754
CORRIENTES CONSTANTES Y CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA 18.9 Carga y descarga de capacitores: circuitos RC simples
irgado, no hay diferencia de potencial a tés de él cuando ' =- O, por !o que inicialJnte se aplica al resistor toda la diferencia de sencial debida a la FEM, lo que da lugar a corriente inicial 6/R. A medida que la rga fluye hacia el capacitor, se eleva la difejcia de potencial, lo que hace que haya una ión correspondientemente más pequeña la resistencia, y por tanto se reduce la inten;kd de la corriente. A medida que el capaciuse carga de! todo, la caida de potencial en ¡se aproxima al valor de la FEM y la caída de ¡tendal en la resistencia se aproxima a cero, ^:i.-u'iu n--o toe resistencia y capacitancia) en serie simple. En (a), la FEM £ pr la carga delR'capacitor a través de la resistencia ñ. En 'bl, el capacitor se descarga a través de la oduce i igual que la corriente en el circuito. Por últiresistencia o se carga el condensador a una diferencia potencial AK = f, volts y ya no fluye Tiente. De (18.9.8) o de la figura 18.31, es Ahora puede determinarse la carga q en el o sea, idente que después de cierto tiempo t = RC condensador utilizando (18.9.4), que expresa segundos), la corriente ha disminuido hasque 1/e de su valor inicial y la diferencia entre la fga q y su valor final ha disminuido hasta '••le. de dicho valor. A la cantidad RC se le co(18.9.9) l«é como constante de tiempo del circuito, de donde lyjue expresa la escala de tiempo en que deLuego puede integrarse esto entre los limites t aela corriente y se carga el condensador. = O cuando q también es cero y el condensa! q(t) = SC(\1-' (18.91* Si después de cargado completamente el dor está inicialmente descargado, y un tiempo apacitor hasta la diferencia de potencial de <í' posterior t cuando q tiene el valor q(l). De esta manera, |s se pasa el interruptor a la posición del lo derecho, como se ve en la figura 18.30, b, V la ca J * , I8 ' 31 SC muestran la co™<»c ción del T Ca,PaClt°r Sacadas en fun- •carga del condensador fluirá como una (8 9 10 rmP°'. de 3CUerdo con (18-9-9) > tórnente a través de la resistencia R' hasta (18-9.10). Como lni cialmente el capacitor estí se descargue aquél. Se puede calcular la ^pendencia de la corriente y la carga en funftón. del tiempo después de cerrado el <7(f) Iterruptor, por métodos parecidos a los ante^ores. Suponiendo que el interruptor se cierra ^tiempo / = O, en el que se ahora se supone lie el capacitor está cargado a un potencial de , la ley II de Kirchhoff aplicada al cirlado derecho en la figura 18.30, b,reen el sentido de la corriente, dice que
(18.9.11) (a)
FIGURA 18.31 Gradeas de (ai ,n.»ns,<'3) d — ..emp,, correspondientes a, ^^^
"™. * Ib. carga de, condensador /
Anotará que en este caso el capacitor se compita en forma parecida a una fuente de FEM «diferencia de potencial a través de sus pla** es lo que hace fluir la corriente. Pero no
755
conviene considerar al capacitor como una fuente, ya que no convierte energía no eléctrica en energía eléctrica, sino que sólo transforma un modo de energía eléctrica en otro al convertir la energía potencial del campo electrostático entre sus placas, en energía cinética de deriva de los electrones en un circuito conductor. Sin embargo, en este caso la rapidez con la que varía en el tiempo la carga en las placas es negativa, debido a que dicha carga disminuye continuamente en el tiempo. Por tanto, debe relacionarse el cambio (negativo) de carga dq con la corriente (que es positiva) mediante7 dq - ¡'
"di
(18.9.12)
Ahora puede diferenciarse (18.9.11) con respecto al tiempo y utilizar (18.9.12) para relacionar /' y dq/dt, obteniendo así
/'
"KC
(18.9.13)
que se puede reordenar como antes para tener
di' — = /'
1 , ¡/r R'C
(18.9.14)
Ahora es posible integrar esto desde t = O cuando q tiene el valor inicial qa =
1 di -
- * r,
(18.9.15)
o 7 " ~K'CJ°'
7 Para comprender por qué anteriormente se utilizó / = dq/dt y ahora se utiliza la relación /' = dq/dt, el lector debe tener cuidado de notar que en esta sección se utilizan (18.9.4) y (18.9.11) no para relacionar el flujo de carga por un punto dado en un conductor, con la corriente en el mismo, como (18.1.2) en la sección 18.1. sino para relacionar la corriente en un circuito dado con la cantidad di carga que se ha acumulado en las placas de un capacite* en el circuito, lo que es un concepto muy distinto.
758
CORRIENTES CONSTANTES Y CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA
cubo de 5 m de lado. Por tanto, el capacitor de almacenamiento tendría que ser mucho mayor que el propio automóvil, lo que debe compararse con el tamaño de una batería o acumulador de plomo y ácido, que es capaz de almacenar tanta o más energía química en un volumen de unos 0.02 m3. La batería de plomo y ácido tiene una densidad de energía almacenada cerca de 6 000 veces mayor que la de un capacitor. Además hay otros problemas, el más importante de los cuales es que no existe ningún dieléctrico o aislante perfecto, por lo que incluso en los mejores dieléctricos hay corrientes de escape que descargan el capacitor interiormente después de cierto tiempo, indeseablemente breve para la aplicación que aquí se considera. El uso de acumuladores de plomo y ácido como fuente primaria de energía para operar automóviles se ha considerado cuidadosamente, e incluso se ha puesto en práctica en ocasiones. Pero aunque las baterías proporcionan densidades de energía almacenada más altas que los capacitores, aun así no pueden almacenar tanta energía por unidad de volumen como la que se obtiene de la combustión de hidrocarburos como la gasolina o el petróleo Diesel. Por tanto, aunque proporcionan suficiente energía para el arranque de motores de combustión interna y la operación de su equipo auxiliar, su uso como unidades de almacenamiento primario de energía para las aplicaciones automotrices es cuando mucho marginal. En la actualidad se lleva a cabo extensa investigación científica con el propósito de dar a las baterías mejores características de almacenamiento de energía, y para desarrollar las pilas eléctricas de combustible que conviertan directamente la energía química de hidrocarburos en energía eléctrica. De disponerse de tales unidades a costos razonables, sería posible producir automóviles eléctricos prácticos, que eliminaran parte del ruido y la contaminación atmosférica que se tienen ahora gracias al uso tan amplio de los vehículos con motor de combustión interna. RESUMEN Siempre que existe un campo eléctrico dentro de un conductor ocurre un flujo de carga que
Entonces, la ecuación anterior se reduce a se conoce como corriente eléctrica. La intensidad /de la corriente en un conductor se refiere i = -né\ a la cantidad de carga dq que pasa por un punlo dado en el conductor, durante un tiempo i; Para mantener un flujo estable de corriendt. Por tanto, la corriente es una cantidad es- tt'dentro de un conductor se necesita una fuencalar definida por te de FEM (fuerza electromotriz). Una FEM aumenta la energía potencial de las cargas por / = dq/dt medios no electrostáticos. Se puede definir la FEM como una diferencia de potencial AV, atribútele a fuerzas no electrostáticas, capaz de establecer una corriente constante en un circuito cerrado. De esta definición es evidente que la magnitud é de la FEM y la diferencia de potencial no electrostática que crea es
La unidad de corriente es el arnpere (A) que equivale a un coulomb/segundo. La densidad de corriente es una cantidad vectorial cuya dirección es la del flujo de las cargas en cualquier punto dentro del conductor, y su magnitud es la corriente por unidad de área a través de un área infinitesimal da orientada normalmente al flujo de carga en ese punto; esto quiere decir que la corriente di a través de una superficie da que puede no ser normal al flujo de las cargas se puede expresar como
i// = j • n da en que n es el vector unitario normal a da. La corriente total 7 que fluye a través de una superficie S puede obtenerse integrando la densidad de corriente sobre la superficie, de donde
tá potencia que suministra una FEM f, a un circuito es
i
Resumen
759
En un conductor óhmico de sección transversal uniforme A y longitud /, la corriente y caída de potencial están relacionadas mediante
en que la resistencia R se define por
oA
A
y p es la resistividad eléctrica. La relación / = A V/R también es válida en otros conductores óhmicos, y en todos los casos la resistencia es el factor de proporcionalidad que relaciona a 7 yAK. Para las resistencias conectadas en serie se tiene una resistencia equivalente igual a la suma de las resistencias individuales, por lo que
P=
R = R¡ + R2 + • • • + Ra ** La densidad de corriente en muchos conductores es directamente proporcional al cami^Teléctrico en cada punto. De esas sustancias se dice que son conductores óhmicos o que obedecen la ley de Ohm. En forma matemática, la ley de Ohm indica que
i da j = aE o bien, Para el caso de un conductor de área transversal A que lleva una corriente con densidad {n que a los factores de proporcionalidad a y uniforme j, esto quiere decir Alijes conoce, respectivamente, como conutictividad y resistividad eléctricas de material . Conductor. Nótese que el símbolo p se utiliza tanto para una práctica desafortunada pero la densidad de carga eléctrica como para la resisLas unidades de la densidad de corriente son 1 «vidad, lo que es muy extendida. El comporA/m2 o A/cm2. La antedicha densidad está krniento óhmico de los conductores puede Emprenderse físicamente suponiendo que los relacionada con la densidad de carga p y su dectrones libres sufran aceleración de acuerdo velocidad promedio de flujo v por «n las leyes de Newton, pero que experimenn. colisiones frecuentes cuyo efecto es en romedio, reducir a cero la velocidad de derirecibida por ellos del campo eléctrico, fresándolos así a la condición de equilibrio ~iico y disipando su energía de deriva como .
En el caso de un conductor en que la corriente fluye debido al movimiento de electrones libres, p = -ne, en que n es el número de electrones de valencia por unidad de volumen-
La resistencia equivalente de resistencias conectadas en paralelo está dada
*»»
A?
1
1
ÍT + "' + T
Las resistencias en serie llevan la misma corriente, mientras que en paralelo todas experimentan la misma diferencia de potencial. La potencia disipada en el calentamiento por efecto Joule en una resistencia se expresa por
Los circuitos que no es posible descomponer en combinaciones simples de resistencias en serie y en paralelo pueden analizarse aplicando las leyes de Kirchhoff, que se expresan como sigue: I. La suma algebraica de las corrientes que llegan a un nodo o punto de unión de conductores es cero. II. La suma algebraica de elevaciones y , caídas de potencial alrededor de cualquier circuito cerrado es cero. .'.
\s podría tenerse este volumen en un
762
Problemas
763
CORRIENTES CONSTANTES Y CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA
temperatura de 250 cm3 de agua desde 27 ° C hasta el punto de ebullición, (a) Determine la corriente que pasa a través del calentador, (b) ¿Con qué rapidez se transmite energía al agua? (c) ¿Cuánto tiempo se necesita para que hierva esta cantidad de liquido? (d) ¿Cuánto tiempo más se necesita para convertir toda el agua en vapor? 21 Una lámpara eléctrica de 100 W opera en una línea de 110 V. Determine la corriente que pasa por el filamento y la resistencia de ésta. 22. Se requiere transmitir cierta cantidad de energía desde una estación generadora hasta un punto distante. Calcule la relación entre las pérdidas térmicas por efecto Joule para tensiones de 50 000 y 1 000 V, suponiendo que se utiliza la misma linea en ambos casos. 23. Un tostador eléctrico opera en una linea de 110 V. Si toma 6 A, halle la resistencia del elemento calefactor y la energía consumida durante un lapso de 30s, durante el cual está en operación. A razón de 3e (de dólar) el kilowatt-hora, ¿cuánto cuesta tostar una rebanada de pan? 24. Una lámpara de 300 \ opera en una línea de 220, y se sumerge en 8 kg de agua a 27 °C. Determme_ la corriente que fluye a través de la lámpara. ¿Cuál es la temperatura del agua después de 5 min? 25 Un motor con una eficiencia de 85%, toma 6 A de una línea de 220 V. Calcule su potencia mecánica de salida en hp. 26. Un motor para 110 V y 20 A eleva un peso de 2 000 kgf a razón de 2.1 m/min. Determine su potencia en hp y su eficiencia. 27. Obtenga la resistencia equivalente de la red de resistores que se muestra en el siguiente diagrama. 10ohms
tos valores distintos de resistencia puede obtt.j ner utilizando uno, dos o tres resistores a' todas las combinaciones posibles? Halle los va. lores posibles de resistencia equivalente. 30. Se ha de conectar un resistor de 4 Q y otro de8C a una batería de 6 V. Las resistencias pueda estar en serie o en paralelo. Calcule la potcnci¡ que entrega la batería a cada una de las conexiones posibles, y las pérdidas por efecto Joult generadas en cada resistencia. ( 31 Determine la resistencia equivalente de laconvj binación de resistores que se muestra en la si guíente figura. 6 ohms
nerado en la resistencia de 8 tí durante un lapso de 2 min. 8 ohms
3
2 ohms 3 volts
37. Dada la red mostrada en el diagrama, (a) escriba la ecuación de malla para el circuito ABDEA; (b) escriba la ecuación de malla para el circuito superior BCDB (c) determine las corrientes It e fi, W) ¿Con qué intensidad entrega energía la batería de 2 V? (e)¿Cuál es la potencia de disipación de la resistencia de 3 O? 2 ohms
t volts
AAA VA
3 volts +
I"
1
/2. 35. Calcule las corrientes /,, /2 e /3 que fluyen en el circuito que se muestra en el diagrama.
f—VA—«
AAA
< < ' 5 ohms 1 ll
4 ohms
4 volts
i
3 ohms
+| —
£_ b volts ——
12 ohms
,
1 ohm
vvv~ 4 ohms
32. Encuentre la resistencia equivalente de la combinación de resistores que se muestra en t: diagrama.
M. En el circuito eléctrico que se ilustra en la figura, y considerando que los resistores de 2 íl que ,^se indican dentro de las baterías son sus resis6 ohms "; tencias internas, (a) Evalúe la resistencia com' binada de las resistencias de 3 y de 5 í). (b) Determine la corriente /. (c) ¿Cuál es la dife12 ohms rencia de potencial a través de la batería B? (d) ¿Con qué rapidez convierte la batería B energía 33. La combinación de resistencias que se ilu* en la figura equivale a una sola resistena» química en energía eléctrica? (e) Halle la corriente que pasa por la resistencia de 3 £1. (f) ¿Cuál es su valor? .^Determine la intensidad (respecto al tiempo) con la que se desarrolla calor en la resistencia de Sil.
