Mathematik 1, Lehrbuch fuer ingenieurwissenschaftliche Studiengaenge

Springer-Lehrbuch

Albert Fetzer · Heiner Fränkel

Mathematik 1 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge

Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer. nat. Heiner Fränkel Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz † Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief

10., bearbeitete Auflage Mit 316 Abbildungen

123

Prof. Dr. Albert Fetzer

Professor Dr. Heiner Fränkel

Hochschule Aalen Beethovenstraße 1 73430 Aalen [email protected]

Hochschule Ulm Prittwitzstraße 10 89075 Ulm [email protected]

ISBN 978-3-540-68923-2

e-ISBN 978-3-540-68929-4

DOI 10.1007/978-3-540-68929-4 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2008, 2007, 2005, 2003, 2000, 1997, 1995 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, desVortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, derMikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung diesesWerkes oder von Teilen diesesWerkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, GEFMA, VDMA) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort zur zehnten Auflage Seit dreißig Jahren verwenden Studenten und Lehrkräfte der technischen Hochschulen unser Mathematikwerk gerne als Arbeitsmittel, sodass es nun mit leichten Korrekturen versehen in zehnter Auflage erscheinen kann. Wir danken unseren Lesern für ihr Interesse, für ihren positiven Zuspruch und freuen uns weiterhin über Verbesserungsvorschläge. Aalen, Ulm im Sommer 2008

Albert Fetzer Heiner Fränkel

Vorwort zur vierten Auflage Seit fast zwanzig Jahren wird das vorliegende Mathematikwerk von Studenten und Dozenten an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen verwendet und hat sich sowohl als Lehr- und Lernmittel wie auch als autodidaktisches Hilfsmittel äußerst gut bewährt. Neue Aufgabengebiete und Anforderungen der betreffenden Bildungseinrichtungen haben nun jedoch eine vollständige Überarbeitung notwendig erscheinen lassen. Damit wird der Entwicklung im Bereich von Computer- und Kommunikationstechnik Rechnung getragen. Berücksichtigt wird auch, daß der Computereinsatz neue Arbeitsmethoden und Algorithmen ermöglicht. Die Aufnahme neuer Stoffgebiete machte eine straffere Darstellung einiger Kapitel erforderlich. Die Inhalte wurden nunmehr auf zwei Bände verteilt. Folgende Themen wurden zusätzlich aufgenommen: • • • • • • • •

Geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen im R2 und R3 Eigenwerte von Matrizen Problematik der Rundungsfehler bei numerischen Verfahren QR-Algorithmus Kubische Splines Fourier-Transformation Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben

Inhalt dieses Bandes 1 2 3 4 5

Mengen, reelle Zahlen Funktionen Zahlenfolgen und Grenzwerte Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit Komplexe Zahlen

VI 6 7 8 9

Vorwort zur vierten Auflage

Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten Vektoren und ihre Anwendungen Differentialrechnung Integralrechnung

Die Abschnitte 1 und 2 enthalten Grundbegriffe, die zum VersHindnis der folgenden Kapitel unerHiBlich sind. Die Abschnitte 3 und 4 bereiten die Differential- und Integralrechnung vor. Die Abschnitte 5, 6 und 7 konnen in beliebiger Reihenfolge (auch parallel zum Analysis-Kurs) erarbeitet werden. Dabei wird den Wunschen der Kollegen Rechnung getragen, die technische Facher lehren und Kenntnisse, z.B. uber komplexe Zahlen, bereits im ersten Studiensemester voraussetzen mussen. Abschnitt 7 wird erganzt durch geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen, die z.B. in der Computergrafik eine zentrale Rolle spielen. AuBerdem werden die Eigenwerte von Matrizen behandelt sowie der QR-Algorithmus, der bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen oft bessere Ergebnisse erzielt als der ubliche (auch modifizierte) GauBsche Algorithmus. In Abschnitt 8 wird die Differentialrechnung behandelt. Dabei wurde der klassische Weg gewahlt, namlich ausgehend von dem anschaulichen Problem, die Tangente an einem Punkt einer Kurve zu definieren. AnschlieBend erfolgt die abstrakte Definition der Ableitung mit dem Hinweis, daB diese Abstraktion mehrere physikalische oder technische Interpretationen zulaBt. Alsdann werden zur bequemen Handhabung Rechenregeln (ein Kalkul) hergeleitet. Besonders eingegangen wird auf die einseitigen Ableitungen, da die in der Praxis auftretenden Funktionen oft Stellen aufweisen, in denen nur einseitige Ableitungen existieren. Erinnert sei z.B. an die Betragsfunktion. Zum weiteren Aufbau der Differentialrechnung und zur Herleitung z.B. der Taylorschen Formel, der Regeln von Bernoulli-de l'Hospital sowie der Kurvendiskussion wird der Mittelwertsatz der Differentialrechnung benotigt. Abschnitt 9 befaBt sich mit der Integralrechnung. Ausgehend von der Berechnung des Flacheninhalts wird das bestimmte Integral als Grenzwert der Riemannschen Zwischensumme definiert. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt dann einen Zusammenhang zwischen diesen Teilgebieten der Mathematik her. Damit erhalt man einen Kalkul zur Berechnung eines bestimmten Integrals, namlich uber das Aufsuchen von Stammfunktionen. Durch die uneigentlichen Integrale wird der Begriff Integrierbarkeit erweitert, wodurch auch neue Funktionen, z.B. die Gamma-Funktion, definiert werden konnen. Inhalt des zweiten Bandes Anwendung der Differential- und Integralrechnung, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexwertige Funktionen, gewohnliche Differentialgleichungen. Eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen veranschaulichen und vertiefen auch in diesen beiden Banden den Stoff. Zahlreiche Aufgaben mit Losungen zu jedem Kapitel erleichtern das Selbststudiurn. Wir danken dem VDI-Verlag fur die gute Zusammenarbeit. Dusseldorf, Marz 1995

Albert Fetzer Heiner Frankel

Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage Zielgruppen

Das dreibandige Werk richtet sich hauptsachlich an Studenten und Dozenten der technischen Fachrichtungen an Fachhochschulen. Auch Studenten an Universitaten und Technischen Hochschulen konnen es wahrend ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Die Darstellung des ausgewahlten Stoffes ist so ausfiihrlich, daB es sich zum Selbststudium eignet. Vorkenntnisse

Der Leser sollte mit der Bruch-, Potenz, Wurzel- und Logarithmenrechnung, der elementaren Geometrie sowie mit der Trigonometrie vertraut sein; dennoch werden diese Themen teilweise angesprochen. Stoffauswahl

Den Autoren war klar, daB die Mathematik fiir die oben angesprochenen Zielgruppen (bis auf einzelne Ausnahmen) immer nur Hilfswissenschaft sein kann. Sie bemiihten sich, die Stoffauswahl aufgrund der Erfordernisse der verschiedenen Studiengange an den technischen Fachrichtungen der Fachhochschulen vorzunehmen. Die Fragestellung war also: Welche Themen sind fiir die technischen Studiengange wichtig? Geht man z.B. davon aus, daB die Studenten am Ende der mathematischen Grundausbildung in der Lage sein sollen, eine Differentialgleichung aufstellen und losen zu konnen oder die Fourierreihe einer Funktion zu bestimmen, so implizieren diese Ziele eine ausfiihrliche Behandlung der Differential- und Integralrechnung. Da die Ableitung und das bestimmte Integral durch Grenzwerte definiert werden, ergibt sich daraus als ein Groblernziel der Begriff des Grenzwertes; er erweist sich sogar als einer der wichtigsten Begriffe der anwendungsorientierten Mathematik. Dieses Thema wird deshalb besonders ausfiihrlich dargestellt. Dabei werden verschiedene Grenzwerte (z.B. von Zahlenfolgen, Funktionen usw.) auf einheitliche Weise mit Hilfe des Umgebungsbegriffes definiert. Darstellung

Besonderer Wert wurde auf eine weitgehend exakte und doch anschauliche Darstellung gelegt. Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Satze nicht fortzulassen und andererseits sie durch Beispiele und Zusatzbemerkungen zu erhellen. Da die Beweise einiger Satze jedoch iiber den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fallen der Beweis ersetzt durch zusatzliche Gegenbeispiele, die die Bedeutung der Voraussetzungen erkennen lassen. In den Naturwissenschaften treten Objekte auf, die durch MaBzahlen und Einheiten beschrieben werden: Eine Strecke der Lange 27 cm, ein Wiirfel mit dem Volumen 27 cm 3 , eine Schwingung mit der Periode 27 s und der Amplitude 3 cm. Die Worte »Lange«, »Volumen«, »Periode« u.a. werden andererseits auch innerhalb der Mathematik in ahnlichem Zusammenhang verwendet, hier allerdings lediglich durch Zahlen beschrieben: Das Intervall [ -7, 20J hat die Lange 27, der durch die Punktmenge {(x, y, z)IO ~ x ~ 3 und 0 ~ y ~ 3 und -1 ~ z ~ 2} definierte Wiirfel 2n hat das Volumen (den Inhalt) 27, die durch f(x) = 3·cos-x definierte Funktion f hat die 27

VIII

Vorwort zur ersten Auflage

Periode 27 und die Amplitude 3. Innerhalb der Mathematik ist es daher nicht sinnvoll, von der MaBzahl der Lange des Intervalls [ - 7, 20J usw. zu sprechen. Wendet man die Mathematik auf die Naturwissenschaften an, so fuhrt man z.B. ein Koordinatensystem im gegebenen Karper ein und zwar zweckmaBig so, daB die MaBzahlen, die den Karper beschreiben, gleich jenen Zahlen sind, die ihn innerhalb der Mathematik beschreiben. Hinweise for den Benutzer Die Strukturierung ist ein wertvolles didaktisches Hilfsmittel, auf das die Autoren gerne zuruckgegriffen haben. Die Hauptabschnitte werden mit einstelligen, die Teilabschnitte mit zweistelligen Nummern usw. versehen. Am Ende eines jeden Teilabschnittes findet der Leser ausgewahlte Aufgaben (schwierige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet), an Hand derer er prufen kann, ob er das Lernziel erreicht hat. Zur Kontrolle sind die Losungen mit Lasungsgang in knapper Form im Anhang zu finden. Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Satze eingerahmt und grau unterlegt. Das Ende des Beweises eines Satzes ist durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. Oft werden Definitionen und Satze durch anschlieBende Bemerkungen erlautert, oder es wird auf Besonderheiten hingewiesen. Hannover, August 1978

Albert F etzcr Heiner Frankel

Inhalt

1 Mengen, reelle Zahlen . . . . . . . . . .

1.1 Begriffe und Sprechweisen . . . . . 1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Die Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation . . . . . 1.3.2 Grundgesetze der Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Eigenschaften der Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Summenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Vollstandige Induktion bei Summenformeln . . 1.4.3 Vollstandige Induktion bei Ungleichungen . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 6 12 12 13 13 15 18 19 22

24

2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Einige spezielle Funktionen 2.1.2 Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 28 30 36

2.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . .

38 43

2.3 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 44 49 55

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2.4 Potenzfunktionen . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . 2.5.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 61 64 68

. . . . .. . . . . . . . . .

X

Inhalt 70

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte . . . . . .

3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen .... Aufgaben .

74

3.2 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Rechnen mit Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 76 84 91

3.3 Monotone und beschdinkte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Konvergenzkriterium monotoner Folgen . . . . . . . . . . 3.3.2 Die Eulersche Zahl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 96 98

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Die e- und die In-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 106

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Grenzwert von f flir x -+ 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

108 108 117

4.2 Grenzwert von f flir x -+ X o . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Definition des Grenzwertes von f ftir x -+ X o . . . . . . . . . . . 4.2.2 Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . 4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

118 118 125 130 136

4.3 Stetige und unstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . 4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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138 138 142 146 154

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4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 160

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161 166

4.6 Spezielle Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

5 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

5.1 Definition der Menge C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169 182

5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen Aufgaben .

183 187

Inhalt

XI

5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 197

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

6.1 Lineare Gleichungssysteme; das GauBsche Eliminationsverfahren 6.1.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Das GauBsche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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199 199 200 204

6.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Die Inverse einer Matrix. Aufgaben . . . . . . . . . . . . .

204 204 208 216 218

6.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Definition der Determinante . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Eigenschaften der Determinanten . . . . . . . . . . 6.3.3 Berechnung der Inversen einer reguHiren Matrix. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220 220 224 228 231

. . . . . . . .

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6.4 Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Allgemeines iiber die Losungen von Gleichungssystemen 6.4.2 Quadratische, lineare Systeme mit reguUiren Matrizen . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. .. 233 . 233 . 237 . 243

7 Vektoren und ihre Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

7.1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl . . 7.1.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Das vektorielle Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247 247 250 253 259 263 265

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems 7.2.1 Lineare Abhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Komponentenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Anwendung in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Mehrfachprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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267 267 270 279 290 292

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Geometrische 3D-Transformationen . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Koordinatentransformationen . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294 295 305 309

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XII

Inhalt

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310 326

7.5 Numerisches Verfahren zur Lasung von linearen Gleichungssystemen . . . 7.5.1 Probleme bei der numerischen Behandlung '. . . . . . . . . 7.5.2 Der QR-Algorithmus . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327 327 333 338

8 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339

8.1 Begriff der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Steigung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Definition der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Einseitige und uneigentliche Ableitungen . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Anwendungen der Ableitung in den Naturwissenschaften . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Ableitung einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Differentiation einer Linearkombination von Funktionen 8.2.3 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Die Quotientenregel . . . . . . . . . . 8.2.5 Ableitung einer mittelbaren Funktion . 8.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . 8.2.7 Hahere Ableitungen . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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339 339 340 344 348 353

. . . . . . . . . . . . . . . .

354 354 356 358 359 361 363 365 368

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8.3 Ableitung elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Ableitung der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcus-Funktionen .. 8.3.3 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . 8.3.4 Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Area-Funktionen . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369 370 370 373 376 379

8.4 Das Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Der Begriff des Differentials . . . . . . . . . . 8.4.2 Anwendung in der Fehlerrechnung . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381 381 383 385

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . 8.5.3 Die Taylorsche Formel .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Numerische Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387 387 390 394 401 405

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8.6 Berechnung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Regeln von Bernoulli-de l'Hospital . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Anwendung auf weitere unbestimmte Formen . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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407 407 411 413

Inhalt

XIII

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung . . . . . . . . . . 8.7.1 Monotone Funktionen 8.7.2 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.3 Konvexitat und Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

415 415 416 422 430

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen . . . . . . 8.8.1 Allgemeines Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2 Das Iterationsverfahren von Newton. . . . . . . . . . . . 8.8.3 Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

433 433 441 444 446

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

449

9 Integralrechnung . .

9.1 Das 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5

bestimmte Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einftihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Definitionen und Satze tiber integrierbare Funktionen Flacheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

449 449 450 452 456 468 470

9.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . .

470 470 477 480

9.3 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Grundformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Partielle Integration . . . . . . . . 9.3.4 Integration durch Substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5 Tabelle unbestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

481 481 482 487 491 494 497

. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

9.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Integrale tiber unbeschrankte Intervalle . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Integrale von nicht beschrankten Funktionen . . . . . . . . . . 9.4.3 Die r-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

9.5 Numerische Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Spezielle Integrationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 Summierte Integrationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .. . . . . . ..

498 499 506 508 511 512 512 513 517 525

XIV

Inhalt

Anhang Aufgabenlosung . .

526

Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu

526 528 534 540 548 552 557 572 602

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

611 613

1 Mengen, reelle Zahlen Zu den wichtigsten Grundbegriffen, auf denen die Mathematik aufbaut, zahlt der Mengenbegriff. Er spielt auch in einem Mathematikbuch flir Ingenieure eine bedeutende .Rolle, weil mit den Schreib- und Sprechweisen der Mengenlehre Aussagen in allen Teilgebieten der Mathematik klar und kurz formuliert werden konnen. In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Begriffe, Sprechweisen und Gesetze zusammengestellt werden.

1.1 Begriffe und Sprechweisen Zwei Schreibweisen sind bei Mengen ublich: die aufzahlende Schreibweise und die beschreibende, bei der die Elemente durch eine definierende Eigenschaft zusammengefaBt werden. Beispiele sind: A

=

{a, e, i, 0, u}

=

{x Ix ist Vokal im deutschen Alphabet}

B = { -2,1,5, 6} = {xix ist Lasung von (x + 2)(x -l)(x - 5)(x - 6) = O}

C = {-9, - 8, ... , -1,0, 1, ... ,8, 9} = {xix ist eine ganze Zahl, und x 2 ist kleiner 100} Die Zugeharigkeit zu einer Menge und die Nichtzugeharigkeit werden durch besondere Zeichen gekennzeichnet: eEA,

5EB,

9Ee

und

k¢A,

3¢B,

11¢C.

Einige spezielle Zahlenmengen werden in den folgenden Kapiteln recht haufig genannt. Sie sollen mit besonderen Zeichen abgekiirzt werden: N = {I, 2,3, } No = {O, 1,2, } 7L = { ... , - 2, -1,0, 1,2, ...} Q = {xix = p/q mit pE7L und qEN} ~

die die die die die

Menge der naturlichen Zahlen Menge der naturlichen Zahlen einschlieBlich Null Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen

Mit Q wird also die Menge aller Briiche bezeichnet. Das ist die Menge aller abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen. ~ enthalt daneben auch alle nichtperiodischen Dezimalzahlen. Uber den Umgang mit reellen Zahlen wird in Abschnitt 1.3 berichtet. Sind alle Elemente einer Menge A in der Menge B enthalten, so nennt man A eine Teilmenge von B. Ais Schreibweise verwendet man A c B. Es gilt z.B. N c 7L. Die Teilmengen-Eigenschaft ist transitiv: Wenn A c B und B c C, dann gilt A c C. Eine solche Implikation wird in diesem Buch auch kurz und iibersichtlich in der Form A c B und B c C => A c C

geschrieben. Eine Menge, die kein Element besitzt, heiBt leere Menge. Schreibweise: l/> oder { }.

2

1 Mengen, reelle Zahlen

Fur Aquivalenzen, die sprachlich mit "A gilt genau dann, wenn B gilt" formuliert werden, soIl folgende Schreibweise Verwendung finden: A~B.

Bemerkung zur Beweistechnik:

Wir unterscheiden zwischen direkter und indirekter Beweisfiihrung: Ein direkter Beweis wird gefiihrt, indem man unter Verwendung der gemachten Voraussetzungen und bereits bewiesener Satze durch eine Kette von richtigen Folgerungen zur Behauptung gelangt. Beimindirekten Beweis einer Behauptung A nimmt man an, die Behauptung A sei falsch, also das Gegenteil der Behauptung (die Negation non A) sei richtig. Daraus und aus den gemachten Voraussetzungen leitet man eine Aussage ab, die falsch ist oder im Widerspruch zu den gemachten Voraussetzungen steht. Dieser Widerspruch besteht nur dann nicht, wenn die Annahme non A falsch ist, d.h. wenn A wahr ist. Wir wollen uns die indirekte Beweisfiihrung mit Hilfe eines Schemas einpragen: Voraussetzung: ... Behauptung: A Beweis(indirekt): Gegenannahme: non A sei wahr

Widerspruch Beispiel: 1ndirekter Beweis 1st das Quadrat einer natiirlichen Zahl gerade, dann ist auch diese natiirliche Zahl gerade. Voraussetzung: n 2 gerade Behauptung: n gerade Beweis (indirekt): Gegenannahme: n nicht gerade n = 2m + 1 mit mEN o 2m + 1(mE No) => n2 = 4m 2 + 4m + 1 = 2(2m 2 + 2m) + 1

n ungerade n=

=>

=>n 2 n

2

= 2k + 1 mit k = (2m 2 + 2m)EN o

= 2k + 1 (kENo) =>n ungerade 2

Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung. Die Gegenannahme muE also falsch sein und die Behauptung wahr.

Aufgaben 1. Die folgenden Mengen sind durch definierende Eigenschaften gegeben. Geben Sie jeweils eine aufzahlende

Schreibweise an! Al = {xix ist eine von 6 verschiedene, gerade, natiirliche Zahl kleiner lO}

A 2 = {x Ix ist eine Potenz mit der Basis 3, deren Exponent eine natiirliche Zahl kleiner 5 ist} A 3 = {xix ist ein natiirliches Vielfaches von 2, und x ist kleiner lO} A 4 = {xix ist eine natiirliche Zahl mit (x 2 - 6x + 8)(x - 8) = O}

1.3 Die Menge der reellen Zahlen

3

2. Geben Sie fur die folgenden Mengen eine Beschreibung durch eine definierende Eigenschaft an! A = {2, 4,8,16, 32} B = {7, 21,14,28, 35} 3. We1che der nachstehenden Mengen sind gleich? Al = {x Ix ist eine gerade naturliche Zahl} A 2 = {xix ist eine gerade Quadratzahl} A 3 = {xix ist eine naturliche Zahl, deren Quadrat gerade ist} A 4 = {x Ix ist ein natiirliches Vielfaches von 2} As = {xix ist als Summe zweier ungerader naturlicher Zahlen darstellbar}

1.2 Mengenoperationen Ais Operationen zwischen zwei Mengen sind dem Leser wohl bekannt: der Durchschnitt von A und B: AnB = {XIXEA und xEB} die Vereinigung von A und B: AuB = {XIXEA oder xEB} die Mengendifferenz A ohne B: A\B = {XIXEA und x¢B} Beispiel: Es seien A = {- 2, -1,0, 1, 2} und B = {O, 1,2,3, 4}. Dann gilt: AnB={0,1,2} AuB = {-2, -1,0,1,2, 3,4} A\B={-2,-1}

Es gelten folgende Gesetze: AnB=BnA

AuB=BuA

(A nB)n C = A n(B n C)

(AuB)uC = Au(BuC)

An (B u C) = (A nB) u(A n C)

Au(BnC) = (AuB)n(AuC)

1.3 Die Menge der reellen Zahlen Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen p und q (sie mogen noch so dicht zusammen liegen) gibt es stets wieder eine rationale Zahl, z.B. das arithmetische Mittel (p + q)j2. Weil zwischen dem Mittelwert und p und q jeweils wieder eine rationale Zahl liegt und diese Uberlegung fortgesetzt werden kann, gibt es sagar unendlich viele rationale Zahlen zwischen p und q. Nun liegt die Vermutung nahe, daB allen Punkten der Zahlengeraden nur rationale Zahlen entsprechen. Dies trifft nicht zu, wie das folgende Beispiel zeigt: Tdigt man die Diagonale eines Quadrates der SeitenHinge 1 vom Nullpunkt aus auf der Zahleng~raden ab, so erhalt man einen Punkt (siehe Bild 1.1), der der Zahl j2 entspricht. Es gilt aber: }2 ist keine rationale Zahl.

4

1 Mengen, reelle Zahlen '\ \

\

\

\

\

\

\ \

,

o Bild 1.1:

J2 auf der Zahlengeraden

Der Beweis wird indirekt gefiihrt:

j2¢Q Behauptung: Beweis (indirekt): Gegenannahme:

j2EQ =>

j2 = Emit teilerfremden p, qE 1\J(<
J2=Eq

=> 2

= 2: => 2q2 = p2, d.h. p2 ist gerade

p2 gerade

=> p

gerade (s. Beispiel auf Seite 2), d.h. p enthiilt Faktor 2

p gerade

p=2m

2m mit mE I\J => p2 = 4m 2 = 2q2 => 2m 2 = q2, d.h. q2 ist gerade

q2 gerade

=> q

q

=> p =

gerade, d.h. q enthiilt auch den Faktor 2.

Das steht im Widerspruch dazu, daB jede rationale Zahl als Quotient mit teilerfremden Zahlen in Zahler und Nenner dargestellt werden kann. • Bei der Beschreibung der reellen Zahlen wollen wir ein Verfahren anwenden, das sich in der Mathematik bewahrt hat. Wir geben ein System von Grundgesetzen an, die fiir die reellen Zahlen Giiltigkeit haben, und greifen bei spateren Beweisen nur auf diese Grundgesetze zuriick. Dabei bauen wir auf drei Typen von Grundgesetzen auf: Grundgesetze der Addition und Multiplikation (Abschnitt 1.3.1) Grundgesetze der Anordnung (Abschnitt 1.3.2) Eigenschaft der Vollstiindigkeit (Abschnitt 1.3.3)

1.3.1 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation

Grundgesetze der Addition

1.3 Die Menge der reellen Zahlen 1. Je zwei Zahlen a, bE~ ist genau eine reelle Zahl a + b zugeordnet. 2. Fur aIle a, bE ~ gilt: Kommutativgesetz a+b=b+a 3. Flir aIle a, b, CE ~ gilt: Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c. Existenz und Eindeutigkeit 4. Es gibt in ~ genau eine Zahl 0, des neutralen Elementes so daB fur aIle a E ~ gilt: a+O=a. Existenz und Eindeutigkeit 5. Zu jeder Zahl aE ~ gibt es der inversen Elemente genau eine Zahl a* E ~ mit: a + a* = O. (Schreibweise: a* = - a)

5

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Grundgesetze der Multiplikation 1. Je zwei Zahlen a, bE~ ist genau eine reelle Zahl a·b zugeordnet. 2. Fur aIle a, bE~ gilt: a·b = b·a Kommutativgesetz 3. Fur aIle a, b, CE ~ gilt: Assoziativgesetz a·(b·c) = (a·b)·c. Existenz und Eindeutigkeit 4. Es gibt in ~ genau eine Zahl 1, des neutralen Elementes so daB fur aIle a E ~ gilt: a·l =a. Existenz und Eindeutigkeit 5. Zu jeder von 0 verschiedenen Zahl der inversen Elemente aE~ gibt es genau eine Zahl a*E~ mit a·a* = 1. ( Schreibweise: a* = a- 1 oder a* =

(1.5) (1.6)

(1.7)

(1.8)

~)

Distributivgesetz Fur aIle a, b, CE ~ gilt: a·(b + c) = (a· b) + (a· c).

(1.9)

Bemerkungen:

1. Falls keine Verwechslung moglich ist, kann das Zeichen ·weggelassen werden: (ab)c statt (a· b)·c. 2. Wegen der Assoziativgesetze brauchen bei der Addition bzw. Multiplikation mehrerer Zahlen keine Klammerngesetzt werden: a + b + c bzw_ a·b-c = abc. 3. Folgende Schreibweisen sind ublich: aO = a-a- 1 = 1 (fur a # 0), a 1 = a, a 2 = a-a, a3 = a-a·a usw. 4. Es wird vereinbart, daB Multiplikationen vor Additionen ausgefuhrt werden, falls die Reihenfolge durch Klammersetzung nicht anders vorgeschrieben ist. Danach schreibt man das Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac. An einem Beispiel solI gezeigt werden, wie man-aufbauend auf diese Grundgesetze-Beweise fuhren kann: Behauptung:

6

1 Mengen, reelle Zahlen

Beweis:

Es gibt eine Lasung Xl == (-a)

+ b, wie man durch Einsetzen pruft: +b

nach (1.2)

==O+b

nach (1.4)

==b+O

nach (1.1)

a + Xl == a + (( -a) + b) == (a + (-a))

== b. Es gibt nur eine Lasung. Denn sind

a+xl==b

nach (1.3) Xl

und Xl Lasungen, dann muB gelten:

und

a + Xl == a + Xl (-a) + (a + Xl) == (-a) + (a

also:

a+xl==b,

+ Xl)

(( -a) + a) + Xl == (( -a) + a) + Xl

nach (1.2)

+(a+(-a))==x l +(a+(-a))

nach (1.1)

+ 0 == Xl + 0

nach (1.4)

Xl

Xl

nach (1.3) D.h. es gibt keine von

Xl

verschiedene Lasung in

•

[R.

Weitere Folgerungen (ohne Beweis):

1.3.2 Grundgesetze der Anordnung

1. Fur je zwei Zahlen a, bE [R gilt genau eine der drei Beziehungen

a
a==b

(1.16)

b
2. Fur alle a, b, CE [R gilt: a < b und b < c=>a < c.

Transitivitat

(1.17)

Monotonie der Addition

(1.18)

Monotonie der Multiplikation

(1.19)

3. Fur aIle a, b, CE [R gilt: aa+c
a < b<;:>ac < bc, wenn 0 < c.

1.3 Die Menge der reellen Zahlen

7

Bemerkungen:

1. Eine Beziehung a < b nennt man Ungleichung. 2. Man verwendet folgende Schreib- und Sprechweisen: Schreibweise a< b

a < b oder a == b b
Sprechweise a ist kleiner als b

a~b a> b a~b

Damit sind die Zeichen

~,

a ist kleiner gleich b a ist groBer als b a ist groBer gleich b

>,

~

erkHirt.

3. Die reelle Zahl a heiBt positiv, wenn 0 < a gilt, sie heiBt negativ, falls a < 0 gilt. 4. Es werden folgende Abkiirzungen verwendet: ~+ == {XIXE~ und 0 < x} ~; == {XIXE~ und 0 ~ x} ~- == {XIXE~ und x < O} Q+ == {XlxEQ und 0 < x}

5. Die Schreibweise a < b < c ist sinnvoll, da entsprechend der TransitiviHit a < c gefolgert werden kann. Aus der Schreibweise a < b > c folgt keine der drei moglichen Beziehungen a < c, a == c, a > c. Man schreibt dafiir a < b und c < b oder a, c < b.

Folgerungen aus den Anordnungseigenschaften

Bemerkungen:

1. Es bedeutet ab > 0 nach 2b), daB a und b «gleiches Vorzeichen» haben. . 2. Entsprechend f) ist a2 +~ b2 = 0 notwendig und hinreichend fUr a = 0 und b = o. 3. Entsprechend (1.12) ist ab = 0 notwendig und hinreichend flir a = 0 oder b = o.

8

1 Mengen, reelle Zahlen

Beweis: Es sollen hier exemplarisch 2a) und 2d) bewiesen werden.

0< b und a < b=>ab < b2

nach (1.17) nach (1.19)}

o< a und a < b => a2 < ab

nach (1.19)

a) OO
=>a 2 < b2

nach (1.17)

d) Die Gleichung a + x = b hat nach (1.10) genau eine Lasung, namlich Xl = b - a. Es bleibt noch zu zeigen, daB 0 < x 1 gilt:

a < b => a + (- a) < b + (- a) => 0 < b - a, d.h. 0 < Xl. Aus d) folgt insbesondere:

•

Die Monotonie-Eigenschaften werden u. a. bei der Bestimmung der Losungsmenge einer Ungleichung mit einerVariablen verwendet. Sie lauten (zusammen mit (1.23)) in anderen Worten: 1. Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden. 2. Beide Seiten einer Ungleichung durfen mit einer Zahl c#-O multipliziert werden. 1m FaIle c < 0 ist dabei die Anordnung zu andern. Beispiel 1.1 Aquivalente Umformungen bei Ungleichungen a) M = {x113x - 5 < 18x + 5 und xElR}. (13x - 5 < 18x + 5)-¢:>(13x - 18x < 5 + 5)-¢:>( - 5x < 10)-¢:>(x > - 2) M = {xix> -2 und xElR}

b) M =

{XIXE~ und 2x+ 1 < 1}. x-1

Unter Beriicksichtigung von (1.19) und (1.23) ergibt die Multiplikation mit (x - 1) im FaIle x < 1: (2X + 1 < 1 )-¢:>(2X + 1 > x - l)-¢:>(x > - 2) x-1

im FaIle x> 1: (2X + 1 < 1 )-¢:>(2X + 1 < x - l)-¢:>(x < - 2) x-1

M = {xl( -2 < x < 1 oder XE¢) und xElR} = {xl-2 < x < 1 und xElR}.

1.3 Die Menge der reellen Zahlen

c) Fur alle a, bE~; gilt:

~~a;

b

9 (1.27)

Mit anderen Worten heiBt dies: das geometrische Mittel zweier nichtnegativer reeller Zahlen ist stets kleiner oder gleich ihrem arithmetischen Mittel.

Beweis:

~~

a; b~2~ ~ a+ b wegen der Monotonie der Multiplikation <=>0 ~ a - 2)ab + b wegen der Monotonie der Addition <=>0 ~ (j; -

Jb)2, und das gilt nach (1.22).

Definition 1.1

Unter dem Betrag Ixl von xEIR versteht man die nicht negative Zahl Ixl= {

falls x 2:: 0 -x, falls x < o. X,

Bemerkungen: 1. Bei der Veranschaulichung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden gibt Ix I den Abstand der Zahl x von Null an. Es gilt z.B.lxl = 3 fur x = +3 und fur x = -3. 2. Ia - b list der Abstand der Zahlen a und b voneinander. Es gilt z.B. Ia - 201 = 3 fur a = 17 und fur a = 23. Fur beide Zahlen ist der Abstand von b = 20 gleich 3. 3. Offenbar gilt -Ixl ~ x und x ~ lxi, also -Ixl ~ x ~ Ixl.

Beispiel 1.2 1-131=13; 1251=25; 1-0,51=0,5; 101=0; 13-51=15-31=2; 11-15-311=11-21=1. Am haufigsten wird die Betragsschreibweise entsprechend der folgenden Aquivalenz gebraucht: Satz 1.1 (oh1)e Beweis)

Bemerkung: Speziell gilt fur 8> 0: -8 ~ X

-

a ~8<=>lx -al

~

8 und

a-

8

~X ~a

+

8<=>lx-al ~

8

10

Mengen, reelle Zahlen

Satz 1.2

Es solI hier nur a) bewiesen werden, b) und c) folgen dann aus a) (vgl. Aufgabe 7). Entsprechend (1.24) folgt aus Bemerkung 3 zur Definition 1.1: -lal
Satz 1.3 (ohne Beweis)

Gleichungen und Ungleichungen mit Betragen a) b) c) d)

M == {xl-7 < x < 7} == {xllxl < 7}.

M == {xlx 2 ~ 25} == {xl-5;£ x ~ 5} == {xllxl;£ 5}. M == {xl-1 < x < 3} == {xl-2 < x -1 < 2} == {xlix -11 < 2}. M == {x II x + 11 == 3x - 1}. Falls x > -1 gilt: (Ix + 11 == 3x - l)~(x + 1 == 3x - l)~(x == 1). Falls x < -1 gilt: (Ix + 11 == 3x - 1)~( -(x + 1) == 3x - l)~(x == 0), dieser Fall tritt also nicht ein, d.h. M == {1}.

Nach den Folgerungen aus den Anordnungseigenschaften, der Definition des Betrages reeller Zahlen und einigen Anwendungen auf Losungsmengen werden im folgenden wichtige Begriffe ftir einige spezielle Teilmengen von [R erkHirt.

Definition 1.2 Die folgenden Teilmengen von [R werden Intervalle genannt und wie folgt geschrieben (dabei~' sei a, bE~ und a < b): {x Ia ;£ x ~ b} == [a, bJ abgeschlossenes Intervall {x Ia ;£ x < b} {xla < x ~ b} {xla < x < b} {xla ~ x} {xla<x} {xlx
== [a, b) rechtsoffenes Intervall} == (a, b] linksoffenes Intervall == (a, b) offenes Interval}!) == [a, (0) ==(a,oo) ==(-oo,b] ==(-oo,b)

{XIXE~}

==(-oo,oo)==~

{xlx~b}

halboffene Intervalle

1) Anstelle der runden Klammern werden oft nach auBen geoffnete eckige Klammern geschrieben, z.B. ]a, b[ = (a, b).

1.3 Die Menge der reellen Zahlen

11

Bemerkungen: 1. Die letzten flinf Intervalltypen nennt man unbeschrankte (oder unendliche) Intervalle, die anderen beschrankt (oder endlich). 2. [R ist ein offenes Interval!. 3. Die Zahlen a und b werden Randpunkte eines beschrankten Intervalls genannt, alle anderen Elemente des Intervalls heiBen innere Punkte. Intervalle lassen sich auf der Zahlengeraden veranschaulichen (siehe Bild 1.2) [1,3)

(2,4] [4,99 ; 5,01]

I

)

2

3

(

I

]

2

3

4

[

4,99

I

5

]

5,01

(5 - r, 5 + r) £>0

-----fII(- -.....I --~)t----

5-r

5

5+r

(xo- h, X o+ h) _ _~(- - -....- - - ) t - -

h>O

~-h

~

~+h

Bild 1.2: Intervalle

Flir jedes beschrankte Intervall J lassen sich Schranken Sl und S2 derart angeben, daB flir aBe XEJ gilt: Sl ~ x ~ S2' Definition 1.3 Gegeben sei eine Menge A c [R. A heiBt nach oben beschrankt, wenn es eine reelle Zahl K gibt, so daB flir alle XEA gilt: x ~ K. A heiBt nach unten beschrankt, wenn es eine reelle Zahl k gibt, so daB flir alle x E A gilt: k ~ x. Die Zahlen K bzw. k werden obere bzw. untere Schranke von A genannt. Eine Menge A heiBt beschrankt, wenn sie nach oben und nach unten beschriinkt ist.

Bemerkung: Mit Kist auchjede reelle Zahl K'> K eine obere Schranke. Ebenso ist mit k auchjede reelle Zahl J( < k eine untere Schranke. Ein flir den Aufbau der Differential- und Integralrechnung wichtiger Begriff ist der Umgebungsbegriff. Er wird unter Verwendung von Intervallen erkliirt. Definition 1.4 Jedes offene Intervall, das die Zahl a enthiilt, heillt eine Umgebung von a. Schreibweise: U(a). Es sei e > o. Unter der t-Umgebung von a versteht man das (bez. a symmetrische) offene Intervall (a - e, a + c). Schreibweise: Uc;(a). Eine Umgebung von a ohne die Zahl a selbst wird punktierte Umgebung von a genannt. Schreibweise: U·(a) = U(a)\{a}. Unter der punktierten t-Umgebung von a versteht man: U~(a) = Uc;(a)\{a}.

12

1 Mengen, reelle Zahlen

Beispiel 1.3 a) (-0,01; +0,01) ist eine e-Umgebung von Omit e = 0,01, und eine Umgebung von jeder Zahl aE( -0,01; 0,01). b) (1,99; 2,01)\{2} = U~,Ol (2).

Definition 1.5 Die kleinste obere Sehranke einer naeh oben besehrankten Menge A c IR wird obere Grenze von A oder Supremum von A genannt. Entspreehend heiBt die groBte untere Sehranke einer naeh unten besehrankten Menge A c IR die untere Grenze von A oder das Infimum von A. Sehreibweise: sup A bzw. inf A. Das Infimum m einer Menge A heiBt Minimum, wenn mEA gilt. Das Supremum Meiner Menge A heiBt Maximum von A, wenn MEA gilt.

1.3.3 Eigenschaft der Vollstandigkeit Die bisher in den Absehnitten 1.3.1 und 1.3.2 genannten Grundgesetze gelten aueh in ([D. Die folgende Eigensehaft der Vollstandigkeit besitzt ([D aber nieht: Jede nieht leere, naeh oben besehrankte Teilmenge von IR besitzt genau eine obere Grenze in IR. DaB die Menge der rationalen Zahlen diese Eigensehaft nieht besitzt, zeigt M = {XlxE([D und x 2 < 2}. Diese Menge besitzt als obere Grenze die Zahl die nieht zu ([D gehort (s. Seite 4). Die Menge der reellen Zahlen besitzt aueh die zur Vollstandigkeit aquivalente Eigensehaft:

J:2,

Diese Eigensehaft laBt sieh aus der Vollstandigkeit beweisen, indem man von der naeh unten besehrankten Menge M zur Menge M' = {XI-XEM} iibergeht, die dann nach oben beschrankt ist, und umgekehrt.

Aufgaben 1. Beweisen Sie die Eindeutigkeit des neutralen Elementes bez.· aus den Grundgesetzen 1 bis 3 der Multiplikation. 2. Sind die folgenden Mengen beschrankt? Geben Sie Maximum, Minimum, Supremum und Infimum an, falls diese existieren. A

=

n+ 1 } { xix = -n-mit nEN

B = {xlx 2 < 1 und xE[R}

C = {xix = n-n mit nEZ\{O}}

3. Welche der folgenden Mengen sind e-Umgebungen bzw. punktierte c:-Umgebungen entsprechend Definition 1.4?

a) (0,5) b) [0,5; 50J d) (4,97; 5)u(5; 5,03)

c) (9, IIJ e) [R+\([l, ex))u{~})

f) !R\ (( - ex), - 1J u {O} u [1, ex)))

1.4 Vollstandige Induktion

13

4. Geben Sie die folgenden Mengen in aufzahlender Schreibweise an. A=

{xlix + 31 = 0,25}

B

= {x 112x - 11 = 3x - 4};

c = {x113x -

51 = 212x + II}.

5. Veranschaulichen Sie auf der Zahlengeraden: A = {x112x - 5 < 4x + 3}

B=

-X+l } -<2 { xI 2x-3

C=

{xlix - 31> 5}

D = {x 12x 2

-

9x + 4 ~ O}

6. Man veranschauliche in einem kartesischen Koordinatensystem: {(x,Y)13x - 2y ~ 6 und x,yElR}

a) Ml={(X,Y)12x+3y~6undx,YE~}

b) M 2

c) M 3 = {(x,Y)lx ~ 1 und X,YElR}

d) M=M 1 nM 2 nM 3

=

7. Man beweise a) la-bl~lal+lbl

b) Ia I-I b 1~ Ia - blunter Verwendung der Dreiecksungleichung!

8. Man veranschauliche a) auf der Zahlengeraden:

M 1 ={xllx- 21+lx+ll>4};

M2

= {xlix + 11 - 12x - 11 ~ 3};

b) in je einem kartesischen Koordinatensystem

A

= { (x, y) II x

+ 11 + Iy - 11 ~ I}

B = {(x, y) II x-II

-I Y + 11 < I}

C = {(x,Y)112x - 3yI ~ 6}.

1.4 Vollstandige Induktion Inhalt dieses Abschnitts ist ein wichtiges Beweisverfahren. Es dient zum Beweis von Aussagen, die fur alle naturlichen Zahlen n ~ no gelten.

1.4.1 Summenschreibweise In den folgenden Abschnitten werden wiederholt Summen uber eine groBe Anzahl von Summanden gebildet. Als abkurzende Schreibweise wird das Summenzeichen I verwendet: 100

12 + 2 2 + 32 + ... + 100 2 =

I

100

n

2

=

n=l

I

i2 •

i=l

Die Bezeichnung fur den Summenindex ist frei wahlbar. Der Anfangswert fur den Index heiBt untere Summationsgrenze, der Endwert heiBt obere Summationsgrenze. Sie werden unter bzw. uber das Summenzeichen geschrieben. Mitunter ist es zweckmaBig den Summationsindex zu verandern. 8

Mit k

=

i

+ 3 gilt z.B.:

I

i= 1

11

(i

+ 3)2 =

I

k=4

k2 •

14

1 Mengen, reelle Zahlen

Beispiel1.4 a) a 1 + a 2 + a 3 + --- + an == k

L= 1a

1 1 1 1 20 1 25 1 b) - + - + - + --- + - == == 5 6 7 25 i = 0 l + 5 n = 5 n 10 d) L (k 2 +5k)==(3 2 +5-3)+(4 2 +5-4)+---+(10 2 +5-10)

L ---

k

50

Ln

c) 1 + 2 + 3 + --- + 50 ==

k=3

n=1 k

e)

L (a

k

i

i=O

k

La + Lb

bJ == (a o + bo) + (a 1 + b 1 ) + --- + (a k + bk ) ==

+

L-

i

i

i=O

i=O

5

f) I2==2+2+2+2+2==5-2==10 i= 1

Rechenregeln:

Beispiel 1.5 100 200 100 195 a) I i 2 + (l- 5)2 == i2 + k 2 mit k =:= 1- 5 nach c) i=l

L

L

L

1=106

i=1

k=101

100

I

==

i2 +

i=l

195 I i 2 Umbenennung des Summationsindexes i=101

195

Li

==

2

nach a)

i= 1

50

b)

L (3i

50

2

+5i+3)==3

i=O

i=O

10

c)

I

i=1

I

12

i2

-

L (k k=5

50

i 2 +5

50

50

L i+3 L 1==3 L i i=O

i=O

i=O

50

2

+5

I

i+3-51

i=O

3)2 == 12 + 2 2 + --- + 10 2 - (2 2 + --- + 92) == 1 + 100 == 101

1.4 VollsHindige Induktion

15

1.4.2 Vollstandige Induktion bei Summenformeln Beispiel 1. 6 Beim Versuch, die ungeraden naturlichen Zahlen zu addieren, fallt eine GesetzmaBigkeit auf:

1 1 1+3 == 4 1+3+5 == 9 == 16 1+ 3+ 5+7 1 + 3 + 5 + 7 + 9 == 25 ... Folgende Vermutung liegt nahe:

Fur die ersten funf naturlichen Zahlen ist die Vermutung bereits bewiesen. Wir zeigen nun, daB sie fur aIle naturlichen Zahlen gilt, indem wir beweisen, daB die Behauptung fur eine naturliche Zahl n == k + 1 dann gilt, wenn sie fur die urn 1 kleinere natiirliche Zahl n == k gilt. Bezeichnen wir die Vermutungmit A(n), so folgt dann aus der Gultigkeit von A(I) die Giiltigkeit von A(2) und daraus die Giiltigkeit von A(3) us£. Unser Ziel ist also der Beweis der Implikation 1+ 3 + 1+ 3+

A(k) => + (2k - 1) == k 2 => 1 + 3 + + (2k - 1) == k 2 => 1 + 3 +

A(k + 1): + (2(k + 1) - 1) == (k + 1)2 + (2k + 1) == k 2 + 2k + 1.

Schreibt man in der rechten Summe den vorletzten Summanden: 1 + 3 + ...

+ (2k -

1) == k 2 => 1 + 3 + ...

+ (2k -

1) + (2k + 1) == k 2

so erkennt man, daB die Folgerung korrekt ist (Addition von 2k

+ 2k + 1,

+ 1).

•

Man nennt diese Beweisfuhrung das Prinzip der vollstandigen Induktion: Die Behauptung A(n) ist fur aIle nEI\J richtig, wenn (I) A(n) fur n == 1 gilt, und (II) aus der Gultigkeit der Aussage fur eine natiirliche Zahl k die Gultigkeit der Aussage fiir die Zahl k + 1 folgt. Kurz: Die Behauptung A(n) gilt, wenn (I) A(I) gilt, und (II) aus A(k) folgt A(k + 1). Bemerkungen:

1. Es wird (I) der Induktionsanfang und (II) der Induktionsschritt genannt. 2. Es gibt Aussagen, die fur aIle naturlichen Zahlen erst ab einer Zahl no gelten. In diesem Fall wird als Induktionsanfang n == no gewahlt. Es gibt mannigfaltige Moglichkeiten, den Induktionsschritt niederzuschreiben. Ein haufig ver-

16

1 Mengen, reelle Zahlen

wendetes Schema ist das folgende: A(k):

.

~

.

A(k + 1):

.

Hierbei versucht man A(k) in A(k + 1) zu iiberfiihren, wobei oft das gewiinschte Ziel A(k + 1) Ausgangspunkt der Umformung ist. Dazu ein Beispiel, das auch die Summenschreibweise verwendet: Beispiel 1.7 Welchen Wert hat

L -.-.1- ? j= 1

J(J

+ 1)

Das Einsetzen der ersten natiirlichen Zahlen ergibt: 1

1

n== 1:

L

1

2

n=2:

1

1

--==-==-

j=lj(j+1)

1·2

2

1

1

3+1

2

j~lj(j+1)=T2+203=-6-==3

Ein Vergleich der Zahlen n mit den Ergebnissen der Summation legt die folgende Vermutung nahe:

Beweis:

(I) Induktionsanfang: Fiir n == 1 endet die Summation bei

1

1(1 + 1)

:

1 1 == - - ist richtig 1·2 1 + 1

A(l): -

(II) Induktionsschritt: k

A(k)'

0 j: 1 j(j ; 1) [

-1

k: 1

1

k(k + 2) + 1

(k

+ 1)2

j~l j(j + 1) + (k + 1)(k + 2) = k + 1 + (k + l)(k + 2) = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2) k+l

A(k + 1):

k

1

L --

1

.L J.(.] + 1)

J= 1

k+1 (k + 1) + 1

•

Bemerkung:

AIle Beweise durch vollstandige Induktion sind in zwei Schritten zu fiihren, und es darf aufkeinen der beiden Schritte verzichtet werden, wie die folgenden Beispiele zeigen:

1.4 VollsHindige Induktion

17

Der Induktionsschritt allein reicht als Beweis nicht aus: Flir die Behauptung A(n): n = n + 1 gelingt der Induktionsschritt: A(k): k = k + 1 =>A(k + 1): k + 1 = k + 1 + 1.

Man findet aber keinen Induktionsanfang, flir den A(n o) gilt. (Sonst waren namlich von no an aIle natlirlichen Zahlen gleich.) Der Induktionsschritt ist notwendig: Eine Behauptung mull noch nicht stimmen, wenn sie z.B. flir die ersten zehn natlirlichen Zahlen gilt: Behauptung: Flir aIle nE N liefert n 2 - n + 41 eine Primzahl. Setzen wir der Reihe nach die ersten natlirlichen Zahlen ein, dann erhalten wir mit 41,43,47,53, 61, 71, 83,97, 113, 131, ... nur Primzahlen. Trotzdem gilt die Behauptung nicht, denn z.B. flir n = 41 gilt n 2 - n + 41 = 41·41. Beispiel 1.8 Summe der Potenzen einer Zahl:

Beweis:

Induktionsanfang:

1- q 2

A(I): 1 + q = - - gilt wegen (1

1-q

+ q)(I- q) = 1- q2.

1 - qk+ 1

Induktionsschritt:

l+q+···+qk

1 + q + ...

+ qk + qk + 1 =

A(k + 1): 1 + q + ...

+ qk + qk + 1 =

1-q 1 - qk+ 1

+ qk + 1

1 _ qk+ 1 + qk+ 1(1 _ q)

1-q 1 _ q(k+ 1)+ 1

1-q

1-q

•

_

Folgerung:

Beweis:

Flir a = 0 ist die Gleichheit offensichtlich. b Flir a =1= 0 und a =1= b folgt mit q = - aus (1.31):

l+(~)+(~Y +(D +...a+(~J-l +GJ l~~~I;l 3

an+1 _ bn+ 1 an + 1

a

an + 1 _ bn+ 1

18

1 Mengen, reelle Zahlen nach Multiplikation mit an:

• 1.4.3 Vollstandige Induktion bei U ngleichungen

Beispiel 1.9

Beweis: Induktionsanfang: A(I): 2 1 > 1 ist richtig. Induktionsschritt: A(k) => A(k + 1) 2k > k => 2k + 1 > k + 1 Urn der linken Seite der Ungleichung die gewlinschte Form zu geben, wird in A(k) mit 2 multipliziert. 1m weiteren Beweis wird an einer Stelle verwendet, daB flir alle natlirlichen Zahlen k die Ungleichung k ~ 1 gilt: 2k > II 2·2k > ~ 2k + 1 > A(k + 1): 2k + 1 > A(k):

k 2k k+k~k+1 k+1

•

Es gibt Aussagen, die nicht flir alle natiirlichen Zahlen gelten, wohl aber flir alle nE N mit n ~ no (d.h. von einer natlirlichen Zahl no ab). Bernoullische Ungleichung

Belveis: (1 + a)2 > 1 + 2a 1 + 2a + a 2 > 1 + 2a wegen a 2 > O. (1 + a)k > 1 + ka (fIflnduktionsschritt: A(k): (1 + a)(1 + a)k > (1 + a)(1 + ka) wegen a > -1 (1 + a)k+ 1 > 1 + ka + a + ka 2 (1 + a)k+1 > 1 + a(k+ 1)+ka 2 > 1 +a(k+ 1)+a 2, weil k> 1 (1 + a)k + 1 > 1 + (k + 1)a A(k + 1):

(I) Induktionsanfang: A(2):

~

Flir das Produkt der ersten n natlirlichen Zahlen verwendet man eine Kurzschreibweise: Das Produkt der ersten n natlirlichen Zahlen wird n-Fakultat genannt. Schreibweise: n! == 1·2· 3· .... n Zusatzlich wird O! == 1 definiert.

•

1.4 Vollstandige Induktion

19

Bemerkung: Die Definition von O! erleichtert uns spatere F ormulierungen. Beispiel 1.10 5! == 6! == 10! == 20! ==

1·2· 3 ·4· 5 == 120 1·2·3·4·5·6 == 5!·6 == 720 1·2···· ·10 == 3628800 1·2···· ·20 == 2432902008176640000

Allgemein:

(k + I)! == 1·2·3··· ··k·(k + 1) == k!·(k + 1) Abschatzung fiir n-Fakultat

Beweis: 3! > 2 3 -1 ist richtig wegen 6 > 4. k! > 2k - 1 II (k+l)k!>(k+l)2 k - 1 {} (k + l)k! > 2·2 k - 1 , weil k + 1 ~ 2 fiir aIle kEN A(k + 1): (k + I)! > 2(k+ 1)-1

Induktionsanfang: A(3): Induktionsschritt: A(k):

•

1.4.4 Binomischer Satz Betrachten wir die Potenzen (a + bt fiir die Exponenten n == 1,2,3,4,5, dann fallen uns GesetzmaBigkeiten auf:

(a + b)1 == (a + b)2 == (a+b)3== (a + b)4 == (a + b)5 ==

a + b a2 + 2ab + 2 b2 3 2 3a b + 3ab a + + b3 a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab 3 + b4 a5 + 5a 4b + 10a 3 b2 + 10a 2b3 + 5ab 4 + b5

Die (a + b)n entsprechende Summe enthalt (n + 1) Summanden, die sich so anordnen lassen, daB - beginnend mit an - von Summand zu Summand der Exponent von a urn 1 fallt und der von b urn 1 wachst. Der letzte Summand ist dann bn • Urn die Faktoren bei den Potenzen von a und b kurz zu beschreiben, definiert man: Definition 1.6 Es sei n, kEN und n

~

k. Unter den Binomialkoeffizienten verstehen wir die Zahlen

n(n -1) ... (n - k+ 1) = (n) k 1·2· ····k

und

(n) = 1, (0) = 1. 0

Sprechweise: «n tiber k» bzw. «n tiber Null»

0

20

1 Mengen, reelle Zahlen

Beispiel 1.11 1m FaIle n = 5 ist damit

(~) fUr k = 0, 1,2,3,4,5 definiert, und es gilt: 5) 5 ( 1 =-=5 1

5) 5·4·3·2 --=5 ( 4 =1·2·3·4

(5) =-=10 5·4 2 1·2

(5) =--=10 5·4·3 3 1·2·3

(5) 5·4·3·2·1 = =1 5 1·2·3·4·5 .

Das sind aber genau die Koeffizienten in der Summenentwicklung von (a + b)5. Eigenschaften der Binomialkoeffizienten: Satz 1.4

Beweis:

. (n) n(n-1)(n-2)···3·2·1n! a) 1m FaIle n = k gIlt: = = 1=k 1·2·3···(n-2)(n-1)n n!'O! 1m FaIle n> k gilt:

n) = n(n - l)(n - 2)···(n - k + 1) = n(n -1)···(n - k + l).(n - k)(n - k -1)' ... ·2·1 (k 1·2·3·····k 1·2·····k (n-k)(n-k-1)·····2·1 n! k!(n - k)! b)

C:

k) - (n - k)!

c) (k: 1) +

G)

[nn~ (n - k)]! - (n _n~)! k! -

= (k -

=

1)!

G)

(:~ k + 1)! + k!(nn~ k)!

k·n! n!(n - k + 1) +-----k(k - l)!(n - k + I)! k!(n - k)!(n - k + 1) n!(k+n-k+1)

(n+1)!

= k!(n - k + 1)! = k! [(n + 1) - k]! =

(n+1) k .

•

1.4 Vollstandige Induktion

21

Beispiele:

20) (20) 20·19·18 ( 17 == 3 == 1·2·3 == 1140 n ) ( n- 1

+ (n+1) n + (n+2) n + 1 == (n) 1 + (n+1) 1 + (n+2) 1 == 3n + 3 == 3(n + 1)

Die Eigenschaft c) im soeben bewiesenen Satz ermoglicht die zeilenweise Berechnung der Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck:

n==o:--(~)

n==l: -

G)

1

C)

~

2

n=3:

G)

G)

G)

3

1

3

~ .... ·~~·l!····· ~·~~/···· ~·~~/··· Der Eigenschaft b) entspricht die Symmetrie des Pascalschen Dreiecks. Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten konnen wir (a + b)5 so schreiben, daB eine Vermutungfiir die Summenschreibweise von (a + bt naheliegt:

(a + W = (~)a5bO + G)a4b + G)a b+ G)a b + (~)alb4 + G)aO b 1

3

2

2

3

5

Satz 1.5 (Binomischer Satz)

Beweis (durch vollstiindige Induktion): (I) Induktionsanfang: A(l):

C

(a + W = (~)albO + )aOb = a + b 1

1

1

ist richtig.

22

1 Mengen, reelle Zahlen

(II) Induktionsschritt: A(k):

C

(a + bl = G)akbO+ G)ak-1b 1+ G)ak-2b2+ ... + ~ l)aW-l + G)aObk (a + b)(a + b)k = (a + b{G)akbO+ G)ak-1b 1+ G)ak-2b2+ ... + (k ~ l)aW-l + G)aObkJ =

Wegen A (k

+ 1):

(a

G)

=

+ b)k + 1 =

G)ak+lbO + G)akb 1+ G)ak-W + ... + G)aW + G)akb 1+ (~)ak-lb2 + ... + (k ~ l)aW + G)aObk+ 1

e;

l) = 1 =

G)

0 ak (k+1)

+ 1 b0

+

=

G:~) und Satz lAc) gilt:

(k+1) 1 a kb + (k+1) 2 a 1

+(k+

1)

k+1

k

- 1

b2

+ ... +

(k+1) k a b 1

k

•

0 k+ 1 a b.

Beispiel 1.12 2 X )20

Die Summenentwicklung von (1 (1- x 2fo =

C~)l20( _x 2)O +

=1-

ergibt:

CI0)

19( _X 2)1

+

C20)

l18( _X 2)2 + ...

(20) 1 x+ (20) 2 x- (20) 3 x+ (20) 4 x-···+ (20) 20 x 2

4

= 1- 20x 2 + 190x 4

-

6

1140x 6

+ 4845x 8 -

8

.•.

+ x 40

Aufgaben 1. Welche Werte haben die folgenden Differenzen: 21

a)

1

24

k +2

k=4

1

I - - I -2

k=1

k-

11

12

k=O

k=1

2. Beweisen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen mitte1s vollstandiger Induktion: n

a)

I

i=1 n

b)

I

i=1

+ G~} O( _X 2)20

n(n + 1) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = - -

2 n(n + 1)(2n + 1) i 2 = 1 +4+9+ ... +n 2 = - - - - -

6

40

1.4 Vollstandige Induktion n

C)

I

23

n 2 (n + 1)2 i3 = - - 4

i=l

d) Fur aIle a, bE [R mit

°

~

a < b gilt: an < bn.

3. Schreiben Sie (a - bt als Summe entsprechend dem Binomischen Satz! 4. Wie lautet die Summenentwicklung von ( 2x 2

+ 2~)

8

?

5. Berechnen Sie die folgenden Werte nach dem Binomischen Satz! a) (1 + 0,1)10 b) (0,99)5 6. Aus dem Binomischen Satz leite man Formeln fur

I (n) k=O

k

und

I (_l)k(n) k=O

her.

k

7. Die folgenden Aussagen A(n) lassen sich durch vollstandige Induktion beweisen. Formulieren Sie jeweils nur die Aussage A(k + I)! a) n verschiedene Geraden der Ebene, die durch einen Punkt gehen, zerlegen die Ebene in 2n Winkelfelder. b) n verschiedene Geraden der Ebene, von denen sich jeweils zwei (aber nie mehr) in einem Punkt schneiden, n(n+ 1) zerlegen die Ebene in - - - + 1 Gebiete. 2 n n(n + l)(n + 2) c)

I

j(j+1)=----

3 d) Fur aIle n ~ 2 gilt: 11 .2 2 .3 3 ... nn < nn(n+ 1)/2. j= 1

2

Funktionen

2.1 Grundbegriffe Aus Physik und Mathematik sind Zuordnungen bekannt, die den Elementen einer Menge A Elemente einer Menge B zuordnen. Beispiel 2.1 1. Jeder Geschwindigkeit eines Autos (in km/h) ist eine Zeigerstellung des Tachometers (zwischen o und 300) zugeordnet. 2. Jeder Temperatur des Badewassers (in °C) ist ein Skalenwert des Badethermometers zugeordnet (zwischen 0 und 50). 3. Jeder reellen Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet. 4. Jeder natiirlichen Zahl werden ihre Teiler zugeordnet.

Wahrend die letztgenannte Zuordnung einem Element aus A i.a. mehrere Elemente in B zuordnet (z.B. hat 6 die Teiler 1, 2, 3, 6), ordnen die ersten drei Zuordnungen jedem Element aus A genau eines in B zu. Diese Zuordnungen heiBen Funktionen: Gegeben seien zwei Mengen Dfund Z und eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element aus D f genau ein Element aus Z zuordnet. Dann ist durch D fund diese Zuordnungsvorschrift eine Funktion f von Df in Z gegeben. Schreibweisen: f: D f -+ Z mit X 1---+ f(x), oder f: X 1---+ f(x) mit XED f' oder y = f(x) mit XED f' Sprechweisen: »fist Funktion von D f in Z« oder »die durch y = f(x) auf Df definierte Funktion f« Bemerkungen:

1. Die folgenden N amen sind ublich:

X f(x)

- Argument oder Variable von f 1) - Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle X

X1---+ f(X)}zuordnungsvorschrift y = f(x) Df - Definitionsmenge oder Definitionsbereich Z - Zielmenge 2. Der Pfeil 1---+ wird stets zwischen Argument und Funktionswert geschrieben und -+ stets zwischen Definitionsmenge und Zielmenge. D.h.:l---+steht zwischen Elementen und -+ zwischen Mengen. 3. Die Bezeichnung der Variablen in der Zuordnungsvorschrift kann beliebig ersetzt werden. So 1) Oft wirdx als unabhangige Variable (oder unabhangige Veranderliche) undy =f(x) als abhangige Variable (oder abhangige Veranderliche) bezeichnet.

2.1 Grundbegriffe

25

bedeuten z.B. die folgenden Zuordnungsvorschriften alle das gleiche, namlich, daB das Argument quadriert wird: X~X2

y~y2

U~U2

(n

+

l)~(n

+ 1)2

4. Man unterscheidet zwischen Zielmenge Z und Wertemenge Wf Funktionswerte f(x) mit XED f· Schreibweise: Wf == f D f·

C

Z. Wf ist die Menge aller

Wf == {ylEs gibt ein xED f mit y == f(x)}. 5. Gilt D f c lR und Z c lR, dann spricht man von einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen oder kurz von einer reellen Funktion. 1m folgenden werden ausschlieBlich reelle Funktionen behandelt. 6. Unter dem maximalen Definitionsbereich Dmax versteht man die »umfassendste« Teilmenge in 1 lR, fur die die gegebene Zuordnungsvorschrift definiert ist. Z.B. gilt fur f(x) == : x(x + 3) D max == lR\{O, - 3}. Wird im folgenden kein Definitionsbereich genannt, so gilt stets D f == D max . 7. Nicht jede Zuordnung ist eine Funktion, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 2.2 Zuordnungen, die keine Funktionen sind: a) f: lR+ ~ lR und x~y mit y2 == x,

f=1

b) y= .v~mitxEAclffi,

c) f: lR ~ lR mit d) y ==

x+1

x~--,

J x-I fur x

weil die Zuordnung nicht eindeutig ist. Es sind z.B. der Zahl 4 die Zahlen + 2 und - 2 zugeordnet. weil y fur kein x E A definiert ist. weil fur x ==

X

E !R + ,

°kein f (x) definiert ist.

weil fur XE(O, 1) kein f(x) definiert ist.

Beispiel 2.3 Berechnung von Funktionswerten x +1 101 a) f(x) == -x-: f(100) == 100 == 1,01

z+l f(z)==-

z

a-c;+l f(a-c;)==--a-c;

1 b) f(x) ==-: x

f(5) == 0,2

1 f(x+5)==x+5 c) f(x) == 2x 2 - 3x + 1: f(O) == 1 f(2) == 3

x+6 f(x+5)==x+5 x+h+1

f(x

+ h) == -x-+-h-

f(x

+ h) == x + h

1

f(z) == ~

1 f(x 2 ) == 2 x

1

1 f(a - c;) == a-c;

f(z) == 2z 2 - 3z + 1 f(x f(x+1)==2x 2 +x

+ h) == 2(x+h)2_3(x+h)+ 1

f(!)==~-~+l n n n. 2

26

2 Funktionen

Beispiel 2.4 Maximale Definitionsbereiche Z uordnungsvorschrift:

D max

a)f(x)=~

[1,(0)

1

~\{1,-1}

b) f(x) = l-x 2 1 c) f(x) = 1 + x 2 1 d) f ( x ) = - - - - - - (x - x1)(x - x 2 )··· (x - x n )

Beispiel 2.5 (Reelle) Funktionen (vgl. Bild 2.2) . a) f: N ~ ~ mIt

b) f:

1

x~­

x

~+ ~ ~ mit x~~ x

c) f(x) = Jx mit XE~ d) f: ~; ~ lR; mit y = ~ 2

Es bedeutet ~ stets die nichtnegative Lasung der Gleichung y2 e) y=2x 3 -5x 2 +x+2mitxElR f) y = 2X mit XE7L I, falls x rational g) f: ~~{O, I} mit f(x) = { 0, falls x nichtrational

= x. Die andere Lasung ist - ~.

Zu jedem XED f gehart entsprechend der Zuordnungsvorschrift genau ein yE Wj. Die Funktion liefert so eine Menge von geordneten Zahlenpaaren (x, y), die in einem Koordinatensystem als y

x Bild 2.1: Graph oder Schaubild einer Funktion

2.1 Grundbegriffe

27

Punkte veranschaulicht werden k6nnen. Wir beschranken uns auf die Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Bild 2.1) und nennen die Menge aller Punkte (x,f(x)) mit XED f den Graphen oder das Schaubild vonf (Der Graph von fist also eine Punktmenge). Schreibweise: k f = {(x, y)lxEDfund y = f(x)}. Bemerkungen:

1. Als Beschriftung schreiben wir an die Punktmenge den Namen der Funktion. 2. Es entspricht einem Punkt eindeutig ein geordnetes Paar und umgekehrt, weshalb wir im folgenden Punkte und Paare identifizieren wollen. Dies gestattet uns die oben gebrauchte Sprechweise »derPunkt (x, y)«. Beispiel 2.6 1 a) f(x) =-mitxEN x

b) f(x) =

X~~14~L

f(x)

I 1 r 0,5

. 0,25

I 0,2 I ...

1 . x

-mltxE~+

x

0,25

I(x)

4

y

y

4

----~

I

I I

0,5

I I I

I I I

•

•

p

--~I

•

I

2

I

2

I

c) f(x) =

I I

3

3

4

• 5

I

__ +I __ ..LI I

I

I

:

_

x

mit XE~

2

x

4

x

d) f(x) = ~ mit XE~; x

f(x)

~~~L

r-6I i -r i l···--

y

-2

-1

Bild 2.2 a-d: Schaubilder zu Beispie12.5

x

2

3

28

2 Funktionen e) y == 2x 3 - 5x 2

+ X + 2 auf ~

1) y==2 x mitxEZ

x~~~~l2-L

~~~~~~~l2-~L y

I-6I

I 2 I 1,5 I 0 I -1 I 0 I 4,5 I ...

0

y

I 0,25 I 0,5 I 1 I 2

~-4

I ...

y y

4

-----------, I

I

3

I

I

x

2

I

------,

I I I I I I

I I I

I

•

I

-1

-2

2

x

Bild 2.2 e-f: Schaubilder zu Beispiel 2.5

Zur letztgenannten Funktion in Beispiel 2.5 UiBt sich kein sinnvolles Schaubild angeben.

2.1.1 Einige spezielle Funktionen 1. Identitat (s. Bild 2.3)

Die Funktion, die jeder Zahl XED die Zahl f:D~~

mit

X

selbst zuordnet, wird die Identitat auf D genannt:

x~x.

y

y

c

f

f x

D Bild 2.3: Identitat aut D

x

x

Bild 2.4: a) Konstante Funktion;

b) Nullfunktion

2. Konstante Funktion (s. Bild 2.4) Eine Funktion, die jedes XE D auf denselben Funktionswert f(x) == c abbildet, heiBt eine konstante Funktion auf D:

f:

D~ ~

mit

X~ f(x)

== c

Fur c == 0 - also im FaIle, daB aIle Funktionswerte Null sind - heillt f die Nullfunktion auf D. Fur eine konstante Funktion f gilt: f(x l ) == f(x 2 ) fur aIle Xl' X 2 ED (wegen f(x l ) - f(x 2 ) == C - C == 0).

2.1 Grundbegriffe

29

3. Lineare Funktion (s. Bild 2.5) Seien a, bE IR. Dann wird die Funktion f:D~ IR

mit

x~ax

+b

eine lineare Funktion auf D genannt. Fur a = 0 ist f eine konstante Funktion. y

b

x Bild 2.5: Lineare Funktion

x

Bild 2.6: Betragsfunktion

4. Betragsfunktion (s. Bild 2.6) Mit Hilfe des Betrages reeller Zahlen wird die Betragsfunktion erkHirt: f:

IR~ IR

mit

x~lxl.

5. Signumfunktion (s. Bild 2.7)

y

Die folgende Funktion wird Signumfunktion genannt:

1 (

f:IR~{-I,O,I}mitx~

I, falls x > 0 0, fallsx=O { -1, falls x <0

f

x - - - - - - - -.. -1

f

Schreibweise: f(x) = sgn(x).

Bild 2.7: Signumfunktion

Bei vielen Anwendungen der Mathematik mussen die Ergebnisse ganzzahlig sein. Man denke z.B. an die optimale Anzahl der Maschinen zur Herstellung einer Ware, an die gunstigste Speicheranzahl in einem Elektronenrechner usw. Liefert eine Rechnung einmal einen nicht ganzzahligen Wert, so wird (je nach Problem) auf-bzw. abgerundet. Dem Abrunden entspricht der folgende Begriff: Unter [x] versteht man die groBte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Es sei kEZ. Dann gilt: [x] = k fur alle x mit k Es gilt z.B. en] = 3; [15] = 15; [ - 1}] = - 8.

~

x
+ 1.

Das Symbol [ ... ] wird GauD-Klammer genannt. Es solI bei der Beschreibung weiterer Funktionen verwendet werden:

30

2 Funktionen

Beispiel 2.7

y a)

Funktionswerte mit GauBklammer (s. Bild 2.8) a) f:[ -2,2)~~ mit

~I

x~[x]

I I

I

~1-O,51-0,1 1~1~1~1~I_lI~ y

-1

°°

-1

0

°

1

-2

-1

1

! 2

x

2

x

2

x

I

1

-1

I I

I I

I

~

Y

b)

b) f: [ - 2, 2] ~ ~ mit x~x - [x]

~1-O,51~1~1~1~1~I_lI~ y 0,5 0,9 ° 0,2 0,5 0,9 ° 0,2

-2

-1

y

c)

c) f: [ -2,2] ~ ~ mit

x~lx -

[x

+ 0,5JI

~1-O,51~1~1~1~1~1_1 I~ y 0,5 0,2 0. 0,2 0,5 0,1 ° 0,2

- 2

-1

Bild 2.8 a-c: Beispiele mit GauBklammer

2.1.2 Umkehrfunktion ond Verkettung von Funktionen Das Schaubild der Betragsfunktion stimmt mit dem in Bild 2.2c uberein. In beiden Fallen liegt die gleiche Zuordnung vor, die lediglich auf zwei verschiedene Weisen formuliert ist. Wei1 beide Zuordnungen auf ~ definiert sind, werden die Funktionen gleich genannt. Definition 2.1 Die Funktionen f: D f

~

a) Df=D g und b) f(x) = g(x) fur aIle

XED f

Schreibweise: f = g

Wf und g: D 9 ~ Wg heiBen gleich, wenn gilt.

2.1 Grundbegriffe

31

Beispiel 2.8 Zur Gleichheit von Funktionen 1 fur x # 1 x- 1 und 2 fiir x = 1

X2 -

a)f:[R~[Rmit~~

{

b)f:[R~[Rmitx~ {

g: [R ~ [R mit

x~x

2 X -9 - - fiir x =I- 3 x-3 9 fiir x = 3

g:

[R~[R mitx~x

+ 1 sind gleich.

und

+ 3 sind ungleich, weil f(3) = 9 =I- g(3) = 6.

c) f: [R~ [R mit x~p und

g: [R ~ [R mit

x~x

sind ungleich, da f(x) = - g(x) fiir xE[R-.

d) f:Df~ [R mit f(x) =

P

und

g: Dg ~ [R mit g(x) = (J~)2 sind gleich, falls Df = Dg C [R;. Sie sind ungleich im Falle Df = [R, D g = [R;. x 2 -1 e) f: [R\{1} ~ [R mit f(x) = - - und

x-I

g: [R ~ [R mit g(x) = x + 1 sind ungleich, weil Df =I- Dg. Die Zuordnungsvorschrift einer Funktion f gibt an, welcher Funktionswert einem Argument X o zugeordnet wird. Haufig ist aber umgekehrt ein f (x o)-Wert bekannt, und man interessiert sich fiir einen zugehorigen X o-Wert. Es solI nun diskutiert werden, welche Funktionen auf diese Weise » umkehrbar« sind (vgl. Bild 2.9). Y

Y

f Yo ....-----~"r

Yo

Uf

Uj

x

+-------~-,r

x

Bild 2.9: Umkehrung von f

Bei den in Bild 2.10 dargestellten Funktionen ist nur im Falle c) die Umkehrung wieder eine Funktion, denn bei a) werden durch die Umkehrung einem y-Wert zwei Werte Xl und X 2 zugeordnet, und bei b) wird nicht jedem Element der Zielmenge durch die Umkehrung ein Element zugeordnet.

32 a)

2 Funktionen y

b)

y

--------y: Z=U!i'f -----

-1 I

c)

I

~~?:-~~~:t\

I

__

--~--------I

I

Z

I

I

f

I

--

I

I

y

:

Z=Jfj

I

I

I

I I I

I I I

I

I

I

Pr

x

Bild 2.10 a-c: Zur Umkehrbarkeit

Damit die Umkehrung einer Funktion wieder eine Funktion ist, muB also zweierlei gelten: 1. Zu unterschiedlichen Argumenten mussen unterschiedliche Funktionswerte gehoren. 2. ABe Elemente der Zielmenge mussen Funktionswerte von f sein: Z = Wf'

Definition 2.2 Eine Funktion f: D f ~ Wf heiBt umkehrbar, wenn zu unterschiedlichen Argumenten auch unterschiedliche Funktionswerte gehoren. Kurz: fist umkehrbar, wenn fur aIle Xl' Xl EDf aus Xl i=

Xl

folgt f(x 1 ) i= f(x 1 )·

Die Funktion g: Wf ~ Df' die jedem yE Wf genau das XED f zuordnet, fur welches y = f(x) gilt, wird Umkehrfunktion von f genannt. Schreibweise:f -1

Sprechweise: »f invers« oder »inverse Funktion zu f«

Bemerkungen: 1. Umkehrbare Funktionen werden auch ein-eindeutige Zuordnungen genannt. 2. Die Bedingung, daB zu unterschiedlichen Argumenten unterschiedliche Funktionswerte gehoren mussen, HiBt sich im Schaubild deuten. Wie man z.B. in Bild 2.10 a sieht, ist eine Funktion nicht umkehrbar, wenn im kartesischen Koordinatensystem eine Parallele zur x-Achse existiert, die den Graphen von f mehr als einmal schneidet.

Beispiel 2.9 a) f: [0,2J ~ [4, 10J mit Y = 3x + 4 f -1: [4, 10J ~ [0, 2J mit Yf--+dasjenige X, fur welches Y = 3x + 4 Yf--+dasjenige X, fur welches y - 4 = 3x . . X, f"ur we1c h es -3Y- 4= X yf--+ d aSJenlge Yf--/ - 4 0der (weil der Variablenname frei wahlbar): 3

x-4

Xf--+-- = f -l(X) 3

2.1 Grundbegriffe

33

DaB es sich wirklich urn Funktion und Umkehrfunktion handelt, sollen die Werte fur zwei spezielle Argumente demonstrieren: /

/-1

/

/-1

1~7~1 und2~10~2

b) f: [ -1,2] ~[-3,~J mit XI---> f(x) = 2x -1 2 5 x+3

f

3, ~J ----* [ 2 5

-1: [ -

-

1,2] mit YI--->dasjenige X, fur welches Y = 2x - 1 x+ 3 x, fur welches (x + 3)y = 2x - 1, weil x x, fur welches x(y - 2) = - 1 - 3y

y~ dasjenige y~dasjenige

+ 3 =1= 0

1 +-3Y x, f"ur we1ch es x = , weI'1 2 - y =1= 0 2-y

.. y~ d aSJenlge 1 + 3y

y~--oder

2-y

1 + 3x

x~ _ _

=f-1(X)

2-x

/

/-1

/

/-1

Spezielle Argumente: o~ -~~O und l~i~ 1. c) f(x) = x 2 - 2x + 3 mit XElR ist nicht umkehrbar, weil z.B. f(O) = f(2) = 3 gilt. Wir wollen untersuchen, ob man durch Einschrankung der Definitionsmenge eine umkehrbare Funktion mit derselben Zuordnungsvorschrift erhalten kann. Es muBte gelten:

1 1-

1

: y~dasjenige

x, fur welches y = x 2 = x2

y~dasjenige x, fur welches 0

2x + 3 2x + (3 - y)

-

y~dasjenige x, fur welches x = 1 +

J1-

(3 - y) oder x = 1 -

J1-

(3 - y)

y~1 + Jy -2 oder y~l- Jy-2.

-J,Y=2,

Entscheidet man sich fur y ~ 1 + so wird eine Funktion beschrieben, deren Wertemenge nur Werte groBer als 1 besitz!: WJ = [1, (0). AuBerdem ist die Umkehrf~nktion nur definiert fur yED J-1 = [2, (0). Dann ist f: [1,(0) ~ [2,(0) umkehrbar, und es gilt: f -1: [2, (0) ~ [1,(0) mit -1

y~1 +Jy-2.

.

Spezielle Argumente:

1

1- 1

1

1- 1

3~6~3 und 10~83~10

Definition 2.3 f: D f ~ Wf sei eine Funktion und D J eine ~chte Teilmenge von D f' Dann wird die durch x ~ f(x) fur aIle XED J gegebene Funktion f die Restriktion (oder Einschrankung) von f auf D J genannt. In Beispiel 2.9 c) war

1die Restriktion von f

auf das Intervall [1, (0).

34

2 Funktionen

Beispiel 2.10 Schaubilder von Umkehrfunktionen Bild 2.11 zeigt die Schaubildef def in Beispiel 2.9 genannten Funktionen und Umkehrfunktionen. a)

b)

}'

/

10

8

c)

/

y

/

6

4

2

\ \

6

8

/

10 x

2

-2

.

/

/ ' / / -1

\

2x

-2

4

f

\

/

2

j~

,6

,,~

/

6 x

2

Bild 2.11a-c: Funktion und Umkehrfunktion im Schaubild

Der Graph von fist die Menge aller Punkte (x, y) mit XED fund y = f(X)E Wf. Der Graph von -1 ist die Menge aller Punkte (y, x) mit yE W und x = f -l(Y)ED f. Weil in einem kartesischen f Koordinatensystem die Punkte (x, y) und (y, x) symmetrisch zur Geraden y = x liegen, sind die Graphen von fund f - 1 auch symmetrisch bez. dieser Geraden.

f

Bei der Bestimmung der Umkehrfunktionen wurde schon fund f - 1 fur spezielle Argumente nacheinander ausgefiihrt. Die folgende Skizze macht klar, wann zwei beliebige Funktionen fund g hintereinander ausgefiihrt werden konnen (s. Bild 2.12): y

y

d --------------------d

f

-------------------

J1jc

c -----b

a

x

y

Pr

a

b

x

y

g

C

U:f

d

x

Nacheinanderausftihrung moglich

Bild 2.12: Nacheinanderausftihrung von Funktionen

C

Uj

d

Nacheinanderausftihrung nicht moglich

x

2.1 Grundbegriffe

35

Definition 2.4 Gegeben seien zwei Funktionen f : D f → A und
: D
→ B mit W f ⊂ D
. Dann heißt die Funktion h : D f → B mit x → h(x) =
( f (x)) die mittelbare Funktion
nach f 1 ). Schreibweise:
◦ f . Sprechweise: »
nach f « Bemerkungen: 1. Häufig wird f innere und
äußere Funktion genannt. 2. Die Sprechweise »
nach f « weist darauf hin, daß die Reihenfolge, in der die Funktionsnamen geschrieben sind (
◦ f ), nicht die Reihenfolge der Ausführung ist (zuerst f , dann
). Beispiel 2.11 f : [0, 2] → [4, 10] mit f (x) = 3x + 4;
: [1, ∞) → [0, 1] mit
(x) =

1 x

Bei
◦ f wird zunächst f ausgeführt und dann
, also wird [0, 2] in [4, 10] und diese Menge weiter in [0, 1] abgebildet: 1 h1 =
◦ f : [0, 2] → [0, 1] mit h1 (x) =
( f (x)) =
(3x + 4) = 3x + 4   1 1 = 3 · + 4. h2 = f ◦
: [1, ∞) → [4, 10] mit h2 (x) = f (
(x)) = f x x Beispiel 2.12 f : R → R mit x → f (x) = 3x ;


: R\{−2} → R mit x →
(x) =

1 x+2


◦ f ist nicht ausführbar, weil der Funktionswert f (− 23 ) nicht mittels
weiter abgebildet werden kann: f




− 23 −→ −2 −→ ? Jedoch ist f ◦
: R\{−2} → R mit x → f (
(x)) = f



1 x+2

 = 3·

1 . x+2

Die Beispiele zeigen, daß i.a. f ◦
=
◦ f gilt. D.h. bei der mittelbaren Funktion ist die Reihenfolge zu beachten. (Die Nacheinanderausführung ist i.a. nicht kommutativ.) f sei eine umkehrbare Funktion. Die Nacheinanderausführung von f : D f → W f und
= f −1 : W f → D f ergibt: a) h =
◦ f : D f → D f mit h(x) =
( f (x)) = f −1 ( f (x)) = x, also h = f −1 ◦ f : D f → D f mit h(x) = x. f −1 ◦ f ist die Identität auf D f . 1)

(2.1)

Auch die Namen »Verkettung von
und f « sowie »Nacheinanderausführung von
und f « und »zusammengesetzte Funktion
nach f « sind üblich.

36

2 Funktionen

b) h=fog: Wf~Wfmith(x)=f(g(x))=f(f-l(x))=x,also h = fo f-l: Wf~ W f mit h(x) = x.

Definition 2.5 Die Funktionen f bzw. g seien auf D f bzw. D 9 definiert und a) h = f + g durch h(x) = f(x) + g(x) fur aIle xEDfnD g b) h = f - g durch h(x) = f(x) - g(x) fur aIle XED fnDg c) h = f'g durch h(x) = f(x)·g(x) fur aIle xED fnDg

d) h =

£g durch h(x) =

CE~.

Dann wird vereinbart:

f(X) fUr aIle xEDfnD g, falls g(x) # 0 fUr aIle xEDfnD g ist g x)

e) h = IfI durch h(x) = If(x)1 fur aIle XED f f) h = c· f durch h(x) = c· f(x) fur aIle XED f.

Bemerkungen: 1. Die folgenden Schreibweisen sind streng auseinander zu halten: fog und f .g sowie f - 1 und.!.

f

2. Es werden folgende Schreibweisen verwendet:

f2 = f·f,

f3

=

und allgemein:f n + 1 = fn·f fur aIle nEr\!o

f2·f

Beispiel 2.13

f: ~ ~ IR mit y = x 2

+ 3x -

1;

g: IR ~ IR mit y = x 2 + 1

Dann ist:

f + g: IR ~ IR mit y = 2x 2 + 3x; f - g: IR ~ ~ mit y = 3x f·g: IR~ ~ mit y = x 4

+ 3x 3 + 3x -1;

f

2; x

2

+ 3x-1 +1

-: IR~ IR mit y = -2- - g

x

Aufgaben 1. Geben Sie flir die folgenden Zuordnungsvorschriften maximale Definitionsbereiche an! a)f(x)=J6x 2 -5x-6; b) f(x) = x-4;

Ix-41

c)f(x)=~;

d) f(x) = Jx 2 + 5x + 6,25.

2. Handelt es sich bei den folgenden Zuordnungen um Funktionen? a) f: [- 5,5] ~~ und x~y mit x 2 + y2 = 25

1 b) f:( - 5, 5)~ ~ mit X~--2 25-x

c)f:~~~mitx~~

d) f:~~~mitx~J1=7

2.1 Grundbegriffe

37

3. Zeichnen Sie die Schaubilder der nachstehenden Funktionen: a) f: [R\{4} ~ [R mit f(x)

x-4

=--

Ix-41

c) f: [ - 1, 2J ~ [R mit f (x) = Ix

+ [x - 1J I d) f: [R ~ [R mit x ~

{

2- x 3- x

fur x¥:3

1

fur x = 3 1

2 - - fur x> 0 x 1) f: [R ~ [R mit x· ~

fur - 1 ;'£ x ;'£ 0

2+x - x

fur x < -1

4. Geben Sie zu den folgenden Funktionen die Wertebereiche an!

1

x~--2mitxE[R

b)

x~3x+5mitxE[R

c) x~3 -fimitxE[R6

d)

x~13-xlmitxE[R

e) x~x2n mit XE[R (fur nEN)

f) x~x2n+1 mit XE[R (fur nEN)

a)

l+x

g) x ~ I[xJ I mit x E[R. 5. Sind die folgenden Funktionen gleich? X3 -

27

a)f:[R~[Rmitx~ ~ fur x¥:3 und g:!R~!R mit x~x2+3x+9 {

27

fur x = 3

b) f: [R ~ [R mit x~J(x - If und g: [R ~ [R mit x~ll- xl

6. Geben Sie die Umkehrfunktionen an fur: a) f: IR~ [R mit f(x) = - 2x + 7

7x+3 5x-1

b) f: lR\{~} ~ [R\{!} mit x~-­

7. Gegeben ist die Zuordnungsvorschrift x~ y = f(x) = - x 2 + 4x - 3. Wie lautet die Umkehrung der Zuordnung? Wahlen Sie den Definitionsbereich (maximal) und die Zielmenge so, daB die Umkehrfunktion f - 1 existiert. Geben Sie f -1 an! 8. Geben Sie die mittelbaren Funktionen go fund fog an, falls diese existieren! a) f: [0, 1J ~ [-1,4J mit f(x) = 5x -1, 2

b) f: 1R\{3} ~ [R\{O} mit f(x) = - ,

x-3

g: [-1, 1J ~[O, IJ mitg(x) = ~

7-x

g: !R\{O} ~ [R\{ -I} mit g(x) = x

c) f: IR ~ IR mit XH-X 3 d) f: [R+

~

[R+ mit

1

x~-

x

g: [R~ [R6 mit x~lxl

38

2 Funktionen

9. Zu den gegebenen Funktionen fund g sind f anzugeben!

1 f: 1Il\{O} -+ III mit xt---+- - x x

g: III -+ III mit xt---+x 2

+ g,f -

-

g,f'g und fig mit den maximalen Definitionsbereichen

x- 2

2.2 Eigenschaften von Funktionen Die Betrachtung der Schaubilder einiger Funktionen legt es nahe, »qualitative« Eigenschaften von Funktionen zu beschreiben, z.B. ein stetes Anwachsen der Funktionswerte, eine Periodizitat oder eine Symmetrie. Definition 2.6 Eine Funktion f: D f -+ Wf heiBt nach oben bzw. nach onten beschrankt, wenn die Wertemenge Wf nach oben bzw. unten beschrankt ist. Entsprechend wird f beschrankt genannt, wenn es eine Zahl KEIR+ gibt, mit If(x)1 ~ K fur alle XED f' Bemerkungen:

1. 1st die Wertemenge einer Funktion beschrankt, dann besitzt sie wegen der Vollstandigkeit von IR eine obere (und eine untere) Grenze, und es gilt: infWf ~ f(x) ~ sup Wf fur alle xED f . Eine Schranke fur die Betrage der Funktionswerte ist dann K = max{linfWfl,lsup Wfl} (s. Bild 2.13). y

K=linfUjI sup Uj

Pr I

x

I

:

infUj

I

---~

BUd 2.13: Beschrankte Funktionf

2. Wennf nicht beschrankt ist, gibt es keine Zahl K mit der genannten Eigenschaft. D.h.: Zujeder (noch so groBen) Zahl KEIR+ gibt es ein xED f mit If(x)1 > K.

3. Die auf IR+ definierte Funktion f mit f(x)

f auf ein abgeschlossenes Intervall

=!X ist nicht beschrankt. Aber jede Restriktion von

[a, b] c IR + ist beschrankt. In diesem Sinne spricht man auch von der Beschranktheit einer Funktion auf einer Teilmenge des Definitionsbereiches.

2.2 Eigenschaften von Funktionen

39

4. Auch wenn eine Funktion nach oben bzw. nach unten beschrankt ist, braucht sie keinen maximalen bzw. minimalen Funktionswert zu besitzen. Beispiel 2.14 Beschrankte Funktionen a) f: ~ ~ ~ mit x~x - [x] (s. Bild 2.8b) besitzt keinen maximalen Funktionswert, obwohl das Supremum (sup WI = 1) existiert. Das Minimum der Funktionswerte ist gleich inf WI = o. b) f:

~~ ~ mit f(x) =~

ist beschrankt. Obere Grenze und zugleich Maximum von Wf ist 1+x 10. Ein Minimum von WI existiert nicht. Das Infimum ist O.

Definition 2.7

Eine Funktion f: DI ~ Z heiBt auf einem Intervall D c DI monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn fur aIle Xl' X 2 ED gilt: Xl

< X 2 => f(x l )

f heiBt auf D cD I Xl

< x 2 => f(x l )

~

f(x 2 )

bzw.

Xl

< X 2 => f(x l ) < f(x 2 )·

monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn fur aIle Xl' X 2 ED gilt: ~

f(x 2 )

bzw.

Xl

<

X2

=> f(x l )

> f(x 2 )·

Bemerkungen:

1. In Worten ausgedruckt heiBt z.B. streng monoton wachsend: Zum kleineren Argument gehort auch der kleinere Funktionswert (s. Bild 2.14). 2. Man nennt eine Funktion monoton auf D, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend auf D ist. f heiBt streng monoton auf D, wenn f entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend auf D ist. 3. Man beachte, daB die Monotonie auf D c DI erklart ist. Eine Funktion kann in einem Intervall streng monoton fallend sein und in einem anderen streng monoton wachsend (vgl. Bild 2.13). Die Sprechweise »f ist monoton« wird verwendet, wenn f auf dem gesamten Definitionsbereich D I monoton ist.

y

f

x

BUd 2.14: Streng monoton wachsende Funktion

40

2 Funktionen

Beispiel 2.15 a) ! mit !(x) = x 2 ist auf lRt streng monoton wachsend, auf lRo- streng monoton fallend (und in jedem offenen Intervall, das Null enthalt, weder monoton wachsend noch monoton fallend). Fur Xv x 2 ElRt ist zu zeigen: Xl < X2 => !(x l ) < !(x 2 )

Diese Implikation ist richtig, wie die Multiplikation mit (Xl + X2 )ElR+ zeigt. Fur Xl' X2 ElRo- gilt: (Xl + X2 )ElR -. Die Multiplikation mit (Xl + x 2 ) ergibt dann:

b) ! mit !(x) = sgn(x) ist auf lR monoton wachsend, doch nicht streng monoton wachsend (s. Bild

2.7). c) Eine lineare Funktion ist monoton wachsend oder monoton fallend auf IR:

a = 0: Xl < X2 => !(x l ) = !(x 2 ) a > 0: Xl < X2 =>ax l < aX 2=>ax l + b < aX 2 + b, aax l >ax 2=>ax l +b>ax 2 +b, d) ! mit !(x) =

d.h. !(x l ) < !(x 2) d.h. !(x l »!(X 2 )

- [x] ist auf lR monoton fallend, doch nicht streng monoton fallend.

Eine Funktion !, die sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend ist, ist eine konstante Funktion, denn fur aIle Xl' x 2 mit Xl < X2 gilt in diesem Fall: !(x l ) ~ !(x 2) und !(x l ) ~ !(x 2), also !(x l ) = !(x 2 )· Satz 2.1

Beweis: a) Existenz von! - 1 ! sei streng monoton wachsend (im anderen Fall wird der Beweis analog gefuhrt). Fur Xl =1= X2 gilt entweder Xl < x 2 oder x 2 < Xl. Daraus folgt entweder !(x l ) < !(x 2) oder !(x 2) < !(x l ). ledenfalls gilt !(x l ) =1= !(x 2 ), d.h. ! ist umkehrbar. b) ! - list im gleichen Sinn streng monoton Voraussetzung: ! sei streng monoton wachsend. Behauptung: ! - list streng monoton wachsend: !(X l ) < !(X 2 )=>X l < X2, d.h.

Yl < Y2 => ! -l(Yl) < !-l(Y2)

Beweis (indirekt): Gegenannahme: Aus !(X l ) < !(X 2) folgt nicht Xl < X2. D.h. es gibt Xl' X2 ED f mit !(x l ) < !(x 2 ) und Xl ~ X 2 · D.h. es gibt Xl' X2 ED f mit !(x 1 ) < !(x 2) und !(x l ) ~ !(x 2) wegen der Monotonie von !. Das ist ein Widerspruch, d.h. die Gegenannahme ist falsch.

•

2.2 Eigenschaften von Funktionen

41

Beispiel 2.16 a) f mit f(x) == x 2 ist auf ~t streng monoton wachsend (s. Beispiel 2.15). Nach Satz 2.1 existiert dann die Umkehrfunktion f -1: ~t -+ ~t mit f -1(X) ==~. b) f mit f(x) == x 3 ist auf ~ streng monoton wachsend (vgl. Aufgabe 3). Nach Satz 2.1 existiert die Umkehrfunktion f -1: ~ -+ ~ mit f -1(X) == 3~. c) f mit f(x) == x 2n (nEN) ist auf ~; streng monoton wachsend (s. Aufgabe 1). Nach Satz 2.1 existiert f-l. Man schreibt dafur: f-l(X) == 2v1~ mit XE~;. fund f- 1 gehoren zu den Potenzfunktionen (s. Abschnitt 2.4). Fur f -1 ist insbesondere der Name Wurzelfunktion gebrauchlich. Definition 2.8 f: D -+ Z sei eine Funktion, deren Definitionsbereich symmetrisch zu Nullliegt. Dann heiBt f gerade, wenn f( - x) == f(x) fiir alle XED gilt, und es heiBt f ungerade, wenn f( - x) == - f(x) fiir alle XED gilt.

y

y

x

-x a) f( - x) = f(x) fur aIle gerade Funktion

XED

b)f( - x) = - f(x) fur aIle ungerade Funktion

XED

Bild 2.15 a-b: Gerade und ungerade Funktion

Bemerkung:

Das Schaubild einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse. Man spricht von» Spiegelsymmetrie« oder »Achsensymmetrie«. Das Schaubild einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Nullpunkt. Man spricht von »Punktsymmetrie« (siehe Bild 2.15). Beispiel 2.1 7 a) f mit f(x) == Ixl ist eine gerade Funktion, weill- xl == Ixl (s. Bild 2.6). b) f mit f(x) == sgn(x) ist eine ungerade Funktion, da sgn( - x) == - sgn(x)(s. Bild 2.7). c) f mit f(x) == 5x 4 - 3x 2 + 1 ist eine gerade Funktion, weil fur alle XE~ f( - x) == 5( - X)4 - 3( - X)2 + 1 == 5x 4 - 3x 2 + 1 == f(x) gilt. d) f mit f(x) == 3x 5 - 7x 3 + 2x ist eine ungerade Funktion, da fur alle XE ~ f( - x) == 3( - X)5 - 7( - X)3 + 2( - x) == - (3x 5 - 7x 3 + 2x) == - f(x) gilt. e) fmitf(x) == Ix - 11 ist weder gerade noch ungerade, denn es ist f(2) == 1, f( - 2) == 3. Also ist f( - 2) #- f(2) und f( - 2) #- - f(2).

42

2 Funktionen

Definition 2.9 Eine Funktion f: D --)- Z heiBt periodisch, wenn es eine Zahl p > gilt:

°

gibt, so daB ftir aIle XED

a) (x ± p)ED b) f(x ± p) = f(x). Existiert eine kleinste Zahl p > Omit diesen Eigensehaften, dann wird sie primitive Periode genannt.

Bemerkung: Man nennt peine Periode von f. Mit p ist aueh k·p mit kEN eine Periode von f.

Beispiel 2.18 a) f: ~--)- ~ mitf(x) = x - [x] ist periodiseh mit der Periodep = 1, denn es gilt: f(x ± 1) = x ± 1 - [x ± 1] = x ± 1 - [x] =+= 1 = x - [x] = f(x) (s. Bild 2.8b). p = 1 ist sogar (wie man zeigen kann) primitive Periode. b) f: ~ --)- ~ mit f(x) = Ix - [x + 0,5] list periodiseh mit def Periode p = 1, denn es gilt: f(x ± 1) = Ix ± 1- [x± 1 + 0,5]1 =Ix ± 1- [x + 0,5] =+= 11 = Ix - [x + 0,5]1 = f(x)(s. Bild 2.8e). Aueh hier ist p = 1 primitive Periode. e) Die konstante Funktionfmitf(x) = c ist periodiseh, denn es gilt: f(x ± p) = c = f(x) ftir aIle XE~ undjedes p > 0. Sie besitztjedoeh keineprimitive Periode. d) f: 1)

~\Z --)- ~

mit

1

x~--- ist

x-Ex]

periodiseh mit der Periode p = 1, denn es gilt ftir aIle

XE~\Z:

x±IE~\Zund

2) f(x

+ 1) =

-

1 = x ± 1 - [x ± 1] x

1

±1-

[x] =+= 1

1

---

x - [x] -

f(x)

.

Das letzte Beispiel zeigt, daB der Definitionsbereieh von f nieht ~ sein muB. D f darf aber nieht besehrankt seine Wegen f(x l ) = f(x l + p) = f(x l + 2p) = ... f in Xl + np definiert seine Flir dieses Argument gibt es aber keine Sehranke.

Satz 2.2

Beweis: s. Aufgabe 7. Der Satz gilt nieht flir die primitive Periode, wie folgendes Beispiel zeigt.

= f(x l + np) muB

2.2 Eigenschaften von Funktionen

43

Beispiel 2.19 f:~~~mitx~

g:

~~~

.

mIt

x~

{

I, __1_

falls XE7L falls x¢7L

x - [x]'

{x - [x], 1

Dann ist auch f· g: Periode von f·g.

falls x¢7L falls XE7L

,

~~~

ist periodisch mit der primitiven Periode 1.

ist periodisch mit der primitiven Periode 1.

mit x ~ 1 periodisch mit der Periode 1. Doch ist 1 nicht primitive

Definition 2.10

f: Df

~Z

habe fur

Xl

ED f den Wert Null: f(x l )

==

O. Dann heiBt

Xl

eine Nullstelle von f.

Beispiel 2.20 a) Fur f mit f(x) == x - [x] ist jede ganze Zahl Nullstelle. b) f mit f(x) == 4x 2 + 8x - 5 hat Nullstellen bei Xl == 0,5 und c) Xl == - 2 ist Nullstelle von f mit f(x) == x 3 - 67x - 126. x 2 -1

d) f mit f(x)

== - -

x-I

hat keine Nullstelle bei

Xl ==

X 2 == -

2,5.

1, weil f dort nicht definiert ist.

Aufgaben 1. Es sei

nE N.

Beweisen Sie, daB f mit f(x)

=

x n auf IR~ streng monoton wachsend ist.

2. Sind die folgenden Funktionen monoton wachsend (bzw. fallend)? a) f: IR~ ~ IR~ mit f(x) =

c) f: IR ~ IRmitf(x) =

fi

- 3x

+2 x

e)f:R~~IR~ mitf(x)=--z

l+x

b) f: IR~ ~ IR mitf(x) =

X

Z

+ 2x

1 d) f: IR\ {O} ~ IR\ {O} mit f(x) =x

1

f)f:IR~IR+ mit f(x) = - - z

l+x

3. Beweisen Sie: f: IR ~ IR mitf(x) = ax 3 ist fur a> 0 streng monoton wachsend und fur a < 0 streng monoton fallend. *4. Man zeige: Jede Funktion, deren Definitionsbereich zu Null symmetrisch liegt, HiBt sich als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben. 5. Beweisen Sie: Fur aIle

f(x) = f(x) =

X X

Zn Zn

nE N

ist f mit

eine gerade Funktion und + 1 eine ungerade Funktion. (Daher der Name!)

6. Geben Sie eine Zuordnungsvorschrift fur die Funktion an, deren Schaubild gezeichnet ist: Bild 2.16 7. Beweisen Sie Satz 2.2.

44

2 Funktionen

8. Welche N ullstellen besitzen die folgenden Funktionen? a) f: ~~~ mit f(x) c) f:

~\{O} ~~

=

6x 2

x-I

b) f: ~ ~ ~ mit f(x)

=

36x 4

-

3

25x 2

+4

2

3x + 5x -2x

2

d)f:~~~mitf(x)=

mit f(x) = 3-x

I+x

2

y

-3

-2

-1

2

3

x

Bild 2.16: Schaubild zu Aufgabe 6

2.3 Rationale Funktionen Urn in den folgenden Abschnitten uber weitere Beispiele zu verfugen, werden wir zunachst einige wichtige Typen reeller Funktionen betrachten.

2.3.1

Ganzrationale Funktionen

Definition 2.11 Eine Funktion f:

[R --+ [R

mit

f(x) == anx n + an_ix n- i

+ ... + aix + ao

und nEN o, a i , ... , anE[R, an # 0 heiBt ganzrationale Funktion n-ten Grades oder Polynom n-ten Grades.

Bemerkungen: 1. Die Zahlen aiE[R heiBen die Koeffizienten des Polynoms. 2. Auch die Sprechweise ganzrationale Funktion (bzw. Polynom) vom Grade n ist ublich.

Beispiel 2.21

fmit a) f(x) == 16x 5 - 3x 3 + 18 mit xE[R ist ganzrationale Funktion 5-ten Grades. b) f(x) == 7x 2 - 19x 8 + 3 mit xE[R ist ganzrationale Funktion 8-ten Grades. c) f(x) == (7x 2 - 19x 8 + 3)(16x 5 - 3x 3 + 3) mit XE[R ist ganzrational13-ten Grades.

2.3 Rationale Funktionen

45

Satz 2.3

Satz 2.4

Beweis: Fiir jedes kEN gilt nach (1.32): x k - x1 == (x - Xl)(X k - l + x k- 2 Xl

== (x -

Xl)· Pk-l (x),

+ x k- 3 xI + ... + xx1- 2 + x1- 1)

wobei Pk-l (x) ein Polynom (k - I)-ten Grades ist.

Fiir beliebiges Xl E lR gilt: n

f(x) - f(x l ) ==

n

n

I aix i - i=O I aiX~ == i=O I ai(x i i=O

x~)

n

==

I ai(x i= 1

n

Xl)· Pi-l (x)

== (x -

Xl)

I aiPi-l (x) i= 1

Die Summe auf der rechten Seite (wir nennen sie g(x)) ist offenbar ein Polynom (n - I)-ten Grades, und es gilt: f(x) == f(x 1 )

+ (x -

x 1 )g(x).

(2.3)

Falls Xl eine Nullstelle von fist, gilt f(x l ) == 0, und der Satz ist bewiesen.

•

Beispiel 2.22 f mit f(x) == x 3 - 67x - 126 besitzt die Nullstelle Produkt mit einem Faktor (x + 2) schreiben:

Xl

== - 2. Nach Satz 2.4 HiBt sich f(x) als

f(x) == x 3 - 67x - 126 == (x + 2)(x 2 - 2x - 63).

Aus der Produktdarstellung erhalt man weitere Nullstellen von f: X 2 == 9, X 3 == - 7. Die Frage, wie man das Polynom g(x) == x 2 - 2x - 63 erhalt, wird sogleich beantwortet. Mit Hilfe von (2.3) laBt sich fiir beliebiges Xl ElR ein Schema zur Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen begriinden:

n

I aix i == (x i=O

n-l

Xl)

n-l

n-l

I bix i + f(x l ) == i=O I bix i+ 1 - i=O I bix l Xi + f(x i=O

l)

46

2 Funktionen

n-l

anx n +

n

I (a i +bix 1)Xi = j=l I bj - 1x j + f(x 1) i=O

anx n + n-l

n-l

I (ai+biXl)xi+(ao+boXl)=bn_1Xn+ i=I 1 bi _ 1Xi +f(x 1) i= 1

Entsprechend Satz 2.3 sind zwei Polynome genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten iibereinstimmen. Der Koeffizientenvergleich liefert die folgenden Gleichungen: Koeffizient bei x n: b n- 1 = an Koeffizient bei Xi: bi - 1 = ai + bix 1 fur i = 1, ... , n - 1 Koeffizient bei x o: f(x 1) = ao + bOx 1 Fiir vorgegebene Koeffizienten a i (i = 0, .. ", n) und Xl konnen die Werte bk (k = 0, ... , n - 1) und f(x 1 ) entsprechend diesen Gleichungen vorteilhaft nach dem Horner-Schema berechnet werden. 1m nachstehenden Horner-Schema sind die Multiplikationen durch Pfeile angedeutet-addiert werden stets zwei Zahlen einer Spalte:

an- 2 an- 1 bn- 1X1 bn- 2 X1

an

bn- 1 bn- 2

bn- 3

Bemerkung: Dieser Funktionswertf(x l ) ist gleichzeitig der Rest, der bei Division vonf(x) durch (x - Xl) bleibt. 1st insbesondere Xl eine N ullstelle von f, dann gilt:

f(x) = (x - Xl) "g(x), und in der letzten Zeile des Horner-Schemas stehen die Koeffizienten des Polynoms g(x) vom Graden-I. Beispiel 2.23 Abspalten eines Faktors mittels Horner-Schema (vgl. Beispiel 2.22) a)

= - 2 ist Nullstelle von f mit f(x) = x 3 - 67x - 126. Das Horner-Schema liefert die Koeffizienten des in Beispiel 2.22 angegebenen Polynoms:

Xl

o 1

-2

-67 4

-2

-63

-126 +126

0=f(-2)

iii b2 Es gilt: f(x) = x

3

b1 -

bo

67x - 126 = (x + 2)(x 2

-

2x - 63) fiir aIle XE~.

2.3 Rationale Funktionen b)

Xl

= 3 ist Nullstelle von f mit f(x) = 4x 5 - 6x 4

-6 12

-13 18

3 15

-1 54

4

6

5

18

53

i

i

i

i

i

b4

b3

b2

bl

bo

4 Xl

=3

Es gilt: f(x) = (x - 3)(4x 4 oder

4x 5 - 6x 4

-

13x 3

-

+ 3x 2 -

47

X - 159.

-159 159

0= f(3)

+ 6x 3 + 5x 2 + 18x + 53) fur aIle XE~

13x 3 + 3x 2 - X - 159 3 = 4x 4

x-

Man sagt: (4x 5 - 6x 4 - 13x 3 + 3x 2 sich Satz 2.4 formulieren:

-

+ 6x 3 + 5x 2 + 18x + 53 fur aIle x i= 3.

X - 159) ist durch (x - 3) teilbar. Dementsprechend HiBt

1st f eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, und sind Xl und X 2 unterschiedliche NullsteIlen von f, dann besagt Satz 2.4 zunachst: f(x) = (x - xl)g(x).

WeiI (x - Xl) nur fur x = g ergibt dann:

Xl

verschwindet, muB g(x 2 ) = 0 gelten. Die Anwendung von Satz 2.4 auf

f(x) = (x - Xl)g(X) = (x - xl)(x - x 2 )h(x),

wobei h ein Polynom (n - 2)-ten Grades ist. Allgemein gilt: Satz 2.5

Bemerkungen:

1. Man nennt die Faktoren (x - xJ Linearfaktoren und verwendet die Produktschreibweise: n

f(x) = an

TI (x -

xJ.

i= 1

2. Der Zusammenhang zwischen den N ullstellen von fund den Koeffizienten des Polynoms wird oft in der Literatur als» Vietasche Formeln« angegeben. Man erhalt diese Gleichungen durch »Ausmultiplizieren« der Linearfaktoren.

48

2 Funktionen

Satz 2.6 Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen. Bemerkung: Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades kann durchaus weniger als n reelle Nullstellen besitzen. Z.B. hat f mit f (x) = (x − 1)(x8 + 1) nur x1 = 1 als Nullstelle in R. Beweis (indirekt): Voraussetzung: f ist ganzrationale Funktion n-ten Grades. Behauptung: Es gibt höchstens n verschiedene Nullstellen. Gegenannahme: Es gibt mindestens n + 1 verschiedene Nullstellen x1 , . . . , xn , xn+1 . Nach Satz 2.5 gilt dann: f (x) = an (x−x1 ) · · · (x−xn ), also f (xn+1 ) = an (xn+1 −x1 ) · · · (xn+1 −xn ). Wegen xn+1 = xi für i = 1, . . . , n verschwindet kein Faktor dieses Produktes, und es gilt: f (xn+1 ) = 0. xn+1 ist also keine Nullstelle. Die Gegenannahme führt zum Widerspruch. • Mitunter läßt sich ein Faktor (x − xi ) mehrmals von einem Polynom abspalten. Wir berücksichtigen das in der folgenden Definition 2.12 f sei eine ganzrationale Funktion n-ten Grades. Dann heißt x1 eine k-fache Nullstelle von f , wenn eine ganzrationale Funktion
vom (n − k)-ten Grade mit
(x1 ) = 0 so existiert, daß f (x) = (x − x1 )k
(x) für alle x ∈ R gilt. Beispiel 2.24 a) x1 = 2 ist dreifache Nullstelle von f mit f (x) = x5 − 6x4 + 13x3 − 14x2 + 12x − 8, wie man dem nachstehenden Horner-Schema entnehmen kann:

x1 = 2

1 −6 13 −14 12 −8 2 −8 10 −8 8 1

−4 5 2 −4

−4 4 2 −4

1

−2 2

1 0

−2 2

1

0 2

1 4

0

1

2

5

x1 = 2 x1 = 2 x1 = 2

0

0

f (x) = (x − 2) · (x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4) f (x) = (x − 2)2(x3 − 2x2 + x − 2) f (x) = (x − 2)3(x2 + 1)

2.3 Rationale Funktionen b)

Xl

= - 1 ist eine zweifache Nullstelle von f mit f(x) = x lO + 2x 9 + x 8 + x 2 + 2x + 1: -1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

2

=-1

1 -1

1

Xl

0

-1

=-1

1 -1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1

Xl

0

1 -1

0

0

0

0

0

0

0

=-1

-1

1

-1

1 -1

1

-1

-1

-1

2

Xl

49

-1

-1

0 -

1 -1 0 -

f(x)

=

(x + 1)·(x 9

+

x8

f(x)

=

(x + 1)2(x 8

+

1)

+ X +

1)

2

Gebrochenrationale Funktionen

2.3.2

Definition 2.13 Unter einer (gebrochen) rationalen Funktion r verstehen wir den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen: .

r.

()_Pm(x)_amXm+am_lXm-l+ ... +alx+aO x I----)- r x () - b Xn b n- 1 b b n + n-l X qn x + ... + lX+ 0

Der maximale Definitionsbereich ist bezeichnet.

~\L,

. -t-O ml t am -r- ,

wobei L die Menge der Nullstellen des Nenners

1m FaIle m < n heiBt r echt gebrochen, im FaIle m ~ n unecht gebrochen. Bemerkungen:

1. Eine gebrochen rationale Funktion kann auf Dmax mit einer ganzrationalen Funktion iiberein-

stimmen, wenn niimlich Pm(X) ohne Rest durch qn(x) teilbar ist, z.E. f(x) = Xl -11 = x + 1 fur

x-

x#1. g:

2.

[R ~ ~

mit g(x) = x + list wegen D9 =

[R

-# Dfaber verschieden von f.

ist Nullstelle von r, falls Pm(x l ) = 0 und qn(x l ) # 0 gilt. heiBt Polstelle von r, falls qn(x l ) = 0 und Pm(x l ) # 0 gilt. Xl E [R heiBt Lucke von r, falls qn(x 1) = 0 und Pm(x 1) = 0 gilt. Xl E[R heiBt k-fache Polstelle von r, wenn Pm(x l ) # 0 gilt und eine ganzrationale Funktion g mit g(x l ) # 0 so existiert, daB qn(x) = (x - Xl)kg(X) fur aIle XE[R gilt. Xl E[R

Xl E [R

Beispiel 2.25 (vgl. Bild 2.17) a) f:

f

[R\ { -

hat bei

2} ~ [R mit f(x) = Xl

x-I X

+2

= - 2 eine Polstelle und bei X 2 = I eine Nullstelle.

50

2 Funktionen

x-I

a) j ( x ) = x+2

I

y

~i

---------~---1 I

-2

Bild 2.17: Graph der rationalen Funktion !:

x

x-I XI----7--

x+2 X

2

b) f: ~\{ -I} ~ ~ mitf(x) = (x + If

c) f: lR\{2} ~ lR mit f(x) =

f

x 2 -4 X _ 2

f

hat bei Xl = - 1 eine zweifache Polstelle und bei X 2 = 0 eine (zweifache) N ullstelle.

hat bei Xl = 2 eine Lucke und bei X 2 = - 2 eine N ullstelle.

y

b) f(x)

=

x

2

8

(x+ 1)2

6 2

4

-4

-3

-2

2

x2

Bild 2.18: Graph der Funktion !:XI----7-(x + 1)2

-2

x

2

x

x 2 -4 Bild 2.19: Graph der Funktion !:XI----7-x-2

Jede unecht gebrochene rationale Funktion HiBt sich als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion schreiben. D.h. fur m ~ n gilt:

Pm(x) = P _ (x) qn(x) m n

+ Pl(X)

qn(x)

mit 1< n.

(2.4)

In der Praxis werden Pm-n(x) und Pl(X) durch das vom Dezimalsystem her bekannte Divisionsverfahren bestimmt:

2.3 Rationale Funktionen

51

Beispiel 2.26

f(x) = 3x

4

+ 7x 3 + x 2 + 5x + 1 x2 + 1

(3x 4 - (3x 4

+ 7x 3 + x 2 + 5x + 1):(x 2 + 1) = 3x 2 + 7x -

2+

-2x+3 2 1 x +

+ 3x 2 ) 7x 3 -(7x 3

2x 2 + 5x + 1 + 7x)

-

-2x 2 -2x + 1 - 2) -( -2x 2 -2x+3

Pm-n(x)= 3x 2 +7x-2 (m-n=2) pz(x) = - 2x + 3 (1 = 1)

Fur spatere Anwendungen in der Integralrechnung ist noch eine andere Schreibweise gebrochen rationaler Funktionen zweckmaBig. Wegen der moglichen Summendarstellung (2.4) beschranken wir uns dabei auf echt gebrochenrationale Funktionen. Gegeben sei eine Funktion f, deren Funktionswerte als Summe von» Teilbruchen« dargestellt sind:

f(x)=_C_l _+ ... +~ (mitcl, ... ,CnE~) X-Xl X-X n

(2.5)

Durch »Gleichnamig-Machen« der Bruche wird offensichtlich, daB es sich urn eine echtgebrochen rationale Funktion handelt:

f(x) = C l (x - x 2 )·· ·(x - x n) + ... + cn(x - Xl)·· ·(x - Xn - l ) (X - Xl)(X - X 2 )···(X - X n ) ,

(2.6)

die auf ~\ {Xl' X 2 , ... , X n } definiert ist. Haufig ist selbst nach Vereinfachung des Zahlers von (2.6) die Beschreibung der Funktion durch (2.5) vorteilhafter, weshalb das Problem dann in umgekehrter Richtung zu losen ist. Man nennt diese Aufgabe Partialbruchzerlegung. Beispiel 2.27 PartialbruchzerlegNng - x 2 + 20x + 149 a) f(x) = x 3 + 4x 2 - llx - 30

Zunachst wird die Produktdarstellung des Nenners benotigt. Offenbar verschwindet er fur Xl = - 2: 4

-11

-2

-4

-30 30

2

-15

0

52

2 Funktionen

Produktdarstellung des Nenners: x 3 + 4x 2 - llx - 30 = (x + 2)(x 2 + 2x - 15)

= (x + 2)(x + ,5)(x - 3) Fur die Zerlegung in Teilbruche ist deshalb der folgende Ansatz sinnvoIl: Ansatz:

-x 2 +20x+149 ABC + 4x 2 - llx - 30 = x - 3 + x + 2 + x + 5 - x 2 + 20x + 149 A(x + 2)(x + 5) + B(x - 3)(x + 5) + C(x - 3)(x + 2) 3 (x - 3)(x + 2)(x + 5) x + 4x 2 - llx - 30

x3

Das Problem besteht nun darin, reelle Zahlen A, B und C so zu bestimmen, daB die Gleichung fur aIle XE Df gilt. Da die Nenner ubereinstimmen, heiBt dies: Die Zahlen A, B, C sind so zu wahlen, daB auch die Zahlerpolynome gleich sind. Dazu reicht die Gleichheit der Polynome an drei beliebigen Stellen Xl' X 2 , X 3 E [R aus (vgl. Aufgabe 5), was auf ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten A, B, C fiihrt. Es ist von Vorteil, die Poistellen als X i - Werte zu wahlen:

= 3: = - 2: X 3 = - 5:

Xl

X2

- 9 + 60 + 149 = A· 5·8 => A = 5 => B = - 7 - 4 - 40 + 149 = B( - 5)' 3 -25 -100 + 149 = C( - 8)( - 3)=>C = 1

Partialbruchzerlegung von f(x):

f(x)

571 x - 3 - x + 2 + x + 5'

=

Die Nenner der Teilbruche mussen nicht unbedingt Linearfaktoren sein: b) f(x) = 5x

x

2

3

-

37x + 54 6x 2 + 9x

Produktdarstellung des Nenners: x 3

-

6x 2 + 9x = x'(x - 3)2

Damit auch die Summe der Partialbruche X 2 = 3 als doppelte Polstelle kennzeichnet, wahlen wir als Nenner eines Teilbruchs (x - 3)2. Dieser Teilbruch ist echt gebrochen, wenn der zugehorige Zahler linear angesetzt wird: 5x 2 -37x+54 A 13x+C -----= - +--x 3 -6x 2 +9x X (X-3)2" Der lineare Zahler kann wegen 13x + C = 13(x - 3) + C+ 3B noch umgeschrieben werden (dabei gilt: A = A, B = 13, C = 313 + C): Ansatz:

5x 2 - 37x + 54 A B C -3 - -2- - = - + - - + - - x - 6x + 9x x x - 3 (x - 3)2 2 5x - 37x + 54 A(x - 3)2 + Bx(x - 3) + Cx x 3 - 6x 2 + 9x x(x - 3)2

2.3 Rationale Funktionen

53

Die Gleichheit der Zählerpolynome wird wieder durch Übereinstimmung an drei Stellen x1 , x2 , x3 ∈ R gewährleistet. Wir wählen als x1 und x2 die beiden Polstellen und als x3 irgendeine von x1 und x2 verschiedene Zahl, z.B. x3 = 1. ⎫ ⎧ 54 = A · 9 x1 = 0 : ⎬ ⎨A = 6 x2 = 3 : −12 = C · 3 ⇒ C = −4 ⎭ ⎩ x3 = 1 : 22 = 4A − 2B + C B = −1 Partialbruchzerlegung von f (x): f (x) = c) f (x) =

6 −1 −4 + + x x − 3 (x − 3)2

1,5x 3x = 2x3 − 12x2 + 24x − 16 x3 − 6x2 + 12x − 8

Offenbar ist x1 = 2 dreifache Polstelle: 1

−6 12 −8 2 −8 8

1

−4 4 2 −4

1

−2 2

1

0

x1 = 2 x1 = 2 x1 = 2

0

0

Produktdarstellung des Nenners: x3 − 6x2 + 12x − 8 = (x − 2)3 . Damit auch die Summe der Partialbrüche x1 = 2 als dreifache Polstelle ausweist, wird der Nenner eines Teilbruchs (x − 2)3 sein. Soll dieser Teilbruch echt gebrochen sein, so darf der zugehörige Zähler höchstens vom 2-ten Grade sein. ˆ 2 + Bx ˆ + Cˆ Ax 1,5x = 3 2 x − 6x + 12x − 8 (x − 2)3 ˆ 2 + Bx ˆ − 2)2 + (Bˆ + 4A)(x ˆ − 2) + 4Aˆ + 2Bˆ + Cˆ kann der Teilbruch noch ˆ + Cˆ = A(x Wegen Ax ˆ B = Bˆ + 4A, ˆ C = 4Aˆ + 2Bˆ + C): ˆ umgeschrieben werden (dabei gilt: A = A, A B C 1,5x = + + x3 − 6x2 + 12x − 8 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3 A(x − 2)2 + B(x − 2) + C 1,5x = x3 − 6x2 + 12x − 8 (x − 2)3 Die Gleichheit der Zählerpolynome 2-ten Grades wird wieder durch Übereinstimmung an drei Stellen x1 , x2 , x3 erreicht. Wir wählen x1 = 2 und x2 , x3 davon verschieden, z.B. x2 = 0 und x3 = 4: x1 = 2 : 3 =

C

x2 = 0 : 0 = 4A − 2B + C ⇒ 4A − 2B = −3 x3 = 4 : 6 = 4A + 2B + C ⇒ 4A + 2B = 3



⇒

A=0 B = 1,5

54

2 Funktionen

Partialbruchzerlegung: 1,5x

x 3 - 6x 2 + 12x - 8

==--.!L+_3_

(x - 2)2

(x - 2)3·

2

d) f(x) == x3

x -1 2x - 12

+ 2x2 _

Offenbar verschwindet der Nenner nur fur 1 Xl ==

2 2

8

-12 12

146

0

2 1

- 2

Xl

== 2:

Produktdarstellung des Nenners: x 3 + 2x 2 - 2x - 12 == (x - 2)(x 2 + 4x + 6)

Fur die Zerlegung in (echte) Teilbruche ist der folgende Ansatz sinnvoll: x 2 -1 A Bx + C - - - - -2: - - - - - == - - + ~--(x - 2)(x + 4x + 6) x - 2 x 2 + 4x + 6 Zahlervergleich: x 2 - 1 == A(x 2 + 4x + 6) + (Bx + C)(x - 2)

Wir wahlen als XI- Wert die Poistelle und als z.B. X 2 == 0 und X 3 == - 1: Xl

==2: 0:

3==A·18

- 1 == 6A

X 2 ==

X2

und

=>A==% - 2C => 2C == 6A

X3

irgend zwei von

Xl

verschiedene Werte,

+ 1 == 2 => C == 1

0==3A+3B-3C=> B== C-%==~

x 3 ==-1:

Partialbruchzerlegung:

f( x)

1

== _ 6_ X -

2

+ _ 62 x + 1 _ x 2 + 4x + 6·

Die Existenz und Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung ist nach dem folgenden Satz garantiert. Auf den Beweis wollen wir verzichten. Der interessierte Leser mag ihn in [8] nachlesen. Satz 2.7

2.3 Rationale Funktionen

55

Aufgaben 1. Man berechne f(l, 5) mit dem Horner-Schema fur a) f(x) = x 4

3,5x 3 - 7x 2

-

2. Welche Vielfachheit hat f(x)

3. a) b)

=

X

7

+1

Xl

b) f(x)

= ~2

=

7x 5

-

5,5x 4

+ 2,5x 3 -

22,5x + 2

als NuIlsteIle von f mit

+ 6x + 12x + 8x + x 3 + 6x 2 + 12x + 8? 6

5

4

ist eine L6sung von x 3 + 5x 2 - 8x - 28 = O. Geben Sie aIle L6sungen der Gleichung an! ist eine L6sung von x 5 + 3x 4 -13x 3 - 39x 2 + 36x + 108 = O. Geben Sie aIle L6sungen der Gleichung an!

XI

Xl

= - 2 = -3

4. a) Von einer ganzrationalen Funktion 2-ten Grades seien an drei verschiedenen Stellen Funktionswerte Yi = f(xJ bekannt. Man prufe, ob die durch

(i = 0, 1,2) die

Xi

beschriebene, ganzrationale Funktion vom 2-ten Grad ist und an den Stellen Xi die vorgeschriebenen Werte Yi annimmt! b) Man gebe entsprechend der Darstellung in a) eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades an, fur die gilt:

f( -2) = 336;

f(l)

Zeigen Sie, daB f(xJ

=

60;

= Yi

f(5)

=

-56;

f(6) = 120.

gilt!

5. Beweisen Sie: Stimmen zwei ganzrationale Funktionen n-ten Grades fund 9 an n + 1 Stellen uberein, dann gilt f=g· 6. Wo sind Poistellen bzw. NuIlsteIlen bzw. Lucken von f mitf(x) =

(x 2 +

X -

2)(x 2

-

2x - 3)(x 2

2

2

7. Zerlegen Sie in eine Summe aus ganzrationalem und echt gebrochenem Anteil: x 8 _x 4 + 2x-1 b) f(x) = - - x -2---2--

3x 5

7x 4

-

c) f(x) =

-

8x 3 + 29x 2 - 3x - 30 + 5)

(X - 2)(x + 3)(3x - 4)(x 2 (2x _ 6)(x 2 + 4)

d) f(x) =

(x _ 2)(3x

8. Wie lautet die Partialbruchzerlegung von: a) f(x)

2x 2

+ 3x-1

b) f(x) =

= - 3- - 2 - - X

-x+1

-X

5x 2 3

X

2

-X

2x + 6 +2x-2

?

9. Man zerlege in ganzrationale Anteile und Partialbruche:

a) f(x) =

3x 4

-

3x 3 - 10x 2 2

X

x

+ 16x + 5

-x-2

5

c) f(x) = (x _ 1)3(x + 2)

18x4

-

-

2x - 35)

(X -6x-7)(x +x-6)

7x 3 - 35x 2 - 8x + 24

b) f(x) = -(x---2-)-(x-2 -+-2-x-+-2-)(-3x---4-)

+ 1)

?

56

2 Funktionen

2.4 Potenzfunktionen Unter einer Potenzfunktion versteht man eine Funktion f mit f(x) = xr(rE ~). Die Potenz x r wird fiir rEeD am Ende dieses Abschnitts erkHirt und fiir rE ~ in Abschnitt 4.4. Mit f(x) = xn(nE N) sind uns bereits einige spezielle Potenzfunktionen f bekannt. Es sind ganzrationale Funktionen, deren Schaubilder in Bild 2.20 dargestellt sind: y

y

n=8 n=4 n=2

n=5 n=3 n=l

x

- 1

x

b) n ungerade

a) n gerade

Bild 2.20a, b: Potenzfunktionen x~xn(nEN)

Wir wollen die Falle n ungerade (n = 2k + 1, kE N) und n gerade (n = 2k, kE N) unterscheiden. 1. Fall: Die Funktionen f mit f(x) = X2k + 1 (k EN) sind ungerade und, weil sie auf ganz ~ streng monoton wachsend sind, nach Satz 2.1 umkehrbar. Ihre Umkehrfunktionen werden Wurzelfunktionen genannt.

Schreibweise: f-1: ~ ~ ~ mit X~2k+j~. Sprechweise: (2k + l)-te Wurzel aus x. Da f f - 1 und f - 1 f die Identitat auf ~ ergibt, gilt fiir alle kEN: 0

0

(2k+~)2k+1=X

und

2k+jx 2k +1 =X

fiirallexE~.

2. Fall: Die Funktionen f mit f(x) = X 2k (kEN) sind nicht auf ganz ~ streng monoton, wohl aber die Restriktion 1 von f auf ~; (und zwar streng monoton wachsend). Die Restriktionen sind nach Satz 2.1 umkehrbar. Auch ihre Umkehrfunktionen werden Wurzelfunktionen genannt:

11- 1

1: ~; ~~; mit x~ ;y~. Schreibweise: Sprechweise: 2k-te Wurzel aus x. 1 10 die Identitat auf~; ist, gilt fiir aIle kE N: Da 0 und

1 1-

(;Y~)2k = x

und

~ = x fiir alle XE~;.

2.4 Potenzfunktionen

57

Bild 2.21 zeigt die Graphen einiger Wurzelfunktionen. y

y

n=9

n=2 n=4 n=8 x

x a) n gerade

b)

BUd 2.21 a, b: Wurzelfunktionen x ~

11

ungerade

Vi

Bisher wurden mit/: x ~ x n fur n E N spezielle ganzrationale Funktionen betrachtet. Die Funktionen f mit f(x) = x P (pEZ) sind spezielle rationale Funktionen, die fur negative p- Werte auf lR\{O} definiert sind. 1m Falle p < 0 ist Xl = 0 eine Polstelle (vgl. Bild 2.22).

y

y

2

-2

p=-l p= -3

-1

p= -3 p=-l

2

x

-1

x

-2

Bild 2.22: Potenzfunktionen x~xP fur pEZ\N o

Es solI nun noch f(x) = x q fur alle qEQ definiert werden. Dazu verwenden wir die oben genannten Wurzelfunktionen, deren gemeinsamer Definitionsbereich lR; ist.

58

2 Funktionen

Definition 2.14

Es sei x> 0 und q ==!If mit m, nEN. Dann verstehen wir unter der Potenz x q die n-te Wurzel aus x m : xm/n==~.

Bemerkungen: 1 1. Damit ist f(x) == x q fur qEQ+ erkHirt. Mit dem Zusatz x- q == - q und XO == 1 fur alle XEtR+ ist dann x q fur alle q E Q definiert. x

2. Die Einschrankung XE tR+ (statt tR;) wurde wegen der zusatzlichen Vereinbarung in Bemerkung 1 vorgenommen. 3. Man beachte, daB sowohl f(x) ==1x 2 als auch g(x) ==~~ auf ganz tR definiert ist und auf~­ f(x)"# g(x) gilt. Dagegen ist fl(X) == X2 / 6 und g1(X) == X1 / 3 nur auf tR+ definiert, und es gilt 1 3 2 6 X / == X / fur aIle XE tR +. 4. Fur xEtR; gilt: ~ == x 1 / n fur alle nEN. Fur xEtR- gilt: 2k+~ == - 2k+~ - X == -( _X)1/(2k+ 1) fur alle kEN. Fur das Rechnen mit Potenzen gilt: Satz 2.8

Wir verzichten auf den Beweis. (Dieser Satz wird in Abschnitt 4.4 fur q l' q2 E tR formuliert.)

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Aus der ebenen Trigonometrie sind die Begriffe Sinus und Kosinus eines Winkels bekannt. Sie wurden fur Winkel zwischen 0 und 90 als Quotient zweier SeitenHingen eines rechtwinkligen Dreiecks eingefuhrt. Dabei wurden die Winkel im Gradma6 gemessen. In der Analysis wird ein anderes WinkelmaB verwendet, das Bogenma6. Zwischen dem BogenmaB x und dem Gradma13 a eines Winkels besteht das folgende Verhaltnis: 0

0

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

59

2.5.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion Definition 2.15 (~, 1])

sei ein Punkt P auf dem Einheitskreis. Po sei der Punkt (1,0).

Bezeichnen wir das BogenmaB PoP mit x, so wirdjedem Wert x ein Punkt P zugeordnet, dessen Koordinaten wir mit Kosinus und Sinus von x bezeichnen. Schreibweise: .~ = cos x

1]

= sinx.

Die so auf ~ definierten Funktionen mit x~cos x und x~sin x werden Kosinusfunktion und Sinusfunktion genannt. Bemerkungen:

1. Wie man dem Bild 2.23 entnehmen kann,

entspricht diese Definition flir

XE( o,~)

genau der aus der ebenen Trigonometrie. 2. Ein Punkt (~, 1]) wird nicht nur durch einen einzigen Wert des BogenmaBes beschrieben. Man erhalt z.B. fur

-4n + x, -2n + x,x,2n + x,4n + x denselben Punkt des Einheitskreises.

Bild 2.23: Zur Definition von Sinus- und Kosinusfunktion

Einige Eigenschaften lassen sich unschwer der Definition entnehmen (s. Bild 2.23 und Bild 2.24). Flir alle

XE ~

gilt:

60

2 Funktionen y -----------------/-;,~t-c;. . .- - - -

] -:::--"

I

"

/

: "

lrr

......

:

2 /

Jt

I

I

,1//

sin

"

I

"

//, ",

,

I 1./

"

//: I

- 1- - - - - - - - - -.. . ~~ - - - -

x

" 'cos

BUd 2.24: Schaubilder der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion

Unter Berucksichtigung der Periodizitat erhalt man: NullsteBen der Sinusfunktion: xk = kn mit kE7L. n Nullstellen der Kosinusfunktion: X k = - + kn mit kE7L. 2

Fur die maximaleil und minimalen Funktionswerte gilt (kE7L) . n Maxima: sin x = 1 bel: x k = - + 2kn Minima: sin x = - 1bei: 2

cos x = 1 bei: x k = Flir aBe

XE [R

Flir aIle

Xl' X 2 E [R

2kn

cos x = - 1 bei:

-n

Xk

=-

Xk

=

2

+ 2kn

n + 2kn

gilt:

gelten die Additionstheoreme

Der Beweis kann z.B. mit Fallunterscheidungen unter Verwendung der Formeln (2.13) und der Periodizitatseigenschaft gefuhrt werden. Unschwer folgert man aus den Additionstheoremen und den bereits genannten Eigenschaften: Fur aBe Xl E [R gilt:

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Aus (2.13) erhiilt man wegen Xl

Xl + X 2

Xl -

X2

==---+---

2

2

und

X2

Xl + X 2

Xl -

61

X2

==-------

2

2

2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion Definition 2.16 Es sei L I die Menge der Nullstellen der Kosinusfunktion und L 2 die Menge der Nullstellen der Sinusfunktion. Unter der Tangensfunktion verstehen wir die Funktion sin X tan: X~-- == tan X cosx

fur

xE~\Ll

und

unter der Kotangensfunktion die Funktion cosx cot: X~-.- == cot X sIn X

fur XE ~\L2

Ahnlich wie die sin- und cos-Werte lassen sich auch die Werte der Tangens- und Kotangensfunktion am Einheitskreis veranschaulichen (s. Bild 2.25): 'YJ

1

Bild 2.25: tan x und cot x am Einheitskreis

cotx

62

2 Funktionen

Einige Eigenschaften lassen sich unschwer der Definition entnehmen: tan(x + kn) = tan(x) tan( -x) = -tan(x)

und cot(x + kn) = cot(x) cot( -x) = -cot(x) und tan(x)'cot(x) = 1

Aus der Anschauung folgt unmittelbar (vgl. Bild 2.26): Die Tangensfunktion ist auf (

-~, ~) streng monoton wachsend, die Kotangensfunktion auf

(0, n) streng monoton fallend. Die NulIstelIen der Tangensfunktion stimmen mit denen der Sinusfunktion uberein, die der Kotangensfunktion mit denen der Kosinusfunktion: tan x =

°

cot x = 0 bei

bei x k = k'n mit kE7L

n

Xk

= - + k'n mit kE7L. 2

y

tan

x

Bild 2.26: Schaubilder der Tangensfunktion und der Kotangensfunktion

Uber die Additionstheoreme der sin- und cos-Funktion lassen sich solche fur die tan- und cotFunktion herleiten, falls diese Werte definiert sind. tan(x l

+ Xl) =

tan Xl + tan Xl 1 - tan Xl ·tan Xl

------

cot(x l

+ Xl) =

cot Xl ·cot Xl

-

1

------

cot Xl

+ cot Xl

Beispiel 2.28 Zwei Geraden mogen in kartesischen Koordinaten beschrieben sein:

(2.16)

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

63

Nach (2.16) wird der Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Aus Bild 2.27 entnimmt man:

y

m1 = tanf3

und m2 = tan a

tan f3 - tan a tanb = tan(f3 - a) = - - - - 1 + tan f3 tan a

x

Insbesondere sind die beiden Geraden orthogonal, wenn [) = 90 ist. Fur dieses Argument ist kein Tangenswert definiert, d.h. der Nenner verschwindet: 0

BUd 2.27: Schnittwinkel zweier Geraden

In der Praxis ist es oft zweckmaBig, die Werte einer trigonometrischen Funktion durch die Werte einer anderen auszudrucken. In der folgenden Tabelle sind entsprechende Formeln zusammengestellt: Tabelle 2.1

sin x

cosx

tanx

cotx

SIn x

cosx

sin x

± )1- cos 2 x

±J1-sin 2 x

cosx

sinx ±)1-sin x

± )1- cos 2 x cosx

±)1-sin 2 x sin x

±)1-cos 2 x

2

cosx

tan x

cot x

tan x

1

±)1+tan x

±J1 +cotl x

1

cot x

2

2

±)1 + tan x

±)1 +cot 2 x

tan x

--

1 tan x

cotx

--

1 cot x

Uberall dort, wo ± steht, ist das Vorzeichen dadurch zu bestimmen, daB man uberlegt, in welchem Quadranten der durch x festgelegte Punkt des Einheitskreises liegt.

64

2 Funktionen

2.5.3 Arcus-Funktionen

Die Sinusfunktion besitzt die prImItIve Periode p = 2n. Daraus folgt unmittelbar, daB die Sinusfunktion keine Umkehrfunktion besitzt. Man kann aber den Definitionsbereich so einschdinken, daB die eingeschrankte Funktion umkehrbar ist. Dazubraucht man nur ein Intervall zu suchen, auf dem die Sinusfunktion streng monoton ist, z.B. [

-~,~

J

Nach Satz 2.1 existiert dann eine Umkehrfunktion. Entsprechend existieren auch fur die anderen trigonometrischen Funktionen Monotoniebereiche, so daB die darauf eingeschrankten Funktionen umkehrbar sind (vgl. Bild 2.28). Definition 2.17

Die Umkehrfunktion von f: [

-~,~ J----* [ -1,1] mit xf-+sinx heiBt Arcussinus-Funktion. [0, n] ~ [ -1, 1] mit x~cos x heiBt Arcuskosinus-Funktion.

Die Umkehrfunktion von f: Die Umkehrfunktion von f:

( -~2'2~)~~

mit x~ tan x heiBt Arcustangens-Funktion.

Die Umkehrfunktion von f:

(O,n)~~

mit x~cot x heiBt Arcuskotangens-Funktion.

Schreibweisen:

Sprechweisen:

arcsin: [ -1, 1] ----* [

-~, ~ J mit Yf-+arcsin y [0, n] mit y~arccos y

arccos:[ -1, 1] ~ arctan:

~~

arccot:

~~

Arcussinus von y Arcuskosinus von y

nn) . (-2'2

mIty~arctany

Arcustangens von y

(0, n) mit y~arccot y

Arcuskotangens von y

Einige Eigenschaften der Arcus-Funktionen: a) arcsin( - x) = - arcsin x arctan (- x) = - arctan x arccos( - x) = n - arccos x arccot( - x) = n - arccot x n

n

b) - ~ < arcsin x < ~

=2

- - < arctan x < 2 2

o ~ arccos x ~ n

0< arccotx < n

2=

c) Die Arcussinus-Funktion ist streng monoton wachsend. Die Arcuskosinus-Funktion ist streng monoton fallend. Die Arcustangens-Funktion ist streng monoton wachsend. Die Arcuskotangens-Funktion ist streng monoton fallend.

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

d) Es gilt: arcsin x + arccos x = ~

y

fur

XE[ -1,

1]; arctan x + arccot x = ~ fur

XER

y

y=x

65

y=x

arccos

arcsin

11:

T

-y -1 11:

x

T

11:

-1 -1

:

y

tan I

y

I I

I I I I I

- - - - - - - - 11:

y=x

I I

I I I

I

-------i----- T ---r11:

/

I

/

I

/

I

I

~

I

2

'I / I

/

/

------- ---1---: :

/

I I I

11: - -----+-----

2

I

I

I

I

I I

I

I

x

I

.21, 2 \

11:

\ \

\ \ \

I

\

I

\

I

X

\

,

Bild 2.28: Arcus- Funktionen

Dnter Beachtung von (f f -1 )(x) = x lassen sich viele Eigenschaften der Arcus-Funktionen aus denen der trigonometrischen Funktionen herleiten. So folgt z.B. aus Tabelle 2.1 der nachstehend tabellierte Zusammenhang zwischen den verschiedenen Arcus-Funktionen: 0

66

2 Funktionen

Tabelle 2.2

arcsin X

arccos X

arctan X

arccotx

arctan

fur XE [0, IJ

fur XE( - 1, 1)

2

arcsin~

~ arctan--x

fur XE[O, IJ

fur XE(O, IJ

x arcsin jl+?'2 1 +x fur XE [R

~ arccot--x fur XE(O, IJ

x

J l-x

arccos~

x

arccot~

l-x 2

fur XE( - 1, 1) 1

1

arccos jl+?'2 1+x fur xE[R6

1

arcsin---

arccos

jl+?'

J

arccotx

fur XE [R+

x

1

arctanx

1 +x 2

fur XE [R +

fur XE [R

fur xE[R6

Wie die Tabelle zu lesen ist, zeigen folgende Beispiele: arcsin x = arccos j"f=""X2;

arccos x = arccot

p; l-x 2

. arccot x = arCSIn

1

~ 2

v' 1 + x

Entsprechend der Tabelle 2.2 gilt: sin (arccos x) =

j"f=""X2 fur x E [

sin (arctan x) =

~fiir XE~ 2

-

1, 1J

cos (arctan x) =

1 +x 1

cos (arccotx) =

tan (arcsin x) = p f i 2i r XE( -1,1) l-x tan (arccos x) =

j"f=""X2 fur XE[ x

1 tan(arccot x) = x

COS (arcsin x) =

fur x E [R\ {0}

1, IJ\{O}

cot(arcsin x)

j"f=""X2 fur x E [ 1

~fur

v' 1 + x

2

1, 1J

xE[R

~fiir XE~ 2 1+ x

Jl-x 2 x

fur

XE[ -1,

IJ\{O}

cot (arccos x) = p f i 2i r XE( -1,1) l-x 1 cot (arctan x) = x

fur xE[R\{O}.

Hierbei sind die maximalen Gultigkeitsbereiche angegeben. Anwendungen finden die Arcus-Funktionen iiberall dort, wo zu gegebenen Werten von trigonometrischen Funktionen deren Argumente gesucht werden.

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

67

Beispiel 2.29

J3

a) Welche Lasungsmenge L besitzt die Gleichung sin x = cos x? Da fiir die Lasungen sicher cos x#-o gilt, folgt daraus: tan x = unendlich viele Losungen (vgl. Bild 2.26).

J3. Diese Gleichung besitzt

-~,~) liegende Lasung gilt: Xl = arctan J3 =~. 2 2 3

Fiir die in (

Entsprechend der Periodizitat der Tangensfunktion folgt daraus: L=

{XIX =~ + kn mit kEd' }.

b) Welche L6sungsmenge L besitzt die Gleichung sinx = 0,6? Von den unendlich vielen L6sungen liegen zwei im Intervall [0, 2rr]. Fur sie gilt (vgl. Bild 2.29): Xl

= arcsin 0,6 = 0,643 .. und

X2 =

n-

=

Xl

2,498...

Entsprechend der Periodizitat der Sinusfunktion folgt daraus: L = {xix =

Xl

+ k2n oder x = X 2 + k2n mit kEZ}. y

I I

0,6 ---- ------i----I I

I

1t

x

Bild 2.29: sin x = 0.6

Bei der Beschreibung physikalischer Vorgange werden haufig Funktionen der Art f(t) = A sin(wt + a) verwendet. Jeder Funktionswert kann als Projektion eines rotierenden Zeigers auf die y-Achse angesehen werden. Folgende Namen sind gebrauchlich (siehe auch Bild 2.30): Amplitude

fiir A

Anfangsphase

fiir a

Kreisfrequenz

fiir w

2n Schwingungsdauer fiir T = w Frequenz

fUr f =

1 -

T

OJ

=--

2rr

68

2 Funktionen y

x

Bild 2.30: Zeigerdarstellung einer Schwingung

Mit Hilfe der Zeigerdarstellung kann die Addition zweier gleichfrequenter Sinus- und KosinusAnteile geometrisch veranschaulicht werden. Dabei wird verwendet, daB wegen sin(x + n/2) = cos(x) jeder Kosinus-Wert auch als Sinus-Zeiger mit der Anfangsphase n/2 gedeutet werden kann. Bild 2.31 zeigt, wie man das graphisch ausnutzen kann: a) 4 sin(5t) + 3 cos(5t) = 5 sin(5t + arctan 3/4) = 5 cos(5t-arctan 4/3) b) 2 sin(2t) - cos(2t) =}5 sin(2t - arctan 1/2) = cos(2t - rr/2 - arctan (1/2)) c) 2 sin(3t + n/4) + 2 cos(3t - 3n/4) = sin(3t)

J5

J8

cos

cos 2

~

.

--4---+-.........- - - - - ....} - -

l~-sln

sin

2

a)

b)

c)

Bild 2.31a-c: Addition zweier gleichfrequenter Sinus- und Kosinusschwingungen

Aufgaben: 1. Man gebe Definitionsmenge D fund Wertebereich Wf fiir jede der vier trigonometrischen Funktionen und fiir die vier Arcus- Funktionen an!

2. Man zeichne die Graphen der folgenden drei Funktionen in ein einziges Koordinatensystem:

f 1 :xl-->x

mitxE[ -3,3];

f 2:xl-->sinxmitxE[ -n,n];f3:Xl-->tanxmitxE( -~,~}

2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen 3. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden auf lR definierten Funktionen: a) y=sin2x

b) y=sin4x

c)

y=sin(2x+~)

d)

y=Sin(2X+~)

4. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: a) y = x·sin x auflR b) y = Isin xl auflR sin x 5. Zeigen Sie, daB f: lR\{O} ~ lR mit f(x) = - - eine gerade Funktion ist, und skizzieren Sie das Schaubild! x 6. Beweisen Sie iiber die Additionstheoreme: a) sin 3x = (3 - 4 sin 2 x) sin x

x+y

b) cos 3x = (4cos 2 X

-

3) cos x

x-y

c) sinx+siny=2·sin--cos-2 2 7. a) Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder der Tangens- und Sinusfunktion? b) Wo schneiden sich die Schaubilder der Tangens- und Kosinusfunktion? 8. Geben Sie aIle Lasungen der Gleichungen an: a) sinx=O.5 b) cotx=)3 c) cosx= -!)3 9. Wo liegen die Nullstellen der folgenden auf lR definierten Funktionen f mit a) f(x) = 6 cos 2 x + sinx - 5 b) f(x) = 4cos 2 X - sin 2 x 10. Man beweise a) cos(arcsin x) =)1 - x 2 fiir

XE[ -

1, IJ

b) tan (arcsin x) =

v

~2 fiir XE( -1,1). l-x

11. Schreibe in der Form y = A sin(wt + a): (zeichnerische Lasung reicht aus) a) y = - 2 sin(5t) + 3 cos(5t) b) y = sin(nt) - cos(nt + n/4)

69

3 Zahlenfolgen ond Grenzwerte 3.1 Definition oDd EigeDschafteD von Folgen Eine wiehtige Rolle in der hoheren Mathematik spielen die Zahlenfolgen. Definition 3.1 Ordnet man jeder Zahl

nE N

genau eine Zahl anE [R zu, so entsteht dureh

eine Zahlenfolge oder kurz Folge. an bezeiehnet man als das n- te Glied der Folge
Bemerkung:

Die eindeutige Zuordnung n~an kann man aueh dureh f: N -+ [R mit

= an

n~ f(n)

ausdriieken (vgl. Absehnitt 2.1), d.h. eine Folge ist eine Funktion mit der speziellen Definitionsmenge Df = N. Aus diesem Grunde lassen sieh gewisse Begriffe aus Absehnitt 2.2 iibernehmen. Beispiel 3.1

/1)

a)

=

b)


c)

= \/1 + (-1)") = 1'1'~"" n+l

\;;

1 1

= 1'2'}""

Es ist nieht immer moglieh, den Wert des n-ten Gliedes an ohne Bereehnung der vorhergehenden Glieder anzugeben. Beispiel 3.2

=

a n

2 an-l

an -

1

+1

fiir n = 2, 3, 4, ...

Hier erhalten wir die Folge
3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen

71

Definition 3.2 a) Es sei CE [R und dE [R\ {O}. Dann heiBt die durch a1=c

und

an+1=an+d,

n=1,2,3, ...

definierte Folge eine arithmetische Folge. d heiBt die Differenz der Folge. b) Es sei cE[R\{O} und qE[R\{O; 1}. Dann heiBt die durch a1=c

und

an+1=q·an, n=1,2,3, ...

definierte Folge eine geometrische Folge. q heiBt der Quotient der Folge. Addiert man die ersten n Glieder einer geometrischen Folge, so erhalt man Sn=

I

ak =

k=l

I

a1q

k- 1

2

=a1+a1q+a1q +···+a1q

n_ 1

k=l

1 - qn =a 1- 1-q

fiirq#1

(3.1)

(s. (1.31)). Sn heiBt n-te Teilsumme oder Partialsumme der geometrischen Folge . Beispiel 3.3 Die Glieder der Folge =

<3> =

3,3,3, ...

sind alle gleich. Allgemein heiBt eine Folge mit an = CE[R fiir alle nEN eine stationare Folge oder konstante Folge. Entsprechend dem Graphen einer Funktion konnen wir jedem Glied von den Punkt Pn = P(n, an) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zuordnen. Auf diese Weise erhalten wir als Graphen der Folge eine Punktmenge in der Koordinatenebene (s. Bild 3.1). Eine weitere Moglichkeit zur graphischen Darstellung besteht darin, die Glieder von auf der reellen Zahlengerade zu markieren (s. Bild 3.2).

.

~

,~ I I I

I I I

.~ I

I I I I I

I I

I

I I

n

o

n

.~ Bild 3.1: Graph von



Bild 3.2: Darstellung von

auf der Zahlengerade

72

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Die folgenden Begriffe haben wir bereits bei Funktionen kennengelernt. Definition 3.3

Die F olge heiBt a) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn fiir aIle nEN gilt (3.2) b) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn fiir aIle n E N gilt (3.3) Bemerkungen: 1. Eine Folge, die monoton wachsend oder monoton fallend ist, bezeichnet man kurz als monoton. 2. Man bezeichnet die Folge auch dann als monoton, wenn (3.2) oder (3.3) erst ab einem Index n > 1 erfiiIlt ist. 3. Urn nachzuweisen, daB monoton ist, bilden wir z.B. die Differenz d = an+ 1 - an oder, falls a an > 0 fiir aIle nE N ist, den Quotienten q =~, je nachdem wie die Folge definiert ist. 1st an dann d ~ 0 oder q ~ 1 fiir aIle nE N, so ist monoton wachsend. Gilt d ~ 0 oder 0 < q ~ 1 fiir aIle nE N, so ist monoton fallend. Definition 3.4

Die Folge heiBt nach oben bzw. nach unten beschrankt, wenn mindestens ein KE[R bzw. kE [R so existiert, daB

an ~ K

bzw.

an ~ k

fiir aIle nEN

>.

ist. K bzw. k heiBt eine obere bzw. untere Schranke von ' Die Folge heiBt beschrankt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschrankt ist. Bemerkungen: 1. 1st die Folge nach oben bzw. nach unten beschrankt, so ist die Existenz der oberen bzw. unteren Grenze nach der Vollstandigkeitseigenschaft von [R (s. Abschnitt 1.3.3) gesichert. 2. 1st K bzw. k eine obere bzw. untere Schranke von , dann ist natiirlich auchjedes K 1 > K bzw. jedes k 1 < k eine oberebzw. untere Schranke von ' 3. Wenn die F olge an >beschrankt ist, dann existieren Konstanten k, K E [R so, daB k ~ an ~ K fiir aIle nE N ist. Wahlen wir dann M = max { IK I, Ik I}, so konnen wir die Beschranktheit von auch durch

<

- M

~

an ~ Moder

zum Ausdruck bringen.

lanl

~

M

fiir aIle nEN

3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen

73

Beispiel 3.4

=

In-I) n+

123

1 = 0, 3,4:' 5'···

\

Wegen (n+1)-1 a - a = n+1 n (n+1)+1

n-1 n+1

- -- =

2

(n+2)(n+1)

> 0 und 0 :::; a

n

n-1 n+1

= -- =

2 1- -- < 1 n+1

fur aIle nE N ist streng monoton wachsend und beschrankt. Folglich ist das erste Glied der Folge die groBte untere Schranke und damit untere Grenze, d.h. k=a 1 =0. Weitere untere Schranken sind etwa k 1 = -1 oder k 2 = -10. Die obere Schranke K = 1 ist kein Glied der Folge. In Abschnitt 3.2 werden wir zeigen, daB K = 1 kleinste obere Schranke, d.h. obere Grenze von ist. Weitere obere Schranken sind etwa K 1 = 10 oder K 2 = 100.

monoton fallend

Wir vermuten, daB

a

ist. Zum Beweis zeigen wir, daB ~ ~ 1 ist. Wir an

erhalten, da an> 0 fiir aIle nE N ist, an + 1 n + 1 2n n + 1 - - = - _ . _ = - - : : : ; 1~n+1 :::;2n~n~ 1 an 2n+1 n 2n - , d.h. es ist an+1 ~ an fur aIle n ~ 1. Damit haben wir nachgewiesen, daB wegen a 1 = a2 = t die Folge monoton fallend und vom zweiten Glied ab streng monoton fallend ist. Hieraus und wegen an > 0 fur aIle nE N folgt weiter 0< an ~ a 1 =

t

fiir aIle nEN,

d.h. ist beschrankt, und a 1 ist obere Grenze. DaB k = 0 untere Grenze ist, konnen wir wieder erst in Abschnitt 3.2 zeigen. Beispiel 3.6

=

\(

~~t) =

-1,

+±, -i, + /6' ...

In dieser Folge wechselt von Glied zu Glied das Vorzeichen, also ist nicht monoton (vgl. Bild 3.3).

as

r

G1Jr j2

----i-I----~f

-1

---..:.-------.----t.~

o

Bild 3.3: Darstellung einer alternierenden Fo1ge auf der Zahlengerade

n

74

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Wegen

lanl =

I( ~;tl

= n~ ~ 1 fUr aIle nEN

ist diese Folge beschrankt.

>

Allgemein heiBt eine F olge
°

fur alle n EN (d.h. an und an + 1 habenverschiedenes

Beispiel 3.7

= <1 + (- 1)" >=

0, 2, 0, 2, ...

ist nicht monoton, nicht alternierend, aber beschrankt. Aufgaben 1. Bestimmen Sie die ersten 5 Glieder der Folgen (an>:

a) / _ n )

\2n+l

e)

3

b) /3n-2)

c) / ( - I t - )

\4n+3

\

5n-l

\(l-(-1)")(2+D) a=2,a f)

1

d)

n+ 1

=A+1

/~_ (-I t

\4

g)

1

+

)

4

a={ n:;

fur n ungerade

n

fur n gerade 2. Bestimmen Sie eine F olge (an>, deren erste Glieder angegeben sind:

c) 1,0,1,0, 1, ... e) -1, -3, -7, -15, -31, ...

f) 0,2; 0,22; 0,222; 0,2222; ...

