Mathematisches Institut. Georg-August- Universitat Gottingen. Seminars Summer Term 2004

Yuri Tschinkel (Hg.) Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Seminars Summer Term 2004

erschienen in der Reihe „Mathematisches Institut. Seminare“ der Universitätsdrucke des Universitätsverlages Göttingen 2004

Yuri Tschinkel (Ed.)

Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Seminars Summer Term 2004

Universitätsdrucke Göttingen 2004

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Address of the Editor / Anschrift des Herausgebers Yuri Tschinkel Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen Bunsenstraße 3-5 37073 Göttingen e-mail: [email protected] URL http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel

© All Rights Reserved, Universitätsverlag Göttingen 2004 Cover Image by Phillip Hagedorn. Mathematisches Institut Göttingen Cover Design Margo Bargheer ISBN 3-930457-70-9

’”“–• ?— • ™˜

šœ›^LžLŸ\ C¡fž€ ‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡¢| £ ¤U¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥¬‡­‡f‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡[£E® ¯;°‘± ²E³d³µ´œ²C¶P·a²C¸º¹»¼\OCIG½¾DGBKU½¾F«¼\O?¼r¿DyRUT Z\½¾FPÀ\RÁX[¼\½¾FPÀ\RGIÂ/FP½ÃMÄFPO½YRUDyRGIG½¾FPO Å[ÆU½YZ\T R DyRNZ\T F ǀZ\½¾F«¼\OB IGFPO Å[½ÃMCRÈXF«ÉSÉ T R[KN¼\OÀ\¼\T BE½¾F«¼\Oʇ­‡f‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡7Ë ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡Ë Ï ‡µÐ'ÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ºÌfÒ©Ñ ÌELufё}ÓE}rwyzL{[}–‡\‡f‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡­‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡€‡L‡-ˆ ˆC‡µÐ'ÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ºÌfÒ©ÔUwNufÑ zÁÑ ÌELufё}ÓE}rwyzL{[}–‡­‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡ÖÕ Õ‡Ct>Ìfwy| ® |~| ‚awyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌS‚ÄÌfÒwyxCzÁ{ |~ÍCÍEÑ zÈUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚؇\‡a‡­‡­‡­‡­‡­‡­‡­‡S‡­‡­‡\‡­‡­‡­‡­‡Š ŠE‡CÙ×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}*wyÌ wyxCzÁ| ‚ ®SzL†N}zÁÚufÑ ÌS|~}*×C†yÌSÛCÑ zL{-‡\‡S‡€‡L‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡\‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡€‡-Ü Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡-‹ ÞÄ°Jß[à‘¶d¹âáDGFP½ÃM X[RU½¾F«K¼r¿[»Z\T ZSãUFPäAµZ\B;åµZ\DGF«RU½¾F«RGIæ‡\‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡:ç ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡:ç Ï ‡CènxCz L‰Y}zL†y| z€}nuf‚ÍÄéLzUwNu\‰¾ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ÄÌfÒÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÄ®\uf†y| zUwy| z€}”‡\‡ ‡\‡f‡\‡\‡E‡f‡\‡\‡f‡)ËSË ˆC‡CènxCzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜÌfÒ^zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÁUƒC†y®Sz€}*Ì\®SzL† ‡\‡­‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡™Ë Ï Õ‡CènxCzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜÌfÒ/}| ‚CSƒCÑ~uf†ÁìÃzU£ wy†yzL{[ufÑPí QK3 }ƒC†Ò«uSUz€}”‡\‡S‡­‡­‡€‡­‡€‡­‡S‡€‡­‡€‡­‡­‡€‡2ËLÕ ŠE‡CènxCzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓ[ÒÃÌS†"†y| S|~Í>Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}"Ì\®SzL† ‡\‡a‡\‡­‡\‡­‡a‡\‡­‡\‡­‡)Ë€Ü ÜC‡CènxCzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜÌfÒ^‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍïÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}nÌ\®SQzL† Q ‡\‡‡a‡a‡‘‡a‡a‡ Ï Ë ‹ ‡µð×µzL‚Äñ†yÌSÛCÑ zL{[}2‡­‡f‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡ Ï ‹ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡ Ïfò ó[°©±ï°©ôÚ¸dõµ´œö‘¶Pö÷>¹7»¼\BEO½¾FPO ŜDyZ\½¾F«¼\OdZ\TEø¼\FPO½«Iù¼\OKUBãUF«Kù½ÃM DyRNR«¿U¼\T É­Iæ‡\‡ ‡\‡E‡\‡™ˆCË Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡vˆaŠ ú °Èû õ©üLý‘¶~³Sþö‘¶"¹ ÿRUDGFPÀ\RNÉ2R
BEFPÀ\Z\T RUOdKNRGI?FPO DyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\O ½ÃMCRN¼\D 2¼r¿ OFP½YR ÅfDy¼\B€øµI懭‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡vˆ ‹ ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡vˆ ‹





 

Ï ‡CÝ"zL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}*ÌfÒ Ì\®SzL† ‡­‡\‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡vˆ ò Cˆ ‡CÝ"zL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}*ÌfÒ GG Ì\®SzL†"CuzLÑ~Í k  | wyxï×C†y| { zÁNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ p ‡\‡‡‡ ˆSç Õ‡C…*†yÌSƒCÔ }nufÛµzLÑ |~uf‚ïÍEzUÒÃz€GwS†yÌSƒC×ïUÌS‚rz€GwyƒC†yz$‡­‡f‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡vÕË Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡>Õ Ï ý °  ¶P·a·a²¹ WZSÉ\F«K Z\T ¼\F~IùKN¼€MC¼\X[¼\T ¼yÅ ºZ\OdÉ ½ÃMCR µB IGT FPOäåµ¼€RUÀ\¼€É­IyQ  ½ÃMCRN¼\DyRUX ‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡Ul‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡€‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡vÕ Š ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡>Õ Š Ï ‡µÐ'ÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ}"ÚufÑ ÌS|~}"UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓ ‡\‡f‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡­‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡vÕE‹ ˆC‡ l‰YuSÍE|~ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wy| ÌS‚}nÌfÒwyxCzȅ*Ñ ÌENxE"‰ !Áu\wyÌ UÌS‚ rz€GwyƒC†yz$‡­‡a‡­‡­‡­‡­‡­‡­‡­‡a‡­‡­‡­‡­‡­‡­‡­‡Õaç Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡?ŠEË #° ¯;% ° $²C'¸ &©)¶ (õ * ¹ µB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\D RUTPT F ød½¾F«KºKUBEDGÀ\RGI[Z\OdɺX[,Z +SFPX[Z\T
BZ\½YRUDGOF«¼\OF«K ¼\DyÉSRUDNIæ‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡Šfˆ ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡?Šfˆ Ï .‡ -zLƒC†y| ‚C[UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz;‡­‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡?Š\Õ ˆC‡CènxCzÁufÑ SÌS†y| wyxC{-‡­‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡?Ša‹ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡vÜSŒ û>0° /©þ¶Pöõà‘·a·a¶Pö‘²2 ¹ 1nOv½ÃMCRÈOd¼\DGX ødDGFPOdKUF ødT Rn¿U¼\D
BZSÉ\DyZ\½¾F«K'¿U¼\DGXùIæ‡\‡ ‡\‡\‡E‡\‡f‡™ÜCË ËS‡zL‚CzL†NufÑ | wy| z€}–‡­‡\‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡vÜCË Ï ‡CÙ×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}–‡\‡­‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡vÜSˆ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡vÜfÕ ô °"û[· 4õ 3'ü 5µý–7 ¹ 6^RU½YZr¿NBEOEQ\½¾F«¼\OdRUO2FPO ÉSRU8D nDGB€øSøRUO½ÃMCRN¼\DGF«RïäXFP½áBSÅaRUOX[RUDyQ Z\BU¿ p WZSÉ\F~ILKNMC:R 9^F«RîÅfDGB€øSøRUOʇ\‡\‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡vÜaŠ ËS‡ ;| ‚CÑ zL| wyƒC‚C ‡\‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡vÜaŠ Ï ‡C…*zLS†y| <J}ÛC| Ñ~ÍEƒC‚CƒC‚ÍÄzL†N}rwyzÚ{[uf>† =\uf‚awyzÁ…*zL|~}×C| zLÑ z$‡\‡S‡€‡€‡­‡€‡€‡€‡­‡€‡€‡f‡€‡­‡€‡€‡€‡­‡€‡€‡­‡ÜSÜ ˆC‡ ?zLÑ~NxCzȍ†yƒC×C×µzL‚ïxufÛµzL‚ï×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ | zLÑ Ñ z€A} @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚ uSNx}rwyƒCC{ B;‡\‡ ‡‡”Ü ò Õ‡Ct>zUwyxCÌEÍEzL‚‘.„ ;†ySzLÛC‚C|~}y}zڃC‚ÍÄÌ


 

 

Ï ‡Ct>Ìfwy| ® |~ÁÚufÑ ÌS|~}*wyxCzLÌS†yÓ4‡­‡\‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡ ò Š Cˆ ‡CènxCzÁLuS}zÚÌfÒ^{ Ìfwy| ®Sz€}*ÌfÒ^Ñ zL®SzLÑ 6 Ë$‡\‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡ ò Ü Õ‡CènxCzÁLuS}zÚÌfÒ/uÄËU‰î{ Ìfwy| ®Sz;‡\‡f‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡­‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡ ò ‹ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡ ò ç ÞÄ°ÞùþJMà Lþö‘öï¹âáT ÅaR€ãUDyZ\F«KùFPOdÉSRîøRUOdÉSRUOdKNRùFPO K (Var ) ‡­‡f‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡­‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡?çCË Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡vçfÕ ú ¶PN ¸ ù° ú ´œ¶Pö‘ö‘²C¸S³‘õö Oy:± P©²C¸Ä¹ H‘Â'¼ºÉSRGILKNRUO½d¿NDy¼\R X QRUDGX[Z\½*½Y¼ Od¼\ ‡­‡d‡E‡/‡E‡ çaŠ ú ¶PN ¸ ù° ú ´œ¶Pö‘ö‘²C¸S³‘õö Oy:± P©²C¸ÄT ¹ SZ\½¾F«¼\OdZ\T ø¼\FPO½«Iù¼\O *ãNRUDyRNÉ IGBEDÿUZSKNRGI懭‡ ‡­‡a‡­‡SˀŒSˆ U °©± M à V©² 2 ¹ 1nOv½ÃMCRÈX[¼€É DyRNÉ\BKU½¾F«¼\OCIù¼r¿ÈZ\O RUTPT F ød½¾F«K[KUBEDGÀ\Ræ‡\‡\‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡­ËSËSË ËS‡C…nuSW = S†yÌSƒC‚Í ‡\‡\‡U‡U‡U‡L‡U‡Up‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡€ËSËSË Ï .‡ -Kz ‚C| wy| ÌS‚ïÌfÒ©wyxCzÁÑ ÌELufÑJè©u\wyzG.ê X xu\Ò«uf†yzL® |~NxºS†yÌSƒC×؇\‡a‡­‡­‡\‡­‡­‡­‡\‡­‡a‡­‡­‡­‡\‡­‡­‡­‡\‡fËSË Ï ˆC‡CÝ"z€}ƒCÑ wN}–‡\‡\‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡€‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡­ËSˀˆ Õ‡µðƒEwyÑ | ‚CzÁÌfÒwyxCzÁ×C†yÌ ÌfÒv‡­‡f‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡€ËSËLÕ ŠE‡ X ÌS{ zÚ×C†yÌSÛCÑ zL{[}–‡­‡f‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡€‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡­ËSË€Ü Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€ËSË\‹ Y °Þ²CöJþ©üLý‘Z ² &?¹ H‘Â/F~IG½YRNÉHdMC¼\X F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGXùIùFP\O [Z\T X[RUDGW ]ÄFP½¾½*½ÃMCRN¼\D և­‡µËSˀç ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡€ËSˀç Ï ‡Cè |~}rwyz€ÍïènxCÌS{Î|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}”‡\‡f‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡­‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡€‡­Ë Ï Ë ˆC‡ ?  | wwS†yÌSƒC×}nÌfÒ©×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÛCƒC‚ÍEÑ z€}2‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡­Ë ÏSÏ Õ‡ ? | wwS†yÌSƒC×}nÌfÒ^UÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ Óº}×CÑ | _w ^aƒuSÍE†y|~L}–‡­‡S‡­‡€‡€‡€‡­‡€‡€‡€‡­‡€‡€‡f‡€‡€‡­‡€‡€‡€‡­‡€‡€‡€‡­‡\Ë Ï Õ ŠE‡ÓE}| ‚Ä{[uf×}nÒÃÌSA† ? | wwS†yÌSƒC×}”‡\‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡€Ë Ï Š Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€Ë Ï Ü `ù°"¯”M à V©ý‘¶Pö”a ¹ [RU½ÃMCR[áOCILZ\½ÃÇ bcQJBKNMaIGF«Z\O”V
BZ\½¾F«¼\OCIÄZ\Od\É JKNM BãNRUDG½»Z\T KUBET B I ‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡€‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡­Ë Ï ç ËS‡CÙ }rwyÌS†yÓ ÒÆyÌS{ ˀç\‰¾wyxïUzL‚awyƒC†yÓS‡‡\‡\‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡­Ë Ï ç Ï ‡CènxCzÁ…*zUwyxCzÁ'z ^aƒu\wy| ÌS‚}–‡­‡f‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡­Ë€ˆSŒ ˆC‡Eñ^ÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚}–‡­‡\‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡€Ë€ˆCË Õ.‡ DCƒNx}|~uf‚Ä'z ^aƒu\wy| ÌS‚}–‡­‡f‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­Ë€ˆSˆ ŠE‡ XENx ƒCÛµzL†wLufÑ~UƒCÑ ƒ}–‡\‡\‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡­Ë€ˆfÕ ÜC‡µÐ'ÌS‚UÑ ƒ}| ÌS‚؇\‡f‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡­Ë€ˆfÕ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€Ë€ˆfÕ ô e° dùþ©ü€üL²E³d³Ä¹ÖV
BZ\½¾F«¼\OCIù¼r¿ÁBEOFPÀ\RUDNILZ\T‘½Y¼\DNIL¼\DNIùZ\OdÉ>»,¼ +ºDGFPO Å\I懭‡ ‡­‡\‡­‡ ‡­‡\‡­‡SˀˆaŠ ËS.‡ @‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†N}nuf‚Í>Ð'Ì­£º†y| ‚Ca}”‡\‡\‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡­Ë€ˆaŠ 0

k

  



 

Ï ‡ ;%^aƒu\wy| ÌS‚}nÌfÒ^ƒC‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†N}™‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡€Ë€ˆSç Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€ËLÕaˆ fÚ°e^þJà÷‘4 þ L)2 ¹ gnBRUT
BRGIÈãN¼\DyÉ­IÁFPDGDyZ\½¾F«¼\OOdRUT IÉSRÈÀ\Z\DGF«ÆU½YÆGIÉS:R CM FPXBEDyZև­‡‡ ‡/ËLÕ Š ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡€ËLÕ Š Ï ‡CÝuf×C×µzLÑ~,} FUÌS†y×}nÍEzÈUÑ~uS}y}zzUw®\uf†y| ÔUwyԀ}"ÍEJz X xC| {ùƒC†Nu¢‡\‡f‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­ËLÕaç ˆC‡ÔLÌEÍEԀ}h| ^aƒCz€}nÌS†y| zL‚awyÔLz€}*zUwUÌS†y×i} ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz€}*†yÔLzLÑ~}–‡­‡S‡L‡€‡€‡L‡€‡L‡€‡­‡€‡L‡€‡€‡L‡€‡L‡\Ë­ŠEË Õ.‡ -uf‚}nÑ z€}"z€}×uSUz€}nÍEzÁ{ ÌEÍEƒCÑ z€}"ÍEzÁ®\uf†y| ÔUwyԀ}"ufÛµÔLÑ | zL‚C‚Cz€}–‡­‡a‡­‡€‡­‡­‡€‡­‡f‡­‡­‡€‡­‡­‡€‡fË­Š\Õ ŠE.‡ j‘| wwyÔL†Nu\wyƒC†yz$‡­‡f‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡­Ë­ŠfÜ Ù×C×µzL‚ÍE| £ïÙȇÝuf×C×µzLÑ~}"}ƒC†Ñ~u{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ïUÌS{ ×CÑ zU£Ez$‡\‡\‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡€Ë­Ša‹ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€Ë­Š ò Y  ° U ²Cö÷ï¹,»¼\OCIG½¾DGBKU½¾F«¼\Ov¼r¿ÁKUBEDGÀ\RGIÂ/FP½ÃMïlZ kEZSKN¼SãUF«Z\O¼r¿"ÅfFPÀ\RUO™e» G>WYm½ yøR ‡­‡SË­Šfç ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡€Ë­Šfç Ï ‡CènxCzÁufÑ SÌS†y| wyxC{-‡­‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡€Ë€ÜCË ˆC‡CÙ‚ïzU£Cuf{ ×CÑ z F/UƒC†y®Sz€}nÌfÒ©SzL‚ ƒ} Ï ‡­‡S‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡­‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡\Ë€Ü Ï Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€Ë€ÜSˆ #°©l û nö‘¶Ã÷©,ü Lþö‘öï¹âo á Z\T ¼\F~IKN¼€ÉSR*¿U¼\DÁÀ\Z\T BZ\½¾F«¼\OCIæ‡\‡S‡­‡€‡­‡­‡€‡­‡€‡­‡­‡f‡­‡€‡­‡€‡­‡€‡­‡­‡€‡fˀÜaŠ ËS‡EY‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚·­‡\‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡€Ë€ÜaŠ Ï ‡CèÌ ÌSÑ~}–‡­‡f‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡­Ë€Ü ‹ ˆC‡Eñ†yÌ ÌfÒ©ÌfÒ©wyxCzÚwyxCzLÌS†yzL{-‡­‡f‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­Ë€ÜSç Õ‡CÙ×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}–‡\‡­‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡€Ë\‹ Ë Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€Ë\‹\ˆ #°©l û nö‘¶Ã÷©,ü Lþö‘öï¹âáOdZSãNRUT F«Z\O>ÅaRN¼\X[RU½¾D º¼\À\RUDùZ\T X[¼­IG½"Z\DLãUFP½¾DyZ\D _*RUT É­Iæ‡\‡ ‡E‡aË\‹fŠ ËS‡CÙ‚ufÛµzLÑ |~uf‚ĐSzLÌS{ zUwy†yÓ4‡­‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡€Ë\‹fŠ Ï ‡CènxCzÚÑ ÌELufÑdwyxCzLÌS†yÓ4‡\‡­‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡€Ë\‹\Ü ˆC‡Ñ ÌSÛufÑdwyxCzLÌS†yÓ4‡­‡\‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡€Ë\‹\ç Õ.‡ DCƒC†wyxCzL†uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}nÌfÒwyxCzÁÑ ÌELufÑdwyxCzLÌS†yÓ4‡­‡f‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡­Ë ò Œ Ý"zUÒÃzL†yzL‚Uz€}”‡\‡\‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡L‡€Ë ò Ë

prq

p ’ ™˜ ˜"8s )

»¼\OCIG½¾DGBKU½¾F«¼\O¼r¿ÚDyRUT Z\½¾FPÀ\RÈX[¼\½¾FPÀ\RGIÁÂ/FP½ÃMïFPO½YRUDyRGIG½¾FPO źÆU½YZ\T RÁDyRNZ\T F ǀZ\½¾F«¼\OB IGFPO Å[½ÃMCR X F«ÉSÉ T R KN¼\OÀ\¼\T BE½¾F«¼\O ¯”¶t5µýJþ²C·ï± ²E³d³µ´œ²C¶P·a²C¸ ‡­‡f‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡€‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡7Ë ?zÈ}rwyƒÍEӜwyxCzÁ{ |~ÍCÍEÑ zÈUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ºÌfÒ©Ñ ÌELufё}ÓE}rwyzL{[}nÌS‚ÄwyxCzÁ×CƒC‚GwyƒC†yz€Í u u[‚CzvÑ | ‚Cz?| ‚ wyxCz}| ‚CSƒCÑ~uf†ºuf‚Í2wyxCz?ÔUwNufÑ z?LuS}zS‡v?z?S| ®Szvu™{ Ìfwy| ® |~v| ‚E‰  wyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌS‚vÌfÒwyxCz { |~ÍCÍEÑ z UÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚  xC|~Nx?Ó | zLÑ~ÍC}| ‚EÒÃÌS†y{[u\wy| ÌS‚?ÌS‚>wyxCz ÌELUƒC†y†y| ‚CùÍEzUwyzL†y{ | ‚uf‚awN}L0‡ D©| ‚ufÑ Ñ ÓS„  zƒ}zwyxCz€}z{ zUwyxCÌEÍC}'wy̆yz€ufÑ | éLz}×µz€U|~ufÑ Ñ | ‚Cz€uf†"S†yÌSƒC×}*†yzLSƒCÑ~uf†yÑ ÓœuS}ÚufÑ ÌS|~}*S†yÌSƒC×}*Ì\®SzL† Q(t) ‡ áDGFP½ÃM X[RU½¾F«K¼r¿[»Z\T ZSãUFPäAµZ\B;åµZ\DGF«RU½¾F«RGI Þ õ¸J)¶ Võ™ß[à‘¶Ä‡\‡\‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡1ç ?z uSÍCÍE†yz€}y}"wyxCz{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wr\ Ó ^aƒCz€}rwy| ÌS‚}ÌfÒnÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒv®\uf†y| zUwy| z€}ÌfÒ*ÍE| ‰ { zL‚}| ÌS‚ 6 3 ÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† Q ‡ »¼\BEO½¾FPO ŜDyZ\½¾F«¼\OdZ\T ø¼\FPO½«Iù¼\O KUBãUF«KȽÃM DyRNR«¿U¼\T É­I óÁ)¶ Lõ‘³Jý P)±ï°©ôÚ¸dõµ´œö‘¶Pö÷ ‡­‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡vˆCË ènxC|~}‘|~}‘u"}ƒC†y®SzLÓÌfÒ †yz€UzL‚aw‘†yz€}ƒCÑ wN}‘UÌS‚UzL†y‚C| ‚Cn†Nu\wy| ÌS‚ufÑ\×µÌS| ‚awN}JÌfÒ ÛµÌSƒC‚ÍEz€Í xCzL| SxawÌS‚Äx Ó ×µzL†N}ƒC†Ò«uSUz€}*ÌfÒ^ÍEzLS†yzLz ≥ 3 ‡ ÿRUDGFPÀ\RNÉÄR
BEFPÀ\Z\T RUOdKNRGIÁFPO?DyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\O?½ÃMCRN¼\D º¼rw¿ OFP½YRÅfDy¼\B€øµI ú ý‘¶Ã÷²õ2û õ©üLý‘¶~³Sþö‘¶Ä‡­‡\‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡G‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡vˆ ‹ ?zù}ƒC†y®SzLӜ†yz€UzL‚aw†yz€}ƒCÑ wN}uf‚ÍïUÌS ‚ rz€GwyƒC†yz€}"| ‚>{ ÌEÍEƒCÑ~uf††yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ wyxCzLÌS†yӜÌfeÒ ‚C| wyzÁS†yÌSƒC×}L‡

x

yzK{y .

WZSÉ\F«KCZ\T ¼\F~I KN¼€MC¼\X[¼\T ¼yÅïZ\OdÉ[½ÃMCR:µB IGT FPOäåµ¼€RUÀ\¼€É­IyQ[½ÃMCRN¼\DyRUX ý‘¶P·a¶)3.3C²| ¶P·a·a²4‡\‡\‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡€‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡L‡U‡vÕ Š ?z×C†yz€}zL‚awwyxC z X ƒ}Ñ | ‚E~‰ }/Ì zL®SÌEÍC} = ÓºwyxCzLÌS†yzL{  | wyxC| ‚vwyxCzÈÒÆNuf{ z  ÌS>† =ÄÌfÒ UÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ}nÔUwNufÑ zÁUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓS‡ µB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\DùRUTPT F ød½¾F«K KUBEDGÀ\RGIùZ\OdÉ[X[, Z +SFPX[Z\T
BZ\½YRUDGOF«¼\OF«K¼\DyÉSRUDNI #àJþö2¯™þ ¸ 5dõ©ü $²C'¸ &©)¶ (õ ‡­‡f‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡L‡?Šfˆ ?zS| ®Szuf‚ zU£E×CÑ |~U| w'®SzL†N}| ÌS‚ÌfÒdwyxC z €-zLƒC†y| ‚CÈUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz ‚*ÛµzUw zLzL‚ }ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†ÁzLÑ Ñ | ×Ewy|~ºUƒC†y®Sz€}Áuf‚Í {[u\£E| {[uf%Ñ ^aƒu\wyzL†y‚C| ÌS‚C|~ ÌS†NÍEzL†N}L„Û Ó? ×C†yzU‰ }zL‚awy| ‚C[u ÍEzUwyzL†y{ | ‚C|~}rwy|~Áuf‚ÍÄzU£E×CÑ |~U| wufÑ SÌS†y| wyxC{ØwyÌ[UÌS{ ×CƒEwyzÁ| w€‡ 1nOv½ÃMCRÈOd¼\DGX¢ødDGFPOdKUF ødT R*¿U¼\D
BZSÉ\DyZ\½¾F«K'¿U¼\DGXùI û[¶P¸J¶P·aƒ· /©þ¶Pöõà‘·a·a¶Pö‘² ‡­‡\‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡L‡U‡U‡U‡U‡U‡U‡vÜCË ?z?×C†yÌ\®Sz>u ®SzL†N}| ÌS‚)ÌfJ Ò !ڂCzLÛCƒ}yNMx  C} „ÌS†y{ñ†y| ‚U| ×CÑ z>ÒÃÌSC† ‚C| wyzvÔUwNufÑ z zU£ wyzL‚}| ÌS‚}ÌfÒ*}zL{ | ‰îÑ ÌELufeÑ „Ì zUwyxCzL†y|~uf‚?ÍEÌS{[uf| ‚}  | wyx?| ‚ ‚C| wyz †yz€}|~ÍEƒCJz zLÑ~ÍC} ÌfÒ"Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ùÍE| w †C†yÑ |~NxCz ‡dufxCÑ |~}rw X zL| ÍE| zÈÙ‚Cé€GufxCёÍEzLc† @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚Ä®SÌS{؁Y‚ÍEzU£ n | ‚ G zL‚ÍEÑ |~Nx‘„CƒC‚ÍÄ{[ufˆ‚ =\nuf‚C‚ ÍE| z>ÒÃÌS†y{[ufÑ ƒz -| †y|~NxCÑ zUwy†yzL| xCz ζ (s) := P |G : H| ÛC| Ñ~ÍEzL‚‘v ‡ @‚awyzL† SzLzL| S‚CzUwyzL‚ …*z€ÍE| ‚CSƒC‚CSzL‚‘„éS‡ …‡dÒ«ufÑ Ñ~} G ‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awÈ|~}rw€„©ÍEKz ‚C| zL†w ζ (s) zL| ‚Cz uf‚ufÑ Óawy|~}yNxC‰ z DCƒC.‚ =awy| ÌS‚ ƒC‚Í Ûµz€}| wyéUw?éLƒÍEzL{8zL| ‚C‰ z ;ƒCÑ zL†y×C†yÌEÍE.ƒ =awyéLzL†yÑ zLSƒC‚C‡ -ƒC†NNx2…*zUwy†NuSNxawyƒC‚CÍEzL†Ñ  Ì =\ufÑ zLŠ ‚ Du =awyÌS†yzL‚  | †N͙{[uf‚2ÍCuféLƒ–SzUtÒ †CxC†w€„zL‚aw‰ }×C†yz€NxCzL‚ÍE\z ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚”tÒ †C† p‰YuSÍE|~}yNxCHz j‘| zLS†yƒC×C×µzL‚”ÛCé  0‡ j‘| zLS| wwyzL† éLƒ ƒC‚awyzL†N}ƒNxCzL‚‘‡ Y‚œ{ zL| ‚CzL‹ { }/ÌS†wy†NufÁxufÛµz|~Nx[®SzL†N}ƒNxaw€„SzL| ‚CzLC‚ ;| ‚ ÛCÑ |~W =| ‚ºÍE| wz rƒC‚CSzƒC‚Í }yNxC‚CzLÑ Ñ  uSNx}zL‚ÍEzÁènxCzLÌS†y| zÚÍE| z€}zL† ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚ïéLƒÄ®SzL†y{ | wwyzLÑ ‚‘‡ 6^Z\DGF~IyQ\F*KNMCZ\X[ãNRUDNIZ\OdÉ IG½YZSãUT RãNZ­ILRÈT ¼€KUF óÁý4õ Lþ©üôþJà‘²C¸ ‡\‡\‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡ ‹fŠ YŒ‚ rÌS| ‚aw ÌS>† = | wyx”Ùȍ‡ ! †C†yÌS‚ ÓauÄuf‚͙èڍ‡ X éLzL{ùÛµzL†y zœ}rwyƒÍEÓ UzL†wNuf| ‚ uS}Ó { ×EwyÌfwy|~| ‚  ®\uf†y|~uf ‚awN}'ÌfÒ©Ñ | ‚Cz€uf†"}zL†y| z€,} F©wyxCzÁ}rwNufÛCÑ zÚÛuS}zÑ ÌE Uƒ}"uf‚͜wyxCzÚ®SÌSÑ ‰ ƒC{ zS‡^Y‚×uf†wy|~UƒCÑ~uf†  z"uf†yz*| ‚awyzL†yz€}rwyz€Í| ‚ùwyxCcz ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ xCÌ  wyxCz€}zn| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN} ÛµzLxu­®SzƒC‚ÍEzL†Á}{[ufÑ Ñ^×µzL†wyƒC†yÛu\wy| ÌS‚}| ‚?wyxClz „ÔL†yÌS‚EŽ‰ X zL®SzL†y|^}×uSUzSJ‡ ?z[}xCÌ 

l 

G

H6f G

−s

G

yzK{y .

x

wyxu\wºÛµÌfwyx | ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}[Ñ z€uS͖wy̖u ×uf†wy| wy| ÌS‚ ÌfҏwyxCz?ÛC| ”UÌS‚Cz>| ‚awy̖}ƒC| wNufÛCÑ z }ƒCÛdUÌS‚Cz€}L„Euf‚Í[wyxu\w'êœ}ÌS{ z  xu\wn}ƒC†y×C†y|~}| ‚CSÑ ÓÈê wyxCz€}zw  Ìù×uf†wy| wy| ÌS‚}*UÌS| ‚E‰ U|~ÍEzS‡'ènxC|~}n×CxCzL‚CÌS{ zL‚CÌS‚ï|~}"zU£E×CÑ~uf| ‚Cz€ÍºÛ Ó[wyxCzÁÒ«uSGw"wyxu\wÛµÌfwyxï×C†yÌSÛCÑ zL{[}"uf†yz UÑ Ìa}zLÑ Ó†yzLÑ~u\wyz€Í wyÌÁwyxCz®\uf†y|~u\wy| ÌS‚[ÌfÒJwyxC:z ‡duf†y|~} = |ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚‘„  xC|~Nxœ|~}*uf‚ | ‚awyzL†yz€}rwy| ‚C ×C†yÌSÛCÑ zL { ^aƒC| wyzÁÌS‚Ä| wN}"Ì  ‚‘‡ G?¼\½¾FPÀ€F«H K Z\T ¼\F~IÚÅfDy¼\B€øµIù¼rJ¿ I\WYX[¼\½¾FPÀ\RGIL]ÁZ IGBEDGÀ\KR  $¸J¶ÃüU³J¶~þöJþ)ôÚ²C¸S³‘õ·a¶Pö ‡­‡f‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡ ò ˆ ?z| ‚ ®Sz€}rwy| au\wyz©wyxCz'}rwy†yƒGwyƒC†yz/ÌfÒawyxCz{ Ìfwy| ® |~ÚufÑ ÌS|~}dS†yÌSƒC×}dÌfÒdËU‰î{ Ìfwy| ®Sz€} ÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL†"u zLÑ~ÍÄÌfÒ^Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ŒC‡ áT ÅaR€ãUDyZ\F«KùFPOdÉSRîøRUOdÉSRUOdKNRùFPO Þ)¶ Võ–ÞùþJMà Lþö‘ö ‡\‡\‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡LK‡L‡U‡L(Var ‡U‡L‡U‡L‡U)‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡?çCË ?zùS| ®Szù} ƒ uœU| zL‚awÚUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS|~LufÑJU†y| wyzL†y|~u ÒÃÌS†wyxCzUÑ~uS}y}z€}"ÌfҐS| ®SzL‚ï®\u\‰ †y| zUwy| z€}Ì\®SzL†u zLÑ~Í k wyÌÈÛµzufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ ÓÈ| ‚ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚aw*| ‚ wyxCzڍ†yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W = †y| ‚C ÌfÒ^®\uf†y| zUwy| z€}*Ì\®SzL† k uf‚ÍÄUÌS‚}rwy†yƒGw}ÌS{ zÚzU£Cuf{ ×CÑ z€}L‡ H‘Â'¼ÄÉSRGILKNRUO½µ¿NDy¼\R X QRUDGX[Z\½*½Y¼[Od¼\ ú ¶PN ¸ ²E³J²C¸ ú ´œ¶Pö‘ö‘²C¸S³‘õö Oy:± P©²C¸ ‡\‡\‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡?çaŠ nÍE|~}yUƒ}y}"ÍEz€}yUzL‚aw"ÌS‚ïzLÑ Ñ | ×Ewy|~ÁUƒC†y®Sz€}L‡ SZ\½¾F«¼\OdZ\T ø¼\FPO½«Iù¼\ O *ãNRUDyRNÉIGBEDÿUZSKNRGI ú ¶PN ¸ ²E³J²C¸ ú ´œ¶Pö‘ö‘²C¸S³‘õö Oy:± P©²C¸ ‡\‡\‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­Ë€ŒSˆ nÍE|~}yUƒ}y}*wyxCzÈuf†y| wyxC{ zUwy|~ÌfÒ^†Nu\wy| ÌS‚ufÑJ}ƒC†Ò«uSUz€}L‡ 1nOv½ÃMCRÈX[¼€É DyRNÉ\BKU½¾F«¼\OCIȼr¿ùZ\ORUTPT F ød½¾F«K[KUBEDGÀ\R U ¶P·a·a¶~4 þ L ± Mà pV©²Ø‡­‡f‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡­ËSËSË Ù C£Ez€Í™zLÑ Ñ | ×Ewy|~ºUƒC†y®SzºÍEKz ‚Cz€Í™Ì\®SzL†ÁwyxCzº†Nu\wy| ÌS‚ufÑ‚ ƒC{ùÛµzL†N}ȐS| ®Sz€}Á†y|~}zS„ ‘ wyxC†yÌSƒCSxï†yz€ÍEƒGwy| ÌS‚>{ ÌEÍEƒCÑ Ìœ×C†y| { z€}"ÌfÒ/SÌ ÌEÍĆyz€ÍEƒGwy| ÌS‚‘„Cwy̜| ‚ ‚C| wyzLÑ ÓÄ{[uf‚ Ó zLÑ Ñ | ×Ewy|~œUƒC†y®Sz€} ìPwyxCzvDyRNÉ\BKU½¾F«¼\OCIíÚÍEKz ‚Cz€Í Ì\®SzL† ‚C| wylz zLÑ~ÍC}L‡œY‚ wyxC|~}Á‚CÌfwyz[ ÍE|~}yUƒ}y}ùwyxCz>è©u\wyzG.ê X xu\Ò«uf†yzL® |~Nx™S†yÌSƒC×}ÈÌfÒwyxCz€}zĆyz€ÍEƒGwy| ÌS‚}UÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í”uS} ÛµzL| ‚CºÍEKz ‚Cz€Í>Ì\®SzL†nwyxCzL| †ÒÃC‚Gwy| ÌS\‚ zLÑ~ÍC}L‡"Ù}y}ƒC{ | ‚C[wyxCz zL‚CzL†NufÑ | éLz€ÍïÝ"| zU‰ {[uf‚C| ‚ ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~} xCzL‚?wyxCz[UƒC†y®SzxuS}‚CÌ>UÌS{ ×CÑ zU£v{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}L„‘| wÁ|~} }xCÌ  ‚ïwyxu\wwyxCz€}zùS †yÌSƒC×}uf†yzÁwy†y| ® |~ufёÒÃÌS†Úu[×µÌa}| wy| ®Szù×C†yÌS×µÌS†wy| ÌS‚ïÌfÒ×C†y| { z€}L„ ×C†yÌ\® |~ÍEz€ÍÄwyxCzùzLÑ Ñ | ×Ewy|~ùUƒC†y®SzÈxuS}uf‚>| †y†Nu\wy| ÌS‚ufё׵ÌS| ‚awÌfÒÌS†NÍEzL†"w  ̇ènxC|~}|~} rÌS| ‚aw ÌS>† =  | wyx>Ùȇ ЇdÐ'Ì rÌELuf†yƒ‘‡  H‘Â/F~IG½YRNÉ HdMC¼\X F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGXùIùFP\O [Z\T X[RUDGW ]ÄFP½¾½*½ÃMCRN¼\D  Y ·a ² “‘þMö ”²C¸”Þ²CöJþ©üLý‘Z² & ‡\‡\‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡€‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡U‡L‡­ËSˀç 0

k

x 

yzK{y .

è |~}rwyz€ÍœènxCÌS{4|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}uf†yz"| ‚awy†yÌEÍEƒUz€Í | ‚º…nufÑ { zL†rêZ? | wwwyxCzLÌS†yÓS‡ ènxCzLӜ uf†yzƒ}z€Í[wyÌ LufÑ~UƒCÑ~u\wyzwyxCz? | wwnS†yÌSƒC×}ÌfÒ×C†yÌrz€Gwy| ®SzÛCƒC‚ÍEÑ z€}nuf‚Í[wyÌ uf×C×C†yÌauSNxœwyxCzÈUÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚ºÌfÒ^×Cƒ}xE‰¾ÒÃÌS†  uf†NÍC}'| ‚ÄwyxC|~}nwyxCzLÌS†yÓS‡ [RU½ÃMCRÚáOCILZ\½ÃÇ bQJBKNMaIGF«Z\O>V
BZ\½¾F«¼\OCIùZ\Odl É JKNM BãNRUDG½»Z\T KUBET B I `A&÷²C ö P ¯”Mà V©ý‘¶Pö ‡\‡\‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­Ë Ï ç ?z*UÌS‚}|~ÍEzL†dwyxCz'…*zUwyxCz'Ù‚}yu\wyw é ;%^aƒu\wy| ÌS‚œì«…ncÙ ;*íJ†yzLÑ~u\wyz€ÍwyÌnwyxCznÚufƒÍE| ‚ { ÌEÍEzLÑÁuS}y}ÌEU|~u\wyz€Í)wyÌ)u2}zL{ |~}| { ×CÑ | z j‘| z?S†yÌSƒC× ‡ | ®SzL‚ u–}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚$ÌfÒ wyxCzv…ncÙ ;  z>UÌS‚}rwy†yƒGwœu?Ò«uf{ | Ñ Ó–ÌfÒڂCz  }ÌSÑ ƒEwy| GÌS‚}[LufÑ Ñ z€Í)u×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚‘‡ ènxCz×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚}Äuf†yz?|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ïwy̖wyxC8z •µuf–®\uf†y| zUwrÓ)uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í)wy̔wyxCz juf‚CSÑ~uf‚ÍC}ÈÍEƒuf Ñ j‘| zœS†yÌSƒC× ‡vènxCz ×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚}ùuf†yz[| ‚”ÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚Cz UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz  | wyx | ‚awyzL†N}z€GGwy| ÌS‚?×µÌS| ‚aslwN}ÚÌfÒ"uf×C×C†yÌS×C†y|~u\wylz XENx ƒCÛµzL†wÈUÓEUÑ z€} | ‚ÄwyxCz†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚ºÌfÒ N ×CÑ~uf‚Cz€}n| ‚ïwyxCzÈ}×uSUzÚÌfÒ^×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}L‡ènx ƒ}  z †yzLÑ~u\wyzwyxCzÈ}ƒCÛ rz€GwN}nÌfÒ/…*zUwyxCzÈÙ‚}yu\wyéÁuf‚ͺÌfwÒ XENx ƒCÛµzL†wÐ*ufÑ~UƒCÑ ƒ}L‡ V
BZ\½¾F«¼\OCIù¼r¿ÁBEOFPÀ\RUDNILZ\T‘½Y¼\DNIL¼\DNIùZ\OdÉ>»,¼ +ºDGFPO Å\I ôÚ¸J²CMö ”dþ– ö dùþ©ü€üL²E³d³ ‡\‡f‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡U‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­Ë€ˆaŠ ?zvÍE|~}yUƒ}y}[}zL®SzL†NufÑnUÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚}ÌfҏƒC‚C| ®SzL†N}yufÑ*wyÌS†N}ÌS†N}ùÌ\®SzL††Nu\wy| ÌS‚ufÑ }ƒC†Ò«uSUz€}L‡ gnBRUT
BRGIÈãN¼\DyÉ­IÁFPDGDyZ\½¾F«¼\OOdRUT IÉSRÈÀ\Z\DGF«ÆU½YÆGIÉS: R CM FPXBEDyZ fn ¸ —.”4—C¸Jt¶ 5‰^þJà÷‘4þ L ‡\‡f‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡€‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡L‡­ËLÕ Š ?zuf†yznÑ Ì  Ì = | ‚CÒÃÌS†uÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wy| ÌS‚ÌfÒdtvuf‚C| M‚  }^†yz€ufÑE{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌSl‚ ^aƒCz€}r‰ wy| ÌS‚ï| ‚ïxC| SxCzL†"†Nuf.‚ =d‡^ènxC|~c} ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ÄxuS}"u\wÑ z€uS}rwnw  Ì×uf†wN,} F ËS‡*ÒÃÌS†y{[ufÑ | é€u\wy| ÌS‚”ÌfÒwyxCzÄÑ | ‚Cz€uf†[ufÑ SzLÛC†Nuv}|~ÍEzÄÌfÒwyxCzï}rwyÌS†yә| ‚”wyzL†y{[}ÌfÒ { ÌS†y×CxC|~}{[}JÌfÒCufÑ SzLÛC†Nuf|~©S†yÌSƒC×}Juf‚ufÑ ÌSSÌSƒ}µwyÌ X xC| {ùƒC†Nu"uf‚:Í -zLÑ | S‚Cz  } ×µÌS| ‚awÌfÒ©® | z ÌS‚ÄwyxCzÚwyxCzLÌS†yÓ[ÌfÒ/UÌS{ ×CÑ zU£º{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚‘‡ Ï ‡n‚CÌS‚UÌS{ {ùƒEwN u\wy| ®SzÚufÑ SzLÛC†Nuf|~SzLÌS{ zUwy†yÓS‡ ’zL†yz zvuf†yzï| ‚awyzL†yz€}rwyz€Í){ Ìa}rwyÑ Ó–| ‚)wyxC\z †N}rwœ×uf†w€˜ ‡ ?z?ufÑ~}̙†yz€LufÑ Ñ}ÌS{ z  = ‚CÌ ‚Ćyz€}ƒCÑ wN}"UÌS‚UzL†y‚C| ‚CùwyxCzÈ}z€UÌS‚ͺ×uf†w€‡  »¼\OCIG½¾DGBKU½¾F«¼\O ¼r¿ÈKUBEDGÀ\RGIÁÂ/FP½ÃMvCZ kEZSKN¼SãUF«Z\O™¼r¿ÅfFPÀ\RUO–e» G>WYm½ yøR Y ö‘ö‘²÷¸J²EN ³ U ²Cö÷ ‡\‡\‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡­Ë­Šfç ?zvÍE|~}yUƒ}y}[uf‚)ufÑ SÌS†y| wyxC{ ÒÃÌS† wyxCz>UÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚2ÌfÒÑ Ì SzL‚ ƒ} UƒC†y®Sz€} x CÌa}Œz ™auSUÌSÛC|~uf‚}ùxu­®SzÄUÌS{ ×CÑ zU£”{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚2Û Ó”u?S| ®SzL ‚ Ð*tïm‰ zLÑ~Í K ‡ ?zÁ×C†yz€}zL‚aw"zU£Cuf{ ×CÑ z€}*ÒÃÌS†"SzL‚ ƒ} Ï uf‚ÍĈC‡ á Z\T ¼\F~I KN¼€ÉSR'¿U¼\DÈÀ\Z\T BZ\½¾F«¼\OCI š #µe õ 5µý‘²Cö–lû nö‘¶Ã÷©,ü Lþö‘ö ‡\‡\‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡­Ë€ÜaŠ ∨

N

yzK{y .

x  

ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}ùÌS‚2u\zLÑ~Í K uf†yzºzL‚UÌEÍEz€Í™| ‚”wyxCzïufÛ}ÌSÑ ƒEwyzïÚufÑ ÌS|~}ùS†yÌSƒC× ÌfÒ F[ènxCzLӔuf†yzœ| ‚”ÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚CzºUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz | wyx™wyxCzïUÌS‚rƒCauSUÓ G UÑ~uS}y}z€}'ÌfKÒÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚Ä}ƒCÛCS†yÌSƒC×}ÌfÒ G  xC|~Nxì«uf× uf†w'ÒÆyÌS{ ÒÃz  zU£CUzL×E‰ wy| ÌS‚}Ní'Luf‚œÛµzÚNxuf†NuSGwyzL†y| éLz€Í| ‚ºS†yÌSƒC× wyxCzLÌS†yzUwy|~"wyzL†y{[}L‡/Ý"ÌSƒCSxCÑ Ó[}×µz€u= | ‚C„ ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚™}ƒCÛCS†yÌSƒC×}ÌfÒ G uf†yz {[u\£E| {[ufÑ'}ƒCÛCS†yÌSƒC×}ÌfÒ G  | wyx™u X Ó Ñ Ì ‰Y}ƒCÛCS†yÌSƒC×?UÌS‚awNuf| ‚C| ‚Cïuº‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ/ufÛµzLÑ |~uf‚‚CÌS†y{[ufÑ^}ƒCÛCS†yÌSƒCב ‡ ?z  } =SzUwNNxºwyxCzÁ{[uf| ‚Ä|~ÍEz€uS}nÌfÒ©wyxCzÁ×C†yÌ ÌfÒr‡ áOdZSãNRUT F«Z\OïÅaRN¼\X[RU½¾D º¼\À\RUDZ\T X[¼­IG½"Z\DLãUFP½¾DyZ\D _*RUT É­I #µõe5µý‘²Cö–l û nö‘¶Ã÷©,ü Lþö‘ö ‡\‡\‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡U‡L‡U‡L‡U‡L‡U‡­Ë\‹fŠ ènxCzÄ×uf×µzL†[ÍEzL®SzLÑ ÌS×}ÈwyxCzÄÑ ÌELufÑ'wyxCzLÌS†yәÌfÒÌS‚CzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ*ÛC| †Nu\wy| ÌS‚ufÑ uf‚ufÛµzLÑ |~uf‚ SzLÌS{ zUwy†yÓvÌ\®SzL†ÈufÑ { Ìa}rwÈuf†yÛC| wy†Nuf†y\Ó zLÑ~ÍC}Èuf‚Í| ‚ÍE|~Lu\wyz€}ÈxCÌ  wyxCz SÑ ÌSÛufÑawyxCzLÌS†yÓù}xCÌSƒCÑ~Í  ÌS>† =d‡ènxC|~}^SzL‚CzL†NufÑ | éLz€}^UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C†yz€}ƒCÑ wN}^ÌfÒµñ^ÌS× uf‚Íït>ÌENxC| éL.ƒ = |JÌ\®SzL† ‚C| wyzLÑ ÓºSzL‚CzL†Nu\wyz€Íºuf‚ÍÄ}ƒCÛE‰ p‰YuSÍE|~_ zLÑ~ÍC}L‡ }

K

K

K

K

›

• 8s “–œž ’ 8› “–•

ènxC|~}n®SÌSÑ ƒC{ zÁUÌS‚awNuf| ‚}nÑ z€GwyƒC†yzڂCÌfwyz€}*ÒÆyÌS{ØwyxCzÈ}zL{ | ‚uf†N} Ÿ „ƒC{ùÛµzL†ènxCzLÌS†yÓS„ Ÿ ÙÑ SzLÛC†Nuf|~ڍzLÌS{ zUwy†yÓS„ Ÿ zLÌS{ zUwy†y|~{ zUwyxCÌEÍC}n| ‚ï†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚œwyxCzLÌS†yÓºuf‚ÍïÚufÑ ÌS|~}*wyxCzLÌS†yÓ x C|~NxïwyÌ Ì =Ä×CÑ~uSUzùu\wwyxCztvu\wyxCzL{[u\wy|~L}Y‚}rwy| wyƒEwyzùÌfÒ^wyxCz @‚C| ®SzL†N}| wrÓºÌfÒ*Žfwwy| ‚CSzL‚ ÍEƒC†y| ‚C™wyxC  z X ƒC{ { zL†ÄèzL†y{ Ï ŒSŒfÕ‡ ènxCzLÓ2xu­®Sz>ÛµzLzL‚$uf†y†Nuf‚CSz€Í”| ‚$NxC†yÌS‚CÌSÑ ÌSS|~LufÑ ÌS†NÍEzL†€‡^ÙÑ { Ìa}rwufÑ Ñ‘UÌS‚awy†y| ÛCƒEwy| ÌS‚}n†yzL×µÌS†w"ÌS‚Ćyz€UzL‚aw  ÌS>† =[Û Ó[wyxCzÈufƒEwyxCÌS†N}L‡ ëƒC†y|‘è©}yNxC| ‚.=SzLÑ X zL×EwyzL{ùÛµzL†ÁË Ï „ Ï ŒSŒfÕ

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»Ä~ÅÇÆ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

×\؃يÚwÛCÜ\݊׈ÛCÞ؃Ùß؃àáÜ âlã_älÛCÞ'å|âçæè؃ÛCÞ'å|âCÚêéëÞÛHì ÞÙNÛCâÜ âCÚwÛCÞيí7îlÛä ãcâçÜ âlä ãcÞïcälÛCÞ؃Ùð݊Ú0Þيí7ÛHì‰â æšÞÇñ‰ñNãcâò×\؃Ù|å|؃ãcÝNÛCÞ؃Ù

æôóAñ‰õ.öö,÷ˆõø~ùmõú


     
    þ!"
    þ$#
 %&!(' )+*-,/.!0214356789:(;4<>=(:??@:6;:A(B6C@(AD<2EFG6(H8:6!=(:(;CI:AJD<>=:

ûÎü‰ýcþMÿ

KML!NO-PQR!OSUT WY CV \ a +a h Y ] Y X \ ` _ a\ j ] a\\

WV X WY [Z WY $e a\ $]a >ZMa _ _ a >_ V

\ ^] _ _C\ V _ _`\ _!]a\ >X Z b_ ɁÏWY ¾4à VÇÉ ] ÏWV ÌξŽ¿cad É ¾[\ Ê É ¾ Ê É
afZf_ ] a _ É _` ÏWY ¾$Z Ê ¿Ç¿\ ¾g] _ ÉKË _C\ V'ÏmÊ _ É T >Z a Mi a \ \ XK h ¾ V Ím¾ ÏWY ¾ŽÍm¾fZA¾ ÏWY _,¿ÇÍ Ï _ WY f_!] ] V CV \ a >\ Xka a\ _ >_ V l_ Q(t) À

¾4Í Ï ¿ Ï ¾ Í 'Í Ï ¾ AÍ Ê ¿Ç¿ ¾ É Ë 'ÏmÊ É K ¾ Í Ê ÉÇÓ WÌ É ¿ Ï ¾ Ï ¾ WÍm¾À ¾  Ï % Ó ÊË ¾ ÏmÊ Ë'Ê Ê ÉKÏ ¾ŽÌÎÃÇÌξ Ï ÏmÊ ÎÌ Ì Ê ÉÇÓ ¿Ç¾ Ï ¾ŽÌ Ê É ÉKÏ ÍÀ ÇÊ Ê ¾ ¿ÇÍ Ê É Ì mÏ Ê É J É Ï ¾ ÊÉ Ìξ Ê w ¾ Ímþ Ê WÍ Ñ Ã Í Ë ¾ŽÌ Ê É ¾ WÌ Ó Ì ÃÇÍeÎÌ ¾ Ó WÌ ÊÍ Ó Ì Ç

mbn

¤U¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥

îÒ |~}'u zLÑ~ÍJ„SwyxCzL‚ z}zUw xCzL†yz K ÍEzL‚CÌfwyz€}'uÈ}zL×u\‰ /K),  †NufÛCÑ z*KUÑ Ìa}ƒC†yzÌfÒ K. j‘zUw k Ûµznu‚ GƒC{ù:= ÛµzL†4Gal(K zLÑ~ÍJ‡^ٖ×C†yÌ‚C| wyz'S†yÌSƒC× ¼€KNKUBEDNI*DyRîÅfBET Z\DGT  Z­I Z\T ¼\F~IÚÅfDy¼\B€ø”¼\À\RUD k(t), | Ò^ÌS‚CzÚxuS}u }ƒC†Îrz€Gwy| ÌS‚ ϕ : G →GG }ƒNxºwyxu\w"wyxCz †yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚ïÌfÒ ϕ wyÌ G |~}}rwy| Ñ Ñ©}ƒC†Îrz€Gwy| ®SzS‡*îÒ G |~}u‚C| wyzȐS†yÌSƒCב„EwyxCzL‚ ϕ UÌS†y†yzU‰ }×µÌS‚ÍC}/wyÌùuùÚufÑ ÌS|~}'UÌ\®SzL†ÌfÒ | wyxčÚufÑ ÌS|~}/S†yÌSƒC× ènxCz†yzLSƒCÑ~uf†| ‚ ®SzL†N}zÚufÑ ÌS|~} ×C†yÌSÛCÑ zL{ØuS} =E}L„  xCzUwyxCzL†*zL®SzL†yÓP ‚C | wyzS†yÌSƒCלÌELUƒC†N}†yG.zLSƒCÑ~uf†yÑ Ó uS}nÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒCלÌ\®SzL† K

sep

sep

k(t)

¯ k(t)

1 k

Q(t).

o

\ WY

ÃÇÌ Ê ZÔÕ Ï

ÂÔÕÕWÖÇÀ

p

qsrt

vu wyx

  {

ðƒC†n{[uf| ‚ï{ Ìfwy| ®\u\wy| ÌS‚ºÒÃÌS†}rwyƒÍEÓ | ‚CwyxCzÈUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚Ä}rwyzL{[}*ÒÆyÌS{ØwyxCzÚÒ«uSGwnwyxu\w { Ìa}rwÈÌfÒ*wyxCzœ†yzLSƒCÑ~uf†ùÚufÑ ÌS|~}چyz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚}ÒÃÌS†ùUÑ~uS}y}|~LufÑ/S†yÌSƒC×}Áuf†yz ÌSÛEwNuf| ‚Cz€Í  | wyx { zUwyxCÌEÍC}L„ÍEzL†y| ®Sz€ÍÒÆyÌS{ !Áu\wyé { |~ÍCÍEÑ zïUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ÒÃC‚GwyÌS† MC , }zLUz z {  Ež |b}~ „ z "€"b ~ ‡©ènxCz/ÒÃC‚GwyÌS† Luf‚ÚÛµz® | z z€ÍìÃC‚ÍEzL†©}ÌS{ z/†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚}L„L}zLfz z "€"b‚ ~ í uS}"uÈÒÃC‚GwyÌS†"ÒÆyÌS{ØwyxCzÁMLu\CwyzLSÌS†yÓ ÌfÒ^Ñ ÌELuf ÑJ}ÓE}rwyzL{[}nÌS‚ºwyxCzÁ×CƒC‚GwyƒC†yz€ÍÄu u[‚CzÚÑ | ‚CzÚwyÌ | wN}zLÑ Òr‡ @}| ‚CwyxCzÁ×C†yÌS×µzL†wy| z€}nÌfÒwyxCJ z !Áu\wyéÒÃC‚GwyÌS†€„CÌS‚Cz uS}"ufÛCÑ zwyÌ ÌSÛEwNuf| ‚ï{[uf‚ Ӝ‚Cz Ò«uf{ | Ñ | z€}/ÌfÒJUÑ~uS}y}|~LufÑ S†yÌSƒC×}^†yzLSƒCÑ~uf†yÑ ÓÈuS}ÚufÑ ÌS|~}^S†yÌSƒC×}^Ì\®SzL†©wyxCz†Nu\wy| ÌS‚ufÑaÒÃC‚Gwy| ÌS ‚ zLÑ~ƒ Í z "€"b ~ v„ z „"…b†W m ~ ‡©Y‚ùÒ«uSGw€„SufÑ Ñ ×C†yzL® | ÌSƒ}Ñ Ó = ‚CÌ ‚ùzU£Cuf{ ×CÑ z€}^Luf‚ÈÛµznzU£E×CÑ~uf| ‚Cz€Í ƒ}| ‚C MC , zU£CUzL×Ew^unÒÃz  zU£CUzL×Ewy| ÌS‚ufÑaLuS}z€}‘| ‚ÈÑ Ì  ÍE | { zL‚}| ÌS‚}Le‡ „zL®SzL†wyxCzLÑ z€}y}L„LwyxC|~} { zUwyxCÌEÍùxuS}©| wN}^Ñ | { | wNu\wy| ÌS‚,} FeDCÌS†^zU£Cuf{ ×CÑ zS„f| w^Ò«uf| Ñ~}©wy̏×C†yÌEÍEƒUznS†yÌSƒC×}Ñ | =Sz SL (F ) uS}ÁÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒC×}Ì\®SzL† Y‚?wyxC|~}ڂCÌfwyzS„ z ÌSƒEwyÑ | ‚Cz[uº{ ÌS†yzSzL‚CzL†NufÑ/uf×C×C†yÌauSNx wyÌ wyxCzÁ{ |~ÍCÍEÑ zÈUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwyQ(t). | ÌS‚‘„ | ‚ïÌS†NÍEzL†*wyÌ[Ì\®SzL†N UÌS{ z}ÌS{ zÚÌfÒ©wyxCzÁÑ | { | wNu\wy| ÌS‚}"ÌfÒwyxCz !Áu\wyéÒÃC‚GwyÌS†€‡ ènxCzLu\wyzLSÌS†yÓºÌfÒ/Ñ ÌELufÑ^}ÓE}rwyzL{[}ÌfÒ ‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}ùìÃ|¾‡ zS‡ „dÑ ÌELufÑ Ñ ÓÄÒÆyzLzù}xCz€u­®Sz€}"ÌfÒ R‰ { ÌEÍEƒCÑ z€}"Ìf4Ò ‚C| wyzȆNuf.‚ =[ÌS‚ X í'ÌS‚ïuwyÌSR×µÌSÑ ÌSS|~LufÑJ}×uSUz X |~}"ÍEzL‚CÌfwyz€ÍÄÛ Ó LS (X). j‘zUw ÛµzÚwyxCzùLu\wyzLSÌS†yÓ[ÌfeÒ ‚C| wyzùÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ ‰î†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚} ÌfÒwyxCRep(R[π zÒÃC‚ÍCuf{ (X, zL‚awNufxÑJS)])†yÌSƒC× π (X, x ). îw|~}  zLÑ Ñ = ‚CÌ  ‚‘„ wyxu\w"| Ò RX |~}nu UÌS‚C‚Cz€Gwyz€Í wyÌS×µÌSÑ ÌSS|~LufÑS{[uf‚C| ÒÃÌSÑ~ÍJ„\wyxCzL‚ LS (X) |~}©'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚awwyÌ Rep(R[π (X, x )]), Û ÓÈ}zL‚Í ‰ | ‚C[uÑ ÌELufё}ÓE}rwyzL{ V wyÌ | wN}"{ ÌS‚CÌEÍE†yÌS{ùÓ[†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ χ

χ

χ

n

q

R

1

0

1

0

R

1

0

ρV : π1 (X, x0 ) → GL(Vx0 ).

î Ò uf†yzùÍE| ® |~}ÌS†N}"ÌS‚>wyxCzUÌS{ ×CÑ zU£>uu[‚CzùÑ | ‚Cz „ uf‚Í Vu, ∈v LS (A (C) \ v) uf†yz"w  ÌÈÑ ÌELufѵ}ÓE}rwyzL{[}/wyxCAzL‚œ(C) ÌS‚CzLVuf‚ ∈ÒÃÌSLS †y{ wy(AxCzL| †(C)XF«\ÉSÉ u)T R KN¼\OÀ\¼\T BE½¾F«¼\OœødDy¼€É\BKU½ xCzL†yz u ∗ v ⊆ A (C) |~}nwyxCz IGBEX É\FPÀ€F~IL¼\DG„d}zLJz X z€GwyV| ÌS‚ ∗ ÏV‡ ∈ LS (A (C) \ u ∗ v),  îÒ |~}uœ®\uf†y| zUwrÓÄÌ\®SzL†uœ‚ ƒC{ùÛµzL_† zLÑ~Í Ñ zUw ÍEzL‚CÌfwyzÈwyxCz Lu\wyzLSÌS†yÓºÌfÒ ÔUwNufÑ zùXÑ ÌELufÑ^}ÓE}rwyzL{[}ÌfÒ R‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}ÌS‚ X. k,ènxCz{ LS|~ÍCÍEÑ (X) z UÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚>ÌfÒÔUwNufÑ zùÑ ÌELufÑ }ÓE}rwyzL{[}ºì«}zLˆz X z€Gwy| ÌS‚”ˆaíÚ|~}ùÍEKz ‚Cz€Í | ‚–uf‚™uf‚ufÑ ÌSSÌSƒ} u­ÓuS}ÁwyxCzœ{ |~ÍCÍEÑ zÄUÌS‚ ®SÌf‰ Ñ ƒEwy| ÌS‚–ÌfÒÑ ÌELufÑn}ÓE}rwyzL{[}L„ƒ}| ‚C?wyxCzïxC| SxCzL†[ÍE| †yz€Gw | {[uf SzÄuf×C×C†yÌauSNx”Ìf‡Ò z ‰ˆŠb‚ ~ ‡ …*Ó2UÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚‘„wyxCzv{ |~ÍCÍEÑ zvUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ Ìfҏw Ì LS (A \ u ∗ v) Ñ ÌELufÑ/}ÓE}rwyzL{[} V ∈ LS (A \ u) uf‚Í V ∈VLS∗ V(A ∈\ v) S| ®Sz€}†y|~}zùwyÌ>uïÚufÑ ÌS|~} †yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ 1

2

R

1

1

1

2

R

1

R

1

1

´ et R

1

1

´ et R

1 k

1

2

´ et R

ρV

1 k

´ et R

1 k

∗V

1 2 Gk(t) −−−−→ π1 (A1k \ u ∗ v, x) −−− −→ GL(V1 ∗ V2 x ) .

zùuf†yzÁ| ‚awyzL†yz€}rwyz€Íï| ‚ïwyxCzùÍEzUwyzL†y{ | ‚u\wy| ÌS‚>ÌfÒ^wyxCz€}zÚufÑ ÌS|~}"†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}ÁìÃ| ‚ïwyxCz LuS}z  xCzL†yz k = QíG‡ ?

x ‹w Œ  q

‹w Œ .:y t ‹  q w t^t xŒ 

bŒ ^xŽ‹w)



{ yZ

@}| ‚C wyxCz>×C†yÌEUz€}y}[ÌfÒÁuf‚ufÑ Óawy| µLu\wy| ÌS‚‘„'wyxCzvSzLÌS{ zUwy†y|~Ä{ ÌS‚CÌEÍE†yÌS{ùӔÌfÒ Ãì |¾‡ zS‡ „ ρ | íÚLuf‚ ÛµzœÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€Íƒ}| ‚CïwyxCzœUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚?ÌfρÒnÑ ÌELufÑ }ÓE}rwyzL{[}nÌS‚ºwyxCzÁ×CƒC‚GwyƒC†yz€ÍïUÌS{ ×CÑ zU£Äuu[‚CzÚÑ | ‚CzÈuf‚ͺwyxCzÁ†yz€}ƒCÑ wN}nÌfÒ
z ‰ˆŠb‚ ~ ‡ ?zvUÌS‚}|~ÍEzL†œ}' z ^aƒCzL‚Uz€} ÌfÒÁUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚} uf‚͔wyzL‚}ÌS†[×C†yÌEÍEƒGwN}[ÌfÒÚÔUwNufÑ zïÑ ÌELufÑ }ÓE}rwyzL{[}  | wyƒx ‚C| wyz { ÌS‚CÌEÍE†yÌS{ùÓïuf‚\Í ‚Í?uœSzLÌS{ zUwy†y|~ºìÃ{ Ìfwy| ® |~€í| ‚awyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌS‚ ÒÃÌS†ÚwyxCz€}z[}'z ^aƒCzL‚Uz€}L„}zLCz X z€Gwy| ÌS‚ Õ‡[Ù‚ | { ×µÌS†wNuf‚awÈUÌS‚}'z ^aƒCzL‚Uz ÌfÒ'wyxCz[{ Ìfwy| ® |~ | ‚awyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌS‚–|~}L„wyxu\w[| Ò k = Q, wyxCzL‚–wyxCz>ÍEzUwyzL†y{ | ‚uf‚awN}ÌfÒwyxCzvÚufÑ ÌS|~}†yzL×C†yzU‰ }zL‚awNu\wy| ÌS‚}†yz€}rwy†y|~Gwyz€ÍÄwyÌ G uf†yzÈ×µÌ  zL†N}ÌfÒ/wyxCzUÓEUÑ ÌfwyÌS{ |~ÈNxuf†NuSGwyzL†N}"uf‚ŒÍ ‚C| wyz Nxuf†NuSGwyzL†N}L‡ÚènxC|~}|~}U†yƒU|~ufÑÒÃÌS†wyxCz[ÚufÑ ÌS|~}†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚}ÌfÒ*}×µz€U|~ufÑ^Ñ | ‚Cz€uf†S†yÌSƒC×}L„ S| ®SzL‚>|   ‚ X z€Gwy| ÌS‚?ŠE„ xCzL†yz zÈÌSƒEwyÑ | ‚Czu[×C†yÌ ÌfÒ/ÌfÒ/wyxCzÈÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚Cœ†yz€}ƒCÑ wì«}zLzùènxC{ï‡ ŠE‡ ËÁuf‚ͺ| wN}Ð'ÌS†yÌSÑ Ñ~uf†yÓCíF  ¼€KNKUBEDNIÁDyRîÅfBET Z\DGT ÄZ­I Z\T ¼\F~IÚÅfDy¼\B€øµI¼\À\RUD 
‘D’“‹”’•—–b˜ – n HdMCRÚÅfDy¼\B€ø SL (F ) F ¿ S É U R d O \ ¼ ¾ ½ P F O œ Å Ã ½ C M Ú R * V E B T RUD ϕ W ¿NBEOdKU½¾F«¼\O šœZ\OdÉ q ≡ 1 mod 4. Q(t) m > ϕ(q − 1) ™ ϕ

V1 ∗V2

¯) V1 ∗V2 π1 ((A1k \u∗v)⊗k

Q

2m+1

q

›^nƒœ ¦ ¥4 ¦ † ¨ž€ª«¦

¥ b¦ ž † ¦‘¡S  † !Ÿ‘Lž G¡” Y‚ÈwyxC|~}^}z€Gwy| ÌS‚ufÑ Ña®\uf†y| zUwy| z€} | Ñ ÑEÛµznÍEKz ‚Cz€ÍÈÌ\®SzL† uf‚Í z | Ñ Ñ †y| wyz | ‚}rwyz€uSÍ[ÌfÒ A (C), P (C), . . . uf ‚Í[® | z  wyxCz€}zÌSÛ rz€GCwN}'z'^aƒC|  ×C×µz€ Í   | wyxœwyxCAzL| †n, uSP}y},ÌE.U.| ‰. u\wyz€ÍÄuf‚ufÑ Óawy|~Ú}rwy†yƒGwyƒC†yz€}L‡ DCÌS† Ñ zUw O := {P ⊆ C | #P = r}. DCÌS† u := {u , . . . , u } ∈ O uf‚Í r ∈ N, }zUw v := (v , . . . , v } ∈ O 1

1

r

1

‘zUw j

1

1

q

1

p

p

q

uf‚Í

zUw

u ∗ v := {ui + vj | i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q}.

1

X0 := A \ u, Z0 := A1 \ v ˜ y) := f(x,

p Y

(x − ui )

Y0 := A1 \ u ∗ v.

q Y

(y − x − vj )

Y

X

(y − (ui + vj ))

uf‚ÍÑ zUw Ûµz wyxCzºuS}y}ÌEU|~u\wyz€Ív†yz€ÍEƒUz€Í×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufѾ‡ïð‚Cz[xuS} y] uf‚ͺÌS‚CÑ Óºf | Ò ∈|uC[x, j‘zUw ∗ v| 6= i · j. i=1

j=1

i,j

uo := {(x, y) ∈ A2 | f (x, y) = 0},

f˜ 6= f

|Ò

fu ‚Í ènxCz'}zUw |~}‘z'^aƒC| ×C×µz€Í | wyxÁwyxC†yzLz/{[uf×} xC|~NxÁ×CÑ~u­Óu"| { ×µÌS†wNuf‚aw †yÌSÑ zÚU| ‚ï:=ufÑ Ñ A x\uu\wnÒÃ.ÌSÑ Ñ Ì  },F'ðU‚CzwyxCzÁÌS‚CzÚxuf ‚ÍJ„CÌS‚CzÚxuS}*wyxCzÁ ×C†yÌrz€Gwy| ÌS‚} 2

uf‚Í

o

pr1 : U −→ X0 , (x, y) 7−→ x pr2 : U −→ Y0 , (x, y) 7−→ y.

¢

qsrt

vu wyx

  {

ð‚ºwyxCzÁÌfwyxCzL†"xuf‚ÍJ„CÌS‚CzÚxuS}*wyxCz IGBãU½¾DyZSKU½¾F«¼\OvX[Zyø nè xCzÚzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C[ÌfÒ | ‚awyÌ | ‚ÍEƒUz€}uf‚ÄzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C ènxCzùUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚>ÌfÒ j A | wyx>wyxCzP }z€×UÌSA‚ÍÄ×C†yÌrz€Gwy| ÌS‚ P × Z → Zj : U|~}→ÍEzL‚CPÌfwy×z€ÍïZÛ Ó . pr . j‘zUw Ûµzùu×C†y| ‚U| ×ufё|~ÍEz€ufÑÍEÌS{[uf| ‚‘„ V ∈ LS (X ) uf‚Í V ∈ LS (Z ). ènxCzL‚ wyxCzÁÑ ÌELRufё}ÓE}rwyzL{ |~}"u Ñ ÌELufё}ÓE}rwyzL{ÎÌS‚ U. V ◦V := pr V ⊗ q V £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥©¨D˜ – n HdMCR{ |~ÍCÍEÑ z"UÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚>¼r¿ V ∈ LS (X ) Â/FP½ÃM V ∈ LS (Z ) F~IÁ½ÃMCRÈT ¼€KNZ\T‘I ­IG½YRUX q : U → Z0 , (x, y) 7−→ y − x. 1

2

1

1

1

0

0

0

2

1

1

R

∗ 1 1

2

∗

1

0

2

R

0

2

R

0

2

R

0

V1 ∗ V2 := R1 (pr2 )∗ (j∗ V1 ◦V2 ) ∈ LSR (Y0 ).

ª ’•¬«‹”­¬¨D˜W¨ n ènxCz‚uf{ 4z €UÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌSZ‚ ‚^|~Z} rƒ}rwy| z€ÍÁÛ ÓwyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚CnÌSÛ}zL†y®\u\wy| ÌS‚MF ‘zUw V ∈ LS (X ) uf‚Í V ∈ LS (Z ) uf†y|~}zvÒÆyÌS{ ÍE| Ñ ÌELufÑ*}z€Gwy| ÌS‚”ÌfÒ V uf‚Í V |~}*uÁÑ ÌELufѵ}z€Gwy| ÌS‚[ÌfÒ wyxCzL‚[wyxCzƒ}ƒufÑdUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ R |~} g(y − x) uÑ ÌELufÑE}z€Gwy| ÌS‚ÈÌfÒ V ∗V ,  xCzLV†yz σ |~}/}ÌS{ z'xCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓÁUÓEUÑ zÚì«UÌS{ f×(x)g(y uf†yzwy°Ì z −"x)dx €"b‚ ~ íG‡ UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}dwy̏| wN}{ ÌS‚CÌEÍE†yÌS{ùӏ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ ènxCz'Ñ ÌELufÑa}ÓE}rwyzL{ x C|~NxLuf‚ÈÛµz*zU£E×CÑ |~U| wyVÑ ÓÈ∗VÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€ÍÁƒ}| ‚CwyxCz*®\uf†y|~u\wy| ÌS‚ÁÌfÒ×uf†NufÛµÌSÑ |~UÌSxCÌS{ ρÌSÑ ÌSSÓS„ }zL‰z z ‰ˆŠb‚ ~ ‡ j

1

1

C

0

2

C

0

2

1

2

1

σ

2

1

2

V1 ∗V2

‚ nƒœ ¦ ¥4 ¦ † ¨ž€ª«¦

¥ ¦bžM±až€  †   † ‘¦ ¡S  † !Ÿ‘Lž G¡”

‘zUw k ÛµzÈu‚ ƒC{ùÛµzL†izLÑ~ÍJ‡ £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜ – n Ù‚?ÔUwNufÑ zÑ ÌELufÑ^}ÓE}rwyzL{ V ÌfÒ R‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}ÌS‚uº}{ Ì Ìfwyx?®\uf†y| zUwrÓ Ì\®SzL† |~}u>T ¼€KNZ\TPT >KN¼\OCIG½YZ\O½'IyMCRNZr¿¼r¿ WYX[¼€É\BET RGInÌS‚ÄwyxCzùÔUwNufÑ zÈ}| wyz ìÃ| ‚ïwyxCz X }zL‚}zÚÌf´Ò kz µf{·¶b¶ ~ í  xCÌa}zÁ}rwNufÑ =E}"uf†yzÒÆyzLz RR‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}nÌfÒe‚C| wyzÁ†Nuf‚.=d‡ X j‘zUw ÍEzL‚CÌfwyzÚwyxCzÈLu\wyzLSÌS†yÓ ÌfÒ©ÔUwNufÑ zÁÑ ÌELufё}ÓE}rwyzL{[}*ÌfÒ ‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}nÌS‚ X. îw|~}  zLLSÑ MÑ = ‚C(X) Ì  ‚ºwyxu\w"ÌS‚CzÁxuS}"uf‚Ä'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzÚÌfÒ^Lu\wyzLSÌS†y| z€,} F R j

´ et

´ et R

LS´eRt (X) V

∼ = ←→

´ et Repcont R (π1 (X, x)) ρV ,

xCzL†yz Rep (π (X, x)) ÍEzL‚CÌfwyz€}^wyxCzLu\wyzLSÌS†yÓÈÌfÒ‚C| wyzÍE| { zL‚}| ÌS‚ufѵUÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ} ‰î†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}'ÌfÒwyxCzÁÔUwNufÑ zÚÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑJS†yÌSƒC× π (X, x). R 

cont R

´ et 1

´ et 1

x ‹w Œ  q

‹w Œ .:y t ‹  q w t^t xŒ 

bŒ ^xŽ‹w)

¸

{ yZ

Y‚ºwyxC|~}}z€Gwy| ÌS‚‘„  zÁ® | z  wyxCzÁ{ ÌS†y×CxC|~}{[} pr1 : U −→ X0 , (x, y) 7−→ x,

pr : U −→ Y , (x, y) 7−→ y uf‚Í uS}{ ÌS†y×CxC|~}{[}ÌfÒ/®\uf†y| zUwy| z€q}:uf‚UÍv→uS}yZ}ƒC{ , (x, zS„Cwyy)xu\w7−wy→xCzLÓ>yuf−†yzùxÍEzK‚Cz€Í>Ì\®SzL† k. j‘zUw R Ûµz zL| wyxCzL†u ‚C| wyz zLÑ~Í F , q = l , ÌS†u UÌS{ ×CÑ zUwyzÈ}ƒCÛC†y| ‚CÌfÒ Q . £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜W¨ n ènxCzXF«ÉSÉ T RKN¼\OÀ\¼\T BE½¾F«¼\OÌfÒ V ∈ LS (X )  | wyx V ∈ LS (Z ) |~}*wyxCzÁÑ ÌELufё}ÓE}rwyzL{ 0

2

0

k

q

l

´ et R

1

0

´ et R

2

0

V1 ∗ V2 := R1 (pr2 )∗ (j∗ V1 ◦V2 ) ∈ LS´eRt (Y0 ).

X | ‚Uz |~}ºuf‚;ÔUwNufÑ z?Ñ ÌELufя}ÓE}rwyzL{ï„| wïUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC} wy̖| wN}º{ ÌS‚CÌEÍE†yÌS{ùÓ y† zL×C†yz€}zL‚awNVu\wy| ÌS∗‚ Vρ : π (X) → GL (R). îw*ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }/ÒÆyÌS{¹z ‰ˆŠb‚ ~ „ ñ†yÌSב‡/ˆC‡ ˆC„ wyxu\w/wyxCz†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚ÌfÒ ρ wyÌÁwyxCz"SzLÌS{ zUwy†y|~'ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑCS†yÌSƒC× π (X ⊗ k)¯ ' Luf‚ÄÛµzÁzU£E×CÑ |~U| wyÑ ÓºUÌS{ ×CƒEwyz€ÍJ„Cƒ}| ‚C ñ†yÌSב‡ Ï ‡ ‹ÈÌfÒ
z ‰ˆŠb‚ ~ ‡ π\ (X(C)) 1

2

´ et 1

V1 ∗V2

n

´ et 1

V1 ∗V2

1

¦ ž€ª  ª«¡Äª ¥ ž aŸ½©Ÿ( až€ Ež€ª«¦ ¥ ¦bž"ž¾l ¿¡”ª«§©§ †  ï¡S¦ ¥4 ¦ † ¨ž€ª«¦ ¥ ?zÚUÌS‚awy| ‚ ƒCzwyÌùƒ}z‚CÌfwNu\wy| ÌS‚}*uf‚͜uS}y}ƒC{ ×Ewy| ÌS‚}'ÌfґwyxCzÑ~uS}rwn}z€Gwy| ÌS‚‘‡^îw*ÒÃÌSÑ Ñ Ì } ÒÆyÌS{ wyxCzœÍEzK‚C| wy| ÌS‚}L„‘wyxu\wùuf‚| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z ÔUwNufÑ z[Ñ ÌELufÑ}ÓE}rwyzL{ V ∈ LS (A \ u) | wyxl‚C| wyz"{ ÌS‚CÌEÍE†yÌS{ùÓºìÃ|¾‡ zS‡ „ G := im(ρ ) |~0} ‚C| wyz­í/UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}wyÌÈuÚ×uf| † (ϕ| :  xCzL†yz |~}uf‚[ƒC‚C†Nuf{ | z€Í[ÚufÑ ÌS|~}UÌ\®SzL†/ÌfÒ | wyxčÚufÑ ÌS|~} X S˜†yÌS→ƒC× AG \ufu,‚Í pp ),∈ E[G]ϕ||~}uf‚ï|~ÍEzL{ ×µÌfwyzL‚aw  xC|~Nxï×C†yÌ rz€GwN}*wyxCzÁA†yzL\SƒCuÑ~uf †n†yzL×C†yz€}zL‚E‰ wNu\wy| ÌS‚ºwyÌ wyxCzÁ| ‚ÍEƒUz€ÍÄ| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ zچyzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ χ : G → GL(V ) ' GL (R). j‘zUw | wyx ÛµzºÑ ÌELufÑ*}ÓE}rwyzL{[} | wyN x ‚C| wyzº{ ÌS‚E‰ ÌEÍE†yÌS{ùÓSV„\UÌS∈†y†yz€LS}×µÌS‚(XÍE| ‚C)n wy̏×uf| V†N} (ϕ∈ LS: X˜(Z→) X , p ) uf‚Í (ϕ  : Z˜ → Z , p ). j‘zUw ˜ ˜ ˜ ˜ ènxCzL‚ÄwyxCzȂu\wyƒC†NufÑJ{[Xuf× ◦fZ: X˜:=◦(Z˜X →× U |~U})ufׂăC‚C(Z†Nuf{ ×| z€Í>UÚ).ufÑ ÌS|~}"UÌ\®SzL†  | wyxvÚu\‰ Ñ ÌS|~}S†yÌSƒC× G × G . ð‚CzLufl‚ ‚͜uf‚[zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C j : X˜ ◦Z˜ → X˜ ◦Z˜ , }ƒNx wyxu\w xuS}Úuï}{ Ì Ìfwyx?×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz{[uf× wyÌ xC|~Nx|~}Áuº†Nuf{ | z€Í ÚufÑ ÌS|~} X U˜Ì\®S◦zLZ† ˜  | wyxvÚufÑ ÌS|~}*S†yÌSƒC× G × G uf‚Í ff¯¯| P ×= Yf.  ènxCz j‘zL†Nu­Ó }×µz€Gwy†NufÑJ}'z ^aƒCzL‚UzÌfÒ Ó | zLÑ~ÍC}'wyxCcz €r{ Ìfwy| ® |~| ‚awyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌSZ‚ ‚ÌfÒ wyxCzÈUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ºÌfÒw  Ì ‚C| wyzÁÑ ÌELufёpr}¯ÓE}rwy◦zL{[f¯ ,} F*ð‚CzÚxuS} º[n¼»

1 k

R

V

1 k

χ

V

1 k

V

χ

x0

´ et R

1

0

´ et R

2

0

0

0

0

1

0

0

0

V1

X0

0

U

χ1

0

0

V2

0

Z0

0

2

0

1

0

1

n

0

0

˜ 0 ◦Z ˜0 X

2

2

V1 ∗ V2 = pχ1 ⊗χ2 (R1 (pr ¯ 2 )∗ (f¯(R)) ),

0

0

χ2

À

qsrt

vu wyx

  {

xCzL†yz UƒEwN}ÁÌSƒEwÈwyxCzœ| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z[†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ χ ⊗ χ , uf‚Í G p× G uS∈GwN}nR[G ® |~uÛ×uS}Gz€Nx] uf‚CSzÌS‚ R (pr¯ ) (f¯(R)) ‡ ènxC|~}uf×C×C†yÌauSNx™Luf‚”ÛµzÄ| wyzL†Nu\wyz€Í™ƒ}| ‚CvwyxCzĆyz€}ƒCÑ wN}ùÌfÒ…*| zL†N}rwyÌS‚Czºuf‚͖t>| Ñ {[uf‚ z Á » | ® ~ ‡^ènxC|~}/Ñ z€uSÍC}©wyÌÚwyxCznÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C†yz€}ƒCÑ 'w Fej‘zUw k = Q, R = E wyxCzUÌS{ ×CÑ zUwy| ÌS‚ ÌfÒ'uº‚ ƒC{ùÛµzL_† zLÑ~Í E u\wÁu ‚C| wyz×C†y| { z λ uf‚Í>Ñ zUw V Ûµz uf‚vÔUwNufÑ zÑ ÌELufÑ^}ÓE}rwyzL{ ÌfÒ ‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€} xC|~Nx?uf†y|~}z€}"ÒÆyÌS{ | wyzL†Nu\wy| ®SzLÑ ÓïUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ‚C ‚C| wyzÑ ÌELufÑ^}ÓE}rwyzL{[}uf‚Í E }yLufÑ | ‚C  | wyxïÌS‚CzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑdÔUwNufÑ zÚÑ ÌELufё}ÓE}rwyzL{[}L‡/ènxCzL‚ ìrË­í det(ρ )| = ε ⊗ χ , x CzL†yz χ |~}JwyxCz l‰YuSÍE|~/UÓEUÑ ÌfwyÌS{ |~/Nxuf†NuSGwyzL†Juf‚Í ε : G → E |~}u ‚C| wyz*Nxuf†NuSGwyzL† ìPwyxCz"ufÛ}ÌSÑ ƒEwyznÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒC× |~}^UÌS‚}|~ÍEzL†yz€ÍÈuS}©u}ƒCÛCS†yÌSƒC×ÈÌfÒ ® |~uu}z€Gwy| ÌS‚ | ‚ÍEƒUz€Í?Û Ó?uº†Nu\wy| ÌS‚ufÑ^ÛuS}zLG×µÌS| ‚awGíG‡Ù4×C†yÌ ÌfÒ'ÌfÒ ;%^aƒu\wy| ÌS‚)ìrË­íGƒ}z€}wyxCzÒ«uSGwÚwyxu\w wyxCzÈÍEzUwyzL†y{ | ‚uf‚aw"|~}ÈìÃÛ Óœ†yz€}ƒCÑ wN}nÌfwÒ X zL†y†yzÚuf‚ŒÍ DufÑ wy| ‚Ca}NíwyxCzùÚufÑ ÌS|~}n†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ uS}y}ÌEU|~u\wyz€Íœwy̜u ’z€W =SzÈNxuf†NuSGwyzL†nÌfÒ ènxCÌa}zùÚufÑ ÌS|~}n†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}nuf†yz = ‚CÌ  ‚ wyÌ ÛµzÈu ×C†yÌEÍEƒGw"ÌfÒ/u×µÌ  zL†nÌfÒ χ  |Q.wyx>u ‚C| wyzÈNxuf†NuSGwyzL†€‡ 

χ1 ⊗χ2

1

1

2

1

1

2

2

2 ∗

λ

λ

n l

GQ

V

l

×

Q

Q

Q(t)

l

š ½l½ † ª«¡S Ež€ª«¦ Â^n Ã

¥ ž€¦ ž ¾l vª ¥4  aŸ\  ÅÄÄ  † ¦µª«‡ ½©Ÿ\¦› †  G¡ ènxCzچyz€}ƒCÑ wN}nÌfÒ©wyxCzÁÑ~uS}rw}z€Gwy| ÌS‚}"Luf‚ÄÛµzÁƒ}z€ÍœwyÌ[×C†yÌ\®SzwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C†yz€}ƒCÑ w'F 
‘D’“‹”’•ÇÆ4˜ – n 9RU½ l ãNRùZ\O ¼€ÉSÉÚødDGFPX[R b q = l , E := Q(ζ + ζ , ζ ) ™ ©MCRUDyR ÉSRUOd¼\½YRGI Z>ødDGFPXFP½¾FPÀ\R Dy¼€¼\½º¼r¿?BEOFPm½ šÇb λ ˆZ OFP½YR[ødDGFPX[R”¼r¿ E Z\OdÉ ζ , m ∈ N, à ½ C M  R \ À \ Z T  B \ Z ¾ ½ F«¼\O DGFPO Å ¼r¿ HdMCRœødDy¼ ÈLRNKU½¾FPÀ\RI¾øRNKUF«Z\TÚT FPOdRNZ\D>ÅfDy¼\B€ø O ¼€KNKUBEDNIÈDyRîÅfBET Z\DGT ïZ­HI Z\T ¼\F~IÁEÅfDy¼\.B€øµI ¼\À\RUD Q(t), F ¿ char(λ) F~I ¼€ÉSÇÉ b n = 2rPSL− 5(OZ\OdÉ) k

q−1

−1 q−1

4

m

λ

λ

n

λ

r > 2 + ϕ(q − 1).

ènxCz*ÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚CÚUÌS†yÌSÑ Ñ~uf†yÓÒÃÌSÑ Ñ Ì  }©| { { z€ÍE|~u\wyzLÑ ÓÁÒÆyÌS{¢†yz€ÍEƒGwy| ÌS‚{ ÌEÍEƒCÑ Ì λ,  xCzL†yz Ñ | z€}nÌ\®SzL† l : λ É “‹”“bÊÊ-«‹”ËÌÆ4˜W¨ n HdMCR[ÅfDy¼\B€ø ¼€KNKUBEDNI[DyRîÅfBET Z\DGT  Z­I8Z\T ¼\F~I ÅfDy¼\B€øµIï¼\À\RUD PSL (F ) F ¿ \ Z d O É Q(t) n = 2r − 5, r > 2 + ϕ(q − 1) q ≡ 1 mod 4. ènxCzº|~ÍEz€u?ÌfÒ"wyxCzÄ×C†yÌ ÌfÒ|~}ùwyxCzœÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C FÄð‚CzïUÌS‚}|~ÍEzL†N}ù}ƒC| wNufÛCÑ Cz ‚C| wyzÄÑ ÌELufÑ }ÓE}rwyzL{[} Ì\®SzL† ×CƒC‚GwyƒC†yz€Í2u u[‚Cz>Ñ | ‚Cz€} Ì\®SzL† Q. ènxCzL| †[{ |~ÍCÍEÑ zvUÌS‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚–Ó | zLÑ~ÍC} u>Ñ ÌELufÑn}ÓE}rwyzL{ @}| ‚C>wyxCz ‰YuSÍE|~  DCÌSƒC†y| zL†Èwy†Nuf‚}rÒÃÌS†y{ uf‚͙}ÌS{ zœ}rwNuf‚ÍCVuf†NÍ∈ †yLS z€}ƒCÑ wN}Á(XÌS‚™:=×C†y| A{ | wy\| ®Su). z[†yKz •z€Gwy| ÌS‚ S†yÌSlƒC×}L„©ÌS‚CzœLuf‚”}xCÌ  wyxu\w wyxCzÁ| {[ufSzÚÌfÒ π (X ⊗ Q) ¯ ƒC‚ÍEzL† ρ |~}n'z ^aƒufÑdwyÌ PSL (O ). îw"ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }'wyxCzL‚ÄÒÆyÌS{ ;%^aƒu\wy| ÌS‚;ìrË­íG„©wyxu\wùwyxCzœÌELUƒC†y†y| ‚CvÍEzUwyzL†y{ | ‚uf‚awN} xC|~Nx”uf†y|~}z ÒÆyÌS{ uf†yzUÌS‚awNuf| ‚Cz€ÍJ„SƒC×[wyÌuÈè©u\wyzU‰¾w  |~}rw€„a| ‚[wyxCzS†yÌSƒC× ÌfÒJ ÒÃÌSƒC†wyxœ†yÌ ÌfwN}/ÌfґƒC‚CG| wrÓ[6uf‚GÍ[Luf‚ ÛµzÁ‚CzLSÑ z€Gwyz€ÍºÛ ÓÄu }ƒC| wNufÛCÑ zÁ}yLufÑ | ‚C‡/ènxC|~}nÓ | zLÑ~ÍC}nwyxCzÁ†yz€}ƒCÑ w€‡ n

´ et Eλ

´ et 1

q

1 Q

V

n

λ

Q

Q(t)

x ‹w Œ  q

‹w Œ .:y t ‹  q w t^t xŒ 

bŒ ^xŽ‹w)



{ yZ

Í

€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î ÏgÐ ÑCÒÔÓfÕ[Öf× ØÙÚÛvÜbÝvØÃÞàßfÕ[á°Õ[â·× ãägå‹Ý‰æ¼ç+&!è éC&!D  ê &  ëC&  èà ¼éìG&&!éí   ¯  é
ë ès('/ èCî sêï/ ì$%&ð %cê%ñ ¯ & &Mè!ò4&M è(éC&!v &  &!( þó ôõöô÷Wø ùƒ.!÷yúø‹ûüGý"þ¯CÑÿþGè
þï !Ñæ  Î   Ñ!Ò ßfÕ ákØã× bÝvØ æ 

.!÷20 !ô !0  öô÷20>ö1y1 ö 
!0yô÷  0yô  1 0>ö  ! 1 0>ö Žþ " ï  $í #[  &! þ Ï    þbCÑ!þ&%‹é ê (  '
è!   Ð & ì%&  éW þ#[è ‹C)  Î  ý
Ò â¬Õ^ákØÛ+Û */Ø× ãØك Þ ,^.Õ -sØ× ÛvØÙ0 æ /$‰&! è!  ì%³è!2ò 1M& ëf&!G $&!ïï  éC&  è è$ ìl  #´&! è [ï è l % þ
3ø 45!7 , 6!1 0 8(9:!, + ÷W<ø ;=°þ>!ÿþ(è
þï Ñ!æ Ñ!) >þ&/$ è!  ì%/ éf%/ ìè + Ã#´&! è  ìè!' Î  ý
)Ò â¬ÕGákØÛ+Û */Ø× ãØÙ? Þ ,^+Õ -sØ× ÛvØÙfA æ @
f ìl%/  léèè ê  èþ(!)þï ï  ( B Î  ü )Ò â¬Õ$ákØÛ+Û */Ø× ãØÙ¬C Þ ,^EÕ D Ø */ØÙÚcF æ %‹è(éC&!+ ¯' ¯ %/ c&!  è(é & C¿ è¼éè cè!ò ì´ï Hè G¯é  M  'þ!)þï ï  ( B Î I 1J>)>Ò Óf
Õ KgÙØ× Û&å °L Þ -Õ M/×
Ø Nvãl( æ l÷>.1 ö 8!
ú !7 , 1 !5f.!&ô $÷yúP ö O¼ö021 8!!Rô QSö 8÷  ö þT^ í   s Ð & ì%&  U‡êG° ì f#$ ë  ‡þ ÿ þGè bBþ " ï  $í #[  &! þ Ï    þbC) >)> Î 1M& W Ò V‡ÕGâ¬&Õ MkåYÛ Xg[ æ Zg0 !0 f1 B8 .1 !5 ÷WöP , Žþ
/$G&! ^è!ò Ð & ì%&  é " êG W þè B þ \^  é èlÿ
   W] ' \^  W þ&\^  é èþ'_^þ‹C Î #` b Ò a‡Õ c[db<ã ebãØ× ÝfJ æ /· &! ¯òyè! %&  ècï  é ï lòyè!Déè ^è!ò P1 þ3ø Zö0yôvgö fô (ö h+ø ùƒ.!÷yú&ø i+;
j¿þ>!ÿ þGï ‹Hk!CæGC) >

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀlÅ'ÔBl È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ä8Ü ÞÛHì‰æšâlÛCÞ×

Ù

؃à

׈ä ã_änmŒÞHoqpCäŒÝ

åä8Ü ÞÇâlÛCÞÇâCÚ

ó_psrø



ïG& %/( sè!ò Ð & ì%&  é k&!G " &  ¯  é Wþt
êu ÿ
   W'þ21f  ¯ èþ )+*-,/.!02143
v!EG6!BC59w?D<$x!E::F+wEl<7!9 •

@
( &  èç+&!G&&P1sÑ%F'´

KML!NO-PQR!OS T ¾
aW¿Ç¿ÇÌξŽÍmÍ WÏ Y $¾ Zf_,¿ V \ aWÌ Ê Ï XPy V k_ Ë ¾ŽÌ Q À

¿Ç¾S} É ¾Ž¿

_ l_`2z^a\ aR{ Ê ÅH|4a VË aWÌ Ê ¾ ÏmÊ ¾ŽÍ+_`¿ Ê A Z ¾ É Í Ê_

¾ŽÍ ÏmÊ É Í

É

63

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥ –b˜ – n Ù4}{ Ì Ìfwyx?×C†yÌrz€Gwy| ®Sz®\uf†y| zUwrÓ X ÌfÒnÍE| { zL‚}| ÌS‚ d ÍEzK‚Cz€Í?Ì\®SzL† |~}"LufÑ Ñ z€ÍÄu»Z\T ZSãUFPäAµZ\B[®\uf†y| zUwrÓ[| Ò C ìÃ|Pí ÒÃÌS†"zL®SzL†yÓ „uf‚Í ìÃ| |Pí'HwyxCzÈ(X,LufO‚CÌS‚C)|~L=ufÑd0ÛCƒC‚ÍEÑ z K i,Ìf0Ò X< i|~}n<wy†yd| ® |~ufѾ‡ Y‚awy†yÌEÍEƒUzwyxCzJ’ÌEÍESzڂ ƒC{ùÛµzL†N} ÍE| { H (X, Ω ). h (X) := mbn

i

X

X

i,j

j

i X

_ | VÇÊ h aWÍ Ã(aWÌ ÏmÊ a\ \ XcÍ V ÃÇÃ_Ì Ï ¾Ž¿P{XMa€M¾ŽÍm¾aWÌ>] Y:Ñ WÌ a ÉKÏ ` Ì>_CZ ~ _ Ì Ê  € ` Ì>_CZ?…li Ñ a Ïq† a ÉÇÉ _ Ë ¾ŽÌŽÀ o ÃÇÌ Ê Z\ Ô'ÄŽÍ Ï ÂÔÕÕWÖÇÀ

~q‚)ƒ „zeÂ
‡Hˆ

ènxCzL‚

r+‰ Ž4w

|~}"uœÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÄ®\uf†y| zUwrÓ[| Ò ÒÃÌS†"zL®SzL†yÓ i, 0 < i < d „uf‚Í h (X) = 0 Cx zL†yz p (X) |~}*wyxCzÁSzLÌS{ zUwy†y|~SzL‚ ƒ}*ÌfÒ X ‡ X

i,0



ŠA‹

h0,d (X) = pg (X) = 1

g

«‹•ŒgÊ-’¬–b˜W¨ n

îÒ „©uvÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ®\uf†y| zUwrÓvÌfÒ"ÍE| { zL‚}| ÌS‚ |~}Á‚CÌfwyxC| ‚C>ÛCƒEwuf‚zLÑ Ñ | ×Ewy|~ U ƒC†y•®Sz[ìÃ| dÒ^| =w|~1}nz'^aƒC| ×C×µz€Í  | wyxvu†Nu\wy| ÌS‚ufÑd×µÌS| ‚awGíG‡ 1 îÒ „CwyxCzùUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚} (X) = 0 uf‚Í p (X) = 1 | { ×CÑ Óºwyxu\wuºÐ*ufÑ~ufÛC| ê }ƒC†Ò«uSUzS‡ ë'ufƒï• ®\ufd†y| zU=wrÓ[2ÌfÒ/ÍE| { zL‚}| ÌS‚ 2 |~}hu K3 î  Ò / „ y w C x > z U  S Ì  ‚ E Í | y w | S Ì  ‚ } uf‚Í | { ×CÑ Ó wyxu\•wùuvÐ*d uf=Ñ~ufÛC3| êaë'ufƒ?®\uf†y| zUwrÓvÌfÒnÍEh| { zL(X) ‚}| ÌS‚ =3h|~}Èuv(X)Ð*ufÑ~=ufÛC| 0êaë'ufƒvwypxC†y(X) zLzUÒÃÌSÑ~=ÍJ‡C1X | ‚Uzœu Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍÄ|~}"lu !7ŽfxCÑ zL†"{[uf‚C| ÒÃÌSÑ~ÍJ„E| w|~}"‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓwyxu\w h (X) > 0 ‡ ¨ ¡  aŸ\ª«¡S  † ª 4¥   EŸ\ª«  ¥ ž€œ  ¥ ‘ § >¦‘g§ ’b >§©ª«v  ¡”¦ ¥ §© n „Ì  zÈÍEKz ‚CzÚwyxCzÁ‚ ƒC{ zL†‰  l |~LufÑJ| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}*ÌfÒ'Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒº®\uf†y| zUwy| z€}L„Cuf‚͜wyxCJz ’ÌEÍESzȘ ÍE|~uf{ ÌS‚ÍC}L‡ è• nxCz k‰¾wyx>…*zUwwy|‘‚ ƒC{ùÛµzL†"ÌfÒ X |~} ÍE| { H (X, C) = ÍE| { H (X,¯ Q ). B (X) = ènxCzL‚ B (X) = 0 ÒÃÌS† k > 2d „Cuf‚ͺwyxCzÁñ^ÌS| ‚Luf†yÔÚÍEƒufÑ | wrӜ| { ×CÑ | z€}nwyxu\w ÒÃÌS† k, 0 6 k 6 d. B (X) = B (X) ènxCzL†yzÁuf†yzÚ}Ó { { zUwy†y| z€}nÌf0Ò ’ÌEÍESzڂ ƒC{ùÛµzL†N,} F • 1,0

g

1,0

2,0

g

1,1

k

k

k et

`

k

k

2d−k

hi,j (X) = hj,i (X), hp,q (X) = hd−p,d−q (X)

Cx zL†yz"wyxCzc†N}rw'|~ÍEzL‚awy| wrÓùÒÃÌSÑ Ñ Ì }/ÒÆyÌS{4UÌS{ ×CÑ zU£[UÌS‚rƒCau\wy| ÌS‚‘„auf‚ÍwyxCz}z€UÌS‚ÍÒÆyÌS{ wy xCzX zL†y†yzÁÍEƒufÑ | wrÓS‡/ènxCzL†yzÚ|~}nwy xCzJ’ÌEÍESzÁÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ Bk (X) =

X

hi,j (X)

uf‚͜wyxCz:;ƒCÑ zL†Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ÌfÒ X |~}nS| ®SzL‚ÄÛ Ó i+j=k

E(X) =

2d X

(−1)k Bk (X).

nè xCzA’ÌEÍESz"ÍE|~uf{ ÌS‚ÍC}©ÌfÒµzLÑ Ñ | ×Ewy|~"UƒC†y®Sz€}L„ }ƒC†Ò«uSUz€}^uf‚Í[Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÁwyxC†yzLzU‰ ÒÃÌSÑ~ÍC•}"uf†yzڐS| ®SzL‚‘„E†yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓS„CuS}'ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }L‡ K3 k=0

1

ènxCzL‚

1

1 1

B0 = B2 = 1, B1 = 2

uf‚Í

E(X) = 0.

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

‡)‡

y{ h

1 0 1

0 20

0

ènxCzL‚

0 0

1

uf‚Í

B0 = B4 = 1, B1 = B3 = 0, B2 = 22

E(X) = 24.

1 0 h2,1

1

0 h1,2

h2,2

0 0

ènxCzL‚ uf‚Í

0 h1,1

0

1 0

0 1

B0 = B6 = 1, B1 = B5 = 0, B2 = h1,1 = h2,2 = B4 , B3 = 2(1 + h2,1 ) E(X) = 2(h1,1 − h2,1 ).

  aŸ\ª>  ù  ¥ §‘˜ až€  — žî¨ ¥ ¡fž€ª«¦ ¥ ¦bž œ   †  E›^ª Ÿ2™  C¨   EŸ\ª> až€ª>   ?zÈuf†yzÚ| ‚awyzL†yz€}rwyz€Íº| ‚>uf†y| wyxC{ zUwy|~Áuf‚ͺ‚ ƒC{ùÛµzL†"wyxCzLÌS†yzUwy|~×C†yÌS×µzL†wy| z€}nÌfÒ'Ð*ufÑ~ufÛC| ê ë'ufƒ®\uf†y| zUwy| z€}L„Juf‚Í  z  | Ñ Ñ/UÌS‚}|~ÍEzL†ùÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒv®\uf†y| zUwy| z€}ÚÍEKz ‚Cz€ÍvÌ\®SzL†‚ ƒC{ùÛµzL† zLÑ~ÍC}ÁìÃzS‡ ‡ „ íG‡wj‘zUw ÛµzÈu[Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒº®\uf†y| zUwrÓ[ÌfÒ^ÍE| { zL‚}| ÌS‚ ÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† ‡ 쫅*ÓïwyxC|~}  zQ{ z€uf‚‘„µwyXxCz UÌS{ ×CÑ zU£E| µLu\wy| ÌS‚>ÌfÒ X |~}u>Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ>d ®\uf†y| zUwrÓS‡ ívènxCzLQ†yz zU£E|~}rwN}/uf‚ | ‚awyzLS†NufÑ { ÌEÍEzLÑEÒÃÌS† X ‡ j‘zUw p Ûµzu×C†y| { z"uf‚Í uS}y}ƒC{ z*wyxu\w/wyxCz"†yz€ÍEƒGwy| ÌS‚ { ÌEÍ |~}}{ Ì ÌfwyxïÌ\®SzL† A‡ X ƒNxvu ×C†y| { z |~}LufÑ Ñ z€Í>uœÅa¼€¼€ÉÚ×C†y| { zSi‡ DCÌS† X := X u SÌ ÌEͺ×C†y| { z pp „CÑ zU_w DC†yÌSÛ ÍEzL‚CÌfwyF¯zwyxCz DC†yÌSÛµzL‚C| ƒ}n{ pÌS†y×CxC|~}{ ÌS‚ X | ‚ÍEƒUz€ÍºÒÆyÌS{ wyxCz p‰¾wyx×µÌ  zL†{[uf× x 7→ x l‡ j‘zUw ` Ûµz[uº×C†y| { z 6= p ‡ènxCzL ‚ DC†yÌSÛ uSGwN}ÌS‚vwyxCz ‰YuSÍE|~ÚÔUwNufÑ zùUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSӜS†yÌSƒC×} H (X¯ , Q ) ' H (X,¯ Q ) ÒÃÌS† i = 0, 1, . . . , 2d ‡ ` j‘zUw ÍEzUw (1 − DC†yÌSÛ T | H (X,¯ Q )) P (T ) := ÛµznwyxCzNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑEÌfÒwyxCz"zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ DC†yÌSÛ ÌS‚ùwyxCz"ÔUwNufÑ z `‰YuSÍE|~ UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓÁS†yÌSƒCב„  xCzL†yz T |~}uf‚| ‚ÍEzUwyzL†y{ | ‚u\wyzS‡/ènxCzL‚ P (T ) ∈ 1 + T Z[T ]  | wyx ›^n–• ¾l 

L—

p

p

p

p

p

i et

i p

p

`

∗ p

i

i et

`

`

i p

∗ p

‡!p

r+‰ Ž4w

ÍEzL P = B ìPwyxCz i‰¾wyxº…*zUwwy|d‚ ƒC{ùÛµzL†nÌfÒ X í'uf‚Í[| wN}*†yz€U| ×C†yÌELufцyÌ ÌfwN}*uf†yzufÑ SzLÛC†Nuf|~ | ‚awyzLSzL†N}  | wyx>ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzÚ®\ufÑ ƒCz p ìÎ-zLÑ | S‚Cz­íG‡ j‘zUw ÚufÑ ¯ ÛµzwyxCzœufÛ}ÌSÑ ƒEwyz[ÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒCב‡ ènxCzL‚?wyxCzL†yz |~}Áuf‚ `‰YuSÍE|~ ÔUwNufÑ zȍÚGufÑ ÌS=|~}n†yzL×C†y(z€Q/Q) }zL‚awNu\wy| ÌS‚ i p

i

i/2

Y‚Ä×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ ƒ}| ‚C ‡ X

i ¯ ρiX,` : G → GL(Het (X, Q` )).

ρiX,` (

C†yÌSÛ ) „  zÁÍEzK‚CzwyxCz i‰¾wyxì«UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS|~LufÑPí L‰Y}zL†y| z€}'ÌfÒ D

p

£ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥©¨D˜ – n ènxCz ‰¾wyx[ì«UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS|~LufÑPí L‰Y}zL†y| z€} L(X, s) = L(H (X, ¯ Q ), s) |~}"ÍEzK‚Cz€ÍÄÛ ÓœwyxCz:;ƒCÑ zL†"i×C†yÌEÍEƒGw Y ÍEzUw DC†yÌSÛ }| { | Ñ~uf†nÒ«uSGwyÌS†u\w p = `) L (X, s) := (1 − ρ ( )p ) × ( xCzL†yzwyxCzÁ×C†yÌEÍEƒGw"†yƒC‚}"Ì\®SzL†*SÌ ÌEͺ×C†y| { z€}Lw‡ -| S†yz€}y}| ‚C„  zÚxu­®Sz  Y }| { | Ñ~uf†nÒ«uSGwyÌS†u\w p = `). L (X, s) = P (p ) × ( Y‚>×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„E| Ò i = d = wyxCzùÍE| { zL‚}| ÌS‚ïÌfÒ X „  zÈ}| { ×CÑ Ó  †y| wyz L(X, s) | ‚>×CÑ~uSUz ÌfÒ L (X, s) uf‚ÍÄ| wN}"Ñ ÌELufÑdÒ«uSGwyÌS†nÛ Ó P (T ) | ‚}rwyz€uSͺÌfÒ P (T ) ‡ i et

i X,`

i

p

`

−s −1

p6=`

i p

i

−s −1

p6=`

d

p

d p

‚ n–• ¾l ·¡”¦‘§©¨ †  EŸ\ªÃžŸ”¦bžM  †>† ª-½©ž€ª«¡º¡S¨Ÿ    œ¦   aŸ

Q

Ì zuSÍCÍE†yz€}y}^wyxCz{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÌfÒÍE| { zL‚}| ÌS‚ Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ[®\uf†y| zUwy| z€}ÍEzK‚Cz€Í Ì\®SzL† Q ‡ j‘zUw E Ûµzuf‚vzLÑ Ñ | ×Ewy|~ùUƒC†y®SzÈÌ\®SzL† Q „duf‚Í>1Ñ zUw ∆ ÍEzL‚CÌfwyzù| wN}ÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw€‡ ènxCzL‚[| wN} ‰Y}zL†y| z€}/Luf‚[ÛµzÛCƒC| Ñ w*ƒC×[Û Ó UÌSƒC‚awy| ‚CÁwyxCz‚ ƒC{ùÛµzL†'ÌfÒ F ê †Nu\wy| ÌS‚ufÑC×µÌS| ‚awN} ÌS‚ E ‡ L „

p

L(E, s) =

Y

xCzL†yz p †yƒC‚}ufÑ ÑJ×C†y| { z€}L„Cuf‚Í p



∞ X 1 a(n) = −s 1−2s 1 − a(p)p + ε(p)p ns n=1

|Ò p-∆ a(p) = |Ò p|∆ | ®SzL‚)u ×C†y| { z „nz€uSNx2Ñ ÌELufÑA;ƒCÑ zL† ‰¾Ò«uSGwyÌS† ÌfÒ Luf‚)Ûµz?ÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€Í zU£E×CÑ |~U| wyÑ Óȃ}| ‚CwyxCz"pufÛµÌ\®Sz*ÍEz€}yU†y| ×Ewy| ÌS‚‘‡e’pÌ  zL®SzL†€„€wyxCzLL(E, †yznuf†yz*s)| ‚‚C| wyzLÑ ÓÈ{[uf‚ Ó:;ƒCÑ zL† Ò«uSGwyÌS†N}L‡/Ù ‚u\wyƒC†NufÑ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ï|~,} F šNIÚ½ÃMCRUDyRZ\OùÅfT ¼SãNZ\Ta¿NBEOdKU½¾F«¼\O?½ÃMCZ\½"ÉSRU½YRUDGXFPOdRGIÁ½ÃMCR WîILRUDGF«RGI L L(E, s) › (

p + 1 − #E(Fp ), ε(p) = 1 0, ±1, ε(p) = 0

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh. ‡

y{ h



nè xCzuf‚}  zL†"wy̜wyxC|~} ^aƒCz€}rwy| ÌS‚vUÌS{ z€}"ÒÆyÌS{ uH^aƒC| wyzÍE| 1 ÛµzÈuf‚ï| ‚awyzLSzL†€„Euf‚ÍÄÑ zUw 2

2

Γ0 (N ) = {

2



a c

2

b d



2

∈ P SL2 (Z) | c ≡ 0 (mod N ) } ⊂ P SL2 (Z)

ÛµzÈu UÌS‚CS†yƒCzL‚UzÚ}ƒCÛCS†yÌSƒC×ÄÌfÒ P SL (Z) ‡ j‘zUw Ûµzvu‚CÌS‚E‰î‚CzLau\wy| ®Szº| ‚awyzLSzL†€‡)Ù X[¼€É\BET Z\DÁ¿U¼\DGX f ¼r¿ÄÂ'RUF Å­M ½ k > 1 ¼\O k ~ |  } u UÌS{ ×CÑ zU£ ‰î®\ufÑ ƒCz€ÍºxCÌSÑ ÌS{ ÌS†y×CxC|~ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ïÌS‚ H }yu\wy|~}rÒÃÓ | ‚CwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C Γ (N ) wy†Nuf‚}rÒÃÌS†y{[u\wy| ÌS‚º†yƒCÑ z F ÒÃÌS† z ∈ H uf‚Í a b ∈ Γ (N ). az + b f( ) = (cz + d) f (z) c d cz + d Ù KUB I¾øÁ¿U¼\DGX f ¼r¿nÂ'RUF Å­M ½ k ¼\O Γ (N ) |~}u{ ÌEÍEƒCÑ~uf†^ÒÃÌS†y{¢®\uf‚C|~}xC| ‚CÚu\wufÑ ÑCUƒ}×} ÌfÒ Γ (N ) ‡/Y‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ f xuS}"lu DCÌSƒC†y| zL†"zU£E×uf‚}| ÌS‚ì«u\w ∞íG„uf‚Í  zÁLuf‚  †y| wyz X | wyx q = e . f (q) = n = 1 a (n) q  ènxCz L‰Y}zL†y| z€}'ÌfÒ/u Uƒ}׺ÒÃÌS†y{ f |~}"ÍEKz ‚Cz€ÍÄÛ Ó 2

0

k

0

0

0

∞

f

L(f, s) :=

n

2πiz

∞ X af (n) ns n=1

„Ì z}rwNu\wyz?wyxCz†yz€}ƒCÑ wïÌfJÒ ? | Ñ z€}ÄzUw>ufѾ‡ xC|~Nx;×C†yÌ\®Sz€}[wyxCz UÌS‚rz€GwyƒC†yzÌfÒ xC| {ùƒCê†Nu  uf‚ÍÄè©uf‚C| Óauf{[uù| ‚ÄwyxCzÈuu[†y{[u\wy| ®SzS‡  „ z • ˆ |  ~ „z Á œ  •  m ~ í\9RU½ E ãNR™Z\O 
‘D’“‹”’•Ç²4˜W¨ n tì ? | Ñ z€}ÄzUwïufѾ‡ z ˆ ª † |  ~  RUTPT F ød½¾F«KœKUBEDGÀ\R[¼\À\RUD Q œ HdMCRUO E F~IùX[¼€É\BET Z\WD bn½ÃMCZ\½nF~IWb*½ÃMCRUDyRF~I ZÄKUB I¾ø ™ OdRUÂ4š¿U¼\DGX ¼r¿ÁÂ'RUF Å­M ½ 2 = 1 + 1 ¼\O Γ (N ) IGBKNMï½ÃMCZ\½ f FRb L(E, s) = L(f, s) œ œ a(n) = a (n) ∀n œ ùRUDyR F~IÁ½ÃMCRKN¼\OdÉ\BKU½Y¼\Dù¼r¿ E œ N ª ’•¬«‹”­Ì²4˜² n ènxCzù×C†yÌ ÌfÒ/Ìf0Ò ? | Ñ z€}zUwÚufѾ‡"|~}wy̺UÌS{ ×uf†yzÚwyxCzÈw Ì ‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ ÚufÑ ÌS|~}†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}/uf†y|~}| ‚CÁÒÆyÌS{ E uf‚Í f ‡^îÒJwyxCz€}zw  Ì 2‰YÍE|  { zL‚2}| ÌS‚ufÑdÚufÑ ÌS|~} †yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}/uf†yz"'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw'{ ÌEÍ ìÃÌS†{ ÌEÍ íG„fwyxCzL‚[wyxCzLÓ uf†yz"'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€„ uf‚Í z€}rwNufÛCÑ |~}xºwyxCz X xC| {ùƒC†Nu­êEè©uf‚C| Óauf{[uùUÌS3‚ rz€GwyƒC†yzÚ| ‚Ä5 wyxCzÈu u[†y{[u\wy| ®SzS‡ X

0

f

‡C¢

r+‰ Ž4w

º[n–• ¾l ·¡”¦‘§©¨ †  EŸ\ªÃžŸ”¦bž€ª ¥

µ¨ †  EŸnž  ŸJžLŸ( G¡”  †¡  K3 €¨Ÿ(žî C¡   „Ì z | Ñ Ñ"uSÍCÍE†yz€}y}ÚwyxCzÄ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÌfҏÍE| { zL‚}| ÌS‚ 2 Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ ®\uf†y| zUwy| z€}L„ ‚uf{ zLÑ  ÓS„  K3  }ƒC†Ò«uSUz€}L„EÍEzK‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† Q ‡ j‘zUw Ûµzuf‚vufÑ SzLÛC†Nuf|~ }ƒC†Ò«uSUzSc‡ j‘zUw N S(X) ÛµzÈwyxCz „ÔL†yÌS‚ ê.X zL®SzL†y|‘S†yÌSƒC× ÌfÒ X SzLX‚CzL†Nu\wyz€ÍïÛ ÓvufÑ SzLÛC†NufK3 |~ÁUÓEUÑ z€}ÌS‚ ‡ÚènxCzL‚ |~}u[ÒÆyzLz ‚C| wyzLÑ ÓïSzL‚E‰ zL†Nu\wyz€Í™ufÛµzLÑ |~uf‚”S†yÌSƒCב‡?ènxCz Z‰î†Nuf.‚ =ÌfÒ NXS(X) |~}NLufS(X) Ñ Ñ z€ÍwyxC£z ¢*F«KNZ\DyÉOBEX[ãNRUDÚÌfÒ uf‚ÍvÍEzL‚CÌfwyz€Í>Û Ó ‡ X | ‚Uz S(X) ⊆ H (X, Z) ∩ H (X, R) „dwyxCzùñ|~Luf†NÍ X ‚ ƒC{ùÛµzL† ρ(X) |~}[u\w[ρ(X) { Ìa}rw 20 ‡2Ù NK3 }ƒC†Ò«uSUz |~} 'z ^aƒC| ×C×µz€Í | wyx2wyxCzï×µzL†ÒÃz€Gw Ûµz ×uf| †y| ‚Cv| ‚ÍEƒUz€Í™Û ÓwyxCzº| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚™×uf| †y| ‚C8‡ Xj‘zUw T (X) := N S(X) wyxCzÌS†wyxCÌSSÌS‚ufÑCUÌS{ ×CÑ zL{ zL‚aw*ÌfÒ N S(X) | ‚ H (X, Z)  | wyxœ†yz€}×µz€Gw'wyÌÁwyxC|~}'×µzL†ÒÃz€Gw ×uf| †y| ‚C‡ènxCzL‚ |~}u[Ñ~u\wwy|~UzùÌfÒ/†Nuf.‚ = „duf‚Íï|~}LufÑ Ñ z€ÍÄwyxCzùS†yÌSƒC×>ÌS† wyxCzÁÑ~u\wwy|~UzÁÌfÒwy†NTuf(X) ‚}yUzL‚ÍEzL‚awNufÑJUÓEUÑ z€}nÌS‚ X22‡ − ρ(X) „Ì z  | Ñ Ñ}| ‚CSÑ zÚÌSƒEwu }×µz€U|~ufÑUÑ~uS}y}*ÌfÒ K3 }ƒC†Ò«uSUz€}L‡   £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥¥¤+˜ – n Ù K3 }ƒC†Ò«uSUz X |~}ï}yuf|~Í)wy̖۵z™u IGFPO ÅfBET Z\D?ìÃÌS†™>R +S½¾DyRUX[Z\T íœ| Ò ‡ ρ(X) = 20 „Ì z UÌS‚}|~ÍEzL†ÁuÄ}| ‚CSƒCÑ~uf† K3 }ƒC†Ò«uSUz X ÍEKz ‚Cz€Í?Ì\®SzL† Q ‡ùènxCz L‰Y}zL†y| z€}ÌfÒ v ~ | " } E Í z K ‚Cz€ÍÄÛ Ó X ’

2

1,1

⊥ H 2 (X,Z)

2

Y

S Ì ÌEÍ P (p ) xCzL†yzïwyxCz?×C†yÌEÍEƒGwº†yƒC‚}[Ì\®SzL†œufÑ ÑSÌ ÌEÍ2×C†y| { z€}?ì  | wyx (∗) | ‚ÍE|~Lu\wyz€} wyxCzvÒ«uSGwyÌS†  UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CùwyÌ ÛuSͺ×C†y| { z€}NíG„uf‚Í DC†yÌSÛ ¯ Q )) P (T ) = det(1 − T | H (X, |~}*uf‚œ| ‚awyzLS†NufÑ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑÌfÒÍEzLS†yzLz 22  xCÌa}z†yz€U| ×C†yÌELufÑC†yÌ ÌfwN}xu­®Sz"wyxCzufÛ}ÌSÑ ƒEwyz ®\ufÑ ƒCz ‡^ènxCzÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ ÌfÒdwyxCzÑ~u\wwy|~Uz€} | ‚ÍEƒUz€} wyxCzÈÍEz€pUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ÄÌfÒwyxCz L‰Y}zL†y| z€} L(X, s) F H (X, Z) = N S(X) ⊕ T (X) L(X, s) = (∗)

p:

p

p

∗ p

−s −1

2 et

`

2

L(X, s) = L(N S(X) ⊗ Q` , s) · L(T (X) ⊗ Q` , s).

ª ’•¬«‹”­n¤+˜W¨ n îÒ zn×uS}y}wyÌÁuÚ}ƒ uœU| zL‚awyÑ ÓÈÑ~uf†ySz'zU£ wyzL‚}| ÌS‚ ufÑ Ñ‘ufÑ SzLÛC†Nuf|~UÓEUÑ z€ }"uf†yzÚÍEzK‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† K „ wyxCzL‚

K

ÌfÒ Q wyÌÚzL‚}ƒC†yz'wyxu\w

L(N S(XK ) ⊗ Q` , s) = ζK (s − 1)ρ(XK ) = ζK (s − 1)20

xCzL†yz |~}wyxClz -z€ÍE,z = | ‚Í?éLzUwNu\‰¾ÒÃC‚Gwy| ÌS‚?ÌfÒ :‡ ?z }xCÌSƒCÑ~Ív†yzL{[uf>† =Äwyxu\wwyxCz ñ |~Luf†NÍºζ‚ ƒC(s) {ùÛµzL†n|~}"uf‚ïuf†y| wyxC{ zUwy|~| ‚ ®\uf†y|~uf‚aw  xC|~NxÄK|~}n®SzL†yӜ}zL‚}| wy| ®SzwyÌwyxCz zLÑ~ͺÌfÒ ÍEzK‚C| wy| ÌS‚ºÌfÒufÑ SzLÛC†Nuf|~"UÓEUÑ z€}L‡^îґ‚CÌfw"ufÑ ÑdufÑ SzLÛC†Nuf|~"UÓEUÑ z€}*uf†yzÍEzK‚Cz€Í[Ì\®SzL†*u:C£Ez€Í zLÑ~ÍJ„/zS‡ ‡ „ „^wyxCzº×C†yÌSÛCÑ zL{¬ÌfÒÍEzUwyzL†y{ | ‚C| ‚CvwyxCz L‰Y}zL†y| z€} L(N S(X) ⊗ Q ), s) |~} }rwy| Ñ Ñ‘ÌS×µzL‚‘‡ Q K

`

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh. ‡

y{ h

¸

Ì   zÁLuf‚ï}rwNu\wyzwyxCzÁ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜ†yz€}ƒCÑ wN}*ÒÃÌS†}| ‚CSƒCÑ~uf† K3 }ƒC†Ò«uSUz€}L‡ IGBEDÿUZSKNR X MCZ­I 
‘D’“‹”’•¦¤+˜² n mì X xC| ÌEÍCu>uf‚Í Y‚CÌa}z z §‘¤ ®b® ~ íV*À\RUD >IGFPO ÅfBET Z\D Z>X[¼€ÉSRUT*ÉSÎR OdRNÉ?¼\À\RUD IL¼\X[RœOBEX[ãNRUAD *RUT É K bZ\OdÉ>FP½«0I ùZ­INILRU4ä K3 ] RUFPT/ǀRU½YZ\W ¿NBEOdKU½¾F«¼\O F~IÅfFPÀ\RU.O b'B€ø ½Y¼ºcZ OFP½YRÁOBEX[ãNRUDȼr¿V*BET RUD¿UZSKU½Y¼\DNWI bnKã  ζ(X , s) „

K

ζ(XK , s) = ζK (s)ζK (s − 1)20 L(s − 1, χ2 )L(s − 1, χ ¯2 )

©MCRUDyR F~I ½ÃMCRùÿRNÉSRNQ\FPOdɺǀRU½YZ\W ¿NBEOdKU½¾F«¼\O–¼r¿ Z\OdÉ F~I½ÃMCR¨ùRNKNQSR L W ILRUDGF«RGIÁζÂ/FP½Ã(s) M?Z IGBEFP½YZSãUT RCnDy¼­INILRUOdKNMCZ\DyZSKU½YRUD χ œ K L(s, χ ) Ù { ÌEÍEƒCÑ~uf†ì«Uƒ}×µínÒÃÌS†y{ |~}‚CÌfw×C†yz€}zL‚aw| ‚ïwyxC|~}wyxCzLÌS†yzL{ ÌfÒ%X xC| ÌEÍCuœuf‚ÍïY‚CÌa}zS‡ ènxCzœ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓ?ÌfÒ}| ‚CSƒCÑ~uf† K3 }ƒC†Ò«uSUz€}ÁÌ\®SzL† Q | ‚”ÌSƒC†ù}zL‚}z[xuS}ÁÛµzLzL‚™z€}rwNufÛE‰ Ñ |~}xCz€Í>Û ŒÓ j‘| ® ‚CÔSc‡ j‘| ® ‚CÔùuf‚ufÑ Ó éLz€ÍÄwyxCzÈw  Ì 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ©ÚufÑ ÌS|~}†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚} uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í[wyÌ wyxCzÁ†Nuf.‚ = 2 { Ìfwy| ®Sz T (X) ‡ Ô z © ª  |  ~ Jí 9RU½ X ãNRœZÄIGFPO ÅfBET Z\D K3 IGBEDÿUZSKNRºÉSÎR OdRNÉ>¼\À\RUD 
‘D’“‹”’•¦¤+˜¤ n Îì j‘| ® ‚C" ~ F Á I [ X € ¼ \ É E B T \ Z D œ HdMCZ\½*F~WI b½ÃMCRÁ½¾DyZ\OCILKNRUOdÉSRUO½YZ\TaøZ\DG½ T (X) F~IÚX[¼€É\BET Z\DùZ\OdÉ d H C M U R O Qœ X 2

K

2

L(T (Y ) ⊗ Q` , s) = L(g, s)

©MCRUDyR g F~IZKUB I¾øÈ¿U¼\DGXμr¿Â'RUF Å­M ½ 3 = 2 + 1 ¼\OºIL¼\X[RÚKN¼\O ÅfDGBRUOdKNR"IGBãîÅfDy¼\B€ø Γ (N ) ¼\D Γ (N ) Â/FP½ÃM;Z–KNMCZ\DyZSKU½YRUD œ ùRUDyR Γ (N ) = {a b ∈ Γ (N ) | a ≡ d ≡ 1 áT IL¼ù½ÃMCRI¾øZSKNRȼr¿ÚKUB I¾øù¿U¼\DGXùIÚ¼r¿Â'RUF Å­M c½ 3 d¼\O Γ (N ) F~IÚRUXød½mÇb^IL¼ùÂ'R (mod N ) } œ ¼\BSÅ­M ½*½Y¼[½¾Â/F~IG½µ¿U¼\DGXùIùKã ºZÄKNMCZ\DyZSKU½YRUD œ Y‚º{ ÌS†yz†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚[wyxCzLÌS†yzUwy|~ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wy| ÌS‚‘„awyxC|~}*wyxCzLÌS†yzL{ÎLuf‚ºÛµzÁ}rwNu\wyz€ÍºuS} ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }L‡ Ô z © ª  |  ~ 0í 9RU½ ãNR'½ÃMCR"KN¼\XøZ\½¾F«ãUT Rd¿UZ\XFPT Á¼r¿ WÉ\FPX[RUOCIGF«¼\OdZ\T 
‘D’“‹”’•¦¤+˜Æ n Îì j‘| ® ‚Cf W` ZSÉ\F«K Z\T ¼\F~IDyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\OCIZ­INIL¼€KUF«Z\π½YRNÉù½Y¼ T (X) Z\OdÉÈT RU½ L(π, s) ãN2RFP½«I L WîILRUDGF«RGI œ HdMCRUO–½ÃMCRUDyRÄ>R +SF~IG½«IºZ>BEOF
BRºKUB I¾ø>¿U¼\DGX ¼r¿ Â'RUF Å­M ½ bT RUÀ\RUT'½ÃMCRÄKN¼\OdÉ\BKU½Y¼\Dº¼r¿ Z\OdɺZùÿÈFPDGF«KNM T RU½ ™ ¼€ÉSÉ šÄKNMCZ\DyZSKU½YRUD ε(p) = g( ) IGBKNMï½ÃMC3Z\½ L(π, s) = L(g, s) œ π ª ’•¬«‹”­n¤+˜ª n îÒ X |~}‚CÌœÑ ÌS‚CSzL†}| ‚CSƒCÑ~uf†ùìÃzU£ wy†yzL{[ufÑPíG„µwyxCzù{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrŒ Ó ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ |~}[}rwy| Ñ Ñ"ÌS×µzL‚‘Š ‡ ’Ì  zL®SzL†€„/| Ò X xuS}ñ|~Luf†N͔‚ ƒC{ùÛµzL† ρ(X) = 19 „ X |~}'z ^aƒC| ×C×µz€Í | wyxĐu X xC| ÌEÍCu­ê Y‚CÌa}z}rwy†yƒGwyƒC†yzuf‚͜UÌS‚}'z ^aƒCzL‚awyÑ Ó |~}'zL| wyxCzL†nu !ڃC{ { zL†n}ƒC†Ò«uSUz ÌS †ÁuÄÍEÌSƒCÛCÑ z[UÌ\®SzL†ÌfÒ*Œu !ڃC{ { zL†Á}ƒC†Ò«uSUzï ì z §‘¤ ®b® ~ Xuf‚ÍufÑ~}ÅÌ z » ¦Ÿ ¶ º ~ íG‡ X ̺wyxCzL†yz |~}ÁwyxCzºƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚C>zLÑ Ñ | ×Ewy|~ºUƒC†y®Sz  xC|~Nx™S| ®Sz€}Á†y|~}z[wy8Ì !ڃC{ { zL†ù}ƒC†Ò«uSUzS„^uf‚ÍwyxCz { ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÈÌfÒwyxCznwy†Nuf‚}yUzL‚ÍEzL‚awNufÑE×uf†w/{[u­ÓÈÛµz"†yz€ufÑ | éLz€ÍùÛ ÓÁwNu = | ‚CwyxCz}Ó { { zUwy†y|~ >} ^aƒuf†yzÌfÒ*uïUƒ}×?ÒÃÌS†y{ ÌfÒ zL| Sxaw uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍïwyÌÄwyxCz ƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚CÄzLÑ Ñ | ×Ewy|~[UƒC†y®SzS‡ Y‚[Ò«uSGw€„awyxC|~}nuf×C×C†yÌauSNx xuS}' ÛµzLzL‚ÄLuf2†y†y| z€Í ÌSƒEw*Û Ó j‘| ‚C j‘ÌS‚Cƒ z © ¦ +¥ b‚ ~ ÒÃÌS†*uùUzL†wNuf| ‚ Ò«uf{ | Ñ ÓºÌfÒ K3 }ƒC†Ò«uSUz€}  | wyxïñ|~Luf†Nͺ‚ ƒC{ùÛµzL† 19 ‡ 1

0

1

0

0

−d p

‡À

r+‰ Ž4w

Â^n–• ¾l ·¡”¦‘§©¨ †  EŸ\ªÃžŸ žî¦ŸœŸ\ª$’µª«§ œ   †  E›^ª Ÿ2™

C  ¨)ž¾Ÿ( G Gžî¦ † §© ¦   aŸ Q „Ì z | Ñ Ñfwy†yÓwy̐SzL‚CzL†NufÑ | éLz©wyxCz'{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӏ†yz€}ƒCÑ wN}JwyÌÚÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC} ÍEzK‚Cz€|Í> Ì\®SzL † Q ‡DCÌS†ÁÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒïwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„µwyxCz…*zUwwy|^‚ ƒC{ùÛµzL†N} B , B uf†yzȂCÌfw C£Ez€ÍïUÌS‚}rwNuf‚awN}L„ ‚CÌS†nwyxCz:;ƒCÑ zL†Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~f‡©Ù ‚u\wyƒC†NufM Ñ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚Ä|~,} F šNI ½ÃMCRUDyRÄZ\O2ZSãGIL¼\T BE½YRÄKN¼\OCIG½YZ\O½©M F«KNM–ãN¼\BEOdÉ­I ½ÃMCRÄZSãGIL¼\T BE½YRœÀ\Z\T BRº¼r¿[½ÃMCRV*BET RUD KNMCZ\DyZSKU½YRUDGF~IG½¾F«K E(X) › ènxCzïUƒC†y†yzL‚aw †yz€UÌS†NÍÒÃÌS†wyxCzïƒC×C×µzL† ÛµÌSƒC‚͔ÒÃÌS†ùwyxCz>ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzÄ®\ufÑ ƒCzÄÌfÒwyxCŒz ;ƒCÑ zL† Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~|~} ‡/ènxC|~}"|~}"ÛuS}z€ÍºÌS‚>u­®\uf| Ñ~ufÛCÑ zzU£Cuf{ ×CÑ z€}nÌfÒ'Ð*ufÑ~ufÛC| ê ë'ufƒ™wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}U|E(X)| ÌS‚}rwy†yƒG6wyz€Í 960Û Ó ×Cx ÓE}|~U|~}rwN}ȃ}| ‚C…nu\wrÓ †yzL®  }Á†yKz •zU£E| ®Szœ×µÌSÑ ÓawyÌS×µz€}L‡ ’Ì zL®SzL†€„Et>| Ñ z€}"Ý"zL|~ÍïUÑ~uf| {[}*wyxCzL†yzÈ}xCÌSƒCÑ~ͺ‚CÌfwÛµzÈ}ƒNxïu UÌS‚}rwNuf‚awÈìÃÛuS}z€ÍºÌS‚ïxC|~} zU£E×µ zL†y| zL‚Uz  | wyx>tvt>ñ ì«t>| ‚C| {[ufÑt>ÌEÍEzLёñ†yÌSS†Nuf{œííG‡ ?z †N}rw"{[ u =SzÁu U†yƒÍEzÁUÑ~uS}y}| µLu\wy| ÌS‚ºÌfÒ'Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L‡ £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥³Æ4˜ – n Ù4Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÄwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í |~}}yuf|~ͺwy̜۵zºDGF ÅfF«ÉÈ| Ò h = 0 ì«}Ì wyxu\w B = 2íG‡'ðwyxCzL†  |~}zS„ X |~}}yuf|~͜wyÌ Ûµz[OdX¼\OWYDGF ÅfF«É\‡ ª ’•¬«‹”­ÌÆ4˜W¨ n Ù †y| S|~ÍÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ>wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Ív|~}| ‚ÍEzLz€Í>wyxCz‚u\wyƒC†NufÑ©SzL‚CzL†NufÑ | é€u\‰ wy| ÌS‚œÌfÒuf‚[zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®SzS‡^ènxCzwyxC| †N͜…*zUwwy|µ‚ ƒC{ùÛµzL† B = 2 uf‚͜uSLUÌS†NÍE| ‚CSÑ ÓÈwyxCzL†yz |~}"u 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufёÚufÑ ÌS|~}*†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ÄuS}y}ÌEU|~u\wyz€Í[wyÌ[| w€‡ ¥ «   ¡fž€¨(Ÿ  Åžî¦ŸœŸ\$ª ’µª«§ œ   †  E›^ª Ÿ2™  C¨ ž ¾(Ÿ  G Gžî¦ † §©[¦   aŸ Q n • ¾l U¡”¦‘§©¨ †  EŸ\ªÃž Ÿ–¡S¦ + 9RU½ N ã v R  Z G D F f Å « F ) É  » \ Z T ZSãUFPäAµZ\B ½ÃM DyRNR«¿U¼\T ɔÉSÎR OdRNə¼\À\RUD HdMCRUO F~IïX[¼€É\BET Z\D HdMCZ\½XF~WI b½ÃMCRUDyRœ>R +SF~IG½«I[ZvKUB I¾øï¿U¼\DGX f ¼r¿ Â'RUF Å­M ½ 4 = 3 +Q1œ ¼\O™IL¼\X[XR Γ (N ) IGBKNM œ ½ÃMCZ\½ 2

3

2,1

3

3

0

B€ø–½Y¼vZ:OFP½YR OBEX[ãNRUD[¼r¿ÈV*BET RUD"L(X, ¿UZSKU½Y¼\s)DNI =œ ùL(f, RUDyR s),N F~IœÉ\FPÀ€F~IGF«ãUT Rï¼\OT vãKùødDGFPX[RGIº¼r¿ ãNZSÉ[DyRNÉ\BKU½¾F«¼\O œ ènxC|~}"UÌS‚ rz€GwyƒC†yz  uS}*ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wyz€Íº| ‚ïtï‰"’ȇXEuf| wyÌ[uf‚ͺëƒC|z § ™  m ~ ‡ ª ’•¬«‹”­ÌÆ4˜² n

ËS‡"ènxC|~}ÚUÌS‚rz€GwyƒC†yz|~}ÚuÄ}×µz€U|~ufÑ/LuS}zÌfÒwyxCzDCÌS‚awNuf| ‚CzGêEtvuféLƒC†ÚUÌS‚rz€GwyƒC†yzÈwyxu\w RUÀ\RUD vFPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT R＀ÉSÉ WÉ\FPX[RUOCIGF«¼\OdZ\_T Z\T ¼\F~IºDyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\‘ O ¬¾KN¼\XFPO Å¿NDy¼\X ÅaRN¼\X[RU½¾D &­"IyMC¼\BET ÉÄãNRÈX[2¼€É\BET Z\WD bB€ø ½Y¼ºZHZ\½YRȽ¾Â/F~IG½ œ Ï ‡"ÙÑ~}̺wyxC|~}Á|~}Úuï}×µz€U|~ufÑLuS}zÌfÒ'wyxCCz X zL†y†yz UÌS‚ rz€GwyƒC†yz ufÛµÌSƒEwÚwyxCz[{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓ ÌfÒnwyxCzœ†yz€}|~ÍEƒufÑ{ ÌEÍ p 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ*ÚufÑ ÌS|~}Á†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}Áu\wwNuSNxCz€Í?wyÌ UzL†wNuf| ‚ÄÌEÍCÍÄÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑJ×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÚ®\uf†y| zUwy| z€}*Ì\®SzL† ‡ ˆC‡"ènxC|~}©{[u­ÓÚÛµz*†yzLauf†NÍEz€ÍÁuS}©uUÌS‚U†yzUwyz'†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚ÁÌfÒCwyQxCiz juf‚CSÑ~uf‚ÍC}‘ñ†yÌSS†Nuf{ï‡

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh. ‡

y{ h

Í

Ûµzvu?†y| S|~Í)Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ”wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í † ª«¡SªÃž™l§   €¡fŸ\ª-½©ž€ª«¦ ¥ ¦bž n j‘zUw EÍ zK‚Cz€ÍºÌ\®SzL† Q ‡/ènxCzL‚ X ufÑ  L(X, u­ÓE}'xs)uS}*uf‚º| ‚awyzLXS†Nufѵ{ ÌEÍEzLѾ‡wj‘zUw p ÛµzÚuùSÌ ÌE͜×C†y| { zS„ uf‚ÍœÑ zUwcDC†yÌSÛ ÛµzwyxCz:DC†yÌSÛµzL‚C| ƒ}n{ ÌS†y×CxC|~}{ï‡/ènxCzL‚œwyxCzÁNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~"×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ xuS}*wyxCzÚÒÃÌS†y{ P (T ) | wyx |t (p)| 6 2p P (T ) = 1 − t (p)T + p T ∈ 1 + T Z[T ]  ènxCzL‚ ® Ÿ^½

p

p

p

3

3

Y

2

3/2

3

Y

1 1 − t3 (p)p−s + p3−2s

S Ì ÌEÍ SÌ ÌEÍ xCzL†yz (∗) }rwNuf‚ÍC}*ÒÃÌS†nwyxCzÚÒ«uSGwyÌS†N}nUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CùwyÌ ÛuSÍÄ×C†y| { z€}L‡  Ù}ÒÃÌS† zLÑ Ñ | ×Ewy|~ïUƒC†y®Sz€}Ì\®SzL† „wyxCzïÑ ÌELufiÑ ;ƒCÑ zL† ‰¾Ò«uSGwyÌS† ÌfÒ „wyxu\w[|~}L„ z€}y}zL‚awy|~ufÑ Ñ Ó t (p) „ELuf‚œÛµzÍEz€}yU†y| ÛµQz€Í[| ‚[wyzL†y{[}'ÌfÒJwyxCz‚ pƒC{ùÛµzL†'ÌfÒ FL(X, ‰î†Nu\wy| s)ÌS‚ufÑC×µÌS| ‚awN} ÌS‚ X ‡ „EÑ zUw DCÌS†"z€uSNx i, 0 6 i 6 6 wy†NuSUz (DC†yÌSÛ | H (X,¯ Q )) t (p) := ÛµzwyxCzwy†NuSUzÌfÒwyxC:z DC†yÌSÛ ÌS‚ºwyxCzÚÔUwNufÑ z `‰YuSÍE|~ i‰¾wyxïUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSӐS†yÌSƒCב‡^ènxCzL‚ºwyxCz j‘zUÒ«}yNxCzUwy é C£Ez€ÍÄ×µÌS| ‚aw"ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uuS}y}zL†wN}'wyxu\w L(X, s) = (∗)

p:

Pp (p−s )−1 = (∗)

p:

3

p

i

∗ p

i et

`

∗ p

#X(Fp ) =

6 X

(−1)i ti (p) = t0 (p) − t1 (p) + t2 (p) − t3 (p) + t4 (p) − t5 (p) + t6 (p).

…*Ó[wyxCzÁñ^ÌS| ‚Luf†yÔÁÍEƒufÑ | wrӜÌS‚ºwyxCzÁÔUwNufÑ z `‰YuSÍE|~ÚUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓ S†yÌSƒC×}L„  zÚxu­®Sz i=0

#X(Fp ) = 1 + p3 + (1 + p)t2 (p) − t3 (p) 6 1 + p3 + (1 + p)ph1,1 − t3 (p).

