufiihren. D. h. geringfugig veranderte Anfangswerte fiihren zu vollig anderen Bewegungsablaufen. Dariiber liinaus beeintrachtigt die Stabilisiemngsmethode, siehe Abschn. 5.4.4.1, die Dynamik des SimMechanics-Modell. 8.5.7

Inverse Dynamik

Zu 5.: Anhand des Dreifachpendels wollen wir den Begriff der inversen Dynamik klaren. Ausgehend von festgeschriebenen Bewegungen des Haupt- und der Nebenpendel sind die daraus resultierenden Gelenkmomente zu ermitteln. Dies konnen wir einerseits recht einfach mit Hilfe der beiden analytisch gewonnenen Bewegungsgleichungen, andererseits mit einem modellbasierten Entwurf unter SimMechanics erreichen. Wir wahlen die zweite Vorgehensweise. Hierzu gehen wir von einer statischen Hauptpendel-Schragstellung um (pio = 7r/8 und einer gleichformigen Rotationsbewegung (pjo = {—\y {j —\)Qt, j = 2, 3 der Nebenpendel aus. Die dadurch verursachten Gelenkmomente sind zu bestimmen. Hierzu ist es zweckmaBig, das bisherige Block-Modell nach Bild 8.38 geringfugig zu modefizieren. An die Stelle der IC Blocke treten Simulink-Elemente zur Realisierung der Zwangsbewegungen - Winkel, Winkelgeschwindigkeit, -beschleunigung - . Die Anbindung an die Drehgelenke erfolgt schlieBlich mit Joint Actuator Blocken. Der konstante An-

8.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer

1

1

1

1

1

367

1

CO

^;;

-

0.5 02 - - - 0 3

-0.5

1

2

4

6

8 Zeit t [S]

10

12

14

16

Bild 8.40: Momentenverlaufe mittels inverser Dynamik unter SimMechanics; Drei_Psm_Lmdl

teil bezUglich des Hauptpendels ergibt sich nach Bild 8.39 unmittelbar. Die gleicliformigen Dreliungen der Nebenpendel fassen wir im Subsystem D r e h b e w e g u n g zusammen, (—1)^(j — l ) i 2 , J = 2, 3 wird iiber die zugehorige Parameter-Dialog-Box eingegeben. Im Machine Environment Block ist letztendlich die Analyse-Methode Inverse dynamics auszuwahlen. In Bild 8.40 sind die Gelenkmomente moj in den Drehpunkten 0^ dargestellt. Entsprechend der vorgegebenen gleichformigen Drehung mit den Kreisfrequenzen Qi = l rad/s und ^ 2 = 2 rad/s erzeugen die Nebenpendel ITT- bzw. ;r-periodische Momentenverlaufe. Diese Anteile sind im Wesentlichen dem konstanten Moment infolge des Hauptpendelgewichts, verursacht durch die Schraglage (jpio = 7t/S, iiberlagert.

8.6

Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer

Schlagworte: Dijferenzial-algebraische Gleichungen, eventgesteuertes Modell, System, Schaltfunktion, Stofimodelle, Programmier-Tipps, M-File Programme: fahrz. m, ffuhrz. m, efahrz. m

^DF XA

VA

A

I—I—I v^ StoBdampfer

X =

XA

—

XD

db

Vlim

Fahrbahn

d(vD)vD

VD = XD — XR

Sattigung

Bild 8.41: Viertelfahrzeugmodell mit nichtlinearem StoBdampfer

strukturvariables

368

8 Projekte

Das skizzierte Viertelfahrzeugmodell (Aufbau m^, Rad rriR) bewegt sich iiber eine unebene Fahrbahn u{t). Die Reifencharakteristik wird durch ein lineares Feder-Dampfer-Element (kR, CIR) berlicksichtigt. Der StoBdampfer aus [18] hat nach Bild 8.41 nichtlineares und unstetiges Verhalten, die Fahrzeugfeder (^A) sei linear. Die in Bild 8.41 verwendeten Fahrzeugkoordinaten von Aufbau (A) und Rad (R) sind: XA , XR Auslenkung aus entspannter Feder jA, yR Inertialkoordinaten /o, IRQ Langen der entspannten Fedem. Der hydraulische StoBdampfer mit den Parametem aus Tabelle 8.4 wird nach [18] auBerhalb des Sattigungsbereiches VD < vum mittels eines geschwindigkeitsabhangigen Dampfungskoeffizienten d{vD) =

,

^

=

+ C2,

fiir VD < v//^,

VD=XD-XR

(8.79)

approximiert, wobei a tJbergangsparameter, a > 0 stetiger Verlauf von d{vD), vgl. Bild 8.41 c\ = {de-dc)/2, C2 = {de-\-dc)/2, Damit gilt fiir die viskose Dampferkraft ^ ^^

^ f d{vD)vD \ d{viifn)viim-\-dt{vD-Viim)

fiir VD < v//^ fur VD>Viim

Dies ist eine stiickweise stetige Kennlinie. Der Umschaltpunkt VD = v//^ ist zustandsabhangig. Die StoBdampferelastizitat wird durch eine progressive Federcharakteristik FDF

=kD^X-\-kD2X^

beschrieben. Alle weiteren Feder- und Dampferelemente seien linear. Die Fahrbahn wird punktuell nachgefahren, so dass wir anschaulich von einem stehenden Fahrzeug mit Radanregung u{t) ausgehen woUen. Die Reifenverformung wird durch ein KELVIN-VoiGT-Modell berlicksichtigt; dies ist nur bedingt geeignet, wie spater gezeigt. Es soil das Schwingungsverhalten insbesondere mit Abhebephasen des Rades in einer Simulation unter MATLAB untersucht werden. Hierzu sind die folgenden Punkte zu bearbeiten: 1. Bewegungsgleichungen fiir die Zustande mit und ohne Bodenkontakt des Rades sowie die zugehorigen Schaltfunktionen beziiglich der Unstetigkeit in der Dampferkennlinie und des Abhebe- und Auftreffpunktes des Rades. 2. Erstellen eines M-Files fiir das eventgesteuerte differenzial-algebraische Modell. 3. Diskussion der Simulationsergebnisse. Beurteilung des StoBkraftverlaufs beim Abheben und Aufsetzen.

8.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer 369 8.6.1

Bewegungsgleichungen und Voraussetzungen

Zul.; Standiger Fahrbahnkontakt Fur die in Bild 8.41 eingefuhrten Koordinaten sowie mit den Schnittkraften aus Bild 8.42 finden wir nach NEWTON zunaclist die Bewegungsgleichungen bei standigem Fahrbahnkontakt niAjA + kA {XA -XR)^

ko^ {XA -XD)-\-

niRyR + dRXR + kRXR - kA {XA -XR)0 = ko^ {XA -XD)-\^^

kD2 {xA-xof

FDJ^ (VD) = -rriRg

kD2 {XA -xof

V

= -niAg (8.81)

-Fojy (VD) , '

mit den Zwangsbedingungen yR{t) = u{t)-\-£RQ-\-XR{t),

yA{t)=yR{t)-\-io-\-XA{t),

VD=XD-XR

und der viskosen StoBdampferkraft FDD{VD) nach (8.80) mit VD{t)

=XD{t)—XR{t).

rriA

\XA

=

(8.82)

kA{xA-Xii)