e
2 volts
38. La resistencia interna de un acumulador de 6 V es de 0.03 fi y suministra 25 A de corriente. (») ¿Cuál es el voltaje entre terminales de la batería? (b) ¿Con qué intensidad se genera calor en la fuente? (c) ¿Qué potencia se entrega a la carga? 39. Dos fuentes con FEMs <í, y r52 tienen las resistencias internas R¡ y R2, respectivamente. Están conectadas en paralelo entre sí y con un resistor R, como se indica en la figura. Demuestre que la corriente /que pasa por la resistencia R está dada por R,R
R.R,
HH
AW-,
3 ohms
rVAn -MA/W
Wr
5 ohms
i i
12 ohms
20 ohms
28. Demuestre que si los resistores Rt y R¡ están en paralelo, su resistencia efectiva o total es R¡Ri/(R\ #2)- Demuestre también que para tres resistencias en paralelo, la total es (RtRí + R,Rt + RWWi +.KI.+-*! + Rj. 29. Un estudiante de física tiene tres resistores idénticos, cada uno con resistencia R. ¿Cuán-
B¡
34. Para el circuito eléctrico que se indica en , |¡s diagrama adjunto, halle lo siguiente: (») '*J : ferencia de potencial Kt - V.; (b) la pot** neta que entrega la pila de 3 V; (c) el cal"'"
I+
|
-^L ^ iftF ¡12 volts I~ f-
J 2 ohmsl < <
d
I L-
—
I 9 volts I
H
^VVV
40. Dos pilas secas están conectadas entre si, positivo a positivo y negativo a negativo. La mis nueva tiene una FEM de 1.53 V y su resisten-
766
CORRIENTES CONSTANTES Y CIRCUITOS DI CORRIENTE DIRECTA
50. Explique, con cálculos adecuados, cómo puede convertirse un galvanómetro de O a 50 f¡A (microamperes) con 400 O de resistencia en un instrumento que indique (a) de O a 3 A, (b) de O a 10 V, (c) de O a 5 A, (d) de O a 30 V. 51. Un capacitor C se carga a una tensión o diferencia de potencial AV. En / = O se cierra un interruptor, completando un circuito con una resistencia /? en serie. Entonces, la carga en el capacitor está dada por <3
Calcule la energía total disipada en la resistencia y demuestre que es igual a la energía alma-cenada inicialmente por el capacitor. 52. Se carga un capacitor de 5 /tF a 300 V y luego se descarga a través de un resistor de 75 000 f¡. Después de 3 s de descarga, evalúe la carga remanente en el capacitor, la corriente a través de la resistencia y la intensidad a la que se produce calor por efecto Joule en la resistencia. 53. El capacitor en un circuito RC se carga hasta 0.1 Va de su carga máxima. ¿Cuántas constan-
T
tes de tiempo transcurren desde que el proceso de carga? En el diagrama, un capt citor de 2 x 10~6 F tiene una carga de 3 x 10~6 C. El valor de la resistencia es de ( x 106 Q. ¿Cuál es la carga del capacitor después de cerrado el interruptor? Halle corriente que pasa por la resistencia inmedia! mente después de cerrado el interruptor. 54. Se conecta una batería de 12 V en serie con resistor de resistencia K = 3.0 x 106 !¡ un capacitor con capacidad C = 2.0 jíF. E< lúe la constante de tiempo del circuito. Cuar» la carga de! capacitor es un medio del valot máximo, ¿qué carga tiene? 55. En el circuito del diagrama se cierra el it terruptor en t = 0. (a) Trace una gráfica d; voltaje AK del capacitor en función del fa po. (b) Calcule la carga en el capacitor despua de transcurrido un tiempo muy largo ¿Cuánta energía proporciona la batería en t proceso de carga? (d) ¿Cuánta energía qu almacenada en el capacitor cuando está carp do totalmente? (e) ¿A dónde va el resto de energía"?
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
2.0X 10b ohms
WV—i
lii
10 volts'
C = 4.0 M*
' . •
•^.'. "
.
[9.1 Introducción
.
t'jíV*"-:* •- > v ,'•'•
-
•
..=.-. • •• - r>/':f."'"• - • -v ••
fenómeno del magnetismo se conoce casi ílfcsde hace tanto tiempo como la electricidad K tática. Los antiguos griegos conocían las fuerzas magnéticas que ejercían las sustancias "ñamadas o imanadas permanentemente, c<>mo la magnetita, sobre objetos hechos de "¡erro, y los chinos ya utilizaban brújulas o 'Ñas magnéticas hacia el año 1 000 d.C. En "tiempo en que ocurrió la guerra de indepen^encia de Estados Unidos, la brújula ya era un frumento náutico suficientemente con''¿ble para que los barcos pudieran navegar Por todo el mundo, y se había delimitado con ^actitud el magnetismo terrestre. Por entonK >a se .sabía que. los polos;magnéticos,
terrestres no coinciden con los del eje de rotación, de manera que se habían trazado mapas exactos de la declinación magnética, en los que se señalaba la desviación del "norte magnético" con respecto al norte verdadero. Durante la segunda parte del siglo xix se especuló muchísimo acerca de las posibles relaciones entre los fenómenos eléctricos y los magnéticos. Pero sólo hasta 1819 el científico danés Hans Christian Oersted (1777-1851), utilizando la recién descubierta "pila voltaica" para establecer una corriente constante, descubrió que una aguja de brújula se desvía en la proximidad de un conductor por el que fluye una corriente eléctrica. La implicación de este experimento, es decir, que el magnetismp y la
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
19.2 Fuerzas y campos rrtagnéticos: dipolos magnéticos
sustancia, como se mencionó antes y se ilustra ¡smo propósito en forma que, al menos en en la figura 19.2. jncipio, sea factible desde el punto de vista Cuando una corriente eléctrica fluye a traimental. vés "de una bobina.de alambre, como la de la Puede comenzarse recordando del estudio figura 19.4, establece un campo magnético la electrostática que el^ momento de rptamuy semejante al campo de un imán de barra. en un dipolojeléctrico_cujojnprnento.di; El campo que aparece tiene todas las caractees"p estS~dádo por la ecuación (16.6.28) rísticas de un campo dipolar de Coulomb y sus smc propiedades son análogas en todos sentidos al campo eléctrico asociado a los dipolos eléctri(19.2.1)
FIGURA 1 9.3. Cuarto un ¡man se par:e a la mitad, se producen dos ''"nanes con polos iorte y sur de igual magnitud Esto indica que ios campos magnéticos son de naturaleza esencialmente dipolar, v no provienen de cargas magnéticas libres.
concluir que aunque puedan tenerse dipolos magnéticos, no existen aisladamente los po.los norte o sur. Este comportamiento notable puede explicarse afirmando que la única fuentejde magnetismo, incluso en los imanes permanentes, es una corriente eléctrica. En las sustancias imantadas permanentemente, estas corrientes circulan dentro de los átomos de la
FIGURA 19.4. Una comente eléctrica de intensidad constante en un inductor (o bobina) produce exactamente la misma clase de campo magnético que un imán de.barra ..
771
carga magnética. En este caso, el momento de rotación en un dipolo magnético de intensidad pm en cualquier punto de un campo magnético B producido exteriormente debe ser (19.2.3)
De nuevo, la magnitud de este momento de rotación es
cos, como se estudió en el capitulo 16. Desde (19.2.4) = pmB sen O luego, en estas circunstancias no tiene sentido 3e acuerdo con esta expresión, la magnitud L_ hablar de separar un polo norte de uno sur. d momento es en que 6 es el ángulo entre el eje del dipolo Empero, los campos que se producen son en = p£ sin O (19.2.2) magnético y la dirección del campo de inductodo sentido idénticos a los originados por los ción magnética B en el punto donde está ubiimanes permanentes con los que se tiene fami- •a que 8 es el ángulo entre el vector de campo cado el dipolo. Como antes, este momento se liaridad. Además, si se somete a la bobina lyla dirección del momento dipolar. El mohace cero y se equilibra el dipolo suspendido portadora de corriente a un campo magnético aento se anula cuando 6 = O, lo que significa libremente, cuando el eje del mismo está aliproducido exteriormente, como el de un imán jae cuando el dipolo se alinea en la dirección neado paralelamente al vector inducción magde barra, le afectarán las fuerzas magnéticas id campo, no hay momento neto y el dipolo nética B. de atracción o de repulsión igual como si fuera San en equilibrio. Por tanto, podría visuaUtilizando estas ideas como base, puede un imán permanente. En consecuencia, el lizarse la dirección del campo notando la divisualizarse el campo de inducción magnética polo norte de la bobina es atraído por el polo rección en que apunta un dipolo de prueba B notando la dirección que toma un pequeño sur de un imán permanente y repelido por su Impendido libremente, cuando está en equilidipolo magnético suspendido libremente polo norte. De hecho, ya que cualquier con(como una brújula,) en distintos puntos ductor en que fluye una corriente tiene aso- «P-*Puede adoptarse el mismo enfoque para dentro del campo, como se ilustra en la figura ciado a él un campo magnético, habrá uno ^conocer la dirección del campo magnético. 19.5. De esta manera se trazan fácilmente los fuerza magnética en cualquier conductor con tobserva que tanto los electroimanes como dibujos de las líneas de fuerza magnéticas anácorriente que esté en un campo magnético pfianes permanentes se comportan como logos a los que se estudiaron antes y que coproducido exteriormente. Por último, como topólos magnéticos. Se designará el momento,., una corriente se debe al movimiento de cual- wgnético dipolar del imán mediante p,, y por quier partícula cargada, debe existir la acción ^"e B al vector qué representa el campo de una fuerza magnética sobre cualquier carga magnético, que en adelante se llamará inducmóvil en un campo magnético producido extfmagnética. En el caso de un dipolo riormente. íJStrico, generalmente puede expresarse el -•>.-Ahora debe examinarse el problema « Jénto como el producto de la carga eléctricómo establecer una definición cuantitati*2 Q uno de los extremos del dipolo por la de la intensidad de un campo magnético- & I itud de éste. En el caso m?gnético, esto ya manera más obvia de hacerlo es proceder £' posible, pues no hay carga magnética forma análoga al caso electrostático y expr£ ¡ sar la intensidad del campo magnético en térmagnét¡co para describir el imán y como minos de la fuerza por unidad de " car £ a parámetro fundamental 0¡ magnética que experimentaría una "carga - ¡Restablece su intensidad. Sin embargo, más tal clase colocada en el campo. Pero corn^ - • • se verá que este momento está relahasta donde se sabe, no existen las cargado con la corriente que actúa como fuenmagnéticas, jamás podrá implementárse exp^ campo y con la magnitud del circuito rimentalmente eslc procedimiento, por lo que fluye. Sería conveniente de ínir la es incongruente desde el punto de vista de¡* 'ccion magnética B como un campo que lógica e imposible desde el pumo de vista op£ las mismas propiedades con respecto a la rativo. Entonces, debe tratarse de encon' ^ magnética que tiene E en relación con FIGURA 19.5. Líneas de fuerza magnética alguna otra manera .de,,lograr en esencia detectadas con ayuda de una brújula. ;a eléctrica —o que tendría, si existiera la
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
la naturaleza de las fuerzas magnéticas que actúan sobre cargas móviles en campos magnéticos y sobre conductores con corriente situados en campos magnéticos. En el caso de una partícula con carga eléctrica, los resultados de experimentos como éstos llevan a las siguientes conclusiones: 1) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es perpendicular tanto al vector B como al vector velocidad de la partícula. 2) La fuerza es proporcional en magnitud a la del campo B, a la velocidad de la partícula y ? la carga que lleva. 3) La fuerza es proporcional en magnitud al seno del ángulo entre el vector velocidad de la carga y el vector B. Las observaciones 2) y 3) permiten llegar a la conclusión de que la magnitud de la fuerza magnética sobre una partícula cargada es proporcional a qBv sen B, en que 6 es el ángulo entre el vector velocidad v y el vector del campo B. La observación 1) indica que la fuerza es perpendicular tanto a v como a B. De la definición del producto vectorial, se nuede expresar la fuerza magnética ¥„ como Fm = ;.£/(v x B)
(19.2.5)
en que X es una constante de proporcionalidad cuyo valor dependerá de la magnitud de las unidades elegidas para expresar la magnitud de B. Naturalmente, es mejor escoger estas unidades de manera que la constante X tenga el valor unitario. En el SI esto significa que si la inducción magnética es de magnitud unitaria, una carga puntual de 1 coulomb que se mueva perpendicularmente a B con velocidad de 1 metro por segundo experimentará una fuerza (perpendicular tanto a B como a v) de 1 newton de magnitud. Por (19.2.5), se llega a la conclusión de que las unidades de B son newton-segundo/coulomb-metro. Pero como 1 C/S equivale a 1 A, se puede escribir igualmente la unidad como newton/ampere-metro.* En la figura 19.10 se ilustra la relación geométrica entre B, v y F_. La magnitud de la unidad SI de la inducción magnética puede visualizarse notando que la inducción magnética terrestre típicamente es de cerca de 1Q-4 N/A - ro, mientras que la inducción en la pro* N. del S. Esta unidad SI x denomina específicamente lesla (símbolo: T)
19.2 Fuerzas y campos magnéticos: dipolos magnéticos
'importante comprender que ninguna fuerza magnética actúa sobre una carga eléctrica en reposo, debido a que entonces no hay ninguna corriente asociada a la carga. En estas circunstancias, nc crea campo magnético propio que le permita experimentar fuerzas por campos magnéticos externos.