ènxCz| ‚Cz'^aƒufÑ | wrÓ Ûµz€UÌS{ z€}'uf‚œz'^aƒufÑ | wrÓ | ÒufÑ ÑdUÓEUÑ z€}'| ‚ | ‚  xC|~NxïLuS}zS„  zÚxu­®Sz

H 1,1 (X)

t3 (p) = 1 + p3 + (1 + p)p1,1 − #X(Fp ).

uf†yzÍEzK‚Cz€ÍœÌ\®SzL† Q „

DGF ÅfF«É2»Z\T ZSãUFPäAµZ\B2½ÃM DyRNR«¿U¼\T É­I 
‘D’“‹”’•ÇÆ4˜¤ nn¯ ø ½Y¼ ÉSZ\½YR bÁ½ÃMCRUDyRïZ\DyR>Z\½ÚT RNZ­IG½ ¼\À\RUD Q ¿U¼\DÁ©M F«KNMv½ÃMCRÈX[¼€É\BET Z\DGFP½m[F~IùRGIG½YZSãUT F~IyMCRNÉ œ 50 »  až¾©¦‘§© n ènxCzL†yz"uf†yz*}zL®SzL†NufÑa{ zUwyxCÌEÍC}©ÒÃÌS†/z€}rwNufÛCÑ |~}xC| ‚CwyxCzn{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÚÒÃÌS†^†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒì«uf‚ͺÒÃÌS†"‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍïÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒµíwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}"ÍEzK‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† Q ‡ t>zUwyxCÌEÍËF/ènxCzX zL†y†yzGêDufÑ wy| ‚Ca}*U†y| wyzL†y| ÌS‚‘‡ t>zUwyxCÌEÍ Ï F? | Ñ z€}"{ zUwyxCÌEÍJ‡ t>zUwyxCÌEÍï.ˆ F/ÙÑ SzLÛC†Nuf|~UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz ì«è©u\wyz  }UÌS‚ rz€GwyƒC†yz­íG‡ t>zUwyxCÌEÍÄÕ F'Ð'ÌS‚C| ÒÃÌSÑ~ÍC}n{ zUwyxCÌEÍJ‡ t>zUwyxCÌEÍ>Š F^Y‚awyzL†y{ z€ÍE|~u\wy:z ™auSUÌSÛC|~uf‚}L‡

‡H°

r+‰ Ž4w

tì ?z }xCÌSƒCÑ~Ív†yzL{[uf†>=ºwyxu\wÁt>zUwyxCÌEÍC}Ë uf‚Í Ï uf†yzùzU£CUÑ ƒ}| ®SzLÑ ÓºÒÃÌS†Ú†y| S|~ÍÐ*ufÑ~ufÛC| ê ë'ufƒïwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„  xC| Ñ zÁwyxCzÈÌfwyxCzL†t>zUwyxCÌEÍC}uf†yzÈuf×C×CÑ |~LufÛCÑ zÚÒÃÌS††y| S|~ÍïuS}  zLÑ Ñ©uS}nÒÃÌS† ‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍïÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒºwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L‡ í • ¾l  §  aŸ­(Ÿ   Ÿ µ   † ž€ª ¥ ’µ ¡fŸ\ªÃž aŸ\ª«¦ ¥%F • j‘zUw ÛµzÈu Uƒ}׺ÒÃÌS†y{ÎÌfÒ  zL| Sxaw 4 ÌS‚ï}ÌS{ z Γ (N ) uf‚Í  †y| wyz f X | wyx q = e uf‚Í a (1) = 1 f (q) = a (n)q  X ƒC×C×µÌa}zÚwyxu\w mì X zL†y†yz­í ÒÃÌS†ufÑ ÑJSÌ ÌEͺ×C†y| { z€} p ± t (p) = a (p) Îì DufÑ wy| ‚Ca}Ní ÒÃÌSi† ‚C| wyzLÑ Óº{[uf‚ ӜSÌ ÌE͜×C†y| { z€} p ‡ ènxCzL‚$| ‚ ®SÌ t= | (p) ‚C™=wyxCz”a Ð'(p)xCzLÛµÌfwNuf†yzLr ® -zL‚}| wrÓ;ènxCzLÌS†yzL{ï„"wyxCz }zL{ |~}| { ×CÑ | µLu\wy| ÌS‚} ÌfÒÁwyxCzvw  Ì 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufяÚufÑ ÌS|~}œ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}œuS}y}ÌEU|~u\wyz€Í2wyÌ X uf‚Í f uf†yz z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€„C}Ìwyxu\w L(X, s) = L(f, s) „CƒC×ÄwyÌ[u ‚C| wyzȂ ƒC{ùÛµzL†"ÌfeÒ ;ƒCÑ zL†"Ò«uSGwyÌS†N}L‡ '  ¡  až ¾©¦‘§ F ˆ ª †   ° Y\‚ •? | Ñ z€,} ×C†yÌ ÌfÒ^ÌfÒ^wyxCz X xC| {ùƒC†Nu­êEè©uf‚C| Óauf{[uUÌS‚ rz€GwyƒC†yzÚÒÃÌS†zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÈUƒC†y®Sz€}L„C×C†y| { z ×CÑ~u­ÓSz€ÍÈ®SzL†yÓÁU†yƒU|~ufÑa†yÌSÑ zìÃÛuSW =Sz€ÍȃC×Û ÓÁ×C†y| { z íG‡ DCÌS†©†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ `=3 wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}nÌ\®SzL† Q „Cu }| { | Ñ~uf†U†y| wyzL†y| ÌS‚ÄxuS}nÛµzLzL‚ïz€}rwNuf`ÛC=Ñ |~}5xCz€ÍJ‡ 
‘D’“‹”’•ÇÆ4˜Æ n Îì -| zLƒCÑ zUÒ«uf| w©uf‚ÍÚtvuf‚CÌSxuf†y{[u­Ó ƒC{ z  » b‚ ~ „LëÌSƒE‰Ð'xC|~uf‚Cnëv| z ™ 2ª ~ í 9RU½ ãNR ZºDGF ÅfF«É»Z\T ZSãUFPäAµZ\B½ÃM DyRNR«¿U¼\T ÉïÉSÎR OdRNÉï¼\À\RUD Q œ µB€øSø¼­ILRù½ÃMCZ\½ X ILZ\½¾W F~tI *RGIù¼\XOdR¼r¿Ú½ÃMCR'¿U¼\TPT ¼\Â/FPO ÅĽ¾Â'¼ºKN¼\OdÉ\FP½¾F«¼\OCIL] DyRNÉ\BKU½¾F«¼\OZ\½ 3 Z\OdÉ 7 b'¼\D ™ Išš X MCMCZ­Z­IIÚÅaÅa¼€¼€¼€¼€Éœ ï É DyRNÉ\BKU½¾F«¼\O”Z\½ 5 Z\OdɜIL¼\X[RødDGFPX[R p ≡ ±2 (mod 5) Â/FP½ÃM t (p) Od¼\½n™¡² É\FPÀ€XF~IGF«ãUT RœKã  5 œ HdMCRUO X F~IÁX[¼€É\BET Z\D œ š † ’b a›©Ÿ\ Cª«¡ œ ¦Ÿ­(Ÿ   ! ½'¦ ¥ l§   ¥ ¡  Lž •  Ež  ´³ [¡S¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ     • | ®SzL‚u†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÁwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍùÌ\®SzL† Q „f| wN}^{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÈLuf‚ùÛµznz€}rwNufÛCÑ |~}xCz€Í Û Ó–UÌS‚}rwy†yƒGwy| ‚C uf‚2ufÑ SzLÛC†Nuf|~ºUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uzœwy̙u{ ÌEÍEƒCÑ~uf† †y| S|~Í)Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ͺÌ\®SzL† Q ‡ènxC|~}"uf×C×C†yÌauSNxº|~}nÛuS}z€ÍºÌS‚ÄwyxCzÁUÌS‚ rz€GwyƒC†yzÁÌfÒ^è©u\wyzwyxu\w ½ÃMCR F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGXãNRU½¾Â'RNRUO ½¾Â' ¼ Z\T ¼\F~I DyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\OCIF~I FPOdÉ\BKNRNÉ>Kã >Z\O–Z\T ÅaRUW ãUDyZ\F«K KN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉSRUOdKNR œ D©| †N}rw zº‚CzLz€Í wyÌUÌS‚}rwy†yƒGw†y| S|~͖Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ùÌ\®SzL† „ xC|~Nx–uf†yz uS}y}ÌEU|~u\wyz€ Í[wyÌ[{ ÌEÍEƒCÑ~uf†"S†yÌSƒC×}L‡^ènxC|~}nxuS}"ÛµzLzL‚ïÍEÌS‚CzÁÛ ÓïЇ XENxCÌ zL‚‘‡ Q  ‚ z § ¡ ¾ ¶b¶ ~ ÐÒr‡>…*z€ufƒC® | Ñ Ñ ·z z Á     ¶ › ~ lí 9RU½ 
‘D’“‹”’•ÇÆ4˜ª n mì XENxCÌ zLñ ãNRZºKN¼\O ÅfDGBRUOdKNRÁIGBãîÅfDy¼\B€ø™¼rw¿ OFP½YRÁ± FPOdÉS>R +bnZ\OdÉ[T RU½ C := (H/Γ) ãNΓRÈ⊂½ÃMCRÈPX[SL¼€É\BE(Z) T Z\D KUBEDGÀ\R œ 9RU½ S ãNRï½ÃMCR>BEOFPÀ\RUDNILZ\TJ¿UZ\XFPT –¼r¿>RUTPT F ød½¾F«K KUBEDGÀ\RGI>¼\À\RUD C œ 9RU½ Y := ãNR½ÃMCRùILRUT ¿NW *ãNRUD"ødDy¼€É\BKU½¼r¿ S bZ\OdÉÄT RU½ X ãNR[ZœIGX[¼€¼\½ÃM?DyRGIL¼\T BE½¾F«¼\O”¼r¿ S × S 0

∞

f

n

2πiz

f

n=1

3

f

3

f

3

Γ

Γ

Γ

P1

Γ

2

∗

Γ

Γ

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

y{ h

HdMCRUO ÅfDy¼\B€øµIL]

Yœ

X

F~I ZœDGF ÅfF«É»Z\T ZSãUFPäAµZ\B½ÃM DyRNR«¿U¼\T ɺ©MCRUO

Γ

‡Hµ

F~I ¼\OdR ¼r¿È½ÃMCR*¿U¼\TPT ¼\Â/FPO ÅïIGF +

Γ(3), Γ1 (4) ∩ Γ(2), Γ1 (5), Γ1 (6), Γ0 (8) ∩ Γ1 (4), Γ0 (9) ∩ Γ1 (3).

*… z€ufƒC® | Ñ Ñ zÌz Á     ¶ › ~ ÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€Í;zU£E×CÑ |~U| wvÍEzK‚C| ‚C2z'^aƒu\wy| ÌS‚}ºÌ\®SzL† Q ÒÃÌS†ºwyxCz †Nu\wy| ÌS‚ufÑdzLÑ Ñ | ×Ewy|~Á}ƒC†Ò«uSUz€} S ÒÃÌS†nwyxCzÈufÛµÌ\®SzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†"S†yÌSƒC×}L‡ 
‘D’“‹”’•ÇÆ4˜¶ n tì }/zL†y| Ñ ‹Ñ z ™ ¨©ª b‚ ~ íÚHdMCR*IGF +DGF ÅfF«Éù»Z\T ZSãUFPäAµZ\B½ÃM DyRNR«¿U¼\T É­I"KN¼\OCIG½¾DGBKU½YRNÉ FPO2HdMCRN¼\DyRU¸ X · MCZ\À\R>R +GødT F«KUFP½nÉSÎR OFPO źR
BZ\½¾F«¼\OCIÁ¼\À\RUD QJBEDG½ÃMCRUDGX[¼\DyR b/½ÃMCKR [Z\DyR Z\TPTX[¼€É\BET Z\D œ Hdœº¹ MCZ\½nF~WI b½ÃMCRUDyRÈF~IùZºKUB I¾ø[¿U¼\DGX f ¼r¿ÚÂ'RUF Å­M Q½ 4œ ¼\O Γ IGBKNMï½ÃMCZ\½ Γ

L(X, s) = L(f, s).

Ì z | Ñ Ñ/S| ®SzùÌS‚CzzU£Cuf{ ×CÑ zÌfÒ*†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ>wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍvÌ\®SzL† xCÌa}z { ÌEÍEƒCÑ~uf†y | wrÓ[ |~}"z€}rwNufÛCÑ |~}xCz€ÍœÛ ÓºUÌS‚}rwy†yƒGwy| ‚C[uf‚ÄzU£E×CÑ |~U| wufÑ SzLÛC†Nuf|~UÌS†y†yz€}×µQÌS‚ ÍEzL‚Uz wyÌ ÌS‚CzÁÌfÒwyxCzÈ}| £º{ ÌEÍEƒCÑ~uf†"†y| S|~Í>Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}"| ‚ïènxCzLÌS†yzL{ ŠE‡ Õ‡ Í „ȇEëƒC$| z §  m ~ í 9RU½ ãNRù½ÃMCRvåµRUDGDGFPTPT'»Z\T ZSãUFPä 
‘D’“‹”’•ÇÆ4˜S» n ì«t™‡ ’ȇ XEuf| wy̜uf‚Œ AµZ\Bï½ÃM DyRNR«¿U¼\T Éļ\À\RUD Q Z­INIL¼€KUF«Z\½YRNɜ½Y¼[½ÃMCRÈDy¼€¼\½*™ T Z\½¾½¾F«KNR A œ VHdMCRUO V F~IÁDyRNZ\T F ǀRNÉÄZ­IùZ IGX[¼€¼\½ÃM ™ IGX[Z\TPT šœDyRGIL¼\T BE½¾F«¼\O¼r¿Á½ÃMCRÚZM yøRUDNIGBEDÿUZSKNR „

3

FPO

(x + y + z + w)(

1 1 1 1 (t − 2)2 + + + )− −4=0 x y z w t

'Z\OdÉ V F~IÈZ DGF ÅfF«É>»Z\T ZSãUFPäAµZ\B>½ÃM DyRNR«¿U¼\T É[Â/FP½ÃMĽÃMCRV*BET RUDÈKNMCZ\DyZSKU½YRUDGF~IG½¾F«K ãNRZ[DyZ\½¾F«¼\OdZ\T^RUTPT F ød½¾F«KÈIGBEDÿUZSKNRÉSRÎOdRNɺãKœ½ÃMCRMZyøRUDNIGBEDÿUZSKNR b

P4 × P 1 100 œ 9 SΓ1 (6)

RU½

(x + y + z)(xy + yz + zx) = (s + 1)xyz

Z­INIL¼€KUF«Z\½YRNɽY¼ Γ (6) œ 9 RU½ Y ãNRĽÃMCRºILRUT ¿NW *ãNRUDÈødDy¼€É\BKU½ù¼r¿ S Z\OdÉT RU½ Y˜ ãNR>Z KUDyRîøZ\O½ÈDyRGIL¼\T BE½¾F«¼\O ¼r¿ Y œ HdMCRUO;½ÃMCRUDyR>F~IvZ\O$R>+GødT F«KUFP½[ãUFPDyZ\½¾F«¼\OdZ\T½¾DyZ\OCIÿU¼\DGX[Z\½¾F«¼\O ÉSÎR OdRNÉ ¼\À\RUD Q ¿NDy¼\X V ½Y¼ Y˜ œ HdM F~IÁãUFPDyZ\½¾F«¼\OdZ\TJX[Zyø?F~IÚKN¼\XøZ\½¾F«ãUT RÁÂ/FP½ÃMº½ÃMCRZ\T ¼\F~I ZSKU½¾F«¼\.O bºZ\OdɔFPOdÉ\BKNRGI?Z\O R
BEFPÀ\Z\T RUOdKNR ¼r¿>½ÃMCRZ­INIL¼€KUF«Z\½YRNÉ Z\T ¼\F~I?DyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\OCI œ »¼\OCILR
BRUO½¾T Çb 1

Γ1 (6)

L(V, s) = L(Y˜ , s) = η(q)2 η(q 2 )2 η(q 3 )2 η(q 6 )2 .

ª ’•¬«‹”­ÌÆ4˜!¼ n ËS‡i}/zL†y†y| Ñ Ñz „  aŸ b ~

xuS}"×C†yÌ\®Sz€Í[wyxCzÈ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜÌfÒ ƒ}| ‚C wyxCz X zL†y†yzGê DufÑ wy| ‚Ca} U †y| wyzL†y| ÌS‚‘‡©ÙÑ~}Ì-| zLƒCÑ zUÒ«uf| wnuf‚Í[tvuf‚CÌSxuf†y{[u­Ó ƒC{ Vz  » b‚ ~ uf‚Íë|lz ™ 2ª ~ xu­®Sz z€}rwNufÛCÑ |~}xCz€ÍwyxCz{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÌfÒ V ƒ}| ‚CJ? | Ñ z€}*{ zUwyxCÌEÍJ‡/ènxCzufÛµÌ\®Sz×C†yÌ ÌfґÌfÒ XEuf| wyÌ[uf‚͜ëƒC|‘|~}"{ ÌS†yzڐSzLÌS{ zUwy†y|~ufÑ ÌS‚CùwyxCzÁÑ | ‚CzÁÌfÒ/è©u\wyz }"UÌS‚rz€GwyƒC†yzS‡

pˆ

r+‰ Ž4w

Ï ‡"Ý"z€UzL‚awyÑ ÓS„XENxZ†Ewwz § ¡¾ b‚ ~ xuS}‘uf×C×CÑ | z€ÍwyxCz'UÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚ÚÌf.Ò XENxCÌ zL‚wyÌnw  |~}rwyz€Í }zLÑ ÒPm‰ ÛµzL†È×C†yÌEÍEƒGwN} xCzL†yz |~}ÚwyxCzœ‚u\wyƒE‰ †NufÑ/×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚™uf‚Í (Sπ |~}Èuï,‚Cpr) ÌS‚E‰¾wy׆y| ® |~uf(SÑ'ufƒEwyÌS,{ πÌS◦†y×Cpr) xC|~}{  ÌfÒ P pr| ‚awyzL†NNxuf‚CS| ‚C ‡œÐ'xCÌ Ìa}| ‚C uf×C×C†yÌS×C†y|~u\wyzLÑ ÓS„JxCz[ÌSÛEwNuf| ‚Cz€ÍvÒÃÌSƒC†Á{ ÌS†yz†y| S|~͙Ð*ufÑ~ufÛC| ê 0, 1, ∞ ë'ufƒ)wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}œÌ\®SzLπ† Q uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í–wy̖Uƒ}× ÒÃÌS†y{[}œÌfÒ  zL| Sxaw 4 uf‚Í)Ñ zL®SzLÑ uf‚Í ‡ ’|~}º{ zUwyxCÌEÍ;}xCÌSƒCÑ~Í  ÌS>† =”ÒÃÌS†ºÌfwyxCzL†ºS†yÌSƒC×}œÑ |~}rwyz€Í)| ‚ 10, 17, 21 ènxCzLÌS†yzL{ ŠE‡ ˆC‡ 73 œ ¦ ¥ >ª žî¦ † §© »  až ¾©¦‘§ F • ènxC|~}>{ zUwyxCÌEÍ xuS}ïÛµzLzL‚¢ÍEzL®SzLÑ ÌS×µz€Í$Û Ó Ð*uf‚ÍEzLÑ~uS}L„ÁÍEz™Ñ~u;ð}y}yu)uf‚˜ Í }| Ñ Ñ zLauS} z œ § †¡½¼€f„ b‚ ~ „\uf‚Í  ÌS>† =E}dÒÃÌS†‘ÌS‚CzU‰î×uf†Nuf{ zUwyzL†dÒ«uf{ | Ñ | z€}JÌfÒµÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÁUÌS{ ×CÑ zUwyz| ‚E‰ wyzL†N}z€Gwy| ÌS‚œwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L‡^ènxCzÚñ|~Luf†NÍaê DCƒNx}*ÍE| Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„uf‚͜wyxCzL| †{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜLuf‚ïÛµzÁz€}rwNufÛCÑ |~}xCz€ÍÄ}rwyƒÍEÓ | ‚C ×µzL†y| ÌEÍC}nÌfÒ©wyxCzÚÒ«uf{ | Ñ | z€}L‡ ¤U¥ ž  a(Ÿ ¡   §©ª« Ež  ¿¾‘ C¡S¦›^ª«  ¥  F • ènxC|~} { zUwyxCÌEÍ)xuS} ‚CÌfwœÓSzUw[×C†yÌEÍEƒUz€Í2†yz€}ƒCÑ wN}L‡   ÌSƒCÑ~Í2Ñ | =SzÄwy̙{ zL‚awy| ÌS‚–wyxC|~} uf×C×C†yÌauSNx>xCÌS×C| ‚Cœwyxu\wÁ}ÌS{ zLÌS‚Czù{ | Sxaw  ÌS>† =ÄÌS‚?| w€‡ÈènxCzï쾍†y| u wyxµíùFPO½YRUDGX[RNÉ\F«Z\½YR kEZSKN¼SãUF«Z\OœÌfÒ^uœÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒºwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í |~}ÍEKz ‚Cz€ÍºÛ Ó X Γ1 (6)

J 2 (X) =

P1

Γ1 (6)

1

H 1,2 (X) ⊕ H 0,3 (X) . H3 (X, Z)

Y‚>×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„E| Ò X |~}"†y| S|~ÍJ„ J (X) ' C/Z |~}‚CÌfwyxC| ‚C[ÛCƒEwu[UÌS{ ×CÑ zU£ºwyÌS†yƒ}Èì«uf‚ ufÛµzLÑ |~uf‚Ä®\uf†y| zUwrӜÌfÒ^ÍE| { zL‚}| ÌS‚ 1íG‡?z  | Ñ Ñ‘‚CÌ  {[u=SzÁu UÌS‚rz€GwyƒC†yzF áØDGF ÅfF«É»Z\T ZSãUFPäAµZ\B½ÃM DyRNR«¿U¼\T É>¼\À\RUD Q F~IùX[¼€É\BET Z\DùF ¿ J (X) F~I ÉSRÎOdRNÉï¼\À\RUD Q Z™ \OdÉMCRUOdKNRÈX[¼€É\BET Z\¯D š œ ð‚CzUÑ~uS}y}dÌfÒÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}dÒÃÌS† xC|~Nx z/{ | Sxaw‘Ûµz'ufÛCÑ z^wyÌ"SzUw‘†yzLÑ~u\wy| ÌS‚} ÛµzUw  zLzL‚º| ‚awyzL†y{ z€ÍE|~u\wyz ™auSUÌSÛC|~uf‚}'uf‚ÍÄÐ*ufÑ~uf ÛC| êaë'uf ƒ wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}*|~}wyxCzÚUÑ~uS}y}'Ìfґ†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒïwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ÌfÒnÐ*t wrÓ ×µzS‡ ?z}yu­Óºwyxu\wÚuœ†y| S|~Í?Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒïwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í |~}ȼr¿ e» Gm½ yøR*| Ò^uf‚ͺÌS‚CÑ Ó[| ÒwyxCzÁ| ‚awyzL†y{ z€ÍE|~u\wyz ™auSUÌSÛC|~uf‚ J (X) |~}nÌfÒÐ*t wrÓ ×µz X ì«uS}"uf‚ïufÛµzLÑ |~uf‚ï®\uf†y| zUwrÓ[ÌfÒ/ÍE| { zL‚}| ÌS‚ 1íG‡ ŠA‹ «‹•ŒgÊ-’ Æ4˜ –À n ì Áù: ‡ Áuf†yÑ z€}Èuf‚‰ Í „ȇ‘ëƒCs| z  ~ Jí j‘zUw Ûµzºuï†y| S|~͔Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~͙ÍEKz ‚Cz€Í Ì\®SzL†Èuï‚ ƒC{ùÛµzLJ† zLÑ~Í F ÌfÒ™ Ð*t%wrÓ ×µzSX‡>ènxCzL‚ wyxCzœ| ‚awyzL†y{ z€ÍE|~u\wyz ™auSUÌSÛC|~uf‚ |~}Úuf‚?zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz  | wyx™Ð*t Û Óvuf‚?| {[ufS| ‚uf†yŒÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ zLÑ~Í J (X) C „ f u  ‚ Ä Í  x S u " }  u

{ E Ì ÍEzLёÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† F ‡ K 2

2

2

2

2

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

p<‡

y{ h

îÒ χ |~}ul’z€W=SzÁNxuf†NuSGwyzL†nuS}y}ÌEU|~u\wyz€Í[wyÌ 2

wyxCzL‚

L(J (X), s) =

(

L(χ, s) L(χ, s)L(χ, ¯ s)

( L(χ3 , s) L(X, s) = L(χ3 , s)L(χ ¯3 , s)

„uf‚ÍÄ}ƒC×C×µÌa}zwyxu\w | Ò F ÍEÌ z€}"‚CÌfwUÌS‚awNuf| ‚ K | Ò F UÌS‚awNuf| ‚} K

J 2 (X)

| Ò F EÍ Ì z€}"‚CÌfwUÌS‚awNuf| ‚ | Ò F UÌS‚awNuf| ‚} K

K

Ð'ÌS‚}z'^aƒCzL‚awyÑ ÓS„ X |~}n{ ÌEÍEƒCÑ~uf†€‡ ª ’•¬«‹”­ÌÆ4˜ –4– n X xC| ÌEÍCuuf‚Í[Y‚CÌa}z‡z §‘¤®b® ~ }xCÌ z€Í wyxu\w*wyxCz|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{4UÑ~uS}y}z€} ÌfÒº}| ‚CSƒCÑ~uf† K3 }ƒC†Ò«uSUz€}v|~}?| ‚¢ÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚Cz”UÌS †y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz  | wyx wyxCz SL (Z)‰ z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uz>UÑ~uS}y}z€}Ìfҏ׵Ìa}| wy| ®Sz>ÍEKz ‚C| wyz>zL®SzL‚2ÛC| ‚uf†yӖ^aƒuSÍE†Nu\wy|~œÒÃÌS†y{[}L‡$Ð'ÌS‚}zU‰ ^aƒCzL‚awyÑ ÓvzL®SzL†yÓv}| ‚CSƒCÑ~uf† }ƒC†Ò«uSUz xuS}ÚuvÐ*tÛ Ó?uf‚?| {[ufS| ‚uf†yƒÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~: zLÑ~Í ìÃÌS†uf‚ï| {[ufS| ‚uf†yCÓ ^aƒuSÍE†NK3 u\wy|~ÌS†NÍEzL†GíG‡ènxC|~}"zU£Cuf{ ×CÑ zÁ{[u­ÓœÛµzÁ® | z  z€ÍïuS}"u SzL‚CzL†NufÑ ‰ | é€u\wy| ÌS‚ÄÌfÒwyxCzÁ†yz€}ƒCÑ w"Ìf0Ò X xCÌS|~ÍCu uf‚ͺY‚CÌa}zwyÌ †y| S|~ÍïÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}nÌfÒ'Ð*t wrÓ ×µzS‡/ènxCz†yz€}ƒCÑ w*ÌfeÒ X xC| ÌEÍCuuf‚Í[Y‚CÌa}zuf‚Í wyxC|~}*zU£Cuf{ ×CÑ z×C†yÌ\® |~ÍEzzL® |~ÍEzL‚UzwyÌÈwyxCz UÌS‚ rz€GwyƒC†yzÚÌfwÒ X xu\Ò«uf†yzL® |~Nxœwyxu\w Ù ®\uf†y| zUwrӖÌfÒÐ*t wrÓ ×µzv|~}ºÍEKz ‚Cz€Í)Ì\®SzL†ºu ‚ ƒC{ùÛµzLC† zLÑ~ÍJ„uf‚Í)| wN} ‰Y}zL†y| z€} |~} zU£E×C†yz€}y}z€Í uS}'uÁ×C†yÌEÍEƒGw*ÌfÒdwyxCz L‰Y}zL†y| z€}/ÌfÒJÌS‚CzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑNxuf†NuSGwyzL†N}/LuS}y}ÌEU|~u\wyz€Í wyÌwyxCz zLÑ~ÍÄÌfÒ/ÍEKz ‚C| wy| ÌS‚ïÌfÒwyxCzÁ®\uf†y| zUwrÓS‡ 2

} n–• ¾l ·¡”¦‘§©¨ †  EŸ\ªÃžŸ–¦bž

¥ ¦ ¥ — Ÿ\$ª ’µª«§ œ   †  E›^ª Ÿ2™  C¨)ž ¾(Ÿ  G Gžî¦ † §© ¦   aŸ Q „Ì z | Ñ Ñ uSÍCÍE†yz€}y}JwyxCz*{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓ:^aƒCz€}rwy| ÌS‚ÁÒÃÌS†©‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍùÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÚwyxC†yzLzU‰ ÒÃÌSÑ~ÍC}^ÍE‰zK ‚Cz€ ÍÁÌ\®SzL† Q ‡j‘zUw X Ûµznu‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍùÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÚwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍJ‡^ènxCzL‚ h 6= 0 }̜wyxu\w ‡ùÐ'ÌS‚}z'^aƒCzL‚awyÑ ÓS„wyxCz[ÚufÑ ÌS|~}†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚vuS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍïwyÌ xuS} ÍE| { zL‚}| ÌSB‚ >> 44„Juf‚Í>wyxCz{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wr\Ó ^aƒCz€}rwy| ÌS‚vÛµz€UÌS{ z€}| ‚U†yz€uS}| ‚CSÑ ÓÄ{ ÌS†yzXNxufÑ ‰ Ñ zL‚CS| ‚C„wyxCÌSƒCSx–wyxCz\juf‚CSÑ~uf‚ÍC}ñ†yÌSS†Nuf{ ×C†yz€ÍE|~GwN}wyxu\w wyxCzL†yz>}xCÌSƒCÑ~͖۵z>}ÌS{ z ufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~ÒÃÌS†y{>ì«}Ní*ÍEzUwyzL†y{ | ‚C| ‚C wyxCz L‰Y}zL†y| z€}nuf‚ͺéLzUwNu\‰¾ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}Lw‡ @×Äwy̜ÍCu\wyzS„ z"xu­®SzUÌS‚}rwy†yƒGwyz€ÍÌS‚CÑ ÓuÁxuf‚Í ÒÃCÑÌfÒJzU£Cuf{ ×CÑ z€}/ÌfÒd‚CÌS‚E‰î†y| S|~͜Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒùwyxC†yzLzU‰ Òà ÌSÑ~ÍC}"uf‚ÍÄxu­®Szz€}rwNufÛCÑ |~}xCz€ÍœwyxCzL| †{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓS‡ ènxCzL†yzÈuf†yzÁ}zL®SzL†NufÑJ{ zUwyxCÌEÍC}nwy̜z€}rwNufÛCÑ |~}xÄwyxCzÈ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜÌfÒ/‚CÌS‚E‰î†y| S|~Í>Ð*ufÑ~ufÛC| ê ë'ufƒÄwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}"ÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† Q ‡ t>zUwyxCÌEÍÄË F4? xCzL‚wyxCz ‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufэÚufÑ ÌS|~}^†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}×CÑ | wN}/| ‚awyÌÁuÁ}ƒC{ ÌfÒ 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufэÚufÑ ÌS|~}nB†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}L„Cuf×C×CÑ ÓœwyxCzÈ{ zUwyxCÌEÍ>ÍEzL®SzLÑ ÌS×µz€ÍºÒÃÌS††y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}*wyÌ wyxCz€}zچNuf.‚ = 2 { Ìfwy| ®Sz€}L‡ t>zUwyxCÌEÍ Ï F©Ð'ÌS‚}rwy†yƒGwX[¼€É\BET Z\Dd‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍÁÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}JÌ\®SzL† ì xC|~Nx uf†yzùwyxCz ‚CÌS‚E‰î†y| S|~Í?uf‚ufÑ ÌSSƒCz€}ÌfÒ*{ ÌEÍEƒCÑ~uf†Ú†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒvwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ÚÍEQ|~}yU ƒ}y}z€Í 2,1

3

3

pp

r+‰ Ž4w

| ‚ºènxCzLÌS†yzL{؊E‡ ˆÈuf‚͜ènxCzLÌS†yzL{؊E‡ Õ‡ íÈèÌùz€}rwNufÛCÑ |~}x wyxCz{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓÌfÒuÁS| ®SzL‚[‚CÌS‚E‰ †y| S|~ÍÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÚwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍJ„fUÌS‚}rwy†yƒGw^uf‚ùufÑ SzLÛC†Nuf|~UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz/wy̏u{ ÌEÍEƒCÑ~uf† ‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÁwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ͺì«è©u\wyz  }^UÌS‚ rz€GwyƒC†yz­íuS} XEuf| wyÌÚuf‚ÍÁëƒC4| z § ™  m ~ ÍE|~Í ÒÃÌS†"†y| S|~Í>Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}n| ‚>ènxCzLÌS†yzL{ ŠE‡ ŠE‡ ?z | Ñ Ñ©‚CÌ S| ®SzÁzU£Cuf{ ×CÑ z€}| Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wy| ‚CÄt>zUwyxCÌE͙Ëùuf‚Í>t>zUwyxCÌEÍ Ï c‡ DCÌS†{ ÌS†yz UÌS{ ×CÑ zU wyzÚÑ |~}rwÌf Ò^zU£Cuf{ ×CÑ z€}L„C}zLzëƒC| z ™ ¨©ª b‚ ~ ‡   ¡¬½ †  ”b¦ ž    ¥ Ä" G G¡   ¥   ¥ §  Ÿ„’µ C EŸ\§ z  Ä  |  ~ n j‘zUw Y ⊂ P Ûµz[wyxCz ® Ÿ‘v UÌS{ ×CÑ zUwyzÚ| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚ïÍEKz ‚Cz€ÍÄÛ Ó 7

Y02 = 2(X0 X1 + X2 X3 ) Y12 = 2(X0 X2 + X1 X3 ) Y22 = 2(X0 X3 + X1 X2 ) 2 3

nè xCz}| ‚CSƒCÑ~uf†Ñ ÌEUƒ}ÌfÒ Y UÌS‚Y}|~}rwN=}"Ìf2(X Ò 16 XÍEÌSƒC−ÛCÑXzù×µXÌS| ‚a)wN}uf‚Í 4 ×CÑ~uf‚CzùUÌS‚C|~L}| ‚awyzL†‰ }z€Gwy| ‚Cwy†Nuf‚}®SzL†N}yufÑ Ñ ÓS„ UÌS‚SƒC†yz€Íº| ‚ïu[}>^aƒuf†yzS‡ è©u =SzÚu†yz€}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ X ÌfÒ Y ‡ènxCzL‚ X |~}"uœÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í  | wyx Ì

0

1

2

3

h3,0 = 1, h2,1 = 1, h1,1 = 41.

„uf‚͖wyxCzL†yzv|~}ºu 4‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufяÚufÑ ÌS|~}[†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚)u\wwNuSNxCz€Í–wyÌ B = 4 ‡ ƒ j‘zUw ÚufÑ (Q/Q) ¯ ¯ Q )) ÛµzœwyxCzïÚufÑ ÌS|~}Á†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚‘‡\j‘zUw X √ ρ : → GL(H (X, f u  ‚ Ä Í Ñ U z w i = −1 X

3

3 et

`

[i] : (Y0 : Y1 : Y2 : Y3 : X0 : X1 : X2 : X3 ) 7→

Ûµz'uf‚ÁufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{;(YÌfÒ X: ‡YènxC: zLY‚ [i]: iY| ‚ÍE:ƒXUz€}:u*XÑ | ‚Cz€:ufX†Jwy†Nuf: ‚X}rÒÃÌS)†y{[u\wy| ÌS‚ÌS‚ H (X,¯ Q ) ‡ ènxC|~}‘}×CÑ | wN}JwyxCz 4‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑSÚufÑ ÌS|~}J†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚| ‚awyÌu"}ƒC{ ÌfÒaw  Ì 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ ÚufÑ ÌS|~}n†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}L‡ 0

2

1

3

2

3

0

1

3 et


‘D’“‹”’•Ãª‹˜ – n š HdMCR L WîILRUDGF«RGIÁF~IùR>+GødDyRGINILRNÉ[FPO?½YRUDGXùIȼr¿Á½ÃMCRAùRNKNQSRKNMCZ\DyZSKU½YRUD ™ Z

ψ

¼r¿

Q(i)

`

]

L(X, s) = L(ψ 3 , s)L(ψ, s − 1)

Z­IÄZÈ¿UZSKU½Y¼\DœFPO”½ÃMCR L WîILRUDGF«RGI L(Het3 (E¯ 3, Q`), s) ©MCRUDyR ™ ãš L(X, s)F~IùZ\¼€OKNKUBERUTPDNT Iœ F d ø ½¾F«K KUBEDGÀ\RÈÂ/FP½ÃM™»eGãK œ y 2 = 1 + x4 K™ ” š HdMCRUDyRœR>+SF~IG½«I[Z\O–Z\T ÅaR€ãUDyZ\F«KÄKN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉSRUZ[i] OdKNRºãNRU½¾Â'RNRUO X Z\OdÉ E 3 b"©M F«KNM É\BKNRGIÁ½ÃMCRÈF~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX¼r¿Ú½ÃMCRȽ¾Â'¼\Z\T ¼\F~IÈDyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\OCI œ Z µF«RîÅaRUT‘X[¼€É\BET Z\DÁ½ÃM DyRNR«¿U¼\T Éļ\À\RUD Q œ ™ É š X F~IÁDyRNZ\T F ǀRNɺZ­Il

E :

FPOW

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

p

y{ h

ª ’•¬«‹”­?ª‹˜W¨ n Ý"z€UzL‚awyÑ ÓS%„ ! 0‡ ’ƒCÑ ,z =”uf‚– Í ’È0‡ }/zL†y†y| Ñ kÑ z  „ ~ xu­®Szºz€}rwNufÛCÑ |~}xCz€Í wyxCz

{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӔÌfÒڂCÌS‚E‰î†y| S|~Í)Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ–wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC} Ì\®SzL† Q uf†y|~}| ‚C?ÒÆyÌS{wyxCzv†yÌ Ìfw Ñ~u\wwy|~Uz A ‡ÚY‚>wyxCzL| †ÚzU£Cuf{ ×CÑ zS„ B ‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ^ÚufÑ ÌS|~}†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}ufÑ~}̺}×CÑ | w | ‚awyÌ[}ƒC{[}"ÌfÒ 2‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑdÌS‚Cz€}L‡ „Ì z | Ñ Ñ'UÌS‚}rwy†yƒGwœX[¼€É\BET Z\D‚CÌS‚E‰î†y| S|~͙Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ?wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ÚÌ\®SzL† Q uS}   XENxCÌ zLÅ ‚ z § ¡ ¾  ¶b¶ ~ uf‚ˆÍ }/zL†y†y| Ñ gÑ z ™ ¨©ª b‚ ~ ÍE|~ͺÒÃÌS†nwyxCzÁ†y| S|~ÍÄLuS}zS‡  žî¦ŸÄž ¾l Å Ÿ‘v  ¡¬½ †   [b¦ ž © ª ‘¥ ±  ¥ § ¨©ª z © ~ n ènxCzù{ Ìfwy| ®\u\wy| ÌS‚ » ¦ž€ª   Ež€ª«¦ ¥ à ÒÃÌS†'wyxCz€}zzU£Cuf{ ×CÑ z€}nUÌS{ zÒÆyÌS{ÎuȆNu\wyxCzL†*ƒC‚CzU£E×µz€Gwyz€Íę }ÌSƒC†NUzS™ „a|¾‡ zS‡ „Euù×uf×µzL†*ÌfÒ X ƒC‚‘„ è©uf‚[uf‚Í ‡µƒC¼Ì z § •]Ä ~ | ‚  xC|~NxùwyxCzLÓUÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í[Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒùwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í f : X → P ÛµzL†yz€Í?Û Óv}zL{ | ‰Y}rwNufÛCÑ z }ƒC†Ò«uSUz€}L‡ j‘zUw Ûµz[Cu ‚C| wyzœ}zUwÚÌfÒ*×µÌS| ‚awN}ÚÌ\®SzL† x C|~Nx f |~}ڂCÌS‚E‰Y}{ Ì Ìfwyx‘K3 „uf‚Í?Ñ zUw ∆ ⊂ X SÛµz ⊂wyxCPz[×CƒCÑ Ñ ‰îÛuSW =>ÌfÒ S C‡ j‘zUw ω Ûµz wyxCzLuf‚CÌS‚C|~LufÑ}xCz€u\Òr‡^ènxCz !ÌEÍCuf| †Nu­.ê X ×µzL‚UzL†^{[uf×} θ uf‚Í θ uf†yzS„a†yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓS„ ÍEKz ‚Cz€ÍÄÛ Ó 4

3

1

1

X/P1

2,0

f∗ Ω2X/P1 (

 è

θ 2,0

∆) → R1 f∗ Ω1X/P1 (

 è

∆) ⊗ Ω1P1 (

 è

1,1

θ 1,1

S) → R2 f∗ (OX/P1 ) ⊗ Ω1P1 (

 è

S)⊗2 ,

uf‚͜wyxCzÁ| wyzL†Nu\wyz€ÍŒ!ÌEÍCuf| †Nu­ê.X ×µzL‚UzL†'{[uf×ï|~} θ θ ‡ ÙÑ~}ÌwyxCzL†yzÚ|~}nwyxCzÈÙ†Nu =SzLÑ Ì\®Sêaë'ufƒ wrÓ ×µzÁ| ‚Cz'^aƒufÑ | wrÓ[ÒÃÌS† X F ÍEzL f ω 6 ÍEzL Ω (Ñ ÌS S). X ƒC‚‘„µè©uf‚>uf‚ƒ Í ‡µƒC¿Ì z § •]Ä ~ UÌS‚}|~ÍEzL†yz€ÍÄu m‰ ÛµzL†yz€Í>Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒºwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ͺÒÃÌS† x C|~NxvwyxCz Ù†Nu =SzLÑ Ì\®Sêaë'ufƒï| ‚C'z ^aƒufÑ | wrÓï†yz€uSNxCz€K3 }"wyxCzƒC×C×µzL†ÚÛµÌSƒC‚Í?uf‚ÍvÛµz€UÌS{ z€}uf‚ z'^aƒufÑ | wrÓS‡^Y‚ïLuS}zÌfÒ©‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍÄÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒœwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„Eu}rwy†yÌS‚CSzL†*'z ^aƒufÑ | wrÓ[xCÌSÑ~ÍC}L‡ ( ÍEzL Ñ ÌS | Ò X |~}"†y| S|~Í E Í L z  2= f ω = ÍEzLِ ( Ñ ÌSS) | Ò |~}"‚CÌS‚E‰î†y| S|~Í 1,1 2,0

1 P1

∗ X/P1

∗ X/P1

1 P1

1 2

Ω1P1 (

S)

X

mì X ƒC‚‘„Úè©uf‚$uf‚˜ Í ‡µƒCÌ z § •]Ä ~ \í 9RU½ ãNR™Z$»Z\T ZSãUFPä µA Z\B$½ÃM DyRNR«¿U¼\T Ɍ*ãNRUDyRNÉ)ãK2Od¼\OWKN¼\OCIG½YZ\O½ILRUXFPWîIG½YZSãUT R fK3: XIGBE→DÿUZSKNPRGIWbºDyRNZSKNM FPO Å)½ÃMCR áDyZ€QSRUT ¼\À€äAµZ\B?ãN¼\BEOdÉ œ Z šPšÃ¿"½ÃMCRFP½YRUDyZ\½YRN[ É Å ¼€ÉSZ\FPDyZ\ä føRUOdKNRUDX[ZyøvF~IOd¼\OW¾Ç€RUDy¼Çb©½ÃMCRUO MCZ­IZ\½^T RNZ­IG½E¿U¼\BED IGFPO Åf™ BET Z\D *ãNRUDNI œ šÃ¿ f MCZ­Iï>R + ZSKU½¾T ¿U¼\BEDœIGFPO ÅfBET Z\D *ãNRUDNIWbÚ½ÃMCRUO Xf F~IºDGF ÅfF«ÉÇb Z\OdÉ?F~I ãUFPDyZ\½¾F«¼\OdZ\T½Y¼”¼\OdR¼r¿ï½ÃMCR>IGF +”DGF ÅfF«É;»Z\T ZSãUFPäAµZ\B$½ÃM DyRNR«¿U¼\T É­I>FPOØHdMCRN¼\DyRUXÆ· œº¹ Z\OdÉ HdMCRN¼\DyRU X · 㙠š¨šÃ¿Ú½ÃMCœ RùÇ´œ FP½YRUDyZ\½YRN¨É Å ¼€ÉSZ\FPDyZ\ä føRUOdKNRUDùX[Zyø™F~IÇ€RUDyǼ b'½ÃMCRUO f MCZ­IZ\½*T RNZ­IG½'IGF +œIGFPOW  ÅfBET Z\MD *ãNRUDNI œ šÃ¿ f MCZ­I>R + ZSKU½¾T ÚIGF +ÈIGFPO ÅfBET Z\MD *ãNRUDNWI b½ÃMCRUO X F~I"Od¼\OWYDGF ÅfF«ÇÉ b©½ÃMCR*ÅaRUOdRUDyZ\T *ãNRUDNIMCZ\À\0 R ¢*F«KNZ\DyɺOBEX[ãNRUDÈZ\½nT RNZ­IG½ 18 b*Z\OdÉ P \ S ' H/Γ ¿U¼\DÈIL¼\X[RÈIGBãîÅfDy¼\B€ø”¼r¿ ¼r¿ÚFPOdÉS>R + 24 œ P SL (Z)


‘D’“‹”’•Ãª‹˜² n

1

1

2

p¢

r+‰ Ž4w

ª ’•¬«‹”­?ª‹˜¤ n ènxCzvwyxC†yzLz?ufƒEwyxCÌS†N}œƒ}z€Í)wyxCzvwyzL†y{ | ‚CÌSÑ ÌSSÓ|€r{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓ‚>| ‚ wyxCz wy| wyÑ zÁÌfÒ©wyxCzL| †"×uf×µzL†nwyÌ[†yzUÒÃzL†nwyÌwyxCzÚÒ«uSGw"wyxu\w P \ S |~}u{ ÌEÍEƒCÑ~uf†"®\uf†y| zUwrÓS‡ DCÌS†*wyxCzÁ†y| S|~ÍÄLuS}z[ì«uaíG„ zÚxu­®SzÚz€}rwNufÛCÑ |~}xCz€ÍœwyxCzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜ| ‚ïÌSƒC†}zL‚}zS„E|¾‡ zS‡ „ ÒÃÌS†*wyxCz L‰Y}zL†y| z€}L4‡ ?zÈuf†yz| ‚ }×C| †yz€Í[wyÌ[UÌS‚}|~ÍEzL†*wyxCzÚ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrÓ[ÌfÒwyxCz L‰Y}zL†y| z€}ÒÃÌS† wyxCzÁ‚CÌS‚E‰î†y| S|~ͺLuS}z[ìÃÛµíG‡   ¡¬½ †   Äb¦ ž © ª ‘¥ ±”  ¥ § ¨©ª z © ~ n j‘| ® ‚CÔ uf‚ÍvëƒCf| z © ~ xu­®SzUÌS‚}rwy†yƒGwyz€Í ® Ÿ‘v }zL®SzL†NufÑzU£Cuf{ ×CÑ z€}ÈÌfÒ‚CÌS‚E‰î†y| S™|~͔Ð*ufÑ~uf™ ÛC| êaë'ufƒ wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}  xC|~N™ x–}yu\wy|~}rÒÃÓ?wyxCzÄUÌS‚ÍE| ‰ wy| ÌS‚}ÌfÒ*ènxCzLÌS†yzL{ ÜC‡ Ï ìÃÛµíG‡[ðƒC†|~ÍEz€uºÌfÒ'×C†yÌEÍEƒU| ‚CÄ}ƒNx?zU£Cuf{ ×CÑ z€}|~}ÚuS}ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }L‡ j‘zUw Ûµzºuf‚™zLÑ Ñ | ×Ewy|~œUƒC†y®Szœuf‚Í Ñ zUw ÛµzÄu>}| ‚CSƒCÑ~uf† }ƒC†Ò«uSUzS„ÛµÌfwyx”ÍEKz ‚Cz€Í Ì\®SzL† EQ e‡ ?Az = ‚CÌ  wyxu\w'ÛµÌfwyx E uf‚Í YY uf†yzn{ ÌEÍEƒCÑ~uf†Û ÓÈK3 wyxCzÍE|~}yUƒ}y}| ÌS‚}^| H‚ X z€Gwy| ÌS‚ ˆùuf‚ˆÍ X z€Gwy| ÌS‚œÕ„ †yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓSe‡ ?zÁUÌS‚}|~ÍEzL†wyxCz×C†yÌEÍEƒGw Y × E „ wyxCÌSƒCSxœ| wn|~}*‚CÌfw Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ‘‡ÄîÒ zœNxCÌ Ìa}z uf×C×C†yÌS×C†y|~u\wyzLÑ ÓS„JwyxCzL‚™wyxCzL†yz[|~}ùuf‚”uSGwy| ÌS‚ ÌfÒ ÌS‚ wyxCz×C†yÌEÍEƒGw€‡/è©u =S z"wyxCz ^aƒCÌfwyY| zL‚aw Y × E/ ± 1 uf‚Í[Ñ zUw X Ûµz| wN}*}{ Ì Ìfwyxœ†yz€}ÌSѱ1 ƒEwy| ÌS‚‘‡ ènxCzL‚  z  | Ñ Ñ'}xCÌ  wyxu\w X |~}ÈuĂCÌS‚E‰î†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ?wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~Í}yu\wy|~}rÒÃÓ | ‚CÄwyxCz UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}nÌfÒ/ènxCzLÌS†yzL{ÎÜC‡ Ï ìÃÛµíG‡ ?z‚CÌ NxCÌ Ìa}znÒÃÌS† Y uÁ}×µz€U|~ufÑCwrÓ ×µzÌfÒ K3 }ƒC†Ò«uSUz€}L„S‚uf{ zLÑ ÓS„SzLÑ Ñ | ×Ewy|~"{ ÌEÍEƒCÑ~uf†   } C ƒ  † « Ò S u U  € z L } ‡ènxCznUÌS‚UzL×Ew©ÌfÒCzLÑ Ñ | ×Ewy|~{ ÌEÍEƒCÑ~uf†^}ƒC†Ò«uSUz€}  uS}‘| ‚awy†yÌEÍEƒUz€ÍÁÛ JÓ X xC| ÌEÍCu K3¾©ª ~ z § ® › „uf‚Í  z  | Ñ ÑJÒÃÌSÑ Ñ Ì  xC|~}"zU£E×µÌa}| wy| ÌS‚‘‡ £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥ª‹˜Æ n j‘zUw ⊂ P SL (Z) ÛµzºuĐSzL‚ ƒ}ÚéLzL†yÌ„JwyÌS†N}| ÌS‚E‰¾ÒÆyzLz UÌS‚CS†yƒCzL‚Uz }ƒCÛCS†yÌSƒCהÌfÒ| ‚ÍEzU£ µ <Γ¯ ∞ ‡”ènxCzL‚ Γ¯ Luf‚”ÛµzïÑ | ÒPwyz€Í™wyÌ uUÌS‚CS†yƒCzL‚Uzº}ƒCÛCS†yÌSƒC× f Ì Ò M ‚C| wyz| ‚ÍEzU£ | wyxœwyxCz×C†yÌS×µzL†wrÓùwyxu\w xuS}‚CÌzLÑ Ñ | ×Ewy|~zLÑ zL{ zL‚awN}'ÌfÒ Γ ⊂ SL (Z) wy†Nuf‚Uz −2 :‡ j‘zUw C := (H/Γ) ÛµzùwyxCz[UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CÐ[{ ÌEÍEƒCÑ~uf†ÚUƒC†y®SzS‡ùÐ'ÌS‚}|~ÍEzL† wyxCzÈufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ØÌfÒ H × C ÍEKz ‚Cz€ÍÄÛ Ó 1

2

2

∗

Γ

(τ, z) 7→ (

aτ + b z + mτ + n , ) cτ + d cτ + d

Cx zL†yz a b ∈ Γ „ τ ∈ H, z ∈ C uf‚Í (m, n) ∈ Z ‡>ènxCzH^aƒCÌfwy| zL‚awÈÌfÒ H × C Û Ó[wyxC|~}"uScGwy| ÌSd‚ÄÍEzK‚Cz€}"u}ƒC†Ò«uSUzz'^aƒC| ×C×µz€Í  | wyx>uù{ ÌS†y×CxC|~}{4wyÌ C ‡/ènxCzڐSzL‚CzL†NufÑ ÛµzL†ÁÒÃÌS† |~}Áuf‚ zLÑ Ñ | ×Ewy|~[UƒC†y®Sz UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CºwyÌÄwyxCz[Ñ~u\wwy|~Uz ‡ ènxC|~}|~}[LτufÑ Ñ ∈z€Í–Huf‚ RUTPT F ød½¾F«KvX[¼€É\BET Z\DÄIGEBEDÿUZSKNR uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í wyÌ Γ „*uf‚͔| wN} SzLZÌS{ +zUτwy†yZ|~ SzL‚ ƒ}n|~}nS| ®SzL‚ÄÛ Ó p = − 1 ‡ ?zÚuf†yz| ‚awyzL†yz€}rwyz€Íœ| ‚Ä}zL{ | ‰Y}rwNufÛCÑ zzLÑ Ñ | ×Ewy|~{ ÌEÍEƒCÑ~uf† }ƒC†Ò«uSUz€} | wyxº{[u\£E| {[ufÑ ñ|~Luf†N͙‚ ƒC{ùÛµzL† 20 „©wyxu\w|~}L„}| ‚CSƒCÑ~uf†ÄìÃzU£ wy†yzL{[ufÑPí K3K3}ƒC†Ò«uSUz€}L„/uf‚ ͔}zL{ | ‰Y}rwNufÛCÑ z { z€uf‚}*wyxu\wuf‚ÄzLÑ Ñ | ×Ewy|~ ÛC†Nu\wy| ÌS‚ÄxuS}nÌS‚CÑ Óº}| ‚CSƒCÑ~ufi† ÛµzL†N}nÌfÒwrÓ ×µz I , n > 0 ‡ 2



Γ

Γ,τ

g


‘D’“‹”’•Ãª‹˜ª n

µ 12

n

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

p¸

y{ h

Z švmì X zLÛCÛufà † z §  a›  m ~ í HdMCRUDyRïZ\DyRœOFPOdR[ILRUXFPWîIG½YZSãUT RïRUTPT F ød½¾F«KÄX[¼€É\BET Z\D IGBEDGW ¿UZSKNRG™ InÂ/FP½ÃM0¢*F«KNZ\DyÉÚOBEX[ãNRUD 20 œ HdMCRKùKN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉÚ½Y¼½ÃMCRKN¼\O ÅfDGBRUOdKNRnT F ¿N½«In½Y¼ K3 ¼r¿ÁÅaRUOB IÈǀRUDyǼ b"½Y¼\DNIGF«¼\OW ¿NDyRNRºKN¼\O ÅfDGBRUOdKNRIGBãîÅfDy¼\B€øµI ¼r¿ P SL (Z) ¼r¿FPOdÉSR>+ SL Z\(Z) OdÉ 24 U K B ¾ I µ ø Á I /  P F à ½ v M U K B ¾ I ø /  « F \ É Ã ½ a M  I S Z S É \ É P F O º Å € B ø Y ½ ¼ 6 24 œ 2

2

FPOdÉSR>+ ÁÈ BEX[ãNRUDȼr¿ùKUB I¾øµI 12

4

24

6

nDy¼\B€ø 

»^B I¾ø Â/F«É\½ÃMaI

Γ(3) 3, 3, 3, 3 Γ0 (4) ∩ Γ(2) 4, 4, 2, 2 Γ1 (5) 5, 5, 1, 1 Γ0 (6) 6, 3, 2, 1 Γ0 (8) 8.2.1.1 Γ0 (9) 9, 1, 1, 1 Γ(4) 4, 4, 4, 4, 4, 4 Γ0 (3) ∩ Γ(2) 6, 6, 6, 2, 2, 2 Γ1 (7) 7, 7, 7, 1, 1, 1 Γ1 (8) 8, 8, 4, 2, 1, 1 Γ0 (8) ∩ Γ(2) 8, 8, 2, 2, 2, 2 Γ(8; 4, 1, 2) 8, 4, 4, 4, 2, 2 Γ0 (12) 12, 4, 3, 3, 1, 1 Γ0 (16) 16, 4, 1, 1, 1, 1 Γ(16; 16, 2, 2) 16, 2, 2, 2, 1, 1

É

#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #9

ùRUDyR 

Z\OdÉ

  1 + 4a 2b Γ(8; 4, 1, 2) := {± , a ≡ c (mod 2)} 4c 1 + 4d Γ(16; 16, 2, 2) := {±

  1 + 4a b , a ≡ c (mod 2)}. 8c 1 + 4d Mz • ™ ~ ¨š

㠚>Îì j‘| ® ‚CԜuf‚Í?ëƒC|Mz © ~ „©èÌSיuf‚Í?ëƒC| í GO2RNZSKNM”¼r¿[½ÃMCRœOFPOdR IGFPO ÅfBET Z\D UR TPT F ød™ ½¾F«K X[¼€É\BET Z\D K3 IGBEDÿUZS™ KNRGIWbn½ÃMCRUDyRF~I Z\O™R>+GødT F«KUFP½ÉSRÎOFPO Å>R
BZ\½¾F«¼\O™¼\À\RUD Q ¿U¼\D FP½ œ K šºÎì j‘| ® ‚Cƒ Ô z © ª  |  ~ í>HdMCROFPOdRùIGFPO ÅfBET Z\D RUTPT F ød½¾F«K X[¼€É\BET Z\D IGBEDÿUZSKNRGI ¼\À\RUD Q Z\DyR™ Z\TPTX[¼€É\BET Z\D œ‡™ »E¿ œ HdMCRN¼\DyRUX Ç´œ ² Z\OdÉHdMCRN¼\DyRUX Ç´œº¹œ š K3 ª ’•¬«‹”­?ª‹˜¶ n

ËS‡"ènxCz*Uƒ}×}^UÌS†y†yz€}×µÌS‚͏wyÌÚ}| ‚CSƒCÑ~uf†y| wy| z€}‘ÌfÒCwrÓ ×µz I „Suf‚ÍÈUƒ}×  |~Í wyx}^UÌS| ‚U|~ÍEz | wyxï{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~U| wy| z€}"ÌfÒ^}| ‚CSƒCÑ~ufi† ÛµzL†N}L‡  n

p!À

r+‰ Ž4w

Ï ‡"ènxCzS†yÌSƒC×}^ÌfÒJ| ‚ÍEzU£ 12 | ‚ wyxCzè©ufÛCÑ zUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍÈwyÌȆNu\wy| ÌS‚ufÑEzLÑ Ñ | ×Ewy|~{ ÌEÍEƒE‰ Ñ~uf†"}ƒC†Ò«uSUz€}L‡^ènxCz€}zÚ}| £ºS†yÌSƒC×}  zL†yz_†N}rw*ÒÃÌSƒC‚ÍºÛ Óº…*z€ufƒC® | Ñ Ñ z°z Á     ¶ › ~ uf‚Í ufÑ~}ÌÛ Ó XENxCÌ zL"‚ z § ¡ ¾ ¶b¶ ~ „auf‚ÍÈwyxCzL‚ †yz€ÍE|~}yUÌ\®SzL†yz€ÍÁÛ ÓX zLÛCÛuf†´z §  a›  m ~ ‡^ènxCz€}z S†yÌSƒC×}'uf†yzufÑ~}ÌÍE|~}yUƒ}y}z€Í[| ‚ïènxCzLÌS†yzL{ΊE‡ ˆ  xCzL†yzwyxCzÚ}zLÑ ÒPm‰ ÛµzL†n×C†yÌEÍEƒGwN}*ÌfÒ wyxCz€}z*}ƒC†Ò«uSUz€}‘au­®Sz/†y|~}z/wy̏}| £Á{ ÌEÍEƒCÑ~uf†©†y| S|~ÍùÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÚwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ÍEzK‚Cz€Í Ì\®SzL† Q ì«GÒr‡ènxCzLÌS†yzL{ ŠE‡ Õ íG‡ „Ì z  | Ñ Ñ}rwNu\wyzwyxCzÁ{[uf| ‚Ćyz€}ƒCÑ wN}nÌf0Ò j‘| ® ‚CzLÔÁuf‚ͺëƒC| z © ™ ~ ‡   IGBEDÿUZSKNRGI[FPO 
‘D’“‹”’•Ãª‹˜S» n 9RU½ ãNRļ\OdRº¼r¿ ½ÃMCR[IGFPO ÅfBET Z\DºRUTPT F ød½¾F«KºX[¼€É\BET Z\D ½ÃMCR™HZSãUT R œ 9RU½ T (Y )Y ãNRº½ÃMCRº½¾DyZ\OCILKNRUOdÉSRUO½YZ\TT Z\½¾½¾F«KNRï¼r¿ Y œ 9RU½ EK3ãNRïZ\O RUTPT F ød½¾F«K KUBEDGÀ\R »¼\OCIGF«ÉSRUD½ÃMCR/ødDy¼€É\BKU½ ] RÀ€F«RU–½ÃM F~I^ødDy¼€É\BKU½/Z­IZ'¿UZ\XFPT  ¼r¿ZSãNRUT F«Z\O IGBEDÿUZSKNœ RGI¼\À\RUDù½ÃMCRãNZ­ILRùX[¼€É\BET YZ\D ×KUEBEDGœ À\R C œ HdMCR *ãNRUD A = A ¼\À\RUD RNZSKNMø¼\FPO½ F~IÁ½ÃMCRnødDy¼€É\BKU½n¼r¿Á½ÃMC%R *ãNRUD E Â/FP½ÃM E œ t∈C R ù¼€ÉLÅaRùOBEX[ãNRUDNI ™ Z šHdMCRnødDy¼€É\BKU½ Y × E MCZ­IÁ½ÃMCP Z\OdÉ B (Y × E) = 44, h (Y × E) = 1, h (Y × E) = 1 = h (Y × E) IL¼[½ÃMCZ\½ Y × E F~IÁOd¼\½nZ>»Z\T ZSãUFPäAµZ\B?½ÃM DyRNR«¿U¼\T É œ 㠚>HdMCRÚX[¼\½¾FPÀ\R F~IÚZùIGBãUX[¼\½¾FPÀ\RÁ¼r¿ šÃ¿ X[¼\½¾FPÀ\RÈF~IÁX[¼€É\BET Z\WD bFPO?H½ÃMCRÁ(YILRU×OCILE)RȽÜ MCZ\½ ãN¼\½ÃM™ Y Z\OdÉ E Z\DyRTÉSÎR (YOd×RNɺE)¼\À\=RUD TQ(Yb/½Ã)M ×F~IÁHIGBãU(E) FP½«I L WîILRUDGF«RGIÚF~IùZ­INIL¼€KUF«Z\½YRNɜ½Y¼ºKUB I¾ø[¿U¼\DGXùIù¼r¿ÁÂ'RUF Å­M ½ 3 Z\OdÉ 2 œ HdMCZ\½nF~WI b Γ

Γ

t

Γ,t

Γ,t

0,3

1,0

2,0

3

1

3

©Â MCRUDyR F~IÁZùÂ'RUF Å­M ½ KUB I¾øù¿U¼\DGX Z­INIL¼€KUF«Z\½YRNɽY¼ T (Y ) Z\OdÉ g F~IÚZùÂ'RUF Å­M ½ 2 KUB I¾ø ¿U¼\DGX Z­gINIL¼€KUF«Z\½YRNɺ½Y¼ E œ3 „Ì wNu =SzùwyxCCz ^aƒCÌfwy| zL‚aw Y × E/ ± 1 „  xCzL†yz  z[ÍE| ® |~ÍEz z€uSNx8ÛµzL† A ÌfÒ Y ×  Û Ó uf‚͖wyxCzL‚ ÛCÑ Ì ƒC×)wyxCz>Ñ ÌEUƒ}[ÌfÒÚ×µÌS| ‚awN}[ÌfÒÚÌS†NÍEzL† ìÃ|¾‡ zS‡ „u|!ڃC{ { zL† E UÌS‚}rwy†yƒ±1Gwy| ÌS‚µíG0‡ j‘zUw X ÍEzL ‚CÌfwyzÁu }{ Ì Ìfwyxï†yz€}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ºÌfÒ Y × E/2± 1 ‡ ¼r¿FPOdÉS>R + FPOv½ÃMCRºHZSãUT Rb½ÃMCR 
‘D’“‹”’•Ãª‹˜!¼ n Q¼\DÈZ\TPTÅfDy¼\B€øµI >R + KNRîød½µ¿U¼\D DyRGIL¼\T BE½¾F«¼\O X F~IvZIGX[¼€¼\½ÃM »Z\T ZSΓãUFPäAµZ\B ½ÃM DyRNR«Γ¿U¼\T (7) É bœZ\OdÉ ½ÃMCRÁ¿U24¼\TPT ¼\Â/FPO Å)Z­INILRUDG½¾F«¼\OCI Ç MC¼\T É¿U¼\D X š X Od¼\OWYDGF ÅfF«É œ ™ Z㠚? O *ãUDyZ\½¾F«¼\O f : X → C F~IÚILRUXFPWîIG½YZSãUT R b'Â/FP½ÃMïÀ\Z\OF~IyM FPO Å ™ FP½YRUDyZ\½YRNÉ š ™ HdMCRÚÅfFPÀ\RU Å ¼€ÉSZ\FPDyZ\ä føRUOdKNRUDÈX[Zyø œ ™ K š?HdMCRÁáDyZ€QSRUT ¼\À€äAµZ\B?R
BZ\T FPm½  MC¼\T É­I'¿U¼\D X b½ÃMCZ\½*F~WI bÂ'RÚMCZ\À\R ÉSRîÅ f ω = 2 = 1 ÉSRîÅ Ω (log S) ©MCRUDyR S ⊂ P F~IȽÃMCwR OFP½YRÁILRU½n¼r¿ÚIGF +Úø¼\FPO½«2IùZSãN¼\À\Rù©M F«KNM f F~IÁOd¼\OWîIGX[¼€¼\½ÃM œ ™ É š X F~IÁX[¼€É\BET Z\D œ L(T (Y × E), s) = L(gY ⊗ gE , s)

Y

E

t

1

Γ

∗ X/P1

1

1 P1

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

pÍ

y{ h

ª ’•¬«‹”­?ª‹˜ –À n

ËS‡i?z ‚CÌfwyz?wyxu\w>| ‚ P SL (R) „wyxCz S†yÌSƒC×} Γ ÌfÒ| ‚ÍEzU£ 24 Luf‚ Ûµz ÍE| ® |~ÍEz€Í | ‚awyÌÒÃÌSƒC†UÌS‚rƒCauSUӜUÑ~uS}y}z€},F {#1, #5, #8} „ {#2, #7} „ {#4, #6, #9} „Euf‚Í ‡ ènxCz'S†yÌSƒC×} #1, #2, #5 uf‚Í #6 uf†yz'ufÑ Ñ }ƒCÛCS†yÌSƒC×}‘ÌfÒ Γ(2) ‡©ènxC|~}Sƒuf†Nuf‚awyzLz€} Ï ‡"{#3} wyxu\wwyxCz 2‰¾wyÌS†N}| ÌS‚ï×µÌS| ‚awN}ÌfÒ/wyxCz ÛµzL† A uf†yzÍE|~}rwy| ‚GwÒÃÌS†ÚufÑ Ñ t ∈ X „‘uf‚Í | w*ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }wyxu\wnwyxCzÑ ÌEUƒ}*ÌfÒ 2‰¾wyÌS†N}| ÌS‚œ×µÌS| ‚awN}*|~}n}{ Ì ÌfwyxÄuf‚͜xCzL‚UzÚ}Ìù|~}'wyxCz ÛCÑ Ì ƒC× ‡…*ÓïwyxCzœufÛµÌ\®Szù†yzL{[uf>† =d„µwyxC|~}ÁxCÌSÑ~ÍC}wy†yƒCzÒÃÌS†ÁufÑ Ñ^S†yÌSƒC×}zU£CUzL×Ew ÒÃÌS†  #3 =XΓ (7) ‡ÙÑ~}Ì[‚CÌfwy|~UzÚwyxu\wufÑ Ñ‘}| ‚CSƒCÑ~ufi† ÛµzL†N}"uf†yzÚÌfÒ©wrÓ ×µz I , n > 1 | wyx zL®SzL‚ºÒÃÌS†nwyxCz€}zÁS†yÌSƒC×}*zU£CUzL×Ew"ÒÃÌS† Γ (7) ‡ ˆC‡"ènxCz Sn†yÌSƒC× Γ (7) |~}ڂCÌfwùuÄ}ƒCÛCS†yÌSƒC×ÌfÒ Γ(2) uf‚Í?wyxCz ‰¾wyÌS†N}| ÌS‚?×µÌS| ‚awN}Ú| ‚E‰ wy†yÌEÍEƒUz>}| ‚CSƒCÑ~uf†y| wy| z€}Lž ‡ ! w‡ ’ƒCÑ ,z =2}rwyƒÍE| z€Í2wyxCz€}z>}| ‚CSƒC2Ñ~uf†y| wy| z€}L‡;Ù }{ Ì Ìfwyx †yz€}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚?|~}Á‚CÌ>Ñ ÌS‚CSzL†Áu?Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒvwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍJH‡ ’Ì  zL®SzL†€„J| wN} L‰Y}zL†y| z€}|~} { ÌEÍEƒCÑ~uf†€„µ| ‚ÍEzLz€Ív| wÚ|~}uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍÄwyÌÄuœ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†ÒÃÌS†y{ ÌfÒ  zL| Sxaw 3 uf‚Í>w  Ì = | ‚ÍC}nÌfÒ^{ ÌEÍEƒCÑ~uf†nÒÃÌS†y{[}nÌfÒ zL| Sxaw 2 ‡  2

t

Γ

1

n

1

1

¥ Ê Ÿ\¦› †  G¡” ? „iX xC| {ùƒC†NuUÌS‚}rwy†yƒGwyz€Í2u?{[ufזÒÆyÌS{ Ë ”“2ÌÊ-’•Ã¶‹˜ – n DCÌS† zLÑ Ñ | ×Ewy|~ïUƒC†y®Sz€}Ì\®SzL† wyxCzï}zUwÌfÒ’z€W=SzœzL| SzL‚EÒÃÌS†y{[}ùÌfÒ  zL| Sxaw 2Q | wyx–†Nu\wy| ÌS‚ufсDCÌSƒC†y| zL†UÌ zKuœU| zL‚awN}ùÌS‚ wyÌÚwyxCz|~}ÌSSzL‚ ÓùUÑ~uS}y}z€}/ÌfÒJzLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz€}/Ì\®SzL† ‡e? xu\w? | Ñ z€}zUw*ufѾ‡©z€}rwNufÛE‰ Γ (N ) Ñ |~}xCz€ÍÁ|~}wyxu\wwyxC|~}0X xC| {ùƒC†Nu{[uf×È|~}ÌS‚awyÌ„€wyxCzL†yzLÛ ÓÚ×C†yÌ\Q® | ‚C"wyxCAz X xC| {ùƒC†Nu­êEè©uf‚C| Óauf{[u UÌS‚rz€GwyƒC†yzS‡ DCÌS†"†y| S|~ÍïÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒºwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}nÌ\®SzL† „Cu‚u\wyƒC†NufMÑ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚Ä|~,} F Q ]œM F«KNF M ùRNKNQSRœRUF ÅaRUO€¿U¼\DGXùI[¼r¿Â'RUF Å­M ½ 4 ¼\O Γ (N ) KN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉĽY¼ºDGF ÅfF«É »Z\T ZSãUFPä AµZ\Bï½ÃM DyRNR«¿U¼\T É­I¼\À\RUD Q › ‡ Y‚ºÒ«uSGw€„ wyxC|~i} ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ÄxuS}*ÛµzLzL‚ĆNuf|~}z€Í[Û Óœ}zL®SzL†Nufѵ׵zLÌS×CÑ zS„EzS‡ ‡ „E…‡CtvuféLƒC†€„ -ù‡E®\uf‚ Xawy†Nu\wyzL‚‘„C…‡C®\uf‚>zLzL{ zL‚‘ „ ! .‡ ’ƒCÑ ,z =d‡ Ë ”“2ÌÊ-’•Ã¶‹˜W¨ n YN ‚ ;/£Cuf{ ×CÑ z€}ùÌf_Ò j‘| ® ‚CÔïuf‚Í ëƒCk| z © ~ „'}| ‚CSƒCÑ~uf† }ƒC†Ò«uSUz€} {[u­ÓvÛµz †yzL×CÑ~uSUz€Í?Û Ó K3 }ƒC†Ò«uSUz€}  | wyx }{[ufÑ Ñ zL†Áñ|~L™ uf†NÍ?‚ ƒC{ùÛµzL†N}L„K3}yu­ÓS„ 19 ÌS† 18Y‡ Y‚ïwyxC|~}LuS}zS„EwyxCzÈ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†y| wrӜÒÃÌS†"wyxCzÈ×C†yÌEÍEƒGw Y × E |~}}rwy| Ñ ÑÌS×µzL‚‘‡'îÒ^wyxCzÈñ|~Luf†NÍ ‚ ƒC{ùÛµzL†|~} „ Hz = ‚CÌ wyxu\wwyxCzº†Nuf.‚ = { Ìfwy| ®Sz ) |~}}zLÑ ÒP‰YÍEƒufÑ*ÌS†wyxCÌSSÌS‚ufÑ ® |~uïwyxCzºUƒCה19×C†yÌE ÍEƒGw€‡> …*Ó?wyxCzº}rwy†yƒGwyƒC†yz[3wyxCzLÌS†yzL{TÒÃÌS(Y† K3 }ƒC†Ò«uSUz€} | wyx”ñ|~Luf†NÍ ‚ ƒC{ùÛµzL† 19 ÍEz€}yU†y| Ûµz€Í[| ‚ÄÝ"zL{[uf>† = Õ‡ Ï „SwyxCzL†yz}xCÌSƒCÑ~Í[ÛµzÚuUƒ}×[ÒÃÌS†y{ h ÌfÒ  zL| Sxaw 2 ÌS‚ GL(2) }ƒNxœwyxu\w*wyxCzÁ}Ó { { zUwy†y|~>} ^aƒuf†yz X Ó { { h }xCÌSƒCÑ~͜†yz€ufÑ | éLz T (Y ) ‡ènxCzL‚ {[u­ÓÛµz†yz€ufÑ | éLz€ÍÛ Ó uf‚œufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~nÒÃÌS†y{ ÌS‚ GL(6, Q) ‡^Y‚[×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ T (Y × E) X Ó { { xuS}*wyxCzÁzU£E×µz€Gwyz€Íïuf‚ufÑ Óawy|~×C†yÌS×µzL†wy| z€}L‡ L( h ⊗ g , s) ® n

½

½$ 

0

0

2

2

E

p°

r+‰ Ž4w

Ë ”“2ÌÊ-’•Ã¶‹˜² n Y‚ LuS}z?ÌfÒù†y| S|~Í Ð*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒ wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ÄUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C™wy̖wyxCz | ‚ÍEzU£ 12 S†yÌSƒC×}| ‚?wyxCz[è©ufÛCÑ zS„eX ƒC‚‘„©è©uf‚ uf‚Í|‡µƒCÌ z § •]Ä ~ }xCÌ  z€Í>wyxu\wÚwyxCzLÓ?ufÑ Ñ †yz€uSNx?wyxCzÄÙ†Nu=SzLÑ Ì\®Sêaë'ufƒ?ÛµÌSƒC‚ÍJ‡Œ?zºufÑ~}Ì\= ‚CÌ  wyxu\wùwyxCzLÓ uf†yz[ufÑ Ñ'{ ÌEÍEƒCÑ~uf†ÈÛ Ó ènxCzLÌS†yzL{ ŠE‡ Õ‡"Y‚vLuS}zÈÌfÒ‚CÌS‚E‰î†y| S|~ÍvÐ*ufÑ~ufÛC| êaë'ufƒÄwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„j‘| ® ‚CÔùuf‚ÍïëƒC|
z © ™ ~ }xCÌ z€Í>wyxu\wùufÑ ÑzL| SxawœìÃzU£CUzL×EwÁÒÃÌS†ÚwyxCzœLuS}z[UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C uS} zœÍE|~Í‚CÌfw UÌS{  ×CƒEwyzÁ| wÓSzUwGí'†yz€uSNxœwyxCzÈÙ†Nu =SzLÑ Ì\®Sêaë'ufƒœÛµÌSƒC‚Íïuf‚ÍÄufÑ~}ÌwyxCΓzLÓÄ(7)uf†yzÚufÑ ÑJ{ ÌEÍEƒCÑ~uf†€‡ Ù ^aƒCz€}rwy| ÌS‚Ä|~,} F v ]œMCZ\½^F~I½ÃMCRFPXødT F«KNZ\½¾F«¼\Ov¼r¿½ÃMCRáDyZ€QSRUT ¼\À€äAµZ\BÄR
BZ\T FP½¾F«RGI½Y¼È½ÃMCRX[¼€É\BET Z\DGFPm½  šNI › FP½"Z[OdRNKNRGINILZ\D ºKN¼\OdÉ\FP½¾F«¼\.O bn¼\DùZ IGHB Í)KUF«RUO½"KN¼\OdÉ\FP½¾F«¼\.O bn¼\DùãN¼\½ÃM › 1

€  Gž¯a  Ÿ(  ¥ ¡    Î Ï ç (Î Ò ÏkÕ^ÖfÙØ
Ðv× ãÑDÖkՄÏfÜbÝvÙGå ҄фK´Õ^ák× å‹äÜbÝYÒ·Þ-Õ2Ólå)ÔbãÜbÙ°æ]@
‡ ìf%/èí ê &  W'°è!ò^   ï  éféê  gè Q Õ î  Ö  íW& éfð é W þ.3ø f,ö Cø‹ùƒ.!÷yúø 4&B8ø‹ûj¿þ>!ÿþGè
×þG ï >×<Cæ)  Î Ï C&)>CÒ Ø‡ÕkÖfØå&Ð+Ùb× ããØ¿Ú æ %‹ °ò2&!%/    ‰ ¯ &!  Ãéèê  ‰   ï  Û(ê ° ê 1 &%/  &!( „Û(êG&  g ÜG  4  ê  Ý W þ29lø Zf
ø fE8 <. (+ø 4&80>ø Þg. º0 q4YCøó[ùƒ.!P÷yúø ü ß
j·þ¯C) >ÿ þGè
‹C þï GþY/$%/B Ð & ì " è()é þ+\^ è é' þ»ý%ûþG!)þï v(æGH kÑ Î MÐ )Ò å$Õ+ák×
Ø Ðvã
Ø æå‹× ÛÅW Þ ç‹Õlâ¿å‹Ýv´Ü Nå‹Ùäg)å Ô´Ðväñæ Ð èê &  W'ƒè!òl    ç+&! &! í äf&!êñ ì òyè  è þ‡ç+&! &! í ä+&!ê &     ¿&!Gñ%/  è! ¯'%/%/ ' þ Î è! è( è þ
@'_þ!ÿ þ I Q  M ûW ¯B (çlè%/%cê þ!è <)>þ/$%/B Ð & ì " è()é þ \^ è é' þ»ý%ûþ!)þG ï ‹Hk!CæGC Î  #$Ò M‰è Õ aPÐvã
Ø e Ã Þ a‡£ Õ ckØÙÙ× ãã é æ @
%/èê &  W' è!ò¿    &!G èí    Çç+&! &! í äf&!ê &     &!  è(é & C è ì  è(è!  &   é A þ 4 9þ0/$%/B  Ð & ì " è()é þ7\^ è é' þ:ý%ûþM!)þ ï !æ!Ñ  Î %ä
Ò - Õ ål× ÙbYÝ ö°‘ Þ V‡&Õ ø7Ðv×æ Î ì$%/èê &  W'kè!ò‹é &! èí-   ‡ç+&! &! í äf&!ê ì òyè W þ9×!Ò á°´Õ -Ջâ·ÜbÙÙ× ÚCÜbÝ/0 æ @
êò2&!é lî ì & (  \D éC&/ê%c þó ôõöô÷Wø ùƒ.!÷yúYø úi"þ¯C) >×(ÿ þGè
‹'þGK3 ï vC)>Ò Ïk Õ ,Yû&NvÜbØÝf( æ @
_ÜGbï èêé bè!ò&  èG&!(   ï  é[ êò2&!é 4î ìM é  èþ ùƒ.!÷yú.ø ü^øv
û ß&úƒþ¯C) >)>ÿ þGè
þGï vÑÑæGC

bw ‹ q ‹w) 8 2“ˆ .y4xyzvw ” ‰ ‹y ŽUŒ»y{bwh‹wh.

y{ h

Î " éìG)Ò Î " GÒ Î " ì ÑCÒ Î " û ÑÑCÒ Î " Î Ò Î" f ä Ò ÎÎ ü


Î Î ä
Ò Î #[Ò Î #'´
pµ

â¬Õq,Yû&NYýÛۉæ]'
î ð&!%/ï  $è!òl%/èê &$   ƒç+&! &! æ<äf&!êà ì òyè  Wþ !)þï ï  ( B ؇F Õ ,v
Ø þ+þå‹Ù æ³çl &!   ÜGéC&  èàè!òà è!  èí-ò   ê Uë è éè! êé ! èêïW þÞgSB8´ø f,ö Cø‹ùƒ.!÷yú.ø 4&B8øvû+ü ß þ>!ÿ þGè
Gþï)k(Ñæ)kÑ Ó/J Õ ,YNv× ´Ü ÒGå n æ @
Å   ï  é¼%/èê &/ êò2&!éW þA3øùƒ.!÷yú€ø 4&B8ø 3. .!ô
ü j þ¯CÑÿ þï G!Cæ
k! êò2&!éW þ‹çlè%/ï ð‰&!G&! '  Ó/: Õ ,YNv× ´Ü ÒGåUÿ Þ a‡
Õ ÝvÜbÚCØkÖ æ @
‰  ê & &!G‰&! &! éMè%/ ' þû>îg&!G&!%/ " ìè! K3 þ Î ) è U('(è þvCÑÑ þï vCCæGB  à° Õ ,YÐv2Ý ÑE,^Õ ã!å$gÕ Ólå‹ÝÅé Þ M‰Õ „ÐvÜ"æ I &!%/    fè!gò 1J êò2&!é fèféê  &  ¯ò ' M ìgB Û(êG&!  W'cè!´ò /& U è(í äf&!ê u ^ W'ï&!Gk%/èê &  W.' þeç ÿ
 1´í ! â¬Õ ã!a‡2Õ ,å‹× ÛvÜ  Þ V‡YÕ ø7Ðv×æ Î ì
%/èê &  W'/éèG¯é ê 
òyè!g   ‰ç+&! &! í ø (5<!$÷  ‹ô0yõø jbû¼þ>!ÿ þè
Gþï ×)Cæ äf&!ê‡ ì òyè  gè þ3øvùƒ.!÷yú Q ×C -: Õ Ól)å ÔbãÜbÙ¿ Þ Ø‡2Õ D × ãØÚ
 æ ý$ !í- ìè!   éMï èï  
è!ò[é &! ¼
é U &! &!W þ´fôôv2ø 
ùƒ.!÷yúø  kû jbûÃþ¯C< kÿ þGè
+þGï +k)kC
æ kÑ ç‹Õ ÓM Ü MÞ V‡<Õ ø7Ðv×æ T^ðï  é 4B Û(êG&  è ‹è!ò è%/D   ï  é[%/èê &b êò2&!éR a‡: Õ Ø‡„Õ ckØÙÙ× ããsæ Î ì Lí>   
è!òlé &! ‰   ƒç+&! &! í äf&!ê¼ ì òyè W þ 3 ø  7 , 6ö búSö 5°ývûÃþ>!ÿþGè
þGï CCæ)×
ÖkÕ Ùå‹ Ý /ØØäØÝ‡Þ V‡Õ á°Õ VJÔ´‹åvå‹&Ù ÒcJ æ @
f ì[è%/ 'M&!GM&  ì%/  é è!òb è%/ "  %/èê &l ì òyè W þY3ø  7 , 6ö búSö 50i+;¼þ¯C< kÿ þè
G'þ ï ×kæ >Ñ  ؇: Õ D × ãØÚ
æ Ð èê &f   ï  écéê 
&!G I  %&B u
 &! ¯ ´ ìè! l % þ´fôôvø  ´ùƒ.!÷yú ø  kû jbûƒþ¯C< kÿ þGè
+þï ×)×<C
æ k)k() à°g Õ àcå‹ÙãØÚ‡Þ V‡:Õ ø7Ðv×bæ Î ìc%/èê &  W'¼è!òç+&! &! <æ äf&!ê" ì òyè  fè!ò ç Ð W'ï' þ °ï ïG&&  è ø‰Õ ãÏk( Õ ø/×Ú æ @
ì¼%/èê &  W' è!òc&     ç+&! &! <æ äf&!ê ì òyè . þ$ è &!ïïC&B V‡q Õ ø7Ðv×4C æ ÿ
ïv& kèƒ ìk%/èê &  W'ƒè!ò$ç+&! &! í äf&!ê¿&    W þ[ç+&! &! í ä+&!êƒ&     M&!GÃ%/  è!M ¯'%/%/ '"þ Î è! è(  è þ2@'_þb!ÿ þ I   A ûW ¯B çlè%/%cê þvè ´)>þ./$%/B Ð & ì " è()é þ.\^ è é' þý%ûþ‹!)þü¬ ì"&! &!ïïG ð‡('‡
 G&P#[   ) þï Ñæ 

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ'Ä~Å È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

×\Ø\ÝNÙNÛCÞيí7Ü|älÛCÞ؃ÙNä ã!ŒØ\ÞÙNیÚ

؃Ùß×HÝÚmŒÞ×

ÛHì‰Ü ââlà ؃ãcñŠÚ

Û\óAñ

ó_mŒú#"÷%$ø$'&

Ð & ì%&  éC&!eûW ¯  ê 'þDH×æ! " B‰#
   Ru þq@$ðòyè!â@  0)% Ï )+*-,/.!02143(IA)(@FG6FJ(BC59?!8+wb<(+*D<W97b<2E-,

a Í V Ì Ë ¾ Xk_`Ìξ ]Ž¾ ÉKÏ KML!NO-PQR!OS/. YÇÊ Í Ê Í+A _ ÉcY X'þŽÌÎÍ V Ì-`ya]Ž¾ŽÍ+_`.¿Ç¾ Ó ÌξŽ¾ ≥ 3 À

ÌξŽÍ

V \ Ï Í+] _ É Ž] ¾ŽÌ ÉÇÊ ÉÇÓ WÌ a ÏmÊ _ É a \Ã_

þÿA 1[

l_`.{_ VÇÉ

Ê ÉKÏ Í

¿Ç¾Ž¿

Y ¾ Ê ÓCYKÏ

DCÌS†ùuf‚ Ó „^Ñ zUw ÛµzÄuf‚™| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z[x Ó ×µzL†N}ƒC†Ò«uSUz[ÌfÒÍEzLS†yzLz „ x zL†yzÈ| †y†yz€ÍEƒnU|>ÛC| Ñ 3| wrÓº|~}xCXzL‚⊂UzUÒÃPÌS†wyxïwNu=SzL‚ïwy̜{ z€uf‚>SzLÌS{ zUwy†y|~Ú| †y†yz€ÍEƒU| ÛC| Ñ | wrÓS‡ènxCdz C ×CƒC†y×µÌa}znÌfÒµwyxC|~}/‚CÌfwyz"|~}©wyÌÈÍE|~}yUƒ}y}^†yz€UzL‚aw rÌS| ‚aw  ÌS†>=  | wyx ñ†yÌfÒÃz€}y}ÌS†0’z€u\wyxE‰Y…*†yÌ  ‚ z Á  Á ~ „E| ‚  xC|~Nx  zÚ| ‚ ®Sz€}rwy| au\wyzwyxCzÈuS}Ó { ×EwyÌfwy|~ÛµzLxu­® | ÌSƒC†nÌfÒ©wyxCJ z ^aƒuf‚awy| wrÓ n−1

NU (B) = #{x ∈ U ∩ Pn−1 (Q) : H(x) 6 B},

uS} ‡ ’zL†yz  |~}uf‚>uf†yÛC| wy†Nuf†yÓ[ÌS×µzL‚>}ƒCÛ}zUwuf‚Í ~| }wyBxCzù→ƒ}∞ƒufÑ×C†yÌrz€GUwy| ⊆®SzÁXxCzL| Sxaw€‡c? xCzL‚CzL®SzL† d = 1 ÌS† 2 wyxC|~}^aHƒuf:‚aPwy| wrÓÄ(Q) |~}®SzL→†yÓ R zLÑ Ñ ƒC‚ÍEzL†N}rwyÌ ÌEÍJ„Cuf‚ÍÄ| w|~}n‚CÌfwxuf†N͜wyÌ z€}rwNufÛCÑ |~}xºwyxCzÁz€}rwy| {[u\wyz n−1

>0

  NX (B) = cX B n−d 1 + o(1) ,

ÒÃÌS†}ÌS{ zUÌS‚}rwNuf‚aw c > 0 ‡^Ù}^wyxCzÍEzLS†yzLz d | ‚U†yz€uS}z€}L„S}̏wyxCz"×C†yÌSÛCÑ zL{ ÌfÒJÍEz€}yU†y| ÛE‰ | ‚C N (B) Ûµz€UÌS{ z€}^xuf†NÍEzL†€‡è̏| Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wyz'wyxC|~}  znUÌS‚}|~ÍEzL†©wyxCz"LuS}z d = n = 5 ÌfÒ ^aƒC| ‚awy|~wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„ | ‚ xC|~NxÄ}zUwwy| ‚C| w"|~}*‚CÌfwu\w"ufÑ ÑJUÑ z€uf†  xu\w*wyÌzU£E×µz€Gw N (B)  X

X

X

0 ] Ï _B{¾ŽÌeÔKÆ WÏ Y

ÂÔÕÕ'À

p 

rtlr

‹u 4w

z.{  h 21

wyÌ[ÛµzLxu­®SzÚÑ | =SzÈuS} B → ∞ ‡ DCÌS†"zU£Cuf{ ×CÑ z  :z = ‚CÌ  ÌfÒ^ÌS‚CÑ ÓºÌS‚CzچNu\wy| ÌS‚ufÑJ×µÌS| ‚awÌS‚ wyxCzÁ®\uf†y| zUwrÓ x +x +x =x . ènxC|~}"|~}nwyxCzÈ}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ x = (27,x 84,+ 110, „fuS}nÒÃÌSƒC‚ÍÄÛ Óˆjuf‚ÍEzL†uf‚ͺñ/uf†>= | ‚ z ©€Ê }b}~ | ‚ºuÁUÌS{ ×CƒEwyzL†*}z€uf†NNx‘‡îw*|~}| ‚a133, wyzL†yz€}r144) wy| ‚CÚwyÌȆyzL{[uf†>=Èwyxu\wwyxC|~}×C†yÌ\® |~ÍEz€ÍùwyxCz †N}rwUÌSƒC‚awyzL†‰îzU£Cuf{ ×CÑ z'wyÌÈuÚUÌS ‚ rz€GwyƒC†yznÌfÒ ;ƒCÑ zL†/wyxu\w‚CÌ kwyx ×µÌ  zL†/Luf‚ Ûµz  †y| wwyzL‚ uS}*wyxCzÈ}ƒC{ ÌfÒ k − 1 kwyxÄ×µÌ  zL†N}L‡ ?z ‚CÌ UÌS{ zwyÌ>ÍE|~}yUƒ}y}wyxCz ×C†y| {[uf†yÓ>{ Ìfwy| ®\u\wy| ÌS‚ ÌfÒ'wyxC|~} ÌS>† =d‡ ènxC|~}Ú|~}wyxCz ÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C  UÌS‚ rz€GwyƒC†yzÁÌfÒ ’z€u\wyxE‰Y…*†yÌ  U‚ z  Á‰ › „dÐ'ÌS‚ rz€GwyƒC†yz 2~ ‡  É “‹¥43(’-5§76[”’ – n µB€øSø¼­ILR*½ÃMCZ\½ F~I"Z\O FPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT R*ZM yøRUDNIGBEDÿUZSKNR¼r¿nÉSRîÅfDyRNR X⊂P d H C M U R ? O ' Â Ú R C M \ Z \ À R d > 2œ 5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

n−1

NX (B) = O(B n−2+ε ).

’zL†yzS„Juf‚ÍïwyxC†yÌSƒCSxCÌSƒEwwyxC|~}‚CÌfwyzS„µwyxCz| { ×CÑ | z€Í?UÌS‚}rwNuf‚aw{[u­Ó>ÍEzL×µzL‚Í?u\w{ Ìa}rw ƒC×µÌS‚ d, n uf‚ÍÄwyxCzNxCÌS|~UzÁÌfÒ ε ‡ð‚CzÈ{ | SxawufÑ~}̜uS}=ïufÛµÌSƒEwÛµÌSƒC‚ÍC}ÌfÒ^wyxCz}xuf×µz „©uS}| ‚ z  Á‰ › „/Ð'ÌS‚rz€GwyƒC†yz ~ „ xCzL†yzwyxCz[| { ×CÑ | z€ÍUÌS‚E‰ N (B) = O (B }rwNuf‚aw|~}"ufÑ Ñ Ì  z€Íœwy̜ÍEzL×µzL)‚ÍÄÌS‚ÄwyxCzÈUÌ zKuœU| zL‚awN}nÌfÒ F ‡%1’Ì   zL®SzL†n| w"wy†Nuf‚}×C| †yz€}'wyxu\w z€}rwy| {[u\wyz€}  xC|~Nx™uf†yz ƒC‚C| ÒÃÌS†y{| ‚ÒÃÌS†y{[}ÚÌfÒ C£Ez€Í ÍEzLS†yzLzS„©uf‚Í  | wyx™ˆu C£Ez€Í‚ ƒC{‰ ÛµzL†ÌfÒ/®\uf†y|~ufÛCÑ z€}L„uf†yzÁ{ùƒNxï{ ÌS†yzÁƒ}zUÒÃCÑ©| ‚vuf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}L„uf‚ÍÄwyxu\w| ‚>{ Ìa}rwLuS}z€} †yz€}ƒCÑ wN}  | wyx  z€u =SzL†nƒC‚C| ÒÃÌS†y{ | wrÓºuf×C×µz€uf†nwyÌ ÛµzÁ‚CÌ z€uS}| zL†nwyÌ ×C†yÌ\®SzS‡ îwÈ}xCÌSƒCÑ~ÍvÛµz[UÑ z€uf†wyxu\wÚwyxCz ÛµÌSƒC‚ Í  }ÚzU£E×µÌS‚CzL‚awÚ| ‚”Ð'ÌS‚ rz€GwyƒC†yzÄË|~}| ‚SzL‚CzL†NufÑ z€}y}zL‚awy|~ufÑ Ñ Ó?uS}È}xuf†yיuS}ÁLuf‚ ÛµzœxCÌS×µz€ÍÒÃÌS†€‡ºY‚ÍEzLz€ÍJ„  xCzL‚CzL®SzL†ÚwyxCzœx Ó ×µzL†N}ƒC†Ò«uSUz |~}"S| ®SzL‚ÄÛ Óºuf‚ï'z ^aƒu\wy| ÌS‚ÄÌfÒ©wyxCzÚÒÃÌS†y{ „µ}Ì wyxu\w X UÌS‚awNuf| ‚} X F (x) wyxCz ×CÑ~uf‚Cz x = x = 0 „  z[ufƒEwyÌS{[u\wy|~LufxÑ Ñ ÓïFx(x) u­®Sz =N x (B) ‡[Ð'Ñ z€uf†yÑ ÓÄwyxC|~} Luf‚œÌS‚CÑ Ó xuf×C×µzL‚  xCzL‚ X |~}nuù}| ‚CSƒCÑ~uf†®\uf†y| zUwrÓS‡ ? xCzL‚CzL®SzL † XB|~}*}{ Ì Ìfwyxºuf‚Í[xuS} ÍEzLS†yzLz „JuÄUÌS‚ rz€GwyƒC†yzùÌfÒ*…nu\wrÓ †yzL®ïuf‚Í?tvuf‚C| Ì ‚ z Á » |  ~ Ñ z€uSÍC}ƒ}wy̺zU£E×µz€Gw wyxu\w"wyxCzÚd ÒÃ>ÌSÑ Ñ 3Ì  | ‚CÛµÌSƒC‚Íï}xCÌSƒCÑ~ͺxCÌSÑ~ÍJ‡ É “‹¥43(’-5§76[”’·¨ n µB€øSø¼­ILR>½ÃMCZ\½ F~I?ZIGX[¼€¼\½ÃM–ZM yøRUDNIGBEDÿUZSKNR¼r¿vÉSRîÅfDyRNR X ⊂ P d H C M U R ? O à ½ C M U R y D  R >R +SF~IG½«I G I  B N K ï M à ½ C M \ Z ½ d > 3œ δ>0 X

X

n−2+ε

1 1

1

2

2 2

X

n−2

n−1

NX (B) = O(B n−2−δ ).

Ý"zUwyƒC†y‚C| ‚CÚwyÌÚwyxCz}zUwwy| ‚CÁÌfÒJuf†yÛC| wy†Nuf†yÓÈ| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ znx Ó ×µzL†N}ƒC†Ò«uSUz€}L„ z"xu­®Sz"}zLzL‚ fu ÛµÌ\®Szºwyxu\w[wyxCz>ÛµÌSƒC‚Í2| ‚$Ð'ÌS‚rz€GwyƒC†yz ËïxCÌSÑ~ÍC}  xCzL‚ d = 2 „*×µÌa}y}| ÛCÑ Ó  | wyx uf‚ | { ×CÑ | z€Í>UÌS‚}rwNuf‚aw"wyxu\w|~}ufÑ Ñ Ì  z€Íœwy̜ÍEzL×µzL‚ÍïƒC×µÌS‚ X ‡'Y‚ïÒ«uSGw_’z€u\wyxE‰Y…*†yÌ  ‚ÄxuS} ufÑ †yz€uSÍEÓÄz€}rwNufÛCÑ |~}xCz€ÍÐ'ÌS‚rz€GwyƒC†yzÄËù| ‚vwyxCz LuS}zùÌfÒ%^aƒuSÍE†y|~L}‡z  Á‰ › „JènxCzLÌS†yzL{ Ï ~ „ | ‚ÄuSÍCÍE| wy| ÌS‚œwyÌùwyxCzÚLuS}z€} n = 3 uf‚Í n = 4 ÌfÒ©UƒC†y®Sz€}*uf‚͜}ƒC†Ò«uSUz€}L„SÒÃÌS†"uf‚ Ó[ÍEzLS†yzLz z  Á‰ › „ènxCzLÌS†yzL{[}nˆ uf‚Íïç ~ ‡ ènx ƒ}ÈÐ'ÌS‚ rz€GwyƒC†yzÄËÌS‚CÑ Óv†yzL{[uf| ‚}ƒC‚UzL†wNuf| ‚?ÒÃÌS†Úx Ó ×µzL†N}ƒC†Ò«uSUz€}ÌfÒ*ÍEzLS†yzLz uf‚Í ÍE| { zL‚}| ÌS‚vu\wÑ z€uS}rw 3 ‡ ?zȂCÌ  ×C†yz€}zL‚awuwNufÛCÑ z  xC|~NxvNxuf†wN}*wyxCzù×C†yÌSS†yz€}y}*{[uSÍEz

4x98. ^wh :

| vŽzvw) 8‹{&“ ^x t

‹w

{yZ )

y

 

wyÌ  uf†NÍC}"Ð'ÌS‚rz€GwyƒC†yz€}ÚËÁuf‚Í Ï | ‚Ćyz€UzL‚aw"ÓSz€uf†N}L‡DCÌS†UÌS‚ ®SzL‚C| zL‚Uz  zÚxu­®SzÒÃÌEUƒ}z€Í ÌS‚CÑ ÓƒC×µÌS‚ wyxCzºLuS}z n = 5 ÌfÒnwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„^ufÑ wyxCÌSƒCSx™}zL®SzL†NufÑÌfÒnwyxCzºU| wyz€Í †yz€}ƒCÑ wN} xu­®SzœxC| SxCzL†ÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ*uf‚ufÑ ÌSSƒCz€}L‡?ènxCzœwNufÛCÑ zº×C†yz€}zL‚awN}È®\ufÑ ƒCz€}ÈÌfÒ θ ∈ R ÒÃÌS† xC|~Nxïuf‚ïƒC×C×µzL†"ÛµÌSƒC‚ÍÄÌfÒ©wyxCzÚÒÃÌS†y{  d

θd +ε

= O(B ), xCÌSÑ~ÍC}œÒÃÌS†º| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z>wyxC†yzLzUÒÃÌSNÑ~ÍC} (B) f Ì ù Ò E Í L z S  †yzLz ‡ Ù}ºwyxCzLÓ uf×C×µz€uf† | ‚”wyxCzïÑ | wyzL†Nu\wyƒC†yzS„}ÌS{ zÄÌfÒwyxCzÄz€}rXwy| {[⊂u\wyz€P}×C†yz€}zL‚awyz€Í™ÛµdzLÑ Ì > 2uf†yzº×C†yÌ\®Sz€Í  | wyx)uf‚ uf†yÛC| wy†Nuf†yÓÄÍEzL×µzL‚ÍEzL‚UzÌfÒ/wyxCzù| { ×CÑ | z€Í?UÌS‚}rwNuf‚awƒC×µÌS‚ ‡’Ì zL®SzL†€„| ‚vz€uSNx?LuS}z u™}rwy†Nuf| SxawÒÃÌS†  uf†N͙uf‚ufÑ ÓE}|~} ÌfҏwyxCz>×C†yÌ ÌfÒچyzL®Sz€ufÑ~}ùwyxu\w[XwyxCzvz€ }rwy| {[u\wyz>|~}[uSGwyƒufÑ Ñ Ó ƒC‚C| ÒÃÌS†y{Î| ‚ÄwyxCzÈuf×C×C†yÌS×C†y|~u\wyzÚUÑ~uS}y}nÌfÒwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}nÌfeÒ C£Ez€ÍÄÍEzLS†yzLzS‡ Ý"z€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚W} B ? xCZ ÌB ’Ì B θ ‚CÌS‚Cz X zL†y†y‰ z z §  aŸ ¶ |~ Ñ~uf†yS zÚ}| zL®Sz 3+ }{ Ì Ìfwyx DC ƒ r|  uf†N"u z µ ¨ «¶  ~ zU£E×µÌS‚CzL‚awy|~ufё}ƒC{[} 3+ X  Á | º ~  }

{ Ì f Ì y w x ’z€u\wyxE‰Y…*†yÌ U ‚ z zU£E×µÌS‚CzL‚awy|~ufё}ƒC{[}  3+ X C ‚ S Ì C ‚ z  ñ | ~ Ñ u z Ê ª†|  ~ x Ó ×µzL†y×CÑ~uf‚CzÁ}z€Gwy| ÌS‚} 3+ \ Ÿ ¦ ~  }

{ Ì f Ì y w ‘ x „ * … y † Ì C ‚ | C ‚  " z Á b  ‚ x Ó ×µzL†y×CÑ~uf‚CzÁ}z€Gwy| ÌS‚}  3− X d>4 * … y † S Ì µ Û L z y †   :‹XEufÑ ÛµzL†ySzLk † z –§[ º ~ x Ó ×µzL†y×CÑ~uf‚CzÁ}z€Gwy| ÌS‚} Á 3 d>4 îw/|~}/UÑ z€uf†^ÒÆyÌS{ wyxCznwNufÛCÑ z*wyxu\w| wÌS‚CÑ ÓÁ†yzL{[uf| ‚}©wy̏wy†yz€u\w^wyxCz"LuS}znÌfÒdUƒCÛC|~'wyxC†yzLzU‰ ÒÃÌSÑ~ÍC}L‡ÚY‚vwyxCz }zUwwy| ‚CÄÌfÒ*}{ Ì Ìfwyx?UƒCÛC|~ÈwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}ÁÐ'ÌS‚ rz€GwyƒC†yz Ï Luf‚?Ûµz†yzL×CÑ~uSUz€Í Û ÓÈwyxCiz ‚CzL†'UÌS‚ rz€GwyƒC†yznÌfÒJtvuf‚C| ‚ z µ »ÿ• ¶ |G~ „  xC|~Nx ×C†yz€ÍE|~GwN}^wyxu\w/wyxCzuS}Ó { ×EwyÌfwy|~ ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u   X

4

d

1 2 2 5 1 3 1 d 1 12

NX (B) = cX B 2 1 + o(1)

} xCÌSƒCÑ~ÍvxCÌSÑ~ÍvÒÃÌS†Ú}ÌS{ z UÌS‚}rwNuf‚aw c > 0 ‡’Ì  zL®SzL†  z uf†yzÓSzUwwyÌÄz€}rwNufÛCÑ |~}x?zL®SzL‚ Ð'ÌS‚rz€GwyƒC†yz Ï ÒÃÌS†}{ Ì ÌfwyxvUƒCÛC|~ÚwyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍC}L„}Ì wyxCzȆyz€}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚ÄÌfÒtvuf‚C| ‚M }UÌS‚rz€G‰ wyƒC†yzÚ|~}}rwy| Ñ Ñu ÍE|~}rwNuf‚aw"×C†yÌa}×µz€Gw€‡ „zL®SzL†wyxCzLÑ z€}y}ºÌSƒCH † †N}rwï†yz€}ƒCÑ ˆw Ñ Ñ~}ïu–auf×$| ‚;wyxCzwNufÛCÑ z ÍEz€}yU†y| Ûµz€Í$ufÛµÌ\®SzS„Û Ó z€}rwNufÛCÑ |~}xC| ‚CºÐ'ÌS‚ rz€GwyƒC†yz ËÚ| ‚ÄwyxCzÈLuS}z d = n − 2 = 3 z Á  Áº„CènxCzLÌS†yzL{ ˆ ~ ‡ 
‘D’“‹”’•Ç² n 9RU½ X ⊂ P ãNRZ\O?FPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT R KUBãUF«KȽÃM DyRNR«¿U¼\T É œ HdMCRUOÂ'RÚMCZ\À\R X

4

NX (B) = O(B 3+ε ).

ènxCzÈ{[uf| ‚ïwyÌ ÌSÑ| ‚>wyxCzÈ×C†yÌ ÌfÒ/ÌfÒènxCzLÌS†yzL{ ˆ[|~}u[®SzL†N}yu\wy| Ñ zÁ†yz€}ƒCÑ w®\ufÑ |~ÍÄÒÃÌS†| †y†yzU‰ EÍ ƒU| ÛCÑ zÚx Ó ×µzL†N}ƒC†Ò«uSUz€}ÌfÒ^uf‚ Ó[ÍE| { zL‚}| ÌS‚‘„  xC|~NxÄ}xCÌ  }'wyxu\wnzL®SzL†yÓ ×µÌS| ‚awUÌSƒC‚awyz€Í Û Ó N (B) {ùƒ}rw[Ñ | zÄÌS‚”ÌS‚CzÄÌfҏu}{[ufÑ Ñ*‚ ƒC{ùÛµzL† ÌfÒÑ | ‚Cz€uf†[}ƒCÛ}×uSUz€}ùUÌS‚awNuf| ‚Cz€Í | ‚ X ‡ènxCzUÌS‚awy†y| ÛCƒEwy| ÌS‚ïÒÆyÌS{ wyxCzù×µÌS| ‚awN}Ñ Ó | ‚CºÌS‚>Ñ | ‚Cz€uf†}×uSUz€}ÌfÒ'ÍE| { zL‚}| ÌS‚ 0 ìPwyxu\wù|~}ÚwyÌv}yu­ÓS„‘ÒÆyÌS{| ‚ÍE| ® |~ÍEƒufÑ×µÌS| ‚awN}NíwyƒC†y‚}ÁÌSƒEwÁwyÌ>Ûµzº}yu\wy|~}rÒ«uSGwyÌS†yÓïÒÆyÌS{ wyxCz ×µÌS| ‚awÌfÒ/® | z  ÌfÒ^wyxCz Ð'ÌS‚ rz€GwyƒC†yzœËS„  xC| Ñ zÁwyxCÌa}zÁÑ Ó | ‚CœÌS‚ïÑ | ‚Cz€uf†}×uSUz€}"ÌfÒ^xC| SxCzL† X

¢ 

rtlr

‹u 4w

z.{  h 21

ÍE| { zL‚}| ÌS‚ Lufƒ}zù{ Ìa}rwÁÌfÒ'wyxCz ×C†yÌSÛCÑ zL{ï‡ ðƒC†Á}z€UÌS‚Ív†yz€}ƒCÑ w¼z Á  Áœ„ènxCzLÌS†yzL{ Ï ~ | Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wyz€}*wyxC|~}"×CxCzL‚CÌS{ zL‚CÌS‚‘‡ 
‘D’“‹”’•¦¤ n 9RU½ X ⊂ P ãNRœZ\O FPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT RùMZyøRUDNIGBEDÿUZSKNRº¼r¿ ÉSRîÅfDyRNR d œ HdMCRUO Â'RÚMCZ\À\R n−1

©MCRUDyR

NU (B) = O(B n−2+ε ),

~F IÁ½ÃMCR¼yøRUOvIGBãGILRU½µ¿U¼\DGX[RNÉÄãKºÉSRUT RU½¾FPO ź½ÃMCRÁT FPOdRGI'¿NDy¼\X X œ ? | wyx>Ñ | wwyÑ zÈzU£ wy†Nu ÌS†>=d„ wyxC|~}†yz€}ƒCÑ wLuf‚ïÛµzȃ}z€Íºwy̜ÍEz€ÍEƒUzÁwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚C[UÌS‚E‰ }z'^aƒCzL‚UzS‡/ènxC|~}"z€}rwNufÛC Ñ |~}xCz€}Ð'ÌS‚ rz€GwyƒC†yz ˏÒÃÌS†u  |~ÍEzÈUÑ~uS}y}*ÌfÒ^x Ó ×µzL†N}ƒC†Ò« uSUz€}L‡ É “‹”“bÊÊ-«‹”ËÌÆ n 9RU½ ãNRùZ\OvFPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT RÚZM yøRUDNIGBEDÿUZSKNR ¼r¿ÈÉSRîÅfDyRNR d b©M F«KNM F~IÁOd¼\½nZœBEOF«¼\O¼r¿ÁT FPOdXRGI ⊂œ PHdMCRUO?Â'RÚMCZ\À\R U ⊆X

n−1

NX (B) = O(B n−2+ε ).

îwÈ|~}ȂCÌ wy| { z[wyÌv}rwNu\wyz wyxCzœ†yz€}ƒCÑ wÁwyxu\wÈÒÃÌS†y{[}ÚwyxCzœÛuSW= ÛµÌS‚Cz ÌfÒènxCzLÌS†yzL{[}Áˆ uf‚ͺÕ‡ènxC|~ }n|~}u }×µz€U|~ufёLuS}zÚÌfÒ
z Á  Áº„ènxCzLÌS†yzL{ØÕ ~ ‡ ãNRœZ\O FPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT RùMZyøRUDNIGBEDÿUZSKNRº¼r¿ ÉSRîÅfDyRNR d œ HdMCRUO 
‘D’“‹”’•Ãª n 9RU½ P ÉSÎR OdRNÉȼ\À\RUD bJÂ/FP½ÃM b ½ÃMCRUDyR>R +SF~IG½‘T FPOdRNZ\D*I¾øXZSKN⊂RGI M IGBKNMï½ÃMCZ\½ 0 6 dim M 6 n −, .2. .¿U,¼\MD 1 6⊆ jX6 J Z\OdÉ Q J = O(B ) n−1 1

n−2+ε

J

j

{x ∈ X ∩ Pn−1 (Q) : H(x) 6 B} ⊆

J [

j=1

{x ∈ Mj ∩ Pn−1 (Q) : H(x) 6 B}.

zùUÌS{ ×CÑ zUwyzÁwyxC|~}‚CÌfwyzÈÛ ÓºÛC†y| zK•ÓïUÌS{ { zL‚awy| ‚C[ƒC×µÌS‚>xCÌ ènxCzLÌS†yzL{ ܜLuf‚ïÛµz ƒ}z€Í wyÌÍEz€ÍEƒUzwyxCz×C†yzL® | ÌSƒ}†yz€}ƒCÑ wN}L‡^…*zLS| ‚C‚C| ‚C  | wyxœwyxCzÍEz€ ÍEƒGwy| ÌS‚ºÌfÒènxCzLÌS†yzL{ Õ  zÈ}| { ×CÑ Óœ‚CÌfwyzÚwyxu\w| Ò x ∈ X Ñ | z€}"ÌS‚ï}ÌS{ zÚÑ | ‚Cz€uf†}×uSUz M ⊆ X ÌfÒ/ÍE| { zL‚}| ÌS‚ u\wnÑ z€uS}rw 1 „awyxCzL‚º| wnwy†y| ® |~ufÑ Ñ Ó Ñ | z€}*ÌS‚Ä}ÌS{ z×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÑ | ‚CzÚUÌS‚awNuf| ‚Cz€Í[| ‚ X ‡/ènx ƒ}'| w | Ñ ÑJ‚CÌfwnÛµzÈUÌSƒC‚awyz€ÍœÛ Ó ‡ X | ‚UzÁuùÑ | ‚Cz€uf†"}×uSUzÌfÒ©ÍE| { zL‚}| ÌS‚ÄéLzL†yÌù|~e} rƒ}rwu % ×µ ÌS| ‚aw€„  zÁUÑ z€uf†yÑ Ó[ÌSÛEwNuf| ‚ N (B) ?

U

NU (B) 

X

1  B n−2+ε .

nè xCzÈÍEz€ÍEƒGwy| ÌS‚>ÌfÒènxCzLÌS†yzL{ ˆ |~}UÌS‚}|~ÍEzL†NufÛCÑ Óœxuf†NÍEzL†€„uf‚ÍÄwyxCzÈ{[uf| ‚ï×C†yÌSÛCÑ zL{ uf†y|~}z€}ÒÆyÌS{4wyxCzÒ«uSGw*wyxu\wu}| ‚CSƒCÑ~uf†nUƒCÛC|~wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ÍÄLuf‚ÄUÌS‚awNuf| ‚ºuùÑ~uf†ySz‚ ƒC{ùÛµzL† ÌfÒÑ | ‚Cz€}©uf‚ÍÁ×CÑ~uf‚Cz€}L‡^ènxu\wwyxCz*Ñ | ‚Cz€uf†^}×uSUz€}UÌS‚awNuf| ‚Cz€ÍÁ| ‚ uf†yz'ÌfÒUzL‚awy†NufÑ UÌS‚UzL†y‚ |~}ufÑ †yz€uSÍEÓ[| { { z€ÍE|~u\wyzÚÒÆyÌS{ØwyxCzÈ}rwNu\wyzL{ zL‚aw"ÌfÒ/ènxCzLÌS†yzL{ ÜCX0‡ ’zL†yz  zÁ}xufÑ Ñ‘UÌS‚awyzL‚aw ÌSƒC†N}zLÑ ®Sz€}  | wyxï{ zL†yzLÑ Óœ| ‚ÍE|~Lu\wy| ‚C xCÌ  ÛuS͜wyxCzÈ}| wyƒu\wy| ÌS‚>Luf‚ÄÛµz€UÌS{ zS‡ 16j6J

‹w

4x98. ^wh :

| vŽzvw) 8‹{&“ ^x t

{yZ )

y

¸ 

‘zUw G(1, 4) ÍEzL‚CÌfwyzïwyxCz†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚2×uf†Nuf{ zUwyzL†y|~}| ‚CÑ | ‚Cz€}[| ‚ P „"uf‚Í2Ñ zUw ÍEzL‚CÌfwyzwyxCzÚUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CJDuf‚CÌù®\uf†y| zUwrÓÌfÒÑ | ‚Cz€} F (X) = {L ∈ G(1, 4) : L ⊂ X} UÌS‚awNuf| ‚Cz€ÍÈ| ‚ X ‡^ènxCzL‚ u}| { ×CÑ zn| ‚U|~ÍEzL‚Uz"UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz*uf†ySƒC{ zL‚aw©†yzL®Sz€ufÑ~}‘wyxu\w j

4

1

dim F1 (X) 6 3.

Cx zL‚CzL®SzL† |~}/}{ Ì Ìfwyxù| w/|~} zLÑ Ñ ‰~= ‚CÌ ‚Áwyxu\w |~}^u†yz€ÍEƒUz€Íùuf‚ÍÈ| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z ®\uf†y| zUwrÓÄÌfÒÍEX| { zL‚}| ÌS‚>w  ̇"Y‚> wyxC|~}LuS }zÈ| w|~}†yFzLÑ~u\(X) wy| ®SzLÑ Óºz€uS}ӜwyÌÄÍEz€ÍEƒUzènxCzLÌS†yzL{ ˆÈÒÆyÌS{ÎènxCzLÌS†yzL{ÎÜC‡^îwn|~} ÌS†wyxœ†yzL{[uf†>= | ‚CÈwyxu\wÐ'ÌS†yÌSÑ Ñ~uf†yÓ[ŠÈ|~}*ÌfÒ‚CÌ ƒ}zwỹ}*| ‚ wyxC|~}}| wyƒu\wy| ÌS‚‘„C}| ‚UzÈuf‚ Ӝ UƒCÛC|~wyxC†yzLzUÒÃÌSÑ~ͺ|~}uƒC‚C| ÌS‚ïÌfÒ©Ñ | ‚Cz€}L‡ ? xCzL‚CzL®SzL† |~}œ}| ‚CSƒCÑ~uf† | wº|~}[×µzL†ÒÃz€GwyÑ Ó–×µÌa}y}| ÛCÑ Ó”ÒÃÌS† wy̔UÌS‚awNuf| ‚)uwyxC†yzLz ÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑnÒ«ufX{ | Ñ Ó2ÌfÒÚÑ | ‚Cz€}L‡;Y‚2Ò«uSGw[wyxCzL†yz>|~}œuf‚)ÌSÑ~Í2†yz€X}ƒCÑ w[ÌfÒ X zLS†yz z §  +’ º ¶ ~ xC|~Nx }xCÌ }wyxu\w[wyxC|~}œÌS‚CÑ Ó”xuf×C×µzL‚} xCzL‚ |~}[zL| wyxCzL†ºu UÌS‚Cz>ÌS†œu™}yU†yÌSÑ Ñ"ÌfÒ  ×CÑ~uf‚Cz€}L‡œY‚ wyxCz[Ñ~u\wwyzL†ùLuS}z ÌS‚Cz[Luf‚ SÌ> }Ñ | SxawyÑ XÓ>ÒÃC†wyxCzL†ùuf‚Í }xCÌ  wyxu\w X {ùƒ}rw wNu =SzwyxCzÈ}xuf×µz ?

1

x1 x2 x3 + x21 x4 + x22 x5 = 0.

nè xC|~}Ú|~}ÚÍEÌS‚CzÛ Ó?UÌS‚}|~ÍEzL†y| ‚CºSzL‚CzL†y|~Èx Ó ×µzL†y×CÑ~uf‚Cz }z€Gwy| ÌS‚}ÌfÒ X z Á  Áœ„4j‘zL{ {[u ËLÕ ~ „µuf‚Í>{[u­ÓºÛµzùÌfÒ| ‚awyzL†yz€}rw| ‚v| wN}Ì ‚>†y| Sxaw€‡"Y‚?uf‚ ÓÄLuS}zÈ| w|~}z€uS}Óºwy̺}zLzÁwyxu\w wyxC|~}"®\uf†y| zUwrӜUÌS‚awNuf| ‚}*wyxCzÚÒ«uf{ | Ñ ÓºÌfÒ©×C Ñ~uf‚Cz€} λx1 − µx2 = λµx3 + µ2 x4 + λ2 x5 = 0,

[λ, µ] ∈ P1 ,

| ‚ uSÍCÍE| wy| ÌS‚ÈwyÌwyxCzn|~}ÌSÑ~u\wyz€ÍÁ×CÑ~uf‚Cz x = x = 0 ‡©Y‚ù×uf†wy|~UƒCÑ~uf†©| wUzL†wNuf| ‚CÑ ÓÈUÌS‚awNuf| ‚} uÁwyxC†yzLzÚÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑÒ«uf{ | Ñ Ó ÌfÒÑ | ‚Cz€}L‡'ð‚CzÌfґwyxCz{[uf| ‚º×C†yÌSÛCÑ zL{[}/wyÌ UÌS‚awyzL‚Í | wyx | ‚–wyxCz>×C†yÌ ÌfÒÌfÒÚènxCzLÌS†yzL{ ˆ|~}wyxu\w[z€uSNx2†Nu\wy| ÌS‚ufÑ*×CÑ~uf‚Cz>UÌS‚awy†y| ÛCƒEwyz€}  B wyÌ ‡ N (B) 1

2

3

X

€  Gž¯a  Ÿ(  ¥ ¡    ÎÏ  Ï Ò Ó/ÕvÖfÙÜ+*/Ýv× ÝYƒÞ á°ÕYacØåÛYN+ã ÖfÙÜ+*/Ýkæ/çlèê(  ´&  èG&!Gïè ( [è/ì('ïí êò2&!é WþG ê%/  CY Î ÏgÐ Ò c°Õc°ÕbÖ´åÛ+ÔbÙØÙ¿‘ Þ ø‰;Õ CÕbâ¿å‹Ýv× Ý‡æ " êg 
è%c 
 +ïè ( l&  è  ìG&!ê êMè! #< M&  <7 < s&!  <  Û(êW þ+ùƒ.!÷yú:ø fôôvø^üG>ý =Åþ¯CÿþDè
[÷í þ ïGÑæ ×< Î Ï  è)Ò Ó/Õvá°Õ‹ÖfÙ+Ü */Ýv× YÝ [ æ / è! è/ ì$ ¯   ê  è/è!ò‹&  èG&!Gïè ( lèk ì í òyè W þ?$.ø 3ø‹ùƒ.!÷yú&ø i
j¿þ>!)ÿ þGè
‹'þï +)Cæ  Î Ï " ×!Ò V‡Õ^ÖfÙ´Ü þGØÙ UÞàßf:Õ ,å‹<ã þGØÙ bØÙ°æ‰çlèê(  c&  èG&!4ïè ( è° ì òyè W þ /  ì%/  é[è!òGì ìíW %/  èG&!&! &! ég&     gþ \^&! _ è /$ è þ(qç /cþ!ÿ þ \^ è!B Ð &  ì þè ! þ Ï  ! UìG !ê  Ï è ¯ èþ Ï è ¯ èþ Ð /cþ!×þï GCÒ ç‹Õ KgÙGå‹YÝ ebYØ Ñø‰Õ CÕbâ¿å‹Ýv× Ýƒ‘ Þ ø‰Õ ÓMBÚ û&Nv× YÝ ebØã$æ ý
&  èG&!ïè ( +è!òbèêGC ì ì( è I &!èk&    W þ‹ó ôõöô÷Wøbùƒ.!÷yú+ø ß+i"þ¯C) >ÿ þGè
þGï
×((æ ×<
À Î I êGS>Ò Î " >Ò



rtlr

‹u 4w

z.{  h 21

â¬2Õ KÐ4@× *gå‹ÙGå¼J æ ÿ
ïïgèêG +òyè!$ ì´ê%cgè!ò^ &   éMïè ( gè‰ì('ïí êò2&!é Wþ'
ê%c4 ìè!'k&!Gcéè%c G& è!  é R^&!ïG&!°C)>×þ Î è)U('(èþ@U&'&!%& &!G¨1´'(è! è þ‹C) >×(ÿ þ»ü è!   " é +\Dê  ì þ "  &!ïè! ' þbC) >Cæ á°J Õ -J Õ acØåYÛ N+ã ÖfÙ+Ü */ÝÅæ Î ìƒ  W'Uè!òf&  èG&!´ïè ( è è  ê & ì('ï êò2&!éW þ
ÞgSB8øGó &ô !0-.!7 ô fE8 <. (+ø 4&80>øùƒ.!÷yú+ø 4&80>øû =j¼þ¯C ×(ÿ þè
'þ(ï BCæ ! þ+1[G#A»ý
&!%&!G& ìG&!°%/%/è!  &!v  ê) þ Î ì¼  W'¿è!ò
&  èG&!$ïè ( /èUéê  /&!G· êò2&!éW þ_fôôv ø 

ùƒ.!÷yúø  /
û i+i"þ>!ÿ þGè
þï &k)kC
æ k!< k å$g Õ ç‹:Õ å[å‹YÝ Ò‹ØÙU Þ Ó/:Õ -Õlßbå‹&Ù eb× ÝÃæ¼çlèê(  ð&!%/ï f ¨ è TDê B u ´éèG¯é ê  è° ê%/ gè!òD  U´ïèCî+ W þA 1y1 Yø f,ö Cøbùƒ.!÷yú´ø 4&B8Yø úü"þ¯Cÿ þGï ‹CÑ! ç‹Õ+ß× ãåÃæ    W'¼è!òl ( !&!D&!G‰&  èG&!Dïè (
èƒ&    W þ2f ÷÷ º0 

Gö þ¯C< kÿ þè
 >þï ×þvB >)CæGB >Ñ þ‹çlè ê%c c & ÿ
   W7 ' '
ê%c Î ìè!' " %kí  G&sþ '
Ú î älè!! UþvCÿ Ök( Õ ,v
Ø bÙØ æ " ê   v éè( ( gï BÅ ∞n−k s þ+) þ+ ) þf÷2÷2_ 0 f(8!8 <. ('ø f. Cø D^0y&ô 8ö0>ø Zfö&ô (g ø 9D1 ´ø 4&8n0>ø E[º0 ø‹ùƒ.!÷Wø f.!÷Wø‹þ¯C ×<>ÿ þè
&kk þï vC) CæGCÑ þb)Ñ kæGB > ç‹Õ ãßfq Õ ,vØÙÙØ°9 æ D4Sö 8÷  ö 0!ô"÷yúös¿ ù S(ö1y1 H* O¼ö0214÷yúSö  ö , þ./$ ïé
è!ò Ð & ìí %&  éW þ+TgH kþ I   CB
#
 î+Þ " èìþ Ï &!ê éì(î+  þbC) >

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀKƎÅ,ÖF È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ñ‰âÜ Þ'å|âñ7âHG\݉Þ'åä ãcâlي×HâCÚôÞÙ ÛHì‰âCØ\Ü]pß؃à

à ÞىÞÛCâEí|Ü Ø\ÝJŒÚ

Ü âICÜ âCÚ0âlÙNÛälÛCÞ؃Ù

ÚióLK%"NMPOøÎö)Q
$ø



ïG& %/( è!ò Ð & ì%&  é Wþ I &!éê W'°è!ò " é é'þvçlì G& ÿ
   W'þçlì G&þv!)í )+*-,/.!02143,#(w8G6?(9FBC59?!8l<Swb<78G6I9HEl<W97b<RS •

>
KML!NO-PQR!OS T

} ÉÇÊ Ï ¾ Ó Ì>_ V ÇÃ ÍÀ

V X ]

¾iÍ Ì Ë ¾ Ìξ Ž¾ K É Ï ÌξŽÍ

V \ Ï Í$a É ¿‡] _ ÉUT ¾ ] ÏWV

ÌξŽÍ Ê É

Zf_,¿ V \ aW̍ÌξŽÃÇÌξŽÍm¾ ÉKÏ a ÏmÊ _ ÉlÏWY ¾ _Ì-X°_`

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ Y‚){ ÌEÍEƒCÑ~uf†[†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚”wyxCzLÌS†yӔÌfÒ‚C| wyz>S†yÌSƒC×}L„ z>xu­®SzÄxuSÍ)ufÑ { Ìa}rwœu ƒC‚C|h^aƒCzÄ×C| ÌS‚CzLzL†€„^‚uf{ zLÑ ÓS„'Ý"|~Nxuf†N͙…*†NufƒCzL†ÄìrˀçSŒCËGê‹S‹fíGƒ‡ ;' uf†yÑ Ó™}| £ wy| z€}ùÌfÒ"wyxCzÄÑ~uS}rw UzL‚awyƒC†yÓ>xCz[uSGwyƒufÑ Ñ Ó>au­®SzùuĂC|~Uz }ƒC†y®SzLÓïwNufÑ =¬z Á Ÿ\‹  } ‚ ~ ‡ „Ì „J| ‚?wyxCz[}ƒCÛrz€Gw z xu­®Sz{[uf‚ Ó | { ×µÌS†wNuf‚aw"uf‚Í  zLÑ Ñ ~‰ = ‚CÌ  ‚œ×C†yÌSÛCÑ zL{[}L„aÛCƒEw"{[uf‚ Ó  ×µzLÌS×CÑ z  ÌSƒCÑ~͜ufS†y zLz wyxu\wœwyxCzvÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C™{ | SxawºÛµz>wyxCzv{ Ìa}rwº| { ×µÌS†wNuf‚awœwyxC†yzLz?UÌS‚ rz€GwyƒC†yz€}[ÌfÒÚwyxCzL{ï‡ ènxu\w"|~} í z š † ½ ¶4® ~ ‡ mbn>mbnÜ ¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ   n ÙÑ ×µzL†y| M‚  }  zL| SxawUÌS‚ rz€GwyƒC†yz[ìrˀç ò ÜaM í z   C+§ | › ~ D„ z   C+§ | º ~ ‡ mbn2›^nÜ ¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ   n -uSÍEz  }UÌS‚ rz€GwyƒC†yz[ìrˀçSçSŒaM o

mbn

\ WY

ÃÇÌ Ê ZÔV Ï

ÂÔÕÕWÖÇÀ

 °



mbn ‚ nÜ ¦ ¥+«   ¡fž€¨Ÿ(  n z Á Ÿ\¦4| º ~ „Dz { Ä | ¶ ~ ‡

rW M4why 4w

…*†yÌSƒCÔ }"ufÛµzLÑ |~uf‚ïÍEzUÒÃz€GwS†yÌSƒC×ÄUÌS‚rz€GwyƒC†yz[ìrˀç òSò ísz Á Ÿ\¦4|  ~ „

’Ì zL®SzL†€„­wyxCz€}znwyxC†yzLzUÌS ‚ rz€GwyƒC†yz€}/z€}y}zL‚awy|~ufÑ Ñ ÓÈxu­®Sz"uf‚ ÌS†y| S| ‚ xC|~Nx uS}/ÍEƒCz"wyÌ ÁÝ ‡a…*†Nuf ƒCzL†| ‚¿z Á Ÿ\‹  } ‚ ~ ‡©Y‚[wyxCz"wNufÑ =  z}xufÑ ÑµUÌS‚UzL‚awy†Nu\wyznÌS‚ wyxCz wyxC| †NÍ[U ÌS‚rz€GwyƒC†yzS„ ‚uf{ zLÑ ÓS„C…*†yÌSƒCÔ }"ufÛµzLÑ |~uf‚ïÍEzUÒÃz€GwS†yÌSƒC×ÄUÌS‚rz€GwyƒC†yzS‡    >XJ¨©ª    †   ¥ ¡   n j‘zUw uf‚Í Ûµz>uf†yÛC| wy†Nuf†yÓ ìÂCÌS‚E‰YUÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®Sz­í mbn º[n‰» ¦Ÿ\ªÃž€© †y| ‚Ca}L‡ÄènxCzL‚‘„©ÒÆyÌS{ wyxCzœ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| AÌS‚?wyxCzLÌSB†yzUwy|~LufÑ×µÌS| ‚awùÌfÒ"® | z  „©| w}zLzL{[}Á†yz€u\‰ }ÌS‚ufÛCÑ zœwyxu\w zïUÌS‚}|~ÍEzL† uf‚Í uf†yzœwyxCZz YU[\^][| Ò uf‚Í xu­®SzºwyxCzï}yuf{ z †yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ }L„dwyxu\wÁ|~}wyÌvA}yu­ÓS„dwyxCBzœLu\wyzLSÌS†y| z€}t>ÌEÍ ‰ AAuf‚Ít>BÌEÍ ‰ B uf†yz'z ^aƒC| ®\u\‰ Ñ zL‚aw€„  xCzL†yzt>ÌEÍ ‰ A |~}'wyxCzÁLu\wyzLSÌS†yÓÌfÒ©ufÑ Ñd†y| Sxaw A‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}L‡ ?zڃ}ƒufÑ Ñ Óœ}yu­Óùwyxu\w uf‚Í uf†yzt>ÌS†y| wNu['z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw| Ò'wyxCzUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚?xCÌSÑ~ÍC}L„dÛµz€Lufƒ}zÈwyxCzL†yzù|~}Úuœ‚C|~Uz A Nxuf†NuSGwyBzL†y| é€u\wy| ÌS‚[ÌfÒ^}ƒNxÄuf‚º'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uz  xC|~NxÄ|~}"ÍEƒCzwylÌ !Ú| | wy|‘t>ÌS†y| wNuÄìrˀçCË­Š€êEçaŠSí z š µs® º ~ ` „ _ ÏSÏ ‡ ènxCz>z€uS}| z€}rw[‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑnzU£Cuf{ ×CÑ z>ÌfÒÚt>ÌS†y| wNu'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uz€} |~}wyxCz ÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C‡^è©u =Szuf‚ Ó>ìÂCÌS‚E‰YUÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®Sz­í^†y| ‚C A uf‚͜uf‚ Ó ×µÌa}| wy| ®Sz| ‚awyzLSzL† n „Euf‚Í Ñ zUw B := Mat (A) ÛµzÈwyxCzÁÒÃCÑ Ñ©{[u\wy†y| £ï†y| ‚C[Ì\®SzL† A ÌfÒÍEzLS†yzLz n ‡ènxCzL‚‘„ A uf‚Í B uf†yzÁt>ÌS†y| wNuù'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ u ‚C| wyz S†yÌSƒCב„ mbn2Â^n  ¦ž€ Ež€ª«¦ b¥ av  #c ¥ ªÃž€ª«¦ ¥ n ènxC†yÌSƒCSxCÌSƒEwwyxC|~}ڂCÌfwyzS„JÑ zUw Ûµz[C Ñ zUw p Ûµzu[×C†y| { zuf‚Í>Ñ zUw kG ÛµzÈwyxCzùS†yÌSƒC×vufÑ SzLÛC†Nu ÌfÒ G Ì\®SGzL†lu zLÑ~Í k _‡ ?zùƒ}z wyxCz‚CÌfwNu\wy| ÌS‚ºt>ÌEÍ ‰ A uf‚ͺtvu\w (A) uS}'| ‚?ËS‡ Õ‡^…*Ó[{ ÌEÍ ‰ A ÒÃÌS†nuȆy| ‚C A  zÚÍEzL‚CÌfwyz wyxCz Lu\wyzLSÌS†yÓºÌfÒ*ufÑ 4Ñ ‚C| wyzLÑ Ó>SzL‚CzL†Nu\wyz€Í>†y| Sxaw A‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}L„‘uf‚Í>Û Ó D ({ ÌEÍ ‰ A)  z ÍEzL‚CÌfwyz/wyxCz'ÛµÌSƒC‚ÍEz€ÍÈÍEzL†y| ®Sz€ÍÁLu\wyzLSÌS†yÓÌfÒC{ ÌEÍ ‰ A ‡©t>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„UÒÃÌS†©u"×µÌa}| wy| ®Sz| ‚awyzLSzL† z †y| wyz uf‚Í ÒÃÌS†'wyxCzUÓEUÑ |~S†yÌSƒC× ÌfґÌS†NÍEzL† uf‚Í wyxCz}Ó { { zUwy†y|~S†yÌSƒC× n  ÌS‚ n Ñ zUwwyzL†N}LC„E†yz€}×µz€GΣwy| ®SzLÑ ÓS0‡ D©| ‚ufÑ Ñ ÓS„ |G| { z€uf‚}*wyxCzÁÌS†NnÍEzL†nÌfÒ G ‡ n

n

n

b

n

›^n €  ½©Ÿ(   

¥ €ž  Ež€ª«¦ ¥  ¦bž G ¦   aŸ C Ù}|~}  zLÑ Ñ ‰~= ‚CÌ  ‚‘„d| ‚?×C†y| ‚U| ×CÑ zS„‚C| wyzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ^†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}"ÌfÒ G Ì\®SzL† f u †yz"UÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ ÓȃC‚ÍEzL†N}rwNuf‚ÍCufÛCÑ znÛ ÓÁwyxCznÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚CwyxCzLÌS†yzL{ ÍEƒCznwyÌ ?z€ÍCÍEzL†yÛCƒC†y‚‘‡ C ›^n>mbn֕ ¾l  ¦Ÿ( G¡ n ìΙ‡.’ȇt™‡.?z€ÍCÍEzL†yÛCƒC†y‚‘„‘Ë€çSŒ ‹fíènxCzL†yzÚ|~}uf‚Ä|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{  tvu\w  (C) ‡ 0 ‡‡ tvu\w (C) × · · · × tvu\w (C) =   CG ∼ = tvu\w (C) 0 ÌfÒ C‰YufÑ SzLÛC†NuS}ÒÃÌS†"×µÌa}| wy| ®SzÚ| ‚awyzLSzL†N} m, d , · · · , d ‡/Y‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ | wxCÌSÑ~ÍC}*wyxu\w ìrË­í |G| = dim (CG) = P d uf‚Í d1

d1

dm

dm

1

C

m i=1

i

2

m

t {bw Œ  t 4 d^Ž4w Œ»y4x ..

ìÏ í

|~}ufÛµzLÑ |~uf‚>| Ò'uf‚ÍïÌS‚CÑ ÓÄ| Ò ‡  ›^n2›^n ‘  ìrË­í*îÒ G |~}"ufÛµzLÑ |~uf‚‘„ wyxCzL‚

ìÏ í

G · · · = dm = 1 ® Ÿ v¡¬½ †   n

CG

|~}uœUÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzȆy| ‚C[| Ò'uf‚Í>ÌS‚CÑ ÓÄ| Ò



|G|  CG ∼ = −→ C × · · · × C = 

CΣ3 ∼ =C×C×

tvu\w



 C 0 C 2 (C) =  0 0 0

tvu\w

C 0

0 0

2 (C)

‡‡‡  

0 C

‡

µ

d1 =



 .

‚ n €  ½©Ÿ(    ¥ ž€ Ež€ª«¦ ¥ ¦bž G ¦   aŸÄ %c+  † § k e ªÃž¾ ½©Ÿ\ª>¡  ï¡¾© EŸ\ C¡fž aŸ\ª«Lž€ª«¡ p ‚ n>mbn  ¦ž€ Ež€ª«¦ ¥ n Y‚ºwyxCzÁ†yz€}rwÌfÒwyxC|~}"‚CÌfwyzS„CÑ zUw k ÛµzÈuf‚ïufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ ÓœUÑ Ìa}z€ÍzLÑ~Í

ÌfÒJNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ ‡^ènxCzL‚‘„ z"xu­®Szn†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}©ÌfÒ Ì\®SzL† uf‚Í{ ÌEÍEƒCÑ z€} Ì\®SzL† kG uS}"| ‚ X z€pGwy>| ÌS‚™0 ËS‡A’Ì  zL ®SzL†€„  zùÍE̜‚CÌfwxu­®SzÚwyxCz?Gz€ÍCÍEzL†yÛCkƒC†y‚M }nwyxCzLÌS†yzL{ Ï ‡ ˏuf‚ Ó { ÌS†yzS‡„zL®SzL†wyxCzLÑ z€}y}L„a| ‚}rwyz€uSÍ  zÍEÌxu­®Sz"wyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚CÁwyxCzLÌS†yzL{  xC|~Nxº|~} ÍEƒCzÚwyÌ[tvuS}yNx.=SzS‡ ‚ n2›^n֕ ¾l  ¦(Ÿ  G¡ n Îì ’È‡tvuS}yN.x =SzS„dË ò ç ò í'ènxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C[uS}y}zL†wy| ÌS‚}ìrË­ínuf‚Íì Ï ínuf†yz z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ ' ìrË­íÄènxCzL†yzÚ|~}"uf‚Ä|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{  tvu\w  (k) ‡ 0 ‡‡ tvu\w (k) × · · · × tvu\w (k) =   kG ∼ = tvu\w (k) 0 ÌfÒ ‰YufÑ SzLÛC†NuS}ÒÃÌS†"×µÌa}| wy| ®SzÚ| ‚awyzLSzL†N} d , · · · , d ‡ × P ÌfÒ G |~}*wy†y| ® |~ufѾ‡ ì Ï í p - k|G| „C‚uf{ zLÑ ÓS„Cu X Ó Ñ Ì  p‰Y}ƒCÛCS†yÌSƒCm, ‚ n ‚ n §D† ´¦ ’µ  ¥ n Ù X Ó Ñ Ì ‰Y}ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ ÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€} ì«UÌS‚awy†yÌSÑ~}Ní"{ Ìa}rwÚÌfÒ*ufÑ Ñ †yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}'ÌfÒ G Ì\®S zL† pk Û ÓœÑ Ì Ì = | ‚CP[u\wènGxCzLÌS†yzL{ ˆC‡ Ï ‡ ‚ n º[n   #c ¥ ªÃž€ª«¦ ¥ n ?zºLuf‚™ÍEz€UÌS{ ×µÌa}z | ‚awyÌvu>ÍE| †yz€Gwù×C†yÌEÍEƒGwÈÌfÒn| ‚ÍEz€UÌS{‰ ×µÌa}yufÛCÑ z k‰YufÑ SzLÛC†NuS}ìPw  Ìf‰Y}|~ÍEz€Íœ|~ÍEz€ufÑ~}"ÌfÒ kGkGíGw‡ „uf{ zLÑ ÓS„  zÁLuf‚  †y| wyz d1

d1

dm

dm

1

m

ÒÃÌS†ùu>×µÌa}| wy| ®Sz[| ‚awyzLSzL† m  xCzL†yz[z€uSNx A |~}ùuf‚ | ‚ÍEz€UÌS{ ×µÌa}yufÛCÑ z w  Ìf‰Y}|~ÍEz€Í|~ÍEz€ufÑ ÌfÒ kG   ‡ ;'uSNx A |~}LufÑ Ñ z€Í”ugfhij7k ìÃÌS†ugfhij7kl[h m4]fn[SíÚÌfÒ kG ‡Y‚”×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ kG kGkG

= A1 × · · · × A m i

i

¢<ˆ 

rW M4why 4w

Ñ zUw ÛµzïuvÛCÑ ÌEW=™ÌfÒ }ƒNx™wyxu\w A xuS}u?†y| Sxaw|~ÍEz€ufÑ  xC|~Nx”|~}|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ wyÌwyAxCzÄwy†y| ® |~ufÑ kG‰î{ ÌEÍEkG ƒCÑ z „'wyxu\w[|~}L„wyxCzï{ ÌEÍEƒCÑ z |~}S| ®SzL‚–Û әwyxCzÄwy†y| ® |~ufÑ †yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ T : G → GLk (k) = k , g 7→ 1 ‡_X ƒNx kA |~}LufÑ Ñ z€ÍÄwyxCzo;nqp r2jqp o
[h fhij7kœÌS' † o;nqp r2jqp o
[hfhij7ks[h m4]fn[ÈÌfÒ kG ‡ j‘zUw uf‚Í Ûµz'w ̏†y| ‚Ca}L‡©Ù} z*xu­®Sz*ufÑ †yz€uSÍEÓÑ Ì Ì=Sz€ÍÈu\w/| ‚ºËS‡ Õ„ z*}yu­ÓÚwyxu\w uf‚Í S ufR†yLz tui-Snqpwv[]x y)pwzF[h]Ur;v‘| ÒdwyxC zLu\wyzLSÌS†y| z€}^{ ÌEÍ ‰ A uf‚Í{ ÌEÍ ‰ B uf †yz"z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aRw ìPwyxC|~}[|~}[Ûµz€Lufƒ}zïÌfÒwyxCzvNxuf†NuSGwyzL†y| é€u\wy| ÌS‚”Û – Ó ! ‡'t>ÌS†y| wNÌ u z š µs® º ~ `„ _ ÏSÏ ‡$ð‚–wyxCz ÌfwyxCzL†nxuf‚ÍJ„CÑ zUw R uf‚Í S ÛµzÈJu ‚C| wyzÈÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ k‰YufÑ SzLÛC†NuS}L‡^ènxCzL‚‘„  zÁ}yu­Ówyxu\w uf‚Í uf†yzœÍEzL†y| ®Sz€Í)ì«Ý"|~W =\uf†NÍíÚ'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚awù| Ò { ÌEÍ ‰ uf‚Í { ÌEÍ ‰ uf†yz R z ^aƒC| ®\ufÑ zLS‚awuS}nwy†y|~uf‚CSƒCÑ~u\wyz€ÍïLu\wyzLSÌS†y| z€}L‡nènxCzȆyz€uSD}ÌS‚ (  x ÓºR)wyxC|~}|~}LDufÑ Ñ z€(Í>Hu {|S)p}j7k)[n+~ ' ]xy)pwzF[h]Ur2jF]|~}"wyxu\wwyxCzL†yzÁ|~}u ÌS‚ÍEzL†ÒÃCÑNxuf†NuSGwyzL†y| é€u\wy| ÌS‚ºÌfÒ^wyxCzù'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzÁÛ Ó ™SzL†yzL{ùÓ Ý"|~W =\uf†NÍJ„ xC|~Nx”|~}ùUÌS{  ×CÑ zUwyzLÑ Ó™uvSzL‚CzL†NufÑ | é€u\wy| ÌS‚ ÌfÒt>ÌS†y| wNu>'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uz€}  z € ª«¡ | m ~ ‡ ‚ n2Â^n €  G¡” E-Ÿ ‘ n Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†*wyxC†yzLzÈ}rwNu\wyzL{ zL‚awN}ÁìrË­í¾êJ쫈aíG‡ ìrË­í A uf‚Í B uf†yz|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ÚuS} k‰YufÑ SzLÛC†NuS}L‡ ì Ï í A uf‚Í B uf†yzÚt>ÌS†y| wNu'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ 쫈aí uf‚Í uf†yzÚÍEzL†y| ®Sz€Íì«Ý"|~W =\uf†NÍí''z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ ènxCzL‚‘„ A zÚxu­®SBz ìrË­í ⇒ ì Ï í ⇒ 쫈aíG‡ ‚ n } n ® Ÿ‘v  ¡¬½ †    n ìrË­í kC ∼= k[X]/(X ) uS} k‰YufÑ SzLÛC†NuS}L„  xCzL†yz k[X] |~}^wyxCz"×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑCufÑ SzLÛC†NuÌ\®SzL† | wyx>ÌS‚CzÚ®\uf†y|~ufÛCÑ zS‡ k ì Ï ií j‘zUw p = 2 ‡/ènxCzL‚‘„ kΣ = A × A ∼= k[X]/(X ) × Mat (k) „uS} k‰YufÑ SzLÛC†NuS}L‡ ‚ n ® n §  až[¨ ½ n j‘zUw „ uf‚Í ÛµzÚuS}'ÛµzUÒÃÌS†yzS„ Ñ zUw ÛµzÁ u X Ó Ñ Ì ‰Y}ƒCÛCS†yÌSƒC×[ÌfÒ G „ uf‚꼄 zUw H = N (P )p‡'ènkxCzL‚‘„CuSG}n| ‚>ˆC‡ Õ  zÚxu­®SzÚÍEz€PUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ } p uf‚Í kH = B × · · · × B kG = A × · · · × A ÌfÒ kG uf‚Í kH „S†yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓS„\ÒÃÌS†×µÌa}| wy| ®Sz"| ‚awyzLSzL†N} m uf‚Í n „  xCzL†yz A uf‚Í B uf†yz ÛCÑ ÌEW =E}ÌfÒ uf‚Í kH „µ†yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓºÒÃÌS†z€uSNx i uf‚Í j _‡ j‘zUw A = A uf‚Í B = B ÛµzwyxCzÁ×C†y| kG ‚U| ×ufÑdÛCÑ ÌEW =E}*ÌfÒ uf‚Í kH „E†yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓS‡^Y‚ºwyxCzÁ†yz€}rwnÌfÒwyxC|~}n‚CÌfwyz  z }xufÑ Ñ =SzLzL׺wyxCzÁ‚CÌfwNu\wy| ÌS‚ÄxCzL†ykG zS‡ ‚ n ¶ n €  G¡” E-Ÿ  n îwÈ|~} = ‚CÌ  ‚?wyxu\w B ∼ k[P o E] uS} k ‰YufÑ SzLÛC†NuS}L„  xCzL†yz E |~}Áu ‰îS†yÌSƒC×Äuf‚Í P o E |~}"u }zL{ | ‰YÍE| †yz€Gw"×C=†yÌEÍEƒGwÌfÒ P Û Ó E ìÃxCzL†yz P C P o E íG‡ p ‚ n | nH€ l¨   Lž€ª«¦ b¥ a œ ¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ   n ì«ÝÁ‡µ…*†NufƒCzL†Gí'Y‚ÄwyxCzù}| wyƒu\wy| ÌS‚ï| ‚>ˆC‡ ‹ „Cuf†yz A uf‚Í Yp \p h‚[nB2îÒ*}Ì„dxCÌ ÍE̺wyxCzLÓ>†yz€}zL{ùÛCÑ zùz€uSNxvÌfwyxCzL† B)t>ÌS†yzù×C†yz€U|~}zLÑ Ó>}×µz€u = | ‚C„ B uf†yzwyxCzLÓºÍEzL†y| ®Sz€Íì«Ý"|~W =\uf†NÍí''z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚awÌS†nzL®SzL‚ït>ÌS†y| wNu'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw B 1

1

G

G

×

1

1

b

b

p

p

3

1

2

2

2

G

kG

kG

1

m

kH

kH

1

n

i

1

0

j

1

t {bw Œ  t 4 d^Ž4w Œ»y4x ..