I 1

\

FD^=kD,{'

mr) —>• 0

A^

XD

rriAQ < ^ FA

\XR

^DF

I •niR

1

1 1 I\

Fn, dRXR

kRXR

ruRg

Bild 8.42: Schnittbild Da die y- und x-Koordinaten nach (8.82) voneinander abhangen, miissen fiir die Bewegungsgleichung in Minimalkoordinaten wahlweise zwei Variable eliminiert werden. Welche Form man wahlt, hangt vielfach von der Fragestellung der Untersuchung ab. Gehen wir von Bewegungen mit standigem Fahrbahnkontakt aus, dann erscheint es zweckmaBig die Bewegungsgleichungen fiir XA, XR^ XD anzuschreiben. Sind dagegen Hubschwingungen, d. h. Schwingungen mit zeitweiligem Abheben des Rades, zu untersuchen, dann bieten die Koordinaten XA, yR, XD Vorteile. Moglichen Bewegungsphasen Wir lassen zu, dass das Rad von der Fahrbahn abhebt. Die Bedingungen, bei denen der Fahrbahnkontakt verloren geht, spielen dabei eine zentrale RoUe. Moglich sind:

370

8 Projekte

1. Reifenverformung verschwindet ,XR = 0 (F^ ^ 0, wegen der Dampfung) fiir Abheben und Aufsetzen. 2. Reifennormalkraft verschwindet, F^^ = 0 (XR ^ 0) fiir Ablieben und Aufsetzen. 3. Reifennormalkraft verschwindet im Abhebepunkt F^ = 0, in der anschlieBenden Abhebephase wird die Restverformung XR abgebaut. Das Aufsetzen erfolgt aus geometrischen Bedingungen.

Aufgrund des Reifen-Dampfungselements dR lassen sich mit dem gewahlten Reifenmodell keine schliissigen tJbergange zwischen den Bewegungsphasen finden. Wird die Reifenverformung XR als Schaltfunktion (XR = 0) gewahlt, dann tritt im Abhebe- und Aufsetzpunkt eine Normalkraft FN y^ 0 auf. Sie kann auch eine Zugkraft sein. Wird stattdessen die Reifennormalkraft F]^ = —CIRXR — kRXR als Schaltfunktion fiir das Abheben verwendet, dann treten hleibende Reifen verformungen XR^^ beim Abheben auf. Dieser Effekt wird unter 3. beriicksichtigt, was wir hier, insbesondere um die numerische Vorgehensweise bei strukturvariablen Systemen zu verdeutlichen, ansetzen woUen. Bewegungen mit Normalkraftsteuerung Wir miissen zwischen den Bewegungen mit und ohne Fahrbahnkontakt unterscheiden, dabei entscheiden wir uns im Abhebepunkt fiir die Event-Steuerung iiber die Normalkraft zwischen Reifen und Fahrbahn. Die Kontaktphase kennzeichnen wir in den Bewegungsgleichungen nicht, die Abhebephase mit"—". Da fiir beide Phasen unterschiedliche Bewegungsgleichungen gelten, spricht man von einem strukturvariablen System. Ausgehend von einer Bewegung mit Fahrbahnkontakt geht dieser nach Voraussetzung verloren, wenn die Normalkraft auf den Reifen FN = -dRXR - kRXR

(8.83)

verschwindet. Aufgrund des Dampferelementes wird dies nicht fiir XR = 0 erfiillt sein, so dass der Kontakt verloren geht, wenn XR ^ 0, d. h. der Reifen ist verformt. Die zugehorigen Bewegungsgleichungen entsprechen denen aus (8.81) fiir die Zustande y = (-^A, y/?, XD, XA, JR^xof,

(8.84)

wenn wir JA aus (8.82) einsetzen. Somit folgen die impliziten - wir konnen nicht explizit nach XD auflosen - nichtlinearen Bewegungsgleichungen 5. Ordnung in der Kontaktphase: mA{xA^

yR)+kA{xA-yR)^FDp{xA,XD)

=

mRjR + dRJR + kRjR - kA {xA -yR)-FDjy + dRU + {kA + kR) (4o + w) 0 = Fop {XA ,XD)- FDI) {VD)

-mAg-kA{(^RQ+u)

= -rriRg

mit der Zwangsbedingung in diesem Bereich XR=yR-u-lRQ

.

(8.86)

Wir nutzen (8.86) auch als Schaltfunktion fiir das Aufsetzen des Rades. Die Abhebephase beginnt

8.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer

371

mit FN = 0 und XR ^ 0, d. h. mit bleibender Reifenverformung. Um den Abbau dieser Verformung zu berlicksichtigen, fiihren wir die zusatzliche Variable x^ ein. Die Dynamik der Entspannung soil der rechten Seite der Normalkraft (8.83) geniigen 0 = —dRX^ — URX^ . Entsprechend folgt f den abgehobenen Zustand aus (8.85) das implizite Differenzialgleichungssystem 6. Ordnung ^A{x'l + yR)^kA{x'l-x'^)+FDp{x'l,x'^) mRyR - kAix^ -^R)-FD^{^D) _

^=

_

_

_

= -mAg

= -^R8

_

(o.o/)

FDA^A^^D)-FDO(^D)

dRX^ = —kRX^,

Reifenentspannung

fiir die Zustande ohne Fahrbahnkontakt

Das strukturvariable System zeichnet sich durch Anderung der Bewegungsgleichungen und deren Ordnung aus. Die Gleichungen (8.85), (8.87) sind wegen der StoBdampferkomponenten nichtlineare gewohnliche Differenzialgleichungen mit stiickweise stetiger Kennlinie nach Bild 8.41. Will man sie als ODE numerisch losen, muss die Kraftebilanz am StoBdampfer 0 = FDP{XA,XD)-FDJ){VD),

VD=XD-XR

(8.89)

explizit nach XD aufgelost werden. Dies gelingt in der Regel nur bei linearer Abhangigkeit von XD, SO dass hier andere Vorgehensweisen erarbeitet werden miissen. Denkbar waren: 1. Einfiihrung einer kleinen Dampfermasse mo, wie in Bild 8.41, so dass M regular (System 6. Ordnung) 2. Problem als eventgesteuertes differenzial-algebraisches Gleichungssystem (DAE) losen, obwohl es sich im strengen Sinne nicht darum handelt, da wir mit Minimalkoordinaten arbeiten. 3. Problem als eventgesteuertes implizites Differenzialgleichungssystem mit odelSi losen. Die zweite Vorgehensweise woUen wir verfolgen. Die durch den StoBdampfer und durch das Abheben bzw. Aufsetzen des Rades zu berlicksichtigenden Unstetigkeiten sind Zustandsereignisse, d. h. der Zeitpunkt des Events ist nicht bekannt. Beziiglich der unstetigen Dampferkennlinie ware eine Integration iiber die Unstetigkeit mit einer if-else Formulierung vertretbar. Wir aber arbeiten beide Events mit Hilfe von Schaltfunktionen, vgl. Abschn. 5.6, in das Problem ein. Mit (8.85), (8.87) liegen differenzial-algebraische Gleichungssysteme mit konstanter Massenmatrix vor. Da d{FDp — FD^,)/dXD 7^ 0, liegt nach Abschn. 5.4 ein Index-1-Problem vor und ist somit unmittelbar mit MATLAB losbar. Fiir die numerische Bearbeitung gehen wir auf eine vektorielle Schreibweise iiber, dies bedeutet fiir (8.85), also der Kontaktphase: y\ = {XA, yR, XD)^,

yi = {XA, n, XD)^

Bewegungsgleichungen (sechs) mit Kontakt:

(8.90)

372

8 Projekte

My2 = Myi = -Dy2 -Kyi - / / r ( y i ) -foiyi)

^fuU^fuU^fgg^fo

(8.91)

Schaltfunktionsvektor: q =

XD—XR

Kennlinienumschaltung Normalkraft, —F^

— Viitn

dRXR-\-kRXR

(8.92)

Im abgehobenen Zustand folgt mit (8.87) und (8.88) fiir die sieben Bewegungsgleichungen ohne Kontakt 3^1 = i^A ^ yR' jr =y2 My- = -K'ydRX^ =

^D)^

(8.93)

-/D(y2 ) + A A ^ ^ + / ^

(8.94)

yi = i^A' yR ^

^DY^

-fxiy^)

-kRX^.

