From Indivisibles to Infinitesimals Studies  on  Seventeenth­Century  Mathematizations of  Infinitely  Small  Quantities 

MONOGRAFIES  6  

ENRAHONAR

M 

Antoni Malet 

From Indivisibles to Infinitesimals Studies on Seventeenth­Century   Mathematizations of   Infinitely Small Quantities  

Universitat Autonoma de Barcelona   Servei de  Publicacions   Bellaterra,  1996  

DADES  CATALOGRAFIQUES  RECOMANADES  PEL  SERVEI  DE  BIBLIOTEQUES  DE  LA  UNIVERSITAT  AUTÓNOMA  DE  BARCELONA 

Malet, Antoni  (­'ram  Indivi,ibles to  Infinitesimals  : Studies on  Seventeenth­Century Mathematizations of Infinitely  Small Quantities.  ­ (Enrahonar.  Monografies : 6) 

ISBN  84­490­0520­5 

1.  Universitat Aut6noma de  Barcelona.  Departament de Filosofia (BeIlaterra)  [1.  Universitat Aut6noma de  Barcelona. Servei de  Publicacions (Bellaterra)  lll. Col·lecció  l.  Infinit (Matematica) ­ Historia ­ S.  XVII  2.  Caleul ­ Historia ­ S.  XVII  511"16" 

Coberta   Loni Geest &  Tone H,lVerstad  

Composició i  IiImació   MCMXCII. S.A.   Passatge de L1ívia.  39  entresol   08041  Barcelona  

Edició i impressiú   Universitat Autonoma de  Barcelona   Scrvci dc Publlcacions   08193  Bellaterra (Barcelona l.  Spain   TeL  (93) 581  1022. Fax  (93)581  20m  

ISBN  84­490­0520­5   Diposit legal:  B.  4241­1996   Impres a  Espanya.  Printed in  Spain  

Imprcs en paper ecologic 

A la  Clara 

CONTENTS   9 

PREFACE 

CHAPTER  l.  THE SEVENTEENTH­CENTURY METHOD  OF  INDIVISIBLES 

11 

Bonavenrura Cavalieri's  Indivisibles.  Indivisibles and «the analyrical an of quadrature».  Limirs in  Geomeuical Oprics. 

CHAPTER  2.  REMAKING  INDIVISIBLES:  PASCAL,  BARRO\X!,  WALLIS 

23 

Torricelli.  Pascal.  Barrow. Wallis.  Discussing the Hom Angle.  Infiniresimals in  Mathemarical  Proof 

CHAPTER  3.  OPPOSING  INDIVISIBLES:  HUYGENS,  GREGORIE,  NE\X!TON 

51 

Boulliau.  Huygens. James Gregorie on Quadratures. Transformarjon Theorems.  Newton. Newton and Gregorie on Cavalieri's  PrincipIe. 

CHAPTER  4.  JAMES  GREGORIE'S  «SOME  GENERAL  PROPOSITIONS  OF  GEOMETRY» 

75 

Inrroduceion.  Description of rhe Manuscrit.  Editorial  Convenrions.  '1' ranslarion.  CHAPTER  5.  METHODS  OF  TANGENTS  ca.

1670

101 

Inrroduction.  Fcrmat­Beaugrand's Method ofTangents. The Kinematic Method ofTangents. Gregorie's Second Method ofTangents. Analyric Computation ofTangenrs.  Barrow's  Method «withour Ca!cuJarion...  Tangents  to  rhe  Cycloids. A Formula  «'1'0  Change the Variable...  Tangents to  Curves ofTrigonomeuic Lines.  Newton's Merhods ofTangents around  1670. 

CHAPTER  6.  INFINITES  ANO  INFINITESIMALS  IN  SEVENTEENTH­CENTURY  NATURAL  PHlLOSOPHY 

137 

The Atomisation of Physical  Effects.  Bodies,  Fluids and Mechanical  Explanations.  In  and Out ofTheological Debates. 

REFERENCES 

157 

PREFACE  

Ir is  only fair  to  say  that the more powerful and sophisticated techniques of  quadrature of the late seventeenth century wt!re largely indebted ro  Cavalieri,  particularly ro  the program he set forth in his  1635  Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, and to the early practitioners of the  method of indivisibles, particularly Torricelli.  They introduced general rreatments for curves and surfaces. They emphasized the use of general theorems ruling the transformation of geomerric figures as essential rools for determining their dimensions. They developed the insight that the equivalence of figures could be proved by comparing their indivisible elements, and suggested that a geomerric quantity could be determined as the sum of an infinite number of infinitely small parts. That all this is essential background to understanding the great mathematical contributions of the seventeenth century is well known. There is, however, substantial disagreement as ro the demonsrrative status the method of indivisibles held during the century. Furthermore, while indivisibles and infinitesimals came ro be interchangeable words for most mathematical practitioners, particularly after 1650, originally two very different notions were behind them. Cavalieri's genuine indivisibles (points, lines, an so on) were soon discarded, ro be substituted by infinitesimals. This essay analyzes some seventeenth-century texts closely related either to the changing notion of indivisibles or ro the status of the method itself. Ir  is suggested here that the how and why of the rransformation of indivisibles into infinitesimals are related ro the hightened status acquired by the method of indivisibles among legitimate mathematical techniques. Chapter one, largely introducrory in character, reviews the first attacks and main objections raised against the method of indivisibles. Chapter two studies the main answers ro them, focusing on texts by Isaac Barrow and John Wallis. Chapter three compares the views of Christiaan Huygens, James Gregorie and Isaac Newron on the soundness of the method of indivisibles, and reviews some of the attempts to circumvent the flaws they discovered in it-including Ismael Boulliau's. Chapter four contains an annotated English version of James Gregorie's «Some General Propositions of Geometry»-an unpublished manus-

Indivisibles

(O

Infinitesimals

Anroni Maler

cript setting forth an Archimedean construction of the basic results of the method of indivisibles. This piece has the additional interest of con taining results  closely similar  to  the mathematicallemmas opening Newton's  Principia mathematica.  Chapter five  is  devoted  to  the methods of tangents  produced just  before  the publication of the  first  essays  on the Leibnizian  calculus,  paying  special attention to the role of infinitesimal notions in them.  Finally,  Chapter  six reviews  the role of the method of indivisibles  in  its  philosophical con texto  It  is  argued in conclusion that the main strength of the method was  its dovetailing with key elements of the mechanical philosophy.  In the chapter of acknowledgements I must gratefully mention the generous  support fram the Diputació de Barcelona that has made this publication possible. Josep Montserrat, whose general support and encouragement in  matters  academical is  a pleasure to acknowledge,  eagerly received my manuscript and  published it within  the collection  «Monografies»  of Enrahonar.  Material  in  Chapters 2 and 5 has  previously appeared in «Barrow, Wallis,  and the Remaking  of Seventeenth­Century Indivisibles»  (Centaurus,  38,  1995),  and  in  «James  Gregorie on Tangents and the  'Taylor'  Rule  for  Series  Expansions»  (Archive  jOr History 01Exact Sciences,  46,  1993, 97­137). I wish  to thank the publishers  for  kind permission to partially reproduce here  these  texts.  Kind permission  fram  Edinburgh University Library to publish an  English translation of James  Gregorie's Latin manuscript is  gratefully acknowledged.  Research  has  been  carried on in the University of Edinburgh Library,  the Bodleian Library,  and  during a two­month visit  to  the Munich Deutsches Museum in  the summer of  1991  in the State Library of Bavaria. The staffs of these institutions are sincerely thanked for their help and kindness.  Financial support from  the Spanish  Ministerio de Educación (Research Project PB90­0692)  is  also gratefully acknowledged.  For comments and discussions  on different parts of this  book I  am indebted to  e.e. Gillispie, M.S.  Mahoney,  and  K.  Andersen.  My thanks  to  Guillem and Jordi  for  their  noisy playfulness  and to  Clara  for her companionship. 

Sto   Cugat del  Valles,  September 1995 

CHAPTER 1 

The Sevenreenrh-Cenrury Merhod of Indivisibles

After the thirteenth and fourteenth centuries, when the notion that continua  are composed of indivisibles was  a  minority opinion,  the sixteenth century  saw the revival  of indivisibilism and the irruption of the troublesome  notion  of actually infinite space.  The novel  understanding of the continuum linked  to  these changes has not been yet properly explored, yet we know that attacks on  the Aristotelian continuum carne from  more  than one direction.  Innovative  ideas  carne  from  sixteenth­century Aristotelians such  as  Ruggiero  (who  was  lecturing on Aristotle's  Physics  in  the Collegio  Romano  in  the early  1590's).  He considered both partes divisibiles and partes indivisibiles of the continuum,  «thus conferring on indivisibles the status of parts also.» 1 Authors taking part  in,  or influenced by the  Neo­Platonic reviva!,  like Patrizi's  or Bruno's,  also  abandoned the Aristotelian continuum. Renewed interest in  Democritean and  Stoic ideas played a part too.  While these authors by no means agreed on their  arguments nor on their doctrines,  they variously defended  the existence of a  minimum of space,  the existence of indivisibles of different sorts, and that the  continuum was  composed by its  indivisibles. 2  How well  mathematical practitioners accepted these ideas, we do not know.  We have strong indications that mathematical  magnitudes that were  incomparable or incommensurable  (because  they were  too  big or too small)  with  finite magnitudes did come to play an ever growing role in sixteenth­century  mathematics and natural philosophy. Whether mathematicians agreed or not  on the soundness of infinitely large magnitudes,  Copernicus could use a clo-

1.   W.A.  Wallace,  «Traditional  Natural  I'hilosophy»,  in C.B.  Schmitt  et al eds.,  Cambridge  History  ofRenaissance Philosophy (Cambridge:  Cambridge University I'ress,  1988),201235, p.  214­216 (quotation comes from  p.  216).  2.   ].E. Murdoch,  «lnfinity and  continuity»,  in  N.  Kretzmann, A.  Kenny,].  I'inborg eds.,  Cambridge History ofLater Medieval Philosophy  (Cambridge:  Cambridge University I'ress,  1982),564­591, p.  567­584;  E.  Cassirer,  Elproblema del conocimiento en la filosofia yen la  ciencia modernas,  4 vol., W.  Roces  transo  (Mexico D.F.:  FCE,  1986;  1st German ed.,  1906),  l,  276­288;].  Henry,  «Francesco  I'atrizi da Cherso's Concept of Space  and its  Later  lnfluence»,  Annals ofScience,  36 (1979),  549­573. 

12   From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

sely related notion to make a counterargument against the objection that no parallax can be observed. While he assened the finite dimension of the radius of the fixed stars orbs, he took the radius of the eanh orbs to be incommensurable with ir.  When taken  twice,  or several  times  (aliquotiens) , indivisibles  (minimis corpusculis ac insectilibus, quae atomi vocantur) or atoms do not add  up  to visible objects,  and yet they can be multiplied to such an extent that at  last they make up a visible magnitude (apparentem magnitudinem): The same  [can  be said]  of rhe place of the earth. Alrhough ir  is  nor the cenrer of  rhe world, yer rhe disrance ro  ir is  srill incomparable, particularly wirh rhe sphere  of the fixed stars."' 

The relationship  between finite  magnitudes and their points or indivisibles  raised  questions substantial enough to  be  used in the skeptical debate of  the second half of the sixteenth century.  In a letter to Clavius of a bout  1574  the  skeptic,  Francisco Sanches, was  to highlight the doubts this issue casts on the  soundness of mathematical  foundations.  Mathematics cannot be a  model of  scientia, Sanches argued, not only because it is  not causal,  but because even its  very principIes are  doubtful. «For example, one supposes that there are points,  but their existence and manner of being may be doubted. And the same applies  to lines and surfaces.»4  We do not know how sixteenth­century intellectual developments and contemporary changes in the social  status  of mathematics and  mathematicians  may have  predisposed sorne  first­rank  mathematicians  to embrace a  non  Aristotelian continuum.  By  the  turo of the seventeenth century,  however,  Johannes Kepler had very successfully used infinitesimal notions in  problems  involving quadratures and cubatures,  and others  soon  followed.  During the  first  two  or three decades  of the century a sizable group of mathematicians  developed mathematical techniques of quadrature that ro  a lesser or greater  extent rested on the notions of indivisibles and infinitesimals. 5  Bonaventura Cavalieri's Indivisibles  The origins of infinitesimals, one of the  most fruitful as  well as  debated mathematical notions from around  1600 to around 1800, can fairly accurately be 

3.   «Ita quoque de loco  rerrae,  quamvis  in  cenrro  mundi non fuerit,  distantiam ramen ipsam  incomparabilem adhuc esse  praesertim ad  non errantium srellarum sphaeram.»  See  N.  Copernicus,  De revolutionibus orbiunJ caelestiunJ libri sex (F.  Zeller,  K.  Zeller eds.,  München:  R.  Oldenburg Verlag,  1949),  p.  17.  4.   F.  Sanches,  That Nothing is Imown (E.  Limbrich ed.,  D.F.S. Thomson trad.,  Cambridge:  Cambridge University Press,  1988),  p.  49­50  (1  am  quoring Limbrick's paraphrase of  Sanches's words).  5.   M.  Baron,  The Origins ofthe Infinitesimal Ca!culus (New York:D?ver,  1969),  p.  108ff;  A.  Koyré,  «Bonaventura Cavalieri  er la  géomérrie des conrinusn.  in  Etudes d'histoire de la pensée scientifique (Paris:  Gallimard,  1973),320­349,  p.  322. 

Chapter  1  

The  Seventeenth­Century Method of Indivisibles  13 

traced  back to  Bonaventura Cavalieri's  1635  Geometría índivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, the book that first  introduced indivisibles into mainstream seventeenth­century mathematics. This is  by no means  to say that indivisibles or infinitesimals were not used before,  but that Cavalieri  first  offered  a  «rigorous»  geometrical  construction of the  powerful intuition  that sees  geometric magnitudes as  made up of infinitely many small constituents.  Up to the seventeenth century infinites and infinitesimals had no proper place in mathematical discourse, and Stevin and Kepler, whose contributions  appeared in works  that properly speaking belong not to pure mathematics,  made no attempt to bring their new notions and methods within the domain  of Euclidean canons. This is  what makes Cavalieri's work to occupy a special  place in the introduction of infinitesimal methods. 6  In possession of an ecclesiastical  education in philosophy and theology,  Cavalieri was well aware of the centuries old debate on the nature of the continuum­a debate that provided many arguments against the continuum being  made up by,  or equal to,  the reunion of its  «minimal pans» or indivisible elements.  He allowed himself only the son of indivisibles that classical geometry  and philosophical tradition knew of:  points, lines,  and surfaces. These indivisibles Archimedes did use  to good effect in his  «mechanica]"  method of quadratures  and cubatures.7 Within the  mathematical principIes  Euclid and  Archimedes set fonh, indivisibles cannot be «pans» of the mathematical object  they belong to­­because comparability and the quality ofbeing a pan go together.  If indivisibles were pans, they would be comparable and homogeneous  with their whole.  An  «infinitely small paw>  was  therefore  a contradiction in  terms,  words  designating objects  that cannot exist­in the same sense  that  triangles with one side  longer than  the other two  together could  not exisr.  Apparently embracing these views,  Cavalieri carefully  refrained  from  stating 

6.   G. Cellini, «Gli  indivisibili nel pensiero matematico e filosofico  di  Bonaventura Cavalieri)"  Periodico di matematiche, 4  ser.,  44,  1966,  1­21;  «Le  dimostrazioni  di  Cavalieri  del suo  principio»,  Periodico di matematiche, 4  ser.,  44,  1966, 85­105;  L  Lombardo­Radice,  Inrroduction ro  Geometria degli Indivisibili di Bonaventura Cal'alieri, L  Lombardo­Radice  ed.  (Torino:  Eunice,  1966);  K.  Andersen,  «Cavalieri's Method of Indivisibles»,  Archive fór History ofE>:act Sciences, 31,  1985,291­367; E.  Giusti,  Bonaventura Cavalieri and the Theory oflndivisible,- (Bologna:  Cremonese,  1980);  «Dopo Cavalieri.  La  disCllssione sugli indivisibili»,  in  Atti del Convegno «La Storia de!!e Matematiche in Italia».Cagliari. 29-30 settembre e 1 ottobre 1982 (Cagliari:  Universita di  Cagliari,  n.d.),  85­114;  E.  Festa,  «Quelques aspects  de la  conrroverse sur les indivisibles», in M.  Bucciantini, M. Torrini eds.,  Geometria e atomismo ne!!a scuola galilea na (Firenze:  Leo  S.  Olschki,  1992),  193­207;  D.M. ]esseph,  «Philosophical Theory and  Mathematical Practice in  the Seventeenth Century»,  Stud. Hist. Phi! Sci., 20,  1989,215­244;  F.  de Gandt, «Cavalieri's  Indivisibles and Euclid's Canons»,  in P.  Barker,  R.  Ariew eds.,  Revolution and Contilluiry. Essays in the History and Philosophy ofModern Science (Washington: The Catholic  Universíty of America  Press,  1991),  157182.  7.   E.].  Dijksterhuis, Archimedes (Princeton:  Princeton  Universiry Press,  1987, C.  Dikshoorn  trans., with a bibliographic essay  by W.R.  Knorr;  Isr ed.  1938), 313­336.  Of course Cavalieri  did not know of Archimedes's «mechanical theorems»,  which were published only in  1912. 

14

From Indivisibles

QI  S,

T

Antani Malet

ro  Infmitesimals

V R 

v 

] 

M 

A

;1/N

­IK  ;h

p 

L 

B 

G 

l

lE 

D 

e

H

Figure 1.

that magnitudes were made up by the reunion or addition of their indivisibles.  To  circumvent this difficulty,  however, he introduced mathematical objects  also foreign  to the Greek classical tradition, those of «all  the lines»  and «aH  the  planes». Anachronistically speaking,  «aH  the lines»  of a a given  figure is  the set  of aH  the straight line segmenrs conrained within a figure  and paraHel  to a  given line (the  reguia). These notions provided Cavalieri with means for  proving the so­called  Cavaiieri's principie along with several quadratures.  According to this principie (here exemplified only in the case of surfaces,  but of application to any twO  geometrical magnitudes whose indivisibles can  be  compared),  if two  figures ABT,  ABC  (see  Figure  1)  are such  that for  any  straight line NKO paraHel  to  the base TC the ratio NK : KO is  the same,  then  the twO  surfaces ABT, ABC also  are in the same ratio.  Cavalieri offered three  proofs of this  result,  but the three of them were  deemed incomplete by  his  contemporaries.  Cavalieri's flrst  proof is  given  in Proposition 4,  Bk.  2,  of his  Geometria indivisibilibus. Cavalieri was  careful enough ro  address the question  of whether a ratio between «all the lines»  of a figure and those of another could  possibly existo  The affirmative answer  ro  this  question is  proved in the opening Proposition  1 of Book 2.  Then he proved in  Proposition 3  that «aH  the  lines»  are  in the same ratio as  the figures.  The proof,  carried on by «superpositioll»,  may entail an infinite process­as his critic Guldin poinred out.  From  Propositions  1 and 3 his principie easily foHows.  Cavalieri's second and third  praofs,  both avoiding the use of the troublesome notion of «aH  the lines»,  are  given together in Proposition 1 of Book 7 of the  Geometria indivisibilibus. The  second proof depends on his attempt to demonstrate, also  by «superposition»,  the equality of two  figures  whose  «lines»  are  one by one equal.  His contemporaries found  the  proof objectionable as  well.  The third proof was  added  «Since the preceding proposition is  a most momentous one  and a differem  oo') 

The Seventeenth­Century Methad afIndivisibles  15 

Chapter  1  

manner, not differenr from Archimedes's style,  to proof its first  pan has come  ro  my mind».8 As  the words suggest,  this proof uses  an exhaustion technique.  Modern commentators, including CeHini  and  G.  Castelnuovo,  have defended its  soundness, even  though  Cavalieri's  contemporaries were  not convinced by it either. 9  As  is  weH  known,  Cavalieri's  indivisibles were soon substituted by infinitesimals, and the method of indivisibles grounded on the assumption that the  surfaces of figures,  the volumes of solids, and the lengths of lines are equal to  aH  the indivisibles they conrain taken rogether. 10  Provided that the operation  of «taking together»  is  understood as  sorne son of addition,  Cavalieri's principie can  be  derived from the assumption just menrioned. Let us assume  a

m 

b

n 

for all  the ordinates  a =  NK,  b =  KO in Figure  l.  lf for a finite number of /s it  is  a.  : b.  = m  : n,  then we obviously have Ia. : Ib. = m: n.  We may then concluJe that  i  I  i  1  AH the as 

m 

AlI  the b's 

n 

by analogy with the addition of a finite number of magnitudes.  Two difficulties arise.  One, which did not seem to bother seventeenth­century mathematicians, is  the very notion of a sum that involves an infinite number of terms, and the demonstration of a rule involving such a sumo  The second  and historicaHy more meaningful difficulty in this approach is  that the classical  notion of indivisible must be set aside.  lf «aH  the lines»  is  to yield the surface  of a figure,  and if «aH  the lines»  results fram sorne son of addition of the  lines,  the lines must be understood to  be rectangles whose heights are ordinasee,  in  the  te lines  and whose  bases  are infmitesimal segments.  As  we  ｾｨ｡ｈ middle decades  of the century indivisibles were explicitly transformed into  infinitesimals by sorne leading mathematicians, including Pascal  (around  1658)  and Barrow (around  1665,  first published in  1683). 

8.   B.  Cavalieri,  Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam mtione promota (Bologna,  1653),  p.  488.  9.   For very good detailed accoums ofCavalieri's proofs,  see Andersen's «Cavalieri's  Method  ofIndivisibles»,  and Ce]]jnj's  «Gli  indivisibili  ne!  pensiero matematico e filosofico  di  Bonaventura Cavalieri»,  and «Le  dimostrazioni  di Cavalieri de!  SUD  principio»;  see also  Lombardo­Radice's editorial notes ro  his  Italian edition of Cavalieri's  book.  10.  Cavalieri  never asserted  such a  thing,  bur T orricelli and many others did;  see Andersen,  «Cavalieri's Method of Indivisibles»,  passim.

16

From Indivisibles ro Infinitesimal,

Antoni Maler

Indivisibles and «the analytical art of quadrature» From the very beginning, fruitfulness was recognized as the major virtue of the method of indivisibles. However, while it was recognized to be a powerfui  analytical tool,  its  demonstrative status was  much debated in the decades  following the publication of Cavalieri's  Geometria. In this period Cavalieri and  Torricelli  worked hard  to  legitimate the use  of indivisibles.  Generally speaking, they managed  to  ensure a place for them in the mathematicians's armory,  but only as  a heuristic weapon. While  proudly stressing that the  method of  indivisibles was  very fruitful  indeed,  they assumed a  rather defensive stance  towards the soundness of its  foundations.  Cavalieri  and Torricelli  compared the method of indivisibles  to Algebra  and  to  the analytic art  that the ancients  must have used,  and left hidden,  to  make their discoveries.  This was  a  powerful  theme in  the early seventeenth  11  century,  as  M.S.  Mahoney convincingly argued in his  srudy on Fermat.  Cavalieri,  for  instance,  compared  the aggregates or congeries of lines  to  irrational arithmetical quantities,  and used the algebraist's  handling of irrational  quantities as  justification for  his  notion of «all  the lines»:  1 have  used an  artifice  [artijicio] similar ro  rhar often used by Algebraists for solving  problems.  For,  however  ineffable  [ineffabilisJ, absurd and unknown  the  roots  of  numbers be,  they none the less  add, subtract, multiply and divide  them; and they  are  convinced of having sufficiently met their obligation when  they have succeeded in  finding out from  the given  problem  the  result which was  required.  Not  differently,  therefore,  it  is  legitimate for  me  ro  make use­in arder ro  investigate  the measure of continua­of the congeries of indivisibles,  either of lines  ar planes,  ... for  if they are  nameless  [innorninabilisJ, absurd and unknown with respect  to their  number [ofindivisiblesJ,  rheir magnirude  [rnagnitudo] is  enclosed in  welldefined limits. 12  The comparison with the analytical art of the ancients is  explicit in Torricelli:  But this Geometry of rhe  indivisibles is  hardly a new  invention .,. [.]  1would rather  believe  rhat i:he  aneient Geometers  did  use  this  merhod  in  arder  ro  discover  their most difficult Theorems, although they preferred taking a different path ro  prove  them­either to  hide  their secret art, ar else  not ro  allow invidious detractors any occasion for  criricism.]3 

11.  M.S.  Mahoney,  The Mathematical Career ofPierre de Fermat 1601-1665 (Princeron:  Princeron Universiry Press,  1973),  p.  26­48.  12. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bologna,  1653),  b2  recto (all  references  are  made ro  rhis  edirion).  Translarions are  my own, bur 1 have  benefired fram  L.  Lombardo­Radice's lralian  rranslarion,  Geometria degli [ndivisibili di Bonaventura Cavalieri (Torino,  1966).  13.  E.  Torricelli,  Opere, 3 vol., G. Loria  eta1ed. (Faenza,  1919),1­1,139. Translarions are  my  own. 

Chaprer  I  

The Scventeenth­Century Method of Indivisibles  17 

Among the many advantages of the «geometry of the indivisibles», Torricelli  listed its  eHiciency in providing short proofs and its heuristic power:  Be ir as  it may,  rhe  rruth is  that this geometry provides an exuaordinary short cut  ro  rhe  faculty  of invention  and thar  it supporrs  innumerable very  difficult  rheorems  by short, direct,  posirive  [aff¡'rrnativus] demonstrarions, which can hardly be  achieved  by  means  of the  doctrine of the ancients.  In  fact,  rhis  geomerry  is  rhe  ttuly  royal  road  for  sharp  mathematicians,  and Cavalieri,  aurhor of wonderful  invenrions, was  rhe [¡rst  to  discover  it and  ro  explain  it for  [he  public benefit.]4  William Oughtred, the influential English mathematics teacher,  and someone not involved in the creation of the method of indivisibles, did not faíl  to  notice and stress  its power.  He says,  in his  1645  answer  to  one Keylway interested in the quadrarure of the circle,  1 ...  am  induced to  a better confidence of your performance,  by  reason  of a geometric­analytical  art ar pracrice found out by one Cavalieri,  an  Italian,  of which  about three years  since 1 received information by a lerter from  Paris, wherein was  praelibated only a small  taste  thereoE,  yer so  that 1 divine grear enlargement of the  bounds of the marhematical empire will  ensue.]5  During the middle decades  of the seventeenth century recognition that  indivisibles involved conceptual problems was more often than not accompanied  by the  notion that they were very much needed to deal  with otherwise  intractable problems. Cavalieri himself, however hard he tried  to  provide sound  foundations  for  his  method,  could not avoid  recognizing  that the new  principies he was  using would not convince every mathematician. He was thus led  to  advance the notion that concerns about foundations are philosophical rather than mathematical.  He also  used the argument that the basic notions and  techniques of the method of indivisibles  must be sound because the results  they provide agree with those found by other means.  He says,  in his  Geometria indivisibifibus (the argument reappears twelve years later in his  Ey;ercitationes geometricae sex):  1 do  nar think ir  is  useless  ro  no rice  .. , that mosr of rhe  things that were disclosed  by Euclid, Archimedes, and others, have  also  been  demonstrared by  me,  and rhar  my  conclusions  agree  perfectly with their conclusions.  This  must be  an  evident  indication that 1 have gathered  rrue things  in  rhe  basic  principies  [o!rny  rnethodJeven  though 1 know that from  false  principIes  rruths can  be  sophisrical1y deducedo  But that that had happened ro  me  in  so  many conclusions  [otherwúej  proved  geometrically,  1would deem  ro  be  absurd. 16  14. [bid.,  p.  140.  15.  Oughrred ro  Roben Keylway,  [Ocrobre  1645], in  S.].  Rigaud ed.,  Correspondence ofscientiflc men ofthe seventeenth century  (2  vols.,  Oxford,  1841, repr.  Hildesheim:  Georg Olms,  1965),1,65.  16. Geometria  indivisibilibus,  p.  112;  ExereitiUiones geometricae sex  (Bologna,  1647), p.  195. 

18

From Indivisibles

to  Infinitesimals

Antoni Malct

Let us stress, incidental!y, that Leibniz was to use a similar argument in the early 1690s to foster the cause of his «nouvel!e analyse des infinis». As a positive test of the sour.dness of his infinitesimal analysis, he produced the perfect agreement between results found through it and those found by other means, «quoiqu'il n'y ait eu aucune communication entre les auteurs des solutions;  ce  qui est une marque de la vérité».17  We  now know that Cavalieri's arguments  failed  to convince most of his  contemporaries.  Overlooking or rejecting his  subtile treatment of the col!ection  of indivisibles  induded in any magnitude as  a  mathematical object distinct  from  the magninide itself,  most mathematicians assumed Cavalieri's  method  of indivisibles  ro  entail an aromistic view of geometrical magnitudes. Wel!known, centuries­old arguments against mathematical atomism did also play  a  role  in  the development of the method through the seventeenth century.  As  is  well  known,  the most direct and formal  attacks on the method of  indivisibles carne from  two Jesuits, Paul Guldin (1577­1643) and André 1'acquet  (1612 ­ 1660). 1'he mathematical part of Guldin's  attack  (he  also  blamed  Cavalieri for  plagiarizing Kepler and Soverus)  rests on his  rejeetion of «al!  the  lines»  and «al!  the planes»  as  legitimate mathematical objects susceptible  to  have a ratio to one another. 1'he main argument in 1'acquet's  1651  criticism was  that no magnitude  is  an aggregation of its  heterogeneous  indivisibles. 18  Al!  competent mathematicians, however,  knew that no kind of geometrical continuum could be conceived as  composed of indivisibles heterogeneous  to the  continuum itself Arguments against, for instance, a line being but an aggregate  of its  points can be traced  back to Arisrotle,  and they had lost  none of their  strength and cogency in  the seventeenth century.  Let us stress,  therefore,  that mathematicians opposing the method of indivisibles were not the only ones aware of the logical dangers lurking in an uncritical  acceptance of indivisibles.  Highly articulate expositions  of the  need of  banning indivisibles  from  geometry are  found,  however confusing that may  appear,  in at  least three very distinguished practitioners of «indivisible»  techniques, Isaac Barrow,  Blaise Pascal and John Wal!is. 1'0 account for  this apparent contradiction we must pay attention to the changing meaning of the word 

17.  G.W.  Leibniz,  «De la chainette,  ou solurion d'un probleme fameux,  proposé par Galilei,  pour servir  d'essai d'une nouvelle analyse  des  infinis,  ... "  Uournd des S,avam, 1692), in  Mathematische Schriften, el. Gerhardr ed.  (Hildesheim,  1962), V,  258­263,  p.  260.  18.  Guldin's argumenrs are  reproduced verbarim in  exercitatio III  of Cavalieri's  Exercitationes geometrú;ze sex, p.  177­241. T acquer's much more brief ones are  found  in  his  Cvlindricorum et ammlarium libri IV (Anrwerp,  1651),  p.  21­24.  See E.  Giusri,  Borzaventura Cavalieri and the Theory o/Indivisibles, p.  55­65  and 73­76; and  «Dopo  Cavalieri.  La discussione  sugli indivisibili",  in  Atti del Convegno "La Storia del/e Matematiche in Italia". Cagli,zri, 2930 settembre e 1  ottobre 1982 (Cagliari:Universira di  Cagliari.  n.d.),  85­114;  E.  Fesra,  "Quelques aspecrs  de  la  conrroverse sur les  indivisibles",  in  M.  Buccianrini,  M.  Torrini  eds.,  Geometria e atomismo nel/,z scuola galileana (Firenze:  Leo  S.  Olschki,  J 992),  193­207.  See also H.  Bosmans,  «André T acquen>,  in Académie Royale de Belgique,  Biographie nationale (Bruxelles,  1926­1929), XXIV, mis. 440­464. 

Charter 1  

The Seventeenth­Centu'ry Method of Indivisibles  19 

,ándivisible,).  Mathematicians of the middle decades  of the seventeenth century explicitiy abandoned the old  notion of heterogeneous  indivisibles and  gave the leading role  to infinitesimals, a quite new notion occupying an  intermediate position between indivisibles  a Lancienne and finite geometrical magnitudes. As  we shal! see,  they did so  partiy by giving a new meaning ro  one of  the main Arisrotelian arguments against dassical atomism­the infinite divisibility of the geometrical continuum. Interpreted as  providing an  actuaL infinite division,  this argument supported the view that a finite line can be divided  into an infinite number of infinitely sma11  pam.  Interestingly enough,  the substitution was  not registered  at the rherorical  level,  tor the expression «method of indivisibles» was ro  be used through the century. 19  In common with the old  indivisibles,  infinitesimals had the property  that no finite  number of them taken  rogether could be equal to or greater than  any finite  magnitude­in modero jargon, infinitesimals were non­Archimedean  magnitudes.  But Cavalierian indivisibles and Barrow's «indefinitely smal!linelets»  (indefinite parvis LineoLis) differ  in  three essential  aspects.  Infinitesimals  are  divisibLe; that  is,  it makes  mathematical sense  to halve  an infinitesimal.  1'hey are  hornogeneous with the magnitude they originated from.  In particular,  by taking together infinitesimal surfaces, a larger surtace is  gained­which  wil!  be infinitesimal itself,  if their number be finite,  or it wi11  be finite,  if their  number be  infinite.  Finally,  infinitesimals can actually be reached by a process  of infinite division­a process which can never yield a point, say,  starting from  a linear segmento  Ir has  been said that the method of indivisibles encountered no real opposition during the seventeenth century. As  this account has it, worries about rigor  and sound  reasoning were  not central ro seventeenth­century mathematical  thought,  and with the exception of1'acquet and Guldin no real mathematician  positioned  himself publidy against  the new notions of Cavalieri and his fo11owers.  Those who did,  mostiy persons of no consequence, were motivated by  conceros,  philosophical or otherwise, of no  importance to  the mathematical  community.20 Although this  picture contains sorne truth, it is  incomplete.  For  one thing,  many first­rank  mathematicians,  induding Newton, Gregorie and  Huygens, did worry about the foundations of the method of indivisibles.  Newton  and Gregorie did offer their particular version of a demonstration of Cavalieri's  principie.  On the other hand,  the method of indivisibles was  not straightforward in its application. Himself an advocate of indivisibles,  Pascal was led ro  use  the method of exhaustion to setde a question in which two proofs, one by indi19.  While rhe  notíon  of infiniresimals was  clearlv introduced  inro  mainstream marhemarical  rhoughr by  rhe  middle of rhe  17rh cenrury,  rhe  word «infiniresima["  is  almosr never ro  be  found  in  sevenreenrh­cenrury rexrs.  More ofren  rhan  nor,  rhe  rerm  used  is  "indivisible",  The French also  used  "infinimenr perir".  In Larin  ir was common ro  refer  ro  parrs  rhar were  ((infinice parvae»  or (exiguae).  20.  See E.  Giusri,  Bonaventura Cavalieri and the Theory o/Indivisibles (Bologna,  1980), p.  48.  Compare wirh  D.T. Whireside's "Parrerns of Marhematícal Thoughr in  rhe ¡arer Sevenreenrh  Cenrury",  Archive ftr History o/Exact Sciences, 1(1960),  179­388,  p.  327. 

20

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

Chaptet  I 

visibles and the other by motion, yield conflicting conclusions. 21  As  we shall see, the use of indivisibles could produce paradoxes involved enough to lead the young Huygens to consider the method of indivisibles completely unreliable. It must be stressed, however, that the status of the method of indivisibles improved markedly as the cenrury went on. We know that Fermat and Torricelli could appreciate the advantages of indivisibles as tools of discovery, but would use them only warily as tools of proof. In the second half of the seventeenth century we  find many leading mathematicians, such as  Pascal, Wallis,  Sluse,  and  Barrow, willing to grant fulllegitimacy  to  the method of indivisibles.  In the  same period a growing number of authors asserted  the essential eguivalence  between proofs involving indivisibles and proofs patterned according  to  the  classical  exhaustion method.  In  Pascal's well­known words,  «tout ce  gui est  demontre par la veritable regle des  indivisibles se demontrera aussi a la rigueur  et a la maniere des anciens;  ...  l'une de ces methodes ne differe de l'autre gu'en  la maniere de parien).22  This meant that the method of indivisibles had gained a  new status:  it was  now deemed able to  provide legitimate demonstrations, which was something that few  mathematicians would have dared to say  in the  1630s and  1640s. In the next chapter we shall find evidence that beneath this significant modification of the logical status of the method of indivisibles lies  the substitution of infinitesimals for classical indivisibles. 

The ｓ･ｶ ｮｲ･ ｮｲｨｾｃ･ｮｴｵｲｹ

Method of Indivisibles  21 

L 

o  A 

F

E 

D  T 

G 

e 

Limits in Geometrical Opties 

It has  been said that seventeenth­century mathematicians got entangled with  infinitesimals because they failed  to  use  the notion of mathematicallimit.  Historically speaking, it is  true that the vexed guestion of the  métaphysique du calcul infinitésimal-to put it in eighteenth­century lingo­ was  definitely  setded through Cauchy's definition oflimit in the first decades of the nineteenth century.  The  6­10  definition of limit,  however,  has litde to do with  the  foundational guestions that worried seventeenth­century mathematicians, with  the notions they were handling, and with the mathematicallanguage they had  at their disposal.  Although in the seventeenth century mathematicallimits were of no conseguence  in  relation either to the solution of mathematical problems or to  foundational  matters,  perhaps it is worthwhile recalling that seventeenth­century geometrical optics did use a notion closely related  to  the modero notion  oflimit. Let us assume that a family of rays  LF,  OE, ...  (see  Figure 2),  the prolongation of which gather in sorne point D, is  refracted by the surface AFE.  Christiaan Huygens established that the point T,  defined by taking TA : DA  21.  «Lenre de  A.  Denonville a  Monsieur A.D.D.S.  en  luy envoyanr la  Demonstration a  la  maniere des Aneiens de I'Egalite des  Lignes  Spiraie et Parabolique»  (10  Deeember  1658),  in  Oeuvres, VlII, p.  255ff.  22.  B.  Pascal,  Oeuvres, P.  Bourroux,  L.  Brunsehvieg,  F.  Gazier eds.,  (14  vols.,  Paris,  19041914), VIll,  p.  352. 

Figure 2. 

egua! to the refraction index,  is  the actual or «real»  gathering point after refraction.  In order to demonstrate it he proves,  first,  that no ray  reaches  the axis  AD between A and T.  Secondly, that EA >  FA implies CT >  GT. And finally,  that there are always  rays  that after refraction meet the axis AD at points whose  distance  to  T  is smaller than any given distance. 2.3  T  is,  therefore,  the limit of  all  the intersections  C,  G,  ...  as  the angle ADF gets  smaller,  and Huygens's  characterization seems  to  be as  good a  (geometrical)  definition of limit as  it  could be hoped for in the seventeenth century.  Huygens,  however,  never carne  to  use  a notion similar to it out of the context of geometrical optics. As  we  shall see,  he was indeed worried about the cogency of indivisibles and infinitesimals.  He used them  to discover results,  but was  reluctant  to  use  them in  mathematical demonstrations and avoided them as  much as he could. A similar consideration can be made in relation to  Barrow's geometrical definition  of optical  images,  although he was  not reluctant  to  use  infinitesimals. 24  For  23.   C.  Huygens,  Dioptrica (1653),  in  Oeuvres completes de Christiaan Huygens (22  vol.. La  Haye,  1888­1950), XIII:1,  p.  18.  24   For Barrow's geometrieal ¡imits, see  1.  Barrow,  Lectiones XVIII ... in quibus opticorum phaenomenon genuinae rationes investigantur, ac exponuntur (1669),  in  The Mathematiml Works, W. WheweIl ed.  (Cambridge,  1860),  p.  51­52. 

22

Fmm Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

limits to be of any use in solving the puzzle posed by infinitesimal notions, the objeets of the infirtitesimal ca!culus must be funetions expressed and defined analytieally,  but those objeets were absent fram  seventeenth­eentury  mathematies. 

CHAPTER2  

Remaking Indivisibles: Pascal, Barrow, Wallis

As  is  well  known  Cavalieri's  notions were  urrerly misrepresented during the  seeond  half of the seventeenth­eentury,  and Torrieelli ­ one of Cavalieri's  keenest followers ­ has  been partieularly blamed for  this misrepresentation. 1  Examples showing how the word «indivisible» was  misused in the seeond half  of the seventeenth eentury eould easily  be  multiplied.  K.  Andersen,  for  instanee,  pointed to Roberval as  one among many who «prajeeted his own ideas  into  [Cavalieri's theoryJ;  thus he intradueed the idea that it was  based on infinitesimals». 2  A good example of the muddling of Cavalieri's ideas  is  pravided  by John Wallis's following aecount. He explained in his  1685  Treatise o/Algebra that the «Geometry ofIndivisibles, or Method ofIndivisibles» was "First inttodueed by Bonaventura Cavallerius,  in a Treatise by him Published in the Year  1635; and pursued by Torrieellius,  in his Works Published in the Year  1644.»  Wallis had no qualms about handling infinitesimal magnitudes, as  if they involved  no  logieal diffieulty whatsoever,  but he did stress  that the so­ealled indivisibles  should not be  understood as  points, lines,  or planes­whieh, as  we  now know,  is how Cavalieri undersrood them. Rather they had ro  be substituted  by infinitesimals:  According ro  this Method [oflndivisibles], a  Line is  considered,  as  consisting of  an Innumerable Multitude ofPoints: A  Surface, ofLines, ...: A Solid, ofPlains, or  other Surfaces.....  Now this  is  not ro  be so  undersrood,  as  if those Lines  (which  have no breadth) could 611  up a Surface; or those Plains or Surfaces,  (which have no 

l.   K.  Andersen,  «Cavalieri's method of indivisibles»,  Archive ftr History o[Exact Sciences, 31  (1985),  291­367;  E.  Giusti,  Bonaventura Cavalieri and the Theory o[Indivisibles (Bologna:  Cremonese,  1980);  F.  de Gandt, «Les  indivisibles de Torricelli», in  F.  de  Gandr ed.,  L oeuvre de Torricelli: science galiléenne et nouvelle géométrie (Nice:  Les  Belles  Lettres,  1987),  147206;  and «Cavalieri's Indivisibles and Eudid's Canons», in P.  Barker,  R.  Ariew eds.,  Revolution and Continuity. Essays in the History and Philosophy o[Modern Science (Washingron:  The  Catholic Universiry of America Press,  1991),  157­182.  2.   K.  Andersen,  «The Method ofIndivisibles: Changing Understandings», in A.  Heinekamp  (ed.),  300]ahre «Nova methodus» von G.  W Leibniz (1684 ­ 1984)  (Wiesbaden:  Steiner  Verlag,  1986),  14­25,  p.  23. 

,..  24

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni MaJet

Chapter 2 

B 

thickness) could compleat a Solido But by such Lines are ro be undersrood, small Surfaces, (of such a length, but very narrow,) ... 3

And Wallis makes clear that in this context «very narrow» stands for infinitely narrow.  Once we  accept  that important differences  exist  between  Cavalieri's indivisibles and their putative  descendants,  the infinitesimals,  it  seems historically pertinent to  try and answer sorne related questions:  Why  were infinitesimals introduced? How were  they introduced? Why were  they  preferred ro  classical  indivisibles? The secondary literature,  particularly the  older one,  mostly suggests  that  mathematical  rigor  and  unassailable foundations were  not of paramount importance during this period­that the  fruitfulness  of the new methods and notions balanced,  as  it were,  the logical  deficiencies in their foundations.  Wc would like  ro  suggest here that just the  opposite  may be  the  truth. That  it was  precisely  because  mathematicians  cared a  lot  about questions uf rigor  and foundations  that  they set out to  modify Cavalieri's theory.  By focusing on detailed discussions  by Blaise  Pascal,  Isaac Barrow and John Wallis on foundational  questioIlS  re1ated  to  indivisibles and infinitesimals, we will demonstrate that at least for  them,  influential  mathematicians all,  the shift from indivisibles  to infinitesimals was one  ro  which they devoted much  thought.  When they came eventually to embrace infinitesimals and  reject  indivisibles,  they did  so  because  they thought  that  the former  offered much more sol id foundations  than  the  latter.  By  substituting infinitesimals for  indivisibles  mathematicians  provided a  new  status to the method of indivisibles, which  thereby became a legitimate method of proof. 4  Torricelli,  in  answer  to  a  numbet of paradoxes  apparently entailed by  Cavalieri's method, set out to modify Cavalierian indivisibles. 5 As  F.  de Candt  has  recently shown,  Torricellian indivisibles could be  compared  by «quantity»  and were  reachable through infinite subdivision. 6  They are our starting  puint. 

3.   J.  Wallis,  A Treatise ofAlgebra, bot/' Hirtorical and Practical (London,  1685),285­286.  4.   Compare with  D.M. Jesseph,  "PhiJosophical  Theory and  Mathemarical  Praetice in the  Seventeenth Century»,  Stud. Hist. Phi/. Sci., 20, 1989, 215­244; and also  with A.  Malet,  "Providing Foundations m  New Methods of Quadraturen, in "Studies on James  Gregorie  (1638­1675)>>  (Ph.D.  Diss.,  Princemn University,  1989),216­283.  5.   Torricelli gathered an impressive collection of f¿1se  mathematÍcal resu1rs  derived  by using  indivisibles.  They are  found  in  "Contro gl'infiniri»,  in  E.  Torricelli,  Opere, 3  vol.  (in  4),  G.  Loria,  G.  Vasurra eds.  (Faenza,  1919),  1­2,  p.  47ff,  and  in  "De indivisibilibus»,  ibid., p.415ff.  6.   F.  de  Gandt, «Les  indivisibles de T orricellí», in F.  de  Gandt ed.,  L 'oeuvre de Torricelli: science galiléerme et nouvelle géométrie (Nice:  Les  BeHes  Lettres,  1987),  147­206;  «L'evolutÍon  de  la  théorie des  indivisibles et l'apport de  Torricelli»,  in  Bucciantini,  M.  Torrini eds.,  Geometria e atomismo /leila scuola gaülea/la, 103­118. See  alsu  E.  Bortolotti,  ,,1  progressi  del metodo infinitesimale nell'opera geometrica di  Evangelista Torricelli»,  Periodico di matematiche, 4 ser,  8,1928,19­59. 

... 

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  25 

ｐｃｾ

Q 

A 

R 

D 

s 

e 

Figure  1. 