3. Zwei Studenten erhielten die Aufgabe, das n-te Glied der Folge 1, 16,81,256, ... zu bestimmen und das 5. Glied zu berechnen. Der eine Student gab als Lasung an =n 4 , der andere an = 10n 3 -35n 2 +50n-24 an. Welcher Student bestimmte das richtige 5. Glied? *4. Untersuchen Sie die Folgen (an> mit

auf Monotonie und Beschdinktheit. Anleitung: Die Beschranktheit beweise man mit vollstandiger Induktion. 5. Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie:

6. Bestimmen Sie die Eigenschaften der F olgen (an>' Markieren Sie das Ergebnis durch ein * in der entsprechenden Spalte:

3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen

an

nach oben beschdinkt

nach unten beschrankt

(streng) monoton wachsend

(streng) monoton fallend

75

alternierend

I a) n

b) n 2 3n-1 c)-2n+1 n+1 d ) n2 2n e)n+1

(-It

f)n! (- 1t (- l)n + 1 g)--+-n n+l I h) a 2n - 1 = -; a 2n = 2 n i)

{at =1

an+l=~

7. Bestimmen Sie Folgen

a)

nach oben beschdinkt

nach unten beschrankt

(streng) monoton wachsend

*

* *

c)

*

*

d)

*

*

e)

*

*

f)

*

*

* *

g) h)

alternierend

*

*

b)

(streng) monoton fallend

* *

*

76

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

a)

G) \2 b)

n1 _1 )

c)

\2n:l-D

d)

G~~);)

9. Gegeben sind die Folgen K mit K = 10, 10 3 , 10 5 ; KEIR+? a)

<2n -

1)

b)


1)

c)

<3n + 1)

3.2 Konvergente Foigen 3.2.1 Grenzwert einer Folge An den Anfang der folgenden Uberlegungen stellen wir ein Beispiel. Beispiel 3.8

/n+l) =2'2'3'··· =\-n3 4

>

, etwa a lO = ~~ = 1,1,

a lOO = ~g~ = 1,01,

a lOOO = igg~ = 1,001,

so erkennen wir daraus, daB sich mit wachsendem n die Glieder dieser Folge dem Wert a= 1 nahern. Wenn wir n hinreichend groB wahlen, so konnen wir erreichen, daB das Glied an und alle folgenden Glieder der Folge«beliebig nahe» bei a = lliegen. Man sagt auch, daB sich die Glieder der Folge bei a = 1«haufen». Urn diesen Sachverhalt mathematisch zu beschreiben, betrachten wir z.B. die c-Umgebung V ell) mit c = 0,1. Wir konnen nun einen Index noE N so bestimmen, daB ana E Vo, 1 (1) ist. Dies ist der Fall, wenn

gilt, d.h. wenn no > 10 ist. Wahlen wir folglich etwa no = 11, so haben wir gezeigt, daB ana = all E V 0,1(1) ist. Da streng monoton fallend und durch 1 nach unten beschrankt ist, gilt auch an EV O,l(l) fiir alle n> no = 11. AuBerhalb von V o,l(l) liegen die endlich vielen Glieder a l , a 2, ... , alO, wahrend innerhalb dieser Umgebung alle anderen (unendlich vielen) Glieder all' a 12 ,· .. der Folge liegen (s. Bild 3.4). Wir konnen nun die c-Umbebung V ell) beliebig klein wahlen, dennoch werden nur endlich viele Glieder von auBerhalb von ViI), aber alle iibrigen Glieder in V/l) liegen.

anE V/l) ist aquivalent zu:

1an- 11 =

I

n:

1- 11 = ~ < S,

S

> o.

3.2 Konvergente Folgen

I

o

Bild 3.4: 8-Umgebung U e(1) zu

77

(~l!;a2 I~ :

:

I I

I

1- E'

1 + E'

2

n

I

In-l) \-n-

[!]

Da! < B¢:>n >! fiir aIle nE N ist, wahlen wir no = no(B) = + 1. 1 ) Damit ist anE Ue(l) fiir aIle n B B n ~ no. In diesem Fall sagt man auch, innerhalb von Ue(l) liegen aile his auf endlich viele oder kurz fast aile Glieder der Folge. Definition 3.5

aEIR heiBt Grenzwert der Folge 0« und »fast alle«durch»fiir alle n ~ no(B)«, so erhalten wir die aquivalente Definition 3.6

aE IR heiBt Grenzwert der F olge 0 eine natiirliche Zahl no = no(B) 2) so existiert, daB

Ian - a I < B

fiir alle n ~ no

ist.

Bemerkungen: 1. Der Grenzwert a der F olge
1) no = no(8) bedeutet, daB noE N von 8 abhangt. 2) no ist nicht eindeutig bestimmt. Mit no besitzt namlich auch jede Zahl n j mit n j > no die geforderte Eigenschaft.

78

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Beispiel 3.9

=\/2n-1) ~ =3'6'9'···· 1 3

5

n

Wegen a 100 = ~~~ und a 1000 = ~~~~ vermuten wir, daB a = ~ Grenzwert der Folge ist. Es sei e >

o.

Dann ist

lan-al=12n3:1_~I=I~nll=31n <e,

fallsn>;eiSt.

Wiihlen wir also no = no(e) > ;e' noEN, dann ist

anEU,@ d.h.lan-~I < e fUr alle n ~ no, und wir

haben gezeigt, daB a=~ Grenzwert dieser Folge ist. Versuchen wir diese Abschatzung mit dem Wert a =! (statt mit a =~), so erhalten wir mit e > 0

Wahlen wir nun z.B. e = 0,1, so gilt

~I = In ~21 < 0,1,

Ian -

falls 1 < n < 5 ist.

Daher liegen in U 0,1(1) nur die (endlich vielen) Glieder a 2 , a 3 , a 4 , wahrend auBerhalb dieser Umgebung fast alle Glieder dieser Folge liegen. Foiglich ist a = 1nicht Grenzwert von an).

<

Beispiel 3.10

=\~)=I'~'~"'" CE~ Wir wollen zeigen, daB a = 0 Grenzwert ist. Es sei e > o. Dann gilt

Ian - al =

I~

-

01 =

I~I < e,

falls n>

Icl W a..hl en W1r som1t no = no e > -, e 0

0

()

1:1 ist.

~I so 1st

noEI~,

0

lan-al=I~-ol<e fUrallen~no, doh. a=O ist Grenzwert dieser Folge. Beispiel 3.11


c, c, c, ... ,

CE [R

Jede stationare Folge
3.2 Konvergente Folgen

79

Beispiel 3.12 Die Folge = <1 +(-It> = 0, 2, 0, 2, ... besitzt keinen Grenzwert, da sowohl in Ue(O) als auch in Ue(2), < e < 1, unendlich viele Glieder von liegen.

°

Definition 3.7 Eine Folge , die einen Grenzwert a besitzt, heiBt konvergent (gegen den Grenzwert a). Man sagt auch, konvergiere gegen den Grenzwert a. . Schreibweise: lim an = a oder an -} a fiir n -} Cf) n---+ C1J

Sprechweise: Limes von an fiir n gegen Unendlich gleich a. Bisher ist die Frage noch nicht gekHirt, ob eine konvergente Folge mehr als einen Grenzwert besitzen kann. Es gilt Satz 3.1

Beweis: Wir beweisen diesen Satz indirekt. Gegenannahme: besitze die Grenzwerte a und

(

U (a)

a-r

[,

)

(

a mit a "# a. U (a)

l',

a a+r a-r a 1

Bild 3.5: Die c:-Umgebungen UI;(a) und UI;(ii) mit c: = ;Ia -

) a+r

al

Wahlen wir etwa e=j-Ia - ai, so ist Uia)n Via) = 0 (s. Bild 3.5). Nach Gegenannahme existiert ein no = no(s), noE N, so daB anE Uia) fur aIle n ~ no ist. Folglich konnen auBerhalb dieser Umgebung, und damit auch in Ve(a), nur endlich viele Glieder der Folge liegen. Dies widerspricht jedoch der Gegenannahme, daB a ebenfalls Grenzwert von ist. •

Bemerkung:

konvergiere gegen aE IR(. Dann gilt (s. Bemerkung 2 zu Definition 3.6) lim an = lim an+ k = a,

n---+ C1J

kEN.

n---+ C1J

In den Beispielen 3.9, 3.10 und 3.11 haben wir gezeigt, daB lim 2n-1 =~. 3n 3'

n---+C1J

ist.

.

C

hm n---+C1J

n

=

0, cEIR(;

lim n---+ C1J

C=C,CEIR(

80

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Definition 3.8

Eine F olge, die nicht konvergent ist, heiBt divergent. Existiert zujedem KErR ein no == no(K), noEN, so daB an > K ist, dann heiBt


ftir alle n ~ no

bestimmt divergent. Man sagt auch,

Grenzwert + 00.

Schreibweise: lim an == n-+ 00


besitze den uneigentlichen

+ 00

Bemerkung:

Entsprechend ist der uneigentliche Grenzwert lim an == -

00

definiert. Auch in diesem Fall heiBt

n-+ 00

die F olge
pEN.

Diese F olge ist bestimmt divergent. Es sei KErR, beliebig groB. Dann ist an == nP ~ n > K

ftir alle n > K.

Wahlen wir deshalb no == no(K) > K, noE N, dann gilt an == nP > K ftir alle n ~ no, d.h.

Definition 3.9

Eine Folge, die weder konvergent noch bestimmt divergent ist, heiBt unbestimmt divergent. Bemerkung:

Eine Folge 0 so existieren, daB sowohl in Ue(a) als auch in Uiii), U/a)n U/ii) == 0, unendlich viele Glieder der Folge liegen. Denn dann liegen weder in Ue(a) noch in Ue(ii) fast aIle Glieder der Folge. Sie kann auch nicht bestimmt divergent sein, da sie beschrankt ist. Beispiel 3.14 Wir betrachten die Folge

(an> (s. Bild 3.6).

=

(~+ ~(l-( -1)")) = 2,~, tt.·.

3.2 Konvergente Folgen

I

2

81

..n

Bild 3.6: Die Glieder von
Berechnen wir weitere Glieder der Folge, so konnen wir vermuten, daB ein eE(O, i) so existiert, daB sowohl in der e-Umgebung Ui1) als auch in der e-Umgebung U£(O), U£(O)n Ui1) ==O, unendlich viele Glieder von an> liegen. Fur e == 0.01 z.B. gilt,

<

wenn n ungerade: Ian - 11 wenn n gerade:

= I~ + 1 - 11 = ~ < e = 0,01 n > 100,

jan - 01 =

Wahlen wir also no

I~

-

~

01 = < e = 0,01 n > 100.

== no(e) > 100, noE N, so ist fur aIle n ~ no,

wenn n ungerade: Ian -11 < 0,01, d.h. anEU o,01(1) wenn n gerade:

Ian - 01 < 0,01, d.h. anEU o,01(0).

Damit haben wir gezeigt, daB sowohl in U 0,01(1) als auch in U 0,01(0), wobei U 0,01(1)n U 0,01(0) ==0 ist, unendlich viele (aber nicht fast aIle) Glieder der F olge liegen. an > besitzt also keinen Grenzwert, die F olge ist unbestimmt divergent.

<

Definition 3.10 Wenn lim an == n~oo

°

>

ist, dann heiBt
Folgender Satz zeigt einen Zusammenhang zwischen einer NuIlfolge und einer Folge mit dem Grenzwert a. Satz 3.2

Beweis: s. Aufgabe 14 Beispiel 3.15 Wir zeigen:

=

(:a),

IXEQ +

ist eine Nullfolge.

82

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Es sei E > O. Dann ist fur aIle n E f\j

1

(1)~ ist.

falls n > E' d.h. n > ~ a

Wahlen wir

dann gilt

I~" -01 <

E

fUr alle n

~ no·

D.h.

Wahlt man z.B. r:t==~, so erhalt man die Folge

mit dem Grenzwert lim _1_== O. n-?a)

P

Beispiel 3.16

,

q E [R

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens von durch:


fuhren wir eine Fallunterscheidung

a) Es sei q == 1 bzw. q == 0:

>

Dann ist
t, so erhalten wir die N ullfolge (;n ). Wir wollen zeigen, daB fUr aIle

angegebenen Werte q eine Nullfolge ist.

3.2 Konvergente Folgen Da

83

I~ I > 1 ist, existiert nach (1.26) eine reelle Zahl h > 0 so, daB I~ I = 1 + h ist. Mit Hilfe der

Bernoullischen Ungleichung (s. Beispiel 1.34) erhalten wir dann 1 WI == (1)n jqj == (1 + ht > 1 + nh > nh

Es sei e >

und daraus folgt

1 Iqnl < nh

o. Dann ist 1

Ian - 0 I == Iqn - 0 I == Iqn I < nh < e fUr aIle n ~ no, wenn wir no = no(s) >

s~' noEN, wahlen.

c) Es sei q > 1: Es existiert eine reelle Zahl h > 0 so, daB q == 1 + h ist. Dann gilt (wieder wegen der Bernoullischen Ungleichung) fur K E IR + an = qn = (1 + h)n > 1 + hn > hn > K, Wahlen wir also no = no(K) >

an == qn > K

falls n >

~ ist.

~, no EN, dann gilt

fur aIle n ~ no,

d.h. ist fur q> 1 bestimmt divergent. d) Es sei q ;£ - 1: 1st q == -1, so nehmen die Glieder der F olge abwechselnd den Wert unbestimmt divergent.

+ 1 und - 1 an, d.h. ist

Fur q < - 1, also Iq I > 1, wachst Ian I == Iqn I == Iq In uber jede Schranke, und ist alternierend. Foiglich ist in diesem Fall unbestimmt divergent. Wir fassen zusammen:

Fur q ~ - 1 ist unbestimmt divergent. Beispiel 3.17

== Wegen a lOO == 1,047... ,a lOOO == 1,006... ,konnen wir vermuten, daB der Grenzwert a== 1 ist. Dies wurden wir jedoch nicht annehmen, wenn wir nur die Anfangsglieder a l == 1, a 2 == 1,414... , a 3 == 1,442 ... betrachten. Fur aIle n ~ 3 gilt aber an + 1 < an"

84

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

1m folgenden sei n> 1. Wegen ~ > 1 existiert zu jedem n> 1 ein bn > 0 so, daB ~ == 1 + bn ist. Mit Hilfe des binomischen Satzes (Satz 1.5) erhalt man

(~t = n = (1 + bnt =

1+ (

~ ) bn+ ( ; ) b; + ... + ( : ) b: ~ 1 + ( ; ) b;

n::::::l+n(n-l)b2=b2::;;~=b::;; G 2 n n_n n--V~ Es sei e > O. Wahlen wir no = no(e) >

Ibnl =

I~ -

11 ;;;;

-Ii

c;~, noEN, so ist

< e flir aIle n

~ no·

Foiglich ist eine Nullfolge, und konvergiert nach Satz 3.2 gegen a== 1, d.h.

Eine wichtige Eigenschaft konvergenter Folgen liefert Satz 3.3

Beweis:

Die Folge konvergiere gegen den Grenzwert a. Wir wahlen eine beliebige c;-Umgebung Ue(a) von a, etwa mit c; == 1. Dann liegen auBerhalb von Ue(a) nur endlich viele Glieder der Folge. Bilden wir aus diesen Gliedern sowie aus den Werten a-c; und a+c; die Menge A, so ist A eine endliche Menge, und es gilt min A

~

an ~ max A

fiir aIle nEN,

<

d.h. an >ist beschrankt.

•

Bemerkungen:

1. Aus diesem Satz konnen wir folgern: Wenn die Folge nicht beschrankt ist, dann ist sie divergent, d.h. die Beschdinktheit ist eine notwendige Bedingung fiir die Konvergenz. 2. Die Beschranktheit ist aber keine hinreichende Bedingung fiir die Konvergenz einer Folge, wie Beispiel. 3.12 zeigt. Eine hinreichende Bedingung fiir die Existenz des Grenzwertes einer F olge werden wir in Abschnitt 3.3 kennenlernen.

3.2.2 Rechnen mit Grenzwerten Wir besitzen bisher kein Verfahren, mit dessen Hilfe wir auf einfache Weise den Grenzwert einer konvergenten Folge bestimmen konnen. Die Definition 3.6 eignet sich, wie wir schon

3.2 Konvergente Folgen

85

gesehen haben, zum Nachweis dafiir, ob ein Wert aE~, von dem man annimmt, daB die Folge gegen ihn konvergiert, auch tatsachlich Grenzwert dieser Folge ist. 1m folgenden werden wir erkennen, daB die Grenzwertbestimmung und die arithmetischen Grundoperationen unter gewissen Voraussetzungen in der Reihenfolge ihrer Anwendung vertauscht werden diirfen. Diese Eigenschaft konnen wir zur Bestimmung des Grenzwertes einer konvergenten Folge heranziehen. Das solI zunachst ohne Beweis demonstriert werden. Beispiel 3.18

/-n-1) =-5'-7'-9'···· 2

=\2n+3

3

4

Wir erhalten 1 -I--

1· - n - 1 1· n · I1m an == 1m - 2 1m --3-· n~oo n~oo n+ 3 == n~oo 2+n Setzen wir voraus, daB folgende Umformungen zulassig sind, so ist - 1 - ~ lim ( - 1 - ~ ) . n n~oo n hm - - - = = n~oo 2+-3 . ( 3 ) hm 2+n n~oo n

lim (- 1) - lim

==

n~oo

~

n~oon

n~oo

-1-0

1

2+0

2'

==---==--

. . 3 hm2+hmn~oon

wenn wir Beispiel 3.10 und Beispiel 3.11 beriicksichtigen. Es laBt sich nun leicht nachweisen, daB a == ist

-! der Grenzwert dieser Folge ist. Es sei

-n-1

I I 1 I 1 1 1 1 lan-al= 2n+3 -(_.!) = 2(2n+3) =2(2n+3)<2n+3<2n <;;<e, l

1.

wenn n > - 1St. e Wahlen wir also no == no(e) >

I~nn:; (-!)I -

~, no EN, dann gilt 1]

< e fUr aIle n

Damit haben wir bewiesen, daB a ==

~ no'

- ~

Grenzwert dieser Folge ist.

DaB obiges Vorgehen nicht immer zu einem richtigen Ergebnis fiihrt, zeigt das Beispiel 3.19

1]

> o. Dann

86

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Die Schreibweise lim an == lim


n-oo

n-oo

;;+1- n-oo lim fi ergibt keinen Sinn, da die Folgen <;;+1)

und den uneigentlichen Grenzwert + 00 besitzen und Dennoch ist diese Folge konvergent (s. Beispiel 3.20).

»00 - 00«

nicht definiert ist.

Die Regeln fur das Rechnen mit Grenzwerten enthaJt Satz 3.4 (Rechnen mit Grenzwerten)

Beweis: Wir wollen exemplarisch nur b) und c) beweisen. Die Beweise zu den ubrigen Regeln findet man z.B. in [1J. zu b)

n

<

Fur c == 0 ist der Beweis trivial (s. Beispiel 3.11). Es sei deshalb c -# 0 und 8 > O. Da an) konvergent ist, existiert ein no = no(6), noE N, so daB Ian Ic II an - a I == Ican - ca I< 8 fur alle n ~ no.

al <

fur aIle n ~ no ist. Foiglich gilt

c

zu c)


<

a) ist nach Satz 3.2 eine Nullfolge, bn ) als konvergente Folge beschrankt (s. Satz 3.3). Foiglich ist
n-oo

1) Die Aussage e) gilt auch, wenn rElR ist.

3.2 Konvergente Foigen

>

87

>

Damit ist die Foige ==
•

lim anb n == lim (anb n - ab n) + lim ab n == abo n-oo n-oo n-oo

Den Beweis der folgenden Regeln fur das Rechnen mit Grenzwerten stellen wir als Aufgabe. Ein Teil dieser Regeln konnen direkt aus Satz 3.4 gefolgert werden. Satz 3.5

Beispiel 3.20 4 5 -2+---2 · -2n +4n-5 I' n n a ) I1m 2 == 1m - - - n-oo 8n -3n+7 n-oo 3 7 8--+-2 2

n

n

, ( - 2) + hm , -4 - I'1m 25 I1m n-oo n-oo n n-oo n

-2+0-0 8-0+0

, 8- I'Im-+ I'1m 7 I1m n-oo n-oo n n-oo 2n

Hierbei haben wir (3.4) verwendet. Man beachte,' daB die Gleichheitszeichen nach Satz 3,4 nur wegen der Existenz der »EinzelGrenzwerte«gesetzt werden durften. Dies gilt auch fur die folgenden Beispiele

1 ==

+ 1) - n == l'1m 1 I' 0z == 1m ----:....-n~oo;;;+1+ 0z n~oo;;;+1 + 0z n~oo 1 + ~ + 1 · 11m

J

(n

lim _1_ n-oo

lim n-oo

1+-+1 n

hm n-oo

!)1/2 )1/2 +hm1 .

( lim n-oo n 1 1+-

. ( (R ) 0z

n

n-oo

0 ==

"1+1 == 0

88

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Beispiel 3.21


ooo

+ qn), qEIR

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens fuhren wir eine Fallunterscheidung durch. i) q = 1: Wegen an = n+ 1 ist dann die Folge bestimmt divergent (vgl. Beispie13.!3).

ii) Iq 1< 1: Nach (3.1) gilt n

1 - qn + 1

k

k~O q

=

1 qn + 1 1 - q = 1 - q- 1 - q

(3.6) 0

Mit Hilfe von (3.5) erhalten wir hieraus

· a = l'1m -1- - -1- l'1m qn + 1 = -1- - 0 = -111m n-oo n n-oo 1-q 1-qn-oo 1-q 1-q' iii) q = - 1: Wegen (3.6) ist = = 0,1,0, 1, .... Diese Folge ist (unbestimmt) divergent. iv) q < - 1: Die Folge ist unbeschrankt und folglich (unbestimmt) divergent. Wegen (3.6) ist damit auch an unbestimmt divergent.

<>

v) q> 1: Nach (3.5) ist dann die Folge
>

Fassen wir i)-v) zusammen, so gilt

Fur q ~ - 1 ist die Folge (unbestimmt) divergent. Satz 3.6

>.

3.2 Konvergente Folgen

89

Beweis: Wir beweisen diesen Satz indirekt. Gegenannahme: Es sei an ~ bn flir fast aIle nE N und a> b. Wahlen wir etwa e = -!I a -:- b I (siehe Bild 3.7), dann ist Ue(a)n Ue(b) = 0. Da die Umgebungen Ue(a) bzw. Ue(b) fast aIle Glieder von bzw. enthalten, ist an > bn flir fast aIle nE N. Dies widerspricht der Voraussetzung des Satzes. Somit ist unsere Gegenannahme falsch, und es gilt a ~ b. • ( b-E

U (b) £, ) b

U

~

(

h+£ a-E

(a)

)

a

a+E

Bemerkung:

<

Man beachte, daB man aus a. < b. nicht auf a < b schlieBen kann. Denn ist etwa a. >= ( und

~)

= \/~), dann gilt zwar an < bnftir aIle nEN, trotzdem ist lim an = lim bn = 0, d.h. a = b. n n-"'oo

n-"'oo

Satz 3.7

Beweis: Aufgabe 20 Beispiel 3.22 Es ist zu zeigen

Wir ftihren eine Fallunterscheidung durch. a) p= 1

Flir diesen Fall gilt ~ = 1 flir aBe nE N, d.h. <~ >ist eine stationare Folge mit dem Grenzwert 1. b) p> 1

Wegen ~ > 1 existiert zu jedem nEN ein bn > Bernoullischen Ungleichung (1.34) erhalten wir

°

so, daB ~ = bn + 1 ist. Mit Hilfe der

~ = b. + 1 =p = (1 + b.)· > 1 + nb.=b. = ~ -1 <

P:

I.

Hieraus folgt nach Satz 3.7 wegen 0 < b. < p -1 und lim p-l = 0 die Gleichung (3.8). n n-'" n 00

90

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

c) 0 < p < 1 Setzen wir q ==~, so ist q > 1. Folglich gilt nach b) und Satz 3.4: p

lim

n~oo

y!P= n~oo lim n!!= lim n~= 1. Vq n~oovq

Beispiel 3.23

= \ ~:),

q> 1,

Wir beweisen zuniichst, daB \

kEN

(3.9)

;n) eine Nullfolge ist. Da q > 1 ist, existiert eine reelle Zahl c > 0 so,

daB q == 1 + c ist. F olglich ist fur n ~ 2

Da fur aIle n ~ 2 die Ungleichung n - 1 ~ ~ erfUllt ist, folgt fUr n ~ 2:

Nach Satz 3.7 ergibt sich folglich

Beachten wir nun, daB ql l k == d > 1 fur q, k > 1 ist, so konnen wir den Grenzwert (3.10) verwenden und erhalten

k . n n == hm . [ (l/k)n n]k == hm . ( dn )k == (.hm dn )k == O. hm n n n~oo q n~oo q n~oo n~oo Somit gilt

e 0

-

92

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

(streng) monoton wachsend

(streng) monoton fallend

alternierend

konvergent gegen a=

bestimmt divergent gegen -00

+00

a)

*

b)

-1;0; l;a o

*

-1;0; l;a o

c)

*

d) e)

unbestimmt divergent

0 ao#-O

*

f)

* *

*

g)

*

9. Berechnen Sie mit Hilfe der Satze 3.4 und 3.5 folgende Grenzwerte (falls vorhanden):

2)

3)(3-+-2) +

2n + a) lim ( n-+oo 1- 3n

4n +b) lim ( n-+oo 5n - 1

2

n

1

3n 2 - 4n + 5 d) l i m - - - 3n+2 2 n2 3n ) e) lim ( - 2- - - - n-+oo 2n + 1 4n+ 1

2 - 3n)2 f) lim ( - n-+oo n+ 3

10. Priifen Sie auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte a) lim (1 + 1doo)"

b) lim (1- 10100)"

1 )1000 c) lim ( 1 +n-+oo n

1+2+···+n d) lim ------:;:::::;;======= 2 n-+oo (n + 10)Jn - n + 1

n-+ 00

11. Priifen Sie auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert

mit bi' CkElR fiir i = 1,2, ... , q; k = 1,2, ... , p und bq #- 0, cp #- O. Betrachten Sie dazu die Falle p < q, P = q, P > q. 12. Gegeben sind die Folgen (n-l)2) (an> = ( 2und (b n> = (l-n) -2n + 1 3n+ 1

>

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (c n mit

3.2 Konvergente Folgen

93

13. Gegeben sind die Folgen
\

1-n)

-2n + 1

,

/ p;;=l) ,

b)
Zeigen Sie: i) lim an = lim bn = a n ...... oo

n ...... co

ii) an ~ Cn ~ bn fur alle nE N Wie lautet folglich der Grenzwert von
..;;z) divergent ist.

16. Nehmen Sie zu folgender Aussage kritisch Stellung: Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder immer kleiner werden. 17. Beweisen Sie: Die Beschranktheit einer Folge ist nicht hinreichend fur ihre Konvergenz. 18. Beweisen Sie: 0 fur fast alle nEN ist, dann ist a ~ O. 19. Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 3.4 den Satz 3.5. 20. Beweisen Sie Satz 3.7. *21. Es sei kEN und PEQ\{O} mit

Ipi < 1. Zeigen Sie, es gilt

lim nk • pn=o. n ...... co

*22. Es sei k E(O, 1). Zeigen Sie: lim [(n + l)k - nk] = O. Anleitung: Klammern Sie n k aus und schatzen Sie den so entstehenden Ausdruck abo

3.3 Monotone ond beschrankte Folgen 3.3.1 Konvergenzkriterium monotoner Folgen

Die Bestimmung des Grenzwertes einer Folge kann erhebliche Schwierigkeiten hervorrufen. Gelingt es uns jedoch, die Konvergenz nachzuweisen, so konnen wir dies unter Benutzung der Satze 3.4 und 3.5 zur Berechnung des Grenzwertes verwenden. Das folgende Beispiel soIl das Vorgehen erHiutern. Beispiel 3.24

>

Wir betrachten die rekursiv definierte F olge
a 1 ==1,

an==~(an-l

+_2_), an -

1

n==2,3, ...

94

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Nehmen wir an, daB der Grenzwert a dieser Folge existiert, so ist nach Satz 3.4. 1 1 . 1 . 1· 2 a = hm an = 2" hm an - 1 + 2" hm - - , d.h. a = 2"a + a n~ n~ n~ an - 1 CX)

CX)

CX)

Aus dieser Gleichung erhalten wir a = a= +)2.

± J2. Da an > 0 fur alle

nE N

ist, ist der Grenzwert

Notwendige Voraussetzung flir dieses Vorgehen, den Grenzwert einer Folge zu bestimmen, ist die Konvergenz, da wir sonst nicht Satz 3.4 anwenden durfen. Andernfalls konnen wir ein falsches Resultat erhalten. Beispiel 3.25 Wir betrachten die geometrische Folge = , q > 1. Offensichtlich ist a 1 = q und an = q . an - l' n = 2, 3, ... Nehmen wir an, daB der Grenzwert a dieser Folge existiert, so ist nach Satz 3.4

a = lim an = q' lim an - 1 = q . a. n~CX)

n~CX)

Da nach Voraussetzung q> 1, ist, folgt a=O. Nach Beispiel 3.16 ist jedoch bestimmt divergent, so daB wir hier ein falsches Ergebnis erhalten haben. Der Grund hierflir ist darin zu sehen, daB wir, ohne die Konvergenz von nachgewiesen zu haben, Satz 3.4 angewendet haben. Wie wir gesehen haben (s. Bemerkungen zu Satz 3.3), ist die Beschranktheit einer Folge eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung fur die Existenz ihres Grenzwertes. Setzen wir jedoch neben der Beschranktheit auch die Monotonie von voraus, so ist dies hinreichend flir die Konvergenz der Folge. Satz 3.8

Beweis:

Wir fuhren den Beweis flir eine monoton wachsende Folge ' 1st monoton fallend, so verlauft der Beweis entsprechend. Da (nach oben) beschrankt ist, besitzt die Menge der Glieder von wegen der Vollstandigkeit von [R (s. Abschnitt 1.3.3) eine obere Grenze ii. Wir wollen zeigen, daB ii der Grenzwert der Folge ist. Zu jedem e > 0 existiert mindestens ein no = no(e), noE N, so daB ii - e < ano ~ ii ist. Andernfalls ware K = ii - e eine obere Schranke von und somit ii nicht kleinste obere Schranke, d.h. ii ware nicht die obere Grenze (s. Bild 3.8). a no an

J

a-r Bild 3.8:

anE Ue(a)

fur aile It ~ no

Lt--------+--)a a+r

3.3 Monotone und beschrankte Folgen Nach Voraussetzung ist monoton wachsend, d.h. es gilt ano

~

95

an flir alle n ~ no.

Da ii obere Grenze von
flir alle n ~ no.

Nach Definition 3.6 ist damit ii Grenzwert der Folge
•

Bermerkungen: 1. Eine beschrankte Folge, die erst ab einem gewissen Glied ak monoton ist, ist ebenfalls

konvergent. 2. Die Umkehrung dieses Satzes ist natlirlich nicht richtig. Eine konvergente F olge ist zwar beschrankt, aber nicht notwendig monoton, wie die Folge = (( -lt~) zeigt. ist namlich konvergent (gegen den Grenzwert a = 0), aber alternierend, also nicht monoton. 3. Dem Beweis konnen wir folgende Aussage entnehmen: Wenn die Folge
= ( X

:;)

xn-

1

ist fUr aIle X

Es ist an = - - - - = - an- 1• n(n-l)! n

XE

~ + konvergent.

Flir aIle n > x gilt dann

an x - - = - < 1 oder an < an - 1 an -

1

n

d.h. die Folge 0 (flir aIle nE N) nach unten beschrankl. Folglich existiert nach Satz 3.8 ihr Grenzwert a, und wir erhalten mit Hilfe von Satz 3.4 a= lim an = lim n--+oo

n--+oo

~an-l =(lim ~)(lim ann n n--+oo

1

)=O·a=O.

n--+oo

Das heiBt: n! wachst flir n~ oo»schneller«als x n , xEIR+ und zwar so schnell, daB sogar der xn Quotient - ~ 0 strebl. n!

96

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Beispiel 3.27



_.!(

an -

2

an -

1

J-;::; fiir aIle r, sE[R + (vgl. (1.27)) gilt

+ - p »~-J== an - 1 - - P> a an -

fiir aIle n ~ 2, d.h. ii)

n==2,3, ...

an -

1

1



_.!(

Aus an+1 - an -

2

an + ~)- an -_.!(~2 an an an

).f Itg wegen an2>== P bzw. ~< == an r··ur a II e n >2 == an 10

d.h.
+ Jp oder a == -

Mit Hilfe dieser Folge konnen wir wahlen.

(a

n- 1

+~) == i(a + E) an a 1

Jp. Wegen an ~ p fiir aIle n EN, folgt dann lim an == Jp. n--'

00

Jp beliebig genau berechnen, wenn wir nur n hinreichend groB

3.3.2 Die Eulersche Zahl e 1m folgenden werden wir eine Zahl kennenlernen, die sowohl in der Mathematik als auch in der Physik und der Technik eine wichtige Rolle spielt. Diese reelle Zahl werden wir mit Hilfe einer speziellen konvergenten F olge definieren. Dazu betrachten wir zunachst folgendes Beispiel: Beispiel 3.29 Ein Kapital k, das wir zu einem ZinsfuB von P auf Zinzeszins anlegen, wachst nach Ablauf eines Jahres bei jahrlicher Verzinsung auf das Endkapital

bei monatlicher Verzinsung auf K 12 == k

(1 + __p_) 12 ·100

12,

3.3 Monotone und beschrankte Folgen

97

365

bei taglicher Verzinsung auf K 365 = k ( 1 + 36/100

)

.

SolI nun die Verzinsung jeden Augenblick erfolgen, so miissen wir den n-ten Teil eines Jahres beliebig klein, d.h. die Anzahl n dieser Teile beliebig· groB machen. Bei »kontinuierlicher« Verzinsung bei einem ZinsfuB von p erhalten wir somit am Ende eines Jahres das Endkapital K

fiir k

==

.

(

p)n

!~~ k 1 + n .100 '

1 und p == 100

==

K== lim (1 + !)n, n

(3.13)

n~co

wenn diese Grenzwerte existieren. Mit Hilfe von Satz 3.8 wollen wir nachweisen, daB die Folge (3.14) konvergiert.

an>

i) < ist monoton wachsend: Es gilt, da > a fiir alle n EN ist:

an an _( l)n( 1 )-
2

1

d.h.

an

- - == ==

an -

1

( 1 2nl)n -n -n-1 -

r··ur n ~ 2.

Wenden wir hierauf die Bernoullische Ungleichung (s. (1.34)) an, so ist

~==(l_~)n_n ~(l-n \)_n ==(l_!)_n ==1,

ann n- 1 d.h. an an - fiir alle n 2, ii) ist beschrankt:

n n- 1

1

~

~

1

n n- 1

nE N.

Wenden wir den binomischen Satz(s. Satz 1.5) an, so erhalten wir

==

n(n- n(n- 1) (n - 2) + ... +-1 2·n·n 2·3·n·n·n nn

1) 1 + 1 +--+

98

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Da n(n-1)(n-2)···(n-k)
n(n - 1) ... (n - k) k+l < 1 fur alle n, kEN mit n

1 ~ k < n ist, erhalten wir

1 1 1 an < 1 + 1 + 2! + 3! + ... + n!· Aus 2n -

1

~

n!, nEN, (vgl. (1.35)) und (3.1) folgt weiter

a < 1 + 1 + (1) + (1)2 2

n

2

1-(1)" 1 - (t)

+ (1)3 + ... + (1)n - 1 == 1 + __2_ 2

2

d.h. es ist

an < 1 + 2 - 2(!t < 3 fur aIle nEN. Aus i) und ii) folgt mit Satz 3.8 die Konvergenz der Folge (3.14). Nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783) bezeichnet man den Grenzwert dieser F olge mit e, d.h.

Fur n == 1,2,3,4,5, 10, 100, 1000, 10000 erhalt man aus (3.14) a1

== 2

== 2,593742 ==2,704813 a lOOO == 2,716923 a10000 == 2,718145 a lO

a2 == 2,25 a 3 == 2,370370 a4 == 2,441406 ... as == 2,488320

a 100

. . . .

Die Zahl e lautet auf 15 Stellen genau: e == 2,718281828459045 ...

(3.16)

Wie man zeigen kann, ist e eine nichtrationale Zahl, d.h. ectQ. Den Beweis hierfur findet man z.B. in [2J.

Aufgaben 1. Gegeben ist die rekursiv definierte Foige
b) a 1 = 1, an + 1 c) a 1 =

i, a + n

1

=A, = J an + L =

a; + i,

n = 1,2,3,

>. Zeigen Sie, daB monoton und beschrankt, also konvergent

.

n= 1,2,3, . .

n = 1,2,3,

2. Beweisen Sie: Eine monoton wachsende (fallende) Foige ist entweder nach oben (unten) unbeschrankt oder konvergent.

3.3 Monotone und beschrankte Folgen

99

3. Gegeben sind die Folgen und . sei monoton wachsend, monoton fallend, und es gelte a n ;£ bn fur fast aIle nE N. Zeigen Sie: a) Es existieren die Grenzwerte lim an = a

und

lim bn = b


bn> eine Nullfolge, so ist a = b.

b) Bildet zusatzlich

*4. Berechnen Sie mit Hilfe des Grenzwertes lim (1 + ~)n 1)3n-l 1 )n+ a) lim ( 1+b) lim (1+n n-+co

=

e folgende Grenzwerte:

n

1

n ...... co

n

c) lim

n+ (n-2

n ...... co

n-+co

2)n

1 d) lim ( 1+n ...... co 3n

)2n

n~3

3.4 Die e- und die In-Funktion 1m folgenden fuhren wir zwei fur die Naturwissenschaften und die Technik auBerst wichtige Funktionen ein. Dazu zunachst folgendes Beispiel. Beispiel 3.29

Es sei

= ( (

1+ 2~3)")

(3.17)

Setzt man -2/3 = -1 aIso n = -2 m, so er hool a t man wegen m ~ 00 fOOur n ~ 00: n m 3 0

lim

n~CfJ

2/3)n ( 1 + -n =

lim

m~CfJ

(1 + - )2m/3 = ( 1

m

lim

m~CfJ

DaB dies tatsachlich der Grenzwert der Folge Formalismus nachweisen.

1

( 1 + - )m)2/3 = e m



2 3 /

ist, kann man mit Hilfe des (c:, no)-

1m folgenden wird gezeigt, daB die Folge

sogar fur jedes XE!R konvergiert, also durch sie eine auf ganz !R definierte Funktion festgelegt ist. Fur hinreichend groBes nEN, z.Bo fur n ~ lxi, besitzt nur positive Glieder und ist monoton wachsend (Beweis als Ubungsaufgabe). Wir zeigen, daB < an > beschrankt ist. a) Es sei x ~ 0, reell: Dann folgt fUr n >

Ixl = - x die Ungleichung 0 < 1 + ~ ~ 1 und damit 0 < ( 1 + ~)" = an ~ 1,

100

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

<

<

d.h. an >ist nach oben beschrankt. N ach Satz 3.8 konvergiert an> folglich fiir einen positiyen Grenzwert. b) Es sei X > 0, reell:

X ~

°

gegen

Nach a) besitzt die Folge

den Grenzwert b > 0, und es gilt:

- ::) )n <

0< an' bn= ( 1- ::)n = ( 1 + (

1 fur alle n > x.

Wendet man auf diese Ungleichung die Bernoullische Ungleichung (siehe (1.34)) an, so folgt x2 1 - - < an' bn < 1 fiir alle n> X n

und mit Hilfe von Satz 3.7 lim an' bn = 1. n-+ 00 SchlieBlich erhaJt man nach Satz 3.4 wegen bn >

. a nhm -+ 00

n

°

fiir alle n > x:

. an .bn !~n;, (an' bn) 1 = hm -b-= I' b =-1· b =-b n-+ 00

n

1m n

(3.18)

1m n

n-+oo

n-+oo

Also besitzt auch in diesem Fall einen positiven Grenzwert. Damit ist gezeigt, daB fiir jedes X E ~ gegen einepositive reelle Zahl konvergiert. Man vereinbart: Definition 3.11

Es sei e die Eulersche Zahl und Dann heiBt

XE~.

f:

x~ f(x) = n-+lim

00

(1 + ~)n n

die Exponentialfunktion zur Basis e oder kurz e-Funktion. Schreibweise:

lim n-+ 00

(1 + ~)n n

= eX

(3.19)

3.4 Die e- und die In-Funktion

101

Mit Hilfe von (3.19) erhalt man z.B. fur x = - 2,5 und n = 1000 den Wert e- 2 ,5 = 0,081828 ... Auf 5 SteBen genau ist e - 2,5 = 0,08208. Bemerkungen:

1. Offensichtlich gilt eO = 1 und e 1 = e. 2. Bisher sind nur Potenzen der Form aq fur aE[R+ und qEQ vereinbart. DaB eX mit xE[R tatsachlich als eine Potenz mit reellem Exponenten angesehen werden· kann, macht der nachfolgende Satz deutlich. Satz 3.9

Bemerkung:

Besonders die Eigenschaften a) und b) machen deutlich, weshalb man die e-Funktion als Exponentialfunktion bezeichnet. Fur sie gelten offensichtlich die gleichen Gesetze wie wir sie von der Potenzrechnungher kennen. Der Unterschied bestehtjedoch darin, daB nun die unabhangige Veranderliche als Potenz und nicht, wie bei den Potenzfunktionen, als Basis auftritt. Beweis:

Wir beweisen den Satz nur teilweise. Aus (3.18) folgt sofort die Eigenschaft eX = a) Fur Xl . X 2 =

°

e

~xfiir alle xEIR.

° ((1 + :1). (1 + ~))n

ist die Behauptung trivial. Fur aIle Xl' X 2E [R mit Xl' X 2 > erhalten wir einerseits:

(1 + xl)n . (1 + x2)n . (1 +---+-2xl·x2)n>

eX1 • eX2 = lim

n~oo

=hm

lim

n

n

n~oo

X l +X 2

n

n~oo

n

= lim

n~oo

1" (1+Xl+X2)n=eXl+x2 = 1m n ' n~oo

andererseits: 1

1

_---.

---:-_ <

+ X2 X2)n = l' (1 I" (1 ----+-21m

n~oo

Xl

Xl'

n

n

1m

n~oo

1

=

+X2)n --Xl

n

eX1

+

X2 .

102

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Fur alle Xl' X2E~ gilt daher: eX1 + X2 ~ eXl. eX2 ~ eXl + X\ womit die Behauptung fur Xl' x 2 > 0 bewiesen isl. Fur Xl . X 2 < 0 erfolgt der Beweis ahnlich. c) Fur X = 0 gilt die Gleichheil. Fur alle XE~\ {O} folgtmit der Bernoullischen Ungleichung(1.34): eX

= lim (1 n-Hf)

-+:-

~)n ~ lim (1 + x) = 1 + x. n

Ebenso erhalten wir fur alle x < 1 und

X

#- 0:

n-HX)

X 1 1 1 F" 0'1 d' Gl ' hh . (1 ~ r ( 1 _ ) = y-=-' ur X = gl t Ie elc ell. e = -=x = e lim 1 _ ~ n~~ X X n e) Es sei Xl < X 2 , dann gibt es ein h > 0, so daB X 2 = Xl + h isl. Damit erhalten Wlr: ex2 = ex l +h = exl . eh > eXl, da eh > 1 wegen c) ist. •

)n

n-Hf)

Die Bedeutung dieser fur die Hahere Mathematik uberaus wichtigen Funktion wird erst in der Differential- und Integralrechnung hinreichend deutlich. Bild 3.9 zeigt den Graphen der e-Funktion.

1

Y=l-x 2 Bild 3.9: Graph von e:

x

X 1---+ eX

Y

x

3.4 Die e- und die In-Funktion

103

Aus dem Graphen der e-Funktion HiBt sich aufgrund von Symmetrie-Eigenschaften der Graph der Funktionen fl:x~-ex,f2:x~e-x

und

f3:x~-e-x

konstruieren (siehe Bild 3.10). Die e-Funktion ist auf [R streng monoton wachsend und besitzt die Wertemenge [R+. Foiglich existiert ihre U mkehrfunktion. Definition 3.12 Die Umkehrfunktion der e-Funktion heiBt natiirliche Logarithmus-Funktion. Schreibweise: In: x~ln x mit xE[R+ Bemerkungen:

1. Als Umkehrfunktion der e-Funktion besitzt die In-Funktion den Definitionsbereich DIn = [R+ und den Wertebereich erkHirt.

WIn

= IR. Diese Funktion ist also nur fur positive Argumente

2. Aus (2.1) und (2.2) folgt: In eX = x fur aIle x E[R, eln X = x fur alle x EIR +,

(3.20) (3.21)

Wegen eO= 1 und e 1 =e erhalt man aus (3.20) die speziellen Funktionswerte In 1 = 0

und

(3.22)

In e = 1.

Bild 3.11 zeigt den Graphen der In-Funktion. Der folgende Satz faBt die Eigenschaften der In-Funktion zusarnmen.

y

y=x-l

Bild 3.11: Graph von

In:x~ln x

104

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Satz 3.10

Beweis: Zu a) und b) Es seien u, VE~. Setzt man eU == Xl und eV == X 2 , SO ist Xl' X2E~+, und man erhalt wegen In Xl == In eU == u und In X 2 == In eV == v mit Hilfe von Satz 3.9 flir Xl' X 2 , rE~+ In (Xl· X 2 ) == In (e u • eV ) == In eU + v == u + v == In Xl + In X 2 •

(3.23)

Setzt man in In (u· v) == In u + In v (vgl. (3.23) flir u == X 2 und v == Xl, so foIgt X2

In (u . v) == In X I == In X 2

+ In

Xl

Xl

-¢>

X2

In - == In Xl X2

-

(3.24)

In X 2.

Mit (3.23) und (3.24) sind a) und b) bewiesen. Zu c) Nach Satz 3.9 ist eX ~ 1 + X flir aIle x

e

-

1

~

XE~.

Ersetzt man hier

X

durch x-I, so foIgt

1 + X -1 == X

und flir aIle XE~+ wegen der Monotonie der In-Funktion In eX - 1 == x-I Flir

~

In x.

!E ~ + Iiefert diese U ngleichung X 1 1 1 - - 1 2 In - == - In X ¢> In X 2 1 - -. X

Damit ist 1

-

X

-

X

_!X-~ In -~ x-I flir aIle ~ X

XE

+

bewiesen.

Zu e) Flir XE~ und rE~+ foIgt mit (3.20) und (3.21) In x r == In (e 1n xy == In erolnx == r ·In X

(3.25)

3.4 Die e- und die In-Funktion

105

Wie die folgenden Beispiele zeigen, kann man eine Reihe von physikalischen Vorgangen mit Hilfe einer Exponentialfunktion der Form f:x~f(x)=a·e-bx

mit

xE[R6,

a,bE[R+

beschreiben. Beispiel 3.30 a) Gesetz des radioaktiven Zerfalls: Fur den Zerfall radioaktiver Substanzen gilt, daB zu jedem Zeitpunkt t> 0 die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome proportional der jeweils noch vorhandenen Anzahl ist. Dies fUhrt auf das Zerfallsgesetz (s. Bild 3.12)

n = n(t) = no· e- At

mit

tE~6 und AE~+.

Hierbei bedeutet n die Anzahl der in der Zeit t vorhandenen radioaktiven Atome, no die Anzahl der radioaktiven Atome zur Zeit t = 0 und A die Zerfallskonstante. Die Halbwertszeit tH , nach der die Anzahl der zur Zeit t = 0 vorhandenen radioaktiven Atome auf die Halfte abgenommen hat, n

betragt wegen 20 = noe - At

H

In 2 tH=T· Unter der mittleren Lebensdauer tm versteht man die Zeit, in der die Anzahl der radioaktiven Atome auf no abnimmt. Sie ist gegeben durch e

Dajedes radioaktive Element eine charakteristische Zerfallskonstante bzw. Halbwertszeit besitzt, kann man durch geeignete Messung dieser GroBen ein radioaktives Element identifizieren. b) Der atmospharische Druck: Unter der Voraussetzung, daB die Temperatur konstant ist, erhalt man den Druck in der Atmosphare in Abhangigkeit von der Hohe h durch p(h) = Po . e -(pojpo)gh

(s. Bild 3.13) p

n

h

IN

Bild 3.12: Radioaktiver Zerfall

Bild 3.13: Atmospharischer Druck

106

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

Hierbei ist Po > 0 der Druck und Po > 0 die Luftdichte am Erdboden (h = 0), g die Erdbeschleunigung. Ftir p = 1Po erhalt man die Halbwertshohe (bei entsprechender Wahl der Dimensionen) hH

=

7,99km 'In2 ~ 5,54km,

d.h. beim Anstieg urn 5,54 km nimmt jeweils der Druck auf die Halfte ab, falls die Temperatur konstant ist. c) Schallabsorption: Breitet sich eine ebene Welle in einem homogenen Medium aus, so nimmt ihre Intensitat I mit der Entfernung x nach dem Gesetz lex) = loe-PX,

f3ErR+

abo Hierbei gibt lo die Intensitat am Ort x = 0 an. f3 ist der sogenannte Absorptionskoeffizient des Mediums, d.h. ein MaB fiir die auf dem Weg der Lange 1 vom Medium absorbierten Energie. d) Aufladung eines ungeladenen Kondensators: Beim Aufladen eines Kondensators (Kapazitat C) tiber einen Ohmschen WiderstandR mit Hilfe der Gleichspannung U (s. Bild 3.14) andert sich die Spannung Uc am Kondensator nach uc(t)

=

V(l - e -tiL).

Wahrend dieses Vorgangs flieBt der Strom V

i(t) = - e -tiL R

(s. Bild 3.15). T =

C . R bezeichnet man als Zeitkonstante. u u+----~----=;;;;;;;;;;;;;;;---------

u R

T

Bild 3.14: Aufladung eines Kondensators

Bild 3.15: Strom- und Spannungsverlauf beim Aufladen eines Kondensators

Aufgaben 1. We1ehe der beiden Zahien a und b ist groBer? a) a = 0,3°,2, b = 0,2°,3

b) a = 1,4 -0,7, b = 0,7- 1 ,4

2. Beweisen Sie foigende U ngIeiehungen: x

a) --1 ~ In (x + 1) ~ x

X+

fur

XE( -1,

(0)

b) In ~ ~!x -1

fur

xE(1, (0)

3.4 Die e- und die In-Funktion

107

3. Gegeben sind die Naherungswerte In 2 = 0,6931 und In 3 = 1,0986. Berechnen Sie aus diesen Werten: In4,

In 27,

In6,

InV!6,

In Ibs

4. Skizzieren Sie die BiIdkurvenJoIgender Funktionen J: a) f(x) = In Ixl

b) J(x) = IIn(x+ 1)1

x~ J(x):

x+1 c) J(x) = I n x

5. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen f:

x~ f(x):

c) J(x) = e1x -

a) J(x)=te-O,75x

1j

6. Lasen Sie folgende Gleichungen:

ex / 4 ex / 4

b)

-

e -x/4

1

+ e- x / 4 - 2

7. Zeigen Sie, daB folgende Funktionen f: x~ J(x) umkehrbar sind. Geben Sie J- 1 und Df-l an. *a) J(x) = e2i~ c) f(x) = eX - e- X

b) f(x) = - 3 + In(x -2) d) f(x)=arcsin~

8. Beweisen Sie folgende Ungleichung:

x::;e x -

1

1 -2-x

::;--

fiir

x<2

9. Bei einem Einschaltvorgang in einem Gleichstromkreis mit dem Ohmschen Widerstand R, der Selbstinduktion Lund der angeIegten Spannung U andert sich die StromsHirke mit der Zeit t nach dem Gesetz

U i = i(t) = R (1 -

e-(R/L)t),

tE[O, (0)

1 U Nach welcher Zeit betragt die Stromstarke - . -? 2 R

4

Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

4.1 Grenzwert von f ffir x ~

00

1m vorhergehenden Abschnitt haben wir das Konvergenzverhalten von Folgen untersucht. Wir wollen nun, ebenfalls mit Hilfe des Umgebungsbegriffes, den Grenzwert einer Funktion f: x~ f(x) einfiihren, wenn x iiber alle Grenzen wachst. Zunachst betrachten wir ein Beispiel. Beispiel 4.1 Es sei f:x~ f(x)

x+l

=--mitxE~+

x

y

x x+l Bild 4.1: Graph von f: X H - x

Bild 4.1 zeigt, daB sich der Graph von f mit wachsendem x der Geraden y == g == 1 nahert. Tatsachlich k6nnen wir den Abstand der Funktionswerte f(x) zum Wert g == 1, d.h. If(x) - gl, beliebig klein machen, wenn wir nur x hinreichend graB, d.h. groBer als ein M E~, wahlen. So ist z.B. If(x) -

x + 1 -1 I ==~ 1 < 10- 4 fur aIle x> M == 104 . gl == -x-

I

Allgemein ist fiir jedes e> 0 If(x) -

1

11 == - < e x

fur alle x > M(e)

1

==-.

e

Mit Hilfe des Umgebungsbegriffes k6nnen wir nun das Verhalten von wachsendes x folgendermaBen beschreiben:

f fur unbeschrankt

Zu jeder Umgebung Ve(l) existiert ein M(e)E~+ so, daB f(X)E Ve(I), d.h. If(x) - 11 < e ftir aIle x> Mist. Diesen Sachverhalt driickt man wie bei Folgen dadurch aus, daB man sagt, f konvergiere flir x ~ 00 gegen den Grenzwert 1. Allgemein definiert man

4.1 Grenzwert von f fur x ~ 00

109

Definition 4.1

f sei auf [a, (0), aEIR, definiert. Man sagt, f besitze fur x~ 00 den Grenzwert gEIR oder f konvergiere fur x ~ 00 (gegen den Grenzwert g), wenn zu jedem £ > 0 ein M == M(£)E IR so existiert, daB If(x) -

gl < £ fur alle x> M(£)

1

ist. ) Schreibweise: lim f(x) == g oder f(x) ~ g fur x ~ 00

(4.1)

Bemerkungen: 1. Es gilt If(x)-gl<£<;=;>g-£ M, M hangt von £ ab, in dem £-Streifen Se der Breite 2£ und der Mittellinie y == g liegen. Dabei ist es unwesentlich, ob auch Punkte P(x, f(x)) mit x ~ M in Se liegen (vgl. Bild 4.2).

M(t)

x

x

Bild 4.2: Fur aIle x > M(e) gilt P(X,f(X))ES e

2. Der Grenzwert g von f fur x ~ 00 andert sich nicht, wenn fin einem beschrankten Teilintervall des Definitionsbereiches Df willkurlich abgeandert wird. 3. Wir konnen nun auch den Fall betrachten, daB x kleiner als jede vorgegebene Zahl wird. Man schreibt dann lim f(x) == g, wenn dieser Grenzwert existiert. x~

-

00

4. Die Gerade mit der Gleichung y == g heiBt Asymptote des Graphen von f. Beispiel 4.2 Wir zeigen

1) M hangt von der beliebig vorgegebenen Zahl e > 0 ab (man schreibt deswegen M = M(e)), ist jedoch nicht eindeutig bestimmt. Mit M besitzt namlich auch jede Zahl M 1 mit M 1 > M die geforderte Eigenschaft. 2) Fur x --» + 00 oder x --» - 00 schreibt man x --» ± 00.

110

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Es sei B > O. Dann ist

=~lxl >~ x Ixl I ~-Ol

(4.3)

B

a) x--+ 00

Fiir x> 0 ist Ixl = x >~. Wahlen wir folglich M = M(e) B

-

I~ 01 < e

=~, so gilt B

(4.4)

fiir aIle x> M(e).

b) x--+-oo Wir miissen zeigen, daB zu jedem B> 0 ein m =

m(B)E~

so existiert, daB

If(x) - g I < B fiir alle x < m(B) ist.

·· O·1st Ix I =-x>-¢>x<--. Ia I Ia I W··a hIenWlrasom=mB . I ( ) =--,SOglt Ia I ·1 F urx< B

-

I~ 01 < e

B

B

(4.5)

fiir aIle x < m(e).

Aus (4.4) und (4.5) folgt die Behauptung (4.2). Beispiel 4.3 Es sei f:

2x-l X 1---+--

3x+6

Skizzieren wir den Graphen von f, so konnen wir vermuten, daB f(x) --+~ fiir x --+ Bild 4.3). I

I

± 00

ist (vgl.

y

I

I I I

I I I

:

1

------------1-----2

Bild4.3: Graph

x

2x-l

vonf:x~-­

3x+6

Es sei B > O. Dann ist

(4.6)

4.1 Grenzwert von f flir x ~ a)

x~

Flir

CD

111

00

-2<x<00, d.h. flir

5

5

3e

3e

x+2>0, ist -x>--2. Wahlen WIr

2x 1 21 2x --1 =2 M = M(e) = -5 - 2, so gilt - -- - < e flir aIle x > M(e), d.h. lim 3e 3x+6 3 x~oo3x+6 3 1

b)

x~-CD

Wir mlissen zeigen, daB zu jedem e> 0 ein m = m(e)ElR so existiert, daB If(x) - ~I < e

flir aIle x < m(e) ist.

5

5

Flir - 00 < x < - 2, d.h. flir x + 2 < 0, folgt aus (4.6) - < Ix + 21 = - (x + 2)-¢:>x < - - - 2. 3e 3e Wahlen wir also m = m(e) = -

Damit ist lim

x~-oo

~ 3e

2x-1

2

3x + 6

3

2, so ist

~I

2x 1

- 1< e flir aIle x < m(e). 3x + 6 3 (4.7)

Beispiel 4.4 Es sei

sinx

f:x~-­

x

Bild 4.4 zeigt den Graphen dieser Funktion. I' . X J 1·

1----+

1.-

I' . X J2 ·

1----+

_1.-

X

x

x

SIn x Bild 4.4: Graph cler Funktion f: x~-­ x

Wir zeigen, daB f(x)

~0

flir x ~

± CD

ist.

Es sei e > 0 und x > O. Dann gilt wegen Isin x I ~ 1 flir aIle x ElR +

I I I

sinx 0 = -sin x If(x)-Ol= x x

I

Isin x I

1

1

Ixl

Ixl

x

=--~-=-<e,

1 faIlsx>-. e

1 so ist Isinx - 0 I < e flir aIle x > M(e), d.h. lim sinx= 0 Wahlen wir M = M(e) = -, E

X

x~oo

X

112

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Fur alle xED f = ~\ {O} gilt f( - x) =

sin( - x) sin x == f(x), d.h. fist eine gerade Funktion. (-x) x

sinx Damit folgt lim - - = O. x- -

00

x

Entsprechend zu Satz 3.1 gilt Satz 4.1

Beweis s. Aufgabe 6.

Fur das Rechnen mit Grenzwerten gelten folgende Regeln, die wir ohne Beweis angeben (vgl. Satz 3.4). Satz 4.2 (Rechnen mit Grenzwerten)

Bemerkungen:

1. Sind fl und f2 auf (- oo,a] definiert und existieren die Grenzwerte lim fl(X)=gl und x-

lim f2(X) = g2' so gilt dieser Satz entsprechend fur x ~ -

1) Diese Regel gilt auch fur rE fR.

00.

00

4.1 Grenzwert von f fiir x ~

00

113

2. In c) haben wir zusatzlich lim f2(X) = g2 i= 0 vorausgesetzt. Deshalb ist f2(X) i= 0 fiir alle x

> M l' M 1 hinreichend gro~~';wahlt, also der Ausdruck 11 (x) fUr diese x definiert. f2(X)

Beispiel 4.5 Es sei 3

f:x~

2)2

2

2X - 3x + -3--( - -3x +1

± 00 wenden wir nun Satz 4.2 an, nachdem wir f(x)

Zur Konvergenzuntersuchung von f fiir x ~ geeignet umgeformt haben.

lim f(x) = lim ( x~oo

2X

3

x~oo

3x

-

3x

3

2

+

+1

lim

2)2 = lim

x~oo

(2-~+ X

x-+oo

lim

x~oo

lim 2 - lim x~oo

x~oo

~ + lim

x~oo

X

lim 3 + lim

x~oo

x~oo

32

2 X

lim 2-3( lim x~oo

x~oo

~)

Beachten wir nun (4.2), so erhalten wir lim ( x~oo

2X

3

-

3x

2

+ +1

3x

3

Die gleiche Rechnung zeigt, daB auch f(x) ~~ fiir x ~ -

x~oo

2

x

x~oo

lim 3 + ( lim

x~oo

X

)

(3 +~)

~) + 2( lim X

2

x3

!)3 2 x

!)3 X

2)2 = (2 -0+ 0)2 =-4

00

3+0

9

gilt.

Definition 4.2

f sei auf [G, (0) definiert. Man sagt, f besitze fiir x ~ 00 den uneigentlichen Grenzwert 00 oder f sei fiir x~oo bestimmt divergent gegen 00, wenn zujedem KE~ ein M=M(K)E~ so existiert, daB

f(x) > K lim f(x) =

Schreibweise:

00

fiir aIle x> Mist. oder f(x) ~ 00

fiir x ~

00

x~oo

Bemerkung: SinngemaB sind die Schreibweisen lim f(x) = -

00,

lim f(x) = x-+ -

x~oo

00

00,

lim f(x) = x~

-

00

00

zu interpretieren (s. Aufgabe 7). Auch in diesen Fallen heiBt f bestimmt divergent. Beispiel 4.6 Es sei f:

~ f(x)

= eX.

114

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Wir zeigen a) lim f(x) ==

00;

lim f(x) == o.

b)

X~oo

Zu a) Ftir aIle

X~-oo

XE lR

ist f(x) == eX ~ x

+ 1 > x (siehe Satz 3.9).

Wahlen wir M == KElR, so ist f(x) > x> K ftir aIle x > M, d.h. lim eX ==

00.

x~oo

Zu b) Es sei e > 0 und x < 1. Dann gilt (siehe Satz 3.9)

If(x) - 01

==

lex/

1

1

11- xl

1- x

~ - - == - -

1

< e ftir aIle x < m(e) == 1 - -, d.h. lim f(x) == O. e

x~

00

Definition 4.3 f sei auf [a, 00) definiert. f heiBt ftir x ~ 00 unbestimmt divergent, wenn f weder konvergent noch bestimmt divergent ist. Beispiel 4.7 Es sei f:x~xn,

nEN

Wir zeigen. daB

a)

f

ftir x ~

± 00 bestimmt divergent ist.

x~ 00

Es sei x> 1. Wahlen wir M == KElR+, so ist f(x) == x n ~ X > K ftir aIle x > M d.h. lim x n ==

(4.8)

00

X~oo

b)

x~-oo

Wir setzen x == - u, u > O. 1st n gerade, dann erhalten wir wegen (4.8) lim x n == lim ( - ut == lim un == 00. X~

-00

u~oo

u~oo

1st dagegen n ungerade, so gilt lim x n == lim ( - ut == lim ( - un) == -

00.

u~oo

Fassen wir zusammen, so erhalten wir (s. auch Bild 2.20a und 2.20b)

4.1 Grenzwert von f fiir x ---+

CfJ

115

Beispiel 4.8 f: x ~ sin x ist fiir x ---+

CfJ

divergent.

Den Beweis fiihren wir indirekt. Gegenannahme: Es sei lim sin x = g x~oo

Wahlen wir Eo =i, dann existiert nach Definition 4.1 ein MoE[R+ so, daB Isinx - gl < i fiir alle x> M o ist. Es seien X l ,X 2 > Mo. Dann ist Isinx l -sinx 2 1=I(sinx l -g)-(sinx 2 -g)1 ~ Isinx l -gl+/sinx 2 -gl
-

X2

n = (4n - 3)- und nEN so groB, daB 2

3)~1 =

sinx 2 1= /sin(4n -

10 -11

=

Xl'

x2

(4.10)

> M o sind, so gilt

1

im Widerspruch zu (4.10). Damit haben wir unsere Gegenannahme widerlegt, d.h. fist fiir x ---+ CfJ divergent. Wegen Isinxl ~ 1 fiir alle xElR und ihrer Periodizitat ist die Funktion f sogar unbestimmt divergent. Das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen fiir x ---+ ± CfJ. Wir betrachten die Funktion Pm(x) amx m+ am_lx m- l + ... + alx + a o r: x~r(x) = - - = - -n- - - ------qn(x) bnx + bn- l x n- l + ... + b l X + b o mit am =1= 0, bn =1= O. Fiir x =1= 0 erhalten wir am + am -

111 + ... + a 1 ----=-i + ao - m m

1-

x

X

x

a

Wegen Satz 4.2 und (4.2) ist lim s(x) =~. x~±oo bn

(4.11)

(4.12)

Bei den folgenden Untersuchungen unterscheiden wir die Falle a) r sei echt gebrochen (m < n) b) r sei unecht gebrochen (m ~ n) i) m= n ii) m > n zu a) m < n: Wegen m - n = q < 0 erhalt man aus (4.2), Satz 4.2 und (4.11) lim rex)

x~±oo

=

lim Pm(x) qn(x)

x~±oo

=

lim [xq,s(x)]

x~±oo

=

0

(4.13)

Der Graph von r kommt folglich fiir x ---+ ± CfJ der x-Achse beliebig nahe. Die x-Achse ist Asymptote dieses Graphen (s. Bemerkung 4 zu Definition 4.1).

116

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

zu b) m ~ n:

. . zz(x) Nach Abschnltt 2.3.2 gIlt r(x) = gm-n(x) + --, qn(x)

I< n~ m

(4.14)

Hierbei ist gm-n(x) ein ganzrationaler und ZI(X) ein echt gebrochenrationaler Ausdruck. qn(x) i) Fur m = n ist wegen (4.12) und (4.14) lim r(x) = lim s(x) = am, x~±oo bn

(4.15)

x~±oo

d.h. die zur x-Achse parallele Gerade y = am ist Asymptote des Graphen von r.

bn

ii) Fur m > n, d.h. m - n = q > 0, ist r nach (4.9) bestimmt divergent. Urn das Verhalten von r fur x ~ ± 00 genauer zu untersuchen, bilden wir mit (4.14) den Ausdruck Ir(x) - gm-n(x)l. Nach (4.13) ist dann lim Ir(x) - gm-n(x)1

x~±oo

= lim

x~±oo

zz(x) qn(x)

I

1=0.

Foiglich wird der Abstand der Punkte P(x, r(x))Ek r von den Punkten Q(x, g(x)) des Graphen der ganzrationalen Funktion (4.16) beliebig klein, wenn man x hinreichend groB wahlt (s. Bild 4.5). Man bezeichnet deshalb y = gm-n(x) wiederum als Asymptote von r. Zusammenfassung: Es sei r: xf---*r(x) = Pm(x), m ~ n > O. Dannist derGraph des ganzrationalenAnteils von res. (4.14)) qn(x) Asymptote des Graphen von r. 1st insbesondere m ~ n oder m = n + 1 dann ist die Asymptote eine Gerade.

lim r(x) = x~±oo

Asymptote

m
m=n

m>n

°

-

am

+ 00 oder

Parallele zur x-Achse am y=g(x)=bn

Graph von

bn

x-Achse

Beispiel 4.9 Die Funktion r: x~r(x)

P3(X) ql(X)

x

3

+1

= -- =--

4x

-

00

g:x~gm-n(x)

(s (4.14))

4.1 Grenzwert von f fiir x ~ 00

117

y

r

x

x

x3 + 1

Bild 4.5: Asymptote des Graphen von r

Bild 4.6: Graph von r: x~r(x) = - -

4x

besitzt an der Stelle x = -1 eine Nullstelle, an der Stelle x = 0 eine Poistelle. Ferner ist 1 r(x)=-x 2

4

1

+4x

(s.(4.14)).

Hieraus folgt lim r(x) = lim

x~±oo

x~±oo

[!

4

x 2 + ~J = + 00, 4x

und nach (4.14) ist y = g2(X) = iX2 Asymptote des Graphen von r (s. Bild 4.6). Aufgaben: 1. Gegeben sind die Funktionen f: x~ f(x). Zeigen Sie jeweils, daB lim f(x) M

= gist, indem Sie zu jedem c; > 0 ein

= M(C;)E~ so angeben, daB If(x) - gl < c; fur alle x> M(c;) ist.

3x+2 a) f(x)=--,

g=1

4-3x b)f(x)=--, x+l

x-I 11:1'

g=0

d) f(x)

2x

c) f(x)

=

xylxl e) f(x) =

2x + sin4x

3x

2

, g=3

2x 2 -1

g=-3

= - - 2- ,

g= 2

COS1 x f) f(x)=~, yx+l

g=O

x

2. Zeigen Sie fur die in Aufgabe 1a)-e) gegebenen Funktionen, daB lim f(x) = gist, indem Sie zujedem c; > 0 ein m = m(c;)E~ so angeben, daB If(x) - gl < c; fur alle x < m(c;) ist.

3. Welche der angegebenen Funktionen f: x~ f(x) sind fur x ~ CIJ bzw. x ~ - CIJ bestimmt, welche unbestimmt divergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls zu jedem KErR (bzw. kErR) ein M = M(K)ErR (bzw. ein m = m(k)ErR)

118

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

gemaB Definition 4.2 a) f(x) =

fi=1

Xl + 1 c)f(x)=-I-x

b) f(x) = cos(!x -1)

2x 3

d) f(x) = tan tx

+X +1

e) f(x)=-x-l -_-l-

4. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes 4.2 die Grenzwerte von f: Xf---+ f(x) fur x ~ existieren: Xl -1 x3 a) f(x) = - 1 - (x~ ± 00) b) f(X)=-l---X (x~ ± 00) X -1 2x + 1 c) f(x) =

4 + 2x - 3x l

Xl

2)1

(x~±oo)

e)f(x)= ( - x+3 g) f(x) =

P+1+fi V + -!x X3

2x l + 3x -1-8x -1

f) f(x) =

(x~oo)

-6x l -

Xl

5. Bestimmen Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion f:

d) f(x) =

2x - 2x - 4 b) f(x) = 3x2 _ 6x + 9

x 3 + X + 12 8 _ 4x

falls sie

(x~

± 00)

Xf---+ f(x):

x 4 -5 c) f(x) =-13x

l

3 -2x a)f(x)=-4x+ 1

00,

± 00)

(x~

- x - 4) ( 5x + 3)(2 1 3

h) f(x) =

X

l

bzw. x ~ -

d)f(x)=~-fi (x~oo)

(x~±oo)

1

2x -2

00

2x l 4x e)f(x)=--x-I x+l

6. Beweisen Sie Satz 4.1. 7. Formulieren Sie die Definition der uneigentlichen Grenzwerte a) lim f(x) = -

00;

b)

lim f(x) =

c)

00;

lim f(x) = -

00

entsprechend Definition 4.2.

4.2 Grenzwert von f filr x ~ x o 4.2.1 Definition des Grenzwertes von f fur x Gegeben sei die Funktionj: x

~ j(x).jsei

~ xo

auf der punktierten Umgebung U· (x o) definiert.

1m folgenden untersuchen wir das Verhalten der Funktionswerte j(x), wenn sich XE U·(x o) der Stelle X o nahert. Dabei ist ohne Bedeutung, ob f an der Stelle X o definiert ist oder nicht. Zwei Beispiele veranschaulichen unsere Dberl~gungen. Beispiel 4.10 Es sei

f

:x~ f() x

X3 - 1 (x - 1) (x =--1 =

x-

2

x-

+ X + 1). 1

fll)

rnltxE~

+ \ { 1}

4.2 Grenzwert von f fur x ~ X o

119

x

x 3 -1 Bild 4.7: Graph von f: x~-­

x-I

Der Graph von fist ein Teil einer Parabel, der auBerdem an der Stelle X o == 1 unterbrochen ist (s. Bild 4.7). Ferner erkennt man, daB g == 3 ¢ Wf ist. Wir konnenjedoch den Abstand zwischen f(x) und g == 3 (also If(x) - gl) beliebig klein machen, wenn wir nur den Abstand zwischen x und X o == 1 hinreichend klein, aber von Null verschieden machen. Wahlen wir z.B. XE U o,ool(l), so ist If(x) - 31 < 0,004 und f(x):f. 3. Foiglich unterscheiden sich fur aIle diese x-Werte f(x) und g == 3 hochstens urn 4·10- 3. Mit Hilfe des Umgebungsbegriffes konnen wir das Verhalten von folgendermaBen beschreiben:

f

an der Stelle X o == 1 auch

Zujeder Umgebung Ve(g) von g == 3 existiert eine punktierte Umgebung U;'(x o) von X o == 1 so, daB f(X)E Ve(g) fur aIle XE U;'(x o) ist. y

----------------s [

2 3 -['

123

x

x

~.(l)

Bild 4.8: Flir aIle XE U;(1) ist f(X)E V:(3)

BUd 4.9: Zu jedem 6> 0 existiert immer ein x mit h (x) e: VO.5 (1)

E

U;(2)

120

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Fur den Graphen von f bedeutet dies (s. Bild 4.8): Wenn Se ein parallel zur x-Achse verlaufender Streifen der Breite 2c und der Mittellinie y = g = 3 ist, dann konnen wir (c > 0 mag noch so klein sein) stets einen zur y-Achse parallel verlaufenden Streifen S<5 der Breite 2<5 mit x = X o = 1 als Mittellinie so konstruieren, daB aIle Punkte P(x,f(x)), XE U~(xo), des Graphen von f ganz in dem von Se und S<5 gebildeten Rechteck liegen. Man sagt dann, f besitzt an der Stelle X o = 1 den Grenzwert g = 3. DaB nicht aIle Funktionen diese Eigenschaft besitzen, zeigt Beispiel 4.11 Wir betrachten die Funktion h: xf---+h(x) =

{

-

x+3 fur x>2 x - 3 fur x < 2 x-2

Es sei gElR. Offensichtlich existiert z.B. zu Vo.s(g) keine punktierte Umgebung U~(2) so, daB h(X)E Vo.s(g) fur aIle XE U~(2) ist (s. Bild 4.9 mit g = 1). Wir konnen <5 > 0 beliebig klein machen, dennoch existieren immer XE U~(2) mit h(x)¢ Vo.s(g). Foiglich liegen immer Punkte P(x,h(x)) des Graphen von h, auch wenn xEU~(2) ist (man mag <5 > 0 noch so klein wahlen), auBerhalb des von S<5 und Se gebildeten Rechtecks (s. Bild 4.9). 1m Gegensatz zu Beispiel 4.10 sagt man deshalb, h besitze an der Stelle X o = 2 keinen Grenzwert. Definition 4.4

f

sie auf U·(x o) definiert. Man sagt, f besitze an der Stelle X o den Grenzwert g, wenn zu jeder c-Umgebung Ve(g) eine punktierte b-Umgebung U~(xo) c U·(xo) so existiert, daB f(X)E Ve(g) fur aIle XE U~(xo) ist.

Beachten wir, daB f(X)EVe(g)~lf(x)

- gl < c und

XEU~(Xo)~O<

Ix - xol < <5 ist,

so erhalten wir die aquivalente Definition 4.5

f sei auf U·(x o) definiert. Man sagt, f c > 0 ein b = <5(c) > 0 1 ) existiert, daB If(x) - gl Schreibweise: lim f(x) x~xo

=

besitze an der Stelle X o den Grenzwert g, wenn zu jedem

< c fur alle XE U·(x o} mit 0 < Ix - X o1< <5 ist.

g oder f(x) ~ g fur x ~ X o

1) <5 hangt von der beliebig vorgegebenen Zahl c > 0 ab (man schreibt deswegen <5 = <5(c)), istjedoch nicht eindeutig bestimmt. Mit <5 besitzt namlich auch jede Zahl <5 1 mit 0 < <5 1 < <5 die geforderte Eigenschaft.

4.2 Grenzwert vonffiir

x~xo

121

Bemerkungen:

1. Wenn lim f(x) X~Xo

= gist, so sagt man, f konvergiere fiir x ~ X o gegen den Grenzwert g oder der

Grenzwert von f fiir x ~ X o existiere (und sei gleich g). 2. Der Grenzwert von f an der Stelle X o ist, falls er existiert, eindeutig bestimmt. 3. Es sei darauf hingewiesen, daB der Funktionswert f(x o) nicht in die Grenzwertbetrachtung eingeht, f braucht an der Stelle X o nicht einmal definiert zu seine Wennf an der Stelle X o den Grenzwertg besitzt, muB zujedem8 > 0 ein passendes 6 = 6(8) > 0 mit den angegebenen Eigenschaften existieren. Bei der Bestimmung eines solchen lJ zu vorgegebenem 8 verfahrt man i.a. folgendermaBen: Man versucht aus der Ungleichung If(x) - gl < 8 durch geeignete Umformungen eine Ungleichung 0 < Ix - X o1 < 6 zu gewinnen und wahlt danach ein passendes lJ > O. Das folgende Beispiel (s. auch Beispiel 4.10) zeigt, wie man hierbei vorgehen kann.

Beispiel 4.12 3

Wir zeigen: f: x f---+ x -11

x-

mit

XE

IR + \ {I} besitzt an der Stelle 1 den Grenzwert 3.

Zum Beweis haben wir zu 8> 0 ein 6 = 6(8) > 0 so zu bestimmen, daB

If(x) -

gl = 1:-=-11 - 31 < diir aIle xEIR+\{1} mit 0 < Ix - 11 < fJ ist.

xEIR+\{1} gilt Ix:-=-11 - 31 = Ix 2 + X

Fur aIle

-

21 = Ix + 211x -11·

Die Abschatzung dieses Ausdrucks wird durch den Faktor Ix + 21 erschwert. Wir wahlen deshalb zunachst lJ = 1, beschranken uns also auf aIle x mit 0 < Ix-II < 1. Fiir diese x ist 2 < Ix + 21 < 4, und es gilt 3

-1 - 3 1 = Ix + 211 x-II < 41 x-II < 8, x-I

X

falls Ix -

11 < 4:8 ist.

I

Wahlen wir zu s > 0 folglich fJ = fJ(s) = min { 1,

~ }, so ist 1:-=-113

fUr aIle

xEIR+\{1} mit 0 < Ix-II < fJ.

Damit gilt lim x -11 x~l

x-

= 3.

Beispiel 4.13 Es sei f:

x~e,

CErRo

Dann gilt fiir jedes xoErR

lim f(x) = c. X~Xo

Denn wahlen wir £ > 0, so gilt sogar mit jedem beliebigen 6> 0

If(x) -

gl = Ie - el =

0 < 8 fiir aIle x mit 0 <

Ix - xol < lJ.

31 < s

122

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beispiel 4.14 Es sei f: Xf---+a' x, aEIR\{O}. Dann gilt fiir jedes xoEIR lim a' x == a' X o ' X~Xo

Es ist If(x) -

gl = lax - aXol = lallx - xol < e¢>lx - xol < I:"

Wir wahlen e > O. Dann gilt mit (j

If(x) -

= (j(e) =

I:'

gl == lax - aXol < 8 fijr aIle x mit 0 < Ix - xol < (j

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Funktion f an der Stelle X o und dem Grenzwert von Folgen. Dies ermoglicht u.a., die Konvergenzaussagen iiber Folgen auf Grenzwerte von Funktionen zu iibertragen.

Satz 4.3 CUbertragungsprinzip)

Auf den Beweis dieses Satzes verzichten wir (siehe [5J).

Bemerkung: Dieser Satz eignet sich vor allem zum Beweis dafiir, daB eine bestimmte Funktion f an der Stelle keinen Grenzwert besitzt. Dazu wahlt man entweder

Xo

a) eine gegen X o konvergente Folge <Xn),XnEU·(X O ) fiir alle nEN, und zeigt, daB
n~oo

Beispiel 4.15 Die Funktion f: xf---+sin ~ besitzt an der Stelle X o == 0 keinen Grenzwert. x Bild 4.10 zeigt den Graphen dieser Funktion. Wahlen wir etwa die gegen X o == 0 konvergenten Folgen

4.2 Grenzwert von f fiir x ~ Xo

123

y y

f

x

2

1f

x

-1 I I

I I I I I I

-1 1 Bild 4.10: Graph von j: x H sin x

1 Bild4.11: Graph von j : X H - x+l

so ist 1

f(x n )

= f( n n) = 0 und

f(x~) = f\(4n ~ 3H) = 1

fiir aIle nE N. Folglich gilt lim f(x n ) -# lim f(x~), und f besitzt nach Satz 4.3 keinen Grenzwert fiir x~O.

n~oo

n~oo

Beispiel 4.16 Die Funktion f:

x~~1 besitzt an der Stelle Xo = x+

-1 keinen Grenzwert.

Wahlen wir etwa die gegen X o = -1 konvergente Folge (x n f(x n ) = (

>=

\

-1

+ (-nIt> so ist

1 n (-It) =(_It=(-l t n - 1 + - - +1 n

>

Damit haben wir eine gegen Xo = -1 konvergente Folge <x n angegeben, so daB die Folge der zugehorigen Funktionswerte
>

Ein gewisser Nachteil bei der Anwendung von Definition 4.5 besteht darin, daB diese Definition i.a. nicht zur Berechnung des Grenzwertes herangezogen werden kann, sondern meist zur Bestatigung dafiir dient, ob eine gegebene Zahl Grenzwert ist oder nicht. Beispiel 4.1 7

. 1 Es sel.f : X~XSln-. x

124

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Zur Bestimmung des Grenzwertes von f fur x ~ 0 (Graph von f siehe Bild 4.12) wahlen wir die

°

gegen konvergente Folge (x n >= lim f(x n ) = lim

n-(jJ

n-(jJ

~·sin nn = nn

lim n-oo

(n~) und erhalten

~·o = o. nn y

y=-X

y=X

1

.

1

y=x·sln x

-1

_1.-

x

3t

1

Bild 4.12: Graph von f: x~ x sin -

x

Wir beweisen, daB dieser Wert Grenzwert von f fur x ~ 0 ist.

Es ist If(x) - gl = Ix

sin~ - 01 = IXllsin~l;;;; Ixl.

Wir wahlen 8 > o. Dann gilt mit £5 = £5(8) = 8

Ix

sin~ - 01 < 8

°

fUr aIle x mit < Ixl < 15,

d.h. lim x sin ~ = o. x-o X Beispiel 4.18 lim cos x = cos X o

Fur aIle X o E [R ist

Wegen cos x - cos Xo =

(4.17)

X-Xo

-

2 sin x ~ Xo sin x ~ x o , Isin xl;;;; lxi, jsin xl;;;; 1 fUr aIle x, XoE~ erhalten

wir

leas x - cosxol = zlsin x ~ xollsin x ~ xol;;;; 2

1x

~ xol = Ix -

xol.

Wahlen wir 8 > 0, dann gilt also mit £5 = £5(8) = 8 stets Icos x - cos Xo I < 8 fur aIle x mit 0< Ix - xol < £5.

4.2 Grenzwert von f fiir x ~ X o

125

4.2.2 Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte 1m folgenden fiihren wir den Grenzwertbegriff fiir den Fall ein, daB sich x von links oder von rechts der Stelle X o nahert. Definition 4.6 sei auf (x o, X o + p), P > 0, definiert. Man sagt, f besitze an der Stelle X o den rechtsseitigen Grenzwert g+, wenn zu jedem e > ein b = b(e) > so existiert, daB

f

°

If(x) - g+ 1< e fiir aIle

°

XE(X o, X o

+ p) mit X o < x < X o + b ist.

Schreibweise: lim f(x) = g+ oder f(x) ~ g+ fiir xtx o 1) xtxo

Sprechweise: f konvergiert fur x von rechts gegen X o mit dem Grenzwert g+

Bemerkungen:

1. 1st f auf (x o - p, x o), p > 0, definiert, so erhalt man entsprechend die Definition fiir den linksseitigen Grenzwert g- von f an der Stelle x o, wenn man g+ durch g- und < x - X o < b d urch < X o - x < b ersetzt. Man schreibt dann lim f (x) = g - 1).

°

°

xjxo

2. Es sei f auf U·(x o) definiert. Besitzt fan der Stelle X o den rechtsseitigen Grenzwert g + und den linksseitigen Grenzwert g-, ist jedoch g+ =I g-, so besitzt f in X o keinen Grenzwert. Aus der Existenz der Grenzwerte g + und g - kann daher i.a. nicht auf die Existenz des Grenzwertes von f an der Stelle X o geschlossen werden (vgl. aber Satz 4.4). Beispiel 4.19 Wir betrachten i(X - 2)2 f:x~f(x)= 1 3 { -X+"2

fiir x > 1 fiir x = 1 fiir x < 1

Dem Graphen von f (s. Bild 4.13) entnehmen wir, daB f an der Stelle X o = 1 vermutlich die Grenzwerte g+ = g- = i besitzt. Wir zeigen, daB tatsachlich g+ = iist. Es sei 1 < x < 2. Hieraus folgt f(x) = i(x - 2)2)

°

< x-I < 1 und Ix - 31 < 2, und somit ist (beachte: fiir x > 1 ist

If(x) - g+ 1= li(x - 2)2 - il = ilx 2 - 4x + 31 = i Ix - 311x -11 < Ix -11 = (x -1), d.h. Ii (x - 2)2 - il < (x - 1)

fiir aIle xE(I, 2).

Wahlen wir also e > 0, dann gilt mit b = b(e) = min {I, e} li(x-2)2_~I<e 1)

Statt x

fiirallexmitO<x-l
txo schreibt man auch x ~ Xo + 0 und fur xi Xo auch x ~ X o - o.

126

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

x Bild 4.13: Einseitige Grenzwerte

Entsprechend kann man zeigen, daB f an der Stelle X o == 1 den linksseitigen Grenzwert g- == ~ besitzt. Damit gilt limf(x) == limf(x) ==~. xLI

xiI

Wie der folgende Satz zeigt, ist dann auch lim f(x) ==~. x-+l

Satz 4.4

Beweis: a) Die Bedingungen (4.18) und (4.19) sind notwendig: Es sei lim f(x) == g, d.h. zujedem 8> Oexistiert ein b == b(8) > 0 so, daBlf(x) -

g 1< 8fur

aIle x mit

X-+Xo

o < Ix -

Xo

I < b ist.

Wegen 0 < Ix - xol < b<=>O <

X -

Xo

< b oder 0 < X o - x < b folgt

lim f(x) == g == lim f(x), xLxo

xixo

d.h. die einseitigen Grenzwerte g + und g - existieren und sind gleich. b) Die Bedingungen (4.18) und (4.19) sind hinreichend: Da die Grenzwerte g+ und g- existieren, gibt es zu jedem 8> 0 ein b 1 == b1 (8) > 0 und ein b2 == b2 (8) > 0 so, daB If(x) - g+ 1< 8 fur aIle x mit 0 < x - X o < b 1 If(x) - g-l < 8 fur aIle x mit 0 < X o - x < b2 ist. Wegen g + == g - gilt folglich If(x) - g+ 1== If(x) - g-I <

8

fur aIle x mit 0 < Ix - xol < b,

4.2 Grenzwert von f fur x --+ X o

127

y

1/1

---- -------1 !'( ---7!-4

I

I

I I

I I I

I

II

I- - -

:

I I

I

- 1 -- -

I

- 2

iI

: I

-1

I

2

3

x

Bild 4.14: Graph von f: xr---+x[x], XE[ - 2, 3)

wobei [) = min {[)1' [)2} ist. Hieraus folgt nach Definition 4.5

•

lim f(x)=g=g+ =g-. X---+Xo

Beispiel 4.20 Esseif:x~x[x]

mit xE[-2,3)

Aufgrund des Graphen von f (s. Bild 4.14) nehmen wir an, daB rechtsseitigen Grenzwert g + = 4 besitzt.

f an der Stelle

Xo

= 2 den

Fur 2 < x < 3, also 0 < x - 2 < 1, gilt, da dann [x] = 2 ist, c; If(x) - g+ 1= Ix[x] -41 = /2x -41 = 21x -21 = 2(x - 2) < c;~x - 2 <2·

Wiihlen wir also s > 0, dann ist mit 1J = 1J(s) = min{ 1,~} Ix[x] - 41 < c;

fur aIle x mit 0 < x - 2 < [).

Folglich erhalten wir, wie wir vermutet haben, lim x[x] = 4.

(4.20)

x12

Entsprechend UiBt sich limx[x]

=

2 zeigen.

(4.21)

xj2

Wegen Satz 4.4 ist f fur x ~ 2 nicht konvergent. In unseren Uberlegungen fehlt noch der Begriffdes uneigentlichen Grenzwertes einer Funktion an der Stelle x o. Wir erHiutern ihn zunachst an einem Beispiel aus der Schwingungslehre. Beispiel 4.21 Erzwungene Schwingung Greift an einen schwingfahigen Knrper (Masse m, Eigenkreisfrequenz coo) eine periodisch veranderliche Kraft (Erregerkreisfrequenz co, Amplitude a o) an, so ist die Amplitude im stationaren

128

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Zustand (nach der Einschwingzeit) gegeben durch

a=a(w)= (b>

a

Jm (w5 - ° 2

2

W )2

+ b2 'W 2

,

(4.22)

w>O

°ist die Reibungskonstante).

Man erhiilt lim a(w) = ao2 und lim a(w) = O.

mwo

ro~o

ro~ 00

Die maximale Amplitude amax wird fur W max

=

W5-~(~Y

erreicht. Fur diesen Wert nimmt der Radikand in (4.22) seinen kleinsten Wert an. Wegen {Omax < {Oo erhalt man a max also fUr eine Erregerfrequenz, die etwas kleiner als die Eigenkreisfrequenz W o ist. Bei fehlender Dampfung (b = 0) erreicht die Amplitude ihren groBten Wert fur w l W o bzw. wi w o, dann wiichst a niimlich uber aIle Grenzen. Man spricht in diesem Fall von Resonanz (s. Bild 4.15). Mathematisch gesprochen bedeutet dies: die Funktion a: w ~ a(w) besitzt fur b = 0 an der Stelle W o den rechtsseitigen bzw. linksseitigen uneigentlichen Grenzwert 00. y

K

----X

Bild 4.15: Resonanzkurven zu verschiedener

Bild 4.16: Fur aIle

Dampfungb

o

XE(X o, X o

X

o+ 0

x

+ b) ist f(x) > K

Definition 4.7 sei auf (x o, X o + p), P > 0, definiert. Man sagt, f besitze an der Stelle X o den rechtsseitigen, uneigentlichen Grenzwert + 00, wenn zujedem KE~ ein <5 = <5(K) > 0 so existiert, daB

f

f(x) > K

fur aIle

XE(X o, X o

+ p) mit X o < x < X o + <5

ist. Schreibweise: lim f(x) = X~Xo

+ 00

Bemerkungen: 1. limf(x) = + 00 gilt genau dann, wenn man zu jedem beliebig groBen K

E

IR einen zur y-Achse

xJ-xo

parallelen <5-Streifen S{) der Breite <5 und dem linken Rand x =

Xo

so angeben kann, daB aIle

4.2 Grenzwert von f fiir x ~ X o

129

Punkte P(x, f(x)), XE(X o, X o + b), des Graphen von f oberhalb der Geraden y = K liegen (s. Bild 4.16). Dabei ist es unwesentlich, ob auch Punkte P(x, f(x)) mit x~(xo, X o + £5) oberhalb der zur x-Achse parallelen Geraden y = K liegen. 2. Ersetzt man in Definition 4.7 KErR durch kErR und f(x) > K durch f(x) < k, so erhalt man die entsprechende Definition fiir den uneigentlichen Grenzwert lim f(x) = - 00. X~Xo

3. 1st lim f(x) = X~Xo

± 00, so sagt man auch, f sei fur xlxo bestimmt divergent (gegen den uneigent-

lichen Grenzwert

+ 00 bzw. -

(0).

f auf (x o - p, x o), p > 0, definiert, so fiihrt man entsprechend zu Definition 4.7 die linksseitigen, uneigentlichen Grenzwerte

4. 1st

lim f(x)

=

+ 00 und lim f(x) =

xjxo

- 00

xjxo

ein. 5. Man sagt, f sei an der Stelle X o bestimmt divergent (gegen den uneigentlichen Grenzwert + 00 bzw. - 00), wenn f fiir x -!- X o und x i X o bestimmt divergent ist, und die uneigentlichen Grenzwerte iibereinstimmen. Schreibweise: lim f(x) = x---,xo

+ 00

bzw. lim f(x) = -

00

x---.xo

1st f fiir x ~ X o weder konvergent noch bestimmt divergent, so heiBt divergent.

f dort unbestimmt

6. 1st f fiir xi X o und xl X o bestimmt divergent, so bezeichnet man X o als U nendlichkeitsstelle von f. X o heiBt eine Unendlichkeitsstelle ohne Zeichenwechsel bzw. eine Unendlichkeitsstelle mit Zeichenwechsel (f ist dann an der Stelle X o unbestimmt divergent), wenn lim f(x) = lim f(x) xjxo

X~Xo

bzw.

lim f(x) #- lim f(x) X~Xo

xjxo

ist. 1st f speziell eine gebrochenrationale Funktion, so heiBt X o entsprechend eine Poistelle (oder kurz ein Pol) ohne bzw. mit Zeichenwechsel (s. Bild 4.17 und Bild 4:18). y

y

x

x

Bild 4.17: Jbesitzt in X o eine Unendlichkeitsstelle ohne Bild 4.18: f besitzt in X o eine Unendlichkeitsstelle mit Zeichenwechsel Zeichenwechsel

130

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beispiel 4.22 Die Funktion 4-x 2 x-I

f:x~-­

(s. Bild 4.19) besitzt flir xt 1 den uneigentlichen Grenzwert + 00, flir Grenzwert - 00, d.h. x o = 1 ist ein Pol mit Zeichenwechsel von f.

xi 1 den

uneigentlichen

y

x

Bild 4.19: Graph von f:

4-x 2

x~-­

x-l

Wir zeigen nur, daB f(x) ~ entsprechend.

+ 00

fur

xt 1

ist. Der Beweis fur f(x) ~ -

00

flir

xiI

verHiuft

Es sei KElR+ und 1 <x<~, d.h. O<x-l <~. Hieraus folgt ~<2-x< 1 und 3 <x+2<1. Somit ist 2)(x + 2) = (2 - x)(x + 2) > 3 >K 3 f( x) = _ (x - x-I x-I 2(x _ 1) ,falls x-I < 2K

Dann gilt mit (j = (j(K) = minH, 4 - x2 j"(x) = - - 1 > K x-

ist.

2~}

4 x2 fur aBe x mit 0 < x-I < lJ, d.h. lim -=--1 = xL! x-

+ 00.

4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen Die Berechnung des Grenzwertes einer Funktion f fur x ~ X o, xi x o, xl x o, wenn er existiert, konnen wir uns durch Anwendung des folgenden Satzes (s. auch Satz 3.4 und Satz 4.2) erleichtern. Wir formulieren diesen Satz jedoch nur fur den Fall x ~ X o.

4.2 Grenzwert yon I fur x -+ x o

131

Satz 4.5 (Rechnen mit Grenzwerten)

Bemerkung:

Es sei darauf hingewiesen, daB die Existenz von lim 11 (x) x~xo

==

g1 und

li~

I2(x) == g2 wesentliche

x~xo

Voraussetzungen dieses Satzes sind. Wendet man obige Rechengesetze an, ohne daB diese Voraussetzungen erfiillt sind, so erhiilt man u.U. falsche Ergebnisse. Zum Beispiel existiert lim! x~ox

nicht, deshalb darf man nicht aus lim x x~O

existiert. (Tatsachlich ist ja lim x X---)oO

==

==

1 lim -1/ darauf schlieBen, daB dann auch lim x nicht

X---)oO

X

0.)

Als Folgerung aus Satz 4.5 erhalten wir (ohne Beweis) Satz 4.6

X---)oO

132

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Bemerkung: Sind die Funktionen f1' f2 und f auf (x o - p, x o) bzw. (x o, X o + p) definiert, so gelten fur die Grenzwerte mit xi X o bzw. x!x o die Satze 4.5 und 4.6 entsprechend. Beispiel 4.23 Wir zeigen lim

(i x

2

-

3x - 2) = i

x ..... -1

Wegen Beispiel 4.14 ist lim (iX2-3x-2)= lim iX2- lim 3x- lim 2=i· lim x 2 -3· lim x-2 x.. . - 1 x- - 1 x- - 1 x- - 1 x- - 1 x- - 1 =i( lim x)2-3·(-1)-2=i· x--l Durch mehrmalige Anwendung der Regeln a) und b) aus Satz 4.5 und mit Hilfe von Beispiel 4.14 erhalt man allgemein fur alle X o E ~

Beispiel 4.24 Es ist

1(1

1)

1

· - - - - - - - - = 1·1m x- 2 = 1.1m - - - - 11m x-2 X - 2 2x + 1 3x - 1 x.. . 2 (x - 2)(2x + 1)(3x - 1) x.. . 2 (2x + 1)(3x - 1)

111 [ lim (2x + 1)] [ lim (3x - 1)] 5· 5 25 x ..... 2

x ..... 2

Beispiel 4.25 Es sei

JX-l 1-x f:XH f(x) =

fiir O<x<1

0 fur x = 1 x 2 -1 fur 1 < x 4(1 - x)

Dann gilt (beachte: fiir

xlI x ist

< 1, d.h. f(x) =

f_~I)

limJX-l=lim(JX~I)(JX+l)=lim xiI

1-x

xiI

(1-x)(JX+1)

-1 -1 1 =lim---= =-xi1 JX + 1 lim(JX + 1) 2 xiI

x-I

Xil(1-x)(JX+1)

4.2 Grenzwert von f fur x

~ Xo

133

Ferner ist

2 lim x - 1

=

xJ,14(1-x)

lim (x - l)(x + 1) = lim - (x + 1) = _ !'lim (x + 1) = _! 4(1-x)

xtl

4

xtl

4

xtl

2

F olglich existieren der links- und rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle 1. Da sie auch gleich sind gilt nach Satz 4.4 lim f(x) == - j.. x-Jol

Mit Hilfe des folgenden Satzes UiBt sich der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion bestimmen, falls dieser existiert. Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir jedoch (s.z.B. [2J).

Satz 4.7

Bemerkung: Unter entsprechenden Voraussetzungen gilt dieser Satz auch, wenn z.B. f fur x ~ ± 00 gegen a und g fur y ~ a gegen b konvergiert, oder wenn z.B. f fur x ~ ± 00 bestimmt divergiert und g fur y ~ ± 00 gegen b konvergiert. Beispiel 4.26 lim X-Joo

1 + 2x 2 sin 2 ~ == 1

f:x~xsin!x

(4.24)

X

ist auf IR\{O},

g:y~Jl+2y2

auf IR definiert, und Wf=lRcD g• Ferner ist (s.

Beispiel 4.17)

limxsin!=O X-Joo

x

und

limJl+2y 2=1. y-+-o

Nach Satz 4.7 gilt folglich (4.24). Die Berechnung von Grenzwerten gebrochenrationaler Funktionen vereinfacht sich, wenn man folgenden Satz berucksichtigt.

Satz 4.8

134

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beweis: 1st XoE~ eine k-fache Nullstelle von Pn und qm' dann erhalt man durch k-fache Anwendnung des Hornerschemas (s. Abschnitt 2.3.1) die Zerlegungen

Pn(x) == (x - XO)kpn_k(X)

und

qm(x) == (x - XO)kqm_k(X)

mit Pn-k(xO)::j:. 0 und qm-k(XO)::j:. O. Daraus folgt lim Pn(x) = lim (x - x o): Pn~k(X) = lim Pn~k(x) = Pn~k(Xo). qm(x) x~xo (x - x o) qm-k(X) X~Xo qm-k(X) qm-k(x O)

X~Xo

•

Bemerkung: 1st XoE~ eine k-fache Nullstelle von Pn und eine [-fache Nullstelle von qm' dann ist lim r(x) == lim Pn«X)) == 0, x~xo qm X

wenn k > [ ist.

X~Xo

1m Fall k < [ ist r an der Stelle X o E [R divergent. (Flir k == [ s. Satz 4.8.) Beispiel 4.27

+ 5x 3 + 3x 2 - 9x ==2 x~-3 x 3 + 15x 2 + 63x + 81 lim

X

4

Mit Hilfe des Hornerschemas stellt man fest, daB X o == mit

- 3 eine zweifache Nullstelle von P4 und q3

ist. Wir erhalten folgende Zerlegungen

P4(X) == (x + 3)2 p2 (X) == (x + 3)2(X 2 - x);

q3(X) == (x + 3)2q 1 (x) == (x + 3)2(x + 9).

Folglich ist lim P4(X) = lim (x + 3):P2(X) = P2( - 3) = 12 = 2. x~-3 q3(X) x~-3 (x + 3) ql(X) ql( - 3) 6

Satz 4.9

Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir (s. z.B. [1]).

4.2 Grenzwert von f fiir x ---1- X o

135

Bemerkungen:

1. Man beachte, daB in a) nicht von f1(X) < f2(X) auf gl < g2 geschlossen werden kann. Denn ist etwa 11 : X 1---+ f1 (x) = x 2 und f2: Xl---+f2(X) = 2x 2, so ist zwar f1 (x) < f2(X) fiir aIle XE V-CO), dennoch gilt lim f1 (x) = lim f2(X) = o. x~o

x~o

2. Dieser Satz gilt analog fiir xi x o, xl x o, X ---1entsprechend gegeben sind.

± 00, wenn die Definitionsbereiche der Funktionen

Beispiel 4.28 Gegeben sei die Funktion f:

X 1---+ sin

x

x (den Graphen von f zeigt Bild 4.4). Zur Bestimmung des

Grenzwertes lim SIn x fiihren wir folgende geometrische Uberlegung durch: x~o x Nach Bild 4.20 besteht am Einheitskreis zwischen den FHicheninhalten des Dreiecks OPR, des Kreisausschnitts OPR und des Dreiecks OPQ fUr

XE( 0, ~) die Ungleichung A

OPR

< A OPR < A oPQ'

Hieraus foIgt i sin x < i x < i tan x oder sin x < x < tan x

fur aile

XE( 0, ~).

Wegen sinx > 0 und cosx > o fur aile

XE( 0, ~) erhiilt man weiter

x 1 sin x 1 <-.-<-- oder cosx <--< 1 x SInx cosx (s. Bild 4.21). Da die cos-Funktion und

f gerade Funktionen sind, gilt die letzte Ungleichung auch fiir

XE( -~,o). Also ist cosx < Si:x < 1 Q

fUr aile XEU;/2(0).

y

-----,--------------I

.

sIn x y=--

x

Jt

2

o

s

p Bild4.21: Fur aIle

Bild 4.20: A,6 OPR < A OPR < A,6 OPQ

XE

IJt

Y=C?SX sin x <1 (0'"2n) ist cos x < -x-

x

136

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Mit Hilfe von Beispiel 4.18 und Satz 4.9 erhalten wir folglich

Beispiel 4.29

·1 I'l m tan3x 3 --=ESglt X~O

2x

2

Zum Beweis ftihren wir folgende Umformung durch: tan3x 2x

sin 3x 1 --cos 3x 2x

3 sin 3x 1 2~ cos3x

ftir aIle XEU~/2(O).

Setzen wir 3x = u, dann gilt nach Satz 4.7 lim tan3x = 2x

x~o

lim~(sinU._1_).

U~O

2

cosu

U

3 Folglich ist wegen Satz 4.5, Beispiel 4.18 und (4.25) lim ta n 3x = -2 . x~o 2x

Aufgaben: 1. Beweisen Sie mit Hilfe von Definition 4.5:

x 2 -4 a) lim--=4 x-+2 x - 2

3x+ 6 1 b) lim -3- = x ..... -2 x + 8 4

fi1

x 2 -x d) lim--=-1

*c) lim--=x-+l x + 1 2

x-,o

~-x

1

*e) lim---= --, x ..... a X - a 2

aE[R+

x

1 f) lim x k sin- = 0, x-.o x

kEN

2. Zeigen Sie, daB folgende Funktionen f: x ~ f(x) fiir x -+ X o keinen Grenzwert besitzen, (Anleitung: Benutzen Sie zum Beweis das Ubertragungsprinzip (Satz 4.3).)

x+l a)f(x)=--, xo=O x

Ix+21

c)f(x)=--, x o =-2 2x+4

1 e) f(x) = cos-,

2x

Xo =

b) f(x) = sgn(x - 1),

d) f(x)

Xo =

= x - [x], X o =

1

- 1

0

3. Bestimmen Sie den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert von f: x ~ f(x) an der Stelle x o, falls er existiert. 1st f fiir x -+ X o konvergent?

x-Ixl

a) f(x)=--, xo=O x

II-xl

b)f(x)=--, x o =l 2x-2

4.2 Grenzwert von f ftir x c) J(x)

137

x

= Ix + 11(X _ _1_), X o =-1 x+1

d)J(x)=--, xo=O Ixl + 1 x-3

I

e) J(x) =

~ xo

- - furx>2 x- 2 xo = 2 { x-I fur x < 2'

f)

J (x) =

{

x2

fur x> 3

2x - 3

-

ix- !

xo= 3

fur x < 3'

4. We1che der Funktionen J:x~J(x) sind an der Stelle X o bestimmt, we1che unbestimmt divergent? Geben Sie gegebenenfalls an, ob J dort eine Unendlichkeitsstelle mit oder ohne Zeichenwechsel besitzt. 1 a) J(x) = - - , x o = - 2 x+2 c) f(x) =

e) J(x)

=

IX 1. ( x

{

-~}

x

b) J(x)

Xo=

(x - 3)

d) f(x) = tan! x,

0

_1_ fur x> 1 x-I 2 fur x ~ l'

= --2' X o =

Xo=

3

X o = 7!

1

5. Bestimmen Sie mit Hilfe der Grenzwertsatze Satz 4.5 und Satz 4.6 folgende Grenzwerte lim J(x), falls sie existieren. a) J(x)

x2

-2 x -4

= -4-'

d) f(x) =

Xo

2-~, x sgn(x - 3)

g) J(x) =

{

3x 2 -4x

=2

b) J(x)=---,

Xo

2x+5

xo=O

e)f(x)=(_l__ x- 1

=-1

c) J(x) =

~),Xo=l 1- x

(x-2)~ 2 ' x o =2 x +x-6 2

f)f(x)=jx 2-x, x o =l 2x - 2

fur x > 2

4x 2 - 4x - 8 fur x < 2 12 - 3x 2

Xo

=2

sin x 6. Nach (4.25) ist lim - - = 1. Berechnen Sie mit Hilfe dieses Grenzwertes unter Verwendung von Satz 4.7 x-+O

sin4x a) lim-x-+O

x

n

e) lim(l- x)·tan-x x-+ 1 2

x

tan2x b) lim-x-+O sin 5x

sin ax c) lim-.-, x-+O SIn bx

1 - cos x f) lim--2 -

tan x g) lim--

x-+O

x

x-+O

a,bEIR\{O}

d) lim X-Hr\2

(rr--x) ·tanx 2

X

7. Geben Sie die exakten Definitionen (s. Definition 4.6 und Definition 4.7) fur folgende Schreibweisen an: a) lim J( x) = g--xjxo

d) lim J(x) = - ex xlxo

b) limJ(x)

= + ex

c) lim J(x) = +

if)

xjxo

e) lim J(x)

= -

ex

xjxo

8. Berechnen Sie folgende Grenzwerte, falls sie existieren: lnx In(x+h)-lnx a) lim-- b) lim ,X,X+hEIR+ x-+ 1 X - 1 h-+O h

c) limln x-+ 2

jx 2 -4 -X - 2

138

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

4.3 Stetige und unstetige Funktionen 4.3.1 Definition der Stetigkeit Bei der Definition des Grenzwertes einer Funktion fan der Stelle X o ist unerheblich, ob f an der Stelle X o definiert ist oder nicht. 1st jedoch f dort definiert, so kann man f(x o) beliebig abandern, ohne daB der Grenzwert von fan der Stelle x o, falls er existiert, davon betroffen wird. Aus diesem Grunde haben wir Funktionen betrachtet, die auf einer punktierten Umgebung U· (x o) definiert sind. Von besonderer Wichtigkeit sind nun solche Funktionenf: x ~ f(x) , deren Funktionswertf(xo), xoED f' mit dem Grenzwert lim f(x) iibereinstimmt. Man definiert allgemein: x~xo

Definition 4.8 f sei auf Up(x o) definiert. Dann heiBt f an der Stelle X o stetig, wenn

lim f(x) = f(x o)

(4.26)

x~Xo

ist. Bemerkungen: 1. fist also an der Stelle xoED f stetig, wenn der Grenzwert 9 von f an der Stelle X o existiert und f(x o) = gist. 2. Aus der Definition folgt, daB f in einer Umgebung von X o definiert sein muB, damit f an der

Stelle X o iiberhaupt stetig sein kann. 3. Aquivalent zur Stetigkeitsbedingung (4.26) ist die Giiltigkeit einer der folgenden Gleichungen:

!~~ f(x) = f( !~~ x )

(4.27)

lim f(x o + h) = f(x o) h~O

(4.28)

4. Die Definition 4.8lautet im (c, b )-Formalismus: f sei auf U p(x o) definiert. Dann heiBt fan der Stelle X o stetig, wenn zu jedem c> 0 ein b = b(c) > 0 so existiert, daB If(x) - f(xo)1 < c fiir aIle

XE

Up (x o) mit Ix -

X

o1< 1> ist.

5. Man sagt, f sei an der Stelle X o unstetig ), wenn a) f auf U p(x o) definiert, aber in X o nicht stetig"ist, oder wenn b) f zwar nicht in X o, jedoch auf U~(xo) definiert ist. 1

Solche Stellen bezeichnet man als Unstetigkeitsstellen von f. fist z.B. an der Stelle X o unstetig (siehe a)), wenn der Grenzwert an der Stelle X o nicht existiert oder wenn der Grenzwert 9 von f an der Stelle X o zwar existiert, aber f(x o) =I gist.

1) In mancher Literatur bezeichet man

f nur an solchen Stellen Xo als unstetig. die zu Df gehoren.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

139

Beispiel 4.30 a) Jede ganzrationale Funktion (4.29) n

ist wegen lim x~xo

I

n

I

akx k =

k= 0

akxt (siehe (4.23)) fur alle XoE~o stetig.

k= 0

b) Wegen lim cosx = cosX o fur alle xoE[R (s. (4.17)) ist die cos-Funktion fur alle

XoE~

stetig.

x~Xo

Beispiel 4.31 X

3

-1

fur x#- 1

a) Die Funktion f:xl--+f(x) = ;-1 {

fur x = 1

(s. Bild 4.22) ist an der Stelle Xo = 1 unstetig, da lim f(x) = 9 = 3, jedoch f(l) = 2 #- gist. x~l

x

Bild 4.22: fist an der Stelle X o = 1 unstetig

b)

DieFunktionf:x~f(x)=

_1_ fur {

x+1

°

XE~\{ -1}

fur x = - 1

(s. Bild 4.23) ist an der Stelle Xo = - 1 unste~ig, da f fur x ---*

-

1 nicht konvergiert.

2

. Funk·han f : x~--1 x -1 c) DIe

x-

ist an der Stelle (s. Bild 4.24).

Xo =

1 unstetig, da

f

nicht in Xo = 1, jedoch auf

U~(l),

p > 0, definiert ist

140

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

y

?\ f

x

t

x

I

I I I

Bild 4.23: fist an der Stelle

Xo

= - 1 unstetig

Bild 4.24: fist an der Stelle X o = 1 unstetig

Beispiel 4.32 Die Funktion f: x~.fi ist an jeder Stelle XoE [R + stetig. Flir B > 0 und xE[R+ ist

~ I If(x) - f(x o) I = I y r: x - y xol =

r:X-X o~ I < Ix-xol ~ < 8, falls

yX+yX O

yX o

Ix - xol


Fa ·8, so gilt flir alle XE [R + mit 0 ~ Ix Ungleichung l.fi - Fal < 8, also lim .fi = Fa

Wahlen wir zu B > 0 folglich () = 6(8, x o) =

Xo

I< () die

x~xo

Ersetzen wir in der Stetigkeitsbedingung(4.26) den Grenzwert durch einen einseitigen Grenzwert, so gelangen wir zu der Definition der einseitigen Stetigkeit. Definition 4.9

f sei auf [x o, X o + p), P > 0 definiert. Dann heiBt f an der Stelle X o rechtsseitig stetig, wenn lim f(x) = f(x o) ist. xlxo

Bemerkungen:

1. Entsprechend lautet die Definition flir die linksseitige Stetigkeit einer auf (x o - p, x o], p > 0,

definierten Funktion. 2. Ersetzt man in Bemerkung 4 zu Definition 4.8 Up(x o) durch [x o, X o + p) bzw. (x o - p, x o] und Ix - Xo I < () durch 0 ~ x - X o < () bzw. 0 ~ X o - x < (), so erhalt man die der Definition 4.9 entsprechende Definition der rechts- bzw. linksseitigen Stetigkeit im (B,6)-Formalismus. 3. Wenn f auf Up(x o) definiert ist, dann ist f in X o genau dann stetig, wenn die Funktion dort sowohl rechtsseitig als auch linksseitig stetig ist (vgl. Satz 4.4).

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

141

Beispiel 4.33 Die Funktion f:

x~x[xJ

(s. Bild 4.14) ist an der Stelle X o = 2 wegen limf(x) = 4 = f(2) rechtsseitig stetig, jedoch wegen xt2 limf(x) = 2 =1= 4 = f(2) linksseitig unstetig. xj2

Bisher haben wir Funktionen f ausschlieBlich an einer festen Stelle xoED f auf Stetigkeit hin untersucht. Wir wollen nun diese Untersuchung auf Intervalle ausdehnen und definieren: Definition 4.10

f heiBt auf (u, h) stetig, wenn f fur alle xE(a, b) stetig ist. f heiBt auf [u, h] stetig, wenn f auf (a, b) stetig und in a rechtsseitig sowie in b linksseitig stetig ist. Bemerkung:

Entsprechend definiert man die Stetigkeit auf halboffenen Intervallen. Beispiel 4.34 a) Die cos-Funktion ist wegen Beispiel 4.18 auf (- 00, (0) stetig. b) Die Funktion f: x~~ ist auf (0,00) stetig (s. Beispiel 4.31) und an der Stelle rechtsseitig stetig. Foiglich ist f auf [0, (0) stetig. c) Die e-Funktion ist auf ~ stetig. Auf den Beweis verzichten wir hier und verweisen auf Abschnitt 8.2.1.

y

x Bild 4.25: Graph von f: X~ ylr;

Xo

=

°

142

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

4.3.2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen

Wie wir gesehen haben, kann eine Funktion f an der Stelle X o aus verschiedenen Grunden unstetig sein. Wir wollen deshalb die Unstetigkeitsstellen einer Funktion,je nach der Ursache der U nstetigkeit, klassifizieren. Definition 4.11

f

sei in X o unstetig. 1st U nstetigkeitsstelle von f.

f

jedoch fur x ~ X o konvergent, dann heiBt

Xo

eine hebbare

Bemerkungen:

1. Besitzt f an der Stelle X o eine hebbare Unstetigkeitsstelle und ist f stetig fur aIle XED f \ {x o}, dann·ist die Funktion

f(X} h: x~h(x} = { lim f(x} x-+xo

fur x =1= X o fur x = X o

fur aIle XED f stetig. Man hat damit die Unstetigkeit von f in X o » behoben«. 2. 1st X o eine hebbare Unstetigkeitsstelle von f, so ist entweder lim f(x} =1= f(x o} oder fist in X o x-+xo nicht definiert. 1m zweiten Fall sagt man auch, f besitze an der Stelle X o eine Lucke. Beispiel 4.35 Es sei X

f:

XI--> f(x)

y

=

{

2

-4

; - 2

fur x =1= 2 fur x = 2·

----~~;/ I I I

I I I

-----~ I I

I

I I

I

2 Bild 4.26:

f

besitzt an der Stelle 2 eine hebbare U nstetigkeitsstelle

x

2 Bild 4.27: h ist an der Stelle 2 stetig

x

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

143

Da limf(x) = 4 = g, aber 9 i:- f(2) ist, besitzt f an der Stelle X o = 2 eine hebbare Unstetigkeitsstelle x-+2

(s. Bild 4.26). Die Funktion X

h: xf---*h(x) =

ist jedoch fur alle

{

2

-4

: - 2

fur xi:- 2 fur x = 2

XED f

stetig (s. Bild 4.27).

Beispiel 4.36 Die Funktion f:

Xf---*

sin x ist fiir alle x E IR\{O} definiert, an der Stelle x

Xo

= 0 unstetig. Da

lim SIn x = 1 ist (s. (4.25)), besitzt f in X o = 0 eine Lucke (s. Bild 4.4). Die Funktion x

x-+O

h:x~h(x)=

ist fur aIle

XEIR

{

SinX -

f··ur xi:- 0

1

fur x = 0

x

definiert und in X o = 0 stetig. Man hat damit die Lucke »geschlossen«.

Beispiel 4.37 Die Funktion f: X~~ ist an der Stelle X o = 0 unstetig. Dies istjedoch keine hebbare Unstetigkeitsx

stelle, da f fur x ~ 0 nicht konvergent ist.

Definition 4.12

f sei auf U·(x o) definiert. Xo heiBt a) eine Unstetigkeitsstelle 1. Art oder eine Sprungstelle von f, wenn die einseitigen Grenzwerte g + und 9 - an dieser Stelle existieren. aber 9 + i:- 9 - ist. b) eine Unstetigkeitsstelle 2. Art vonI, wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte 9 + oder 9 - an dieser Stelle nicht existiert. Bemerkungen:

1. Besitzt j an der Stelle X o eine U nstetigkeitsstelle 1. Art (Sprungstelle), dann heiBt I9 + - 9 -I der Sprung von f an dieser Stelle. 2. N ach Bemerkung 6 zu Definition 4.7 ist eine Unendlichkeitsstelle von f eine Unstetigkeitsstelle 2. Art. 3. Eine U nstetigkeitsstelle 2. Art X o heiBt speziell eine Oszillationsstelle von j, wenn j an dieser Stelle fur xl Xo und xi x o unbestimmt divergent ist.

144

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Beispiel 4.38

Es sei f: Xf--+ f(x) =

1) ( { Ixl x+-

fur

0 x

x:;6 0

fur x

=

0

Da die einseitigen Grenzwerte

xI(x +~) = lim (- x

lim I xiO

2

X

-

1) = - 1 = g -,

xiO

lim xlO

:;6

IxI(x +~) = lim (x 2 X

xlO

+= 1)

1= g+

o

existieren, aber g- g+ ist, besitztJ(s. Bild 4.28) an der Stelle X = 0 eine Unstetigkeitsstelle 1. Art (Sprungstelle) mit dem Sprung Ig+ - g-' = 2. Beispiel 4.39

X-2 Die Funktion

J:

x~ J (x)

=

fur x
x-I

{

_~

fur x

~

xi!

1

xi!

x-

Stelle X o = 1 eine Unstetigkeitsstelle 2. Art (s. Bild 4.29). Y' ,

I I

I I I I I I

I I I

--~

x

x

Bild 4.28: Sprungstellen von f:

X 1-+ f(x) =

Ixl (x

+;)

Bild 4.29: Unstetigkeitsstelle 2. Art

Beispiel 4.40

Die Funktion f: xf--+sin! (s. Bild 4.10) besitzt an der Stelle Xo = 0 eine Oszillationsstelle, da f fUr x xjQ und xlQ unbestimmt divergent ist. Vor aHem in der Elektrotechnik treten Funktionen auf (s. Bild 4.30), die in einem IntervaH bis auf endlich viele SteHen stetig sind.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

145

Definition 4.13

f

heiBt auf einem Intervall stiickweise stetig, wenn f dort bis auf endlich viele Sprungstellen stetig ist.

Beispiel 4.41 Die Funktion

c f: tl----* f(t) = 2:(( - 1)[t] + 1)

mit tE!R+ und c> 0

beschreibt einen sogenannten Rechteckpuls (s. Bild 4.30). y

c

I I

I I I

a

.....-

~ I I

~

I

I

I

I

I I

I I

I

I

I

I I

I I

I I

I

b

2

Bild 4.30: Auf (a, b) stiickweise stetige Funktion

f

besitzt an den Stellen tE N Sprungstellen mit dem Sprung c und ist an allen iibrigen Stellen tE[R+\N stetig. Foiglich ist diese Funktion aufjedem Intervall (a, b) c !R+ stiickweise stetig.

Art der U nstetigkeitsstelle

Bedingungen lim f(x) = g X-+Xo

hebbare Unstetigkeitsstelle

und g i= f(x o) lim f(x) = g und xO¢D f

U nstetigkeitsstelle 2. Art

Graph von f

=

t(X-l?+

-ih

1

fiir x i= 1 fiir x = 1

2

I

1

x 2 -1 -x-1

g+ und g- existieren in x o, aber g+ i= g-

r-

mindestens g+ oder g- existieren in X o nicht

{X~l

fist fiir x i X o und xl X o unbestimmt divergent (Oszillationsstelle)

1 sinx

-1

~

1

fiir x < 1 fiir x > 1 ~

1

y

x

I

¥ !

x

-I

y

-----l

fiir x

x

71'

) /

1 fiir x

;

I

y

X-+Xo

U nstetigkeitsstelle 1. Art (Sprungstelle)

Beispiel f: X 1----* f(x)

-1i~ I

x

~ Ii ~ x

-I

146

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen

Entsprechend zu Satz 4.5 und Satz 4.6 konnen wir mit Hilfe der folgenden Satze leichter nachweisen, ob eine Funktion f an einer Stelle X o stetig ist. Satz 4.10

Den Beweis dieses Satzes konnen wir mit Hilfe von Satz 4.5 fiihren. Bemerkungen: 1. Dieser Satz gilt entsprechend, wenn sowohl fl als auch f2 in X o rechts- bzw.linksseitig stetig sind. 2. Setzt man fl(X) == CE ~ fur alle XE~, so folgt die Stetigkeit von c· f2 an der Stelle Xo' 3. Sind die Funktionen fi' i == 1, ... , n, in X o stetig, so zeigt man mit Hilfe der vollstandigen Induktion die Stetigkeit von n

L cifi(X), CiE~ fur alle i und von

f: X~

i= 1

n

h: X~ Il fi(X) i= 1

an der Stelle Xo' Beispiel 4.42 Wegen (4.29) und Satz 4.10 ist jede gebrochenrationale Funktion

fur aIle xED ystetig, X o ist eine Unstetigkeitsstelle 2. Art, wenn Pn(X O) #- 0 und qm(X O) == 0 ist. r besitzt in X o eine Lucke (hebbare Unstetigkeitsstelle), falls X o eine k-fache NuIlsteIle (kE N) von Pn und qm ist (s. Satz 4.8). Mit Hilfe der folgenden Satze konnen wir gegebenenfalls die Stetigkeit von zusammengesetzten Funktionen und von Umkehrfunktionen nachweisen, ohne den (8, b)-Formalismus anwenden zu mussen.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

147

Satz 4.11

Den Beweis dieses Satzes findet man z.B. in [4J. Bemerkung:

Unter Beriicksichtigung von Definition 4.10 konnen wir aus diesem Satz folgern: Sind die Funktionen f: DI ~ WI fiir alle XED lund g: WI ~ W g fiir alle XE WI stetig, so ist auch die zusammengesetzte Funktion h == go f: DI ~ W g fiir alle xEDI stetig. Beispiel 4.43 Die trigonometrischen Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. Wir betrachten die Funktion h: xf--->h(x) = cos (X

-~) = sin Xmit XER

Durch f:

x~u ==

ist wegen WI

f(x)

== [R ==

== X -

n

2'

UE [R

und

g: u~g(u)

==

cos u

Dg die zusammengesetzte Funktion h == go f definiert.

Nach Beispiel 4.30 ist f fiir alle XE [R und g nach Beispiel 4.18 fiir aBe UE [R stetig. Folglich ist h, also die sin-Funktion, nach Satz 4.11 fiir aIle XE [R stetig. Hieraus folgt mit Satz 4.10 die Stetigkeit von f1:

sinx cosx

x~tanx = = - -

und f2:

cosx sIn x

x~cotx ==-.-

flir alle XED 11 bzw. alle XED 12. Damit ist die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen nachgewiesen. Satz 4.12

Den Beweis dieses Satzes findet man z.B. in [4J.

148

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Bemerkung:

f - 1 kann unstetig sein auch dann, wenn f stetig und umkehrbar ist. Z.B. ist die Funktion (s. Bild 4.31) f: fur aIle

x~ f(x) = {x

f~r x ~ 0 x + 1 fur x < -1

XE( - 00,

-1) u [0, (0) stetig und umkehrbar. y

y

j-l

f

x

x

f

Bild 4.32:

Bild 4.31: fist stetig und umkehrbaf

f- 1 ist an def Stelle X o = 0 unstetig

Die Umkehrfunktion f-l:X~f-l(X)=

X {

x-I

fur x ~ 0 fiirx
(s. Bild 4.32) ist jedoch an der Stelle OE Wf unstetig. Das ist kein Widerspruch zu Satz 4.12, da D f kein Intervall ist. Beispiel 4.44 Die Funktion

f:xl--->f(x)=sinx

mitxED j

ist nach Beispiel 4.43 fur aIle deren Umkehrfunktion

XED f

=[ -~,~J stetig und umkehrbar (s. Abschnitt 2.5.3). Folglich ist auch

f - 1 = f 1: x \---+ arcsin x fur aIle

XE [ -

1, 1J stetig. Entsprechend folgt die Stetigkeit der Funktionen

f3: x\---+arctan x, fur aIle x aus ihrem Definitionsbereich. Die folgenden Eigenschaften stetiger Funktionen besitzen theoretischen Wert und spielen beim Aufbau der Differential- und Integralrechnung eine wesentliche Rolle. Insbesondere sind dabei solche Funktionen von Bedeutung, die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig sind.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

149

Satz 4.13

Bemerkung:

1st I stetig und an der Stelle X o negativ (positiv), so kann I(x) in einer hinreichend kleinen Umgebung von Xo nicht sprunghaft das Vorzeichen andern (s. Bild 4.33).

y

f x

Bild 4.33: Fur alle

XE U OI

(xo) ist f(x) > 0

Auch den folgenden Satz geben wir ohne Beweis an. Satz 4.14

Bemerkungen:

1. Die Abgeschlossenheit des Intervalls ist eine wesentliche Voraussetzung dieses Satzes.

Die Funktion f: x~ f(x) == ~ mit XE(O, 1J ist zwar auf (0, 1J stetig,jedoch wegen lim f(x) == nicht beschrankt. x xl 0

00

2. Der Satz ist nicht umkehrbar, d.h. aus der Beschranktheit von f auf [a,b] folgt i.a. nicht die Stetigkeit. Zum Beispiel ist die Funktion f: x-+sgn x

(s. Bild 2.7) auf IR beschrankt, aber in X o ==

°

unstetig (Sprungstelle).

1m Hinblick auf den nachsten Satz benotigen wir folgende Begriffe.

150

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Definition 4.14

Man sagt, f besitze an der Stelle xMED f ein absolutes Maximum M == f(x M), wenn f(x)

~

f(x M) == M

fur aIle XED fist,

(4.31)

und an der Stelle xmED f ein absolutes Minimum m == f(x m), wenn f(x)

~

f(x m ) == m fur aIle XED fist.

(4.32)

M und m heiBen die absoluten Extremwerte von f. Bemerkung:

1st f auf D f beschrankt, so besitzt W f nach Abschnitt 1.3.3 die obere Grenze sup W f und die untere Grenze inf Wf. Diese Werte miissen jedoch von f nicht angenommen werden, d.h. es mussen nicht notwendig Werte Xl' X2 ED f so existieren, daB f(x l ) == inf Wf und f(x 2 ) == sup Wf ist. Sindjedoch sup Wf bzw. inf Wf Elemente der Wertemenge Wf' dann heiBen sie nach obiger Definition absolutes Maximum bzw. absolutes Minimum von f, und man bezeichnet sie mit Mbzw.m. Wie der folgende Satz zeigt, gehort bei einer auf einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktion sowohl die obere als auch die untere Grenze ihres Wertebereichs Wf stets dieser Menge an. Satz 4.15 (Satz von WeierstraB)

Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir (s. z.B. [lJ). Beispiel 4.45 Die Funktion f:

1

XH--- 2

1 +X

mit

XE[ -1,3J

ist aufihrem Definitionsbereich stetig und besitzt damit nach Satz 4.15 ein absolutes Maximum und absolutes Minimum, namlich M == 1 und m == -to. Diese Werte werden an der Stelle X M == 0 und X m == 3 angenommen, da f auf [ -1, OJ streng monoton wachsend, auf [0, 3J streng monoton fallend ist. F olglich ist to == f(3) ~ f(x) ~ f(O)

(s. Bild 4.34).

==

1 fur aIle

XE [

-1, 3J.

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

151

y

y

M

-1

3 x

2

1

1

Bild 4.34: - = m ~ - -2 ~ M = 1 fur alle XE[ - 1, 3J 10 1+x

2

BUd 4.35: Absolute Extremwerte von!: x

1-7

x

x(x2 - 4)

Der Satz von WeierstraB sagt nur etwas tiber die Existenz der absoluten Extremwerte aus. Er besitzt keine praktische Bedeutung, da aus ihm kein Verfahren zur Berechnung der absoluten Extremwerte von auf [a, b] stetigen Funktionen abgeleitet werden kann. Jedoch kann man die absoluten Extremwerte z. B. der Funktion f: Xl--+x(x 2 - 4)

mit XE[ - 2,2]

(s. Bild 4.35) mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen (s. Abschnitt 8.7.2). Ohne Beweis sei mitgeteilt, daB das absolute Maximum von f an der Stelle XM == - ~J3, das absolute Minimum von f, da f ungerade ist, an der Stelle Xm == ~J3 angenommen wird. Folglich ist

- ¥J3 == f(x

m)

;£ f(x) ~ f(x M )

==

¥J3

fiir aIle XE [ - 2, 2]. Der folgende Satz gibt eine (anschaulich selbstverstandliche).Eigenschaft einer stetigen Funktion wieder. Verlauft der Graph einer stetigen Funktion durch einen Punkt oberhalb und einen Punkt unterhalb der x-Achse, so muB er zwischen diesen Punkten mindestens einmal die x-Achse schneiden. Satz 4.16 (Satz von Bolzano)

Bemerkungen: 1. Dieser Satz findet z.B. bei der Lasung von Gleichungen Anwendung. Kann man namlich ein Intervall [a, b] angeben, in demdie Funktion f die Voraussetzungen des Satzes von Bolzano

erfiiIlt, so muB in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle von f liegen. Durch wiederholte Halbierung der Intervalle laBt sich diese Nullstelle immer genauer einschachteln, wenn man jeweils das Halbierungsintervall wahlt, auf dem f die Voraussetzungen des Satzes von Balzano erfiillt.

152

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

2. 1st f unstetig, so gilt die Aussage des Satzes i.a. nicht. Die Funktion

f:

XI-->

f(x) = { ;

fur - 1 ~ x < 0 fiir 0;;; X ;;; 1

(s. Bild 4.36) z.B. besitzt in [ -1, 1J keine Nullstelle, obwohl f( -1)f(1) < 0 ist. fist an der Stelle 0 unstetig. y

f

y

-1

~-l Bild 4.36:

f

x

besitzt auf [ - 1, 1] keine Nullstelle

a

x

~3

Bild 4.37: f(x)

~

0 fur aIle xEL

Beweis zu Satz 4.16 Wir wollen annehmen, daB f(a) < 0 und f(b) > 0 ist (s. Bild 4.37). Fur den Fall, daB f(a) > 0 und f(b) < 0 ist, verHiuft der Beweis entsprechend. Es sei

L=={xlxE[a,bJ

und

f(x)~O}

(s. Bild 4.37).

Wegen aEL und x < b fur aIle XEL ist L nicht leer und nach oben beschrankt. Foiglich besitzt L eine obere Grenze ~ == sup L. Wir zeigen, daB f(~) == 0 ist. Indirekter Beweis: Gegenannahme: Es sei f(~) =1= 0 Dann gilt f(~) > 0 oder f(~) < o. Es sei f(~) > o. Dann existiert nach Satz 4.13 eine Umgebung Ub(~) mit f(x) > 0 fur aIle XE Ui~). Fur aIle XE(~ - b, ~) ist daher f(x) > O. Dann ist sup L ~ ~ - b (Widerspruch). Entsprechend fuhrt die Annahme f(~) < 0 zu einem Widerspruch. Foiglich ist f(~) == o. Als Verallgemeinerung von Satz 4.16 erhiilt man

Satz 4.17 (Zwischenwertssatz)

•

4.3 Stetige und unstetige Funktionen

153

Beweis:

Wir nehmen an, daB f(a) < f(b) ist (s. Bild 4.38). Fur den Fall, daB f(a) > f(b) ist, verHiuft der Beweis entsprechend. Es sei f(a) < A < f(b) und g: x~g(x) = f(x) - A. gist auf [a, bJ stetig, weil f dort stetig ist, und es gilt g(a) = f(a) - A < 0

und

g(b) = f(b) - A >

o.

Folglich ist g(a)g(b) < 0, und g erfullt die Voraussetzungen des Satzes von Bolzano (s. Satz 4.16). Also existiert mindestens ein ~E[a, bJ mit 0 = g(~) = f(~) - A bzw. f(~) = A. • Bemerkungen: 1. Aus dem Zwischenwertssatz und dem Satz von WeierstraB folgt, daB die Wertemenge W f

einer auf einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktion wieder ein abgeschlossenes Intervall is1. 2. Es existieren auch unstetige Funktionen, die die Zwischenwerteigenschaft besitzen. Zum Beispiel besitzt die Funktion (s. Bild 4.39) f:

x~ f(x) =

{x +x 1

f~r -

fur

x

1~ < 0 0~x~ 1

die Funktionswerte f( -1)=0 und f(1)= 1, und f nimmtjeden Wert AE(O, 1) genau zweimal an, obwohl f auf dem Intervall [ -1, IJ unstetig is1.

y

feb) y

1 f(a) a

Bild 4.38:

~3

f nimmt an den Stellen (iE(a, b) den Wert A an

b

x

-1 Bild 4.39:

x

f besitzt auf [ - 1, 1J die Zwischenwerteigenschaft, ist aber in 0 unstetig

3. Ohne Beweis sei mitgeteilt: Eine auf [a, bJ monotone Funktion fist genau dann stetig, wenn sie auf [a, bJ die Zwischenwerteigenschaft besitz1.

154

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Aufgaben: 1. Zeigen Sie mit Hilfe des (c, c5)-Formalismus, daB folgende Funktionen j: XH j(x) an der Stelle Xo stetig sind:

a) j(x) = 2x - 1,

d)

1 c) j(x)=-,

=1

Xo

e) j(x)=-,

x+1

1 x m sin x

fur x =P 0

o

fur x = 0

{

2X 2 -S

x2

j(x)=~, x o =2

g) j(x)=

x o =-2

x

xo=O

f) f(x) =

{

fur x =P 2

8x-2

, x o =2

fur x = 2

mEN,xo=O

2. Welche der folgenden Funktionen j: x H j(x) sind an der Stelle Xo stetig, we1che unstetig? (Begrundung!) x 2 + 2x + 2 a) j(x) = { x+2

x-Ixl c) f(x) =

{

fur XE( - 00, - 1J fur XE( - 1,(0), ,

fur x =P 0

2 x fur x =

e) j(x)

1

= .

sIn x

+ cosx

°

Xo

=0

, xo=in

Xo

= - 1

b)j(x)=x-[xJ,

1 d)j(x)=-, x tan2 f) j(x) =

x o =1

xo=n

J

x-l ' 2 x +x-2

IX1(X - 1)2 g) j(x) = ( -

l)[x],

2

Xo =

h) j(x) =

{

Xo

=-1

fur x =P 0

x

o

X o =0

fur

x=o

3. Sind folgende Funktionen f: x ~ f(x) auf dem Intervall [a, b] stetig oder unstetig? Skizzieren Sie den Graph vonfund begriinden Sie das Ergebnis.

a)j(x) =

fi+ 1 { -x+1

c)j(x) = [!xJ -1,

e) j(x)

fur

x~O

fur x <0'

[- 5, 5J

[-2,4J

*b)j(x)=lx-[x+!JI,

d) j(x)=

[-2,2J

sin x fur -x 2 +2x fur { 1 fur

-2n~x<0 0~x<2

[-2n,3J

2~x~3

1 f) j(x)=--, [-4,OJ Ix+2\

x

= - 2 - ' [0,5J x -1

4. An welchen Stellen Xo sind folgende Funktionen j: XH j(x) unstetig? Klassifizieren Sie die Unstetigkeitsstellen.

x 2 +2x+ 1 a) j(x) =

{

fur x#-1

2 x+ 1

fur X= -1

x-2

b) j(x) =-2x -4

4.3 Stetige und unstetige Funktionen c) f(x) = {Sin 3X - 2 x

x

fiir x> 0

1 d) f(x)=sin--

fur x ~O

2

X-TC

1

f)f(x)=--

e) f(x) = Isgn xl

Isgnxl fur O<x< 1

-x+2 g) f(x) = {

cosx 0

fur

O~X
fur

n~x

<2rc

periodisch mit p=2n

= (x _

o

h) f(x) =

fur

2~-1

x-I 1 j) f(x)=~sin-

x

i) f(x)

3)2

X=

1

fur l<x<4

x

5. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 4.10, Satz 4.11, und Satz 4.12, daB folgende Funktionenf: x x E D max stetig sind. Wie lautet der Grenzwert vonf fur x ~xo? ~ TC X a) f(x) = v cos2x, X o = -4 b) f(x) = - - - , X o = TC TC + tanx

~ c)f(x)=--, x-I e) f(x) =

g) f(x)

=

x o =2

Jl (x

3

-

155

+

1)2

--

3 x-I

1 arcsin--,

x-I

d) f(x) =

,

Xo

Xo =

=-2

1+

(x + 3)(2x - 1) 2

x

+ 3x-2

'

Xo

~

f(x) fUr aBe

= 1

2x

f) f(x)=-.-,

Slnx

J2

6. Gegeben sind die umkehrbaren Funktionen f:

Xf---* f(x).

Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen f-

1

und

untersuchen Sie, ob diese Funktionen stetig' sind.

X2

a) f(x) =

{

x-

1

{ n-~ arCSin~

fur 0 ~ x ~ 1 f" 2 - <- 3 ur <x=

b)f(x)=

fur 0 fiir

2x-2

~x~2

2<x~4

7. Gegeben sind die Funktionen f: x~ f(x). Bestimmen Sie die Konstante aElR so, daB fan der Stelle X o stetig ist. ax2

a) f ( x)- { x

+3

+1

fur x > 1 fur x ~ l'

8. Besitzen folgende Funktionen f: Sie den Wertebereich Wf an.

x-I 0 -

Xf---*

b) f(x) =

a fur - 1 < x ~ 0 x+l . , { slnO,5x fur 0< x ~4 2x

f(x) absolute Extremwerte? Bestimmen Sie sie gegebenenfalls, und geben x2

a)f(x)=x2 +2x-l, xE[-2,3]

b) f(x) = x 2 + l'

d) f(x) = 11- sinxl

e) f(x)=-x2 + 1

X E

a) f(x)=x -2x-2

[0,4]

c) f(x)

x

=--

Ixl-l

2x

9. Geben Sie ein Intervall [a, bJ an, in dem die Funktion f: 2

xo=O

3

b) f(x) = -x -x+3

x~ f(x)

c) f(x)=2x-cosx

genau eine Nullstelle besitzt. d) f(x)=~-x+2

156

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion In Abschnitt 2.4 haben wir aq , aE[R+ und qEQ, definiert, Mit Hilfe der e-Funktion und InFunktion erhalten wir wegen 3.21 aq

== eq1na fur aIle qEQ, aE[R+.

(4.33)

Durch Verallgemeinerung dieses Ausdrucks erhalt man Definition 4.15 Es sei aEIR+\ {I} und bEIR. Dann setzt man (4.34) Die Funktion

f:

a)

x~aX mit XE IR,

(4.35)

heiBt Exponentialfunktion zur Basis a oder allgemeine Exponentialfunktion, f:

b)

X~Xb mit

xEIR+

(4.36)

heiBt allgemeine Potenzfunktion. Bemerkungen:

1. Die e-Funktion ist ein Sonderfall von (4.35). 2. Setzt man a == 1, so ist Ina == 0, d.h. IX == eX'o == 1. Foiglich istf: x~lx, xEIR, eine konstante Funktion. 3. Die allgemeine Potenzfunktion stimmt fur rationale Exponenten (bEQ) mit der in Abschnitt 2.4 eingefuhrten Potenzfunktion uberein. Mit (4.36) haben wir nun die Potenz x b auch fur irrationale Exponenten erklart.

Den Beweis des folgenden Satzes, der Regeln zum Rechnen mit dem Ausdruck (4.34) enthalt, stellen wir als Aufgabe. Satz 4.18

Setzt man h:x~h(x) == xlna

mit xEIR,aEIR+

und g: u~g(u)

== e

U

mit uEIR,

4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion so ist Wh = Dg = f: XH' f(x)

~,d.h.

=

157

die zusammengesetzte Funktion f = goh existiert, und es gilt

aX.

Unter Beachtung der Eigenschaften zusammengesetzter Funktionen erhalten wir Satz 4.19

Den Beweis dieses Satzes stellen wir als Aufgabe. Bild 4.40 zeigt den Graphen der Exponentialfunktion (4.37).

y

y=a

x

x

x

Bild 4.40: Graph von f:xHa x

Bild 4.41: Graph von f:XH loga x fur a > 1

N ach Satz 4.19 ist die allgemeine Exponentialfunktion fur aIle aE ~ + \ { 1} streng monoton. Sie besitzt folglich eine Umkehrfunktion, die man mit loga bezeichnet (s. Bild 4.41). Definition 4.16 Es sei aE~+\{l}. Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion f: XH'a X heiBt Logarithmusfunktion zur Basis a oder allgemeine Logarithmusfunktion. Schreibweise: loga: xH'logax

158

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Bemerkungen: 1. Ais Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion besitzt die Ioga-Funktion den Definitionsbereich D 10ga = ~+ und den Wertebereich ~oga = ~ (s. Definition 2.2). 2. Wegen des Zusammenhangs, der zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion besteht (s. Abschnitt 2.1.2), gelten die sogenannten Iogarithmischen Identitaten

= x fur aIle XEIR alogax = x fur aIle x EIR +

Iogaa X

(4.38) (4.39)

3. Wlihlt man speziell a = 10 bzw. a = e, so erhlilt man den dekadischen bzw. den natiirlichen Logarithmus. Schreibweise:

IOg10X = Ig x logex = In x

dekadischer Logarithmus natiirlicher Logarithmus

Die Ioga-Funktion besitzt entsprechende Eigenschaften wie die In-Funktion (siehe Satz 3.10). Zuslitzlich konnen wir Aussagen tiber die Stetigkeit und das Grenzwertverhalten dieser Funktion machen.

Satz 4.20

Bemerkung: Wegen a = e > 1 folgt aus e) bzw. f) nun: Die In-Funktion ist auf IR + stetig und es gilt: lim In x = X-+ 00

+ 00

und lim In x = -

00.

xlO

Beweis: Wir zeigen nur c) und uberlassen den Beweis der iibrigen Formein dem Leser als Ubungsaufgabe.

4.4 Allgemeine ExponentiaI- und Logarithmusfunktion Es sei

aE [R + \ {I}

und

XE [R +.

Dann gilt fur

159

exE [R

u = Iogax~aU = x~(auyx = aU'1X = XIX~U·ex = IogaxlX~exlogax = 10ga xIX

•

Der folgende Satz zeigt den Zusammenhang zwischen allgemeinen Logarithmusfunktionen verschiedener Basen:

Satz 4.21

Beweis siehe Aufgabe 3. Bemerkung: Ersetzt man in (4.40) b durch a und a durch e bzw. x durch a, so erhalt man In x = In a·Iogax

oder

Inx

Iogax = -

bzw.

Ina

Iogab·Iogba = 1

(4.41)

Beispiel 4.46

d.h. fur ex, f3 E [R + wachst ePx fur x ~

00

schneller als XIX, und zwar so schnell, daB sogar der Quotient

XIX

-P ~ 0 strehl.

e

x

Wegen Satz 3.10 und der Monotonie der e-Funktion gilt fur

exE[R+

In u ~ u - 1 < U=> ex In u = In ulX < ex· u => e1n u(J, = ulX < elXU flir aIle

UE [R +.

Setzt man hierin exu = f3x,

XIX (ex)1X -f3)1X ·xlX<ePX~-< ( ex ePx f3

f3E [R +,

fur alle

xE[R+

Da dies flir jedes cxE[R+ gilt und mit ex auch (ex (statt ex) gultig: XIX (ex + 1)1X + 1 1 0< -P < - .- fur aIle e x f3 x

Fur x

~ 00

so gilt

+ I)E[R+ ist, ist diese Ungleichung auch fur (ex + 1)

xE[R+.

erhalt man nach Satz 4.9 die Behauptung (4.42).

XIX (In uY Setzt man in (4.42) x = In u, so ist wegen -P = --P- nach Satz 4.7

eX

u

160

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

f3 E rH + wachst uP fiir u --+ 00 schneller als (In u yx, und zwar so schnell, daB sogar der (In uyx Quotient --P- --+ 0 strebt. u

d.h. fiir

(J"

Beispiel 4.47 Es gilt lim

XX

=1

xlO

Es ist

1

XX

= ex1nx • Setzt man x = -, so ist wegen Satz 4.7 und (4.43) u

1 1 In u lim x In x = lim -In - = - lim - = u~oo

xlO

U

u~oo

U

o.

U

Hieraus folgt wegen der Stetigkeit der e-Funktion lim

XX

= lim ex1nx = eO = 1.

xlO

xlO

Bild 4.42 zeigt den Graphen der Funktion f: X 1--* f(x) =

XX.

Aufgaben: 1. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen f: a) f(x) = - (!)IXI

b) f(x) = 19lx -11

x~ f(x):

c) f(x) = IIg(x -1)1

d) f(x) = log2~

2. Zeigen Sie: 1st (xn>,x n> 0 fiir aIle nEN, eine geometrische Folge, dann ist (logaxn> eine arithmetische Folge. 3. Beweisen Sie Satz 4.21. 4. Es sei a, bE [R + \ { I} und a > b. Zeigen Sie: logax ~ logbx

fiir aIle x

~

1.

5. Losen Sie folgende Gleichungen: a)

! 19(x -

3) + 19i = 1-lgfi+3 b) 2X

-

6·2- X + 1 = 0

c) (!)lgx -12·3 1gx + 1 = 0

*6. Zeigen Sie: a) limxctlnx=O,c<E[R+ xLO

b) lim xX=

00

c) lim x sinx = 1 xLO

y

a

x

x e Bild 4.42: Graph von

x~xX

Bild 4.43: Kettenlinie

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen 7. Zeigen Sie: Die allgemeine Potenzfunktion f: X~ f(x) Anleitung: Verwenden Sie x a = e a1nx . 8. Beweisen Sie Satz 4.18. 9. Beweisen Sie Satz 4.19.

=

xO:, CXE IR, ist auf (0, 0Cl) stetig und fur cx #

161

° streng monoton.

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Bei der Beschreibung physikalischer Vorgange treten bestimmte Linearkombinationen der Exponentialfunktionen 11: x~ex und 12: x~e -x auf. Beispiel 4.48 Hangt man eine vollkommen biegsame und unelastische Kette an zwei festen Punkten freihangend auf, so nimmt sie in ihrer Gleichgewichtslage in einem Schwerefeld, bezogen auf ein geeignet gewahltes Koordinatensystem, die Gestalt der Kurve y = a(e bx + e- bx ),

a, bE~+

an (s. Bild 4.43), wobei a und b durch die physikalischen Gegebenheiten bestimmt sind. Man vereinbart allgemein: Definition 4.17

Unter den hyperbolischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen versteht man die Funktionen sinh: x~1(eX - e- X) = sinh x mit XE~ 1)

+ e- X) = cosh x mit XE~

cosh:

x~i(eX

tanh:

x~--h-= tanh x

sinh x COS x

. mIt

XE~

cosh x . coth: x ~-'-h- = cothx mIt XE~\ {O} SIn x

Bild 4.44 und Bild 4.45 zeigen die Graphen dieser Funktionen. Bemerkung:

Man bezeichnet diese Funktionen als Hyperbel- oder hyperbolische Funktionen, da man gewisse Beziehungen zwischen diesen Funktionen an der Einheitshyperbel graphisch deuten kann. Entsprechende Uberlegungen konnten wir fur die Kreis- oder trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis durchfuhren. Beachtet man, daB die hyperbolischen Funktionen die Summe, Differenz bzw. Quotient der Funktionen 11:x~1ex und 12:x~1e-x sind, dann laBt sich mit Hilfe der fur die e-Funktion nachgewiesenen Eigenschaften folgender Satz beweisen: 1) Sprechweise: sinus hyperbolicus oder hyperbolischer Sinus x usw.

162

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit y

y

x

y= sinh x

Bild 4.44: Graphen der Funktionen f:x~sinh x und f: x~cosh x

Bild 4.45: Graphen der Funktionen f:x~tanh x und f:x~coth x

Satz 4.22

Folgende Beziehungen lassen die Analogie zu den trigonometrischen Funktionen erkennen. Satz 4.23

Beweis siehe Aufgabe 8 Bis auf die cosh-Funktion besitzen die hyperbolischen Funktionen Umkehrfunktionen. Die Restriktion der cosh-Funktion auf IRri ist jedoch streng monoton und folglich auch umkehrbar. Man definiert:

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

163

Definition 4.18

Die Umkehrfunktionen der sinh-, tanh-, coth-Funktionen und der Restriktion der coshFunktion auf lRt heifien Areafunktionen. Schreibweise: arsinh: lR ~ lR mit x~arsinhx 1) arcosh: [1, 00 ) ~ lRt mit x~arcosh x artanh: (- 1, 1) ~ lR mit x~artanhx arcoth: lR\ [ - 1, 1] ~ lR\ {O} mit x~arcoth x Bemerkung:

In einem u, v-Koordinatensystem lautet die Gleichung der Einheitshyperbel u 2 - v2 Wegen u

2

=

=

1.

1 + v2 ~ 1 kann man

u = cosh x,

v = sinh x,

XElR 2

(4.44) 2

2

2

setzen und erhalt nach Satz 4.23 u - v = cosh X - sinh x = 1, d.h. (4.44) liefert eine Darstellung des (wegen u = cosh x ~ 1 fur alle XE lR) rechten Astes der Einheitshyperbel (s. Bild 4.46) 2). 1st OL der Hyperbelsektor OPSP 1 (s. Bild 4.46), so lafit sich mit der Integralrechnung beweisen, daB A = x = arcosh u der Flacheninhalt von OL ist. Hieraus erklart sich der Name »Area-Funktion« (area (la1.) = Flache). Zwischen den Areafunktionen und der In-Funktion besteht ein enger Zusammenhang. Zum Beispiel erhalt man wegen y = i (eX - e - X) = sinh x 2y = eX - e- x<=>e 2x - 2ye X- 1 = O<=>(e X- y)2

= 1 + y2 <=>e X= y ±

Jf+?

u A = x= arcosh u

Bild 4.46: Geometrische Deutung der Hyperbel- und Areafunktionen an der Einheitshyperbel 1) Sprechweise: area sinus hyperbolicus von x, usw. 2) Eine solche Darstellung bezeichnet man als Parameterdarstellung des Hyperbelastes (s. Band 2, Abschnitt 1.1.1).

164

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Da eX> 0 flir aIle x

XE~

ist, kann in der Ietzten Formel nur das » +« Zeichen geiten. Foiglich ist

= arsinh y = In (y + J1+7) flir aIle yE ~

Entsprechende Rechnungen ergeben (Beweis s. Aufgabe 9): Satz 4.24

Mit Hilfe von Satz 2.1, Satz 4.12 und den Eigenschaften der In-Funktion Hiilt sich folgender Satz beweisen: Satz 4.25

Bild 4.47 und Bild 4.48 zeigen die Graphen der Areafunktionen. y

y

x

Bild 4.47: Graph der Funktionen f: x~arsinh x und f:x~arcosh x

Bild 4.48: Graph der Funktionen f: xl-----tartanh x und f:xl-----tarcoth x

4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

165

Beispiel 4.49 Gleitet ein vollkommen biegsames Seil der Lange 1 und der Masse m reibungslos iiber eine Tischkante (s. Bild 4.49), so folgt aus dem Newtonschen Gesetz x = x(t) = xocosh fit.

Bild 4.49: Gleitendes Seil

Hierbei ist g die Erdbeschleunigung, und X o = x(O) kennzeichnet die Lage des Seils, wenn es zur Zeit t = 0 losgelassen wird. Zur Bestimmung des Zeitpunkts t z, zu dem das Ende E des Seils die Tischkante verlaBt, setzen wir x = 1und erhalten

oder

Beispiel 4.50 Nimmt man an, daB beim freien Fall eines Korpers der Masse m der Luftwiderstand proportional dem Quadrat seiner Geschwindigkeit U ist, so ergibt sich v = v(t) =

r;;g tanh

~a

ra.

~;;;g

gt

Hierbei ist g die Erdbeschleunigung und a> 0 die Proportionalitatskonstante. Nach langerer Fallzeit (t ~ (0) geht die Geschwindigkeit U wegen lim tanh bt = 1, bE ~+, in die stationare t---+ 00

Geschwindigkeit

v = s

(mY

(4.45)

~~

iiber. Zur Berechnung des Zeitpunktes t s' zu dem der Korper 99% der stationaren Geschwindigkeit Us = 300m/s erreicht hat, setzen wir u = 0,99 Us und erhalten wegen (4.45) aus 0,99us =

g

Us

tanh - t s Us

166

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

die gesuchte Zeit V

t s == - s .artanh 0,99 == 80,9 s. g

Aufgaben: 1. Zeigen Sie: a) cosh 2 x

+ sinh 2 x = cosh 2x

2 1 c) 1- tanh x = - -2cosh X

b) 2 sinh x cosh x = sinh 2x 2 1 d) 1-coth X= - - sinh 2 x

2. Lasen Sie folgende Gleichungen: a) arsinhx - arcosh(x + 1) =

° b) In(2x + fi) - arsinh2x = °

3. Beweisen Sie: a) lim tanh x = 1

b) limarcothx=oo x! 1

sinh x c) lim--=l x-"O x

1 d) limxtanh-=l X

4. Zeigen Sie, daB folgende Funktionen f: x f---+ f(x) auf den angegebenen Intervallen umkehrbar sind. Geben Sie f- 1 und D f - 1 an. a) f(x) = In(l

+ sinh x 2 ),

b) f(x) = arcoth~, c) f(x) = e-tanh3x,

XE[O,

(0)

XE(O, (0) XE( - 00,(0)

5. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen f: Xf---+ f(x): 1 a)f(x)=tanhx

1 b)f(x)=xtanhx

c) f(x) = arcoshlx + 11

tanh x d)f(x)=-cothx

6. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von 1 f: Xf---+ -4- - - -2e - 2 - 4e 2 sinh x

7. Stellen Sie jede Hyperbelfunktion durch eine der iibrigen Hyperbelfunktionen (derselben Variablen) dar (vgl. Tabelle 2.1). 8. Beweisen Sie Satz 4.23 9. Beweisen Sie Satz 4.24 10. Beweisen Sie: a) arsinh Xl + arsinh X 2 = arsinh(x i . .J'x~ + 1 + X2 . .Jx~ + 1) fur aIle Xl' b) arcoshx 1 + arcoshx 2 = arcosh(x1x 2 +

X2 E

Jxt -l·Jx~ -1) fur aIle X ,X 1

~

2 E[1, (0)

4.6 Spezielle Grenzwerte In diesem Abschnitt stellen wir eine Anzahl spezieller Grenzwerte zusammen, die wir zum

weiteren Aufbau der Differential- und Integralrechnung benotigen.

4.6 Spezielle Grenzwerte

167

Beweis: 1

Nach Satz 3.10 ist 1 - -;£ In u ~ u - 1 fur alle

uE!R+.

Setzt man

U ==

U

x + 1, so gilt

1 __ 1_ ==_x_:::; In(x + 1):::; (x + 1) _1~_1_:::; In(x + 1):::; 1 x+1

x+1-

-

x+1-

x

-

•

fur x i= O. Mit Hilfe von Satz 4.9 erhlilt man fur x -.0 die Behauptung. Nach (4.41) ist lnx == lna'logax fur aIle aE!R+\{1} und Ioga(x + 1) In(x + 1) 1 == '-: wegen x x Ina

XE!R+.