Schaltfunktionsvektor: ^D

q

yR

^R

-^R

^lim -U-^RQ

Kennlinienumschaltung Geometric, Kontaktpunkt

(8.95)

mit der singularen Massenmatrix M

MA 0 0

rtiA 0 mi? 0 0 0

(8.96)

der Dampfungs- und Steifigkeitsmatrix D

0 0 0

0 Ji? 0

0 0 0

K

kA + koi —kA —koi —kA kA-\-kR 0 -koi 0 ^Di

(8.97)

der Kraft des nichtlinearen Federanteils und der viskosen Dampfung fK{yi)^fD{y2) sowie

1 " 0 {xA-XDf-\= kD2 1

0 -1 1

FDD{VD)

(8.98)

8.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer 373

-ruA J gu —

kA + ko^ 0 -ko^ -kA 0 0 -ko^ 0 ko^

K^ =

-MR

0 J u •

-kA kA-\-kR 0

5

0 dR

JU •

5

JkA

0

(8.99)

kA -kA

7

0

Zusatzlich zu den Schaltfunktionen q = (qi^ qiY. q wir den Vektor der Schaltkoeffizienten

/ o = fu^Ro '

= (^i ? ^2 )^ ^^^^ (8.92), (8.95) fiihre (8.100)

("^1, ^^2)

ein. Damit sollen die Kennlinienumschaltung sowie der tJbergang mit/ohne Kontakt gesteuert werden. Der Anfangszustand folgt mit den Anfangswerten zu ^1 = sign(^i) ^^2^

{-I

mit Kontakt ohne Kontakt

fur F^ > 0, d. h. ^2 < 0 fiir ^2 > 0

(8.101)

Der einfachheitshalber legen wir eine Umschaltung nach einer Detektion eines Ereignisses durch Vorzeichenwechsel der jeweiligen Komponente von s fest. 8.6.2

Programmierhinweise

Zu 2.: Die Simulationsparameter sind in Tabelle 8.4 zusammengefasst. Zum Hauptprogramm Tabelle 8.4: Systemparameter StoBdampfer

Fahrzeugkomponenten Chassis-Masse Rad-Masse Federsteifigkeit Reifensteifigkeit Reifendampfung Fahrwegprofil Wegamplitude Wegfrequenz

m^ = 1112 kg MR = 105 kg kA = 125 kN/m kR = 487 kN/m dR = 20 kN s/m u{t) = UQ COS (271 fut) UQ = 0,05 m Ao=2Hz

Erdbeschleunigung

g = 9Mm/s^

dc = 1,1 kN s/m 4 = 21 kN s/m dh = 6,5 kN s/m ^lim= 0,175 m/s a = 0,07 m/s ko^ = 2 kN/mm y^/)2=0,16kN/mm3

f a h r z .m, zur Function f f a h r z .m und e f a h r z .m aus [59] geben wir einige Erklarungen. Zunachst fassen wir die Parameter einschlieBlich der System-Matrizen und -Vektorfunktionen (8.96)-(8.99) in einem einfachen Structure p zusammen, dies schlieBt den Handle der Anonymous Function fiir die Fahrbahnfunktion u = uo cos Qt mit ihren zeitlichen Ableitungen ein. Wir zeigen einen Ausschnitt aus f a h r z . m in [59]:

374

8 Projekte p.File='fahrz.m'; p.mA = 1112.0; p.mR = 105.0; p.kA = 125.0e+03;

Datensatzkennung Masse des Aufbaus [kg] Masse des Rades [kg] Feder [N/m]

p.fu0=2.0; p.Om=2.O^pi^p.fuO; p.u=@(t) p.uO^cos(p.Om*t);

Erreger-Frequenz Abheben: fu0=1.5... 2 Falirbalinprof 11, Anon. F.

Damit wird das Daten-Handling iibersichtlich, zusatzliche Information - z. B. Datum, Integrationsverfahren usw. - lassen sich aufnehmen, demgegeniiber steht ein hoherer Schreibaufwand. Aus diesem Grund haben wir auch von einer Spezifiziemng der Komponenten, z. B. p.daempfer..., abgesehen. Sie ist in umfangreicheren Projekten durchaus sinnvoll. Die Fahrbahnfunktion und deren 1. und 2. Ableitung wurden jeweils als Function Handle einer Anonymous Function vereinbart. Diese gehen an unterschiedlichsten Stellen der Programme in die Rechnung ein, wo sie mit den aktuellen Daten ausgewertet werden. Alternativ ware eine Stringauswertung der Funktionen mit dem eval Befelil oder in einer inline Function, siehe Abschn. 1.3.4.3, moglich; z.B. p . u=inline (p . u O ^ c o s ( p . O m ^ t ) ' , ' p ' , ' t ' ) } Oder . . . , ' p . u O ' , ' p . O m ' , ' t ' ) , mit dem Aufruf u=p.u(p,t oder u=p.u(p.uO,p.Om,t) Vorteil: bei Anderung der Funktion u{t) ist dies nur an einer Stelle im Programm vorzunehmen, Fehler infolge IVlehrfacheintragungen werden vermieden. Ausgehend von Anfangswerten yO zum Zeitpunkt to, die hier einen Kontaktpunkt mit dem Fahrbahnprofil erfullen, ist die Initialisierung vorzunehmen. Es muss festgestellt werden, auf welchem Zweig -VD < vum bzw. v^ > vum - der Dampferkennlinie nach (8.79), (8.80) wir uns befinden. Entsprechend ist die erste Komponente von q nach (8.92) auszuwerten und aus (8.100) das Schaltkoeffizientelement s (1) mit +1 oder -1 zu belegen. v_DO=yO(6)-yO(5)+p.u_p (tO); s(1)=-sign(v_DO-p.vlim);

Ereignls: Dampfer Schaltkoeffizient

Desgleichen muss dies fiir die Kontakt- oder Abhebephase des Rades durchgefuhrt werden. Hierzu sind die zweiten Komponenten der Schaltfunktionen q und q~ nach (8.92), (8.95) auszuwerten und das korrespondiere Element s (2) zu besetzen: if yO(2) < p.uO+p.lRO s(2) = 1; Mz=[eye(3) zeros(3) zeros (3) M ] ; yout=[yO;yO(2)-p.uO-p.IRO].'; else s(2) =-1; yO=[yO; 0.0]; yout=yO; Mz=[eye(3) zeros(3,4) zeros(3) M zeros(3,l) zeros (1,6) 1]; end

% d.\,li. FN > 0 % Massenmatrix bei Kontakt % Erganzung des Ausg.-Vektors % Anfangswertvektor % Massenmatrix oline Kontakt

8.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer375 Zusatzlich ist zu bedenken, dass ein strukturvariables Modell bearbeitet wird, d. h. es ist gleichzeitig die zugehorige Massenmatrix anzugeben und der Anfangswertvektor yO an die Systemordnung anzupassen. Letztendlicli sind die Ausgabevektoren zu initialisieren. Sie werden nach jedem eintretenden Ereignis um die bis dahin aufgelaufenen Integrationsdaten erganzt. Die Integration iiber das vorgegebene Zeitintervall arbeiten wir innerhalb einer while Schleife ab. % %

while te > to % Zeitschleife Initialisierung der options innerhalb der while-Schleife, da Dimension von Mz variabel options=odeset('Mass',Mz,'MassSingular','yes', . . . % NDF-Verfahren 'Events', gefahrz,'AbsTol',epsq^lO); [t,y,tE,yE,iE]=odel5s(@ffahrz,[tO te],yO,options,p);% Int.-Aufruf