Torricelli  To  put Torricelli's  thought in context let us  review a paradox,  ofren dealt with  by both supporters and critics of indivisibles alike,  that Cavalieri and Torricelli  deemed particularly damaging.  In the non­isosceles triangle ABC (see  Figure  1)  the  two  triangles  BDA,  BDC are  different.  Every line PQ parallel  ro  the  base AC determines two  equaflines PR, QS. As  the line PQ moves parallel to  the base and occupies every position from D  to B,  it determines an equal  number of equal indivisibles PR and QS. Hence,  «AlI the lines PR»  '"  «AlI rhe lines  QS», and the triangles  BDA and BDC ought to be equa!.?  A second paradox, concerning concentric cirdes, is worth memioning because  we shall see  below how Barrow dealt with  ir.  Consider two concentric cireles and join the center to al!  the poims of rhe larger circumference.  It is  obvious,  says Torrice1li,  that as  many points will be determined by the intersccrion of all  the radii  with  the smaller circumference as  there are  points  in  the larger one.  Torriccl!i conduded from here that the points in the smaller circumference were  «smaller»  (sic) than  those in  the greater­indeed,  the  points were  in  the  same  proponiun as  the diameters. 8  Torricelli,  therefore,  endowed indivisibles with  different magnitudes and imroduced comparisons between them:  That all  the indivisibles  be equal ro one another,  that is,  poims ro poims, lines (in  width)  ro  lines, ... ,  is  an  opinion,  in  my view,  not only hard  to  prove,  but false.9 

7.   Cavalieri discusses  this  paradox in his  5 April1644leIter to Torricel1i,  in Turricelli's  Opere, IIJ,  170­1;  he  returns to  it in  his  1647  Exercitationes geometriwe sexo CL 11.  Bosmans,  «Sur  une  concradiction  reprochée  a  la  théorie des  "indivisibles»  chez  Cavalieri",  Arma/e,· de la Société Scientifique de Bruxelles, 42  (1922­23),82­9.  8.   T orricelli,  Opere, 1­2,  320.  9.   This, and rhe  nexr fragments,  must have  been writren ca.  1645, see  Opere, 1­2,  320. 

26

Antoni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

Chapter 2 

Facing a paradox very similar ro one of the aboye, Torricelli explained away the different lengths of the sides AB and BC (in Figure 1) by introducing the idea that the points on each side had different lengths:

if this division is  made,  or if it  is assumed  ro  have been made,  an inhnite number  of times,  we  would come  ro  have,  instead of trapezoids,  a line  BC  equal  ro  the  line  BA.  1 mean equal in quantity (quantita), not in length, for even though both  of them  are  indivisibles,  the line  BC will  be as  much  larger than the  line  BA  as  the latter is  longer than the former. 11 

e' 

ｾ

e 

I 

r

V'

Ｏｾ

jB

A 

lA'  I 

I 

•.. 

, 

B 

] 

G'l 

ｾＺｈ

ＧｂＯｾ

V/ I

E 

A 

D' 

1 

D 

Figure 3. 

As  Torricelli himself showed, this new notion of indivisible not only solves  paradoxes,  but also  is  very helpful to determine tangents.  Let AB'B  (see Figure  3)  be the general parabola 

ｾＺｹ

o 

e:T' 

In order to  determine the point E  such that EB  is  the tangent at B,  complete the rectangle EFBD and consider the lines FB  and BD, which are equal  «in quantity,) as just shown. To determine the ratio FB:  GB, which is  the same  as  ED; AD and so will give us  the point E,  Torricelli points out that the ratio  between FB and GB  is  the same  both «in  quantity» and in length. Whence  ED 

BD «in quantity» 

AD 

GB «in quantity» 

To determine this  last ratio,  Torricelli assumes  that BD and GB  are  reached by infinite division. That makes this ratio equal to m/n. Knowing that the  figure BB'D'D is  ro  the figure  BB'G'G as  are the exponents  m, n, he takes the  middle point 1 on D'D and poinrs out that the figures  BHID and BH]G are  in the same ratio.  So  he can conclude,  if we  make this  division,  or assume  thar  ir  has  been  made,  an  inhnire  number of  times,  rhere will  remain,  instead of hgures,  two  lines  [BD]  and  [BG]  rhar,  nor in  length,  but in quamity will be as  rhe  exponem [m]  is  to  rhe exponent  [n].12 

Figure 2. 

10. ¡bid., 320­1. Cf.  Bortolotti,  ,,1  progressi del  merado infinitesimale".  11. ¡bid., 322.

G 

F 

Were all the inhnite lines parallel ro the base AC drawn, the segment [PQ] would mark as many points on the straight line AB as in the straight line BC; whence any point of the former is ro any point of the latrer as the whole line [AB] is ro the whole line [Bq. 10  Torricelli did not drop the word «indivisible», but the notion he used here is by no means the same one Cavalieri had in mind. Furthermore, in Torricelli's hands indivisibles became not only comparable among themselves, they became reachable by infinite division as well, thus allowing the mathematician ro translate ratios between figures into ratios between indivisibles.  For instance, starting from  the obvious equality of the trapezoids EBAA' and EBCC' (see  Figure 2), he would point out that, by taking  the middle point 1 ofEB, two trapezoids IBA,  IBC, which were equal as  well,  were obtained. So, 

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Barrow.  Wallis  27 

12.  ¡bid, 322­3 . 

28

From Indivisibles

to  Infinitesimals

Antoni Malet

Since 1'orricelli's indivisibles have no precedem in classical mathematics, securing their soundness seemed a necessary condition for the method of indivisibles to beco me an standard mathematical too!' 1'orricelli himself seems ro  have thought as  much, although the most imeresting views on the marrer carne  from  Pascal  and Barrow.  Pascal 

Pascal justified the use of «indivisibles»  by explicidy transforming them imo infinitesimals,  and  then dismissing any suggestion that the larrer  notion involved  logical difficulties.  He said, in the well­known words ofhis 1658letter ro  Carcavi,  je  ne feray aucune difficulre d'user de cerre expression;  la somme des ordonnees, qui  semble n'esrre  pas  Geomeuique a ceux qui n'emendem pas  la doctrine des  indivisibles,  er qui s'imaginem que  c'esr pecher comre  la  Geometrie que d'exprimer  un plan par un nombre indefiny de lignes;  ce  qui ne vient que de leur manque de  imelligence, puisqu'on n'emend auue chose par la,  sinon la somme d'un nombre  indefiny de recrangles fairs  de chaque ordonnee avec chacune des  perires ponions  egales  du diametre, dom la  somme est cenainemenr un plan, qui  ne  differe  de  !'espace du demy cercle que d'une quamire moindre qu'aucune donnee. 13 

Pascal was  not in the least willing to conclude that a surface was  the aggregation of all  of its ordinates. He saw no problems, however,  in understanding  it as  made up by infinitely many rectangles with infinitesimal bases. We shall  come back ro  his comemion that this infinite sum would yield the surface of  the figure with undetectable error.  Pascal's  thoughts on indivisibles and infinitesimals are  fully set forrh  in the  opuscule «De l'esprit géométrique», undated but probably written in 1657 or  1658. 14  Geometry's objects  are,  according to  Pascal,  motion,  number,  and  space ­things that encompass the whole universe,  according ro  the Holy Writ,  and which have a «reciprocal and necessary relationship». 1'0 them time must  be  added,  because  time and motion are  umhinkable without each other. 15  Knowledge of what belongs in common to all  these notions,  therefore,  «ouvre  13. Oeuvres, VIII,  352­3.  14.  "De l'esprit geometrique», in  Oeuvres, IX,  240­70, particularly 256ff. On Pascal's  indivisibles,  see  H.  Bosmans,  "La notion des  indivisibles chez  Blaise  Pascab, Archivio di Storia della Scienza, IV,  1923,369­79; ].­L.  Gardies,  Pascal entre Eudoxe et Cantor (Paris:  Vrin,  1984);  J.  de Lorenzo, "Pascal y Jos  indivisibles»,  Theoria, 1,  1985,87­120. The interpreraríon  here  offered is  at odds with  Bosmans's and Gardies's.  15.  ,,[Mollvement, nombre, espace],  qui comprennent tout l'universe, selon ces  paroles:  Deus ficit omnia in pondere, in numero, et mensura (Sap. XI, 21), Ont  une liaison  reciproque er necessaire.  Car on  ne  peut imaginer de  mouvement sans quelque chose qui se  meuve;  et cene  chose etant une, cette unite esl  ['origine de tous Jes  nombres;  enEn le  mouvement ne  pouvant estre sans espace, on voit ces  trois choses enfermees dans la  premiere.  Le  temps mesme  y  est aussi  compris:  car le  mouvemem et le  temps sont relalifs l'un a l'aune; la  promptitude et la  lenteur, qui SOnt  les  differences des  mouvemems, ayant un rapport necessaire avec  le  temps.»  From B.  Pascal,  "De l'esprit geometrique", in  Oeuvres, IX,  240­70,  p.  256. 

Chapler  2  

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  29 

l'esprit aux plus  grandes  merveilles  de la  nature». 1'he most imponam thing  they have in common is  infinity:  La  principale  (propriéré commune]  comprend les  deux  infinirés qui se  rencon-

uem dans coures:  l'une de grandeur er l'aurre de peritesse. 16 

Pascal considers the two infinities to  be imimately related,  «de telle sone que  la connaisance de l'un mene necessairement ala connaisance de l'autre.»17  He  also  assumes  that the actual  infinity of space emails its  subdivision  in  actual  infinitesimal pans:  De sone que l'augmemation infinie enferme necessairemem aussi la division infinie.  Er dans I'espace  le  mesme rappon se voir emre ces deux infinis comraires: c'est  a dire que, de ce qu'un espace peut esue infinimem prolongé,  il s'ensuir qu'il peut  esue infinimem diminué, ... 18 

Pascal  adduces  here  an example that involves  an  optical device.  Imagine  that through a telescope we observe a boat gerring away in a straight lineo  1'he  spot on  the glass  where one specific  poim on  the  boat is  observed would go  cominuously up  (haussera toujours par un flux continueb as  the vessel  would  go  away.  If the  boat goes to  infinity,  the spot will  go  up  and yet it will  never  reach  the poim where a horizomal ray coming from  the eye reaches the telescope.  D' ou l'on voit la conséquence necessaire qui se  tire de  la  infiniré de l'erendue du  cours de vaisseau, a la  division infinie er infinimem perite de ce  perir espace resram  au dessous de ce  poim horizomal. 19 

Elsewhere he used another optical analogy.  He stressed that pans so  tiny  as  ro  be invisible  (imperceptibles) can  be enlarged by lenses umil they equal the  firmamem ­which shows that a litde space may have as  many fcans  (in  particular,  we may add,  an infinite number of pans) as  a large one.  o  1'hese considerations,  however,  were  but  bagatelles. 1'he basic  argumem  rested on the infinite divisibility of space. 1'his notion assumed by all  geometers, says  Pascal,  emailed the existence of infinitesimals ­unless the end product of infmite division  be  truly indivisibles. 1'herefore Pascal endeavored ro  demonstrate that indivisibles cannot be  reached  by division,  nor can  they be  pans of a cominuum. 

16. 17. 18. 19. 20.

¡bid. ¡bid., p.  261.  ¡bid. ¡bid. ¡bid., p.  258. He concluded by poiming out rhat  nOlhing assures  us  that we see objects in  its  «lme»  (veritable) size, for  lenses may have re­established the  (fue size  «que la figure  de notre  oei]  avait changee et raccourcie». 

30

From Indivisibles to Infinitesimals

Anroni Malet

He rehearsed two of the most well-known argumems against a cominuum made up of indivisibles. Two indivisibles cannot make up extended space because this entails they must touch each other. If they touch everywhere, they cannot be two different indivisibles. If they rouch in part, they have parts, so they are not indivisibles. The second classical argument goes against the notion that space is made up of a finite number of indivisibles. If this were rhe case, then there cannot exist an square the surface of which doubles the surface of a given square. 21  He also stressed the heterogeneous (sic) characrer of indivisibles vis-a-vis the cominuum. Ir is obvious rhat any space, howsoever small ir be, can be halved, and the parts obrained halved again.  How could ir be that at some poim  two  half­parts turned out ro  be indivisibles? This is  absurd, because then two  indivisibles wirhout extension  (etendue), taken  rogether would make up extended space.  Pascal highlighred  the evidence and clarity of this conclusion:  Il  n'y a point de connaissance naturelle dans l'homme qui precede celles­la, et qui  les  surpasse en dane. 22  Why is  it,  then,  that excellem  minds deny the existence of <
­­­­ Chaprer 2 

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  31 

- - - - - - -

hensible it be,  must be  taken for the truth. This is  why we must accept «infinite divisioD»,  even if no geometer can  understand it:  11  n'y a point de geometre qui ne croie l'espace divisible a I'infini.  Gn ne peur non  plus  I'estre  sans  ce  principe qu'estre homme sans ame.  Et  neanmoins iI  n'y en a  point qui  comprennenr une division  infinie; et l'on ne s'assure de  cette verite que  par cette seule  raison,  mais qui  est cenainement suffisanre,  qu'on  comprend parfaitement  qu'il  est  faux  qu'en divisanr  un  espace  on  puisse arriver a une  panie  indivisible,  c'est a dire qui  n'ait aucune etendue. 25  Finally,  to help reluctam thinkers to come to terms with infinite divisibility,  he wem over a modified version  of one of Zeno's paradoxes  (not idemified as  such),  and argued that it was  no serious argumem against his position.  If it is hard to understand how an space made up of infinite divisibles is  traversed  in a finite  time,  this  is  because two disproportionate things are compared:  an  infinity of divisibles  against a finite  time.  The proper comparison,  however,  is  the one between the infinity of divisibles and the infinity of instams making  up  time:  Et pour les soulager dans  les  peines qu'ils auraient...  a concevoir qu'un espace ait  une  infinite de  divisibles,  vu  qu'on  les  parcoun en  si  peu de  temps, ...  il  faut  les  avenir qu'ils ne  doivent pas  comparer des  choses  aussi  disproponionees qu'est  l'infinite des divisibles  avec le  peu de temps ou ils sont parcourus:  mais qu'ils comparent l'espace entier avec le ｳｾｭ･ｴ enrier,  et les  infinis divisibles de  I'espace avec  les  int1nis  instanrs de  ce  temps; ...  6  Pascal's  mystic leanings led him ro  endow the comemplation of infinity  with a strong religious  meaning.  The position of mankind between  infinity  and nothing, he said ro  conclude, could prompt thoughts much more valuable than anything geometrical:  Mais  ceux qui  verront  dairement ces  verites  pourront admirer la grandeur et  la  puissance de la  nature dans  cette double  infinite qui  nous environne de  toures  pans,  et  apprendre par cette consideration  merveilleuse a se  connaitre eux  mesmes,  en  se  regardanr  places  entre  une  infinite et  un  neant d' etendue,  entre une  infinite et  un  neant de  nombre,  entre  une infinite et  un  neant de  mouvement,  entre une infinite et un  neant de temps. Sur quoi  un peur apprendre a s'estimer a  son juste prix,  et former des reflexions qui valent mieux que tour le reste de la geometrie. 27  Let us  turn to Isaac Barrow's (1630­1677) caurious exploration of the logical  foundations of the  new notion  of infinitesimals set forth  in  his  Lucasian 

25. ¡bid 26. ¡bid, p.  259.  27. ¡bid, p.  262. 

32

From Indivisibles ro Intlnitesimals

Antoni Malet

lectures. First written in 1665, Barrow's arguments are close ro Pascal's, although they have no  mystic flavor attached ro  them.  Barrow  Isaac  Barrow did nor spare laudarory adjeerives  ro  rhe  «excellent  Method of  Indivisibles,  rhe  most fruitful  mother of new Inventions in  Geometry».28  According ro  him,  rhere is  a small, select group of very produerive merhods, probably unknown  ro  the Ancients,  ro  which rhe  method of indivisibles  (<<which  already has  been,  bur  never sufficiendy can  be,  praised»)  belongs.  They are  used  for the easier  resolution of all sorts of problems, for  the invention of rheorems, and for  rhe construction and demonsrration of problems and theorems...  Many of these mosr  use fui  and elegant merhods,  unknown  ro  rhe ancients or ar  least  not commirred ro  memory, has  the industry of the moderns invenred and brought ro  lighr.  (Such are,  besides  rhe new merhod of Analysis,  chiefly cuirivared by Viera and Cartesius, ...  Cavalleri's Method oflndivisibles, which already has been, but never sufficientiy can  be, praised;  rhe Method  cÍrea Maxirna 6, },1inirna... ; the various general rules of invesrigating the rangents of curves;  the ways  of producing curve lines and of investigaring their properties from the dependance and composirion of motions; rhe  methods  for  comparing different series  of magnitudes,  increasing or decreasing in a  certain  order, and for thus derermining rhe measures ofinnumerable r,lanes and solids;  rana'] rhe general rules for  readily finding rhe cenrers of graviry... ).2'! 

According to Barrow,  indivisibles  (that is,  points,  lines,  and surfaces)  are  perfecdy legirimate mathematical entities. To introduce and define the notion  of surface,  for  insrance,  he  rook a body «rerminated on every side».  Its  «term  (terminus) is  not divisible inwardly, or as  ro  its thickness (for ifit should be  so  divisible,  not the whole,  bur only something of ir without would be the rerm,...)  Hence there is  given sorne Term of a solid magnitude that is  indivisible as  ro  thickness;  this is  called a surface».30  Indivisibles,  however, cannot under any circumstance constitute or compase  lines,  surfaces,  or solids. A great  many arguments againsr  rhe  opposite view  appear in  the secrions  of Lecture  IX in which  Barrow discussed the divisibiliry and composition of magnitudes.  He used Arisrorelian arguments againsr aromism ro  argue thar points «joined  rogether will  form  no  magnitude».31  He  also  made reference  ro  Arisrode and Plaro when arguing for  the infinite divi-

28.  1.  Barrow,  Mathematieal Works, W,  Whewell  ed.  (Cambridge,  1860),  p,  166­7, The  Mathnnatical Lectures were  rranslared  by J,  Kirkby and  published  in  London  in  1734  as  T/Je Usefitlness o/MatlJelnatical Learning Explained and Demonstrated ... Translarions  are  my own,  but 1 benefited from  Kirkby's  translation.  29. ¡bid., p.  212­3.  30. ¡bid., p.  135.  31. ¡bid., p.  139.  ,,", 

ｾ｡ｰｴ･ｲ

2 

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  33 

32 sibiliry of magnitude. Finally,  he summoned up  many classical examples ro  show rhat many geometrical proposirions  become problemaric when the  assumprion rhar magnitudes consisr of points is  inrroduced.  If lines consisr of  points,  for  insrance, how is  rhe mean proponional berween lines of seven and  nine painrs ro  be  conceived?  Then Barrow addressed the  paradox involving  concentric circles,  an old paradox much used in  rraditional debares abour indivisibles.  Consider rwo  concentric circles and join the center ro aH  rhe poinrs of  rhe larger circumference.  Ir wiH  be interesring to put Barrow's arguments along  Torricelli's,  who used  the paradox to  endow indivisibles with different mag33 nitudes. Barrow,  on the orher hand, was  to use rhe paradox for  rhe  only purpose of arguing thar circumferences are  not made up of poinrs. If rhey were,  says  Barrow,  all  circumferences would be egual,  for  when radii join the center of a  circle  ro  every point in  irs  circumference,  it is  apparent thar «circumferences  of more concenrric circles consisr of rhe same number of points wirh rhe  former,  and conseguendy are  egual  (adequare) ro  the former circle».34  Barrow  recognized  rhat language does  sornerimes  disservice  ro  those who «apply the  exceHent  Merhod ofIndivisibles»,  in thar rhey seem to be saying that «all  these  parallellines are  egual  ro  such aplane». What has  ro  be  undersrood  by  rhese  expressions,  however,  is  an  infinite or indererminare sum, not of lines,  bur of  «parallelograms  of a very small  and non­considerable  (inconsiderabilis) (if I  may  say so)  height».  In  ralking of planes whose sum  is  egual to a solid,  we  musr  egually understand «prisms  or cylinders  of non­compurable heighr».35  On what grounds was  Barrow ro  admit these  «infinite»  sums and <
36.  In faet  Barrow did  not speeity whether he was  arguing against a finite­ or an inflnite­kind  of mathematieal atomismo  In one of the  few  oeeasions in whieh  he did  so, he deemed  the  hypothesis  of the finite  number of indivisibles  to  be  «still  more  repugnant  ro  the laws  of  Geometry».  In  this  oeeasion  he  pointed out that Galileo  he1d  the view  that magnitude is  eomposed of an  infinite number of atoms.  See  Mathematical Works, p.  147;  on Galileo's  indivisibles, see A.M.  Smith, "Galileo's Theory of Indivisibles:  Revolution or Compromise?»,  }ournal o/the History o/Ideas, 37 (1976), 571­88. 

34 From Indivisibles to lnfinitesimals

Antoni Malet

That «a fmite magnitude... can have an infinity of parts», Epicurus held to be uninteHigible, says Barrow. He could not see the point of Epicurus's objection, however. Had not mathematicians shown that any inflnite series whose terms decrease in geometrical proportion adds up to a finite number? Barrow, therefore, did «not see any contradiction in [a finite magnitudes] having more than mil1ions of parts, or more than can be expressed by any number, nay, rather 1 conceive it ro be very agreeable to reason.»3? Then Barrow addresses one of the most classical arguments against the handling of infinite aggregates ­which he attributes ro  the aromists  (sic). 1f an infinite number of parts were actually found in,  say,  a line,  then different sorts of  infinites would exist,  and sorne infinites would be greater than others­ for the  infinite number of parrs of a two­feet line would double the number of parts of  a one­foot line,  for instance.  The aromists concluded, says Barrow,  that «it seems  absurd for an infinite ro  be exceeded, contained, or multiplied.»38  But this was  no longer a powerful argument in the seventeenth century.  By  assuming that  space itself is  infinite, says Barrow, one can produce innumerable instances of «an  infinite number within an infinite numbef»,  for  if a  right line  be supposed ro  be extended infinice1y in  space,  which  almosc  nobody deems  not ro  be  immense,  it will doubtless comain an  infinice  number  39  of feec,  an  infinite number of paces,  and an infinice number of furlongs.

Not that Barrow would flatly assume such a controversial hypothesis as  the  infinity of space,  but  since che adversary builds his  argumems upon the nature of infinite, ic will  be legitimace for  us  ro  suppose che same chingo  And if che position of the thing itself be  perhaps  impossible, yet the consequence would be manifesc and perceptible, i.e.,  that it is  in  no wise  repugnam...  with the nature of an  infinite ro  be  contained in  another infinite. 40 

Newron was  to  use  a similar argument in  1693  in a letter to Bentley.  He  asserted there that infinite divisibility entails no logical contradiction, because  not aH  the infinites are equal.  Sorne authors, says Newton, will deny that a finite quantity be supposed equal  ro  an infinite sum arguing that, since al1  inflnites  are equal, this would entail the equality of whatever twO  finite  magnitudes  that be  expressed as  an  infinite sumo  The argument  is  wrong,  says  Newton,  because «tho'  there be an  infinite Number of infinite little Parts in an 1nch, yet  there is  twelve times that Number of such Parrs  in a Foot».41  37.  Barrow,  Mathematical Works, p.  144.  38. Ibid., p.  146.  39. Ibid. 40. Ibid., p.  147.  41.   Newton  to  Benrley,  17 January  1692/3,  in  Isaac Newton 's Papers and Letters on Natural Philosophy, LB.  Cohen ed.  (Cambridge, Mass.:  Harvard Universiry Press,  1978),293­296,  p.295. 

Chaptet 2  

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Battow,  Wal1is  35 

ｾ

Barrow did not pay much attention ro  other objections against the actual  existence  of an  infinite number of parts in a flnite  magnitude and quickly  rnentioned and answered other objections, including Zeno's.42  He was  not to close his  discussion on a rriumphal note,  however.  He did  recognize that his  hypothesis was  not self­evident.  «1  deny not that it is  difflcult ro  understand,  how every single part can  be divided so  as  aH  not to  be  actually reduced by the division to indivisibles,  or to nothing or what is  next  ro  nothing».  While he allowed that we were «not able ro  comprehend how this  indefinite division can be performed»,  he none the less srressed  that the truth  of the «indcflOite divisioo»,  «proved by so  many evident tokens,  and supported by so  many srrong arguments»,  followed  «of necessity from  the nature of  matter,  a thing most manifestly known ro  us».43  He srressed,  finally,  «the imperfection  of the human mind and the poverty of our mental capacities»,  obstaeles so  relevant here that we are dealing with «that kind of things, which cannot  be comprehended by our minds,  as  being finite.»44  Barrow had thus grounded the new notion of infinitesimal parts.  Ir was  not a notion completely free  of obscurities,  but it seemed ro  Barrow to be, if nothing else, less obscure than  any other of the alteroatives al10wing him ro  salvage the «excellent method of  indivisibIes».  Barrow had a well  deserved reputation as  someone who favored synthetical,  rigorous  proofs and clear foundations.  Even  now he is  more often than  not presented as  a mathematical conservative who did not appreciate algebra  nor the new techniques closely linked to  ir.  However,  daring to explore  the  logical underpinnings of infinitesimals, Barrow was certainly modero and innovative when he publicly defended the new infinitesimals against Tacquet and  other mathematical  «classicists»  reluctant ro  abandon the Arisrotelian continuum. Let us  now turo to the comments on infinitesimals and indivisibles by  someone whose reputation among his contemporaries was quite the opposite  to  Barrow's.  Wallis  A leading mathematician and forceful  advocate of the use  of infinitcsimals,  John Wallis  (1616 ­ 1703)  had among his fellow  mathematicians a well­deserved reputation for  disregarding the niceties of classical exhaustion proofs and  elassical methodology general1y. 

42.  Barrow,  Mathematical Works, p.  146.  43. Ibid., p.  148.  44. Ibid. Compare with Newton's  reflection  on the soundness of the analysis  performed  by  means of infinire series in his  1669 De Analysi: «...  we,  mere men possessed only of finire  intelligence, can  neirher designare al!  rheir rerms  [ofthe series], nor so  grasp rhem as  ro  ascerrain  exacrly rhe quantiries we desire from  rhem, ... »,  in  D.T. Whireside ed., Mathematical Papers ofIsaac Newton (8  vals.,  Cambridge: Cambridge Universiry Press,  1967­1981),11, p.  240  (Whireside's rranslarion). 

36

Antoni Maler

From Indivisibles to Intlniresimals

­

Chaprer 2  

His 1655 Arithmetica infinitorum probably was the first printed text ro combine in a systematic way infinitesimals and arithmeticallimits. 45 Fermat, Roberval and Pascal had previously used similar or related techniques, but their works only appeared later on. Wallis's Arithmetica infinitorum proves results that can be anachronistically rendered as n

Iik  limn---7

1=0 00

(n+1)n k 

­­[1J 

k+1

Wallis's proofs rely in what we now call incomplete induction. In order ro prove [1 J for the case k =  1, he calculated the ratio n

Ii  i=ü

(n+ 1)n for small values of n, to condude that it carne ever nearer ro 1/2 as n increasedo  His proofs for the cases  k =  2 and 3 are similar.  He then assumed  k =  1/2  and  1/3,  saw  that  [lJ  also  holds in  these  cases,  and dared to condude that  [lJ  holds for  every  k integer or fractional. 46  The emphasis  in Wallis's  book  lies  on many original applications of [1],  rather than on  its demonstration. The  very structure  of the  book reveals  this  emphasis.  After proving the  case  k = 1  of [lJ  in  Propositions  1  and  2,  Wallis  devotes  the  next  sixteen  Propositions  to  gain  results  (on spirals,  mainly)  by applying it.  Then, after  devoting Propositions  19,  20  and 21  to prove the case  k =  2,  has  them followed  by seventeen  Propositions containing applications of ir.  Then come  Propositions  39,  40  and  41  proving the case  k =  3,  and so  on.  However,  as  if expecting criticism for his  methods of proof, Wallis warned the reader that  he was  interested in revealing his  methods of discovery rather than in providing elegant demonstrations.  Indeed,  his  methods provoked sharp attacks  from  sorne quarters.  Fermat and sorne of his  friends were Wallis's  most fierce  critics in a complex  debate whose context has  not been fully elucidated yet.  Ir is  apparent though  that mathematical rigor was  discussed in intimate connection with matters of 

45.  ].  Wallis,  Arithmetica infinitorum, sive Nova Methodus Inquiriendi in Curvilineorum Quadraturam, alioque difficiliora Matheseos Problemata (Oxford,  1655). Quotations are  ro  ]. WaIlis,  Opera mathematica, 1,  355­478.  46.  Fot details,  see ].F. Scon,  The MathematiL"a1 Work ofJohn Wallis (London,  1938),35­60. 

ｾ｣｡ｬ ｹ

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  37

While Ferma.t  ､ｾｷｯｬ｡ that Wallis's  methods  ｷ･ｾ heubeauty and  ｾｴｩｬ ｹｙ frunful,  he was adamant m  denymg the status of demonstratlons to  the arguments supporting the results  in  the Arithmetica infinitorum. What is  true of particular cases,  he said,  is  not necessarily true universally ­«ce qui se  deduit par comparaison en Geometrie, n'est pas tousiours veritable».48  Fermat  accompanied his  criticism with an eager invitation for Wallis  ro  join him  in  his  researches  in what we  now call  number theory.  Wallis stressed that his  demonstrations were most appropriated in order  tO  illuminate the way to new results.  He thinks Cavalieri has opened a fruitfui way  and cannot find  exception  to  his  methods.  Rather than  to  admire  Archimedes  on  account  oE his  elegant demonstrations,  Wallis  thinks we  should blame him for hiding his  method of investigation.  He himself expects  ro  be  thanked  by  those  who aspire  to  discover  new  truths.  As  for  Fermat's  arithmetical problems, Wallis sets forth a rather negative appreciation ­not  of Fermat's  methods and solutions,  but of the enterprise as  a whole.  Wallis  cannot see  the point of this sort of problems, for  they seem to  be unimportant,  and,  short of time,  he chooses his  mathematical problems in  terms of  utility.49  .  Several  colleagues  of Wallis  and Fermat joined in the discussion,  always  revolving around the foregoing  themes.  Frenide, Fermat's mouthpiece, wondered  how it could  be  that a mathematics  professor  [Wallis,  that isJ  is  concerned by the utility of a mathematical result.  Outsiders may be naive enough  ro  put such questions,  but Wallis  surely knows  that the higher mathematics  ­the arithmetic of infinites, for instance­ has  no mechanical  uses whatsoever.  Frenide stressed that, generally speaking ­and excepting the lower and  easier and less  prestigious parts of mathematics, which are  used  by surveyors,  gaugers,  and similar people­ arithmetic and geometry were of no  practical  use.  In  a higher sense,  however,  no  truth  is  useless.  Mathematics  is  pursued  on account of its  subtlety and perfection,  and because it is  most  fitting  for  the human mind to look after the ttuth. 50  Fermat,  sending a series  of theoand Lord Brounckner to examine,  remarked  rems and conjeetures for ｾ｡ｬｩｳ of the conjecture, that 2 2  +  1 is  a prime number,  that obviously it cannot be  said to  be  useless.  He also suggests  to them  not to abuse of analytical formulae in detriment of the methods of Eudid and Apollonius, lest the mathematical elegance of the ancients be lost. 51  47.  The debate  is  found  in  Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibuJdam Mathematicis nuper habitum. In ter Nobilissimos Viros [Lotd  Brouncker,  K.  Digby,  Fermat, Frenic1e, WaIlis,  van  Schooten,  et. al.] (Oxford,  1658).  in ].  Wallis,  Opera Mathematica (3  vol.,  Oxford,  1693­ I 699;  repr.  Hildesheim:  Georg Olms,  1972), 11,  757­860.  48.  Wallis,  Opera, 11  p.  761;  see  also  Fermat's  «Remarques sur l'arirhmétique  des  ínfinís  du  S.]. Wallis»,  in P.  Fermat's  Oeuvres, 4 vol.,  P.  Tannery, C.  Henry eds.  (París,  1891­1812),  11,  p.  347­353.  49.  Wallís  to  Dígby,  in  Wallis,  Opera, 11,  777­789, particularly p.  781­782.  50.  Frenic1e  to  Dígby,  in  ibid., 810­811, p.  811.  51.  Fermat to  Digby, ín  ibid., 857­859, p.  858. 

38

From Indivisibles ca Infinitesimals

Antoni Malet

Wallis and his Netherlander colleagues, van Schooten and Hudde, were unimpressed by such arguments. Van Schooten dismissed Fermat's arithmetical problems with words similar to Wallis's: they obviously have no use whatsoever. The little spare time he can devote to science, Hudde explains to van Schooten, he wishes to spend in problems not only more useful, but also more general and promising ro bring more glory and recognition to whom may solve them.52 Reporting his own views as well as Hudde's to Wallis, van Schooten stressed that in his country it is «general opinion» among mathematicians that problems in number theory have no interest and no use whatsoever, are extremely difficult, and their solution will bring little glory ro their authors. 53 Years later, in his 1685 Treatise ofAlgebra, Wallis carne back to this discussion, only to reassert his views. Teaching how to find, as opposed to demonstrate, new truths was not only usefuI  but sorely  needed,  he said. With his  methods, the  matter at hand will  not  «be  parcelled out into several Lemmas and preparatory Pro¡ositions. Which  though it might look more August, would be less  edifYing».5  With hindsight,  Fermat was right.  Ir is  also  clear,  however,  that he  represented a  minor current within seventeenth­century mathematics, and that his  criticism ofWallis's methods was linked to moral and aesthetical values. Their  different approaches may result, among other things, from the differences  between the cultural matrix of Catholic France and the Calvinist and puritan leanings  ofWallis and his Netherlander colleagues.  Be  that as  it  may, Wallis's  views on method and rigor cannot be dismissed as  the expression, or the result,  of mere carelessness.  As  we shall see,  he was keen about both clarifYing  the  notions involved in the method of indivisibles, and discussing the logical dangers  he perceived in the use  of indivisibles.  Wallis accurately discussed his own understanding of notions basic to the  method of indivisibles in his response to attacks by Thomas Hobbes. 55  In his 

ｾＲ

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow, Wallis  39 

1656 Six Lessons to the Professors ofMathematicks... Hobbes  had criticized  Wallis's  use  of infinitesimals with the classical argument that infinitesimals  mus t  be either equal  to zero or have a  finite  magnitude. 56  He also  criticized  Wallis's  use of Cavalierian indivisibles (lines  that make up figures,  and so on);  it was in answer to this that Wallis included in the  Treatise ofAIgebra the comments on indivisibles quoted at the beginning of the present chapter. In  1671  Hobbes submitted several questions  to the Royal Society,  requesting that the  Society «pass  a  judgment on them,>  ­whatever that might have  meant.  The  Society passed them to Wallis, and his unsigned answer was  published in the  Philosophical Transactions. Hobbes started quoting  (accurately)  Wallis's  result we have encapsulated  as  [1]  aboye:  If there  be  undersrood an  infinire  row of Quantities beginning with  O,  ... ,  and  increasing conrinually according to  the  natural order of numbers,  O,  1,  2,  3,  etc,  or according to  rhe  order of their sguares,  as  0,  1,  4,  9,  etc,  or according ro  the  order of their cubes,  as  0,  1,  8,  27,  etc,  whereof the last  is  given;  [then]  the  proportion of the whol e, shall  be  to  a row of as  many,  thar are  egual  to  the last  (in  rhe  nrst case)  as  1 ro  2;  (in  the second case)  as  1 ro  3;  (in  the  third case)  as  1 to  4, etc. 57 

As  Hobbes pointed out, this  proposition «is  the ground of all his  [Wallis's]  doctrine concerning the Centers of Gravity of all  Figures.»  He then asked six  questions,  three of which directly concerned the notion of infinitesimals:  2.  Whether a Finire  Quantiry can  be  divided  into  an  Infinite N umber of lesser  Quanrities,  or a Finite guanriry consist of an Infinite Number of parts  (which he  builderh on as  received from  Cavallieri.)  3.  Whether rhere  be  any Quanriry greater than Infinite. 

52.   Van  Schooren  ro  Wallis,  in  ibid, 833­841,  p.  835:  53. ¡bid., p.  840.  54. Treatise o/ALgebra, p.  305.  55.  1 cannor dwell  here  on  the very  interesting conrext of rhe  squabble  berween  Wallis  and 

Hobbes,  although irs  rheological dimension wj)\ be  rouched  upon in Chaprer  6.  Suffice ir  ro say rhar ir was  a disagreement by no  means confined ro  rechnical aspecrs of rhe foundarions of marhemarical merhod ­on rhe conrrary,  rhe birremess of the  marhematical conflicr  derived  from  deep  philosophical and  polirical differences  berween  Hobbes and  rhe  philosophical esrablishment ro  be idenrified wirh  rhe Royal Soeiery. On rhe wider conflict,  see  S.  Shapin,  S.  Schaffer,  Leviathan and the air-pump (Princeron:  Princeton Universiry  Press,  1985),  passim. On rhe  philosophical discussion  abour  marhemarical  infinities, see  P.  Mancosu,  E. Vailari,  «Torricelli's Infinirely Long SoJjd and Irs Philosophical Reception  in  rhe Seventeenth Century»,  [sis, 82,1991, 50­70,  p.  65­69;  and S.  Probsr,  «Infiniry and  crearion:  rhe  origin of rhe  controversy  berween Thomas  Hobbes and  rhe  Savilian  professors Serh Ward and John Wallis»,  Brit. Jour. Hist. ::'i:i., 26,  1993,271­279.  On orher aspecrs  of rhe conflicr berween Hobbes and Wallis,  see S.  Schaffer,  «Wallifaction: Thomas Hobbes  on  school  diviniry and  experimenral  pneumarics»,  Stud. Hist. Phi!. Sci., 19,  1988,275298.  On Hobbes's  marhemarics, see  D.M. Jesseph,  "Hobbes and  Marhematical  Merhod»,  Perspectives on Scíence, 1,  1993, 306­341. 

5.  Whether there  be  any number Innnite. For it is one thing to  say,  that a Quanriry  may be divided perpetually without end, and anorher thing to  say that a Quanriry  may  be  divided into an  innnite number of parts. 58  Hobbes ended his  series  of questions stressing that they were  a  matter of   common sense,  not of Geometry:  

56.   T.  Hobbes,  Six Lessons to the SaviLian Professors o/the Mathematics, in  W.  Molesworrh ed.,  EngLish Works o/Thomas Hobbes (11  vols.,  London,  1839­1845),  VII,  p.  300­301.  See also  H.M.  Pycior,  «Marhemarics and  Philosophy: Wallis,  Hobbes,  Barrow,  and Berkeley»,  Jour. Hist. Id., 48,1987,265­286; and  F.  Cajori,  "COntroversies on Marhemarics  berween Wallis,  Hobbes, and  Barrow»,  Mathematics Teacher, 22,1929,146­151.  57.   T.  Hobbes,  To the Right HonorabLe and others, the Learned Members o/the RoyaL Society (n.pl.,  n.d.  [1671])  (a ftLio leafler  prinred on one side).  58.  1 quore  rhem  separaredly,  as  were  prinred  in  rhe  PhiLosophicaL Transaetions, 6,  1671  (Seprember  18,  1671,  Num.  75),  2241­2250,  p.  2242. 

40

From Indivisibles

[Q 

Infinitcsimals

Amani Malet

The examination thereofbeing so ease, thar there needs no skill either in Ceomerry, or in rhe Latine Tongue, or in the Art of Logick; but onely of the common understanding of Mankinde ro  guide your ] udgement by. S')  Wallis's answers  rested on the distinction between «to  be»  and «to  be supposed».  (Incidentally, let us norice rhat Wallis's views were published as  rhose of the  Royal  Society,  the most prestigious philosophical institution in Resrorarion  England.)  In mathematics, all  the way back to Eudid, says Wallis,  «infinites» are  only «supposed»,  but not taken to «actually Be,  or be possible to be performed».  Apparently Wallis's caveat refers to the physical, material impossibility of actually  producing an  infinite number of things or performing an infinite number of acts:  Euclid (in  his second postulare)  requiring,  the producing a strcight line Infinitely...;  did  not mean,  that it should be actually performed  (for it is  nor possible for any man  to  produce a streighr line infinitely;)  but,  that ir  be  supposed. And ifAB be  supposed so  produced... ; its  length  must  be  supposed ro  beco me  infinite  (or  more  than any  length  assignable;) ...  Again,  when  (by  Euclid's  tenth  Proposition)  the  same AB,  may  be  Bisected  in  M  and each of the halves  in  m,  and so  onwards,  Infinirely:  it  is  not his  meaning...  thar it  should  be  actually done,  (for,  who  can  do  it?)  but that it  be supposed. And upon such  (supposed) section infinitely continued,  rhe partS  must be  (supposed)  infinitely many; ... 60  Thanks to the distinction between mathematical objects rhat be and rhat  are supposed  to  be,  Wallis  can enlist non  other than Eudid ro  the cause of  infinitesimals:  «And this  1 say,  ro shew rhat the supposirion of Infinites (with  these attendants)  is  not so  new,  or so  peculiar to Cavallerius or DI.  Wallis,  but that Eudid admirs  it, and all  Mathematicians with him; ... »61  With rhese  solid foundations,  Wallis goes  on ro  answer Hobbes's questions on the affirmative:  2. A Finire Quantity...  may be supposed...  divisible  inro a number of pans Infinitely  many (or,  more than any Finite number assignable:) ... And,  all  those  PartS  were  in  the Undivided whole;  (e1se,  where should they be had?)  3.  Of supposed Infinites, one may be supposed greater than another: As  a,  supposed,  infinite number ofMen, may be supposed ro  have a Creater number of eyes ...  5.  There may be supposed a number Infinite;  that is,  greater than  anyassignable  Finire:  As  rhe supposed number of parts,  arising from  a supposed Section Infinitely  continued. 62  Wallis's views  on infinitesimals were further discussed in his  Defense o/the Angle o/Contact and his  Treatise o/AIgebra (both of 1685).  In  rhe latter work  59.  Hobbes,  To the Right Honorable and others, the Learned Members ofthe Royal Society. 60. Philosophical Transactions, 6,  1671  (Seprember  18,  1671,  Num.  75), 2241­2250,  p.  2242.  61. ¡bid. 62. ¡bid., p.  2242­2243. 

......  

ｾ

______________ｒ｟｣ Ｇｭ ｡｟ｫ ｩｮＭＬｧｾｬｮ､ｩｶ ｳ ｢ｬ･ Ｚ

Pascal,  Barrow.  WaUis  41

he set forth  his views  on the foundations of «the method of exhaustions»  (his  words).  According to  Wallis,  this  method  (<
As  we  shall  presently see,  Wallis  wants  ro  separare himself from  Clavius's  views  on infiniresimals,  for  Clavius understands  them as  magnitudes heterogeneous with finite magnirudes. As opposed to Clavius, Wallis wants them ro  be homogeneous, and therefore capable of being legitimately used as  the basis  of the method of indivisibles.  He understands that the method of e xhaustions  «in  the limit»  yields  equality between the given figure  and the final  producr  of rhe succession of figures  that gets  ever doser ro  it:  all continual approaches, in which the Disrance comes  ro  be less than any assignable,  must  be  supposed,  if infinirely continued,  to  determine in  a Coinciden ce  or  Concurrence: The Difference rhus coming ro  nothing: or (what Ceometry accounts  as  such,)  Less  rhan any assignable.  Thus the  Hyperbola and its Asymptote, if infinitely continued, must be  supposed ro  meet. ...  Thus a Circle must be  supposed Coincident with an  (Inscribed  or Circumscribed)  Regular  Polygone, of Sides  infinitely many.  And rhe like  in  cases  Innumerable. lo)  Wallis ended up his discussion of the «method of e xhaustions» sending the  reader to his  Defense o/the Angle o/Contact, a shorr tract added ro  the  Treatise 01AIgebra where he further comments on his  understanding of infiniresimals  and his differences wirh  Clavius.  63. Treatise ofAIgebra, p.  284.  64. ¡bid. 65. ¡bid.

42

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Maler ｾ

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  43 

.   F 

Discussing the Horn Angle Further insight on Wallis's views on infinitesimals and indivisibles is ro be gained from his discussion of the nature of the horn angle,  angle of contingence,  or angle of contacto  According to the Oxford English  Dictionary (1971  edition),  the angle  of contingence is  «the  infinitesimal angle  between  the circumference of a cirele and its  tangent, or between  two tangents to  a curve at  consecutive points.»  The OED definition,  whose  reference ro  the infinitesimal character of the angle would surely not fail  to stir sorne discussion even  today,  nicely encapsulates the notion that Wallis was so  keen to discuss.  Whether the angle of contingence has  ro  be considered an angle  proper  ­and if yes,  how much it measures­ had been discussed since antiquity.  In  the sixteenth century the matter gained notoriety through the discussions of  Chrisropher Clavius  (1538­1612)  and Jacques  Peletier (1517­1582).  Clavius  published a rebuttal of Peletier's views  in his influential commentary on Eudid's  Elements. Later on Vieta sided with Peletier.  Clavius's account was again criticized  by Wallis,  joining the ranks  of Peletier and Vieta with his  1656  Treatise o/the Angle o/Contacto This in  1662 was in turo criticized by a Jesuit, Vincent Léotaud  (1596­1672), who attempted to  rescue  Clavius  (also  a Jesuit),  not only from  the attacks ofWallis,  bur also  from  those of another Jesuit, André Tacquet  (1612­1660). Wallis answered ro  Léotaud's  1662  Cycfomathiawith his  Deftnse o/the Angle o/Contact, a tract appended to the  1685  Treatise o/Afgebra. 66 AlI  the authors involved in the conrroversy agreed that Proposition III­16 of  Euelid's  Efements unassailably proves that the horn angle DAP (see Figure 4)  is  less  than any acute rectilinear angle.  (Euelid's  III­16 actually proves that any  straight line FA (different from  the tangent PA)  cuts the circumference of the cirele at sorne point E -::f:. A.) According to  Peletier,  Eudid III­16 contradicts Eudid  X­l,  the so­called  «Axiom  of Archimedes».  This principIe requires  that given  two unequal  magnitudes,  it be always  possible to subdivide the larger so  as  ro  come eventually to  a magnitude less  than the smaller one ­or equivalently,  that by adding the smaller magnitude ro  itself it  be possible ro  overcome the  larger one. Literally,  Euelid X­l  does  not say so, but Peletier, Clavius and Wallis  rook X­l  to  be equivalent ro  the results  just mentioned. A learned humanist,  a poet, and the author of several creative innovations regarding algebraic symbolism,  Peletier wanted to  remove  the flaw  from  Eudid's text through a radical  reinterpretation of the notions here involved.  He wanted ro  remove horn  angles  from  the category of angle,  and ro  deny that they be  «quantities» which in the sixteenth­century context meant that they had to  be «qualities», and  therefore exeluded from  the realm  of objects proper ro  mathematics.  Peletier  stressed  that otherwise Euelid 1II­16 is  a flagrant  counterexample of X­lo 67  66. A Dejimse ofthe Angle ofContactwas published in  1685 annexed to  the  Treatise ofAIgebra, along with other mathematical  tracts,  on  pages  numbered 69  10  105.  It [eatures an  independent  ti tle  page dated 1684.  67.  L.  Maieru,  <:' .. .in Christophorum Clavium de ContaclU Linearum Apologia".  Considerazioni  altorno alla polemica Era  Peletier e Clavio circa l'angolo di  contalto  (1579­1589»>,  Arch.