¢‡

  ¡¬½ †    n ® Ÿ‘v ìrË­í*îÒ G |~} p‰Y}ÌSÑ ®\ufÛCÑ zÚuf‚Í P |~}ufÛµzLÑ |~uf‚‘„ wyxCz A ∼= B uS} k‰YufÑ SzLÛC†NuS}L‡ ì Ï lí j‘zUw p = 2 „*uf‚Í2Ñ zUw G = A „'wyxCzvufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚C S†yÌSƒCזÌS‚ 5 Ñ zUwwyzL†N}L‡;ènxCzL‚‘„ uf‚Í „ xCzL†yz |~}ÈwyxCzÄufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚CvS†yÌSƒCיÌS‚ Ñ zUwwyzL†N}L‡ P ∼ ènxC=zL‚‘„©CwyxC×zœw C Ì>×C†y| ‚HU| ×uf∼=Ñ'ÛCAÑ ÌEW=E } A uf‚AÍ B ÌfÒ kG uf‚Í kH †yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ Ó4 uf†yzHr;i>v t>ÌS†y| wNu'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw"ÛCƒEwÍEzL†y| ®Sz€Íì«Ý"|~W =\uf†NÍí'z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ ‚ n>m  n

5

2

2

4

4

º[n Á Ÿ\¦µ¨l±´³  E›$  † ª«  ¥ §l Gž¯  ¡fžs’Ÿ\¦µ¨[½ ¡S¦ ¥+«   ¡fž€¨Ÿ(  º[n>mbn Á Ÿ\¦µ¨l±´³ Ú E›$  † ª«  ¥ §l Gž¯  ¡fž7’Ÿ\¦µ¨[½™¡S¦ ¥+«   ¡fž€¨Ÿ( nžrš  Ä œ   n

îÒ P |~}ufÛµzLÑ |~uf‚‘„ u f  ‚ Í  } C x S Ì C ƒ ~ Ñ  Í µ Û  z E Í L z y † | S ® € z > Í « ì " Ý ~ | W=\uf†NÍí©z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€„a‚uf{ zLÑ ÓS„  { ÌEÍ ‰ A) uf‚Í A B D (

{ E Ì Í ‰  } C x S Ì C ƒ ~ Ñ º Í µ Û Á z '^aƒC| ®\ufÑ zL‚awuS}*wy†y|~uf‚CSƒCÑ~u\wyz€ÍÄLu\wyzLSÌS†y| z€}L‡ z D ( B) wyxCzL‚

b

b

Í z € ª«¡ ¶ |CD› ~ $„ z € ª«¡ | m ~ íÁÙ}y}ƒC{ z wyxu\w A uf‚Í B uf†yz º[n2›^n֕ ¾l  ¦(Ÿ  G¡ n Îì ™‡Ý"|~W =\uf†NÌ ÍEzL†y| ®Sz€Íì«Ý"|~W=\uf†NÍí'z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ènxCzL‚‘„ wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C xCÌSÑ~ÍC},F ìrË­í A uf‚Í B xu­®SzwyxCzÈ}yuf{ zڂ ƒC{ùÛµzL†"ÌfÒ/}| { ×CÑ zÁ{ ÌEÍEƒCÑ z€}L‡ ì Ï í Z(A) ∼= Z(B) uS} k‰YufÑ SzLÛC†NuS}L„  xCzL†yz Z(A) |~}*wyxCzÁUzL‚awyzL†nÌfÒ A „uf‚͜xCzL‚Uz A uf‚Í xu­®SzwyxCzÈ}yuf{ zڂ ƒC{ùÛµzL†"ÌfÒ^ÌS†NÍE| ‚uf†yÓ[| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ zÁNxuf†NuSGwyzL†N}L‡ 쫈aíÄènxCzL†yBzÈ|~}Úuœ{[u\wy†y| £ X ∈ GL (Z) }ƒNx>wyxu\w C = XC X „  xCzL†yz ` |~}wyxCz ‚ ƒC{ùÛµzL†Ú| ‚)ìrË­íG„ C |~}wyxCzºÐ*uf†wNuf‚v{[u\wy†y| £?ÌfÒ A uf‚Í X |~}wyxCzwy†Nuf‚}×µÌa}z€Í {[u\wy†y| £ºÌfÒ X ‡ `

B

A

t

A

t

 žî¦Ÿ Á Ÿ\¦µ¨l±´³ Äš  Ä œ º[n>mgn …*†yÌSƒCÔ }ufÛµzLÑ |~uf‚ ÍEzUÒÃz€GwÁS†yÌSƒC×?UÌS‚E‰ º[n ‚ n €   €¨ † ž€" rz€GwyƒC†yzÁÕ‡ ˏxCÌSÑ~ÍC}"| Ò ìrË­í P |~}UÓEUÑ |~ÁÛ ÓïÝ"|~W=\uf†NÍ z € ª«¡ ¶ | G~ ìÂCÌfwyzÈwyxu\wxCzù×C†yÌ\®Sz€}n| w‚CÌfwÌS‚CÑ ÓºÒÃÌS†wyxCz ×C†y| ‚U| ×ufÑJÛCÑ ÌEW =E}nÛCƒEwufÑ~}Ì uf‚ ӜÛCÑ ÌEW=œÌfÒ íG„ ì Ï í G |~}wyxCzï}Ó { { zUwy†y|~ºS†yÌSƒC× Σ Û Ó2Ð'x ƒkGuf‚Cuf‚Í2Ý"ÌSƒ^aƒC| zL†"z œ €" º ~ ìÂCÌfwyz wyxu\wnwyxCzLÓº×C†yÌ\®Sz| w‚CÌfwÌS‚CÑ Ó ÒÃÌS†nwyxCzÁ×C†y| ‚U| ×ufÑJÛCÑ ÌEW =E}*ÛCƒEwufÑ~}Ì uf‚ ӜÛCÑ ÌEW=œÌfÒ íG„ 쫈aí kG ~ | } ‰Y}ÌSÑ ®\ufÛCÑ zÛ ˆÓ -uSÍEzS„ ìÃÕ í Gp = 2pÛ _Ó ;†NÍE{[uf‚C¼‚ z ® Ÿ\+§ |  ~ „\Ý"|~W =\uf†N‡Í z € ª«¡ |b}G~ „\Ý"ÌSƒ ^aƒC| zLg† z € ¦µ+¨ |  ~ „f_ð = ƒCÓauf{[u z ½ ‘+¨ | ¶ ~ D„ z ½ ‘¨ b [› ~ D„ z ½ ‘¨ b G  ~ „Cuf‚Í>ÌSÑ Ñ~uf‚ïuf‚Í>_ ð = ƒCÓauf{[ƒu z Ä ½ | ® ~ „ ì쾊Sí p = 3 uf‚Í P = C × C ìÃzLÑ zL{ zL‚awNuf†yÓ[ufÛµzLÑ |~uf‚ºS†yÌSƒC׺ÌfÒÌS†NÍEzL† 9íG„ Û CÓ !Ìa}xC| ‰ wNuf‚C|auf‚:Í !ڃC‚ ƒCSv| z {¿{ ˆŠ › ~ e‡ „Ìfwyzwyxu\w‘wyxCzLӏ×C†yÌ\®Sz/| wÛuS}z€ÍÚÌS‚Á| ‚C| wy|~u\wyz€ÍÁ†yzU‰ }ƒCÑ wN}'ÌfґñƒC| " z Ê ¨©Wª |  ~ „_ð = ƒCÓauf{[¼u z ½ ‘+¨ | ¶ ~ „_ð = ƒCÓauf{[uÈuf‚Í ? u = l| z ½ˆ | ¶ ~ „ !Ìa}xC| wNuf‚C|Cuf‚l Í !ڃC‚ ƒCS^| z {¿{· m ~ Z„ !ڃC‚ ƒCS^| z { ¨ +¥ b ~ Z„ !Ìa}xC| wNuf‚C|Cuf‚Í t>| ÓauSNxC| z { » b ~ ± uf‚ÍïufÑ~}ÌùwyxCzÈUÑ~uS}y}| µLu\wy| ÌS‚ºÌfeÒ ‚C| wyzÈ}| { ×CÑ zÁS†yÌSƒC×}L‡ 

n

3

3

¢(p 

rW M4why 4w

º[n º[n €  G¡” E-Ÿ  n DCÌS†wyxCz†yz€}ƒCÑ wN}ÌS‚º…*†yÌSƒCÔ }Ù_-ڍÈЖÕ‡ ËS„a® |~}| w'wyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C:?zLÛ ñ/ufSzÁÍEÌS‚CzÚÛ ÓH™‡Ý"|~W=\uf†NÍ F lEk #k ƒ…„q†>†\p p pnm«idjSka;l ‡^mwˆEbµc#‡^mrj4‰©mî`>Š† ∼idj#‹4‰­b†ajSqao‰#†Sjaqao‰^m¾lEk\i2Œ €  Gž¯a  Ÿ(  ¥ ¡    Î / I ÑH×!Ò K´Õ:D³ÕgØcÝYҋØÙÚCÜbÝUÞM‰Õg-Õ:KÐvããØىæ¿Zg0yôs.!ô&Ö8 .!÷Wö<0>ö7 s,7B 1 öŽþ " ï  í$#[  &!þ2'
‘ î älè!! Uþ[CHÑ ×þl#$&êG&  Î ð M Ð & ì%&  éW þ2#[è B  Î /$ ï+>ÑCÒ ç‹ Õ å$_ Õ Øc-ã ØÙ× Ý·ˆ æ ü  ì( sòyè!7  ÜG ‡! èêïW þ Î ìÖ  / éC& &"çlèòy é‰è ý$ï  ( &  è cè!ò I   ‰#$ èêï ‡þ / éC&  & þ+ç+&!  ÷ò þ$C) >ÿ þq\^ è()é " '%/ïèR \Dê  Ð &  ì þè ×(Ñ þ/$%/B Ð & ì " è()é þ\^ è é' þý%ûþC) >Ñ þï Cæ Ñ! Î Ï &)Ò -ÕGÖfÙG&å ÐvØÙMA æ ý$ï  ( &  è ^è!ò ÜG +! èêïW þ<%‹é ê  ^è Ð è Ð & ìí %&  éW þ#[è »ûþü¬  ' þ'
L î älè!! UþvC) þï vB)CæG)Ñ k Î Ï  èÒ â¬ÕkÖfÙ´Ü ÐYöU‰ æ ûW è % <    ‰ïG&ò2&! W þf W'ï ‰" è(éW þféC&7 <è!   ƒP <  - <W þ f ÷÷ º0 

Göþ¯CÿþGè
‹B>í B > þ ï Gæ Î Ï  è×!Ò þÑæ(C Î  &×!Ò þgçlèê(  ÃéìG&&!é  / · è(é UR Mû"ûþE3q ø Zö0yôv0 ö fô (ö h+ø+ùƒ.!÷yú„ø j+jvý þ¯C ×(ÿ þGï GÑæGC Î T^Ò M‰ÕgÓ&٠ҋägå‹ÝvÝ s æ A1 B8H[ c÷>.!,[ ö  $ö + ö öô÷>.!÷20 !ôU÷ 5ö‡.!&ô ] ö1 .!÷WSö ƒ.1 (Rö 6 . Žþ %‹é ê (  '
è!  g Ð & ì%&  éW þè ‹R×( >þ " ï  $í #[  &! þ Ï    þ‹C Î #(@´ÑCÒ a‡.Õ D³
Õ /Übããå‹Ý  Þ Ó/„Õ á[e´Ð+Ô(å‹ägå¼æ    C‡B Û(ê &! é +òyè!$ ì´ %&!   ¯ G&!Uèk! èê ï þ‹CÑ þGï ï  ( B Î 1(1MÒ ,^Õ McÜbBÚ Nv× Ûå‹Ýv×GÞ V‡Õ M7ÐvYÝ ÐYb×æ Î ìlï  é ïG&!
 í> è(é U 4è!ò ìq íW %/  èG&! ï Hè G¯é  c ïé &!Dê &'‰! èêï ´ ÃèíW  ÜG /éìG&&!é   ¯  'é þg3.ø Zö0yôvö fô (ö h+øbùƒ.!÷yú+ ø i+;+ß þ>!ÿ þGï væÑ Î 1(1iü CÒ ,^( Õ McÜbBÚ Nv× Ûå‹Ýv$× ÑJV‡_ Õ M7ÐvYÝ ÐYb×M¸ Þ M‰Õ D·å eb×+æ Ï  è#ê <)u /éèG¯é ê °òyè!èí ï  é ïG&!J  í> è(é U °è!A ò ÜG ƒ! èêïW þ[3_ ø Þg  s ö fg<1 ø f$1 (Rö 6 .Ìû ú; þ>!ÿ þ è
þï ‹ÑÑæ() Î 1 Ð Ò ,^:Õ McÜbBÚ Nv× Ûå‹Ýv×l Þ a‡Õ[â·× Ô(&å û&Nv×væ Î ìsï  é ïG&!. í> è(é U
è!òDòyèêí&!G]ÜGí  %/  èG&!ï Hè G¯é  g ïé &!  C&[! èêï D cèíW  ÜG $éìG&&!é   ¯  'é þ 3 ø f$1 (Rö 6 .°üG>ü ="þ>!ÿþGè
þï Ñ>)>Cæ > Î 1fêGÒ V‡P Õ M7ÐvYÝ ÐYb×
æ Ð è!  &·B Û(ê &! ( –í> è(é U °è!òs ì  íW %/  èG&!´ï Hè G¯éí  f ïé &!4  C&
! èêïW þ´ÞgSB8ø D´!&ô <!ôÃùƒ.!÷yú2ø 4&B8ø }Ucý =¿þ>!ÿþè
&þ ï &k)Ñ k
æ k> 

t {bw Œ  t 4 d^Ž4w Œ»y4x .. Î 1  )>Ò

¢

,^ Õ M7dbÝv× ‰Þ ؇Õ#D× ääØÙägå‹ÝvÝsæ`‘sö0yõöSsöS

0yõ!.1 öô&8ö4 R„S H00yôŽþ<%‹éí ê '
è!  D Ð & ì%&  é Wþ(èC)>þü¬ ì éè(   ê  è
(' Ï  ìG&Ö1f  þ Ð &!Uê _%‹ éU %&!þ&^ %s'ý$ éU& &!Gý
&!ïìG+& ’ ý$èê+Û(ê B Î @UêG)>Ò Ó/¨ Õ á[e´Ð+Ô(å‹ägåñæ " è%/ ð&!%/ï  ¼è!ò  CÌB Û(ê &! ( à è(é U Ãè![ ò ÜG  ! èêïW þ‹C) >þï ï  ( þvCcïG&!R Î @UêG&Ò þ    C‡B Û(ê &! é  ° -þ>  þ q ÿ þv!þï ï  ( B Î @UêG!Ò þý$%&! U kèU ï G ·    "éè%/ï ðW þ\^ è(éC  è!A ò ý$ï í ( &  è Mè!ò I   &!G¿/$ &! é‡#$ èêï /þ 'A1M&îg&!G&U& þDA # Ð  éì cÞ 1[»ÿ
èþCR ÿ þ&@
& U & ÿ
 & þG!þï vÑ(æGÑ! Î @0ü )>Ò Ó/
Õ á[e´Ð+Ô(å‹ägå°L Þ M‰Õ D·å eb×æ  éè%/ïè   èfê%c vè!ò Sp(4, q) þ3ø f$1 (Rö 6 .
û ß+ß"þ¯C) >ÿ þGè
þG ï +kH×)×
æ k)k)k Î \Dê Ò å$Õ4E ß Ðv× ‰7 æ /$ ) Ý  g
èê é´
é &!  + è(é  +! èêï gfçlì&!  .' þ f ÷÷ º0 

Göþ¯CÿþGè
‹B>í B > þ ï Gþ(æ  Î ý$ éB>&Ò ç‹EÕ -s× û&e‹å‹&Ù Ò"æ    CƒéC& è!   k&!G" ¯ &! /B Û(ê &! é' þ3:ø Þg  [ ö fg<1 ø f$1 (Rö 6 I . =vûÃþ¯C) >ÿ þGè
+þï +)Cæ Ñ Î ý$ éB>!Ò þ Ð è!  &‡ ìè!'Ãòyè!c  CÃéC& è!  W þE32 ø D´!&ô <!ô ùƒ.!÷yúgø 4&B8“ø   ;+ß"þ¯C) >ÿ þGè
+þ ï ×<Cæ ×k! Î ý$ éCÒ þ    C¼B Û(ê &! é f&! M  C‰òyêé è! W þ:3; ø D´!&ô <!ô ùƒ.!÷yú„ø 4&B8ø  (jY;"þ¯Cÿ þGè
‹'þGï Ñæ ×<> Î ý$ éCÒ þ " ï G B Û(ê &! é   CéC& è!   $&!Gï %cê &  è‡%/èí ê W þYÞgSB8ø D´!&ô <!ôÃùƒ.!÷yú´ø 4&B8ø Õ }UPúü"þ¯Cÿ þGè
þGï )æ  Î ý$èêG' ” " B ./$G îW þ´#[è 4þ2%‹èí è Ð & ì " è()é %‹é ê  '
è!  " B þ(è (( þç+&!%c  0 ÿ
 & <\^  W þç+&!%kí   ' þ‹C< kþï +k(
æ k 

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀÇÖF•Å•Ô È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

l–

ä8ñ‰Þ×*í‰ä ã Ø\ÞÚ

×\؃ìŠØ\æè؃ã Ø íèp

Ú0݊ÚwãcÞÙnoå|Ø\âå|Ø\ñŠÚK

p

ä Ù‰ñ

ÛHì‰â

ÛHì‰âCØ\Ü âæ

^OcóŒí‰ø~ù~ùmõ ÿ

"

Ð ý‘>>‰ê"ç€ 'A ýJ " þ Ð & ì#<%&  Û(ê Wþ Ï—  %/( _×()kþÿ
   7
KML!NO-PQR!OS T ¾%ÃÇÌξŽÍm¾ ÉKύÏWY ¾ ‚!V ÍW\ Ê É™›š _,¾ Ë _,¿ÇÍ  X WÏ Y ¾ _Ìξ Z h Ê ÏWYÇÊ ÉÏWY ¾ ` ÌWaZA¾ h _Ì  _`b] _ e Ï a\ ¾] _ Y _CZf_C\ _ Ó KX À

!V _ V

ÉKÏmÊ É

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ j‘zUw ÛµzÁuJzLÑ~ͺuf‚ÍœÑ zUw ÛµzÁuù}zL×uf†NufÛCÑ zUÑ Ìa}ƒC†yzÌfÒ ‡0?zÚÍEzL‚CÌfwyzÛ Ó wyxCz ufÛ}ÌSÑ ƒEwykzœÚufÑ ÌS|~}ڐS†yÌSƒC×ÌfÒ kk‡ºÝ"Ìa}rwÈuf‚ Í }/Ì zL®SÌEÍC} = Ó z € ¦µk  › ~ „
z „ ¦D ~ z€}rwNufÛCΓÑ |~}xCz€Í wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C†yz€}ƒCÑ w Á°† ¦‘¡¾ — {  Ež€:¦ ³ Á¡S¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ   z {  Ež ¶b ~ %‡ Q¼\DÚZ\O  q > 0 b m > 1 bZ\OdÉ m FPOÀ\RUDG½¾F«ãUT R FPO k b½ÃMCCR Z\T ¼\F~IÁI \X[ãN¼\T mbn

s

o

F~IùZ\O?F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX \ WY

ÃÇÌ Ê ZÔBl Ï

ÂÔÕÕWÖÇÀ

œ

hqm,k : KqM (k)/mKqM (k) → H q (k, µ⊗q m )

k

Í

¢À

8 r 1^wyxx

j‘zUwƒ}ÛµzLS| ‚?Û Óï†yz€LufÑ Ñ | ‚CœwyxCzÌSÛrz€GwN}| ‚ ®SÌSÑ ®Sz€Íï| ‚vwyxC|~}†yz€}ƒCÑ w€‡ |~}wyxCz S†yÌSƒC×>ÌfÒ^wyxCzt>| Ñ ‚CÌS† K êawyxCzLÌS†yÓºÌfÒ k | ‚?ÍEzLS†yzLz q „d|¾‡ zS‡ „wyxCz^aƒCÌfwy| zL‚awKÌfÒ (k(k) ) = Û ÓwyxCz'}ƒCÛCS†yÌSƒC×ڐSzL‚CzL†Nu\wyz€ÍÛ ÓwyxCz ÒÃÌS† xC|~NxÚwyxCzL†yz k ⊗ · · ·⊗ k zU£E|~}rwN} i  | wyx a + a = 1 ‡%?zÍEzL‚CÌfwyzÁÛ Ó {a , ...,a a⊗a} ⊗· wyxCzù· ·⊗a UÑ~uS}y}ÈìÃÌS† }Ó {ùÛµÌSÑPí*| ‚ ÌfÒ ‡ènxCzS†yÌSƒC× H (k, µ ) |~}dwyxCz*ÚufÑ ÌS|~}‘UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓ"| ‚ÈÍEzLS†yzLz K (k) a ⊗· · ·⊗a ÌfÒwyxCzÚ×C†yÌ ‚C| wyzڐS†yÌSƒC× Γ  | wyxïUÌ Kz uœU| zL‚awN}n| ‚ µ = µ (k ) ⊗ · · · ⊗ µ (k ) q ì q wy| { z€}NíG‡ „ „ !ڃC{ { zL†"wyxCzLÌS†yÓœÓ | zLÑ~ÍC}uf‚ï|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ uf‚͜wyxCzùÚufÑ ÌS|~}"}Ó {ùÛµÌSÑJ|~}*wyxCzL‚vÍEKz ‚Cz€ÍÄuS}*wyxCkzÈ/(k UƒC×E‰î×C)†yÌEÍE−→ ƒGw H (k, µ ) a 7→ (a) M q

×

Z

Z

×

1

i

M q

i+1

1

1

q

q

⊗q m

2

×

q

q

⊗q m

k

× ⊗q

× m

m

∼

s

Z

1

Z

m

s

m

hqm,k {a1 , ..., aq }) = (a1 ) ∪ · · · ∪ (aq ) ∈ H q (k, µ⊗q l ).

‘zUw l ÛµzÄuŒC£Ez€Í ×C†y| { zœ| ‚ ®SzL†wy| ÛCÑ z[| ‚ k ‡\?zºÍEzL‚CÌfwyzœÛ Ó Q /Z (q) wyxCzïÚufÑ ÌS|~} { ÌEÍEƒCÑ z Ñ | { µ ‡l?z[uf†yz | ‚awyzL†yz€}rwyz€Ív| ‚wyxCz ÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚CÄz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚awÚÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wy| ÌS‚ ÌfÒwyxCz[…*=Ñ ÌEN−→ x ê!Áu\wyÌ }UÌS‚rz€GwyƒC†yzS‡ºìÎDCÌS† l = 2 „‘uÄÍE| Z\DyRR
BEFPÀ\Z\T RUO½Y] |Pí?½ÃMCRÅfDy¼\B€ø F~IùÉ\FPÀ€F~IGF«ãUT Rn¿U¼\DZ\O c*RUT É F/k b Q /Z (q)) | |Pí¿U¼\DºZ\O J*RUHT É (F, b½ÃMCƒ R Z\T ¼\F~I[ I \X[ãN¼\T h : K (F )/l → H (F, µ ) F~IºZ\O F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX b F/k | | |Pí¿U¼\DnZ\O 4*RUT ÉÚ>R +S½YRUOCIGF«¼\O F/k bd½ÃMC_R Z\T ¼\F~I'I \X[ãN¼\T h : K (F )/l → H (F, µ ) F~IÚIGBE2D ÈLRNKU½¾FPÀ\R œ Y‚2×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„^wyxCz>}ƒCΆ rz€Gwy| ® | wrӔÌfÒwyxCzvÚufÑ ÌS|~} }Ó {ùÛµÌSÑn| { ×CÑ | z€} | wN} | ‚ rz€Gwy| ® | wrÓS‡ ènxCz×C†yÌ ÌfÒÌfґwyxC|~}*†yz€}ƒCÑ wn|~}*xC| SxCÑ Ó wyz€NxC‚C|~LufѾ„ {[u = | ‚Cƒ}zÌfÒ{ Ìfwy| ® |~wyxCzLÌS†y| z€}*uf‚Í }| { ×CÑ |~U|~ufÑ^}yNxCzL{ z€}L‡ÈðƒC†SÌaufÑ©|~}wy̺S| ®Szuœ{ùƒNx?}| { ×CÑ zL†×C†yÌ ÌfÒÛuS}z€Í>ÌS‚ÚufÑ ÌS|~} UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓS‡ DCÌSÑ Ñ Ì  | ‚C™è©u\wyz– ì z •  Ež ® }v~ c„ X z€Gwy| ÌS‚ Ï íG„*wyxC\z †N}rwÄuS}y}zL†wy| ÌS‚2ÌfҏwyxCz ènxCzLÌS†yzL{ Luf‚ÄÛµzÈ}rwNu\wyz€Íº| ‚ÄwyzL†y{[}nÌfÒ lêEuSÍE|~UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓS„a|¾‡ zS‡ „ ÒÃÌS†uf‚ Ó[zU£ wyzL‚}| ÌS‚ F/k. i) H (F, Z (q)) =0 ð‚ºwyxCzÁÌfwyxCzL†"xuf‚ÍJ„EwyxC:z =SzLÓº}rwyzL×ÄÌfÒ©wyxCzÈt>zL>† = ƒCΆ rzL®S.ê X ƒ}Ñ | ‚œwyxCzLÌS†yzL{Î|~,} F >ª † $ ›  aŸ­ž žî¦Ÿ z » §[¶ › ~ 9RU½ ãNRZºKK SKUT F«K >R +S½YRUOCIGF«¼\O ¼r¿ÈÉSRîÅfDyRNR l œ 9RU½ σ ãNRZùÅaRUOdRU90DyZ\½Y¼\Dù¼r¿ KG al(L/k) œ HdMCRUO?L/k ½ÃMCRKN¼\XødT R>+ j

l

⊗q ln

q

l

l

M q

q

M q

0

q+1

l

tors

2

(1−σ)

F~IùR>+ ZSKU½ œ ù RUDyR

NL/k

K2M (L) −→ K2M (L) −→ K2M (k),

NL/k

l

F~IÁ½ÃMCRÈOd¼\DGX X[Zyø[¿U¼\D:G>FPT Od¼\D K WY½ÃMCRN¼\D œ

⊗q l q

⊗q l

1 y4x ^w)J  ^ q ^ x
1 ‰

y

t ‹ \Ž xwh ”Œ

GŒ t  2W ‰ ‹ .

{ q

¢Í

Y‚® | z ÌfÒ'wyxCz[ufÛµÌ\®SzS„J| wù}zLzL{[}ڂu\wyƒC†NufÑ©wyÌïÑ Ì Ì =ïÒÃÌS†ÁxC| SxCzL†Áuf‚ufÑ ÌSSƒCz€}ÌfÒ'wyxC|~} | Ñ ÛµzL†wçS Œ }rwNu\wyzL{ zL‚awnwyxu\wuf†yzÚz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚awnwyÌ wyxCzù…*Ñ ÌENxE‰"!Áu\wyÌ }*UÌS‚rz€GwyƒC†yzS‡'ènxC|~} |~}nzU£CuSGwyÑ Ó  xu\w  zÚ×C†yÌS×µÌa}zwy̜ÍĖ  ¦ž€ Ež€ª«¦ ¥ n DCÌS†ufÑ Ñ uf‚Í m > 1 „  zÁ}zUw • i>0 uf‚Í Z/l Z(−i) = Hom (µ , Z/l Z). Z/l Z(i) = µ , Ù}"ÛµzUÒÃÌS†yzS„ Q /Z (i) = Ñ | { µ „ DCÌS†'uf‚œufÛµzLÑ |~uf‚ S†yÌS−→ ƒC× uf‚Í uÚ×µÌa}| wy| ®Sz| ‚awyzLSzL† zÑ zUw uf‚Í ÍEzL‚CÌfwyz • wyxC:z =SzL†y‚CzLёuf‚ÍÄUÌ =SzL†y‚CzLÑd†yz€A}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓœÌfÒwyxCzÁ{ùƒCÑ wy| ×CÑ n|~Lu\ wy| ÌS‚ A A−→ A „ A/n |~}"wyxCzù{[u\£E| {[ufёwyÌS†N}| ÌS‚>}ƒCÛCS†yÌSƒC×ïÌfÒ A uf‚Í A{l} wyxCz lê ×C†y| {[uf†yӜ×uf†w •A „ A |~}nwyxCzÈufÛµzLÑ |~uf‚ïLu\wyzLSÌS†yÓ ÌfÒ^×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÚ}ÓE}rwyzL{[} •A ’

⊗i lm

m l

m

ks −gr

⊗i lm

m

⊗i ln

l

n

×n

tors

tors

N b

· · · → An → An−1 → · · · → A1 → A0 .

z>ÍEzL‚CÌfwyzïÛ Ó”Ñ | { wyxCzˆ†N}rwœÍEzL†y| ®Sz€Í™ÒÃC‚GwyÌS†[ÌfÒwyxCzïÒÃC‚GwyÌS† Ñ | { : A ←− ìÃxC| SxCzL†ÍEzL†y| ®Sz€Íœ←− ÒÃC‚GwyÌS†N}"uf†yzwy†y| ® |~ufÑPíG‡ ?

1

n

N b

n

→ Ab

¦ ¥ ž€ª ¥ ¨©¦µ¨©ÃÄÄ  † ¦µª« ¡S¦b¾©¦b¡”¦ † ¦´’‹Ÿ ÛµzuÚ×C†yÌ‚C| wyz"S†yÌSƒCב‡©îÒ |~}'u ê { ÌEÍEƒCÑ z"ÌfÒ‚C| wyz"wrÓ ×µz | wyxœuÁUÌS‚awy| ‚E‰ j‘zUw ƒCÌSƒ}uSGGwy| ÌS‚ïÌfÒ G „  | wyx>†yz€}×µz€GwwyÌ MwyxCz l‰YuSZÍE|~wyÌS×µÌSÑ ÌSSÓS„  zÈÍEzL‚CÌfwyzÈ Û Ó H (G, M ) wyxCz l‰YuSÍE|~UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSӐS†yÌSƒC×}JÌfÒè©u\wyzsz •  Ež ® }v~ ÍEzK‚Cz€Í  | wyxUÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ}UÌENxuf| ‚}L‡ ènxCzÚÑ | ‚.=  | wyxºwyxCzÁUÑ~uS}y}|~LufÑwyxCzLÌS†yÓ[|~}*S| ®SzL‚ºÛ Ó wyxCzÁt>| Ñ ‚CÌS'†  }'zU£CuSGw"}'z ^aƒCzL‚Uz ìrT ¼€K œ KUFP½ œ „Cñ†yÌS×µÌa}| wy| ÌS‚ Ï ‡ Ï í ìrË­í 0 → Ñ | { H (G, M/l ) → H (G, M ) → Ñ | { H (G, M/l ) → 0. ←− ←− X | ‚Uz/wyxCzS†yÌSƒC×} uf†yz ‚C| wyz'uf‚ÍwyxCz'}ÓE}rwyzL{ H (G, M/l )
}yu\wy|~Ž} z€} H (G, M/l ) wyxCzÈt>| wwNuff"‰ j‘Fz œ[zL'†  }nUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚‘„  zÁxu­®Sz Ñ|{ H (G, M ) = ←− H (G, M/l ). Y‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ Ñ|{ H (G, Z ) = ←− H (G, Z/l Z) Ñ | { Hom (G, Z/l Z) = Hom (G, Z ), = ›^nƒœ

l

1

q−1

n

i

q

q

n

n

n

0

n

0

1

1

n

n

n

1

1

l

n

n

←− n

gr

n

gr,cont

l

¢<°

8 r 1^wyxx

wyxCz[Ñ~uS}rwÈ|~}ÚwyxCz[S†yÌSƒC×ÌfÒnUÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ}ÚxCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}ÒÆyÌS{ G wyÌ Z ‡ºènxC|~}ÚwyxCzU‰ ÌS†yÓ>Luf†y†y| z€}UƒC×E‰î×C†yÌEÍEƒGwN}L„d†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚v{[uf×}ÚÝ"z€} : H (G, M ) → H (H, M ) uf‚Í UÌS†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚º{[uf×}Ð'ÌS† : H (H, M ) → H (G, M ) ÒÃÌS† H ÌS×µzL‚ï| ‚ G ‡ ?zÈuS}y}ƒC{ zwyxu\w |~}nwyÌS†N}| ÌS‚œÒÆyzLzS‡ènxCzÁzU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚Uz M i

i

i

l i

i

i

×lm

0→M − → M → M/lm → 0

| ‚ÍEƒUz€}nwyxCzÁzU£CuSGw}z'^aƒCzL‚Uz ìÏ í 0 → H (G, M )/l → H (G, M/l ) − → H (G, M ) → 0. ñ/uS}y}| ‚CùwyÌ wyxCzÁÑ | { | w| ‚ m Ó | zLÑ~ÍC}*wyxCzÁzU£CuSGw}z'^aƒCzL‚Uz[ì z •  Ež ® }v~ „X z€Gwy| ÌS‚ Ï í 쫈aí 0 → H (G, M ) ⊗ Q /Z → H (G, M ⊗ Q /Z ) −→ H (G, M ) → 0. t>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„\wyxCzS†yÌSƒC× H (G, M ) ⊗ Q /Z |~}wyxCz{[u\£E| {[ufÑdÍE| ® |~}| ÛCÑ zÚ}ƒCÛCS†yÌSƒC×[ÌfÒ ‡ H (G, M ⊗ Q /Z ) j‘zUw Ûµzuf‚[ÌS×µzL‚œ‚CÌS†y{[ufÑ}ƒCÛCS†yÌSƒC×[ÌfÒ }ƒNx[wyxu\w'wyxCz ^aƒCÌfwy| zL‚aw |~} UÓEUÑ |~"ÌfHÒdÌS†NÍEzL† l ‡ D©| £[uÁSzL‚CzL†Nu\wyÌS† σ ÌfÒ Γ uf‚GÍ[}zUw N = 1 + σ + · · · + σ G/H∈ =Z Γ[Γ] ‡ ?zï}xufÑ Ñ*ƒ}zºwyxCzĂCÌS†y{ { ÌS†y×CxC|~}{ {[uf×C×C| ‚C wyÌ uf‚Í wyxCz ufƒCS{ zL‚awNu\wy| ÌS‚™{[uf× ε : Z [Γ] → Z NÍEKz : ‚CZz€Í™→Û Ó Zε([Γ]P a σ ) = P1 a N ‡ ?zºxu­®Sz uf‚ͺwyxCzÁzU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚Uz ε ◦ N = ×l q

m

q

Zl

q

l

l

Zl

q+1

lm

δ

q

l

q

q

δ

m

l

l

q+1

l

tors

l

l

n−1

l

l

l

N

z>}zUw

l

i

i

1−σ

i

l

i

i

ε

0 → Zl −−→ Zl [Γ] −−→ Zl [Γ] −−→ Zl → 0.

ÚzL† ε) „ J = Coker(N ) uf‚Í2UÌS‚}|~ÍEzL†wyxCz>†yz€}ƒCÑ wy| ‚C|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ I = ‡Ù"ÒPwyzL†"wyzL‚}ÌS†y| ‚CùwyxCzÈ}xCÌS†w"zU£CuSGw}z'^aƒCzL‚Uz€} (1 − σ) : J −→ I ?

!

∼

uf‚Í | wyx 

0 → I → Zl [Γ] → Zl → 0

„ zÚ{[u­Óœƒ}zJX x0uf→×C| †yZÌ }n→Ñ zL{ Z{[[Γ]uùwy→Ì[ÌSJÛEwN→uf| ‚º0 wyxCzÈUÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzÁÍE|~ufS†Nuf{ l

⊗ Zl M 

H q (G, M )

#ž}Ÿ

q

/

H q (G, M ⊗Z J ) l

/

H q (H, M )

l

/ H q+1 (G, M )

#ž}Ÿ

q+1

/

H q+1 (H, M )

(1−σ)

 P¡£¢



 P¡£¢

nè xCz{[uf× H (H, M ) → H (H, M ) |~}'S| ®SzL‚œÛ Ó 1 − σ ‡Ù$ÍE|~ufS†Nuf{4NxuS/ }zÓ | zLÑ~ÍC} wyxCzÁzU£CuSGw}z'^aƒCzL‚Uz ìÃÕ í Ð'ÌS† H (H, M )
H (G, M ) → H (H, M ) →H (G, M )/ !ÚzL† Ý"z€} !ÚzL† Ð'ÌS† − → ( )→ ( )/(1 − σ)H (H, M ) → 0. H q−1 (G, M )

q−1

/

δ

H q−1 (G, M )

q

H q (G, M ⊗Z I) l

/ H q (H, M )

q

H q (G, M ).

q

q

ϕ

/

q

q+1

1−σ

q−1

q−1

q

q

q−1

1 y4x ^w)J  ^ q ^ x
1 ‰

y

t ‹ \Ž xwh ”Œ

GŒ t  2W ‰ ‹ .

{ q

¢<µ

„ | wyx l‰YuSÍE|~{ ÌEÍEƒCÑ z€} Z (i) := Ñ | { µ ‡ ←− Ñ|{ Ñ|{ H (k, Z (1)) = ←− H (k, µ ) = ←− k /k . Y‚ ÌfwyxCzL† ÌS†NÍC}L„­wyxCzS†yÌSƒC× |~}^wyxCz êEuSÍE|~nUÌS{ ×CÑ zUwy| ÌS‚ ÌfÒ ‡?znwyxCzL‚ xu­®SzuºLuf ‚CÌS‚C|~LufÑ{[uf× h :Hk (k,→Z H(1))(k, Z (1))l ‡Èè©u\wyz ÍEKz ‚Cz€Í>wyxCz kl‰YuSÍE|~ÚufÑ ÌS|~} }Ó {ùÛµÌSÑì z •  Ež ® }v~ „ènxCzLÌS†yzL{ΈC‡ Ë­í'Û Ó ?zȂCÌ ÒÃÌEUƒ}ÌS‚ïwyxCzùLuS}zÁÌfÒ zÁxu­®Sz 

G = Γk 

?

1

1

l

×

ln

n

1

1

×ln

n

×

l

×

⊗i ln

l

1

hqk : KqM (k) → H q (k, Zl (q)),

l

ènxC|~}}Ó {ùÛµÌSÑJÑ | ÒPwN}nwyxCzÁƒ}ƒufэÚufÑ ÌS|~}"}Ó {ùÛµÌSÑ

{a1 , · · · , aq } 7→ h(a1 ) ∪ · · · ∪ h(aq ).

hqlm ,k : KqM (k)/lm → H q (k, µ⊗m lm ).

ÌfwyzÚwyxu\w  zÁxu­®SzwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzÁÍE|~ufS†Nuf{ØÌfÒ/UÌS{ ×CÑ zU£Ez€} „

(1−σ)

KqM (L)

NL/k

/ KqM (L)

/ KqM (k)

'Ð ÌS†    / / H (k, Z (q)), H (L, Z (q)) H (L, Z (q)) uf‚͜wyxCzÁÑ | ‚.=  | wyxÄwyxCzÁ×C†yÌSÛCÑ zL{ÎÌfÒ0’| Ñ ÛµzL†wçSŒÈÒÃÌS†t>| Ñ ‚CÌS†' } K êawyxCzLÌS†yÓ wyxCzL†yzLÌfÒr‡ hqL

q

hqL

(1−σ)

L k

q

l

hqk

q

l

l

C  §©ª«¡"žî¦Ÿ(¡¨ †  Ež€ª«¦ ¥ ¦bž"ž¾l  Á°† ¦‘¡¾ — {  Ež€¦ ¡S¦ ¥+«   ¡fž€¨Ÿ(  ?zÈUÌS‚}|~ÍEzL†*wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚Cùw Ì[uS}y}zL†wy| ÌS‚},F   ¤  C§©ª«¡>ª † $ ›  aŸ­‰ž |  ª ¥ l§  +’(Ÿ  G  q¥ n Q¼\DÈZ\OºR>+S½YRUOCIGF«¼\O F/k Z\OdÉ¿U¼\DùZ\OºKKSKUT F«K R>l+S— ½YRUOCIGF«¼\O E/F ¼r¿ùÉSRîÅfDyRNR l Â/FP½Ã‰ M Z\T ¼\F~IÅfDy¼\B€ø Z/lZ = hσi b'½ÃMCRKN¼\XødT R>+ Ð'ÌS† H (L, Z (q)) −→ H (L, Z (q)) −→ H (k, Z (q)) F~Iù>R + ZSKU½ œ ¡ >ª † $›  aŸ­‰ž |  žî¦Ÿ[! ŸD¡?›'¦ † ùª ¥ l§  +’(Ÿ  G  q¥ n 9RU½ F/k ãNRùAZ *RUT ɜ>R +S½YRUOCIGF«¼\O ¤  C§©ª«¿ Z\lOd— É E/F ZÄKK SKUT F«K >R +S½YRUOCIGF«¼\O¼r¿ùÉSRîÅfDyRNR l Â/FP½Ã| M Z\T ¼\F~IÅfDy¼\B€ø Z/lZ = hσi œ šÃ¿ Y{ K (E) → H (E, Z (q)), β∈ F~IÚIGBKNMï½ÃMCZ\½*½ÃMCRUDyRù>R +SF~IG½«I β ∈ H (F, Z (q)) ILZ\½¾F~IÃW¿ \FPO Å Ð'ÌS† (β) = lβ , ½ÃMCRUO Ý"z€} (β ) ∈ (1 − σ) · H (E, Z (q)). β− ‚ n

l—

q

(1−σ)

l

q

M q

q

q

0

0

q

l

l

E F

E F

L k

l

0

q

l

l

¸

8 r 1^wyxx ˆ

zÈLuf‚Ä‚CÌ  }rwNu\wyzÚÌSƒC†"{[uf| ‚ï†yz€}ƒCÑ w€‡ 
‘D’“‹”’• ¨ n HdMCR*¿U¼\TPT ¼\Â/FPO Å>Z\DyRR
BEFPÀ\Z\T RUO½Y] |Pí HdMCRÅfDy¼\B€ø (F, Q /Z (q)) F~IùÉ\FPÀ€F~IGF«ãUT Rn¿U¼\DZ\Oc*RUT É F/k b | |Pí l WZSÉ\F«PK ÁFPT ãNRUHDG½ 90 FPO ÉSRîÅfDyRNR b | | |Pí l WZSÉ\F«PK ÁFPT ãNRUDG½ 90 ¿U¼\DÁI \X[ãN¼\qT IÁFPO ÉSRîÅfDyRNR q b | ®C\í Q¼\DZ\O %*RUT É>R +S½YRUOCIGF«¼\O F/k b½ÃMCR Z\T ¼\F~II \X[ãN¼\T h : K (F )/l → H (F ) F~IùZ\O?F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX b ®C\í Q¼\DZ\O %*RUT É>R +S½YRUOCIGF«¼\O F/k b½ÃMCR Z\T ¼\F~II \X[ãN¼\T h : K (F )/l → H (F ) F~IÚIGBE2D ÈLRNKU½¾FPÀ\R œ j‘zUwÁƒ}Á} =SzUwNNxvwyxCz ×C†yÌ ÌfÒ xC|~NxSÌ z€}Û Óv| ‚ÍEƒGwy| ÌS‚ÌS‚ ‡Ù =SzLÓ>×µÌS| ‚awÁ|~} wyÌ[ƒ}zÚwyxCzÈzU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚Uz[ìÃÕ  í*ÒÃÌS†u S| ®SzL‚>UÓEUÑ |~ÚzU£ wyzL‚}| ÌS‚q >L/k1 ÌfÒ^×C†y| { zÈÍEzLS†yzLz ‡ ?zº‚CzLz€Í wyxCzL‚–uvNxuf†NuSGwyzL† χ ∈ H (k, Z/lZ) ÍEKz ‚C| ‚C L/k uf‚͔u>SzL‚CzL†Nu\wyÌS† \ l ‡ènxCz€}zÚÓ | zLÑ~͜wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C zU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚Uz σ ∈ G al(L/k) 쾊Sí H (k, Z (q)) −−−→ !ÚzL† H (k, Z (q)) → H (L, Z (q)) −−→ Ð'ÌS†  !ÚzL†  H (L, Z (q)) −−−→ H (k, Z (q)) /(1 − σ)H (L, Z (q)) → 0. |Pí =⇒ | |Pí F0?zÁxu­®Sz H (k, Z (q)) = 0 uf‚ͺ| ‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf†
!ÚzL† H (k, Z (q)) → H (L, Z (q)) = 0. ènxCzÁzU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚Uz[쾊Sí'| { ×CÑ | z€}nwyxCzL‚Äwyxu\w"wyxCzÈUÌS{ ×CÑ zU£ Ð'ÌS† H (L, Z (q)) −→ H (L, Z (q)) −→ H (k, Z (q)) |~}nzU£CuSGw€‡ | |Pí =⇒ | | |Pí FÌSÛ ® | ÌSƒ}L‡ | | |Pí =⇒ | ®Cí FènxC|~}È|~}ÚwyxCzœ‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ×uf†wÈÌfÒ*wyxCzºuf†ySƒC{ zL‚aw€‡Ä…*ÓvwyxCzº…nuS}y}YêEè©u\wyz Ñ zL{ {[uC„  z"{[u­Ó  ÌS>† =ùÌS‚CÑ Ó  | wyxºuf‚ zLÑ zL{ zL‚aw β = hP {c , b } ∈ H (L, Z (q))) | wyx uf‚Í ‡ ?zÈ{[u­ÓÄuS}y}ƒC{ zÚwyxu\w k UÌS‚awNuf| ‚}u ×C†y| { | wy| ®Sz i  ‰lî†yÌ Ìfwnc ÌfÒ©∈ƒCL‚C| wrÓ ζ ‡…*b Óº∈x Ó K×µÌfwyxCz€(k) }|~}L„  zÚxu­®Sz ?

q

l

l

l,F

M q

q

l,F

M q

q

1

q−1

∪δ(χ)

l

q

q+1

L k

l

q

q+1

q+1

l

q+1

q

l

l

L k

q

i

i

×

i

l

tors

l

(1−σ)

q

l

n

l

l

ρ

q+1

l

l

i

i

q

l

M −1 q

l β0 = NL/k (β) = h

X

 {NL/k (ci ), bi } .

Ù*w'wyxC|~}*×µÌS| ‚aw  zÌSÛ}zL†y®SznÒÃÌS†'ÒÃEwyƒC†yz†yzUÒÃzL†yzL‚Uz"wyxu\w'wyxCz×C†yÌSÛCÑ zL{ ÌfÒ l‰YuSÍE|~c’| Ñ ÛµzL†w çSŒÒÃÌS†}Ó {ùÛµÌSÑ~}uSÍE{ | wN}uJ€r®SzL†N}yufÑ£¦LuS}zœì«uf‚ufÑ ÌSSÌSƒ}*wyÌ[wyxu\wÌfÒ^wyxCzÈ®SzL†N}yufÑJwyÌS†N}ÌS†N}L‡ i

1 y4x ^w)J  ^ q ^ x
1 ‰

t ‹ \Ž xwh ”Œ

GŒ t  2W ‰ ‹ .

{ q

y

¸ ‡

√ ÒÃÌS†'}ÌS{ z ‡ X zLzÈ ì z Ä » §[b‚ ~ Z „ X z€Gwy| ÌS‚œŠE‡ Ë­íGe‡ ?z"{[u­ÓuS}y}ƒC{ z*wyxu\w nè xC|~}*ufÑ Ñ Ì  }ƒ}wyxCzL‚[wyÌÈwyxC| ‚.=[ÌfÒJwyxCzzU£ wyzL‚}| ÌS‚ L/k uSL}/wy=xCzÚk(}×µz€s)U|~ufÑ | é€u\wy| ÌS‚œu\sw ∈t =k s ÌfÒwyxCz zU£ wyzL‚}| ÌS‚ )/k(t)  xCzL†yz (t ) = t ‡DCÌS†Úz€uSNx c uS}ÚufÛµÌ\®SzS„  z UÌS‚}|~ÍEzL† wyxCzX zL®SzL†y| êE…*†NufƒCzLk(t †'®\uf†y| zUwrӜÌfÒ©wyxCzÁUÓEUÑ |~ k(t)‰YufÑ SzLÛC†NuS}'ÌfÒ/ÍEzLS†yzLz l ×

l

0

0 l

i


Aζ NL/k (ci ), t ,

ÌfÒÁ×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ „ „uf‚Í ‡ j‘zUw Ûµz wyxCzùUÌS{ ×µÌa}| wyƒC{ XÌfÒ^wy=xCzÁNÒÃC‚Gwy(c| ÌS‚Œ) YzLÑ~ÍC}=ÌfÒ©twyxCz€}zÈ®\XY uf†y| zUwy| =z€} ζY ‡"XènxCzL†yzÁzU£EF/k(t) |~}rwN}}ÌS{ z ÒÃC‚Gwy| ÌS‚} g ∈ F = F.k(t )  | wyx t = √t }yu\wy|~}rÒÃÓ | ‚C N (c ) = N (g ) ‡i?z {[u­Ó™NxCz€W =wyxu\w h P {c , b } − Ý"z€} (β ) |~}z€}y}zL‚awy|~ufÑ Ñ Ó™u}×µz€U|~ufÑ | é€u\wy| ÌS‚–u\w ÌfÒ©wyxC_z €r®SzL†N}yufÑ ‚zLÑ zL{ zL‚aw t=s Ð'ÌS† X  Ý"z€}  !ÚzL†  h {g , b } − (β ) ∈ H (F , Z (q)) −→ H (F, Z (q)) . ènxCzÚ×C†yÌ ÌfÒ©|~}"‚CÌ  ‚C|~}xCz€ÍÄÛ Óºu }xCÌS†wuf†ySƒC{ zL‚awnƒ}| ‚C ™auf‚C‚}zLM‚  }*wyxCzLÌS†yӜÌfÒ©ÔUwNufÑ z UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓ z ¾‘  +¥ ¶b¶ ~ ì«}zL¼z z ÄĪ † ~ ÒÃÌS†ÍEzUwNuf| Ñ~}NíG‡ | ®Cí =⇒ ®Cí F/ÌSÛ ® | ÌSƒ}L‡ ®Cí =⇒ |Pí FˆX | ‚UzºwyxCz>ÚufÑ ÌS|~}}Ó {ùÛµÌSÑ K (k)/l → H (k, µ ) |~}}ƒCΆ rz€Gwy| ®SzS„}Ì |~}wyxCz {[uf× H (k, Z (q)))/l → H (k, µ ) ‡ùîwÁÒÃÌSÑ Ñ Ì  }ÒÆyÌS{ wyxCz zU£CuSGwÁ}'z ^aƒCzL‚Uz wyxu\w ‡^ènx ƒ} H (k, Z (q)) = 0 uf‚Í  zUÌS‚UÑ ƒÍEz (2.1.2) (k, Z (q)) = 0 wyxu\w H (k, QH/Z (q)) |~}ÍE| ® |~}| ÛCÑ zS‡ š ¡  ¥ ¦ †   g§ ’b¡   ¥ ž n  ÌSƒCÑ~Í)Ñ | =Sz>wy̙wyxuf.‚ =)Ù†wyƒC†y̔ñ|~uf‚CéLÌSÑ~u ÒÃÌS†œxC|~}ºxCzLÑ × | ‚ | { ×C†yÌ\® |e ‚CùwyxCzÁzU£E×µÌa}| wy| ÌS‚Ä ÌfÒ©wyxC|~}}xCÌS†wn‚CÌfwyzS‡ l

i

L/k

l

(1)

0

i

0

L

F0

i

i

0

i

F0 k

i

l

L/k

L k

i

i

F 0 /F

i

0

q

0

0

F0 F

l

q

l

i

q

l

q

q

l

q+1

l

l

M q ⊗q l

⊗q l

q

q+1

l

tors

l

€  Gž¯a  Ÿ(  ¥ ¡   Î #
  Ò ßfÕ^/× ããØ æ " '%cè Å&! è   íW& Û(êÅ ·éèG¯é ê ¬ Ï  è(éìæ1M& èþ ï ï  ( Mþ>!)ÿþ@@@[=(:ïF§íîï Î # Ð " )Ò,^Õbkå‹Ù× þå‹ã<ҋ×$Ñq؇Õ+â·Ø&Ù e´ÐvÙ @Ø Ù W Þ ç‹Õ ãßfÕ ,vØÙÙØ°è æ 9:
ú !7 , 1 !!08 .1^0yôõ!.02* .!ô÷‡0yôg¨.1 !0º¨8!
ú !7 , 1 !5,þÿ
   Wâ ' %‹é ê  "   W þlè l>þq/$%/  éC&! Ð & ì%&  éC&! " è(é  W' þ+\^ è é' þ»ý%ûþG!) Î ^&!+>)>Òª©‡
Õ çå‹ÝvÝvÚCØÝfæfçlè(  êèê < &! [éèìè%/è è!.' þ(ùƒ.!÷yúø fôôvøüGý =þ¯C) >)>ÿ þè
!þ ï !ÑæH ×k  (1)

«`

l = 2 À NL/k (ci )

WY

WY

>_ T ¾ ] ÏmÊ Ë c ¾ ] _ ÉÇÊ s ] _`e¾!y V a ÏmÊ _

Â Ï ÇÊ Í Ê Í Ï ¾ÃÇÌ

É

x2 − ai y 2 = tz 2

ÊÉ

P2k(t)

h Y

¾ŽÌξ

ai =

¸p Î 1M& >Ò Î Ð Ò Î Ð " >CÒ Î ý$è CÒ Î" ´ # Ò Î Î & Ñ!Ò Î #[è(Ò

8 r 1^wyxx M‰Õ2MkåÛv܉æ0/Ì&!  ëC&  è¼è!ò^ è(éC&!bé &!  ÜG  ìè!'‡('ê   í>! èêï R øEb.<8 ø´4&8 0>ø“‹ô0yõø&F H5<7v4 öS8 ÷WøbóSf ùƒ.!÷yúøü&ƒ ú þ¯C)> ÿþGè
+þGïK )Cæ)>) Ù æP
@ c ì+è! %    êgìè%/è%/è! ïì % òyè!:G Ü   Wþ Ð & ìí ؇ÕY^ , Õâ·ØÙ&e´v Ð Ù 0 Ø/ %&  é D " B<\4  ê þ$/ %/B Ð & ì " è(é) Î &!  " B(þèÑH× þ
$/ %/B Ð & ì " è(é) þ&^\  è é'þ»ý%ûþvCþGï×CæÑ() Ø ÕA^ ‡ , ÕMâ·ØÙ&e´v Ð Ù 0 ØÙ Þ ‡ Ø ÕJ‡ Ø ÕA,Yv Ð ÚCã× ÝÅæ í>éèìè%/è è!' è!ò "   í Ï &!ê &     l&!GM ìgè! %    êìè%/è%/è! ïìK %lþóCõøbf .<( ø#f. (444
ZÚv4 öC ø ùƒ.!÷Wø
4j ="þ¯C)> ÿþè
&kþïvCæGC×þDB<k æGB  â¬Õ(f - ÜbÚÛ¿æF
' è! %¹&     &!GU&! &! é¼éèè! %lþ€ÞgSB8 ö öS! 0yô– °÷yúö ó ô÷Wö ô.!÷20! ô.1&9:! ô  ö!q Dùƒ.!÷yúö,/.!÷208 0-.!ô7 ¬­ 1 øób ‚A
ö0 Q 0yô+ ¬ P®-®F $þ Ï  ¯G  (ÿþ 
 ì[T Y\^   Wþv!þï×  Ø Õ„,Yv ‡ Ð ÚCã× Ý Þ° c Õ.s c ÜbØv Ù Ü´‹ Ò ÚBeY‰ Ô æ Ï  è(éìí$M 1 & èkéèG¯é ê M&!G‡%/è!   é´éèìè!í %/è è!'¼î ìsGÜ  séè(q¯/é ( Wþ Î ìk&  ì%/  ék&!G¼è%/ '¼è!òg&! &! é é'é  °þ Ï &!P° þq/ Ï þ+C)> ÿþq'_/ Î @ " é " B[ç Ð & ì„\Dì(' R " é þlè:kH×<> þ 1f ê(î+g / éC&Y\Dê þ  è! éì( þG!þïvÑæGB>  ‹ç ÕElÓ åÛvؼæˆý$ &  è s Wî+ K &!G·#´&! è kéèìè%/è è!'.þ+ó ôõöô÷Wølùƒ.!÷yúø 2 >; ="þ¯CÑ!ÿþGï)k ÑæÑH×
éè(q¯/é ( Wþï ï  ( c ÕYs ° c ÜbØv Ù Ü´‹ Ò ÚBeY Ô æ7
@ /%/è!   ééèìè%/è è!'kî ì Z/lZ þ>!)ÿþ@@@[
û"ûþ3

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ•ÅÕ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

Ú0ÝJCâÜNÚ0Þيí|ÝNã_ä8Üaâlã_ãcÞ-HÛCÞ×

G\ÝNälÛCâÜ|ىÞ؃ىÞ×

³

×H݉Ü:å|âCÚèä Ù‰ñ

æoä%² ÞÇæoä ã

Ø\Ü ñ‰âÜNÚ

ó)æôó×HõúP´%øµ'"

Ð & ì%&  éì ûW ¯  ê ^[#
è! !í÷/$êê ¯ ÿ
     D#`!   þ Ï ê  ¯ B2í kþ+Ñ!ч # `!   þ#
 %&!(' • )+*-,/.!021437!:J@(=JD<>=(:

KML!NO-PQR!OS T ¾ ÓÊ Ë ¾ca É ¾£¶'Ã\ Ê ] Ê ÏË ¾ŽÌÎÍ Ê _ É _` ÏWY ¾|·÷…e¾ V Ì Ê ÉÇÓ ] _ÌÎÌξŽÍmÃ_ É ¿Ç¾ É ]Ž¾¸0{¾ Ï h CV \ a \ \ ] ] V Ì Ë ¾ŽÍ$a É ¿/ZMaq¶ Ê ZMa\y V a Ï ¾ŽÌ ÉÇÊ _ ÉÇÊ ]´_ÌοǾŽÌÎÍÂ{X:ÃÇÌξŽÍm¾ ÉKÏmÊ ÉÇÓ aA¿Ç¾ Ï ¾ŽÌ>Z \ ] a\ _ WY Z Ï _f] _CZAà V'Ï ¾ Ê Ï À

Í Ê ÉÇÓ WÌe¾ Ê Ã mÏ Ê ¾£¶'Ã Ê Ê Ï Ó Ì Ê Ï

V ]
a

¾Ž¾ É Í  à ¾ŽÌ ™ Ê ÉÇÊ Í ÏmÊ É ¿

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ Y‚ùwyxC|~}^‚CÌfwyz"ufÑ ÑZzLÑ~ÍC}^ÌfÒµ×µÌa}| wy| ®Sz"Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~  | Ñ ÑEÛµznzL| wyxCzL†‚C| wyz"ÌS†©ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ ‡H;Ñ Ñ | ×Ewy|~ºUƒC†y®Sz zLÑ~ÍC}ÁÌfÒUƒC†y®Sz€}ÁÍEzK‚Cz€Í Ì\®SzL†Áuˆ‚C| wyzºufÑ SzLÛC†Nuf|~zU£ wyzL‚}| ÌS‚ÌfÒ { z€uf‚}ÌfÒPwyzL‚v|~}ÌS{ ÌS†y×Cx ÓïUÑ~uS}y}"ÌfÒzLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz€}L‡ÙÑ Ñ^aƒuSÍE†Nu\wy|~FÚÒÃÌS†y{[}xu­®SzÈ| ‚awyzU‰ S†NufÑJUÌ zKuœU| zL‚awN}L‡wDCÌS†ÍEzUwNuf| Ñ~}"}zL‰z z œ ¥ ~ ‡ j‘zUw Ûµzu‚C| wyz:zLÑ~ÍïÌfÒNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ p  | wy\x C£Ez€Í>ufÑ SzLÛC†Nuf|~ÚUÑ Ìa}ƒC†yz k¯ A‡ j‘zUw k µ Û  z f u º ‚ L z Ñ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®SzÌ\®SzL† uf‚Í | wN}'ÒÃC‚Gwy| ÌSC‚ zLÑ~ÍJw‡ X ƒNxºuùUƒC†y®Sz|~}*LufÑ Ñ z€Í E Y+yo]UnUYp rmy)h‚[nn| Ò^ÌS‚CzS„Cuf‚ÍÄxCzLk‚UzÁufÑ k(E) Ѿ„CÌfÒwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uz€}"uf†yzÁ}yu\wy|~Ž} z€ Í F ËS‡ xuS}n‚CÌ p wyÌS†N}| ÌS‚ ± |~}"u 4‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ Z‰îÑ~u\wwy|~Uz ± Ï ‡ E(k) End (E) mbn

p

k

¹ a X_Ö WÏ Y

ÂÔÕÕWÖÇÀ

¸¢

º!r qsr

(Œ^w›»

.{

Cˆ ‡ k(E) xuS}n‚CÌ[UÓEUÑ |~ ì«}zL×uf†NufÛCÑ zÁuf‚ͺƒC‚C†Nuf{ | z€Íí p‰îzU£ wyzL‚}| ÌS‚}L‡ Ù†yÌSƒC‚ÍÁwyxCz"ˆSŒ. }’zLÑ {ùƒEww’uS}y}z*×C†yÌ\®Sz€ÍÁwyxCz"Ý"| zL{[uf‚C‚x Ó ×µÌfwyxCz€}|~}ÒÃÌS†^éLzUwNuÒÃC‚G‰ wy| ÌS‚}‘ÌfÒCzLÑ Ñ | ×Ewy|~'UƒC†y®Sz€}L‡4’z  uS}ufÑ~}ÌnwyxCzw†N}rw‘wyÌÌSÛ}zL†y®SzS„Uwyxu\w©Ûµz€}|~ÍEz€}JwyxCzw  Ì  zLÑ Ñ = ‚CÌ ‚LuS}z€}ÌfÒ*zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ †y| ‚Ca}ÌfÒ*zLÑ Ñ | ×Ewy|~ UƒC†y®Sz€}‰‚uf{ zLÑ Ó ÌS†Áuf‚?ÌS†NÍEzL† | ‚”uf ‚™| {[ufS| ‚uf†y Ó ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ zLÑ~Í zU£ wyzL‚}| ÌS‚™ÌfÒ Q „wyxCzÄ}ÌvLufÑ Ñ z€¼ Í jFi-Z\o;h]q½¾\^y)hwv}p‚¿ o;h p}j[v}pi-r?LuS}zȉN„d| w uS}ufÑ~}̺׵Ìa}y}| ÛCÑ zÈwyÌÄxu­®Szùuf‚vÌS†NÍEzL†ÌfÒ'uÄÍEKz ‚C| wyl z ^aƒu\wyzL†y‚C| ÌS‚ ufÑ SzLÛC†Nu  xCzL‚ºwyxCzÁÛ uS}_z zLÑ~ÍÄxuSͺ׵Ìa}| wy| ®SzÚNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~f‡^tvu\H£ -zLƒC†y| ‚C  uS}nufÛCÑ z wyÌïUÌS{ ×CƒEwyzwyxCz[ÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚awÚÌfÒ'wyxC|~}ÚÍEKz ‚C| wyzœufÑ SzLÛC†NuC‡ÁYÌ ‚ z    ¨ º[m [› ~ xCz×C†yÌ\®Sz€Í ‚ z    ¨ º[m G  ~ xCzÈ×C†yÌ\®Sz€Í wyxu\wwyxCzùufÑ SzLÛC†Nu†Nuf{ | z€}u\w p uf‚Í>u\w ∞ A‡ DCƒC†wyxCzL†y{ ÌS†yzÁ| ¬ wyxu\w©wyxCz'zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ †y| ‚Ca}‘ÌfÒCzLÑ Ñ | ×Ewy|~*UƒC†y®Sz€}‘Ì\®SzL†Au ‚C| wy%z zLÑ~ÍÈÌfÒNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ uf†yz{[u\£E| {[ufÑJÌS†NÍEzL†N}'| ‚ÄwyxC:z ^aƒu\wyzL†y‚C| ÌS‚ïufÑ SzLÛC†Nu ìPwyxCzÈ}ƒCÛC| ‚ÍEzU£Ä}xCÌ }'wyxCz p †Nuf{ | µLu\wy| ÌS‚>×CÑ~uSUz€}ÌfÒ/wyxCz ufÑ SzLÛC†NuaíG„µuf‚Íïwyxu\wÁufÑ Ñ©Q{[u\£E| {[ufÑÌS†NÍEzL†N}"wrÓ ×µz€}Ìf Ò/wyxu\w ufÑ SzLÛC†NuÈuf×C×µz€uf†nuS}'zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{4†y| ‚Ca}'ÌfÒ©}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†'zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÚUƒC†y®Sz€}Ì\®SzL† F ‡ Y‚?wyxC|~}ڂCÌfwyzS„ z †yz€LufÑ Ñ©wyxC|~}ÁUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚UzS„JÍEz€}yU†y| Ûµz[uf‚?zU£E×CÑ |~U| wÈuf‚ÍÍEzUwyzL†‰ { | ‚C|~}rwy|~ïufÑ SÌS†y| wyxC { wy̙UÌS{ ×CƒEwyzï| wœuf‚͖| Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wyzºwyxC|~}[ufÑ SÌS†y| wyxC{| ‚)u UÌS‚U†yzUwyz zU£Cuf{ ×CÑ zS‡ ∞,p

p

›^n    ¨Ÿ\ª ¥

S¡ ¦Ÿ­Ÿ(  !½'¦ ¥ §l  ¥ ¡  Y‚>wyxCzù| ‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚ z}yuf|~ÍÄwyxu\w -zLƒC†y| ‚Cº×C†yÌ\®Sz€Íºwyxu\wzL®SzL†yÓÄ{[u\£E| {[ufÑÌS†NÍEzL† wrÓ ×µzùìÃ|~}ÌS{ ÌS†y×Cx ÓùUÑ~uS}y}Ní© ÌfÒdwyxCz_^aƒu\wyzL†y‚C| ÌS‚[ufÑ SzLÛC†Nu Q uf×C×µz€uf†N}uS}uf‚ zL‚ÍEÌS{ ÌS†‰ ×CxC|~}{ †y| ‚CºÌfÒ'uº}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®SzÈÌ\®SzL† F ‡Á…*ƒEwÁuœÛC| rz€Gwy| ÌS‚ÍEÌ z€}‚CÌfw xCÌSÑ~͜| ‚ºwyxC|~}n×C|~GwyƒC†yzS‡/Y‚ºÌS†NÍEzL†*wyÌzU£E×CÑ~uf| ‚ÄuÛC| rz€Gwy| ÌS‚‘„  zƒ}zwyxCzÚ×C†yÌS×µzL†wrÓ?쫈aí'ÌfÒ }ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†nzLÑ Ñ | ×Ewy|~ÁUƒC†y®Sz€}L‡ Y‚ z  ˆŠ‚ }G~ ’uS}y}z uf‚8Í ? | wwÈ}rwyƒÍEÓ?ƒC‚ÍEzL† xC|~Nx UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}ÁuœÒÃC‚Gwy| ÌS8‚ zLÑ~Í ÌfÒÁNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ p ×µÌa}y}z€}y}z€} UÓEUÑ |~ïƒC‚C†Nuf{ | z€ Í p‰îzU£ wyzL‚}| ÌS‚}Lž ‡ DCÌS† wyxCz?LuS}zïÌfÒ zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÒÃC‚Gwy| ÌSC‚ zLÑ~ÍC}'wyxCzLÓ[S| ®Szuf‚º| ‚ ®\uf†y|~uf‚aw A ÍEzL×µzL‚ÍE| ‚CÌS‚œwyxCz j | ‚ ®\uf†y|~uf‚aw*ÌfÒ wyxCz zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÒÃC‚Gwy| ÌS ‚ zLÑ~ÍJ„}ƒNx?wyxu\w A = 0 | Ònuf‚Í?ÌS‚CÑ Óv| Ò'wyxCz[zLÑ Ñ | ×Ewy|~ùÒÃC‚Gwy| ÌS‚ zLÑ~Í xuS}ȂCÌvUÓEUÑ |~[ƒC‚C†Nuf{ | z€Í ‰îzU£ wyzL‚}| ÌS‚}L„©uf‚ÍwyxCzL†yzUÒÃÌS†yz[Û Ó ì«ˆaíG„^| Òuf‚Í ÌS‚CÑ Ó | Ò*wyxCz zLÑ Ñ | ×Ewy|~[UƒC†y®Sz|~}Á}ƒC×µzL†N}| ‚CpSƒCÑ~uf†€‡ùènxC|~} A | ‚ ®\uf†y|~uf‚aw€„‘LufÑ Ñ z€Í>wyxCHz ÀÁ[)YqY]F¿ÂÃpwvv p r;zF[nqp‚[r;vÌfÒnwyxCzœÒÃC‚Gwy| ÌS‰ ‚ zLÑ~ÍJ„/|~}uSGwyƒufÑ Ñ Ó u>×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ'| ‚ „ xC|~Nx uS:} †N}rw UÌS{ ×CƒEwyz€Íº| Å ‚ z    ¨ º[m   „E×ufSz Ï ŒCË ~ e‡ ? | wyxÄwyxC|~}nz€uS}| Ñ ÓœUÌS{ ×CƒEwNufjÛCÑ z ×µÌSÑ Ó ‚CÌS { |~ufÑ  z LufH‚ ‚ͺwyxCzÚzU£E×CÑ |~U| w'z ^aƒu\wy| ÌS‚}'ÒÃÌS†ufÑ ÑdwyxCzÈ}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†*zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÁUƒC†y®Sz€}*Ì\®SzL† F ‡ t>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„fwyxC|~i} ’uS}y}zU~‰ ? | wwn×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufѵҫuSGwyÌS†N}'Ì\®SzL† | wyxºÒ«uSGwyÌS†N}'ÌfÒ©ÍEzLS†yzLz  u\w"{ Ìa}rw 2 0‡ „Ì   zÈ}rwNu\wyzwyxCz č]-y)nqp rm jFi-nqnF]Yoi-r2~]Ur2FjF]Ç[j] F ãNR½ÃMCRÈKNMCZ\DGW 
‘D’“‹”’• ¨D˜ – n z    ¨ º[m G  ~ 9RU½ ãNRÁZødDGFPX[R b'Z\OdÉT RU½ ) ∈ F [T ] ZSKU½YRUDGF~IG½¾F«K p ùZ­INILRUW ]ÄFP½¾½ø¼\T \Od¼\pXF«Z\T œ Q¼\DZ\O  j ∈ A(T S É U R d O \ ¼ Y ½ ™ R ã K  Z\O  F E(j ) ’

∞,p p

p

p

p

0

p

0

Ž;8{wh 21^Ž4xy{ƒxxw›8‹w) ƒ vŽ{(Œ .

¸¸



RUTPT F ød½¾F«KºKUBEDGÀ\R FPO ½ÃMCR F~IL¼\X[¼\D¾øZM vKUT Z­INIœ¼r¿ù½ÃMC¼­ILR Â/FP½ÃM WYFPOÀ\Z\DGF«Z\O½ HdMCRUO ) ¿UZSKU½Y¼\DNIïZ­IÄZ ødDy¼€É\BKU½Á¼r¿ÄZ\½ÚX[¼­IG½ÁÉSRîÅfDyRNR 2 ø¼\T \Od¼\XF«Z\jT I ™ FPO F [T j]š?œ Z\OdÉv½Y¼>A(T ½ÃMCRGILR ¿UZSKU½Y¼\DNIÚKN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉ ãUF ÈLRNKU½¾FPÀ\RUT ù½ÃMCRX[,Z +SFPX[Z\TJ¼\DyÉSRUD½myøRGI¼r¿"½ÃMCR
BZ\½YRUDGOF«¼\O>Z\T ÅaR€ãUDyZ HdMCR ãUF ÈLRNKU½¾F«¼\OF~IùZ­I¿U¼\TPT ¼\Â^IL] ¿UQ¼\DZ\O œ [FPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT R*¿UZSKU½Y¼\D A ¼r¿ A b*KNMC¼€¼­ILR Z[Dy¼€¼\ν b/ILZ  j ∈ F Å ½ÃMCRUOd] 0

p

∞,p

i

0

Ai 7→ EndFp (E(ji )).

p2

Ì„dwyÌÄ{[u=SzùwyxC|~}ÚUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚UzùzU£E×CÑ |~U| wÚ{ z€uf‚}wyÌïÛµz[ufÛCÑ zùwyÌïUÌS{ ×CƒEwyzùwyxCz zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{4†y| ‚CÌfÒ©uf‚ Ó[}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†*zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz ìÃCלwyÌ|~}ÌS{ ÌS†y×Cx ÓCíG„Swyxu\w { z€uf‚}^wyÌÈUÌS{ ×CƒEwyznwyxCz"ÌS†NÍEzL†^wrÓ ×µz"ÌfÒµwyxCz"zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ †y| ‚C‡ej‘zUwƒ}^wNu=SzuÑ Ì Ì= u\wnwyxCzÁ×C†yÌSÛCÑ zL{Î| ‚Äw  Ì ×uf†wy|~UƒCÑ~uf†"LuS}z€}L‡ Z\OdÉ p = 37 œ ŠA‹ «‹•ŒgÊ-’U¨D˜W¨ n »¼\OCIGF«ÉSRUDȽ¾Â'¼[FPTPT B IG½¾DyZ\½¾FPÀ\RKNZ­ILRGWI b p = 29 »Z­ILR p = 29 ] ùRUDyR½ÃMC( R ùZ­INILRUW ]ÄFP½¾½µø¼\T \Od¼\XF«Z\TJF~I bZ\OdɽÃMCRUDyRÁZ\DyR + 4) b Z\OdÉ E(25) œ ¼\OT Ú½ÃM DyRNRnIGB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\DRUTPT F ød½¾F«KÚKUBEDGÀ\RGIA¼\À\RU(TD F) =b‘TOd(TZ\X[−RUT  2)(T E(0) E(2) y D \ Z  X F *RNə¼\OT ™Z\½ \ Z d O É Ã ½ C M U R y D > R Z\DyRï½ÃM DyRNR šGO)½ÃMCR
BZ\½YRUDGOF«¼\O$Z\T ÅaR€ãUDyZ™¼\À\RUD F~IL¼\X[¼\D¾øZM  KUT Z­INILRGIļr¿ X[,Z +SFPX[Z\Tn¼\QDyÉSRUDNI œ HdMCRUFPD Z WãNZ­ILRG∞IºKNZ\O)ãNRÄ29KN¼\XødBE½YRNÉ?>R +GødT F«KUW FP½¾T Z­I"FPƒO z Ê $ª ˜ ¶b ~ ILRNRZ\T IL¼È½ÃMCRFPXødT RUX[RUO½YZ\½¾F«¼\OCIX[ZSÉSRÚKã Q S¼€É\DGF ÅfBRNÇUW\åFPTPT RîÅaZ­WI b lEk #k ƒ…„q†>†\p p pnm«idjmî`E™ kEPs ÆE4j ‡^mrsaqf` †­;` ‡Ssfb ‡P†)ǵPc Œ>ŒSsSoE4j ‡P†‰­g k †š œ šGOCIGœ ½YRNZSÉÚÂ'RZ\DyR'Åa¼\FPO Åù½Y¼ Z\À\¼\F«É?½ÃMCRÄKN¼\XødBE½YZ\½¾F«¼\O)¼r¿ IGBKNM”ãNZ­ILRGI[BEO½¾FPT/½ÃMCRœÀ\RUD RUOdÉ?¼r¿[½ÃMCRÄZ\T Åa¼\DGFP½ÃM X bÈZ\OdÉ Â'RÈT ZSãNRUT½ÃMC¼­ILRÈX[,Z +SFPX[Z\T©¼\DyÉSRUDÈm½ yøRGIùKã  O , O , O œ »Z­ILR p = 37 ] HdM F~I"F~I"½ÃMC4R DNIG½EødDGFPX[R©MCRUDyR½ÃMCR ùZ­INILRUW ùRUDyR A (T ) = (T −8)(T −6T −6) œ ]ÄFP½¾½Jø¼\T \Od¼\XF«Z\T‘MCZ­IZ[Od¼\OT FPOdRNZ\D¿UZSKU½Y¼\D HdMCRÈIGB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\DùRUTPT F ød½¾F«K KUBEDGÀ\RGIMCRUDyR Z\DyR E(8) b E(3 + 10√2) Z\OdÉ E(3 − 10√œ 2) œ áI>R +GødT Z\FPOdRNÉïFPO;ì Ï ‡ Ë­Wí bn½ÃMCRT Z­IG½"½¾Â'¼ KUBEDGÀ\RGIMCZ\À\RȽÃMCRÚILZ\X[RùRUOdÉS¼\X[¼\D¾øM F~IGX DGFPO Å[m½ yøR b©MCRUOdKNRÁ½ÃMCRUDyRùZ\DyRù¼\OT [½¾Â'¼ X[,Z +SFPW X[Z\T©¼\DyÉSRUDÈm½ yøRGIÁFPO Q b/ILZ  O Z\OdÉ O œ HdMCRødDy¼SãUT RUX F~Iù½Y¼ïÉSRU½YRUDGXFPOdR ©M F«KNMvIGB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\D[RUTPT F ød½¾F«KºKUBEDGÀ\R[KN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉ­I ½Y¼[©M F«KNM?¼\DyÉSRUDÁm½ yøR œ HdM F~IÈÂ/FPTPT^ãNRÁIL¼\T À\RNÉÄZ\½*½ÃMCRùRUOdɺ¼r¿Á½ÃM F~I*øZyøRUD œ „Ìfwyzïwyxu\H w -u­® |~Í !ÌSxCzLÑ"| ‚ xC|~}œ…*zL>† =SzLÑ zLәwyxCz€}|~¿} z { b¦ ¾+|b}G~ ìÃ}| ‚C”u™ÍE|
29

29

1

2

3

2

37

∞,37

1

2

3/2

¸À

º!r qsr

(Œ^w›»

.{

wyxCz×C†yÌ ÌfґxCzUÌS{ ×CƒEwyz€}'wyxCzÚÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw*ÌfÒJwyxCzÚ}ƒCÛµÌS†NÍEzL†'SzL‚CzL†Nu\wyz€Í[Û ÓwyxCz| ‚ÍEzU‰ ×µzL‚ÍEzL‚aw"zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}ÒÃÌSƒC‚ͺ| ‚ÄxC|~}'wyxCzLÌS†yzL{ï„ ÛCƒEwLuf‚C‚CÌfw"UÌS‚awy†yÌSѵ| w€„Cuf‚Í[wyxCzL‚ Luf‚C‚CÌfwuS}y}ƒC†yzwyxu\w"wyxCzÁ†yz€}ƒCÑ w"|~}u Z‰îÛuS}|~}nÌfÒwyxCzÁzL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{Άy| ‚C ‡ ?z?×C†yÌS×µÌa}z?uf‚$ufÑ SÌS†y| wyxC{wyxu\w€„ÒÃÌS†Äu”S| ®SzL‚ ×C†y| { z „†yzUwyƒC†y‚}Äu™Ñ |~}rwïÌfÒÈ×uf| †N} p „ C x L z y † z y † C ƒ  ‚ Á } \ Ì S ® L z È † f u Ñ * Ñ  } C ƒ µ × L z N †  } | C ‚ S  ƒCÑ~uf†ÁzLÑ Ñ | ×Ewy|~œUƒC†y®Sz€}ÁÌ\®SzL† (E , {1, e , e , e })  E f u  ‚ ™ Í y w C x ï z  } € z U  S Ì  ‚ ” Í U  Ì S Ì N † E Í |  ‚ \ u y w º z ~ |

} u î ‰  Û S u  } ~ |  } f Ì " Ò y w C x ï z L z  ‚ E Í ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ †y| ‚C?ÌfÒ ‡ F X | ‚Uz z †yz€ÍEƒUzwyxC|~}n×C†yÌSÛCÑ zL{4wyÌ uù×C†yZÌSÛCÑ zL{ØÌfÒ^UÌS{ ×CƒEwy| ‚CÌS‚ÄÌS‚CzÚ}|~ÍEz†yzL×C†yz€}EzL‚E‰ wNu\wy| ÌS‚ù‚ ƒC{ùÛµzL†N}/uf‚ÍÈÌS‚ÈwyxCznÌfwyxCzL†^S†Nuf×Cx}©ÌfÒ|~}ÌSSzL‚C| z€}L„\Û ¼Ó z Ê $ª ˜ ¶b ~ ìPÒÃÌS†/UÌS{ ×CƒEwy| ‚C wyxCz†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ ‚ ƒC{ùÛµzL†N}Ní/uf‚Í z »    ¶ }G~ ìPÒÃÌS†'wyxCz|~}ÌSSzL‚C| z€}/S†Nuf×Cx[UÌS{ ×CÑ zU£E| wrÓCí „ {ùƒNx[ÛµzUw‰ zxu­®Sz"wyxu\w'wyxCzwyxCzLÌS†yzUwy|~LufѵUÌS{ ×CÑ zU£E| wrÓ ÌfÒJÌSƒC†*ufÑ SÌS†y| wyxC{ |~} wy zL†nwyxuf‚ÄwyxCzÈUÌS{ ×CÑ zU£E| wrӜÌfÒwyxCzÈufÑ †yz€uSÍEÓ[| { ×CÑ zL{ zL‚awyz€ÍÄ®SzL†N}| ÌS‚ºO(p | ‚ïñJÙ)Ý"G„  xC|~Nxï|~} { ÌS†yz"ÌS†/Ñ z€}y} O(p ) ‡'ðÛ}zL†y®Sz*wyxu\w/wyxC|~}'ufÑ SÌS†y| wyxC{¢S| ®Sz€} [h hEwyxCzÛuS}z€}/ÌfÒdzL‚ÍEÌS{ ÌS†‰ ×CxC|~}{ †y| ‚Ca}ÌfÒ*}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†zLÑ Ñ | ×Ewy|~ UƒC†y®Sz€}Ì\®SzL† uf‚8Í !ÌSxCzLmÑ  }{ ÌS†yz •zU£E| ÛCÑ z wyxCzLÌS†yzUwy|~LufÑ©ufÑ SÌS†y| wyxC{  ÌS>† =E}nÒÃÌS†ÌS‚CzùUƒC†y®SzÈu\wÚu wy| { FzS„Ju\wwyxCzùzU£E×µzL‚}zÈÌfÒÑ Ì Ìa}| ‚C UzL†wNuf| ‚awrÓS„dÌS‚  xCzUwyxCzL†ÚÌS‚CzùÌSÛEwNuf| ‚}ÚuºÛuS}zùÌfÒwyxCz {[u\£E| {[ufÑ©ÌS†NÍEzL†ÌS†ÚuºÛuS}zùÌfÒ*u ‚C| wyzÁ| ‚ÍEzU£ï}ƒCÛE‰îÌS†NÍEzL†€‡ ›^n>mbn Á Ÿ\  ¥ §ž § b¦ ¾ ¥ ¡S¦Ÿ­(Ÿ   ! ½'¦ ¥ l§   ¥ ¡   n ?z uf‚awnwyÌ[zU£E×CÑ~uf| ‚ÄÛC†y| Kz •Óºu[UÌS‚C‚Cz€G‰ wy| ÌS‚ ÛµzUw  zLzL‚{[— u\£E| {[ufÑEÌS†NÍEzL†^wrÓ ×µz€}^ÌfÒµwyxCcz ^aƒu\wyzL †y‚C| ÌS‚ufÑ SzLÛC†NuS} Q uf‚ÍÈwyzL†y‚uf†yÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†y{[}ÈÌfÒÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw ‡>Yñ ‚ z Á Ÿ\  º ‚ ~ …*†Nuf‚Í wUÌS‚}rwy†yƒGwN}Á{[u\£E| {[ufÑ ÌS†NÍEzL†N}ÌfAÒ ^aƒu\wyzL†y‚C| ÌS‚ufÑ SzLÛC†NuS}ÒÆyÌS−p { wyzL†y‚uf†yÓvÑ~u\wwy|~Uz€} z-p‚[>Ð'Ñ | R +SF~IG½«IZ\Oï>R +GødT F«KUFP½/ãUF ÈLRNKU½¾F«¼\O>ãNRU½¾Â'RNRUOº½ÃMCRKUT Z­INILRGI¼r¿n½YRUDGOdZ\D  Z\OdɽÃMCRX[,Z +SFPX[Z\TJ¼\DyÉSRUDm½ yøRGIÚ¼r¿½ÃMCR
BZ\½YRUDGW
BZSÉ\DyZ\½¾F«K/¿U¼\DGXùIÚ¼r¿ÚÉ\F~ILKUDGFPXFPOdZ\O½ −p OF«¼\O Z\T ÅaR€ãUDyZ Q œ Y‚ÍEzLz€ÍJ„ES| ®SzL‚ïuf‚ Ó[wyzL†y‚uf†yCÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†y{ (1)

λ

λ 1

λ 2

λ 3

λ

p

λ

5/2

4

p

∞,p

∞,p

| wyx 

ìrË­í  

f = a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 aij ∈ Z 

zÁuS}y}ÌEU|~u\wyzwyxCz Z‰îÌS†NÍEzL†  | wyxïÛuS}|~}

1, e1 , e2 , e3 

xCzL†yzF

e2i = ajk ei − ajj akk ,

ei ej = akk (aij − ek ), ej ei = a1k e1 + a2k e2 + a3k e3 − aik ajk , z Á ˜ |  {1, 2, 3}

| wyx uf‚ Ó>zL®SzL‚×µzL†y{ùƒEwNu\wy| ÌS‚ÌfÒ ì«}zLz Ÿ ~ íG‡œènxCzL†yzUÒÃÌS†yzÌS‚Uz z= ‚C(i,Ì  j,uk)UÌS{ ×CÑ zUwyzÚ}zUwnÌfÒ©†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ®Sz€}ÌfґwyxCzÚz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzÚUÑ~uS}y}z€}'ÌfґwyzL†y‚uf†yÓ Y _ Z s\ _!] ] g` _ l] _ É ¿ Ê ÏmÊ _ a c] _CZfZ WY a` Ï ¾ŽÌŽÀ

‚ ¾Ž¾ . ¾ Ìξ ÉVWÖ À Ê Ï À Ì Ã ÇÊ Í –Ì Ê ÉÇÓ É ¿ A¾ ÉKÏ Ï Ž¾ Ìξ

Y WZ

(1)

É Í

h Y

WY ´a\ Ó _Ì Ê ÏWY Z

¾ É:Ï ¾

a({(aWÍm¾
_` WÏ Y

ÓÊ Ë ¾ŽÍ

_CZf_Ì ™

¾i¾ É ¿

Ž;8{wh 21^Ž4xy{ƒxxw›8‹w) ƒ vŽ{(Œ . 

¸Í

„ zºLuf‚”ÍE| †yz€GwyÑ Ó™UÌS{ ×CƒEwyzœwyxCz ‰îÛuS}z€}ÈÌfÒ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ ÒÃÌS†y{[}ÈÌfÒÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw ufÑ Ñ'{[u\£E| {[ufÑ'ÌS†NÍEzL†ÚwrÓ ×µz€}ùÌfÒ Q −p ‡ƒ„Ì   „^}| ‚UzºufÑ ÑwyxCzˆ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†yZ{[}ÈÌfÒÍE|~}r‰ U†y| { | ‚uf‚aw −p ÛµzLÑ ÌS‚C?wyÌvwyxCzï}yuf{ zĐSzL‚ ƒ}L„  zÄLuf‚”ƒ}zïuf‚–ufÑ SÌS†y| wyxC{ ÌfÒÝuf| ‚CzL† XENx ƒCÑ éLzU‰îñ| Ñ Ñ Ìf‡ w z §„Ê | m ~ ÛuS}z€ÍÄÌS‚ïwyxCz `¿r;]Up m#È2fi-nUY"UÌS‚UzL×Ew| ‚awy†yÌEÍEƒUz€ÍÄÛ Óïtvuf†wy| ‚ !ڂCz€}zL†nwy̺UÌS{ ×CƒEwyzÈu †yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ®SzÒÃÌS†z€uSNxÄ' z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzÈUÑ~uS}y}L„EwyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÁS| ®SzL‚ uf‚ Ó?×C†y| { zœ‚ ƒC{ùÛµzL† p  zœLuf‚”UÌS{ ×CƒEwyz wyxCzºÛuS}z€}ÚÌfÒ"†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ®Sz€}ÒÃÌS†ùufÑ Ñ/wyxCz {[u\£E| {[ufÑJÌS†NÍEzL†*wrÓ ×µz€}"ÌfÒ Q ‡ ∞,p

∞,p

‚ n–• ¾l v  † ’µ¦Ÿ\ªÃž¾l¡

zÁ‚CÌ  }rwNu\wyzÈu=SzLÓ[wyxCzLÌS†yzL{ uS}y}ƒC†y| ‚Cùwyxu\w"wyxCzÈufÑ SÌS†y| wyxC{  ÌS†>=E}L‡ 
‘D’“‹”’•Ç²4˜ – n z § ¡ ¾+| ® ~ HdMCR½ÃMCRU½YZ[ILRUDGF«RGIÉSRU½YRUDGXFPOdR½ÃMCR R
BEFPÀ\Z\T RUOdKNR KUT Z­INILRGI ¼r¿ ÉSÎR OFP½YR?½YRUDGOdZ\D 
BZSÉ\DyZ\½¾F«K¿U¼\DGXùI ¼\À\RUD Q œ HdM F~I?X[RNZ\OCIv½ÃMCZ\½œZ\O ”½¾Â'¼–ÉSÎR OFP½YR ½YRUDGOdZ\D 
BZSÉ\DyZ\½¾F«K¿U¼\DGXùI¼\À\RUD Z\DyR?FPO½YRîÅfDyZ\TPT 2R
BEFPÀ\Z\T RUO½F ¿Z\Odɖ¼\OT ”F ¿>½ÃMCKR  MCZ\À\Rù½ÃMCRÁILZ\X[RÈDyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\O?OQBEX[ãNRUDNI œ Ý"z€LufÑ Ñ¾„^wyxu\wwyxCzĆyzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚™‚ ƒC{ùÛµzL†N}ùÌfÒuÍEKz ‚C| wyŒz ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ ÒÃÌS†y{ f ÌfÒ ÍE| { zL‚}| ÌS‚ d uf†yzwyxCz F ?

r(f, n) := #{x ∈ Zd | f (x) = n}; n ∈ Z;

uf‚͜wyxCzL‚ÄwyxCzÚwyxCzUwNu[}zL†y| z€}*ÒÃÌS† f |~},F ϑ(z) :=

X

exp(2πir(f, n)z); z ∈ H.

î wï|~}ïu–UÑ~uS}y}|~Lufя†yz€}ƒCÑ wºwyxu\wÄwyxCz€}z?wyxCzUwNu2}zL†y| z€}Äuf†yzv| ‚;Ò«uSGwï{ ÌEÍEƒCÑ~uf†ÄÒÃÌS†y{[}ºÌfÒ zL| Sxaw uf‚Í>Ñ zL®SzLёwyxCzùÑ zL®SzLÑ©ÌfÒ/wyxCz^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÚÒÃÌS†y{ ± }zLzƒz §„ʶ º ~ | ‚v×uf†wy|~UƒCÑ~uf† Òà ÌS†wyxCz[d/2 LuS}z ‡JX | ‚UzùwyxCzL†yz|~}ÌS‚CÑ ÓïÌS‚CzSzL‚ ƒ}ÒÃÌS†ÚÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw „‘ufÑ ÑwyxCz wyxCzUwNuÚ}zL†y| z€}^UdÌS†y=†yz€}3×µÌS‚ÍE| ‚Cwy:Ì ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†y{[}©ÌfÒdÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw −p xu­®S−p z'wyxCz"}yuf{ z ;|~}zL‚}rwyzL| ‚?×uf†w€„‘uf‚Í>wyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÈwyxCzLÓvÍE| ÌS†yzLÌ\®SzL† XENxC| zL{[uf‚C‚2S| ®Sz€}[ufÑ~}Ì uÛµÌSƒC‚Í „  xC|~Nx)| ‚)ÌSƒC†œLuS}zïÍEzL×µzL‚ÍC} ÌS‚CÑ Ó ÌS‚[wyxCzÚÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw€„ }ƒNx[wyxu\w'ÒÃÌS†nuf‚ Ów  b(p) ÌùÍEKz ‚C| wyz ^aƒuSÍE†Nu\wy|~nÒÃÌS†y{[} f, g ÌfÒ ÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw −p xCÌSÑ~ÍC,} F | wyx |n| 6 b(p) ⇒ f uf‚Í g uf†yzÚ| ‚awyzLS†NufÑ Ñ Ó['z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€‡ r(f, n) = r(g, n) ∀ n ∈ Z  DCÌS†*UÌS{ ×CƒEwNu\wy| ÌS‚ufÑ×CƒC†y×µÌa}z€ } X | zLSzLmÑ  }ÛµÌSƒC‚Í[|~}ÛµzUwwyzL†'ÒÃÌS†'ƒ}*uf‚Í  zƒ}z| w*| ‚[wyxCz | { ×CÑ zL{ zL‚awNu\wy| ÌS‚ ± ÛCƒEwuS}Ó { ×EwyÌfwy|~LufÑ Ñ Ó wyxCzLÓÄuf†yzwyxCzÈ}yuf{ zS‡ n∈Z

¸

º!r qsr °

(Œ^w›»

.{

„Ì Ñ zUw"ƒ}*SÌÛuSW=wyÌÌSƒC†n×C†yÌSÛCÑ zL{ï‡/Ù"ÒPwyzL†Á쫈C‡ Ë­íG„ zÚLuf‚ÄÍE|~}rwy| ‚CSƒC|~}xºÛµzUw zLzL‚ fu ‚ Ó?w   Ìv‚CÌS‚E‰îz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw ÍEzK‚C| wyzœwyzL†y‚uf†yÓ|^aƒuSÍE†Nu\wy|~  ÒÃÌS†y{[}ùuf‚͙xCzL‚UzºÛ Ó;ì  Ï ‡ ˆaíG„ ÛµzUw  zLzL‚ºuf‚ Óùw  ÌÈ{[u\£E| {[ufÑÌS†NÍEzL†/wrÓ ×µz€}*uf‚͐‚ufÑ Ñ Ó Û Ól-zLƒC†y| ‚C }*UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz ì Ï ‡ Ë­ínÛµzUw zLzL‚Äw ̺}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†"zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÈUƒC†y®Sz€}L„uf‚Í>ufÑ Ñ‘wyxC|~}Û Óº{ z€uf‚}ÌfÒ/Ñ Ì Ì=a‰ | ‚Cœu\w"wyxCzȆyzL×C†yz€ }zL‚awNu\wy| ÌS‚º‚ ƒC{ùÛµzL†N}"ƒC×ïwy̜uC£Ez€ÍÄÛµÌSƒC‚ÍïS| ®SzL‚ÄÛ ÓS„µ}yu­ÓˆX | zLSzLѾ„CÌfÒ uv}zUwùÌfÒ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ®Sz€}ÚÌfÒnwyxCzºz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzºUÑ~uS}y}z€}ÁÌfÒnwyzL†y‚uf†yÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†y{[} ÌfÒÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw −p ìÃÛ Ó†yz€ÍEƒGwy| ÌS‚wyxCzLÌS†yÓS„wyxCzL†yzºuf†yz[Luf‚CÌS‚C|~LufцyzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ®Sz€}L„ xC|~Nxïuf†yzÁLufÑ Ñ z€^Í nF]~yjF]~ v£]Unqr[n7Ê%xy#[>~Pn[v}p}j…Ëwi-nq\9YNíG‡  X ̔| ‚;ÌS†NÍEzL†[wy̖UÌS{ Ñ zUwyzvÌSƒC†ÄufÑ SÌS†y| wyxC{ï„ zv{ùƒ}rwºÛµzufÛCÑ z>wy̖×C| ‚E‰î×µÌS| ‚awœwyxCz }ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†/zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz€}/ƒ}| ‚CÚwyxCzÍCu\wNuÒà †yÌS{ wyxCz†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚‚ ƒC{ùÛµzL†N}ÌfÒ wyxCz'†yz€ÍEƒUz€ÍwyzL†y‚uf†yÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~©ÒÃÌS†y{[}Le‡ j‘zUw©ƒ}}rwNu\wyzwyxC|~}| ‚ÈÌSƒC†©UÌS‚U†yzUwyz/zU£Cuf{ ×CÑ z€}L‡ ?z †y| wyznuwyzL†y‚uf†yJÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~/ÒÃÌS†y{ Ñ | =Szn| ‚Äì«uf‚ÍÈÒÆyÌS{œí‘wyxCz'wNufÛCÑ znÌfÒµ…*†Nuf‚Í w‰îY‚awy†Nufƒ    z Á¤  ¶ ~ „E‚uf{ zLÑ Ó f = a a a . a a a ¨   §   n »Z­ILR p = 29 ] ŠA‹ «‹•ŒgÊ-’ ²4˜W¨ ž œ ¦ ¥ ž€ª ¥ l ] RÁKN¼\XødBE½YRÚ½ÃMCRÁ½ÃM DyRNRÚDyRNÉ\BKNRNɽYRUDGOdZ\ D 
BZSÉ\DyZ\½¾F«K¿U¼\DGXùIȼr¿ÚÉ\F~ILKUDGFPXFPOdZ\O½ −29 ]       ©M F«KNM2KN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉv½Y¼ 1 3 3 1 2 4 1 1 10 f = , f = f = ; 2 0 1 1 1 0 0 1 1 ½ÃMCRÈX[,Z +SFPX[Z\T©¼\DyÉSRUDNI O , O Z\OdÉ O œ »Z­ILR p = 37 ] HdMCR*½¾Â'¼DyRNÉ\BKNRNɏ¼\OdRGI'FPO½ÃM F~InKNZ­ILRnZ\DyR€] f = 2 2 3 Z\OdÉ f = 1 2 5 . 0 2 1 1 1 0 Èù¼\–¼\BED^ødDy¼SãUT RUX4F~I½Y¼Z­INIGF ÅfOĽY¼ùRNZSKNM[IGB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\DRUTPT F ød½¾F«KÈKUBEDGÀ\R¼r¿n0 V + Z\XødT R ì Ï ‡ Ï íȼ\OdR¼r¿Á½ÃMCRGILRȽYRUDGOdZ\D 
BZSÉ\DyZ\½¾F«K'¿U¼\DGXùI œ èÌvuSUÌS{ ×CÑ |~}xwyxC|~}L„ z[{ùƒ}rwù×uS}y}ÚwyxCzœ| ‚EÒÃÌS†y{[u\wy| ÌS‚ ÌS‚wyxCzÄ}|~ÍEz[ÌfcÒ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ ÒÃÌS†y{[}Úuf‚ÍvwyxCzL| †Ú†yzL×C†yz€} zL‚awNu\wy| ÌS‚v‚ ƒC{ùÛµzL†N}wyÌÄwyxCz[}|~ÍEz ÌfÒ'zLÑ Ñ | ×Ewy|~[UƒC†y®Sz€}uf‚Í?|~}Ìf‰ SzL‚C| z€}L‡/…*zUÒÃÌS†yz  z{[u =SzwyxC|~}nzU£E×CÑ |~U| w"| ‚œwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚Cù×C†yÌS×µÌa}| wy| ÌS‚‘„  z| ‚awy†yÌEÍEƒUz }ÌS{ zڂCÌfwNu\wy| ÌS‚‘‡ j‘zUw ÛµzÁuf‚ HÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†y{ uf‚ÍïÍEzL‚CÌfwyzÚÛ Ó | 'w  }uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍœÌS†NÍEzL†"uSLUÌS†NÍE| ‚C wyÌvì Ï f‡ ˆaíG%‡ DCÌS†uf‚ ӜÌS†NÍEzL† O | ‚ Q ÍEKz ‚Cz F Γ O(O) := {(tr(α), nr(α)) ∈ Z | α ∈ uf‚Í xCzL†yz uf‚Í uf†yzùwyxCz †yz€ÍEƒUz€Í>wy†NuSUz uf‚Ív†yz€ÍEƒUz€Ív‚CÌS†y{ O ÌfÒ©wyxC:z ^anr(α) ƒu\wyzL†y‚C6| ÌS‚ïb},ufÑ SzLÛC†NuC0‡ trX zUw Γ(O)nr = Γ (O) „  xCzL†yz b |~}*wyxCz X | zLSzLÑJÛµÌSƒC‚ÍJ‡ Ë ”“
ŒD“Ì(¦ § ¦“‹¥ ²4˜² n 9RU½ ãNRœZ>KN¼\XødT RU½YR ILRU½¼r¿DyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾FPÀ\RGI[¼r¿DyRUW É\BKNRNÉ[½YRUDGOdZ\D 
BZSÉ\DyZ\½¾F«K*{f¿U¼\DG,Xù. .Iù. ¼r, ¿ùf É\}F~ILKUDGFPXFPOdZ\O½ −p œ HdMCRUO?½ÃMCRÁILRU½«I Γ(O ) ⊂ Z 1

11

22

33

23

13

12

2

3

1

2

3

1

2

f

∞,p

bS

1

2

b

S

t

fi

2

Ž;8{wh 21^Ž4xy{ƒxxw›8‹w) ƒ vŽ{(Œ .

¸



µ

¿U¼\D i = 1, . . . , t Z\DyRœZ\TPT'É\F ÍRUDyRUO½Îb"F œ R œ b½ÃMCRGILRIGBãGILRU½«I[KNMCZ\DyZSKU½YRUDGF ǀR[BEOFPÀ\¼€KNZ\TPT ï½ÃMCR X[Z,+SFPX[Z\T©¼\DyÉSRUDȽmyøRGIÁFPO Q œ „Ì zÚ{[u =SzwyxCzÈ}| { ×CÑ zÚÌSÛ}zL†y®\u\wy| ÌS‚MF   É “‹”“bÊÊ-«‹”Ë̲4˜¤ n µFPOdKNR½ÃMCR½¾DyZSKNRZ\OdÉùOd¼\DGXؼ\O>RUT RUX[RUO½«I¼r¿"½ÃMCRÚ¼\DyÉSRUDÚKN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉ ½Y¼½ÃMCRÚ½¾DyZSKNRÁZ\OdÉ ™ ILRîøZ\DyZSãUT R šºÉSRîÅfDyRNRȼr¿½ÃMCRÈRUOdÉS¼\X[¼\D¾øM F~IGXùIù¼r¿½ÃMCRÁRUTPT F ød½¾F«KKUBEDGÀ\RGWI b Â'RKN¼\OdKUT BÉSR b'½ÃMCZ\½'½ÃMCRÁILRU½«IL] Z\OdÉ deg(ϕ) 6 b }, ∆(E) := {(trace(ϕ), deg(ϕ)) ∈ Z | ϕ ∈ End (E) KNMCZ\DyZSKU½YRUDGF ǀRù½ÃMCRÁIGB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\DùRUTPT F ød½¾F«K[KUBEDGÀ\RGIù¼r¿ÈKNMCZ\DyZSKU½YRUDGF~IG½¾F«K p œ Ð'ÌS‚}'z ^aƒCzL‚awyÑ ÓS„  zÈ{ùƒ}rwÌS‚CÑ ÓÄxu­®SzÁwy̺UÌS{ ×CƒEwyzÁwyxCz}zUwN} Γ(O ) uf‚Í ∆(E) ÒÃÌS† y † ƒC‚C‚C| ‚CùwyxC†yÌSƒCSxïufÑ ÑdwyxCzچyz€ÍEƒUz€ÍœwyzL†y‚uf†yÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ÒÃÌS†y{[}nÌfÒ^ÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚aw f uf‚Í E Ì\®SzL†ùufÑ ÑwyxCzÄ}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf†ÈzLÑ Ñ | ×Ewy|~ºUƒC†y®Sz€}ÈÌfÒNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ p „/uf‚ÍwyxC−p zL‚ z€}rwNufÛCÑ |~}x wyxCzÛC| rz€Gwy| ÌS:‚ rƒ}rw*Û ÓUÌS{ ×uf†y| ‚CÚwyxCz€}z}zUwN}L‡ ?z{[u =SznwyxC|~}*UÑ z€uf†| ‚[ÌSƒC'† F ¨   §   n »Z­ILR p = 29 ] ŠA‹ «‹•ŒgÊ-’ ²4˜Æ ž œ ¦ ¥ ž€ª ¥ l ∞,p

2

S

Fp

f

Γ[3] (Of1 ) = {(−1, 3); (1, 3); (0, 3)}; Γ[3] (Of2 ) = {(2, 3); (−2, 3)}; Γ[3] (Of3 ) = {(−3, 3); (3, 3); (0; 3)}; 1 3 Ü

©MCRUDyRĽÃMCRºIGBãGILKUDGF ød½ ÉSRUOd¼\½YRGI[IGFPXødT ?½ÃMCR IGBãGILRU½ù¼r¿ÄOd¼\DGX RUT RUX[RUO½«I>¼r¿ nO)½ÃMCRvRUTPT F ød½¾F«KKUBEDGÀ\Rï[3]IGF«ÉSRbùÂ'RïIGFPXødT ”KN¼\OW IG½¾DGBKU½nZ\TPT
B¼\½¾F«RUO½«Iȼr¿Á½ÃMCRÁIGB€øRUDNIGFPO ÅfBET Z\DRUTPT F ød½¾F«K KUBEDGÀ\RGIù¼r¿ùÉSRîÅfDyRNR 3 B IGFPO ÅÃz „Ï® Î m ~ Z\OdÉ¿U¼\DȽÃMCRù½¾DyZSKNR¼\OdR KNZ\O™Z\À\¼\F«ÉïRNZ­IGFPT º½ÃMCRnø¼\T \Od¼\XF«Z\T^DGBEOOFPO Ŝ½¾FPX[RZ\T Åa¼\DGFP½ÃM XùI ½Y¼$ÉS¼$FPν b>IGFPOdKNR2¼\OdR™Q\Od¼\Â^I”½ÃMCR>ø¼­INIGF«ãUT R2½¾DyZSKNRGWI bïIL¼ Kã ;½YRGIG½¾FPO Å ¼\OdR ÅaRU½«I™½ÃMCZ\½Y] b Z\OdÉ Γ (O ) = ∆ (E(0)). Γ (O ) = ∆ (E(2)) Γ (O ) = ∆ (E(25)) »Z­ILR p = 37 ] ùRUDyR½ÃMCRILRU½«I Z\OdÉ Z\DyRÁZ\T IL¼ É\F ÍRUDyRUOν bãUBE½^Â'RÁÉS¼ùFP½^Â/FP½ÃMÄÉSRUW ) ÅfDyRNR 5 F~IL¼yÅaRUOF«RGI ΓZ\OdÉ(OÅaRU½Y] ) Γ (OΓ )(O= {(0, Z\OdÉ Γ (O ) = {(−1, 5); (1, 5)} œ 5)} [AKN¼\XøZ\DGFPO ÅùÂ/FP½ÃM[½ÃMCR  I r ¼ " ¿ à ½ C M Ú R U R P T T F d ø ¾ ½ « F Á K U K E B G D \ À G R I"Â'R*ÅaRU½Y] Γ (O ) = ∆ (E(3± ∆Ð √ Z\OdÉ Γ (O ) = ∆ (E(8)). 10 2)) ènx ƒ} zuf†yzufÛCÑ z?wy̖z€}rwNufÛCÑ |~}x;wyxCz UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚UzvÛµzUw  zLzL‚$}ƒC×µzL†N}| ‚CSƒCÑ~uf† zLÑ Ñ | ×Ewy|~>UƒC †y®Sz€}[uf‚Í2†yz€ÍEƒUz€Í”wyzL†y‚uf†y– Ó ^aƒuSÍE†Nu\wy|~ºÒÃÌS†y{[}L„nuf‚͖wyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÄÛ Ó–ƒ}| ‚C ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u;ìrË­í  zUÌS{ ×CƒEwyzÍE| †yz€GwyÑ Ó)wyxCz?ÛuS}z€}ºÌfÒÁwyxCzzL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{%†y| ‚Ca}Äuf‚Í ‚C|~}xïÌSƒC†ufÑ SÌS†y| wyxC{ï‡ [3]

f1

[3]

[3]

[3]

f1

f2

[3]

[5]

f1

[3]

f3

[3]

f2

[5]

f2

[5]

[5]

f2

[5]

[3]

f1

[5]

À)ˆ

º!r qsr

(Œ^w›»

.{

€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î Ï ûSk>Ò a‡ÕÃÖfÙGå‹ÝYÒvÛ Þ á°ÕH ÝÛvÙG& å Щæ Î &!    Cêë  ©ïè   ·  G   Û(êG&&  éì I è! %/þ+f6úY ø 4Ñ<8ú øYfb.<(ø€O‡0º!øGùƒ.!÷yúø *-ô.!÷WøM1 ø<jYiÃþ¯Cÿþ è
×
Î Ï &×<Ò a‡ÕbÖfÙGå‹YÝ ÒvÛæ  ê  &!ì ( ìè!  ´€ t
êG&   èþY36ö C4ø ‘sö ÷  8úø‹ùƒ.!÷yúø * ­Gö  ö0yôv&ø i+;"þ¯C ×<ÿ þGï C
æ kÑ Î Ï  ëCÒ ç‹Õ ã!K´Õ
â·ØÚÛvÙØÃæ " êc &Ã%/ #ì Ú c!&!ïìW þlð%/ï  s /&!ïï  éC&  è Wþ \^ è(éC  Mè!ò+ ìc (  G&  èG&![éèòy ékè"é &!  Mê%c ´&!G¼òyêG&í %/( &!vê W þ'´&!èC' & ÿ
   W' þC) > þï G(ÑæH ×( Î \D ëB>Ò Ø‡Õkß× XØÙ¬æ /$ &! è!  ì% òyè!¼éè%/ïê  ¿%/èê &‡òyè! %/ ‰è Γ (N ) þ[3ø 0 f$1 (Rö 6 I . =
j¿þ¯C) >ÿþGè
þï +×Cæ Î " éìGÑCÒ Ø‡YÕ ,Yû&Nv× Øägå‹ÝvÝ/æ Î  G&'cïè   $  ÜG E Û(êG&&  é+òyè! %/ [& $  %/ C (' ì  Î ì &c   W þbùƒ.!÷yúø fôôv&ø ;=ý"þ¯CÑÿ þGè
+þï &k!Ñ
æ k(Ñ Î " èì&kÑCÒ K´P Õ ,v´Ü NvÝ æ Ï   !ƒëê  &!ì ( ìè!  Ç  G  ÚÛ(êG&&  éì I è!í %/kêGkq t
êG&   èG&!  þ
\Dì  Î ì  W þü  ¯ ò2 !  éìw ü¬  ì %/ ¯í ÿ
     $ëê Ð  ¯  þ‹C< kÑ þGï +>Ñ Î " \:>×!Ò -Õ ,Yû&NYÐv<ã XØ ãß× ãã٠܋۴æ Î ì &  ìMïè   f  ÜG 2 Û(êG&&  éì I è! %/þ ó ôõöô÷Wøbùƒ.!÷yúYø úi"þ¯C) >×(ÿ þGè
þï >)Cæ! Î " \[Ò -¨ Õ ,Yû&NYÐv<ã XØ ãß× ããÜ‹Û æ /$ &! è!  ì% òyè!ƒéè%/ïê  U& è!òk  G&' Û(êG&&  éƒ&!GÚÛ(êG&  G&' Û(êG&&  é¼òyè! %/W þ_\^ è(éC  °è!òM ìC  ûW(  G&í  èG&! " '%/ïè  ê% è " '%cè  é &!G /$ &! éÌçlè%/ïê &  è )þ û "" /$çgÿ þ Ï èþ‹C' þï vB×æGR ×< Î #^Ñ(Û Ò ç‹´ Õ c[ö<ã Ї: æ ûW è <  (  ´éèê  g   ï  Û(êW þ:9lYø ZfYø fE8 <. (´ø 4&80>Yø Þg. º0 4YCø f´‚* A & ü ú;"þ¯CÑ(ÿ þGï )>CæH ×)

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ'Ä~ÅWÖ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

؃Ù

K

ÛHì‰âTيØ\Ü æÜCÜ Þي×HÞ-Hãcâçà Ø\ÜÝG\ÝNä8ñ‰Ü|älÛCÞ×

à Ø\Ü æèÚ

óï|QMø$'"grù~ù~ø$%õ

 Ð & ì%&  Uÿ
     Ï   òy . þ  í÷)=(:

I & Uê   $ò

KML!NO-PQR!OS T ¾%ÃÇÌ>_ Ë ¾´a Ë ¾ŽÌÎÍ Ê _ É _`;á É ¾!{ V ÍW] Y#â Í ~ _Ì>ZäãÌ Ê É ] Ê Ã\ ¾` _̄} ÉÇÊ Ï ¾
e Ï a\ ¾%¾£¶ Ï ¾ É Í Ê _ É Íg_`

Z Ê ™ \ _!]a\ ~ _,¾ ÏWY ¾ŽÌ Ê a É ¿_CZMa Ê É Í h Ê ÏWY:Ê É } ÉÇÊ Ï ¾ÌξŽÍ Ê ¿ V ¾}¾ \ ¿ÇÍ+_`4] Y aWÌWa] Ï ¾ŽÌ Ê Í ÏmÊ ]A¿ Ê å ¾ŽÌξ ÉKÏ ` Ì>_CZ Ô'À o Í[a É Wa ÃÇÃ\ Ê ]a ÏmÊ _ É h ¾0ÃÇÌ>_ Ë ¾ ÏWY ¾]aWÍm¾g_` Ñ Ì>_ ÏWY ¾ É ¿ Ê ¾ ] )â Í+] _ ÉUT ¾ ] ÏWV Ìξ
_ É ÃÇÌ Ê É ] Ê Ã(a\ Y _CZf_ Ó ¾ É ¾ _ V Í ÍmÃ(aŽ] ¾ŽÍD` _ Ì ÏWY ¾wÍmÃ Ê É _Ì Ó Ì>_ V Ãk_`‹ay V aW¿ÇÌWa ÏmÊ ]g` _Ì>Z À Ím¾

mbn Ä"  ¥ a  Ÿ\  † ªÃž€ª>  

ènxC|~}‚CÌfwyzïÍEz€}yU†y| Ûµz€}_rÌS| ‚aw ÌS†>= | wyx2G‡^ñ/uf‚C| ‚2uf‚͖t™‡*ðwuf‚CSƒC†yzL‚‘‡”ÙÑ Ñ"uf‚E‰ ‚CÌSƒC‚Uz€Í †yz€}ƒCÑ wN}ùuf†yz[×CƒCÛCÑ |~}xCz€Í™ | ‚”ñ †yzL×C†y| ‚awN}XD^…*ÕE‹ ò @‚C| ®SzL†N}| wRŽ\wt\†C‚}rwyzL†€„^‚Ċ Ï çSçC„ Ï ŒSŒSˆC‡ ènxCzÈ}ƒCÛrz€GwÌfÒ/ÌSƒC†ÍE|~}yUƒ}y}| ÌS‚ï}rwNuf†wN}  | wyxïwyxCz  zLÑ Ñ ‰~= ‚CÌ  ‚>UÑ~uS}y}|~LufÑJ†yz€}ƒCÑ wÌS‚ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~"ÒÃÌS†y{[}*Û Óœt™. ‡ !ڂCzLÛCƒ}yN·x z {>¥   ® m ~ ‡èÌùÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wyz| w  z| ‚awy†yÌEÍEƒUzÚ}ÌS{ z ‚CÌfwNu\wy| ÌS‚‘‡ j‘zUw ÛµzÁu ‚C| wyz zLÑ~ͺzU£ wyzL‚}| ÌS‚ºÌfÒ^ÍEzLS†yzLz ì zÚuS}y}ƒC{ zwyxu\wnwyxCzÁNxuf†NuSG‰ wyzL†y|~}rwy|~E/F ÌfÒufÑ Ñ zLÑ~ÍC}'|~}*ÍE|
¹ a XÁ•'ÂÔÕÕWÖÇÀ

∗

∗

Àp

W+r4æ 4y wh ^Ž4xxwh 

j‘zUw ÛµzÈu ^aƒuSÍE†Nu\wy|~Ú}×uSUzÚÌ\®SzL† ÌfÒ^†Nuf‚.= „C|¾‡ zS‡ „EwyxCzL†yzÁ|~}"S| ®SzL‚>u‚CÌS‚E‰ } | ‚CSƒCÑ~uf(V, †^aƒq)uSÍE†Nu\wy|~ÚÒÃÌS†y{ q : V → F  | wyxF m = dimmV ‡ÈðÛ}zL†y®SzÚwyxu\wÚzU£ wyzL‚ÍE| ‚C wyxCz}yLufÑ~uf†N}  zSzUwwyxCz^aƒuSÍE†Nu\wy|~}×uSUz (V , q ) Ì\®SzL† E ìÃxCzL†yz V = V ⊗ E uf‚Í íG‡ q =q⊗ E DCÌS†*uf‚  Ó ‚C| wy_z zLÑ~Í[zU£ wyzL‚}| ÌS‚ E/F  zÍEzL‚CÌfwyzÛ Ó D (E) wyxCzS†yÌSƒC×[SzL‚CzL†Nu\wyz€Í Û Ó wyxCz‚CÌS‚E‰îéLzL†yÌÈzLÑ zL{ zL‚awN}*ÌfÒ E †yzL×C†yz€}zL‚awyz€Í[Û ÓwyxCzÒÃÌS†y{ q ‡*ðÛ}zL†y®Sz"wyxu\w*wyxCzL†yz uf†yzÌSÛ ® | ÌSƒ}'| ‚UÑ ƒ}| ÌS‚} (E ) ⊂ D (E) ⊂ E 0‡ ’zL‚UzS„  zxu­®SzÍEzK‚Cz€ÍÄuÈÒÃC‚GwyÌS† E

E

E

E

F

F

q

∗ 2

∗

q

E

nè xCzù†yz€}ƒCÑ wÌfÒ%!ڂCzLÛCƒ}yNxv}yu­ÓE}"wyxu\w D †yz€}×µz€GwN}"wyxCzù‚CÌS†y{ {[uf×vÌS†€„{ ÌS†yzÈ×C†yzU‰ U|~}zLÑ ÓS„E| w}yu­ÓE} 
‘D’“‹”’•—–b˜ – ž {>¥  a›^¨©€¡ ¾   n HdMCRUDyRÈF~IùZ\O?FPOdKUT B IGF«¼\O ¼r¿ÚIGBãîÅfDy¼\B€øµIȼr¿ F Dq : f ields/F → abelian groups q

∗

NFE (Dq (E)) ⊂ Dq (F ).

’zL†yz z*×C†yÌ\®Sz*u}| { | Ñ~uf†^†yz€}ƒCÑ w©ÒÃÌS†/uf‚ Ó ‚C| wyznÔUwNufÑ z*zU£ wyzL‚}| ÌS‚ ÌfÒd}zL{ | ‰îÑ ÌELufÑ Ì zUwyxCzL†y|~uf‚ïÍEÌS{[uf| ‚}  | wyxï| ‚‚C| wyzÁ†yz€}|~ÍEƒCzzLÑ~ÍC}L‡w„uf{ zLÑ ÓS„ S/R 
‘D’“‹”’•—–b˜W¨ n 9RU½ R ãNRùZ ILRUXFPWYT ¼€KNZ\T.Èù¼€RU½ÃMCRUDGF«Z\O™ÉS¼\X[Z\FPOÂ/FP½ÃMïFPO'OFP½YRÁDyRGIGF«É\BR ãNRZ OFP½YR"ÆU½YZ\T R WZ\T ÅaR€ãUDyZ Od¼\½JOdRNKNRGINILZ\D ÁZÁÉS¼\X[Z\FPO šÚÂ/FP½ÃMùFP'O OFP½YR *RUT É­I 9RU½ DyRGIGF«É\Bœ cR *RUTS/R É­I œ 9RU½ (V, q) ãNRœZ
RBZSÉ\DyZ\½¾F«K I¾™øZSKNRœ¼\À\RUD R ¼r¿DyZ\OEQ m œ 9RU½ (V , q ) ãNR ½ÃMCR[ãNZ­ILRºKNMCZ\O ÅaRœ¼r¿ (V, q) À€F«ZĽÃMCRœ>R +S½YRUOCIGF«¼\O S/R œ 9RU½ D (R) ™ DyRGI¾ø œ D (S)š ãNRÚ½ÃMCRÅfDy¼\B€ø>ÅaRUOdRUDyZ\½YRNÉ[Kã  ½ÃMCRÁFPOÀ\RUDG½¾F«ãUT RùRUT RUX[RUO½«IÁ¼r¿ R ™ DyRGI¾ø œ S šDyRîødDyRGILRUO½YRNÉ[Kã  ½ÃMCR'¿U¼\DGX q œ HdMCRUO?½ÃMCRUDyRÈF~IùZ\O?FPOdKUT B IGF«¼\O ãNRU½¾Â'RNRUOv½ÃMCRÁIGBãîÅfDy¼\B€øµIȼr¿ R „

S

q

S

q

∗

NRS (Dq (S)) ⊂ Dq (R),

©MCRUDyR N F~IÁ½ÃMCRÈOd¼\DGX X[Zyø[¿U¼\DȽÃMCRwOFP½YRÆU½YZ\T RR>+S½YRUOCIGF«¼\O S/R œ HdMCRùF«ÉSRNZļr¿Ú½ÃMCRnødDy¼€¼r¿ n @‚EÒÃÌS†wyƒC‚u\wyzLÑ ÓS„nwyxCzv×C†yÌ ÌfÒÚÌfÒ:!ڂCzLÛCƒ}yNx Luf‚ ‚CÌfwœÛµzvzU£ ‰ wyzL‚ÍEz€Í ÍE| †yz€GwyÑ Ó”wyÌ wyxCz?LuS}zïÌfÒÈ}zL{ | ‰îÑ ÌELufÑ"†y| ‚Ca}>ìÃ| wÄ}| { ×CÑ Ó–Ò«uf| Ñ~}[| ‚)wyxC|~}œLuS}z­íG‡ ’zL‚UzS„J| ‚?ÌEÍEzL†wy̺×C†yÌ\® |~ÍEzÈwyxCz SzL‚CzL†NufÑ | é€u\wy| ÌS‚ïÌfҁ!ڂCzLÛCƒ}yNxM }†yz€}ƒCÑ wN}ÌS‚CzùxuS}wyÌ ƒ}zùUÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ ÓÄÍE| w  Ì ‚CÌS‚E‰îAzL{ ×Ewr| Ó ‡duf†y|~} = |©ÌS×µzL‚™}ƒCÛ}zUwN}ÚÌfÒ xu­®Sz‚CÌS‚E‰îéLzL†yÌÄ| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚‘‡ Ù‚ÍJ„C{ ÌS†yzLÌ\®SzL†€„SwyxC|~}"| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚ÄUÌS‚aAwNuf| ‚}"uf‚ F ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑd×µÌS| ‚aw€‡ Y‚œÒ«uSGw€„ wyxCzÌS†y| S| ‚ufѵ×C†yÌ ÌfґÌfÒ !ڂCzLÛCƒ}yNxœS| ®Sz€}*uf‚º|~ÍEz€uùxCÌ wyÌ †yzUÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wyz"wyxCz ×C†yÌ ÌfÒ| ‚?wyzL†y{[}ÌfÒ €uf‚vzU£E|~}rwyzL‚UzÌfÒ*uœ†Nu\wy| ÌS‚ufѩ׵ÌS| ‚awÚ| ‚?wyxCz | ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚vÌfÒ*}ÌS{ z ÌS×µzL‚[}ƒCÛ}zUwN"} ‚G‡^Ý"z€LufÑ Ñ wyxu\w'| wSÌ z€}^Û Óù| ‚ÍEƒGwy| ÌS‚[ÌS‚ùwyxCzÍEzLS†yzLz n ÌfÒdzU£ wyzL‚}| ÌS‚‘‡©Y‚ S R

n F

n F

‹

  Œ

{

q 8{bwh vw›8x“

{¾d^Žy t

‹w

{yZ ) â“

{

q

À 

SÌ †NÍEzL†/wyÌù{[u=Sz"wyxCz| ‚ÍEƒGwy| ÌS‚º}rwyzL×  zxu­®SznwyÌù×C†yÌ\® |~ÍEz}ÌS{ zA‚C| wyzczLÑ~Í[zU£ wyzL‚}| ÌS‚ ÌfÒnÍEzLS†yzLz}rwy†y|~GwyÑ ÓvÑ z€}y}wyxuf‚ ‡ènxCzÑ~u\wwyzL†Á|~}wyxCz[}yuf{ z uS}wÿ‚Íuº×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ ÌfÒÍEzLS†yzLz[}rwy†y|~GwyÑ ÓÑ z€}y}Úwyxuf‚ nn  xC|~Nx”}yu\wy|~}Žz€}Á}ÌS{ zœ†yzLÑ~u\wy| ÌS‚}L‡ºÙ‚͙xCzL†yz[|~}ÚwyxCz ×µÌS| ‚awœê  zv|~ÍEzL‚awy| ÒÃÓ2wyxCz?}zUwÄÌfÒÈUÌ Kz uœU| zL‚awN}œÌfÒÁwyxC|~}œ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ  | wyx$uf‚;u u[‚Cz }×uSUz>uf‚͖†yzUÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wyzïufÑ ÑnwyxCz>†yzLÑ~u\wy| ÌS‚}| ‚2wyzL†y{[} ÌfҏÌS×µzL‚ }ƒCÛ}zUwN}L‡ ènxCzL‚–wyxCz zU£E|~}rwyzL‚UzïÌfÒÚu†Nu\wy| ÌS‚ufÑn×µÌS| ‚aw[| ‚–wyxCz>| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚–{ z€uf‚}wyxu\w[wyxCzL†yzïzU£E|~}rwN}ùwyxCz ÍEz€}| †yz€Íº×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufѾ‡ š ½l½ † ª«¡S Ež€ª«¦ ›^n Ã

¥ ènxCzn×C†yÌ\®SzL‚ù†yz€}ƒCÑ w/|~}/ufÑ~}ÌÚLufÑ Ñ z€Í €Ùr„ÌS†y{ ñ†y| ‚U| ×CÑ znÒÃÌS†“çƒuSÍE†Nu\wy|~DCÌS†y{[}"‚nuf‚Í xuS}/{[uf‚ Óù| { ×µÌS†wNuf‚aw'UÌS‚}z'^aƒCzL‚Uz€}^| ‚ wyxCz"wyxCzLÌS†yÓùÌf Ò ^aƒuSÍE†Nu\wy|~*ÒÃÌS†y{[}L‡ð‚Cz"ÌfÒµwyxCz UÌS‚}z'^aƒCzL‚Uz€}|~}^†yzLÑ~u\wyz€Í  | wyxùwyxCz*Ò«uf{ ÌSƒ}/†yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W = }^UÌS‚ rz€GwyƒC†yz*ÌS‚ùñ†y| ‚U| ×ufÑ ’ÌS{ ÌSSzL‚CzLÌSƒ}wX ×uSUz€}L‡^ènxC|~}'UÌS‚rz€GwyƒC†yz uS}^ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u\wyz€Í ufÑ { Ìa}rwÕaŒÚÓSz€uf†N}/ufSÌÈuf‚Í |~}"}rwy| Ñ Ñ‘ÌS×µzL‚‘‡/îw}yu­ÓE}'wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C  É “‹¥43(’-5§76[”’·¨D˜ – n 9RU½ ãNR™^Z è"Z\½ DyRNÉ\BKU½¾FPÀ\R>ÅfDy¼\B€ø ILKNMCRUX[R™¼\À\RUD Z”ILRUXFPWYT ¼€KNZ\T DyRîÅfBET Z\DÁDGFPO Å R œ 9RU½ K ãNGRȽÃMCR
B¼\½¾F«RUO½ *RUT Éļr¿ R œ HdMCRUO?½ÃMCRÈFPOdÉ\BKNRNÉ[X[Zyø 1 1 Het (R, G) → Het (K, G)

MCZ­I ½¾DGFPÀ€F«Z\T^QSRUDGOdRUT œ šGO2¼\½ÃMCRUD Â'¼\DyÉ­IWbÚZ\O G WãUBEOdÉ T R[©M F«KNM F~I DyZ\½¾F«¼\OdZ\TPT >½¾DGFPÀ€F«Z\TF~I ™ 6^Z\DGF~IyQ\F šœT ¼€KNZ\TPT œ½¾DGFPÀ€F«Z\T œ ð‚CzÚÌfÒ©ÌSƒC†"{[uf| ‚ï†yz€}ƒCÑ wN}"}yu­ÓE} F~I?Z I¾ødFPOd¼\D 
‘D’“‹”’• ¨D˜W¨ n HdMCR”»¼\!O ÈLRNKU½¾BEDyRvF~Iï½¾DGBRÈ¿U¼\D>½ÃMCR?KNZ­ILR ÅfDy¼\B€ø ¼r¿ºZ
BZSÉ\DyZ\½¾F«K¿U¼\DGX q Z\OdÉ R F~IœZïILRUXFPWYT ¼€KNZ\TDyRîÅfGBET Z\=D DGSpin FPO ÅKN¼\O½YZ\FPOFPO ÅZ\O FP'O OFP½YAR *RUT É ùRUOdKNR bX[¼€É\BET ¼ï½ÃMCRødDyRUÀ€F«¼\B IùQ\Od¼\Â/O2KNZ­ILRGWI b½ÃMCRºKN¼\!O ÈLRNKU½¾BEDyR F~I ½¾DGBR ¿U¼\D[Z\TPT/Z\T ÅaR€ãUDyœ Z\F«KùÅfDy¼\B€øµI ¼r¿ KUT Z­INIGF«KNZ\T^m½ yøR[>R + KUT BÉ\FPO Å>ZœI¾ødFPOd¼\DÁÅfDy¼\B€ø Spin ¼r¿ Z
BZSÉ\DyZ\½¾F«K"øZ\FPD œ HdMCRùF«ÉSRNZļr¿Ú½ÃMCRnødDy¼€¼r¿ n îw"wyƒC†y‚}*ÌSƒEwnwyxu\wnwyxCcz €„ÌS†y{Øñ†y| ‚U| ×CÑ z ‚Ú|~}*wyxCz =SzLÓ[| ‚CS†yzU‰ ÍE| zL‚aw| ‚ïwyxCzÈ×C†yÌ ÌfÒ/Ìfҍ†yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W = }Ð'ÌS‚ rz€GwyƒC†yzSi‡ „uf{ zLÑ ÓS„µUÌS‚}|~ÍEzL†"wyxCzÈ×uf†wÌfÒ wyxCzÁÑ ÌS‚C zU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚UzÁuS}y}ÌEU|~u\wyz€Í  | wyx Spin q

(A,σ)

q

SN

1 Het (R, µ2 )

1 Het (R, Spinq )

1 → Het (R, SOq ),

xCzL†yz |~}ÈwyxCzº}×C| ‚CÌS†ù‚CÌS†y{ï‡ðÛ}zL†y®Sz wyxu\wùwyxCzÄUÌS‚rz€GwyƒC†yzœ|~}Áwy†yƒCzœÒÃÌS† SO ‡ nè x ƒ}L„d| SN ‚ÌEÍEzL†wyÌï}xCÌ  wyxu\wwyxCz| ‚ÍEƒUz€Í?{[uf× H (R, Spin ) → H (K, Spin xuS}©wy†y| ® |~ufÑ=SzL†y‚CzLÑE| w|~}/zL‚CÌSƒCSxùwyÌÈ}xCÌ  wyxC|~}/ÌS‚wyxCzUÌ=SzL†y‚CzLÑ~}©ÌfÒµwyxCz}×C| ‚CÌS†/‚CÌS†y{[}L)„ |¾‡ zS‡ „*ÒÃÌS† wyxCzvufÛµzLÑ |~uf‚)×C†yz€}xCz€u\Ò coker(SN ) ‡$…*әwyxCz>†yz€}ƒCÑ wN}[ÌfÒwyxCz?ufƒEwyxCÌS†[| wœ|~} = ‚CÌ ‚œwyxu\w"ÒÃÌS†uf‚ Ó[×C†yz€}xCz€u\Ò | wyxÄwy†Nuf‚}rÒÃzL†N} wyxCzÁ| ‚ÍEƒUz€Íº{[uf× |~}| ‚  rz€Gwy| ®SzS:‡ ’zL‚UzS„d| wÚ|~}zL‚CÌSƒC Sx>wy̺×C†yÌEÍEƒUzÈFwyxCzùwy†Nuf‚}rÒÃzL†{[uf×>ÒÃÌSF†(R) wyxCz→×C†yz€F}xC(K) z€u\Ò 

SOq (R) −−→

→

1 et

q

1 et

q

q

À!¢

W+r4æ 4y wh ^Ž4xxwh 

‡ D©| ‚ufÑ Ñ ÓS„aUÌS‚}|~ÍEzL†^wyxCz"ƒ}ƒufÑC‚CÌS†y{ {[uf× ÌS‚ 0 ‡/…*ÓÈwyxCzc„ÌS†y{ ) ñ†y| ‚U| ×CÑ z| wÁ|~}  zLÑ Ñ ‰YÍEzK‚Cz€ÍvÌS‚vwyxCzl^aƒCÌfwy| zL‚awN}Û ÓÄwyxCz| {[HufS(−, z€}ÌfµÒ SN „J|¾‡ zS‡ „JÌS‚>wyxCz UÌ =SzL†y‚CzLÑ~}L‡^Ù‚Í  zÁuf†yzÁÍEÌS‚CzS‡

coker(SN )

1 et

2

€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡   Î 1fÑ(Ò â¬Õ„M/ÝvØ
þ+ÐvÚBû&N‰æ¨TD " & ë Ù 
 Aü¬ fè–Û(êG&&  éì 1(`! ï þvó ôõöô÷Wøbùƒ.!÷yúøvûü"þ¯CÑ(ÿ þ ï Cæ) I

è! %/ Ù 

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ•ÅÇÆ>Ö È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ïAâlÛä à ÝNÙlKNÛCÞ؃ىâlÙßÞÙ äŒÝŠí|âlىæšâÜ¾K

æšÞÛ

ñ‰âÜ

äŒÝNà

p–

í|Ü\ÝJHCâlÙNÛHì‰âCØ\Ü ÞÇâ

ä8ñ‰Þځ׈ì‰â

o

ãcÞÇâCí|Ü\ÝJHCâlÙ

m óLKNùw"Né“M)ê>O

Ð & ì%&  éì _ûW ¯  ê þD
   éìí>
 íÎÿ
     þ  Ù   è!ò )+*-,/.!02143,;-(S+w78BC59?!8l<2EFG6(HC=!E:w<w!:(;!=)(!A-˜D<>=:

KML!NO-PQR!OS ‚ ¾ Ê ¾ Ê É ¾_¾ É ¿\ Ê ] Y ¾ŽÌ j ¾ VÇÓWÏ ¾ Ñ Ì V ÃÇþÀ°i4ëÇÌ T ¾Ž¿Ç¾ É a Ï ëÇÌ>\ Ê ] Y ¾ìa Y \ Ê Í Ï ¿ Ê ¾ o É™ j a Y \.¿Ç¾ŽÌ È4ÉKÏ ¾ŽÌ Ó Ì V GÃÇþ ÉJË _CZ « É ¿Ç¾£¶ n Ê É G ¾ É ¿\ Ê ] Y  VÇÉ ¿/ZMa ÉP a ÉÇÉ ¿ Ê ¾` _Ì>ZMa\ ¾En… Ê Ì Ê ] Y \ ¾ Ï Ìξ Ê Y ¾ P { Ê \ ¿Ç¾ É À È4ÉKÏ ¾ŽÌ Ó ¾Ž¾ Ê ÓÉ ¾ Ï ¾ ÉHí ¾Ž¿ Ê ÉÇÓCVÇÉÇÓ ¾ É Â j À í À`ya\ \ Í ÉÇÊ \ Ã_ Ï ¾ ÉKÏ ζG (s) := |G : H|−s G Ê Í Ï Â,¿Ç¾S} ÉÇÊ ¾ŽÌ Ï H6 G ¾ Ê É ¾la É a\ X ÏmÊ ÍW] Y ¾li Ç V É<KÏmÊ _ ÉMVÇÉ ¿J{¾ŽÍ Ê ÏWj"Ï^j V ¿Ç¾ Z‰¾ Ê É ¾ ƒ‹V \ ¾ŽÌÎÃÇÌ>_,¿ V<KÏWj ¾ŽÌ>\ ¾ ÓCVÇÉÇÓ À … V Ì>] ` Y í ¾ Ï ÌWa] ζKY GÏW(s) V ÉÇÓ ¿Ç¾ŽÌ4\ _  a\ ¾ É ia KÏ _ Ìξ É h Ê ÌοfZMa É ¿(a j VcÓ ¾` ë Y Ì Ï ÂǾ ÉKÏ ÍmÃÇÌξ ] Y ¾ É ¿Ç¾'ì¾ Ï a` VÇÉ<KÏmÊ _ ™ Ç É ¾ É ` ëÇÌ ™ Wa ¿ Ê ÍW] Y ¾î Ê ¾ Ó Ì V ÃÇþ É { j h À-î Ê ¾ ÓÊ ÏÎÏ ¾ŽÌ j VcÇ V ÉKÏ ¾ŽÌÎÍ V ] Y ¾ É À Z p¾ Ê É ¾ Z š _ Ì Ï ÌWa ÓMY Ra {¾ Ê ]  Y Ë ¾ŽÌÎÍ V ] KY Ï Â¾ Ê É ¾ É7ƒÊ É {\ Ê ] cÊ É ¿ Ê ¾ T>ÇV ÉÇÓ ¾ ÇV É ¿ÍW] YÇÉ ¾ \ \ h a] Y Ím¾ É ¿Ç¾ «É A . Y ¾ _ Ì Ê ¾w¿ Ê ¾ŽÍm¾ŽÌì¾ Ï a` ÇV É<KÏmÊ _ É ¾ É/j _ V Ë ¾ŽÌ>Z Ê ÏÎÏ ¾ \ É À f

ª ¥l†   ªÃž€¨ ¥ ’ Y‚ÁÍEzL†zL†N}rwyzL‚:’AŽfÑ ÒPwyz'ÍEz€}Jé  uf‚CéL| a}rwyzL‚:™aufxC†yx ƒC‚ÍEzL†wN}dÛµz€}rwNuf‚ÍڂuSNxÁÍEzL‚ÚzL‚CÌS†y{ zL‚ DCÌS†wN}yNxC†y| wwyzL‚”| ‚2ÍEzL† ufÑ SzLÛC†Nuf|~}yNxCzL‚–‡dufxCÑ zL‚awyxCzLÌS†y| zœéLƒC ‚ ŽSNx}rw ÍE| Œz ’Ì
¹ a XÁ WÏ Y

ÂÔÕÕWÖÇÀ

®

ÀÀ z

rW x 28., v

}/ÌS†nzUw uÈé uf‚CéL|   ™aufxC†yzL‚ uffwyzLH‚ DC†y| wyéȍ†yƒC‚Cz ufÑ~͜ƒC‚ˆÍ -ufŒ‚ X zLaufÑdzL| ‚CzL‚Ä® | zLÑ z L| wyzL†yzL‚ˆ XENxC†y| ww*| ‚}i„|~Nxaw‰~=SÌS { {ùƒEwNu\wy| ®SzS„S| ‚ÍEzL{Î} | zÛµzLauf‚C‚CzL‚‘„azL‚ÍEÑ |~NxºzL†yéLzLƒCfwyzS„ ‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzÁ†yƒC×C×µzL‚ïufƒEÒ| xC†yzÚuf†y| wyxC{ zUwy|~}yNxCzLC‚ ;| SzL‚}yNxu\ÒPwyzL‚ºxC| ‚ºéLƒºƒC‚awyzL†N}ƒNxCzL‚‘‡ ;| ‚ éLzL‚awy†NufÑ z€}Èð Û r,z =awÈ| ‚ ÍEzL†ùufÑ SzLÛC†Nuf|~}yNxCzL| ‚ ‡dufxCÑ zL‚awyxCzLÌS†y| z|~}rwÈÍE| Cz -z€ÍE,z = | ‚ÍC}yNxCz ‡µzUwNu\ÒÃC. ‚ =awy| ÌS‚‘‡ „uSNx | xC†yzL{ }/ÌS†yÛC| Ñ~꼄 Ž)ïfw}|~NxtÒ †C † rz€ÍEz"zL‚ÍEÑ |~Nx zL†yéLzLƒCfwyz†yƒC×C×µz G ÍE| zÒÃÌS†y{[ufÑ z -| †y|~NxCÑ zUwy†yzL| xCz ζ (s) := P |G : H| ÛC| Ñ~ÍEzL‚‘w‡ DufÑ Ñ~} G ‚C|~Nxaww €réLƒ ® | zLÑ z ‚l@‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚v®SÌS‚?zL‚ÍEÑ |~NxCzL{ Y‚ÍEzU£?Ûµz€}| wyéUw€ „ =SÌS‚ ®SzL†yS| zL†w ζ (s) ufƒEÒ'zL| ‚CzL† †yz€NxawyzL| ‚ =SÌS{ ×CÑ zU£EzL| ‚ ’ufÑ ÛµzLÛµzL‚Cz Ý"z > α} „ α ∈ R „©ƒC‚͙ÍEKz ‚C| zL†wù}Ì zL| ‚Czœuf‚ufÑ Óawy|~}yNxCz DCƒC.‚ =awy| ÌS‚‘H‡ De†C†ù{sÍE| ∈Cz !ÚCÑ~uS| }y}z[(s) ÍEzL†ÈzL‚ÍEÑ |~Nx zL†yéLzLƒCfwyzL‚‘„‘‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzL‚ †yƒC×C×µzL‚  ƒC†NÍEzL‚™S†yƒC‚ÍEÑ zLSzL‚ÍECz ;| SzL‚}yNxu\ÒPwyzL‚”ÍE| z€}zL† ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚”zL†N}rwy{[ufÑ~} | ‚”ÍEzL‚–uSNxawyéL| SzLJ† ™aufxC†yzL‚™ufƒEÒÐSz€ÍEz€W =aÃw z Ä §g§[¶b¶ ~ ƒ‡ X zL| wNÍEzL{ xu\wùz€}L„/ufƒNx™ufƒEÒÍEzL{ zL‚C–ÛµzL‚uSNx Ûuf†wyzL‚$zLÛC| zUŒw @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚  uSNx}rwyƒC{ï„"zL| ‚Cz?†NuS}yuf‚awy\z ;‚aw  |~W = Ñ ƒC‚C SzLSzLÛµzL‚ ± ÍCu­®SÌS‚éLzLƒCfwùÍE| z =Z†C†yéLÑ |~NxzL†N}yNxC| zL‚CzL‚Cz[t>ÌS‚CÌSS†Nuf×CxC| "z z ©_§[b‚ ~ ˆ‡ !ÚÑ~uS}y}|~}r‰ NxCN z ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚‘„ÍE| z™ufÑ SzLÛC†Nuf|~}yNxCzL‚;†yƒC×C×µzL‚ éLƒCSzLÌS†NÍE‚CzUwï}| ‚ÍJ„zL†N}yNxCzL| ‚CzL‚ ‚ ƒC‚C{ zLxC†º| ‚;zL| ‚CzL{%‚CzLƒCzL‚ j‘|~NxaUw z § §„© |b}~ „"ƒC‚Í zL†N}rCw =Z†C†yéLÑ |~Nx  ƒC†NÍEzvzL‚awNÍEz€W =aw€„ ÍC)u ïÍE| z ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚ (s) zL| ‚CzL†nzL‚ÍEÑ |~NxºzL†yéLzLƒCfwyzL‚‘„ ‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzL‚†yƒC×C×µz G zL‚C éLƒ}yuf{ { zL‚Cx Žf‚Cfw{ | w[ζÍEzLë { ‡.ŽfxCÑ zL‚–®SÌS‚”ñƒC.‚ =awyzL‚2ufƒEҐSz  |~}y}zL‚ G éLƒCSzLÌS†NÍE‚CzUwyzL‚ }uf†y| zURw Ž\wyzLÅ ‚ z § § Ä b ~ ‡ Y{ÒÃÌSÑ SzL‚ÍEzL‚2{ ŽENxawyzï|~Nx‘„*‚C|~Nxaw[éLƒCÑ zUwyéUwºuf‚Cxuf‚͖®SÌSŠ ‚ =SÌS.‚ = †yzUwyzL‚2…*zL|~}×C| zLÑ zL‚‘„ zL| ‚CzL8‚ ;| ‚ÍE†yƒW =?ÍCu­®SÌS‚>®SzL†y{ | wwyzLÑ ‚‘„  uS}ÚÍE| lz ’ufƒC×EwyzL†ySzLÛC‚C|~}y}zùƒC‚ÍÍE| z uf‚}rwyzLxCzL‚E‰ ÍEzL‚ ’zL†Nufƒ}rÒÃÌS†NÍEzL†yƒC‚CSzL‚–ufƒEÒÚÍE| z€}zLê { rƒC‚CSzL‚ DCÌS†N}yNx ƒC‚Ca}SzLÛC| zUw }| ‚ÍJ‡ -ufÛµzL|zL†‰ Ñ~ufƒCÛµz|~Nx;{ | †€„ufƒNx;zL| ‚C| Sz  zL‚C| SzL†ÄSz  |~Nxawy| SzvzL| SzL‚CzÝ"z€}ƒCÑ wNu\wyz{ | wyéLƒEwyzL| Ñ zL‚‘‡ ènxCzL{[u\wy|~}yN–x ŽfxC‚CÑ |~Nx ufƒ}SzL†y|~NxawyzUw/ƒC‚ÍùwyzL| Ñ  zL|~}zufƒ}rtÒ †CxC†yÑ |~NxCzL†/Sz€}yNxC†y| zLÛµzL‚|~}rw'ÍCuS} !Áuf×C| wyzL Ñ €W‡µzUwNlu DCƒC‚Gwy| ÌS‚}"ÌfÒ/†yÌSƒC×"} ‚| ‚ z § §g§g§[b ~ ‡ G

−s

H6f G

G

G

›^n Á  +’Ÿ\ªñ'L›^ª † §©¨

¥ ?’ ¨ ¥ §ñ aŸ\Lž ¿¡” EŸ-C  ¥ ž  Á   ª«!½^ª>  †   X zL| zL| ‚Czù†yƒC×C×µzS‡wDe†C† n ∈ N }yNxC†yzL| ÛµzL‚  | † G ƒC‚Í s (G) := X a (G). a (G) := #{H 6 G | |G : H| = n} ? |† ÌSÑ Ñ zL‚È®SÌS†Nufƒ}y}zUwyéLzL‚‘„€ÍC)u ï tÒ †C † rz€ÍEz'‚u\>w †C†yÑ |~NxCAz ‡dufxCÑ n zL‚ÍEÑ |~NxÈ|~}rw€‡*ìÎ-| z€} |~}rwÄ}|~ NxCzL†yÑ |~Nx)ÍEzLH† DufÑ Ñ¾„  zL‚C‚ aG (G) zL‚ÍEÑ |~Nx)zL†yéLzLƒCfwœ|~}rw€‡ è í @‚}œ| ‚awyzL†yz€}y}| zL†yzL‚)ÍCuf‚C‚ ÍE| z uf†y| wyxC{ zUwy|~}yNxCzL8‚ ;| SzL‚}yNxu\ÒPwyzL‚?ÍEzL:† DCÌSÑ Sz a (G) „ n ∈ N „JƒC‚ÍuS}Ó { ×EwyÌfwy|~}yNxCz ÙÛ}yNx Ž\wyéLƒC‚CSzL‚>tÒ †C†ÁÍCuS} ? uSNx}rwyƒC{ ÍEzL:† DCÌSÑ Sz s (G) „ n ∈ N ‡ ‡µƒÍE| z€}zL{ ‡  z€W = ÛC| Ñ~ÍEzL‚  | †ÍE| zÚÒÃÌS†y{[ufÑ :z -| †y|~NxCÑ zUwy†yzL| xCz n

n

n

k

k=1

n

n

n

ζG (s) :=

X

H6f G

|G : H|−s =

∞ X

n=1

an (G)n−s .