FolgIich erhalt man aus (4.46)

Aus (4.46) folgert man wegen der Stetigkeit der In-Funktion 1 == lim

x-"'o

[~x In (x + 1) J== lim [In(1 + x) Ix] == In [ lim (1 + x) Ix J' 1

x-"'o

1

x-"'o

d.h. wegen In e == 1 und der Umkehrbarkeit der In-Funktion

d.h. nach Satz 4.7

Beweis: Setzt man aX == 1 + u > 0, so ist x == loga(1 + u), und wegen der Stetigkeit der allgemeinen Exponentialfunktion gilt U -.0 fur x -. O. F olglich ist nach (4.47) und Satz 4.7

. aX - 1 l' U 11m - - == 1m - - - X-"'O

X

u-"'o

loga(1

+ u)

1 . Ioga(1 + u) 1I m - - - -

- - - - - == u-"'o

U

In a.

•

168

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Aus (4.50) folgt speziell fur a == e wegen In e == 1

ex

Wegen - x1 -x =

-e

x

e-

1 folgt aus dem letzten Grenzwert wegen eX~ 1 fur

x~o

x

d.h. a Px, a > 1, wachst fur x ~ 00 schneller ais

X

CX

X

CX

fur alle It, f3 E IR + , und zwar so schnell, daB {IX ~ 0

a

strebt.

Beweis: N ach (4.42) ist lim

x~oo

~: =

e

0 [ura, pE IR +. Setzt man hier x = u In a, a E( 1, CXJ), so ist wegen u -+ CXJ fUr CX

x ~ 00 und Satz 4.7:

0 == lim

X fiX

x~ooe

== lim

CX U

/iU (In a)CX

u~ooa

== (In a)CX lim

CX U

CX

/iU'

u~ooa

d.h.

lim

U pU

u~ooa

== o.

•

Beweis: Setzt man (1 (1

+ x)CX -

+ x)CX -

1 == U, so gilt u ~ 0 fur x ~ 0, und es ist

1 == u<=>(1 + x)CX == u + 1<=>a In(l + x) == In(1

+ u) # o.

Fur x> - 1 und x # 0 (d.h. u # 0) erhalt man In(1 + x) x

(1 + x)CX - 1 U u a In (1 + x) - - - - == - == _. == It - - X X x In (1 + u) In(1 + ur

u " (1 d.h. wegen (4.46), Satz 4.5 und Satz 4.7 hm x~o

+ x)CX x

1

" In(1 + x) II m - - -

== a·

x~o

x

I (1

) ==

I"I m n +U --u~O

U

It.

•

5

Die komplexen Zahlen

5.1 Definition der Menge C Nach (1.22) haben die reellen Zahlen u.a. die Eigenschaft, daB ihre Quadrate immer graBer oder gleich Null sind. Deshalb hat die Gleichung x 2 = - 1 im Reellen keine Lasung. Formal bietet sich als eine Lasung dieser Gleichung das Symbol )--=-1 an. Aus dem vorher Gesagten folgt, daB) - 1 sicher keine reelle Zahl ist. Insofern ist auch nicht bekannt, welchen Rechengesetzen dieses Symbol unterliegt. Als Lasung von x 2 = - 1 mliBte flir x =)=1 auf jeden Fall gelten

Verwenden wir das Symbol )--=-1 zunachst formal, so wlirde sich z.B. die Gleichung x 2 + 4x + 13 = 0 wie folgt lasen lassen: (x + 2)2

+9= 0

<=>

(x + 2)2

= -1·9

x+2

=

x

= - 2 ± 3·)--=-1.

<=>

± 3·)--=-1

<=>

Allgemein wtirden wir ftir die quadratische Gleichung x

2

+ px + q = 0

folgende Lasungen erhalten:

fUrGY -q~O:

X 1 •2

= -~±J(~Y -q,

fUr(~Y -q
a+

170

5 Die komplexen Zahlen

1st Zl = a 1 + j-=--i'b 1 und Z2 = a 2 + j-=--i'b 2 , dann bietet sich unter Verwendung der Rechengesetze reeller Zahlen als Addition an: Zl

+

Z2

(5.1)

= a 1 + a 2 + j-=--i'(b 1 + b 2 )

und als Multiplikation (wegen j-=--i.j-=--i = -1): Zl' Z2 = a 1a 2 - b 1b 2 + J-=-i"'(a 1b 2 + a 2b 1)·

(5.2)

In beiden Fallen erhalten wir wiederum nicht definierte Summen zwischen einer reellen Zahl und einem nicht definierten Produkt zwischen einer reellen Zahl und dem Symbol J-=-i". Es ist zweckmaBig, statt des (nicht definierten) Ausdrucks a + j-=--i'bgeordnete Zahlenpaare (a,b), a,bEIR zu betrachten. Sind Zl =(a l ,b 1 ), Z2 = (a 2 ,b 2 ), so ergibt sich nach (5.1) und (5.2): (5.3) (5.4) Definition 5.1

In der Menge {(x, y) IX, yE IR} aller geordneten Zahlenpaare definieren wir a) (Xl' Yl) + (X 2, Y2) = (Xl + X2' Yl + Y2) b) (Xl' Yl)'(X 2, Y2) = (X 1 X 2 - Y1Y2, X1Y2 + X2Yl)

Addition Multiplikation

Die mit diesen zwei Rechenoperationen versehene Menge bezeichnet man mit C. Jedes Element von C heiBt eine komplexe ZahI.

Bemerkung:

Zwei komplexe Zahlen Zl Xl = X 2 und Yl = Y2 ist.

= (Xl' Yl)' Z2 =

(X 2, Y2) sind demnach genau dann gleich (Zl

= Z2)' wenn

Beispiel 5.1 Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. a) b) c) d) e)

(3,2)+(4,-3)=(7,-1); (3, - 6) + (0,0) = (3, - 6); (3,2)'(4, - 3) = (12 + 6, - 9 + 8) = (18, - 1); (3, - 6)' (0,0) = (0,0); (- 2,3)'(1,0) = (- 2, 3).

Wir zeigen, daB die komplexen Zahlen den gleichen Grundgesetzen bez. Addition und Multiplikation gehorchen wie die reellen Zahlen (s. Abschnitt 1.3.1).

5.1 Definition der Menge C

171

A. Grundgesetze der Addition von komplexen Zahlen

Wir wollen die Grundgesetze der Addition erHiutern bzw. beweisen. Das erste Grundgesetz ist nach Definition 5.1 evident. Kommutativgesetz: Zl

+ Z2 == (Xl + X2,Yl + Y2) == (x 2 + X1,Y2 + Yl) == Z2 + Zl'

Assoziativgesetz: Zl

+(Z2+ Z3)==(X 1+(X 2 +X 3)'Yl +(Y2+Y3))==((X 1+X 2)+X 3'(Yl +Y2)+Y3)==(Zl +Z2)+Z3-

Neutrales Element: i) Existenz: Fur n == (0,0) ergibt sich fur jedes

ZEC

Z

+ n == (x, y) + (0,0) == (x + 0, Y + 0) == (x, y) == z.

ii) Eindeutigkeit: Z 1 sei auch neutrales Element. Dann folgt KommutativiHit ist daher n == Z 1.

Z1

+ n == Z l'

aber auch n + Z 1 == n. Wegen der

Inverses Element: i) Existenz: 1st Z == (x, y), so ist z' == ( - x, - y) invers zu z, denn Z + z' == (x, y) + (- x, - y) == (x - x, Y - y) == (0,0) == n. Es ist demnach - Z == - (x, y) == ( - x, - y). ii) Eindeutigkeit: Z'l und z~ seien beide invers zu z; dann folgt wegen Z + Z'1 == Z + z~ == n mit dem Assoziativgesetz z~ == z~ + n == z~ + (z + Z'l) == (z~ + z) + z~ == n + Z'l == z'1' d.h. z~ == z~. Beispiel 5.2 Sind Zl == (3, - 4),

Z2 ==

(1, 1),

Z3 ==

(0,0), so folgt -

Z 1 == ( -

3,4), -

Z2 ==

(-1, - 1), -

Z3 ==

(0,0).

172

5 Die komplexen Zahlen

B. Grundgesetze der Multiplikation von komplexen Zahlen

Bemerkung: Aufgrund von 3. konnen bei der Multiplikation Klammern weggelassen werden: z 1 . Z 2' Z 3 == Z 1 . (z 2' Z 3)'

Man vereinbart auch Z2

==

z· Z, zn+ 1 == z· zn,

nE

N.

Beweis der Eigenschaften der M ultiplikation: 1. Folgt unmittelbar aus Definition 5.1 2. Z1' Z 2 == (X 1'Y1)'(X 2'Y2) == (X 1 X 2 - Y1Y2,X 1Y2 == (X 2 X 1 - Y2Y1, X 2Y1

3.

+ X 1Y2) == Z2' Z1'

+ X 2Y1) ==

Z1'(Z2' Z 3)==(X 1'Y1)'(X 2 X 3 - Y2Y3,X 2Y3 +X 3Y2)

== (X 1 X 2 X 3 -X 1Y2Y3 -X 2Y1Y3 -X 3Y1Y2, X 1 X 2Y3 +X 1 X 3Y2

(z 1 • Z2)' Z3 == (Xl X 2 -

Y1Yb X 1Y2

+ X 2Yl)'(X 3, Y3)

+ X 2 X 3Yl -

== (X 1 X 2 X 3 - X 3Y1Y2 - X 1Y2Y3 - X 2YIY3, X 1 X 2Y3 - YIY2Y3

+ X 1 X 3Y2 + X 2 X 3Yl)

Durch Vergleich stellt man fest: z 1 . (z 2' z 3) == (z 1 . z2)' z 3' 4. Fur e == (1,0) ergibt sich z'e == (x, Y)'(l, 0) == (x, y) == z.

Die Eindeutigkeit kann wieder wie oben gezeigt werden. 5. Falls Z-1 == (a, b) von z == (x, y) =-1= (0,0) existiert, muG gelten: Z-1. z ==

e<=>(a, b)'(x, y) == (1, 0)<=>(ax - by, ay + bx) == (1,0).

Wir erhalten daher das zu z - 1 . Z == e aquivalente Gleichungssystem ax - by == 1 ay + bx == 0

Y1Y2Y3)

5.1 Definition der Menge C

173

mit den Unbekannten a, bE fR. Aus z = (x, Y) #- (0,0) folgt x 2 + y 2 #- 0, wir erhalten folglich als eindeutige Lasung (z.B. mit der Cramerschen Regel, Satz 6.18, Seite 241)

so daB (5.5)

•

ist. Beispiel 5.3 Sind z 1 = (- 3,5), Z2 = (4,0),

Z3

= (0, 1), so erhalten wir

z; 1 = (;1, ;;), z; 1 = (-~, 0),

z~ 1

== (0, - 1) = - (0, 1) = -

Z3.

C. Das Distributivgesetz

Beweis:

+ Z3) = (Xl' Y1)(X 2 + X 3' Y2 + Y3) = (X 1 X 2 + X 1 X 3 - YIY2 - YIY3,X 1 Y2 + X 1Y3 + X 2Y1 +X 3 Y1) Zl·Z2 +Zl· Z 3 = (X 1'Y1)(X 2'Y2) + (X 1'Y1)(X 3'Y3) = (X 1 X 2 - Y1Y2 + X 1 X 3 - Y1Y3' X 1Y2 + X 2Y1 + X 1Y3 + X 3Y1)· Zl·(Z2

•

Durch Vergleich folgt die Behauptung.

Fur die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen gelten also die gleichen Grundgesetze wie fur die reellen Zahlen. Daher sind aIle Folgerungen aus diesen Grundgesetzen, wie sie in Abschnitt 1.3.1 angegeben wurden, ubertragbar auf die komplexen Zahlen. Es ist auch nicht mehr natig, diese Folgerungen fur die komplexen Zahlen zu beweisen. Die Beweise in Abschnitt 1.3.1 stutzten sich namlich ausschlieBlich auf die Grundgesetze, die ja auch (wie wir gesehen haben) fur die komplexen Zahlen gelten. Wir wollen drei Folgerungen aus Abschnitt 1.3.1 fur die komplexen Zahlen formulieren. Es handelt sich dabei urn die Folgerungen (1.10), (1.12) und (1.14). Folgerung 5.1 Jede Gleichung Z1 Die Lasung Zl

Z

+ Z = Z2 mit Zl,Z2EC besitzt genau eine Lasung in C.

ergibt sich wie folgt:

+ Z = Z2 =>Z1 + (- Zl) + Z = Z2 + (- Zl)=>Z = Z2 + (- Zl) =>z = (x 2 , Y2) + (- Xl' - Yl) = (X 2 - Xl' Y2 - Y1)·

Man schreibt auch z =

Z2 -

Zl' Z

heiBt die Differenz von

Z2

und

Zl.

174

5 Die komplexen Zahlen

Beispiel 5.4 Welche komplexe Zahl

Z

= (x, y) erfullt folgende Gleichung?

(3, 1)'(4, - 2) + (x, y)

=

(1, 1).

Wir erhalten: (14, - 2) + (x, y) = (1,

l)~(x,

y)

= (1, 1) - (14, -

2)~(x,

y)

= (- 13,3).

Folgerung 5.2 Jede Gleichung z l' Z = Fur die Lasung

Z

=

Z2

mit

Z l' Z 2 E C

und

Z1

i= (0, 0) besitzt genau eine Lasung in C.

(x, y) erhalten wir:

(5.6) Z

Man schreibt auch Z = ~ und bezeichnet z als Quotient der komplexen Zahlen

Zl

und

Z2'

Zl

Beispiel 5.5 Es ist

ZEC

aus (- 3,4)' Z = (2,3) zu bestimmen.

Mit (5.6) erhalten wir sofort

Z

= (265'

-

;~).

Folgerung 5.3 Fur aIle

Zl' Z2EC

gilt

Zl' Z2

= (0, O)<=>Zl = (0,0) oder Z2 = (0,0).

1m folgenden zeigen wir, daB eine Teilmenge T von C existiert, die sich mit IR identifizieren HiBt. Diese Teilmenge T muB bezuglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen sein, d.h. sind a, bE T, so auch a + b und a' b. Jedem Element aus T wird umkehrbar eindeutig ein Element der reellen Zahlen zugeordnet. Diese Zuordnung soIl folgende Eigenschaften besitzen: Sind a 1 , a 2 , a 3 E IR die den komplexen Zahlen Z l' Z 2' Z 3 EC eineindeutig zugeordneten reellen Zahlen, so muB, wenn a 3 = a 1 + a 2 ist, auch Z3 = Zl + Z2 sein und umgekehrt. Dasselbe gilt auch fur die Multiplikation. Schematisch sieht dies folgendermaBen aus: C:

+ Z2 = Z3 t t a 1 + a2 = a3 Zl

t

IR:

Die Auswahl einer geeigneten Teilmenge Taus den komplexen Zahlen mit diesen Eigenschaften raUt nicht schwer, wenn wir uns daran erinnern, wie die komplexen Zahlen eingefuhrt wurden. Wir hatten Ausdriicke der Form a + )--=--1. b als geordnete Zahlenpaare (a, b) dargesteIlt, so daB sich die Menge

T= {ZIZEC mit

Z

=

(X,O),xEIR}

als Teilmenge von C anbietet.

5.1 Definition der Menge C

175

Prlifen wir zunachst die geforderte Eigenschaft der Abgeschlossenheit bezliglich Addition und Multiplikation von T. Es sei zl,z2ET. a) Abgeschlossenheit bezliglich der Addition Zl

=

(Xl' 0),

Z2=(X 2,0)=>Zl +Z2=(X 1 ,0)+(x 2,0)=(X 1 +X 2,0)ET.

(5.7)

b) Abgeschlossenheit bezliglich der M ultiplikation (5.8)

Zl'Z2 = (Xl' O)·(x z, 0) = (X 1 ·X 2,0)ET. Bemerkung:

Auch bezliglich der Differenzen- und Quotientenbildung ist T abgeschlossen. Flir z 1 = (Xl' 0) und Zz = (Xl' 0) gilt namlich: Zl - Zz = (Xl' 0) - (x 2, 0) = (Xl - Xl' O)E T, Zl (X 1,0) -=--= Z2

(x 2 ,0)

(Xl ) -,0, X2

falls

X2

-1=0.

Wir ordnen nun jeder komplexen Zahl zET, d.h. z=(x,O), xEIR, die reelle Zahl X zu. Diese Abbildung ist verknlipfungstreu: C: (Xl' 0) + (x z, 0) = (Xl

t IR:

Xl

t

+ X2, 0)

(Xl' 0)'(X 2, 0) = (Xl' X2, 0)

t

t

t

t

+ X2 = Xl + X2

Insbesondere gilt (0, O)~O, (1, O)~ 1. Es gibt komplexe Zahlen, deren Quadrate negativen reellen Zahlen entsprechen. Wegen (0, 1)·(0, 1) = (- 1,0)

ist z.B. (0, 1) eine komplexe Zahl, deren Quadrat (- 1,0) der reellen Zahl - 1 entspricht. Definition 5.2

Es sei XEIR. Man setzt (X, 0) = X;

(0,1) = j 1)

und bezeichnet j als imaginare Einheit. 1st nun ZEC mit z = (x, y), so konnen wir ,z auch folgendermaBen darstellen z = (x, y)

= (X, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)'(0,1).

Damit und wegen Definition 5.2 gilt flir alle komplexen Zahlen:

1) Statt j wird oft i geschrieben. In der Elektrotechnik, wo die komplexen Zahlen haufig verwendet werden, ist i fur die Bezeichnung der StromsHirke reserviert.

176

5 Die komplexen Zahlen

Man nennt x den Realteil von z und y den Imaginarteil von z. Schreibweise: x = Re z, y = 1m z. Wegen x, yE [R sind Real- und Imaginarteil einer komplexen Zahl stets reelle Zahlen. Fur die imaginare Einheit j gilt, wie wir gesehen haben j2 = - 1. Man setzt wie ublich jO = 1. Allgemein ist, da j-l

=

-jist,

Beweis: Aus j2 = - 1 erhalten wir fur nE N: j 4n = G4 = [j 2.j 2] n = [( - 1)(- 1)] n = 1n = 1, j4n+ 1 = j4n-j = j, j4n+ 2 = j4n+ I-j = j'j = - 1,

t

•

j4n+ 3 = j4n+2-j = - 1-j = _ j.

Beispiel 5.6 a) j7 = j4+3 = _ j;

b) j14=j4'3+2= -1;

c) j29 = j7'4 + 1 = j;

d) j84 = j21.4 = 1.

Mit den komplexen Zahlen konnen wir formal wie mit den reellen Zahlen rechnen, wenn man nur j 2 = - 1 berucksichtigt. Jedoch ist zu beachten, daB in C keine Anordnung definiert ist, weshalb das Zeichen < zwischen komplexen Zahlen keinen Sinn hat. Beispiel 5.7 1st CE [R und ZEC mit Z = x + jy, x, yE [R, so erhalten wir fur das Produkt c· z = c(x + jy) = cx + jcy, oder, wenn wir die komplexe Zahl wieder als geordnetes Paar darstellen: c'(x, y) = (cx, cy). Beispiel 5.8 Sind z1 = 2 + 3j, Z 2 = - 3 + 2j, so erhalt man: a) z1 + z2 = (2 + 3j) + (- 3 + 2j) = - 1 + 5j; b)

Z1- Z2=

(2 + 3j) - ( - 3 + 2j) = 5 + j;

c) Zl'Z2 = (2 + 3j)·( - 3 + 2j) = - 6 + 4j - 9j Z1

d)

Zz

+ 6j2 =

- 12 - 5j;

2 + 3j (2 + 3j)( - 3 - 2j) 1 ., , = _3+2j=(_3+2j)(_3_2j)=13o(-6-4J -9J +6)=-J. 2

3'

In Teil d) des obigen Beispiels wurde der Bruch . + J , mit der komplexen Zahl - 3 - 2j -3 +2J erweitert. Dadurch wurde der Nenner reell, Die koIUplexe Zahl - 3 - 2j unterscheidet sich von - 3 + 2j nur durch das Vorzeichen des' Imaginarteils.

5.1 Definition der Menge C

177

Definition 5.3

1st ZEC mit z == x + jy, x, yErR, dann bezeichnet man z* == x - jy als die zu z konjugiert komplexe Zahl. Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen haben folgende Eigenschaften. Satz 5.1

Beweis:

+ jy == z; ~(z + z*) == ~[(x + jy) + (x - jy)] == x == Re z,

a) (z*)* == (x - jy)* == x b)

1 1, ,2jy 2j(z - z*) = 2j[(x + JY) - (x - JY)] = 2] = Y = 1m z; c) z· z* == (x + jy)(x - jy) == x 2 d) (z 1 + Z2)* == [(Xl

(Zl' Z2)*

+ jxy - jxy + y2 == x 2 + y2 == (Re Z)2 + (1m Z)2 ~ 0;

+ x 2) + j(Yl + Y2)]* == (Xl + x 2)-j(Yl + Y2) == (Xl - jYl) + (x 2 - jY2) == zi + zi,

== [(X l X 2 -

YlY2) + j(X 1 Y2 + X2Yl)]* == (X 1 X2 - YlY2) - j(X l Y2 + X2Yl)

==

jYl)(X 2 - jY2) == X1 X2 - YIY2 - j(X 1Y2

+ X2Yl);

andererseits: zi'zi

== (Xl -

z == z* =>x + jy == x - jy=>2jy == o=> Y == o=>z == xErR, ii) z ErR=> z == x + j' 0 => z* == x - j ·0 => z == z*.

e) i)

•

Aus Eigenschaft c) in Satz 5.1 folgt, daB das Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen stets eine nichtnegative reelle Zahl ist. Davon macht man Gebrauch, wenn z.B. der Quotient zweier komplexer Zahlen z l' z 2 zu berechnen ist. Man erweitert dazu den Bruch mit der

178

5 Die komplexen Zahlen

konjugiert komplexen Zahl des Nenners. 1st etwa Z1

Z2

Zl' Z2EC

und

Z2::j=

0, so folgt

zi Z2· zi' Z1.

wobei auf der rechten Seite der Nenner reell ist (vgl. auch Beispiel 5.8d). Wir wollen nun die komplexen Zahlen veranschaulichen. Da sie als geordnete Zahlenpaare definiert sind, konnen wir sie mit den Punkten einer mit einem Koordinatensystem versehenen Ebene identifizieren. Man nennt diese Ebene die Gau8sche Zahlenebene. ledem Punkt dieser Ebene entspricht genau eine komplexe Zahl. Die Punkte (x, 0), XE [R, bilden, da sie den reellen Zahlen entsprechen, die sogenannte reelle Achse, die Punkte (0, y), yE [R, die sogenannte imaginare Achse. In Bild 5.1 sind in der GauBschen Zahlenebene die Zahlen z, - z, z* und - z* veranschaulicht. Folgende Symmetrien sind erkennbar: z und z* sowie - z und - z* liegen symmetrisch zur reellen Achse; z und - z sind punktsymmetrisch bezuglich des U rsprungs; z und - z* sind symmetrisch bezuglich der imaginaren Achse. Imz

Imz

-z* f--------y

z ---------~

I

I

I I

I I

I

I

I

I

I

!

I

X

I I I I I

.---------z

Re z

I I I I

--------~

Rez

Z*

Bild 5.1: GauBsche Zahlenebene

Bild 5.2: Komplexe Zahlen als Zeiger

Als geordnete Paare lassen sich die komplexen Zahlen auch durch Pfeile veranschaulichen. Zur Unterscheidung von Vektoren nennt man sie dann Zeiger. Dabei ist es ublich, die komplexe Zahl in diesem Fall zu unterstreichen. ~ bedeutet demnach eine komplexe Zahl, die als Zeiger zu veranschaulichen ist. Sind ~1 und ~2 EC, so erhalt man ~ = ~1

+ ~2 mit Hilfe der Parallelogrammregel (vgl. Bild 5.2).

Wie im Reellen, fuhren wir den Betrag einer komplexen Zahl z als ihren Abstand vom Ursprung oder, was gleichbedeutend ist, als Lange des Zeigers ~ ein.

5.1 Definition der Menge C

179

Definition 5.4 Unter dem Betrag Izi der komplexen Zahl z==x+jy mit x,yElR versteht man die nichtnegative reelle Zahl

Izi == Jx 2 + y2. Bemerkungen: 1. Diese Definition ist mit der der reellen Zahlen vertraglich. 1st namlich

z == xElR, so ergibt sich Izi == P == Ixi.

2. Wegen z· z* == x 2 + y2 ergibt sich fur den Betrag auch

3. Wie schon in Definition 5.4 erwahnt, gilt I z 1 ~ 0 fur aIle z E C. 4. Es gilt offensichtlich

1m folgenden Satz sind weitere wichtige Eigenschaften des Betrages zusammengestellt.

Satz 5.2

Beweis:

a) Izi == 0~JX2 + y2 == 0~X2 + y2 == O~X == y == O~Z == 0; + jy mit x, yElR, so gilt

b) 1st z == x

1- z I == I - x - jy 1== J( - X)2 + (- y)2 == J x 2 + y2 == Iz I, Iz* I == Ix - jyl == Jx 2 + (- y)2 == Jx 2 + y2 == Izl; c) Wegen (5.9) und mit d) von Satz 5.1 ergibt sich

IZ 1· z 21 == J(Z1· Z2)(Z1· Z2)* == J Z1Z2Zi z i == ~.~ == IZ 11·l z 21; d) Wegen (5.9) und mit Satz 5.1 erhalten wir IZ 1 + z21 2 == (Z1 + Z2)(Z1 + Z2)* == (Z1 + z2)(zi

+ zi),

180

5 Die komplexen Zahlen

woraus

IZ1 + z21 2 = z1 z i + z2 z i + (z1 z i + Zi Z2)

(5.11)

folgt. Setzt man in b) von Satz 5.1 z = z1·zi, so ergibt sieh ~(z1zi + (z1zi)*) = Re(z1zi), woraus mit a) und d) von Satz 5.1 2· Re(z1· z i) = z1· z i

+ Zi·Z2

folgt. Eingesetzt in (5.11) ergibt sieh IZ1 + z21 2 = z1 z i + 2· Re(z1·zi) + z2zi.

(5.12)

Wegen z1zi = IZ112 und z2zi = IZ212 ist die reehte Seite von (5.12) eine Summe von reellen Zahlen. Man kann daher die fur reelle Zahlen bewiesene Dreieeksungleiehung auf die reehte Seite von (5.12) anwenden. Beaehten wir noeh (5.10) und c) von Satz 5.2, so ergibt sieh 2 2 2 2 IZ1 +z21 ~ IZ11 +21 z 111 z 21 + IZ2/ = IIz11 + IZ211 , woraus folgt:

•

IZ1 +z21~lz11+lz21· Bemerkung:

Eigensehaft d) in Satz 5.2 kann aueh geometriseh veransehaulieht werden, wenn man ~1 und ~2 als Zeiger interpretiert. Da in einem Dreieek eine Seite immer kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten ist, folgt mit Bild 5.3 die Ungleiehung d), daher aueh der Name Dreieeksungleichung.

Imz

Rez Bild 5.3: Dreiecksungleichung

Rez Bild 5.4: Iz - zol = r

Beispiel 5.9 Es sei Zo E C und rE IR +. W 0 liegen die komplexen Zahlen z mit a) Iz-zol=r,

b) Iz-zol
5.1 Definition der Menge C

181

Zu a) Iz-zol ist der Abstand zwischen Z und Zo0 Man sucht daher alle ZEC, die von ZoEC den Abstand r haben. Die gesuchte Menge ist also ein Kreis urn Zo mit Radius r (vg1. Bild 5.4). Zu b) Das Innere (ohne Rand) des Kreises von a). Beispiel 5.10 Es sei Zl' Z2EC (Zl # Z2)' aE[R+ mit IZl - z21 < 2a und M = {zllz - zll men Sie die Punktmenge M in der GauBschen Zahlenebene.

+ Iz -

z21 = 2a}. Bestim-

IZ-Zli und IZ-Z21 sind die Abstande zwischen Z und Zl bzw. Z und Z2. Fur ZEC ist daher die Summe der Entfernungen von den (festen) Punkten Zl und Z2 konstant. Mist folglich eine Ellipse mit den beiden Brennpunkten Zl und Z2 und der Entfernungssumme 2a (vg1. Bild 5.5).

Imz

Rez

Bild 5.5: Iz - z 11 + Iz - z 21

=

2a

Beispielsweise ist M = {z II Z + 31 + IZ daher b = a 2 - e2 = 4.

J

31

-

=

10} eine Ellipse mit Mittelpunkt in 0, a = 5, e = 3 und

Beispiel 5.11 Welche Punktmenge wird durch 1m

(z -+J~) = 0 beschrieben? Z

Fur

Z

= x + jy (z i= - j) erhalten wir z-l Z+j

Z - 1 Im--. = z+J bei Z = - j.

x-1+jy

[(x-1)+jyJ·[x-(y+1)jJ

x + (y

+ l)j x 2 + (1 + y)2 x(x - 1) + (y + l)y + j(xy - (x - l)(y + 1)) x 2 + (1 + y)2 xy - (x - l)(y + 1) 2 ( )2 x+y+1

=

O=> y

=

x-I, das ist, wegen Z i= - j, eine Gerade mit einer Lucke

182

5 Die komplexen Zahlen

Aufgaben 1. Gegeben sind die komplexen Zahlen Zl = 2 + 3j, Z2 = - 1 + 2j, Z3 = - 3 - j, Z4 = 4 - 4j. Berechnen Sie: Zl a) Zl +Z2 +Z3; b) 2z 1 -~Z4; c) Zl· Z 3; d) Zl·Z2·Z3; e)-; Z4

2. Zeigen Sie: (zn)* = (z*t

fi

3. Es sei z = + fij. a) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil von b) Berechnen Sie Izl, Iz 2 \, Iz 31 und Iz 4 1.

Z2, Z3, Z4.

4. Ermitteln Sie Real- und Imaginarteil von a) - 3(1

+ j) + 4(1 -

j) + 2(1

+ 2j)2;

b) (1

d)

(1

+ 2j) + (3 + j)(1 -

2j)4;

2j)(3

(4 - 5j)(1

+ 7j)

+ 3j)2

.

5. Beweisen Sie:

a)

(Zl -

Z2)* =

zi - zi;

6. Es sei a, bErR. Zerlegen Sie a 2

+ b 2 in zwei Faktoren Zl' Z2EC.

7. Wo liegen in der GauBschen Zahlenebene aIle Punkte z mit a) Izi =2;

b) Iz-jl=l;

d) II z + 31-lz - 311 = 4;

e) Iz - j\ = Im(z

g) Irnz>O;

h)

c) Iz + 2jl

+ Iz -

2jl = 8;

+ j); f) Iz - 11 = 21z - j!;

1~1=1;

i)

1::~1=2.

8. Wie lautet die Bedingung fur ZEC, wenn z auf folgender Kurve liegen solI: a) Ellipse mit den Brennpunkten Zl = -1 + j, Z2 = 1 + j und a = 3; b) Hyperbel mit den Brennpunkten Zl = - 3, Z2 = 3 und a = 2;

c) Parabel mit Brennpunkt Zl = 1 + j. Die Leitlinie sei eine Parallele zur imaginaren Achse durch den Punkt Z2 = - 1; d) Kreis mit Mittelpunkt in z 1 = 2 + 3j und Radius r = 4; __ e) Cassinische Kurve (geometrischer Ort der Punkte P, fur die das Produkt der Abstande F 1 p. F 2P von zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant gleich a 2 ist) mit F 1 = - 4, F 2 = 4 und a = 8?

9. Fur welche ZEC gilt a) Z2 = Iz1 2;

b) Iz 2 1 = Iz1 2?

10. Es sei z = 3 + 0,5j. Veranschaulichen Sie in der GauBschen Zahlenebene

11. Konstruieren Sie in der GauBschen Zahlenebene den Zeiger ~ = ~1 Ermitteln Sie daraus Re (~) und 1m (~).

+ ~2' wobei ~1 = 3 + j

und ~2 = 1 + 4j ist.

12. Es sei Zl EC mit Zl #- 0. Fur welche ZEC gilt das Gleichheitszeichen in der Dreiecksungleichung

13. Bestimmen Sie die Menge aller Punkte ZEC mit

Iz-21>12z-11·

5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

183

5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen Als Zeiger in der GauBschen Zahlenebene lassen sich die komplexen Zahlen auch darstellen durch die Lange r des Zeigers und den Winkel qJ des Zeigers mit der positiven reellen Achse. Wegen x == r· cos qJ und y == r· sin qJ (siehe Bild 5.6) schreiben wir z == r· (cos qJ + j. sin qJ), rErRd, qJEIR. Man bezeichnet diese Darstellung von z trigonometrische Form von z.

y

x

Rez

Bild 5.6: Trigonometrische Form von z

1st qJ Argument von z, so sind auch qJk == qJ + 2kn (kEl.) Argumente von z, d.h. das Argument einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig bestimmt. Man bezeichnet die Darstellung

als Hauptwert von Z oder Darstellung von z in Polarkoordinaten. Das Argument des Hauptwertes von z ist demnach eindeutig bestimmt, falls z =f::. 0 ist. Da r mit dem Betrag der komplexenZahl iibereinstimmt, heiBt r auch Betrag von z. Aus Bild 5.6 erhalten wir folgende Formeln ftir die Umrechnung von z == r· (cos

Normalform ~ Trigonometrische Form

184

5 Die komplexen Zahlen

Beispiel 5.12 Folgende komplexe Zahlen sindjeweils aufeine andere Form zu bringen und in der GauBschen Zahlenebene zu veranschaulichen. zl=1+j, Z4

= 3 -J3j,

z2=-3, Zs

z3=-2-j.

n+ j sin 34n}

= 2 (cos 3

4

Wir erhalten:

n .. n) '

r;. ( z 1 = v 2 cos "4 + J SIn "4 z 2 = 3 (cos n + j sin n), Z3 Z3 Z4

J"S (cos 206°33'54" + j sin 206°33'54") bzw. = J"S (cos 1,14758n + j sin 1,14758n), =

= 2J3· (cos lin + j sin 161n ),

1mz

Rez

BUd 5.7: GauBsche Zahlenebene

Bild 5.7 zeigt die Zahlen Z1, ..• ,Z5 in der GauBschen Zahlenebene. Wir wollen nun die Multiplikation zweier komplexer Zahlen, die in trigonometrischer Form gegeben sind, durchfiihren. Es sei Z = Z1 . Z2 mit z = r(cos cp + j sin
= r i (cos CPi + j sin CPJ (i = 1,2).

5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

185

Dann ergibt sich aufgrund der Additionstheoreme Zl . Z2

= r 1 (cos ((Jl + j sin ((Jl)r 2 (cos ((J2 + j sin ((J2)

= r1r2(cos ((J 1 cos ((J 2 - sin ((J 1 sin ((J 2 + j (sin ((J 1 cos ((J 2 + cos ((J 1 sin ((J 2) ) = r 1 r 2 (cos (((J 1 + ((J 2) + j . sin (((J 1 + ((J 2) ). Durch Vergleich mit z = r (cos ((J + j . sin' ((J) folgt:

Damit konnen wir die Multiplikation zweier komplexer Zahlen in der GauBschen Zahlenebene veranschaulichen (vgl. Bild 5.8).

Imz

Rez

Bild 5.8: Multiplikation

Es gilt

oder in Worten:

Nach Bild 5.8 HiBt sich z

= Zl • Z2

wie folgt konstruieren:

(p = arg z erhalt man, indem man an ~ 2 den Winkel ((J 1 = arg z 1 abtragt. z liegt auf dem Strahl durch Omit dem Winkel ((J gegen die positive reelle Achse; Iz I ergibt sich, wenn man beachtet, daB die beiden Dreiecke in Bild 5.8 ahnlich sind. Es ist daher Izl:lz21 = IZ11:1 woraus Izi = IZ11'lz21 folgt.

186

5 Die komplexen Zahlen

Fur die Division erhalten wir, wenn z == r(cos (fJ + j sin (fJ), Zi == ri(cos (fJi + j sin (fJi)' (i == 1,2) ist: Z1

r1 cos (fJ 1 + j sin (fJ 1

Z2 == r 2 • cos (fJ2

+ j sin (fJ2

== r 1 (cos (fJ 1 cos (fJ 2

r2

Durch Vergleich mit

Z ==

r 1 (cos r2

(fJ1

+ j sin (fJl)(COS (fJ2 cos 2 (fJ2 + sin 2 (fJ2

j sin (fJ2)

+ sin (fJ 1 sin (fJ 2 + j (sin (fJ 1 cos (fJ 2 - sin (fJ 2 cos (fJ 1) )

r(cos (fJ

+ j sin (fJ) folgt:

oder

In Worten:

Beispiel 5.13 1st z eine beliebige komplexe Zahl, so wird der Zeiger g durch Multiplikation mit j urn ~ (im mathematisch positiven Sinn) gedreht. Bei der Division von g mit j wird der Zeiger urn - ~ gedreht (vgl. Bild 5.9). Imz

Rez

Bild 5.9: Multiplikation und Division mitj

5.2 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

187

In der Elektrotechnik treten im Wechselstromkreis bei kapazitiven und induktiven Widerstanden zwischen Strom und Spannung Phasenverschiebungen von

¥bzw. - ¥auf. Die komplexen

Zahlen eignen sich daher besonders fur die Zeigerdarstellung von Strom und Spannung, da durch Multiplikation bzw. Division mit j diesem Sachverhalt Rechnung getragen wird. So ist z.B. der Leitwert eines idealen Kondensators mit der Kapazitat C gegeben durch Yc = jmC. Beispiel

5.14

Es seien Z1 und Z2 zwei Punkte der komplexen Zahlenebene. Man bestimme den durch Bild 5.10 definierten Punkt z 3.

Imz

Rez Bild 5.10: Skizze zu Beispiel 5.14

Nach Bild

5.10

sind die Zeiger Z2 -

Z3

und

Z1 - Z3

zueinander senkrecht, daher gilt Z

.( ) (1·) . z2-j 1 Z2- Z 3==j Z 1 - Z 3 => -jZ3=z2-jZ1=>z3==-1-·-=>z3==2"Z2+z1+jZ2-z1·

1(

-j

Aufgaben 1. Stellen Sie folgende komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dar (Hauptwert).

-1-(1- j);

a)

2 - 3j;

b)

e)

!(j3 -j);

f) - j;

c) -8;

d) 3j;

g) - 3 -4j;

h) 10.

2. Welche komplexen Zahlen sind in trigonometrischer Form gegeben? a) 2(cos 25°

b) - 3(cos 60° + j sin 60°);

c) 4(cos 420°

d) 8(cos 45° - j sin 45°);

e) g) i)

+ j sin 25°); + j sin 420°); (cos 150° + j sin 150°); sin 1 + j cos 1; 3(cos 12 + j sin 11).

f) 2(cos 12° + j sin 372°); h) 2(sin 2 + j sin 2);

.(

))

188

5 Die komplexen Zahlen

3. Berechnen Sie: a) 3(cos 110° + j sin 110°)' 6(cos 25° + j sin 25°);

18(cos 14° + j sin 14°) b) - - - - - - - - - - - - 3(cos 46° + j sin 46°)' 6(cos 58° + j sin 58°)

4. Bestimmen Sie samtliche L5sungen der folgenden Gleichungen: a) jlzl=z*;

d)

1 1 c) z+-=z*+-; z* z

Z-jl

z-j I=1; -*-.

Iz

j+ReG)=z;

b)

e) - . = 1.

Iz+J

-J

z-j n 5. Welches Gebiet wird in der z-Ebene durch 0 < arg-. < - dargestellt? z+J 4 6. Geben Sie in Polarform an: 1 +j a) -1-.;

-J

7. z l' Z2' Z3 E C seien drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte in der GauBschen Zahlenebene. Wie lautet Z4 E C, wenn Zl' Z2' Z3 und Z4 die Eckpunkte eines Parallelogramms sind? 8. Beweisen Sie

und veranschaulichen Sie diese Gleichung geometrisch. 9. Zeigen Sie: Fur aIle z ;j:. 0 gilt:

z*

5.3 Potenzieren, Radizieren ond Logarithmieren Es sei

ZEC Z2

mit

Z

= r(cos

+ j sin 2
= r 2 (cos 2
Z3 =

Allgemein gilt (vgl. Aufgabe 1)

Andererseits ist jedoch

zn = rn(cos

nE N.

Durch Vergleich ergibt sich daraus die sogenannte Moivresche Forme)

5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren

189

Beispiel 5.15 Z6

= (~+ ~.J3j)6 soIl berechnet werden. Dazu bringen wir die Basis z zunachst aufPolarform. Es

ist

(i + 1.J3j) = .J3 ( cos ~ + j sin ~ ) und daher

(i + 1.J3j)6 = (.J3)6 ( cos 6· ~ + j sin 6'~) =

33 (cos n + j sin n) =

-

27.

Beispiel 5.16 Mit Hilfe der Moivreschen Formel stelle man cos 3 qJ und sin 3 qJ in Abhangigkeit von cos qJ und sin qJ dar. cos 3 qJ

+ j sin 3 qJ = (cos qJ + j sin qJ)3 = cos 3 qJ + 3j cos 2 qJ sin qJ + 3j2 cos qJ sin 2 qJ + j3 sin 3 qJ = cos 3 qJ - 3 cos qJ sin 2 qJ + (3 cos 2 qJ sin qJ - sin 3 qJ)j.

Durch Vergleich von Real- und Imaginarteil ergibt sich cos 3 qJ = cos 3 qJ - 3 cos qJ sin 2 qJ, sin 3

qJ =

3 cos 2 cp sin cp - sin 3 cp,

bzw. wenn man sin 2 qJ

= 1 - cos 2 cp und cos 2 cp = 1 - sin 2 cp beachtet,

cos 3 qJ = 4cos 3 cp - 3 cos qJ, sin 3

qJ =

3 sin qJ - 4 sin 3 qJ.

Definition 5.5

Es sei Zo EC. Jede komplexe Zahl z, die der Gleichung zn

= Zo geniigt, heiBt n-te Wurzel von zoo

Schreibweise: z =~.

Bemerkung: Die Definition der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl Zo unterscheidet sich gegeniiber der der n-ten Wurzel einer reellen Zahl x o' Wie im Reellen wird die n-te Wurzel von ZoEC zwar als Lasung der Gleichung zn = Zo definiert. Auf folgende Unterschiede sei jedoch hingewiesen: 1. 1m Reellen wird die n-te Wurzel nur fiir nichtnegative Radikanden definiert, wohingegen bei den komplexen Zahlen keine Einschrankung an den Radikanden gemacht wird. 2. Ais n-te Wurzel von XoE IR; wird nur die nichtnegative reelle Zahl x mit x n = X o definiert. Dadurch erhalt man im Reellen Eindeutigkeit fiir ~X o' Beispielsweise ist = 2 und nicht - 2, abwohl - 2 auch die Gleichung x 2 = 4 erfiillt. Auf die Eindeutigkeit der Lasung von zn = Zo wird im Bereich der komplexen Zahlen verzichtet. Hier werden aIle Lasungen als n-te Wurzeln von Zo bezeichnet.

J4

190

5 Die komplexen Zahlen

Es sei Zo = ro(cos CPo + j sin CPo) und z = r(cos cP + j sin cp) mit ro, rEIR;. Dann folgt aus zn = zo, nEt\!:

rn(cos ncp + j sinn cp) = ro(cos CPo + j sin CPo)' Durch Vergleich der Betrage und Argumente ergibt sich wegen der Vieldeutigkeit der Argumente von Zo (5.14) rn = ro und ncp = CPo + 2kn, kEZ d.h. es ist

Es hat zunachst den Anschein, als ob unendlich viele Losungen zk + 1 von zn = Zo existieren wurden. Beschranken wir uns jedoch auf die Hauptwerte der Argumente, so erhalten wir genau n Losungen Zk+ 1 der Gleichung zn = zoo Es gilt somit

Satz 5.3

Fur k ~ n ergeben sich die bereits mit k = 0,1, ... , n - 1 erhaltenen Losungen. 1st beispielsweise k = n, so folgt Zn + 1

nC (

= V r 0 cos =


~ ( cos (

n

:0 +

.. CPo + 2nn)

+ J sIn

2n )

+ j sin (

n

:0 +

2n) )

d.h. die Losung fur k = 0. Geometrisch lassen sich die n Losungen veranschaulichen:

Zk+ 1

(k = 0,1, ... , n-1) von zn= Zo wie folgt

Die Betrage IZk+ 11 sind alle gleich, namlich IZk+ 11 =~, d.h. alle Zk+ 1 (k = 0, 1, ... , n -1) liegen auf einem Kreis urn den N ullpunkt mit dem Radius r = ~. Das Argument von Z1 ergibt sich aus (5.15) fur k = 0, es ist also

CPo 1 arg(z 1) = - = -' arg(zo)· n n Der n-te Teil des Winkels CPo ist daher das Argument von Zl (erste Losung von zn = zo)' Die

5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren weiteren Losungen erhalt man, indem jeweils, beginnend bei

~1'

191

2n der Winkel- abgetragen wird n

(vgl. Bild 5.11). Die n Losungen Zk+ 1 (k = 0,1, ... , n-1) sind also die Eckpunkte eines dem Kreis mit Radius r = ~ro einbeschriebenen regelmaBigen n-Ecks.

Imz

~o

Imz

~2

~o

~z

Bild 5.11:

Zk+ 1 =

~

~z

Bild 5.12: ~

Beispiel 5.17 AIle Losungen von Z3 = j sind zu berechnen. n n n Es ist Zo = j = cos - + j sin -, d.h. r 0 = 1, qJo = -. Man erhalt daher (vgl. Bild 5.12) 222 3

~

3

r;- (

.!E.

~ j = ~ 1 cos 2

+ 2kn 3

n n Z = cos - + J' sin - = 1. 1 6 6 2

+ j sin .!E.2 +32kn) ' k = 0,1,2.

J3- + 1.J'

2 '

lJ33+-Jl'

5n " 5n -Z2 =cOs-+Jsln-= 6 6 2

2 '

3n .. 3n . Z3=cos-+Jsln-= -J.

2

2

Wir haben die komplexen Zahlen ursprlinglich mit der Absicht eingeflihrt, auch flir negative Radikanden die zweite Wurzel berechnen zu konnen. Mit Satz 5.3 konnen wir nun beliebige Wurzeln aus negativen Zahlen bestimmen.

192

5 Die komplexen Zahlen

Beispiel 5.18 Samtliche Werte von ~ -16 sind zu berechnen. Es gilt Zo = - 16 = 16(cos n + j sin n),

d.h. f o = 16,
Daher ist r =~ = 2, ({Jk =~ + k.~, k = 0,1,2,3. Es ergibt sich also: k = 0;

Z1

k = 2:

Z3

~(1 + j); = ~(-1- j);

=

k=l: z2=~(-1+j); k = 3:

Z4

= ~(1 - j).

Auch ftir positive reelle Radikanden erhalten wir ftir die n-te Wurzel genau n Losungen. Man bezeichnet aIle Losungen von zn = 1 als n-te Einheitswurzeln.

1st n gerade, so sind fUr k = 0 und k =

i die reellen Zahlen 1 und - 1 unter den Losungen. Fiir

ungerades n liefert nur der Fall k = 0 eine reelle Losung. Setzen wir in (5.16) ftir k die nattirliche Zahl n-k, so folgt cos(n - k) 2: + j sin(n - k) 2: = cos (2n _ k 2:) + j sin (2n _ k 2:)

+ j sin (

=

cos ( - k 2: )

_ k 2: )

=

cos ( k . 2: ) _ j sin ( k ~n ),

d.h. mit z ist auch z* Einheitswurzel. Die n-ten Einheitswurzeln liegen also auf dem Einheitskreis symmetrisch beziiglich der reellen Achse und sind die Eckpunkte eines regelmaBigen n-Ecks (vgl. Bild 5.13a und b). Durch die Erweiterung der reellen Zahlen auf den Bereich der komplexen Zahlen hat die Gleichung az 2 + bz + c = 0, a, b, CE~, a i= 0, ZEC immer Losungen, namlich

Z1,2

=

-b + Jb 2 -4ac 2a .

Hierbei ist zu beachten, daB durch die Mehrdeutigkeit der zweiten Wurzel im Bereich der komplexen Zahlen sich das» ± «vor dem Wurzelzeichen eriibrigt. AuBerdem kann der Radikand b 2 - 4ac auch negativ werden. Insofern konnen wir nun auch quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten betrachten. Sind rL, {J, Y, ZEC, rL i= 0 so lauten die Losungen von

5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren Imz

Imz

b) n = 10

a) n=9 Bild 5.13a, b: n-te Einheitswurzeln

cxz 2 + {3z + y = 0: - {3 + Zl,2

=

J {32 2ex

4cxy .

Beispiel 5.19 Wie lauten die Losungen von Z2

+ (2 -

3j)z - 5 - j

= O?

Es ist

Wegen J15 - 8j

= ± (4 - j) folgt Zl = 1 + j, Z2 = - 3 + 2j.

Es HiBt sich folgender Satz beweisen. Satz 5.4 (Fundamentalsatz cler Algebra)

193

194

5 Die komplexen Zahlen

Der Satz wird nicht bewiesen. Wie in Satz 2.4 gezeigt wurde, kann das Polynom Pn dann durch das Produkt pix)

==

(x - xl)Pn-l(x)

dargestellt werden. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt Pn-l fur n> 1 wiederum mindestens ein X2 EC mit Pn-l(x 2) == 0, d.h. es ist Pn(x) == (x - xl)(x - x 2)Pn- 2(X),

SO fortfahrend kann schlieBlich Pn ganz in Linearfaktoren zerlegt werden n

pix) == aix - Xl)(X - x 2)·· ·(x - x n) == an

TI

(x - x k ),

k=l

dabei kann eine Nullstelle auch mehrfach auftreten (vgl. Definition 2.12) und wird dann entsprechend oft gezahlt. Wird also die Vielfachheit der Nullstellen berucksichtigt, so folgt, daB ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen besitzt. Wir erhalten somit eine Verscharfung von Satz 2.6, der aussagt, daB ein Polynom n-ten Grades h6chstens n Nullstellen besitzt. Ohne Beweis sei noch angegeben: Sind die Koeffizienten ak von (5.17) reell, so ist mit z auch z* eine N ullstelle von PnBeispiel 5.20 Es sei P4(X) == x 4 - 2x 3 + 4x - 4. Xl == 1 + jist, wie man durch Einsetzen nachpriifen kann, eine Nullstelle von P4' Wie lauten die restlichen drei Nullstellen? P4 ist ein Polynom mit reellen Koeffizienten, daher existieren nur reelle oder konjugiert komplexe Nullstellen. Mit Xl == 1 + jist auch X2 == xi == 1- j eine Nullstelle von P4' Von P4 ist also der Faktor (x - xl)(x - x 2 ) abspaltbar. Wir erhalten (x - xl)(x - x 2 )==(x-1- j) (x-1 + j) == x 2 - 2x + 2.

Folglich ist (x 4 - 2x 3 x 4 - 2x 3

+ 4x - 4): (x 2 + 2x 2 .

2x + 2) == x 2 - 2

- 2x 2 + 4x-4 - 2x 2 +4x -4

O=> P4(X) == (x 2 - 2x + 2)(x 2 - 2).

Aus P4(X) == 0 folgt x 2

-

2 == 0 und daraus X3 ,4 ==

± J2.

Die Nullstellen von P4 lauten also Xl == 1 + j, x 2 == 1 - j, X3 == J2, X4 == - J2. P4 in Linearfaktoren: P4(X) == (x - 1 - j)(x - 1 + j)(x - J2)(x

+ J2).

Zum AbschluB sei noch auf eine besonders kurze Schreibweise der komplexen Zahlen hin-

5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren

195

gewiesen. Dabei verwendet man fur den Ausdruck cos qJ + j sin qJ folgende Abkurzung

(5.18) nennt man Eulersche Formel. In Band 2, Abschnitt 2 wird die Richtigkeit von (5.18) bewiesen. Es ist also beispielsweise , ei1t/ 2 = cos ·3 /2 n

eJ

i+ i j sin

= j,

3n. . 3n

e i1t = cos n + j sin n = - 1,

.

·2

.

.

== cos "2 + J sIn "2 == - J, eJ == cos 2n + J SIn 2n == 1. 71:

Wegen e - jlp == e j ( -lp) == COS (-

qJ)

+ j sin (-

qJ)

== cos qJ - j sin qJ

und

gilt

Statt z == r(cos qJ + j sin qJ) kann man nun kurzer schreiben

Man nennt (5.19) exponentielle Darstellung oder Exponentialform von z. Durch die Exponentialform von z wird nicht nur die Schreibweise kurzer, auch die Multiplikation, die Division, das Potenzieren und das Radizieren werden formelmaBig einfacher. Sind z 1 == r 1 ejlp \

Z2

== r2 ejlp2 und z == r ejlp , so gilt

ubrigens in Ubereinstimmung mit den Regeln der gewohnlichen Potenzrechnung. Beispiel 5.21 Wie lauten Real-und Imaginarteil von z == p ejCX? Es ist z == p ejcx == p(cos a + j sin a) == p cos a + j(p sin a), woraus Re (z) == p cos a und 1m (z) == p sin a folgt.

196

5 Die komplexen Zahlen

Beispiel 5.22 Wie lautet die Exponentialform von!, wenn

Z

= re jqJ ist?

Z

1 1 1 . Esist-=--. =-·e- JqJ • JqJ Z

r·e

r

Mit Hilfe der Eulerschen F ormel kann die komplexe e-Funktion (exp-Funktion) definiert werden, wenn die ublichen Potenzgesetze gelten sol1en, durch exp:z~ez = eX+ jy

= eX(cos Y + j sin y)

fur alle ZEC.

Beispiel 5.23 Es sei J gegeben durch J(z) = eZ , dann ist beispielsweise:

f(j) = ej = cos 1 + j sin 1; f(1 + j) = e 1 + j = e(cos 1 + j sin 1); f( - 2 + 3j) = e- 2 (cos 3 + j sin 3). Aufgrund dieser Definition gelten die ublichen Potenzgesetze. Exemplarisch solI gezeigt werden, daB fur aIle Zl' Z2 EC gilt: e + = e ·e Z1

Z1

Z2

Wir erhalten, wenn wir mit

Xi

Z2

•

= Rez i und Yi = Imz i (i = 1,2) bezeichnen:

e +Z2 = e +X2+ j(Yl +Y2) = e +X2·e j (Yl +Y2) = e eX 2(cos(Y1 + Y2) + j sin(Y1 + Y2)) Z1

X1

X1

X1

= e eX 2(cos Y1 cos Y2 - sin Y1 sin Y2 X1

= e eX 2(cos Y1 X1

+ j(sin Y1 cos Y2 + cos Y1 sin Y2)) + j sin Y1)(COS Y2 + j sin Y2) = e ·e Z1

Z2

•

Es bietet sich an, wie im ReeIlen, die Umkehrfunktion der (komplexen) e-Funktion, ais Logarithmusfunktion im Komplexen zu definieren. Dabei tritt zunachst folgende Schwierigkeit auf: Fur aIle

ZEC

und aIle k E 7L gilt

Die e-Funktion ist, wie man sieht, im Komplexen periodisch mit der Periode 2nj und daher nicht umkehrbar. Als Wertebereich der e-Funktion wird deshalb eine unendlichbHittrige (Riemannsche) Flache konstruiert, die dann ais Definitionsbereich der Logarithmusfunktion dient. Das hat zur Folge, daB die Logarithmusfunktion im Komplexen unendlich viele Werte besitzt,je nachdem, aufwelchem "Blatt" dasArgumentz liegt. Die Funktionswerte lassen sich wie folgt berechnen, wobei wir von der Aquivalenz e W = z~w = In Z fur Z =1= 0 ausgehen und die Schreibweise u = Re w, v = 1m w, X = Re Z und Y = 1m Z verwenden: e W = eU + jv = eU ( cos v + j sin v) = x + jy =

I I = e und v = arg z + 2kn.

Z => Z

U

Die e-Funktion hat, wie oben erwahnt, aIle Eigenschaften der Potenzfunktion, so daB deren Umkehrfunktion, die Logarithmusfunktion, die ublichen Eigenschaften der reellen Logarithmusfunktion hat, wie z.B.ln z 1 z 2 = In z 1 + In z 2 fur aIle z l' Z 2 E C\{O}. Damit erhalten wir fur aIle z =1= 0:

w = In z = In(lzl·e j argz) = In Izi

+ In ej(argz +2kn) =

In Izi + j·argz + 2knj.

1st 0 ::;; arg z < 2n, so wird w als Hauptwert bezeichnet, falls k = 0 gewahlt wird.

(5.20)

5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren

197

Beispiel 5.24 a) In (2 + 2j) = In 2)2 + j~ + 2knj

=

b) In (- j) = In 1 + ~ j + 2knj = (2k

+ ~)nj, der Hauptwert: ~ j;

c) In( - 1) = (2k

1In 8 + (2k

+ i)nj, der Hauptwert: 1In8 + j*;

+ l)nj, der Hauptwert: nj.

1nz

Wegen e = Z fur aIle ZEC\ {O}, konnen Terme der Form ZW definiert werden, wobei z, WEC und =1= O. Wir erhalten

Z

Beispiel 5.25 Wir berechnen (2 + 2j)j. Nach Beispiel 5.24 ist In(2 + 2j) = In 2J"2 + j(2k + i)n. Damit erhalten wir (2 + 2j)j = ej(1n 2)"2 + jn(2k+ 1/4» = e -n(2k+ 1/4) (COS In 2J"2 + j sin In 2)2), der Hauptwert: e- n / 4 (eosIn 2)2 + j sin In 2)2) = 0,2309149 ... + jO, 3931385 ... Aufgaben 1. Zeigen Sie mit Hilfe der vollsHindigen Induktion:

1st z = r(cos cp + j sin cp) und

nE N,

so gilt zn = rn(cos n cp + j sin n cp).

2. Berechnen Sie:

c)

(-! -! j3j)9;

d) (_ y0. + y0.j)6;

f)

[O,9( cos InS + j sin InS) JO,

3. Berechnen Sie: a)J-l+)3j:

b)V3-)3j;

c)

V-!-!)3j;

d)

e)

VI

f) V17,0859375.

V=l;

4. Wie lauten die (komplexen) Losungen folgender Gleichungen? a) (1 - j)ZZ + (1 + j)z - 2 + j = 0; c)

Z4

+ (3 - 5j)zZ -10 - 5j

=

0;

b) (1 + j)Z3 + (- 2 + 4j)zZ - (7 + 9j)z = 0; d) Z4 - 4z 3 + 6z z - 4z + 5 = 0 (Hinweis: Zl

5. Welche quadratische Gleichung hat die Losungen Xl

=

3 + 2j, Xz = 3 - 2j?

6. Bestimmen Sie die Losungsmenge der Gleichungen: a) (2 - 3j)z + (2 + 3j)z* + 7 = 0;

b) zz* + (- 2 + 3j)z + (- 2 - 3j)z* + 12 = O.

=

jist eine Losung).

198

5 Die komplexen Zahlen

7. In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die Gleichung

a(x 2 + y2) + bx + cy + d = 0,

(5.21)

aE!R\ {O},b, c, dE!R

°

fur b + c - 4ad > einen Kreis dar. Wie lautet die zugehorige komplexe Darstellung von (5.21), d.h. in (5.21) sollen statt x und y nur TIoch z bzw. z* vorkommen? (Beachte: z = x + jy, z* = x - jy.) 2

2

8. Es sei a)

Zl

=

2,1'eo,2

j

und

Z2

= 0, 75·e-O,4j. Berechnen Sie:

IZ11, Iz 2 1, arg Zl' argz 2 ; b) Real- und Imaginarteil von Zl'Z2,~,zi,z~, zi' z~. Z2

9. Stellen Sie cos4x und sin4x in einer Summe von Potenzen von cosx bzw. sinx dar. *10. Berechnen Sie

I

cosk x und

k=O

I

sink x.

k=O

11. Berechnen Sie mit Hilfe von (5.20): a) In( - 1);

b) Inj;

c) In(l

+ j);

d) jj.

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten 6.1 Lineare Gleichungssysteme; das Gau8sche Eliminationsverfahren Lineare Gleichungssysteme finden in der Praxis iiberaus groBe Anwendung. Sie treten z.B. in der Statik auf bei der Berechnung der Auflagekrafte und der Durchbiegung von Tragern, in der Dynamik bei der Behandlung von Schwingungsproblemen, in der Betriebswirtschaft bei der Losung von Problemen mit Hilfe der linearen Planungsrechnung (linear programming).

6.1.1 Vorbetrachtungen

Beispiel 6.1 Ein Betrieb produziert in einem bestimmten Zeitraum von n Waren W 1 , W 2 , ••• , W n die Mengen sei der Herstellungspreis pro Mengeneinheit der Ware Wi' i= 1,2, ... ,n. Dann betragen die Herstellungskosten fiir diese Waren X 1 ,X 2 , ... ,Xn- k i

H=

k 1x 1

+ k 2 x 2 + ... + knxn-

Bezeichnet man die Verpackungskosten bzw. die Transportkosten fiir die Mengeneinheit der Ware Wi mit Vi bzw. mit t i , so erhalt man die Herstellungs-, Verpackungs- und Transportkosten aus dem linearen Gleichungssystem H

= k 1 Xl

V = V1X 1 T = t1X 1

+ k 2X2 + + V2 X 2 + + t2 X 2 +

+ knx n + VnX n + tnx n

H, V und T sind, wenn die Menge der einzelnen produzierten Waren bekannt ist, durch die Koeffizienten k i , Vi und t i , i = 1,2, ... , n, festgelegt.

Den linearen Gleichungssystemen kommt auch in der Elektrotechnik groBe Bedeutung zu, da zwischen Stromen und Spannungen oft ein linearer Zusammenhang besteht. Das folgende Problem fiihrt auf einlineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Variablen. Beispiel 6.2 Gegeben ist eine Briickenschaltung (s. Bild 6.1). Bei bekanntem Strom I ist die GroBe des Stromes I g in Abhangigkeit der Widerstande R 1 bis R 4 zu bestimmen. Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln erhalt man die (Knoten- und Maschen-)Gleichungen 11 + -1 1

12

+

13

12

R 1 I 1 -R 2 12 R3I3

-

=1 + Ig=O 14 + 19 =0 + RgIg=0 R 4 I 4 - R g 1g =0

(6.1)

200

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Die Lasung dieses linearen Gleichungssystems mit 5 Gleichungen und den 5 Variablen 11 , 12 ,13,14 und 19 hangt von den Koeffizienten der Variablen sowie von 1 abo

I

Bild 6.1: Briickenschaltung

6.1.2 Das Gau.8sche Eliminationsverfahren

Mit Hilfe des in diesem Abschnitt beschriebenen Verfahrens HiBt sich eine Aussage dariiber machen, ob ein gegebenes lineares Gleichungssystem lasbar ist oder nicht. Gegebenenfalls erhalt man dann durch eine weitere Rechnung die Lasung dieses Systems. U nter einer linearen Gleichung mit den n Variablen Xl' X 2 , ... , X n versteht man eine Gleichung der Form a 1x 1

+ a 2 x 2 + ... + anX n = b

mit Xi' ai' bE~ fiir aBe i == 1,2, ... , n. Liegen gleichzeitig m solcher Gleichungen vor, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Definition 6.1 Es sei aik , biE ~ fiir aIle i == 1,2, ... , m, k == 1,2, all Xl

+ a 12 x 2 +

, n. Dann heiBt

+ a 1n X n == b i

ein Iineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen Xl' X 2 , . .. , X n oder kurz ein (lineares) (m, n )-System. Bemerkungen:

1. Die Zahlen a ik heiBen die Koeffizienten des Systems. Der erste Index gibt die Zeile, der zweite Index die Variable an, zu der dieser Koeffizient gehort 1). 2. Die Zahlen bi heiBen die Storglieder oder rechten Seiten des Systems. Wenn bi == 0 fiir aIle i = 1,2, ... ,m ist, dann heiBt das System homogen, sonst inhomogen. 3. 1st speziell m == n, so spricht man von einem quadratischen System. 4. Die Variablen bezeichnet man auch als die Unbekannten des Systems. 1) Wenn MiBversHindnisse auftreten konnen, setzt man zwischen die Indizes ein Komma.

6.1 Lineare Gleichungssystems; das GauBsche Eliminationsverfahren

201

Es sei a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 21 x 1 + a 22 x 2 +

+ a 1n X n = b 1 + a 2n X n = b2

(6.2)

ein quadratisches, inhomogenes System, das genau eine Lasung besitzt. Durch Addition geeigneter Vielfacher einer Gleichung zu den iibrigen Gleichungen kannen wir schrittweise Variablen mit dem Ziel eliminieren, ein gestaffeltes System (eventuell miissen Zeilen vertauscht werden) C 11 X 1

+ C 12 X 2 + C 22 X 2 +

+ C 1n X n = d 1 + C 2n X n = d2

(6.3)

zu erhalten. Hieraus kannen wir die Variablen der Reihe nach, beginnend mit X n aus der letzten, X n - 1 aus der vorletzten usw., schlieBlich Xl aus der 1. Gleichung gegebenenfalls berechnen. Dieses Verfahren heiBt Gau8sches Eliminationsverfahren. Dieses Verfahren ist nicht nur auf quadratische, inhomogene Systeme anwendbar, sondern HiBt sich auch auf (m, n)-Systeme (homogen oder inhomogen) iibertragen. 1m Verlaufe der Rechnung stellt man dabei fest, ob das vorliegende System genau eine, keine oder unendlich viele Lasungen besitzt. Die folgenden Beispiele erHiutern das Verfahren. Beispiel 6.3 Gegeben sei das (3, 3)-System 4x 1 + 2x 2 - 2x 3 = - 2 -3x 1 + X 2 =6 Xl - 4x 2 + 2x 3 = -9 Zur Vereinfachung der folgenden Rechnung vertauschen wir die erste und dritte Zeile: x l -4x 2 +2x 3 =-9 -3x 1 + X 2 =6 4x 1 + 2x 2 - 2x 3 = -2

(a)

(b) (c)

Fiihrt man bei diesem System die angegebenen Operationen durch, so erhiilt man 4x 2 -11x 2 18x 2

Xl -

+ + -

2x 3 = - 9 (a) 6x 3 = -21 (b/) = (b) + 3(a) 10x 3 = 34 (c/) = (c) - 4(a)

4X 2 + 2x 3 = - 9 (a) -11x 2 + 6x 3 =-21 (b/) 4 2 - 1 1 x3 = - 1 1 (e") = (c/) + ~~(b/)

Xl -

Das letzte System ist ein gestaffeltes System der Form (6.3). Aus (e") folgt X 3 = 2. Mit diesem Wert erhiilt man aus (b/) X 2 = 3 und schlieBlich aus (a) Xl = -1. Die Lasung des Gleichungssystems lautet also Xl = -1, X 2 = 3, X 3 = 2.

202

6 Lineare Gleiehungssysteme, Matrizen, Determinanten

Das GauBsehe Eliminationsverfahren HiBt sieh kiirzer, dennoeh aber iibersiehtlieh darstellen, wenn man nur die Koeffizienten und die reehte Seite des Gleiehungssystems sehreibt und auf die Variablen Xi verziehtet. Dies wollen wir in den folgenden Beispielen durehfiihren. Beispiel 6.4 Gegeben sei das (3, 3)-System 3x 2 + 5x 3 = 26 (a) 2x 2 + x 3 = 12 (b) + 5x 2 - 6x 3 = 2 (c).

Xl -

2x l -3x l

(6.4)

-

In kurzer Sehreibweise:

1 -3 5 I 26 2 -2 1: 12 -3 5-6\ 2

(a) (b) (c)

Mit Hilfe der angegebenen Zeilenoperationen erhalt man ~1

- 3 5 I 26 4 -9 : -40

-4

9

80

I

(a) (b') = (b)-2(a) (e') = (c) + 3(a)

1 - 3 5 I 26 4 -9 \ -40 I o I 40

(a) (b') (e") = (e') + (b')

Die letzte Zeile (e") entsprieht der Gleiehung O· X 3 = 40, die jedoeh dureh keinen x 3 - Wert erfiillt werden kann. Foiglieh besitzt das (3, 3)-System (6.4) keine Lasung. Beispiel 6.5 Gegeben sei das (3, 3)-System 3x l + X 2 24x l + 10x 2 -6x l - 4x 2

2x 3 = 3 (a) 13x 3 = 25 (b) + X 3 = -7 (c) -

(6.5)

-

Mit Hilfe der angegebenen Zeilenoperationen erhalt man in kurzer Sehreibweise 3

1 - 2 I 3 (a) 2 3 I 1 (b') = (b) - 8(a) I -2 -3 1-1 (e')=(e)+2(a)

3 1 - 2 I 3 (a) 2 3: 1 (b') o I 0 (e") = (e') + (b')

Wie man erkennt, besitzt dieses Gleiehungssystem nur die beiden wesentliehen Gleiehungen 3x l

+

X2 -

2x 2

2x 3 = 3

(6.6)

+ 3x 3 = 1,

da die GleiehungOx 3 = O(e") durchjeden Wert x 3 ElR erfiillt ist. Wir setzen x 3 = AElR und erhalten aus (6.6)

X2=1--iA,

X3

=AElR

(6.7)

Fur jedes AElR erhalten wir dureh (6.7) eine spezielle Lasung von (6.5). A heiBt ein Losungsparameter. Fur A= 0 erhalten wir z.B. Xl =~, x 2 = 1-, x 3 = 0, fiir A= -1 indessen Xl = -~, x 2 = 2, X 3 = - 1.

6.1 Lineare Gleiehungssystems; das GauBsehe Eliminationsverfahren

203

Wie die Beispiele (6.3), (6.4) und (6.5) zeigen, kann ein (3, 3)-System genau eine, keine Lasung oder unendlieh viele Lasungen besitzen. DaB dies allgemein fur ein (m, n)-System zutrifft, werden wir in Absehnitt 6.4.1 beweisen. Die folgenden Beispiele zeigen, daB das GauBsehe Eliminationsverfahren aueh auf nieht quadratisehe Systeme anwendbar ist. Beispiel 6.6 Gegeben sei das (3,4)-System Xl

4x l -3x l

+ 2x 2 - 7x 3 + 2x 4 = - 3 (a) + 7x 2 - 26x 3 + 9x 4 = -10 (b) - 5x 2 + 19x 3 -7x 4 = 7 (e)

(6.8)

Hieraus erhalt man in kurzer Schreibweise

2 -7 2 I -3 - 1 2 1: 2 1 - 2 - 1I - 2

2 -7 2 I -3 (a) -1 2 1: 2 (b') o I 0 (e") = (e') + (b')

(a) (b') = (b) - 4(a) (e') = (e) + 3(a)

Das Gleiehungssystem (6.8) besitzt also die zwei wesentliehen Gleiehungen mit 4 Variablen Xl

+ 2x 2 - 7x 3 + 2x4 = - x 2 + 2x 3 + x 4 =

Wir setzen

X3

3 2

(6.9)

= 2E lR und X 4 = ,LlE lR und erhalten aus (6.9) x 2 = -2 + 22 +,Ll,

x 3 =2,

(6.10)

Fur jedes 2,,Ll E lR erhalten wir dureh (6.1 0) eine spezielle Lasung von (6.8). Man sprieht von einer zweiparametrischen Losungsschar. Fur 2 = 1, ,Ll = 2 erhalten wir z.B. Xl = -4, X 2 = 2, X 3 = 1, x 4 =2.

Beispiel 6.7 Gegeben sei das (4, 3)-System Xl X 2 + 3x 3 = 3 -x l +2x 2 + 2x 3 =-2 3x l + 4x 2 X3 = 5 2x l - x 2 +11x 3 = 6

(6.11)

Man erhalt

-1 3 3 151 I 7-10,-4 15: 0

1 -1 1

3

3

5 -45

1 -11 :- 1

o

I

I

Die letzte Zeile entsprieht der Gleiehung O' X 3 = -1, die dureh keinen x 3 - Wert erfullt werden kann. Foiglieh besitzt das Gleiehungssystem (6.11) keine Lasung.

204

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Aufgaben 1. Bestimmen Sie aIle Lasungen, falls so1che existieren, von folgenden Gleichungssystemen: a) -3x l +2x z -

3x 3 = 6 9x l -2x z + 10x 3 = -10 6x l + 8x z + 14x 3 = 22

c)

e)

Xl -3x z +2x 3 = 4x l -2x z +5x 3 = -2 3x l + X z + 3x 3 = 3

4x l

b)

3x 1 - 14x z + 2x 3 - X 4 = - 7 -2x l + 13x z -4x 3 +3x4 = 9 x l - 6x z + x 3 - x 4 =-4 2x l -12x z +2x 3 + x 4 = 1

d)

-Xl

+ 3x z +4x 3 = 1 2x l x3 = 6 6x l +2x z +3x 3 =28 3x l + X z = 11 4x l + X z +2x 3 = 19

+ 7x z -26x 3 +9x4 = -10

+2x z - 7x 3 +2x 4 = -3x l -5x z +19x 3 -7x 4 = Xl

-

3 7

2. Bestimmen Sie aIle Lasungen von folgenden homogenen Gleichungssystemen: a)

3x l +4x z - X 3 =0 Xl -2x z + x 3 =0 -2x l +5x z +3x 3 =0 5x l - X z +4x 3 =0

b)

Xl +2x z 5x 3 - 7x 4 - 8x s =0 -2x l -5x z + 14x 3 + 16x4 +21x s =0 3x l + 5x z - 8x 3 - 25x4 -10x s = 0 2x l +2x z + x 3 -16x 4 + 3x s =0

c)

Xl +2x z +3x 3 =0 2x l +3x z +4x 3 =0 Xl +5x z +7x 3 =0

d)

5x l +2x 2 +4x 3 + 6x 4 =0 4x 2 + 7x 3 + 10x4 =0 Xl +8x z +6x 3 + 4x4 =0 -3x l +6x 3 + 12x4 =0

3. Fur we1che Werte aE ~ besitzen folgende Systeme i) genau eine Lasung, ii) keine Lasung, iii) unendlich viele Lasungen? a)

+

+

x z + x 3 =a z

1

b) aX l

Xl +2x z +ax 3 =2 2x 1 + ax z + 2x 3 = 3

Xl

+ax z + x 3 =a

Xl

+

Xl

Xz -

X3=

Xz

+ ax 3 = 1

4. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel2. Ordnungy und C(3, 2) verHiuft.

ax2 + bx + c, die durch die PunkteA(I, 4), B(-2, -8)

6.2 Matrizen 6.2.1 Grundbegriffe

Die Lasung des (5, 5)-Systems (6.1) hangt auBer vom Strom I von den Widerstanden R 1 bis R 4 ab, d.h. von den Koeffizienten des Systems. Diese konnenwir iibersichtlich in einem Schema zusammenfassen:

6.2 Matrizen

205

11000 -1 0 1 0 1 o 1 0 -1 1 0 Rg R l -R 2 0 o 0 R 3 -R4 -Rg Ein solches Schema bezeichnet man als eine (5, 5)-Matrix. Allgemein vereinbart man Unter einer (m, n)-Matrix l ) versteht man ein rechteckiges Zahlenschema aus m mal n Zahlen. Schreibweise: all

a 12

a lk

a ln

a 2l

a 22

a 2k

a 2n

ail

a i2

a ik

ain

a ml

a m2

a mk

a mn

A=

~i-te

Zeile

(6.12)

i

k-te Spalte Die Zahlen aikE~, i = 1,2, ... ,m, k = 1,2, ... , n, heiBen die Elemente der Matrix A. 1st m = n, so heiBt A eine n-reihige, quadratische Matrix. Die Elemente ail' a i2 , . .. , a in bilden die i-te Zeile, die Elemente alb a 2k , ... , a mk die k-te Spalte. Bemerkungen:

1. 1m folgenden bezeichnen wir Matrizen mit graBen lateinischen Buchstaben. 2. Das Element a ik steht in der i-ten Zeile und k-ten Spalte von A. Man bezeichnet daher den ersten Index von a ik als Zeilenindex, den zweiten als Spaltenindex. 3. 1st A eine (m, n)-Matrix, so sagt man auch, sie sei vom Typ (m, n) und schreibt

(6.13) Geht der Typ der Matrix aus dem Zusammenhang hervor, so schreibt man kurz: A = (a ik ). Matrizen vom gleichen Typ heiBen zueinander gleichartig. 4. Eine Matrix vom Typ (1, n) bezeichnet man als Zeilenmatrix oder Zeilenvektor, eine Matrix vom Typ (m, 1) als Spaltenmatrix oder Spaltenvektor. 5. 1st A = (a ik ) eine n-reihige, quadratische Matrix, so bilden die Elemente all' a 22 , ... , ann die sogenannte Hauptdiagonale, die Elemente a ln , a 2 ,n-l" .. ' a nl die sogenannte Nebendiagonale.

Nebendiagonale 1) Mehrzahl: Matrizen.

Hauptdiagonale

206

6 Lineare Gleiehungssysteme, Matrizen, Determinanten

6. Man beaehte: (a ik ) ist eine Matrix, a ik eine reelle Zahl. Beispiel 6.8 Es seien -16

o

A ist eine Matrix vom Typ (2, 3), Beine 3-reihige, quadratisehe Matrix, C ein Zeilenvektor und D ein Spaltenvektof. Es gilt z.B. a 13 = n, C 12 =)2, d4l = O. b ll = 1, b22 = 16, b33 = -4 sind die Elemente der Hauptdiagonalen, b 13 = 2, b22 = 16, b3l = n die Elemente der Nebendiagonalen vonB. Definition 6.2 A

=

(a ik ) und B = (b ik ) seien gleiehartige Matrizen. A und B heiBen gleich, wenn

a ik = bik

fur alle i, k

ist. Sehreibweise: A = B Bemerkung:

N otwendig fur die Gleiehheit zweier Matrizen ist, daB diese vom gleiehen Typ sind. Beispiel 6.9 Es seien

B=

-3 40) (

0 6 0 , 320

c=

(-3~ 4)~ '

D=

(-3~ 4)~

.

Dann gilt A = D, wahrend A i= C ist (da a 22 i= C22 ). Fernerist A i= B, da diese Matrizen nieht vom gleiehen Typ sind. Beispiel 6.10 Es seien A

= (

6)

3 -5 2

und

B

=

(ac+d + b a+ 2a + b C-

Wie muB man a, b, c, d wahlen, damit A = B ist?

d)

6.2 Matrizen

207

Lasung: a, b, C, d sind so zu bestimmen, daB

a + b = 3,

a + c - d = 6,

C

+d= -

5 und

2a + b = 2

ist. Man erhaJt a = -1, b = 4, c = 1, d = -6. Vertauscht man die Zeilen und Spalten einer Matrix, so erhaJt man i.a. eine neue Matrix. Definition 6.3 A = (a ik ) sei eine (m, n)-Matrix. Unter der transponierten Matrix von A (kurz: Transponierten von A) versteht man die (n, m)-Matrix B

= (b ik ) mit bik = aki fur aIle i, k

Schreibweise: B = AT 1) Bemerkungen:

1. 1st A eine quadratische Matrix, so erhalt man AT durch Spiegelung der Elemente von A an

ihrer Hauptdiagonalen. 2. Durch Transponieren geht ein Zeilenvektor in einen Spaltenvektor uber und umgekehrt. 3. Fur jede Matrix A gilt: (AT)T = A. Beispiel 6.11 Es seien A=

(30 -i6 ~

~

~8)

und

B = (3

0

4

-6)

Dann ist

Definition 6.4

A = (a ik ) sei eine n-reihige, quadratische Matrix. A heiBt a) symmetrisch, wenn aik = aki fur aIle i, kist, b) schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch, wenn aik = - aki fur aIle i, kist, c) eine obere (untere) Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 fur i> k (i < k) ist, d) eine Diagonalmatrix, wenn aik = 0 fur aIle i =1= kist.

1) Man findet auch die Schreibweise A'.

208

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Bemerkungen: 1. Wenn A symmetrisch ist, so gilt also A = AT. 2. 1st A = (aik)(n,n) eine schiefsymmetrische Matrix, so ist, wegen au = - a ii flir aIle i, a ii = 0 fur aIle i, d.h. aIle Elemente der Hauptdiagonalen einer schiefsymmetrischen Matrix verschwinden.

Beispiel 6.12 Es seien

A=

D=

( -43 -4 0) B=( -~ -6 1 , o 1 2 ( 106 °3 0)0 , -4

-6) c=(~

3 0 11

-1~ ,

-3 2 0

D

F=(~ °o 0) -2 0 4

1 2

A ist eine symmetrische, Beine schiefsymmetrische Matrix, C eine obere und D eine untere Dreiecksmatrix. Fist eine Diagonalmatrix.

6.2.2 Addition und Multiplikation von Matrizen Flir das Rechnen mit Matrizen vereinbart man folgende einfache Regeln: Definition 6.5 A = (a ik ) und B = (b ik ) seien gleichartige Matrizen. Unter der Summe von A und B versteht man die (m, n)-Matrix S = (Sik) mit Sik

Schreibweise: S = A

= a ik

+ bik

flir aIle i, k

+B

Bemerkungen: 1. Die Addition von Matrizen ist nur flir Matrizen gleichen Typs definiert. 2. Man addiert zwei Matrizen, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert.

Beispiel 6.13

(-~

12 0

-3 2 18 + 10 -1

6

-1) (3

3 4 2 1 1

0 6 20 . 11 0

5

10 +

12

-4 -12

(3

-2

2 4

~) = (2~ 12

4)+(3

8 -12

2

7 10

1:)

1 0) = (6

0

13

4)

6.2 Matrizen

209

In Abschnitt 1.3.1 wurden die Grundgesetze der Addition reeller Zahlen zusammengestellt. Diese Gesetze gelten entsprechend fiir die angegebene Addition von Matrizen gleichen Typs. Satz 6.1

(Rechengesetze der Addition)

Bemerkungen: 1. Das neutrale Element bez. der Matrizenaddition, d.h. die Matrix N, heiBt Nullmatrix. Dies ist eine Matrix, deren Elemente Null sind. 2. Da bez. der Addition von Matrizen die gleichen Gesetze wie fiir die reellen Zahlen gelten (s. Abschnitt 1.3.1), kannen aIle Folgerungen, die wir dort nur aus diesen Gesetzen abgeleitet haben, auch fiir Matrizen iibernommen werden. Insbesondere besitzt jede Matrizengleichung A + X = B (A, B und X seien Matrizen gleichen Typs) genau eine Lasung, die mit X = (X ik ) = B + (- A) = B - A

mit

X ik

= bik -

a ik

fiir aIle i, k

bezeichnet wird. Es ist also - A = - (a ik ) = (- a ik ). Die Matrix B - A bezeichnet man als Differenz der Matrizen B und A. 3. Wegen b) HiBt man i.a. die Klammern fort, d.h. man schreibt auch A + B + C. Beispiel 6.14 Es sei

B=

4-2) C=(~o ~) ( 3

-5

0,

1

-3

Wir bestimmen die Matrix X so, daB (A + X) - (B + C) = N ist. N ist hierbei also die (3, 2)- Matrix

N=(~ ~)Es gilt

X=(B+C)-A=(

~ -~)+(~ ~)-(-~4 0~)=( -5+0-4 ~:~~~ -~:~=~), 1 0 -3 1-3+0

-5

210

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

d.h.

x==

( 1-6) 10

-9

O.

-2

Wir betrachten die Matrizen

A==(-9 12

6)

18

-3

0

und

B==

(-3 6 4 0

Wie man leicht zeigt, ist A == B + B + B. Fiihren wir hierfiir die abkiirzende Schreibweise A == 3· B ein (vgl. Addition gleicher reeller Zahlen), so HiBt sich allgemein eine Verknupfung einer reellen Zahl mit einer Matrix A sinnvoll definieren durch: Definition 6.6

A==(aik ) sei eine (m,n)-Matrix und AEIR. Dann versteht man unter dem Produkt A·A die (m, n)-Matrix

c == (C ik ) Schreibweise: A· A

==

mit

C ik

==

Aa ik

fur aIle i, k

AA == AA

Bemerkungen: . 1. Eine Matrix A wird also mit AE IR multipliziert, indem man jedes Element dieser Matrix mit A multipliziert. 2. Esgilt(-l)·A== -A.

Beispiel

6.15

Es sei A ==

(43 -6o 125)

und

(1,5

B == 2

Dann gilt

2A == (6 8

-12

10) o 24 '

_4B==(-6 -8

12 0

-10) -24

und

2A-4B==N(2,3)

Mit Hilfe der Grundgesetze der Addition und Multiplikation reeller Zahlen beweist man: Satz 6.2

6.2 Matrizen

211

Bemerkung:

In a) UiBt man i.a. die Klammern fort, d.h. man schreibt AjlA. Flir die Theorie der linearen Gleichungssysteme (s. Abschnitt 6.4) ist es zweckmaBig, ein Produkt von Matrizen einzuflihren. Hierzu betrachten wir folgendes Beispiel. Beispiel 6.16 Gegeben seien die Matrizen

Man bestimme Xl' X 2 , X 3 so, daB das Gleichungssystem allYl a 21 Yl

+ a 12 Y2 = + a 22 Y2 =

C 11

(6.14)

C 21

erflillt ist, wobei Yl

= b 11 Xl + b 12 X 2 + b 13 X 3

Y2 = b 21 Xl

(6.15)

+ b 22 X 2 + b 23 X 3

ist. Setzen wir (6.15) in (6.14) ein, so gilt all(bllXl a21(bllXl

+ b 12 X 2 + b 13 X 3 ) + a12(b21xl + b 22 X 2 + b 23 X 3 ) = C 11 + b 12 X 2 + b 13 X 3 ) + a22(b21xl + b 22 X 2 + b 23 X 3 ) = C21

Folglich erhalten wir (a 11 b 11 (a 21 b 11

Xl' X 2 , X 3

als Lasung des linearen Gleichungssystems

+ a 12 b 21 ) Xl + (a 11 b 12 + a 12 b 22) X 2 + (a 11 b 13 + a 12 b 23 )x 3 = C 11 + a22b21)Xl + (a 21 b 12 + a22b22)X2 + (a 21 b 13 + a22b23)X3 = C21 ·

Die Matrix der Koeffizienten ist die (2, 3)-Matrix all b 12 a 21 b 12

+ a 12 b 22 + a 22 b 22

mit 2

Pik

=

L ailb

1k

flir i = 1,2

und

k = 1,2,3

(6.16)

i= 1

P bezeichnet man als das Produkt der (2, 2)-Matrix A mit der (2, 3)-Matrix B. (6.16) gibt an, wie sich die Elemente von P aus denen von A und B berechnen. Allgemein definiert man:

212

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Definition 6.7

A = (aij) sei eine (m, i)-Matrix und B = (b jk ) eine (1, n)-Matrix. Unter dem Produkt der Matrizen A und B versteht man die (m, n)-Matrix I

P

=

(Pik)

Pik =

mit

I

aijbjk

j= I

.. i=1,2, ... ,m fur k = 1,2, .. . ,n

(6.17)

Schreibweise: P = A .B = AB

Bemerkungen: 1. Man beachte, daB das Produkt AB wegen (6.17) nur dann definiert ist, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B ubereinstimmt. 2. 1st A eine (m, n)-Matrix und Beine (n, m)-Matrix, m =1= n, so existieren zwar sowohl AB als auch BA,jedoch ist AB =1= BA, da die Matrix AB vom Typ (m, m) und BA vom Typ (n, n) ist. Aber auch fur den Fall, daB m = n ist, ist i.a. AB =I- BA (s. Beispiel 6.17). 3. Aus (6.17) folgt

Pik=ailblk+ai2b2k+···+ail bIk

·· {i=1,2, ... ,m fur k=12 , , ... ,n '

d.h. man erhalt das Element Pik von P, indem man die Elemente der i-ten Zeile von A mit den entsprechenden der k-ten Spalte von B multipliziert und dann aufaddiert. (Merke: Zeile mal Spalte.) Diese RegellaBt sich schematisch darstellen:

b21

... b lk ... ... b2k ...

bll

bik

(b

A=

all

a l2

all

ail

ai2

ail

amI

am2

amI

ll

bin) bfn =B bIn

1

G

=P

P=AB Beispiel 6.1 7 Es sei

A=G

4 -7

-~)

(-2 B=( -D c=

~

3

-9 -6

-~) D=(~

-2

1 0

2

-D

6.2 Matrizen

213

Dann gilt a) AB=(23

-1)(_~)=(3.1+4.(-2)+(-1).3)=(-8)

4 -7

6

3

-2

3)=(-2~:~ (-2~:~=~~ (-2~:~)=(-~ -~ -9~) 3·1

3·(-2)

3·3

3-6

0

-26 4

(

34

-2 3)( -D=(lol+(-2)O(-2)+3 3)=(14)

c) BToB=(l

d) CD =

2·1+(-7)·(-2)+6·3

- 93 -6

- 31)(32 01 -2 0 2

1) 1 = (00 00 0) 0 = N(3,3) -1 0 0 0

(Beachte: Es ist CD = N, obwohl C "# N und D "# N ist.)

e)DC=(~ ~ o

2

~)(-~ -~ -~)=(~ -~ -~)

-1

4

-6

-2

8

-12

(Beachte:CD"#DC)

-4

Beispiel 6.18 Lineares Gleichungssystem in Matrizenschreibweise Gegeben sei das (m, n)-System allx l

+ a l2 x 2 +

+ alnX n = b l

a 21 x 1

+

+

a 22 x 2

+

a 2n X n

= b2

(6.18)

Setzt man

so HiBt sich das Gleichungssystem iibersichtlich in derForm AX = B schreiben. A heiBt Koeffizientenmatrix des (m, n)-Systems (6.18), B der Spaltenvektor der rechten Seiten und X der Losungsvektor des Systems. 1m folgenden fiihren wir eine spezielle, quadratische Matrix ein.

214

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Definition 6.8

Die quadratische Matrix E(n,n)

I fur i = k 1 ) = ((jik)(n,n) mit (jik = { 0 fur i -# k

(6.19)

heiBt n-reihige Einheitsmatrix. Bemerkung: Die n-reihige Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix (s. Definition 6.4), denn nach (6.19) ist 1 0 0 E(n,n) = 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

n

0 0 0 0

n

Zeilen

Spalten

Nach Definition 6.7 ist das Produkt zweier Matrizen nur in speziellen FaJlen definiert. Dann gelten einige Rechengesetze, die uns vom Rechnen mit reellen Zahlen her bekannt sind. Satz 6.3

(Rechengesetze der Multiplikation)

Bemerkungen: 1. Wir weisen an dieser Stelle nochmals darauf hin, daB i.a. AB i= BA ist, d.h. die Matrizenmulti-

plikation ist nicht kommutativ (s. Beispiel 6.17). 2. b) zeigt, warum die Matrix E Einheitsmatrix heiBt. 3. In a), auf der rechten Seite von c) und in d) HiBt man i.a. die Klammern fort, d.h. man schreibt auch ABC, AB + AC (beachte: Punktrechnung geht vor Strichrechnung) und AAB. 4. Fur jede quadratische Matrix A sind die Produkte AA, AAA usw. erkHirt, fur die wir die Potenzschreibweise A 2 , A 3 usw. verwenden. 1) bik heiBt Kronecker-Symbol.

6.2 Matrizen

215

Beweis:

Wir beweisen nur b) und e). zu b) Es sei A = (aij)(m,n) und E = (6 rk )(n,n). Dann gilt wegen (6.17) und (6.19) AE = (

±

Es sei E =

(bij)(m,m)

EA = (

= (aik)(m,n) = A.

aisb sk ) (m,n)

s= 1

I:

und A = (ark)(m,n). Dann gilt wegen (6.17) und (6.19)

= (aik)(m,n) = A.

biSaSk )

s= 1

(m,n)

zu e) Es sei A

= (aij)(m,l)

AT =

(llij)(l,m)

und B = mit

(brk)(l,n).

llij

=

Dann gilt

a ji

und

T B =

(!3rk)(n,l)

mit !3rk =

b kr

Nach Definition 6.7 existieren (AB)T und B TAT und folglich ist

• Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, ergeben sich Abweichungen zum gewohnten Rechnen mit reellen Zahlen. Dies zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 6.19 Es sei

B=( -24 Dann rechnet man leicht nach, daB a) b) c) d) e)

A 2 = A ist, obgleich sowohl A i= E als auch A i= N ist, BC = N(2,2) ist, obgleich sowohl B i= N(2,2) als auch C i= N(2,2) ist, D 2 = E ist, obgleich sowohl D i= E als auch D i= - E ist,

G2 =

N(2,2)

ist, obgleich G i= N ist,

HK = HL und K i= List, obgleich H i= N(2,2) ist.

D_

(3 2) -4

-3

216

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Bekanntlich gelten jedoch beim Rechnen mit reellen Zahlen folgende Aussagen: a) b) c) d) e)

a 2 = a:=;. a

= 1 oder a = 0 be = O:=;. b = 0 oder e = 0 oder b = e = 0 d2 = 1 :=;. d = 1 oder d = - 1

g2 = O:=;.g = 0

hk = hi

und

h =1= O:=;. k = I

6.2.3 Die Inverse einer Matrix Beim Rechnen mit reellen Zahlen tritt die Frage nach der Lasung der Gleichung ax = 1 auf. Nach (1.8) existiert fUr aIle aE IR\{O} genau eine Lasung dieser Gleichung, namlich

~=

a-I. Wegen a a' a - 1 = 1, aE IR\ {O}, bezeichneten wir a - 1 E IR als das zu aE IR inverse Element bez. der M ultiplikation. Entsprechend fiihren wir nun die inverse Matrix von A bez. der Matrizenmultiplikation ein.

Definition 6.9 Es sei A eine quadratische, n-reihige Matrix. B heiBt inverse Matrix von A (kurz: Inverse von A), wenn AB=BA=E

(6.20)

ist. Besitzt A eine inverse Matrix, so heiBt A regular, sonst singular. Schreibweise: B = A -

1

Bemerkungen: 1. Die Begriffe regular und singular sind nur fiir quadratische Matrizen definiert. 1st A regular, so ist A -1 auch regular. 2. Wie das folgende Beispiel zeigt, besitzt nicht jede quadratische Matrix eine Inverse.

E . = (1 0) s se1 A

. (u v)

1 0 . Dann 1st B = w x

Inverse von A, wenn

Dies ist jedoch ein Widerspruch, d.h. eine Inverse von A existiert nicht, A ist singular. 3. Ohne Beweis sei erwahnt, daB, wenn A und B gleichartige, quadratische Matrizen sind, aus AB = E bereits BA = E folgt und umgekehrt. Es geniigt also eine dieser Gleichungen zur Definition der Inversen von A.

Satz 6.4

6.2 Matrizen

217

Bemerkung:

Wenn A reguUir ist, so kann man also von der (statt einer) Inversen von A sprechen. Beweis: A sei reguHir und besitze die Inversen B und C. Aus AC = BA = E (s. 6.20)) folgt B = BE = B(AC) = (BA) C = EC = C. Foiglich besitzt A genau eine Inverse. •

Beispiel 6.20 Inverse einer zweireihigen Matrix Es sei A =

(all a 2l

a 12 ) regular und X = a 22

(X

ll

12 X ) X 22

X2l

die Inverse von A.

Dann gilt X

12

X 22

.;;.{ (I)

allx ll a 2l x ll

)=(1 0) 0

+ a 12 x 2l = 1 + a 22 x 2l = 0

1

(II)

a ll x 12 + a 12 x 22 = O. a 2l x 12 + a 22 x 22 = 1

Aus (I) und (II) ergibt sich (alla22 - a 12 a21)x 11 : a22 { (all a - a12a21)x21 - - a 21 22 Setzt man zur Abklirzung (6.21) so existiert offensichtlich die Inverse X = A gilt

Also ist X = A - 1 =

1st beispielsweise A

!D ( -aa = ( _

1

genau dann, wenn D i= 0 ist. Es sei D i= O. Dann

22 2l

~ ~} so existiert wegen D =

13 # 0 die Inverse A - 1, und es gilt

-7)

2 .

In den Abschnitten 6.3.3 und 6.4.2 werden wir Verfahren zur Berechnung der Inversen einer regularen (n, n)-Matrix, n ~ 3, kennenlernen. Flir das Rechnen mit inversen Matrizen gelten folgende Regeln:

218

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Satz 6.5

Beweis:

Wir beweisen nur b) und d) und stellen die Beweise der iibrigen Gesetze als Aufgabe. zu b) Es ist AA -1 = E<:>(AA -1)T = E T<:>(A -1)TAT = E. Folglich ist wegen (6.20) (A -1)T die Inverse von AT, d.h. (A -1)T = (AT) -1. zu d) Es gilt E = AA -1 = AEA -1 = A(BB- 1)A -1 = (AB)(B- 1A -1). Folglich ist die Matrix (B- 1A -1) Inverse der Matrix AB, d.h. es ist (B- 1A -1) = (AB)-1. •

Aufgaben 1. Eine Matrix A besitze 36 Elemente. Von welchem Typ kann sie sein?

2. A sei eine (n, n)-Matrix. Wieviele Elemente stehen unter, uber und in der Hauptdiagonalen? 3. Wie lautet die (4,4)-Matrix A = (a ik ), deren Elemente durch i

+k

a ik = { i.k

fur i > k fur i;£ k

bestimmt sind?

4. Welche der folgenden Matrizen sind a) einander gleich, b) zueinander invers bez. der Addition?

c = (-1

D=(!fi 1)3

-i)

0,3

-J144

2+fi '

°

1)

0,25 ) F=(-!fi -1 -1)3 12 -)6+4J2

5. Wie lauten die Elemente der (3,3)-Matrix A = (a ik ), wenn -(a 23

-

a32 + all)

-all

1

6.2 Matrizen 6. Gegeben sind die Matrizen

A=( -r _~} B=G -~} c=(i _~

-n,

D=(=~ ~ ~)

Berechnen Sie folgende Matrizen, falls diese existieren: a)A-3D T, b)A+B, c)-2A T +3A, d)BT-C

e) BD,

g) 2AA T - 4C,

f) DB,

h) BB- 1 + B T,

i) CD T - 2A

7. A und B seien quadratische Matrizen. Berechnen Sie c) (A

+ B)(A -

B),

d) (A - B)(A

+ B)

8. Gegeben sind die Matrizen A=

30-2) (o 4

1

-3,

5

6

B=

(0 -2 4) 3

1 2 ,

1

3

C=(l

-2

3)

5

Berechnen Sie folgende Matrizen, falls sie existieren: e) (A-B)T b) BA, c) ATB T, k) CTC, h) BC, i) ACT,

a) AB, g) CA,

9. Schreiben Sie die Matrizen 1

A

=(~ 4

1 12 -1-

~

1 )

8

24

und

B=

(

60 30 0

0 0 5

15 - 5 10

35) 20 - 25

als Produkt einer reellen Zahl A =I=- 1 mit einer Matrix. 10. Es sei

El=(~o ~ ~), E2=(~ ~ ~), 0

1

1 0 0

und A = (a ik )(3,3)' Berechnen Sie a) E1A

b) E 2 A

c) E 3 A

und erUiutern Sie das Ergebnis. 11. Berechnen Sie die Inversen, falls diese existieren, von folgenden Matrizen:

B=C~ =~} c=G ~~} D=(~ ~ ~)

A=G -:}

12. Gegeben ist die Matrix

A

=

(~

o

180

0 10) .

0

8

Bestimmen Sie eine obere Dreiecksmatrix B, so daB A = B 3 ist. 13. Es sei

Fur we1che X ist AX = - 2· X?

219

220

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

14. Bestimmen Sie die Inversen, falls diese existieren, von folgenden Matrizen:

C=(-~ ~ ~)

~ ~}

A=G

413

15. Beweisen Sie: b) (A

a) A(B+ C)= AB+AC

+ B)C = AC + BC

(s. Satz 6.3) 16. Beweisen Sie: a) (A

+ B)T =

AT + B T

b) A

= AT<=>A -1 = (A -l)T,

falls A regular ist.

17. Beweisen Sie Satz 6.2 18. Es sei A

=

(~ ~) und B= (~ ~} Berechnen Sie An und Bn, nEI'\,J. (Hinweis: vollstandige Induktion)

19. Es sei A eine quadratische Matrix mit A 2 = N. Zeigen Sie (E + A)-l

= E - A.

20. Zeigen Sie: Jede quadratische Matrix laBt sich als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben. 21. Die Matrizen A und B heiBen vertauschbar, wenn AB = BA ist. Bestimmen Sie die Menge Maller quadratischen Matrizen B, die mit A = 22. Es sei A = existiert?

(aik)(n,n)

(~ ~) vertauschbar sind.

eine Diagonalmatrix mit a ii =I=- 0 fur aIle i. Wie lauten die Elemente der Inversen A - 1, falls diese

6.3 Determinanten 6.3.1 Definition der Determinante In Abschnitt 6.2.3 haben wir festgestellt, daB die Inverse der Matrix

Definition 6.10 A

= (a ik ) sei eine (2,2)-Matrix. Dann heiBt die reelle Zahl (6.22)

die Determinante von A. Schreibweise:

D = IAI = detA = I all

all

alll all

6.3 Determinanten

221

Bemerkung:

Die Determinante einer (2,2)-Matrix A heiBt 2-reihige Determinante oder Determinante 2. Ordnung. Beispiel 6.21 Es sei A = ( -

~ -~). Dann gilt nach (6.22)

IAI=detA=I-~ -~1=(-3).2-(-4).5=14. Bei der Lasung des linearen (3,3)-Systems

+ a 12 x 2 + a 13 x 3 =

b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

a 11 x 1

(6.23)

tritt ein zu (6.22) entsprechender Ausdruck auf: D = al1(a22a33

-

a 23 a 32 ) -

a12(a21a33 -

a 23 a 31 )

+ a13(a21a32 -

(6.24)

a 22 a 31 ).

D bezeichnet man als Determinante der Matrix

(6.25) und schreibt abkurzend fur (6.24) al1a12a131

D=IAI=

(6.26)

a21a22a23

la

31 a 32 a 33

(6.26) ist eine 3-reihige Determinante oder eine Determinante 3. Ordnung. Beachtet man (6.22), so ist, wenn man a 22 a 33 -

a 23 a 32

=

Iu 111,

a 21 a 33 -

a 23 a 31

=

Iu 121,

a 21 a 32 -

a 22 a 31

=

Iu 131

setzt,

(6.27) Hierbei ist U lk diejenige Matrix, die man aus der (3,3)-Matrix (6.25) durch Streichen der 1. Zeile und k-ten Spalte erhalt. Die Berechnung einer 3-reihigen Determinante kann folglich auf die Berechnung 2-reihiger Determinanten zuriickgefiihrt werden.

222

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Beispiel 6.22 11

14

-~2 ~31 =1'1~ ~1-(-2)'11 ~1+3'11 ~I = (0·6 - 2·5) + 2(4·6 - 2 -I) + 3(4 -5 - 0 ·1) = 94

Eine 3-reihige Determinante HiBt sich auch folgendermaBen berechnen: Man erganzt das Schema rechts durch die 1. und 2. Spalte:

Addiert man nun die Produkte der Elemente in Richtung der Hauptdiagonalen und subtrahiert hiervon die Produkte der Elemente in Richtung der Nebendiagonalen, so erhalt man (6.24) (Regel von Sarrus)_

Beachte: Die Regel von Sarrus gilt nur fiir 3-reihige Determinanten. Beispiel 6_23 Es ist

I~

2

-4 01 7 6 =3·7-1 +(-4)-6-2+0·0·(-6)-0·7·2-3-6-(-6)-(-4)·0·1 =81.

-6 1

Entsprechend (6.27) fiihren wir nun die Determinante einer (n, n)-Matrix ein: Definition 6.11

Es sei A = (a ik ) eine (n, n)-Matrix und U lk die (n-l, n - I)-Matrix, die aus A durch Streichen der 1. Zeile und k-ten Spalte entsteht. Dann heiBt die reelle Zahl n

D=

I

(-1)1+k a1k IU1kl

(6.28)

k=l

die Determinante von A. Schreibweise: D = IA I = det A =

Bemerkungen: 1. Die Determinante einer (n, n)-Matrix heiBt n-reihige Determinante oder Determinante n-ter Ordnung.

6.3 Determinanten

223

2. (-1)1 +kl U 1kl == A 1k heiBt die Adjunkte oder das algebraische Komplement von A zum Element a lk · 3. Es sei betont, daB Determinanten nur von quadratischen Matrizen definiert sind. 4. Erganzend definiert man fur A == (a), aE~, die Determinante IAI == det A == a. Beispiel 6.24 Es ist 310 -4 2 1 IAI == 2 1 0 4 0 2

4 6 3 -1

== alll U 111- a 12 U 121 + a 13 1 U 131- a 14 1 U 141 1

=3·1! ~ _~I-l·I-~ ~ _~I+O-4·1-~! ~I Mit Hilfe der Regel von Sarrus erhalt man

IAI == 3·1-1·62 -4·( -20) == 21. Die Determinante I A I einer (n, n)-Matrix A ist als die reelle Zahl definiert, die man erhalt, wenn manjedes Element der 1. Zeile von A mit seiner Adjunkten multipliziert und dann diese Produkte addiert. Denselben Wert erhalt man, wie der folgende Satz zeigt, wenn man statt der Elemente der 1. Zeile die Elemente einer anderen Zeile oder Spalte mit den entsprechenden Adjunkten benutzt.

Satz 6.6 (Laplacescher Entwicklungssatz)

Einen Beweis dieses Satzes findet man z.B. in [9J. Bemerkungen:

1. (6.29) bzw. (6.30) heiBt die Entwicklung von IA I nach der i-ten Zeile bzw. nach der k-ten Spalte. 2. (_1)i+kl Uikl == A ik heiBt die Adjunkte oder das algebraische Komplement von A zum Element aik . Folglich gilt n

IAI ==

I aikA ik k=l

IA I ==

I 1 aikA ik

fur alle i == 1,2, ... , n

(6.31)

fur alle k == 1,2, ... , n

(6.32)

n

i=

224

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

3. Bei der Berechnung von IA I wird man, urn den Rechenaufwand gering zu halten, nach der Zeile oder Spalte entwickeln, die die meisten Nullen enthalt. In Satz 6.9 wird gezeigt, wie man Nullen als Elemente erzeugen kann, ohne daB die Determinante ihren Wert andert. Beispiel 6.25 Wir berechnen 3 0 2 5

IAI=

-4 7 -6 3

2 3 1 -2

0 6 0 1

Da in der 3. Spalte zwei Nullen auftreten, entwickeln wir IAI nach dieser Spalte. Es gilt dann 4

IAI =

4

"~ i= 1

= (-

ai3 A i3

6)-1 ~

=

" ~ a( i3 i= 1

-4 -6 3

-1) i+3 IU i3 1

21 1

3

-

10

-2

2

-47 21 3 =(-6)·63-23= -401 -6 1

Die beiden aufgetretenen 3-reihigen Determinanten berechnet man entweder mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz (Satz 6.6) oder mit der Regel von Sarrus (siehe Seite 222). 6.3.2 Eigenschaften der Determinanten

1m folgenden behandeln wir Umformungen von Determinanten, die den Wert der Determinante nicht verandern. Unter diesen Umformungen sind speziell solche von Bedeutung, die m6glichst viele Nullen in einer Zeile bzw. Spalte erzeugen. Die so erhaltene Determinante laBt sich dann relativ einfach mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes berechnen. Satz 6.7

Den Beweis fiihrt man mit Hilfe der vollstandigen Induktion. Besonders einfach laBt sich die Determinante einer Dreiecksmatrix berechnen. Satz 6.8

Bemerkung:

(6.34) gilt speziell ftir Diagonalmatrizen. 1st E Einheitsmatrix und N quadratische Nullmatrix, so ist lEI = 1 und INI = o.

6.3 Determinanten

225

Beweis: Wir fuhren den Beweis mit vollstandiger Induktion. A = (a ik ) sei eine,obere (n, n)-Dreiecksmatrix. Induktionsanfang: Fur einreihige Determinanten ist (6.34) trivial (s. Bemerkung 4 zu Definition 6.11). Induktionsschritt: Es gelte fur jede (k, k)-Matrix all

a l2

a 13

a lk

0 0

a 22

a 23

a 2k

k

0

a 33

a 3k

= nau.

(6.35)

i=l

0

0

0

a kk

Dann erhalt man fur die (k + 1)-reihige Determinante, wenn man sie nach der (k + I)-ten Zeile entwickelt und (6.35) berucksichtigt: all

a l2

a 13

a 1k

a1,k+l

0 0

a 22

a 23

a 2k

a 2 ,k+ 1

0

a 33

a 3k

a 3 ,k+ 1

0 0

0 0

0 0

a kk

ak,k+ 1

0

ak+l,k+l

= (-

1)(k + 1) + (k + 1)ak + 1, k + 1 .\ Uk + I, k + 1 \

n -n k

--

(1)2k+2 ak + 1,k + I .

k+l

au -

i= I

au

i=l

•

Satz 6.9

Bemerkung: Diese drei Aussagen lassen sich folgendermaBen kurz, aber weniger exakt fassen: a) Vertauscht man in einer Determinante zwei Zeilen (Spalten), so andert man das Vorzeichen der Determinanteo b) Man multipliziert eine Determinante mit einer reellen Zahl, indem man alle Elemente einer einzigen Zeile (Spalte) mit dieser Zahl multipliziert. c) Addiert man zu einer Zeile (Spalte) einer Determinante ein Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte), so andert man die Determinante nicht.

226

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Beweis: Wir beweisen nur b) und stellen den Beweis von a) und c) als Aufgabe. Multiplizieren wir die m-te Zeile von

A=

all

a 12

a ln

aml

am2

amn

anl

an2

ann

mit 2E IR, so ist

A*=(ai'k) =

all

a 12

a ln

2a ml

2am2

2a mn

anl

an2

ann

Entwickeln wir nun IA * I nach der m-ten Zeile, so gilt n

IA*I = und wegen

L

k= 1

U~k

(-I)m+ka~kIU~kl

= Umk und a~k = A'a mb k = 1,2, ... , n,

n

IA*I=

L

k=l

n

(-I)m+k2'a mk IU mk l=A

•

L (-I)m+kamkIUmkl=2IAI

k=l

An zwei Beispielen zeigen wir, wie man Satz 6.9 zur Berechnung einer Determinante verwenden kann. Beispiel 6.26 Wir bringen die folgende Determinante auf Diagonalform:

IAI=

2 4 1 0

= -2'

-6 -12 7 10 1 0 0 0

4 0 -1 2 ~2' 2 1 3 9

-3 10 10 0

1 4 1 0

2 0 3 9 ~-2' 0 1 -9 2

-3 -12 7 10 1 0 0 0

2 0 2 ~2' 2 1

1 0 0 0

-1

3 9 -3 10 0 0

2

-3

2 0

0 10 10

-9 2

0

3 9 ~-2' -3 -8 -9 2

Q)

0 1 3 9 1 0 0 0

-3 10 0 0

2

0

Wegen Satz 6.8 ist folglich IAI = ( - 2)'1'10'( - 3)'26 = 1560 Die Determinanten wurden folgendermaBen umgeformt:

CD ~

0

3 9 -3 -8

Faktor 2 aus 1. Zeile ausgeklammert, 4-faches der 1. Zeile von 2. Zeile subtrahiert, dann 1. Zeile von 3. Zeile subtrahiert,

26

6.3 Determinanten

227

Q) 2. und 4. Zeile vertauscht, @ 2. Zeile von 3. Zeile subtrahiert, (3) 3-faches der 3. Zeile von 4. Zeile subtrahiert.

Beispiel 6.27 1 -2

IAI= -4 3 2

2l

1 0 0 0

-4 6 10 -10 -3

-4 -2 -2 5

0 2 -1 1 3 2 1 -2 1 0

2 -3 5 -1 7 1 -3 2

-3 3 5 iQ

4 -4 2

~ 1-~

1 -4 -2 6 0 -2 -1 2 2 -3

5 1 -3

2 -1 5 -1 1

0 -3 1 3 0 -1 ~ 0 10 0 -4

1 -4 0 -2 -1 2 2 -3

2 5 -1 1

-3 -1 10

-4

-117 ~ I -28 01 -3~1~1_8 - 2336 148 23 1 1=

2

-1 0

Die Determinanten wurden folgendermaBen umgeformt:

CD 2-faches der 2. Zeile von 3. Zeile subtrahiert, 2-faches der 2. Zeile zur 4. Zeile addiert, CZ> Entwicklung nach der 4. Spalte, Q) 1. Zeile zur 3. Zeile addiert, 2-faches der 1. Zeile von 4. Zeile subtrahiert, @ Entwicklung nach der 1. Spalte, (3) 5-faches der 2. Zeile von 1. Zeile subtrahiert, 3-faches der 2. Zeile zur 3. Zeile addiert, ® Entwicklung nach der 2. Spalte.

Aus Satz 6.9 lassen sich weitere Eigenschaften ableiten:

Satz 6.10

Den Beweis dieses Satzes stellen wir als Aufgabe.

228

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Beispiel 6.28 3

5

6

-4

0,3

0,5

4

7

9

3

1

0,7 0,9

8

= 0,

14

2

denn die 1. Zeile ist das 10-fache der 3. Zeile. Folgenden Satz geben wir ohne Beweis an (s. [9J). Satz 6.11 (Produktsatz fur Determinanten)

Bemerkung:

Man beachte, daB aber i.a. IA

+ B I #- IA I + IB list.

Beispiel 6.29 Es sei

A=( -2~

-2 -2 7

li)und B= (~ °21

-1

°

D·

Wegen

AB=

(-7 4-3) -1

29

20 5

9 23

erhiilt man z.B. mit Hilfe der Regel von Sarrus IABI Foiglich ist IABI = IAIIBI.

=

-14, sowie

IAI = 14 und IBI = -1.

6.3.3 Berechnung der Inversen einer regularen Matrix Wie wir im folgenden zeigen, kann man mit Hilfe der Determinante IA I der quadratischen Matrix A entscheiden, ob A eine Inverse besitzt und, falls dies der Fall ist, IA I zur Berechnung von A - 1 verwenden.

6.3 Determinanten

229

Definition 6.12

A == (a ik ) sei eine (n, n)-Matrix und A ik == (- l)i+kl Uikl die Adjunkte zum Element a ik . Dann heiBt die (n, n)-Matrix B == (( - l)i+kl Uikl)T == (Aik)T

(6.39)

die zu A adjungierte Matrix oder kurz die Adjungierte zu A. Schreibweise: B == Aadj Beispiel 6.30 Wir bestimmen die Adjungierte zur Matrix A==

3-2 4) (2 5-3 6

0

1

Es gilt:

'Ul1l=l~ _~I= -5; IU21 = I-~ 1

_~I

= -14;

'U311=1-~ 11= -2;

IUd=l~

-3

IU22I=I~

-3

IUd=l~

11 == - 20·

IU uI = I~

41 == - 17·

IU231=1~ -~1=19

'

'

41==_21.

1

'

~I = 30

IUd=l~ -~1=12

Folglich ist wegen (6.39)

A adj

== (Aik)T ==

(~~

- 2

_

~~

_

21

~~)T = (-2~ 12

30

_~~ -;~)

- 19

12

Der folgende Satz zeigt, daB das Produkt einer Matrix A mit ihrer Adjungierten Aadj kommutativ ist und eine Diagonalmatrix ergibt. Satz 6.12

Beweis: Es sei A == (aik)(n,n) und D == Aadj == (d ik ) mit dik == A ki die zugehorige Adjungierte. Dann gilt nach Definition 6.7 mit Cik ==

n

n

==

==

L aild1k == 1L1 ailA k1· 1 1

(6.41)

230

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

i) Es sei i == k: Dann gilt nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz (Satz 6.6) Cii

== IAI fur aIle i == 1,2, ... n

(Entwicklung von

(6.42)

IA I nach der i-ten Zeile).

ii) Es sei i ::j:. k: Dann gilt nach (6.37) C ik

== 0 fur aIle i, k == 1,2, ... , n

(6.43)

Aus (6.42) und (6.43) folgt

IAI fur i == k

C ik

== { 0

fur

i::j:.

k

Mit Hilfe des Kroneckersymbols (6.19) erhalt man aus (6.42) und (6.43) A· A adj == C == (C ik ) == (biklAI) ==

Entsprechend laBt sich

AadjA

IAI' E.

•

== IA I' E beweisen.

Beispiel 6.31 Es sei

Dann gilt nach Beispiel 6.30 A adj ==

(-2~

30

-~~ -19

-;~) 12

Folglich ist A . A adj == A adj ' A == (

6~ 6~ ~ ) o

0 65

Aus Satz 6.12 konnen wir folgern: Satz 6.13

== 65· E == IA I' E.

6.3 Determinanten

231

Bemerkung:

IA I # 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung fur die Regularitat von A. Beweis:

zu a) Wenn A regular ist, d.h. wenn A -1 existiert, dann gilt nach dem Produktsatz fur Determinanten (Satz 6.11) IAIIA- 1 = IA·A- 1 = lEI = 1~IAI #0. 1

1

Wenn IA 1=1= 0 ist, so gilt nach Satz 6.12 (I

~ IAadj)A = A -( I~ IAadj ) = E.

F olglich ist nach Definition 6.9 die Matrix I~ IA adj zu A invers, d.h. A-I = I~ IA adj ·

•

Damit ist auch b) bewiesen: Beispiel 6.32

EsseiA=(~ -~ Wegen

=:)-

I ~ - ~ - ~ I = 3 # 0 existiert nach Satz 6.13 die Inverse A

IAI =

2

3-5

3

A 12 =

Mit All

=

18

A 21 = -1

A 22 =-11

A 31 =

A 32 =

2

13

-1.

A l3 = 12 A 23 = - 7 A 33 = 8

erhaJt man A adj = (Aik)T =

(~~ -~~ 1~)-

F olglich ist nach (6.44) A -1 = j-

(1~ -~ ~ 1~8).

(6.45)

-7

12

(Probe: A·A -1 = E) Aufgaben 1. Berechnen Sie folgende Determinanten:

a)

I~

-1

-6 1

~I

b)

I

I

2

-5 64

~I

4 0 8 5 2 8 c) 3 1 1 4 1 6 1 4 2

0

d)

2 1

3 0

-3

-4

0 1 2

6 1 3

1 2 1

-5

232

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

2. Berechnen Sie folgende Determinanten:

a)

x

X21 y y2

I!

Z2

z

a 0

-d

-c

-e

1 3

1 1 4 5 6 10 15 10 20 35 15 35 70

1 2 3

d)

0

-a b) -b

4

5

b c d e

b+l

-f 0

1 1

1 1 1

1

c+1

0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 e) 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

0 -1 f) -1 -1 -1

1 0 -1 -1 -1

0

1 1

1

a+l

c)

f

1 1 0 -1 -1

1 1 1 0 -1

1 1 1 1 0

3. Fur welche tE [R verschwinden folgende Determinanten? a)

I

t-2

t~J

3 t-1 0

1 0

b)

It-l

2

-21 -2

t+ 6

-5 -5

t- 3

5

*4. Zeigen Sie:

a)

b)

IAI =

n (n - 1)

(n - 1) n

(n - 2) (n - 1)

(n - 2)

(n - 1)

n

2 1

3 2

4

-a -a

IBI =

a

3

1

1 1

0

o

-a 0 0 -a 0 0 5. Fur welche X2

I

XE [R

n (n -1)

(n-1) n

=

2n - 2 (n + 1)

=

n·a n -

1

•

(IBI ist eine n-reihige Determinante)

a 0 0 a

ist

+ X - 6 4x - 8 14

x2 - 3 x-3

1 2 3

0

o 0

0 a

2 3 4

3x - 5 x-3

1

17 = O? 6

6. Sind folgende Matrizen regular? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse.

A=( -1~

1 -1 1 3 1 2 0 1 0 0

-0 B=O

2

v=(l

;)

F=

-1 -1 1

-3) c=o -9 -3

2 o 0 0 0 4 0 0 0 o 8 0 0 o 0 16 0 o 0 0

0 0 0

0 32

7. Es. sei

1

A=(:

2

-1

~

-2

). Zeigen Sie: IAad;1

=IAI

2

,

2 3 5

n

6.4 Lineare Gleichungssysteme

233

8. Berechnen Sie folgende Determinante:

I

sin (J. cos f3 r cos (J. cos f3 - r sin (J. sin f3

sin (J. sin f3 r cos (J. sin f3 r sin (J. cos f3

cos (J.

- r sin

(J.

0

9. Bestimmen Sie die Lasung, falls eine soIche existiert, der Matrizengleichung XA - B = E fur

a)

A=G ~) B=G ~)

b)A=(~o -2~ -~)1 B=(~4 -1~ -~) 5 10. Beweisen Sie: IA-II = IA 1- 1 11. Es sei AA T = E. Zeigen Sie: IAI =

±1

12. Sind folgende Aussagen richtig? a) AB = N und B =I- N b) A 2 =l-N~IAI =1-0

~IAI =

0, d.h. A ist singular.

13. A sei eine (n, n)-Matrix mit An = N. Zeigen Sie:

14. A sei eine regulare (n, n)-Matrix. Beweisen Sie:

IAadjl

=

IAln-l

(s. Aufgabe 7)

15. Beweisen Sie: Jede schiefsymmetrische Determinante ungerader Ordnung verschwindet. 16. Wie andert sich der Wert einer n-reihigen Determinante, wenn man ihre Spalten in umgekehrter Reihenfolge aufschreibt? 17. Beweisen Sie a) und c) aus Satz 6.9 18. Beweisen Sie Satz 6.10.

6.4 Lineare Gleichungssysteme Ziel dieses Abschnitts ist es, allgemeine Aussagen tiber die Lasbarkeit und Lasungen von linearen (m, n)-Systemen zu machen.

6.4.1 Allgemeines tiber die Losungen von Gleichungssystemen In Abschnitt 6.1.2 haben wir gesehen, daB ein lineares Gleichungssystem genau eine Lasung oder unendlich viele Lasungen oder keine Lasung besitzen kann. Diese Tatsache wollen wir nochmals anhand eines (3, 2)-Systems zeigen und, da durch lineare Gleichungen in Xl und X 2 i.a. eine Gerade (bezogen auf ein Xl' x 2 -Koordinatensystem) gegeben ist, auch geometrisch interpretieren.

234

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Beispiel 6.33 a) Es sei

Das Gleichungssystem Ax = b, ausgeschrieben x 1 +2x 2 = 3x 1 - x 2 = - 4x 1 + 5x 2 =

-

4 (gl) 5 (g2)' 3 (g3)

(6.46)

besitzt genau eine L6sung, namlich x =

(~).

Xl

= 2,

X2

= 1 sind die Koordinaten des

Schnittpunktes S der Geraden gl' g2 und g3 (s. Bild 6.2). b) Wir behalten die Koeffizientenmatrix A in (6.46) bei und wahlen als rechte Seite des Gleichungssystems c = ( : ) , d.h. wir haben das System Ax = c, ausgeschrieben

+ 2x 2 = 4

(g 1) x 2 = 5 (g2)' -4x 1 + 5x 2 = 5 (g3) Xl

3x 1

(6.47)

-

vorliegen. Dieses System besitzt keine Lasung, die Geraden gl' g2 und g3 haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt (s. Bild 6.3). c) Es sei

B=( =~ -~)

und

d=( =:)-

Das Gleichungssystem Bx = d, ausgeschrieben 2x 1 - 3x 2 = 4 (gl) -4x 1 + 6x 2 = - 8 (g2)' - 2x 1 + 3x 2 = - 4 (g3)

besitzt die L6sungen u =

(6.48)

=).

(~) und v = ( ~

Dies sind jedoch nicht die einzigen L6sungen.

Durch Einsetzen weist man nach, daB jeder Spaltenvektor - 32) x=u+2(v-u)= ( 2 -22'

2E~

1) 1m folgenden bezeichnen wir Zeilen- und Spaltenmatrizen mit kleinen lateinischen Buchstaben.

6.4 Lineare Gleichungssysteme

235

Lasung des Systems (6.48) ist. Folglich besitzt dieses System unendlich viele Lasungen. u und v sind dabei spezielle Lasungen. Wie Bild 6.4 zeigt, ist g1 == g2 == g3' Somit sind die Koordinatenpaare (X 1 ,X 2 ) alIer Punkte PEg 1 Losungen des Systems (6.48).

Bild 6.2: Geraden zu Beispiel 6.33a

Bild 6.4: Geraden zu Beispie16.33c

Satz 6.14

1) 0 =

(i)

ist ein Nullspaltenvektor mit n Zeilen.

Bild 6.3: Geraden zu Beispie16.33b

236

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Bemerkungen:

1. Ein homogenes (m, n)-System besitzt stets die triviale Losung x == o. 2. Sind X(l), X(2), . .. , X(k) Losungen des homogenen (m, n)-Systems Ax == 0, so ist auch

x == A1 X(l) + A2X(2) + ... + AkX(k>,

AiE ~

fur aIle i

(6.49)

eine Losung. Es gilt namlich, wegen Ax(i) == 0 fur aIle i == 1,2, ... , k, Ax == A1 Ax(1) + A2Ax(2) + ...

+ AkAx(k) == O.

Beweis von Satz 6.14

zu a) Inhomogene (m, n)-Systeme, die genau eine, keine oder unendlich viele Losungen besitzen, haben wir bereits kennengelernt (s. Beispiel 6.3, 6.4, 6.5 und Beispiel 6.33). Wir mussen noch zeigen, daB Ax == b, b :f::. 0, nicht genau k verschiedene Losungen, k ~ 2, besitzen kann oder: wenn das System schon zwei verschiedene Losungen besitzt, daB es dann unendlich viele Losungen besitzt. u, v seien zwei verschiedene Losungen des inhomogenen Systems, d.h. Au == b

und

Av == b

mit u :f::. v.

(6.50)

Fur jedes AEIR gilt fur x == u + A(U - v) wegen (6.50) Ax == Au + AA(u - v)

== Au + A(Au -

Av)

== b + A(b - b) == b,

d.h. x ist fur jedes AE~ Losung des inhomogenen Systems. Folglich besitzt Ax ==b unendlich viele Losungen. Entsprechend verlauft der Beweis zu b).

•

Zwischen der Losung eines inhomogenen Systems Ax == b und der seines zugehorigen homogenen Systems Ax == 0 besteht ein enger Zusammenhang:

Satz 6.15

Den Beweis dieses Satzes stellen wir als Aufgabe. Beispiel 6.34 Gegeben sei das inhomogene (3, 5)-System Ax == b mit

6.4 Lineare Gleichungssysteme

237

1

o Durch einfache Rechnung zeigt man, daB

1

eine Lasung dieses Systems ist. Die Lasungen

o o

des zugeharigen homogenen Systems Ax = 0 erhalten wir mit Hilfe des GauBschen Eliminationsverfahrens (s. Abschnitt 6.1.2) zu

Xh

2 -3 -1 2 -2 0 1 + A2 0 + A3 0, 010 o 0 1

= Al

AI' A2, A3E~

N ach Satz 6.15 sind folglich durch

x

=

1

2

-3

o

2

-2

1

o o

+ Al

1

+ A2

0

-1

+ A3

o o , o

Al,A2,A3E~

0 1 0 0 1 aIle Lasungen des inhomogenen Systems bestimmt, was man auch nachweist, wenn man das GauBsche Eliminationsverfahren sofort auf das inhomogene System anwendet. Als Folgerung erhaJt man aus Satz 6.15. Satz 6.16

Bemerkung:

Ein quadratisches, homogenes Gleichungssystem A x = 0 besitzt also genau dann eine nichttriviale Lasung, wenn A singular ist. 6.4.2 Quadratische, lineare Systeme mit reguHiren Matrizen Von besonderem Interesse sind solche quadratische, lineare Systeme, die eine regulare Koeffizientenmatrix besitzen. Wie der folgende Satz zeigt, ist ihre Lasung eindeutig bestimmt. Satz 6.17

238

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Beweis:

Da die Koeffizientenmatrix A regular ist, existiert die Inverse A - 1 und es gilt

•

Ax = b<=>A -1 Ax = A -lb<=>x = A -lb.

Bemerkungen:

1. Damit ein lineares (n, n)-System (inhomogen oder homogen) mehr als eine Lasung besitzt, muB die Koeffizientenmatrix A notwendig singular, d.h. nach Satz 6.13 IAI = 0 sein. 2. (6.51) laBt sich, sobald A -1 einmal berechnet ist, dann vorteilhaft anwenden,wenn man die

Lasung von Ax = b fur unterschiedliche rechte Seiten angeben will. 3. 1st das vorliegende System homogen, d.h. b = 0, so besitzt es wegen (6.51) nur die triviale Lasung x = o. Beispiel 6.35 Gegeben sei das lineare (3, 3)-System Ax = b mit beliebigem b und der Koeffizientenmatrix

A=(~ 2 3)

aE~.

a , 1 3

-1

Fur welche aE~ besitzt Ax = b genau eine Lasung? Ax = b ist genau dann eindeutig lasbar, wenn A regular, d.h.IAI dann der Fall, wenn

IAI=

1

~

23 -1 a 1 3

ist. Folglich wahle man

=

=1=

0 ist (s. Satz 6.13). Dies ist genau

3a =1= 0

1

aE~\ {a}.

Beispiel 6.36 Gegeben ist das Gleichungssystem

Ax=b

niitA=

1 2 3) (21 53 74 .

Bestimmen Sie Lasungen, falls solche existieren, fur die rechten Seiten

Wegen IAI = 1

1 2 31 2 3 4 = 2 =1= 0 157

existiert nach Satz 6.13 die Inverse A - 1, und wegen Satz 6.17 besitzt das System Ax = b fur beliebige rechte Seiten b genau eine Lasung.

6.4 Lineare Gleichungssysteme

239

Es ist

~ -~)

-3

-1

Foiglich lauten die Lasungen der Systeme Ax = b(i), i = 1,2,3

x(1)=A- 1b(1)=

(-2~);

X(2)=A- 1b(2)=i(

19

6~); -47

x(3)=A- 1b(3)= (

-;~) -23

1m folgenden zeigen wir, wie man mit Hilfe des GauBschen Eliminationsverfahrens die Inverse A -1 einer reguHiren (n, n)-Matrix bestimmen kann. A = (a ik ) sei eine reguHire (n, n)-Matrix. Dann lautet die Lasung des inhomogenen Systems Ax = b nach (6.51) x = A -lb. Wahlt man speziell als rechte Seite von Ax = b die Spaltenmatrix

o o b(i)=

0 1

+-

(6.52)

i-te Zeile,

o o so stimmt die Lasung von

Ax=b(i\

i= 1,2, ... ,n

(6.53)

wegen x = A - 1 b(i) und der speziellen Wahl von b(i) mit der i-ten Spalte von A - 1 iiberein. Zur Bestimmung von A -1 muB man folglich n inhomogene (n, n)-Systeme der Form (6.53) lasen. Dies kann gleichzeitig erfolgen, da aIle diese Systeme A als Koeffizientenmatrix besitzen. Dazu bilden wir die Matrix

(A:E) = (

all

a

afl

a 2n I .

an1

1 0 0 0 1 0 1

I I

1n I I

I I : I I .

ann I 1

0

0

0

r)

(6.54)

und wenden auf sie das GauBsche Eliminationsverfahren an. Nach (n - 1) Schritten haben wir A auf Dreiecksmatrix gebracht und nach weiteren (n - 1) Schritten erhalten wir (6.54) in der Form (E : A -1). Aus dieser Matrix kannen wir dann A -1 ablesen. Beispiel 6.37 Wir bestimmen die Inverse von

240

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

falls sie existiert. Wir erhalten

(A I E) = I

(~3

2 2 1 1 1 0

1 1 0 0 o 0 o 1

0)

~G

2 0 2 :1 1 I 1 -1 1 I 0 -1 12 -5

~(~

0 0 1 0 0 1

-1 3 -2

~

C

2 -1 -5

0 0

~) ~ (~ ~)

2 -6 5

2 -1 -6

2 0 1 0 0 1

1 0 -1 1 -3 0 5 3 -2

~)

-10 -6 5

-:)

=(E A -1)

-1

Folglich ist A- 1 =

(-1

3 -2

2 -6 5

~).

-1

Wendet man das beschriebene Verfahren auf eine singuHire Matrix an, so tritt wahrend der Rechnung ein Widerspruch auf. Beispiel 6.38 Wir bestimmen die Inverse von

A=(~ -3 2) -2 5 1 3

falls sie existiert. Wir erhalten

(A E) =

(~

-3 2 -2 5 1 3

~ (~

-3 10 0

2 -3 0

C

1 1 0 ~ 0 0 o 0 010

0)

1 -4 1

o1 -1

-3 10 10

2 -3 -3

1 0 -4 1 -3 0

~)

0) 0 1

Aus der letzten Zeile folgt o· Xl + o· X 2 + O· X 3 = 1 (bzw. = -1, bzw. = 1). Dies ist ein Widerspruch, d.h. A besitzt keine Inverse, A ist singular. In Beispiel 6.2 haben wir ein lineares (5,5)-System behandelt, bei dem wir uns nur fur eine Variable, namlich I g , interessieren. Die folgende Regel zeigt, wie man allgemein eine Variable Xi der Lasung X eines regularen (n, n)-Systems Ax = b bestimmen kann, ohne A -1 berechnen zu mussen.

6.4 Lineare Gleichungssysteme

241

Satz 6.18 (Cramersche Regel)

Bemerkung: Da bei der Bestimmung der Lasung eines reguUiren (n, n)-Systems Ax = b mit Hilfe der Cramerschen Regel (n + 1) Determinanten n-ter Ordnung zu berechnen sind, wird man bei Systemen mit »groBem« n auf das GauBsche Eliminationsverfahren zuruckgreifen.

Beweis: Da A regular ist, lautet die Lasung von Ax = b nach Satz 6.17

x = A -lb = I~I A adj b.

(6.56)

Beriicksichtigt man Aadj = D = (d ik ) mit dik = A ki , so erhalt man die j-te Zeile von (6.56) zu (6.57) Bildet man die Matrix

]

a 2 ,j-l

b1 b2

a 2 ,j+ 1

a n, j - l

bn

an,j+ 1

a 12

a l ,j-l

a 2l

ai2

a nl

a n2

(all L\.=

a 1 ,j+ 1

:

...

... ...

1n

a.

a 2n )

,

ann

so ist nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz, wenn man nach der j-ten Spalte entwickelt,

d.h. gleich der Summe auf der rechten Seite von (6.57). Folglich lautet diej-te Variable der Lasung von Ax = b:

•

242

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Beispiel 6.39 Gegeben sei das lineare (3, 3)-System 2x l 3x l 5x l

+ X 2 -2x 3 = 10 + 2x 2 + 2x 3 = 1 + 4x 2 + 3x 3 = 4

Dann erhalt man mit

und

Id31=1~5 4~ 1~1= I-~ ~ ~1~1=-1=31 4 -3 4 -36 X3

Id 3 = - 3. Entsprechen d hefert . = TAT (6.60) 1

X2

= 2 und

Xl

19 -3 61=21 = 1.

Beispiel 6.40 Wir bestimmen 19 aus Beispiel 6.2 Es gilt 1

-1 IAI=

0 Rl 0

1 0 1 0

R3

-R 4

1 0 0

0 -1 0

R3

-R 4

1 -(R 1 + R 2 ) 0

-R 3

0

-R 2

1

1 -(R 1

0 0

0 1 0 0

+ R2)

-1

1

0

-1 0

-R 4

Rg -R g

1 -1 0 Rl 0

1

1

0

1

1

Rg -Rg

-R 3

1

Rg -(R g + R 3 )

-(R l

0 1

1 -(R l 0

+ R2)

+ R 2)

0 1 0 0

0 0 -1 0

R3

-R4

0

1 0 0

-1

R3

-R 4

0

0 1 1

Rg -R g

0 1

Rg -(R g + R 3 )

6.4 Lineare Gleichungssysteme

243

Ferner ist

1 -1

1

0

0

1

0

1

0 0 R3

Idsl =

R1

-R 2 0

0 0 0

=1

R1

0

1

1

0 0 R3

-R 2 0

R3

1

0 0

0 0 =1 0 0

-1 0 -R 4 0

-1 0 -R 4

=11

-1

0

1

0

1 -R 2 0

0 0 R3

-~

1= -

R1 0

0

1

R1

-R 2 0

R3

0

-1 0 -R 4

1(R 2 R 3

R 1 R4 )·

-

-R4

Folglich erhaJt man 1 =Idsl= g IAI Rg(R 1

1·(R 2 R 3 -R 1 R 4 )

+ R z + R 3 + R 4 ) + (R 1 + R z)(R 3 + R 4 )·

Aufgaben 1. Es sei

A= ( - ~ ~ ~). Bestimmen Sie die Lasung, falls eine existiert, von Ax = b fur -1

6 2

alb=(-D' blb=(-i~} C)b=G} d)b=(~!) 2. Gegeben ist die Matrix A. Bestimmen Sie die Inverse A-I, falls sie existiert, mit Hilfe des GauBschen Eliminationsverfahrens:

a)A=( 1~ ~ ~~), b)A=(~~ ~ ~), C)A=(-~ -10

d)A=(_f

4

-4

-6

2 0

~ -~),

2

-1

3

~ ~~ -~).

2 1 1-3 3. Bestimmen Sie alle Lasungen von Ax = b, falls solche existieren:

A= (-11 2

-2

3

a)

c)

0

-2

0

1

A= ( -1~

0

2 -1 1

2

1 2 2

7

~l), b=

(D

~;). b=(D

4. Gegeben ist das Gleichungssystem

b) A= d)

02 1 1

A=(_~ -1

9

-1

3 -5

-1

1

3 0 2

-1 2 2

Ax bmit

b=

0),

-2 1) ~

(1 )

! ' b= _~

=

4) b=(94) 55, b) A=(~5~ a) A=( : -21 0 -3

~3)

-76

0

4 1 0 1

0 -3 1 3

-~)2 b=(=~)

2·

o

6

244

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

Bestimmen Sie, falls dieses maglich ist, die Variablen Xl und X 3 der Lasung Regel. 5. Fur welches aE lR besitzen folgende Systeme nichttriviale Losungen? a)

8x 2 - 2x 3 = 0 -Xl +64x 2 +ax 3 =O -3x 1 + 16x 2 + 2x 3 = 0 7x l

-

b) -ax l

= -4x l

-6x l + X 2 - 4x 3 = aX 2 -6x l -ax 3 = 3x 3

c) 2x l 6x l

-

X2

X

mit Hilfe der Cramerschen

-8x 4 =O

+ 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 0 Xl X 2 + 2x 3 + 5x 4 = 0 3x 1 + 6x 2 + x 3 + aX 4 = 0

6. Bestimmen Sie die Lasung folgender Gleichungssysteme Ax = b mit reguUirer Koeffizientenmatrix A durch Berechnung von A-I: 0 -2 1 1 -1 2 b= a) A= 1 ,b 3 0 1 b) A = ( -1 -2 -1 4 2 -1

n

~}

7. Beweisen Sie Satz 6.15 8. Beweisen Sie Satz 6.16

(-~)

-1

-~) =(-~)

7

Vektoren nnd ihre Anwendnngen

In der Physik und auch in anderen Bereichen der Naturwissenschaften treten GraBen auf, die allein durch eine Zahlenangabe (zusammen mit der Dimension) beschrieben werden kannen. Solche GraBen (man nennt sie skalare Gro8en) sind z.B. die Masse eines Karpers, die Temperatur, die Energie usw. Daneben treten aber auch GraBen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden kannen, wie die Kraft, die Geschwindigkeit, die elektrische Feldstarke, urn nur einige zu nennen. Zur vollstandigen Beschreibung z.B. der Geschwindigkeit gehart neben dem Zahlenwert (ms - 1) auch noch die Richtung sowie die Orientierung. Man nennt diese GraBen Vektoren. Sie kannen durch Pfeile im (dreidimensionalen) Raum dargestellt werden. Dabei ist ein Pfeil durch seinen Anfangspunkt P und seinen Endpunkt Q festgelegt (vgl. Bild 7.1). Man kann ihn daher durch das geordnete Punktepaar (P, Q) beschreiben. Das Punktepaar (P, P) bezeichnen wir als Nullpfeil. Zwei Pfeile sind genau dann gleich, wenn ihre Anfangs- und Endpunkte iibereinstimmen.

Q

B.

a A

p

Bild 7.1: Pfeil (P, Q)

Bild 7.2: Repdisentanten des Vektors a

Es erweist sich als zweckmaBig, diese Gleichheit allgemeiner zu definieren. Wir sagen, zwei Pfeile heiBen parallelgleich, wenn sie durch Parallelverschiebung ineinander iibergehen. Dabei setzen wir fest, daB jeder Pfeil zu sich selbst parallel ist. Alle zueinander parallelgleichen Pfeile bilden nun jeweils eine Klasse von Pfeilen. Definition 7.1

Die Klassen parallelgleicher Pfeile nennen wir Vektoren. Schreibweise: a, b, ... ,x, )7, .... Die Klasse der Nullpfeile bezeichnen wir als Nullvektor. Schreibweise: O. Bemerkungen:

1. Die Menge aller Vektoren bezeichnen wir mit V. 2. Zur grafischen Darstellung eines Vektors a zeichnet man einen beliebigen Pfeil (A, B) als Reprasentant der Klasse parallelgleicher Pfeile. Unter AB verstehen wir daher den Vektor a, der durch den Pfeil (A, B) reprasentiert wird (vgl. Bild 7.2).

246

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Zwei Vektoren a und b sind also gleich, wenn aIle Reprasentanten von a und b parallelgleich sind. Wir nennen zwei Vektoren a und b parallel, wenn die Reprasentanten der Klassen a und b zueinander parallel sind. Parallele Vektoren werden auch kollinear genannt. Sind a und b parallel und gleich orientiert, so heiBen a und b gleichsinnig parallel. Schreibweise aii b. Sind sie entgegengesetzt orientiert so heiBen sie gegensinnig parallel. Schreibweise: ai l b (vgl. Bild 7.3).

a a)

aund Hgleichsinnig parallel Ciit t b)

b)

aund b gegensinnig parallel (at ~ b)

Bild 7.3a-b: Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren a und b heiBen orthogonal oder senkrecht, wenn die Reprasentanten der Klasse a senkrecht zu den Reprasentanten der Klasse b sind. Schreibweise: a 1- b. Zusatzlich setzen wir fest, daB der Nullvektor senkrecht zu allen Vektoren ist (also auch zu sich selbst). Nichtjede vektorielle GroBe in der Physik entspricht der Definition 7.1. Man trifft dort folgende Unterscheidungen: a) freie Vektoren (z.B. Geschwindigkeit), b) linienfliichtige Vektoren (z.B. Kraft am starren Korper), c) gebundene Vektoren (z.B. Kraft am deformierbaren Korper). Wenn nicht ausdriicklich darauf hingewiesen wird, betrachten wir im folgenden nur die durch Definition 7.1 erklarten (freien) Vektoren. Definition 7.2 Unter dem Betrag bzw. der Lange eines Vektors a verstehen wir die nichtnegative, reelle Zahl, die gleich der MaBzahl der Lange eines den Vektor a reprasentierenden Pfeiles ist. Schreibweise:

lal bzw. a.

Bemerkungen:

1. Nach Definition 7.1 sind aIle Pfeile der Klasse des Vektors a gleich lang, daher ist nicht yom zuHillig ausgewahlten Reprasentanten abhangig. 2. Da nur die Nullpfeile die Lange Null haben, gilt folgende Aquivalenz:

lal = O~a = o.

la\EIR;

7.1 Vektoroperationen

247

7.1 Vektoroperationen Urn mit den in Definition 7.1 erkHirten Vektorenrechnen zu k6nnen, miissen wir zunachst Verkniipfungen zwischen Vektoren und zwischen Vektoren und reellen Zahlen definieren. 7.1.1 Vektoraddition Mit Hilfe der Vektoren k6nnen u.a. Translationen beschrieben werden. Wird z.B. das Dreieck ABC in das Dreieck A'B' C' parallel verschoben, so kann diese Translation durch den Vektor AA (als Klasse der parallelgleichen Pfeile (A, A')) dargestellt werden (vgl. Bild 7.4).

I

C

A Bild 7.4: Translation des Dreiecks ABC

Durch Hintereinanderausfiihrung von zwei Translationen, die durch die Vektoren a und b beschrieben seien, wird den beiden Vektoren a und b eindeutig ein Vektor c zugeordnet. Man erhalt c als Diagonale des durch die Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms, d.h. c erhalt man durch die» Parallelogrammregel« (vgl. Bild 7.5). C"

B'

B Bild 7.5: Hintereinanderausfiihrung zweier Translationen

Definition 7.3 Es sei a, bE V. Unter der Summe von a und b verstehen wir den Vektor c, der sich aufgrund der Parallelogrammregel aus a und b ergibt. Schreibweise: c =

a + b.

248

7 Vektoren und ihre Anwendungen

In Abschnitt 1.3.1 wurden die Grundgesetze der Addition ftir reelle Zahlen angegeben. Diese Gesetze gelten auch ftir die in obiger Definition gegebene Addition von Vektoren.

Wir wollen diese Gesetze veranschaulichen. Durch Definition 7.3 ist das 1. Gesetz evident. Die Kommutativitat ist In Bild 7.6, die Assoziativitat in Bild 7.7 erlautert.

Bild 7.6: Kommutativitat der Addition

Bild 7.7: Assoziativitat der Addition

Einleuchtend ist auch, daB der Nullvektor neutrales Element der Addition ist. Wit erlautern noch das 5. Gesetz.

a

a

Gilt + b = 0, dann sind je zwei Reprasentanten von und b parallel und gleich lang, jedoch entgegengesetzt orientiert. 1st namlich der Pfeil (P, Q) ein Reprasentant des Vektors und gilt a + b = 0, so ist der Pfeil (Q, P) Reprasentant der Klasse b (vgl. Bild 7.8). Wie tiblich, bezeichnet man den Vektor b mit - a und statt 71+( - a) schreibt man a - a, so daB a - 71= 0 gilt.

a

7.1 Vektoroperationen

249

Q

-a b=-a

p.

-a Bild 7.8: a, bEY mit a + b = 0

Bild 7.9: Differenzenvektor b -

a

Bemerkungen:

1. Aufgrund der Assoziativitat kann bei a + (b + c) die Klammer weggelassen werden. 2. Bei der Addition (auch von mehr als zwei Vektoren) kann der Nullvektor entstehen (vgl. Bild 7.10). In der Statik wird davon haufig Gebrauch gemacht. So beschreibt z.B. die Gleichung IF; = 0 eine Gleichgewichtsbedingung (Summe der Krafte ist Nullvektor).

F:

Bild 7.11 zeigt die Summe von mehr als zwei Vektoren.

..d

.. Bild 7.10: Nullvektor als Summe von drei Vektoren

a+b+c=O

Bild 7.11: Addition mehrerer Vektoren

+c+d

e = a + 1i

Beziiglich der Addition gelten also die gleichen Grundgesetze wie bei den reellen Zahlen. Daher konnen alle Folgerungen aus diesen Grundgesetzen fur die Vektoren ubernommen werden. So laBt sich z.B. die Vektorgleichung

a +x= b, a,b,xEV eindeutig nach x auflosen. Wie in Abschnitt 1.3.1 erhalten wir namlich aus (7.5) durch Addition des Vektors -

(- a) + a + x = b + (- a).

(7.5)

a

250

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Fur b + (- a) schreiben wir kurz b so ergibt sich

a. Beachten wir noch, daB - a + a == 0 und 0 + x == x ist,

x= t - a

(7.6)

als Lasung von (7.5). Man nennt

t - a Differenzenvektor (vgl. Bild 7.9).

Sind a und b zwei nicht parallele Vektoren (nicht kollinear), so spannen a und b ein Parallelogramm auf. Die beiden Diagonalen dieses Parallelogramms sind dann die Summe a + b bzw. die Differenz b - von b und a (vgl. Bild 7.12).

a

-a

Bild 7.12: Summe und Differenz von Vektoren

7.1.2 Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl Bezeichnen wir den Vektor b == a + a mit 2a, so sind b und a gleichsinnig parallel, jedoch ist die Lange von b doppelt so groB wie die von a , es ist also 12aI == 21 a I. Wird der ~Iektor c == - a - a mit - 2a bezeichnet, stellen wir fest, daB die Vektoren c und a gegensinnig parallel sind und die Lange von c zweimal so groB ist wie die von - a bzw. von a, also ist I - 2a I == 21 a I. Damit ist klar, was wir unter dem Vektor n'a (nEZ) verstehen, wenn O'a der Nullvektor ist. Allgemein definieren wir: Definition 7.4 Es sei aEV und AElR. Unter dem Produkt von a mit Averstehen wir den Vektor b, dessen Betrag IAllal ist und der fur

A > 0 gleichsinnig parallel zu a A < 0 gegensinnig parallel zu a und A == 0 der N ullvektor ist. Schreibweise: b == Aa. Diese Multiplikation hat folgende Eigenschaften: Fur a, bE V, A, f.lE lR gilt

A·(f.l·a) == (Af.l)a, b) (A + f.l)a == Aa + f.la c) A(a + b) == Aa + Ab, a)

(Assoziativgesetz)

(7.7)

(1. Distributivgesetz)

(7.8)

(2. Distributivgesetz)

(7.9)

7.1 Vektoroperationen d)

Ilal = IAllal = IAla,

251 (7.10)

e) Aa=O<:>A=Oodera=O,

(7.11)

f) (- A)a = - (Aa),

(7.12)

g) (A - Il)a = Aa - Ila

(7.13)

Die ersten beiden Gesetze sowie die Eigenschaften d) und e) folgen direkt aus Definition 7.4. Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem Strahlensatz, wie aus Bild 7.13 entnommen werden kann. Die Eigenschaften f) und g) folgen aus a) bzw. b).

Bild 7.13: Zweites Distributivgesetz

Vektoren, die die Lange Eins haben, bezeichnet man als Einheitsvektoren. a ist also genau dann Einheitsvektor, wenn a = lal = 1 ist. 1

~

~

1st a =I- 0 ein beliebiger Vektor, so ist 71° = - a (lies: a oben Null) Einheitsvektor. Denn fiir a =I- 0 a ergibt sich mit (7.10) und wegen a = 1711 > 0 1 I =-Ia/ 1 1 laol = -a =-'a= 1. 1

a

a

a

71° ist weiterhin aufgrund Definition 7.4 (gleichsinnig) parallel zu a.

Man bezeichnet 71° den zu

if gehorigen normierten Vektor.

Beispiel 7.1 Mit Hilfe der Vektoren beweisen wir: Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks bilden die Eckpunkte eines Parallelogramms (vgl. Bild 7.14a) und b)). Es gilt: Ai} + BC + CD + DA = 0, woraus AB + BC = - (CD + DA) folgt. AuBerdem ist EF =1(AB +BC) und iiG = -1(CD +DA). Daher ist Eff =HG und EFGH tatsachlich ein Parallelogramm. Bild 7.14b) zeigt, daB die Behauptung auch fiir nicht konvexe Vierecke richtig ist.

252

7 Vektoren und ihre Anwendungen D H

D A

~~

F

E B

B b)

a)

Bild 7.14a, b: EFGH ist ein Parallelogramm

Beispiel 7.2 Gegeben sind die nicht parallelen Vektoren a und b. Gesucht ist ein Vektor c in Richtung der Winkelhalbierenden von a und b. Es ist c = aO + bO, denn aO und bO bilden einen Rhombus, dessen Diagonale aO + bO ist. Die Diagonalen eines Rhombus sind jedoch gleichzeitig Winkelhalbierende.

Bild 7.15: Winkelhalbierende zweier Vektoren

Beispiel 7.3 Folgende Vektorgleichung ist nach x aufzulosen:

b)

5x + a2" - (2a + 6b- ) = 4( x- 2" + a. Aus obiger Gleichung folgt wegen (7.6)

5x +-a2 -

-

2a - 6b =

4x - 2b- + a~x =~·a + 4b- .

Beispiel 7.4 Man vereinfache folgende Vektorsumme 3a + 3(b - 2c) + na - (2a + 7b) - ~(12b - 18c) + (1 - n)a.

7.1 Vektoroperationen

253

Mit Hilfe der Eigenschaften (7.8) und (7.9) erhalt man

3a + 3(b - 2c) + rca - (2a + 7b) - 1(1ib - 18c) + (1 - rc)a == 3a + 3b - 6 c + rca - 2a - 7 b - 4b + 6 c + a - rca == (3 + rc - 2 + 1 - rc)a + (3 -7 - 4)b + (- 6 +6)c == 2a - 8b. Beispiel 7.5 Durch die Vektoren a == AB, b == AD, c == AE ist ein Parallelepiped (vgl. Bild 7.16) ABCDEFGH gegeben. a) Wie lauten die Diagonalen AG, BH, CE, DF? b) Zeigen Sie: Die vier Raumdiagonalen schneiden sich in einem Punkt M und halbieren einander. ~--------~G

I

/

\/

/\M

DL -r---\/ _// \ all

; / '/

\

A Bild 7.16: Parallelepiped

Zu a) Es ist AG == a + b +c,

Bii == b - a +c, CE == - a - b + C, DF == a - b + C.

Zu b)

AG, d.h. AM == i(a + b + c). Weiter ist AM + ME + BA == O=>i(a + b + c) + ME -a== o=>ME == -i(b - a + c) == -iilli,

M sei die Mitte von

d.h. AG und ifjj schneiden sich in M und halbieren sich gegenseitig. Entsprechend kann dies fiir die anderen Diagonalen bewiesen werden. 7.1.3 Das Skalarprodukt Wir wollen nun weitere Verkniipfungen zwischen Vektoren einfiihren. Wie sich herausstellen wird, werden die Gesetze fiir diese Verknlipfungen denjenigen der Multiplikation von reellen Zahlen ahneln. Daher nennen wir sie auch Multiplikationen.

254

7 Vektoren und ihre Anwendungen

In diesem Abschnitt definieren wir das Skalarprodukt. Ausgangspunkt unserer Uberlegungen solI ein Beispiel aus der Physik sein. Es sei F eine Kraft, die auf einen Massepunkt m wirke. m bewege sich (aufgrund der Kraft F) geradlinig in Richtung S, (geradlinig z.B. dadurch, daB m auf einer geraden Schiene gefiihrt wird).

m Bild 7.17: Arbeit an einem Massenpunkt

Der Winkel zwischen Fund s sei qJ (vgl. Bild 7.17). Man kann nun F in die Teilkrafte F1 und F2 zerlegen, wobei F1 die Richtung von shat und F2 senkrecht dazu ist (F = F1 + F2 ). Wie aus der Physik bekannt ist, tragt fiir die Bewegung von m nur die Kraft F1 bei. Die Arbeit W, die F an m auf dem Weg s verrichtet, ist daher IF 1 1·lsl. Beachtet man IF1 1 = IFI·cos qJ, so ergibt sich W = Isl·IFI·coscp. Definition 7.5 Es sei a, bE V und cp der von a und b eingeschlossene Winkel mit 0 ~ Skalarprodukt von a und b verstehen wir die reelle Zahl c mit

qJ

~ n. Unter dem

c= lal·lbl·cosqJ. Schreibweise: c = a·b. 1st a = 0 oder b = 0, so ist a·b = o. Bemerkungen: 1. Das Skalarprodukt a· b ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl (Skalar). 2. Der Malpunkt kann weggelassen werden (a· b = a b). 3. Urn den Winkel zwischen a und b zu bestimmen, wahlt man zweckmaBig zwei solche Pfeile als Reprasentanten aus, deren Anfangspunkte zllsammenfallen. ~ n ~ 4. Da lal ~ 0 und Ib I ~ 0 gelten, ist fiir 0 ~ qJ ~"2 das Skalarprodukt a· b nicht negativ und fiir n - ~ m ~ n nicht positiv. 2-'1"-

5. Fiir a·a schreibt man auch a 2 (a·a = (

2

).

7.1 Vektoroperationen

255

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften: Fur aIle a, b, C E V und AE ~ gilt a) b) c) d) e)

a·a = a 2 > 0, falls a 1= 0; a·b = b·a, (Aa) b = A(a b); a(b + c) = a b + ac, a 1- b<=>a·b = O.

(Kornrnutativitat); (Distributivitat);

(7.14) (7.15) (7.16) (7.17) (7.18)

Die Gesetze a), b), c) und d) sind uns bereits von den reellen Zahlen her bekannt. Beweis:

Zu a) Es ist a 2 = al·cos 0 = woraus a2 > 0 folgt.

al . Da a =1= 0 gilt, ist auch a 1= 0 (vgl. 2. Bernerkung zu Definition 7.2),

Fur Vektoren gilt daher

Ja

2

= lal, in Analogie zu den reellen Zahlen.