I P 

D  ｾ

E 

B 

e

A 

Figure 4. 

Peletier's  goals  in  this  controversy are  far  from  elear.  Since his  attack put  Eudid's  Efements in  a no­win position,  one in which  its  undisputed repuration as  a paradigm  of true knowledge could not escape  unscathed,  he  might  very well have had a political or philosophical axe  ro grind.  He may have intended to  provide weapons to the skeptics,  or been interested in  making room  for the analyric mathematics that were then starting ro  take shape in France.  Be  that as  it may,  Peletier's stress  on the flaws  apparently present in Eudid's text  must have  been  disturbing ro  Clavius,  a  religious  man deeply committed to  the Counrer­reformation task of resroring the old authority in matters philosophical.  Against  Peletier,  Clavius was  to  argue that there is  no conrradiction between Euelid III ­16 and X­l, provided that angles of contingence be  (assumed)  heterogeneous with rectilinear angles. Although he never says  so  in that many  words,  Clavius  is  in  a sense suggesting  that horn angles  could be  considered  as  the indivisibles of rectilinear angles.  The drawback in Clavius's  position,  which  Peletier did not fail  ro  use against him,  is  that Eudid explicitly compares  the two kinds of angles, thus making them homogeneous  magnitudes. To  this Clavius was  to answer comparing horn angles to finite segments and rectilinear angles to infinite straight lines.  Clavius, therefore, seems ro  come very  dos e  to  making angles  of contingence analogous  ro  infinitesimal  rectilinear  angles.  Peletier could,  and did,  attack Clavius's  last analogy by pointing out  that infinite lines  are  no  magnitudes  the  mathematician can handle.  Clavius  was  ro  attack Peletier's  notion of horn angle by pointing ro  the obvious geometrical reality made up by any curve and its tangent. The space they determine  is  there,  and has well­defined geometrical properties.  If those angles  are  not  quantities,  how it can  be  that the circumferences of three cireles  such that  Hist. Ex. Sci., 41,  1990,  115­137; T. Heath, note to  Eudid IlI-16, in  T.  Heath ed. and trans.,  Euclid. The Thirteen Books ofthe Elements (3  vols.,  New York:  Dover,  1956),  JI,  39­43. 

44

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

anyone touches the other two nor in rhe same point endose a space -rhis entails, says Clavius, rhar rhe sides of rhe curvilinear rriangle somehow "open up» at rhe verrices of the rriangle. 68 Interestingly enough, Clavius's norion of angle of contact was assailed from rwo parties deeply disagreeing from each other abour rhe cogency of the merhod of indivisibles. André Tacquer,  one of rhe srrongest critics of the merhod  of indivisibles,  could nor agree  wirh Clavius  because  he  wanted quantities  «incomparably smal¡"  banned from  geomerrical  speculations.  5ince Wallis  embraced jusr rhe opposite view,  it would nar be unreasonable to expect Wallis  ro side wirh  Clavius and take angles of contingence as  evidence of infinitesimals  introduced by Eudid himself  However, Wallis  sided with Peletier.  Wallis's  view rhat «rhe Angle of Contacr is  of no Magnirude»  is  grounded  on  rhe argument rhat no magnirude different from zero  is  less  than any magnitude whatsoever:  in  al!  sons of Magnitudes  (or Quantiries)  wharever,  Thar whjch  may  be proved  ro  be  leJJ  than any aJJignable, is  indeed (as  ro  rhar son of Quantity)  ofno fvfrzgzitude. (Because if of any, ...  ir  mighr be so  Mulriplied as  ro  exceed  the greatest:) 

The wording ofWallis's argument mighr suggesr rhar his  use of infiniresimals is  inconsistent with it.  This is  nor rhe case,  as  we  shall see,  because in  speaking of «any  assignable  magnitude»  he  is  implicirly  induding infinitesimal magnitudes.  Indeed,  he will ser forrh a new conceptualizarion of angles  of contingence  by  carefully separaring rhem  from  truly infiniresimal  magnitudes.  For Wallis will  argue  rhat,  were  horo angles parr of rectilinear angles,  then  rhere  would  be  infinirely small  rectilinear  angles  smaller  than  horo  angles.  According  ro  Wallis,  rhe  most compelling evidence supporring Clavius's  posirion is  rhar horo angles are  unmistakably «there»,  that they are dear and distinct parrs of geomerrical diagrams.  Of course,  rhis was  a powerful argument  within seventeenth­century marhemarical merhodology,  where geomerrical  drawings played so  crucial  a role  in  marhemarical  proof As  Clavius would  have  it,  nothing but a muddled and dubious  argument can  suggesr  rhar  rhe  parr of the plane determined by any horo angle  is  ro  be assumed <
ｾ

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  45 

nitesimal chords, Wallis stresses that the circular arc is  ro  be considered «one continued Curve­line (withour Fracture or Angle)).71  And then goes on:  And as  (by such continual  Flexion)  each  Point of the  Curve doth obtain a  new  Direction; so  is  rhe  Direction, at every  Point,  the same with  that of the Tangent  at the same Point».72 

He is  therefore  introducing a correspondence berween  points and angles  of contaet, and seems to suggest rhar an angle of c ontact is  within a rectilinear angle in  the same way as  a poinr belongs ro  a lineo  Now,  since Wallis recognizes  that  ane can  compare as  to  magnitude angles  of contingence,  and that  rhey are something different from a «non­angle», he cannor push the analogy  berween  horo angles  and points too faro  He is  thus led ro  ser  up an elaborate  conceptual scaffolding which has as  a key element the nation of <
The definirian  is  nor very  illuminating,  bur sorne  examples  are.  A paint,  adds Wallis,  rhough  ir  has  «as  yet no Magnitude; yet,  if considered as  in  arder  to  Motion,  ir  is  in  rhe  nexr  possibility to  Length,  and Inceptive of ir.  (Far, if 

71. Deftnse, p.  90. Wallis also  explores  the conjectute thar circular ares  be  made  up of infiniresimal  chords.  If we  assume,  he says,  arcs  «as  made  up  of a cenain number  (finire or  infinire)  of  streight lines;  and the whole Flexute or Bowing...  Equivalem ro  one Righr­angle; and rhar  Flexure  uniform (as  in  a Cirele it is)  we  must  then allow  ro  each  Poim of Flexute, such a  Proponional pan of one Righl­angle,  as  is  denominated by such number (finire or infinite)  as  is  the  number of arts so  supposed; and  rherefore,  if infmite,  ｾ R  a  Proponional  00 

pan...  infinitely small: And such will  be the Are of Contaet (ar each Point)  in such Rectilinear  Polygone,)  (ibid). In the next page, Wallis comes again  ro  rhe same idea,  ro  deny ir explicir1y:  Let a polygone be inscribed in a cirele, and be  «the  number of sides  infinite1y many; such side  must  be  infinite1y shon...  and  rhe  External Angle infinire1y small;  but the  Direction  (or  tendeney)  of such side (how small soever) ...  must sri1l be the same...  But if rhenO'. such side (infinitely small)  be supposed fimher to degenerate into a Point, and rhat Polygon into a Cirele,...  the  Angle  of Contaet...  which  was,  before,  infinite1y  small.  must  now  be  nothing»  (ibid., p.  91).  72. Dejénse, p.  90.  73. Dejénse, p.  95  (stress  in  the original). 

"""   46

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

never so littIe moved, it describes a Line.»,74 A line is an inceptive of surface, and a surface is inceptive of solid. Other examples are puzzling, although they are important for Wallis's purposes. «Celerity or Swifteness» is inceptive of Length in motion; and «Acceleration lis] Inceptive as ro Celerity». This said, Wallis presents his view that angles are inceptives of distance, and horn angles are inceptives of angle or «declinatioTI». According to him, an angle is but an inclination given at an angular point. An angle «is made in the Angular Point A; and is the same whether the Legs containing it be long or short».  It is  an  inceptive of distance in the sense that  «so soon as  ever we  be  past the Angular Point,  the Legs  are  actually Distant».7 5  Angle,  he adds,  is  not distance:  (like as,  in  motion,  Celerity is  not Length:)  But it  is  Inceptive of  distance; shewing the degree of Divarícation,  [or]  Declination... : That is,  at what  rate...  the line AC  [one o/the sides o/the angle Wallis is considering] doth divaricate,  decline,  deviate or depan fram AB  [the other side].76

Angles show the degree of declination,  or the rate at which distance increases.  When the declination is  not constant we  need  take into consideration  the degree  or rate at which declination increases ­and this  is,  according ro  Wallis,  the angle of contingence.  Comparing the  rectilinear angle ABC (see  Figure  5)  and the circular arc AGF,  he says:  And, like as  the Distance [fram AccC ro AbbB]  may be changed, either by Leaps  (per saltum) as  in Ab,  ce,  cf,  C;  or  (gradually)  by continual  Declination,  as  in  AcC; ...  So  may the Declination also  vary;  either by Leaps, ...  (making so  many  Rectilinear Angles)  as  in ABCDEF; or (gradually)  by continual Flexion, as  in  one  contínued Curve AGF: ...  1 say  further, ...  That Deflection  (whereby a  Curve­line departs  from  its  Tangent, and which is  commonly called the Angle of Contact)  is  not Angle,  or  Declinatíon;  (like  as,  in  motion, Acceleratíon  is  not Celerity:)  But is  Inceptive  of Declination; shewing the degree of Curvity: That is,  at what rate...  it  flies  off  from  Rectitude».77 

By analogy with the relationship between acceleration  and velocity Wallis  has  characterized the angle  of contaet as  the rate at which rectilinear angles  change.  Having thus mathematized the notion of horn angle, he can now effectively counter C1avius's  argument that angles  of contingence are  obviously  something, and differ as  ro  magnitude.  He stresses  more than once that in  general  inceptives have  magnitudes  of their own. Angles  of contingence, in  particular, have  their own magnitude, different from  zero  and enabling us  to  74. 75. 76. 77.

....., 

Deftnse, Deftnse, Deftnse, Defense,

p.  96.  p.  96.  p.  97.  p.  97­8. 

­

Chapter 2 

A 

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Battow,  Wallis  47 

¡ 

D 

­=:::::  , .  

E  '-

ｾｉ

F 

Figure 5. 

make comparisons between  them. They have  their «Magnitude,  tho  of a nother kind and Heterogeneous  to  that of Angle;  in  like  manner as  Angle...  is  Heterogeneous to Distance; Celerity to  Length; Acceleration to Celerity;  Line  to Surface... >,78  After this long detour through inceptive land, Wallis  can summarize and  spell Out the conceptual differences separating his views  from  C1avius's.  It may  seem, says Wallis,  that 1 [Wallis]  am now merely suggesting that angles  of contingence have  magnitudes heterogeneous  (and therefore not capable of having  a ratio)  with that of rectilinear angles ­and therefore that 1 am in agreement  with C1avius.  But the crucial difference is  this,  that Wallis cannot accept heterogeneity on the grounds of «being too smal)":  1 do  thus far  agree with Clavius,  (and always  did)  That what he calls  an Angle of  Contact...  hath a Quantity or Magnitude,  capable of measure, ... ; and that. ..  is  Heterogeneous ro Angle...; and therefore not capable of praponion ro ir, nor can  by any Multiplication become equal  to  it,  or exceed  it.  But herein we  differ;  That he  makes  his Angle  of Contact,  such a Quantity  as  is  Pan of a Rectilinear Right­angle; ...  and the Angle of Contact no  otherwise  Heterogeneous to a Right­lined Angle,  but only because so  very small.7 9 

And then Wallis  goes  on to  explain why magnitudes that are  any part of  others are always  homogeneous ro  them:  «But,...  if the Angle of Contaet be a  Part;  and such as  leaves the Remainder less  than the whole;  then ...  may be so  Multiplyed as  ro  exceed  the whole, ...  nor can  any pan of a Magnitude be  78. Deftnse, p.  99. Wallis had previously stressed  that generally speaking inceptives have their  own magnitudes:  «But  these  Inceptives,  tho  they are as  yet no whit of that whereof they  are Inceptives; yet may,  as  Inceptives,  have a Magnitude of their own; and that at such rate  (or in such proportion)  as  they are afterwards to be operative"  (ibid., p.  96).  79. Deftnse, p.  99 . 

4B

Antoni Malet

From Indivisibles to Inflnitesimals

so small as nor ro be capable of such Multiplicarion, and Hererogeneous, only because smalb. Bo  And Wallis will conclude his discussion by srressing rhar he includes infinirely small pans among rhe homogeneous pans he is now ralking abour:  Where,  by rhe way,  we may observe a grear difference  berween  rhe proponion of 

lnfinite ro  Finite, and, of Finite ro  Nothing. For  _1_,  rhar which  is  a  pan infini00 

rely small,  mayo  by infinire Multiplicarion, equal  rhe whole:  But  ＭｾＬ

1 

rhar which 

is  Norhing, can by no Multiplicarion become equal  ro  Somerhing.  And  rhis  may serve for  rhe sertling of rhar  Norion concerning rhe Angle of  Contaet, and orher Norions of like Narure. 81 

Infiniresimals were rherefore crucial in Wallis's arremprs ar clarifying debares  on marrers of conceptual foundarions.  Infinitesimals in Mathemarical Proof  In  1682 Ismael  Boulliau (1605­1694),  a disringuished marhemarician and  asrronomer,  published his  Opus novum ad arithmeticam infinitorum, a work  rhar  provided synrherical  proofs  for  results Wallis had published many years  before in  his own Arithmetica infinitorum. Upon receiving a copy of rhe book  from  irs  aurhor,  WaIlis  rhanked  Boulliau and spoke posirively of rhe  book.  However he very much srressed  rhar  Boulliau's endeavors were  rarher pointless,  for  rhere  was  norhing ro  be  missed  in  demonsrrarions  involving infiniresimals. B2  By  rhe  time WaIlis was  rhus  dismissing Boulliau's  book,  probably  mosr marhemarical  pracririoners shared his views.  Sorne rhiny years  befare,  in rhe  1650s, rhe  sratus of infiniresimals was  much less  clear.  In his  already  quored words of 1658, Pascal was one of rhe tlrsr ro stress rhar rhe merhod of  indivisibles involved no diftlculties, provided rhar rhey be undersrood as  infiniresimals. 83  As  we  shall  see  now,  rhis  was  precisely whar aIlowed  Barrow ro  claim rhar proofs involving intlniresimals could easily be rranslared inro more  classical and indirecr proofs.  More rhan  once Barrow warned rhe  reader rhar proofs  performed by rhe  merhod of indivisibles  could also  be carried on following  a more  apagogical and circuirous parh. 84  Nor rhar Barrow rhoughr rhe former proofs unconvincing or in any way defecrive,  bur he recognized rhar readers nor used  ro  rhem  mighr balk.  So  he added an appendix ro  rhe  Geometrical Lectures inrended ro 

80. 81. 82. 83.  84. 

.....  

Defense, p.  99.  Defense, p.  99.  Treatise 01Algebra, 310-311. Pascal,  Oeuvres, VlII, 352­3. The fragment  belongs  ro  one of che  1658 leners  ro  Carcavi.  «Apagogica¡"  was  ofren  used  in  rhe  sevenreenth century ro  refer  to  proofs by reduccion  to  absurdo 

ｾ

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  49

show how his  proofs could  be  supplemenred ro  obrain classical  demonstrations  by  reducrion  ad absurdum. The  appendix,  rhe  second  one  in  rhe  Geometrical Lectures, opens as  foIlows:  Having regard for  brevity and perspicuity (mainly rhe larrer),  che  preceding results  were proved by direet arguments  (discursu), by which nor only rhe rruch is  cogently  enough confirmed,  bur also  cheir origins mosr neatly appear.  Buc for fear anyone  less  used ro  chis  son of arguments had difficulty,  we will  add  che  following shon  notes.  With them me said arguments are secured and with their help apagogical proofs of rhe preceding results will  be easily worked out. 85 

The appendix is inreresring because ir shows rhe kind of diftlculties  Barrow  anricipared his readers would have. As we shall see,  Barrow was  nor concerned  about rhe use of infiniresimals and did nor make any arrempr ro  ger rid of rhem.  What did  concern him was  ro  show rhar  rhe difference  between an aggregare  of intlniresimals,  each one being nor rruly idenrical wirh  a pan of rhe whole  surface,  and rhe surface is  less  than any  finire  magnirude.  This is  rhe precise,  literal meaning of Barrow's (and also  Pascal's)  words ro  rhe effecr rhar a figure and  the sum of irs  indivisibles «minimally  (minime) differ»,  or rhar rheir difference  is  «smaller rhan any given quanrity».  Thar is,  rhey do differ,  bur rhe difference  is jusr an intlniresimal pan, less  rhan any given,  finire  quanrity.  Given rhe curve AB  (see Figure 6),  ler  irs  base DB  be divided in indefinirely many equal pans by rhe poinrs Z, and ler  rhe parallelograms making  up rhe circumscribed figure ADBMXNXOXPXRA and rhe inscribed figure  HXGXFXEXZDH  be complered.  Ler S be a surface rhar  is  grearer rhan  the inscribed figure  and  less  rhan  rhe circumscribed figure.  Barrow proved  thar S is  equal ro  rhe  surface AXBD,  detlned  by rhe curve AB,  by proving  firsr  rhar  rhe surface AXBD cannor  be  less  rhan S,  and rhen  rhar ir  cannor  be  grearer rhan  S.  Ler  us  firsr  assume  rhar AXBD  is  less  rhan  S,  and  rhar  rhe difference  is  equal ro  rhe recrangle ADLK, a finire magnirude. The recrangle ADZR is  smaller  rhan  recrangle ADLK because AR is  an  indefinirely smallline  (indefinite parva), and rherefore shoner rhan AK.  Bur rhe recrangle ADZR,  because ir is  ｬ｡ｵｱｾ ro  rhe sum of rhe recrangles AHXR, XPXG,oo.,  is  grearer rhan all  rhe rrilInea AXR, XXp,  XXO,oo.  rogerher.  Therefore, rhe surface AXBD plus rhe rec･ｬｧｮ｡ｾ ADZR is  grearer rhan rhe circumscribed figure.  Ir follows  rhar S,  which  IS  equal  ro  rhe surface AXBD plus ADLK,  is  grearer rhan rhe  circumscribed  figure,  conrrary ro  rhe hyporhesis­so AXBD cannor be less  rhan S.  By a similar argumenr Barrow proved rhar AXBD cannor be grearer rhan S,  and hence  concluded rhar AXBD is  equal ro  S.86 

85.  Barrow,  Mathematical Works, p.  284.  The appendix includes,  along wich  che  proof discussed here, argumenrs  ca  support che  legicimacy of subscicucing an indefinicely small segmene of che  cangene  for  che arc;  ibid., p.  284­285.  86. Mathematical Works, p.  285­6. 

50

Amon; Malet

From Indivisibles ro Infinitesimal>

CHAPTER3  A

K

X  R  p O H  ---G  X  ｾ F  X 

E

L

ｉｾ

Opposing Indivisibles: Huygens, Gregorie, Newton

N  M 

X

1\ 

ｾｘ

Z

DZZZZB

Figure 6.

Barrow has here produced a proof involving a double reductio ad absurdum, but involving infinitesimals too. His main concern was not to produce a proof strictly patterned on the exhaustion procedures of Eudid and Archimedes, free of indefinite1y smallline1ets. It must be stressed that it was not difficulty or ignorance what precluded Barrow from producing such proofs. James Gregorie  (1638­1675),  with whom Barrow kept an important mathematical correspondence,  and whose work Barrow knew and very much  appreciate,  could easily produce them ­although he did not publish them.  What did eoncern Barrow was  ro  show that the addition of infinitesimal rectangles  produced exactly the space endosed by the curve.  Indefinite1y small  magnitudes were  no  longer the issue ­the issue was  whether they worked  properly enough. 

With hindsight we may be tempted ro say that Pascal,  Barrow and Wallis  represented the future,  in the sense that infinitesimals were ro  become a basic notion  for  the deve10pment of the Leibnizian calculus  and eighteen­century mathematics generally.1  Between the future and the past, represented by such traditional  mathematicians  as  Tacquet  and  Guldin,  we  may  yet  find  sorne  intermediate  positions.  Entertaining no  doubts about the usefulness  of infinitesimals and indivisibles in geometrical investigations, sorne mathematicians  seem  ro  have thought that neither infinitesirnals  nor Cavalieri's demonstrations could be legitimate1y used for  demonstratives purposes. The method of  indivisibles put them vis­a­vis notions and techniques they could possibly not  renounce using,  even though they were not able ro  put those notions in asure  footing.  Sorne attempts at getting over the difficulties  posed by the method  of indivisibles were thus made that went beyond a mere  reworking of dassical  exhaustion proofs. 

Boulliau Ismael  Boulliau  (1605­1694),  a French Catholic priest  author of books in  astronomy,  mathematies  and  opties,  is  now  chiefly  remembered  for  his  Astronomia philo/aica (Paris,  1645). A Copernican treatise incorporating Kepler's  findings,  his book offered one of the best surveys  of astronornical techniques  before Newton's  Principia. 2 Prompted by A.  Tacquet's  1654  Elementa Geometriae p/anae ac solidae, he published in  1657 his  revision of d assical methods as  part  of his  Exercitationes geometricae tres. 3 Boulliau offered here shortcllts through  the long­winded exhaustion proofs of Eudid and Archirnedes.  1.   H.].M. Bos,  «Differemials,  Higher­Order Diffcrcntials and (he Derivacive in  me  Leibnizian  Ca!cuius»,  Archivefor History ofthe Exact Sciences, 14  (1974),  1-90. 2.   LB.  Cohen,  The Newtonian Revolution (Cambridge: Cambridge University Press,  1980),  36,  226­227,  300.  3.   «Exercicacio  1.  Circa demonsrrationes per inscriptas e( circumscrip(as figuras»,  in  Exercitationes geometricae tres (Paris,  1657),7­22. 

52   From

Antoni Male!

Indivisibles ro 1nfini tesimaIs

Chaprer 3

end of the progression. Now, AE infinitely decreased (imminutd in infinitum) is always greater than Q, while Cl increased in infinitum is always smaller th an Q. In faet, the wording of the proposition is even more cumbersome that the presenr paraphrase suggests, for Boul!iau speaks of ratios greater (or smaller) th  an equality, rather than of magnitudes that are greater (or smaller). Boul!iau wanrs ro prove that B =  Q. Bur Q cannot be greater than B, because, that Q be some AF, greater than B, contradicts that AE infinitely decreased is always greater than Q. And Q cannot be smal!er than B for a similar reason. Now, ro apply this Proposition ro the surface of the sphere, Boulliau reminds the reader that Archimedes proved the surface of the solids of revolurion generated by the inscribed octagonal polygon ACBLDMEN rotating round the axis AD (see Figure 2), and by al! regular inscribed polygons of 16, 32, and so on, sides, ro be smaller than four times the surface of the cirele of diameter AD. Archimedes also proved the surface of the solids of revolution generated by the circumscribed octagonal polygon FOGPHQlR rotating round the axis FH, and by al! regular circumscribed polygons of 16, 32, ... sides, lO  be grealer than four times the surface of the cirele of diameter AD. Now, the surfaces of the circumssolids of revolution are ro be taken as the magnicribed (inscribed, ｲ･ｾｰ｣ｴｩｶｬｹＩ tudes AE, AF, ...  (Cl, CK,oo. ) in the foregoing proposition; the magnitude B will be taken as K,  the magnitude of the spherical surface, ro which the surfaces of the inscribed and circumscribed solids get ever eloser; and Q is ro be taken as S, four times the surface of the cirele over the diameter AD. Ir directly fol!ows from the foregoing proposition that S =  K,5

E

o

F 

G

Q

ｦｾ

H 

N 

I 

A

B 

e

Opposing Indivisibles: Huygens, Gregorie, Newton 53

D

Figure 1.

For instance, that spherical surfaces equal fout times the ｾｵｲｦ｡｣･ of their generating circles-which is Prop. 31, Bk. 1 of Archimedes's On the sphere and cylinder-Boulliau derived from the following result: Let rwo magnitudes be compated ro sorne given magnirude [B]. Let one of the former be decreased by the subrraction of parts in infinite number, and the other increased by the addition of parts in infinite number, so that they get ever more equal ro the given magnitude [B] and at the very end of these progressions they reach it [equality]. Moreover, let one of the same [rwo], howsoever decreased, be always greater than sorne other magnirude [Q],  and let the other, howsoever inereased, be less than it. But let the two get ever closer ro equality. The magnitude ro which the rwo magnitudes were compared lB] is equa! ro that [Q] which when compared ro the greater howsoever deereased is a!ways less than it, but when compared ro the smaller howsoever increased is always greater than it. 4 

F

Gu-

In spite of its obscurity, Boulliau's proposition is litrle more than a rewording of its hypotheses. In Figure 1, AE and CI are two magnitudes compared ro B. When decreased (increased, respectively) by an infinite number of parts, EF, FG,oo., (IK, KL, ... ) they get ever closer ro B, to get actual!y equal at the

'* 

ﾡＩｾ

4.   «Si ad aliquam magnirudinem datam duae magnirudines eomparentur, quarum una inh-

nitarum parrium ablatione deereseat; altera inhnitarum panium additione augeatur, et ad aequaliratem magnirudinis datae magis magisque aeeedant, et in oedem progressionis termino ad eam perueniant; ipsarúmque altera quantumuis imminuta ad aJiam magnirudinem, semper maiorem, quam aequalitaris, rarionet reneat; altera quanruttluis aueta minorem, ad aequalitatis yero rationem magis ae magis aeeedanr. Magnitudo ad quam eomparantur duae magnirudines, aequalis erir iBis, ad quam maior quanrumuis imminuta maiorem, quam aequalitatis, rationem semper tenet; minor vero quanrumuis aueta minorem quam aequalitaris rarionem semper tener." [bid., p. 8.

K 15 H  Figure 2.

5.

¡bid., p. 17-18.

54

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni Malet

Boulliau set forth other propositions that abstracted, so to speak the more salient features of exhaustion proccsses and applied them to c1assical results. 6 Almost at the same time Christiaan Huygens was playing with a similar idea, although he never publishcd it'? The changing views of Christiaan Huygens (1629­1695)  on the method of indivisibles are particularly revealing on account of both, his ccntral role in seventeenth-century mathematical sciences, and the way he used indivisibles and infinitesimals in his works. 8 Huygens Perhaps the best known expression of the two-sided status enjoyed by indivisibles  in the central decades  of the seventeenth century is  Huygens's  1650  exchange of views with his then mentor van Schooten. Huygens had been led  ro  consider the use  of indivisibles  completely unreliable  because they could  easily produce wrong results.  By  using indivisibles Torricelli had proved (and  published in  1644)  the area of the circ1e ro  be egual ro  a right triangle the cathetuses of which are equal to  the radius and to  the circumference of the circ1e.  Take the circle BD with center A (see  Figure  3).  The segment Bx,  perpendicular ro  the radius  BA,  is  equal  ro  the perimeter of the circ1e.  Concentric  circles within BD, such as  10, will have perimeters egual to segments  lA  (paralIel  to Bx).  Now,  all  the concentric circles's perimeters taken together constitute  the whole circle BD, and all the segments  lA  constitute the right triangle ABx,  so  the result follows. 9  Huygens found the argument aItogether unacceptable.  He pointed out (ro van Schooten, in  1650)  that the same argument allows  us  to conclude that the circle is  equa! ro  the triangle ABC,  in which the base BC,  always egua!  ro  the perimeter of the circle,  is  not at right angles  to  the radius  AB.  Or else,  take an isosceles  triangle ADC (see  Figure 3)  such that the sides  AD and OC together are equal to  the perimeter of the semicircle ABe. Now,  for any semicircle FGH within ABC there is  a triangle FKH whose perimeter  eguals in length the perimeter of FGH. Therefore the semicirc1e ABC and the  triangle ADC are egual­which is  not true.  This sort of criticism was  common fare  in the middle decades of the century.  As  Giusti has  recently pointed out, Thomas Anglus's  1658  Exercitatio geometrica marshalled  many false  deductions of the sort just mentioned as 

ｾ

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newron  55

B  D 

ｃｾ

A 

, ­ '  ｾ

A',',

­- 0­-

1) 

,le

.','-

1  

B  

o 

1 X

D 

Figure 3. 

evidence against Cavalierian indivisibles. 10  Here Anglus set up  the following  general counter­exemple ro  Cavalieri's principIe.  Let two  figures  be comprised  between the same two parallels and have egual bases on one of the parallels.  Let  us  assume  their «widths»,  measured  by  the  regula (that is,  by the  intersections of any straight line  between  the parallels and parallel  to  them  as well),  to decrease continually rowards their vertices  (located on one of the  parallels).  Ir is  obvious  then that any width in one of the  figures  is  egual  to  sorne width in  the other (probably not at  the same distance from  the  base)therefore collections of «all  the lines»  determined by the same regula of diffirent figures  have the same elements. 11  Ir apparently follows,  by way of Cavalieri's  principie,  that the figures  are egual­which is  generally falseo  In  1650,  reassured by his mentor van Schooten, Huygens carne ro use indivisible  technigues. 12  But even appreciating the method's  «insignem  brevitatem" and heuristic power,  Huygens could not believe it provided unassailable  mathematical proofS.  In his  1650  «De iis quae liquido supernatant",  the hydrostatical treatise that is  one of his first exercises in «mixed"  mathematics (or mathematical physics,  ro  put it anachronistically),  Huygens  briefly set forth  his  views  on the advantages of the method of indivisibles, and did make use of it,  but he also  composed an appendix to  the  treatise  providing exhaustion proofs  for sorne results  demonstrated through indivisibles in the treatise.13 

6.   He proved in a similar way that circles are as  the squares of their diameters, and that cylinders are  [hrice [he cones with  the same base  and height.  Ibid., p.  18­22.  7.   Huygens,  Oeuvres, XIV,  p.  338. According  ro  the editors this undated fragment was composed in  1659.  8.   Gn Huygens's mathematics and its place in the seventeenth­century contex[, see J.  Yoder.  Unrotling Time. Christiaan Huygens and the mathematization o/ nature (Cambridge:  Cambridge Univ.  Press,  1988); H.J.M.  Bos,  «Huygens and mathematics",  in  H.J.M.  Bos  et al eds.,  Studies on Christiaan Huygens (Lisse,  1980),  126­147; "L'élabora[ion du calcul  infinitesimal,  Huygens entre  Pascal  et Leibniz",  in  Huygens et la France (Paris,  1981);  A.  Heinekamp, "Christiaan Huygens vu  par Leibniz",  in  Huygens et la France, 99-114. 9.   Torricelli,  Opere, 1­1,174. 

..  

10.   T.  Anglus  (ar White,  Blacklow. Albus,  1593­1676),  Exercitatio geometrica. De Geometria Indivisibilium, et Proportione Spiralis ad Circulum (London,  1658).  11.  Quoted in  E.  Gius[i,  "Dopo Cava1ieri.  La discussione sugli  indivisibili",  in Atti del Convegno «La Storia delle Matematiche in Italia", Cagliari, ... 1982 (Cagliari:  Universita di  Cagliari.  n.d.),  85­114,  p. 92­93.  12.  C.  Huygens,  Oeuvres completes (22 vols.,  La Haye:  Société HoI1andaise des Sciences,  18881950),  I,  130­2, for  van Schooten's views,  and p.  132­4, for  Huygens's abjeccions to proofs  invalving indivisibles.  13.   For Huygens's views  in his  1650 "De iis  quae liquido supernatant",  see  the opening sentences ofBk. 111,  in  Oeuvres. XI,  p.  158;  for  tflc appcndix, see  ibid., p.  204­210. 

56

From Indivisibles ro Infiniresimals

Amoni Maler

In 1659, in nores inrended for a marhemarical trearise he was planning, bur never published nor finished, Huygens carne ro recognize rhar he could nor go on providing exhausrion proofs for everyone ofhis resulrs, ever more convolured  and cumbersome.  Furthermore, granring rhar rhe  merhod of indivisibles was  nor a legirimare merhod of proof,  Huygens stressed  rhar  ir was  a  powerful rool of discovery,  rhe marhemarician's mosr valuable rask:  Sorne  [resulrs]  by indivisibles.  But they fail  when  rhey are assumed  ro  make  up  a  demonsuarion.  For the rest,  for  the  putpose of convincing rhe  skilled  [mathemaricians]  rhere is  no  big difference between providing a complere proof [demomtmtio absoluta]  or else  the foundarions of such a ｰｲｯｴｾ ar  the sight of which they will  nor doubt thar a perfecr demonsuation can be given.  AlI the same,  1 acknowledge  that in  rightly establishing a proof so  thar ir  is  dear,  eleganr  and  the  mosr appropriared,  rhe  skill  and genius  [of irs  aurhor]  shines  fonh,  as  in  all  of Archimedes's  works.  However,  mosr imponanr by far  is  rhe merhod of irs  invenrion,  the knowledge of which pleases aboye all and is  keenly desired  by the learned­wherefore it  fanher appears  rhar rhis merhod provides a more clear and quick comprehension...  Then indeed we economize out writing and the reading of others ­for time is  no  longer available, given  the enormous quanriry of geometrical  invenrions developed  (which  in  this learned cenrury is  daily increased and seems rhar will  be  immense),  when rhe wrirers  make  use of rhe prolix bur perfeer method of the ancienrs.  Yer in  the foregoing,  wriuen sorne rime ago,  rhis  [method of rhe ancienrs]  has  been preserved, so rhar ir  be  an  indicarion and something of an example showing  rhar rhe  remainder may also  be  produced in  rhis way.14  Perhaps rhe mosr importanr source abour Huygens's views  on indivisibles  and infiniresimals is  an  indirecr one:  rhe way he used rhese  notions in his mosr  emblemaric and carefully planned book,  rhe  1673  Horo!ogium  osci/latorium.  In  ir Huygens used infiniresimals, bur he did nor allow himself rhe use of indivisibles.  Infiniresimals appear in rhe lasr and crawning Proposirion XI  of rhe rhird  pan of rhe book,  dealing wirh  rhe  «evolurion»  and recrification of curves. 15  Infiniresimals reappear in many proposirions of rhe fourth part of rhe book, serring fonh rhe rheory of rhe cenrer of oscillarion.  Bur indivisibles  are  conspicuously absenr from rhe book.  On rhe orher hand we know, rhanks ro ]. Yoder's  masrerful reconstrucrion, rhar indivisibles played a crucial role in Huygens's discovery of rhe cycloidal characrer of rhe isochronous pendulum. Huygens's arrack  resrs indeed in his analyzing rhe movemenr of rhe pendulum in «particles»  (particula)  of time and space, and his «raking rogerher»  all  rhe lines rhar make up a  given surface. 16  Indivisibles,  however,  complerely disappeared  fram  rhe  final,  published proof of rhose  results  conrained in part 11  of rhe  Horo!ogium.  More  rhan once Huygens did assume rhere curves composed of an infinire  (sic)  num14.   Oeuvres,  XIV,  337; see  also  ibid.,  p.  190­192.  15.   Pan III,  Praposirion XI  reads  «Given  a curved line,  find another curve whose evolurion  describes ir.  Show that fram any geometrical curve another geometrical curve can be derived  for  which an equal straight line can  be  determined»  (Oeul'res,  XVIII)  p.  225­241).  16.   Oeuvres,  XVI, p.  392­398. 

­­

Chaprer 3  

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newton  57 

ber of straighr lines,  bur crucial sreps fram his firsr  (unpublished) proof in which  rhe equality of figures was esrablished rhrough rhe equality of rheir indivisibles  were  removed,  ro  be subsritured by exhausrion­type argumenrs. 17  James Gregorie on Quadratures  H.W.  Turnbull's  1939  edirion  of rhe James  Gregory  Tercentenary Memoria!  Vo!ume  revealed  Gregorie's  impressive  marhemarical conrriburions.  (Ir seems  appropriare,  following suggesrions by  C.  Eagles and D.T. Whireside,  ro  keep  rhe  old spelling Gregorie,  for  he never  renounced  ir  himself.  «Gregory»  was  rhen  an English usage  rhar  many scors  never  made  rheir own I8 ).  We know  now rhar Gregorie was a firsr­rank,  highly innovarive marhemarician working  in isolarion from rhe leading scienrific circles.  James Gregorie's conrriburions ro  quadrarures belong ro  four caregories. 19  There are firsr rhe well­known results conrained in his marhemarical books,  Véra  circu!i et hyperbo!ae quadraturil  (I667)  and  Geometriae ptlrS  universa!is  (I 668).  After reading Mercaror's  Logarithmotechnia in  1668, which impressed him deepl:?;'  Gregorie engrossed himself in rhe invesrigarion of merhods for series expansions.  o  In rhe nexr fewyears,  bur mainly in  1670 and  1671,  he carne upon rhe binomial  rheorem and rhe so­called «Taylof»  expansions, and applied rhem, as  well as  rhe  more straighrforward  merhods of long division and roor exrracrion,  ro  a grear  variety of marhemarical problems. Whar we  know abour his work along rhese  lines is  fragmenrary.  ApparenrIy we know rhe essenrial resulrs he achieved in rhis  field,  which are found in his correspondence wirh Collins and in rhe manuscriprs  published by Turnbull in  1939,  but how Gregorie discovered and proved rhese  resulrs  remains  mainly conjecrural. 21  Thirdly,  we  musr consider rhe  1684  Exercitatio  Geometrica,  published in  Edinburgh  by James's  nephew,  David Gregory,  as  an imponanr source on  James's ideas as  well.  This needs perhaps sorne jusrificarion. Alrhough in prefacing rhe  Exercittltio  David acknowledged rhar he was  using his  uncle's  marhemarical remains,  rhis  was  nor raken lirerally enough by his conremporaries, 

17.   Compare Yoder's account  01' Huygens's discovery of me results here memioned, in  her  Unrolling  Time.  Christiaan  Huygens and the  mathematization ofnature (Cambridge:  Cambridge Univ.  Press,  1988), p. 48­61, with Huygens's final version,  in  Horologium,  pan II,  Propositions XXIII  ro  XXV,  in  Oeuvres,  XVIII,  p.  170­186.  For  instances  in  which a curve es  taken equal  ro  an  infinite number of its  tangents,  see  the demonstrations  01'  Prapositions VIII,  IX,  and XXI.  18.  See  D.T. Whiteside's anicle on  Gregorie in  the  Dictionary ofSciemific Biography,  and  C.  Eagles's  «The Mathematical Work 01' David Gregory  1659­1708»  (Ph.D.  Diss.,  Universiry  ofEdinburgh,  1977), p.  24­30.  19.   In what follows,  «quadrature» will  be  used  generically ro  refú ro  rectifications  and cubatures as  well as  quadratures.  20.  See my «Studies on James Gregorie»,  chapter  l.  21.  ¡bid.,  chapter 3. See  also Turnbull's study 01' the Gregorie manuscripts  in  H.W. Turnbull  ed.,  Gregory  Tercentenary Memorial Volume  (London,  1939), p.  347­82 and 132­3. See also  H.W. Turnbull, «James Gregory: A Stlldy in  the Eatly Hisrory ofInrerpolarion»,  Proceedings  ofthe Edinburgh Mathematical Sociery,  2nd ser,  3(1933),  151­72. 

58

From Indivisibles

ro  Infinitesimals

Amoni Malet

nor by historians. After all, common sense dictates, ifDavid's were just an editorial hand,  he would not have  failed  to say  so  and to  give  his  uncle  proper  credit. A close look at David's handling of James's  manuscripts,  however,  has  revealed a  non­too­scrupulous hand.  There is  hard evidence  that David had  no qualms in letting his uncle's university lectures pass as  his own or in publishing results ofJames's under his name. 22  On the other hand, careful study of  his works and manuscripts has yielded a  rather harsh evaluation of his  mathematical knowledge  and abilities. 23  All  this justifies,  in  my opinion,  the  assumption  that  the  ideas  and  results  contained  in  the  1684  Exercitatio Geometrica are  essentially James's.  Finally,  the fourth source is  constituted by a hitherto unpublished manuscript,  «Geometriae propositiones Quaedam Generales»,  in which  Gregorie  grounds on impeccable Archimedean foundations  basic results  of the method  of indivisibles.  Two sets of results  from  Gregorie's manuscript must be highlighted.  Several propositions concern Cavalieri's  principIe, which by means of  exhaustion proofs is  shown to hold for generic plane figures  as  well as  for solid  bodies. By the same demanding method Gregorie proves that similar lines,  surfaces  (either plane or not), and volumes are,  respectively, as  the ratio of proportionality, as  its square, or as  its cube. Gregorie's unpublished piece is  of particular  interest because it displays remarkable similarities with many ofNewton's opening mathematicallemmas in the  Principia. 24 It will appear from our comparison that the styles of Gregorie and Newton are very different, but that they were  agreed as  to what results  provided an  adequate basis  for  quadratures generally.  As  indicated aboye we  must loo k  at  the  ideas  in  the  1684  Exercitatio Geometrica as  part of a method put together by James Gregorie around  1670  upon reading Mercator's  Logarithmotechnia. Now,  if we compare the  Exercitatio with Newton's  1669  De Analysi, we shall find them remarkably similar­indeed similar enough to induce Newton in  1684,  upon reading the  Exercitatio, to initiate the «Specimens of a Universal  [System]  ofMathematics».25  The method of quadrature set forth in the  Exercitatio Geometrica rests  on  the following ideas and results. 26  First,  it uses  the notion of «element», which  sometimes is  an infinitesimal and sometimes an indivisible, as  it will be explained below.  Second, it rests  in a lemma to the effect that the surface of aplane  figure whose element or ordinate is  mxl'lr is 

22.  See  my «Studies on James Gregorie», chapter  1.  23.  See the thorough study by C.  Eagles,  "The Mathematical Work of David Gregoty»,  Ph.D.  Diss,  Edinburgh,  1977. See  also  D.T. Whiteside's anicle in  the  DSB,  V,  519­22.  In  Whiteside's appreciation,  David's career is  the  perfect example of how "a  modicum of  talent,  effectively lacking originaliry, was  stretched a long way»,  l.c.,  p.  521.  24.  References  to  the similarities with Newton's lemmas wete made by Turnbull,  Gregory Tercentenary Volume, p.  445, and Whiteside, Newton's Mathematical Papers, VI,  109 n39.  25.   Lefi:  unfinished, the treatise «Matheseos Universalis Specimina» has been published in Whiteside's  edition ofNewton's mathematical papers.  CfNewtan's Mathematical Papers, IV, 526ff.  26.  The mast impartant technicalities concerning the content af the  Exercitatio Geometrica have been  adequately discussed in  C.  Eagles's  thesis,  p.  307­44, and will nat be discussed here. 

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newton  59 

Cbapte!  3 

r m ­­ x p+r

ｾ

r

(the surface, that is,  determined by the axis,  the curve and the ordinate  ｭｸｬＧＯｾＮ Third, it assumes that the surface  of a  figure  whose  element is  the sum (either finite or infinite in number) of elements of this kind,  mxl'lr, is  equal to the  sum of the surfaces yielded by every termo  Fourth,  it  uses  algebraic methods  that expand roots and fractions of polynomials in power series. And finally,  it  rests  in a thorough knowledge of the properties of the so­called  characteristic triangle.  The properties of the characteristic triangle were used to determine the  elements of curves,  which yield rectifications,  and the elements of the surfaces  of solids of revolution.  Most noticeably missing here  are  the  two most powerful methods James  Gregorie had devised to gain series expansions,  that is,  the binomial theorem  and the «Taylof»  rule.  In the  Exercitatio the basic notion of «element» was not used consistently.  At the beginning of the book elements were formally defined as  infinitesimals.  Given a curve ADE (see  Figure 4),  «An  element is  a line or rectangle  BCKD  whose width is  indefinitely small and differs minimally from  BCED». Similarly,  the element of the curve is  defined as  the little curve  (curvula) DE, and the  element of the solid of revolution generated by the rotation of the curve AE  around the axis AC as  the cylinder generated by the rectangle BCKD. 27  Later  on in  the  Exercitatio, however,  points are  the elements of a  curve,  arcs ofcircumfirence are the elements of a figure  bounded by a spiral,  circles are  the elements of solids  of revolution,  and so  on­that is,  elements are  indivisibles,  not infinitesimals.  James Gregorie always  showed a  marked reluctance  to use  infinitesimals 

E 

K 

F 

A 

B

e  

Figure 4. 

27.  Exercitatio  Geometrica,  p.  5. 

li  :1'1 

:11 

60

From Indivisibles ro Infiniresimals

Antoni Maler Cbapter 3 

and avoided them in his published works almost completely. He used inflOitesimals  only in  Proposition 7  of the  Geometriae pars universalis, to  prove a  method of tangents derivative of Fermat's. 28  On the other hand,  he showed  himself always  concerned with  providing exhaustion proofs  for any new,  or  not so  new,  significant  result  found  by  means of inflOitesimals.  This applies  to many important results  that received  c1assical­style  demonstration  in  his  Geometriae pars universalis, but also  to the proofby exhaustion ofMercator's quadrature of the hyperbola that Gregorie produced upon getting acquainted with  Mercator's  result  and published shortly thereafter in his  1668  Exercitationes geometricae. The same applies to his demonstration, also published in the 1668  Exercitationes, of the quadrature of the secants.  The same applies,  finally,  to  his  exhaustion proof of Cavalieri's principie we will publish below.  Let  liS  go  back to the fact that in the 1684  Exercitatio the notion of ,<e1ement»  was  inconsistently used.  Probably this is  only a consequence ofDavid Gregory's  inconsistent editing of his  unc1e's  papers.  Of course,  David was pushed to use  infinitesimals by the fact  that infinitesimal notions were,  by the time he published  the  Exercitatio, widely accepted, while indivisibles had been  all  but forgotten.  Ineidentally, the word «element» as well as  the notion of element as  a generic indivisible came from the small treatise on the method of indivisibles inc1uded in the  third volurne ofMilliet Dechales's ponderous 1674  Cursus mathematicus, a work  we know was  thoroughly studied by David Gregory.29  The treatise disappeared  from the  1690 enlarged, 4­volume edition of the  Cursus mathematicus. As  noticed aboye,  the method of quadratures set forth  in the 1684 Exercitatio Geometrica is  the same as  that in Newton's  1669  De Ana(ysi. Even  though the  twO  essays  relied  in  the same algebraic  rnethods when it carne  to gain series  expansions,  David could  not provide a  full  explanation of all  of these rnethods.  He did mention the existence of a rnethod to express y as  a power series  of x when a polynornial equation  f(x,y) =  O is  given,  but he did not describe  the rnethod.  Newton's  De Analysi, on the other hand, did inc1ude an account  of such a method, which  Newton called  «the algebraic  resolution of affected  equations».30  Newton could  not,  however,  inc1ude  the «Taylor»  rule,  which  he carne upon only years later,31  nor the binomial theorem,  abollt which he  apparently had rnisgivings.  As  pointed out aboye,  David Gregory's account  did not inc1ude the binomial theorern nor the «Taylor»  rule,  both already used  by his  unc1e  in  1670.  28.  See below,  Chaprer 5.  29.  Dechales's  rrearise  on  indivisibles is  found in  volume 3,  p.  765­91, of his  Cursus seu mundus mathematicus,  in 3 folio  volumes (Lyon,  1674). On rhe  manuscripr «Quaedam de  indivisibilium merhodo a Cavillario excogirara», a ser of nores garhered upon reading Dechales's  accounr of the method of indivisibles hitherto attributed to James Gregorie, but in  al!  probability drafted  by David Gregory,  see  my study of Gregorie's  manuscripts  in  A.  Malet,  "Srudies  on James  Gregorie  (1638­1675)>>  (Ph.D.  Diss.,  Princeton  U niversity,  1989),  Appendix to chaprer  l.  30.  See Newron's  Mathematical Papers,  Ir,  222­32.  31.  In  1691­92, rhat is;  cf.  Newton's  Mathematical Papers,  VII, 48  nI. 