æ

ÀÍ

Ž W ‹ w)



y.“ 

ÙƒCSzL‚}yNxCzL| ‚CÑ |~Nx;Sz€}yNxC| zLxawÄÍE| z€}º| ‚ Ù‚ufÑ ÌSS| z?éLƒCŒ† -z€ÍE,z = | ‚ÍC}yNxCzL‚ ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚ zL| ‚Cz€}i‡dufxCÑ =SŽS†y×µzL†N}L„SÍE| zufƒEґSÑ zL|~NxCzc?zL|~}zÍEƒC†NNxœÍCuS}i‡.ŽfxCÑ zL‚[®SÌS‚[rÍEz€ufÑ zL‚œ| {4éLƒCSzU‰ xCŽS†y| SzL‚ïÚuf‚CéLxCzL| wN}†y| ‚C zL‚awN}rwyzLxaw€w‡ -| zÁY‚ ®\uf†y|~uf‚awyz α(G) := inf{β ∈ R | sn (G) = O(nβ )} = lim sup

log sn (G) ∈ [0, ∞] log n

{ | ïfw^ÍEzL‚ºìÃ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ | zLÑ Ñ zL‚µí‘†NuSÍÁÍEz€}e@‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚  uSNx}rwyƒC{[}J®SÌS‚ G ‡©r}rw α(G) < „^}Ì>Ûµz€}| wyéUw ÍE| z菆yƒC×C×µz G ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ | zLÑ Ñ z€J} @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚  uSNx}rwyƒC{ìÃÌEÍEzL†ùufÛE‰ ∞ =Z†C†yéLzL‚ͺ ñ XC tÒ †C†ÍEzL‚ïzL‚CSÑ |~}yNxCzL‚ïÙƒ}yÍE†yƒW =€r×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑJ}ƒCÛCS†yÌSƒC׺S†yÌ wyxZ‚íG‡ r}rw G zL| ‚Czïñ XC†yƒC×C×µzS„'} Ì =SÌS‚ ®SzL†yS| zL†w ζ (s) ×CƒC.‚ =aw  zL|~}zÄufÛ}ÌSÑ ƒEw[ufƒEҏÍEzL† †yz€NxawyzLH‚ ’ufÑ ÛµzLÛµzL‚Cz {s ∈ C | Ý"z (s) > α(G)} ƒC‚ÍÄÍEKz ‚C| zL†w"ÍEÌS†wnzL| ‚CzxCÌSÑ ÌS{ ÌS†y×CxCz DCƒC. ‚ =awy| ÌS‚‘r ‡ @‚awyzL†[ÍEzL†vì«}yNx uSNxCzL‚µlí ‡µƒ}yu\wyéLÛµz€ÍE| ‚CSƒC‚C ÍE| ®SzL†yS| zL†w[ÍE| z Ý"zL| xCz ζ (s) tÒ †C† s = α(G) „ ƒC‚Í α(G) }rwy| { {È%w †CÛµzL†yzL| ‚[{ α(G) | w*ÍEzL†*6=}ÌSS0zL‚uf‚C‚awyzLl‚ !ÌS‚E‰ ®SzL†ySzL‚Cé€ufÛCéL|~}y}z/®SÌS‚ ζ (s) ‡ @‚}zL%† ‡µ| zLÑaÛµz€}rwyzLxaw^‚ ƒC‚ÍCuf†y| ‚‘„fÍE| z*uf‚ufÑ Óawy|~}yNxCzLJ‚ ;| SzL‚E‰ }yNxu\ÒPwyzL‚ïÍEzL† ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚ ζ (s) Ûµz€}y}zL†"éLƒï®SzL†N}rwyzLxCzL‚ăC‚ÍïÍE| z€}zÈuf‚}yNxCÑ | +z ïSzL‚͜| ‚ }/zL†yÛC| ‚ÍEƒC‚C[éLƒï}zUwyéLzL‚ï{ | wÍEzL‚>ufÑ SzLÛC†Nuf|~}yNxCzLC ‚ ;| SzL‚}yNxu\ÒPwyzL‚ïÍEzL††yƒC×C×µz ‡ ? | †*}yNxCÑ | + z ïSzL‚œÍE| z€}zL‚ºÙÛ}yNxC‚C| ww*{ | wné  zL|  zL  zL|~}zL‚ÍEzL‚œ…*zL|~}×C| zLÑ zL‚‘„ ÍE| zG}yNxCÌS‚ }zL| w‚ ƒC‚C{ zLxC†"é  uf‚CéL| l ™aufxC†yzL‚ÄzL| ‚CzL‚ĐSz  |~}y}zLˆ‚ }/ÌS†yéLzL| Sz€}rwNu\wyƒ}*Ûµz€}| wyéLzL‚‘‡ ò ’¦£ÌBŒ+¦’Ê´¨D˜ – n JRUF É\F«R¿NDyRUF«RùZSãNRUT ILKNMCR nDGB€øSøRÚÀ\¼\‹ X SZ\O Å d œ V*FP¿O šGOdÉ\BaQ\W ½¾F«¼\OCILZ\D¾ÅfBEX[RUO½/ǀRUF Åfν Gb*ÉS:=7Z ó Z G

G

G

G

d

ζG (s) = ζ(s)ζ(s − 1) · · · ζ(s − d + 1)

P F~IGν b^Â'¼SãNRUF É\F«RcSF«RUX[Z\OOCILKNMCR6^RU½YZr¿NBEOEQ\½¾F«¼\OvãNRNǀRUF«KNM OdRU½ ]ÄFPDÁRUDGW MCZ\T ½YRUO α(G)ζ(s)= =d BEOdÉXFPn½¾½YRUT I"RUFPOdRGI"RUFPO€¿UZSKNMCRUO HZ\BãNRUDNILKNMCRUOJZ\½ÃǀRGIJødDqô€ÇUF~ILœ RZ­I\XødW ½Y¼\½¾F~ILKNMCRÚáÚãGILKNM4ô\½ÃÇUBEO ÅaRUO¿UõED s (G) ] U¿ õED s (G) ∼ d ζ(d)ζ(d − 1) · · · ζ(2)n n → ∞œ šGX RUFPO€¿UZSKNMaIG½YRUO?OF«KNM ½¾WY½¾DGFPÀ€F«Z\T RUƒ O QZ\TPT d = 2 ÅfFPT ½*Â'RîÅaRUO ζ(2) = π /6 ãNRUF~I¾ødF«RUT IGÂ'RUF~ILR U¿ õED s (G) ∼ (π /12)n n → ∞œ 12ÍRUOdãNZ\DÈãNRGIGFP½ÃÇU½ U R P F d O È R [ X U R y D \ ¼ [ X \ ¼ ¾ D  ø C M R J Q¼\DG½«ILRU½ÃÇUBEO ŜZ\BU¿ÅaZ\OEÇ ζ (s) Cœ ò ’¦£ÌBŒ+¦’Ê´¨D˜W¨ n JRUF É\F«R)É\F~IyQ\DyRU½YR ùRUF~ILRUOW ãNRUD¾Å€ÅfDGB€øSøR œ ]ÄFPDÚãNRUX[GRUDyQS=RU.O bhx,ÉS7Z yó G| [[x, IGF«KNM[y],QS¼\x]OEQ\Dy=RU½/Dy[[x, RNZ\T F~y],IGF«RUy]i DyRUOïT ô7ó^½'Z\T I nDGB€øSøRÁZ\TPT RUD ¼SãNRUDyRUO ÿÈDyRUF«RNKNQ­IGX[Z\½¾DGF ǀRUHO õãNRUD XFP½JV*FPO½¾qD ôLÅaRUO 1 Z\BU¿"ÉSRUD'ÿÈF«ZLÅa¼\OdZ\T RUO œ V*FPOdR OF«KNM ½¾WY½¾DG3×3 FPÀ€F«Z\T R SRNKNM OBEO ÅǀRUF Åf½Y] Z ∞ n=1

−s

n

−1

n

d

2

n

2

2

G

ζG (s) = ζ(s)ζ(s − 1)ζ(2s − 2)ζ(2s − 3)ζ(3s − 3)−1 .

À)° z

rW x 28., v

ÁF«RUDyZ\B IœRUDyQSRUOO½X[Z\O.bÉSZ7ó α(G) = 2 F~IG½BEOdÉ ζ (s) Z\O2ÉSRUDµ½YRUTPT R s = 2 RUFPOdRUO ¢"¼\TJÇUÂ'RUFP½YRUD1nDyÉ\OBEO ŜãNRGIGFP½ÃÇU½ V*FPOïÅaRNRUF ÅfOdRU½YRUDÄHZ\BãNRUDNILKNMCRUD JZ\½ÃÇÈT F«R«¿URUDG½Y] œ U¿ õED ζ(2) s (G) ∼ n (log n) n → ∞œ 2ζ(3) 12ÍRUOCIGF«KNM ½¾T F«KNM>T ô7ó^½IGF«KNM X[RUDy¼\X[¼\D¾øM?Z\BU¿ÅaZ\OEÇ C ¿U¼\DG½«ILRU½ÃǀRUO œ ζ (s) 

G

2

n

2

G

‚ n ˆ   † ¡¾l ÅĺŸ\¨[½l½$ 

¥ ¾© E$›   ¥ ½'¦ † Ÿ ¥ ¦b¡”ª>  †>†   ö ¥ ž aŸ’Ÿ\¨[½l½$  ¥ e  C¡¾©Lž€¨l¡¼÷ T zL| ‚Cz r}rw zL| ‚Cz †yƒC×C×µzS„}̔ÛC| Ñ~ÍEzUw | |G : N | < ∞} Nxuf†Nu=aGwyzL†y|~}rwy|~}yNxCz:@‚awyzL†yS†yƒC×C×µzù®SÌS‚ R(G) ‡G Èðc:=ÍE| z ufÑ SzLÛC†Nuf|~}yNxCAz Xawy†y.ƒ =awyƒC†'®SÌS‚ R(G) 0‡ ;'}|~}rw*ÍCufxCzL†'}| ‚C‚ ®SÌSÑ Ñ¾„a}|~Nx[ufƒEґ}ÌSÑ~NxCz†yƒC×C×µzL‚ éLƒïÛµz€}yNxCR† Žf.‚ =SzL‚‘„atÒ †C†ÍE| z R(G) = 1 |~}rw ± ÍE| z€}zÁxCzL| ïSzL‚Ćyz€}|~ÍEƒCzLÑ Ñ ‰îzL‚ÍEÑ |~Nx‘‡ G ø «b§ù¬²4˜ – ž © ¨›'¦)ž ˜)^Ÿú »   ¥©¥ ú §  +’µ  †sz © » § | ‚ ~   n JRUF RUFPOdR"RUOdÉ T F«KNM RUDyǀRUBSÅf½YR b DyRGIGF«É\BRUTPT WRUOdÉ T F«KNMCˆR nDGB€øSøR œ ÿZ\OO>IGFPOd^É ô
BEFPÀ\Z\T RUO½Y] G ì 1í G MCZ\½‘ø¼\T \Od¼\XF«RUTPT RGI ¯ O½YRUD¾ÅfDGB€øSøRUOÂ'ZSKNMaIG½¾BEX Å ì 2í G RUO½Ã4M ô\T ½'RUFPOdR ¯ O½YRUD¾ÅfDGB€øSøRÀ\¼\OvRUOdÉ T F«KNMCRUX šGOdÉS>R +b^Â'RUT KNMCRÈZ\FB è|û­ILãNZ\DBEOdÉÈÀ\¼\O RUOdÉ T F«KNMCRU X SZ\O Å[F~IG½ œ -K z ‚C| wy| ÌS‚}SzL–{ Ž)ïÚÛµz€}| wyéUw*zL| ‚Cz†yƒC×C×µz zL‚ÍEÑ |~NxCzL‚[Ýuf‚C„fÒ«ufÑ Ñ~}z€}zL| ‚Cz"‚u\>w †C†‰ Ñ |~NxCz ‡dufxCÑ d S| ÛEw€„J}ÌÄÍC)u ïº}|~Nx rz€ÍEzùzL‚ÍEÑ |~NxvHzL†yéLzLƒCfwyz @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzÈ®SÌS‚ H }yNxCÌS‚ ®SÌS‚ d ;Ñ zL{ zL‚awyzL‚>zL†yéLzLƒCSzL‚ÄºÑ Ž)ïfw€%‡ ;‚ÍEÑ |~NxCz†yƒC×C×µzL‚>ƒC‚\Í @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚>ÍEzL†uSÍ ‰ ÍE| wy| ®SzL‚–†yƒC×C×µz Ûµz€}| wyéLzL‚”ÍE| z€}z ;| SzL‚}yNxu\ÒPw€‡Är}rw zL| ‚Czœ†yz€}|~ÍEƒCzLÑ Ñ ‰îzL‚ÍEÑ |~NxCzS„ ufƒ •Ža}Ûuf†yz†yƒC×C×µQz®SÌS‚[zL‚ÍEÑ |~NxCzL{ØÝuf‚C„ }ÌȐS| ÛEw*z€}zL| ‚CHzzL‚ÍEÑ |~NxCz !ÚzUwwyz®SÌSC‚ @‚E‰ wyzL†yS†yƒC×C×µzL‚ 1 = H  H  . . .  H = H „  ÌSÛµzL| rz€ÍElz Du =awyÌS†yS†yƒC×C×µz H /H zL‚aw  z€ÍEzL†^zL‚ÍEÑ |~NxÌEÍEzL0† @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzn®SÌS‚ Q |~}rw€e‡ ;| ‚ Y‚ÍE.ƒ =awy| ÌS‚}yuf†ySƒC{ zL‚aw^Ñ | zUÒÃzL†w ÍE| zÁY{ ×CÑ | =\u\wy| ÌS‚Ä®SÌS‚ ì Ï í*‚uSNx ìrË­í*| \‚ XEu\wyéȈC‡ ËS‡ -| zuf‚ÍEzL†yz"Ý"|~NxawyƒC‚C„S®SÌS‚>ìrË­í©‚uSNxïì Ï íG„a|~}rw® | zLÑ}yNx | zL†y| SzL†^zL| ‚CéLƒ}zLxCzL‚‘0 ‡ X zL| zL| ‚CzzL‚ÍEÑ |~NxzL†yéLzLƒCfwyzS„d†yz€}|~ÍEƒCzLÑ Ñ ‰îzL‚ÍEÑ |~NxCz †yƒC×C×µz { | wÚ ñ XC4‡ -zL:† „uSNx  zL|~}L„JÍC)u Gï ÍE| z …*z€ÍE| ‚CSƒC‚C ì Ï ízL†tÒ †CÑ Ñ w€„JÛµzL†yƒCxawÈufƒEÒ'{ zLxC†yzL†yzL| ‚ XENxC†y| wwyzL‚‘„‘ÍE| z  | †Ú‚ ƒC†ÚS†yÌSÛ G } = | éLéL| zL†yzLH ‚ =SŽS‚C‚CzLM‚ F ìÃ|PHí ;†ySzLÛC‚C|~}y}zùÍEzL†ènxCzLÌS†y| zùÍEzL†zL‚ÍEÑ |~NxCzL‚†yƒC×C×µzL‚2ìÃ| .‚ = Ñ ƒ}| ®SzùÍEzL† !ÚÑ~uS}y}| =\u\‰ wy| ÌS‚ÍEzL†^zL‚ÍEÑ |~NxCzL‚ùzL| ‚EÒ«uSNxCzL‚ †yƒC×C×µzL‚µízL†yÑ~ufƒCÛµzL‚ùz€}L„SÍE| z*{ ŽSSÑ |~NxCzL‚ùr}ÌS{ ÌS†‰ ×CxC| zUwrÓ ×µzL‚>ÍEzL†"ÌSÛµzL†yzLŒ‚ !ÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚}rÒ«u =awyÌS†yzL‚œ®SÌS‚ zL| ‚CéLƒ}yNxCR† Žf.‚ =SzL‚‘‡ ìÃ| |PíÄt>| wwyzLÑ~}ÁSzLzL| S‚CzUwyzLJ† j‘| ‚Cz€uf†y|~}| zL†yƒC‚Ca}{ zUwyxCÌEÍEzL‚?†yz€ÍEƒCGéL| zL†wÁ{[uf‚™ÍCuS}Úñ†yÌSÛCÑ zL{ ufƒEґÍEzLH‚ DufÑ Ñ¾„EÍC)u ï Ñ | ‚Cz€uf%† †CÛµzL†'zL| ‚CzL‘ { !ŽS†y×µzL†'ÍEzL†"Ð'xuf†Nu =awyzL†y|~}rwy| =„ƒCÑ Ñd|~}rw€‡ ìÃ| | |PŒí @‚awyzL† }/zL†  zL‚ÍEƒC‚CGÄÍEz€}ñ†y| { é€ufxCÑ~}yu\wyéLz€}éLzL| fwÚ{[uf‚‘„‘ÍC)u ïìÃC‚CzL‚ÍEÑ |~NxCz­íxufÑ ‰ ÛµzL| ‚EÒ«uSNxCz™uf†y| wyxC{ zUwy|~}yNxCz”†yƒC×C×µzL‚ ‚C| zL{[ufÑ~}ïñ XCxufÛµzL‚‘‡ ÙƒEÒÐS†yƒC‚Í ÍEzL† n

n

+

0

1

r

+

i

i−1

æ

Ž W ‹ w)



y.“ 

À)µ

‘ƒCÛµÌfwy,é = Óa‰YÙÑ wyzL†y‚u\wy| ®Sz‚nìmXawy|~Nx ÌS†w€}rwNuf†>=Sz^Ù×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚Òt†C†Ñ | ‚Cz€uf†yz†yƒC×E‰ ×µzL‚Z‚í'ÒÃÌSÑ fw€„ÍCu)ï G zL| ‚CzÈufƒ•Ža}Û uf†yz:@‚awyzL†yS†yƒC×C×µzÚ®SÌS‚ÄzL‚ÍEÑ |~NxCzL{ Y‚ÍEzU£ÄÛµzU‰ }| wyéUw€‡ ìÃ| ®Cí\‡µƒCR { XENxCÑ 4ƒ ïù|~}rwÚìÃC‚awyzL†i}/zL†  zL‚ÍEƒC‚CùÍEzL†nÙƒ•Ža}Ûuf†>=SzL| wGí^‚uSNxCéLƒ  zL|~}zL‚‘„ ÍCu)ï L é ƒÍEzL{ÎzL‚ÍEÑ |~NxCzL‚>Ýuf‚C xu\w€‡ G ò ’•¬’”­>6[¥Nü ²4˜W¨ n Ý"zL| ‚)S†yƒC×C×µzL‚awyxCzLÌS†yzUwy|~}yNx–ÛµzUwy†NuSNxawyzUw€„n}rwyzLÑ Ñ wÄ}|~Nx)ÍE| ƒ z DC†NufSz F ? uS}^×uS}y}| zL†w€„ zL‚C‚ |  † r } N w \ u  w w w @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚®SÌS‚ùzL‚ÍEÑ |~NxCzL{ Y‚ÍEzU £ @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚ ®SÌS‚ºzL‚ÍEÑ |~NxCzL† ð†NÍE‚ ƒC ‚C)é ŽfxCÑ zL‚ BŒ!ÚÑ~uS}y}|~}yNxCzÙ†yÛµzL| wyzL‚Ä®SÌS‚Ä…nufzL†€„ ý'zL†y‚C| =SÌ\®d„azUwufѾ‡ Ûµz€}yNxC†yzL| ÛµzL‚>ÍE| z Xawy†y.ƒ =awyƒC†®SÌS‚>†yƒC×C×µzL‚‘„µÍE| zÚtÒ †Cw† rz€ÍEz€} n ∈ N ∪ {∞} ‚ ƒC†zL‚ÍEÑ |~Nx ® | zLÑ Cz ;Ñ zL{ zL‚awyzïÍEzL†[ð†NÍE‚ ƒC‚C n Ûµz€}| wyéLzL‚‘8‡ -zL†Nuf†wy| Sz菆yƒC×C×µzL‚–}yNxCzL| ‚CzLŒ‚ rz€ÍEÌENx =SzL| ‚CzÚ| ‚awyzL†yz€}y}yuf‚awyzÚuf†y| wyxC{ zUwy|~}yNxCJ z Xawy†y.ƒ =awyƒC†"éLƒÄwy†NufSzL‚ ± ® SѾ^‡ z {¿† ¦ b‚ ^› ~ ‡ ;| ‚Cz |~Nxawy| SHz @‚awyzL>† = Ñ~uS}y}zœÍEzL†Èñ XC‰r†yƒC×C×µzL‚”ÛC| Ñ~ÍEzL‚–ÍE| zœzL‚ÍEÑ |~Nx”zL†yéLzLƒCfwyzL‚‘„ ‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awy zL‚ †yƒC×C×µzL‚ ± ÍE| z€}z™}| ‚Í ufƒEwyÌS{[u\wy|~}yNx;†yz€}|~ÍEƒCzLÑ Ñ ‰îzL‚ÍEÑ |~Nx$ƒC‚Í$Ûµz€}| wyéLzL‚ zL‚ÍEÑ |~NxCzL‚ Ýuf‚CC‡ X zL| G zL| ‚Cz[zL‚ÍEÑ |~NxzL†yéLzLƒCfwyzS„‘‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzœ†yƒC×C×µzSC‡ -| z[Ûµ,z =\uf‚E‰ ‚awyz?è©u\wN}yuSNxCzS„nÍC)u ï\rz€ÍEzvzL‚ÍEÑ |~NxCzS„"‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyz†yƒC×C×µz?ÍE| †y,z =awyz€}[ñ†yÌEÍE.ƒ =awÄ}zL| ‚CzL† X Ó Ñ Ì "‰ @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚º|~}rw€„EtÒ †CxC†wéLƒïÍEzLc † ;ƒCÑ zL†y×C†yÌEÍE.ƒ =awyéLzL†yÑ zLSƒC‚C  €j

ζG (s) =

Y

ζG,p (s),

p

SÌ ÛµzL|aÍCuS}‘ñ†yÌEÍEƒ.=awe†CÛµzL†©ufÑ Ñ zñ†y| { é€ufxCÑ zL‚ p éLƒÁÛC| Ñ~ÍEzL‚È|~}rw©ƒC‚ÍÁÍE| z'Ñ Ì=\ufÑ zL‚JDu=awyÌS†yzL‚ P rz zL| Ñ~} @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚?é)ŽfxCÑ zL‚‘„‘ÍEzL†yzL‚vY‚ÍEzU£?| ‚ zL| ‚Cz ζ  G ñ^ÌfwyzL‚C=éù®SÌS‚ p a|~}rw€‡ (G)p ™Sz€ÍEz@‚awyzL†yS†yƒC×C×µzÍEzL†‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzL‚ †yƒC×C×µz ~ | r } Á w  } C ƒ C Û C ‚ S Ì y † {[ufÑ | ‚ G ‡ -ufxCzL†"|~}rwtÒ †C0† rz€ÍEz€} p ÍEzL†"Ñ Ì =\ufÑ Jz Du =awyÌS† ζ (s) éLƒCSÑ zL|~Nx>ÍEG| z ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚ ÍEzL†n×C†yÌf‰ p }/zL†y®SÌSÑ Ñ~}rRw Žf‚ÍE| SƒC‚C Gb ®SÌS‚ G 0‡ ;'}nÑ | zLfwÍCufxCzL†n‚ufxCzS„ zUw  uS}nufÑ Ñ SzL{ zL| ‚CzL† ÍCuS} @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚ uSNx}rwyƒC{®SÌS‚ ìPwyÌS×µÌSÑ ÌSS|~}yNxµíÚzL‚ÍEÑ |~Nx™zL†yéLzLƒCfwyzL‚™×C†yÌf‰ †yƒC×E‰ ×µzL‚”éLƒ™ƒC‚awyzL†N}ƒNxCzL ‚‘\‡ -uS}ÁÒÃÌSÑ SzL‚ÍEzœÝ"z€}ƒCÑ wNu\wùÒÃ4ƒ ïfwufƒEcÒ jufé€uf†NÍC}ÁxCzL†Nufƒ}†NpufSzL‚ÍEzL† Ù†yÛµzL| ¼w z © Y  ˜}  ~ „‘ÍE| lz †CÛC†y| SzL‚}tÒ †C†ÈÍCuS}Sz€}yuf{Èwyz zLÛC| zUwÁ| ‚?zL‚awN}yNxCzL|~ÍEzL‚ÍEzL† ?zL|~}z zL| ‚CzÈÙ†cw !Áu\wNufÑ ÓE}yu\wyÌS†y†yÌSÑ Ñ zSz€}×C| zLÑ w"xu\w€‡ ø «b§ù¬²4˜² n V*FPOdR*ødDy¼\W nDGB€øSøRùãNRGIGFP½ÃÇU½©ÅaRUOdZ\B>ÉSZ\OOø¼\T \Od¼\XF«RUTPT RGI ¯ O½YRUD¾ÅfDGB€øSøRUOW Â'ZSKNMaIG½¾BEX bÂ'RUOOvIGF«R pp WZSÉ\F~ILKNM?Z\OdZ\T \½¾F~ILKNM>F~IG½ œ ;'}ڐS| ÛEwÁufÑ~}ÌÄé zL|/}zLxC†ÚƒC‚awyzL†N}yNxC| z€ÍEÑ |~NxCzS„J| ‚awyzL†yz€}y}yuf‚awy z !ÚÑ~uS}y}zL‚v®SÌS‚ †yƒC×C×µzL‚‘„ ÍEzL†yzL ‚ ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚  | †®SzL†N}rwyzLxCzL‚>{ ŽENxawyzLM‚ FÁìrË­í"zL‚ÍEÑ |~NxvzL†yéLzLƒCfwyzS„‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyz †yƒC×C×µzL‚2ƒC‚Í ì Ï Jí =SÌS{ ×u =awyz p‰YuSÍE|~}yNxCHz j‘| zLS†yƒC×C×µzL‚‘‡”Y‚C‚CzL†yxufÑ Û2ÍE| z€}zL† !ÚÑ~uS}y}zL‚ ‚ÍEzL‚™}|~NxÍEƒC†NNxufƒ}ÚufƒNxauf‚C é =SÌS.‚ = †yzUwyz[†yƒC×C×µzL‚®SÌS‚?Ûµz€}ÌS‚ÍEzL†yzL{ Y‚awyzL†yz€}y}zS„ | zÁéS‡ …‡CÍE| z X zL†y| z SL (Z ) „ d ∈ N ‡ 

G,p

∞ k=0

pk

−ks

G,p

p

d

p

Í ˆ

rW x 28., v z

º[n¼»  až¾©¦‘§l  ¥ ú

Ÿ a› ¥ ª«€ ï¨ ¥ § ¦ñ$  ¥   µ Ÿ\ Y’b  ¥ zL| ‚Cz=SÌS{ ×u=awyz ‰YuSÍE|~}yNxCzj‘| zLS†yƒC×C×µzS‡-uf‚C‚?Ûµz€}| wyéUw zL| ‚Czù̆W=aÒt†CxC†yzL‚‘‡ ? | †ùÛµz€}yNxC†RŽf‚.=SzL‚ƒC‚}ùÍEzLI † ðÛµzL†N}|~NxawÈxufÑ ÛµzL†ufƒEÒÍEzL‚”ÍEzL.‚ = Ûuf†ÈzL| ‚EÒ«uSNx}rwyzLN ‚ DufÑ Ñ¾„ ‚Žf{ Ñ |~Nx G = U ‡N-uf‚C– ‚ =\uf‚C‚ ζ (s) ìÃÛC|~} ufƒEÒzL| ‚CzL– ‚ =SÌS‚}rwNuf‚awyzLN ‚ }/ÌS†Ò«u =awyÌS†GíÁufÑ~} ‰YuSÍE|~}yNxCz€}*Y‚awyzLS†NufÑJÍEzL†z€}rwNufÑ w p ® ’b 

G

G

Z

|f (v)|p |g(v)|sp dµ

Sz€}yNxC†y| zLÛµzL‚ zL†NÍEzL‚‘„ ÌSÛµzL|}Ì ÌSxCÑCÍEzL†Y‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚}ÛµzL†yzL|~Nx ufÑ~}ufƒNx ÍE| z_DCƒC‚.=a‰ wy| ÌS‚CzL‚ f, g ®S ÌS‚™ÍEzL†Xa wy†yƒ.=awyƒC†È ®SÌS‚ G ufÛCxŽf‚CSzL‚‘‡ˆ-| z[Y‚awyzLSV†Nu\wy| ÌS‚zL†N}rwy†yz€W=awÈ}|~Nx †CÛµzL†'ufƒ}Sz ŽfxCÑ wyzS„fufÛµzL†‚C|~NxawzL| ‚ÍEzLƒEwy| ÁéLƒCSzLÌS†NÍE‚CzUwyzi;†yéLzLƒCSzL‚ÍEzL‚}ÓE}rwyzL{ z*ÒÃz€}rwyzL†  j:Žf‚CSz/tÒ †C†/ÍE| zi@‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚È®SÌS‚ ÍE| z€}z  zL†NÍEzL‚È×uf†Nuf{ zUwy†y|~}| zL†wÍEƒC†NNxJ}/z,=awyÌS†yzL‚ G± ^ ‡ Y  Ø { Y  a ‚ y w L z S  N † f u  ‚ E Í L z

‚ µ Û € z y } N  C x †yzL| ÛEw |g(v)| ÍEzL‚œY‚ÍEzU£œÍEzL† v éLƒCSzLÌS†NÍE‚CzUwyzL‚ v∈V ⊆Z „G \ƒC‚ÍùÍCuS}^z  |~Nxaw |f (v)| wyR† Žffw^ÍEzL†^è©u\wN}yuSNxCz'Ý"z€NxC‚ ƒC‚C„fÍC)u ï @‚awyzL†yS†yƒC×C×µz'®SÌS‚ ÍE| z"SÑ zL|~NxCcz @‚awyzL†yS†yƒC×C×µz"ufƒEÒÐS†yƒC‚Í®SzL†N}yNxC| z€ÍEzL‚CzL† ;†yéLzLƒCSzL‚ÍEzL‚}ÓE}rwyzL{ zn{ zLxC†Ò«uSNx SzL)é ŽfxCÑ w  | †NÍJ‡ ÙÑ~}'zL| ‚EÒ«uSNx}rwyz€}*…*zL|~}×C| zLѵSzLÛµzL‚ | †*zL| ‚CzY‚awyzLS†NufÑ~ÍCuf†N}rwyzLÑ Ñ ƒC‚CÚtÒ †C†"ÍE| zÒÆyzL| zufÛµzLÑ ‰ }yNxCzœ×C†yÌf‰ p †yƒC×C×µz Z uf‚‘8‡ ™Sz€ÍEˆz  @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzœ®SÌS‚ Z =\uf‚C‚”®SÌS‚ d ;Ñ zL{ zL‚awyzL‚ zL†yéLzLƒCfw  zL†NÍEzL‚‘„JƒC‚CÍ rz€ÍEz€} d‰YèƒC×µzLÑ/| ‚ Z ºÑ Ž)ïfwÁ}|~Nxv| ‚zL| ‚CzL† d × d tvu\wy†y| ƒ£ †CÛµzL† éLƒ}yuf{ { zL‚EÒ«uS}y}zL‚‘‡ ;'}"S| Ñ w Z V ⊆Zm p

m p

p

p

d p

d p

d p

p

ζZdp (s) = (1 − p



−1 −d

)

Z

s−2 |λ11 |s−1 · · · |λdd |s−d dµ, p |λ22 |p p

ÌSÛµzL|‘ÍEzL†"Y‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚}ÛµzL†yzL|~NxÄufƒ}"ufÑ Ñ zL‚ÄÌSÛµzL†yzL‚Œ-†yzL| z€W=E}{[u\wy†y| éLzL‚ºÛµz€}rwyzLxaw'F tvu\w (Z ) | λ = 0 | Ò i > j}. V = {(λ ) ∈ -| z€}z€}"}×µzLéL| zLÑ Ñ zÁY‚awyzLS†NufÑdºÑ Ž)ïfw}|~NxÄÑ zL|~Nxawufƒ}rtÒ †CxC†yzL‚ {[uf‚ÄzL†y x ŽfÑ w ± ij

V

d

p

ij

ζZdp (s) = ζp (s)ζp (s − 1) · · · ζp (s − d + 1),

P SÌ ÛµzL| ÍEzL‚Ñ Ì=\ufÑ zL‚ ‰"Du=awyÌS†/ÍEzL†/Ý"| zL{[uf‚C‚}yNxCzL‚C‡µzUwNu\ÒÃC‚.=awy| ÌS‚ Ûµ zLéLzL|~NxCζ‚C(s) zUw ± ® =SѾ‡\…*zL|~}×Cp| zLÑ Ï ‡ ËS‡Y{ ufÑ Ñ SzL{ pzL| ‚CzL‚ù|~}rwÍE| znzU£E×CÑ | éL| wyzn…*zL†yz€NxC‚ ƒC‚CÍEzL†Nuf†‰ wy| SzL†Y‚awyzLS†NufÑ z"ufÛµzL†€Žfƒ4ïSzL†N}rw}yNx  | zL†y| ‡4;†ySzLÛC‚C|~}y}z"ÍEzL† p‰YuSÍE|~}yNxCzL‚ t>ÌEÍEzLÑ Ñ wyxCzLÌS†y| z éLzL| SzL‚>| { { zL†yxC| ‚‘„µÍC)u ï zL| ‚CzȆNu\wy| ÌS‚ufÑ z:DCƒC‚.=awy| ÌS‚ƒ†CÛµzL† | ‚ p |~}rw ± ® SѾ‡ z § § | ‚ ~ ‡ ζ-(s) | z€}/Ûµ=z€ÍEΦ(p zLƒEwyzUw')/Ψ(p uf‚}yNxufƒC)Ñ |~Nx‘„fÍCu)ïÚÍE| zcDCÌSÑ Sz a (G) „ k ∈ NQ„ ufÛÄzL| ‚CzL{ Ûµz€}rwy| { {ÈwyzL‚ïñƒC.‚ =awzL| ‚CzÚÑ | ‚Cz€uf†yzÁÝ",z = ƒC†N}| ÌS‚}SÑ zL|~Nx ƒC‚CùzL†tÒ †CÑ Ñ w€‡ ™Sz€ÍEC z =SÌS{ ×u =awyz ‰YuSÍE|~}yNxCHz j‘| zLS†yƒC×C×µzºÛµz€}| wyéUwzL| ‚CzÄÌ w †C†yÑ |~NpxCŒz ?zL|~}zvÍE| 8z Xawy†y.ƒ =awyƒC†œzL| ‚Cz€} Z "‰ j‘| zLS| wwyzL†N} Lp = L wyR† Žffw€‡ @‚awyzL†nSzLzL| S‚CzUwyzL‚Ä…*z€ÍE| ‚CSƒC‚CSzL‚?ìÃéS‡ …‡ íÛC| Ñ~ÍEzUw rz€ÍE:z @‚awyzL†yS†yƒC×C×µz®SÌS‚ dim(U ) 6 p p

−s

∞ k=0

−ks

G

−s

−s

pk

p

U

æ

Ž W ‹ w)



Í

y.“ 

‡

éLƒCSÑ zL|~Nx”zL| Š ‚ j‘| zUwyzL| Ñ S| wwyzL†®SÌS‚ ƒC‚͔ƒC{ Sz,=SzLxC†w }| zLxCzUz {¿† ¦D› ~ ‡NDe†C†[}ÌSÑ~NxCz ‘| zLS†yƒC×C×µzL‚ U SzL‚Z†CfwÚz€}ufÑ~}Ì„JÍE| zLzL‚awN}×C†yz€NxCzL‚ÍEz‡µzU± wNu\ÒÃC‚.=awy| ÌS‚ ζ (s) ÍEz€}éLƒCSzU‰ xCŽS†y| SzL‚ ‰"j‘| zLS| wwyzL†N} éLƒ)Ûµz€}rwy| { { zL‚‘‡ -| z zL‚C| SzL‚‘„*ÛC|~}Ñ~uf‚CzU£E×CÑ | éL| w Ûµ,z =\uf‚C‚awyzLZ‚‰‡µzUwNu\ÒÃC‚.=awy| ÌSL‚CzL=‚  LƒC†NÍEzL‚ufÑ Ñ z€}yuf{ÈwÚufÑ~}:‡µzUwNu\ÒÃC ‚.=awy| ÌS‚CzL‚?®SÌS‚8j‘| zLS| wwyzL†y‚ ÛµzL†yz€NxC‚CzUw€‘ ‡ -| \z €rzL| ‚EÒ«uSNx}rwyz‚vzL| ‚EÒ«uSNxCz Q ‰"j‘| z€ufÑ SzLÛC†Nu sl (Q ) zL‚awyxŽfÑ w>ÍCuS} Z ‰ j‘| zLS| wwyzL† ‡ ;| ‚CzȂC|~Nxaw‰¾wy†y| ® |~ufÑ zÚÝ"z€NxC‚ ƒC‚C z ¤†  ‹|b|G~ éLzL| fwnÒt†C† p > 3 F 0 sl (Z ) ìÃÕ‡ Ë­í ζ = ζ (s)ζ (s − 1)ζ (2s − 1)ζ (2s − 2)ζ (3s − 1) . ;| ‚ zL‚awN}×C†yz€NxCzL‚ÍEzL†ÁÙƒ}yÍE†yƒW =ïtÒ †C†ùÍE| H z ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚®SÌS‚ |~}rwÁ| ‚Cé |~}yNxCzL‚ ufƒNx™Ûµ,z =\uf‚C‚aw z § § •  › ~ ± ÍEzL† ;| ‚EÒ«uSNxCxCzL| wxufÑ ÛµzL†{ ŽENxawyzœsl|~Nx”(Z{ )|~Nx”| {   zL| wyzL†yzL‚ ufÛµzL†ufƒEÒ/ÍEzLŒ‚ DufÑ Ñ p > 3 Ûµz€}yNxCR† Žf.‚ =SzL‚‘‡ -|  z DCÌS†y{ zLÑ^ìÃÕ‡ Ë­í^éLzL| fw*| ‚}Ûµz€}ÌS‚ÍEzL†yzS„ ÍC)u ïùÍE| zÙ‚Cé€ufxCÑdÍEzLi† j‘| zUwyzL| Ñ S| wwyzL†'{ | wnY‚E‰ ÍEzU£ p | ‚ sl (Z ) ®SÌS‚ ÍEzL†'†yPŽ ïSzL‚CÌS†NÍE‚ ƒC‚C np |~}rw€w‡ X xufÑ zL¨® Žf4ƒ ïSzL†wyznÍCuf†NufƒEÒÃxC| ‚ ÍE| z }/zL†y{ùƒEwyƒC‚C„ÍC) u ï ×C†yÌf‰ †yƒC×C×µzL‚>{ | wÑ | ‚Cz€uf†"Ûµz€}yNxCR† Žf.‚ =awyzL { @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚ uSNx}r‰ wyƒC{¢‚CÌfw  zL‚ÍE| SzL†  zL|~}pz*ufƒ •Ža}Ûuf†^}| ‚ÍJ‡ „ƒC‚Ûµz€}| wyéUw'ÍEzL†'Ð'xCzL®\ufÑ Ñ zLÓa‰Yè'Ó ×Ù  ‚CzLÛµzL‚ SzL‚ufƒÈzL| ‚Cz zL| wyzL†yz "‰ DCÌS†y{‚ Žf{ Ñ |~Nx „ ÌSÛµzL| ÍE| zÚìÃÛC|~}/ufƒEҁr}Ìf‰ sl (Q ) { ÌS†y×CxC| zzL| ‚ÍEzLƒEwy| ùÛµ z€}rwy| { {ÈQwyz­í'éLzL‚awy†NufÑ ‰îzL| ‚EÒ«uSNxCslz Q(D"‰ -) | ®  |~}| ÌS‚}yDufÑ SzLÛC†NuÚ®SÌS{4Y‚ÍEzU£ ÛµzLéLzL|~NxC‚CzUw€‡ X zL| ∆ ÍE| z*{[u\£E| {[ufÑ z Z ‰ð†NÍE‚ ƒC‚C®SÌS‚ D e‡ ;'}  uf†wNu\wN } ŽSNxCÑ |~NxÈzL| ‚Cz 2 | {4zLSzL‚E‰ = Ñ zL| ‚CL z ðÛµzL†y†NuS}yNx ƒC‚C„SufÑ~}/|~NxÒÃz€}rwN}rwyzLÑ Ñ wyzS„ ÍC)u ïÈÍCuS} "‰ j‘| zLS| wwyzL† }yu\wyéÚéLƒ sl (Z ) Ñ | ‚Cz€uf†yz€}nèzL| Ñ S| wwyzL†  uSNx}rwyƒC{ήSÌS†  ZzL|~}rw€‡/zL‚ufƒCslzL†"(∆ S| Ñ /w )z {¿† ¦ b‚   ~ F ìÃÕ‡ Ï í ζ = ζ (s)ζ (2s − 1)ζ (2s − 2). Y‚}Ûµz€}ÌS‚ÍEzL†yzù|~}rwÈÍE| z[Ù‚Cé€ufxCÑ/ÍEzL:† j‘| zUwyzL| Ñ S| wwyzL†Á{ | wÁY‚ÍEzU£ p | ‚ sl (∆ ) ®SÌS‚ÍEzL† †yPŽ ïSzL‚CÌS†NÍE‚ ƒC‚C  ‡ ?zL| wyzL†ysz ðÛµzL†yÑ zLSƒC‚CSzL‚‘„ufƒEÒÍE| zÄ|~Nx”‚C|~Nxaw‚ ŽfxCzL†zL| ‚CSzLxCzL‚ { ŽENxawyzS„*tÒ †CxC†yzL‚ péLƒ zL| ‚CzL†œ®SÌSÑ Ñ~}rRw Žf‚ÍE| SzL‚)…*z€}yNxC†yzL| ÛCƒC‚C™ÍEzL†º×C†yÌf‰ p †yƒC×C×µzL‚ { | w Ñ | ‚Cz€uf†"Ûµz€}yNxCR† Žf.‚ =awyzLR { @‚awyzL†yS†yƒC×C×µzL‚ uSNx}rwyƒCÔ { z {¿† ¦ b‚ ¡ ~ ‡ -| z'zU£E×CÑ | éL| wy% z DCÌS†y{ zLѵìÃÕ‡ Ï í‘}×C| zLÑ w©uf ƒNxÁzL| ‚Cz*Ý"ÌSÑ Ñ zÛµzL| ÍEzL† j‘Ža}ƒC‚C"zL| ‚Cz€}  zL| wyzL†yzL‚ ®SÌSl‚ X xufÑ zL®Èuf‚CSzL†yzLfwyzL‚Áñ†yÌSÛCÑ zL{[,} Fe™Sz€ÍEz*×C†yÌ ‚C| wyz"†yƒC×C×µz G { | wÍEzL† ;| SzL‚}yNxu\ÒPw€„ ÍC)u ï a (G) < n tÒ †C†nÒ«uS}rwufÑ Ñ z n ∈ N |~}rw€„EÛµz€}| wyéUwzL| ‚CzÚÌ zUwyxCÌEÍEzL‚ÈéLƒC†…*zL†yz€NxE‰ ‚ ƒC‚C  zL| wyzL†yzL† ‡µzUwNu\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚ÄéLƒïzL‚aw  |~W =SzLÑ ‚‘‡^…*z€}ÌS‚ÍEzL†N}*‚ufxCzLÑ | zLSzL‚ͺ|~}rw Ë ”“2ÌÊ-’•¦¤+˜ – n [RGIG½¾FPXX[R U¿ õED b bùãNÇU ãNRUDyRNKNM OdRvÉ\F«R RUO½«I¾ødDyRNKNMCRUOdÉSRUƒO 6^RU½YZr¿NBEOEQ\½¾F«¼\ζOdRU(s) OùU¿ õEDùÉ\F«GR Z=mW 9^SLF«RîÅf(Z FP½¾½YRU)D sld (Z> 3) œ œ Ù‚Cxuf‚ÍÁÍEzL4† DCÌS†y{ zLÑ ‚œìÃÕ‡ Ë­íµƒC‚Í[ìÃÕ‡ Ï ídºÑ Ž)ïfw}|~NxÁzL| ‚Èufƒ <2ŽfÑ Ñ | Sz€}L„€ufÑ Ñ SzL{ zL| ‚ÁufƒEÒPwy†yzU‰ wyzL‚ÍEz€}"ñx Žf‚CÌS{ zL‚Ä| Ñ Ñ ƒ}rwy†y| zL†yzLM‚ F;'}"SzLÑ wyzL‚>ÍE| :z DCƒC.‚ =awy| ÌS‚ufÑ SÑ zL|~Nx ƒC‚CSzL‚ U j

L

p

U

p

2

2

p

p

sl2 (Zp )

p

p

p

−1

p

2

n

p

p

2

2

n

p

1

2

p

p

1

p

p

p

p

p

p

p

2

1

p

p

sl1 (∆p )

p

p

p

n

n

n

1 d

G

p

p

d

p

ζsl2 (Zp ) (s)|p→p−1 = −p−3s+3 ζsl2 (Zp ) (s),

ζsl1 (∆p ) (s)|p→p−1 = −p−5s+3 ζsl1 (∆p ) (s).

1

p

Íp z

rW x 28., v

XFP½[¢%e RUDÿUõETPT ½É\F«RÄÇUBSÅaRNM4û\DGF ÅaR Ë ”“2ÌÊ-’•¦¤+˜W¨ n QõEDºÂ'RUT KNMCRødDy¼\W nDGB€øSøRUO ^RU½YZr¿NBEOEQ\½¾F«¼\O RUFPOdR QJBEOEQ\½¾F«¼\OdZ\T ÅfT RUF«pKNM BEO ÅïÉSRUDQG¼\DGX 6

ζG (s)|p7→p−1 = ±pas+b ζG (s)

X FP½ a, b ∈ Z › ] ¼\DyZ\O>T F«RîÅf½nÉSZ­I ›U™ šGOCILãNRGIL¼\OdÉSRUDyRIGFPOdɜÉ\F«RGILR QJDyZLÅaRUOÈU¿ õEDÁÉ\F«RÁT ¼€QSZ\T RUO QZ€Q\½Y¼\DyRUO RUFPOdRUDùRUOdÉ T F«KNM?RUDyǀRUBSÅf½YRUO.bOFPT ø¼\½YRUO½YRUONnDGB€øSøRùÀ\¼\OïÅfDy¼7óRUXéšGO½YRUDyRGINILR š œ ?‘ŽfxC†yzL‚ÍÚz€}‘ÛµzL| ÍEzL†@‚awyzL†N}ƒNx ƒC‚C"®SÌS‚‡µzUwNu\ÒÃC‚.=awy| ÌS‚CzL‚ ‰pYuSÍE|~}yNxCzL†4j‘| zLS†yƒC×C×µzL‚ ÌfÒPwy{[ufÑ~}ÁSzL†NuSÍEz[ufƒEÒ"ÍE| z ;| SzL‚a>w †C{ Ñ |~N.x =SzL| wyzL‚”ÍEzL†ÈéLƒCS†yƒC‚ÍEzLÑ | zLSzL‚ÍEzL‚ñ†y| { é€ufxCÑ p uf.‚ =SÌS{ {Èw€„J}rwyzLxawÁÛµzL|ÍEzL‚?‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzL‚™†yƒC×C×µzL‚ ÍCuSJ} ‡µƒ}yuf{ { zL‚}×C| zLÑ^ÍEzL†ÚÑ Ì =\ufÑ zL‚ D u =awyÌS†yzL‚ €rÛC|~}*ufƒEґzL‚ÍEÑ |~Nxœ® | zLÑ z ‚| ‘ { }/ÌS†NÍEzL†yS†yƒC‚ÍJe‡ -zL†'ÒÃÌSÑ SzL‚ÍEz XEu\wyé}rwyzLÑ Ñ wnzL| ‚CzL‚ ’ŽSxCzL×CƒC. ‚ =awÍEzL†"ÛC|~}Ñ~uf‚C zL‚aw  |~W =SzLÑ wyzL‚ÄènxCzLÌS†y| zÁÍCuf†€‡ ø «b§ùâ¤+˜² žr§©¨ §  C¨ž€G¦ Ÿú
ĺŸ\¨ ¥     † § z § § Ä b ~   n JRUF RUFPOdR BEOdRUOdÉ T F«KNMCR šÈRUOdÉ\W G ™ T F«KNM?RUDyǀRUBSÅf½YR bOFPT ø¼\½YRUO½YCR nDGB€øSøR e œ ÿZ\OOÄÅaRUT ½YRUOd] F~IG½*DyZ\½¾F«¼\OdZ\T ìÃ|PíïÿÈF«PR Å ¼\OÀ\RUD¾ÅaRUOEǀZSãNÇUF~INILR ìÃ| |PíïÿÈF«:R QJBEOEQ\½¾F«¼\O ζ (s) ãNRGIGα(G) FP½ÃÇU½RUFPOdRX[RUDy¼\X[¼\D¾œ øMCR Q¼\DG½«ILRU½ÃÇUBEO ÅïZ\BU¿RUFPOdRDyRNKNM ½YR QS¼\XødT >R + PR ùZ\T ãNR€ãNRUOdR bnÉ\F«R RUO½Ã4M ô\T ½ ìÃ| | |Pƒí QõED n → ∞ ãNRGIG½YRNM ½nÉ\F«RZ­α(G) I \Xød½Y¼\½¾F~ILKNMCRÁœ áÚãGILKN4M ô\½ÃÇUBEO Å s (G) ∼ cn (log n) b  Â'¼SãNRUF b BEOdÉ ÁF«RUDLãNRUFÅfF«ãU½ É\F«]R ¢"¼\T ¼\DyÉ\OBEO Å β+1 À\¼\O ζ c(s)∈ RãNRUF αs == αα(G) Z\O œ β ∈ N œ -zL†œ…*z zL|~}ÛµzLS| ‚C‚aw[{ | wºÍEzL† ÛµzL†yzL| wN} zL† ŽfxC‚awyzL‚–Y‚awyzLS†NufÑ~ÍCuf†N}rwyzLÑ Ñ ƒC‚C>tÒ †C†ºÍE| z Ñ Ì =\ufÑ zLH‚ ‡µzUwN u\ÒÃC.‚ =awy| ÌS‚CzL‚[zL| ‚CzL†'zL‚ÍEÑ |~Nx[zL†yéLzLƒCf wyzL‚‘„f‚C| Ñ ×µÌfwyzL‚awyzL‚č†yƒC×C×µz G Fe;'}'S| ÛEw zL‚ÍEÑ |~Nx>® | zLÑ zÁñ^ÌSÑ Ó ‚CÌS{ z „µ}̜ÍC)u ï tÒ †C† Ò«uS}rwufÑ Ñ zÚñ†y| { é€ufxCÑ zL‚ p Sf| Ñ 'w ,F f , . . . , f , g , g , . . . , g ∈ Q[X , . . . , X ] G

α

n

β

0

G

0

1

ζG,p (s) = a−1 p,0

r

0

1

r

1

Z

|f0 (x)|p |g0 (x)|sp dµ,

d

tÒ †C† ƒC‚Í zL| ‚E‰ SÌ ÛµzL| Ò« uSNx>‚ ƒCV†zL=| ‚CzL{x ‚8XZ=\∈ufÑ Z| zL†yƒC|‚C|fa}rÒ«(x)| u=awyÌS†>ÍCuf|g†N}rwy(x)| zLÑ Ñ w€‡nY‚awyzLS1†Nuf6Ñ zÁi®S6ÌS‚>r}ÍE| z€}zL†Úaz€}rwNuf6=Ñ wxC0zL| ïSzL‚ !ÚzLSzLÑ | ‚awyzLS†NufÑ zS„nÍCu”ÍEzL†œY‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚}ÛµzL†yzL|~Nx2ÛµzL|SzLzL| S‚CzUwyzL†œY‚awyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌS‚)zL| ‚Cz =SzLSzLÑ ÒÎS†y{ | Szz€}rwNufÑ w[Ûµz€}| wyéUw€Š ‡ ;| ‚Cz>Ùƒ} zL†wyƒC‚C™ÍEz€}Y‚awyzLS†NufÑ~}L„éLƒ)ÍEzL† | {ufÑ Ñ ‰ SzL{ zL| ‚CzL‚ïéLƒC‚ ŽSNx}rwÍE| z X | ‚CSƒCÑ~uf†y| Rw Ž\wyzL‚ï| {  Y‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚}ÛµzL†yzL|~NxïufƒEÒÐSzLÑ Ža}rw  zL†NÍEzL‚ { †}y}zL‚‘„EÑ | zUÒÃzL†wÍE| Jz DCÌS†y{ zLÑ  p

d p

i

p

Vp i

ap,0 ζG,p (s) = ap,0 +

p

X

p,0

cp (I)PI (p, p−s ),

SÌ ÛµzL| S zL| ‚CzzL‚ÍEÑ |~NxCz t>zL‚CSzï쫅*Ì ÌSÑ z€}yNxCzL†!ÌS{ùÛC| ‚u\wy| ÌS‚CzL‚µí"®SÌS‚?ufÑ SzLÛC†Nuf|~}yNxCzL‚  }uf†y| zUwRŽ\wyzL‚–†CÛµzL† ÛµzLéLzL|~NxC‚CzUw€„*ÍE| zŒ!Ì zKu[éL| zL‚awyzL‚ c (I) rz  zL| Ñ~} ÍE| z>Ù‚Cé€ufxCÑ"ÍEzL† Z î ‰  ñ C ƒ .=awyzïufƒEÒÍEzL† Ý"z€ÍEƒ.=awy| ÌS‚–®SÌS‚ ‚ { ÌEÍEƒCÑ Ì uf‚CSzLÛµzL‚”ƒC‚͌rz€ÍEz€} P (Y , Y ) F zL| ‚CzÁ†Nu\wy| ÌS‚ufÑ z DCƒC.‚ =awy| ÌSŒ‚ †CÛµzL† Q ÍCuf†N}rIwyzLÑ Ñ w€‡ p I∈S

p

p

I

1

2

æ

Ž W ‹ w)



Í!

y.“ 

;| ‚Czjuf‚Cf‰~?zL| Ñ ‰YÙÛ}yNxŽ\wyéLƒC‚CÒt†C†ÚÍE| zÙ‚Cé€ufxCÑ®SÌS‚ ‰îñƒC‚.=awyzL‚?ufƒEÒ'ÍEzL‚ƒ}uf†y| ‰ zUwRŽ\wyzL‚ I { ÌEÍEƒCÑ Ì p Ñ | zUÒÃzL†wnìÃ|PíG‡^t>| w0’| Ñ ÒÃz*®SÌS‚ùÙ†wy| ‚ L‰"DCƒCF‚.=awy| ÌS‚CzL‚J=SÌS‚}rwy†yƒC| zL†w{[uf‚ ÍE| zÚ| ‚™ìÃ| |Pí'®SzL†N}×C†yÌENxCzL‚Cz{ zL†yÌS{ ÌS†y×CxCz DCÌS†wN}zUwyéLƒC‚C‡;| ‚CzÁÙ‚  zL‚ÍEƒC‚C SzLzL| S‚CzUwyzL† è©ufƒCÛµzL†N}yNxCzL†cX&Ž\wyéLzÚÑ | zUÒÃzL†w}yNxCÑ | z+ïSÑ |~NxìÃ| | |PíG‡ -zLΆ rzL‚C| S z XENxC†y| ww€„ÍEzL†Ú| {t>ÌS{ zL‚awÁuf{ zL‚C| a}rwyzL‚ÍEƒC†NNx}yNxufƒEw | †NÍJ„J|~}rwÈÍCuS} Ùƒ •Ža}zL‚ÍEzL%† X | ‚CSƒCÑ~uf†y| Rw Ž\wyzL‚È| {¢Y‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚}ÛµzL†yzL|~Nx‘4‡ „ƒC†/| ‚ùÛµz€}ÌS‚ÍEzL †N}©zL| ‚EÒ«uSNxCzL‚ DqŽfÑ Ñ zL‚2|~}rwœÍE| z€} ×C†N u =awy|~}yNx–ÍEƒC†NNxEtÒ †CxC†yÛuf†€– ‡ ? uS}ùtÒ †C† }uf†y| zURw Ž\wyzL‚–{ | w zLÑ~NxCzL†[Ù†w ®SÌSˆ‚ X | ‚CSƒCÑ~uf†y| Rw Ž\wyzL‚œufÑ~}'Y‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚}ÛµzL†yzL|~Nx[ufƒEÒPwy†yzUwyzLC‚ =SŽS‚C‚CzL‚œ|~}rw  zL| wySzLxCzL‚Í[ƒC‚E‰ Ûµ,z =\uf‚C‚aw€0‡ ;| ‚CzÈÍE| z€}ÛµzL,é †CSÑ |~NxÄ| ‚awyzL†yz€}y}yuf‚awyz !ÌS‚}rwy†y.ƒ =awy| ÌSC‚ ‚ÍEzUw}|~NxÄ| ‚ z § §[ m ~ ‡ ;| ‚ |~Nxawy| Sz€}ñ†yÌSÛCÑ zL{ Ûµz€}rwyzLxawnÍCuf†y| ‚‘„ ÍE| zÙÛCx Žf‚CS|  =SzL| w'ÍEzL†*Ñ Ì =\ufÑ zLC‚ Du =awyÌS†yzL‚  S ® ÌS‚ SzL‚ufƒCzL†éLƒƒ = ºÑ Žf†yzL‚‘‡Y‚?ÍE| z€}zLô { ‡µƒ}yuf{ { zL‚Cxuf‚C[Ûµz€}rwyzLxawڃC‚awyzL†uf‚E‰ ζ (s) ÍEzL†yzL{ ÍCuS}*ÒÃÌSpÑ SzL‚ÍEz Ë ”“2ÌÊ-’•¦¤+˜¤ n JRUF É\F«R¿NDyRUF«ROFPT ø¼\½YRUO½YJR nDGB€øSøRÉSRUD ÅùT Z­INILR c XFP½ d > 2 V*DyǀRUBSÅaRUOdÉSRUO œ 0V +SF~IG½¾FF«RUDG=½ÚÉSFZ\OO2RUFPOdR[DyZ\½¾F«¼\OdZ\T lR QJBEOEQ\½¾F«¼\O P (X, Y ) ∈ Q(X, b"IL¼ Y) ÉS7Z ó>U¿ õED¿UZ­IG½"Z\TPT 7R ¢*DGFPXÈǀZ€M T RUO p ÅfFPT ½ ζ (s) = P (p, p ) › ÌEÍEzL† |~}rwÍE| zùÙ‚aw  ÌS†w"Ûµ,z =\uf‚C‚awƒC‚ͺ$Ò ŽfÑ Ñ w Y‚>ÍEzL8‚ X ×µzLéL|~ufÑ $Ò ŽfÑ Ñ zL‚ ×µÌa}| wy| ®Äufƒ} ± ® SѾ‡C…*zL|~}×C| zLcÑ ∈Ï ‡ Ï{1,‡ 2} d = 2 ‡µƒCë { XENxCÑ 4ƒ ï™}zL|"ÛµzL{ zL>† =aw€„nÍC)u ï zL| ‚2zL‚CSzLH† ‡µƒ}yuf{ { zL‚Cxuf‚C Ûµz€}rwyzLxaw[é |~}yNxCzL‚ ñ†yÌSÛCÑ zL{ Õ‡ ÕƒC‚ÍùÍEzL†^ÛµzL>† †CxC{ÈwyzL‚ùñnðÝÐ~‰ }/zL†y{ùƒEwyƒC‚C®SÌS‚ ’| S{[uf‚‘e‡ j‘zUwyéUwyzL †yzS„­Ò«ufÑ Ñ~} ufxC†€„CS| ÛEwÚÙƒ} = ƒC‚EÒPw †CÛµzL†ÍE| zùÙ‚Cé€ufxCÑ©ÍEzL†r}ÌS{ ÌS†y×CxC| zUwrÓ ×µzL‚ïzL‚ÍEÑ |~NxCzL††yƒC×C×µzL‚  ®SÌS‚”ñ†y| { é€ufxCÑ ×µÌfwyzL‚CéLÌS†NÍE‚ ƒC‚C FHDe†C† rz€ÍEz€} n ∈ N S| ÛEw z€}zL| ‚Cƒz ‡dufxCÑ r ∈ N ƒC‚Í ñ^ÌSÑ Ó ‚CÌS{ z f , . . . , f ∈ Z[X] „©}ÌïÍC)u ïÄtÒ †Ci† rz€ÍEz[ñ†y| { é€ufxCÑ p ÍE| z[Ù‚Cé€ufxCÑ'ÍEzL†[ìÁr}Ìf‰ { ÌS†y×CxC| zUwrÓ ×µzL‚–®SÌS‚µí†yƒC×C×µzL‚2ÍEzL†ºð†NÍE‚ ƒC‚C p SÑ zL|~Nx f (p) |~}rw€„  ÌSÛµzL| j ≡ p éLƒ  ŽfxCÑ zL‚”|~}rw€‡$Îì -| zïÙ.Û =Z†C†yéLƒC‚CñnðÝÐ4}rwyzLxaw[}| ‚C‚CSzL–{ Ž)ï>tÒ †CJ† €rñ^ÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑð‚ Ý"z€}|~ÍEƒCz>Ð'Ñ~uS}y}z€"} ‚G‡ ˜ í -zUwNuf| Ñ~} †CÛµzL†ÍE| Hz }/zL†yÛC| ‚ÍEƒC‚C?{ | wñ†yÌSÛCÑ zL{ Õ‡ \Õ ‚ÍEzL‚–}|~Nx | ‚ z § §[b ~ ‡ p

G,p

c,d

−s

F,p

1

Î Î

"

Î

"

Î "

Î "

"

r

n

j

r

€ G  ž¯ aŸ(  ¥ ¡   Ð ‡ê " &!ê èC'þ^E[0yô0y÷Wö1 5?(öôvö.!÷WöS‘S H+7¬ p *W.<!08 .!ô.1 5!÷208ÚS H+ .!ô& )Ò Þ!0yô&8 .!Jö0>öŽþ&/$ Ð &  ì bû
;&úƒþ¯C) ÿ þ) CæÑ! Ò þ´9: ô÷20yô *ºS H+$.!& ô ´ô021 
!÷Wöô÷ S H+Žþ\Dê Ð & ì þÇûW ¯ B!´&!ê  þ êGY " é&ßGü"þ>!pÿþv) CæG Ò þqf³ô021 
!÷Wöô€ ÷ S H .!&ô ¼0y÷ ‡ö1y1 0 G÷20 8¨8 õöC3°&ô !ôG* ô0 R,c0y÷ 5 1 B8 .1 Cö÷>.“  &ô 8÷20 !ô J €S H+ŽþûW ¯B +^
Ð & ì ‹û>ü ="þ>!ÿ þv!Cæ >)> #´Ò Ð ê " &!ê èC'&!G I #$ êîg&! . þ&fô.1 5!÷20 8g+Sö ÷20>ö J bCö÷>b.  &ô 8÷20 !ô ´.!&ô  ! 6$S H¿ShD÷yú þ&/$ Ð &  ì ‹û
iGü"þ>!ÿþvÑ!) Cæ >)) Ð bê " &!ê èC'ƒ&!G/J%‹êè! Rë U(' þ;EY &ô 8÷20 !ô.1+Sö

.!÷20 !ô .!&ô Ö ô0 R,c0y÷ 5| R %bÒ 1 B8 .1 Cö÷>'.  &ô 8÷20 !ô J fô021 
!÷Wöô„÷ S H+ŽþY/$Ö %
^
Ð & ì bûGûý"þ¯Cÿ þ&Cæ

Í¢ Î

z

Ò Ð fê

"""

Î

" Î

Î#

"" >)>Ò

CÒ

Î ûW &Ò Î 1f è&Ò Î 1f èÒ Î 1f è)&Ò Î 1f è)!Ò Î 1f è)!éÒ Î %b&!ëC
rW x 28., v

" )Ò

pÏ

" &!ê èC'þ  " &!)þk&!G?/J " ìG&!  þ2C R ÿþM  öhÿ( Ø 0 CB!ô 0yô + S* ¨qS H+Žþ\^ è!   / Ð & ì%&  é Wþ[ègB>×þ Ï  !UìG !ê þ Ï è ¯ èí Ï &!  í

   þv! Ð Dê " &!ê èC'¿&!G·#A Î &' è!þ`búöCö÷>.  ô&8÷20!ô  sl .!ô&s ö 1 ÷20!ôÚ

 0yô  1 .0y÷20>öŽþ Ð & ì+\^ è(é)vç+&!%c\Dì  è R " è(é)‹û
;Gü"þ>!2ÿþkÑæÑ I v#$ êîg&! .  þ  " &!) þ&!G¼A # " %/ ì þY4 6$S H+P
Dô0y÷Wöf0yô&(ö£Ò0yôÃô021 
* ÷Wöô:÷ S H+ŽþZûW( B Ð & ì Yß+;"þ¯C) >)>ÿ þbB >.  & ô 8÷20 !ô ] ö1 .!÷WSö ·$÷  ÷yú] ö S H " % (Z ) þwûW ¯B q^
Ð & ì $û=&ß 2 p þ¯Cÿ þbH kÑæGÑ Ï „1f èï éì þL¨qS H+0hD0y÷yú·1 ö !/÷yú.!ô n ! 6$S H+Ö 0y&ô (£ö Ò n þD èƒ&!ïïC&/ Ð & ì +/$ þ+ô°÷yúb ö D^0>ö÷yúSö 50 p *W<. !0 8´.!ô.1 5!÷20 8ES H+Žþ ès&!ïïC&l Ð & ì  þgÞgS* S H+7hD0y÷yú 1 0yôvö . 7! 6$S HnShD÷yú þ Ð & ì  ^ü
jYi þ>!)ÿ þ p )Á .  &ô 8÷20 !ô 0 ö1 .!÷WSö ƒ$÷ Ã÷yúA ö +S* p S H " % 1 (∆ ) þ Ð & ì „\^ è()é p 1 ç+&!%c \Dì  
è " è()é bû
;+i"þ>!)ÿ þ+×k
æ kÑ Ð )%b&!ëC&. þ¨qS Hö $.!ô.1 5!÷20

Gö  p *W<. !0

Gö Žþ\Dê Ð & ì þÇûW ¯B ´&!ê  þ êGY " é ü>="þ¯C< kÿ þ&)>Cæ) /J%‹êè! Rë U(' þ
/J Ð &!þG&!G  " &!) þE[0yô0y÷Wö1 5A(öôvö .!÷WSö [S H+A q
1 5!& ô * ,c0-.Y1 ! 6$S HsShD÷yú þZûW ¯B +^
Ð & ì ýGü"þ¯C) ÿ þ&) Cæ Ñ() /J%‹êè! Rë U('c&!G  " &!) þ&4 6$S H]ShD÷yú þ
\^ è!   l Ð & ì%&  éW þ(è ( þ Ï  ! UìG !ê  þ Ï &!  í Ï è ¯ èí Ï    þb!)

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀÆU•ÅVÔ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ïcä8Ü ÞÚK‰Þ

׈ìNä8æCmŒâÜNÚèä Ù‰ñßÚwÛänm\ãcâ

m\ä‰Ú0âTã Ø ×HÞ

Û\ó(m Q„r%õú

I^Ï

Ð & ì%&  UÅêG|ûWòyè! %&  Uþ_\Dì   ïï ¯Îí ÿ
     Ð & ê þ´´&! ¯í Ð  î+ í " &'þ  í÷
_ h _ h WY o >_ X!aca KML!NO-PQR!OS !j Z h a a _`\ a (a WY a \ (a b\ _!] V a WY _C\ V Z a a WZMa\ \ WV (a WY V _ ‡Y _ h WY Ya V (a] T Y _ h WY a _ WY a a ‹\ a _ga (a _ _` WY ] _ a WY a W_CZ h Y a V \ X WY h _ (a _ k] _ ] \ a X WY
`ya] WY a _ WY >_ \ Z a
] \ _ \ X \ a _ WY

] _CZ _ _ h Y ] Y [a >_ \ Z V g_ [_ h

WV X] a a >XZ _ ] ] V \ a h 4a _ WY e >_ _ V a \ V ] _ Y Y _CZ _ a a _ _` WY a

¾%Í Ï ¿ Ž¾ŽÌ Ï Ê É WÍ AÃ Ï ÏmÊ É ¿ . À ‚ ¾ {¾ŽÌ Ó « É`T Ê ÉKÏ Ì  Ê Ï À#áëÇÌ É Í É ¿ Ï ¾ Ë A¾À « É Ã WÌ ÏmÊ WÌ ¾ WÌξ Ê ÉKÏ ¾ŽÌξŽÍ Ï ¾Ž¿ Ê ÉKË WÌ Ê ÉKÏ Í Ê É ¾ WÌ»Ím¾ŽÌ Ê ¾ŽÍ Ï ¾Í Ï R{ ¾{ WÍm¾ ZþŽÌ Ï Ì${ ÏmÊ É Í Ê É:Ï ¾ ~ ŽÌ É™$‚ ¾ Ë ¾ŽÌ Ê Ê É:Ï ¾y ¾ŽÍ ÏmÊ É Ï ¾ŽÍm¾ Ê ÉKË WÌ Ê ÉKÏ ÍE{¾ Ë ¾ ÇÉ ¿Ç¾ŽÌwÍ Ímà Ž¾À ¾ Í Ï Ï { Ï Ê ÉKË WÌ Ê ÉKÏ Í ¾ W¿ Ï 4à WÌ ÏmÊ ÏmÊ É Ï ¾.{ Ê Ó É ¾ Ê ÉKÏ Í ÇÊ Ï R{ ¾Í { É ¾ŽÍÂ É ¿ Ï Ï ÅHÍ A¾ Ï Í ÌÎÃÇÌ Ê Í Ê ÉÇÓ HÅ Ï ¾ŽÍm¾ Ï Cà WÌ ÏmÊ ÏmÊ É Í Ê É Ê ¿Ç¾À . ÇÊ Í_à ¾ É A¾ É É\Ê Í ¾£¶'Ã Ê É ¾Ž¿0{ Ï ¾ Ím¾ :Ìξ Ï ¾Ž¿ Ï Ï ¾ Ë WÌ Ê ÏmÊ É ÏÏ Ï { Ï ÃÇÌ B{ ¾ AÍ WÌξ Ï ¾|ì WÌ Ê Í ,Ê ¿Ç¾ Aà Í Ê ÏmÊ É Â ÇÊ Ê Í ÉÊ ÉKÏ ¾ŽÌξŽÍ ÏmÊ ÉÇÓ ÃÇÌ B{ ¾ y ÇÊ Ï ¾ ÉÊ Ï Í É À

mbn Ä"  ¥ a  Ÿ\  † ªÃž€ª>  

?z–†yzL×µÌS†w?xCzL†yz–ÌS‚ ÌSƒC††yz€UzL‚aC w rÌS| ‚aw ÌS>† = z Á°{n§ ~ | wyx Ùȇ ! †C†yÌS‚ Óau uf‚Í èڇ%X éLzL{ùÛµzL†y?ÌS‚2uS}Ó { ×EwyÌfwy|~º| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}ùÌfҏ Ñ | ‚Cz€uf†[}zL†y| z€}L‡N j‘zUw[ƒ} }rwNuf†w Û Ó”UÌS‚E‰ }|~ÍEzL†y| ‚CwyxC†yzL:z ^aƒCz€}rwy| ÌS‚}L‡ Ûµz"u}{ Ì Ìfwyxù×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz'®\uf†y| zUwrÓÁuf‚Í L uÑ | ‚CznÛCƒC‚ÍEÑ z*ÌS‚ § ž€ E› †  ù›^ C   † ¦‘¡Sª n j‘zUw X ‡  ?zÈÍEzL‚CÌfwyzÁÛ Ó y w xCz IG½YZSãUT RãNZ­ILRÈT ¼€KUB IÁÌfÒ „E|¾‡ zS‡ „EwyxCzÁ| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚ÄÌfÒwyxCz X ÛuS}zÑ ÌEU|dÌfÒwyxCzÚÑ | ‚CSB(L) z€uf†"}zL†y| z€} |kL| ÒÃÌS†"ufÑ Ñd×µÌa}| wy| ®Sz| ‚aLwyzLSzL†N} k ‡/t>ÌS†yzSzL‚CzL†NufÑ Ñ ÓS„  z

¹ a XJÄÔ WÏ Y

ÂÔÕÕWÖÇÀ

ÍÀ 

r z.y‹Ž{

| Ñ ÑUÌS‚}|~ÍEzL†*wyxCzÈ}rwNufÛCÑ zÁÛuS}zÚÑ ÌEU|JÌfÒ ‰îÑ | ‚CzÚÛCƒC‚ÍEÑ z€} Û Óº×uS}y}| ‚Cùwy̜uf‚Ä| ‚awyzLS†NufÑ ù{ ƒCÑ wy| ×CÑ zÌfÒ L ± wyxC|~}'|~}  zLÑ Ñ ‰YÍEzK‚Cz€ÍJ„ }| ‚QUz"wyxCz}rwNufÛCÑ zÛLuS}zÑ ÌEUƒ}'|~}| ‚ ®\uf†y|~uf‚aw'ƒC‚ÍEzL† wNu= | ‚C {ùƒCÑ wy| ×CÑ z€}ÈìÃ|¾‡ zS‡EwyzL‚}ÌS†n×µÌ  zL†N}Ní'ÌfÒwyxCzÁÑ | ‚CzÁÛCƒC‚ÍEÑ zS‡ XawNufÛCÑ z'ÛuS}zÑ ÌEU| zL†yz†yz€UzL‚awyÑ ÓÚ}rwyƒÍE| z€ÍÈÛ Ó „u=\uf{[u­ÓSzì z    b ~ „z    b‚ ~ íG‡e’z }xCÌ  z€Íœ| ‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf †nwyxu\w"ÒÃÌS†uÛC| œuf‚ͺ‚CzUÒ/ÍE| ® |~}ÌS† L „Cuf‚>uf{ ×CÑ zÁÍE| ® |~}ÌS† A „uf‚Í ÒÃÌS†'}{[ufÑ Ñ ε > 0 „fwyxCz}rwNufÛCÑ z"ÛuS}z"Ñ ÌEUƒ} SB(L − εA) |~}^wyxCzƒC‚C| ÌS‚ ÌfÒJufÑ Ñ}ƒCÛ ®\uf†y| zUwy| z€} }ƒNx wyxu\w ‡ X ÌÈ| ‚œ×uf†wy|~UƒCÑ~uf†/wyxCz}rwNufÛCÑ zÛuS}zÑ ÌEUƒ}'†yzL{[uf| ‚} 0 V ⊂X UÌS‚}rwNuf‚aw  xCzL‚>uùÛCL| [uf‚ͺ· ‚CVzUÒ^=Ñ | 0‚CzÚÛCƒC‚ÍEÑ zÁ|~}n×µzL†wyƒC†yÛµz€Íº| ‚ïuf‚awy| ‰Yuf{ ×CÑ zÚÍE| †yz€Gwy| ÌS‚}L‡ ?zÈuS} =H^aƒC| wyzڐSzL‚CzL†NufÑ Ñ  ÓF  6+’P̧ ¦“‹¥à– n ù¼\Â$ÉS¼€RGI À\Z\D œÂ©MCRUO L X[¼\À\RGIÁFPO?½ÃMCRãUF ÅïKN¼\OdR¼r¿ X › SB(L) ð‚Cz'‚CzLz€ÍC}‘wy̏۵z*uÛC| w^{ ÌS†yz×C†yz€U|~}z'xCzL†yz FJwyxCzn}rwNufÛCÑ z'ÛuS}z'Ñ ÌEUƒ}|~}‚CÌfw^| ‚ ®\uf†y|~uf‚aw ƒC‚ÍEzL†È‚ ƒC{ zL†y|~LufÑ'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzS„©uf‚ÍxCzL‚Uz[| wù|~}Á‚CÌfwuÄÒÃC‚Gwy| ÌS‚ ÌS‚wyxCzœÛC| vUÌS‚CzS‡ ~ zwyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÁUÌS‚}|~ÍEzL†u{ ÌEÍE| z€ÍÄ®SzL†N}| ÌS‚ÄÌfÒ©wyxCzÈ}rwNufÛCÑ zÚÛuS}z DCÌSÑ Ñ Ì | ‚C z ®P© » Ñ ÌEUƒ}L „ wyxCz IG½YZSãUFPT F ǀRNÉÄ ãNZ­ILRùT ¼€KUB IG„CÍEKz ‚Cz€ÍïuS} dim V

+

x zL†yz A |~}"u}ƒ uœU| zL‚awyÑ Óº}{[ufBÑ ÑJuf{ ×CÑ zÛCƒC‚ÍEÑ zS‡ènxCz€}zÁ}rwNufÛC| Ñ | éLz€ÍœÛuS}zÑ ÌEU|J| ‚ºÒ«uSGw C wyƒC†y‚ïÌSƒEwnwyÌ[ÛµzÁ‚ ƒC{ zL†y|~LufÑd| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}L‡ „ ¦ † l¨ ¡    n Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†ïu”Ñ | ‚CzÛCƒC‚ÍEÑ z L ÌS‚$u–}{ Ì Ìfwyx$×C†yÌrz€Gwy| ®Szv®\uf†y| zUwrÓ X ÌfÒ ÍE| { zL‚}| ÌS‚ ‡"ènxCzùÝ"| zL{[uf‚C‚ êEÝ"ÌENxï×C†yÌSÛCÑ zL{ |~}UÌS‚UzL†y‚Cz€Í | wyx>wyxCzù}rwyƒÍEÓÄÌfÒ^wyxCz ÛµzLxu­® | ÌSƒC†ÚÌfnÒ h (X, kL) uS}ÁuœÒÃC‚Gwy| ÌS‚ ÌfÒ k l‡ ? xC| Ñ z wyxCz zU£C uSGwÈÍEzUwyzL†y{ | ‚u\wy| ÌS‚ÌfÒ wyxCz€}z>ÍE| { zL‚}| ÌS‚} |~}[ÍE| uœUƒCÑ w[| ‚)SzL‚CzL†NufѾ„/wyxCzLӔS†yÌ  wrÓ ×C|~LufÑ Ñ Ó$ìÃ|¾‡ zS‡^ÒÃÌS†[ÛC|  Ñ | ‚Cz ÛCƒC‚ÍEÑ z€}Ní'Ñ | =Sz k ‡ènxCzÀ\¼\T BEX[RÚÌfÒ L „ | ‚awy†yÌEÍEƒUz€ÍœÛ ÓïÐ'ƒE>w =SÌa} = ÓS„a|~}*wyxCzL‚ïÍEKz ‚Cz€ÍºuS} + (L)

= SB(L − A) ,

0

n

volX (L) =def lim sup

h0 (X, kL) . k n /n!

nè xC|~} UÌS‚UzL×Ew[†yz€uSÍE| Ñ Ó zU£ wyzL‚ÍC}ùwyÌ ‰YÍE| ® |~}ÌS†N}L„/uf‚͖| ‚”Ò«uSGw[| w[xuS}†yz€UzL‚awyÑ Ó ÛµzLzL‚ z€}rwNufÛCÑ |~}xCz€Í>ìÃ| ‚¿z ©  Y˜~ í^wyxu\w'| wnÍEzK‚CQz€}'uÁUÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ}^ÒÃC‚Gwy| ÌS‚œÌS‚wyxCz„ÔL†yÌS‚E‰ŽX zL®SzL†y| }×uSUzS‡^îw|~}*wyx ƒ}"‚u\wyƒC†NufÑdwyÌ[uS}=F  6+’P̧ ¦“‹¥ ¨ n ù¼\Â$ÉS¼€RGI À\Z\D œÂ©MCRUO L X[¼\À\RGIÈFPOv½ÃMCRãUF ÅïKN¼\OdR¼r¿ X › vol(L) §   ¡Sb¦ ¡¬½'¦µ€ªÃž€ª«¦ ¥  n j‘zUw‚CÌ ÛµzÈu }{ Ì ÌfwyxÄ×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÚ}ƒC†Ò«uSUzS‡/Ý"z€LufÑ Ñ Ä  EŸ\ª«+ ‘ªnl z Ä  EŸ } › ~ „ z { » » ¶4®d„©ènxCzLÌS†yzL{¬‹ ‡ ˆC‡  Ë ~ Xwyxu\wùu ìÃ×}zLƒÍEÌf‰ríYKz
D

D

i

i

D

D

D

m i=1

i

i

j

æ y{bw) W w vy q

z.{:y

t

vx

"x M vw

Kyz Œz.y K

ÍÍ

ènxCz:‡duf†y|~}= |µÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚œ|~}*ÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€ÍœÛ ÓwyxCz‚ ƒC{ zL†y|~Lufѵz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚UzUÑ~uS}y} ÌfÒ D „a}ÌÈ| w'{[u=Sz€}/}zL‚}z"wyÌÈ}rwyƒÍEÓ| w*uS}'uÒÃC‚Gwy| ÌS‚[ÌS‚ wyxCz_„ÔL†yÌS‚E‰ŽX zL®SzL†y|C}×uSUzS‡4?z uS}=F  6+’P̧ ¦“‹¥ ² n ù¼\Â;ÉS¼€RGIÁ½ÃMCR 6^Z\DGF~IyQ\F'ÉSRNKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O™¼r¿ À\Z\D [©MCRUO X[¼\À\RGIÁFPO L L ½ÃMCRãUF ÅÄKN¼\OdR¼r¿ X › ;'uSNx™ÌfÒ"wyxCzœwyxC†yzLzœ×C†yÌSÛCÑ zL{[}ÈÑ z€uSÍC}ÁwyÌuvÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚™ÌfÒnwyxCzºÛC| UÌS‚Czœ| ‚awyÌ }ƒCÛ}zUwN}  xCzL†yzwyxCzÚ| ‚ ®\uf†y|~uf‚awn| \‚ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ÄÛµzLxu­®Sz€}*‚C|~UzLÑ ÓS‡'ðƒC†"†yz€}ƒCÑ /w z Á°{n§ ~ }yu­ÓE} wyxu\w€„E}ÌS{ z  xu\wn}ƒC†y×C†y|~}| ‚CSÑ ÓS„SÌS‚º}ƒC†Ò«uSUz€}/wyxCzƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚CÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚}| ‚œÒ«uSGw ufS†yzLzF ãNR>Z?IGX[¼€¼\½ÃMïødDy¼ ÈLRNKU½¾FPÀ\RÄIGBEDÿUZSKNRv¼\À\RUDº½ÃMCRvKN¼\XødT >R + OBEX[ãNRUDNI • ¾l  ¦(Ÿ  G¡ n 9RU½ HdMCRUO™½ÃMCRUDyR F~I[ZÄXT ¼€KNZ\TPT :OFP½YR[ÉSRNKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O2¼r¿½ÃMCRœãUF ÅvKN¼\OdRœ¼r¿ X FPO½Y¼ÄDyZ\½¾F«¼\OdZ\œT T ¼€KNZ\TPT Úø¼\T €MCRNÉ\DyZ\TIGBãNKN¼\OdRGIÚIGBKNMĽÃMCZ\½*½ÃMCR'¿U¼\TPT ¼\Â/FPO ŜMC¼\T É­IL] ìÃ|PFí šGO™RNZSKNMvIGBãNKN¼\OdRù½ÃMCRùIGB€øSø¼\DG½¼r¿ù½ÃMCROdRîÅaZ\½¾FPÀ\RøZ\DG½¼r¿È½ÃMCR 6^Z\DGF~IyQ\F"ÉSRNKN¼\Xø¼\W IGFP½¾F«¼\O ¼r¿Ú½ÃMCRÉ\FPÀ€F~IL¼\DNIùFPO?½ÃMCRÁIGBãNKN¼\OdRÁF~IùKN¼\OCIG½YZ\O½ ìÃ| |P– í 1nORNZSKNM?¼r¿Á½ÃMCRÁIGBãNKN¼\OdRGIÚ½ÃMCRÈÀ\¼\T BEX[R*¿NBEOdKU½¾F«¼\O?F~Iœ ÅfFPÀ\RUO Kã ÄZ IGFPO ÅfT R"ø¼\T \Od¼\W XF«Z\T©¼r¿ùÉSRîÅfDyRNRȽ¾Â'¼ ìÃ| | |Pâí šGOv½ÃMCRÈFPO½YRUDGF«¼\Dù¼r¿ùRNœ ZSKNM?¼r¿Ú½ÃMCRÁIGBãNKN¼\OdRGIÚ½ÃMCRÁIG½YZSãUT RãNZ­ILRùT ¼€KUF'Z\DyRKN¼\OCIG½YZ\O½ œ ÙA} ‡duf†y|~} = |dÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚}'ÍEÌ‚CÌfw*| ‚ºSzL‚CzL†NufÑzU£E|~}rwnÌS‚œxC| SxCzL†‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ®\u\‰ †y| zUwy| z€}L„f×uf†wìÃ|Pí©|~}/}×µz€U| µ'wyÌÁ}ƒC†Ò«uSUz€}L‡/ð‚ùwyxCz"ÌfwyxCzL†^xuf‚ÍJ„S| w/|~}^‚u\wyƒC†NufÑ wyÌÁuS} =ÚÒÃÌS† xC| SxCzL†‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑuf‚ufÑ ÌSSƒCz€}ÌfÒ}rwNu\wyzL{ zL‚awN}ìÃ| |Pí'uf‚ÍvìÃ| | |PíG‡Ù }rwNu\wyzL{ zL‚awnuS}'UÑ z€uf‚ uS}'wyxu\w"ÌfÒwyxCzwyxCzLÌS†yzL{ÎufÛµÌ\®SzS„ xCÌ  zL®SzL†€„aLuf‚C‚CÌfw"ÛµzÚzU£E×µz€Gwyz€ Í F/ufÑ †yz€uSÍEÓ[| ‚ïÍE| { zL‚E‰ }| ÌS‚ÄwyxC†yzLzÚwyxCzL†yzùuf†yzÚzU£Cuf{ ×CÑ z€}  xCzL†yzÚwyxCzÈ®SÌSÑ ƒC{ zÁ|~}‚CÌfwÑ ÌELufÑ Ñ Óº×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ'ì«}zLz z Á°{n§ ~ „ X z€Gwy| ÌS‚vˆC‡ ˆaí uf‚ͺwyxCzù}ƒCÛ}zUwN}L„ xCzL†yzÁwyxCzù}rwNufÛCÑ zÁÛuS}zÁÑ ÌEUƒ}|~}UÌS‚}rwNuf‚aw€„ ‚CzLz€Íï‚CÌfwxu­®SzÁ†Nu\wy| ÌS‚± ufÑJÛµÌSƒC‚ÍCuf†y| z€}Èì«}zLÃz  z Á°{n§ ~ „ ;/£Cuf{ ×CÑ z Ï ‡ ËSË­íGi‡ „ÌS‚CzUwyxCzLÑ z€}y}"| w ÌSƒCÑ~ÍÄÛµzÈ| ‚awyzL†yz€}rwy| ‚C wyÌ = ‚CÌ xCzUwyxCzL†wyxCzù}rwNu\wyzL{ zL‚awN}ÈìÃ| |Pí"uf‚Í ìÃ| | |Pí"{ | Sxawxu­®Sz  xC| SxCzL†‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑJuf‚ufÑ ÌSSƒCz€ }*u\wÑ z€uS}rwnÒÃÌS†UzL†wNuf| ‚ºwrÓ ×µz€}nÌfÒ^®\uf†y| zUwy| z€}L‡ ›^n–• ¾l v§l  ¡S¦b¡¬½'¦µ€ªÃž€ª«¦

¥ Y‚ wyxC|~}Ä}z€Gwy| ÌS‚ z | Ñ ÑÒÃÌEUƒ}ºÌS‚;zU£E×CÑ~uf| ‚C| ‚C™wyxCzÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚;ÌfÒÁwyxCz?ÛC|  UÌS‚CzuS}}rwNu\wyz€Ív| ‚>wyxCzùwy xCzLÌS†yzL{ï‡ùðƒC†×CƒC†y×µÌa}zù|~}wyÌïUÌS‚ ®SzLÓï}ÌS{ zÈÒÃzLzLÑ | ‚CœÒÃÌS†wyxCz SzLÌS{ zUwy†yÓvƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚CÄwyxCz wyxC†yzLz[×C†yÌSÛCÑ zL{[}Ú| ‚N^aƒCz€}rwy| ÌS‚‘„©uf‚ÍvwyÌv} =SzUwNNx?wyxCzœ{[uf| ‚ |~ÍEz€uS}L‡0-zUwNuf| Ñ~}uf‚ÍÄUÌS{ ×CÑ zUwyzÁ×C†yÌ ÌfÒ«}nLuf‚ïÛµzÚÒÃÌSƒC‚ͺ| ‚ z Á°{n§ ~ ‡ Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†ºuf‚ ‰YÍE| ® |~}ÌS† D ÌS‚$u”}{ Ì Ìfwyx ×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz?}ƒC†Ò«uSUz X  | wyx ‡duf†y|~} = | ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ R D = P D + ND .

Í °



r z.y‹Ž{

zÁUÌS‚}|~ÍEzL†'wyxCzÁ}zUw"ÌfÒ'OBETPTKUBEDGÀ\RGIÁuf‚Í[wyxCzÁ}zUw"ÌfÒ'OdRîÅaZ\½¾FPÀ\RùKUBEDGÀ\RGIÚÌfÒ D „CÍEKz ‚Cz€Í uS} | †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ zÁUƒC†y®Sz  | wyx D · C = 0 } Null(D) = { C C uf‚Í | †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ zÁUÌS{ ×µÌS‚CzL‚aw"ÌfÒ N } Neg(D) = { C C †yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓS‡*ð‚>ufÑ  u­ÓE}'xuS} Neg(D) ⊂ Null(P ) „ÛCƒEw| w{[u­Ó  zLÑ ÑJxuf×C×µzL‚Äwyxu\w }ÌS{ zÚÌfÒwyxCzÁ‚ ƒCÑ ÑUƒC†y®Sz€}nÍEÌ[‚CÌfwuf×C×µz€uf†uS}"UÌS{ ×µÌS‚CzL‚awN}nÌfÒ N ‡ „Ì zÚLuf‚º}×µz€U| ÒÃÓ wyxCzÚ}ƒCÛdUÌS‚Cz€}*ÌfґwyxCzÛC|  UÌS‚Cz{ zL‚awy| ÌS‚Cz€Íœ| ‚œwyxCzwyxCzLÌS†yzL{ï‡ èÌwyxC|~r}"zL ‚ÍJ„UÌS‚}|~ÍEzL†*ÒÃÌS†u ÛC| [uf‚ͺ‚CzUÒ R‰YÍE| ® |~}ÌS† P wyxCzÈ}zUw ?

def

def

D

D

D

ΣP = { D ∈ Big(X) Neg(D) = Null(P ) } .

î w|~}"| { { z€ÍE|~u\wyzÚwy̺NxCz€W= 꺃}| ‚C wyxCzÁ×C†yÌS×µzL†wy| z€}"ÌfÒ©wyxCzl‡duf†y|~}= |‘ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚œê wyxu\w Σ |~}u UÌS‚ ®SzU£ÄUÌS‚CzS‡ìÁîw  | Ñ Ñ‘| ‚ïSzL‚CzL†NufÑdÛµzȂCzL| wyxCzL†"ÌS×µzL‚ï‚CÌS†UÑ Ìa}z€ÍJ‡ í[ð‚Cz }xCÌ }ùì«}zLzƒz Á°{n§ ~ „Mj‘zL{ {[uvËS‡ Üaí*wyxu\wwyxCz€}zUÌS‚Cz€}Ó | zLÑ~ÍvuºÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚vÌfÒ/wyxCz ÛC| [ UÌS‚CzS„E|¾‡ zS‡ „ [ ìrË­í Big(X) = Σ ,    xCzL†yz Σ = Σ ÌS† Σ ∩ Σ = ∅ ÒÃÌS†Úuf‚ ÓÄw  ̺ÛC| Äuf‚Ív‚CzUÒ R‰YÍE| ® |~}ÌS†N} P uf‚Í  ‡ènxCz{[uf| ‚º×µÌS| ‚awn| ‚Ä×C†yÌ\® | ‚CºìrË­í|~}'wyxu\w€„ S| ®SzL‚ºuùÛC|  ÍE| ® |~}ÌS† D „EÌS‚Cz|~}nufÛCÑ zwyÌ P ‚ÍïuÛC| [uf‚ÍĂCzUÒ/ÍE| ® |~}ÌS† }ƒNxºwyxu\w ‡ Ù}‘Ò«uf†©uS}×uf†w*ìÃ|Pí‘ÌfÒEwyxCzwyPxCzLÌS†yzL{ |~}©UÌSNeg(D) ‚UzL†y‚Cz€ÍJ„L=w  Null(P ÌwyxC| ‚Ca)}†yzL{[uf| ‚ÚwyÌÛµz*}xCÌ  ‚‘‡ P

P

P

0

Ë

P

P0

P

P0

”“
ŒD“Ì(¦ § ¦“‹¥‘¤ n

«ì uaí HdMCRKN¼\OdR F~IÁT ¼€KNZ\TPT Áø¼\T €MCRNÉ\DyZ\T ìÃÛµí HdMCRÉSRNKN¼\XΣø¼­IGFP½¾F«¼\O ™ Iš[F~IÁT ¼€KNZ\TPT _œ OFP½YR œ ìmX zLz"z Á°{n§ ~ „Jñ†yÌS×µÌa}| wy| ÌS‚”ËS‡ ˀŒœuf‚Ívñ†yÌS×µÌa}| wy| ÌS‚”ËS‡ Ë­ŠE‡ ívY‚?ÌS†NÍEzL†wyÌÄ×C†yÌ\®SzùuS}r‰ }zL†wy| ÌS‚ ì«uaíG„  zÚ×C†yÌ\® |~ÍEzÚuf‚ÄzU£E×CÑ |~U| wÍEz€}yU†y| ×Ewy| ÌS‚ÄÌfÒ Σ uS}*ÒÃÌSÑ Ñ Ì  },F ìÏ í Σ ∩ Big(X) = (Big(X) ∩ Face(P )) + V (Null(P )) . ’zL†yz |~}wyxCzv}{[ufÑ Ñ z€}rw[Ò«uSUzïÌfҏFace(P wyxCz>‚CzU)ÒÁ=UÌS‚CzÄNull(P wyxu\wºU)ÌS‚awN∩uf|Nef(X) ‚} „nuf‚Í ÍEzU‰ ‚CÌfwyz€}"wyxCzUÌS‚CzÁSzL‚CzL†Nu\wyz€ÍÄÛ ÓºwyxCzù‚ ƒCÑ Ñ^UƒC†y®Sz€}"ÌfÒ P ‡ÙP}"wyxCzù×ufV†wÌf(Null(P Ò^wyxCzȂCzUÒ'))UÌS‚Cz wyxu\w|~}UÌS‚awNuf| ‚Cz€Íï| ‚ïwyxCzÈÛC| ºUÌS‚CzÈ|~}Ñ ÌELufÑ Ñ Óº×µÌSÑ Ó xCz€ÍE†NufÑ' ì z Á°{n§ ~ „‘Ð'ÌS†yÌSÑ Ñ~uf†yÓ>ËS‡ Õ íG„ }rwNu\wyzL{ zL‚awÈì«uaí'ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }L‡ ènxCzÍEz€}yU†y| ×Ewy| ÌS‚[ÌfÒJwyxCzNxuf{ùÛµzL†N}/| ‚?ì Ï í^|~}'×uf†wy|~UƒCÑ~uf†yÑ Óù| ‚}rwy†yƒGwy| ®SzuS}| wn}xCÌ } wyxu\wz€uSNxvNxuf{ùÛµzL† Σ UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}*wy̺u Ò«uSUzÈÌfÒ^wyxCzȂCzUÒ'UÌS‚CzS‡"ènxC|~}"Ò«uSGw|~}ufÑ~ }Ì | Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wyz€Íº| ‚ÄwyxCzÁzU£Cuf{ ×CÑ zwyxu\w  zÚ×C†yÌ\® |~ÍEzÚ| \‚ X z€Gwy| ÌS‚>ˆC‡ P

P

>0

P

def

⊥

>0

P

æ y{bw) W w vy q

t

z.{:y

vx

"x M vw

Í

Kyz Œz.y K

µ

èƒC†y‚C| ‚CÈwyÌ uS}y}zL†wy| ÌS‚vìÃÛµíG„C}ƒuœUz| w*wyÌ }yu­Óùwyxu\w"| wn|~}*z€}y}zL‚awy|~ufÑ Ñ Ó uUÌS‚}z'^aƒCzL‚Uz ÌfÒ©wyxCz ¥ ©  G¡ ¡”  ž z Á°{n§ ~ú ©  G¡ ¡”  mbn>mGº   n šÃ¿ D F~I"ZÈãUF Å R WÉ\FPÀ€F~IL¼\DZ\OdÉ A Z\OÄZ\XW »  Cª ? ødT R R WÉ\FPÀ€F~IL¼\WD b'½ÃMCRUO ¿U¼\DùZ\TPT λ > 0 . Neg(D + λA) ⊂ Neg(D) ènxCz‚C|~UzÒ«uSGwnufÛµÌSƒEw'wyxCz{[uf| ‚œÑ zL{ {[uÈ|~}/wyxu\wn| wnuSÍE{ | wN}*uÁ×CÑ z€uS}yuf‚aw'zLÑ zL{ zL‚awNuf†yÓ ×C†yÌ ÌfÒr„  xC|~Nxï}xCÌ  }nzU£CuSGwyÑ ÓœxCÌ  ‡duf†y|~} = |JÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚}*ÛµzLxu­®Sz  xCzL‚>u ÍE| ® |~}ÌS† { Ì\®Sz€}*| ‚>uf{ ×CÑ zÁÍE| †yz€Gwy| ÌS‚}L‡ CQSRU½YKNMv¼rA ¿ ¢*Dy¼€¼r¿ n j‘zUw D = P + P a N ÛµzùwyxCCz ‡duf†y|~} = |^ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚vÌfÒ D ‡ ?zÈ}xCÌ F  HdMCRUDyR F~I Z2DyRNZ\TOBEX[ãNRUD Z\Odɖ½ÃMCRUDyR™Z\DyR”ÉSRNKUDyRNZ­IGFPO Å;!Z ͖OdRUWYT FPOdRNZ\D (∗) ¿NBEOdKU½¾F«¼\OCI f ¼\O R IGBKNM>½ÃMCλZ\½J¿U>¼\D 00 6 λ 6 λ ½ÃMCR 6^Z\DGF~IyQ\FnÉSRNKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O–¼r¿ F~IÅfFPÀ\RUO Z­I D + λA r i=1

i

i

0

i

0

D + λA =

P + λA +

r X

(ai − fi (λ))Ni

!

+

r X

fi (λ)Ni ,

\Z OdÉ IGBKNMï½ÃMCZ\½ λ F~IùZǀRUDy¼º¼r¿ù¼\OdRù¼r¿Á½ÃMCR'¿NBEOdKU½¾F«¼\OCI f œ ‡/èƒC†y‚C| ‚Cwy̏wyxCzn×C†yÌ ÌfÒ DC†yÌS{ wyxC|~}/}rwNu\wyzL{ zL‚aw/ÌSƒC†^Ñ zL{ {[uÒÃÌSÑ Ñ Ì }©Û ÓÈ| ‚ÍEƒGwy| ÌS‚ ÌS‚ ÌfÒ (∗) „EÑ zUwƒ}nÒÃÌS†"†yz€ufÑd‚ ƒC{ùÛµzL†N} x , . . . , x UÌS‚}|~ÍEzL†nwyxCzÈÍE| r® |~}ÌS† i=1

i=1

0

i

1

r

P 0 =def P + λA +

r X

(ai − xi )Ni .

P ènxC  z ‡duf†y|~}= |"ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚)ÌfÒ |~} | ÒÁuf‚Í2ÌS‚CÑ Ó–| ҏwyxCz xN ÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}"uf†yzÁ}yu\wy|~}Žz€DÍ F + λA P + 쫈aí ÒÃÌS† i = 1, . . . , r „ 06x 6a ìÃÕ í ÒÃÌS† i = 1, . . . , r „ P ·N =0 쾊Sí |~}n‚CzUÒr‡ P Ù} |~} uf{ ×CÑ zS„*UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ 쾊SíÁÒÃÌSÑ Ñ Ì }ÈÒÆyÌS{æ쫈aíùuf‚Í ìÃÕ íG‡)Ð'ÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ ìÃÕ í |~}Á'z ^aPƒC|+®\ufλA Ñ zL‚awÁwyÌvu>}ÓE}rwyzL{ ÌfÒnÑ | ‚Cz€uf†È'z ^aƒu\wy|  ÌS‚}Ú| ‚wyxCzœ| ‚ÍEzUwyzL†y{ | ‚u\wyz€} x „  xCÌa}z UÌ Kz uœU| zL‚aw[{[u\wy†y| £–|~} rƒ}rw[wyxCz>| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚2{[u\wy†y| £ ‡;Ù} |~} | ‚ ®SzL†wy| ÛCÑ zS„wyxCzL†yzº|~}ùUzL†wNuf| ‚CÑ Ó?‚CÌ?×C†yÌSÛCÑ zL{| ‚–}ÌSÑ ® | ‚CïS ÒÃÌS=†ÈwyxCz (Nx „^· ÛCNƒEwù) wyxCz  SxCÌSÑ z ×µÌS| ‚aw[|~}  xCzUwyxCzL† wyxCz>}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚} x }yu\wy|~}rÒÃÓ;쫈aíG„'|¾‡ zS‡ „  xCzUwyxCzL† x 6 a ÒÃÌS†œufÑ Ñ i ‡ j‘ƒW = | Ñ ÓS„ wyxC|~}"|~}"u[UÌS‚}' z ^aƒCzL‚UzÌfÒ©wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C }rwNu\wyzL{ zL‚a'w F 9RU½ ãNR ZœOdRîÅaZ\½¾FPÀ\R[ÉSÎR OFP½YR r × r WYX[Z\½¾DGF +>¼\À\RUDȽÃMCRùDyRNZ\T IÈIGBKNM>½ÃMCZ\½ (∗∗) S = (s ) HdMCRUO™Z\TPT^RUO½¾DGF«RGIȼr¿Á½ÃMCRÈFPOÀ\RUDNILRÈX[Z\½¾DGF + S Z\DyR 6 0 œ U ¿ \ ¼ D s >0 i 6= j œ i=1

i

0

0

r i=1

i

i

i

i

0

i

def

i

j

i

i

ij

ij

i

i

−1

°)ˆ

r z.y‹Ž{ 

D©| ‚ufÑ Ñ ÓS„wyxCzœ×C†yÌ ÌfÒnÌfÒ |~}ùuï‚C|~UzœzU£EzL†NU|~}z | ‚™Ñ | ‚Cz€uf†ùufÑ SzLÛC†NuC‡?ì«èÌvÛµzœxCÌS‚Cz€}rw€„ wyxCzvuf†ySƒC{ zL‚aw wyxu\w  (∗∗) zïÒÃÌSƒC‚Í2|~}œ}Ñ | SxawyÑ Ó™wy†y|~W= ÓS‡;Y‚ LuS}z>ÌfÒÁÍEÌSƒCÛEwº}zLz¬z Á°{n§/„ j‘zL{ {[uÕ‡ Ë ~ ‡ í „Ìfwyznwyxu\w/wyxCz"×C†yÌ ÌfÒµÌfÒµwyxCz"{[uf| ‚ Ñ zL{ {[uÚ| ‚Ò«uSGw'}xCÌ }^zU£CuSGwyÑ ÓÈxCÌ wyxCz‡duf†y|~}= | ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚2ÌfÒ D + λA ®\uf†y| z€}[uS}œu?ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ ÌfÒ λ F?ènxCzvUÌ zKuœ U| zL‚awN} ÌfҏwyxCz ‚CzLau\wy| ®Sz ×uf†w N uf†yz[ÍEz€U†yz€uS}| ‚Cïu u[‚CzU‰îÑ | ‚Cz€uf†ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}ÈÌfÒ λ „^uf‚Í uS}Á}Ì ÌS‚ uS}ÚÌS‚CzÌfÒ*wyxCz€}zÒÃC‚Gwy| ÌS‚}چyz€uSNxCz€}éLzL†yÌ„dwyxCzœUÌS{ ×µÌS‚CzL‚awÁ| | ‚ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ ÍE|~}yuf×C×µz€uf†N} ÒÆyÌS{ØwyxCzÁ‚CzLau\wy| ®SzÚ×uf†w€‡ j‘zUw*ƒ}*UÌS‚UÑ ƒÍEz"wyxC|~}*}z€Gwy| ÌS‚[Û Ó ÛC†y| K z •Ó UÌS{ { zL‚awy| ‚CÈÌS‚œ×uf†wN}ìÃ| |Píuf‚ÍvìÃ| | |PíÌfÒdwyxCz wyxCzLÌS†yzL{ï%‡ DCÌS†ÈìÃ| | |Pí  zÁ}xCÌ  | ¬ ‚ z Á°{n§ ~ wyxu\w"ÒÃÌS†"zL®SzL†yӜ†Nu\wy| ÌS‚ufÑJÍE| ® |~}ÌS†UÑ~uS}y} D | ‚ wyxCzÈ| ‚awyzL†y| ÌS†"ÌfÒu[Nxuf{ùÛµzL†"wyxCzù}rwNufÛCÑ zÁÛuS}zÁÑ ÌEUƒ} SB(D) |~}S| ®SzL‚ïÛ ÓœwyxCzù}ƒC×C×µÌS†w ÌfÒJwyxCz‚CzLau\wy| ®Sz×uf†w N ÌfÒJwyxCJz ‡duf†y|~} = |µÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚‘„ uf‚Í wyxu\w*wyxCz}rwNufÛCÑ zÛuS}z Ñ ÌEUƒ}/ufS†yzLz€} | wyxùwyxCz"}rwNufÛC| Ñ | éLz€ÍùÛuS}z*Ñ ÌEUƒ} ‡/ènxCznz€}y}zL‚awy|~ufÑ ×µÌS| ‚aw^ÒÃÌS†"ìÃ| |Pí©|~} wyxu\wnwyxCzڐS†yÌ   wyxœÌfÒ h (X, kD) |~}"ÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€BÍœÛ (D) Ó wyxCzÚ×µÌa}| wy| ®Sz×uf†w"| ‚œwyxCz ‡duf†y|~} = | ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ÄÌfÒ D ‡ D+λA

D

+

0

‘ v¡¬½ †   • e ¦ — ½'¦µª ¥ ž› † ¦ e]— ¨[½;¦bžnž¾l ¿½ †   ¥   Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†ÁwyxCzÄÛCÑ Ì  ‰îƒC× X → P ÌfÒ"wyxCzº×C†yÌrz€Gwy| ®Sz[×CÑ~uf‚Czº| ‚™w  Ìv×µÌS| ‚awN}L‡™ð‚ wyxCzL†yzuf†yzvzU£CuSGwyÑ Ó–wyxC†yzLz| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z?UƒC†y®Sz€} | wyx$‚CzLau\wy| ®Sz?}zLÑ ÒP‰î| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚MF X wyxCz[zU£CUzL×Ewy| ÌS‚ufÑ'ÍE| ® |~}ÌS†N} E uf‚Í E „^uf‚ÍvwyxCzœ×C †yÌS×µzL†Úwy†Nuf‚}rÒÃÌS†y{ E ÌfÒ*wyxCzœÑ | ‚Cz wyxC†yÌSƒCSx™wyxCzºw  Ì?ÛCÑ Ì  ‚E‰îƒCה׵ÌS| ‚awN}L„  xCÌa}zÄUÑ~uS}y}ù|~} L − E − E ‡”ènxCz€}zœwyxC†yzLz UƒC†y®Sz€}*SzL‚CzL†Nu\wyzwyxCzÁUÑ Ìa}ƒC†yzÚÌfÒwyxCzÁÛC| œUÌS‚CzS‡ D©| SƒC†yzÈˏ}xCÌ }'uùU†yÌa}y}r‰Y}z€Gwy| ÌS‚ ÌfґwyxCzì«UÑ Ìa}ƒC†yzÌfÒJwyxCz­íÛC| UÌS‚CzS‡/ènxCz‚CzUÒ©UÌS‚Cz xuS} ®SzÒ«uSUz€}*wyx u\wUÌS‚awNuf| ‚ÄÛC| [ÍE| ® |~}ÌS†N}L„ Ñ z€uSÍE| ‚CwylÌ ®SzÁNxuf{ùÛµzL†N,} F } rƒ}rw'wyxCzÚuf{ ×CÑ zUÌS‚Cz­íG„ Ÿ wyxCzNxuf{ùÛµzL† Σ ÌfÒuf‚ºuf{ ×CÑ zUÑ~uS}y} A ì«}ÌÈwyxu\w Σ |~M N   x f u ù { µ Û L z N † } S u y }  } E Ì U  ~ | \ u y w € z

Í y w

Ì E Í | ® ~ |  } S Ì N † } ÌS‚œwyxCzÚÛµÌSƒC‚Í ‰ Ÿ uf†yÓ[ÌfÒ©wyxCzÁΣ‚CzUÒ/,UΣÌS‚CzÁ,uSΣ}n| ‚ÍE|~Lu\wyz€Íº| \‚ D©| SƒC†yz ËS„ Q , Q , Q Ÿ wyxCzÈNxuf{ùÛµzL† Σ ‡ „ÌfwyzÁwyxu\wêÄ| ‚vuSLUÌS†NÍCuf‚Uz | wyx–ì Ï í*êœwyxCzÍE| { zL‚}| ÌS‚>ÌfÒu Ò«uSUzùuf‚ÍÄwyxCzù‚ ƒC{ùÛµzL† ÌfÒ©wyxCzÈUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C‚ ƒCÑ ÑUƒC †y®Sz€}nuSÍCÍăC×ÄwyÌ wyxCzÈÍE| { zL‚}| ÌS‚ïÌfÒwyxCzùNxuf{ùÛµzL†€„E|¾‡ zS‡ „ wyxCzÁñ|~Luf†Nͺ‚ ƒC{ùÛµzL†"ÌfÒ X F ÍE| ® |~}ÌS†ÖÍE| { zL‚}| ÌS‚ÄÌfÒ©Ò«uSUz-‚ ƒCÑ ÑUƒC†y®Sz€} ‚ n

® Ÿ

2

1

2

3

1

A

Q1

A

Q2

Q3

1

L

A Qi L

2

3 2 1

0 1 2

2

3

æ y{bw) W w vy q

t

z.{:y

vx

"x M vw

°‡

Kyz Œz.y K

E3

ΣQ3 Q3 ΣA Q1

Q2

ΣQ1

L

ΣQ2

ΣL E1

E2

Kg× ´ÐvÙ Ø Õ Î î+è!í>ïè ( l èCîgí>êïkè!ò ìï èHG¯é  ï &!) Î ì  féè éè  ¯ $è!ò2ÜG
éìG&!%c Õ Σ þ Σ þ Σ þ Σ þ Σ A

Q1

Q2

Q3

L

t>ÌS†yz| ‚EÒÃÌS†y{[u\wy| ÌS‚ÄufÛµÌSƒEw"wyxCzڐSzL‚CzL†NufÑJ}| wyƒu\wy| ÌS‚ÄÌS‚ïÍEzLÑJñ^zLéLéLÌ[}ƒC†Ò«uSUz€}L„EuS}  zLÑ Ñ uS}nÌS‚Œ!Áˆ }ƒC†Ò«uSUz€}L„ELuf‚ïÛµzÚÒÃÌSƒC‚ͺ| ‚ƒX z€Gwy| ÌS‚}"ˆC‡ ËÁuf‚ÍïˆC‡ Ï ÌfÒ´z Á°{n§ ~ ‡ €  Gž¯a  Ÿ(  ¥ ¡    ÎÏ 1 " Ò Ó/Õ^Ö´å&ÐvØÙ.ф؇Õ2M7ývÙÜbÝ+Ô(å·ÞÓ/Մ,YXØäEþGØÙÃæ  &  SU‹éìG&!%c Wþè ê%/ Wþ &!G° ¯ &! fG&! f è(é)þ è/&!ïïC&B Î T:% Ð + Ò å$Õ+Ó× Ý2Ñq-Õ:å[åX!å‹ÙBÚ æ(Ø<ã ҄Ñ+â¬Õl£ â ÐvÚÛå „å  Ñ+â¬ÕgVsåe‹å‹ägå)ÔbØ Þ â¬Õ+ßÜåƒæ /$ ¯'%/ï è!  é
 &  &!( è!ò^G&! f è(é) þv9ÑCÒÿø‰Õ´MkHå *gå‹ägåÛ„å Ñ2M‰Õbâ¿åÛvBÚ ÐYÒGå"Þ M‰Õbâ¿åÛvBÚ ÐYeb×æ ûW(  èêé  è/ èM ì$%/ í  %&!4%/è‹ï è l % þY/$ &! ésè%/ ' þ " G&!) þ4C) >
è  &!G.þ/$%/ ¯ &!l % þC) >Ñ þGï >)Cæ  Î %b&!ëÒ -Y Õ å[å X!å‹ÙBÚ æ(Ø<ã Ò/A æ \4è    W'k 0/$ &! é
#
è%/ .' þè()è Us /ï ïG&&  è Î '´& UÒ â¬Õ Vså e‹å‹äg)å ÔbØMæ " &! G&! $ è(éGè!ò‹  C&l   W þùƒ.!÷yú+ø fôôvø ;vûý‰þ>!ÿþ è
×þGï >)Ñæ >×(Ñ Î '´& U)Ò þ Ï &! · è(écè!ò  C&ƒ    & ¿ê%/  éC&!  '   %/ C.  þH.!ô ø f,ö Cøbùƒ.!÷yú´ ø 4&B8&ø ;+i+i"þ>!)ÿ þGè
þGï +k)k(
æ k!Ãþ2 é  è éÿ

°p

Î  &CÒ



r z.y‹Ž{

á°` Õ ^å‹Ù× BÚ eb×gæ Î ì‰ ìè! %Ôè!òcý$ %&!íÎý$è(éì¿òyè!°ì ì %cê  ï  /è!òs&! q°vé  ¼  è!èÅ&! &! &! é¼ êò2&!é'þfôôvø_ ùƒ.!÷yúø`  ¿ú#=Ìþ¯Cÿþ ï&k!CæH k

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀVÅVBl È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

æè؃ÛCÞ'å|Þ×

í‰ä ã Ø\ÞÚ

í|Ü Ø\ÝJŒÚè؃à

Ú0݉Ü:å|â¨p

–

æè؃ÛCÞ'å|âCÚCä

׃ó(mŒõúö)"eù~ø$



í Ð / Î  f#³ # ) ×þ„T Î   í  (  ê%lþ4çl$í÷>  Ù   éìþ " î  ë  &!G )+*-,/.!02143(I:A?)(;(6FBC59?!8l<W:?!8"!D<78

KML!NO-PQR!OS T ¾ Ê ÉKË ¾ŽÍ ÏmÊ Ó a Ï ¾ ÏWY ¾%Í Ï Ì V ] ÏWV Ìξ´_` WÏ Y $¾ Zf_ ÏmÊ Ë'Ê ] Ñ a \ _ _ Ë ¾ŽÌla€}¾ \ ¿c_`v] Y Wa ÌWa] Ï ¾ŽÌ Ê Í ÏmÊ ]iÕ'À

>_ V ÃÇÍg_`4Ä ™ Zf_ ÏmÊ Ë

ÊÍ Ó Ì

¾ŽÍe¿Ç¾S} É ¾Ž¿

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ Y‚ºwyxC|~}"‚CÌfwyz  zچyzL® | z  wyxCzÁ{[uf| ‚Ćyz€}ƒCÑ wN}nÌfÒ´z Á  aŸ b‚ ~ uf‚ÍUz Á  aŸ  º ~ ‡ j‘zUw ÛµzÄuˆzLÑ~͙ÌfÒNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ Œvuf‚Í Ñ zUw k Ûµzº| wN}ùufÑ SzLÛC†Nuf|~ UÑ Ìa}ƒC†yzS‡\j‘zUw k µ Û > z  u © è uf‚C‚u= |~uf‚–Lu\wyzLSÌS†yÓÌ\®SzL† ‡2ènxCzºwyzL‚}ÌS† ×C†yÌEÍEƒGw ÌfÒ ufÑ Ñ Ì }ùƒ}wyÌ T ÍEzK‚CzÈwyxCzù‚CÌfwy| ÌS‚vÌfÒ%’ÌS×EÒ'ufÑ SzLÛC†NuS}"k| ‚>wyxCzLu\wyzLSÌS†yÓ IndT ÌfҁY‚TÍ ‰îÌSÛ rz€G wN}ÌfÒ T ‡ ènxCzLu\wyzLSÌS†yÓÁÌfґuu[‚Cz"S†yÌSƒC× T ‰Y}yNxCzL{ z€}/|~}^wyxCzÌS×C×µÌa}| wyz"ÌfÒdwyxCzLu\wyzLSÌS†yÓÈÌf Ò ’ÌS×EÒ ufÑ SzLÛC†NuS}'| ‚ IndT ‡ ènxCz[¿NBEOdÉSZ\X[RUO½YZ\TÅfDy¼\B€ø ¼r¿ |~}wyxCz>u u[‚CzïS†yÌSƒC× ‰Y}yNxCzL{ z x CÌa}Hz ’ÌS×EÒufÑ SzLÛC†Nu Λ |~}ÈzL‚π(T ÍEÌ  )z€ÍÒÃÌST†ùz€uSNx ÌSÛ rz€Gw X ÌfÒ T T | wyx–u>{ ÌS†ySp(Λ), ×CxC|~}{ Ã Ò C ƒ  ‚ G  y w S Ì y † ~ | f u n Ñ | ‚  „ f u  ‚ ” Í ~ |  } C ƒ C ‚ | S ® L z N † y } f u ' Ñ Ã Ò S Ì ù † y w C x € z  } Ä z C × y † S Ì µ × L z  † y w | € z L } ™ ‡ ènxCÌa}z X −→ Λ ⊗ X { ÌS†y×CxC|~}{[} {X −→ Λ ⊗ X} X ÍEKz ‚Cz–Z\O$ZSKU½¾F«¼\O ¼r¿Ä½ÃMCRÈ¿NBEOdÉSZ\X[RUO½YZ\T'ÅfDy¼\B€ø ¼\O$RNZSKNM)¼S-ã ÈLRNKU½¼r¿ T œ DCÌS†z€uSN‰ x ÛC†yzºÒÃC‚GwyÌS† ω ÌfÒ T Ì\®SzL†u k‰Y}yNxCzL{ z π(T ) mbn

X∈T

¹ a XJÄl WÏ Y

ÂÔÕÕWÖÇÀ

°!¢

r

^xwh

z.{»

„ |~}wyxCzùu u[‚CzȐS†yÌSƒC× ‰Y}yNxCzL{ z xC|~Nxv†yzL×C†yz€}zL‚awN}*wyxCzÈÒÃC‚GwyÌS† (ω)  x C|~Nx[uS}y}ÌEU|~u\wyz€}©wyÌÁz€uSNx S ‰Y}yNxCSzL{ z T „ u :Aut f „ y w C x zS†yÌSƒC×ÌfÒJufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} T −→ S ÌfÒ ⊗‰¾ÒÃC‚GwyÌS†N}*ÌfÒwyxCzÚÒÃC‚GwyÌS† u ω. îÒ |~}nuè©uf‚C‚u = |~uf‚œLu\wyzLSÌS†yӐSzL‚CzL†Nu\wyz€Í[Û Ó { Ìfwy| ®Sz€}nÍEzK‚Cz€ÍœÌ\®SzL† ìÃ| ‚Äuf‚ uf×C×C†yÌST×C†y(k) |~u\wyz"Lu\wyzLSÌS†yÓÁÌfÒJ{ | £Ez€Í†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚}NíG„\wyxCz"ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑCS†yÌSƒC× π(Tk (k)) |~} LufÑ Ñ z€ÍïwyxCzºX[¼\½¾FPÀ€F«ŒK Z\T ¼\F~IÈÅfDy¼\B€ø G (T (k)) ¼r¿ T (k) uf‚ÍïÒÃÌS†z€uSNxvzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C „ wyxC_z ÛC†yzÒÃC‚GwyÌS† ω €’ÌEÍESz†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌSZ‚ ‚"ÒÃC†y‚C|~}xCz€}'wyxCz Q ‰YufÑ SzLÛC†Nuf|~ σ : k −→ C S†yÌSƒC× ⊗ S

S ωπ(T )

∗

mot



σ


ωσ Gmot (T ) = Spec ωσ (Λ) = Aut⊗ Q (ωσ )

xC|~NxÄ|~}nwyxCz¨ù¼€ÉLÅaRÈDyRNZ\T F ǀZ\½¾F«¼\O™¼r¿Á½ÃMCRÈX[¼\½¾FPÀ€F«KCZ\T ¼\F~IÚÅfDy¼\B€ø”¼r¿ ŠA‹

«‹•ŒgÊ-’¬–b˜ – n

T (k) œ

ËS‡"ènxCzœ{[uf| ‚ wyxCzLÌS†yzL{ÌS‚™‚CzLƒEwy†NufÑ*è©uf‚C‚u= |~uf‚™Lu\wyzLSÌS†y| z€}Á}yu­ÓE}wyxu\wùwyxCzºè©uf‚E‰ ÌfÒ‚C| wyzÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ ‰î®Sz€GwyÌS†/}×uSUz€}^|~}/z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw ‚u = |~uf‚ Lu\wyzLSÌS†yÓ wyÌwyxCzLu\wyzLSÌS†yӏÌfVec(k) Ò‚C| wyzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ k‰î†yzL×C†yz€}zLk‚awNu\wy| ÌS‚}‘ÌfÒ Spec (k) ‡©Y‚ùwyxC|~} LuS}zS„Ju u[‚CzS†yÌSƒC× T ‰Y}yNxCzL{ z€}uf†yzu u[‚CzS†yÌSƒC× k‰Y}yNxCzL{ z€}uf‚Í π(Vec(k)) |~} Spec (k) ‡ Ï A‡ j‘zUw T = Rep (G) ÛµzvwyxCzè©uf‚C‚u = |~uf‚ Lu\wyzLSÌS†yӔÌfÒ k‰î†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚} ÌfÒ uf‚™u u[‚CzœS†yÌSƒC× ‰Y}yNxCzL{ z ‡>ènxCzºu u[‚CzœS†yÌSƒC× ‰Y}yNxCzL{ z€}Áuf†yzœu u[‚Cz ‰ }yNxCzL{ z€}"zL‚ÍEÌ  z€Í k  | wyxvuf‚vGuSGwy| ÌS‚ïÌfÒ G uf‚ÍÄwyxCzÁÒÃCT‚ÍCuf{ zL‚awNufѐS†yÌSƒC× π(Tk) ÌfÒ T |~} G zL‚ÍEÌ  z€Í  | wyxÄ| wN}"uSGwy| ÌS‚ºÌS‚º| wN}zLÑ Ò^Û Ó[| ‚C‚CzL†ufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}ì«}zLz z    †W¶ |G~ ÜC‡ ˆaíG‡ ˆCA‡ j‘zUw T (k) Ûµz[wyxCz)HZ\OOdZ€Q\F«Z\O KNZ\½YRîÅa¼\D ¼r¿áDG½¾FPO–X[¼\½¾FPÀ\RGIļ\À\RUD k „©|¾‡ zS‡ „wyxCz è©uf‚C‚u = |~uf‚Ä}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†yÓÌfÒ©wyxCzÁè©uf‚C‚u = |~uf‚ÄLu\wyzLSÌS†yÓ ÌfÒ©{ | £Ez€ÍĆyz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚} ÒÃÌS†ºufÛ}ÌSÑ ƒEwyƒz ’ÌEÍESz?UÓEUÑ z€}vì«}zLz z ¾‘  ¥ |  ~  Ï ‡ Ë­íSzL‚CzL†Nu\wyz€Í2Û Ó–×CƒC†yzv†yz€ufÑ ‰ | é€u\wy| ÌS‚}ÄÌfÒ[Œ\‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑÚ®\uf†y| zUwy| z€}ÄÌ\®SzL† k ‡ ènxCz { Ìfwy| ® |~™ÚufÑ ÌS|~}ïS†yÌSƒC× ÌfÒ |~}wyxCzvu u[‚CzïS†yÌSƒC× ‰Y}yNxCzL{ z zL‚ÍEÌ  z€Í G (T (k)) | wyxÁ| wN}‘uSGwy| ÌS‚ÚÌS‚ÚT| wN(k) }zLÑ ÒEÛ Ó| ‚C‚CzL†ufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~Q}{[}LM‡ -zL‚CÌfwyGal(k/k) z| wÛ Ó G A L (k/k) ‡ Y‚ ×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„JÒÃÌS†Èuf‚ ƒÓ ÛC†yzÒÃC‚GwyÌS† ω Ì\®SzL† Spec (Q) ÌfÒ T (k), wyxCzœu u[‚Cz S†yÌSƒC×Ä}yNxCzL{ z ω(G A L (k/k)) = Aut |~}Luf‚CÌS‚C|~LufÑ Ñ Ó[|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ (ω) wyÌ ‡ Õ‡"ènxCGal(k/k) zÁ{ Ìfwy| ® |~ȍÚufÑ ÌS|~}nS†yÌSƒC× G (Z(0)) ÌfÒ©wyxCzȃC‚C| wÌSÛ rz€Gw Z(0) ÌfÒ T (k) |~} wyxCzÚu u[‚CzS†yÌSƒC× hZ(0)i ‰Y}yNxCzL{ z Sp(Z(0)) %‡ DCÌS†*z€uSNx ÛC†yzÒÃC‚GwyÌS0† €’ÌEÍESz †yz€ufÑ | é€u\wy| ÌSZ‚ ‚ ω „  zùxu­®Sz ω G (Z(0))
:= Spec ω (Z(0))
= Spec(Q) „ xC|~NxÄ|~}nwyxCzÈt>ƒC{ÒÃÌS†NÍ ‰Yè©u\wyzS†yÌSƒC×ÄÌfÒ ‡ ŠEA‡ j‘zUw hZ(1)i ÛµzÄwyxCzïè©uf‚C‚u = |~uf‚–Lu\wyzLSTÌS†yÓ (Z(0)) Ì\®SzL† Q ÍEKz ‚Cz€Í–Û Ó wyxCz k‰¾wyÌS†yƒ} ‡/ènxCz{ Ìfwy| ® |~ÚufÑ ÌS|~}/S†yÌSƒC× ÌfÒJwyxCzwyÌS†yƒ} |~}wyxCzu u[‚Cz Z(1) S†yÌSƒC× hZ(1)i ‰Y}yNxCzL{ z G ÍEKz ‚Cz€GÍùÛ ÓÚ(Z(1)) wyxCz Q ‰Y}yNxCzL{ z G Z(1) ‡ DCÌS†^z€uSNJx ÛC†yz  k

0

mot

0

0

0

⊗ Spec (Q)

mot

⊗

σ

σ

0

mot

σ

σ

⊗

⊗

mot

m

m/Q

q

‹w Œ^w) %1 y4x ^w)1 { ^Ž;8.:y t$#%yq

‹w Œ . °

¸

ÒÃC‚GwyÌS† €’ÌEÍESzÁ†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌSZ‚ ‚ „  zÁxu­®Szwyxu\w ω G
= G „  xC|~Nx>|~} yw xCzÈt>ƒC{ÒÃÌS†NÍ ‰Yè©u\wyzڐS†yÌSƒC׺ÌfÒ ωT (Z(1)) ‡ ÜC‡nîÒ k |~}ÚufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ ÓïUÑ Ìa}z€ÍJ„JwyxCz { Ìfwy| ® |~ ÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒC×?ÌfÒ'{ Ìfwy| ®Sz€}ÌfÒÐ*tï‰ wrÓ ×µzÚÌ\®SzL† |~}*wyxCzX zL†y†yzڐS†yÌSƒC×ì«GÒr‡Mz » ª † | º ~ Õ‡ ò íG‡ ‹ ‡"ènxCzïHZ\OOdkZ€Q\F«Z\OvKNZ\½YRîÅa¼\D  T (k) ¼r¿ I\WYX[¼\½¾FPÀ\RGIÚ¼\À\RUD k |~}/wyxCzè©uf‚C‚u = |~uf‚[}ƒCÛE‰ Lu\wyzLSÌS†yÓ?ÌfÒwyxCzïè©uf‚C‚u = |~uf‚”Lu\wyzLSÌS†yÓÌfÒ{ | £Ez€Í™†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚}ºìPÒÃÌS† ufÛ}ÌSÑ ƒEwyz ’ÌEÍESznUÓEUÑ z€}NíSzL‚CzL†Nu\wyz€ÍÁÛ ÓÈ{ | £Ez€Íù†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚}ÌfÒ©ËU‰î{ Ìfwy| ®Sz€}Ì\®SzL† ‡^Ý"z€LufÑ Ñ k wyxu\wuÄËU‰î{ Ìfwy| ®Sz M = [X −→G] Ì\®SzL† k UÌS‚}|~}rwN}*ÌfÒ Ÿ uĐS†yÌSƒC×?}yNxCzL{ z X Ì\®SzL† k „  xC|~Nx|~}Ñ ÌELufÑ Ñ ÓïÒÃÌS†wyxCz[ÔUwNufÑ zùwyÌS×µÌSÑ ÌSSÓS„ u™UÌS‚}rwNuf‚aw[S†yÌSƒC×)}yNxCzL{ zvÍEKz ‚Cz€Í2Û Ó28u ‚C| wyzLÑ Ó2SzL‚CzL†Nu\wyz€Í”ÒÆyzLz Z‰ { ÌEÍEƒCÑ zS„ z ‚Cz€Í–Ì\®SzL† „'|¾‡ zS‡ „*uf‚2zU£ wyzL‚awy| ÌS‚–ÌfÒÚuf‚ Ÿ u }zL{ | ‰YufÛµzLÑ |~uf‚”®\uf†y| zUwrÓ G ÍEK ufÛµzLÑ |~uf‚Ä®\uf†y| zUwrÓ A Û ÓºuùwyÌS†yƒ} Y (1),  xC|~NkxïUÌENxuf†NuSGwyzL†*S†yÌSƒC× Y „ u{ ÌS†y×CxC|~}{ ÌfÒ^S†yÌSƒC×Ä}yNxCzL{ z€}nÌ\®SzL† ‡ ËUŸ‰î{ Ìfwy| ®Sz€} uf†yzº{ u| £E:z€X͖{ −→ Ìfwy| ®SGz€}ÌfÒÑ zL®SzLÑ 6 1 FºwyxCz  zL|kSxaw Ñ wy†Nu\wy| ÌS‚ W ÌS‚ M |~} W (M ) = M ÒÃÌS†Áz€uSNx i > 0 „ W (M ) = G „ W (M ) = Y (1) „ ÒÃÌS†©z€uSNx j 6 −3. îÒ Gr = W /W ,  z'xu­®Sz/wyxCiz ^aƒCÌfwy| zL‚awN} W (M ) = 0 uf‚Í Gr (M ) = Y (1). ?z  | Ñ Ñ^ÍEzL‚CÌfwyzÈÛ Ó Gr (M ) = X, Gr (M ) = A à ì y † € z  } ‘ × ‡ * „ ‡ ‡ ‡ í2wyxCzœè©uf‚C‚u = |~uf‚ }ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†yÓ>ÌfÒ W T (k) SzL‚CzL†Nu\wyz€Í?Û Ó ufÑ Ñ WGr MT ìÃ(k) †yz€}ב‡ Gr M „*‡ ‡ ‡ í  | wyx M u™ËU‰î{ Ìfwy| ®SzSH‡ T? (k) | wyx wyxC|~}"‚CÌfwNu\wy| ÌS‚  zÁLuf‚Äz€uS}| Ñ ÓºUÌS{ ×CƒEwyzwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C { Ìfwy| ® |~ÁÚufÑ ÌS|~}nS†yÌSƒC×} „ Ÿ G (Gr T (k)) = G A L (k/k) ‡ Ÿ G (Gr T (k)) = G A L (k/k) × G Ÿ G (Gr T (k)) = G (T (k)) = Sp(Z(0)) ‡ Ÿ G (Gr T (k)) = G σ

σ

m

m/Q

σ

1

u

∗

i

j W 0

−1

W −1

1

W n

W 0

1

mot mot mot

W 1 0 W −2 1 W 1 0 W −2 1

n

−2

n−1

W −2

1

W 0

−1

mot

−1

m

mot

0

m

¦ ž€ª  ª«¡¿ÄÄ  † ¦µª«ž¾l  ¦ŸŸ DCÌS†'z€uSNx[è©uf‚C‚u= |~uf‚œ}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†yÓ ÌfÒ „aÑ zUw H (T ) ÛµzwyxCz_=SzL†y‚CzLÑÌfÒdwyxCz Ò«uf| wyxEÒÃCÑ Ñ Ól•µu\wn{ ÌS†y×CxC|~}{ ÌfҐS†yÌSƒC× T ‰YT}yNxCzL{ Tz€} I : π(T UÌS†y†yz€}×µÌS‚Í ‰ | ‚CvwyÌ?wyxCzº| ‚UÑ ƒ}| ÌS‚”ÒÃC‚GwyÌS† i : T −→ T ‡ Y‚”×uf†wy)|~U−→ ƒCÑ~uf† iπ(T z ºxu­)®SzœwyxCzÄ}xCÌS†w zU£CuSGw}z'^aƒCzL‚UzÚÌfÒ^S†yÌSƒC× π(T )‰Y}yNxCzL{ z€} ›^n¼»

0

T

0

0

0

Y‚ z    †W¶ |G~ ÜC‡ ÜC„-0zLÑ−→ | S‚CzùH×C†yÌ\(T®Sz€}")wyx−→ u\wwyπ(T xCzè©)uf−→ ‚C‚u= iπ(T |~uf‚vLu\)wy−→ zLSÌS†y0.Ó T |~}z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw€„ uS}ùwyzL‚}ÌS†[Lu\wyzLSÌS†yÓS„©wyÌwyxCz>}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†yÓÌfÒ T SzL‚CzL†Nu\wyz€Í”Û Ó wyxCÌa}zÄÌSÛrz€GwN}ÌS‚ xC|~NxwyxCzœuSGwy| ÌS‚ÌfÒ | ‚ÍEƒUz€}Èuºwy†y| ® |~ufÑuSGwy| ÌS‚ÌfÒ ‡[Y‚ ×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ wy xC|~}º| { ×CÑ | z€}œwyxu\wÄwyxCzvπ(TÒÃC‚)ÍCuf{ zL‚awNufяS†yÌSƒC× π(T ) ÌfÒ TH |~(T }º|~}ÌS){ ÌS†y×CxC|~Äwy̔wyxCz S†yÌSƒC× T ‰Y}yNxCzL{ z π(T )/H (T ). ènxCzS†yÌSƒC× T ‰Y}yNxCzL{ z H (T ) Nxuf†NuSGwyzL†y| éLz€} T

0

0

0

0

T

0

0

T 0

T

0

°À

r

^xwh

z.{»

wyxCzÄè©uf‚C‚u= |~uf‚™}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†yÓ T ‡vY‚ Ò«uSGw  zœxu­®SzœuvUÑ z€uf†ÍE|~Gwy| ÌS‚uf†yÓ?ÛµzUw  zLzL‚ è©uf‚C‚u = |~uf‚º}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†y| z€}ÌfÒ uf‚͜‚CÌS†y{[ufÑduu[‚CzS†yÌSƒC׺}ƒCÛE‰ T ‰Y}yNxCzL{ z€}'ÌfґwyxCz ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufёS†yÌSƒC× π(T ) ÌfÒ TT F 
‘D’“‹”’• ¨D˜ – n HdMCRUDyRF~IãUF ÈLRNKU½¾F«¼\O”ãNRU½¾Â'RNRUO?½ÃMCR>HZ\OOdZ€Q\F«Z\OIGBãUWKNZ\½YRîÅa¼\DGF«RGI¼r¿ Z\OdÉ[½ÃMCRÈOd¼\DGX[Z\T©!Z ͖OdRÚÅfDy¼\B€øIGBãUW T WîILKNMCRUX[RGIù¼r¿ π(T ) b'©M F«KNM?Z­INIL¼€KUF«Z\½YRGI T W*½Y¼œRNZSKNM–HZ\OOdZ€Q\F«Z\OvIGBãUWKNZ\½YRîÅa¼\D  ¼r¿ b/½ÃMCRQSRUDGOdRUT ¼r¿Ú½ÃMCRÁX[¼\DGW øM F~IGXâ¼r¿ T WîILKNMCRUX[RGI I : π(T ) −→T iπ(TT ) KN¼\DGDyRGI¾ø¼\OdÉ\HFPO Å (T½Y¼))½ÃMCR FPOdKUT B IGF«¼\O i : T −→ T ; W^½Y¼ÈRNZSKNM[Od¼\DGX[Z\Tµ!Z ͖OdR*ÅfDy¼\B€øºIGBãUW WîILKNMCRUX[R ¼r¿ ) b½ÃMCR HZ\OOdZ€Q\F«Z\OœIGBãUW KNZ\½YRîÅa¼\D  T (H) ¼r¿¼S-ã ÈLRNKU½«I ¼r¿ T ¼\O ©TM F«KNM?½ÃMCR ZSHKU½¾F«¼\O”π(T ¼r¿ π(T ) FPOdÉ\BKNRGI Zœ½¾DGFPÀ€F«Z\T ZSKU½¾F«¼\O ¼r¿ H œ 0

0

0

T

0

0

‚ n–• ¾l v¡S C v¦bžM¡”¦ž€ª    ¦bž †      †

m

Y‚ÄÌS†NÍEzL†*wyÌ[}rwyƒÍEÓ[wyxCzÈLu\wyzLSÌS†yÓ ÌfÒ©{ Ìfwy| ®Sz€}*ÌfÒ^Ñ zL®SzLÑ „E| ł z Á  aŸ  º ~ z x u­®Szùuf×C×CÑ | z€ÍïwyxCz ufÛµÌ\®SzÁwyxCzLÌS†yzL{ wyTÌÄ}(k) ÌS{ z}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†y| z€}"ÌfÒ 6T 1(k) ‡ÁènxCz  zL| S xaw Ñ wy†Nu\wy| ÌS‚ ÌfÒËU‰î{ Ìfwy| ®Sz€}ù| ‚ÍEƒUz€}[uf‚2| ‚U†yz€uS}| ‚C8Ñ wy†Nu\wy| ÌS‚ ÌfÒڈ}rwyzL×} ÌS‚ wyxCz{ Ìfwy| ® |~WڍÚufÑ ÌS|~}'S†yÌSƒC× G (T (k))  xC|~Nx  zÍEz€}yU†y| ÛµzwyxC†yÌSWƒCSx[wyxCzÁuSGwy| ÌS‚œÌfÒ ÌS‚[wyxCzSzL‚CzL†Nu\wyÌS†N}/ÌfÒ T (k) : DCÌS†*z€uSNxvËU‰î{ Ìfwy| ®Sz M Ì\®SzL† k „  zxu­®Sz G (T (k)) wyxu\w 6

1

1

∗

∗

mot

mot

Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ

1

1

1

W0 (Gmot (T1 (k))) = Gmot (T1 (k)) W−1 (Gmot (T1 (k))) = {g ∈ Gmot (T1 (k)) | (g − id)M ⊆ W−1 (M ), (g − id)W−1 (M ) ⊆ W−2 (M ), (g − id)W−2 (M ) = 0}, W−2 (Gmot (T1 (k))) = {g ∈ Gmot (T1 (k)) | (g − id)M ⊆ W−2 (M ), (g − id)W−1 (M ) = 0}, W−3 (Gmot (T1 (k))) = 0.