Zu b)

a·b = lal·lbl·cos cp = Ibl·lal·cos cp = b·a. Zu c) F allunterscheidung i) A> 0: (Aa) b = IAa\·lbl·cos cp = Alal·lbl·cos cp = 2(a· b). ii) A < 0: 1st cp der Winkel zwischen a und b, so ist fur A < 0 der Winkel zwischen b durch n - cp gegeben. Daraus folgt:

(Aa)·b = 12al·lbl·cos(n - cp) = - Ala!·lbl·cos(n - cp) = Alal·lbl·cos cp = A(a·b). iii) A = 0: trivial. Zu d) Wir fuhren den Beweis anhand von Bild 7.18.

Bild 7.18:

a(b + c) = aob + a·c

AB und CD sind Projektionen von b aufa und daher gleich, d.h. AB = CD.

Aa und

256

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Nun gilt

71·([; + c) == lallb + clcos CPl

==

lalAD,

auBerdem

a·b == lallblcoscpz == lal·AB, a·c== \allclcosCP3 == lal·AC. Addieren wir die beiden letzten Gleichungen, so folgt

a·b + a·c == lal·(AB + AC) == la!(AC + CD) == lalAD == a(b + c).

a, b ~nd c in ihrer Geometrie anders als in Bild 7.18 ( z.E. konnen Winkel auftreten, die groBer als "2 sind ), so liiBt sich dieser Beweis iibertragen.

Sind die Vektoren

Zu e) i)

a-lb=>a·b==O. 1st

a -l -b,

so ist entweder cP

n oder

== -

2

a == -0

oder b ==O. In allen Fallen ergibt sich wegen

cos -n == 0 oder a == 0 oder b == 0 fur das Skalarprodukt a· -b 2 ii)

== O.

a·b==O=>a-lb Es ist a·b == a·b·cos qJ == O=>a == 0 oder b == 0 oder cos cP == 0 (0 ~ cP ~ n). a == O=>a == 0, d.h. a -l b, ebenso schlieBt man fur b == O. cos cP

==

n 0 => cP == "2'

d.h. a -l b.

•

Vergleichen wir obige Eigenschaften mit den Grundgesetzen der Multiplikation reeller Zahlen (vgl. Abschnitt 1.3.1), so fallt auf, daB das Assoziativgesetz und die Existenz sowohl des neutralen als auch die des inversen Elements fehlen. Betrachten wir die Produkte (a·b)c und a(b·c), so ist das erste ein Vektor parallel zu C, das zweite hingegen ein Vektor parallel zu a. Daher wird i.a. Cii·b)c =I- a·(b·c) sein, d.h. das Assoziativgesetz kann fur das skalare Produkt nicht allgemein gultig seine Ein Ausdruck der Form a·b·c ist deshalb sinnlos. Auch die Frage nach der Existenz des neutralen und damit auch nach der des inversen Elementes ist sinnlos. Mit Definition 7.5 wird den Vektoren a und b eine reelle Zahl zugeordnet. Daher kann es kein Element aus V geben, das durch die Skalarmultiplikation erhalten bleibt. Selbst die Gleichung a· x == 1 ist nicht eindeutig losbar. Bild 7.19 zeigt z.B. drei Vektoren x l 'X Z 'X 3 , fur die a·xi == 1 (i == 1,2,3) ist. Wie man Bild 7.19 auch entnehmen kann, gibt es unendlich viele Vektoren mit a·x == 1, namlich alle Vektoren X, 1 1 deren Projektionen auf a die Lange - haben. Ausdrucke der Form a-l oder =: als Umkehrung a a der Skalarmultiplikation sind daher sinnlos.

7.1 Vektoroperationen

257

Bild 7.20: Projektion von b und a

Bild 7.19: a"X = 1

Weitere Eigenschaften des Skalarproduktes 1. Geometrische Deutung 1st bE V, so ist b die Projektion von b auf

a,

ao.

--+

71°· b =

a (vgl. Bild 7.20), denn es gilt n

rao II b Icos qJ = Ib Icos qJ (wegen 171°1 = 1). 1st aO. b < 0, so ist -2 < qJ < n. --+

--+

--+

2. Fur (a· b)2 erhalten wir:

(71·b)2 = a2·b 2·cos 2qJ, d.h. i.a. ist Ca·b)2 #-1711 2 ·lbI 2 . Die Gleichheit gilt nur fur cos qJ = ± 1 (qJ = 0 oder qJ = n). Daraus ergibt sich folgende Ungleichung

(a·b)2 ~ a2·b 2 bzw.la·bl ~ lallbl, die als Schwarzsche Ungleichung bekannt ist. 3. Sind a, bE V und a #- 0, b #- 0, so gelten folgende Aquivalenzen:

71 -lb<=>71·b =0; ajjb<=>a'b =a·b; 71j lb<=>a·b = -abo Folgende Beispiele sollen das Rechnen mit dem Skalarprodukt vertiefen. Weiterhin zeigen sie, wie das Skalarprodukt verwendet werden kann. Beispiel 7.6

(a + b)(71 - b) ist zu berechnen Mit dem Distributivgesetz folgt

(a + b)(71 - b) = 71·a + b'a -a·b - b·b = lal 2-lb\2. Beispiel 7.7 Die Vektoren a und b (71 #- 0, b #- 0) seien orthogonal. Der Vektor C, der in der von 71 und b aufgespannten Ebene liegt, solI zerlegt werden in c1 und C2 , wobei c1 parallel zu a und C; parallel zu b sei (vgl. Bild 7.21).

258

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Bild 7.21: Zerlegung von c in Richtung 71 und b

Wir suchen also reelle Zahlen

a, p mit c = a·a + p·b, (a,pE~).

Dazu multiplizieren wir diese Gleichung einmal skalar mit a und ein andermal mit b und erhalten

wegena·b =0

~

a·c

-

b·c

a'c = alal 2 =a = lal 2 (da a oF 0), b·c = PI b12 = P= Ibl 2 (da b oF 0). a·c b·cDamit ergibt sich c = - 2 · a + --=;-0 bo 2

lal

Ibl

Man nennt aa bzw. Pb die Komponenten von c b Einheitsvektoren, dann gilt c = (aoc)a + (b·c)b.

in Richtung von

a

bzw.

b.

Sind

a

und

Beispiel 7.8 ~ ~ n Gegeben seien die Vektoren a und b, fur die a = 3, b = 4 und 1: (a, b ) = - gilt. Wie groB sind c und 3 1: (a, c) =
Aus c2 = jel 2 berechnen.

=

(3b - 2a)2 folgt c 2 =9b 2 + 4a 2-12a·b~c=Ji08.
Durch skalare Multiplikation von c =

3b - 2a mit a erhalten wir

Beispiel 7.9 Mit Hilfe von Vektoren beweise man, daB die Hohen ha, hb und he eines Dreiecks ABC sich in einem Punkt schneiden. Es sei (vg1. Bild 7.22) H der Schnittpunkt der Hohen ha und hb • Wir bezeichnen HA. = X, HB = Cii = Z, BC = a und CA = b.

EA = a + b, a·x = b·y = 0 (da x -i(j,y -i b), x Zu zeigen ist, daB z -iEA, d.h. daB z·(a + b) = 0 ist.

Dann ist

y = a + b und z = b -

Wir erhalten durch skalare Multiplikation der Gleichung z = b -

z(a + b) = (b - x)(a + b) =a·b + b -a·x - b·x. 2

x mit (a + b):

x.

y,

7.1 Vektoroperationen

259

c

A~-----,--.a...-_--------~B

Bild 7.22: Die Hohen schneiden sich in einem Punkt

Wegen a'x=O und a + b =x - yfolgt

z(a + b) = b(a + b - x) = b(x - y - x) = - b'y = o. 7.1.4 Das vektorielle Produkt Wir betrachten einen urn einen festen Punkt 0 drehbaren, starren Karper. An ihm greife eine (nur aufihrer Wirkungslinie verschiebbare) Kraft Fan. Diese bewirkt eine Drehung des Korpers urn eine (durch 0 gehende) Achse. Die Richtung der Achse ist dann senkrecht zu der von den Vektoren Fund r aufgespannten Ebene. Dabei ist r = 0 A und A irgendein Punkt auf der Wirkungslinie von F (vgl. Bild 7.23). 1st qJ der von Fund r eingeschlossene Winkel, so ist r'sin qJ der Abstand von o zu der Wirkungslinie von F. Man bezeichnet nun den in Richtung der Achse weisenden Vektor Ai mit M = Fr'sin qJ als Drehmoment (oder kurz Moment) der Kraft F in bezug auf O.

----7

C

-7--------/-/:.. h = b . sin qJ

/ / / /' / /

----7

a

Bild 7.23: Drehmoment von

F bez. 0

Bild7.24:c=axb

7

260

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Definition 7.6 Es sei 71, bE V mit 71 =1= 0, b =1= 0 und 71 nicht parallel zu eingeschlossene Winkel (0 < cp < n). Unter dem Vektorprodukt von 71 und Eigenschaften:

b

b,

cp sei der von 71 und

verstehen wir den Vektor

c

b

mit folgenden

a) lcl = lallbl sin cp, b) e steht senkrecht aufa und b, c) 71, b, c bilden (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem. Schreibweise: c = 71 x b.

Sprechweise: a kreuz b.

Geometrische Deutung des Vektorprodukts Gegeben seien die Vektoren 71 =1= 0 und b =1= 0, wobei 71 nicht parallel zu b sei. 71 und b spannen dann ein Parallelogramm auf. 1st A der FHicheninhalt dieses Parallelogramms, dann ist, wie man Bild 7.24 entnehmen kann,

A = a·h = a·b·sin cp = lei, d.h. die MaBzahl der Lange von c ist gleich der MaBzahl des Flacheninhalts des Parallelogramms. Weiter steht c senkrecht auf diesem Parallelogramm.

Bemerkungen: 1. Fur 71 = 0 oder b = 0 definiert man zweckmaBig 71 x b = O. Ebenso, wenn 71 und b parallel (cp = 0 oder cp = n) sind. Es ist also a x a = O. 2. 71, b, e bilden ein Rechtssystem bedeutet, daB c in die Richtung weist, in der sich ein Korkenzieher bewegt, wenn man ihn so dreht, daB 71 auf kurzestem Weg in Richtung von b kommt (Korkenzieherregel). 3. Statt Vektorprodukt wird haufig auch Kreuzprodukt als Sprechweise verwendet. Die Vektoren a x b und b x 71 haben gleiche Lange, stehen beide auf der von 71 und aufgespannten Ebene senkrecht, sind jedoch entgegengesetzt orientiert. Daher gilt folgender

b

Satz 7.1

Das vektorielle Produkt ist nicht assoziativ. Sind z.B.

a, b und c Vektoren, die in einer Ebene

E liegen, dann stehen a x b und b x e senkrecht auf der Ebene E. (a x b) x e und 71 x (b x e) liegen daher in E, (71 x b) xc jedoch senkrecht zu c, a x (b x c) senkrecht zu 71 (vgl. Bild 7.25). 1m allgemeinen ist daher (a x b) x c =1= 71 x (b x e).

Es existiert kein neutrales und daher auch kein inverses Element bezuglich des Kreuzproduktes (das inverse Element wird mit Hilfe des neutralen Elements definiert). Da namlich a x b sowohl aufa als auch aufb senkrecht steht, kann es keinen Vektor e geben mit a x e = 71. a muBte auf sich selbst senkrecht stehen und das ist nur fur a = 0 der Fall.

7.1 Vektoroperationen

Bild 7.25: (a x

b) xc#a x (b xc)

Bild 7.26: Nichteindeutigkeit von a x

261

x= b

Sind a und b zwei Vektoren, so besitzt die Gleichunga x x = b nur Losungen, falls a 1. b ist. In Bild 7.26 sind zu den beiden Vektoren a und b(a 1. b) die Vektoren Xl' X 2 und x 3 eingezeichnet, fur die a x Xi = b (i = 1,2,3) gilt. Die Vektoren Xl' x 2' X 3 mussen aIle nur die gleiche Normalkomponente zu a haben und in einer zu b senkrechten Ebene liegen. Ein Ausdruck der Form ~ ist daher sinnlos. b Es gilt folgendes Distributivgesetz Satz 7.2

Bemerkungen:

1. Man vereinbart die Schreibweise a x b + a xc = (a x b) + (a x c). 2. Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ. Man muB daher darauf achten, ob »links« oder von» rechts« mit a vektoriell multipliziert wird. Es ist.

a x (b + c) = a x b + a x C,

aber (b + c) x

(b + c)

von

a = b x a + c x a.

Auf den Beweis von Satz 7.2 wollen wir verzichten. Der interessierte Leser findet ihn z.B. in [7J. Weitere Eigenschaften des vektoriellen Produkts: 1. Fura,bEVundAE~gilt

2.

(Aa) x b = A(a x b) = a x (Ab) = Aa x b 1st a, bE V, so gilt a x b = O~a= 0 oder b = 0 oderaiib

oderai ~b,

262

7 Vektoren und ihre Anwendungen

d.h. zwei (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren sind genau dann parallel, wenn ihr Vektorprodukt verschwindet. Beispiele zurn vektoriellen Produkt Beispiel 7.10 Gegeben sei das Dreieck ABC. Wie groB ist sein FUicheninhalt A? 1st a == AB, b == AC, so gilt A == ~Ia x bl (vgl. Bild 7.24). Beispiel 7.11 Es sei

la x bl == a·b(a -# 0, b i=

a und b ein? Aus

°

und

a nicht senkrecht auf b). Welchen Winkel cp schlieBen

la x hi == a·b folgt (wegen a·b i= 0) la x bl a· b

----..- ==

1 =>

lallbl sin qJ n == 1 => tan qJ == 1 => qJ == - . Ia II b Icos qJ 4

Beispiel 7.12 a) b)

(a·b)2 + la x bl 2== lal 2 lbl 2 ·cos 2 qJ + /aI 2 IbI 2 ·sin 2 qJ == lal 2lbl 2. (a x b)2 ==!a x b1 2. Wegen Teil a) folgt hieraus (a x b)2 == a2'b 2- (a·b)2.

Beispiel 7.13 Der Sinussatz ist zu beweisen. Das Dreieck laute ABC. Es sei a == OC, b == CA, C == BA (vgl. Bild 7.27). Dann ist a + b - c == 0.

c y

A

a

j3

~-------:-c-----.L.-~B

Bild 7.27: Beweis des Sinussatzes

vi Bild 7.28: Lorentz-Kraft F =e·v x B =B x lelv (wegen e
7.1 Vektoroperationen

263

Wir multiplizieren von rechts vektoriell mit c (beachte: c x c = 0) und erhalten

a x c + b x c = O. Daraus ergibt sich

Wegen b x c

= -

(c x b)

folgt a x c =

--

a

la x cl = Ic x b I=>a·c·sin f3 = b·c·sin ex=>- = b

c x b.

sin ex

-.-. SIn

f3

Anwendungen des Vektorprodukts 1. Wie eingangs schon gezeigt wurde, ist das Drehmoment als vektorielles Produkt definiert. 2. Ein mit der Geschwindigkeit v bewegtes geladenes Teilchen mit der Ladung q erfahrt im (homogenen) Magnetfeld mit der Feldstarke Bdie Kraft F = q·v x B(vgl. Bild 7.28). Man nennt F Lorentz-Kraft, sie wirkt also senkrecht sowohl zur Bewegungsrichtung als auch zur Feldstarke.

7.1.5 Das Spatprodukt Drei Vektoren a, b und c spannen i.a. ein Parallelepiped (auch Spat genannt) auf (vgl. Bild 7.29). Wir wollen das Volumen dieses Spats bestimmen. Bezeichnen wir die MaBzahl des Flacheninhalts der von a und b aufgespannten Grundflache mit A, die der Rohe mit h (vgl. Bild 7.29) und die MaBzahl des Volumens mit ~ so gilt V = A .h.

axE

Bild 7.29: Volumen eines Spats

Wie im AnschluB zu Definition 7.6 gezeigt wurde, ist A = Aus Bild 7.29 entnimmt man h = Daher gilt

Icl·1 cos qJ I, wobei

qJ

I"a x b I.

der Winkel zwischen c und (a x

V = Iia x bl·ccosqJl=> V = I(a x b)·cl.

Definition 7.7 Es sei a.

lJ E

V. Dann heiBt das Skalarprodukt aus (a x

Schreibweise:(a x

lJ)· c = [a be].

lJ) und c Spatprodukt.

b) ist.

264

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Bemerkungen:

a, b und c wird durch die Rechenvorschrift (a x b)·c eine reelle Zahl zugeordnet. 2. Der Betrag des Spatprodukts ist, wie oben ausgefiihrt wurde, gleich der MaBzahl des zugehorigen Spatvolumens. 1. Den Vektoren

Eigenschaften des Spatprodukts

b und c aufgespannte FUiche als Grundflache betrachtet werden. Die MaBzahl der Rohe h1 ist in diesem Fall h1 = a·cos ({J1' wobei ({J1 der Winkel zwischen a und (b x c) ist. Daher gilt

1. Zur Berechnung des Spatvolumens kann auch die von den Vektoren

(a x b)·c = a·(b x c).

(7.19)

Diese Eigenschaft rechtfertigt auch die Schreibweise [abc], da die Reihenfolge der Operationszeichen nach (7.19) vertauscht werden kann. 2. Wegen a·(b x c) = (b x c)·a folgt aus (7.19) (a x b)·c = (b x c)·a. Ebenso gilt (b x c)·a =(C x a)·b. Beim Spatprodukt sind daherdie Vektoren zyklisch vertauschbar, d.h. es gilt 3.

4.

[abc] = [bca] = [Cab]. Aus a x b = - (b x a) folgt fiir das Spatprodukt [abc] = - [bac]. Wegen a x a = 0 gilt [aab] = [baa] = [aba] = 0

(7.20)

(7.21)

(7.22)

Beispiel 7.14 Durch die Punkte ABDE (die nicht in einer Ebene liegen) ist eine Pyramide mit dreieckiger Grundflache gegeben (vgl. Bild 7.30). Das Volumen dieser Pyramide ist zu berechnen.

H~

A Bild 7.30: Volumen einer Pyramide

-----,G

7.1 Vektoroperationen

265

Es sei AB =71, AD = b und AE =c. Durch die Vektoren a,b,e wird der Spat ABCDEFGH aufgespannt. 1st ~ die MaBzahl des Volumens des Spats und Vp die der Pyramide, so gilt

~=I[abe]1 und Vp = i· Vs , da die Grundflache der Pyramide halb so groB wie die Grundflache G des Spats ist, Spat und Pyramide die gleiche Hohe haben und fiir das Volumen der Pyramide Vp = 1· G· h gilt. Es ist daher

~ = Ii· [abc] I· Beispiel 7.15 Es seir = 271 + /lb sind.

+ ve, mit [abc] i= o. Zu berechnen sind A, /l, VE~, wenn a, b,e undr bekannt

Wir multiplizieren r = 271 + /lb + vc von rechts vektoriell mit b und erhalten r x b = A(a x b) + v(c x b), da b x b = Skalare Multiplikation mit c ergibt [7be] = A[abc] + v [ebc]. Aus (7.22) und wegen [abc] i= 0 folgt

o.

[rbe]

2=-_-.

[abc]

Ahnlich erhalt man

[arc] /l == [abc]'

v=

[abr] [abc]·

Solche Aufgaben ergeben sich, wenn z.B. eine Kraft in drei vorgegebene Richtungen zerlegt werden solI.

Aufgaben 1. Gegeben sei das Parallelogramm ABCD mit den Seiten AB = a = 5, AD = b = 3 und

1= DAB =

i. Weiter sei

AB = a, AD = b, AC = C.

2. 3. 4. 5.

a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Vektoren 71, b und c? b) Zeichnen Sie die Vektoren 71- b, - a + b +c, -71 + b - c,a + b - c,2a,371-4b und a + 2b + x. c) Berechnen Sie a' b, la x bl, Icl, la xci. Zwei gleiche, gewichtslose GelenksHibe sind gemaB Bild 7.31 mit dem Fundament verbunden. An dem Knoten greift die Last F = 8480 Nan. Wie groB sind die Stabkrafte Sl und Sz, wenn 1= 0,6 m und a: 1= 0,9945 ist? An einem Ausleger (vgl. Bild 7.32) hangt eine Last mit F = 1180N. Bestimmen Sie die Druckkraft im Gelenkstab, sowie die Zugkraft im Seil. Langen: a = 4m, h = 3 m, S = 5 m. Zeigen Sie an einem Beispiel, daB aO + bO i= (a + b)O ist. Gibt es einen Ausnahmefall? Durch die Vektoren a = AB und b = AD sei ein Parallelogramm ABCD gegeben.

a) Bestimmen Sie je einen Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden. b) M sei der Mittelpunkt des Parallelogramms. Wie lauten die Vektoren 6. Begriinden Sie, weshalb folgende Gleichungen sinnlos sind.

a)a+2b-3=c; b)ao+bo=2; a'b+3c=n; d) a'b+axb=O; (a'b) x (c'd) = (71 x b)'(C x d).

c) e)

AKi, EM, eM und iSM?

266

7 Vektoren und ihre Anwendungen

h

/~--2a---'v ~

~11_.- - a - - - I Bild 7.31: GelenksHibe

F

Bild 7.32: Ausleger

7. Bestimmen Siev 1 +v 2 undv 1 -v2, wennv 1 =271+J2b +cundv 2 = -71 + J6b -cist. 8. We1che der folgenden Gleichungen sind richtig? a) a·71 = a 2; c) a 2. 71 = a 3 ; e) 71(71'c) = a 2·c; g) (71 + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

i) 171·bl = 1711'lbl;

b) a'71 2 = a 3 ;

= 71'c 2; f) (71 + b)2 = a 2 + 271b + b 2; h) (71'b)2 = 71 2'b 2;

d) 71(c 'c)

j)

JP = b.

9. Sind folgende Implikationen wahr oder falsch? Geben Sie jeweils eine Begriindung an. 5 c 10 a) 71'x=5=>x==; b) x'(a'b)=c=>x=----::::;; c) x'(a'b)=10=>x=----::::; a a·b a·b 10. Beweisen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts a) den Satz von Thales; b) den Kosinussatz; c) daB ein Parallelogramm, in we1chem die Diagonalen gleich lang sind, ein Rechteck ist. 11. Eine (konstante) Kraft F verrichte langs des Weges s die Arbeit W = 300Nm. Welchen Winkel schlieBen und s ein, wenn F = 90 N und s = 6m ist? 12. We1chen Winkel schlieBen die Vektoren 71 und b ein, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen?

F

a) a=3, b=4 und (2a-b)-l(a+b); b) a=4, b=3 und (271-b)-l(a+b); c) a=3, b=2 und (2a+3b)-l(a-b); *d) (271-b)-l(71+b) und (a-2b)-l(2a+b). 13. Der von den Vektoren aO und bO eingeschlossene Winkel sei
=~. Berechnen Sie r 1 und r 2 sowie den vonr 1

3 und r 2 eingeschlossenen Winkel
b) a x (b'c) = (a x b)'(71 x c); d) 71 x b - c x a = a x (b + c); + b 2; f) (a x b)2 = a 2b 2 - (71·b)2.

15. Die Vektoren a, b und c spannen einen Tetraeder auf. Ordnet manjeder Flache den Vektor zu, dessen Betrag maBzahlgleich dem Inhalt. der Flache ist und dessen Richtung mit der nach auEen zeigenden Normalen iibereinstimmt, so ist die Summe dieser Vektoren der Nullvektor.

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

267

16. Berechnen Sie: a) (a-2b)x(3a+b);

b) (a+b) x (a-b);

c) (b+c) x (a-c)+ax (b-c)-(a-b) x (b+c). 17. Beweisen Sie, daB fur jedes Parallelogramm ABCD gilt: AB 2

+ BC 2 + CD 2 + DA 2 =

AC 2

+ BD 2 .

7.2 Vektorrechnuog uoter Verwendung eines Koordinatensystems Bislang rechneten wir mit Vektoren, ohne dabei ein Koordinatensystem benutzt zu haben. In diesem Abschnitt wollen wir nun die Vektoren mit Hilfe eines Koordinatensystems darstellen. Dazu benotigen wir zunachst einige Begriffe, die wir im folgenden Abschnitt (Abschnitt 7.2.1) erklaren wollen.

7.2.1 Lineare Abhangigkeit Definition 7.8

Gegeben seien die Vektoren ai' a b

b=

alai

... ,

an- Jeder Vektor b, der sich in der Gestalt

+ a2 a2 + ... + ana m

(a 1 ,

darstellen laBt, heiBt Linearkombination der Vektoren ai' nenntman Koeffizienten der Linearkombination.

,

anE lR)

, an-Die reellen Zahlen 11,1' ••• , an

-{j

2

2(1

1

Bild 7.33:

b als Linearkombination von a 1 und a 2

In Bild 7.33 ist b als Linearkombination von ist a 1 = 2, a 2 = - 1).

a1 und a 2 dargestellt, namlich b =

2ai - a 2 (hier

Sind a und b parallele Vektoren mit 7i -# 0, so kann b als Linearkombination von a aufgefaBt werden. Es gibt namlich dann ein aElR mit b = aa. Man nennt dann 7i und b auch linear abhangig. Allgemein definiert man:

268

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Definition 7.9 Die n Vektoren al , ... , an heiBen linear abhangig, wenn reelle Zahlen a l , ... , an existieren, die nicht aIle Null sind, so daB a l al

+ a2a 2 + ... + anan =

I

k=l

akak = 0

(7.23)

gilt. 1st dagegen (7.23) nur fiir a l = a 2 = ... = an = 0 richtig, so heiBen die Vektoren linear unabhangig.

al ,· .. , an

Bemerkungen:

1. Die Bedingung, daB a l , ... ,an nicht aIle Null sein diirfen, wird oft auch so ausgedriickt: +--.:" + # O. -. 2. 1st b eine Linearkombination von al , ... , so sind die Vektoren al , ... , b linear abhangig.

a;

ai

am

am

Wir wollen den Begriff der linearen Abhangigkeit bzw. der linearen Unabhangigkeit ausfiihrlicher erlautern. Wie oben schon erwahnt wurde, sind zwei parallele Vektoren linear abhangig. 1st namlich l parallel zu a2, so gibt es aufgrund der Definition 7.4 ein aE IR mit a2 = aal' woraus rial - ~ = 0 folgt. Vergleichen wir dies mit (7.23), so ist ri l = a, a 2 = - 1, d.h. die Bedingung fiir die lineare Abhangigkeit von al und ~ ist erfiillt. Dasselbe gilt fiir n parallele Vektoren. Parallele Vektoren sind daher immer linear abhangig. Man nennt Vektoren, die aIle parallel zueinander sind, auch kollineare Vektoren (vgl. Bild 7.34).

a

/

/ Bild 7.34: Kollineare Vektoren

Bild 7.35: Linear abhangige, jedoch nicht kollineare Vektoren

Kollineare Vektoren sind demnach immer linear abhangig. Die Umkehrung istjedoch i.a. nicht giiltig. Es gibt linear abhangige Vektoren, die nicht kollinear sind, wie Bild 7.35 zeigt. Die Vektoren b und c in Bild 7.35 liegen aIle in der Zeichenebene, so daB + b + c = 0 gilt. Sie sind daher (a l = a 2 = a 3 = 1) nach Definition 7.9 linear abhangig. Da sie nicht parallel sind, sind sie nicht kollinear. Man nennt Vektoren, die parallel zu einer Ebene liegen, komplanar. Die Vektoren in Bild 7.35 sind komplanar.

a,

Anschaulich ist klar, daB zwei Vektoren immer komplanar sind.

a

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

269

Durch Linearkombination zweier nicht kollinearer Vektoren a und h HiBt sichjeder parallel zu der von a und h aufgespannten Ebene liegende Vektor darstellen (vgl. Bild 7.36). Daher sind drei oder mehr komplanare Vektoren immer linear abhangig. Auch hier ist die Umkehrung nicht giiltig. Es gibt linear abhangige Vektoren, die nicht komplanar sind. 1st z.B. ABCD ein Tetraeder (vgl. Bild 7.37) und bezeichnen wira = AB, h = BC, C = CD, d = AD, so gilt a + h + c - d = 0, d. h. a, h, c, d sind linear abhangige Vektoren, obwohl sie nicht komplanar sind. Vier Vektoren sind, wie man sich anschaulich klar machen kann, immer linear abhangig. Sind z.B. a, h, c nicht komplanare Vektoren, so laBt sich jeder Vektor daIs Linearkombination von a, h und c darstellen, d.h. es gibt eindeutig bestimmte reelle Zahlen a, 13, y mit d = aa + f3h + yc, wobei a2 + 13 2 + y2 #- 0 ist. Daher gilt aa + f3h + yc - d = 0, d.h. a, h, c, d sind linear abhangig. D

A -----------~'B

a

Bild 7.36:

c als Linearkombination von a und b

Bild 7.37: Linear abhangige Vektoren, die nicht komplanar sind

Man kann diesen Sachverhalt auch folgendermaBen ausdriicken. Sind a, h und C nicht komplanare, d.h.linear unabhangige Vektoren, so laBt sichjeder Vektor als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen. Man sagt daher, daB je drei linear unabhangige Vektoren eine Basis in V hilden. 1st z.B. ABCDEFGH ein Wiirfel mit der Seitenkante a = 1 und bezeichnen wir a = AB, h = AD, C = AE, so konnen wir jeden Vektor daIs Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen (vgl. Bild 7.38). Also bilden a, h, ceine Basis in V

H

E~

yc

B

c

Bild 7.38: daIs Linearkombination von a, b und c

270

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Es gelten fo1gende Aquiva1enzen: 1. a,bEV sind genau dann kollinear, wenn a x b = O. 2. a, bE V sind genau dann kollinear, wenn la· bl = a· b. 3. a, b, CEV sind genau dann komp1anar, wenn [abc] = o. Beispiel 7.16 Gegeben seien die Vektoren a und b, dabei sei a·b = 12, und a·b = 24. Weiter gelte aa + ([3 - 3)· b = O. Man bestimme a und [3. Da a·b i= a·b ist, sind die Vektoren a und b (vgl. 2.) nicht kollinear. Aus aa + ([3 - 3)·b = 0 fo1gt daher a = 0, [3 - 3 = 0, d.h. a = 0 und [3 = 3.

7.2.2 Komponentenschreibweise

Zie1 dieses Abschnittes ist es, Vektoren mit Hi1fe reeller Zah1en darzustellen. Erst dann kann die Vektorrechnung aufvie1faJtige Prob1eme angewandt werden, nicht zu1etzt desha1b, wei1 dadurch z.B. auch e1ektronische Rechner zur Lasung eines Problems benutzt werden kannen, das mit Hi1fe von Vektoren dargestellt wird. Wir stellen einen be1iebigen Vektor a EV a1s Linearkombination einer geeigneten Basis von V dar. Zur Festlegung einer Basis von V kannen grundsatz1ich drei be1iebige linear unabhangige Vektoren aus V gewahlt werden. Die numerische Behand1ung wird jedoch besonders einfach, wenn man a1s Basis von Vein sogenanntes orthonormiertes System e l,e2,e3 benutzt. Orthonormiert heiBt, daB die Vektoren e l,e2,e3 Einheitsvektoren und paarweise orthogonal zueinander sind, d.h. ell. e2' e l 1. e3, e 2 l. e3. Die Vektoren e l,e2,e3sollen weiterhin (in dieser Reihenfo1ge) ein Rechtssystem bi1den. Fur diese Vektoren gilt

el ·e2=e l ·e3=e2·e3= 0, e l ·el =e2·e2=e3·e3= 1, e l x e 2= e 3, e 2x e 3= e l, e3x e l =e2, el x e l =e2x e2=e3x e3=0, [ele2e3] = 1.

(7.24) (7.25) (7.26) (7.27) (7.28)

Jeder Vektor aEV 1aBt sich dann durch die Vektoren dieser Basis (die sogenannten Basisvektoren) darstellen, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Zah1en ax, ay, azE IR mit der Eigenschaft, daB

gilt.

ax ·el, ay·e2, az·e3heiBen die Komponenten von a in bezug auf die Basis e l,e2,e3. ax, ay, az heiBen die Vektorkoordinaten von a. 1st die Basis bekannt, so genugt fur die Beschreibung des Vektors Vektorkoordinaten.

a

die Kenntnis seiner

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

271

Der rechnerische Vorteil einer orthonormierten Basis liegt darin, daB die Vektorkoordinaten sich mit Hilfe des Skalarprodukts darstellen lassen. Durch skalare Multiplikation der Vektorgleichung a=ax·el +a y ·e2 +a z ·e3 mit jeweils den Vektoren el ,e2 ,e3 erhaJt man namlich wegen (7.24) und (7.25)

Es gilt daher

a = (a·el)·el + (a·e2 )·e2 + (a·e3 )·e3 • Gegeben sei nun ein kartesisches Koordinatensystem und die Punkte ~ (1,0,0), li(O, 1,0) und ~(O, 0,1). Die Pfeile OPI' OP2 , OP3 seien nun (in dieser Reihenfolge) die Repdisentanten der Vektoren el , e2 und e3 . Wie man sieht, bilden diese Vektoren eine orthonormierte Basis, d.h. es gelten die Beziehungen (7.24) bis (7.28). z

a --------z p

x Bild 7.39: Darstellung von

a

y

e2

a durch die Basisvektoren e 1 , e2 , e3

1st P(a x , ay , az ) ein beliebiger Punkt, so gilt fiir den Vektor a = OP (vgl. Bild 7.39)

a = ax'el + ay ·e2 + a z ·e 3 . Die Vektorkoordinaten ax, ay , az des Vektors a andern sich nicht, wenn der Pfeil 0 P parallel verschoben wird. Die Vektorkoordinaten sind daher invariant gegentiber Parallelverschiebungen des Pfeils OP. Fur

a = ax'el + ay ·e2 + a z 'e3 schreibt man

und hat somit eine eineindeutige Zuordnung von Vektoren und (geordneten) Zahlentripel. Aus der Matrizenrechnung iibernehmen wir fiir die erste Schreibweise den Ausdruck Spaltenvektor, fiir die zweite Schreibweise den Ausdruck Zeilenvektor.

272

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Flir den Betrag a des Vektors a == (ax, ay, az ) erhalt man

Beispiel 7.17 Gegeben sind die zwei Punkte A(2, - 3, 1) und B(4, 2, - 2). Wie lauten die Vektoren a == OA und b == i5B in Komponentenschreibweise? Man berechne a und b. Es ist a == (2, - 3, 1) und b == (4,2, - 2). Aus (7.30) erhalt man a ==

J 14, b == 2J6.

Oft ist es zweckmaBig, einen festen Punkt P(X 1'Y1,Zl) in einem kartesischen Koordinatensystem mit Hilfe eines Vektors 7 == OP zu beschreiben. Dieser Vektor ist dann, im Gegensatz zu den bisher betrachteten Vektoren, an den Anfangspunkt 0 gebunden. Man nennt den Vektor7 zur Unterscheidung gegenliber den freien Vektoren Ortsvektor des Punktes P. Ortsvektoren wollen wir mit? bzw. 7 1 , r; usw. bezeichnen. 1m Sinne von Definition 7.1 sind Ortsvektoren Reprasentanten von Vektoren. Beim Rechnen in einem festen Koordinatensystem gibt es daher keine Unterschiede. Jeder Vektor a == AB laBt sich als Differenz der Ortsvektoren ~ und ~ darstellen (vgl. Bild 7.40).

z

A

B y

x Bild 7.40: Darstellung eines Vektors als Differenz zweier Ortsvektoren

1m folgenden werden wir flir die in Abschnitt 7.1 definierten Rechenoperationen ein Kalklil flir Vektoren in Komponentenschreibweise herleiten. 1. Vektoraddition, Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, Vektorsubtraktion

Gegeben seien zwei Vektoren a, bE V mit a == (ax, ay, az ) und b == (b x' by, bz ).

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

273

Addition: a

+ b = ax·e1 + ay·e2 + az·e3 + bx·e1 + by·e2 + bz·e3 = = (ax + bx)·e1 + (ay + by)·e2 + (a z + bz)·e3 = = (ax + bx' ay + by, az + bz)·

Es gilt daher:

oder in der ubersichtlicheren Spaltenschreibweise:

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: 1st exE lR, so erhalten wir: exa = ex·(axe 1 + aye 2

+ aze 3) = (exax)e 1 + (exay)e 2 + (exaz)e 3 = (exa x' exay, exa z),

Vektorsubtraktion: a - b = a + (-I)·b = (ax, ay, az) + (-b x, -by, -b z) = (ax - bx,a y - by,a z - bz),

Aus a -

a = 0 erhalten wir fur den Nullvektor: 0 = (0,0,0).

Beispiel 7.18 Wie lautet der Vektor c = AB in Komponentenschreibweise, wenn A(2, - 3,1) und B( -1,2,3) gegeben sind? Es sei a = OA und b = OB, dann gilt (vgl. Bild 7.41) a = (2, - 3,1), b = (-1,2,3) und c = b - a = (- 3, 5, 2). Beispiel 7.19 Der Vektor a = (10, -4, -10) solI als Linearkombination der Vektoren a1 = (1, - 2,3), 3, 4, 2), a3 = (1,2, - 3) dargestellt werden. Es sind also Zahlen ex, [3, yE lR zu bestimmen, so daB a = exa1 + pa2 + ya3 gilt.

a2 = (-

274

7 Vektoren und ihre Anwendungen A

B

o Bild 7.41: Vektor

c = AB

Wir erhalten (10, -4, -10) = a'(1, - 2,3) + 13'( - 3, 4, 2) + y'(l, 2, - 3) und daraus

( ~~)=(-2:~~~:2~). + 213 3a

- 10

3y

Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn Sle in allen Koordinaten ubereinstimmen (vgl. (7.29)). Es ergibt sich also das lineare Gleichungssystem

a-3j3+y =

10 4 -10,

- 2a + 413 + 2y = -

3a + 213 - 3y =

welches als eindeutige Lasung

a

=1,13= - 2, y=3

besitzt. Daher gilt a

=a

l -

2a2 + 3a3 .

2. Skalarprodukt Gegeben seien zwei Vektoren a, I; E V mit a = (ax, a y, a z ), I; = (b x' by, bz ). Fur das skalare Produkt ergibt sich:

a·I; = (axel + a ye 2 + a ze 3 )'(bxe l + b ye 2 + bze 3 )· Aufgrund des Distributivgesetzes gilt

a·I; = axbxelel + a xbyele2 + a xb ze le 3 + a yb xe2e l + a yb ye 2e 2 + a ybze 2e 3 + a z b xe3e l + a z bye 3e 2 + a z b ze 3e 3 · Wegen Eigenschaft (7.24) und (7.25) eel' e2 , e3 bilden ein orthonormiertes System) folgt:

Damit gewinnt man eine Formel zur Berechnung des Winkels q; zwischen den (in Komponentenschreibweise gegebenen) Vektoren a und I; (a # 0, I; # 0):

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

275

Beispiel 7.20 In einem kartesischen Koordinatensystem sei ein Dreieck ABC gegeben, wobei A(I, 2, 3), B(2, - 1, 3) und C(3, 1, -1) ist. Zu bestimmen sind die Winkel a, [3, y sowie die Seiten a, b und c. Es sei (vgl. Bild 7.42)

r A = OA, r B = m, r c = OC, a = 5, h = AC und c = AB.

A

b

y

a

c

c

a jJ

fA

B

re'

rB 0 Bild 7.42: Dreiecksberechnung

Dann gilt ~

= (1,2, 3),

~

= (2, -1, 3),

~

= (3, 1, -1),

a =~ - ~ = (-1, -2,4)=>a = J21, h =~-~ =(2, -1, -4)=>b =J21, c ='i - ~ = (1, -3,0) => c = JI0, h'c 5

cosa = = b·c

J 210 =>a = 69°48'58".

Wegen a = b = ~21 ist das Dreieck gleichschenklig ~ f3 = 69°48'58", Y = 180° - (a + f3) 40°22'4".

=

Beispiel 7.21 Mit Hilfe zweidimensionaler Vektoren beweisen wir das Additionstheorem der cos-Funktion. Dazu betrachten wir die Vektoren aO = (cos cp, sin cp) und hO = (cos t/J, sin t/J) (vgl. Bild 7.43). Wegen Jcos 2 cp+sin 2 cp=1

und

Jcos 2 t/J+sin 2 t/J=1

sind beide Vektoren Einheitsvektoren. Daher gilt aO'ho=cosa, wobei a der von aO und hO eingeschlossene Winkel ist, d.h. a = cp - t/J. Wir erhalten

cos(cp - t/J) = aO. hO = (cos cp, sin cp )'(cos t/J, sin t/J) = cos cp'cos t/J + sin cp' sin t/J.

276

7 Vektoren und ihre Anwendungen y

x

Bild 7.43: Zum Beweis des Additionstheorems

3. Das vektorielle Produkt Es ist

a x b == (axel + aye 2 + aze 3 ) x (bxel + bye 2 + bze 3 ) == axbxel x e1 + a bye 1 x e2 + axbzel x e3 + ayb e 2 x e1 + aybye 2 x e2 + + aybze 2 x e3 + azbxe 3 x e1 + azbye 3 x e2 + azbze 3 x e3 . X

X

Wegen (7.26), (7.27) und folgt

Man kann sich diese Formel besser merken, wenn man formal folgende Determinante bildet

Enwickeln wir die Determinante nach der ersten Zeile (s. Definition 6.11), so erhalten wir

ztxt=j:: ::I·e

1

-!:: ::I·e +!:: ::I·e z

(ayb z - azby)el + (azb x - axbz)e2 in Ubereinstimmung mit (7.33). ==

3

+ (axb y -

aybx)e3 ,

(7.34)

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

277

Beispiel 7.22 Gegeben sei das Dreieck ABC durch A(I, 2,3), B(2, -1,3) und C(3, 1, -1). Die MaBzahl des FHicheninhalts F dieses Dreiecks ist zu bestimmen. Es ist (vgl. Beispiel 7.20) a = CB = (-1, -2,4), b = XC = (2, -1, -4). Fur den FUicheninhalt erhalten wir gemaB Beispiel 7.10

-F=1Ia x bl.

el - e2 e31 4 = (8 + 4, 8 - 4, 1 + 4) = (12,4,5) 2

axb= I

F

-1 2

-1

-4

=~ ~144+ 16+25 =+ -Jill =6,8007 ...

Beispiel 7.23 Man bestimme den auf a = (2, 1, 3) und b = (- 1, 3, - 2) senkrecht stehenden Einheitsvektor CO so, daB a, b, CO ein Rechtssystem bilden.

el e2

c=axb= I

1 __ c = _·c = c

--0

2

1

-1

3

e31 3 =(-2-9,-3+4,6+1)=(-11,1,7) -2

1

~( -11,1,7)

v 171

= (-0,841 ...;0,076 ...;0,535 ...).

4. Das Spatprodukt Es sei a, b, c E V mit a = (ax, ay, az), b = (b x' by, bz), c = (c x, cy, cz ). Aus (7.34) folgt

[abC]=(aXb)oc=(I::

::1,-1:: ::J.I::

y azl_ cy.la x azl by bz bx bz

= cx.la

::I}C ,c ,C x

y

z)

+ cz.la x ayl· bx by

Dies ist die Entwicklung nach der 3. Zeile folgender Determinante:

Bemerkung: Aus der Darstellung des Spatprodukts als dreireihige Determinante sind die Eigenschaften

[abc] = [bca] = [cab], [abc] = - [bac], [ 7i be] = O<=>a, b, c linear abhangig, des Spatprodukts besonders deutlich erkennbar.

278

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Beispiel 7.24 Das Volumen V sowie die Hohe h der Pyramide ist zu berechnen, die als GrundfUiche das Dreieck P1(1, 1, 1), P2 (5, - 2,2), P3 (3, 4, 3) und als Spitze S(4, 2,8) hat. Sind a = P1P2 , b = P1P3 und c = P1S, so ist nach Beispiel 7.14 das Volumen durch

V=li[abc]1 gegeben. Mit sich

'1 =

OP1 = (1, 1, 1),

r; = OP

2

= (5, - 2,2),

r; = OP3 = (3,4,3)

und

~

= os = (4,2,8) ergibt

a=r;-?;.=(4,-3,1), b=?;-?;.=(2,3,2), c=~-?;.=(3,1,7) und damit V=

Ii·

4 - 3 1 2 3 2 317

= 936 = l..1 2 .

1

3V ~ Aus V =i·A·h erhalten wir h = - , wobei A =i·la x b list. A

e e 2

- 3 3

3

= (- 6 - 3,2 - 8, 12 + 6) = (- 9, - 6, 18).

1 2

93 31 lax bl=J81+36+324=21=:>h=-=-. 21 7 Beispiel 7.25 Wir wollen mit Hilfe der Vektorrechnung die Cramersche Regel fur drei Gleichungen mit drei Unbekannten herleiten. Das lineare Gleichungssystem a 1x a2 x a3 x

+ b1y +c 1z = d1 + b2 y + c 2 z = d2 + b3 y + c 3 z = d 3

lautet in Vektorschreibweise (mit a = (a 1, a 2 , a 3 ), b = (b 1, b2 , b3 ), c = (c 1, c 2 , c 3 ), d = (d 1, d2 , d3 ))

a·x + b·y + c·z = d. Wir multiplizieren der Reihe nach skalar mit b xc, c x

a, a x b. Dann erhalt man im ersten Fall

[abc]·x + [bbe]·y + [ebc]·z = [dbe]. Wegen [bbe] = sich daher x=

[dbe] [a be]'

[cbe] = 0

(vgl. (7.22)) folgt

analog y =

[adc] [a be]

[abe]·x = [dbe].

[abd]

, z =----,-[a be]

Fur

[abc] #

0 ergibt

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

279

Beachten wir die Determinantenschreibweise fur die Spatprodukte, so erhalten wir die Cramersche Regel.

7.2.3 Anwendung in der Geometrie Wir wollen mit Hilfe der Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum Geometrie betreiben. Dabei beschranken wir uns auf Geraden und Ebenen. z

y

X 1,..1'--

__

x

Bild 7.44: Parameterdarstellung der Geraden 9

1. Die Gerade Gegeben sei der Punkt ~ (Xl' Y1' Z1)' ferner ein Vektor a =1= O. G sei der Ortsvektor OP1. 1st r der Ortsvektor OP mit

so liegt der Punkt P offensichtlich auf einer Geraden g durch ~ in Richtung des Vektors a. In diesem Zusammenhang wird der Vektor a auch Richtungsvektor der Geraden g genannt, t heiBt Parameter, die Gleichung (7.35) nennt man Parameterdarstellung der Geraden g (vgl. Bild 7.44). 1st eine Gerade g durch die Punkte ~(X1' Y1' Zl) und li(x 2, Y2' Z2) gegeben, und bezeichnen wir die Ortsvektoren OP1, OP2 mit r1, IS, so ist a = IS - f 1 ein Richtungsvektor der Geraden g. Wir erhalten so die Zweipunktegleichung der Geraden g (vgl. Bild 7.46):

280

7 Vektoren und ihre Anwendungen z

y

y

./

P2 .//,//"/ I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J-"

/'

x

x g Bild 7.45: Windschiefe Geraden

Bild 7.46: Zur Zweipunktegleichung der Geraden

g

Beispiel 7.26 Wie lautet eine Gleichung der Geraden g, die die Punkte Ii (1, 2,3) und Man bestimme den Spurpunkt S der Geraden g in der xy-Ebene. Es ist G == (1,2,3),

r; == (-

r == (1,2,3) + t·( -

2, 3, - 1),

a == G - r;. == (-

3, 1, - 4),

~(- 2,3,

- 1) enthalt?

3, 1, - 4) und daher

tErR.

Mit r == (x, y, z) erhalten wir aus der Vektorgleichung folgendes System, das man auch Koordinatengleichungen der Geraden g nennt.

== 1 - 3t y==2+ t z == 3 - 4t.

x

Fur den Spurpunkt der xy-Ebene ist z == 0, so daB aus der letzten Gleichung t == ~ folgt und daraus == 1 - ~, y s == 2 + ~, d.h. S( - ~, ~1 , 0).

xs

Gegeben seien die Geraden gl und g2 durch gl: r

==G+t'a1, a1 =FO,tErR

undg 2:r==G+sa;,

a 2 =FO,sErR.

Diese Geraden konnen verschiedene Lagen zueinander haben, sie konnen a) b) c) d)

gleich sein, parallel sein, sich in genau einem Punkt schneiden, windschief sein, d.h. sie haben weder einen Schnittpunkt, noch sind sie parallel (vg1. Bild 7.45).

r;

Die Geraden gl: r == G + t'a1, a 1 =F 0, tE ~ und g2: r == + S'a 2' a 2 =F 0, sErR, sind genau dann parallel, wenn a 1 und a 2(a1 =F 0, a 2 =F 0) kollinear sind.

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems 1st zusiitzlich der Vektor r; - r; parallel zum Richtungsvektor al oder ist r; Geraden g 1 und g 2 gleich. Also gilt:

281

r = 0, so sind die l

Die Geraden gl:r=rl+tal,ali=O,tE~ und g2:r=r;+sa2,a2i=0,sE~sind genau dann gleich, wenn a l , a 2 (al i= 0, i= 0) und r; - r l kollinear sind.

a;

Beispiel 7.27 Gegeben ist die Gerade g: r = (3,0,0) + t(2, 4,6) und die Punkte ~ (1,0, 2), ~(2, 2,5), lj(4, 2,3), 6), die alle in derselben Ebene liegen. 1st die Gerade g parallel oder gleich einer der Seitengeraden des Vierecks ~ ~ ~ lj ?

~ (5,4,

Wir bestimmen dazu die Richtungsvektoren a l , a 2, a 3, a 4 der Vierecksseiten. 1st (i = 1, ... ,4), so ist

r; = O~

al =r; - G = (1,2,3); a2 =r; - r; =(3,2,1); a3 = ~ - r; = (3,2, 1); a4 = ~ - r; = (1,2,3). Wegen a l = a 4 und a 2 = a 3 ist das Viereck ein Parallelogramm (kein Rechteck, da a l 'a2 i= 0, jedoch eine Raute, wegen a l = a 2 ). Der Richtungsvektor a der Geraden gist a = (2,4,6) = 2al = 2a4 , d.h. die Gerade ist parallel zu den Geraden, die durch die Punkte ~ und ~ bzw. durch lj und ~ gehen. Wir prufen noch eine eventuell vorhandene Gleichheit. gl sei die Gerade durch~,~; g2 durch lj und~: gl: r = (1,0,2) + s(l, 2,3) = r; + sal' g2: r = (4,2,3) + u(l, 2,3) = + ua4 , g: r = (3,0,0) + t(2, 4, 6) = "fa + tao

r;

r; -"fa = (- 2,0,2), r; -"fa = (1,2, 3) r; - "fa, a 4 , a sind kollinear, d.h. g stellt die Gerade durch lj

und

~

dar (g = g2)'

Ob zwei Geraden g 1 und g 2 sich schneiden oder ob sie windschief sind, liiBt sich rechnerisch leicht nachweisen. Beispiel 7.28 Welche Lage haben die Geraden gl' g2' g3 zueinander? gl: g2: g3:

r = (4,2, 3) + s(I,2, 3),SE~;

r r

= (1,0,2) + t(3, 2, 1), tE~; = (1,1,1) + u(2, 2, 1), UE~.

Raben gl und g2 einen Schnittpunkt, so muB es so, toE~ geben, fur die

r;. = (4,2,3) + so(l, 2, 3) und r; = (1,0,2) + t o(3, 2, I} ist. Wir erhalten also (4,2,3) + so(l, 2,3) = (1,0,2) + t o(3, 2, 1) oder in Koordinatengleichungen:

so:

4+ 1 + 3to } 2t o 2 + 2s o 3 + 3s o = 2 + to

{SO - 3to : =>

So -

3s o -

- 3

to - - 1 to = - 1.

r; = r;

gilt, wobei

282

7 Vektoren und ihre Anwendungen

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

283

Po P

2

ro -?I PI g

o Bild 7.48: Abstand Punkt-Gerade

Beispiel 7.29 Man bestimme den Abstand d des Punktes 16(1, - 2, 5) von der Geraden g, die durch die Punkte 2, 5, 1) und ~ (3, 1,4) geht.

li (-

Richtungsvektor a von g: a = Mit r o -

i}6.

r; - r; = (5, -

4,3) =>a = 5)2

r 1 =(3, -7,4) und a x (ro - r 1 )=(5, -11, -23) erhalt man d= 110 }"2'}25 + 121 + 529=

Fur die obige Formel benotigt man das Kreuzprodukt. Da das Skalarprodukt einfacher zu berechnen ist, solI eine weitere Formel flir den Abstand vorgestellt werden, flir die nur das Skalarprodukt benotigt wird. Vom Punkt Po wird das Lot auf die Gerade g gef£illt, der Schnittpunkt mit g sei S. Es sei SJ5; = b. Die Projektion A E lR des Vektors ~ - ~ auf ergibt sich aus (vgl. Seite 257) A = (~- ~). . . 1 ~ ~ ~ ~ Damlt gilt: .1\,' aO+ b = ro - r i . Woraus

a

h=ra-~ -(Cio. (ra-~))'

ao.

a

O

folgt. Wegen d = Ihi kann daraus der Abstand berechnet werden. Abstand zweier windschiefer Geraden

Gegeben seien zwei zueinander windschiefe Geraden gl: r g2: r

= r; + sal' = r; + ta2,

a 1 #a 2 #-

0, SErR; 0, tErR.

Als Abstand d dieser beiden Geraden bezeichnet man die kurzeste aller Entfernungen zwischen Punkten von gl und Punkten von g2' Es sei g~ II gl und g~ II g2' g'l schneide g2 in ~ und g~ schneide g 1 in li· Dann spannen g 1 und g~ bzw. g 2 und g'l zwei parallele Ebenen auf, deren Abstand der gesuchte Abstand der beiden windschiefen Geraden ist. Wir wahlen daher die Punkte ~Eg1 und ~Eg2' die durch die Ortsvektoren r; = r;. + a1 ,r4 = r; + a2 gegeben sind. Die Vektoren G = a1 , r:.. - r; = a2 und G = a 3 spannen (s. Bild 7.49) einen Spat auf, dessen Rohe (die auf der durch a1 und a2 aufgespannten Grundflache senkrecht steht) gleich dem gesuchten Abstand d ist. Fur das Volumen dieses Spats gilt V = I[a; 1:4 (r2 - 1 1)] I. Die MaBzahl des

r; -

r; -

284

7 Vektoren und ihre Anwendungen

BUd 7.49: Abstand zweier windschiefer Geraden

FUicheninhalts A der GrundfUiche betragt A =

,"at x a2 1, so daB gilt:

d = ~ = I[~~ (r2 - "PI)] I A I~ xff2 1 Bemerkung:

1m Zahler steht der Betrag des Spatprodukts der Vektoren a1 , a2 und r; - ~, im Nenner der des Kreuzprodukts der Vektoren al und a2 • Wegen [a 1a2 (r; - ~)] = (al x ( 2 ) • (r; - ~) bietet sich an, zunachst das Kreuzprodukt zu berechnen und anschlieBend den Zahler durch skalare Multiplikation der Vektoren al x 2 und r; - ~ zu berechnen.

a

Beispiel 7.30 Der Abstand d der windschiefen.Geraden gl: t=(2,-1,3)+t(1,0,3), tElR;

g2: t= (1, 0, -4) + s (-2,3, 1),

S E

lR

ist zu berechnen.

a

Es ist ~= (2, -1,3), r; = (1,0, -4), al = (1, 0,3), 2 = (-2,3,1) woraus r; - ~= (-1,1, -7), l 2 = (-9, -7, 3) und I al x 2 1 = ..J139 folgt. Das Spatprodukt [a l a 2 (r; - ~)] ergibt sich aus (-9, -7,3)· (-1,1, -7) = -19. Damit kann dberechnet werden:

ax a

a

d-

-

I[a1 a2 (r; - ~ )] I _ 19 _ la>a2 1 -..J139- 1,61...

2. Die Ebene

§ine Ebene E ~t bes!im~ durch einen Punkt ~ und zwei nichtkollineare Vektoren b (woraus a i= und b i= folgt). Fur aIle PunkteP der Ebene gilt dann

°

°

a

und

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

285

wobei, == OP und G == OP1 Ortsvektoren sind (vgl. Bild 7.50). Man nennt (7.38) Parameterform der Ebene E. Wird ein Parameter z.B. t == to festgehalten, so durchHiuft P in E eine Gerade parallel

zua. ~P2

-='?P

r---

,/1~)1~

S .

Cr - 7) -+ t· (r - r) 2

1

3

jIL---I----=-w

I

E P

E

r1

Bild 7.50: Durch 7i und b aufgespannte Ebene E

Bild 7.51: Zur Dreipunktegleichung einer Ebene

1st eine Ebene durch drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte ~, ~, ~ mit den Ortsvektoren ~,r;, r; gegeben, so konnen die Richtungsvektoren a bzw. b durch ~ bzw. r; (die nach Voraussetzung nicht kollinear sind) ersetzt werden, und man erhalt als Sonderfall der Parameterform die Dreipunktegleichung der Ebene (vgl. Bild 7.51).

'1

r; -

Beispiel 7.31 Wie lautet eine Parameterdarstellungder Ebene E, die durch die Punkte P 1(1, - 2,4), P 2( - 3,4,1) und P 3(2, 1, 7) gegeben ist? Mit G == (1, - 2,4),

r; == ( -

3,4, 1),

r; == (2, 1,7), r; - G == ( - 4,6, -

E:r == (1, - 2,4) + s'( - 4, 6, - 3) + t·(1, 3, 3),

3),

r; - G == (1, 3, 3) folgt

s, tEIR.

Daraus ergibt sich fiir, == (x, y, z) durch Vergleich der Vektorkoordinaten das hierzu aquivalente System x == 1 - 4s + t,

'y == - 2 + 6s

+ 3t, z == 4 - 3s + 3t.

Durch Elimination von s und t erhalt man als Gleichung der Ebene E in kartesischen Koordinaten 3x + y - 2z == - 7.

Wir wollen nun eine parameterfreie Form der Ebenengleichung herleiten. Dazu multiplizieren wir b. Wegen a'(a x b) == [a a bJ == 0, [b a bJ == folgt

(7.38) skalar mit dem Vektor a x

°

286

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Das Spatprodukt HiBt sieh als Determinante sehreiben, so daB eine Ebenengleichung aueh in der Deterrninantenforrn darstellbar ist X-Xl ax bx

I

Y-Yl

ay by

z-Zll_ - O. az bz

Aus (7.40) entnimmt man, daB die Vektoren Bild 7.50 geometriseh klar ist.

r - r 1 , It und b komplanar sind, was aufgrund von

Beispiel 7.32 Die Gleiehung der in Beispiel 7.31 betraehteten Ebene E lautet in Determinantenform

1

x-I y+2 Z - 4 - 4 6 - 3 133

1

== 0,

woraus man wiederum (dureh Bereehnung der Determinante) 3x + Y - 2z + 7 = 0

erhalt. Die Hessesehe Normalform der Ebenengleiehung Dureh den Ortsvektor rl und die (nieht-kollinearen) Vektoren a und b sei die Ebene E gegeben

E:r = r 1 + s'a + t'b, S, tE~. Der Vektor n = a x b (s. Bild 7.52) ist orthogonal zur Ebene E, man nennt ihn daher Normalenvektor von E. Da a, b nieht kollinear sind, ist n i=- O. Aus (7.40) folgt damit (r - rl)'n =

°

oder r'n = r 1 ·ri.

(7.41)

Multiplizieren wir diese Gleichung mit! und setzen d = 7 1 , nO (beaehte ~'ri = nO), so erhalten . n n

Wlr

Dies ist die Hessesche Norrnalform der Ebenengleichung. Sie ist bis auf das Vorzeiehen von d eindeutig bestimmt.

'1 .nO

ist die Projektion des Ortsvektors r1auf die Riehtung des Normalenvektors n der Ebene E, und daher ist Irl'nol = Idl der Abstand der Ebene E vom Ursprung (vgl. Bild 7.52).

Verwenden wir in (7.41) die Koordinatensehreibweise, so ergibt sieh, wenn n = (A, B, C) ist: A·x +B'Y + C'z = xlA

Setzen wir D = x 1A

+ Y1 B + zlC.

+ Y1B + Zl C, so erhalten wir

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

287

Bild 7.52: Hessesche Normalform

Das ist die Gleichung der Ebene E in kartesischen Koordinaten. Umgekehrt kann (7.43) mit Hilfe des skalaren Produkts der beiden Vektorenn = (A, B,C) undr = (x, y, z) geschrieben werden, falls A2 + B2 + C2 = 0, d.h. n = 0 ist. (7.43) stellt daher (für A2 + B2 +C2 = 0) immer eine Ebene dar. Die Koeffizienten von x, y und z sind (in dieser Reihenfolge) Komponenten eines Normalenvektors der Ebene E. Ist eine Ebene E in der Form (7.43) gegeben, so erhält man die Hessesche Normalform durch Multiplikation von (7.43) mit 1 √ . 2 A + B2 + C 2 Der Abstand eines Punktes P0 (x0 , y0 , z0 ) von der in Hessescher Normalform r ·n0 − d = 0

(7.44)

gegebenen Ebene E läßt sich wie folgt berechnen. Durch P0 legen wir eine zu E parallele Ebene E1 . Da E  E1 ist, haben beide Ebenen den gleichen Normalenvektor, daher gilt (s. auch Bild 7.53) E1 :r ·n0 − d1 = 0 , wobei |d1 | der Abstand der Ebene E1 vom Ursprung ist. P0 gehört zu E1 , d.h. der Ortsvektor r0 von P0 erfüllt die Gleichung der Ebene E1 , es ist daher r0 ·n0 = d1 . Der Abstand e des Punktes P0 von E ist gleich dem Abstand der Ebenen E und E1 , also gilt e = |d1 − d| = |r0 ·n0 − d|.

(7.45)

Um den Abstand e eines Punktes P0 mit dem Ortsvektorr0 von der Ebene E zu berechnen, muß auf der linken Seite von (7.44) nurr durchr0 ersetzt werden. Beispiel 7.33 Man bestimme eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte P1 (1, 0, 0), P2 (0, 1, 0) und P3 (0, 0, 1) gegeben ist. Wie groß ist der Abstand des Punktes P0 (3, 3, 4) von E? Mitr2 −r1 = (−1, 1, 0),r3 −r1 = (−1, 0, 1) folgt die Parameterdarstellung von E E :r = (1, 0, 0) + s · (−1, 1, 0) + t · (−1, 0, 1) ,

s,t ∈ R .

288

7 Vektoren und ihre Anwendungen

O.-:;;.....----------~---L......L....I..-..L--"--

Bild 7.53: Abstand eines Punktes von einer Ebene

Normalenvektor n der Ebene E:

n = (IS - G) X CiS - r;.) = (1, 1, 1), nO = ~J3(1, 1, 1) Der Ortsvektor G von Ii erflillt die Gleichung der Ebene E. Damit Hifit sich d berechnen. nO'G -

d = O~d =

nO'G ~d = ~J3(1, 1, 1)'(1,0,0) = ~J3

Hessesche Normalform von E:

~J3(1, 1, 1)" - ~J3 = 0 oder in kartesischen Koordinaten

~j3(x + Y + z - 1) = O. Flir den Abstand des Punktes

Po von E ergibt sich

e= Ino.~ -dl = 1~j3(1, 1, 1)'(3,3,4)-~J31 =

3J3.

Die verschiedenen Lagen, die zwei Ebenen zueinander haben k6nnen, sollen nun untersucht werden. Es seien die beiden Ebenen E 1 : , = G + s'a1 + t'b1 , E 2 : , = IS + u'a2 + v'b2 mit den Normalenvektoren n1 = a1 x E 2 zueinander haben:

b1 , n2 = a2 x b2 gegeben. Folgende Lagen k6nnen E 1 und

a) E 1 und E 2 sind gleich (E 1 nE 2 = E 1 = E 2 ). Dann sind n1 und n2 kollinear, d.h. n1 x und zusatzlich sind die Vektoren IS - G, a1 , b1 bzw. r; - G, a2 , b2 komplanar, d.h.

[(r; - G)a1b1 ] = [(r; - "GJa2b2 ]

=

n2 = 0

o.

b) E 1 und E 2 sind parallel, aber nicht gleich (E 1 nE z = ¢). n1 und n2 sind wiederum kollinear. Daraus folgt n1 x n2 = O,jedoch sind r; - G, a1 , b1 bzw. r; - G, a2 , b2 linear unabhangig, d.h.

[(r; - G)a1b1 ]

i= 0

und

[(r; - "G)a2 bz] i= O.

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensysterns c) E 1 und E 2 schneiden sich in einer Geraden g (E 1 n E 2 = g). In diesern Fall ist 111 x 112 Vektor a = n1 x 112 ist ein Richtungsvektor der Schnittgeraden g (vgl. Bild 7.54).

=1=

289

O. Der

g

Bild 7.54: Schnittgerade g

Beispiel 7.34 Gegeben sind die Ebenen E 1: E2 :

x + Y - z = 0, 5x + Y + 6z = 14.

-

Welchen Winkel schlieBen die Ebenen ein? Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden g (Parameterforrn)? Es sind 111 = (- 1, 1, - 1),112 = (- 5, 1,6) Normalenvektoren von E 1 und E 2 (vgl. (7.43)). Als Winkel qJ zwischen zwei Ebenen bezeichnet man den Winkel zwischen den Normalenvektoren. Daher ist

d.h. die Ebenen stehen senkrecht aufeinander. Ein Richtungsvektor a der Schnittgeraden gist

a =11

1 X

112 =(7,11,4).

Zur Bestimmung einer Geradengleichung von g benotigen wir noch einen Punkt ~, der auf der Geraden g liegt. Da ~ (Xl' Yl' z 1) sowohl auf E 1 als auch auf E 2 liegt, rnussen die Koordinaten von ~ beide Ebenengleichungen erfullen. Wir haben zwei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. In diesem Beispiel ist z.B. Xl frei wahlbar. Wahlen wir Xl = 0, so erhalten wir Yl -Zl =0,

Yl +6z 1 = 14~Yl =Zl =2.

P 1(0,2,2) ist folglich in g enthalten. Fur die Gerade g ergibt sich g:

r = (0,2,2) + t·(7, 11, 4),

tE~.

290

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Beispiel 7.35 Yom Punkt ~(1, 2, 1) wird auf die Ebene E: x - 2y + z - 7 == 0 das Lot geHillt. Wo liegt sein FuBpunkt S?

E:n ==(1, - 2, 1)=>no ==iJ6(1, -2,1). Hessesche Normalform von E: nO'r - d== 0, wobei nO == iJ6(1, - 2,1) und d== iJ6 ist.

Normalenvektorn der Ebene

1st ~ der Ortsvektor von

g:r == Yo + t'no

Po, so lautet die Gleichung des Lots g

mit

Yo == (1,2,1).

r: sei der Ortsvektor des FuBpunkts S. Wegen SEE und SEg folgt. r: == ~ + to'no und no.r: - d== o. r: in die rechte Gleichung eingesetzt ergibt to·nO) - d== O=>no.~ + to - d== O=> to == d- no.Yo == iJ6 - iJ6(1, - 2, 1)'(1,2,1) == 1J6.

nO(~ +

Fur den FuBpunkt S erhalten wir daher

r: == Yo + to'no == (1, 2,1) + 1J6iJ6(1, - 2, 1) == (~, -

1,~).

Daraus folgt S(~, - 1,1) ist der gesuchte FuBpunkt.

7.2.4 Mehrfachprodukte Wir beginnen mit Verknupfungen von drei Vektoren. Eine davon, namlich das Spatprodukt, haben wir bereits in Abschnitt 7.1.5 kennengelernt und dort ausfuhrlich besprochen. Die Produktbildung (a'b)'c ist nicht weiter von Interesse, da a'b ein Skalar ist und (a'b)'c eine Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist (siehe Abschnitt 7.1.2). Bleibt nur noch das dreifache Vektorprodukt a x

(b x c). Fur dieses gilt folgender

Satz 7.3 (Entwicklungssatz)

Beweis:

a

Sind b und c kollinear, so ist d == x (E x c) == 0 (wegen b x c == 0), b, c und d sind komplanar. In diesem Fall verzichten wir auf den Beweis von (7.46). b und c seien nun linear unabhangig. Da d -l(b x c), liegt d in der von b und c aufgespannten Ebene (b x c ist Normalenvektor dieser Ebene). Die Vektoren b, c und d sind folglich komplanar. d laBt sich daher als Linearkombination von b und c darstellen, d.h. es gibt ex, f3 E IR

702 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

291

mit

d = a x (r; x c) = aob + f3 oco Durch skalare Multiplikation mit a ergibt sich wegen aoJ = a(aob) + f3(a oc) = 00 Nehmen wir zunachst an, daB a AE~, so daB

a=A(aoc)

und

0

°

b und a c nicht beide gleichzeitig verschwinden, dann gibt es ein 0

f3= -A(aob)

ist. Somit gilt

a x (b x e) = A(aoe)ob - A(aob)oeo Da die Beziehung rur alle C = e2 wahleno Dann ist

(7047)

a, b, C E V gelten muB, k6nnen wir speziell a = e\, b = e\ + e + e3 , ~

~

2

b x c = e1 x e2 + e2 x e2 + e3 x e2 = e3 - e1 , a x (b x e) = e1 x e3 - e1 x e1 = - e2 , aoc = 0, a ob = 1. Eingesetzt in (7047) ergibt - e2 = Oob - Ae2 =>A = 1. 1st aob = aoc = 0, so ist (wegen a II b x c) a x (b x c) = 00 Daher ist Beziehung a x (b x c) = (ae)b - (ab)c richtig (so auch Bild 7055)0 ~

~

auch in diesem Fall die

bXc

-+

c

Bild 7.55: a x (b x c) = (acfb - (ab)c

Wir betrachten noch zwei Verkniipfungen mit vier Vektoreno a)

(a x b)o(c x d) = [a x bcd] = [da x be] = [eda x b] = co(d x (a x b))o Mit dem Entwicklungssatz folgt daher

(a x b)o(c x d) = co((dob)oa - (doa)ob) = (aoc)o(bod) - (aod)o(boc)o

•

292

7 Vektoren und ihre Anwendungen

In Deterrninantenschreibweise:

Diese Darstellung wird als Identitat von Lagrange bezeichnet. b) (Zi x b) x (c x

(1) ==

-

(c x d) x (Zi x b) == - [((c x d)' b) a - ((c x d)·a)·b].

Daraus folgt

Aufgaben 1. Beweisen Sie: Drei Vektoren a,h,c sind genau dann komplanar, wenn es Zahlen rx,[3,YE~ gibt, die nicht aIle

Null sind, so daB gilt: rxa + [3h + yc = O. 2. Gegeben sind die Vektoren a, h und c. Zeigen Sie, daB die Vektoren h + c - 2a,c + a - 2h, a + h - 2c linear abhangig sind. 3. Gegeben sind die Vektoren a l = (2, -3,1), az = (-6,1, -4), a3 = (5,3,2). __ Bestimmen Sie den Velgor Z4 so, daB gilt: a) al +az +a3 +a4 = 0; b) 2al -3az + 2a3 -2a4 =0. 4. Es sei a = (2, 3, - 5). Bestimmen Sie einen Vektor h so, daB a und h kollinear sind. Dabei sei a) b = (x, y, 10); b) h = (x, 1, z). 5. Gegeben ist das Dreieck ABC. AC wird durch D, BC durch E so geteilt, daB die Stecke AD =~. AC und BE =~. BC ist. AE und BD schneiden sich im Punkt F. Berechnen Sie die Verhaltnisse AF:FE und BF:FD. 6. Sind folgende Vektoren komplanar? a) a=(1,2,3), h =(3,2, 1),c = (0,4,8); b) a=(1,3,3), b =(3,3,1),c=(3,1,3); c) a=(0,1,2), h =(I,I,I),c=(0,4,8). 7. Wie muB aE ~ gewahlt werden, damit die Vektoren a, h, c komplanar sind? a) a=(2,1, -3),h =(l,a,3),c=(1,1,0); b) a=(a,2a,7), h =(1,3,5),c=(2,4,5); c) a = (l,a, 3), b = (a, 2, 1), c = (1, 2, a). 8. Gegeben sind die Vektoren a=(I,l,l), h=(O, 1, 1), c=(l,O,I). a) Zeige~Sie, daB a, b,c eine Basis bilden. b) 1st a, b, c eine orthogonale oder eine normierte Basis? c) Stellen Sie folgende Vektoren als Linearkombination dieser Basis dar. i) e = (6,6,6); ii) J = (3,5,5); iii) 9 = (4, 3, 6). 9. Welchen Bedingungen miissen zwei Vektoren a und h geniigen, damit sie die Beziehung a) la + hi = lal + Ihl; b) la + hi = la - hi; c) la + hi > la - hi; d) la + bl < la - bl. erfiillen? 10. Welchen Winkel

7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems

293

11. Gegeben sind die Vektoren (f = (10,4, 6) und b = (6, 1, -8). Berechnen Sie: a) a und b; b) (fa und b O; c) den Winkel zwischen a und b; d) die Schnittwinkel von (fa mit den Koordinatenachsen. 12. Berechnen Sie aIle sowohl auf (f = (1, 3, 5) als auch auf b = (6, - 2,3) senkrecht stehenden Einheitsvektoren. 13.

~estimmen

Sie die MaBzahlen des Volumens und der Oberflache des von den Vektoren a=(-3,5,7),

b = (3,4, 15) und c = (10, - 6,3) aufgespannten Spats.

14. Durch die Punkte A(1,4, 5), B( -3, -2,1), C(2,0, -4) und D( -1,0,8) ist ein Tetraeder gegeben. Berechnen Sie die Oberflache, das Volumen und die Hohe h dieses Tetraeders, wenn ABC die Grundflache ist. 15. Gegeben sei das Dreieck A( -3, -1, -2), B(4, -4,1), C(I, 2, -1). Berechnen Sie die Hohen ha, hb und he' 16. Gegeben sei das Dreieck P 1(x l' Y 1)' P 2(x 2' Y 2)' P 3 (x 3' Y3)' Zeigen Sie, daB fur den Flacheninhalt A dieses Dreiecks gilt A=

11.1:1 :2 :31 Yl

Y2

1.

Y3

17. Durch den Punkt ~ (-1,5,5) ist die Ebene E 1 und durch ~( - 3, 0, 6) die Ebene E 2 so zu legen, daB beide Ebenen senkrecht zu dem Vektor n = (8, - 1,4) sind. Bestimmen Sie den Abstand d beider Ebenen. 18. Gegeben sind die drei Ebenen E 1 :2x-y-z=7; E 2 :6x+y+5z=-3; E 3 :2x+2y+5z=4. Gibt es eine Gerade 9 durch den Ursprung, die zu den drei Ebenen parallel ist? Wie lautet gegebenenfalls ihre Gleichung? 19. Die Gerade 9 sei durch die beiden Punkte ~ (1,1,1) und ~(-1, 3, 2) gegeben. Ferner sel Bestimmen Sie a) den FuBpunkt S des Lots von Jt auf g; b) den Abstand e von Jt zu g; c) eine Gleichung der Geraden h durch Jt senkrecht zu g.

Jt( - 2,5,8).

20. Unter welcher Bedingung liegen vier Punkte des Raums in einer Ebene? 21. Liegen die Punkte a) ~ (0, 1,0), P2 (1, 0, 0), lj(O, 0, 1), ~(O, 1,1); b) ~ (0,1, 0), ~(1, 0, 0), lj(O, 0, 1), ~(O, 1,1) in einer Ebene? 22. Wie lautet eine Gleichung der Ebene E, die senkrecht auf der Geraden 9 durch ~ (2,0, 2), ~(4, 2, - 2) steht und durch den Mittelpunkt von ~ ~ geht? 23. Der Vektor v = (1,2,3) ist in zwei Komponenten zu zerlegen, von denen eine senkrecht zu a = (2,1,2), die andere senkrecht zur Ebene E: x + Y + 2z = ist. 24. Zerlegen Sie den Vektor v = (1, - 2, - 3) in zwei Komponenten, von denen die eine parallel zu (f = (2, -1, - 2), die andere parallel zur Ebene E: 4x - 3y + 5z = ist. 25. Gegeben sei der Punkt ~ (1,1,1) und die Gerade g: r = (1,0,0) + t·(O, 1,0), tErR. a) Wie lautet die Gleichung (Hessesche Normalform) der Ebene E durch ~, die 9 enthalt? b) Berechnen Sie den Abstand e des Punktes ~(O, 1,0) von der Ebene E.

°

°

26. Es a) b) c) d) e)

sei a = (1,2, -5), b = (1, -2, -1). Berechnen Sie die Projektion von (f in Richtung von b. Wie groB ist der Winkel zwischen a und b? Berechnen Sie den Inhalt des von (f und b aufgespannten Parallelogramms. Wie lautet eine Gleichung der von (f und b aufgespannten Ebene E, die den Nullpunkt enthalt? Bestimmen Sie einen in der Ebene E verlaufenden Einheitsvektor co, der senkrecht auf a steht.

27. Gegeben seien die Punkte Berechnen Sie

~(1,0,

-1),

~(2, 1,

-3), lj( -1,2, 1),

~(O,

-2,1).

294

7 Vektoren und ihre Anwendungen

a) den Abstand des Punktes ~ von der Ebene E durch ~, ~, P:,; b) den Abstand des Punktes ~ von der Geraden g durch~, P2; c) den Abstand der Geraden g von der Geraden h durch f>:,,~. 28. Gegeben seien die Punkte ~ (1,2, 2), ~ (1,0, - 3). Bestimmen Sie dasjenige System von aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren folgende Bedingungen gelten: (1) ~o hat die Richtung OP1 , (2) bO liegt in der Ebene 4Erch 0, ~, ~, (3) das Vektorsystem an, bO, CO ist ein Rechtssystem, (4) cO'c 3< Omit c 3= (0,0,1).

an,

_ bO,

co,

fiir das

29. Welche Lage haben die Geraden gl und g2 zueinander? gl: r = (1,0,0) + t·( -1,1,1); g2: r = s'(l, 1, 1). Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. 30. Gegeben seien die Punkte ~ (0,0, 3), ~(O, 3,0), f>:,(1, 1,4) und die Ebene E: x + 2y - 3z = 4. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden g der Ebene Emit der durch die Punkte gehenden Ebene E 1 . b) Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g.

~,~, P:,

31. Liegen die Punkte A(5, 2, 0), B(3, 6,4), C(O, 10,5), D(2, 5, 3) in einer Ebene? 32. Zeigen Sie, daB sich die Raumdiagonalen eines Spats schneiden.

33. Die Grundrisse von zwei Geraden schneiden sich im Punkt a) A(6, 4, 0), b) A(6, 12,0), die Aufrisse im Punkt a) B(0,6,4), b) B(O, 12,6). Welche Aussage kann iiber den Schnittpunkt der Geraden gemacht werden? 34. Ein starrer K6rper rotiere mit n = 300 Umdrehungen pro Minute urn die Achse g: r = t'(l, - 3, 2). Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor v des Punktes ~ ( - 1,4,3). Wie groB ist v? 35. Die Struktur eines Kristalls werde durch die drei Gittervektoren beschrieben. Bestimmen Sie die durch die Bedingungen

-b··a. _ = {2rc I

J

°

a1 = (0, 1, 1), a2 = (0, 1,0), a3 = ( -1, 0, 0)

fiir i = j .. 1] = 1 2 3 fiir i #- j ' "

definierten reziproken Gittervektoren hI' h2 und

b3 .

7.3 Geometrische ond Koordinaten-Transformationen Bewegte Bilder (Animationen) kann man mit Hilfe eines Computers auf zwei verschiedene Arten erzeugen. Entweder man bewegt die abzubildenden Objekte in einem geeignet gewahlten Koordinatensystem (geometrische Transformation) oder man h~ilt die Objekte fest und bewegt das zugrundegelegte Koordinatensystem (Koordinatentransformation). Die gewiinschten Bewegungen werden dabei in der Regel mit Hilfe von Parallelverschiebungen (Translationen) Skalierungen (Dehnungen, Stauchungen) Drehungen (Rotationen) beschrieben. Hinweis: In diesem Abschnitt werden Vektoren und Matrizen nebeneinander verwendet. Damit die M ultiplikation zweier Vektoren im Sinne der Matrizenmultiplikation einen Sinn ergibt, muB man

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

295

zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren unterscheiden. 1m folgenden sind Vektoren Spaltenvektoren, also Matrizen mit einer Spalte. Das Skalarprodukt der Vektoren a und b schreibt sich deshalb wie folgt:

1m Unterschied hierzu ist

also eine (3,3)-Matrix.

7.3.1 Geometrische 3D-Transformationen

1m folgenden bezeichnet r

=

(~) bzw. r' (~:) den Ortsvektor des Punktes P bzw. den seines =

Bildpunktes P' bezogen auf dasselbe Koordinatensystem. z P

Translation (Parallelverschiebung)

Unter einer Translation versteht man die geradlinige Verschiebung eines Objekts bzw. die aller seiner Punkte. Wie im Bild 7.56 dargestelIt, berechnet sich der Ortsvektor des verschobenen Punktes P' aus dem des urspriinglichen Punktes P mit Hilfe des Translationsvektors t =

P'

(~:)

o

y

tz

zu V' = r X'

+ t. Die Koordinaten von P' lauten folglich:

= x + tx

y' = Y + t y z' = z + t z

x

Bild 7.56: Translation

(7.48)

Skalierung

Hiermit kann man die VergroBerung und Verkleinerung von Objekten erzielen. Die Koordinaten des Bildpunktes P' berechnen sich dabei aus denen des Originalpunktes P durch M ultiplikation mit den Skalierungsfaktoren sx' Sy, Sz #- 0 in Richtung der Koordinatenachsen zu

296

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Fiihrt man die Skalierungsmatrix S =

(~

;

~)

(7.49)

= S(sx' Sy, sz)

ein, so ist (7.50)

r'==S·r

der Ortsvektor des Bildpunktes.

Bemerkung: z

Wird die Skalierungstransformation auf alle Punkte, die ein 0 bjekt definieren, angewendet, so wird das Objekt skaliert und zusatzlich relativ zum Ursprung (Fixpunkt) bewegt (siehe Bild 7.57). Eine uniforme Skalierung (sx == Sy == sz) vergroBert oder verkleinert die Form des Objekts nicht.

P'

o

y

x

Bild 7.57: Skalierung

SolI die Skalierung bezg1. des Fixpunktes F Transformationen durchzufiihren:

== (x F, YF' ZF)

erfolgen, so sind nacheinander folgende

1. Verschiebung von F nach 0; 2. Skalierung mit Hilfe von S; 3. Verschiebung von F in seine urspriingliche Lage.

Drehung Wir vereinbaren zunachst, was wir im folgenden unter einer positiven Drehung (Drehwinkel qJ > 0) eines Punktes urn die Achse

a: r

== r(t) == ~

+ t·u mit lui == 1

verstehen: Blickt man entgegen u in Richtung des DurchstoBpunktes D von a durch die Drehebene von P, so wird P im Gegenuhrzeigersinn urn a gedreht (siehe Bild 7.58). Diese Vereinbarung gilt natiirlich insbesondere fiir die Drehung von P urn die Koordinatenachsen. Dreht man den Punkt P positiv urn den Winkel qJ> 0 urn die z-Achse, so folgt (beachte: die z-Achse steht auf der Zeichenebene senkrecht, also z == z' -siehe Bild 7.59):

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

/

y

297

p'

y

-----_----:~

~P o

OP·cos(a + qJ) OP·sin(a + qJ) z'=z

X' = {

=

x

x

Bild 7.59: Drehung

Bild 7.58: Positiver Drehsinn

Y'

x

=> {

X' = Op·(cos a·cos qJ - sin a·sin qJ) Y' = Op·(cos a·sin qJ + sin a·cos qJ) z'=z

Wegen Op·cos a = x und OP·sina = y erhaJt man

= x·cos qJ - y·sin qJ y' = x·sin qJ + y·cos qJ z'=z X'

{

Fiihrt man die Drehmatrix Z(
(7.51)

(~~:

-sinqJ co~
0) ~

ein, so lautet der Ortsvektor des

gedrehten Punktes

?

(7.52)

= Z(qJ)·r.

Durch zyklische Vertauschung der Koordinatenachsen erhaJt man aus Z(qJ) die Matrizen X(qJ)

=

1 0 0 cos qJ ( o sin qJ

und Y(qJ) =

COS qJ 0 sin qJ ) .0 1 0 , ( - SIn qJ 0 cos qJ

(7.53)

die die positive Drehung eines Punktes urn die x- bzw. y-Achse urn den Winkel qJ > 0 beschreiben. Die Hintereinanderausfiihrung von Translation, Rotation urn die z-Achse und Skalierung (in dieser Reihenfolge) fiihrt auf die Transformationsgleichung

r' = S·Z·(r + T).

(7.54)

Vorteilhaft in dieser Darstellung ware es, wenn auch die Translation durch eine Matrizenmultiplikation beschrieben werden konnte. Durch Verwendung homogener Koordinaten konnen Transformationsgleichungen tatsachlich in einer einheitlichen Matrixform dargestellt werden. Allgemein wird ein Punkt P = (x, y, z) in homogener Koordinatenschreibweise durch die Koordinaten (x h, Yh' Zh' w) dargestellt, wobei w i= 0 und Xh = X·w, Yh = Y·W und Zh = z·w ist.

298

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Einfachheitshalber kann man w = 1 setzen, so daB dann der Punkt (x, y, z) die (spezielle) homogene Koordinatendarstellung (x, y, z, 1) besitzt. Vereinbarung:

Ortsvektor in kartesischen Koordinaten in homogenen Koordinaten

p=(~) Erweitert man die Matrix Z zu

Z

C?S qJ SIn qJ

=

-

o o

(

sin qJ COS qJ

00 00)

0

1 0 = Z (qJ),

0

0

(7.55)

1

die Matrix S zu

(7.56)

und fiihrt zur Beschreibung der Translation die Matrix

(7.57)

ein, so erhalt man (7.54) in Matrizenschreibweise:

p' = A·p

A = s·z· T.

mit

Hierbei ist streng auf die Reihenfolge der Matrizen S, Z und T zu achten. Durch Hinzufiigen einer vierten Zeile und Spalte erhalt man die Matrizen (in homogenen Koordinaten), die eine positive Drehung urn den Winkel qJ > 0 urn die x- bzw. y-Achse bewirken:

o

o COS qJ

-SIn qJ

sin qJ

cos qJ

o COS qJ

y

(
= (

0 - SillO
Drehung urn die x-Achse

(7.58)

o o

sin qJ

1 0 0 cos qJ

o

0

0)

O~.

Drehung urn die y-Achse

(7.59)

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

299

Die hergeleiteten Matrizen beschreiben (nach einfacher Modifizierung) auch Transformationen im zweidimensionalen Raum, sogenannte 2D-Transformationen. In der folgenden Tabelle sind diese Matrizen aufgelistet, wobei stets der Ursprung der Fixpunkt der Transformation ist. 2D-Transformationsmatrizen

bei (iiblichen) Koordinaten

bei homogenen Koordinaten Translation (7.60)

Skalierung S(sx' Sy) =

(

SX

0

0

Sy

o 0

~)

(7.61)

Drehung urn den Ursprung 0 COS qJ

D(qJ)

=( .

SIn qJ

COS qJ

-sin qJ) cos qJ

D(q» =

(

sinoq>

-sin qJ cos qJ

o

~)

(7.62)

Beschreibt die (4,4)-Matrix Meine geometrische Transformation in homogenen Koordinaten, so erhalt man den Ortsvektor des Bildpunktes P'von P zu p' = M· p. Zur Bestimmung des Ortsvektors des Originalpunktes P zu P' benotigt man wegen p' = M'p <::>p = M- 1 p' die inverse Matrix M- 1 . Da die Transformationsmatrizen von spezieller Form sind (und aufgrund ihrer geometrischen Eigenschaften), kann die Inverse einer jeden Matrix leicht angegeben werden: Inverse Translationsmatrix:

T- 1 (tx' t y , t z) = T( - t x' - t y ,

Inverse Skalierungsmatrix:

S-l(sx' Sy, sz) = S(1/s x' 1/sy , 1/s z)

Inverse Drehmatrix:

R - 1(qJ)

=

-

t z)

R( - qJ) = R T (qJ) mit R( qJ) = X( qJ) bzw. Y( qJ) bzw. Z( qJ)

Drehung im negativen Sinn urn den Winkel

qJ

>0

Die folgenden Beispiele erHiutern die Vorgehensweise, wenn auf einen Punkt nacheinander (verschiedene) Transformationen angewendet werden. Beispiel 7.36 Wir bestimmen die Matrix M, die die Drehung von P = (x, y) urn den Punkt Po = (x o, Yo) als Drehzentrum beschreibt. Welche Lage hat das Dreieck A = (0,0), B = (1,1), C = (5,2) nach Drehung urn 45° urn den Punkt Po = ( - 1, - 1)? Wir fiihren die Transformation in 3 Schritten durch, wozu wir die oben angegebenen Matrizen verwenden:

300

7 Vektoren und ihre Anwendungen

1. Verschiebung von Po = (x o, Yo) nach 0 = (0,0) mit Hilfe der Matrix T( 2. Drehung um 1: cp um 0 mit Hilfe der Matrix D(cp) (siehe (7.62)). 3. Verschiebung von 0 nach Po mit Hilfe der Matrix T(x o, Yo).

X o,

- Yo) (siehe (7.60)):

Die Matrizen lauten: T( - x o, - Yo) =

0)

(~ ~ =~:),

-sin cp CO~ qJ ~ und

T(XO'Yo)=(~ ~ ~:). Damit lautet die Transformationsmatrix

M = T(xo,Yo)·D(cp)·T( -x o, - Yo) cp

- sin cp

Sl~ qJ

c~s qJ

COS

=

(

(- X o ·cos cp + Yo ·sin cp + x o)) ( - X o 'sin qJ ·cos qJ + Yo)

(0

und die Transformationsgleichung V' = M· V. Bildet man mit Hilfe der Ortsvektoren der Eckpunkte in homogenen Koordinaten

~=( ~) ,

PB = ( :)

die Objektmatrix P

=

und

(VA VB Vc)

=

~

h =( )

(~ ~ ~) und beriicksichtigt in der Matrix M die Werte

111 cp = 45°, X o = Yo = -1, so kann man die homogenen Koordinaten der Bildpunkte A', B' und C' 1 den Spalten der Matrix (beachte: cos 45° = sin 45° = ~ 0.707) 2

0.707 P' = M· P = ( O.~07

=

-1 0.414 ( 1

-1 1.828 1

-0.707 0.707

°

J2

-1 ) (0 15) 0.414 . 1

0 1 2 111

1.121 ) 5.364 1

entnehmen. Die Ortsvektoren der Bildpunkte lauten folglich: ) r' = ( -1 1.828 B

und

(1.121) r'= c 5.364·

Beispiel 7.37 Wir bestimmen die Matrix, die den Punkt Po = (x o, Yo) an der (nichtsenkrechten) Geraden Y = mx + b spiegelt (siehe Bild 7.60). Die Transformation erfolgt in 5 Schritten:

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

301

y

Bild 7.60: Spiegelung an einer Geraden

1. Verschiebung des Punktes B = (0, b) der Geraden nach 0 mit Hilfe der Matrix T(O, - b). Drehung urn 0 urn den Winkel (- cp) mit Hilfe der Matrix D( - cp), wobei cp = arctan mist. Spiegelung an der x-Achse mit Hilfe der Matrix S(1, -1). Drehung urn 0 urn den Winkel cp mit Hilfe der Matrix D(cp). Verschiebung von 0 nach (0, b) mit Hilfe der Matrix T(O, b).

2. 3. 4. 5.

Mit Hilfe der Matrizen T(O,

-b)=(~ ~ -~),

D( - cp) =

S(1, -1) =

(

001 COS ( - cp) - sin (- cp) sin (- cp) cos (- cp)

°

(~ - ~ ~),

°

-sin cp

co~ q> ~

001

und T(O, b) =

(~ ~ ~) sowie sin q> J 7

°°1

0) o 0)

sin qJ~ cos cp

=

und cos q> =

J

m +1

erhaJt man die Trans-

2

m +1

formationsmatrix M = T(O, b)' D(cp)'S(1, -1)' D( - cp). T(O, -b) =

,

1

- 2 -- .

m

+1

( 1

2m

2

;:

°

m

2

-

0

1

-2bm) 2b 2 m +1

302

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Beispiel 7.38 Wir bestimmen die Matrix M, die den Punkt P = (x, y, z) positiv urn den Winkel qJ urn die Gerade g:r=r(t)=?a+t·u

mit

lul=1

dreht (siehe Bild 7.61).

N·

Z9;

Q


/ • \ / /

/

Np·cos
/

---

~

\

, , .........

\

P

P

Bild 7.61: Positive Drehung urn eine be1iebige Gerade

Wir nehmen zunachst an, g verlaufe durch den Ursprung, d.h. es sei ?a

=0.

Q bezeichne den urn 90° weitergedrehten Punkt

P und P' wieder den gesuchten Bildpunkt zu

P (siehe Bild~61) Mit Hilfe der Bezeichnungen OP~, OP' = r' und u = (u x ' u y , uz)T folgt aus r' = OP' = ON + NP' wegen ON = (rT·u)·u und NP' = Np·cos qJ + NQ 'sin qJ (beachte: INPI = INQI = INP'I, NP J..NQ und NP J..ON):

r' = (r T 'u)'u + NP ·cos qJ + NQ 'sin qJ = CrT·u)·u + (r - (rT·u)·u)·cos qJ + (u Hieraus erhalt man wegen

und

u x r = U· r

mit

U= (

~z

-u y

x r)'sin qJ.

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

303

die Formel: r' = (u·u T).? + Y·cos cp - (u·uT)·r·cos cp

= (u·u T + (E - (u·uT))·cos cp

+ V· r·sin cp

+ V·sin cp)·r

d.h. r' = A .r mit A

= u·u T + (E - u·uT)·cos cp + U ·sin cp.

(7.63)

Die Matrix A beschreibt somit die Drehung des Punktes P urn die durch den Ursprung verlaufende Gerade g. Beriicksichtigen wir nun, daB die Gerade g nicht durch den Ursprung, sondern durch den Punkt Po = (x o, Yo, zo) verlaufen solI, so miissen wir g zunachst mit Hilfe der Matrix

in den Ursprung und nach der Drehung mit Hilfe der Matrix

in die urspriingliche Lage zuriickverschieben. Da wir wieder mit homogenen Koordinaten arbeiten, miissen wir die Drehmatrix A noch wie folgt erweitern:

o A

0

o

=D.

000 Somit wird die Drehung des Punktes P mit den homogenen Koordinaten Gerade g durch die Matrix M = T(x o, Yo, zo)· D· T( - x o, - Yo, - zo)

=

(~

0 1 0 0

0 O 0 XYo ) . 1 Zo 0 1

:0 :0 :0

A

..................

0

0

o:1

.(~

0 0 1 0 0 1 0 0

O -X )

-Yo -Zo 1

beschrieben, wobei A die (3,3) - Matrix (7.63) ist. Als Anwendung betrachten wir folgendes Beispiel: Gegeben ist das Tetraeder ABCD durch A = (0,0,0),

B = (1,0,0),

C = (0, 1,0) und D = (0,0, 1).

p = (x, y, Z, l)T urn die

304

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Wie lauten die Koordinaten der Eckpunkte des Tetraeders, wenn man es urn 45° urn die Gerade

g:r r(t) =

=

G)

+

t{D dreht?

Die erforderlichen Translationen werden durch die Matrizen

1;.

=

(~ ! ~

T(O, - 1,0) =

°

ausgeflihrt. Wegen Ii =

A=~oG}O + J2°

=

-!)bZW. ~

=

0,707 0,5 ( -0,5

A

MitD=

1(0)~ und cos 45° J2.

°°°

=

sin

45°

(G ! D-~· (D -~ D0~J2

=

(0

!) 1

_

J2/2 ';::;5 0,707 erhiilt man

1 1))

0~J2+

-0,5 0,5) 0,854 0,146 . 0,146 0,854 :0 :0 _ ( 0,707 0,5 :0 - -0,5

...............

°°°

(~ !~

001

1 1)+

(_:

1; 1 =

:1

°

-0,5 0,5 0,854 0,146 0,146 0,854

° °

~)

lautet die Transformationsmatrix

-

_ -

~:i46 ~~).(~01~ ~ ( ~ °~ ~ °~).( ~:;07 -~:~54 ° ° 0 1 -0,5 00010

(

0,707 0,5 -0,5

°

- 0,5 0,5 0,854 0,146 0,146 0,854

0,146 0,854

0,5) 0,146 -0,146 .

001

°1

-°01) 1

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

305

Die Koordinaten der gedrehten Punkte erhaJt man aus der Matrix

P'=M.P=M.(~ °° 1

-0,146 1

1,207 0,646 -0,646 1

~

PiJ

0,5 °1 °0) == ( 0,146 1 1

0 1 1

JiAJiBPePn

°o

1 0,292 1 ) 0,708 1 1

~ V;;,

zu A'

== (0,5; 0,146; -0,146), B' == (1,207; 0,646; -0,646), C' == (0,1,0) und D' == (1; 0,292;0,708).

7.3.2 Koordinatentransformationen Bei diesen Transformationen bleibt das Objekt fest und das Koordinatensystem wird bewegt. Wir vereinbaren folgende Schreibweisen: Objektsystem So: So == {o; x, y, z} Bildsystem SB: SB == {O'; x', y', z'} Geometrische Transformationen: Matrizen A, B, C, ... Koordinatentransformationen: Matrizen A, B, C, ... Translation

Wird das System S durch eine Parallelverschiebung in die neue Position SB gebracht, so besitzt der Punkt P in Bezug auf SB den Ortsvektor (siehe Bild 7.62) r' = r

- T mitT =

G:)

(7.64)

z'

z p

y

/

0

x

Bild 7.62: Translation des Koordinatensystems

y

306

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Fiihrt man wieder homogene Koordinaten ein und verwendet die Translationsmatrix 1 0 0

T=

0 1 0 ( 001 000

so lautet (7.64):

(7.65)

p' = Tp.

(7.66)

Wie man leicht erkennt, ist T(tx' t y , t z) = T( - tx' - t y , - t z)' d.h. eine Translation des Koordinatensystems urn den Vektor t entspricht einer Objekttransformation urn den Vektor - t.

Skalierung Konstruiert man SB aus So dadurch, daB man den Ursprung 0 und die Richtung der Koordinatenachsen unverandert laBt, aber durch Sx' Sy und Sz verschiedene MaBeinheiten auf den Koordinatenachsen einfiihrt, so stehen die Koordinaten des neuen Systems mit denen des alten iiber

111 x' = _. x, y' = _. y und z' = _. z, wobei SX Sy Sz

Sx' Sy' Sz E

lR\{O}.

zueinander in Beziehung. Mit Hilfe von homogenen Koordinaten und der S;l

Skalierungsmatrix S = (

~

o -1

Sy

(7.67)

o o

p' = S·p.

ist dann

Bemerkung: Es gilt: S(sx,Sy,sz) = S(S;l,S;\S;l) Drehung Wird So durch positive Drehung urn den Winkel qJ > 0 urn die z-Achse in die Lage S B gebracht (siehe Bild 7.63), so erhalt man durch gleiche Uberlegungen wie bei der geometrischen Drehung diesmal X' {

= x·cos qJ + y·sin qJ

y' = -

x·sin qJ

+ y·cos qJ

(7.68)

z' =Z

bzw. bei homogenen Koordinaten

-y

COS qJ

P' = Z(cp)·p mit der Drehmatrix Z(cp) = (

cp

sIn qJ cos qJ

o o

(7.69)

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

307

Z( cp) beschreibt die DrehUng des Koordinatensystems (im math. pOSe Sinn) urn die z-Achse.

x'

0=0'

x

x

Bild 7.63: Drehung des Koordinatensystems

Wie man sieht - und wie zu vermuten war - ist Z( cp) = Z( - cp). Entsprechend erhalt man die Matrizen fiir die positive Drehung des Koordinatensystems urn die x- bzw. y-Achse: Drehung des Koordinatensystems urn die x-Achse

P'=X·p -

X(~)

=

( 01

~

Drehung des Koordinatensystems urn die y-Achse

p'=Yp

mit

0

0

cos cp -sin
sin cp cos
0

0

~)

-

Y(~) =

(COS~ 0

Si~~

0 1 0 0

mit -SIn cp 0

cos cp 0

~)

(7.70)

Die zu den angegebenen Koordinatentransformationen inversen Transformationen werden durch folgende Matrizen beschrieben: -

Translation: T

-1

-

(tx' t y , t z) = T( - t x' - t y ,

S-- 1 ( SX' Sy, Sz) = S-( s-x1' SySk a Ilerung:

1

,sz

-

t z)

1)

R -l(cp) = R( - cp) mit R(cp) = X(
Drehung:

(7.71) (7.72) (7.73)

Die in diesem Abschnitt durchgefiihrten Uberlegungen gelten sinngemaB fiir 2D- Koordinatentransformationen. Beispiel 7.39 Gegeben sind die Punkte A = (x A' YA' z A) und B = (x B' YB' z B) so, daB ~ = 0 A und ~ = 0 B den Winkel 90 einschlieBen. Wir berechnen die Matrix M, die das Koordinatensystem so ausrichtet, daB A auf der x-Achse, B auf der y-Achse liegt und ~ x ~ die Richtung der (positiven) z-Achse angibt. Hierfiir miissen wir folgende Drehungen des Koordinatensystems durchfiihren, wobei wir ~ = (XA'YA' O)T setzen und mit kartesischen Koordinaten rechnen (siehe Bild 7.64): 0

308

7 Vektoren und ihre Anwendungen Z

II

/1

/ I

/ I,

I I

/ZB I /

/

/

I

/ "', I I ..-~ -/ ./

x

y

Bild 7.64: Ausrichtung eines Winkelraumes

1. Positive Drehung des Systems urn die z-Achse urn den Winkel a mit XA

cos a =

.

YA

(7.74)

Ir:; I' SIn a = Ir::; I' cosa

Die Drehung wird durch die Matrix

(

-~nO(

sin a cosa

o

~)

=

Z(O() beschrieben.

2. Negative Drehung des Systems urn die neue y-Achse urn den Winkel cos f3

Ir'l

= -:L,

I~I

Pmit

ZA

sin f3 = - .

(7.75)

I~I

Die Drehung wird durch die Matrix

COS f3 0 ( - sin f3

0 sin f3 ) 1 0 0 cos f3

=

Y(f3) beschrieben.

3. Positive Drehung des Systems urn die neue x-Achse urn den Winkel ymit y' cosy =~, I~I

z' sin y =~.

Hierbei erhalt man

(7.76)

l'il

y~ und z~ aus r;; = Gt) = Y(P)·Z(O()·r;,.

Die Drehung wird durch die Matrix

(~

00) C?S Y sin y = -SIn y cosy

X(y) beschrieben.

7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen

309

Damit lautet die Matrix, die die gewunschte Ausrichtung des Koordinatensystems vornimmt:

= X(y)· Y(f3)· Z(ex)

M

Fur die konkreten Punkte A = (6,2,4) und B = (- 2,4,1) erhlilt man (beachte: ~.l~) nach (7.74) und (7.75):

° °° . °

°

0,949 0,316 0) ( 0,845 Z(ex) = ( -0,316 0,949 und Y(f3) = 1 -0,535

° °

0,535)

1

0,845

Diese Matrizen ergeben weiter

r;' = Y(f3). Z(ex)·~ = ( also

y~

= 4,427 und

X(y)

z~

0,802 -0,316 -0,507

° .

0,267 0,535) (-2) (0 ) 4 = 4,427 , 0,949 -0,169 0,845 1 1,183

= 1,183, so daB (7.76) die Matrix

1 (°0 - ~,966 ~,258) 0,258 0,966

=

liefert. Die gesuchte Transformationsmatrix lautet somit M

=

X(y)· Y(f3). Z(ex) =

0,802 -0,436 ( -0,408

0,267 0,873 -0,408

0,535) 0,218 . 0,816

Transformiert man mit M die Ortsvektoren von A und B, so erhlilt man wie erwartet M·~

° , °

= ( 7,483)

M·~

° ),

0 ) ·und M·(~ x~) = (0 = (4,583

°

34,293

d.h. die Achsen des neuen Systems verlaufen durch A bzw. B und ~ x ~ weist in Richtung der z-Achse. (Beachte: I~I = 7,483, I~I = 4,583 un~ I~ x ~I = 34,293).

Aufgaben:

= (- 2,1), B = (2, 3) und C = (4, -2) an der Geraden g: y = x - 1 spiegelt. Wie lauten die Koordinaten der gespiegelten Punkte?

1. Bestimmen Sie die Matrix M, die das Dreieck mit den Eckpunkten A

2. Wie lautet die Matrix M, die ein rechtshandiges in ein linkshandiges Koordinatensystem iiberftihrt?

Hinweis: Zur Lasung der folgenden Aufgaben sollte man ein geeignetes Software-Paket wie MathCad, MAPLE, Mathematica, DERIVE, ... verwenden. 3. Bestimmen Sie die Matrix M, die den Einheitswiirfel (siehe Bild 7.65) urn 30° positiv urn die Gerade g: r

=

r( t) =

(

~

)

~

+ t· ( - ) dreht. Geben Sie die Koordinaten des Wiirfels nach der Drehung an.

4. Gegeben ist der Vektor a. Bestimmen Sie die Matrix M, die das Koordinatensystem so ausrichtet, daB die z-Achse gegensinnig parallel zu a ist.

310

7 Vektoren und ihre Anwendungen z

I I I

}- - - - ----#-----~ y

/ /

/ /

x

Bild 7.65: Einheitswiirfel

7.4 Eigenwerte ond Eigenvektoren von Matrizen Beispiel 7.40 Gegeben ist die Gleichung ~X2 -~x·y +~y2 ==

(7.77)

1.

Sie beschreibt eine Ellipse in gedrehter Lage (siehe Bild 7.66).

1( 5 -3)

Fiihrt man die symmetrische Matrix -. 8 -3

5

==

A ein und setzt

(x)y

x

Bild 7.66: Bestimmung der Scheitel einer gedrehten Ellipse

==

X, so HiBt sich (7.77)

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

311

auch wie folgt schreiben:

xT'A<x =

1.

(7.78)

Durch positive Drehung des Koordinatensystems urn 45° mit Hilfe der Transformation

",( n) 'x

x'=Z CP=4

bzw.

-(

x=Z cp=

1J2 - !J2' 1J2) (X') -4n) 'x'= (!J2 y'

(7.79)

(siehe (7.69)) erhalt man nun die Ellipse - bezogen auf das gedrehte Koordinatensystem - zu

-!~).(X')= 1, 1J2

y'

bzw. - nach Ausfiihrung der Matrizenmultiplikation - die einfache Darstellung

(x:y') -(

~ ~}G:) =i(x'f + (y')2 = 1.

(7.80)

Es ist noch die Frage offen, wie man den Winkel der Drehung (hier 45°) erhalt, die die Gleichung (7.77) in die Gleichung (7.80) iiberfiihrt. Offensichtlich hat man dieses Problem gelost, wenn es gelingt, einen Scheitel und damit die Richtung einer Hauptachse zu bestimmen. 1st x der Ortsvektor eines Punktes der Ellipse, dann hat die Normale an die Ellipse in diesem Punkt die Richtung A .x. Den Beweis hierfiir konnen wir erst im Band 2, Abschnitt 3.2.6 fiihren. Dem Bild 7.66 entnimmt man, daB x dann Ortsvektor eines Scheitels ist, wenn A· x

=

A'X

fiir ein

AE~\ {O}

(7.81)

ist. Die Bestimmung von x aus dieser Bedingung wird im folgenden unsere Aufgabe seine Definition 7.10

°

A sei eine n-reihige (quadratische) Matrix mit reellen Elementen Eine Zahl AEC heiBt Eigenwert von A, wenn es mindestens einen Vektor x =f::. so gibt, daB

A·x = A'X

(7.82)

ist. Jeder Vektorx =f::. 0, der diese Gleichung erfiillt, heiBt Eigenvektor von A zum Eigenwert A.

Bemerkung: Mit x ist auch k'x, k =f::. 0, Eigenvektor von A, wie man durch Einsetzen leicht nachweist. Gleichung (7.81) laBt sich auch wie folgt schreiben: A·x -AX= (A -A'E)'x =

0,

wobei E die n-reihige Einheitsmatrix ist. Ausfiihrlich lautet dieses lineare, homogene (n, n)-System: (all - A)X l + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 2l x l +(a 22 -A)x 2 + a 23 x 3 + a 3l x l + a 32 x 2 + (a 33 - A)X 3 +

+ +

+

alnX n a 2n Xn a 3n Xn

=0 =0 =0

(7.83)

312

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Dieses System besitzt stets die - hier nicht interessierende - triviale Lasung

Damit das System nicht triviale Lasungen besitzt, muB wegen der Bemerkung zu Satz 6.16 det(A - AE) = 0,

d.h. all

-A

a 2l a 31

a l2 a 22 - A a 32

=0

sein. det(A - AE) ist ein Polynom vom Grade n in A, das man als das charakteristische Polynom der Matrix A bezeichnet. det(A - AE) = 0 heiBt die charakteristische Gleichung von A; sie liefert die Eigenwerte der Matrix A. Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer (n, n)-Matrix erfolgt somit in zwei Schritten:

Bemerkungen:

1. Da die Eigenwerte Nullstellen eines Polynoms sind, konnen sie komplex sein. Wir betrachten im folgenden nur solche Matrizen, deren Eigenwerte reell sind. 2. 1st det (A - AE) = ( - 1tAn + an _ 1 An - 1 + ...

+ a 1 A + ao

das charakteristische Polynom der (n, n)-Matrix A und A1 , ... , An ihre - entsprechend der Vielfachheit gezahlten - Eigenwerte, so ist nach den Vietaschen Formein

ao = det A = A1 ' A2 · .. ·· An und

t+

(- 1

1.

an - 1 = A1 + A2

+ ... + An'

Diese beiden Aussagen konnen bei der Berechnung der Eigenwerte von A als Rechenkontrolle verwendet werden.

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

313

Beispiel 7.41 Wir bestimmen die Eigenvektoren der Matrix A =

~. ( _ ~

-

~) (siehe Beispiel 7.40).

Die charakteristische Gleichung

li-=-~A i-=-~A 1= (i - Af - :4 = 0

det(A - AE) =

i und 2 2 =

hesitzt die Losungen 2 1 =

1. Dies sind die Eigenwerte von A.

Es rallt auf, daB die Eigenwerte die Faktoren von x' hzw. y' in der Gleichung (7.80) sind, d.h. (7.80) HiBt sich in der Form

(2 0) = (i0 0)I

x T ·D·x=l

1

mitD= 0

,12

darstellen. Setzt man die Eigenwerte in das System (7.85) ein, so erha.1t man fur 2 = i

fur 2 = 1

~Xl -~X2

= 0 -~Xl -~X2 = 0

-~Xl +~X2=0

-~Xl-~X2=0

und mit Hilfe des GauBschen Eliminationsverfahrens die Losungen

mit UE~\ {O}

mit VE~\ {O}

x 2 sind Eigenvektoren der Matrix A und damit die (aufeinander senkrecht stehenden) Richtungen der heiden Hauptachsen der Ellipse (7.77). Den Drehwinkel qJ, urn den man das Koordinatensystem drehen muB, urn die Ellipse auf die Form (7.80) zu hringen, erha.lt man aus

Xl und

cos qJ =

!

1

.~

Ix 1 1·le x l

=

-!)2,

Wie erwartet ist also

wobei

ex =

(1) 0

gesetzt wurde.

n qJ = - .

4

Beispiel 7.42 Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren von A =

G-: D.

Die charakteristische Gleichung von A lautet:

-2

det (A - 2E) = 1

2

3- 2

-1

3

2

1

1- 2

I

3

= - 2[(3 - 2)(1 - 2) - 3] + [2(1 - 2) - 6] + 3[2 - 2(3 - 2)] (Entwicklung nach der 1-ten Zeile)

= - 2 2 (2 - 4) + 4(2 - 4) = (2 - 4)(4 - 2 2 ) = 0

314

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Foiglich lauten die Eigenwerte von A: A1 == - 2,

A2 == 2

und A3 == 4.

Dem charakteristischen Polynom det (A - AE) == - A3 + 4A 2 + 4A - 16 kann man entnehmen:

A1·A 2·A 3 == -16==a o ==detA

undA 1 +A 2 +A 3 ==4==(-1)3+1· a2 ·

Das Gleichungssystem (7.85) lautet fur A == - 2 2x 1 - X 2 2x 1 + 5x 2 2x 1 + X 2

fur A == 2

+ 3x 3 == 0 + 3x 3 == 0 + 3x 3 == 0

fur A == 4

+ 3x 3 == 0 + 3x 3 == 0

- 2x 1 - X 2 2x 1 + X 2 2x 1 + X 2

-

== 0

X3

- 4x 1 - X 2 2x 1 - X 2 2x 1 + X 2

+ 3x 3 == 0 + 3x 3 == 0 -

3x 3 == 0

Die allgemeine Lasung und damit Eigenvektoren erhalt man zu

mit

mit

{O}

UE [R \

vE[R\ {O}

mit

WE [R\ {O}

Die Lasung des zu A == - 2 geharenden Gleichungssystems erhalt man nach dem GauBschen Eliminationsverfahren (Kurzform) zu: 2 2 2

-1 3 5 3 1 3

0 0

(1) (2)

0

(3)

2

-1 3 6 o

0

2 2

-1 1

Somit ist

(

(1)

:0 o:0

(2)-(1)==(2') (3) - (1) == (3')

3

(1) (2')j6=>x 2 ==O

0

o:0

(entrallt !) Setze

X3

==

2U} =>X 1 -_ -

3u.

3U) = u- (- ~3) = Xl fUr aile UE~\ {O} Eigenvektor zum Eigenwert - ~u

2.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie man Eigenvektoren einer Matrix bestimmen kann, die mehrfache Eigenwerte-deren charakteristisches Polynom also mehrfache Nullstellen-besitzt. Beispiel 7.43 Die Matrix A ==

(~ -1

~ ~)

-2

Gleichung det (A - AE) == 1

besitzt die charakteristische

0

4- A 2 -1

2 I-A

-2

~

-A

I == -

A3

+ 5A 2 -

3A - 9 == o.

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

315

Die Losungen dieser Gleichung und damit die Eigenwerte von A lauten: Al

1 und A2

= -

=

A3

=

3.

Dies liefert die beiden Gleichungssysteme fur A = 5x l + 2x 2 2x l + 2x 2 - Xl - 2x 2

-

1

fur A= 3

+ 3x 3 = 0 =0

+

X3

=

0

Xl + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x l - 2x 2 = 0 -x l -2x 2 -3x 3 =0

Ein Eigenvektor zum Eigenwert - llautet: Xl =

u{-D

mit UEIR\ {O}.

Einen Eigenvektor zum (2-fach auftretenden) Eigenwert 3 berechnen wir wieder mit Hilfe des GauBschen Eliminationsverfahrens (Kurzform!): 1 2 -1

2 -2 -2

3 : 0 (1) 0:0 (2) -3 : 0 (3)

1 0 0

2 -6 0

3 : 0 (1) -6:0 (2) - 2·(1) = (2') 0:0 (3) + (1) = (3')

1 0

2 -1

3 : 0 (1) -1 : 0 (2')/6 = (2")

} {X 2 = -v Setze X3

Damit erhiilt man als Eigenvektor zum Eigenwert 3:

= V

X2

=

=>

v{::::

Xl

= - v

D.

Weitere Eigenvektoren zu diesem Eigenwert existieren nicht. Beispiel 7.44 Die Matrix A =

(~ :=: ~) besitzt die charakteristische Gleichung

det (A - AE) =

I-A 3 6

=

I

-3 - 5-6

)~

3 3 4-A

I

(1 - A)[( - 5 - A)(4 - A) + 18J

= (1- A)[A 2 + A- 2J

+ 3[3(4 -

A) -18J + 3[ -18

+ 6(5 + A)J

+ 9(A + 2)

= - (A + 2)(A 2 - 2A - 8) =

-

(A + 2)2(A - 4) = 0,

und somit die Matrix A die Eigenwerte Al

=

A2

= -

2 und A3

=

4. Das Gleichungssystem zur

316

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Bestirnrnung eines Eigenvektors lautet fur A = 4

fur A = - 2 3x 1 - 3x 1 3x 1 - 3x 2 6x 1 - 6x 2

+ 3x 3 = 0 + 3x 3 = 0 + 6x 3 = 0

- 3x 1 - 3x 1 3x 1 - 9x 1 6x 1 - 6x 1

+ 3x 3 = 0 + 3x 3 = 0 = 0

Das Gleichungssystern zurn Eigenwert - 2 besitzt die allgemeine Lasung

Sornit sind

zurn Eigenwert - 2 geharende linear unabhangige Eigenvektoren von A. Eigenvektor zum Eigenwert 4 ist x 3 =

w·G)

mit

WE~\ {O}.

Die beiden letzten Beispiele zeigen, daB zu einern rnehrfach auftretenden Eigenwert ein Eigenvektor oder rnehrere linear unabhangige Eigenvektoren existieren kannen. Eigenvektoren der Matrix A zu verschiedenen Eigenwerten besitzen spezielle Eigenschaften. Satz 7.4

Beweis zu b): 1st AEC Eigenwert von A und x i= 0 zugehariger Eigenvektor, dann folgt aus Ax = AX durch Ubergang zur konjugiert kornplexen Darstellung

(Ax)* = (Ax)*~Ax* = A*·X*. Folglich ist

)v·xT·x* = (A·X)T· X * = (AX)T· X * = xT·AT·x* Wegen xT·x* = 2:7= 1

=

xT·A·x*

Ixd 1 > 0 muB A = A*, also AEIR seine

=

A*·xT·X*

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

317

Al , A2 E [R seien verschiedene Eigenwerte und Xl' X2 zugehorige Eigenvektoren. Dann ist

Al ·X1T ·X2 = (AX1 )T' X2 = X1T 'A T 'X2 = X1T '(A'x2) = A2'X1T 'X2 T

~(Al - A2 )'X1 'X2 T 1 .x

Wegen Al =I- A2 folgt X

=0

•

2 = 0, also xli. X2 •

Bemerkungen zu Satz 7.4: 1. Eine symmetrische, n-reihige quadratische Matrix besitzt genau n linear unabhangige Eigenvektoren. 2. Sind Xl und 2 linear unabhangige Eigenvektoren von A zum (mehrfachen) Eigenwert A, so ist auch l + f3'x2 Eigenvektor von A zum Eigenwert A. 3. Man beachte, daB Eigenvektoren nichtsymmetrischer Matrizen i.a. nicht aufeinander senkrecht stehen (siehe Beispiel (7.44)).

a'x

x

Beispiel 7.45 Wir berechnen die Eigenwerte und zugehorige Eigenvektoren folgender Matrizen: a)

A=(-O~ -~ j~); fi

b) A=(

=;).

~

; -2

1

-2

-1

Zu a) Die charakteristische Gleichung der symmetrischen Matrix A

det(A-AE)=

1-A

-1

-1

3-A

1

ofi

J

I = A(l -

A)(A - 4) = 0

1-A

liefert die Eigenwerte Al = 0, A2 = 1 und A3 = 4. Das System (7.85) lautet flir A = 1

flir A = 0 Xl -

-x l

+

=

X2

0

3x 2 +fix 3 =0

j2x + 2

X3

flir A = 4

=0

-X2

-

Xl

+ 2x 2 + fix 3 = 0

=0

fix 2

- 3x l

-

x2

-X l -

X2

fix 2

=0

=0

+j2x -

3

=0

3x 3 =0

Die allgemeine Lasung und damit Eigenvektoren lauten

mit uE[R\ {O}

mit

VE [R \

{O}

mit

wE[R\ {O}

Wie man mit Hilfe des Skalarprodukts zeigen kann, stehen die Eigenvektoren Xl' X2 und tatsachlich aufeinander senkrecht.

x

3

7 Vektoren und ihre Anwendungen

318 Zu b)

Die charakteristische Gleichung der symmetrischen Matrix A det(A-AE)= 1

2- A 4 4 2-A -2 -2

liefert die Eigenwerte A1

A2 =

=

-

-2 -2 -1-A

2 und A3

=

I

=(A+2)2·(7-A)=0

7.

Das System (7.85) lautet somit fur A = - 2 4x 1 + 4x 2 4x 1 + 4x 2 - 2x 1 - 2x 2

fur A = 7 - 5x 1 + 4x 2 4x 1 - 5x 2 - 2x 1 - 2x 2

2x 3 = 0 2x 3 = 0 + X3 = 0 -

-

-

2x 3 = 0 2x 3 = 0 8x 3 = 0

Die allgemeine Lasung des Systems zu A = - 2lautet

F olglich sind

XI=U'(~) mituE~\{O}

und

x2 =v·

(!) mitvE~\{O}

linear unabhangige Eigenvektoren von A zum Eigenwert - 2. Der Eigenvektor zum Eigenwert A = 7 lautet .x'3 = W

Wegen 1

1 0 0 1 2 2

21 2 = -

• (_

~

)

mit

WE~.

9 -# 0 sind die Eigenvektoren linear unabhangig.

-1

Ferner gilt

X1T • x3 = 0 und X2T • x3 = 0, d.h. Xl ..L X3 und x2 ..L x3 • Hingegen stehen Xl und

i2 = (12 =

Xl x

x3 =

t· ( -

~)

x2

nicht aufeinander senkrecht. Bilden wir jedoch den Vektor

mit t =

U •

wEIR\ {O}, so ist 12 als Linearkombination von

X'j

und

X'2

x

- 4 . Xl + 5 . 2 ) nach Bemerkung 1 von Satz 7.4 ebenfalls Eigenvektor von A zum Eigenwert - 2 und x1,i2 und x3 stehen nunmehr paarweise aufeinander senkrecht. Man sagt auch, die Vektoren Xl' i 2 und x3 bilden ein Orthogonalsystem der Matrix A.

1m Beispiel 7.40 haben wir die Ellipse xT·A·x= 1 mit Hilfe der Koordinatentransformation 1 x=Z·x' mit Z=2"

(J2 J2 -J2) J2

- -

auf die Form (XY'ZT'A-Z'X'= (xY'D'x' = 1 mit

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 1

0)

319

,. . ,. .

D = ( ~ 1 ~ebrac~t. ~iese Tr~nsformation iiberfiihrt also die Matrix A-wege~ ZT = Z --1 -in die Matrix ZT'A'Z==Z-l'A'Z==D, die aufgrund der speziellen Form von Z (siehe unten) Diagonalmatrix ist. Allgemein vereinbart man:

Definition 7.11 A und B seien n-reihige quadratische Matrizen. A und B heiBen ahnlich, wenn eine reguHire Matrix Y so existiert, daB y-1'A' Y == B

(7.86)

ist. (7.86) heiBt Ahnlichkeitstransformation. Ahnliche Matrizen besitzen folgende Eigenschaften:

Satz 7.5

Bernerkungen: 1. Aus b) kann nicht geschlossen werden, daB ahnliche Matrizen auch dieselbe Menge von Eigenvektoren besitzen. 2. Aus b) folgt, daB ahnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom besitzen.

Beweis zu Satz 7.5 Zu a): Es sei B == y-l. A· T. Dann folgt:

IBI == Iy-l. A· YI == Iy-11'IAI'1 YI == I YI-1'IAI'1 YI == IAI· ZU b)

x

A sei Eigenwert von A und zugehoriger Eigenvektor, also A' T-1'A'X== y-l'A'x== y-l·A·y·y-l·X==B·y-l·X:

x == A· x. Dann folgt aus

A·(y-l·X) == B·(y-l·X)

bzw., wenn man y-l·X == V setzt, A'V == B'y, d.h. A ist auch Eigenwert von B (mit V =f:. x als Eigenvektor). Entsprechend zeigt man, daB jeder Eigenwert von Bauch Eigenwert von A ist. Damit ist die Aussage b) bewiesen.

320

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Zu c) y sei Eigenvektor von B zum Eigenwert A, also B· Y == A' y. Dann folgt wegen B == T -

1.

A .T:

B'y == T-1'A' T'y == A'y =>A ·(T·Y) == A·(T·y).

Foiglich ist T·y == x Eigenvektor von A.

•

Der folgende Satz zeigt, wie man die flir eine Ahnlichkeitstransformation benotigte Matrix T (siehe (7.86)) aus einer gegebenen quadratischen Matrix A gewinnt. Satz 7.6

Beweis: Zu a) X 1 ,X 2 , .•• ,X n seien die n linear unabhangigen Eigenvektoren von A und A1 ,A 2 , ... ,An die zugehorigen Eigenwerte. Dann ist

A ·xi == A(Xi

fiir aIle i == 1,2, ... , n.

(7.87)

Mit Hilfe der im Satz angegebenen Matrizen erhalt man hieraus (7.88)

A·T== T·D

und weiter, da T regular ist, T- 1.A· T == T- 1.T· D == E· D == D.

Zu b) seien n aufeinander senkrecht stehende normierte Eigenvektoren von A und Ai' A2 , .•. , An die zugehorigen Eigenwerte. Dann folgt

Xl' X 2' ... , X n

---+

T

---+

X k .X i

1 fiir i == k .. . == 0 fur i =1= k fur aIle 1, k == 1, 2, ... , n {

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

321

. und somit (E ist die n-reihige Einheitsmatrix) TT. T

=

(7.89)

E.

(7.88) liefert dann TT·A·T= TT·T·D =E·D =D.

•

Bemerkungen zu Satz 7.6:

1. Sind die Spaltenvektoren der n-reihigen, quadratischen Matrix T aufeinander senkrecht-

stehende Einheitsvektoren, so zeigt der Beweis zu b) von Satz 7.6, daB TT·T=E,

also TT=T- 1

ist. Eine Matrix mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als orthogonale Matrix, eine mit ihr durchgefiihrte Transformation als orthogonale Transformation. Eine orthogonale Transformation ist also eine spezielle Ahnlichkeitstransformation. 2. Die mit orthogonalen Matrizen durchgefiihrten Koordinatentransformationen haben die Eigenschaft, ein geometrisches Objekt nur innerhalb des Koordinatensystems zu drehen oder zu spiegeln. Sie andern aber nicht die Gestalt des Objekts. Beispiel 7.46 Die Matrix A =

G -3 3)

- 5 3 (siehe Beispiel 7.44) besitzt -6 4

Die Hauptdiagonalelemente der Matrix auf der rechten Seite sind wie erwartet die Eigenwerte der Matrix A (siehe Beispiel 7.44). Beispiel 7.47 Die symmetrische Matrix A = und A3

=

(~

~

=~)

besitzt die Eigenwerte Ai = - 18, A2 = - 2

- 6 - 6 -15 9. Zugehorige Eigenvektoren lauten:

x 1=u-(i),

X

2=V

(Beweis als Ubungsaufgabe).

O

(-!) undX3=Wo(=~) mitu,v,wE~\{O}

322

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Bildet man mit den normierten Vektoren

die Matrix

1

1

3J2 T= (x10, x 20, x~) =

J2

1

1

3J2 J2 4

2

--

3 2 3 1

0

3J2 (

~

1

J2 ( J2 =6' - 3J2 3J2 1

-4

-4

4f)·

-

3

-18 Hieraus [olgt T- 1 . A· T =

so ist T-

--

_

~ ~) = (~1 ~2 ~

o

9

0

0

A3

)=

D.

Wir wollen die eingefuhrten Begriffe zur Transformation von Kegelschnitten und FHichen 2. Ordnung, sogenannten Quadriken, auf ihre Hauptachsen verwenden. Definition 7.12 A = (a ik ) sei eine n-reihige, symmetrische Matrix und man

q(x)=xT'A'x=

I I

x = (Xl"'"

xn)T. Dann bezeichnet

aikxix k

i=l k=l

als quadratische Form. A heiBt die KoeffIZientenmatrix von q(X). Hierbei istx= (Xl' X 2, ..• ,Xn)~

Bemerkung: 1st im folgenden n = 2 oder n = 3, so schreiben wir statt Xl' X2, X 3 kurzer X, y, z. Man erhaJt dann fur (beachte: a ik = aki fur alle i, k)

= 2: q(x) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a22y2 2 2 n = 3: q(x) = a 11 x + a22y2 + a 33 z + 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz

n

1m Fall n = 2 stellt q (x) = 1 z. B. eine Ellipse oder Hyperbel, im Fall n = 3 z. B. ein Ellipsoid oder Hyperboloid dar. Wegen xT'A'x=(-X)T'A'(-x) ist der Koordinatenursprung Symmetriezentrum der beschriebenen Kurve bzw. FHiche. Da die Koeffizientenmatrix A der quadratischen Form q(x) symmetrisch ist, konnen wir sie nach Satz 7.6 mit Hilfe einer orthogonalen Transformation auf Diagonalform bringen. Hierfur wahlen wir als orthogonale Matrix

wobei Xl' x2"'" X n paarweise aufeinander senkrecht stehende, normierte Eigenvektoren der symmetrischen Matrix A sind, und bilden die orthogonale Transformation x = T·x'.

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

323

Dann erhalten wir wegen x T == (T·X')T == (X')T. TT == (X')T. T- i die quadratische Form q(x) == x T.A· x == (X,)T. T- i .A· T· x' == Q(x'). Wie wir mit Satz 7.6 bewiesen haben, ist T- i ·A·T==D eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente gerade die Eigenwerte Ai' ... , An der Matrix A sind. Folglich ist Q(x') == (x,)T·D·x' ==

I

A((X/)2 == Ai (X;)2

+ A2(X~)2 + ... + An(x~)2.

i= 1

Damit haben wir folgenden Satz bewiesen: Satz 7.7 (Hauptachsentransformation quadratischer Formen)

Bemerkungen:

1. Die Einheitsvektoren ei , i == 1,2, ... ,n, des Koordinatensystems gehen bei der orthogonalen Transformation in die (aufeinander senkrecht stehenden) Eigenvektoren Xi == T·ei tiber. Man bezeichnet deshalb die Vektoren Xl' X2' ... ' Xn als die Hauptachsenrichtungen von q(x) == 1, die Transformation (7.90) als Hauptachsentransformation. 2. Sind alle Eigenwerte positiv, so stellt Q(x') == 1 im Fall n

== 2: die Ellipse

(X')2

(y')2

-- +== 1 1 1

Ai

A2

(X')2

(y')2

(Z')2

n = 3: das Ellipsoid - - + + - == 1 1 1 1 Ai

dar. Man erkennt, daB

if

-

-

A2

A3

die Lange der entsprechenden Hauptachse angibt.

Beispiel 7.48 Wir bestimmen die Hauptachsen von q(x)==ix 2 +jxy- / 2y 2== 1

(7.91)

324

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Urn welchen Kegelschnitt handelt es sich? Mit Hilfe der symmetrischen Matrix A =

(i

~)

_

UiBtsich(7.91) in derForm q(x)=xT'A'x

12

schreiben. Die charakteristische Gleichung det (A - AE) =

11 1

,11 =

i

und ,12 =

Xl

=

-

u-G)

t, das System (A -

A

_

6

1

-.L ~

I

A

=

0 liefert fUr A die Eigenwerte

12

A( E)'x = 0 ergibt:

mit uEIR\ {O} und

x = v-( - ~) mit VEIR\ {O} 2

als zugehorige Eigenvektoren. Mit den aufeinander senkrecht stehenden, normierten Eigenvektoren -0

Xl

1 (2) 1 ( - 21) = j5. 1 un d -X20 = j5.

(dies sind die gesuchten Einheitsvektoren in Richtung der Hauptachsen) erhalt man die Hauptachsentransformation _

X

- I '

= T· X

mIt T =

1(2 -1)2 '

j5.

1

die die quadratische Form q(x) in die Form

Q(x') = (xy·D·x'

mit D =

(~

-n,

also Q(x') = i(X')2 _l,(y')2

iiberfiihrt. Bei q(x) = 1 handelt es sich folglich urn die Hyperbel (X ' )2 (y')2 --=1 2 - (16)2 2

mit den Halbachsen 2 und 16, die urn 26,57° urn den Ursprung gedreht wurde (siehe Bild 7.67). Beispiel 7.49 Wir transformieren die quadratische Form

(7.92)

auf ihre Hauptachsen und geben die Hauptachsentransformation an. Urn welche FUiche handelt es sich bei q(x) = I?

7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

y

y/~

\ \ \ \

/'~

\

Xl

\1

"

\ \

/'

\ \ \ \ \

\ \ \

Bild 7.67: Hauptachsenrichtungen der Hyperbel aus Beispiel 7.48

Die charakteristische Gleichung det (A - 2E) =

2-A ~J2 1 ifi 3 - 2 ~fi

= - (2 - 4)·(2 - 2)·(2 - 1) = 0

~fi 2-2

1

liefert die Eigenwerte von A, namlich A1 = 4,

A2 = 2

und 23 = 1.

Somit lautet die Hauptachsenform von (7.92): Q(x')=(X,)T.

(

4 0 0) ·x'=4(X')2+2(y')2+(Z')2

020 001

Bei q(x) = 1 handelt es sich folglich urn ein Ellipsoid mit der Hauptachsenform (X')2

(y')2

,

GY+ (~Y+(Z)

2

=1.

325

326

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Zu den Eigenwerten gehoren die (bereits normierten) Eigenvektoren und damit die Richtungen der Hauptachsen

die die gesuchte Hauptachsentransformation 1

-~ 1

liefern. Aufgaben: 1. Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehorigen Eigenvektoren folgender Matrizen: a) A

=( 21

2) 1 ; b) B

=(10

-1) 1; c)

C=(-1 _1

2) 2 .

2. Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehorigen Eigenvektoren folgender symmetrischer Matrizen:

a) A = ( -

d) D = ( -

~ -1~ 1~); -

-

b) B

=

(~ ~ ~);

c) C =

1 1 2

(~ ~ ~). 1 1 0

~ ~ ~ ~). Hinweis: 3 ist Eigenwert von D.

3. Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehorigen Eigenvektoren folgender Matrizen:

a) A =

d) D =

12 1) b)B=(~ ~ ~); C)C=(=~ ~ =~); ( o 1 2 1 012

(

;

2 2

113) 1 0

1

;

e) F =

- 1 1 0

(-3

2

1

-6

6

-2

-: -~). 2

2

4. Gegeben sind die Matrizen

1 0 3 0

-

a) A=

18 3

0

_18 3 0 1 3

1( 2

, b)A=-'

-1

3

2

2 2 -1

~1) 2 . 2

a) Berechnen Sie die reellen Eigenwerte und zugehorigen Eigenvektoren von A. {3) Durch A wird eine Drehung im ~3 beschrieben. Bestimmen Sie die Drehachse und den Drehwinkel.

7.5 Numerisches Verfahren zur Lasung von linearen Gleichungssystemen

327

5. Uberfiihren Sie folgende Matrizen durch eine orthogonale Transformation - falls eine solche existiert - in Diagonalform. Wie lautet gegebenenfalls die Transformationsmatrix T? a) A=

d) D

=

( 2-2) 1-3 3) ( -2

-1

3 6

- 5 3 -6 4

-1 2 0) 2 1 ( o 2 -12 ; 2 2 3) = 0 1 -1 . (012

b) B =

;

;

e) F

c) C =

1 1 0) 1 0 1 ; ( 011

6. Transformieren Sie folgende quadratische Formen auf ihre Hauptachsen und geben Sie die Hauptachsentransformation an. Urn we1che Kurve handelt es sich bei q(x) = a? a) q(x) = 5x 2 - 4xy + 8y 2, b) q(x) = 3x 2 + 2xy + 3y 2, c) q(x) = 4x 2 + 24xy + 11 y 2, d) q(x)=ix 2 -!xy+!y2,

a = 36; a = 8; a = 20; a=1.

7. Transformieren Sie folgende quadratische Formen auf ihre Hauptachsen und geben Sie die Hauptachsentransformation an. Urn we1che FHiche handelt es sich bei q(x) a) q(x)

=

a?

= 2x 2 + 3y 2 + 2z 2 + ..j2xy + ..j2yz + 2xz, a = 4;

b) q(x) = 3x 2 + y2

+ Z2 + ..j2xy + ..j2xz + 4yz,

c) q(x) = x 2 + Z2 + 2xy - 2yz, d) q(x) = 5x 2 + 6y 2 + 5z 2 - 6xz,

a = 8;

aElR (Fallunterscheidung!);

a = 2.

7.5 Numerisches·Verfahren zur Losung von linearen Gleichungssystemen 7.5.1 Probleme bei der numerischen Behandlung

Die Lasung linearer Gleichungssysteme mit dem GauBschen Eliminationsverfahren kann durchaus Probleme aufwerfen, insbesondere dann, wenn sie groB sind (in diesem Fall ist dieses Verfahren im iibrigen wenig geeignet); man muB sie dann naturlich mit einem Rechner lasen. Urn zu verstehen, was hier passiert, mussen wir uns zunachst daruber klar werden, wie im Computer Zahlen gespeichert werden, welche Rundungen dabei auftreten und welche Rechenoperationen der Rundungen wegen problematisch sind. Die meisten Rechner bzw. Programmiersprachen speichern Zahlen intern als Dualzahlen (binar), also ihre Entwicklung nach Zweierpotenzen. Dabei steht allerdings nur eine endliche Zahl von Stellen (SpeicherpHitzen) zur Verfugung. Z.B. ist 37.5625 = 2 5 + 22 + 2° + 2- 1 + 2- 4 , die Dualdarstellung ist daher (100101.1001)2 (der Index 2 deutet an, daB das dual gemeint ist). Ferner ist 10 = 23 + 21 = (1010)2. Die Zahl 0.1 hat die Entwicklung 0.1 = 2- 4

+ 2 - 5 + 2 - 8 + 2- 9 + 2- 12 + 2 - 13 + ...

(7.93)

328

7 Vektoren und ihre Anwendungen

so daB ihre Darstellung im Dualsystem lautet (0.00011001100110011 ... )2.

(7.94)

Wir wollen (7.93) kurz zeigen: Nach der Formel fur die Summe der geometrischen Reihe mit dem Quotienten q = 2 -4 ist die rechte Seite von (7.93) 3 1 (2- 4 +2- 5 ).(1 +2- 4 +2- 8 +2- 12 + ... )=_. =0.1. 321-2- 4 Die Zahl 0.1 hat also im Gegensatz zu 37.5625 eine nicht abbrechende Dualdarstellung, ist also bei endlichem Speicherplatz so nicht exakt zu speichern. Die Zahl wird dariiber hinaus meist in »normalisierte Gleitpunkt-Darstellung« umgeformt, aus der dann die Speicherbelegung folgt. Das heiBt, daB sie als Dualzahl grundsatzlich mit genau einer 1 vor dem Binar-Punkt beginnt. Die Zahl 0.1 aus (7.93) wird so umgeschrieben: 0.1 = [1 + (2 - 1 + 2 - 4 + 2- 5 + 2 - 8 + 2 - 9 + ... )] .2 - 4. Abgespeichert wird dual der in runden Klammern stehende Teil der Mantisse, also die Koeffizienten der Zweierpotenzen: (7.95)

100110011001100·· . und ferner der Exponent, ebenfalls dual, also - 100, weil -4=-2 2 =-(100)2.

(7.96)

Um ein konkretes Beispiel zu haben, nehmen wir die Speicherung in Borland-Turbo-Pascal. Hier stehen fiir Zahlen des Typs REAL 6 Bytes = 48 Bits zur Verfiigung (der Typ SINGLE benutzt 4 Byte, der Typ DOUBLE 8 Byte, EXTENDED 10 Byte). Die zu speichernde Zahl wird (dual) wie folgt in diese 48 Bits geschrieben: Das erste Bit speichert das Vorzeichen (0 fur positiv, 1 fur negativ), die folgenden 39 Bits (7 verbleiben aus dem ersten Byte und 32 aus den Bytes 2 bis 5) enthalten die Mantisse in der oben beschriebenen Weise, das letzte Byte den Exponenten, zu dem vorher 129 addiert wird (dann eriibrigt sich das Abspeichern seines Vorzeichens, er ist dann stets positiv). Die Zahl 0 wird mit lauter 0 in diesem 6. Byte gespeichert, der Inhalt der anderen Bytes ist dann gleichgiiltig. Die oben betrachtete Dezimalzahl 0.1 wird demnach mit dem Exponenten -4 + 129 = 125 = 2 6 + 2 5 + 24 + 2 3 + 2 2 + 2° = (01111101)2

(7.97)

abgespeichert. Die genannten 6 Byte enthalten also Folgendes:

o1

001 100 1 100 1 100 1 100 1 100 1 100 1 100 1 100 1 101 0111110 1

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Byte (fiihrende 0, da 0.1 > 0, dann die Ziffernfolge nach (7.95)) Byte Byte Byte Byte (gerundet, s.u.) Byte (Exponent nach (7.97))

Die letzte 1im 5. Byte miiBte eigentlich 0 lauten, gefolgt von nicht zu speichernden 11001100... Da Borland-Turbo-Pascal rundet, entsteht hier die 1 (es gibt auch das Verfahren, die Zahl abzuschneiden, dann bleibt hier die 0).

7.5 Numerisches Verfahren zur L6sung von linearen Gleichungssystemen

329

Nun wollen wir berechnen, welche Zahl wirklich gespeichert ist: Es handelt sich urn [1

+

(2 -1 + 2 -4 + 2 - 5 + 2 - 8 + 2 -9 + ... + 2 - 36 + 2 - 37 + 2 - 39)J·2 -4 ~ 1.00000000000022737.10- 1 = 0.100000000000022737 (jeweils 12 Nullen zwischen der 1 und der 2), also ist nicht exakt 0.1 gespeichert: 0.1 ist keine »Maschinenzahl«.

Analog tritt ein Fehler auf, wenn etwa der Quotient der (iibrigens exakt gespeicherten) Zahlen x = 1 und y = 10, also 1/10 berechnet wird. Besonders fehleranHillig sind gew6hnlich Divisionen durch Zahlen, die nahe bei 0 liegen sowie die Berechnung der Differenz zweier fast gleichgroBer Zahlen. Als Beispiel berechnen wir die Differenz x - y der Zahlen x = 10000000000024 und y = 10000000000023 (jeweils 11 Nullen) mit den genannten Turbo-Pascal-Rundungen: Die x nachste

:::::~n::z::~~~;~:t::r~:~~~::rO::;a:;::;:::s::s:I~O~Ol06r~~~: :'5:0eo~~ibt sichdie Differenz Die Differenz x - y der Zahlen x = 4.28679 und y = 4.28678 ergibt I.?????· 10- 5. Wenn die nach den notierten Stellen von x oder y folgenden Stellen gerundet sind, sind die mit? markierten Stellen der Differenz unbekannt, die Differenz hat nur eine gesicherte Stelle, also einen groBen relativen Fehler. Die gr6Bte Maschinenzahl, die sich so speichern laBt, ist die Zahl mit der Mantisse m

= 1 + (2 - 1 + 2 - 2 + 2 - 3 + ... + 2 - 39) = 2 - 2 - 39

und dem Exponenten-Byte 2 7 + 2 6 + ...

+ 1 = 255, also dem Exponenten 255 -

129 = 126.

Die Zahllautet m·2 126 ~ 1.70141183460314.10 38 . Bei der zweitgr6Bten fehlt 2 - 39 in der Mantisse, sie lautet etwa 1.70141183460160.10 38 . Die Liicke zwischen ihnen ist 2-39.2126 = 2 87 ~ 1.5.10 26 . Andererseits besteht die kleinste positive Maschinenzahl aus lauter 0 in den Bytes 1 bis 5, das 6. Byte enthalt 1. Die Zahllautet demnach Xl

= (1 + 0).2- 128 ~ 2.93873587705572.10- 39 ,

ihr folgt als nachste Maschinenzahl x 2 = (1

+ 2 - 39)·2 -128 ~ 2.93873587706106.10- 39.

Der Abstand der beiden ist 2-39.2-128 = 2- 167 ~ 5.3.10- 51 . Zwischen 0,

Xl

und

X2

gibt es also keine weitere Maschinenzahl.

Wichtig ist die auf 1 folgende Maschinenzahl:

+ 2 - 39). 2° ~ 1.00000000000182 (11 Nullen). Die kleinste positive Maschinenzahl 8, fiir die 1 + 8 > 1 ist, heiBt Maschinengenauigkeit. Hier ist 12 . Das bedeutet, daB fiir jede Zahl rJ. mit 0 ~ rJ. < 8/2 = 2 -40 gilt 1 + rJ. = 1, fiir 8 = 2 - 39 ~ 1.8.10jede Zahl rJ. mit 8/2 < rJ. ~ 8 gilt 1 + rJ. = 1 + 8. (1

330

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Diese Betrachtungen zeigen insbesondere, daB es nur endlich viele Maschinenzahlen dieses Typs gibt (fur TuftIer: Es sind genau 140187732541440-1 positive Zahlen, ebensoviele negative und die 0), die unregelmaBig verteilt sind. Darunter sind ubrigens aIle ganzen Zahlen von - 240 bis 240 = 1099511627776, die nachste ganze Zahl wird als erste urn 1 nach oben gerundet, ist also keine Maschinenzahl. Eine Folge solcher Rundungen ist z.B. diese: Setzt man z = 0.1 und berechnet x = 10· z - 1 (was so bekommt man als Ergebnis etwa x = 2.2737.10- 13 . Fiir z = 0.25 bekommt man fur 4· z - 1 das exakte Ergebnis 0, der Grund: 0.25, 4 und 1 sind Maschinenzahlen und exakt gespeichert. Rechnungen dieser Art werden bei der Lasung linearer Gleichungssysteme mit dem GauBschen Eliminationsverfahren laufend gemacht: Vielfache einer Gleichung zu einer anderen addieren. Wenn diese Zahl x im Laufe einer umfangreichen Rechnung 10000 Mal zu 1 addiert wird, ist das Resultat exakt 1 (denn 1 + x = 1, da 0 < x < 2- 4°); wird umgekehrt diese Zahl10000 Mal zu sich selbst addiert und erst dann zu 1, so ergibt sich etwa 1.0000000022727 (8 Nullen). Das zeigt, daB z.B. das Kommutativgesetz der Addition fur Maschinenzahlen allgemein nicht gilt. Nun wollen wir zeigen, wo Probleme bei der Lasung linearer Gleichungssysteme mit dem Computer auftreten.

o ist),

Die folgenden Rechnungen wurden mit Borland-Turbo-Pascal und dem oben beschriebenen Typ REAL durchgeftihrt. 1. Wir behandeln beispielhaft folgendes Gleichungssystem Ax = b, wobei 11.0

A=

(

10.0 20.1

13.0)

1;:~ ~~:~ ~~:~ ;:~ 11.0

10.0 20.0

undb=(54.1,44.1,44.0,43.0)T.

2.0

Die Determinante von A ist iibrigens 200. Mit dem GauBschen Eliminationsverfahren berechnet man die Lasung x

=

(1,1,1, l)T.

2. Wir andern die Matrix A dadurch ab, daB all = 10.1 (statt oben 10.0) ist. Deren Determinante ist iibrigens 2.18. Man rechnet nach, daB dieses System die Lasung (entsprechend gerundet) x = (101.82568807,

91.74311926,

-99.91743119,

1.91743119)T.

hat. Obwohl gegenuber dem ersten System nur ein Koeffizient urn 1% geandert wurde, ergibt sich eine vallig andere Lasung - die Anderung der ersten Komponente ist etwa 10000%. 3. Wir andern nun gegenuber dem ersten System nur die rechte Seite ab, und zwar b l = 44.5 (statt 44.1), auch das ist etwa 1%. Das System hat wieder die Deterrninante 200. Dann bekommt man die Lasung x = (- 3.3960, - 2.9564, 5.4000, 0.9600)T, das sind Anderungen von bis zu iiber 500%. 4. Nun andern wir im ersten System beides: all = 10.1 und bl = 43.66. Dann ergibt sich die Lasung (entsprechend gerundet) x = (545.45871559,491.01284403, - 543.95412844, 5.95412844)T, Anderungen gegeniiber der Lasung des Ausgangssystems von bis zu etwa 55000%.

7.5 Numerisches Verfahren zur Lasung von linearen Gleichungssystemen

331

Man sieht hieran, daB kleine Anderungen im System zu vergleichsweise groBen Anderungen der Lasung fiihren kannen. Man nennt solche Systeme schlecht konditioniert. Ein MaB hierfiir ist die »Konditionszahl«, deren Diskussion allerdings iiber die Zielsetzung dieses Buches hinausfiihren wiirde. Sind die Koeffizienten im Ausgangssystem MeBwerte, also nicht die exakten Zahlen, aus denen die Lasung x zu berechnen ist, so zeigen obige Beispiele, daB eine MeBtoleranz von nur 1% zu vallig anderen Resultaten fiihren kann. Ein anderer Aspekt ist der folgende. Man stelle sich ein umfangreiches quadratisches lineares Gleichungssystem mit sagen wir 1000 Gleichungen vor (in technischen Anwendungen kommen Systeme dieser GraBenordnung oft vor). Dieses wird natiirlich im Rechner behandelt, z.B. mit dem GauBschen Eliminationsverfahren (ein hierfiir ungeeignetes Verfahren iibrigens), und es endet nach der Elimination der »Dnbekannten« Xl bis X 996 bei obigem quadratischen (4, 4)-System. Dann wurde, wenn keine Zeilenvertauschungen vorgenommen wurden, der Wert a998 ,998 (hier steht dann die oben kursiv gedruckte 10) 996 mal geandert, indem von ihm Vielfache jeweils dariiber stehender Zahlen, die ebenfalls laufend umgerechnet wurden, subtrahiert worden sind. Bei dieser Vielzahl arithmetischer Operationen werden unvermeidbare Rundungen auftreten. Nehmen wir an, exakt ware das, was unter 1. steht, so daB fiir die Dnbekannten X 97 ' •.. ' x lOOO die richtigen Werte 1, 1, 1, 1 berechnet werden. Ware aber durch diese Vielzahl von Rundungen nur an Stelle der kursiv gedruckten 10 die Zahl 10.1 berechnet worden, so ergaben sich fiir diese Unbekannten eben 101.82568807, 91.74311926,

- 99.91743119,

1.91743119

und fiir die weiteren (mit ihrer Hilfe zu berechnenden) Unbekannten sicher auch Werte, die mit der Lasung des Ausgangssystems iiberhaupt nichts zu tun haben. Wir stellen uns vor, das GauBsche Eliminationsverfahren sollte programmiert werden. Dann wiirde man stets die links oben stehende Zahl zur Elimination der Unbekannten darunter benutzen. Wir machen das mit obigem System Ax = b urn die Problematik zu zeigen. Es lautet zu Beginn 11.00000000 10.00000000 20.10000000 11.00000000 10.00000000 20.10000000 2.00000000 20.00000000 20.00000000 11.00000000 10.00000000 20.00000000

13.00000000 . 54.10000000 3.00000000 44.10000000 2.00000000 44.00000000 2.00000000 43.00000000

Wenn man die oben links stehende Zahl, also 11, zur Elimination der 1. Unbekannten in den Gleichungen darunter benutzt, muB das 11/11-, 2/11- bzw. 11/11-fache dieser ersten Zeile (Gleichung) von der 2., 3. und 4. subtrahiert werden. Es entsteht dann das System (Leerplatze stehen fiir N ullen, die entstanden sind) 11.00000000

10.00000000 0.00000000 18.18181818 0.00000000

20.10000000 0.00000000 16.34545455 - 0.10000000

13.00000000 - 10.00000000 . - 0.36363636 . - 11.00000000 .

54.10000000 - 10.00000000 34.16363636 - 11.10000000

Hier nun versagt das oben angedeutete Verfahren, denn nun steht oben links im zu behandelnden (3,3)-System eine 0 (ist es wirklich 0 oder vielleicht 10- 9 ... ?), sie kann nicht dazu benutzt werden,

332

7 Vektoren und ihre Anwendungen

die nachste Unbekannte in den Gleichungen 3 und 4 zu eliminieren. Hier miissen daher Gleichungen (Zeilen) vertauscht werden, bevor weiter eliminiert werden kann. Wir vertauschen die 2. und 3. Zeile miteinander und bekommen 11.00000000 10.00000000 18.18181818 0.00000000 0.00000000

20.10000000 16.34545455 0.00000000 - 0.10000000

13.00000000 - 0.36363636 - 10.00000000 - 11.00000000

54.10000000 34.16363636 -10.00000000 - 11.10000000

Nun wird mit Hilfe der 2. Gleichung die 2. Unbekannte aus der 3. und 4. Gleichungeliminiert (hier stehen bereits Nullen). Dann bekommt man (in diesem FaIle) das gleiche System: 11.00000000 10.00000000 18.18181818

20.10000000 16.34545455 0.00000000 - 0.10000000

13.00000000 - 0.36363636 -10.00000000 - 11.00000000

54.10000000 34.16363636 -10.00000000 - 11.10000000

Nun muB erneut vertauscht werden, urn eliminieren zu kannen. Man bekommt dann das System 11.00000000 10.00000000 18.18181818

20.10000000 16.34545455 - 0.10000000

13.00000000 - 0.36363636 - 11.00000000 -10.00000000

54.10000000 34.16363636 -11.10000000 - 10.00000000

aus dem riickwarts die Lasung ermittelt werden kann. Probleme treten also dann auf, wenn eine links oben stehende Zahl 0 ist. (Hier sei die Bemerkung gemacht: Wann solI man eine Zahl als 0 betrachten? Durch Rundungen kann hier z.B. wie oben belegt 10- 13 stehen statt 0, wie es sein miiBte; eine Abfrage der Art »wenn ... = 0 dann ... « wiirde zu falschen Folgerungen fiihren.) Hier miissen zwei Gleichungen vertauscht werden. Es wird dann i.a. mehrere Maglichkeiten geben und die Frage ist, welche Gleichung an diese Stelle sollte. Da die Zahl auf der Diagonalen, die zur Elimination benutzt wird, bei dieser Elimination im Nenner auftritt und die Berechnung von Quotienten in dem FaIle, daB der Nenner nahe 0 ist, zu groBen Fehlern fiihren kann, ist es ratsam, diejenige Gleichung an die entsprechende Stelle zu bringen, die die betragsgr6Bte Zahl dort hat, das ist die sogenannte partielle oder Zeilen-Pivot-Wahl. Wir wollen dasselbe System lasen, lediglich mit 10.1 als a 22 , dessen Ausgangssystem also 11.00000000 11.00000000 2.00000000 11.00000000

10.00000000 10.10000000 20.00000000 10.00000000

20.10000000 13.00000000 20.10000000 3.00000000 20.00000000 2.00000000 20.00000000 2.00000000

54.10000000 44.10000000 44.00000000 43.00000000

lautet. Nach dem ersten Eliminationsschritt lautet es 11.00000000 10.00000000 0.10000000 18.18181818 0.00000000

20.10000000 0.00000000 16.34545455 - 0.10000000

13.00000000 - 10.00000000 - 0.36363636 - 11.00000000

54.10000000 - 10.00000000 34.16363636 - 11.10000000

Hier miiBte die Zahl 0.1 zur Elimination benutzt werden, also das 18.18181818jO.1-fache der

7.5 Numerisches Verfahren zur Lasung von linearen Gleichungssystemen

333

zweiten Gleichung von der dritten subtrahiert werden; der Nenner liegt nahe o. Deshalb ist es verniinftig, auch in diesem Fall die betragsgraBte Zahl in der zweiten Spalte in den Zeilen 2 bis 4 zur Elimination zu benutzen, also 18.18181818, die Zeilen 2 und 3 zu vertauschen. Dann bekommt man nach Elimination das System 11.00000000 10.00000000 18.18181818

20.10000000 16.34545455 - 0.08990000 - 0.10000000

13.00000000 - 0.36363636 - 9.99800000 - 11.00000000

54.10000000 34.16363636 - 10.18790000 - 11.10000000

Auch hier wird man der genannten Strategie folgend Zeile 3 mit 4 vertauschen. Nach dem folgenden Eliminationsschritt entsteht dann das System 11.00000000 10.00000000 18.18181818

20.10000000 16.34545455 - 0.10000000

13.00000000 - 0.36363636 - 11.00000000 - 0.10900000

54.10000000 34.16363636 - 11.10000000 - 0.20900000

mit der oben angegebenen Lasung (101.82568807, 91.74311926, - 99.91743119, 1.91743119)T. Der Vollstandigkeit halber geben wir noch das SchluBsystem an, das sich aus dem unter 4. genannten nach Elimination ergibt (a 22 in 10.1 und b2 in 43.66 geandert): 11.00000000 10.00000000 18.18181818

20.10000000 16.34545455 - 0.10000000

13.00000000 - 0.36363636 - 11.00000000 - 0.10900000

54.10000000 34.16363636 - 11.10000000 - 0.64900000

mit der oben bereits genannten Lasung x

= (545.45871559,491.01284403, - 543.95412844,5.95412844)T.