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newton  61 

A second difference  between Newton's  De Analysi and  the  Exercitatio  is  found in how the two works prove the basic lemma that we express  x   fax"'/ndx  =  Ｎｾ :!m+n)/n,  m,n being positive integers.  [1]  O  m+n 

To  prove this  result  Newton assumed  x (see  Figure 4)  to  be equal to  z  = 2.. >.3/2. 

=  AB  and a surface such as  ADB 

3 

For a different  x, say AC or  x +  o, the surface  z becornes  z +  ov,  v  being  sorne interrnediate value  benveen the ordinates BD and CE. Therefore,  ; (x +  0)3  =  (z +  ov)2.

Newton concludes, after developing parentheses and canceling,  lf we  now suppose  [Be]  ro  be  infinite1y small,  rhar  is,  o ro  be  zero,  v  and y  [rhe ordinare  DB,  rhar is]  will  be equal and rerms  mu1tiplied by  o will  vanish and  rhere will  consequendy remain ...  x l / 2 = y. Conversely  rherefore  if x l / 2  = y, rhen  will  _2_  x)/2 = z.

3  

Finally,  Newton explained why the argurnent works for any rational positive exponent of x. 32  In the  Exercitatio  Geometrica  the proof of the result  [1]  is  referred,  for  m/n  positive,  to Proposition 54 of the  Geometriae pars universalis,  and for  m/n negative to Proposition  59 of the sarne.  We shalllook in detail at the first of these  theorems.  Let rhe curve ICA (see  Figure 5)  be defined by  AB  _(  AK 

­­­ ­

EC 

) 

)P/q , 

AE 

AK,  AB  being the sides of a given  rectangle, and DE being any parallel ro AB.  Proposition 54 of the  Geometriae pars universalis states that the whole paralle!ogr am  ABIK is  to the figure ACIK as  p +  q to  q. To prove this result,  Gregorie  mtroduces an auxiliary curve AHG defined by taking, for every C  on the curve  ｾｃａＬ CH (parallel to KA)  equal to the subtangent EF at  C.  Now,  says Gregorie,  1t  has been proved in Proposition  11  that  Figure ACIGHA  =  Figure ACIK.  32.  Newron's  Mathematical Papers,  !l, 242­4  (Whiteside's  translation). 

62

Amoni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

Q

J

ｾ

Opposing Indivisibles: Huygens, Gregorie, Newton

63

figure ACIGHA as pro q, whence rhe whole recrangle Al, which is equal ro ACIGHA plus ABICA, is ro ACIGHA, or AClKA, as p +  q ro q.33 Ler us look now ar Proposition 11, which plays a crucial role in rhe foregoing proof and provides an interesring relarionship between quadrarures and rangenrs generally.34 Proposirion 11 esrablishes, for any curve wharsoever ACI (see Figure 5),  rhar figure ACIK = figure ACIGHA, where rhe curve AHG has been defllled by drawing from every point C a segment CH parallel ro AK and equal ro rhe subrangent EF ar C.  Gregorie's exhausrion proof is grounded in rhe following inequaliries:

s

rrapezoid ICEK >  mixtilinear figure ICHH' recrilinear figure IMCEK <  mixrilinear figure ICSQ,

J' 

where «mixrilinear» means rhar rhe figure is partly bounded by curved lines. 35 Ler us assume, says Gregorie, rhe figures ACIK and ACIGH nor ro be equal, and ler X be irs difference. Ler BA be divided in points B, L, ... , A such rhar rhe difference between rhe inscribed mixrilinear figures ICHH', LCA and rhe circumscribed mixrilinear figures ICG'G, CAFH be less rhan X. Now, because of rhe inequaliries jusr mentioned,

H'

trapezoid ICEK >  mixrilinear figure ICHH' trapezoid CAE >  mixrilinear figure CAL,

F  and also

B 

A 

E

K Figure 5.

On rhe orher hand, rhe subrangent EF of rhe curve ICA is always found by raking AE : FE :: p : q. (Gregorie does nor explicirly deduce rhis result, bur says ir is a consequence of rhe general merhod ro find rangents he has ser forth in Proposirion 7.) Therefore, by Cavalieri's principie, rhe figure ABICA is ro rhe

recrilinear figure IMCEK <  mixrilinear figure ICSQ recrilinear figure CFE <  mixrilinear figure CAFH. Now, since rhe figure ACIK is grearer rhan rhe trapezoids ICEK, CAE togerher, and less rhan rhe recrilinear figures IMCEK, CFE togerher, rhe figures ACIK and ACIGH are found ro be bounded between all rhe mixrilinear figures ICHH', CAL and all rhe mixtilinear figures ICSQ, CAFH. This implies rhar rhe difference between rhe figures ACIK and ACIGH is less rhan X, which is absurd. 36 In irself a good example of a transfirmation result, Proposirion 11 provides an adequare transirion from Gregorie's quadrarures by series expan33. Geometriae pars universalis, p. 102-4. 34. This resulr had been found by Roberval and Torricellí in rhe 1640's. In rhe early 1690's lean Gallois accused lames Gregorie of plagiarism, a charge rhar prompred David Gregory's answer. 35. These inequaliries are easily proved ín Proposirion 10. The mixrilínear figure ICHH' is smaller rhan che rrapezoid ICHH', whích is smaller chan IC]]', whích is equal ro che rrapezoid ICEK. In a similar way, rhe mixrilinear figure ICSQ is grearer rhan rhe recrilínear figure IMCSQ, whích ís equal ro IMCEK (Geometriae pars universalis, p. 25-7). 36. Geometriae pars universa/is, p. 27-9.

64

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Maler

sions to his ideas about how the problems of quadratures had to be tackled generally. Transformation Theorems In the Preface to his 1668 Geometriae pars universalis Gregorie stressed that the «deficiencies of [algebraic] analysis» are «particularly noticeable when it comes to measure the quantities of curves». This, however, could be remedied by means of transformation theorems. A transformation theorem established the equality of two figures such that one has been obtained from a geometrical  transformation of the other.  Gregorie's  Geometriae pars universalis offered  several  general  transformation  theorems,  which were  also  published,  with  minor variations,  in  Isaac  Barrow's  1670  Geometrical Leetures. In Gregorie's  own words, quadratures could be  solved  provided that knowing the essential  property of any given figure,  a  method be  given  to transform  (transmutandl) the figure  in an equal one having known properties,  and then  [to transftrm] this  latter  figure  in  another,  and so  forth,  until  eventually the figure  be  transformed in sorne known  quantity,  In  this way the  measure of the given  quantity which was  sought for  would be found,  not differently from what  is  done in  the resolution of analytical equations,17 

This emphasis on geometrical  transformations as  an  essential  rool  ro  deal  with quadratures has been sorne times interpreted as  an obstacle to the progress  of mathematical thought in the seventeenth century, and specifically to the discovery of the calculus,  because  it detracted attention from  algebraic techniques.  According to Gregorie,  however, algebraic analysis was all­important for  taking  full  advantage of the approach to quadratures that he was  advocating:  The student of this method must be versed in analysis aboye all,  for withollt analysis  the examination of the  properties of any given  figure surpasses  the  forces  of  any genius. 18 

Gregorie saw no inconsistency in  attacking problems simultaneously analytically and geometrically.  On the other hand, Newton himself saw algebra as  a mere ancillary tool.  With harsh words for  cumbersome algebraic symbols  that may obscure rather than clarif}r problems, Newton advocated the use  of geometrical techniques in the opening sentences of his  Geometria curvilinea, a fluxional  study of curves written ca.  1680:  Men of recent times,  eager  ro add  ro  the discoveries  of the  ancients  have  united  the arithmetic of variables  [speciosam] with geometry.  Benefitting from  that, pro-

37. Geometriae pars univemz!is, t2,  recto and  verso. 38. Ibid, t2  verso,

Chaprer 3 

Opposing Indivisibles:  Huygens.  Gregorie,  Newron  65

gress  has  been  broad and far  reaching if your eye  is  on the profuseness of output  but the advance  is  less  of a  blessing if you  look at  the complexity of its  conc!usions.  For these computations,  progressing by means of arithmetical operations  alone,  very often express  in  an  inrolerably roundabout way quantities which  in  geometry are designated by the drawing of a single line. 3'! 

And he  adds later on:  Observing therefore that numerous kinds of problems which are usually resolved  by  lalgebraic] analysis may (at least for  the most part)  be more simply affecred by  40  synthesis,  1 have written rhe following trearise on the ropic.

Let us stress,  finally,  that ideas very similar ro  Gregorie's on the role of geometrical transformations were uttered in  1676 by an authoritative voice.  Leibniz,  an attentive reader of Gregorie's  Geometriae pars universalis, explained his  (differential)  method as  follows  in  1676:  my method is  but a  corollary of a  general  theory of rransformarions,  by the help  of which  any given  figure  wharever,  by wharever equarion ir  may be accurately  stated,  is  reduced ro anorher analytically equivalent figure...  Furthermore rhe general  method of transformatÍons itself seems ro  me proper to be counted among the  most powerful methods of analysis, for  not merely does  ir  serve for infinire series  and approximations,  but also  for  geometrical solutÍons and endless  other things  that are scarcely  manageable orherwise,41 

Leibniz saw his  method as  the culmination of the method of indivisibles.  To  ensure  the equality of two  figures,  they had ro  be divided  in  «innumerable»  parts and each pan of a figure  had to be shown equal to a part of the other  figure.  This method, he concluded,  contains the true  merhod of indivisibles  as  mosr generally conceived and,  as  far  as  1 know,  not hirherto expounded wirh sufficient universality.42 

39.  Newron,  Mathematicall'apers, IV,  421  (Whireside translarion).  40. Ibid, p.  423  (Whireside  rranslarion).  For funher  commentaries on  rhe  subordinare role  Newron  advocared  for  algebra  in  geometrical  matters,  see  rhe  passages  from  his  1707  Arithmetiol universalis (written between  1673 and  1683), in  Mathematicall'apm', V,  425429,471­477.  41.  Leibniz ro  Newron  (in  answer ro  rhe  epistoÚl posterior), 27 Augusr  1676 (n.s.),  Correspondence o/haac Newton, 11,  57­71  (1  have  slightly  modified Turnbull's  rranslarion,  p,  65).  This  passage has  been highlighred by  Hofmann, who srressed Leibniz's general dependence on  rhe  rradirion  ro  which  Gregorie  belongs;  cE. his  Leibniz Í/¡ Paris (Cambridge,  1974),  p.  232­4.  On  Leibniz  as  reader  of Gregarie,  see  D.  Mahnke's  «Neue  Einblicke  in  die  Entdeckungsgeschihte der hoheren Analysis",  Ahhand/ungen der l'reussische Akademie der Wissenschaften, Physikalisch­Marhematische Klasse,  1(1925),  1­64, which details  Leibniz's  marginalia ro  the  Geometriae pars universa/is. 42. Correspondence o/Isaac Newton, Il, 66. 

66

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

Newton Newton's critical views on indivisibles can be traced back ro his Geometria curvilinea  (ca. 1680 ?) and further back ro his rewriting of the Method o/Fluxions  in 1671-1672. The Geometria curvilinea is an unfinished general treatise on the fluxional study of curves. 43 In his introductory pages Newton pointed out that «Eudid has delivered the foundations of the geometry of straight lines». But, «since Eudid's elements are scarcely adequate for a work dealing, as this, with curves, 1 have been forced to frame others.» He further added that Those who have raken the measure of curvilinear figures have usually viewed rhem as made up of infinirely many infinitely-small parts. 1, in fact, shall consider them as generated by growing, ... 1 should have believed rhar rhis is rhe narural source for measuring guanriries generared by conrinuous flo w according to a precise law, both on accounr of rhe clariry and breviry of the reasoning involved and because of the simpliciry of rhe conclusions and rhe illustrarions reguired.44 The first Newtonian formulation of a new foundation for the geometry of curves seems to lie in a few pages Whiteside titled «Addendum on the Theory of Geometrical Fluxions». Newton very likely wrote them in the winter 16711672,  originally as  an outgrowth of his  1671  Method o/Series and Fluxions. 45  In fact,  the  Geometria curvilinea was but a revised and expanded version of the  «Addendum». We find in the «Addendum»  a threefold hierarchy of proofs,  by  algebra,  by moments (infinitesimals, that is),  and by fluxions,  each one Newton  deemed to  be less  rigorous than the next.  In Newron's  Method o/Fluxions we  read that  After rhe area of sorne curve has  rhus been found,  careful considerarion should be  given to fabricating a proof of the consrruction which as  far as permissible has  no  algebraic calculation, so rhar rhe rheorem embellished wirh it may tum out worthy  of public utterance.  A general  method of proof exisrs,  indeed,  and  this  1 shall  attempt ro  illustrare  by the following examples.46  Newton's «general method»  involved the use of moments and the compa-  rison  of the moment­areas of curves,  the equaliry of the moments allowing   him to condude that the whole figures  are equal. 47  Newron pointed Out that  

43.  Reproduced in  Newron's  Mathematicaf Papers,  IV, 420­84.  Very lirrle is  known abour rhe  background of rhis  work and  rhe  circumsrances  in  which  ir  was  wrirren;  see  Whireside's  inrroducrion and  nores  ro  rhe  rexr,  l.c., p.  4 I !ff.  44.   [bid,  p.  423  (Whireside's  rranslarion).  45.  Reproduced  in  Newron's  Mathematicaf Papers,  III, 328­53. According ro  Whireside,  rhe  rexr was wrirren around  rhe dare given aboye and originared asan augmenred  replacemenr  for  a couple pages  in  Newron's  Method o/Series,  eyenrually nor ro  be inc1uded in rhe  rrearise;  l.e.  p.  329, nn.  I  and  2.  46.   Newron's  Mathematicaf Papers,  III, p.  279  (Whireside's  rranslaríon).  47.   [bid,  p.  279­83. 

Chapter 3  

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newron  67 

he had «here used this method of proving that curves are equal or have a given  ratio...  since it has  an affiniry to the ones  usually employed in these cases»which is  a dear reference, as  Whiteside pointed out, ro the method of indivisibles.  Yet,  a  better foundation  was  possible:  «However,  that  [method]  based  on the ¡enesis of surfaces by their motion or flow appears a more natural approach.»  4  The method providing «a  more natural approach»  was the method of  fluxions, which could be brought ro perfection just by making explicit its axiomatic basiso  Interestingly, his first and second axioms were Cavalieri's principie  cast in  fluxionallanguage. According to Newton, this method  will  come ro  be still more perspicuous and resplendent if certain foundations are,  as  is  cusromary with the synrhetic merhod, first laido  Such as  these.  Axioms  1.  Magnitudes generated simultaneously by egual fluxions  are egua!.  2.  Magnitudes generated simulraneously by fluxions  in a given  ratio are  in  the  ratio of the fluxions.  3.  The fluxion  of rhe whole  is  egual  ro  the fluxions  of its parts taken  rogether. 

4.  «'0'» 

5.  Contemporaneous moments are as  their fluxions. 49 

Years  later,  by the  time  Newton  expanded  the  «Addendum»  into  the 

Geometria curvilinea,  he modified this  set ofaxioms;  Cavalieri's  principie,  however, was still among them. 50  Furthermore, there was no mention of algebraic proofs.  Rather ro  the contrary, Newton inveighed against what he described  as  an encroachment of algebraic methods on what should be the proper sphere of geometry, and he substituted a geometrical argument for the former algebraic derivation of the fluxion of a product. 5l  Although we do not know why  Newton would eventually refrain from giving more explicidy fluxional  foundations ro the  Principia,  it is  apparent now that in choosing the opening mathematicallemmas of the  Principia as  he did, he was only being consistent with  a long­time held view. 52  48.  [bid,  po  283  (Whireside's rranslarion).  49.  [bido,  p.  33 I  (Whireside's  rranslarion).  Newron removed axiom  4,  "The grearer fluxion  is  rhar which  produces rhe  grearer magnirude')'  50.   Newron,  Mathematicaf Papers,  IV, p.  427.  The new ser  ofaxioms posrulared,  along  wirh  rhe addiriviry of fluxions,  rhar magnirudes simulraneously generared  by equal fluxions  (fluxions  in  a given  rario,  respecrively)  are  equal  (are  in  rhe  given  rario),  and  conversely.  Furrhermore, and  rhis is  rhe novelry,  ir inc1udes rhe axiom rhar "Fluxions of quanriries are  in  rhe  firsr  rario  of rheir nascenr pans».  5 l.  The subsrirurion of a geomerrical proof for  an  algebraic  one,  poinred out by Whireside,  occurs  in  Proposirions  I  ro  3,  ibido,  p.  428­32.  52.   On Newron's  opening marhemaricallemmas ro  rhe  Principia,  see Whireside's edirion of  rhe  earliesr  remaining  drafr  (of abour  rhe  early  1685),  pan of rhe  reYised  "De moru  Corporum»,  in  Newron's  Mathematicaf Papen',  VI, 92ff.  See  also  F.  de  Candr,  "Le sryle  marhemarique des  Principia de Newron»,  Revue d'histoire des sciences,  39(1986),  195­222,  and "Temps physique and  remps  marhemarique chez Newron», in  Mythes et represerttatiom  du  temps,  D.  Tiffeneau ed.  (Paris,  1985), p.  87­105. 

68

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Maler

Newton seldom indulged in providing complete exhaustion proofs, but a few pages Whiteside tentatively dated as of circa 1670 remain in which he uses classical methods to demonstrate results concerning the surfaces and volumes of several figures and solids. 53 Interestingly, at one point he says in a scholium, «This proposition could have been shown more easily by spatial morion... But that answers ro no Euclidean postulate or principle.,,54 This caveat, by so meone who abundantly used  non­Euclidean mathematical concepts,  must certainly be  taken  with a grain of salt.  As  we  have  seen,  however,  Newton was  seriously concerned with the foundations ofhis method of quadrature at least  as  early as  1671  or  1672,  when he was  working on his  Method ofSeries and Fluxions. Let us  compare now Newton's opening mathematicallemmas in his  Principia to Gregorie's foundations for the method of indivisibles offered in his  manuscript «Some  General Propositions of Geometry".  Newton and Gregorie on Cavalieri's  Principie  Gregorie and Newton did not provide  the same foundations  for  quadrature  in general,  but they approached the problem in a remarkably similar way.  As  is well  known,  Cavalieri's principie was  a basic tool for performing geometrical quadratures that Newton was  to put among the mathematicallemmas in the  opening section of the  Principia. Gregorie and Newton shrank from  the use  of infinitesimals in formal  demonstrations, and that made imperative finding  a proof for  Cavalieri's principIe in  substitution for  the additive analogy mentioned in  Chapter 1 aboye.  Gregorie's first  theorem in his  «General Propositions»  establishes that figures  inscribed in  a curve AGCB  (see  Figure  6)  and figures  circumscribed about  it can be found, such that they differ by less  than any given quantity Z.  Gregorie  specified that the curve must be  simple, which  roughly means,  in our language,  that it is  either increasing or decreasing. 55  Interestingly, the result resembles  one Barrow annexed to his  Geometrical Lectures for  the sake of showing the  «equivalence"  between apagogical proofs and proofs by indivisibles.  Gregorie's  proof uses,  as  Barrow's did, that the parallelogram AKDB is  equal to the difference  between  the  inscribed and circumscribed figures  ­but notice  that  Gregorie's inscribed and circumscribed figures  are explicitly composed of a finite  number of rectangles.  Then, assuming that a rectangle ABNO equal  ro  the  given square Z has been adjoined to the axis AB, Gregorie divides the base BC  in as  many equal pans as  needed for one of them to be less  than NB. This partition of BC gives obviously the inscribed and eircumscribed figures  desired. 

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newton  69

Chaprer 3 

o 

A 4

L 

1 

B 

N 

j 

Q

M 

F 

G 

[J 

I 

ﾺＭｾ

e

Figure 6. 

This is  essentially the argument in Lemma Il,  Book  1,  of the  Principia,  although Newton does not prove exactly the same thing and uses a language strongly  reminiscent of Barrow's.  Starting with any number of parallelograms inscribed in  the curve acE (see  Figure 7) ­what kind of curve, we are not told­ and others  circumscribed about it,  Newton assumes «their number  [ofrectangles]  to be augmented  in infinituln»  and seeks to prove that the «ultimate ratios that the inscribed figure ... , the circumscribed figure... , and curvilinear figure ... , have to one  another are ratios of equality.» 56  As  Barrow did, Newton uses an infinite process  of division ro  approximate the surface of the curved figure  by means of inscribed  and circumscribed figures.  He balks,  however,  at the prospect of handling the  «ultimate" figures  resulting from  this process ­and uses  instead their ultimate 

a 

­,m

K 

In  ­­­­, o  d 

M 

A  53.  Newron's  Mathematical Papers,  III, 408­419. Whireside ritled rhese pages  «Researehes into  rhe elemenrary geomerry of eurved surfaeeso>  and rentarively suggesred  rhar  «Newron  intended his  present researehes ro  form  rhe  nucleus of a  [similar to  Barrow s) leerure series  of his  own on Arehimedean geomerry.')  Cf.  l.c.,  p.  408,  nn.  1 and 2.  54.   ¡bid.,  p.  413  (Whireside's rranslarion).  55.  See Chaprer 4  for  further derai!s. 

K

• 

BF 

e 

D

E 

Figure 7. 

56.  A.  Kayre,  LB.  Cahen eds.,  Principia mathematica  (Cambridge (Mass),  1972),1, p.  73­74.  Al!  rhe  referenees  ro  rhe  Principia are  made ro  rhis  editian. 

70

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Maler

ratios. In Newton's argument, the rectangle alBA «because its breadth AB is supposed diminished ín ínfinítum, becomes less than any given rectangle.» Since this rectangle alBA is equal to the difference between the inscribed and circumscribed figures, Newton concludes that the three figures «become ultimately equal».57 The foregoing results are just an introduction ro  Cavalieri's principIe, to which we now turno Again the differences in formulation between Newton and Gregorie are imeresting. While Gregorie has no qualms in comparing ordinates to ordinates, Newton, however, will assume in his Lemma IV that parallelograms (an equal number of them) are inscribed in the figures AacE, PprT (see Figure 8), and then, their breadths being diminished ín ínfinítum, that «the ultimate ratios of the parallelograms in one figure to those in the other, each to each respectively, are the same». In order to prove that the whole figures will be in the same ratio as well, Newton has to use the Barrowian «infinite division» of the figures in infinitesimal parallelograms. The two sums of parallelograms, says Newton, will be as any one parallelogram in one figure ro  the corresponding parallelogram in the other. Now, Newton is here talking about ínfiníte sums of infinitesimal parallelograms, for he concludes that the two figures will be in the said ratio because, as he has proved in Lemma 11, «the former figure to the former sum [ofparallelogramsJ, and the latter figure ro  the latter sum, are in the ratio of equality.»58 Gregorie's approach is different, much more «classical». Since the next chapter contains a complete translation of Gregorie's proof, a close rendering of his words is not needed here. Let two figures ABC, ABT on the same diameter AB (see Figure 9)  be such that homologous ordinates (i.e., such as NK, KO) are always in the same ratio as the bases TB and BC are. Gregorie assumes that the figures are not in the same proponion, and that the ratio ofTB to BC is that of

a.

Opposing Indivisibles: Huygens, Gregorie, Newton

Chaprer 3

figure ABT to sorne figure X,  which differs from ABC by a quantity Z.  Now he takes a partition on the diameter AB -say the one determined by points K, L- such that the figures inscribed in and circumscribed about ABC differ by less than Z. He then takes the inscribed and circumscribed figures the same partition produces for ABT. The inscribed figures KNPRVB and KOHFDB will be in the constant ratio of BT to BC, and so the two circumscribed figures will. Now, since the figures circumscribed about ABT and ABC are as ABT to sorne space X,  and since the figure circumscribed about ABT is greater than ABT, the figure circumscribed about ABC must be greater than the space X. We conclude similarly that the figure inscribed in ABC must be less than the space X. So both the figure ABC and the space X are between the inscribed and circumscribed figures. Therefore, they differ by less than these figures, which differ by less than Z. But this is absurd because ABC and X differ by Z. One more lemma in the opening section of the Príncípía also appears among Gregorie's «General Propositions of Geometry». It states, but does not prove, that «all the corresponding sides, whether curvilinear or rectilinear, of similar figures are proportional; and the areas are in the duplicate ratio of the sides.»59 Gregorie's «General Propositions» features three sets of results addressed to similar figures, one dealing with plane figures, a second with curves, and the last wirh volumes and surfaces of solids. Now, as rhe following ourline shows, rhe proof of even the simplest case, which is rhe one Newton stared, is not straightforward. Given the similar figures ABC, FDE (see Figure 10), in which KF

KI

KA

KL

p e

r 

M, 

Q ,

A

]

A___e

I  K 

7V N 

G 

"1"

s

E  R

A

E 

p

T

T

p 

v

Figure 8. Figure 9.

57. ¡bid., p. 74. 58. ¡bid., p. 76. 1 have slightly modified Cajori-Mone's translation.

71

59. Lemma V, Principia mathematica, 1,  77.

H 

L  B 

D

e

72

F rom  Indivisibles to Infinitesimals

Antoni Malet

for any straight line LIK joining the center K to the perimeter, the tlgure FDE must be shown to be to ABC as the square of KF to the square of KA. To prove this, Gregorie introduces an auxiliary curve AHD detlned as follows. For every N on AK, draw NG parallel ro KB and determine H by the condition NH : NG = KF : KA. According ro Cavalieri's principIe, the figures AHDK and AGBK are as KF to KA. Now join KG, and let O be the intersection of KG and the curve FD. Produce HO until it meets the straight line KB at M. Since the ratios NG : NH and KG : KO are equal, the line HM is parallel to AK. Furthermore, the triangles HOG and KOM are similar, whence it is easy to condude that MO

KF

MH

KA

for any straight line MOH parallel ro KA. According to Cavalieri's principIe, therefore, the figures DFK and DHAK are as KF to KA. Hence the figures DFK and AGBK are as the squares ofKF and KA. Finally, similar proofs would apply ro the remaining pans AKC, CKB, ... of the figure.60 Other demonstrations of this sort accompany Gregorie's propositions concerning similar curves and solids.  Newton's remaining lemmas in section 1 of the Principia deal with the ultimate rarios of chords, arcs and tangents, a matter that Gregorie did not address  in the manuscript here under consideration. Interestingly,  though, similar propositions appear in the appendix to the  Geometrical Lectures that Barrow deemed appropriate adding ro  strengthen his proofs.  Newton's intent in induding  the mathematical section at the opening pages of the  Principia was  the same. 

Chaptet 3  

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregotie,  Newron  73 

In contradistinction to Barrow,  however,  Newton would explicitly cast doubts  upon the soundness of the «method of indivisibles»,  exdude the understanding of quantities as  consisting of infinitesimals,  and produce his  lemmas as  providing better foundations  for' quadrature techniques  than those provided  by the method of indivisibles.  In Newron's own well  known words, iil the final  scholium ro  the mathematicallemmas of the  Principia, These Lemmas  are  premised  to  avoid  the  tediousness of deducing long­winded  demonsrrarions  tld tlbsurdum, according  ro  the method of the ancient geometers.  For demonsrrations are  shorter  by  the  method of indivisibles;  but because  the  hypothesis of indivisibles  is  harsher,  and therefore  that method  is  reckoned less  geometrical,  1 preferred  ro  deduce  the  demonstrations  of what  follows  fram  the  last sums and ratios  of vanishing quantities and the first  [sums tlnd ratio>l of nascent quantities... For hereby the same thing is performed as  by the method of indivisibles.  Now these principies being demonstrated,we may use  them more safely.61 

Ir has  been recently argued that Newton's use of fluxions and ultimate ratios  is  «Iogically equivalent»  to using infinitesimals. 62  Indeed the foregoing shows  Newton's style  to  be doser to Barrow's  than  ro  Gregorie's. And yet  the fact  remains  that Newton studiously avoided infinitesimals,  particularly in texts  he published himself.  He made use of them in many places,  but chose ro  cast  his  mathematics into the language of fluxions.  His matheI1).atical  thought, as  well as  Huygens's and Gregorie's, did incorporate new norions and techniques  crucially hinging on the acceptance of the actual infinite.  AlI of them,  however,  were reluctant to treat inflnitesimals as  a full­fledged mathematical notion.  They certainly could and did think in terms of infinitesimals,  but would rather have infinitesimals out of formal  demonstrations than in. 

L 

B 

Figure  10.  60.   This is  Proposition  4  01'  Gregorie's  manuscripr  (see chaprer  4). 

61. Principia, l,  86­7.  l  have  modified Cajori­Morre's translaríon.  62.   Z.  Bechler,  Newton s Physics and the Conceptual Structure o/ the Scientific Revolution (Dordrechr:  Kluwer Academíc Publishers,  1991),238­252,  p.  238, 250. 

CHAPTER4

James Gregorie's «Sorne General Propositions of Geometry»

Introduction The present chapter offers an English translation and commentary of James Gregorie's manuscript «Sorne General Propositions of Geometry». Its main results concern Cavalieri's principIe and the ratios between similar figures, the lengths, surfaces, and volumes of which are shown to be as the corresponding sides, their squares, and their cubes, respectively. We have no indication as to when Gregorie, who died in 1675, put together the results here assembled, bur it must have been after his return to Scotland in late 1668. His «General Propositions» are best understood vis-a-vis the geometric program outlined in the preface ro  his  1668  Geometriae pars universafis. Stressing  the limitations of analytical or algebraic tools when it comes ro  the resolurion  of many important quadratures, Gregorie suggested there the finding of transformation theorems as  the most powerful approach to quadrature problems. A  transformation theorem permits transforming the figures whose quadrature is  sought into other equivalent figures  whose quadratures are easier to establish.  In connection with his  transformation theorems,  Gregorie explicitly mentioned Cavalieri's method. Cavalieri's principIe, which is  itself a transformation theorem, yields direct proofs of many transformation theorems.  It was well known at the time that results concerning similar figures,  when  coupled with the quadrature of the triangle and the parabola, yield many results  Eudid and Archimedes had proved.  In highlighting results about similar figures  Gregorie was only following the lead of Cavalieri and other Italian practitioners of the method of indivisibles.!  With these results, as with the remaining  results in this manuscript, what was  novel was  the cogency of Gregorie's proofs  and their Archimedean style.  Compare,  for instance,  Gregorie's proofs on  similar figures with Cavalieri's in the  Geometria indivisibifibus, Bk.  2,  Proposition  XV (on plane figures)  and XVII  (on solids).  l.   Giusti has  already stressed similariry as  a main factor in the generaliry and power of «indi-

visible»  techniques; see  his  Bonaventura CavaLieri and the Theory o/Indivisibles (Bologna,  1980),  p.  29­30. 

76

From Inclivisib", to Infinitesimals

°r

Antoni Malet

James  Gregorie's  "Sorne General  Propositions  of Geometry»  77 

Chapter 4  

A

ａｾｈ

:Nx' [1

K  

Ir 

I 

N 

L

.¡. 

I 

1

lB 

ID

lE

\1

I C

Figure 1.

Before desci bing the results the manuscript contains, 1 shall introduce Gregorie's notiolls of «simple» (simplex) curve and of «similan) figures. Simple curves play an irfl portant role through the manuscript because curves are explicitly required tobe simple in most of rhe theorems,  and this is  the only requirement that generic  curves have  ro  meet.  To  be precise,  curves may be either  simple or complsed of simple arcs.  As  defined by Gregorie in his  Geometriae pars universalis, 1  curve such as AC (see  Figure  1)  is  simple because from A to  C, the curve «alvrays  gets doser  ro,  or further away from,  the straight line  [BC, given in position,).2 Gregorie's definition rather explicitly exdudes dosed curves  from  being simple.  In all  the instances in which simple curves were considered,  here in th s man uscript as well  as  in the  Geometriae pars universalis, they  were also  assUillrd to be continuous and of c onstant convexity. The notion of  simple surface,  used  in  Proposition  12, is  more problematic. As  Gregorie used  the notion in thi,  proposition, a simple surface had the property that any curve  such as  AQGC Cee  Figure 2), which is the plane section determined by aplane  perpendicular to the plane of reference ABB',  be a simple curve.  Proves of ｧ･ｮｾｲ｡ｬ results about generic curves were not new in Gregorie's time.  New was,  howevér, Gregorie's specification that sorne theorems could only be proved on the hypoth.esis  that the generic curve be simple. The requirement is  new  even vis­a­vis the use  that both Barrow and Newton made of generic curves.  Cavalieri hinlself had singled out the generality of sorne of his  theorems  as  one of the wOrthiest  characteristics of his  technics.  «I  will  not be silent»,  says  Cavalieri  ｰｲｾｦ｡｣ｩｮｧ his  Geometria, abolir rhe grearest generality of rhis  merhod of proof,  for  rhar which is  proved  by orher medlOds  jusr for  one class  of solids,  or ar  mosr  for  a  few  classes,  is  directly demotJ.srrared  by  liS  for an infiniry of rhem. 3  2. 3.

Geometriae pars universczlis, p.  l.  Geometria indiVlJibitibus, [b3]  recto. Lombardo­Radice, in  his  ltalian rranslarion ro  Cavalieri's  Geometry ofindtvisibles, and Giusri  (f.c.), stressed  rhar Cavalieri  repearedly shows  himself  aware of rhe wOlrh of general results. 

•

I

!  //1  71 

1/ 

/c

/

/B  Figure 2. 

For instance, where Eudid would need four different,  long­winded theorems ro prove that similar a)  parallelepipeds,  b)  pyramids, c)  cones and cylinders,  and d)  spheres  are  as  the cubes  of corresponding sides,  one general  demonsrration with indivisibles was enough ro prove that «all similar solids» are  in the said ratio. 4  Cavalieri could achieve  this  by introducing a  new,  more  general notion of similarity that explicitly encompassed the similarity of polygonal figures  defined in Eudid's  Elements and the similarity of conic sections  defined by Apollonius.  To  introduce this  notion,  Cavalieri  rook tangents AE,  KQ (see  Figure  3)  ro  the figures ABOC, KLYP,  respectively.  The angles AEG, KQR are assumed  ro  be equal,  and the straight lines  CG, YR,  also  tangent  ro  the figures,  ro  be  parallel  ro  AE,  KQ, respectively. The figures ABCO,  KLYP  are said ro  be similar if for any two straight lines BF,  LU  parallel  ro  AE,  KQ, and such that EF  :  EG : QU : QR, all  the segments cut into the two figures  are in the same ratio  EG  : QR, that is,  if  BI

15 

EG 

LT

TX 

RQ 

Cavalieri's definition of similarity, dearly inspired by Apollonius's,  is  more  general  than  Eudid's.5  Rectilinear segments like  BI  and LT  Cavalieri called  4.   Eudid's  Elements, Bk.  Xl, Proposirion 33, and Bk. XlI, 8,  12, and  18.  For Cavalieri's general  rheorem,  see his  Geometria indivisibilibus, Bk.  2,  Proposirion XVII.  5.   Cavalieri's definirion is  rhe  10rh ofBk.  1 ofhis  Geometry ofindivisibles. Euclide's similar polygons  are  defined  in  rerms  of rhe equaliry of angles and  rhe  proportionality of corres ponding sides  (Elements, Bk.  VI,  Definirion  1).  Apollonius's definiüon,  referred  ro  by Cavalieri,  is  rhe  second of Bk.  VI  of his  Conic Sections. According ro  Apol1onius,  rwo  secrions are  similar if any couple of ordinares (one in each  section)  are as  rhe segments  rhey determine  on [he axes ­[he segments, [ha[ is,  whose end­points are  the verrices of [he secrions and rhe  meer of [he ordinares and the axes.  Cavalieri  proved  his  definiríon  to encompass  rhe c1assical  ones  in  his  Bk.  1,  Proposirions XXVII  and XXVIII. 

78

Anroni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

K

A

James  Gregorie's "Sorne General  Propositions of Geometry"  79 

Chapter 4  

Q

A  

f­­­­­­­­:­­­=­­­­­­­­­­, 

ti 

L 

B 

Q

f3 Figure 4.  Figure 3.

«homologus», a word Gregorie used with the same meaning. Gregorie provides

no definition of similar figures. Even though the use he made of the notion is consistent with Cavalieri's definition, he almost always used it in situations such as the one illustrated in Figure 4 (actually the 5th figure in Gregorie's manuscript). Here the ratio LK : IK is the same for any couple of corresponding (homologus) points L and 1.  That is,  the figure ABC is an «expansion»  of  FDE by means of a change of scale with K as  the fixed point. Gregorie called  a fixed  point such as  K the  <
6.   According ro  Heath,  the construction of similar polygons about their common cenrer was  inrroduced by Clavius by the mm of the  17th cenrury; cf Euclíde's Elements, vol 2,  p.  231. 

Gregorie proves that it is possible ro  inscribe straight lines in any simple curve  such that their ratios  to circumscribed tangents be  <  a, for any a  >  l. Then, after  showing that the curve will  always  be greater than  the chords and less  than  the  tangents  (Proposition  8),  Gregorie demonstrates  in  the 9th Proposition  that the difference between circumscribed and inscribed straight lines can be  made as  small as  wished. This result enables Gregorie to prove in the next proposition that the lengths of similar curves  are as  their corresponding straight  lines. This is  the last of the results in  plane geometry.  In  Proposition  11  Gregorie proves the similarity of two figures  that are in  parallel planes and one is  the «projection» of the other from a given point in  neither of the planes.  In Proposition  12 and its Consectary, Gregorie demonstrates that for  any solid bounded by two perpendicular planes and a simple surface,  inscribed and circumscribed cylinders can  be  found such that their difference is less  than any given quantity.  In Proposition  13 and its Consectary Gregorie  uses  this result to provide an exhaustion proof for  Cavalieri's principIe in  the  case of volumes of solids.  Dealing with similarity in the case  of solid figures,  the remaining three propositions contain involved geometrical constructions. Their demonstrations are  hard to  follow on Gregorie's diagrams,  in  which,  explicitly,  plane figures  were  meant to illustrate 3­dimensional constructions. Mer an auxiliary result is provided  by Proposition  14,  Proposition  15  proves  that similar solids  are as  the cubes of  corresponding sides.  Proposition  16  states,  and contains the beginning of the  proof,  that surfaces of similar solids are  as  the squares of corresponding sides.  The manuscript is  clearly incomplete.  Not only does the last proposition  break off before it ends,  but also  the articulation of its  mathematical content  appears less elaborate and polished than usual in Gregorie's finished products.  As indicated below,  nar all  the figures included in the manuscript were actually  referred to in the texto  Ir will  be  noticed,  finally,  that sorne of Gregorie's  demonstrations  answer  ro  the pattern illustrated by the proof of Cavalieri's principIe summarized in 

80

From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

the preceding chapter. Having proved for a broad class of curves, plane figures,  and solids that inscribed and circumscribed straight lines,  parallelograms,  and cylinders,  respectively,  can be found such that differ by less  than any assigned quantity,  Gregorie can easily pass  from  properties or hypothesis concerning the ordinates of a figure,  or the plane sections of a solid, to properties of  the whole figures,  or solids,  through exhaustion proofs. To prove, for  instance,  that two magnitudes JI.  and 13 are in a given ratio,  say  R : S,  Gregorie assumes  that they are  not, and that for  a new magnitude  X, it is  JI.:  X:: R: S.  He inscribes figures  in 13  and circumscribes others about it such that they differ by  less  than 13  ­ X. But he then shows that  X must be greater than the figure  inscribed in 13  and less  than the circumscribed one; he concludes,  therefore,  that  the difference between  13  and X is  <  13 ­ X, which is impossible.7 This particular kind of reduction  ad absurdum was one of Gregorie's preferred methods of  proof. 8  Gregorie was particularly proud of this method, which he considered his  own. As  he said in the Preface to the  Geometriae pars universalis, If 1am not mistaken, I use a method of proof that is my own. It is certainly much  shoner than Archimedes's,  but not less geometrical.  I also use in the most obvious  propositions Cavalieri's method, which is without difficulty reduced to Archimedes's  or to  our own. 9  We shall presently see how Gregorie reduced Cavalieri's method to his own  in his  «Sorne General Propositions of Geometry».  Description of the Manuscript  Bearing the title «Geometriae propositiones Quaedam Generales a J:  G:»,  the  Latin manuscript here translated is  now document number 16, on pages  113  ro  120, of the folio volume Dc 1.61, Edinburgh University Library. Written of  an amanuensis hand, the manuscript occupies seven and a quarter folio  pages,  which the same hand numbered from  1 ro  8. Thirteen figures  accompanying  the text appear neatly drawn in a separate folio  sheet that is  only numerated  «121», as  part of the Dc 1.61  volume.  Of the thirteen figures,  only those numbered  1,  2,  5,  6, 7, 8, and 9 are actually referred ro  in the text;  the whole folio  page  121  is  here reproduced as  Figure 5.  Editorial Conventions  The captions that send the reader ro  specific figures,  originally in the margins,  have been included in the text.  Figures are  referred ro  by numbers consecuti-

7.   To compare Gregorie's proofs wirh dassical Greek exhausrion, see, for insrance, Archimedes's  Measurement o/a Cirele, Proposirion  1,  or Eudid's  Elements, XII,  Proposirion 2.  8.   As  Whiteside has aJready pointed out.  See  his  «Patterns»,  p.  335.  9. Geometriae pars ulliversalis, Preface,  t2  verso and  t3  recto.

Chaprer 4 

James Gregorie's  «Sorne  General  Proposirions ofGeomettY"  81

ve  ro  the numbers of the other figures  in this chapter,  but Gregorie's original  numeration is  indicated at the foot of each figure.  Punctuation has been modernized.  Except in Propositions 3 and 10, where Gregorie highlighted two series  of proportionalities and  inequalities by  breaking the text and setting them  apart,  the original  text  flows  unremittingly from  the start of every demonsnation to the «Q.E.D.»  1 have  often introduced a  full  stop to separate the  demonstration proper from  the preliminary part in which the geometrical  construction needed for  the proofis set up. Words in square brackets are editorial additions. The symbol «\\»  and numbers in square brackets indicate the  beginning of each manuscript page. 

82

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet M

o

A 

P 

K

ｑｾ

M 

1

R  T 

G\ , ｌｾ

A 

James Gregorie's "Sorne General Propositions of Geometry»

Chapter4

J

83

TRANSIATIüN

H

Sorne General Propositions of Geornetry

[IJ

Q .---------*

BY

J'G:

E

S B 

N 

D 

E

e

THEüREM 1 Let the figure ABC (see Figure 6) be comprehended by a simple lO curve and by the two straight fines AB, BC, and let a given parallelogram be called Z.  1 say, that rectilinear figures constituted by parallelograms can be inscribed in and circumscribed about the figure ABC so that the diffirence between them be less than the given figure Z. 

DEMüN5TRATION Let a parallelograrn üABN =  Z be set upon the straight line AB, with angle üAB =  ABC, and let BC be divided in as rnany equal parts as needed for any of thern to be less than NB, and let straight lines DK, EH, CF be drawn parallel to the sarne AB to rneet the curve at points Q, G, C; also let straight lines AK, LQH, MIGF be drawn parallel to BC It  is evident that the inscribed rectilinear figure LQIGEB is rnade by the parallelograrns LQIM, MGEB, and the circurnscribed rectilinear figure AKQHGFCB is rnade by the parallelograrns AKQL, LHGM, MFCB. Now 1 say, that the difference between thern is less than Z. For jr is clear enough that the difference between thern is equal to  all the parallelograrns AKQL, QHGI, GFCE put together. But MIDB, GFCE are equal because they stand upon the sarne bases BD, EC and between the sarne

p 

ü ｾ

Ap 

A 

K  ­­­­­­­­ Q 

M  ｊｾ

] 

p 

ｾ

G

D F H  

e

K   N  A 

B E G

e

F I D

K  

N 

B 

n 

D

F

1\  E 

｛ｾ

] 

e

B

E  

Figure 5. Page 121 ofthe manuscripr volume Dc 1.61 from Edinburgh Universiry Library. By kind permission ofE.U.L.

Figure 6  (Figure  1 in  rhe  manuscripr).  10.  As  nored in  rhe  introducrion,  Gregorie used  rhe  word  simplex ro  designare  a curve,  or a  fragment of a curve,  rhar is  eirher increasing or decreasing. 

r 

84

From Indivisibles

to  Infinitesimals

Antoni Matet

parallellines MF, Be. For the same reason, since the straight lines MI, IG are egual, the parallelograms LQIM, QHGI are egua!. Therefore the parallelogram AKDB  is  egual  to  the difference between  the  rectilinear figures  inscribed and circumscribed.  Now because the parallelograms OABN, AKBD lie  between  the same parallellines OK, ND  (AO  and BD are  parallellines on  account of the egual angles OAB, ABD), and the base BD is  less  than the base  BN, the parallelogram AKBD will be less than the parallelogram OABN.  But  OABN is  egual to Z, and therefore the difference between the inscribed and the  circumscribed figures  (that is,  the parallelogram AKDB)  is  less than Z.  Q.E.D.

James Gregorie's  «Sorne  General  Proposirions of Geometry»  85

Chaprer 4 

A 

,v 

Q 

R 

Let a right cyfinder11 with height Y be erected upon the same figure ABC (see Figure 6).  1 say, that the right cyfinder wilf be equaf to the paralfefepiped whose height is Y and whose base is a paralfefogram equaf to the curvilinear figure ABe.

DEMONSTRATION  Let us  assume  the same figure ABC to  be egual to the parallelogram X.  I say,  that the parallelepiped XY is  egual ro  the right cylinder set up oyer figure ABC  with height Y.  If they are  not egual,  let  their difference  be ZY.  From the  preceding  result,  let us  assume  LK,  IH,  EF  together  <  Z. 12  The parallelepipeds LDY  +  lEY  <  cylinder,  because they are  contained in it,  and the parallelepipeds  ADY  +  QEY  +  GCY  >  cylinder,  because  they comprehend it.  Therefore  LDY  +  lEY < XY,  and ADY  +  QEY +  GCY >  XY.  There are  thus four guantities,  LDY  +  lEY being the smallest, ADY  +  QEY  +  GCY being the  biggest,  and the cylinder and XY being the middle ones. The difference of the  middle ones  is  therefore greater than  the difference  of the extreme ones,  which is  absurdo  Therefore &c.  PROPOSITION 3. THEOREM 

If two figures have the same diameter, and their ordinates bear afways the same ratio to one another, 13  then one figure wilf be to the other as ordinates are to ordinates. 