"Ù LUÌS†NÍE| ‚C>wyÌ?wyxCzÄ{ Ìfwy| ® |~Äuf‚ufÑ ÌSSƒCzœÌf҇z Á Ÿ Ÿ ¶b‚ ~ _ Ï ‡ Ï „ (G (T (k))) |~} u[†yz€ÍEƒGwy| ®SzÁS†yÌSƒC×>}ƒCÛE‰ T (k)‰Y}yNxCzL{ zÁÌfÒ G (T (k)) uf‚Í Gr |~} wyxCzƒC‚C| ×µÌfwyzL‚awn†NuSÍE|~LufÑÌfÒ G (T (k)) ‡0;'uSNxœÌfґwyxCz€}zˆù}rwyzL×W} W(G(G (T(T(k))) ì i = 0, 1, 2íLuf‚ Ûµzœ†yz€UÌS‚}rwy†yƒGwyz€ÍuS}Á| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚ÌfÒnS†yÌSƒCי}ƒCÛE‰ T (k)‰Y}yNxC(k))) zL{ z€} ÌfÒ G (T (k)) uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍwyÌè©uf‚C‚u = |~uf‚™}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†y| z€}ÁÌfÒ T (k) wyxC†yÌSƒCSx wyxCz ÛC| rz€Gwy| ÌS‚ Ï ‡ Ë F 1

mot

mot

1

1

W 0

mot

1

−1

mot

1

−i

mot

1

1

mot

1

1

& ’•Å•¬«ñ²4˜ – n

ËS‡ χ

W−1 (Gmot (T1 (k))) = ∩i=−1,−2 HT1 (k) (GrW i T1 (k)), W−2 (Gmot (T1 (k))) = HT1 (k) (W−1 T1 (k)) = HT1 (k) (W0 /W−2 T1 (k)).

q

‹w Œ^w) %1 y4x ^w)1 { ^Ž;8.:y t$#%yq

‹w Œ .

Í °

ènxCzÚzU£E×CÑ |~U| wUÌS{ ×CƒEwNu\wy| ÌS‚ïÌfÒwyxCz€}zÁS†yÌSƒC×Ä}ƒCÛE‰ ‰Y}yNxCzL{ z€}n| ‚ ®SÌSÑ ®Sz€Íœ| ‚ÄwyxCz fu ÛµÌ\®Sz^Ñ zL{ {[u  | Ñ ÑS×C†yÌ\® |~ÍEz©ÒÃÌSƒC†‘zU£CuSGw}xCÌS†w‘}z'^aƒCzL‚UTz€}J(k) ÌfÒ S†yÌSƒC×Ú}ƒCÛE‰ T (k)‰Y}yNxCzL{ z€} ÌfÒ G (T (k)) F 
‘D’“‹”’•Ç²4˜W¨ n ] RMCZ\À\Rù½ÃMCR'¿U¼\TPT ¼\Â/FPO Å>É\F«ZLÅfDyZ\X ¼r¿ù!Z ͖OdRÅfDy¼\B€ø T (k) WîILKNMCRUX[RGI 1

1

mot

1

1

0 0 0

→ → →

Resk/k Gmot (T1 (k)) Resk/k HT

↑ 1 (k)

(hZ(1)i⊗ )

↑

W−1 Gmot (T1 (k))

↑

→

Gmot (T1 (k))

→

Gmot (T1 (k))

→

Gmot (T1 (k))

||

||

||

→

G A L (k/k)

→

G A L (k/k)×Gm

→

Gmot (GrW ∗ T1 (k))

↑

↑

↑

→

0

→

0

→

0

©MCRUDyRÈZ\TPTMC¼\DGF ǀ¼\O½YZ\TdIyMC¼\DG½/ILR
BRUOdKNRGIZ\DyRÈR>+ ZSKU½'Z\OdÉ©MCRUDyRÚ½ÃMCRÀ\RUDG½¾F«KNZ\TZ\DGDy¼\Â^IÁ¼\O ½ÃMCRÈT R«¿N½"Z\DyRÈFPOdKUT B IGF«¼\OCIùZ\OdÉ[½ÃMC¼­ILR ¼\Ov½ÃMCRÈDGF Å­M ½Z\DyRÁIGBE2D ÈLRNKU½¾F«¼\OCI œ 0

→

→

W−2 Gmot (T1 (k))

Gmot (T1 (k))

→

→

Gmot (W−1 T1 (k))

0

º[n–• ¾l v¡S C v¦bž  m — ¡”¦ž€ª   

‘zUw

ÛµzÈuïËU‰î{ Ìfwy| ®SzÈÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† ‡nènxCzÁ{ Ìfwy| ® |~ȍÚufÑ ÌS|~}"S†yÌSƒC× fÌ Ò |~}'wyxCzÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑdS†yÌSƒCלÌfÒwyxCzÚè©ufk‚C‚u= |~uf‚Ä}ƒCÛE‰YLu\wyzLSÌS†yÓ hM i ÌfÒ SzL‚CzL†Nu\wyz€ÍùÛ Ó „S|¾‡ zS‡ „fwyxCzuu[‚Cz"S†yÌSƒC× hM i ‰Y}yNxCzL{ z Sp(Λ) „  xCzL†yz Λ |~} wyxCz ÌS×EÒ©ufÑ SzLÛC†NuÈÌfÒ ƒC‚C| ®SzL†N}yufÑÒÃÌS†*wyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚Cù×C†yÌS×µzL†wrÓFÒÃÌS†nz€uSNxœÌSÛrz€Gw ÌfÒ wyxCzL†yzœ|~}Èuï{ ÌS†y×CxC|~}{ λ : X ⊗ X −→ Λ ÒÃC‚GwyÌS†y|~ufÑ| ‚ X ‡ÄènxCz { ÌS†y×CxC|~}{[} „ xC|~Nx>Luf‚ÄÛµzÁ†yz  †y| wwyzL‚ï| ‚ÄwyxCzÚÒÃÌS†y{ X −→ X ⊗ Λ „CÍEzK‚CzÈuf‚ uSGwy| ÌS‚>ÌfÒ^wyxCzȐS†yÌSƒC× ÌS‚>z€uSNxïÌSÛ rz€Gw ÌfÒ „duf‚Íï| ‚>×uf†wy|~UƒCÑ~uf†ÌS‚ | wN}zLÑ Òr‡ènxCzÁ{[uf| ‚Ćyz€}ƒCÑ wÌf
Ò z Á  aŸ b‚ ~ |~}nwyxu\w X hM i R 9^F«RùZ\T ÅaR€ãUDyZº¼r¿ 
‘D’“‹”’•¦¤+˜ – n HdMCRÁBEOF ø¼\½YRUO½DyZSÉ\F«KNZ\T W (Lie G (M )) ¼r¿½ÃMC ~ F Ú I à ½ C M  R L I U R  X P F  W S Z N ã U R T « F \ Z v O \ À \ Z G D « F U R m½ œÉSÎR OdRNÉ[K ã ½ÃMCRÈZSÉ ÈL¼\FPO½nZSKU½¾F«¼\O¼r¿½ÃMCR"ÅfDyZSÉSRNÉ G (M ) ¼\O?FP½«ILRUT ¿ œ Gr (W Lie G (M )) ènxCz[|~ÍEz€uïÌfÒ*wyxCzœ×C†yÌ ÌfÒn|~}ÈuS}ÚÒÃÌSÑ Ñ Ì ,} FJD©| †N}rwȆyz€LufÑ Ñ^wyxu\wuSLUÌS†NÍE| ‚CºwyÌ z    †¯® º ~ ìrˀŒC‡ Ï ‡ ËLÕ íG„axu­® | ‚C M |~}*'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚awnwyÌ  xu­® | ‚CÈwyxCz‹€‰îƒC×CÑ zUw (X, Y , A, A , v, v , ψ) xCzL†yz  Ÿ X uf‚Í Y uf†yznw  ÌÁS†yÌSƒC× k ‰Y}yNxCzL{ z€}L„  xC|~Nxœuf†yz"Ñ ÌELufÑ Ñ ÓÈÒÃÌS†wyxCzÔUwNufÑ z"wyÌS×µÌSÑ ‰ ÌSSÓS„€UÌS‚}rwNuf‚aw‘S†yÌSƒC×Á}yNxCzL{ z€}‘ÍEKz ‚Cz€ÍÚÛ Óu ‚C| wyzLÑ ÓSzL‚CzL†Nu\wyz€ÍÒÆyzLz Z‰î{ ÌEÍEƒCÑ z ± z ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† k „ÍEƒufÑdwyÌ[z€uSNxºÌfwyxCzL† ± Ÿ A uf‚Í A uf†yzw  Ì ufÛµzLÑ |~uf‚ï®\uf†y| zUwy| z€}nÍEK f u  ‚ Í f u y †  z w Ì { ÌS†y×CxC|~}{[}nÌfÒ©S†yÌSƒC× k‰Y}yNxCzL{ z€} ± Ÿ v : X −→ A v : Y −→ A  ~ |  } Ú u y w y † | ® ~ | f u Ñ | € é \ u y w | S Ì  ‚ f Ì d Ò y w C x  z C × C ƒ Ñ Ñ î ‰  Û S u  W = Û Ó (v, v ) ÌfÒdwyxCzñ^ÌS| ‚Luf†yÔ Ÿ ψ (v, v ) P ÛC| zU£ wyzL‚}| ÌS‚ P ÌfÒ (A, A ) ‡ j

u

M = [X −→G] Gmot (M ) M T (k) M :’ 1 hM i⊗ X hM i⊗ , {λX }  Gmot (M )

⊗

⊗

X

∨

⊗

−1

mot W ∗

−1

mot

mot

∨

∨

∗

∗

∨

∗

∗ ∗

A

∗

A

∗

∗

∗

°)°

r

^xwh

z.{»

ðÛ}zL†y®Szwyxu\w*wyxCzÚÕf‰îƒC×CÑ zUw Y , A, A ) UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}/wyÌùwyxCzÚ×CƒC†yz×uf†wnÌfґwyxCzËU‰ { Ìfwy| ®SzS„\|¾‡ zS‡ „f| wÍEzK‚Cz€}©wyxCzn(X, ×CƒC†yz*{ Ìfwy| ®Sz€}©ƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚C M „fuf‚ÍÁwyxCz"ˆ\‰îƒC×CÑ zUw (v, v , ψ) †yzL×C†yz€}zL‚awN}'wyxC_z €r{ | £E| wrÓ ‚ÚÌfÒ M ‡ Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†œwyxCz { Ìfwy| ®Sz | wï|~}ïu–}×CÑ | w ËU‰î{ Ìfwy| ®Sz?ÌfÒ z L| SxawÁ‰N˺uf‚͉ Ï ÌSÛEwNuf| ‚Cz€EÍÒÃ=†yÌS{ WwyxCzº(End(Gr zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CMxC|~))}{[:}ÁÌfÒnwyxCzœS†NuSÍEz€Í Gr M ÌfÒ ‡©ènxCz*UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ÚÌfÒCzL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}JzL‚ÍEÌ  z€Í E  | wyxùcu j‘| z*ufÑ SzLÛC†Nun}rwy†yƒGwyƒC†yz M „ xCÌa}zœU†yÌENxCzUw [ , ] UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}wyÌ?u Σ − X ⊗ Y (1)‰¾wyÌS†N}ÌS† B Ñ | ® | ‚C (E, [ , ])  Ì\®SzL† A ⊗ X + A ⊗ Y. ènxCz uSGwy| ÌS‚vÌfÒ E ÌS‚>wyxCz{ Ìfwy| ®Sz Gr (M ) |~}ÍEz€}yU†y| Ûµz€Í Û Óºu{ ÌS†y×CxC|~}{ ∨

∗

∗

W ∗

−1

W ∗

∨

∨

W ∗

∗

W E ⊗ GrW ∗ (M ) −→ Gr∗ (M )

xC|~NxÄzL‚ÍEÌ  z€ÍœwyxCzÁ{ Ìfwy| ®Sz Gr (M )  | wyx>u }rwy†yƒGwyƒC†yzÚÌfÒ (E, [ , ])‰î{ ÌEÍEƒCÑ zS‡ -zL‚CÌfwyzÛ Ó wyxCz k‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑC×µÌS| ‚aw b = (b , b ) ÌfÒJwyxCzÚufÛµzLÑ |~uf‚œ®\uf†y| zUwrÓ b = (b , b ) E Í z K ‚C| ‚CÄwyxCz{ ÌS†y×CxC|~}{[} uf‚Í v : Y −→ A ‡ A⊗X +A ⊗Y v : X −→ A j‘zUw µ Û  z y w C x Á z  } [ { f u Ñ Ñ € z r }  w f u µ Û L z Ñ ~ | f u Ä ‚  } C ƒ E Û î ‰ \ ® f u y † | U z r w [ Ó f Ì Ò UÌS‚awNuf| ‚C| ‚CÈwyxC|~} ⊗Y ×µÌS| ‚aBw b = (b , b ) ‡"ènxCzÁ†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚ i B ÌfÒ^wyxCz XΣ −⊗XA +⊗AY (1) ‰¾wyÌS†N}ÌS† B Û ÓœwyxCz | ‚UÑ ƒ}| ÌS‚ i : B −→ X ⊗ A × A ⊗ Y |~}'u Σ − X ⊗ Y (1)‰¾wyÌS†N}ÌS†/Ì\®SzL† B ‡0-zL‚CÌfwyz Û Ó wyxCz}{[ufÑ Ñ z€}rw ‰î{ ÌEÍEƒCÑ z"ÌfÒ }ƒNx wyxu\w'wyxCz"wyÌS†yƒ} wyxu\w | w ÍEZKz ‚Cz€}L„/UÌS‚awNuf| ‚}ÚGal(k/k) wyxCzº| {[ufSz[ÌfÒ"wyxCzœ†yz€X}rwy†y|~⊗GwyY| ÌS‚ [ , ] : B ⊗ B −→ XZ (1), ÌfÒ/wyxClz j‘| zU†yÌENxCzUwwyÌ B ⊗ B ‡ÚènxCzÍE| †yz€Gw| {[ufSz p i B ÌfÒ/wyxCz Σ − X ⊗⊗YY(1)(1)‰ wyÌS†N}ÌS† i B Û ÓvwyxCz[×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚ p : X ⊗ Y (1) −→ (X ⊗ Y /Z )(1) |~}Èuºwy†y| ® |~ufÑ ‰¾wyÌS†N}ÌS†Ì\®SzL† B e‡ ?znÍEzL‚CÌfwyz'Û Ó π : p i B −→ (X ⊗Y /Z )(1) Σ−(X ⊗Y /Z )(1) wyxCzLuf‚CÌS‚C|~LufÑ×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚‘‡ènxCzù{ ÌS†y×CxC|~}{ u : X −→ G ÍEKz ‚Cz€}u[×µÌS| ‚aw eb | ‚>wyxCz ÛC†yz*ÌfÒ Ì\®SzL† 4‡ ?z"ÍEzL‚CÌfwyz"ufauf| ‚ÈÛ Ó wyxCzn×µÌS| ‚awN}^ÌfÒ uf‚ÍùÌfÒ p i B Ì\®SzL†wyxCz ×µÌS| ‚aw b ÌfBÒ B ‡ j‘zUbw Z ÛµznwyxCz}{[ufÑ Ñ z€}rw}ƒCÛEeb‰ Gal(k/k)‰î{ ÌEiÍEƒCBÑ znÌfÒ X ⊗Y, UÌS‚awNuf| ‚C| ‚C f u  ‚ Ä Í  }  ƒ N  œ x y w  x \ u " w y w C x Á z  } C ƒ E Û ¾ ‰ y w S Ì y †  ƒ } f Ì Ò U  S Ì a ‚ N w f u | ‚} π(eb) ‡/îÒ Z )(1) (X ⊗ Y /Z )(1) z Ú×CƒEw Z = Z/Z „  zÚxu­®Szwyxu\w(Z/Z Z(1) = Z (1) × Z (1). ? | wyx”wyxCz€}zº‚CÌfwNu\wy| ÌS‚}L„©wyxCzºƒC‚C| ×µÌfwyzL‚aw †NuSÍE|~LufÑ ÌfÒ"wyxCŒz j‘| z )) ufÑ SzLÛC†Nu™ÌfÒ G (M ) |~}œwyxCzzU£ wyzL‚}| ÌS‚;ÌfÒÈwyxCzufÛµWzLÑ |~uf‚;(Lie ®\uf†yG| zUwrÓ (M Û 2 Ó wyxCzvwyÌS†yƒ} B E Í z K ‚Cz€Í™Û ÓwyxCzÄuSÇ Í rÌS| ‚aw uSGwy| ÌS‚”ÌfÒ S Ì ” ‚ | N w  } L z Ñ r Ò ‡ ‰ X | ‚Uzº| ‚™wyxCz Z(1) UÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚>ÌfÒ B uf‚Í Z(1) uf†yzù| ‚ ®SÌSÑ ®Sz€(B ÍïÌS+‚CÑ ÓÄZ(1), wyxCzù[×,uf])†Nuf{ zUwyzL†N} v, v uf‚Í u „©½ÃMCR KN¼\XødBE½YZ\½¾F«¼\O)¼r¿[½ÃMCRœBEOF ø¼\½YRUO½DyZSÉ\F«KNZ\T W (Lie G (M )) ¼r¿[½ÃMClR 9^F«RïZ\T ÅaR€ãUDyZ¼r¿ ÉSRîøRUOdÉ­I¼\OT 2¼\O$½ÃMCR ¹ WYB€ødT RU½ (v, v , ψ) b F œ R œ bļ\O$½ÃMCL R ¬ÃXF +SFPm½ &­Ä¼r¿>½ÃMCR G (M ) I\WYX[¼\½¾FPÀ\R Mœ 

∨

1

∗

2

W ∗

1

2

∨

1

∗

2

∨

∗

∨

∨

∗

∨

∨

1

∗

1 ∨

∗

∨

∨

∗

∨

∨

1

∗

1

∗

∗

∨

1

∨

1

2

∗

∗

1

1

∨

∗

1

∗

1

2

−1

mot

mot

∗

−1

mot

ŠA‹

∗

mot

«‹•ŒgÊ-’F¤+˜W¨ n

ËS‡Aj‘zUw

Ûµz>wyxCz?}×CÑ | wËU‰î{ Ìfwy| ®Sz

‡

M Z ⊕ A ⊕ Gm W−1 (Lie Gmot (M )) = B = Z(1) = 0

‡ Y‚)wyxC|~}ÄLuS}zvufÑ Ñ|~}[wy†y| ® |~ufÑmF

q

‹w Œ^w) %1 y4x ^w)1 { ^Ž;8.:y t$#%yq

‹w Œ .

°)µ

Ï ‡Aj‘zUw M = [Z−→E ] Ûµzœu ËU‰î{ Ìfwy| ®SzÌ\®SzL† k ÍEKz ‚Cz€ÍÛ Ó u(1) = P  | wyx P u ‚CÌS‚E‰¾wyÌS†N}| ÌS‚ ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑ'×µÌS| ‚aw ÌfÒwyxCzÄzLÑ Ñ | ×Ewy|~ÄUƒC†y®Sz ‡‰?zïxu­®Sz[wyxu\wwyxCz wyÌS†yƒ} Z(1) |~}k wy†y| ® |~ufÑ©uf‚Í>wyxCzùƒC‚C| ×µÌfwyzL‚awچNuSÍE|~LufÑ W E (Lie G (M )) |~}wyxCz zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÁUƒC†y®Sz B = E . ˆCA‡ j‘zUw M = [Z−→G ÛµzuÚËU‰î{ Ìfwy| ®Sz^Ì\®SzL† ÍEKz ‚Cz€ÍÚÛ Ó | wyx q , q w  Ì zLÑ zL{ ×A] zL‚awN}nÌfÒ G (k) − µ {ùkƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ®SzLu(1) Ñ Óœ| ‚=ÍEzL(q×µzL‚,ÍEqzL‚a, 1,wN} 0) ì |~}*wyxCzÁS†yÌSƒC׺ÌfÒ^†yÌ ÌfwN}*ÌfÒ©wyxCzڃC‚C| wrÓº| ‚ íG‡/Y‚ÄwyxC|~}nzU£Cuf{ ×CÑ zwyxCzÈufÛµzLÑ |~uf‚ ®\µuf†y| zUwrÓ B |~}Áwy†y| ® |~ufÑ*uf‚ÍwyxCzœƒC‚C| ×µÌfwyzL‚aw†NuSkÍE|~LufÑ W (Lie G (M )) |~}ÁwyxCz wyÌS†yƒ} Z(1) = G . u

−1

u

1

mot

3 m

2

1

m

2

∞

∞

−1

2 m

| wyxÄwyxCzÈufÛµÌ\®Sz‚CÌfwNu\wy| ÌS‚}  zÚxu­®SzÚufÑ~}Ìwyxu\w Ë ”“
ŒD“Ì(¦ § ¦“‹¥‘¤+˜² n HdMCR"ÉSRUDGFPÀ\RNÉ"ÅfDy¼\B€øļr¿½ÃMCR'BEOF ø¼\½YRUO½µDyZSÉ\F«KNZ\T W ¼r¿Á½ÃMCR 9^F«R Z\T ÅaR€ãUDyZļr¿ G (M ) F~IÁ½ÃMCRȽY¼\DGB I Z (1) œ

mot

?

Ë

”“
ŒD“Ì(¦ § ¦“‹¥‘¤+˜¤ n

mot

−1 (Lie Gmot (M ))

1

dim Lie Gmot (M ) = dim B + dim Z(1) + dim Lie Gmot (GrW ∗ M ).

€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î Ï )ÒWÏkÕÖfØÙ!ÛvÜbã× Ý"æ¿%‹/& éC&!+ê ïè! ( sê ! èê#´&! è c%/è!   Û(ê/Yu ê í>%/è!  òmþvùƒ.!÷yúøfôôvø&;Gü&úƒþ>!)ÿ þGè
+þï&k>)Ò ç‹Õ ã!å$Õ´ÖfÙHÔbã× ÝvÚBeb×læ í>%/è!  òy / /òyè! %/ &!ê è%/è! ïì6 ‰1þy #ì <è!  ¼&  ì % <  Û(ê  è%&!  $ "   ÿ þbC) >)þ&\Dê Ð & ì »ÿ
 & \^&  € #û"ûþvH k Î   ÑH×!Ò¹ßfÕDákØã× bÝvØkæ Î #ì <è!  sf
è) Zû"û"ûþvó ô  ÷Wø Øf. ÷Wö (l÷ (ö (4&80>´ø Þg 61 øbùƒ.!÷yúø þ¯CHÑ ×(ÿ þGè
×)×þGï +kæÑÑ Î   >Ò¹ßfÕ
ákØã× bÝv؃F æ %‹°! èêïòyèG&!%/( &!g‡ &ƒ è °ï Hè G¯é  °%/è  s  è ïè ( W þg#´&! è ! èêï kè Q þ Ï ! U ' þ+qç /cþC) >Ñÿ þ Ð & ì " é Mý$R MûW ¯B \Dê þè ‹C þ " ï   þ
'
L î älè!! UþvC) > þï GÑ!Cæ!Ñ Î ^&!GÒÿ©‡7 Õ çå‹ÝvÝvÚCØÝÌæÌù¼0 Ò(Sö U7 , !÷20yõö  .!&ô ¬.1 (Rö 6 .!0 8 K *-÷yúSö 5,þP%‹é ê   '
è!  ¼ Ð & ì%&  éW þè bR×þ " ï  $í #[  &! þ Ï    þ^Cþ.ü¬ ì¼&!ïïG é
(' " Ï  è(éìÃ&!G‰€ ç " éìè( Î Ð    ×! Ò ç‹´Õ ,^Ջâ·× ãÝvØMæ Ð è!   +è: ÜG E ÜG W þ Ð è!  
þ " C&   ' þü¿/cþGCÿ þ\^ è()é " '%/ïèR E\Dê  Ð &  ì þMè _k)kþA/$%/B Ð & ì " è()é þA\^ è é' þAý%ûþfC ×þ ï
×æ ×k! 

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀl'Ä~Å)lWÖ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ä ã í|â]mŒÜ|ä8Þ×EÞىñ‰âICâlىñ‰âlي×Hâ

Ù

ÞÙ

K0 (Vark )

ócÙJQ„r'äQ
$“$

Ð & ì%&  Uþÿ
     ý$ ê  þv) ×ý$ ê þ‹#
 %&!(' )+*-,/.!02143(FG6U,#(4<2F9E59FFBC59?!8:C59?6U,l<2EFG6(HCA(:J(:F+wI(EAJD<W=(:

'%ü I Îí û

KML!NO-PQR!OS T ¾ ÓÊ Ë ¾Í V df] Ê ¾ ÉKÏ ] _ Y _CZf_C\ _ ÓÊ ]a\b]ŽÌ Ê Ï ¾ŽÌ Ê as` _Ì ÏWY ¾´] \ aWÍmÍm¾ŽÍ_` ÓÊ Ë ¾ ÉJË aWÌ Ê ¾ ÏmÊ ¾ŽÍ_ Ë ¾ŽÌ a }¾ \ ¿ k Ï _0{¾ca\ Ó ¾!{ÇÌWa Ê ]a\ \ X Ê É ¿Ç¾ŽÃ¾ É ¿Ç¾ ÉKÏcÊ ÉÏWY ¾ Ñ Ì>_ ÏWY ¾ É ¿ Ê ¾ ]  Ì Ê ÉÇÓ _` Ë aWÌ Ê ¾ ÏmÊ ¾ŽÍf_ Ë ¾ŽÌ k a É ¿ [ ] _ É Í Ï Ì V ] Ï ÍW_CZA¾¾£¶aZAÃ\ ¾ŽÍÀ

Y‚™wyxC|~}‚CÌfwyz zº†yzL® | z wyxCzÄ{[uf| ‚–†yz€}ƒCÑ wN}ùÌfÒz   CD¨ ~ ‡Nj‘zUw Ûµzïu\zLÑ~ÍJ‡”ènxCz  †yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W=™†y| ‚CÌfÒ®\uf †y| zUwy| z€}Ì\®SzL† k „'ÍEzL‚CÌfwyz€Í K (Var ) „  k uS}ÍEzK‚Cz€Í–Û ӔÙȇ †yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W=œ| ‚Åz ĺŸ\¦  m ~ F ènxCzÚufÛµzLÑ |~uf‚ºS†yÌSƒC× |~}*SzL‚CzL†Nu\wyz€Í[Û Ó wyxCz|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ØUÑ~uS}y}z€} [X] ÌfÒ }zL×uf†Nu\wyz€Í k‰Y}yNxCzL{ z€}*ÌfKeÒ (Var ‚C| wyzÚwr)Ó ×µz X/k }ƒCÛ rz€Gw"wyÌwyxCzÁ†yzLÑ~u\wy| ÌS‚} 0

0

ÒÃÌS†

k

k

u[UÑ Ìa}z€Íº}ƒCÛ}yNxCzL{ zS‡t>ƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚Ä|~}"S| ®SzL‚ÄÛ Ó Y ⊂X

| w{[u=Sz€} ¹ a XÔ• WÏ Y

[X] = [Y ] + [X − Y ]

u UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®Szچy| ‚C  | wyxïƒC‚C| w K (Var )

[X1 ] · [X2 ] := [X1 ×k X2 ];

0

ÂÔÕÕWÖÇÀ

k

[Spec(k)]

‡

µp

r y‹Ž q

y 

…*Ó| wN}È®SzL†yÓÍEKz ‚C| wy| ÌS‚ |~}ÈwyxCzœ®\ufÑ ƒCzœS†yÌSƒC× ÌfÒ"wyxCzœƒC‚C| ®SzL†N}yufwÑ ;ƒCÑ zL†‰ ^ñ ÌS| ‚Luf†yԏNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~  | KwyxÄ(Var UÌS{ ×uS) Gw"}ƒC×C×µÌS†w*ÒÃÌS†*®\uf†y| zUwy| z€}*Ì\®SzL† k uf‚͜|~}'wyx ƒ}nu ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑ| ‚ ®\uf†y|~uf‚awÌfÒJwyxCzufÑ SzLÛC†Nuf|~nSzLÌS{ zUwy†yÓùÌ\®SzL† k ‡/ènxCz{ Ìa}rw'ÌSƒEwN}rwNuf‚ÍE| ‚C †yz€}ƒCÑ wÌS‚wyxCz}rwy†yƒGwyƒC†yz"ÌfÒ K (Var ) ÒÃÌS† k ÌfÒJNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~*éLzL†yÌÚ|~}uÚ×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ ÌfÒwyxCzï†y| ‚C K (Var ) | ‚–wyzL†y{[}ÌfҐSzL‚CzL†Nu\wyÌS†N}ùuf‚͖†yzLÑ~u\wy| ÌS‚}uf‚awy|~U| ×u\wyz€Í”Û ‰ Ó ;‡ j‘Ì ÌS| rzL‚Cau"uf‚ÍÁ×C†yÌ\®Sz€ÍÛ ӏxC|~}©}rwyƒÍEzL‚ae w D*‡­…*| wwy‚CzL
† z Á ªÃž  º ~ ‡©…‡€ñ^Ì ÌS‚CzL‚È}xCÌ  z€Íwyxu\w ÒÃÌS† k ÌfÒµNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~/éLzL†y̏uÑ | ‚Cz€uf†^UÌS{ùÛC| ‚u\wy| ÌS‚ÈÌfÒCwyxCz"UÑ~uS}y}z€}‘ÌfÒµ}ƒC| wNufÛCÑ znufÛµzLÑ |~uf‚ ®\uf†y| zUwy| z€}|~}'uÁéLzL†yÌùÍE| ® |~}ÌS†| ‚ K (Var ) z Ê ¦‘¦  › ~ uf‚CÍ ™»‡ !ÌSÑ )Ñ (f†xuS}'UÌS{ ×CƒEwyz€ÍwyxCz }ƒCÛC†y| ‚CÁÌfÒ K (Var ) SzL‚CzL†Nu\wyz€ÍÛ ÓùwyxCzUÑ~uS}y}z€}/ÌfґUÌS‚C|~L}^ÒÃÌS†'}ƒC| wNufÛCÑ zÛuS}Az zLÑ~ÍC} k z { ¦ † ~ ‡^ٔÍEzLzL×È×C†yÌSÛCÑ zL{ ×µzL†wNuf| ‚C| ‚CnwyÌwyxCz'}rwy†yƒGwyƒC†yzÌfÒ |~}‘wyxCz†Nu\wy| ÌS‚ufÑ | wrÓ ½l~ ÌS‚ )  xC|~Nx2wyxCzL†yz>xuS} ÌfÒÚ{ Ìfwy| ® |~ïéLzUwNu\‰¾ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}[×µÌa}z€Í2Û Ó2t™‡ !Áuf×C†Nuf‚CÌ\® z {K  (Var ÛµzLzL‚–†yz€UzL‚awù×C†yÌSS†yz€}y}ÈÍEƒCzºwyÌt™‡ juf†N}zL‚”uf‚‰ Í }ù0‡ j‘ƒC‚awNƒ} z ©€© ~ ‡ ènxC|~}ù×C†yÌSÛCÑ zL{ |~} | ‚awy| {[u\wyzLÑ Ó”†yzLÑ~u\wyz€Í™wyÌwyxCŒz ‚C| wyzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ | wrәÌfҏ{ Ìfwy| ®Sz€}L„*f‡ Òr‡ z š ¥ D§ ~ ÒÃÌS†œuf‚ zU£E×µÌa}| wy| ÌS‚‘c‡ DCƒC†wyxCzL†y{ ÌS†yzS„CwyxCzù†y| ‚C K (Var ) ×CÑ~u­ÓE}uœUzL‚awy†Nufё† *SÑ zÈ| ‚>wyxCzÈwyxCzLÌS†yÓ ÌfÒ'{ Ìfwy| ® |~ù| ‚awyzLS†Nu\wy| ÌS‚‘„Jf‡ ÒrÇ z © ¦‘¦  › ~ ‡ùènxCzwNufÑ =  uS}ÍEz€ÍE|~Lu\wyz€Í>wy̺wyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C ×C†yÌSÛCÑ zL{ ufÛµÌSƒEwnwyxCzÈ}rwy†yƒGwyƒC†yzÚÌfÒ K (Var ) ‡ nFPÀ\RUO™À\Z\DGF«RU½¾F«RGI b"©MCRUO2Z\DyR ½ÃMCRUFPDœKUT Z­INILRGI Z\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT  X /k [X ] ∈ K (Var ) FPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½ › ?z S| ®Sz[uº‚ ƒC{ùÛµzL†ÁÌfÒ"} ƒ uœU| zL‚awÈUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS|~LufÑ^UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}ÒÃÌS†ÚwyxC|~}ÚwyÌïÛµzwyxCz LuS}z>uf‚Í2UÌS‚}rwy†yƒGwœ}ÌS{ zïzU£Cuf{ ×CÑ z€}L‡$ðƒC†[{[uf| ‚2†yz€}ƒCÑ wN}[uf†yz>ufÑ~}Ì®\ufÑ |~Í2| ‚2×µÌa}r‰ | wy| ®SzïNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~  xCzL†yzºwyxCzL†yzÄ|~} ‚C Ì = ‚CÌ  ‚”wyxCzLÌS†yzL{ ufÛµÌSƒEw wyxCz>}rwy†yƒGwyƒC†yzÄÌfÒ ‡ K (Var ) -zL‚CÌfwyzœÛ Ó wyxCzºLu\wyzLSÌS†yÓvÌfÒ l‰YuSÍE|~œÚufÑ ÌS|~}Á†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}Áuf‚ÍÛ Ó W Q wyxCz  zL| Sxawm‰ Rep Ñ wy†Nu\wy| ÌS‚‘‡œènxCzœu\ÒÃÌS†yzL{ zL‚awy| ÌS‚Cz€Í} ƒ uœU| zL‚awUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS|~LufÑ^UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚} uf†yzwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C‡ 
‘D’“‹”’•—– n 9RU½ ãNeR OFP½YRUT ÅaRUOdRUDyZ\½YRNÉZ\OdÉÈT RU½ , . . . , X /k ãNRILRîøZ\DyZ\½YRNÉZ\OdÉ ¼re¿ OFP½YRm½ yøRÁZ\OdÉ[Z­kINIGBEX[R½ÃMCZ\½ Gr (X ) ∈ Z ⊆ KX(Rep ¿U¼\DÁZ\TPT Z\OdɽÃMCZ\½ ½ÃMCR Gr (X ) Z\DyRvZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT ™FPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½ÈFPO K (Rep QQ)) œ HdMCRUO i ½ÃMCR [X ] Z\DyRZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT ÄFPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½*FPO K (Var ) œ É “‹”“bÊÊ-«‹”ˬ¨ n j‘zUw Ûµc z ‚C| wyzLÑ Ó[SzL‚CzL†Nu\wyz€Í[uf‚Í[Ñ zUw Ûµz×C†yÌS×µzL†*uf‚Í }{ Ì Ìfwyx‘‡^ènxCzL‚‘„ | ÒdwyxCkz [H (X )] uf†yzufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ ÓÈ| ‚XÍEzL×µ,zL.‚. ÍE. ,zLX‚aw*| /k‚ K (Rep Q ) „ }Ì[uf†yzwyxCz [X ] | ‚ K (Var ) ‡ ènxCz}rwyƒÍEÓ[ÌfÒ©ufÑ SzLÛC†Nuf|~ÁìÃ| ‚µírÍEzL×µzL‚ÍEzL‚UzÚÌfÒ^ÚufÑ ÌS|~}r‰î†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚}/}ƒNxºuS}wyxCz | ‚[wyxCz†y| ‚CùÌfґ® | †wyƒufÑJÚufÑ ÌS|~}r‰î†yzL×C†yz€}zL‚awNuf| ÌS‚} |~}'†yz€ÍEƒUz€ÍJ„ [H (X )] ƒ}| ‚C™è©uf‚C‚u =\u\‰¾wyxCzLÌS†yÓS„^wy̙}rwyƒÍEÓ | ‚C ufÑ SzLÛC†Nuf|~?ìÃ| ‚µírÍEzL×µKzL‚(Rep ÍEzL‚Uz>| ‚ QK) (Rep G) ÒÃÌS†'}ƒC| wNufÛCÑ zùìÂCÌfw*‚Cz€LUz€}y}yuf†y| Ñ ÓùUÌS‚C‚Cz€Gwyz€Íí^†yz€ÍEƒGwy| ®SzufÑ SzLÛC†Nuf|~*S†yÌSƒC×} G/Q ‡©îw*|~} 0

0

k

0

k

k

0

0

k

k

0

0

k

0

k

i

0

k

i

0

k

Gk

W 1

l

W 0

1

i

n

0

i

Gk

0

0

Gk

i

i

0

l

l

i

k

1

1 c

1 c

k

n

i

0

Gk

k

0

Gk

l

0

Ql

l

l

4xP1 z.{y4w) ·wh t  8 t

ƒwh

y

 .

µ

K0 (Vark )



ÒÃC‚wyÌڂCÌfwyz*wyxCzUÌS{ ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}^uf†y|~}| ‚CÒÆyÌS{ wyxC|~}/×µÌa}y}| ÛCÑ zn‚CÌS‚E‰YUÌS‚C‚Cz€Gwyz€ÍE‚Cz€}y},F4D©| £ }ƒNx>wyxu\w G/G |~}UÌS‚}rwNuf‚awÚuf‚Í G |~}}×CÑ | wچyz€ÍEƒGwy| ®SzS‡ÚènxCz}rwy†yƒGwyƒC†yzùÌfÒ G/Q ÛµÌfwyx K (Rep G/G uf‚Í K (Rep G ) |~}  zLÑ ÑJƒC‚ÍEzL†N}rwyÌ ÌEÍJ„EÛCƒEw| w}zLzL{[}"ÍE| ÒP‰ ) µUƒCÑ w'wyÌùÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz"wyxCz}rwy†yƒGwyƒC†yz"ÌfÒ | wN}zLÑ Ò'ìÃzU£CUzL×Ew'| ‚[wy†y| ® |~ufÑ}×µz€U|~ufÑ LuS}z€}L„SzS‡ ‡ G ' G × G/G íG0‡ ’zL†yz|~K}*uf‚œ(Rep zU£Cuf{ ×CG)Ñ z| Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wy| ‚CÈwyxCz}| S‚C| µLuf‚UzÌfÒ wyxC|~}ÒÃÌS†ÁÌSƒC†Ú{[uf| ‚×C†yÌSÛCÑ zL{ ÌfÒnufÑ SzLÛC†Nuf|~È| ‚ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚Uz | ‚wyxCzœ†yÌfwyxCzL‚ÍE|~W =>†y| ‚C ÌfÒ^®\uf†y| zUwy| z€}L‡ ãNRnOd¼\OWYF~IL¼yÅaRUOdRN¼\B In¼\DyÉ\FPOdZ\D  
‘D’“‹”’•Ç² n 9RU½ ãNRZ OFP½YR *RUT ÉÁZ\OdɏT RU½ RUTPT F ød½¾F«KKUBEDGÀ\RGI œ 9RU½k E /k ãNRÚ½ÃMCR
BZSÉ\DyZ\½¾F«KÁ½¾EÂ/F~,IGE½*¼r¿ /kE b'Z\OdɜKN¼\OCIGF«ÉSRUDÚ½ÃMCRÈZSãNRUT F«Z\O IGBEDÿUZSKNRGI A := E × E Z\OdÉ A := E × E ¼\À\RUD k Z\OdÉĽÃMCRœZ­INIL¼€KUF«Z\½YRN| É Z\T ¼\F~I DyRîødDyRGILRUO½YZ\½¾F«¼\OCI V := H (A ) ∈ Rep Q œ 9RU½ k ⊂ L ãNR½ÃMCR BEOF
BR
BZSÉ\DyZ\½¾F«K >R +S½YRUOCIGF«¼\O¼r¿ FPOCIGF«ÉSR k œ HdMCRUOd] k |Pí Res (V ) ' Res (V ) œ | |Pí HdMCRKUT Z­INILRGI [V ] Z\OdÉ [V ] Z\DyRùZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT ºFPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½*FPO K (Rep Q ) œ šGOøZ\DG½¾F«KUBET Z\WD bJ½ÃMCR"KUT Z­INILRGI Z\OdÉ [A ] Z\DyR"Z\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT ÚFPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½JFPO K (Var ) œ [A ] ª ’•¬«‹”­n¤ n ènxCzÁ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚} uf‚Í uf†yzÁufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ Ó | ‚ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚awÛCƒEw ‚CÌfw SzLÌS{ zUwy†y|~LufÑ Ñ Ó ufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ Ó?| ‚VÍEzL×µzL‚ÍEzLV‚aw€‡™Y‚”Ò«uSGw€„'u\ÒPwyzL††yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚™wyÌvwyxCz }ƒCÛCS†yÌSƒC׺ÌfÒ©| ‚ÍEzU£œw  ÌÌfÒ G wyxCzL| †UÑ~uS}y}z€}*Ûµz€UÌS{ zÁufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ Ó ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚awuf‚Í | ‚;Ò«uSGwï'z ^aƒufѾ‹ ‡ ?z ufÑ~}̖}zLz?wyxu\w SzL‚CzL†Nu\wyz€}ºu ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ"†y| ‚CÌ\®SzL† Z | ‚}|~ÍEz K x(Var:= )[AzL®S]zL‚–− wy[AxCÌSƒC] S∈x xKÑ | (Var z€} | ‚–)wyxC\z =SzL†y‚CzLÑ"ÌfÒ wyxCzvÛuS}z>Nxuf‚CSzïxCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ K (Var ) −→ K (Var ) ‡ ènxC|~}œ}xCÌ  }wyxu\w zL‚UÌEÍEz€} ‚CzÈuf†y| wyxC{ zUwy|~Ú| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}*ÌfÒ©®\uf†y| zUwy| z€}nÌ\®SzL† k ‡ K (Var ) ð‚CzÁLuf‚Ä×C†yÌEÍEƒUzÚ{[uf‚ ÓºufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ Ó | ‚ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚aw®\uf†y| zUwy| z€}L‡ 
‘D’“‹”’•ÇÆ n 9RU½ ãNRwZ OFP½Y4R *RUT É HdMCRUOĽÃMCRUDyRF~IZÚILR
BRUOdKNR¼r¿©ødDy¼yøRUWD bIGX[¼€¼\½ÃM Z\OdɜÅaRN¼\X[RU½¾DGF«KNZ\TPT ?kKN¼\OOdRNKU½YRNÉvKUBEDGÀ\RGI œ X /k ™ i ≥ 1šºIGBKNM½ÃMCZ\½½ÃMCRºKUT Z­INILRGI [X ] ∈ Z\DyRZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT ÄFPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½ œ K (Var ) ènxCz€}z>UƒC†y®Sz€}[uf†yz>UÌS‚}rwy†yƒGwyz€Í–zU£E×CÑ |~U| wyzLÑ Ó–| ‚ z   CD¨ ~ uf‚͔wyxCzv†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ wyxCzLÌS†yӜufÛµÌ\®Sz†yz€ÍEƒUz€}'wyxCzÚ×C†yÌ ÌfÒÌfÒwyxC|~}*wyxCzLÌS†yzL{ØwyÌ[uÄìÃÑ zL‚Cfwyx ÓCí*uf†ySƒC{ zL‚aw"ufÛµÌSƒEw ?zL| Ñ ‰î‚ ƒC{ùÛµzL†N}L‡ ènxCzL†yzÚ|~}"u }| { | Ñ~uf†"†yz€}ƒCÑ w"Ì\®SzL†n‚ ƒC{ùÛµzLi† zLÑ~ÍC}L‡ ZILRU½^¼r¿RUTPT F ød½¾F«KKUBEDGÀ\RGI¼\À\RUD 
‘D’“‹”’•Ãª n 9RU½ ãNRZÁOBEX[ãNRUD *RUT ÉÈZ\OdÉ IGBKNMĽÃMCZ\½'½ÃMCR E Z\kDyR*øZ\FPDGÂ/F~ILRùOd¼\OWYF~IL¼yÅaRUOdRN¼\{EB IÈ}Z\OdÉILZ\½¾F~IÃW¿  End (E ) = Z œ HdMCRUkO ½ÃMCRKUT Z­INILRGI [E ] ∈ K (Var ) Z\DyRZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«KNZ\TPT ÄFPOdÉSRîøRUOdÉSRUO½ œ 0

l

0

0

0

0

0

Ql

Ql

0

0

Ql

0

1

0 2

1

1

2

i

Gk GL

1

2

1 c

i

Gk GL

2

1

2

2

0 2

1

Gk

l

2

0

1

2

Gk

l

0

1

k

2

k

1

0

0

0

k

0

k

2

0

k

k

k

0

L

i

i

i i∈I

i

i

k

0

k

i

µ!¢

r y‹Ž q

y 

ènxCzù×C†yÌ ÌfÒ/ÌfÒ/wyxC|~}ƒ}z€}"wyxCz t>ƒC{ÒÃÌS†NÍ ‰Yè©u\wyzùUÌS‚rz€GwyƒC†yzÈÒÃÌS†u‚C| wyz×C†yÌEÍEƒGwÌfÒ zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz€}uS}| ‚vwyxCzùwyxCzLÌS†yzL{ìt= ‚CÌ  ‚vÛ Ó  ÌS†>=ÄÌfҁ™f‰îñ^‡ X zL†y†yzuf‚̓! ‡JÝ"| ÛµzUwGí uf‚ˆÍ ™f‰îñ^‡ X zL†y†yz  }'wyxCzLÌS†yӜÌf0Ò DC†yÌSÛµzL‚C| ƒ}*wyÌS†y|¾‡ €  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î /$GÒ ø‰Õ:ØcÝYҋÙ&ö‡æ Ð è!  òy Mc %/  èÖÜG 'þ " <%/ G&!   Ï èê G&U)þ´k!Ý%/c&!#<'þ !)í¯!×þvèk! Î Ï  ×!Ò¦K´Õ[Öf× ÛÛvÝvØÙ°æ Î ìMê  &!2 TDê ´éìG&&!é   ¯  ésòyè!´&    
è!ò[éìG&&!é í  ¯  éMë èþ:9:! , 
øbùƒ.!÷yúø‹û j&= þ>!×(ÿ þGè
×þï ‹CæGC) Î #$ èÒ Ø‡Õ
/Ù܋YÛ NvØYÝ Ò‹×
Ø û&e‰¨ æ %‹  g 7 è ^
÷í \ "  kþ-& CÃC > C ×(ÿ þb!'þ ¼çlè!í   ïèG&!é°#$ è! ìG é U(í "  ' þ2\.^çlè %/'ë þ„^!÷í \. "  ¼þ2CR ÿ þ  è(éê%/( Ð & #ì <%&  Û(êW þ " è()é Ð & ì I &!é) Î 1M&!ïÒ â¬„Õ Mkå ÙGå‹Ýv+Ü ÙÃæ Î ìf   ï  éMéê ´ ‡ ì " íWêG&!  W'/ ìè!'‰&!G]TD  ¯  í    òyè!€ 1M&!éæ Ð è(è'‰! èêïW þ(59?!8l$< íîï)ð<ð<ðóBð<ðÖ Î 1
è Ò ç‹2 Õ McÜbã,ã +‹Ùæ°çlè é $ ° ìM#$ è! ìG é U/  þ59?!8l$< íîï)ð<ñ<ðÖ)ñ<ð.- Î %´%vÒ â¬qÕ å[å‹ÙÚCØÝU Þ c°gÕ ågÐvÝÛvÚ´l æ ý
&  èG&!  W'Ãé    &/òyè!M%/è!   ésë &í-òyêé  è Wþ 59?!8l<$íîï)ð.-
ó-
óFÖ×
Î %‹è(èCÒ Óf2Õ ålÜbÜb× @ØYÝ ‹å°æ Ð è!   éf%/C&! ê W þYf ÷÷ º0 

Gö/þ>!ÿ þGè
Ñ! þï !Ñæ!Ñ þ " <%/ G&!   Ï èê G& U) þ+#[è vC- ”! Î '´&!êÒ V‡EÕ Vs&å Ðvägå‹ÝvÝ  æ /$ &! é GïGé/ " ì‡#$ è! ìG é Uà  ¼è!ò&  í   W þ59?!8l$< íîï)ð)òð<ñ<ð<ùÖ Î \4è(èCÒ©ÖkÕ
ßÜbÜbÝvØÝ¿æ Î ì‰#$ è! ìG é U"  Ãè!ò$&     k cè! k&Ãè%&! þgùƒ.!÷yúø Zö  ø D4ö÷2÷W&ø ß"þ>!ÿ þGè
×þï ×) Cæ ×Ñ

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀl•ÅÄÕÔ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

󎑯

ñ‰âCځ×HâlÙNÛEà Ü Ø\æ

Úwømú%Jóڍ÷8ø$“$%õúö)"$

à âÜ æoälÛ

یØaيØCé

ñ0/eõú

мР" þ$çl(  Ãòyè!–  Ð & ì%&  éC&! " é é Wþÿ
   W' è!òkç+&!%c  'þ ü¬  òyè! é\ý$è&.þcç+&!%c  'þsç Ï  Kü Ï þ%ÿ1 )+*-,/.!0214"3 1[3< 2[5< 4D< 6@6FF:A)? (CF8H 7v(:A(B=+S55&wb<7!95+<W97b<-E-,  \

KML!NO-PQR!OS « ¿ Ê ÍW] V



W]

ÍmÍ4¿Ç¾ŽÍ Ž¾ ÉKÏ

_ É ¾ \ \ Ê Ã ÏmÊ +] ] V

Ì Ë ¾ŽÍÀ

}xufÑ Ñ'ÍEz€}yU†y| ÛµzwyxCz[×C†yÌEUz€}y}ÚÌfÒ Ï ‰YÍEz€}yUzL‚awÚÌS‚ zLÑ Ñ | ×Ewy|~[UƒC†y®Sz€}ÁÍEzK‚Cz€ÍÌ\®SzL† xC|~NxÄxu­®SzwyxCzÚÒÃÌS†y{ Γ : y 2 = (x − c1 )(x − c2 )(x − c3 )

Q

¹ yw xu\wn|~}L„ zLÑ Ñ | ×Ewy|~UƒC†y®Sz€}'ufÑ ÑdÌfÒ  xCÌa}z Ï ‰YÍE| ® |~}| ÌS‚œ×µÌS| ‚awN}*uf†yz†Nu\wy| ÌS‚ufѾ‡^ènxCz}rwNu\wyzU‰ { zL‚awN}^ÌfÒµwyxCz*wyxCzLÌS†yÓÈÌ\®SzL†^uf‚ uf†yÛC| wy†Nuf†yÓÁufÑ SzLÛC†Nuf|~'‚ ƒC{ùÛµzL†zLÑ~Íuf†yzn‚CÌfw/®SzL†yÓÈÍE| zU£E×CÑ |~U| w†yz€}ƒCÑ wN}†yzLÑ~u\wy| ‚C[wyÌ[wyxCzù×C†y| { z Ï uf†yzÁ‚CÌfw = ‚CÌ ‚‘i‡ ?zLuf‚vUÑ z€uf†yÑ ÓœwNu =SzÁwyxCz wy̺۵zÈ| ‚awyzLSzL†N}LA‡ j‘zUw „µwyxCzù}zUwÌfÒ ÛuS͜×C†y| { z€}L„ Ûµ zÚuf‚ lÓ ‚C| wyzÚ}zUwnÌfÒ×C†y| { z€}nUÌS‚awNcuf| ‚C| ‚C Ï „ ∞ uf‚ͺufÑ ÑµwyxCBzÌEÍC͜×C†y| { z€} ÍE| ® |~ÍE| ‚C wyx ƒ} UÌS‚awNuf| ‚}©wyxCz"×C†y| { z€}/ÌfÒµÛuS͆yz€ÍEƒGwy| ÌS‚ ÒÃÌS† Γ ‡/îÒ (cB −ufÑ~}cÌ[)(c UÌS‚awN−uf|c‚}n)(c}ÌS{ −zÚc×C)†y± | { z€}nÌfBÒ^SÌ ÌEͺ†yz€ÍEƒGwy| ÌS‚‘„ wyxu\w|~}nxuf†y{ Ñ z€}y}L‡ ènxCzÄÛuS}|~Ä®SzL†N}| ÌS‚”ÌfÒ Ï ‰YÍEz€}yUzL‚aw€„ xC|~Nx–SÌ z€}ÛuSW = wy‰ Ì DCzL†y{[u\w€„'|~}[uS}ùÒÃÌSÑ Ñ Ì }L‡ èÌ?uf‚ Ó†Nu\wy| ÌS‚ufÑ×µÌS| ‚aw (x, y) ÌS‚ Γ wy xCzL†yzºUÌS†y†yz€}×µÌS‚͆Nu\wy| ÌS‚ufÑ m , m , m   | wyx i

1

2

1

3

2

3

1

9CVÇÉ

¾wÔ'ÂÔÕÕWÖÇÀ

2

3

µÀ

r C u°wh  {»

% t‰

w

 h{Ã8

m1 m2 m3 = m2 6= 0

{

}ƒNxºwyxu\w"wyxCzÚwyxC†yzLzÚz'^aƒu\wy| ÌS‚}

rì Ë­í uf†yz}| {ùƒCÑ wNuf‚CzLÌSƒ}Ñ Ó}ÌSÑ ƒCÛCmÑ zS‡4y?=z'Lxuf‚Ú−{ùcƒCÑ wy| for ×CÑ ÓwyxCi z =m1, Û 2,Ó3‚CÌS‚E‰îéLzL†yÌ"}>^aƒuf†yz€}L„€}Ìnwyxu\w ÒÃÌS†"zU£Cuf{ ×CÑ z  zÁLuf‚ï†yz'^aƒC| †yzwyxCzL{ÎwyÌ[ÛµzÈ}>^aƒuf†yzU‰¾ÒÆyzLz| ‚awyzLSzL†N} ± | ‚ÍEzLz€ÍÄÌS‚CzÁ}xCÌSƒCÑ~Í †yz€ufÑ Ñ ÓºwyxC| .‚ =>ÌfÒwyxCzL{ uS}zLÑ zL{ zL‚awN}ÌfÒ Q /Q „  | wyxuº}ƒC| wNufÛCÑ zù| ‚awyzL†y×C†yzUwNu\wy| ÌS‚vÌfÒ wyxCzÄ'z ^aƒu\wy| ÌS‚}  xC|~Nx”| ‚ ®SÌSÑ ®Sz wyxCzL{ï‰ ‡ -zL‚CÌfwyzºÛ Ó wyxCzïUƒC†y®SzœS| ®SzL‚™Û ÓwyxCz wyxC†yzLzº'z ^aƒu\wy| ÌS‚}œìrË­íG„  xCzL†yz m = (m , m , m )  ‡ Cj‘(m) Ì Ì = | ‚CïÒÃÌS†}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}ÈÌfÒ Γ |~} wyxCz[}yuf{ z[uS}Ñ Ì Ì = | ‚CºÒÃÌSJ† ^aƒuSÍE†yƒC×CÑ z€} x, y , y , y  xC|~Nx }yu\wy|~}rÒÃӖìrË­íÒÃÌS†È}ÌS{ z m ‡ DCÌS†wyxC|~}×CƒC†y×µÌa}z zȂCzLz€ÍïÌS‚CÑ ÓïUÌS‚}|~ÍEzL†wyxCJz ‚C| wyzLÑ Óï{[uf‚ Ó ÒÃÌS† xC|~NxïwyxCz uf†yzƒC‚C| wN}"u\w"ufÑ Ñd×C†y | { z€}*ÌSƒEwN}|~ÍEz B ± ÒÃÌS†n| Ò^uf‚ Ó m |~}"ÍE| ® |~}| ÛCÑ zmwyÌ uf‚ºÌE ÍCÍº×µÌ  zL†*mÛ Ó }ÌS{ zÚ×C†y| { z p ‚CÌfw"| ‚ B wyxCzL‚ Γ |~}ufÑ †yz€uSÍEÓ[| ‚}ÌSÑ ƒCÛCÑ zÚ| ‚ Q ‡ ð‚Ccz ^aƒCz€}rwy| ÌS‚[ÌfÒJ| ‚awyzL†yz€}rw'|~}/wyxCzKz wy̺۵z wyxCzÈUƒC†y®Sz ‡/èn−xCzbcUƒC),†y®Sz Γ |~}'ÌfÒPwyzL‚  †y| wwyzL‚ xCzL†yz  zLuf‚œ†yzLauf†NÍ Γb uS:}'yuf‚œ=zLÑ (xzL{ −zL‚abcw*ÌfÒ)(xQ −/Qbc )(x  | ‚ÄwyxCzÈufÑ wyzL†y‚u\wy| ®SzÒÃÌS†y{ 2 i i

i

i

∗

∗2

1

2

1

3

2

3

i

i

p

2

b

1

2 ∗2

∗

ènxCzÈuf‚ufÑ ÌSSƒCzÌfÒ"ìrË­í'ÒÃÌS†

3

b

v 2 = b(u − c1 )(u − c2 )(u − c3 ). Γb

|~}

2 i i

z }xufÑ ÑCLufÑ ÑEwyxCzUƒC†y®Sz*Sm| ®SzLy‚Û =ÓÁxwyxC−z€}bcznwyxC†yzLforznz'^aƒi u\=wy| ÌS1,‚2,} C3;(m) ‡©îw|~}/ÌfÒPwyzL‚ ‚u\wyƒC†NufÑ " wyÌ[UÌS{ ×uf†yz C (m) uf‚Í C (m) ÒÃÌS†nwyxCzÈ}yuf{ z m ‡ ènxCzL†yz|~}nuȂu\wyƒC†NufѵÑ~u ÌfÒ©UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚œÌS‚ „awyxCzÚ}zUwnÌfÒ†Nu\wy| ÌS‚ufÑ×µÌS| ‚awN}*ÌS‚ „Γ  xC|~Nxï{[u =Sz€} Γ(Q) | ‚a wyÌ[u[UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzڐS†yΓ(Q) ÌSƒC×  xCÌa}zÚ|~ÍEzL‚awy| wrÓºzLÑ zL{ zL‚aw|~}*wyxCz ×µÌS| ‚aw u\wù| ‚ ‚C| wrÓ wyxC|~}È|~}LufÑ Ñ z€ÍwyxCzÄt>ÌS†NÍEzLÑ Ñ Zê ?zL| Ñ'S†yÌSƒCב‡ïñ†yÌ\® |~ÍEz€Í ÌS‚Cz[wy†yz€u\wN} wyxCz m uS} zLÑ zL{ zL± ‚awN} ÌfÒ Q /Q „*wyxCzïwy†y| ×CÑ z€} m ÒÃÌS†y{uf‚ ufÛµzLÑ |~uf‚2S†yÌSƒC×2ƒC‚ÍEzL† UÌS{ ×µÌS‚CzL‚aw  |~}zÚ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌSM‚ F i

b

b

∗

i

0

00

∗2

0

00

0 1

00 1

0 2

00 2

0 3

00 3

(m m , m m , m m ). nè xCzœ‚u\wyƒC†NufÑ'}zUw‰¾mwyxCzLÌS׆yzUmwy|~ 7→{[ufm×ÒÃm†yÌS{ =Γ(Q) wyÌïwyxC|~}ȐS†yÌSƒC× |~}ùuïxCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ï„ x CÌa}z=SzL†y‚CzLÑ^|~} 2Γ(Q) ‡ ènxCz m ÒÃÌS†  xC|~Nx C (m) |~}ÚzL®SzL†yÓ  xCzL†yzùÑ ÌELufÑ Ñ Óv}ÌSÑ ƒCÛCÑ z ÒÃÌS†y{ ul‚C| wyz }ƒCÛCS†yÌSƒCב„µLufÑ Ñ z€ÍÄwyxCz Ï W~JRUT X[RUDÅfDy¼\B€ød‡ènxC|~}|~}UÌS{ ×CƒEwNufÛCÑ zS„duf‚Íï| w UÌS‚awNuf| ‚}"wyxCzùS†yÌSƒC×>ÌfÒ/wyxCÌa}z m ÒÃÌS†  xC|~Nx C (m) |~}uSGwyƒufÑ Ñ Óï}ÌSÑ ƒCÛCÑ zÈ| ‚ Q ‡ènxC|~} }{[ufÑ Ñ zL†œS†yÌSƒC×)|~}œ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ÄwyÌ Γ(Q)/2Γ(Q) ‡ ènxC8z ^aƒCÌfwy| zL‚awºÌfÒÚwyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL† S†yÌSƒC×>Û ÓïwyxC|~}}{[ufÑ Ñ zL†S†yÌSƒC×>|~} X „µwyxCzS†yÌSƒC×vÌfÒ/wyxCÌa}zùzLÑ zL{ zL‚awN}ÌfÒ/wyxCz”HZ\½YRUä JZr¿UZ\DyRUÀ€F«KÚÅfDy¼\B€ø x C|~Nxïuf†yz = | Ñ Ñ z€ÍºÛ Ó Ï ‡ ènxCzº×C†yÌEUz€}y}ÈÌfҐSÌS| ‚C>ÒÆyÌS{wyxCzïUƒC†y®Sz Γ wyÌvwyxCzï}zUwÌfÒUƒC†y®Sz€} C (m) „/ÌS†ÈwyxCz ‚C| wyzœ}ƒCÛ}zUw xC|~Nx|~}ÚwyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†ÁS†yÌSƒCב„J|~}ÁLufÑ Ñ z€Íu Ï ‰UÉSRGILKNRUO½¾„‘ÌS†Á}ÌS{ zUwy| { z€}  2

t

vu

 

q

., . ⓻{

“»{

q

‹u

Í µ

yZƒ |

wyxCzL{[}zLÑ ®Sz€}ùuf†yzœLufÑ Ñ z€Í Ï ‰UKN¼\À\RUDGFPO Å\IG‡vènxCz u DNIG½ÁÉSRGILKNRUO½¾„/uf‚ÍwyxCzºUƒC†y®Sz€} C †yz€uS}ÌS‚œÒÃÌS†nwyxC|~}nwyzL†y{ | ‚CÌSÑ ÌSSÓ[|~}*wyxCu\w"(m) wyxCzL†yzÚ|~}u UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzÁÍE|~ufS†Nuf{ ìÏ í

−→ Γ %

Γ k C (m)

| ‚ xC|~NxwyxCz"Ñ zUÒPwxuf‚Í{[uf×|~}/ÛC| †yzLSƒCÑ~uf†"ìÃÛCƒEw'ÍEzK‚Cz€ÍÌ\®SzL† †Nu\wyxCzL†^wyxuf‚ íG„\wyxCz wyÌS׺ {[uf׺|~}*{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ºÛ Ó Ï uf‚Í[wyxCzÁÍE|~ufSÌS‚ufÑ{[uf׺|~}*SC| ®SzL‚ºÛ Ó y = myQ y y ‡ Ù Ï ‰YUÌ\®SzL†y| ‚C xC|~Nxœ|~}'zL®SzL†yÓ xCzL†yz"Ñ ÌELufÑ Ñ Ó }ÌSÑ ƒCÛCÑ zS„ uf‚ÍwyxCzL†yzUÒÃÌS†yz| ‚œwyxCz Ï ‰ŽX zLÑ { zL† S†yÌSƒCב„ELuf‚>ufÑ~} ÌÛµz  †y| wwyzL‚ï|  ‚ÄwyxCzÚÒÃÌS†y{ 1 2 3

η 2 = f (ξ)

where f (ξ) = aξ 4 + bξ 3 + cξ 2 + dξ + e,

uf‚Í[{[uf‚ Ó Ï ‰YUÌ\®SzL†y| ‚Ca}/ÍEÌuf†y|~}z| ‚[wyxC|~}  u­Ó ± ÛCƒEw"u Ï ‰YUÌ\®SzL†y| ‚C  xC|~Nxœ|~}'‚CÌfw*| ‚[wyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†nS†yÌSƒC×ïLuf‚C‚CÌfwufÑ  u­ÓE}*ÛµzÚ×CƒEw| ‚awyÌwyxC|~}nÒÃÌS†y{ï‡ ?z‚CÌ ×CƒEw'wyxC|~}*×C†yÌEUz€}y}| ‚awyÌÈ{ ÌS†yz{ ÌEÍEzL†y‚œÑ~uf‚CSƒufSzS‡Y‚ xu\w'ÒÃÌSÑ Ñ Ì }L„a| wNufÑ |~ Luf×C| wNufÑ~}   | Ñ ÑaufÑ  u­ÓE}JÍEzL‚CÌfwyz®Sz€GwyÌS†}×uSUz€}JÌ\®SzL† F „€wyxC0z ‚C| wywz zL Ñ~ÍÚÌfÒ w  Ì"zL Ñ zL{ zL‚awN}L„ uf‚ͺz€uSNxÄÌfÒ p uf‚Í q  | Ñ Ñ‘ÛµzÁzL| wyxCzL†u ‚C| wyzÁ×C†y| { zÚÌS† ∞ 0‡ ?†y| wyz 2

Yp = Q∗p /Q∗2 p ,

YB = ⊕p∈B Yp .

‘zUw V ÍEzL‚CÌfwyzÄwyxCz>®Sz€GwyÌS† }×uSUzïÌfÒÚufÑ Ñnwy†y| ×CÑ z€} (µ , µ , µ )  | wyx)z€uSNx µ | ‚ Y uf‚Í ‡ènxC|~}|~}wyxCzÛµz€}rw u­Óºwy̺| ‚awy†yÌEÍEƒUz uf‚Í †y| wyz wyxCz€}zùµ}×µuSµUz€}L„C=Ûµz€1L± ufƒ}zÁ| w×C†yz€}VzL†y®Sz€=}n}⊕Ó { { zUVwy†yÓ ± ÛCƒEwwyxCzÈ×C†yzL®\uf| Ñ | ‚CœUƒ}rwyÌS{ | ‚ïwyxCz Ñ | wyzL†Nu\wyƒC†yzn|~}©wyÌÁÍEKz ‚Cz uS} „ xC|~Nx|~}^|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~'wy̏wyxCz ÍEzK‚Cz€Í ufÛµÌ\®Sz ÛCƒEw'‚CÌfw| ‚[uÁLuf‚CÌS‚C|~LufÑV u­ÓSe‡ Y„zU×Y £ w€„   †y| wyz X = o /o  xCzL†yz o V |~}^wyxCzS†yÌSƒC×ÌfÒ ‚CÌS‚CéLzL†yÌÁ†Nu\wy| ÌS‚ufÑ~} xC|~Nxœuf†yzƒC‚C| wN}ÌSƒEwN}|~ÍEz uf‚Í Ñ zUw ÛµzwyxCz| {[ufSz| ‚ ÌfÒ wyxCz*S†yÌSƒC×ÁÌfÒCwy†y| ×CÑ z€} (m , m , m ) }ƒNxÁwyxu\w©BwyxC± z m uf†yz'U| ‚ X uf‚Í m m m V= 1 ‡ îw*|~%} = ‚CÌ  ‚ wyxu\w'wyxCz{[uf× X → Y |~}*uf‚[zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚Cuf‚Í dim U = dim V ± ÛµÌfwyx2wyxCz€}zvÍEzL×µzL‚Í)ÌS‚2wyxCz>†y'z ^aƒC| †yzL{ zL‚aw wyxu\w UÌS‚awNuf| ‚} Ï uf‚Í ‡$îÒ y) |~}ÁuÄ×µÌS| ‚awÁÌfÒ Γ ÍEKz ‚Cz€Í?Ì\®SzL† Q ÌfwyxCzL†wyxuf‚ u BÏ ‰YÍE| ® |~}| ÌS‚v×µÌS| ‚aw€„‘wyxC∞zL‚?wyxCz (x, wy†y| ×CÑ z  x S u n } ù u  ‚ \ u y w C ƒ N † f u µ Ñ | [ { f u S   z | ‚ ‡  ?zÁLuf‚Ä}ƒC×C×CÑ Ó wyxCzÚ| {[ufSz€}'ÌfÒ (x − c , x − c , x − c ) wyxCz Ï ‰YÍE| ® |~}| ÌS‚º×µÌS| ‚awN}"Û ÓºUÌS‚awy| ‚ ƒC| wrÓ ± ÒÃÌS†"zU£Cuf{ ×CVÑ zwyxCzÁ| {[ufSzÚÌfÒ (c , 0) |~} 쫈aí ((c − c )(c − c ), c − c , c − c ), uf‚Í[wyxCzÚ| {[ufSzÌfґwyxCzÚ×µÌS| ‚aw"u\w"| ‚ ‚C| wrÓ[|~}'wyxCzwy†y| ® |~ufѵwy†y| ×CÑ z (1, 1, 1) „  xC|~Nxº|~}nufÑ~}Ì wyxCz×C†yÌEÍEƒGwÌfÒ/wyxCzÈwyxC†yzLzÈwy†y| ×CÑ z€}Ñ | =SzÄ쫈aíG‡Úènx ƒ}  zùÌSÛEwNuf| ‚vuœ{[uf× Γ(Q ) → V ‡ ènxC|~}{[ufב„ xC|~Nxv|~}LufÑ Ñ z€ÍïwyxCÖz ÅùBEXX[RUDÈX[Zyød„d|~}uœxCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ïc‡ ?zÍEzL‚CÌfwyz | wN}/| {[ufSz"Û Ó  W ± UÑ z€uf†yÑ Ó W |~}^wyxCz}zUwÌfÒµwyxCÌa}znwy†y| ×CÑ z€} m ÒÃÌS†  xC|~Nx>ìrË­í©|~}}ÌSÑ ƒCÛCÑ z | ‚ Q ‡ùènxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†S†yÌSƒC×vÌfÒ Γ Luf‚?‚CÌ  Ûµz|~ÍEzL‚awy| z€Í  | wyx U ∩ W  xCzL†yz ÒÃÌS†uS}  uS}"‚CÌfwyz€Í>ufÛµÌ\®SzS„‘ìrË­ín|~}}ÌSÑ ƒCÛCÑ zÈu\wzL®SzL†yӜ×C†y| { zÈÌSƒEwN}|~ÍEz W =⊕ W ± | / Ò f u  ‚ Ä Í S Ì C ‚ Ñ œ Ó | © Ò y w xCzÁzLÑ zL{ zL‚awN}nÌfÒ m uf†yzÚ| ‚ X ‡ B j

p

1

1 2 3

p

p

2

3

i

p

p∈B p

B

p

∗ B

B

p ∗ B

∗2 B

B

1

2

3

i

B

B

1

B

B

B

2 1 2

3

B

p

1

2

3

p

1

1

2

1

3

1

2

1

3

p

p

p

p

B

B

p∈B

p

B

B

p

r C u°wh  {»

% t‰

w

 h{Ã8

µ)°

{

ð®SzL†*wyxCzÁÓSz€uf†N}L„ {[uf‚ Ӝ׵zLÌS×CÑ zÚ{ùƒ}rwxu­®Sz‚CÌfwy|~Uz€Íºwyxu\w

Ãì Õ í dim W = dim U = dim V . ènxCzȂCzU£ w{[urÌS†}rwyzLב„  xC|~Nx>zU£E×CÑ~uf| ‚}uf‚Íï{[u­Ó  zLÑ Ñ‘xu­®SzÁÛµzLzL‚>| ‚}×C| †yz€ÍïÛ ÓœwyxC|~} †yzLÑ~u\wy| ÌS‚‘„  uS}wNu =SzL‚Û Óè©u\wyzS‡H’z[| ‚awy†yÌEÍEƒUz€Í?wyxCz[ÛC| Ñ | ‚Cz€uf†ÚÒÃÌS†y{ e ÌS‚ V × V „ ÍEKz ‚Cz€ÍÄÛ Ó B

1 2

B

B

p

zL†yz

0

00

0 1

00 1 p

0 2

00 2 p

0 3

p

p

00 3 p

e (m , m ) = (m , m ) (m , m ) (m , m ) . ~ | n } y w C x zJ’| Ñ ÛµzL†w}Ó {ùÛµÌSÑ  | wyxï®\ufÑ ƒCz€}n| ‚ {±1} „EÍEzK‚Cz€ÍÄÛ Ó (u, v) ( | Ò ux + vy = 1 |~}"}ÌSÑ ƒCÛCÑ zÚ| ‚ Q , 1 (u, v) = ÌfwyxCzL†  |~}z . −1 ènxCzJ’| Ñ ÛµzL†w}Ó {ùÛµÌSÑJ|~}"}Ó { { zUwy†y|~Úuf‚ÍÄ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ®SzÚ| ‚ïz€uSNxïuf†ySƒC{ zL‚aw'F p

’

p

2

2

p

p

(u, v)p = (v, u)p

and (u1 u2 , v)p = (u1 , v)p (u2 , v)p .

dz€Gwy| ®SzLÑ Óv| wÁ|~}Áuº†yzL×CÑ~uSUzL{ zL‚awÒÃÌS†wyxCz^aƒuSÍE†Nu\wy|~ù†yz€}|~ÍEƒCz }Ó {ùÛµÌSѾ„ | wyx?wyxCz[uSÍ ‰ ®\uf‚awNufSzÈwyxu\wÚ| wwy†yz€u\wN}wyxCz×C†y| { z€} Ï uf‚Í ∞ | ‚Crƒ}rwwyxCz[}yuf{ z  u­ÓïuS}uf‚ ÓïÌfwyxCzL† ×C†y| { zS‡/îwN}nÌfwyxCzL†A=SzLӜ×C†yÌS×µzL†wrӜ|~}*wyxCzJ’| Ñ ÛµzL†w×C†yÌEÍEƒGw"ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u ;0<

Y

(u, v)p = 1,

xCzL†yzÚwyxCzÁ×C†yÌEÍEƒGw|~}nwNu=SzL‚ÄÌ\®SzL†ufÑ Ñ | ‚UÑ ƒÍE| ‚C ± wyxCzÈÑ zUÒPwxuf‚Íï}|~ÍEzÁ|~}"{ z€uf‚E‰ Í×C†y| { zœu\w  xC|~Nx u uf‚Í v uf†yz | ‚CfÒÃCÑÛµz€Lufƒ}z (u, v) = 1  xCzL‚CzL®SzL† p p |~}Èuf‚ ÌEÍC∞ ƒC‚C| wN}L‡ ènxCzùÛC| Ñ | ‚Cz€uf†ÒÃÌS†y{ |~}‚CÌS‚E‰YÍEzLSzL‚CzL†Nu\wyzÈuf‚Í?ufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚CœÌS‚ zùƒ}z | w'wyÌÍEKz ‚Cz e = Q e e „  xC|~Nxœ|~}*uÁ‚CÌS‚E‰YÍEzLSzL‚CzL†Nu\wyzufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚CVÈ×ÛC| Ñ V| ‚Cz€±Muf †ÒÃÌS†y{ ÌS‚ V × V ‡"Îì DCÌS†*uÈÛC| Ñ | ‚Cz€uf†ÒÃÌS†y{  | wyxº®\ufÑ ƒCz€}| ‚ {±1} DŽ €}Ó { { zUwy†y|~W‚uf‚ÍJ€}=Sz  ‰ }Ó { { zUwy†y|~W ‚Äuf†yzºwyxCzï}yuf{ zïuf‚͙wyxCzLәz€uSNx–{ z€uf‚”wyxu\w e(m , m ) = e(m , m ) ± €ufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚C  ‚n{ z€uf‚}/wyxu\w*ufÑ~}Ì ‡ íȁîw'|~w} = ‚CÌ ‚ÒÆyÌS{4UÑ~uS}y} zLÑ~Í wyxCzLÌS†yÓ wyxu\w U |~} uv{[u\£E| {[ufÑn|~}Ìfwy†yÌS×Ce(m, |~º}ƒCm) Û}×=uSU1zºÌfÒ V ‡”è© u\wyzï}xCÌ  z€Í wyxu\w W |~} u {[u\£E| {[ufÑn|~}Ìfwy†yÌS×C|~º}ƒCÛ}×uSUzºÌfÒ V „*uf‚͙wyxCzL†yzUÒÃÌS†yz W |~} u?{[u\£E| {[ufÑn|~}Ìfwy†yÌS×C|~ }ƒCÛ}×uSUzÌfÒ ‡/ènxC|~}*zU£E×CÑ~uf| ‚}ìÃÕ í*uf‚͜}xCÌ }wyxu\w*wyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†*S†yÌSƒC×[ÌfÒ Luf‚ ÛµzÁ|~ÍEzL‚awy| z€Í V | wyx>ÛµÌfwyxÄwyxCzÁÑ zUÒPwuf‚ͺwyxCzÁ†y| S xaAw =SzL†y‚CzLÑJÌfÒwyxCzȆyz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚ºÌfÒ eΓ wyÌ ‡ U ×W DCÌS†ÚÛµÌfwyx™ufz€}rwyxCzUwy|~ uf‚Í?×C†NuSGwy|~LufÑ/†yz€uS}ÌS‚}L„dÌS‚Cz ÌSƒCÑ~Í?Ñ | =SzwyÌ>}xCÌ wyxu\wÚwyxC|~} †yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚–|~}[}Ó { { zUwy†y|~ÄÌS†[} =Sz  ‰Y}Ó { { zUwy†y|~f‡2…*ƒEw[ wyÌ {[u =Szï}ƒNx)u  }rwNu\wyzL{ zL‚aw { z€uf‚C| ‚CfÒÃCÑ  z[‚CzLz€Í™uf‚ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ ÛµzUw  zLzL‚ U uf‚Í W ± uf‚ÍwyxCÌSƒCSxwyxCzLÓ xu­®Sz>wyxCz}yuf{ z?}rwy†yƒGwyƒC†yzuS}œ®Sz€GwyÌS†Ä}×uSUz€}œ| wÄ|~}º‚CÌfwÄÌSÛ ® | ÌSƒ}?ìÂCÌS†Äuf×C×uf†yzL‚awyÑ Ó zL®SzL‚ºwy†yƒCz­í'wyxu\w"wyxCzL†yzÚ|~}u‚u\wyƒC†NufÑJ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ØÛµzUw zLzL‚ÄwyxCzL{ï‡ènxCz u­Ó[†yÌSƒC‚Í wyxC|~}ùÌSÛ}rwNuSUÑ z[†y'z ^aƒC| †yz€}ÚwyxCzÄUÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚ | ‚}|~ÍEzœz€uSNx  V ÌfÒu>{[u\£E| {[uf Ñ'|~}Ìfwy†yÌS×C|~ }ƒCÛ}×uSUz K }ƒNx[wyxu\w V = U ⊕ K  xCzL†yz K = ⊕ K ‡/Ù}y}ƒC{ | ‚CÈwyxu\w p

p

p

B

B

p

p

p∈B p

B

0

B

00

0

p

B

p

00

B

B

B

B

B

B

B

p

p

B

B

B

B

p∈B

p

vu

 

t

., . ⓻{

}ƒNxº}×uSUz€} K Luf‚ºÛµzÚUÌS‚}rwy†yƒGwyz€ÍJ„aÑ zUw uf‚Í  †y| wyz K p

B



xCzL†yz

0 UB = UB ∩ (WB + KB ),

Wp0 = Wp /(Wp ∩ Kp )

uf‚͜wyxCzÁÛC| Ñ | ‚Cz€uf†nÒÃC‚Gwy| ÌS‚

q

“»{

q

‹u

µ)µ

yZƒ |

t B : VB → U B

ÛµzwyxCz×C†yÌrz€Gwy| ÌS‚ºufÑ ÌS‚C

0 WB = WB /(WB ∩ KB ) =

‡ènxCzÁ{[uf×

M

| ‚ÍEƒUz€}uf‚Ä|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{

tB

p∈B

Wp0

0 0 τB : WB → UB ,

eB

| ‚ÍEƒUz€}uÛC| Ñ | ‚Cz€uf†nÒÃC‚Gwy| ÌS‚

0 0 e0B : UB × WB → {±1}.

ènxCzÁÛC| Ñ | ‚Cz€uf†nÒÃC‚Gwy| ÌS‚} U × U → {±1} uf‚Í W × W → {±1} ÍEzK‚Cz€ÍÄÛ Ó ì¾ŠSí θ : u × u 7→ e (u , τ (u )) and θ : w × w 7→ e (τ w , w ) Luf‚?Ûµzœ}xCÌ  ‚vwyÌÄÛµzœ}Ó { { zUwy†y|~f‡ÄìÎDCÌS†wyxC|~}Áuf‚Í?{ Ìa}rwÈ}ƒCÛ}z'^aƒCzL‚awÁuS}y}zL†wy| ÌS‚}  z uf×C×µz€ufÑJwy̺Ð*uS}y}zLÑ~,}  }nñ†y| ‚U| ×CÑ z F'ufÑ ÑJ®Sz€GwyÌS†}×uSUzÚÑ zL{ {[uS} xC|~Nx>uf†yzwy†yƒCzÁuf†yzwy†y| ®a‰ |~ufѾ‡ ƒí ’zL†yzÁwyxCz| {[ufSz€}ÌfÒ w × w ƒC‚ÍEzL†wyxCz}z€UÌS‚Í>{[uf ×?uf‚Í>ÌfÒ τ w × τ w ƒC‚ÍEzL†ÚwyxClz †N}rwÈ{[uf× uf†yzwyxCz[}yuf{ zS‡œènxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†ÁS†yÌSƒC×?ÌfÒ |~}Á|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ÈwyÌ ÛµÌfwyx?wyxCz Ñ zUÒPwÈuf‚Í>wyxCz †y| Sxaw =SzL†y‚CzLÑ^ÌfÒ e „uf‚ÍvxCzL‚Uz ufÑ~}̺wy̺ΓwyxClz =SzL†y‚CzLÑ~}ÌfÒwyxCz w  Ì {[uf×}Á쾊SíG‡ ènxCzL†yz?|~}ïUÌS‚}|~ÍEzL†NufÛCÑ zvÒÆyzLz€ÍEÌS{ | ‚ NxCÌ Ìa}| ‚C”wyxCz K „Úuf‚Í wyxC|~}ĆNuf|~}z€}œwyxC†yzLz ÌSÛ ® | ÌSƒi} ^aƒCz€}rwy| ÌS‚,} F Ÿ r}*wyxCzL†yzÁu[Luf‚CÌS‚C|~LufÑJNxCÌS|~UzÚÌfÒwyxCz K B u =Sz U uf‚Í W B Ÿ ’Ì  }{[ufÑ Ñ‘Luf‚  zÚ{[ * Ð f u ‚

z L z  ‚  } C ƒ y † ù z y w  x \ u Á w wyxCzÒÃC‚Gwy| ÌS‚}[쾊SíÚuf†yz‚CÌfwÁ{ zL†yzLÑ Óv}Ó { { zUwy†y|~ÛCƒEwÈufÑ ‰ Ÿ wyzL†y‚u\ wy| ‚CZ B ènxCzÚ{ Ìfwy| ®SzÒÃÌS†nzL‚}ƒC†y| ‚CÈwyxu\wnwyxCzÒÃC‚Gwy| ÌS‚}Á쾊Sí*uf†yzufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚C|~}'wyxu\wnwyxCzL‚ºwyxCz †Nuf.‚ =E}ÚÌfÒ*wyxCz€}z ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}Èuf†yz zL®SzL‚ ± wyx ƒ}ÚwyxCzL| †ùUÌS†Nuf.‚ =E}L„  xC|~Nx™uf†yz 'z ^aƒufÑ^wyÌïwyxCz ÍE| { zL‚}| ÌS‚ ÌfÒwyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†/S†yÌSƒCב„Suf†yznUÌS‚CS†yƒCzL‚aw/{ ÌEÍ Ï wyÌ dim U uf‚Í dim W ‡ ènxCznuf‚} zL†wy̏wyxCz †N}r0w ^aƒCz€}rwy| ÌS‚uf×C×µz€uf†N}wy̏۵zn‚CzLau\wy| ®SzS„­wyxCÌSƒCSxÈwyxCzL†yzn|~}©Ñ | wwyÑ z ÒÆyzLz€ÍEÌS{¢| ‚ù wyxCz"ÌS×Ewy| {ùƒC{ NxCÌS|~UznÌfÒwyxCz K ¹×uf†wy|~UƒCÑ~uf†yÑ ÓÁ| ÒµÌS‚Cz  |~}xCz€}©wyÌÚÌSÛEwNuf| ‚ ‚CÌfw"{ zL†yzLÑ CÓ j‘zL{ {[uºËÛCƒEwènxCzLÌS†yzL{ Ï w‡ X | ‚Uz U ⊃ U ∩ W „ wyxCzÚÛµz€}rw"×µÌa}y}| ÛCÑ z uf‚}  zL†nwyÌ wyxCzÈ}z€UÌS‚ŒÍ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚  ÌSƒCÑ~ÍÄÛµzÚwyxu\w  zÈLuf‚ïuSNxC| zL®Sz U = U ∩ W ± zÁÍEÌwyxC|~}"Û ÓÄ}yu\wy|~}rÒÃÓ | ‚CùwyxCzÈ}rwy†yÌS‚CSzL†n†y'z ^aƒC| †yzL{ zL‚aw  ì«Üaí W = (U ∩ W ) ⊕ (K ∩ W ). DCÌS†n}ƒC×C×µÌa}zwyxu\wÁì«ÜaíxCÌSÑ~ÍC} wyxCzL‚ uf‚Í[| wnÒÃÌSÑ Ñ Ì  } ± W + K = (U ∩ W ) + K | { { z€ÍE|~u\wyzLÑ Óœwyxu\w ìî‹fí U = U ∩ (W + K ) = U ∩ W . 0 B

[ B

0 1

0 2

0 B

0 B

0 1

0 B

−1 B

0 1

] B

0 2

0 B

0 1

0 2

0 B

0 2

0 1

B

B

0 1

0 2

B

0 2

0 B

p

0

0

p

0 B

p

0 B

B

B

0 B

B

0 B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

0 B

B

B

B

B

B

r C u°wh  {»

% t‰

w

 h{Ã8

‡Hˆ)ˆ

{

ènxCzÚ{ Ìfwy| ®\u\wy| ÌS‚ºÒÃÌS†Áì«Üaí*|~}'wyxu\w z uf‚awnwyÌ {[u=Sz uS}*Ñ~uf†ySzÚuS}*×µÌa}y}| ÛCÑ z ¹æwyxu\w|~}L„ wyÌ[NxCÌ Ìa}z K }Ìwyxu\ wuS }n{ùƒNxºÌfÒ^| wuS}*W×µÌa}y∩}| KÛCÑ zÚ|~}"UÌS‚awNuf| ‚Cz€Íœ| ‚ W ‡ …*ƒEw*Ûµz€Lufƒ}z {ùƒ}rw*ÛµzUÌS{ ×CÑ zL{ zL‚awNuf†yÓùwyÌ „ ÌS‚CÑ ÓwyxCz×uf†w'ÌfÒ W  xC|~Nxœ|~} UÌS{ ×CÑ zL{ zL‚awNufK†yÓ wyÌ W ∩ U |~}u­®\uf| Ñ~ufÛCÑ zÒÃÌS†nUwyxC|~}"×CƒC†y×µÌa}zS‡ X | ‚UzwyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†S†yÌSƒC× |~}|~ÍEzL‚awy| z€Í | wyxÈwyxCz'Ñ zUÒPw/uf‚ÍÁ†y| Sxa4w =SzL†y‚CzLÑ~} ÌfÒ"z€uSNx™ÌfÒnwyxCzœÒÃC‚Gwy| ÌS‚}ºì¾ŠSíGU„^| Òù∩W ìî‹fíÁxCÌSÑ~ÍC}ÚwyxCzL‚™wyxC z€}z[ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}uf†yz wy†y| ® |~ufÑ*uf‚Í wyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÁufÑ wyzL†y‚u\wy| ‚C‡^ènxCzÚÒÃÌS†y{[ufё}rwNu\wyzL{ zL‚aw"ÌfÒ©wyxC|~}"|~}"uS}*ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }L‡ & ’•Å•¬« – n ] RÚKNZ\OvKNMC¼€¼­ILRÁX[,Z +SFPX[Z\TdF~IL¼\½¾Dy¼yødF«KIGBãGI¾øZSKNRGI ¿U¼\DÁRNZSKNM p FPO K ⊂V L I [ ¼ à ½ C M \ Z ½ ] RùKNZ\O¿NBEDG½ÃMCRUDùRUOCIGBEDyRÁ½ÃMCZ\½ B V =U ⊕K œ B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

p

B

B

p

B

WB = (UB ∩ WB ) ⊕ (KB ∩ WB ),

©M F«KNM?FPXødT F«RGI U = U ∩ W œ šÃ¿ÁIL¼Çbn½ÃMCRn¿NBEOdKU½¾F«¼\OCI θ Z\OdÉ θ ÉSRÎOdRNɺFPO (5) Z\DyRȽ¾DGFPÀ€F«Z\T œ @‚EÒÃÌS†wyƒC‚u\wyzLÑ ÓºwyxCzÈÌfwyxCzL†×C†yÌS×µzL†wy| z€}"ÌfÒ^wyxCz NxCÌa}zL‚ï| ‚ïwyxC|~} u­ÓÄuf†yzÁ‚CÌfwu\w ufÑ ÑÌSÛ ® | ÌSƒ}L‡ ’zL‚Uz| w*|~}*uSÍE®\uf‚awNufSzLÌSƒ}©wyÌùUÌS‚}|~KÍEzL†'ÌfwyxCzL††yz€U| ×µz€}/ÒÃÌS †*NxCÌ Ìa}| ‚CÚwyxCz „dÒÃÌS† xC|~Nx)ì«ÜaíÍEÌ z€}‚CÌfwÁxCÌSÑ~ÍvÛCƒEw  z Luf‚}rwy| Ñ Ñ/×C†yÌ\®SzÁwyxu\wÚwyxCzÒÃC‚Gwy| ÌS‚}[쾊Sí K uf†yzÁufÑ wyzL†y ‚u\wy| ‚C‡ DCÌS†wyxC|~} ×CƒC†y×µÌa}z z †y| wyz uS}ùwyxCz>ÍE|~t} rÌS| ‚aw[ƒC‚C| ÌS‚2ÌfÒ uf‚Í „ xCzL†yz z [}xufÑ Ñ/ufÑ  u­ÓE}}ƒC×C×µ Ìa}z wyxu\w ÏBuf‚Í ∞ uf†yzÛµÌfwyx| ‚ B l‡ DCÌSB†Èuf‚ Ó>ÌEÍCBÍ?×C†y | { z p zœÍEzL‚CÌfwyz Û Ó T wyxCzœ}ƒCÛ}zUwÈÌfÒ V UÌS‚}|~}rwy| ‚CïÌfÒ*wyxCÌa}zwy†y| ×CÑ z€} (µ , µ , µ )  | wyx  ÒÃÌS† xC|~Nx?z€uSNx |~}| ‚ ¹Öwyxu\wÚ|~}L„‘z€uSNx |~}wyxCz | {[ufSzÌfÒ µ µ µ =1 u p‰YuSÍE|~ÁƒC‚C| w€‡Úèn xCz{[uf| ‚v×µÌS| µ‚awÌfÒ/wyxCzùo ÒÃ/oÌSÑ Ñ Ì  | ‚C[wyxCzLÌS†yzL{ |~}wyxµu\wÒÃÌS† p | ‚ B | w zL‚ufÛCÑ z€}ȃ}ÈwyÌ?†yzL×CÑ~uSUz[wyxCzÄUÌS{ ×CÑ |~Lu\wyz€Í™| ‚ÍEƒGwy| ®SzÄÍEKz ‚C| wy| ÌS‚”ÌfÒ K ƒ}z€Í™| ‚™wyxCz ×C†yÌ ÌfÒ^Ìf0Ò j‘zL{ {[uïËÁÛ ÓœwyxCzÈ{ùƒNx>}| { ×CÑ zL†NxCÌS|~Uz K = T i‡ ’Ì  ÌS‚CzÈNxCÌ Ìa}z€} B ÍEzL×µzL‚ÍC}"ÌS‚ºwyxCzÁ×uf†wy|~UƒCÑ~uf†"uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚  xC|~NxïÌS‚CzÚxuS}n| ‚ï{ | ‚ÍJ‡ ãNRœ½ÃMCRÄÉ\F~2I ÈL¼\FPO½ÁBEOF«¼\O)¼r¿ Z\OdÉ ] RÄKNZ\O 
‘D’“‹”’• ¨ n 9RU½ KN¼\OCIG½¾DGBKU½'X[,Z +SFPX[Z\T‘BF~IL¼\½¾Dy¼yødF«KÈIGBãGI¾øZSKNRGI K ⊂ V BIGB⊃KNMï{2, ½ÃMCZ\∞} ½ V = UB ⊕œ K b ìò í W = (U ∩ W ) ⊕ (K ∩ W ) Z\OdÉ K = T ¿U¼\DZ\TPT p FPO B Å Z\OdÉ (8) FPXødT F«RGI½ÃMCZ\½ U = U ∩ W œ G?¼\DyRN¼\À\RUD
ì«çaí U = U ⊕τ W = U ⊕ ⊕ τ W , Z\OdÉ[½ÃMCRÈDyRGIG½¾DGF«KU½¾F«¼\O ¼r¿ θ ½Y¼  U ×  U F~IÁ½¾DGFPÀ€F«Z\T œ šÃ¿ KN¼\O½YZ\FPOCI?Z\TPT½ÃMCR¼€ÉSÉïødDGFPX[RGI IGBKNM2½ÃMCZ\½½ÃMCR Z\DyRvOd¼\½[Z\TPT KN¼\O ÅfDGBBRUO½ mod 2 b½ÃMCRUO–Â'RÄKNZ\O)KNMC¼€¼­ILRºp½ÃMCR K ¿U¼\D p FPO vB(c IL−¼v½ÃcMCZ\) ½ÁZ\T IL¼ θ F~I Z\T ½YRUDGOdZ\½¾FPO Åļ\O U œ ènxCzºuf×C×µz€uf†Nuf‚Uz ÌfÒ  U | ‚”uf‚ˆÍ rƒ}rwu\ÒPwyzL†Äì«çaíÁLufÑ Ñ~}ÚÒÃÌS†ù}ÌS{ zœzU£E×CÑ~uf‚u\wy| ÌS‚‘‡ j‘zUw Ûµzuf‚ ÓùzLÑ zL{ zL‚aw'ÌfÒ U ± wyxCzL‚ u |~}/| ‚ U ‡/t>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„­ÒÃÌS† p | ‚ B wyxCz| {[ufSz u 0 B

B

] B

[ B

B

p

p

0

00

0

p

p

1 2 3

i

∗ p

1

∗2 p

2

3

i

00

p

p

00

p

0

p

B0

p

B0

p

B0

0 B

∗

0 B0

[ B

B

0 B00

0 B0

0 B0

∗

∗

B0

B0

0 p

p∈B00 B

p

0 B

0 B0 0 B0

B

0 B0

p

∗

B

B0

0 B0

∗

0

B

B0

00

p

00

B

i

j

0

[ B

00

t

vu

 

., . ⓻{

q

q

“»{

‹u

‡Hˆ‡

yZƒ |

ÌfÒ u | ‚ V |~}| ‚ T = K uf‚ÍÄwyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÈ| ‚ K + W ± xCzL‚Uz u |~}| ‚ U ‡Y‚ïwyxC|~} u­Ó zœÍEzK‚Czºuï{[uf× xC|~Nx |~}ÈUÑ z€uf†yÑ Óuf‚ | ‚rz€Gwy| ÌS‚”uf‚Í  xC|~Nx  z  ÍEzL‚CÌfwy zS„  | wyxv}ÌS{ zÁufÛCƒU}zÚÌfÒ©→‚CÌfwNUu\wy| ÌS ‚‘„EÛ Ó  ‡ j‘zL{ {[u–Ëï|~}wyxCz>}×µz€U|~ufÑLuS}zÄÌfÒÚènxCzLÌS†yzL{ uf‚Í |~} Ï | ‚ xC|~Nx zL{ ×EwrÓS‡>…*ƒEwÈwyxCzœ×C†yÌ ÌfÒnÌfÒcj‘zL{ {[u ˜|~}Èu>‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓ? }rwyzL×;ì«ufB‚Í =| ‚ÍEBzLz€ÍwyxCzœB{ Ìa}rw }ƒCÛ}rwNuf‚awy|~ufÑE}rwyzL×µí©| ‚ùwyxCzn×C†yÌ ÌfÒµÌfÒµènxCzLÌS†yzL{ Ï ‡/ð‚Czn{[u rÌS†^uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ÌfÒdènxCzLÌS†yzL{ Ï |~}nwyÌ w |~}rwyz€ÍÄUƒC†y®Sz€} „ xCzL†yz zÈLuf‚ºwNu =Sz wyÌ ÛµzÈuf‚ï| ‚awyzLSzL†€‡0j‘zUw ÍEzL‚CÌfwyz wyxCzù}zUwÌf Ò/ÛuSÍÄ×C†y| { z€}nΓÒÃÌS† Γ | wN}zLÑ Ò© ¹ wyxu\w|~}L„ 2,b ∞ uf‚ͺwyxCzÈÌEÍCÍï×C†y| { z€S}ÍE| ® |~ÍE| ‚C uf‚ÍùÑ zUw ÛµznwyxCz"}zUwÌfÒµÛuSÍù×C†y| { z€}©ÒÃÌS† „ xC|~Nx (c −c )(c −c )(c −c ) ± wyxCzL†yzUÒÃÌS†yzUÌS‚awNuf| ‚}ufÑ ÑCwyxCzÌEÍCÍ[×C†y| { Bz€}'⊃ÍES| ® |~ÍE| ‚C b 0‡ DCÌS†*}| { ×CÑ |~U| wrÓ  zuS}y}ΓƒC{ zn wyxu\w |~}nuȃC‚C| wu\wnzL®SzL†yÓ×C†y| { zÌfÒ ‡"tì ?zÁLuf‚ºufÑ u­ÓE}'uf†y†Nuf‚CSz"wyxC|~}*Û Ó wy†yz€u\wy| ‚C uS} b wyxCzw  |~}rw*ÌfÒ Γ Û Ó b/c „  xCzL†yz Sc |~}/wyxCzÑ~uf†ySz€}rw* ÍE| ® |~}ÌS†ÌfÒ b  xC|~Nxœ|~}'uȃC‚C| w*ÌSƒEΓwN}|~ÍEz ‡ í èÌïÍEz€}yU†y| ÛµzùwyxCz Kz ènxCz[w  Ìv{[u rÌS†ÁÒ«uSGwNJ} = ‚CÌ  ‚™ufÛµÌSƒEw d uf†yCz j‘zL{ {[uvˆvuf‚Í ènxCzLÌS†yzL{ Š ± j‘zL{ {[uºˆœ|~}uf‚>z€uS}Ó>UÌS‚}'z ^aƒCzL‚UzÈÌfÒ/wyxCzùÑ~uS}rwÚ}zL‚awyzL‚UzùÌfÒ'ènxCzLÌS†yzL{ Ï „Cuf‚ÍïènxCzLÌS†yzL{ Šù|~}uf‚Äz€uS}ÓºUÌS‚}'z ^aƒCzL‚UzÌf0Ò j‘zL{ {[uÕ ÛµzLÑ Ì  ‡ & ’•Å•¬«ñ² n šÃ¿ F~I[FPO ¿U¼\DÄRUÀ\RUD  b½ÃMCRUO ©MCRUDyR W = ⊕b W oZ\OdÉ[½ÃMCR W pX∈B IG½nSãNRÉSÎR OdRNdÉ[Â/≡FP½ÃM>dim(U DyRGI¾øRNKU½'∩½Y¼ WΓ )Z\Odmod É[Od¼\2½ Â/FP½ÃM[DyRGI¾øRNKU½^½Y¼ HdM B I d mod 2 ¼\OT ÉSRîøRUOdÉ­I¼\OĽÃMCRÚKUT Z­INILRGIÚ¼r¿ b FPOĽÃMCR k /k ¿U¼\D p FPO S œ Γ œ èÌ×C†yÌ\®Sz j‘zL{ {[uÕ zڂCzLz€ÍœwyÌwNu =Sz wyx ƒ}*wyxCzÚÑ~uS}rw}zL‚awyzL‚UzÚÌfÒ ènxCzLÌS†yzL{ Ï |~}n‚CÌfwuf×C×CÑ |~ LufÛCÑ zwyxCÌSƒCSxºwyxCzÁB†yz€=}rw"SÌfÒ©\wyx{p} u\wnwy± xCzLÌS†yzL{ |~}L‡ IGBKNMï½ÃMCZ\½ & ’•Å•¬«Ú¤ n 9RU½ ãNRZ\O ¼€ÉSÉÚødDGFPX[RÈFPO p S p

p

p 0 B0

p

0 B

0 B

p

∗

0

00

b

1

2

1

3

2

3

b

b

c

b

b

2

1

b

b

b

b

∗ p

p∈S

S

b

p

S

p

S b

b

∗ p

∗2 p

0

vp (c1 − c2 ) > 0,

vp (c1 − c3 ) = vp (c2 − c3 ) = 0.

RU½ b FPO k ãNRºIGBKNM–½ÃMCZ\½ b F~IÄFPO k ¿U¼\D>Z\TPT q FPO S ¼\½ÃMCRUDĽÃMCZ\O p Z\OdÉ b F~I>Z HdMCRUO d Z\OdÉ d MCZ\À\R ¼yøSø¼­IGFP½YR"øZ\DGFP½¾F«RGI œ
BZSÉ\DyZ\½¾F«KùOd¼\OWYDyRGIGF«É\BRùZ\½ pœ îw©|~}‚CÌfw©xuf†N͏wy̏}rwNu\wyz'uf‚ÍÁ×C†yÌ\®Sz^wyxCz*uf‚ufÑ ÌSSƒCzÌfÒ.j‘zL{ {[uÕ"ÒÃÌS†wyxCz*LuS}z „ wyxCÌSƒCSxwyxCzœ×C†yÌ ÌfÒ*Ò«ufÑ Ñ~}ÈÌSƒEwN}|~ÍEz wyxCzœ{[uSNxC| ‚CzL†yÓÍEz€}yU†y| Ûµz€Í| ‚ wyxC|~}ù}zL{ | ‚ufp†€‡Ä=èn∞xCz UÌS{ùÛC| ‚u\wy| ÌS‚vÌfÒwyxC|~}†yz€}ƒCÑ wÁuf‚ƒÍ j‘zL{ {[uºÕºÓ | zLÑ~ÍC}ÚènxCzLÌS†yzL{ ŠE‡[ì«ènxCz[uf‚ufÑ ÌSSƒCzÈÌfÒ j‘zL{ {[uùÕùÒÃÌS† Luf‚ºÛµzÁUÌS‚ µÍEzL‚awyÑ ÓœuS}y}zL†wyz€ÍJ„ ÌS‚œwyxCzÚÛuS}|~}*ÌfÒ©uùÑ~uf†ySzuf{ ÌSƒC‚aw ÌfÒ‚ ƒC{ zL†y|~LufѵzLp® =|~ÍEzL2‚UzS„Euf‚Í wyxCzÚ×C†yÌ ÌfґÌfÒ| wn×C†yÌSÛufÛCÑ Ó †y'z ^aƒC| †yz€}‚CÌ‚Cz  |~ÍEz€uS}L‡^…*ƒEw 9

∗

∗2 q

b

‡Hˆp

w

 h{Ã8

r C u°wh  {»

% t‰

{

zL®SzL‚wyxCz}rwNu\wyzL{ zL‚aw| ‚ ®SÌSÑ ®Sz€}^}ÌÁzU£ wyzL‚}| ®Sz"uÁ}zL×uf†Nu\wy| ÌS‚ùÌfÒJLuS}z€}©wyxu\w'| w|~}/ƒC‚CÑ | =SzLÑ Ó }Ì ÌS‚ºwyÌ[uf×C×µz€uf†"| ‚ï×C†y| ‚aw€‡ í 
‘D’“‹”’•ÇÆ n 9RU½ b , b FPO k ãNRºIGBKNM–½ÃMCZ\½ b /b F~I>ZBEOFP½ÈZ\½Z\TPT p ∈ S Z\OdÉ ãNR½ÃMCRILRU½¼r¿ p ∈ S ¿U¼\DÂ©M F«KNM b /b F~IOd¼\½^FPO k œ 9RU½ 9RU½ b /b ≡ 1 mod 8 œ S N K \ ¼ C O G I ~ F G I ' ½ r ¼  ¿ à ½ C M R  OFP½YRÁ¼€ÉSÉ FPO ¿U¼\D©M F«KNMĽÃMCR Z\DyROd¼\½Z\TPT‘R
BZ\T S Z\OdÉ[½ÃMCRÁIGX[Z\TPT RGIG½*½¾Â'¼º¼r¿Á½ÃMCRUX pZ\DyRSRUÀ\RU.O b½Y¼yÅaRU½ÃMCRUDÁÂ/FP½ÃMv ∞(c −F ¿ bc /b) < 0 œ HdMCRUO 0

0

00

∗∗

00

∗

0

00

∗

0

∗

db0 − db00 ≡ #S

p

∗∗

mod 2.

i

00

j 0

∗2 p

00

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»ÄÕÅÄÕBl È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

Ü|älÛCÞ؃ÙNä ã!ŒØ\ÞÙNیÚ

Úwømú%Jóڍ÷8ø$“$%õúö)"$

à Þ<mŒâÜ âñßÚ0݉Ü|àeä8×HâCÚ

؃Ù

ñ0/eõú

мР" þ$çl(  Ãòyè!–  Ð & ì%&  éC&! " é é Wþÿ
   W' è!òkç+&!%c  'þ ü¬  òyè! é\ý$è&.þcç+&!%c  'þsç Ï  Kü Ï þ%ÿ1 )+*-,/.!0214"3 1[3< 2[5< 4D< 6@6FF:A)? (CF8H 7v(:A(B=+S55&wb<7!95+<W97b<-E-,  \

KML!NO-PQR!OS « ¿ Ê ÍW] V

WY a WY Z

ÍmÍ Ï ¾ WÌ Ê Ï A¾ ÏmÊ

]g_`.ÌWa ÏmÊ _ É a \Í V -Ì `ya]Ž¾ŽÍÀ

ènxCzL†yznuf†yzn}rwy| Ñ ÑE| { ×µÌS†wNuf‚aw/ƒC‚}ÌSÑ ®Sz€ÍÈ×C†yÌSÛCÑ zL{[}^ufÛµÌSƒEw/†Nu\wy| ÌS‚ufÑa×µÌS| ‚awN}^ÌS‚ UƒC†y®Sz€}L„ CÛ ƒEw| wÍEÌ z€}"‚CÌfwuf×C×µz€uf†nwyxu\w"wyxCzLÓÄLuf‚ïÛµzÈu\wwNuSW=Sz€ÍºÛ ÓºzLÑ zL{ zL‚awNuf†yӜ{ zUwyxCÌEÍC}L‡nð‚ wyxCzùÌfwyxCzL†xuf‚ÍJ„wyxCzùSzLÌS{ zUwy†y|~ÈUÑ~uS}y}| µLu\wy| ÌS‚ïÌfÒ/®\uf†y| zUwy| z€}L„  xC|~Nx>{ùƒ}rwÛµzu[×C†yzU‰ †yz'^aƒC|~}| wyz^ÒÃÌS†©}rwyƒÍEÓ | ‚CnwyxCz'uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í‚ ƒC{ùÛµzL†JwyxCzLÌS†yÓS„€|~}‘ÌS‚CÑ Ó†yz€uS}ÌS‚ufÛCÑ ÓUÌS{ ×CÑ zUwyz | ‚ºÍE| { zL‚}| ÌS‚}Ëuf‚Í Ï ‡^ènxC|~}*}ƒCSSz€}rwN}/wyxu\w*ÌS‚Cz}xCÌSƒCÑ~͜UÌS‚UzL‚awy†Nu\wyzÌS‚ wyxCzÚ}rwyƒÍEÓ ÌfÒJ†Nu\wy| ÌS‚ufÑE×µÌS| ‚awN}ÌS‚œ}ƒC†Ò«uSUz€}L‡©ènxCz}| { ×CÑ z€}rw*}ÌS†wÌfґ}ƒC†Ò«uSUz€}uf†yznwyxCÌa}zÍEz€}yU†y| Ûµz€Í Û Ó>wyxCz[SzLÌS{ zUwyzL†N}uS}چNu\wy| ÌS‚ufÑ/}ƒC†Ò«uSUz€}¹Öwyxu\wÈ|~}L„JwyxCÌa}z  xC|~Nx uf†yzÛC| †Nu\wy| ÌS‚ufÑ Ñ Ó z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw*wyÌ u×CÑ~uf‚CzÚu\ÒPwyzL†"uf‚ºzU£ wyzL‚}| ÌS‚ºÌfґwyxCzڐS†yÌSƒC‚Í zLÑ~ÍJ‡^îÒ  zÚÍEÌ‚CÌfwufÑ Ñ Ì  ' u zLÑ~ÍÄzU£ wyzL‚}| ÌS‚‘„E†Nu\wy| ÌS‚ufÑJ}ƒC†Ò«uSUz€}*Ò«ufÑ ÑJ| ‚awyÌ w  ÌùÒ«uf{ | Ñ | z€,} F  z ^aƒu\wy| ÌS‚ÄÌfÒwyxCzÚÒÃÌS†y{ Ÿ ñ^zL‚U| Ñ~}nÌfÒ/UÌS‚C|~L}L„ES| ®SzL‚ºÛ ÓÄuf‚Ä' ìrË­í a (U, V )X + a (U, V )X + a (U, V )X = 0 x CzL†yzwyxCz a (U, V ) uf†yzxCÌS{ ÌSSzL‚CzLÌSƒ}*×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}nÌfÒwyxCzÈ}yuf{ zÁÍEzLS†yzLzS‡ 0

i

9CVÇÉ

¾wÔ'ÂÔÕÕWÖÇÀ

2 0

1

2 1

2

2 2

‡Hˆ!¢

w

 h{Ã8

r C u°wh  {»

% t‰

{

-zLÑnñ^zLéLéLÌ?}ƒC†Ò«uSUz€}ùÌfÒÍEzLS†yzLz „ xCzL†yz „/ÌSÛEwNuf| ‚Cz€Í™Ì\®SzL† Û Ó CÛ Ñ Ì  | ‚CƒC× 9 − d ×µÌS| ‚awN}nÌfÒ P d| ‚Ä SzL‚CzL†Nuf0Ñd×µ6Ìa}|dwy| ÌS6‚‘‡/9ènxCzL| †nwyxCzLÌS†yÓ[Ûµz€UCÌS{ z€} { ÌS†yzUÌS{ ×CÑ |~Lu\wyz€ÍùwyxCz}{[ufÑ Ñ zL† d |~}L‡DCÌS† d > 5 wyxCz{[urÌS†‚ ƒC{ùÛµzL†‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~ ×C†yÌSÛCÑ zL{[}xu­®SzÛµzLzL‚ }ÌSÑ ®Sz€ÍJ„uf‚Í>ÒÃÌS† d = 4 UÌS‚}|~ÍEzL†NufÛCÑ zù×C†yÌSS†yz€}y}xuS}چyzU‰ UzL‚awyÑ Ó ÛµzLzL‚Ä{[uSÍEz ± ÛCƒEw*wyxCzÁ}ƒC†Ò«uSUz€}  | wyx d 6 3 }rwy| Ñ Ñd×µÌa}z{[urÌS†'×C†yÌSÛCÑ zL{[}L‡ -zLÑ/ñ^zLéLéLÌ>}ƒC†Ò«uSUz€}ÌfÒnÍEzLS†yzLzÕ>uf†yzùwyxCz ‚CÌS‚E‰Y}| ‚CSƒCÑ~uf†| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚}ÌfÒ*w Ì ^aƒuSÍE†y|~L}Á| ‚ ‡?ènxCÌa}zœÌfÒÍEzLS†yzLzœˆvuf†yz[wyxCzº‚CÌS‚E‰Y}| ‚CSƒCÑ~uf†ÈUƒCÛC|~º}ƒC†Ò«uSU z€}L„ P xC|~Nx2xu­®SzÄuf‚2zL‚CÌS†y{ ÌSƒ}ÛCƒEw[Ñ~uf†ySzLÑ Ó™| †y†yzLÑ zL®SzL‚awÑ | wyzL†Nu\wyƒC†yzS‡2Y‚)UÌS‚awy†NuS}rw€„ wy xCÌa}zvÌfÒùÍEzLS†yzLz d < 3 uf†yzv‚CÌfwÄÌS‚Cz€}  xC|~Nx wyxCz?‚ ƒC{ùÛµzL†‰¾wyxCzLÌS†y|~}rw  ÌSƒCÑ~Í ‚u\wyƒC†NufÑ Ñ Ó wyxC| .‚ =ºÌfÒ/uS}n×C†y| ÌS†y| wrÓ wNuf†ySzUwN}L‡ Y‚ºÛµÌfwyxœwyxCz€}zÚLuS}z€}wyxCz{[uf| ‚ÄUÌS‚ rz€GwyƒC†yzS„EÍEƒCzwyÌ[Ð'ÌSÑ Ñ | Ìfw‰YènxCÔLÑ :L‚Czuf‚ˆÍ XEuf‚}ƒf„ |~} wyxu\w"wyxCzÁÌS‚CÑ ÓœÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚ºwyÌ zL| wyxCzL†"wyxCJz ’uS}y}zÚ×C†y| ‚U| ×CÑ zÚÌS†  z€u =ºuf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚ |~}wyxCz[…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚>ÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚‘‡È…*ƒEwÚwyÌ  ÌS>† =ïÌS‚vwyxCz€}z×C†yÌSÛCÑ zL{[}ÌS‚Czxuf†NÍEÑ Ó ‚CzLz€ÍC}wyŒÌ = ‚CÌ   xu\wÚwyxCz[…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚vÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚?|~}L‡ùY‚ {ùÓ>® | z  „JwyxCz †y| Sxaw u­ÓwyÌ[}rwyƒÍEÓ wyxCzÚÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚œwyÌùwyxC:z ’uS}y}z×C†y| ‚U| ×CÑ z ìPÒÃÌS†"zU£Cuf{ ×CÑ z­í/ÒÃÌS†"uf‚ Ó[×uf†‰ wy |~UƒCÑ~uf†nÒ«uf{ | Ñ ÓœÌfÒ©†Nu\wy| ÌS‚ufÑd®\uf†y| zUwy| z€}*|~}nwyÌ ‚ÍÄu }ƒ uœU| zL‚awUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚œÒÃÌS†}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrÓ zL®SzL†yÓ  xCzL†yzÈÑ ÌELufÑ Ñ ÓÄwyÌÄ| { ×CÑ Ó?}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrÓïSÑ ÌSÛufÑ Ñ ÓS„Juf‚ÍvÌS‚CÑ ÓïwyxCzL‚vwyÌï}zLzxCÌ  wyxC|~} UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ïUÌS{ ×uf†yz€}  | wyxÄwyxCzȅ*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚ÄUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚‘‡ DCÌS†[wyxCz?{ zUwyxCÌEÍC} xC|~Nx;[uf{ ufÛµÌSƒEwœwy̖ÍEz€}yU†y| ÛµzS„"| wÄ|~}œ‚Cz€Uz€}y}yuf†yӔwy̔| ‚awy†yÌf‰ ÍEƒUHz XENxC| ‚CéLzLmÑ  J} ’Ó ×µÌf wyxCz€}|~}LŒ‡ X ƒC×C×µÌa}z  zœuf†yz S| ®SzL8‚ ‚C| wyzLÑ Ó{[uf‚ Ó?×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~} |‚ | wyx×µÌa}| wy| ®Sz Ñ z€uSÍE| ‚CïUÌ Kz uœU| zL‚awN} |~}wyxCzL†yz uf‚ uf†yÛC| ‰ F (X), . . . , F (X) wy†Nuf†y| Ñ ÓÚÑ~uf†ySz×µÌa}| wy| ®Sz'| ‚aZ[X] wyzLSzL†  x }ƒNxÈwyxu\w/ufÑ ÑSwyxCz F (x) uf†yz'×C†y| { ± z€W} BÄènxCzL†yz*uf†yzw  Ì ÌSÛ ® | ÌSƒ}nÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚}'wyÌ wyxC|~,} FÌS‚CzÁÌS†"{ ÌS†yzÚÌfÒ©wyxCz F (X) {[u­ÓœÒ«uSGwyÌS†y| éLzÚ| ‚ Z[X] „ ÌS†"wyxCzL†yzÁ{[u­ÓºÛµzu ×C†y| { z }ƒNxïwyxu\wÒÃÌS†uf‚ Óº®\ufÑ ƒCzÁÌfÒ u\wÑ z€uS}rwÌS‚CzÈÌfÒ wyxCz F (x) |~}'ÍE| ® |~}| ÛCÑ zÛ Ó p p‡nÎì DCÌS†*uf‚[zU£Cuf{ ×CÑ zÌfÒdwyxCz}z€UÌSx‚Í mod ÌSÛ}rwy†ypƒGwy| ÌS‚‘„aUÌS‚}|~ÍEzL† uf‚Í | wyx ‡ íºènxCzù}z€UÌS‚ÍïÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚>Luf‚ïÌS‚CÑ ÓÄxuf×C×µzL‚ | wyxCÌSƒEw X wyxCz †N}rw/X| Ò p+62P degpF=„S}3ÌwyxCz"}z€UÌS‚ÍÈÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚ù|~}^z€uS}ÓÚwy̏wyz€}rw^ÒÃÌS†€‡ XEN xC| ‚CéLzLmÑ  } ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}Ú|~}wyxu\wÚwyxCz€}z[uf†yzùwyxCz[ÌS‚CÑ Ó>ÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚, } F| ‚ÌfwyxCzL† ÌS†NÍC}L„J| Òn‚CzL| wyxCzL† ÌfÒ^wyxCzL{ xuf×C×µzL‚}  zùLuf‚vNxCÌ Ìa}zÈuf‚vuf†yÛC| wy†Nuf†y| Ñ ÓœÑ~uf†ySz x }Ì wyxu\w zL®SzL†yÓ F (x) |~}u ×C†y| { zS‡^ènxCzL†yz}zLzL{[}^wyÌÈÛµz‚CÌÈxCÌS×µzÌfÒd×C†yÌ\® | ‚CÚwyxC|~}| ‚ wyxCz"ÒÃÌS†yz€}zLz€ufÛCÑ znÒÃEwyƒC†yz ÛCƒEw wy̜×C†yÌ\®SzÁ†yz€}ƒCÑ wN}}ƒCÛ rz€GwwyˆÌ XENxC| ‚CéLzLmÑ  } ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}}xCÌSƒCÑ~Ívu\wÑ z€uS}rw}xCz€Í>Ñ | Sxa± wÌS‚ wyxCz ƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚Cï‚ ƒC{ùÛµzL†ÚwyxCzLÌS†yÓS‡t>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„µwyxCzL†yz |~}Áuf‚uS}y}ÌEU|~u\wyz€Ív†yz€}ƒCÑ w  xC|~Nx Luf‚>Ûµzù×C†yÌ\®Sz€ÍJi‡ ? | wyx>wyxCz}yuf{ zù}zUw‰îƒCב„dNxCÌ Ìa}zÈuf‚ N > P deg F ± wyxCzL‚>wyxCzL†yzÈ|~} uf‚ufÑ SzLÛC†Nuf|~Á| ‚awyzLSzL† | wyx }ƒNxvwyxu\wÚz€uSNx |~}Úuº×C†y| { z |~ÍEz€ufÑE| ‚ Q(ξ) ‡ @}| ‚CwyξxC|~}L„f| Ò  [Q(ξ) znLuf‚ :ÍEQ] z€ÍEƒ=Uz*NÒÆyÌS{ XENxC| ‚CéLzLmÑ  0} ’Ó (F×µÌfwy(ξ)) xCz€}|~}/}ƒ uœU| zL‚aw UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}/ÒÃÌS†'wyxCz ’uS}y}zñ†y| ‚U| ×CÑ zwyÌÈxCÌSÑ~Í ÒÃÌS†*uùUzL†wNuf| ‚ Ò«uf{ | Ñ Ó Ìfґ®\uf†y| zUwy| z€}L„fwyxCzL‚ zLuf‚>×C†yÌ\®SzÚwyxCzUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C[†yz€}ƒCÑ wÒÃÌS†wyxCzùzU£E|~}rwyzL‚UzùÌfÒ†Nu\wy| ÌS‚ufÑŒ\‰YUÓEUÑ z€}ÌfÒ  ÍEzLS†yzLzïË  | wyxCÌSƒEwuf‚ Ó?uf‚ufÑ ÌSSÌSƒ}x Ó ×µÌfwyxCz€}|~}L‡ÄènxC|~}Á|~}È×uf†wy|~UƒCÑ~uf†yÑ Ó>®\ufÑ ƒufÛCÑ z ÒÃÌS† -zLÑ^ñ^zLéLéL̺}ƒC†Ò«uSUz€}ÌfÒ'ÍEzLS†yzLzùÕ„ÒÃÌS† xC|~Nx Ð'ÌS†Nu­ÓºxuS}}xCÌ  ‚ïwyxu\wwyxCzùzU£E|~}rwyzL‚Uz  Ÿ

2

4

1

n

i

i

i

2

i

i

i

i

‹w

4xH8. ^wh :

è“whz.{ t  Ž{´“Ky ..

{yZ )

y

‡Hˆ

¸

ÌfÒ"†Nu\wy| ÌS‚ufÑ'Œ\‰YUÓEUÑ z€}ÁÌfÒÍEzLS†yzLz>˜| { ×CÑ | z€}ÁwyxCzºzU£E|~}rwyzL‚UzœÌfÒ†Nu\wy| ÌS‚ufÑ×µÌS| ‚awN}L‡vènxCz UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CJ ^aƒCz€}rwy| ÌS‚[ÒÃÌS†*UƒCÛC|~}ƒC†Ò«uSUz€}/|~}*}rwy| Ñ ÑdÌS×µzL‚‘„Euf‚ÍÒÃÌS†*×µzL‚U| Ñ~}'ÌfÒUÌS‚C|~L} }ƒNxïuf‚ïuS}y}zL†wy| ÌS‚º|~}ÍEKz ‚C| wyzLÑ ÓœÒ«ufÑ~}zS‡ DCÌS†uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}*ÌS‚CzڂCzLz€ÍC}nwyÌ { ÌEÍE| ÒÌ Ó XENxC| ‚CéLzLmÑ  A} ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}"| ‚ÄwyxC†yzLz  u­ÓE,} F žrª    ð‚Cz‚CzLz€ÍC}'wyÌÛµzÁufÛCÑ zwyÌ| { ×µÌa}zÑ ÌELufÑdUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}*ÌS‚ u\wnz€uSNxº×C†y| { z| ‚ uÁS| ®SzL‚ ‚C| wyz}zUw B ± ÛCƒEwn| ‚ºUÌS{ ×µzL‚}yu\wy| ÌS‚[ÌS‚CzwyxCzL‚ºÌS‚CÑ Óx †y'z ^aƒC| †yz€}/wyxu\w'wyxCz uf†yz z€uSNx 'z ^aƒufÑwyÌïwyxCzœ×C†yÌEÍEƒGwùÌfÒ"×µÌ  zL†N}ÚÌfÒ"×C†y| { z€}Á| ‚ B uf‚ÍÌS‚Cz F (x) ×C†y| { zÚÌSƒEwN}|~ÍEz B ‡ žrª«ª    ð‚CzڂCzLz€ÍC}nwyÌ ÌS>† =[Ì\®SzL†"uf‚ïuf†yÛC| wy†Nuf†yӜufÑ SzLÛC†Nuf|~‚ ƒC{ùÛµzLi† zLÑ~ÍJ‡ žrª«ª«ª    îw*} ƒ uœUz€}/wyJÌ =  ‚CÌ  wyxCzUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CÁ†yz€}ƒCÑ w/ÒÃÌS†'xCÌS{ ÌSSzL‚CzLÌSƒ}/×µÌSÑ Ó ‚CÌf‰ | ‚Äw Ì ®\uf†y|~ufÛCÑ z€}L‡ { |~ufÑ~} ènxCz"x Ó ×µÌfwyxCGz€}|~(Y, }/{ Z) ÌEÍE| z€Í  uS}^| ‚vìÃ|Pí^uf‚ÍïìÃ| |Pí/Luf‚ z€uS}| Ñ ÓÈÛµzÍEz€ÍEƒUz€ÍùÒÆyÌS{ XENxC| ‚CéLzLmÑ  } ÌS†y| S| ‚ufÑ/x Ó ×µÌfwyxCz€}|~}L‡ºèÌ>®\uf†yÓv| wuS}Ú| ‚;ìÃ| | |PíÁLuf‚ÌS‚CÑ Ó?{[u =Sz[| wÈ{ ÌS†yz[Ñ | =SzLÑ Ó>wyÌ>Ûµz wy†yƒCzS„uf‚͙׵zL†yxuf×}ufÑ~}Ìvz€uS}| zL†ÈwyÌ?×C†yÌ\®Sz ± | ‚ÍEzLz€– Í ’z€u\wyxE‰Y…*†yÌ  ‚ xuS}}xCÌ  ‚ wyxu\w N w u  =Sz€}n|  ‚ ‚C| wyzLÑ Óº{[uf‚ Ӝ×C†y| { zÚ®\ufÑ ƒCz€}L‡ Y + 2Z ?zÄufÑ~}Ì>‚CzLz€Í wyÌÍEK z ‚CzœwyxCˆz j‘zLSzL‚ÍE†yz ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ ‡ j‘zUw B Ûµz ‰ u ‚C| wyz>}zUw[Ìfҏ×CÑ~uSUz€}ÌfÒ Q uf‚Í–Ñ zUw α, β Ûµzï| ‚awyzLSzLL(B; 8 †N} UÌS×CF,†y| { G;zÄα,ÌSƒEβ)wN}|~ÍEz B r ‡ j‘zUw µ Û " z C x S Ì

{ S Ì S  L z C ‚ L z S Ì  ƒ © } U  S Ì C × y † |

{ n z µ × S Ì Ñ Ó C ‚ S Ì

{ ~ | f u ~ Ñ ^ } | ‚ a „ f u  ‚  Í S u y } }ƒC{ z F (U, V ), G(U, V ) wyxu\w B UÌS‚awNuf| ‚} ∞ uf‚ÍÄufÑ ÑdwyxCzÁ×C†y| { z€} p u\w  xC|~NxºwyxCzÁ†yz€ÍEƒZ[U, Gwy| ÌS‚ºVÌf]Ò F G mod p xuS}"u†yzL×µz€u\wyz€ÍœÒ«uSGwyÌS†€‡/ènxCzL‚  z  †y| wyz i

i

3

3

L(B; F, G; α, β) =

Y

(F (α, β), G(α, β))p

xCzL†yz[wyxCzºÌSƒEwyzL†ùÛC†NuSW =SzUwÈ|~}ÁwyxCzˆ’| Ñ ÛµzL†w[}Ó {ùÛµÌSѾ„wyxCzº×C†yÌEÍEƒGw|~}ÁwNu=SzL‚™Ì\®SzL†ùufÑ Ñ C× †y| { z€} p ÌSƒEwN}|~ÍEz B  xC|~NxÄÍE| ® |~ÍEz G(α, β) „uf‚Í[wyxCzÒÃC‚Gwy| ÌS‚Ä|~}nÍEzK‚Cz€Í[ÒÃÌS†*wyxCÌa}z |‚ }ƒNxºwyxu\w uf†yzÚUÌS×C†y| { zÚÌSƒEwN}|~ÍEz uf‚Í uf†yz α×β ÛµÌfwyx?‚CÌS‚CZéLzL׆yÌZ‡:DCÌS†Úuf‚ Ó p |α,‚vβwyxCz ×C†yÌEÍEƒGw€„ F (α, β) {ùBƒ}rwÚÛµz Fu (α,p‰YuSβ),ÍE|~ÈG(α, ƒC‚C| w β)± }Ì L Luf‚ïufÑ~}Ì ÛµzÁ†yzLauf†NÍEz€ÍœuS}*wyxCzÁ®\ufÑ ƒCzÁÌfÒ^u UzL†wNuf| ‚Œ^aƒuSÍE†Nu\wy|~†yz€}|~ÍEƒCzÁ}Ó {ùÛµÌSѾ‡ & ’•Å•¬« – n µB€øSø¼­ILRĽÃMCZ\½ F~I>RUÀ\RUO Å ½ÃMCRUO L(α, β) F~IïKN¼\O½¾FPOB¼\B I F )(deg G) FPO?½ÃMCRȽY¼yø¼\T ¼yÅ œFPOdÉ\BKNRNɺKã  (deg Bœ ènxC|~}u\cw †N}rwÚ}| Sxaw}ƒC†y×C†y|~}| ‚C[†yz€}ƒCÑ w|~}z€uS}Óºwy̜×C†yÌ\®SzÁÛ ÓÄ| ‚ÍEƒGwy| ÌS‚‘„µƒ}| ‚C[wyxCz Ò«uSGwN}*wyxu\w ÒÃÌS†uf‚ ӜxCÌS{ ÌSSzL‚CzLÌSƒ}*×µÌSÑ Ó ‚CL(F, ÌS{ |~ufG)Ñ H=| L(F ‚ Z[U,− VGH, ÌfÒ/G)uf×C×C†yÌS×C†y|~u\wyzÍEzLS†yzLzS„Cuf‚Í ] 

L(F, G)L(G, F ) =

Y

p

(F (α, β), G(α, β))v

Û ÓœwyxCz’| Ñ ÛµzL†w×C†yÌEÍEƒGw"ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uC‡i’zL†yzÚwyxCzȆy| Sxawxuf‚Í>}|~ÍEzÁ|~}UÌS‚awy| ‚ ƒCÌSƒ}n| ‚ïwyxCz wyÌS×µÌSÑ ÌSSÓÄ| ‚ÍEƒUz€ÍvÛ Ó B ‡ ?z}xufÑ Ñ^ÍEz€}yU†y| ÛµzÈwyxCz UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ L(B; F, G; α, β) = 1 uS}*wyxCzJj‘zLSzL‚ÍE†yzÚUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚>uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í  | wyx F uf‚Í G ‡ v∈B

‡HˆÀ

w

 h{Ã8

r C u°wh  {»

% t‰

{

„Ì UÌS‚}|~ÍEzL†wyxCz[×µzL‚U| Ñ'ÌfÒnUÌS‚C|~L}[ìrË­íG„ xCzL†yz | wyxCÌSƒEwÈÑ Ìa}y}ÌfÒnSzL‚CzL†NufÑ | wrÓ z Luf‚–uS}y}ƒC{ zœwyxu\wwyxCz a (U, V ) uf†yzº| ‚ Z[U, V ] ‡”…* әuf‚”ÌSÛ ® | ÌSƒ}Èwy†Nuf‚}rÒÃÌS†y{[u\wy|  ÌS‚ zLuf‚>{[u =SzÁwyxCz }>^aƒuf†yzU‰¾ÒÆyzLzÈuf‚Í>UÌS×C†y| { zÈ| ‚?×uf| †N} wyxCz a  | Ñ Ñ©‚CÌ  Ñ ÌS‚CSzL†"ÛµzÈufÑ Ñ‘'z ^aƒufaѾ„E(U, ÛCƒEwVwy)xCzLÓ  | Ñ ÑufÑ Ñ}rwy| Ñ Ñ‘xu­®SzwyxCzù}yuf{ zÚ×uf†y± | wrÓS‡wj‘deg zUw V ) Ûµz uf‚[| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z"Ò«uSGwyÌS†'ÌfґÌS‚CzÌfÒJwyxCz a (U, V ) „  xCzL†yz"wyJÌ C£[|~ÍEz€uS}  zuS}y}ƒCc(U, { z i = 0 ‡ îÒ"ìrË­í*|~}"}ÌSÑ ƒCÛCÑ zÁu\w U = α, V = β wyxCzL‚ i

i

i

i

(−a1 (α, β)a2 (α, β), c(α, β))p = 1

ÒÃÌS†ufÑ ÑS×C†y| { z€} p  xC|~NxÈÍE| ® |~ÍEz c(α, β) ÛCƒEw‚CÌfw −a (α, β)a (α, β) ‡e? | wyxùuf‚ÚÌSÛ ® | ÌSƒ} ÍEKz ‚C| wy| ÌS‚ïÌfÒ B „CwyxC|~}"| { ×CÑ | z€}*wyxCzJj‘zLSzL‚ÍE†yzÁUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ 1

2

L(B; −a1 a2 , c; α, β) = 1.

zL‚Uz/wyxCz*}zUwÌfÒufÑ Ñ»j‘zLSzL‚ÍE†yzUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í | wyxœìrË­íJ|~}u"‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓUÌS‚ÍE| ‰ wy| ÌS‚ÈÒÃÌS†^}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrÓS‡e? xu\w^|~}©†yzL{[uf†>=\ufÛCÑ z|~}wyxu\w€„f}ƒCÛr z€Gw©wyÌ:XENxC| ‚CéLzLÑm }’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}L„ wyxC|~}}zUw"ÌfÒ/UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}n|~}"ufÑ~}Ì[}ƒuœU| zL‚aw€‡ I :yø¼\½ÃMCRGIGF~I 9RU½ ãNRÁ½ÃMCRÁIGBãGILRU½*¼r¿ ¼\O 
‘D’“‹”’• ¨ n áINIGBEX[R JKNM FPOEǀRUT A ©M F«KNM™Z\TPT^½ÃMCJR 9RîÅaRUOdÉ\DyR[KN¼\OdÉ\FP½¾F«¼\OCÐ I[Z\DyRÂ'RUTPT WÉSœÎR OdRNÉ>AZ\OdÉ[MC¼\T ÇÉ bZ\OdÉï¼\O Z©M ×F«KNZM (1) F~IT ¼€KNZ\TPT IL¼\T BãUT RÁZ\½'RNZSKNMÁødT ZSKNRFPO B œ HdMCRUOï½ÃMCRø¼\FPO½«I (α, β) FPO P Z\½/©M F«KNMº½ÃM F~I KN¼\OF«KÈF~IÚIL¼\T BãUT R*¿U¼\DGX ZºÉSRUOCILRÁIGBãGILRU½"¼r¿ A FPO?½ÃMCRȽY¼yø¼\T ¼yÅ œFPOdÉ\BKNRNɺKã  B œ DCÌS†*wyxCzÚ×C†yÌ ÌfÒr„ zÚuf×C×CÑ ˆ Ó XENxC| ‚CéLzLmÑ  A} ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}*wyÌùwyxCzÁ| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ zÒ«uSGwyÌS†N} c ÌfÒ  / ‡ î  Ò ~ | * } y w C x Á z C × y † |

{ È z uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í  | wyxÄwyxCz c | ‚ÄwyxCzÈuf†ySƒC{ zL‚awufÛµÌ\®SzS„awyxCzL‚ a a a p ìÏ í (−a (α, β)a (α, β), c(α, β)) = L(B; −a a , c; α, β) = 1. DCÌS†wyxCzù®\ufÑ ƒCz€}ÌfÒ NxCÌa}zL‚‘„‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓÄuf‚Ív}ƒ uœU| zL‚awÚUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}"ÒÃÌS†wyxCz }ÌSÑ ƒE‰ ÛC| Ñ | wrÓ[ÌfÒ*ìrË­í'uf†ywz rƒα,}rwnβwyxCzÚUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}Úì Ï í/wyÌSSzUwyxCzL†  | wyxÄ}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrӜu\w*wyxCz×CÑ~uSUz€}'| ‚ „uf‚ͺwyxCz€}z  zÁxu­®Sz‚CÌ  zL‚}ƒC†yz€ÍJ‡ B DCÌS†>×µzL‚U| Ñ~}vÌfÒ[UÌS‚C|~L}L„ÚwyxCz”…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚ UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚} zL†yz”ÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€Í Û Ó r} =SÌ\®E} = | |¾‡–Y‚2® | z  ÌfÒwyxCzvUÌS‚ rz€GwyƒC†yzïÌfÒÈÐ'ÌSÑ Ñ | Ìfw‰YènxCÔLÑ :L‚Czïuf ‚Í XEuf‚}ƒf„'| wœ|~} ‚CÌ }ƒC†y×C†y|~}zwyxu\w"wyxCzLÓÄLuf‚ÄÛµzÈ}xCÌ  ‚ºwyÌ ÛµzÁ'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw"wyÌwyxCJz j‘zLSzL‚ÍE†yzÚUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}L‡ Ð*uf‚ zÈuf×C×CÑ ÓºwyxCz€}zÈ|~ÍEz€uS}nwyHÌ -zLÑñ^zLéLéL̜}ƒC†Ò«uSUz€W} B?ènxC:z †N}rwÍE| uœUƒCÑ wrÓÄ|~}nwyxu\w ufÑ wyxCÌSƒCSx[ :u -zLѵñ^zLéLéLÌÈ}ƒC†Ò«uSUzUÌS‚awNuf| ‚}/uf‚[| ‚ ‚C| wrÓÌfÒJUƒC†y®Sz€}/ÌfÒJSzL‚ ƒ}/Œ  xCzL‚CzL®SzL† | wUÌS‚awNuf| ‚}چNu\wy| ÌS‚ufÑ/×µÌS| ‚awN}L„©ÌS‚Cz[Luf‚C‚CÌfw  †y| wyzœÍEÌ  ‚™uf‚ Ó?}ƒNx™UƒC†y®Sz€}ڃC‚awy| Ñ'ÌS‚Cz = ‚CÌ }"}ÌS{ zچNu\wy| ÌS‚ufÑd×µÌS| ‚awN}L‡'ènxC|~}uf×C×µz€uf†N}*wyÌ ÛCÑ ÌEW =Äuf‚ Óºuf×C×C†yÌauSNxœwyÌwyxC z ’uS}y}z ñ†y| ‚ U| ×CÑ zS„JwyxCÌSƒCSx?| wÈÍEÌ z€}ڂCÌfwڂCz€Uz€}y}yuf†y| Ñ ÓïÛCÑ ÌEW =vuf‚ uf×C×C†yÌauSNx>wyÌ  z€u =vuf×C×C†yÌ­£E| ‰ {[u\wy| ÌS‚‘‡nìÁY‚ùwyxC|~}/}zL{ | ‚uf†^ƒ}z z€u =Èuf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚ÈÌS‚u®\uf†y| zUwrÓ wyÌÚ{ z€uf‚Èwyxu\w | Ò V (Q) |~}'‚CÌfw'zL{ ×EwrÓwyxCzL‚ V (Q) |~}*ÍEzL‚}z| ‚ Q V (Q )  xCzL†yz v †yVƒC‚}/wyxC†yÌSƒCSxœufÑ Ñ wyxCz×CÑ~uSUz€}ÌfÒ Q ‡ íȁY‚ÍEzLz€ÍJ„aÌS‚CzLuf‚[ƒ}zwyxC|~}'{ zUwyxCÌEÍEÌSÑ ÌSSÓÈwyÌùS| ®SzuÁ×C†yÌ ÌfÒJÌfÒ  z€u = uf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚ÄÌSƒ‚ -zLÑ©ñ^zLéLéL̺}ƒC†Ò«uSUz€}"ÌfÒ'ÍEzLS†yzLzÁÕ„ ^aƒC| wyzÍE|
1

0 1 2

1

2

p

1 2

v

‹w

4xH8. ^wh :

è“whz.{ t  Ž{´“Ky ..