Die Integration wird im Ereignispunkt unterbrochen. Ausgegeben werden der Zeit- und Zustandsvektor sowie die Vektoren zu dem aufgetretenen Ereignis: Zeit tE, Zustand yE und Komponente iE der Schaltfunktion zu dem das Ereignis geliort. Zunaclist werden die Daten umgespeichert, gegebenenfalls der Zustandsvektor zu beiden Bewegungsphasen (mit/ohne Kontakt) einheitlich gestaltet. Die neuen Anfangswerte fiir das sich anschlieBende Integrationsintervall miissen besetzt werden: nt=length(t); tout=[tout;t]; if s(2) == 1 u=p.u(t); yout=[yout; y y ( :,2)-u-p.IRO]; else yout=[yout; y ] ; end yO=y(nt, : ) ; tO=t(nt)

Dateniibernahme nach Nullstelle Kontaktphase Fahrweg mit Anonymous F. um x_R erganzt Elugphase Startwerte fiir nachstes Intervall

Es fehlt eine ahnliche Initialisierung wie vor dem Start, wobei wir den Schaltfunktionsvektor q bzw. q~ zum Ereigniszeitpunkt nur zu KontroUzwecken nutzen. Welches Ereignis auftrat, entnehmen wir iE. Dabei muss beriicksichtigt werden, dass iE auch als Vektor auftritt, wobei dann das vorangegangene Ereignis enthalten ist. Aus diesem Grund ordnen wir das aktuelle Ereignis iiber den letzten Zeitwert von t also tO=t(end) zu. Die eigentliche Umschaltung iiber die Schaltkoeffizienten gestalten wir recht einfach durch Vorzeichenwechsel, dies lasst sich verfeinern. SchlieBlich sind, wie in der Anfangsinitialisierung, der voUstandige Anfangswertvektor yO und die Massenmatrix Mz zuzuordnen. Aufgrund dieses Strukturwechsels muss die obige Options-Initialisierung innerhalb der while Schleife stehen. u=p.u (tO); u_p=p.u_p (tO) ;

% Anonymous F.; Fahrweg mit % zeitl. Ableitung

if s(2) ==1 % Schaltvektoren q=[y(nt,6)-y(nt,5)+u_p-p.vlim;... % bei Kontakt p.kR* (y (nt, 2) -u-p.lRO) +p. dR* (y (nt, 5) -u_p) ] ;

376

8 Projekte

else q= [y (nt, 6) -y (nt, 5) +u_p-p . vlim; . . . y(nt,2)-u-p.lRO-y(nt,7)]; end

in der Flugphase

if isempty(iE) ~= 1 % Nullstelle I=find(tO == t E ) ; % isolieren iE=iE(I); % Ereignis zu tO tE=tE(I); % Ereigniszeit if abs(q(iE)) > epsq % Schaltfunkt.-Kontrolle disp(['Nullstellentoleranz verletzt : q C ,num2str (iE) ,' )= ' . ,num2str(q(iE),'%8.6e')]) pause end s(iE)=-s(iE) % einfachste Umschaltung if iE == 2 && s(2) == : y0(7) = []; Mz=[eye(3) zeros(3) zeros (3) M ] ; elseif iE == 2 && s(2) xR=y(nt,2)-u-p.IRO ; yO=[yO x R ] ; Mz=[eye(3) zeros(3,4) zeros (3) M zeros (3,1) zeros (1,6) 1 ] ; end end teout=[teout;tE]; ieout=[ieout;IE]; end

% Kontaktphase % Anfangswerte % Massenmatrix % Abhebephase % Anfangswerte % Massenmatrix

% Ereigniszeitpunkte % Ereignisvektor % Ende Zeitschleife

In der Function f f a h r z .m aus [59] der Differenzialgleichung sind lediglich die recliten Seiten von (8.91) und (8.94) mit deren Umschaltung realisiert. Wir gehen nicht weiter darauf ein. Die Berechnung der Schaltfunktionen q und q~ nach (8.92), (8.95) zur Detektion der Ereignisse erfolgt in der Function e f a h r z . m. function [q,isterminal,direction] global s u=p.u(t) ; u_p=p.u_p (t) ;

efahrz(t,y,p) % Parameteriibergabe % Anonymous F.; Fahrweg mit % zeitl. Ableitung

if s(2) == 1 q=[y(6)-y(5)+u_p-p.vlim;... % Kennlinienumschaltung + p.kR*(y(2)-u-p.lRO)+p.dR^(y(5)-u_p)]; % Normalkraft else q=[y(6)-y(5)+u_p-p.vlim;... % Kennlinienumschaltung + y(2)-u-p.lRO-y(7)]; % Kontakt end isterminal=[1; 1 ] ; % Stop bei Nullstelle direction =s'; % Triggervorgabe

8.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem StoBdampfer377 Wesentlich ist darin die Triggervorgabe unter d i r e c t i o n , wir geben explizit an, wann - bei steigender oder fallender Funktion qj - nach einer NuUstelle zu suchen ist. Dies ist fiir die Umsclialtung der Dampferkennlinie zwingend erforderlich. Es hangt, neben der Umschaltstrategie Sj -Sj im Hauptprogramm, mit der unter MATLAB festgelegten Nullstellen-Lage vor oder nacli dem Ereignis - zusammen. In Absclin. 5.6.4 wird dies ausfiihrlicher dargelegt. Fiir die zweite Komponente von q ist dies ohne Bedeutung, da liier an der NuUstelle die Schaltfunktion gewechselt wird und somit eng beieinander liegende Nullstellen einer Funktion nicht auftreten, demzufolge batten wir auch d i r e c t i o n = [ s (1) , 0 ] wahlen konnen. 8.6.3

Simulationsergebnisse

Zu 3.: Einige Ergebnisse, denen die Standardparameter aus Tabelle 8.4 zu Grunde lagen, woUen wir bezuglich der Schwingungen und der Kraftverhaltnisse im Aufsetzpunkt diskutieren. Dazu 0.1

E

y ^

0

yr^yU

/ ^

/^

\y

^

=3

^

-0.1

X

x< -0 2 11

^^\

- \y

i'^A

-0.3

Bild 8.43: Auslenkungen und Reifennormalkraft, WQ = 0,05 m, /WQ = 2,0 Hz

betrachten wir zunachst die Zeitverlaufe in Bild 8.43. Die Abhebebereiche sind durch senkrechte Linien eingegrenzt. In diesen Bereichen ist die Normalkraft null, die Reifenverformung erst nach einer sehr kurzen Entspannungsphase, wie wir es in (8.87) angesetzt haben. Das Rad hebt infolge der vorgegebenen Anfangszustande in den beiden Bereichen 0,025 < t < 0,07 s und 0,61 < ^ < 0,83 s kurzzeitig ab. Nach diesem Einschwingvorgang besteht standiger Bodenkontakt. Erhohen wir allerdings die Amplitude des Fahrbahnprofils u^ um ca. 25 %, dann kommt es auch durch die Unebenheit zu Abhebevorgangen. Im Normalkraftverlauf von Bild 8.433 und deutlicher in

378

8 Projekte

x10

Bild 8.44: Reifennormalkraft in Abhangigkeit von der Reifenverformung Bild 8.44, wo F^^ iiber der Reifenverformung XR aufgetragen ist, ist im Aufsetzpunkt ein Kraftsprung zu beobachten. Ursache liegt im Reifenmodell, spezieller am Dampfungsanteil, der infolge der Aufsetzgeschwindigkeit diese StoBkraft erzeugt. Es ist spezifisch fur das KELVIN-VoiGTModell, welches somit weniger fiir derartige Modellierungen geeignet ist. Man wahlt zweckmaBigerweise kraftstoBfreie StoBmodelle. Hierzu zahlen die linearen Drei-Parameter-Modelle: - Modell a): Reihenschaltung eines KELVIN-VoiGT-Modells mit einer Feder, - Modell b): Parallelschaltung von einem Modell nach MAXWELL und einer Feder, siehe Bild 8.45:

Fahrbahn

^ Fahrbahn

Bild 8.45: StoBmodelle ohne bleibende Kraftunstetigkeiten und bleibende Verformungen tjbungsvorschlag: Erstellen Sie auf der Basis von f a h r z .m, f f a h r z .m, e f a h r z .m ein Programmsystem, bei dem iiber die Unstetigkeit der Dampferkennlinie hinwegintegriert wird. Vergleichen sie die Ergebnisse beider Vorgehensweisen.