11.  «Righr  cylinden)  designares  here any solid constirured by segments of equallengrh perpendicularlyerecred  upon aplane closed curve, no matter what shape rhis  curve has. This  norion had been already used  by Cavalieri.  12.  Gregorie used Oughrred's signs for  oms  <,  >.  13.   Sic.  As  rhe proof suggesrs,  ir has  ro  be  understo.od that just rhe ordinares rhar fall  upon rhe  same poinr of rhe diamerer bear a consrant ratIo. 

T 

'le 

'k 

1, 

P 

­­­, 

I 

E 

J 

e 

H 

L  1 

v  

G 

K 

V 

V

PROPOSITION 2.  THEOREM 

\ 

N 

s , 

I 

ｾ］

M, 

B

D 

Figure 7  (Figure 2 in  che manuscripr). 

DEMONSTRATION  Let two  figures ABC and ABT (see  Figure 7)  that haye the same diameter AB  and bases CB, BT be such that any arbitrary ordinate RL is  always  to the ordinate LF  as  the base BT to the base  Be. I say,  that the figure ABT is  to the figure ABC as  the base  BT to  the base  BC, or as  RL to  LE  If ABT is  not to ABC  as  BT to  BC,  let  BT be to  BC as  figure ABT ro  a  figure X, which differs from figure ABC by a guantity Z.  Let figure ABC be inscribed in a rectilinear figure  made by parallelograms and circumscribed about  another figure of the same  SOft such that the difference between the circumscribed and the inscribed figures  is  less  than Z. Now let KOHFDB be the inscribed rectilinear figure,  and AIOGFECB the circumscribed one. The rectilinear  figures KNPRVB and AMNQRSTB, determined by the straight lines lA,  GK,  EL produced, are inscribed in and circumscribed about the figure ABT.  The  parallelogram NKLP is to the parallelogram KOHL (because  their heights are  egual)  as  NK ro  KO,  that is,  as  TB to  BC (from the nature of the figure).  In  the same way is  proyed that the parallelogram LRBV is  ro  the parallelogram  LFDB  as  RL  to  LF,  or TB  to  Be. Therefore  the whole  rectilinear  figure  KNPRVB is  ro  the rectilinear figure  KOHFDB as TB to Be. In the same way,  the parallelogram MAKN is  to the parallelogram AIOK (because their heights  are egua!)  as  the base NK ro KO, or TB to  Be. For the same reason, the parallelogram QLKR is  to the parallelogram KGFL, and the parallelogram SLBT  ro  LECT  [read «LECB,,],  as  TB to  Be. Hence the whole  rectilinear figure  AMNQRSTB is  to the whole rectilinear figure AIOGFECB \\  [2]  as  TB to  Be.  Now let us  call  

AMNQRSTB=A   AIOGFECB=  B   KNPRVB=  C   KOHFDB= D  

86

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni Malet

James Gtegotie's "Sorne General Propositions of Geometry»

Chaptet 4

87

Fig. ABT= E Fig. ABC= F[.]

[Now,j

L 

A : B :: TB : BC :: E: X, therefore A: E :: B : X, but A >  E, whence B >  X. Similarly C : D :: TB : BC :: E : X, therefore C : E :: D: X, but C < E, whence D < X. 

There are thus four guantities, the greatest of which is B, the smallest D, and the middle ones F and X. The difference between the greatest and the smallest must therefore be greater than the difference between the middle ones. But the difference between the extreme ones is assumed to be smaller than Z. Whence it is absurd that the difference between the middle ones be Z, and the difference between the middle ones (that is, between ABC and X) will therefore be nil (nuifa). Therefore the figure ATB is to the figure ABC as TB ro Be. Q.E.D. Iffigures ABT, ABC were constituted on the same side [ofthe diameter] , the conclusion would be the same and no change would have ro be made in the demonstration. If figures ABT, ABC were constituted on different diameters, but of eguallength s , the same would still be proved, provided that in both figures the ordinates bent at egual angles over the diameter, for [in this case] they could be constituted on the same diameter. This demonstration can be applied only when the curve AFC is simple, but the proposition is none the less true when AFC is most sinuous, for it can always be divided in several simple curves. 1 do not mention the curve ANT because it is always of the same nature as the Curve AFC, as can be easily proved. PROPOSITION 4. THEOREM

Similarfigures are to each other in the dupficate ratio oftheir corresponding straight fines. DEMONSTRATION Let ABe, FDE (see Figure 8) be similar figures, i.e., KF : FA [read KA]:: KI : KL. 1 say, that the figure FDE is ro the figure ABC in the duplicate ratio between the corresponding straight lines KF and KA. On the diameter KA and the base KD, let a figure AKDH be drawn contained by th e straigh t lines KA, KD, and by the curve AHD such that, when a straight line NG parallel to the base KB, meeting the curves AHD and AGB in H and G, is drawn ad iibitum, NH is always to NG as KD ro KB.

B 

E 

e Figure 8 (Figure 5 in the manuscript).

From the preceding result it is evident that the figure AHDK is ro the figure AGBK as KD ro KB. Let the straight line KG, which meets the curve FD at O, be drawn, and let the straight line HO be produced until it intersects the straight line HB [read KB] at M. Because of the nature of the figures FDK and AKB, KO is to KG as KD ro KB; but NH is ro NG as KD ro KB, whence NH is ro NG as KO to KG, for which reason the straight line HOM is parallel to the straight line NK. Moreover, the triangles HOG, OKM are similar, for the straight Enes NG, KB are parallel, the angles OKM, OGH are" egual, and the angles OMK, OHG are egua!. Hence, HO : OM :: OG : OK. Componendo, HM : OM :: GK : OK, and invertendo, OM : HM :: KO: KG, that is, OM : HM :: KF : KA. Now, since this result always holds, and the straight line HOM is parallel ro AFK, it will be KF : KA :: FDK : ADK; that is figure FDK : (figure] ADK :: KD : KB. There are therefore three guantities in the continued proponion of the line KD ro the line KB. The first is FDK; the second, the figure AHDK; the third, the figure AGBK. Therefore, the ratio of the first to the third is the duplicate ratio of the first to the second; that is, FDK is to ABK in the duplicate ratio of KD ro KB (or of figure FDK to figure AHDK). Just in the same way is proved that the figure DKE is to the figure BKC in the duplicate ratio of the line KD to KB; likewise, the figure FEK is to the figure AKC in the same ratio, i.e., in the duplicate ratio of line KD ro line KB. Whence the whole figure FDE is ro the whole figure ABC in the duplicate ratio of line KD ro line KB. Q.E.D.

Ir is evident from here that circles are in the duplicate ratio of their radii. In fact, if the preceding figures are assumed ro be circles having a common center K, no change has to be made to the demonstration. [3]

PROPOSITION 5. PROBLEM

Given two similar figures and any point whatever, either inside or outside one of the figures, it is possibfe [to find} the corresponding point in the other figure.

88

From Indivisibles

[Q

Infinitesimals

James Gregorie's  "Sorne General Propositions of Geometry»  89 

Chapter 4  

Antoni Malet

Let ABe, OEF be similar figures in which A and O are cottesponding points (see Figure 9).14 Let G be any point whatever in the plane of the figure ABC either inside or ourside the figure itself. The point cottesponding to G in the other figure is to be found. Let the sttaight line AGB be drawn thraugh points A, G. In the other figure, let DE be its cottesponding sttaight line and AB : AG :: DE : OH. 15 I say, that the point cottesponding to Gis H. Let the sttaight line AC be drawn ad fibitum; [then] let angle EOF = [angfe] BAC and the joints GC, HF be drawn. Since A and O are cottesponding points, and AB and DE are cottesponding sttaight lines as well, and angles BAC and EOF are equal, it will be AB : AC :: DE: OF;IG now, alternando, AB: DE:: AC: DE Bur AB: AG:: DE: OH, and alternandoAB: DE:: AG : OH; whence AG : OH:: AC: DE Now, since angle GAC = angle HOF, it is evident that the ttiangles AGe, HOF are equiangular. For that reason, [angfe] BGC = [angfe] EHF, and AG: OH :: GC : HE Bur AB : EO :: AG : OH, whence AB: DE:: GC: HE Likewise, since AB: DE:: AG: OH, it is also AB : DE:: GB : HE, whence GB: HE:: GC: HE Bur since this always holds when the angles BGC and EHF are equal, it is manifest that point G cottesponds to point H. Q.E.D.

drawn, and through the point O  fet the straight fine NOS be drawn paraffef to CFD. 1 say. that the straight fine NOS is tangent to the curve A OTat the point o. 

Let the sttaight line PVSEO be drawn.  It will  be PO: PF  ::  PS  : PO, because  the sttaight lines  OS,  FO are  parallel.  Likewise,  because of the nature of the  curves,  PO : PF  ::  PV : PE,  whence PS  : PO ::  PV : PE,  and,  alternando, PS:  PV:: PO : PE.  Now,  fram  the hypothesis  (since FO is  tangent to the curve),  PO> PE, whence PS  > PY:  Since this always holds, the sttaight line NOS is  tangent ro  the curve  A VT.  Q.E.D. PROPOSITION 7.  PROBLEM  Given a simpfe curve whatever, to inscribe and circumscribe straight fines to it in such a way, that the ratio o/the circumscribed ones to the inscribed ones be fess than any given ratio o/greater inequafity. 11

Let  PQZ  [read QEZ] (see  Figure  10)  be  the curve,  and the given  ratio  of  greater  inequality that of A to  B.  In  the concave side  of the curve  (for we  assume  the  curve  to  be  simple),  let  us  take a point P such  that when  the  tangents Q4, 3Z are  drawn,  the angles  CQ4 and LZ3  are  not acute. 18  Let  B be  to sorne quantity greater than  B and less  than A as  PQ to  PC,  that is, 

PROPOSITION 6. THEOREM Let QFI, A OT be two similar curves (see Figure 10), and fet P be the common correspondingpoint. Through P fet the straight fine POF, cutting the curves at O and F, be drawn. Let the straight fine CFD, tangent to the curve QFI at F, be

D 

A  B 

A 

e 

D

e  

(li!

Figure 9.

i

),1 

I ;  ,l. 

······.:."i.\ 

14. This figure is not Gregorie's. No indication in the manuscript sends the reader to any specific figure,  nor the geometrical construcrion provided by Gregorie firs  into any of rhe figures  accompanying the manuscript.   15.   It must be  noticed that Gregorie can  draw corresponding lines while  trying to  determine  corresponding points not on the curves themselves.  This is  consistent with Cavalieri's definition of similarity.  16.  This is  easily deduced from  Cavalieri's definition. 

Ｚｾ

p  Figure 10 (Figure 9 in  the manuscript). 

17.   That is,  less  rhan  any given  ratio A  : B,  with A  >  B.  Compare with Archimedes's  On the Sphere and Cylinder, Bk.1  Proposirions 3  and 4,  in which  it is  proved rhat  regular polygons inscribed in and circumscribed ro  a circle and to a sector of a circle can  be found such  that the ratio between their sides is  less  than any given  rario A : B,  with A  >  B.  18.   As  shown  in  Figure 20,  C  and L are assumed  ro  be on rhe straight lines  QP and ZP,  respectively. 

90

From Indivisibles to Infinitesimals

Anton; Malet

A: 13 > PC : PQ.19 Then, from C, let the tangent CF to the curve be drawn, and [from Q] let a straight line parallel to ir and meeting the curve at E be drawn. Through E let the straight line PEO, which meets CF produced at O, be drawn. Then, as ir has just been done, let the tangent OIL, from O, and its parallel EHM be drawn. This is ro be repeated until finally the whole curve is surrounded by the tangents. 1 say, that the ratio of the circumscribed srraight lines CO  +  OL to  the inscribed ones QE +  EM is  less  than the  ratio of A to  B.  By construction A:  13  > PC:  PQ.  Bur  PC : PQ:: CO : QE ::  PO : PE ::  OL : EM, whence PC : PQ ::  CO  +  OL : QE  +  EM. That is,  [theyare] in a  ratio less  than rhat of Ato B.  Q.E.D. PROPOSITION 8.  PROBLEM  J say, the same things being assumed, that the circumscribed fines are greater than the curve and the inscribed ones less than it. FO  +  DI > curve  FI  (see  Figure  10);20  likewise F4  +  Q4 > curve QF.  But C4  > Q4, because the angle CQ4 is  greater than an  acure one and therefore the  [angle] QC4 is  to that extent less than an acute one.  Ir is  therefore C4  + 4F >  Q4  + 4F,  and C4 + 4F,  or CF > curve QF.  Ir is  proved similarly that IL > curve  IZ.  Whence FO  +  DI  +  CF  +  IL  > curve  FI  +  curve FQ +  curve IZ, that is,  CO  +  OL > curve QZ.  Q. E. D. Now,  curve QE > straight line  QE. 2 1  Since  the angle  LZE  [read IZ3] is  greater than an acure one,  of necessity  [angfe] ZL3  = angle  PMH is  acute.  Whence it follows  that the angle HML is obtuse and EZ > EM. But the curve  EZ > the srraight line EZ, hence the curve EZ > the straight line EM, and curves QE + EZ> straight lines QE + EM. That is,  the curve QEZ is greater than  the straight lines QE +  EM.  Q.E.D. PROPOSITION 9  J say, the same things being assumed, that the circumscribed fines can be greater than the inscribed ones by less than any given lineo

James  Gregorie', "Sorne General  Proposirions  of Geomerry"  91 

Chapter 4 

Let curve QEZ = a  (see  Figure  10)  and the given line  = Y.  Let PC : PQ <  a  +  Y: a. 22  1 say rhat ir is  done.  For,  separando CQ: PQ < Y:  a.  Now,  it is PC : PQ  ::  CO  +  OL : QE +  EM, and  separando \\  [4]  CQ: PQ:: CO  + OL ­ QE ­ EM: QE :  [read +]  EM. Therefore CO +  OL   _ QE _EM : QE +  EM  < Y : a. But Y : a  < Y : QE +  EM, because  a  > QE +   EM.  Ir is,  therefore,  CO  +  OL ­ QE ­ EM : QE + EM  < Y : QE +  EM. That   is, Y > CO  +  OL ­ QE ­ EM.  Q. E. D. PROPOSITION 10. THEOREM 

Similar curves are as corresponding straight lines. Let QEZ, AVK be similar curves  (see  Figure  10); 1 say,  that they are  ro  one  another as  corresponding srraight lines.  Inside the curve QEZ let a point  P be  raken such thar each of rhe angles CQ4, LZ3 is greater than an acute one, and  23  let this point P be the common corresponding point. 1 say,  that curve QEZ  : curve AVK ::  srraight line PQ:  [straight line] PA.  If it  is  denied,  let PQ: PA  ::  a: AVK,  and let the difference between  a  and QEZ be equal to Y.  According to the preceding result, let us take CO + OL  _ QE _EM < Y.  Since the curves QEZ, AVK are similar, CO and NS, as well  as  OL and SJ,  must be  parallel.  By construction, the srraight lines CO, NS are  parallel  ro  the straight lines QE, VA,  and  01, SJ  are  parallel  to EM, VY  as  well.  [Now] QP : AP ::  FP : OP :: CO : NS  :: IP : TP :: OL : EM, whence QP  : AP ::  CO  +  OL : NS  + SJ.  Ir is  similarly proved that QP : AP ::  QE +  EM :  AV  + VY. 

[Since] QP : AP :: a:  [curve] AVK   [ami! QP : AP :: CO  + OL : NS  +  SJ   therefore  CO  +  OL : NS  + SJ  :: a  :  [curve] AVK   and alternando CO  +  OL : a  :: NS  + SY  [read SJJ : [curve] AVK,   and for that reason  CO  +  OL > a.   Similady,  [since] QP : AP:: QE + EM: AV + VY,   therefore  QE +  EM : AV +  VY:: a  :  [curve] AVK   and alternando QE + EM : a  :: AV + VY: AVK,  but AV + VY  <  curve AVK, whence QE + EM  <  a.  There are therefore four quantities, of which CO +  OY  [read «DI»] is  the  greatest, QE +  EM the smallest, and the curve QEZ and a  are the middle ones.  The difference between the middle ones,  say 11,  is  therefore less  than the dif-

19.  Thar ¡s,  a poinr C  is  chosen on PQproduced such rhar PC : PQ <  A: B. The exisrence of  a  magnirude such  as  PC is  proved  by Archimedes,  On the Sphere and Cylinder, Bk.1  Proposirion 2.  20.  This is Assumprion 2  of Archimedes's  On the Sphere and Cylinder. Ir was used in  its  Bk.1,  Proposirion  1 ro  prove rhar rhe  perimerer of any polygon eircumscribed ro a circle  is  grearer rhan rhe perimerer of rhe eircle.  21.  This is  Assumprion  1 of Archimedes's  On the Sphere and Cylinder.

22.  In whar is  apparenrly an amanuensis error, «A's"  appear in  place of «u's"  rhrough rhe proof  of rhis proposirion. 1 have changed rhem back ro  «u's"  again.  23.  Gregorie does nor  mention rhe case  in  which rhe  point P,  «commune er  utrique figurae homologum», does nor yield angles  CQ4, LZ3 grearer rhan 90  0 

• 

92

Fram Indivisibles to Infinitesimals

Amoni Malet

Chapter 4  

ference between the middle ones [read «the extreme ones»]; but it has been shown to be greater, which is absurdo Therefore, the quantities QEZ and a do not differ, and are accordingly equa!. Q.E.D.

CONSECTARY  lf the straight lines  DF,  BC,  HI are  parallel,  all  things remaining the same as  aboye,  it is easily proved the similarity and eguality of the figures  DBE, FCG.  For,  because of the parallelism of the plans and the straight lines  DF,  HI,  the  straight lines  DH, PI are  parallel  and egua!.  Similarly,  DB,  FC and BH, CI  are parallel and egual, and therefore angle DBH = angle FCL Since this always  holds,  and DB  =  FC and BH  =  CI, it is  manifest that the figures  DBE,  FCG  are similar and equa!.  Q.E.D.

PROPOSITION 11. THEOREM

Given two parallel plans, let two figures lie on them such that every straight line drawn ftom an elevatedpoinf!4 andgoing through the perimeter %ne o/the figures goes also through the perimeter o/the other. J say, that these figures are similar, and are to each other in the duplicate ratio o/any o/the straight lines drawn.

Whence,  parallel  plans  that cut a cylindrical surface always  determine egual  and similar sections; in a conical surface,  however,  [the sectionsJ are similar and  in  the duplicate ratio of their distances  to  the vertex of the cone. 

Let two paral!el planes go through points B, C (see Figure 11). Figures DEB, FGC on them are so related that all the straight lines AD, AB, AH, AE drawn from the elevated point Ato the perimeter of the figure DEB, and then produced until they reach  the other plane, fall  on the perimeter FCGI of the other  figure.  1 say,  that the figures  DEB, FGC are similar and in the duplicate ratio  of AD to AF,  or AH to AL  Let straight lines  BH, CI, DH, PI  be drawn.  Because of the parallelism of  the planes, AB  : AC ::  DB  : FC; since  the angle at A is  the same,  it  is  manifest  that the  triangles ADB, AFC are similar,  and angle ADB  =  [angleJ ACF  [read AFq. Similarly,  it is  manifest  that the  triangles ABH, ACI are similar  and that angle ABH  =  angle ACL  Therefore, angles DBH, FCI are egual, and  AB  : AC ::  BH : CI;  hence DB : FC ::  BH : CL  Since the angles  DBH, FCI are  egual  and this always  happens,  it is  manifest that the figures  DBE,  FCG are  similar;  accordingly,  they are  in the  duplicate ratio of corresponding straight  lines,  that is,  that ofDB to  FC, or AD : AF.  Q.E.D.

[5J 

solid whose surftce is simple, the excess o/all the circumscribed cylinders together over the inscribed ones will be equal to the greatest o/the circumscribed ones. Let CAB  (see  Figure 6)  be any solid whose surface is  simple.  Let the solid be  cut by eguidistant plans GE, QD, AB,  and the right cylinders GFCE, QHED,  AKDB, IGED, QLBD be completed. 25  1 say,  that the circumscribed cylinders  GC,  QE, AD exceed the inscribed ones  lE,  LD by an  amount egual  to  the  greatest circumscribed cylinder AD.  We  have  been compelled to  present all  this on a plane figure,  for  if we would have used a diagram with solids,  it would  have  been  a  burden and also  brought confusion rather than being of service  as  a representation.  lt is  enough to take cylindrical surfaces in  the place of the  straight lines AK,  LH,  MF,  BC;  the  bases  of these surfaces will  be  the common intersections AB,  QD, GE of the eguidistant plans with the given solido  The cylinders EF,  lE, since they have the same base GE and egual heights EC,  DE are egua!.  Similarly,  LD, QE  [areJ egual as  well.  Therefore,  the inscribed  ones LD  + El,  or QE +  EF,  are exceeded by the circumscribed ones AD  +  QE  +  EF  by an excess AD.  Q.E.D.

G  b

B  

PROPOSITION 12.  THEOREM 

If right cylinders o/the same height are circumscribed about and inscribed in any

F 

ａｾ｜ｹ

James  Gregorie's  "Sorne General  Proposicions of Geometry"  93 

lf the solid were on al!  sides comprehended by a curved surface either simple  or sinuous,  its seetion by plans would easily reduce the problem in each small  portion to  our case,  and  in  each  of them separately the same demonstration  would apply.  But if the solid or any of its  smal!  portions were contained in 

V

e 

Figure 11  (Figure 6  in  the manusctipt). 

25.  The cylinder IMBD, alsa listed,  musr be omitred.  Figure 2,  not in Gregorie's manuscript,  is  meant to  illustrate  his  proof. The solid AQGCEDBB'D'E', whose surface  is  simple,  is  cut by  rhe  parallel  planes ABB',  QDD', etc.  Inscribed and circumscribed cylinders are ser  up  upon the plane sections. The greatest one, AKD"BB',  provides an upper bound for  rhe  difference  between  the  inscribed and the circumscribed cylinders. 

24.  That is,  a point nat on either of the planes. 

'/J¡

94

From Indivisibles ro Infinitesimals

Chapter 4  

Antoni Malet

parallel plans (the remaining things being as aboye), the excess of the circumscribed cylinders oyer the inscribed ones would  be egual to the difference  between  the smallest of the inscribed  cylinders and  the greatest of the 26 circumscribed ones. For that reason,  the greatest of the circumscribed cylinders  is  always either egual to or greater than the said excess. 

is  egual  to the parallelepiped whose  base  is  the rectangle  NKXX and height  KL,  that is,  the parallelepiped oyer NL and height X.  Similar/y,  the parallelepiped oyer RB  is egual to the cylinder LO, just as  the parallelepiped oyer MK  (and height X, which is  always assumed)  [is ｾ｡ｵｱ･ ro  the cylinder KI,  the paraIlelepiped oyer QL ro  the cylinder LG,  and  the parallelepiped  [over] SB  [is ｾ｡ｵｱ･ ro  the cylinder BE.  Therefore, all  the parallelepipeds MK  +  QL  +  SB  circumscribed abour  the cylinder oyer ABT and with height X are egual  ro  all  the cylinders  KI  +  LG  +  BE circumscribed abour the solid ABe. Not 

CONSECTARY 

Ir  is  fram here easily deduced a method to  bring the difference between  the  circumscribed and the inscribed  cylinders  down  to  less  than a  right cylinder  whose base is  Z and height X  Let the plane AB  be to the plane Z as  the straight   line X to  the straight line  Y.  Ir  is  manifest that the cylinder upon the plane Z   with height X will  be  egual to  the cylinder upon the plane AB  with height Y,   because bases  and height are in recipracíty.  Now let the height of the solid  BC   be diyided in  egual parts BO, DE, EC such that any one, say  BO,  be less  than   y,  and let  the cylinders be completed as  indicate aboye.  I say that it is  already   done.  The cylinder BOKA, as  demonstrated just aboye,  is  either egual to  the   difference between circumscribed and inscribed cylinders, or greater than the   same.  But, because BO  < Y,  the cylinder BOKA is  less  than the cylinder upon   the plane AB  and height Y.  Therefore the difference  between  the circumscri-  bed and  the inscribed cylinders  is  less  than the cylinder upon the plane AB   and height Y,  that is,  than  the cylinder upon the plane Z  whose height is  

[6]  differendy,  \\ all  the parallelepipeds NL +  RB  inscribed in the same cylinder oyer ABT are egual  ro  all  the cylinders  KH  +  LO inscribed  in  the solid  ABe. Therefore, since the cylinder oyer ABT is  greater than  the parallelepipeds NL  +  RB and smaller than the parallelepipeds MK +  QL +  SB,  it will  be  also  greater than the cylinders KH  +  LO and less  than the cylinders KI  +  LG  +  BE.  There are therefore four guantities,  the greatest of which  is  KI  +  LG  +  BE,  mat is,  the circumscribed cylinders, while the inscribed cylinders, i.e.,  KH  +  LO, are the smallest one;  the middle ones are the solid ABC and the cylinder on the plane figure ABT and height X.  The difference between the greatest  and  smallest guantities,  therefore,  is  greater than Z,  the difference  between  the middle ones;  but it is  also  less  [than Z),  which is  absurdo  Therefore the  said solids are  not different, and so  they are egual.  Q.ED.

XQ.ED.

PROPOSITION 13.  THEOREM 

Let ABC (see Figure 7)  be any so/id whatever andABTapfanefigure adjoining it. For any arbitrary p/ane OKN, perpendicufar to the so/id's height, the intersection with the so/idABrC} is the pfane KO, and with the pfane ABT is the straight fine KN. The figure ABTis such that the rectang/e made by a given straight fine X and KN is a/ways equa/ to the p/ane Ka. 1 say, that the right cy/inder whose base is ABTand height X is equa/ to the so/id ABe. If the said solids are not egual,  let Z  be their difference.  Let straight cylinders  of the same height be inscribed in  and círcumscribed abour the solid ABC,  and be  they such that the circumscribed cylinders exceed  the inscribed  ones  by less than  Z. The bases of the cylinders  being praduced,  they intersect the  plane ABT in  the straight lines  KN,  LR.  Now,  as  many rectangles are  completed on ABT as  cylinders are on the solid ABe, as  seen in the diagram.  Let  a parallelepiped with height X be imagined oyer eyery rectangle.  Since the rectangle NK by X is  egual to the plane KO, it is  manifest that the cylinder KOHL  26.  Thar is,  for  rhe portion of rhe  solid  in Figure 2  bounded  by  rhe planes ABB'  and  CEE',  rhe difference  berween  rhe  inscribed  and  rhe  circumscribed cylinders is  jusr equal  ro  rhe   difference  berween  rhe cylinders AKD"DBB' and ICE'E.  

James  Gregotios "Sorne Genetal Propositions DE Geometry"  95 

I ｾ

If the figure ABT were not adjacent ro  the solid ABC,  bur were of such a kind  that Ítself,  or another figure  egual  ro  it (haYing the said propeny), could be  adjoined ro  the solid ABe, then it is still manifest that the solid ABC is  egual  ro  the right cylinder oyer the figure ABT and height X.  For cylinders on egual  bases and with the same or egual heights are egua\.  CONSECTARY  Whence (if ABT,  ABC be  two solids with the same height and so  related  ro  one another that when a plane perpendicular ro  the height is  drawn  trough  both of them and determines the common intersection  KN with the solid  ABT and the figure  KO with the solid ABe, then the plane figure  NK always  bears the same ratio ro  the plane figure  KO, say that ofR ro  S)  the solid ABT  is  ro  the solid ABC as  R is  to S.  For right cylinders erected on these figures  with the same height as  mese solids are in the same ratio as  the solids are;  besides,  they are  in  the same ratio as  the  bases  are,  that is  in  the ratio  of R ro  S.  Therefore the solids are in the ratio ofR ro  S.27  27.  Cregorie uses  Proposirion  13,  bur rakes  rhe  fIgures  ABC,  ABT in  Figure 7  ro  represenr  simulraneously solids and plane figures.  Ler  us  assume  rhar ABT is  a plane figure such rhar  irs  ordinare NK rimes  rhe common  heighr AB  of rhe solids  is  equal  ro  rhe  plane secrion  NK fmm  rhe solid ABT.  In rhe same way, ABe is  a plane figure such rhar ordinare Kü x AB  =  plane  Kü. According ro  Proposition  13, rhe righr cylinders erecred upon  rhese  plane 

96

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni Malet

It also results from this that cylinders on equal bases and with the same height, either right or inclined, are equaI. Because, when cut by planes that are equally distant from the bases, the common intersections28 are a1ways equal to the bases, and thus equal to each other. Not otherwise is to be understood of oblique cylinders on different bases and the same height, since for a similar reason they are proportional to their bases. So, cylinders bear to one another a ratio that is as the direct ratio of their bases and the direct ratio of their heights.

James Gregorie's "Sorne General Propositions ofGeometry>,

Chapter 4

97

11

drawn from point G through [a point in] the perimeter of the figure NLM a1so goes through [a point in] the perimeter of the figure KIH. Therefore (according ro the e1eyenth proposition aboye) the figures KIH, NLM are in the duplicate ratio of that between the straight lines GL and GH. Q.E.D.

'1 

'11  1 1

11 '1 1

1

I

11 1

PROPOSITION 15. THEOREM

111'1

Similar sofids are in the tripficate ratio o/that between corresponding straight fines.

li'l 

,l'

PROPOSITION 14. THEOREM Let two simifar sofids be cut by paraffefplanes going through the extreme points o/ corresponding straight fines. 1 say, that the pfane figures cut, or the common intersections, are in the dupficate ratio o/that between corresponding straight fines.

Let GABC, GEDF be two similar solids (see Figure 12) cut by parallel planes KIH, NLM that go through L and H, the end points of corresponding straight lines GL, LH. I say, that the figures KIH, NLM are in the duplicate ratio of GL toHG. Let any point in the perimeter of the figure NLM, say M, be joined by the straight line GM to the common corresponding point G, and let GM be produced until it meets the other plane at 1. It is manifest, because the planes are parallel, that GL : GH :: GM : G1. Because of this (and since the solids are similar), the point I is also on the surface of the solid GABC; as a consequence, I is also in the perimeter KIH. For the same reason, eyery straight line

A

Let A and B be similar solids (see Figure 13), O their common corresponding point, and DE, DF corresponding straight lines. I say, that A is to B in the triplicate ratio ofDE to DE If the solids A and B are not in the triplicate ratio ofDE to DF, let A be to X in the said triplicate ratio of DE to DF, and let Z be the difEerence between B and X.  Let right cylinders with the same height be inscribed in and circumscribed about the solid B, and let the difference between the inscribed cylinders and the circumscribed ones be less than Z. Let MC be one oE the inscribed cylinders and MK a circumscribed one. From the perimeters of the bases oE the cylinders let straight lines CD, LO, etc, which cut the surface oE solid A at N, H, etc, be drawn. Let planes parallel to the bases oE the cylinders EN, IH, etc, be drawn to intersect the solid A; then having for bases these intersections, \\ [7]  the cylinders IN, IG, etc, inscribed in and circumscribed about the solid A are to be completed. It is maniEest that the plane EN is to the plane FC in the duplicate ratio oE that between the corresponding straight lines DE and DE Similarly, the figure IH is to the figure ML in the duplicate ratio of OH to DL, or DE to DE Let us take aplane that runs through [the sofids A and E], cuts perpendi-

e

F 

Aq¡;;:::::::::

I

K

M ｇｾｆ｜

ｾｉ E 

El 

-'L

B 

Figure 12 (Figure 7 in rhe manuscripr).

figures ABT, ABe wirh heighr AB equal rhe solids ABT, ABC, respecrively. Now rhe resulr foll ows from Proposirion 3. 28. Thar is, rhe inrersecrions on rhe same plane.

1 I 

,1'

---,

x

D   Figure 13 (Figure 8 in rhe manuscripr).

8 va-

11  1 1'

I!II 

11I 

1I

11 1

98

From Indivisibles

tO

Infinitesimals

Antoni Malet 


Chapter 4  

T  in rhe rriplicare rario ofOE ro  DF,  rhar is,  R: T  :: A: X;  and  alternando, R  : A  :: T  : X. Bur R  < A, whence T  <  X. Similarly, S : V  :: A : X, and  alternando S : A  :: V: X.  Bur S  > A, and consequently V  > X. There are rherefore four  quanriries T,  V;  X,  B,  rhe grearesr and smallesr of which are V  and T,  and rhe  middle ones X  and B.  The difference between rhe exrreme ones,  V  and T,  rherefore, is  grearer rhan Z, rhe difference between rhe middle ones,  X and B.  Bur  by consrrucrion ir is  less  rhan ir,  which is  absurdo  Therefore X  and B are nor diEferenr,  bur are equal;  rhar is,  A is  ro  B in rhe rriplicare rario of rhe line DE ro  rhe line DE  Q.E.D.

["'
· 

F. k 

M  . j ". 

e

James Gregorie's  "Sorne General Propositions of Geometry»  99 

K

K 

.<  ../  ..\

:::::::=:=-

PROPOSITION  16.  THEOREM 

D)... 

\ 

i

I 

The surftces o/similar solids are to each other in the duplicate ratio o/corresponding straight lines (see Figure 10).

Figure 14. 

Ｚｾ

',\: 

cularly rhe bases of rhe cylinders, and curs rheir surfaces in rhe srraighr lines KL, CO, GH, NP. [See Figure 14 andfootnote 29.]29 Since rhe solids A, B are similar, DN : DC :: DH : DL; rherefore rhe srraighr Iines NH, CL are parallel and rhe rriangles NDH, CDL similar. Hence, DN : DC :: NH : CL. 3ur since rhe srraighr lines OL, PH, as well as rhe straighr Iines NH, CL, are parallel, and rhe angles NPH, COL are righr angles, ir is manifesr rhar rhe rriangles NHp, CLO are similar, rhar is, NP : CO :: NH : CL :: ND : CD. Therefore rhe rario of rhe plane IH ro rhe plane ML is rhe duplicare rario ofNP ro CO. Bur rhe rario of rhe cylinder GI ro rhe cylinder KM is equal ro rhe composirion of rhe rario ofIH ro ML and rhe rario ofNP ro CO. Since rhe former is rhe duplicare rario of DN ro CD and rhe larrer is equal ro rhis one [j.e., to DN.- CD], ir is manifesr rhar rhe cylinder GI is ro rhe cylinder KM in rhe rriplicare rario ofDN ro DC, or DE ro DE The same rario and proponion are proved ro hold between all rhe cylinders circumscribed abour solid A and all  rhose circumscribed abour solid B,  and likewise berween  rhe ones inscribed  in  solid A  and rhose in sol id  B.  Ler  rhe cylinders  inscribed in solid A be called R,  and S rhe ones circumscribed abour rhe same,  and T  rhe eylinders inscribed in solid B,  and V  rhe circumscribed ones.  R is  ro 

Everyrhing proved in Proposirions  5,  6,  7,  8,  and 9  aboye concerning simple  curved lines can  be applied wirh  lirrIe  or no modificarion ro  simple curved  surfaces.  For if in  rhe figure  rhe curved lines  QEZ, A VK are  assumed ro  be  surfaces  of similar solids whose common corresponding poinr is  P,  rhen  rhe  parallel planes CD, NS, which are rangent ro  rhe said surfaces ar O  and F and  end ar  rhe same conic surface,30 will  be similar, and rherefore in  rhe duplicare  rario ofPS ro  PO. Similarly,  rhe similar parallel planes DC, EQ are in rhe  duplicare rario ofDP ro Ep,  and rhe similar parallel planes DL and EM are in  rhe same rario.  Now ler rhree or more planes be drawn rhrough rhe poinr D;  ler  rhem be contained in any way wharever in a solid angle and be rangenr ro  rhe curved surface QEZ. Ler rhese planes DC, DL, erc,  and rhe curved surface QEZ end on  a conic surface  [PCL] such  rhar rhe angles,  say  PCD, PLD,  formed by rhe rangent planes and by every srraighr line produced on rhe conic  surface ro  rhe rangenr planes are acure. We will assume rhe said planes ending  on  rhe conic surface ro  be grearer rhan  rhe curved surface QEZ comprehended by rhe same conic surface,  and rhe parallel planes wirhin  rhe curved surface,  say EQ,  EM,  ro  be  less  rhan  rhe same.  Now,  in similar solids we can  assume (as we demonsrrared ro  be rhe case for similar planes in proposirions 5,  6, 7, 8,  9 aboye)  rhe common corresponding point ro  be so close ro  E rhar rhe  said angles are always  acure;3!  in every case,  rherefore,  rhe circumscribed pianes  can  be  [assumed to be] grearer rhan  rhe curved surface,  and rhe inscribed  ones  [to be] less  rhan  rhe same. 

30.  This canie surfaee has  no been  menrioned yer,  bU[  ir will be inrrodueed below.  As  norieed in  rhe  introduerory eommenrary, rhis ¡asr proposition of rhe rnanuseripr does no! show rhe wellordered pattern of exposirion and proof eharaererisrie of Gregorie's geornerrical dernonsrrarions.  31.  The eornrnon eorresponding poinr is,  of caurse,  dererrnined  a priori by rhe  solids  rhernselves. 

29.  Gregorie  rakes a  rneridian  seerion  by aplane D<:pep  (see  Figure  14). Allowing a  rorarion  around rhe axis  Dc¡:.  rhe rneridian  seerion ean  be assurned  ro  lie on rhe plane of rhe figure  and be represen red  by  rhe sarne Figure  13. 

J  

100

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni Malet

CHAPTER5 

Now let a straight line through E, parallel ro the straight line that is the common intersection of the planes DC, DL be produced until it meets the curved surface [atm, say]. (Were the said straight line [through E] ro run OUtside the curved surface,  further planes tangent ro  the curved surface between  I and F would  be  drawn  through D,  until eventually aH  the straight lines  through E that are parallel  ro  the cammon intersections of the planes would run  inside the curved surface.)  Next,  from  P and through the intersection poim  [0)]  let a straight line be produced that meets  the intersection of the planes  DC, DL in a point. In this point, let a salid angle be constituted by the planes  DC, DL and by how many soever planes tangem ro  the curved surface QEZ. \\  [B]Now let us  proceed with  the  intersections of the remaining planes as  we  did with the imersections of the planes DC, DL. In this way,  whatever poim  D  outside the convex pan of the curved surface be  taken,  a surface is  eventually completed out of tangem planes that endoses the curved surface  [QEZ] and the conic surface. AH  of the said planes end on straight lines where they do  not meet the conic surface. Next,  planes parallel  ro  DC, DL, and to  the remaining planes through D  are drawn through E,  and similarly,  through the other  poims where straight lines joining P ro  the  [vertices ofthe] solid angles  interseet  the curved surface, let planes be drawn parallel ro  the planes that comprehend  the salid or. ..  32  angles.  [Thus]  a surface is  generated  that is  also  constituted  by planes and ends,  as  the other does,  on the conic surface.  Ir is  easily proved that the whole surface CDL is  ro  the whole surface CEM  [read QEM} in the duplicate ratio of PD ro  PE.  But the ratio of PD to  PE can  be  made less  than any given  ratio  of greater inequality,  and in  consequence  (similarly to what has  been  proved about lines  in  proposition 8  aboye)  the  excess  of the surface CDL over the surface QEM can  [be made] less33  [End ofmanuscript]

32.  Unreadable word.  33.  The Jast senrence of the  manuscript reads as  follows:  «sed  ratio PD ad PE minor potest esse  quacunque ratione assignabili majoris inaequaJitatis; et consequenrer (simiJiter ac  in  ¡ineis  in huius  BV"  demonstrarur)  excessus superficiei CDL supra superficiem QEM minor potest». 

Methods ofTangents  ca. 1670

Introduction 

i   i 

Ｚｾ

i 

Innnitesimals played a crucial role in the development of new methods of quadrature, but they were a1so  used in solving other problems. In the present chapter we shall examine the role of infinitesimal notions in methods of tangents.  While the relationship between tangents and quadratures was not panicularly  emphasized for most of the seventeemh century, it carne evemually ro  be seen  as  crucial ro the foundations of the infinitesimal calculus ­and even ro  its hisrorical origins.  During the seventeemh century, however,  this relationship received not much attention from leading mathematicians ­not even when they  discovered  results  that unrnistakably revealed  ir.  As  we  shall  see,  well  in  the  1670s mathematicians devised methods of tangems mostly ro  obtain «recipes»  or a1gorithms that could be easily used with as  large a dass of curves as  possible.  They laid emphasis on the algebraic rules  involved,  trying ro  achieve as  much simplicity as possible. AH  the while infinitesimals, which sorne of thern  used in  their algorithms, were sidelined as  peripheral ro  their  rnain  cancern.  Most of the material  presemed in this  chapter concerns James Gregorie's  methods of tangems, a1though we shall a1so deal with methods used  by Newron,  Barrow and Wallis at about the same time. l  In  1668 James Gregorie published the  Geometriae Pars Universalis, lnserviens Quantitatum Curvarum transmutationi et mensurae, a work that largely inspired Isaac Barrow's much more  famous  1670  Geometrical Lectures. The two works  belong ro  a mathematical  gente sometimes called infinitesimal geometrical analysis.  Gregorie's  Universal Part ofGeometry contains a hisrorically uninteresting method of tangems.  Ir is  derivative from  Fermat's and dosely related ro  Barrow's famous analytical method,  ro which we shall  remrn below 2. However, Gregorie is  also  the author of 

l.   1 have dealt in full with Gregorie's «TayJoP'  techniques and the methods he used  to  attack  difflcult functions  in  «James  Gregorie an Tangents and the "TayJar Rule"  for  Series  Expansions»,  Archive jOr History ofExact Sciences, 46 (1993), 97­137.  2.   Gregarie never c1aimed  ariginaliry with respect ta this methad.  On Fermat's methad, see  M.S. Mahoney,  The Mathematical Career ofPierre de Fennat (Princeron: Princeton Universiry 

102

From Indivisibles ro Inflnitesimals

Anroni Maler

an innovative, highly original method of tangenrs that has so far been neglected ­in part because only fragmenrary manuscript remains of it survived, and  in part because  HoW.  Turnbull failed  to  identif)r them properly.  Gregorie's  second method of tangents consisted in  a set of rules giving the subtangent of  curves  defined  by variables,  u, that were sums or differences  (u =  a ±  b), or  fourth and mean proportionals  (a: b:: e: u, a: u:: u: b) of other variables,  a, b, C,ooo, the subtangents of which were supposed knowno  Gregorie's  rules  directly yield  the subtangent of the new variable as  a1gebraic  combination of  the known subtangents of a, b, C,oo. ｾａ we shall see,  Gregorie's second method  is  more powerful than any other general  method available before Leibniz's first  papers on the differenrial calculus. A1though formally very differenr from  the  differential calculus, Gregorie's method has in common with it the emphasis on  the a1gebraic definition ofvariables and the a1gebraic characterization of tangenrs. 

Gregorie puts AB  = a, the ordinate BE  = b, and introduces a  constant  e such that he has 

BK2 AK 

a 

a  Now, since Gregorie assumes «the ordinate DG ro fall  on the same point G  of the curve as  the straight line FH», he can  use the similarity of triangles FDG,  FEH, and therefore the proportionality EH : EF ::  DG : DE This proportionality yields  the equality  (z ­ o) 

­\Jab 2c3  + b 3c3  a

KC3 

0

.lf 

A 

Ｚｾ

F 

y'L

L¡  ｾＭ

).,¡ 

ｾ

!< 'f .

B 

K 

ｾ

+ b 3c3 

DG  = 'Va(b­o)2  c3 + (b 3_0)3'c3 

=­­­­0 

Ｎｾ ｾ I 

ｾ｡｢Ｒ｣Ｓ

z  

\'a(b­o)2 C3+  (b­o)3 c3  

a  

EH3 

0

ｾｇ

a3 

=_0 Hence EH  = 

To determine the subtangent  z = FE, Gregorie takes DE equal ro  nothing  (nihil seu serum 0)0 He has then  BD  =  b ­ o, AD  =  a +  b ­ 0, FD  =  z ­ o, and 

Proposition 7  of]ames Gregorie's  1668  Geometriae Pars Universalis contains  the following method of tangents,  explained through a particular exampleo  Let the curve BHC (see Figure  1)  be such that for any two ordinates EH,  KC, 

t 

BE2 AE  EH3 

Fermat­Beaugrand's Method ofTangenrs 

BE2 AE 

Methods of T angenrs  ca. 1670  103 

Chapter 5  

ｾｈ

e 

After eliminating roots and parenthesis and cancelling equal terms on both  sides,  Gregorie reaches an expression in which al!  the terms are multiplied by  o. He divides  by  o, then discards all the terms that still contain  or one of its  powers, and gets,  finally,  z in  terms  oE a and  b0 3 This is  but Fermat's method, which originally avoided the use of the infinitesimal  o, as  it evolved in  the hands of his colleague Jean de Beaugrand4• As  its title makes explicit, Gregorie's Proposition 7 teaches how ro draw tangents  ro  «those curves  that Descartes calls  geometricah>o  As  we shall presently see,  this method's characteristic limitation was  that its application ro  non­geometrical curves  required  ad hoc trickso  Gregorie accompanied his  Proposition 7  by two  more propositions dealing with tangents ro  non geometrical curves,  but they were unrelated ro  FermatBeaugrand's method. In Proposition 8 (see Figure 2)  the curve AIM is supposed  knowno  Then the ordinates HK of the curve AKü, HK = HI + IK, are defined  by the condition  that IK is  in a given  proportion  ro  arc Al.  Notice that this  inc1udes me cyc1oid, when AIM is half the circumference of a circleo  Proposition  8 proves that the tangent KB  is  drawn by taking on the tangent BI  ro  the curve  AIM  (the construction of which is  supposed known)  BI  equal ro arc Al:  this  determines  the point B through which passes  the tangent BK.5 

°

Figure  1.  Geometriae Pars Univmalis (Padua,  1668), p.  20­2.  4.   M.S. Mahoncy,  The Mathematical Carea o/Piare de Ferml1t, p.  65:  M.E.  Baron,  Thel Origins o/the Infinitesimal Calculus (New York:  Dover,  1969), p.  172­173.  5. Geometriae Pars Universalis, p.  22­24. 

3.

Press,  1973), p.  65ff On Barrow's,  see  Mahoney,  «BerweenAnciems and  Moderns»,  in  M.  Feingold ed.,  BefVre NellJton: The Life and Times o/Isaac BarrollJ (Cambridge,  1990),  179­249. 

,(ji

104

Fram Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

Methods ofTangents

Chapter 5

ca. 1670 105

B 

A ｾ［｣ＡＧＨＩﾷ

ｾｄ

A 

B 

ｾ ｾ

IR 

O R 

0\\5 \\

p

I  j\ V Y \

Figure 3.