7.5.2 Der QR-Algorithmus Bei der numerischen Lasung von linearen Gleichungssystemen gibt es vor aHem zwei Schwierigkeiten: -die in Abschnitt 7.5.1 bereits angesprochene schlechte Konditioniertheit und -den EinfluB der Abbruchfehler und ihre Fortpflanzung bei der Rechnung. Wie sich Abbruchfehler beim GauBschen Eliminationsverfahren auswirken kannen, soIl an einem speziellen (2, 2)-System demonstriert werden. Dazu nehmen wir an, das System 0.0002x + y = 0.3 x+y=l

werde mit einem Rechner gelost, der alle Zahlen auf drei Ziffern genau darstellt: 0.000200x + 1.00y = 0.300 1.00x + 1.00y = 1.00.

Nach dem GauBschen Verfahren wird die erste Gleichung mit 5000 multipliziert und das Ergebnis

334

7 Vektoren und ihre Anwendungen

noch zusatzlich von der zweiten Gleichung abgezogen; 1.00x + 5000y = 1500 - 5000y = - 1500. Statt - 4999 wird - 5000 und statt - 1499 wird - 1500 im Rechner abgelegt. Als Lasung erhalt man dann in diesem Rechner y = 0.300 aus der zweiten Gleichung und danach x = aaus der ersten Gleichung. Wie die Probe zeigt ist dies nicht die Lasung des ursprunglichen Systems. Was ist passiert? Kann man sich das veranschaulichen?

Zu diesem Zweck deuten wir das System als Zerlegung einer Resultierenden (des Vektors der rechten Seite) in zwei Richtungen XVI + yV2 = wobei die rechte Seite des Systems ist, also

r,

--7

VI

=

(0.0002) 1

'

v2 =

--7

(1) 1

r

und r--7 = (0.3) 1 .

Wie Bild 7.68 zeigt, gilt hier noch die richtige Lasung x = 0.7, y = 0.3. Nach Multiplikation der ersten Komponente mit 5000 ist das zugeharige Bild 7.69 so breit, daB man es nur noch im Prinzip andeuten kann: die vertikalen Anteile sind winzig, und im Rahmen der Genauigkeit gilt: Die Resultierende ist das 0,3-fache des zweiten Vektors. 2. Komp.

'U2 1

VI 0.7

1. Konlp. 0.3

1

Bild 7.68: System vor dem GauB-Schritt

2. Konlp.

1000

'U2 1500

1. Kornp.

5000

Bild 7.69: System nach dem GauB-Schritt

Die Ursache fur diesen Fehler ist offenbar die enorme Anderung der Vektoren in ihrer Lange. Es gibt nun zwei einfache Moglichkeiten, ahnlich wie beim GauBschen Verfahren, in einer Spalte aIle Komponenten bis auf eine zu Null zu machen, ohne die Lasungen und die Lange der Vektoren zu verandern. Wir wollen diese Maglichkeiten im 2-Dimensionalen, also an einem

7.5 Numerisches Verfahren zur Lasung von linearen Gleichungssystemen

335

Bild 7.70: Drehung der Vektoren

(2,2)-System erHiutern: 3x + y = 5 4x+5y=3. Bild 7.70 zeigt als erste Maglichkeit: die Drehung aller Vektoren urn einen solchen Winkel, daB der erste Vektor auf die erste Koordinatenachse zu liegen kommt. Die gesamte Zerlegung wird dann lediglich urn diesen Winkel gedreht, die Faktoren x und y werden nicht verandert. Zeigt ein Vektor in Richtung der ersten Koordinatenachse, so ist seine erste Komponente ungleich Null, aber alle anderen verschwinden. Den gleichen Effekt in der ersten Spalte des Systems erreicht man aber auch mit Hilfe einer Spiegelung, wie Bild 7.71 zeigt. Die Spiegelachse (im 3-Dimensionalen die Spiegelebene) muB so 2. KOlnp.

\

\ Spiegelachse

Bild 7.71: Spiegelung der Vektoren

336

7 Vektoren und ihre Anwendungen

gelegt werden, daB das Spiegelbild des ersten Vektors wieder auf die erste Koordinatenachse zu liegen kommt. Dies Verfahren ist mit einfacheren Formeln zu beschreiben als die Drehung. Zunachst wird die Lange des ersten Vektors v lalt bestimmt und auf der ersten Koordinatenachse als vlneu abgetragen. Dafur gibt es zwei Moglichkeiten. Wir wahlen diejenige, die einer Drehung urn den stumpfen Winkel entspricht. Der Grund fur diese Wahl besteht darin, daB sogleich danach der Verbindungsvektor u = V lait - V lneu gebildet wird, urn die Richtung der Spiegelung zu erhalten und im anderen Fall eventuell beim Subtrahieren von nahezu gleich groBen Zahlen eine Ausloschung von Ziffern entsteht. In der Praxis ist das ganz einfach: Die Vorzeichen der ersten Komponente von V lalt und v lneu sind stets unterschiedlich. Sollte der Wert der ersten Komponente des ersten Vektors zufallig Null sein, besteht die Gefahr einer Ausloschung nicht, und man kann nach links oder rechts drehen. 1m Beispiel gilt:

IVI.1t1 = )3 2 + 4 2 = 5, vlneu = ( -

~)

u=G)-( -~)=G) Sodann werden alle alten Spaltenvektoren sowie auch der Vektor der rechten Seiten auf die gleiche Weise behandelt. Das Vorgehen solI anhand von Bild 7.72 erlautert werden.

\ Spiegelachse \

\ \

\ \ Bild 7.72: Richtung der Spiegelung

Offenbar hat die Verbindung des alten Vektors valt mit dem neuen Vektor vneu eine Lange, die dem Doppelten der Projektion von valt aufu entspricht. Nach Bild 7.72 ist das 2(valtuO)uo. Fur alle Spalten-Vektoren und auch fur den Vektor der rechten Seite gilt damit die Transformationsvorschrift ~eu

= valt - 2(V:ltu O)uo.

Fur unser Beispiel bedeutet das mit -0

1(8) 1(2)

u=J804=J51:

7.5 Numerisches Verfahren zur Lasung von linearen Gleichungssystemen

337

Aus dem System

= (5)*- (5) _ 2 G)G)(2) = (- 5,4) (43)x + (l)y 5 3 3 ) 5)5 1 - 2,2

L

G )G)(2)=(-4'6) J5J5 2,2

(1)_2 5

1

wird das gestaffelte System

Dieses kann man beginnend mit der letzten Gleichung mittels »Riickwartssubstitution« lasen: y=

-

1 und x = 2.

Ein weiteres Beispiel solI unser Wissen tiber das allgemeine Vorgehen bei diesem Lasungsverfahren festigen: x

+ 6y -

2z = 5

2x + 3y + 2z = 7 2x+2y- Z= 3.

In einem ersten Schritt wird daftir gesorgt, daB in der ersten Spalte die zweite und dritte Komponente Null sind. Dann bilden die »unteren« zwei Gleichungen ein (2,2)-System, das wie das vorige Beispiel weiter behandelt wird.

Die der Spiegelung entsprechenden Transformationen liefern dann:

j

_;)_ 2· (

-1

(~:) (~)= (_;)+ (~)= (~) (:)

)6)6

1

-1

1

0G 1) (2 x 2

)G)(2) + (6) 3 y + (-2) 2 z = (5) 7 *- (5) 7 - 2 )) 1 = (5) 7 - 20(2) - 1 = (-25/3) 1/3 2 - 1 3 3 6 6 1 3 3 1 - 11/3

1

(~)_ 2· )6)6 a)(:)(~)= (~)_17(~)=( -~~~~) 2

1

2

3

1

-11/3

0

338

7 Vektoren und ihre Anwendungen

Das Ergebnis ist das System

°

-3) (

x

+

o

(-16/3) (-25/3) - 8/3 y + (0) 3 z= 1/3, - 11/3 -11/3

°

in dem die letzten beiden Gleichungen ein (2,2)-System bilden, das wie im vorigen Beispiel weiter behandelt werden kann. Bemerkungen:

1. Die obige Rechnung nennt man einen QR-Schritt. Aus einem (n, n)-System wird durch einen ersten QR-Schritt ein (n -1, n - I)-System. Ein zweiter QR-Schritt fiihrt auf ein (n - 2, n - 2)-System, und nach n - 1 Schritten erhalt man auf diese Weise eine einzelne Gleichung mit einer Unbekannten. 2. Die oberste Gleichung eines jeden neu berechneten Systems wird fiir die weitere Bestimmung der Losungen nicht benotigt und braucht nicht berechnet zu werden. 3. Der Name »QR-Algorithmus« beruht auf der Beschreibung des Vorgehens in Matrizenform. Dabei wird namlich die Koeffizientenmatrix zerlegt in ein Produkt aus einer orthonormalen quadratischen Matrix Q und einer rechten oberen Dreiecks-Matrix R.

Aufgaben: 1. Lose das folgende System nach dem QR-Verfahren: 6x+2y= 10 8x+3y 13 2. Fuhre einen Schritt des QR-Verfahrens zur Losung des nachstehenden Systems aus: 4x+2y-3z= 3 2x- y +2z = 2 -4x + 3y +2z = -12

8

Differentialrechnung

8.1 Begriff der Ableitung Die Differentialrechnung wurde fast gleichzeitig von Newton und Leibniz unabhangig voneinander Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt. Mit den Methoden der Differentialrechnung laBt sich z.B. die Steigung einer (glatten) Kurve definieren und berechnen. Wir wollen dieses geometrische Problem zur Einfuhrung benutzen.

8.1.1 Steigung einer Kurve Urn die Steigung einer Kurve zu definieren, liegt es nahe, auf den bereits bekannten Begriff der Steigung einer Geraden zuruckzugreifen. Wir werden daher den Anstieg einer Kurve mit Hilfe der Tangente erkUiren. Anschaulich ist klar, was wir unter der Tangente verstehen. Fur die Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel) ist dieser Begriff bereits definiert. Wir wollen nun die Tangente im Punkt P fur eine beliebige Kurve definieren und zwar als Grenzlage der Sekanten, die alle durch den Punkt P dieser Kurve gehen.

y 5

I

I I

f(xo+ h)-f(xo) I

I

Q

t

Dazu betrachten wir den Graphen k einer auf (a, b) definierten Funktion f. 1m Punkt P(x o, f(x o)), xoE(a, b), wollen wir die Tangente t an k bestimmen. Dazu wahlen wir auf k einen Nachbarpunkt Q(x o + h, f(x o + h)), hElR\{O} (vgl. Bild 8.1). Da QEk ist, sind fur h nur solche Werte zugelassen, fur die a < X o + h < b ist. Die Bedingung h #- 0 ist notwendig, damit Q #- P ist.

Bild 8.1: Tangente als Grenzlage der Sekante s

1st h negativ, so ist die Abszisse von Q kleiner als die von P, d.h. Q liegt dann links von P. Durch P und Q ist die Sekante s festgelegt. Die Steigung m s dieser Sekante ist f(x o + h) - f(x )

o m ==-s h ----

(8.1)

Fur h gegen Null nahert sich der Punkt Q (falls f in X o stetig ist) auf k dem Punkt P. Die Sekante s dreht sich dabei urn den Punkt P.

340

8 Differentialrechnung

Wir bezeichnen die Gerade t, die durch den Punkt P verHiuft und die Steigung mt

· I' f(x o + h) - f(x o) = IImm s = 1m h~O

h~O

h

(8.2)

besitzt (falls dieser Grenzwert existiert) als Tangente an k durch P. Existiert der Grenzwert (8.2) nicht, so besitzt die Kurve k in P entweder eine senkrechte Tangente oder keine. Keine Tangente besitzt k in P z.B. dann, wenn k im Punkte Peine »Ecke« hat, die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte (h i 0 bzw. h 10) von (8.2) also verschieden sind. Als Steigung der Kurve in P bezeichnet man die Steigung ihrer Tangente in P. Beispiel 8.1 Wir wollen die Steigung des Graphen der Funktion f: x ~~X2 im Punkt P(x o, ~x~) bestimmen. Es ist P(x o, ~x~) und Q(x o + h, ~(xo + h)2). Flir die Steigung ms der Sekante ergibt sich: ~(xo

ms =

+ h)2 -~x~ h

=

~hxo

+¥

h

2

h

=3 xo +3'

(2 h) 2

woraus m t = lim m s = lim -x o + - = -x o folgt. h~O h~O 3 3 3 Mit diesem Ergebnis kannen einige Eigenschaften des Graphen k von f festgestellt werden. So hat z.B. die Kurve k nur eine Stelle mit einer waagrechten Tangente, namlich an der Stelle Null (also im Ursprung). Eine weitere Aussage kannen wir liber die Kurve k machen: Flir x o > 0 ist die Steigung stets positiv, flir x o < 0 stets negative

8.1.2 Definition der Ableitung

Wie weiter unten an Beispielen gezeigt wird, tritt der Grenzwert (8.2) in den Naturwissenschaften haufig auf. Oft lassen sich physikalische GraBen (wie z.B. die Geschwindigkeit) nur mit Hilfe eines Grenzwertes der Form (8.2) erklaren. Daher wird diesem Grenzwert ein Name gegeben. Dazu folgende Definition 8.1

f sei auf einer Umgebung U(x o) definiert. f heiBt differenzierbar in X o, wenn der Grenzwert . f(x o + h) - f(x o) hm

h~O

h

(8.3)

existiert. Dieser Grenzwert heiBt Ableitung von f an der Stelle X o oder Differentialquotient von f an der Stelle X o.

Schreibweise: f'(x o)'

8.1 Begriff der Ableitung

341

Bemerkungen: 1. Der Grenzwert (8.3) existiert heiBt: zu jedem

f(xo

+ h) -

I

h

f(x o)

E> 0

gibt es ein 6> 0, so daB

I .. . - f'(x o) < c fur aIle h mIt 0 < Ihl < 6.

2. Das Berechnen des Grenzwertes (8.3) nennt man Differenzieren. 3. Der Name Differentialquotient wird spater (in Abschnitt 8.4) begrundet. 4. Fur die Ableitung von

f an der Stelle X o gibt es verschiedene Schreibweisen:

f ,(x o) = -dfl = (-df ) = D f(x o)' dx X=Xo dx X=Xo

(Lies: »f-Strich von x o«, »df nach dx fur x = x o«, »d nach dx von f an der Stelle x o«, »Derivierte von f in x o«.) Die erste Schreibweise stammt von Lagrange, die beiden folgenden gehen auf Leibniz zuruck. D f(x o) wird insbesondere in der englischen Literatur benutzt und wurde von Cauchy eingefuhrt. Newton verwendete eine Schreibweise, die der Lagrangeschen Schreibweise ahnlich ist. Statt des Striches machte Newton einen Punkt. Diese Schreibweise ist auch heute noch ublich, und zwar hauptsachlich dann, wenn die unabhangige Variable die Zeit t ist. 1st z.B. s = s(t) eine Weg-Zeit-Funktion, so bedeutet s(to) die Ableitung von s zur Zeit t = to, d.h. . . s(to + h) - s(to) . s(to) = hm - - - - h~O h 5. Statt h wird oft auch x - Xo geschrieben. Aus h = x - Xo folgt Xo + h = x. Dem Grenziibergang h-+O entspricht der Grenzubergang X-+X o. Damit erhalten wir f'(x ) = lim f(x o + h) - f(x o) = lim f(x) - f(x o). o h~O h x~xo x-x o

(8.4)

Auf der rechten Seite von (8.4) steht im Zahler die Differenz der Ordinaten und im Nenner die Differenz der Abszissen der Punkte (x,f(x)) und (xo,f(x o)). Urn die Differenz auszudriicken, verwendet man auch die Schreibweise df = f(x) - f(x o) und dx = x - X o' Damit ist die Ableitung von f an der Stelle X o der Grenzwert des Differenzenquotienten i1

f , d.h. es gilt auch

dx

f'(x o) = lim i1f. h~O dx

Diese Schreibweise hat den Nachteil, daB auf der rechten Seite der Gleichung nicht mehr die Abhangigkeit von X o zu sehen ist. Einige Beispiele sollen Definition 8.1 erHiutern. Beispiel 8.2 Die Ableitung der auf [R definierten Funktion f: X o E [R bestimmt werden.

XH

f(x)

=

2x 3 solI an einer beliebigen Stelle

342

8 Differentialrechnung

Fur alle

X o E [R

und a11e h -# 0 gilt

f(x o + h) - f(x o)

2(x o + h)3 - 2x~

h

h

Die rechte Seite ist (beziiglich h) eine ganzrationale Funktion, die auf ganz ~ definiert ist, der Grenzwert rur h ----7 0 existiert daher und stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle Null (h = 0) uberein, wir erhalten f'(x o) = lim (6x~ + 6x oh + 2h 2 ) = 6x~. h---'>O Die Funktion f hat fur a11e

X o E [R

eine Ableitung und es ist f'(x o) = 6x~.

Beispiel 8.3 Fur die Funktion f: xr-+ f(x) = x~b mit Df = [R\{b} solI die Ableitung an einer beliebigen Stelle xoED I angegeben werden. Wir erhalten __ a a_ -ah a f'(x ) = lim (Xo+h)-b x o -b=lim _ o h---'>O h h---'>oh(xo+h-b)·(xo-b) Auch diese Funktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar. Die Funktionen in den Beispielen 8.2 und 8.3 haben die Eigenschaft, in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs differenzierbar zu seine Durch den ProzeB des Differenzierens erhielten wir aus der Funktion f eine neue Funktion. Das gibt AnlaB zu folgender Definition 8.2

Es sei f: D Ir-+ [R und DI' = {x I xEDf und f'(x) existiert}. Dann heiBt die Funktion f': Dfl ---+ [R mit xr-+ f'(x) die (erste) Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von f. Bemerkungen: 1. 1st y = f(x), so schreibt man y/ = f'(x).

2. 1st f auf Df definiert und dort stetig, so erhalten wir die Ableitung f' (falls sie existiert) von f durch

f':

XH f'(x) =

lim f(x h---'>O

+ h) -

f(x).

(8.5)

h

Der Definitionsbereich Dfl von f' ist dabei die Menge aller xEDf , fur die der Grenzwert (8.5) existiert. Beispiel 8.4 Es sei nEN und aE[R\{O}. Gesucht ist die Ableitungsfunktion f' der auf f: xr-+ f(x) = ax n . Urn f'(x o) zu bestimmen, wahlen wir die rechte Seite von Form (8.4): f

'(

)

Xo

1·

= 1m X---'>Xo

n

n

f(x) - f(x o) 1· ax - ax~ 1. a(x - x~) = 1m = 1m . x-x o X---'>Xo x-x o X---'>Xo x-x o

[R

stetigen Funktion

8.1 Begriff der Ableitung

343

= (x - xo)(x n- 1 + x n- 2 x o + ... + XX~-2 + X~-l) (s.(1.32)) erhalten wir: f'(x o) = lim a'(x n- 1 + x n- 2 x o + ... + XX~-2 + X~-l) = anx~-l.

Wegen

xn_x~

X~Xo

Dieser Grenzwert existiert fur alle X o E [R. Ergebnis: Die Funktion f: X 1---+ f(x) = ax nmit aE [R und nE N ist fur jedes XE [R differenzierbar, und es gilt f':

X 1---+

f'(x) = anx n- 1

fur alle

XE[R.

Beispiel 8.4 ermoglicht es uns, die Ableitung einer Potenzfunktion mit naturlichem Exponenten zu bestimmen. Der konstante Faktor a wird mit dem Exponenten multipliziert, den ursprunglichen Exponenten hat man urn eins zu erniedrigen. Beispiel 8.5 f(x) = 5x 2 => f': b) f: X 1---+ f(x) = 8x 7 => f': a) f:

X 1---+

X 1---+

X 1---+

f'(x) = lOx; f'(x) = 56x 6 .

Nach Definition 8.2 ist der Definitionsbereich DI' von f' eine Teilmenge des Definitionsbereiches f (D I' cD I)' In Beispiel 8.4 war, D I' = D I = [R. DaB D I' eine echte Teilmenge von D I sein kann, solI folgendes Beispiel zeigen.

D I von

Beispiel 8.6 1st die auf [R stetige Funktion f:

X 1---+

f(x) = Ix I fur alle

XE [R

differenzierbar?

Erinnern wir uns an den Graphen von f (Bild 2.6, Seite 29) und an die geometrische Interpretation der Ableitung, so ist anschaulich klar, daB f an der Stelle Null keine Ableitung besitzt. In der Tat, wegen f(x) =

Ixl =

{_~

fur x> 0 fur x = 0 fur x < 0

erhalten wir fur x = 0:

+ h) -

+ h) -

. - h- 0 =hm = -1. hlO h hlO h ' hiD h hiD h Die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle Null stimmen nicht uberein, d.h. der Grenzwert fur h ~ 0 existiert nicht. fist daher an der Stelle Null nicht differenzierbar. Fur x > 0 ergibt sich: . f(O hm

f'(x) = lim

f(O)

. h- 0 =hm--= 1

(x + h) - x

h~O

h

. f(O hm

= 1 und fur x < O:f'(x) = lim

h~O

Null ist somit die einzige Stelle, an welcher Ergebnis: Die Funktion f: f':

X 1---+ f'(x)

oder f'(x) = -

x

Ixl

I = { -1

f(O)

X 1---+

f(x) =

- (x + h) - ( - x) h

f nicht differenzierbar ist.

Ixl mit D1= [R hat die Ableitung

fur x> 0 fur x < 0 mit

oder f'(x) = sgn x fur alle

Dr =

[R\ {O}

XE [R\ {O}.

= - 1.

344

8 Differentialrechnung

8.1.3 Einseitige und uneigentliche Ableitungen Wie Beispiel 8.6 gezeigt hat, ist es zweckmaBig, einseitige Grenzwerte zu betrachten. Definition 8.3 Es sei 6 > 0 und f auf [x o, x o + 6) definiert. f besitzt an der Stelle x o die rechtsseitige Ableitung oder fist an der Stelle x o rechtsseitig ditferenzierbar, wenn der rechtsseitige Grenzwert

. f(xo + h) - f(x ) 11 m - - - - - oexistiert. Schreibweise:

(8.6)

h

hlO

f: (x o)·

Bemerkung:

Entsprechend wird die Iinksseitige Ableitung definiert:

{"( ) _ 1. )z

xo -

1m

hiO

f(x o + h) - f(x o) h

Beispiel 8.7 Fur die Funktion f:

xr--+ f(x) = Ixl (x 2 + 1)

sollen an der Stelle Null die rechts- und linksseitige Ableitung bestimmt werden. Wir erhalten:

f;(O) f

=

lim f(h) - f(O) hlO h

. h(h 2 + 1) =hm---

h

hlO

= lim (h + 1) = 1, 2

hlO

fr'(O) = lim f(h) - f(O) hiO h

x Bild 8.2: Rechts- und linksseitige Ableitung

. - h(h 2 + 1) =hm---2

= lim (- h hiO

Der Graph von

f

h

hiO

hat (vgl. Bild 8.2) an der Stelle Null einen Knick.

-

1) = - 1.

8.1 Begriff der Ableitung

345

Beispiel 8.8 Gesucht ist die rechts- und linksseitige Ableitung an der Stelle Null der auf IR stetigen Funktion

f:x~0· Wir erhalten: 1'(0) = lim r

f(h) - f(O)

hlO

'"

h

Vh = lim

= lim hlO

h

1 3 /

hlO ; ;

h2

•

Dieser Grenzwert existiert nicht. Fur h ~ 0 hat man jedoch bestimmte

Diver~enz.

Vh = lichen Sinn existiert der Grenzwert. Symbolisch schreiben wir: f; (0) = lim hlO

Vh

Analog erhalten wir f;(O) = lim- = hiO

1m uneigent-

00.

h

00.

h

Beachte: Fur h < 0 ist sowohl der Zahler als auch der Nenner negativ, so daB der uneigentliche Grenzwert auch fur die linksseitige Ableitung + 00 ist. Anhand von Bild 8.3 kann der uneigentliche Grenzwert fur die Ableitung geometrisch interpretiert werden. Die Steigung des Graphen von fist an der Stelle Null unendlich, d.h. die Tangente an den Graphen von fist dort parallel zur y-Achse.

y

-1

x

-1 Bild8.4: Graph von!:xHM

Bild 8.3: Graph von !:xH0

Beispiel 8.9 An der Stelle Null sollen die links- und rechtsseitigen Ableitungen der auf ~ stetigen Funktionf:

x~J~ bestimmt werden.

~

Wir erhalten: 1;(0) = lim Jh = lim = hlO h hlO V h

00,

1;(0) = lim Jlhl hiO h

=-

00.

Beachte: Der Zahler ist fur h < 0 (h i 0) stets positiv, der Nenner stets negative

346

8 Differentialrechnung

Bemerkung: In den Beispielen 8.8 und 8.9 existieren die einseitigen Ableitungen an der Stelle Null nur im uneigentlichen Sinn. Geometrisch HiBt sich dieser Sachverhalt als senkrechte Tangente (Tangente parallel zur y-Achse) deuten. Wahrend in Beispiel 8.7 die rechts- und linksseitige Ableitung + 00 ist, wechseln in Beispiel 8.9 die einseitigen Ableitungen ihr Vorzeichen. In Bild 8.3 und 8.4 sind die Graphen der Funktionen der Beispiele 8.8 und 8.9 dargestellt. Wie man sieht haben beide Graphen an der Stelle Null eine senkrechte Tangente. Der Graph von Beispiel 8.8 ist an der Stelle Null jedoch »glatt«, wohingegen der Graph von Beispiel 8.9 an der Stelle Null eine »Spitze« hat.

Definition 8.4

Es sei 6 > 0 und f auf [xo, X o + 6) definiert. uneigentliche Ableitung, wenn der Grenzwert

f besitzt an der Stelle

. f(x o + h) - f(x o) hm-----hlO h

Xo

eine rechtsseitige

(8.7)

nur im uneigentlichen Sinn existiert, d.h. wenn der Ausdruck (8.7) bestimmt divergent ist.

Bemerkungen: 1. Entsprechend wird die linksseitige uneigentliche Ableitung definiert.

2. 1st f i' (x o) = + 00 und f;(x o) = + 00, so sagt man, f besitze die uneigentliche Ableitung 00, ohne jedoch f an dieser Stelle differenzierbar zu nennen. So hat f von Beispiel 8.8 an der Stelle Null eine uneigentliche Ableitung, wohingegen f von Beispiel 8.9 an der Stelle Null keine uneigentliche Ableitung besitzt. Beide Funktionen sind jedoch an der Stelle Null nicht differenzierbar. Zum SchluB sei noch ein Beispiel einer Funktion gegeben, die an der Stelle Null weder eine einseitige noch eine einseitige uneigentliche Ableitung besitzt. Beispiel 8.10 . . ist an der Stelle Null stetIg, da lim x SIn ~ = 0 fur x = 0 x-o und f(O) = 0 ist. f besitzt jedoch an der Stelle Null weder eine einseitige noch eine einseitige uneigentliche Ableitung. Fur den Differenzenquotienten an der Stelle Null erhalten wir namlich: Die Funktion f: x~ f(x) = {

f(O

+ h) -

f(O)

h· sin h

x. sin 1

fur x#-O

x..

o

* .

1 h

- - - - - - = - - - = SIn -. h

(*)

Wie in Beispiel 4.15 gezeigt wurde, ist (*) fur h --+ 0 unbestimmt divergent. Die einseitigen uneigentlichen Ableitungen an der Stelle Null existieren deshalb nicht.

8.1 Begriff der Ableitung

347

Zusammenfassung: Es sei X o = O. Beispiel

I'(x o) existiert

I:X~X2

I; (x o) existiert I{ (x o) existiert I;(x o) #- I~(xo)

l:x~lxl

Graph

~

1'(0) = 0

~

I{(O) = -1 1;(0) = 1

An der Stelle X o existiert die uneigentliche Ableitung

1 besitzt die einseitigen uneigentlichen Ableitungen an der Stelle Xo. Die einseitigen und die einseitigen uneigentlichen Ableitungen existieren nicht

l:x~V~ I{(O) = 00 1;(0) = 00

¥ -1

~

l:x~J~

I{(O) = - 00 1;(0) = 00 I(x) =

{x'Sin

l

;

y

fur x#-O fur x = 0

\\: lI1 4\V

1~(O)und I; (0) existieren nicht

~x

Bislang kennen wir nur den Begriff der Differenzierbarkeit an einer Stelle. Folgende Definition erkHirt den Begriff der Differenzierbarkeit auf einem Intervall.

Definition 8.5 1 heiBt differenzierbar auf (a, b), falls 1 an jeder Stelle xoE(a, b) differenzierbar ist; 1 heiBt differenzierbar auf [a, b], falls 1 auf (a, b) differenzierbar ist und in a die rechtsseitige und in b die linksseitige Ableitung existieren. Beispiel 8.11 Die Funktion I:

x~ I(x)

= ax n mit aE lR,

nE N,

ist auf lR differenzierbar (s. Beispiel 8.4).

Beispiel 8.12 1st die Funktion I: x~ I(x) = xJ~ auf Df = [0, (0) differenzierbar? Fur x> 0 folgt:

f'(x) = lim (x + h)J~ - xJ-;; = lim (x + h)3 - x = ~ = ~J-;;. h~O h h~O h[(x + h)~ + x~] 2x~ 2 3

348

8 Differentialreehnung

An der Stelle 0 existiert aufgrund des Definitionsbereiehs von f nur die reehtsseitige Ableitung, hjh-O f; (0) == lim == lim h == o. fist daher auf [0, 00) differenzierbar. hlO

h

hlO

J

Der folgende Satz zeigt, daB die Differenzierbarkeit von Funktionen eine sHirkere Einsehdinkung als die der Stetigkeit ist. Satz 8.1

Bemerkungen: 1. Die Umkehrung dieses Satzes gilt i.a. nieht. Die Funktion f:

x~lxl

ist an der Stelle 0 stetig,

jedoeh dort nieht differenzierbar (s. Beispiel 8.6). 2. N aeh diesem Satz ist die Stetigkeit von .f in X o eine notwendige Bedingung fur die Differenzierbarkeit von f an der Stelle Xo' 1st f an der Stelle X o nieht stetig, so ist f aueh nieht differenzierbar in X o'

Beweis von Satz 8.1 : . b dh d G l' f(x o + h) - f(x o) eX1stlert .. . . an d er Ste 11e X d'ffi f 1st un d 1st o 1 erenz1er ar, . . er renzwert 1m h~O h gleieh f'(x o). Wir haben zu zeigen, daB lim f(x o + h) == f(x o) gilt, d.h. daB lim (f(x o + h) - f(x o)) == h~O

h~O

o ist. Wir erhalten: . . f(x o + h) - f(x o) hm (f(x o + h) - f(x o)) == hm . h == f'(x o)' 0 == 0 h~O h~O h

•

8.1.4 Anwendungen der Ableitung in den Naturwissenschaften

Der Ableitung kommt dureh versehiedenartige Deutungen in den naturwissensehaftliehen Disziplinen eine groBe Bedeutung zu. Viele Begriffe konnen z.B. in der Physik, Elektroteehnik, Chemie usw. nur mit Hilfe eines Grenzwertes, der dem der Ableitung entsprieht, exakt definiert werden. Einige Beispiele sollen dies aufzeigen. a) Gesehwindigkeit als Ableitung der Weg- Zeit-Funktion Die Gesehwindigkeit v wird als der pro Zeiteinheit zuruekgelegte Weg s definiert. Bewegt sieh eine Masse m geradlinig und gleiehformig (d.h. m andert seine Riehtung nieht und durehlauft in

s

gleiehen Zeitabstanden gleiehe Wegstreeken), so erhalt man als Gesehwindigkeit v == -, wobei s der in der Zeit t zuruekgelegte Weg ist. t Wir betraehten nun den Fall, daB die Masse

m

sieh nieht gleiehformig bewegt.

1st s == f(t), tE[tl' tzJ, die zu m gehorende Weg-Zeit-Funktion, so konnen wir die Gesehwindigkeit von m im Zeitpunkt toE(t l , t z ) wie folgt ermitteln:

8.1 Begriff der Ableitung

349

Zum Zeitpunkt to hat m die Strecke f(to) durchlaufen, zum Zeitpunkt to + ~t die Strecke f(t o + ~t). Wahrend der Zeit ~t hat m somit den Weg f(to + ~t) - f(to) zurtickgelegt. Der '~ . f(t o + i1t) - f(to).1St d a h er d'Ie mItt . Iere G esc h' . von m wa"h ren d des D111erenzenquotIent WIn d'19k e1t ~t

°

°

Zeitintervalls [to, to + i1tJ, falls ~t > bzw. [to + ~t, toJ, falls i1t < ist. Je kleiner I~tl gewahlt wird, urn so besser wird man die Geschwindigkeit von m im Zeitpunkt to erhalten. Es liegt daher nahe, die Geschwindigkeit v zur Zeit to als Grenzwert . f(to + i1t) -f(to) v(to) = hm - - - - - At-+O

(8.8)

~t

zu definieren. Auf der rechten Seite von (8.8) steht die Ableitung von f an der Stelle to, so daB wir v(to) = f'(to) erhalten. Wie schon in Abschnitt 8.1.2 erwahnt wurde, wird die Ableitung nach der Zeit t durch einen Punkt gekennzeichnet. Die Weg-Zeit-Funktion wird oft auch in der Form ds s = s(t) geschrieben. Beriicksichtigen wir diese Schreibweise, so ergibt sich v(t) = - = s(t). Die dt Ableitung der Weg-Zeit-Funktion s nach der Zeit t ergibt die Geschwindigkeit-Zeit- Funktion. Ebenso kann man zeigen, daB die Ableitung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion die Beschleunigung-Zeit-Funktion ergibt. Beispiel 8.13 Beim freien Fall (ohne Reibung) Iautet die Weg-Zeit-Funktion s = ~ Erdbeschieunigung bedeutete 2

. t 2,

wobei g die

Ais Geschwindigkeit-Zeit-Funktion erhalten wir daraus v = s= gt. Die Geschwindigkeit ist beim freien Fall somit proportional zur Zeit t. b) Stromstarke ais Ableitung der elektrischen Ladung Ais elektrische Stromstarke i bezeichnet man die in der Zeiteinheit durch den Bezugsquerschnitt tretende Ladungsmenge q. 1st q = q(t), tE[t 1 , t 2 J die Funktion, welche die Ladungsmenge angibt, die bis zur Zeit t durch den Bezugsquerschnitt geflossen ist, so ist q(t o + ~t) - q(to), ~t =I- 0, diejenige Ladungsmenge, die wahrend des Zeitintervalls [to, to + ~tJ bzw. [to + ~t, toJ durch den Bezugsquerschnitt floB. . 1ere Stromstar .. k e lm . In . d'1esem Z eltInterva .. 11 er h I" Al s mItt a ten w1r

lm

= q(t 0 + ~t) - q(t 0 ) . i1t

Daraus ergibt sich durch Grenztibergang ~t ~ 0: '(t ) - l' q(to lo-lm At-+O

+ ~t) - q(t o) -_ dql ~t

dt

- '(t ) -qo' t =to

c) DruckgeHille Betrachten wir den Luftdruck tiber der Erde, so kann man annahernd den Druck pals Funktion der Rohe annehmen, d.h. es ist p = p(h), hE [0, 00). Ais Druckgefalle bezeichnen wir die Druckabnahme pro Langeneinheit. o . . M 13 f" d' '~ . p(h o + ~h) . 1ere A" n d erung des D rue k es 1m . D er D111erenzenquotIent i1h - p(h ) 1st e1n a ur Ie mItt

350

8 Differentialrechnung

Interval! [h a, ha + Ah] bzw. [h a + Ah, hal Man nennt - :: das Druckgefal!e. Das negative V orzeichen steht, weil bei Druckabnahme das Druckgefalle positiv wird.

d) Die Leistung Es sei w(t), tE [R, die Arbeit, die eine Maschine bis zur Zeit t geleistet hat. Ais Leistung P definiert man die Arbeit pro Zeiteinheit. Urn die Leistung zur Zeit to zu berechnen, bilden wir den . . w(to + ~t) - w(to) DIfferenzenquotlenten . Fiir i1t ~ 0 erhalten wir den Differentialquotienten i1t dwl ' woraus sich P(to) = w(to) ergibt. dt t=t o e) Geometrische Anwendung Mit Hilfe der Ableitung wird die Steigung einer Kurve in einem Kurvenpunkt definiert. Damit ergeben sich einige geometrische Anwendungen, von welchen exemplarisch einige aufgezeigt werden. Beispiel 8.14 Gesucht ist der Schnittpunkt S der Tangente t an die Parabel x~ x 2 im Punkte P(x o, x~) mit der x-Achse. Urn die Gleichung der Tangente t zu bestimmen berechnen wir zunachst die Steigung m t der Tangente in P. Es ist m t = j'(x o) = 2x o. Daraus ergibt sich als Tangentengleichung (Punkty-x 2 Steigung-Formel): _ _0 = 2x o. X-X o

Hat S die Abszisse x s ' so erhalten wir (fiir x =

-1 Bild 8.5: Tangentenkonstruktion an die Parabel

Xs

-x 2 ist Y = 0): _ _0_ = 2x o, woraus Xs -

-2

Xo

Xs

-1

Bild 8.6: Schnittwinkel zweier Kurven

x 2

= ~ folgt.

8.1 Begriff der Ableitung

351

Die Abszisse des Schnittpunktes S ist demzufolge halb so groB wie die des Punktes P. Damit haben wir eine einfache Tangentenkonstruktion an die Parabel y = x 2 gefunden (vgl. Bild. 8.5). Mit Hilfe der Ableitung HiBt sich auch der Schnittwinkel zweier Kurven angeben. Der Schnittwinkel zweier Kurven ist definiert als Schnittwinkel der zu dem Schnittpunkt gehorenden Tangenten. Beispiel 8.15 2

Gegeben sind die Funktionen f:x~f(x)=-- und g:x~g(X)=~X2. Man berechne den x-1 Schnittwinke16 der beiden Graphen von fund g. Wir bestimmen zunachst die Abszisse des Schnittpunktes S. Fur x

-=1=

x 3 - x2

-

2 1 2 - x - 4 = 0, woraus man durch Erraten X o = 2 erhalt. Wegen x-1 2 4 = (x - 2)(x 2 + X + 2) ist X o = 2 einzige Lasung.

1 gilt: - - = - x 2 ¢> x 3

Urn die Steigung der Tangenten im Punkte S berechnen zu konnen, benotigen wir die Ableitungs2 funktionen von fund g. Nach Beispiel 8.3 und 8.4 ist f'(x) = - - - - 2 und g'(x) = x, woraus sich (x -1) m 1 = f'(2) = - 2 und m 2 = g'(2) = 2 als Steigungen der Tangenten ergeben. Fur den Schnittwinkel m1 - m2 4 6 der Tangenten erhalten wir aufgrund von (2.17), Seite 63, tan 6 = = -, damit 6 = 53° 07' 48" (s. Bild 8.6). 1 + m 1 'm l 3

fund 9 seien auf dem Intervall I differenzierbar und es sei xoEI mit f(x o) = g(x o), d.h. die Graphen von fund 9 schneiden sich in S(x o, f(x o))' Dann ergibt sich aus der Orthogonalitatsbedingung m 1 'm 2 = -1 (vgl. (2.18) auf Seite 63) folgende Aquivalenz: Die Graphen der Funktionen fund 9 schneiden sich in S rechtwinklig genau dann, wenn f'(xo)'g'(x o) = -1 ist. Beispiel 8.16 Wie mussen aElR und bElR\{l} gewahlt werden, damit sich die Graphen der Funktionen a f: x ~ f(x) = - - und g: x~g(x) = x 2 in S(l, 1) rechtwinklig schneiden? x-b a Aus f(l) = g(l) folgt - - = 1 d.h. a = 1 - b.

1-b

Fur die Orthogonalitatsbedingung benotigen wir die Ableitung (vgl. Beispiele 8.3 und 8.4):

f'(x) = -

a --2'

(x-b)

g'(x) = 2x, woraus f'(l) = -

a --2

(l-b)

und g'(l) = 2 folgt.

Die Orthogonalitatsbedingung liefert: f'(1)·g'(1) = -1 =

-~ = (1- b)

-1 =2a = (1- W. Mit a = 1- b erhalten wir daraus

2 2(1 - b) = (1 - b)2. Fur b -=1= 1 ergibt sich b = -1 und daraus a = 2. Es ist also f(x) = - - . x+1

352

8 Differentialrechnung

Wie die Beispiele zeigen, kann die Ableitung f' von f allgemein als »Wachstums-« oder als »Anderungsgeschwindigkeit« der Funktion f bezeichnet werden. If' I ist ein MaB fur die Empfindlichkeit der abhangigen Veranderlichen y = f(x) gegenuber Schwankungen der unabhangigenVeranderlichenx. 1st If'(xo)1 »groB«, so bewirken schon »kleine« Anderungen von X o »groBe« Anderungen von f(x o)' Das Vorzeichen von f'(xo)gibt an, ob mit wachsendem x auch f(x) wachst oder fallt. f) Linearisierung In den naturwissenschaftlichen Disziplinen werden haufig Vorgange in der Natur durch Modelle erklart, die mit Hilfe der formalen Sprache der Mathematik beschrieben werden kannen. Mit diesem Formalismus kann mitunter eine theoretische Lasung ermittelt werden. Oft stellt sich dann das Problem, daB die dabei auftretenden Terme bzw. Funktionen eine so ungunstige Form haben, daB eine praktische Lasung nicht maglich ist. In diesem Fall kann eine sogenannte »Linearisierung« wenigstens eine Naherung fur die gesuchte Lasung ergeben. Bei der Linearisierung wird die gegebene Funktion f im interessierenden Punkt durch eine lineare Funktion I ersetzt. 1m einzelnen: Es sei f eine auf (a, b) definierte Funktion und in xoE(a, b) differenzierbar. 1st I eine lineare Funktion, die den Punkt P(x o, f(x o)) enthalt und die Steigung d hat, so ergibt sich mit der . l(x) - f(x o) Punkt-Stelgungs-Formel: = d, woraus I: x~l(x) = f(x o) + d'(x - x o) folgt. X-X o Fur alle dElR gilt: lim (f(x) -l(x)) = lim (f(x) - f(x o) - d'(x - x o)) = 0 (aufgrund von Satz 8.1 ist f an der Stelle X o stetig). Wir wollen d so bestimmen, daB sogar der Quotient f(x) - l(x) fur x ---> X o gegen Null strebt und x-x o

nennen I dann die beste lineare Approximation von/in X o' lim f(x) -l(x) = lim f(x) - f(x o) - d'(x - x o) X~Xo

x-

X~Xo

Xo

X -

Xo

= lim (f(X) - f(x o) - d) = f'(x o) - d. x~xo

x-

Xo

Der Grenzwert ist genau dann Null, wenn d = f'(x o) ist, d.h. der Graph von I ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(xo,f(x o)). Die Tangente ist somit die beste lineare Approximation einer Funktion (s. Bild 8.7). Man kann es auch so formulieren: DaB eine Funktion f an der Stelle X o differenzierbar ist, ist aquivalent damit, daB f an der Stelle X o eine beste lineare Approximation besitzt, d.h. ist aquivalent zu der Gultigkeit folgender Grenzwertbeziehung: Fur

Ix -

I 0 gilt

Xo ~

f(x) -l(x) x-x o

~ O.

Es HiBt sich in der Tat folgender Satz beweisen.

(8.9)

8.1 Begriff der Ableitung

353

Satz 8.2

Beweis: i) HinHinglichkeit fist differenzierbar, daraus folgt:

e(h) = f(x Wird r(h)

+~=

f(x) - f'(x) -> 0

Y

fUr

f(x)

h -> O.

h·e(h) gesetzt, so folgt daraus (8.10).

I (x)

ii) N otwendigkeit

f(x) = d + r(h). h h Der Grenzwert auf der rechten Seite existiert fur h ~ 0 und ist gleich d, also existiert auch der Grenzwert auf der linken Seite, d.h. fist differenzierbar. Aus (8.10) folgt f(x

--

+ h) -

x

x

Bild 8.7: Beste lineare Approximation

Der Zuwachs f(x + h) - f(x) der Funktion f an der Stelle x ist also proportional zum Zuwachs h der unabhangigen Variablen, bis auf einen Fehler r(h), der so klein ist, daB er sogar noch nach Division durch h den Grenzwert Null hat, fur h gegen Null. Der Proportionalitatsfaktor ist die Ableitung f'(x).

Aufgaben 1. Gegeben ist die Funktion f: XH f(x) = a) f'(O); b) f'(x), XE( - 2,(0); c)

fi+2, f~( -

XE [ -

2, (0). Berechnen Sie:

2).

2. Von folgenden Funktionen sind der Differenzenquotient J1.f sowie der Differentialquotient df zu bestimmen. J1.x dx X+ 1 a) f:XH f(x) = - - , Df = 1R\{1}; b) f: XH f(x) = 2x 3 - x 2,Df = IR; *c) f:

XH f(x) =

x-1 Df

0,

= IR.

3. An welcher Stelle X o hat der Graph der Funktion f:

3 D = (2, (0) die Steigung - 3? x-2 f 2 x bzw. f2: XH f2(X) = x 3 . In welchen Punkten von

XH f(x) = - - ,

4. k 1 bzw. k 2 seien die Graphender Funktionenfl: XH fl (x) = k 1 und k 2 (mit gleichen Abszissen) sind die Tangenten parallel? 5. Gesucht ist der Schnittwinkel a der Graphen der Funktionen

f:

3

XH f(x) = 4X

2

X +1 ,Df = IR und g: XHg(X) = - - , D g = 1R\{1}.

x-1

6. Gegeben sind die Funktionen

f:

XH f(x) =

x2

+ 1, Df = IR und g: XHg(X) = -x 2 -1, Dg = IR.

a) Bestimmen Sie die Ableitungen f' und g' als Grenzwert des Differenzenquotienten. *b) Geben Sie gemeinsame Tangenten der Graphen von fund g an.

354

8 Differentialrechnung

*7. Man bestimme diejenigen Punkte des Graphen von f: x~ f(x)

1

= 2' Df = [R\ {O}, in denen die Tangente

x zugleieh Normale fur dieselbe Kurve ist. (Die Normale ist die Senkreehte zur Tangente im Beruhrpunkt.)

8. An welchen Stellen sind folgende auf [R definierten Funktionen f:

+ xl;

a) X~IX2

b) x~(sgnx)'x2;

x~ f(x)

differenzierbar?

e) x~x·[x].

9. 1st die Funktion f:x~f(x)=

{

iX2

fur

(x - 2)2

fur

-00<x~4

4 < x < 00

auf [R differenzierbar? (Begrundung!)

10. Untersuehen Sie die Funktion h:x~h(x)=

;; {1

fur

x #0

fur

x= 0

auf Differenzierbarkeit.

11. Von folgenden Funktionen f:

x~ f(x)

a) f(x) = x'lx - 31,xE[R; fur f" ur

iX2

e) f(x) =

{

vr::;: 3x

sind die reehts- und linksseitigen Ableitungen an der Stelle 3 zu bilden.

b) f(x) = Vx - 3,xE[R;

x~3 3'

x>

12. Auf welchem Intervall hat die Funktion f: x~ f(x)

= -

x 2 + 2x eine negative Ableitung?

it

i

13. Ein Bewegungsablaufwird dureh das Weg-Zeit-Gesetzs = 2 - 3t besehrieben. Die Konstanten und - 3 sind so gewahlt, daB der Weg die Einheit Meter erhalt, wenn man fur die Zeit die Einheit Sekunde wahlt. Wie groB ist die Gesehwindigkeit naeh 4 Sekunden? 14. Wie muB

aE [R

gewahlt werden, damit die Funktion

f:x~f(x)=

l {

fur

x

ax - 2a + 1 fur

0<x~2

x>2

an der Stelle 2 differenzierbar ist?

15. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = Ix 2 - 8x + 121. a) An welchen Stellen ist die auf [R stetige Funktion nieht differenzierbar? b) Existieren die einseitigen Ableitungen an den in Teil a) gefundenen Stellen? Gegebenenfalls sind sie zu bereehnen.

8.2 Ableitungsregeln Wir wollen nun allgemeine Regeln fur die Ableitung angeben und zum Teil diese Regeln beweisen. Hiermit konnen wir eine Vielfalt von Funktionen auf einfache Weise differenzieren. Dazu benotigen wir die Ableitungsfunktionen einiger elementarer Funktionen. 8.2.1 Ableitung einiger Funktionen

Satz 8.3 (Ableitung einer konstanten Funktion)

8.2 Ableitungsregeln

355

Beweis: . f(x hm

+ h) - f(x)

h~O

h

.

c- c

•

== hm - - == 0 h~O

h

Bemerkung:

Anschaulich ist dieses Ergebnis klar. Der Graph vonfist eine Parallele zur x-Achse im Abstand Ic I. Die Steigung einer zur x-Achse parallelen Geraden ist Null. Satz 8.4 (Ableitung der Potenzfunktion)

Dieser Satz wurde mit Beispiel 8.4 bewiesen. Bemerkungen: 1. Die Ableitung einer Potenzfunktion mit naturlichem Exponenten ergibt wieder eine Potenzfunktion. 2. Wir werden spater zeigen, daB obige Ableitungsregel auch fur Funktionen gilt, bei denen der Exponent eine beliebige reelle Zahl ist.

3. Die Ableitung der Identitat ist die konstante Funktion f mit f(x) == 1. Satz 8.5 (Ableitung der Sinusfunktion)

Beweis:

a+f3. a-f3 erh IwIr ' (mIt . a == x + h, f3 == x): . a - SIn . f3 == 2 'cOs--'sIn-a ten W egen SIn 2

2

h) - sinx == lim cos (h) sin x + - .f!:-

d sin(x + -(sin x) == lim dx h~ 0 h

l!.

h~ 0

2

2"

== cos x.

Bei der letzten Gleichheit wurde der in Abschnitt 4.2 (Beispiel 4.28) bewiesene Grenzwert sinx == 1 un d die StetIg . k elt . d er KosInus-Fun . k'tIon b enutzt. lim X~O

x

•

356

8 Differentialrechnung

Satz 8.6 (Ableitung der e-Funktion)

Bemerkung: Fur die e-Funktion gilt die Gleichung f'

==

f.

Beweis:

h

dabei wurde der in Abschnitt 4.6 «4.51), Seite 168) bewiesene Grenzwert lim e h-+O

-

h

1 = 1 verwendet.

Satz 8.7 (Ableitung der Betragsfunktion)

Dieser Satz wurde mit Beispiel 8.6 bewiesen.

8.2.2 Differentiation einer Linearkombination von Funktionen

In diesem Unterabschnitt und in den folgenden werden Satze bewiesen, bei denen die Differenzierbarkeit von Funktionen vorausgesetzt wird. Die Differenzierbarkeit kann sich dabei, je nach Bedarf, auf einen Punkt, auf ein Intervall oder auf alle Elemente des Definitionsbereichs von i" beziehen. Wir kennen nun bereits die Ableitungen einiger Funktionen. Es liegt die Frage nahe, ob man durch die Kenntnis der Ableitungen dieser Funktionen auch die Ableitung einer Linearkornbination eben dieser Funktionen bestimmen kann. 1st beispielsweise 2x + cos x die Ableitung von x 2 + sin x? Satz 8.8

8.2 Ab1eitungsrege1n

357

Beweis: . d nac h Voraussetzung d'ffi' h die Grenzwerte l'1m u(x + h) - u(x) und 1 erenz1er b ar, d .. u un d v SIn h~O h · v(x + h) - v(x) eX1stIeren .. . d g1e1C . h U '() . und SIn x b ZW. v '(X.) D am1t' erh a1ten W1r 11m h~O h

f'(x) = lim f(x

+ h) -

h~O

f(x)

h

. (i'u(x + h) + f3·v(x + h) - (i'u(x) - f3·v(x) == h m - - - - - - - - - - - - - h~O

h

== lim (i

U(x + h) - u(x)

h~O

+ lim f3

v(x + h) - v(x)

h~O

h

h

== (i'u'(x) + f3·v'(x).

•

Beispiel 8.17 Die auf lR definierte Funktion f: X XE lR: f': X 1---+ f'(x) == 2x + 7e •

X 1---+ f(x)

== x 2 + 7e ist auf lR differenzierbar, und es gilt flir aIle X

Mit Satz 8.8 und mit Hi1fe der voIlstandigen Induktion 1aBt sich fo1gender Satz beweisen. Satz 8.9 (Ab1eitung einer Linearkombination)

Beispiel 8.18 Die Ableitungsfunktionen fo1gender auf lR definierten Funktionen sind zu bestimmen: b) g(x) == 2x 3

+ 5 sin x + 7e

X •

Mit den Satzen 8.4, 8.5, 8.6 und 8.9 fo1gt die Differenzierbarkeit der Funktionen fund g auf lR, und es ist a) f'(x) == 28x 3

-

9x 2

+ 2;

b) g'(x) == 6x 2

+ 5 cos x + 7e

X •

Wie schon in Beispiel 8.4 gezeigt wurde, sind die Potenzfunktionen f: xl---+ax n, aElR, nEN, auf lR differenzierbar. 1st Pn mit Pn(x) == anx n + ... + a2 x 2

n

+ a 1 x + ao ==

I

i=O

aix i, (an #- 0)

358

8 Differentialrechnung

eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, dann ist Pn nach Satz 8.9 eine auf Funktion, und es gilt p~(x) == n·anx n-

1

...

+ 2a 2 x + a 1 ==

L i·aix i -

1

[R

differenzierbare

.

i= 1

Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades ergibt eine ganzrationale Funktion (n - 1)-ten Grades. Zu beachten ist, daB bei der Ableitung das konstante Glied wegHillt, die Summation daher mit i == 1 und nicht mit i == 0 beginnt.

8.2.3 Die Produktregel Satz 8.10 (Produktregel)

Beweis:

u and v sind differenzierbar und somit stetig. Damit ergibt sich: . f(x f '(x) == hm h~O

+ h) -

f(x)

h

. (U(X + h) -

== hm

h-+O

. u(x + h)'v(x + h) - u(x)-v(x) == hm - - - - - - - - - h~O h

u(x))'v(x h

+ h)

u(x)(v(x + h) - vex))) +-------

h

== u'(x)· vex) + u(x)· v'(x). Damit ist die Produktregel bewiesen.

•

Beispiel 8.19 Die Ableitungsfunktionen folgender auf [R definierten Funktionen sind zu bestimmen: a) f(x) == x· sin x; c) h(t) == et . sin t;

b) g(x) == (x 2 - 3x + 5)e\ d) s(x)==x 2 ·ex ·sinx.

Mit der Produktregel folgt die Differenzierbarkeit dieser Funktionen auf [R und man erhalt: a) b) c) d)

u(x) == x, vex) == sin x, u'(x) == 1, v'(x) == cos x, woraus j"(x) == sin x + X'cos x folgt. g'(x) == (2x - 3)e X + (x 2 - 3x + 5)e X == (x 2 - X + 2)e x . h(t) == et'sin t + et·cos t == (sin t + cos t)·e t. s'(x) == (x 2 (e x sin x))' == (x 2 )' '(e X sin x) + x 2 '(e X sin x)' == 2xe X sin x + x 2 (sin x + cos x)e X == x'(2 sin x + x sin x + x cos x)·e x .

In Beispiel 8.19 d) besteht die Funktion s aus drei Faktoren. Die Produktregel muB deshalb zweimal angewendet werden. Mit Hilfe der vollstandigen Induktion kann die Produktregel auf mehr als zwei Faktoren erweitert werden. Allgemein gilt:

8.2 Ableitungsregeln Sind it, fz, ... ,In differenzierbare Funktionen, so ist I tion, und es gilt: I'

==

I; . 12 ..... In + it .I~ ..... In

==

359

11 .12' .... In eine differenzierbare Funk-

+ ... + h .h ..... I~·

8.2.4 Die Quotientenregel Ziel dieses Abschnittes ist es, eine Regel zu finden, mit deren Hilfe man die Ableitung von solchen Funktionen bestimmen kann, die sich als Quotient zweier Funktionen darstellen lassen, wie z.B. die gebrochenrationalen Funktionen. Dazu beweisen wir zunachst folgenden Satz 8.11

Beweis: Es ist v(x) =F 0 und stetig, da v differenzierbar ist. Es gibt daher nach Satz 4.13 eine Umgebung U b(X), in welcher v nicht verschwindet. 1m folgenden wahlen wir h so, daB (x + h)E U b(X) ist. Damit folgt: 1

f'(x) = lim f(x h~O

+ h) h

f(x) = lim v(x + h) h~O h

. ( - v(x + h) - V(X))) . ( hm . == ( hm h~O

h

v(x)

h~O v(x

1

+ h)' v(x)

) == - v'(x) 2

v (x)'

Damit ist der Satz bewiesen.

•

Mit Satz 8.11 kann die Ableitung der Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten bestimmt werden. Fur aIle nEN und aIle xErR\{O} ist I mit I(x) == x- n differenzierbar und es gilt I'(x) == (x- n)' == - nx- n- 1 .

In der Tat: Setzen wir v: XHV(X) == x n so ist v': XHV'(X) == nx n- 1 und mit Satz 8.11 ergibt sich: n _n , v'(x) nx - 1 _ n_ 1 (x )= x. = v(x) =-v2(x)=-~=-nx .

(1)' (1)'

Bemerkung: Die im AnschluB von Beispiel 8.4 angegebene Regel ist danach auch fur ganzzahlige negative Exponenten giiltig.

360

8 Differentialrechnung

Beispiel 8.20 Die Ableitungsfunktionen folgender auf IH\ {O} definierten Funktionen sind zu bestimmen.

1

b) g: XI-?-; x

Wir erhalten fur alle x E IH\ {O}: 6 a) f':xl-? - 6x- 3 == -3; x

15 c) h':XI-?-4. x

Satz 8.12 (Quotientenregel)

Beweis: Die Voraussetzungen von Satz 8.11 fur die Funktion v sind erfullt und mit der Produktregel (Satz 8.10) erhalt man:

== (u.~)' == u'.~ _ u.~ == u'·v - u·v', ( ~)' v v v v V

2

2

womit der Satz bewiesen ist.

•

Eine Folgerung der Quotientenregel (Satz 8.12) ist

Satz 8.13

Bemerkung: Die Ableitungsfunktion einer gebrochenrationalen Funktion ist wieder eine gebrochenrationale Funktion. Beispiel 8.21 Die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen sind zu berechenen: a) f:

XI-? f(x)

2x + 1

== - 2 - - ' Df == IH. Mit u(x) == 2x + 1; v(x) == x 2 + 1 und

x +1 u'(x) == 2; v'(x) == 2x erhalt man fur alle XEIH:

2(x 2 +1)-(2x+1)2x -2x 2 -2x+2 2(1-x-x 2 ) (x) = (x2 + 1)2 = (x 2 + 1)2 = (x 2 + 1)2 .

,

f

8.2 Ableitungsregeln b) h: x~h(x) , h(x)==

eX

==

2> Dh == IR\{O}. Flir aBe xED h gilt: x

x 2 eX - 2x eX

(x - 2)e X ==

4

X

X

sin t

c) s: t~s(t) d)

3

..

== -2-' Ds == IR. Fur t 1 i: t~i(t) == e -t·sin t, Di == rR.

di dt

361

+

d (Sin dt et

-==-

t)

==

(cos

.

'. (t 2 aBe tErR gIlt: s(t) ==

t- sin t)e e

2t

t

==

(

+ 1)· cos t - 2t sin t 2 1)2 . (t +

.-t

cost-slnt)e .

8.2.5 Ableitung einer mittelbaren Funktion

Obwohl wir die Ableitungen der Funktionen g: x~ sin x und f: x~ x 2 + 1 kennen, ist es bislang nicht moglich, die Ableitung der mittelbaren Funktion F == go f: x~sin(x2 + 1) aus den Ableitungen der Funktionen g und .f zu bestimmen. Folgender Satz gibt nun eine Regel flir die Ableitung einer mittelbaren Funktion an. Satz 8.14 (Kettenregel)

Bemerkungen:

1. Man schreibt auch

dg(f(x))

dx

==

g'(f(x))· f'(x).

2. Man nennt g' die au8ere, f' die innere Ableitung von F == go f. 3. Verwendet man die Schreibweise y == y(u), u == u(x), so HiBt sich die Kettenregel wie folgt schreiben: dy dx

dy du du dx

Zu dieser Schreibweise, die sehr einpragsam ist, ist noch eine Bemerkung notig. Formal erhalt man die linke Seite durch Klirzen mit du auf der rechten Seite. Dieses Ktirzen ist jedoch unzulassig, denn die Symbole dy, du, dx haben ftir sich aBein (noch) keinen Sinn (vgl. Abschnitt 8.4). Weiter kommt dem Buchstaben u unterschiedliche Bedeutung zu. Das »u im Nenner« ist die Bezeichnung der unabhangigen Variablen in y(u), das »u im Zahler« hingegen bezeichnet eine Funktion. 4. Eine besonders deutliche Schreibweise sei noch erwahnt. Sind f auf Df == (a, b) und g auf D g == (c, d) differenzierbar und W f C D g , dann ist F == go f auf (a, b) differenzierbar, und es gilt F' == (g o.fr == (g' 0 f)· f'.

362

8 Differentialrechnung

Beweis der Kettenregel: Da f an der Stelle X o und g an der Stelle u o = f(x o) differenzierbar sind, folgt mit Satz 8.2 f(x o + h) - f(x o) = f'(x o)' h + r 1 (h),

mit

g(u o + k) - g(u o) = g'(u o)' k

mit

+ r2(k),

. r 1 (h) . hm = hm P1 (h) = 0, h~O h h~O . r 2 (k) . hm - - = hm P2(k) = O. k k~O

k~O

Daraus folgt F(x o + h) - F(x o) = (go f)(x o + h) - (go f)(x o) = g(f(x o + h)) - g(f(x o)) = g'(uo)(f(x o + h) - f(x o)) + r 2(f(x o + h) - f(x o))

= g'(uo)(f'(xo)'h + r 1(h)) + r2(f'(x o)'h + r 1(h)) =

g'(uo)·f'(xo)·h + r(h),

wobei r(h) = g'(u o)'r 1 (h) + r 2(f'(x o)'h + r 1 (h)) = g'(u O )'h'P1(h) + (f'(xo)'h + r 1 (h))'P2(f'(x o)'h + r 1 (h)). Offenbar gilt lim r(h) = 0, woraus mit Satz 8.2 die Behauptung folgt. h~O h Beispiel 8.22 a) F(x) = (x 3 - 2x 2 + 5)10. Wir konnen F als Verkettung von u = f(x) = x 3 - 2x 2 + 5 und g(u) = u 10 darstellen. Wegen g/(u) = 10u 9 und f'(x) = 3x 2 - 4x erhalten wir F'(x) = 10(x 3 - 2x 2 + 5)9(3x 2 - 4x). b) f: x~sin(x2 + 1). Bezeichnen wir die auBere Funktion mit g, die innere mit cp, so ist g(u) = sin u, cp(x) = x 2 + 1. Wegen g/(u) = cos u, cp/(x) = 2x folgt f'(x) = 2x'cos(x 2 + 1). c) f: x~cos x.

Fiir aIle

XE

~ gilt: f(x) = cos x = sin ( ~ -

x ).

AuBere Funktion: g(u) = sin u, auBere Ableitung: g/(u) = cos u, n innere Funktion: cp(x) = - - x, innere Ableitung: cp/(x) = -1. 2

~

Es ist dann j'(x) = - cos( - x ) = - sin x. d) g sei auf (a, b) differenzierbar, dann gilt d Ig(x)1 = g(x) °g'(x) = g'(x)osgn(g(x)) fiir aIle xE(a, b) mit g(x) =I- 0 dx Ig(x)1 (siehe Beispiel 8.6). . a1so b' . 1sweise -I d x2 Es 1st elsple dx

1/ =

x

Ix

2

2 - 1 .2x, fiir aIle x #-

-11

± 1.

•

8.2 Ableitungsregeln

363

x Bild 8.8: Ableitung der Umkehrfunktion

Satz 8.. 15

Beweis:

Wir zeigen nur (8.11); den Beweis, daB j-1 differenzierbar ist findet man z.B. in [lJ. f- 1 ist die Umkehrfunktion von f, daher ist f 0 f - 1 die IdentiHit auf WI (vgl. (2.2) auf Seite 36). Nach Bemerkung 3 von Satz 8.4 ist die Ableitung der IdentiHit die konstante Funktion mit c = 1. Daher gilt (f f - 1)' = 1. Mit der Kettenregel (Satz 8.14) erhalten wir 0

• Beispiel 8.25 Es sei f: XH- f(x) = x 2 , D1= IR+. fist streng monoton wachsend. Daher existiert die Umkehrfunktion f-1: XH- f-1(X) =~, D f = IR+. fist auf D f differenzierbar, und fur alle XED fist 1 1 f'(x) i= O. Satz 8.15 HiBt sich daher anwenden. Es ist f'(x) = 2x, woraus (f-1),(X) = = C. folgt. f'( x) 2y x

J-

Damit erhalten wir:

(J-x)' =

1 C. fur alle x E IR + . 2y x

8.2 Ableitungsregeln

365

Beispiel 8.26 f:

f

x~ f(x)

= eX ist auf

[R

differenzierbar, umkehrbar und fur aIle

XE [R

-1: x~ f -1(X) = In x, Df-l = IR+. Wegenf': x ~ f'ex) = eX folgt:

1 (f-l)'(x) = f'(f-l(x))

1

f'(lnx}

1 e1nx

gilt f'(x) ¥= o. Es ist

1 ;;

Somit gilt 1 (In x)' = - fur aIle x

(8.12)

XE [R +.

Mit Hilfe der Kettenregel Satz 8.14 und aufgrund der bekannten Ableitungen der e-Funktion und der In-Funktion (Satz 8.6 und Beispiel 8.26) konnen wir die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktionen bestimmen. 1st LiE [R, dann ist f mit f(x) = xli. auf [R + wie folgt definiert (siehe Definition 4.15 auf Seite 156):

Wir erhalten f'(x) = ea'lnx.~ =~. xli. = ax a- 1 , so daB gilt: x

(xay = ax a-

1

fur alle

x

x E [R +

und

a E [R,

ubrigens in formaler Ubereinstimmung mit (x

n

)'

= n'x

(8.13) n

-

1

fur aIle nEN (s. Satz 8.4).

8.2.7 Hohere Ableitungen 1st die Funktion f auf (a, b) differenzierbar, so ist auf(a, b) die Ableitungsfunktion f' definiert (vgl. Definition 8.1 und 8.5). Man kann nun die Funktion f' auf Differenzierbarkeit untersuchen. Beispiel 8.27 Die Funktion f: x~ f(x) = x 3 ist auf [R differenzierbar, es ist f': x~ f'(x) = 3x 2 , D f' = [R. f' ist wiederum auf [R differenzierbar. Die Ableitungsfunktion der Funktion f' nennt man die zweite Ableitungsfunktion von f (kurz auch zweite Ableitung von f) und sagt, f sei auf [R zweimal differenzierbar. Man schreibt dafur f". In unserem Beispiel ist f": x~ f"(x) = 6x. Wenn, wie in diesem Beispiel die Ableitungsfunktion zweiter Ordnung wieder eine differenzierbare Funktion ist, so erhalt man die Ableitungsfunktion dritter Ordnung f'" durch (f"),. In unserem Beispiel ist f"':

x~ f"'(x)

= (6x)' = 6.

Definition 8.6 Die hoheren Ableitungsfunktionen einer Funktion f: D f

--» [R

f" = (f')', f'" = (f")',···, f(n) = (f(n-l))',

werden rekursiv definiert: nE N.

f(n) heiBt Ableitungsfunktion n-ter Ordnung von fader n-te Ableitung von f.

366

8 Differentialrechnung

Bemerkungen: 1. Fur die hoheren Ableitungen einer Funktion j: x~ y == j(x) gibt es folgende Schreibweisen: dny dn oder - n oder - jn . dx dx (Gelesen: »y - n-Strich«, »d - n - y nach dx hoch n«, »d - n nach dx hoch n von j«.) Es ist auch ublich, die Ableitungsfunktion erster bis dritter Ordnung von j durch Striche anzugeben, also j', j", j"'. Von n == 4 an schreibt man j(4), j(5), . ... 2. Unter der Ableitung O-ter Ordnung j(O) einer Funktion j versteht man die Funktion j selbst. 3. Gleichbedeutend mit dem Ausdruck »Ableitungsfunktion n-ter Ordnung« verwendet man »Differentialquotient n-ter Ordnung«. 4. Bezeichnet man mitDi die Definitionsbereiche vonf(i) (i = 0,1,2, ... , n), so ist nach Definition 8.2 auf Seite 342 offensichtlich

Dabei ist Do nach Bemerkung 2 der Definitionsbereich von j.

Definition 8.7 Es sei Do ein Intervall. j: Do ~ IR heiBt auf Do n-mal differenzierbar, falls j(n): Dn~ IR existiert und Dn == Do ist. Beispiel 8.28 Jedes Polynom ist auf IR beliebig oft differenzierbar, da jedes Polynom auf [R differenzierbar ist und die Ableitung eines Polynoms wiederum ein Polynom ergibt. Es ist

j: x~anxn + ... j':x~n·anxn-l

+ a 1 x + ao, Do == IR, + ... +a l , D 1 EIR,

j(n):x~an·n!, j(k):

X~O,

D n ==IR, Dk == IR fur aIle k > n

Beispiel 8.29 1st j eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, die an der Stelle Xl eine zweifache Nullstelle besitzt (vgl. Abschn. 2.3.1, Definition 2.12), dann gilt fur aIle xEIR: j(x) == (x - X1)2· g (X), woraus j'(x) == 2(x - x 1)·g(x) +(x - X1)2· g'(X) und j"(x) == 2g(x) + 4(x - xl)·g'(x) + (x - Xl )2· g"(X) folgt. Daher gilt j'(x 1) == 0 und j"(x 1) == 2g(x 1) =I=- O. Allgemein HiBt sich beweisen:

1~tf~;ffi~i

...

e ....

~1 .

...

:

~ ..

8.2 Ableitungsregeln

367

Nicht jede auf (a, b) differenzierbare Funktion ist auf (a, b) zweimal differenzierbar, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel 8.30 Gegeben ist die Funktion I: x~ I(x) = i· x'lxl, Do = [R. Mit der Produktregel erhalt man fur x#-O:

Ixl

i

I'(x) =i'lxl + x ' - = Ixl· x

Fur x = 0 ergibt sich:

Iz' (0) = lim

I(h)- 1(0)

h

hiO

_l-h 2

= lim _ 2- = 0, analog I: (0) = 0, d.h. Iz' (0) = I: (0) = O. hiO

h

Da die einseitigen Ableitungen an der Stelle 0 gleich sind, existiert die Ableitung an der Stelle O. Es ist somit 1'(0) = O. Als Ableitungsfunktion I' ergibt sich daher

I': x~ I'(x) = lxI,

D 1 = Do = [R.

Wie in Beispiel 8.6 gezeigt wurde, ist diese Funktion auf [R nicht differenzierbar, da sie an der Stelle

o nicht differenzierbar ist. Es ist x

1":x~I"(x)=-,

Ixl

D 2 =[R\{0}.

Wegen D2 #- Do ist I auf [R nicht zweimal differenzierbar. Die Ableitungsfunktion einer auf (a, b) differenzierbaren Funktion braucht also nicht differenzierbar zu seine Es stellt sich nun die Frage, ob die Ableitungsfunktion I' einer auf einem Intervall I differenzierbaren Funktion I auf I stetig ist. Die Ableitungsfunktion I': x~ I'(x) = Ix I von Beispiel 8.30 ist auf [R stetig. Es gibt jedoch, wie folgendes Beispiel zeigt, Funktionen, die zwar auf I differenzierbar, deren Ableitungsfunktionen jedoch auf I nicht stetig sind. Beispiel 8.31 Es sei

l:x~l(x)= {oX2'Sin~

fur

x*O

fur x =

o.

1 Wegen lim x 2 . sin - = 0 und 1(0) = 0 ist I auf [R stetig. x~o

DaB

I

x

auf [R differenzierbar ist wird in zwei Schritten gezeigt.

1

1

a) Fur x#-O folgt mit der Produkt- und Kettenregel I'(x) = 2x' sin - - cos -. x x 1 h2 • sin- - 0 h b) Fur x = 0 ergibt sich 1'(0) = lim = O. h~O h

368

8 Differentialrechnung

fist somit auf ~ differenzierbar; es ist

f':

x~ f'(x)

=

2x .sin ~ - cos ~

fur x # 0

o

fur x = o.

x

{

x

Fur x ~ 0 konvergiert f' jedoch nicht. Somit ist f' auf ~ nicht stetig, obwohl f auf [R differenzierbar ist. Das gibt AnlaB zu folgender Definition 8.8

f sei auf dem Intervall I definiert. f heiBt auf In-mal stetig differenzierbar, falls f auf In-mal differenzierbar ist, und f(n) auf I stetig ist.

Die Funktion in Beispiel 8.31 ist eine auf [R differenzierbare Uedoch nicht stetig differenzierbare) Funktion, wohingegen die Funktion in Beispiel 8.30 auf [R einmal stetig differenzierbar ist. Wenn auch die Ableitungsfunktion f' einer auf [a, b] differenzierbaren Funktion f i. allg. nicht stetig ist (vergleiche Beispiel 8.31) so besitzt f' die bemerkenswerte, auch den stetigen Funktionen zukommende Zwischenwerteigenschaft auf [a, b] (vgl. Abschn. 4, Zwischenwertsatz (Satz 4.17) und Satz von Darboux (Satz 8.27)). Aufgaben 1. Von folgenden Funktionen sind die 1. und 2. Ableitungsfunktionen zu bestimmen (dabei ist jeweils der groBtmogliche Definitionsbereich der Funktionen sowie der Ableitungsfunktionen anzugeben). a) f:xl----*x 8 +5x 4 -3x 3 -4 b) f: xI----*(x 2 + 3)' eX x 3 + x-I c) f:XI----*-x-2_-1-

1

d) f:xl----*-·lnx x

e) f:xl----*x 2 'lxl g) f: xl----*ln(2x 2

f) f: xl----*(2x - 7)16

+ 7)

2. Beweisen Sie durch vollstandige Induktion: Sind die Funktionen fi: D ---* ~ mit fJx) (i f = fl' f2··· ·,f,p und es gilt:

=

1,2, ... , n) an der Stelle xoED differenzierbar, so auch die Funktion

I [fl (x o)···· . fi - 1(x o) . fi (x o)· fi + 1 (x o)· .... fn(x o)]. i=l 3. Differenzieren Sie die nachstehenden Funktionen. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Ableitungsfunktionen f'(x o) =

f(x) = x· eX' sin 2 x, DJ = lR; c) f: X 1----* f(x) = x 2 ., sin x I, DJ = [O,2n];

a) f:

X 1----*

x

b) f:

X 1----*

f(x) =ex2 • sin 2 x, DJ = lR

d) f:

X 1----*

f(x)

=

Ix 2 - 91·sinx;'DJ = [O,2n]

2

e) f: xl----*--·sinx, DJ Ixl+ 1

=

lR;

f) f: Xl----*Jh· sin x, DJ = lRri·

8.3 Ableitung elementarer Funktionen 4. Fur folgende Auslenkungen x sind die Geschwindigkeiten

369

x zu bestimmen.

a) ungedampfte Schwingung: tHX = a· sin(wt + cp), WE~+; b) gedampfte Schwingung: tHX = c· e- bt . sin(wt + cp), c) aperiodische Kriechbewegung: tHX =

<5

> 0;

e - pt, P > 0;

C'

+ pt), P > O.

d) aperiodischer Grenzfall: tH x = c· e - Pt(1

Dabei sind a die Amplitude, w die Kreisfrequenz, cp die Phasenverschiebung und p das logarithmische Dekrement.

5. Wie oft sind folgende Funktionen auf dem angegebenen Intervall differenzierbar, wie oft stetig differenzierbar? a) f:XHf(x) = {

2-X 2

~

v 4-

x2

fur -2<x<0 ..

fur 0 ~ x < 2

,

D=(-2,2);

n

b) f:XHf(x)

{Sinx

=

fur

n

-iX3 + x 6. Wie mussen a, b,

CE~

-2~x~0

fur 0 < x

s-2

'

D=

[n

nJ

--2'2 .

gewahlt werden, damit die Funktion ax2

f : XH f(x) = { In x

+ bx + C

fur x ..

s1

-,

fur x> 1

D=

~

auf ~ zweimal stetig differenzierbar, jedoch nicht dreimal differenzierbar ist?

7. Gegeben ist die Funktion X

f(x)=

{

f

+ x 2 cos';:

mit

fUr x'" 0 f"ur

0

Zeigen Sie, daB f auf

~

X=

0

differenzierbar ist. Berechnen Sie insbesondere f'(O).

*8. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f' folgender auf

f:XHf(x)=

{

2'~ 5-x'[x+2] ~ .Ix 2 + 2x - 8 I

~

definierten Funktion

fur -00<x~-3 fur -3<x<-1 fur - 1 ~ x < 00.

Geben Sie auch den Definitionsbereich D f' von f' an. (Beachte: Die Klammer des Terms x GauBklammer.)

+ 2 ist die

*9. Beweisen Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion: Sind fund g auf In-mal differenzierbar, so ist auch f· g auf In-mal differenzierbar, und es gilt

(f .g)(n) =

I (n). f(n-k). g(k). k

k=O

8.3 Ableitung elementarer Funktionen Mit Hilfe der im vorigen Abschnitt bewiesenen Ableitungsregeln wollen wir nun die Ableitungsfunktionen (auch haherer Ordnung) der elementaren Funktionen herleiten.

370

8 Differentialrechnung

8.3.1 Ableitung der rationalen Funktionen

Wie schon in Beispiel 8.28 erwahnt wurde, sind die ganzrationalen Funktionen auf [R beliebig oft stetig differenzierbar. Fur die gebrochenrationalen Funktionen folgt aus der Quotientenregel folgender Satz 8.16

Beispiel 8.32 x

Es sei r: xHr(x) == - 2 - - ' D == x -1

[R\{ -1,

l}.

Dann ist r': x H r' (x) == II.

II

r .XHr (x)==

x

2

+1

2

(x -1)

2'

2x(x 2 + 3) 2

(x -1)

3

D 1 ==

[R \ { -

1, 1}.

,D 2 ==[R\{ -1,1} usf.

8.3.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcus-Funktionen

Wie in Satz 8.5 und in Beispiel 8.22 c) bewiesen wurde, gilt fur aIle

XE [R

(sin x)' == cos x (cos x)' == - sin x. Die Sinus- und Kosinusfunktion sind daher auf [R beliebig oft stetig differenzierbar, und es gilt:

2k+ 1 } ,kEZ. Esseif:xHf(x)==tanx,D==[R\ { -2-n

8.3 Ableitung elementarer Funktionen

371

sin x cos 2 x + sin 2 x 2 ' woraus Wegen f(x) == - - folgt aus der Quotientenregel fur alle XED: f'(x) == cosx cos x ......

\iJ~

~~~.~

folgt. Fur f: x~ f(x) == cot x, D == [R\{kn}, kE"Z ergibt sich analog j'(x) ==

- sin 2 x - cos 2 x . 2 ,woraus SIn x

folgt. Beispiel 8.33

(n)

1 D == 0, - ,so erhalt man 1st j: x~ j(x) == -1- - -.-, cosx sIn x 2

1 1 sin x cosx j'(x) == - - _2 . ( -sinx) +-.-·(cosx) ==--+-.-. cos x sln 2 x cos 2 x sIn 2 x Beispiel 8.34 Es sei j:

Xf-> j(x)

= tan x

+ cot x, D = ~\ { ~. n }. nE7L.

Dann ist: 1 1 sin 2 x - cos 2 X 4cos 2x cot 2x j'(x)==-----== == - - -2= = - 4 · - 2 2 2 2 cos x sin x sin x· cos x sin 2x sin 2x· Beispiel 8.35 Fiir j: x~ f(x) == tan (sin x 2 ), Df ==

[R

lautet die Ableitungsfunktion j': x~ f'(x) ==

2x·cosx 2 2· 2' cos (sIn x )

Mit Satz 8.15 lassen sich die Ableitungsfunktionen der Arcus-Funktionen (Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen) bestimmen. Die Funktion j: Xf->j(x) = sin x,

Df

=[ -~,~l

Hj=[-l,l],

ist umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion lautet

f-1:

x~ j-1(X) ==

arcsin x.

Df-l

== [ -1,1].

372

8 Differentialrechnung

Fur fist die Voraussetzung des Satzes 8.15, namlich f'(x) =1= 0 fur alle xEDI' nicht erfullt. Urn Satz 8.15 anwenden zu konnen, andert man den Definitionsbereich von j wie folgt: Df

=( -~,~}

Damit andert sich auch der Definitionsbereich der zugehorigen Umkehrfunktion Df == ( - 1, 1). Mit Satz 8.15 ergibt sich dann

f

-1.

Es ist

-1

1 (f-l)'(X) = f'(f-1(x))

1 cos (arcsin x)

Beachte: Die Beziehung cos u == )1

-

1

)1- sin

sin 2 u ist fur -

2

arcsin x

1 )1-x 2 "

~2~ u:::;?!. richtig. Da die Funktion arcsin x -2

n n fur -1 < x < 1 nur Werte zwischen - - und - annimmt, kann diese Beziehung aben verwendet

2

2

werden. Es ist samit (arcsin x)' ==

v

~

1-x 2

fur aIle

XE( -1,1).

Analog lassen sich die Ableitungen der restlichen Arcus-Funktionen herleiten. Daher gilt folgender Satz 8.17

Beispiel 8.36

x-2 3x

Es sei j: x~ f(x) == arcsin--, Df == ( - 00, -IJ u [~, (0). Fur aIle xEDf mit x j'(x) ==

=1= -

1 und x

=1= ~

folgt:

3x - 3x + 6

1

.- - -

J1-C: Y

2

2

9x

2

lxi' ..J9x

2

-

(x 2 - 4x + 4) .

8.3 Ableitung elementarer Funktionen

373

Damit ist 1

f':xl----">f'(x)

Ixl . .J2x2 +x-l' DJ'=(-oo,-l)u (~, ex).

=

Beispiel 8.37

Es sei f: x~ f(x)

Fur alle

XE

=

{

arctan~ I-x

fur x E [R \

{-

1, I}

~

fur x

=

± 1.

[R\{-1, I} erhalt man 1-x 2 +2x 2 (1- X 2 )2

Der algebraische Ausdruck fur f'(x) ist zwar fur x = - 1 und fur x = 1 definiert, trotzdem ist f an diesen Stellen nicht differenzierbar, denn fist dort unstetig. Es ist z.B. n

limf(x)=-, xil 2

limf(x)= xU

n --a

2

Stetigkeit ist jedoch nach Satz 8.1 eine notwendige Bedingung fur Differenzierbarkeit. Die linksseitige Ableitung von f an der Stelle 1 existiert (f/ (1) = 2), jedoch nicht die rechtsseitige. In Bild 8.9 ist der Graph von f dargestellt. Daraus kann man entnehmen, daB fur x> 1 die Steigung von j fur xlI gegen 2 strebt.

y

-+-----I~---+-----.fL_-~--+-----+-~

-1

Bild 8.9: Graph von f in Beispiel 8.37

8.3.3 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Die e-Funktion f: f': x~ j'(x) = eX.

x~

f(x) = eX, D =

~

ist nach Satz 8.6 auf

[R

differenzierbar, und es gilt

374

8 Differentialrechnung

Daraus ergibt sich unmittelbar j == j' == jff == ... == j(n) == "',

nEN.

Die e-Funktion hat also die bemerkenswerte Eigenschaft, daB sie mit ihren samtlichen Ableitungen ubereinstimmt. Fur die Exponentialfunktion gilt folgender Satz 8.18 ...........

.

<j'

,

.

........

..,

..

..

...

.

..

.:

.

.....

..

.

. .

.

..-

.

..

.

.

Beweis: Es ist a E IR + \ {I}, daher gilt j(x) == aX == eX ·Ina fur aIle x E IR. Mit der Kettenregel ergibt sich dann j'(x) == ex-Ina 'In a == aX ,In a,

•

Beispiel 8.38 Die Ableitungsfunktionen sind zu bestimmen von eX+x a) j(x) == - - , Df == IR; eX-x

zu a) j'(x) ==

(eX

+ l)(e X-

x) - (eX + x)(e X- 1) e2x + eX - xe X- x - e2x - xe X+ eX + x == - - - - - -----(eX (e X-

2e X (1 - x)

== (eX - x) 2 ,D f' == lR. zu b) g'(x) == 4 -x/(x+ 1),

(

-

I-X)

+ 'In 4 also g'(x) == - -In4 - · 4 -X/(X+ 1) D == IR\{ -I}. (x + 1 ) 2 ' (x + 1)2 ' g

X

Mit Satz 8.15 laBt sich die Ableitung der logarithmischen Funktionen bestimmen. Satz 8.19 . .

...

.

. .

.

:.......

.

.

.:

,

...

".

..

..

..

.

Beweis: 1st j(x)==a X(aEIR+\{l}), so folgt j'(x)==ax'ln a und j-1(x)==logax. Mit Satz 8.15 erhalt man daher 1 1 (f-l),(X) = f'(f- l(X)) f'(Ioga x ) alogax In a x ·In a

•

8.3 Ableitung elementarer Funktionen

375

Bemerkung: Wählt man a = e, so ergibt sich wegen ln e = 1: (ln x) =

1 für alle x ∈ R+ . x

Beispiel 8.39 Die Ableitung der Funktion f mit f (x) = ln |x|, D = R\{0} ist anzugeben. Mit der Kettenregel erhält man (vgl. Beispiel 8.6) für x = 0: (ln |x|) = (ln |x|) =

1 x

1 |x| 1 · = . Somit gilt |x| x x

für alle x ∈ R\{0}.

Es gibt Funktionen, für die die Ableitung einfacher zu berechnen ist, wenn vor der Differentiation die Funktionsgleichung logarithmiert wird und sodann mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet wird. Man nennt diese Art zu differenzieren auch logarithmische Ableitung. Ein Beispiel soll dies erläutern. Beispiel 8.40 Gesucht ist die Ableitung der Funktion f mit f (x) = xx , D = R+ . Da f keine Potenzfunktion ist, kann die Regel für Potenzfunktionen nicht angewandt werden. Man erhält (beachte f (x) > 0 für alle x ∈ D) ln( f (x)) = x · ln x und daraus durch Ableiten (mit Hilfe der Kettenregel) 1 · f  (x) = 1 + lnx, woraus f  (x) = (1 + lnx) · x x folgt. f (x) Dieses Verfahren bietet sich hauptsächlich an, wenn die Veränderliche sowohl in der Basis als auch im Exponenten vorkommt. Ist z.B. f (x) = [
(x)]h(x) , wobei
und h auf (a, b) differenzierbar seien und
(x) > 0 für alle x ∈ (a, b) ist, so erhält man durch Logarithmieren (dies ist möglich, da f (x) > 0 für alle x ∈ (a, b)): ln( f (x)) = h(x) · ln ergibt sich 
(x). Durch Differentiation   (x)    

f  h(x) = h · ln
+ · h, woraus (
(x))h(x) =
(x) · h(x) folgt. · h (x) · ln
(x) + f

(x) Beispiel 8.41 Ist f (x) = (ln x)cos x , x ∈ (1, ∞), so erhält man 1 1 f  (x) = cos x · · − sin x · ln(ln x). Es ist daher ln( f (x)) = cos x · ln(ln x) und daraus f (x) ln x x   cos x f  (x) = (ln x)cos x · − (sin x) · (ln(ln x)) . x · ln x Es sei f eine auf dem Intervall I differenzierbare Funktion, dann gilt aufgrund der Kettenregel (ln | f (x)|) =

f  (x) , wenn f (x) = 0 für alle x ∈ I ; f (x)

(sin f (x)) = f  (x) · cos f (x) für alle x ∈ I ;

  f  (x) f (x) = , wenn f (x) > 0 für alle x ∈ I ; 2 f (x)  f (x)  e = f  (x) · e f (x) für alle x ∈ I .

376

8 Differentialrechnung

8.3.4 Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Area-Funktionen Da die Ableitungsfunktion der e-Funktion bekannt ist, erhiilt man die Ableitung der hyperbolischen Funktionen. (sinh x)' == [~(eX - e -X)]' == ~(eX + e -X) == cosh x

fur alle XE IR

(cosh x)' == [~(ex+e-X)]' ==~(eX-e-X) == sinh x

fur alle xEIR

x)' == cosh X- sinh x ==---==l-tanh 1 x 2

2

sinh (tanhx)'== - ( cosh x

2

cosh x

cosh x

x)' == sinh x - cosh X == - -1- == 1- coth 2

cosh (cothx)' == ( - sinh x

furallexEIR

2

2

2

2

sinh x

sinh 2 x

2

x

fur alle x i= o.

Damit erhiilt man folgenden

Satz 8.20

.....•........•.....•.•...........•

Beispiel 8.42

1 f(x) == x· tanh -, Df == IR\{O}. x

f'(x) = tanh~ + x·(1- tanhZ~)- ( - :z} 1

f'(x) == tanh- x

2 1 1- tanh -

x

x

,Dr == IR\{O}.

Die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen sind die Areafunktionen. Unter Verwendung von Satz 8.15 erhiilt man

8.3 Ableitung elementarer Funktionen

377

Satz 8.21

Beweis: ~

Wir zeigen nur (arsinhx)' =

fiir aIle

XEIR.

VX2+ 1

1st j(x) = sinh x, so folgt j'(x) = cosh x und j -l(X) = arsinh x. Mit Satz 8.15 erhalt man daher

j'(arsinhx)

J1 + sinh (arsinhx)

cosh (arsinhx)

Jl+x 2 ·

2

Beispiel 8.43

d(

1

arsinh ~) =~. dx x 1-x 2 - -2+ 1 x

1

IXI·~' (Beachte:

p

= Ixl.)

fiir aIle x mit 0 < Ix I < 1.

•

378

8 Differentialrechnung

Folgende Tabelle faBt die Ergebnisse von Abschnitt 8.3 iibersichtlich zusammen:

nx n -

1

[ -1, 1J

1

J1-x 2 1

n xn + 1 a. x a -

-

x

Ixl

1

~ [R+

1+x 2 1

Ixl x

-

-1+x 2

(-1,1)

( -1, 1)

[R

[R

cosx

[R

cosh x

[R

-sinx

[R

sinh x

~

cos 2 x 1 +tan 2 x

A 1)

[R

1 --B2 ) sin 2 x -(1 +cot 2 x)

eX

cosh 2 X 1- tanh 2 x ---

sinh 2 x 1 - coth 2 x

[R

1

~

[R\ {O}

[R

2

Jx +1 aX ·In a

[1, (0)

1

( -1, 1)

x [R+

x·lna

2k + 1 n,kEZ } . 1) A = { XIXEIH und x =I=-22) B = {XIXEIH und x

=1=

kn, kEZ}.

1

~ 1-x 2

(-00,-1)

u(l,oo)

(1, (0)

( -1, 1) (-00,-1)

1-x

2

u(l, (0)

8.3 Ableitung elementarer Funktionen

379

Aufgaben 1. Differenzieren Sie a) f(x) = (x 2 + 3x - 4) (x 4 - 2x 2 + 7);

1- 5x c) f(x)=--; 1 + 5x

e) f(x)

=

2x 3 - 3x 2 + 2x - 4 5x4 _ 2x2 + 3 ;

f) f(x)-

g) f(u)=J4-7u;

3x 4

2x 2

-

1- 3x

4

2t+ 1

~.

h) s(t)=

V t

2

+1

. .dIe .Gle1chung . . 2. Bestlmmen SIe der Tangente an den Grap h en d er Funktlon

f : X~--2 3x + 1 1m . Pun k t P (1 , 2). l+x

3. Ein frei fallender Karper bewegt sich bekanntlich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) = Sekunden, der Weg in Meter eingesetzt, so ist die Beschleunigung ungef
4. Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

f

2.

2 Man gebe den Weg und die

mit

a) f(x) = x· sin x;

tanx b) f(x)=-; x

c) f(x) = x - tan x;

x d) f(x) = - .- ; sIn x

e) f(x) = 1 + cosx - tcos 3 x;

f) f(x)

g) f(x) = 1 - tan x - ttan 3 x;

h) f(x)

. *J) f(x)

=

1

sin Ixl

I I;

-cos x

m)f(x)=~;

*k) f(x)

=

~. t 2 . Wird die Zeit in

x sinx - xcosx'

2x - sin2x 2 . 2 ; x + SIn x slnx

= x· - -..

I) f(x)

Ix 2 -11'

=

Isinxl;

n) f(x)=sinx·cotx.

5. In welchen Punkten und unter welchen Winkeln schneiden die Graphen der folgenden Funktionen die K 00 rdinatenachsen? a) f(x)

b) g(x) = sin x;

6. Die Ableitungen folgender Funktionen f:

x~ f(x)

a) f(x) = e- X' sin x;

c) f(x)

e) f(x) coshx g) f(x)=---cothx; x

sind zu bestimmen:

=

x 2 'sinhx;

eX - 1 h) f(x)=--; eX + 1

=

e -l/x;

f) f(x) = eX·cothx;

i) f(x) = tan x - tanhx.

380

8 Differentialrechnung

7. An weichen Stellen existieren keine Ableitungen? 1 a) f(x)=-.-; b) f(x)=tanx'cotx; Slnx

c) fix) =

jfC$s;

*d) fix) =

{

8. Differenzieren Sie die Funktionen

f

~ lC:St: nx

0

2k+ 1

fur x = - - n, kE7L. 2 mit

f(x)=sin~-~cos~;

a) f(x) = Jtan2x;

b)

c) f(x) = arcsin~;

1 d) f(x) = arctan-; x

e) f(x) = (arcsinx)2;

f) f(x) = arctan(x - ~);

g) f(x)=iIn

(1

+ X)2

1-x+x

h 2x - 1 2+1-v3arctan h ;

y3

h) f(x) =

1+x 2 1-x 1 x In --- ;l l+x 1

i ln - -2 ;

i) f(x) = -iln(a 4 -x 4);

j) f(x)

k) f(x) = x(ln Ixl - 1);

1) f(x) = x tanx;

m) f(x)

=

=

n) f(x) = arsinh~;

(tanx)lnX;

0) f(x) = arcoshx 2;

p) f(x) = artanh(l + x 2 );

q) f(x) = i(artanhx)3;

r) f(x)

=

e1x1 ;

s) f(x)=Inllnlxll.

.

*9. Durch Berechnung des Grenzwertes hm

f(x + h) - f(x) h

h->O

f:

x~ f(x)

bestimme man die Ableitung der Funktion

1

= In x. Hinweis: Substitution h =-.

n

10. Fur folgende Funktionen sind die Ableitungen der angegebenen Ordnung zu bestimmen. a) f(x) = x 5, f(5)(X); c) f(x) = x 2 'e 2 X,f(4)(x); 11. Die n-te Ableitung

f(n),

l+x a) f(x)=--; 1-x

b) f(x) = x 5 'lnx, f"'(x); d) f(x) = x 2 ·e- x . f(5)(X). nE N, folgender Funktionen ist zu berechnen:

b) f(x)=~;

l+x 1-x

*d) f(x) = In--;

e) f(x) = sinax;

12. Zeigen Sie, daB fur jede der Funktionen

f(x)

c) f(x)=sin 2 x; *f) f(x) = x 3 e 2x .

f

mit

= sin(a'arcsinx),

f(x) = cos(a'arcsinx),

f(x) = sin(a'arccosx),

f(x) = cos(a'arccosx),

(aE [R), die Gleichung (1 - x 2 ). f"(x) - x· f'(x) + a 2 . f(x) = 0 fur aBe x mit Ix I < 1 erfuBt ist. 13. Mit Hilfe der vollstandigen Induktion ist die Beziehung [In(x + 2)](n) = zu beweisen.

(-It- 1 (n-1)' (x+2t

.

fur aBe nE N und

XE( -

2, ex))

8.4 Das Differential einer Funktion 14. Zeigen Sie, daB die Graphen der Funktionen

x a) f(x) = a·sin-, a

x

b) f(x) = a·tan-,

a

f

381

mit

c) f(x) = a·ln::· aElR+ a

die x-Achse jeweils unter gleichen, von a unabhangigen Winkeln schneiden. 15. Berechnen Sie den Schnittwinkel des Graphen von f:x~f(x)=

+ a x 2 + ... + a x n 2 n 1 + b 1X + ... + bmx m

x

mit der y- Achse. 16. Wie muB aE[R\ {O} gewahlt werden, damit der Graph der Funktion f: x~ f(x) =

ax

- - 2 die

1+bx

x-Achse unter dem

Winkel von 45° schneidet? 17. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f mit f(x) = 1 + x·ln x in dem Punkt, dessen Ordinate 1 ist? 18. Bestimmen Sie die Normale des Graphen von f: x~ f(x)

=

J6-2x-x 3 in dem Punkt mit der Ordinate 3.

x 19. Geben Sie die Normale des Graphen von f mit f(x) = a ·In cos- (a =I- 0) im Punkt mit der Abszisse 2na an. a 20. f sei eine auf [R differenzierbare Funktion. Die Graphen von g: schar.

x~g(x) =

Beweisen Sie: AIle Tangenten, deren Beriihrungspunkte gleiche Abszisse Punkt, falls f'(x o) =I- 0 ist.

a· f(x) (aE [R) bilden eine KurvenXo

haben, schneiden sich in einem

21. Bestimmen Sie die zu der 1. Winkelhalbierenden parallele Tangente an den Graphen von f(x)=V X3 -3x 2.

f

mit

22. Zeigen Sie, daB sich die Graphen der Funktionen fund gunter einem rechten Winkel schneiden:

b2

*a) f(x)=Jx 2 -a 2,g(x)=-,a,b=l-O; x

b) f(x)=J2ax+a 2,g(x)=Jb 2 -2bx,a,bE[R+ unda=l- -b.

23. Gegeben seien die Funktionen f1 und f2 mit f1 (x) = cos x und f2 (x) = tan x. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Graphen von f1 und f2 und zeigen Sie, daB sie sich in S orthogonal schneiden.

8.4 Das Differential einer Funktion 8.4.1 Der Begriff des Differentials Urn Funktionswerte f(x) einer differenzierbaren Funktion f fur Zahlen, die nahe bei X o liegen, naherungsweise zu berechnen, bietet sich die beste lineare Approximation 1 an (vgl. Abschnitt 8.1.4, (8.9)). Man ersetzt die Funktion f durch = l. Der Graph von Jist, wie in Abschnitt 8.1.4 deutlich gemacht wurde, die Tangente an den Graphen von f im Punkte P(x o, f(x o)) (vgl. Bild 8.10).

J

Es ist (8.18) Die Differenz der Funktionswerte f(x o + h) und f(x o) bezeichnet man als Zuwachs der Funktion f an der Stelle X o und schreibt dafur ~y = f(x o + h) - f(x o).

382

8 Differentialrechnung

x Bild 8.10: Linearisierung cler Funktion f

Ais Zuwachs dy der zugehorigen Funktion

j an der Stelle X o erhalten wir aus (8.18)

dy = j(x o + h) -j(x o) = h· f'(x o).

(8.19)

Das gibt AniaB zu folgender Definition 8.9 Es sei f: X 1---+ f(x) = y an der Stelle xoEDf differenzierbar und h #- O. Man nennt das Produkt f'(x o)· h Differential der Funktion f an der Stelle X o zum Zuwachs h. Schreibweise: dy = df(x o) = f'(x o)· h. Das Differential dy einer differenzierbaren Funktion f mit f(x) = y an der Stelle X o HiBt sich aufgrund von (8.19) als Zuwachs der Tangentenordinate fiir den Argumentenzuwachs h deuten (vgl. Bild 8.10). Beispiel 8.44 a) fl:X 1---+ fl(X) = x 2. Wegen f~ (x) = 2x ist dfl(X) = d(x 2 ) = 2xh b) f2:

X 1---+ f2(X)

c) f3(X) =

= sinx. Aus

-

f~(x)

= cosx ergibt sich df2(X) = d(sinx) = h·cosx 1

-

h

J x, x > o. Es ist f~(x) = 2J-x und folglich df3(X) = dJx = 2J-'x x > O.

Fiir die Funktion f mit f(x) = x erhalt man, wegen f' (x) = 1, df(x) = dx = 1· h. Es ist somit h = dx, d.h. h kann als Differential der identischen Funktion an der Stelle x aufgefaBt werden. Das Differential einer an der Stelle x differenzierbaren Funktion f: X 1---+ f(x) = y kann folglich auch in der Form

df(x) = dy = f'(x)·dx

(8.20)

geschrieben werden. dy und dx nennt man Differentiale. Wegen dx = h #- 0 erhlilt man aus (8.20) dy = df(x) dx dx

= rex).

(8.21)

8.4 Das Differential einer Funktion

383

dy ist der Quotient zweier Differentiale. Man nennt ihn daher Differentialquotient. Die Bezeichdx nung Differentialquotient fur die Ableitung ist wegen (8.21) nachtraglich gerechtfertigt. Daher ist die Sprechweise »d y durch dx« moglich. d d Hingewiesen sei noch auf die Schreibweise - f. Hier wird das Zeichen»-« als ein Operationsdx dx zeichen angesehen, es fordert also auf, die Ableitung von f zu bilden.

Beispiel 8.45 d dx

a) -(x 2 +7x-3)=2x+7;

d dt

d da

b) -(e-tsint)=(cost-sint)e- t; c) -(a 2 +ab+b 2 )=2a+b.

Beispiel 8.46 Die Funktion f:

x~ f(x)

= eX solI an der Stelle X o = 0 linearisiert werden.

Wegen f(O) = 1, f'(O) = 1 ergibt sich aus (8.18) die Funktion J: x~ J(x) = 1 + x. So ist z.B. f(O,l) = 1,10517 ... , f(O,Ol) = 1,01005 ... , f(O,OOl) = 1,0010005 ... , J(O, 1) = 1,1, J(O,Ol) = 1,01, J(O,OOl) = 1,001.

Man schreibt J(O,OOl) ~ f(O,OOl) 1). Zusammenfassend sei noch einmal die Entwicklung von der Ableitung zum Differentialquotient dargestellt: 1. Die Ableitung f'(x) wird als Grenzwert des Differenzenquotienten erklart. 2. Mit Hilfe der Ableitungund der GroBe h =I- wird das Differential dy = df(x) der Funktion f mit x~ y = f(x) an der Stelle x definiert. 3. Es stellt sich heraus, daB h als Differential der identischen Funktion an der Stelle x gedeutet werden kann, d.h. es ist h = dx. 4. Damit kann die Ableitung f'(x) auch als Quotient der beiden Differentiale df(x) und dx an der Stelle x geschrieben werden.

°

8.4.2 Anwendung in der Fehlerrechnung

Es sei f: D~~ mit f(x) = y eine in XED differenzierbare Funktion. Mit Hilfe von (8.10) laBt sich der Funktionszuwachs ~y von f an der Stelle x auch wie folgt darstellen: ~y

°

= f(x + h) - f(x) = h· f'(x) + h· B(h), wobei lim B(h) = ist. h-+O

Beachten wir Definition 8.9 (dy = h· f'(x)), so folgt ~y-dy

- - - = B(h), woraus lim h

h-+O

1) Gelesenf(0,001) ungefahr f(0,001).

~y-dy

h

°

= folgt.

~y

°

= dy + h· B(h). Fur h =I- ist daher

384

8 Differentialrechnung

Ersetzt man den Funktionszuwachs ily durch das Differential dy, so geht nicht nur der Fehler, der dabei begangen wird, namlich die Differenz ily - dy, gegen Null fur h gegen Null, sondern sogar cler Quotient aus dem Fehler ily - dy und h (vgl. (8.9) auf Seite 352). In diesem Sinne gilt ily ~ dy = f'(x)' h

ily ~ f'(x)' dx,

bzw.

(8.22)

falls h = dx gesetzt wird. Es solI nun untersucht werden, wie sich ein Fehler der GroBe x auf eine von x abhangige GroBe y auswirkt (Fehlerfortpflanzung).

Gegeben sei eine Funktion f mit f(x) = y, x sei ein (z.B. durch einen MeBfehler entstandener) Naherungswert der GroBe x und b eine obere Schranke fur den absoluten Fehler von x. Setzen wir dx = x - x, so gilt offenbar Idxl ~ 6. Ais Naherungswert von y = f(x) erhalt man y = f(x). Gesucht ist eine obere Schranke fur den absoluten Fehler lilyl = Iy -

yl = If(x) - f(x) I = If(x + dx) - f(x)l·

Mit (8.22) erhalten wir eine Schatzung fur den absoluten Fehler von y lilyl

~

Idyl = If'(x)I'ldxl

Fur den relativen Fehler von

~

/f'(x)l·b.

y erhalt man daraus

I~:I ~ 171 = IfiX)lo'dX ~ Iff)loo 1

Beispiel 8.47 Die Kantenlange eines Wurfels wird mit einem Mikrometer gemessen. Die Messung ergibt (50 ± 0,01)mm. Es solI das Volumen des Wurfels angegeben werden, sowie eine Fehlerschatzung, die durch die Ungenauigkeit der Messung bedingt ist. Wegen V = x 3 setzen wir f: x~ f(x) = x 3 . Fur x = 50 ergibt sich V = f(50) = 125000. Der absolute Fehler lil VI kann durch

lil VI

~ If'(x)I'ldx/ ~ I f'(x)/·b

mit 6 = 10- 2

geschatzt werden. Wegen f'(x) = 3x 2 erhalt man

lil VI

~ 3x 2 '1 dxl ~ 3x 2 ·b.

Fur x = 50 und b = 10- 2 ergibt sich

lilVI ~ 75, d.h. 124925mm 3 ~ V Der relative Fehler betragt

was einem Fehler von 0,6%0 entspricht.

~ 125075mm 3 .

8.4 Das Differential einer Funktion

385

Wie oben erwahnt wurde, kann mit Hilfe des Differentials die Fehlerschranke lediglich geschatzt werden. In diesem Beispiel konnen wir den Fehler wegen der Monotonie von f genauer einschranken. Wegen f(49,99) = 124925,015

und f(50,01) = 125075,015 gilt

124925,015mm ~ V ~ 125075,015mm 3 • 3

Vergleichen wir dieses Ergebnis mit dem, welches wir mit Hilfe des Differentials erhalten haben, so ist die Schatzung nicht wesentlich verbessert worden. Folgendes Beispiel verdeutlicht etwas besser den Vorteil der Fehlerschatzung mit Hilfe des Differentials. Beispiel 8.48 In einem Dreieck ABC seien die Seiten b und c genau gemessen, wahrend der Winkel rx nur innerhalb einer Toleranz von Idrxl < b gemessen werden kann. In welchen Fehlergrenzen bewegt sich der berechnete Wert von a? Es ist f: rx~ f( rx) = a = Jb 2 durch

+ c2 -

2bc' cos rx (Kosinussatz). I~a I berechnet man naherungsweise

Idal = 1~~I·ldal. Wegen

df

bc' sin rx 2

bc' sinrx

2

Jb +c -2bc·cosrx

drx

a

ergibt sich fiir den Betrag des absoluten Fehlers

bc' sinrx a

I~al ~--·Idrxl·

Zahlenbeispiel: b = 300m, c = 500m, rx = 60°, woraus a =435,889 ... m und weiter I~al ~ 298,0'ldrxl folgt. Bei 10" MeBgenauigkeit von rx, d.h. c5 = 4,8'10- 5 (BogenmaB) ergibt sich I~al ~ 1,44'10- 2 m = 1,44cm.

Das entspricht einem relativen Fehler von 0,0033 0/0. Aufgaben 1. Bilden Sie zu den folgenden Funktionen f das Differential df(x o)' a) f(x) = 7x 3

c) f(x)

=

2. Es sei f: a)

~y

-

2x, X o = 2;

cos x, X o = XH

f(x)

=

n

"3;

1

b) f(x)=--1,x o =3;

x-

d) f(x) = lnx, X o = 1.

x 3 - 6x. Bestimmen Sie

= f(x + ~x) - f(x);

b) dy;

c)

~y-dy.

386

8 Differentialrechnung

3. Fur we1che Funktionen gilt

~y =

dy?

4. Berechnen Sie: d 2 a) dx (ax

d

b) cit(a'e-t'sinwt);

b·cosx);

-

d c) da(a'b-x'sina);

d) -

d

du

(u'sin v - v·cosu).

5. Geben Sie zu folgenden Funktionen den Linearisierungsterm

a) f(x) =

x 2

x +x-4

' Xo

= 3;

c) f(x)=~,xo=O; e) f(x)=

1

~,xo=O;

y l-x 2

b) f(x)

= 19x, X o = 1;

d) f(x)

= 1""1-:' X o = 0;

J an der Stelle X o an.

1

yl-x

f) f(x) = 2'sin2x, X o = O.

6. Bei einem mathematischen Pendel mit der Lange I kann (fur kleine AusschHige) die Schwingungszeit T durch die Formel

T=2n·A berechnet werden. gist dabei die Erdbeschleunigung (9,81 ms- 2 ). Auf wieviel Prozent genau kann man die Schwingungsdauer T angeben, wenn man die Pendellange auf 1% genau bestimmt?

7. Mit Hilfe eines Pendels, dessen Lange exakt 1mist, solI die Erdbeschleunigung g auf funf Stellen hinter dem Komma genau bestimmt werden. Wie genau muB dann die Angabe der Schwingungsdauer (vgl. Aufgabe 6) wenigstens sein?

8. Beim Erwarmen einer Kugel mit dem Radius 20cm wird der Durchmesser urn 1mm groBer. Wie groB ist ungefahr die Volumenzunahme? 9. Das Brechungsgesetz von Snellius lautet slna --=n. sin 13 Dabei ist a der Einfallswinkel (gegen das Einfallslot), 13 der Winkel zwischen Lichtstrahl und Einfallslot nach der Brechung und n ~ 1 der Brechungsindex (Materialkonstante). Wie groB ist der relative Fehler bei der Berechnung des Brechungswinkels 13, wenn der Einfallswinkel a mit einem Fehler ~a gemessen wurde, und der Brechungsindex als genau bekannt vorausgesetzt wird (vgl. Bild 8.11)?

Bild 8.11: Brechungsgesetz

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

387

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung In diesem Abschnitt sollen mehrere Satze bewiesen werden. Sie dienen hauptsachlich zum Beweis anderer wichtiger Satze, haben jedoch kaum eigenstandige Bedeutung.

8.5.1 Satz von Rolle Der Mittelwertsatz wird auf den Satz von Rolle zuriickgefiihrt. Zum Beweis dieses Satzes ist es niitzlich, zunachst einige Vorbemerkungen zu machen. Definition 8.10. Die Funktion f: Df -+ [R besitzt an der Stelle xoEDf ein relatives Maximum bzw. relatives Minimum, falls es eine l5-Umgebung U£5(X O) c Df von Xo gibt, in der fur alle x gilt f(x o) ~ f(x) bzw. f(x o) ~ f(x).

Bernerkungen: 1. Nach Definition 8.10 werden nur solche xoED f zugelassen, fur die auch Uix o) c Df ist, d.h. ein relatives Maximum bzw. Minimum kann niemals ein Randpunkt oder ein isolierter Punkt sein. 2. Da es nur auf eine Umgebung von x o ankommt, spricht man auch von einem lokalen Maximum bzw. lokalen Minimum. 3. Will man offenlassen, ob es sich urn ein Maximum oder Minimum handelt, spricht man von einem relativen Extremum oder lokalen Extremum. 4. Eine Funktion kann mehrere relative Maxima und Minima haben.

Bild 8.12 zeigt einige relative Extrema. Satz 8.22

Wir verzichten auf einen Beweis. Die Funktion f in Bild 8.12 a) bzw. b) hat an der Stelle x o ein relatives Maximum bzw. Minimum, das gleichzeitig (vgl. Abschn. 4.33, Definition 4.14) absolutes Maximum bzw. Minimum ist. Mehrere relative Maxima, namlich die Stellen Xl und X 3 , zeigt Bild 8.12 c). Die Stellen X 2 und X 4 sind relative Minima. Absolutes Maximum und absolutes Minimum wird in Bild 8.12 c) jeweils am Rand angenommen. Wahrend in Bild 8.12 a) bis c) die lokalen Extrema Tangenten besitzen, die parallel zur x-Achse (waagrecht) verlaufen, ist in Bild 8.12 d) der Graph einer Funktion dargestellt, die an der Stelle X o nicht differenzierbar ist, d. h. der Graph von f hat dart keine waagrechte Tangente. Es gilt j'edoch folgender

8 Differentialrechnung

388

a)

b)

y

y ((xo)

~ I

f(x~

c)

d)

y

y

~ x

x

x

Bild 8.12a-d: Relative Extrema

Satz 8.23 (Satz von Fermat)

Beweis:

Der Beweis wird fur ein relatives Maximum gefuhrt. Er HiBt sich auf ein relatives Minimum ubertragen. Nach Voraussetzung existiert eine b-Umgebung Uc5 (X O) c I von x o, so daB f(x) ~ f(x o) fur alle XE Uc5 (X O) gilt. Danach gilt fur alle h mit X o + hE Uc5 (X O): f(x o + h) - f(x o) ~ O. Also ist f(x o + h) - f(x o) < 0 f· h 0 h == ur > ,

f(x o + h) - f(x o) > 0 f· h 0 h == ur < .

Beachte: Der Zahler ist stets nicht positiv, der Nenner hat das Vorzeichen von h. Fur die einseitigen Ableitungen an der Stelle X o gilt daher 1"(

) == 1·

J I Xo

1m

hiO

f(x o + h) - f(x o) > 0 d == un h

1"(

) == 1·

J r Xo

1m

hlO

f(x o + h) - f(x o) < 0 == . h

fist nach Voraussetzung an der Stelle X o differenzierbar, d.h. es gilt f/(x o) == f; (x o), woraus f'(x o ) == 0 folgt. • Bemerkungen:

1. Der Satz von Fermat (Satz 8.23) ist nicht umkehrbar. Dazu ein Gegenbeispiel. Die Funktion f: XH f(x) == x 3 ist auf ~ differenzierbar, und es gilt f'(O) == O. Trotzdem besitzt f an der Stelle o kein relatives Extremum, da f auf ~ streng monoton wachsend ist. f'(x o ) == 0 ist somit nur eine notwendige (keine hinreichende) Bedingung fur das Vorhandensein eines relativen Extremums. 2. Die Differenzierbarkeit von f an der Stelle X o ist (wie beim Beweisgang schon ersichtlich) eine wesentliche Voraussetzung des Satzes von Fermat (Satz 8.23). Die Funktion f: XH Ix I, besitzt z.B. an der Stelle 0 ein relatives (und gleichzeitig absolutes) Minimum, jedoch existiert dort nicht die 1. Ableitung.

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

389

Definition 8.11 Es sei f: D ~ fR und xoED. Die Stelle X o heiBt stationare Stelle der Funktion f, wenn der Graph der Funktion f im Punkte P(x o, f(x o)) eine waagrechte Tangente besitzt, wenn also gilt f'(x o) == o. Damit kann der Satz von Fermat (Satz 8.23) auch so formuliert werden: Hat eine an einer Stelle X o differenzierbare Funktion f an dieser Stelle ein lokales Extremum, so ist X o eine stationare Stelle der Funktion f. Satz 8.24 (Satz von Rolle)

Bemerkung:

Geometrisch besagt der Satz von Rolle (vgl. Bild 8.13a und b)), daB der Graph einer auf [a, b] stetigen und auf (a, b) differenzierbaren Funktion f unter der Voraussetzung f(a) == f(b) mindestens einen Punkt P( ¢, f( ¢)) mit einer waagrechten Tangente besitzt. In Bild 8.13 b) sind es zwei Stellen ¢1 und ¢2 mit f'(¢l) == f'(¢2) == o.

a}

b)

y

y

c.......---~-----~--~

c+----fL-------4--~------.

f(b)

'(0)

a

b

fro)

x

a

~2

b

x

Bild 8.13a, b: Satz von Rolle

Beweis von Satz 8.24

Wir unterscheiden zwei FalIe:

1. Fall: Gilt ftir aIle XE [a, b]: f(x) == f(a), so ist die Behauptung trivial, denn dann gilt ftir jedes ¢E(a, b): f'(¢) == o. 2. Fall: Gibt es eine Stelle xE[a, b] mit f(x) =I- f(a), so nimmt f nach dem Satz von WeierstraB (Abschn. 4.3.3, Satz 4.15) im Intervall [a,b] sowohl ihr Maximum M als auch ihr Minimum man. Wenigstens eine dieser beiden Zahlen (M oder m) muB von f(a) verschieden seine Daher muB eine Stelle ¢E(a, b) existieren mit f(¢) == Moder f(¢) == m. f hat daher an der Stelle ¢ ein relatives Extremum. Die Voraussetzungen des Satzes von Fermat (Satz 8.23) sind erftillt, somit ist f'(¢) == O. •

390

8 Differentialrechnung

Aus dem Satz von Rolle folgt unmittelbar: Zwischen zwei verschiedenen N ullstellen einer auf einem Intervall differenzierbaren Funktion liegt mindestens eine Nullstelle ihrer Ableitungsfunktion.

8.5.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung LaBt man bei den Voraussetzungen des Satzes von Rolle (Satz 8.24) die Bedingung f(a) == f(b) weg, so ist anschaulich klar, daB der Graph von f nicht unbedingt einen Punkt mit waagrechter Tangente zu besitzen braucht. Man kann aber auch in diesem allgemeineren Fall einen Satz angeben, der dem Satz von Rolle entspricht. Satz 8.25 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

.... ~

Bemerkung:

Durch die Punkte A(a, f(a)) und B(b, f(b)) ist eine Gerade g (Sekante) mit der Steigung m S

f(b) - f(a) b- a

== tan rx == - - - S

gegeben. Der Mittelwertsatz besagt daher geometrisch, daB es mindestens einen Punkt Po(~, f(~)) gibt, in welchem die Steigung des Graphen von f gleich der Steigung m s der Geraden gist (vgl. Bild 8.14). Es kann u.U. auch mehrere Punkte mit dieser Eigenschaft geben.

t

y

f(~)

f(b)

b Bild 8.14: Mittelwertsatz cler Differentialrechnung

Beweis zu Satz 8.25

Wir konstruieren eine Hilfsfunktion h durch h: x~h(x) == f(x) - s(x),

x

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

391

wobei s die Funktion ist, deren Graph die Gerade 9 durch die Punkte A(a, f(a)) und B(b, f(b)) ist. Daher gilt (vgl. Bild 8.14) s: XI--->s(x) = feb) - f(a) . (x - a) + f(a). b-a s und damit auch die Funktion h ist auf [a, bJ stetig und auf (a, b) differenzierbar. Aus h(x) = f(x) - f(a) -

f(b) - f(a) b-a

. (x - a) folgt h(a) = h(b) = O.

Fiir h sind somit die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfiillt. Es gibt also ein ~E(a, b) mit O. f(b) - f(a) f(b) - f(a) Wegen h'(x) = f'(x) ergibt sich h'(~) = 0 = f'(~) , woraus die Behaupb-a b-a tung von Satz 8.25 folgt. • h'(~) =

Der Mittelwertsatz HiBt sich auch in der Physik anwenden. 1st s: tI-~s(t), t 1

~

t ~ t 2 eine Weg-Zeit-

· . M assenpun k tes M (s sel. au f [ t , t ] d'luerenZler A" . b) . s( t2) - s( t 1) d'Ie elnes ar, so 1st F un k hon 1 2 t2 - t1

Durchschnittsgeschwindigkeit des Massenpunktes wahrend der Zeit von t 1 bis t 2 . Der Mittelwertsatz besagt dann, daB es im Verlaufe der Bewegung von M sicherlich einen Zeitpunkt ~ (t 1 < ~ < t 2 ) gab, an dem die Momentangeschwindigkeit s(~) gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit war. Beispiel 8.49 Ein Beobachter in einem anfahrenden D-Zug sieht einen mit gleichformiger Geschwindigkeit iiberholenden Giiterzug, der nach einer gewissen Zeitspanne wieder eingeholt ist, und stellt fest, daB es einen Zeitpunkt gab, an dem der Giiterzug yom Schnellzug aus betrachtet stillzustehen schien. Dies entspricht der Behauptung des Mittelwertsatzes. Manchmal ist es vorteilhaft, andere Schreibweisen fiir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 8.25) zu verwenden. a)

~ ist ein Punkt des offenen 1ntervalls (a, b). Deshalb kann statt ~ auch ~ = a + (b - a)'3 geschrieben werden, wobei 0 < 3 < 1 vorausgesetzt werden muB. Multipliziert man (8.23) mit (b - a), so ergibt sich

f(b)- f(a)=(b-a)·f'(a+3(b-a)),

0<3< 1.

(8.24)

b) Setzt man a=x, b=x+h und damit b-a==h, so ergibt sich aus (8.24)

f(x

+ h) =

f(x)

+ h· f'(x + 3h),

0 < 3 < 1.

(8.25)

Beispiel 8.50 Es sei a > O. Fiir die Funktion f: [a, b]

feb) - f(a) = f'(~) ist. b-a

~ [R

1 mit f(x) == - solI ein x

~E(a, b)

so bestimmt werden, daB

392

8 Differentialrechnung

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

393

Satz 8.26

Beweis: a) Wir wahlen ein beliebiges xE(a, b). 1m Intervall [x, b] erfullt f die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (Satz 8.25), daher existiert ein ~ E(X, b) mit f(x) - f(b) == f'(~)·(x-b). Nach Voraussetzung ist f'(~) == 0, woraus f(x) - f(b) == 0, d.h. f(x) == f(b) fur aIle xE(a, b) folgt. Da f auf [a, b] stetig ist, gilt lim f(x) == f(a) und lim f(x) == f(b). Folglich ist f(x) == f(a) == f(b) fur aIle xE[a,b]. xla xjb

b) Wir betrachten die Funktion h == f - g. Wegen h'(x) == f'(x) - g'(x) == fur aIle xE(a, b) kann Teil a) des Satzes auf die Funktion h angewandt werden. Es ist somit h(x) == h(a), woraus f(x) - g(x) == f(a) - g(a) fur alle xE[a, b] folgt. •

°

Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 8.25) laBt sich auch folgender, bereits auf Seite 368 angedeuteter Satz beweisen. Satz 8.27 (Satz von Darboux)

Beweis: Nach Voraussetzung ist f;(a) 1= f;(b), so daB wir etwa f{(b) < f;(a) annehmen konnen. Es sei AEIR eine beliebige Zahl zwischen f{(b) und f;(a), d.h.

f;(b) < A < f;(a).

(8.26)

Wir haben zu zeigen, daB es zu diesem AEIR ein xoE(a, b) gibt mit f'(x o) == A. Dazu betrachten wir die Funktion g mit g(x) == f(x) - AX. gist auf [a, b] differenzierbar, und es gilt

g': x~g'(x) Wegen

g~(a) ==

==

f'(x) - A.

f;(a) - A und g;(b) == f{(b) - A folgt mit (8.26)

g~(a)

>

°

und

(8.27) g~(b) <

0.

Aufgrund des Satzes von WeierstraB (Abschn. 4.3.3, Satz 4.15) besitzt die stetige Funktion g auf [a, b] efu absolutes Maximum. Wir zeigen, daB das Maximum nicht auf dem Rand angenommen wird. Wurde niimlich g( x) :;:;; g(a) fur jedes x E [a, b] gelten, so wurde wegen g'(() = g(x) - g(a) :;:;; 0, x-a a < ~ < x, g~(a) ~ folgen, was ein Widerspruch zu g~(a) > ist.

°

°

Analog laBt sich zeigen, daB das absolute Maximum von g nicht an der Stelle x == b sein kann. Daher wird das Maximum von g im Innern von [a, b] angenommen und ist nach Satz 8.22 ein

394

8 Differentialrechnung

relatives Maximum. Foiglich existiert ein xoE(a, b), fur welches die Funktion g ein relatives Maximum besitzt. Wegen dem Satz von Fermat (Satz 8.23) gilt dann g'(X O) = O. Aus (8.27) folgt nun die Behauptung. • F olgerungen

1. Da es differenzierbare Funktionen gibt, deren Ableitungen nicht stetig sind (vgl. Beispiel 8.31),

kann die Zwischenwerteigenschaft allein die stetigen Funktionen nicht kennzeichnen. 2. 1st f auf [a, b] differenzierbar und f' auf [a, b] monoton, so ist f' stetig auf [a, b]. (Auf den Beweis sei verzichtet.)

8.5.3 Die Taylorsche Formel

Ziel dieses Abschnittes ist es, Funktionen »m6glichst gut« durch ganzrationale Funktionen anzunahern (zu approximieren). Dazu mussen wir zunachst erklaren, was man unter »m6g1ichst gut« zu verstehen hat. Man kann z.B. verlangen, daB die ersten n Ableitungen der zu approximierenden Funktion f an der Stelle X o mit den Ableitungen der approximierenden ganzrationalen Funktion P an der Stelle X o ubereinstimmen. Diese Approximation ist nur anwendbar, wenn f an der Stelle X o entsprechend oft differenzierbar ist. Wir wollen schrittweise dieses Verfahren erlautern. Es sei f an der Stelle X o differenzierbar. Fur die approximierende ganzrationale Funktion Pi gilt Pi (x) = f(x o) + f'(XO)'(x - x o)· Offensichtlich ist dann Pi (x o) = f(x o) und P'i (x o) = f'(X O)' Dieses Ergebnis HiBt sich geometrisch deuten. Der Graph von Pi ist die Tangente an den Graphen von f im Punkte P o(x o, f(x o)) (vgl. Bild 8.16). Man sagt, die Funktion Pilinearisiert die Funktion f in einer Umgebung von X o (s. auch Bild 8.10). 1st f an der Stelle X o (mindestens) n-mal differenzierbar, so kann zur Approximation eine ganzrationale Funktion n-ter Ordnung verwendet werden, namlich Pn mit (8.28) Wegen n

p:(x) =

f(k)(X)

k~l (k _ 1~! o(x -

n f(k)(X ) (i)(x) = ~ _ _ 0 '(x _ Pn i...J. (k _ ')' k=l l .

n

XO)k- \

X

)k-i 0'

f(k)(X )

~ __ 0.( Pn"( x )_ - i...J ,x _

k=2(k-2).

)k-2., ...

Xo

i= 1,2, ... ,n

gilt

An der Stelle X o stimmen also die ersten n Ableitungen von f mit denen von Pn uberein. Pn heiBt Taylorsches Naherungspolynom n-ter Ordnung der Funktion f fur die Entwicklungsstelle x o' Den Graph von Pn nennt man Schmiegeparabel n-ter Ordnung.

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

395

Definition 8.12 1st f an der Stelle x o (mindestens) n-mal differenzierbar, dann heiBt die ganzrationale Funktion Pn mit n

f(k)(X ) O

Pn(x) = k~o-k-!_·(x -

XO)k

das n-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x o. Beispiel 8.52 Das n-te Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt 0 der Funktion f: men. Wegen f(i)(x) = eX, also f(i)(O) = eO = 1, iEN o gilt nach (8.28)

n xk

P (x) = n

x2

x~ f(x)

= eX ist zu bestim-

xn

I - = 1 +x+-+ ... +k=O k! 2! n!'

x2 insbesondere also Po(x) = 1, Pi (x) = 1 + x, P2(X) = 1 + x +-, P3(X) = 1 + x 2!

x2 2!

x3 3!

+ - +-.

In Bild 8.16 sind der Graph von fund die ersten drei Schmiegeparabeln eingezeichnet.

y

2

- - - - - - - - - - Po

-1

x

Bild 8.16: Schmiegeparabeln der e-Funktion

Urn zu quantitativen Aussagen iiber die »Giite« der Approximation von f durch Pn zu gelangen, untersuchen wir die Differenz Rn =

f -

Pn-

Der folgende Satz gibt eine Abschatzung fiir R n an.

(8.29)

396

8 Differentialrechnung

Satz 8.28 (Satz von Taylor)

Bemerkungen: n f(k)(a) - - ( b - a)k das n-te Restglied. k=O k! Mit der Taylorschen Formel erhalten wir eine Darstellung des Restgliedes, namlich f(n+ 1)(~) R n == '(b - a)n+ 1, die man auch als Lagrangesche Form des Restgliedes bezeichnet. (n + 1)! 2. 1st f eine ganzrationale Funktion m-ten Grades und n > m, dann ist f(n + 1)(~) == 0, also auch R n == O. Wir erhalten so die Taylorsche Formel fur ganzrationale Funktionen. 1. Man nennt (8.30) Taylorsche Forme} und R n == f(b) -

I

Beweis des Satzes von Taylor: Die Behauptung ergibt sich aus dem Satz .von Rolle (Satz 8.24). Dazu betrachten wir die Hilfsfunktion h: [a, b] ~ rR mit , f(n)(x) n (b - x)" + 1 h(x) == f(b) - f(x) - f (x)(b - x) - ... - --'(b - x) - A . n! (n + 1)! Wegen h(b) == 0 legen wir AE rR durch die Bedingung h(a) == 0 fest. h ist aufgrund der Voraussetzungen an f auf [a,b] stetig und auf (a, b) differenzierbar. Damit sind die Voraussetzungen an h fur den Satz von Rolle gegeben. Wir erhalten aus n f(k)(X)(b _ X)k (b _ x)n+ 1 h(x)=f(b)- k~O k! -,.1,. (n+ I)!

(8.31)

mit Hilfe der Produktregel n f(k + 1 )(x)

h'(x) ==

-

I

'(b - X)k

k=O

k!

+

n

f(k)(X)

I -'--'(b -

(b

X)k-1

k=1(k-1)!

x)n

+ A·---. n!

Durch Umbenennung des Index in der zweiten Summe ergibt sich n-1 f(k+ 1)(X) h'(x) == -

I

k=O

k!

f(n+ 1)(X) '(b - X)k -

n!

'(b - x)" +

n-1 f(k+ 1)(X)

I

k=O

k!

(b - x)"

'(b - X)k

+ A'-n!

'

woraus f(n+ l)(X) h'(x) ==

-

n!

(b - x)" '(b - x)" + A ' - - folgt. n!

Nach dem Satz von Rolle gibtes ein d.h. es ist A == .f(n + 1)( ~). Einsetzen von x == a und A == f(n+

~E(a,b)mit h'(~)

1)(~)

== 0, also 0 ==

f(n + 1)(~)

in (8.31) liefert die Behauptung.

n!

'(b -~)"

(b -

~)"

+ A'--, n!

•

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

397

Durch Umbenennungen erhalt man folgende andere Darstellungen des Taylorschen Satzes. a) b == x, a == X o und ( == X o + S(x - x o) mit SE(O, 1): . '.

'

.

~~~;~

. .

.

:

......

.:."

·

.

'

'

·

dabei ist

b) b == X o + h, a == x o , ( == X o + Sh mit 9E(O, 1): ·

.'

.

.

.

:.

.

.'

".

.·.dabeiist

.

...•..:......•.......:.

." ·

."

. ·

'.

'..

°ergibt sich aus (8.34) und (8.35) der Mittelwertsatz. c) Setzt man in (8.34) und (8.35) == °und h == x, so erhalt man die sog. MacLaurinsche Form der Taylorschen Formel Fur n ==

Xo

:

'.'

."

.'

..

'

:.

..

.

.

dabelist . ....

.

.

"':'

Die Bedeutung des Satzes von Taylor (Satz 8.28) liegt im wesentlichen darin, daB mit Hilfe der Darstellung von R n der Fehler abgeschatzt werden kann, den man begeht, wenn die Funktion f durch ein Polynom Pn angenahert wird. Wir kommen zuruck auf Beispiel 8.52. Mit Hilfe des Satzes von Taylor (Satz 8.28) erhalt man

mit dem Restglied (s. (8.37)) . .

'.

.

'.

..

".

.

..

..

.

'

.

:.

'. '.

.

.' '.

....

. .

.'

...

.

"-

:

.

8 Differentialrechnung

398

Zur Abschatzung von R n beachten wir, daB aus 0 < 9 < 1 die Ungleichung 9x wegen der Monotonie der Exponentialfunktion schlieBlich

IRnl

Ixln+ 1

~ e1xl . _ -

-

(n+1)!

flir aIle

XE[R

und

~

91xI

~

Ixl und

(8.40)

nEN

folgt. Wird die Exponentialfunktion durch die ganzrationale Funktion Pn in (8.38) ersetzt, so hat man durch (8.40) die Moglichkeit, den Fehler, der dabei begangen wird, abzuschatzen. Wie in Abschn. 3.3.1 mit Beispiel 3.26 gezeigt wurde, gilt Ixln+ 1 lim IRnl == lim e8x • _ _ == 0 n-'>CX) n-'>CX) (n+1)!

flir aIle xE[R.

(8.41)

Dies bedeutet, daB man flir jedes XE [R den Funktionswert f(x) == eX von f durch den Polynomwert Pn(x) beliebig genau approximieren kann. Wahlt man n nur genligend groB, dann wird IRnl (der dabei auftretende Fehler) namlich beliebig klein (theoretisch). Flir einige elementare Funktionen wollen wir das n-te Taylorpolynom bestimmen und gleichzeitig das Restglied angeben. Dazu verwenden wir die MacLaurinsche Form (8.36) und das Restglied (8.37) der Taylorschen Forme!. Beispiel 8.53 Fur die Funktion f mit f(x) == sin x, DJ ==

[R

ist das Taylorpolynom mit Restglied anzugeben.

Aus (8.14) und (8.15) folgt

f(2k+ 1)(0) == (-1)\ f(2k)(0) == 0 flir aIle kE No, f(2n+ 1)(9x) == (-It·cos(9x). Wegen j'(2n)(0) == 0 flir aIle nE N ist P2n-1 == P2n' d.h. man kann wahlweise das Restglied R 2n - 1 bzw. R 2n verwenden. EntschlieBt man sich flir das letztere, so erhalten wir ..

.

..

.. :

.

...

. ... .

..

:

wobei ..

.. ..

...

.. .

.. .

..

....

.

Aus Icos(.9x)1

..

.

.

.

...

.

~ 1 folgt fur IR 2n l unmittelbar die Abschiitzung IR l ~ g~:+I;! und wie in (8.41) 2n

folgt lim IR 2n == o. l

Beispiel 8.54 Flir die Funktion f: x~ f(x) == (1 + xY\ DJ == (-1,00) mit Restglied anzugeben (MacLaurinsche Form).

CtE[R

ist das Taylorpolynom mit

8.5 Mittelwertsatz der Differentialreehnung

399

Es ist f(k)(X) = ex(ex - 1)· (ex - k + 1)(1 + Xyx-k fur aIle kEN, also f(k)(O) = ex(ex - 1)· .... (ex - k + 1), j(n + 1)( 9x) = ex(ex - 1)' (ex - n)(l + 9x)a-n-1. j(k)(O) ex(ex - 1)' ... '(ex - k Beaehtet man - - = k! k! 1.4.4

\ ..

+ 1)

und setzt in Analogie zur Definition 1.6 in Absehn.

..

\

so ergibt sieh aus dem Satz von Taylor (Satz 8.28): Es gibt mindestens ein 9E(O, 1), so daB

wobei .

... ...

.

..

...

.

. ..

.......

~

...

.. ..

.

.

.

ist. Ohne Beweis sei mitgeteilt, daB lim R n = 0 fur aIle

x mit Ixl < 1 gilt.

n~CX)

Beispiel 8.55 In der relativistisehen Meehanik wird einem freien Teilehen mit der Masse m und der Gesehwindigkeit v die Energie me 2

E=

)1-

v

(8.43)

2

e2

zugeordnet (e bedeutet dabei die Liehtgesehwindigkeit). Die Energie eines freien Teilehens versehwindet fur v = 0 nieht, sondern hat den endliehen Wert E = me 2 . Sie wird Ruhenergie des Teilehens genannt. v

Entwiekeln wir (8.43) naeh Potenzen von -, so erhalten wir wegen (8.42) e

mv 2

1st v klein gegenuber e 1 ), so erhalten wir die Naherungsformel E ~ me 2 + - , d.h. bis auf die 2

Ruhenergie den klassisehen Ausdruek fur die kinetisehe Energie des Teilehens. ') daftir schreibt man v« c.

400

8 Differentialrechnung

Beispiel 8.56 Fur die Funktion f mit f(x) == In(1 + x), D f == ( -1, (0) ist das Taylorpolynom mit Restglied in der MacLaurinschen Form anzugeben. Wegen f(O) == 0, f(k)(X) ==

( -1)k-l(k - I)! k fur alle kEN (wie man z.B. durch vollstandige Induktion (1 + x)

beweisen kann) f0 19t f(k)(O) == (_I)k-l(k -I)!, f(n+ 1)(9x) == (-It·

(1

n'.

.

+ 9xt+ 1

Daher gibt es (aufgrund des Satzes von Taylor (Satz 8.28)) mindenstens ein 9E(O, 1), so daB

wobei

:

...

.

.

.

.

:

...

..

:

ist. Fur 0 ~ x

~

1 UiBt sich R n wie folgt abschatzen: IR n I == 1

:

1 xn + 1 xn + 1 1 9 ) + 1. _ - ~ - - ~ - - , da (1 + x n n+ 1 n+ 1 n+ 1

aus 1 + 9x 2:: 1 die Ungleichung - - ~ 1 folgt. 1 + 9x1

°

1

Wegen 0 ~ IR n I ~ - - und lim - - == 0 folgt fur ~ x ~ 1: lim IR n I == 0 (vgl. Abschn. 3.2.2, Satz n+l n CX)n+1 n CX) 3.7). Dasselbe gilt (wie man zeigen kann) auch fur -1 < x ~ O. Damit ist lim R n == 0 fur alle x mit -1 < x ~ 1. Fur x> 1 ist R n nicht konvergent. n CX) 4

4

4

Zum AbschluB sei noch auf die Taylorsche Formel fur ganzrationale Funktionen n-ten Grades hingewiesen. Dazu verwenden wir die Darstellung (8.32) mit dem Restglied (8.33). 1st f eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, so ist das Restglied R n nach (8.33) Null, da die (n + 1)-te Ableitung von .f die Nullfunktion ergibt. Also gilt fur ganzrationale Funktionen n-ten Grades: n f(k)(X ) (8.44) f(x) == I --,_0 (x - XO)k. k=O k. . h . d· K ffi· f(k)(X O) .. h . 1 BezeIC en wIr Ie oe zlenten - - - zunac st mIt r k , a so

k!

f(x) == rn(x - xot + ...

+ r3 (x -

XO)3

+ r 2 (x -

XO)2

+ r 1 (x -

x o) + ro,

dann sind r k die Reste, die bei der fortlaufenden Division durch (x - x o) im vollstandigen Horner-Schema auftreten. Nach (2.3) gilt namlich f(x) == ro + (x - xO)fn-l (x), wobei ro == f(x o) und In -1 ganzrational (n - I)-ten Grades ist. Die Zahlen, die das Horner-Schema liefert, sind gleichzeitig (ausgenommen die letzte Zahl, die den Funktionswert angibt) die Koeffizien-

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

401

ten von fn-1. Wendet man (2.3) wiederholt auf die Funktion fn-1 an, so ergibt sich fn - 1 (x) = r 1 + (x - x o) fn - 2 (x), dies 0 ben eingesetzt liefert f(x) = ro + (x - x O )(r 1 + (x - XO )fn-2(X)) = ro + r 1(x - x o) + (x - x o)2.fn-2(X) = ... = r0 + r 1 (x - x o) + r 2 (x - X O)2 + ... + rn(X - xot,

also f(k)(X

rk = -k-!-O

)

••

fur alle kE{O, ... , n},

(8.45)

wobei die Zahlen r k , wie oben ausgefiihrt, durch das sogenannte vollstandige Horner-Schema berechnet werden konnen. Damit kann durch einfache Rechnung eine ganzrationale Funktion an einer beliebigen Stelle entwickelt werden. Beispiel 8.57 Die ganzrationale Funktion f mit f(x) = 2x 4 - 3x 3 + 2x - 10 solI an der Stelle 2 entwickelt werden. Weiterhin sollen alle Ableitungen an der Stelle 2 berechnet werden. Mit Hilfe des vollstandigen Horner-Schemas erhalten wir: Xo

=2

2 0

-3 4

0 2

2 4

-10 12

=2

2 0

1 4

2 10

6 24

2

Xo

=2

2 0

5 4

12 18

30

Xo

=2

2 0

9 4

30

Xo

=2

2 0

13

Xo

2 Damit ergibt sich als Taylor-Entwicklung von f an der Stelle 2: f(x) = 2(x - 2)4 + 13(x - 2)3

+ 30(x -

2)2 + 30(x - 2) + 2.

Mit Hilfe von (8.45) konnen die Ableitungen an der Stelle 2 bestimmt werden: f'(2) = 30;f"(2) = 2!·30 = 60;f"'(2) = 3!·13 = 78;f(4)(2) = 4!·2 = 48.

8.5.4 Numerische Differentiation

In vielen Anwendungen der Numerischen Mathematik ist es notwendig, die Ableitung von Funktionen durch Differenzenquotienten zu ersetzen, z.B. dann, wenn die Funktion, die differenziert werden soIl, entweder nur tabellarisch vorliegt, oder wenn die analytische Form der Funktion sehr kompliziert ist. Es sei f eine auf einem Intervall I c [R (mindestens) (n + I)-mal stetig differenzierbare Funktion, Xl' .. " XmEI Stiitzpunkte und aEI. Wir wollen Naherungen von f(k)(a) herleiten, wobei

402

8 Differentialrechnung

n + 1 ~ m > k vorausgesetzt sei. Dazu verwenden wir den Satz von Taylor (Satz 8.28) in der Form (8.32) und wahlen dort x = Xi und a = Xo. Damit erhalten wir, wenn hi = Xi - a ist:

f(xJ

f(a)

=

+ hif'(a) + ... +

h~

-tn. f(n)(a) + R n

fur

i = 1, ... ,m

(8.46)

mit h~+ 1

R n = _l_-f(n+ l)(a + 9 ihJ, (n

+ 1)!

wobei

9 iE(0, 1).

Das sind m Gleichungen, aus denen sich Naherungsformeln fur die k-te Ableitung an der Stelle a herleiten lassen. Einige Beispiele sollen das Verfahren aufzeigen. 1m folgenden sei Xl < X 2 < ... < Xm , weiter seien die Xi aquidistant, d.h. fur alle i = 1, ... , m - 1 ist Xi +1 - Xi = h > 0 konstant. a) Es sei n = 1, m = 2, k = 1, a = Xl und damit h = X 2 - Xl. Wir erhalten, wenn auf die erste (triviale) Gleichung f(x 1 ) = f(x 1 ) verzichtet wird

h2 f(x 2 ) = f(x 1 ) + hf'(x 1 ) + 2 f"(x 1 + 9h), woraus (8.47)

folgt mit 0 < 9 < 1. Damit ist f(x 2 ) ~ f(x 1 ) eme Naherung von f'(xd, der Fehler ist dabei kleiner als

012 !"(x

1

+ 9h)l.

b) n = 2, m = 3, k = 1, a = X 2 , also h2 = - h1 Es ergeben sich die beiden Gleichungen:

=

h

h2 h3 f(x 1 ) = f(x 2 ) - hf'(x 2 ) + -f"(x 2 ) - - f"'(x 2 2 3!

f(x 3 ) = f(x 2 )

h2

+ hf'(x 2 ) + -

h3

f"(x 2 ) + - f"'(x 2 2 3!

+ 9 1 h) + 9 2 h).

Subtrahieren wir die erste von cler zweiten Gleichung, so erhalten wir

h3

f(x 3 ) - f(x 1 ) = 2hf'(x 2 ) + -(f"'(x 2 3!

+ 9 2 h) + f"'(x 2 + 9 1 h)),

woraus (8.48)

folgt. Dabei ist 9 = 9 1 bzw. 9 = 9 2 so gewahlt, daB

If'" maximal wird. 1

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

403

Damit ist !(x 3 ) - !(x 1 ) eine Naherung fur f'(x z ), der Fehler ist dabei kleiner als

t!i I jf//(x + 9h) \.

2h

2

Man nennt (8.48), da X 2 zwischen Xl und x 3 liegt auch den zentralen Differenzenquotienten. 1m Gegensatz zu (8.47), wo der Fehler proportional zu h ist, ist der Fehler in (8.48) proportional zu h2 , also kleiner, wenn, wie ublich, 0 < h < 1 ist. c) n = 3, m = 3, k = 2, a = X2 , also h = - h 1 = h 3 Es ergeben sich folgende Gleichungen: h2

j(x 1 )

= j(x 2 ) - hj'(x 2 ) + 2 j"(x 2 ) -

j(x 3 )

=

j(x 2 )

h3

h4

h3

h4

3! jf//(x 2 ) + 4! j(4)(X 2 + 9 1 h)

h2

+ hj'(x 2 ) + 2 j"(x 2 ) + 3! jf//(x 2 ) + 4! j(4)(X 2 + 9 2 h).

Durch Addition dieser beiden Gleichungen erhalten wir j(x 1 )

h4

+ j(x 3 ) = 2j(x 2 ) + h 2 j"(X 2 ) + 4! (j(4)(X 2 + 9 1 h) + j(4)(X 2 + 9 2 h)),

woraus Z

!,,(x ) = !(X 1 ) - 2!(:z) + !(x 3 ) _ h j<4)(X + 9h). z Z h 12

(8.49)

folgt. 2 3 . . .1st j(x 1 ) - 2j(x N·oh . D am1t h2 ) + j(x )e1ne a erung f··ur j"( x 2 ). D er d a b e1 au ftreten d e F ehI er 1st °

kleiner als ~; Ij(4)(X 2 + 9h)l, d.h. proportional zu ~;. Auch (8.49) ist ein zentraler Differenzenquotient (x 2 liegt zwischen Xl und x 3 ). Zum AbschluB sei noch eine (in der Regel bessere) Naherung fur die erste Ableitung angegeben. d) n = 3, m = 4, k = 1, a = Xl' also Xi = Xl + ih fiir iE{1,2,3}. Aus (8.46) ergeben sich die drei Gleichungen: h2

h4

h3

j(x 2 )

= j(x 1 ) + hj'(x 1 ) + 2! j"(x 1 ) + 3! jf//(x 1 ) + 4! j(4)(X 1 + 9 1 h)

j(x 3 )

= j(x 1 ) + 2hj'(x 1 ) + -j"(x 1 ) + -jf//(x 1 ) + _j(4)(X 1 + 9 2 2h)

j(x 4 ) = j(x 1 )

4h 2

8h 3

16h 4

2!

3!

4!

9h 2

27h 3

81h 4

2!

3!

4!

+ 3hj'(x 1 ) + -j"(x 1 ) + -jf//(x 1 ) + _j(4)(X 1 + 9 3 3h).

Wir multiplizieren die drei Gleichungen mit solchen Zahlen a 1 , a 2 und a 3 , so daB nach der Addition die Terme fiir die zweite und dritte Ableitung verschwinden. Die Bedingungen fiir die ai lauten demnach: h2

-(a 1 +4a 2 +9( 3 )=0 2! h3 -(a 1 + 8a 2 + 27( 3 ) = 0 3!

404

8 Differentialrechnung

Wahlen wir C(3 = 2, so ergibt sich C(2 = - 9 und C(1 = 18. Multiplizieren wir die erste Gleichung mit 18, die zweite mit - 9 und schlieBlich die dritte mit 2 und addieren dann diese Gleichungen, so entfallen die Terme fur die zweite und dritte Ableitung und wir erhalten:

f'(x

) t

= -llf(x t ) + 18f(X~l- 9 f(x 3 ) + 2f(x 4 ) _ ~ f(4)(X + 9h)

(8.50)

t

Der Fehler ist proportional zu if und daher in der Regel (bei gleichem h mit Ihl< 1) kleiner als der in a) bzw. b). Zwei Punkte sind bei der numerischen Differentiation besonders problematisch. Wie in den obigen Beispielen erwahnt, kann der Fehler theoretisch durch die Wahl eines dem Betrag nach sehr kleinen h beliebig verringert werden. Da bei allen numerischen Ableitungen die Variable h (eventuell sogar in Potenzen) im Nenner auftritt, kann sich eine numerische Instabilitat ergeben, die das Ergebnis eventuell ungenauer werden laBt. Eine weitere Schwierigkeit ergibt sich rur Funktionen, die eine Oszillationsstelle besitzen, und die Ableitung in der Nahe dieser Stelle numerisch ermittelt werden solI. Das Korrekturglied enthalt namlich auch die (n + l)-te Ableitung von/, die in der Nahe von Oszillationsstellen sehr groBe Werte annehmen kann. Zwei Beispiele sollen dies verdeutlichen, wobei das erste die Problematik der numerischen Instabilitat und das zweite die der Oszillationsstelle aufzeigt. Beispiel 8.58 Fur die e-Funktion wollen wir die Ableitungen an der Stelle 1 numerisch berechnen. Dazu verwenden wir die unter b) vorgestellte Formel (8.48), d.h. wir verwenden den Term f(1

+ h) -

2h

f(1 - h)

. mIt f(x) = eX

fur die naherungsweise Berechnung von f'(I) = e. Dabei beginnen wir mit h = ~. Durch fortwahrende Division von h durch 4 verkleinern wir die Variable h und, obwohl das Ergebnis theoretisch immer besser werden muBte, tritt eine Verschlechterung des Ergebnisses ein, wenn h dem Betrag nach sehr klein wird. Folgende Ergebnisse erhalten wir (Turbo Pascal Ver. 7, mit dem Datentyp extended):

h 5.000E-Ol 1.250E-Ol 3.125E-02 7.812E-03 1.953E-03 4.882E-04 1.220E-04 3.051E-05 7.629E-06 1.907E-06 4.768E-07 1.192E-07 2.980E-08 7.450E-09 1.862E-09 4.656E-I0

num. Diff. 2.8329677996379 2.7253662198037 2.7187242787455 2.7183094803361 2.7182835566964 2.7182819364738 2.7182818352099 2.7182818288809 2.7182818284854 2.7182818284607 2.7182818284593 2.7182818284591 2.7182818284600 2.7182818284782 2.7182818284491 2.7182818285655

abs.Fehl. 1.146E-Ol 7.084E-03 4.424E-04 2.765E-05 1.728E-06 1.080E-07 6.750E-09 4.219E-I0 2.638E-ll 1.658E-12 2.942E-13 6.691E-14 9.764E-13 1.916E-ll 9.937E-12 1.064E-I0

h 1.164E-I0 2.910E-ll 7.276E-12 1.819E-12 4.547E-13 1.136E-13 2.842E-14 7.105E-15 1.776E-15 4.440E-16 1.110E-16 2.775£-17 6.938E-18 1.734E-18 4.336E-19 1.084E-19

num. Diff. 2.7182818297296 2.7182818278670 2.7182818204164 2.7182818055152 2.7182822227478 2.7182807922363 2.7182846069335 2.7182769775390 2.7182617187500 2.7182617187500 2.7167968750000 2.7148437500000 2.7187500000000 2.6875000000000 2.7500000000000 2.0000000000000

abs. Fehl. 1.270E-09 5.920E-I0 8.042E-09 2.294E-08 3.942E-07 1.036E-06 2.778E-06 4.850E-06 2.011E-05 2.011E-05 1.485E-03 3.438E-03 4.681E-04 3.078E-02 3.171£-02 7.182E-Ol

8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

405

Wie man sieht, ist das Ergebnis fiir h = 1/8388608 = 1.192E-07 am besten, ab dann wird der Fehler immer groBer. Fur h = 1.084E-19 ist der Fehler gar groBer als der fur h =~. DaB der Fehler proportional zu h2 ist, kann man der Tabelle ebenfalls entnehmen. Da h jeweils durch 4 dividiert wird, wird der Fehler (injeder Zeile) urn den Faktor /6 kleiner. In den ersten zehn Zeilen der linken Tabellenseite kann dies nachvollzogen werden. Beispiel 8.59 Urn die Problematik der numerischen Differentiation in der Nahe einer Oszillationsstelle aufzuzeigen, verwenden wir die Funktion j mit 1 j(x) = sin - an der Stelle 0,001. x

Wir beginnen mit h = ~ und verkleinern h durch jeweilige Division durch 4. Wegen

1

1

x

x

j'(x) = -""2 cos- erhaltenwir den Wert j'(0,001) = - 562.379, 0762907....

Die Ergebnisse: h

5.0000E-Ol 1.2500E-Ol 3.1250E-02 7.8125E-03 1.9531E -03 4.8828E-04 1.2207E-04 3.0518E-05 7.6294E-06 1.9073E-06 4.7684E-07 1.1921E-07 2.9802E-08 7.4506E-09 1.8226E -09 4.6566E-I0

num. Diff. 1.8185736 7.8980639 9.6085902 72.3565232 -187.0190602 - 514.9538961 - 7453.1128618 - 8231.8630553 - 65598.84281131 - 276816.0636074 - 541127.4882614 - 561036.3262000 - 562295.0973522 - 562373.8273840 - 562378.7482331 - 562379.0557871

Feh!. (%) 1.0E+02 1.0E+02 1.0E+02 1.0E+02 1.0E+02 1.0E+02 9.9E+Ol 9.9E+Ol 8.8E+Ol 5.1E+Ol 3.8£+00 2.4E-Ol 1.5E-02 9.3E-04 5.8E-05 3.6E-06

h

1.1642E-I0 2.9104E-ll 7.2760E-12 1.8190E -12 4.5475E-13 1.1369E-13 2.8422E-14 7.1054E-15 1.7764E-15 4.4409E-16 1.1102E-16 2.7756E -17 6.9389E -18 1.7347E-18 4.3368E-19 1.0842E-19

-

num. Diff. 562379.0750092 562379.0762106 562379.0762856 562379.0762903 562379.0762906 562379.0762908 562379.0762910 562379.0762939 562379.0762939 562379.0762939 562379.0761718 562379.0771484 562379.0781250 562379.0625000 562379.0625000 562343.2500000

Feh!. (%) 2.3E-07 1.4E-08 8.9E-I0 5.7E-ll 6.4E-12 2.5E-ll 6.8E-ll 5.8E-I0 5.8E-I0 5.8E-I0 2.1E-08 1.5E-07 3.3E-07 2.5E-06 2.5E-06 6.4E-03

Wie man dieser Tabelle entnehmen kann, sind die ersten zehn Ergebnisse wertlos. Der erhaltene Wert fur h = 1/2097152=4.7684E-07 ist nicht befriedigend. 1st die Funktion (wie bei der numerischen Differentiation ublich) nur tabellarisch gegeben, so kann die Schrittweite h nicht beliebig verkleinert werden. Die eventuell notige Verkleinerung von h ist mitunter also nicht moglich. Wird in der Nahe einer Oszillationsstelle durch ein numerisches Verfahren die Ableitung berechnet, so muB damit gerechnet werden, daB wertlose Daten anfallen. Aufgaben 1.

J erfiille die Voraussetzungen des

Mittelwertsatzes auf [a, b]. Gilt die Umkehrung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (Satz 8.25), d.h. gibt es zu jeder Tangente des Graphen von f in [a, bJ eine parallele Intervallsekante?

406

8 Differentialrechnung

2. Ohne die Ableitung zu berechnen, solI uber die Lage von Nullstellen der Ableitungen folgender Funktionen eine Aussage gemacht werden. a) f: x~ f(x) = fi+lO(x 2 -36), Df = [-10, (0);

b) g: x~g(x) = (arcsinx)·(arccosx), Dg = [-1,1].