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[4 SimMechanics, For Use with MATLAB®, Vers. 2.5. The MathWorks, Inc., 2006. [5 SimPowerSystems, For Use with Simulink®, Vers. 4.0. The MathWorks, Inc., 2006. [6 Simulink®, Simulation and Model-Based Design, Vers. 6.4. The MathWorks, Inc., 2006. [T Stateflow®, For Use with Simulink®, Vers. 6.4. The MathWorks, Inc, 2006. [8: Angermann, A.; Beuschel, M.; Ran M.: MATLAB-Simulink-Stateflow. Oldenbourg, Munchen, 4. Auflage, 2005, ISBN 3486577190. [9 Arnold, M.: Zur Theorie und zur numerischen Losung von Anfangswertproblemen fur differentiellalgebraische Systeme von hoherem Index. VDI-Verlag, Fortschr. Ber., VDI, Reihe 20, Nr. 264, Dusseldorf, 1998. [10 Babitsky, V. I.; Krupenin, V. L.: Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems. Springer Verlag, Berlin, 2001, ISBN 3-540-41447-9. [11 Baumgarte, J.: Stabilization of Contraints and Integrals of Motion in Dynamik Systems. Comp. Math, in Appl. Mech. and Eng. 1 pp. 1-16, 1972. [12 Bestel, D.: Analyse und Optimierung von Mehrkorpersystemen. Springer Verlag, Berlin, 1994, ISBN 3-540-57735-1. [13 Beucher, O.: MATLAB und Simulink. Pearson Studium, Munchen, 2. Auflage, 2006, ISBN 3827372062. [14 Biran, A.; Breiner, M.: MATLAB 5 fUr Ingenieure. Addison-Wesley, Bonn, 3. Auflage, 1999, ISBN3-8273-1416-X. [15 Bremer, H.: Dynamik und Regelung mechanischer Systeme. B. G. Teubner, Stuttgart, 1988, ISBN 3-519-02369-5. [16 Brenan, K. E.; Campbell, S. L.; Petzold L. R.: Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations. Vol. 14 of Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, PA, 1996. [17 Brommundt, E.: Ein Reibschwinger mit Selbsterregung ohnefallende Reibkennlinie. ZAMM, 75, 11,S. 811-820, 1995. [18 Cebon, D.: Handbook of Vehicle-Road Interaction. Swets & Zeitlinger B.V, 1999.

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Stichwortverzeichnis Symbole < , < = kleiner, kleiner gleich, 21 \ / Links-, Rechts-Division, 15 ~ Negation, 21 ' ' String, 28 ff, 31,41,43 ' Transposition, konj.-kompL, 15 + — * / \ " Rechenoperatoren, 5 , ; Abschluss mit/ohne Ausgabe, 5 .' Transposition, 15 .* .\ ./ ." elementweise Op., 15 ... Zeilenumbruch, 25 . Separator im Structure, 20 ff : Doppelpunkt-Operator, lOff ==, r^= gleich, ungleich, 21 = Zuweisung, 5 [] Matrix-Klammer, lOff %% Cell Divider, 25 %{...%} Kommentarblock, 25 % Kommentarzeile, 25 I, II Oder; Matrix-, Skalar-VergL, 21 > , >= groBer, groBer gleich, 21 &, & & Und; Matrix-, Skalar-VergL, 21 \n Zeilenumbruch im String, 28 ff, 163 { } Cell Array Element, 21 algebraisches Gleichungssystem, 18, 72, 131, 137, 329 - inhomogen, 135, 136, 141 - linear, 334 - nichtlinear, 109, 300 Amplitudenfrequenzgang, 42, 333 Analogiebeziehung, 81 analytische Losung, 326 Anfangswert, 135, 146 - Anpassung, 329 - konsistent, 227, 230, 243, 347 Anfangswertproblem, 201, 216, 229 Animation, 55 - 3D-Modell, 60 - Drehbewegung, 63 - Dreifachpendel, 359 - EraseMode, 56 ff - background, 56 - none, 56 - normal, 56 - xor, 56 - Fachwerk, 58

- getframe, 56, 63 - Linienmodell, 57 - komplexe, 59 - Modellerstellung, 55 - Movie, 56, 58 - Rotorelement, 60 - Schraubenfeder, 58 Anonymous Function, siehe Function Anstiickelmethode, 327 Arbeitspunkt, siehe Schwingung, 293 Ausgangsmatrix, 131, 178 B Basisvektor, 84 Beobachtbarkeitsmatrix, 316 Beobachterentwurf, 323 Beschleunigung, 86, 88 Bewegungsgleichung - analytische Methode, 81 - autonom, 83 -D'Alembert, 102,219 - implizite Vektor-Form, 83 - Klassifizierung, 119 - Lagrange, siehe Lagrange -linear, 118 - Newton, 369 - Newton-Euler, siehe Newton-Euler - nichtautonom, 83 -nichtlinear, 111,209,370 - Normalform, 83 - synthetische Methode, 81 Bewegungsraum, 50 Bifurkationen, 225 Bindungen, 228, 237, 294 - Beschleunigungsebene, 230 -explizit, 81 - Geschwindigkeitsebene, 230 - holonom rheonom, 228 - holonom skleronom, 228 -implizit, 81 - Lageebene, 230 - Mannigfaltigkeiten, 225 - Schleifen-SchheBbedingung, 237 - Zwangsbedingungen, 228 Bodenkontakt, 368 Butcher-Tabelle, 150 Butterworth-Tiefpass, 173, 339

384

Stichwortverzeichnis

C Code S-Function, siehe Simulink Code-Beschleunigung, 64 Computeralgebra, siehe auch Symbolic Math Toolbox - Maple, 67 - symbolische Auswertung, 356 - symbolische Variable, 92 Control System Toolbox, 325 -acker, 317,325 - bode, 142-144 -dlqr,317 - freqresp, 142, 144 - impulse, 146, 207 - initial, 207 -lqr,317 -Iqry, 317 - Isim, 207 -place, 317, 325 - Riccati-Regler, 317 - ss Zustandsmodell, 206 - step, 146, 207 Coriohskraft, 307 Coulomb-Reibung, 258, 260, 273, 280, 301 D DampfungsmaB -Lehrsches, 133 - logarithmisches Dekrement, 133 Datentyp, 7 - class, siehe MATLAB-Befehl - double, single, int8,..., 7 - sym, siehe Symbolic Math Toolbox Defekt, 76 Desktop - Command History, 1 - Command Window, 1 - Current Directory, 1 - Workspace, siehe Workspace differenzial-algebraische GL, 202, 224, 307, 371 - DAE, 224 - Deskriptorform, 229 - Index, 224 ff, 308 - semi-exphzit, 229, 232 Differenzialgleichung - autonom, 201 - expHzit, 201 - gewohnlich, 224 - - Index 0, 236 - implizit, 201, 202, 242, 371 - kinematische, 229 - kinetische, 229 - linear, 117, 204 - nichtlinear, 209, 219 - semi-explizit, 227 - Steifigkeit, 155 Doppelpendel, 91, 97, 103, 107, 110, 237