(19.2'
775
ción de la inducción magnética constante B a partir de estos datos. De (19.2.6), se puede escribir
= vxB
(19.2.8)
o, en términos de componentes, FJEMPl.O 1 9 2 1
Un electrón se mueve sobre el eje x a la velocidad de 1.00 x 107 m/s. En la dirección z hay una inducción magnética constante de 2.50 N/A • m. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza magnética que experimenta el FIGURA 19.10. Relación entre los vectores electrón. Indicar la magnitud del campo que representan el campo magnético, la electrostático necesaria para producir una velocidad de una carga eléctrica y la fuerza fuerza electrostática de la misma magnitud. magnética. De acuerdo con (19.2.6), la fueza magnética es ximidad de la cerca del polo de un imán peí- .»••• manente de gran potencia es del orden de 0.! F,,, - q(\ B) = c/(j; A i, x B.i.) = A(i, x i.) N/A • m. Los electroimanes más potentes dis- '«, ya que i x x L — -i,. ponibles en la actualidad pueden crear induc cionés cercanas a 10 N/A-m. 1 La ecuador. tf= -•
F = F, + Fm =
EJEMPLO 1 9 2 . 2
Esta es la fuerza que experimenta una partí* .observa que un cuerpo con una carga q = la cargada en las circunstancias más genera*! " x 10-8 C experimenta una fuerza F cucuando actúan sobre ella campos eléctricos» * componentes son F, = 37.5 x 10-8 N, Fy magnéticos. A veces se conoce como exp^ *-15.0 x 10- 8 NyF, = -60.0 x 1Q-8 N sión de la fuerza de Lorentz en honor del n* Ciando se mueve a través de cierto campo co holandés H. L. A. Lorentz(1853-1928)-fc Sonetico constante con la velocidad v, cuyas ^ponentes son v, = 20 m/s, v, = 50 m/s y !Lj 0. Sobre la misma carga actúa una fuerza * cuyas componentes son F', = 22.5 x 1Q-8 7.5 x 10-«NyF,'= -36.0 X 1Q- 8 N |o se mueve á la velocidad v' de compo"' vJT=^ 10 m/s, v,' = 30 m/s y y.< = O en ef ranípo. Encontrar la magnitud y direc-
1 Como la unidad SJ de inducción siado grande para ciertos usos, a vi oersted definido como 10"4 N/A. m. Desde luego, «i mide en oersteds la constante X en (19.2.5) ya no aj dad sino que suvator es de 1.000 x 10"*. En este' utilizarán de preferencia las unidades Si- " • ''
' (F v i x + /-,.!,. + F.L) '/ = (i> A .i, + r v i v + 0 ¡2) x (B v ¡ v
+ Bziz) (19.2.9)
notando que v, = 0. Evaluando el producto vectorial e igualando las componentes x, y y z de los vectores en ambos miembros de la ecuación resultante, es evidente que fi
(19.2.10)
<\A
(19.2.11)
(19.2.12)
Ahora se conocen vx, y,, F,, F,, F, y q, por lo que puede obtenerse B, de (19.2.10) o de (19.2.11). Por otra parte, sólo se tiene una ecuación para B, y B,, la ecuación (19.2.12), de manera que no se puede utilizar para obtener las dos magnitudes. Esta es una consecuencia del hecho de que hay distintos campos posibles B que pueden originar la misma fuerza magnética sobre una carga con velocidad dada. Por tanto, para determinar en forma unívoca a Bf y B,, se necesita un segundo conjunto de datos en los que se midan las componentes de fuerza con alguna otra velocidad conocida; por esa razón en el enunciado del problema se especifica la fuerza F' que resulta cuando la velocidad de la carga es v'. De (19.2.6), F' debe estar relacionada con v' mediante F'/? = v' x B, en que el campo magnético es el mismo en ambos casos. De nuevo se pueden escribir las componentes¿ como
¡*w¡
778
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
se conoce como flujo. Empero, los científicos del siglo xix que desarrollaron las ideas de los campos eléctricos y magnéticos pensaban de otra manera, y le impartieron una categoría de realidad a estos "flujos" de campo eléctrico y de campo magnético, lo que parece algo superfluo a los físicos modernos. No obstante, han perdurado los términos, y la relación matemática entre los vectores de flujo y de campo es !a misma para los campos eléctricos y magnéticos que para el flujo de carga, por lo que se siguen utilizando los términos aunque se comprende que su interpretación literal en el caso de los flujos eléctrico y magnético es engañosa. En e! siguiente capítulo se verá que el concepto de flujo magnético es muy importante para estudiar las FEMs inducidas en circuitos eléctricos por campos magnéticos variables. En todo caso, la ecuación (19.3.2) describe el elemento de flujo dvm asociado a un elemento de área da. Para evaluar el flujo magnético total 4>m que pasa por toda la superficie S en la figura 19.12, basta con integrar sobre todos los elementos de área que constituyen a S. De esta manera puede expresarse el flujo magnético como la integral de la componente de B normal a S en cada punto, sobre toda la superficie, o sea
en que A denota el área total de la superficie S. Si además la dirección de B es normal a la superficie, el ángulo 9 entre B y e! vector normal n es cero, y (19.3.5) queda como 19.3.6)
La unidad de flujo magnético corresponde a las de la inducción magnética multiplicada por el área, que se puede escribir como newton-meirc/ampere, o bien joule/ampere. Esta unidad SI del flujo magnético se conoce normalmente como \veber (símbolo: Wb), en honor del físico alemán Wilhelm Weber (1804-
(19.3.3)
En general, evaluar esta integral puede ser una tarea tardada y difícil. Pero el trabajo es mucho más fácil si la inducción magnética B es de magnitud y dirección constantes en todos los puntos y si es plana la superficie S a través de la cual se calcula el flujo, de manera que el vector normal n también sea constante en todos los puntos. En estas circunstancias la cantidad B • n es la misma para todos los elementos de área de S, por lo que puede escribirse fuera de la integral: (19.3.4) . :
o bien,
(19.3.5)
1 9.3 Flujo magnético y ley de Gauss para el campo magnético
1891). De hecho, es más frecuente que la unidad de la inducción magnética se expresa como Wb/m 2 que como N/A • m, que es como se ha llamado aquí hasta este momento. Por tamo, en adelante se seguirá la costumbre y se utilizará la unidad Wb/m 2 para B." También es común referirse a la inducción magnética Bcomo densidad de flujo magnético, en vista deque puede considerarse como flujo por unidad de área. El lector debe percatarse de esta terminología, aunque no se adoptará aquí. Antes se mencionó que las fuerzas magnéticas entre los polos de imanes de barra largos y delgados (en que son despreciables los efectos de los polos en extremos opuestos) obedecen a la ley de Coulomb en el sentido de que decrecen inversamente con el cuadrado de la distancia entre los mismos. En la sección 19.5 se verá expresada esta ley con mayor precisión. De lo anterior, se recordará que precisamente esta dependencia de la intensidad del campo sobre la distancia es lo que permite defnqstrar la ley de Gauss para los campos eléc^ricos. Como las "cargas magnéticas" que gueden considerarse como fuentes de los dipolos magnéticos dan lugar a campos magnéticos de variación inversa al cuadrado de la Instancia, se puede demostrar la ley de Gauss niara el magnetismo, en forma temporal,'irha.ginando que el campo magnético (para fines de la demostración) se origina en la "carga magnética". La demostración se realiza de la .jinisraa manera que para el campo eléctrico. El
B • n da =
FIGURA 19.13. Las líneas de fuerza magnética no comienzan o terminan en cargas libres, puesto que no existen las cargas magnéticas. Por tanto, deben cerrarse sobre sf mismas, formando trayectorias cerradas, como se ilustra. En este caso, toda línea de flujo que entre a una superficie cerrada deberá también salir de ella, l° que conduce a la ley de Gauss para el magnetismo, dada por la ecuación (19.3.8).
(19.3.7)
ta integral del flujo magnético se (evalúa) :|Qbre cualquier superficie cerrada S y la cantidad qm designa la "carga magnética total" encerrada por esta "superficie gaussiana." La constante k de proporcionalidad en la expresión de la ley de Coulomb relaciona el campo 'Scon la "carga magnética" g m y la distancia, ,« decir B = k(qm/r*). |í Desde luego, realmente no existe la "carga j^agnética". La única causa de los campos son las corrientes eléctricas y los ;Jiagnéticos
%N. fcl S. La denominación actual para esta anidad SW SI es íesla (símbolo: T). -
779
campos magnéticos son invariablemente de carácter dipolar, lo que corresponde a cero carga magnética, equivalente total. Por tanto, la cantidad
en que S es cualquier superficie cerrada. Geométricamente se puede comprender el significado de este resultado recordando que las líneas electrostáticas de fuerza siempre emanan de, o terminan en, cargas eléctricas. Empero, ya que no hay cargas magnéticas, las líneas de inducción magnética no pueden comenzar o terminar en cualquier parte, sino que deben formar líneas cerradas, como se muestra en la figura 19.13. En el caso de un imán permanente, como se ilustra en la figura 19.5, las lineas se cierran dentro del propio imán. El requisito de que el segundo miembro de (19.3.8) sea cero, se satisface entonces en la medida de que todas las líneas de campo que entran a cualquier superficie cerrada como S, también deben salir de esa superficie por alguna parte; ninguna línea puede comenzar o terminar dentro de la superficie. EJEMPLO 1 9 3 1 Encontrar el flujo magnético a través de una espira circular de 30 cm de,diámetro cuya normal forma un ángulo de 30° con una inducción magnética constante de 0.8 Wb/m : , como se ilustra en la figura 19.14. Determinar el flujo si el plano de la espira es perpendicular al campo magnético. En este caso debe determinarse el flujo a través de un área circular plana de 30 cm de diámetro. La magnitud y dirección de la inducción magnética B es constante y el ángulo entre los vectores B y n es de 30°. P°r t¿ n!O ' puede utilizarse la expresión simple (19.3.5) para clacular el flujo: 4>,,, = /}. 1 eos í) ----- (O.S)(,T)tO.I S) ^ (1.04W Wb
ííli
782
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
T
19.4 Fuerzas sobre corrientes y momentos de rotación en dipolos magnéticos
783
I
B
FIGURA 19.18. espira rectangular que conduce una comente conslante en un campo magnético. El t'a-io de la espira se ha representado como casi normal a la página de modo que su lado AB está más ce'ca del lector c^s e! CD.
magnético constante B, dirigido verticalmente hacia arriba. La espira puede girar con libertad alrededor del eje 00', que debe ser perpendicular al plano de la página. En el diagrama, se ve que el plano de la espira forma un ángulo 9 con el plano normal a la inducción magnética B. Puesto que ¡a corriente fluye en un circuito cerrado, la fuerza resultante sobre la espira debe ser cero, de acuerdo con (19.4.10). Pero las fuerzas sobre los cuatro lados del rectángulo pueden calcularse por separado según (19.4.9), osea.
(19.4.14)
x B)
(19.4.13)
!(,, x Bl
(19.4.12)
K,,( .-= /(I H ( . x B|
(19.4.11)
F-.,, f 'ÍI A1Í x B) -,,
1M
donde el vector 1AB se extiende en la dirección del lado que va de A a B, IBC va desde B hasta C, etc. Por las reglas para la multiplicación vectorial, es evidenie que las fuerzas FAB FCD son de igual magnitud (/AB = / fD , yaque la espira es rectangular) y de dirección opuesta, estando sus líneas de acción sobre el eje OO'. Es claro que estas fuerzas no dan tugar a un momento neto de rotación. Las fuerzas F^. y
FDAson de igual magnitud, pues /BC = /DA, y también de dirección opuesta. Pero debido a que el plano de la espira está inclinado formando un ángulo 6 con la vertical, las lineas de acción de estas dos fuerzas no coinciden y dan lugar entonces a un momento de rotación alrededor de 00', como se representa, que tiende a hacer girar la espira hasta que su plano sea normal al campo B. Estas fuerzas se muestran en forma más clara en la ñgura 19.19, donde se indica el eje 00' exactamente perpendicular a la página. De este diagrama es claro que el brazo de momento asociado a FDA y FBt es /AB sen B y que entonces la magnitud del momento de rotación -r será > = • • • -••
H sen O -f- U" ,!C/AB sen t)
(19.4.15)
Pero como IDA y 1BC son perpendiculares a B, por(I9.4.12) y (19.4.14), FUA = IIDfLByFK = HK.B. Utilizando estos resultados y recordando que /DA y IK son iguales, (19.4.15) queda como sigue: = HHílAKKstn<) ---- IAK senil
(19.4.16)
en que A es el área de la espira-. La dirección del vector momento rotacional r es vertical y hacia afuera de la página en la figura 19.19
BC
FIGURA 19.19. Otra vista de la espira rectangular de la figura 19.18. en la que los lados AD v BC y la recta 00' son normales a la página
-f Este resultado puede expresarse de manera *más simple definiendo el vector pm como un vector normal a la espira y cuya magnitud está dada por JA, es decir, el producto de la Acorriente por el área deja espira. Si se hace 'rafoTentonces es evidente de inmediato que el vector momento r puede expresarse como I = p.., x B
(19.4.17)
porque entonces la magnitud de r será la dada Por (19.4.16) y su dirección será verticalmente Gracia arriba, saliendo de la página, en la figuJa 19.19. "Es fácil ver que las ecuaciones (19.4.17) y [19.2.3) son idénticas, lo que sólo significa ^Üe la ley de la fuerza magnética de Lorentz (19.2.6) y la ecuación (19.4.5), que se sigue directamente de la anterior, llevan a la conclusión de que el momento de rotación sobre una .espira con corriente en un campo magnético, «justamente igual al que se esperaría que ac* toara sobre un dipolo magnético en un campo "Magnético; lo anterior concuerda con lo que •e observa físicamente en espiras con corriente "otros electroimanes cuando se colocan en s magnéticos producidos exteriormen>y se puede considerar como una de las veri-
ficaciones experimentales importantes de la ley de Lorentz. Más aún, se encuentra que la magnitud del momento dipolar magnético JA que se obtiene de la citada ley de Lorentz predice con exactitud la magnitud de los momentos de rotación que se observan en espiras individuales y en electroimanes de solenoide en campos magnéticos. De hecho, se encuentra que las espiras con corriente se comportan en todos sentidos como dipolos magnéticos; más adelante se verá que los campos magnéticos que generan son dipolares.: Los resultados anteriores se obtuvieron rigurosamente sólo para espiras rectangulares con corriente, pero son correctos sin importar la forma que tenga la espira conductora, siempre que el momento dipolar se exprese como el producto de la corriente en la espira por su área. Al relacionar la dirección del momento dipolar magnético asociado a una espira, es útil recordar la regla de que si la mano derecha se coloca de manera que los dedos se encorven en el sentido del flujo de corriente en la espira, el pulgar extendido apuntará en la dirección del vector momento magnético p^ asociado a la corriente, lo que se ve en las figuras 19.18 y 19.19, pero se ilustra con mayor claridad en la 19.20
1
786
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
momento de origen magnético dado por (19.4.16), pero ahora hay un momento rotacional de signo negativo provocado por el peso de la masa suspendida. Este momento se puede expresar así: fm = - mi/1 = - inga eos ti
(19.4.22)
en tanto que el momento de fuerza magnético, de (19.4.16), puede expresarse por medio de
T = M- IB sen O
(19.4.23)
Si el sistema está en equilibrio, la suma de momentos debe ser cero; por tanto, £ r = \ A B sen O - nú/ti eos O -^ O
FIGURA 19.23
(19.4.21)
(194.24)
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación entre eos 6, observando que sen 0/cos O - tan 6 y despejando tan 6 resulta que
los momentos anteriores) es cero. En estas circunstancias, (19.4.20)
Despejando la corriente de esta ecuación, se obtiene
NA B eos é
Sustituyendo en esta ecuación los valores numéricos dados en e¡ enunciado del problema, resulta/.= 2.15, x JO' 6 A. EJEMPLO 19.4.3
Supóngase que la bobina descrita en el ejemplo anterior está montada para que gire libremente alrededor de un eje horizontal en un campo magnético vertical constante de 1.5 Wb/m 2 . En este ejemplo no se tiene una restricción mediante un resorte, sino que se cuelga una masa de 1 g en uno de los lados de ¡a bobin?., como se muestra en la figura 19.23. Encontrar el ángulo 8 entre el vector pm, normal al plano de ¡a bobina, y el campo magnético, cuando fluye una corriente de / = 2 x 10~ 4 A por la bobina. Nuevamente el problema comprende el equilibrio de momentos¡ Otra vez interviene el
(19.4.26)
19.5 Campo magnético de un conductor que lleva corriente: ley de Biot y Savart
eléctrico de cargas puntuales, era sencillamente la manera como podía resumirse mejor las observaciones experimentales relativas a las fuerzas electrostáticas sobre cuerpos cargados. El caso es igual con relación a los campos magnéticos producidos por corrientes constantes. No hay manera de deducir una expresión para estos campos; lo único que puede hacerse es observar experimentalrnente las fuerzas magnéticas creadas por las corrientes reales, y luego tratar de encontrar una expresión matemática para el campo magnético que concuerde con los resultados de todas las observaciones. De esta manera se llegó precisamente a la ley de Biot y Savart, que evalúa el campo magnético creado por el flujo de corriente en un conductor. Dicha ley expresa que elelemento de inducción magnética dB asociado a una corriente /en un segmento de conductor descrito por el vector d\e las siguientes condiciones:
787
FIGURA 1 9.24. Campo magnético de magnitud dB producido en un punto P por un elemento de corriente rfl en un conductor por el qu? circula ur,a corriente constante / de acuerdo con la ley de Biot y Savart.