{yZ )

y

‡Hˆ

Í

Ð*uf‚ zºÍEÌ>ÛµzUwwyzL†Û Ó?ƒ}| ‚Cv×µzL‚U| Ñ~}ÈÌfÒUƒC†y®Sz€}ÁÌfÒnSzL‚ ƒ}[ÇË B4ènxCzL†yzœuf†yz[{[uf‚ Ó } ƒNxvUƒC†y ®Sz€}"ÌS‚ƒ-zLÑñ^zLéLéL̺}ƒC†Ò«uSUz€}L„CÛCƒEwÚu[‚Cz  ÌSÛ}rwNuSUÑ zÈuf×C×µz€uf†N},F*U†yƒU|~ufÑJwyÌ[wyxCz ×C†yzL® | ÌSƒ}uf†ySƒC{ zL‚aw  uS}"wyxCzÁÒ«uSGwwyxu\wwyxCz’uS}y}zÈñ†y| ‚U| ×CÑ zÈxCÌSÑ~ÍC}"ÒÃÌS†UÌS‚C|~L}L„ÛCƒEw | w ‚CÌfwyÌS†y| ÌSƒ}Ñ Ó ÍEÌ z€}ù‚CÌfw xCÌSÑ~Í ÒÃÌS†[UƒC†y®Sz€}ÈÌfҐSzL‚ ƒ}œËS‡‰’Ì  zL®SzL†€„©wyxCzL†yzº|~} u  u­Ó †yÌSƒC‚ÍÄwyxC|~}×C†yÌ\® |~ÍEz€Í  zùuS}y}ƒC{ zÚwyxu\wwyxCzè©u\wyzG.ê X xu\Ò«uf†yzL® |~NxĐS†yÌSƒC×ïÌfÒuf‚>zLÑ Ñ | ×Ewy|~ UƒC†y®Sz[ÍEKz ‚Cz€Í Ì\®SzL†Èuf‚™ufÑ SzLÛC†Nuf|~ù‚ ƒC{ùÛµzL:† zLÑ~Í |~} ‚C| wyzS‡ïènxC|~}Á|~}È}rwy| Ñ Ñ'ƒC‚C×C†yÌ\®Sz€ÍJ„ ÛCƒEw|~}ùuï{ùƒNx™{ ÌS†yz[†yz€}×µz€GwNufÛCÑ z[wyxC| ‚C>wyÌ?uS}y}ƒC{ z wyxuf– ‚ XENxC| ‚CéLzLmÑ  } ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}L‡ ?z[uSGwyƒufÑ Ñ Ó>ÌS‚CÑ Ó>‚CzLz€Í>wyxC|~}ÒÃÌS†ÚzLÑ Ñ | ×Ewy|~ UƒC†y®Sz€} | wy8x ‚C| wyz[t>ÌS†NÍEzLÑ Ñ Zê ?zL| Ñ^S†yÌSƒCב„ uf‚͜wyxC|~}"{[u­ÓœÛµzÁz€uS}| zL†*wyÌ[×C†yÌ\®Szwyxuf‚ºwyxCzÁSzL‚CzL†NufÑJLuS}zS‡ & ’•Å•¬«ñ² n 9RU½ b'ÉSÎR OdRNɺ¼\À\RUD b*ãNRùZ\ORUÀ\RUD \©MCRUDyRùT ¼€KNZ\TPT [IL¼\T BãUT R WKN¼\À\RUDGFPO Å ¼r¿œZ\O)RUTPT F ød½¾F«KïKUBEDGΓÀ\R E œ šÃ¿ÈMCZ\T ¿[½ÃMCQRÄRUT RUX[RUO½«Iœ¼r¿ ½ÃMCR 2 ~W JRUT X[RUDÈÅfDy¼\B€ø KN2¼\X[R¿NDy¼\X ½ÃMCR 2 WÉ\FPÀ€F~IGF«¼\Oœø¼\FPO½«Iù¼r¿ E b½ÃMCRUO Γ(Q) F~IÁOd¼\½nRUXødm½  œ DCÌS†*| Ò zL†yzzL{ ×EwrÓ[| w ÌSƒCÑ~Í[| ‚ÍEƒUzÁuf‚œzLÑ zL{ zL‚awnÌfґwyxCzÚè©u\wyzG.ê X xu\Ò«uf†yzL® |~Nx S†yÌSƒCב„\uf‚Γ(Q) ÍÁwyxC|~}   ÌSƒCÑ~ÍÁÛµz*wyxCznÌS ‚CÑ ÓÚzLÑ zL{ zL‚aw/ÌfÒÌS†NÍEzL† Ï | ‚ùwyxC|~}©S†yÌSƒCב‡©…*ƒEw/}| ‚Uz*Û Ó x Ó ×µÌfwyxCz€}|~}wyxCzÚè©u\wyzG.ê X xu\Ò«uf†yzL® |~Nx[S†yÌSƒC×[|~%} ‚C| wyzS„awyxC|~}nUÌS‚awy†NuSÍE|~GwN}wyxCz×C†yÌS×µzL†wy| z€} ÌfÒ©wyxCzùÐ*uS}y}zLÑ~}"} =Sz  ‰Y}Ó { { zUwy†y|~ÛC| Ñ | ‚Cz€uf†nÒÃÌS†y{ï‡ Y‚?® | z ÌfÒ j‘zL{ {[uĈC„d| Ò z uf†yzùÑ Ì Ì = | ‚CœÒÃÌS††Nu\wy| ÌS‚ufÑ×µÌS| ‚awN}ÌS‚uœ×µzL‚U| Ñ/ÌfÒ Ï ‰ UÌ\®SzL†y| ‚Ca}L „  z*}xCÌSƒCÑ~ÍÁwy†yӏwy̏L uf†y†yӏÌSƒEw^u Ï ‰YÍEz€}yUzL‚awÌS‚ÁwyxCznUƒC†y®Sz€}‘ÌfÒCwyxCz'ƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚C ×µzL‚U| ÑCÌfÒ ™auSUÌSÛC|~uf‚}L‡©èÌÚÍȄwyxC|~}^| ‚[uƒC‚C| ÒÃÌS†y{¢{[uf‚C‚CzL†uf×C×µz€uf†N}‘wyÌچy'z ^aƒC| †yz'wyxu\w^wyxCz Ï ‰YÍE| ® |~}| ÌS‚ ×µÌS| ‚awN}uf†yzÍEKz ‚Cz€Í  | wyxCÌSƒEw*u zLÑ~Í zU£ wyzL‚}| ÌS‚ ± }Ì  z"‚CzLz€ÍwyxC_z ™auSUÌSÛC|~uf‚ wyÌ xu­®SzwyxCzÚÒÃÌS†y{ 쫈aí Y = (X − a (U, V ))(X − a (U, V ))(X − a (U, V )) x CzL†yzwyxCz a (U, V ) uf†yz×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}*ÌfґwyxCzÚ}yuf{ zzL®SzL‚ÄÍEzLS†yzLzS‡ „Ì  wyxCzwNuSGwy|~|~} wyÌ | { ×µÌa}zÚÌS‚ºwyxCzÁ®\ufÑ ƒCz€}nÌfÒ U uf‚Í V Ñ ÌELufÑJUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}"u\iw ‚C| wyzLÑ Óº{[uf‚ ӜLuf†yzUÒÃCÑ Ñ Ó NxCÌa}zL‚)×C†y| { z€}L„"ufÑ ÑÌfÒ xC|~Nx | Ñ ÑÛµzuSÇÍ rÌS| ‚Cz€Í–wy̙wyxCz?}zUwœÌfÒÁÛuSÍ)×C†y| { z€}L‡ ?z wyxCzL‚ ƒ}8z XENxC| ‚CéLzLmÑ  H} ’Ó  ×µÌfwyxCz€} |~} wy̔{[u =SzÄwyxCzv®\ufÑ ƒCzvÌfÒÚz€uSNx)| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ zïÒ«uSGwyÌS† ÌfÒ"uf‚ z ^aƒufÑ^wyÌïwyxCz[×C†yÌEÍEƒGwÈÌfÒ*ÌS‚Cz ÒÃC†wyxCzL†Á×C†y| { z | wyx ×µÌ zL†N}ÌfÒnÛuSÍ ' ×C†y| { z€}La‡(U, ènxCVz )Ï ‰YÍEz€}yUzL‚awÚÌS‚ }ƒNxuïUƒC†y®SzLuf‚Ûµz[Luf†y†y| z€ÍvÌSƒEwÚ zU£E×CÑ |~U| wy Ñ ÓS„©uf‚Í>wyxCz UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚} u\wwyxCzÄÛuS͔×C†y| { z€} Luf‚”Ûµz>NxCÌa}zL‚–}Ìvwyxu\w wyxCz Ï Ž‰ X zLÑ { zL†S†yÌSƒCהxuS} ÌS†NÍEzL† ò uf‚Í Γ „JwyxCz Ï ‰YUÌ\®SzL†y| ‚C[wyxu\wÁ| ‚awyzL†yz€}rwN}ڃ}L„‘|~}ÚzL®SzL†yÓ  xCzL†yzùÑ ÌELufÑ Ñ Óv}ÌSÑ ƒCÛCÑ zS‡ ènxCzL†yzÈ{[u­ÓºÛµzuf‚>ÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚ïwy̺Luf†y†yÓ | ‚C ÌSƒEwwyxC|~}×C†yÌEUz€}y}L„uf‚ÍïwyxCzùufÛ}zL‚UzÈÌfÒ }ƒNxÄuf‚ºÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚º|~}"u}ƒ uœU| zL‚aw"UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ºÒÃÌS†*wyxC:z ’uS}y}zñ†y| ‚U| ×CÑ zwyÌ xCÌSÑ~Í[ÒÃÌS† wyxCz ÌS†y| S| ‚ufѩ׵zL‚U| Ѿ‡Y‚ UÌS‚awy†NuS}rw  | wyx  xu\wÚxuf×C×µzL‚Cz€ÍvÒÃÌS†ÈènxCzLÌS†yzL{ Ï „‘| wÁ|~}ڂCÌfw ÌSÛ ® | ÌSƒ}'wyxu\w"wyxC|~}UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚Ä|~}ufÑ~}Ì‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓ ± ÛCƒEw| w"wyƒC†y‚}"ÌSƒEw"wyxu\w| w|~}UÑ Ìa}zLÑ Ó †yzLÑ~u\wyz€ÍºwyÌ[wyxCzùufÑ SzLÛC†Nuf|~×uf†wÌfÒ^wyxCzù…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚ÄÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚‘‡nènxCzùUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ {ùƒ}rwnufÑ~}ÌÁ| { ×CÑ Ówyxu\w'wyxCzwy†Nuf‚}yUzL‚ÍEzL‚awNufÑC×uf†w'ÌfÒJwyxCz…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚ ÌSÛ}rwy†yƒGwy| ÌS‚ |~}wy†y| ® |~ufѾ„JÛCƒEw lz = ‚CÌ  wyÌ ÌÄÑ | wwyÑ zœufÛµÌSƒEwwyxCz[Ñ~u\wwyzL†wyÌïÛµz[ufÛCÑ zùwyÌ>}yu­Óvuf‚ Ó>{ ÌS†yz wyxuf‚ÄwyxC|~}L‡  2

i

i

1

2

3

w

 h{Ã8

‡Hˆ)°

r C u°wh  {»

% t‰

{

ènxC|~}È{ zUwyxCÌEÍ uS:} †N}rwÍEzL® |~}z€Í wyÌvÌSÛEwNuf| ‚–}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrÓ UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}ÁÒÃÌS†ÍE|~ufSÌS‚ufÑ zLёñ^zLéLéLÌ[}ƒC†Ò«uSUz€ }*ÌfÒ/ÍEzLS†yzLzÕ„CS| ®SzL‚ºÛ Óºz'^aƒu\wy| ÌS‚}*ÌfÒ©wyxCzÚÒÃÌS†y{ -

4 X

ai Xi2

= 0,

4 X

bi Xi2 = 0;

ÒÃÌS†}ƒNx?uœ}ƒC†Ò«uSUzÈzL®SzL†yÓº‚CÌS‚}| ‚CSƒCÑ~uf†x Ó ×µzL†y×CÑ~uf‚Czù}z€Gwy| ÌS‚>xuS}uC™auSUÌSÛC|~uf‚>ÌfÒ^wyxCz ÒÃÌS†y{¬ì«ˆaíG‡t>ÓÄ}rwyƒÍEzL‚aw…*zL‚ÍEzL†uf‚Íā'xu­®SzÚzU£ wyzL‚ÍEz€ÍºwyxC|~}nwy̜uf†yÛC| wy†Nuf†yCÓ -zLёñ^zLéLéLÌ }ƒC†Ò«uSUz€}ÈÌfÒÍEzLS†yzLz[Õ„uf‚͙†yzL{ Ì\®Sz€Í?wyxCzÄuf×C×µz€ufÑ'wy Ì XENxC| ‚CéLzLmÑ  } ’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}L‡ènxCz ×C†yÌEUz€}y}*| ‚ ®SÌSÑ ®Sz€} Ÿ SÌS| ‚C™Ì\®SzL†[wy̖uf‚ zU£ wyzL‚}| ÌS‚ k ÌfÒÈÍEzLS†yzLzŠE„"| ‚;ÌS†NÍEzL†[wy̖ÍE|~ufSÌS‚ufÑ | éLz>ÌS‚Cz ®\uf†y|~ufÛCÑ z ± z ™auSUÌSÛC|~uf‚}*xu­®SzwyxCzÚÒÃÌS†y{ Ÿ ÌSÛEwNuf| ‚C| ‚C[u×µzL‚U| ёÌfÒ^UƒC†y®Sz€}nÌfÒ©SzL‚ ƒ}ÚË  xCÌa}: i=0

i=0

Y 2 = (X − c0 (U, V ))(X 2 − c1 (U, V )),

uf‚ÍÄLuf†y†yÓ | ‚CÌSƒEwu Ï ‰YÍEz€}yUzL‚aw"ÌS‚ï}ƒNxïu×µzL‚U| Ñ ±  ƒ }| ‚CÚwyxCz}ƒCÛ}rwy| wyƒEwyzÒÃÌS†XENxC| ‚CéLzLÑm }%’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}  xC|~Nx[Ó | zLÑ~ÍC}'uÁ×µÌS| ‚aw'ÌS‚ wyxCz Ÿ -zLёñ^zLéLéLÌ[}ƒC†Ò«uSUzÚÍEK z ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL†"u zLÑ~Í k  | wyx [k : k] ÌEÍCÍ ±  @  } | C ‚ )  ' Ð S Ì N † ­ u Ó   [ } f u y † S  C ƒ { zL‚aw †N}rwœwy̔ÌSÛEwNuf| ‚ u™×µÌS| ‚awïÍEzK‚Cz€Í)Ì\®SzL† k ÌS‚)wyxCz Ÿ }ƒC†Ò«uSUzS„Euf‚ͺwyxCzL‚UzÚwyÌ ÌSÛEwNuf| ‚ïu×µÌS| ‚awÍEKz ‚Cz€ÍÄÌ\®SzL† Q ‡ ènxCz }ƒ uœU| zL‚awÁUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}ÒÃÌS†Ú}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrÓ  xC|~Nx  zÌSÛEwNuf| ‚?uf†yzùƒCSÑ ÓS„µwyxCÌSƒCSxvwyxCzLÓ uf†yzÈ×C†yÌSÛufÛCÑ Óï‚CÌfw{ùƒNx?}rwy†yÌS‚CSzL†wyxuf‚vwyxCz…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚vUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}L‡ ’Ì  zL®SzL† ðÑ | ® | zL_† ? | wwyzL‚ ÛµzL†y„dÛCƒC| Ñ~ÍE| ‚CºÌS‚ ÌS>† =ÄÌfÒnÐ'ÌSÑ Ñ | Ìfw‰YènxCÔLÑ :L‚CzS„|~}UƒC†y†yzL‚awyÑ ÓÄzL‚CaufSz€Í | ‚[wy†Nuf‚}Ñ~u\wy| ‚CÁwyxCz€}zUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}'| ‚awy Ì}zL‚}| ÛCÑ z"ÒÃÌS†y{ ? xCzL‚ºxCzxuS}'ÍEÌS‚Cz}Ì„a| w  | Ñ Ñ Ûµz×µÌa}y}| ÛCÑ zwyÌÍEz€}yU†y| ÛµzwyxCz‚ ƒC{ùÛµzL†‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~×C†yÌSÛCÑ zL{[}'ÌfeÒ -zLÑdñ^zLéLéLÌ}ƒC†Ò«uSUz€}'ÌfÒ ÍEzLS†yzLzÕœuS}nÑ~uf†ySzLÑ Óœ}ÌSÑ ®Sz€ÍJ‡ Y‚>SzL‚CzL†NufѾ„| wÚÍEÌ z€}‚CÌfw}zLzL{ ×µÌa}y}| ÛCÑ zÁwy̜wNuSW = Ñ Jz -zLÑ©ñ^zLéLéL̺}ƒC†Ò«uSUz€}"ÌfÒ'ÍEzLS†yzLz ˆ  | wyxCÌSƒEwù†NuSÍE|~LufÑ Ñ Óv‚Cz  |~ÍEz€uS}L‡ºènxCzœ{ Ìa}rwÈ| ‚awyzL†yz€}rwy| ‚Cï†yz€}ƒCÑ wN}ÈUƒC†y†yzL‚awyÑ ƒÓ = ‚CÌ  ‚ †yzLÑ~u\wyzwyÌ[ÍE|~ufSÌS‚ufÑJUƒCÛC|~Á}ƒC†Ò«uSUz€} 1

1

a0 X03 + a1 X13 + a2 X23 + a3 X33 = 0

ÍEKz ‚Cz€Í™Ì\®SzL†Èuf‚”ufÑ SzLÛC†Nuf|~ ‚ ƒC{ùÛµzL†JzLÑ~Í k ‡ð‚Cz  †y| wyz€}ÁwyxC|~}uS}ùu>×uf| †ÈÌfÒUƒCÛC|~ UƒC†y®Sz€} 3 0

3 1

3

3 2

3 3

3

| wyx”uï×uf†Nuf{ zUwyzLa† Xc ± uf+‚Ía ÌSX‚Cz[x=uS}ÚcYwyÌv, NxCÌ aÌa}Xz[uï+®\ufaÑ ƒCXz[Ìf=Ò c−cZ ÒÃÌS† xC|~Nx ìÃ}| ‚CïwyxCz uf‚ufÑ ÌSSƒCzºÌfÒ:j‘zL{ {[uˆaíÌS‚CzïLuf‚)}xCÌ  wyxu\wœÛµÌfwyx–wyxCz€}z>z'^aƒu\wy | ÌS‚} uf†yzï}ÌSÑ ƒCÛCÑ zS‡ ènxCz[‚CzLz€ÍvwyÌvUÌS‚awy†yÌSÑ©w ̃X zLÑ { zL†ÁS†yÌSƒC×}Ú}| {ùƒCÑ wNuf‚CzLÌSƒ}Ñ ÓS„uf‚ÍvwyxCz[‚CzLz€Í?wyÌÄwNu=Sz | ‚awyÌuSLUÌSƒC‚awÈwyxCzº| ‚awyzL†N uSGwy| ÌS‚™ÛµzUw  zLzL‚ k uf‚Í k(√−3) Ûµz€Lufƒ}zœÌfÒ"wyxCzÄ×C†yz€}zL‚Uz ÌfÒÈUÌS{ ×CÑ zU£2{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ ÌS‚)wyxCzvƒC‚ÍEzL†yÑ Ó | ‚C–  ™auSUÌSÛC|~uf‚}L„'{[u =Sz>wyxCz?uf†ySƒC{ zL‚aw {ùƒNxv{ ÌS†yzUÌS{ ×CÑ |~Lu\wyz€ÍJ‡ÁènxCzùSÌ ÌEÍ>‚Cz  }|~}wyxu\wÚÌS‚CzÍEÌ z€}‚CÌfw‚CzLz€ Í XENxC| ‚CéLzLmÑ  } 0

1

2

3

4xH8. ^wh :

è“whz.{ t  Ž{´“Ky ..

‹w

{yZ )

y

‡Hˆ)µ

’Ó ×µÌfwyxCz€}|~}L„fÛµz€Lufƒ}z*wyxCznzU£E×C†yz€}y}| ÌS‚ xCÌa}z*®\ufÑ ƒCzn{ùƒ}rwzL®SzL‚awyƒufÑ Ñ ÓÁÛµzn{[uSÍEznz'^aƒufÑ wy̜wyxCzù×C†yÌEÍEƒGwÌfÒ'uf‚vƒC‚}×µz€U| z€Í>×C†y | { zuf‚Í>×µÌ  zL†N}"ÌfÒÛuSÍ>×C†y| { z€}|~}wrƒ}rw c ± }Ì zLuf‚$uf×C×µz€ufÑwyŠ Ì -| †y|~NxCÑ zU'w  }œwyxCzLÌS†yzL{ ÌS‚;×C†y| { z€}º| ‚ uf†y| wyxC{ zUwy|~v×C†yÌSS†yz€}y}| ÌS‚}L‡  ènxCzÛuSÍ>‚Cz  }|~}wyxu\w€„JuS}  zLÑ Ñ^uS}wyxCz …*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚E‰îÑ | =SzÈUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}  xC|~NxvÌS‚Cz zU£E×µz€GwN}L„  zxu­®SzÁwyÌÄ| { ×µÌa}zÈwyxCz UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚>wyxu\w c ÍEÌ z€}‚CÌfwÁUÌS‚awNuf| ‚ √−3 ‡ÁènxC|~} UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚|~}ÈUzL†wNuf| ‚CÑ Ó?uf‚ uf†wyzUÒ«uSGwÁÌfÒ'wyxCz[{ zUwyxCÌEÍJ„^uf‚Í?xuS}ڂCÌfwyxC| ‚CÄwyÌvÍEÌ | wyx wyxCz[uSGwyƒufÑ©×C†yÌSÛCÑ zL{ ± | wÈUÌS{ z€}ÒÆyÌS{ wyxCzÒ«uSGwwyxu\w  z ÍEÌĂCÌfw = ‚CÌ  xCÌ  wy̺ wNu =Sz uSLUÌSƒC‚aw"ÌfÒ^UÌS{ ×CÑ zU£º{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ï| \‚ j‘zL{ {[u ˆ uf‚ÍÄ| wN}"uf‚ufÑ ÌSSƒCzS‡ X ÌÒ«uf† zïxu­®SzïUÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í–ÌS‚CÑ Ó”†Nu\wy| ÌS‚ufÑ"}ƒC†Ò«uSUz€} ÛCƒEw[wyxCzL†yz>uf†yzÄ×CÑ zL‚awrӖÌfÒ }ƒC†Ò«uSUz€}   xC|~Nx?uf†y:z ÛC†yz€Í>Û Óï×µzL‚U| Ñ~}ÌfÒ'UƒC†y®Sz€}ÌfҐSzL‚ ƒ± }ÈËùÛCƒEwÁuf†yzȂCÌfw†Nu\wy| ÌS‚ufѾ‡ Ù SÌ ÌEͺzU£Cuf{ ×CÑ zÚ|~}*wyxCzÚÒ«uf{ | Ñ ÓºÌfÒ !Áˆ }ƒC†Ò«uSUz€} ìÃÕ í Ì\®SzL† Q „C}ƒCÛ rz€Gw"wyÌwyxCVzÈ:UaÌS‚XÍE| wy| +ÌS‚ a X + a X + a X = 0 쾊Sí ènxCzL†yzÚ|~}"uf‚ïÌSÛ ® | ÌSƒ}*{[uf׺ÒÆyÌS{ a aV awyÌ awyxCisJz ^aaƒsquare. uSÍE†y|~ 0

4 0

1

4 1

2

4 2

3

4 3

0 1 2 3

2 0 0

2 1 1

2 2 2

3 3 3

fu ‚ͺwyxCzÈUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ 쾊SWí*| { : a×CÑ |Yz€}nwy+xu\awYz€uSN+xÄÌfaÒ©YwyxCzÚ+w  aÌ Y×µzL‚=U| Ñ~0,}"ÌfÒ^Ñ | ‚Cz€}"ÌS‚ W |~}ÍEzU‰ ‚Cz€ÍœÌ\®SzL† ‡/ènxCz€}z×µzL‚U| Ñ~}'×CƒCÑ ÑdÛuSW=wyÌÈw Ìù×µzL‚U| Ñ~}*ÌfÒUƒC†y®Sz€}ÌfҐSzL‚ ƒ}ˏÌS‚ „ uf‚Í | w'wyƒC†y‚Q}'ÌSƒEwwyxu\w'wyxCz™auSUÌSÛC|~uf‚}^ÌfÒJwyxCz UƒC†y®Sz€}/| ‚œzL| wyxCzL†'×µzL‚U| ѵxu­®SznwyxCzÒÃÌS†yV{ 쫈aíGw‡ ?zÈLuf‚ÄwyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÁuf×C×CÑ Ó[wyxCzÈ{[uSNxC| ‚CzL†yӜufÛµÌ\®SzS„Cuf‚ÍÄÌSÛEwNuf| ‚ï}ƒ uœU| zL‚awUÌS‚ÍE| ‰ wy| ÌS‚}/ÒÃÌS†/wyxC_z ’uS}y}z"ñ†y| ‚U| ×CÑ zwyÌÁxCÌSÑ~Í ÌS‚œ}ƒC†Ò«uSUz€}"ìÃÕ í  xC|~Nxœ}yu\wy|~}rÒÃÓùwyxCzUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ 쾊SíG‡ènxCz€}zÚUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}nuf†yz‚CÌfw"{ùƒNxÄ}rwy†yÌS‚CSzL†'wyxuf‚œwyxCzÁufÑ SzLÛC†Nuf|~…*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚ UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}L„Cuf‚ÍÄ{[u­Ó  zLÑ ÑuSGwyƒufÑ Ñ ÓœÛµzÁ'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw"wyÌ wyxCzÚÒÃCÑ Ñ©…*†NufƒCzL†‰Ytvuf‚C| ‚ºUÌS‚E‰ ÍE| wy| ÌS‚} ± uS}^ƒ}ƒufѾ„  z"ÍEÌÁ‚CÌfw/ÓSzUww = ‚CÌ  zL‚CÌSƒCSx ufÛµÌSƒEw^wyxCznwy†Nuf‚}yUzL‚ÍEzL‚awNufÑC…*†NufƒCzL†rê tvuf‚C| ‚>UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}*wyÌ ÛµzÈufÛCÑ zwyÌ[×CÑ ƒCwyxC|~}"aufב‡ t>Ó }rwyƒÍEzL‚aw>…*†y| SxawºxuS}º×C†yÌEÍEƒUz€Í;u–UÌS{ ×C†yzLxCzL‚}| ®Sz>wNufÛCÑ z?ÌfÒÈwyxCz ufÑ SzLÛC†Nuf|~ …*†NufƒCzL†S†yÌSƒC×}ùÒÃÌS†[}ƒC†Ò«uSUz€}ïìÃÕ íG„  xCzUwyxCzL† ÌS†[‚CÌfw wyxCzLӖ}yu\wy|~}rÒÃÓ;쾊SíG‡2îÒ  zïÍE†yÌS× wyxCz>UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ 쾊SíÈwyxCzL†yzï|~} ‚C| Ì = ‚CÌ ‚ u­Ó™ÌfÒÚuSÍCÍE†yz€}y}| ‚CvwyxCzv}ÌSÑ ƒCÛC| Ñ | wrӔÌfÒ ìÃÕ í ÛCƒEw"‚ ƒC{ zL†y|~LufÑdzU£E×µzL†y| { zL‚awNu\wy| ÌS‚Ä}ƒCS Sz€}rwN }'wyxu\wu}ƒCÛ}rwNuf‚awy|~ufÑd×C†yÌS×µÌS†wy| ÌS‚œÌfÒwyxCÌa}z ± }ƒC†Ò«uSUz€} xC|~Nxv}yu\wy|~}rÒÃӜwyxCzufÑ SzLÛC†Nuf|~څ*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚ïUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}uf†yzÁ‚CzL®SzL†wyxCzLÑ z€}y} ‚CÌfwÁ}ÌSÑ ƒCÛC Ñ zù| ‚ Q ‡ÚY‚vÌfwyxCzL†  ÌS†NÍC}L„µ| wÁ|~}wyxCz ufÛC| Ñ | wrÓÄwyHÌ ÛC†yzÄìÃÌS†×µzL†yxuf×}{ zL†yzLÑ Ó wyxCzœÒ«uSGwÈwyxu\wÈwyxCˆz „;:L†yÌS‚EŽ‰ X zL®SzL†y|/S†yÌSƒC× |~}ȂCÌfwÈwyÌ Ì?}{[ufÑ ÑPíwyxu\wzL‚}ƒC†yz€}Úwyxu\wÈwyxCz …*†NufƒCzL†rêEtvuf‚C| ‚vUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}uf†yzUÑ Ìa}zÈwyÌÄÛµzL| ‚Cï}ƒ uœU| zL‚awÁuS}  zLÑ Ñ/uS}‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓºÒÃÌS† wyxCJz ’uS}y}zÚñ†y| ‚U| ×CÑ zÚwyÌ xCÌSÑ~ÍJ‡ ð‚CzÚ×uf†wy|~UƒCÑ~uf†yÑ Ó[| ‚awyzL†yz€}rwy| ‚C[}ƒC†Ò«uSUz ìÃÕ í  xC|~Nx>ÍEÌ z€}n‚CÌfw}yu\wy|~}rÒÃÓ?쾊Sí*|~} 4 0

4 1

4 2

4 3

îwxuS}*w  Ì ÌSÛ ® | ÌSƒ}*†Nu\wy| ÌS‚ufÑdX×µÌS| +‚awN2X } ± *U=ÌS‚rXz€GwyƒC+†yz4Xwyxu\.w| wxuS}n‚CÌ ÌfwyxCzL†N}L‡

Mathematisches Institut, Seminars (Y. Tschinkel, ed.), p. 111–117 Universit¨ at G¨ ottingen, 2004

ON THE MOD p REDUCTIONS OF AN ELLIPTIC CURVE

W. Duke UCLA Mathematics Department Box 951555, Los Angeles, CA 90095-1555, U.S.A. • E-mail : [email protected]

Abstract . A fixed elliptic curve defined over the rational numbers gives rise, through reduction modulo primes of good reduction, to infinitely many elliptic curves (the reductions) defined over finite fields. In this note I discuss the Tate–Shafarevich groups of these reductions considered as being defined over their function fields. Assuming the Generalized Riemann Hypothesis when the curve has no complex multiplications, it is shown that these groups are trivial for a positive proportion of primes, provided the elliptic curve has an irrational point of order two. This is joint work with A.C. Cojocaru.

1. Background Let E be an elliptic curve defined over Q and of conductor N. For a prime p - N, the reduction of E modulo p is an elliptic curve Ep defined over the finite field k with p elements. There is great interest in the behavior of these

June 8th, 2004. Supported in part by NSF grant DMS-0355564.

112

W. DUKE

reductions as p varies. The most basic questions concern the size of Ep (k), the finite abelian group of k rational points of Ep . Define ap as usual by (1)

|Ep (k)| = p + 1 − ap

where, for a set S, we write |S| or #S for its cardinality. The Riemann hypothesis for Ep , proven by Hasse, states that √ |ap | 6 2 p Still unproven are the Sato–Tate conjecture in the case of a curve without √ complex multiplication (CM) counting primes p where ap / p lies in a given subinterval of (−2, 2) and the Lang–Trotter conjecture counting primes p with a given value of ap . Also of interest is the structure of Ep (k) as an abelian group, in particular its cyclicity. It is easy to see that Ep (k) may be cyclic only if E has an irrational point of order two, that is, a point of order two not in E(Q). Assuming this and the Generalized Riemann Hypothesis (GRH) for Dedekind zeta functions, Serre [Ser85] (see [Mur83] for the proof) showed that Ep (k) is cyclic for a positive proportion of primes: #{p 6 x : p - N and Ep (k) is cyclic} ∼ cE π(x) as x → ∞, where cE is a positive constant depending only on E and π(x) is the number of primes 6 x. Without assuming GRH, R. Murty [Mur83] showed this holds for CM elliptic curves. In general, R. Gupta and R. Murty [GM90] showed that there are infinitely many, in fact  x/log 2 x, such primes. 2. Definition of the local Tate–Shafarevich group A new aspect emerges when one considers the mod p reduction Ep as being defined over its function field. If K = K(Ep ) is the function field of Ep /k, then Ep naturally defines a constant elliptic curve over K. The resulting elliptic curve has a number of nice features; the group Ep (k) may be identified with the torsion points Ep (K)tor of the finitely generated Mordell–Weil group Ep (K) and the k-endomorphisms of Ep may be identified with the Mordell–Weil lattice Ep (K)/Ep (K)tor . In view of these features, one is naturally led to consider the Tate–Shafarevich group of Ep /K. Recall that a principal homogeneous space over E/F , where for now E is any elliptic curve over an arbitrary field F , is a smooth curve C/F together with a simply transitive algebraic group action of E on C defined over F . The isomorphism classes of principal homogeneous spaces for E/F form an abelian group, the Weil–Chˆ atelet group W C(E/F ), whose identity class consists of those homogeneous spaces whose curves have an

ON THE MOD p REDUCTIONS OF AN ELLIPTIC CURVE

113

F -rational point. The group operation comes from a natural identification of ¯ W C(E/F ) with the cohomology group H 1 (G, E), where G = Gal(F/F) with ¯ F the separable closure of F . Since K is a global field we may define the Tate–Shafarevich group Xp = X(Ep /K) to be those elements of W C(Ep /K) which, for all primes ν of K, are in the kernel of the canonical map W C(Ep /K) → W C(Ep /Kν ), where Kν is the completion of K at the prime ν. We call Xp the Tate– Shafarevich group of Ep and are interested in its behavior as p varies over primes of good reduction for E.

3. Results It is known that | Xp | is finite, hence a square. In fact, there is an explicit formula for it coming from the Hasse–Weil L-function for Ep /K, since the Birch/Swinnerton-Dyer conjecture is a theorem in this case due to Milne [Mil68]. This formula allows us to detect when | Xp | is divisible by a fixed square. More precisely, there is a Galois extension Jn of Q so that n2 divides | Xp | if and only if p splits in Jn and p - n. This field is closely related to the modular curve X0 (n). An application of the Chebotarev theorem yields the following result which implies, in particular, that | Xp | may be arbitrarily large. Theorem 3.1. The group Xp contains elements of any fixed prime order ` for a positive proportion of primes p. Our principal interest is to count primes for which Xp is trivial. This happens if and only if for any principal homogeneous space over Ep /K the curve C has a point over K if it does over Kν for all ν. Our main result shows when this local-global principle holds for many reductions. Theorem 3.2. Suppose that E has an irrational point of order two. If E does not have CM assume GRH. Then Xp is trivial for a positive proportion of primes p.

W. DUKE

114

Actually, we give an asymptotic formula for the number of such primes with a power savings in the remainder term, at least under GRH. Furthermore, since Ep (k) can be shown to be cyclic whenever Xp is trivial, the first assumption of Theorem 3.2 is necessary and its conclusion may be viewed as a refinement of the existence aspect of Serre’s result about cyclicity of Ep (k).

4. Outline of the proof I give here only a very brief sketch of the proof of Theorem 3.2. For details see [CD04]. In the CM case it is proven using the Chebotarev Theorem for a fixed finite extension and the proof does not require GRH. In the non-CM case, Theorem 3.2 is proven using a variant of Serre’s sieve method. The strong uniformity needed in the non-CM case is obtained by assuming GRH. A serious new difficulty is caused by the fact that the field Jn does not contain the full nth cyclotomic field. Thus the Brun–Titchmarsh theorem, which is used in Serre’s argument to estimate the terms with large n, must be replaced. This is possible and essential use is made of the fact that | Xp | is a square. This allows us to employ a second sieving device, a “square sieve”, to estimate the remainder term. We obtain an asymptotic formula for πsha (x) = # {p 6 x : p - N and Xp is trivial} . Here we assume GRH for the Dedekind zeta functions of the division fields of E. We are able to use directly the inclusion-exclusion principle in its most basic form beginning with the expansion of the delta symbol for m ∈ Z+ : ( X 1, if m = 1 µ(n) = δ(m) = 0, if m 6= 1, n|m where µ(· ) denotes the M¨ obius function. This yields immediately the starting formula X XX µ(n), πsha (x) = δ(bp ) = p6x p-N

p6x n|bp p-N

p where we have written | Xp | = b2p . It is shown that bp 6 2 p/3 and so in this √ summation n < 2 x. After rearrangement, the sum can thus be written X πsha (x) = µ(n)#{p 6 x : p - N and n|bp }. √ n<2 x

ON THE MOD p REDUCTIONS OF AN ELLIPTIC CURVE

This gives πsha (x) =

X

µ(n)πn (x) +

n6y

where πn (x) is defined by

X

√ y
115

µ(n)πn (x),

πn (x) = #{p 6 x : p - N and n2 divides | Xp |}

and y = y(x) is a parameter chosen later. We show that for a certain Galois extension Jn of Q that n2 divides | Xp | if and only if p splits in Jn and p - n. Then we can apply a conditional Chebotarev Theorem as in [Ser81] to the first term giving   X X (2) πsha (x) =  µ(n)cn  π(x) + µ(n)πn (x) + O(yx1/2 logxyN ), √ y
n6y

where cn = [Jn : Q]−1 . In this way we are led to seek an asymptotic evaluation in y of X C(y) = µ(n)cn n6y

and an upper bound in x and y for

X

D(x, y) =

√ y
πn (x).

We establish the following two results about C(y) and D(x, y). Define    X Y  1 c= µ(n)cn  1− , `(`2 − 1) `-B n|B

` prime

−1

where cn = [Jn : Q] and B = 2AE N, where AE is the product of the exceptional primes for E. Proposition 4.1. Suppose that E does not have CM. Then X C(y) = µ(n)cn = c + O(y −2 B 2 ) n6y

with an absolute implied constant. Furthermore, c > 0 if and only if c2 6= 1. In fact,  Y  1 c > (1 − c2 ) 1− . `(`2 − 1) `-B ` prime

W. DUKE

116

The second result is more difficult and uses a sieve that detects squares in conjunction with a certain estimate for a character sum involving ap from (1) that is itself conditional upon GRH. Proposition 4.2. Suppose that E √does not have CM and let ε > 0 be given. Assume GRH. Then, for 1 6 y 6 2 x and x > 1, we have the uniform bound 35

D(x, y)  y −2 x 18 +ε , where the implied constant depends only on ε and E. Theorem 3.2 in the non-CM case is a consequence the a more precise result, 13 which follows from the previous two propositions and (2) after taking y = x 27 . Proposition 4.3. Suppose E does not have CM and assume GRH. Then, for any ε > 0 we have 53

# {p 6 x : p - N and Xp is trivial} = c π(x) + O(x 54 +ε ), where the implied constant depends only on ε and E. Here c is positive if and only if E has an irrational point of order two and is given by    X Y 1   c= µ(n)cn 1− , `(`2 − 1) n|B

`-B

where cn = [Jn : Q]−1 and B = 2AE N , with AE being the product of the exceptional primes for E.

5. Some problems One open problem is to prove unconditionally the existence of infinitely many primes p for which Xp is trivial for any non-CM curve E with an irrational point of order 2. The method used in the cyclicity problem [GM90], which relies on sieve arguments for primes in arithmetic progressions, is not directly applicable since the field Jn does not contain the nth cyclotomic field. It follows from [Mil68] that, under the same conditions as in Theorem 2, the Brauer groups of the reductions of E × E are trivial for a positive proportion of primes. It seems interesting to consider similar questions for the reductions of more general elliptic surfaces.

ON THE MOD p REDUCTIONS OF AN ELLIPTIC CURVE

117

References [CD04]

A. C. Cojocaru & W. Duke – Reductions of an elliptic curve and their Tate–Shafarevich groups, Math. Annalen 329 (2004), p. 513–534. [GM90] R. Gupta & M. R. Murty – Cyclicity and generation of points mod p on elliptic curves, Invent. Math. 101 (1990), no. 1, p. 225–235. ˇ [Mil68] J. S. Milne – The Tate-Safareviˇ c group of a constant abelian variety, Invent. Math. 6 (1968), p. 91–105. [Mur83] M. R. Murty – On Artin’s conjecture, J. Number Theory 16 (1983), no. 2, p. 147–168. [Ser81] J.-P. Serre – Quelques applications du th´eor`eme de densit´e de Chebotarev, ´ Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. (1981), no. 54, p. 323–401. [Ser85] J.-P. Serre – R´esum´e des cours de 1977-1978, 1985, Annuaire du Coll`ege de France 1978, in Collected papers, volume III, Springer-Verlag, p. 67–70.

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»ÄÄlÅÄÔKÆ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ÛéëÞÚwÛCâñ

ÛHìŠØ\æ

ÞځØ\æèØ\ÜuHì‰ÞÚ0æèÚoÞÙ

ÛHì‰âCØ\Ü]p

m\ä ãcæšâÜ

–

éëÞÛHÛ

äNócىõ$'Q2MPO%õ4´



ïG& %/( $è!ò Ð & ì%&  é ´&!G " &  ¯  é Wþ.ÿ
   W'‰è!ò4ý$ G&þ.ý$ G&þ ç+&!G&& " × " )/´ • )+*-,/.!02143(F:F9w8:)ë(BC59?!8l<2EA(:J6F9^<7!9

" 1 þ

KML!NO-PQR!OSÿ. h Ê Í Ï ¾Ž¿ . Y _CZ Ê ÍW_CZf_ÌÎà YÇÊ ÍWZAÍ[aWÌξ Ê ÉKÏ Ì>_,¿ V ]Ž¾Ž¿ Ê Éí a\ ZA¾ŽÌ)Å T Ê ÏÎÏeÏWY ¾ _Ì-XKÀ . Y ¾XaWÌξ Ím¾Ž¿ Ï _´]a\ ] V \ a Ï ¾ ÏWY ¾ T Ê ÏÎÏ4Ó Ì>_ V ÃÇÍl_`.ÃÇÌ>_ T ¾ ] ÏmÊ Ë ¾E{ VÇÉ ¿\ ¾ŽÍla É ¿ Ï _faWÃÇÃÇÌ>_a] Y ÏWY ¾g] _ É Í Ï Ì V ] ÏmÊ _ É _` à V Í Y ™ ` _ Ì h Wa ÌοÇÍ Ê ÉcÏWYÇÊ Í ÏWY ¾ _Ì-XKÀ V

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ ènxCz€}zuf†yzù‚CÌfwyz€}ÒÆyÌS{ uœÑ z€GwyƒC†yzS| ®SzL‚v| ‚vwyxCzX ƒC{ { zL† Ï ŒSŒf՜ÌS‚vwyxCzùÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C ÌELLuS}| ÌS‚},F ËS‡wX zL{ | ‚uf†"ÌS‚ïufÑ SzLÛC†Nuf|~SzLÌS{ zUwy†yӜu\w"wyxCJz @‚C| ®SzL†N}| wrÓ[ÌfҍŽfwwy| ‚CSzL‚‘„.™SƒC‚CzÈç Ï ‡/èÌS×µÌSÑ ÌSS|~LufÑJ}zL{ | ‚uf†€„ @‚C| ®SzL†N}| wrӜÌfÒ/…*ÌS‚C‚‘.„ ™SƒC‚Cz Ë­Š ˆC‡8X ƒC{ { zL†XENxCÌ ÌSѓ:š?ÌS>† =E}xCÌSיÌS‚”t>Ìfwy| ®Sz€}L„ ‰YènxCzLÌS†yÓS„©uf‚͔Ù†y| wyxC{ zUwy|~LufÑ zLÌS{ zUwy†yӜ| ‚ƒX z€}rwy†yM| j‘zL®\uf‚awyz[ìÁîwNufÑ ÓCíG„ ™SƒC‚Cz Ïfò %‰ ™SƒCÑ ÓKÏ  | Ñ Ñn}xCÌ wyxu\wùwyxCÌSƒCSx–…nufÑ { zL†rZê ? | wwùwyxCzLÌS†yÓ|~}ù‚CÌfw[uf‚”ÌS†y| zL‚awyz€ÍwyxCzLÌS†yÓ| ‚ wyxCzœ} zL‚}z ÌfÒn ñ/uf‚C| ‚ uf‚‰ Í X { | †y‚CÌ\®d„}ÌS{ z ÌfcÒ z Ê   +¥ b‚ ~ ‰¾wyz€NxC‚CÌSÑ ÌSSÓvLuf‚Ûµzœuf×C×CÑ | z€Í wyÌ| w€‡™ènxCzÄ{[uf| ‚”wyÌ ÌSÑ*{[u = | ‚CvwyxC|~} u\w[ufÑ Ñn×µÌa}y}| ÛCÑ zº|~} u>w  |~}rwyz€Í™ÒÃÌS†y{ ÌfҏènxCÌS{ mbn

¾ l WÏ Y 9CVÇÉ E

ÂÔÕÕWÖÇÀ

‡!pˆ y

r

 GŒ

 y  

|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}L‡ ;/£E|~}rwyzL‚Uz>ÌfÒÚ}ƒNx2|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} | ‚ …?)‰¾wyxCzLÌS†yәzL‚ufÛCÑ z€} ƒ} wyÌ uSNxC| zL®SzwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C SÌaufÑ~}L‡ G‡ ?zn†yzL×C†yÌ\®Sz/wyxCz*ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uS}ÒÃÌS†©wyxCzŒ]ÄFP½¾½dÅfDy¼\B€øµI¼r¿ødDy¼ÈLRNKU½¾FPÀ\RÚãUBEOdÉ T RGIÌSÛEwNuf| ‚Cz€Í †yz€UzL‚awyÑ ÓºÛ ÓvÐ'xuf†yÑ z€c} ? ufÑ wyzL‡† z ˆ   †Wb‚ ~ ‡Ù}ÌS×C×µÌa}z€ÍÄwyÌ[wyxCzù{ zUwyxCÌEÍC}ÌffÒ z ˆ   †Wb‚ ~ „ znÍEÌڂCÌfw/{[u =Sznuf‚ Óڃ}znÌfÒwy†y|~uf‚CSƒCÑ~u\wyz€Í <\ÍEzL†y| ®Sz€ÍÁLu\wyzLSÌS†y| z€}L‡‘Y‚}rwyz€uSÍJ„ z*×C†yÌ\® |~ÍEz  uÁSzLÌS{ zUwy†y|~"×C†yÌ ÌfgÒ z    +¥  º D› ~ „a†yz€}zL{ùÛCÑ | ‚Cù}ÌS{ zLxCÌ  uf‚Í[| ‚}×C| †yz€Í Û ÓwyxC z×C†yÌ ÌfÒJÌfÒ wyxCz×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz"ÛCƒC‚ÍEÑ zwyxCzLÌS†yzL{ | ¿‚ z Ê   +¥ b‚ ~ „aÛ Óƒ}| ‚Cù}ÌS{ zÛuS}|~ÁìÃÛCƒEw*| { ×µÌS†wNuf‚aw uf‚Í ‚CÌS‚awy†y| ® |~ufÑPíÚ×C†yÌS×µzL†wy| z€}ÈÌfÒnwyxCzºwyxCzLÌS†yÓ?ÌSÛEwNuf| ‚Cz€Í™Û Ó …nufÑ { zL†uf‚͔| Ñ Ñ zS‡ènxCz }yuf{ zÁuf×C×C†yÌauSNxÄufÑ Ñ Ì }'wyÌ[UÌS{ ×CƒEwyzÈ}ÌS{ zÚÌfÒ©wyxC:z ? | wwS†yÌSƒC×}*ÌfÒ/UÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ Óº}×CÑ | w ×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz ^aƒuSÍE†y|~L}L‡ G‡ ?z ÍEKz ‚C8z i­IGFPO™X[ZyøµIG„d|¾‡ zS‡ „d×Cƒ}xE‰¾ÒÃÌS†  uf†NÍC}ufÑ ÌS‚CºUÑ Ìa}z€Í>zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚Ca}L„ÒÃÌS† ? | ww'S†yÌSƒC×}©zU£CuSGwyÑ ÓÈwyxCz}yuf{ z u­ÓÈ| w uS}/ÍEÌS‚Cz"| ‚ z Ê   +¥ b‚ ~ ÒÃÌS†ÌS†y| zL‚awyz€ÍÈwyxCzLÌS†y| z€}L„ ‚Cz€Uz€}y}yuf†y| Ñ Ó?wNu = | ‚C>wyxCzºw  |~}rwy| ‚C?| ‚awyÌ uSLUÌSƒC‚aƒw z    ¥ ~ ‡ Ù{ ÌS‚C?ÌfwyxCzL†×C†yÌS×µzL†wy| z€} †y'z ^aƒC| †yz€ÍºÌfÒ/ÓE}| ‚ï{[uf×}L„  zÚ×C†yÌ\®Szwyxu\w"wyxCzLÓÄuf†yzÁUÌS{ ×u\wy| ÛCÑ z  | wyxvUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚} ÌfÒÚUÑ Ìa}z€Í”zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚Ca}L‡ ðÛ}zL†y®Szœwyxu\w[| wœ|~}ùwyxC|~} ×C†yÌS×µzL†wrÓ wyxu\w[×C†yÌ\®Sz€Í wyÌ Ûµz>u { Ìa}rwÍEzLÑ |~Lu\wyzÁ| ¬ ‚ z Ê   +¥ b‚ ~ | wN}×C†yÌ ÌfÒ©wyxCzL†yzÁ†y'z ^aƒC| †yz€ÍºwyxCz xCÌSÑ zÈ{[uSNxC| ‚CzL†yÓºÌfÒ©wyxCz ×uf×µzL†€‡"ðÛ}zL†y®SzÒÃC†wyxCzL†wyx± u\w  zÈLuf‚C‚CÌfw†yz  †y| wyzÚwyxCzÁ×C†yÌ  ÌfÒ^S| ®SzL‚ï| ‚ z Ê   +¥ b‚ ~ ÒÃÌS† ? | wwÁS†yÌSƒC×}uS}| wÚ|~}ÛuS}z€Í>ÌS‚>wyxCzƒ}zùÌfÒ"Ð'xCzL†y‚?UÑ~uS}y}z€}L„ xC|~Nx zÍE̺‚CÌfwÚxu­®Sz | ‚™…nufÑ { zL†rZê ? | wwwyxCzLÌS†yÓS‡ DCÌS†ÚwyxC|~}چyz€uS}ÌS‚  z xuSÍvwyÌ>×C†yÌ\®  |~ÍEz †N}r wÈuïUÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ Ó ÍE| Luf‚>ÛµzùzU£ wyzL‚ÍEz€ÍïwyHÌ ? | ww S†yÌSƒC×}L‡ G‡­ènxCwz ‚ufÑaSÌaufÑf| ‚ÁwyxC|~}©ÍE| †yz€Gwy| ÌS‚ ÌSƒCÑ~ÍÚÛµzwyÌ| ‚awy†yÌEÍEƒUz/ødB IyM W ¿U¼\DGÂ'Z\DyÉ­IZ\T ¼\O Å Z\DLãUFP½¾DyZ\D ÚødDy¼ ÈLRNKU½¾FPÀ\RùX[¼\D¾øM F~IGXùIG‡'ènxCzLÓº {ùƒ}rw"xu­®SzwyxCzÚÒÃÌS†y{ ìrË­í f : W (Y ; f L ⊗ ω )→W (X; L) x CzL†yz f : Y → X |~}'uÚ×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz"{ ÌS†y×CxC|~}{ ÌfґUÌEÍE| { zL‚}| ÌS‚ d = dim X − dim Y „ |~}uœÑ | ‚Cz€uf†ÛCƒC‚ÍEÑ zÌS‚ X „duf‚Í ω = ω ⊗ (f ω ) ‡Úè©u = | ‚C L = ω „  z L SzUw"{[uf×} ènxCz€}zù{[uf×}{ùƒ}rwÛµz uffÑ~}̺: UWÌS{ (Y×u\;wyω| ÛCÑ z ) → | wyWxUÌS{ (X; ×µÌa}ω| wy| ÌS)‚.}L„  xC|~Nx>{[u =Sz€}"wyxCz uS}r‰ }| S‚C{ zL‚aw ìÏ í X 7→ W (X; ω ) uœUÌ\®\uf†y|~uf‚aw"ÒÃC‚GwyÌS†  | wyxv†yz€}×µz€Gwwy̺×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÁ{ ÌS†y×CxC|~}{[}L‡ÈÎì „ÌfwyzÈwyxu\wwyxCzL†yzÈ|~} uSGwyƒufÑ Ñ Ó ‚CÌ?Ñ | ‚Cz€uf†ÛCƒC‚ÍEÑ zÄ®\uf†y|~ufÛCÑ zº| ‚$ì Ï íU„^wyxCzĆy| Sxawxuf‚͖}|~ÍEzÄÍEzL×µzL‚ÍC}ÌS‚ X i

∗

∗

i

∗

Y

Y /X

∗

i+d

Y /X

i+d

Y

∗

X

X

X

−1

X

vu°w)K t ‹  q w), q

{84w) q k  wh  z.y4x q 

‡!p<‡

% u°wh8‹.

{ ‰

{

ÌS‚CÑ ÓS‡ í$ènxC|~}ÈÒÃC‚GwyÌS†Luf‚ ÛµzÄUÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í?wyxCzL‚”uS}ùuïwyxCzLÌS†yÓ?ÌfÒ…*ÌS†yzLÑ ‰Yt>Ì ÌS†yzwrÓ ×µz uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í[wy̜…nufÑ { zL†rêZ? | wwnwyxCzLÌS†yÓS‡ îw|~}‚CÌ  wy| { zÈwy̺}yu­Óœwyxu\wùÂ'RÂ'¼\DyQºÂ/FP½ÃMïIGX[¼€¼\½ÃM
BZ­IGFPW ødDy¼ÈLRNKU½¾FPÀ\R À\Z\DGF«RU½¾F«RGIÌ\®SzL† ‡ ÙÑ ÑwyxCzv†yz€}ƒCÑ wN=} <­|~ÍEz€uS}[UÌSƒCÑ~Í)Ûµzv×µÌa}y}| ÛCÑ Ó–zU£ wyzL‚ÍEz€Í2wyÌ u zLÑ~Í ÌfÒ   †yzLSƒCÑ~uf†Úk‚CÌ zUwyxCchar zL†y|~uf‚6=}yNxC2zL{ z€}ÚÌf%Ò ‚C| wyCz !چyƒCÑ ÑÍE| { zL‚}| ÌS‚ÌS†  xu\wyzL®SzL†ÚÑ~uf†ySzL†ÁUÑ~uS}y} ÌfÒ/}yNxCzL{ z€}L„ ÛCƒEw  z  ÌSM‚  wÍE|~}yUƒ}y}*wyxC|~}L‡ Ù"LUÌS†NÍE| ‚CœwyÅ Ì z Ê   +¥ b‚ ~ „dwy†Nuf‚}rÒÃzL†N}ÒÃÌS†Ú×C†yÌ rz€Gwy| ®Szù{ ÌS†y×CxC|~}{[}Ú}xCÌSƒCÑ~ÍvÛµz | ‚awy†yÌf‰ ÍEƒUz€ÍïufÑ ÌS‚CùwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C SƒC|~ÍEzLÑ | ‚Cz€}L‡ ËSw‡ -z€UÌS{ ×µÌa}zÈu×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz f : Y → X uS} Y ,→ X × P −→ X „  xCzL†yz j |~}u UÑ Ìa}z€ÍºzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C‡ ÒÃÌS†[uf‚ Ó ‡ -Kz ‚Cz>u>wy†Nuf‚}rÒÃzL† ÏN }ƒNx$×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚ p : X ×p P: W→(XX „× PxCzL;†ypz Lω ⊗ ω= ω) → W =(X;p L)ω „  | wyx ‡ p :X ×P →P ˆC‡ -Kz ‚Cz f uS} p j „  xCzL†yz j |~}wyxCz[UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CÄÓE}| ‚{[ufב„‘uf‚Ív×C†yÌ\®Sz wyxu\w"wyxC|~}ÍEÌ z€}n‚CÌfwÍEzL×µzL‚ÍïÌS‚ºwyxCzÈNxCÌS|~UzÚÌfÒ^u ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ f = pj ‡ Õ‡ñ†yÌ\®Sz*wyxu\w ÒÃÌS†uf‚ ÓùUÌS{ ×µÌa}yufÛCÑ z*×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz uf‚Í „SuS} zLÑ ÑCuS} ÌfwyxCzL†'}rwNuf‚ÍCuf†NÍù×C†y(fÌS×µg)zL†wy=| z€}^fÌfÒdg ×Cƒ}xE‰¾ÒÃÌS†  uf†NÍC}L„\zS‡ ‡ „aUÌS{ ×u\wy| ÛC| Ñ | wrfÓ  | wyx[g×CƒCÑ Ñ ‰î ÛuSW =E}L„ ×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚œÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uC„EzUwNf‡ì«}zL¼z z Ê   +¥ b‚ ~ „CÕ‡ ËS‡ Ï ~ íG‡ Ð'ÌS‚UzL†y‚C| ‚C Ï ‡ „CÌSÛ}zL†y®Szwyxu\w ω ∼= O (−n − 1) „|¾‡ zS‡ „EwyxCzÁw  |~}rw|~}"ÌEÍCÍ  xCzL‚ |~}"zL®SzL‚ïuf‚ÍÄ® |~}zÚ®SzL†N}yuC‡Ù"LUÌS†NÍE| ‚Cùwy¿Ì z ˆ   †Wb‚ ~ D„ z    +¥  º D› ~ ì«ufÑ~}Ì[}zLJz X z€Gwy| ÌS‚ Ï n ÛµzLÑ Ì  íG„ W (X × P ; p L ⊗ ω ) |~}|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ÚwyÌ W (X; L) | ‚vwyxCz †N}rwÁLuS}z uf‚ÍUÌS‚awNuf| ‚}| wùuS}ÚuïÍE| †yz€GwÈ}ƒC{ {[uf‚Í?| ‚wyxCz[}z€UÌS‚ÍLuS}zS‡ènx ƒ}Ú| ‚ zL| wyxCzL†ÈLuS}z zڂu\wyƒC†NufÑ Ñ ÓœSzUwu ÍEKz ‚C| wy| ÌS‚ïÌfÒ p ‡  Ð'ÌS‚UzL†y‚C| ‚C–ˆC‡ uf‚Í Õ‡ „}ÌS{ zuS}y}zL†wy| ÌS‚}œuf†yzvwy̖۵z®SzL†y| z€Í)ÓSzUw€„uf‚Í;}ÌS{ z UÌSƒCÑ~Í[wyƒC†y‚ÄÌSƒEwnwyÌ Ûµzwyz€NxC‚C|~LufÑ Ñ ÓœUÌS{ ×CÑ |~Lu\wyz€ÍJ0‡ ’Ì  zL®SzL†€„a| w"|~}nÌ\®SzL†NufÑ ÑµUÑ z€uf†  xu\w wyÌv×C†yÌ\®Szœuf‚Í xCÌ  wyÌ?ÍEÌv| w€‡vY‚ wyxCzº†yz€}rwÈÌfÒnwyxC|~}ù‚CÌfwyz  z  | Ñ Ñ*UÌS{ { zL‚awùÌS‚ wyxCz ÍEKz ‚C| wy| ÌS‚ïÌfÒ/ènxCÌS{ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}"uf‚ͺwyxCzL| †uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}n{ zL‚awy| ÌS‚Cz€ÍÄ| ‚ïnuf‚Íā ufÛµÌ\®SzS‡ j

∗

n

n

i

n

n

n X

n

∗

∗ ∗ ∗

n

n X

p

i−n

∗ n Pn

X×Pn /X

∗

∗ ∗

n X

i

∗

n

∗

X×Pn

n X

i−n

∗

ª«Lž  § • ¾©¦b¡æª«€¦b¡”¦Ÿ½+¾©ª«¡” DCÌS†u>®Sz€GwyÌS†ÈÛCƒC‚ÍEÑ z ÌfÒ"†Nuf‚.= Ì\®SzL†ùuv}{ Ì Ìfwyx uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍH!Ìa}éLƒCÑJUÌS{ ×CÑ pzU£: ìÃEÌfÒ^→®Sz€GXwyÌS†"ÛCƒC‚ÍEÑ z€}nnÌ\®SzL† E í F ›^n–• e

X

UÌS‚}|~ÍEzL†ÁwyxCz

K(E) = (0 → ∧n p∗ E ∨ → ∧n−1 p∗ E ∨ → . . . → ∧1 p∗ E ∨ → ∧0 p∗ E ∨ → 0)

îwÄ|~}C= ‚CÌ ‚2wyxu\wÄ| wÄ|~}œzU£CuSGwºÌ< „"|¾‡ zS‡ „"| wN}ºUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSӖ}xCz€u­®Sz€}œuf†yz>Ñ ÌELu\wyz€Í ÌS‚ X ì z Á° µ » ® |~ „Mz µ ¨ †W¶ º ~ „*Ù×Cב‡–X…"íG‡/Ù} (∧ p E ) ∼= ∧ p E ⊗ ÍEzUw p E ì«Luf‚CÌS‚C|~LufÑ Ñ ÓCíG„CwyxCzÁwyzL†y{[}ÌfÒ K(E) Luf‚>ÛµzùLuf‚CÌS‚C|~LufÑ Ñ Óº|~ÍEzL‚awy| z€Í  | wyxïwyxCzÈwyzL†y{[} i ∗

∨ ∨

n−i ∗

∨

∗

‡!pp y

r

 GŒ

 y  

ÌfÒ K(E) [n] ⊗ ÍEzUw p E ÍEzLS†yzLz  |~}z ± xCzL†yz  z[uS}y}ƒC{ zùwyxu\w K(E) |~}ÁÑ ÌELu\wyz€Ív| ‚ ÍEzLS†yzLz€} n wyxC†yÌSƒCSx 0 ‡/è©u= | ‚C | ‚awyÌ[uSLUÌSƒC‚awnwyxCzÈ}| S‚ïUÌS‚ ®SzL‚awy| ÌS‚}'| ‚ ®SÌSÑ ®Sz€Íº| ‚ºwyxCz ÍEzK‚C| wy| ÌS‚ùÌfÒµuÍEƒufÑEUÌS{ ×CÑ zU£Èuf‚ÍÁwyxCz*wy†Nuf‚}Ñ~u\wy| ÌS‚ÁÒÃC‚GwyÌS†€„  z'SzUw/uf‚ù|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ ÌfÒ/UÌS{ ×CÑ zU£Ez€} ∨

∗

∨

Θ(E) : K(E) → K(E)∨ [n] ⊗ det p∗ E ∨ .

îw?Luf‚ Ûµz”NxCz€W=Sz€Í wyxu\w (K(E), Θ(E)) |~}vu)}Ó { { zUwy†y|~ n‰Y}×uSUz| ‚ wyxCz”}zL‚}z uSÍEÌS×Ewyz€ÍœÒÃÌS†ÍEzL†y| ®Sz€ÍH? | wwS†yÌSƒC×}cz Á   †Wb ~ „Dz Á   †W m ~ ‡ ènxC|~}"S| ®Sz€}"uf‚ïzLÑ zL{ zL‚aw ÍEzUw ‡nÙ"ÍEÌS×Ewy| ‚C wyxCzÚwyzL†y{ | ‚CÌSÑ ÌSSÓ „  z  ∈| Ñ ÑWLufÑ (E; Ñ κ(E) wypxCzJE!)Ìa}éLƒCÑ ‰YènxCÌS{ÎUÑ~uS}y}L‡/Y‚vLuS}zÚÌfÒ ƒ}z€ÍÄ| ‚ z Á°µ » ® |G~ ÒÃÌS† K κ(E) uœwy†y| ® |~ufÑ^ÛCƒC‚ÍEÑ z „ Ûµz€UÌS{ z€}wyxCz!Ìa}éLƒCÑ^UÌS{ ×CÑ zU£?UÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í Û Óº…nufÑ { zL†"uf‚ÍE| Ñ Ñ =‰z z ÁXÄ × Aº ~ „ X K(E) z€Gwy| ÌS‚}"ˆuf‚ÍïŠù| ‚ºwyzL†y{[}nÌfÒnìÆyzLSƒCÑ~uf†Gí'}'z ^aƒCzL‚Uz€} | ‚>uïìÃ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑPí'†y| ‚C‡ îÒ L |~}"uÑ | ‚Cz€uf†"ÛCƒC‚ÍEÑ zÁÌ\®SzL† X „CUÌS‚}|~ÍEzL†nwyxCzÚ×uf| †y| ‚C z Ä ·b‚ ~ F ÍEzUw p E ) × W (E; p L) → W (E; (ÍEzUw p E ) ⊗ p L). W (E; t>ƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ïÛ Ó κ(E) Ó | zLÑ~ÍC}u{[uf× ÍEzUw p E ) ⊗ p L). 쫈aí κ(E) ? − : W (E; p L) → W (E; ( ?zÄÍEzL‚CÌfwyzºÛ Ó wyxCzÄUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚™ÌfÒï쫈aí  | wyx W (X; L) −→ W (E; p L) ìÃxCÌS{ ÌfwyÌS× Óœ| ‚ ®\ufth(E) †y|~uf‚Uz­íG‡ j‘ÌELufÑ | éL| ‚C„ zùLuf‚>uS}y}ƒC{ zÁwyxu\wÛµÌfwyx uf‚Í uf†yzÚwy†y| ® |~ufÑÛCƒC‚ÍEÑ z€}L„| ‚ xC|~Nx LuS}zv쫈aíÚ|~}ùuf‚™ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{Û Óu>†yz€}ƒCÑ wùÌfE_Ò Xd‡^L| Ñ Ñ ·z z ÄĪ †Wb‚ ~ „/ènxCzLÌS†yzL{¬çC‡ ˆ™ ì«}zLz ufÑ~}"Ì z Á Ä  º ~ „ènxCzLÌS†yzL{ ò ‡ Ï íG‡…*Óºtvu­ÓSzL†~‰ }| zUwyÌS†y|~}*uf†ySƒC{ zL‚aw  zڂCÌ  SzUw F~I Z\OF~IL¼\W 
‘D’“‹”’•—– n HdMCR X[Zyø X[¼\D¾øM F~IGX ¿U¼\DZ\O [T FPOdRNZ\Dùth(E) ãUBEOdÉ T :R WL ¼\(X; À\RUD LX⊗œ det E) → W (E; p L) DCÌSÑ Ñ Ì | ‚C  z Á°µ » ® |G~ uf‚¼Í z Ê   +¥ b‚ ~ „ z'LufÑ Ñ uènxCÌS{ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ †Nu\wyxCzL† wyxuf‚>LufÑ Ñ | ‚C | wu ÍEÔL® |~}y}yufSz|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~} {ÎuS}n| ‚ th(E) z ÄĪ †Wb‚ ~ ‡ n X

0

n X

∗

∗

∨

n

∨

i

i

i+n X

∗

i+n X

∗

∗

∗

∨

∗

∗

∼ =

i

i+n X

i

∨

i

∗

∗

ê žLž–’Ÿ\¦µ¨[½^ ¦bžf½©Ÿ\¦ «   ¡fž€ª   >›^¨ ¥ § †    ènxCzïwyxCzLÌS†yzL{[} ×C†yÌ\®Sz€Í–| ‚³z    ¥+ º ›D~ | wyx)wyxCz>xCzLÑ × ÌfÒÁènxCÌS{|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} uS}y}zL†w^wyxu\wÒÃÌS†*uÚ®Sz€GwyÌS†/ÛCƒC‚ÍEÑ z E Ì\®SzL† X ÌfÒd†Nuf.‚ = r + 1 uf‚Í[uÚÑ | ‚Cz€uf†ÛCƒC‚ÍEÑ z L/X zÚxu­®SzÒÃÌS†ufÑ Ñ i  ì«uaí W (P(E); p L) ∼= W (X; L) | Ò r |~}nzL®SzL‚ ± ìÃÛµí W (P(E); p L ⊗ O(2l + 1)) = 0 | Ò r |~}"ÌEÍCÍ ± ì«€í W (P(E); p L ⊗ O(2l + 1)) ∼= W (X; L ⊗ det E) | Ò r |~}nzL®SzL‚ ± ‚ n ˆ

i

∗

i

∗

i

∗

i

i−r

vu°w)K t ‹  q w), q

{84w) q k  wh  z.y4x q 

{

‡!p

% u°wh8‹.

{ ‰



| Ò |~}*ÌEÍCͺuf‚Í E Luf‚ ì«Íí E) r Ûµz†yzL×C†yWz€}zL(P(E); ‚awyz€Í[uS}'p ufL) ‚œzU∼=£ wyzLW‚}| (X; ÌS‚ 0L)→⊕EW→ E(X;→LE⊗ det | wyx E uf‚Í E fÌ Ò‘ÌEÍCÍ →0 †Nuf.‚ =d‡ èÌ | Ñ Ñ ƒ}rwy†Nu\wyzÚÌSƒC†"{ zUwyxCÌEÍC}L„  z  | Ñ Ñ} =SzUwNNxì«uaí*Û Óœ×C†yÌ\® | ‚Cùwyxu\w i

∗

i

i−r

0

00

0

00

p∗ : W i (X; L) → W i (P(E); p∗ L)

~| }Èuf‚™|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{…*Ótvu­ÓSzL†‰~}| zUwyÌS†y|~}L„dwyxC|~}ÈÑ ÌELufÑ | éLz€}wyÌ>wyxCzºLuS}z ÌfÒnwy†y| ® |~ufÑ E uf‚Í ‡ îw wyxCzL†yzUÒÃÌS†yzÄ}ƒuœUz€}ÈwyÌ }xCÌ wyxu\w |~} uf‚ |~}ÌS{ ÌSL†y×CxC|~}{| Ò r ≡ 0 mod 2 ‡ƒ„zU£  w  zœ†yz€pÍEƒU: z[WwyxC(X) |~}ÁwyÌv→wyxCzºWLuS(X }z X× P= )pt ±w z | Ñ Ñ*×C†yÌ\®Sz wyxu\w |~}ùuf‚”|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ï„/uf‚ÍwyxCzº†yz€uSÍEzL†ù|~}  → W (P ) }ƒCSSz€}rwyz€ÍœwyÌ[| ‚}zLp†w :XW× (pt) y w C x y † S Ì C ƒ S  C x S Ì E ƒ n w y w C x zÈ×C†yÌ ÌfÒ^uf‚ÍïNxCz€W =[wyxu\w| w ÌS>† =E}L‡ènxCz ÌS‚CÑ Óœ†yzUÒÃzL†yzL‚Uz  zڂCzLz€ÍÄ|~}*−wyÌ wyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C[}| { ×CÑ ÓºÑ Ì Ì = | ‚CùÒ«uSGw€‡  ÍEzL‚CÌfwyzÈwyxCzȂu\wyƒC†NufÑzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚CÄuf‚ÍïÑ zUw »^T Z\FPX I\‡ù쾍| Ñ Ñ z­cí j‘zUw ÍEzL‚CÌfwyzÈwyxCzUÌ ÌS†NÍE| ‚u\wyzÁj ÌS: ‚ AA−−0 0→ìÃ|¾A‡ zS‡ „ A − 0 ∼= spec k[t, t ]íG‡ènxCzL‚>wyxCzù{[uf× t |~}nuf‚º|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{4ÒÃÌS†"ufÑ Ñ i „  xCzL†yz (j , t j ) : W (A ) ⊕ W (A ) → W (A − 0) ~ | n } y w C x Á z | ‚ S ® S Ì Ñ E ƒ y w | S Ì ï ‚ S Ì ‚ S  | S ® L z Ä ‚ Û œ Ó y w xCzÈ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ïÌfÒ/u[}Ó { { zUwy†y|~ t W (A − 0) ÒÃÌS†y{ÎÛ Ó t ‡ »^T Z\FPX ‡ ÒÃÌS†'uf‚ Ó i ì  xC|~Nx[|~}/wyxCz}| { ×CÑ z€}rw*LuS}zÌfÒdÒÃÌS†y{ùƒCÑ~u ìÃÛµííG‡ ² W (P ; O(2l + 1)) = 0 ÒÃÌS†ufÑ Ñ ¢*Dy¼€¼r¿ n …*Ó Ï ‰î×µzL†y| ÌEÍE|~U| wrÓÈ| ‚ùw |~}rwy| ‚C„f| w'} ƒ uœUz€}©wyÌÁ×C†yÌ\®Sz ‡i 'Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†wyxCzÚtvu­ÓSzL†~‰ }| zUwyÌS †y|~}/}'z ^aƒCzL‚UzÒÃÌS† P = A ∪WA (P | ;wyO(1)) x O(1)=w  0 |~}rwy| ‚C F ∗

∗

i

i

1

∗ ∗

i

1

i

∗

i

r

1

1

1

i

i

r

1

∗

i

i

−1

1

1

1

i

1

1 0

1

1 ∞

. . . → W i (P1 ; O(1)) → W i (A10 ; O(1)|A10 ) ⊕ W i (A1∞ ; O(1)|A1∞ ) → → W i (A10 ∩ A1∞ ; O(1)|A10 ∩A1∞ ) → . . . .

è†y| ® |~ufÑ | éL| ‚C ÌS‚ }z'^aƒCzL‚UzÚÌfÒ©wyO(1) xCzÒÃÌS†y{

„

A10 A1∞

uf‚Í

„ zºSzUwuf‚”|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~

A10 ∩ A1∞ = A1 − 0 

. . . → W i (P1 ; O(1)) → W i (A1 ) ⊕ W i (A1 )

(j ∗ ,−t∗ j ∗ )

−→

W i (A1 − 0) → . . . .

ènxCzÈuS}y}zL†wy| ÌS‚œÒÃÌSÑ Ñ Ì  }*Û ÓïÐ'Ñ~uf| {ËS‡ »^T Z\FPX ¹ 0‡ j‘zUw P ⊂ P ÛµzuÑ | ‚Cz€uf†/zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C‡©îÒ n |~}^zL®SzL‚‘„fwyxCzL‚wyxCz"×CƒCÑ Ñ ‰îÛuSW= |~}"uf‚ï|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{4ÒÃÌS†ufÑ Ñ i ‡ W (P ) → W (P ) ¢*Dy¼€¼r¿ n Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†nwyxCzÁÑ ÌELufÑ | é€u\wy| ÌS‚Ä}'z ^aƒCzL‚Uz ìÃÕ í . . . → W (P ) → W (P − P ) → W (P ) → ... , n

i

n+2

n+2

i

n

i

n+2

i

n+2

1

i+1 P1

n+2

‡!p¢



r y

xCzL†yz

 GŒ

 y  

|~}u UÌS{ ×CÑ zL{ zL‚awNuf†yÓ[×C†yÌrz€Gwy| ®SzÑ | ‚CzS‡'…*ӜzU£CU|~}| ÌS‚‘„

P1 ⊂ Pn+2

n+2 ∼ n+2 WPi+1 ) = WPi+1 − Pn ). 1 (P 1 (P

ènxCzœ®\uf†y| zUwrÓ L uf‚ µÛ zœ‚u\wyƒC†NufÑ Ñ ÓUÌS‚}|~ÍEzL†yz€ÍuS}Èu ‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ ®Sz€GwyÌS†/ÛCƒC‚ÍEÑ zP Ì\®SzL† −P P„  Cx |~Nx  z  | Ñ ÑµÍEzL‚CÌfwyzÛ Ó V ‡©îw*Luf‚ (nÛµ+zz€1)uS}| Ñ Ó}zLzL‚wyxu\w ‡ det V …*ÓºènxC∼=zLÌS†yOzL{ (nËS‡ +ËS„ 1) ÍEzUw V ) ∼= W (P ; O (n+1)). W (P −P ) = W (V )∼ (P ; =W ènxCzÑ~uS}rw*S†yÌSƒCל®\uf‚C|~}xCz€}'Û ÓºÐ'Ñ~uf| { Ï uS} |~}'ÌEÍCÍJ„ xCzL‚Uz ÒÃÌS† uf‚ Ó i ‡^îw"ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }ÒÆyÌS{ìÃÕ íwyxu\w W (P n)+→1 W (P − P W) |~}nuf‚Ä(P|~}ÌS{ )ÌS=†y×CxC0|~}{ ÒÃÌS†Èuf‚ Ó i ‡œ…*ƒEw P − P Luf‚ ÛµzœUÌS‚}|~ÍEzL†yz€ÍuS}ÁuÄ®Sz€GwyÌS†ÚÛCƒC‚ÍEÑ zœÌ\®SzL† P ‡œ…*Ó xCÌS{ ÌfwyÌS× Ó[| ‚ ®\uf†y|~uf‚Uz  zÁuf†yzÚÍEÌS‚CzS‡ ènx ƒ}*ÒÃÌS†uf‚ÄzL®SzL‚ r  zÚxu­®SzÚu }'z ^aƒCzL‚UzÚÌfÒ^|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} n+2

n

1

i+1 P1

n+1

P1

n+1

n+2

i+1 P1

n

i−n

n+1

i

n+2

1

i−n

n+1

n+2

i

n+2

1

i+1 P1

1

P1

n+2

1

n

W i (Pr ) → W i (Pr−2 ) → . . . → W i (P2 ) → W i (pt).

ènxCz[×CƒCÑ Ñ ‰îÛuSW = }×CÑ | wN}ÚwyxCzœUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ uf‚Í{ùƒ}rwÈÛµzœuf‚ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{4wyÌ ṗw:DCWÌS†y{ù(pt) ƒCÑ~uÄ→ ì«uaí*W|~}"×C(P†yÌ\®S)z€ÍJ‡ èÌ ×C†yÌ\®Sz ìÃÛµí'ÒÃÌS† r ≡ 1 mod 2 „  zڐSzUw|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} ∗

i

i

r

W i (Pr ; O(2l + 1)) → W i (Pr−2 ; O(2l + 1)) → . . . → W i (P1 ; O(2l + 1)) = 0

Û ÓzU£CuSGwyÑ ÓwyxCz*}yuf{ z†yz€uS}ÌS‚C| ‚C‡MDCÌS†‘wyxCz'×C†yÌ ÌfÒCÌfґì«€íuf‚Í[ì«ÍíJwyxCz'†yz€uSÍEzL†‘|~}†yzUÒÃzL†y†yz€Í wyÌ¿z    ¥+ º ›D~ ‡*ènxCzÚwyzL†y{ ÌfÒ/ÍEzLS†yzLz i − d | ‚”ì«€í"uf‚Í ì«Íí"uf×C×µz€uf†N}  xCzL‚  zÈuf×C×CÑ Ó u ènxCÌS{ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ï„ ÌfÒ^UÌSƒC†N}zS‡ ž ¡S¦b¡¬½ † a  ž  † ” Ÿ !½ † ªÃžXJ¨© C§Ÿ\ª«¡S [º n ˆ ªÃžLžÖ’Ÿ\¦µ¨[^½ [¦b" Y‚·z    ¥+ º ›[~ „EuÁÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uÈ|~}*ufÑ~}ÌÍEz€ÍEƒUz€Í[ÒÃÌS†'wyxCz? | ww"S†yÌSƒC×}ÌfÒ©uùUÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ Ó

}×CÑ | w^aƒuSÍE†y|~ Q = Q((d + 1)H) | ‚”UzL†wNuf| ‚ LuS}z€}L„Û Ó?ƒ}| ‚CÄwyxCzº}yuf{ z { zUwyxCÌEÍC}L‡ X ƒNxïl u ^aƒuSÍE†y|~ÚLuf‚ÄÛµzÈÍEzK‚Cz€ÍÄÛ Ó x y + x y + . . . + x y = 0 | ‚ P ‡w’zL†yz z ÚUÌS‚}|~ÍEzL†*zL®SzL†yÓawyxC| ‚CùÌ\®SzL† pt = spec „ ÛCƒEwnwyxCzÁ}yuf{ zLuf‚ºÛµzÁÍEÌS‚CzÌ\®SzL†*uùÛuS}z k ‡  ?z L z y †  z f u C Û Ñ  z y w ù Ì S  U z * w Ã Ò S Ì y † ù { C ƒ ~ Ñ S u ' } | œ ‚ y w C x  z ÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚CLuS}z€}'| ‚  xC|~NxœwyxCzچyz€}×µz€Gwy| ®Sz X Ñ ÌELufÑ | é€u\wy | ÌS‚Ä}'z ^aƒCzL‚UzÁ}×CÑ | wN}nÒÃÌS†}| { ×CÑ zÁ†yz€uS}ÌS‚ }L‡ ìÃz­í*îÒ d |~}nzL®SzL‚‘„ wyxCzL‚ W (Q) ∼= W (pt) ⊕ W (pt) ÒÃÌS†ufÑ Ñ i ‡ ìPÒNínîÒ d |~}nÌEÍCÍJ„EwyxCzL‚ W (Q; O(2l + 1)) = 0 ÒÃÌS†ufÑ Ñ i ‡ ènxCz€}z>ÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uS}œuf†yz>ÌSÛEwNuf| ‚Cz€Í | wyx wyxCzvxCzLÑ ×;ÌfÒÈu$KNRUTPTÁÉSRNKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O2ÌfÒ ‡ -K z ‚Cz P , P ⊂ P Û Ó wyxCzÄ'z ^a ƒu\wy| ÌS‚} y = y = . . . = y = 0 uf‚Í x Q= †yz€}×µz€Gwy| ®SzLÑ ÓS‡¢ènxCzL‚ P , P ⊂ Q uf‚Í | wºwyƒC†y‚}ºÌSƒEwœwyxu\w x = ... = x = 0 0 0

i

1 1

i

2d+1

d d

i−2d

i

d x

1

d y

2d+1

d

0

1

d x

d y

d

0

vu°w)K t ‹  q w), q

{84w) q k  wh  z.y4x q 

{

‡!p

% u°wh8‹.

{ ‰

¸

‚ u\wyƒC†NufÑ Ñ ÓvxuS}ùuï®Sz€GwyÌS†ÁÛCƒC‚ÍEÑ zº}rwy†yƒGwyƒC†yzœÌ\®SzL† P „  | wyx wyxCzœ×C†yÌrz€Gwy| ÌS‚ „*uf‚͔® |~}zÄ®SzL†N}yuC‡™ènxC|~} {[u=Sz€} u DyRUT Z\½¾FPÀ\RÈKNRUTPT BET Z\DI¾øZSKNR  | wyxºu[ËU‰Y}rwyzL×ïIGX[¼€¼\½ÃMÑ wy†Nu\wy| ÌS‚‘‡^îw  uS}/ƒ}z€Í[| ‚·z  Ä  º Q~ wyÌ UÌS{ ×CƒEwyzùuf‚vuf†yÛC| wy†Nuf†yӜÌS†y| zL‚awyz€ÍºwyxCzLÌS†yÓºÌfÒ}ƒNx>Cu ^aƒuSÍE†y|~f„uS}  zLÑ ÑuS}| wN}{ Ìfwy| ® |~ ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚‘‡^YŒ‚ ? | ww"wyxCzLÌS†yÓ  zÁUÌS‚}|~ÍEzL†nwyxCzÁÑ ÌELufÑ | é€u\wy| ÌS‚Ä}'z ^aƒCzL‚Uz 쾊Sí . . . → W (Q) → W (Q) → W (Q − P ) → . . . | ‚  xC|~Nx W (Q − P ) ∼= W (P ) Û ÓxCÌS{ ÌfwyÌS× Óv| ‚ ®\uf†y|~uf‚UzS‡ÄîÒ d |~}ÈzL®SzL‚‘„wyxCzL‚ ì«LuS}zÈì«uaí^| H‚ X z€Gwy| ÌS‚ Ï íG„fwyxCz×CƒCÑ Ñ ‰îÛuSW = W (pt) → W (Q) }×CÑ | wN} W (P ) ∼ wyxCzL†yzUÒÃÌS†yz[=ì¾WŠSíG„C(pt) uf‚Í  zڐSzUw Q − Pdx (x0 : y0 : . . . : xd : yd ) 7→ (y0 : . . . : yd )

i Pd x

i

i

d y

i

d x

i

d y

i

d x

d y

i

i

i

W i (Q) ∼ = W i (pt) ⊕ WPidx (Q) .

zU£ w  zUÌS{ ×CƒEwyznwyxCzÍEzUwyzL†y{ | ‚uf‚awÌfÒdwyxCz"®Sz€GwyÌS†/ÛCƒC‚ÍEÑ z (Q − P ) → P „auf×C×CÑ Óu ènxCÌS{ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{¢uf‚ÍÁÒÃÌS†y{ùƒCÑ~uùì«€íÌfÒ X z€Gwy| ÌS‚ Ï „Suf‚ÍȐSzUw W (Q) ∼= W (pt) „ xC|~NxÄ×C†yÌ\®Sz€}ÚìÃz­íG‡  èÌÚ×C†yÌ\®SzÁìPÒNíG„ zUÌS‚}|~ÍEzL†ìÃÕ í | wyx[uf‚ ÌEÍCÍùw |~}rw€‡/ènxCzL‚ ®\uf‚C|~}xCz€}Û ÓìÃÛµíG„   xCzL‚Uz W (Q; O(2l + 1)) ∼=  W (Q; O(2lW+(Q1))−‡P…*Óº; O(2l wyxCzù+}yuf1)) { z †yz€uS}ÌS‚C| ‚CuS}^ufÛµÌ\®Sz*uf‚Íuf×C×CÑ Ó | ‚C ìÃÛµí^ufauf| ‚  z"}xCÌ  wyxu\w W (Q; O(2l +1)) = 0 „ xC|~NxÄ×C†yÌ\®Sz€}ÚìPÒNíG‡  ª ’•¬«‹”­¬¨ n ?zºLuf‚C‚CÌfwÁÓSzUwùuf×C×CÑ ÓvwyxCz[{ zUwyxCÌEÍC}ÁÌfk Ò z  Ä  º ~ wyŒÌ ? | wwùS†yÌSƒC×}ÚÌfÒ uf†yÛC| wy†Nuf†yÓ[UzLÑ Ñ ƒCÑ~uf†"®\uf†y| zUwy| z€}"uS}n×Cƒ}xE‰¾ÒÃÌS†  uf†NÍC}*uf†yzÁ}rwy| Ñ Ñ‘Ñ~uSW = | ‚C| ‚ÄwyxC|~}nwyxCzLÌS†yÓS‡ „

d y

d x

i Pd x i

i−2d

i

i Pd x

d x

i Pd x

Â^n 㟑€ª ¥ ¡” ½^‰žî¦Ÿ ˆ

ªÃžLžÖ’Ÿ\¦µ¨[½^ Ý"z€LufÑ Ñw†N}rwxCÌ  ÓE}| ‚™{[uf×}uf†yzºÍEzK‚Cz€Í™| ‚ z Ê   +¥ b‚ ~ ÒÃÌS†ÌS†y| zL‚awyz€ÍwyxCzLÌS†y| z€}L‡ j‘zUw Ûµzvu™UÑ Ìa}z€Í–zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C ÌfÒÁ}{ Ì Ìfwyx)®\uf†y| zUwy| z€}ÌfÒÁUÌEÍE| { zL‚}| ÌS‚ j : Y ,→ X „Euf‚ÍœÑ zUw N ÍEzL‚CÌfwyzwyxCz‚CÌS†y{[ufѵÛCƒC‚ÍEÑ zwyÌ Y | ‚ X ‡/ènxCzL‚ d = dim X − dim Y |~}"ÍEzK‚Cz€ÍïuS}*wyxCzÈUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ j : A (Y ) → A (X) X/Y

i

∗

Ai (Y )

i+d

th(NX/Y )

/ Ai+d (NX/Y ) Y

d(X,Y ) ∼ =

i+d Y

A (X) , A (X) x CzL†yz ìÃ|Pí th(N ) |~}ÄwyxCz”ènxCÌS{æ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í wyÌ2wyxCz™®Sz€GwyÌS†ÄÛCƒC‚ÍEÑ z N ìÃ| |Pí ± d(X, Y ) |~}[wyxCz2ÉSR«¿U¼\DGX[Z\½¾F«¼\O ½Y¼™½ÃMCR?Od¼\DGX[Z\TKN¼\OdRvF~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGXùI[ÒÃÌS†[wyxCz zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C Y ,→ X ± ìÃ| | |Pí/wyxCzÚÑ~uS}rwÚìPwy†y| ® |~ufÑPí'uf†y†yÌ |~}*uf‚ºzU£ wyzL‚}| ÌS‚œÌfÒ©}ƒC×C×µÌS†w€„ xC|~Nxº|~}nuf‚Äu\wwy†y| ÛCƒEwyz ÌfÒ/uf‚ ӜUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓ wyxCzLÌS†yÓS„ ‚C Ìfw‚Cz€Uz€}y}yuf†y| Ñ Ó[ÌS†y| zL‚awNufÛCÑ zS‡  X/Y

X/Y

/

/

i+d

‡!p!À y

r

 GŒ

 y  

Y‚CS†yz€ÍE| zL‚awïìÃ|PíG„*|¾‡ zS‡ „*ènxCÌS{ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}L„ uS}| ‚awy†yÌEÍEƒUz€Í™ÒÃÌS†[…nufÑ { zL†rêZ? | ww wyxCzLÌS†yÓv| ‚‰X z€Gwy| ÌS‚)ËS‡ºÐ'ÌS‚UzL†y‚C| ‚C ìÃ| |PíG„  z ÌS‚CÑ Ó? UÌS{ { zL‚awÚwyxu\wÁwyxCzœÍEzUÒÃÌS†y{[u\wy| ÌS‚ |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} ufÑ~}Ì zU£E|~}rw"| ‚>uf‚ ÓS„E‚CÌfw‚Cz€Uz€}y}yuf†y| Ñ Ó[ÌS†y| zL‚awNufÛCÑ zÚUÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓ wyxCzLÌS†yÓÚuf‚ÍÚwyxu\d(X, w©wyxCzL|Y†©)zU£E|~}rwyzL‚Uz'|~}‚CÌfw^uf‚Èz€uS}ÓÒ«uSGw
z Ê   ¥+b‚ ~ „ Ï ‡ Ï ‡ ò ‡4’Ì  zL®SzL†€„UwyxC|~} Luf‚?Ûµz[{ ÌEÍE| z€ÍvwyŒÌ ? | wwȐS†yÌSƒC×}ufÑ { Ìa}rwÁ}rwy†Nuf| SxawÒÃÌS† uf†NÍJ‡Èè©u = | ‚CÄ| ‚awyÌ>uSLUÌSƒC‚aw wyxCzÁÑ | ‚Cz€uf†"ÛCƒC‚ÍEÑ zÁ®\uf†y|~ufÛCÑ zS„  zÁSzUwÍEzUÒÃÌS†y{[u\wy| ÌS‚Ä|~}ÌS{  ÌS†y×CxC|~}{[}*ÌfÒwyxCzÚÒÃÌS†y{ WY∗ (NX/Y ; p∗ LY ) ∼ = WY∗ (X; L) ,

xCzL†yz L |~}Äu™Ñ | ‚Cz€uf†ºÛCƒC‚ÍEÑ z?Ì\®SzL† X „ L = j L |~}œ| wN}º†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚)wyÌ Y „uf‚Í |~}wyxCzœ×C†yÌrz€Gwy| ÌS‚‘‡„Ìfwyz wyxu\wÁwyxCzL†yz[|~}Á‚CÌ>ÍEzLS†yzLz | ‚ÍEzU£Cu\wy| ÌS‚| ‚ p:N z Ê   +¥ b‚ ~ „CÛC→ƒEwY| ‚ï{[uf‚ ÓºzU£Cuf{ ×CÑ z€} th †Nuf|~}z€}'wyxCzÈÍEzLS†yzLzÚÛ ÓœwyxCzÁ†Nuf‚.=œÌfÒ©wyxCzÁ®Sz€GwyÌS† ÛCƒC‚ÍEÑ zS„  xC|~Nxï|~}*wyxCzÈLuS}zÒÃÌS† W „  xC| Ñ z d(X, Y ) ufÑ  u­ÓE}*×C†yz€}zL†y®Sz€}'| w€‡ „Ì zuf†yz×C†yzL×uf†yz€ÍwyÌ ÍEKz ‚CzڍÓE}| ‚º{[uf×}ÒÃÌS†? | ww"S†yÌSƒC×}L‡e? | wyxœwyxCzÚ}yuf{ z ‚CÌfwNu\wy| rÌS‚‘ „ j  | Ñ ÑÍEzL‚CÌfwyzwyxCzÈUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ 

∗

Y

X/Y

∗

∗

i

W (Y ; LY ⊗ det NX/Y )

th(NX/Y )

/ W i+d (NX/Y ; p∗ LY ) Y

d(X,Y )

/ W i+d (X; L)

∼ =

Y



Ù} det N ∼= ω Luf‚CÌS‚C|~LufÑ Ñ ÓS„  z/SzUw j : W (Y ; j L⊗ω ) → W (X; L) „ xC|~NxïufS†yzLz€}  | wyx™ìrË­íG‡  Ù¢×C†yÌ ÌfÒ/ÌfÒ ÒÃÌS†UÌS{ ×µÌa}yufÛCÑ zÁzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚Ca} |~}S| ®SzL‚ | ·‚ z    +¥  º   ~ | ‚[(jjwyxC)zL=uS}z"j ÌfjґÌS†y| zL‚awyz€ÍwyxCzLÌS†y| z€}L‡nìîðÛ}zL†y®SznwyxZu\w',→wyxC|~Y}×C,→†yÌS×µXzL†wrÓ|~}/Ò«uf† ÒÆyÌS{ ÛµzL| ‚CïÌSÛ ® | ÌSƒ}  | wyx?wyxCz[ÍEzK‚C| wy| ÌS‚ÌfÒ j wyxu\w  zƒ}zS‡ í™ènxC|~}Ú×C†yÌ ÌfÒ*Luf‚?Ûµz z€uS}| Ñ ÓÁ{ ÌEÍE| z€ÍùwyÌ ? | wwS†yÌSƒC×}L‡ènxC|~}  | Ñ ÑCÛµz"ÍEÌS‚Czn| "‚ z    ¥ ~ „SuS}  zLÑ ÑCuS}/u×C†yÌ ÌfÒµÌfÒ ÌfwyxCzL†Ú×C†yÌS×µzL†wy| z€}ÌfÒnÓE}| ‚{[uf×}L„d| ‚UÑ ƒÍE| ‚CÄwyxCzL| †ÁUÌS{ ×u\wy| ÛC| Ñ | wrÓ  | wyx×CƒCÑ Ñ ‰îÛuSW =E} | ‚Äwy†Nuf‚}®SzL†N}yufÑd>} ^aƒuf†yz€}L„awyxCzÈ}{ Ì ÌfwyxïÍE| ® |~}ÌS†LuS}zS„ zUwNf‡  | Ñ Ñ‘ÛµzÁS| ®SzL‚ºwyxCzL†yzS‡ Ai+d (X; L) .

X/Y

0

∗

i

∗

Y /X

∗

j0

0 ∗ ∗

i+d

Y /X

j

∗

€ G  ž¯ aŸ(  ¥ ¡   Î Ï &! Ò ßfÕgÖ´å‹ãäØكæ Î   &!ê &cü¬  s! èêï Rû Î ì‰Cí-  %  è(éC&!  ëC&  èUð&!é BÛ(êé'þ K *búöS5Ãû
ß"þ>!ÿþGè
×þï +æ) Î Ï &! Ò þ Î   &!ê &%ü¬  ! èêïR Zû"û I  è%³ê êG&!v è/  C.þùƒ.!÷yúø.ü^øGü+;>= þ>!ÿþGè
þï+ Î ÏqIDÐ Ñ!Ò ßfÕ+Ö´å&Ðvä(ÑgD³gÕ KÐvã ÛvÜbÝÅÞ -Õlâ¿&å ûvEß NvØÙÚCÜb݃l æ ý$ %&!íÎý$è(éì¼&!G¼ èïè!í  è éC&! K ìè!'¿òyè!/  ê &&    W þ€fE8÷>.ƒùƒ.!÷yúøgû jY; þ¯CÑ!ÿ þgè
:$í ×þ ï‹Hk)kæGC Î Ï #´×!Ò ßfÕ$Ö´å‹ãäØÙ C Þ ,^'Õ /× ãã؉¿ æ 1
è ëêléè%/ï ð s&!G" ¯'%/%/   écòyè! %/ sè ì´ïêé ê C‡F& ¯/f ïG&!é' þv!×þ@@@[
vu°w)K t ‹  q w), q

{84w) q k  wh  z.y4x q 

Î I ê >×!Ò Î #
  )Ò Î #'´)Ò Î '
Ò Î '
G×&Ò Î '
G×Ò Î '  ×!Ò Î \^&!G)Ò Î ü¿&! )Ò

{

% u°wh8‹.

{ ‰

‡!p

Í

D³ÕKÐvã ÛvÜbÝÃæ"ó ô÷WööS8÷20!ô·÷yúöS5,þ„T^    Ð & ì%&  U¼êG¼ ì  #$ ë  /þ ÿþèþ " ï  í$[#   &!þ Ï    þ‹C)>×
^, Õ
/× ããØcæ¨/ &! ¯òy
%/è! ïì %©òyè!wü¬  $! èêï Wþ´3 øZ ö0yôvö_fô(öh+øbùƒ.!÷yúø >i =
¿ j þ>!)ÿþGï(Hk æ) ^, Õ4/× ããØkÞ?‡ Ø Õ&c V ØÝå‹ÚBv N Ø/ Ù æA^ \ &!    D c   &!ê &Mü¬  D ìè!'.þ 3 ø$ f 1 ( öR6  . ü>=vûÃþ>!)ÿþGè
þGïG!æ  Ø Õ2c ‡ V ØÝå‹ÚBv N ؼ Ù æ°#$'  ‰%&!ï + Ï &! %/¯æÇü¬   ìè!'.þ °ï ïG&&  è þ #$'  %&!ï  è!  ( C ìè!   Wþ !×þ @@@[
¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»ÄÔBlÅāWÖ È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

mŒâlÛHì‰âTä ÙŠÚwälیï?>Hà ݊׈ìŠÚ0Þä Ù

âHG\ÝNälÛCÞ؃يÚôä Ù‰ñ

ځ׈ì‰ÝÚmŒâÜÛ*׈ä ã ×HÝNãc݊Ú

âHóAæ



rA@Oø$

ïG& %/( 4è!ò Ð & ì%&  é Wþ'ûmÿ_M\ ÿûþ " é é " B þ'ûWG &!G&!ïè  WþÇû÷'n×!Cí÷(CþÿA " J /

•

Ï ê    þ<%  Ñ!þ×E'A Ï  &!éU(òyè! )+*-,/.!021435(E-,8G6FBC59?!8l<6E-SEG6b<W:=!E

KML!NO-PQR!OS T ¾f] _ É Í Ê ¿Ç¾ŽÌ ÏWY ¾ í ¾ ÏWY ¾ o É Í¯a ÏWjJƒ y V a ÏmÊ _ É ° í o ƒ ÁÌξ \ a Ï ¾Ž¿ Ï _ ÏWY ¾ Ñ a V ¿ Ê É Zf_,¿Ç¾ \ Wa ÍmÍW_!] Ê a Ï ¾Ž¿ Ï _faÍm¾ Z Ê Í Ê ZAÃ\ ¾Nî Ê ¾ Ó Ì>_ V à À ÑeÊ Ë ¾ É a%ÍW_C\ V'ÏmÊ _ É _` ÏWY ¾ í o ƒ h ¾g] _ É Í Ï Ì V ] Ï a$`yaZ Ê \ X _` É ¾ h ÍW_C\ V'ÏmÊ _ É Íf]a\ \ ¾Ž¿ƒaJÃ_à V \ a ÏmÊ _ É ÀG . Y ¾Ã_à V \ a ÏmÊ _ É ÍsaWÌξ Ê ÍW_CZf_ÌÎà YÇÊ ] Ï _ ÏWY ¾CBa ÓJË aWÌ Ê ¾ Ï X À . Y ¾ Ã_à V \ a ÏmÊ _ É ÍcaWÌξ Ê É _ É ¾ ™hÏ _ ™ _ É ¾ Wa ÍmÍW_!] Ê a Ï ¾Ž¿ Ï _ ÏWY ¾îa ÉÇÓ \ a É ¿ÇÍ_¿ V a\î Ê ¾ Ó Ì>_ V à ] _ ÌÎÌξŽÍmÃ_ É ¿Ç¾ É ]Ž¾ h Ê ÏWY_Ê ÉKÏ ¾ŽÌÎÍm¾ ] ÏmÊ _ É Ã_ Ê ÉKÏ ÍD_`vaWÃÇÃÇGÌ>_∨ÃÇÌ Ê a Ï ¾ ‚ ] slY!V N{¾ŽÌ Ï ]X] \ ¾ŽÍ Ê ÉAÏWY ¾ Ñ ÌWaWÍmÍWZMa ÉÇÉÇÊ a É _` N Ã\ a É ¾ŽÍ Ê ÉiÏWY ¾ÍmÃ(a]Ž¾+_`ZÃ_C\ X É _CZ Ê a\ ÍÀ . Y!V Í h ¾Ìξ \ a Ï ¾ ÏWY ¾Í V { T ¾ ] Ï Í^_` í ¾ ÏWY ¾ o É Í¯a ÏWj a É ¿s_` ‚ ] Y!V {¾ŽÌ Ï z^a\ ] V \ V ÍÀ

š Lž€¦ŸŸ ž¾Ÿ\¦b¡ m | — ž¾)¡  ¥ ž€¨ŸŸ n Y‚œË ò ‹ ò ’zL| ‚C†y|~Nx:;'ÍEƒuf†NÍJ’zL| ‚CzS„\{ Ìfwy| ®\u\wyz€ÍÁÛ ÓwyxCz*ÍEzL®SzLÑ ÌS×C{ zL‚awN}‘| ‚ÁwyxCz'wyxCzLÌS†yÓ ÌfÒ^ÌS†wyxCÌSSÌS‚ufѵ׵ÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}L„ ×µÌa}z€ÍºwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚Cl ^aƒCz€}rwy| ÌS‚‘‡ nFPÀ\RUOÁø¼\T \Od¼\XF«Z\T I ¼r¿ÉSRîÅfDyRNRGI Z\OdÉ DyRGI¾øRNKU½¾FPÀ\RUT Çb©Â©MCZ\½©F~I"½ÃMCR OBEX[ãNRUDȼr¿'ø¼\T \Od¼\XF«Z\T A(x), I C(x)B(x) ¼r¿ÈÉSRîÅfDyRNR n − 2n IGBKNMïn−1 ½ÃMCZ\½*½ÃMCRÉ\F ÍRUDyRUO½¾F«Z\T©R
BZ\½¾F«¼\O mbn

00

0

=0 MCZ­IùZÚø¼\T \Od¼\XF«Z\T‘IL¼\T BE½¾A(x)y F«¼\O y(x)− ¼rB(x)y ¿ÈÉSRîÅfDyRN+R lC(x)y ›

9CVÇÉ ¾iā• WÏ Y

ÂÔÕÕWÖÇÀ

‡  ˆ 

rvq Ž W 4wh


‡ ȇ ;‡’zL| ‚Czn×C†yÌ\®Sz€Í¼z ¿  ª ®‹¶ ~ wyxu\w^wyxCz"‚ ƒC{ùÛµzL†^ÌfÒd}ƒNx C(x) |~}^u\w/{ Ìa}rw Ù‚2| { ×µÌS†wNuf‚awœUÌS‚awy†y| ÛCƒEwy| ÌS‚2Luf{ zÄÒÆyÌS{ ènxCÌS{[uS}l™auf‚rXawy| zLÑ wÎrz€}[| ‚ Ë òSò Š  Cx Ì UÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í[wyxCzÈLuS}z ’

n+l−2 l

A(x) =

n Y

(x − zi ),

B(x) = A(x)

n X mi , x − zi i=1

xCzL†yzùufÑ Ñ z uf†yzùÍE|~}rwy| ‚Gw[ì«uf‚Í>†yz€ufÑPí"uf‚Í m uf†yzȂCzLau\wy| ®SzS‡èڇ ™‡ Xawy| zLÑ wÎrz€}×C†yÌ\®Sz€Í 
‡ z § ž€ª ¶  ~ wyxu\w'| ‚ wyxC|~}'LuS}znwyxCzuf‚}  zL†^wyÌÁwyxCz_^aƒCz€}rwy| ÌS‚ ÌfÒM’zL| ‚Cz|~}zU£CuSGwyÑ Ó ènxCzÚ×C†yÌ ÌfÒ^|~}nÛuS}z€ÍÄÌS‚ºwyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚C[}| { ×CÑ zÁÛCƒEw®SzL†yӜ| { ×µÌS†wNuf‚aw"ÌSÛ}zL†y®\u\wy| ÌS‚MF uÈ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ y(x) = Q (x − t )   | wyxÄÍE|~}rwy| ‚Gw*†yÌ ÌfwN} t }yu\wy|~}Žz€} ( Ë ) | Ò©uf‚Í[ÌS‚CÑ Ó | Ò t }yu\wy|~}rÒÃӜwyxCzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C[}ÓE}rwyzL{ÎÌfÒ/ufÑ SzLÛC†Nuf|~z'^aƒu\wy| ÌS‚},F i=1

i

i

l i=1

i

n+l−2 l

i

i

−

n X

l X mj + ti − z j

2 = 0. ti − t j

ÒÃÌS†ufÑ Ñ i = 1, . . . , l ‡ ènxC|~}Úz'^aƒu\wy| ÌS‚xuS}ÁuÄ{ z€uf‚C| ‚CÄ| ‚ zLÑ z€Gwy†yÌa}rwNu\wy|~L}L‡Y{[ufS| ‚Cz {[ufS‚CzUwN}ÌfÒ"Nxuf†ySz Ñ ÌELu\wyz€Íºu\w"×µÌS| ‚awN} ‡/ñÑ~uSUz |~ÍEzL‚awy|~LufÑdzLÑ z€Gwy†yÌS‚}nu\wn×µÌS| ‚awN} ‡ènxCzL‚ºz'^aƒu\wy| ÌS‚ m Ë( ) Luf‚>Ûµz® | z  z€Í>uS}"zwyxCz'z ^aƒu\wyl| ÌS‚>ÌfÒ'z ^aƒC| Ñ | ÛC†y| ƒC{ { z€uf‚C| ‚C[wyxt u\wwyxCz}ƒC{ ÌfÒ'ufÑ Ñ ÒÃÌS†NUz€}"uSGwy| ‚C ÌS‚Äz€uSNxÄzLÑ z€Gwy†yÌS‚º|~}"éLzL†ẏ Ù*wÚwyxCzœ}yuf{ zùwy| { zœuf‚CÌfwyxCzL†ÈzL†y{[uf‚{[u\wyxCzL{[u\wy|~U|~uf| ‚ ’zL†y{[uf‚C‰ ‚ XENx ƒCÛµzL†w uS} Ì S>† = | ‚CnÌS‚Èun×C†yÌSÛCÑ zL{$ÌfÒEzL‚ ƒC{ zL†Nu\wy| ®Sz/SzLÌS{ zUwy†yÓS‡JY‚ÚwyxCz{ ÌEÍEzL†y‚ÁÑ~uf‚CSƒufSzS„LxCz  uS} }rwyƒÍEÓ | ‚CœwyxCz| ‚awyzLS†NufÑxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓÄÌfÒ/wyxCz[†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚>®\uf†y| zUwrÓÄÌfÒ ‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ ×CÑ~uf‚Cz€}'| ‚Äu p‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufѵ}×uSUzS‡^ènxCzÁ†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚[|~}*uù}{ Ì Ìfwyxœs×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz®\u\‰ †y| zUwrÓ uf‚ÍwyxCzuSÍCÍE| wy| ®SzÛuS}|~}/| ‚œxCÌS{ ÌSÑ ÌSSÓÈ|~}S| ®SzL‚[Û Ó }ÌS{ z"zU£E×CÑ |~U| wnUÓEUÑ z€}L„aLufÑ Ñ z€Í XENx ƒCÛµzL†wÚUÓEUÑ z€}L‡ènxCzL‚>wyxCz†y| ‚Cº}rwy†yƒGwyƒC†yzÄìÃ| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚?UÌS‚}rwNuf‚awN}Nín|~}ÍEz€}yU†y| Ûµz€Í ® |~u }ÌS{ zÁUÌS{ùÛC| ‚u\wyÌS†y|~ufÑd†yƒCÑ zS„ = ‚CÌ  ‚ºwyÌEÍCu­ÓºuS}'wyxCJz j‘| wwyÑ z  Ì ÌEÍaêEÝ"|~Nxuf†NÍC}ÌS‚º†yƒCÑ zS‡ ènxCz ÌS>† = ÌfÒ ’È%‡ XENx ƒCÛµzL†w uS} u uf†NÍEz€Í”u?×C†y| éLzï| ‚ Ë ò ‹­ÕvwyxCÌSƒCSx2| w[Ûµz€Luf{ z †y| SÌS†yÌSƒ}' ÌS‚CÑ Óºu\ÒPwyzL†UÌS‚awy†y| ÛCƒEwy| ÌS ‚}nÌf0Ò  -ù‡ ’| Ñ ÛµzL†wuf‚ˆÍ D*‡ XEufÑ ®SzL†y|d| ‚ ˀçCË Ï ‡ „Ì uUzL‚awyƒC†yÓÚÑ~u\wyzL† z*Luf{ zwyÌwyxCz'†yz€ufÑ | é€u\wy| ÌS‚Úwyxu\w©wyxCz'w ÌUÑ~uS}y}|~LufÑa}ƒCÛ rz€GwN} ÍEz€}yU†y|  Ûµz€ÍÄufÛµÌ\®SzÚuf†yzÚuSGwy ƒufÑ Ñ Ó w  ÌÒ«uSUzUwN}nÌfÒwyxCzÁ}yuf{ zÁ}rwyÌS†yÓS‡/ ènxCzÚ×CƒC†y×µÌa}zÌfÒwyxC|~} Ñ z€GwyƒC†yzÚ|~}nwyÌ zU£E×CÑ~uf| ‚ºwyxC|~}nÒ«uSGw€‡ i

j=1

j=1,j6=i

i

i

?

›^n–• ¾l  Á  až¾l · >XJ¨© Ež€ª«¦

¥ | wyxÄwyxCz Ï Œ\wyxïUzL‚awyƒC†yÓ[wyxCzL†yzÁUÌS{ zÁu SzL‚CzL†NufÑ | é€u\wy| ÌS‚œÌfÒ^z'^aƒu\wy| ÌS‚ ( Ë )

‹

z. Œy KyZ

æ

y

t

v4Žz.{»  .y4x vŽ4xŽ 

‡  ‡

,

‘zUw g µÛ z™u–}zL{ |~}| { ×CÑ z|j‘| zufÑ SzLÛC†Nu  | wyx }| { ×CÑ z†yÌ ÌfwN} α , . . . , α „UÌS†yÌ ÌfwN} „'Ñ zUw z , ..., z Ûµz>ÍE|~}rwy| ‚GwœUÌS{ ×CÑ zU£–‚ ƒC{ùÛµzL†N}L„ Λ , . . . , Λ g‰  zL| SxawN}L„ α ,...,α C ‚ S Ì ‚E‰î‚CzLau\wy| ®Sz| ‚awyzLSzL†N}L‡ l ,...,l ènxCzÁ…*zUwyxCzÁÙ‚}yu\wyéÁ'z ^aƒu\wy| ÌS‚º|~}*wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C ufÑ SzLÛC†Nuf|~z'^aƒu\wy| ÌS‚œÒÃÌS†"®\uf†y|~ufÛCÑ z€} „ j = 1, . . . , r „ i = 1, . . . , l F t j

∨ 1

1

∨ r

1

1

n

r

1

n

r

(j) i

j

n X

−(Λs , αi )

(i) s=1 tj

− zs

+

ls X X (αs , αi )

(i) s, s6=i k=1 tj

−

(s) tk

X

+

(αi , αi ) (i)

= 0.

(i)

tj − t s

ènxCzÚz'^aƒu\wy| ÌS‚ Ë |~}*wyxCzÈLuS}zÚÌfÒ uf‚Í ‡ Ìfwyz^wyxu\wz'^aƒu\(wy| )ÌS‚ ( Ë ) |~}‘}Ó { { zUgwy†y=|~ sl| wyxÁ†yz€}×µΛz€G=wJwyÌm×µzL†y{ùƒEwNu\wy| ÌS‚}JÌfÒ ®\uf†y|~ufÛCÑ z€} | wyx™wyxCzº}yuf{ zœƒC×C×µzL†ù| ‚ÍEzU£J‡>Y‚  xu\wÈÒÃÌSÑ Ñ Ì  }  zœÍEÌv‚CÌfwÍE|~}rwy| ‚CSƒC|~}x–}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}  xC|~NxïÍE|
2

„

i

i

Λ∞

L Λ1 ⊗ · · · ⊗ L Λn .

’zL†yz EÍ zL‚CÌfwyz€}wyxCz[| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z ‰î{ ÌEÍEƒCÑ z  | wyx xC| SxCz€}rw  zL| SxawN} Λ uf‚ÍvwyxCz zL| Sxaw ΛL |~"} zU£E×CÑ |~U| wyÑ ÓºS| ®SzL‚ºÛ Ó g Λ



∞

Λ∞ =

n X

Λi −

r X

li α i .

ènxCzl’zL| ‚CzU‰ŽXawy| zLÑ wÎrz€}ÚwyxCzLÌS†yzL{ ®SzL†y| z€}wyxCz[UÌS‚rz€GwyƒC†yz| ‚?wyxCz[LuS}zÌfÒ ufÑ ÑdwyxCz  zL| SxawN}"uf†yz‚CzLau\wy| ®Sz[ì«uf‚Í L uf†yz }/zL†y{[u{ ÌEÍEƒCÑ z€}NíG‡ i=1

i=1

sl2 

xCzL‚

mi

‹¦ ½^¨ †  Ež€ª«¦ ¥  DC†yÌS{ ‚CÌ ÌS‚ z | Ñ ÑÍEz€ufÑ  | wyx2wyxCzvLuS}z  xCzL‚ ufÑ Ñ  zL| Sxaw Λ uf†yzï| ‚awyzLS†NufÑ ÍEÌS{ | ‚uf‚aw€‡    Q j‘zUw ‡J?z }yu­ÓÄwyxu\wÚwyxCz r‰¾wyƒC×CÑ z ÌfÒ'×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~} y = {y } y = (x − t ) †yzL×C†yz€}zL‚awN} ‡e?zLufÑ ÑCuf‚ ‰¾wyƒC×CÑ z"ÌfÒµ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~} SzL‚CzL†y|~'| Ò xuS}©‚CÌÚ{ùƒCÑ wy| ×CÑ z †yÌ ÌfwN}L„aÍEÌ z€}t‚CÌfw'®\uf‚C|~}xœu\w zr uf‚Í[ÍEÌ z€}‚CÌfw*xu­®SzUÌS{ y{ ÌS‚[†yÌ ÌfwN} y | wyx y  xCzL‚CzL®SzL† ‡ (α , α ) < 0 ‚ n

Ê

i

li j=1

i

(i) j

i

(j) i

i

i

i

j

j

‡

p

rvq Ž W 4wh 

zÈufÑ~}Ì }zUw ?

Ti (x) =

n Y

∨

(x − zs )hΛs ,αi i .

ènxCz*ÒÃÌSÑ Ñ Ì | ‚CÚÑ zL{ {[u|~}uf‚ uSÍCuf×EwNu\wy| ÌS‚ÌfÒµwyxCz_Xawy| zLÑ wÎrz€}/ÌSÛ}zL†y®\u\wy| ÌS‚ÈwyÌÚwyxCzLuS}z ÌfÒ^| ‚awyzLS†NufÑ   zL| SxawN}nuf‚ÍĐSzL‚CzL†NufÑ j‘| zÁufÑ SzLÛC†NuC‡ & ’•Å•¬«ñ²4˜ – n z » „  › ~ HdMCR ½¾B€ødT R DyRîødDyRGILRUO½«IZ[RU½ÃMCRIL¼\T BE½¾F«¼\O F ¿Z\OdÉï¼\OT ÄF ¿ FP½*F~IÅaRUOdRUDGF«KZ\Odɜ½ÃMCRUDyRù>R +SF~IG½‘ø¼\T \Od¼\yXF«Z\T I y˜ ILZ\½¾F~IÃW¿ \FPO Å s=1

i

W (yi , y˜i ) = Ti

Y

−hαj ,α∨ i i

yj

,

©Â MCRUDyR W (u, v) = u v − uv ÉSRUOd¼\½YRGIȽÃMCR\]ùDy¼\OCIyQ\F«Z\O ¼r¿Á½¾Â'¼¿NBEOdKU½¾F«¼\OCI œ ¢*Dy¼€¼r¿ n ð‚Cz>Luf‚”wy†yz€u\w Ë uS}[uf‚–z'^aƒu\wy| ÌS‚2ÌfÒwyxCzˆ†N}rw[ÌS†NÍEzL†ùÒÃÌS† wyxCzïƒC‚.= ‚CÌ ‚ ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ y˜ ‡–ènxCzï}ÌSÑ ƒEwy(| ÌS)‚–|~} uf‚”| ‚awyzLS†NufÑ  xC|~Nx–Ûµz€UÌS{ z€} u?×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ*| ÒÚuf ‚Í ÌS‚CÑ Óv| Òn}ÌS{ z†yz€}|~ÍEƒCz€}®\uf‚C|~}x‘‡;%^aƒu\wy| ÌS‚ ( Ë ) |~}ÚzU£CuSGwyÑ ÓïwyxCz[®\uf‚C|~}xC| ‚CïUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ ÒÃÌS†nwyxCz€}zÁ†yz€}|~ÍEƒCz€}L‡ „Ìfwyzwyxu\w/| ÒCwyxCz*×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ zU£E|~}rwN}wyxCzL‚ù| w^|~}©‚CÌfw^ƒC‚Ch| ^aƒCzS„\| w/|~}×uf†Nuf{ zUwyzL†y| éLz€Í Û Ó[wyxCzÈNxCÌS|~UzÚÌfÒwyxCzÁ| ‚awyzLS†Nu\wy| ÌSy‚ï˜ UÌS‚}rwNuf‚aw€‡ Z [RU½ÃMCRÁIL¼\T BE½¾F«¼\OZ\OdÉ[½ÃMCRÁÀ\RNKU½Y¼\D y := & ’•Å•¬«ñ²4˜W¨ n z » „  › ~ šÃ¿ DyRîødDyRGILRUO½«IȐ y ~ F  I a Å U R d O U R G D « F ù K à ½ C M U R O \ Z T IL¼œDyRîødDyRGILRUO½«IÈlZ [RU½ÃMCRÁIL¼\T BE½¾F«¼\O œ y (y , . . . , y˜ , . . . , y ) ¢*Dy¼€¼r¿ n ènxCz"×C†yÌ ÌfÒµ|~}/ÍEÌS‚Cz"® |~uÚUÌS{ ×uf†y|~}ÌS‚ÈÌfÒJ…*zUwyxCz"'z ^aƒu\wy| ÌS‚}ÒÃÌS†/éLzL†yÌ z€}^ÌfÒ uf‚Í y ƒ}| ‚CwyxC:z ?†yÌS‚} = |~uf‚Ä|~ÍEzL‚awy| wrÓ ( Ë ) ‡ y ènx ƒ}}rwNuf†wy| ‚C[ÒÆyÌS{ uº}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚vÌfÒ'…*zUwyxCz'z ^aƒu\wy| ÌS‚ Ë „ zùÌSÛEwNuf| ‚?u[Ò«uf{ | Ñ Ó>ÌfÒ ‚Cz  }ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚} y uf‚Í  z[Luf‚ †yzL×µz€u\wÚwyxCz[×C†yÌEUz€ÍEƒC†yz (  ) xC|~ Nx  z[LufÑ Ñ^wyxCz[†yzL×C†yÌf‰ ÍEƒGwy| ÌS‚2×C†yÌEUz€ÍEƒC†yzºÌS‚Uzïufauf| ‚‘‡”ènxCz>UÑ Ìa}ƒC†yzºÌfÒwyxCzÄÒ«uf{ | Ñ Ó”Ìfҏ…*zUwyxCz>}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚} ÌSÛEwNuf| ‚Cz€ÍïÒÆyÌS{ uºS| ®SzL‚>ÌS‚Cz® |~uº}ƒLUz€}y}| ®Szùuf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚vÌfÒ/wyxCz†yzL×C†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚v×C†yÌf‰ Uz€ÍEƒC†yzÚ|~}LufÑ Ñ z€ÍÄu×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚‘‡ îw/|~}^z€uS}ÓÚwyÌÁ}zLz*wyxu\w'u×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚ù|~}uf‚ù| †y†yz€ÍEƒU| ÛCÑ z ‚C| wyzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑE®\uf†y| zUwrÓS‡ 
‘D’“‹”’•Ç²4˜² n z » „ b‚ ~ blz µ (Ÿ   b‚ ~ áO *ø¼yødBET Z\½¾F«¼\OïF~I"F~IL¼\X[¼\D¾øM F«KÚ½Y¼È½ÃMCR¿NBETPT è"ZLÅ À\Z\DGF«RUm½  G /B ¼r¿½ÃMCR 9Z\O ÅfT Z\OdÉ­IœÉ\BZ\T¼r¿ g œ G?¼\DyRN¼\À\RUD ½ÃMCRœÉSRNKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O)¼r¿ù½ÃMCR ø¼yødBET Z\½¾F«¼\O?Â/FP½ÃMÄDyRGI¾øRNKU½½Y¼ ½ÃMCRùÉSRîÅfDyRNRGIȼr¿ø¼\T \Od¼\XF«Z\T IKN¼\FPOdKUF«ÉSRGIÁÂ/FP½ÃMĽÃMCR ["DGBaMCZ\½ ÉSRNKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O šGO[øZ\DG½¾F«KUBET Z\DRNZSKNMø¼yødBET Z\½¾F«¼\O™KN¼\O½YZ\FPOCIZ[BEOF
BR [RU½ÃMCRÁIL¼\T BE½¾F«¼\O ©M F«KNM?KN¼\DGDyRGI¾ø¼\œ OdÉ­IȽY¼ºZºÉS¼\XFPOdZ\O½*FPO½YRîÅfDyZ\T‘Â'RUF Å­M ½"Z\½*FP'O OFPm½  œ 2 j, aij <0

0

0

i

i

(i)

1

i

r

(i)

(i)

t

t

(i)

‹

z. Œy KyZ

æ

y

t

v4Žz.{»  .y4x vŽ4xŽ  ‡

,



º[n µ ¨©¡¾©€ª« 

¥  >XJ¨© Ež€ª«¦ ¥  ènxCz×C†yÌ ÌfґÌfÒ©ènxCzLÌS†yzL{4ˆC‡ ˆÈ|~}*ÛuS}z€Í[ÌS‚[wyxCzÚUÌS‚C‚Cz€Gwy| ÌS‚œÌfÒJwyxCzڅ*zUwyxCz;%^aƒu\wy| ÌS‚ wyÌ>wyxCzÄ}ÌS{ zœÌSÛrz€GwN}ùLufÑ Ñ z€Í™t>| ƒC†Nu>ÌS×µzL†N}Lƒ‡ DCÌS†ÈwyxCzº×CƒC†y×µÌa}z€}ÈÌfÒnwyxC|~}ùÑ z€GwyƒC†yz  z †yz€}rwy†y|~Gw^ÌSƒC†/UÌS‚}|~ÍEzL†Nu\wy| ÌS‚Úwy̏wyxCz"LuS}z'ÌfÒ sl  xCzL‚ùwyxCz"t>| ƒC†NuÌS×µzL†^|~}©'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw wyÌ[u[}yLufÑ~uf†nÍE|
D(y)

=

(∂ − ln0 (

=

0Y → r

Qr

s=1

Ts

yr

)) (∂ − ln0 (

( ∂ − ln0 (

yr

Qr−1 s=1

Ts

yr−1

)) . . . (∂ − ln0 (

Q yr+1−i r−i s=1 Ts )). yr−i

‘zUw‚CÌ †yzL×C†yz€}zL‚awuf‚ …*zUwyxCz}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚vuf‚ÍïÑ zUw ×µÌS×CƒCÑ~u\wy | ÌS‚Äy ÌfÒ/…*zUwyxCzÁ}ÌSÑ ƒEwysl| ÌS‚}L‡ i

j

r+1

P

y 2 T1 )) (∂ − ln0 (y1 )) y1

ÛµzùwyxCzUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C


‘D’“‹”’•¦¤+˜ – n z » „  › ~

ÿ y ∈ P ½ÃMCRUO D(y ) = D(y) œ áTPTJIL¼\T BE½¾F«¼\OCIù¼r¿ D(y)u = 0 Z\DyRnø¼\T \Od¼\XF«Z\T I œ G?¼\DyRN¼\À\RUDȽÃMCRGILR"ø¼\T \Od¼\XF«Z\T I Z\DyRÈDyRUT Z\½¾FPÀ\RUT ÚødDGFPX[R œ HdMCR¼yøRUDyZ\½Y¼\D D(y) F~I%QJBKNMaIGF«Z\OœÂ/FP½ÃMIGFPO ÅfBET Z\Dø¼\FPO½«I z , . . . , z Z\OdÉ ∞ Â/FP½ÃM >R +Gø¼\OdRUO½«IÅfFPÀ\RUO K ã š

Ÿ

1

Ÿ Ÿ

zi

1

1

:

0, (Λi , α1 ) + 1, (Λi , α1 + α2 ) + 2, . . . , (Λi ,

r X

n

αj ) + r

j=1

∞ :

l, l + (Λ∞ , α1 ) + 1, l + (Λ∞ , α1 + α2 ) + 2, . . . , l + (Λ∞ ,

r X

αj ) + r,

©MCRUDyR F~IÁIL¼\X[RùOd¼\OOdRîÅaZ\½¾FPÀ\RùFPO½YRîÅaRUDZ\OdÉ Λ F~IȽÃMCRùBEOF
BRÈFPO½YRîÅaRUDÉS¼\XFPW dO Z\O½'Â'lRUF Å­M ½"¼€KNKUBEDGFPO ŜFPO P œ 2 ?zÈLufÑ Ñ wyxCzÚÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufёÌS×µzL†Nu\wyÌS†nÌfÒwyxCzÁ×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚ P ‡ D(y) = D(P ) Z QJBKNMaIGF«Z\OœÉ\F ÍRUDyRUO½¾F«Z\TC¼yøRUDyZ\½Y¼\D"¼r¿*¼\DyÉSRUD 
‘D’“‹”’•¦¤+˜W¨ n z » „  › ~ 9RU½ ãNR"c Â/FP½ÃMø¼\T \Od¼\XF«Z\TQSRUDGOdRUT/Z\OdÉÄ>R +GDø¼\OdRUO½«IùZ­IùFPO;HdMCRN¼\DyRUX Ç´œ I œ áINIGBEX[RÈFPO™ZSÉSÉ\FPr+1 ½¾F«¼\O ½ÃMCZ\½"½ÃMCRø¼\T \Od¼\XF«Z\T I FPO?QSRUDGOdRUTZ\DyR DyRUT Z\½¾FPÀ\RUT ÈødDGFPX[R œ HdMCRUO D F~I[Z¿NBEOdÉSZ\X[RUO½YZ\T ¼yøRUDyZ\½Y¼\D¼r¿IL¼\X[Rnø¼yødBET Z\½¾F«¼\O P ¼r¿ sl [RU½ÃMCRÁIL¼\T BE½¾F«¼\OCI œ ènxCzL†yzUÒÃÌS†yz zxu­®SzuÁÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚Cz"UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz"ÛµzUw  zLzL‚[×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚[uf‚Í[ÍE| ÒP‰ ÒÃzL†yzL‚awy|~ufÑJÌS×µzL†N u\wyÌS†N}  | wyxï×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑJ}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}L‡ ∞

r+1

j=1

‡

¢ 

rvq Ž W 4wh

¡ ¾J¨›$ aŸ­žœ¡S  † ¡S¨ † ¨© j‘zUw ÛµzwyxCz/ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑSÌS×µzL†Nu\wyÌS†JÌfÒ wyxCz ×µÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚ÚÌfÒC…*zUwyxCz*}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚} uf‚Í2Ñ zUw DV Ûµzv| wN}=SzL†y‚CzLѾ‡;ènxCzL‚ V |~}œu ×µÌS| ‚aslwœÌS‚–wyxCz†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚–ÌfÒ r + 1 ÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ^×CÑ~uf‚Cz€}Ú| ‚?wyxCzœ}×uSUzÌfÒ*×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~} C [x] ÌfÒnÍEzLS†yzLz u\wÁ{ Ìa}rw d ÒÃÌS† }ƒuœU| zL‚awyÑ ÓœÑ~uf†ySz d ‡ ènxCzùÍEz€}yU†y| ×Ewy| ÌS‚ïÌfÒ^wyxCz}| ‚CSƒCÑ~uf†"×µÌS| ‚awN}uf‚ÍïzU£E×µÌS‚CzL‚awN}S| ®SzL‚ï| ‚vènxCzLÌS†yzL{ Õ‡ Ë | { { z€ÍE|~u\wyzLÑ Óù| { ×CÑ | z€}©wyxu\w| ‚Ò«uSGw V ÛµzLÑ ÌS‚Ca}©wyÌÁuÚUzL†wNuf| ‚| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚ùÌfMÒ XENx ƒCÛµzL†w UÓEUÑ z€}†yzLÑ~u\wyz€ÍïwyHÌ •µufa}u\w S| ®SzL‚vÛ ÓïwyxCzÌS†NÍEzL†ÌfÒ'®\uf‚C|~}xC| ‚CÄu\w z uf‚ÍïwyxCz •µuf wyÌ | ‚ ‚C| wrÓºS| ®SzL‚ÄÛ ÓºÍEzLS†yzLzSz‡ ènx ƒ} zxu­®SzuÈÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚CzUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚UzÛµzUw zLzL‚œ×µÌS| ‚awN}*Ìfґ| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚œÌfÒ UzL†wNuf| \‚ XE Nx ƒCÛµzL†wUÓEUÑ z€}"uf‚ͺ׵ÌS×CƒCÑ~u\wy| ÌS‚}nÌfÒ/…*zUwyxCzÈ }ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}L‡/ènxCJz XENx ƒCÛµzL†wLufÑ ‰ UƒCÑ ƒ}uS}y}zL†wN}"wyxu\wwyxCz ufÑ SzLÛC†Nuf|~Ú| ‚ÍEzU£vÌfÒ/wyxCz| ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚>ÌfÒ/wyxCz UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C |‚ ‡ènxCzȅ*zUwyxCz XENx ƒCÛµzL†wUÓEUÑ z€}n' z ^aƒufÑ~}'wyxCzÁ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~U| wrÓºÌfÒ Ù‚}yu\wyéÁUÌS‚ rz€GwyƒC†yzÚUÑ~uf| {[}*wyxu\wnwyxCzڂ ƒC{ùÛµzL†nLÌfÒ^}ÌSÑ ƒEwyL| ÌS‚}*⊗ÌfÒ^· ·…*·zU⊗wyxCLzÚ'z ^aƒu\wy| ÌS‚}nUÌS†‰ †yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CwyÌÚÍEÌS{ | ‚uf‚aw^| ‚awyzLS†NufÑ  zL| Sxaw/u\w/| ‚ ‚C| wrÓ Λ−∞ ÒÃÌS†^SzL‚CzL†y|~ z „\×C†yÌS×µzL†yÑ Ó UÌSƒC‚awyz€ÍJ„CufÑ~}Ì 'z ^aƒufÑ~}*wyxCzÚ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~U| wrÓºÌfÒ L | ‚ L ⊗ · · · ⊗ L ‡ ènxCzL†yzUÒÃÌS†yz'wyxCz…*zUwyxCzÙ‚}yu\wyé"UÌS‚ rz€GwyƒC†yzn|~}/†yzLÑ~u\wyz€ÍÈwy̏wyxCcz ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ÌfÒµwy†Nuf‚}®SzL†‰ }yufÑ | wrӜÌf0Ò XENx ƒCÛµzL†wUÓEUÑ z€}*ÒÃÌS†"SzL‚CzL†y|~ z ‡ Â^n

§

r+1

d

i

i

Λ∞

Λ∞

Λ1

Λ1

Λn

Λn

i

¦ ¥ ¡ † ¨©€ª«¦ ¥ Ù*w[×C†yz€}zL‚aw€„wyxCz>×C†yÌSÛCÑ zL{ÌfÒÚUÌSƒC‚awy| ‚C™}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}ÌfÒÁ…*zUwyxCzïz'^aƒu\wy| ÌS‚2uf‚͔wyxCz ×C†yÌSÛCÑ zL{ ÌfÒ^wy†Nuf‚}®SzL†N}yufÑ | wrÓ[ÌfÒ%XENx ƒCÛµzL†wUÓEUÑ z€}uf†yzÁÛµÌfwyxvÌS×µzL‚‘c‡ ’Ì  zL®SzL†  zÈxCÌS×µz wyxu\wwyxCzÍEz€}yU†y| Ûµz€Í UÌS‚C‚Cz€Gwy| ÌS‚ ÛµzUw  zLzL‚ wyxCz"w  ÌÁ×C†yÌSÛCÑ zL{[}  | Ñ ÑCxCzLÑ ×[| ‚ wyxCz}z€uf†NNx ÌfÒ©wyxCzÁ}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚‘‡ } nƒœ

€  Gž¯a  Ÿ(  ¥ ¡    Î I  C)Ò ÓfÕKgÙØÝYebØãgæJ@
ï ^èM ì[ï èHG¯é  +  'þD&!
%&! òyè  D&!G Ï  ìg&! & ë'þ !)þ59?!8l< Eíï)ð<ñ<ð-×.-)ô<õ
Î 
 Ñ>Ò ÓfÕ2acØ× ÝvØk æ Øf.!&ô <6 8s ú (ö …( <(ö1  &ô 8÷20 !ôvö»ô þGè ‹'þ Ï    þbB >Ñ> Î Ð #´CÒ©ÓfÕg£ â ÐYe´Nv× Ý é Þ Ø‡gÕ c+å‹Ù û&NvØYÝ evÜ æƒç[   éC&!g \Dè ( fè!ò Ð &! ¯  I êé  è M&!G I  &!7  #´&    W þv!þ59?!8l< Eíï)ð.-)ð<õ<ðóBù
Î Ð #´)Ò þ Ð  ê & @
ï &!G ç[   éC&!  \Dè ( è!ò Ð &! ¯  I êé  è Wþ !)þ 59?!8l< Eíï)ð<ñó- Î "  >. ùƒ.!÷yúö,/.!÷20 8 I . ="þ¯B >)>
¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»Ä•ÅĎÖF È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

âHG\ÝNälÛCÞ؃يÚ

؃àáÝNىÞ'å|âÜNÚwä ã

یØ\ÜNځØ\ÜNÚêä Ù‰ñß×\Ø^²

Ü Þيí–Ú

m ócìJQ2M)Mõ.öö  ïG& %/( fè!ò B> þZÿA " /J

KML!NO-PQR!OS T

W] V

¾w¿ Ê Í

Ð & ì%&  é Wþý$ é ÿ
   W'þ Ð " Bþ^
èê ¯ èþ Î  ÑÑ)k(í )+*-,/.!02143(89 w<w!:??(BC59?!8l<>A67!:^<W:=!E •

Wa\] _

ÍmÍMÍm¾ Ë ¾ŽÌ

É ÍÏ Ì

V ] ÏmÊ _ É Í+_` VÇÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎͯa\ Ï _ ÌÎÍW_ÌÎÍ+_ Ë

Wa _ a\ZÍ V -Ì `ya]Ž¾ŽÍÀ

¾ŽÌ4Ì ÏmÊ É

mbn ö ¥ ª   aŸ\€  † ž€¦Ÿ\€¦Ÿ\   ¥ § œ ¦+Ÿ2Ÿ\ª ¥ ’µ ® Ÿ‘ v¡¬½ †   n ÙÑ Ñ.zLÑ~ÍC}'uf†yz}ƒC×C×µÌa}z€ÍùwyÌÈÛµzÌfÒJNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~

¦ž€ª   Ež€ª ¥ ’ ‡ ‘zUw X/K ÛµzœuŒ^aƒC| ‚awy|~l-zLÑñ^zLéLéLÌ>}ƒC†Ò«uSUzÌ\®SzL†ÁuĂ ƒC{ùÛµzL† zLÑ~Í K ‡l?z[xu­®S0z „µ|¾‡ zS‡SzLÌS{ zUwy†y|~LufÑ Ñ ÓS„ |~}"wyxCzùÛCÑ Ì ‰îƒC×vÌfÒ | ‚>ÒÃÌSƒC† X = X = Bl ×µÌS| ‚awN}n| ‚ïSzL‚CzL†NufÑd×µÌa}| wy| ÌS‚‘P‡0? | wyxCÌSƒEwÑ Ìa}y}nÌfÒ^SzL‚CzLX†NufÑ | wrÓS„  zÚ{[u­ ÓºuS}y}ƒC{ Pzwyxu\w mbn>mbn‰» j

K


‘D’“‹”’•—–

P1 ,P2 ,P3 ,P4

2

2

P1 = [1, 0, 0], P2 = [0, 1, 0], P3 = [0, 0, 1], P4 = [1, 1, 1]. ž® }X l  Pú §    Ÿb    n e —

¥ Ÿ\ª J¨ 

ª ¥©¥ aŸ­ž€¦ ¥

X(K) 6= ∅.

*Dy¼€¼r¿ n X zLz¼z § µ ¦4| ‚ ~ ‡ ¢

~

_ Ï ¾ŽÍ:{X È \ Ì Ê ] Y

…e¾ŽÌξ ÉKÏWY a\h 9CVÇÉ ¾iāV ÏWY

aŸ V*À\RUO?FPO?½ÃMCRÈOd¼\OWîI¾ødT FP½nKNZ­ILRb

aÉ

WY

¿Äl Ï

ÂÔÕÕWÖÇÀ

‡

À

r y ,K z

| ‚UzwyxCzL†yz'|~}uƒC‚C|h^aƒCz'×C†yÌrz€Gwy| ® | wrÓwNu= | ‚Cuf†yÛC| wy†Nuf†yӐSzL‚CzL†y|~/×µÌS| ‚awN} P , P , P , P ìÃ|¾‡ zS‡ „©ÍE|~}rwy| ‚GwÈuf‚Í?‚CÌÄwyxC†yzLz ÌfÒ'wyxCzL{UÌSÑ Ñ | ‚Cz€uf†Gí"wyÌ uS}ÚufÛµÌ\®SzS„ wyxCzºSzLÌS{ zUwy†yÓ?ÛµzLxC| ‚Í wyxC|~}ùÌ\®SzL† K |~}Äì  xCzL†yz P ∈[1,X0,|~0],}Èwy.xC.zº. ,×µ[1,ÌS| ‚a1,w 1] z  uf‚awÈwyÌ ÍEz€}yU†y| Ûµz­í F X

1

2

3

4

5

X = SL3 \\{(P1 , . . . , P5 ) ∈ P2 }   x1 x2 x3 x4 x5 = SL3 \\ y1 y2 y3 y4 y5  //G5m . z1 z2 z3 z4 z5

Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†ÄwyxCz2†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚$ÌfÒ ˆ\‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑÈ}ƒCÛ}×uSUz€}ÄÌfҜŠ­‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ } ×uSUz Gr(3, 5) ‡JX | ‚Uz }ƒNx?uÄ}ƒCÛ}×uSUzù|~}ÚÍEz€}yU†y| Ûµz€Í>Û ÓvuœÛuS}|~}  xC|~Nx?|~}ƒC‚C|h^aƒCz ÌS‚CÑ Ó ƒC×;wyÌ uf‚ uSGwy| ÌS‚;ÌfÒ GL „  zxu­®Sz GL \\M (3 × 5) ∼= Gr(3, 5) „  xCzL†yz zÄ| ‚awyzL†y×C†yzUwùwyxCzºwyxC†yzLzĆyÌ  }ÈÌfҏu 3 × 5 {[u\wy†y| £–uS}uvÛuS}|~}L‡”ènxC|~}ù| { ×CÑ | z€}ùwyxu\w  |~}nwyxCzÈUÌS‚CzÚÌ\®SzL†*wyxC|~}†NuS}y}{[uf‚C‚C|~uf‚‘‡ SL \\M (3 × 5) ènxCzL†yzUÒÃÌS†yzS„ X ∼= Cone(Gr(3, 5))//G ‡’zL†yzS„ Gr(3, 5) |~}/zL{ùÛµz€ÍCÍEz€Í | ‚awyÌ P Û Ó wyxCzÁñÑ †W =SzL†"zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C‡ ènxCcz €r{ | †NuSUÑ z ‚|~}nwyxu\w"wyxC|~}nSzL‚CzL†NufÑ | éLz€}'wyÌ[‚CÌS‚E‰YUÑ Ìa}z€Í zLÑ~ÍC}L‡ ª ’•¬«‹”­¬¨ n ènxCz"×µzL†y{ùƒEwNu\wy| ÌS‚S†yÌSƒC× S ÌfÒµwyxCi z ®Szn×µÌS| ‚awN}uSGwN}^ÌS‚ùwyxCz}| wyƒu\wy| ÌS‚‘„ uf‚ÍÄuSGwyƒufÑ Ñ Ó Aut(X) = S ‡ -z€}yUzL‚awÍCu\wNuùÒÃÌS† |~}"S| ®SzL‚ÄÛ Óœ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚} ‡ j‘zUw T w →S Ûµz/wyxCz/‚CÌS‚}×CÑ | w‘ÒÃÌS†y{$XÌfÒ G UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C*wyÌ ρ ‡Y‚Ò«uSρGw€: „ Gal(K/K) ~ | } ‡ X Cone(Gr(3, 5))//T Ûµz™u–}{ Ì Ìfwyx$×C†yÌ rz€Gwy| ®Szv®\uf†y| zUwrÓ)Ì\®SzL† ‡ mbn2›^n ö ¥ ª   aŸ\€  † ž€¦Ÿ\€¦Ÿ\ n j‘zUw Ù}y}ƒC{ z Pic(X) |~}ÁÒÆyzLz[ÌfÒ"†Nuf.‚ = r \‡ Xj‘zUw T Ûµz[wyxCHz „ÔL†yÌS‚EŽ‰ X zL®SzL†y|©wyÌS†yƒ}L„|¾‡ zS‡ „^K| wN} Nxuf†NuSGwyzL†*S†yÌSƒC×Ä|~} χ (T ) = Pic(X) ‡ £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥³² n Ù4BEOFPÀ\RUDNILZ\T½Y¼\DNIL¼\D U |~}"u T ‰î×C†y| ‚U| ×ufÑJxCÌS{ ÌSSzL‚CzLÌSƒ}n}×uSUz 3

3

3

5 m

9

5

5

5

5 m

∗

ρ

ρ

X

X

X

/U

Tx

 X

}̔wyxu\wïS| ®SzL‚$uf‚;zLÑ zL{ zL‚aw λ ∈ χ (T ) ìÃ|¾‡ zS‡ „ λ : T → G íG„wyxCzL‚ M ∼= ‰Y}z€Gwy| ÌS‚ uS} ‰îÛCƒC‚ÍEÑ z€}'Ì\®SzL† ‡’zL†yzS„ |~}wyxCzÑ | ‚CzÛCƒC‚ÍEÑ z L − {0 uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍºwyÌ λ }Û Ó χG(T ) ∼= Pic(X) „dXuf‚Í M L|~}"wyxC∈zPic(X) uS}y}ÌEU|~u\wyz€ÍÄÛCƒC‚ÍEÑ zÈwyÌ[wyxCz ×C†y| ‚U| ×ufÑJÛCƒC‚ÍEÑ z U → X | ‚ÍEƒUz€ÍÄÛ Ó[wyxCzÁ†yzL×C†yz€}zL‚awNu\wy| ÌS‚ λ ‡ ŠA‹ «‹•ŒgÊ-’F¤ n ËS  ‡ j‘zUw ‡ènxCzL‚ |~}ÈwyxCzÄUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚C ƒC‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†  | wyxÄwyXxCzÚ=wyÌS†yPƒ}"uSGwy| ‚C[ÍEU|~ufS=ÌS‚AufÑ Ñ ÓSe‡ ?−zÁ{0} xu­®Sz U /G ∼= X = P ‡ ∗

λ

∗

X

X

m

× λ

m

λ

X

λ

n

n+1

m

n

ƒŽ 4w Œ {Ky4x

{,

{:y t

^Ž ‹w

bw

 F { h 21M

4d yZ )

: 2“

‡

Í

z ^aƒC| ‚awy|~8-zLÑÚñ^zLéLéL̖}ƒC†Ò«uSUz?uS}ÄufÛµÌ\®Sz  | wyx;wyxCzuSGwy| ÌS‚;ÌfÒ Ï ‡ j‘zUw X Ûµz?wyxC  S Ì ‚ ‡ ènxCzL‚ wyxCz?ƒC‚C| ®SzL†N}yufÑwyÌS†N}ÌS† U |~}œwyxCz?ÌS×µzL‚$}ƒCÛ}zUwÄÌfÒ T Cone(Gr(3, 5)) S Ì ‚ C x ~ | N  x T uSGwN}*ÒÆyzLzLÑ ÓS‡ Cone(Gr(3, 5))  ènxCzÈufÛ}rwy†NuSGwuf×C×C†yÌauSNxºwyÌ[ƒC‚C| ®SzL†N}yufÑJwyÌS†N}ÌS†N}*|~}uS}nÒÃÌSÑ Ñ Ì ,} FnÐ'xCÌ Ìa}zÈu[{ | ‚C| {[ufÑ }zUw L , . . . , L SzL‚CzL†Nu\wy| ‚C Pic(X) Ì\®SzL† Z ‡ -zL‚CÌfwyz L −{0 ‰Y}z€Gwy| ÌS‚ } Û Ó L ‡ j‘zUw ‡*ènxCzL‚ T → U → X |~}u T ‰î×C†y| ‚U| ×ufÑJÛCƒC‚ÍEÑ zùÍEKz ‚C| ‚C U = L × ···× L wyxCzÁƒC‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†€‡ ’Ì zL®SzL†€„LwyxC|~}©ufÛ}rwy†NuSGw^ÍEK z ‚C| wy| ÌS‚È|~}©‚CÌfw©®SzL†yӏƒ}zUÒÃCѾ„fzS‡ ‡ „€ÒÃÌS†©‚ ƒC{ùÛµzL†wyxCzLÌS†yzUwy|~ uf×C×CÑ |~L u\wy| ÌS‚}L‡ ª ’•¬«‹”­ÌÆ n ð®SzL†‚CÌS‚E‰YUÑ Ìa}z€ Í zLÑ~ÍC}L„  z"{[u­Óù‚CÌfw*ÛµzufÛCÑ z"wyÌùÍEz€}yUzL‚ÍùwyxCzƒC‚C| ®SzL†‰ }yufÑdwyÌS†N}ÌS† U ‡ DCÌS†ÈzU£Cuf{ ×CÑ zS„^UÌS‚}|~ÍEzL†Èu>‚CÌS‚E‰Y}×CÑ | wùUÌS‚C|~ ‡Äîwù|~}ȐSzLÌS{ zUwy†y|~LufÑ Ñ Óv|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~ wyÌ P „EÛCƒEw| wxuS}n‚CÌ Ñ | ‚CzÁÛCƒC‚ÍEÑ zÁ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~XwyÌ O (1) Ì\®SzL†*wyxCzÁS†yÌSƒC‚CÍ zLÑ~ÍJ‡/îw ÌS‚CÑ ÓvxuS}Ñ | ‚Cz[ÛCƒC‚ÍEÑ z€}ÚÌfÒnzL®SzL‚ÍEzLS†yzLzS„}̺wyxCzL†yz[Luf‚C‚CÌfwÁzU£E|~}rwÈuăC‚C| ®SzL†N}yufÑ©wyÌS†N}ÌS† Ì\®SzL†*wyxCzÁS†yÌSƒC‚Í zLÑ~ÍJ‡ mbn ‚ n֕ ¦ž€  † ¡S¦‘¦Ÿ\§©ª ¥  Ež  >Ÿ\ª ¥ ’µ a œ +¦ Ÿ2Ÿ\ª ¥ ’µ n £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥ª n j‘zUw X Ûµzïuv×C†yÌ rz€Gwy| ®Szœ®\uf†y| zUwrÓ  | wyx–×C†yÌS×µzL†wy| z€}ùuS}ùufÛµÌ\®SzS  ‡ j‘zUw µ Û È z  u  Û S u  } ~ | n } f Ì Ò  ‡ n è C x L z Ä ‚ y w C x  z ' Ð ­ Ì œ £ y † | C ‚

 f Ì Ò ~ | " } E Í z K ‚Cz€ÍïuS} L ,...,L Pic(X) X X

X

1

r

× r

X

X

1

1

× j

j

× 1

P1

r

Cox(X) =

M

(v1 ,...,vr

)∈Zr

Γ(X, L1v1 ⊗ · · · ⊗ Lrvr ).

ñ†yÌS×µzL†wy| z€}nÌfÒ Cox(X) uf†yzF ËS‡nîwn|~}*S†NuSÍEz€Í[Û Ó Pic(X) F©ÒÃÌS† λ ∈ χ (T ) ∼= Pic(X) „awyxCzÚ×uf†w*ÌfÒ©ÍEzLS†yzLz λ |~} S| ®SzL‚ºÛ Ó ‡ = Γ(X, L ) S u G  N w " }  ‚ \ u y w C ƒ N † f u Ñ Ñ º Ó S Ì ‚ FDCÌS† „ „CwyxC|~} Ï ‡"ènxCzÁwyÌS†yƒ}Cox(X) t ∈ T s ∈ Cox(X) uSGwy| ÌS‚Ä|~}nS| T®SzL‚ÄÛ Ó t(s) := λ(t) · sCox(X) ‡ ˆC‡ Cox(X) |~}©| ‚ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚aw/ÌfÒCwyxCz"NxCÌS|~Uz'ÌfҐSzL‚CzL†Nu\wyÌS†N} L ÌfÒCwyxCznñ|~Luf†NÍȐS†yÌSƒCב‡ | ®SzL‚Úw Ì}zUwN}‘ÌfÒESzL‚CzL†Nu\wyÌS†N} uf‚Í „€wyxCz| ‚ÍEƒUz€ÍÁ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{$ÌfÒE†y| ‚Ca} |~}'Luf‚CÌS‚C |~LufÑCÌS‚CÑ ÓƒC×[wyÌÁwyxCzuSLGwy| ÌS‚[ÌfÒJMwyxCzwyÌS†yƒ} T ‡/ènxCz†yz€uS}ÌS‚ |~}wyxu\wwyxCz |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ÎÍEzL×µzL‚}"ÌS‚ïu NxCÌS|~UzÚÌfÒ^|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} ∗

λ

X

λ

X

X

λ

i

i

j

X

Lj ∼ = M1n1 ⊗ · · · ⊗ Mrnr , j ∈ {1, . . . , r}.