3. Bestatigen Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung fur die Funktion f mit f(x) = 3x 2 - 8x + 15 mit a=2 und b=5. 4. An welcher Stelle ~E(a, b) ist die Tangente an den Graphen von A(a,f(a)) und B(b, f(b))?

f

parallel zu der Sekante durch die Punkte

a) f:x~f(x)=lnx,a=l,b=e; b) f:x~f(x)=x3-2x2+x-1,a=1,b=2; c) f:x~f(x)=!cot1,a=~,b=~. 5. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 8.25) lautet fur eine auf [a, b] differenzierbare Funktion f: Es gibt mindestens ein 9E(0, 1) mit f(b) - f(a) = (b-a)· f'(a+ 9(b-a)). Bestimmen Sie fur nachstehende Funktionen ein 9 unter Berucksichtigung des jeweils angegebenen Intervalls. a) f: x~ f(x) = c) f: x~ f(x) =

±, fur [~, a] mit a> 1; b) f: x~ f(x) = x nE N, fur [0, h] mit hE ~ +; ±fur [a, b] mit a, bE ~ +. Zeigen Sie, daB immer 0< 9
,

6. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung berechne man naherungsweise: c) In(cosO,01);

b) )1,005;

d) f(x) = 2x 3 - x 2 + 5x - 1 fur x = 1,03;

e) g(x) = CO~2X fur x = 10- 3 . 7.

a) Beweisen Sie, daB die Funktion

f: x~ f(x) = arcsinx+ 3 arccosx+arcsin(2x~2) auf Df = (-!.j2,!.j2) eine konstante Funktion ist. *b) Der groBtmogliche Definitionsbereich der unter a) gegebenen Rechenvorschrift fUr/ex) ist D = [-1, 1]. 1st auch g: x ~ g(x) = arcsinx + 3 arccos x + arcsin(2x~) undDg = [-1,1] eine konstante Funktion? 8. Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgende Ungleichungen: a) In(1 +x) < x fur x > 0;

Ib::2< arctanb - arctan a < t::2 fur a < b; + 1 fur x ~ ° 9. Es sei g: mit g(x) = .. . 2x-1 fur x < ° c)

x

~~~

Gibt es eine auf

b) eX d)

~+

~

1 + x fur x E ~;

is < arctan 1< ~ + ~.

2

{

~

differenzierbare Funktion f:

~~~

mit f' = g?

*10. Mit Satz 8.6 wurde gezeigt, daB die e-Funktion sich beim Differenzieren reproduziert, d.h. es ist f' = f. Zeigen Sie, daB die e-Funktion (bis auf einen konstanten Faktor) die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft ist. *11. Die Funktionen fund 9 seien auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar, und es gelte f' = g, g' = f. Weiter sei f(a) = 1 und g(a) = 0. Zeigen Sie, daB dann (f(X))2 - (g(X))2 = 1 fur aIle XE [a, b] gilt. 12. Geben Sie das n-te Taylorpolynom (mit Entwicklungspunkt 0) sowie das Restglied Rn folgender Funktionen an: a) f:x~f(x)=cOSX,XE~;

b) g:x~g(x)=lnn~~),lxl
c) h:x~h(x)=sinhx,xE~.

13. Mit Hilfe des in Beispiel 8.56 angegebenen Taylorpolynoms von In(l +x) ist In 2 zu berechnen. Wie groB muB n mindestens gewahlt werden, damit das Ergebnis auf wenigstens zwei Stellen genau ist? 14. Die Funktion f: x~ f(x) = tan x solI durch ihr zweites Taylorpolynom (mit Entwicklungspunkt 0) approximiert werden und der Fehler fur Ix I ~ 0, 1 (ca. 5, 7°) abgeschatzt werden. 15. An einem Generator mit dem inneren Widerstand R i und der Leerlaufspannung Va sei ein Verbraucher mit dem Widerstand R a angeschlossen. Die uber R a abfallende Spannung V ist dann gegeben durch

V = Ri:aRa· Va· Gesucht ist eine fUr R a »R i giiltige Naherungsformel fUr die relative Spannungsanderung u~~ u. 16. Die folgenden ganzrationalen Funktionen sollen an der angegebenen Stelle Xo entwickelt werden. Geben Sie aIle Ableitungen an dieser Stelle an. b) f(x) = x 6 -6x 4 -10x 2 -10, X o = - 1. a) f(x) = x 5 - 2x 4 + 3x 3 - 4x 2 + 5x - 6, Xo = 3;

8.6 Berechnung von Grenzwerten

407

17. Stellen Sie die gebrochenrationale Funktion r(x) =

x6-8x5+20x4-23x3+17x2-9x+3 3

2

x -3x +3x-l

m

I

durch die Reihe

aix-l)k

k=-n

dar, wobei n, mEN entsprechend zu wahlen sind. Geben Sie die Zahlen ak mit kE{ -n, ... ,m} an. 18. Entwickeln Sie Differenzenformeln fur die zweite Ableitung (k = 2) der Funktion geben Sie das Restglied R n an. Wahlen Sie dazu

f

an der Stelle

aE [R,

und

b) n=4, m=5 und a=x 3 •

a) n= 2, m= 3 und a= Xl;

8.6 Berechnung von Grenzwerten 8.6.1 Regeln von Bernoulli-de I'Hospital In den Abschnitten 8.1 bis 8.4 wurden im wesentlichen die Techniken des Differenzierens hergeleitet und erHiutert. In Abschnitt 8.5 wurde durch die Mittelwertsatze der Differentialrechnung aus der Differenzierbarkeit einer Funktion I auf gewisse Eigenschaften der Funktion I geschlossen. Wie schon eingangs in Abschnitt 8.5 erwahnt wurde, hat der Mittelwertsatz der Differentialrechnung in der Analysis eine zentrale Stellung, da mit seiner Hilfe nun fiir die Anwendung wichtige Satze bewiesen werden konnen. In diesem Abschnitt werden wir uns ausschlieBlich mit Grenzwerten von Funktionen beschaftigen und aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 8.25) einige fiir die Berechnung von Grenzwerten von Funktionensehr niitzliche Satze herleiten (Regeln von Bernoullide l'Hospital). Zunachst jedoch einige Vorbemerkungen. Die Grenzwertsatze in Abschn. 4.2.3 (Satz 4.5 und 4.6) konnen noch erganzt werden. Beispielsweise gilt, wie ohne Beweis mitgeteilt sei: Sind 11,12 auf

U~(xo)

definiert, und ist lim 11(X) = gl und lim 12(X) = X-+Xo

dann folgt lim [11 (x)· 12(X)] X-+Xo

=

{

+ 00, -

00,

+ 00,

X-+Xo

falls g 1 > 0 falls g 1 < o.

1st dagegen g 1 = 0, d.h. lim 11 (x) = 0, lim 12(X) =

00,

so ist eine allgemeine Aussage iiber

X-+Xo

lim [11 (x)· 12(X)] nicht moglich. In diesem Fall ist eine genauere Untersuchung des Verhaltens der Funktionen 11 und 12 in der punktierten Umgebung von X o erforderlich. Beispiel 8.60 Es sei 11: XH 11(X) = ax 2 b

12: XH 12(X) = 2 x

mitaE~\{O} undD f1 =(-1,1)

und D f2 = U·1(0).

408

8 Differentialrechnung

Beide Funktionen sind auf einer punktierten Umgebung von 0 definiert, und es ist lim 11 (x)

lim 12(X) == 00.

== 0,

x-+o

x-+o

Wir erhalten lim [/l(X)' 12(X)]

==

x-+o

lim x-+o

(ax

1

.

b)

X1

==

a·b.

(8.51)

Symbolisch schreibt man fur (8.51) auch »0, 00« und nennt dieses Symbol einen »unbestimmten Ausdruck«. Diese Sprechweise ist nicht ganz korrekt, da im Fall (8.51) der Grenzwert sehr wohl eindeutig bestimmt ist. Diese Redewendung solI nur besagen, daB eine allgemeingultige Aussage fur lim [11 (x)· 12(X)] nicht moglich ist, falls lim 11(X) == 0 und lim 12(X) == 00 ist. Entsprechende Bedeutung haben die Symbole 00 »0'( - 00)«, »~«, »-«, »( + 00) - ( + 00)«, »0° «, »00 °«, »1 00

00

«.

Bemerkung:

Obige Uberlegungen lassen sich auch auf einseitige Grenzwerte ubertragen. Dies ist u.a. dann notig, wenn z.B.lim 12(X) == - 00 und lim 12(X) == + 00 ist (Pol mit Zeichenwechsel). Dasselbe gilt xlxo

xjxo

fur Grenzwertbetrachtungen fur x ~

± 00.

Beispiel 8.61 sinx Der Grenzwert lim - - ist vom Typ »~«, der Grenzwert lim (lnx)1/x vom Typ »00°«. x-+o

X

x-+oo

Wir betrachten zunachst den Typ »~«. Zur Behandlung derartiger Grenzwertaufgaben dient folgender Satz 8.29 (Erste Regel von Bernoulli-de l'Hospital)

Bemerkungen:

1. Unter entsprechenden Bedingungen gilt der Satz auch fur xi x o, x ~ X o, x ~ 00, x ~ - 00. 2. Die Regel kann wiederholt angewandt werden. Erfullen z.B. auch und die in diesem Satz fur 11 und 12 angegebenen Voraussetzungen, ist also insbesondere lim I;(x) == lim I~(x) == 0, . . f' (x) . f"(x) xlxo xlxo so gl1t hm _1_ == hm _1_.

I;

xlxo

I~(x)

xlxo

I~'(x)

I;

8.6 Bereehnung von Grenzwerten

409

Beweis: Sind 11 und 12 an der Stelle X o nieht reehtsseitig stetig, so betraehten wir die auf [x o, x], < x < X o + h, stetigen Funktionen gl bzw. g2 mit

Xo

gi(t) ==

/lt) {o

fiir tE(X o, x] . .. (l == 1,2). fur t == X o

.. l'Ieh l'1m 11(t) gl(t) · V oraussetzungen gl'1 t nam U nter d Iesen - == l'1m -. t Lx 12(t) tlx 9 2 ( t) 0

0

Wir konnen daher (ohne Einschrankung der Allgemeinheit) annehmen, daB 11 und 12 fiir jedes XE(X o, X o + h) auf dem Intervall [x o, x] den Bedingungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (Satz 8.25) geniigen. Es gibt also ~1' ~2E(Xo, x), so daB fl(X) - fl(X O) = f;(~l) und X-X o O) 12(X) D araus ergl'b t SIC .h - --12(X -== f'(j;)' 2 ':,2 1St.

X-X o

x - Xo 12(X) - 12(X O)

11(X) - 11(X O)

x-

X

o

(Beaehte: Wegen der reehtsseitigen Stetigkeit von 11 bzw. 12 an der Stelle Xo, ist 11 (x o) == 12 (x o) == 0.) Fiir xl X o gilt aueh

~

II X o und ~ 2lxo, womit der Satz bewiesen ist.

•

Beispiel 8.62 Folgende Grenzwerte sind zu berechnen: e 3x -1 a) lim--; x---+O 5x

1 + eosnx

b) lim

2

x---+1 X

-

2x + 1

;

e) lim xLO

In(eos2x) In(eos3x)

.

Da die Voraussetzungen fiir die erste Regel von Bernoulli-de l'Hospital (Satz 8.29) erfiillt sind (Typ »g «), erhalten wir 3e 3x e 3x - 1 a) lim - - - == lim - - == %; x---+O 5x x---+O 5 b) lim x---+1

1 + eosnx 2

x - 2x + 1

== lim

-nsinnx

x---+1

2x - 2

-n 2 eosnx

n2

2

2

== lim - - - x---+1

Beaehte: In diesem Beispiel wurde die erste Regel von Bernoulli-de l'Hospital zweimal angewandt (vgl. Bemerkung 2 zu Satz 8.29). e) lim xLO

2eos3x) ( sin2x) In(cos2x) - 2cos3x' sin2x ( == lim == lim - - - lim-In(eos3x) xLO -3cos2x'sin3x xLO 3eos2x xLO sin3x

=~.(. 2COS2x)=~.~=4 3 hm 33 g' 3 xJ-O

Ohne Beweis geben wir an:

3 cos x

410

8 Differentialrechnung

Satz 8.30 (Zweite Regel von Bernoulli-de l'Hospital) .

Bernerkungen: 1. Dieser Satz gibt Auskunft tiber das Verhalten des Quotienten 11(x) fUr x 1x o, wenn 11 und 12 an f2(X) der Stelle X o (einseitig) uneigentliche Grenzwerte besitzen ( Typ»

~: «)-

2. Analog zur ersten Regel von Bernoulli-de l'Hospital (Satz 8.29) gilt der Satz entsprechend fur xi X o, x -+ X o, x -+ 00 und x -+ - 00. 3. Auch die zweite Regel von Bernoulli-de l'Hospital HiBt sich wiederholt anwenden. Beispiel 8.63 Nachstehende Grenzwerte sind zu bestimmen. x2

a) lim-;; x-+oo e

b) lim xtO

In(tan3x) In(tan4x)

.

Da die Voraussetzungen der zweiten Regel von Bernoulli-de I'Hospital (Satz 8.30) erfullt sind, ergibt sich x2 2x 2 a) lim -; = lim ~ = lim ~ = 0; x-oo e x-oo e x-ooe 2

2

b) lim xtO

In(tan3x) 3tan4x·cos 4x 3 ( tan4x) ( COS 4X) = lim =4 lim-l i m 2- In(tan4x) xtO 4tan3x·cos 2 3x xtO tan3x xtO cos 3x

=~.(lim~. tan4x .~).1 = xtO

4x

1.

tan3x

Es sei noch darauf hingewiesen, daB die Regeln von Bernoulli-de l'Hospital nur gelten, wenn die Grenzwerte (im eigentlichen oder uneigentlichen Sinn) im Zahler und Nenner existieren. Beispiel 8.64 (3x+cosx)' . 3x+cosx Der Grenzwert hm ist zu berechnen. Es gilt = 3 - sinx. x-oo x (x)" (3 - sinx) ist fur x -+ 00 unbestimmt divergent, daher sind die Regeln von Bernoulli-de I'Hospital nicht anwendbar.

8.6 Berechnung von Grenzwerten

411

Der Grenzwert HiBt sich wie folgt berechnen lim 3x + cosx = lim (cosx) 3 + - - = 3 + 0 = 3. x

x~oo

x~oo

X

Nicht immer fuhrt (auch nicht durch wiederholte Anwendung) die Regel von Bernoulli-de l'Hospital zu einem Ergebnis. Beispiel 8.65

aX Der Grenzwert lim - mit a, b E lR + ist zu berechnen. x~ 00 b X

Will man diesen Grenzwert nach diesen Regeln berechnen, so folgt

aX aXln a aXln z a lim -X= lim - - = lim - - = x~ 00 b x~ 00 bXln b x~ 00 bXln z b

...

Wie man sieht, kann der Grenzwert auf diese Art nicht ermittelt werden. Auf anderem Weg erhalt man

aX = lim (a)X lim ~ =

x~oo

b

x~oo

b

{O1 00

fur a < b fur a=b fur a> b.

8.6.2 Anwendung auf weitere unbestimmte Formen 1m folgenden betrachten wir Grenzwerte fur x t X o' Alle Ergebnisse, die wir erhalten, lassen sich entsprechend fur Grenzwerte mit xi x o, x ~ X o, x ~ + 00, x ~ - 00 formulieren. Weiter sei daraufhingewiesen, daB die Schreibweise lim I(x)

=

± 00 nicht etwa bedeuten solI, daB

xlxo

I

unbestimmt divergent ist, vielmehr soH damit zum Ausdruck gebracht werden, daB I fur x tx o bestimmt divergent gegen + 00 oder gegen - 00 ist. a) Typ» 0 . ( ± 00 )«

Zunachst untersuchen wir das Verhalten von lim [/1 (x), Iz(x)], xlxo

lim Iz(x)

=

wobei lim 11 (x)

=

0,

xlxo

± 00 ist.

xlxo

Unser Ziel ist es, diesen Grenzwert mit den Regeln von Bernoulli-de l'Hospital zu bestimmen. 1 1 ErfuHen 11 und - bzw. Iz und - die Voraussetzungen der Regeln von Bernoulli-de l'Hospital Iz ,11 (Satz 8.29 und 8.30), so wird man die Umformung Iz(x) 11(X)· Iz(x) = 1 11 (x)

412

8 Differentialrechnung

vornehmen und versuchen, den Grenzwert 11 (x)

lim[11(x)·12(x)]=lim-X~Xo

X~Xo

1

bzw.

0

0

12 (x)

hm[11(x)·12(x)]=hm--

X~Xo

X~Xo

12 (x)

1

11 (x)

mit den Regeln von Bernoulli-de l'Hospital zu berechnen. Beispiel 8.66 1

-

lnx x . hm x ·In x = hm - = hm - - = hm (- x) = x~O x~O 1 x~O 1 x~O x x2 o

0

0

o.

b) Typ» 00 - 00« Wir betrachten nun den Fall lim [11 (x) - 12 (x)] mit lim 11 (x) = + 00 und lim 12 (x) = + 00 X~Xo

X~Xo

0

X~Xo

Durch die Umformung 1

1

-----

fl(X)- f2(X)=+_+=f2(X) 1 fleX) --

--

11 (x)

12 (x)

11 (x)· 12 (x)

erhalten wir daraus den Typ »~«. Meist kommt man aber durch eine dem speziellen Problem angepaBte Umformung schneller zum Ziel. Beispiel 8.67 1 1) - x + sin x - 1 + cos x - sin x = lim = lim = O. lim - - - - = lim sin x x-o x·sinx x-oxcosx + sin x x-02cosx - xsinx

x-o ( x

c) Typen» 100,0 0, 00 0« Zum AbschluB betrachten wir noch Grenzwerte der Form lim (11 (x))f 2(x)

mit 11 (x) > O.

X~Xo

Wegen der Umformung (11 (x))f 2(x) = ef2 (x)oln(f (x» und der Stetigkeit der Exponentialfunktion, kann auch der Grenzwert 1

(8.52)

lim 12 (x)·ln(11 (x)) = g X~Xo

(falls er existiert) betrachtet werden, und man erhalt lim (11 (x))f 2(X) = X~Xo

ego

8.6 Berechnung von Grenzwerten Dabei sind folgende Falle moglich, die wegen (8.52) immer auf den Typ »0'( ± 00)« fiihren: ex) lim 11 (x) = 1, xlxo

13)

lim 12 (x) =

± 00

(Typ »1 ± 00 «)

xlxo

lim 11 (x) = 0,

lim 12 (x) = 0

xlxo

xlxo

y) lim 11 (x)

00, lim 12 (x)

=

xlxo

=

(Typ »0°«) (Typ »00 °«).

0

xlxo

Anhand einiger Beispiele sollen obige Uberlegungen demonstriert werden. Beispiel 8.68 1

lim (In x )x - e ist zu berechnen. x~e

1

1

Wegen (In x) x - e = e x - e In (In x) betrachten wir den Grenzwert In(In x) 1 1 lim--- = lim-- = - und erhalten damit x ~e X - e x ~ e X 'In x e 1

1

lim (In x)x-e = lim ex-e In(lnx) x-e

lim In(lnx)

= ex--->e -----x=e = e 1 /e.

x~e

Beispiel 8.69 Wie lautet der Grenzwert lim (In X)x-1? xp

Aus lim [(x -l)ln(Inx)]

In(In x)

= l i m - - = lim

x11

1

x11

- (x - 1)2

x11

X

In x

= lim xp

- 2(x - 1)

1 + In x

=0

x-I folgt lim (In X)x-1 = eO = 1. x11

Beispiel 8.70 1

Der Grenzwert lim (In xYx ist zu berechnen.

1 Es ist lim -In(In x) x~ 00 x

1

In(In x)

-=-

= lim - - - = lim - - = 0, woraus lim (In x)X = eO = 1 folgt. x~ 00

x~ 00

X

x~ 00

x ·In x

Aufgaben 1. Berechnen Sie die Grenzwerte sin3x ~ a) lim_v_A-_l.. b)lim--; xU In x ' X~1ttan 5x eX - 2x - e- x 2 -J4- x 2 d) lim . e) lim . X~O x - Slnx x~03-J9-X2' x5

g) lim tan x - 1. x~~ sin4x '

h)

nx j) lim(1-x)tan-; x~l 2

k) lim arcsin(x - a)'cot(x - a);

lim~;

x~oo

e

c) lim

X~O

f) lim

x~oo

2x'sin2x . 2 ; sInh x 4x 2

2x

2

- 2x + 5 ; + 3x + 1

i) lim(x 2 Inx); xlO

413

414

8 Differentialrechnung

2. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren: a) limx x

b) lim(1+sinxF

c)

xiO

xlO

1 )SinX d) lim ( xlO x

e)

g) lim (tan x)cotx

h)

limx~

f) lim (cos x) ~ x-->O

x-->l

lim(ln~)X x

i)

xlO

xi;

lim(l+~)X x

x-->oo

lim(sinx)~. xlO

3. Gegeben ist die auf lR\{O} definierte Funktion f:

(e 5x -

x~ f(x) =

2X)1/x.

a) Bestimmen Sie lim f(x). b) Besitzt

f

an der Stelle 0 eine hebbare Unstetigkeitsstelle?

4. Berechnen Sie den Grenzwert lim x-->O

sin x - arctan x x 2 ·ln(1 + x)

.

a) Mit Hilfe der Regel von Bernoulli-de I'Hospital. b) Mit Hilfe der Taylorschen Formel kann durch Entwicklung der Funktionen f mit f(x) f(x) = arctan x, f(x) = In(l + x) an der Stelle 0 der Grenzwert berechnet werden. 1 x 2 ·sin -

=

sin x,

x 5. Warum kann man nicht mit Hilfe der Regel von Bernoulli-de l'Hospital lim - . - - = 0 beweisen? x-->O

SIn x

*6. Bestimmen Sie den Grenzwert des Quotienten aus dem Flacheninhalt eines Kreissegments und dem Flacheninhalt des Dreiecks, das aus der Sehne des Kreisbogens und den durch seine Endpunkte gezogenen Tangenten gebildet wird, wenn der Bogen des Segments gegen Null strebl.

7. In einem Gasgemisch betragt der Druck p nach der verallgemeinerten Hohenformel K-l P )K~l h~p = Po ( 1 +--·-!!.·g·h mit K:f- 1. K Po Dabei ist Po = p(O), d.h. der Luftdruck in der Hohe h = 0, Po die zugehorige Luftdichte und g die Erdbeschleunigung. K = 1 entspricht dem isothermen Zustand. Leiten Sie aus obiger Formel fur K ~ 1 die bekannte barometrische Hohenformel her.

8. Ein Korper mit der Masse m wird senkrecht mit der Anfangsgeschwindigkeit V o nach oben geworfen. Wird der Luftwiderstand - cv 2 , C > 0, berucksichtigt, so hat er nach der Zeit t die Hohe h=

~'ln (cos

f!. + fIg. f!. t

Vo

sin

t ) erreicht.

Fur den freien Fall ohne Reibung gilt c = O. Zeigen Sie, daB obige Beziehung fur c t 0 in die des freien Falls

( h = vot -

~t

2

)

iibergeht.

9. Gegeben sind die Funktionen f mit lx lX

(X)

f (x) = { 1

fur x:f- 0 0

r··ur

X=

/3) f (x) =

{ixisinx 1

fur x:f- 0 fur x

=

0

x _

y) f( ) -

{(l + Ixl)l/x e

fur x:f-

r··ur

X=

a) Sind die Funktionen an der Stelle 0 stetig? b) Wenn ja, sind sie auch an der Stelle 0 differenzierbar? Gegebenenfalls ist f'(O) zu berechnen.

00

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung

415

10. Bestimmen Sie samtliche Ableitungen der Funktion

f: XI-> f(x)

= {

~

-1/x2

fur x # 0 fur x = 0

an der Stelle O.

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung Ziel dieses Abschnittes ist es, mit Hilfe der Ableitungen f', f", ... , f(n) die Funktion f auf Eigenschaften wie Monotonie, Extremwerte, KonvexiHit usw. hin zu untersuchen, urn damit z.B. den Graph der Funktion f besser skizzieren zu konnen. Zunachst wollen wir auf einen Zusammenhang hinweisen, der beziiglich der Monotonie von .f und der ersten Ableitungsfunktion I' besteht.

8.7.1 Monotone Funktionen 1st f eine auf (a, b) monoton wachsende und differenzierbare Funktion, so ist anschaulich klar, daB der Graph von I uberall eine nicht negative Steigung besitzt, d.h. daB I'(x) ~ 0 fur aIle xE(a, b) ist. Einleuchtend ist auch die Umkehrung. In der Tat laBt sich folgender Satz beweisen.

Satz 8.31 .

.·OJ

ista

:~j

Beweis:

I

erfiillt die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes (Satz 8.25). Fur beliebige Punkte Xl' X 2 E [a, bJ gilt daher: es gibt ein ~ zwischen Xl und X 2 , so daB

I(x 2) - I(x l ) =

I'(~)'(x2

-

Xl)

gilt, womit die Behauptung bewiesen ist.

Satz 8.32

Der Beweis erfolgt wie oben mit dem Mittelwertsatz.

•

416

8 Differentialrechnung

Bemerkungen:

1. Wahrend Satz 8.31 eine notwendige und hinreichende Bedingung fur Monotonie liefert, gibt Satz 8.32 nur eine hinreichende Bedingung, allerdings fur strenge Monotonie. 2. Satz 8.32 ist nicht umkehrbar, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt. Es sei f mit f(x) == x 3 , Df == [R. Bekanntlich ist f auf [R streng monoton wachsend, jedoch gilt f'(O) == o. Beispiel 8.71 Es sei f: x ~ f (x) == loga x mit a E [R + \ { 1}, D f == [R + . 1 Wegen f'(x) == - - ist f auf D f fur 0 < a < 1 streng monoton fallend und fur 1 < a streng x'lna

monoton wachsend (vgI. Satz 4.20). Beispiel 8.72 Auf welchem Intervall ist die Funktion f mit f(x) und auf welchem streng monoton fallend?

==

x3

+ x 2 + X + 1 streng monoton wachsend

Aus f'(x) == 3x 2 + 2x + 1 == 3((x + j-)2 + %) > 0 fur alle XE [R folgt mit Satz 8.32, daB f auf [R streng monoton wachsend ist. 8.7.2 Extremwerte

Besitzt die auf einem Intervall I definierte Funktion f an der Stelle xoEI einen relativen Extremwert, und ist f an der Stelle X o differenzierbar, so ist nach dem Satz von Fermat (Satz 8.23) f'(x o) == O. Wie in Bemerkung 1 zu diesem Satz schon dargelegt wurde, ist der Satz von Fermat nicht umkehrbar, d.h. f'(X O) == 0 ist nur eine notwendige Bedingung fur das Vorhandensein eines relativen Extremums einer in X o differenzierbaren Funktion f. Viele Probleme stellen sichjedoch so, daB nach einem Extremwert gesucht wird (z.B. Optimierungsprobleme). Hierzu benotigt man hinreichende Bedingungen fur das Vorliegen eines Extremums. Satz 8.33

Beweis:

Wir fuhren den Nachweis fur j'''(x o) > 0, der Beweis fur f"(x o) < 0 Uiuft entsprechend. Es ist f"{x o) > O. Daraus folgt: Es gibt eine Umgebung U(x o), so daB f' auf U(x o) streng monoton wachsend ist. Da nach Voraussetzung f'(x o) == 0 ist, hat f' an der Stelle X o einen VorzeichenwechseI. Damit ist f »links« von X o monoton fallend, »rechts« von X o monoton wachsend, woraus f(x) ~ f(x o) fur aIle XE U(x o) folgt. Damit ist die Behauptung bewiesen. • Bemerkungen: 1. Man bezeichnet die Punkte des Graphen von f, an welchen f relative Maxima bzw. Minima besitzt auch als Hoch- bzw. Tiefpunkte.

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung

417

2. Urn die relativen Extremwerte einer (mindestens zweimal differenzierbaren) Funktion f: D --+ [R aufzusuchen, lost man zunachst die Gleichung f'(x) = 0. 1st xoED eine Losung, d.h. f'(x o) = 0, so berechnet man zweckmaBig f"(x o), urn die hinreichende Bedingung iiberpriifen zu konnen. Beispiel 8.73 An welcher Stelle besitzt die Funktion f(x) = XX einen relativen Extremwert? Da f auf [R + differenzierbar ist, bestimmen wir zunachst die Stelle x, an welcher die notwendige Bedingung (f'(x) = 0) fiir das Vorliegen eines Extremwertes erfiillt ist. Aus f(x) = XX = ex - 1nx erhalten wir f'(x) = (1 + In x)x x . f'(x) =

ist also

°ergibt (1 + In x)X = 0. Wegen X

XX

°

1

> fiir alle XE [R + folgt In X = -1 und daraus x =;: -. Es

r(~) = O. Wir priifen die hinreichende Bedingung:

e 1

2

f"(x) = ( 1 + 2·ln x + In x +

~ )xx, woraus f"G) = eG

Y

> 0 folgt.

1

Aufgrund von Satz 8.33 besitzt f an der Stelle - ein relatives Minimum, und es ist e

f

(~) = (~) l/e = 0,692... (vgl. Bild 8.17).

Der Graph von f besitzt den Tiefpunkt T(O, 36 ... ; 0, 69 ... ). Nicht immer sind die Voraussetzungen an f von Satz 8.33 gegeben. So besitzt z.B. die Betragsfunktion f mit f(x) = Ix I an der Stelle Null ein relatives (und gleichzeitig absolutes) Minimum. Da fan dieser Stelle jedoch nicht differenzierbar ist (vgl. Beispiel 8.6) kann zum Beweis dafiir Satz 8.33 nicht verwendet werden. Hier HiBt sich folgender Satz benutzen.

y

l

e

Bild 8.17: Graph von f: x H- XX

x

418

8 Differentialrechnung

Satz 8.34

... .

.:...

.

.

I

...

.

.....

... ...

Bemerkungen: 1. Anschaulich ist dieser Satz klar. Besagt doch ein Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion f'

beim Durchgang durch die Stelle X o, daB die Funktion f links von X o monoton wachsend und rechts von X o monoton fallend bzw. umgekehrt ist. 2. Der Vorzeichenwechsel von f' ist jedoch keine notwendige Bedingung fur das Vorliegen eines Extremwertes, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt. Beispiel 8.74 Die auf ~ definierte Funktion 2X 2

f: Xf---+ f(x) ==

{

n

+ x 2'sin ~

o

fur x

=.;6

0

fur x == 0

hat wegen x 2 ( 2 + sin ~) > 0 fur aIle x

=1= 0

an der Stelle 0 ein absolutes und relatives Minimum.

Die Ableitungsfunktion f' lautet n

f" Xf---+ f'(x) == {4X

.

n

+ 2x'sin ~ - n'cos~

fur x

=.;6

0

fur x == O.

0

Offensichtlich gibt es kein b > 0, so daB f'(x) < 0 bzw. f'(x) > 0 fur aIle XE( bzw. f'(x) < 0 fur aIle XE(O, (5).

(j, 0)

und f'(x) > 0

F olgendes Beispiel zeigt eine Anwendung von Satz 8.34. Beispiel 8.75 Die relativen Extremwerte der Funktion f mit f(x) == ~(x + 1)2 - .v(x - 1)2 sind zu bestimmen. 2 2 Wir erhalten f'(x) == 3/ 3/ ' DJ' == ~\{ -1,1}. 3'~x+1

3'~x-1

An den Stellen Xl == -1 und X 2 == 1 ist f nicht differenzierbar (vgl. Bild 8.26). Wegen lim f'(x) == - CfJ und lim f'(x) == CfJ (Vorzeichenwechsel der Funktion j" an der Stelle Xl == -1 xi - 1

von» - nach

xl-1

+ «) und lim f'(x) == CfJ und lim f'(x) == xil

xll

CfJ

(Vorzeichenwechsel von» + nach - «)

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung besitzt f an der Stelle Maximum.

Xl

= -1 ein relatives Minimum und an der Stelle

X2

419

= 1 ein relatives

Betrachten wir die Funktion f mit f(x) = x 4, so stellen wir fest, daB f'(O) = f"(O) = 0 ist, obwohl f an der Stelle 0 ein relatives (und gleichzeitig absolutes) Minimum besitzt. Folgender Satz ermaglicht den Nachweis dieses relativen Extremwertes. Satz 8.35 :

..

"

~ /.

I

Beweis: Wir fuhren den Beweis fur f(n)(x o) >

o.

Wegen f'(x o) = f"(x o) = ... = f(n-l)(x o) = 0 folgt mit der Taylorschen Formel ((8.33) und (8.32)) f(x) - f(x o ) =

+ 9(x -

f(n)(x 0

n!

X )) 0 ·(x

- xot,

9E(0, 1).

Da f(n) an der Stelle X o stetig ist, und nach Voraussetzung f(n)(x o) > 0 ist, gibt es ein (5 > 0, so daB f(n)(x) > 0 fur alle X mit XE(X o - (5, X o + (5) c U(x o) ist. Daher ist f(n)(x o + 9(x - x o)) > 0 fur alle XE Ub(X O). a) 1st n gerade, so ist (x - xot > 0 fur alle x # Xo, woraus f(x) - f(x o) > 0 fur alle XE U~(xo) folgt, d.h. f hat an der Stelle X o ein relatives Minimum. b) 1st n ungerade, dann ist (x - xot < 0 fur alle x < X o und (x - xot > 0 fur alle x> x o. Somit gilt f(x) - f(x o) < 0 fur alle XE(X o - (5, x o) und f(x) - f(x o) > 0 fur alle XE(X o, X o + (5), d.h. an der Stelle X o hat f sicher kein relatives Maximum. Auf den Beweis der Monotonie verzichten wir. • Beispiel 8.76 Folgende Funktionen sind auf relative Extremwerte hin zu untersuchen. a) f: x~ f(x) = 5 + (x - 3)4;

b) g:x~g(x)

= x 3 - 3x 2 + 3x.

Lasung: a) f'(x) = 4(x - 3)3, f'(x o) = O=>x o = 3; f"(x) = 12(x - 3)2, f"(3) = 0; f"'(x) = 24(x - 3), f"'(3) = 0; f(4)(X) = 24, f(4)(3) = 24. An der Stelle 3 verschwinden alle Ableitungen von f bis einschlieBlich dritter Ordnung. Die Ableitung 4. Ordnung ist jedoch ungleich Null, d.h. es ist n = 4. Da n gerade ist, hat f an der Stelle 3 ein relatives Minimum (beachte f(4)(3) > 0).

420

8 Differentialrechnung

b) Wir erhalten: g'(x) = 3x 2 - 6x + 3, g"(x) = 6x - 6, g"'(x) = 6. Aus g'(x o) = 0 ergibt sich als einzige Lasung X o = 1, und es ist g"(l) = 0, g"'(l) = 6 > o. Es ist also n = 3. Aus Teil b) von Satz 8.35 folgt daher, daB 9 keinen relativen Extremwert an der Stelle 1 besitzt, sondern gist in einer Umgebung von 1 streng monoton wachsend. Es gibt in der Praxis viele Probleme, die auf sogenannte Extremwertaufgaben hinfiihren. Hierbei solI das absolute Maximum (absolute Minimum) einer auf einem Intervall I definierten Funktion fermittelt werden. Folgendes ist dabei zu beachten: 1st f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, bJ stetige Funktion, so nimmt f auf [a, bJ (aufgrund von Abschn. 4.3.3, Satz 4.15) sein absolutes Maximum und Minimum an. Mit den Satzen 8.33, 8.34 und 8.35 konnen die relativen Extremwerte ermittelt werden. Ein Vergleich der Randwerte f(a) und f(b) mit den (eventuell vorhandenen) relativen Extremwerten ergibt das absolute Maximum bzw. Minimum.

b

y

b-t----,--------------. I I I p

a

d Y -t----.::w~ ~----a

x

---~

Bild 8.18: Eisenkern

c

a

x

Bild 8.19: Glasplatte

Beispiel 8.77 Das Innere einer zylindrischen Spule vom Radius r solI durch einen Eisenkern von kreuzformigem Querschnitt ausgefiillt werden. Welche Abmessungen muB der Kern haben, damit sein Querschnitt maximal ist? (Vgl. Bild 8.18.) Es ist A = 2ab - b 2 , wenn A den Flacheninhalt des Querschnitts, a die Lange und b die Breite des Kreuzbalkens angibt (jeweils die MaBzahlen). Hier ist es niitzlich, einen Hilfswinkel cp einzufiihreno 1st cp der in Bild 8.18 eingezeichnete Winkel, so ergibt sich fiir 0 ~ cp b = 2r·sin cp und damit A

=

2

2

4r (2·sin cp·cos cp - sin cp) bzw.

~

n 4:

a = 2r·cos cp und

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung Die Funktion A: cpl--->A(cp) ist beliebig oft auf [ 0,

dA dcp

-

dA 4r 2 (2 cos 2cp - 2 sin cP cos cp) => dcp

=

=

~

J

differenzierbar. Wir erhalten

4r 2 (2 cos 2cp - sin 2cp).

°

dA Aus - = dcp

. . folgt 2cos2cp - sln2cp = 0=>tan2cp = 2. Das ergIbt CPo

=

h 0,553 ... (d.. CPo

rL

Wegen d ~ = 8r 2 ( - 2 sin 2cp - cos 2cp) ist d ~ < 0 fur alle cp E 0, ~ dcp dcp 4 CPo = 0,553 ... ein relatives Maximum. 2

2

~ 2,47r

Es ist A(cpo)

2

.

Wegen A(O) = 0 und A(

421

~) = 2r

2

=

0

31,717 ... ).

J. A hat daher an der Stelle

liegt auch kein Randmaximum vor, d.h.

CPo ist absolutes Maximum. Der maximale kreuzformige Eisenkern hat somit die MaBe a = 2r cos CPo = 1,7 ... r,

b = 2r·sin CPo = 1,05 ... r.

Folgendes Beispiel zeigt, daB das absolute Maximum auch am Rand angenommen werden kann. Beispiel 8.78 Von einer rechteckigen Glasplatte mit den Seiten a und b (0 < b < a) ist an einer Ecke ein Stuck von der Form eines rechtwinkligen Dreiecks abgesprungen. Die Katheten dieses Dreiecks seien e und d (0 < d < c) (s. Bild 8.19). Aus der verbliebenen Scheibe solI eine rechteckige Scheibe von moglichst groBem FHicheninhalt A geschnitten werden. Wie aus Bild 8.19 entnommen werden kann, ist A = (a - x)·(b - y). Der Punkt P(x, y) liegt auf der Geraden mit den Achsenabschnitten c und d. Daher gilt ~ + ~ = 1, d e d woraus y = - - . x + d folgt. Fur den Flach:ninhalt A ergibt sich A(x) = (a - x)· ( b + A(x) =

-~. x + (a: + d 2

b)- x + a(b - d),

~. x -

d) bzw.

0:;;; x:;;; c.

(8.53)

Auf [0, e] ist A beliebig oft differenzierbar:

dA dx

-=

dA Aus dx

=

2d ad --·x+-+d-b· e c '

°folgt

2d e d2 A

1

Xo

d 2A - 2 dx

= 2d (ad + cd - be). Da dx 2 <

°fur alle x

E [0,

e] ist, erhalt man fur

relatives Maximum, jedoch nur dann, wenn XoE[O, e] ist, d.h. wenn die Bedingung

°-2d-1 (ad + cd - be) ~

~e

erfiillt ist. Wahlen wir z.B. a = 100, b = 80, e = 10, d = 9, so ist

5 X o = 99

> 10 = e.

Xo

ein

422

8 Differentialrechnung

Fiir dieses Zahlenbeispiel wird das Maximum offensichtlich am Rande angenommen. Wir berechnen daher aus (8.53) A(O) = a(b - d) = 7100

A(c) = b(a - c) = 7200.

Die groBte FUiche erhalt man daher, wenn man die Breite von 80 cm der Scheibe beibehalt und die Lange von 100cm auf90cm verkiirzt.

8.7.3 Konvexitat und Wendepunkt Wir wollen nun auf die Bedeutung der zweiten Ableitung eingehen. Dazu benotigen wir die Begriffe Links- und Rechtskriimmung von Kurven sowie Konvexitat und Konkavitat von Funktionen. 1st K der (glatte) Graph einer auf einem Intervall I differenzierbaren Funktion fund wird auf I mit wachsendem x die Steigung der KurveK immer groBer, so sagen wir, die Kurve K besitzt eine Linkskriimmung. Wird dagegen auf I mit wachsendem x die Steigung der Kurve Kimmer kleiner, so besitzt die Kurve K eine Rechtskriimmung (vgl. Bild 8.20). Diese anschaulichen Begriffe aus der Geometrie wollen wir nun auf Funktionen iibertragen und eine analytische Definition geben. Zunachst fallt auf, daB bei linksgekriimmten (glatten) Kurven (vgl. Bild 8.20a)) jede Tangente unterhalb der Kurve liegt und bei Kurven mit Rechtskriimmung umgekehrt aIle Tangenten oberhalb der Kurve liegen. Das fiihrt auf folgende Definition 8.13 f sei eine auf (a, b) differenzierbare Funktion. Fur jedes xoE(a, b) definieren wir die Funktion t: x~t(x) = (x - x o)· f'(x o) + f(x o).

Gilt fiir aIle xoE(a, b) die Ungleichung f(x)

~

t(x)

bzw.

f(x)

~

t(x)

fiir aIle xE(a, b),

(8.54)

so heiBtfkonvex bzw. konkav auf (a, b). Gilt die Gleichheit in (8.54) nur fiir x =

X o,

so heiBtfstreng konvex bzw. streng konkav.

Bemerkungen: 1. Der Graph der Funktion t: x~ t(x) = (x - x o)· f'(x o) + f(x o) ist die Tangente an den Graph von f im Punkt P(x o, f(x o)). Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form einer Geraden, erhalten wir

namlich fur die Tangente:

woraus man die Funktion t erhalt. 2. Bei der Definition der Konvexitat einer Funktion kann auf die Differenzierbarkeit verzichtet werden. Anstelle der Tangenten treten dann Sekanten (vgl. [3J). Der folgende Satz macht klar, daB der Graph einer auf (a, b) konvexen Funktion linksgekriimmt ist und umgekehrt.

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung

423

y

y K

t,

x Bild 8.20: a) Linkskriimmung Graph einer konvexen Funktion

x b) Rechtskriimmung Graph einer konkaven Funktion

Satz 8.36 .....•..•.... ..

1

~

.

!

.. :

··.·1

..

I

Bernerkungen:

1. Die Monotonie der Funktion f' auf (a, b) bedeutet geometrisch, daB bei zunehmenden x die Tangente sich (falls f' monoton wachsend ist) im mathematisch positiven Sinn dreht, d.h. der Graph von f besitzt eine Linkskriimmung. 2. In Satz 8.36 kann streng konvex durch konvex ersetzt werden, wenn die strenge Monotonie durch Monotonie ersetzt wird. Wendet man die Satze 8.31 und 8.32 auf die Funktion f' an, so ergibt sich folgender Satz 8.37

Beispiel 8.79 Auf welchem Intervall ist die Funktion f:

x2

x~ f(x) = - - 2

l+x

konvex, auf welchem konkav?

Da f beliebig oft auf lH differenzierbar ist, sind die Voraussetzungen von Satz 8.37 erfiillt. Wir erhalten 2x j'(x) = (1

+ x2f'

424

8 Differentialrechnung

Wegen 1 - 3x 2 > 0 2

1 - 3x < 0

Ixl < ~J3 und genau dann, wenn Ixl > ~J3 genau dann, wenn

ist f auf ( - ~J3, ~J3) streng konvex und auf den Intervallen ( konkav.

00,

-~J3), (~J3, (0) streng

±)

Betrachten wir den Graph k obiger Funktion an den Stellen ~ ( - ~J3, und ~(~J3, i), so fallt auf, daB in ~ eine rechts-gekrummte Kurve in eine links-gekrummte Kurve iibergeht und in ~ umgekehrt. Punkte mit dieser Eigenschaft nennt man Wendepunkte (vgl. Bild 8.21). Fur die Funktion f bedeutet das, daB (entsprechend an der Stelle x 2 ).

ff! das Vorzeichen beim Durchgang von

Xl

andert

y --------- 1

-1 x

----------

Xl

x

2

Bild 8.21: Graph von f mit f(x) = - 1+ x 2

Definition 8.14 1stI auf (Q, b) zweimal differenzierbar und X oE (Q, b), dann heiBt (x o, I(x o)) Wendepunkt der FunktionI( oder Wendepunkt des Graphen von/) wenn I" beim Durchgang durch X o das Vorzeichen wechselt, wenn alsol"(x) < 0 fur x < X o und/"(x) > 0 fur x > X o ist bzw. umgekehrt. Die Tangente in einem Wendepunkt heiBt Wendetangente. Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente heiBt Terrassenpunkt (oder Sattelpunkt). Bemerkungen:

1. Beim Durchgang durch einen Wendepunkt wechselt also der Graph einer Funktion seine Kriimmung, namlich von einer Rechtskriimmung zu einer Linkskriimmung oder umgekehrt. 2. Voraussetzung fiir die Existenz eines Wendepunktes ist (nach dieser Definition) die Differenzierbarkeit von f an der Stelle, wo f einen Wendepunkt hat. So hat z.B. die Funktion f mit f(x) = Ix 2 - 2xl weder an der Stelle 0 noch an der Stelle 2 einen Wendepunkt, obwohl der Graph von f an der Stelle 0 von einer Linkskurve in eine Rechtskurve und an der Stelle 2 von einer Rechtskurve in eine Linkskurve iibergeht. fist namlich an beiden Stellen nicht differenzierbar. Hinweis: Der Graph von f entsteht aus der Normalparabel mit dem Scheitel in S(l, -1) (f = Igi mit g(x) = (x - 1)2 - 1), wobei der Teil zwischen 0 und 2 »nach oben geklappt wird«.

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung

425

In Bild 8.22 bzw. 8.23 ist der Graph einer Funktion dargestellt, der einen Wendepunkt bzw. Terrassenpunkt besitzt.

y

y

T

x

x Bild 8.23: Terrassenpunkt

Bild 8.22: Wendepunkt

Folgender Satz ist evident. Satz 8.38:

Bemerkungen: 1. Wenn j auf U(x o) dreimal stetig differenzierbar ist, dann ist j"(x o) == 0 eine notwendige Bedingung fur die Existenz eines Wendepunktes an der Stelle x o, wohingegen j"(x o) == 0 und j"'(x o) i= 0 eine hinreichende Bedingung ist.

2. 1st j auf U(x o) dreimal stetig differenzierbar und gilt j'(x o) == j"(x o) == 0, j"'(x o) i= 0, so hat j an der Stelle X o einen Terrassenpunkt.

° °

== xlxl hat an der Stelle einen Wendepunkt, da wegen j'(x) == 21xl die zweite Ableitung beim Durchgang durch einen Vorzeichenwechsel hat (j" muB an dieser Stelle nicht definiert sein).

3. Die Funktion j mit j(x)

Beispiel 8.80 Wie ist aE~\{O} zu wahlen, damit die Funktion

a 1 j: x~ j(x) == x-I - x 2 '

Df == (1, (0)

einen Terrassenpunkt besitzt?

a 2 2a 6 Es ist j'(x) == - - - + -, j"(x) == - - --. (x - 1)2 x 3 (x - 1)3 x 4

426

8 Differentialrechnung

Aus j'(x) = j"(x) = 0 (notwendige Bedingung fur Terrassenpunkt) erhalten wir das nichtlineare Gleichungssystem 3

+ 2(x - 1)2 = 0}<=>{ax = 2(x - 1)2 2ax 4 - 6(x - 1)3 = 0 ax 4 = 3(x - 1)3

- ax

3

(8.55) (8.56)

Division von (8.56) durch (8.55) liefert, da x #- 0, x #- 1, a#-O ist: x = 1(x - 1)<=>x = 3. Mit x = 3 folgt aus (8.55) a = 287. Wir priifen noch die HinHinglichkeit: Es ist (mit a = 287) 16 24 8 j"'(x) = 4 + 5 ' woraus j"'(3) = - ~ + 881 = - 8\ #- 0 folgt. Fur a = 2 7 besitzt j daher an 9(x - 1) x der Stelle 3 einen Terrassenpunkt. Folgendes Beispiel zeigt, daB die Bedingung j"(x o) = 0 nur notwendig fur die Existenz eines Wendepunktes ist. Beispiel 8.81 Wir betrachten die auf ~ beliebig oft differenzierbare Funktion j mit j(x) = x 4

+ x.

Es ist j'(x) = 4x 3 + 1, j"(x) = 12x 2 , j"'(x) = 24x, j(4)(X) = 24. Obwohl j"(O) = 0 (beachte: j'(O) = 1), besitzt j an der Stelle 0 keinen Wendepunkt (folgt mit Satz 8.35 angewandt auf die Funktion j', vgl. Bild 8.24). Mit Hilfe der in Abschnitt 8.7 bewiesenen Satze konnen nun feinere Aussagen uber den Verlauf des Graphen einer Funktion gemacht werden. Bei der Untersuchung von j kann man sich etwa an folgender Gliederung orientieren: 1. Definitionsbereich und Abschatzung des Wertebereichs

2. 3. 4. 5. 6.

Symmetrie und Periodizitat N ullstellen Stetigkeit und Differenzierbarkeit (Berechnung der Ableitungen) Extremwerte, Wendepunkte und Wendetangenten Grenzwertaussagen (Asymptote, Pole, Verhalten von j am Rande des Definitionsbereichs)

Aufgrund dieser sogenannten Kurvendiskussion erhalt man einen UberbEck uber den Verlauf des Graphen von! Zurn Begriff der Asymptote wollen wir noch einige Bernerkungen rnachen. Fur gebrochenrationale Funktionen wurde in Abschnitt 4.1 die Asymptote bereits erkHirt. Dabei traten die Graphen von ganzrationalen Funktionen als Asyrnptoten auf. Fur Funktionen, die nicht gebrochenrational sind, wollen wir hier nur Asymptoten betrachten, die Geraden sind. 1st j eine auf einem nicht beschrankten Intervall definierte Funktion, und gibt es Zahlen a, bE [R so, daB lim (j(x) - ax - b) = 0

(8.57)

ist, so heiBt die Gerade g mit y = ax

+b

(8.58)

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung

1

Bild 8.24: Graph von f mit f(x)

=

x4

427

X

+X

Asymptote des Graphen von f. Wegen (8.57) schmiegt sich fur x ~ 00 der Graph von f immer mehr der Geraden 9 an. Entsprechendes gilt sinngemaB fur x ~ - 00.

Nehmen wir an, eine gegebene Funktion f besitze eine Asymptote. Zur Berechnung von a und bin (8.58) schreiben wir (8.57) in der Form lim [x (f(X) - a x~oo

Grenzwert existieren solI und x gegen

· 11m

x~oo

00

x

strebt, folgt

b) = 0 un d wegen 1·1m -b= 0 ergl·b· t h

(f(X) -- - a - X

X

SIC

x~oox

Nachdem a ermittelt ist, kann b wegen (8.57) durch

berechnet werden.

~)J = O. Da nach Voraussetzung der x

428

8 Differentialrechnung

Wendet man die zweite Regel von Bernoulli-de l'Hospital (Satz 8.30) auf (8.59) (falls die Voraussetzungen gegeben sind) an, so kann auch durch

die Konstante a bestimmt werden.

Bemerkungen: 1. Der Graph von f besitzt genau dann die Asymptote (8.58) fiir x ~ 00, wenn die Grenzwerte (8.59) bzw. (8.61) und (8.60) existieren. 2. Existiert der Grenzwert lim f(x), so folgt aus (8.59) a == O. Daher ist wegen (8.60) lim f(x) == b. x~oo

x~oo

In diesem Fall hat der Graph von f eine zur x-Achse parallele Asymptote mit dem (vorzeichenbehafteten) Abstand b von der x-Achse. AIle diese Uberlegungen gelten sinngemaB fiir x ~ -

00.

Beispiel 8.82 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) == ~J x 2 von f fiir x ~ 00 ?

-

2x - 3, DI == [3, (0). Wie lautet die Asymptote

Wir erhalten:

f( x)

.

.

a== hm --== hm x~oo x x~oo

lJX2-2x-3 2

b = lim (f(x) - ax) = lim x~oo

3

x~oo

2

nJ x

2

-

.

==- hm

X

~3

x~oo

3

1----==2 X

x

2x - 3 -~x] =~ lim

x~oo

2

J x 2-2x-3 -2x-3+x

3 2+== -

~ x~ lim

00

p;;x 2 3 1----+1 2 X

f

x

besitzt daher fiir x ~ 00 die Asymptote y == ~x -~.

Wir wollen nun zwei Kurvendiskussionen durchfiihren. Beispiel 8.83 2

Der Graph der Funktion f mit f(x) == e -x soIl diskutiert werden. 1. Es ist D == fR. Aus x 2 ~ 0 folgt e

x2

~ 1, also e-

x2

1

== ~ ~ 1. Daher und wegen ee

x2

> 0 ist WI == (0, 1J.

2. f( -x) == e-(-x)2 == e- x2 == f(x), d.h. fist gerade (Symmetrie zur y-Achse).

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung 3.

429

f besitzt keine Nullstelle, da O¢ Wf.

4. fist auf ~ beliebig oft differenzierbar (Verkettung zweier beliebig oft differenzierbarer Funktionen). Es gilt: f'(x) = - 2xe- x2 , f"(x) = 2(2x 2 - 1)·e -x f"'(x) = 4x(3 - 2x 2 )·e- x2 • 2

,

5. a) Extremwerte: f'(x) = 0 (notwendige Bedingung). - 2xe - x = 0 => x = O. Wegen fIt (0) = - 2 < 0 hat f an der Stelle 0 ein relatives (und gleichzeitig absolutes) Maximum. Hochpunkt H(O, 1). b) Wendepunkte: f"(x) = 0 (notwendige Bedingung). 2

2(2x 2 _1)e-

X2

= O~2X2 - 1 = O~X2 = 1~Xl,2 = ± 1J2.

Wegen f"'( ±1J2) =

±4

A° =I-

hat

j an den Stellen ±1J2 Wendepunkte.

Ausj(±1J2)= ;~ergibtsiCh W1,2( ±1J2, ;~)=(±0,7 ...;0,6...). c) Steigung mw der Wendetangenten.

m = f'(±1J2) = + A= +0,85 ... w

1 6. Es ist lim f(x) = lim e- x2 = lim ~ = 0 x~oo x~oo x~oo e

und

2

lim e -x = o.

x~-oo

Daher ist die x-Achse Asymptote von f. 7. Skizze (s. Bild 8.25)

y

H x

x

-1 x,

T Bild 8.25: Graph von

x~ f(x) = e-

x2

Bild 8.26: Graph von x~ f(x)

Beispiel 8.84 Wir diskutieren den Graphen von f:x~ f(x) =V(x + 1)2 -V(x -1)2. 1. D

=~.

= V(x

+ 1)2 -

V(x -

1)2

430

8 Differentialrechnung

2. j( -x) = V(1- X)2 - V( -x -1)2 = - (V(1 + X)2 - V(1- X)2) = - j(x),

d.h. jist ungerade (Symmetrie zum Ursprung). 3. j(x)

= O=>V(x + 1)2 = V(x -1)2=>X 2 + 2x + 1 = x 2 - 2x + 1=>x = O=>S(O,O).

4. jist auf [R stetig (Differenz zweier stetigen Funktionen) und fur aIle XE lR\{ -1, + 1} gilt: 2

j'(x) =

2

-

3·Vx+1 j"(x)

=

1

_l.

,

3·Vx-1 1

+l.

_

V(x + 1)4 9 V(x _ 1)4' 1 1 j"'(x)=~· -~._-27 V(x + 1)7 27 V(x _ 1)7· 9

jist an den Stellen -1 und 1 nicht differenzierbar. 5. a) Es ist j'(x) =f. 0 fur aIle xE[R\{ -1, 1}, daher konnen Extremwerte allenfalls an den Stellen auftreten, an denen j nicht differenzierbar ist. In Beispiel 8.75 wurde gezeigt, daB j an der Stelle -1 ein relatives Minimum und an der Stelle 1 ein relatives Maximum besitzt. Hochpunkt H(1, V4), Tiefpunkt T( -1, - V4). b) Die notwendige Bedingung fur den Wendepunkt ergibt V(x + 1)4 - V(x -1)4 = O<=>(x + 1)4 = (x - 1)4<=>X = O. Wegen j"(O) = 0, j"'(O) = ~~ =f.: 0 ist S(O, 0) ein Wendepunkt. c) Die Steigung m w der Wendetangente ist m w = j'(O) = 1. 6. Wegen a - b = 2 a

b

=

a3

b3

-

+ ab + b

2 (vgl. Abschn. 1.4.2, (1.32)) erhalten wir (a = V(x + 1)2,

V(x - 1)2):

--(x + 1)2 - (x - 1)2 lim [V(x + 1)2 - V(x -1)2J = lim = o. x~±oo x~±oo V(x + 1)4 + V(x + 1)2 V(x -1)2 + V(x -1)4 Daher ist die x-Achse Asymptote. 7. Skizze (s. Bild 8.26) Aufgaben 1. Auf welchen Intervallen sind nachstehende Funktionen monoton?

a) f:

x~ f(x)

= x 3 - 27x;

d) f: x~ f(x) = e-

x2

b) f: x~ f(x)

= x 5 + 3x 3 + 2x + 5;

e) f:x~f(x)=1+x+sin2x.

;

x2

2. Beweisen Sie die Ungleichung x - - < In(l + x) < x, fur alle x> o. 2

Hinweis: Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktionfmit f(x)

=

In(l

x2

+ x) - x + -

2

bzw.

f(x)

=

x -In(l + x).

c) f:

x~ f(x) =

x

--2;

4-x

8.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung

431

3. Bestimmen Sie die (relativen bzw. absoluten) Extrema folgender Funktionen: b) f: x~ f(x)

x4

+1

= -2-· X

c)

f:x~f(x)=x·lnx;

d) f: x~ f(x) =

J x (3 2

x).

4. Gegeben ist die auf [R definierte Funktion

f: x ~ f(x)

=

ax 3

+ bx 2 + cx + d.

Welche Bedingungen mussen a, b,

C, dE[R

erfuHen, damit

a) f genau zwei Extrema besitzt; b) der Graph von f einen Wendepunkt besitzt; c) der Graph von f einen Terrassenpunkt enthalt; d) der Wendepunkt auf der x-Achse liegt? 5. Beweisen Sie: Besitzt die Funktion

f: x~ f(x) = ax 3

+ bx 2 + cx + d,

a =1= 0

zwei reeHe Extremwerte, so liegt der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen ihnen. 6. Der Querschnitt eines Stammes sei ein Kreis mit dem Radius a. Aus diesem Stamm werde ein Balken mit rechteckigem Querschnitt herausgeschnitten. Die Tragfahigkeit T eines solchen Balkens ist proportional der Breite b und dem Quadrat der Hohe h des Querschnittes. Man bestimme die Form des Querschnittes, fur die der Balken maximale Tragfahigkeit besitzt. 7. Aus drei Brettern von der Breite a soH eine Rinne hergesteHt werden, deren Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez ist. Welche Form muB das Trapez haben, wenn der Querschnitt maximal sein soH? 8. Urn einen Halbkreis mit dem Radius, ist ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, von dessen Grundlinie der Durchmesser ein Teil ist. Wie muB die Hohe h des Dreiecks gewahlt werden, damit sein Inhalt minimal wird? (Vgl. Bild 8.27)

- -.......- - - - - - - - -......---Kanal

A,

B

d

A Bild 8.27: Zu Aufgabe 8

Bild 8.28: Zu Aufgabe 12

9. Vier gleiche Holzwande (Lange a, Breite b) soHen einen an den Giebelseiten offenen Schuppen bilden derart, daB zwei als senkrecht stehende Seitenwande dienen und zwei als Satteldachflache. Wie breit muB der Schuppen werden, wenn der uberdachte Raum moglichst graB sein soH? *10. Es sei d die Entfernung der Mittelpunkte zweier Kugeln mit den Radien '1 und '2. In welchem Punkt der Zentralen muB eine LichtqueHe angebracht werden, damit die Summe der beschienenen Kugelkappen maximal wird?

*11.

Ein Grundstuck hat die Gestalt eines Dreiecks und soH durch einen Zaun in zwei flacheninhaltsgleiche Teile geteilt werden. Es sind die Punkte auf den Seiten zu bestimmen, durch welche der Zaun gezogen werden muB, damit er so kurz wie moglich wird.

432

8 Differentialrechnung

12. Ein Ort A soIl regelmaBig mit Waren aus einem Ort B, der an einem geradlinigen Kanalliege, versorgt werden. Der Ort A habe den Abstand d vom Kanal, wahrend B die Entfernung I von dem A am nachsten gelegenen Punkt A 1 des Kanals hat. An welcher Stelle des Kanals muB der Warenumschlag stattfinden, wenn die Transportkosten minimal sein soIlen? Die Transportkosten pro km und Wareneinheit seien a beim Landtransport und fJ beim Wassertransport (a > f3). (Die Strecken lund d seien in km gegeben, vgl. Bild 8.28). 13. Auf einer schiefen Ebene der Lange I ro11t eine Kugel herab und lauft auf einer waagrechten Ebene weiter. We1chen Neigungswinkel a muB die geneigte Ebene haben, damit die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit auf der waagrechten Ebene moglichst graB ist (Reibung vernachlassigen)? 14. Dnter we1chem Winkel (zu einer waagrechten Ebene) muB ein GeschoB abgefeuert werden, damit die groBtmogliche Weite erreicht wird? 15. Die Fahrtrichtung eines Segelbootes bildet mit der Windrichtung den Winkel «J (0 ~ «J < n). Wie mussen die Segel geste11t werden, urn eine maximale Ausnutzung der Windkraft zu erreichen? 16. Von einem Kanal mit der Breite a gehe unter einem rechten Winkel ein anderer Kanal mit der Breite b aus. Die Wande der Kanale seien geradlinig. Wie lang darf ein Balken hochstens sein, der von dem einen Kanal in den anderen gefloBt werden solI? 17. Uber der Mitte eines runden Tisches (Durchmesser d) solI eine Lampe angebracht werden. We1chen Abstand muB sie vom Tisch haben, damit am Tischrand eine maximale Beleuchtung erzielt wird? Die BeleuchtungssHirke f errechnet sich dabei durch f r

=

m's~n«J, wobei «J der Neigungswinkel der Strahlen, r

der Abstand der beleuchteten Flache von der Lichtque11e und m eine Konstante (Lichtstarke) bedeuten.

18. Gegeben ist die Parabel y 2 = 2px. *a) Fur we1che Punkte P ist das vom Beruhrpunkt bis zur Leitlinie gerechnete Stuck der Tangente ein Minimum? b) P 1(X 1, Y1) und P 2(X 2'Y2) (Xl < x 2' Y1' Y2 > 0) seien Parabelpunkte. Bestimmen Sie den ParabelpunktP(x,Y) mit Xl < X < x 2 ' der den groBten Abstand von der Sehne P1P2 hat. 19. Fur we1chen E11ipsenpunkt P 1 bildet die Normale in P 1 mit der Verbindungslinie P 1 zum Mittelpunkt den graBten Winkel? 20. In eine Ellipse solI ein Achteck mit maximaler Flache einbeschrieben werden. 21. Eine Ellipse habe die Halbachsen a und b (a> b). F(e, 0) sei ein Brennpunkt. Man bestimme den Punkt der Ellipse, der die kurzeste Entfernung von F besitzt. 22. Ein Punkt bewege sich im Medium I mit der Geschwindigkeit V 1 und im Medium II mit der Geschwindigkeit v2 • Die beiden Medien seien geradlinig voneinander getrennt. Die Bewegung des Punktes von einem Punkt A im ersten Medium zu einem Punkt B im zweiten Medium setze sich aus den geradlinigen Abschnitten AC und CB zusammen, wobei C auf der Grenze zwischen den Medien liegt. Zeigen Sie, daB die Bewegung des Punktes von A nach B genau dann in kurzester Zeit erfolgt, wenn sin«J1

V1

sin «J2

v2

ist, wobei «J1 bzw. «J2 die Winkel sind, we1che die Geraden AC bzw. CB mit dem Lot auf die geradlinige Begrenzung zwischen den Medien bilden (Fermatsches Prinzip). 23. We1che Enternung muB ein Beobachter A mit der Augenhohe 170 cm wahlen, damit er ein auf dem (waagrechten) Boden stehenden Gegenstand B mit der Hohe 30 cm so graB wie moglich sieht? (Maximaler Sehwinkel!) 24. P und Q seien zwei Punkte auf einem Kreis K urn M mit Radius a. Wie mussen die Punkte P und Q auf K gewahlt werden, damit der Inkreisradius p des Dreiecks PQM maximal wird? Bestimmen Sie den maximalen

Inkreisradius. *25. Dnter we1chem Winkel a 1 muB ein Strahl ein Prisma treffen, damit seine Gesamtablenkung wird?

<5

ein Minimum

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

433

26. Untersuchen Sie das KonvexiHitsverhalten der Funktionen a) f:x~f(x)=(x+1)3(x-1);

x b) f:x~f(x)=--2'

l+x

27. Gilt auch die Umkehrung von Satz 8.37b? 28. Besitzen nachstehende Funktionen Asymptoten, wenn ja, sind sie zu bestimmen. b) f:x~f(x)=VX3+2x2;

f:x~f(x)=

c)

3-a3 JX--,b>O. x+b

29. Fur folgende Funktionen f mit x ~ f(x) sind Kurvendiskussionen durchzufuhren und die Graphen sind zu skizzieren: a) f(x)

=

(x - l)(x + 2) (x + 3)2 ;

c) f(x)

=

V3x 2

x 3;

-

d) f(x) = e 1 / x ;

f) f(x)

=

10· V(x - 1)2 x 2 +9

;

h) f(X)=X2.~;

Jx _x 2

j) f(x) k)

f (x) = x 'In Ix I; l+x

m) f(x)=!'ln--; I-x

1) f(x)

3

l+x =

In(x 2

n) f(x) = (1

-

;

1);

+ Ixl)l/x;

0) f(x)=x 2'lnx;

p) f(x)

=

1 x'sin-;

1 - cosx q) f(x) = 20'--2-; x

r) f(x)

=

tanh-;

v) f(x)

=

2sinx + sin2x;

s) f(x)

=

x 1

x

1 x· tanh-; x

u) f(x) = S'e-o,lx'sinx; 1 w) f(x) = arcsin-; x

y) f(x) = esinx ;

x) f(x) = arcsin(l + x 2);

1 z) f ( x ) = -l/x' -l -e

In einigen Kurvendiskussionen treten Gleichungen auf, die nur mit numerischen Verfahren (s. Abschnitt 8.8) gelost werden konnen.

8.8 Numerische Verfahren zur Losung von Gleichungen 8.8.1 Allgemeines Iterationsverfahren

Viele praktische Probleme fiihren auf die Aufgabe, eine Nullstelle einer Funktion f: x ~ f(x) bzw. eine Lasung der Gleichung f(x) = 0 zu bestimmen. Da in den meisten Fallen eine Lasung nicht

434

8 Differentialrechnung

explizit angegeben werden kann, muB man ein numerisches Verfahren zur naherungsweisen Berechnung verwenden. Besonders effektiv sind hierbei die sogenannten Iterationsverfahren. Ein solches Verfahren gliedert sich i.allg. in zwei Teile: 1. Man bestimmt einen »groben« Naherungswert (Startwert) X o fiir eine Lasung von f(x) = O. 2. Mit Hilfe einer Rechenvorschrift berechnet man aus X o einen neuen Wert Xl' Auf diesen Wert wendet man wieder die Rechenvorschrift an und erhalt einen Wert X 2 usw. und damit eine Folge <xn ).

Die Rechenvorschrift bezeichnet man als Iterationsvorschrift, die einmalige Anwendung dieser Vorschrift heiBt ein Iterationsschritt. Unter geeigneten Voraussetzungen konvergiert dann die Folge <xn ) der Iterationswerte gegen eine Lasung ~ der Gleichung f(x) = O. Dies bedeutet, daB man theoretisch eine Lasung ~ der Gleichung beliebig genau bestimmen kann, wenn man nur hinreichend viele Iterationsschritte durchfiihrt. Beispiel 8.85 In Abschn. 3.3.1, Beispiel 3.27 haben wir gezeigt, daB fiir alle xoElR+ lim x~CXJ

i(x

n- l

+_2_)=J2

(8.62)

Xn- l

ist, d.h. die F olge <x n ) mit Xn

= g(x n -

l)

= i(x n - l +

_2_)

(8.63)

Xn- l

konvergiert gegen eine Lasung der Gleichung f(x) = x 2 - 2 = O. Damit haben wir ein Iterationsverfahren zur naherungsweisen Berechnung von wobei (8.63) die Iterationsvorschrift dieses Verfahrens ist. Wahlt man z.B. als Startwert X o = 1, so erhalt man die Naherungswerte Xl' x 2 , ... (s. TabeIle 8.1). Wegen (8.62) konvergiert die Folge x n ) der Naherungswerte und damit, wie man sagt, auch das Iterationsverfahren gegen die Lasung der Gleichung x 2 - 2 = O.

J2, <

J2

Tabelle 8.1.

~SI_3 xn

1

1,5

1,416

1,4142156...

~_-

Gegeben sei die Gleichung f(x) = 0, sie besitze mindestens eine Lasung in [a, b]. Zur Herleitung einer geeigneten Iterationsvorschrift bringen wir f(x) = 0 durch aquivalente Umformung auf die Form X = Das folgende Beispiel zeigt, wie man dabei vorgehen kann.

g(x).

Beispiel 8.86 Gegeben sei die Gleichung f(x)

=

e -x -

~X2 =

O.

Die Funktion fist auf lR stetig und streng monoton faIlend (f'(x) < 0 fiir aIle xElR), ferner gilt f(O)f(l) < O. Folglich besitzt die Gleichung nach dem Satz von Bolzano (s. Abschn. 4.3.3, Satz 4.16) genau eine Lasung in (0,1). Durch Umformungen erhalt man aus e -x - ~X2 = 0 fiir X > 0 die

8.8 Numerische Verfahren zur Losung von Gleichungen

435

aquivalenten Gleichungen x=

J -2e -

oder

x=

2

-

xe X

oder

2

x = In 2"' x Diese Gleichungen sind von der Form x = g(x). Wie man sieht, besitzen f(x) = und x = g(x) dieselbe Losung. Geometrisch ist eine Losung ~ von x = g(x) - wegen ~ = g(~) - die Abszisse des Schnittpunktes P des Graphen von 9 mit der Geraden y = x (s. Bild 8.29). x

°

y

=g(x)

x Bild 8.29: Losungen

~1

und

~2

von x = g(x)

Die Gleichung x = g(x) besitze eine Losung ~E[a, b], xoE[a, b] sei ein »grober« Naherungswert dieser Losung. Mit Hilfe der Iterationsvorschrift x n + 1 = g(x n ), n = 0, 1,2, ... , konstruieren wir die Folge <x n ). 1st 9 auf [a, b] stetig und xnE[a, b] fur alle nE No, dann gilt, falls die Folge <xn) gegen x konvergiert, x = lim x n+ 1 = lim g(x n) = g(lim x n) = g(x), d.h. ~ = x ist Losung von x = g(x) in n---"co n-"co n-"oo [a, b]. Der folgende Satz gibt eine hinreichende Bedingung fur die Existenz und Konvergenz einer solchen Folge X n ) .

<

Satz 8.39 (Allgemeines Iterationsverfahren)

436

8 Differentialrechnung

Bemerkungen:

1. Die Voraussetzung (VI) ist natig, damit man die Folge bilden kann, denn gist nur auf [a, b] definiert. Geometrisch besagt (V 1), daB g das Intervall »in sich abbildet «, d.h. fiir kein XE [a, b] liegt g(x) auBerhalb von [a, b]. Der Graph von g verHiuft also ganz in dem Quadrat Q = {(x, y) I x, yE [a, b]} (s. Bild 8.30).

y

y

b

b

a

a

a

b

x

y=x

Q

~1

~3 b

x

Bild 8.31: x = g(x) fur ~1' ~2' ~3E[a,b]

Bild 8.30: g(x)E[a,b] fur alle xE[a,b]

2. Nach Voraussetzung ist g auf [a, b] differenzierbar, also dort stetig. Hieraus und aus (VI) folgt, daB der Graph von g an mindestens einer Stelle ~E[a, b] die Gerade y = x schneidet (s. Bild 8.31), x = g(x) also mindestens eine Lasung ~E[a, b] besitzt. 1st (VI) erfiillt,jedoch g unstetig an einer Stelle von [a, b], so muB x = g(x) nicht notwendig eine Lasung besitzen (s. Bild 8.32). y

y=x

y

x Bild 8.32: g(x) =I- x fur alle xE[a,b]

y=x

x Bild 8.33: 0 < g'(x) < 1 fur aIle xE[a, b]

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

437

3. 1st (V2) erfullt, so ist -1 < g'(x) < 1 fur alle XE [a, b], d.h. der Graph von g verHiuft zwischen x = a und x = b so »flach «, daB er die Gerade y = x dort hachstens einmal schneidet (s. Bild 8.33). Anschaulich ist damit klar, daB durch die Differenzierbarkeit von g auf [a, b] und die Voraussetzung (VI) die Existenz mindestens einer Lasung und durch Hinzunahme von (V2) die Existenz hachstens einer Lasung von x = g(x) in [a, b] gesichert ist. 4. Das allgemeine Iterationsverfahren HiBt sich graphisch durch einen Streckenzug darstellen. Dabei bilden die Abszissen der Eckpunkte des Streckenzuges die Iterationsfolge x n ). Diese Folge ist streng monoton bzw. »oszillierend«, falls 0 < g'(x) < 1 bzw. -1 1 fur alle XE [a, b] ist (s. Bild 8.36 und B~ld 8.37).

<

y

y

y=x

y=x

x

x Bild 8.34: 0 ~ g'(x) < 1

Bild 8.35: -1 < g'(x) < 0

X 2 Xo~

Bild 8.36: g'(x) > 1 in

U(~)

Bild 8.37: g'(x) < -1 in

Xl U(~)

X

438

8 Differentialrechnung

Beweis von Satz 8.39

Zu a) Existenz und Eindeutigkeit von

~:

Wir bilden die Funktion cp: XI--+CP(x) == g(x) - x. cp ist auf [a, b] stetig, und wegen a ~ g(x) ~ b fiir aIle XE [a, b] (vgl. (VI)) ist cp(a) == g(a) - a ~ 0 und cp(b) == g(b) - b ~ O. Nach dem Satz von Bolzano (s. Abschn. 4.3.3, Satz 4.16) existiert dann mindestens ein ~E[a, b] mit cp(~) == g(~) - ~ == 0, d.h. es existiert mindestens eine Lasung von x == g(x) in [a, b]. Wir zeigen, daB hachstens eine Lasung existiert. Hierzu nehmen wir an, daB x == g (x) die beiden Lasungen ~ l' ~2 E[a, b] besitze. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. Satz 8.25) existiert ein CE(~l' ~2) mit Ig(~1)-g(~2)1 == Ig'(c)lI~l - ~21. Zusammen mit (V2) erhalt man dann wegen ~1 == g(~l) und ~2 == g(~2): 1~1

- ~21 == Ig(~lr-'g(~2)1 == Ig'(c)lI~l

Daraus folgt (1 - L)I ~1 - ~21 [a, b] genau eine Lasung. Zu b) Es gilt lim

Xn

~

- ~21 ~ LI~l - ~21·

O. Wegen 1- L > 0 gilt dies nur fiir

~1

== ~2. Also besitzt x == g(x) in

== ~:

Es sei xoE[a, b]. Wegen ~ == g(~) und mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (s. Satz 8.25) ergibt sich (beachte: (8.64))

IXn -

~ I ==

Ig(x n -

1) - g(~) I == Ig'( Cn -1) I Xn - 1 - ~ I ~ L IXn - 1 - ~I

fiir aIle n == 1,2, ... , wobei Cn - 1 zwischen X n - 1 und ~, also in [a, b], liegt. Durch vollstandige Induktion beweist man dann fur alle nEN die Ungleichung 0 ~ IXn - ~I ~ Ln\x o - ~I. Wegen LE(O, 1) ist lim L n == 0, und man erhalt mit Hilfe von Satz 3.7 aus Abschn. 3.2.2: lim IX n - ~ I == 0, d.h. n-'> 00

n~oo

•

Bevor man mit einem allgemeinen Iterationsverfahren starten kann, benatigt man ein Intervall [a, b] in dem g die Voraussetzungen des Satzes 8.39 erfiillt. Ein solches Intervall laBt sich meist graphisch ermitteln. Dabei kann es vorteilhaft sein, die Gleichung x == g(x) bzw. f(x) == 0 auf die Form f1(X) == f2(X) zu bringen. Hierzu wahlt man als f1 und f2 solche Funktionen, deren Graphen sich einfach zeichnen lassen. Man schatzt dann die Abszisse des Schnittpunktes von y == f1(X) und y == f2(X) und verwendet diesen Wert als Startwert X o eines Iterationsverfahrens. Als Intervall [a, b] wahlt man eines, das hinreichend klein ist und X o enthalt. Eine andere Maglichkeit zur Bestimmung eines Startwertes besteht darin, durch Aufstellen einer Wertetabelle fur f ein maglichst kleines Intervall [a, b] mit f(a)f(b) < 0 zu finden. Wenn f auf [a, b] stetig ist, besitzt f(x) == 0 nach dem Satz von Bolzano (s. Abschn. 4.3.3, Satz 4.16) mindestens eine Lasung in [a, b]. Als Startwert X o eines Iterationsverfahrens wahlt man dann a, b oder etwa !(a + b) Beispiel 8.87 Wir bestimmen aIle Lasungen von f(x) == x 3

-

3x - 1 == O.

Dazu bringen wir diese Gleichung zunachst auf die Form x == g(x) == ~(X3 - 1). Bild 8.38 zeigt, daB x == g(x) (und damit auch f(x) == 0) genau drei Lasungen besitzt, und zwar jeweils eine in den Intervallen (- 2, -1), (-0,7; 0) und (1,2).

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

439

y 2 I I

I I

x 3_1

Y=T I

-2

g2 2x

-1

-1

-2 Bild 8.38: Naherungslosungen von x 3

-

3x - 1 = 0

Zur Bestimmung von Naherungswerten fur ~l' ~2 und ~3 wahlen wir drei verschiedene Iterationsvorschriften. a) Es sei gl (x) = i(x 3 - 1) und 1= [ -0,7; OJ. g list auf I differenzierbar und fur alle XE I gilt (beachte: g lund g'l sind auf I streng monoton): -0,7 < gl (x) < und Ig'l (X) I = x 2 ~ (-0,7)2 = 0,49 = L< 1. Da also gl die Voraussetzungen von Satz 8.39 in I erfullt, konvergiert die Iterationsfolge n mit

°

xn + 1

<x >

= i (x~ - 1),

n = 0, 1, 2, ...

fur jeden Startwert Xo EI gegen die Lasung ~ lEI. Wir wahlen Xo = eines elektronischen Taschenrechners die Werte in Tabelle 8.2. b) Berechnung von

0,3 und erhalten z. B. mit Hilfe

~2E[1,2J

Fur aIle xE[I,2] ist f(x) = g~(X) =

-

a¢> X = g2(X) = )3 + ~.

g2 ist auf [1,2] differenzierbar, und es gilt

-1

~.

Man erhalt fur alle xE[1,2J (beachte: g2 und Ig~1 sind auf [1,2J streng 2x y 3x 2 + x monoton fallend) 1 < g2(X) ~ 2 und Ig~(x) ~ Ig~(l)1 = 0,25 = L< 1. Folglich konvergiert die Iterationsfolge n mit

<x >

xn+ 1 =

)3+:;

n=O,I,2, ...

nach Satz 8.39 (etwa fur Xo = 1,5) gegen die Lasung 6 Iterationswerte. c) Berechnung von

~ 3 E[ -

2

E[l, 2]. Tabelle 8.2 enthalt die ersten

2, -1J

Fur alle XE[ - 2, -lJ istf(x) = O~X = g3(X) = V3x + 1. Wir verzichten auf den Nachweis, daB g3

440

8 Differentialrechnung

in [ - 2, -1J die Voraussetzungen von Satz 8.39 erfiillt. Mit Hilfe der Iterationsfolge

x n + 1 '= V3x n + 1,

<x >mit n

n=0,1,2, ...

und dem Startwert X o = -1,5 erhalt man die in Tabelle 8.2 angegebenen Werte. Tabelle 8.2: Naherungswerte fur die Lasungen von x 3 - 3x - 1 =

x n + 1 = i(x~ - 1)

n

Xo

= -0,3

-0,3423 - 0,3467062 ... -0,3472253 ... -0,3472877 ... -0,3472953 ... -0,3472962 ...

1 2 3 4 5 6

xn+ 1 = Xo

)3 + 1 X

Xl

Xo

= -1,5

-1,5182944 ... -1,5261894 ... -1,5295714 ... -1,5310156 ... -1,5316315 ... -1,5318940 ...

1,9148542 ... 1,8767612 ... 1,8795831 ... 1,8793703 ... 1,8793863 ... 1,8793851 ...

= -0,34729, x2 = 1,87938, x3 = -1,53.

x n + 1 = V3x n + 1

n

= 1,5

Die Iterationsverfahren liefern als Lasung der Gleichung x 3

°

-

3x - 1 = Odie Naherungswerte

(8.66)

Bei der praktischen Anwendung des allgemeinen Iterationsverfahrens muB man nach einer endlichen Anzahl von Iterationsschritten die Rechnung abbrechen. Man interessiert sich dann naturlich fur den Fehler IXn - ~I, den man begeht, wenn man die Lasung ~ durch den n-ten Iterationswert X n annahert. Den Beweis des folgenden Satzes stellen wir als Aufgabe.

Satz 8.40 (Fehlerabschatzungen)

Bemerkung:

Die a priori Fehlerabschatzung kann man bereits nach dem ersten Iterationsschritt durchfiihren. Mit ihrer Hilfe laBt sich abschatzen, wie viele Iterationsschritte man maximal zur Berechnung einer Naherungslasung zu vorgegebener Genauigkeit durchfuhren muB.

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

441

Die a posterion Fehlerabschatzung kann erst nach Berechnung des n~ten Iterationswertes durchgefuhrt werden. Sie liefert jedoch i. allg. eine bessere Schranke fur den Fehler als die a priori Fehlerabschatzung. Beispiel 8.88 a) Eine a posteriori Fehlerabschatzung Fur den Naherungswert X 6 = -0,3472962 ... (s. Tabelle 8.2) einer Lasung von x 3 - 3x - 1 = Beispiel 8.87 a) erhalten wir wegen L = 0,49 mit Hilfe von (8.68) die Fehlerabschatzung IX6-~I=

°

aus

0,49 0,49 -6 -6 Ix -x s l<-·10 <0,97·10. 1- 0,49 6 0,51

Folglich gilt fur den exakten Wert die »EinschlieBung« -0,3472972 <

~l

< -0,3472952.

b) Eine a priori Fehlerabschatzung Wie viele Iterationsschritte muB man bei X o = - 0,5 mit X n + 1 = g(x n ) = ~(x ~ - 1), n = 0, 1,2, ... hachstens durchfuhren, damit der Fehler des Naherungswertes fur die Lasung ~ kleiner als 10- 8 ist? 9 erfullt auf [-0,5;OJ mit L=0,25 die Voraussetzungen von Satz 8.40. Wegen -0,375 folgt dann aus (8.67)

°

n

25 IXn - ~I ~ -'-Ix l 0,75

-

°

Xl

=g(-0,5) =

n

25 xol == -'-·0,125. 0,75

025 n Damit IX n - ~I < 10- 8 ist, mussen wir nEN so wahlen, daB -'-·0,125 < 10- 8 ist. Dies ist der Fall, . mIn . d estens n == 12 wa··hlen. 075 wenn wir '

8.8.2 Das Iterationsverfahren von Newton

°

f sei auf [a, bJ mindestens zweimal stetig differenzierbar und f(a)f(b) < 0. Ferner sei f'(x) -# fur alle xE[a, bJ. fist folglich auf [a, bJ streng monoton, so daB f(x) == genau eine Lasung ¢E(a, b) besitzt. Wahlt man xoE[a, bJ als Naherungswert von ¢, so besitzt die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x o, f(x o)) (s. Bild 8.39) die Gleichung y = f'(xo)(x - x o) + f(x o). Fur die Abszisse Xl des Schnittpunktes der Tangente mit der x-Achse erhalt man

°

Ausgehend von Xl als Naherungswert gewinnt man entsprechend den neuen Wert x 2 , dann X 3 usw., d.h. eine Folge von Naherungswerten

<Xn

>

. mIt

f(x n ) Xn + 1 =Xn - f'(xS

n=O,1,2, ...

(8.69)

Das durch diese Folge definierte Verfahren heiBt Newtonsches Iterationsverfahren. Wegen Bild 8.39 kannte man vermuten, daB die Iterationsfolge (8.69) stets (monoton) gegen ¢ konvergiert. Bild 8.40 zeigt, daB dies nicht immer der Fall ist.

442

8 Differentialrechnung

y

y f

b x

Bild 8.39: Verfahren von Newton

x

Bild 8.40:

<x >konvergiert nicht gegen ~ n

Zur Untersuchung, unter welcher Bedingung die Folge (8.69) gegen die Lasung ¢ von f(x) = 0 in [a, b] konvergiert, setzen wir f(x) g(x)=x-f'(x)

(8.70)

und gewinnen damit die Iterationsvorschrift von Newton in der Form xn+ 1

= g(x n ) =

xnf'(x n) - f(x n) j'(x)

,

n = 0,1,2, ...

Aus (8.70) und den Bedingungen, die wir an differenzierbar, und es gilt g'(x) =

f(x)f"(x) 2 (f'(x) )

fiir alle

XE [a,

b].

f

(8.71) gestellt haben, folgt: gist auf [a, b] stetig

(8.72)

Wegen f(¢) = 0 und f'(¢) -# 0 ist g'(¢) = o. Foiglich existiert eine hinreichend kleine Umgebung U( ¢) c [a, b] so, daB fiir alle XE U( ¢) stets

Ig'(x) I =

f(x)f"(x) I . 2 ~ L mIt LE(O, 1) f' (x) I

(8.73)

ist. Wahlt man also U( ¢) so klein, daB (8.73) gilt, so erfiillt 9 die Voraussetzung (V2) aus Satz 8.39, d.h. die Folge der Naherungswerte (8.71) konvergiert gegen ¢. Damit haben wir folgenden Satz bewiesen:

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

443

Satz 8.41 (Newtonsches Iterationsverfahren) .............'

f I

sei xE[a,b]. a} b)es

..

..

P/

.

.

.

'"

I' I . . '.

.

.

ist unci die·Folge I. '

..

.

.

I .

Bemerkungen:

1. Das Newtonsche Iterationsverfahren konvergiert unter den angegebenen Voraussetzungen stets dann, wenn man den Startwert X o hinreichend nahe bei ~ wahlt. 2. Ohne Beweis sei erwahnt: 1st f"(x) =1= fiir aIle xE[a, bJ, und wahlt man als Startwert X o diejenige der Zahlen a oder b, fiir die f(xo)f"(x o) > ist, so konvergiert die Folge (8.75) gegen die einzige Lasung ~E[a, b].

°

°

Beispiel 8.89 Gegeben sei die Gleichung f(x) == x 3

-

3x - 1 == 0.

Nach Beispiel 8.87 besitzt diese Gleichung genau eine Lasung in [ -0,5; -0,2]. Mit Hilfe von (8.75) erhalt man die Folge n >mit

<x

2x~ + 1 x n + 1 == 3x 2 _ 3'

n == 0, 1,2, ...

(8.76)

n

Es gilt:

f(x)f"(x) I == ~.IX3 - 3x - 11'lxl 3 Ix 2 - 11 2 . I (f'(X))2

(8.77)

Beachtet man, daB eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige und monotone Funktion ihr Maximum auf dem Rand annimmt, so gilt fiir aIle XE[ -0,5; -0,2J 1

Ix 2 _11 2 <1,78;

Ixl~0,5;

Ix3-3x-11~0,41.

Foiglich gilt fiir aIle XE[ -0,5; -0,2J (vgl. (8.77))

I

f(X)f"(X)! 2 01 0 0 (f'(X))2 <3 ,78 0,5 0,41 <0,25 =L< 1,

(8.78)

so daB die Folge der Naherungswerte (8.76) nach Satz 8.41 fiir jeden Startwert XoE[ -0,5; -0,2J

444

8 Differentialrechnung

gegen die Lasung ~ konvergiert. Wahlen wir den Startwert X o = - 0,3, so erhalten wir mit Hilfe eines elektronischen Taschenrechners folgende Naherungswerte: Tabelle 8.3

~Xn

0

2

r - -- - t - - - - - - - - - - - - - + - - _--+------3

-0,3

-0,3465201...

-0,3472961...

-0,3472963...

1~.~'. '.

Fehlerabschatzung: Mit Hilfe von L = 0,25 liefert die a posteriori Fehlerabschatzung (8.68) IX 3 -

L -1-L

~I ~--IX3

0,25 -x 2 1<-.3.10- 7 = 10- 7 , 0,75

d.h.

-0,3472965 <

~

< -0,3472962.

Beispiel 8.90 Gegeben ist die Gleichung f(x) = eX - x 2 = 0.

°

°

Wegen f(O)f( -1) < und f'(x) > flir aIle XE[ -1, OJ (f ist also auf [ -1, OJ streng monoton) besitztJ(x) = 0 genau eine Lasung in [-1,0]. Ais Iterationsvorschrift des Newtonschen Verfahrens erhalten wir nach (8.75)

xn + l =

eXn(x n - 1) eXn - 2x

x;

, n=0,1,2, ...

n

Wahlen wir X o = -0,8, so ist f( -0,8)f"( -0,8) > 0, und wir erhalten folgende Naherungswerte. Auf eine Fehlerabschatzung verzichten wir. Tabelle 8.4

-:l'--------_-~-,8--t----0-, 7-0-69-5-9-..-.-+----:-,7-03-4-72-.-.. --I----~-,7-0-34-6-7-..-.---+----~-,7-03-4-67-.-..-~ 8.8.3 Regula falsi

Zur Anwendung des Newtonschen Verfahrens benatigt man die erste Ableitung der Funktion f. Es kann jedoch der Fall eintreten, daB die Bestimmung von j' sehr schwierig ist, oder daB j nicht differenzierbar ist. In diesen Fallen kommt einem anderen (ableitungsfreien) Iterationsverfahren eine groBe Bedeutung zu. Wir gehen hier jedoch nicht auf Konvergenzbedingungen und Fehlerabschatzungen ein, sondern beschreiben nur, wie man Naherungswerte flir eine Lasung von j(x) = erhalt.

°

Gegeben sei die Gleichung f(x) = 0. j sei auf [a, bJ stetig und es gelte j(a)f(b) < 0. Ais Naherungswert Xl einer Lasung ~ wahlen wir die Abszissex i des Schnittpunktes der Sehne durch die Punkte A(a,j(a)) und B(b,j(b)) mit der x-Achse (s. Bild 8.41).

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

445

y

B

f(b)

x f(o)

A

Bild 8.41: Zur regula falsi

Wir erhalten Xl

b-a = a - f(b) _ f(a/(a).

(8.79)

l . d f( Xl ) =F 0 seln, . ansonsten . . I. a11g. Wlr 1st Xl. elne L··osung. I st nun {f(a)f(X ) < 0 , so gl·bt es elne f(xl)f(b) < 0

Lasung

{(E(a, Xl), und wir ersetzen in (8.79) ~E(Xl,b)

{ba durch

Xl

und erhalten damit einen neuen

Naherungswert Xl. Fiihrt man an Stelle von Xl nun mit dem Wert Xl die angegebene Fallunterscheidung durch (falls nicht bereits f(x l ) = 0 ist), so liefert (8.79) den Wert X 3 usw. Auf diese Weise erhalt man eine Folge <x n von Naherungswerten, die gegen eine Lasung ~E(a, b) konvergiert. Dieses Iterationsverfahren bezeichnet man als Regula falsi.

>

Beispiel 8.91 1

Gegeben ist die Gleichung f(x) = Xl ·In X - tanh - = o. X

Da f'(x) ein ziemlich komplizierter Ausdruck ist, benutzen wir statt des Verfahrens von Newton die Regula falsi. Es ist f(1) < 0 und f(2) > 0, ferner ist f auf [1, 2J stetig. Folglich liegt mindestens eine Lasung der Gleichung in (1,2). Es existiert sagar nur eine Lasung in diesem Intervall, wie man an Hand der Graphen vonft: x

~ x2

1nx und};: x

~

1

tanh - erkennt (s. Bild L8.17 und Bild L8.20 auf x

Seite 593). Mit a = 1 und b = 2 erhtilt man die Ntiherungswerte in Tabelle 8.5. Ein Ntiherungswert flir die Lasung in (1,2) ist x= 1,38234, wobei I/(x) 1< 1,2 . 10-4 ist.

Tabelle 8.5

4

-:1L.-----:-,2-47-9-0.. -.-+--2-,3-3-9-37-.-.. 1

--+--~-,3-69-1-2-.. -.+-1--1,3-7-8-37-.-.. -+--~-,3-81-2-1.-.-.--+-6-1,3-8-20-8-..-.-+--~-,3-82-3-4.-..-~

8 Differentialrechnung

446

Beispiel 8.92 Wir bestimmen eine Lasung der Gleichung f(x) = x 4

12x + 4 = O.

-

Wegen f(2) < 0 und f(2,5) > 0 besitzt die Gleichung eine Lasung ~E(2; 2,5). Ausgehend von den Werten a = 2 und b = 2,5 erhalt man die Naherungswerte in Tabelle 8.6. Zum Vergleich enthalt diese Tabelle auch Naherungswerte, die das allgemeine Iterationsverfahren mit der Iterationsvorschrift Xn + 1

=Ji(12-~), Xn

Xn

n=0,1,2, ...

und das Newtonsche Verfahren mit Xn+1

=

3x 4n -4 , 3 4x n -12

n = 0, 1, 2, ...

jeweils mit dem Startwert X o = 2,5 liefern. Ein Naherungswert fur die Lasung in (2; 2,5) ist x = 2,16534. Setzt man diesen Wert in die Gleichung ein, so erhalt man If(x)1 ~ 2.10- 4 . Tabelle 8.6 Regula falsi

Ein allgemeines Iterationsverfahren

Verfahren von Newton

n

Xn

Xn

Xn

0 1 2 3 4 5 6

2,117216... 2,152174... 2,161806... 2,164399... 2,165093... 2,165279...

2,5 2,039607... 2,218545... 2,143889... 2,174173... 2,161744... 2,166821. ..

2,5 2,241336... 2,170496... 2,165372... 2,165346... 2,165346...

Aufgaben 1. Gegeben ist die Gleichung f(x) = o. Geben Sie je drei verschiedene Gleichungen x = g(x) an, deren Losungen mit den Lasungen von f(x) = 0 iibereinstimmen:

a) f(x)

=

x2

-

2x - 3;

b) f(x)

=

Jl6

c) f(x)=--l. x·IOx Ermitteln Sie graphisch Intervalle, in denen genau eine Lasung dieser

3·tan2x -lnx;

2. Gegeben ist die Gleichung f(x) = o. Gleichung liegt: a) f(x) = x 3 + 2x - 8; b) f(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 6; d) f(x) = In(x +~) - x; e) f(x) = x arcosh x - l.

c) f(x) = e- _~X2; X

o

3. Gegeben ist die Funktion 9 und das Intervall [a, b]. Zeigen Sie, daB 9 die Bedingungen (VI) und (V2) aus Satz 8.39 in [a, bJ erfiillt: a) g(x) =

fi + 1; [2, 3J

b) g(x) =

-

ix 2

+ 2; [1,5; 1,8J

c) g(x) = J2 e- x ; [0,5;2]. o

8.8 Numerische Verfahren zur Lasung von Gleichungen

447

4. Die Gleichung x 2 - 1 - cos x = 0 besitzt eine Lasung ~ in (1; 1,5). Welche Iterationsvorschrift (evtl. auch mehrere) kann man zur Bestimmung von ~ verwenden? a)

X k+1

=

1 + cos x k

;

cos x k

b) Xk+1=J1+cosx k;

Xk

c) Xk+1 =1+--. Xk

+1

5. Die Gleichung j(x) = x - X = 0 besitzt die Lasungen ~ 1 = -1, ~ 2 = 0 und ~ 3 = 1. Geben Sie Iterationsvorschriften x k+1 = g(x k) und Startwerte X o so an, daB die zugeharigen Folgen <xk ) gegen diese Lasungen konvergieren. 3

6. Beweisen Sie Satz 8.40. 7. Bestimmen Sie mit Hilfe eines allgemeinen Iterationsverfahrens eine Lasung folgender Gleichung: i) x 5 - 2x - 0,2 = 0; ii) x eX = 1; iii) tan x = cosh x. a) Fiihren Sie 4 Iterationsschritte durch und geben Sie dann den maximalen Fehler an. b) Wieviel Iterationsschritte muB man hachstens durchfiihren, damit der Fehler der Naherungslasung kleiner als 10- 8 ist? 8. Bestimmen Sie die Lasung der Gleichung i) 2x 3

-

2 = 0;

X -

ii) eX - x 2 -

X

=0

mit Hilfe a) eines allgemeinen Iterationsverfahrens, b) des Verfahrens von Newton, c) der Regula falsi. Fiihren Sie jeweils 4 Iterationsschritte durch. Verwenden Sie bei a) und b) den gleichen Startwert X o und geben Sie eine Fehlerabschatzung an. 9. Bestimmen Sie mit Hilfe der Regula falsi alle Lasungen der Gleichung j(x) = x 3 nach dem Komma genau.

-

60 + 20 sin 3nx = 0 auf 4 Stellen

10. Bestimmen Sie die kleinste Lasung der Gieichung j(x) = x tan 2x + 2In x - 3 = 0 auf 4 Stellen nach dem Komma genau. 11. Leiten Sie die Iterationsvorschrift fur das Newtonsche Verfahren zur Berechnung der Wurzel ~, mE N und aE[R+, her. 12. Bestimmen Sie den Extremwert und den Wendepunkt mit der kleinsten positiven Abszisse der Funktion j:x~x·sinx.

13. Bestimmen Sie die Extremwerte folgender Funktionen j: x~ j(x): a) j(x) =

x3

+x +2 2 ; +1

b) j(x)=x+lnx-x 3 ;

X

14. Bestimmen Sie den Punkt auf der Kurve y = j(x), der vom Ursprung den kleinsten Abstand besitzt: a) y = eX;

b) y = In x.

15. Bestimmen Sie alle Schnittpunkte foigender Kurven: a) y=tanx,y=cosx;

b) y=tanx,y=x;

xE(1n,1n).

16. Bestimmen Sie die gemeinsamen Tangenten, falls solche existieren, der Kurven y = eX und y = In x. 17. Bestimmen Sie die Tangente an die Kurve y = In x, die den graBten Abstand vom Ursprung besitzt. 18. Gegeben sei die Kurve y = cos x, XE[ -1n, 1n]. Bestimmen Sie das Rechteck mit dem graBten Flacheninhalt, das man dem Bereich, der von der Kurve und der x-Achse berandet wird, einbeschreiben kann. 19. Wie groB ist der Quotient einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a 1 = 1 und dem Summenwert 55 = 1000? 20. Ein Kreis mit dem Radius r ist durch zwei parallele Geraden in drei inhaltsgleiche Teile zu teilen. Wie groB muB man den Abstand der Geraden wahlen? 21. Ein Rohr mit dem Radius 10cm wird von einer kreisfarmigen Scheibe mit dem gleichen Radius zu 300/0 seiner urspriinglichen Querschnittsflache abgedeckt. Welchen Abstand a haben dabei die Mittelpunkte des Rohrquerschnitts und der Schieberplatte?

448

8 Differentialrechnung

22. In einen liegenden Zylinder (Radius 10 em, Rohe 30 em) werden 5 Liter Wasser gesehiittet. Wie hoeh steht das Wasser im Zylinder? 23. Wie tieftaucht eine Holzkugel (Dichte 0,75

C~3' Radius 10cm) in Wasser ein?

24. Einer Kugel (Radius 9 em) solI ein Zylinder einbesehrieben werden, dessen Volumen gleieh einem Viertel des Kugelvolumens ist. Welehe Rohe besitzt der Zylinder? 25. Einer Ralbkugel (Radius 9 em) solI ein Kegelstumpf mit maximalem Volumen einbesehrieben werden (s. Bild 8.42). Bestimmen Sie die Rohe h des Kegelstumpfes. 26. Wo ist der Graph der Kurve y = e- x2 am starksten gekriimmt?

Bild 8.42: Skizze zu Aufgabe 25

9

Integralrechnung

9.1 Das bestimmte Integral 9.1.1 Eiofiihruog

In der elementaren Geometrie wird die Berechnung des FUicheninhalts einer ebenen Figur zunachst nur fur Rechtecke und Dreiecke durchgefiihrt. Andere ebene Flachen, die von einem geschlossenen Polygon begrenzt werden (s. Bild 9.1), zerlegt man in Dreiecke oder Rechtecke und berechnet so ihren Flacheninhalt. Dazu gehoren z.B. das Trapez und das Parallelogramm.

Bild 9.1: Geradlinig begrenzte FHiche

Wird eine Flache von einer gekriimmten Kurve begrenzt, so versagen die bisherigen Berechnungsmethoden. Bei der Herleitung der Formel fiir den FHicheninhalt eines Kreises benutzt man das einbeschriebene und das umbeschriebene regelmaBige n-Eck, berechnet deren FHicheninhalte und ermittelt dann den Grenzwert der Flacheninhalte dieser n- Ecke fiir n ~ 00. Doch damit verwendet man eine Methode, die nicht mehr zur elementaren Geometrie gehort. Die Flacheninhaltsberechnung eines Kreises ist bereits ein Spezialfall der Integralrechnung, und diese wollen wir im folgenden allgemein erarbeiten. Mit Hilfe der elementaren Geometrie kann man also im Grunde nur den Inhalt solcher Flachen berechnen, die von einem geschlossenen Polygon begrenzt werden. Zunachst untersuchen wir den Fall (s. Bild 9.2), bei dem die Flache oben von dem Graphen der Funktion f: [a, b] ~ IR + mit x 1----+ f (x), unten von der x-Achse, links von der Geraden x = a und rechts von der Geraden x = b begrenzt wird. Die so beschriebene FUiche nennen wir die FHiche uoter dem Grapheo von f. Spater wird im Abschnitt 9.1.5 gezeigt, wie man diesen Spezialfall verallgemeinern und den Inhalt einer beliebig begrenzten ebenen Flache berechnen kann. Ersetzt man den Graphen von f durch einen Streckenzug, der entsteht, indem man einige beliebige Punkte des Graphen gradlinig verbindet (s. Bild 9.3), so kann man die Flache unter dem

450

9 Integralrechnung

y

y

o

..Q

II

II

)(

)(

x

b

Q

Bild 9.2: FHiche unter dem Graphen von f

bx

Q

Bild 9.3: FHicheninhalt unter einem Streckenzug

Streckenzug berechnen, denn sie setzt sich aus lauter Trapezen zusammen. Bei hinreichend feiner U nterteilung ist der FHicheninhalt unter dem Streckenzug ein guter Naherungswert fiir den gesuchten Flacheninhalt unter dem Graphen von f. Dieser Naherungswert hangt aber von der gewahlten Unterteilung abo Bei einem »unregelmaBig« verlaufenden Graphen konnen bei verschiedenen Unterteilungen stark voneinander abweichende Naherungswerte entstehen. In den folgenden Abschnitten werden wir versuchen, den Flacheninhalt durch einen Grenzwert zu definieren. Es wird nicht fur alle Funktionen ein solcher Grenzwert und damit der FUicheninhalt existieren.

9.1.2 Zerlegungen Fur die folgenden Untersuchungen setzen wir voraus, daB die Funktion f auf [a, bJ definiert und beschrankt ist. 1m Intervall [a, bJ wahlen wir n + 1 Zahlen Xo

= a < Xl <

X2

< ... <

Xn- l

<

Xn

Xi

mit der Eigenschaft

= b (s. Bild 9.4).

Durch diese Zahlen Xi wird eine Zerlegung Z des Intervalls [Q, b] in n Teilintervalle der Lange i1x i = Xi - X i - l mit iE {1, 2, ... , n} bestimmt. Dabei ist

I

[Xi _ 1 , Xi]

von

(9.1)

i1x i = b -a.

i= 1

Xo=Q

-1

I

X2

Xl

I ~,

I I

I ~2

I I

X3

I

~3

I

I

I

I

~ ~Xl-+ ~ X2+~X3~ Bild 9.4: Zerlegung eines Intervalls

><;-1

Xi

I

X n _l

I

~i

I

~~Xi~

I

Xn

I ~n

=b

~ I

~~Xn~

9.1 Das bestimmte Integral

451

Fur das Maximum aller dX i fuhren wir die Bezeichnung Feinheitsma8 d ein: d == d(Z) == max {dx l , dx 2 , ... , dx n }.

Ferner wahlen wir in jedem Teilintervall

[X i - l ,

xJ eine Zwischenstelle ~i mit der Eigenschaft

Bemerkungen:

1. Zu jedem Intervall sind unendlich viele Zerlegungen moglich. 2. Jede dieser Zerlegungen hat ein bestimmtes FeinheitsmaB. 3. Zu jeder dieser Zerlegungen kann man auf unendlich viele Arten Zwischenstellen wahlen. Fur die Funktion f konnen wir die Zwischensumme n

S==S(Z)==

I

f(~i)'dxi

(9.2)

i= 1

bilden. Sie hangt von der gewahlten Zerlegung Z und von der Wahl der Zwischenstellen ~i abo Wenn f(x) > 0 fur alle xE[a, bJ ist, kann man S als Summe der Flacheninhalte der in Bild 9.5 eingezeichneten Rechtecke deuten.

y

• ••

~'-1

g.

x

I

Bild 9.5: Zwischensumme

Beispiel 9.1 Gegeben sei die Funktion f: [ - 1, 9J -+ lR. Das Intervall [- 1, 9J wird durch die Zahlen X o == - 1; Xl == 3; Xl == 6; X 3 == 8; X 4 == 9 in vier Teilintervalle mit den Langen dX l == 4; dX l == 3; dX 3 == 2; dX 4 == 1 zerlegt (s. Bild 9.6). Dabei ist das FeinheitsmaB d == d(Z) == dX l == 4. Als Zwischenstellen kann man z.B. wahlen ~l == 2; ~l == 3; ~3 == 8; ~4 == 8,8.

i

[x i - l ' xiJ

dX i

~i

1 2 3 4

[ -1, 3J [3,6J [6,8J [8,9J

4 3 2 1

2 3 8 8,8

xo 0 I I

, ~,

x, I

5 xI 2 I

~2

g3

I ~fjX,

• I ..

x 3 x4 10 I I I ., 'I X

I

~4

I

fjX2~AX~fjxr-

Bild 9.6: Zerlegung eines Intervalls

452

9 Integralrechnung

9.1.3 Definition des bestimmten Integrals Definition 9.1

f

sei auf [a, b] beschrankt. Dann heiBt f tiber [a, b] (im Riemannschen Sinne) integrierbar, wenn es eine reelle Zahl I gibt, zu der ftir jedes s > 0 ein <5 > 0 existiert, so daB ftir alle Zerlegungen Z, deren FeinheitsmaBe d(Z) < <5 sind, und ftir jede Wahl der Zwischenstellen ~i stets 18(Z) - I I < s ist. Die Zahl I nennt man das bestimmte (Riemannsche) Integral von f tiber [a, b]. b

Schreibweise: I = lim 8(Z) = Sf(x) dx. d(Z)--+O

a

Bemerkungen: 1. Beim bestimmten Integral nennt man x die Integrationsveranderliche, f den Integranden, [a, b] das Integrationsintervall, a die untere und b die obere Integrationsgrenze. Das Zeichen Jist ein stilisiertes 8 und weist zusammen mit dem Symbol dx auf die Zwischensumme hin. 2. Der Wert eines bestimmten Integrals hangt von der Funktion fund von den Grenzen a und b abo Er ist aber unabhangig von der Bezeichnung der Integrationsveranderlichen, z.B. ist b

b

Jf(x) dx = Jf(t) dt. a

3. Die Begriffe Zerlegung, FeinheitsmaB und Zwischensumme sowie die Definition des bestimmten Integrals sind unabhangig von der Deutung durch einen Flacheninhalt, auch wenn wir bei ihrer Erklarung das Bild 9.5 zum geometrischen Verstandnis benutzt haben. Durch diese Unabhangigkeit findet die Integralrechnung auBer bei der Berechnung des Flacheninhalts noch weitere Anwendungen wie z.B. bei der Berechnung des Tragheitsmoments, der Bogenlange einer Kurve und der Arbeit. Den genauen Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und dem Flacheninhalt untersuchen wir im Abschnitt 9.1.5. Weitere Anwendungen der Integralrechnung folgen im Abschnitt 1 von Band 2. 4. Der Zusatz »im Riemannschen Sinne« bedeutet eine Unterscheidung gegentiber anderen Integralbegriffen (z.B. dem von Lebesgue), die in diesem Buch nicht behandelt werden. Diesen Zusatz lassen wir im folgenden weg und sprechen kurz von »integrierbar« bzw. vom »bestimmten Integral «, wenn wir die Definition 9.1 meinen. 5. In der Definition 9.1 ist auBer der Beschranktheit keine Einschrankung tiber den Wertebereich von f gemacht worden, insbesondere sind also auch negative Werte zulassig. Somit kann das bestimmte Integral positiv, negativ oder gleich Null werden. Welche Bedeutung das ftir den Flacheninhalt hat, werden wir im Abschnitt 9.1.5 klaren. Beispiel 9.2 b

Man berechne das bestimmte Integral von f:x~c mit CE~ tiber [a,b]:I = J cdx.

9.1 Das bestimmte Integral

453

Lasung: Es sei Z eine beliebige Zerlegung von [a, b], und es seien Zwischensumme S ist dann n

S=

I

i=l

n

f(~i)· ~Xi

=

I

i=l

Si

beliebige Zwischenstellen. Die

n

C· ~Xi

=c

I

i=l

~Xi

und wegen (9.1)

S = c·(b - a).

b

Dann gilt lim S = lim c·(b - a) = c·(b - a). Also ist Sc dx = c·(b - a). d(Z)~O

d(Z)~O

Beispiel 9.3 Die Arbeit ist definiert als das Produkt aus Kraft und Weg, wenn die Kraft in Richtung des Weges zeigt und konstant ist. Bei einer ortsveranderlichen Kraft, die in Richtung des Weges zeigt, laBt sich die Arbeit durch ein bestimmtes Integral berechnen: Die MaBzahl des Abstands eines Massenpunkts vom Punkt 0 sei s (vgl. Bild 9.7). Die MaBzahl der aufihn wirkenden Kraft sei durch die Funktion F:s~F(s) flir SE[Sl,S2] beschrieben. Wahlt

o

s,

s

Bild 9.7: Berechnung einer Arbeit

man eine Zerlegung Z des Intervalls [Sl' S2] und Zwischenstellen (Ji' so ist die Zwischensumme n

S(Z)

=

I

F((JJ·~Si

ein Naherungswert flir die MaBzahl W der Arbeit. Wenn F integrierbar ist,

i= 1

dann existiert der Grenzwert 82

lim 8(Z)

und es gilt

W

S F(s)ds.

=

(9.3)

d(Z)~O

n

Die Zwischensumme 8 = 8(Z) =

I

f(~J· ~Xi (vgl. (9.2)) ist ein

Naherungswert flir das bestimmte

i= 1

Integral I. 1m folgenden wollen wir Formeln flir andere Naherungswerte aufstellen, mit denen wir eine untere und eine obere Schranke flir I angeben konnen. Dazu bezeichnen wir die untere Grenze von f auf [x i -l'xJ mit mi, d.h. mi = inf{f(x)lxE[Xi-1,xJ} und die obere Grenze von f auf [X i - 1, xJ mit M i, d.h. M i = sup{ f(x) IXE[X i- 1, xJ} (iE{ 1,2, ... , n}). Man darf dabei diese beiden Begriffe nicht mit dem Maximum bzw. Minimum verwechseln, denn in Abschnitt 4.3 haben wir gesehen, daB eine auf [a, b] beschrankte Funktion nicht notwendig ein Maximum oder ein Minimum besitzt, wohl aber eine obere und eine untere Grenze. Mit m i und M i konnen wir n

I

die Untersumme U = U(Z) =

mi·~Xi und

(9.4)

lV/i· ~Xi bilden.

(9.5)

i= 1 n

die Obersumme 0

= O(Z) =

I

i= 1

Auch diese beiden Summen lassen sich geometrisch (s. Bild 9.8) als Summen von Rechteckflachen deuten.

454

9 Integralrechnung

a) y

Xo=O

X2

Xl

xn=b x

b) y f

~-

x,

xo=o

Bild 9.8a, b: Unter- und Obersumme

In jedem Teilintervall positiven Faktor ~Xi

[Xi-I'

xJ ist dabei m i ~ f(~J ~ M i und nach Multiplikation mit dem

m( ~Xi ~ f(~i)·~Xi ~ M( ~Xi fur iE{l, 2, ... , n}.

Aus diesen n Ungleichungen erhalten wir durch Addition n

I

i=1

n

m(~Xi~

I

n

f(~J·~Xi~

i=1

I

M(~Xi

i=1

und mit unseren Abkurzungen U(Z) ~ S(Z) ~ O(Z)

fur jede Zerlegung Z und fur jede Wahl der Zwischenstellen Satz 9.1

(9.6) ~ i.

9.1 Das bestimmte Integral

455

Beweis:

Der neue Teilpunkt sei x' und liege im k-ten Teilintervall [X k - 1 , x k ], also ist Xk - 1 < x' < Xk (s. Bild 9.9). Dann stimmen in allen anderen Teilintervallen die entsprechenden Summanden von U und U' uberein. 1m k-ten Teilintervall sei mk == inf{!(x)lxE[X k - 1 ,Xk ]}, m~ == inf{!(x)!XE[X k _ 1 ,X'J} und m~ == inf{!(x)lxE[X', x k ]}. I

I

xk

X k _1

I Xk -1

I

x'

I

xk

.. X

.

x

Bild 9.9: k-tes Teilintervall

Der diesem Teilintervall entsprechende Summand von U lautet s == mk(x k ist s' == m'l (x' - Xk- 1 ) + m~(xk - x').

-

Xk _ 1) und der von U'

Mit der Umformung Xk - Xk- 1 == (x' - Xk- 1 ) + (x k - x') kann man s in der Form s == mk(x' - Xk- 1 ) + mk(x k - x') schreiben. Wei! mk ~ m'l und mk ~ m~ ist, ist auch s ~ s' und damit U ~ U'. Ahnlich zeigt man, daB 0/ ~ 0 ist. • Satz 9.2

Beweis:

Aus den Zerlegungen Z' und Z" bilden wir eine dritte Zerlegung Z, die aus allen Teilpunkten von Z' und Z" besteht. Nach Satz 9.1 ist dann U' ~ (] und 0 ~ 0" und nach (9.6) (] ~ 0. Also ist V/ ~ 0". Ahnlich zeigt man, daB V" ~ 0' ist. • Bemerkungen:

1. Fur aIle Zerlegungen Z des Integrationsintervalls einer Funktion ! ist nach Satz 9.2 keine Untersumme groBer als irgendeine Obersumme. 2. Nach Satz 9.1 nehmen bei feinerer Unterteilung die Untersummen hochstens zu und die Obersummen hochstens abo Mit Hilfe der Unter- und Obersummen kann man eine Funktion auf Integrierbarkeit untersuchen: Satz 9.3

456

9 Integralrechnung

Beweis: b

Es sei 1= Sf(x) dx. a) Wir zeigen zuerst: Wenn f integrierbar ist, dann existieren lund 1, und es ist 1 = J = I: Weil mi die untere Grenze der Funktionswerte im i-ten Teilintervall ist, kann man ~ i so wahlen, daB f(~i) - mi beliebig klein ist, also fur jedes B > 0 z.B. 0 ~ f(~J - m i < - b 8 gemacht werden -a kann. Damit ist 8- U=

n

n

n

i=l

i=l

i=l

L f(~i)~Xi - L mi~xi = L n

8- U<

8

8

[f(~i) - mJ'~xi und daher

n

.L b _ a ~Xi = b _ a L ~Xi = 8. z=l =l i

Also gilt 0 ~ 8 - U <

8,

d.h. lim [8(Z) - U(Z)] = O. Bei einer integrierbaren Funktion ist d(Z)-O

lim 8(Z) = I. Dann ist auch lim U(Z) = I (vgl. Abschn. 4.2.3, Satz 4.5a)). d(z)-O

d(Z)-O

Entsprechend gilt auch fur die Obersumme lim O(Z) = I. Also existieren die Grenzwerte der •

d(Z)-O

Unter- und der Obersumme und sind beide gleich I. b) Zweitens zeigen wir: Wenn lund [ existieren und gleich sind, dann ist f integrierbar: Wenn lim U(Z) = lund lim O(Z) = J und 1 = Jist, dann ist wegen der Bedingung (9.6) d(Z)-O

U(Z) ~ 8(Z) ~ O(Z) auch

d(Z)-O

1m 8(Z) = 1 = J und damit

f

integrierbar mit dem Integral

d(Z)-O

•

Bemerkung: Aus Satz 9.2 und Satz 9.3 folgt, daB bei einer integrierbaren Funktion jede Unter- bzw. Obersumme Schranke fur das Integral ist, also U(Z) ~ I ~ O(Z)

(9.7)

fur aIle Zerlegungen Z gilt.

9.1.4 Weitere Definitionen und Siitze tiber integrierbare Funktionen Bisher haben wir nur beschrankte Funktionen auf Integrierbarkeit untersucht. Die Integration von unbeschrankten Funktionen behandeln wir im Abschnitt 9.4. Jetzt wollen wir an einem Beispiel zeigen, daB nicht jede beschrankte Funktion integrierbar ist. Beispiel 9.4 Es sei f auf [0, 1] definiert mit f(x) =

{~:

wenn x rational wenn x irrational ist.

Injedem Teilintervall ist die untere Grenze m i = 0 und die obere Grenze M i = 1. Also ist fur jede Zerlegung die Untersumme U(Z) = 0 und die Obersumme O(Z) = 1 und damit auch 1=0 und

9.1 Das bestimmte Integral

457

T== 1. Die Bedingung 1== T von Satz 9.3 ist nieht erflilIt, also f nieht integrierbar, obwohl

f besehrankt isl. In den folgenden drei Satzen werden wir Eigensehaften von besehrankten Funktionen angeben, die flir die Integrierbarkeit hinreiehend sind. Satz 9.4

Beweis: Wenn f auf [a, b] monoton ist, dann ist f auf [a, b] besehrankt dureh f(a) und f(b). Wir nehmen zunaehst an, daB die Funktion monoton waehsend isl. In jedem Teilintervall [X i - 1, xJ mit iE {1, 2, ... , n} ist dann mi == f(X i - 1 ) und M i == f(x i). Wir bilden die Differenz n

0- u==

I

[f(x i)- f(Xi-l)]·~Xi

i= 1

und erhalten, weil d(Z) == max {~Xl' ... ' ~xn} ist, n

0- U ~

I

[f(xJ - f(X i - 1 )] ·d(Z)

oder

i= 1

0-

u ~ {[f(x 1 ) -

f(a)]

+ [f(x 2 ) -

f(x 1 )]

+ ... + [f(b) -

f(x n -

1 )]}

d(Z).

FaBt man die Summe zusammen, so ist sehlieBlieh

0- U ~ [f(b) - f(a)] ·d(Z). Also strebt die Differenz 0 - U gegen Null, wenn d(Z) gegen Null strebl. Naeh Satz 9.2 ist die Menge aller Untersummen naeh oben besehrankt und hat wegen der Vollstandigkeitseigensehaft von [R (vgl. Absehnitt 1.3.3) eine obere Grenze U o. Entspreehend hat die Menge aller Obersummen eine untere Grenze 0 0 . Wegen lim [O(Z) - U(Z)] == 0 ist U 0 == 0 0 d(Z)-4> 0

und auBerdem lim U(2) == U 0 und lim O(Z) == 0 0 • Also ist f naeh Satz 9.3 integrierbar. d(Z)-4> 0

d(Z)-4> 0

Der Beweis flir monoton fallende Funktionen erfolgt analog.

•

Satz 9.5

Satz 9.6

Die Beweise dieser beiden Satze sind umfangreieh, und wir wollen sie nieht durehflihren. Aueh in den folgenden Absehnitten werden wir nur exemplariseh einige Satze beweisen.

458

9 Integralrechnung

Beispiel 9.5 . Fun k·hon f : X~ {x fur . Ausna h me d er .. xE[0,2J ( J (s. B·ld 1 9. 10 a )).1st besc h·· ran k t un d mIt DIe 5 - x fur x E 2, 5 Sprungstelle bei Xo = 2 fur alle XE[O, 5J stetig. Also ist f nach Satz 9.6 uber [0,5J integrierbar.

a)

b)

c)

y

y

y

. /91i

V

x

x

x

Bild 9.10a-c: Beispiele fur integrierbare Funktionen

Beispiel 9.6 Die Funktion

g:x~{3x ff~r ur

x=2 mit xE[0,4J (s. Bild 9.10b)) ist beschrankt und mit Ausx =F 2 nahme der hebbaren Unstetigkeitsstelle bei Xo = 2 fur alle XE[O, 4J stetig. Also ist g uber [0,4J integrierbar. Die Funktion h: X~ x fur XE [0, 4J (s. Bild 9.10c)) unterscheidet sich von g nur urn den 4

Funktionswert an der Stelle Xo = 2. Dann ist n

Zwischensummen Sh =

I

n

h(~i)L1Xi und Sg

i= 1

=

I

4

Sh(x) dx = Sg(x) dx, denn wahlt man fur die o

0

g(~i)L1Xi gleiche Zerlegungen des Integrations-

i= 1

intervalls, so unterscheiden sich beide Zwischensummen hochstens urn einen Summand, wenn Xo im Innern eines Teilintervalls liegt und hochstens urn zwei Summanden, wenn Xo Randpunkt zweier benachbarter Teilintervalle ist. Diese Summanden streben fur d(Z) ~ gegen Null. Somit haben die Zwischensummen von g und h denselben Grenzwert. Man kann also bei einer integrierbaren Funktion an endlich vielen Stellen den Funktionswert andern, ohne daB sich der Wert des Integrals andert.

°

Beispiel 9.7

°

I fur x = Die Funktion f: XI----> ~ fUr xE(O,3] ist nicht integrierbar. Zwar ist sie nm an einer Stelle { unstetig (s. Bild 9.11), aber sie ist nicht beschrankt, und nur beschrankte Funktionen sind nach Definition 9.1 integrierbar. Das Venn-Diagramm (s. Bild 9.12) zeigt eine Ubersicht der bisher besprochenen Funktionenklassen. Ein groBer Teil der bei Anwendung der Integralrechnung vorkommenden Funktionen liegt in dem schraffierten Bereich, in dem die Integrierbarkeit auf Grund der Satze 9.4, 9.5 und 9.6

9.1 Das bestimmte Integral

459

y

f

2

3

x

Bild 9.11: Beispiel fur eine nicht integrierbare Funktion

gesichert ist. Nur wenn eine Funktion nicht in dem schraffierten Bereich liegt, muB man fiir die Untersuchung auf Integrierbarkeit auf die Definition 9.1 oder auf den Satz 9.3 zuriickgreifen.

Menge der beschrankten Funktionen

Menge der integrierbaren Funktionen

Bild 9.12: Venn-Diagramm fur auf [a, bJ definierte, beschdinkte Funktionen

1st die Integrierbarkeit einer Funktion gesichert, so vereinfacht sich die Berechnung des bestimmten Integrals. Nach Definition 9.1 ist es dann nicht mehr n6tig, jede Zerlegung und jede Wahl von Zwischenstellen zu untersuchen, sondern es geniigt eine einzige Folge von Zerlegungen, bei der d(Z) gegen Null strebt, und fiir jede Zerlegung eine Wahl der Zwischenstellen. Das wollen wir bei den folgenden Beispielen ausnutzen. Beispiel 9.8 b

Man integriere die Funktion f: x~x iiber [a, b], d.h. man berechne Sx dx.

460

9 Integralrechnung

Lasung: Wir wahlen Zerlegungen Zm die das Intervall [a, bJ in n gleich lange Teile (nE N) von der Lange A b - a. { }··l . . h . B d == d(Zn ) == b -- a. LlX == - - mIt iE 1,2, ... , n elntel en. Dann 1St das FeIn eltsma i

n

n

Fur die Teilintervalle [X i den rechten Randpunkt

1,

xJ =

~i == a

[a + (i -1)

b: a, a b: a1 +i

wahlen wir als Zwischenstelle ~i

b-a

+ i--. n

Die Zwischensumme Sn fur diese Zerlegung Zn ist dann

Jl

n n ( b-a) b-a b-a n (b-a)2 n So = i~l f(~i)/1Xi = a + i -n- o-n- == a -n- i~l 1 + -n2 - i~l i

==

b- a (b - a)2 n a-n-·n +-n-2-·2(n + 1).

Fur n ~ 00 strebt das FeinheitsmaB von Zn gegen Null und Sn gegen I == lim Sn == a(b - a) + ~(b - a)2 n-+

== ~(b2

- a2).

00

b

Also ist Sx dx == i (b 2

-

a2 ).

a

Denselben Wert erhalt man, wenn man den Flacheninhalt unter der Kurve als FHicheninhalt eines Trapezes berechnet. Beispiel 9.9 b

Man berechne Sx 2 dx. a

Lasung: .. . ·198 . A ==--, b-a d = = b-a WlelmBelSple . wa··hl enWlrLlX - - , [ Xi-1,X i ] i n n b-a und ~i== a+ i - - .

==

[ a+ (1)b-a b-al i- - - , a + i -n n

n

- -a)2 und Dann ist f(~i) == ( a + ibn

Sn==

~ (

i..J

i= 1

.b-a)2 b-a 2 b-a ~ 1 2 (b-a)2 ~. (b-a)3 ~ ·2 a+l-- '--==a ' - - i..J + a--2- i..J l+--3- i..J l. n n n i= 1 n i= 1 n i= 1

9.1 Das bestimmte Integral

461

Mit der Formel fiir die Summe der ersten n Quadratzahlen (vgl. Abschnitt 1.4, Aufgabe 2b)) n

n

i~i i = 6(n + 1)(2n + 1) erhalten wir 2

b-a (b-a)2 n (b-a)3 n Sn = a 2·--·n + 2a--·-2(n + 1) + - - 3-·-6(n + 1)(2n + 1). 2 n n n Dann ist I = lim Sn = a 2(b - a) + a(b - a)2 n-" 00

+ ~(b -

b

a)3 = ~(b3 - a 3). Also Sx 2 dx = ~(b3 - a 3).

Beispiel 9.10 1

Man berechne S eX dx. -1

Lasung: Wir teilen das Integrationsintervall [ - 1, 1J in n gleich lange Teile von der Lange nehmen als Zwischenstelle des Teilintervalls [X i Randpunkt, also Sn=

n

L ei=l

~i = .

1 + 2l /

-1

i,

~Xi

2 = - und n

xJ = [ - 1 + 2(i ~ 1), - 1 + ~J den rechten

+~. Dann ist f(~J = e- 1 + 2i/n• Die Zwischensumme n

2 2 n 2i n ._=_. e--; n e·n i=l

L

ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied a = e 2 / n und dem Quotienten q = e2 / n . Mit der n 1 Formel Sn = a q -1 erhalt man fiir die Zwischensumme q2

_ 2 . 2/n. e - 1 Sn - - e -2-/--1 oder umgeformt Sn e·n e n_

2 e 2 -1 n e 1_e- 2 / n ·

Das bestimmte Integral ist der Grenzwert dieser Zwischensumme fiir n ~ 00: 2 e2 - 1 n S eXdx=--'lim 1 -2/n' -1 e n-"oo -e 1

Aufgrund der Regel von Bernoulli-de l'Hospital (Satz 8.29) gilt 2 1 e2 - 1 1 n l i m _x= - lim -=x=1.Somitistauchlim 1 _2/n=lund S eXdx=--=e-e- 1 xLO 1 - e xLO e n-" 00 e -1 e X

Bei diesem Beispiel ist eine elementar geometrische Uberpriifung der Lasung nicht mehr maglich. Bei den bisherigen Uberlegungen sind wir davon ausgegangen, daB das Integral tiber einem

462

9 Integralrechnung

Intervall [a, bJ erkUirt ist, also a < b gilt. Wir hatten das im Abschnitt 9.1.2 bei der ErkHirung einer b

Zerlegung festgelegt. Jetzt wollen wir definieren, was wir unter Jf(x) dx verstehen, wenn a ~ b ist. a

Definition 9.2 a

b

a) Es sei a > b. Wenn Jf(x) dx existiert, dann setzen wir Jf(x) dx = a

b

a

Jf(x) dx. b

a

b) Wenn f an der Stelle a erkHirt ist, dann setzen wir Jf(x) dx = O. a

Ohne Beweis folgen einige Satze uber bestimmte Integrale, die man sich uber die Deutung des Integrals als Flacheninhalt erklaren kann. Satz 9.7

Satz 9.8 (Intervalladditivitat des Integrals)

Bemerkung: c

Mit diesem Satz kann man insbesondere das Integral Jf(x) dx fur jede beliebige Zwischenstelle a

b mit a < b < c in zwei Teilintegrale zerlegen oder auch umgekehrt zwei solche Teilintegrale zusammenfassen. Beispiel 9.11 Man berechne Jf(x)dx mit f: 6

1

X 1---* f(x)

=

{x x

2

fur XE [1, 3J fur xE(3,6J

(s. Bild 9.13).

Lasung: 6 3 6

Wegen der Intervalladditivitat des Integrals (Satz 9.8) gilt

Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx. 1m

1 1 3

Beispiel 9.6 haben wir gesehen, daB man bei einer integrierbaren Funktion an endlich vielen Stellen den Funktionswert andern kann, ohne daB sich das Integral andert. Mit g: xl---*g(x) = x 2 fur xE[3,6J erhalten wir eine Funktion, die im Intervall [3,6J bis auf die Stelle x = 3 mit

9.1 Das bestimmte Integral

463

6 3 6

J

f iibereinstimmt. Also gilt f(x) dx = 1

6

und 9.9 ist Sf(x) dx = i(3

2

Jf(x) dx + Jg(x) dx. Mit den Ergebnissen der Beispiele 9.8 1

1

-

2

)

+ 1(6

3

3 -

3

3 ) = 67.

1

y

30 f

20 10

123

5

4

6

x

Bild 9.13: Beispiel zur Zerlegung des Integrationsintervalls

Beispiel 9.12

f

sei periodisch mit der Periode p und tiber [0, pJ integrierbar. Dann ist f auch tiber [x o, Xo + pJ P

Xo+ p

J °

mit XoE [R integrierbar, und es gilt f(x) dx =

J

f(x) dx.

Xo

Beweis:

Zu jedem xoE[R gibt es ein nEZ mit Xo ~ np < X o + P und ein Xl = Xo - (n - 1)p mit P

J

(s. Bild 9.14). Nach Satz 9.8 gilt f(x) dx =

°

Xl

P

0

Xl

°<

Xl

~

J f(x) dx + J f(x) dx.

y

Xl

p

Bild 9.14: Integral einer periodischen Funktion

X

P

464

9 Integralrechnung

Fiir jede Zerlegung Z des Intervalls [0, x 1 J und fiir jede Wahl der Zwischenstellen gibt es eine Zerlegung Z' des Intervalls [np, X o + PJ mit entsprechenden Zwischenstellen, so daB die Zwischensumme fiir das Intervall [0, x lJ gleich der des Intervalls [np, X o + PJist. Xo+P

Xl

Daher ist

J f(x) dx == J o

f(x) dx. Ebenso gilt

np

p

np

Xl

Xo

J f(x) dx == J f(x) dx.

Daraus folgt die

Behauptung.

•

Satz 9.9 (LineariHit des Integrals)

Beweis: Bezeichnet man fiir eine Zerlegung Z und fiir eine Wahl der Zwischenstellen ~i die Zwischensumme von fl mit Sl' von f2 mit S2 und von c 1 fl + c 2f2 mit S3' so ist S3 == C1 S 1 + C2S 2. Diese • Forme! geht in die zu beweisende iiber, wenn d(Z) gegen Null strebt.

Bemerkung: Der Satz UiBt sich auf n Summanden verallgemeinern. Beispiel 9.13 3

Man berechne

J (4x + 5)dx. -2

Lasung: Wegen der Linearitat des Integrals (Satz 9.9) kannen wir umformen 333 J (4x + 5) dx == 4 J x dx + J 5 dx und erhalten (vgl. Beispiel 9.2 und Beispiel 9.8) -2 -2-2 3

J (4x + 5) dx == 4· i [3 2 -

(- 2)2J + 5· [3 - (- 2) ] == 35.

2

Satz 9.10 (Monotonie des Integrals)

Der Beweis kann mit Hilfe der Unter- bzw. Obersummen erfolgen.

9.1 Das bestimmte Integral

465

Bemerkungen: b

b

1. 1m Fall a> b ist unter sonst gleichen Voraussetzungen f fl(X)dx ~ f f2(X)dx. a

a

°fur aIle XE [a, bJ, dann ist Jf(x) dx b

2. Aus dem Satz folgt weiter: 1st f(x) ~

~ 0.

a

Beispiel 9.14 1

Man gebe -fur f

2

e(x

)

dx eine untere und eine obere Schranke an.

a

Lasung: Der Graph der Funktion s: x~s(x) == (e - l)x + 1 fur XE[O, 1J ist die Sehne des Graphen von f: X~ f(x) == e(x fur XE[O, 1J durch die Punkte A(O, 1) und B(l, e) (s. Bild 9.15). Da f konvex ist, gilt f(x) ~ s(x) fur aIle XE[O, 1J. Also ist wegen der Monotonie des Integrals (Satz 9.10) 2

)

1

J

1

2

e(x

)

a

1

J a

a

Weiterhin gilt (vgl. Satz 3.9) e(x 1

Je(x a

1

2 )

1

J

dx ~ [(e - l)x + 1J dx == (e - 1) f x dx + dx == (e - l)·i + 1 == i(e + 1). 2 )

~ 1

J

J

a

1 + x 2 fur aIle XE!R. Also ist 1

J

i

dx ~ (1 + x 2 ) dx == dx + x 2 dx == 1 + == 1. a

a

a

Damit hat man eine untere und eine obere Schranke fur das Integral berechnet: 1

1, 3 ~

Je(x

2 )

dx ~ i(e + 1) == 1,859 ....

a

y

2

x Bild 9.15: Zu Beispiel 9.14

466

9 Integralrechnung

Satz 9.11

Bemerkungen: 1. 1st a> b, so gilt

Ir !(X) dx l:;2; Ir '!(X)'dxl·

2. Besitzt die auf [a, b] stetige Funktionf die Nullstellen Xl und X 2 (s. z.B. Bild 9.16a)), so zerlegt man das Integrationsintervall [a, b] durch die Nullstellen Xl und x 2 in drei Teilintervalle und Xl

bildet 11 =

J f(x) dx, 1

b

X2

2

a

=

J f(x) dx und 1

3

=

Xl

J f(x) dx. Wegen der Intervalladditivitat des X2

b

J

Integrals (Satz 9.8) ist f(x) dx = I 1 + 12

+ 13 , Dabei sind 11 und 13 positiv und 12 negative Bei

a b

Bild 9.16b) ist

JIf(x)1 dx = 11 + 11 + 1 21

Hier sind alle Summanden positive Also ist

3,

\r!(X) dXI :;2; r I!(:)I dx. 3. Wenn f in [a, b] das Vorzeichen nicht wechselt, gilt das Gleichheitszeichen.

a)

b)

y

Y

a

a

Bild 9.16a, b: Zur Bemerkung 2 von Satz 9.11

1m Bild 9.17 ist zu dem Graphen einer auf [a,b] stetigen Funktion f eine Gerade y=h so gezeichnet, daB der FHicheninhalt (b - a)h des entstehenden Rechtecks denselben Wert wie der b

J

der FHiche unter dem Graphen vonf hat, also f(x) dx. Dabei kann diese Gerade offenbar nicht a

ganz tiber dem Graphen von fund auch nicht ganz unter ihm liegen. Sie muB ihn also, wenn f stetig ist, nach dem Zwischenwertsatz (Abschn. 4.3.3, Satz 4.17) an mindestens einer Stelle ~ schneiden, so daB h = f(~) ist. Es kann auch mehrere solche Stellen geben. Dies ftihrt zum

9.1 Das bestimmte Integral

467

y

h

- - -r---7f'--._-~::-----~----t

a

~1

~3

b

x

BUd 9.17: Beispiel zum Mittelwertsatz

Satz 9.12 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) .

..

Beweis: Wenn j auf [a, b] stetig ist, dann ist j dort integrierbar und besitzt dort nach dem Satz von WeierstraB (Abschn. 4.3.3, Satz 4.15) ein absolutes Minimum m und ein absolutes Maximum M, d.h. es gilt m ~ j(x) ~ M flir alle xE[a, b]. Wegen der Monotonie des Integrals (Satz 9.10) ist b

b

b

Smdx ~ Sj(x)dx ~ SM dx und mit dem Beispiel 9.2 a

a

a b

m(b - a) ~ Sj(x)dx ~ M(b - a). a

Nach Division durch die positive Zahl b - a erhaJt man 1 b m ~-b-S j(x)dx ~ M. -a a Bei einer stetigen Funktion j existiert dann nach dem Zwischenwertsatz (Abschn. 4.3.3, Satz 4.17) mindestens ein ~ E ( a, b) so, daB 1 b j(~) == b _ a Sj(x) dx ist. a

Bemerkungen: 1. Den Weft b

~ a Sf (x) dx nennt man Mittelwert der Funktion f auf [a, b]. a

•

468

9 Integralrechnung

2. Anwendung findet der Mittelwertsatz der Integralrechnung unter anderem in der Elektrotechnik. Beschreibt i == i(t) einen gleichgerichteten Wechselstrom mit der Periode P, so ist

1p

J

19 == - i(t)dt der sogenannte Gleichrichtwert. Die Stellen~, an denen i(~) == 19 ist, haben in der Po Anwendung keine Bedeutung und sind auch haufig nur schwer zu berechnen.

9.1.5 FHicheninhalt 1m Abschnitt 9.1.1 haben wir bereits erwahnt, daB man mit Hilfe der elementaren Geometrie nur den Inhalt einer Flache berechnen kann, wenn sie von einem geschlossenen Polygon begrenzt wird. Mit dem bestimmten Integral erhalten wir jetzt eine geeignete Definition fiir den Inhalt einer Flache, die von einer gekriimmten Kurve begrenzt wird (s. Bild 9.18). Definition 9.3 b

Es seifauf [a, b] stetig undf(x) ~ 0 fiir alle XE [a, b]. Dann heiBt A == Jf(x) dx der Inhalt der a

FHiche unter dem Graphen von f.

a)

b)

c)

y

y

y f

a a

b

b x

x

x

f Bild 9.18a-c: FHichen unter dem Graphen von f

Bemerkungen:

1. Die Einschrankungf(x) ~ 0 haben wir getroffen, damit das bestimmte Integral und somit auch der Flacheninhalt positiv sind; denn auch in der elementaren Geometrie sind Flacheninhalte immer positiv. 2. Mit den Beispielen 9.2 und 9.8 haben wir gezeigt, daB bei einem Rechteck und einem Trapez der mit den Methoden der elementaren Geometrie berechnete FUicheninhalt mit dem Wert iibereinstimmt, der sich mit der Integralrechnung ergibt. Diese Ubereinstimmung laBt sich fiir aIle von einem geschlossenen Polygon begrenzten Flachen zeigen. 3. 1st f(x) ~ 0 fiir alle xE[a, b] (s. Bild 9.18b)), so ist das bestimmte Integral 1 ~ O. Den Flacheninhalt legen wir dann durch A == - 1 ~ 0 fest.

9.1 Das bestimmte Integral

469

4. Nimmt f im Intervall [a, b] sowohl positive als auch negative Werte an (s. Bild 9.18c)), so muB man zur Berechnung des FUicheninhalts zuerst aIle NuIlsteIlen der Funktion bestimmen. Wir bezeichnen diese mit Xl' X z, ... , Xn und numerieren so, daB Xl < X z < ... < Xn ist. Dann berechXl

net man die n + 1 bestimmten Integrale 11 ==

b

X2

Jf(x) dx, I z == S f(x) dx, ... , I n +

1

==

Xn

b

FHicheninhalt ist dann A == 11 1 1 + 11 21 + ...

Jf(x) dx. Der

+ II n + 11 == S If(x)ldx.

b

I == Sf(x) dx wurde die Differenz der FUicheninhalte der oberhalb und der unterhalb der a

x-Achse gelegenen TeilfHichen angeben. 5. Wird eine FHiche von einer geschlossenen Kurve begrenzt (s. Bild 9.19a)), so kann man oft den FHicheninhalt A als Differenz zweier TeilfUicheninhalte Al und A 2 berechnen. b

Al == Sfl(X)dx ist dabei der Inhalt der FHiche zwischen dem Graphen der »oberen Randfunkb

tion« fl und der x-Achse und A z == S fz(x) dx der Inhalt der FHiche zwischen dem Graphen der a

»unteren Randfunktion« f2 und der x-Achse. Dabei muB fl(X)

~

b

f2(X) fur aIle xE[a, bJ seine b

Der gesuchte FHicheninhalt A ist dann A == Al - A 2 == Jfl(X) dx - S fz(x) dx oder wegen der b

Linearitat des Integrals (vgl. Satz 9.9) A == J[fl(X) - fz(x)] dx. Diese Formel gilt auch fur den a

Fall, daB die Graphen von fl oder f2 die x-Achse schneiden (s. Bild 9.19b)). 6. Andere FaIle kann man ebenfalls durch Zerlegung in Teilflachen behandeln. Z.B. ist im Fall des Bildes 9.19c) d

c d c

A == S fl (x) dx - S fz(x) dx - S f3(X) dx

+ S f4(X) dx.

b

b

a)

b)

c)

y

y

y

b

a

a

b x

Bild 9.19a-c: FUichen mit geschlossenen Randkurven

x

a

b

c

d

x

470

9 Integralrechnung

Aufgaben 1. Man bereehne das bestimmte Integral von a) I: x~ I(x) = (x + 2)(x - 3) iiber [ - 2, 3J; b) I: X~ I(x) = a o + a 1 x

+ a 2 x 2 iiber [a, bJ; 31x -11 fiir xE[0,2)

c) I:

*d)

x~/(x) =

{

2 (x - 3)2

fiir x = 2 fiir XE(2,4J

iiber [0,4J;

I: x~/(x) = sin x iiber [0, n]. n Hinweis: Man erweitere Sn mit 2· sin - und vereinfaehe unter Verwendung der Additionstheoreme der 2n Trigonometrie.

2. Zeigen Sie, daB I: x ~I(x) = *3.

I

{

sei iiber [ - a, aJ integrierbar. a

Zeigen Sie, daB S I(x) dx = -a

{

_1_ 1- x

°

fiir xE[O,I) iiber [0, 1J nieht integrierbar ist.

.. fur x = 1

° Sa

2 I(x) dx

fiir

I

ungerade

ist.

fiir I gerade

o nl2

4. Geben Sie eine untere und eine obere Sehranke fiir

S cos x dx an. o

5. Bestimmen Sie den Mittelwert der linearen Funktion I: Sie das Ergebnis geometriseh.

x~ mx

+ n auf einem beliebigen Intervall [a, b]. Deuten 1

b

6. Fur die Funktion I: x~4x - 3x 2 mit XE [0, 2J bereehne man den Mittelwert T = - - SI(x) dx. An welcher

b -aa

Stelle ~ ist I(~) = T? 7. Wie groB ist der FHieheninhalt des von der Parabel 11: x~ x 2 und der Geraden stueks?

12: x ~ x begrenzten Flaehen-

9.2 Das unbestimmte Integral 9.2.1 Integralfunktion

Die Methoden des Abschnitts 9.1 sind keine bequemen Hilfsmittel zur Berechnung von bestimmten Integralen. Selbst bei den wenigen einfachen Beispielen war die Bestimmung der auftretenden Grenzwerte umfangreich. Ein ahnliches Problem kennen wir in der Differentialrechnung. Auch dort liefert die Definition des Differentialquotienten nur eine sehr unhandliche Methode zur Berechnung der Ableitung, und erst mit der Produkt-, Quotienten- und Kettenregel usw. lieBen sich' viele Funktionen bequemer differenzieren. Ahnliche Hilfsmittel wollen wir auch fiir die Integralrechnung erarbeiten. Dabei werden wir einen Zusammenhang zwischen der Differentialund der Integralrechnung feststellen. Man kann mit dem bestimmten Integral auffolgende Weise eine Funktion definieren. Wahlt man beim bestimmten Integral als untere Integrationsgrenze eine Zahl cECa, b] und als obere Integrationsgrenze eine Variable xE[a, b], so erhalt man zujedem Wert x einen Wert I(x). Die so

9.2 Das unbestimmte Integral

471

beschriebene Funktion wollen wir Integralfunktion nennen. Die Integrationsvariable bezeichnen wir mit t, da der Buchstabe x bereits fur die obere Grenze vergeben ist.

Definition 9.4 x

J

1st die Funktion f uber [a,bJ integrierbar und cE[a,bJ, so nennt man I:x~I(x) == f(t)dt mit xE[a,bJ eine Integralfunktion der Funktion f. C

Bemerkung:

Fur verschiedene Werte von

C

erhalt man verschiedene Integralfunktionen der Funktion f.

Beispiel 9.15 Gegeben ist die Funktion f: Xf---+~ fUr I: X~ I(x) ==

x

t

J"2 dt o

fur

a)

XE [0,

XE[O,

5]. Man ermittle die Integralfunktion

5J.

f(x)

2

2

3

Bild 9.20a, b: Eine Funktion f mit einer ihrer Integralfunktionen I

4

5 x

472

9 Integralrechnung

Lasung: Wegen der Linearitat des Integrals (vgl. Satz 9.9) und wegen Beispiel 9.8 ist x t

i

x

S:2 dt == St dt == o

1·i·(x

2

0 2 ) ==:t.

-

x

2

•

0

Es ist also I: X~~X2 mit x E [0,5]. 1m Bild 9.20 sind die Graphen der Funktionen.f und I gezeichnet. Jede Ordinate von I gibt den FUicheninhalt unter dem Graphen von f tiber [a, bJ an. So ist z.B. die bei x == 3 eingezeichnete 3

t

Ordinate 1(3) == S- dt also gleich dem Inhalt der schraffierten FHiche. Das HiBt sich hier sogar noch 0 2 elementar nachpriifen. Die folgenden vier Satze untersuchen Zusammenhange zwischen den Eigenschaften des Integranden und den Eigenschaften der Integralfunktionen. Satz 9.13

Beweis: x

x

Es sei 11 : X 1-+ S f(t)dt und 12 : X 1-+ S f(t)dt mit

x,C 1 ,c 2 E[a,b].

C2

C1

x

Dann ist wegen 11 (x) - 12 (x) == S f(t)dt C1

X

C2

C2

S f(t)dt == S f(t)dt + S f(t)dt == S f(t)dt die Funktion C2

C1

11 - 12 auf [a, b] konstant.

C1

•

. Bemerkung:

Die Graphen aller Integralfunktionen einer Funktion f bilden also eine Schar von Kurven, die durch Parallelverschiebung in Richung der Ordinatenachse ineinander iibergehen. Satz 9.14

Beweis:

Es ist x

I(x) - l(x o) == Sf(t) dt -

Xo

x

S f(t) dt == S f(t) dt mit x, X o, CE [a, b].

(9.8)

Xo

Da f iiber [a, b] integrierbar ist, ist f auf [a, bJ beschrankt, d.h. es gibt ein k > 0, so daB If(t)1 ~ k ist fiir aIle tE[a,b]. Dann gilt wegen der Monotonie des Integrals (vgl. Satz 9.10) und wegen

9.2 Das unbestimmte Integral Satz 9.11

Il(x) - l(xo)I =

II

!(t)dtl ~

II

1!(t)ldt! ~

II

473

kdtl = klI dtl = klx - xol·

Folglich ist lim I(x) = I(x o). Nach Abschn. 4.3.1, Definition 4.8 ist damit I fur aIle xoE[a, bJ stetig. x-+xo

•

Eine nichtstetige, aber integrierbare Funktion hat also stetige Integralfunktionen, d.h. integrieren wirkt »gHittend«.

f

2x

I

I

I

I

• bl

,I f

I1xl

2x Bild 9.21a, b: Bine unstetige Funktion fund eine ihrer Integralfunktionen I (vgl. Beispiel 9.16)

Beispiel 9.16 1 Die Funktion f:x~ f(x) = { - 0,5 bar. Ihre Integralfunktionen, z.B. x

I:x~I(x)=Sf(t)dt= o

{I (x) 1

12 (x)

fur XE [0; 0,75) (vgl. Bild 9.21a)) ist unstetig, aber integrierfur XE[O, 75; 2J fur XE [0,' 0,75) fur xE[0,75;2J

474

9 Integralrechnung 0,75

mit 11 (x) == S1 dx == x und I 2 (x) == S 1 dx + S (- 0,5) dx == 1,125 - 0,5 x (vgl. Bild 9.21 b)), sind o

0

0,75

dagegen stetig. Wenn wir fiir die in den Beispielen 9.2, 9.8 und 9.9 gegebenen Funktionen die Integralfunktionen mit der unteren Grenze a ermitteln, so erhalten wir fiir aIle xE[a, b] fl:X~

c=>Il:x~cx-ca,

f2:X~ x=>I2:x~~x2 -~a2

und

f3:x~x2=>I3:x~~x3-~a3.

Bei diesen Beispielen ist I' == f. Der folgende Satz zeigt, daB diese Formel fiir stetige Funktionen allgemein gilt. Satz 9.15 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Bemerkungen: 1. Mit diesem Satzerhalten wir fiir stetige Funktionen eine Verschlirfung des Satzes 9.14. Wlihrend fiir integrierbare Funktionen f jede Integralfunktion I von f stetig ist, ist fiir stetige Funktionen 9 jede Integralfunktion I von 9 sogar stetig differenzierbar.Auch hier wirkt also die Integration »gHittend«. 2. Den Hauptsatz kann man auch so formulieren: Differenziert man ein bestimmtes Integral mit stetigem Integranden f nach der oberen Grenze, so erhlilt man den Integranden an der oberen Grenze: d

x

- Sf(t)dt == f(x) dx c

fiir aIle xE[a, b] und aIle cE[a, b].

(9.9)

Beweis von Satz 9.15

Wir zeigen, daB I an der Stelle xoE(a, b) differenzierbar ist. Dazu betrachten wir den Differenzenquotient I(x o + h) - I(x o) mit h

h # 0,

Xo

+ hE(a, b).

Wenn wir x == X o + h in (9.8) setzen, folgt

+ h) - I(x)

I(x o

h

0

1 Xo +h

=h

S f(t)dt.

(9.10)

Xo

fist nach Voraussetzung stetig, daher existiert nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl. Satz 9.12) ein zwischen x o und X o + h liegendes ~, so daB gilt xo+h

S f (t) dt == h· f (~).

(9.11 )

Xo

Da f stetig ist, und wegen

~ -+ x o

fiir h -+ 0, gilt lim f h-+O

(~)

== f (x o)·

9.2 Das unbestimmte Integral

475

Wir erhalten daher aus (9.10) und (9.11) I'(x o) = lim

I(x o + h) - I(x o)

h~O

1

= lim _. h· f h~O h

h

(~) =

f (x o)·

Fiir die Randpunkte x = a bzw. x = b beweist man analog die rechtsseitige bzw. linksseitige • Differenzierbarkei1. Beispiel 9.17 Die Funktion f:

x~ f(x)

={

1 fiirxE [0, 3J .. (vgl. Bild 9.22 a)) ist stetig, aber in X o = 3 nicht x - 2 fur xE(3,6J

differenzierbar. I:x~I(x)=

X

{x

so f(t)dt= 1: Xl -

2x + ~

fiir XE [0, 3J (vgl. Bild 9.22b)) ist auf [0,6J fiir xE(3,6J differenzierbar.

a) f(x}

4

3 f

2 1

2

3

4

5

6

x

2

3

4

5

6

x

bl ](xl 10 9 8

7 6

5 4

3 2 1

Bild 9.22a, b: Eine stetige Funktion fund eine ihrer Integralfunktionen

476

9 Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt einen Zusammenhang zwischen der Differential- und Integralrechnung. Er besagt: Wird zu einer stetigen Funktion f eine Integralfunktion gebildet und anschlieBend diese differenziert, so erhaJt man wieder die Funktion f. In diesem Sinne ist die Differentiation ein UmkehrprozeB der Integration. Es liegt die Frage nahe, ob auch bei der Vertauschung der Reihenfolge der Operationen diese Eigenschaft erhalten bleibt. Dazu folgender

Satz 9.16

Beweis:

Wenn f' auf [a, b] stetig ist, dann ist f' tiber [a, b] integrierbar. Wir betrachten die auf [a, b] stetig x

J

differenzierbare Hilfsfunktion h: x~h(x) == f'(t)dt - f(x)

+ f(a}.

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 9.15) folgt h'(x) == f'(x) - f'(x) ==0. Wegen Satz 8.26 ist h(x) == Cmit CElR. a

J

Da h(a) == f'(t) dt - f(a) b

+ f(a) == 0

ist, folgt C== 0, d.h. h ist die Nullfunktion auf [a, b]. Aus b

h(b) == Sf'(x) dx - f(b)

+ f(a) == 0 folgt somit Jf'(x) dx == f(b) -

f(a).

•

Bemerkung:

Wird eine stetig differenzierbare Funktion

f

differenziert und anschlieBend die Ableitung tiber x

[a, x] integriert, so erhalt man die Funktion x~ f f'(t) dt = f(x) - f(a), die sich vonfnur urn die Konstante f(a) unterscheidet. Beispiel 9.18 . d x cos t Man ermlttle - J--dt mit xElR+. dx 1 t Da der Integrand auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von lR + stetig ist, konnen wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 9.15) anwenden. Nach Formel (9.9) gilt: x cos t cos x -d Jdt == - -

dx 1

t

x

+ ftir aIle XElR .

Man vergleiche auch die Bemerkung 2 zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Beispiel 9.19 11 und 12 seien abgeschlossene Intervalle,

f

sei auf 11 stetig und b sei auf 12 differenzierbar mit

9.2 Das unbestimmte Integral Wb

C

477

d b(x) I 1 und c aus I l' Man bilde - S f(t)dt. dx c u

b(x)

Mit I: u~I(u) == S f(t) dt und b: x~b(x) ist (I ob)(x) == I(b(x)) == S f(t) dt. c

Nach der Kettenregel (Satz 8.14) ist (1 b)' == (I' b)b' == (f b)b' d b(x) und somit - S f(t)dt == f(b(x))'b'(x) fur alle xEI z. dx c 0

0

0

Unter entsprechenden Voraussetzungen gilt: d b(x) - S f(t)dt == f(b(x))'b'(x) - f(a(x))·a'(x).

(9.12)

dxa(x)

Beweis s. Aufgabe 5.

9.2.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 9.15) zeigt einen Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrechnung. 1m folgenden werden wir untersuchen, wie man die Methoden der Differentialrechnung zur Ermittlung von bestimmten Integralen verwenden kann. Definition 9.5

f sei auf

[a, b] definiert. Man nennt jede auf [a, b] differenzierbare Funktion F eine Stammfunktion von f, wenn F' == fist.