cuadrado de la distancia, como las fuerzas de Está en dirección perpendicular tanto a d\o al, vector de posición r desde el seg- Claramente, Coulomb entre cargas eléctricas. (19.5.1) indica lo anterior. Por lo general, la constante de proporcionalidad en la ecuación (19.5.1) se expresa como Ma/4;r, por razones parecidas a las expresadas para escribir la constante de proporcionalidad en la ley de Coulomb para campos eléctricos como l/4irí;0. Escribiendo la constante de proporcionalidad de esta manera, (19.5.1) queda
En esle caso, a = 1.0 cm = 0.01 m, tn = mento de conductor hasta el punto P, 0.001 kg, N = 300, / = 2 x 10-* A, A = donde se mide el campo, como se ilustra 0.0006 m2, B = 1.5 Wb/m 2 . Sustituyendo esen la figura 19.24; Cos valores en (19.4.25), se obtiene tan 9 Es directamente proporcional a la longi1.815, tí = 61.1°. ud di del segmento y a la corriente I que conduce; Es directamente proporcional en magni19.5 Campo magnético de un conductor tud al cuadrado de la distancia r entre el elemento de corriente y el punto P; que lleva corriente: ley de Biot y Savart Es proporcional al seno del ángulo d entre Hasta ahora se ha centrado la atención en la los_vectpres di y r. , . . . , , . . . . . . . • .. . . descripción de fuerzas sobre cargas y corrientes ubicadas en campos magnéticos produci- ^ En forma matemática, esta ley queda como . .> •> i dos exteriormente. En este proceso no se tomó ,, en cuenta el campo magnético propio producido por las corrientes o las cargas mówles, jX>r (19.5.1) x i, lo que no se atacó el problema de describir)' * explicar los resultados de los experimentos de Oersted. El avance fue orientado por la nece- j en que T¡*"> es un j(arjO lisenviliaicidirección • • • uii vector v W4*IUJ un MriffU* VJii v-wwivvn sidad de definir y comprender el vector induc- «1 figura 19.24. Es evidente que que !« vector r de la figura ción magnético B. Después de lograr est£ 1 «ecuación ecuación (19.5.1) comprende todos los reobjetivo, ahora conviene volver a los expefl- glados expresados antes, ya que indica que mentos de Oersted y describir el campo mag|«s perpendicular tanto a di como r y que su nético producido por una corriente constan16 ínitud es proporcional a I di sen 0/r2, presobre un conductor uniforme. townte lo observado. Antes se hizo referencia En el estudio de la electrostática se obserw *ho de que las fuerzas magnéticas presenque la ley de Coulomb que describe el carnp0 ?» una dependencia' en razón inversa r af
d\ ir 4*
(19.5.2)
'
Ya que puede obtenerse el vector unitario i, en la dirección de r tomando este vector (la magnitud r) y dividiéndolo ontre su propia magnitud, se puede escribir (19.5.3)
Entonces, la ecuación (19.5.2) es (19.5.4)
La constante ^ es una medida fundamental de la intensidad del magnetismo asociado al flujo
I
790
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
EJEMPLO 19.5.1
FIGURA 19.27. Superposición de campes magr.éticc.s c:r ¡a ley de lo adición vectorial.
R — B, -- B , - B3 i-
' ' + B» = í Bf
Evaluar la inducción magnética en un punti del eje z creada por una corriente / que flu en una espira circular de radio a en el plañí xy, y cuyo centro está en el origen (fig. 19.28). En este ejemplo, es importante percatara de que el campo total B en todos los puntos del eje z está en la dirección de éste y sólo tiene una componente z, lo que se comprende considerando las contribuciones separadas al campo total B por el elemento di que se muestra en la figura 19.28, y el elemento di' de igual longitud pero diametralmente opuesto en la espira. Estas dos contribuciones dB y dB' están cada una en la dirección de di x r y di' x r', por lo que se hallan en el plano definido por OQP, que es perpendicular al elemento di y pasa por el vector de posición r. Es claro que las componentes horizontales de dB y dB' son de signo contrario por lo que su suma será cero cuando se reúnan todas las contribuciones de
1 9.5 Campo magnético de un conductor que lleva corriente: ley de Biot y Savart
¿I. Pero las componentes verticales ;,on de igual signo y su sum.i tendrá una contribución definitiva a! integrarse sobre todos los elementos di. Ya que cada elemento de la espira tiene su compañero diametralmente opuesto di' en el otro lado de aquella, no puede haber componente horizontal del campo resultante B, por lo que B sólo tendrá componente vertical z. En consecuencia, al sumar las contribuciones de los elementos de la espira con corriente, basta considerar la? componentes z de los vectores dtí, pues ya se sabe que las componentes horizontales se cancelan. Como son iguales los vectores en uno y otro miembro de la ecuación (19.5.4), sus componentes z deben ser también iguales. Entonces pueden igualarse las componentes z de estos vectores para obtener dB,=
;i0/_ (//I...x. r).
4n
r~
(19.5.15)
De la figura 19.28 y de la definición del producto vectorial, la componente z de di x r wtá dado por
791
De la figura es evidente que r2 = a2 + z2, y por tanto, que (19.5.19) se puede escribir finalmente como (19.5.20)
Este resultado puede expresarse en términos del momento magnético pm de la espira conductora, recordando que pm = ira2/. De esta manera, (19.5.20) queda como n
_
271(0*
(1S.5.21)
Es más difícil calcular la inducción magnética en puntos que no estén en el eje de la espira, de modo que no se tratará de hacerlo aquí. Baste decir que a distancias considerables de la espira, se puede demostrar que el campo B es el de un dipolo cuyo momento es/>J,. Para valores de z mucho mayores que e) radio a, se desprecia el valor de a en el denominador de (19.5.21); entonces, la expresión para el campo queda como
(19.5.13) Wl x r), = \Jl x r¡ eos O = r di ° = a ¿//(1S.5.16)
en que cada uno de los campos individuales B, está relacionado con su propia corriente generatriz !, por medio de dl¡ x r¡
También, la longitud de arco di puede expresarse como el producto del radio a de la espira circular multiplicado por el ángulo central d<(>. Por tanto, (19.5.16) queda como
(19.5.14)
)j = a~
En esta ecuación, di, son los elementos diferenciales oí que constituyen el conductor c, por el cual pasa la corriente /,, en tanto que r, es el vector que va desde el elemento diferencial di, hasta el punto P en que se evalúa el campo. Al superponer los campos magnéticos individuales de esta manera, es importante que se sumen como vectores, ejecutando la suma indicada en (19.5.13) siguiendo las leyes de adición vectorial. El ejemplo más simple de la superposición de campos magnéticos lo proporciona el caso de dos conductores rectos paralelos, en que el campo resultante B es la suma vectorial de las contribuciones Bj y B2 de los campos individuales que son originados por las dos corrientes en los conductores separados (fig. 19.27).
(19.5.17)
sustituir en (19.5.15) da
yjíHíq
(19.5.18)
4nr3 -•.;••. ora puede integrarse esta ecuación sobre ^ y al hacerlo sacar de la integral el coeficiente de d<j>, pues al integrar sobre todos los ele""«itos di de la espira, la cantidad r1 es la misma Para cada elemento, y por tanto, es una consj^te en esta integración. Integrando sobre la «ngitud circular. desde 0 = 0 hasta $ = se obtiene
t
2*,
''
— r 2 *í/^ = -|-~-
--
' 2
' ' '
2
--
(Í9.5.19)
n w ,o.vs-j. LJ 2r3; ,i¡ ,ff;jffjnvv..-' í;,/
FIGURA. 19.28
Esto es comparable a la expresión para el campo eléctrico axial de un dipolo eléctrico, que se dedujo en el Capítulo 16; es evidente la similitud en la forma. En la figura 19.29 se muestran las lineas de B para este campo; en análisis posteriores se harán frecuentes referencias a esta configuración de campo. EJEMPLO 19.5.2
Calcular la inducción magnética en el centro de una bobina circular de 100 vueltas, cuyo diámetro es de 10 cm y que lleva una corriente constante de 10 A. Este ejemplo puede considerarse como un caso especial del anterior. La ecuación (19.5.20) da el campo en el eje de una espira circular. Tratándose de una bobina circular de N vueltas, habrá N espiras con corriente en vez de una sola y los campos se superponen para dar un campo N veces mayor que el expresado por (19.5.19). Al'mismo tiempo, si
79*
í
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
FIGURA 19.31
f
'
" '''
B, lo mismo que sus ángulos de intersección con el plano AB, <£, y <¿>2. Para que las corrientes en las dos espiras sean iguales, las magnitudes 5, y B¡ también tendrán que ser las mismas. En estas circunstancias, de la figura 19.31 es claro que las componentes transversales B¡ eos 0, y B2 eos <í>2 son de igual magnitud pero de signo contrario, por lo que se cancelan, dejando sólo las componentes normales 5, sen 0i y J52 sen 2. En consecuencia, el campo resultante B en el punto P es normal al plano AB y su magnitud está dada por
III
B= = 2B,
(19.5.28)
Puesto que se ha escogido P arbitrariamente y es representativo de cualquier punto que esté en el plano AB, estos resultados serán ciertos para todos los puntos en el plano. Los resultados .de este ejemplo son importantes, y se
se deben a elementos individuales de corriente. Se podría esperar que la ley de Gauss del magnetismo sea en este caso una alternativa útil, igual que en electrostática. Por desgracia, no sucede así, pues en el caso de los campos magnéticos la integral de superficie del flujo magnético a través de una superficie cerrada invariablemente es cero, en vista de que no existen cargas magnéticas. La ley de Gauss para el magnetismo es informativa y tiene importante significado fundamental en relación con las propiedades de los campos magnéticos, pero poca utilidad práctica como para ayuda calcular campos magnéticos a partir de distribuciones de corriente. Por tanto, debe buscarse un método distinto que ayude esencialmente como lo hace la ley de Gauss en electrostática. La alternativa buscada la proporciona el teorema denominado ley de Ampére, que relaciona la integral de B • di alrededor de cualquier trayectoria cerrada, con la corriente total que fluye a través de la trayectoria de integración. La ley de Ampére se asemeja a la ley de Gauss para las cargas íjfjctricas en que una integral sobre una tra'"'yéctória cerrada arbitraria tiene relación con la intensidad de la fuente que encierra. Por fanto, la aplicación práctica de la ley de Am.^ei para-calcular campos magnéticos sigue tendrá ocasión de referirse a ellos de nuevo tttas o menos las mismas líneas que la ley de cuando se investiguen los campos magnéticos Gauss, excepto que la de Ampére comprende en el interior de bobinas toroidales y solt- una integración de elementos de línea alrededor de una curva cerrada, mientras que la de noidales. Gauss corresponde a la integración de elementos de superficie sobre una'cerrada. ÍÜIYá se ha demostrado cómo la ley de Gauss 19.6 Ley de Ampére para los campos electrostáticos se obtiene tomo consecuencia directa de la ley de las fuerzas de Coulomb. También es cierto que es Posible demostrar que la ley de Ampére se sipe directamente de la forma diferencial de la 'ey de Biot y Savart expresada por la ecuación p-5.4). Es desafortunado que esta tarea ma^nática sea formidable, incluso con la ayuda ** matemáticas mucho más avanzadas que el ""'el usado en este libro. Por tanto, tendrá presentarse una demostración de la ley de ¡pére que es mucho menos amplia que lo es de desear, pero se tendrá cuidado en seque los resultados obtenidos se aplican ios mucho más genérales. • " » En el estudio de la electrostática se encontré que en tanto que a menudo puede determinar- i se el campo eléctrico establecido por un» I distribución dada de cargas, superponiendo b : contribución de campo de los elementos ind|- ' viduales de carga, el introducir la ley de Gau$ i proporciona otra forma por demás útil e W' í portante de lograr el mismo propósito, u mismo ocurre en la determinación del carnpf magnético a partir de sus corrientes generati* ees, aunque con ciertos aspectos que son ot tintos. Ya se han descrito las característica principales de la determinación dé los camp* magnéticos por superposición de campos Q
FIGURA 19.32.
19.6 Ley de Ampére
795
Cálculo de la integral de B • d\r de una traye
un conductor largo y recto, que conduce una corriente de intensidad constante.
Considérese el caso que se ilustra en la figura 19.32, donde fluye una corriente constante / hacia afuera de la página en un conductor largo y recto, normal a aquella. Por comodidad, se escogió el sistema de coordenadas, de manera que la corriente fluya a lo largo del eje z, saliendo por el origen en el plano xy. Se muestra una curva cerrada arbitraria C que está en el plano xy y que rodea el conductor; se procederá evaluando la integral de B • di sobre todos los elementos di que constituyen la curva C. Por la definición del producto escalar de dos vectores, se sabe que B • di = B eos 6 di
¡19.6.1)
en que 6 es el ángulo entre los vectores B y di. Pero, de la figura 19.32 es evidente que di eos 0 = r il<
(19.6.2)
También se ha visto que la ley de Biot y Savart para un conductor largo y recto, representada por (19.5.12), indica que la magnitud ( debe ser • • - • • • ;
.