’Ì zL®SzL†€„}ƒNxvuf‚>|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ |~}‚CÌfwLuf‚CÌS‚C|~LufmÑ F xuS}ufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[} S| ®S zL‚ºÛ ÓÄ}yLufÑ~uf†n{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚‘‡0DCÌS†ÍEzUwNuf| Ñ~}L„}zLz‰z  L•  º ~ ‡ ènxCzÁzU£E|~}rwyzL‚UzÚÌfÒ©‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑJufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}*{[u=Sz€}'wyxCzÁÍEz€}yUzL‚aw"ÌfÒ^ƒC‚C| ‰ ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†N}*uf‚Ä| ‚awyzL†yz€}rwy| ‚C ^aƒCz€}rwy| ÌS‚‘‡ j

‡  ° z

r y ,K

Õ‡"ènxCzÁS†NuSÍEz€ÍÄ×C| z€Uz€}"ÌfÒ Cox(X)  xC|~Nxvuf†yzڂCÌS‚E‰îéLzL†yÌ[UÌS†y†yz€}×µÌS‚͜wy̜zKSzL‚CzL†NufÑJ×µXÌa}=| wy| ÌSBl‚‘‡îÒ +P + ≥ 1 „CwyxC zL‚ Cox(X) |~}"‚CÌfw ÒÃÌS† P F n ≥ 8íG‡c-zUwNuf| Ñ~}Luf‚>ÛµzÈÒÃÌSƒC‚Íï| ‚ ‚C| wyzLÑ ÓïSzL‚CzL†Nu\wyz€Í ìÃ|¾‡ zS‡ „ÒÃÌS† F P n ≥ 9± z » N¨   m ~ ‡ ’Ì zL®SzL†€„a| w|~i } ‚C| wyzLÑ ÓºSzL‚CzL†Nu\wyz€Íœ| Ò^ÌS‚CzÚÌfÒ©wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚}n|~}nwy†yƒCz F  ËS‡"ènxCzUÌS‚CzÌfÒKz $›  až e  G  ¥ ¨ ¥ ª   aŸ\€  † ž€¦Ÿ\€¦Ÿ\?  ¥ § œ +¦ Ÿ Ÿ\ª ¥ ’µ n DC†yÌS{¬‚CÌ  |~} ‚C| wyzLÑ Ó?SzL‚CzL†Nu\wyz€ÍJ‡ j‘zUw ‡œîwÈ|~} ÌS‚‘„©uS}y}ƒC{ zwyxu\w Cox(X) u u[‚Cz  | wyx T ‰YuSGwy| ÌS‚ T × V → V ‡ D©| £>uf‚ïÌS×µzL‚>}ƒCVÛ}zU=w USpec(Cox(X))  ÌS‚  xC|~Nx T uSGwN} ÒÆyzLzLÑ ÓS‡ènxCzÚÛuS}|~Ò«uSGw|~}*wyxu\w U |~}"u T ‰î×C†y| ‚U| ×ufÑJÛCƒC‚ÍEÑ zÁÌ\®SzL† X F r−1 P1 ,...,Pn 1 1 1 2 r n−r 3

2

N j=1

dim X m j

1

X

j

j

j

N

X

X

X

X

TX

/U  X

uf‚Í U |~}"u ƒC‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†€‡ ènxCzÁ×CƒC‚NxCÑ | ‚CzÁ|~}*wyxu\w"wyxC|~} u­ÓS„awyxCzȃC‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS† |~}n‚u\wyƒC†NufÑ Ñ Óºu^aƒuS}| ‰ uu[‚Cz®\uf†y| zUwrÓS‡^ènxCzL†yzUÒÃÌS†yzS„fS| ® | ‚C Áz'^aƒu\wy| ÌS‚}^ÒÃÌS† U |~}z'^aƒC| ®\UufÑ zL‚aw/wyÌȐS| ® | ‚CÈSzL‚CzL†Nu\‰ wyÌS†N}©uf‚ÍȆyzLÑ~u\wy| ÌS‚}‘ÒÃÌS† Cox(X) ‡^ènxC|~}^Luf‚ÈÛµz"ÍEÌS‚Cz'Û ÓÈufÑ SzLÛC†yÌf‰îSzLÌS{ zUwy†y|~©{ zUwyxCÌEÍC}L„ xC|~Nx{[u­ÓÁÛµz}zLzL‚ uS}^uf‚| { ×C†yÌ\®SzL{ zL‚aw©wy̏wyxCznzU£E|~}rwy| ‚CÚ‚ ƒC{ùÛµzL†^wyxCzLÌS†yzUwy|~'{ zUwyxCÌEÍ wy Ì[LufÑ~UƒCÑ~u\wyzڃC‚C| ®SzL†N}yufѵwyÌS†N}ÌS†N}L‡ è̜} =SzUwNNx>u[×C†yÌ ÌfÒ^ÌfÒ^wyxCz€}zȆyz€}ƒCÑ wN}L„ÌSÛ}zL†y®Szwyxu\w |~}‚u\wyƒC†NufÑ Ñ ÓÄuœzLÌS{ zUwy†y|~ Y‚ ®\uf†y|~uf‚aw'ènxCzLÌS†ylÓ ^aƒCÌfwy| zL‚aw (V //T ) ìÃÛ lÓ !ÚzLzLÑ ê ’ƒ‘b„ Xz  {·b ~ íu\ÒPwyzL†*}×µz€U| ÒÃÓ | ‚Cu Ñ | ‚Cz€uf†y| é€u\wy| ÌS‚ λ ∈ χ (T ) }Ìwyxu\w L |~}"uf‚ïuf{ ×CÑ zÁÑ | ‚CzÚÛCƒC‚ÍEÑ zÈÌS‚ X ‡ „Ìfwyz wyxu\w z ‚CzLz€Í?wyÌ>{ | £ u u[‚Cz[| ‚ ®\uf†y|~uf‚awwyxCzLÌS†yÓuf‚ÍvwyxCzœƒ}ƒufÑ/×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz zLÌS{ zUwy†y|~Y‚ ®\ uf†y|~uf‚aw"ènxCzLÌS†yÓ[wyÌ | ‚awyzL†y×C†yzUw (V //T ) FwD©| †N}rwnwNu =SzwyxCzÈu u[‚CJz ^aƒCÌf‰ wy| zL‚awƒC‚ÍEzL†"wyxCzùuSGwy| ÌS‚ÄÌfÒ ker(λ) „  xC|~NxïS| ®Sz€}nuf‚>u u[‚CzÁ®\uf†y| zUwrÓS‡'ènxCzL‚ÄwNu =Sz Proj ƒ}| ‚CwyxCzÁS†NuSÍE| ‚C UÌS{ | ‚CÒÆyÌS{ØwyxCzÈNxuf†NuSGwyzL† λ ‡ ∗

X λ

X

λ

X λ

ƒŽ 4w Œ {Ky4x

{,

{:y t

^Ž ‹w

4d yZ )

: 2“

bw

‡  µ

 F { h 21M

nè xCzL‚ Proj(L Cox(X) ) = (V //T ) Û Ó?zLÌS{ zUwy†y|~ȁY‚ ®\uf†y|~uf‚awènxCzLÌS†yÓS‡ ènxCz?Ñ zUÒPwÄxuf‚Í;}|~ÍEzv|~} Proj(L Γ(X, L )) „  xC|~Nx |~}Jrƒ}rw X }| ‚Uz L |~} uf{ ×CÑ zS‡ Ù }z€UÌS‚͔ÌSÛ}zL†y®\u\wy| ÌS‚”|~}ùwyxu\w[S| ®SzL‚ „'|¾‡ zS‡ „ „wyxCz uS}y}ÌEU|~u\wyz€Í?ÛCƒC‚ÍEÑ zœ| ‚ÍEƒUz€} L ‡ïènxCzL†yzUλÒÃÌS†y∈zS„χ| w(T}ƒuœ)Uz€}ÚwyÌ?λNxC:z€WT=vwyxC→zºUGÑ~uf| { ÒÃÌS† uf{ ×CÑ z λ ‡ xC|~Nxù| ‚ÍEƒUz€}^uÍEÌS{ | ‚uf‚aw ?z*xu­®Sz*uf‚ù| ‚UÑ ƒ}| ÌS‚ L {[uf× V → Cone(X ⊂ P , L ) ‡Cox(X) ènxCzL†yzUÒÃÌS†yzS→„  Cox(X) zÚxu­®Sz  nλ

n≥0

X λ ⊗n λ

n≥0

∗

−1 λ

X

X

m

nλ

n≥0

N

λ

λ

V −−−−→ x  

Cone(X ⊂ PN ) x  

U −−−−→ (Cone(X ⊂ PN ) − {0}) ∼ = (Lλ−1 )×

ènxCz×µÌS| ‚awn|~},Fð‚CzSzUwN}'xCÌSÑ~Í[ÌfґwyxCzƒC‚C| ®SzL†N}yufÑCwyÌS†N}ÌS†'Û Ó zL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚Cù| wn| ‚awyÌÈwyxCz uu[‚CzÚ®\uf†y| zUwrÓ Spec(Cox(X)) ‡ ¥  ¦bž¨ ¥ ª   aŸ\€  † ž€¦Ÿ\€¦Ÿ\ DC†yÌS{ ‚CÌ ÌS‚‘„Ñ zUw Ûµzïu?}{ Ì Ìfwyx–×C†yÌrz€Gwy| ®Szœ®\uf†y| zUwrÓ Ì\®SzL†ùÌS‚–ufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ Ó UÑ Ìa}z€ÍˆzLÑ~Í  K ÌfÒNxuf†NXuSGwyzL†y|~}rwy|~ 0  | wyx Pic(X) ∼= Z  xCÌa}z[Ð'Ì­£Ä†y| ‚Cº|~}A‚C| wyzLÑ Ó SzL‚CzL†Nu\wyz€ÍJ‡©ènxCzL†yzUÒÃÌS†yzS„­wyxCzUÌS‚Cz*ÌfÒdKz
®

XJ¨© Ež€ª«¦

r

›^n>mbn֕ ¾l  ¡  až ¾©¦‘§”b¦ ž œ ¦ †>† ª«¦ž • ¾l± †5G ¥  œ  ¥ § §   ¥ €¨©¡ n ènxC|~}nuf×C×C†yÌauSNx wyÌÈwyxCz LufÑ~UƒCÑ~u\wy| ÌS‚ÄÌfÒÐ'Ì­£º†y| ‚Ca}nLuf‚ïÛµz— ÒÃÌSƒC‚ÍÄ| ‚ z œ¨• §[¶4® ~ ‡ ð‚ X „^NxCÌ Ìa}z[Kz
1

0 → K[W ]∗ /K ∗ →



N

N

N M j=1

ZDj → Pic(X) → 0

xCzL†yz K[W ] /K ÍEz€}yU†y| Ûµz€}*wyxCzÁÑ | ‚Cz€uf†"z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uz€}"uf{ ÌS‚C {D , . . . , D } ‡ -ƒufÑ | éL| ‚CwyxC|~}}z'^aƒCzL‚UzÚÛ Óºuf×C×CÑ Ó | ‚C „ zÚÌSÛEwNuf| ‚ Hom(·, G )  ∗

∗

1

m

q

1 → TX → GN → RW → 1. m −

N

‡C¢<ˆ z

ª ’•¬«‹”­

Ù { ÌS†y×CxC|~}{ n

»

r y ,K

ϕ : Z → RW

S| ®Sz€}nu

/ GN ×R Z m W

TX

TX

‰¾wyÌS†N}ÌS†'F q −1 (ϕ(z))

⊃

 Z

 z

3

ènxCz>}rwy†Nu\wyzLSә|~} wy̙UÌS‚}rwy†yƒGwœu ‰¾wyÌS†N}ÌS† Ì\®SzL† xC|~Nx2zU£ wyzL‚͖wy̙u ƒC‚C| ®SzL†N}yufÑ^wyÌS†N}ÌS†ÁÌ\®SzL† X ‡ÄènxC|~}È}rwy†Nu\TwyzLSÓ  ÌS†>=E} U zLÑ Ñ| ‚™{[Wuf‚ Ó LuS}z€}L„ÛCƒEwù‚CÌfwÈ| ‚ SzL‚CzL†NufѾ‡ ènxCzÚ{ ÌS†y×CxC|~}{ ϕ : W → R |~}"UÌS‚}rwy†yƒGwyz€ÍºÛ ÓºUÌS‚}rwy†yƒGwy| ‚C u }×CÑ | wwy| ‚C σ wyÌ wyxCJz ^aƒCÌfwy| zL‚aw X

W

W

K[W ]∗

σ

q

/ K[W ]∗ /K ∗ :

ÌfwyzÚwyxu\w σ | ‚ÍEƒUz€}"u K ‰YufÑ SzLÛC†NuÈxCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ „

−1 K[RW ] = K[t1 , t−1 1 , . . . , tN −r , tN −r ] → K[W ],

tj 7→ σ(tj ),

Cx zL†yz[wyxCz ÒÃÌS†y{ u>ÛuS}|~}ÁÒÃÌS† uf‚Í ‡8X | ‚Uz |~}  uu[‚CzS„}ƒNxvt u xCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ UχÌS†y†y(Rz€}×µÌS)‚ÍC}'wy̜ru =KRank(Pic(X)) ‰î{ ÌS†y×CxC|~}{ W → R „ R xC|~Nx ÍEKz ‚Cz€} ϕ ‡ ènxCz =SzLÓ[Ò«uSGw|~}nwyxu\w"wyxCzÁ{ ÌS†y×CxC|~}{ ϕ zU£ wy†NuSGwyz€ÍœÒÆyÌS{ σ S| ®Sz€}nuwyÌS†N}ÌS† T → ÌS‚ W uSÍE{ | wwy| ‚Cïuf‚>zU£ wyzL‚}| ÌS‚>wyÌÄuœƒC‚C| ®SzL†N}yufёwyÌS†N}ÌS† T → U → X U →W Ì\®SzL† X ‡ ∗

j

W

W

W

X

W

X

/ UW

TX

;

/U

TX

 W

 X

Ù‚ÄzU£E×CÑ |~U| wn{ zUwyxCÌE͜ÒÃÌS†"UÌS‚}rwy†yƒGwy| ‚C}ƒNxÄuf‚ºzU£ wyzL‚}| ÌS‚œ|~}n‚CÌfwi= ‚CÌ  ‚‘‡ð‚CÑ Ó wyxCz zU£E|~}rwyzL‚UzÚ|~}"×C†yÌ\®SzL‚º| ‚Åz œ¨• §[¶4® ~ ‡ ª ’•¬«‹”­ ¼ ž Á  Ež ŸJ(Ÿ   g  n | ®SzL‚ºuÈ×µÌS| ‚aw P ∈ W „  zSzUw"uȂu\wyƒC†Nufѵ}×CÑ | wwy| ‚C σ : FÒÃÌS†"zL®SzL†yӜzLÑ zL{ zL‚awÌfÒ „NxCÌ Ìa}zÁu †yzL×C†yz€}zL‚awy| ‚C K[W ] /K → K[W ] K[W ] /K y } \ u y w ~ | r } Ã Ò Ó | C ‚  ‡ f f (P ) = 1 ›^n2›^n֕ ¾l  Ÿ‘v  ¡¬½ †  b¦ ždž ¾l XJ¨©ª ¥ ž€ª«¡    †´Ê  +˜
˜S¦[€¨(Ÿ žî C¡   n j‘zUw X = Bl P ÛµzÈufauf| ‚œwyxCzÁÛCÑ Ì  ‰îƒC×ÄÌfÒ P | ‚ ∗

∗

∗

∗

∗

2

P1 = [1, 0, 0], P2 = [0, 1, 0], P3 = [0, 0, 1], P4 = [1, 1, 1].

P

P1 ,...,P4

z  | Ñ Ñ^}zLzùxCÌ  wy̺ÌSÛEwNuf| ‚vwyxCzùñÑ †W=SzL†z'^aƒu\wy| ÌS‚}ÍEzK‚C| ‚CºwyxCzƒC‚C| ®SzL†N}yufёwyÌS†N}ÌS† Û Ó[wyxC|~}"{ zUwyxCÌEÍJ‡ ?

2

ƒŽ 4w Œ {Ky4x

{,

{:y t

^Ž ‹w

4d yZ )

: 2“

Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†ÄwyxCz Uz £CUzL×Ewy| ÌS‚ufÑÈÍE| ® |~}ÌS†N} uf‚Í;wyxCz wy†Nuf‚}rÒÃÌS†y{[} wyxC†yÌSƒCSx P uf‚Í P ì i 6= j ∈ {1, . . . , 4}EíG‡?Ð'xCÌ Ìa}zœUÌ ÌS†NÍE| ‚u\wyz€} „ ‡ u= Ð'ÌS‚}v|~ÍE=zL† i

x z

i

y z

‡C¢‡

bw

 F { h 21M

j

ÌfÒùwyxCz™Ñ | ‚Cz€} uf‚Í Ñ zUw

lij [x, y, z]

div(u = x/z) = l23 + E3 − l12 − E1

div(v = y/z) = l13 + E3 − l12 − E2

div(u − 1) = l24 + E4 − l12 − E1

div(v − 1) = l14 + E4 − l12 − E2

zU£ w€„ z‚CÌS†y{[ufÑ | éLz"wyxCz€}z"ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}'Û Ó[UÌS‚}rwy†yƒGwy| ‚CùuÈ}z€Gwy| ÌS‚ ÒÆyÌS{4uùNxCÌa}zL‚ ×µÌS| ‚aw€„ }yu­Ó P = [3, 2, 1] ‡^ènxC|~}"S| ®Sz€}nu{ ÌS†y×CxC|~}{ ϕ : W → R σuS}"ufÛµÌ\®SzS‡ Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†"wyxCzù}z€Gwy| ÌS‚} UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CwyÌ l uf‚Í η wyÌ E ‡c@}| ‚C wyxCzù‚CÌS†‰ {[ufÑ | é€u\wy| ÌS‚‘„  zÚÌSÛEwNuf| ‚MF λ div(u − v) = l34 + E3 + E4 − l12 − E1 − E2

„

P

W

ij

u λ23 η3 = , 3 λ12 η1

ij

i

i

u−1 λ24 η4 λ14 η4 λ34 η3 η4 = , v−1 = , u−v = . 2 λ12 η1 λ12 η2 λ12 η1 η2 u, v, u − 1, v − 1, u − v

v λ13 η3 = , 2 λ12 η2

ènxCzL‚[wyxCz†yzLÑ~u\wy| ÌS‚}ÛµzUw zLzL‚[wyxCz}z€Gwy| ÌS‚} ÛµzUw  zLzL‚ºwyxCzÈ}z€Gwy| ÌS‚} λ , η F ij

i

u v 3 −2 =u−v 3 2 v 2 = (v − 1) + 1 2 u−1 − (v − 1) = u − v 2 u u−1 3 =2 +1 3 2 −(u − v) + v(u − 1) − (v − 1)u = 0 2

"Ý zL×CÑ~uSU| ‚C wy| ÌS‚}L‡

3λ23 , 2λ13 , 2λ24

S| ®Sz†yzLÑ~u\wy| ÌS‚}

;

−(3λ23 )η2 + (2λ13 )η1 + λ34 η4 = 0

;

λ14 η4 − (2λ13 )η3 + λ12 η2 = 0

;

λ34 η3 − (2λ24 )η4 + λ14 η1 = 0

;

(2λ24 )η4 − (3λ23 )η3 + λ12 η1 = 0 λ12 λ34 − (2λ13 )(2λ24 ) + (3λ23 )λ14 = 0

Û Óv‚Cz  ®\uf†y|~ufÛCÑ z€}ÚzU£CuSGwyÑ ÓvS| ®Sz€}wyxCz[ñÑ †W=SzL†Á†yzLÑ~u\‰ ;

¦+Ÿ–Ÿ\ª ¥ ™ ’  ½l½©Ÿ\¦µ C¡¾ n Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†u ÍE| † =d‡ ›^n ‚ n֕ ¾l  œ

P1 ,P2 ,P3

2

1

2

123

1

2

2

3

123

3

‡C¢(p

r y ,K z

zvxu­®Sz W = X − {E , E , E , l } ∼= A „uf‚Í X |~}ºuf‚ z'^aƒC| ®\uf†y|~uf‚aw UÌS{ ×uSGwy| µLu\wy| ÌS‚ºÌfÒ „uSGwy| ‚C ÌS‚ Û Óœwy†Nuf‚}Ñ~u\wy| ÌS‚‘‡ Ï ‡"ènxCzÁuf{ ×CÑ zÈUÌS‚CzS„  xCG|~NxÄ|~}nwyxCzÈÍEƒufÑJAÌfÒ©wyxCzÁzK
2 a

1

2

3

2

123 2

{l123 + E1 + E2 + E3 , l123 + E1 + E2 , l123 + E1 + E3 , l123 + E2 + E3 }.

ˆC‡"ènxCzÁuf‚awy|~Luf‚CÌS‚C|~LufÑJÍE| ® |~}ÌS† −K |~}n‚CzUÒ/uf‚ͺÛC| ‡ènxCzL†yzUÒÃÌS†yzS„ X |~}ÁìÃÑ ÌS í-zLÑ ñ^zLéLéL̇ „zU£ w€„ zuf†yznÑ Ì  Ì = | ‚CÒÃÌS†SzL‚CzL†Nu\wyÌS†N}^uf‚͆yzLÑ~u\wy| ÌS‚}^ÌfÒ Cox(X) ‡/zL‚CzL†Nu\wyÌS†N}/uf†yz  xC|~Nx”|~}ù®\uf‚C|~}xC| ‚CvzU£CuSGwyÑ Ó™ufÑ ÌS‚C l „uf‚Í λ ∈ Γ(O (l )) ⊂ Cox(X)  Ã Ò S Ì † ‡ η ∈ Γ(O (E )) ⊂ Cox(X) ènxCz€}zÁ}z€Gwy| ÌS‚}"ÍEÌ ‚CÌfw"SzL‚CzL†Nu\wyzjwy∈xCz{1,Ð'Ì­2,£œ3}†y| ‚Cùêœ| ‚>LuS}z€}  xCzL†yzwyxCzLÓºSzL‚CzL†Nu\wyz | w€„wyxCz[{ zUwyxCÌEÍ ÌfÒÐ'ÌSÑ Ñ | Ìfw‰YènxCÔLÑ :L‚Cz  ÌS>† =E}  zLÑ Ñ¾„©ÛCƒEwȂCÌfwÈxCzL†yzSC‡ ?zœ{ùƒ}rwùNxCÌ Ìa}z uSÍCÍE| wy| ÌS‚ufѐSzL‚CzL†Nu\wyÌS†N,} F Γ(O (l + E + E )) UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}wyÌ>Ñ | ‚Cz€uf†ÁÒÃÌS†y{[}Ú| ‚ ®\uf‚C|~}xC| ‚Cïu\w „J|¾‡ zS‡ „J| wÁ|~} ‡ù…*z€}|~ÍEz€} „ xC|~NxLuf‚vÛµz x, y, z |~ÍEzL‚awy| z€ÍïuS} z „  zÁLPuf‚ïNxCÌ Ìa}zÁuf‚CÌfKwyxCzL∼=†"}hx, z€Gwy| ziÌS‚ ξ }ƒNxÄwyλxu\w ηξ ηη = −x ‡ X | { | Ñ~uf†yÑ ÓS„ zvxu­®Sz ξ ∈ Γ(O (l + E + E )) }ƒNx2wyxu\w y = ξ η uf‚Í  }ƒNxÄwyxu\w x − y = ξ η ‡ ξ ∈ Γ(O (l + E + E )) ènxC|~}nS| ®Sz€}nu xCÌS{ ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ X

123

j

X

X

123

l123

j

123

Ej

X

123

3

2

1

2

123 1 2

3

1

2

X

123

1

X

123

2

3 3

3

3

1 1

2 2

ψ : K[λ123 , η1 , η2 , η3 , ξ1 , ξ2 , ξ3 ]/hη1 ξ1 + η2 ξ2 + η3 ξ3 i → Cox(X),

uf‚Í}| ‚Uz'wyxCzÍE| { zL‚}| ÌS‚ùÌfÒµÛµÌfwyxÌfÒwyxCz€}zn|~} 6 ì dim(X) = 2 uf‚Í Rank(Pic(X)) = íG„C| w|~}n†yz€uS}ÌS‚ufÛCÑ zwyÌ[xCÌS×µzwyxu\w"wyxC|~}"|~}uf‚Ä|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ï‡ 4 ª ’•¬«‹”­ –À n ènxCzL‚ η ξ + η ξ + η ξ |~}wyxCz'z ^aƒu\wy| ÌS‚vÌfÒ/wyxCzƒC‚C| ®SzL†N}yufÑwyÌS†N}ÌS† | ‚ÄwyxCzÈ}zL‚}zwyxu\w T →U →X 1 1

2 2

3 3

X

U ⊂ V := Spec K[λ123 , η1 , η2 , η3 , ξ1 , ξ2 , ξ3 ]/hη1 ξ1 + η2 ξ2 + η3 ξ3 i.

µ½¾DyZ\½YRî Å œ¼r¿Á½ÃMCRnødDy¼€¼r¿ n D©| †N}rw€„aUÌS‚}|~ÍEzL† | ‚œÍEzLS†yzLz€} UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CwyÌùuڂCzUÒ‘Ñ | ‚Cz CÛ ƒC‚ÍEÑ z€}*ÌS‚ X ‡wX ƒNxœÑ | ‚CzÛCƒC‚ÍEÑ z€}nuf†yz}ψzL{ | ‰Yuf{ ×CÑ zufν‚Í[| ‚œwyxC|~}nLuS}zzL®SzL‚œSÑ ÌSÛufÑ Ñ Ó SzL‚CzL†Nu\wyz€ÍJ‡…*Ó| ‚ÍEƒGwy| ÌS‚ÈÌS‚wyxCz'zK‚CzUÒÍE| ® |~}ÌS†N} „ zœ†yz€ÍEƒUz wyÌ wyxCz ‚CzUÒnLuS}zùwyxCνzÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C  u­Ó Fڍ| ®SzL‚ s ∈ Cox(X) = Γ(X, Lν )„JwyxCzL†yzzU£E|~}rwN} uv‚CzUÒÑ | ‚CzÄÛCƒC‚ÍEÑ z m „'u?}z€Gwy| ÌS‚ µ ∈ Cox(X) uf‚Í a, b , b , b ∈ Z }Ì>wyxu\w ‡ÚènxC|~}ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }"ÒÆyÌS{ wyxCzùSzLÌS{ zUwy†y|~ÚÒ«uSGwwyxu\w€„JS| ®SzL‚>Kz
m

b1 b2 b3 a 123 1 2 3

123

1

2

3

ν

1

2

3

≥0

^Ž ‹w

ƒŽ 4w Œ {Ky4x

{,

{:y t

4d yZ )

: 2“

bw

 F { h 21M

‡C¢



€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î ç Î " >ÑCÒÿç‹Õ ã!å$ՀÏfÜbãã× Ü‹Û+ã!ÓJNYöãHÝvØ·Þ ç‹Õ ãç‹Õ,å‹ÝvÚBÐYû"æ%b&¼ é(  êc  s&  < 7< &  è   RZû"ûþ4‘_ ö´ùƒ.!÷yú.ø 3&ø i
j¿þ¯C) >Ñÿ þGè
þï +)Ñ kæ × Î 1MÒ ø‰ÕgaPÐUÞW,^ÕgM/ØØãkæ Ð è! D C&!% ïG&!é M&!Gƒ# û Î þ4ù¼0 8ú(0 .!ôƒùƒ.!÷yúgø 3&ø jvý þ>!ÿþ(ï))æ ×<>þ  C éC& CM è ü¬    &!% I ê ècès ì+è(ééC&!  è/è!òvì D ì   ìG&' Î  Î ×!Ò ÖkqÕ aså‹ÚCÚCØÛÛUÞ ø‰qÕ ÓMBÚ û&Nv× YÝ ebØãk æ ÿ
  &!^ è! è! c&!G"çlèCðƒ  W þ2/  ìí %/  éÅè!ò‰ì ìíW %/  èG&!&! &! é &     ¬þ \^&! ? è /$ è þ‰qç /cþk!ÿ þ \^ è!B Ð &  ì þGè ! þ Ï  ! UìG !ê  Ï è ¯ èþ Ï è ¯ èþ Ð /cþ!×þGï ‹R×CæGÑ  Î Ð ê U Ò ,^Õ$£ â ÐYe‹å‹×Dæ¿çlèê(  ð&!%/ï k èÃ
  B u I èê ( £ ì \^ è % òyè!c ì¨  í  %/  èG&!‹&  f! èêï þ»ý%û Ð " ï ï  ( ´B ×<þ‹!) Î " Uè) Ò Ø‡+Õ V‡&Õ ,YevÜbÙ´Ü þG´Ü ‹åÛv+Ü ÙkA æ @
k& ìè! % è!Yò TD  Û(ê ¯í " î  èí  '( þfôôvø Eb<. 8´ø 4&80> ø & 1  ö´ùƒ.!÷yúø Isü"þ¯C) ÿ þGè
+þï ×(!Cæ ×)×

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»ÄŽÖF•Åā•V È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

G\݉âlãG\݉âCÚ¸m8Ø\Ü ñŠÚoÞÇÜ Ü|älÛCÞ؃ÙNىâlã

Úêñ‰â

åä8Ü ÞÇîlÛCîCÚèñ‰â

Úwì‰ÞÇæšÝ‰Ü|ä

àó|IQ„r'&NQJ'

Ð & ì%&  UþZÿ
     ý$ ê  þ) ×Jý$ ê þv#
 %&!(' )+*-,/.!02143P˜A(:=(:A67b<‚S9EJ(9C5BC59?!8:C59?6U,l<2EFG6HCA(:J(:!F+wIEAJD<>=(:

'%ü I û+í

KML!NO-PQR!OS T ¾kWa Ìξk\ _!_ ,Ê ÉÇÓ ` _Ì´a/` _Ì>Z V \ a ÏmÊ _ É _` ¹ a ÉÇÊ É#â ́Ìξa\lZ V \ ÏmÊ Ã\ Ê ]a ÏmÊ _ É y V ¾ŽÍ ÏmÊ _ ÉHÊ É YÇÊ ÓCY ¾ŽÌ4ÌWa É< À . YÇÊ Í„y V ¾ŽÍ ÏmÊ _ ÉkY aWÍ[a Ï \ ¾aWÍ ÏMÏ h _iÃ(aWÌ Ï Í ÄÀ$` _ Ì>ZMa\ Ê j a ÏmÊ _ É _` ÏWY ¾D\ Ê É ¾aWÌba\ Ó ¾!{ÇÌWaÍ Ê ¿Ç¾^_` ÏWY ¾MÍ Ï _Ì-X Ê É%Ï ¾ŽÌ>ZA͋_`Zf_ÌÎà YÇÊ ÍWZAÍ_`a\ Ó ¾!{ÇÌWa Ê ] Ó Ì>_ V ÃÇÍ$a É a\ _ Ó _ V Í Ï _ ‚!YÇÊ Z V ÌWaMa É ¿]…e¾ \ Ê ÓÉ ¾ â ͍Ã_ Ê ÉKÏ _` Ë'Ê ¾ h _ É:ÏWY ¾ ÏWY ¾ _Ì-X‡_`^] _CZAÃ\ ¾£¶ Z V \ ÏmÊ Ã\ Ê ]a ÏmÊ _ É À Ô'À É _ É ] _CZfZ ' V Ï a ÏmÊ Ë ¾a\ Ó ¾!{ÇÌWa Ê ] Ó ¾ _CZA¾ Ï Ì-XKÀ † ¾ŽÌξ h ¾lWa Ìξ Ê ÉKÏ ¾ŽÌξŽÍ Ï ¾Ž¿sZf_ Í Ï \ X Ê ÉiÏWY ¾„}ÌÎÍ Ï Ã(aWÌ Ï À T ¾+a\ ÍW_0Ìξ ]a\ \ÍW_CZA¾ ,É _ h É ÌξŽÍ V \ Ï Í4] _ É ]Ž¾ŽÌ ÉÇÊ ÉÇÓ ÏWY ¾0Ím¾ ] _ É ¿ Ã(Wa Ì Ï À

¤U¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ Ð'zùÍEÌEUƒC{ zL‚awÚUÌS‚awy| zL‚awz€}y}zL‚awy| zLÑ Ñ zL{ zL‚awÑ z€}‚CÌfwyz€}Í  ƒC‚vzU£E×µÌa}ÔÁÒ«uf| w?KºÌ zUwwy| ‚E‰ SzL‚È×µÌSƒC†©Ñ~uUÌS‚EÒÃÔL†yzL‚Uz€yÔLÌS{ ÔUwy†y| z'ÍE| ÌS×Cxuf‚awy| zL‚C‚Cz ‚'ÌS†yauf‚C|~}ÔLz/×uf†ëƒC†y|Eè©}yNxC| .‚ =SzLѾ‡ Ð'zUwzU£E×µÌa}Ôºuvufƒ}y}|'ÔUwyԜҫuf| wÍCuf‚}ù×CÑ ƒ}| zLƒC†N}ùufƒEwy†yz€}ÁzL‚ÍE†yÌS| w

Í  u­® †y| AÑ KlrƒC| ‚ Ï ŒSŒfÕ F Ñ z€}}ÔL{ | ‚uf| †yz€}ÍEzSÔLÌS{ ÔUwy†y| zÈufÑ SÔLÛC†yh| ^aƒCzùÍEzÝ"zL‚C‚Cz€}L„ !‰¾wyxCÔLÌS†y| zÈzUwSÔLÌS{ ÔUwy†y| zȂCÌS‚ mbn

9CVÇÉ

¾wÔÔ É ¿»ÂÔÕÕWÖÇÀ

‡C¢À “

r 8y‹Ž21 y q

UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®Sz KmÑ  Ž ’ñ^„\{[u\wyxCÔL{[u\wyh| ^aƒCz€}©×CƒC†yz€}©ÍEz*mÑ  ;%„Xj‘ÓSÌS‚‘„­SÔLÌS{ ÔUwy†y| z'‚CÌS‚ùUÌS{‰ ù{ ƒEwNu\wy| ®SzùzUwwyxCÔLÌS†y| zùÍEz€}‚CÌS{ùÛC†yz€}LKº…*ÌS‚C‚‘‡ ™Szù†yzL{ zL†NU| zÈ{ z€}xM*fwyz€}{[u\wyxCÔL{[u\‰ wy|h^aƒCz€}ìÃñ| zL†y†yz…*zL†wyxCzLÑ Ìfw€„atvu\£l!Áuf†yÌSƒCÛC|¾„;/wy| zL‚C‚Czڍx ÓE}L„atvu\wy| Ñ~ÍEztvuf†NUÌSÑ Ñ |EzUwëƒC†y| è©}yNxC| ‚.=SzLÑPíÍEz{Œ u­®SÌS| †'ÌzL‚ï†Nuf‚C[}ƒC×µÔL†y| zLƒC†ÍEƒï×µÌS| ‚awÍEzÁ® ƒCz ÍEz€}*S†yÌSƒC×µz€}*ufÑ SÔLÛC†yh| ^aƒCz€}L‡ ™ z€}× :L†yz ^aƒCzÚUz×µÌS| ‚awÍEz® ƒCzÚ}zL†NuȃEwy| Ñ zÁufƒE£[SÔLÌSO{ :Uwy†yz€} ‚CÌS‚ÁUÌS{ {ùƒEwNu\wy| Ò«}ÍEԀ}| †yzLƒE£ Í  ufÛµÌS†NÍEzL†UzUwwywz ^aƒCz€}rwy| ÌS‚‘‡/Ð'z^wy†Nu­®\uf| Ñf×µÌS†wyz/mÑ  zL{ ×C†yzL| ‚awyz ÍEz€}©ÍE|~}yUƒ}y}| ÌS‚}‘Ô€UÑ~uf| †Nuf‚awyz€M} ^aƒC4z K uf|azLƒCz€}©u­®Sz€/tvu\wy| Ñ~ÍEzntvuf†NUÌSÑ Ñ |¾„€zUw^×µÌSƒC†Ñ z€>} ^aƒCzLÑ Ñ z€} rzÁÑ~u †yzL{ zL†NU| zS0 ‡ ™SzÁ†yzL{ zL†NU| zÁufƒ}y}|ÚufÛµÌSA† ? | z€}zÁ×µÌSƒC†}ÌS‚>uf|~ÍEzÁ}ƒC†"Ñ~u {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\‰ wy| ÌS‚ºUÌS{ ×CÑ zU£EzS‡Ð'zwy†Nu­®\uf| PÑ KÈÔUwyÔÒ«uf| wn}ƒC†'Ñ z€}ÒÃÌS‚ÍC}'ÍEƒœ†yԀ}z€ufƒœÝ^Aè „Š€!‰¾wyxCzLÌS†yÓuf‚Í ufÑ SzLÛC†Nuf|~S†yÌSƒC×"} ‚GQ„ K Ý"zLSzL‚}ÛCƒC†y‡ j‘zÈwyxCÔLÌS† :L{ z ÍEl z !چyÌS‚Cz€W =SzL†~‰ ?zLÛµzL†"‚CÌSƒ}ÚÍE| :w ^aƒCzmÑ  zU£ wyzL‚}| ÌS‚ufÛµÔLÑ | zL‚C‚Czù{[u\£E| ‰ {[ufÑ zÁÍEz Q z€}rwzL‚CSzL‚ÍE†yÔLz×uf†"mÑ  | {[ufSzÁÍEzÁmÑ  uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ e2iπ• : Q → C.

X ÌS| w ƒC‚2UÌS†y×}ùÍEzº‚CÌS{ùÛC†yz€}L| ‡ j‘zÄÍEÌSƒCéL| :L{ zº×C†yÌSÛCÑ :L{ zÄÍEˆz ’| Ñ ÛµzL†w z€}rw[ÍEz wy†yÌSƒC®SzL†"F/Q ÍEz€}nÒÃÌS‚Gwy| ÌS‚}uf‚ufÑ Óawy|h^aƒCz€}n†yzL{ ×CÑ~uNRLuf‚awnÑ~uÒÃÌS‚Gwy| ÌS‚ïzU£E×µÌS‚CzL‚awy| zLÑ Ñ zÁzUwÍEÌS‚aw Ñ z€}[®\ufÑ zLƒC†N}œ}׵ԀU|~ufÑ z€}[zL‚CSzL‚ÍE†yzL‚aw[mÑ  zU£ wyzL‚}| ÌS‚ ufÛµÔLÑ | zL‚C‚Czv{[u\£E| {[ufÑ zvÍEz F ‡¢Ð'z€U| ×µzLƒEw‰ SUwy†yz"UÌS‚}|~ÍEÔL†yÔ*UÌS{ { znƒC‚Cz*zU£E×CÑ |~U| wNu\wy| ÌS‚ ÍEznÑ~uwyxCÔLÌS†y| znÍEƒ UÌS†y×}©ÍEz"UÑ~uS}y}iz ^aƒC| ×µzL†y{ zUw€„­zLÑ Ñ zS„\ÍEz'ÍEԀU†y| †yzUzUwwyzzU£ wyzL‚}| ÌS‚ÁzL‚ÚwyzL†y{ z€}‘ÍEz'UÑ~uS}y}z€}‘ Í  |~ÍEԀufƒE£ÚSÔL‚CÔL†NufÑ |~}Ԁ}L‡ X ÌS| w ƒC‚;UÌS†y×C} ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz>| {[ufS| ‚uf| †yzS‡ ÙÑ ÌS†N} z€}rwºƒC‚Cz?UÌSƒC†yÛµz ƒEw{ ÌS‚awy†yzL† ^aMƒ  zLÑ Ñ zÈz€}rw zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCF/Q zÍE| wyTz K[{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚?UÌS{ ×CÑ zU£EzÁ×uf† F zUwÌS‚>×µzLC/O ÍEKÔ ‚C| z }ƒC†ºƒC‚ UÌS†y×}ºÍEz?‚CÌS{ùÛC†yz€}L„zU£ wyzL‚}| ÌS‚$ufÛµÔLÑ | zL‚C‚CzÍEz ‡ ju™wyxCÔLÌS†y| zÍEz Ñ~u?{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚)UÌS{ ×CÑ zU£Ez ì €™SƒCSzL‚Í wy†NufƒC{ ‚ÄÍE\z !چyÌS‚Cz€W =SzL†GíÁFÍE| Cw ^aƒCzºwyÌSƒEwyz€} Ñ z€} zU£ wyzL‚}| ÌS‚ºufÛµÔLÑ | zL‚C‚Cz€}nÍEz F ×µzLƒC®SzL‚aw SUwy†yzÚÍEԀU†y| wyz€}'S8† USUCz KùÍEz€}nUÌSƒC†yÛµz€}'zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz€} ÍEzÈUzڐSzL‚C†yzÚzULw KÑ zLƒC†N}n×µÌS| ‚awN}"ÍEzÚwyÌS†N}| ÌS‚‘‡ X xC| {ùƒC†NuzUw'è©uf‚C| Óauf{[uÌS‚aw{ ÌS‚awy†yA Ô ^aƒCz"Ñ z"O{ SL{ z"SzL‚C†yz"ÍEzNxCÌa}z*{[uf†NNxuf| w/×µÌSƒC† ÍEz€}ÚzU£ wyzL‚}| ÌS‚} ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz€}wyÌfwNufÑ zL{ zL‚awÚ| {[ufS| ‚uf| †yz€}ÍEz[UÌS†y×}wyÌfwNufÑ zL{ zL‚awÁ†yÔLzLÑ~} zL‚ïƒEwy| Ñ |~}yuf‚awÍEz€}"®\uf†y| ÔUwyԀ}nufÛµÔLÑ | zL‚C‚Cz€}L‡ Ð'Cz ^aƒCzºtvuf‚C| ‚”uf×C×µzLÑ Ñ zº}ÌSƒ‚ €ÙÑ wyzL†N}rwy†NufƒC{ ‚>ìîSÌS| Æ z »   ¥ ~ íÚz€}rw ^aƒCzº}| F/Q z€}rw ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz†yÔLzLѾ„aÌS‚º×µzLƒEwnƒEwy| Ñ |~}zL†"ÍEz€ } €^aƒCÌfwy| zL‚awN"} ‚ÍEƒœwrÓ ×µz ×µÌSƒC†'Ò«uf| †yzƒC‚Cz wyxCÔLÌS†y| zïÍEz>Ñ~u?{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚2†yÔLzLÑ Ñ z>uf‚ufÑ ÌSSƒCVz K U\z ^aƒC|}zÄÒ«C/O uf| wœu­®Sz€ºÑ z€}[UÌSƒC†yÛµz€} zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz€}L‡"ð‚ï†yzL{[ufW† ^aƒC:z ^aƒCzÈÍCuf‚}UzÈLuS}L„ O z€}rwÍEzL‚}zÈÍCuf‚}"ƒC‚CzùÍE†yÌS| wyzچyÔLzLÑ Ñ z zUwÑ~u[‚CÌfwy| ÌS‚ïxufÛC| wyƒCzLÑ Ñ zùÍEz ^aƒCÌfwy| zL‚aw‚CzÈ}ƒ u w×uS}L‡*YёҫufƒEw†yzL{[ufW† ^aƒCzLc† ^aƒCzùÚufƒ}y}L„ X xC| {ùƒC†NuC „ XawNuf>† =ïzUwÛC| zL‚? Í  ufƒEwy†yz€}ÌS‚awufƒ}y}|©ÔUwyƒÍE| ÔUzùSzL‚C†yzùÍEz† SL®SzS„µ}yuf‚}Ñ zùÒÃÌS†‰ {ùƒCÑ zL†}ÌSƒ}"UzUwwyzÚÒÃÌS†y{ zS‡ ™ uf|‘NxCzL†NNxCW Ô K{ | zLƒE£ïUÌS{ ×C†yzL‚ÍE†yzÁUzÁ† SL®SzÁÍEzÈtvuf‚C| ‚‘„CzL‚ï×C†yzL‚uf‚aw"ƒC‚>×µÌS| ‚awÍEz ® ƒCCz KùÑ~u -zLÑ | S‚Cz}ƒC†*Ñ z€}*®\uf†y| ÔUwyԀ}'ÍE:z X xC| {ùƒC†Nu ^aƒC|µ×µzL†y{ zUwn×CÑ ƒ}'Ò«uSU| Ñ zL{ zL‚awnÍEz®SÌS| † UzÁÍEÌS‚awÌS‚ïuÛµz€}ÌS| ‚ïzL‚ïÍE| { zL‚}| ÌS‚>}ƒC×µÔL†y| zLƒC†yzS‡ F

F

F

d^ŽxPd^Ž.

z

{

t /  wh{{yZ‹w)

 x t ƒ  Œ»y{bw)XPX. t

4w q Ž{y

Œ

‡C¢

Í

Ý"zLauf†NÍEÌS‚}{[uf| ‚awyzL‚uf‚awnÑ zÚ×µÌS| ‚awÍEzÚ® ƒCz{ ÌEÍEƒCÑ~uf| †yzÚ}ƒC†nÑ~u{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ÄUÌS{‰ ×CÑ zU£EzS‡jw z€}×uSUz"ÍEz€}/{ ÌEÍEƒCÑ z€}ÍEz€}/UÌSƒC†yÛµz€}^zLÑ Ñ | ×Ewy|h^aƒCz€}}ƒC† C KÚ}rwy†yƒGwyƒC†yz"ÍEz"‚C| ®Sz€ufƒ | ‚ ‚C| zùz€}rwƒC‚Czù®\uf†y| ÔUwyÔùÍElz X xC| {ùƒC†NCu ^aƒCY| KœƒC‚v{ ÌEQÍ :LÑ z}ƒC† Q ìÃÑm z€}×uSUzÍEzÈ{ ÌEÍEƒCÑ z ÍEz€}"UÌSƒC†yÛµzÚzLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz€}}ƒC† Qí*‚CÌfwyÔ S = Sh(GL2 , H± ).

X | z€}rwƒC‚>×µÌS| ‚aw}׵ԀU|~ufÑUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍCuf‚aZw K[ƒC‚CzÈUÌSƒC†yÛµzÁzLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCzTK {ùƒCÑ ‰ wy| ×CxÑ |~L∈u\wyS(C) | ÌS‚>UÌS{ ×CÑ zU£EzÚ×uf†"ƒC‚>UÌS†y×}i^aƒuSÍE†Nu\wy|h^aƒCzwyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw| {[ufS| ‚uf| †yz F/Q „EÌS‚ Ñ ƒC|uS}y}ÌEU| zƒC‚CzÈ}ÌSƒ}r‰î®\uf†y| ÔUwyÔÚÍEJz X xC| {ùƒC†Nu×C†yÌ ‚C| zÁÍEKÔ ‚C| zÈ}ƒC† F

­u ®Sz€ T = Res G ‡ ð‚œuÁƒC‚CzuSGwy| ÌS‚[‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ z nat ÍEz Gal(Q/F ) }ƒC† Sh(T, {x})(Q) ÍEÌS‚C‚CÔLz×uf†'Ñ~u †yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚?ÍEz Ñm uSGwy| ÌS‚?‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ z }ƒC† S(Q) ‡[ð‚uÄufƒ}y}|^ƒC‚Cz[uSGwy| ÌS‚?‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ z ÍEz }ƒC† ‡vÐ'z[S†yÌSƒC×µz[ÔUwNuf‚awÈÑ zœS†yÌSƒC×µz[ÍEz€}ÈUÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz€} T (A )/T (Q) UÌS‚C‚CzU£Ez€}*ÍEƒœS†yÌSƒC×µSh(T, zÍEzÚU{x})(Q) Ñ~uS}y}z€}' Í  |~QÍ :LÑ z€}*ÍEz F „ ÌS‚ºuȃC‚º{ ÌS†y×CxC|~}{ zÍEz†yԀU| ×C†yÌEU| wyÔ ÍEƒ>UÌS†y×}nÍEzÈUÑ~uS}y}z Sh(T, {x}) ⊂ SF

F/Q

m

f

artin−1 : Gal(Q/F ) → T (Af )/T (Q)

zUwÍEÌS‚ƒC‚CzڂCÌSƒC®SzLÑ Ñ zÚuSGwy| ÌS‚ÄÍEzȍÚufÑ ÌS|~}n}ƒC† Sh(T, {x})(Q) ‚CÌfwyÔLz rec ì«ÍEÌS‚C‚CÔLzÚ×uf† íG‡ mÑ  | ‚ ®SzL†N}zÚÍEzÁmÑ  uSGwy| ÌS‚ artin j‘zÁwyxCÔLÌS† :L{ zÁ×C†y| ‚U| ×ufÑÍEzùÑ~u {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚vUÌS{ ×CÑ zU£EzÈ| { ×CÑ |h^aƒCz^aƒCzùUz€}ÍEzLƒE£ uSGwy| ÌS‚}"}ÌS‚aw"Ñ z€}nO{ SL{ z€}L„C|¾‡ zS‡ ð‚œ×µzLƒEw*{ ÌS‚awy†yzL† ^aƒCzUz†yԀ}ƒCÑ wNu\w€nat „aÛC| =zLˆ‚ rec. ^aƒCz® |~}ƒCzLÑ Ñ zL{ zL‚aw*Ñ ÌS| ‚ºÍEƒœ×C†yÌSÛCÑ :L{ zÍEz ’| Ñ ÛµzL†w€„‘zL‚ÍEÌS‚C‚CzÑ~uœ†yÔL×µÌS‚}z×µÌSƒC†Ñ z€}ÚUÌS†y× } ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz€}ìÃÑ~uœÒÃÌS‚Gwy| ÌS‚ zUwÚÑ z€} ÒÃÌS‚Gwy| ÌS‚}zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz€}}ÌS‚awÑ z€}"ÒÃÌS‚Gwy| ÌS‚}ÍEÌS‚awÌS‚>×C†yzL‚ÍvÍEz€}®\ufÑ zLƒC†N}}׵ԀU|~ufjÑ z€}Luf† zLÑ Ñ z€}*×µzL†y{ zUwwyzL‚awÍEzÁLufÑ~UƒCÑ zL†*Ñ z€}nUÌS†y×}nÍEzÚÍEKÔ ‚C| wy| ÌS‚ïÍEz€}nUÑ~uS}y}z€}* Í  |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ z€} ÍEzÈUÌSƒC†yÛµz€}*zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz€}"zUwÍEzÁÑ zLƒC†N}n×µÌS| ‚awN}"ÍEzÚwyÌS†N}| ÌS‚µíG‡ ;‚ĆNuf‚C }ƒC×µÔL†y| zLƒC†€„ Ñ~uÈwyxCÔLÌS†y| zÚÍEzÚÑ~u{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ÄUÌS{ ×CÑ zU£EzÁ}zÒÃÌS†y{ùƒCÑ zÚÍEzÚÑ~u { SL{ z{[uf‚C| :L†yz"zL‚œ†yzLauf†NÍCuf‚aw/Ñ z€}×µÌS| ‚awN}'}׵ԀU|~ufƒE£[ÍCuf‚}Ñ z€}z€}×uSUz€}'ÍEz{ ÌEÍEƒCÑ z€}*ÍEz O ®\uf†y| ÔUwyԀ}"ufÛµÔLÑ | zL‚C‚Cz€}n×C†y| ‚U| ×ufÑ zL{ zL‚aw"×µÌSÑ~uf†y|~}ÔLz€} −1

Sh(GSp2n , S ± ),

aƒC|}ÌS‚awÁufƒ}y}|^{ùƒC‚C|~}ÁÍEz[ÍEzLƒE£?uSGwy| ÌS‚}L„‘Ñm ƒC‚Cz ‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ zzUwÁÑm ufƒEwy†yz ÍEÌS‚C‚CÔLz ×uf†ÚÑ z UÌS†y×}ÍEz>UÑ~uS}y}zS‡Nj‘zºwyxCÔLÌS†:L{ zÄ×C†y| ‚U| ×ufÑ"ÍEzïÑ~u?{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚2UÌS{ ×CÑ zU£EzïÍEÌS‚C‚Cz Ñm ÔLaufÑ | wyÔÁÍEzÈUz€}"ÍEzLƒE£ÄuSGwy| ÌS‚}L‡ j‘z€}Á®\uf†y| ÔUwyԀ}ÈÍEˆ z X xC| {ùƒC†Nu™ì«UÌS‚C‚CzU£Ez€}N_í ‚C| z€}ù}ÌS‚awùÍEz€}ºìÃÑ | { | wyz€}È×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz€}ÁÍEz­í ^aƒCÌfwy| zL‚awN}"ÍEƒÄwrÓ ×µz ^

Γ\G(R)/K

‡C¢<° “

r 8y‹Ž21 y q

u­®Sz€ G/Q S†yÌSƒC×µz>†yԀÍEƒGwy| ÒÈUÌS‚C‚CzU£EzS„ Γ ⊂ G(Q) }ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µz>uf†y| wyxC{ ÔUwy|h^aƒCz>zUw }ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µzUÌS{ ×uSGw"{[u\£E| {[ufёÍCuf‚} ‡ K ⊂ G(R) ñ^ÌSƒC†Ñ z€}'UÌS{ ×uSGwy| zL†€„SÌS‚ †NurÌSƒEwyzÍEz€}'UÌS{ ×µÌa}yufG‚awyz€(R) }ÍEzÛµÌS†NÍC}/†Nu\wy| ÌS‚C‚CzLÑ Ñ z€}UÌS†‰ †yz€}×µÌS‚ÍCuf‚a;w K ÍEz€}"}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µz€}'×uf†NufÛµÌSÑ h| ^aƒCz€}*†Nu\wy| ÌS‚C‚CzLÑ~} P ⊂ G ‡ ð‚”×µzLƒEw[ufƒ}y}|nUÌS{ ×uSGwy| zL†ùmÑ  z€}×uSUzÄ}Ó { ÔUwy†yh| ^aƒCz G(R)/K zL‚–†Nu rÌSƒEwNuf‚awÍEz€} UÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz€}ÈÍEƒ wrÓ ×µz G(R)/P (K) NÌ [ P (K) = M (K)AN z€}rwƒC‚™×uf†NufÛµÌSÑ h| ^aƒCz †yÔLzLÑìîSÌS| f† z Á]©
 m ~ íG‡'ð‚ ®\uÁ,}  | ‚awyÔL†yz€}y}zL†/ufƒE£ùwyzLÑ Ñ z€}UÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz€0} ^aƒC|C® | zL‚C‚CzL‚aw' Í  ƒC‚ ×uf†NufÛµÌSÑ h| ^aƒCz†Nu\wy| ÌS‚C‚CzLÑ P ‡*ð‚Ä×µzLƒEw®SÌS| †"Ñ z€A} ^aƒCÌfwy| zL‚awN} ad

UÌS{ { zºÍEz€}ùÔL×uf|~}y}|~}y}zL{ zL‚awN}ÈÍEƒ”ÛµÌS†NÍ †Nu\wy| ÌS‚C‚CzLѾ„/ÍEԀU†y| ®\uf‚awUzL†wNuf| ‚Cz€}ÈÍEÔLSÔL‚CÔL†yz€}r‰ UzL‚Uz€}œ| †y†Nu\wy| ÌS‚C‚CzLÑ Ñ z€}œÍEz€}Ä}rwy†yƒGwyƒC†yz€}ºÍEz8’ÌEÍESz?×uf†Nuf{ ÔUwy†yÔLz€} ×uf†ºÑ~u”®\uf†y| ÔUwyÔ?ÍEz X xC| {ùƒC†Nu)ÍEz–ÍEÔL×uf†w€‡ ð‚ ®\u){ ÌS‚awy†yzL†™ì«}ƒC†?ÍEz€}>zU£EzL{ ×CÑ z€}NíŒ^aƒCz™Ñ z€}>zL‚}zL{ùÛCÑ z€} zUw}ƒC†wyÌSƒEw"Ñ zLƒC†N}n†yzLN® SUwyzL{ zL‚awN} Γ\G(R)/P (K) Γ\G(R)/P (K)

Sh± = Γ\G(R)/M (K)A+

zUw^Ñ zLƒC†^| ‚awyzL†y×C†yÔUwNu\wy| ÌS‚È{ ÌEÍEƒCÑ~uf| †yz*zL‚ÈwyzL†y{ z€}^Í  ufÑ N:LÛC†yz'Ñ | ‚CԀuf| †yz'ÌS‚aw^ƒC‚ù| ‚awyÔL†SUw^×µÌSƒC† Ñ~uSÔL‚CÔL†NufÑ |~}yu\wy| ÌS‚ÄÍEƒÄ† SL®SzÁÍEzÈtvuf‚C| ‚ÄzL‚ï†Nuf‚C }ƒC×µÔL†y| zLƒC†€‡ ñÑ ƒ}"×C†yԀU|~}ÔL{ zL‚aw€„EÌS‚ïÍEKÔ ‚C| †Nu ÍEz€}nzL‚}zL{ùÛCÑ z€}"ÍEz X xC| {ùƒC†Nu Sh(GSp2n , R ± )

zUwïÍEz€}º×µÌS| ‚awN}Ä}׵ԀU|~ufƒE£;ÍCuf‚}ÄUz€}ºzL‚}zL{ùÛCÑ z€}œzUwÄÌS‚;{ùƒC‚C| †Nu”Ñ z€}Ä}ÌSƒ}r‰îzL‚}zL{ùÛCÑ z€} }׵ԀU|~ufƒE£ UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍCuf‚awN}Á Í  ƒC‚CzºuSGwy| ÌS‚™ÍEzčÚufÑ ÌS|~} rec ÍEÌS‚C‚CÔLzœ×uf†ÈÑ~uÄwyxCÔLÌS†y| zœÍEƒ UÌS†y×}nÍEzÈUÑ~uS}y}zS‡ j‘z"† SL®SzÍEztvuf‚C| ‚[zL‚[†Nuf‚CÁ}ƒC×µÔL†y| zLƒC†×µzLƒEwnufÑ ÌS†N}"ìÃzL‚[×C†yzL{ | :L†yz"uf×C×C†yÌENxCz"‚" u \¾®Sz­í }z[ÒÃÌS†y{ùƒCÑ zL†ùzL‚”ÍE|~}yuf‚alw ^aMƒ  | Ñ'zU£E|~}rwyzºƒC‚CzºÛµÌS‚C‚Czœ‚CÌfwy| ÌS‚–ÍEzœ®\uf†y| ÔUwyÔºufÛµÔLÑ | zL‚C‚Czº‚CÌS‚ UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®Sz}ƒC†ƒC‚UÌS†y×}ÍEzù‚CÌS{ùÛC†yz€}L„ Kœ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚?×uf†ƒC‚UÌS†y×_} ^aƒuSÍE†Nu\‰ wyh| ^aƒCz F/E ì«u­®Sz€ E/Q ƒC‚ïUÌS†y×}*wyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw"†yÔLzLÑPí'wyzLÑ Ñ :z ^aƒCz ËS‡nÑ z€}J×µÔL†y| ÌEÍEz€}Îì !‰¾wyxCzLÌS†y| zS„€UÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS| z^UÓEUÑ h| ^aƒCzS„ ‡L‡L‡NíÚ}ÌS| zL‚aw‘Ñ z€}JÌSÛ rzUwN}‘ Í  ufÑ N :LÛC†yz Ñ | ‚CԀuf| †yzÚÍEԀU†y| wN}ÍCuf‚}"UzÁÍEÌEUƒC{ zL‚aw€„ Ï ‡nÑ z€}n{ ÌEÍEƒCÑ z€}ufÑ SÔLÛC†yh| ^aƒCz€}*}ÌS| zL‚awnÒÃÌS†wyzL{ zL‚awÑ | Ԁ}"ufƒE£º‚CÌS{ùÛC†yz€}"ÍEJz XawNuf>† =d„ ˆC‡nÑ z€}'}ÌSƒ}r‰îz€}×uSUz€}/}׵ԀU|~ufƒE£[}ÌS| zL‚aw‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ zL{ zL‚aw'{ùƒC‚C|~}' Í  ƒC‚CzuSGwy| ÌS‚œÍEzÚu\‰ Ñ ÌS|~} „ zU_w ^aMƒ  ÌS‚ïufnat | wzL‚Ä×CÑ ƒ} ð‚×µzLƒEwuf×C×µzLÑ zL†Uzn† SL®Sz'zL‚†Nuf‚CÚ}ƒC×µrecÔL†y| =zLƒCnat. †^Ñ zn† SL®SznÍEzn{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌSl‚ ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz Luf†‘Ñ z€}UÌS†y×4} ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz€}dÓÁuf×C×uf†Nu ]Ã}y}yuf‚awd‚Cz*}ÌS‚aw‘×uS}‘‚CԀUz€}y}yuf| †yzL{ zL‚awJwyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw | {[ufS| ‚uf| †yz€}*‚C|JwyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw"†yÔLzLÑ~}L‡ …*| zL‰ ‚ ^aƒCzœUz[† SL®Sz[}ÌS| wÈ×CƒC†yzœ}׵ԀUƒCÑ~u\wy| ÌS‚‘„| Ñ×µÌa}Cz ^aƒCzLhÑ ^aƒCz€J} ^aƒCz€}rwy| ÌS‚}Ú×C†yÔLÑ | { | ‰ ‚uf| †yz€}L.„ ^aƒC|JÌS‚aw"ƒC‚ï| ‚awyÔL† SUw| ‚ÍEÔL×µzL‚ÍCuf‚awzUwÍEÌS‚aw®SÌS|~UM| ^aƒCzLhÑ ^aƒCz€}nzU£EzL{ ×CÑ z€,} F

d^ŽxPd^Ž.

t /  wh{{yZ‹w)

 x t ƒ  Œ»y{bw)XPX. t

4w q Ž{y

‡C¢<µ

Œ

'}rw‰î| Ñ*×µÌa}y}| ÛCÑ zÄÍEzÄÍEÌS‚C‚CzL†ùƒC‚CzïÍEÔK‚C| wy| ÌS‚–uSÍEÔLÑ |h^aƒCzÄÍEz€}ȂCÌS{ùÛC†yz€}ùÍEzŒXawNuf†>= ×µÌSƒC†"Ñ z€}"UÌS†y×}A^aƒuSÍE†Nu\wy|h^aƒCz€}*†yÔLzLÑ~}WB ;'}rw‰YUz8^aƒCzvÑ z€}ìÐSÔL‚CÔL†Nu\wyzLƒC†N}[ÍEz€}Níœ}ÌSƒ}r‰YLu\wyÔLSÌS†y| z€} }rwNufÛCÑ z€}œ×uf†ºzU£ wyzL‚}| ÌS‚} ÍEz€}ÈLu\wyÔLSÌS†y| z€}ÁÍEÔL†y| ®SÔLz€}ÁÍEz[Ò«uf|~}yUz€ufƒE£UÌSxCÔL†yzL‚awN}Á}ƒC†ÈƒC‚CzºUÌSƒC†yÛµz[zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz ÍEKÔ ‚C| z"}ƒC† ìÃÌSÛEwyzL‚ ƒCz€}©zL‚ SÔL‚CÔL†NufÑ |~}yuf‚aw©Ñ ÔLN :L†yzL{ zL‚aw^Ñ~uÚUÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚ÍEznñ^ÌSÑ ‰ |~}xNx .ƒ =P<XENQx  uf†y‡é z Ê ¦ †Wb‚ ~ íÍEÌS‚C‚CÔLz€}"×uf†"‚CÌa}uf‚ufÑ ÌSSƒCz€}n†yÔLzLÑ~}ÍEzù}rwy†yƒGwyƒC†yz€} UÌS{ ×CÑ zU£Ez€}}ÌS‚awÍEKÔ ‚C| z€}}ƒC†Ñ zùUÌS†y×}ÍEzùUÑ~uS}y}zùÍEƒ?UÌS†y×}ÍEzù{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ †yÔLzLÑ Ñ Çz B ; Ÿ Ÿ

›^n €  ½l½$  † N¡S¦Ÿ½^[§l v¡ †  C€ ¿ až   EŸ\ª>±až±  §l  § ¾©ª>¡¨Ÿ\  ›^n>mbnÜ ¦Ÿ½^[§l >¡ †  C€  n ð‚Ä‚CÌfwyz Zˆ = Q Z „ A ∼ Zˆ ⊗ Q zUw A = R × A

| X

z

{

€z }rw"ƒC‚>UÌS†y×}"ÍEzڂCÌS{ùÛC†yz€}L„EÌS‚Ä‚CÌfwyz A ==A ⊗ F/Q X | z€}rwƒC‚ïS†yÌSƒC×µzwyÌS×µÌSÑ ÌSS|h^aƒCzÁUÌS{ {ùƒEwNu\wy| Òr„EÌS‚ï‚CÌfwyz C p

f

f,F

f

Z

Q

zUw F

‡ F

f

AF = A ⊗ Q

(1)

‡

π0 (C) := lim C/K

ÌN[[Ñ~uÈÑ | { | wyz×C†yÌrz€Gwy| ®Sz"z€}rw*×C†y|~}z}ƒC†'Ñ z€}*}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µz€} K ⊂ C ÒÃzL†y{ Ԁ}'Í  | ‚ÍE|~Uzc‚C| ‡ X ÌS| w ‡ juœwyxCÔLÌS†y| z ÍEƒ UÌS†y×}ÍEz[UÑ~uS}y}zù‚CÌSƒ}ÚÍE| wJ^aƒM | Ñ/zU£E|~}rwyz  ƒC‚ï{ ÌS†y×CCxC|~}{ :=zÚA‚u\wy/F ƒC†yzLÑ ←

(2)

× F

F

× (3)

ab

/F ), aƒC|^| ‚ÍEƒC| wÁƒC‚?|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ artin z artin: C: π→(CGal(F zUw ^aƒCzùUzÈ{ ÌS†y×CxC|~}{ zÈ×µzL†y{ zUwÚÍEzùÍEԀU†y| †yzÁwyÌS)ƒEwy→z€}πÑ z€}(Gal(F zU£ wyzL‚}| ÌS/F‚}))ufÛµ=ÔLÑ | Gal(F zL‚C‚Cz€}ÍEz /FF)‡ ð‚Ä‚CÌfwyz rec : Gal(F /F ) → π (C ) }ÌS‚Ä| ‚ ®SzL†N}zS‡ X ÌS| w Ñ z*S†yÌSƒC×µz F ® ƒUÌS{ { z*S†yÌSƒC×µznufÑ SÔLÛC†yh| ^aƒCz*}ƒC† Q ‡^ÙÑ ÌS†N} G ÌS‚ùu C T==TRes U z w z€}rw©ƒC‚ùS†yÌSƒC×µz×C†yÌ ‚CZ| ^aƒC|a×µzLƒEw/,}  ԀU†y| †yz (Q)\T (A) π (T (Q)\T (A)) UÌS{ { z F

^

0

ab

F/Q

F

0

m

F

ab

0

ab

F ×

0

lim K T (Q)\T (A)/T (R)+ × K

ÌN[ K ×uf†NUÌSƒC†w/Ñ z€}'}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µz€}^UÌS{ ×uSGwN}/ÌSƒC®SzL†wN}/ÍEz | ÔUwyԀ}ÍEzJX xC| {ùƒC†NuC„^z    †¯® |G~ íG‡ ←

V aV

T (Af )

ìt}/ÌS| †%-zLÑ | S‚CzS„»}uf†‰

e ] \ la \ l] _CZfZ +\ a >e V _ [_ V W_ \ a ] _ V e _ ÃV (a ´\ s]a V _ a a

\ ca V V _ V Z V $\ a _ _C\ _ G] >_ V
] _CZ _ ¯a g] _ g ] \ a V_

\ >_ ]a g] _CZ (a] _ a\ Z W] _ !V \ ] _CZ (a] ] a V _ V >_ V ] _CZ (a] a _ _C\ _ _ V (a ^\ a _ _C\ _ a e \ V V ^\ _ V a e e ad ] a e e ` >Zfe _ ]D\ a _ _C\ _ V (a ]a G → A (a] $ad (a ^` >Zfe

ÍmÍ Ê ¿ ŽÌ Ê Ìξ ¾ŽÍ W¿^ ¾ŽÍ A¾ %Ì ÇÉÇÊ É ¿Ç¾ŽÍ Q Q É Ã¾ 'Ï A := R × Qp × × p∈S Z } ÉÇÊ ÀîZ¾ŽÍ 'Ë ¾ŽÌ Ï Íe¿Ç¾ Í ÉKÏ ¾ŽÍ À / p Q Ë ¾ S 'Ë ¾ŽÌ Ï ¿Ç¾ p∈S Q S AS U × p∈S Z U R × Q p p z¾ ÏÎÏ ¾¿ S} ÉÇÊ ÏmÊ É ÇÉ Ã¾ Ï Ìο ¾ Í â Ê ¿Ç¾ ÉKÏmÊ }¾_¿ /É Í ¾ WÍ_y #â É Ìξ Ó WÌοǾ ¿ â WÃÇÌ5p∈S ^ŽÍJ…e¾ Ê ÓÉ ¾ (2) Aà Í ÉKÏ ¾ŽÍ WÍmÍm¾ŽÍ ÇÉÇÊ ¿Ç¾ Ï à ÓÊ ¾y ÏmÊ ¾ ÉKÏ À ƒÉ ¾ å ¾ Ï Â Ž¾ Ó Ì Ã¾i¿Ç¾ ÉÇÉ ¾£¶'¾ŽÍw¿Ç¾ŽÍ π ¿ 0â Ê  ¿ ^ ¾ŽÍ0¾ŽÍ Ï ÃÇÌ R} ÉÇÊ WÌ AÃ Ï ¾ Ï0Ï Ï ¾ A¾ ÉKÏ ¿ Ê Í ÉKÏmÊ É À « ¾ŽÍ Ï AÃ Ï WÌEy ÏmÊ ¾ ÉKÏ ¿ â ÇÉ AÃ Ï  Ó Ì Ã¾ 1 × î Ï à ÓÊ ¾ Ê É π¿ 0Ç(IÊ Ï ¾/Q à WÌ ) Ï à ÓÊ ¾ W¿ Ê y ¾Í Ì ¾ŽÍ Ã Ê ÉKÏ ÍM¿ â ÇÉ ¾ Ë WÌ Ê Ï É ¾¾ŽÍ Ï { ÉÇÉ ¾ (3) Í Ê Ž¾ ÏÎÏ ¾ Ë WÌ Ê Ï e¾ŽÍ Ï ¾ŽÌ Ž¾À 0 É ÃÇÌξ É ¿c¿ É Ï à ÓÊ ¾ Ê É ¿ ÇÊ Ï ¾4à WÌ × A 7→ A × A, x 7→ (x, x−1 ) WÌ ° ¾ŽÍmà Ž¾ É ¾>Á É#â ¾ŽÍ Ï Ã WÍ ¾ŽÌ Ž¾À 1

0

a Ë ¾ ]

(1)

m,Q

Q

‡ ¸ ˆ “

r 8y‹Ž21 y q

‚ÄwyxCÔLÌS†:L{ zÁÍEzùÐ'xCzL®\ufÑ zUw‚CÌSƒ}"ÍE| w_^aƒCz @

lim T (Q)\T (Af )/K ∼ = T (Q)\T (Af ).

ƒC×C×µÌa}ÌS‚}J^aƒCz z€}rwùƒC‚CzºzU£ wyzL‚}| ÌS‚‰^aƒuSÍE†Nu\wy|h^aƒCzœÍEz ‡ƒX | z€}rwùƒC‚–UÌS†y×} wyÌfwNufÑ zL{ zL‚awÁ| {[ufS| ‚ufF| †yzS„ T (R) = T (R) = C zUwùÍEz ×CÑ ƒ} QT (Q) Fz€}rwÚÒÃzL†y{ Ô[ÍCuf‚} Í  NÌ [ïÌS‚ïÍEԀÍEƒC| w

T (A ) ←

X

+

×

f

π0 (T (Q)\T (A)) = T (Q)\T (Af ).

| z€}rwƒC‚CznzU£ wyzL‚}| ÌS‚l^aƒuSÍE†Nu\wy|h^aƒCz*†yÔLzLÑ Ñ zS„fÑ~uÚUÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz T (R)/T (R) €z }rw |~}ÌS{ ÌSF/Q †y×CxCz?K (Z/2Z) zUw"| ё‚CzÚÒ«ufƒEw×uS}nÑm ÌSƒCÛCÑ | zL†€‡ jw z€}×uSUz[wyÌS×µÌSÑ ÌSS|h^aƒCzœ‚u\wyƒC†yzLÑnÍCuf‚}ùÑ z'^aƒCzLÑnÌS‚”×µzLƒ–×CÑ ÌS‚CSzL† €z }rw T (R)/T (R) Ñm z€}×uSUz X

+

2

+

±

+

ÍEz€}nSÔLÌEÍEԀ}|h^aƒCz€}nÌS†y| zL‚awyÔLz€}n}ƒCR†"Ñ zÁ:= ÍEzL{ GL| ‰î×CÑ~(R)/T uf‚>ÍEzÚ(R) ×µÌS| ‚Luf†yÔS‡ R CM FPXBEDyZÚz€}rw/ƒC‚ UÌSƒC×CÑ z X) ›^n2›^n „  EŸ\>ª ±až ±[l§   § ¾©>ª ¡¨Ÿ\  n @‚Cz'ødDyÆUWÉS¼\OOdÆNRÉSA u­®Sz€ G ƒC‚>S†yÌSƒC×µzÈufÑ SÔLÛC†yh| ^aƒCzچyԀÍEƒGwy| Ò}ƒC† Q zUw X ƒC‚ G(R)‰îz€}×uSUzÚwyÌS×µÌSÑ (G, ÌSS|h^aƒCz ìÃÌSƒïÑ |~}y}z­í KaufƒNxCzS‡ X | z€}rw"ƒC‚CzÁ×C†yÔU‰YÍEÌS‚C‚CÔLzÚÍEJz X xC| {ùƒC†NuzUw z€}rw"ƒC‚>}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µz UÌS{ ×(G, uSGw"X) ÌSƒC®SzL†w€„EÌS‚Ä×µzLƒEwÑ ƒC|uS}y}ÌEU| zL†nmÑ PRGI¾øZSKNRÉSJR KC⊂M FPXG(A BEDycZ ) OF 2

f

ShK (G, X) := G(Q)\X × G(Af )/K.

ð‚ïuf×C×µzLÑ Ñ zºRGI¾øZSKNRÉSRJCM FPXBEDyZ Ñ~uÑ | { | wyzÁ×C†yÌrz€Gwy| ®SzÚzL‚}zL{ùÛCÑ |~}rwyz Sh(G, X) := lim K ShK (G, X).

ÌS| w S := Res G ‡|@‚CzÄÍEÌS‚C‚CÔLzÄÍEz\X xC| {ùƒC†Nu>z€}rwƒC‚2UÌSƒC×CÑ z (G, X) u­®Sz€ y † ԀÍEƒGwy| ҏUÌS‚C‚CzU£Ezº}ƒC† zUw ƒC‚Cz ‰YUÑ~uS}y}zÄÍEzÄUÌS‚rƒCauf| ‰ G }ÌS‚;®SÔL†y| µuf‚awˆ^aƒCzLÑh^aƒCz€}Äu\Q£E| ÌS{ z€X}[ÒÃ⊂ÌS‚ÍCHom(S, uf{ zL‚awNufGƒE£ )}ƒC×C×CÑ ÔLG(R) { zL‚awNuf| †yz€}?ìîSÌS| †Œ-zLÑ | S‚Cz z    †¯® |G~ í ^aƒC|'| { ×CÑ h| ^aƒCzL‚awȂCÌfwNuf{ { zL‚a w ^aƒCz z€}rwȃC‚Czœ®\uf†y| ÔUwyÔ[ufÑ SÔLÛC†y|h^aƒCz ^aƒuS}| ‰î×C†y Ì rz€Gwy| ®SzìPwyxCÔLÌS† :L{ z>ÍEz>…nuf| Ñ Ñ Óa‰Y…*ÌS†yzLSh(G, ÑPí ^aƒC|X)uSÍE{ zUwœƒC‚2{ ÌEÍQ:LÑ zvLuf‚CÌS‚C|h^aƒCz }ƒC†*ƒC‚ïUÌS†y×}*ÍEz‚CÌS{ùÛC†yz€}ì«è†Nu­®\ufƒE£[ÍE:z X xC| {ùƒC†NuC„ -zLÑ | S‚CzS„Et>| Ñ ‚CzS„ X xC|PíG‡*Ð'z€}nÍEzLƒE£ wyxCÔLÌS† :L{ z€} u?zLƒE£2}zLƒCÑ~}{ ÌS‚awy†yzL‚awwyÌSƒEwyzïÑ~u?×CƒC|~}y}yuf‚UzïÍEz€}[u\£E| ÌS{ z€}ÍEzïÛuS}zïÍEz€} ®\uf†y| ÔUwyԀ}"ÍEJz X xC| {ùƒC†NuC‡ ñ/uf†ºzU£EzL{ ×CÑ zS„}| z€}rwÄÑ z?{ ÌS†y×CxC|~}{ zÍEÌS‚C‚CÔ?}ƒC†ÄÑ z€}º×µÌS| ‚awN} †yÔLzLÑ~}×uf† z = a + ibh7→ : S →
GL zUw H z€}rwÈÑ~uïUÑ~uS}y}z ÍEz GL (R)‰YUÌS‚ rƒCauf|~}ÌS‚ÍEz ufÑ ÌS†N} (GL , H ) z€}rwÑ~uºÍEÌS‚C‚CÔLzÍEz X xC| {ùƒC†Nu[{ ÌEÍEƒCÑ~uf| †yzÍEÌS‚awÌS‚?uœ×uf†yÑ ÔùÍCuf‚} h mÑ  | ‚awy†yÌEÍEƒGwy| ÌS‚‘‡ „ÌSƒ}ufÑ Ñ ÌS‚}^{[uf| ‚awyzL‚uf‚aw‚CÌSƒ}/| ‚awyÔL†yz€}y}zL_ † KÁÍEz€}×C†yÔU‰YÍEÌS‚C‚CÔLz€}/ÍE_z X xC| {ùƒC†N:u ^aƒC|‚Cz ®SÔL†y| zL‚aw"×uS}nÑ z€}"u\£E| ÌS{ z€}nÍEzÈÍEÌS‚C‚CÔLz€}"ÍEz X xC| {ùƒC†NuC‡ ←

X

C/R

m

R

0

0

2

±

a b −b a

2,R ±

2

d^ŽxPd^Ž.

z

{

t /  wh{{yZ‹w)

 x t ƒ  Œ»y{bw)XPX. t

4w q Ž{y

Œ

‡ ¸ ‡

‚ n Ä"± ¦‘§l± €ª}XJ¨l  ¦Ÿ\ª>  ¥ ž±G  ° až[¡S¦Ÿ½^9XJ¨© C§Ÿ\ Ež€ª}XJ¨l  [Ÿ(±G  † 

Ýuf×C×µzLÑ ÌS‚}^×uf†ƒC‚wNufÛCÑ z€ufƒ ƒC‚Czuf‚ufÑ ÌSS| znzL‚awy†yznÑ~uÁUÌSƒC†yÛµz"{ ÌEÍEƒCÑ~uf| †yznzUw'Ñm z€}×uSUz ÍEz€}nSÔLÌEÍEԀ}|h^aƒCz€}"}ƒC†"|~:LÑ zS„Ez€}y}zL‚awy| zLÑ Ñ zL{ zL‚awÍEƒCz`K[Úufƒ}y}L‡ £ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜ – n X ÌS| w M ƒC‚ Z‰î{ ÌEÍEƒCÑ z*Ñ | ÛC†yz*ÍEz*†Nuf‚C 2 „­×µÌSƒC†^Ñ z'^aƒCzLÑaÌS‚ù‚Cz*NxCÌS|~}| w ×uSO} K?×C†y| ÌS†y|nÍEzÄÛuS}zS– ‡ @‚Cz?IG½¾DGBKU½¾BEDyRïKN¼\XødT >R + Rv}ƒC† M z€}rw ƒC‚CzïÍEԀUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ E Í z zL‚ÍEzLƒE£?}ÌSƒ}r‰îz€}×uSUz€}UÌS{ ×CÑ zU£Ez€}UÌS‚ rƒCSƒCԀ}L:‡ @‚–T FPT Z­I[}ƒC† M = F ⊕ F¯ M € z r } Ú w ~ Ñ º u E Í S Ì C ‚ C ‚ L Ô

z Í

 ƒC‚Cz ÍEԀUÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ ÍEz zL‚}ÌS{ { zÍE| †yz€Gwyz M ÍEzÍEzLƒE£vÍE†yÌS| wyz€}zUwÚ Í  ÌS†y| zL‚awNu\wy| ÌS‚}}ƒC†ÚUz€M}ÍEzL=ƒE£?FÍE⊕†yÌS| Fwy˜z€}ÍEÌSM‚C‚CÔLz€}×uf†Ñ zNxCÌS| £vÍEz ÍEzLƒE£ïÍEzL{ | ‰YÍE†yÌS| wyz€} F zUw F˜ }ƒC†Uz€}ÍEzL†y‚C| :L†yz€}L‡ jw uf‚ufÑ ÌSS| i z ^aƒC|C‚CÌSƒ}/| ‚awyÔL†yz€}y}z"}znÒ«uf| w'zL‚awy†yz"Ñ z€}/z€}×uSUz€}/ÍEz"{ ÌEÍEƒCÑ z€}ÍEzUz€}ÍEzLƒE£ wrÓ ×µz€}È Í  ÌSÛ rzUwN}È Í  ufÑ N :LÛC†yzÑ | ‚CԀuf| †yzSC‡ ;Ñ Ñ zœUÌS{ ×µÌS†wyz wy†yÌS|~}Ú®SÌSÑ zUwN,} FºZ\T dÅ c€ãUDyRœT FPOdÆNZ\FPDyRU„ ÅaÆN¼\X[ÆU½¾DGF«RZ\OdZ\T \½¾F
BRÈzUwÅaÆN¼\X[ÆU½¾DGF«R Z\T ÅaƀãUDGF
BRU‡ C

C

R

+

R

+

e
f g=hijlk_f m nop=m jlk 5ž |}u~5|8~ ¢){ux r |ž3yqž twv8x žŸ v ~ s5z {ux z Ÿ ¡u€t2 ¡£¢)v88z Ÿ t ž}Ÿ {ux }u‚5ƒ ¢ ž}Ÿ

Ÿ q ¢)r8M s q rUC¢ =ž}Ÿ Fs}¡u⊕twv8F¯x ž3yqž}Ÿ M = Z[

ž3q

xzx{ Ÿ

˜ ˜+ ⊂ F ˜ MR = F ⊕ F F + ⊂ F, F √ M = Z[ 2] √ Z[ 2] ⊗Z R ∼ = R ι1 × R ι2 ,

√ −2]

√ Z[ −2] ⊗Z C ∼ = C ι1 × C ι2

alg

+ R+ ι , Rι

alg

1

2

-uf‚}Ñ~uÍEzL†y‚C| :L†yzÑ | S‚Cz*ÍEƒÈwNufÛCÑ z€ufƒ‘„ zUw }ÌS‚aw©Ñ z€}©ÍEzLƒE£Á×CÑ ÌS‚CSzL{ zL‚awN}©ÍEz'mÑ  ufÑ N :LÛC†yz UÌS‚}|~ÍEÔL†yÔLzS„^UÌS{ ×CÑ zU£Ez€}È×µÌSƒC†Ñ~uvUÌSÑιÌS‚C‚Czºι ÍEzºaufƒNxCzœzUw†yÔLzLÑ~}È×µÌSƒC†ùÑ~u?UÌSÑ ÌS‚C‚CzºÍEz ÍE†yÌS| wyzS4‡ jw ÌS†y| zL‚awNu\wy| ÌS‚Á}ƒC†‘Ñ z€}‘ÍE†yÌS| wyz€}J†yÔLzLÑ Ñ z€}Jz€}rw‘ÌSÛEwyzL‚ ƒCzzL‚Á×C†yzL‚uf‚aw‘Ñ~u"UÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz UÌS‚C‚CzU£EzÁÍEzÁmÑ  |~ÍEzL‚awy| wyÔÈÍCuf‚}nÑ zڐS†yÌSƒC×µzÁÍEz€}n| ‚ ®SzL†N}| ÛCÑ z€} R ‡ £ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜W¨ n @‚ X[¼\D¾øM F~IGX[RùzL‚awy†yzÁÍEzLƒE£Ä}rwy†yƒGwyƒC†yz€}"UÌS{ ×CÑ zU£Ez€}ÁìÆyz€}ב‡/Ñ | Ñ~uS}Ní z€}rwÑ~uœÍEÌS‚C‚CÔLzù Í  ƒC‚v{ ÌS†y×CxC|~}{ z f : M → M zL‚awy†yzÈÑ z€}†yԀ}z€ufƒE£ï}ÌSƒ}r‰ uSUzL‚awN}*wyzLÑ ìÆyz€}ב‡ f (F ) ⊂ F zUw f (F˜ ) ⊂ F˜ íG‡ ^aƒCz f (F ) ⊂ F £ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜² n @‚CzÚIG½¾DGBKU½¾BEDyRÉSROFPÀ\RNZ\B }ƒC†/ƒC‚Cz}rwy†yƒGwyƒC†yz"UÌS{ ×CÑ zU£EzÈìÆyz€}ב‡ ƒC‚ÈÑ | Ñ~uS}NíJÍEz'†yԀ}z€ufƒÈ}ÌSƒ}r‰ uSUzL‚aw M z€}rw©ƒC‚È|~}ÌS{ NÌS†y×CxC|~}{ z M ⊗ Z/N Z → (Z/N Z) ‡ „ÌSƒ}'‚CÌSƒ}'| ‚awyÔL†yz€}y}ÌS‚}{[uf| ‚awyzL‚uf‚aZ w KÈÑ~uȐSÔLÌS{ ÔUwy†y| zÍEz€}'z€}×uSUz€}*ÍEz{ ÌEÍEƒCÑ z€}nÍEz Uz€}nÌSÛ rz€GwN}" Í  ufÑ N :LÛC†yzÚÑ | ‚CԀuf| †yzS‡ 1

2

∗

C

1

2

R

+ 1

1 + 2

2

R

+ 1

+ 2

i

Z

2

‡

¸p “

r 8y‹Ž21 y q

„
o…†oˆ‡ljm kYpnp=f ‰‡m Š,‹k € ž}Ÿ v8{u€ s ž ž t2¡ r8x ž}Ÿ }u~  ¡ut ~3q ¢)z Œ€ r ž t ž5|ˆq q ¡urU¢Qt2¡ r8x {uz ¢ ž q ¡ur ŸQ| z ‘ ž {ur y8’

GL2

s5x { Ÿ›Ÿ z Œr ž (Z)\GL (R)/C 2

×

| {utwz Œr ž

GL2 (Z)\GL2 (R)/(R+× )2

X = PGL2 (Z)\H lim Γ(N )\GL2 (R)/C×

€ {

€

}u~ ¡ }~ Ÿ z Œr }ž ŸŸ Ur ¢Ž

}

lim Γ(N )\GL2 (R)/(R+× )2

‘z€}S†yÌSƒC×µz€} ) UÌS‚}|~ÍEÔL†yԀ}ÍCuf‚}Ñ~uœÑ | { | wyz×C†yÌrz€Gwy| ®Sz}ÌS‚awÑ z€}ƒ}ƒCzLÑ~}S†yÌSƒC×µz€} ÍEzÈUÌS‚CS†yƒCzL‚UΓ(N zÚÍEzڂC| ®Sz€ufƒ N „ÍEÌS‚C‚CԀ}n×uf†"Ñ~u }ƒC| wyzÁzU£CuSGwyz j

←

←

1 → Γ(N ) → GL2 (Z) → GL2 (Z/N Z) → 1.

'Ð zUwuS}×µz€GwȐSÔLÌS{ ÔUwy†y|h^aƒCz z€}rwUzLÑ ƒC|%^aƒC|*}zL{ùÛCÑ z[ÛC| zL‚”UÌS‚C‚ ƒ ×uf†ùÚufƒ}y}L‡ˆ@‚CzºÍEz€} {[uf‚C| :L†yz€}Í  ufÛµÌS†NÍEzL†Ñ~u_^aƒCz€}rwy| ÌS‚ÈÍEz'{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ù†yÔLzLÑ Ñ z'ÍEz*tvuf‚C| ‚Èz€}rw^ÍEz*NxCzL†NNxCzL† K†yzL{ ×CÑ | †"Ñ zÚwNufÛCÑ z€ufƒKùwy†yÌSƒ}"}ƒC| ®\uf‚aw€‡ „
o…†oˆ‡ljm kp=f g=oijm Š,‹k Ÿ q ¢)r8s q rU¢ ž}Ÿ x z |8~ {uz ¢ ž}Ÿ ¢ ~ {ux z Ÿ { q z ¡ |}u~ ¡ut ~3q ¢)z Œr ž v8{£¢ ž3yqž twv8x ž

s5x { Ÿ›Ÿ z Œr ž

¯ MC = F ⊕ F ¯ ⊂ P2 (C) E = M \MC /F √ E = C/Z[ −2] ⊂ P2 (C)

Œr8{ |ˆFq z Œr ⊂ž F, F˜ ž3q ?

˜ MR = F ⊕ F

+

+

˜ ⊂F

√ ? ∼ R/Z[ 2]

ð‚È®\u{[uf| ‚awyzL‚uf‚aw©zU£E×CÑ |h^aƒCzL†×CÑ ƒ}©zL‚ùÍEÔUwNuf| Ñ~}Ñ~uÍEzLƒE£E| :L{ z*UÌSÑ ÌS‚C‚Cz'ÍEz*‚CÌa}JwNufÛCÑ z€ufƒE£ Z\T dÅ c€ãUDyRùT FPOdÆNZ\FPDyRÈzUwÅaÆN¼\X[ÆU½¾DGF«RZ\OdZ\T \½¾F
BRÈzL‚ïauf†NÍCuf‚aw"UzUwwyzÁuf‚ufÑ ÌSS| zzL‚Äw SUwyzS‡ X ÌS| w Ñ z>{ ÌS†y×CxC|~}{ z>ÍEÌS‚C‚CÔ>×uf† (x, y) 7→ diag(x, y) zUw h : G → GL y } u ‰YUÑ~uS}y}zÍEzUÌS‚ rƒCauf|~}ÌS‚‘‡ j‘z}rwNufÛC| Ñ |~}yu\wyzLƒC†ÚÍEz R ⊂ Hom(G , GL ) GL (R) € z r } " w Ñ Ú z y w S Ì y † Á z E Í ~ | f u S  S Ì  ‚ f u Ñ E Í z ÍEÌS‚ h T (R) GL (R) 1

2 m,R 2 m,R

2,R

2,R

2

1

2

R∼ = GL2 (R)/T (R).

j‘z€}"×µÌS| ‚awN}ÍEz UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚aw"ufƒE£>UÌSƒC×CÑ z€}ÍEzÈÍEzLƒE£>ÍE†yÌS| wyz€}"×C†yÌS×C†yz€}n×µÌSƒC† Uz w y ‡œð‚?×µzLƒEwÈÑ z€R}ÁÍEz€}y}| ‚CzL†ÁUÌS{ { z ÍEz€}Ú×µÌS| ‚awN}Á}ƒC†ÚÑ z ÛµÌS†NÍ P (R) ÍEƒ ÍE|~}>^aƒCz[ÍExz ×µÌS| ‚Luf†yÔS‡'ð‚Ä{ùƒC‚C| w{[uf| ‚awyzL‚uf‚awUz€}n×µÌS| ‚awN}Í  ƒC‚>}zL‚}Áì«uf†y†y| ®SÔLzÌSƒïÍEÔL×uf†wGíG‡ X ÌS| w mÑ  z€}×uSUz ÍEz€}UÌSƒC×CÑ z€} u­®Sz€ h ∈ R zUw c ∈ π (im(h(R))) ‡ ð‚u (h, c) ufÑ ÌS†N} R 1

±

zUwÑm uSGwy| ÌS‚ïÍEz

0

R± ∼ = (Z/2Z)2 × R

£ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜¤ n

T Z\FPDyRU‡

× uf†UÌS‚rƒCauf|~}ÌS‚ÄufS| w}zLƒCÑ zL{ zL‚aw}ƒC†"Ñ zÈÍEzLƒE£E| :L{ zÚÒ«uSGwyzLƒC†€‡ j‘z[UÌSƒC×CÑ z z€}rwùuf×C×µzLÑ Ô Ñ~u”ÉS¼\OOdÆNRºÉSRœDGFPÀ\ZLÅaRºX[¼€É\BEW (GL , R )

GL2 (R)

2

±

d^ŽxPd^Ž.

z

{

t /  wh{{yZ‹w)

 x t ƒ  Œ»y{bw)XPX. t

4w q Ž{y ‡

Œ

¸!

„^ÌS‚™uf×C×µzLÑ Ñ zvX[Z\BEÀ\Z\F~I ÅfDy¼\B€øRïÉSRCG>BEXn¿U¼\DyÉ\W€HZ\½YR X | ÉSR h Ñ z ×CÑ ƒ}Ú×µzUwy| wù}ÌSƒh}r‰ ∈Q‰îRS†yÌSƒC×µzùufÑ SÔLÛC†y|h^aƒCz BMT(h) ⊂ GL UÌS‚awyzL‚uf‚awÁ}ƒC† R Ñm | {[ufSzÍEz h ‡@‚œ×µÌS| ‚aw h ∈ R z€}rw*ÍE| wI¾øÆNKUF«Z\T‘}| BMT(h) z€}rw'ƒC‚ wyÌS†yz‚CÌS‚œ}yU| ‚ÍEÔS‡ ð‚œ{ ÌS‚awy†yzÒ«uSU| Ñ zL{ zL‚awi^aƒCzÚ}| z€}rw"}׵ԀU|~ufѾ„ ×µzLƒEw}, ԀU†y| †yz Res G u­®Sz€ E/Q ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCzwyÌfwNufÑ zL{ zLh‚aw†yÔLzLÑ ‡ BMT(h) ð‚ ×µzLƒEwïuf| ‚}|UÌS{ ×CÑ ÔUwyzL†œ‚CÌfwy†yz?uf‚ufÑ ÌSS| zï×uf†ºƒC‚ wNufÛCÑ z€ufƒ)| ‚awy| wyƒCÑ Ô”IG½¾DGBKU½¾BEDyR I¾øÆNKUF«Z\T RGI ^aƒC|ÍEÌS‚C‚CzÚÑ z€}n|~ÍEÔLz€}UÑ zUÒ«}"ÍEzÁÑ~lu ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ïÍEzÁ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ï†yÔLzLÑ Ñ zS‡ £ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥³²4˜Æ n

(4)

2

m

E/Q

(5)

“=‡lju‹”u‡u‹jlk•
•l–o”m p=f k• Ÿ q ¢)r8s q rU¢ ž}Ÿ x z |8~ {uz ¢ ž}Ÿ v8{£¢ ž3yqž twv8x ž }u~ ¡ut ~3q ¢)z ž {u€ x }u~5ƒ ¢)z Œr ž Ÿ q ¢)r8€ s q rU¢ ž}Ÿ ž| z ‘ ž {ur t2¡ r8x ž}Ÿ {ux }u~5ƒ ¢)z Œr ž}Ÿ

tr8x q z v8Mx z s5{ =q z ¡ F| ⊕s}¡uFtw¯ v8x ž3yqž ¯) ⊗ Q End(M, F, F € √ q ž Œr8{ ¢)M{ z =Œr Z[ z tw−2] { } z | {uz ¢ ž — s}¡urU¢ ƒFž}Ÿž x x z v q z Œr ž}Ÿ tr8x q z v8x z s5€ { € q z ¡ | s}¡utwv8x ž3yqž vF¡uz |ˆq‚Ÿ žPq ¡£¢ Ÿ z ¡ | ‘u{ux ž rU¢ Ÿ žM˜ ¡ | s q z ¡ | j ž3qQ˜ ¡ | s q z ¡ |UŸž x x z v q z Œr ž}Ÿ C

Z

tr8x q z v8x z s5{ q z ¡ | ¢ ~}ž x x ž € ž3q Œr8{M ¢)={ q z Z[Œr √ž 2]¢ ~}ž x

˜ ˜+ ⊂ F MR = F ⊕ F F + ⊂ F, F ˜ ) ⊗Z Q End(M, F, F

?

€ | ¡ut ƒ ¢ ž}Ÿ ž Ÿ q {£¢)™ ?

?∼

ð ‚ï×µzLƒEwÍEz€}y}| ‚CzL†}ƒC†"Ñ zÈÍE|~}>^aƒCzÈÍEzÁñ^ÌS| ‚Luf†yÔÚÑ~u SÔLÌEÍEԀ}|h^aƒCzÑ |~uf‚aw z€}rwƒC‚CzڐSÔLÌEÍEԀ}|h^aƒCzÁ}׵ԀU|~ufÑ zS‡ X | z€}rw‘ƒC‚ÚwyzLÑf×µÌS| ‚aw©}׵ԀU|~ufÑSÍEz/S†yÌSƒC×µzÍEzt>ƒC{ÒÃÌS†NÍaêEè©u\wyz ÌS‚ÄÑ ƒC|huS∈}y}RÌEU| zÑ~u[}ÌSƒ}r‰YÍEÌS‚C‚CÔLz

√

2

zUw

aƒC|

√ ^ − 2

T = ResE/Q Gm

s : (T, Z = π0 (T (R))) → (GL2 , R ± ).

Ð'ÌS{ { zÚ® ƒï×C†yԀUԀÍEzL{ { zL‚aw€„EÌS‚ïu

Sh(T, Z) = π0 (T (Q)\T (A))

}  |~ÍEzL‚awy| zÈufƒÄS†yÌSƒC×µzÁÍEz€}"UÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz€}nUÌS‚C‚CzU£Ez€}"ÍEƒïS†yÌSƒC×µzÚÍEzÈUÑ~uS}y}z€}nÍ  |~ÍQ:LÑ z€}L‡ , Í  ƒC‚CzÚuSGwy| ÌS‚œ‚CÌfwyÔLz ÍEz ÍEÌS‚E‰ ð‚œ{ùƒC‚C| w"ÍEÌS‚Ñm | {[ufSzÍEz ‚CÔLzÁ×uf†nÑm | ‚ ®SzL†N}zÁÍEzÚÑm |~}ÌS{ ÌS†y×CxCSh(s) |~}{ zÁÍEƒïUÌS†y×}"ÍEzÁUÑ~uS}y}zS‡ rec Gal(E /E) ab

_

>_ V kV Z´` _ a W_ _ e (a g\ ¾ŽÍ0¾ ÉKË ¾ \ _ÃÇþŽÍwÌ>eŽ¿ V ] ÏmÊ Ë ¾ŽÍ%¾ Ï _ ÉKÏVÇÉ e (a _ V X aZ V V _ va Z \ v] _ e >_ d > 1 V _ ` ¯a ^`ya] Ï ¾ V ÌD]aWÌÎÌ>eÀ ‚ _ Ê Ï g := “ √1 √1 ” À d− d ` a b ´ a Ë ¾ ] Ã(aWÌ Â_ É _B{ ÏmÊ ¾ ÉKÏ \ aMZMa Ï Ì Ê ]Ž¾ 0 ¾ Ï À'îZ¾ ƒÉ ] _ ÉUT>VÇÓCV a ÉKÏ x−y √ h0 g h = db a = x+y b = a ÌÓ >_ V þ0¿Ç¾ŽÍ^ZMa Ï Ì Ê ]Ž¾ŽÍ ¿Ç¾l\ ag` _Ì>ZA¾ ` a b ´ a Ë ¾ ] ¾ Ï ÌWa ÏmÊ _ ÉÇÉ ¾ \ ÍM¾ŽÍ ÏDVÇÉcÓ Ì>_ V 2þga\ Ó e!{ÇÌ Ê y 2V ¾0dÍ V Ì Q y VÇÊ ¾ŽÍ Ï \ ¾ Ó Ì>_ V þw¿Ç¾ ¹kV Z´` _ Ìο ™ . a Ï db ¾0¿Ça¾ 0 À.z â a¾ŽÍ Ï ¾ bÉ `ya Ê Ï À h Res √ Gm

î ¾ŽÍ{ É Í Ó Ì à ¾ŽÍ%¿Ç¾ ¹ Z Ìο ™ . Ï  ¾ Í ÉKÏ ¿ ÉÇÉ ŽÍwà WÌ Ã ¾ É ¿ K Ì4¿Ç¾ŽÍ:y ¾ŽÍ mÏ Ê É 4 Í ¿Ç¾0¿ É Ê ÉKÏ ŽÌ5š ÏeÊ É ¿ Ž É Ï Ã Ê y ¾À ã W

Ì ¾ £ ' ¶ ¾ A à = ¾  Í ¿ Ž Ì Í ¾ Ž ¾ M Ì Ã  Í Í É Í É Ê É Ç É K É m Ï Ê Ê m Ï Ê (5) (4)

e

Q(

d)/Q

„

¸¢ ‡

“

r 8y‹Ž21 y q

ªœ›N ’¬²4˜ª ž ¤­š † ž aŸ\LžLŸ\ C¨l¡ ¥ §l  »   ¥ ª ¥ /¡¨ † ž€ª-½ † ª«¡S Ež€ª«¦ ¥ Ÿ(±G  †>†     1nORGI¾øPcUDyR BRKNRU½¾½YRZSKU½¾F«¼\OœøRUBE½¾WžU½¾DyRùÉSÆNKUDGFP½YR ÉSRùX[Z\OF5cUDyR"ødT B IÈOdZ\½¾BEDyRUTPT RÅfDŸSKNR

EB OdRùFPO½YRUD¾ødDyÆU½YZ\½¾F«¼\OX[¼€É\BET Z\FPDyR[ÉSR RUO½YRUDGX[RGIÉSRÚÅaÆN¼\X[ÆU½¾DGF«R[Z\T ÅaƀãUDGF
BR Od¼\OKN¼\XXBE½YZ\½¾FPÀ\Rb'T F«ÆNRZ\B+œOd¼\X[ãUDyRGIùSh(T, ÉSR:µZ) ½YZ\DyQø¼\BEDùKNRKN¼\D¾øµI
BZSÉ\DyZ\½¾F
BR œ


 

  ¥  †   ‰  !½^ C¡   §l ·¡”¦‘§©¨ †   ù§l    EŸ\ª>±až± [ E›$± † ª>  ¥©¥    ð‚;}ÌSƒCxuf| wyz?UÌS{ ×C†yzL‚ÍE†yzvUz8^aƒCz?Ñ zv†SL®Sz?ÍEz?tvuf‚C| ‚$}| S‚C| zv×µÌSƒC†ºƒC‚$UÌS†y×} UÌS{ { z Q( √2)/Q(√2) ‡nð‚ĆyzL{[ufW† ^aƒCz ^aMƒ  ÌS‚ïu º[n 

4

√ 4 Q( 2) ⊗Q R

∼ =

C×R×R

zUwUzÁUÌS†y×}A^aƒuSÍE†Nu\wy|h^aƒCz‚M z€}rw‚C|JwyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw"†yÔLzLѾ„E‚C|JwyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw"| {[ufS| ‚uf| †yzS‡ X ÌS| w Ñ zÄ}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µzœÍEz€} (x , y ) wyzLÑ~} ^aƒCz x y = x y ) ×µÌSƒC†wyÌSƒEDw i,⊂j (G  ‡  ð ? ‚ y † L z [ { f u W† ^aƒC z ^aƒCz µ × L z E ƒ w W SUwy†yz® ƒUÌS{

{ zÑ zùwyÌS†yz ∈ {1, . . . , k} {[u\£E| {[ufёÍEz GSp ‡ X ÌS| w T ⊂ S × D Ñ zÁ}ÌSƒ}r‰îDS†yÌSƒC×µzÍEz€} (z, (x , y )) wyzLÑ~c} ^aƒCz % ×µÌSƒC†'wyÌSƒEw i ∈ {1, . . . , k} 0‡ X ÌS| w T := lim T NÌ [œÑ z€}*×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚} T → z z¯ = x y }ÌS‚awÁÍEÌS‚C‚CÔLz€}×uf†ÌSƒCÛCÑ |ÍEƒÍEzL†y‚C| zL†Ò«uSGwyzLƒC† G ‡[ð‚?‚CÌfwyz π : T → T Ñ~u T ×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚º‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ zS‡ ð‚ÁunƒC‚Ú{ ÌS†y×CxC|~}{ zÍE|~ufSÌS‚ufÑ w : G → T ÍE| wÍEz×µÌS|~ÍC}JzUwƒC‚ÈufƒEwy†yz^{ ÌS†y×CxC|~}{ z ÍE| wÍEJz ’ÌEÍESzÁÍEÌS‚C‚CÔÚ×uf† x 7→ ((x, 1), . . . , (x, 1)) ‡ µ:G →T X ÌS| w Ñ zÁ}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µzÍEz€}n{[u\wy†y|~Uz€} (g ) wyzLÑ Ñ z€A} ^aƒCz det(g ) = det(g ) ×µÌSƒC†nwyÌSGƒEw i,⊂j ‡GL X ÌS| w R−alg

2 k m,R

k

i

i i=1,...,k

i i

j j

k

k

2k,R

k

i i

i

←

k

i

k

k+1

2 m,R

k

k

m

m,C

C

n

n 2

i

Ñ zÁ{ ÌS†y×CxC|~}{ zÁÍEÌS‚C‚CÔÚ×µÌSƒC†

i

j

×uf†"Ñ~u{[u\wy†y|~Uz

fn : Gn → GSp2n
(gi = acii dbii )   diag(ai ) diag(bi ) diag(ci ) diag(di )

ð‚?‚CÌfwyz Ñ z { ÌS†y×CxC|~}{ z}rwNuf‚ÍCuf†NÍ?ÍEÌS‚C‚CÔ }ƒC†ÚÑ z€}×µÌS| ‚awN}چyÔLzLÑ~} ×uf† z = a +hib :7→S → GL
zUw h : G → GL Ñ zÈ{ ÌS†y×CxC|~}{ zÍE|~ufSÌS‚ufÑÍEÌS‚C‚CÔ ×uf† (x, y) 7→ diag(x, y) ‡ X ÌS| w ƒC‚CzÁ×uf†wy| wy| ÌS‚ïÍEz n ‡nð‚ï‚CÌfwyz h : T → G ⊂ GL Ñ z { ÌS†y×CxC|~}k{ zÁ+ÍEkÌS‚C=‚CÔÚn×uf† 0

2,R

a b −b a

0

zUw

ÌS| w X

1

2 m,R

2,R

1

k0 ,k1

k1

hk0 ,k1 := (h0 , . . . , h0 , h1 , . . . , h1 ). | {z } | {z }

n

n 2,R

Ñ z"{ ÌS†y×CxC|~}{ z"ÍEÌS‚C‚CÔn×uf† h → GSp ◦h ◦π ~Ñ u GSp: T(R) ‰YUÑ~uS}y}z/ÍEzUÌS‚rƒCauf|~}ÌS‚ÚÍEz'Uz/{ ÌS†y×ChxC|~}{ zÍC=uf‚f} Hom(T, ‡ GSp )

Rk0 ,k1

k0

S,k0 ,k1

2n

2n

k1

S,k0 ,k1

n

k0 ,k1

k1

2n

d^ŽxPd^Ž.

z

{

t /  wh{{yZ‹w)

 x t ƒ  Œ»y{bw)XPX. t

4w q Ž{y ‡

Œ

¸¸

„Ñ z { ÌS†y×CxC|~}{ z z€}rw ð‚†yzL{[ufW† ^aƒClz ^aƒCz ×µÌSƒC† }| { ×CÑ zL{ zL‚awÑ zÚ×CÑ ÌS‚CSzL{ zL‚ahw∈ÍE|~RufSÌS‚ufÑdzUwz€}rwÍEÌS‚| ‚ÍEÔLh×µ◦zL‚wÍCuf:‚aGwÍEz h→‡ GSp -uf‚}Ñ z LuS} „dÌS‚?†yzUwy†yÌSƒC®SzÈmÑ  z€}×uSUzÍElz X | zLSzLÑ/UÑ~uS}y}h| ^aƒCz S zUwÁÍCuf‚}Ñ z LuS} k = 0 „EÌS‚ºwyk†yÌSƒC=®Sz 0 ∼ = GSp (R)/D (R). Ýuf×C×µzLÑ ÌS‚l} ^aƒCzïÑ z>UÌSƒC×CÑRz (GSp z€}rwœuf×C×µzLÑ ÔLz”ÉS¼\OOdÆNRvÉSRŒCM FPXBEDyZ”ÉSR µF«RîÅaRUT  ‡ ju*®\uf†y| ÔUwyÔÍEz X xC| {ùƒC†Nu"UÌS†y†yz€}×µ,ÌSS‚ÍCuf)‚awyz©z€}rw‘mÑ  z€}×uSUzÍEz{ ÌEÍEƒCÑ zÍEz€}‘®\uf†y| ÔUwyԀ} ufÛµÔLÑ | zL‚C‚Cz€Z} K }rwy†yƒGwyƒC†yzÁÍEzÁ‚C| ®Sz€ufƒÄ| ‚ ‚C| zS‡ ð‚ ‚CÌfwyz R mÑ  z€}×uSUzÍEz€}{ ÌS†y×CxC|~}{ z€} h {ùƒC‚C|~}' Í  ƒC‚CzUÌS{ ×µÌa}yuf‚awyz"UÌS‚C‚CzU£Ez ‡ c ∈ π (im(h(T(R)))) £ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥¥¤+˜ – n j‘zUÌSƒC×CÑ z (GSp , R ) z€}rwïuf×C×µzLÑ Ô)ÉS¼\OOdÆNR™ÉSRDGFPÀ\ZLÅaR”ÉSR m½ yøR ÍEzÁÑ~u ÍEÌS‚C‚CÔLzÁÍEz X | zLSzLÑ (GSp , S ) ‡ (k , k ) ÅfDy¼\B€øRïÉSR G>BEXn¿U¼\DyÉ\ä £ba ¤k¥+¦ § ¦“‹¥¥¤+˜W¨ n X | h ∈ R „©ÌS‚™uf×C×µzLÑ Ñ z>X[Z\BEÀ\Z\F~I HZ\½YR ÉSR h Ñ zÈ×CÑ ƒ}"×µzUwy| wÚ}ÌSƒ}r‰ Q‰îS†yÌSƒC×µzufÑ SÔLÛC†yh| ^aƒCz BMT(h) ⊂ GSp UÌS‚awyzL‚uf‚aw }ƒC† R mÑ  | {[ufSz?ÍEz h ‡ @‚;×µÌS| ‚aw h ∈ R z€}rwÄÍE| w?I¾øÆNKUF«Z\TÈ}|Ú}ÌS‚)S†yÌSƒC×µz?ÍEz t>ƒC{ÒÃÌS†NÍaêEè©u\wyzÚz€}rw"ƒC‚ÄwyÌS†yz T wyzL4Ñ ^aƒCz T /w(G ) }ÌS| wuf‚C|~}Ìfwy†yÌS×µzÚ}ƒC† Q ‡ X | z€}rwƒC‚Ä×µÌS| ‚aw}׵ԀU|~ufѾ„EÌS‚>u h k0 ,k1

m,R

2n

±

1

0

0,n

2n

n

2n ±

± k0 ,k1

0

2n

0

1

± k0 ,k1

±

2n

(6)

k0 ,k1

2n

k0 ,k1

(7)

m

Í  ÌN[ăC‚ï×CÑ ÌS‚CSzL{ zL‚aw

T (R)/T (R)+ = h(T(R))/h(T(R))+ T (R)/T (R)+ ⊂ Rk±0 ,k1

EÍ ÌS‚C‚CÔÚ×uf† c 7→ (h, c) ‡ ð‚Ä×µzLƒEw{[uf| ‚awyzL‚uf‚aw"†yzUÒ«uf| †yzÚÑ~u[UÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚ïÍEzJ-zLÑ | S‚CzÁÍCuf‚}UzÈLuSÍE†yzS‡'ð‚>u ƒC‚>{ ÌS†y×CxC|~}{ z µ := h ◦ µ : G → T ÍE| wÚÍEz’ÌEÍESzÁzUwÑ zùUÌS†y×}"†yzK•zU£ E(h) ÍEz h z€}rwÑ zÁUÌS†y×}"ÍEzÁÍEKÔ ‚C| wy| ÌS‚>ÍEzÈUzÚ{ ÌS†y×CxC|~}{ zS%‡ X | F = E(h) „CÌS‚>u h

zUwÌS‚ïUÌS‚}rwy†yƒC| w ð‚ïu

C

m,C

C

µh : Gm,F → TF Nm

NR(µh ) : ResF/Q Gm → ResF/Q TF → T. π0 (NR(µh )) : π0 (CF ) → π0 (T (Q)\T (A)).

îZ¾ŽÍ:{_ É Í Ó Ì>_ V þŽÍ¿Ç¾ ¹kV Z´` _ Ìο,Å . a Ï ¾wÍW_ ÉKÏ ¿_ ÉÇÉ Že ͍Ã(aWÌl\ ¾ŽÍ4¾ ÉKË ¾ \ _ÃÇþŽÍÌ>eŽ¿ V ] ÏmÊ Ë ¾ŽÍÀ \ZÍm¾ Z{\ ¾ \ a V Í Ê {\ ¾qy V ¾]Ž¾ŽÍ Ó Ì>_ V þŽÍeÍW_ Ê ¾ ÉKÏ ¿eS} ÉÇÊ Í4¿Ç¾gZMa ÉÇÊ ^ŽÌξ VÇÉÇÊ y V ¾i° ] â ¾ŽÍ Ï \ ¾g]aWÍ4Í Ê k = 0 _ V « k = 0 Á~À « Z\ Ím¾ŽÌWa Ê Ï4Ê ÉKÏ eŽÌξŽÍmͯa ÉKÏ ¿Ç¾g] _ ÉÇÉ a¡ Ï Ìξ\ ¾ V Ì4Í Ê ÓÉÇÊ }(]a ÏmÊ _ É Ã_ V Ì4¿Ç¾ŽÍ„y V ¾ŽÍ ÏmÊ _ É Íe¿Ç¾0¿X 0É aZ Ê y V ¾À 1 z¾ ÏÎÏ ¾+] _ É ¿ Ê ÏmÊ _ É ¾ŽÍ Ï a V'Ï _CZMa ÏmÊ y V ¾ ZA¾ ÉKÏ Ë eŽÌ Ê }(eŽ¾Í V Ì ¿(a É Í^\ ¾l]aWÍ ¿Ç¾ŽÍ Ë aWÌ Ê e Ï eŽÍlaR{e \ Ê ¾ ÉÇÉ ¾ŽÍD]aWÌ (7) ¾ŽÍ Ï[Ç V É ¾ Ê ÉKË _C\ 'V ÏmÊ _ É ¿Ç¾€z^aWÌ Ï a É ¿Ç¾ (T /w(Gm ))R À R h(i) (6)

Ã

¸À ‡

r 8y‹Ž21 y q “

X ÌS| w ƒC‚[×µÌS| ‚aw*}׵ԀU|~ufѵÍEzS†yÌSƒC×µzÍEzt>ƒC{ÒÃÌS†NÍaêEè©u\wyz T „SÌS‚ {ùƒC‚C| wnLuf‚CÌS‚C|h^aƒCzU‰ { zL‚awÑ zÁh}ÌSƒ}r‰îz€}×uSUz

Sh(T, Z) ⊂ Sh(GSp2n , Rk±0 ,k1 )

u­®Sz€

Z = π0 (T (R))

Í  ƒC‚CzÈuSGwy| ÌS‚ïÍEzȍÚufÑ ÌS|~}n‚CÌfwyÔLz

rec

ÍEÌS‚C‚CÔLzÚ×uf†

g : x 7→ (π0 (NR(µh )) ◦ rec(g)) · x. X }X l    n 1 Pc

ªœ›N ’â¤+˜² žr§l ·¡¨ † ž€ª-½ † ª«¡S Ež€ª«¦

¥ J¨© C§Ÿ\ Ež€ª J¨ nO>RGI¾ø UDyR
BRÁKNRU½¾½YRÚZSKU½¾F«¼\OvÉSR Z\T ¼\F~IøRUBE½¾WžU½¾DyR KN¼\OCIG½¾DGBEFP½YR ÉSRX[Z\OF5cUDyRødT B IùOdZ\½¾BEDyRUTPT R RUO FPO½YRUD¾ødDyÆU½YZ\O½ Sh(T, Z) KN¼\XX[RBEO™RGI¾øZSKNRœÉSRX[¼€É\BET RGI ÉSÆÎOFIGBEDùBEO™KN¼\D¾øµI ÉSR Od¼\X[ãUDyRGIÉ Ð Z\OdZ\T ¼yÅfBRGI Od¼\O KN¼\XXBE½YZ\½¾F ¿yIœÉSRGI À\Z\DGF«ÆU½YÆGIºZSãNÆUT F«RUOOdRGIœÉS¼\O½T RGI X[¼€É\BET RGIœZ\T ÅaƀãUDGF
BRGI ILRUDyZ\F«RUO½T F«ÆGI Z\B +œOd¼\X[ãUDyRGIùÉS:R µ½YZ\DyQø¼\BED F œ Ý"zLauf†NÍEÌS‚}^‚CÌfwy†yz"zU£EzL{ ×CÑ zÍEzÍEÔL×uf†w'ÍEzUz×µÌS| ‚aw*ÍEz® ƒCzS‡ „ÌfwyÌS‚} F = Q( √2) zUw E = Q(√2)  ‡ j‘z NxCÌS| £; Í  ƒC‚Cz E ‰îÛuS}z ÍEz F ‚CÌSƒ}ïÍEÌS‚C‚CzƒC‚$×CÑ ÌS‚CSzL{ zL‚aw ‡ ð‚)‚CÌfwyz mÑ  | ‚UÑ ƒ}| ÌS‚ UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍCuf‚awyzïÍEz€} Res }ÌSƒ}r‰îS†yÌSGƒC×µz€}^⊂ÍEÌSRes ‚C‚CԀ}×ufGL †Ñ z€}/{[u\wy†y|~Uz€}ÍEzTÍEÔU⊂wyzL†yG{ | ‚uf‚aw*ÍCuf‚} G ‡'ð‚ †yzL{[ufW† ^aƒCz ‡ð‚™×µzLƒEw×CÑ ÌS‚CSzL† G ÍCuf‚} GSp ‡ð‚ ^aƒCz ) u T T∼=∼=TReszUw ÌS‚–G‚CÌfwy/(Res z h : T →G GSp Ñ zï{ ÌS†y×CxC|~}{ zÄUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍCuf‚aw€‡™ÙÑ ÌS†N} U z w € z r }  w U  ~ Ñ f u | y † L z

{ L z a ‚ " w Ñ Ú z S  y † S Ì C ƒ µ × Á z E Í È z t>ƒC{ÒÃÌS†NÍaêEè©u\wyzÁÍEz h %‡ j‘zÚ{ ÌS†y×CxC|~}{ z h∈R T √ √ ‡ € z r }  w E Í Ô K ‚C|}ƒC†"Ñ zÁUÌS†y×} µ :G →T F = Q(i 2, 2) 

0

4

0

F 0 /Q

m

E/Q

2

m,Q

F 0 /Q

R

m

E/Q

(1)

m

1

4,Q

4,R

1,1

h

m,C

4

C

4

ê žLž±aŸ\ Ež€¨Ÿ(  ju*Ñ | wwyÔL†Nu\wyƒC†yz/†yzLauf†NÍEz^z€}y}zL‚awy| zLÑ Ñ zL{ zL‚aw‘ÍEz€}LuS}JÍEz†Nuf‚C ‡4j‘z€}JSzL‚}‘}, | ‚awyÔL†yz€}y}zL‚aw 1 ufƒÄÛµÌS†Nͺ| †y†Nu\wy| ÌS‚C‚CzLÑ Â^n

©

PGL2 (Z)\P1 (R)

aƒC|uÑm uf| †Í  SUwy†yzڃC‚ïz€}×uSUzÚ{ ÌS| ‚}n‚u\wyƒC†yzLÑM^aƒCzÚÑ zÁ†y| ®\ufSz ^

GL2 (Z)\GL2 (R)/R+×

2

ÍEz'‚CÌfwy†yz'×µÌS| ‚aw/ÍEz'® ƒCz*ÍEz*Ñ~u"wyxCÔLÌS†y| z'ÍEƒUÌS†y×}ÍEz*UÑ~uS}y}z'zUw^ÍEz€}S†yÌSƒC×µz€}ufÑ SÔLÛC†y|h^aƒCz€}L‡ ð‚ïÍEԀUÌSƒC×µzÚÑ~u Ñ | wwyÔL†Nu\wyƒC†yzÚzL‚ïÍEzLƒE£ïuf×C×C†yÌENxCz€,} F I ^aƒC|d×uf†wnÍEz€}'ÌSÛ rzUwN}n Í  ufÑ N :LÛC†yzÑ | ‚CԀuf| †yzzUwUÌS‚}rwy†yƒC| wnÍEz€} Ÿ mÑ  uf×C×C†yÌENxCznøÆUDGF«¼€ÉSRGJ ÌSÛ rzUwN}"ÍEzÁSÔLÌS{ ÔUwy†y| z‚CÌS‚ïUÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzÁUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍCuf‚awN}L„ R µ½YZ\DyˆQ ^aƒC|×uf†wÍEz€}"‚CÌS{ùÛC†yz€}ÍEz XawNuf>† =ºzUwUÌS‚}rwy†yƒC| w Ÿ mÑ  uf×C×C†yÌENxCz Od¼\X[ãUDyRGIÉS ÍEz€}nÌSÛ rzUwN}"ÍEzÁSÔLÌS{ ÔUwy†y| z‚CÌS‚>UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®SzÚUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍCuf‚awN}L‡ j‘z† SL®Szz€}rA w ^aMƒ  | ÑJzU£E|~}rwyzƒC‚ÄÛµÌS‚Ä×µÌS| ‚awÍEz†yzL‚UÌS‚awy†yzzL‚awy†yzÚUz€}"ÍEzLƒE£ºuf×C×C†yÌENxCz€}L‡ juÑ | wwyÔL†Nu\wyƒC†yzÁ, }  ÔL‚ ƒCO{ :L†yzÚuf| ‚}|¾‡

d^ŽxPd^Ž.

z

{

t /  wh{{yZ‹w)

 x t ƒ  Œ»y{bw)XPX. t

4w q Ž{y ‡

Œ

¸Í

ËS‡Ð'ÌS‚C‚Cz€}L„'tvuf‚C| ‚‘„'tvuf†NUÌSÑ Ñ |cz œ ¦ ¥+¶  ú »   ¥ ú » »  › ~ FÄuf×C×C†yÌENxCz[øRUDGF«¼€ÉSRGIF Ñ z€}^uS}×µz€GwN}/uf‚ufÑ Óawyh| ^aƒCz€}©×µzLƒC®SzL‚awSUwy†yznÍEÌS‚C‚CԀ}^×uf†^Ñ z€}wyÌS†yz€}©‚CÌS‚ UÌS{ {ùƒEwNu\wy| Ò«} ì ‰¾wyxCzLÌS†y| zS„ íG‡ Ê ¦ †W › ~ FÁuf×C×C†yÌENxCzÈøRUDGF«¼€ÉSRG I FÁÑ z€}wyÌS†yz€}‚CÌS‚ UÌS{ {ùƒEwNu\wy| Ò«}Áuf‚u\‰ Ï ‡nñ^KÌSÑ |~}xNx .ƒ =¬z HC Ñ Óawyh| ^aƒCz€}"}ÌS‚awÍEz€w} €r®\uf†y| ÔUwyԀ}n×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz€"} ‚G‡^Ù‚C‚CÌS‚UzÚzL‚ï†Nuf‚C }ƒC×µÔL†y| zLƒC†€‡ ˆC‡"tvuf‚C| ł z »   ¥ ~ F'uf×C×C†yÌENxCzOd¼\X[ãUDyRGIùÉS:R µ½YZ\DyQ F^ÒÃÌS‚Gwy| ÌS‚}*wyxCzUwNu ‚CÌS‚ïUÌS{ {ùƒE‰ wNu\wy| ®Sz€}nzUw"‚CÌS{ùÛC†yz€}"ÍEJz XawNuf>† =d‡ ÕA‡ -uf†y{ ÌSM‚ FÈufƒEwy†yz[uf×C×C†yÌENxCz FÁ×µÌS| ‚awN}ÈÍECz ’zLS‚CzL†Ž‰ XawNuf>† =v}ƒC†ÈÑ z€}ÈUÌSƒC†yÛµz€}ÚzLÑ Ñ | ×E‰ wyh| ^aƒCz€}"}ƒC† UÌS‚ rz€GwyƒC†NufÑ zL{ zL‚aw"ÍEKÔ ‚C|~}}ƒC†ÍEz€}"UÌS†y×}"ÍEzÈUÑ~uS}y}zS‡ ŠE‡Ð'ÌS‚C‚Cz€}r‰YtvufQ†NUÌSÑ Ñ | ‰YÝuf{[uSNxuf‚ÍE†Nuf‚ìÂCÌS‚?×CƒCÛCÑ | Ô­í FÔUwNu\wN} !Á8t X>zUwÁ{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\‰ wy| ÌS‚ïUÌS{ ×CÑ zU£EzS‡ šÃ½l½$  ¥ §©ªŸ–š €  ½l½$  † €¨Ÿ †  Å¡¨ † ž€ª-½ † ª«¡S Ež€ª«¦ ¥ ¡S¦b¡¬½ †  ŸD  Ð'z×uf†NufS†Nuf×CxCznz€}rwnz€}y}zL‚awy| zLÑ Ñ zL{ zL‚aw'Ñ z†yԀ}ƒCÑ wNu\w*ÍEz{ z€}*ÍE|~}yUƒ}y}| ÌS‚}'u­®Sz€ÚufÛµÌS† ? | z€}z^aƒCz4rz'†yzL{ zL†NU| z'×µÌSƒC†^}ÌS‚ùuf|~ÍEzS ‡ X ÌS| w ƒC‚UÌS†y×}ÍEz*‚CÌS{ùÛC†yz€}Le‡ X ÌS| w Ñ~uÈLu\wyÔLSÌS†y| z"ÍEÌS‚aw*Ñ z€}ÌSÛrzUwN}'}ÌS‚aw'Ñ z€}'UÌSƒC†yÛµz€F}/zLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz€}*}ƒC† F zUw'Ñ z€}'{ ÌS†yE×C``(F xC|~}{ )z€} }ÌS‚awÄÍEÌS‚C‚CԀ}œ×uf† Hom(E , E ) ⊗ Q ‡ ð‚ ‚CÌfwyz?ƒC‚Cz?UÌSƒC†yÛµzvzLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCz E ® ƒCz UÌS{ { zÚÌSÛrzUwÍEz E ``(F ) UÌS{ { z E ⊗ Q ‡ ñ^ÌSƒC† E/F ƒC‚CzÈUÌSƒC†yÛµzÚzLÑ Ñ | ×Ewyh| ^aƒCzS„CÌS‚Ä‚CÌfwyz zUw V (E) := T (E) ⊗ Q T (E) := lim E[n](F¯ ) u­®Sz€ E[n] Ñ zڂCÌ\ÓaufƒïÍEzÚÑ~u{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ï×uf† n ÍCuf‚} E ‡ ð‚ù‚CÌfwyz A := Z⊗ u­®Sz€ Ñ z"UÌS{ ×CÑ ÔUwyÔnÍEz Z ×µÌSƒC†^Ñ z€}^}ÌSƒ}r‰îS†yÌSƒC×µz€} Í  | ‚ÍE|~Uz ‚C|¾‡*ð‚>}yuf| c w ^aƒCz Tˆ(E) Q∼= Zˆ zUZwˆ ÍEÌS‚

Q

1

2

Z

Q

←

f

n

Z

Z

2

V (E) ∼ = A2f .

X ÌS| w ƒC‚ùUÌS†y×4} ^aƒuSÍE†Nu\wyh| ^aƒCz/wyÌfwNufÑ zL{ zL‚aw©| {[ufS| ‚uf| †yzS‡4@‚CznUÌSƒC†yÛµzzLÑ Ñ | ×Ewy|h^aƒCz €z }rw ÍE| wyzVF/Q K>{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚”UÌS{ ×CÑ zU£Ezœ×uf† }|*ÌS‚”}zC£EzºƒC‚”{ ÌS†y×CxC|~}{ zœ| ‚rz€Gwy| Ò F wX |dÌS‚œ‚CÌfwyz ‡ „ ÌS‚œ×µzLƒEwn{ ÌS‚awy†yzL†^aƒCz V (E) z€}rw F → End(E ⊗ Q) ƒC‚ A ‰î{ ÌEÍEƒCÑ zÈÍEzچNuf‚C 1 ‡ A := A ⊗ F ð‚Ä‚CÌfwyz S (Q) mÑ  z€}×uSUzÁÍEz€}UÑ~uS}y}z€}n Í  |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ z€}nÍEzÚwy†y| ×CÑ zUwN} f,F

f

Q

f,F

F

(E ⊗ Q, α : F → End(E ⊗ Q), ψ : Af,F → V (E))

­u ®Sz€ ψ ƒC‚ï|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ zÚÍEz A ‰î{ ÌEÍEƒCÑ z€}nzUw α ƒC‚CzÁ| ‚rz€Gwy| ÌS‚‘‡ ð‚ºuȃC‚CzÚuSGwy| ÌS‚œ‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ zÍEz A }ƒC† S (Q) zUwnÌS‚œ×µzLƒEwn{ ÌS‚awy†yzL†^aƒCzÑ z}rwNu\‰ ÛC| Ñ |~}yu\wyzLƒC†'Í  ƒC‚[×µÌS| ‚awN}z€}rw F „aUz_^aƒC|CÒ«uf| w*ÍEz S (Q) ƒC‚ C := A /F ‰¾wyÌS†N}zLƒC†€‡ f,F

× f,F

×

F

F

F

× f,F

×

‡ ¸ ° “

r 8y‹Ž21 y q

ufƒEwy†yzÚ×uf†w€„ z€}rw"{ùƒC‚C|‘ Í  ƒC‚CzÁuSGwy| ÌS‚Ä‚u\wyƒC†yzLÑ Ñ z ÍEz zUw U z€}"ÍEzLƒE£ïuSGwy| ÌSS‚}"(Q) UÌS{ {ùƒEwyzL‚aw€„E|¾‡ zS‡ (σ · x) × y = σ · (x × y)G‡ := Gal(F /F ) D©| £EÌS‚}'ƒC‚œ×µÌS| ‚aw „EÍEÌS‚ƒC‚º|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ z C ∼= S (Q) ‡*Ð'z€U|µ‚CÌSƒ} ×µzL†y{ zUwÍEzÁÍEÔK‚C| †ƒCx‚ï∈{ ÌSS†y×C(Q) xC|~}{ z -

ab F

F

F

F

ab

F

(8)

Φ : GFab → CF

×uf†

‡ ðΦ(σ) ‚vuœÍ = ufƒEσwy·†yzÁ1 ×uf†wÑm uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚vÍ  uf†wy| ‚vÍEÌS‚C‚CÔLzÈ×uf†Ñ zUÌS†y×}ÍEzùUÑ~uS}y}z ‡ C →G 
‘ a “‹”¢•¬’¤£·˜ – ž Ê Ÿ\ª ¥ ¡S-ª ½^  †  » ¨ † ž€-ª ½ † ª«¡S Ež€ª«¦ ¥ ¡Sb¦ ¡¬½ †  ŸD    9ZºKN¼\Xø¼­IGFP½¾F«¼\O

artin :

ab F

F

RUOÀ\¼\F«R

x ∈ CF

IGBED

artin

x−1 œ

Φ

CF → GFab → CF

€ G  ž¯ aŸ(  ¥ ¡   Î Ï %bÒ Ø‡Õ$ÖfÜbÙØã ÞCç‹Õ€ål× X)NvØÝ æ 9:!,.<8÷20 g8 .!÷20!ô] ‡1 B8 .1y1 5–!5!,c,ö÷08¨.<8öŽþ û¡/ " ” Ð  éì &!þ!'þY\^ ïê  éC&  èþG¯ês!) Î çlè+>øÞg 61 ø‹ùƒ.!÷yúø‹þ¯C) > Î Ð &!Ò ø‰g Õ CÕ â¿å‹Ýv× Ý¹ æ ý$C&! Ð ê  ï  éC&  è &!G èéè%/%cê &  ©è%/ ' þ 9.
ùƒ.!÷yúø ‚Mø 4vø +ý/þ>!ÿ þè
þ!ï H×()Ñ k
æ k() Î \4è CÒ Ø‡Õ ßÜbã× BÚ NYû&NYÐYe æ '
èéè%/%cê &   Cí- è!  î ì  C&! %cê  ï  í éC&  è &! èéè%/%cê &   ï Hè G¯é   &    W þ . u¥´0yõ þ>!ÿ þ è
ì(  ï Õ ””Cò B &   & è!  ”!&! ”%& ì /$| # ”!(  Î \4è )Ò þlçl &!   ÜGéC&  èÅè!ò$ìè è%/è! ïì é‡é è!cêG  sè¿èéè%/%cê &   Wî+è!í- è! ) þ4. u¥´0yõ¼þ>!)ÿ þGè
ì(  ï Õ ””Cò B &   & è!  ”!&! ”%& ì t_/…”!))>B 

(8)

0 É

a

Φ(σ) × Φ(τ ) = (σ · 1) × (τ · 1) = σ · (1 × (τ · 1))) = σ · (τ · 1) = (στ ) · 1

À

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»Ä•BlÅā È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

×\؃يÚwÛCÜ\݊׈ÛCÞ؃Ùß؃à í|Þ'å|âlÙß×Hæ

–

³

×H݉Ü:å|âCÚoéëÞÛHìðä

ۖp¾Câ

äNóiéoõ$'&

ä8×\ØâmŒÞä Ùß؃à

Ð &! ë " &!êG î+"þ  ¡í k)k(> Ð &! ë'þ )+*-,/.!02143@:FJ(BC59?!8:C59?6U,l<2EFG6(H596F"!D<>=(:

^èìG&! #
ê  Cÿ
    

#
 %&!('

•

KML!NO-PQR!OS¿T ¾¿ Ê ÍW] V ÍmÍa É a\ Ó _Ì Ê ÏWY Z¿` _Ì ÏWY ¾4] _ É Í Ï Ì V ] ÏmÊ _ É _ `\ _ h Ó ¾ É!V Í] V Ì Ë ¾ŽÍ h Y _Ím¾ 9 a] _B{ Ê a É Í Y a Ë ¾+] _CZAÃ\ ¾£¶´Z V \ ÏmÊ Ã\ Ê ]a ÏmÊ _ É {XMa ÓÊ Ë ¾ É z ¹Á™ }¾ \ ¿ K À T ¾eÃÇÌξŽÍm¾ ÉKÏ ¾£¶a ZAÃ\ ¾ŽÍb` _Ì Ó ¾ É!V ÍMÔ$a É ¿`'À

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ j‘zUw Ûµzºu>}{ Ì Ìfwyx™×C†yÌrz€Gwy| ®Sz[UƒC†y®Sz ÌfÒ"SzL‚ ƒ} g ≥ 1 Ì\®SzL†ÈuˆzLÑ~Í κ uf‚ÍÑ zUw C µ Û Ú z y w C x J™auSUÌSÛC|~uf‚ÄÌfÒ z ‡'Ý"z€LufÑ ÑJwyxu\w"wyxCJz ™auSUÌSÛC|~uf‚ |~}uf‚ïufÛµzLÑ |~uf‚ï®\uf†y| zUwrӜÌfÒ J ÍE| { zL‚}| ÌS‚ g  xCÌa}zS†yÌSCƒC×vÌfÒ λ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑ^×µÌS| ‚awN}ÒÃÌS†ÚzL®SJzL†yӌzLÑ~ÍvzU£ wyzL‚}| ÌS‚ λ/κ |~} |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~*wyÌÁwyxCzS†yÌSƒC× ÌfÒ λ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑÍE| ® |~}ÌS†'UÑ~uS}y}z€}^ÌfґÍEzLS†yzLzŒÁÌfÒdwyxCzUƒC†y®Sz C ‡ Y‚>ÌSƒC†"wNufÑ =d„wyxCzȐS†yÌSƒC‚ÍHzLÑ~Í κ  | Ñ ÑzL| wyxCzL†Ûµ:z ‚C| wyzS„du[‚ ƒC{ùÛµzLc† zLÑ~ÍïÌS†"wyxC:z zLÑ~Í ÌfÒ/UÌS{ ×CÑ zU£º‚ ƒC{ùÛµzL†N}L‡ X ƒC×C×µÌa}z wyxu\w xuS}Èu>UÌS{ {ùƒEwNu\wy| ®Sz[zL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ufÑ SzLÛC†NuÄÌ\®SzL† ì xCzL†yz ÍEzL‚CÌfwyz€}'wyxCzÈufÑ SJzLÛC†Nuf|~UÑ Ìa}ƒC†yzÌfÒ κí  xCÌa}zÚÍEzLS†yzLzÌ\®SzL† Q |~}nuS}*Ñ~uf†ySzÚκuS}*×µ Ìa}y}| ÛCÑ zSκ‡ Y‚œwyxC|~}nLuS}zSZ„ ;‚Í (J ) ⊗ Q |~}nu Ð*ê t zLÑ~Í ìÃ|¾‡ zS‡ „Euf‚º| {[ufS| ‚uf†ylÓ ^aƒuSÍE†Nu\wy|~zU£ wyzL‚E‰ }| ÌS‚[ÌfÒuÚwyÌfwNufÑ Ñ Ó†yz€ufÑ zLÑ~Íí/ÌfÒÍEzLS†yzLz 2g  KxCzL†yz g |~}wyxCzSzL‚ ƒ}ÌfÒJwyxCzUƒC†y®Sz C uf‚Í mbn

C

C

C

C

9CVÇÉ

WY

¾wÔWÖ Ï

ÂÔÕÕWÖÇÀ

‡À)ˆ y

r u 21

‚Í (J ) | wN}zLÑ Ò^|~}"uf‚ïÌS†NÍEzL†n| ‚ K ‡ Y‚?wyxC|~}wNufÑ =d„  z ÍEz€}yU†y| Ûµz uf‚ufÑ SÌS†y| wyxC{ ÒÃÌS†wyxCz UÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚?ÌfÒ*UƒC†y®Sz€}ÌfÒ*SzL‚ ƒ} xCÌa}z™auSUÌSÛC|~uf‚xuS}ÈUÌS{ ×CÑ zU£?{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚™Û Ó>wyxCzœ{[u\£E| {[ufÑÌS†NÍEzL† O g ≤3  x CzL†yz K |~}uœÐ*tèzLÑ~ÍÄÌfÒ/ÍEzLS†yzLz 2g ‡ …*zUÒÃÌS†yz[SÌS| ‚C>| ‚awyÌ>wyxCzºÍEzUwNuf| Ñ~}ÈÌfÒnwyxCzÄufÑ SÌS†y| wyxC{ï„  zœ{ zL‚awy| ÌS‚”uf‚”uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚wyÌ U†yÓ ×EwyÌSS†Nuf×Cx Ó F j‘zUw Ûµzv  u ‚C| wy\z zLÑ~ÍJ‡$Y‚)wyxC|~}ºLuS}zS„'wyxCz>S†yÌSƒC×)ÌfÒ ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑ"×µÌS| ‚awN}L„ κ = F ^ „ ~ | ù } u  ¦4r4pwv£]ïufÛµzLÑ |~uf‚™S†yÌSƒCיuf‚Í zœLuf‚”UÌS‚}|~ÍEzL†ÁwyxCzºFÍE|~}yU†yzUwyzœÑ ÌSauf†y| wyxC{ J (F ) ×C†yÌSÛCÑ zL{ | ‚wyxC|~}ÁS†yÌSƒCב„J|¾‡ zS‡ „S| ®SzL‚?w  ÌïzLÑ zL{ zL‚awN} P „ Q ∈ J (κ)  | wyx Q ∈ hP i „ ‚Í2uf‚2| ‚awyzLSzL† }ƒNx–wyxu\w ‡)ènxCzL†yzïuf†yzÄ{[uf‚ ӖU†yÓ ×EwyÌa}ÓE}rwyzL{[}ùÛuS}z€Í ÌS‚[wyxCzÚÍE| uœUƒCÑ wrÓ[rÌfґwyxCzÚÍE|~}yU†yzUwyrPzÑ ÌS=auf†yQ| wyxC{4×C†yÌSÛCÑ zL{Ø}ƒNxºuS} -| u[zU"‰ ’zLÑ Ñ {[uf‚CH‚ =SzLÓ zU£CNxuf‚CSz[ÌSJ† ;Ñ ‰rÚuf{[ufÑ'zL‚U†yÓ ×Ewy| ÌS‚‘‡>èÌvzL‚}ƒC†yz wyxCzÄ}z€UƒC†y| wrÓ?ÌfÒuvU†yÓ ×EwyÌa}ÓE}rwyzL{ ÛuS}z€ÍvÌS‚vwyxCz[ÍE|~}yU†yzUwyzÑ ÌSauf†y| wyxC{ ×C†yÌSÛCÑ zL{ | ‚Cu ‚C| wyz[ufÛµzLÑ |~uf‚?S†yÌSƒC×  zxu­®SzÈwyÌ Ûµzïu  uf†yz wyxu\wwyxCzĐS†yÌSƒCיÌS†NÍEzL† UÌS‚awNuf| ‚}ùuvÑ~uf†ySzœ×C†y| { zºÒ«uSGwyÌSƒ† z Ê  ®‹¶ ~ ‡™t>ÌS†yz ×C†yz€U|~}zLÑ ÓS„CwyxCzȐS†yÌSƒC×ïÌS†NÍEzL†}xCÌSƒCÑ~ÍÄzL| wyxCzL†Ûµzù×C†y| { zÈÌS†u ×C†yÌEÍEƒGwÌfÒu[×C†y| { zùuf‚Í uº}{[ufÑ Ñ^‚ ƒC{ùÛµzL†€:‡ DCÌS†ÚUƒC†y®Sz€}ÌfҐSzL‚ ƒ} „ ‚ÍE| ‚CœwyxCz S†yÌSƒC×>ÌS†NÍEzL†Ú}zLzL{[}wyÌ  Ûµz uœ‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑwNuS} =d‡ „Ìfwyzùwyxu\w  zù‚CgzLz€≥Í>wy2HÌ ‚Í>wyxCz‚ ƒC{ùÛµzL†ÌfÒ'zLÑ zL{ zL‚awN}| ‚u S†yÌSƒC×  xC|~NxºxuS}*uf†yÌSƒC‚Í 2 zLÑ zL{ zL‚awN}n}| ‚UzwyxC|~}*|~}'wyxCzÚ}| éLz  xC|~Nxº|~}*UÌS{ { ÌS‚CÑ Ó uSLUzL×Ewyz€ÍœwyÌ[ÛµzÈ}z€UƒC†yzS‡ îÒ  z = ‚CÌ  wyxCzÚzL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{Άy| ‚C ÌfÒwyxCJz ™auSUÌSÛC|~uf‚‘„EUÌSƒC‚awy| ‚CwyxCzÚzLÑ zL{ zL‚awN}"ÛµzU‰ UÌS{ z€}nz€uS}ÓS0‡ DCÌS†}| { ×CÑ |~U| wrÓS„  zÁ†yz€}rwy†y|~Gw*wy̜u ‚C| wyzÁ×C†y| { z zLÑ~Í κ = F ‡ Ð'ÌS‚}|~ÍEzL†ÈwyxCˆz DC†yÌSÛµzL‚C| ƒ}ùzL‚ÍEÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ π ÌS‚™wyxCˆz ™auSUÌSÛC|~uf‚‘‡>îÒ J xuS}ÈzL‚ÍEÌf‰ { ÌS†y×CxC|~}{ †y| ‚C|  ;‚Í (J ) ' O „*wyxCzL†yzïzU£E|~}rwN} w ∈ O  xC|~Nx)UÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍC}ùwyÌ ;‚Í [ ‡ îwÈ|~} zLÑ Ñ ~‰ = ‚CÌ  ‚?wyxu\w w |~}Áuf‚zLÑ zL{ zL‚aw  xCÌa}z[ufÛ}ÌSÑ ƒEwyz®\ufÑ ƒCz[|~} π ∈ z ^aƒufÑdwyÌ (J√p „C)xCzL‚Uz  ' ìrË­í ww = p. îÒ J |~}"}| { ×CÑ zS„EwyxCzL‚ Q(w) = K ‡ ?z[z€uS}| Ñ Ó}zLzwyxu\w z[xu­®Sz ÌS‚CÑ ƒÓ ‚C| wyzLÑ Ó?{[uf‚ Ó?NxCÌS|~Uz€}ÒÃÌS† w ∈ O }yu\wy|~}rÒÃÓ | ‚C  ìrË­íG‡ ènxCzÁS†yÌSƒC׺ÌS†NÍEzL†nÌfÒ J (F ) |~}n‚CÌ  S| ®SzL‚ÄÛ Ó „ÌS†y{ # ker(π − id) = (w − 1). X | ‚Uz zÁxu­®SzÚÌS‚CÑ CÓ ‚C| wyzLÑ ÓÄ{[uf‚ Ӻ׵Ìa}y}| ÛC| Ñ | wy| z€}nÒÃÌS† w „  zÁSzUwÌS‚CÑ HÓ ‚C| wyzLÑ Óº{[uf‚ Ó ×µÌa}y}| ÛC | Ñ | wy| z€} ÒÃÌS† wyxCzvS†yÌSƒC×2ÌS†NÍEzL† ÌfÒ J (F ) ž ‡ ?z?NxCÌ Ìa}zï†Nuf‚ÍEÌS{ zLÑ zL{ zL‚awN} | ‚ f u  ‚ œ Í y w € z r } w C x U z y w C x L z n † y w C x L z œ Ó  x ­ u S ®  z y w C x Á z y † | S  a x n w ÌS†NÍEzL†€‡^Y‚Ä{ Ìa}rwLuS}z€}L„awyxC|~}  | Ñ ÑJÛµz J (F ) zL‚CÌSƒCSxºwyÌ[ÍEzUwyzL†y{  | ‚CzÚwyxCzÁÌS†NÍEzL†nÌfÒ©wyxCJz ™auSUÌSÛC|~uf‚‘‡ ;

C

K

q

C

q

q

C

160

p

p

C

C

K

K

C

C

K

C

p

K/Q

C

C

p

p

vŽ (Œ ku°wh‹ y º y 

zvwhy ‰ 2“s1^w Œ  | q%  ‰ 8 

‡À‡

{ .