Beispiel 9.20 sin x x sin t Die Funktion f:x~f(x)==-- mit xE[1,2] hat die Stammfunktion F:x~F(x)==S-dt, x

1

t

denn es ist F' == f (vgl. die Bemerkung 2 zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Nichtjede Funktion hat eine Stammfunktion. So hat z.B. die Funktion f des Beispiels 9.16 nach dem Satz von Darboux (Satz 8.27) keine Stammfunktion. Der folgende Satz macht eine Aussage fur stetige Funktionen. Satz 9.17

Beweis:

Da f stetig ist, ist f auch integrierbar und hat somit Integralfunktionen. I sei eine Integralfunktion von f. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 9.15) ist dann I' == f. Also ist jede Integralfunktion eine Stammfunktion. •

478

9 Integralrechnung

Satz 9.18

Bemerkung:

Wenn F eine Stammfunktion vonf ist, dann erhalt man also mit F + Calle Stammfunktionen von f· Beweis von Satz 9.18

Fund G seien zwei Stammfunktionen vonf: [a, bJ ~ IR. Wir bilden die Differenz H == G - F. Die Ableitung H' == G' - F' ist die Nullfunktion auf [a, bJ, denn es ist G' == fund F' == f. Wenn H' die Nullfunktion auf [a, bJist, dann ist Heine konstante Funktion auf [a, bJ und somit G(x) == F(x) + C mit CEIR. • Nicht jede Stammfunktion einer auf [a, bJ stetigen Funktion fist jedoch Integralfunktion von f. So hat z.B.jede Stammfunktion von f: xf-----*2x fur XE[O, 5J die Form F:xf-----*x 2 + C mit CEIR, denn x

es ist F' == f. Jede Integralfunktion von f lautet: I: Xf-----* S2t dt == x 2

-

c 2 mit x, CE[O, 5J. Somit sind

c

nur die Stammfunktionen mit CE[ - 25, OJ auch Integralfunktionen. Bei jeder integrierbaren Funktion ist also die Menge aller Integralfunktionen eine Teilmenge der Menge aller Stammfunktionen. Das gibt AnlaB zur Definition 9.6

I sei eine Integralfunktion vonf:

[a,bJ~IR.

Dann nennt man 1+ C ein unbestimmtes

Integral vonf, wobei C eine auf [a, bJ konstante Funktion ist.

Schreibweise: xf-----*I(x) + C == Sf(x)dx. Bemerkungen:

1. Die unbestimmten Integrale einer integrierbaren Funktion f beschreiben Funktionen, deren Graphen durch Parallelverschiebung in Richtung der Ordinatenachse ineinander ubergehen. 2. In Sf(x)dx == I(x) + C nennt man C die Integrationskonstante. Die vorstehenden Definitionen und Satze fur das unbestimmte Integral und die Stammfunktion lassen vermuten, daB beide Begriffe identisch sind. Das ist aber nur bei stetigen Funktionen der Fall. Denn eine nichtstetige Funktion (s. z.B. Beispiel 9.16) kann integrierbar sein, ohne daB sie eine Stammfunktion hat. Satz 9.19 (Fundamentalsatz der Integralrechnung)

9.2 Das unbestimmte Integral

479

Beweis:

1. F sei eine Stammfunktion der auf [a, b] stetigen Funktion f. Dann ist F == f nach Definition 1

x

J

J

9.5 und damit F1(t) dt == f(t) dt fiir aIle x, cECa, b]. Aus Satz 9.16 folgt dann

F(x) - F(c) =

Jf(t) dt oder F(x) == Jf(t) dt + F(c). Also ist Fein unbestimmtes Integral von f.

2. Umgekehrt ist jedes unbestimmte Integral Gauch Stammfunktion, denn wenn G(x) == x

Jf(t) dt + C ist, dann gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz c

9.15) G1 == f, und Gist somit eine Stammfunktion von f.

•

Beispiel 9.21 Die Funktion f:

XH-X

2

x3

ist auf ~ stetig. Eine ihrer Stammfunktionen ist F: XH--, denn es gilt 3

x3 x3 F' == f. Dann hat jede Stammfunktion von f die Form F*: XH-- + C, und es ist x 2 dx == -

J

+ C. 3 3 Man kann jedes bestimmte Integral berechnen, wenn man eine Stammfunktion F des stetigen Integranden f kennt:

J

1. Zunachst erhalt man aus F auch das unbestimmte Integral f(x) dx == F(x) + C. 2. Durch geeignete Wahl der Konstanten C = C* kann man die Integralfunktion x

XH- I(x)

== Jf(t) dt ermitteln, denn aus I(x) = F(x) + C* folgt, weil I(a) == 0 ist: C* == - F(a).

Also ist

Jf(t) dt == I(x) == F(x) + C* == F(x) -

F(a). b

J

3. Das bestimmte Integral erhlilt man, wenn man x == b setzt: f(x) dx == F(b) - F(a) (s. (9.8)). Dieses Ergebnis formulieren wir in einem Satz:

Satz 9.20

Bemerkung: Damit man bei einer Anwendung das Zwischenergebnis F(x) erkennen kann, verwendet man als Schreibweise: b

Jf(x)dx == [F(x)]~ == F(x)l~ == F(b) -

F(a).

(9.13)

480

9 Integralrechnung

Beispiel 9.22 2 I Man berechne S- dx. 1

x

Lasung: Zum Integranden f mit f(x) F'(x)

I

= -

x

muE man eine Stammfunktion F suchen, deren Ableitung

I

= - fiir xE[I, 2J ist. Das fiihrt zu F(x) = In x. Satz 9.20 ergibt x

2

I

S- dx = [In x Ji = In 2 - In I

=

In 2.

lX

Beispiel 9.23

Xl

Analog zu Beispiel 9.22 ist S-dt = [In tJ~ = In x -In 1 = In x fiir XE[R +. 1

t

Damit gewinnen wir durch die Integralrechnung eine weitere Maglichkeit zur Definition der In-Funktion (vgl. Abschnitt 3.4): x

In: x~

1

f1

t

dt

=

lnx

fur XE IR+

Aufgaben 1. Gegeben ist die Funktion f:

X~

2X { 8 - 2x

fur xE[0,2] fur xE(2,4].

a) Man gebe die IntegraIfunktion I von f an, fur die 1(2) = b) Man zeichne die Graphen von fund I. c) 1st I auch eine Stammfunktion von f? Begrundung! 2. Gegeben ist die Funktion f: a) b) c) d)

X~

°

ist.

X + 1 fur XE[ - 5,0) {1 fur XE [0,5].

Man gebe die Stammfunktion F von f an, fur die F(O) = 10 ist. Man zeichne die Graphen von fund F. 1st F auch eine Integralfunktion von f? Begrundung! Man gebe Sf(x)dx an. fur x E[ - 1, 0) fur x = { 1 fur xE(O,l]. I

3. Gegeben ist die Funktion f: X~

°

°

a) Man ermittIe eine IntegraIfunktion, falls sie existiert. b) Man ermittIe eine Stammfunktion, falls sie existiert. x

4. Die In-Funktion sei definiert durch In:

x~

1

f1

t

dt

=

In x fur x E ~+.

Beweisen Sie: a) Die In-Funktion ist monoton, stetig und differenzierbar auf [R +: b) In x < fur XE(O, 1), In 1 = 0, In x> fur xE(l, (0); *c) In(x i Xl) = In Xl + In X2 fur aIle Xl' X2 E [R +. Hinweis: Man untersuche den Zusammenhang zwischen der In-Funktion und der HiIfsfunktion h: x~h(x) = In(x l ' x).

°

5. Man beweise (9.12).

°

9.3 Integrationsmethoden

481

9.3 Integrationsmethoden Aufgrund von Satz 9.20 kann ein bestimmtes Integral mit stetigem Integranden berechnet werden, wenn man eine Stammfunktion des Integranden kennt. In diesem Abschnitt werden Methoden zur Ermittlung von Stammfunktionen stetiger Funktionen entwickelt. Stammfunktionen sind immer auf einem abgeschlossenen Intervall definiert (vgl. Definition 9.5). Bei den folgenden Beispielen ist jeweils die Vereinigungsmenge aller maglichen Definitionsintervalle angegeben. Z.B. bedeutet bei Beispiel 9.27 die Angabe xElR\{O}, daB jedes Intervall [a, bJ c lR\{O} als Definitionsmenge fur die Stammfunktion maglich ist. Bei Beispiel 9.24a) ist jedes Intervall [a, b] c m6glich.

~\{XIX=~+ knmit kE

lj

und bei Beispiel 9.23ajedes Intervall [a, b] c

~

9.3.1 Grundintegrale

In der Tabelle auf Seite 378 sind die Funktionen f Stammfunktionen von f'. Dies wird bei den folgenden Beispielen benutzt. Beispiel 9.23 a Man ermittle Scos x dx. Lasung: Zum Integranden muB man eine Stammfunktion suchen. F mit F(x) = sin x ist eine solche, weil F'(x) = f(x) = cos x ist. Also ist Scos x dx = sin x + c. Beispiel 9.24 a)

f-1-2-dX = tanx + C, cos X

b) SeX dx = eX + C, c) SaXdx =

l:xa + C

d) Sdx = x + C, e)

denn es ist (ex)' = eX. mit aEIR+\{1}, denn es ist

denn es ist (x)'

SXdX=~2 +C,

Beispiel 9.25 Man ermittle

x#- '! . 2 + kn mit kE7L, denn es ist (tan x)' = _1_2 _. cos x

f~ dx.

dennesist

=

1.

(~2)' =X.

C:xa )' = aX,

482

9 lntegralrechnung

Lasung:

Fur XE~+ haben wir im Beispiel 9.22 die Lasung angegeben: f~ dx = In x wir

f~x dx == In( -

x) + C, denn es ist [In( - x)J'

+ C. Fur XE~- finden

==~. Beide Tei1l6sungen zusammengefaBt, ergibt x

f~ dx = In Ix I + C fUr x # O. Beispiel 9.26

xCI. + 1

a) SxCl.dx == a + 1 + C

flir xE[R+ und aE[R\{ -1}, denn es ist

(

xCI. + 1 ) '

a+ 1

== xCI..

X 3/2

b) S~dx == SX1 / 2 dx == -3- + C == ~p + C

fur xE[Rej.

"2

Manche Wurzelfunktionen (vgl. Abschnitt 2.4) sind auf ganz [R definiert. In diesem Fall kann man

CI.+1

die Gleichung SxCI. dx == ~1 + C rein formal auch zur Ermittlung der Stammfunktion auf [Ra+ benutzen. Beispiel 9.27

f

3

1,edX==

Z;x

f

2 3

X / fur XE [R\{O}. X-l/3dx==-2-+C==~,~+C

3

Beispiel 9.28

sx dx {

Slxldx= S(-x)dx

fur xE[Rej

fUr

XE~-.

Dabei ist Sx dx == ~ x 2 + C fur xE[Rej und

S(- x)dx == - ~ x 2 + C fur XE[R-. ZusammengefaBt ergibt sich SIx I dx == 1- x Ix I + C fur XE [R (vgl. Beispiel 8.30).

1m Abschnitt 9.3.2 sind einige Grundintegrale in einer Tabelle zusammengestellt. Der Beweis fur die Richtigkeit dieser Formeln kann durch Differenzieren erfolgen. 1m folgenden versuchen wir die lntegranden so umzuformen, daB man die Formeln der Tabelle anwenden kann.

9.3.2 Grundformeln Satz 9.21 (Linearitat)

Beweis: U

bzw. v haben nach Satz 9.17 Stammfunktionen U bzw. V mit U' == u bzw. V' == v. Dann hat + c 2 v die Stammfunktion C 1 U + C 2V, denn es gilt (c 1 U + C 2V)' == C1U + c 2 v. •

C1U

9.3 Integrationsmethoden

483

Bernerkungen: 1. Der Satz HiBt sich auf n Summanden verallgemeinern (vgl. Satz 9.9). 2. Es gilt: Su(x) dx = U(x) + C 1, Sv(x) dx = V(x) + C 2 und c1Su(x)dx+C2SV(x)dx=C1U(X)+C2V(X)+C1C1 +C 2C 2. Dabei kann man C1C 1 +C 2C 2 zu einer Integrationskonstanten C zusammenfassen und schreibt:

S [c 1u(x) + c 2v(x)] dx =

C1

Su(x) dx + C 2 Sv(x) dx =

Beispiel 9.29 a) S(x 2 + 2·sinx)dx = S x 2 dx + 2 S sin xdx = b)

f

f

dx dx 1 .2 ="31 -.-2-=-"3cotx+C, 3·sln x SIn x

c) S (5· 3x

-

t· X3 -

C 1 U(x)

+ C 2V(x) + C.

2·cosx + C.

. x#knmltkE7L.

5·3

X

3·coshx)dx = 5 S3x dx - 3 S cosh x dx = - 3·sinhx + C. ln3

Beispiel 9.30 Man ermittle

f~dX. 5x

Der Integrand wird zweckmaBig auf die Form cx n gebracht. 2 f2-x - 2 dx=-2 f x - 2 dx=-·-+C= 2 X -1 2 -dx= --+C 5 5 5 - 1 5x' f 5x 2

x#o.

Beispiel 9.31 a) f

3 dX=3fx-2/3dX=3x1/3

V

X

b)

1

2

3

+C=9·V~+C'

x#o

fj3XdX=)3 fX1/2dX=)3.X;2 +C=lj3x +C 3

c) f 7X2_dx=lfx3/2dx=14.jx5+C

5.jx

5

fiirxEIR;.

fiirxE[R+.

25

Beispiel 9.32 Man ermittle

2x4-3jx

V

f

7. 3 x 4

dx.

Der Integrand wird zweckmaBig auf die Form ax m + bx n gebracht.

V f_2X_4_-_3_j"'----~ 7.

x4

dx =

f(-~X8/3 -d.x- 5/6 )dx =~. V-X1- 1 -~. 6 /~ + C 7

7

77

7

V

484

9 Integralrechnung

Satz 9.22

Beweis:

dF(t)

Nach Voraussetzung ist - - == f(t). Mit der Kettenregel folgt dt

d[1-' F(exx + [3) J== -·f(exx 1ex + [3). ex == f(exx + [3).

•

-

dx ex

Beispiel 9.33 a) Ssin(3x + 2) dx == -

b)

c)

d)

t cos(3x + 2) + C,

denn es ist Ssin t dt == - cos t + C.

f_1-dX=~lnI2X-71+C, x#~, 2x -7

f fJ

~dx == S(3 dx

1 - (x

e) S2 1 -

5x

+ 3)2

X)1/2

dx == -

1 (3 -

-1

dennesistJ!dt=lnltl+C, t

X)3/2 3

2

+ C == -~J(3 -

X)3

= arcsin(x + 3) + C fUr XE( - 4, - 2).

2 1 - 5x 2t dx== ---+C,dennesistS2 t dt==-+C.

Beispiel 9.34

. 1e Man ermltt

5·ln 2

f

x

2

dx 6

ln2

+ x+

9'

Der Nenner ist ein vollsHindiges Quadrat, und man kann umformen

Beispiel 9.35 Man ermittle Scos 2 x dx. Mit cos 2 x == i'(1

+ cos 2x) erhalten wir

Scos 2 X dx == Si' (1

x

+ cos 2x) dx == - + i sin 2x + C. 2

t#O.

+ C fur

XE( -

00,3].

9.3 Integrationsmethoden

485

Satz 9.23

Bemerkung:

Dieser Satz ist eine Erweiterung von Satz 9.22. Steht beieinem Integranden im Zahler die Ableitung des Nenners (Satz 9.23 Teil b)) oder das Produkt f'· fa (Satz 9.23 Teil a)), so kann man sofort das Integral angeben. Beweis:

. d{ 1 } = f'(xH!(x) Y und dxd{In 1!(x)1} = !(x)" f'(x) + 1· [f(x)]a+

Nach der KettenregelIst dx

1

(J(

Beispiel 9.36 Man ermittle J2x(x 2 Mit f(x) == x

J2x(x

2

2

-

3)5 dx.

3, f'(x) == 2x und a == 5 erhalten wir

-

3)5 dx == i (x 2

-

-

3)6 +

c.

Beispiel 9.37 Man ermittle Jsin 4 x cos x dx. Mir f(x) == sin x, f'(x) == cos x und a == 4 erhalten wir Jsin4 x cos x dx ==! sin 5 x + c. Beispiel 9.38 Man ermittle

f

2x-3 2 3 2 dx. x - x+

Hier findet Satz 9.23 b) Anwendung mit f(x) == x 2 - 3x + 2 und f'(x) == 2x - 3.

fx

3 2 dx = In 1x 2 x+

2 2x;-

-

Beispiel 9.39 4

Man ermittle

2x-3 2 3 2 dx. x - x+

f 3

-

3x + 21

+ C,

fUr x 1= 1 und x 1= 2.

•

486

9 Integralrechnung

Da wir im Beispiel 9.38 das unbestimmte Integral ermittelt haben, konnen wir mit Satz 9.20 auch das bestimmte Integral berechnen 4

f

2 2 2x - 3 2 dx = [In Ix - 3x + 21]j = in6 -in 2 = in 3. x -3x+

3

Beispiel 9.40 Man ermittle

f~dX. 1+x

Fur j(x) == 1 + x 3 ist j'(x) == 3x 2. Wir erweitern den Integranden mit 3, urn Satz 9.23 b) anwenden zu konnen. X2 1 3x 2 1 - -3 dx == - S- -3 dx == -In 11 1+x 1+x 3 3

f

3

+ x I+ C

fiir x -# - 1.

Beispiel 9.41 Man ermittle Sx' V 1 - x 2 dx. Hier erweitern wir mit - 2 Jx,V1- x 2 dx == -t J(- 2x)(1- X2)1/3 dx == _~·~·(1_X2)4/3

+ C== -~'V(1-X2)4+

C.

Beispiel 9.42

.f 3

dx -1-' x· nx

Man ermittle

2

Nach Satz (9.23 b) ist mit j(x) == In x und j'(x) == ~ x

3

f

dx x· nx

3

-1- == [In lIn x I] 2 == In In 3 -In In 2 == 0,460....

2

Beispiel 9.43 Man ermittle Stan x dx. . d sin x I . MIt er Formel tan x == - - erha ten Wir cosx sIn x Jtan x dx == S- dx == -In Icos x I + C cosx

n fiir x -# -2 + kn mit k E 7L.

Integration von gebrochenrationalen Funktionen (Partiaibruchzeriegung):

Eine gebrochenrationale Funktion kann man in Partialbriiche zerlegen (vgl. Abschnitt 2.3.2). Mit Hilfe der Tabelle im Abschnitt 9.3.5 kann man diese Partialbriiche integrieren. Beispiel 9.44 Man ermittle

3X 5

f

+ 2x 4 + 3x 3 x4

_

1

dx.

9.3 Integrationsmethoden

487

Der unecht gebrochene Integrand wird in einen ganzen und in einen echt gebrochenen Anteil aufgespalten. 3 3X5+2X4+3X3d =S(3 2)d S3x +3X+2 d 4 1 x x + x + x. x x4 - 1

f

Den ganzrationalen Anteil kann man integrieren; beim echt gebrochenen Anteil wird der Nenner in F aktoren zerlegt. 3X 5 + 2x 4 + 3x 3 3x 3 + 3x + 2 2 dx = h + 2x + S(x + 1)(x _ 1)(x 2 + 1) dx. x 4 -1

f

Den Integranden des Integrals auf der rechten Seite zerlegt man in Partialbriiche.

3x 3 + 3x + 2 A B Cx + D (x + l)(x - 1)(x 2 + 1) = x + 1 + x-I + x 2 + 1 . Es ergibt sich A = 1, B = 2, C = 0 und D = - 1. Damit kann man die restlichen Teilintegrale bestimmen.

3X5+2X4+3x3d _3 2 2 S~ 2S~-S~ X-zX + x+ x+ 1+ x- 1 x4 - 1 x2 + 1

f f

3X5+2x4+3X3 x 4 -1 dX=~X2 +2x+ lnlx+ 11 +2 lnlx-ll-arctanx+ Cfurx # -1 und x# 1. o

Beispiel 9.45

.f

Man ermlttle

dx x(x + 1)3'

Da der Integrand echt gebrochen und der Nenner bereits in Faktoren zerlegt ist, kann man sofart einen Partialbruchansatz machen. 1 ABC D -----,- = - + - - + - - - + - - x(x + 1)3 X X + 1 (x + 1)2 (x + 1)3'

Es ergibt sich A = 1, B = - 1, C = - 1 und D = - 1. dx x(x + 1)3 =

f f

dx

dx

dx

dx

S~ - Sx + 1 - S(x + 1)2 - S(x + 1)3

dx 1 1 x(x+l)3=ln 1x l -In 1x+l l + x+l +2(x+l)2+ C

9.3.3 Partielle Integration Satz 9.24

fur x # 0 und x # - 1.

488

9 Integralrechnung

Beweis:

Die Stammfunktion von uv' sei H. Dann gilt: d dx [u(x)'v(x) - H(x)] = u'(x)'v(x) + u(x)'v'(x) - H'(x) =

u'(x)'v(x) + u(x)'v'(x) - u(x)'v'(x) = u'(x)·v(x).

Somit ist nach Definition 9.5 uv - Heine Stammfunktion von u'v.

•

Bemerkung:

Zerlegt man einen Integranden in zwei Faktoren und bezeichnet diese mit u' bzw. v, so kann man eine Stammfunktion zum Integranden angeben, wenn 1. man eine Stammfunktion von u' finden kann, 2. v differenzierbar ist und 3. man eine Stammfunktion von u·v' finden kann.

Es hangt von der geschickten Wahl der beiden Faktoren ab, ob man mit der partiellen Integration zu einer Lasung kommt. Beispiel 9.46 Man ermittle Sx'sin x dx. Wir wahlen u'(x) = sin x und v(x) = x. Dann ist u(x) = - cos x und v'(x) = 1.

Sx· sin x dx = - x· cos x + Scos x dx

Sx . sin x dx = -

x· cos x + sin x + C.

Bei einer anderen Wahl der Faktoren z.B. u'(x) = x und v(x) = sin x wird

Su(x)'v'(x)dx = ~ Sx 2 cos x dx komplizierter. Beispiel 9.47 Man ermittle Sx 2 'e x dx. Wir wahlen u'(x) = eX und v(x) = x 2 • Dann ist u(x) = eX und v'(x) = 2x.

Sx 2 'e x dx = x 2 'e x

2 Sx'e X dx.

-

Wir kannen Sx'e X dx durch erneute Anwendung der Methode der partiellen Integration berechnen und wahlen u'(x) = eX und v(x) = x. Dann ist u(x) = eX und v'(x) = 1. Wir erhalten

Damit ist die Lasung

Sx 2 'e x dx = e

X

'(x

2

-

2x + 2) + C.

Es sei daran erinnert, daB man nach Definition 9.5 durch Differenzieren die Richtigkeit der Lasung kontrollieren kann.

9.3 Integrationsmethoden

489

Beispiel 9.48 Man ermittle Jxne ax dx mit n EN und a E [R\ {O}. 1 a

Wir wahlen u'(x) = eax und v(x) = x n • Dann ist wegen u(x) = _'eax und v'(x) = n' x n -

1

:

Das ist eine »Rekursionsformel«, mit der man schrittweise fiir beliebige nE N und aE [R\ {O}

Jxneax dx berechnen kann (s. Beispiel 9.49). Beispiel 9.49 Man ermittle Jx 4 e- x dx.

Mit der Rekursionsformel vom Beispiel 9.48 erhalten wir

Die erneute Anwendung der Rekursionsformelliefert

Jx

+ 4( - x 3 e- x + 3 Jx 2 e- Xdx) usw. Jx 4 e- x dx = - e- x(x 4 + 4x 3 + 12x 2 + 24x + 24) + C. 4

e- x dx = - x 4 e- x

Beispiel 9.50 Man ermittle JIn x dx. Wir wahlen u'(x) = 1 und v(x) = In x. Dann ist u(x) = x und v'(x)

JIn x dx = x In x - Jdx = x In x - x + C = x(ln x-I) + C

=~. x

fiir x E [R + .

Beispiel 9.51 1

Man ermittle JeX sin x dx. o

Zuerst ermitteln wir JeX sin x dx. Mit u'(x) = eX, v(x) = sin x, u(x) = eX und v'(x) = cos x ist

JeX sin x dx = eX sin x - JeX cos x dx. Erneute partielle Integration mit u'(x) = eX, v(x) = cos x, u(x) = eX und v'(x) = - sin x ergibt

JeX sin x dx = eX sin x -

eX cos x -

JeX sin x dx.

Addiert man auf beiden Seiten JeX. sin x dx, so ist 2 JeX. sin x dx = eX. sin x - eX'cos x + C. Hier muB auf der rechten Seite die Konstante C addiert werden, denn F:x~eX'sinx - eX'cos x ist nur eine Stammfunktion von f: x~2'ex, sin x, und nach dem Fundamentalsatz der Integralrechnung (vgl. Satz 9.19) ist f(x) dx = F(x) + C.

J

490

9 Integralrechnung

Nach Division durch 2 erhaJt man

SeX. sin x dx = 1"ex '(sin x - cos x) + l' c. Dabei kann man

1'C zu einer Integrationskonstanten C

1

zusammenfassen.

Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt mit Satz 9.20: 1

SeX sin x dx = 1 [eX(sin x - cos x)J~ = 1 [e(sin 1 - cos 1) + 1J = 0,909.... o

Beispiel 9.52 Man ermittle Ssin 2 x dx. Mit u'(x) = sin x, v(x) = sin x, u(x) = - cos x und v'(x) = cos x erhalten wir

Ssin 2 x dx =

sin x·cos x

-

+ Scos 2 X dx.

Erneute partielle Integration wie beim Beispiel 9.51 fuhrt zu Ssin 2 x dx = Ssin 2 x dx, liefert also keine Lasung. Statt dessen verwenden wir die Formel cos 2 x = 1 - sin 2 x:

Ssin 2 xdx = - sinx'cosx + Sdx - Ssin 2 xdx und Ssin 2 x dx = - sin x· cos x + x - Ssin 2 x dx. Aus dieser Gleichung folgt 2· Ssin 2 x dx = - sin x cos x

Ssin

2

x dx

+ x + C, also

= i(x - sin x·cos x + C).

Die Integrale Scos 2 x dx, Ssinh 2 x dx und Scosh 2 x dx kannen analog ermittelt werden (vgl. auch Beispiel 9.35). Beispiel 9.53

f eX sinhx dx kann

ohne partielle Integration unter Verwendung der Formel sinh x

=

+(ex - e- X)

ermittelt werden.

Beispiel 9.54 Man ermittle SIx IeX dx. .

Es 1st Ixle

x

{ =

xe

- xe

x X

fiir XE IRt f" ur x E IR - .

In Beispiel 9.47 wurde gezeigt, daB F: x~xeX - eX Stammfunktion von f: x~xeX fiir xEIRt ist. Also ist G: x~ - xe X+ eX Stammfunktion von g: x~ - xe X fiir XE IR -. Die Funktion H:x~

F(X) { G(x)

fiir XE IRt fiir XE IR -.

ist an der Stelle X o = 0 unstetig, also keine Stammfunktion von x~ Ix IeX fiir XE lR. Nimmt man an

9.3 Integrationsmethoden

491

Stelle von F die Funktion F*: x~xeX - eX + 2, die ebenfalls Stammfunktion von fist, so ergibt sich X * {xe - eX + 2 fiir xE[R6 H :x~ -xe X+ eX r··ur XEIl\\fTl)

J

als eine Stammfunktion von x~lxlex fiir XE[R. Also ist Ixle x dx = H*(x)

+ C.

9.3.4 Integration durch Substitution

Beispiel 9.55 Man ermittle Jsin ~ dx mit xE[R6. Urn den Integranden zu vereinfachen, fiihren wir eine Substitution der Integrationsveranderlichen durch. Mit t

=~,

x = t 2 und

~~ = 2t, d.h.

dx = 2t·dt (vgl. (8.20)) erhalt man, wenn man in

Jsin ~ dx das Symbol dx formal als Differential dx = 2t· dt auffaBt: Jsin ~ dx = Jsin t· 2t dt = 2 Jt· sin t dt. Mit der Lasung von Beispiel 9.46 ist

Jsin ~ dx = 2· ( -

t cos t + sin t) + C,

Jsin ~ dx = 2· ( -

~ cos ~ + sin ~) + C.

und, wenn wir t wieder durch ~ ersetzen,

Durch Differentiation 1aBt sich die Richtigkeit des Ergebnisses nachweisen. Zu dieser Methode folgender Satz 9.25 (Substitutionsmethode)

Bemerkungen:

1. Durch die Substitution x=g(t) wird J.f(x)dx in Jf(g(t))·gl(t)dt= Jh(t)dt transformiert. Es hangt natiirlich von der geschickten Wahl der Funktion gab, ob h leichter zu integrieren ist als f. 2. Nach Ermittlung von Jh(t)dt=H(t)+C kann man mit t=g-l(X) zuriicksubstituieren: H(g -l(X)) = F(x). b

J

3. Beim bestimmten Integral f(x) dx = F(b) - F(a) kann man nach Ermittlung von H(t) ftir t die b

J

substituierten Grenzen tu = g-l(a) bzw. to = g-l(b) einsetzen: f(x) dx = a

to

Jh(t) dt = [H(t)J~:. Das

tu

ist oft bequemer als nach Ermittlung von F(x) die Grenzen a bzw. b einsetzen.

492

9 Integralrechnung

4. Zur praktischen Durchfuhrung verwenden wir folgendes Schema:

Sf(x) dx Substitution: x = g(t), t = 9 -l(X), dx = g'(t) dt

Sf(x) dx = Sf(g(t))'g'(t) dt = Sh(t) dt = H(t) + C = H(g-l(X)) + C = F(x) + C Beweis von Satz 9.25

F sei eine Stammfunktion von f. Dann ist :x F(x) = f(x) fur aBe xEI und nach der Kettenregel

(Satz 8.14) d

d

d

diF(g(t)) = dxF(x)'dtg(t) = f(x)'g'(t) = f(g(t))'g'(t)

aufl.

Damit ist Fog eine Stammfunktion von (f g). g'. Da die Umkehrfunktion 9 - 1 von 9 existiert, ist F(g(g-l(X))) = F(x) fur alle XE~. • 0

Beispiel 9.56 fcos(ln x) .. . Man ermIttle x dx fur x E!R +. Substitution: t = In x, x = et , dx = et dt. cos(ln x) cos t . . - - - d x = S-t-et dt = Scos tdt = SIn t + C = sIn(lnx) + C x e f Beispiel 9.57 8

f xJX+1 dx.

Man ermittle

3

Substitution t = x + 1, x =

t -

1, dx = dt, t u = 4 und to = 9.

8

f

x

JX+1 dx = S(t -

l)·Jtdt = S[t% -

4

4

t~J dt = [~·ti -~·t%J~ = In 6= 71,7....

3

Beispiel 9.58 2

Man ermittle Sxe 1 +x dx fur XElR. Die Substitution t = x 2 ist auf !R nicht umkehrbar. Wir fuhren die Substitution mit einer Restriktion durch:

t=x 2 furxElR+,

Jx

2

e1+x

x=Jt und dx=

dx = Jt·e 1 +1. 2~dt =

J

is e

1

1 ;:dt 2y t

+1 dt = ~e1+1 + C = 1e 1 +x

Durch Differenzieren kann man zeigen, daB Sx e 1 +x dx = i'e l +x 2

2

2

+C

fur aBe XE~+.

+ C fur alle XElR gilt.

9.3 Integrationsmethoden Beispiel 9.59

Man ermittle

Ijl=X2

dx fiir

Substitution x = sin t fiir tE [

Ijl=X2

XE[ -

-~, ~

493

1,1].

1

t = arcsin x, dx = cos t dt

dx = SJ l - sin 2 t·cos tdt = Scos 2 tdt.

Nach Beispiel 9.35 ist dann Sjl=X2 dx = ~ + i sin 2t + C und umgeformt

Ijl=X2

dx

=~ + isint·Jl- sin

2

t + C = i arcsin x + ixjl=X2 + c.

Beispiel 9.60 Man ermittle

dx - . - fur XE(O, n).

I

Sinx

x

tan-

2 1 Wegen sinx = 2·sin-·cos- = 2.~.~erhalten wir 2 2 x x 1 + tan 2 1 + tan 2 2 2

x

x

x

t

Substitution = tan-,x = 2· arctan 2

I

II

2

t, dx = l+t2 dt --2

Idt

dx + t 2 Itanxl +C. _._=1 --·--dt=-=lnltl+C=ln SIn x 2 t 1 + t2 t 2

Bemerkung:

Allgemein wird jedes Integral, dessen Integrand eine rationale Funktion von sin x und cos x ist, x

durch die Substitution t = tan - in ein Integral einer rationalen Funktion von t verwandelt. Dieses 2 kann man immer mittels Partialbruchzerlegung integrieren.

494

9 Integralrechnung

Beispiel 9.61 Man ermittle J cos x'e sinx dx. Fur

XE( -~,~) konnen wir die Substitution x = get) = arcsin t, t = g-l(X) = sin x und

dx = g'(t) dt = J

1 1- t 2

J cos x'e sinx dx =

dt durchfiihren und erhalten

fJ

1 - t 2 ·et .

_l_ _ dt = Jet dt = et + C J1-t 2

und wegen t = sin x

J cos x'e sinx dx = esinx + C. Wie man durch Differenzieren zeigen kann, gilt dies auch fiir aIle

XE~.

Bemerkung:

dx = g'(t) dt ist das Differential der Funktion g: t~ x = g(t). Manchmal ist es praktischer, das Differential dt = (g-l )'(x) dx der Umkehrfunktion g-l: x~t = g-l(X) zu verwenden. Das wird im nachsten Beispiel durchgeftihrt. Beispiel 9.62 Man ermittle

fSiJ~:;; dx fur

XEIR+.

dx Substitution t = Jx, x = t 2 , dt = J-=>dx = 2Jxdt. 2 x

riJ~x dx = f ~~ 2 J:;; dt = 2· Jsin t dt = -

2 cos t + C = - 2 cos

J:;; + c.

Beispiel 9.63 Man ermittle J 12x + 31 dx. t- 3 Substitution t = 2x + 3, x = - - , dx = i dt. 2

J 12x + 31dx = J It\·idt = i·tl tl + C = i(2x + 3)'12x + 31 + C 9.3.5

Tabelle unbestimmter Integrale

1. Jdx=x+C

(vgl. Beispiel 9.28).

9.3 Integrationsmethoden

3.

f~dX = In Ixl + C,

4.

SeX dx = eX + C

5.

SaX dx = -

6.

Ssin x dx = - cos x + C

7.

Scos x dx = sin x + C

8.

f -dx .2- = -cotx+C,

9.

f --2dx = tanx + C,

10.

x#o

aX

Ina

+ C,

aE[R+\{l}

x # kn mit kE7L

sIn x

cos x

n . x #- + kn mit kE7L 2

Ssinhxdx = cosh x + C

11. Scosh x dx = sinh x + C

12.

f -.-2dx = -

13.

f--2-= dx tanh x + C

14.

f --=-lnlax+bl+C, dx 1

15.

f

16.

f

sinh x

coth x + C,

x#o

cosh x

ax+ b

a

b a # 0, x # - a

dx 1 a 2 2 2 = - arctan - x + C, a x + b ab b

2

dx

a x

2

-

1 lax-bl =-In - - +C b 2ab ax + b ' 2

a # 0,

a # 0,

b#O

b # 0,

b x #-, a

b x# - a

17.

2 2 2 2 2 2 2 f J a 2x 2 + b 2 dx = 2"Ja x x + b + b2a In(ax + J a x + b ) + C,

18.

fJ

2 x b In lax+Ja 2x 2 - b2 1 + C, a2x2-b2dx=2"Ja2x2-b22a

a #0,

a#O,

b#O

b #0, a 2 x 2 ~ b 2

495

496

9 Integralrechnung

f ~, sJ x dx, S~: mit X= ax + 2bx + a# 0 werden durch die Umformung X = a(x + ~) + ( b:) und die Substitution t = x + ~ in die Integrale 2

23. Die Integrale

C,

2

C-

15. bis 22. transformiert.

b dx

1

24.

f

25.

Ssin 2 ax dx = -

XdX

-=-In\XI--Sa#O X 2a a X' , x 2

X

1

- -·sin2ax + C, 4a

x 1 26. S cos 2 axdx = - + -·sin2ax + C, 2 4a 27. Ssinnaxdx= -

28. Scosnaxdx=

= ax 2 + 2bx + c

sinn-lax· cos ax na

cosn-lax·sin ax na

n- 1 +--Ssin n- 2 axdx, n

n- 1 +--Scosn- 2 axdx, n

29.

f~=~lnltanaxl+c, sIn ax a 2

30.

f~ =~ln Itan(ax2 +~)I + C, cos ax a 4 1

a#O,

31. Stanaxdx= --lnlcosaxl+C, a

a# 0

nEN,

nEN,

a#O

a#O

x#k~mitkE2 a a # 0,

a#O,

x#

x#

n

~ + k~ mit kE2 2a a

n +k-mitkE2 2a a

9.3 Integrationsmethoden 1

32. J cot ax dx == -In Isin ax I + C, a

a # 0,

n a

.

x # k-mltkEZ

xn n 33. Sxnsinaxdx= --cosax+-Sxn-1cosaxdx, a a xn n 34. Jxncosaxdx==-sinax-- Sxn-1sinaxdx, a a

nEN,

nEN,

eax

36. Seaxsinbxdx =-2--2 (a sin bx - bcosbx) + C, a +b

eax

37. S eax cos bx dx = -2--2 (a cos bx + b sin bx) + C, a +b 38. Slnxdx=x(lnx-1)+C,

a#O

a#O

a # 0,

b#

a # 0, b #

°

°

XE[R+

x iX + 1

39. SxiX·Inxdx ==--2 [(a + 1)lnx -1J + C, (a + 1)

xE[R+,aE[R\ {-1}

Aufgaben

b)

f

e)

Jsin

1. Man ermittle die folgenden bestimmten bzw. unbestimmten Integrale

a)

f

dx (1- x)

---3;

2

7x + 6 x - 5x

- 4 - - 3 dx;

c)

fi

d)

e

f x ·cos(x )dx; 3

2

3

x·cos x dx;

f)

o

f

0

+ 3 .\;0 4-

r:

2x·V x

i)

f ~dx

j)

fx

dx;

Hinweis: Substitution t

yx 4 -1

X4

I) m)

x 2 1nxdx;

1

4X ·

g)

f f

X3

3~dx; 4 ~ 5 - 3x

3

- 4x - 3x + 18

dx;

k)

x

+ 8 sin x cos x

x x Jcos 2 -·sin -dx 3 4

J tan x·lncosxdx; 0

dx 2

x2;

7[/3

2

f 1 + 15 sin

=

Hinweis: Substitution t

= tan x;

Hinweis: Mit Hilfe von trigonometrischen Formeln verwandle man den Integranden in eine Summe;

497

498

9 Integralrechnung

n)

rj(2~x2)3

Hinweis: Substitution x

5·tan t;

X3

sinS x --3-dx; cos x

f

p)

r)

f

sinxcosx dx· sin 2 x - 3 cos 2 X '

s)

t)

Jarcsin x dx

0)

=

f -5 -- d3xx ;

q)

Jln~ f --x-dx;

f+3 SIn

f

x

dx;

2

Hinweis: Partielle Integration;

u)

Jll-xlxlldx.

-1

2. Welcher FHicheninhalt liegt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f: x~ 1, 2x + 2~ - 3 mit XE[O; 1,8J? 3. Welche Funktionf: x~ f(x) hat die Ableitungf': x~ f'(x) =

1

1+14x+49x

2

und bei X o = 1 den Funktionswert

f(x o) = 2? 4. Der Graph der Funktionf: x~4 - x 2 mit XE [0, 2J begrenzt zusammen mit der positiven x- und y-Achse ein FHichenstuck A. In welchem Abstand t muB man eine Parallele zur x-Achse legen, damit der FHicheninhalt von A halbiert wird? 1 5. Fur die Funktion f:x~2mit xE[4,9J bestimme man den Mitte1wert. An welcher Stelle nimmt f den x

Mittelwert an? 6. Bei der Integralfunktion

I: x~ Jf(t) dt x

mitf(t) =

{t° -t

o

fur tEe - 1, 1J fur tE(1,2), fur tE[2,5J

XE[ -1,5J

fuhre man die Integration durch. 7. Welcher FHicheninhalt liegt zwischen den Graphen der Funktionen f:x~2x - 1 mit XE~; und g: xf-->sin

(~x )mit xEIR;?

8. Eine Parabel3. Ordnung hat fur x = 2 eine waagerechte Tangente, inA (1, 2) einen Wendepunkt und geht durch B(3, 0). Welcher FHicheninhalt liegt zwischen dem Graphen der Parabel und der Geraden durch die Punkte A undB? 9. Beweisen Sie, daB der FHicheninhalt eines Kreises nr 2 ist. 10. Durch y2 = x 4 . ~ wird fur x E[0, 5J eine FHiche begrenzt. a) Skizzieren Sie diese FHiche. b) Berechnen Sie den Inhalt dieser FHiche. 11. Berechnen Sie fur m, n EN 2n

a)

J sin mx sin nx dx; o

J cos mx cos nx dx;

c)

J sin

2m

J sin mx cos nx dx. o

0

11/2

12. Beweisen Sie:

2n

211

b)

2m - 1 2m - 3

1 n

xdx = - _ . _ - ..... - . - fur aIle mEN. 2 2 2m 2m- 2

9.4 Uneigentliche Integrale Integrale tiber unbeschrankte Integrationsintervalle und Integrale mit nicht beschrankten Integranden werden durch Definition 9.1 nicht erklart. Folgendes Beispiel zeigt die Notwendigkeit der Erweiterung des bisherigen Integralbegriffs.

9.4 Uneigentliche Integrale

499

9.4.1 Integrale fiber unbeschrankte Intervalle

Beispiel 9.64 Eine Rakete habe bei BrennschluB die Masse m und die Geschwindigkeit Vo. Sie befinde sich im Abstand r o vom Erdmittelpunkt. Dort ist ihre kinetische Energie E k = ~mv~. Beim weiteren Flug wirkt auf die Rakete nur noch die Gravitationskraft F. Folglich betragt beim Flug von ro nach r 1 Yl

die Zunahme der potentiellen Energie I1E p =

JF dr. 1st E p die potentielle Energie an der Stelle r o,

Yo

so gilt nach dem Energieerhaltungssatz im Umkehrpunkt r 1 : Yl

Ek

+ E p = 0 + E p + I1Ep=>Ek =

I1Ep=>1mv~ =

JF dr=>v o =

Yo

2 Yl -·JFdr. m

Yo

Das ist die Geschwindigkeit, die erforderlich ist, damit die Rakete bis zur Rohe r 1 fliegt. Erreicht die Rakete bei BrennschluB die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit, so kann sie beliebig weit in Yl

den Weltraum fliegen. Fur ihre Berechnung wird lim

JF dr benotigt. Dazu die folgende Definition.

Yl ~ 00 Yo

Definition 9.7

f sei uber jedes Intervall [a, t] mit tE(a, (jJ) integrierbar. Existiert der Grenzwert t

lim

Jf (x) dx =

t~oo

a

1, so nennt man 1 das uneigentliche Integral von f tiber [a, (jJ). 00

Schreibweise: 1 =

J f(x) dx.

Bemerkungen:

1. Es ist ublich, die Schreibweise

Jf(x) dx auch dann zu verwenden, wenn man noch nicht weiB,

t

J

ob lim f(x) dx existiert. Stellt es sich heraus, daB der Grenzwert existiert, so nennt man ihn t~oo

a

das uneigentliche Integral von f tiber [a, etJ) oder sagt, Grenzwert nicht, so sagt man,

Jf(x) dx ist konvergent. Existiert der

J f(x) dx sei divergent. a

2. Will man die durch Definition 9.1 erkHirten Integrale von den uneigentlichen Integralen abgrenzen, so nennt man sie »eigentliche Integrale«. Beispiel 9.65

f1

2 dx

1 X

1

[1l

= lim Jt 2 dx = lim - t~ 00

1 X

t~ 00

X

t

= lim 1

t~ 00

(1) + - -

1 .

t

oof 1

x 2 dx = 1.

Dieser Grenzwert existiert und ist gleich 1. Also ist das uneigentliche Integral 1

500

9 Integralrechnung

Dieses Ergebnis kann man geometrisch interpretieren. Danach strebt der FUicheninhalt des im Bild 9.23 schraffierten FHichenstucks fur t ~ 00 gegen 1.

y

y

f

t

2

x

3

t

2

Bild 9.23: Graph zum Beispiel 9.65

3

x

Bild 9.24: Graph zum Beispiel 9.67

Beispiel 9.66 Fur die Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete (s. Beispiel 9.64) gilt

UF =

~

2 -

00

JFdr.

Dabei

m ro

mM ist F = k -2- die Gravitationskraft, k die Gravitationskonstante und M die Erdmasse. Es f

folgt Vp

=

~ Skm~ dr= ~ lim S km~ dr = ~ m

Yo

m t~ 00

f

~ lim (k mM m t~oo

Yo

k mM) =

fa

t

m

f

J~

m

lim

'-7

00

[_k mM ]' r ro

k mM . Also ist V F = fa

J

2kM . fa

Dabei ist die Gravitationskonstante 6,668·10 -11 m 3 kg- 1 s - 2, die Erdmasse 5,973.10 24 kg und der Erdradius 6,370.10 6 m. Erfolgt der BrennschluB 100 km uber der Erdoberflache, so ist die Fluchtgeschwindigkeitder Rakete 11,10 km s -1. Konnte der BrennschluB bereits an der Erdoberflache erfolgen, so ware diese 11, 18 km s - 1. Beispiel 9.67 00

f

l t 1 -dx= lim S-dx= lim [lnxJ~ = lim Int. x t ~ 00 1 X t~ 00 t~ 00

1

Dieser Grenzwert existiert nicht. Also ist

00

1

1

x

S- dx divergent. Demnach wachst der Flacheninhalt

des in Bild 9.24 schraffierten Flachenstucks fur

t ~ 00

Beispiel 9.68 00

Fur welche Werte (X E lR existiert

dX -x(J, mit a E lR +?

f

uber aIle Grenzen.

9.4 Uneigentliche Integrale

501

Lasung: In den Beispielen 9.65 und 9.67 wurde fur a = 2 und a = 1 diese Frage bereits beantwortet. Allgemein ist fur a #- 1 und a > O. dX t [X1-aJt - - =lim [1 __ f --;=limSx-adx=lim I-a I-a t~ooa

X

t~oo

a

t~oo

(t1-a_a 1 -

a)

J

00 dx a1-a Dieser Grenzwert existiert nur fur a> 1 und wir erhalten S- a = - - fur alle aE(l, CiJ) und a > O.

a

x

a-I

00

dX - ist fur aE( - CiJ, 1J divergent.

f

xli.

Beispiel 9.69 Man berechne S x 2 e - x dx. o

Mit der Formel 35 in der Tabelle auf Seite 497 erhaJt man: t

t

S x 2 e- x dx= lim S x 2 e- x dx= lim ([ -x2e-xJ~+2'Sxe-Xdx) o t~oo 0 t~oo 0 t

= lim ([ - x 2 e- X

-

2xe-xJ~

+ 2· Se-

X

dx)

0

t~oo

=

lim [-e- x (x 2 + 2x + 2)]~ t-----7

oo

= lim [-e- (t 2 +2t+2)+2J. t

t~oo

Dieser Grenzwert existiert und ist gleich 2 (vg1. (4.42)). Also gilt

Beispiel 9.70 00

Man berechne

S e -x sin x dx. o

Mit der Formel 36 in der Tabelle auf Seite 497 erhalt man: 00

S e - x sin x dx = lim [ -1 e - X( sin x + cos x) ] ~ = lim [ -1 e - t( sin t + cos t) + 1J, also o

t~oo

t~oo

S e- x sin x dx = 1. o a

f I(x) dx

00

und

f I(x) dx

Definitionen erkHirt.

werden ahnlich wie in Definition 9.7 durch die beiden folgenden

502

9 Integralrechnung

Definition 9.8

f sei tiber jedes Intervall [t, aJ mit tE( lim t~

J f(x) dx =

00,

a) integrierbar. Existiert der Grenzwert

I, so nennt man I das uneigentliche Integral von/tiber (-

00,

a].

00 t

J f(x) dx.

Schreibweise: 1=

-00

Beispiel 9.71 o

J

0

eX dx

= lim J eX dx = lim (1 t

t~-oo

et )

= 1.

t~-oo

Definition 9.9

f sei tiber jedes Intervall

[t 1 , t 2 J mit t 1 , t 2 ElR integrierbar und aEIR. Existieren die beiden

Grenzwerte

J f (x) dx = I

lim t1

so nennt man I

=

Schreibweise: I

=

~

-

00

t2

und

1

lim

t1

t2~ 00

J f(x) dx = 1

2,

a

+ 12 das uneigentliche Integral von/tiber (- 00, (0).

11

J

f(x) dx.

-00

Bemerkungen: 1. Die beiden Grenzwerte 11 und 12 mtissen unabhangig voneinander existieren (vgl. Beispiel 9.73). 2. Wegen der Intervalladditivitat des Integrals (vgl. Satz 9.8) ist I unabhangig von der Zwischen-

stelle a. Man kann also a beliebig wahlen. Beispiel 9.72

f f

dx

0

dx

t2

dx

n

n

--2= lim J--2+ lim J--2= lim (-arctant 1)+ lim (arctant 2)=-+1 + x t 1~ - t 1 1 + X tz~OC! 0 1 + X t ~ t2~00 2 2 00

1

-

00

dx 1 + x2 = n.

-00

Beispiel 9.73 o

t2

J x dx = lim J x dx + lim J x dx = lim (- ~ ti) + lim (~t~). t1~-00

t1

t2~00

0

t1~-00

00

Beide Grenzwerte existieren nicht. Also ist

J x dx divergent.

t2~00

9.4 Uneigentliche Integrale

503

In der Definition 9.9 und in der 1. Bemerkung zu dieser Definition steht, daB die beiden Grenzwerte einzeln und unabhangig voneinander existieren mussen. Berucksichtigt man das nicht, so kann das Ergebnis falsch werden, z.B.:

S x dx = lim

Cf)

-

Cf)

t-+Cf)

[0S x dx + Sx dx J= lim (i t

-t

0

t2

-

i t2) = 0

ist falsch.

t-+Cf)

Man kann uneigentliche Integrale berechnen, wenn man eine Stammfunktion des Integranden kennt und die entsprechenden Grenzwerte existieren. Aber auch ohne Kenntnis einer Stammfunktion kann man mit den folgenden Satzen untersuchen, ob ein uneigentliches Integral existiert. Satz 9.26 '

I ".;.,,..

I~.~

I

..

T

.

Bemerkungen:

1. Satz 9.26 gilt fur aIle drei in den Definitionen 9.7, 9.8 und 9.9 erklarten Typen von uneigentlichen Integralen. 2. Die Umkehrung von Satz 9.26 gilt i. aUg. nicht, d.h. wenn das uneigentliche Integral von f konvergiert, kann das uneigentliche Integral von IfI divergieren.

Satz 9.26 ist ein Speziaifall des folgenden Satzes. Satz 9.27 (Majorantenkriterium fur uneigentliche Integrale) I.

:~~l

n

v

·(.x)li•.~ •. £)

..

~a

.

..

.

...

f\~)l

,.,

<,i

. ·'.•.· .

...

Bemerkung: Cf)

Will man Sf(x) dx auf Konvergenz untersuchen, so sucht man zu If I eine» Majorante« g mit den a

Eigenschaften: 1. Fur aIle xE[a, 00) ist g(x) ~ If(x)1 und Cf)

2. S g(x) dx ist konvergent.

Wenn es gelingt, eine Majorante g mit diesen Eigenschaften zu finden, so ist die Konvergenz von Cf)

Cf)

S If(x)1 dx und damit wegen Satz 9.26 auch die Konvergenz von S f(x)dx bewiesen.

504

9 Integralrechnung

Beweis von Satz 9.27 x

Wir zeigen, daB die Funktion F: x~F(x) == JIf(t)ldt auf [a, (0) monoton wachsend und beschrankt ist: X2

1. Monotonie: Es sei

Xl

< X2 und

Xl'

J If(t)1 dt ~ 0 wegen

x 2 E[a, (0). Dann gilt F(x 2 ) - F(x l ) ==

Xl

If(t)1 ~ 0 fiir aIle tE[X l , x 2 ] und wegen Satz 9.10. 2. Beschranktheit: Aus 0 ~ If(x)1 ~ g(x) fiir aIle xE[a, (0) folgt wegen der Monotonie des InteX

grals (Satz 9.10) 0 ~ F(x) ~

00

Jg(t)dt ~ J g(x)dx. JIf(x)1 dx.

Da F auf [a, (0) monoton wachsend und beschrankt ist, existiert lim F(x) ==

Dies

X~oo

kann man ahnlich zeigen, wie beim Beweis des Satzes 3.8 in Abschn. 3.3.1.

•

Der folgende Satz zeigt, wie man bei einem divergenten uneigentlichen Integral mit Hilfe einer »Minoranten« die Divergenz beweisen kann. Satz 9.28 (Minorantenkriterium fiir uneigentliche Integrale)

Bemerkungen: 1. Der Beweis erfolgt ahnlich wie beim Majorantenkriterium. 2. Majorantenkriterium und Minorantenkriterium gelten entsprechend fiir aIle drei in den Definitionen 9.7,9.8 und 9.9 erklarten Typen von uneigentlichen Integralen. Beispiel 9.74 dx

00

J- 2- -x ist konvergent. o

X

+e

Beweis: 00

Es ist fe- x dx = lim (- e- l t~oo

o

fiir aIle

XE ~o+'

+ 1) =

1, also konvergent. Aus 0 < eX ~ x 2

+ eX folgt e- x ~ ~

Dann ist nach dem Majorantenkriterium (Satz 9.27) auch

X

oof

dx - 2- x

X

o

Beispiel 9.75

oof 2

~d x 1st . d'Ivergent. -V?+I

+e

+e

konvergent.

9.4 Uneigentliche Integrale .. . x+1 Fur X ~ 21St x2 + 1 >

x'

505

x2+ X x2 + 1 X +1 1 . denn es gIlt. x + x > x + 1 => x(x2 + 1) > x(x2 + 1) => x2 + 1 > Somlt . . 2

2

x'

fJX 00

. aue h 1St

1 Vr;:+1 A i > JX'

Da

dx d'Ivergent 1St . (1 . . 1 9.68,) d"Ivergtert nae h d em vg. Belsple

2

Minorantenkriterium (Satz 9.28) aueh

JJ:2:

11 dx.

2 00

Jf(x) dx

Die Konvergenz von

hangt vom Verhalten des Integranden f ftir x ~ co abo Beim

a 00

Beispiel 9.65 ist lim f(x) = 0, und x-?

Jf(x)

dx ist konvergent. Beim Beispiel 9.67 ist ebenfalls

a

00 00

lim f(x) = 0, aber

x-?

00

J f(x)dx a

ist divergent. Also ist lim f(x) = x-?

00

°

allgemein keine hinreichende

00

Bedingung fur die Konvergenz von

Jf(x) dx. Sie ist aber auch nicht notwendig, denn a

fUr

XE(n-;n,n) mit nEN

f:XI---+

a

fUr XE[ n -1,n -

(s. Bild 9.25) ist ftir

X 1---+

;n Jmit nEN

co unbestimmt divergent, aber

00

Jo f(x) dx = i + i + ~ + l6 + ... = 1

ist konvergent.

y

1

"

n I

I I

I

I

I

I I I

2 Bild 9.25: Graph einer fur

X~ CfJ

n

iI

I I II

II II II

I I

3

4 x

unbestimmt divergenten Funktion

00

limf(x)

=

9 *0 ist eine hinreichende Bedingung flir die Divergenz von f f(x) dx, denn es gibt a

x~oo

eine Stelle x o, so daB fUr alle x ;;:; X o die konstante Funktion h: X--> I;Ieine Minorante von III ist, 00

und

J h(x) dx ist divergent. a

Daher gilt folgender Satz.

506

9 Integralrechnung

Satz 9.29

4t

:

.....

9.4.2 Integrale von nicht beschriinkten Funktionen

Eine zweite Art von unbestimmten Integralen ergibt sich fiir Funktionen, die

1. auf einem abgeschlossenen Intervall definiert, aber nicht beschrankt sind oder 2. Auf einem abgeschlossenen Intervall mit Ausnahme eines Punktes dieses Intervalls definiert sind oder 3. eine U nendlichkeitsstelle haben. Definition 9.10

j sei in D = [a, bJ \ {x o} definiert und iiber jedes abgeschlossene Teilintervall leD integrierbar. Dann definiert man als uneigentliches Integral vonfiiber [a, b] ( Schreibweise: [ f (x) dx). b

a) wenn X o = b ist:

t

Ja j(x) dx = lim Ja j(x) dx, falls der Grenzwert existiert, tib

b

b) wenn X o = a ist:

b

Ja j(x)dx = lim Jj(x)dx, falls der Grenzwert existiert, tla t

b

c) wenn xOE(a, b) ist:

Xo

b

a

Xo

Jj(x)dx = Jj(x)dx + Jj(x)dx, falls beide uneigentlichen Integrale

existieren.

Bemerkungen: b

1. Wenn die Grenzwerte in obiger Definition existieren, dann sagt man, Jj(x) dx sei konvergent. b

Existieren die Grenzwerte nicht, so nennt man

Jj(x) dx divergent. a

2. Die obige DefinitionerkUirt insbesondere auch den Fall, daB eine Funktion an einer Stelle X o eine U nendlichkeitsstelle hat.

3. 1st eine Funktion iiber [a, bJ eigentlich integrierbar, so ist sie auch iiber [a, bJ uneigentlich integrierbar, und beide Integrale haben denselben Wert. Deshalb konnte man die Schreibweise des in obiger Definition festgelegten uneigentlichen Integrals gleich der des eigentlichen wahlen. Beispiel 9.76 Man berechne

o

f -1

dx ~.

9.4 Uneigentliche Integrale

507

Der Integrand ist fur x == 0 nicht definiert, also ist das Integral uneigentlich.

°

dX tdx J -===lim[~'1x2Jt 1==lim(1Jt2 -1)· f 1-===lim x 1x tjO

- 1

tjO

tjO

-1

Dieser Grenzwert existiert und ist gleich -1. Also ist das uneigentliche Integral

°J -1

dx

1-;

Beispiel 9.77 3

f

dX3=limS dX3==lim[lnlx-3IJh==limlnlt-31.

x- .

2 X -

t1'3

tj3

tj3

2

Dieser Grenzwert existiert nicht. Also ist das uneigentliche Integral S dX divergent. 2 x- 3 Beispiel 9.78 1

f d~x = lim J d~ = lim [2~]f = lim (2 y'

t!O

t y' X

2jt).

t!0

t!O

° Dieser Grenzwert existiert und ist gleich 2. Also ist das uneigentliche Integral J

d~ = 2.

OyX

Beispiel 9.79 1

Man berechne

f

dx x2 '

-1

Der Integrand ist bei x == 0 nicht definiert, also ist das Integral uneigentlich und wir zerlegen 1

° f d~= J d~+Jd~=lim x

-1X

X

If d~+limJd~=lim(-~-1)+lim(-1+~). 2 X

tdO - 1

t !0 t2

X

tdO

t1

h!O

t2

-1

Beide Grenzwerte existieren nicht.

1

f ~~ ist divergent. -1

Hinweis: Die Methoden des Abschnitts 9.3 zur Ermittlung von Stammfunktionen setzen voraus, daB der Integrand stetig ist. Wenn ein Integrand an einer Stelle Xo nicht definiert ist, kann er auch keine Starnrnfunktion haben, denn ist F Starnmfunktion von f, so gilt F'(x o) == f(x o). Also ist bei

f 1

Beispiel 9.79 die Rechnung d~ = [ - ~Jl = - 2 nicht richtig und fiihrt zu einem falschen x x -1 Ergebnis.. -1 1st der Integrand an mehreren (aber endlich vielen) Stellen nicht definiert, dann spaltet man das Integral so in Summanden auf, daB jeder Summand ein uneigentliches Integral vom Typ der Definitionen 9.10 a) bzw. 9.10 b) ist. Entsprechend verfahrt man, wenn das Integrationsintervall unbeschrankt ist und auBerdem der Integrand an mehreren SteBen nicht definiert ist. Z.B. existiert

508

9 Integralrechnung 00

bei der in Bild 9.26 dargestellten Funktion b

C

S j(x)dx,

wenn nach Wahl einer beliebigen Stelle

00

cE(b, (0) Sj(x)dx, Sj(x)dx und S j(x)dx unabhangig voneinander existieren. b

y

c

b

Q

x

Bild 9.26: Eine unbeschrankte Funktion mit unbeschrankter Definitionsmenge

9.4.3 Die r-Funktion Mit Hilfe uneigentlicher Integrale konnen nichtelementare Funktionen definiert werden, wie z. B. die Gammafunktion. Diese Funktion erweitert den Definitionsbereich der Fakultat, die bislang nur fur die naturlichen Zahlen einschlieBlich der Null definiert ist. Definition 9.11 Die (zunachst) auf [R + definierte Funktion 00

r:X I---> l(x)= ftX-1e-'dt o

heiBt Gammafunktion (r-Funktion).

Bemerkungen: 1. Das Integral, durch welches die r-Funktion definiert wird, ist uneigentlich beziiglich der oberen Grenze. Wir zeigen zunachst, daB das Integral fur alle XE [R beziiglich der oberen Grenze konvergiert und verwenden dazu die Intervalladditivitat. 00

1

00

f tx-1e -'dt = f tx-1e -'dt + f tx-1e -'dt. o

0

1

9.4 Uneigentliche Integrale Es sei

nEN

mit n>x-1, dann gilt fur alle

(vgl. Formel Nr. 35 aufSeite 497):

R

00

f

XE[R

509

R

tX-le-tdt ~ lim ftne-tdt == lim ( - tne-tlf + n ftn-le-tdt) R~oo

1

R~oo

1

1

R

==! + n lim ftn-le-tdt. e R~oo 1

Nach n Schritten bleibt als Integrand lediglich e -t, woraus die Konvergenz bezuglich der oberen Grenze fur alle XE [R folgt. 2. Fur x-I < O~ x < 1 ist das Integral auch bezuglich der unteren Grenze uneigentlich. Wir zeigen zunachst, daB das Integral fur x> 0 auch bezuglich der unteren Grenze konvergiert, (beachte, daB das Integral fur alle x positiv ist): 1

0<

f

o

1

tx-le -tdt ~

1

t X- 1 dt == lim f

dO

0

eX) ==-,1

. [tXJl t X- 1 dt == hm == lim ( -1 - f

GlO

x

e

G10

x

x

x

G

womit die Konvergenz fur x > 0 bewiesen ist. Fur x == 0 gilt 1

1

1 fdt 1. 1 -dt~- -==-hmlntI G == e t e G10 f t o 0

e- t

00.

Das Integral ist daher fur x == 0 divergent. Ebenso kann die Divergenz fur x < 0 bewiesen werden. Mit Hilfe der partiellen Integration ergibt sich, wenn u(t) == e -t und v'(t) == t X- 1, also u'(t) == - e- t und v(t) == tt Xverwendet wird: (9.14) Aus (9.14) resultieren drei wichtige Ergebnisse:

1. Durch (9.14) kann die r-Funktion auch fur x < 0 definiert werden, denn das Integral in (9.14) ist konvergent fur x > - 1; damit wird die r -Funktion zusatzlich auf dem offenen Intervall ( -1,0) definiert. Wie zuvor, kann das Integral (9.14) wieder partiell integriert werden und man erhalt (9.15) Das Integral in (9.15) ist konvergent fur x + 1 > - 1, also fur x> - 2, damit ist die r-Funktion zusatzlich auf dem offenen Intervall ( - 2, -1) definiert. So fortfahrend erhalt man als Definitionsbereich der r-Funktion die Teilmenge [R\Zo.

510

9 Integralrechnung

2. Aus (9.14) folgt weiter: r(x) =

1

-'

x

r(x + 1)¢>r(x + 1) = xr(x)

(9.16)

fur aIle XE [R\Zo). CfJ

Beachte: Aufgrund der Definition der r-Funktion gilt r(x+ 1) = S tXe-tdt.

° Nun ist CfJ

r(1) = S e-tdt = lim

°

R~CfJ

[-e-tJ~

= 1.

Aus (9.16) ergibt sich daher r(2) = 1, r(3) = 2· r(2) = 2, r(4) = 3· r(3) = 3·2 = 3! Mit Hilfe der vollstandigen Induktion ergibt sich daraus: r(n + 1) = n!

fur aIle nE N.

3. Auch wieder mit Hilfe der vollstandigen Induktion kann aus (9.16) eine weitere Eigenschaft gewonnen werden. Fur alle [R\Zo und fur alle mE N gilt r(x + 1) = x(x - 1)(x - 2)··· (x - m)r(x - m).

(9.17)

So erhalt man beispielsweise r(7, 8) = 6,8·5,8·4,8·3,8·2,8·1,8·0,8·r(0,8) = 2900,5627392·r(0,8). Die Eigenschaft (9.17) ermoglicht also die Berechnung der r-Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn die Werte der r -Funktion in einem Intervall der Lange 1 bekannt sind. Gewohnlich wird sie nur auf dem Intervall (0, 1] tabelliert. Urn die Funktionswerte der r-Funktion fur negative Argumente zu bekommen, wird (9.17) nach r(x - m) aufgelost, wir erhalten: r(x - m) =

r(~ +/)

(

xx-1···x-m

)

fUr aIle XEIR\Zo und fUr aIle mEN.

. r(0,3) So erhalten Wlr z.B. r( - 3,7) = (_ 0, 7).( _ 1,7)'( _ 2,7)'( - 3,7)

r(0,3) 11,8881'

Die r -Funktion ist auf (0, ro) stetig (sogar beliebig oft differenzierbar), da der Integrand fiir aIle XE [R + stetig ist. Drei Grenzwerte sollen noch berechnet werden. lim r(x) = lim r(n) = lim (n - 1)! = ro. X~CfJ

n~CfJ

An der Stelle Null hat die Gammafunktion eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Fiir alle x > gilt namlich:

Daraus ergibt sich limr(x) = ro. xlO

°

9.4 Uneigentliche Integrale

511

y

x

-1

I

-1

I I

:A Bild 9.27: Graph der Gamma-Funktion

Mit Hilfe der Darstellung (9.14) kann analog bewiesen werden: lim r(x) ==

-

00.

Damit ist auch

xiO

gezeigt, daB die r -Funktion an allen ganzzahligen negativen StellenPole mit Vorzeichenwechsel hat. AbschlieBend sei noch angegeben: r(-~) ==

j;"

woraus weiter folgt: r( -i) == - 2· j;.

Aufgaben: 1. Man berechne die folgenden uneigentlichen Integrale, falls sie existieren.

f

o

CJ)

b)

xoe-X"dx;

o

c)

f

xdx 1+x 2 ;

512

9 Integralrechnung 1

et:J

1

d)

dx

Jlnxdx;

e)

o

f V~; I-x

f :,-e-1/xdX;

f)

2

o

o

f

et:J

et:J

h) f_X-COSXdX; x+I

i)

x··e-xdxmitnEN.

o

o

2. Welche der folgenden uneigentlichen Integrale sind konvergent? et:J

a)

et:J

dx -; x·e x

f

c)

1

et:J

Sinx 7dx;

f

d)

1

f

x+ 1

~dx.

1

9.5 Numerische Integration 9.5.1 Vorbetrachtungen Nach Satz 9.20 gilt fiir jede auf [a, bJ stetige Funktionf b

Jf(x)dx = F(b) -

F(a),

wobei F eine Stammfunktion von

f auf

[a, bJ ist. In der Praxis kann man jedoch oft nur einen

b

Naherungswert von

J f(x)dx bestimmen, namlich z.B. dann, wenn a

1.

f keine elementare Stammfunktion besitzt. Beispiele: eX sinx 1 f(x) = - ; f(x) = - ; f(x) = e - X ; f(x) = -; f(x) = x lnx x 2

J 1-

k 2 sin 2 x

fiir kE(O, 1).

f zwar eine elementare Stammfunktion besitzt, aber ihre Bestimmung zu aufwendig ist. 3. f nur tabeBarisch gegeben ist.

2.

b

J

Die Berechnung von f(x)dx mit Hilfe des Grenzwertes der Zwischensumme 8(Z) =

L f(~k)f1xk

(9.18)

k=l

(s. (9.2)) ist zwar auch in diesen Fallen theoretisch moglich, doch zeigen bereits die einfiihrenden Beispiele in Abschnitt 9.1.4, daB die Bestimmung dieses Grenzwertes schon flir »einfache« Funktionen schwierig sein kann. Folglich ist man, wennf eine der oben angegebenen Eigenschaften besitzt, auf eine Naherungsformel zur Berechnung des bestimmten Integrals angewiesen. Hierzu bilden wir (entsprechend der Zwischensumme (9.18)) eine Linearkombination von Funktionswerten: (9.19)

mit (XkEIR und XkE [a, bJ fiir aBe k = 0, 1, ... , n. Man bezeichnet die reellen Zahlen (1k als Gewichte, die X k als Stiitzstellen der Integrations- oder Quadraturformel (9.19).

9.5 Numerische Integration

513

b

Der bei der Annaherung von Sj(x)dx durch Q auftretende Fehler a

b

R

Sj(x)dx -

=

I k=O

(9.20)

rJ.kj(X k)

heiBt Fehler des Verfahrens oder Restglied der Integrationsformel (9.19). 1m folgenden werden wir unter allen Integrationsformeln des Typs (9.19) eine Formel herleiten, die nach Wahl von n + 1 Stiitzstellen xkE[a, bJ jede ganzrationale Funktion p hochstens n-ten Grades iiber [a, bJ exakt integriert. Dazu miissen wir n+ 1 Gewichte rJ.kE~ so bestimmen, daB b

Sp(x)dx =

I k=O

rJ.kP(X k),

d.h. b

R = Sp(x)dx -

I

rJ.kP(X k) = 0

k=O

(9.21)

ist. Wegen der Linearitat des Integrals (s. Satz 9.9) geniigt es zu fordern, daB die gesuchte Quadraturformel Q die Funktionen j: X~Xi, i = 0, 1,2, .. , n, exakt integriert. (9.21) ist also dann erfiillt, wenn

I

b

(XkX~

= Sxidx fiir alle i = 0, 1,2, ... ,n

(9.22)

k=O ist. Ausfiihrlich lautet (9.22)

(Xo + (X 1 + xo(Xo + Xl (Xl + x~(Xo + Xi(X1 + x n(X

00

:

:

+ (Xn = b - a + XnrJ. n = ~(b2 + x;(Xn = i(b 3 :

:

a 2) a3 )

(9.23)

1

n(X = - - (b n+ 1 _ + x n1(X1 + ... + x nn n+l

an + 1).

Bei Vorgabe der n + 1 Stiitzstellen XkE [a, bJist dies ein lineares (n + 1, n + I)-System zur Bestimmung der n + 1 Gewichte (XkE [R in (9.19). Ohne Beweis sei vermerkt, daB dieses inhomogene, lineare System stets genau eine Losung besitzt (s. [6J).

9.5.2 Spezielle Integrationsformeln

Urn die Herleitung spezieller Integrationsformeln und ihrer Restglieder iibersichtlicher und einfacher zu gestalten, wahlen wir das zurn Nullpunkt symmetrische Integrationsintervall [ - h, hJ, b-a wobei h = - - sei. Dies ist keine Einschrankung der Allgerneinheit, da wir mit Hilfe der Abbildung 2

[-h,hJ~[a,bJ

mit

a+b 2

x~t=x+-­

b-a) ( beachte: h = -2- stets zu einem beliebigen Intervall [a, bJ iibergehen konnen.

(9.24)

514

9 Integralrechnung

a) Die Sehnentrapezformel Wir wahlen als Sttitzstellen die zwei (n = 1) Randpunkte des Integrationsintervalls X o = - h und Xl = h. Dann lautet das Gleichungssystem (9.23) CX o + CX l = 2h - hcx o + ha 1 = O.

Hieraus folgt CX o = a l = h, und wir erhalten die sogenannte Sehnentrapezformel Q = h·(f( -h) + f(h)).

(9.25)

Bei gegebener Funktion fist das Restglied dieser Formel eine Funktion von h und lautet h

S f(x)dx - h·(f( -h) + f(h)).

R(h) =

(9.26)

-h

Zur Abschatzung dieses Restgliedes setzen wir voraus, daB f auf [ - h, h] zweimal stetig differenzierbar ist. Dann folgt aus (9.26) und (9.12) dR = f(h) _ f( - h)-( -1) - [f( - h) + f(h)J - h[ - f'( - h) + f'(h)] = _ 2h 2 • f'(h) - f'( - h), dh 2h

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. Satz 8.25) existiert dann ein ~ E (-h, h) so, daB dR = - 2h 2 f"(~) dh

-

(9.27)

ist. Hieraus folgt dR

Idh

1= 2h f"(~)1 ~ 2h 2

1

2

.

max

-h~x~h

I f"(x)l·

(9.28)

Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (s. Satz 9.16 und (9.28)) gewinnt man die Abschatzung und wegen R(O) = 0

IR(h) I =

I!

R'(t)dt

I~

IR(h)I~~h3. max

!

jR'(t)j dt

~ 2· _~~~h I f"(x)

I!

2

t dt,

If"(x)l.

-h~x~h

Gehen wir zum Integrationsintervall [a, b] tiber, so erhalten wir Satz 9.30 (Sehnentrapezformel)

9.5 Numerische Integration

515

Bemerkungen:

1. Die F ormel (9.29) heiBt Sehnentrapezformel. 2. Geometrisch kann man die Sehnentrapezformel so interpretieren: Man ersetze den Graphen von f in [a, b] durch die Sehne durch die Punkte A(a, f(a)) und B(b, f(b)). 1st nun f(x) ~ fur aIle xE[a,b], so ist QST der FHicheninhalt des Trapezes unter dieser Sehne (s. Bild 9.28). 3. 1st f eine lineare Funktion, so liefert QST offensichtlich den exakten Wert des Integrals, da f" die Nullfunktion ist und die rechte Seite in (9.30) deshalb verschwindet.

°

y

y

B A

A...-_ _

I I I

1

I

If(o)

I

I I I

B

I I

I

o

o

x

b

Q+b -2-

x

b

Bild 9.29: Zur Simpsonschen Formel

Bild 9.28: Zur Sehnentrapezformel

Beispiel 9.80 2,3

J lnxdx. Aus (9.29) folgt

Wir berechnen mit Hilfe der Sehnentrapezformel

1,6

QST =

0,7

2

(In 1,6 + In2,3)

=

(9.31)

0,4560 ....

1 Wegen I f"(x) \ = 2" ~ 0,3907 fur aIle xE[1,6; 2,3J lautet eine Fehlerabschatzung von (9.31) x

Zl InXdX-QsTI I 1,6 F olglich ist

~O~~3.

max

I f"(X) I <

1,12·1O- Z.

1,6~x~2,3

2,3

0,4448 <

J lnxdx < 0,4673.

1,6

Auf 6 Stellen genau ist (s. Formel 38 auf Seite 497) 2,3

J lnxdx =

0,463685 ....

(9.32)

1,6

b) Simpsonsche Formel oder Keplersche FaBregel Wir wahlen in [ - h, hJ als Stiitzstellen die Randpunkte und die Mitte des IntervaIls, also X o =

-

h,

516 Xl

9 Integralrechnung

== 0 und X 2 == h (beachte: n == 2). Als Lasung des Gleichungssystems (Xo - h(Xo 2 h (Xo

+ (Xl + (X2 == 2h + h(X2 == 0 + h 2(X2 == ~h3 h

(vgl. (9.23)) erhalten wir die Gewichte (Xo == (X2 == -, (Xl ==!h und damit die sogenannte Simpsonsche 3 Formel

h

Q == - (f( - h) + 4f(0) + f(h)).

(9.33)

3

Gehen wir zum Integrationsintervall [a, bJ uber, so erhalten wir Satz 9.31 (Simpsonsche Formel)

Auf einen Beweis der Abschatzung (9.35) verzichten wir. Bemerkungen:

1. Die Formel (9.34) heiBt Simpsonsche Formel. 2. Die Simpsonsche Formel HiBt sich folgendermaBen geometrisch interpretieren (s. Bild 9.29): Man ersetze den Graphen von f in [a, bJ durch die Parabel y == p(x) durch die Punkte A(a,j(a», B(b,j(b» und H ( a ; b,j ( a ; b ) ). Integriert man nun iiber die ganzrationale

Funktion 2. Ordnungp (diese Integration ist einfach auszufiihren), so erhalt man, falls f(x) ~ 0 fur aIle xE[a, bJ ist, einen Naherungswert fur den Inhalt der FHiche unter dem Graphen von f. 3. Man erwartet, daB eine ganzrationale Funktion hachstens 2. Grades von der Simpsonschen Formel exakt integriert wird. Da jedoch in (9.35) die 4. Ableitung des Integranden auftritt, liefert diese Formel sogar fur jede ganzrationale Funktion 3. Grades, deren 4. Ableitung ja verschwindet, den exakten Integralwert. Beispiel 9.81 2,3

Wir berechnen mit Hilfe der Simpsonschen Formel S In X dx (vgl. Beispiel 9.80). Aus (9.34) folgt 1,6

0,7

Qs == 6 (In 1,6 + 4ln 1,95 + In2,3) == 0,463660 ....

9.5 Numerische Integration

517

6 Wegen If(4)(X) I = 4 < 0,9156 fur alle xE[I,6; 2,3J lautet eine Fehlerabschiitzung von Qs x

2

1

(lnXdX- Qs l::::;OY. max I f(4)(X) I <5,4·1O- s . 1,6 - 2880 1,6~x~2,3 2,3

Folglich ist 0,463606 < S In xdx < 0,463715. 1,6 Der Vergleich mit (9.32) zeigt, daB die ersten 4 SteBen nach dem Komma von Qs exakt sind. Beispiel 9.82

1,5 Wir berechnen mit Hilfe der Simpsonschen Formel S arctan xdx. 1

0,5 Aus (9.34) folgt Qs = - (arctan 1 + 4 arctan 1,25 + arctan 1,5) = 0,446034 ... 6 x 2 -1 1 Es ist f(4)(X) = - 24x (x 2 + 1)4' Wegen 0 ~ x 2 -1 ~ 1,25 und x 2 + 1 ~ 0,5 fUr alle xE[l; 1,5]

erhalten wir die Fehlerabschiitzung I

1

°

5

1,5 55 05 S arctanxdx-Qs ~-'- max If(4)(x)I~-'-,24'1,5'1,25'0,5 4 <3,1'10- 5 • 1 2880 1~x~ 1,5 2880

1,5 Folglich gilt 0,44600 < S arctan x dx < 0,44607. 1,5 Auf 6 SteBen nach dem Komma genau ist S arctan x dx = 0,446038 .... 9.5.3

Summierte Integrationsformeln

Mit Hilfe der Sehnentrapezformel und der Simpsonschen Formel erhiilt man brauchbare b

Niiherungswerte von Sf(x) dx, wenn das IntegrationsintervaB hinreichend klein ist. Urn die a

Genauigkeit zu erh6hen, ist es jedoch wenig sinnvoll, nach der in Abschnitt 9.2.1 beschriebenen Methode Integrationsformeln mit einer »groBen« Anzahl von StutzsteBen zu konstruieren. Sowohl die Bestimmung der Lasung des entsprechenden Gleichungssystems (9.23) als auch die Abschiitzung des Restgliedes, in dem eine Ableitung hoher Ordnung auftritt, erfordern dann niimlich einen groBen Rechenaufwand. Es ist viel zweckmaBiger, zunachst das Integrationsintervall in hinreichend kleine Teilintervalle zu zerlegen und dann in jedem Teilintervall entweder die Sehnentrapezformel oder die Simpsonsche Formel anzuwenden. Auf diese Weise erhiilt man sogenannte summierte Integrationsformeln. a) Die summierte Sehnentrapezformel

f

sei auf [a, bJ integrierbar. Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, bJ durch die StiitzsteBen

518 X k ==

9 Integralrechnung

b-a a + kh, wobei k == 0,1, ... , n und h == - - ist, in n Teilintervalle der gleichen Lange h. Es ist n

also X o == a und X n == b (s. Bild 9.30). Dann erhalten wir mit Hilfe der Sehnentrapezformel (9.29) fiir

J f(x)dx den Naherungswert (9.36)

y

Bild 9.30: Summierte Sehnentrapezformel

n

Wegen k~l

(

xL Xk

)

f(x)dx =

ff(x)dx ergibt sich durch entsprechende Summation der Niiheb

b

rungswerte (9.36) ein Naherungswert fiir S f(x) dx:

Q~T = J1 b ~ a (f(Xk~ 1) + f(x k)) = b ~ a Ct1 f(Xk~ 1) + kt

1

=

b

~ a (f(x o) + :~ f(x k) + :t~ f(xk) + f(X

== b - a ( f(a) + 2 n-l I f(x k) + f(b) ) . 2n

k= 1

Damit erhalten wir folgenden

n))

f(X k))

9.5 Numerische Integration

519

Satz 9.32 (Summierte Sehnentrapezformel)

Den Beweis fiir die Fehlerabschatzung (9.38) stellen wir als Aufgabe. Bemerkung:

Die Genauigkeit der Formel (9.37) wird dadurch gekennzeichnet, daB ihr Fehler bei Verkleinerung der Schrittweite h wie h 2 gegen Null geht. Beispiel 9.83 Das Tragheitsmoment eines homogenen Rotationskorpers aus Stahl (Dichte 7,8 g·cm -3), dessen Meridian durch y = g(u) = 5·e- 0,01u UE[O, 10J (s. Bild 9.31 und Bild 9.32) beschrieben wird, soIl berechnet werden. 2

,

Bezeichnet frot die MaBzahl des Tragheitsmomentes und p = 7,8 die MaBzahl der Dichte, so gilt nach Band 2, (1.67) pn

frot

10

10

o

0

= 2: S (g(U))4 du == 2437,5n· S e -0,04u dUo 2

\

g(u)

\

Scm

\

!. t

10cm

I

~

S

--------t:..-.. . .

I I

/

S

/

10 u

/

Bild 9.31: Rotationsk6rper

Bild 9.32: Graph von

g:u~5e-O,Olu2

fur 0:::; u:::; 10

520

9 Integralrechnung

Mit Hilfe der Substitution x = 0, 1 u erhalten wir 1

J

2

I rot = 24375n e -4x dx o

(9.39)

Tabelle 9.2

k

°

f(x k )

Xk

~------

1

°

~-------

-------------

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,960789... 0,852144... 0,697676... 0,527292... 0,367879 0,236928... 0,140858... 0,077305... 0,039164...

1 2 3 4 5 6 7 8 9

f-------- f--------

-------------

1,0

10

0,018316

9

L

3,900035...

f(x k )

k=l

Da der Integrand in (9.39) keine elementare Stammfunktion besitzt, berechnen wir einen Naherungswert dieses Integrals mit Hilfe der summierten Sehnentrapezformel (9.37). Hierfiir k zerlegen wir das Integrationsintervall [0, 1J durch X k = - , k = 0, 1, ... , 10, in n = 10 Teilintervalle 10 der gleichen Lange h = /0 und erhalten

Q~T = 20 (f(O) + 2·Jl f(x k) + f(l)), 1

2

wobei f(x) = e - 4x ist. Mit Hilfe der Werte aus Tabelle 9.2 erhalten wir als Naherungswert fiir das Integral in (9.39), wenn wir uns auf 6 Stellen nach dem Komma beschranken: Q~T

= 0,440919.

Foiglich ist wegen (9.39) I rot = 33764,0, d.h. das Tragheitsmoment des Rotationskorpers betragt 33764,0 g·cm 2 . b) Die summierte Simpsonsche Formel

f sei auf [a, bJ integrierbar. Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, bJ durch X k = a + kh, wobei b-a

k = 0, 1, ... , 2n und h = - - ist, in 2n Teilintervalle der gleichen Lange h. Es ist also X o = a und 2n X 2n = b. Mit Hilfe der Simpsonschen Formel (9.34) (angewandt auf [X 2k - 2 , X 2kJ) erhalten wir fiir

9.5 Numerische Integration

521

X2k

S f(x) dx den Naherungswert

n

Wegen k~l

(

!_2 f(x) dx 2 X2k

X

)

=! b

f(x) dx er~ibt sich durch entsprechende Summation der Niihe-

rungswerte (9.40) ein Naherungswert fur Sf (x) dx:

Fassen wir hier die erste und dritte Summe zusammen und beachten X o = a und

Es gilt folgender Satz 9.33 (Summierte Simpsonsche Formel)

Auf einen Beweis von (9.42) verzichten wir.

X 2n

= b, so ist

522

9 Integralrechnung

Bemerkung: Urn die summierte Simpsonsche Formel anwenden zu konnen, muB man das Integrationsintervall in eine gerade Anzahl von Teilintervallen zerlegen. Diesen N achteil gegenuber der summierten Sehnentrapezformel wiegt die summierte Simpsonsche Formel durch ihre hohe Genauigkeit auf, denn ihr Restglied strebt bei Verkleinerung der Schrittweite h sogar wie h4 gegen Null (vgl. dagegen (9.38)). Beispiel 9.84 2

Man berechne mit Hilfe der summierten Simpsonschen Formelln 2 =

1

J- dx. Dazu bestimme man IX

die Schrittweite h so, daB der maximale Fehler kleiner als 0,5'10- 4 ist. Nach (9.42) mussen wir h so wahlen, daB 24 f(4)(X) = - 5 gilt x

1 180

24

b-a

IRI ~ __ ·h4. max If(4)(x)1

24 180

a~x~b

180

~0,5'10-4

ist. Wegen

IRI :::;; - · h4. max -:::;; - h 4 :::;; 05.10- 4 wenn h:::;; 0 139 ist. 5 -

I ~x~2

x

-

-,

,

-

,

Wir wahlen h = 0,125. Diese Schrittweite fuhrt zur geforderten Genauigkeit und liefert gleichzeitig 1 wegen h = - = 0,125, d.h. 2n = 8, eine gerade Anzahl von Teilintervallen des Integrationsinter2n valls [1,2]. Mit Hilfe der Formel (9.41) und der Werte aus Tabelle 9.3 erhalten wir fur In 2 den Naherungswert (beachte die unter der Tabelle angegebenen Werte) 0125

+ 2'2,038096 + 4'2,764880 + 0,5) =

Q~ = -'-3-(1 Tabelle 9.3

k

°

f---

f(x k ) k gerade

xk 1 ---

-------

f-----

1 ----------

1,125 1,25 1,375 1,5 1,625 1,75 1,875

1 2 3 4 5 6 7

-------

-------------

0,888889 0,8 0,727273 0,666667 0,615385 0,571429 0,533333 ----------

2

8

f(x k ) k ungerade

-------------

0,5

Aus dieser Tabelle erhalten wir: 3

I

f(X 2k )

=

2,038096

k=1

4

I

k=l

f(X 2k -

1)

=

2,764880

0,693155.

9.5 Numerische Integration

523

Die Abschatzung des Fehlers der summierten Simpsonschen Formel mit Hilfe von (9.42) ist oft nur unter erheblichem Rechenaufwand oder, wenn die Ableitung f(4) nicht bekannt ist, gar nicht durchfiihrbar. In diesen Fallen wird man dann, wie im folgenden gezeigt wird, einen Schatzwert des Verfahrensfehlers berechnen. Da dieser Wert dem Betrage nach auch grnBer als der absolute Verfahrensfehler sein kann, liefert er jedoch keine 0 bere Schranke fiir diesen.

f

sei auf [G, b] viermal stetig differenzierbar. Bezeichnet Sh bzw. S2h die summierte Simpsonsche Forme! zur Schrittweite h bzw. zur doppelten Schrittweite 2h und R h bzw. R 2h die zugehorigen b

b

Restglieder, so ist Jf(x) dx = Sh + R h bzw. Jf(x) dx = S2h + R 2h . Hieraus folgt

0= Sh - S2h + R h - R 2h · Wegen IRhl

~

(9.43)

b-a 4 b-a h . max If(4)(X) I und IR2h l ~ (2 h)4. max If(4)(X) I (s. (9.42)) ist R 2h ~ 16· R h.

- - a

- - a

180 a~x~b Damit folgt aus (9.43) 0 ~ Sh - S2h - 15 R h. Fur die summierte Simpsonsche Formel Sh zur Schrittweite h gilt somit die Fehlerschatzungsformel

Rh ~

a~x~b

180

/5 (Sh -

(9.44)

S2h)'

d.h. es ist b

Jf(x) dx ~ Sh + /5 (Sh -

(9.45)

S2h)'

Beispiel 9.85 4

Wir berechnen mit Hilfe der summierten Simpsonschen Formel

f

1

e~

x 2 dx und schatzen den Fehler mit

2

(9.44). Wahlen wir h = 0,25, d.h. 2h = 0,5, so erhalten wir die Werte aus Tabelle 9.4. Tabelle 9.4 Xk

= a + kh

2

f(x k ) k = 0, ... , 8/h = 0,25

f(x k ) k = 0, ... ,4/h = 0,5

0,412180

0,412180

-------------------------- -----------------

2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 ~---------

4

0,308074 0,238692 0,190222 0,155068 0,128784 0,108630 0,092843

0,238692 0,155068 0,108630

---------------- -----------------

0,080252

0,080252

524

9 Integralrechnung

Nach (9.41) ist dann 025 Sh = -'-(0,412180 + 2'0,502390 + 4'0,719923 + 0,080252) = 0,364742, 3

0,5 S2h = 3(0,412180 + 2'0,155068 + 4'0,347322 + 0,080252) = 0,365309. Aus (9.44) erhalten wir als Schatzwert fiir den Fehler von Sh den Wert /5(Sh -S2h) Foiglich ist

= -

3,78'10- 5 .

1

4 e~

1= S2 dx ~ 0,364704. 2

X

1 0,5 Durch die Substitution u = - erhalten wir 1= S eUdu = 0,3646958... x 0,25 Wegen II -Shl <4,7'10- 5 ist also der Betrag des gesehatzten Fehlers von der gleiehen GroBenordnung wie der Verfahrensfehler. Bemerkung: In der Praxis verwendet man oft Verfahren der Sehrittweitenhalbierung. Beginnend mit der b

Intervallbreite ho = b - a wird eine nullte Naherung Qo von Sf(x) dx mit Hilfe einer Quadraturfora

mel bestimmt. AnschlieBend wird die Schrittweite halbiert (also hi =

~o geWiihlt) und mit Hilfe der

gleiehen Quadraturformel eine Naherung Ql bereehnet usw. Das Verfahren wird so lange durehgefiihrt, bis Qn und Qn+ 1 in einer gewiinschten Anzahl von Ziffern iibereinstimmen. Dabei muB jedoeh beriieksichtigt werden, daB injedem elektronisehen Rechner die Funktionswerte f(xJ nieht exakt dargestellt, sondern mit Rundungsfehlern behaftet sind. Wahrend der Verfahrensfehler mit abnehmender Schrittweite stets kleiner wird (s. (9.38) und (9.42)), waehst die Summe der Rundungsfehler (wegen der dann auftretenden groBen Anzahl von Funktionswerten) stark an und wird sehlieBlieh groBer als der Verfahrensfehler. Man kann also den Gesamtfehler, d.h. die Summe aus dem Verfahrensfehler und dem Rundungsfehler, nieht dadureh beliebig klein machen, daB man die Sehrittweite h entspreehend klein wahlt. Dies zeigt das folgende Beispiel 9.86 1

Wir berechnen

f l+x ~

2

dx mit Hilfe der summierten Sehnentrapezformel (9.37) indem wir die

o

1 Sehrittweiten hi = 2i' i = 0,1, ... ,17, wahlen. Tabelle 9.5 enthalt die entspreehenden Naherungswerte Qi' sowie die Anzahl der zur Berechnung benotigten Funktionswerte. Man erkennt, daB der Fehler zunaehst abnimmt (der exakte Wert des Integrals ist ja 0,5), jedoeh ab i = 15 aufgrund der Rundungsfehler wieder anwaehst.

9.5 Numerische Integration

525

Tabelle 9.5

i

Anzahl der Funktionswerte

Qi

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 5 9 17 33 65 129 257

0,477464829276 0,493380323520 0,498342212922 0,499585535142 0,499896383454 0,499974095810 0,499993523903 0,499998380927 0,499999595182

i

Anzahl der Funktionswerte

Qi

9 10 11 12 13 14 15 16 17

513 1025 2049 4097 8193 16385 32769 65537 131073

0,499999898746 0,499999974636 0,499999993608 0,499999998348 0,499999999529 0,499999999815 0,499999999868 0,499999999844 0,499999999764

Aufgaben j3/3

f~ mit Hilfe l+x

1. Berechnen Sie I =

°

a) der Sehnentrapezformel; b) der Simpsonschen Forme!. Fiihren Sie die Rechnung mit einem Taschenrechner durch und schatzen Sie den Fehler abo Vergleichen Sie die Naherungswerte mit dem exakten Wert des Integrals. 2. Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe der Simpsonschen Formel (6 Stellen nach dem Komma) und schatzen Sie den Fehler: 2

a)

f 3

f

x

e -dx; x

1

b)

dx. lnx

2

3. Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe der summierten Sehnentrapezformel (6 Stellen nach dem Komma). Verwenden Sie 2, 4 und 8 Teilintervalle und geben Sie zu a) eine Fehlerabschatzung an. 3

a)

1,5

f

lnxdx;

1

b)

f

sin2nx -x-dx

1

4. Bestimmen Sie die Gewichte cx o, CX l , CX 2 ' cx 3 EIR so, daB die Integrationsformel Q = cxof(O) + cx1f(h) + cx 2 f(2h) + cx 3 f(3h) jede ganzrationale Funktion hochstens 3. Grades auf [0, 3h] exakt integriert. 5. Zeigen Sie: Es existiert eine Integrationsformel der Form Q = cxof(x o) + cx1f(x l ), diejede ganzrationale Funktion hochstens 3. Grades auf [ - h, h] exakt integriert. 6. Beweisen Sie die Fehlerabschatzung (9.38).

Anhang: Aufgabenlosungen 1 Mengen, reelle Zahlen 1.1 1. A 1 = {2, 4, 8}, A 2 = {3, 9, 27, 81}, A 3 = {2, 4, 6, 8}, A 4 = {2,4, 8} 2. A = {xix = 2n mit nEN und n < 6}, B = {xix = 7n mit nEN und n < 6} 3. A 1 = A 3 = A 4 = As

1.3 1. n 1 und n 2 seien neutral bez. der Multiplikation Dann gilt: n1 n1 n1

= n 1 'n 2 , = n 2 'n 1 , = n 2 'n 1 =

n2,

da n 2 neutral ist wegen der KommutativiHit da n 1 neutral ist.

2. beschrankt Maximum Minimum Supremum Infimum

4. A

3. a) U 2. s(2,5) b) keine e-Umgebung c) keine e-Umgebung

= {-

A

B

C

ja

ja

nein

2 2 1

1 -1

2,75; - 3,25}

B = {3} C = {-7;~}

d) U~ 03(5) e) U~~s(O,5) f) U~(O)

0 ......'_ _~ I - - - - - - - - -

5. A:

1,4

1,5

)

(

B:

-2

8

c:

---IIIIj)~-------"'E----

D:

------]+--------+[------

0,5

4

Bild Lt.!: 6. M l' M 2 und M 3 sind Halbebenen,

x

Bild Ll.2:

1 Mengen, reelle Zahlen 7.

527

lu + vi ;£ lui + Ivl nach der Dreiecksungleichung a) u=a,v= -b

b) u=a-b,v=b la - bl ;£ lal + 1- bl I(a - b) + bl;£ la - bl + Ibl la-bl;£lal+lbl lal-lbl;£la-bl 8. a) M 1 = {xix < -1,5 oder x > 2,5}

-1,5

o

o y

y

einschlieBlich Rand

ohne Rand

einschlieBlich Rand

Bild Ll.4:

1.4 1. a)

-21

46

b) 528 1(1

+ 1)

2. a) A(1): 1 = - 2 - stimmt k(k

+ 1)

IT): :::: :::::: (k : A(k

(k

+ 1): 1 + 2 + ... + (k + 1)

b) A(1): 12

=

1(1

+ 1)(2·1 + 1)

A(k): 1 + 4 + ...

6

+k

1 + 4 + ... + k

11 + A(k

1) = k(k; 1) + (k

1): 1 + 4

G

+ 1)

+ 1)((k + 1) + 1) 2

. stImmt

2

2

+ 1) = (k + 1)

= 2

+ (k + 1) = 2

+ ... + (k + 1) =

k(k

+ 1)(2k + 1) 6

k(k+1)(2k+1) 6 + (k (k

2

+ 1) =

+ 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1) 6

(k+1)(2k 2 +7k+6) 6

2,5

..

528

C)

Aufgabenlosungen A(l): 13 =

12(1

+ 1)2 4

A(k): 1 + 8 + ...

II

1 + 8 + ...

k 2 (k

+ k3 + k 3 + (k + 1)3

A(k + 1): 1 + 8 + ...

4. 256x 16 + 512x 13

stimmt

3

=

+ k + (k + 1)

k2(k

(k

3

+ 1)2

4

+ 1)2

4

+ 1)2(k + 2)2

=

(k

.

2

+ (k + 1)3 = (k + 1)2 4 + k + 1

4

(k

)

+ 1)2((k + 1) + 1)2 4

=

711

+ 448x 10 + 224x 7 + 70x 4 + 14x + -2 + -5 + - -8 4x

5. a) 1 + 1 + 0,45 + 0,12 + ... b) 0,950 990 0499

+ 0,0000000001 =

8x

256x

2,5937424601

7. a) k + 1 verschiedene Geraden der Ebene, die durch einen Punkt gehen, zerlegen die Ebene in 2(k + 1) Winkelfelder. b) k + 1 verschiedene Geraden der Ebene, von denen sichjeweils zwei (aber nie mehr) in einem Punkt schneiden, (k + 1)(k + 2) zerlegen die Ebene in + 1 Gebiete. 2 k~l. . (k + 1)(k + 2)(k + 3) c) L . ) ( ) + l ) = - - - - - -

3

j=l

d) Fur alle k mit k

+ 1 ~ 2 gilt:

11 .2 2 .3 3 . ····(k + l)k+ 1 < (k

2 Funktionen 2.1 1. a) D max = [R\( -~, 1)

2. a) Nein

b) Ja

c) Ja

b) [R\ {4}

d) Nein

c) [R\( - 5,5)

d) [R

+ 1)

(k+ l)(k+ 2)/2

2 Funktionen 3. a)

y

y

b)

Y

c)

• I I I

X

~ I

2

Ii

x

4

I

-1

d)

I

Y

y

e)

I

i~

2 --------

4

f)

~1

1-----+------

I

I

: -2 -1

x

~ I

I

~

1

2

I

x

-1~

Bild L2.1a-f: 4. a) (0,1J 5. a) Ja _

7. y~2

b) lR

c) (-

00,

3J

d) lRt

e) ~t

f) lR

g) No

b) Ja . 7-y 1: lR-)- [R mIt y~-2

. 3+y b) f-1: lR\ {~} -)- lR\ {!} mIt y~-5y-7

± J1=Y und f-1: (- 00, 1J -)- [2, (0) mit y~2 + J1=Y

8. a) go f: existiert nicht;f 0g: [ - 1, 1J -)- [ - 1, 4J mit x~5-J1=7- 1 7x-23

b) go f: lR\ {3} -)- lR\ {- 1} mit x~-2-;f0g: existiert nicht c) go f: IR --> IRt mit xf-->lx 3 1 d) go f: IR+ --> IRt mit

Xf-->I~I

fog: existiert nicht 9.

f + g: X~X2 f - g:

1

-

2x - 2 + - auf lR\ {a} x

1 x ~- - x 2 x

+ 2 auf lR \ {O} 2

f .g: x ~ - x 3 + x 2 + 3x - 1 - - auf lR \ {O} x

f

-: g

I I

I

x

-1

6. a) f

529

x~

1- x 2 1- x 2 oder X~-2-- auf lR\ {a, - 1, 2} x - x - 2x x - 2x 3

-3

y

530

Aufgabenlosungen

2.2 1. Vollstandige Induktion: A(l): Xl < x 2 =>xf < x~ A(k): (Xl < x 2 =>X~ < x~)=>X~Xl < X~Xl' A(k

2. a) b) c) d) e) f)

+

Xl < X2 l):(x l < X 2

=> =>

X~+

weil 0 <Xl weil 0 < X~

X~Xl < X~X2' < X~+ 1)

1

streng monoton wachsend streng monoton wachsend streng monoton fallend Nein (aber in jedem Intervall J mit O$J streng monoton fallend) Nein Nein (aber auf lR streng monoton wachsend und auf IRt streng monoton fallend)

o

3. Xl < x 2 und Ixll ~ Ix 2 1: Ixll ~ Ix 2 1=>xi ~ x~=>xf ~ XlX~ 2

Xl <X 2 => Xl < X2 und Ixll > Ix 2 1:lx l l > Ix 2 1 =>xi > x~ IX l>IX 2 und l Xl < X2 .

Danach gtlt: Xl <

X2

3

3

=>X l < X2 =>

} 3

Xl X2 <X 2

3

3

3

3

=>X l <X 2

}

1} => Xl < 0

=>Xi<XlX~} 2

3

=>X lX2 < X2

=> Xl < X2

{axf < ax~ fur a> 0 3 3 aX l > aX 2 fur a < 0

4. f(x) = g(x) + u(x) mit g(x) = !(f(x) + f( - x)) und u(x) = !(f(x) - f( - x)) g(x) = g( - x)

gist gerade:

u ist ungerade: u( - x) = - u(x) 5. (- x)2n = (( - x)2)n = (x 2t = x 2n ; (_ X)2n+ 1 = (_ X)( _ X)2n = _ X. X2n = _ X2n +1;

7. Es sei f(x

+ p) = f(x) und g(x + p) = g(x). Dann gilt

h = f + g: h(x + p) = f(x + p) + g(x + p) = f(x) + g(x) = h(x) h = f - g: h(x + p) =f(x + p) - g(x + p) = f(x) - g(x) = h(x) h = f .g: h(x + p) = f(x + p)·g(x + p) = f(x)·g(x) = h(x) h

=£: 9

h(x + p) =f(x + p) =f(x) g(x + p) g(x)

8. a) {!,-t}

b) {-~,~,!, -!}

=h(x) c) {~}

d) {O, -2, +t}

2.3 1. a)

-3,5 1,5

-7

0

-3

-15

-22,5

-2

-10

-15

-21,5

1

=

f(1,5)

b)

7

-5,5 10,5

2,5 7,5

0 15

-22,5 22,5

7

5

10

15

o

2 0 2 = f(1,5)

2 Funktionen

531

532

Aufgabenlosungen

2.

x

Bild L2.2:

3.

Bild L2.3a-d:

2 Funktionen

533

4. y

a)

y

x

y=-x

y=x Bild L2.4a, b:

sine - x) - sin x sin x 5. f( - x) = - - - = - - = - - = f(x) und Df = lR\ {O} ist symmetrisch zur y-Achse. -x -x x

y

x

Bild L2.5:

6. a) sin 3x = sin(2x + x) = sin2x·cosx + cos2x·sinx = 2·sinx·cos 2 x + sinx(cos 2 x - sin 2 x) = sin x(3 cos 2 x - sin 2 x) = sin x(3 - 4 sin 2 x) b) cos 3x = cos(2x + x) = cos 2x·cos x - sin 2x·sin x = (cos 2 X =

cosx(cos

2

X -

2

3 sin x) = cosx(4cos

2

X -

x+y x-y x+y x-y c) Setze: x = - - + - - und y = - - - -_. 2 2 2 2

-

sin 2 x)cos x - 2·sin 2 x·cos x

3) Dann ist

. x = sIn . x+y x-y x+y. x- y } SIn -cos - - + cos-SIn-2 2 2 2 . . . x+y x-y =>SInx + sIny = 2·SIn--cos-. . x+y x-y x+y.x-y 2 2 sIny = sIn--cos-- - cOs--sIn-2 2 2 2

534

Aufgabenlosungen

7. a) L = {xix = kn mit kEZ};

.

b) Slnx=

rx = 0° bzw. rx = 90°

+J5 2 =0,618 ...

-1

L = {xix = 0,666 ... + 2kn oder x = 2,475 ... 8. a)

b)

+ 2kn mit kEZ}

L={xlx=~+k2noderx=in+k2n,kEd'}

L={xlx=~+knmitkEd'}

c) L = {xix = in + 2kn oder x = - in + 2kn, kEZ} 9. a) sin x

L=

=1 oder sinx = -t:

{xix = ~ + 2kn oder x= in + 2kn oder x = -0,3398 ... + k2n oder x = 3,481 ... + k2n mit kEd'}

b) tan 2 x = 4:

L = {xix

=

1,107 ...

+ kn

oder x = - 1,107 ...

+ kn mit kEZ}

10. a) arcsin x = arccos ~ fur xE[O,lJ=>cos(arcsinx)=~ fur xE[O,l]. Dies gilt wegen cos (arcsin ( - x)) = cos( - arcsin x) = cos (arcsin x) fur alle XE[ -1, 1J.

x x b) arcsin x = arctan - - - fur XE( -l,l)=>tan(arcsin x) = - - - fur XE( - 1,1).

~

11. a)

~

b)

Icos -

cos

3 cos

(1tt

+ f)

sin \

"

1,85 ",

sin

"-

"-------~

-2 Bild L2.6: y = 3,6·sin

Bild L2.7:

(St + arctan _ ~ + n )

0,7) y = 1,85'sin ( nt - arctan1,7

3 Zahlenfolgen ond Grenzwerte 3.1 1. a) t,~,~,~,-fr

b) ~,rt,-ts,~,-H

e) 6,0,¥,0,¥ f) 2,

c) -~,~,

-f4,-l9, --f4

d) 0,1,0,1,0

j3, J')3 + 1 , )J')3 + 1 + 1,)J')J3 + 1 + 1 + 1

g) 2,

-t1, -t%

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte

2. a) \n+2 /n+ 1)

~)

b) /


e)

\n+1

e) <1 - 2n>

f) mit a 1 = 0,2, an = an- 1

d) /(

\

-It+l.~) n!

+ 2'10- n, n ~ 2

3. Beide Studenten bestimmten ein riehtiges as'

ist streng monoton waehsend, denn

4. a) i)

an+ 1 - an = a; + i-an = (an - !)2 > O==>a n+ 1 > an ii) 0 < an
nE N:

fur aIle n.

A(l): 0 < a 1 = i
~ 0 < ak < ak + 1 = af + i < i + i = ! A(k + 1): 0 < ak + 1
b)

ist nieht monoton, aber 1 ;£ an ;£ 5 fur aIle nE N. ~ 1 + - - > 1 ==>a

an +-1 = J3n+4 5. a) -- = an ~

3n+1

n+ 1 > an fur aIle n.

an + 1 n+2 1 1 2 .. b) - - = - - - 2 = - - + - - - 2 < - - ~ 1 ==>an+ 1 < an fur aIle n. an (n + 1) n + 1 (n + 1) n + 1-

an + 1 1 .. e) - - = - < 1 ==>an+ 1 < an fur aIle n. an 10 6. a) b) e) d) e) f) g) h) i)

naeh naeh naeh naeh naeh naeh naeh naeh naeh

7. a)

<-

f)

8. a)

b)

oben und unten besehdinkt, streng monoton fallend unten besehdinkt, streng monoton waehsend oben und unten besehrankt, streng monoton waehsend oben und unten besehrankt, streng monoton fallend unten besehrankt, streng monoton waehsend oben und unten besehrankt, alternierend oben und unten besehrankt, alternierend oben und unten besehrankt oben und unten besehrankt, streng monoton waehsend

n>

b)

<1 + (- It>

g)

e) /_n ) d) <2 > \n+1 <(- 1t'n > h) existiert nieht

I~I = ~ < 8n >~'

I~I =~< 2 2 n

n

n

(n+l) -

d.h. no = 31, no = 3001, no = 3.10

n

5

+ 1, no =

e)

(-It) ( n+1

[n

+1

2

n 1 82 -

>

~2n > ~n > 192 19~, d.h. [;

2 no

= 5, no = 11, no = 18, no = [lg-;J + 1 192

[;

e) I-n-~I =__ 1_ < [;<=>n >~(~ - 2), d.h. no =3, no =250, no =25000, no =[~(~- 2)J + 1 2n + 1 2 2(2n + 1) 4 [; 4 [; d) I(- It 1= _1_ < [;<=>n > ~(~ - 1), d.h. no =5, no =500, no =5'10 no =[~(~ - I)J + 1 2n + 1 2n + 1 2 [; 2 [; 9. a) 2n - 1 > K<=>n > !(K + 1), d.h. no =6, no =501, no =5.10 + 1, no =[!(K + 1)] + 1 b) n -1> K<=>n > ~ d.h. ,lo =4, no =32, no =317, no =[.JK+l] + 1 e) 3 + 1 > K<=>3 > K -1<=>n > 19(K193- 1) ,d.h. no =3, no =7, no =11, no =[lg(K193- I)J + 1 4

4

2

n

n

,

535

536

Aufgabenlosungen

3.2 1 d.h. no = 11, 101, 1001. 1. a) -11 = -1 < 8¢>n > -, n

n

1

8

3n + 1 I b) - - 3 = -2- < n+l n+l 1

E¢:::>

2 n> --1, d.h. no = 200,2'104, 2· 106 • E

1

19-

1

1 n

8

c) 1(-2) +1-11=-<8¢>n>-,d.h.n o =4,10,17. 2n Ig2 2. a)

1__1 2

= _2_ < 8¢>n >

n+1

n+1

~ -1, d.h. wahlen Sie no > ~ 8

1, noEN.

8

b)

1~1 = ~ <£=~>~=n>~, d.h. wahlen Sie no >~, noEI"1. n yn 8 8 8

c)

I2n(-It 1= _1_ < 8~n > ~(~ + 1), d.h. wahlen Sie no > ~(~ + 1), noEN. - 1 2n - 1 2 2 8

8

al lal lal lal lal d) - =-<-<8=>n>-,d.h.wahlenSien o >-,n oEN. n! n! n 8 8 I

2n

+ 1- 21 =---<8¢>n>7 1( -+2 7 ) . WahlenSien o >-1( -+2 7 ) ,noEN. 3. a) a=i; - 3 38 3 38 13n - 2 3 3(3n - 2) 1 1 1 1 19~ 19~ b) a=O; --0 =-<8~n>-.WahlenSieno>-,noEN. 2n 2n Ig2 Ig2 I

1

c) a = 0; (1 + (- 1t)-11 n

I

n-IIr:.

d) a = 0; I

ny n

=

~

2 Wahlen Sie no > -, 2 noEN. -2 < 8=>n > -. n

8

8

1 1 r:. < 1r:. < 8=>n > 2' Wahlen Sie no> 2' noEN.

n-l

ny n

y n

8

8

1

1

19-

19-

8

8

e) a = 1; I( -~t + 1 - 11 = (~t < 8¢>n > -So Wahlen Sie no >-S' noEN. Ig3 Ig3 2n2 + 3n 11 1 6n - 1 3n 3n 3 3 3 f) a =2; - 2 - - -- = 2 < - 2 - <--"l = - < 8=>n >-. Wahlen Sie no >-, noEN. 4n + 1 2 2(4n + 1) 4n + 1 4n 4n 48 48 1

4. a) Wahlen Sie 8 = 0,9. Dann ist (n

2 3 ~ 2)1_ _ -11 = 1 - nl = n - 2 > 0,9 fur n ~ no = 30. n+l n+l n+l

b) Wahlen Sie 8 = 0,8.

(- I I (-

l)n = 1 - - 1t +1 Dann ist 1 + - -

I

n+l

n+l

I~ 1 -

-1- > 0,8 fur n ~ no = 5. n+l

c) Wahlen Sie 8 = 1,8. Dann ist

12nn~ I -

2\ = 1

2n2

-n~n + 11 > 12 - ~ I= 2 - ~ > 1,8 fiir n ;;:; no = 11.

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte 5. Nein. Man muB fast alle Glieder der Folge kennen. 6. Es sei 0< f, < 10- 6 . Dann existiert ein no = no(f,)EN so, daB - 10- 6

-

f, < an < - 10- 6 + f, <

537

°

fur alle n ~ no ist.

7. a) fi> K<=>n > K 2 . Wahlen Sie no > K 2 , noEN.

b)

1- n 2

1

n

n

--=--n~

1- n< -K=>n > 1 +K. Wahlen Sie no >K + 1, noEN.

c) Unbestimmt divergent. n2

+1 n+1

2 n+1

d) - - = n-1 + - - > n-1 > K=>n> K + 1. Wahlen Sie no >K + 1, noEN. e) Unbestimmt divergent. IgK IgK f) 3n > K<=>n > - . Wahlen Sie no> - , noEN. Ig3 Ig3 g) Unbestimmt divergent. 8. a) \

ao-~)

e) <2 n) 9. a) -~,

10. a)

00,

b)

\ao+~)

\(-n

1 )")

c)

f)<-n)

i,

b)

c) -~,

d)

00,

b) 0,

c) 1,

d)

!

-i,

c)

-i,

1 )")

g)
b)~,

e) -

f) 9

00,

11. i) pO, -oofurbqcp
\ao-(-n

d)

d) -~,

e)

t,

b cp

ii) p=q:-!i

iii) p>q:O

f) 2

13. a) i) an~-!,bn~-! ii) an < Cn =!(an + bn) < bn,

d.h. cn~-!

b) i) an~~' bn~~

ii) an < Cn = J!(a; + b;) < bn, d.h. Cn~

fi

14. a) =>: Fur alle n ~ no(f,) ist Ian - al < f,. Foiglich gilt fur ein no = no(f,) so, daB Ibn - 01 = Ian - al < f, fur alle n ~ no ist. Nach Definition 3.6 konvergiert dann
°

15. Fur aile n EN ist

an = f i (

J

1+

~ + 1) > f i > K, K E IR1 + . ist nicht beschriinkt,fo19lich divergent.

16. Die Aussage ist nicht allgemein giiltig. Z.E. ist die Folge \

(-l)n.~) zwar eine N~llfolge,jedochist a

2k

> a2 k+ 1

fur alle kE N. Die Folge ist alternierend. Andererseits werden bei der Folge / 1 + -) die Glieder immer kleiner, obwohl diese Folge keine Nullfolge ist. \ n 17.

«-It) ist beschrankt, aber nicht konvergent.

18. Wenden Sie auf
= (0) Satz3.6 an.

19. a) Man verwende Definition 3.6 und die Ungleichung b) Man setze in Satz 3.4 d) an = 1 fur alle nE N. c) Man verwende Satz 3.4 a) und b).

Ilanl-lall ~ Ian - al.

°

20. Es sei an ~ Cn ~ bnfur alle n > n l E N. Zujedem f, > existiert ein nOl = n Ol (f,) und ein n 02 = n02 (f,) mit n Ol ' n 02 E N so, daB anE Ue(a) bzw. bnE Ue(a) fur alle n ~ n Ol bzw. n ~ n02 ist. Wahlt man no = max{nl,n Ol ' n02 }' so gilt CnEUe(a) fur alle n ~ no, d.h. lim Cn = a. n-+oo

538

Aufgabenlosungen

21. Man setze -

1

Ipl

= 1 + h. Dann gilt nach dem binomischen Satz fur n> k

~=(1+ht=±(~)hi>( Ipl i=O

=>0 < nklpln <

l

n )hk+l k+1

nk(k + 1)! 1 k+1 n(n - 1)··· (n - k) h

(k

+ 1)!

Nach Satz 3.7 ist dann

<.

k

n

< .

CXJ

(k + 1)! 1) (

._1_ _ k ) hk+l -0, n 1-- .. , 1--

0= n-> hm n Ipl = n->oo hm (

n

22. Fur alle nEN gilt 0 < (n + It - n

k

d.h. lim n Ipln=o

n

k= nk( (1 + ~

y-

1) < n

k( 1 + ~ -1 ) = )~k. Wegen 0 < k < 1 und Satz 3.7

gilt dann die Behauptung.

3.3 1. a) i) an < 2:

ii) Fur aIle n gilt wegen i):

fi- =an

VoIlsHindige Induktion: a l = 1 < 2. Es sei ak < 2. Dann gilt ak + 1 =

A

<

j2:2 = 2 fur aIle k.

an + 1 = j2i. = >1 an an ~~ Der Grenzwert ist 2.

+1

> an.

b) i) an < 3: VoIlstandige Induktion: a l = 1 < 3. Es sei ak < 3. Dann gilt ak + 1 = ~ < = 2 < 3 fur aIle k. ii) an+1 > an fur aIle n: Vollstandige Induktion: a2 = ~ = > 1 = al · Es sei ak+1 > ak • Dann gilt ak +2 = ~ > ~ = ak +l fur aIle k. Der Grenzwert ist !(1 + )5). c) Nach Aufgabe 4a) in Abschnitt 3.1 und wegen Satz 3.8 existiert der Grenzwert und ist gleich!.

J3+1 fi

2. i) Wenn die monotone Folge (an) beschrankt ist, so ist sie konvergent (s. Satz 3.8). ii) Wenn die monotone Folge (an) unbeschrankt ist, so ist sie divergent. 3. a) (an) ist monoton wachsend und wegen an ~ bn ~ b l nach oben beschrankt, d.h. nach Satz 3.8 konvergent gegen den Grenzwert a. Ebenso gilt bn -+ b fur n -+ 00. b) Wenn (an - bn) zusatzlich eine Nullfolge ist, so gilt nach Satz 3.4: 0= lim (an - bn) = lim an - lim bn = a - b, d.h. a = b. n->CXJ n->oo n->co 4. a) e

3.4 1. a) 0,2°,3 < 0,3 0,2

°

b) 1,4 - 0,7 < 0,7 - 1,4.

2. Fur u > ist 1 1 x a) 1 - - ~ In u ~ u - 1. Fur u = x + 1 > (d.h. x> -1) folgt 1 - - - = - - ~ In(x + 1) ~ (x + 1) - 1 = x u x+1 x+l b) In u ~ u - 1. Fur u = x - 1 > (d.h. x > 1) falgt In(x -1) ~x -2~!In(x-1)= ln~ ~-!x-1 3. In 4 = 2In 2, In 6 = In 2 + In 3, In 27 = 3ln 3,

°

°

3 Zahlenfolgen und Grenzwerte In~=3In2-2In3,

In16l/3=1In2,

4. a)

Inl~8= -2In2-3In3

4c)

4b)

y

y

x

x

Bild L3.1a-c: 5.

y

5a)

5b)

x

x

5c)

5d)

Bild L3.2a-d:

7. a)

+)2)

b) x = In 9

°

< Xl < X2 =>e2~ = !(x l ) < !(x 2 ) = D j = [1, (0)

!-1:x~(ln.fi)2,

e2~;

-1

b) 2 < Xl < X2 =>In(x l - 2) - 3 = !(x l ) < !(x 2 ) = In(x 2 - 2) - 3; !-l: x~2 + eX + 3 , D j-1 = [R

c) Xl < x 2 =>e X1 - e- X1 = !(x l ) < !(x 2 ) = eX2 2 !-l: x~ln!(x + + 4), Dj = [R

Jx

-

e-

X2

;

-1

d) Xl <x2<0=>arcsinJ1-eX2=!(X2)
!

-1..x~lncos 2

X, Dj

-1

_

-

[

n)

0'2

y

x

x

6. a) x = In(1

539

540

Aufgabenlosungen

1 8. x + 1 ~ eX ~ - -1-x L

1 -2-x

x
fur

-

fur

x<2

9. t=-ln2 R

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit 4.1 3X + 2

31

1

1

1. a) - - - - =-<8 ] 2x 2 x

furx>M(8)=8

4 -- 3x 7 b) + 3 I =--<8 x+l x+1 1

7 } furx>M(8)=max { -1,--1 8

1

X-l c) - - 0 I = x-I 11:1< 11:1<8 Ix M xylxl ylxl 2

2X -1

d) ~ -

I 2 =

1

Xl

{ I}

furx>M(8)=max 1'2

e

< e fiir x> M(s) =

1

0

!

21 = ISin 4xl e) 2X + sin 4x - -3x 3 3x !

1 3x

~-<8

1 furx>M(e)=38

cos! x I 1 1 .. 1 f) - - - 0 ~---<-<e furx>M(8)=2

Ifi+1

fi

fi+l

8

2. Zu e> 0 wahle man x < m(8) =

1

7

a)-8

b)---l 8

c) min

{4} -1,--2 8

d)

1

e)

o

38

3. a) bestimmt divergent;

~ >K furx>M(K)=K 2 + 1. b) unbestimmt divergent c) bestimmt divergent; 2

x + 1 I-x

--=-

(

2 ){ < - x < k x+l+--

fur aBe x> M(k) = max{l, -k} > -(x+l»K fur aBe x<m(K)=min{I,-K-1}

x-I

d) unbestimmt divergent e) bestimmt divergent;

2x 3 + x + 1

x 4. a)

!

2 -

1

b) 0

5. a) y=i-!x

3x

+ 1 { > 2x > K

2x+-2 x - 1 c) - ~

b) y=~

< 2x < k

d) 0

fiir aile x> M(K) = max{ fur aBe x < m(k) = min

e) existiert nieht

c) y=tx

2

f) 2

!

{

1,~}

1'2k}

g) - 2

d) Y= -ix -!x-i

h) ~

e) y=2x-2

6. Beweis indirekt: 9 1 und 9 2' 9 1 =1= 9 2' seien Grenzwerte von f. Wahlt man etwa e = t I9 1 - 9 21, so ist Vt/g 1)n Ve(g2) = 0· Zu 8> 0 existiert dann ein M = M(8)E(R+ so, daB j(X)E Ve (g1) und j(x)¢; Ve(g2) (oder j(X)E Ve (g2) und j(x)¢; Ve(g1)) fur aBe x > M(8) ist. D.h. g2 oder g1 ist nieht Grenzwert von f. 7. a) Zu jedem k E[R existiert ein M = M(k) so, daB j(x) < k fur aIle x > Mist. b) Zujedem KE[R existiert ein m = m(K) so, daB j(x) > K fur alle x < mist. c) Zujedem kE[R existiert ein m = m(k) so, daB j(x) < k fur aBe x < mist.

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit 4.2 1. a)

1~-41=,x-21<e x-2

furO
3x + 6 11 llx + 211x - 41 7 Ix + 21 7 b) x 3 + 8 - 4 = 4 Ix 2 _ 2x + 41 < 41 x II x _ 21 < 12 1x + 21 < e fur 0 < Ix + 21 < b(e) = min {1, ¥e } 1 2

2

) l.fi 11 Ix - 11 Ix - 11 fur 0 < Ix - 11 < b(e) = min {1, e x+l-"2 =2I x + 1 11 2.fi+x+ll<-2-<e

ftc:}

2

d) Ix ; x +1!=lx l <e

e)

I---+- = ~-x 11 2

x-a

f)

lX'sin~ -

2. a)

(fG))

e) e)

fiirO
2(2~+x+a)

Ix-al <--<e 2a

k

01 = Ixl < e fur 0 < Ixl < (j(e)

=

furO
=~


b)

limf(-2+~)=~#-~=limf(-2-~) n 2 2 n

n-+oo

d)

n-+oo

(f( n:n;) ) 1

= ( cos

n;)

4. a) b) e) d) e)

unbestimmt divergent, Pol mit Zeiehenweehsel bestimmt divergent, Pol ohne Zeiehenweehsel unbestimmt divergent unbestimmt divergent unbestimmt divergent

5. a)

i

b)

i

b) ~

e)

!

a e) -

b

limf(-I+~)=O#I=limf(-I-~) n n

n-+oo

n-+oo

= 0, -1,0,1, ... ist nicht konvergent.

3. a) 9 + = 0, 9 - = 2; 9 existiert nieht e) g+ = -1, g- = 1; 9 existiert nieht e) g+ existiert nieht, g- = 1, 9 existiert nieht

6) a) 4

!~~ f(1 +D= 1 # -1 = !~~ f( 1-~)

d)

*

d) 1

b) g+ = 1, g- = - 1; 9 existiert nieht d) g+=g-=O;g=O f) g+=g-=*;g=*

e) existiert nieht 2 e) n

g) 1

7. a) Zu jedem e > 0 existiert ein b = b(e) > 0 so, daB If(x) - g-I < e fur aIle x mit 0 < x o - x < b ist. b) Zujedem KElR existiert ein b = b(K) > 0 so, daB f(x) > K fur aIle x mit 0 < x o - x < b ist. e) Zu jedem K E [R existiert ein b = b(K) > 0 so, daB f(x) > K fur aIle x mit 0 < Ix - X o I < b ist. d) Zu jedem k E lR existiert ein b = b(k) > 0 so, daB f(x) < k fur aIle x mit 0 < x - X o < b ist. e) Zu jedem kElR existiert ein b = b(k) > 0 so, daB f(x) < k fur aIle x mit 0 < X o - x < b ist. 8. a) 1

1

b) x

e) In 2.

4.3 1. a) 12x - 1 - 11 = 21 x-II < e fur 0 ~ Ix - 11 < b(e) =

b) Ix 2 -

11 =

e

"2

Ix-III x + 11 < 31 x + 11 < e fur 0 :;; Ix + 11 < (j(e) = min { 1,

n

541

542

Aufgabenlosungen

1 11 1 1~-II=

1

Ix+21 c) -+- =--<-lx+21<e x 2 2·lx\ 2 d)

Ix-21

1~+11

furO~lx+21<6(e)=min{I,2e}


furO~lx-21<6(e)=e

e)

1~-ol=~
f)

1

2X2

8- 81 = 21 x -

21 < e

fur 0

~ 1x -

21 < 6(e) =

~2

IxmSin~-ol=lxlmlsin~I~lxlm
g) 2. a) c) e) g)

-

x-2

stetig; g+ = g- = f( -1) = 1 unstetig; g existiert nicht unstetig; xot/=D f unstetig; g existiert nicht

b) d) f) h)

unstetig; g existiert nicht unstetig; xOt/=Df stetig; g = f( -1) = 1 unstetig; g existiert nicht.

3. a) fist fur alle XE[ - 5, 5J stetig, da f1: x~fi + 1 auf [0, 5J und f2: x~ - x + 1 auf [- 5, 0) stetig sind und lim f(x) = f(O) = 1 ist. x-"O

b) fist wegen lim 1x - [x +!J I = 1Xo - k 1= f(x o ) fur k ~ x o < k +! und lim Ix - [x +!J I = Ix o - k X-"Xo

11 =

X-"Xo

f(x o ) fur k +! ~ Xo < k + 1, kEZ fur alle XE[ - 2, 2J stetig. c) fist bis auf die Sprungstellen x = 0,2,4 stetig, d.h. fist stuckweise stetig auf [ - 2, 4]. d) x~sin x ist auf [ - 21[, 0), x~ - x 2 + 2x auf [0,2) und x~ 1 auf [2, 3J stetig. Ferner ist lim( -x 2 + 2x) = g+ = 0 = g- = lim sin x und limf(x) = 1 =1= 0 = limf(x). xlO

xiO

x12

xi2

Folglich ist f bis auf die Sprungstelle X o = 2 stetig. e) fist in X o = 1 unstetig, da f zwar in U;(1), 0 < p ~ 1, aber nicht in X o = 1 definiert ist. f) fist in Xo = - 2 unstetig, da f zwar in U;( - 2), < p ~ 2, aber nicht in Xo = - 2 definiert ist.

°

y

zu 3a)

-5 zu 3c)

y

zu 3b)

-2

x

5 y

zu 3d)

x

+2

y

• I

I

-2

Bild L4.1a-d;

2 I

4

x

3

x

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit y

z.u3e)

zu 3 f)

x

-4

x

-2 I

Bild L4.1 e,f

4. a) x o = -1 hebbare Unstetigkeitsstelle ~) X 01 = 2 hebbare Unstetigkeitsstelle, X 02 = - 2 Pol mit Zeichenwechsel c) X o = 0 Sprungstelle d) X o = n Oszillationsstelle e) Xo = 0 hebbare Unstetigkeitsstelle f) X o = 0 Lucke g) x o = kn mIt kEIL Sprungstelle h) X o = 1 hebbare Unstetigkeitsstelle i) X o = 3 Unstetigkeitsstelle 2. Art j) x o = 0 hebbare Unstetigkeitsstelle (Lucke)

5. a) lim Jcos2x=Jlim cos2x=Jcos(lim 2x)=Jcos2x o, g=O

x-;:

x-x,

b) : : ' _ _ x_ = ,g = 1 X--+Xo n + tan x n + tan X o .

d) hm

(x + 3)(2x - 1) 2

x +3x-2

X--+Xo

=

c) lim X--+Xo

(x o + 3)(2x o - 1) 2

x o +3x o -2

,g =

f-1:X~f-1(X)=

,

b)

r ':

°

fur ~ x .. fur 1 < x

X--+Xo

7. a) a = -1

=

3

f(

(4k

n { ---+1 2(n - x)

3 x-I

~

3

o

1)2 ,g = }1 -1 (x -+ 3 Xo - 1

2

fur

°

fur

-<x~-n

~

n-

x

n

~-

-

2

~

f- 1 ist wegen g =

- 6

f(

(4k -

1)~) = 2 = M,kEZ; Ilj = [0,2]

e) f( -1) = -1 = m, f(l) = 1 = M; Wj = [ -1, 1J 9. a) [-1, OJ und [2,3J

j2

~1

b) a = i

+ 1)~) = 0 = m,

,g =

1

1)2 = -l(X -+-

8. a) f( -1).= -2 = m,f(3) = 14 = M; Wj = [ -2, 14J b) f(O) = 0 = m,f(4) =M = M; Wj = [o,MJ c) f besitzt keine absoluten Extremwerte; Wj = ~

d)

A Xo -

1 unstetig (Sprungstelle).

2 sin x X f--'> f-1(X)

=

l I n g) lim arcsin - - = arcsin - - , 9 = x--+xo x-I Xo- 1 4

j";c {x + 1

f- 1 ist an der Stelle X o =

j";c x- 1

.J

e) hm

2

2x 2x o f) lim - - = - - g=n X--+Xo sin x sin x o '

6. a)

543

b) [1,2J

c) [O,lJ

d) 3,4J

f-1(~) = 2 in X o =~ stetig.

544

Aufgabenlosungen

4.4 1. y

1 a)

1b)

y

x

Ie)

x

Y

Id)

x

Y

x

Bild L4.2a-d:

2. x n + 1 = q' xn<=>loga X n + 1 = loga X n + d mit d = loga q.

3. x = 4.

blOgbx<=>loga

x = loga blogbx = (lOgb x) (loga b)

b < a<=> loga b < loga a = 1. Nach Satz 4.21 gilt dann loga x = (loga b) (lOgb x) < 10gbx fur x =1= 1. Fur x = 1 ist loga 1 = 10gb 1 = 0.

5. a) x = 5

b) x = 1

6. a) lim X CX In x = lim x!O

b)

XX

u->

=

e

xlnx

00

e) x = 0,1

(~)CX In ~ = U U

- lim In cxU = u-> 00

~ eX(l-~) = ex- 1 ~ x > K

U

°

(naeh (4.43))

fur x > M(K) = K

" [sinx c) limlnxSlnx=Iim --'xlnx ] = 1'0=0, x!O x!O x limln sinx d.h. lim x sinx = lim e1nxs;nx = e x10 = eO = 1 x!O

x!O

7. g: x~ In x = U und h: u~eCXU sind auf ihrem Definitionsbereich stetig und Wg = D h = lR. Folglich ist f = goh: x~ecxlnx = X CX fur xED g = (0, (0) stetig. IX > 0: < Xl < X z => In Xl < In x z => IX In Xl < IX In x z =>ecxlnxl = f(x 1 ) < f(x z ) = ecxlnx2 IX < 0: < Xl < X z => In Xl < In x z => IX In Xl> IX In x z =>ecxlnxl = f(x 1 ) > f(x z ) = ecxlnx2

° °

8. a) (abY = ex-Inab = ex-Ina+xolnb = exolnaex-Inb = aXb x b) a X1 +X2 = e(x 1 +x2)lna = eXl-lnaex2-lna = a X1 'a X2 c) a X1X2 = eXlx20lna = eX2 "lna x , = e ln (a X,)X2 = (a X1 )X 2 9. f: x~ f(x) = aX = ex-Ina

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit a) ! ist stetig, da g: XH'e ClX fur aIle

c)

CXE [R

stetig ist.

0<

1: Xl < X2 =>e X1 < e X2 => e xdna = a X1 < a X2 = eX2lna xtlna a < 1: Xl < X 2 =>e X1 < e X2 =>e = a X1 > a X2 = eX2lna

a>

1: Setze xln

b)

a>

lim

°<

a

aX

= lim

< 1: Setze

a

= e

u=>

x1na

lim

aX

= lim

= lim e

U

=

e

x1na

=

e

U

=

00

°

1

a

= lim

b' b > 1. Dann ist In a =

- In b, b > 1.

Wahle nun -xlnb = u.

4.5 1. Verwenden Sie Definition 4.17 2. a) x =

°

b)x=±! eX -

3. a) lim tanh X = x-+oo

1- e-

e- X

+e

1

x-+oo 1 +e

X+l) =oo,dalim--=oo. x+l

b) lim arcoth x = lim ( - I n - xl! xl! 2 x-I c) Fur

2x

lim~= lim~=1

x-+ooe

xlI

°< Ixl < 1 gilt nach Satz 3.9 e- x

1+ x <

x-I

eX

1 < - - und 1- x I-x

x

1 <--.

sinh x

l+x

1 Foiglich ist X < - - - = sinh x < - - 2 und wegen X =1= 0: 1 < - - < - - 2 ' 2 I-x x I-x eX -

X

<e-

sinh x Nach Satz 4.9 gilt dann lim - - = 1.

x

x-+O

1 d) Setzt man u = -, dann gilt nach Satz 4.7 x 1 ) =lim (sinh lim xtanh-1) =lim ( -tanhu - -u' -1- ) . x-+oo ( x ulO u ulO u cosh u Foiglich ist wegen c), Satz 4.22 und Satz 4.5 lim (x x-+oo 4. a)

tanh~) = 1. x

°

~ Xl < x 2 =>In(1

+ sinh xi) = !(x l ) < !(x 2 ) =

!-l:xH'Jarsinh(e -1),Df X

- l =

In(1 + sinhxD;

[0, (0)

b) 1 < Xl < X2 =>arcothJxi + 1 = !(x l ) > !(x 2 ) = arcothJx~

!

-1

1 sInh x

:xH'-.-,Df

_l

=(0,00)

c) Xl < Xl =>e-tanh3xl = !(x l ) > !(X 2) = e-tanh3x2;

f-1: Xf->!artanh (In ~), Df - 1 = (e- 1 ,e)

+ 1;

545

546

Aufgabenlosungen

5. 5a)

y

5b)

y

-----------1 ----------x

-1

-2

x

x

x

Bild L4.3a-d: 6. D max = ~\ {2}

7. sinhx =

coshx =

tanhx =

cothx =

tanh x

sinhx

coshx

sinhx

± Jcoshlx _11)

Jsinhlx+ 1 sinhx ± Jsinh l + 1

1)

coshx

±Jcoshlx-l coshx

JSinhlx+ 1

± coshx

sinh x

Jcosh 2 x -1

I)

1)

cothx

tanh x

1

-VI - tanh 2 x

± Jcoth 2 x-I

1

Icothxl

Jl- tanh l x

Jcoth 2 x -1

tanhx 1

--

tanhx

1 cothx

--

cothx

8. a) cosh l x - sinh l x = -!(e X + e- X)2 - i(e X_e-x)l = -!(e 2X + 2 +e- lX_ elx+2_e- 1x) = 1 b) sinhx I coshx 1 + coshx I sinhx l = i [(e X1 - e- X1 )(e X2 + e- X2 ) + (e X1 + e- X1 )(e X2 - e- X2 )] = i(2e X1 eX2 - 2e- X1 e- X2 ) = !(e X1 + X2 - e-(Xl+XZ») = sinh(x I Entsprechend lassen sich die ubrigen Formeln beweisen.

1) Fur x > 0 gilt das »+ «, fur x < 0 das »- «-Zeichen.

1)

+ Xl)

4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

547

i) nEN: (coshx + sinhxt = coshnx + sinhnx (Beweis mit vollstlindiger Induktion)

c)

ex) Induktlonsanfang: Formel gilt fur n = 1

{3) SchluB von k auf k+ 1: Induktionsannahme: Es gilt (coshx + sinhx)k = coshkx Dann ist: (cosh x + sinhx)k+ 1

+ sinhhx.

(coshkx + sinhkx)(coshx + sinhx) coshkxcoshx + sinhkxsinhx + coshkx sinhx + sinhkxcoshx = cosh(k + l)x + sinh(k + l)x (wegen b))

=

=

ii) Man setzte m =

-

(coshx + sinhx)m =

n, nEN. Dann ist 1

1

(cosh x + sinh x t

= ------

cosh nx + sinh nx

cosh( -n)x + sinh( -n)x Z

Z

cosh nx - sinh nx

.

= coshmx + slnhmx.

iii) F ormel gilt fur n = O.

9. a) Es sei x y

~

o. Dann ist

= coshx = ~(eX + e -X)<=>e zx -

2ye X + 1 = O<=>(e X- y)Z

= yZ

- 1<=>e X= y

Wegen eX ~ 1 ist nur eX = y +.JY2-=1 moglich. Hieraus folgt x

±.JY2-=1.

= arcoshy = In(y +)yZ -1) oder nach

Vertauschen von x und y: y = arcoshx = In(x + )X Z-1).

b) y

eX - e - X 1+ y 1+Y = tanhx = ---_- <=> ezx(1- y) = 1 + y<=>2x = In - - <=>x = artanhy = ~ I n - eX + e X

1- y

1- y

(man vertausche x mit y) Entsprechend erhlilt man x

sinh(u 1

=

y+l arcothy = ~ I n - y-l

+ u z ) = sinhu 1 coshu z + sinhu z coshu 1 = sinhu 1 )1 + sinhzu z + sinhu z Jl + sinhzu 1 =

U1

b)

Ui

Xl'

J 1 + x~ + Xz . )

1 + xi <=>

+ U z = arsinhx 1 + arsinhx z = arsinh(x 1 . J 1 + x~ + x z ' J 1 + xi)

= arcoshxi=>X i = coshu i fur UiE[R~, i = 1,2.

cosh(u 1

+ u z) =

coshu 1 coshu z + sinhu 1 sinhu z

= coshu l coshu z + Jcoshzu 1 -1' Jcoshzu z - 1 =

xl'X Z + Jxi -1')x~ -I=>

u l + u 2 = arcoshx 1 + arcoshx z = arcosh(x l X z +

J xi - 1 . J x~ -

1).

548

Aufgabenlosungen

5 Die komplexen Zahlen 5.1 1. a) -2 +4j; f) - 4 + 20j;

b) 2 + 8j; g) 13;

c) - 3 -llj; h)J13;

d) 25 + 5j; i) 0,425 + 0,15j.

e)

-i+ij;

2. Aus Satz 5.1 d) falgt (zn)* = (zn - 1)*. z* = (zn - 2)* z* z* = ... = (z*t. 3. a) Re(z2) = 0, Im(z2) = 4, Re(z3) = - 4.)2, Im(z3) = 4.)2, Re(z4) = - 16, 1m (Z4) = 0; b) Izi = 2, Iz 21 = 4, Iz 31 = 8, Iz 4 1 = 16. 4. a) - 5 + j;

b) -118 -118j;

c) 0,8 -1,6j;

d) 265(56 - 53j).

5. a) (z 1- Z2)* = [(Z1) + (( -1)(z2))]* = zi + [( -l)*ziJ = zi + (-zi) = zi - zi; b) (z 1Zi)* = (zi)(zi)* = ZiZ2; 6. a 2 + b 2 = a 2 - (-b 2) = a 2 - (jb)2 = (a + jb)(a - jb) = Z1Z2.

7. a) b) c) d) e)

Kreis urn 0 mit r = 2; Kreis urn z0 = j mit r = 1; Ellipse mit Brennpunkten Z1 = -2j, Z2 = 2j, e = 2, a = 4, b = j12; Hyperbel mit Brennpunkten Z1 = -3, Z2 = 3, e = 3, a = 2, b =..)5; Parabel mit Brennpunkt z1 = j und Leitgeraden parallel zur reellen Achse durch den Punkt Z2 = - j; f) (x -1)2 + y2 = 4[x 2 + (y _1)2J =>(x + 1)2 + (y -1)2 = ~=> Kreis urn Zo = - 1 + ~j und r = 1.)2; g) abere Halbebene;

h) wegen

I!..-I =l::l und wegen Izi = Iz*1 erfullen aIle z #0 die gegebene Gleichung: z* Iz*1

i) Iz - 31 = 2 => 1z - 31 = 21 z + 31 => (x + 5)2 + y2 = 16. Kreis urn z0 = - 5 mit r = 4. z+3 8. a) Iz + 1- jl + Iz -1- jl = 6; c) Iz-1-jl=Re(z+I); e) Iz + 41·lz - 41 = 64.

b) liz + 31-lz - 311 = 4; d) Iz-2-3jl=4;

9. a) Fur aIle ZE lR;

b) fur aIle ZEC.

10.

11.

Imz

Imz

5

------------:11

4

Rez

3

Bild L5.1:

Bild L5.2:

4

Rez

5 Die komplexen Zahlen

549

12. Fur aIle z = AZ 1 , AE[Rri. 13. (x - 2)2 + y2 > (2x

1)2 + 4y2~x2 + y2 < 1 ~das Innere des Einheitskreises urn 0 (ohne Rand).

5.2 1. a) .yTI (cos 5,3 ... + j'sin 5,3 ...):

b)

~)2( cos 3: + j' sin 3:);

(cos~ +j.sin~);

c) 8(cosn + j'sinn);

d) 3

lIn lIn e) cos-+j'sin-; 6 6

3n 3n f) cos-+j'sin-; 2 2

g) 5(cos4,06 ... + j·sin4,06... );

h) 10'(cosO + j·sinO).

2. a), c) und e). 3. a) 18'(cos135°+j'sin135°)= -9)2(-1+j); b) cos( - 90°) + j' sin( - 90°) = - j. 4. Es sei z = x + jy a) jJx 2 + y2 = X - jy~x = 0 und (negative imaginare Achse);

Iyl = - y~x = 0 und y ~ 0

x

b) x = - - und y = 1 ~ x = 0 und y = 1 ~ z = j;

x2

+ y2

c) Fur z =I- 0 ergibt sich durch Multiplikation mit z' z*: Z2. z* + z = Z'(Z*)2 + z* ~z(lzI2 + 1) = z*(lzI 2 + l)~z = z* ~zE[R\{O}.

I

liz -

·· z =I- -J. er h"l - j. = - -j .I 1St: . d) F ur a t man, d a -z z* - J Iz* - J 1 I z - j 1 = I z* - j 1 und wegen 1z 1 = I z* 1 folgt weiter I z - j I = I z + j I· Die gesuchten Zahlen haben also von Z1 = - j und Z2 = j den gleichen

Abstand~zE[R.

e) Wegen Iz - jl = Iz + jl wie d).

5.

z- j -=

z+j

x 2 + y2 - 1 - 2x . + 'J. x 2 + (y + 1)2 x 2 + (y + 1)2

j)

j

zn z3n Fur x 2 + y2 - 1 < 0 gilt daher, wegen Re ( --. < 0, - < arg - . < -. z+J 2 z+J 2 z-j n Fur x 2 + y2 -1 > 0 (izi > 1), folgt aus 0 < arg-. <-: z+J 4 -2x 0< 2 2 <1~0<-2x<x2+y2-1~x2, x + y -1 das ist auf der linken Halbebene das AuBere des Kreises urn Einheitskreises (I z 1> 1). n n 6. a) cos- + j' sin-;

2

= -1 mit r =)2, ohne die Punkte des

b) 5·(cosO,927 ... + j·sinO,927... );

2

-( cos 3n +j'sin 3n) ; c) 2)2

4

Zo

4

d) 1,586... (cos5,628 ... + j·sin5,628 ... ).

550

Aufgabenlosungen

7. Z4=Z2+Z3-Z1' 8. IZ1 +z212+lz1 -z21 2 =(zl +z2)(zi+zi)+(Zl -z2)(zi-zi) 2 = zl z i + Zi Z2 + Zl Z! + Z2 Z! + zlzi ZiZ2 - ZlZ! + Z2Z! = 21z112 + 21 z 21 . Geometrische Deutung: Sind Iz 11 und 1z 21 die Seiten eines Parallelogramms, so sind d 1 = 1z 1 + z21, d 2 = Iz 1 - z 21 die Diagonalen, und es gilt df + d~ = 2(lzll2 + IZ212). 1 z* z* 9 - = - = -2 . z z·z* Iz1 '

5.3 1. Induktionsanfang: Induktionsschritt:

A(1): Zl = r(cos

2. a) - 3 + 4j; b) - -h e) 1,0427 ... + 0,8638 .. ,j;

3. a)

/03g j;

c) 1; d) 64j; f) 0,9 30 = 0,0423 ....

ZI =J2(COS~+jSin~)=!J2+!J6j;

b) Zl = ~(cosHn + j sinHn) = - 0.517 ... + 1,421. ..j, Z2

M ( cOs 4n +JsIn ,. 4n) -_ -2"'; 1 M 1 IL,. 2- 2 ",; 6J,

_

Z2-...;2

= ~(cos-Hn + jsin-Hn) = - 0.972 ... - 1,159 ...j,

Z3 = ~(cosNn + j sinNn) = 1,490 ... - 2,262 ...j,

n n d) Zl = COSS + j sins = 0,809 ... + 0,587 ...j,

3

3

n ,. n 1 1 h' c) Zl = cos- + J sIn- = 2 + 2"'; 3J, 3 3

5n .. 5n 1 h l' Z2=cos-+JsIn-= -2...;3+ 2J,

6

6

4n .. 4n 1 1 h' z3=cos-+JsIn-= -2-2...;3J, 3 3 lIn .. lIn 1 h 1', Z4 = COS- + J SIn- =2"'; 3 -2J,

6

Z2

3n 3n = COSS + j sinS = -0,309 ... + 0,951. ..j,

Z3

= cos n + j sin n = - 1,

5n 5n Z2 = cos 12 + j sin 12 = 0,258 ... + 0,965 ...j,

7n 7n Z4 = COSS + j sinS = -0,309 ... - 0,951. ..j, Z5

3n . ' 3n 1 M 1 M' Z3=cos-+JSIn-= -2...;2+ 2 ...;2J, 4 4 13n 13n Z4 = cos12 + j sin 12 = - 0,965 ... - 0,258 ...j,

9n 9n = COSS + j sinS = 0,809 ... - 0,587 ... j;

3

f) Zl =2'

3(

2n .. 2n) , Z2 =2 COs?+JsIn? =0,935 ... + 1,172 ...J,

3( 3( 6n " 6n) 3( 8n .. 8n) 3( 7IOn ,. IOn) 7 3( 12n ,. 12n)

4n ,. 4n) . Z3 = 2 cos? + J sIn? = - 0,333 ... + 1,462 ...J,

.

Z4 = 2 cos? + J sIn? = - 1,351. .. + 0,650 ...J,

Z5

.

= 2 cos? + J sIn? = - 1,351. .. - 0,650 ...J,

Z6=2

cOs

Z7=2

cOs

+JsIn

7

+JsIn

7

6

n n e) Zl = cos 12 + j sin 12 = 0,965 ... + 0,258 ...j,

. = -0,333 ... -1,462 ...J, . =0,935 ... -1,172 ...J.

Z5

17n 17n = COS12 + j sin 12 = - 0,258 ... - 0,965 ...j,

Z6

7n ., 7n 1 M 1 M,. = COS- + J SIn- =2"'; 2 -2"'; 2J,

4

4

5 Die komplexen Zahlen

4. a) Z1 2 = ,

-1-j+j4-10j . . =>Z1 = 1,139 ... - 0,280 ... j,

Z2 = - 1,139... - 0,719 ... j;

2(1-j)

b) Z1 =0,

Z2 3 = ,

2-4j+j-20+48j . =>Z2 2(1 +j)

2-

=

.

z3=-3-2j

j,

Zi.2 = 1 + 2j, z~,4 = - 4 + 3j => Z3,4 = ± (!fi + ~fij);

c) z2=!(-3+5j+j24-10j) Z1,2 = ± (1,272 ... + 0.786 ...j),

d) Z1 = j =>Z2 = - jist auch Lasung (nur reelle Koeffizienten). Das Polynom ist daher durch (z - j)(z + j) = Z2 + 1 teilbar. (Z4 - 4z 3 + 6z 2 - 4z + 5) = (Z2 + 1)(z2 - 4z + 5)=>Z3,4 = 2 ±j.

4x + 7 ( - 4x - 7 ) 6. a) z = x - -- j ,xElR, alleaufderGeradenY=--6--liegendenkomplexenZahlen; 6 b) (x - 2)2 + (y - 3)2

7. Mit x = !(z + z*), 8. a) IZ11=2,1,

1, bzw.lz - 2 - 3j 1= 1.

=

1 y = 2j(z - z*) folgt azz* + !(b - cj)z + !(b + cj)z* + d = 0. IZ21=0,75,

b) Z1Z2 = 1,543 ... - 0,312 ...j,

argz 1 = 0,2 argz 2 = - 0,4; Z1 . - = 2,310 ... + 1,580... j, Z2

zi = 4,061. .. + 1,717 j, z~ = 0,391 ... - 0,403

ziz~ = 1,296 ... - 1,334...j.

j,

9. (cos4x + j sin4x) = (cos x + j' sinx)4 = cos 4 x + 4j· cos 3x· sinx - 6cos 2x· sin 2x - 4j· cosx· sin 3x + sin 4x =>cos4x = cos 4 x - 6cos 2x·sin 2x + sin 4x = 8cos 4 x - 8cos 2x + 1, sin4x = 4cos 3x· sinx - 4cosx'sin 3x = 8cos 3x· sinx - 4cosx· sinx. 10. Aus

I

cos k x + j

k=O

n

I

sin k x

k=O

=

I

1-

_ (eJx)k

=

k=O

(1 -

ej(n+ 1)x

1-

-

e

JX

=

cosx + j sinx) . 2 (1 - cosx) + SIn x

ej(n+ 1)X)(1 -

2

folgt durch Vergleich von Real- und Imaginarteil: ~ 1...J

coskx =

cosnx - cos(n + l)x - cosx + 1

2(1 - cosx)

k=O

.

~. 1...J sInkx k=O

11. a) In( -1) = lnl + jn + 2knj = (2k + l)nj, b) lnj = In I + j

~ + 2knj = (2k + !)nj; 2

c) In(l + j) = lnfi + j~ + 2knj = !·ln2 + (2k + ±)nj; 4 d)

Y= e

j - 1nj

= ej(2k+ 1/2)nj = e -n/2-2kn

=

sinnx - sin(n + l)x + sinx

2(1 - cosx)

.

551

552

Aufgabenlosungen

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten 6.1 Xl = - 3, x 2 =~, x 3 = 2 b) Xl = - 2, x 2 = 0, x 3 = 1, c) keine Lasung d) Xl = 4, x 2 = - 1, x 3 = 2 e) Xl = 1 + 3A - 4jl, x 2 = - 2 + 2A + jl, x 3 = A, X 4 = jl; A, jlEIR

1. a)

2. a) c)

Xl = X 2 Xl =X 2

= X3 = 0

b)

Xl

=X 3 =0

d)

Xl

ii) a = - 2 ii) a = - 1

3. a) i) a =I- - 2 und a =I- 3 b) i) a =I- 1 und a =I- - 2

4. y = - x 2

= - 3A + 7jl, = 0, X 2 = A,

X2 X3

X4

=3

= lOA -7jl, X 3 = 2A - 3jl, = - 2A, X 4 = A, AEIR

X4

= A,

Xs =

jl,

A,jlEIR

iii) a=3 iii) a= 1

+ 3x + 2

6.2 1. A kann vom Typ (1,36), (2, 18), (3, 12), (4,9), (6,6), (9,4), (12,3), (18,2) oder (36, 1) sein. n(n-1) 2. Unter- und oberhalb der Hauptdiagonalen stehenje--, in der Hauptdiagonalen n Elemente. 2

13 42 36 4) 8

3. A =

( 45

5 9 6 7

12 16

4. a) AIle Matrizen sind voneinander verschieden. b) A= -B,D=-F

5. A=

6. a)

(

0 -0,5

0,5 0

o

1

~,5 )

-1,5

(~ -~) -4 -25

b) existiert nicht

-7

d) existiert nicht

g)

(~~ 1~ =~~) -70 -6 62 (-~ =~~ ~) 21

23

40

24) -1

f) existiert nicht

(~ ~)

h)

7. a) A 2 +AB+BA+B 2 , d) A 2 - BA + AB - B 2

8. a)

12 -4

e) ( -7

c) existiert nicht

i)

b) A 2 -BA-AB+B 2 ,

b)

(

-8 13 15

18 11 28

30) 3 19

(

-10 -14 -19

-33) -1 29

c) A 2 +BA-AB-B 2

c)

(~: ~~ ~~) 30

3

19

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

g) (- 5 13 22)

h) existiert nicht

j) existiert nicht

k)

1 (8

9. Z.B. A = 24 6

31

b)

C a 21

all

c)

11.

(

4)

-2

3

1

a 32 a 22 a 12

all

a 21 a21 + a31

(-~ -~ -~) 3

-6

B=

5. (1~

1) (14)

9

o

~ 1

Vertauschung der 1. und 3. Zeile

::: a 22 + a 32

A-1=-io( -18 ~),

Addition der 2. Zeile zur 3. Zeile

:::) a23 + a33

B- 1 existiert nicht,

o1 - 0) 2 ,D - 1 existiert nicht -3

0

12.B=i(1~ 1~ -~) o

13. X = A(

14. A-I =

0

j). AE~

i(~

15. Es sei A

12

~ ~),

~

B- 1 = -6: ( 1 : 00600

-~),

C-

3

1

=io( -9~ -51~ 10~)

= (aik)(m,n), B = (bik)(n,l) C = (Cik)(n,l)

a) A(B + C) =

(,t

ai,(bsk

+ CSk )) =

(,t

aisbsk

+

,t

l

a,sCSk )

=

(,t

a'sbSk )

b) Beweis verHiuft entsprechend wie a).

16. a) Es sei A = (aik)(m,n) und B = (bik)(m,n). Dann gilt (A

+ B)T =

(a ik + bik)T = (a ki + bkJ = (akJ

+ (bkJ = (aik)T + (bik)T = AT + B T

b) Nach Satz 6.5 gilt:

i) A = AT=> A-I = (A T) - 1 = (A - 1) T ii) A-I = (A -l)T =>A -1 = (A T)-l =>A = AT

+

(,t

aiSCSk )

= AB + AC

553

554

Aufgabenlosungen

17. a) ACuA) = A(j1a ik ) = (Aj1a ik ) = Aj1(a ik ) = Aj1A b) (A + j1)A = ((A + j1)a ik ) = (Aa ik + j1a ik ) = (Aa ik ) + (j1a ik ) = AA + j1A c) A(A + B) = (A(a ik + bik )) = (Aa ik + Ab ik ) = (Aa ik ) + (Ab ik ) = AA + AB 18. a) An=G

n 1 b) B = ( 0

;)

2n) 1

Beweis durch vollstandige Induktion:

Beweis durch vollstandige Induktion:

A(1):A=G

~)

I A(1):B =G

A(k):Ak=G

~)

A(k): Bk =

~

~AkA~G ~)(~ ~)=Ak+I A(k+1):Ak+I=G

k~1)

~)

(10 21k)

BkB=G

A(k+1):Bk+l=G

~k)(~ ~)=Bk+I 2(k;l))

19. (E+A)(E-A)=E 2 +AE-EA-A 2 =E-N=E wegen AE=EA und A 2 =N. Folglich ist (E-A)= (E+A)-l. 20. Setzt man ! (A + AT) = As, und ist A = As + A a · 21.