In a similar vein, Proposition 9 teaches how ro draw tangents to a curve AMT (see Figure 3)  such that NM (perpendicular to AR) is always proportional to arc Al, say NM : arc Al :: P : Q, the curve AlO being known, as well as how to draw its tangents. Let AO be parallel to NM, and C the intersection of the tangent CI with it. Proposition 9 proves that the point O, through which passes the tangent OM, falls in the intersection of AO with OZ, paralIel ro AR and such that CI : ZM :: P : Q.6 Gregorie's Propositions 8 and 9 just demonstrate that the lines BK and OM are tangents by showing that they always fall on the same side of the curve. He gives no hint as to how to find tangents to non-geometrical curves. Publications by John Wallis (in 1672)  and Isaac Barrow (in 1670)  skillfuIly used the Fermat-Beaugrand method to  draw the tangents to non geometrical curves such as the cyc1oid, the curve of the tangents (the one we may anachronistically represent by y = tanx), the curve of the secants, and the quadratrix. We will provide now an outline of one ofWaIlis's results and one of Barrow's. Elegant examples of the most sophisticated results the method produced, they will give us a way of measuring the simplifications introduced by other methods. Let us start with Wallis's determination of the tangent to  the conchoid. In Figure 4, the ordinate VMa of the conchoid AOaO is equal to  s =  VM, the sinus of arc AM, plus Ma. If CP = Q, CV = x, then Ma = SQ/ x. (Notice that if CP = CA = r, then Ma is the tangent of arc AM.) Calling x + Q = r¡, we have therefore r¡ Va

=  - s

x

ｾＬ

x

T

-- __ ,__

"

'-- J

V<:

,: f3

Figure 4.

:i\r'

i'

where V = AV and h = r + x. Now, on point O, such that OV = a, we have an ordinate DO

r¡+a

r¡+a ,1 ",(v-a) (h+a) x+a

= -,

Y;h-2xa

x+a

,

where Wallis neglected a term with ti- under the radical sign. On point O we have also the line OT, terminating on the tangent aF. Because of the similarity of triangles VAF and OTF, t-a

Ha

Va

OT= t

t

ｾｙ［ｨ x

where t represents the subtangent VF. Now, after comparing the squares of DO and OT (in order to get rid of the radical signs), cancelling, neglecting terms in ti, and finally assuming that O is in V, and so that a vanishes, Wallis gets an expression of t in terms of known quantities, t = s2r¡x / (r¡r2 - vhx).7 By assuming CP = CA = r, then Ma is the tangent of angle ACM and Wallis can shorten the determination of the tangent to the curve of tangents by using the foregoing calculations. 8 Let us look now to Barrow's determination of the tangent to the quadratrix. The quadratrix CMV (see Figure 5) originates from the combination of two uniform motions. While a straight line parallel ro AB moves uniformly from C towards A, the radius AF (simultaneously starting from AC) rotates uniformly c1ockwise. The intersection of these two lines determine the points 7.

6.

y

f.1 k'/----

T

Figure 2.

Z

.' ,,,--r------·, ----'"'.:·:.:.' f3 U···· f3u

N  ­

L

X a

-

e

5

¡bid., p. 24-25.

J. Wallis, «Epítome Binae Methodi Tangentium», Philosophical Tramactions (no. 81, MaTch 25),7, 1672, 4010-6, p. 4012.

8.

¡bid.

106

From Indivisibles to Infini[esimals

Amoni Malet

e

F

"'\

,', k ＺＧｾ

=:

Chap[er 5  

Methods of T angents  ca. 1670  107 

Calculo» is  that terms inc1uding powers of infinitesimals must be always neglected, because such terms «amount ro nothing»  (nihil valebunt). He gets therefore, 

f) f'/\

LF 2 = r2 ­ r2f2/k 2 + 2fpma/P  = (r2m 2 + 2fmpa)/k2.  Finally,  the similariry of triangles ANQ and AFL entails 

A

QL P

KV T

AQ2 

AL 2 

QN2 

LF 2 

From here,  by taking AQ = f- e and QN = m + a, arrer sorne computation  and cancelling, he arrives  at 

B

Figure 5.

Ppa ­ r 2fa  = r 2me. 

of the quadratrix. In Figure S, the quadratrix arc NM represents an infinitesimal arc,  or the hypotenuse of the infinitesimal triangle NRM with infinitesimal sides  a = NR,  e = RM. It is  of course assumed that this triangle is similar  to the finite  triangle AMp,  with sides AM  = k, MP  = m, PA  =f Ir is  similar  too to the finite triangle MPT, with sides me tangent MT,  the ordinate  m, and  the subtangent PT = t. That is,  a 

m 

e 

Barrow starts  by writing the infinitesimal arc FE as  pal r, where  r is  the  radius AC and p the quadrant of the circumference CB­the proportion  r: p :: a: arc FE comes from  the definition of the quadratrix.  Now,  from  the characteristic triangle  ofthe círcle Barrow deduces  AE 

arc FE 

---=

EK 

LK 

Since EK = mrlk (because triangles AMP and AEK are similar), we get LK 

=pma I rk. Next,  Barrow finds AL as  the difference AK ­ KL,  rf 

pma 

k 

rk 

AL 

He then expresses  LF2  as? ­ AU, neglecting the term with  a2 fram  AU. In  fact,  one of the few  general rules  he gives when introducing his  method «ex 

Now,  by using the relationship between the infinitesimals  a, e and the subtangent  t, a: e:: m: t, he obtains  t in terms of k and f \:.." dl .

"i.  ［ｾ

k2 p t=­­­f  r2

Barrow's attack on the quadratrix is  one of the five examples added at the  end of Lecture X of his  Geometrical Lectures. 9 Other examples given by Barrow  were two «geometrical» curves, the curve we may anachronistically represent by  Q  = tan  s, and the C4rve  of the tangents. 10  In his  own words,  this  appendix  was about «his  method ro find tangents by calculation  [ex  Calculo]», which is  but a version of the Fermat­Beaugrand method that made explicit use of the charaeteristic or infinitesimal triangle.  The Kinematic Method ofTangents 

As the foregoing results suggest,  the analyric methods published ca.  1670  required  ro  be specifically adapted ro  each non­geometrical curve.  In many instances,  therefore, approaching the problem by way of the kinematic definition of  curves  provided a much easier and more insightful method. This is  precisely  what John Wallis  said  in that many words in his  1672  paper on tangents. ll 9.   1.  Barrow,  Lectiones Geometricae: In quibus (praesertim) Generalia Curvarum Linearum Symptomata Dec!4rantur, in  The Mathematical Works, W. Whewell ed.  (Cambridge,  1860),  155­320, p.  249­250.  10. Ibid, p.  246­250. ].M. Child transla(ed (he de(ermination of (he  (angem  ro  (he curve of (he  (angen(s in  The Geometrical Lectures ofIsaac Barrow (Chicago: Open COUC(, 1916),  122­123.  11.   Wallis,  «Epitome Binae Me(hodi Tangemium»,  Philosophical Transaetions (no.  81, March  25),7,  1672,4010­6. 

108

Prom Indivisibles to Infinitesimals

Chapter 5 

Antoni Malet

Wallis highlighted there that he knew of two methods for drawing tangents method, he said, was grounded on dealing with «species», algebraic symbols, mat is,  the omer with <<1ines».  The method with «species», we have already  referred  ro.  Wallis's  method with «lines»  is  Roberval's lcinematic method.  He  applied his  first  method  (the one similar ro  Fermat's)  ro  the parabola,  the cis-  soid, me conchoid, me tangents and the secants. The second method was applied,   among other curves, ro  me spiral,  the quadratrix, the cycloid, and the conchoid.   Wallis explicitIy based his second method on the notion that curves are ro   be considered as  made up  (he  used  the verb  confiato) of infinitesimal parrs   (infinite exiguis) that coincide with the infinitesimal intersection of the curve   and its  tangents ­these parts,  therefore,  are  «determined in position».11  He   then compared the infinitesimals on the curve with the corresponding infini-  tesimals on the axes or on some suitable straight line,  ro  argue in a general and  qualitative way that, when the curve is  defined by the composition of motions,  the parallelogram issuing from  the tangents ro  the defining motions yields  the  tangent to  the curve.  He stressed that this second method was  the most appro-  priate to  deal with curves originating from  motion «
On the summer of 1670  Gregorie discovered his second method of tangents,  that has ro  be viewed against the background ofIsaac Barrow's  1670  Lectiones Geometricae. In July  1670  Gregorie  received from John Collins a copy of  Barrow's  book fresh  from  the printer. 14  On September 5 he wrote back: 15  1 haye  read oyer Mr Batrow's Lectures with much pleasure and attention, whe-  rein 1 find him to haye infinite1y transcended aH  that ewer [sic]  wrote before  him.   12. 13. 14.  15.

Ibid, p.  4013.  Ibid, p. 4014. The error mentioned here is  rhe only one 1 have  noriced.  Collins ro  Gregorie,  9 July 1670, in  Gregory Tercentenary Volume, p.  101.  Gregory Tercentenary Volume, p.  103. 

1670  109 

1 haye discoyered  fram Barrow his method of drawing tangents rogether with sorne  of my own,  a general geometrical  method, without calculation,  of drawing tangents ro  all curves,  and comprehending not only Barrow's particular methods,  but  also his general analyrical method in  the end of t he 10th lecrure.  My method contains not aboye  12 propositions. 

ｾｮ･

Gregorie's Second Method ofTangents 

Methods ofTangents  ca.

ﾷｦｾ

t ｾＮ

.1·

';/

"

This  paragraph  makes  up  the  piece  number  16  of the  Commercium Epistolicum, published in  1712  at Newron's instigation. 16  The paragraph is  usually read as an acknowledgement of Gregorie's indebtedness ro  Barrowand it may have been included here just ro  convey this suggestion.  However,  as we shall see presentIy, Gregorie's method of tangents is based on a principie  completely absent from  Barrow's work.  No additional mention of Gregorie's  «general geometrical method, without calculation, of drawing tangents» surfaces  in his subsequent correspondence, and very littIe of it has survived among his  extant manuscripts. 17  Gregorie cauld rightIy claim that his method was  «withollt calculation», as  opposed ro  Barrow's analytical method which was  «ex Calculo». 18 The expression Gregorie used, however, is  unfortunate.  Barrow's  Geometrical Lecturescontain  two  very different approaches ro  the problem of tangents.  They contain  the method «ex Calculo», involving computations with infinitesimals and derivative ofFermat's, already referred ro.  But this is  only an appendix at the end of  Lecture X.  The bulk of Lectures VI to X is  devoted  ro  the determination of  tangents  by means of geometric constructions ­and this  Barrow had called  the investigation of tangents «without the trouble or tediousness of calculation»19! Thus the same expression «without calculation» came ro  express,  with  Gregorie and with Barrow,  two opposite approaches ro  methods of tangents. 

16. The Commercium Epistolicum, F.  Biot and E.  Lefort eds.  (Paris,  1856), p.  77.  17.  The evidence that remains ofGregorie's work atter his return to Scocland from the Continental  rour early in  1669 is  very peculiar.  Gn the one hand, we  have  the finished products of his  techniques mailed from  Sr Andrews  ro John Collins,  in  London. Most of those shorr, yery  compacr fragments provide series expansions as  solurions for a great many problems in  quadrature, rectification, and calculation of trigonometric tables. They conrain  no clue as  ro  how  the series were derived.  Gn the other hand, we  have the mathematical annotations accidentally preserved on the margins and other blank spaces of the letters Gregorie received.  Unnoticed  until the present century,  these fragments  were edited and published by Turnbull in  the  Gregory Volume. Ir is  on these manuscripr pieces and on Turnbull's interpretation of them  that our new,  higher appreciation of Gregorie rests.  Apparenr1y,  none of the manuscript  remains found in  the letters  is  a  full record of rhe  notes Gregorie jotted down  in  the  midst  of a creative process.  The fragments are certainly not drafts of more or less finished mini­treatises.  No definitions are set fotth, no propositions are clear1y stated, no proofs are provided.  Byall accounts, these nores belong to an  intermediate stage between the creative process and  the organization of the  material in standard,  deducrive,  mathematical formo  See A. Malet,  «Studies on James Gregorie (1638­1675)"  (Ph.D. Diss., Princeron Universiry,  1989), Ch.  1.  18.  Barrow,  Lectiones geometricae, p.  246.  19.  «absque calculi  molestia vel  fasridio",  ibid, p.  209. See  M.  Mahoney,  «Barrow's  mathematics:  between aneients and moderns",  p.  179­249 in  Beftre Newton: The Life and Times o/Isaac Barrow, M. Feingold ed., p.  213­4. 

110

From Indivisibles ro Infinitesimals

On November 23, 1670 Gregorie communicated ro Collins that he had (,almost ready for the press another edition of my quadrarura circuli et hyperbolae»,  ro  which a complement would be added:  «1  purpose also  ro  add ro  it  several  universal methods, as  1 imagine as yet unheard of in  mathematics, both  in  geometrie and analyticks».20  Ir is  highly probable that his  method of tangents was  among the methods  «as  yet  unheard of».  We do know that sorne  son of mini­treatise containing Gregorie's  method of tangents was  acrually  written down and circulated among friends and students ­or so  at least suggests William  Sanders's inventory of Gregorie's mathematical papers.  Upon  Gregorie's death, Sanders, a long­time acquaintance and colleague of Gregorie's  who succeeded him as  mathematics professor at the University of St Andrews,  drew an  «Accompt of Mr Gregories papers  both as  ro  what 1 have seen,  and  what 1 conjecrure can  be  found  in  his  scholars  hands».21  One of the  papers  listed is  the method of tangents, which is  mentioned as  being then in  possession of s omeone teaching at the university of Glasgow: 

Methods ofTangents  ca. 1670  111 

Chapter 5 

Anroni Malet

def­ dee  curves Gl, AK, and let AB = e,  FB = d, GB  = f, HB  = e;  make  DB  =­ ­ df ­ ce  then the join CD will  rouch the eurve Ch. 

ｾｦ＼

1 

A

K

e

«The way of drawing tangents unto all sorts of eurve lines, eomprehended in four  or five  propositions, never done by any other. These are  not ro  be  found amongst  his  papers,  but ean  be had from  Mr Thomas Nieolson regent in Glasgow.» 

li M

1/ FH +-e
Analytic Computation ofTangents 

M25  

«Let Ch, AK be  curves,  MB a suaight line,  and G1  a curve with  the propeny that GB  is  always  equal  ro  the same AB,  CB  [i.e., CB = AB + CB]; let  the suaight lines  CD, AF  be  the  tangents  ro  the eurves Ch, AK;  put  CB = a,  DB = b, AB = e,  FB = d;  let BH = adb  + edb  ,  and  join  GH,  da  + be  whieh will  be tangent ro  the curve Gl. Let GH, AF  be  the tangents ro  the 

P i e

O  a

There is  no  trace of this  piece either among his extant manuscripts or  among those of David Gregory, who inherited and used his uncle James's mathematical papers. 

Let us  mm now ro  Gregorie's method of tangents as  it has  acrually come down  ro  uso  Ir appears in  three fragments  that Tumbull called the  M25, M22, and  M45 manuscripts. 22  The first of them sets forth rules for  the subtangents of curves defined algebraically ­such as  u = a ± b, and so  on. The  M25 piece, which  contains Figure 6,  reads thus: 23 

I

/ 

LJ

B D N +-- 6  ­­­. 

1+

ｾ

¡{---.

Figure 6.  (5mallletters added). 

But ifGB: AB:: CB: OB, and BH = a,  BF  = b,  BD  = e,  it will  be  b ;  if it  is  always GB  : AB  ::  AB  : CB,  and HB  = e,  baeb a  + ae ­ c  d  FB  = d,  it will  be in every case DB  =  Ｒｾ _d  and the signs  + and  ­[accom-

BN  = 

paying e and ti] are  to  be  kept according  ro  the faet  that e and d  lie  in different  [or  the same]  sides.  Now, everything remaining the same,  let  DB  = e,  it will  be  in every case  FB  =  2ce  .  But  more  generally,  if the  e+e 

ratio of GB ro  CB is  the multiplied ratio of AB  ro CB in the ratio of m ro  n  [GB: CB  = (AB  : CB)m/n],  it will  be  in every ease  DB=  mde ­

20.   Gregorie ro  Collins,  23  November  1670,  in  Gregory Tercentenary Vo!ume, p.  118.  21.  The document,  fully  reproduced  in A. Malet, «5tudies on James  Gregorie  (1638­1675),),  p.  89­90,  is  now kept at the Edinburgh Universiry Library,  Dc  1.41.129.  22.  References  to  the  manuscripts will  be  made using Turnbull's reference  numbers.  23. Gregory Tercentenary Vo!ume, p.  347.  Translations are  my  own,  but 1 afien füllow  rather  closely Turnbull's. 

ｾ､･

». 

(Gregorie semphasis) 

Gregorie's  results  are  correct,  and in  what follows  the reader can  assume  they to  be so,  unless otherwise stated.  In order ro  handle  them easily,  1 shall 

112

From Indivisibles ro Infinitesimals

Chapter 5  

Anroni Malet

use the notation T GB (oa:asional1y, T(GB)) to represent the subtangent of the curve GI with ordinate GB. In that notation Gregorie's rules look like this: 1. Subtangent o[the sum

T AB+CB =

Rule 3.1:  If CB  = R  constant, and OB  = R.  AB/GB,  then T CB  =

Rule 3.2:  If GB  = R  constant, and R.OB  = AB.CB,  then T GB  = 00 and 

(GB-AB).TGB.TAB GB.TAB-AB.TGB

T

OB 

ｴｾＬ

GB If

CB

AB 

T OB = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ -

OB 

T GBTAB+T GB TCB,TcBTAB 

4 and 5.  Subtangent o[the third and mean proportionals GB  AB   If ­ ­ =  _ _ , then   AB  CB  

4.   T CB 

TGBTAB  and 

2.TGB­TAB 

5. 

T AB­

Rule 7.

2.TGB T CB

CB 

CB 

TGB+T  cB 

I  I 

24.  Ar rhe end ofhis Leerure IX;  in Barrow,  Leetiones geometricae, p.  240.  

T(a ffi)  = -1- T, a 

r

m.TAB·T GB  ­ n.TAB·TGB

Two  general  remarks are in  order concerning Gregorie's rules.  First,  that  rules  for  finding  the subtangent of products and guotients of two variables  were  to  be  easily deduced from  rule  3.  For Gregorie only needed  to assume  that a straight line paral1el  to the axis  has a infinitely long subtangent, a result  mentioned by Barrow,24 to obtain the fol1owing  relationships as direct conseguences of formula number 3: 

+T  AB  CB 

to the curve the abscissa of which  is  u  = a:. 1 ' where a is  the abcissa of a given 

T CB  = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ m.TGB ­ n.TAB 

T

m

m

6. Final1y, if GB  ­ =(AB)n   _  , 

TCB"TAB

In  seventeenth­century mathematical treatises,  however,  in  order to  produce magnitudes homogeneous with the magnitudes already known,  it was  usual  to introduce or define  new magnitudes as  mean proportionals rather  than as  an  explicit product or division.  This explains  Gregorie's  producing  rules for subtangents of curves defined in terms of mean proportionals.  Secondly, the arrangement of rules  3 to 6 suggests they are in order of algebraic deduction. While formulae 4 and 5 are obviously particular instances of  formula  number 3,  the repeated  use of the same formulae  4 and  5 al10ws  us  to derive formula number 6  through algebraic manipulations.  Let us  turn now to the two minor pieces M22 and M45 that also contain  rules  for  the determination of subtangents. The M22 manuscript applies the  rule for  the subtangent of a power, 

TGBTCBTAB

--= __

= 

'11

....

3. Subtangent o[the fourth proportional

and 

T GB­TAB 

T GB-AB =

CB.TAB+AB.TCB

00 

TGB·TAB 

T OB  =

2. Subtangent ofthe diffirence

(AB+CB).TAB"TCB

Merhods of T angenrs  ca. 1670  113 

I  

I 

curve and  r is  a constant that makes  u a linear magnitude. This result had been  explicitly mentioned by Barrow for  m integer or fractionaF5.  Gregorie  may  have deduced it as  a particular case of rule  6.  The M22 piece, which contains  Figure  7, seems to apply rule 7 (not explicitly mentioned  by Gregorie)  to sorne  particular problem in which the relationship  between subtangents on the  Yaxis,  rather than between those on the X­axis, was  needed: 26 M22  

n+l  = m 

AG  =  a  ffi 

AH  =  a 

r n 

CE  =  c   DF  =  mcan  [.]   rn

I 

J 

25.  Leerure IX,  §§2, 3,  and 5;  Barrow,  Lectiones geometricae, p.  235­6.  26. Gregory Tercentenary Volume, p.  368.

114

From Indivisibles to InfiniresimaJs Antoni MaJer

Merhods  of T angents  ca. 1670  115 

Chapter 5  

The first pan of manuscript M45, which contains Figure 8, is similar to the foregoing piece. In M45, however, the relationship between the subnormals,  rather than  between the subtangenrs,  of affi/r ffi ­1 and  a is  spelled   Out.  In the second pan of M45 we  see  Gregorie using a variable  z ro desig-  nate  (times  a constant  r) the quotiem between an  ordinate FB  and its sub-  normal HB:27 

M45  

Ler  AB Be

=

FB 

=

=

a 

b

ｾ

r m - 1  

2m  2  -

rhen will  HB  = mba 

C2m -2

Now ifFB : BH  :: r: z,  F

,

rhen will z = mba

i

ｾ

H/1E ;:, /1 !

rhar is,  b is multiplied by rhe exponenr ID and this product again  by the power  of a diminished  by  2,  which  produet is  divided by the same power of r. 

ｾＺ ,

t

o:!.

D

C   ｾ

A

ｾ

B

b 

Tb

•

tI HB  ( ｉｌＭ ｾＮｪ

-L----l,

6 

ｾ

ｾ

The foregoing rules are an essential complemem ro  the results on subtangems  provided in Barrow's  Geometrical Lectures. As  compared ro  Barrow's, Gregorie's  work is  more algebraico  Gregorie's rules  are about curves defined in  terms of  sums, differences,  and proporcional means,  and his  results are expressed as  algebraie results ­as opposed ro  geometrical constructions.  The precise affiliation  of each one of Gregorie' s rules  ro  Barrow's  results  is as  follows.  Rules  1 and 2, on the subtangent of a curve the ordinates ofwhich  are  the sum or the difference  of two variables,  have  no amecedem among 

_ D

E

Figure  8.  (Smallletters added).  27. Gregory Tercentenary Volume, p.  368. 1 have  used  TurnbulI's rransIarion.  The fragmem  here reprodueed oeeupies a comer ofa sheer of paper.  On rhe .lame .Iide ofjr hut FlIrrher away  rhere is  a rewording 01'  the instruerions ro  find  z:  "ler eaeh single rerm  be mlllriplied  by irs  exponent;  ler 2  be deduced from  Íts  power, and ler  [he producr be  mulriplied  by  b."  The  material disposition of the  two fragmems  and ies  aecompanying figure  can  be .leen in  Gregory Tercentenary Volume, pIare  IlI. 

28.   el'.  Barrow,  Leaiones geometricae, p.  243­4  and  257.  Gregotie  used  a similar norion  in  Propusicion  VI  of his  Geometriae Pars Universalis. See  Turnbull's comments in  Gregory Tercentenary Volume, p.  368  and  369­70.  29.   Leerme  V1Il,  § 15,  p.  232­3  in  Barrow,  Lectiones geometricae.

J

ｾ

I

ｾ

I 1 

T a  

Barrow's Method «without CalculatioD» 

CLL

ｾ

­ a.

The result is  found  in  Barrow's Lectures, a1though  there geometrical considerations substitute for  the minus sign. 29  Given that sorne ofGregorie's rules find a eounterpart in Barrow's geometrical propositions on tangents, and given as well Gregorie's aeknowledgemem  of gerring inspiration from his  reading ofBarrow's  Geometrical Lectures, we shall  now tum ro  clarify the extem of Gregorie' s indebtedness ro  Barrow's work. 

A

,

The variable  z imroduced here gets tantalizingly close to the modem notion  of derivative,  but similar notioos are  ro  be found elsewhere in Gregorie's 1668  Geometriae Pars Universalis as well  as  in Barrow's  1670  Lectiones geometricae. 28 In what follows  I shall assume  that Gregorie knew the following  rule that  links the subtangems of two curves of (positive)  ordinates  a, b such that  a +  b =  R,  R being a constam:  Rule 8.

Figure  7.  (Smallletters addcd). 

m 2 -

j,

I11

ｾ

1 1·1· 

I1 

j 

I

1

I 

I 

l

'111  1.[:1

116

Chapter 5 

Amoni Malet

Fraro Indivisibles ro Infinitesimals

Merhads afTangems  ca, 1670  117  II!III

y F

E 

I t,

F

o

E

ｾ

T
E

T

N

\

ｾ

,

','

S

ｾ

E

D 

Figure 10.

Figure 9.

RO 

M.TO 

SO 

R

S

T 

Figure 11. 

This relationship not only holds for  the subtangents at the inrersection  poinr B.  As  stated in section  12, the same formula,  just substituting P for  O  everywhere,  gives  us  the  relationship  among the subtangents at the  intersections of the curves  EBE and  FBF  with the  straight line  PG  parallel  to  BO.30 Finally,  section  14 gives  an equivalenr  result for  the case  in  which  the subtangenrs SO and OR (see  Figure  12)  do  not lie  in the same side  of  point  0: 31 

Barrow's results. In itself, this highlights the stronger algebraic character of Gregorie's approach. Gregorie's rule 3, on the subtangenr of the fourth proportional, has no real anrecedent either among Barrow's results. Scctions 5 and 9 in Barrow's Lecture VIII are the ones more closely related to Gregorie's rule 3. BriefIy stated, section  5 says  that when two curves  (see  Figure  9) OGZ, NFY are such that the  ratio of their ordinates, EG/EF,  is  constant, then,  in  the assumption that the  tangenr  at  G  cuts the axis  at T,  TF is  tangent to  the curve NF ­that is,  the  curves  have  the same subtangent. Section 9  says  that when the curves YFN,  XEM (see  Figure  10) are such that DE times DF is  constanr, then the tangenr  to E is  to  be drawn by taking DT equal to DS  but in opposite direction­ or,  as  we would put it, TOE'" ­ T DF' Gregorie' s rules  4  to 6  are  related to results  in sections  11,  12, and  14,  Lecture IX,  ofBarrow's  Geometrical Lectures. There Barrow assumed the lines  OT and BT (see Figure  11), the curve EBE, and its subtangent RD tobe given,  and then he determined the subtangenr of the curve FBF such that,  for every  straight line PG parallel to BO, the segment PF is  (in Barrow's words) a «geometrical  mean  of the same orden)  between PG and PE.  If PF  were  the N­th  ｡ｭｯｮｾ the M­l  proportional means between PG and PE,  or PG : PF '"  (PG :  PE)N/  ,Barrow would call M  and N  the «exponents» of PF and PE.  This is  a  particular case of Gregorie's rule  6, when Gregorie's curve GI (in Figure 6) is  assumed to be a straight lineo  .  Barrow's section  11  states that, in Figure  11, the relationship between TD  and the subtangents SO and RD  is  given  by  N.TO+(M­N).RD 

P

M

B

E 

ｾＬ［Ｎ

""/,,,,; 

",,,,,,, 

/'/// """"" .  " ,;,;""".,,,  ",;'1' 

R

D P 

T

S

Figure 12. 

[1] 

30. ¡bid., p. 239.  31. ¡bid., p.  239. In formulae  [1]  and [2]  notations  have been modernized. 

J

118

After naming a few segments on the diagram, Gregorie makes statements  about the «tangents»  (sic) of two variables ­meaning the subtangents of these  variables when they are taken as  if making up a curve on the axis AZ (see Figure  14)  of the cycIoid. 32  In Figures  13 and  14, the point P lies  on a prolate cycIoide. Gregorie called  e the segment AF,  equal ro the perpendicular ordinate from  P ro the axis AZ. The tangent ro  the cycIoid at P is always  parallel ro ES, which  is  perpendicular to  ｅｾ ­ Wallis  mentioned the result  in  De cycloide, but did  33  not even see  the necessity of proving it.

14. But if the points T, R do not faH on the same side of O (or P), the tangent (BS) ro the curve EBF is drawn by making

N.RO _ (M-N).TO

RO

M.TOSO.

SO

[2]

Methods ofTangents  ca. 1670  119 

Chaptet 5 

Anroni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

':f

-J

;:'

Interestingly, it is not only a matter of signs that makes formula [1] different from [2]. We can trace the differences between [1] and [2] back ro the fact that the same proportional mean term, say PF = (PEN. PG M -N)1IM, can be considered  the N­th as well  as  the (M­N)­th mean term between PE and PG. Its  being  one or the other depends on which one,  PE or PG,  is  assumed to  be  the [¡rst.  Now,  if we assume  PF ro  be  the (M­N)­th term after PG, we  get formula  [2],  but if we assume PF  ro  be  the N ­th after PE,  then we  get formula  [1].  Now,  why should Barrow change the denomination of a term? An explanation is  that,  since PG was  greater than PE in Figure  11, and it was the other way round in  Figure  12,  Barrow may have substituted one for the other so  as  to have always  the lesser one as  the [¡rst term of the geometrical progression.  Whatever reasons  Barrow may have had,  it appears that Gregorie did not  feel  compelled to abide by Barrow's treatment of the problem.  Gregorie's emphasis on his rule  number 4 applying ro  euery case, with a simple changed sign,  is  probably an answer ro  Barrow's peculiar treatment of the problem. Gregorie's  result number 6  agrees  with Barrow's formula  [2]. 

f3 -r--. .....--- ­-

ﾷ ｾｂ

.... \\ 

D

ｾ

Iv.11, /l

A 

y

/

Z

T 

Tangents to the Cycloids  Figure  14. 

It is  now time ro  mm to smdy the way Gregorie's  analytic  rules  worked in  practice.  Gregorie's computations on the cycIoids,  which he used ro [¡nd out  the coefficienrs of the «Taylor»  series  expansions for  these curves,  incIude a  reference ro a diagram in Wallis's  book De cycloide, encIosed here as  Figure  13  (reference axes  in dotted lines,  the letters 0, Q, and the smallletters have been  added ro Wallis's figure). 

Gregorie expressed the «tangent» ­the subtangent, that is­ of e by means  of two variables  q and p, and then worked out the subtangents of several algebraic expressions: 34  M46  «In Wallis's  book on the cycloid,  figure  21, let AF  = e,  AO = r,  ｾａ ­­J2re­e 2  = q,  c­e=p,  e has  tangent  pe,  p has  tangent  p2,  2  q 2 2  q ­{pe  has tangent  ｾ , ."Jqe has  q has  tangent  ＨｐｾＬ q  ­e   pq­eq 

A F te  Ir  --D

.­/  M 

I

G

tangent  I

= c, 

P 6 

lB f3 11 ..

ｾ Ｌ3

q 2_ e2  

R  has  tangent 

ｾＮﾻ5

q 2 _e

2 

32. Gregory Tercentenary Volume, p.  364­5.  I have omirted here (he first  line of rhe  M46 piece,  which concerns (he  rectificacion of the ellipse.  See  Maler,  «James  Gregorie on Tangents".  33.  J. Wallis,Opml mathematica (3  vol.,  Oxford,  1693­1699),  l,  p.  567.  34. Gregory Tercentenary Volume, p.  365. 

Figure  13. From Wallis's  De cycloide (Opera, l,  p.  564).  Smallletters added.  I

J  

120

From Indivisibles ro Infinitesimals

Chapler 5

Antoni Malet

ｾＬ

Let us call Te the subtangent YT on the axis AZ. Given the similarity of triangles PYT and {3EF,

T _c_ e

But

I3F =

c - e, and EF is the mean proportional between thc segments ir ==

-..j2re-e 2 • Hence

e(c - e) Te

and -/qel can be equally deduced by means of his rules. 35

M46  

-..j2re - el

e 

2  Given the definiríon of the variables p and q, Gregorie could express T as pe/q. This expression for the subtangent of e explains Gregorie's words «e has tangent pelq».

=

ｾ

5  ｾＹｲＴｱＲ

q -

Te

+

_

Tlr e

lr-e

The subtangent oE 2r - e is, according to rule 8, equal to -T (2r _ e)fe e - pqfe. Therefore we have, mer cancellations, T _ q-

t
_2r 4e 2_ A7r 4g2e  +2r5i _3r 5e 2  +3c4e:_30r 5q 2e  +  ＱＵｾＲ･ｬＮ 2p 4  p5  p5  2 p 4e  2p 6  p6  p6  2p 6  p7 

p7 

The flrst  entry oE mis array is  merely me variable  e =  AF  (see Figure 13).  In me  same figure, let us assume the prolate cycloid MOPA ro  represeot a funcríon  y reEerred ro perpendicular axes with origin at O. As  mentÍoned in the iotroduction, Turnbull showed  that the four last  entries of the  M46  array  are,  except for a constant factor,  the first four derivatÍves  oE y =  PQ with respect  ro  x =  OQ. As  noticed by Turnbull, Grcgorie made a  mistake  in the computa­:  tion  oE the last entry.  Gregorie's  mistakc,  1 have shown elsewhere,  providesl  evidence that the path he followed  to achieve his rcsults is  thc one here sug­'  gested. 37 

5 the subtangent of q is 2TeT

4r3qep+6r4qe ­ 4r4qp ­ r3qpl  ­ 3r3 qe 2 

Ｍｰｾ

2r -e: q :: q: e.

T -

_ r2pel 

4 

as stated by Gregorie. The next four results, which involve square roots, are to be: derived by means of rule 5. For instance, to find the subtangent of q = -v(2r - eJe, let us Start from

According to rule

p 

2p3e 

p _ pl ---, e q

pe q

3-

ＭＳｾｩｰｱｚＺＲｬ･

His next result, the subtangent of p = e - e, foll ows from rule 8. According ro this rule, the subtangent oE e - e (e being a constant) is, except for the sign, equal to Tepfe. Whence

Tp

121

Notice that Gregorie expressed the subtangent of p as a positive magnitude,  without the minus sign,  even though he used the correct sign when T  was  needed  ro  determine other algebraic expressions.  In other instances Gregorie  omitted the minus sign  in  front  of algebraic expressions of magnitudes,  and  yet the magnitudes were  nonetheless correcdy assumed  ro  contain the minus  sign when used in algebraic operations.  The M46 manuscript,  ro  which a1l  the foregoing pertains, ends with a 5entry array of algebraic expressions that looks as  follows. 36 

(3F EF .

determines on the diameter AB, i.e. EF

ｾｱ･Ｌ

Methods ofTangents ca. 1670

What Gregorie  in all  probability did to obtain me four  last  rows  of thi  array was the following.  First, he found the subtangeot of e, pefq, and dividcdl 

=

2qpc -q22' -e

as stated by Gregorie. Gregorie's expressions for the subtangents oE

I  

j 

35.   Gregorie used  these expressions as  partial  results  in  \ong­winded computations; see Malet,  "James  Gregorie on T angents».  Notice  that Gregorie  provides the subtangent ol'..f
122

From Indivisibles ro Infinitesimals

Amon; Malet

e by its subtangent. The result, q/p, is a dimensionless ratio between two geo-  metrical segments.  Because he was working within a geometrical framework,   he could not allow a  dimensionless  ratio  to stand for  the new quantity from   which  the subtangent had to  be  calculated.  So  he  took  qlp times  r instead,  which is  the expression labeled  «2nd»  in  the array aboye.  The quantities  qr/p couId be assumed to  make up a new curve. The next step was to find out its subtangent,  say  T. Then the quotient of qrlp by  T, multiplied  by  r again,  gave  Gregorie the expression marked «3rd»  in the array. And so on. In other words,  the rows always feature  rtimes the quotient ordinate/subtangent, the row  n-J being always  the ordinate for the row  n. In  practice the computation of the subtangents of the algebraic expressions listed  in  the array aboye  must have  been a  formidable  task from  the  third entry on.  Doubtless Gregorie had at  his  disposal  generalized versions  of his  rules  1 and 2  that give  the subtangent of curves known as  sums and  differences of variables.  For the sum or difference of three variables,  for instance, we  have  (from  rules  1 and 2  when one of the curves is  assumed  to  be  a and the other  b ±  e): l' a±b+c  ­_ ­

ｾ J.¡,lE' 

a  b c T ­ T ­ T   a  b c 

a±b±c 

El

F

. 

,

,

DN 

A

l0 

B 

6

K

o

H

A

a

o

ｾ

Figure  15. 

Figure  16. 

A  Formula «To  Change the Variable»  The main result set fonh in Gregorie's  M38  manuscript is  a tool  to  determine the new subtangent of a curve after the curve has been submitted to  a specific transformation. Anachronistically we  could say that this  result provides  a formula to find the new subtangent in terms of the old when the curve suffers  a «change of variable».  Figures  15  and  16  belong to the M38  manuscript (dotted lines  MLN and  the one standing on 'A.  have been added ro  Gregorie's diagrams).  In Figure  15  the two curves AD and CI have known subtangents BE and BF at points A  and C. Gregorie assumes the curve AD to be straightened into the rectilinear  segment ab (see Figure  16)  and all  the ordinates CB, MN,... , of the curve CI  to  be perpendicularly set  up on the segment  ab, so that if'A.  is  the  new position of point L,  which means arc AL  = rectilinear segment a'A.,  then the ordinate MN,  which meets the curve AD in  L,  will  stand on point 'A..  Then, ifT' stands for  the subtangent at G  of the new curve GK thus obtained,  and l' = BF  for  the old subtangent at  C, we have 

[1.1]

Ir follows that  -+-+-=

¿"

¿

(a±b±c).Ta·Tb·Tc. a.Tb·Tc±b·T.aTc±e.Ta·Tb 

a±b±c alTa ± b/Tb ± e/Te 

G

e 

This formula takes on a more compaet and recognizable appearance when   numerator and denominator are divided by TaTbT :   c 

l' a±b±c  = 

Methods ofTangents  ca. 1670  123 

Chapter 5 

[1.2]

T a ± b ± C  

CV-Rule 1'0  the modero reader,  this is  only the well known rule giving the derivative  of the sum as  the sum of derivatives.  Ir should  be  evident  by now that Gregorie had achieved an  algorithm  for the determination of tangents which was algebraic  ro  a remarkable extent.  With  its  power funher  increased with  a  rule  «to  change  the  variable»,  Gregorie could tackle several  unusual curves.  He could assume, for instance,  that «the tangents are erected perpendicularly over the logarithms of the  secants».  The subtangent of this curve,  he adds,  will  be  r ­ ,3/(! + rj), q being the  tangent and  r the  radius.  As  checked  by Turobull,  the  result  is  true. That is,  by applying differential techniques to  the curve  x =  nogsec8,  y = n:g8,  we find its subtangent to  be  n;in 2 8,  which coincides with Gregorie's expression. 

T'­

-

Ｌｊ｡ｾ

b

T

'

a  = AB  being the ordinate of the curve AD and b  = BE its subtangent. 1 shall  caH  this result the CV­rule. In Gregorie's own words: 38  M38 

'\

Let  DA,  lC be  two  curves  ad  libitum over the same axis  lB,  and CAB  an  ordinate or perpendicular ro  ir.  Let  the straigh[ lines AE,  CF, which meet  the axis  at E and F,  be tangent ro  the curves DA,  lC, and,  on the other hand,  let KG  be  another curve over  the axis  ba such  that if the straight  line  ba is  assumed ro  be equal ro the curve DA, the ordinate  Ga  is  always equal ro  the 

38. Gregory Tercentenl1ry Volume, p.  377­8 . 

..L  

124

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Malet

G

[G]

Pl ｾｑ

'[Q]

﾿Ｏｾ

ｾｬ

Ｏｌ ｉ｟ｾｘ Ｊ ｚ ｙＭ .. á

..

6

x1

Sz

H

..

• •

Figure 17.

T

---

SI

...

'11

Methods ofTangenrs  ca.

Chapter 5 

¡670 

125 

ｾＮＨＧ

y

•

I

M

1

Figure 18.

ocdinate CB. Also, let steaight line CH, whieh meets the axis at H, be tangent ro the curve KC. Let AB = a, BE = b, CB = e, BF = d, then it will be aH 2 2

2 2

a d +b d

=

;ja2 + b2

o 

M38 

The following proof of this result (none is extant) uses geometrical technigues Gregorie put at work in his published books and shows that the result  could be easily justified. 39  By taking 52 5¡ (see  Figure  18) small enough, triangles GH5¡  and GPQ can  be made as  nearly similar as  needed.  Hence, H5¡  :  G5 1,  which  is  egual  to T : y, can  be  made as  nearly egual  to  5i 5 ¡ : GQ as  needed. 5imilarly (see  Figure  17), 5 25¡  : ｘｾｉ can be made as  nearly egual  to ,f t? + ¡;. : b as  needed.  The same is  true  ｾ｢ｹ taking a segment egual  to  GQ  on the y ordinate (see  Figure  17)) for  the ratios  GQ : X 2*X¡  and  d: y. Now,  by compounding the ratios 5 25 1 : X2X¡  and GQ : X2 *X l , and by taking into  account that X2 *X¡  and X2X¡  become as  nearly egual  as  needed when 5 2 5¡  becomes small, we can conc1ude that T  : y is  egual to  ,faz + ¡; : b compounded with  d: y. Whence T  = (,f(i2 + lJ)d/b, as  stated by Gregorie.  The second pan of the  M38  manuscript contains  an  application of the CVrule. A1ways making reference to the diagram  in Figure  16,  Gregorie assumes  ba to  be  a small circular arc,  and Ga, or s, its sec;¡nt.  Then the subtangent aH of the  secants when set up over the arcs is 

Ｚｾ

Á

of the circ1e).  In Gregorie's words,40 

ｾ

E

Figure 19. 

d b

b2

DF 

B

ｳｾｲ

«If ba were  any are at the beginning of the quadrant,  Ca = secant  = s, it would 

ＮｽＩｾＯ｟］ｈ｡･｢

'\JT7

In order to get the foregoing expression for  aH, let us  take a guadrant of a  circ1e  MAO  (see  Figure  19)  and let the ordinate CB, erected over point B on  the radius  00, be  egual  to the secant of arc  AO. Now,  OB is  the cosine of  the arc,  and the secant is  rllcosine. Therefore,  the secants determine a curve  CCI which is  an hyperbola, a fact already used by Gregorie in his  Exercitationes geometricae. By the known property of the tangent to the hyperbola,  the subtangent BF at point C  is  egual  to  OB.  Let  us  now apply the CV­rule to the  hyperbola CCI and the guadrant of the circle  MAO. When the guadrant is  straightened and the secants erected on it, we wiU  obtain a new curve (the one  mentioned by Gregorie)  the subtangent of which, T',  is,  according to the CVrule,  egual to  2

OB  ,fAB + BE BE 

(as always,  r stands for  the radius 

2

OB  AE . BE 

sion  for  the subtangent uH. Gregorie added series expansions for  both the subtangent  and  the subnormal  that  he probably obtained  by  means  of his  binomial  theorem  (cf.  Gregory Tercentenary Volume, p.  378  and  132­3).  Finally,  the  M38  piece contains an  erroneous statement about the secant of half che  arc that seems ro  have been a false  start  for  the resule  concerning the secants. 

39.  See  Gregory Tercentenary Volume, p.  378, for a derivation of this formula which uses  modern  notions and techniques.  40. GreJ(ory Tercentenary Volume, p.  377­8.  The M38  piece  also  contains  the  expression  V(56  ­ ?54)lr4 for  the subnormal aO,  which  is  an  obvious consequence of the expres­

I 1, 

J

126

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

Chapler 5  

Because of similar triangles, AE = !. Whence, if 5= secant of arc AD, BE AB ·'t

r2

r

'./s27. as stated by Gregorie. Tangents to Curves of Trigonometric Lines

"ji. _  -1'

­

IC 

IL  ｦａｩｴｊＮＭｬｾ r

r

_rL.

ｾ

IK' 

1 

IC 2  + .

IK2  1   But in  this case  ­ ­ = - (tg2AI ­ r 2),  and we  obtain the formula   IC2  e2

ｔｬｳ］｡ｾＮ

S 

r

This expression allowed  Gregorie  to  determine the subtangent of any trigonometric line set up ayer the logarithms of the secants  once he knew the  subtangent of the trigonometric lines set up over the arcs.  In one of Gregorie's  manuscripts we  f1nd  him giving the subtangents of curves  made up  by  the  cosines, sines,  arcs,  secants,  cosecants,  tangents,  and cotangents when these  lines are «set up perpendicularly upon the logarithms of the secants».  Gregorie  expressed his  results as  follows  (all  the results  are  correet except for the fact  that three subtangents lack a minus sign). 43 

---,

K

M43  

1 

JK  ｾ

We do not know any analytical expression for the ordinate IK, and yet we  can apply the CV­rule formula to it.  Let any trigonometric line be set up over  the arc AO making up a curve whose subtangeni:,  say Ta, we know.  Then,  according to the CV­rule,  me subtangent Tls for  the new curve in which the trigonometric line is set up oyer the straightened curve AKQ is giyen by 

L

e 

2. 

r

B

A 

nality).  Proposition VI of the  Geometriae Pars UniversaLis proves that the length  of the arc AK is  proportional to the area ABNI. 41  It also  proyes  that IC (that  is,  the subtangent of the curve AKQ)  is  equal to  r IK/IL ­a result that may be  anachronistically reworded as  «IL  is  the derivative of the function IK».  Now jet us assume that AO (always in Figure 20) is a straightened part of  a quadrant of a cirde,  r is  the radius, and NI the tangent of the arc Al.  According  to one of the results in the  Exercitationes geometricae, the area ABNI is  the logarithm of the secant of AI.42  Hence,  if AKQ is  taken as  indicated aboye,  we  haye  1 ].  arc AK  = ­Iogsec Al 

In Figure 151et us apply the CV-rule assuming the two curves CI and AD are the same. The ordinates AB are now set up oyer their own curve ­anachro-  nistically speaking,  theyare giyen as  function of the arc­parameter.  The CV­rule   says  that the new subtangent aH is precisely the ancient tangent AE.  If applied   to the quadrant of the cirele,  this corollary of the  M38 formula makes it obvious   that the subtangent of the sines set up  over the arcs  is  equal  to  the trige­HO-  metric line called tangent.  Thus Gregorie could easily find  the subtangent of any trigonometric line  set up oyer the arcs either directly from  the CV­rule or indirectly by means of  the subtangent rules.  To  ｾｶｩｲ･､ the subtangents of curves more involved, we  Gregorie had  to  use a combination of results from his  Geometriae shall Ｌｷｯｬｻｾ･ｳ Pars UniversaLis, his  Exercitationes geometricae, and the CV­rule.  2 Given the curve BN5 (see  Figure  20), let ALP be an auxiliary curve such that  IL  = IN2 ­ ?­ (r is  constant, and the equaliry is supposed  to  hold for every IN  set up perpendicularly upon AO), and let AKQ be a curve such that the ordinate  KI  is  proportional  to  the area AL!  (heing  1/ r the constant of proportio­

- ,N

Methods ofTangents  ca. 1670  127 

o

[xiv]  «If rhe sines  of rhe complements  [cósines] are ser up  perpendicularly over  rhe  logarirhms of rhe secants,  ir  will  be  T = r;  bur if rhe sines rhemselves are ser up over 

41. Geometriae Pars Universalis, p.  17­20.  42.  Proposirion  IV of the  «Analogia inrer lineam  Meridianam...'"  Exercitatinnes genmetricae,

Figure 20. 

p.  19­21.  43. Gregory Tercentenary Volume, p.  352.