798
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
C es mayor que el radio del conductor, Ic es sencillamente la corriente total / que lleva el conductor. En esle caso, InrB = n0l de donde r >a
(19.6.13)
Esta expresión da el valor de B para cualquier valor de r mayor que a, es decir, en todas partes fuera del conductor. Se advierte que la expresión tiene la misma forma que (19.5.12), lo que quizá no es de sorprender, aunque este no es el mismo caso que el que se consideró al deducir (19.5.12), debido a que aquí se limitó la corriente a una línea a lo largo del eje z en vez de a un conductor de radio finito. Para puntos dentro del conductor, debe precederse en forma ligeramente distinta. 2 Supóngase que se desea aplicar la ley de Ampére alrededor de la trayectoria circular C' que está dentro del conductor y cuyo radio r es menor que el radio del mismo. La integral de B • di se evalúa exactamente de la misma manera y tiene el valor 2irrB dado por (19.6.12). Pero ahora debe igualarse a ^0 multiplicado por Ic', que representa la corriente que fluye a través de la trayectoria C" y éste es ahora sólo una fracción de la corriente total /. Si se supone que la densidad de corriente y es uniforme en el área transversal del conductor, la corriente que pasa por C' es sencillamente la densidad de corriente multiplicada por el área limitada por la trayectoria cerrada C". De acuerdo con ello, 7C. ='jnr2
(19.6.14)
Puesto que la densidad de corriente es la corriente total / dividida entre el área total del conductor, que es xa2, se puede escribir (19.6.14) como 2
(19.6.15)
2 Aunque es cierto que en el equilibrio electrostático no puede haber campo eléctrico dentro de un cuerpo conJuctor, no hay ley que impida que haya un campo magnético en el interior de un cuerpo tal. Como pronto se verá, los campos magnéticos dentro de los conductores pueden ser tanto o más intensos que los que están en el exterior.
(EJEMPLO 19.6. zj) Utilizar la ley de Ampére para evaluar el campo magnético de un conductor cilindrico hueco, infinitamente largo, de radio exterior a y radio interior b, que lleva una corriente total /. Determinar el campo fuera del conductor, en la sustancia conductora y dentro de la cavidad tubular hueca, cerca del centro. Se supone que ¡a densidad de corriente es constante en el conductor. En la figura 19.36 se muestra una sección transversal de este elemento. Nuevamente, la simetría del conductor y el flujo de la corriente es tal que puede suponerse con seguridad que FIGURA 19.35. Gráfica de inducción las líneas de B son circulares, de manera que el magnética en función de la distancia radial ra vector B siempre es tangente a ellas, como se partir del centro del conductor mostrado en la ilustra. Por este motivo, si se escogen trayecfigura 1 9.34. torias circulares como C, C' y C" para evaluar la integral, de Ampére, nuevamente se Si ahora se iguala la integral de B • di, que encontrará que B y los elementos de di de la tiene el valor 2-rrrB como antes, a /¿o/c', * trayectoria siempre son paralelos, y que B • di acuerdo con la ley de Ampére puede escribirse simplemente se reduce a B di. También en este caso, la simetría es tal que la magnitud de B (19.6.16) será la misma en todas las partes de los conInrB = tornos circulares, por lo que se puede escribir Luego se despeja B a fin de obtener, r meno¡ fuera de la integral. Como en el ejemplo anterior, puede expresarse la ley de Ampére como que a, 2na2
r
(19.6.18)
(19.6.17)
Por tanto, fuera del conductor, B está dado por (19.6.13) y decrece a medida que aumentí la distancia en proporción a 1/r, mientras quf dentro del conductor . está expresado p<" (Í9.6. 17) y aumenta liríealmente en función d« r desde el centro hasta la superficie exterior, j En ía superficie, donde r = a, tanto (19.6.13) como (19.6.17) llevan al mismo valor para e campo, B = /4//2iro. Ya que el vector B* , tangente en todas partes a las trayectorias ó<- j culares como C o C' , las lineas de B son circulares, como se ilustra en la figura 19.34. En » figura 19.35 se presenta la viariación de B^ función de r. Para un conductor de 1 mm * radio que lleva una corriente de 100 A, & ****. xima inducción, que ocurre en la superficie 0a conductor, será
' 2na
m
.
19.6 Ley de Ampére
799
: • - . . .:•: De nu.eyo, la integraljde di alrededor de la trayectoria es la longitud del arco total del contorno, en este caso, una circunferencia. Por tanto, para el contorno C que está totalmente fuera del conductor, se tiene 2nrB =
r >a
(19.6.19)
en que r es el radio de la trayectoria circular C e / es la corriente total que lleva el conductor. Despejando B, B ='
r > ti
2nr
(19.6.20)
Este es el mismo resultado que se encontró en el ejemplo anterior para un conductor cilindrico macizo. Por tanto,' con sólo observar ej campo magnético fuera del conductor, no es posible decir si esjñácízb o Hueco.7' Dentro del conductor, en una trayectoria de integración como C", debe igualarse la integral de Ampére a la parte de la corriente total Ic' que pasa a través del contorno. La corriente dentro del mismo, puede expresarse como el producto de la densidad de corriente constante j por el área de la sección transversal del conductor, queda dentro del contorno C' de radio r, el cual se muestra sombreado en tono más oscuro en la figura 19.36. Como esta área es irr2 — irb2, se tiene Ic.=jn(r2-b2}
(19.6.21)
Pero como puede expresarse la densidad de comente j como la corriente total / dividida entré el área transversal total del conductor, que en este caso es va2 — jré2, es posible escribir (19.6.21) como ¡í"
l(r2 - h2) ~~
(19.6.22)
Como antes, la integral de B • di alrededor de C' es 2-irrB, de manera que la ley de Ampére de -(19.6.23)
o sea que
wby
- b2) - b2)
B=
(27t)(10~ 3 )
b < r
(19.6.24)
802
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
De la figura 19.38, es evidente que la dirección de B en estas condiciones sería verticalmente hacia arriba en el plano de la página. Ahora sólo necesita encontrarse la relación entre la densidad de corriente y y la corriente total / q u e lleva el conductor. La corriente total /( que se supuso era el origen de B, está dada por la densidad de corriente./' multiplicada por el área total limitada por la frontera exterior del conductor, de donde = Tlüj
(19.6.29)
De la misma manera, la corriente total /2 que aclúa como origen de B2 es la densidad de corriente —j multiplicada por el área del agujero: /, = ~nh-j
(19.6.30)
La suma algebraica de estas dos corrientes es la corriente neta / que realmente lleva el conductor: / = / , + ¡2 = nj(a2 - b2}
o sea,
nía1 -bf\)
de estas estructuras desde el puní» Je nítida de la ley de Ampére. Es natural pensar que la mejor manera de empezar sería con la bobina solenoidal recta, infinitamente larga y de espiras muy próximas que aparentemente es el electroimán más simple. En efecto, en muchos libros se comienza utilizando la ley de Ampére en una deducción muy simple de la inducción magnética dentro de este tipo de bobina, cuya única virtud es la que se obtiene la respuesta correcta. Pero la aplicación de la ley de Ampére a un solenoide no es cuestión sencilla, si se insiste en la) comprender claramente las respuestas a todas las preguntas que surgen durante el proceso. En consecuencia, se procederá'investigando primero las propiedades de los toroides, que son realmente más simples y fáciles de analizar que los solenoides. En el ejemplo 19.5.4 y en, la figura 19.31, que le corresponde, se establecieron las bases para este trabaL. jo. El objeto de dicho ejemplo fue demostrar que el campo B dentro de una bobina toroidal de espiras muy cercanas como la de la figura 19.39, es solamente tangente a líneas circulares y que no tiene componente alguna en un plano perpendicular al eje de la bobina, es decir, en un plano como AB. Es inmediatamente JIGURA
Sustituyendo esto en (19.6.28), finalmente se obtiene
--
2n(u2'- b2)
(19.6.32)
Puede notarse que cuando c = O, el agujero es concéntrico. En este caso, (19.6.32) da.fi = O, lo que concuerda con el resultado que se obtuvo en el ejemplo 19.6.2.
19.7 Campos magnéticos en el interior de bobinas toroidales y solenoides Las bobinas toroidales (anulares) y los solenoides (bobinas cilindricas) son de especial importancia en trabajos experimentales de electromagnetismo en el laboratorio, al igual que en la tecnología. También se encontrará que puede comprenderse mejor ;a ley de Ampére por el estudio de estos elementos. Por tanto, ahora se emprenderá una investigación
FIGURA .19.39,: Bobina toroidal , (o tórical ^ conduce una comente constante /.
1 9.7 Campos magnéticos en el interior de bobinas toroidales y solenoides
803
acerca de la dirección de B en cualquier parte del toroide. La conclusión es que el campo B una bobina toroidal siempre debe ser tangente a una linea circular y que, por tanto, las líneas de B deben ser círculos concéntricos, como se muestra en la figura 19.39. De la sola simetría, también se puede concluir que la magnitud de B es la misma en todas partes en cualquier circular centrada en A. Supóngase ahora que el radio exterior de la bobina es a y que el radio interior es b lo que significa que el radio medio está dado por
a=
a +b
(19.7.1)
Entonces, la circunferencia media c será c = 1r,d = it(a + b)
(19.7.2)
En la figura 19.40, a se ilustran estos parámetros dimensionales. Supóngase que el número total de vueltas de conductor (o espiras), es N, por !o que el número de vueltas por unidad de longitud es
1 9.40. Parámetros geométricos de un ÍJgjgide/'grueso" (a) y uno "delgado" (b).
clara la semejanza entre los casos mostrados en las figuras 19.31 y 19.39. En el caso de la figura 19.31 y del ejemplo 19.5.4, se mostró que dos espiras circulares dispuestas como se indira_dan lugar a un campo normal en todos los T>uhios al plano que biseca'el ángulo entre las espiras. En la figura 19.39 se trata de demostrar ,,que es posible considerar una bobina toroidal está constituida por pares de espiras conductoras como las que se muestran en la figura 19.31, cada una de las cuales está dispuesta de Bañera semejante con respecto al plano AB, Junque a distintos ángulos 6 para cada uno
N c
N • n(a + b)
(19.7.3)
Ahora se aplica la ley de Ampére a la bobina de la figura 19.39, utilizando contornos circulares como C, C" y C" a lo largo de los cuales se puede evaluar la integral de B • di. Para una trayectoria como C, puede escribirse la ley de Ampére como B - di = B (jj, di =InrB I =
(19.7.4)
en que r es el radio de la trayectoria circular C. Pero para una trayectoria como C, cuyo radio es menor que el radio interno b, Ic = O, por lo que (19.7.4) indica que
B=0
r
(19.7.5)
A lo largo de una curva como C', la corriente. /c' que atraviesa la trayectoria cerrada de integración, es sencillamente NI, pues hayJV espiras conductoras, cada una de las cuales lleva
«06
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
Para un solenoide de longitud infinita con t; mismo número de vueltas por unidad de longj. tud, el campo en todas partes del interior es
19.8 Fuerza entre corriente Y definición del ampere
807
De hecho, ya que B, es constante en toda parte del conductor de la derecha, se puede escribir la fuerza total sobre un segmento de ese conductor de longitud / como x B.)
(19.8.5)
= 0.0200 Wb/m2
19.8 Fuerza entre corriente y definición del ampere
Antes ya se estudió el hecho de que las corrientes en los conductores dan lugar a campos magnéticos, y también que los conductores en los que fluye corriente experimentan fuerzas cuando se las expone a campos magnéticos externos. Reuniendo estas dos observaciones, puede comprenderse fácilmente que las corrientes pueden ejercer fuerzas entre sí a través de sus campos magnéticos. Es bastante fácil escribir una expresión matemática para ese tipo de fuerzas, de la forma
J\ x (di, x r 12 )
—
FIGURA 19.42. Configuración del campo magnético de un solenoide largo y finito.
De acuerdo con (19.7.9), el campo central Bc será
= 0.0200 Wb/m 2 Justo después del radio interno, la distancia r al origen es de 0.05 m. De acuerdo con (19.7.8), el campo ahí es d (0.0200)(0.075) B = fí0nl - = — (o os = a°300 wb/m Justo antes del radio externo, r = 0. 10 m y B estará dado por
(19.8.1!
.FIGURA 19.43. Determinación de las fuerzas magnéticas entre conductores recios, paralelos y de gran longitud que conducen corrientes
En esta expresión, Fu representa la fuerza .constantes. sobre la corriente I¡ que fluye en un conductor IfüSV. C2 compuesto por los elementos dl2, debida a debida a la corriente en el conductor de la la corriente /, que fluye en otro conductor C\o análogamente por los 7,elementos d(\izquierda es El vector ru es un vector que va del elemente d\¡ del primer conductor al d\ del segundo. Las integrales se evalúan con respecto a los elementos dl¡ y dl-¡ de ambos circuitos y debe" tomarse alrededor de todo el circuito en cada caso. Aunque es simple deducir (19.8.1) P^" tiendo de (19.4.5) y de (19.5.4), no tien« mucho sentido hacerlo, pues la evaluación de la integral anterior es tan tediosa que práctica mente hace inútil la expresión para los propósitos inmediatos. Empero, su deducción o instructiva, y se le asigna como ejercicio. En este momento basta considerar sencillamente el caso de dos conductores recto5 paralelos, infinitamente largos, separados a " ditancia a, y que llevan las corrientes constan' tes /, e /2, como se ilustra en la figura \9$De la ley de Biot y Savart, o de la ley de A*" pére, se sabe que la inducción magnética R
%=qp
4,:;;;
•-
•
(19.8.2)
2nr
^Sfque r es la distancia desde el conductor. La dirección de B, será perpendicular hacia el borde superior de la página, como se muestra ,c|i la figura 19.43, de acuerdo con la regla de fe mano derecha. Claramente, la magnitud de BI en el sitio del segundo conductor, donde r = a, es .»r=4°^ ¿na
(19.8.3)
El vector 1 se ilustra en la figura 19.43. Ahí es claro que el vector F tiene la dirección mostrada, por lo que la corriente de la derecha experimenta una fuerza de atracción hacia la corriente paralela de la izquierda. De acuerdo con (19.8.5) y de (19.8.3), la magnitud de la fuerza F debe ser F .= I2IE
- !^hhl 2na
(19.8.6)
Se pueden resumir estos resultados expresando que la fuerza por unidad de longitud que experimenta el conductor de la derecha, es de atracción y está dada por i'2
(19.8.7)
Un cálculo semejante de la fuerza'experimentada por el conductor de la izquierda debido al campo magnético de la corriente en el conductor de la derecha, indica que la fuerza que actúa en aquel conductor es de magnitud igual y de dirección opuesta a la dada por (19.8.7), lo que es de esperar para que se cumpla la tercera ley de Newton, ya que estas fuerzas califican en todas formas como una pareja de acción y reacción. Si se invierte el sentido de la corriente í¡, el vector I también invierte su dirección, lo que a su vez invierte la dirección de la fuerza. Entonces s¿ encuentra que las dos corneales se repelen entre sí, por lo que la ley será que las corrientes paralelas se atraen mientras las antiparólelas se repelen.