Drall, 95, 96, 102, 129, 355 - Stabilisiemng, 129 Drallsatz, 81,94-99, 111, 113 Drehgelenk, 297, 301, 348, 363, 365 Drehtransformation, 86 Dreifachpendel, 352 Dreipunkt-Schaltlogik, 258, 263, 280 Drift, 234, 235, 240, 307, 308 E Editor, 26 - Cell divider, 29 Eigenschwingung, 117ff, 120, 123 Eigenschwingungsform, 124ff, 130 - Schwingerkette, 127 Eigenwertproblem, 76,120, 122-124, 128, 130, 329, 330, 334 - gewohnliche, 121 - spezielle, 121 - Zustandsgleichung, 129 Einschrittverfahren, 150 elektrisches Netzwerk, 205 Elementardrehung, 85, 86 Elementarwinkelgeschwindigkeit, 87 erzwungene Schwingungen, siehe Schwingung Euler-Approximation, 33 Euler-Winkel, 86 Event, siehe Unstetigkeit eventgesteuertes System, 371

frequenzmodulierte Schwingung, 333 Function - Anonymous Function, 37, 217, 374 - clear, 25 - Function Functions, 32 - Function Handle, 32 - inline, 25 - Kopfzeile, 25 - Nested Function, 34 - Parent Function Workspace, 34 - Schliisselwort, 31 Fundamentalmatrix, 131, 144

Gelenkkrafte, 347 Geschwindigkeit, 86 Gleichgewichtslage, 109, 117, 135, 146, 184, 293, 296, 298, 350, 353 - Linearisierung, 110, 115, 361 Grafik, 2D, siehe Grafik-Befehl Grafik, 3D, siehe Grafik-Befehl Grafik-Befehl, 37, 40, 42, 49 - Animation, siehe Animation - axis, 30, 42, 42, 43, 50, 63, 126, 360 - box, 49, 50, 52

Stichwortverzeichnis - elf, 39, 40, 43, 46 - close, 39 - close all, 39, 74 - comet, 40 - comet3, 49 - contour, 49 - contour3, 49, 52 - cplxroot, 163 - DefaultLineLineWidth, 38 - delete, 39 - drawnow, 39, 57, 182 - ezplot, 74 - Face Alpha, 58 - figure, 39, 43, 44, 46, 50, 360 - fill, 55, 58, 360 -fill3, 51,62 - fplot, 40 - gca, 38, 42, 43, 45, 125, 182, 360 - gcf, 38, 39, 39, 46, 125, 166, 360 -get,38ff - gplot, 60 - grid, 42, 43, 52, 182 - hold on, off, 32, 40, 42, 43, 50, 62, 217 - interpreter - - T ^ - , I^T^-Mode, 42 - legend, 42, 43 -line, 40, 45f - Linien-Eigenschaften, 45 - loglog, 40 - Marker-Eigenschaften, 45 - mesh, 49, 52 - meshgrid, 49, 52, 217 - patch, 49, 50 ff - plot, 40, 42-46, 360 - plot3, 49, 49, 50, 163 - plotstil, 41 ff --Color, 41 f - - Line Style, 41 - - Marker, 41 - plottools on/off, 46 - semilogx, 40 - semilogy, 40 -set,38ff - shg, 39 - spy, 14, 40 - stairs, 40 - stem, 40 - subplot, 39, 40, 43, 52, 125 -surf, 49, 51, 52, 61,62 - surf2patch, 52 - surfc, 49, 52 -surfl, 55 - text, 42, 43, 45, 46 - title, 30, 42, 43, 166 - view, 49, 50, 52 - waterfall, 49, 52

385

- xlabel, ylabel, 42, 43, 45, 50, 74, 166, 182 - xlim, ylim, zlim, 42, 126 - zlabel, 49, 50 Grafikfenster, 39 - figure, siehe Grafik-Befehl - subplot, siehe Grafik-Befehl Gravitationsvektor, 295 gyroskopischer Einfluss, 127 - Eigenwerte, 128 - Kreiseleinfluss, 129 H Haupttragheitsmoment, 306 Hebelmechanismus, 344 help, siehe MATLAB-Befehl Help Browser, 3 Hilfs-Schaltfunktion, 261, 281 HTML Dokument, 30 Hubschwingungen, 367

I-Anteil, 312 Impuls, 102, 355 Impulssatz, 81, 94, 97, 99, 111 Index, 229 instationare Schwingungen, 333 Integralanteil, 318 Integrationsaufruf, 213 - Optionen, 213 Integrationskonstante, 126, 329 Integrationsverfahren - Dormand-Prince, 152 - Einschrittverfahren, 150, 151 -Euler, 154 - riickwarts, 151 - vorwarts, 151 -explizit, 151, 153 -implizit, 151, 153 - Mehrschrittverfahren, 150, 151, 154 - - Adams-Bashforth, 151, 154 - - Adams-Moulton, 151, 154 - - B D F , 150,151 - - NDF, 150 - Pradiktor-Korrektor, 151, 154 - Runge-Kutta, 150 - Trapez-Regel, 153 Integratorwahl, 156 - Diskontinuitat, 188 inverse Dynamik, 308

Jacobi-Matrix, 94, 101-107 - Zwangsbedingungen, Bindungen, 228 JIT-Accelerator, 4, 64 Jordan-Matrix, siehe Symbohc Math Toolbox

386

Stichwortverzeichnis

K Kardan-Winkel, 85, 87 - Kardangelenk, 91 Kaskadenregler, 314 Kelvin-Voigt-Modell, 202 Kennlinienumschaltung, 253, 372 Kinematik, 83 - Lage, 83 - Mehrkorpersystem, 89 - Orientierung, Drehung, 83 Knotenlinie, 85 konservative System, 127, 187 - Eigenwerte, 123 konservatives System, 122 Koordinaten -abhangige, 81 - generalisierte, 89 - redundante, 228, 237 - unabhangige, 81 - verallgemeinerte, 102 Koordinatensystem, 84 -CS,294ff - Inertialsystem (/), 84 - korperfest (K), 84 - raumfest, 84 - World (W), 296 Kreuzprodukt, 97 Kurbeltrieb, 237 Kurzschluss-Operator, 23