›^n–• ¾l v  † ’µ¦Ÿ\ªÃž¾l¡

?zÍEz€}yU†y| ÛµzÁwyxCz†yÌSƒCSx>}yNxCzL{ zùÌfÒ'uf‚vufÑ SÌS†y| wyxC{ xC|~Nx‘„µS| ®SzL‚vuïÐ*t zLÑ~Í „ UÌS{ ×CƒEwyz€}"u[UƒC†y®Sz  xCÌa}z:™auSUÌSÛC|~uf‚ºxuS}"UÌS{ ×CÑ zU£º{ùƒC Ñ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ïÛ Ó O ‡ K ËS‡Ð'ÌS{ ×CƒEwyz uÄUÌS{ ×CÑ zUwyz }zUwœìÃC×?wyÌÄ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{œí"ÌfÒ*|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ UÑ~uS}y}z€}ÌfÒ ufÑ Ñ/}| { ×CÑ z[×C†y| ‚U| ×ufÑ Ñ Ó>×µÌSÑ~uf†y| éLz€Í?ufÛµzLÑ |~uf‚®\uf†y| zUwy| z€}Ì\®SzL† xu­® | ‚CïUÌS{ ×CÑ zU£ {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ÁÛ Ó O 4‡ ?z'†yzL×C†yz€}zL‚awJz€uSNxÚ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ UCÑ~uS}y}JÛ Óuf‚ÁzLÑ zL{ zL‚aw „dwyxCz X | zLSzLÑ^ƒC×C×µzL†ÚxufÑ Ò'×CÑ~uf‚CzS‡ÈènxCz ufÛµzLÑ |~uf‚?®\uf†y| zUwrÓï|~}wyxCzL‚S| ®SzL‚ Ω ∈H Û Ó C /Λ ‡ j‘zUw ÛµzÚwyxCzÁ‚ ƒC{ùÛµzL†"ÌfÒ^|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ÎUÑ~uS}y}z€}L‡ ènxCzÚs‚CzU£ w}rwyzL×}"uf†yzÁÍEÌS‚CzÒÃÌS†ufÑ Ñ s |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ UÑ~uS}y}z€}L‡ u jF]Unv[p r }zUwœÌfÒÁ®\ufÑ ƒCz€} ÌfÒÚwyxCzUwNu Ï ‡Ð'ÌS{ ×CƒEwyz>‚ ƒC{ zL†y|~LufÑuf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚}ÌfÒÈg ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}  | wyx>Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~L} K

K

i

g

g

  X δ θ (Ω, 0) = exp(πi(n + δ)t Ω(n + δ) + 2(n + δ)t (ε)). ε g

Cx zL†yz ‡ ˆC‡A@}| ‚C?δ,wyxCεzï∈®\uf(Q/Z) Ñ ƒCz€}ÌfÒwyxCzUwNuvÒÃC‚Gwy| ÌS‚}[UÌS{ ×CƒEwyz>ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzÄ| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}  xC|~Nx UÑ~uS}y}| ÒÃÓïwyxCz[|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ UÑ~uS}y}ÌfÒ'wyxCzœUƒC†y®SzƒC‚C|h^aƒCzLÑ ÓS‡j‘zUw (K, Φ) ÛµzwyxCz Ð*twrÓ ×µzS‡^ènxCz"ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzn| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}^Ñ | zn| ‚[u‚ ƒC{ùÛµzL0† zLÑ~Í k  xC|~Nx |~}/uÁUÑ~uS}y} zLÑ~͙Ì\®SzL†ÈwyxCzĆyK z •zU  £ zLÑ~Í ÌfÒ Φ) ‡ îÒ"wyxCzÄ×C†yz€U|~}| ÌS‚™|~}NxCÌa}zL‚”xC| Sx zL‚CÌSƒCSx‘„  zچyz€UÌ\®SzL†'wyxCzÁ| ‚ ®\Kuf†y|~uf‚awN}'(K, ÒÆyÌS{ØwyxCzL| †‚ ƒC{ zL†y|~LufÑJuf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚}L‡ îÒ  z  uf‚aw"wyÌ[UÌS{ ×CƒEwyzÈu[UƒC†y®SzÚÌ\®SzL†"u ‚C| wy:z zLÑ~ÍJ„  zÁLuf‚ï‚CÌ  †yz€ÍEƒUzwyxCz | ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}{ ÌEÍEƒCÑ Ì uÈ×C†y| { z|~ÍEz€ufÑ P | ‚ k wyÌÌSÛEwNuf| ‚œ| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}'| ‚œwyxC_z ‚C| wyz zLÑ~ÍÄ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~wyÌ ‡ Õ‡Ð'ÌS{ ×CƒEwyzwyxCzÈUƒC†y®Sz O | wy/P xÄwyxCzÁS| ®SzL‚Ä| ‚ ®\uf†y|~uf‚awN}L‡ n∈Z g

∗ 0

∗

∗ 0

k0∗

ª ’•¬«‹”­ – n

ËS‡nY‚ºwyxCzÈLuS}zÚÌfÒ^zLÑ Ñ | ×Ewy|~ÁUƒC†y®Sz€}L„awyxCzÈufÑ SÌS†y| wyxC{Ø|~} zLÑ Ñ ~‰ = ‚CÌ ‚ì«GÒrf‡ z š » | ‚ ~ íG‡ Ï ‡"ènxCzïUÌS{ ×CÑ zU£E| wrәÌfÒwyxCzïufÑ SÌS†y| wyxC{ÍEzL×µzL‚ÍC} ÌS‚” wyxCz>ÍE|~}yU †y| { | ‚uf‚aw uf‚͙wyxCz UÑ~uS}y}*‚ ƒC{ùÛµzL†ÌfÒwyxCzÐ*tôzLÑ~Í ‡ ˆC‡nîÒ p }yu\wy|~}Žz€}ºu™†yzLÑ~u\wy| ®Sz>‚CÌS†y{%Kz'^aƒu\wy| ÌS‚‘„"|¾‡ zS‡ „ p = ww „ƒ}| ‚C–UÑ~uS}y}lzLÑ~Í wyxCzLÌS†yÓ  zÈLuf‚v}xCÌ  wyxu\wwyxCzL†yzÁzU£E|~}rwN}u ×C†y| { z P ∈ k ÌfÒÍEzLS†yzLz ËÁÌ\®SzL† p ‡ îÒCwyxCzn}zUw^ÌfÒµ}| { ×CÑ z'×C†y| ‚U| ×ufÑ Ñ ÓÁ×µÌSÑ~uf†y| éLz€ÍÁufÛµzLÑ |~uf‚ù®\uf†y| zUwy| z€}|~}‚CÌS‚E‰îzL{ ×EwrÓS„  z ‚ͺuùUƒC†y®Sz xCÌa}cz zLÑ~͜Ìfґ{ ÌEÍEƒCÑ |d|~} F uf‚Í  xCÌa}z ™auSUÌSÛC|~uf‚[xuS}*UÌS{ ×CÑ zU£ {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS ‚ÄÛ Ó O ‡ Õ‡"ènxCz?}zUwºÌfÒÈ}| { ×CÑ z?×C†y| ‚U| ×ufÑ Ñ Ó–×µÌSÑ~uf†y| éLz€Í)ufÛµzLÑ |~uf‚ ®\uf†y| zUwy| z€}  | wyx;UÌS{ ×CÑ zU£ {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚”Û Ó O { | SxawÛµzÄzL{ ×EwrÓS‰ ‡ DCÌS†| ‚}rwNuf‚UzS„| Ò |~}8u ^aƒuf†wy|~ Ð*o t zLÑ~Í  xCÌa}zڍÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒC×[|~}wyxCz !ÚÑ zL| ‚C|~uf‚œÕf‰îS†yÌSƒC×wyxCzL†yzKÍEÌ z€}'‚CÌfw*zU£E|~}rw u?×C†y| { | wy| ®SzvÐ*t wrÓ ×µzS‡”Y‚–wyxC|~} LuS}zS„zL®SzL†yÓ ×C†y| ‚U| ×ufÑ Ñ Ó™×µÌSÑ~uf†y| éLz€Í”ufÛµzLÑ |~uf‚ ∗ 0

p

K

K

‡Àp

r u 21 y

®\uf†y| zUwrӔ|~} |~}ÌSSzL‚CÌSƒ}wyÌwyxCzv×C†yÌEÍEƒGwœÌfÒw  Ì zLÑ Ñ | ×Ewy|~vUƒC†y®Sz  | wyx UÌS{ ×CÑ zU£ {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚‘J‡ ?z Luf‚}rwy| Ñ Ñ^wy†yÓïwyÌă}zùwyxCz[ufÑ SÌS†y| wyxC{ wyÌïUÌS‚}rwy†yƒGw ™auSUÌf‰ ÛC|~uf‚} | wyxUÌS{ ×CÑ zU£v{ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚?Û Ó „JÛCƒEwÁ| ‚}ÌS{ zLuS}z€}wyxCzL†yzÍEÌ z€} ‚CÌfw"zU£E |~}rwlu ™auSUÌSÛC|~uf‚‘„ zS‡ ‡ „ ÒÃÌS† K = Q(√O−1, √−3) ‡ K

š ¥  Ÿ‘ v¡¬½ †  Ú¡S¨Ÿ    [¦bžJ’b  ¥ ¨© › ?zùS| ®Szù}ÌS{ zùÍEzUwNuf| Ñ~}ÌfÒ/wyxCzufÑ SÌS†y| wyxC{ | ‚>wyxCzLuS}z ì«GÒr‡‡z ˆ   ¥+b‚ ~ íG‡Y‚ ÌSƒC†ÚwNufÑ =  zœufÑ~}Ì>ÍE|~}yUƒ}y}z€Í?w  Ì>}×µz€U|~ufÑ'LuS}z€}  | wyx g =g =3 FÈ2x Ó ×µzL†yzLÑ Ñ | ×Ewy|~[UƒC†y®Sz€} uf‚ͺñ|~Luf†NÍïUƒC†y®Sz€}Úì«GÒrf‡ z ˆ   +¥  m ú { ˆŠb‚ ~ íG‡ DCÌS†"wyxCz:†N}rw}rwyzL× zÁ‚CzLz€ÍÄwy̜| { ×CÑ zL{ zL‚awwyxCzùUÌS‚}rwy†yƒGwy| ÌS‚ÄÌfÒUÌS{ ×CÑ zU£ºwyÌS†y| | wyx UÌS{ ×CÑ zU£){ùƒCÑ wy| ×CÑ |~L u\wy| ÌS‚ Û Ó O S| ®SzL‚ | ‚ z § ¾©Wª | ¶ ~ ‡¢ènxC|~}º|~}[wyxCzLÌS†yzUwy|~LufÑ Ñ Ó   zLÑ Ñ ‰ ƒC‚ÍEzL†N}rwyÌ ÌEÍJ„dwyxCz[}ƒCÛEwyÑ zUwy| z€}ÚÑ | z| ‚?wyxCz | { ×CÑ zL{ zL‚awNu\wy| ÌS‚uf‚Í  z  | Ñ Ñ^‚CÌfwÁS| ®SzÈwyxCz ÍEzUwNuf| Ñ~}nxCzL†yzS‡ Y‚ÄwyxCzÈ}z€UÌS‚ÍÄ}rwyzLב„  zÈUÌS{ ×CƒEwyzÁufÑ Ñ/ˀŒzL®SzL‚ºwyxCzUwNu[Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~L}L„a|¾‡ zS‡ „   δ | wyx δ, ε ∈  1 Z/Z θ (Ω, 0)  uf‚Í δ ε ≡ 0 mod 2 ‡ DC†yÌS{ ε wyxCz ®\ufÑ ƒCz€}ÌfÒ'wyxCzwyxCzU2wNuœÒÃC‚Gwy| ÌS‚}  z Luf‚ UÌS{ ×CƒEwyz wyxCz>®\ufÑ ƒCz€}[ÌfҏwyxCz>SzL‚CzL†Nu\wy| ‚C?ÒÃC‚Gwy| ÌS‚} „ uf‚Í ÌfҏwyxCŒz zLÑ~Í)Ìfҏ{ ÌEÍEƒCÑ~uf† ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}ÁÌfÒ"ÍEzLS†yzLz 2 u\w Ω ‡ºènxCzLÓuf†yz[ufjÛ}ÌSÑ jƒEwyz | ‚ ®\ufj†y|~uf‚awN}ÚÌfÒ*wyxCz[|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ UÑ~uS}y}L„C|¾‡ zS‡ „Cw Ì ×C†y| ‚U| ×ufÑ Ñ Óº×µÌSÑ~uf†y| éLz€ÍïufÛµzLÑ |~uf‚ï®\uf†y| zUwy| z€} „ uf†yz |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~Á | Ò'uf‚Í>ÌS‚CÑ Óï| Ò j (Ω) = j (Ω ) ÒÃÌS† k = 1, 2,A3 ‡'ufC/Ω †yzÈ|~}ÌS{ AÌS†y'×CxCC/Ω |~Ú| Ò*uf‚Í ÌS‚CÑ Óœ| Ò©wyxCzLÓºxu­®SzwyxCzÈ}yuf{ zÚ| ‚ ®\uf†y|~uf‚awNc} z ¤ ’µ+¨ }  ~ ‡ îÒ zœUÌS{ ×CƒEwyz ÒÃÌS†ùufÑ Ñ'|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{UÑ~uS}y}z€} i = 1, . . . , s „  zœLuf‚™UÌS‚}rwy†yƒGw wyxCzÈ UÑ~uS}y}n×µÌSÑ Ó ‚CÌSj{ |~ufÑ~} ‚ n

K

t

1

2

3

0

k

k

0

0

(i) k

Hk (X) =

s Y

(i)

(X − jk ), k = 1, 2, 3.

ènxCz€}z[×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}Áxu­®Sz[†Nu\wy| ÌS‚ufÑUÌ zKuœU| zL‚awN}L‡vÐ'ÌS‚awy†Nuf†y| Ñ Ó>wyÌïwyxCzºzLÑ Ñ | ×Ewy|~œUƒC†y®Sz LuS}zS„wyxCz UÌ Kz uœU| zL‚awN}uf†yzù| ‚?SzL‚CzL†NufÑ‚CÌfw| ‚awyzLSzL†N}L‡ÚènxCz}| éLzÌfÒ/wyxCz ÍEzL‚CÌS{ | ‚u\wyÌS† uf‚ÍwyxCzÄ}| éLzœÌfÒnwyxCzº×C†y| { z€}ùÍE| ® |~ÍE| ‚C>wyxCzÄÍEzL‚CÌS{ | ‚u\wyÌS†ÍEzL×µzL‚͙ÌS‚ wyxCzºÍE|~}yU†y| {‰ | ‚uf‚aw ÌfÒwyxCzvÐ*t zLÑ~Í K ‡™îÒ K xuS}u}{[ufÑ Ñ"ÍE|~}yU†y| { | ‚uf‚awïìÃ| ‚–×C†NuSGwy|~UzºwyxC|~}|~} ufÑ  u­ÓE}wy†yƒCz­íG„wyxCzºÍEzL‚CÌS{ | ‚u\wyÌS†ÈLuf‚ Ûµzœ†yz€UÌ\®SzL†yz€Ívƒ}| ‚CïwyxCzºUÌS‚awy| ‚ ƒCz€Í?ÒÆNuSGwy| ÌS‚ ufÑ SÌS†y| wyxC{ï‡ ènxCz"Ñ~uS}rw}rwyzL×[Luf‚ ‚CÌ  Ûµz}ÌSÑ ®Sz€Íùƒ}| ‚CÁuf‚ ufÑ SÌS†y| wyxC{ ÍEƒCznwyÌÈt>z€}rwy†yzÁìÃ| ґÙƒEw (C) ' „ z »    | m ~ íG„'uf‚Í | wN}ù{ ÌEÍE| µLu\wy| ÌS‚”Û ӖÐ*uf†NÍEÌS‚u™ìPÒÃÌS†Ñ~uf†ySzL†ùufƒEwyÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ f Z/2Z S†yÌSƒC×}L4„ z œ  EŸ b‚ ~ íGw‡ „ÌfwyzÚwyxu\wu×C†y| { | wy| ®SzùÐ*è t zLÑ~Í ìÃ|¾‡ zS‡ „uœÐ*è t zLÑ~Í xC|~NxÄ|~}nzL| ‰ wyxCzL†‚CÌS‚E‰î‚CÌS†y{[ufÑ ÌS†^xuS}/uÁUÓEUÑ |~"ÚufÑ ÌS|~}^S†yÌSƒC×µíƒ}ƒufÑ Ñ ÓÈxuS}©wy†y| ® |~ufÑCufƒEwy ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ S†yÌSƒC׺zU£CUzL×Ew"ÒÃÌS†nwyxCzÈLuS}z K = Q(ζ )  xC|~Nxï|~}  zLÑ Ñ ~‰ = ‚CÌ  ‚‘‡ i=1

5

vŽ (Œ ku°wh‹ y º y 

zvwhy ‰ 2“s1^w Œ  | q%  ‰ 8  { .

‡À



Y‚?ÌSƒC†wNufÑ = zufÑ~}̜au­®SzÈzU£Cuf{ ×CÑ z€}ÌfÒ'UƒC†y®Sz€}ÌfҐSzL‚ ƒ} Ï uf‚ÍvˆœÌ\®SzL†Ñ~uf†ySz:‚C| wyz zLÑ~ÍC}  xC|~Nx   zL†yz UÌS‚}rwy†yƒGwyz€Ívƒ}| ‚CÄwyxCzœufÑ SÌS†y| wyxC{ ufÛµÌ\®Sz uf‚Í?| wN}Ú{ ÌEÍE| µLu\wy| ÌS‚ ÒÃÌS†"SzL‚ ƒ} 3 ‡ 

€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î / Ð )ÒÆ؇Õá°Õ€å$ՀØgÛYeb× Ý¬Þ K´Õ$â·ÜbÙGå‹× Ý¿æTD   ï  é°éê  s&!G ï  %&!  W'"ï è þ ùƒ.!÷yúøq9:!,‹ø>=vûÃþ¯C)ÿþGè
!)þGï G!Cæ) > Î ç+&)Ò ‰Õ&Ï´å‹Ù&ҋÜbÝåcæP@
M ìlê%c4è!òéê  4è!òê [è[&EÜG gÜG .þE[0yô0y÷Wö E[0>ö1 €fg<1 ø&߃þ>!)ÿ þè

×þGï +k!Õ!´ÐvÚå¿¿ æ /  ì%/  ék&   W'"è!ò%/èê ^òyè!cê M Wî+è þgfôôvø  kùƒ.!÷yúø  Púü"þ¯CÿþGï Gæ × Î 1iü )Ò M‰P Õ McÜb× ebØ Þ Ø‡A Õ D ØYÝ Ìæ çlè ¯  êé  è è!ò/ç Ð ÷í \D éC& éê W þf!)þ
è &!ïïC&$ ƒùƒ.!÷yúgø 9:! , ‹ø Î Ð  Ò ç‹Õ ã!K´Õ‹â·ØÚÛvÙØMæ/çlè ¯  êé  è°$éèê  +$  2 § ïG&  g$ ê l%/èí ê W þç+&! ¯    èé  è þCÿþ\^ è!B Ð & ì þGè G×þ Ï  ! UìG !ê  Ï è ¯ èþ Ï è ¯ èþ Ð /cþ‹C' þGï +B Cæ )×
Î \DfÑ >Ò ,^Õ ÏkÕ+ß´Ü Nvã× ¬Þ â¬ÕgÓfqÕ acØããägå‹Ý¼– æ /$à %/ï èCÃ&! è!  ì% òyè!féè%/ïê í  k è&  ì%/ gè GF(p) &!G‡ é'ï è!&!ïì é´   ÜGéC&!é' þvó)[)[ä ) .!ô ø ó ô R,/.!÷20 !à ô búSö 5œ¨©ª
ü j·þ¯CÑ >ÿ þGè
‹'þGï vCCæGC Î " ì ) >Ò ‰[ Õ ,YNv× Eä ÐvÙGåÌL æ f6ö1 0-.!ôÌõ!. 0>ö÷20>ö –hD0y÷yL ú 8!!, 1 £ö ÒUP , 1 ÷20 1 0 8 .!÷20 !ô .!&ô ·7 , B * 1 . 2  &ô 8÷20 !ô Žþ+\^  é è Ð & ì%&  éC&! "   W þè
× þ\^  é èÿ
   W' \^  W þ&\^  é èþ'_^þ‹C) > Î ü GÒ Ø‡Õ D ØYÝ c_ æ / é &!  bè!òì('ï    ï  élç Ð í>éê  bè!òê v ì ' þ
3<ø Zg.!,/.!ô QC.!ô ùƒ.!÷yú.ø 4&B8øvPû ="þ>!ÿ þè

×þGï )Cæ Ñ Î ü G)Ò þ4çlè ¯  êé  ‡ì('ï    ï  écéê 
è!ò+ê f/ ê &! còyè!fé'ï è!í &!ïì(' þùƒ.!÷yúgø 9:! , ‹&ø úü"þ>!)ÿ þGè
H×' þï
×<

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»Ä•ÅÄ>ÆU È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ä

í‰ä ã Ø\ÞÚ

×\Ø\ñ‰âçà Ø\Üaåä ãcÝNälÛCÞ؃يÚ

ó K¬«$øw&NMN'äQ
$“$ ³ L

Ð & ì%&  éì cûW ¯  ê þ2TDéU ¯ Bƒ'þ  í¯Ñ!C× I   ê þ[#
 %&!(' )+*-,/.!02143Q­((78:Fl<±P(:FG6J
w59FFBEFG6I9wb<78

a }¾ \ ¿ K Wa Ìξc¾ É ] ,_ ¿Ç¾Ž¿ Ê ÉÏWY ¾saR{ÇÍW_C\ V'Ï ¾ Ñ a\ _ Ê Í Ó Ì>_ V à G _` K  K L!NO-PQR!OS š a\ V a ÏmÊ _ É Í
_ É P M Ê É _ É ¾ ™hÏ _ ™ _ É ¾4] _ÌÎÌξŽÍmÃ_ É ¿Ç¾ É ]Ž¾ h Ê ÏWYÏWY ¾4] _ ÉUT>VÇÓ a]X] \ aWÍmÍm¾ŽÍ_`ǿǾ ] _CZAÃ_Í Ê ÏmÊ _ É Í V K{ Ó Ì>_ V ÃÇÍ _` G h YÇÊ ] Y °yaWÃ(aWÌ Ï ` Ì>_CZ³` ¾ h ¾£¶]Ž¾ŽÃ ÏmÊ _ É Í"Áf]a É {¾c] Y aWÌWa] Ï ¾ŽÌ Ê j ¾Ž¿ Ê ÉCÓ Ì>_ V à ÏWY ¾ _Ìξ ÏmÊ ] Ï ¾ŽÌ>ZAÍÀ aWÌξsZMaq¶ Ê ZMa\Í V { Ó Ì>_ V ÃÇÍ´_` D_ ÇV ÓCKY \  X Ímþa ,Ê ÉÇÓ Â¿Ç¾ ] _CZAÃ_Í Ê ÏmÊ _ É Í V { Ó Ì>_ V ÃÇÍ´_` h Ê ÏWY a ‚ X\ _ h ™ Í V { Ó Ì>_ V ÃM] _ ÉKÏ a Ê ÉÇÊ ÉÇÓ a É _ É™hÏ Ì Ê Ë'Ê a\aR{¾ \ Ê a ÉAÉ G_KÌ>ZMa\Í V { Ó Ì>_ V ûÀ T ¾eÍ  ¾ Ï ] YAÏWY ¾lGZMKa Ê ÉÊ ¿Ç¾aWÍ _` ÏWY ¾wÃÇÌ>_!_Î` À . Y ¾ XaWÌξ

U¤ ¥ žLŸ\¦‘§©¨©¡fž€ª«¦ ¥ …*ÓÈÙ†wy| ‚E‰ŽXENxC†yzL| zL†‘wyxCzLÌS†yÓS„\ÌS†NÍEzL†y| ‚Ca}©uf†yz'zL‚UÌEÍEz€ÍÈ| ‚ÈwyxCz"ufÛ}ÌSÑ ƒEwyz"ÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒC× ÌfÒ/uzLÑ~Í F©wyxCzLÓÄuf†yz| ‚ïÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚CzÚUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz  | wyx G := Gal(K /K) UÌS‚rƒCauSUӜUÑ~uS}y}z€}nÌfÒ©| ‚ ®SÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}ÚKìÃzLÑ zL{ zL‚awN}"ÌfÒ^ÌS†NÍEzL† 2í'| ‚ G ‡ ènxCzSÌaufÑ©ÌfÒ'wyxC|~}‚CÌfwyz |~}wyÌï}xCÌ xCÌ ÌS‚Cz Luf‚ÍE†Nu uÄ}| { | Ñ~uf†×C|~GwyƒC†yz  ‡ †€‡ w€‡ ìÐSzL‚CzL†NufÑ !چyƒCÑ ÑPí*®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}L‡"Îì DCÌS†ÍE zUwNuf| Ñ~}" }zL‰z z !ÚÕ ~ íG‡  @‚EÒÃÌS†wyƒC‚u\wyzLÑ ÓS„\wyxC|~}Luf‚C‚CÌfwufÑ u­ÓE}ÛµzuSNxC| zL®Sz€ÍJe ‡ DCÌS†/zU£Cuf{ ×CÑ zS„\wyxCiz zLÑ~Í ÌfґÒÃÌS†y{[ufÑµ×µÌ  zL†n}zL†y| z€}'Ì\®SzL† C xuS }'wyxCzÚ}yuf{ zÚufÛ}ÌSÑ ƒEwyzڍÚufÑ ÌS|~}'S†yÌSƒC׺uS}nuf‚ Ó C((t)) ‚C| wyz mbn

sep

K

K

9CVÇÉ ¾wÔBl WÏ Y

ÂÔÕÕWÖÇÀ

‡ÀÀ

º!r>W
® 4 w‚1M q

y 

zLÑ~Í F „S}ÌwyxCz t‰YuSÍE|~'®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ÌS‚ C((t)) |~}^‚CÌfw^†yzK•z€Gwyz€Íù| ‚ G ∼= G ∼= Zˆ „ Ûµz€Lufƒ}z F xuS}n‚CÌ ‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑd®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ïu\wufÑ Ñ¾‡ èÌïzU£CUÑ ƒÍEzwyxC|~}Áuf‚Í uºÒÃz ÌfwyxCzL†ÁzU£CUzL×Ewy| ÌS‚ufÑLuS}z€} z xu­®SzùwyÌï†yz€}rwy†y|~GwÁÌSƒC†‰ }zLÑ ®Sz€}wyÌÄwNuf{ zLÑ ÓvÛC†Nuf‚NxC| ‚CÄ ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}L‡l-zL‚CÌfwy| ‚CÄÒÃÌS†ÈuÄ ®\ufÑ ƒCz€ÍƒzLÑ~Í (K, v) wyxCz ®\ufÑ ƒCzºS†yÌSƒC×$ì †y| wwyzL‚2uSÍCÍE| wy| ®SzLÑ ÓCíG„^wyxCzÄ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚”†y| ‚C„^wyxCzÄ{[u\£E| {[ufÑ*|~ÍEz€ufѾ„uf‚Í wyxCzÁ†yz€}|~ÍEƒCz zL Ñ~ÍÄÛ Ó Γ „ O „ M uf‚Í Kv := O /M „EwyxC|~}"|~}ÍEKz ‚Cz€ÍÄuS}*ÒÃÌSÑ Ñ Ì  },F £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥ –b˜ – n áÀ\Z\T BZ\½¾F«¼\O v ¼\O K F~I KNZ\TPT RNÉ ž€v  ¡   † ŸÎ›©Ÿ\  ¥ ¡ ¾©ª ¥ ’ ™  Ež pš F ¿>½ÃMCRUDyRvF~IZÄødDGFPX[R p 6= char Kv Â/FP½ÃM d (v) := dim Γ /pΓ > 1 bœZ\OdÇÉ b[F ¿ ½ÃMCRUO p | ]G ™ R
BEFPÀ\Z\T RUO½¾T Çb d (v) > 1 < d (v) + vcd (G )š œ d (v) = 1 DCÌS†'wyxCzÚNxuf†NuSGwyzL†y| é€u\wy| ÌS‚[ÌfÒ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}'| ‚ºS†yÌSƒC×[wyxCzLÌS†yzUwy|~wyzL†y{[} z  | Ñ Ñ  ÌS>† =  | wyxÄwyxCz £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥ –b˜W¨ n á$ødDyŽ¼ OFP½YRÅfDy¼\B€ø™F~IùKNZ\TPT RNÉïZ ¿  ¥    † ’Ÿ\¦µ[¨ ½ F ¿ÁFP½'MCZ­IZ[Od¼\OW ødDy¼€KK SKUT F«ˆK \T ¼\ IGBãîÅfDy¼\B€ø P 6∼= Z (Z/2Z) Â/FP½ÃM)Z?Od¼\OWY½¾DGFPÀ€F«Z\T"ZSãNRUT F«Z\O Od¼\DGX[Z\T IGBãîÅfDy¼\B€ø N / P œ ènxCzÚ{[uf| ‚ï†yz€}ƒCÑ w"|~}*wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C O ¯Å švá *RUT É F~I[MCRUOCILRUT F«Z\O  œ D œ ½ œ Z?½YZ\X[RUT  
‘D’“‹”’•—–b˜² n HdMCRN¼\DyRUX IFP0 ãUDyZ\OdKNM FPO źÀ\Z\T BZ\½¾F«™ ¼\O?F Í G F~Iù¨Z ùRUÇOC° ILRUTµÅfDy¼\B€ø œ K „Ìfwyz wyxu\w ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ }ƒCÛCS†yÌSƒC×}ïÌfÒ uf†yŒz rƒ}rwvwyxCz2ufÛ}ÌSÑ ƒEwyz–ÚufÑ ÌS|~} S†yÌSƒC×}*ÌfÒ^xCzL‚}zLÑ |~}yu\wy| ÌS‚}nÌfÒ K „ wyxu\wxCzL‚}zLÑ |~}yu\Gwy| ÌS‚}  ‡ †€‡ w€‡/wNuf{ zLÑ ÓºÛC†Nuf‚NxC| ‚C®\ufÑ ‰ ƒu\wy| ÌS‚} uf†yzºwNuf{ zLÑ Ó™ÛC†Nuf‚NxC| ‚C„/wyxu\w wyxCzïxCzL‚}zLÑ |~}yu\wy| ÌS‚}ùÌfÒ uf†yzºwyxCzï{ | ‚C| {[ufÑ xCzL‚}zLÑ |~uf‚?zU£ wyzL‚}| ÌS‚}ÌfÒ K „‘uf‚Í>wyxu\wÒÃÌS†ÁCu C£Ez€Ív®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚vÌSK‚ K „‘ufÑ Ñ^xCzL‚}zLÑ |~}yu\‰ wy| ÌS‚}"uf†yzÁUÌS‚ rƒCau\wyzS‡/èÌSSzUwyxCzL†  | wyxÄwyxCzÚwyxCzLÌS†yzL{ ufÛµÌ\®SzS„awyxC|~}"Ñ z€uSÍC}*wyÌ wyxCzÁ†yÌSƒCSx ×C|~GwyƒC†yzwyxu\w"®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}*ÌS‚ K uf†yz| ‚ÄÌS‚CzU‰¾wyÌf‰îÌS‚CzUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍEzL‚Uz  | wyxïUÌS‚ rƒCauSUÓ UÑ~uS}y}z€}nÌfÒ/{[u\£E| {[ufёxCzL‚}zLÑ©}ƒCÛCS†yÌSƒC×}nÌfÒ ‡nènxC|~}×C|~GwyƒC†yzÁ|~}UÌS†y†yz€Gw"| Òr„zS‡ ‡ „µufÑ Ñ wNuf{ zLÑ ÓÛC†Nuf‚NxC| ‚CÁ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}ÌS‚ G uf†yz"G†Nuf.‚ =a‰ 1 ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}ìÃ|¾‡ zS‡ „ ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}  | wyx uf†NNxC| { z€ÍEz€uf‚>®\ufÑ ƒCzùS†yÌSƒC×µíG‡Y‚vSzL‚CzL†NufÑ| wÚ{[u­Óïxuf×C×µzL‚>wyxu\ww ÌÄÍE|~}rwy| ‚GwÚ®\ufÑ ƒu\‰ wy| ÌS‚}Úxu­®SzùwyxCzœ}yuf{ zxCzL‚}zLÑ |~}yu\wy| ÌS‚}L„uf‚ÍvwyxCzL‚ G ÍEÌ z€}ڂCÌfwÈ} zLzwyxCzœÍE| † =wyxu\w/ÌS‚Cz*ÍE| †yz€Gwy| ÌS‚ù| ‚ùwyxCz'wyxCzLÌS†yzL{ |~}^uf‚ùz€uS}ÓÁuf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚ùÌfÒ SzL‚CzL†NufÑ †Nuf{ | µLu\wy| ÌS‚ùwyxCzLÌS†yÓS‡îÒ (K, v) |~}^xCzL‚}zLÑ |~uf‚®\ufÑ ƒCz€Í uf‚Í| Ò V uf‚Í T uf†yz'wyxCz †Nuf{ | µLu\wy| ÌS‚º†yz€}ב‡©| ‚CzL†wy|~u }ƒCÛCS†yÌSƒCלÌfÒ ì ‡ †€‡ w€‡^wyxCzڃC‚Ch| ^aƒCzÚ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚œÌfÒ wyÌ K í*wyxCzL‚ V uf‚Í T uf†yzÁ‚CÌS†y{[ufё}ƒCÛCGS†yÌSƒC ×}"ÌfÒ G „ V |~}nwyxCzȃC‚Ch| ^aƒCz X Ó Ñ Ì  ‰ vl }ƒCÛCS†yÌSƒC×>ÌfÒ T „  xCzL†yz l = char Kv ì«uf‚Í V = 1 ÒÃÌS† l = 0íG„ T /V |~}wyÌS†N}| ÌS‚E‰¾ÒÆyzLz ufÛµzLÑ |~uf‚ | wyž x X Ó Ñ Ì ‰ }ƒCÛCS†yÌSƒC×}ÌfҏwyxCzïÒÃÌS†y{ uf‚Í ‡ X Ì ˜ | Ò v |~}[u xCzL‚}zLÑ |~uf‚2 ®\pufÑ ƒu\wy| ÌS‚2ÌS‚ K „wNuf{ zLÑ Ó–ÛC†NZuf‚NxC| ‚C u\w Gp „'wy/TxCzL‚2∼=wyxCGz>ƒC‚Ch| ^aƒCz ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚ w ÌfÒ v wyÌ wyxC:z C£Ez€HÍ zLÑ~ÍïÌfÒ/Cu X Ó Ñ Ì  ‰ p }ƒCÛCS†yÌSƒC× P ÌfÒ G †yzL{[uf| ‚} 

q

Fq

C((t))

q

v

v

v

v

v

p

2

p

Kv

Fp

p

v

v

p

p

Kv

2 XI

K

K

K

K

K

sep

K

K

dp (v) p

K

Kv

K

4x ^w

y¾1 y  ) 

t

‡À

·Œ»y4xŽyZ‹w)



F“

{

Í

Cx zL‚}zLÑ |~uf‚uf‚Í d (w) = d (v) ‡ènxCz| ‚CzL†wy|~uÄ}ƒCÛCS†yÌSƒC× N ÌfÒ P |~}wyxCzL‚ uº‚CÌS†y{[ufÑ }ƒCÛCS†yÌSƒC×ÌfÒµwyxCznÒÃÌS†y{ Z „S|¾‡ zS‡ „S‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑCuf‚Í ufÛµzLÑ |~uf‚‘‡’zL‚Uz G |~}uÚxCzL‚}zLÑ S†yÌSƒCב‡ p

p dp (v) p

K

‘¦ ¦ †  ? xCzL‚ÁÌS‚CzÑ Ì Ì=E}‘u\w‘wyxCz/wyxCzLÌS†yzL{ | w{[u­Ó}zLzL{ }ƒC†y×C†y|~}| ‚Cnwyxu\w©u_X Ó Ñ Ì }ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ G ufÑ †yz€uSÍEÓN= ‚CÌ  }[}ƒNx u †Nuf†yzï×C†yÌS×µzL†wrÓ”Ñ | =Sz>xCzL‚}zLÑ |~uf‚C| wrӖÌfÒ K ‡ ?z  | Ñ Ñ }zLzS„dxCÌ zL®SzL†€„Cwyxu\wwyxC|~}|~}uºSzL‚CzL†NufÑ×CxCzL‚CÌS{ zL‚CÌS‚–ìÎj‘zL{ {[u Ï ‡ Ë­íG‡Úîwچyz€ÍEƒUz€}"wyxCz wyxCzLÌS†yzL{Ø wyÌwyxCzÈLuS}z  xCzL†yz G |~}u×C†yÌf‰ p S†yÌSƒCב‡ Y‚ wyxC|~}ï}×µz€U|~ufÑÁLuS}z zLuf‚$UÌS‚}rwy†yƒGwÄ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}œÒÆyÌS{ ‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufя‚CÌS†y{[ufÑ ufÛµzLÑ |~uf‚$}ƒCÛCS†yÌSƒC×}œÛµz€Luf ƒ}z?wyxCz€}z}ƒCÛCS†yÌSƒC×}º×C†yÌEÍEƒUz?® |~u–}ÌS{ 8z = | ‚Í;ÌfÒÈÑ ÌELufÑ †yz€U| ×C†yÌEU| wrÓºÑ~u  ìÃ}| ‚Cº‚CÌS†y{[}NCí ± †y| S|~ÍïzLÑ zL{ zL‚awN,} µ| ‚ K „|¾‡ zS‡ „dzLÑ zL{ zL‚awN} a ∈ K }ƒNx wyxu\w K˙ + aK˙ = K˙ ∪ aK˙ ‡ îÒ (K, v) |~}œxCzL‚}zLÑ |~uf‚ uf‚͖wNuf{ zLÑ Ó2ÛC†Nuf‚NxC| ‚C u\w „"wyxCzL‚$uf‚ Ó |~}º†y| S|~Í)| ‚)wyxC|~}Ä}zL‚}zS‡4Ð'ÌS‚ ®SzL†N}zLÑ ÓS„ | wyx | wÈwypƒC†y‚}ÚÌSƒEwÈwyxu\wÈa †y∈| S|~Í?KzLÑ  zL{ zL‚av(a) wN}Èuf†yz[6∈ufÑpΓ{ Ìa}rwùufÑ  u­ÓE}ÌfÒ*wyxC|~}ÚwrÓ ×µzS„wyxu\wÈÌS‚CzœLuf‚ UÌS‚}rwy†yƒGw"wNuf{ zLÑ ÓºÛC†Nuf‚NxC| ‚C ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}nÒÆyÌS{¬ì«}ƒ uœU| zL‚awyÑ ÓÄ{[uf‚ ÓCí*†y| S|~ÍÄzLÑ zL{ zL‚awN} | ‚ K Îì j‘zL{ {[u Ï ‡ Ï íG‡ ›^n>mbn ¿  ¥    † ª ¥ ’?§©¦ ¥ n ’zL‚}zLÑ |~uf‚C| wrÓºufÑ u­ÓE}'SÌ z€}*ƒC×ÄwyÌ[ufÑ SzLÛC†Nuf|~zU£ wyzL‚}| ÌS‚,} F îÒ (K, v) |~}xCzL‚}zLÑ |~uf‚ve uf‚Í F/K |~}uf‚?ufÑ SzL ÛC†Nuf|~ÚzU£ wyzL‚}| ÌS‚ïwyxCzL‚>wyxCzƒC‚Ch| ^aƒCzù×C†yÌf‰ Ñ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚>ÌfÒ v wyÌ F |~}ufauf| ‚vxCzL‚}zLÑ |~uf‚‘‡Y‚vÒÃz  }×µz€U|~ufÑ^LuS}z€}L „ ’zL‚}zLÑ |~uf‚C| wrÓ>ufÑ~}Ì SÌ z€}"ÍEÌ  ‚MF & ’•Å•¬« ¨D˜ – n 9RU½ ãNRZ\OÄZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«KÁ>R +S½YRUOCIGF«¼\OœÂ/FP½ÃM b©Z\OdÉÁT RU½ ãNRZ MCRUOCILRUT F«Z\OvÀ\Z\T BZ\½¾F«¼\O?F/K ¼\O F ©M F«KNMÄF~IÁKN¼\XøZ\DyZSãUT RȽY¼ Z\O œ¼\F½ÃMCRU6=DFMCRUOCILRUT F«Z\OvÀ\Z\T BvZ\½¾F«¼\O ¼\O F bZ\OdɺF ¿ F v F~IùDyRNZ\TKUT ¼­ILRNÉ>Z­INIGBEX[Rù½ÃMCZ\½"Od¼ÁødDy¼yøRUD[KN¼€Z\DNILRUOFPO Åv¼r¿ v MCZ­IùDyRNZ\T KUT ¼­ILRNɜDyRGIGF«É\B%R *RUT É œ áINIGBEX[RÁ½ÃMCZ\½ ËS‡ bF R b F~IÁOd¼\DGX[Z\T b*¼\D Ï ‡ G[F : /K]G < ∞œ œ ¼\D F/K ˆC‡ G F~IùlZ \T ¼\Â/W p IGBãîÅfDy¼\B€ø™¼r¿ G œ HdMCRUO v := v | F~IMCRUOCILRUT F«Z\O œ ¢*Dy¼€¼r¿ n Ý"z€LufÑ Ñ©wyxu\wÈC u zLÑ~Í?{[u­Óïxu­®Sz}zL®SzL†NufÑ©xCzL‚}zLÑ |~uf‚?®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}L„JÛCƒEwÁ{ Ìa}rwÚÌfÒ wyxCzL{¬uf†yz UÌS{ ×uf†NufÛCÑ zïìÃ|¾‡ zS‡ „‘wyxCzL†yz |~}Áuf‚| ‚UÑ ƒ}| ÌS‚ÌfÒn®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚†y| ‚Ca}Ní FÚÙ‚ Óvw  Ì xCzL‚}zLÑ |~uf‚$®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}  | wyx$†yz€}|~ÍEƒC8z zLÑ~Í$‚CÌS‚E‰Y}zL×uf†NufÛCÑ Óa‰YUÑ Ìa}z€Í)uf†yzUÌS{ ×uf†NufÛCÑ z uf‚Í2wyxCzLÓ uf†yzvufÑ ÑUÌauf†N}zL†vìÃ|¾‡ zS‡ wyxCz?®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ †y| ‚C™|~}œÑ~uf†ySzL†Gíùwyxuf‚)wyxCÌa}z  | wyx }zL×uf†NufÛCÑ ÓùUÑ Ìa}z€Í †yz€}|~ÍEƒCiz zLÑ~ÍvìPwyxC|~}SzL‚CzL†NufÑ | éLz€}uf‚[ÌSÑ~ÍùwyxCzLÌS†yzL{ ÌfMÒ D*‡ ! Z‡ XENxC{ |~Í w€„ GÒrÌ ‡ z ®P®/®b® ~ íG| ‡ X ÌvwyxCzÄUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ wyxu\w v ÛµzÄUÌS{ ×uf†NufÛCÑ z wyÌuf‚ ÓÌfwyxCzL†ùxCzL‚}zLÑ |~uf‚ ›^n–•

K

K

p

p

p

p

v

sep

F

K

F

K

K

K

‡À)°

º!r>W
® 4 w‚1M q

y 

®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚œÌS‚ F |~}*z'^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw'wyÌùwyxCzÚUÌS‚ÍE| wy| ÌS‚[wyxu\w*ÒÃÌS†nuf‚ Ó ×C†yÌS×µzL†nUÌauf†N}zL‚C| ‚CÈÌfÒ wyxCzÁ†yz€}|~ÍEƒCzzLÑ~ÍÄ|~}n‚CÌS‚E‰Y}zL×uf×uf†yÛCÑ Óa‰YUÑ Ìa}z€ÍJ‡ v ËS‡îÒ |~}^‚CÌS†y{[ufѾ„­wyxCzL‚[uf‚ ÓÈ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚ÈÌfÒ wyÌ |~}/UÌS‚rƒCau\wyz*wyÌ „S|¾‡ zS‡ „ ÌfÒ wyxCzÒÃÌSF/K †y{ v◦σ ÒÃÌS†}ÌS{ z σ ∈ Aut(F/K) ‡/ðÒCUÌSƒC†N}vzS„ v◦σF|~}ufauf| ‚ÚxCzL‚}zLÑ |~uf‚œv ìÃzS‡ ‡ „ Û ˆÓ ’zL‚}zLmÑ  }nÑ zL{ {[uaíG‡*…*ƒEwUÌS‚ rƒCau\wyzÚ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}"uf†yzÚ| ‚UÌS{ ×uf†NufÛCÑ zS„C}Ì v ◦ σ = v „ Ûµz€Lufƒ}z v |~}UÌS{ ×uf†NufÛCÑ zwyÌ[uf‚ ӜÌfwyxCzL†"xCzL‚}zLÑ |~uf‚Ä®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ÄÌS‚ K ‡/ènx ƒ} v |~}*wyxCz ƒC‚Ch| ^aƒCzÚ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚œÌfÒ v wyÌ F „Cuf‚ÍÄ}| ‚Uz v zU£ wyzL‚ÍC}nƒC‚Ch| ^aƒCzLÑ Ó[wyÌwyxCzÈufÑ SzLÛC†Nuf|~ UÑ Ìa}ƒC†yzS„E}Ì[ÍEÌ z€} v ‡ Ï ‡©îÒ F/K |~}*uÁ×C†yÌS×µzL0† ‚C| wyzzU£ wyzL‚}| ÌS‚[wyxCzL‚‘„aÛ Ó[Ù†wy| ‚EŽ‰ XENxC†yzL| zL†/wyxCzLÌS†yÓS„ [F : ‡ ’zL‚UznwyxCzn‚CÌS†y{[ufÑ x ƒCÑ Ñ ÌfÒ  |~}^‚CÌfw}zL×uf†NufÛCÑ ÓÈUÑ Ìa}z€ÍJ‡©ènxCz"ƒC‚Ch| ^aƒCz K] = ∞ ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚ v ÌfÒ v wyÌ F wyxCzL‚ F| ‚CxCzL†yF/K | wN}ÚwyxCz[x Ó ×µÌfwyxCz€}z€}ÚÌS‚?wyxCzœUÌS{ ×uf†NufÛC| Ñ | wrÓ | wyxïÌfwyxCzL†"xCzL‚}zLÑ |~uf‚Ä®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}L„Cuf‚Í  zÁ{[u­Óœuf×C×CÑ ÓÄLuS}zËS‡^wyÌ (F , v ) ‡  ˆC‡ j‘zUw'ƒw} †N}rw*uS}y}ƒC{ znwyxu\w uf‚Íwyxu\w |~}‚CÌfw'†yz€ufÑUÑ Ìa}z€ÍJe‡ ?z }xufÑ ÑuS}y}ƒC{ zwyxu\w char F v 6= pF vìPÒÃÌS6=†"(F wyxCzÁv)×C†yÌ ÌfÒ^| ‚ï'z ^aƒufÑFNvxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ p > 0 ÌS‚Cz xuS}wyÌ  ÌS>† =  | wyxÄÙ†wy| ‚EŽ‰ XENxC†yzL| zL†‰| ‚º×CÑ~uSUzÌf4Ò !ڃC{ { zL†‰îzU£ wyzL‚}| ÌS‚}L„auf‚Í[| ‚º{ | £Ez€Í Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ (0, p) ÌS‚CzùxuS}wyÌïuf×C×CÑ Ó>uf‚?z€uS}Óºwy†Nuf‚}Ñ~u\wy| ÌS‚>ÒÆyÌS{ †yz€}|~ÍEƒufÑ^Ù†wy| ‚E‰ XENxC†yzL| zL†‰îzU£ wyzL‚}| ÌS‚}nwyŒ Ì !ڃC{ { zL†zU£ wyzL‚}| ÌS‚}ÌfÒ „JGÒrJ‡ j‘zL{ {[uĈC‡ Ï ÌfMÒ z { D¦   b‚ ~ íG‡ Ý"zL×CÑ~uSU| ‚C K Û Óœ:u ‚C| wyzÁ}ƒCÛµzU£ wyzL‚}| ÌS‚ºÌfÒ F/K  Kz{[u­ÓwyxCzL‚ÄuS}y}ƒC{ z ìÃ}| ‚C LuS}z Ï ‡ íÈwyxu\w K UÌS‚awNuf| ‚}nu×C†y| { | wy| ®Sz p‰¾wyxĆyÌ Ìfw ζ ÌfÒ^ƒC‚C| wrÓÄuf‚͜wyxu\w Kv 6= Kv ‡ „Ì uS}y}ƒC{ zœwyxu\w v xuS}ùw  Ì?×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚}ÁwyÌ F ‡–ènxCzL‚–wyxCzL†yzÄ|~} ƒu ‚C| wyz }ƒCÛµzU£  wyzL‚}| ÌS‚ L/K ÌfÒ F/K | wyxÈw ̏ÍE|~}rwy| ‚Gw/×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚} ÌfÒ v ‡ Ð'xCÌ Ìa}z a ∈ O  | wyx[†yz€}|~ÍEƒC zn‚CÌfw' u p‰¾wyx×µÌ  zL†ìPwyxC|~}|~}^×µÌa}y}| vÛCÑ z"=Ûµz€vL|ufƒ6=}z vLv /Kv |~A} ‚C| wyzùuf‚Í Kv 6= Kv |~}‚CÌfw†yz€ufÑUÑ Ìa}z€ÍíGA‡ X | ‚Uz v uf‚Í v uf†yzÁ| ‚UÌS{ ×uf†NufÛCÑ zS„ z€u =–uf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚–×C†yÌEÍEƒUz€}œuf‚)zLÑ zL{ zL‚aw x ∈ (1 + M ) ∩ (a + M ) ‡ …*Ó  ’zL‚}zLmÑ  A } j‘zL{ {[uC„ ‡ ’zL‚Uz √ |~}"u ÚufÑ ÌS|~}n}ƒCÛµzU£ wyzL‚}| ÌS‚ÄÌfÒ w ÌfÒ ÍEzLS†yzLz p  xC|~NxÄ|~}nx| { ∈×µFÌa}y}| ÛCÑ zÚÛµz€LufL(ƒ}z Gx)/L|~}"u X Ó Ñ Ì  ‰ p }ƒCÛCS†yÌSƒC׺ÌfÒ G „CF/K uf‚ÍÄ}Ì ufÑ~}ÌÌfÒ G %‡ X Ì v |~}"xCzL‚}zLÑ |~uf‚ïu\ÒPwyzL†ufÑ Ñ¾‡ ènxCz?‚CzU£ w>LuS}z>wyÌ2Ûµz UÌS‚}|~ÍEzL†yz€Í)|~}œwyxCz LuS}zvwyxu\w |~}ïu”†Nuf.‚ =a‰ ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ uf‚Í F v |~}‚CÌfw†yz€ufÑ^UÑ Ìa}z€ÍJ‡Y‚vwyxC|~}ÚLuS}z  zùxu­®Szù}rwy†yÌS‚CÄv uf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy1| ÌS‚ÄÒÃÌS†Áuf‚ Ó ÍE|~}rwy| ‚Gw[×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚}ÈÌfÒ wyÌ ƒu ‚C| wyzïzU£ wyzL‚}| ÌS‚”ÌfÒ uf‚͙wyxCzïufÛµÌ\®Szº×C†yÌ ÌfÒ Luf‚ÛµzœuSÇÍ rƒ}rwyz€Í?wyÌïwyxC|~}È}| vwyƒu\wy| ÌS‚ƒ}| ‚CvÍEzL‚}| wrÓvÌfÒ"uĆNufK.‚ =a‰ 1 ®\ufÑ ƒCz€8Í zLÑ~Í| ‚ | wN} xCzL‚}zLÑ |~}yu\wy| ÌS‚ïuf‚ˆÍ !چNuS}‚CzL'†  } j‘zL{ {[u | ‚Ä×CÑ~uSUzÁÌfÒ ’zL‚}zLmÑ  c} j‘zL{ {[uC‡ ènxCzÈwyxC| †NÍvLuS}zÈ|~}"wyxu\w ‡ ;| wyxCzL†wyxCzL†yzù|~}u[†yzLÑ~u\wy| ®SzȆNuf.‚ =a‰ UÌauf†N}r‰ _ zL‚C| ‚C w ÌfÒ v „C|¾‡ zS‡ „ v | ‚ÍEƒUz€F}"vu =†NufF.‚ =av‰ 1 ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v/w ÌS‚ F w ± wyxCzL‚ÄwyxCz 1†N}rwLuS}z uf×C×CÑ | z€}wyÌ uf‚ÍvwyxCz[}z€UÌS‚ÍvwyÌ ± wyxC|~}Á}ƒ uœUz€}Á}| ‚UzwyxCVz ± UÌS{ ×µÌa}z€ Í J®\ufÑ ƒu\‰ wy| ÌS‚ v |~}wxCzL‚}zLÑ |~uf‚>| <ÛµÌfwyx w v/w uf‚Í uf†yzS‡ð† |~}nwyxCz | ‚awyzL†N}z€Gwy| ÌS‚ ÌfÒJwyxCz®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ †y| ‚Ca}ÌfґufvÑ Ñ×C/w †yÌS×µzL†'=UÌa(v/w) uf†N}zL‚C| |‚Ca}/ÌfÒ v „ uf‚Í[}O| ‚UzwyxCzLÓ uf†yzÚxCzL‚}zLÑ |~uf‚ÄÌS‚ K Û Ó[wyxCz †N}rwLuS}zS„E}Ì |~} v ‡ D©| ‚ufÑ Ñ ÓS„€| Ò |~}‘†yz€ufÑfUÑ Ìa}z€Í  zLuf‚Úuf×C×CÑ ÓwyxCz×C†yzL® | ÌSƒ}JLuS}z^wyÌ F (√−1)/K(√−1) uf‚ͺƒ}z Ï ‡/ufaFufv| ‚‘‡ K

K

K

sep

0

0

0

0

0

sep

p

p

K

1

v2

2

p

1

2

v1

v2

p

F

K

K

K

sep

K

K

2

p

L

L

K

K

K

K

KwK

v

4x ^w

y¾1 y  ) 

ª$’µª«§

›^n2›^n €

  †  G¡  

x ∈ F × \ Ov×

| { | Ñ~uf†yÑ ÓS„"| Ò X

x ∈ F×

wyxCzL‚

yw xCTzL‚ \T

t

¥ ž€[ª ¥ §©¨©¡     † ¨© Ež€ª«¦ ¥  n î Ò × v

‡À)µ

·Œ»y4xŽyZ‹w)



F“

{

× v

× v

(K, v)

|~}Úuœ®\ufÑ ƒCz€ÍŒzLÑ~Í?uf‚Í>| Ò

× v

|~}ºuf‚ Ó2{ùƒCÑ Owy| ×CÑ |~+Lu\xO wy| ®Sz?}⊆ƒCÛCOS†yÌS∪ƒC× xO | wy.x

Ov× 6 T 6 F ×

„uf‚Í)| Ò

¾| ‡ zS‡ „ x |~} T − Ÿ\$ª ’µª«§ . Ð'ÌS‚ ®SzL†N}zLÑ ÓS„ T ‰î†y| S|~͜zLÑ zL{ zL‚awN}nÌfÒPwyzL‚ïS| ®Szچy|~}zwyÌ ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚},F & ’•Å•¬« ¨D˜W¨ n ¢*Dy¼yø¼­IGFP½¾F«¼\O I FPO z { D¦   b‚ ~ šC9RU½ ãNRºZùødDGFPX[R bT RU½ ãNR p >2 K Z*RUT ɺÂ/FP½ÃMZºX™ BET ½¾F ødT F«KNZ\½¾FPÀ\R²+IGBœ ãî¹ÅfDy¼\B€ø T IGBKNM>½ÃMCZ\½ (K \ Z d O œ É G I  B N K M ) 6T 6K ½ÃMCZ\½"RUÀ\RUD x ∈ K \ T F~I T WYDGF ÅfF«É œ HdMCRUO O(T ) := O (T ) ∪ O (T ) F~IùZ[À\Z\T BZ\½¾F«¼\O?DGFPO ŜÂ/FP½ÃM O(T ) ⊆ T b/©MCRUDyR T + xT ⊆ T ∪ xT,

× p

×

×

1

×

2

O1 (T ) = {x ∈ K \ T | 1 + x ∈ T } O2 (T ) = {x ∈ T | xO1 (T ) ⊆ O1 (T )} z ® ¾ ¶4® ~

îÒ uœ}| { | Ñ~uf†}rwNu\wyzL{ zL‚aw|~}"wy†yƒCzºì«GÒr‡ š íG‡Ù‚Í>| Ò | w|~} zL‚CÌSƒCSpxv=wyÌï2 xu­®Sz uÄ}| ‚CSÑ zzLÑ zL{ zL‚awÁ| ‚ x ∈ K \ T  xCÌa}z×C†y| { zU‰¾TwyÌf=‰ p (K ×µÌ  zL)†N}Úuf†yz ‰î†y| S|~͜| ‚ÄÌS†NÍEzL†nwyÌ ×C†yÌEÍEƒUzÁu®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v  | wyx v(x) 6∈ pΓ ì«GÒr‡fz { ¦D |  ~ íG‡ T ¢*Dy¼€¼r¿ n ènxCzº×C†yÌ ÌfÒ"|~}UÌS{ ×CÑ zUwyzLÑ ÓzLÑ zL{ zL‚awNuf†yÓS‡?èÌvS| ®SzºuŒ•µu­®SÌSƒC†ÈÌfÒ"wyxCzH= | ‚͙ÌfÒ uf†ySƒC{ zL‚awN}*ƒ}z€Í  zÚxCzL†yzÚÌS‚CÑ Óº}xCÌ  wyxu\w −O = O F × p

×

v

1

x ∈ O1 (T ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1

2

−x 6∈ T = −T & ± x 6∈ T 1 − x2 = (1 − x)(1 + x) ∈ (T ∪ x2 T ) ∩ (T ∪ xT ) = T 1−x ∈T −x ∈ O1 (T )

Y‚;u™}| { | Ñ~uf†œÒ«uS}xC| ÌS‚)ÌS‚Czv}xCÌ  }vìÃ| ‚)wyxC|~}ºÌS†NÍEzL†Gí O · O ⊆ O „ K ⊆ O ∪ O „ „ „ „'uf‚͙†yz€uSÍC}ùÌ<2ÒÆyÌS{¬wyxCzÄ×C†yÌ ÌfÒ"wyxu\w 1+O ⊆ O 1+O ⊆ O O +O ⊆ O ‡ O ⊆O ⊆T ×

1

2

−1

2

2

\Ÿ ¦‘¦bž¦bž"ž¾l ïž¾l  ¦Ÿ( G¡ è̺×C†yÌ\®SzÚwyxCz‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ©ÍE| †yz€Gwy| ÌS‚vÌfÒwyxCzz'^aƒC| ®\ufÑ zL‚Uzù}rwNu\wyz€Ív| ‚>wyxCzùwyxCzLÌS†yzL{ uS}y}ƒC{ z[wyxu\w K |~}uŒzLÑ~͔}ƒNx wyxu\w G |~}u>xCzL‚}zLÑ'S†yÌSƒCבŒ‡ ?zºxu­®Sz wyÌ}xCÌ  wyxu\w K xuS}"uùwNuf{ zLÑ ÓœÛC†Nuf‚NxC| ‚CxCzL‚}zLÑ |~uf‚Ä®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚‘‡/…*HÓ j‘zL{ {[u Ï ‡ ËS„ | w}ƒ uœUz€} wyÌ>×C†yÌ\®SzwyxC|~}È| ‚ wyxCzºLuS}z  xCzL†yz G |~}ùuï×C†yÌf‰ p S†yÌSƒCבH‡ DCÌS†ù}| { ×CÑ |~U| wrÓS„  z  | Ñ Ñ UÌS‚}|~ÍEzL†"ufauf| ‚ÄÌS‚CÑ Ó[wyxCzÈLuS}zwyxu\w p |~}nÌEÍCÍJ‡ ènxCzÄz€}y}zL‚awy|~ufÑ*LuS}zº|~}ùwyxCz ¡ †  C€€ª«¡S  † ¡S C   xCzL†yz uì ± UÑ~uS}y}|~LufmÑ  „ Ûµz€Lufƒ}zwyxCz X Ó Ñ Ì  ‰ p }ƒCÛCS†yÌSƒC×}*ÌfÒ G „ l 6= p „Cuf†yzÚÌfÒGwyxC|~}n∼=ÒÃÌSZ†y{œíG‡ Z ‚ n

Ê

K

K

K

Ql

p XI

p

º!r>W
® 4 w‚1M q

‡ Í ˆ

y 

j‘zUwƒ}A†N}rw}xCÌ wyxu\wwyxCzùLuS}zÁwyxu\w |~}uf‚vuf†yÛC| wy†Nuf†yÓº×C†yÌf‰ ’zL‚}zLѐS†yÌSƒC× ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }©ÒÆyÌS{¢wyxCzUÑ~ uS}y}|~LufÑELuS}zS‡j‘zUw N ÛµzGuڂCÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑCufÛµzLÑ |~uf‚ ‚CÌSp†y{[ufÑC}ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ G ‡ènxCzL‚‘„CÛ ÓºÙ†wy| ‚E‰ŽXENxC†yzL| zL†Áì p |~}nÌEÍCÍíG„ N ∼= Z ÒÃÌS†}ÌS{ zÁLuf†NÍE| ‚ufÑ α ‡ îÒ wyxCzL‚ xuS}ÚuìÂCÌS†y{[ufÑPí}ƒCÛCS†yÌSƒC× ‡…*ÓïwyxCz[UÑ~uS}y}|~LufÑ LuS}zS„JαwyxC>z C1£Ez€ƒÍ zLNÑ~Í F ix M ÌfÒ M xuS}ÁuœwNuf{ zLÑ Ó?MÛC†N∼=uf‚ZNxC| ׂCÄZxCzL‚}zLÑ |~uf‚?®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ ‡Ä…*Ó?×uS}y}| ‚CÄwyÌ?uĂCÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑUÌauf†N}zL‚C| ‚CïÌfÒ z {[u­ÓufÑ~}Ì>uS}y}ƒC{ z wyxu\w |~} v UÌS{ ×uf†NufÛCÑ zÁwyÌïuf‚ ÓÄÌfwyxCzL†xCzL‚}zLÑ |~uf‚?®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚vÌSv‚  F ix M ‡Á…*Ó>uf×C×CÑ Ó | ‚Cˆ j‘zL{ v{[u |~}ufauf| ‚xCzL‚}zLÑ |~uf‚‘„Suf‚ÍùwyxCz}yuf{ znxCÌSÑ~ÍC}^ÒÃÌS† ‡ Ï ‡ ËS‡ Ë*w |~UzS„ z"}zLznwyxu\w Ù‚͔wyxC zÄ×C†yÌS ×µzL†wrÓwyxu\w vv| |~}wNuf{ zLÑ Ó™ÛC†Nuf‚NxC| ‚Cv|~}L„'ÌfҏUÌSƒC†N}zS„/| ‚CxCzL†y| wyz€Í”Û Ó v wy| xCz †yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚ºÌfÒ v wyÌ[uf‚ ÓºufÑ SzLÛC†Nuf|~}ƒCÛ zLÑ~ÍJ‡ îÒ uf‚Í wyxCzL‚ ‡ X Ì 0 xuS}/uwNuf{ zLÑ Ó ÛC†Nuf‚NαxC|=‚CÄ1 xCzL‚}zLσÑ |~∈uf‚G®\ufÑ \N ƒu\wy| ÌS‚ wH„Û := Ó>wyNxCzœhσiUÑ~uS∼=}y}|~ZLufÑ/LZuS}zS‡ ?Fz[ixÍEzLH‚CÌfwyz | wN}ÁƒC‚Ch| ^aƒCz ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚ÚwyÌ Û Ó ‡©îÒ |~}/UÌS{ ×uf†NufÛCÑ z/wyÌÚuf‚ ÓÁÌfwyxCzL†©xCzL‚}zLÑ |~uf‚ù®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ ÌS‚ F ix N „JwyxCzL‚ Fvix| N|~}Èufavuf| ‚?vxCzL‚}zLÑ |~uf‚‘„uf‚ÍJ„©uS}†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚ÌfÒ w „^ufÑ~}̺wNuf{ zLÑ Ó ÛC†Nuf‚NxC| ‚C‡ îÒ‚CÌfw  zĆyzL×CÑ~uSUz v Û Ó wyxCHz ‚Cz€}rwœUÌauf†N}zL‚C| ‚CvÌfÒ v  | wyx2}zL×uf†NufÛCÑ Ó UÑ Ìa}z€Í>†yz€}|~ÍEƒCJz zLÑ~ÍJ‡ÈènxCz‚Cz wyxCzL‚}rwy| Ñ Ñ^xuS}‚CÌS‚E‰ ‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zù®\ufÑ ƒCzùS†yÌSƒC×?uf‚Í †yz€}|~ÍEƒufÑ'Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ 6= p \‡  X Ìïv wyxCzœ†yz€}rwy†y|~Gwy| ÌS‚?wyÌ Fp ix H ì«uf‚Í xCzL‚Uz wyÌ K í|~} ì«uS}UÌauf†N}zL‚C| ‚CÌfÒ^wyxCzÁwNuf{ zLÑ ÓÄÛC†Nuf‚NxC| ‚C[®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ | wyx>‚CÌS‚E‰ ‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zÁ®\ufÑ ƒCz S†yÌSƒC×µíufauf| ‚ïwNuf{ zLÑ ÓïÛC†Nuf‚NxC| ‚C‡Ù‚Í v | |~}xCzL‚}wzLÑ |~uf‚‘„dÌS‚Uzù{ p ÌS†yzùÛ \Ó j‘zL{ {[u Ï ‡ ËS‡ ËS‡ ? xu\w"†yzL{[uf| ‚}*wyÌ[ÛµzÈÍEÌS‚CzÚ|~}*wyxCz K

α p

K

p

p

F ix N

K

p XI

K

p

K

K

¢*Dy¼€¼r¿ù¼r¿Ú½ÃMCRKUT Z­INIGF«KNZ\T/KNZ­ILR n X ÌÁ‚CÌ ‡^ènxC|~}/| { ×CÑ | z€}^wyxu\w/wyxCzÈì p‰¾wyxµí Z U ÌSxCÌS{ ÌSÑ ÌSS|~LufÑdÍE| { zL‚}| ÌS‚ïÌfÒ G |~} Ï G„Cuf‚∼=Íï}ZÌ char ‡/Y‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„CuS} |~}"×C†yÌf‰ p „ ζ ∈ K ‡t>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„ uf‚ ӜÌS×µzL‚ï}ƒCÛCS†yÌSƒC× GK Ìf6=Ò Gp |~}nÌfÒ©wyxCzÈ}yuf{ zÒÃÌSG†y{ „ExCzL‚UzÁÌfÒ©†Nuf.‚ = „Cuf‚Íï}Ì„EÛ HÓ !ڃC{ { zL†nwyxCzLÌS†yÓS„ ‡ Z Z …*ÓºÍE| †yz€GwUÌS{ ×CƒEwNu\wy| 2ÌS‚‘„EwyxC|~}"| { ×CÑ | z€}"¼u † ¦‘¡S  † Ÿ(  ¡Sª-½©Ÿ\[L¦‘¡SªÃž:Ÿ (L†   e ) F‘]¿U=¼\DpRNZSKNM x ∈ √ ½ÃMCRÈFPX[ZLÅaR ¼r¿È½ÃMCRÈOd¼\DGX F~I ìPwyx ƒ}S| ® | ‚C K\K †y|~}zœwyÌu>ÛC| rz€Gwy| ÌS‚–ÛµzUw  zLzL‚–ufÛµzLNÑ |~uf‚”: zUK(£ wyzL‚x)}| ÌS‚}È→ÌfҏKÍEzLS†yzLhxi(K z p uf‚͙) {ùƒCÑ wy| ×CÑ |~Lu\wy| ®Sz }ƒCÛCS†yÌSƒC×}*ÌfÒ^| ‚ÍEzU£ píG‡ √ „Juf‚Í?NxCÌ Ìa}z èÌÄ}zLzÈwyxC|~}L„dÑ zUw ‡Ú…*\Ó !ڃC{ { zL† hxi(K ) wyxCzLÌS†yÓS„ y 6∈ L „uf‚LÍJ„‘=}| ‚K(Uz Nx)(y) ∈ K „‘zL®SzLy‚ ∈y K6∈ h √\xi(L ‡) ùÙ} N ( √x) = „©ufÑ~}Ì √x 6∈ L ‡ºènx ƒ}L„ L = h √xihyi(L ) „©uf‚Í?wyxCz[| {[ufSz ÌfÒ N |~} x 6∈ K ‡ hxi(K ) Ù}È| { { z€ÍE|~u\wyzÄUÌS‚}'z ^aƒCzL‚UzœÌfÒnwyxCzºÑ ÌELufÑ'†yz€U| ×C†yÌEU| wrÓ?Ñ~u   zº}zLzì«UÌS{ ×CƒEwy| ‚C √ í'wyxu\w N (a + b x) = a + xb p XI

K

p

K

K

p

p XI

L

K ×

p

p

p

x

p

x

p

p

×

p

×

× p

× p

p

p

× p

p

p

(?)

p

∀x ∈ K \ K p : (K × )p + x(K × )p ⊆

x

p

x

× p

x

2

× p

×

p

p

×

× p

p−1 [ i=0

xi (K × )p .

t

4x ^w

y¾1 y  ) 

·Œ»y4xŽyZ‹w)



‡ Í ‡

F“

{

„Ì znuf×C×CÑ ÓùuUÌS{ùÛC| ‚u\wyÌS†y|~ufÑ uf†ySƒC{ zL‚aw xC|~Nx|~}^LufÑ Ñ z€Í²± wyxCz ÌS‚ÍEzL†ÒÃCÑEU†yz€u\wy| ÌS‚ fÌ Òd†yN| S |~ÍùzLÑ zL{ zL‚awN},\| ‚CX z€Gwy| ÌS‚ Ï ‡ ŠÌfÒlz { ¦D  b‚ ~ „SÛµz€Lufƒ}z  z"xu­®SzL ‚M w/ƒC‚ÍEzL†N}rwyÌ ÌEÍùÓSzUw wyxCzwy†yƒCz†yz€uS}ÌS‚  x ÓwyxC| ‚Ca}  ÌS†>=uS}dwyxCzLÓÁÍĖènxCz*uf†ySƒC{ zL‚aw}xCÌ  }dwyxu\w©UÌS‚ÍE| wy| ÌS‚ | { ×CÑ | z€}wyxu\w'wyxCzL†yz|~}*uÈ}ƒCÛCS†yÌSƒC× „ | wyx (?) uf‚ÍÄ}ƒNxÄwyxu\wufÑ Ñ x ∈ K \ T uf†yz T ‰îT†y| S6|~ÍJK‡  (K ) 6 T [T : (K ) ] 6 p ènxC|~}ÚufÑ Ñ Ì  }ƒ}wyÌ>UÌS‚UÑ ƒÍEzùÒÆyÌSè { j‘zL{ {[u Ï ‡ Ï wyxu\wÚwyxCzL†yz|~}Áuº®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v ÌS‚ | y w x  }  ƒ N  Ä x y w  x \ u w ‡ ’zL‚Uz 0 ‡Ù"ÒPwyzL†ÍE| ® |~ÍE| ‚C Û Ó K  | wN}{[u\£E| O{[ufÑ©=UÌSO(T ‚ ®SzU£) p‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zO}ƒCÛC6S†yTÌSƒC×  zù{[u­ΓÓ>uf6=Ñ~}pΓ ÌºuS}y}ƒC{ zÈwyxu\wwyxCzL†yzùΓ|~}‚CÌ }ƒNx ìÃzU£CUzL×Ew {0}íG‡ ?zÈxu­®Szwy̜}xCÌ wyxu\w v |~}"xCzL‚}zLÑ |~uf‚‘‡'îÒ/‚CÌfw€„CwyxCzL†yzÁ|~}}ÌS{ zùÚufÑ ÌS|~}nzU£ wyzL‚}| ÌS‚  f Ì / Ò E Í L z S  y † L z z S u E Í

{ | wwy| ‚Cº}zL®SzL†NufÑ/ìÃxCzL‚UzÈzU£CuSGwyÑ Ó pí*| { { z€ÍE|~u\wyzÈ×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚} L/K p f Ì Ò – ‡ * … Ó z€u =™uf×C×C†yÌ­£E| {[u\wy| ÌS‚  Hz ‚͔ÒÃÌS†z€uSNx i uf‚–zLÑ zL{ zL‚aw x ∈  v , . . . ,T v v  ‡ " Ý L z C × ~ Ñ uSU| ‚C„J| Ò*‚Cz€Uz€}y}yuf†yÓS„ x Û Ó x + a ÒÃÌS†Á}ÌS{ z a ∈ M  | wyx M ∩ O ì xuS}ù‚CÌv‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ'UÌS‚ ®SzU£ ‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zÄ}ƒCÛCS†yÌSƒC×µíG„ z v (x) > v(a) 6∈ pΓ {[u­ÓÚufÑ~}ÌuS}y}ƒC{ z v (x )Γ6∈ pΓ ‡©…*ƒEwwyxCzL‚ x , . . . , x uf†ypz F ‰î| ‚ÍEzL×µzL‚ÍEzL‚aw©{ ÌEÍEƒC Ñ Ì „ xC|~NxÈ|~}‚CÌfw©| ‚ùuSLUÌS†NÍ  | wyxÈwyxCz*ufÛµÌ\®SzÌSÛ}zL†y®\u\wy| ÌS‚wyxu\w [L : (L ) ] = p (L )  ìÂCÌfwyzÚwyxu\w p > 2íG‡ D©| ‚ufÑ Ñ Ó zxu­®SzwyÌ }xCÌ  wyxu\w char Kv 6= p w‡ X ƒC×C×µÌa}z‚CÌfw€‡/ènxCzL‚ char K = 0 ‡  X | ‚Uz ~ | } ‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zœÒÃÌS† uf‚ ә×C†y| { z „| w |~} ÍEzL‚}zLÑ Ó™ÌS†NÍEzL†yz€ÍJ„^ÛCƒEw[| w xuS} ‚CÌ>‚CÌS‚EΓ‰¾wy†y| ® |~ufl Ñ p‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zœUÌS‚ ®SzU£}ƒCÛCSl†yÌS6=ƒCבpˆ‡ ’zL‚Uz  lz ‚͙}ÌS{ z π ∈ K  | wyx }ƒNx™wyxu\w ‡ -| †yz€Gw UÌS{ ×CƒEwNu\wy| ÌS‚–}xCÌ } | 0 < v(π) < v(π ) 6 v(p) wyxu\wwyxCzL‚ π „ 1 + π uf‚Í 1 + π uf†yz F ‰î| ‚v(π) ÍEzL×µzL‚6∈ÍEzLpΓ‚aw'{ ÌEÍEƒCÑ Ì (K ) „aUÌS‚awy†NuSÍE|~Gwy|  ‚C ‡ [K : (K ) ] = p ×

× p

× p

×

× v

v

1

p

vi

j6=i

v

v

v

i

× vj

i

i

vi

i

× p

i

v

v

i

vi

1

p

p

×

× p

2

v

2

2

×

× p

2

v

p

š ½l½ † ª«¡S Ež€ª«¦ º[n Ã

× p

¥

ènxu\w'®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}ÌS‚œu zLÑ~Í uf†yzzL‚UÌEÍEz€Í | ‚ G xuS}{[uf‚ Ó| ‚awyzL†yz€}rwy| ‚Cùuf×C×CÑ | ‰ Lu\wy| ÌS‚}L‡0j‘zUwƒ}erƒ}rwÑ |~}rwuùÒÃz  KÌfÒ©wyxCzL{ï‡ š ÄÄ  † ¦µª« ¡ ¾© EŸ\ C¡fž  aŸ\$ª ˜S Ež€ª«¦ ¥ ¦bž p—  C§©ª«¡sc+  † §©V îÒ K/Q |~}Úu‚C| wyzzU£ wyzL‚E‰ }| ÌS‚‘„‘wyxCzL‚™uf‚ ƒÓ zLÑ~Í | wyx |~} ‰YuSÍE|~LufÑ Ñ Ó?UÑ Ìa}z€ÍJ„|¾‡ zS‡ „ xuS}Áu xCzL‚}zLÑ |~uf‚v®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ vL Ìf Ò'{ | £EGz€Í?N∼=xufG†NuSGwyzL†y|~}rpwy|~ (0, p) }ƒNxvwyxu\w O L/pO |~} ‚C| wyz ì«}Ì |~%} ‚C| wyzÁuf‚Í wyxCzÁUÌS‚ ®SzU£[x ƒCÑ Ñ ÌfÒ | ‚ |~} íG„Cuf‚Í }ƒNxºwyxu\w LvΓ /∆ |~}ÍE| ® |~}| ÛCÑ ‰z z { D¦  |  ~ ‡ ∆ Z · v(p) Γ ∼= Z  ’Ÿ\¦µ[¨ ½^V  îÒ |~} }ÌSÑ ®\ufÛCÑ z œ †  C€€ª c^¡S Ež€ª«¦ ¥ b¦ ž"€¦ †-  E› †  > E›^€¦ † ¨ž  UÄÄ  † ¦µª«Ö ìÃ|¾‡ zS‡ „\xuS}©Au ‚C| wyzn}ƒCÛC‚CÌS†y{[ufÑ }zL†y| z€}  | wyxufÛµzLÑ |~uf‚ ^aƒCÌfwy| zL‚awN}NíJ| w^G|~}©{ zUwNufÛµzLÑ |~uf‚‘‡ t>ÌS†yz×C†yz€U|~}zLÑ ÓS„ wyxCzL†yzÚ|~}nwyxCzL‚>uf‚ÄzU£CuSGw}'z ^aƒCzL‚Uz K

p

L

K

v

v

v

v

K

| wyx A wyÌS†N}| ÌS‚E‰¾ÒÃ1†yzL→zufAÛµzL→Ñ |~uf‚‘G„ C→„ CC ׂCC| wyz[×UÓEZUÑ |~→ uf1‚Í Z wyÌS†N}| ÌS‚E‰¾ÒÆyzLz×C†yÌf‰ UÓEUÑ |~f‡îÒ G |~}ڂCÌS‚E‰î×C†yÌrz€Gwy| ®SzÈwyxCzL‚ K xuS}ÚuĂCÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ^xCzL‚}zLÑ |~uf‚ K

1

1

√ K( −1)

2

2

‡

Íp

º!r>W
® 4 w‚1M q

y 

®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ xC|~Nx|~}چyz€}×µÌS‚}| ÛCÑ zùÒÃÌS†wyxCzœ}rwy†yƒGwyƒC†yzÌfÒ ‡ ÙØUÌS{ ×CÑ zUwyz Ñ |~}rw Ìfґ}ÌSÑ ®\ufÛCÑ z ×C†yÌ‚C| wyzS†yÌSƒC×}/ÌELUƒC†y| ‚CÈuS}'ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzÚufÑ GÌS|~}/S†yÌSƒC×}/|~}'S| ®SzL‚ | ‚ z { D¦    m ~ ‡ ¦ ž…c+  † §©^› Ÿ2ž ¾l  ªÃ"Ÿ ÄÄ  † ¦µª«Ö ’Ÿ\¦µ[¨ ½³ ?z ®c†  G¡   ¥ ž€ EŸ Ÿ–¡ ¾© EŸ\ C¡fž  aŸ\$ª ˜S Ež€ª«¦ ¥ b }yu­Ó wyxu\w K |~}"zLÑ zL{ zL‚awNuf†y| Ñ ÓœNxuf†NuSGwyzL†y| éLz€Í[Û Ó G | Ò©ÒÃÌS†uf‚ Ó zLÑ~Í L K

K

GL ∼ = GK ⇔ L ≡ K. ’zL†y z± U{ z€uf‚}Jwyxu\w |~}‘zLÑ zL{ zL‚awNuf†y| Ñ Ó'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚aw‘wyÌ „€|¾‡ zS‡ „ }yu\wy|~}Žz€} wyxCz}yufL{ zi≡K†N}rw‰îÌS†NÍEzL†/}zL‚awyzL‚LUz€}/| ‚wyxCzÑ~uf‚CSƒufSznÌfÒzLÑ~ÍC}uS}KK ‡^…*ÓÈLwyxCz  ÌS†>= ÌfÒ*Ù†wy| ‚EŽ‰ XENxC†yzL| zL†Áuf‚Í?è©uf†N} = |¾„ z = ‚CÌ wyxu\wÚwyxCz zLÑ~Í ÌfÒ*†yz€ufÑ©‚ ƒC{ùÛµzL†N} |~}nzLÑ zL{ zL‚awNuf†y| Ñ ÓœNxuf†NuSGwyzL†y| éLz€Í[Û  Ó G F/ uf‚ Ó zLÑ~Í L  | wyx RG ∼= G ∼= Z/2Z |~}چyz€ufÑ/UÑ Ìa}z€ÍJ„uf‚ÍufÑ Ñ/†yz€ufÑ/UÑ Ìa}z€\Í zLÑ~ÍC}Úxu­®SzùwyxCzœ}yuf{ z †N}rw‰îÌS†NÍEzL†wyxCzLÌS†yÓ ì«u\£E| ÌS{[u\wy| éLz€ÍÛ Ó}yu­Ó | ‚CÚwyxu\wwyxCz>} ^aƒuf†yz€}/ÍEKz ‚Czuf‚[ÌS†NÍEzL†y| ‚CÁuf‚Íwyxu\w'ÌEÍCÍ ‰ ÍEzLS†yzLz×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}nxu­®SzÚéLzL†yÌ z€}NíG‡ènxCzÈ}yuf{ zÚxCÌSÑ~ÍC}"| Ò K |~}u ‚C| wyzÈufÛµzLÑ |~uf‚ zU£ wyzL‚}| ÌS‚ÌfÒ Q ÌS†Á| Ò K |~}ÈuïSzL‚CzL†NufÑ | éLz€8Í jufƒC†yzL‚awÈ}zL†y| z€} zLÑ~Í Q ((Z )) | wyx?UÌ Kz uœU| zL‚awN}| ‚ uf‚Í>zU£E×µÌS‚CzL‚awN}| ‚>wyxCzù†y| ‚C ÌfÒ ‰YuSÍE|~Á†Nu\wy| ÌS‚ufÑ | ‚awyzLSzL†N}L‡ÁÐ'ÌS‚ ®SzL†N}zLÑ ÓSQ„C| wwyƒC†y‚}ÌSƒEwwyxu\w¹:uf×uf†wÒÆyÌSZ{ zU£EÌfwyq|~ùLuS}z€}  xC|~Nx UÌS‚ rz€GwyƒC†NufÑ Ñ Ó™ÍEÌSM‚  w[zU£E|~}rw¹wyxCz€}zºwyxC†yzLz>UÑ~uS}y}z€}ùÌf_Ò zLÑ~ÍC}[UÌ\®SzL†ufÑ iÑ zLÑ~ÍC} zLÑ zL{ zL‚awNuf†y| Ñ ÓœNxuf†NuSGwyzL†y| éLz€ÍœÛ Ó[wyxCzL| †ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzȍÚufÑ ÌS|~}nS†yÌSƒCU× z { D¦  a[› ~ ‡ ¾l >›^ªÃŸ\ Ež€ª«¦ ¥   †    ¡fž€ª«¦ ¥ ¡S¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ  ?¦   aŸºž ¾l  p—  C§©ª«¡S   îÒ |~}u"}{ Ì Ìfwyx ×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz"UƒC†y®Sz"Ì\®SzL† K  | wyx ÒÃC‚Gwy| ÌSl‚ zLÑ~Í K(X) wyxCzL‚ wyxCzÛCX| †Nu\wy| ÌS‚ufÑC}z€G‰ wy| ÌS‚UÌS‚ rz€GwyƒC†yzn}yu­ÓE}Jwyxu\wufÑ Ñ }z€Gwy| ÌS‚}©ÌfÒCwyxCz"Luf‚CÌS‚C|~LufÑS×C†yÌ rz€Gwy| ÌS‚ G → uf†yzÚ| ‚ÍEƒUz€ÍïÛ Ó ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufѵ׵ÌS| ‚awN}"ÌS‚ ‡'ènxC|~} uS}"UÌS‚ rz€GwyƒC†yz€ÍÄÛ Ó →G †yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W = ÒÃÌS† zLÑ~ÍC} K xC|~Nxïuf†y_z ‚C| wyzLÑ ÓœSzL‚CXzL†Nu\wyz€ÍœÌ\®S zL† Q „ ÛCƒEw| w"|~}n}rwy| Ñ Ñ ÌS×µzL‚‘e‡ ? xu\w*Luf‚ Ûµz×C†yÌ\®Sz€Í|~}^wyxu\w'Ì\®SzL† wyxC|~}'UÌS‚ rz€GwyƒC†yz"|~}^wy†yƒCz z { D¦   (¡ ~ ‡ Ÿ\¦‘§©¨©¡fž€[b¦ ž E›^€¦ † ¨ž  UÄÄ  † ¦µª«] ’Ÿ\¦µ[¨ ½^  QÙÛ}ÌSÑ ƒEwyzȍÚufÑ ÌS|~}nS†yÌSƒC×}nLuf‚ xuf†NÍEÑ ÓzL®SzL†‘Ûµz †y| wwyzL‚ÈuS}‘ÍE| †yz€Gw‘×C†yÌEÍEƒGwN}L‡©t>ÌS†yz^×C†yz€U|~}zLÑ ÓS„€| Ò ÒÃÌS†º}ÌS{ Œz zLÑ~Í  K wyxCzL‚ zL| wyxCzL† G uf‚Í G uf†yzïÌfÒÈUÌS×C†y| { z>GÌS†NÍEzL=†vGìÃ| ‚)×GwyxCz }zL‚}zºÌfÒ}ƒC×µzL†y‚u\wyƒC†NufÑ*‚ ƒC{ùÛµzL†N}NíÁÌS† K xuS} uvxCzL‚}zLÑ |~uf‚”®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v  | wyx uf‚Í ‡)Y‚2wyxCzïÑ~u\wwyzL†œLuS}zS„wyxC8z X Ó Ñ Ì ‰ G }ƒCÛCS†yÌS∼=ƒC×G}'Ìf×Ò©ÌSG‚CzÌfÒwyxCz(]G Ò«uSGwy,ÌS]G †N}nuf)†yz=ufÛµ1zLÑ |~uf‚ºÒÃÌS†"uf‚ Ó p | (]G , ]G ) %‡ X Ì„a ÒÃÌSp† zU£Cuf{ ×CÑ zS„ G × G ÌS† G × G Luf‚C‚CÌfwÛµzÁ†yz€ufÑ | éLz€ÍÄuS}"ufÛ}ÌSÑ ƒEwyzȍÚufÑ ÌS|~} S†yÌSƒC×c} z { D¦   ^§ ~ ‡ ªÃŸ\ Ež€ª«¦ ¥   †   ¥  E$›   † ª«  ¥ ’b  b¦ ¡  ažLŸ Ÿ”¦   aŸÄ  † ¡”¦µLžù EŸ­›^ªÃžLŸ\ EŸ Ÿ c+  † §©V  DCÌS† { Ìa}rw'UÌS‚}rwNuf‚aw zLÑ~ÍC} | w|~}×µÌa}y}| ÛCÑ znwyÌÁ†yz€UÌ\®SzL†©ÒÃC‚Gwy| ÌS‚ zLÑ~ÍC} F/K | ‚ ÌS‚Cz ®\uf†y|~ufÛCÑ zÒÆyÌS{ØwyxCzL| †ufKÛ}ÌSÑ ƒEwyzȍÚufÑ ÌS|~}*S†yÌSƒCÅ× z { D¦   G  ~ ‡ L

R

R

p

p

p

•

(q)

(q)

K(X)

Ê

K

p

K

1

Kv

1

2

1

2

1

Á

Q

Q

Qp

1

2

Qp

2

2

4x ^w

y¾1 y  ) 

t

·Œ»y4xŽyZ‹w)



F“

{

‡

Í!

€  Gž¯ aŸ(  ¥ ¡    Î /T:^<>ÑCÒç‹Õ.M‰Õ.ØcÙGå‹ÚCÜbÝ2Ñ2-Õ^Óãägå‹Ý Þ³ÖkÕ.çå&ûÜ´þkæ:ý$  ‡ %/( Wþ&! êG&  è WþG&!G  C&!  ëC&  èÃè!òü¬    W þ´3øf$1 (öR6 .¼ûGû= þ¯C)>ÑÿþGè
þGï
×)×Cæ×Ñ Î T:TlÑÑCÒ á°ÕGÓÝYҋãØÙ‡Þ Ø‡Õç‹ÕGÓYÝ bãØÙMæ I    bî ìs
   &!s&! êG&  èM  W þùƒ.!÷yúø ü^øvû
iGü"þ¯CÑÑÿþè
GþG ï vCæGC)  Î 1
è(C&Ò ç‹Õ€McÜbØÝv× bÚCägå‹ÝvÝ·æ Ï  &  èG&!$&!G&!  &!Uè%/ ' èk&! %/è ¯ /&  &' ÜG W þ ì è ê%/) Î 1
è(Ò þ¨TD %/( &' éìG&&!é   ëC&  è©è!] ò ÜG  ¿(' ì ·&! è ê  #´&! è ! èêï þD èÃ&!ïïC&k "    &!£/&!é) Ð & ì þl&! èƒè ì0  #l&! êG&  è Î ìí è!'°ìè%/ïG&!59?!8l<2+E w!9 wU,l<7!9 ï+˜<ë+,ï´9(;!?!8l<28?5G; Î 1
è(éÒ þ&@
 ì´ é  è‰éèG¯é ê ´ ‰&!G&!  &!‰è%/ . ' þ ê%/  C°!)þ &! è/è¼9éìG&&!é   ëC&  è é ÜG  pÿ þ„32ø Zö0yôvA ö fô (ö h+ø^ùƒ.!÷yúYø j4=+i·þ¯C< kÿ þbï ^C< kæGB > þü¬ ì"&! è!ò píW& A &!ïïG ð‡(' I  è!  &!s\4èï Î 1
è(CÒ þ " è &! &! è ê 
#´&! è l! èêï l& %/ &!  &!þó ôõöô÷WøGùƒ.!÷yúø û j+j þ>!ÿ þGè
‹'þï ‹æ Î 1
è(C)Ò þ„TDéè ‰&! êG&  è M ¿&! è ê °#´&! è s! èêïW þ2#l&! êG&  è" ìè!' &!G° ´&!ïï  éC&  è Wþ&#[è Zû"ûfþ " &!S U& è(èþ " 1 þbCÿ þ I   % ûW ¯B vçlè%/%cê þ è +)þ&/$%/B Ð & ì " è()é þ+\^ è é' þ»ý%ûþG!)þï vCÑæGB 

¡J¢£ ¤'¥¦i¢£h§ ¨"©Ž¤'¥¨eª~«¨~£h§ £h¬'£ ­®¥¦§ «¢¯"¨ ° ±²³w´Žµ¶· ¸¹»º'¼'½¾Ž¿»À Á~ÂûÀ»Ä>ÆU•ÅāV'Ä È4ÉÇÊ Ë ¾ŽÌÎÍ Ê Ï~Ð>Ï0ÑeÒWÏÎÏmÊ ÉÇÓ ¾ É ÂÔÕÕWÖ

ä ÙNänmŒâlãcÞä Ù

í|âCØ\æšâlÛCÜ]pßØCå|âÜ7ä ãcæèØ ÚwÛ

ä8ÜèmŒÞÛCÜ|ä8Ü]p

à ÞÇâlãcñŠÚ

ó K¬«$øw&NMN'äQ
$“$ ³ L

Ð & ì%&  éì cûW ¯  ê þ2TDéU ¯ Bƒ'þ  í¯Ñ!C× I   ê þ[#
 %&!(' )+*-,/.!02143Q­((78:Fl<±P(:FG6J
w59FFBEFG6I9wb<78

KML!NO-PQR!OS Y (a

_CZ -XM_ Da\ Zf_ a Wa\ j b] _ _

\

\ _ WY s\ _!]a\ WY _ -X¼_`l_ É ¾ ™ ¿ Ê ZA¾ É Í Ê _ É a\.{ Ê ÌWa ÏmÊ _ É a\[a É aR{¾ \ Ê a É Wa -X \ Da ] a Y _ h ÏWY ¾ Ó \ _B{(a\ ÏWY ¾ _Ì-X_Í Y _ V \ ¿ h _Ì  À . YÇÊ Í !_ ] Y j V<,Ê _ Ë ¾ŽÌY} ÉÇÊ Ï ¾ \ X Ó ¾ É ¾ŽÌWa Ï ¾Ž¿Ma É ¿%Í V { ™ p™ aW¿ Ê ] V \ v_` _ ´a

. ¾cà WþŽÌ¿Ç¾ Ë ¾ ÃÇÍ Ï ¾ Ï ¾ Ì Í Ï WÌ${ Ê Ï Ì WÌ J}¾ ¿ÇÍ É ¿ Ê É ¿ Ê Ï Ž¾ Í Ó ¾ A¾ Ï Ì Ë ¾ŽÌ Ó ¾ É ¾ŽÌ Ê Ž¾ Í ÌÎÌξŽÍmÃ É ¿ Ê ÉÇÓ ÌξŽÍ Ï Í Pã Ã É ¿ ¹ ÇÊ }¾ ¿ÇÍÀ

š ¥  E›$  † ª«  ¥ ’b  ¦b¡  ažLŸŸ ?z*ÛC†y| zK•ÓȆyz€LufÑ ÑSwyxCznÛuS}|~*}zUwwy| ‚CÌfÒJ†yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W= }©uf‚ufÛµzLÑ |~uf‚ùSzLÌS{ zUwy†yÓS‡4DCÌS† { ÌS†yz"zLÑ~ufÛµÌS†Nu\wyzn®SzL†N}| ÌS‚}"ìÃxC| SxCzL†‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufѾ„f×C†yÌf‰ l „ ’ÌS{‰î®SzL†N}| ÌS‚}©zUwNf‡ íùGÒr‡^zS‡ ‡ „ wyxCzÈ}ƒC†y®SzLÓ¿z »  •  m ~ ‡ j‘zUw ÛµzÈuzLÑ~ÍJ„CÑ zUw Xˆ ÛµzÈu }{ Ì Ìfwyxï×C†yÌ rz€Gwy| ®SzÚUƒC†y®SzÚÌfÒ©SzL‚ ƒ} g Ì\®SzL† K „EÑ zUw K ÛµzÄuŒ‚C| wyzÄ}zUwÌfÒ×µÌS| ‚awN}ùuf‚ꪄ zUw X := Xˆ \ S ƒ‡ ? xCzL‚–UÌS‚}|~ÍEzL†y| ‚C ˆ S ⊆ X(K) S u  } º u U  C ƒ y † S ® Á z Ì\®SzL†"wyxCz ufÑ SzLÛC†Nuf|~ÚUÑ Ìa}ƒC†yz K ÌfÒ K  z  †y| wyz X := X ⊗ K ‡ j‘zUw X µ Û " z y w C x " z Ã Ò ƒC‚Gwy| ÌSl‚ zLÑ~Í ÌfÒ ìÃÌS†€„S'z ^aƒC| ®\ufÑ zL‚awyÑ ÓS„SÌfÒ í^Ì\®SzL† uf‚ÍÑ zUw K(X) ÛµzùwyxCz{[u\£E| {[ufÑ^ÚufÑ ÌS|~}zU£ wyzL‚}X| ÌS‚vÌfÒ K(X)  xC|~Nxv|~}XƒCˆ‚C†Nuf{ | Kz€Í>ÌS‚ X ì«K(X) }̺ÌS‚CÑ Ó †Nuf{ | µLu\wy| ÌS‚ïufÛµÌ\®SzÚwyxCzÈ×µÌS| ‚awN}"| ‚ S ÌELUƒC†N}NíG‡ j‘zUw π (X) := Gal(K(X) /K(X)) mbn

K

S

1

¾ Õ WÏ Y 9CVÇÉ 

ÂÔÕÕWÖÇÀ

S

‡

ÍÀ

º!r>W
® 4 w‚1M q

y 

¡ žî¨ ¥ §©v  ¡   ¥ ž€  † ’Ÿ\¦µ¨[½ ÌfÒ X/K ‡‘-zL‚CÌfwy| ‚C–wyxCz ufÛ}ÌSÑ ƒEwyz ÛµzwyxCz  EŸ\ªÃž¾l¡  až€ª«© ÚufÑ ÌS|~}ȐS†yÌSƒCיÌfÒuŒzLÑ~Í F Û Ó G := Gal(F /F ÌS‚CzœxuS}Èw Ì Luf‚CÌS‚C|~LufÑùìÃxCÌS†y| éLÌS‚awNufÑPíùzU£CuSGwÄ}z'^aƒCzL‚Uz€}  | wyx¢ìîSzL†wy)|~L∼=ufÑPíAut(F zL×C| { ÌS/F†y×C)xC|~}{[}[{[u= |  ‚C wyxCzÈ>} ^aƒuf†yz€}nUÌS{ {ùƒEwyz F sep

F

1 → GK(X) ↓ 1 → π1 (X)   † œ +«  

→ GK(X) ↓ → π1 (X)

→ GK k → GK

→ 1 → 1

ènxCz µ ¨ ¥ §©v  ¡ ¥ ž€  ¦ ¥ ¡fž€¨(Ÿ   µ œ ÌfÒEuf‚ufÛµzLÑ |~uf‚ڐSzLÌS{ zUwy†yÓùìPÒÃÌS† í y} u­ÓE}^wyxu\w^¿U¼\D"MZyøRUDLãN¼\T F«K X b X F~IÁRUOdKN¼€ÉSRNÉù(X/K) FPO π (X) b©F œ R œ bF ¿ Y F~IÚZ\Od¼\½ÃMCRUDIGX[X/K ¼€¼\½ÃM KUBEDGÀ\Rœ¼\À\RUD Â/FP½ÃM ½ÃMCRUO ‡ÁÝ"z€LufÑ Ñ©wyxu\w |~}ÚLufÑ Ñ z€Í x Ó ×µzL†yÛµÌSÑ |~f„SK| Ò χ(X) π:=(Y2 −) ∼=2g − ]Sπ <(X)0  xC|~Nx[Y| ‚œ∼=Nxuf†NXuSGwyzL†y|~}rwy|~ 0 |~}z'^aXƒC| ®\ufÑ zL‚awwyÌ ÛµzL| ‚C”ìÃxC| SxCÑ ÓC폂CÌS‚E‰YufÛµzLÑ |~uf‚‘‡ºènxCzCDCƒC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑnÐ'ÌS‚rz€GwyƒC†yz uS}ÁUÌS‚rz€G‰ π (X) wyƒC†yz€ÍÈÛ Óȍ†yÌfwyxCzL‚ÍE| z€W =ÒÃÌSe† zLÑ~ÍC} K  xC|~Nxuf†yzw‚C| wyzLÑ ÓÁSzL‚CzL†Nu\wyz€ÍÁÌ\®SzL†  Q „fuf‚Í  uS} ×C†yÌ\®Sz€Í[| ‚ÄwyxCzÁçS.Œ  }*Û Ó wyxCz  ÌS>† =E}'ÌfÒ „u =\uf{ùƒC†NuC„ è©uf{[ufau  uÈuf‚ÍÄt>ÌENxC| éLƒ.= |J{ ÌS†yz SzL‚CzL†NufÑ Ñ ÓùÒÃÌS†*}ƒCÛE‰ p‰YuSÍE|~i zLÑ~ÍC}L„ |¾‡ zS‡ „SÒÃÌS†n}ƒCÛ zLÑ~ÍC}'Ìf Ò ‚C| wyzLÑ Ó[SzL‚CzL†Nu\wyz€Í zU£ wyzL‚}| ÌS‚} ÌfÒ Q ‡ ènxCz Á ªÃŸ\ Ež€ª«¦ ¥   †
µ ¨ ¥ §©v  ¡   ¥ ž€  † œ ¦ +¥ «   ¡fž€¨(Ÿ   Á°µ œ ÌfÒ/uf‚ufÛµzLÑ |~uf‚ïSzU‰ ÌS{ zUwy†yÓ }yu­ÓE}^wyxu\w X F~IÚRUOdKN¼€ÉSRNÉFPO G B€øv½Y¼ ãUFPDyZ\½¾F«¼\Od(X/K) Z\TR
BEFPÀ\Z\T RUOdKNR b/F œ R œ b/F ¿ Y F~IÚZ\Od¼\½ÃMCRUDIGX[¼€¼\½ÃMºKUBEDGÀ\RÁ¼\À\RUD K Â/FP½ÃM G ∼= G ½ÃMCRUO Y F~IãUFPDyZ\½¾F«¼\OdZ\TPT  R
BEFPÀ\Z\T RUO½'½Y¼ K ¼\À\RUD K b/F œ R œ b K(X) ∼= K(Y ) œ ènxC|~}  uS}*×C†yÌ\®Sz€Í[Û Ó[ñ^ÌS׺ÒÃÌS† K ‚C| wyzLÑ Ó?SzL‚CzL†Nu\wyz€Í?Ì\®SzL†Ú| wN}È×C†y| { l z zLÑ~Í z Ê ‹¦ ½g| º ~ „©uf‚ÍJ„©Û Ó?t>ÌENxC| éL.ƒ = |/ÒÃÌS†ù}ƒCÛE‰ ‰ uSÍE|~ K z » ¦‘¡ |b|G~ ‡…*ÌSSÌS{ ÌSÑ Ì\®[uf‚ÍÄè©}yNxC| .‚ =SzL+Ñ z Á • ~ ×C†yÌ\®SzwyxCzÈ}yuf{ zÒÃÌS†}ƒC†Ò«uSUz€p}L„ |¾‡ zS‡ „C| ‚>ÍE| { zL‚}| ÌS‚ 2 „E×C†yÌ\® |~ÍEz€Í K UÌS‚awNuf| ‚}nufÑ Ñ‘†yÌ ÌfwN}*ÌfÒ^ƒC‚C| wrÓS‡ Y‚ÄwyxC|~}‚CÌfwyz zÁ| ‚ÍE|~Lu\wyzÁxCÌ wy̜×C†yÌ\®SzwyxCzºìÃÌS‚CzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑPí*ÛC| †Nu\wy| ÌS‚ufÑdÒÃC‚E‰ ÍCuf{ zL‚awNufёUÌS‚ rz€G wyƒC†yzÁÌ\®SzL†"ufÑ { Ìa }rwuf†yÛC| wy†Nuf†ylÓ zLÑ~ÍC}L‡ènxCOz ± Ñ ÌELufÑJwyxCzLÌS†yÓ ‘ìÃzL‚UÌEÍE| ‚C †Nu\wy| ÌS‚ufÑ/×µÌS| ‚awN}ÁÌS‚ X | ‚ G í  | Ñ ÑÒÃÌSÑ Ñ Ì  ÒÆyÌS{ wyxCz[SzL‚CzL†NufÑ/Nxuf†NuSGwyzL†y| é€u\wy| ÌS‚ ÌfÒ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}ÌS‚vu zLÑ~Ív| ‚v| wN}ÚufÛ}ÌSÑ ƒEwyzÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒC¬ × z { D¦  a[› ~ „ xC| Ñ zÈwyxCµz ± SÑ ÌSÛufÑ wyxCzLÌS†yÓ   | Ñ Ñ‘ƒEwy| Ñ | éLzÈ}ÌS{ zÚÌfÒwyxCzÚwyz€NxC‚Ch| ^aƒCz€}"ÍEzL®SzLÑ ÌS×µz€Íº| ‚ z Á • ~ ‡  1

1

GK

1

K

1

p

K(X)

K(Y )

GK

K(X)

K

K(X)

›^n–• ¾l  † ¦‘¡S  † ž¾l  ¦ŸŸ Y‚>ÌS†NÍEzL†"wyÌÄuf×C×CÑ ÓºwyxCzù{[uSNxC| ‚CzL†yӜÒÆyÌS{ z { ¦D a›D~ 

zȂCzLz€Íïwy̜†yz€}rwy†y|~GwÌSƒC†N}zLÑ ®Sz€} wyÌ[ufÑ { Ìa}rwuf†yÛC| wy†Nuf†yÓlzLÑ~ÍC},F £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥©¨D˜ – n á *RUT É K F~IùKNZ\TPT RNÉ   † ¡”¦µLž EŸ­›^ªÃžLŸ\ EŸŸ F ¿ Ÿ K F~IÁOd¼\½ILRîøZ\DyZSãUT ïKUT ¼­ILRNɺZ\OdɜOd¼\½'DyRNZ\T©KUT ¼­ILRNÉ Å Ÿ K ZSÉ\XFP½«I*ødDy¼yøRUDZ\T ÅaR€ãUDyZ\F«K[>R +S½YRUOCIGF«¼\OCIȼr¿ÈÉSRîÅfDyRNRnødDGFPX[Rù½Y¼ char K Å

xwhy ¾1 . q

y yz.

{

‰ ‹Œ {8y4x

q

vw

MKƒy{z h{y{

‰ “whx

t

‡ 

ÍÍ

F~IÄOd¼\OW¾MCRUOCILRUT F«Z\O$¼\D WZSÉ\F«KºMCRUOCILRUT F«Z\O.bùF R b[RUFP½ÃMCRUD ZSÉ\XFP½«IïOd¼?Od¼\OW ½¾DGFPÀ€F«Z\T/MCRUOCILRUT F«Z\O)À\Z\T BZ\½¾F«p¼\O ¼\D K ZSÉ\XFP½«IÄZïœ MCRUœ OCILRUT F«Z\O)DyKZ\OEQ\W 1 WYÀ\Z\T BZ\½¾F«¼\O)¼r¿ XF + RNɺKNMCZ\DyZSKU½YRUDGF~IG½¾F«K (0, p) Z\OdÉ p | ]G œ „Ìfwyzœwyxu\ w ‚C| wyzÄzU£ wyzL‚}| ÌS‚}ùÌfÒufÑ { Ìa}rw uf†yÛC| wy†Nuf†yƒÓ zLÑ~ÍC}uf†yzºufauf| ‚”ufÑ { Ìa}rw uf†‰ ÛC| wy†Nuf†yÓS_‡ ;/£Cuf{ ×CÑ z€}ÌfÒ'ufÑ { Ìa}rwÚuf†yÛC| wy†Nuf†yCÓ zLÑ~ÍC}uf†yzufÑ Ñ^}ƒCÛE‰ p‰YuSÍE|~ zLÑ~ÍC}L„JufÑ 4Ñ ‚C| wyz zLÑ~ÍC}L„ufÑ ÑJxC| Ñ ÛµzL†wy|~ufˆ ‚ zLÑ~ÍC}L„ Q „ Q „ Q zUwNf‡ DC†yÌS{‚CÌ S Ì ‚ z C£™uf‚”ufÑ { Ìa}rwuf†yÛC| wy†Nuf†y\Ó zLÑ~Í uf‚͙uv}{ Ì Ìfwyx™×C†yÌ rz€Gwy| ®Sz  UƒC†y®Sz X Ì\®S zL† K 8‡  X | ‚Uz  zºuf†yz[ÌS‚CÑ Ó| ‚awyzL†yz€}rwyz€Í | ‚ KwyxCz ãUFPDyZ\½¾F«¼\OdZ\T‘ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑ UÌS‚ rz€GwyƒC†yz  zڂCzLz€ÍĂCÌfwÍE|~}rwy| ‚CSƒC|~}xÄÛµzUw  zLzL‚ X uf‚Í Xˆ ‡ ?z uf‚awJwyÌNxuf†NuSGwyzL†y| éLzwyxCz K ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑ\×µÌS| ‚awN}JÌS‚ X | ‚ÁS†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~‘wyzL†y{[}L‡  ’Ì zL®SzL†€„C| Ò zÈ×uS}y}"ÒÆyÌS{ wyÌ[wyxCzù×µzL†ÒÃz€GwÚx ƒCÑ Ñ ÌfÒ „µ|¾‡ zS‡ „wyxCzù{[u\£E| {[ufÑ ×CƒC†y zLÑ Ó | ‚}zL×uf†NufÛCÑ z}ƒCÛµzU£ wyzLK‚}| ÌS‚œÌfÒ K/K „  zÌSÛEwNKuf| ‚ºLuf‚CÌS‚CK|~LufÑ|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{[}ÌfÒ ÚufÑ ÌS|~}nS†yÌSƒC×}*{[u = | ‚C pr uf‚Í pr | ‚ÍE|~}rwy| ‚CSƒC|~}xufÛCÑ z F Ÿ

K

K

ab

solv

ab p

perf

X/K perf

X/K

GK perf (X) k GK(X)

→ → GK perf k → → GK

ènxC|~}{ z€uf‚}"wyxu\w z | Ñ Ñ‚CÌfwÛµzufÛCÑ zÁwy̺ÍE|~}rwy| ‚CSƒC|~}x>ÛµzUw zLzL‚ ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑJ×µÌS| ‚awN} fu ‚Í K ‰î†Nu\wy| ÌS‚uf Ñd×µ ÌS| ‚awN}"| ‚ïuœÚufÑ ÌS|~}r‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~  u­ÓS‡  K DCÌS†z€uSNx ×µÌS| ‚aw z"{[u­Ó NxCÌ Ìa}zuÁÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚œ}ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ G UÌS†y†yz€}×µÌSP‚ÍE∈| ‚CX(K wy̜uœNxC)Ìa }zL‚ï×C†yÌSÑ ÌS‚Cau\wy| ÌS‚ºÌfÒ^wyxCzù®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v | ‚ÍEƒDUz€Í Û Ó P ÌS‚ K(X) wyÌ K(X) ‡ D |~}wyxCzL‚?ƒC‚Ch| ^aƒCzLÑ ÓvÍEzUwyzL†y{ | ‚Cz€ÍvƒC×?wyÌïUÌS‚rƒCau\wy| ÌS‚ | ‚ G ‡º…*Ó?†Nuf{ | µLu\wy| ÌS‚vwyxCzLÌS†yӖì«GÒr‡ zS‡ ‡
„ z {âÊ/€"¶ }G~ „ D = R (C G ) „ xCzL†yz R |~}^wyxCz†Nuf{ | µLu\wy| ÌS‚ }ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ D ì«uÁ‚CÌS†y{[ufÑE×C†yÌf‰ p }ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ D „  xCzL†yz p = char K íG„  xCzL†yz I = R C |~}*wyxCzÁ| ‚CzL†wy|~u}ƒCÛCS†yÌSƒC׺ÌfÒ D „  xCzL†yz  Q | Ò char K = p > 0 uf‚Í ˆ | Ò char K = 0 †yz€}ב‡ C ∼ ˆ C ∼ = Z =Z =wyÌ Z/Z [ { f u  × } ~ |  } S Ì

{ S Ì y † C × C x ~ | L  f u Ñ Ñ [ Ó S Ì a ‚ ‡ pr ènxC|~}"}ƒCSSz€G}rwN}'wyxCzÚÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚C[ÍEKz ‚C| wy| GÌSM‚ F ’b  b ¦ ¡  ažLŸ\ª«¡ F ¿ £ ’¤k¥+¦ § ¦“‹¥©¨D˜W¨ n ] RùKNZ\TPT^Z IGBãîÅfDy¼\B€ø D ¼r¿ G perf

perf

P

P

K(X)

P

P

K(X)

P

P XI

P

P XI

P

P

X/K

P XI

P

P

P

P

p

P

q6=p

q

K

K(X)

D∼ = R XI (C XI G),

©MCRUDyR

Z\OdÉ F¿ ˆ C∼ =Z Q ~ F * I d ø y D \ ¼ W \ Z d O É F¿ ˆ R p C∼ = Z = Z/Z Z\OdÉ[©MCRUDyR pr | : G → G F~IùZ\O?F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX œ R=1

p

X/K G

K

P

q6=p

q

char K = 0 char K = p > 0

º!r>W
® 4 w‚1M q

‡ Í °

y 

„Ìfwyz"wyxu\wwyxCzNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~*ÌfÒ |~}ìÃC‚ÍEzL†*ÌSƒC†'uS}y}ƒC{ ×Ewy| ÌS‚ wyxu\w K |~}'ufÑ { Ìa}rw uf†yÛC| wy†Nuf†yÓCíS†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~LufÑ Ñ Ó zL‚UKÌEÍEz€Í F |~}"u ×C†y| { z  | wyx cd (G ) = cd (G ) = 1 char K = p > 0 ⇔ p C ‚ [ Ì }ƒNxÄ×C†y| { zÚzU£E|~}rwN}L‡ char K = 0 ⇔ „Ì zvLuf‚)×C†yz€}zL‚awœÌSƒC†[S†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~ïNxuf†NuSGwyzL†y| é€u\wy| ÌS‚”ÌfÒÁ†Nu\wy| ÌS‚ufÑ"×µÌS| ‚awN}L„ }| { š| Ñ~uf †uS}n| ‚ïènxCzLÌS†yzL{ÎÕ‡ ËÁuf‚Í>Ð'ÌS†yÌSÑ Ñ~uf†yÓ Õ‡ ˆÌf´Ò z { D¦  aD› ~ F ãNR Z\O Z\T X[¼­IG½Z\DLãUFP½¾DyZ\D *RUT ÇÉ b*T RU½ ãNRZ[IGX[¼€¼\½ÃMødDy¼\W Ë ”“
ŒD“Ì(¦ § ¦“‹¥ ¨D˜² n 9RU½ ÈLRNKU½¾FPÀ\RKUBEDGÀ\R¼\À\RUD K bZ\OdK ɏT RU½ pr : G →→ G ãNRn½ÃMCRKNXZ\Od¼\OF«KNZ\T€ødDy¼ ÈLRNKU½¾F«¼\O œ HdMCRUO?½ÃMCRUDyRÈF~IùZºãUF ÈLRNKU½¾F«¼\O p

X/K

X(K perf ) P

K

p

K(X)

K

K(X)

8!!ôRQ <.<8 5]81 .!öA ´,/.Ò!0y,/.1+(öS!,ö÷08A! 6$S H+P

↔ 7 →

{ [DP ]

GK(X) }

*Dy¼€¼r¿ n j‘zUwƒ}uS}y}ƒC{ z[wyxu\w D 6 G |~}u>{[u\£E| {[ufÑ'SzLÌS{ zUwy†y|~œ}ƒCÛCS†yÌSƒCיÌfÒ ‡ ?z  | Ñ Ñ‘}xCÌ  wyxu\w D = D ÒÃÌS†}ÌS{ z P ∈ X(K ) ‡wj‘zUw q ÛµzÈuù×C†y| { z 0 G | wyx ì«}ƒNx ×C†y| { z€}^zU£E|~}rwÛµz€Lufƒ}z |~}ufÑ { Ìa}rwuf†yÛC| wy†Nuf†yÓCíG„fuf‚Í 6= char K  Ñ zUw G ÛµzÈu X Ó Ñ Ì q ‰ |q]G}ƒCÛCS†yÌSƒC׺ÌfÒ G ‡/ènxCzL‚ÄwyxCzJX Ó Ñ ÌK ‰ q }ƒCÛCS†yÌSƒC×}*ÌfÒ D uf†yzÌfÒ wyxCzùÒÃÌS†y{ Z G J‡ j‘zUw F ÛµzùwyxCz C£Ez€ƒÍ zLÑ~ÍvÌfÒ D ‡È…*ÓvènxCzLÌS†yzL{ ËS‡ ˆœÌfÒsz { ¦D a›[~ „ wyxC|~}/| { ×CÑ | z€}^wyxu\w F xuS}/uxCzL‚}zLÑ |~uf‚ ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v  | wyx ‚CÌS‚E‰ q‰YÍE| ® |~}| ÛCÑ zn®\ufÑ ƒCz"S†yÌSƒC× uf‚ͺ†yz€}|~ÍEƒufёNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ 6= q %‡ X Ì„E| ‚ï×uf†wy|~UƒCÑ~uf†€„ v |~}"‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufѾ‡ …*ƒEw |~}nwy†y| ® |~ufmÑ F |~}†yzLÑ~u\wy| ®SzLÑ ÓºufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ ÓœUÑ Ìa}z€ÍÄ| ‚ „Ûµz€Lufƒ}z wyxCz†yz€}rwyv†y|~Gwy:= | ÌS‚ vpr| {[uf×} DKÌS‚awyÌ G w‡ X Ì v |~}nufauf| ‚[xCzL‚}zLÑ |~uf‚‘‡^îFÒ K xuS}'‚CÌ ‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ/xCzL‚}zLÑ |~uf‚ ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚‘„‘wyxCzL‚ v {ùƒ}rwÈÛµz[wy†y| ® |~ufѾ‡ïðwyxCzL†  |~}z K xuS}Èu xCzL‚}zLÑ |~uf‚ †Nuf.‚ =a‰ 1 ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ w ÌfÒd{ | £Ez€Í[Nxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ (0, p) uf‚Í p | ]G w‡ X Ì  z { | SxawuS}  zLÑ Ñxu­®SzÚwNu =SzL‚ q = p  xC|~Nx>| { ×CÑ | z€}"wyxu\w v |~}ufauf| ‚Äwy†y| ® |~ufё۵z€Lufƒ}z uf‚ Óù‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑCxCzL‚}zLÑ |~uf‚[®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ ÌS‚ xuS}†yz€}|~ÍEƒufÑNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~ ì xuS} †Nuf.‚ = 1 „C}Ì[uf‚ ӜÌfwyxCzL†n‚CÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑJxCzL‚}zLÑ K|~uf‚Ä®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚Ä{ùƒ}rwÛµz ‚CzL†GíG‡ = p w ’zL‚Uz |~}*uȂCÌS‚E‰¾wy†y| ® |~ufÑ®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚[ÌS‚ xC|~Nxœ|~}wy†y| ® |~ufѵÌS‚ K „ uf‚Í  }ÌÈ| w*|~}/wyxCz v P| ‰YuSÍE|~"®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚ v ÒÃÌS†*}ÌS{ z"×µÌS| ‚aw K(X) S Ì ‚ ‡Ð'xCÌ Ìa}zuÁxCzL‚}zLÑ |~}yu\wy| ÌS‚ P X f Ì Ò ‡ € † ‡ € w ‡ |  ‚  } ~ | E Í z È ‡ n è C x L z ‚ ‡ X | ‚Uz |~}{[u\£E| {[ufÑ  F uf‚Í DK(X) |~}ufÑ~} ÌvuvSzLvÌS{ zUwy†y|~œ}ƒCFÛCS†yÌSƒC× ÌfGÒ G = D  zº⊇{ùDƒ}rwxu­®SzœD'z ^aƒufÑ | wrÓ D = ‡vt>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„Û | Ó ’zL‚}zLmÑ  } j‘zL{ {[uC„ P ∈ X(K ) „/Ûµz€Lufƒ}z K |~}ȆyzLÑ~u\wy| ®SzLÑ Ó D ufÑ SzLÛC†Nuf|~LufÑ Ñ Ó[UÑ Ìa}z€Íº| ‚ F ‡ Ù*w^wyxCz}yuf{ z*wy| { zS„fwyxC|~}}xCÌ }wyxu\w/wyxCz"{[uf× | ‚ùwyxCz"×C†yÌS×µÌa}| wy| ÌS‚|~} zLÑ Ñ ‰YÍEKz ‚Cz€ÍJ„ |¾‡ zS‡ „€wyxu\w©z€uSNx D |~}| ‚ÍEzLz€ÍÈu"{[ u\£E| {[ufÑSSzLÌS{ zUwy†y|~}ƒCÛCS†yÌSƒC×ÚÌfÒ G  ‡/ðÒUÌSƒC†N}zS„ ÌS‚CzÈ}xCÌSƒCÑ~ÍïufÑ~}Ì { zL‚awy| ÌS‚Äwyxu\w"wyxCzù}zUwÌfÒ^{[u\£E| {[ufёSzLÌS{ zUwy†y|~Ú}ƒCÛCS†yÌSƒC×}nÑ | =SzwyxCz }zUwÌfÒ^ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ï}ƒCÛCS†yÌSƒC×}*|~}UÑ Ìa}z€ÍœƒC‚ÍEzL†UÌS‚ rƒCau\wy| ÌS‚‘‡ D©| ‚ufÑ Ñ ÓS„fwyxCz"{[uf× |~}/|  ‚ rz€Gwy| ®Sz"Û ÓÁwyxCz"wyxCzLÌS†yzL{¢Ìf Ò D*‡ ! »‡ XENxC{ |~Í 'w F^ÍE|~}rwy| ‚Gw'×µÌS| ‚awN} ìÃ|¾‡ zS‡ „C†Nuf.‚ =a‰NËU‰î®\ufÑ ƒu\wy| ÌS‚}'ÌS‚ K(X)í'xu­®Sz‚CÌS‚E‰YUÌS‚ rƒCau\wyzÚxCzL‚}zLÑ |~}yu\wy| ÌS‚}L‡ ¢

K(X)

perf

P

K(X)

2

K

q

K

q XI

K

q

K

K

X/K

K

K

2

K

K(X)

P

P

P

FP

P

P

K(X) perf

P

P

P

K(X)

K

xwhy ¾1 . q

y yz.

{

‰ ‹Œ {8y4x

q

vw

MKƒy{z h{y{

‰ “whx

t

‡ Í µ 

‚ n Ä † ¦›^  † ž ¾l  ¦ŸŸ

ènxC†yÌSƒCSxCÌSƒEwwyxC|~}/}z€Gwy| ÌS‚ znuS}y}ƒC{ z'wyxu\w uf‚Í uf†yz*ufÑ { Ìa}rw/uf†yÛC| wy†Nuf†yÓzLÑ~ÍC}L„ wyxu\w X |~}©u}{ Ì ÌfwyxÈ×C†yÌrz€Gwy| ®S z'UƒC†y®Sz'Ì\®SzL† K „€Kwyxu\w Y L|~}©u}{ Ì Ìfwyxù×C†yÌrz€Gwy| ®Sz'UƒC†y®Sz Ì\®SzL† L uf‚Í[wyxu\w ϕ : G |~}*uf‚º|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ï„a|¾‡ zS‡ „ ϕ : G → →G ~ | " } f u ï ‚ ~ |  } S Ì

{ S Ì y † C × C x ~ |  } Ø { |  ‚ E Í  ƒ U  | C ‚ œ  f u Ä ‚ ~ |  } S Ì

{ ÌS†y×CxC|~}{ G → G F G K(X)/K

L(Y )/L

K(X)

K

L(Y )

GK(X) prX/K ↓ GK

L

ϕ

↔

GL(Y ) ↓ prY /L ↔ GL

É “‹¥43(’-5§76[”’Ų4˜ – n HdMCRUO FPOdÉ\BKNRGI*Z\OF~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX ©M F«KNM K (X) ∼ (Y ) =L DyRGIG½¾DGF«KU½«IÚ½Y¼ºZ\O?F~IL¼\X[¼\D¾øM F~ϕIGX K ∼= L œ ènxCzÁUÌS‚ rz€GwyƒC†yzÚ|~}"®SzL†yӜUÑ Ìa}zwyÌ ÛµzL| ‚C[×C†yÌ\®Sz€Í·z { ¦D   G~ ‡ j‘zUw"ƒi } †N}rwÍE†Nu  }ÌS{ zÁUÌS‚}'z ^aƒCzL‚Uz€}'ÒÆyÌS{ØwyxCzÁÑ ÌELufÑdwyxCzLÌS†yÓS‡ É “‹”“bÊÊ-«‹”Ë̲4˜W¨ n FPOdÉ\BKNRGIÚZ[ãUF ÈLRNKU½¾F«¼\O DyRGI¾øRNKU½¾FPO ŽÃMCR G W'DyRGI¾ø œ ϕ X(K) ↔ Y (L)  W S Z U K ¾ ½ « F \ ¼ O œ G ¢*Dy¼€¼r¿ n Ù‚ ˆ Ó ‚C| wyzù}zL×uf†NufÛCÑ zÁzU£ wyzL‚}| ÌS‚ K /K |~}"wyxCJz C£Ez€ŒÍ zLÑ~ÍïÌfÒ'uf‚>ÌS×µzL‚v}ƒCÛE‰ S†yÌSƒC× ÌfÒ G 8‡ j‘zUw L ÛµzœwyxCCz C£Ez€| Í zLÑ~Í ÌfÒ"wyxCzÄUÌS†y†yz€}×µÌS‚ÍE| ‚CïÌS×µzL‚–}ƒCÛCS†yÌSƒC× ÌfÒ G ‡™ènxCzL‚ L /L |~} \u ‚C| wyzï}zL×uf†NufÛCÑ zœzU£ wyzL‚}| ÌS‚–uf‚Í ϕ †yz€}rwy†y|~GwN}ÈwyÌuf‚–|~}Ìf‰ { ÌS†y×CxC|~}{ G Luf†y†yÓ | ‚Cœ{[u\£E| {[ufÑ^SzLÌS{ zUwy†y|~È}ƒCÛCS†yÌSƒC×}ÌfÒ →G y w Á Ì [ { \ u E £ | [ { f u C Ñ S  L z S Ì

{ U z y w y † ~ | n   } C ƒ C Û S  y † S Ì ƒC×}^ÌfÒ G 0‡ X | ‚Uz K uf‚Í L uf†yz"ufauf| ‚ G ufÑ { Ìa}rwuf†yÛC| wy†Nuf†yÓS„añ†yÌS×µÌa}| wy| ÌS‚ Ï ‡ ˆS| ®Sz€}nu ÛC| rz€Gwy| ÌS‚ X(K ) ↔ Y (L ) ‡ îÒ uf†yzw ŒÌ ‚C| wyzœ}zL×uf†NufÛCÑ z zU£ wyzL‚}| ÌS‚}ÁÌfÒ wyxCzL‚wyxCz€}zœÛC| rz€Gwy| ÌS‚} †yz€}×µz€KGwwyxC⊆zKLuf‚CÌS‚C|~Luf ёzL{ùÛµz€ÍCÍE| ‚C X(K ) ⊆ X(K K) uS}  zLÑ Ñ©uS}"wyxCz[ÚufÑ ÌS|~} uSGwy| ÌS‚ ÌfÒ G †yz€}ב‡ G ‹ ‡ ’zL‚UzvwyxCz?ÛC| rz€Gwy| ÌS‚;×uS}y}z€}[wy̔wyxCz?| ‚ÍEƒGwy| ®Sz?Ñ | { | w ‡ X(K) j‘zUw ÛµzÄwyxCzĐS†yÌSƒCיÌfҏÍE| ® |~}ÌS†N}ùÌfÒ Ì\®SzL† ‡”ènxCzL‚ |~}u ‰ { ÌEÍEƒCÑ zSDiv „©uf‚XÍJ„©}| { | Ñ~uf†yÑ ÓS„ Div Y |~}Áu G ‰î{ ÌEÍEXƒCÑ zS‡œènxCKz ÒÃÌSÑ Ñ Ì  | ‚CïDivUÌS†yXÌSÑ Ñ~uf†yÓï|~G}Èuf‚ | { { z€ÍE|~u\wyzÈUÌS‚}'z ^aƒCzL‚UzÌfÒ©wyxCzÁ×C†yzL® | ÌSƒ}*ÌS‚Cz F É “‹”“bÊÊ-«‹”Ë̲4˜² n FPOdÉ\BKNRGIœZ WYX[¼€É\BET R[F~IL¼\X[¼\D¾øM F~IGX ϕ : Div X ↔ ϕ (G , G ) d ø y D G R L I U R G D € À P F O º Å Ã ½ C M  R S É î R f Å y D N R R Div Y œ îÒ wyxCzSzL‚ ƒ}JÌfÒ X uf‚Í L |~}JéLzL†yÌnwyxC|~}‘| { ×CÑ | z€}Jwyxu\w ϕ | ‚ÍEƒUz€}u (G , G )‰î{ ÌEÍEƒCÑ z |~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ØÛµzUw  zLzL‚ºwyxCzÁS†yÌSƒC×} P Div X = Div X uf‚Í P Div Y = Div Y ÌfÒ ×C†y| ‚U| ×ufÑ/ÍE| ® |~}ÌS†N}ìPwyxC|~}Á}zLzL{[}wyÌïxCÌSÑ~Í>ÒÃÌS†ÚSzL‚CzL†NufÑ©SzL‚ ƒ}ÚuS}  zLÑ ÑPíG‡ùt>ÌS†yzLÌ\®SzL†€„µ| Ò ÒÃÌS†Áuf‚ Ó D ∈ Div X  z  †y| wyz L(D) ÒÃÌS†wyxCz | {[ufSzÌfÒwyxCz Ñ | ‚Cz€uf†ÒÃC‚Gwy| ÌS‚™}×uSUz |‚ „ wyxCzL‚ºufÑ~}ÌÈ| ‚ÍEƒUz€}'uÁÛC| rz€Gwy| ÌS‚ L(D) := {f ∈ K(X) | (f ) + D > 0} P Div X ϕ perf

perf

perf

perf

K

L

1

K

1

L

1

K1 (X)/K1

L1 (Y )/L1

K1 (X)

1

L1 (Y )

1 perf 1

perf 1

1

2

K

perf 1

perf 2

L

K

L

K

L

div

K

0

L

0

º!r>W
® 4 w‚1M q

‡H°)ˆ

y 

ÛµzUw zLzL‚2wyxCz?}×uSUz€} uf‚Í ‡ ?zvzU£E×µz€Gwœwyxu\wœwyxCzv}yuf{ z>xCÌSÑ~ÍC} ÒÃÌS†* uf‚ Ó‚C| wyzU‰YÍE| { zL‚}|L(D) ÌS‚ufѾ„ uf‚͜}L(ϕ Ì„S| ‚œ×uf(D)) †wy|~UƒCÑ~uf†€„fÒÃÌS†nuf‚ Ó Ï ‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufѵ}×uSUzÌfÒ ÒÃC‚Gwy| ÌS‚}L‡©îÒCwyxC|~}^|~}wy†yƒCzS„­wyxCzL‚ÈwyxCz"ufÛµÌ\®Sz'UÌS‚ rz€GwyƒC†yz'ÒÃÌSÑ Ñ Ì  }‘ÒÆyÌS{ z Á • ~ „SènxCzLÌS†yzL{ Õ‡ Üïì«ÍEzUwNuf| Ñ~}  | Ñ Ñ‘Ûµz  ÌS>† =Sz€ÍœÌSƒEw"| ‚ z { D¦   G  ~ ‡ ? xu\w zLuf‚ÄufÑ †yz€uSÍEÓ }yu­ÓÒÃÌS†n}ƒC†yz|~}'wyxu\w*wyxCzÁÚufÑ ÌS|~}'S†yÌSƒCC× = ‚CÌ  }/wyxCzڐSzL‚ ƒ,} F  É “‹”“bÊÊ-«‹”Ë̲4˜¤ n HdMCRÚÅaRUOB Iȼr¿ Z\OdÉ Z\DyRȽÃMCRÁILZ\X[R X Y œ ¢*Dy¼€¼r¿ n îÒ |~}Ȍu ‚C| wyzº}zUwùÌfÒ"×µÌS| ‚awN}ÚwyxCzL‚ ϕ | ‚ÍEƒUz€}Èuf‚™|~}ÌS{ ÌS†y×CxC|~}{ f u  ‚ Í π (Y \ ϕ(S)) „Ûµz€Lufƒ}z ÛµzUw  zLzL‚ πS(X⊆ \X(K) S) div

1

1

π1 (X \ S) ∼ = GK(X) /hIP | P ∈ X \ Si,

xCzL†yz I †yƒC‚}wyxC†yÌSƒCSx?wyxCzœ| ‚CzL†wy|~uï}ƒCÛCS†yÌSƒC×}ÚÌfÒ"ufÑ Ñ'ÍEz€UÌS{ ×µÌa}| wy| ÌS‚ }ƒCÛCS†yÌSƒC×}  ÌfÒ G  ‡ †€‡ w€‡ P ∈ X \ S ‡w„Ìfwyzwyxu\w n := ]S = ]ϕ(S) ‡ D îÒ char wyxCzL‚ π (X \ S) |~}uÒÆyzLzÁ×C†yÌ‚C| wyzÁS†yÌSƒC×ÄÌfÒ^†Nuf‚.= 2g + n − 1 ‡ K=0 ’zL‚Uz à ì y † z€LufÑ Ñdwyxu\w"wyxCzÁNxuf†NuSGwyzL†y|~}rwy|~|~}"ufÑ~}Ì zL‚UÌEÍEz€Íº| ‚ pr íG‡ g =g îÒ wyxCzL‚”wyxCzº{[u\£E| {[ufÑ'×C†yÌf‰ ^aƒCÌfwy| zL‚awÌfÒ }rwy| Ñ Ñ*|~}uïÒÆyzLz \S ×C†yÌf‰ l char S†yÌSƒC×>KÌf6=Ò'†Nuf0.‚ = 2g + n − 1 „  xCzL‚CzL®SlzL† l |~}Úuœ×C†y| { zπ 6=(Xchar ‡ X Ì„Jufauf| ‚‘„ : K ‡ g =g P

P

K(X)

1

Y

X

X

X/K

1

X

Y

X

¨ Ÿ­ž¾l aŸº ½l½ † ª«¡S Ež€ª«¦ ¥  ¦bž"ž¾l  † ¦‘¡S  † ž¾l  ¦ŸŸ ?z ÌSƒCÑ~ÍÈÑ | =Sz*wyÌÚ{ zL‚awy| ÌS‚ùw ÌÒÃC†wyxCzL†uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚}©ÌfÒCwyxCz"Ñ ÌELufÑawyxCzLÌS†yÓS„\ÌS‚CznÌS‚ wyxCz †yzLÑ~u\wy| ÌS‚vÛµzUw  zLzL‚vwyxCzw  ̺ ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑ/UÌS‚ rz€GwyƒC†yz€}ÌfÒ*uf‚ufÛµzLÑ |~uf‚?SzLÌS{ zUwy†yÓS„ uf‚ͺÌS‚CzÁÌS‚ºwyxCzÈ}ÌSÑ ®\ufÛC| Ñ | wrӜÌfÒ©×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑJ'z ^aƒu\wy| ÌS‚}nÛ Óœ†NuSÍE|~LufÑ~}L‡ îwï}zLzL{[}º‚u\wyƒC†NufÑwyxu\wºwyxCzvÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑÚUÌS‚ rz€GwyƒC†yz?ÌfÒùuf‚ufÛµzLÑ |~uf‚ SzLÌS{ zUwy†yÓ }xCÌSƒCÑ~ÍÄ| { ×CÑ ÓœwyxCzÁÛC| †Nu\wy| ÌS‚ufÑdÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑUÌS‚ rz€GwyƒC†yzS„EÛµz€Lufƒ}zÚwyxCzÈufÛ}ÌSÑ ƒEwyzȍÚu\‰ Ñ ÌS|~}*S†yÌSƒCלÌfÒ K(X) |~}'wyxCzÚ| ‚ ®SzL†N}zÑ | { | wÌfÒ©ufÑ Ñ‘uf†y| wyxC{ zUwy|~ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑJS†yÌSƒC×}'ÌfÒ xCzL‚ †yƒC‚}wyxC†yÌSƒCSxufÑ %Ñ ‡duf†y|~} = |ÌS×µzL‚ }ƒCÛ ®\uf†y| zUwy| z€}ÌfÒ J‡ ’Ì zL®SzL†€„µ| ‚ X /K  ×C†y| ‚U| ×CÑ zS„ G X {[u­Ó[xu­®SzÒÃÌS†ySÌfwwyzL‚œ| wN}nSzL‚Cz€ufÑ ÌSSÓS‡îÒ K |~}"ufÑ { XÌa}rw"uf†yÛC | wy†Nuf†yÓS„S| w xuS}n‚CÌf'w F É “‹”“bÊÊ-«‹”Ën¤+˜ – n 9RU½ ãNR>Z\O$Z\T X[¼­IG½Z\DLãUFP½¾DyZ\D l*RUT ÇÉ bÈT RU½ ãNRvZ?IGX[¼€¼\½ÃMïødDy¼\W ÈLRNKU½¾FPÀ\RºKUBEDGÀ\Rœ¼\À\RUD K K Z\OdÉ>Z­INIGBEX[R ½ÃMCZ\½"½ÃMCR"¿NBEOdÉSZ\X[RUO½YZ\T'KN¼\X!O ÈLRNKU½¾BEDykR µ œ (X /K) MC¼\T É­I©¿U¼\D"IL¼\X[AR 6^Z\DGF~IyQ\F^¼yøRUOœZM yøRUDLãN¼\T F«K X ⊆ X œ HdMCRUOĽÃMCRãUFPDyZ\½¾F«¼\OdZ\T­¿NBEOdÉSZ\X[RUOW ½YZ\T©KN¼\!O ÈLRNKU½¾BEDyMR Á°µ œ (X/K) MC¼\T É­I œ ¢*Dy¼€¼r¿ n ènxCzn×C†yÌ ÌfÒƒ}z€}wyxCz"}yuf{ z*uf†ySƒC{ zL‚aw/uS}©| ‚ÈwyxCzn×C†yzL® | ÌSƒ}©UÌS†yÌSÑ Ñ~uf†y Ó FdwyxCAz ^aƒCÌf‰ wy| zL‚awN}JÌfÒ G  xC|~NxÈuf†yz/uf†y| wyxC{ zUwy|~©ÒÃC‚ÍCuf{ zL‚awNufÑfS†yÌSƒC×}Juf†yz/S†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~LufÑ Ñ Ó zL‚UÌEÍEz€Íº| ‚ pr ‡ º[n µ

0

0

K(X)

0

0

K(X)

X/K

xwhy ¾1 . q

y yz.

{

‰ ‹Œ {8y4x

q

vw

MKƒy{z h{y{

‰ “whx

t

‡H°‡ 

ènxCz}z€UÌS‚Í[uf×C×CÑ |~Lu\wy| ÌS‚[SÌ z€}ÛuSW =ÈwyÌÈwyxCz†yÌ ÌfwN}/ÌfÒ©ÚufÑ ÌS|~}/wyxCzLÌS†yÓS„fwyxCz ^aƒCz€}rwy| ÌS‚ x |~NxÄ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}*Ì\®SzL†*wyxCz zLÑ~Í Q ÌfÒ©†Nu\wy| ÌS‚ufÑd‚ ƒC{ùÛµzL†N}"Luf‚ÄÛµzÈ}ÌSÑ ®Sz€ÍœÛ Ӝ†NuSÍE| ‰ C LufÑ~}L‡ÚufÑ ÌS|~}"au­®SzÁu[×C†yz€U|~}zÈuf‚} zL†nÒÃÌS†×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}"| ‚>ÌS‚CzÈ®\uf†y|~ufÛCÑ zFwyxCzȐS†yÌSƒC×E‰ wyxCzLÌS†yzUwy|~ïU†y| wyzL†y| ÌS‚–|~}wyxu\w[wyxCz? ÚufÑ ÌS|~}S†yÌSƒCזÌfҏwyxCzv}×CÑ | wwy| ‚C zLÑ~Í2Ûµzv}ÌSÑ ®\ufÛCÑ z | ‚vwyxCzS†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~Á}zL‚}zS‡îÒ'ÌS‚CzUÌS‚}|~ÍEzL†N}×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}| ‚vw  ̜®\uf†y|~ufÛCÑ z€}L„µ| w |~}z€uS}Óºwy̺UÌS‚}rwy†yƒGw×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufё'z ^aƒu\wy| ÌS‚}  | wyxCÌSƒEw†NuSÍE|~LufÑ}ÌSÑ ƒEwy| ÌS‚}L„ƒ}| ‚C[wyxCz ÌS‚CzU‰YÍE| { zL‚}| ÌS‚ufÑ"LuS}zS‡ ’Ì  zL®SzL†€„/wyxCz>}yuf{ \z ^aƒCz€}rwy| ÌS‚–ÒÃÌS†?ZSãGIL¼\T BE½YRUT  FPDGDyRNÉ\BKUF«ãUT R ×µÌSÑ Ó ‚CÌS{ |~ufÑ~}ÁÌ\®SzL† Q |~}ù}rwy| Ñ Ñ'ÌS×µzLM‚ Fù| wù|~}ȂCÌfJw = ‚CÌ  ‚  xCzUwyxCzL†uf‚ ÓUƒC†y®Sz[ÍEKz ‚Cz€Í ‰î†Nu\wy| ÌS‚ufÑn×µÌS| ‚awvìÃñ†yÌSÛCÑ zL{æˀŒC‡ ˀÜì«uaíÈÌf°Ò z µ ¾ ¶ }~ íG‡$ðƒC† Ñ ÌELufÑ Ì\®SzL† xuS}[u wyxCzLÌS†yQÓ[| { { z€ÍE|~u\QwyzLÑ Ó[S| ®Sz€}/¶ ¹ KùÑ~u ÚufÑ ÌS|~}¹ u\wnÑ z€uS}rw"uùS†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~U†y| wyzL†y| ÌSM‚ F É “‹”“bÊÊ-«‹”Ën¤+˜W¨ n šÃ¿ F~IZ[IGX[¼€¼\½ÃMødDy¼ ÈLRNKU½¾FPÀ\RœKUBEDGÀ\R¼\À\RUD ½ÃMCRUO F ¿ùZ\Odɺ¼\OT [F ¿ G X KN¼\O½YZ\FPOCIÈZùÅaRN¼\X[RU½¾DGF«KÈIGBãîÅfDy¼\B€ø œ Q X(Q ) 6= ∅ „Ìfwyz[wyxu\wùwyxC|~}ºF~Iùu>S†yÌSƒC×E‰¾wyxCzLÌS†yzUwy|~ U†y| wyzL†y| ÌS‚”}| ‚Uz |~}ùzL‚UÌEÍEz€Í | ‚ pr ‡ pr solv

solv

Qsolv (X)

X/Qsolv

X/Q

€ G  ž¯ aŸ(  ¥ ¡   Î ÏqÎ Ò K´ÕMÖfÜ´bÜbäÜbãÜ+Ù Þ¸ø‰ÕJÓMBÚ û&Nv× ÝYebØã¼æƒý$éè ¯  êé  è¬è!òfòyêé  èèÜG  Wþ @@@[Ò â¬Õá°ÕKgÙ× Ø
Ò Þ â¬€Õ çå‹&٠ҋØÝ"s æ E[0>ö1 ¼. 0y÷yú(,ö÷20 8>þ:T^    Ð & ìí %&  UêG ì ´#$ ë  /þ ÿ þè ‹' þ " ï  $í #[  &! þ Ï    þbC) > Î 1
è(C&Ò ç‹Õ2McÜbØÝv× bÚCägå‹ÝvÝ°æ°#´&! è
! èêï è!ò4òyêé  è]ÜG W þ °ï ïG&&  è Î 1
è(Ò þ @
ì é  è éèG¯é ê   &!G&!  &! è%/ ' þ 9ÒbK´Õ ãSc°qÕ M7ÐYNvãägå‹Ýv2Ý Ñgâ¬Õgßbå‹YÝ e Þ ßfqÕ -fÜ Ž´ÐvØÛÛvØl æ ûW%/%/C & c&!G¼ïê  ' î  Mð   è ^è!ò&! êC_  ÜG W þùƒ.!ô  8 0 G÷>.´ùƒ.!÷yú)ø i+iþ¯C) >ÿ þè
('þï HCæ Ñ Î Ð ' Î Ò ,^Õfâ·´Ü û&Nv× X)ÐYeb$× ÑJa‡( Õ Vså e‹å‹Eä ÐvÙGå Þ Ø‡( Õ Ólå‹äg&å ‹Hå *gåÅæ Î ìÃ#$ è! ìG é U éèG¯é ê ´è‡ ì$òyêG&!%/( &!G! èêï gè!òD&! &! éféê W þY4 <F. H ‡
) Ò
 02* ÷20 !ô cû j¿þ>!ÿ þGè
‹'þGï 
æ k Î Ð è(éCÒ ,^Õ
â·´Ü û&Nv× X)ÐYeb×læ Î ì° è(éC&!ï è!í p &!G&!  &!Uè%/ '¿è!ò
éê W þgó ôõöô÷Wø ùƒ.!÷yúø‹
û ;Gý"þ¯Cÿ þGè
þï +CCæ ×(  Î \4èïG ×!Ò K´Õ4ßÜ s7 æ @
°#$ è! ìG é U&u +éèG¯é ê 
è!òb &  èG&!‹&!G&!  &!°è%/ .' þ fôôv2 ø 
ùƒ.!÷yúø  k
û ;+ß"þ¯C ×(ÿ þGè
‹'þGï vR×kæGB >