.....J 

128

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni Malet

the same, ir will be T ｾ

3

-;-- r (e is rhe sine of rhe complement). Bur if rhe ares e

rhemselves are ser up over the same, it will be T ｾ ｾ

(r is rhe rangenr and a rhe r

are). If rhe seeants are ser up over rhe same, ir will be T ｾ r; if the seeanrs [ofthe complements, or cosecants], it will be T ｾ T

ｾ

r-

ｾＭ

ｾ

3

- r. If rhe rangents, ir will be e2

2

; if rhe tangents of the complemenrs [cotangents]' it will be T r

ｾ

2

r __ e_ .» r

It will be noticed that in the foregoing list the subtangents of the cosines, cosecants, and cotangents lack a minus signo In general, however, operations with subtangents do not show repeated arithmetical errors to be accounted by the lack of those signs. It can be surmised, therefore, that Gregorie know how to use the subtangents with the right sign in calculating with them, but was unwilling to allow a subtangent to  be a negative  magnitude by itself.  Let us  assume now (in  the same construction,  Figure  20) that NI  is  the  secant of the arc Al.  It will be  now IL  = 1/sec2AI ­ r 2 = tg 2AI.  Furthermore, as  Gregorie proved in the  Exercitationes, the logarithm of the tangent ofhalf the  complement of Al yields  the area ABNl.44  Hence, if the curve AKQ is  taken  as  indicated aboye and  Quad stands for  the guadrant of the circle,  we have  1.  

arc AK = l logtg  Quad ­ Al  r  2 

2. 

IK  = IL = ＡｴＰｾ IC r r 

If Ta stands for  the subtangent of any trigonometric line set  up over the  arc AO and Tlt for  the new subtangent when the same line is  set  up over  the  logarithms of the tangents of half the complements, then we have 

Ｎｾ

Chapter 5

Methods of T angents ca. 1670

the arcs  and of the cosines  used  elsewhere,  Gregorie probably deduced by  means of the formula Tlr  = Tare.seca/ r. 45 One of the most interesting features  in Gregorie's technigues ­as opposed  to Barrow's,  their most direet antecedent­ is  that algebraic operations  become the central notions on which the rules concentrate. With his new method Gregorie could analytically determine,  as  a matter of routine computation, the tangents to mechanical as  well  as  geometrical curves, provided their  abseissas are given as  sums or products of variables the subtangents of which are  known.  There is  no denying,  on the other hand,  that Gregorie's  technigues  belong to a conceptual framework strongly geometrical in character.  He took  pains  to  preserve the dimensional  homogeneity of algebraic expressions  and  did not treat ratios as  ordinary mathematical magnitudes ­obviously because  they were not geometricallines.  Subtangents,  as  geometrical  magnitudes  generally, were always  positive magnitudes,  and signs were only needed ro  rightly express  the relationships magnitudes hold ro  each other.  Needless to  say,  Gregorie shared  this  conceptual framework with almost any other contemporary mathematician.  His  technigues,  therefore, give  us  a new insight  into the intricate relationship between algebra and geometry in  the  17th century.  Gregorie's work on tangents and Taylor expansions,  particulariy,  is  an  excellent example of innovative analytical  results  produced in a geometrical  setting.  In his case at least,  but I think it is  also true in many others, geometry  and algebraic analysis were  more like two layers of the mathematical discourse  than two conflicting views about its purpose and its actual working.  Newton's Methods ofTangents around 1670  In his  «October  1666 Tract on Fluxions»  Newton  based his  method of tangents on his famous Proposition 7, which provides the eguation between fluxions once an eguation j(x,y) = O defining the «nature» of any curve is known.  Proposition  7  assumes  that «an  Eguation  expressing  relation  twixt twO  or  more lines x,  y,  z,  etc:  described in  same time by two or more moveing bodys  A,  B,  C, etc.»  is  known,  and then teaches  how to  find «the relation  of their  velocities p, g,  r,  etc.»  If the eguation involves just two variables, each term of  the eguation must be multiplied by  np/x (n being the term's degree in  x), then  by  mqly (m being the term's ydegree), and the terms without  x!' or j" discardedo  The result  being egualed to zero,  we obtain the sought eguation between  p and  q, fluxions  of x and y respectively.46 

t

Th = Ta 

ｾ

IK2  1  _ Ta sec  Al IC2+  ­ r'

This formula yields the subtangent of any curve whose ordinates stand  over the logarithms of the tangents of half the complements once it is  known  the subtangent of the curve made up by the same ordinates standing over the  arcs.  In one of his manuscripts, Gregorie states that the sines set up upon the  logarithms of the tangents of half the complements have subtangent egual to  sinelcosine2, times  ｾＮ This  result,  as  well  as  the  results on the subtangents of  44.  Propositions n  and nI ofrhe «Analogia inter lineam Meridianam... »,  p.  16­9. 

129

t

45. Gregory Tercentenary Volume, p.  350­352; Malet, ,<James Gregorie on Tangents», p.  129­135.  46.  D.T. Whireside ed.,  The Mathematical Papers ofIsaac Newton, 8 vol.  (Cambridge, Cambridge  Univ.  Press,  1%7),1, p.  402.  Proposirion 7 was applied ro  a great many problems, the first  of whieh,  in  Newron's order,  was  «To  draw rangents  to erooked \ines».  Orher problems  were:  "To find ye  rhe quantiry of erookednesse oflines»;  "To find rhe points ofinflexion";  «To  find ye  nature of ye  rhe  erooked \ine whose area is  expressed  by any given  equation»;  «The  Narure of any Crooked line  being given  to  find  its  area,  when  it may  bee done.»  (Ibid., p.  416­30.) 

130

From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

Proposition 7 of the <<1666 Tract» is grounded on the notion of instantaneous velocity,  and assumes  (i)  in  uniform  motion spaces are as  the speeds;  and (ji)  instantaneous motion, or motion during an infinitesimal time, is  uniformo  Newton compares the motions of two  bodies that move simultaneously  during the moment  O. Body A,  with velocity p, describes the infinitesimalline  p.o while body B,  with velocity  q, describes  q.o. Now,  let 

r

x3 ­ abx  + c3  ­ d y2 = O [*] express the relation between the lines x (space described with velocity p) and y (space described with velocity  q). After the moment o, x becomes  x + po, and  y becomes y + qo. Substituting these quantities for  x, y in  [*], cancelling, dividing all  the terms  by  o, and  then omitting all  terms  that still contain  o or a  power of it (because  «those  terms are infinitely little in  which o  is»),  we  get  3px? ­ abp -2dqy = O.  Whence p : q:: 2dy: (3x? ­ ab). Finally,  Newton goes  over all the stages of his deduction ro  argue that they bear out the general rules  set forth  in Proposition  7.  When the equation j(x,y) = Oexpresses a relationship between coordinates  referred to Cartcsian axes,  then the proportionality B(y) : B(x) :: y: subtangent  (B(x) is  our way of representing the Buxion  of x) provides  the subtangent to  the curve at point (x,y) in terms of x, y, and the quantities which appear in the  equation of the geometrical curve. Although the foundations must have been  very different,  the algorithm  thus obtained is  similar to 5Iuse's.47 This is  the  algorithm  of which  Newton  provided  an  example in a lerrer  ro  Collins of  December  1672.  Newron considers a curve determined «by any aequation as 3  x  ­ 2:xxy  + bxx ­ bbx + byy ­ y3  = O»,  and provides the following rule: 

Chaprer 5

Methods ofTangenrs ca. 1670

131

But Newton,  along with every other contemporary mathematician, did  work with curves which were  not geometrical  in  Descartes's sense­that is,  curves  the nature of which could nor be expressed  byan algebraic equation  between Cartesian coordinares.  So  Newton made distinctions between different sorts of lines:  between geometrical and mechanical,  and within the geometrical,  between  the ones expressed  by  means of a Cartesian equation and  those expressed otherwise. 49  In  the single example of his  method of tangents  applied  to  a mechanical curve he provided  in  the «1666 Tract»,  the quadratrix,  his  Proposition  7  was  of no  use  and the tangent was  found  through an  ad hoe argument ­an argument, as  we shall see  now,  based on the composition of the motions defining the curve. 50  In Figure 21  the tangent  be is  determined by taking  bd = arc  b! on the rangent to the circle gb/; then, by drawing from  d the perpendicular  de to  bd until  it meets  am. 51 The «component»  of the motion of b along the tangent  bd is  unproblematic, once we decide that the arc pm can legitimately be  taken as  a  measure of the rotating motion.  The motion  that corresponds to  this  in  the  direction of ha is  precisely  ha. But  bis also  consrrained ro  move along the  radius  ap besides  moving in the direction of ha. So  in the time  b would have  moved to  d along the  ｴ｡ｮｾ･ｴ and  tu e along  be, it would have also  moved to  e along the direction  ｢｡ＮＵｾ

k. 

To draw  the tangent...  the  Rule  is  this.  Multiply the  termes  of the aequacion  any arirhmeticall progression according to  the dimensions of y suppose thus  by 3  + bxx  ­ bbx  + 2byy  ­ 3' y3 also according ro the dimensions of x supx   O ­ 2xxy  1 O O x3  ­2xxy  +bxx  ­bbx  + byy  _y3  pose thus  3 2 2  1 O O. The first product shall  be  the  Numerator,  and  the last divided by x the Denominator of a fraction wch expresseth the length of  [the subtangent] BD  to whose end D the tangem CD musr be drawn. 48 

a

e 

f (

me 

Figure 21. 

47.   Newcon  co  Collins,  10th December  1672,  in  H.W.  Turnbull eta/eds., The Corresponder/ce O/Isaac Newton, 6  vol.  (Cambridge:  Cambridge Univ.  Press,  1957),1,  p.  247­8.  Sluse's   method was  published  in  the  Philosophieal Transaetions of 20  ]anuary  1672/73,  vol  7,  p.   5143­7,  and hints about Sluse's proof (which never appeared in  full)  were published in  the   same journal  (vol.  8,  1673,  p.  6059).  On Sluse's  method  of tangents,  see  L. Rosenfeld,  ﾫｒ･ｮ￩Ｍｆｲ｡ ｾｯｩｳ de  Sluse et le  probU:me  des  tangentes»,  ¡"is, 10  (1928),  416­34;  and  P.   Bockstaele,  "La  théorie des  tangentes aux combes algebriques dans l'oeuvre de René­Fran<;:ois   de  Sluse», Bulletin de la Soeiéte Royale des Scienees de LJege, 55  (1986),  135­44.   48. Correspondenee o/Isaac Newton, 1,  p.  247. 

49.   D.T.  Whiteside ed.,  The Mathematieal Papers o/Isaac Newton (8  vol.,  Cambridge,  19671981),1,  p. 416­8.  50. Ibid, p.  418.  The quadtatrix is  here defined as  the curve  kbf(see Figure  21)  desccibed  by  the intersection  b of two  lines  hb and  ap, hb moving uniformly from  k ro a always parallel  to  ma, while  ap circulates uniformly from  k ro  m about the center  a. 51.   Ibid. 52.   In  Newton's own words:  «or suppose ye  motion of ye point p fixed  in  ye  line ap,  rowards  m  to  bee  pm,  yn ye  motion of ye  point b fixed  in  ye line ab, towards d  is bl  = bd (prop 4), 

.....L  

132

From Indivisibles to Infinitesimals Amon; Malet

,.

Newton's only example is well chosen indeed, for it forcefully illustrates both the virtues and shortcomings of drawing tangents «by motion». This method, on the one hand, was powerful -and the only one available generally to deal with lines defined or understood in terms of morion. On the other  hand, drawing tangents «by motion» was  tricky and could easily induce into  error.  Roberval,  a  past master in the use  of rhis  method, had applied it to a  great many interesting curves ­conic sections, all sorts of conchoids, Pascal's  limac;on,  spirals,  guadrarrix,  cissoid,  cyeloid,  the cyeloid's  «companioll»  (a  sinusoidal curve),  and Descartes's parabola. Although his contributions were  only known through the posthumous publication of his papers at the turn of  the eighteenth century,  it is  worthwhile guoting the  (only)  general rule his  method rested on.  By its  «mechanicai»  Content and its  loose wording, it elearly conveys the main difficulties ir entailed: 

CI1.

1670

133

As  is  well  known,  the  guadratrix  twice defeated  the young Newton's  attempts to find  its  tangents by motion.  It also defeated Wallis, who in the  1672  publication of his  methods of tangents felt  in the same error as  Newton.  According to Wallis  in  the guadratrix AaB  (see  Figure  22),  «if rhe  tangent  [to the cirele YaZj  is  assumed aV = aY,  and the parallelogram VavF is completed,  the join  aF  is  tangent to  the  guadratrix.»54  Newton provided  the  same faulty construction in his early (October  1665)  thoughts on «How to  draw tangents to Mechanicalllines». Along with Newton and Wallis,  Descartes  also  made a  misrake in dealing with the guadratrix's slippery tangents. 55  By  the time Wallis published his  1672  paper on tangents,  however,  Newton had  already improved  his  first  correct solution  making ir  a  particular case  of a  method which,  although not completely general,  was  based  on  the fluxional calculus and could be applied ro  families of mechanical curves.  In his  Method o/Series and Fluxions of 1670­1671,  Newton dealt with  mechanical curves the «natUfe»  of which was expressed by an algebraic eguarion  involving variables  defined  by means of rhe area  or the lengrh of sorne  auxiliary curve. 56  For instance (see Figure 23), AC being a circle or any known  auxiliary curve, Newton deals with one curve AD defined by the eguation  z! + axz = where AB  = x, BD  =y, and  z is  defmed as  the area ABe. Newton  reaches the fluxional eguation of the curve by using that fl(z)  = fl(x).CBY In  another example,  the curve AD  is  defined  by the eguaríon  xz = where  z represents now the arc­length Ae. To reach  the fluxional  eguation,  Newton  uses here that fl(z)  : fl(x)  ::  Ct : Bt, where the tangent Ct and subtangent Bt are  supposed to be known.  Let  us  turn,  finally,  ro  Newton's  fluxional  attack on the guadratrix,  which is  deduced  as  a  particular case  of the following  problem.  In Figure  24, t = FC is  an arc of a circle with center in A,  and CS is  irs  tangent at e.  FD is  a  mechanical curve defined by assuming that y = DB is  given by «any  relationship you wish between DB and...  [arclength]  fC»  (notice that arc FC  is  determined by  the  radius  DA).58  Newton assumes  radius AC  = 1,  and  calls AB  = x, CE = v, AE  = z. First of aH,  from  fl(t): fl(v):: CS: EC, and from  the similariry of triangles ACE and  CES,  Newton deduces 

Par les  propieres specifiques de la ligne courbe  (qui vous  seront données)  examinez les  divers  mouvemens qu'a le  point qui la décrit  a l'endroit Ol!  vous voulez  mener la  touchante: de tous ces  mouvements composez en un seule,  tirez la ligne de  direction du mouvement composez,  vous aurez  la touchante de  la ligne courbe. 53 

l,

F  v

ｾ］Ｍｚ

1,

, D

y 1---<,:.." , a X ｴ］Ｍｾ

ce

", 

e  

Method. ofTangents

Chapter 5

E

B

Z

Q 

Figure 22. 

fl(v)

= z.fl(t).

[1] 

Secondly, from  fl(t): fl(z):: CS:  ES, and fram  the same similarity of triangles,  (Newton justifies the minus sign pointing out that AE diminishes as  EC  increases) 

& ye  morion ofye tine  bh  towards ca,  & rherefore of ye poinr b fixed in ir rowards c (prop  3)  is ha  ｾ hc  (by supposjrion):  Also ce  11 bh  & ed  /1  ap  (supposirion).  Therefore  (by Prop  6)  ye inrersecrion poinr b of rhese rwo lines ap  &  hb, moves in ye diagonal eb,  &  consequenrIy  eb  roucherh  ye  Quadratrix in  b...  (Ibid.} Newron  was  somewhar more explicir in  his  firsr  successful  (afrer rwo failures)  arrack on  rhe quadrarrix's  rangenr, probably during rhe winrer of 1666:  «The poinr b wiII  be moved  ro  ye line ce  & ed in  [rhe]  same rime [,]  wch  cannOr  bee unlesse ir move  to e...  (Ibid, p.  380). The mosr complere explanarion of rhe drawing  «by morion..  of rhe quadrarrix rangenr is  Roberval's; see  be1ow,  note  53.  53.   G.P. de Roberval,  «Observarions sur la composirion des Mouvemenrs er sur le moyen de rrouver les  Touchanres  des  lignes  courbes.. , in  Académie  Royale  des  Sciences,  Mémoires de l'Académie oo.  depuis 1666jusqu 'ii 1699 (Paris,  1730), 6,  1­89, p.  25. 

54.  J.  Wal1is,  «Epi tome  Binae Methodi Tangenrium.. , p.  4015.  55.  Newron,  Mathematical Papm, l,  p.  371­9. As Whireside highligh[s  rhere,  :\Iewron provided  rwo  differenr faulry  constructions  before falling on [he corren answer he  included in  his  «1666 Tracr»,  given aboye.  See  ibid, p.  379, for  references.  56.   D.T. Whi[esidc ed.,  The Mathematical Papers ofIsaac Newton, m, p.  121­31.  57.  Newron made plausible rhis  resulr early on on rhe same  [rearise.  See  ibid., p.  79. 

..J

134

Antoni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

:,

ｾ :

Chapce[ 5

calculus praper. 

A

t

B

E B 

A

F

s 

Figure 24. 

Figure 23. 

fl(z)

= ­ v.fl(t).

[2] 

Finally,  fram  the similarity of triangles AEC and ABO, we have  z.y =  v.x. Using his  fluxional  calculus,  Newton then deduces 

[3]

fl(z).y + z.fl(y)  = fl(v).x + v.fl(x).

Now,  by elimination of fl(v), fl(z),  and  v between  [1],  [2],  and  [3],  he  obtains  fl(y).x­ fl(t).j- fl(t).XZ

135

quence», should those authors care ro look at their results algebraically. The methods of tangents gathered here show that algebraic and geometrical approaches  to  mathematics did not clash  in  the seventeenth century,  and that we  will have to look elsewhere to find convincing explanations for rhe  rise of the 

D

T 

Methods of Tangents ca. 1670

= fl(x).y,

[4]

which only involves the Cartesian coordinates  (x,y) and the auxiliary magnirude  t. The quadratrix, Newton goes  on, is  the curve FO which results fram  taking  y= t. Substitutingyand fl(y) for  tand fl(t) in  [4],  Newron arrives at  fl(y):  fl(x):: y: x - T

- x?,

which, given  the praportionality between fl(y),  fl(x), yand the subtangent,  yields the subtangent to the quadrarrix. 59  Conventional wisdom sees  algebraic techniques and notions as  one of the  driving forces  in  the conceptual development of seventeenth century mathemarics ­read, the  birth of the calculus.  Most general  textbook histories of  mathematics still present seventeenth­century geometrical achievements, and  particularly those  of Barraw,  so  closely connected to  Gregorie's,  as  clear  instances  in  which a penchant for  geometry was  a drawback in  the way ro  the  '(true»  infinitesimal calculus­which would have appeared as  an (,easy conse58. [bid, p.  131.  59. [bid

.......  

.,. CHAPTER6

Infinites and Infinitesimals in Seventeenth-Century Natural Philosophy

The Atomization of Physical Effects Actual infinites appear in many seventeenth-century philosophical discussions.  As is  well  known, the actual infinity of physical space ­explieitly received  by a growing number of natural  philosophers­ made a strong impact  in philosophical discourse,  as it did in esthetic and moral  matters.  «This much  is  true,  that the space of universal nature is  infiniteiy extended in every direction»,  said  Huygens  in  his  Cosmotheoros.! According to  Pascal,  «ceux gui  verront dairement ces vérités  [concerning infinitesJ pourront admirer la grandeur et la puissance de la  nature daos  cette double infinité gui  nous environne de toures parts».2 As  we saw in Chapter 2,  Isaac Barrow took the actual  infinity of space into his revision of sorne traditional arguments used against  the notion of infinite. The infinity of space was also  used  to  make plausible  the notian of infinitely small guantities.  Samuel Clarke argued to  Leibniz  that «Infinites  are composed of finites,  in  no other sense,  than as  finites  are  composed of infinitesimals». 3  Pascal  thought the two infinities,  <,  p.  354­355.  T¡'e Leibniz-Clarke eorrespondenee' (Manchesrer:  Manchesrer Universiry  3.   H.G. A1exander  Press,  1956), p.  48. 

ｾ

oo., 

138

From Indivisibles ro Infinitesimals

de [elle sone que la connaissance de l'un mene nécessairemene l'aurre. 4

Anroni Malet

a la connaissance de

Apparently, these were thoughts widely held. In 1669 an obscure correspondent ofHuygens, the Baron de Nulandt, conveyed to him similar feelings:  I'infiní et le  rien  a  peine peuuene  ils  estre  cODl;:eus  l'un sans  l'autre,  car ce qui est  infini a l' esgard de quelque chose, cette mesme chose est rien  a l' esgard de \' autre,  de sone que rien  a  la  mesme propon ion a  quelque chose  finie,  que cette  mes me  chose a a  l'infini;  ...  J' aij  remarque de  mesme que ces  noms sone  aequiuoques  et  relatifs  et que la  mesme chose peut estre infinie a l'esgard d'une, et rien a l' esgard de quelque autre  chose,  comme une  ligne donne est infinie a  I'esgard d'un point et touteffois est  rien  a l'esgard d' une surface;  ... 5 

We have seen  in Chapter 2  that the old problem of the composition of  continua in terms of indivisibles became irrelevant as  infinitesimals were substituted for  indivisibles.  Almost simultaneously,  as  we shall  see  in  the present  Chapter,  arguments  traditionally regarded as  formidable objections  to  the  handling of infinites large and small  seem  to  have lost their punch sometime  during the second half of the seventeenth century. Time­honored cautions and  theological connotations traditionally linked to discussing infinites faded quite  suddenly as  well.  This,  I would suggest, was  at least  partially a consequence  of the majar role infinites and infinitesimals carne ro  play in seventeenth­century natural  philosophy.  The mechanical  philosophy relies  on the tacit assumption that each partide's essential  (mechanical)  properties ­its size,  mass,  inertia,  and so  onare  independent of the existence of other partides. 6  The mere addition of partides's  mechanical  magnitudes accounts  for  the properties of macroscopic  bodies. As  there is  no longer a  whole body that bestows properties on its  parts,  so  it is  possible  to consider the infinitesimal magnitudes of the parts independently of the magnitude of the whole.  Even while the handling of individual partides  ar the actual measuring of any of their magnitudes was obviously  out of question ­and it was  recognized explicidy to  be so,  the seventeenth­century natural philosopher had no qualms assuming observable mechanical effects  ro  be equal ro  the sum of very small magnitudes.  In practice and mathematical computation, these very small magnitudes were handled as  indivisibles or  infinitesimals.  A few  years  ago  A. G.  Molland argued that one feature  of the Scientiflc  Revolution was what he called «the atomization of motion».  He convincingly  4.   Pascal,  "De ¡'esprit géométrique et de  l'are  de  persuaden"  p.  354.  5.   F.W.  de Nulandt to  Huygens,  23  May 1669, in Huygens,  Oeuvres, VI,  p.  435.  6.   G.  Freudenthal has convincingly shown the essential  rale this  assumption plays  in  Newton's  natural philosophy. See  his  Atom and Individual in the Age ofNeu'ton. On the Genesis ofthe Mechanistic World View, P.  McLaughlin  transo  (Dordrecht:  D.  ReideI.  1986). 

r ,'/

Chaptet 6

Infinites and Infinitesimals in Seventeenth-Century Natural Philosophy

139

argued that analysis  in terms of «moments»  or «atoms»  of time was  typical of  the seventeenth­century,  and so  it was  the view that motions and speeds were  «composed of a uniquely determined set of ultimate elements»,7 Galileo  provides the obvious example, but many others may be added. As the fol1owing exampie from Isaac Beeckman's diary indicates, the atomization of motion could be  used to obtain many sorts of results, sorne ofwhich are not deemed correet roday.  In  1618  Beeckman analyzed free fall  by looking at it as  constituted by successive  motions through the  indivisible moments making up the time of fall.  He  assumed that in every moment the body would describe a "parallelepiped»  (sic) that would increase in length as  the body's falling  speed increases. When the  quantity of air in the parallelepiped equals the body's weight, Beeckman argues,  the force  pulling the body down will be balanced by a contrary pull of the same  magnitude coming from the air ­apparently applying in sorne innovative way  Archimedes's principie ro  the airo  This demonstrates, he concludes, the existen8  ce of an «equality poino)  in which the body gets a uniform falling speed.  With the  advent  of the calculus  in the late seventeenth century,  M.S.  Mahoney has convincingly identified a «process of bootstrapping by which  mathematics and mechanics assisted and provoked one another ro deeper sophistication».9 The process, we may add,  had strong roots in the way indivisibles  and infinitesimals were  used ro  gain  quantitative results  in  many fields,  not only in  motion, ever since  the first  decades of the century.  In  a famous  passage,  Galileo  argued ­from the observable fact  that ants carry wheat  grains­ that a multitude of ants can pul1  ashore a big boat loaded with wheat.  But this was  merely introducrory stuff to his  treatment of the paradox involved in the so­cal1ed Arisrotle's wheel, which in tum al10wed him to argue that  an infinite number of minimal forces  provides cohesion ro solid bodies. ID  He  also argued that particles in fluids  must be something like mathematical indivisibles,  and so  must be the minimum particles of fire  and of the sun's  rays.11 

7.   A.G. Molland, «The atomisation of motion»,  Studies in History and Philosophy ofScience, 13 (1982):  31­54; quotation comes  fram  p.  43.  8:   e. de Waard ed., Journal ten upar Isaac Beeckman de 1604 a1634, 4 vol.  (La Haye: Martinus  Nijhoff,  1939),  1, ［ＵＶＲｾＴ quoted in R.  Dugas,  La mécanique au XVIIi: sii:cle (des antécédents  scolastiques  a la pensée classique)  (Neuchátel:  Éditions du Griffon,  1954),  527­528.  For a further example of «atomio>  analysis of motion,  this time fram Descartes, see  ibid.,  p.  528­529. 9.   M.S.  Mahoney,  «Infinitesimals and transcendent relations: The mathematics of moríon in  the late  seventeenth century»,  in  D.e. Lindberg,  R.S.  Westman eds.,  Reappraisals ofthe  Scientific Revolution  (Cambridge:  Cambridge University Press,  1990), 461­491, p.  484.  10.   Discorsi e dimostrazioni matematiche,  in torno  adue nuoue seienze,  in  Opere,  20 vol.  (in 21),  A.  Favaro  ed.  (Repr.  Firenze:  Barbera,  1968;  1st ed.,  1890­1909), VIII, 39­346, p.  67ff.  11.   Discorsi,  in  Opere,  VIII,  p.  85; see  also  Opere,  IV,  p.  106. The role  this view of fluids  play  in  Galileo's  physical arguments has  been  pointed out in  M.  Biagioli,  «Anthropology of  Incommensurability»,  Studies in History and Philosophy ofScíence,  21  (1990),  183­209.  For  the indivisibles of fire  and light, see  Opere,  VIII, p.  86;  VI,  347­352; and his comments to  Baliani's lener of 8 August  1619, in  Opere,  XII,  p.  475. On Galileo's corpuscularism, see  W.R. Shea,  Galileos intellectual revolution  (London:  Macmillan,  1972), p.  27­31,101­105. 

140 From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

Tuming to others authors, Huygens decomposed surfaces and bodies in infinitesimal e1ements in order to calculate centers of gravity and centers of oscilIation. 12  Another, less  familiar  example of the application of indivisibles is  James Gregorie's use  in optics of a typical  Cavalierian technique.  In his  1663 Optica promota, containing the first attempt to quantifY optical devices,  Gregorie  used indivisibles ro  measure «the strength to bum or illuminate» of radiation  cones coming from a radiating body.  First he found a proportion between the  strength to  bum or illuminate of two radiation cones coming from  a radiating point A and the squares of a trigonometric function of their angles at the  vertex.  Next, he proceeded ro  «divide the radiating body in its radiant points».  Finally,  by taking «all  the antecedents» and «all  to consequents» he extended the  proportion to radiation cones coming from  the  whole radiating body.13  This is  the most well­known use natural  philosophers made of infinites,  infinitesimals and indivisibles through the seventeenth century ­but it was  by no means the only one,  nor perhaps the most decisive one.  As we shall see  presently,  infinites and infinitesimals were also  used  to define notions and  characterize hypothetical substances.  Huygens, for instance,  characterized the force  of percussion  as  being infinite  (infinie)  vis­a­vis  static force. 14  Key notions of  the mechanical philosophy ­such as  Huygens's atoms and gravitational ether,  Hooke's  menstruum,  or Newton's empty space­ were characterized byendowing them, or the particles constituting them, with sorne physical  property  (fluidity,  ve1ocity,  hardness, emptiness,  ..  ) in an  infinite degree.  In Book nI of the  Principia  mathematica Newton's  (empty) space is  pro-  ved as  a corollary ofProposition VI  (the weights ofbodies, at equal distances   from  the center of the planet, are proportional to  their quantities of maner).   Corollary In asserts  that «all  spaces  are not equally fuI!».  Therefore, «if the   quantity of maner in a given space  can,  by any rarefaction,  be  diminished,   what should hinder a diminution  to  infinio/»  (italics added). Next, assuming   that bodies are made up,  in the last analysis, of solid particles of the same den-  sity that «cannot be rarefied without pores»,  Newton concludes in Corollary IV   that «a  void,  space or vacuum must be granted». 15  So  (infinite)  emptiness is   conceived by opposition ro  absolute fullness.  12.   C.  Huygens,  Oeuvres completes,  XVI,  384­555, passim.  13.  Proposition  33 of Gregorie's  text establishes  that "Vites  Conorum tadiosotum,  in  illus-  ttando, ve! comburendo (radiis nimirum in spatia aequalia absque debilitatione congrega-  6s)  sunr in duplicata ra60ne Chordarum, suorum semiangulorum radiosorum.»  Corollary   1 exrends rhe result, first ptoved for points,  to a "corpus radiosum"  by the  rypica1 expedient   oF<,erir ut una anrecedentium...  ad  unam consequentium  ita omnes antecedentes,  nempe   vires in illustrando ve! comburendo totius corporis radiosi  ad omnes consequentes...» CE.   J.  Gregorie,  Optica Promota,  seu Abdita radiorum  ref/exorum et refrth:torum Mysteria,  Geometn'ce  Enuc!eata  (London,  1663), p.  42, 43­44.  14.   Oeuvres,  XIX, p.  24; quoted  by  RS.  WestEJ.1I,  Force in Newton's Physics  (Landon: MacDonald, 1971), p.  180.   .  15.   1. Newron,  Mathematical Principies o/Natural Philosophy,  F.  Cajori ed., A Motte  transo  (Berke!ey:  Universiry of California Press,  1962), 414;  quoted  by G.  Freudenthal,  Atomand  Individual in the Age o/Newton,  20­21. 

..

Chapter6 

Infinites and Infinitesimals in Seventeenth­Century Narural  Philosophy  141 

We shall focus  now on the use  of infinites and infinitesimals in conceptualizing mechanical causality and the notion of body.  Bodies, Fluids, and Mechanieal Explanations  In  the wake of Descartes the notion of body was  revisited  by many.  It was  generally agreed that  impenetrability,  along with  extension,  must be required  ofbody, but there was  no consensus as  to how to conceptualize this new requirement. The most straightforward way to do so was  Huygens's. The most deep  and influential Continental natural philosopher during the second half of the  century,  Huygens, postulated an absolute and infinite hardness  (durete parfaite et infinie)  for  the atoms of first matter  (matiere premiere).16  Hooke's characterization of the notion of body was  quite different.  His rested on a fluid  the particles of which are the smallest,  for  they are «infinite1y or indefinitely  fluid»,  and are endowed with the largest velocity.  Both Huygens and Hooke,  therefore, did introduce substances whose mechanical magnitudes are infinitely or incomparably smaller or larger than those of o ther substances. We shall  go through their main arguments now.  In  1692 and  1693 Huygens and Leibniz corresponded about the existence and nature of atoms. The thoughts Huygens conveyed ro  Leibniz here were  not impromptu sentences more or less  carelessly pronounced.  For months  Leibniz had been entreating Huygens to set forth his views on matters of natural  philosophy.  Eventually,  by producing comments on Huygens's recently  published  Traité de  la lumiere and the  Discours sur la  cause de  la pesanteur,  Leibniz succeeded. Approaching the end of a  brilliant inte1lectual career,  Huygens offered Leibniz his mature thoughts on basic notions of the mechanical philosophy.  Huygens had embraced the notion that unbreakable atoms  moving in the void were the building blocks of the physical world.  Leibniz  could not understand those «extraordinary things», which required a «permanent mirac1e»:  oo.  j'ay remarqué que vous estes  pour le Vuide et pour les Atomes. J'avoue que j'ay  de la  peine  a comprendre la raison  d'une telle  infrangibilité,  et je  croy que  pour  pas  cet effect il faudroit avoir recours  a une espece de miracle perpetuel. Je ne  aussi de necessité qui nous oblige  a.  recourir a des  choses si  extraordinaires. 1 

VOl 

Huygens's answer shows that far from  being a logically questionable notion,  actual infinite hardness was the only notion that did not seem absurd to him.  Huygens's infinite hardness is  an essential feature of his revision of Cartesian  metaphysics. Whereas Descartes identifies the «natute or notion» of body with  mere extension, Huygens, against this  «Cartesian dogma»,  thinks that body  must be conceived with extension  but also with the property of not allowing  16.   Oeuvres,  XVI,  p.  210. 

17.  Leibniz to  Huygens,  11  Apri11692,  in  Oeuvres,  X, p.  286. 

ｾ 142

From Indivisibles ro Infinieesimals

Antoni Malee

another body in the space it occupieso 18 Accordingly he thinks that bodies soft and deformable are constituted of vacuoles and partides, which may in turn contain vacuoles  and subpartides, and so ono  At the end of this regression,  however,  there will always  be atoms endowed with «durities insuperabilis».19 La raison qui m'oblige de poser des aromes  infrangibles est que  ne pouvam m'accomoder,  non  plus que vous,  Monsieur, du dogme Cartesien, que l'essence des corps  consiste dans la seule  etendue, je trouve qu'il est necessaire,  a fin  que les corps gardem leur figure,  et qu'ils resistem aux mouvemems les  uns des autres, de  leur donner  l'impenetrabilité, et une  resistence  a estre  rompus ou enfoncezo  Or cene  resistence il  faut la supposer infinie,  paree qu'il semble absurde de  la supposer dans  un  certain degré,  comme si  on  disoit qu'elle egale celle du diamam oo.,  car cela  ne  peut avoir de cause dans une matiere,  Ol!  d'ailleurs on  ne suppose rien que l'etendueo  oo.  L'hypothese de la durete infinie me paroit done tres  necessaire, et je ne conc;:ois  pas  pourquoy vous  la  trouvez si  estrange,  et comme  qui  infereroit un continuel  miracle. 20  The main difficulties Leibniz saw in Huygens's atoms were physical in characrer.  Ir  would be hard ro  image how such particles could cohere;  they would  not rebound when colliding;  they would entail a «jump»  (un saut) from  the  extreme case of perfect cohesionless  (where two atoms touch)  to atomic infinite hardness ­whereas such «jumps»  are not ro  be found «in  nature»o  There  were also  metaphysical  reasons  against perfectly hard atomso  Leibniz believed  that <
18.  «Spatium nempe est quod a corpore occupari po(est.  Corpus quod spacium occupa(, quod  quidem sine extensione concipi non potes(, sed prae(er ex(ensionem necessario quoque ei  conveni( u(  in spacium quod occupa(,  non adminat aliud corpus.»  (From a manuscript of  1692,  in  Oeuvres, XIX,  p.  325.)  19. Oeuvres, XIX,  p.  4.  20.  Huygens ro  Leibniz,  11  ]uly 1692, in  Oeuvres, X,  p.  299­300.  21.  Leibniz ro  Huygens, 26 Sep(ember 1692, in  Oeuvres, X,  p.  319; and  Leibniz ro  Huygens,  20 March  1693,  ibid., 426-428. 22. Ibid., p.  428. 

Chapeer 6 

Infiniees and Infmitesimals  in  Seventeenth­Century Natural Philosophy  143 

sibilityo  According to Leibniz,  different kinds of maner were endowed with  different degrees of hardness in such a way that «la matiere ait par tout que!que union ou connexion, et que neantmoins eH  soit encare divisible par touto»23  In Huygens's view,  il  est plus aise d'accorder la durete parfaiteet infinie pour rous,  que cene variete de  forces  pour differenrs corps.  Car il  est  plus difficile de concevoir les  raisons de ces  differenrs duretez,  que  d'en admenre une seule  infinie.  Ce  seroit  imaginer plu24  sieurs especes de  mariere premiere au lieu que je  n'en ay besoin que d'uneo  Not impressed by Leibniz's  criticism,  Huygens soon discontinued their   exchange of views on the atomic hypothesiso  Leibniz did try ro continue their   discussion,  but Huygens declined polite!yo 25   Let us  mm now ro  Roben Hooke's characterization of bodyo  As John Henry  has  recently shown,  a crucial component of Hooke's  mechanical  philosophy  is  his  menstruum, a subtle fluid with peculiar propenies o26  Hooke's «sensible  universe»,  or «the Whole of Realities,  that any ways affect our Senses»,  is  body  and motiono 27  Body, according to Hooke, is  not to be characterized by figure,  hardness,  «Fixedness,  Rarefaction  nor Densation»,  but by  being «somewhat  receptive and communicative of motion»o28 Aware that this is  not what people  usually understands by body, Hooke explains that «according to the cammon  notion .. oBody is  somewhat that doth perfectly fill  a determinate quantity of  space or extension so  as  necessarily ro  exclude all other bodies from being comprehended within the same Dimensions»o In contradistinction, he defines «a sensible  Body ro  be  a  determinate Space or Extension defended from  being  penetrated by another,  by a power from withino»29  Ir is  by providing, among  other things,  this «power from within» that his  menstruum ensures the physical  structure of the universeo  23. Ibid., p.  427.  24.  Huygens  to  Leibniz,  12 ]am;lary  1693, in  Oeuvres, X,  p.  386.  25.  Huygens ro  Leibniz,  17 September 1693, in  Oeuvres, X,  p.  509; see  ibid., p.  539,  574,600,  and614.  26.  ]ohn Henry, «Robert Hooke the Incongruous Mechanist»,  in M.  Huncer, S.  Schaffer eds.,  Robert Hooke. New Studies (Woodbridge: The Boydell Press,  1989),  149­180. Myaccounc  of Hooke's nocions  relies  heavily on Henry's paper.  27.  «Lectures de  Potencia Restitu(iva,  or ofSpring, Explaining (he  Power ofSpringing Bodies»  (1678),  in  RT. Guncher ed.,  Early science in Oxford (VIII). Tbe Cutler Lectures o/Robert Hooke (Oxford,  1931),333­356, p.  339; «Discours of (he Nature ofComets», in  postbumous Works (New York: ]ohnson Repr.  Co,  1969),  171. In (he  «Leceures de Po(encia Rescitutiva»,  Hooke suggests tha( bo(h body and mocion may be  twO  ma(erializacions of (he  same principIe: «These tuo do always councerbaHance each other in aH  (he effeces,  appearances,  and  operacions ofNature, and therefore  it  is  not impossible bU(  that they may be  one and  the  same...» (ibid.). However, in his  "Discours of the Na(ure of Corne(s» of four years la(er  he  s(resses  the  primary,  irreducible character of both body and motion  (Postbumous Works, 172­174). 

28. Ibid. 29. Ibid. p.  339­340. 

144

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Maler

Hooke explains his notion of «sensible body» through the analogy of an 1 square foot iron square that «occupies» 1 cubic foot when it most quickly moves back and forth along a 1-foot long lineo The vibrations thus necessary for bodies ro be, «1 do not suppose inherent or inseparable from the Partieles of Body, but communicated by Impulses given from other bodies». Furthermore, partieles show «affinities» ro receive motion that are somehow linked to their magnitudes: every Patticle of marrer according to its determinate or presenr Magnitude is receptive of this or that peculiar motion and no other, so that Magnitude and receptiviry of motion seems the same thing. Hooke adduces here the example of musical chords, which «are receptive of the motioo» of chords of the same tune, but do not vibrate in response ro the motion of other chords..30 So a partiele's magnitude and velocity determine a spectrum of motions that may move and alter it, but partieles will be «principally» moved by motions «of equal Velocity with their motions, and by other harmonious motions in a less degree» ..31 This general mechanism seems ro provide Hooke with an explanation for aH sorts of physical actions, ineluding actions-at-a-distance, although he does not attempt ro explain here specific effects like light, heat, magnetic influences or gravity.32 A question remains, however, and this is, what sort of vehiele wiH translate «harmonious motions» from body ro body. The menstruum comes ro scene: I do further suppose, A subtil marrer that incompasseth and pervades all other bodies, which is the Menstruum, in which they swim which maintains and continues all such bodies in rheir motion, and which is the medium that conveys all Homogenious or Harmonical motions from body to body.33 Hooke's notion ofbody needs no atoms nor «any determinate Part ofBody perfectly solid». As body, says Hooke, «a quart ofWatw) is not more essentially a Body, when sol id, as Ice, than when fluid; that is, the Minims of it are equally disposed ro Motion or Rest in position to each in other; and therefore Body, as Body, mayas well be, or be supposed ro be indefinite1y fluid, as definite1y solid; and consequently there is no necessity to suppose Aroms, or 30. Ibid, p. 340-341. 31. Ibid, p. 341. 32. Hooke's presenr account cleatly answers ro rhe lasr of the queries (rhe One abour rhe «operarions of narute» involved in «Heat and Light,... Rarefaction and Condensation, Hardness..., Perspicuity and Opacousness, Refracrions and Colours, etc») set forth ar the end of his

1661 AttemptJor the Explication 01 the PhaOlomOla Observable in an Experiment Published by the Honourable Robert Boyle, in R.T. Gunrher ed., Early science in OxJord (X). The Lijé and Work olRobert Hooke (Part 1"/) (Oxford, 1935), 1-50, p. 41. For an accounr of gra-

vity along rhe lines here mentioned, see «Discours of the Nature of Comers», 176-85, parricularly 183-185.

33. Ibid.

ehaprer 6

Inftnires and Infinitesimals in Sevenreench-Centuty Natural Philosophy

145

any determinate patt of Body perfecdy solid, ot such whose Pans are uncapable of changing position one ro another; sin ce, as I conceive, the Essence of Body is only determinate Extension, or a Power of being unalterably of such a Quantity, ...34 Another essential function the menstruum performs is maintaining liquid bodies in their fluid state. The pattieles of «bulky and sensible» bodies are kept rogether by the partieles of the surrounding medium vibrating in a «dissonant» way. According ro the differences between the vibrations of a body's partieles and those of the medium around, the body is more or less powerful in preserving its own shape. Fluid bodies are those the partieles of which are intimately intermixed with those of the menstruum: All bodies neet the Eanh are incompassed with a fluid subtil marrer by the differing Ve10ciry of whose parrs all solid bodies are kept rogether in the peculiar shapes, they were left in when they were last fluid. And all fluid bodies whatsoever are mixed with this fluid, and which is not extended from them till they become solid. Fluid bulks differ from solids only in this, that all fluids consists of two sotts of patticles, the one this common Menstruum near the Eatth, which is interspersed between the Vibrating panicles appropriated to that bulk, and so patticipating of the motions and Vibrations thereof: And the other, by excluding wholly, or not patticipating of that motion. 35 Hooke goes on then ro explain that in liquid bodies the partieles of the menstruum, or «heterogeneous fluid», preeludes me partieles of the bodl directly 3 ro hit their neighboring partieles, as partieles from solid bodies do.. Hooke is not very precise about the nature of his menstruum. In the many direct and indirect references Hooke devotes ro it, it appears as an ideal fluid in the sense that it is the limit case of fluidness. It is constituted by the smallest particles, a notion Hooke introduces through an indirect, negative way: The smaller the patticles of bodies are the nearer do they approach ro the nature of the general fluid, and the more easily do they mix and participate of its motion.37 Hooke also specifies that the motion properly corresponding to any partiele is inversely as its «bigness». This would endow the partieles of the menstruurn with the largest velocity. A notion very similar to the 1678 menstruum reappears in his 1682 «Discourse of the Nature of Comets». Here, in the context of explaining the nature of fluid «Celestial Bodies», Hooke divides them in two kinds: 34.
146

From Indivisibles ro Infinitesimals

Ancon; Malet

one whose Parts are in sorne son solid, and may have determinate Figures, Magnitudes and Motions; and the other, which hath no one Pan that may be called a Solid, but its Parrs are infinitely or indefinitely fluid. The first 1 call the Een-fluid, or almost-fluid Aether; the second, the quite fluid AetheI. 38

This «quite fluid aethef» is in fact «so fluid, as hardly to be able ro hinder the Motion of any Solid through in>. Ir is nonetheless «the Medium by which the Communication of the harmonious or inharmonious Motions of the more solid Parts and Partieles are communicated to others at a considerable distance».39  Avowedly,  Hooke is  not clear about the ultimate nature of the menstmum. As  we  shall  see  below,  however,  ambiguity on whether the smallest  magnitudes involved in mechanical explanations were infinitesimal rather than  finite was  almost always  present through the century.  Hooke was  aware of the peculiar status his  menstruum or «quite fluid ethef»  hado  He acknowledged that the quite fluid ether «seems  a meer Chimera, and  without real  ground in  Nature»,  and that among the  «Observations  and  Experiments 1 shall afterwards produce ...  may be no one found that can positively demonstrate»  its  existence.  Hooke then added a methodological comment on the kind of knowledge ro  be achieved about «Causes,  PrincipIes and  Operations»  that work by «Instruments  ...  far  removed beyond the reach  of  our Senses».  The working of insensible causes must be imagined through analogy or «similitude»  from  the working of causes that can be observed:  [T]he best and utmost we can do rowards  the discovery of [such Causes,  Principies  and Operations]' is  only accurately ro  observe and examine all  those  Effects produced by them, which fall  within the Power of OUt  Senses,  and comparing them  with such Effeers,  produced by Causes that fal!  within the teach of o ur Senses,  ro  examine,  and so  from  Sensibles  ro  argue  the Similitude of the  nature of Causes  that are whol!y insensible. And this is  the utmost Bound and Limit of our most exalted and regulated Reasoning,  beyond which that Power cannot carry us. 40 

Hooke was  thus  ro  solve  quite easily what is  now known as  the problem  of transduction. 41  Ir will  be noticed that in fashioning  his  quite fluid  ether  Hooke used «similitude»  in two ways.  He made it able to produce effects «similaf»  to effects  produced by observable fluids.  And he imagined it ro  be constituted by particles  «similaf»  ro  ordinary fluids's  particles ­but infinitely  38.  «A  Discourse of the Nature of Comets», in  The Posthumolls Works o/Robert Hooke (London,  1705;  repI.  New York: ]ohnson Reprint  Co.,  1969),  [149]­185,  p.  165; see].  Henry,  «Roben Hooke",  p.  161ff.  39. [bid., p.  171. 40.  «A  Discourse of the Nature ofComets», p.  165.  41.  See  M.  Mandelbaum,  Philosophy, Science and Sense Perception: Historical and Critical Studies (Baltimore: ]ohns Hopkins University Press,  1964), Ch. 2; ].E. McGuire, «Atoms and the  'Analogy of Nature':  Newton's Third Rule  of Philosophizing»,  Stud. Hist. Phi!. Sci., 1, 1970,3­58. 