! (A -

AT) = A a , so ist As symmetrisch und A a antisymmetrisch. Ferner

M={B1B=(~ :)mitx,WE~}

22. A - 1 =

{(Xik)

mit

(Xii

1 = - und aii

(Xik

= 0 fiir i =1= k (Beweis durch vollsHindige Induktion).

6.3 1. a) 52

b) 0

c) -192

3. a) t l = 4,

d) 235

b) (af - be + cd)2

2. a) (x - y)(x - z)(z - y)

3J13

t 2 ,3 ="2 ± -2-

b) t l = -1,

c) abc

t 2 = - 4,

e) 4

d)

f)0

t3 = 3

4. a) Man subtrahiere die 2. Spalte von der 1. Spalte, die 3. Spalte von der 2. Spalte, ... , die letzte von der vorletzten Spalte. Dann addiert man die 1. Zeile zu allen iibrigen Zeilen und wendet Satz 6.8 an. b) Man addiere zur 1. Spalte die Summe aller anderen Spalten und entwickle die so erhaltene Determinante nach der 1. Spalte. 5.

Xl

= 1,

6. A-I

1

D-

x 2 =2,

x3 = 3

=1 (~

1 1 2

~);

(1

-2 1 0 0

1 -2 1 0

=

B ist nicht regular;

-;);

F-l--.L -

32

C- '

=1 (

16

0

0

8

0

0 4 0 0 0 0

0

0

0 0

-1~ 0 0 0 2 0

1 4

-3 0 0 0

0 1

~~) -1

6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

555

8. r 2 sin a

2) X=fr(-l~ 1~ =~~)

9. X=(B+E)A- l : a) x=(_O 2 10. AA - 1 = E => IAA - 11

=

-13

27

22

IA II A-II = IE I = 1 nach Satz 6.11.

1

Foiglich ist IA -11

b)

8

IAI- I .

=- =

IAI

11. Nach Satz 6.11 und Satz 6.7 gilt: AA T = E=>IAATI = IAIIATI = IAIIAI

=

IAI 2

=

lEI

=

1 =>IAI

=

±1

12. a) Richtig, denn ware IA I #- 0, dann existiert A-I und es gilt wegen AB = N: N = A - I(AB) = (A - 1 A)B = B (Widerspruch zur Voraussetzung). b) Falsch. Es sei etwa A

.

(00

=

1). Dann ist A 2 =

1

(00

1) #-

1

N, aber IAI

=

O.

13. (E - A)(E + A + A 2 + ... + An-I) = E wegen An = N. daraus folgt (E -A) =(E +A + A 2 + ... + An-I)-I.

14. Nach Satz 6.12 ist

AA adj = EIAI =

0 0

0

IAI 0 0

IAI 0

IAI

0

0

0

0 0 0 0

IAI

15. Die Matrix A(n,n), n = 2k - 1, kEN, sei schiefsymmetrisch. d.h. AT = - A. Dann ist nach Satz 6.7 IAI = IATI = 1- AI = (-I)nIAI = -IAI =>21AI = O=>IAI = O. 16. Man muB IAI mit ( - 1)n(n-I)/2 multiplizieren. 17. a) Wir zeigen zunachst, daB die Behauptung richtig ist, wenn man die i-te Zeile und die (i + 1}-te Zeile (i = 1,2, ... , n - 1) miteinander vertauscht. Es sei A* = (a ik ). Dann ist ai + l,k = aik und U{+ l,k = U ik fur alle k = 1,2, .'.. , n. Folglich gilt nach (6.29) IAI=

L (_l)i+l+k ai +

k=1

l

,kI U {+I,kl= -

L (-I)i+kaikIUikl= -IAI

k=1

Vertauscht man die i-te mit der I-ten Zeile (1 ~ i < I ~ n), so ist stets eine ungerade Anzahl von benachbarten Zeilen miteinander zu vertauschen. Daraus folgt die Behauptung. Eine entsprechende Uberlegung ist bei der Vertauschung von Spalten durchzufiihren. c) Es sei A* = (a ik ) mit aik = aik + Aalk , i #-1. Dann ist wegen Ul = U ik IA*I

=

L (-1)i+k aik

k=1

l

Uikl

=

L (-1Y+k(a ik + Aalk )IUikl = L (-1)i+k aik

k=1

= IAI + A L (-I)i+k a1k l Uikl k=l

k=1

l

Uikl

+AL

k=1

(- l)i+k alk

l

Uikl

556

Aufgabenlosungen Die 2. Summe Hifit sich auffassen als (nach der i-ten Zeile entwickelte) Detenninante derjenigen MatrixA**, die aus A entsteht, wenn man die i-te Zeile durch die l-te Zeile erstetzt. Vertauscht man nun diese Zeilen, so n

geht A** in sich iiber. Folglich ist nach a) IA**I = -IA**I, d.h.IA**1 = I (-1)i+k a1k l Uikl = O. Damit ist IA*I = IAI. k=l

18. a) Die i-te und I-te Zeile (Spalte), i =1= I, von A seien gleich. Vertauscht man diese Zeilen (Spalten), so geht A in sich iiber und nach Satz 6.9 ist IAI = -IAI, d.h.IAI = o. b) AIle Elemente der i-ten Zeile (Spalte) von A seien Null. Dann folgt aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz (Satz 6.6) IAI = o. c) Es sei aik = Aa jk + pa 1k , A, pE lR und j =1= i, 1=1= i. Subtrahiert man das A-fache der j-ten Zeile und p-fache der I-ten Zeile von A von der i-ten Zeile, so ist aik = 0 fur aIle k. Nach b) ist dann IAI = O. Entsprechend verlauft der Beweis fur Spalten. d) Der Beweis folgt aus Definition 6.6 und Satz 6.9b). n

I (- l)l+k aik lU1kl auffassen als (nach der I-ten Zeile entwickelte) Determinante der

e) Wegen i =1= I kann man

k=l

Matrix, die aus A entsteht, wenn man die l-te Zeile durch die i-te Zeile ersetzt. Diese Detenninante ist Null, da die i-te und l-te Zeile iibereinstimmen (vgl. a.)).

6.4 2

-5 16

-18 2. a) A-I

d) x

=

~~ =~)

i - 25

=-10

(

20

-13

12

2

9 7

-1 1

+A

0 0 4. a)

Xl

= 10, x 3 = 1 b)

5. a) a = 6

6. a) x=b=

7.

b) a = 4,

(-D

2

0

2

Xl

+p

c) A-I

=

is (

~

-3

0 -1 -3 0

-

35 ~3)

2

d) A ist singular

, A, pElR

= 1, x 3 = 2

a = 1,

b)

b) A ist singular

3

X= (

a= - 3

c) a = 5

-!)

sei eine spezielle Lasung von Ax = b und Xh beschreibe die Lasungsgesamtheit von Ax = O. a) X = Xo + Xh ist eine Lasung von Ax = b, denn Ax = A(x o + x h ) = Ax o + AX h = b + 0 = b. b) Jede Lasung x von Ax = b laBt sich in der Form x = X o + x h darstellen: 1st X o eine spezielle Lasung und x eine beliebige andere Lasung des inhomogenen Systems (d.h. Ax o = b und Ax = b), so gilt wegen A(x - x o) = Ax - Ax o = b - b = 0: x - X o = X h ist eine Lasung des homogenen Systems. Folglich gilt x = Xo + x h fiir jede Lasung x von Ax = b.

Xo

7 Vektoren und ihre Anwendung 8. Nach Satz 6.15 Hiilt sich die Losungsgesamtheit von Ax = b darstellen durch x = Losung von Ax = b ist und X h die Losungsgesamtheit von Ax = 0 beschreibt.

Xo

557

+ x h , wobei X o eine spezielle

a) Es sei X h = O. Dann ist, falls iiberhaupt eine Losung von Ax = b existiert, X o die einzige Losung. Xl =1= X o kann keine weitere Losung von Ax = b sein, denn sonst besaBe Ax = 0 wegen A(x 1 - x o) = AX 1 - Ax o = b - b = 0 die nichttriviale Losung Xl - Xo' b) Es sei X o einzige Losung von Ax = b. Ware X h =1= 0, so ware nach Satz 6.15 X o + X h =1= X o eine weitere Losung von Ax = b (Widerspruch zur Eindeutigkeit).

7 Vektoren und ihre Anwendung 7.1 1. a)

a + b =c;

c) a'b=¥fi;

laxbl=¥;

5n

c2 =a 2 +b 2 -2ab·cos-=>c=7,7447 ... 6

axc=a x Ci1+b)=axa+axb=axb ==> la+cl=laxbl=~. a 2. cosa=-=>sina= 1

R2

1- 2 ; 1

2

F Sl=-.-=>Sl=40482,5N 2'Slna

3. Es sei P = P1 + P2 , wobei P1 parallel zum Seil und P2 parallel zum Gelenkstab ist. a sei der Winkel, den das Seil mit dem Gelenkstab einschlieBt. Wegen a 2 + h2 = S2 ist P2 -1P => F 1 = ~ ==> F 1 = ~ . F = ~ . 1180 N F h h 3 F 2 =!!... a F h ==> F 2 = h . F

=

=

4

5900 N 3' 4720

"3 . 1180 N = -3- N .

4. 1st ABCD ein Quadrat mit der Seitenlange a = AB = 1 und a = Jill, b = /ill, so hat aO + bO die Richtung der Diagonalen des Quadrates, und es ist laO + bOI = f i =1= 1, d.h. aO+ bO ist kein Einheitsvektor. Ausnahmefall: 1st ABC ein gleichseitiges Dreieck und a = AB, b = Be, so gilt aO

5. a) l1\=ao+bo, b) AM=1(a+b);

+ bO = (a + b)o.

w2 =ao-bo; BM=1(b-a);

CM=-1(a+b);

DM=!(a-b).

6. a) Addition von Vektor und Skalar ist nicht definiert. b) Die Summe zweier Vektoren ist kein Skalar. c)

a' b EIR, 3CE V (siehe a)).

d) a'b EIR, a x bE V (siehe a)). e) Kreuzprodukt ist nur zwischen Vektoren definiert, a'b und c·d sindjedoch reelle Zahlen.

7.

v 1 + v 2 = a + fi(1 + fi)'b; v 1 - v 2 = 3a - fi(fi -1)'b + 2c.

8. a) falsch; g) falsch;

b) wahr; c) falsch; d) wahr; e) faisch; h) falsch; i) falsch; j) faisch.

9. a) falsch, Skalarmultiplikation nicht umkehrbar: b) wahr, falls a'b =1= 0; c) wahr, falls a·b =1= O.

f) wahr;

558

Aufgabenlosungen

10. a) ~u ~ige~ a·b = O. Es ist(vgl. Bild L7.1)a=,] +'2 b=r]-r2, r]=r 2=r a'b = (,] +'2)('] -'2) = r~ - r~ = O. b) Es sei b = AC, c = Ali, a = Be, dann gilt a=b -c=>a 2 =(b -c)2=b 2 +c 2 -2bc·cosa

a

c) ABeD sei ein Parallelogramm und = AiJ, Die Diagonalen sind gleich lang, daher ist

b = AD.

'1

la+bl=la-bl=>(a+b)2=(a-bf =>a 2 + 2a'b + b 2 = a 2 - 2a'b + b 2 =>4a'b = O=>a1-b, da a # 0, b # 0 -

BUd L7.1: Satz von Thales

W

11. W = F·s = F·s·cos

cos

2a 2 + a' b - b 2 = O=>cos

2a + a'h - b = O} {8a - 5b = 0 } 1 => =>cos2a 2 -3a'b-2b 2 =0 4a'b+b 2 =0 - jiO -

1

Wegen 4a' b = - b 2 < 0 ist cos

jiO

13.

ri = r/ = (4aO + hO)2 = 17 + 8·cos r 1 = J2i, ebenso r 2 = ft. r1

·r; = (4aO + hO)(4aO -

14. a) falsch;

b) falsch;

6hO)=>r1 'r; = 0=>r1 1-

c) wahr;

d) wahr;

r;.

e) falsch;

f) wahr.

15. Es ist n 1 =!(h x a), n2 =!(a x c), n3 =!(c x h), n4 =![(c - h) x (a - h)]=> n1 + n2 + n3 + n4 = O. 16. a) 771 x h;

b) 2h x a;

17. Es ist AC 2 +BD 2 =

c) h x a

+ 3c x a.

171 + hl 2 + 171 - hl 2 =(71 + h)2 +(71 - h)2 = 2a 2 + 2b 2 =AB 2 + BC 2 + CD 2 +DA 2

7.2 1. a, h, c komplanar=>c = aa + Ph =>aa + Ph -

aa + Ph +yc= 0, y #o=>c =

c = O.

-~a -~h =>71, h,c komplanar. y y

2. (h +c-2a)+(c+a-2h)+(a+ h -2c)= O.

3. a) 714 = - 711 - 712 - 713 = (- 1, - 1,1); 4. a)

h =( -4, -6,10);

b)

b) a 4 = 711 -1712 + 713 = (16, -1,9).

h =(~, 1, -i).

- - a=CB, - - dann gilt - --- A - -FB=J1DB=)1a+-b. -)15. 1st -b=AC, AE=b+!a,AF=A'AE=Ab+-'a, DB=a+-tb,

5

3

Wegen M+n+BA"=O, folgt (!A+J1-1)a+(A+1J1-1)h=O. a und h sind linear unabhangig. -A =>! A +)1= 1 undA + 1)1 = 1 =>A =~. )1 =~. Wegen AF = A AE = A(AF + FE) folgt AF: FE = - - = 5:2; I-A

ebenso BF:FD = 6: 1

7 Vektoren und ihre Anwendung 6. a) komplanar; 7. a) a=2;

b) nicht komplanar;

b) a=¥;

c) a 1 =1.

559

c) komplanar.

a 2 =-!(1+j33),

a 3 =!(j33-1).

8. a) a, b, c sind linear unabhangig und bilden daher eine Basis. b) Basis ist nicht orthogonal wegen a' b = 2 =1= 0 und nicht normiert wegen a = c) e= 6a, = 3a + 2b, g=a + 2b + 3c.

1

c) 0 ~

9. a) 71, h kollinear; b) 71 1.. h; n d) 2 <1:: (a, b) ~ TC;

J3 =1= 1.

1: (71, h) <~;

-+

10. a) q> = 0,4636 ... ; b) q> = 0,8238 ... ; 11. a) a =

;'1{\"1. v~ 152, b = v 101,

c) q> = 1,4413... ;

12. 111 =

-0

b) a

1

=

~(10,4,6),

v 152

d) q>1 = 0,6247... ,

1 f1A(){)(19,27, - 20),11 2 =

v 1490

13. V=I[abcJI=7,

c) q> = 1,6509 ... ;

q>2

1 . ;'1{\"1(6, 1, - 8),

-0

b =

= 1,2403... ,

vIOl q>3

= 1,0625...

1 f1A(){)( - 19, - 27,20).

v 1490

O=2[laxbl+laxcl+lbxcIJ=742,758...

14. 1st a = AB, b = AC und c = AD, so ist a = ( - 4, - 6, - 4), b = (1, - 4, - 9), c = (- 2, - 4,3), v =il[abcJI = 25, 0 =!(Ia x bl + la x cl + Ib xci + I(b -a) x (c - b)l) = 101,049 ...

6V 150 h= 171 x hi = )3528 =2,525 ... 15.

a = Be = (- 3, 6, Ibxcl

2),

b = AC = (4,3,1),

1 ~ 1258=5,0668 ... ,

ha=~=7V

c = AB = (7, - 3,3),

hb =6,9559 ... , he =4,3331 ...

16. a=P1 P 2=(X 2 -X 1'Y2-Y1'0), b=P 1P 3 =(X 3 -X 1'Y3-Y1'0)=> A =! /a x bl = i IX 2Y3 + X 3Y1 + X1Y2 - X 2Y1 - X1Y3 - X3Y21. Dasselbe erhalt man fur die Determinante. 17. d = 1"'111° -

r;11°1 mit r

1

= (- 1,5,5), r; = (- 3,0,6), nO = ~(8, - 1,4)=>d =~.

18. Normalenvektoren: n1 = (2, -1, -1), n2 = (6, 1,5), n3 = (2,2,5). Richtungsvektor a = 111 x n 2 = ( - 4, - 16,8). Wegen 111 x n3 = ( - 3, - 12,6) gilt 3a = 4n1 x n3, daher ist a auch parallel zu E 3 . Es gibt also eine Gerade g mit den geforderten Eigenschaften. g:r = s( - 4, - 16,8), SErR. 19. a) EsseiOP1 =r1,Mo =ro,W=f;,P1P2 =a=(-2,2,1),

sp ° = b, (a ..1 b) => "Po = r 1 + soa + b (mit a skalar multipliziert, a' b = O!)

1 1 =>so = 2:' a '("Po - r 1 )=> r: = r 1 + 2: [a'("Po - rjJla=> r: = t( - 11,17,10). a a

b) ~=I"Po-r:I=~J2025=5.

c) b = t(5, - 2,14) =>g:r = (- 2,5,8) + t(5, - 2,14),

tErR.

20. a = P1P 2, b = P1P3' C = P 1P 4. P 1, P 2,P3,P4 Iiegen genau dann in einer Ebene, wenn a, b. c linear abhangig sind <=> [a bcJ = 0 <=> -Xl Y2 - Y1 X3 - X 1 Y3-Yl X4 -X 1 Y4-Y1

X2

-Zl Z3- Z1 =0. Z4- Z1

Z2

21. a) Liegen nicht in einer Ebene;

b) liegen in einer Ebene.

560

Aufgabenlosungen

r:z

22. Mittelpunkt M(3, 1,0), n = PIP 2 = (2,2, - 4), = OM => (r - r:z)'n = Wegen~'n = 8 folgt E: 2x + 2y - 4z = 8 bzw. x + y - 2z = 4. 23. Es ist E = (1, 1, 2), weite~ sei b 1- a => v = b Wegen b = v - f.l·n folgt b = ~.( - 3,4, 1).

+ f.l n

(skalar mit

°

= r:z·n.

=> r'n

it multipliziert) => a' v =

f.l' n' a=> f.l =

If-.

24. b sei parallel zu E => v = A'a + b (skalar mult. mit n = (4, - 3, 5), n'b = o!) =>n'v = A'a'n=> A = - 5 => h = (11, -7, -13).

25. a) 1st P 0(1,0,0), so spannen a = (0, 1,0) und PoP 1 die Ebene E auf => n = (0, 1,0) x (0,1,1) = (1,0,0). Aus = d folgt d = 1; => E:r'(l, 0, 0) = 1. b) e = 1(0,1,0)(1,0,0) - 11 = 1.

ran

26. a) Projektion p = a' b ° =

t.)6;

b) 1: (a, b) = 1,4211. .. ;

d) E:r = s(1,2, - 5) + t(l, - 2, -1);

c = (a x --b) x a = (28, -

e)

27. a) 1st a = P 1P 2 = (1,1. -2), h = P 1P 3 = (- 2,2,2),

.

so 1st e = --

I[abcJ I

IZf x bl =

-

b) e = - a - =

l[abdJI

64, - 20) => CO =

1 r;;;{\(7, -16, - 5). y330

c = P 1P 4 = (-1, -2,2),

laxcl

2 J56 =0,267...

la x bl = ji76 = 13,2665 ... ;

c) A =

Vf56= 0,9128...

2

c) d = P 3 P 4 = (1, - 4,0) =>e = - - - - = 1M = 0,207 ... la x d I y93 28. aO=t(1,2,2), 9

bO=Pl(1,2,2)+P2(1,0, -3). Wegenao'bo=Ofolgt

-0

1 3

1

-0

P2=SPl=>b = ±-'-(14,10,-17),c

Wegen cO'e 3 <

j65

-0

=a

-0 x b = ±

°

1 /LC(-54,45,-18). 9 y 65

1 gilt das obere Vorzeichen =>co = - - ( - 6, 5, -2).

j65

29. Geraden schneiden sich in PI ( t ,t, t)· 30. a) n=(1,2,-3),n 1 =P 1P 2 xP 1P 3 =(6,-3,-3)=>a=nxn1 =(-15,

15, -15).

Wegenr1n 1 =dfolgtd= -9=>E 1:r'n1 = -9=>E 1:2x-y-z= -3. Ein Schnittpunkt P 4 von E und E 1: P 4(0, If-, i) => 9: r = !(O, 13,2) + s'(l, 1, 1).

b) SI( -i,¥,O), S2( -If-,O, -¥), S3(0,lf-,i)· 31.

a = A:B, b = A C, c = AD => [a, b, c J = 18 => A, B, C, D liegen nicht in einer Ebene.

32. Sind a, h, c die das Spat aufspannenden Vektoren (a, b, c linear unabhangig), dann lauten die Gleichungen der vier Diagonalen: 91:r = s(a + h + c), 92:r = a + t( - a 94:r= b +v(a- h +c).

+ h + c),

93:r = a

+ b + u( -

a - b

+ c),

Fur s = t = u = v = t kann gezeigt werden, daB sich alle 4 Geraden in einem Punkt schneiden. 33. a) Die Geraden sind windschief(Ordinaten von A und B sind verschieden). b) Die Geraden schneiden sich (Ordinaten von A und B sind gleich). 34. 1st r 1 = OP l' a = (1, - 3,2), so gilt v = 600 n'(r1 x aO) (LE pro Minute)

v = 600n I1A (17,5, -

ft5

1) => v = 600 n - = 8941,129 ... (LE pro Minute). 2 y 14 35. hI = (0,0, 2n), b 2 = (0,2n, - 2n), b 3 = (- 2n, 0, 0). =>

7 Vektoren und ihre Anwendung 7.3 1. Nach Beispiel 7.37 erhalt man mit m = 1 und b = Z

1 ( 1- m M=--' 2m Z 1+m

P' = M· P = ( -

2. M

=

- 2bm) 2b

° + = (- f ~ ~;)

°

Mit P = (p-::;, P;;, p7)

2m

m Z -1

~

Z

1

m

I-~ ),

=

-

1 die gesuchte Matrix zu

(0 °1 1) °° 1

-1

.

1

folgt fiir P' = (p:',lIB,lIC):

also A' = (2,- 3), B' = (4,1), C' = (-1,3).

1 ° 0) (°° ° 1

0.

-1

3. Die Transformation erfolgt in 3 Schritten: 1. Parallelverschiebung der Geraden g in den Urspung 0: Matrix T l 2. Drehung urn die Gerade: Matrix D (siehe Beispiel 7.38). 3. Translation in den Punkt (1, 1, 1): Matrix Tz = T(1, 1, 1) = T 1 l

= T( -

1, - 1, - 1).

Die Translationsmatrizen lauten:

1

T

(1 11 =;)- (~ 11 ;)2

=

T

1

Mit u =

;'1A (1

- 2

=

3)T = (0,267

- 0.535

0,802)T erhalt man nach Beispiel 7.38:

v'14

u'u T =

0,071 -0,143 ( 0,214

-0,143 0,286 -0,429

0,214) (0 -0,429 und U = 0,802 0,643 0,535

-0,802

°

-0,535) -00,267.

0,267

Folglich lautet die Matrix (7.63) unter Beriicksichtigung von

cos~ = 0,866 und sin ~ = 0,5: A = 6

6

0,876 0,382 ( 0,296

. .. . Erwelterung ltefert dIe Drehmatnx D =

(

- 0,420 0,904 0,076 0,876 0,382 0,296

°

und die gesuchte Transformationsmatrix M

M=

0,876 0,382 ( 0,296

°

-0,420 0,904 0,076

-0,239 -0,191 0,952

- 0,420 0,904 0,076

- 0,239 -0,191 0,952

°

°

= T z ' D· T l ZU

0,783 ) -0,095 - 0,324 .

001

- 0,239 ) -0,191 . 0,952

oo~)

561

562

Aufgabenlosungen

Bildet man mit den Koordinaten der Eckpunkte des Wiirfels die Matrix

°° °° °° ° ° ° 0

1

1 1

1 1 0) 1 1 1 =p ( 01111 ' 11111111 so kann man die Koordinaten der Bildpunkte der Matrix 0,783 1,659 1,239 0,363 0,544 1,420 1 0,124 ) -0,095 0,287 1,191 0,809 -0,286 0,096 1 0,618 0,628 0,924 1 0,704 ( - 0,324 - 0,028 0,048 - 0,248 11 1 1 1 1 1 1 entnehmen. Z.B. hat der Eckpunkt (1, 1, 0) (siehe 3. Spaite von P) nach der Drehung die Koordinaten (1,239; 1, 191; 0,048) (siehe 3. Spaite von PI). Der Eckpunkt (1, 1, 1) bleibt bei der Drehung fest. P' = M. P =

4. Es sei a = (ax, ay, az)T und a' = (ax, ay)T. Dann sind folgende Drehungen vorzunehmen: 1. Drehung des Koordinatensystems urn die z-Achse urn den Winkel rx mit Hilfe der Matrix

(-~~:: ~~~: ~). Dabei ist cosrx =~ und sinrx =--.!!.L

Z(rx) =

° °

la'i

1

la'l·

2. Drehung des Koordinatensystems urn die y-Achse urn den Winkel f3 mit Hilfe der Matrix

__

Y(f3)

=

° °° ° .

(COS f3

-Sin f3 )

1

Dabei ist cos f3

sin f3

cos f3

az

la'i

Ia I

Ia I

=-=- und sin f3 =-=-.

3. Drehung des Koordinatensystems urn die y-Achse urn den Winkel n mit Hilfe der Matrix }(n) =

(-1°° °° 0) 1

0.

-1 Die gesuchte Matrix lautet somit: M = }(n)· Y(f3)·Z(rx) =

-ax·a z

-cos rx·cos f3 -sinf3 ( -cos rx·sin f3

-a y

ax

la'i

la'i

° ,

sin f3 )

d.h.

-cos f3

la'i lal

- ay·a z

-

lal·la'i lal·la'i M=

- sin rx·cos f3 cosrx - sin rx·sin f3

°

-ax

-a y

-a z

lal

lal

lal

7.4 1. a) Charakteristische Gleichung von A und Eigenwerte: det(A - AE)

=11 -2 A

2

1-A

1= (1- A)2 - 4 =0<=>A =-1, A2 =3.

Zugehorige Eigenvektoren (u, VE lR\{O}):

1

7 Vektoren und ihre Anwendung

563

b) Charakteristische Gleichung von B und Eigenwerte: det(B - AE) =

1- A -11 = (1- A)2 = O~A = 1 (zweifache Lasung). 1 o I-A

Zugehariger Eigenvektor (UElR\{O}):

c) Charakteristische Gleichung von C und Eigenwerte: det(C-AE)= -I-A I -1

2 I =A2_A=O~Ai=O, A =1. 2 2-A

Zugeharige Eigenvektoren (u, vElR\{O}):

2. a) Charakteristische Gleichung von A und Eigenwerte:

~1

1

det(A - AE) =

-=-1,1 1

1

--=-\

3 -1

1

= - A3 + 5A 2 - 4A =

O~ {~::~. A3 = 4

1- A

Zugeharige Eigenvektoren (u, v, wElR\{O}):

C~~I 3=:1 l~~J'(~)=( -~ ~~ -D'(~)=G) liefertxl=u,(-~)Entsprechend erhiilt man x 2 = v· (

~) und x

3

= w· (

-~).

b) Charakteristische Gleichung von B und Eigenwerte: 2

det(B - AE) =

1

~ A 2~ A ~ 1

1

1= - A3 + 6A 2 - 9A + 4 = 0

2_ A

~ {Ai: A2 = 1. A3

-

4

Die allgemeine Lasung von

(

2

~ Al 2 ~ Al 1

x = a' ( -

~) . ( ~ ) = (~ ~ ~). ( ~) = (~) lautet

2 - Ai

1

~) + p. (- ~ )

Z

1

1

1

mit a,pElhl. Somit sind XI = u· ( -

Eigenvektoren zu A = 1. X 3 = v· (

0

Z

~) und x

2

~ ) ist Eigenvektor zu A = 4.

c) Charakteristische Gleichung von C und Eigenwerte: det(C - ,IE) =

-)-

1

~

-A

(

1

11 ) = -()_+ 1)2.(A-2)=O~{}~ 1 = A2 =-1 . -A

A3 = 2

~

= v· ( - ) (linearunabhiingige)

564

Aufgabenlosungen Die allgemeine Lasung von

Eigenvektoren zu A = -1. x 3

~ ) ist Eigenvektor zu A= 2.

= v· (

d) Charakteristische Gleichung von D und Eigenwerte: det(D - AE)

7 - A -2 0 -2 6 - A 2 1 o 2 5- A

=

I

=-A

3

+ 18A 2 - 99A + 162

=O~ {}L1=3 A2 =6. A3

(mit Horner-Schema)

=

9

Zugeharige Eigenvektoren (u, v, wElR\{O}):

(

7-A 0) (42 -2 0)2 . (X)y (0) - 2 6 -2 - A 2 . (X) y 1

Xl = U"

=

1

o

5 - A1

2

3

-

0

Z

(=~). Entsprechend erhalt man x

2

= v·

0

=

2

z

0

und

x 3 = w· (

2

(!)

liefert

-;).

3. a) Charakteristische Gleichung von A und Eigenwerte: det(A-AE)= 1

1- A 2 1 2-A o 1

1 1 2- A

I =

-A·(A2_5A+5)=0~

{

A1 = 0 A2 =(5-fi)/2 A3 = (5 + fi)/2

Zugeharige Eigenvektoren (u, v, wElR\ {O}):

Xl = u· ( -

~ ). Entsprechend erhalt man die zu A und A geharigen Eigenvektoren zu x 2

3

1

undx 3

=v.( ~ ). fi-1

b) Charakteristische Gleichung von B und Eigenwerte: det(B-AE)=

11~OA 3~A ~ 1=_(A_4).(A_1)2=0~{A1:A2=1. 2

2_ A

A3

-

4

2

= v· (

~

-fi-l

)

7 Vektoren und ihre Anwendung

565

Die allgemeine Lasung von

(

1

~ ,1, 3 ~ ,1, o

x=

a'

:) . ( 2 - Ai

2

(~) + p. (_~)

~ ) = (~ ~ 0

Z

:). (

2

1

~) = (~) lautet 0

Z

mit a,pEIH. Somit sind X, = u·

Eigenvektoren zu ,1= 1. x 3 = v· (

(~)

und

x2 =

v·

(_~) (linear unabhiingige)

i)

ist Eigenvektor zu ,1=4.

c) Charakteristische Gleichung von C und Eigenwerte:

3 -

det(C-AE)=

-A

1

-7 - 6

1

5-A 6

-1 {A=A=-2 -1 = -A 3 + 12A+ 16=O<=> 1 _ 2 . - 2- A A3 - 4 I

Zugeharige Eigenvektoren (u, v, wElR\{O}):

(

-3-Ai -7

1 5 - Ai

-6

6

x, = u· (

=: ).(~) =~ ~ =:).(~) = (

-2 - Ai

-6

Z

6

0

Z

=

(~) liefert 0

~ ) . Entsprechend erhiilt man den zu 4 gehorigen Eigenvektor zu x = v· ( ~ ) . Weitere Eigen2

vektoren besitzt C nicht. d) Charakteristische Gleichung von D und Eigenwerte:

I-A det(D - AE) =

1 -1

I

Zugehoriger Eigenvektor:

~ ).(~)=( ~

-Ai

-1

Z

1 -1 1

Weitere reelle Eigenvektoren besitzt D nicht. e) Charakteristische Gleichung von Fund Eigenwerte: -

3 -A ~

det(F - ,IE) = 1

-7 4-A 2

-51

3 2-A

= - (A - 1)3 = O<=>A = 1 (dreifach)

566

Aufgabenlosungen Die allgemeine Losung von

Dies ist der einzige Eigenvektor von F. 4. a) a) Die Matrix A besitzt wegen 1

--A 3

det(A - AE) =

3

fJ)

t·

(~ ) mit

x = x(t) = t· (

tEIR

~)

_fi 3

o

0

fi x=

o o

= - (A - 1)·(A 2 -~A + 1) nur den einen reellen Eigenwert A = 1.

1

--A 3

ist zugehoriger Eigenvektor.

(siehe a)) beschreibt die y-Achse. Ihre Punkte bleiben bei der Transformation

mit Hilfe von A fest - sie ist also die Drehachse. Der Punkt P der x-Achse mit dem Ortsvektor ~ = (1,0, O)T

~

geht bei der Drehung in den Punkt mit dem Ortsvektor r = A .r;, = (

~

0

~)

T

iiber. Der Drehwinke1

~·r~ 1 betragt somit a = arccos~ = arccos - = 1,23 (~70,53°) Irpl·lrpl 3

b) a) Die Matrix A besitzt wegen 2 1 2 ---A 3 3 3 2 1 2 ---A 3 3 3 2 1 2 ---A 3 3 3

det(A - AE) =

fJ)

~ ) mit

x=

t· (

x=

x(t) = t· (

tEIR

~)

= - (}c -

1)·(A 2 - A + 1) nur den einen reellen Eigenwert A = 1.

ist zugehoriger Eigenvektor.

(siehe a)) beschreibt eine Gerade durch den Ursprung. Ihre Punkte bleiben bei der

Transformation mit Hilfe von A fest - sie ist also die Drehachse. Der Punkt P mit dem Ortsvektor = (1 -1 O)T liegt in der Normalebene zurDrehachse durch den Ursprung. Er geht bei der Drehung in den Punkt mit dem Ortsvektor = A . p = (0 -1 I)T tiber. Der Drehwinkel betragt somit ~.r; 1 n a = arccos - - - = arccos - = -. 1~1·lr~1 2 3

~

r;

r

5. a) Charakteristische Gleichung von A und Eigenwerte: 2 -}"

det(A -AE)= 1

-2

7 Vektoren und ihre Anwendung

567

Zugehorige Eigenvektoren (u, vElR\{O}): C=;l

(2-

-;~AJC)=(-~ -~}C)=(~)liefertXl=U"G}

)"2

-2

-1 - A2

- 2

)_(x) Y

(-1

=

-2)_(X) - 4 Y

- 2

Damit lautet die Transformationsmatrix T = l

T- =

=

(0) 0

(~

-

V-( -2)_

liefert x 2 =

1

~). Mit

~(_~ ~) erhalt man y-1'A' T = (-~ ~).

b) Charakteristische Gleichung von B und Eigenwerte:

det(B - AE) =

1- 12-

o

AI-=- A 2

~ 1= -A

-1 - A

= {~:: =~.

A2 + 9A + 9 O<=> (mit Horner-Schema) 3

-

A3

=

3

Zugehorige Eigenvektoren (u, v, WElR\{O}):

Xl = u· ( -

~ )- Entsprechend erhalt man x

2

= v· ( -

~ ) und X

normierten Eigenvektoren gebildete orthogonale Matrix T

und man erhalt TT'B' T

=

(

-3 00) 0 -1 0 003

=

.

(

-

3

~ ) . Verwendet man die mit den

= w· (

~J3 -1J2 iJ6) ~

J3

0

~J3

i J6

,so ist T -

1

=

TT

1J2 iJ6

c) Charakteristische Gleichung von C und Eigenwerte:

det(C-AE)=

11~A ~A ~ 1= -(A-1)(A-2)(A+1)=0<=>{~:: ~1 o

1

1- A

A3

=

2

Zugehorige Eigenvektoren (u, v, wElR\{O}):

erhalt man X 2 = v· ( -

~)

und X3 = w' (

gebildete orthogonale Matrix T =

TT'B'T=

(-~ ~ ~).

002

-

~ ). Verwendet man die mit den normierten Eigenvektoren

iJ6 -1J2 ~J3) i J6 0 ~ J3 ' so ist T -

( 1J6 "

1J2 1J3

2:

3"

1

= TT und man erhalt

568

Aufgabenlosungen

d) Charakteristische Gleichung von D und Eigenwerte:

I-A ~

det(D - AE) = I

-3 -5-A -6

I = - (A -

33 4_

4)(A + 2f = O<=> {A 1 = _

A

A3

-

A2 =-2 . 4

Die allgemeine Losung von

und Xl

X 3 = w·

= V· ( _

(i)

MitT-l=~.

2 (

~

(linear unabhiingige) Eigenvektoren zu A= -2.

)

ist Eigenvektor zu A= 4. Damit lautet die Transformationsmatrix T =

-1 2

-2

1

-1

3

-1) ~

erhiilt man T -

1 . D·

T =

2- A

2

~

I-A

e) Die Matrix F besitzt wegen det(F - AE) =

1

1

(-2 ~

(~ _ ~

i)·

0) . ° o 4

o -2

~1 I

=

-(A - 2)(A 2

-

3A + 3) nur den einen

2-A

reellen Eigenwert A = 2. F HiBt sich folglich im Reellen nicht auf Diagonalform transformieren.

6. a)

ESistq(X)=xT'A.xmitA=(_~ -~) Eigenwerte von A: AI = 4, A2 = 9. Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen): -0

x

1

1(2)

=fi'

-0

l,x 2

1(-1)

=fi'

2'

Hauptachsentransformation: x

=

T· x' mit T

=

Js-(~

Hauptachsenform:

Q(x') = (xy· TT. A· T· x' = (xy· ( ~ (X')2 der Hauptachsenform 9

b)

(y')2

+-

4

ESistq(X)=xT'A-xmitA=G Eigenwerte von A: Jel = 2, A2 = 4.

=

~)- x' = 4(x'f + 9(yy Bei q(x) = 36 handelt es sich urn die Ellipse mit 1 und den oben angegebenen Hauptachsenrichtungen.

~}

7 Vektoren und ihre Anwendung Zugehiirige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen): Hauptachsentransformation: X = T·x' mit T =

569

x~ = ~-( - ~), x~ = ~·G)'

~-( - ~ ~).

Hauptachsenform:

~)-x' = 2(X')2 + 4(yY Bei q(x) = 8 handelt es sich urn eine Ellipse

Q(x') = (xy· TT. A- T·x' = (Xy·G (X')2

(y')2

mit der Hauptachsenform - - + 4 2 c) Esistq(x)=xT·A·xmitA= ( 4 12

=

1 und den oben angegebenen Hauptachsenrichtungen.

12) . 11

Eigenwerte von A: Ai = - 5, A2 = 20. Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen):

Hauptachsentransformation:

x=T.x'mitT=~-(-: ~). Hauptachsenform: Q(X') = (X')T. TT. A· To x' = (xy -(

~~ 2~)- x' = - 5(X')2 + 20(y')2

Bei q(x) = 20 handelt es sich urn eine Hyperbel mit der Hauptachsenform - (X')2 4

+ (y')2 = 1 und den oben

angegebenen Hauptachsenrichtungen.

1/4 -1/4) . ( -1/4 1/2

d) Es ist q(x) = x T.A .x mit A =

Eigenwerte von A: Ai = 0,095, A2 = 0,655. Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen):

X O = (0,851) X O = (-0,526). 1 0,526' 2 0,851 Hauptachsentransformation: x

=

T·x' mit T

=

0,851 ( 0,526

-0,526). 0,851

Hauptachsenform:

°

0095

Q(x') = (X,)T. TT. A· T· x' = (X')T. ( '

0) 0,655· x' = 0,095(x')2 + 0,655(y')2

Bei q(x) = 1 handelt es sich urn eine Ellipse mit der Hauptachsenform (

~ )2 + ( ~ )2 =

. den oben angegebenen Hauptachsennchtungen.

)0095 "

7. a) Esistq(x)=xT'A'xmitA=

(i~ 1

Eigenwerte von A: Ai = 1, A2

=

if i 1 2212) . !12

2, A3 = 4.

)0655

1 und

570

Aufgabenlosungen Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen):

(~~

Hauptachsentransformation:x= T'x' mit T=

Hauptachsenform: Q(x') = (xY·T T • A· T'x' = (xy·

-!:J2 !f)

(~ ~ ~) ·x' = (xY + 2(y')2 + 4(Z')2.

Bei q(x) = 4

(X')2 (y')2 handelt es sich urn ein Ellipsoid mit der Hauptachsenform+- - + (Z')2 = 1 und den oben angegebenen 2 2 Hauptachsenrichtungen.

(J2)2

b) Esistq(x)=xT'A<xmitA=

(

3 1J2 1J2) 1J2 1 2 . 1J2 2 1

Eigenwerte von A: Al = -1, ,12 = 2, ,13 = 4. Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen):

x~ ~. ~ x~ ~. =

( -

) ,

=

( -

r) r),x~ =~.

Hauptachsentransformation: x = T·x' mit T

(

=

-

(

-!J2 0 1J2 1 !~~112) 1J2 1

Hauptachsenform:

Bei q(x) = 8 handelt es sich urn ein einschaliges Hyperboloid (Kiihlturm eines AKW) mit der Hauptachsen(X')2 (y')2 (Z')2 form /0 + - 2 + M = 1 und den oben angegebenen Hauptachsenrichtungen. (y 8)2 2 (y 2)2 c) Es ist q(x) = xT'A'x mit A =

1 1 0) (°1 -10 - 11

Eigenwerte von A: Al = - 1, ,12 = 1, ,13 = 2. Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen):

7 Vektoren und ihre Anwendung

Hauptachsentransformation: X = T·x' mit T

=

571

-iJ6 1J2 -tfi) tJ6 0 - tfi ( iJ6 1J2 tfi

Hauptachsenform:

Q(x')

=(xY· TT. A· T·x' =(xY· ( - ~ ~ ~).x' =-

(X')2

+ (y')2 + 2(Z')2

Bei q(x) = a handelt es sich fur a<0

a=0

um ein zweischaliges Hyperboloid mit der Hauptachsenform

um einen Kegel mit der Hauptachsenform - (X')2

a>0

+ (y')2 + 2(Z')2 = 0,

um ein einschaliges Hyperboloid mit der Hauptachsenform (X')2

(y'f

(Z')2

---+--+---=1. (~)2 (~)2 (~)

2

d) Es ist q(x) = x T . A . x mit A

=

~ ~ ~

(

-

-3

0

)

5

Eigenwerte von A: Al = 2, A2 = 6, A3 = 8. Zugehorige (normierte) Eigenvektoren (Hauptachsenrichtungen):

x7= ~.( ~ ).x~= G),:xo= ~. (-~). Hauptachsentransformation: x = T· x' mit T = Hauptachsenform: Q(x') = (X')T. TT. A . T· x' = (X')T.

1J2 0 -!J2) OIl 0 ( 2J2 0 2J2 I

2 0 0) ( 00 06 80 .x' = 2(X')2 + 6(y')2 + 8(Z')2

ei~

Bei q(x) = 2 handelt es sich um Ellipsoid mit der Hauptachsenform (X')2 oben angegebenen Hauptachsennchtungen.

7.5 1.

Iv Ialtl = )36 + 64 = 10

+ ((~')2)2 + ((:))22 = 1 und den -

fi

-

2

572

Aufgabenlosungen

6)X (2) (8 + 3y

=(10)+-(10)~2C~)G)(2)=(10)_66(2)=(-16'4) 13 13 j5 j5 1 13 5 1 -0,2

r /2)_2 G)(~)(2)=(2)_14(2)=(-3'6) ~3 j5j5 I 3 5 I 0,2

(-3.6) =(-16,4) ( -10)X o + 0.2 y - 0.2 ' woraus y = - 1, x = 2 folgt.

2.lv 1 .ltl=JI6+4+16=6

Vl neu =

UO

(-~} u= (_;) - (-~) = (~~)

J100:4+16(~:)= ~(-D

~ ~)y+(~~)Z=( 2 -12~)+-( -12~)-2(-]~D( -2~)=( -12~)~;~( -2~)=(-~~~~~~) -98/15

(-4 )X+(- 3

ylJvyI.Jv

(-D( -2~)=(-~)+2 1517( -2~)=( -4/15 :~~~~) ( -~)-J~D 2 '--------- ( -~)~2 3 (-D(-D( -2~)-(~~)-~( - 3 5-2~)-(-~/5) - 17/5 J36J36

J36J36

Das neue System lautet:

(

-6) (5/5 ) ( 40/15 ) (-160/15) o X+ -6/5 y+ 47/15 Z= -11/15 o 17/5 -4/15 -98/15

8 Differentialrechnung 8.1 1. a) 1'(0) =

lim J2+h - J2 = lim h->O

h

h->O

I

J2+h + J2

b) I'(x) = lim JX+2+h~fi+2 =_1_; h->O

h

2Jx+2

= ! J2; c)

n~2)=lim Jh = W. hlO

h

8 Differentialrechnung 2. a)

b)

-2

I1f

-=

df

I1x

(x

~~ =

6x 2 - 2x + (6x -1),1.x + 2(,1.X)2,,1.x

I1x

dx

1

I1f

e) - =

3

Ax-->O

I1f

-2

I1x

(x - 1)2'

*0,

:~ = 6x 2 -

(l1x#-O),

~(x+l1x)2+~x(x+l1x)+~

(Beaehte: (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3

.

- = hm - = - _ .

(l1x#-O),

+ I1x - l)(x - 1)

df dx

b 3 .)

-

3

=3 (x o =l¢Df (x o _ 2)2 0 f~(x) = 3x 2=>2x = 3X2~X1 = 0, x 2 =l

(x - 2)2

4. fi(x) = 2x, .

.

5. Abszlsse des Sehnlttpunktes:

tan a=tan(az - a j ) =

32

"4X

2x;

-3·P.·

f'(x)=---~----=-3~x

3.

).

x+1 = --~X1 = 2, tan III = f'(2) = 3, tanll 2 = g'(2) = x-I

tan a z - tan a j

1 + tan a 1 • tan a 2

1T

= 1 ~ a=-. 4

= 2x, g'(x) = - 2x; und x 2 seien die Abszissen der Beriihrungspunkte P 1 und P 2 ~ f'(x 1) = g'(X2)~X1 = - x 2 ~P1(X1' xi + 1), P 2( -Xl' - xi - 1). Gleiehung der Tangenten an P 1: y = 2x 1 X - xi + 1, an P 2: Y = 2x 1 X + xf - 1, Xl

Koeffizientenvergleieh:

xi -1 = 1- Xf~X1,2 = ± 1.

Gemeinsame Tangenten: y = 2x, y = - 2x.

7. P

(u, -;) sei ein gesuehter Punkt (u #- 0). Gleiehung der Tangente in P: y u

Sehnitt mit f: 2x 3

Aus

f' (~) =

-

-

3ux 2 + u 3 = O~X1.2 = U, x 3

f'~u/Olg<~ = ~=Ul'2 =

8. a) DI' = lR\{ -1,0};

b) DI' = lR\{O};

= - -;..

u

x

+~. u

u

=

-2".

±t!32 = ± 1,78"" e) DI' = lR\Z.

9. Nein, da f{(4) = 2 und f:(4) = 4. 10. Wegen lim f(x) = - 1 ist

f

an der Stelle 0 nieht stetig und daher aueh nieht differenzierbar.

xjO

11. a) fi(3)

= - 3, f~(3) = 3;

b) fi(3) = f~(3) = 00;

e) fi(3)

= 2,

f~(3)

=l

12. Auf 1= (1,00).

13. v(t) = 5t - 3, die Gesehwindigkeit naeh 45 betragt also 17 ms -1.

i,

14. f{(2) = 15. a)

Xl

= 2,

f:(2) = a~a = x2

= 6;

-l

b) f{(2) = -4,

f:(2) = 4,

f{(6)

= -

4,

f:(6)

=

4.

8.2 1. a) f'(x) = 8x 7 + 20x 3 - 9x 2, b) f'(x) = (x 2 + 2x + 3)e X , x4 e) f'(x) =

-

4x 2 + 2x - 1 (x2 _ 1)2 '

f"(x) = 56x 6 + 60x 2 - 18x, f"(x) = (x 2 + 4x + 5)eX, 2(2x 3 - 3x 2 + 6x - 1) f"(x) = (x2 _ 1)3 '

.

.

I

2, Sehnlttwlnke cc

6. a) f'(x) b)

573

Do = D 1 =D 2 = lR; Do =D 1 =D 2 = IR; Do = D 1 = D 2 = lR\{ -1,1};

574

Aufgabenlosungen

1 d) j'(x)=z·(l-lnx),

1

j"(x) =3".( -3 + 2Inx),

x

x

°

e) Beachtet man (Ixl), = sgn x fur x =f- und x·sgn x = Ixl => j'(x) = 3xlxl, j"(x) = 61xl, Do = D 1 = D 2 =~, die Stelle x = muE getrennt untersucht werden;

°

f) j'(x) = 32(2x _7)15,

j"(x) = 960(2x _7)14,

4x g) j'(x) = 2x2 + 7'

f"(x)

=

2te- t2 ,

f"(t)

= -

h) j'(t)

= -

4(7 - 2x 2 ) (2x2 + 7)2'

2(l-2t 2)e-e,

2. Beweis durch vollsHindige 1nduktion. 3. a) f'(x) = (x'sinx + sinx + 2x·cosx)eXsinx, D1 b) f'(x) = 2(x·sinx + cosx)eX sinx, D 1 =~;

=~;

2

°

fur ~ x < n { } .. , D 1 = [0,2nJ\ n fur n < x ~ 2n

2

2x·sinx + x cosx c) j'(x) = . { -2x·slnx - x 2 cosx

wegen f~(n) = n 2, fi(n) = - n 2 fur x = n nicht differenzierbar; Ix-31 d) j'(x)=--'(2x'sinx+(x 2 -9)'cosx),

x-3

x·lxl + 2x

e) f'(x) =

2 .

(lxl+1)

f) 4. a)

x2 sinx + - _ . COSX, Ixl+1

D 1 =[0,2nJ\{3};

D1 =

!'(X)=Jh·(L·Sinx+ cosx} D,=IR+.

x=

awcos(wt +
b)

x=

c[wcos(wt +
5. a) fist auf (- 2,2) einmal stetig differenzierbar; 6. a =

~;

-1,

b = 2,

c=

h+h2·COS~ h

h-->O

~

b) fist auf [R viermal stetig differenzierbar.

-l

h = lim 7. f'(O) = lim - - - d.h. fist auf

c) X = - cp- Pt ; d) X = - cp2te-Pt.

(+n h· ) 1

cos 2

h-->O

{1 = 1,

+nsin~+2x·cos~ x

j'(x) = 1

fur x=f-O

x

fur x = 0,

differenzierbar.

8. Wegen lim f(x) = 3, lim f(x) = 5 ist f fur x = - 2 nicht stetig und daher auch dort nicht differenzierbar. Weiter xi - 2

ist

xl- 2

f{( -4) = -

=>

~ x+4 j'(x)=

-[x+2J

Ix-21 l..Q(x+1)·-x-2

9

9.

(Spitze),

00

j{(2) =

-If,

f;(2)=lf,

jedoch

ji( -3)= j;( -3)= 1,

° Dr = -4, - 2,2}. Durch formales Ableiten (beachte (Ix I)' = sgn x = ~ fur x =f- 0, °fur x =f- Z) erhalten wir

f{( -1) = j;( -1) = ([xJ), =

j;( -4) =

00,

[R\ {

x

fur

XE( - 00, -

fur

XE( -

fur x E [

-

3, -1)\{ - 2}, 1, 00 )\ { 2}.

(I) 1nduktionsanfang: Fur n = 1 ist

(f·g),

=

±

k=O

(1)f(l-k L g(k) k

=

f'g

3J\{ -4},

+ fg'·

8 Differentialrechnung (II) Induktionsschritt: =

A(k): (j . g)(k)

.. L (k) . j(k-l)g(l) k

l

i=O

(f'g)(k+ 1) =

=

(to (~)

it (~)

k =i~O

=

(k)i

flki)g(i»)'

(f(k+ 1- il g
..

k (j(k+1-1)g(I)+i~O

L

(k)i j(k-l)g(d1) ..

.

k+1) j(k+ l)g + k ((k) + ( ._ k ) ) j(k+ 1-1)g(l) . . + (k+1) jg(k+ 1) o i=l l l 1 k+ 1

(

A(k + 1): (j .g)Ck+ 1) = k+1(k+1) i~O i j(k+ 1-i)g(i).

8.3 1. a) j'(x) b) j'(x)

= =

c) j'(x) =

(2x + 3)(x 4 - 2x 2 + 7) + (x 2 + 3x - 4)(4x 3 - 4x), 10(x 7 - 3x 5 + 7)9(7x 6 -15x 4 ), Do = D 1 = lR;

-~, (1 + 5x)

Do .

=

Do

=

D 1 = lR;

D 1 = lR\{ --t};

24x

d) j'(x) =

(1

+ 4X 2 )4' Do = D 1 = ~;

-10x 6 + 30x 5

34x 4 + 80x 3 + 22x 2 (5x 4 _ 2x 2 + 3)2

-

e) j'(x) =

-

- 4x(3x 4 - 3x 2 + 1) 4 2 ,Do = D 1 = lR\{ (1-3x)

f) j'(x)

-7

~'

g) j'(u)=

Do=(-w·iJ,

2v 4-7u

34x + 6 Do = D 1 = lR;

' 1 4

r;y:, .

± Tv 27},

D 1 =(-w,i);

2-t

~'

h) s(t) =

2. j'(x) =

v (t2 + 1)3 -3x 2

3. s(l) = 5m,

-

2x + 3

+x

(1

2 2

'

)

s(2) = 20m,

4. a) j'(x) = sinx + x·cosx, ,

b) j (x)

x

j'(l) =

s(5) = 125m,

+ x . tan x - tan x

c) j'(x) = - tan 2 x,

2

Tangente: y = -!x +~. s(l) = 10ms -1,

s(2) = 20ms -1,

Do = D 1 = lR;

2

x

-!,

'

_ _ { 2k Do - D 1 - IR\ 0,

+1 } 2

Do = D, = IR\ {2k; 1 n}, kEZ;

n ,

kEZ;

s(5) = 50ms -

1.

575

576

Aufgabenlosungen d) f'(x)

=

sinx - x· cosx

.

2

SIn x

e) f'(x) = - sin 3 x,

,Do = D 1 = lR\{kn},

kElL;

Do = D 1 = lR;

2

(1 - x ) sinx - X'cos x f) f'(x) = . , (sinx - x· COSX)2 g) j'(x)

=-

co: x'

= D, = 1R\{2k; 1 1l}

Do

4

Do = D 1 = {xix # tanx};

kEZ;

, 4(sin2x - 2x'cos2x) h) f(x)= . 2 ,Do=D1=lR\{0}; (2x + sln2x) i) f'(x) = 3tan 2 (x 2 sinx)'(1

j) f'(x) = -

+ tan 2 (x 2 sinx))'(2xsinx + x 2 cosx);

Ixl ,Do = D 1 = lR\{2kn}, x(l-coslxl)

2 , _ (x k) f(x)-

-

kElL;

2

1)' X'cosx - (x + l)'sinx _ _ {_ }. (x 2 -1)lx 2 -11 ,Do-D1-lR\ 1,1,

1) f'(x) = Isinxl'cotx,

Do = lR, D 1 = lR\{kn},

kElL;

m) f'(x)=lJ~I'cotx, Do=lR, D1=lR\{kn}, n) f'(x) = - sinx, Do = D 1 = lR\{kn}, kElL.

kElL;

5. a) Schnitt y-Achse: f(O) = 1=>P 1(0,1)=>a 1 = 116°33'54" Schnitt x-Achse: f(x) = 0=>P 2 (1,0)=>a 2 = 0°; b) Schnitt x-Achse: Pk(kn,O), kElL, a = 45° bzw. a + 135°; c) Schnitt x-Achse: P(O,O), a = 45°. 6. a) f'(x) = (cosx - sinx)e- X , Do = D 1 = lR; b) f'(x) = - sinx'e cosx , Do = D 1 = lR; 1 c) f'(x)=-{e-1/X, Do=D1=lR\{0};

x

x2

d) f'(x) = - 2xe- , Do = D 1 = lR; e) f'(x) = x·(2sinhx + x'coshx), Do = D 1 = lR; f) f'(x) = (1 + cothx - coth 2 x)· eX, Do = D 1 = lR\ {a};

g) f'(x)=

x2

+ x'sinh 3 x - coshx'sinh 2 x 2

.

x 'Sln

h2

h) j'(x) =!( 1 -

tanh2~),

Do = D,

i) j'(x) = tan 2x

+

Do

7. a) x

=

tanh 2x,

2k + 1

c) x=-2-n, 2

=

1 + tan 2x ~' y tan 2x

b) f'(x) =!'sinfi, c) f'(x) =

= IR;

= D, = IR\ {~+ kn}, kEZ.

kn, kElL;

8. a) f'(x)

Do=D1=lR\{0};

'

x

1

Do

k

2

4

Do = D 1 = lRri;

~'

2y x(l-x)

2k + 1 ) + U[k-n, - n , D1 =

Do = [0,1],

D 1 = (0, 1);

kElL;

4k

2k + 1 ) U(k-n, -n . k

2

+1

d) x =-4-n, kElL.

4

kElL;

8 Differentialrechnung

1

e) f'(x) = 2arcsinx· ~ ' y 1-x 2

1 f) f'(x)=--2(1 + X)2'

Do = [-1, 1J,

D 1 = (-1,1);

Do =D 1 = fR· ,

1

g) f'(x) = (1

h) f'(x)

+ x)(x2 _ X + 1)' x

D o =D 1 =(-1,1);

=--4'

I-x x3

i) f'(X)=-4--4' a -x

Do=D1=(-a,a),

2

j) f'(X)=---2'

fallsa>O;

D o =D 1 =fR\{-1,1};

I-x

k) f'(x) = lnlxl,

Do = D 1 = fR\{ -I};

Do = D 1 = fR\{O};

I) f'(x) = Ca;x +(1 +tan 2 x)lnx }xtanx,

1 + tan x]

y[nn,2n;l n),

und

1R+\{2k; 1n},

kEN;

2

1

m) f'(x) = (tanx)lnx -·In(tanx) + (lnx)· [ x

Do=(O,~)

Do=D 1 =

tanx

,

D=y(nn,2n;l n), n=O,l,...;

nEN,

1

1

2x 1:41'

0) f'(x) =

Do

yx 4 -1

p) da Do =

0, ist f

,

= ( - 00,

1

2

1

x·lnlxl

( - 00,

-l)u(l, (0);

D o =D 1 =(-1,1);

I-x

s) f'(x) = - - ,

D1=

keine Funktion;

q) f(x)=(artanhx) · - - 2 '

, Ixle 1x1 r) f(x)=--, x

-lJu[l, (0),

Do=fR,

D1=fR\{0};

Do = D 1 = fR\{ -1,0,l}.

1 9. lim In (x + h) + In x =limn· [In( x+-1) -lnx ] =limln (1+hlO

h

1

=-,

x

10. a) f(S)(x)

=

n

n->oo

51;

n->oo

)n =lim-·ln 1 ( 1+1 )nx

nx

analog fur hjO.

c) f(4)(X) = 16(3 +4x+x 2)e 2x ;

b) f"'(x) = x 2 (47 + 60·lnx); d) f(S)(x) = (-20 + lOx x 2)e- x.

n->oo X

nx

577

578

Aufgabenlosungen

11. a) f(n)(x) = b) f(n)(x)

=

2'n!

.

(1 - x)n+ l '

(_l)n+ 1. 1·3 ... (2n-3); 2n x n - 1 fi,

(n-l)'

(n-l)'

(l+xt

(l-xt

d) f(n)(x)=(_l)n+1. _ _· + - - ' ;

f(2n)(x) = (-lta 2n sinax.

e) f(2n-1)(x) = (_1)n-1a2n-1cosax,

f) Mit Aufgabe 9 in Abschnitt 8.2 erhalt man f(n)(x) = 2n- 3(8x 3 + 12nx 2 + 6n(n - l)x + n(n - l)(n - 2))e 2 X, wenn man dabei (x 3)(n) = 0 fur n = 4, 5, 6, ... beachtet. 12.

f

differenzieren und in die Differentialgleichung einsetzen.

13. (I) Induktionsanfang: Fur n = 1 gilt (-1)°·0! 1 (In(x + 2))' = - - - = - x+2 x+2

fur aIle

XE( -2,(0).

(II) Induktionsschritt: . A(k): (In(x + 2) )(k)

II JJ

A(k+ 1)' (In(x+2))(k+1) .

(- 1)k-1(k-l)' =

=

(x + 2)k

.

(( -1)k-1(k-l)!)' (x + 2)k

=

-k( -1)k-1(k-l)! (x + 2)k + 1

(-l)kk!

=--(x + 2)k + 1 .

14. a) Nullstellen x k = akn, (kEZ), f'(x k) = (-1)\ b) Nullstellen Xk = akn, f'(x k) = 1, kEZ; c) Nullstelle x=a, f'(a) = 1. 15. f'(O) = 1 =>cx

45°.

=

, a(1-bx 2) , 16. f (x) = (1 +bX 2)2' f (0) = a=>a = 1. 17. Aus 1 = 1 + x'lnx folgt x·lnx = O=>x = 1 => f'(l) = 1=>Gleichung der Tangente: y = x. 18. Aus 3=J6-2x-x 3 folgt x 1 =-1 (einzige Lasung). Wegen f'(-l)=-t ist mN=~=>Gleichung der Normalen y = ~x + If. x 19. f'(x) = - tan -=> f'(2an) = O=> Normale parallel zur y-Achse. a 20. Gleichung der Tangenten: y = af'(xo)'x + a(f(x o) - xof'(x o))' Schnittpunkte der Tangenten: X s = X o - f(x o)'Ys = 0, also unabhangig von a. f'(x o) 21. f'(x) = 1 =>x 3(3x - 8) = 0=>x 1 = 0, X 2 = Gleichung der Tangente: y = x - 4. 2

b 22. a) Schnitt: J x 2 - a 2 = x f'(x)

=

x

~

V x

2

-

a

2

=> Xl =

und

g'(x)

i, Xl entrallt, da f'(O) nicht existiert.

4 + 4b 4 (aIle anderen Lasungen entfallen), mit ! J 2a 2 + 2)a= -

b2 2 x

folgt f'(x 1)'g'(X 1) = - 1;

8 Differentialrechnung ~

579

b-a

b) Schnitt: J2ax + a 2 = y b 2 - 2bx==;:,x 1 = - - . 2 Mit f'(x) =

a

~'

y 2ax + a 2

g'(x) = -

b 2 y b - 2bx

~ folgt

f'(x 1 )' g'(x 1 ) = - 1.

23. Schnitt: tanx s = cosxs==;:.sinxs = cos 2x s ==;:. sin 2x s + sinxs -1 = O==;:.sinxs = -1 ± Ji + 1 =>sinxs = 1(.)5 - l)==;:.sinxs = 0,618 ... ==;:'X s = 0,666 ... (x s = 33° 10'21,7") ==;:. Ys = cosxs =1J2fi -2.

f~(x) = - sinx, f~(x) = 1 + tan 2x

8.4 1. a) df(2) = 82dx; c)

b) df(3) = - idx;

df(~)= ~1j3dx;

d)

df(l)=dx.

2. a) L\y = 3(x 2 - 2)L\x + 3X(L\X)2 + (L\X)3; c) L\y - dy = 3x(dx)2 + (dX)3.

b) dy = 3(x 2 - 2)dx;

3. Funktionen, deren Graphen Geraden sind, d.h. f: 4. a) 2ax + b'sinx;

b) a(wcoswt - sinwt)e-

c) b - x'cosa;

d) sinv

5. a) !(x) = -H'x+~t e) !(x)

f) !(x) = 4x.

1;

!l

dl

dT

-' - ==;:.- = 9 l T

dl

l' -

I

;

==;:. T kann ungeHihr auf 0,5 % genau angegeben werden.

2n n 7. T = -==;:.dT= - --·dg==;:.IL\TI ~

jg

b.

b) !(x)=lge'(x-1); d) !(x) = 1X+ 1;

6. d T = n

x~ax +

+ v·sinu.

c) !(x) = 1X + 1; =

t

gjg

n

;:1L\gl;mit L\g = 1'10- 6 folgtL\T ~ 1'10- 7 , d.h. TmuB aufsechs Stellen

gyg

nach dem Komma genau angegeben werden.

4n

8. Aus V = -'r 3 [olgt dV = 4nr 2dr==;:.IL\V] ~ 4nr 21L\rl, mit r = 20, dr = L\r = 0,05 ergibt sich L\V ~ 251,327 cm 3 . 3 1)

9. f3 = arcsin -' sin rx ==;:.df3 -

(

n

cosa

Jn

2

-

sin 2rx

. drx

8.5 1. Nein! Gegenbeispiel: f mit f(x) = x 3, Df = [ -1,1]. 2. xJi = 1,2, ... ) seien die Nullstellen der Ableitung a) -10<x 1 < -6<x 2 <6; b) 0<x 1 < 1.

3. f(b) - f(a) = 13==;:.6( - 8 = 13==;:.( = l b-a

580

Aufgabenlosungen

4. a) ~=e-1;

b) ~=-i(2+j7);

1 5 a) 9 = - - ' . l+a'

b) 9

c) m =

f(b) - f(a) b-a

S

c)

1

=--

ab

=

v Gabo Wegen vGab
1 --

f'(~)=

=

= 1,95995... n.

1 =~.

=>~

6. a) f(x)

~

~l

x4,

f'(x)

= 4x 3 , 1

b) f(x)=~,

f'(x)=

4'

h = - 0,002 => 0,998 4 ~ 0,992;

x= 1,

40' 3

~1,005 = 1 +0,005'

h = 0,005,

x= 1,

Vx

1

4'~1+9h

~ 1,00125;

c) f(x) = In(cosx), f'(x) = -tanx, x=O, h=O,Ol In(cosO,Ol) = IncosO - h· tanO,019=>0> In(cosO,Ol) > - 0,0001 =>In(cosO,Ol) ~ - 0,00005; d) f(1,03) = f(l) + 0,03' f'(l +0,039), f(l) = 5, f(1,03) 2·tanx 1 e) g(x) = -1-' g'(x) = --1-=>g(10- 3 ) ~ 1,000001. cos x cos x 7. a) f'(x) =

5,27;

°fur aIle xED! =>(Satz 8.26) fist eine konstante Funktion; o

fur

--!-fi<x<-!-fi

fur

-!-fi < Ixl < 1

4_

b) g'(x) =

{

'

jl=?

8. a) f(x)=x-In(l + x), b) f(x) = eX,

x = 0,

c) f(x) = arctanx,

x=O,

d.h. gist nicht konstant.

9x l h=x=>x-In(l +x)=-->O; 1 + 9x

h = x =>e X = 1 + xe sx , wegen xe sx ~ x (Gleichheit nur fur x = 0) folgt die Behauptung; arctan b - arctan a 1 1 f'(x) = 1 + Xl => b_ a = 1 + ~l'

1

1

1+~1

l+a '

~>a=>--<-l

d) Setze in c) a = 1, b =

1

1

1+~1

l+b '

1.

xlO

a < ~ < b,

~-->--' l

9. Wegen limg(x) = - 1, limg(x) = 1, hat 9 in x = xjO

~

°

eine Sprungstelle.

Nach Satz 8.27 kann 9 daher nicht Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion sein. 10. fl' fl hatten die Eigenschaft, d.h. f~ = fl' f~ = fl' Es sei fl , f~fl - flf~ g=-=>g= 1 =O=>g=C=>fl=C'fl' fl fl

11. h = (fl - gl)=>h' = 2.ff' - 2gg' = 2fg - 2fg = O=>h ist eine konstante Funktion fur aIle xE[a,b]. h(a) = [f(a)Jl - [g(a)Jl = 1 =>h(x) = 1. Xl x 4 Xlk 12. a) cosx=l--+-=t .. ·+(-l)k·-+R 2! 4! (2k)! lk+ 1

mit

R lk+ 1

={_l)k+l· cos9x · Xlk+l. (2k + 2)! '

8 Differentialrechnung b) In (

R

2k 5 3 1 + x) = 2 [x + x + x + .. , + X - I ] + R 3 5 2k - 1 2k' 1- x

__ 1_( 1 + 1 2k- 2k + 1 (1 + 9X)2k+1 (1_9x)2k+1

)'X

x3 x5 X 2k - I c) sinhx=x+-+-+ ... +---+R 3! 5! (2k - i)! 2k

581

mit

2k +1.

mit

'

R

2k

=

cosh( 9x) 2k l ·X + . (2k + i)!

x2 xn 1 1 13. In(l+x)=x--+···+(-l)n-I·-+R mitlR 1:::;--=>n~--1=2·103-1. 2 n m n - n+ 1 - IR n I

2 _ . _ 2(1 + 2sin 9x). 3 '" 2 3 _ 1. - 3 14. tanx-x+R 2 ,mltR 2 3!cos 4 9x x =>IR21"'3!lxl -3 10 .

U0 - U U Ra 1 15. v ; - = 1 ~ U = 1 ~ Ri+-R = 1-1 o

R +;;; = 1- (1R

a

i

U0

)

-

U

Ri

± ... , d.h.v;-"" R;

a

16. a) f(x) = 135 + 251(x - 3) + 185(x - 3)2 + 69(x - 3)3 + 13(x - 3)4 + (x - 3)5, f'(3) = 251, f"(3) = 370, f"'(3) = 414, f(4)(3) = 312, f(5)(3) = 120; b) f(x) = - 25 + 38(x + 1) - 31(x + 1)2 + 4(x + 1)3 + 9(x + 1)4 -6(x + 1)5 + (x + 1)6, f'( -1) = 38, f"( -1) = -62, f"'( -1) = 24, f(4)( -1) = 216, f(5)( -1) = -720, f(6)( -1) = 720. 17. Durch Polynomdivision erhalt man: r(x) = x 3 - 5x 2 + 2x - 1 +

3x 2 -4x +2 3' (x-i)

Mit Hilfe des vollstandigen Hornerschemas (fur den ganzen Anteil) und der Partialbruchzerlegung (fur den echt gebrochenen Anteil) ergibt sich: 123 23 r(x) = (x -1)3 + (x _ 1)2 + x-I - 3 - 5(x - 1) - 2(x - 1) + (x -1) . Die Koeffizienten lauten demnach: a_ 3 =

1, a_ 2 = 2,

a-I

= 3,

ao =

- 3,

al

= - 5, a 2 = - 2 und

a3 =

1.

18. a) Aus den zwei Gleichungen h2 h3 f(x 2) = f(x l ) + hf'(x l ) + - f"(x l ) + - f"'(x i + 9h) 2! 3! 4h 2 8h 3 f(x 3 ) = f(x l ) + 2hf'(x l ) + f"(x l ) + - f"'(x i + 92h) 2! 3!

erhalten wir nach kurzer Rechnung, wenn die erste Gleichung mit - 2 multipliziert und zur zweiten addiert wird: f"(x

) l

=

f(x l ) - 2 f (:2) + f(x 3 ) h

_

hf"'(x + 9h). i

b) Folgende vier Gleichungen ergeben sich: 4h 2 8h 3 16h4 32h 5 f(x l ) = f(x 3 ) - 2hf'(x 3 ) +2! f"(x 3 ) -31 f"'(x 3 ) +41 f(4)(X 3 ) -5! f(5)(X 3 + 92h) 2

3

4

5

2

3

4

5

f(x 2) = f(x 3 ) - hf'(x 3 ) +

h h h h 2! f"(x 3 ) -'- 3! f"'(x 3 ) + 4! f(4)(X 3 ) - 51 f(5)(X 3 + 9h)

f(x 4) = f(x 3 ) + hf'(x 3 ) +

h h h h 2! f"(x 3 ) + 3! f"'(x 3 ) + 4! f(4)(X 3 ) + 51 f(5)(X 3 + 9h)

4h 2 8h 3 16h4 32h 5 f(x l ) = f(x 3 ) + 2hf'(x 3 ) + 2! f"(x 3 ) + 31 f"'(x 3 ) + 41 f(4)(X 3 ) + 5! f(5)(X 3 + 92h)

582

Aufgabenlosungen

Es werden Zahlen a l , ... , a 4 bestimmt, die die Terme fur f', fill und f(4) verschwinden lassen, wenn man die obigen Gleichungen mit diesen multipliziert und dann die Gleichungen addiert. Folgendes Gleichungssystem ergibt sich damit: -2a l -a 2 +a 3 + 2li 4 =0 -2a l -a 2 +a 3 +2a4 =0 -8a l - a 2 + a 3 + 8a 4 = O<=> li 2 - a 3 = o. 16a l +a 2 +a 3 + 16a 4 =0 a 3 +16a 4 =0 Wahlt man li 4

-1, dann ergibt sich a l = a 4

=

=

-1 und li 2 = a 3 = 16 und damit

8.6 3·cos 3x·cos 2 5x b) lim - - - - - 5

x

1. a) lim - - - = xlI

2fi=l

c) 4;

d)

2. a) 1;

i;

elY

'

f) 2;

e) 2;

b) ja, durch f(O)

4. a) lim x--+O

sinx - arctanx 2

x In(1

+ x)

=

lim

x2 2xln(1 +x)+-3 X _

b) x--+o lim

2

x In(l

+ x)

(

=

h) 1;

1)

l

i) e.

2x

cosx - - -2 1+ x

lim

=

x--+O

1+ x

sinx - arctanx

g) 1;

k) 1;

e3.

=

x--+O

1

."re;

f)

2 j) -; n

i) 0;

h) 0;

2'

1 e) -; e

d) 1;

b) e;

l.

g)

x 3!

+x

lim

2

x

5. Da die Ableitung des Zahlers fur x

~O

x(3x + 4) 2ln(1 +X)+---2 (1

5

3

=+= ... ) _

5!

x--+O

- sinx + - - 2(1 + X )2

(2 X

x-

2

(x _ x 3

3

x_

+ 3 +···

+x

)

...

=

l

+ x)

5

=+= ... )

5

nicht konvergent ist.

6. s bezeichne die Lange des Bogens, r sei der Radius. Wird der Winkel x im BogenmaB angegeben, so gilt s = xr (fur x t 0 strebt auch s to). Es ist dann r2

As = - (x - sin x) 2

und

r 2 (1 - cos x)sin x

All = _. 2

1 + cos x

7. p=poexp[-K-ln(l + K-1o!!.52ogoh)], K-

1

K

Po

As

=> lim xlO

All

= 1, fur» kleine« x gilt daher As ~ 1ALl·

lim p=exp(PO og .h). k--+ I

Po

8 Differentialrechnung 9. ex) a) lim f(x)

=

1, d.h. fist fur x

583

0 stetig,

=

x-+o

b) f{(O) =

f~(O)

= -

00,

d.h. nieht differenzierbar (uneigentliehe Ableitung).

f3) a) lim f(x) = 1 => f stetig fur x = 0, x-+o

b) f{(O) = f:(O) = -

00, d.h. nieht differenzierbar (uneigentliehe Ableitung). 1 y) a) nein, wegen lim f(x) = -, b) entfallt wegen a). xTO e

10. f(n)(o)

=

0 fur aIle nE N.

8.7 1. a) f'(x) = 3x 2 - 27. Dann gilt naeh Satz 8.32. i) f'(x) < 0 fur Ixl < 3, d.h. fist auf [ -3,3J streng monoton fallend. ii) f'(x) > 0 fur Ix I > 3, d.h. fist auf !R\( - 3,3) streng monoton waehsend. b) f'(x) > 0 fur aIle XE!R=> f auf!R streng monoton waehsend; e) fist auf ( - 00, - 2), (- 2,2) und (2, 00) streng monoton waehsend; d) fist auf ( - 00, OJ streng monoton waehsend, auf [0, 00) streng monoton fallend; e) fist auf !R streng monoton waehsend.

x2

2. i) f(x) = In(l + x) - x + 1X2, f'(x) = - - > 0 fur x > o=> f streng monoton waehsend, wegen f(O) = 0 folgt die linke Ungleiehung, 1+ x x

ii) f(x) = x -In(l + x) => f'(x) = - - > 0 fur x> 0, wegen f(O) = 0 folgt die reehte Ungleiehung. l+x 3. a) f'(x) = (x - 1)4(6x - 1), f"(x) = 10(x - 1)3(3x - 1), f"'(x) = 60(x - 1)2(2x - 1), f(4)(X) = 120(x - 1)(3x - 2), f(5)(X) = 120(6x - 5), f(4)(1) = 0, f(5)(1) =f. O=>kein Extremwert fur x = 1, f'(-~) = 0, f"(-~) > O=>rel. Minimum, gleiehzeitig absolutes Minimum, f(-~) = b) f'(x)

=

2·(x 2 + 1)(x 2 - 1) 3

e)f'(x) = 1 + In x, f"(x) d) f'(x)

=>x

x 'l

1 = -, x

2

=

-

0,067,

± 1=> f hat an den Stellen Xl ,2 = ± 1 absolute Minima, da f"(± 1) > O.

fur x = -1 hat f ein absolutes Minimum, da f" (1) e e

=

e > O.

3x(2 - x) => x = 0 absolutes Minimum (nieht differenzierbar in 0, aber Vorzeiehenweehse1 von f'); 2Jx 2(3-x) x = 2 relatives Maximum (f"(2) < 0); x = 3 absolutes Minimum (f"(3) > 0). 4. f'(x) = 3ax 2 + 2bx + C, f"(x) = 6ax + 2b, f"'(x) = 6a, a) b 2 - 3ac > 0 und a f= 0; b) a f= 0; e) b 2 - 3ac = 0 und a =f. 0; d) 2b 3 - 9abc + 27a 2d = 0, a f= O. 5. Xl

2 =

,

=

-b±Jb2 -3ac , 3a

b Xl+X l 3a 2

b = 3a

X w = - -, - - = - -

X w'

... . entspreehend fur dIe Ordinaten.

6. T=c·b·h 2, h 2 =4a 2 -b 2 ,0
dT 2 2 d T dT db = c(4a - 3b ), db 2 = - 6cb, db = O=>b 7. h = a' sin q;,

m = a(l + eosq;)=>A

A' = a 2 (2eos 2 q; +eosq; -1),

2

2 IL 3a, h ="3y' 6a.

;;

="3y'

n

= a 2 sinq;(1 +eosq;), 0 < q; ~ 2'

A" = a 2 ( -4eosq;·sinq; - sinq;),

584

Aufgabenlosungen

A'

=

A

(~ ) = ~j3a2,

O=costp = 1='1' =

1

A

G)

= a 2= kein Randmaximum.

r n r2 h = - - OA=---COS qJ' 2 cos qJ . sin qJ , 2 d A =2'sinqJ + 2'cosqJ dA =O=>qJ=!!..=>h=rfi. dqJ2 cos 3 qJ sin 3 qJ' dqJ 4

2r a=-.-, SIn qJ 2 2 sin qJ-cos qJ 2 2 cos qJ·sin qJ'

8. A=2a'h,

dA dqJ

j, A"( j) < O=rel. Maximum,

9. V ist maximal, wenn der Querschnitt A maximal ist:

0
A=b.d+1J4b2-d2 4

,

A

A(2b)=2b 2,

A(O) = 0,

-=O=>d=-1Ub, dd

2 d ] J 4b 2 _ d2 '

dA=b+ 1 [J4b 2 _d 2 dd 4

-,

A(\!i2b)=2,2b 2.

10. A I' A 2 seien die FHicheninhalte der beschienenen Kugelkappen, x die Entfernung Lichtquelle-Mittelpunkt der Kugel mit Radius r I ; a I , a 2 die Radien, hI' h2 die Hohen der Kugelkappen A = Al

2 2 Al = n(a 1 + hI)'

+ A 2,

r1 ~ a 1 =-yx -r 1 , x

i'

h2 =

A = n[r 2(x - r 1 ) x

2 2 A 2 = n(a 2 + h 2),

r2(d-x-r 2) , d-x

r2 a2 = - d-x

+ r~' 2(d-X-r 2)]=> dA = dx

d-x

hI =

r1(x - r 1) x

J (d-x) i

n [2r x2

2

,

2

-r 1 ,

_2L], (d-X)2

3

dA (d - X)2 r - = 0=>--2- =~, d.h. die Quadrate der Entfernungen von den Mittelpunkten der Kugeln verhalten sich dx x r1 wie die Kuben der Radien. 11. Es sei (vgl. Bild L8.1) x = CE,

U

= CD und z = DE.

Das Dreieck ABC solI fHicheninhaltsgleich geteilt werden =>-!-xu' siny Der Kosinussatz liefert: Z2 = x 2 + u 2

a2 b2

Z2 = g(x) = x 2 + --2 - ab'cosy, 4x 2

a b

2

g'(x)=2x-~,

g'(x)=O=>x=

-

ab -!-(-!-ab'siny)=>u =-. 2x

ab 2xu·cosy. Mit u = - falgt 2x

0 < x < a.

~ './2'

3a b 2

=

2

Wegen g"(x) = 2 +--4- > 0 ist Z2 und damit z fur x = 2x

ftb minimal und es gilt: z2=ab(l-cosy). -

2

Entsprechend erhalt man Z2 = bc(1- cosa) bzw. Z2 = ac(l- cosfJ). Das kleinste z ist zu wahlen. Das Dreieck CDE ist wegen u =

ft

gleichschenklig.

12. x sei die Entfernung von Al zum Umschlagplatz=> ~

T=(l-x)[3+yx 2 +d 2'a, d 2T ad 2 --2 = 2 d2 3/2 > 0, dx (x + )

dT

ax

dx

Jx 2 +d 2

O~x~l, - = -[3+

dT [3d - = 0 => X 1 = ~,falls dx y a 2 - [32

, ..

XI

< l, fur x 1 ~ l findet n ur Landtransport statt.

8 Differentialrechnung

585

c 1

b Fahrtrichtung Segel

E A Windrichtung

B Bild L8.l: Zur Lasung von Aufgabe 11

Bild L8.2: Zur Lasung von Aufgabe 15

13. Die Kugel fiihrt mit der waagrechten Ebene einen schiefen StoB aus. Bezeichnen wir die Geschwindigkeit in x- Richtung vor dem StoB mit V x und nach dem StoB mit v~, so ist v~ = vx . Ferner gilt: E kin = Epot~mgl'sina =tmv2~v = J2glsina, Vx = v~ = V cosa~v~ = J2glsina'cosa, 2

dv' cos a - 2sin ---=-=J2ii ~ da ~na

2a

=O=tana=!j2=iX:d5,26°.

1 14. va Anfangsgeschwindigkeit, a Wurfwinkel, g Erdbeschleunigung, W = _. v6sin 2a, g

~~ =~'V5COS2iX, (O
b a dl b'sin

d 1

2

--2 = d q;

b(l + sin cp)

3 cos q;

2

+

a(l +cos cp)

. 3 SIn cp

> 0 liefert CPo ein (absolutes) Minimum. l(q;o) =

J (~a2 r:z fi:i + ~ b 2)3. 3

3

d 4m df 4m 17. r = - - , f = 2'sin
df = d
O~q;o =

O,615 ... (q;o liefert das Maximum, da f' an dieser Stelle sein Vorzeichen von» +« nach »-«

wechselt)~h = rsinq;o

d

= -

2

tan CPo =

d

-j2. 4

586

Aufgabenlosungen

18. a) Es seien P(u, v) die gesuchten Beriihrpunkte, dann gilt v 2 = 2pu. Die Gleichung der Tangente t in P lautet vy

= p(u + x)=S (

2 2 d = PS = (u g'(u) =

2(

u

~~,; (u ~ ~) ) ist der Schnittpunkt von t mit der Leitlinie=

+~y +(v - ; (u -~) y=d2 = g(u) = (u +~y (1 +Ju) mit 0 < u < = 00

+JJ + +~y (~ 2:

+~)( 1

(u

2

)=g'(U) =

4~2 (u +~}8U2

u +!!.. = 0 oder 8u 2 + 2pu - p2 = 0 (u = -!!.. entfallt wegen u > 2

+

2pu - p2), g'(u) =

0=

0)~U1 ' 2 =!!..( -1 + 3)~U1 = !!..(u 2 entrallt). 8 4

2 Da 9 auf (0, 00) beliebig oft differenzierbar ist und limg(u) = lim g(u) =

00

ist, hat 9 und damit d an der Stelle

ulO

~ ein absolutes Minimum. Die gesuchten Punkte sind also P 1.2 (~, ± ~j2)b) Aus y 2 = 2px und Y > 0 folgt Y = f(x) =~. Der Abstand d von P zur Geraden durch P 1 und P 2 wird maximal, falls P Beriihrpunkt der zu P 1P 2 parallelen Tangente ise). Wegen f'(x) =

~folgt fiir den

Beriihrpunkt P(x,Y):

y2px p

--= ~

Y 2- Y 1 X2-X 1

---~x

=

p( X2 - X1)2 2 2· Y2 + Y1 2. Da Y2 = 2pX 2 und Y1 = 2px 1 1st, folgt x = - - - 2(Y2 - YI) 4(Y2 - Y1)

19. Wir legen das Koordinatensystem so, daB der Mittelpunkt der Ellipse in 0 liegt und die Achsen der Ellipse mit den Koordinatenachsen zusammenfallen. Aus Symmetriegriinden geniigt es, den 1. Quadranten zu betrachten, b d.h. XI'Y1 ~ O~ YI = a 2 - xi mit 0;£ xI ;£ a. Es sei (J" der von der Normalen in PI und von der Geraden OP 1 a eingeschlossene Winkel, tan (J,,1 bzw. tan (J,,2 seien die Steigungen der Geraden OP I bzw. der Normalen durch Pl' 2 YI a YI . dann gIlt (J" = (J,,2-(J,,1, tan (J,,1 =-, tan (J,,2 =-2-~ Xl b Xl 2 a YI YI tan(J,,2 - tan(J"l hi· Xl - Xl xi yi b ~ tan(J" = tan((J,,2 - (J,,1) = = 2 2· Beachtet man 2" + 2" = 1 und Y1 = -y a - Xl' so erhalt 1 + tan (J" 2. tan (J" 1 a Y1 a b a 1+-·b 2 xi 2 2 a -b a 2 _b 2 a 2 -2x 2 man tan(J,,=f(xI)=--3-·xIJa2-xi mit 0;£x1;£a~f'(x1)=--3-· ~. Aus f'(x 1)=0 folgt a b a b y a 2 -xi

-J

Xl

= ~j2 (beachte Xl ~ 0). Da f auf (0, a) differenzierbar ist und wegen frO) = f(a) = 0 besitzt f an der Stelle

Xl

=~j2 ein absolutes Maximum~p(~j2,~j2). 2 2 2

n 20. iA = !(Y + b)x + 1(a - x)y. Es folgt mit X = a·coscp und Y = b·sincp, 0;£ cp;£ 2' A = 2ab(coscp + sincp). dA d2A dA n Man erhalt -=2ab(coscp - sincp), --2 = -2ab(sincp + coscp), - = 0~CP=-~X1 = !j2a, Y1 =!j2b, dcp dcp dcp 4

A=2j2ab.

I) Vgl. D. Reuter: Mittelwertsatz der Differentialrechnung und Extremwertprobleme, erschienen in Praxis der Mathematik, 19. Jahrgang, April 1977, Heft 4 (Seite 96-99).

8 Differentialrechnung

a2e

a2

(12), = O=>x =-2--2 = - > a=>x o = a a -b e

587

(Randminimum).

22. Sind a und b jeweils die Abstande von A und B zur Grenze und c (bzw. x) der Abstand der Parallelen durch A und B (bzw. C) senkrecht zur Grenze, dann gilt fur die Zeit t

Ja 2 +x 2

t=

+

)b 2 +(c-X)2

V1

V2

dt x =>-= dx v 1Ja 2 +x 2

c-x dt sinCP1 sinCP2 ,-=0=>--=--. v 2 )b 2 +(c-X)2 dx V1 V2

23. Wegen der Monotonie der tan-Funktion im Intervall (

tana =

o,~) geniigt es, tan a maximal zu machen. Es is!

, hx d [a(a-h)-x 2]h 2 ,-(tana) = 2 2' (tana) = O=>x = J a(a - h) = 154,27 ... x + a(a - h) dx [x + a(a - h)]

(Maximum, da die Ableitung von» +« nach »-« wechselt). Man hat die Entfernung 154,27 ... cm zu wahlen. 24. Setzt man

n

<}:::

QPM = 2cp, so ist P = f(cp) = a·cos2cp·tancpmit 0 < cp <-=> 4

a(cos 22cp + cos2cp - 1) cos 2cp

a·cos2cp f'(cp) = -2a·sin2cp·tancp+--2cos cp

f'(cp) = O=:>cos 2 2cp + cos2cp - 1 = 0=>cos2cp = Wegen tancp =

1-cos2cp - - - folgt tancp = 1 + cos2cp

1(J5 -

1).

aJ lOy 5 -22.

V~ v 5-2=>p =-

~

2

25. C{1' f31' C{2' f32 seien die Einfall- bzw. Ausfallwinkel, 8 der Winkel des Prismas und b der Ablenkwinkel, dann gilt a 1 = arcsin (n·sinf31)' a 2 = arcsin (n·sin!32)' aus 8= f31 +!32 und b=(C{l - !31) + (C{2 - f32) folgt b=a 1+a 2 -8=> b = arcsin(n·sinf31) + arcsin(n·sin(8 - f31)) - 8 db

n·cosf31 J1 - n 2sin 2 f31

--;:============ -

df31

n·cos(8- f31) 8 8 . . = O=> f31 = -, f32 = -=>C{1 = C{2' b = 2C{1 - 8, d.h. 1st dIe Ablenkung 2 2 ) 1 - n sin (8- {31) 2 2

minimal, so durchlauft der Lichtstrahl das Prisma symmetrisch. 26. a) f'(x) = 2(2x - l)(x + 1)2, fl/(x) = 12x(x + 1) => fist auf ( -1, 0) streng konkav (Satz 8.37) und auf ( - 00, -1) sowie auf (0,00) streng konvex;

27. Nein. Gegenbeispiel: f mit f(x) = x 4 . fist auf ( - 00, CXJ) streng konvex, aber fl/(O) =

o.

28. a) Wegen lim f(x) = 0 besitzt f die x-Achse als Asymptote, fur x ~ - 00 keine Asymptote;

b) a = lim f(x) = 1, lim x->oo

X

[1x

3

+ 2x 2 - x] =

c) lim f(x) = 1, lim [f(x) - x] = x->oo

X

i, Asymptote: y = x + i

x->oo

x->oo

(auch fur x ~ - (0)

-~, Asymptote: y = x - ~ (gilt auch fur x ~ 2

2

(0).

588

Aufgabenlosungen

29. a) D

=

rR\{ -3}, keine Symmetrie, nicht periodisch, Sl( -2,0), S2(l,0), S3(0, -~), fur aIle

d·ffi . b f'() 5x + 7 1 erenZler ar, X = (X + 3)3'

f"(x)

T( -1,4; - 0,5625), W( - 0,6; - 0,388), m w

b) D

f"'() X

XED

beliebig oft

6(5x -1) = (x + 3)5 '

= 0,29, x = - 3 Pol ohne ZW, y = 1 ist Asymptote (vgl. Bild L8.3);

rRt, keine Symmetrie, nicht periodisch, S(O,O), auf rR beliebig oft differenzierbar, f'(x) = x(2-x)e- X , f"(x) = (2-4x+x 1)e- x , f"'(x) = - (6-6x + x1)e- X , T(O,O), H(2; 0,54), WI (2 - fi; 0,19), W1 (2 + fi; 0,38), positive x-Achse ist Asymptote (vgl. Bild L8.4); =

rR, W

2·(5x + 3) (x + 3)4 '

=

=

y

10

y f(x) = (X-1 )(x+2)

f{x)=x 2. e-x

2

(X+3)2

5

H

-5

rW

Bild L8.3: Aufgabe 29a

5

T

10 X

2

Bild L8.4: Aufgabe 29b

c) D= rR, W= rR, keine Symmetrie, nicht periodisch, Sl(O, 0). S2(3,0) auf rR stetig, fur aIle xErR\{0;3} differenzierbar,

y

3 2

-5

Bild L8.5: Aufgabe 29c

-3

-1

Bild L8.6: Aufgabe 29d

3

5

X

8 Differentialrechnung j'(x) =

2x-x 2 , t!(3x 2 _X 3)2

j"(x) =

-2x 2 , V(3x 2 _X 3)5

j"'(x)

589

2(4x 3 -3x4) V(3x 2 _X 3)8'

H(2; 1,587), j{(O) = - 00, j;(O) = 00 (Spitze in S1)' j{(3) = j;(3) = - 00 (vertikale Tangente In S2)' y = - x + 1 ist Asymptote (vgl. Bild L8.5). d) D = [R\{O}, W = [R +, fiir aIle XED beliebig oft differenzierbar,

j'(x) =

-~'e1/X, j"(X)=(~+~)e1/x, x2 x x

j"'(x) =

4

3

-(~+~+~)e1/x, x x x 4

5

6

keine Extremwerte, W( -0,5; 0,135), y = 1 ist Asymptote, limj(x) = 0, lim j(x) = 00, j{(O) = 0; (vgl. Bild L8.6); xjO

xlO

e) D = IR\{O}, W= IR+, symmetrisch zur y-Achse, keine NuIlsteIlen, fUr aIle xED beliebig oft differenzierbar,

j'(x) =~'e-1/X2, j"(x) =~(~ 4 2 3 x

x

x

-3)

e- 1/x \

j"'(x) =~(6 _~2 +~)e-1/X2, 5 4 x

x

x

j besitzt keine Extremwerte, definiert manjedoch j(O) = 0, so ist J(n)(o) = Abschnitt 8.6), W 1,2(±iy'6; 0,223), Y= 1 ist Asymptote, lim j(x) x-o

=

y --------- 1 ----------

-1

°

°

fiir aIle nEN (vgl. Aufgabe 10 in

(vgl. Bild L8.7);

y

x

Bild L8.7: Aufgabe 2ge

-3

-1

3

5

x

Bild L8.8: Aufgabe 29f

f) D = [R, S1(1,0), S2(0,lj), auf [R stetig, fiir aIle xE[R\{I} beliebig oft differenzierbar,

20 -2x 2 +3x+9 j'(X)=3' , (x 2 +9)2. t!x-l

407x4-21x3-90x2+135x-81 j"(x) = 9 ' , (x 2 +9)3. J(x-l)4

H 1(-1,5;1,637), H 2(3;0,882), W 1(-3,2145;1,35), W2(4,915;0,749), x-Achse ist Asymptote, j{(I)=-oo, j;(I)= + 00, d.h. Spitze in S1 (vgl. Bild L8.8); g) D = [R, Symmetrie zum U rsprung, S(O,O), auf [R beliebig oft differenzierbar,

2x+ 1 j' (x) = -;.============ 2Jx 2 + X + 1 keine Extremwerte, S ist Wendepunkt, m w = 1, Y = 1 Asymptote fur x-+ 00, y = - 1 Asymptote fur x -+ - 00 (vgl. Bild L8.9); h) D = [1,00), W = [Rri, S(I, 0), auf (1,00) beliebig oft differenzierbar,

, (5x - 4)x j(x)= C1' 2 y x-1

2 " 1 15x - 24x + 8 j (x)="4' ~' y(x-l)3

Randminimum S,

W(I,13;0,45), mw = 2,6, j;(1) = 00 (vgl. Bild L8.10);

590

Aufgabenlosungen i) D =

[R, W

f'(x)

(X

=

=

[R,

S 1( -1,0), S2(0,0), auf [R stetig, fur aIle

+ 1)2(11x + 2) 3'~

,

f"(x)

=

XE [R\ {O}

2(x + 1)(44x 2 + 16x - 1)

9'~

differenzierbar,

,

H( --fi; 0,18), W 1 (0,054; 0,168), W 2 ( -0,42; 0,11), Sl ist Terrassenpunkt, f{(O)

= - 00,1:(0) = 00, S2 ist daher

eine Spitze und relatives Minimum (vgl. Bild L8.11);

y

2

y

2

x

X

---------

Bild L8.9: Aufgabe 29g

Bild L8.10: Aufgabe 29h

y 1 f{x)

=(x+1)~VX2 3 2 f{x) = Vx -x

1+x

5, -1

52

X

-8

-6

-2

-4

I

I I

W

--------

a\ H,

1-2 I 1

I

1-4 I I I

Bild L8.11: Aufgabe 29i

Bild L8.12: Aufgabe 29j

1X

8 Differentialrechnung j) D = ( - 00, 1J\{- I}, S 1(0,0), S2( 1,0),

f'(x)

=

-x(x 2 +3x-2) , 2(1 +X)2 JX 2 _X 3

f

stetig fur aIle

XE D,

591

differenzierbar fur aIle xED\ {O},

-x(x 3 +6x 2 -15x+12) fl/(x) = , 4(1 +x)3(I-x)Jx 2 -x 3

H 1 ( -3,56; -2,97), H 2(0,56; 0,238), W( -8,05; -3,43), lim f(x) = - 00, lim f(x) = 00, fi(O) = - 1, xi-l

xL-l

f;(O) = 1, f[(1) = - 00 (vgl. Bild 8.12); k) D = lR\{O}, W = lR, punktsymmetrisch zu 0, Sl( -1,0), S2(1,0), fur aIle XED beliebig oft differenzierbar, f'(x) = 1 + In Ixl,

fl/(x)

=~, x

fl//(x) =

-~' H(-~,e ~), T(~,e -~), lim f(x) = °(f x e e

ist stetig erganz-

x--+o

bar), fist auf (0, 00) streng konvex und auf ( - 00,0) streng konkav, lim f'(x) = lim f'(x) = - 00 (vertikale xjO

xLO

Tangente), (vgl. Bild L8.13);

y

. f{x)=x·lnlxl

f(x)=ln(x 2-1)

x

4

x

T

-1 Bild L8.13: Aufgabe 29k

1) D = {xllxl > I}, W

Bild L8.14: Aufgabe 291

lR, Symmetrie zur y-Achse, Sl( -)2,0), Si)2, 0), fur aIle XED differenzierbar,

=

-2(x 2 + 1) 2x f'(x) = - 2 - ' fl/(x) = 2 2' keine Extremwerte, keine Wendepunkte, x-I (x - 1) lim f(x) = - 00, fist streng konkav auf ( - 00, -1) und auf (1,00) (vgl. Bild L8.14);

lim f(x) = - 00, xi - 1

xU

m) D = ( -1, 1), Punktsymmetrie zu 0, S(O, 0), auf D differenzierbar, f'( ) X

1

= I-x 2'

fl/( ) X

2x

= (1-X 2)2'

2 flll(X) = 2(1 + 3x ) (l_x 2)3 '

keine Extremwerte, S ist Wendepunkt mit m w = 1, fist auf D streng monoton wachsend, lim f(x) = - 00, xL-l

lim f(x) = 00 (vgl. Bild L8.15); xj1

n) D = lR\{O}, keine NuIlsteIlen, fur alle XED differenzierbar, f'(x) = ~(I + Ixl)l/X

x

(_I_X 1_ -In(1 + IX!)), 1 + Ixl

592

Aufgabenlosungen 1

keine Extremwerte und keine Wendepunkte, lim j(x) =

-,

e

xjO

lim j(x)

=

e (untere und obere Grenze von j),

xlO

1 e lim j(x) = lim j(x) = 1, y = 1 ist Asymptote, lim j'(x) = - -, lim j'(x) = - - (vgl. Bild L8.16); - oc x -> xi 0 2e xl 0 2

x ->

(f)

0) D = fR+, S(I,O), auf D beliebig oft differenzierbar, j'(x)=x(l +2'lnx),

j"(x)=3+2'lnx,

T( y ~,-~), w( ey1;::,_--;), e 2e e 2e

2

j"'(x) = -,

x

lim j(x) = 0,

lim j'(x) =0,

xlO

xlO

lim j(x) =

00

(vgl.Bild L8.17);

y

1

f(x)= (1

x

-4

-2

-3

-1

2

+

Ixl)x

3

4x

f(x)=l.l n 1+x 1-x

2

Bild L8.15: Aufgabe 29m

Bild L8.16: Aufgabe 29n

p) D = IR\{O}, Symmetrie zur y-Achsc, 1 1 1 j'(x)=sin---'cos-, x x x

Sk( L, °), kEZ\ {O}, fur alle xED differenzierbar, 1

1

j"(x) = --·sin-. 3

x

X

1 Setzt man u = -, so folgt aus j'(x) = 0: tan u = u. Hieraus erhlilt man T1 (0,223; - 0,217),H1 (0,129; 0,128) usw. x Sk sind Wendepunkte, lim j(x) = (stetig erglinzbar), y = 1 ist Asymptote (vgl. Bild L8.18);

°

x->O

q) D

=

fR\ {O}, Symmetrie zur y-Achse, Sk(2kn, 0), kEZ\ {O}, fur alle XED differenzierbar,

j'(x) = 20·

xsinx + 2cosx - 2 X

3

'

j"(x) = - 20·

Sk sind Minima, H 1 (8,99; 0,47) usw., lim j(x) x->O

(vgl. Bild L8.19);

4xsinx - (Xl - 6)cosx - 6 4

'

X

= 10 (stetig erglinzbar), lim j'(x) = = 0, x-Achse ist Asymptote x->O

8 Differentialrechnung

593

y f(x)=x 2 ·lnx

y 1

2

f(x)=x ·sin~

x

2

T

/

1x

-0,5

-1 Bild L8.17: Aufgabe 290

Bild L8.18: Aufgabe 29p

((x) = 2O.1-c~sx X

f{x)=tanh ~

y

-15

-10

-5

5

10

15

x

x

Bild L8.19: Aufgabe 29q

r) D

=

IR\{O},

w=

Bild L8.20: Aufgabe 29r

(-1, 1)\{0}, Punktsymmetrie zu 0, keine Nullstellen, fur aIle

XED

differenzierbar,

1 1 x'cosh- - sinhj '( x ) = -

l'

x 2 cosh 2 x

x

X

j"(x) =2· - - - - 1 x 4 cosh 3 X

keine Extremwerte, W 1( -0,83; -0,83), W 2 (0,83;0,83), lim j(x) = -1, lim j(x) = 1, x-Achse ist Asymptote, lim j'(x) = 0, lim j'(x) = x10

xiO

°(vgl. Bild L8.20);

xiO

ntO

594

Aufgabenlosungen s) D =

[R\ {O},

j'(x) =

W = (0, 1), Symmetrie zur y-Achse, keine NuIlsteIlen, fur aIle XED differenzierbar, 1 -2tanh-

1 tanh- -

x

1 x'cosh 2-

,

j"(x) =

X

1' x 3 cosh 2-

X

X

keine Extremwerte, keine Wendepunkte, j auf [R+ streng monoton wachsend, auf( - 00,0) streng monoton fallend, lim j(x) = (stetig erganzbar), lim j'(x) = 1, lim j'(x) = - 1, y = 1 ist Asymptote (vgl. Bild L8.21);

°

x--+O

t) D

= [R,

xiO

x!O

We [R +, auf [R zweimal stetig differenzierbar,

j'(x) = 3xlxl

+ 12(4x - 5)14x - 51, j"(x) = 61xl + 9614x - 51,

T(1j-; 1,543), keine Wendepunkte (vgl. Bild L8.22);

u) D =

[R,

W = [R, Sk(kn,O), kE7L, auf [R beliebig oft differenzierbar,

j'(x) = 5(cosx - 0,1 sinx)e- O,lx,

j"(x) = - 5(0,2cosx + 0,99sinx)e- O,lx,

H k(1,47 + 2kn; 4,3 'e- O,2k1t), T k(4,61 + 2kn; - 3,14·e- o,2k1t), W k(2,94 + 2kn; 0,738e- O,2k1t)bzw. Wk( -0,199 + 2kn; _1,01'e- o,2k1t), positive x-Achse ist Asymptote, es ist - 5e - O,lx ~ j(x) ~ 5e -O,lx fur aIle XE[R (vgl. Bild L8.23);

y 5 4 3 f(x) = Ixl f(x)=x· tanh 1x

-2

-1

2

[R, I j(x) I ~

j'(x) = 2(cosx H

G

k

14x-S1

3

x

2 x Bild L8.22: Aufgabe 29t

3, Punktsymmetrie zu 0, periodisch mit p = 2n, Sk(kn, 0), kE7L, auf D beliebig oft differenzier-

+ cos2x),

+ 2kn; 2,598),

Wk(4,46

+

2

Bild L8.21: Aufgabe 29s

v) D = bar,

3

j"(x)

= -

2(sinx + 2sin2x),

TkC; + 2kn; -

j"'(x)

k

= -

2(cosx + 4cos2x),

k

2,598 ), kEZ, W (2kn,0), W (1,82 + 2kn; 1,45),

+ 2kn; - 1,45), kE7L, Terrassenpunkte Qk((2k + l)n; 0), kE7L (vgl. Bild L8.24);

8 Differentialrechnung

595

y f(x) = 5· e -O)x • sinx

x

-4

Bild L8.23: Aufgabe 29u

y

f(x)=2· sinx+sin 2x

3

y f(x) =arcsin ~

Tt

"2

1

x

-3

T, Bild L8.25: Aufgabe 29w

Bild L8.24: Aufgabe 29v

w) D

=

{xllxl ~

I}, W = [

-~, ~ }{o},

Punktsymmetrie

zu

0, keine Nullstellen, fur aIle

x

mit

Ixl> 1

differenzierbar.

f'(x)

1 =

/xlvlx 2 -1'

f"(x)

=

2x 2 -1

,

xlxlvl(x 2 -1)3

keine Extremwerte, keine Wendepunkte, fist auf (- ro, -1J und auf [1, ro) streng monoton fallend, x-Achse ist Asymptote, f:(1) = - roo f[(1) = - ro (vertikale Tangente) (vgl. Bild L8.25).

596

Aufgabenlosungen

y y

H,

3

/

f(x) = e sinx

f(x)=

1-e

~

_1.. x

:/','h'\. )(

,W3

'\//+

I I

-1

3

5

7 x

-1

x

/ / Bild L8.26: Aufgabe 29y

-1

Bild L8.27: Aufgabe 29z

x) fist nur fur x=O definiert, es ist f(O) =~; 2

y) D = IR, W =

[~, e

J f

weder gerade noch ungerade, periodisch mit p=2n, keine Nullstellen, auf IR beliebig

oft differenzierbar, f'ex)

= cosx'esinx, fl/(x) = (cos 2 X - sinx)esinX, fll/(x) = - cosx·sinx(sinx + 3)esinx .

4k+1 ) (4k+3 1) H k ( -2- n ,e ,Tk -2-n;~ ,Wk (0,666 +2kn; 1,855), W k (2,475 +2kn; 1,855) fur kEZ (vgl. Bild L8.26); z) D = lR\{O}, keine Nullstellen, fiir aIle XED beliebig oft differenzierbar, e- 1 / x f'ex) = x2(1 _ e- 1/X )2'

fl/(x) =

(1 - 2x)e- 1 / x + (2x + 1)e- 2 / x x 4 (1 _ e- 1/x )3 '

keine Extremwerte, keine Wendepunkte, lim f(x) x!O

streng monoton wachsend, y

= 1, lim f(x) = 0, lim f(x) = 00, lim f(x) = xjO

= x +! ist Asymptote, lim f'ex) = lim f'ex) = 0 (vgl. Bild L8.27). xjO

x!O

8.8 g2(X) = !(x 2 - 3);

g2(X) =

c) 9 (x) 1

-

fi. lOX'

X

+ 3tan2x -lnx;

fi

g2(x)=lg-; x

2x+3 g3(X)=--. x 3tan2x g3(X)=X+ 1 - - - . lnx

00,

fist

8 Differentialrechnung 2. a) Y1 = - 2x + 8 c) Y1 =e- x 1

Y2 =zx

Y2

= x 3 - 2x 2

d) Y1 =In(x+i)

(0,5; 1);

2

b) Y1 =6x-6

(1,5; 2);

3

Y2 =X

597

(0,1),( -3, -2),(3,4)

(0,5; 1), (-1,2; -1);

Y2 =X

1

e) Y1 =X

(1; 1,5).

Y2 = arcoshx

3. Die Funktionen sind auf [a, bJ stetig und streng monoton, sie nehmen also die absoluten Extremwerte auf dem Rand an. a) i) 1 + f i ~ g(x) ~ 1 + fi, d.h. g(X)E [2, 3J fur alle XE [2, 3]. ii) Ig'(x) I =

I

If:: I 2y x

~ _1_ < 0,36 = L < 1 fur alle xE[2, 3]. 2fi

b) i) 1,58 < g(1,8) ~ g(x) ~ g(1,5) < 1,72, d.h. g(x)E[1,5; 1,8J fur alle xE[1,5; 1,8]. ii) Ig'(x)1 = I-ixi ~i·1,8 = 0,45 = L< 1 fur alle xE[1,5; 1,8]. c) i) 0,5 < g(2) ii) Ig'(x)I

=

~

g(x)

~

g(0,5) < 1,2, d.h. g(x)E[0,5; 2J fur alle xE[0,5; 2].

1- hi ~ Je~20'S

< 0,6 = L< 1 fUr al1e xE[0,5; 2].

4. Die Iterationsvorschriften b) und c) konvergieren fur jeden Anfangswert x oE(l; 1,5) gegen den Wert ~ = 1,176501. ... 5. ~1 = -1:

~2=0: ~3 = 1:

Xk+ 1 =g(Xk)=1Xk-~X~,

x oE(-1,5; -0,5);

Xk+1=g(Xk)=X~, x k+ 1 = g(x k) = ~'

xoE(-~fi,~fi);

Xo

> 0.

6. Nach (8.64) und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 8.25) existiert ein c zwischen ~ und X n so, daB (beachte: Xn+ 1 = g(x n) und ~ = g(~))lxn+ 1 - ~I = Ig(x n) - g(~)1 = Ig'(c) II Xn - ~I ~ Llx n - ~I ist. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgt Ix n+ 1 - ~I ~ Llx n - Xn+ 1 + Xn+ 1 - ~I ~ L(lxn - Xn+ 11 + Ix n+ 1 - ~I) und hieraus die L Ungleichung Ix n+ 1 - ~I ~ 1 _ L Ix n+ 1 - xnl· Durch vollsHindige Induktion zeigt man Ix n+ 1

-

xnl = Ig(x n) - g(x n- 1)1 = Ig'(c)llx n - x n- 11 ~ Llx n - x n- 11 ~

Folglich ist Ix n+ 1 7.

i) a) Xk+ 1 =

L ~I ~ 1 _ L Ix n+ 1

J2 +

-

0,2; Ig'(x)1 < 0,03 Xk

...

~ Ln-1\X 1 - xol·

Ln xnl ~ 1 _ L IX 1 - xol·

=

L<

1 fur xE[I,1J; Xo = 1, x 4

=

1,21299361; IX 4

-

~I < 2,75'10~8;

b) xo=1=>n~5.

ii) a) X k + 1 = e- Xk ; Ig'(x)1 < 0,61 = L < 1 fur XE[-~, 1J; XO =!, x 4 = 0,56006463; \x 4 - ~I < 3,1.10- 2 ; b) X o = !=>n ~ 35. iii) a) xk+;=arctan(coshx k); Ig'(x)I<0,52=L<1 fur xE[!,lJ; x o =l, X4 = 0,99364369; IX4-~1<2·10-4; b) X o = 1 =>n ~ 21. 8. i) Startwert Xo = 1 a) Xk+ 1 =

b) x k + 1 =

J1

+2-; X4 Xk

= 1,16356183; IX 4

4x~ + 2 X4 = 1,16537304; IX 4 6x k -1

-2-;

c) a = 1, b = 1,5; x 4 = 1,16446485.

-

~I < 1,83'1O~2; ~I

< 2,2·10

-7

;

598

Aufgabenlosungen

ii) Startwert X o = -1

c) a = - 2, b = -1; x 4 = -1,23378816. 9. Durch Skizzieren der Kurven y = - x 3 + 60 und y = 20'sin3nx erkennt man, daB jeweils genau eine Lasung in [3,4; 3,5J, [3,5; 3,6J und in [3,9; 4J liegt. Die Regula falsi liefert: a) a = 3,4 und b = 3,5=>~1 = 3,4598 ; b) a = 3,5 und b = 3,6=>~2 = 3,5849 ; c) a = 3,9 und b = 4 =>~3 = 3,9830 ; 10. Durch Skizzieren der Kurven y = x·tan2x und y= 3 -2·lnx erkennt man, daB die gesuchte Lasung in [0,6; 0,75J liegt. Die Regula falsi liefert fur a = 0,6 und b = 0,75 den Wert ~ = 0,6935 .... 11. x n + 1 = g(x n ) =

(m-1)x m +a mx m

_1

'

n

= 0,1,2, ...

12. f(x) = xsinx, f'(x) = sinx + xcosx, f"(X) = 2cosx - xsinx. Extremwert: f'(x) = O=>sinx + xcosx = aUg. Iterationsverfahren: x k+ I = arctan (-xk)+n, k = 0,1,2, ... ; X o = 2=>x e = 2,02875 ... Wegen f"(x e ) < O=> Hochpunkt H(2,029; 1,820). Wendepunkt: f"(X) = 0=>2cosx - xsinx =

°

°

2

aUg. Iterationsverfahren: x k + 1 = arctan k , k = 0, 1,2, ... ; X o = 1=> Xu x Wegen f"'(x w )

=1=

=

1,07687...

O=> Wendepunkt W(1,077; 0,948).

13. a) Tiefpunkt T(1, 2), Hochpunkt H(0,296; 2,135); c) Hochpunkt H(0,419; -0,773).

b) Hochpunkt H(0,851; 0,073);

14. Abstand des Punktes P(x, f(x)) yom Ursprung: d(x) x+ f(x)f'(x) = 0.

=

fi2+ f2(X). Extremalbedingung: d'(x)=O=>

a) f(x) = eX; Extremalbedingung: x+e 2x =0. Verfahren von Newton: x k + I = Xo

e 2Xk(2x k - 1) 2' k 1 + 2e Xk

=

0,1,2, ... ;

= - O,4=>x = - 0,42630 ... =>P( -0,426;0,653);

lnx b) f(x) = lnx; Extremalbedingung: x+- = 0; x Verfahren von Newton: x k + I = Xo

x k - 2xklnx k 2 ' k = 0, 1,2, ... ; x k + 1 -lnxk

= 0,5 => X = 0,65291 ... => P(0,653; - 0,426).

15. a) Zur Bestimmung der Schnittpunkte benatigt man kein Iterationsverfahren: tanx = cosx=> sin 2x + sinx - 1 = (setze sin x = u); ~k = 0,666239··· + 2kn, '1k = 2,475353··· + 2kn, kElL;

°

Schnittpunkte: Sk(0,666 + 2kn; 0,786); P k(2,475 + 2kn; -0,786), kElL. b) AUg. Iterationsverfahren, x k + 1 = arctanx k + n, k = 0, 1,2, ... ;x o = 4=>~1 = 4,493409 ... ; SI(4,493; 4,493).

16. Steigung der Tangente durch BI(X I, eX!) und B 2(X 2 , lnx 2) (s. Bild L8.28): 1 lnx _eX! e =_= _ _ 2 __ X2 x 2 -Xl X1

8 Differentialrechnung

599

Bild L8.28: Zu Aufgabe 16

Wegen

X2

=

eX!

X e-

!

erhalt man

eX!

=- _ e

+X 1 .

Hieraus folgt fur

Xl

x! -Xl

= 2x:x = 1cothx.

AUg. Iterationsverfahren: X k + 1 = 1cothxk , k = 0, 1, ... ; X o = 0,75 => ~ = 0,771702··· =>x = 2~ Beruhrpunkte: B 1 (1,543;4,681), B 2 (0,214; -1,543), B 3 (4,681; 1,543), B 4 ( -1,543;0,214). Tangentengleichungen: y = 4,681x - 2,543; y = 0,214x + 0,543. 17. B(x, lnx) sei der Beruhrpunkt der Tangente t. Dann gilt fur die Steigung von t: m t

Verfahren von Newton: x k + 1 =

xf -lnxk + 1 1 2x k +-

= 1,543404...

1

X

x

lnx

=- = - -

= x 2 + lnx = 0.

, k = 0, 1,2,... ;

Xk

Xo

= 0,5 =>x = 0,652918· .. =>B(0,653; -0,426). Tangentengleichung: y = 1,532x - 1,426.

18. F iif den Fliicheninhalt des Rechtecks gilt: A( x) = 2x cos x, Notwendige Bedingung: A'(x) = cos X AUg. Iterationsverfahren:

Xk+ 1

1C

Xo

-

XE(

~

0, )-

x sin x = 0.

1

= arctan - , k = 0, 1, 2, ... ; Xk

°

= 4"=>x m = 0,860333 .... Wegen A"(x m ) < liefert X m den maximalen Wert A(xm ) = Amax = 1,122192 ....

1 - q5 1 _ q5 19. Es gilt: S5 =a l --=>1000=--=>q5 -1000q+ 1001 1-q 1-q AUg. Iterationsverfahren: qk+ 1

1001

=

0.

= 4 1000 - -k-' k = 0,1,2, ... ; qo = 5 =>q = 5,338967... q

600

Aufgabenlosungen

1 h

Bild L8.29: Zu Aufgabe 20

Bild L8.30: Zu Aufgabe 21

r2 20. Nach Bild L8.29 gilt: SI = -(a - sina) und S2 = nr 2 - 2S I = nr 2 2 a =~n + sina.

Verfahren von Newton: ak + 1 = ao =

-

r2 (a - sina). Hieraus folgt wegen S2 = SI:

akcosa k - sinak - ~n ,k =0, 1,2,... ; cosa k -1 a

2 =>a = 2,60532 ... Fur den Abstand gilt: a = 2rcos- = 0,52986r. 2 r2

21. Es gilt (s. Bild L8.30): 0,3nr 2 = 2- (a - sina), d.h. a = 0,3n + sina. 2

Allgemeines Iterationsverfahren: (Xk+ 1 = 0,3n + sin(Xk. Aus a = 2r· eos

(xo

= 1,5 folgt (X = 1,891493... Damit ist (wegen

~) der gesuehte Abstand 11,70em.

22. Fur das Volumen des Zylinders gilt mit r Wassers (s. Bild L8.31) V w

=

5000 = (nr

2

-

10, h = 30: V z = nr 2 h = 9424,777961 und fur das Volumen des

= 2

!r (a - sina))h. Wegen !r 2 h =

. Formel: a - Slna - 2,949852 = O. Verfahren von Newton: ak + I

Aus (xo = 3 folgt (X = 3,045648 ... Wegen h =

=

V

-.!- =

2n

1500 folgt aus der zweiten

sina k - akcosa k + 2,949852 , k = 0,1,2, .... 1 - cosa k

r( I + eos~) erhiilt man fiir die Wasserhohe lO,48em.

23. Nach dem Archimedischen Prinzip (Schwimmbedingung) gilt (s. Bild L8.32) 1PHnr3 = 1Pwnh2(3r - h). Hieraus folgt mit PH = 0,75, Pw = 1 und r = 10 die Gleichung h3 - 30h 2 + 3000 = o. Allgemeines Iterationsverfahren: h3+3000 hk + 1 = k , k = 0, 1,2, .... Mit h o = 13 erhalt man h = 13,47296 .... Die Eintauchtiefe betdigt folglich 30hk 13,48cm.

8 Differentialrechnung

601

1 h

Bild L8.32: Zu Aufgabe 23

Bild L8.31: Zu Aufgabe 22

h2

24. Aus nx 2 h = i·1nr3 erhiilt man wegen x 2 = r 2 - - (s. Bild L8.33) die Gleiehung h 3 4

-

324h + 972

= 0.

2hf - 972 Verfahren von Newton: hk + 1 = 3hf _ 324' k = 0,1,2, ...

Mit Hilfe der Startwerte 3 bzw. 16 erhiilt man die beiden positiven L6sungen dieser Gleiehung 3. Grades zu 3,09116 ... bzw. 16,25423 .... Der gesuehte Zylinder besitzt also die H6he 3,09 em (bzw. 16,25em). 25. Fur das Volumen des Kegelstumpfes gilt (s. Bild L8.34) V = 1nh(r 2 + x 2 + rx). Wegen h = ~2 erhiilt man V = 1nJr2 - x 2 (r 2 + x 2 + rx). V' = und r = 91iefern x 3 +6x 2 -27x-243 =0.

°

Verfahren von Newton: x k + 1 =

2xf(x k + 3 ) + 2 4 3 . 3x k(X k + 4) - 27

.

.

, k = 0, 1,2,.... MIt X o = 5 folgt x = 5,818395 .... Folgheh besItzt

der Kegelstumpf die H6he 5,82 em.

Bild L8.33: Zu Aufgabe 24

Bild L8.34: Zu Aufgabe 25

°

26. Die notwendige Bedingung 1(' (x) = liefert: x (e2X2 (3 - 2x 2 ) + 16x4 - 12x 2 + 6) = 0. Mit Hilfe eines Iterationsverfahrens erhalt man die Punkte mit starkster Kriimmung: PI (0, 1), P 2 (1,928; 0,024) und P 3 (-1,928; 0,024).

602

AuJgabenlosungen

9 Integralrechnung 9.1 125.

1. a)

b) ao(b - a)

(),

n n I Sn=---

+ !a 1 (b 2 -

a 2 ) + ia 2 (b 3

-

a 3 );

n

d) Mit dX i = -(nEN und iE{I,2, ... ,n}) und ~i = i·- ist Sn = n n n

. n i=1 2n'Sln2n

e)

¥;

I

n

sin

(n) n n i·- '-. Mit 2'sin- erweitert: n

i= 1

n

2n

(n) n

2'sin i·- 'sin-undmitderFormel2sinxsiny=eos(x-y)-eos(x+y)ist n 2n

n_[eos~-cos(n+~)J und fiir n~ 00 ergibt sich Jsinxdx = 2. 2n 2n

Sn = _ _

n 2n'sin2n

0

2. jist nieht besehrankt.

3. Wahlt man Zerlegungen und Zwisehenstellen, die zum Ursprung symmetrisch sind, so ist bei ungeraden Funktionen j(~JdXi+ j(-~i)dxi=O und bei geraden Funktionen f(~i)dxi+ j(-~JdXi=2'j(~i)dxi'

/

4. Fiir alle XE[O, ~J gilt: 1 ~ cosx ~ 1 - 2x =>~ ~ 1tJ2 eosxdx ~~. 2 n 2- 0 -4 1 b b+a (b+a) j(a) + j(b) 5. - - Jj(x)dx = m ' - - + n = j - - = ist das arithmetische Mittel von j(a) und j(b). b-a a 2 2 2 6. T=O; (=1. 7. A=i.

9.2 x2 - 4 1. a) I: x~I(x) = { 8x _ x 2 _ 12

fiir xE[0,2J f'·ur XE (24J ,

b) Siehe Bild L9.1. e) la. Es ist l'

=

j (vgl. Definition 9.5).

x~F(x)

=

!. X2 + x + 10 { x + 10

2. a) F:

fiir XE[ - 5,0) fiir xE[0,5J

b) Siehe Bild L9.2. x

e) Nein. Es existiert kein CE [ - 5, 5J fiir das

Jj(t)dt = c

2

{!x + X- !c x - !c 2 - C

2 -

J f(t)dt = F(x) ist, denn fiir CE [ -

C fiir XE[ - 5,0) fiir xE[0,5J

und fiir CE [0, 5J ist

Jj(t)dt = {.lX 2 x

c

d)

2 + X- C fiir XE [ - 5,0)

X- C

!'X2 + X + C

Jj(x)dx = { x+C

fiir xE[0,5]. fu.··r XE[ -5,0) fiir xE[0,5J

mit CErRo

5, 0) ist

9 Integralrechnung

a)

b)

y

y

4

4

3

2

2

603

x

4

-2 3

2

4

-4 X

Bild L9.1a, b: Aufgabe 1b)

a)

b)

y

15 f

-5

-3

-1 -1 -2 -3 -4

I I I I I

5 x

3

5

-5

-3

-1

3

5 x

Bild L9.2a, b: Aufgabe 2b) 3. a) I: x ~I(x) = x fur XE[ -1,1]. b) Es existiert keine Stammfunktion, denn nach dem Satz von Darboux (Satz 8.27) kann f nicht Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion sein. 1 4. a) Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 9.15) folgt (lnx)' = - fur aBe XE~+. Die 1

x

In-Funktion ist daher differenzierbar, und folglich auch stetig. Wegen (lnx)' = - > 0 fur aBe In-Funktion auch streng monoton wachsend. x x

b) Fur aBe l

In1 =

XE(O,

1) gilt: lnx =

dt

1

f

dt fdt [" = - [" < 0 (vgl. Satz 9.10). x

I

f

["=0.

I

Fur aBe xE(1, 00) gilt: In x

fX

=

dt ["

1

> 0 (vgl. Satz 9.10).

XE ~ +

ist die

604

Aufgabenlösungen

9 Integralrechnung

605

606

Aufgabenlosungen Fur m = n ist 2n

2n

2n

o

0

0

J sinmxsinnxdx = J sin 2 mx dx =! J (1 -

Folglich ist

Jo sinmxsinnxdx = {on

2n

{o. .fur Jo cosmxcosnxdx = n fur

2n

b)

cos2x)dx = ![x - !sin2xJ6 n = n.

fur m =1= n ..

fur m = n.

m =1= n

Hinweis: cosacosf3 = ![cos(a - f3)

m = n.

+ cos(rx + fj)].

2n

J sinmxcos nxdx = 0. Hinweis: sinacosf3 = ![sin(rx -

c)

f3) + sin(rx + f3)].

o

12. Der Beweis erfolgt mit Formel27 auf Seite 496.

9.4 00

1. a)

b)

f

dx

0

2

x + 2x + 2

Jxe -x dx = 2

o

c)

f

d)

Jlnxdx =

xdx

--2

l+x

= t1

J(x +

lim -> - 00

t1

lim [ -!e -X2J~ = t->oo

dx

dx

t2

2

1) + 1

+ lim t2 -> 00

J(x + 1) 0

2

+ 1

= n,

1-

=! In(l + x 2 ) + C. Folglich ist das uneigentliche Integral divergent.

1

lim [xlnx - xJt1 = - 1. Man beachte: lim tIn t = 0.

o

tlO

tlO

1

e)

dx

fv 1-

~

o

x2

n = lim [arcsinxJ~ =-, til 2

00

f)

1 1 1 2"e- 1 / xdx=lim[e- 1 / xJ;, + lim [e-l/xJ~2=-+ 1--= 1, x tdO t2->00 e e

f o

2

g)

f

dx - - ist divergent. Folglich ist auch

x-2

(1 v

J 2

1

1)

r::-1 + - - dx divergent.

x- 1

x-2

1

x 1 h) PartieBe Integration mit u' = cos x, v = - - , u = sin x und v' = - - - 2 ergibt (x+ 1) x+1 00

f

J__

_x-COSXdX = lim {[_x-sinxJt 1_ sinxdx}. x+l t->oo x+1 0 o(x+1) 2

o

1

00

Dabei ist

Jo (x + 1)

---2

sin xdx nach dem Majorantenkriterium fur uneigentliche Integrale (Satz 9.27) konvergent,

denn es gilt 1

- - - 2 sinx

I (x + 1)

I ;'£ - - 1- 2 fur aBe XE[O, 00), und (x + 1)

X

Ferner ist - - sin x [ x+1

J-(x-+1-1)2 dx = 1.

00

0

Jt 0

fur t ~

00

divergent. Also ist

J-x- cos x dx divergent.

00

ox+1

9 Integralrechnung t

i)

607

00

S xne -xdx = lim {[ - xne -xJ~ + n S xn-Ie -Xdx} = n S xn-Ie -xdx o

t~oo

0

0 00

S x n- 2 e- xdx = ... = n! S e-xdx = n!

= n(n - 1)

o

0

11 2. a) Es gilt - ~ - fur aIle xE[1, 00), und x~

00

~

00

S e-xdx = e- I. Folglich ist nach dem Majorantenkriterium (Satz 9.27) 1

dx

S- konvergent. 1 xe X

1 1 00 b) Es gilt -;: ~ - fur aIle xE[1, 00), und S e-Xdx = e- I . Folglich ist nach dem Majorantenkriterium (Satz 9.27) eX eX 1 00

00

1

0

S e- x2 dx konvergent. Dann konvergiert auch S e- x2 dx.

sinxl 1 00 1 c) Es gilt -2- ~ 2 fur aIle xE[I, 00), und S 2dx = 1. Folglich ist nach dem Majorantenkriterium (Satz 9.27) IX x Ix 00 sinx S -2- dx konvergent. 1 x x+ 1 x 1 00 dx d) Es gilt -2- ~ 2 = - fur aIle xE[I, (0), und S- ist divergent. Folglich ist nach dem Minorantenkriterium x x x 1 x oox+l (Satz 9.27) S -2- dx divergent. 1

x

9.5 1. a) Sehnentrapezformel: QST = l·ifi· (f(O) + f(ifi)) = 0,505181. ". 1 1 r:; 3 Fehlerabschatzung.II-QsTI~TIb-v3)

6x2 - 21 <3fi --2-3 - - . 2<3,3 . 10 - 2. o~x~j313 (1 + x ) 12·27 max

1

Da der exakte Wert des Integrals ~ ist, besitzt QST den absoluten Fehler 1,84.... 10- 2. 6 b) Simpsonsche Formel: Qs = i'ifi'(f(O) + 4f(ifi) + f(i fi)) Fehlerabschatzung:

1

II - Qsl ~ --(ifi)5, 2880

max

o~x~j313

=

0,523686.

124(5X4-10X2+1)1 25 (1 + x )

1

= _(1. ·10 , 125 < 2, 26'10- 4. .J 2880 3V13)5 Der absolute Fehler von Qs betragt 8,72 ... ·10- 5. 2. a) Fur h = 0,25 erhalten wir nach (9.41) 2

eX

025

S- dx = Sh + R h = -'- (f(1) + 4· f(1,25) + 2· f(1,5) + 4· f(1,75) + f(2)) = 3,059239 + R h · 1 X

3

Fur die doppelte Schrittweite (also 2h = 0,5) gilt dann 2

(9.44) ist folglich R h ~

-

9,5 ·10- 5. Dies liefert

eX

05

S2h

= ~ (f(1) + 4· f(1,5) + f(2)) = 3,060663. Nach 3

S- dx ~ 3,059144. 1

x

608

Aufgabenlosungen

b) Fi.ir h = 0,25 erhalten wir nach (9.41) 3

f

dx

-

lnx

0,25

= Sh + R h = -

3

(f(2) + 4· f(2,25)

+ 2· f(2,5) + 4· f(2,75) + f(3)) =

1,118532 + R h ·

2

Fi.ir die doppelte Schrittweite (also h = 0.5) gilt dann S2h

05

= ~ (f(2)

3

+ 4f(2,5) + f(3))

=

1,119727. Nach (9.44)

3

ist folglich R h ~

-

8,0'10- 5. Dies liefert

dx - ~ 1,118452. lnx

f 2

3. a) n = 2: QST =! (f(1) + 2f(2) + f(3))

= 1,242453.

Fehlerabschatzung:

IsIn x dx - QST I~ -fz' 1· max 1--;I< 1,7' 101

12x23

l.

X

n=4: QST = j(f(1) + 2· f(1,5)

+ 2·f(2) + 2· f(2,5) + f(3)) =

1,282105.

Fehlerabschatzung:

Islnxdx - QSTI ~ il·i· max 1--;1 < 4,2'101

12x23

2

.

X

n = 8:

QST=k(f(l)+ 2· f(1,25)+2' f(1,5)+2' f(1,75)+2' f(2)+2' f(2,25)+2' f(2,5)+2' f(2,75) + f(3)) = 1,292375. Fehlerabschatzung:

Islnxdx - QSTI ~ il·-h· max 1--;1 < 1,1'10l2X~3

1

2 .

X

3

(Beachte: Auf 5 Stellen nach dem Komma genau ist Slnxdx = 1,29583 ....) 1

b) n=2:

QST=i(f(1)+2' f(1,25) + f(1,5)) = 0,2. n=4: QST = 16(f(1) + 2· f(1,125) + 2· f(1,25) + 2· f(1,375) + f(1,5)) = 0,242850. n=8: QST = i2 [f(1) + 2· (f(1,0625) + f(1,125) = 0,253194. 4. Aus (9.23) folgt mit X o = 0, CX o

+

Xl =

h,

X2

+ f(1,1875) + f(1 ,25) + f(1,3125) + f(1,375) + f(1,4375)) + f(1,5)J

= 2h, x 3 = 3h das Gleichungssystem

cx 1 + CX 2 + cx 3 = 3h h'cx 1 + 2h'cx 2 + 3h'cx 3 =1h2 h 2 'CX l + 4h 2 'CX 2 + 9h 2 'CX 3 = 9h 3 h3 ·1Y. 1 + 8h 3 'CX 2 + 27h 3 'CX 3 =¥h4 •

Als Lasung erhalt man die Gewichte CX o = CX 3 = ih, cx 1 = CX 2 = ih und damit die Integrationsforme1 Q = ih(f(O) + 3· f(h) + 3· f(2h) + f(3h)), die jede ganzrationale Funktion hachstens 2. Grades auf [0, 3hJ exakt integriert.

9 Integralrechnung

609

5. Nach (9.21) und (9.22) wirdjede ganzrationale Funktion hochstens 3. Grades durch Q = (Xo!(x o) + (Xl!(X l ) exakt integriert, wenn (Xo, (Xl und x o, Xl das Gleichungssystem

(Xo + (Xl =2h (Xox o + (X1X l = 0 (Xox6 + (Xlxi = ~h3 (Xox6 + (Xlxf = 0 erfiillen (s, (9.23)), Man erhiilt als Liisung a o = a , = h und X o = -

6, Es gilt

I!

f(x)dx

~ Qhl =

IJI

cr

f(x)dx -

Qk)1 ~

kt lxI,

wobei Qk die Sehnentrapezformel tiber das Intervall I k = und wegen Xk - Xk-l = h

i n (x Jb !(x)dx-QsT ~ L Ia

k

k

=1

h2

X

k-l 12

)3

~- max I!"(x)/

12 a~x~b

[X k- l ,

h

Xl

= j3' Folglich lautet die Integrationsformel

f(x)dx -

Qkl,

xd bezeichnet (vgl. (9.29)). Dann folgt aus (9.30)

h2 n maxl!"(x)I=(Xk-Xk-l)'maxl!"(x)1 XEI k 12 k = 1 XEI k

L

n

L k= 1

(X k - X k _ l

(b - a) )=--·h2 . max 1!"(x)l· 12 a~x~b

Literaturverzeichnis Zitierte Literatur 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Barner, M. und F. Flohr: Analysis 1. De Gruyter Berlin. Blatter, C.: Analysis I, Heidelberger Taschenbiicher, Band 151. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg. Dallmann, H. und K.-H. Elster: EinfUhrung in die hahere Mathematik 1. Vieweg Braunschweig. Erwe, E: Differential- und Integralrechnung 1. B-I-Hochschultaschenbiicher, Band 30. Bibliographisches Institut Mannheim. Fichtenholz, G. M.: Differential- und Integralrechnung I, II, III. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin. Grabner, W: Matrizenrechnung. B-I-Hochschultaschenbiicher, Band 103/103 a. Bibliographisches Institut Mannheim. Lingenberg, R.: Lineare Algebra. B-I-Hochschultaschenbiicher, Band 828/828a. Bibliographisches Institut Mannheim. Ostrowski, A.: Vorlesungen iiber Differential- und Integralrechnung I. Birkhauser Verlag Basel, Stuttgart. Peschl, E.: Analytische Geometrie. B-I-Hochschultaschenbucher, Band 15/15 a. Bibliographisches Institut Mannheim.

Begleitende Literatur 10. Blatter, C.: Ingenieur Analysis 1 und 2. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg. 11. Brauch, W, H.-I. Dreyer und W Haacke: Mathematik fUr Ingenieure. Teubner Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden. 12. Burg, K., H. Haf und E Wille: Hohere Mathematik flir Ingenieure, Band 1, 2 und 3. Teubner Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden. 13. Engeln-Miillges, G., W Schafer und G. Trippler: Kompaktkurs Ingenieurmathematik. Fachbuchverlag Leipzig . Carl Hanser Verlag Munchen. 14. Leupold, W. (Federflihrung): Mathematik - ein Studienbuch rur Ingenieure, Band 1 und 2. Fachbuchverlag Leipzig . Carl Hanser Verlag Miinchen. 15. Meyberg, K. und ~ Vachenauer: Hahere Mathematik 1 und 2. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg. 16. Papula, L.: Mathematik flir Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1,2 und 3. Vieweg Wiebaden. 17. Pforr E.-A. und W Schirotzek: Differential- und Integralrechnung flir Funktionen mit einer Variablen. Teubner Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden. 18. Stingl, P.: Mathematik flir Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig' Carl Hanser Verlag Miinchen. 19. Stocker, H. (Hrsg.): Mathematik - Der Grundkurs, Band 1,2 und 3. Verlag Harri Deutsch Frankfurt.

Sachwortverzeichnis

Abbruchfehler 333 Ableitung 340 - auBere 361 - innere 361 - linksseitige 344 - linksseitige uneigentliche 346 - logarithmische 375 - n-te 365 -, rechtsseitige 344 -, rechtsseitige uneigentliche 346 -, zweite 365 Ableitung der Arcus-Funktionen 370, 372 - der Area-Funktionen 376 - der Betragsfunktion 356 - der e-Funktion 356 - der Exponentialfunktion 373 - der hyperbolischen Funktionen 376 - der logarithmischen Funktion 374 - der Logarithmusfunktion 373 - der Potenzfunktion 355 - der rationalen Funktionen 370 - der Sinusfunktion 355 - der trigonometrischen Funktionen 370 - der Umkehrfunktion 363 - einer konstanten Funktion 354 - einer Linearkombination 357 - von f 342 Ableitungsfunktion -, erste 342 -, zweite 365 - n-ter Ordnung 365 absoluter Fehler 384 Abstand -, Punkt -, -, Gerade 282 -, -, Ebene 288

Abstand - zweier windschiefer Geraden 283 Achse -, imaginare 178 -, reelle 178 Achsensymmetrie 41 Additionstheoreme 60, 62 Adjungierte 229 Adjunkte 223 Ahnlichkeitstransformation 319 Amplitude 67, 127, 369 Anfangsphase 67 Anordnungseigenschaften 7 Approximation -, beste lineare 352 Aquivalenz 2 Arbeit 254, 453 Areafunktionen 163 -, Eigenschaften der 164 Argument 24, 183 Assoziativgesetz 5, 171, 172, 209, 210, 214, 248, 251 Asymptote 109, 116, 426, 427 Aufladung eines Kondensators 106 Ausdruck -, unbestimmter 408 Ausleger 266 Basis 269 Basisvektoren 270 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 312 Bernoulli-de l' Hospital -, Erste Regel von 408 -, Zweite Regel von 410 Bernoullische Ungleichung 18 bestirnrnt divergent 113, 129 -, an der Stelle XQ 129

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Sachwortverzeichnis

Betrag 9, 183 - eines Vektors 272 Betragsfunktion 29 Beweis -, direkter 2 -, indirekter 2 Beweistechnik 2 Bildsystem 305 Binomialkoeffizienten 19 -, Eigenschaften der 20 Binomischer Satz 21 BogenmaB 58 Brechungsgesetz von Snellius 386 Briickenschaltung 199 Cassinische Kurve 182 charakteristische Gleichung 312 charakteristisches Polynom 312 Cramersche Regel 241 Darstellung -, exponentielle 195 Definitionsbereich 24 -, maximaler 25 Definitionsmenge 24 Dekrement, logarithmisches 369 Determinante 220, 222 -, n-reihige 222 - n-ter Ordnung 222 Diagonalmatrix 207, 320 Differential 382 Differentialquotient 383 - von f 340 Differentiation -, numerische 401 Differenz zweier Matrizen 209 Differenzenquotient 341 -, zentraler 403 Differenzenvektor 249, 250 differenzierbar - auf (a, b) 347 - auf [a,b] 347 Differenzieren 341

Distributivgesetz 173, 210, 214, 251, 261 Distributivitat 255 Drehmatrix 297, 306 -, inverse 299 Drehmoment 259 Drehung 297, 306, 307 -, positive 296 - urn die x-Achse 298 - urn die y-Achse 298 - urn eine beliebige Gerade 302 Dreiecksmatrix -, obere 207 -, untere 207 Dreiecksungleichung 10, 179 Dreipunktegleichung einer Ebene 285 Druck -, atmospharischer 105 Druckgefalle 349 Dualdarstellung 327 Durchschnitt 3 Durchschnittsgeschwindigkeit 391 e-Funktion 100 Ebene 284, 285 Ebenengleichung in Determinantenform 286 Eigenfrequenz 127 Eigenvektor 311 Eigenwert 311 Einheit -, imaginare 175 Einheitshyperbel 163 Einheitsmatrix 214 Einheitsvektor 252 Einheitswurzel -, n-te 192 Element -, inverses 5 -, neutrales 5,171,172,209,248 Ellipse 181, 322 - in gedrehter Lage 310 Ellipsoid 322

Sachwortverzeichnis Entwickiung - nach der i-ten Zeile 223 - nach der k-ten Spalte 223 Entwicklungspunkt 395 Entwickiungssatz 290 s-Umgebung 11 -, punktierte 11 Erregerfrequenz 127 Eulersche Formel 195 Eulersche Zahl e 96 Exponentialform 195 Exponentialfunktion -, allgemeine 156 - zur Basis a 156 Extremum -, lokales 387 -, relatives 387 Extremwert 416 - absoluter 150 -, relativer 417 Fall, freier, eines Korpers 165 Fehler - des Verfahrens 513 -, relativer 384 Fehlerabschatzung 440 -, a posteriori 440 -, a priori 440 Fehlerfortpflanzung 384 Fehlerrechnung 383 Fehierschatzungsformel 523 FeinheitsmaB 451 Fermatsches Prinzip 432 Fixpunkt 296 Fluchtgeschwindigkeit 499 Flache -, Inhalt einer 468 -, unendlichblattrige 196 - unter clem Graphen 449 - 2. Ordnung 322 Flacheninhalt 468 Foige 70 -, aiternierende 74

Folge - arithmetische 71 - beschrankte 72 - bestimmt divergente 80 - Differenz einer 71 - divergente 80 - geometrische 71 - Grenzwert einer 77 - konstante 71 - konvergente 79 - monoton fallende 72 - monoton wachsende 72 - n-tes Glied einer 70 - nach oben beschrankte 72 - nach unten beschrankte 72 - Quotient einer 71 - rekursiv definierte 70 - stationare 71 - streng monoton fallende 72 - streng monoton wachsencle 72 - unbestimmt divergente 80 Form - kartesische 183 -, quadratische 322 -, trigonometrische 183 Formalismus -, (s, 8)- 120 Formen -, unbestimmte 411 Frequenz 67 Fundamentalsatz - der Algebra 193 - cler Integrairechnung 478 Funktion 24 - auBere 35 - Arcuskosinus- 64 - Arcuskotangens- 64 - Arcussinus- 64 - Arcustangens- 64 - auf (a, b) stetige 141 - auf [a, h] stetige 141 - beschrankte 38 - bestimmt divergente 113

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Funktion - Cosinus 59 Cotangens 61 differenzierbare 340 echt gebrochene 49 ganzrationale 44 (gebrochen) rationale 49 gerade 41 Gleichheit von 30 Grenzwert einer 109 hyperbolische 161 innere 35 integrierbare 452 konkave 422 konstante 28 konvergente 121 konvexe 422 lineare 29 mittelbare 35 Mittelwert einer 467 monotone 39 monoton fallende 39 monoton wachsende 39 n-mal differenzierbare 366 n-mal stetig differenzierbare 367, 368 nach oben beschrankte 38 nach unten beschrankte 38 periodische 42 reelle 25 Sinus- 59 stetige 138 streng konkave 422 streng konvexe 422 streng monotone 39 streng monoton fallende 39 streng monoton wachsende 39 sttickweise stetige 145 Tangens- 61 umkehrbare 32 unbestimmt divergente 114 unecht gebrochene 49 uneigentlicher Grenzwert einer 113

Funktion - ungerade 41 -, unstetige 138 -, zusammengesetzte 147 Funktionen - Eigenschaften stetiger 148 - gebrochen rationale 115 - hyperbolische 161 - monotone 415 - Nacheinanderausfiihrung von 34 Funktionswert 24 Gammafunktion 508 GauB-Klammer 29 GauB-Schritt 334 GauBsche Zahlenebene 178 GauBsches Eliminationsverfahren 201, 239, 330 GelenksHibe 266 Geraden Koordinatengleichung einer 280 -, Richtungsvektor einer 279 -, windschiefe 280 Geschwindigkeit als Ableitung der WegZeit-Funktion 348 Gesetz des radioaktiven Zerfalls 105 gleichartig 205 Gleichrichtwert 468 Gleichung -, lineare 200 Gleichungssystem -, lineares 200 GradmaB 58 Graph 27 Grenze -, obere 12, 72 -, untere 12, 72 Grenzfall -, aperiodischer 369 Grenzwert - an der Stelle Xo 120 - linksseitiger 125 -, rechtsseitiger 125, 128

Sachwortverzeichnis Grenzwert -, uneigentlicher 80, 128 - einer Folge 77 - einer zusammengesetzten Funktion 133 - gebrochen rationaler Funktionen 133 Grenzwerte 77, 109 -, einseitige 125 -, uneigentliche 125 Grundgesetze der Addition 5 - von komplexen Zahlen 171 Grundgesetze der Anordnung 6 Grundgesetze der Multiplikation 5 - von komplexen Zahlen 171 Grundintegrale 481 GraBen -, skalare 245 Halbwertszeit 105 Hauptachsenrichtungen 323 Hauptachsentransformation 323 - quadratischer Formen 323 Hauptdiagonale 205 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 474 Hauptwert 183, 196 Hessesche Normalform der Ebenengleichung 286 Hochpunkt 416 Horner-Schema 46 -, vollsHindiges 401 Hyperbel 322 Hyperbelfunktionen 161 -, Eigenschaften der 162 Hyperboloid 322 Hahenformel -, verallge.meinerte 414 Identitat 28 - von Lagrange 292 Imaginarteil 176 Implikation 1 Induktion ~, vollstandige 15

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Induktionsanfang 15 Induktionsschritt 15 Infimum 12 Integral - bestimmtes 452 - Intervalladditivitat des 462 - Linearitat des 464 -, Monotonie des 464 - unbestimmtes 478 - uneigentliches 499, 502, 506 -, -, von f 502 Integralfunktion 471 Integrand 452 Integration -, numerische 512 -, partielle 487 - durch Substitution 491 - von gebrochen rationalen Funktionen 486 Integrationsformel 512 -, summierte 517 Integrationsgrenze -, obere 452 -, untere 452 Integrationsintervall 452 Integrationskonstante 478 Integrationsveranderliche 452 integrierbar 452 Integrierbarkeit 455 Intervall - abgeschlossenes 10 -, halboffenes 10 - linksoffenes 10 - offenes 10 - rechtsoffenes 10 Inverse einer Matrix 216 inverses Element 171, 172, 209, 248 Iterationsschritt 434 Iterationsverfahren 434 -, allgemeines 435 Iterationsvorschrift 434

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Sachwortverzeichnis

Kegelschnitt 322 Keplersche FaBregel 514 Kettenlinie 160 Kettenregel 361 Koeffizienten 200, 267 Koeffizientenmatrix 213, 322 Koeffizientenvergleich 46 Karper, frei fallender 379 Kommutativgesetz 5, 171, 172,209, 248 Kommutativitat 255 komplanar 268 Komplement -, algebraisches 223 komplexe Zahl 170 Komponenten 258, 270 konkav 422 konvergent 499 konvex 422 Konvexitat 422 Koordinaten -, homogene 297 Koordinatentransformation 294, 305 Korkenzieherregel 260 Kosinusfunktion 59 Kosinussatz 266 Kotangensfunktion 61 Kreisfrequenz 67, 369 Kreuzprodukt 260 Kriechbewegung ----:, aperiodische 369 Kronecker-Symbol 214 Kurvendiskussion 426 Lagrangesche Form 396 Laplacescher Entwicklungssatz 223 Leistung 350 Linearfaktor 47 Linearisierung 352 Linearitat 482 Linkskriimmung 422 In-Funktion 103, 480 -, Eigenschaften der 103

loga -Funktion -, Eigenschaften der 158 logarithmisches Dekrement 369 Logarithmus -, dekadischer 158 -, naturlicher 158 - zur Basis a 157 Logarithmusfunktion 196 -, allgemeine 157 -, naturliche 103 Lorentz-Kraft 263 Lucke 49, 142 Lasbarkeit von linearen Systemen 233 Lasungen von linearen Systemen 233 Lasungsparameter 202 Lasungsschar -, zweiparametrische 203 Lasungsvektor 213 (m, n)-System 200 MacLaurinsche Form der Taylorschen Formel 397 Majorante 503 Majorantenkriterium fur uneigentliche Integrale 503 Maschinengenauigkeit 329 Maschinenzahl 329 Matrix 205 - adjungierte 229 - antisymmetrische 207 - Elemente einer 205 - inverse 216 - orthogonale 321 - reguUire 216 - schiefsymmetrische 207 - singulare 216 - symmetrische 207 - transponierte 207 - Typ einer 205 Matrizen - ahnliche 319 - gleiche 206 - Produkt zweier 212

Sachwortverzeichnis Matrizen -, Summe von 208 Maximum 12 - absolutes 150, 420 -, lokales 387 -, relatives 387, 416, 418 Menge 1, 11 - beschrankte 11 - leere 1 - nach oben beschrankte 11 - nach unten beschrankte 11 - der ganzen Zahlen 1 - der naturlichen Zahlen 1 - der naturlichen Zahlen einschlieBlich Null 1 - der rationalen Zahlen 1 - der reellen Zahlen 1, 3 Mengendifferenz 3 Minimum 12 - absolutes 150, 420 -, lokales 387 -, relatives 387, 416, 418 Minorantenkriterium fur uneigentliche Integrale 504 Mittel -, arithmetisches 9 -, geometrisches 9 Mittelwertsatz - der Differentialrechnung 390 - der Integralrechnung 467 Moivresche Formel 188 Moment 259 Momentangeschwindigkeit 391 Monotonie - der Addition 6 - der Multiplikation 6 n-Eck -, regelmaBiges 191 n- Fakultat 18 n- reihige Matrix -, quadratische 205 n-te Teilsumme 71

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Nebendiagonale 205 Newtonsches Iterationsverfahren 441, 443 Normale 354 Normalenvektor 286 Normalform 183 Nullfolge 81 Nullfunktion 28 Nullmatrix 209 Nullpfeil 245 Nullstelle 43 -, k-fache 48, 367 Nullvektor 245 Obersumme 453 Objektmatrix 300 Objektsystem 305 Orthogonalitatsbedingung 63, 351 Orthogonalsystem 318 orthonormiert 270 Ortsvektor 272 Oszillationsstelle 143 Parallelepiped 253, 263 parallelgleich 245 Parallelogrammregel 178, 247 Parameter 279 Parameterdarstellung einer Geraden 279 Parameterform 285 Partialbruchzerlegung 51, 486 Partialsumme 71 Pascalsches Dreieck 21 Pendel -, mathematisches 386 Periode 42 -, primitive 42 Phasenverschiebung 369 Pol 129 Polarkoordinaten 183 Poistelle 49, 129 -, k-fache 49 Polynom -, Koeffizienten eines 44 - n-ten Grades 44

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Sachwortverzeichnis

Potenz 58 Potenzfunktion 41, 56 -, allgemeine 156 Produkt 210, 251 -, skalares 254, 274 -, vektorielles 260, 276 Produktdarstellung 51 Produktregel 358 Produktsatz fur Determinanten 228 Punkt -, innerer 11 Punktsymmetrie 41 Pyramide 264 QR-Algorithmus 333 QR-Schritt 338 Quadraturformel 512 Quadriken 322 Quotientenregel 360 Randpunkt 11 Realteil 176 Rechengesetze der Addition 209 Rechengesetze der Multiplikation 214 Rechnen mit Grenzwerten 86, 112, 131 rechte Seite eines Gleichungssystems 200 Rechteckpuls 145 Rechtskrummung 422 rechtsseitig - differenzierbar 344 - stetig 140 Regula falsi 445 Rekursionsformel 489 Resonanz 128 Restglied 396, 513 Restriktion 33 Rundungsfehler 524 Sarrus, Regel von 222 Sattelpunkt 424 Satz - von Bolzano 151 - von Darboux 393

Satz - von Fermat 388 - von Rolle 389 - von Taylor 396 - von Thales 266 - von WeierstraB 150 Schallabsorption 106 Schaubild 27 Schmiegeparabel n-ter Ordnung 394 Schnittgerade 289 Schnittwinkel zweier Kurven 351 Schranke 11 -, obere 11, 72 -, untere 11, 72 Schwarzsche Ungleichung 257 Schwingung - erzwungene 127 -, gedampfte 369 -, ungedampfte 369 Schwingungsdauer 67 Sehnentrapezformel 514 -, summierte 517,519 Seil, gleitendes 165 Sekante 339 Signumfunktion 29 Simpsonsche Formel 516 -, summierte 521 Sinusfunktion 59 Sinussatz 262 Skalarprodukt 254, 274 -, Eigenschaften des 255 Skalierung 295, 306, 307 Skalierungsfaktoren 295 Skalierungsmatrix 296, 306 -, inverse 299 Snellius, Brechungsgesetz von 386 Spaltenindex 205 Spaltenmatrix 205 Spaltenschreibweise 273 Spaltenvektor 205, 271 Spaltenvektor der rechten Seite 213 Spat 263

Sachwortverzeichnis Spatprodukt 263, 277 -, Eigenschaften des 264 Spiegelsymmetrie 41 Sprung 143 Sprungstelle 143 Stammfunktion 477 Startwert 434 Steigung 339 - einer Kurve 339, 340 Stelle -, stationare 389 Stetigkeit - einseitige 140 -, linksseitige 140 -, rechtsseitige 140 Stetigkeitsbedingung 138 streng - konkav 422 - konvex 422 Stromstarke als Ableitung der elektrischen Ladung 349 Struktur eines Kristalls 294 Stiitzstellen 512 Storglieder 200 Substitutionsmethode 491 Summationsgrenze -, obere 13 -, untere 13 Summenschreibweise 13 Summenzeichen 13 Supremum 12 System - gestaffeltes 201 - homogenes 200 - inhomogenes 200 - quadratisches 200 Systeme -, quadratische lineare 237 Tabelle unbestimmter Integrale 494 Tangensfunktion 61 Tangente 340 Taylorpolynom 395

Taylorsche Formel 396 Taylorsches Naherungspolynom n-ter Ordnung 394 Teilbriichen -, Summe von 51 Teilmenge 1 Terrassenpunkt 424 Tetraeder 293 Tiefpunkte 416 Transformation -, geometrische 294 -, orthogonale 321 transitiv 1 Transitivitat 6 Translation 247, 295, 305, 307 Translationsmatrix 306 -, inverse 299 Translationsvektor 295 Transponierte 207 Ubertragungsprinzip 122 Umgebung 11 -, punktierte 11 Umkehrfunktion 32 unbestimmt divergent 129 Unendlichkeitsstelle 129 - mit Zeichenwechsel 129 - ohne Zeichenwechsel 129 Unstetigkeitsstelle 138 -, hebbare 142 - 1. Art 143 - 2. Art 143 Untersumme 453 Variable 24 -, abhangige 24 -, unabhangige 24 Vektor - Betrag eines 246 - Lange eines 246 - normierter 252 - orthogonaler 246 - Reprasentanten eines 245 - senkrechter 246

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Sachwortverzeichnis

Vektoren 245 - Addition von 248 - freie 246 - gebundene 246 - gegensinnig parallele 246 - gleichsinnig parallele 246 - kollineare 246, 268 - komplanare 268 - linear abhangige 268 - linear unabhangige 268 - Linearkombination von 267 -, -, Koeffizienten 267 -, linienftuchtige 246 -, Summe von 247 Vektorkoordinaten 270 Vektorprodukt 260 Vereinigung 3 Verfahrensfehler 524 Veranderliche -, abhangige 24 -, unabhangige 24 Vollstandigkeit 12 Volumen - einer Pyramide 264 Wendepunkt 424 Wendetangente 424 Wertemenge 25

Wurzel -, n-te 189 Wurzel von Zo -, n-te 189 Wurzelfunktion 41, 56 Zahl -, Betrag einer komplexen 179 -, konjugiert komplexe 177 - e 98 Zahlenfolge 70 Zahlentripel 271 Zeiger 178 Zeilenindex 205 Zeilenmatrix 205 Zeilenvektor 205, 271 Zerfallsgesetz 105 Zerlegung 450 Zielmenge 24 Zuordnungsvorschrift 24 Zustand -, stationarer 127 Zuwachs 381 Zweipunktegleichung der Geraden 279 Zwischenstelle 451 Zwischensumme 451 Zwischenwertsatz 152