:que
Pe acuerdo con (19.4.5), la fuerza sobre un Cemento d\l conductor de la derecha —que "^a la corriente I2— debida a este campo ¡magnético será. B,)
(19.8.4)
Ahora sé calculará la fuerza sobre un tramo de 1 m de conductor que lleva una corriente de exactamente 1 A, situado etr forma paralela, el cual se encuentra a 1 m dé distancia y que •lleva la misma corriente; Eri este'caso, / = 1:0
N
II
810
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
en que A es el área de la espira. Las dirección del vector momento dipolar es normal al plano de la espira, y apunta en la dirección indicada por el pulgar de la mano derecha, cuando los otros dedos se curvan sobre la espira en el sentido de la corriente. El momento de rotación sobre una espira con corriente y situada en un campo magnético externo es
t = pm x B en que pm es el momento dipolar magnélico del circuito. El campo magnético creado por una corriente dada puede encontrarse de dos maneras principales: En primer lugar, de acuerdo con la ley de Biot y Savart se puede expresar el elemento de campo dB que resulta del flujo de corriente / a lo largo del elemento d\e un conductor como
,R
/V '/I x r
íIK - --- —,— 4n r
en que r es el vector que va del elemento de trayectoria d\l punto P donde desea calcularse el elemento de campo dB. Luego se puede obtener el campo total integrando sobre todos los elementos de trayectoria d\ lo largo de los que fluye la corriente. Al realizar la adición debe tenerse cuidado de utilizar las reglas de la suma vectorial. Por tanto,
„ _ /fj f d\ r - 4n Je r~
B
i
En estas expresiones, la constante /ÍD tiene el valor de 4?r x 10-7 Wb/A • m en unidades SI. Se llama permeabilidad magnética del vacío. En el caso de un conductor largo y recto que lleva la corriente /, la integración de la forma diferencial de la ley de Biot y Savart sobre los elementos di de conductor para el campo a la distancia r del mismo, da el resultado simple
B^ 0 / fí~2¿r En este caso, las líneas de B son círculos que rodean al conductor en el sentido indicado por los dedos curvados de la mano derecha, cuando el pulgar apunta en la dirección de la corriente. f * '
Una segunda forma de obtener el campj lamente 2.000. . . x 10"7 newtons por metro. magnético asociado a una distribución d( Esta definición fija también la magnitud del corriente dada es por la ley de Ampére, qu¡ coulomb, que equivale a l A • s. expresa que para cualquier trayectoria cerradaC
PREGUNTAS en que 7C es la corriente que fluye a través d; la trayectoria C alrededor de la cual se calcula la integral. La ley de Ampére es especialmente útil en casos en que la simetría permite que la integral anterior se exprese como la magnitud de B multiplicada por la longitud del camino cerrado C. La ley de Biot y Savart es un enunciado parecido al de la ley de Coulomb, er. tanto que la ley de Ampére tiene gran analogía con la ley de Gauss de la electrostática. El campo magnético fuera de una bobina toroidal ideal es cero. Dentro de la bobina, a lo largo del eje de la sección transversal, e! campo magnético es paralelo al eje central dei toroide y su magnitud es
1.
2. 1
3. '" " '. 4. ' !•'•
B = wl en que / es la corriente en la bobina y n el número medio de vueltas por unidad de longituí a lo largo del toroide. En un solenoide de gran longitud, el campo dentro de la bobina es uniforme, apunta en la dirección del eje de la bobina y su magnitud es
B = /í0«/ siendo n número de vueltas por unidad de longitud e 7 la corriente en la bobina. La fuerza por longitud unitaria de un con ductor recto que conduce la corriente /i y «t* a la distancia a de un segundo conductor recic paralelo que lleva la corriente 72 es F = ^0(1/2 7 ~ ínu La fuerza es de atracción si las dos corriente* están en la misma dirección y de repulsión sestán en direcciones opuestas. La unidad ampere es la corriente qu f i cuando fluye a través de un conductor rec» paralelo a otro igual con una corriente <* igual intensidad y sentido, a 1 m de distanc* experimenta una fuerza de atracción de t**"
El campo eléctrico se define de manera que la fuerza eléctrica sea paralela al campo. ¿Podría definirse el campo magnético de manera que la fuerza magnética fuese paralela a este campo? La máxima velocidad de una partícula con carga q es v0. ¿Cuál es la magnitud máxima y la mínima de la fuerza magnética que actúa sobre ella? Una partícula de carga q y velocidad v no se desvía cuando se mueve a través de una región del espacio en que hay campos uniformes E y B. Obtenga una expresión para E en términos de las otras cantidades. Los campos magnéticos se deben al movimiento de cargas eléctricas. ¿Existen otras formas en que pueda producirse un campo B? En un tubo de rayos catódicos, inicialmente se proyectan los electrones en la dirección del eje z positivo y el haz se desvía hacia los valores negativos de x en el plano xy. Si la deflexión se debe a un campo magnético, halle la dirección del mismo. Un alambre que lleva una corriente / no experimenta fuerza magnética alguna aunque esté en un campo magnético uniforme. ¿Cómo puede explicarse lo anterior? En las partes del norte de Canadá, el flujo de rayos cósmicos es mayor que en el Ecuador. ¿Cómo puede explicarse éste? Un niño que mira la televisión, nota una distorsión en la imagen siempre que acerca su pequeño imán de juguete a la pantalla. Explique esto. Analice los diversos factores que determinan el flujo magnético a través de una superficie dada. ¿Siempre es cierto que el flujo magnético a través de una superficie cerrada vale cero? ¿Puede sugerir un método para medir el momento dipolar de una aguja de brújula? Señale y compare las diferencias entre la ley de Biot y Savart y la ley de Coulomb para las cargas eléctricas. Indique si la ley de Ampére es válida para todas las trayectorias cerradas posibles que pudieran escogerse. ¿Es útil para todas ellas? Se puede utilizar la ley de Ampére y la ley de Biot y Savart para calcular campos magnéti-
14.
15. 16. 17.
18.
Problemas
811
cos. Indique cuál es más general, en términos de aplicabilidad. El campo magnético debido a un toroide está completamente limitado a su interior, mientras que el campo debido a un solenoide largo no se anula en el exterior. Explique esto en términos de la necesidad de que cierren las lineas del campo magnético. Explique en términos simples por qué la fuerza entre dos alambres que llevan corriente, es proporcional al producto de las intensidades. Un protón se mueve de occidente a oriente cerca del Ecuador terrestre. ¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética que experimenta? Dos partículas de carga igual están limitadas a moverse paralelamente una a la otra. Analice los campos magnéticos y las fuerzas producidas y experimentadas por cada una de las cargas. En Estados Unidos y Gran Bretaña están, creándose muchas discusiones acerca de la adopción de las unidades métricas en vez de las del sistema inglés. Pero por lo que respecta a las unidades eléctricas, ambos países han utilizado el sistema métrico durante más de un siglo, ya que el volt, el ampere, el coulom>, el ohrn y el watt eran y son unidades MKS. Sólo por molestar a los propugnantes afanosos del Sistema Internacional, ¿puede sugerir una forma de definir las unidades eléctricas con base en el sistema inglés o "británico"! ¿Qué valor tendrían los factores de conversión entre las posibles unidades "britcoulomb", "britvolt", "britampere", "britwatt" y "britohm" y las unidades normales del SI? ¿Qué valoies tendrán e» y n
- . „-. J: - . -
PROBLEMAS 1. Una carga puntual de 1.8 x 10-' C se mueve sobre el eje +x a 800 m/s. Hay una inducción magnética constante B cuya magnitud es de 0.72 N/A • m. El campo B está en el plano yz y forma un ángulo de 45° con el eje + y. Determine la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre la carga. 2. Una carga puntual de 2.7 x lO' 5 C se mueve sobre el eje +y a 600 m/s. Hay un'campo constante B de 0.96 N/A- m (o Wb/m 2 ). Su dirección está en el plano xy, formando ángulos iguales con los ejes +x y +y. Obtenga la magnitud y dirección dé la fuerza magnética sobre la carga:
1
> I
814
CAMPOS MAGNÉTICOS DE CORRIENTES CONSTANTES
infinito; demuestre que se obtiene el campo magnético fí9J/2rr debido a un alambre infinitamente largo. 29 Una corriente / fluye en el sentido del reloj alrededor de una espira de alambre con forma de triángulo equilátero de lado L. Halle el campo magnético en el centro de la figura. 30. Calcule el flujo magnético que atraviesa el contorno que se indica en la siguiente figura.
35. Dos alambres largos y paralelos distantes 01 llevan corrientes de 15 y 20 A, respectivamj te, como se muestra en el diagrama. Calcule,' campo magnético B en los puntos P, y p
20 amp
0.2 m
T" 0.1 m
15 amp
31. Un circuito cerrado lleva una corriente /, como se muestra en el diagrama. Obtenga el campo magnético que se produce en el punto P.
''
36. Una panícula de carga q y masa m entra a un campo magnético uniforme B y viaja sobre una órbita circular de radio R. Demuestre que debido al movimiento circular de la carga, en el centro de la órbita de la partícula existirá un campo adicional de magnitud „. _ /'o l'B
37. Dos bobinas circulares paralelas y coaxiales, cada una de radio b, están a la distancia b, como se muestra en el diagrama. Ambas llevan la misma corriente /, Demuestre que el campo magnético en un punto P del eje está dado por
me en el punto medio de la línea que une los ' centros de las bobinas. Demuestre que la primera y la segunda derivadas de B con respecto a x se anulan en esle punto (x = 0). jj, El campo magnético terrestre tiene la magnitud de 2.0 x 10""1 Wb/m 2 en determinado sitio. Unas bobinas de Helmholtz, como las ilustradas en el diagrama anterior, consisten en dos enrollamientos circulares, cada uno de las cuales contiene 40 vueltas. Si el radio de las bobinas es de 15 cm, determine la corriente necesaria para cancelar el campo magnético terrestre, produciendo con ello una pequeña región libre de campo en el punto x — O a lo largo del eje de las bobinas. Suponga que este eje se halla en la dirección del campo magnéti. co terrestre. 39. Una bobina cuadrada, cuyos lados miden L, lleva una corriente /. Halle la magnitud del campo magnético a la distancia z arriba del centro de la bobina. (Sugerencia: Utilice el resulta•t»i" do del problema 28.) 40. Un anillo circular de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente. El anillo gira alre' dedor de uno de sus diámetros con la velocidad • angular u. Obtenga una expresión para el campo magnético en el centro del anillo. 41. Una bobina de alambre flexible de longitud L lleva una corriente /. El alambre puede tomar la forma de una espira plana circular, cuadrada o rectangular. Indique para cuál de estas posibilidades se obtiene el máximo campo magnético en el centro de la bobina. 42. Un conductor coaxial muy largo consiste en un elemento cilindrico interno de radio r, y otro cilindro externo de radio interior r¡ y radio exterior r3, como se muestra en el diagrama. Los .« conductores interno y externo llevan corrientes /de igual intensidad pero de sentidos opuestos. La densidad de corriente en ambos conductores es uniforme. Obtenga expresiones para el
Problemas
815
campo magnético en función de r, la distancia desde el eje, para valores de r entre cero infinito. Grafique B en función de r. 43. Un conductor cilindrico largo y hueco tiene un radio interior r^ y radio exterior r¡, como se muestra en la figura. El conductor lleva una corriente total /, pero la densidad de corriente./' dentro del conductor no es uniforme. Calcule el campo magnético B para r < r,, r, < r < r-¡ y r > r¡ con cada uno de los siguientes casos: (a) j varía linealmente con la distancia desde el eje central en la región entre r, y rlt es decir, j ( r ) = ar, en que a es una constante, para r, r < r¡ y (b) j varia cuadráticamente en la misma región, es decir, j(r) = fir2, en que ¿3 es una constante, para r, < r < r2. (Sugerencia: ¿Cómo se evalúan los valores de a y 0 en términos de la corriente total / en los casos anteriores?)
§
Esta disposición se conoce como "bobina de Helmholtz" y produce un campo muy unifor32. Determine la magnitud y dirección del campo magnético a 1.5 cm de un conductor largo y recto que lleva una corriente de 400 A. 33. Utilizando la ley de Biot y Savart, obtenga una expresión para el campo magnético producido en el centro de una espira circular de radio a y que lleva una corriente /. 34. Dos alambres rectos paralelos, muy largos, separados a la distancia d, llevan una corriente / en sentidos contrarios, como se muestra en el diagrama. Obtenga la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P.
0
v|i
2
44. Un solenoide largo mide 50 cm y lleva una corriente de 0.4 A. Contiene 300 vueltas de alambre cada una de 4 cm de radio. Calcule: (a) el campo magnético B cerca del centro del solenoide, y (b) el flujo magnético total que pasa a través de cada vuelta, (c) Si se aumenta la corriente en 1%, determine el aumento fraccional del campo magnético. 45 Una bobina solenoidal larga, que consiste en vueltas o espiras circulares estrechamente situadas, tiene 3.0 cm de radio y lleva una corriente de 1.5 A. El campo magnético en el centro de la bobina es de 1.4 x U)-1 Wb/m 2 . Determine el número de vueltas en la bobina. 46 Una bobina toroidal arrollada uniformemente tiene 1 000 vueltas de alambre. El radio inte rior es de 1.5 cm y el radio exterior de 20 cm. Determine el valor del campo magnético en e! centro de la bobina cuando la corriente en el devanado es de 10 A.