Chaptee 6 

Infinites and Infinitesimals  in Seventeenth­Century Natutal Philosophy  147

reduced in size.  We  ｦｩｾ､ ｴｨｾｳ double use  of «similitude»  in  the fashioning of  other substances or obJects tntroduced by seventeenth­century natural philosophers. The supposition that magnitudes and sizes were incomparably or infinitely larger (or smaller)  than ordinary ones could be required either ro ensure  the mechanical explanation of sorne physical effect, or ro account for  the unobservable character of substances deemed necessary to explain nature mechanically. Perhaps  the most elaborate of these  «limit»  substances  is  Robert Hooke's  menstruum, but among the conceptual rools of mechanical philosophers there  are other examples  of material substances characterized by possessing sorne  physical property in an  infinite degree.  Hobbes's  air contains parts  that are  «infinite1y subtle». That their subtlety is  aboye  measure  is  the reason why  Boyle's account of the phenomena revealed by the pneumatic pump is wrong.  No matter how accurately the receiver  is  sealed,  parts of the air will  get in  because of their infinite subtlety.  Years  before  Hobbes had introduced «the  purest aethereal substance; of which no part is  an Arom, but which can be  divided ...  into pans which are always divisible».42  As  is well  known, Huygens envisaged a series of matters of increasing subtlety as  the most plausible way of explaining electrical phenomena,  magnetism,  optical  phenomena, gravity,  different solid states,  or even the spherical  shape of drops.43 The partieles of Huygens's luminiferous ether are ro  be supposed «estre d'une matiere si ･ｴｮ｡ｨ｣ｯｲｰｾ de la durete parfaite  & d'un ressort  si  prompt que nous voulons.»  4  Here Huygens attributes the cause of the partieles's spring  (ressort) still  ro  sorne subtle matter that pervades the partieles of  the subtle luminiferous ether. 45  Fluidity, or the condition ofliquids, Huygens  explained through «une matiere fortement agitee,  et si  subtile qu'elle  penetre  par rouS  les  corps que nous estimons les  plus solides». This subtle matter also  46  explains the resistance water offers  ro compression. Ir is  undersrood that partieles of any of those ethers are negligible in comparison with the partieles of  ethers higher or lower in the hierarchy of subtlety. This is  explicidy said of the  partieles of the luminiferous ether, less subtle than the magnetic ether.  Huygens  conceives  the ether that canies the light pulses  ro  be composed «de  parties  incomparablement plus grosses  que la matiere magnetique, laquelle ne fait que  les  traverser,  et couler par leurs interstices sans auoir la  force de les  chasser de  leur place».47  42.  S.  Shapin, S.  Schaffer,  Leviathan and the air-pump. Hobbes, Boyle, and the experimental lije (Princeton:  Princeton University Press,  1985),  116,  119.  43.  See R.  Halleux,  «Huygens et  les  théories de la  mariere»,  in  Huygens et la France (Paris: Vrin,  1982),  187­196. ror a list of effects  to be explained through sorne subde maner, see  Oeuvres, XIX,  p.  553. ror comparisons  berween different kinds of subtle matters, see  ibid., p.  570577. 

44. 45. 46. 47.

[bid., p.  472[bid. [bid., p.  328, 334­335.  Oeuvres, XIX,  p.  577. 

148

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Maler

Huygens attached an «infinite1y swift motion» (mouuement infiniment viste) to the motion of the subtle gravitational matter that goes through bodies and causes their weight. 48 That the (observed and observable) motion of macroscopic bodies can be disregarded in comparison with the infinite1y swift motion  of gravitational matter was  crucial  in Huygens's account of Galileo's hypothesis that free  fall  is  a uniformly difform motion. Since bodies are pushed  (poussez)  by parts of gravitational matter the motion of which,  est tousiours  infinimenr plus viste  que  celui qu'ils  peuuenr auoir acquis  par des  cheutes qui  tombenr soubs  norre experience,  cela  fait  que I'action de la matiere  qui les presse peut esrre considerée rousiours aussi forte  que lors queIle les  trouue  au repos,  d'ou I'on conclud ensuitte assez facilement I'accroissement des vitesses proportionné a celuy des  temps.49  Thus the notion that the mechanical effects of partieles may be infinitesimal  in character played a crucial role in  the mechanical philosophy. Apparently  Huygens had occasional misgivings about conceptual difficulties arising from  his conjecture that there were many kinds of partieles, those of a ny kind being  incomparably smaller (or bigger)  than those of another.  He argued that «rien  n'empesche de supposer ces différents degrez de grandeur vu la gradation possible a i'infini vers la petitesse».50 This notion is  hard to understand properiy.  Apparently Huygens saw in  it just a logico­mathematical tenet allowing him to  assume  aH  degrees  of incommensurable­or­incomparable magnitudes.  In  Leibniz's hands, however,  it became an argument against an atomistic understanding of matter:  We would have  narure  ro  go  no  farther,  and  ro  be  finire,  as  OUt  minds are:  but  this  is  being ignorant of the  greatness  and majesty of the  author of rhings.  The  least corpuscle is acruaIly subdivided in  infinirum, and contains a world of other  crearures. 51  Avowedly there is  a fundamental ambiguity in the way «incomparably» larger (or smaller)  magnitudes were handled in the seventeenth­century.  It is  never  eleariy acknowledged whether «incomparably» and «infinite1y»  meant that the  magnitudes were actually infinitesimal,  or infinite, when compared to each  other,  or were just (finite)  magnitudes such that as  a matter of practical computation one could be neglected by comparison to the other. What is  yet more  remarkable,  it does  not appear that seventeenth­century natural philosophers  were  much bothered by such an ambiguity. This may respond to sorne philo48. Oeuvres,  XIX,  p.  627;  quoted  by  R.S.  WestfaIl,  Force  in  Newton's  Physics  (London:  MacDonald,  1971),  p.  182.  49. Oeuvres,  XIX, p.  640.  50.   Oeuvres,  XIX,  575  (quoted in  HaIleux,  «Huygens et les  théories  de la  matiere»,  p.  192).  51.  H.G. Alexander ed.,  The Leibniz­Clarke correspondence  (Manchester:  Manchester Universiry  Press,  1956), p.  43. 

Chapeer 6

Infinires and Infinitesimals in Sevenceenth-Cencury Natutal Philosophy

149

sophers's  pragmatist stance  in front of the question ­the existence of infinitesimals, that is­ combined with awareness that mathematicians, even if answering mostly affirmative1y,  had no complete1y satisfactory answer to  it.  In  1701, in one of the few occasions 1 know of in which supporters of infinitesimals discussed this ambiguity, Varignon requested Leibniz's views upon  it.52 Varignon was worried because he had been told that, contrary to what he  taught and thought,  Leibniz understood differentials  of magnitudes  (dx) as  magnitudes very small but none the less determined and ultimate1y comparable to x.  Interestingly, Leibniz dismisses Varignon's worries without addressing  Varignon's main preoccupation, or rather dismissing the re1evance of the preoccupation but giving no answer  to  it.  Mathematical analysis,  says  Leibniz,  cannot hinge on «metaphysical controversies»  such as  whether there are  in  nature lines that are truly infinite1y shorter or longer than others.  It is  possible,  and it is  enough, to explain the infinite through incomparability. Thus, a partiele  of magnetic matter, which goes  through glass,  is  incomparably smaller  than a grain of sand, and this in turn is  incomparably smaller than the terraqueous  globe,  which  is  so  as  weH  in  comparison  with  the  firmamento  Incomparability between magnitudes,  Leibniz goes  on, can be  understood  both ways ­as one magnitude being strictly speaking infinite1y larger than  the other, or as  one being mere1y  negligible vis­a­vis  the other. Such incomparable magnitudes «font l' effect des infiniment petits rigoureux».53  There are in Leibniz's long answer sorne rationalist arguments that perhaps  sorne seventeenth­century mathematicians, particulariy British ones, would not  embrace,  as  for  instance Leibniz's suggestion that if anybody does  not countenance infinitesimals  «a  la rigueur metaphysique et comme des  choses  reelles»,  then he may take them to be ideal  notions like imaginary roQts,  or powers with  no ordinary numbers  as  exponents, «le tout pour établir des idées propres a abreger les  raisonnemens et fondées en realités.»54  On the main, however,  Leibniz's  answer to Varignon may have set forth the dominant view in seventeenth­century mathematics and natural philosophy, that,  as  he put it, in geometry as  well  as  in nature everything works as  if infinitesimals were perfectly real. 55  In and Out of Theological Debates  It is  to be stressed  that well  into the seventeenth century arguments against  using infinites were  not mere1y scholariy exercises,  for  they played a  role  in  56  re1igious  apology­as they had otherwise done since the Middle Ages. 

52.  Varignon  ro  Leibniz,  28  Novembre  1701,  in  G.W.  Leibniz,  !'vlathematische Schriften,  7  vol.,  c.l. Gerhardt ed.  (Hildesheim,  1962), IV,  89­91.  53.  Leibniz ro Varignon, 2 February 1702, in G.W. Leibniz,  Mathematische Schriften,  IV, 9194,  p. 91.  54.   ¡bid.,  p.  92­93.  55.   ¡bid.,  p.  93.  56.  ].E.  Murdoch, «Infiniry and conrinuiry»,  passim. 

150

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

In 1652, in his Philosophicall Essay Towards an Eviction ofthe Being and Attributes ofGod, Seth Ward put typical arguments against actual infinites at the center of his answer to the question, «Whether or not there be a God?». In order to prove that the God-head is the eternal cause of everything, Ward assumes the series of human generations ro be infinite -for, if it be finite, then we must be1ieve in a «first production from a cause eternal». Yet assuming the number of generations ro  be  infinite, Ward argues,  «doth force  the  minde to contradictions, and consequently the fictÍon  is vaín and utterly impossible.» The argument can be summarized as  follows.  The number of generatÍons  ending in Abraham is  obviously less  than the  number of generations ending  in ]oseph, Abraham's great­great son.  Since no number can  be greater than  infinite, this implies the number of generations ending in Abraham cannot be  infinite. And if one is  to assert that both «Abraham's series))  of generations and  ]oseph's are  infinite, then we must condude that both numbers are equal while  one strictly is  a part of the other:  If any shall affirm  rhar  rhe  course  of generaríon  had no  beginning,  bur rhar  rhe  number of [generarions]  harh been infinire,  ...  [Ier us]  imagine the generations of  Abraham  for  example,  and of]oseph.  I demand ...  wherher before  rhe  binh of  Abraham,  there had pasr an  infinire series of generations or nor?  If rhe series was  finire,  rhe work of generarion had beginning, which is  rhe conclusion I contend for,  if rhe  series  past was  infinite,  rhen  ar  the binh of]oseph 'ris evident rhat more  generations were  pasr,  so  we  have  found  a number greater rhen  that which  was  supposed  ro  be  infinite,  and consequently rhat was  nor  infinite,  so  it was  borh  infinite and not infinite,  a manifesr  contradicrion;  but if we  say  thar Abrahams  series was  infinire and thar so  was Josephs also,  then  it will  follow  thar the  number of Abrahams  was  equall  ro  rhe  number of Josephs,  bur Abrahams was  but a  pan ofJosephs, wherefore the pan is  equall ro  the whole.... We see therefore rhat  supposing rhe erernity of the world,  or  rhe  infinity of generarions doth force  the  minde ro  contradicrions, and consequently the fiction  is  vain  and  utterly  impossibleY  A similar argument, if originally phrased,  is  to be found in the writings of  the non­conformist divine, ]ohn Howe (1630­1705).58  Shortly  after  the  publication  of Ward's  Philosophicall Essay, Edward  Stillingfleet's  Origines sacrae inaugurated a style of Christian apology attuned  to the needs and achievements of natural philosophy.59 One of the most representative among the  «Iatitude­men»  and bishop ofWo!cester from  1689,  Stillingfleet (1635­1699)  represents  the emergence of the reasonable,  enligh57.  S.  Ward,  A Philosophicall Essay Towards an Eviction ofthe Being and Attributes ofGod (Oxford,  1652),  15­16.  58.  See  his  1675  The Living Temple ofGod, in  The Works oj.".. jolm Howe (2  vol.,  London,  1724),  r, 1­242, p.  55.  59.  See S.  Hurton, «Edward StillingHeet,  Henry More, and the decline of Moses Atticus: A note  on  17th­cenrury Anglican  apologetics»,  in  R.  Kroll  et al eds.,  Philosophy, science and religion  in England 1640­1700 (Cambridge:  Cambridge Universiry Press,  1992),64­84. 

Chapter 6

Infinites and Infinitesimals in Seventeenth-Cemury Natutal Philosophy

151

tened re1igiosity of the eighteenth century.  Stillingfleet had no qualms about  embracing a corpuscular ontology,  but harshly rebuked the «Epicurean atomists»  for  endowing matter with  a se1f­moving principIe. This, he  argued,  would suggest that there is  <<TIothing e1se  but matter and motÍon in the world»  and lead to  the deification of matter. 6ü  While allowing that «many of the  Phaenomena of the Universe are  far  more intelligible  [if]  explained by  matter and motÍon then by substantial forms and real  qualitites», Stillingfleet  ｳｵｾﾭ gested  that God direct intervention is  needed truly to  understand nature.  1 Stillingfleet mentioned in passing that the infinite duration of the world entails  a contradictÍon ­but he just pointed out that this demonstrates «the impossibility of our understandings comprehending the nature of Infinity».62  Not  giving any special place to the antinomies derived from  infinite quantities in  his arguments about God's existence and providence, Stillingfleet used arguments  that were eminently «reasonable»  (sic),  and stressed  God's  role  as  a  necessary  source of motion and designo As  noticed by Nan Gabbey, the writings of the Cambridge Platonist, Henry  More (1614­1687), also  reveal  the impact of seventeenth­century natural philosophy on his views  on the infinite.  In his  1642  Psichodia Platonica  More,  who had not yet get in contaet with Cartesian ideas, denied the possibility of  infinite time with the argument mat the number ofhours, days and months past  would all  be equal  to each other.  In  1646, however,  after  reading Descartes's  Principies ofPhilosophy,  More's universe is  infinite1y extended, and an infinite 63 number of planetary systems in it reveals God's infinite goodness. Interestingly,  therefore,  there is  a historicallink berween a shift in Christian apology,  that  moves  doser to natural philosophy and gives  a  new importance ro  demonstratÍons of God's existence based on the design  argument,  and the fact  that  logical antinomies derived from  handling infinites both lose strength and feature less  prominently, or are  no longer deemed worth mentioning, in theological debates. The changing status of infinites and infinitesimals in  the second half of  the century is  illustrated by one of the last squabbles  between Wal1is  and  Hobbes. In  1671, in the quarre1  already referred to in Chapter 2, Wallis had ro  answer a  number of strictly mathematical queries ­among which, whether  «there  be any number Infinite))  and whether «there be any Quantity greater  than Infinite». The interesting part of this debate for  us  now comes after Wallis's  (strictly mathematical)  answers ro  Hobbes's queries.  For,  in a compleat reversal  of roles,  Wallis,  the advocate of infinitesimals and mathematical infinites, 

60.   Origines sacrae.  or a RdtionalAccount ofthe Grounds ofChristian Faith  (London,  1662); on  corpuscularianism,  p.  377ff,  and 448ff;  on  the  deification of self­active  marter,  p.  446.  61.  ¡bid.,  p.  448.  62.  ¡bid.,  p.  376.  63.  A.  Gabbey,  «Philosophia Cartesiana Triumphata:  Henry More  (1646­1671»>,  in T.M.  Lennon, ].M. Nicholas, ].W. Davis  eds.,  Problems  ofCartesianism  (Kingsron:  McGillQueen's Universiry Press,  1982),  171­250. p.  175­82. 

152 From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

rhrows rhe paradoxes of rhe infinire againsr Hobbes. As if marhemarical infinires were  now insulared from  classical  paradoxes,  Wallis  did use  rhem as  an  ad hominem argument ­ro expose  Hobbes's  marerialism and be/id on rhe  erernity of the world:  But having solved these  Quaere's, I have sorne for  Mr. Hobs to answer. ..  Let  him  ask himself therefore,  if he  be still of opinion,  that  there is no Argument in nature to prove, the World had a Beginning. l.  Whether,  in  case  ir  had not,  there must  not have passed an  Infinite number ofyears before Mr.  Hobs was  born....  2. Whether,  now,  there have not passed  more, that is,  more than that infinite number. Wherher,  in  that  Infinite (or  more than infinite) number of Years, there have  not been  a  Greater number of Days and  Hours: and of which  hitherto,  the last is given. 4. Whether,  if this  be  an  Absurdity, we have not then ...  an  Argument in nature to  prove,  the world had a beginning. ... [He cannor]  serve himself (as  the Mathematicians  do)  with  supposed Infinites; For his  Infinites,  and  more  than  Infinites ofYears,  Days, and Hours,  already past, must be  Real Infinites, ... Mr.  Hobs shall do well...  to  solve  these, before he propose  [sic]  more  Quaere's of Injinites. 64 Againsr Hobbes rhe gambir was  dangerous,  for  he answered rhar Wallis's  argument proved as  well  that Cod had a  beginning.  Yet  Hobbes was  not to  push rhe argument very far a10ng rhis line eirher ­ir was obvious ro  him rhar,  «Thus 'tis when men intangle themselves in  a Dispute of that which they cannot comfrehend.... A11  this arguing ofInfinites is  but the ambition of Schoolboyes.»6  To  which Wallis,  apparently glad to let things  rest here,  only answered  rhat «We are not to measure Cods Permanent Duration ofEternity, by our successive Durarion ofTime: Nor,  his Intirc  Ubiquity,  by Corporcal  Extension.»66  In  an  un p ublished text written  in the early  1690s,  probably in  1692 or  1693, Newron carefully disringuished Cod from space, which «[b]y reason of  irs erernity and infinity will neither be Cod nor wise nor powerful nor a1ive».67  The text ineludes rhe  recognition that infinires are hard ro  understand,  particularly ro  rhe non­versed in  marhematics:  Srill I admit that an infinite number of thillgs is  difficult ro  conceive,  and is  therefore  taken by many people as  impossible: but there are many things concerning  numbers and  magnitudes which  ro  men  not learned in  mathematics will  appear 

64.   U. Wallis], "An Answet to  Fout Papers of Mr. Hobs, .... ",  Philosophical Transactions,  numo  75  (18  September  1671),2241­2250, p.  2243­2244  65.  T.  Hobbes,  Three papers Presented to  the Royal Society Against Dr.  Wallis  (London,  1671).  p.  [8J. 66.   U. WallisJ,  "An Answer ro  Four Papers ofMr. Hobs, .... »,  p.  2250.  67.  ].E.  McGuire,  "Newron on  Place,  Time and  God: An  Unpublished Soutce»,  Brit.  jour.  Hist.  Sci.,  11  (1978),  114­129, p.  119  (unless  otherwise noticed,  1 will  use  McGuire's translation).  McGuire identified the  text he  transcribed and  translated as  a draft relating ro  a  revised  edirion  of lhe  Principia  Newron was  planing in  lhe early  1690s.  On  this  text,  see  also  his "Existence, Actualiry and Necessiry:  Newton an Space and Time», Annals ofScience,  35 (19 7 8), 463­ 508. 

Chapter 6

Infinites and Infinitesimals in Seventeenrh-Cenrury Natural Philosophy

153

paradoxical,  and yer are enrirely rrue.  As rhar an  area of infinire lengrh, and solid  ofinfinite length and width, can be measured; ... 68  Newron added here a  number of marhemarical  resulrs  involving infinite  spaces  and motions,  ro  conelude,  among orher things,  «rhar  nor everyrhing  eternal and infinite will  be  Cod».  Interestingly,  rhis  rext,  that makes  actual  infinity explicitly independent from rhe notion of Cod, stresses that «[i]r is  of  concern ro  theologians thar the conceprion  [of Cod]  be made as  easy and as  agreeable to reason as possible».69  Newron went on to first clarif)r and then set  forth whar he rhought was rhe «most perfecr idea of Cod», afrer which he stressed again that his idea combined as  much as  it could be hoped for  inrelligibility with a description of Cod's perfection:  This is  an Idea of a most perfect  being, and a harder concept [ro grasp]  will add very  litde ro  the  deity's perfecrion, but rather will  render it suspect and exclude it from  rerum  natura.7°  Robert Boyle offers as  good an evidence as  ir could be desired about rhe  changing status of the notion of infinite, particularly vis­a­vis theological conrroversies.  As has been very recently shown, his  1681  Discourse ofThings above  Reason,  Inquiring whether a Philosopher should admit there are any such  «developed  [the]  point thar human finite reason is  unable ro  penetrate the mysteries  of Christianity» ­ a  point mostly nonconformist in characrer. 71 Sophronius,  Boyle's  mourh piece,  brings forward  a  three­fold division among things  rhat  escape human comprehension.  To the hrst category,  things  «incomprehensible»,  belong things whose  nature is  not comprehensible,  such as  intellectual  beings of a higher order rhan human souls,  including of course Cod. 72 Secondly,  «inexplicable»  things are those that we are not able ro  conceive, such «as  how  matter can be infinitely...  divisible»  or how Cod made rhe world out of nothing. 73  Finally,  he calls  «insociable»  rhose things whose narure seems contradictory,  being such as  are  incumbred with difficulties  or objections,  that  cannot direcdy  and satisfacrorily be removed by them,  thaL ..  do reason  but at  the common rate,  68.   ¡bid  69.  ¡bid, p.  121.  70.   "Haec est  Idea entis summe perfecti et conceptus durior Deitatem minime perficiel sed  suspectam  potius  reddet et excludet e rerum  natura.»  ¡bid,  p.  122.  I have  slightly  modified  McGuite's transIatian.  71.  ].  Wojcik,  "The theological  context of Boyle's  Things above  Reasom>,  in  M.  Hunrer ed.,  Robert Boyle  Reconsidered(Cambtidge:  Cambridge  Universily  Ptess,  1994),  139­155,  p.  149.  Wojcik's anicle provides an excellent summary ofBoyle's  Discourse  and ilS  rheological  co ntext.  72.   R.  Boyle,  Discourse ofThings above Reason,  in  T. Birch ed.,  Works,  6 vol..  (London,  1772;  repr.  Hildesheim: Georg Ohms,  1966),  IV,  406­469.  p.  407­408.  73.  ¡bid,  p.  408. 

154

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

such objecrs of conremplation as this third SOft consists of, having something belonging ro them, that seems not reconcilable with sorne very manifest, or at least acknowledged truth.?4 Here Boyle offered, as an «example of a moral nature», that men have free will and yet God has foreknowledge of everything that will come to pass. This, as Wojcik convincingly argues, was one of the most disputed poims in the comext that prompted Boyle's Things above Reason. Next, as examples of «insociable»  things of a mathematical nature, he offered sorne typical paradoxes linked to the notions of infinite and indivisible,75  He stresses the fact that many  people, including «great wits»,  are genuinely baffied by the unconquerable diEficulties  they met with not only with notions such as  God's nature,  but also  with problems such as  «whether or not a continued quamity...  be made up of  indivisibles.»76  Boyle's general  poim, however,  is  mainly a  positive one.  He  does  not want to forbid not even discourage that reason be used in these truly  difficult questions ­he wishes  to warn about using it too  confidendy.  The  rules and notions of our reason,  Boyle says,  are abstracted only from  finite  things,  or are  congruous but ro  them;  they may  prove  useless  or deceitful  ro us,  when we  go  about  ro strecht them beyond their  measure,  and apply them ro  the infinite God, or ro  things,  that involve an infiniteness either in  multitude,  magnitude, or littleness.?7  Acknowledging human  reason  proper limitations, he does  not wam to  suggest that we should not «pry into the wonderful attributes of this  most  singular and adorable being  [God]»,78  On the contrary,  «We owe so  much  to God... , that I shall  be very glad to learn any thing, that may increase my  wonder and veneration for  an object,  to whom  I can  never pay enough of  either.>,79  In a differem text,  Boyle uses the infinite as  a double analogy to talk about  God.  Of God he says  «that it  is  that,  of which how much soever one takes,  there still remains more to be taken» ­and Boyle explicitly reminded the rea-

Chapter 6

Infinites and Infinitesimals in Seventeenth-Century Natural Philosophy

155

der that this was Aristotle's  definition of infinite.  He also  uses  infinite series  as  a  metaphor for our grasp of the idea of God:  as  in  an  infinite series...  though you may still advance ro greater and greater numbers, yet all  that you can do by that progress,  is  ro  go  farther and farther from the  first...  term of the progression,  (which in our case  answers  ro  smallest degree of  our knowledge of God)  without ever  reaching,  or,...  so  much  as  approaching to  an  infinite  number,  (in  case  there were  any such)  or even  to the  greatest of aH  numbers;  as  will  be acknowledged by those,  that have looked inro the  properties  of progressions in  infinitum. 80  The paradoxes of the infinite are not signaling here forbidden  intellectual  roads  nor blocking them. The notion of infinite has lost its cemuries old theological virulence ­it is just something we must get used to live with.  Ir was  too  useful  an element of mathematical  techniques for  mathematicians and  natural philosophers ro  reno unce to it ­particularly when it was growing ever  more fashionable to approximate Christian apology to natural philosophy,  ro  subordinate dogmatic questions  to «reasonable»  arguments,  and  ro  acknowledge  the limits of human  reason  in  maners metaphysical and theological.  Above all,  infinites and infinitesimals constituted an  integral part of notions  that were crucial ro  the mechanical and experimental philosophy. They became embedded so  to speak into the conceptualization of the  physical world.  This may contribute to explain why in the eighteenth century to question  their status became a  maner of the «metaphysique du calcul infinitesimal». 

74. ¡bid 75.  For instance, since «geometricians...  teach  rhe divisibiliry  in infinitum... ro  be marhemari-

cally demonsrrable",  he compares  rhe  infinire number of parrs in rwo  segmenrs,  rhe legrh  of one of which is  jusr half rhe orher's. The rwo  infinire number of pans cannor be eirher  equal,  because rhe lines are  nor equal, nor differenr,  because one line would ger divided in  a number of pans grearer rhan infinire. Therefore,  «we may be reduced eirher ro  rejecr inferences legirirnarely drawn  frarn  rnanifesr or granred  rrurhs,  or  ro adrnir conclusions,  rhar  appear absurd; if we will have all  rhe cornrnon rules, whereby we judge of orher rhings,  ro  be applicable  ro  infinires."  ¡bid, p.  409.  The rwo  concenrric circles  are  also  rnenrioned  76. 77. 78. 79.

(ibid, p.  409­410).  ¡bid, p.  411.  ¡bid, p.  414.  ¡bid, p.  446.  ¡bid, p.  423. 

80.  R.  Boyle,  01 the High Veneration Man s¡nteffeet owes to Cod, peeuliarly fOr His Wisdom and Power, in  Works, Y,  130­157,  p.  153. 

REFERENCES

ALEXANDER, H.G. ed. The Leibniz-Clarke correspondence. Manchester: Manchester University Press, 1956. ANDERSEN, K. "Cavalieri's Method of Indivisibles». Archivefor History o/Exact Sciences, 31 (1985),291-367. -«The Method ofIndivisibles: Changing Understandings». In A. Heinekamp ed., 300lahre "Nova methodus» von G. W Leibniz (J684 -1984) (Wiesbaden: Steiner Verlag, 1986), 14-25. ANGLUS (or White, Blacklow, Albus), T. Exercitatio geometrica. De Geometria Indivisibilium, et Proportione Spiralis ad Circulum. London, 1658. ARCHIMEDES. The Wórks o/Archimedes. T.L. Heath ed. and transo New York, n.d.q AUGER, L. Un savant meconnu: GiUes Personne de Roberval (J602-1615). Paris, 1962. ApOLLONIUS OF PERGA. Les coniques. P. ver Eecke ed. and transo Paris, 1959. BARON, M.E. The Origins o/the Infinitesimal Calculus. New York, 1969. BARROW, 1. The Mathematical Wárks o/ Isaac Barrow. W Whewell ed. Cambridge, 1860. - The Optical Lectures o/Isaac Barrow. A. G. Bennet & E. Edgar eds., A. Fay transo London, 1987.

- The Uselfulness o/Mathematical Learning Explained and Demonstrated. J. Kirkby transo London, 1734 (repr. London, 1970).

- The Geometrical Lectures o/Isaac Barrow. J.M. Child ed. and transo Chicago, 1916. BECHLER, Z. Newton's Physics and the Conceptual Structure o/the Scientific Revolution. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. BIAGIOLI, M. «Anthropology of Incommensurability». Studies in History and Philosophy o/Science, 21 (1990), 183-209. BOCKSTAELE, P. «La théorie des tangentes aux combes algebriques dans l'oeuvre  de  René­Fran<;:ois  de  Sluse».  Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liege, 55  (1986),  135­44.  BORTOLOTTI,  E.  «1  progressi del merado infinitesimale nel1' opera geometrica  di Evangelista Torricel1i».  Periodico di matematiche, 4 ser,  8  (1928),19­59. 

158

From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

Bos, H. «Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus». Archive ftr History o[Exact Sciences, 14 (1974-75), 1-90. -«Huygens and mathematics». In H.J.M. Bos et al eds., Studies on Christiaan Huygens(Lisse, 1980), 126-147. -«L'élaboration du calcul infinitesimal, Huygens entre Pascal et Leibniz». In Huygens et la France (Paris, 1981); 131-152. BOSMANS, H. «Sur l' oeuvre mathématique de Blaise Pascal». Mathesis, 38 (1924), Supplement, 1-59. -«Sur une contradiction reprochée a la théorie des 'indivisibles' chez Cavalieri». Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, 42 (1922-23), 82-9. -«La notion des indivisibles chez Blaise Pascal». Archivio di Storia della Scienza) 4, 1923,369-79. -«André Tacquet». In Académie Royale de Belgique, Biographie nationale (Bruxel1es, 1926-1929), XXIV, cols. 440-464. BOULLIAU, 1. Exercitationes geometricae tres. Paris, 1657. BOYLE, R. Wórks, 6 vol. London, 1772. T. Birch ed. Repr. Hildesheim: Georg Olms,1966. CA]ORI, F. «Controversies on Mathematics between Wal1is, Hobbes, and Barrow». Mathematics Téacher, 22 (1929), 146-151. CASSlRER, E. El problema del conocimiento en la jilosofia y en la ciencia modernas, 4 vol. W Roces transo Mexico D.E: FCE, 1986 (1st German ed., 1906). CAVALlERI, B. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bologna, 1653. -Geometria degli Indivisibili di Bonaventura Cavalieri. L. Lombardo-Radice ed. and transo Torino, 1966. -Exercitationes geometricae sexo Bologna, 1647. CELLlNI, G. «Gli indivisibili nel pensiero matematico e filosofico di Bonaventura Cavalieri». Periodico di matematiche, 4 ser, 44 (1966), 1-21. -«Le dimostrazioni di Cavalieri del suo principio». Periodico di matematiche, 4 ser, 44 (1966), 85-105. COHEN, LB. The Newtonian Revolution. Cambridge, 1980. Commercium Epistolicum. E. Lefort & F. Biot eds. Paris, 1856. DECHALEs, C. F. Milliet. Cursus seu mundus mathematicus, 4 vol. Lyon, 1690 (first, shorter edition in 3 vol, 1674). DEHN, M. & HELLlNGER, E.D. «Certain mathematical achievements of]ames Gregory». American Mathematical Monthly, 50 (1943), 149-63. -«On James Gregory's Véra quadratura». In H.W Turnbul1 ed., Gregory Tércentenary Memorial Volume (London, 1939),468-78. DESCARTES, R. Oeuvres de Descartes, 12 vol. C. Adam & P. Tannery eds. Paris, 1965. DESCARTES, R. Geometria. Amsterdam, 1659-61. DI]KSTERHUIS, E.J. Archimedes. Princeton: Princeton University Press, 1987. C. Dikshoorn trans., with a bibliographic essay by W.R. Knorr; 1st ed. 1938. .

References

159

DUGAS, R. La mécanique au ](Vlle siec/e (des antécédents scolastiques a la pensée classique). Neuchátel: Editions du Griffon, 1954. EAGLES, C. «The Mathematical Work of David Gregory 1659-1708». Ph.D. Diss., University of Edinburgh, 1977. EUCLID. The Thirteen Books o[the Elements, 3 vol. T.L. Heath ed. and transo New York, 1956. FEIGENBAUM, L. «Brook Taylor and the Method of Increments». Archive ftr History o[ExactSciences, 34 (1985),1-140. FERMAT, P. de. Oeuvres, 4 vol., P. Tannery, C. Henry eds. Paris, 1891-1912. FESTA, E. «Quelques aspects de la controverse sur les indivisibles». In M. Bucciantini, M. Torrini eds., Geometria e atomismo nella scuola galileana (Firenze: Leo S. Olschki, 1992), 193-207. FREUDENTHAL, G. Atom and Individual in the Age o[Newton. On the Genesis o[ the Mechanistic Wórld View. P. McLaughlin transo Dordrecht: D. Reidel, 1986. GABBEY, A. «Philosophia Cartesiana Triumphata: Henry More (1646-1671». In T.M. Lennon, J.M. Nicholas,].W Davis eds., Problems o[Cartesianism (Kingston: McGil1-Queen's University Press, 1982), 171-250. GALILEI, G. Opere, 20 vol. (in 21). A. Favaro ed. Repr. Firenze: Barbera, 1968 (1st ed., 1890-1909). GANDT, E de. «Le style mathématique des Principia de Newtofi». Revue d'histoire des sciences, 39( 1986), 195-222. -«Temps physique and temps mathématique chez Newton». In D. Tiffeneau ed., Mythesetreprésentationsdu temps(Paris, 1985),87-105. -«Cavalieri's Indivisibles and Euclid's Canons». In P. Barker, R. Ariew eds., Revolution and Continuity. Essays in the History and Philosophy o[Modern Science (Washington: The Catholic University of America Press, 1991), 157-182. -«Les indivisibles de Torricel1i». In F. de Gandt ed., L'oeuvre de Torricelli: science galiléenne et nouvelle géométrie (Nice: Les Belles Lemes, 1987), 147206. -«L'evolution de la théorie des indivisibles et l' apport de Torricel1i». In M. Bucciantini, M. Torrini eds., Geometria e atomismo nella scuola galileana (Firenze: Leo S. Olschki, 1992), 103-118. GARDIES, J.-L. Pascal entre Eudoxe et Cantor. Paris: Vrin, 1984. GIBSON, G.A. «James Gregory's Mathematical Worb. Proceedings o[ the Edinburgh Mathematical Society, 1st ser, 41(1923), 2-25. -«Sketch of the History of Mathematics in Scodand to the end of the 18th Century». Proceedings o[the Edinburgh Mathematical Society, 2nd ser, 1(1927),1-18. GruSTI, E. Bonaventura Cavalieri and the Theory o[Indivisibles. Bologna, 1980. -«Dopo Cavalieri. La discussione sugli indivisibili». In Atti del Convegno «La Storia delle Matematiche in Italia». Cagliari, 29-30 settembre e 1 ottobre 1982 (Cagliari: Universita di Cagliari, n.d.), 85-114.

160

From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

GREGORIE, J. Exercitationes geometricae. London, 1668. -Gregory Tercentenary Memorial Volume. H.W. Turnbull ed. London, 1939. -Geometriae Pars Universalis. Padua, 1668. - Véra circuli et hyperbolae quadratura. Padua, 1667. -Optica Promota, seu Abdita radiorum reflexorum et reftactorum Mysteria, Geometrice Enucleata. London, 1663. GREGORY, D. Exercitatio Geometrica. Edinburgh, 1684. HALLEUX, R. «Huygens et les théories de la matiere». In Huygens et la France (Paris: Vrin, 1982), 187-196. HEINEKAMP, A «Christiaan Huygens vu par Leibniz», in Huygens et la France (Paris, 1981), 99-114. HENRY, J. «Francesco Patrizi da Cherso's Concept of Space and its Later Influence». Annals ofScience, 36 (1979), 549-573. -«Roben Hooke the Incongruous Mechanist». In M. Hunter, S. Schaffer eds., Robert Hooke. New Studies (Woodbridge: The Boydell Press, 1989), 149-180. HOOKE, R. «Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring, Explaining the Power of Springing Bodies» (1678). In R.T. Gunther ed., Ear/y science in Oxford (VIII). The Cutler Lectures ofRobert Hooke (Oxford, 1931),333356.  ­ The  Posthumous Works ofRobert Hooke. With a New Introduction by R.S.  Westfall.  New York: Johnson Repr.  Co,  1969 (1st ed.  London,  1705).  HOBBES,  T.  Six lessons to the Savi!ian Professors ofthe Mathematics. In W.  Molesworth ed.,  English Works ofThomas Hobbes, 11  vol.  (London,  18391845), VII.  - lO the Right Honorable and others, the Learned Members ofthe Royal Society. n.pl.,  n.d.  [1671].  - Three papers Presented to the Royal Society Against Dr. Wallis. London,  1671.  HOFMANN, J.E.  Leibniz in Paris 1612­1616.  Cambridge,  1974.  HUTTON,  S.  «Edward StillingBeet,  Henry More,  and the decline of Moses Atticus: A  note on  17th­century Anglican  apologetics».  In R.  Kroll  et al eds.,  Philosophy, science and religion in England 1640-1100 (Cambridge:  Cambridge Universiry Press,  1992), 64­84.  HUYGENS,  e.  Oeuvres completes, 22 vol.  D. Bierens de Haan  et al eds.  La Haye:  Société Hollandaise des  Sciences,  1888­1950.  JESSEPH,  D.M.  «Philosophical  Theory and Mathematical  Practice in  the  Seventeenth Century».  Stud. Hist. Phi!. Sci., 20 (1989), 215­244.  ­«Hobbes and Mathematical Method».  Perspectives on Science, 1, 1993,306341.  KOYRÉ,  A  «Bonaventura Cavalieri et la géométrie des  continus».  In  Études d'histoire de la pensée scientifique (Paris:  Gallimard,  1973).  LEIBNIZ,  G.W.  Samtliche Schriften und Briefe, 3rd ser,  1.  J.E.  Hofmann ed.  Berlin,  1976.  -Mathematische Schriften, 7 vol.  e.1. Gerhardt ed.  Hildesheim,  1962. 

References

161

LORENZO, J.  de.  «Pascal  y los  indivisibles».  Theoria,1 (1985),87­120.  MAHONEY,  M.S.  «Between Ancients  and  Moderns».  In  M.  Feingold ed.,  Before Newton: The Life and Times ofIsaac Barrow (Cambridge,  1990),  179­249.  - The Mathematical Career ofPierre de Fermat. Princeton:  Princeton Universiry  Press,  1973.  ­«Inhnitesimals and transcendents relations: The mathematics of motion in  the late seventeenth century».  In  D.e. Lindberg,  R.S.  Westman eds.,  Reappraisals ofthe Scientific Revolution (Cambridge: Cambridge Universiry  Press,  1990),461­491. MArERÚ,  L.  « "oo.  in Christophorum Clavium de Contactu Linearum Apologia".  Considerazioni attorno alla polemica fra  Peletier e Clavio circa l' angolo di  contatto (1579­1589)>>.  Arch. Hist. Ex. Sci., 41,1990,115­137.  MALET,  A.  «Studies  on James  Gregorie  (1638­1675)>>.  Ph.D.  Dissenation,  Princeton Universiry,  1989.  ­«James Gregorie on Tangents and the 'Taylor' Rule for Series  Expansions».  Archive for History ofExact Sciences, 46 (1993),  97­137.  MANcosu, P.  and VAILATI, E.  (Torricelli's Infinitely Long Solid and Its  Philosophical  Reception in the Sevemeemh Century».  Isis, 82 (1991),  50­70.  MANDELBAUM,  M.  Phi!osophy, Science and Sense Perception: Historical and CriticalStudies. Baltimore: Johns Hopkins Universiry Press,  1964.  MCGUIRE, J.E.  «Atoms and the 'Analogy ofNature': Newton's Third Rule of  Philosophizing».  Stud. Hist. Phi!. Sci., 1 (1970),3­58.  ­«Newton on Place,  Time and God: An Unpublished Source».  Brit. ¡our. Hist. Sci., 11  (1978),114­129  ­«Existence, Actualiry and Necessiry:  Newton  on Space and Time».  Annals ofScience, 35  (1978),463­508.  MOLLAND, AG. «The atomisation of motion».  Studies in History and Philosophy ofScience, 13  (1982),31­54.  MURDOCH,  J.E.  «Inhnity and continuity».  In N.  Kretzmann, A  Kenny, J.  Pinborg eds.,  Cambridge History ofLater Medieval Phi!osophy (Cambridge:  Cambridge Universiry Press,  1982), 564­591.  NEWTON,1.  The Correspondence ofIsaac Newton, 7 vol.  H. Turnbull, J.  Scott,  AR.Hall, and  L.  Tilling eds.  Cambridge,  1959­1977.  - The Mathematical Papers of Isaac Newton, 8  vol.  D.  T.  Whiteside  ed.  Cambridge,  1967­1981.  -Phi!osophiae naturalis principia mathematica. A  Koyre  & LB.  Cohen eds.  Cambridge (Mass),  1972.  -Mathematical Principies ofNatural Philosophy, 2 vol.  F.  Cajori ed., A Motte  transo  Berkeley:  Universiry of California Press,  1962.  -Isaac Newton's Papers and Letters on Natural Phi!osophy. LB.  Cohen ed.  Cambridge, Mass.:  Harvard Universiry Press,  1978.  PASCAL,  B.  Oeuvres, 12 vol.,  L.  Brunschvig  et al eds.  Paris,  1914.  PRAG,  A  «On James  Gregory's  Geometriae Pars Universalis». In J.  Gregorie,  Gregory Tercentenary Memorial Volume (London,  1939), 487­505. 

162

From Indivisibles ro Infiniresimals

Anroni Maler

PYCIOR, H.M. «Mathematics and Philosophy: Wallis, Hobbes, Barrow, and Berkeley». JOUr. Hist. Id., 48 (1987),265-286. PROBST, S. «Infinity and creation: the origin of the controversy between Thomas Hobbes and the Savilian professors Seth Ward and John Wallis». Brit. Jour. Hist. Sci., 26 (1993), 271-279. RrGAUD, S.P. ed. Correspondence ofScientific Men ofthe 17th Century, 2 vol. Oxford, 1841. ROBERVAL, G.P. «Observations sur la composition des Mouvements et sur le moyen de trouver les Touchantes des lignes courbes». In ACADEMIE ROYALE DES SCIENCE5, Mémoires de l'Académie ... depuis 1666jusqua 1699, 6 (Paris, 1730),p.I-89. ROSENFELD, L. «René-Franc;:ois de Sluse et le probleme des tangentes». Isis, 10 (1928),416-34. SCHAFFER, S. «Wallifaction: Thomas Hobbes on school divinity and experimental pneumatics». Stud. Hist. Phi!. Sci., 19 (1988), 275-298. SCOTT, J.E The Mathematical Wórk ofJohn Waffis. London, 1938. SCRIBA, CJ. James Gregorysfruhe Schriften zur Infinitesimalrechnung. Mitteilungen aus dem Mathem. Seminar Giessen, no. 55. Giessen, 1957. -«Gregory's Converging Double Sequence». Historia Mathematica, 10 (1983), 274-85. SEIDENGART, J. «Théories cosmologiques de Huygens». In Huygens et fa France (Paris: Vrin, 1982),209-222. SHAPIN, S. and SCHAFFER, S. Leviathan and the air-pump. Hobbes, Boyle, and the experimental lije. Princeton: Princeton University Press, 1985. SHEA, W.R. Galileos inteffectual revolution. London: Macmillan, 1972. SMITH, A.M. «Galileo's Theory ofIndivisibles: Revolution or Compromise?». Journalofthe History ofIdeas, 37 (1976), 571-88. STILLINGFLEET, E. Origines sacrae, or a Rational Account ofthe Grounds of Christian Faith. London, 1662. TACQUET, A. Cylindricorum et annufariorum fibri IV. Antwerp, 1651. TORRICELLI, E. Opere, 3 vol (in 4). G. Loria et al eds. Faenza, 1919. TURNBULL, H.W ＼ｾ｡ｭ･ｳ Gregory: A Study in the Early History of Interpolation». Proceedings ofthe Edinburgh Mathematical Society, 2nd ser, 3 (1933), 151-72. -«The Exercitationes geometricac». In J. Gregorie, Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939),459-65. TURNBULL, H.W. & BUSHNELL, G.H. eds. University ofSt Andrews James Gregory Tercentenary. St Andrews, 1939. WALLACE, WA. «Traditional Natural Philosophy». In CB. Schmitt et al eds., Cambridge History ofRenaissance Philosophy (Cambridge: Cambridge University Press, 1988),201-235. WALLIS, J. Opera mathematica, 3 vol. Oxford, 1693-1699. Repr. Hildesheim: Georg Olm.s, 1972. -A Treatise ofAlgebra, both Historical and Practica!. London, 1685. -«Epitome Binae Methodi Tangentium». Philosophical Transactions (no. 81, March 25), 7 (1672), p. 4010-6.

References

163

[WALLIS, J.] «An Answer to Four Papers of MI. Hobs, .... ». Philosophical Transactions, numo 75 (18 September 1671),2241-2250. WARO, S. A Philosophicall Essay TOwards an Eviction ofthe Being and Attributes ofGod. Oxford, 1652. WESTFALL, R.S. Force in Newton's Physics. London: MacDonald, 1971. WHITESIDE, D.T. «James Gregory». In Dictionary ofScientific Biography, 16 vol, CC Gillispie ed. (New York, 1970-1980), V, 524-30. -«Patterns of Mathematical Thought in the later Seventeenth Century». Archivefor History ofExactSciences, 1(1960), 179-388. WOJCIK, J. «The theological context of Boyle's Things above Reason». In M. Hunter ed., Robert Boyle Reconsidered (Cambridge: Cambridge University Press, 1994), 139-155. YODER, J. Unrolfing Time. Christiaan Huygens and the mathematization ofnature. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. ZEUTHEN, H.G. Geschichte der Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert. Repr. New York, 1966.