I^TEX Dokument, 30

Lageregler, 314 Lagrange, 81, 104, 107 - Formalismus, 81 - Gleichung 1. Art, 228, 344 - Gleichung 2. Art, 82, 94,104, 107, 111, 354 - Multiplikator, 229, 307, 344 Levitron-Kreisel, 204, 311 lineare Schwingungsmodelle, 117ff Linearisiemng, 108, 115, 361 Lissajous-Figuren, 196 M M-Code-Erzeugung, 48 - Show M-Code, 48 M-Lint, Code Check, 30 magnetisch gelagerter Rotor, 311 - aktive Stabilisiemng, 312 Maple, 67 MATLAB Function, 3Iff MATLAB Script, 29 ff MATLAB-Befehl - abs, 8, 22, 23, 25, 34, 65, 124, 140, 144 f, 193, 256 f, 266, 375 -addpath,27f

angle, 8 f asin, 239 atan,atan2,8,43f,50f, 137 f blkdiag, 103 break, 23 cd,27 cell, 21 - cellplot, 21 char, 20 class, 5, 6, 68 clear, 5, 25 conj, 8 f continue, 23 ctranspose oder ',15 decic, 232, 236 det, 15, 76 diag, 10, 11 ff, 76, 99, 100, 103, 126, 130, 131, 233, 298, 330, 347, 356 diary, 5 dir, 27 disp,28, 108, 163,375 doc, 2 Doppelpunkt-Operator, lOff double, 6f, 7, 14, 18, 21, 69 ff, 78 ff eig, 15, 76,121, 124, 330, 361 eigs, 121, 130 end Op., 10, 43, 50, 252, 256, 330 eps, 5 error, 25, 193 eval, 25, 36, 43, 78, 79, 358 exist, 21 exp, 8, 70, 72 f, 74, 79, 131, 140, 144 f, 330 expm, 131, 146 eye, 10, 11 ff, 76, 94, 103, 130, 144, 178, 330, 356, 374, 375 feval, 25, 32 find, 15, 375 fopen, 28f for Schleife, 23, 24 ff, 33, 43 ff, 57, 63 ff, 65 format, 5 fprintf, 28, 163,281 global, 25, 31, 193, 221, 239, 253, 347, 376 help, 2, 5, 25 helpwin, 2 if Abfrage, 23, 32, 43, 65, 76, 193, 266, 281, 361, 375 imag, 8, 130, 131 inline, siehe Function input, 28, 164, 256 int2str, 28 inv, 15,76, 140, 144, 239 f, 358 isempty, 25, 28, 182,375 length, 15, 43, 76, 103, 130, 137, 138, 360 linsolve, 15, 18, 131 linspace, 10, 30, 32, 43, 49, 50, 57 f, 61, 126, 131, 137f, 138, 146,217,330,358

Stichwortverzeichnis - load, 5, 7 - log, log 10, 8 - logspace, 10 - lookfor, 3, 27 - min, max, 15, 50, 124, 266 - nargchk, 25 - nargin, nargout, 25, 32 - num2str, 28, 30, 375 - odeplot, 217 -odeset,213ff,227,233,253 -odexx, 214ff - - o d e l l 3 , 154, 188 --odel5i,242,371 --odel5s, 156, 188,226ff,233,347 - - ode23, 252 --ode23s, 188 --ode23t,226ff,347 - - ode45, 188, 202, 221, 233, 238 - ones, 10-12, 19, 22, 50, 52, 61-63, 217, 243, 360 - path, 27 - pause, 28, 58, 360 -persistent, 25, 31 -pi, 5 -prod, 15 - Profiler - - profile on, 65 - - profile viewer, 65 - Punktoperation, 118 - - elementweise Verkniipfung, 14 - pwd, 27 - quiver, 217 - rand, 10, 13, 70 -rank, 15,76, 316 -real, 8, 131, 140, 144f, 330 - realmax, realmin, 5 - return, 25, 28, 32 - rmpath, 27 f - save, 5, 7 - sign, 8, 193, 256 f - sin, cos, 8, 16, 30, 36, 50, 57, 62, 63, 72 f, 78, 93, 94, 137f, 138,239ff,347,360 - single, 6f, 7, 11, 14, 18,21,78 - size, 15, 50, 61-63, 193 -sort, 15,76, 124,130 - sparse, 10, 14 - sprintf, 28, 43 - sqrt, 8, 43, 50, 69, 70, 124, 136, 137 f, 149, 253, 334 f, 361 - struct, 20 - sum, 15 - switch, 23 - tan, 8 - tic, toe, 24, 28 - transpose oder .',15 - vectorize, 79 - what, 27

-

387

which, 27 while Schleife, 23, 34, 256 ff who, whos, 5, 7 xor, 21 zeros, 10, 11, 19, 24, 103, 130, 137, 138, 140, 144, 178, 243, 330, 356, 374, 375 MATLAB-Element - 3D-Matrix, 19, 138 - Anonymous Function, siehe Function - Array Editor, 2, 7 - Ausgabeformat, 6 - Blockdiagonalmatrix, blkdiag, 103 - Built-in Variable, 5, 7 -Cell Array, 20, 21 - Command Window, Fenster, siehe Desktop - Desktop, 1 - Diagonalmatrix, 12 - Haupt-, Neben-Diagonalelemente, 12 - Doppelpunkt-Operator, 13 - Einheitsmatrix, 11 - Einsmatrix, 11 - Elementansprechung, 13 - Elementfolgen, 11 - Function Handle, siehe Function - global Variable, siehe MATLAB-Befehl - Inline Function, siehe Function - komplexe Variable, 7 - M-Lint, Code Check, 30 - mathematische Funktionen, 8, 14 - Matrix-Operationen, 14 - mehrdimensionale Felder, 19 - Not a Number, NaN, 5 - Nullmatrix, 11 - Online-Hilfe, 2, 5 - Operationszeichen, 5 - persistente Variable, siehe MATLAB-Befehl - Profiler, 30, siehe Profiler -Punktoperation, 118, 133 - Structure, 20, 255, 373 - - struct, siehe MATLAB-Befehl - Unendlich inf, 5 - Variablenverwaltung, 5 - Vektor- und Matrix-Formulierung, 10 - Vektor-Operationen, 14 - Vergleichsoperatoren, 21 - While-Schleife, 24 - Workspace Browser, 7 - Zeichenketten, 19 Matrixformulierung, 82 MATRIXx, 1 Mehrkorpersystem, 81, 291 - Baumstruktur, 242, 307 - geschlossene Schleifen, 307 - mechanisch, 229 - Mehrkorpermodell, 307 - M K S , 81

388

Stichwortverzeichnis

- offenen Schleife, 231 - Schleifensystem, 242 Mehrschrittverfahren, 154 Minimalgeschwindigkeiten, 210 Minimalkoordinaten, 81, 89, 224, 241 modellbasierter Entwurf, 348 Modellbildung, 81 - Programm-Code, 92, 94, 99-101, 103, 107, 108, 110 Multiplikator - Elimination, 236 - Lagrange, siehe Lagrange N Nebenbedingung, 224 Nested Function, siehe Function Newton-Euler - Formalismus, 355 - Gleichung, 102 - Methode, 81, 97, 102, 106, 107, 112 Newton-Raphson-Verfahren, 109 - Newton, 25, 34, 300, 350 nichtkonservatives System, 133 nichtlineare Schwingungen, 352 Normalkraft, 114, 239, 370 O O-Matrix, 1 objektorientiert, 292 Octave, 1 Orthogonalmatrix, 85 OutputFcn, 218

Parameterempfindlichkeit, 331 Partikularlosung, 329 PDRegler, 315 Pendel,231 Permanentmagnet, 311 Phasenebene, 50, 75, 211, 271 Phasenfrequenzgang, 42 physikalische Modelle, 291 PIDRegler, 315 Pkw-Klimaanlage, 309, 342 Plot-Befehle, siehe Grafik-Befehl Plot-Umgebung, 47 - Figure Palette, 47 - Plot Browser, 47 - plottools on/off, 46 - Property Editor, 47 Power Point Dokument, 30 praallokieren, 24, 66 Profiler, 30 - Report, 65 Programm - Cell divider, siehe Editor

- M-Lint, Code Check, 30 - Zellen (Cells), 29 Projektionsmethode, 308 Punktoperation, 134 Q quiver, 217 R Rangabfall, 76 Rangfolgeregel, 18 Referenzlage, 108 Reglerstrukturen, 314 Reglerumschaltung, 312 Reibmodelle, 258 Reibung, 258, 301 - Zweimassenschwinger, 309 Relativkoordinaten, 293, 308 Resonanz, 222, 333, 334 Richtungsfeld, 217 Ruhelage, 108 Runge-Kutta-Methode, siehe Integrationsverfahren