20.1 Introducción
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
En el capitulo anterior se vio que el paso de una corriente eléctrica crea un campo magnético alrededor del .conductor por el que fluye la corriente. El descubrimiento de Oersted de este hecho, en 1819, condujo a los científicos a preguntarse si de alguna manera sería igualmente posible invertir el proceso e inducir el flujo de corriente en un circuito por medio de un campo magnético. Los experimentos iniciales para producir este efecto fracasaron, porque al principio no se apreció que los flujos magnéticos constantes no inducen una FEM o flujo de corriente en un circuito. No fue sino hasta 1831 que se descubrió que podía generarse magnéticamente una corriente, pero
f que este fenómeno sólo se observa cuando el \ magnético a través del circuito cambia j en el tiempo. A este efecto se le llama induc} cion electromagnética, y las corrientes y FEMs generadas de esta manera se denominan comentes inducidas y FEMs inducidas. El físico inglés Michael'Faraday (1791-1867) y Joseph Henry (1797-1878), quien fue el primero de una larga sene de distinguidos físicos estadounidenses, descubrieron de manera independiente y casi al mismo tiempo, la inducción electromagnética. El descubrimiento de la inducción electromagnética de inmediato condujo a la posibilidad de construir máquinas que pudieran convertir el trabajo mecánico en energía eléctrica haciendo girar simplemente bobinas
818
20.2 FEMs de movimiento, corrientes inducidas y ley de inducción de Faraday
Lnductoras en un campo magnético intenso. Este tipo de máquinas, que ahora se denominan generadores, se llamaron primeramente jjnamo-eléctricas, y aunque muchos ingenieros y técnicos participaron en el desarrollo itcnológico de las dinamos, desde una curiosidad de laboratorio hasta una máquina comercia! eficiente, puede considerarse que Henry y Faraday fueron los inventores del generador déctrico. Puesto que las dínamos simples son reversibles y pueden operar como motores, o máquinas que producen trabajo mecánico iuando se les suministra corriente eléctrica de ana fuente externa, igualmente se puede acreditar a Faraday y a Henry el haber inventado el motor eléctrico. Estos_dps científicos observarojí que cuaiv Jo fluye ' ' porurTcírcu i toldado, el campo magnético, dejlj prcTJicrrirrnitcract^inaucreñcro una FÉM_enl el miS7iTrjTÍrcuíro7cuyos efectos son.tales quéj sedpoUFa la FEM externa que provoca la va-.l riacioírae~I5"corriente. A_esj;e_efectCi-seJe-lla--j ®f~3ffto~-iñllucción. También estudiaron las FEMs y corrientes inducidas en. una bobina por corrientes variables en el tiempo que fluyen en otra bobina próxima, y encontraron We se podían producir FEMs inducidas muy l&ides eií una bobina con un número grande «vueltas de conductor, por medio de una FEM variable en el tiempo y más pequeña, aplicada en una bobina que consistiera en relativamente pocas vueltas. Así construyeron SS'primeras bobinas de inducción, que son Precisamente las antecesoras de las bobinas de . ™cendido que se usan en los automóviles t ?pn motor de gasolina para excitar las bujías, * inventaron los principios sobre los que opera i .^transformador. ' A u n q u e Michael Faraday y Joseph Henry Ataban interesados primordialmente en comPrender y explicar los principios científicos en •os que se funda el comportamiento de las Corrientes eléctricas y los campos magnéticos, . y no en inventar y desarrollar productos co| Bterciales, se puede decir con seguridad que '°s valores sociales y comerciales resultantes *k su trabajo hubieran bastado para multiplicar con creces sus modestos salarios. , . En este capítulo se estudiará la manera se producen las FEMs y las corrientes
819
inducidas a partir de flujos magnéticos cambiantes y cómo los flujos variables afectan las corrientes que circulan en los circuitos donde se originan y en otros circuitos. Al hacerlo, se tendrán que dominar los conceptos fundamentales que subyacen a los fenómenos de las FEMs y las corrientes inducidas, y a comprender la autoinducción, la inducción mutua y el comportamiento de los circuitos resistivosinductivos. •
20.2 FEMs de movimiento, corrientes inducidas y ley de inducción de Faraday La física básica que fundamenta la producción de fuerzas electromotrices y corrientes inducidas por variación de flujos magnéticos, se puede comprender bastante bien considerando ejemplos donde algunos circuitos se someten a la acción de flujos magnéticos variables en el tiempo. En este punto, será conveniente que el lector revise la definición del término flujo magnético dada en la sección 19.3, ya que no se podrá comprender bien este capitulo a menos que el estudiante entienda este concepto. Los resultados experimentales dé Faraday y Henry acerca de la producción de FEMs y corrientes inducidas puede resumirse en la observación de que siempre Que un flujo magnético variable en el tiempo atraviesa un circuito, se induce una FEM en éste cuya magnitud es diretfam"ente"pVdpófclonara' ' la intensidad de cambio del flujo magnético con j respecto al tiempo.
Este enunciado se conoce comojey-dejnduc; ción de Faraday. Matemáticamente, naciendo referencia ala definición de flujo magnético expresada en la sección 19.3, puede escribirse como ecuación en la forma siguiente: (20.2.1)
; f'm designa la FEM inducidajnagnétir ^^^-^^.g^effjrjjfcuitgjrCes una constante de proporcionalidad cuya magniíücTdepéñde de
'
822
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
dado, fuera igual a la energía eléctrica producida p'oTlíFTEM'triducidá durante ese periodo, lo que sena igual a la cantidad de energía eléctrica disipada corrió calor por. la resistencia del circuito durante ese tiempo. De acuerdo con esta consideración, en que se conserva la energía, el trabajo efectuado por la fuerza FMt para mover el conductor AB la distancia dx en el tiempo di, es sencillamente Fal dx, mientras que la cantidad de energía eléctrica disipada durante ese intervalo debe estar dada por dW = I2 R d t - ( / ) ( / / ? ) < / /
(20.2.10)
o, recordando (20.2.9), dW = llBrdi
(20.2.11)
Igualando estas dos cantidades se encuentra que
„, dx = UBv di
(20.2.12)
(20.2.13)
/ de donde; por <20r2.9),
'
miento a la velocidad constante v.1 Una persona que tire de un conductor como AB, experimentará efectivamente una fuerza resistente que puede ser apreciable en las circunstancias apropiadas. En este caso, es evidente que todo el trabajo efectuado por la fuerza aplicada exteriormente se transforma en energía térmica interna de los átomos en los conductores. Pero si se intercala un motor eléctrico en el circuito ABCD de la figura 20.1, parte de ese trabajo aparecería como trabajo mecánico efectuado por el motor. La disposición que se muestra en la figura puede considerarse como una especie burda de dinamo o generador eléctrico. Se ha explorado con cierta extensión el fundamento físico de la FEM inducida en este caso para que el lector pueda comprender sus orígenes en forma puramente cualitativa e intuitiva, y para demostrar cómo encaja esto en el cuadro de las corrientes, campos y fuerzas que se delineó en el capítulo anterior. Se podría haber obtenido su valor con mucho mayor facilidad, y pronto se incurrirá en el hábito de hacerlo, partiendo simplemente de la ley de inducción de Faraday expresada por (20.2.3): m. = '—f-= -T(BAcosO)
(20.2.14)
En la sección 19.4 se vio que un segmento conductor recto definido por un vector I y que lleva una corriente /, experimenta una fuerza /(I x B) cuando se coloca en un cáfripo magnético uniforme B. En el caso del segmento AB de la figura 20.1, esto significa que el conductor AB experimenta una fuerza de magnitud IIB en la dirección x negativa por parte del campo B, pues el vector IAB x B apunta en esa dirección. Pero según (20.2.14), tal fuerza es igual y opuesta a la fuerza aplicada exteriormente Fm. La fuerza resultante sobre el con-' ductor AB es cero, lo que significa que está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas que actúan sobre él. Por tanto, la fuerza Fe>, no acelera al conductor AB, sino sólo vence la fuerza: magnética /(IAB x B) que actúa en la dirección i opuesta, y por tanto, lo mantiene en moví-i
(20.2.15)
r H'
FEMs de movimiento, corrientes inducidas y ley .de inducción de Faraday
vxB
Í
—».
U <\
P
r
i/ •
(^
V. .
823
r
IvxB
IvxB
*
•
*
•
•
•
*
*
•
(b)
(a)
z Up
(c) FIGURA 20.2. Corriente y "FEMs de movimiento" en un circuito que entra (a!, atraviesa (b) y sale de una región en la que se ha producido un campo magnético uniforme. • . " ;d
"1J"t""
,
,.
,.'. , ' - , . : : .
dt Esta respuesta concuerda exactamente con el En este ejemplo, B no cambia en el tiempo y la '«ultado anterior (20.2.8). Desde luego, se normal al plano del circuito es paralela a B, de Podría haber utilizado (20.2.5), en donde manera que 9 = O y eos 6 = 1 . En estas cir- *cancelan el primero y el tercer términos por cunstancias, lo único que ahora varía en el •Jue tanto B como d son constantes, para obtetiempo es el área de ABCD, de manera qu{ Wf'el mismo resultado. También puede notar- • (20.2.15) queda como 55 Que la concordancia entre este resultado y el ^Presado como (20.2.8) sólo se obtiene si a la c °nstante C de (20.2.1) se le asigna el valor 7'• Sé puede considerar que esta concordan-' 013 justifica la selección de C = — 1 en aquella o bien, Dación. £m^ -Blii /20.2.17I . En la figura 20.2 se muestra otro ejemplo %> semejante pero en el que se ilustran alguaspectos de la inducción electromag1105 otros
Este enunciado es estrictamente cierto sólo si la resiste»' I Hética. En este caso se desplaza una espira del CTCUUO ABCD permanece constante. En re* fCUadrada de alambre cuyos lados miden / y dcbido a que la longitud de los segmentos AP y &~ varia a medida que el conductor AB se mueve hacia la >2' quierda. la resistencia del circuito también cambia. 9' embargo, ésta es una cuestión secundaria que no afeen" ^validez general del estudio que se da eijeste ejemplo-.;
lie originalmente está en una región sin camP° magnético, con una velocidad constante;v" ia una región donde hay un campo B cons-
hi--
':O3 ,CH3ft'UK>I5j i"»..;,'..'
•
sale por el otro lado, donde nuevamente no hay campo magnético. Se supone que el campo es normal al plano de la espira. Se desea examinar las corrientes inducidas en la espira, así como las fuerzas que actúan sobre ella al pasar, por esta serie de eventos. En tanto que la espira está en una región sin campo, no puede haber FEMs de movimiento, pero tan pronto como el lado derecho del cuadrado entre a la región donde existe el campo constante B, las cargas en esta parte de la espira experimentarán fuerzas magnéticas dadas por F,,, = c/(v x B)
(20.2.18)
que establecen una FEM de movimiento con magnitud < ? „ = -,rBÍ
(20.2.19)
en forma análoga a como en el ejemplo ante-
¡ant la espira pasa a través de esta región y'•,:; rior., EstarFEM^establece eir'la espira.una-
826
INDUCCIÓN ELECTHOMAGNÉTICA
menta el cambio en el flujo. Es claro que estas FEMs individuales están en serie, de manera que es evidente que para una bobina de N vueltas, debe escribirse la ley de inducción de Faraday como
<'*„, -----
(20.2.29)
Si se nota que, de acuerdo con (20.2.25), a = dla/dt, finalmente se puede escribir la anterior como (20.2.30)
Entonces, la corriente en la bobina pequeña será ~R
"í/7
(20.2.31)
en que R es su resistencia. Es evidente que cuando aumenta la corriente en el solenoide con rapidez constante, se produce una corriente: inducida de intensidad constante y proporcional a la rapidez, de aumento de la corriente en el solenoide. No es fácil comprender por qué debe ser así, con base en las FEMs de movimiento, presentadas en la i ilustraciones anteriores de FEMs y corrientes inducidas. No hay movimiento relativo entre las dos bobinas ni tampoco existe cambio en su área. Desde luego, es verdad que el flujo magnético del solenoide se propaga de alguna manera a través de las espiras de la bobina pequeña, aunque no hay una forma clara de asociar una FL-M de movimiento con ella. Sin embargo, e.xperimentalniente se observa que en la bobina pequeña fluye en efecto una corriente cuya intensidad predice correctamente (20.2.31). En forma análoga, como descubrieran tanto Faraday como Henry, es fácil demostrar que cuando se inserta un imán permanente en ufía bobina conectada a un galvanómetro, se observa una corriente momentánea al aumentar el flujo magnético que pasa por las vueltas de la bobina. Al retirar el imán, circula una corriente momentánea en sentido contrario a medida que disminuye el flujo a través de la bobina, como se ilustra en la figu-
FIGURA 20.5. Otro ejemplo de una FEM inducida por un cambio de flujo magnético.
ra 20.5. La FEM asociada a estas corrientes, aunque no es de movimiento en el sentido ordinario, existe y está descrita correctamentt por la ley de Faraday en términos de la rapidez de variación del flujo a través de la bobina. Los dos primeros ejemplos se pudieron analizar partiendo de la expresión de la fuerza de Lorentz y utilizándola para encontrar un;; FEM de movimiento apropiada, de manera bastante independiente de la ley. de Faraday. En el tercer ejemplo ya no pudo hacerse esto, pues no hubo una forma clara de encentrauna FEM de movimiento. Fue necesario utilizar la ley de Faraday para describir lo que« observa; desde luego, se pudo igualmenifj haber estudiado los otros ejemplos desde t' punto de vista de la citada ley de Faraday. Entonces, es claro que esta ley comprende la información relativa a las fuerzas magnética!', sobre cargas móviles que contiene la ley &'• Lorentz; en efecto, el carácter correcto obser-j vado de la ley de Faraday proporciona un j justificación experimental adecuada de 'tl • fuerza de Lorentz, aunque también hay oír-, confirmación experimental. No obstante, ¡r mencionada ley de Faraday va más allá de esU' punto para generalizar el comportamiento & ¡ FEMs inducidas y flujos magnéticos variable j en casos donde no son claramente dtefinib'*5: las "FEMs de movimiento". Por tanto, la'^ de Faraday es la que resume en un solo enu£ ciado todo lo que se sabe y se ha observado'''
20.2 FEMs de movimiento, corrientes inducidas y ley de inducción de Faraday
las FEMs y corrientes inducidas electromagnéticamente. Más adelante se verá que es una de las cuatro leyes básicas del electromagnetismo a partir de las que Maxwell formuló la teoría de la radiación electromagnética. A las FEMs y corrientes inducidas electromagnéticamente les acompaña un campo eléctrico inducido por acción electromagnética. En efecto, este campo eléctrico inducido es el que puede considerarse como el origen de las FEMs predichas por la ley de Faraday. Por tanto, es importante poder relacionar el cambio en el flujo magnético con el campo eléctrico inducido, al igual que con FEMs inducidas en ciicuitos. Ahora se mostrará cómo puede hacerse lo anterior. El lector recordará del estudio del concepto de fuerza electromotriz en la sección 18.3 que se puede relacionar toda FEM con un campo eléctrico que al menos sea parcialmente de origen no electrostático (recuérdese que los campos eléctricos no siempre son campos electrostáticos). Si se expresa el campo eléctrico total E en cualquier punto como la suma de un campo electrostático Ej y un campo no electrostático E' que expresa la fuerza por carga unitaria, que no se puede atribuir a las interacciones electrostáticas con otras cargas, es posible escribir, como se hizo íínel capítulo 18, E = E0 + E'
(20.2.32)
$: recordará que la FEM f, se definió como el trabajo efectuado, por unidad de carga, sobre a que realiza un recorrido completo en un circuito cerrado. Pero como el trabajo i|fectuado sobre una carga unitaria en cualquier desplazamiento d\s dw -• E • di, se tfiene que £ • ( / ! = (£> E0 • (/I + 0$ E' •
*n que las integrales se evalúan alrededor de la trayectoria del circuito cerrado C, que puede ^uir, o puede no hacerlo, la trayectoria de un conductor metálico. Pero en el capítulo 16 * vio que como el campo electrostático es de tractor conservativo, es cero el trabajo efec¡uado sobre una carga para moverla alrededor ** cualquier camino-cerrado. En consecuen-
827
FIGURA 20.6. Evaluación de la integral de E • al alrededor de un circuito cerrado.