Schaltfunktion, 247, 254, 281 Schaltkoeffizient, 247, 281 Schaltpunkte, 248 SchlieBbedingung, 308 Schubgelenk, 296 Schwingerkette, 135 Schwingung - Arbeitspunkt, 117 - chaotisch, 363 - Eigenschwingung, 117 - erzwungen, 134, 329 - fastperiodisch, 134 - freie, 120, 125, 329 - komplexe Formulierung, 130 -harmonisch, 136 - Impulsantwort, 145 - instationar, 118 --Zustand, 219 - komplexe Anregung, 139 -periodisch, 310 - quasiperiodisch, 134 -selbsterregt, 210, 271 - Sprungantwort, 146 Schwingungstilger, 332 Signalfluss - bidirektional, 292 - unidirektional, 276, 292 Signalflussgrafen, 147 SimDriveline, 291 SimHydraulics, 291 SimMechanics, 241, 291, 349 - Body Actuator Block, 296

Stichwortverzeichnis - Body Block, 293 - Body Spring & Damper Block, 297 - Convex hulls, 306 - Equivalent ellipsoids, 306 - Forward Stiction Limit, 302 - Ground Block, 293 - Inverse Dynamik, 293, 366 - Joint Sensor Block, 293, 299 - Joint Spring & Damper Block, 297 - Joint Stiction Actuator, 301 - Kinematics, 293 - Kinetic Friction, 302 - Library, 292 - Machine Environment Block, 293 - Massenmittelpunkt CG, 295 ff - Prismatic Block, 294 - Reverse Stiction Limit, 302 - Revolute Block, 299 - Stabihsierung, 307, 308 - Trimming, 293, 350 - Gleichgewichtslage, 350 - Visualisierung, 305, 351, 365 - Vorwartsdynamik, 293, 298, 363 SimPowerSystems, 291 - Library, LFberblick, 291 Simulationsprogramm, 213 Simulink - Algebraic Constraint Block, 227, 233 - algebraische Schleife, 149, 168, 228, 283 - Band-Limited White Noise, 174 -Breakpoint, 168 - Coulomb and Viscous Friction Block, 178 - Dead Zone Block, 337 - Debugger, 167 - Embedded MATLAB Function Block, 176 - Floating Scope, 285 - - Signal Selector, 285 - From Workspace Block, 173 - Function Block - - MATLAB Fen Block, 176, 283 - get_parm, 196 - Hit Crossing Block, 284 - imread, 163 - Inport (In) Block, 159 - JPG-Format, 163 - Library, 157 - Manual Switch Block, 336 -Maskierung, 162ff - Modell Explorer, 167 - Option --simset, 161,290 - Outport Block, 159 - Parameterbox, 162 ff - Relational Operator Block, 337 -S-Function, 189 --Builder, 197

389

--Builder Block, 197 - - C Code, 273 --Level-IM-File, 189, 190 - - Level-2 M-File, 189, 193, 196 - Scope, 160, 166 - set_param, 195 - Sign Block, 337 - simplot, 166 - Simulationsaufruf - sim, 160 - Sine Wave Block, 196 - Startroutine, 182 - State Port, 283 - State Space Block, 160, 171, 325 - Subsystem, 161, 175, 282, 283, 319, 321, 335 - Switch Block, 177,319 - TO Workspace Block, 160 Sollbewegung, 108, 109 Sparse Matrix, 14, 121 Spulenmodell, 314 Storbewegungen, 108 StorgroBenbeobachter, 321 StorgroBenkompensation, 320 Stabihsierung, 234, 240 - Baumgarte, 240 - Projektion, 241 Stabilitat, 117 - asymptotisch, 110, 120, 132, 133, 362 - grenzstabil, 120, 124, 129, 132 - instabil, 110, 116, 120, 124, 132, 134, 226, 362 - stabil, 226 - Stabilitatsaussagen, 123 starrer Korper, 83 Stateflow, 273 - Chart, 273, 274 - Connective Junction, 275, 278 - Data Dictionary, 274 - Debugger, 273 - Default Transition, 275, 278 - History Junction, 275 - Label, 275 - - Bind Action, 276 - During Action, 276 - Entry Action, 276 - - Exit Action, 276 - on-Event Action, 276 - Transition Action, 277 - Transtition Condition, 277 - Transtition Condition Action, 277 - MATLAB Embedded Function, 275 - Modell Explorer, 274, 279, 288 - - Datentyp, 279 - Initialisierung, 279 - - Scope, 279 - Parser, 273 - State, 275

390

Stichwortverzeichnis

- State Machine, 273, 288 - Variable Precision Arithmetic vpa, 70 - vectorize, siehe MATLAB-Befehl - Stateflow Block, siehe Chart - Transition, 275, 276 - Update method, 279 - Continuous, 279 Taylor-Reihe, 361 Tensor, 84 - - Discrete, 279 - schiefsymmetrisch, 86 - - Inherited, 285 Tensortransformationsgesetz, 88 - Weckvorgang, 288 Textinterpreter - Zustand, siehe State - T ^ , I^TEX, 42 - Zustands-Aktion, siehe Label Tildeoperator, 87, 88, 98 - - bind, 276 Tilgungsfrequenz, 333 - during, 276 Tragheitsellipsoid, 306 - - entry, 276 Tragheitsradien, 306 - - exit, 276 Tragheitstensor, 95, 295 - on event, 276 Transformation, 84, 86 Steiner, 96, 105 - Drehmatrix, 84 Steuerbarkeitsmatrix, 316 - Elementartransformation, 86 Stick-Slip-Schwingungen, 269 - inverse, 87 StoB, 250, 253, 257 Triggersignal, 286 StoBdampfer, 368 StoBkraft, 332, 337 U StoBmodell Ubergangsbedingung, 329 - Kelvin-Voigt, 378 Unstetigkeiten, 244 - kraftstoBfrei, 378 - Beispiele, 245 - Maxwell, 378 Stromregler, 314 strukturvariables System, 282, 370 Vektorisierung, 67,117, 327 Sweep-Generator, 335 - vektorisierte Form, 126 Sweep-Kreisfrequenz, 335 Viertelfahrzeugmodell, 170, 269, 273, 367 Symbolic Math Toolbox, 67 Vorwartsdynamik, 308 - D Ableitungsoperator, 74 - diff, 71, 74, 93, 103, 354, 356 W - digits, 70 Winkelbeschleunigung, 89, 90, 93, 94, 112 - double, single, siehe MATLAB-Befehle Winkelgeschwindigkeit, 87, 112 - dsolve, 74 f Workspace, 1, 5-7, 29, 31, 160 - Eigenwerte, 76 - Workspace Browser, 2 - Extended Symbolic Math Toolbox, 67 -findsym, 69, 71,76 - int, 71 - jacobian, 71, 94, 99, 100 ff, 103, 108, 110, 355, 356,Zeitereignis, 245 Zentrifugalkraft, 307 361 Zustandsereignis, 245 -Jordan, 76 Zustandsmodell, 142, 327 -limit, 71 Zustandsregler, 316, 317 - Numerik, 78 Zweipunkt-Schaltlogik, 250 - Objekte, 68 Zylinderelement, 60 -Online-Hilfe,68ff - help sym/, 68 - positive, 69 - pretty, 72, 74 - rank, siehe MATLAB-Befehl - real, siehe MATLAB-Befehl -solve, 72 f - subs, 71, 74, 76, 78, 79, 99, 110, 355, 356, 361 - sym, syms, 69, 70, 72, 74, 92, 94, 99 ff - taylor, 71 - unreal, 69