cía, la primera integral en el segundo miembro de (20.2.33) es nula y & =<£ E - í / l = ( f i E'-í/l Je Je
(20.2.34)
en que entonces la FEM representa el trabajo no electrostático por carga unitaria efectuado para mover una carga alrededor de la trayectoria cerrada C. Ya que la integral de E'. d\o puede ser necesariamente la parte no electrostática del campo eléctrico, E', debe ser no conservativa. En todo caso, ahora puede reemplazarse la FEM en el enunciado de la ley de Faraday dada antes como la ecuación (20.2.2), por la expresión anterior, lo que permite escribir la ley como sigue: (f) E - í / l = --.- Í B - n ,/ti Je
í/f J
(20.2.35)
En esta ecuación, E • d\ E eos Q di, en que 8 es el ángulo entre el campo eléctrico inducido E y el elemento d\l recorrido C en ese punto. Por tanto, la cantidad E eos 9 representa la componente de E tangente a !a trayectoria cerrada C en cualquier punto dado, como se muestra en la figura 20.6. La ley de Faraday escrita de esta manera indica que siempre que hay un flujo magnético variable, hay un campo eléctrico inducido acompañante^ y que la
830
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
vx B
20.2 FEMs de movimiento, corrientes inducidas y ley de inducción de Faradty
piados para la masa y carga del electrón se encuentra que
9.11 x 10" 3l )(6.28 x 103)2(9 x 10~ 2 ) = -1.01 x 10" 5 volt
(a)
(b)
FIGURA 20.8
A-K,
AI/
= I/P - K0 = -J 0 P E 0 .dT
AK OP =
W
/ n
")W\
Í B +—
(20.2.47)
I rdr
\
En la integración anterior, como B, m, ay q 'son constantes, la cantidad coS + (muf/q] puede sacarse de la integral. En (20.2.46) y (20.2.47) hay dos términos independientes. El primero, que contiene a B, se debe al movimiento del conductor en el campo magnético y la fuerza correspondiente v x B, de la misma manera.como se produce e! campo en el ejemplo anterior expresado por (20.2.38). Si el campo magnético fuera cero, esta contribución se anularía también. El segundo término, en que aparece el factor mu/q, se debe simplemente a que el segundo miembro de la ecuación (20.2.45) debe tener el valor -mru2 debido a la aceleración centrípeta. Por tanto, este término representa
En efecto, éste es un voltaje muy pequeño, que incluso seria muy difícil detectar. Por ejemplo, supóngase que el conductor girara en un plano normal al campo magnético terrestre, que en realidad es muy débil, pues en la mayoría de los sitios su intensidad es próxima a 0.5 x 10-4 Wb/m 2 . En estas circunstancias, la contribución del primer término en (20.2.47), que se debe al movimiento del conductor en el campo magnético terrestre, seria
un campo eléctrico de origen inercial que sólo :; =(0.5)(0.5 x 10~ 4 )(6.28 x I0 3 )(9 x 10~ 2 ) sirve para mantener las cargas en el conductor .-/•' moviéndose en trayectorias circulares con ve- ( ^'7=1.41 x 10"2 volt locidad angular oí. Está ahí debido a que las j Esta magnitud es unas 1400 veces mayor que cargas libres se mueven hacia afuera en el con- el voltaje producido inercialmente m(¿Rl/1q. ductor, dejando una carga no compensada de fPara tener una probabilidad más o menos rasigno contrario en los iones metálicos fijoi zonable de detectar la diferencia de potencial de la red cristalina, hasta que haya una fuerza de origen inercial, tendría que reducirse el hacia el interior de atracción electrostática campo terrestre mediante blindaje magnético entre las dos cargas que sea apenas suficienK hasta que fuera de 1000 a 10 000 veces menor para proporcionar la fuerza centrípeta necesa- que su valor normal, lo que no es una tarea ria para mantener a las cargas libres en sus re- imposible, aunque tampoco puede hacerse i corridos circulares. Si no hubiera aceleración «con facilidad. I centrípeta, este término no estaría présenle, El caso se puede resumir observando que como en el ejemplo anterior. ^ Acondiciones normalmente logrables, el volAhora se calculará qué diferencia de po- < taje inercial mu}2R2/2q es tan pequeño que tencial puede generar este campo inercial en-la j rjwede ser despreciado por completo en compráctica. Por ahora se hará B igual a cero ys f paración con la contribución debida al moviutiliza un valor de a que produzca la mayo' , miento del conductor, incluso aunque sólo diferencia de potencial posible que pueda • haya campos dispersos debidos al magnetismo lograrse en procedimientos experimental» ¡ terrestre. En estas circunstancias, puede normales. Luego supóngase que R = 0.3 m Y | despreciarse la contribución inercial y escribir u = 6 280 rad/s; esto corresponde a un con- t como aproximaciones razonables para (20.2.46) ductor de aproximadamente 30 cm de largo* . V (20.2.47), que gira a 60 000 rpm. Sería difícil utilizar u» . •,' (20.2.48) conductor que se mueve con mayor rapidtf ;£<>= -ra>B y ' ; . ' •!' . que ésta, en experimentos de la práctica. E" este caso, utilizando valores numéricos Avot= ±BwR2 • • ft*«( •'í-, (20.2.49)
831
Ocasionalmente se encontrarán más adelante casos en que existen estas diferencias de potencial inercial electrónico, y con base en el trabajo realizado aquí, siempre se despreciarán en comparación con los voltajes inducidos electromagnéticamente y que son mucho mayores. Empero, cabe señalar que hay casos, notablemente en física atómica, en los que las fuerzas centrípetas que actúan sobre los electrones pueden ser efectivamente muy importantes. Un ejemplo simple en que así ocurre es el átomo de hidrógeno, en el que la fuerza electrostática de atracción entre un protón y un electrón de la fuerza centrípeta que mantiene al electrón en su trayectoria alrededor del núcleo. Volviendo ahora al caso que se muestra en la figura 20.8, b, donde se ha formado un circuito completo que incluye el conductor rotatorio anterior, se puede utilizar la ley de Faraday para encontrar la FEM en el circuito con mucha facilidad. En este caso puede expresarse el flujo a través del área sombreada como (!>,„ = BA y como B es constante,
(20.2.50)
ilA fí-, ;:,. íll
(20.2.51)
til
El área A del sector sombreado es una fracción 0/2* del área total vR2 dentro del conductor circular externo. Por tanto, ya que R es constante,
(20.2.52)
2 í/r
en que el signo negativo sencillamente refleja el hecho de que la corriente en el circuito externo fluye en el sentido negativo (el de las manecillas del reloj) en vez de en sentido positivo (el sentido contrario). A su vez, esto se debe al herK" de que se consideran los desplazamientos angulares contrarios al sentido del reloj como positivos, y los opuestos como negativos. Ya que la ley de Faraday sólo habla de las FEMs y corrientes inducidas electromagnéticamente, no da indicación alguna de
•
834
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
ilustraciones consideradas en el texto anterior a esta serie de ejemplos. Hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico inducido no electrostático E que existe dentro de la región del campo y externo a él como resultado del flujo magnético cambiante. La ley de Faraday en la forma = --
R-nda
(20.2.60)
muestra de la mejor manera la relación entre el campo E y la rapidez de variación del flujo magnético. En este caso, la simetría cilindrica del campo B es exactamente la misma que la de la distribución de corriente en conductores rectos que se estudió en el capítulo 19, sección 19.6, en relación con la deducción de los campos magnéticos alrededor de conductores cilindricos, en que se utilizó la ley de Ampére. Los mismos argumentos de simetría que se emplearon son útiles aquí también para indicar que el campo E inducido debe ser puramente radia! o únicamente tangencial a contornos circulares. Pero si el campo fuese puramente radial, entonces E y di siempre serían mutuamente perpendiculares y el producto E • di sería cero en todos los puntos alrededor de una trayectoria circular como C o C' en la figura 20.11. En estas circunstancias, la integral de E-di alrededor de cualquier trayectoria, y por tanto la FEM alrededor de la misma, tendría que ser cero. Experimentalmente, se sabe bien que hay FEM inducidas alrededor de esas trayectorias, además que en todo caso del desarrollo que lleva a (20.2.30) se vio que puede calcularse su valor a partir de la ley de Faraday en la forma (20.2.3). En consecuencia, el campo E no puede ser puramente radial, sino que debe ser circunferencial o tangencial, como el campo magnético alrededor de un conductor recto con corriente, y sus lineas de campo están en el plano de la ilustración (fig. 20.11). Si este fuera el caso, entonces el campo E y los elementos di de la trayectoria son paralelos, alrededor de una trayectoria circular como C o C', y £ es igual para todas las partes de la trayectoria. En consecuencia, puede escribirse (D E • di = U) E di = E (D di = 2nrK *}*•
J'
v*-
.
-
•
(20.2.61) ,
-
'
.
.
20.3 Ley de Lenz y corrientes de Foucault
835
Al mismo tiempo, si se evalúa la integral de superficie de la izquierda en (20.2.60) sobre la superficie limitada por C o C', se ve que las líneas de B y la normal n a esta superficie son paralelas, además de que la magnitud de B es la misma en todas partes dentro de la región del campo. Consecuentemente puede escribirse, para la trayectoria C, Js B • n ila =
B Ja = B
da = nr2B (20.2.62)
mientras que para la trayectoria C' , notando con cuidado que el campo B se extiende hacia el exterior sólo hasta r = R y que más allá es cero, f B • n da = f B ,la = B f
JS
JS
J,
da + O f
Jr>R
= JlR B
ia
(20.2.63;
FIGURA 20.12. Gráfica de la intensidad dei campo eléctrico inducido, como función de la distancia radial desde el centro del sistema de la
Tratándose de trayectorias como C, para la ¡igura 20.11. que r < R, entonces se puede sustituir (20.2.61) y (20.2.62) en la ley de Faraday (20.2.60) y obtener forme, recto, que conduce corriente, como lo ilustra la figura 19.35, excepto por el valor negativo de E. En la figura 20.13 se muestra una (20.2.6*! gráfica de las líneas de E; es evidente que el -Jtr 2 -. 2nrE = -^ I (¡t dt 1 campo se parece al campo magnético alrededor de un conductor recto. Cabe enfatizar que de donde fcste es un campo inducido, no uno electrostár ¡IB _ xr tico. La integral de E • di alrededor de trayec(20.2.65 r R',, puede sustituirse (20.2.62) y reservativos. Las "líneas de campo rió co(20.2.63) en (20.2.60) y encontrar Gúenzan y terminan en cargas, como sucede { invariablemente en los campos electrostáticos. (20.2.66! En vez de ello se cierran sobre sí mismas en -~ R ' 2,7 ' 2r di 'argas móviles. En el caso de los campos 'wctricos inducidos, la fuente del campo Se notará que para /• = /?, tanto (20.2.65) ( **nipre es una distribución de flujo magnéticomo (20.2.67) llevan al mismo resultado, £ t ¡fc'que cambia en el tiempo. Un campo mag= -aR/2. En la figura 20.12 se muestra U ¡ifrtico estable no induce campo eléctrico, al gráfica en función de r de la magnitud oA '&**& que un conjunto estacionario de cargas campo eléctrico inducido. Se parece mucho,' f° da lugar a un campo magnético. Más adela del campo magnético de un conductor un)" • 'wte sé verá que tos campos eléctricos inducidos
FIGURA 20.13. Líneas del campo eléctrico inducido en el sistema de la figura 20.11.
tienen un papel importante en la descripción de las ondas electromagnéticas.
20.3 Ley de Lenz y corrientes de Foucault Lo que por lo general se conoce como la ley de Lenz es sencillamente un aspecto de la ley de Faraday que todavía no se ha examinado a fondo aquí. Se refiere al sentido de las corrientes inducidas por cambios de flujo y al de sus propios campos 'magnéticos. En la sección anterior se destacó en especial el cálculo de las FEMs, campos eléctricos y corrientes inducidos, utilizando la ley de Faraday, sin pcner demasiada atención a su sentido. Desde luego que la ley de Faraday determina en forma unívoca el sentido de cualquier corriente e inducida por un cambio en el flujo magnético a través de un circuito; no hay ambigüedad al respecto. Pero todavía queda la cuestión del signo negativo freníe a la rapidez de cambio del flujo magnético en las ecuaciones (20.2.2), (20.2.3) o (20.2.35), y lo que se llama ley de Lenz sencillamente expresa los efectos físicos que requieren que el signo algebraico sea ne: gativó'én vez dé positivo.'
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
FIGURA 20.14. Corrientes do Foucault en una placa la que existe un campo magnético uniforme.
corriente regresa al punto A por la trayectoria CDA que está fuera del campo. Como en el caso de la espira que se muestra en la figura 20.2, c, la corriente experimenta una fuerza de retardación F = / I x B que hace necesario
I
20.4 Autoinducción y autoinductancia: comportamiento de los circuitos R-L
efecto Joule a medida que la corriente pasa por la resistencia de los caminos conductores, además de crear una fuerza retardalriz que puede ser apreciable si se trata de tirar con mucha rapidez de la lámina conductora hacia afuera del campo. i En la figura 20.15 se ilustra otra demostración de los efectos de las corrientes de Foucault. Ahí se muestra un péndulo cuya lenteja es una placa circular conductora dispuesta para que oscile entre los polos de un imán poderoso, como se muestra en (a). Debido_aJa^eneradón^e^oirleiiíei^eJEoucaulí y a las fuerzas de retardación que experimentan al entrar y salir de la región de campo, el movimientp_del péndulo se amortigua rápidamente y su energia cinética aparece como conductora delgada que sale de una^región en calor por "efecto Joule, dentro de la placa con^'ductora. En (B) sTrta reemplazado el péndulo ejercer una fuerza externa en dirección opues •por otro igualjjero que tiene una serie de rata para mantener al conductor moviéndose 8 "nüras verticales. Éstas impiden que se formen velocidad constante. Hay muchas espiras o a- corrientes de Foucault en una grajiejaensión y minos de corriente de este tipo en la lámina, limitan las que"sFórigmañ' a recorrer caminos cuyo efecto conjunto es generar calor pra largosjí_e^Sechqs^entre las ranuras. Como re*'sfílfadb de ello se reduce la intensidad de las fomentes.de,Foucault. y se genera mucho menos calor_dentro del cuerpo conductor. las^ fuerzas de retardación que experimenta el "Tenaülo a medida que su disco entra y sale de ]á región del campo son mucho^más^ pequen as, y el_" mov¡mjeñto~peñduIáT' sufre muy pjoca •: ímortiguacToñTTiste métoclo'de descomponer ^elTIujo de corrientes de Foucault, y de reducir «'calentamiento debido a las mismas también ^^ghitiliza en transformadores, en los que los Núcleos'de hierro se hacen con láminas aisla,das eléctricamente entre si, en vez de hacerse de una sola pieza maciza de metal.
.
|
Movimiento casi sin amortiguar
, ,'"
-,,,' =wA7,
(20.4.1)
, (20.4.3)
-.,,^^W
-
tuer-
839
zas electromotrices generadas de esta manera por la propia corriente de un circuito se llaman FEMs autoinducidas y a su generación se le denomina autoinducción. Es más fácil comprender la producción de las FEMs autoinducidas estudiando algunos ejemplos específicos. Primero se considerará el caso de un solenoide largo ideal con n vueltas de alambre por unidad de longitud. De los estudios anteriores, por la ecuación (19.7.9) resulta que la inducción magnética axial B dentro del arrollamiento de esta bobina tiene el valor B = /inní
en que / es la corriente en la misma. En el solenoide ideal, todo el flujo magnético asociado a este campo pasa por cada vuelta de la bobina, como se muestra en la figura 19.41, lo cual no es cierto para un solenoide de longitud finita, como se ilustra en la figura 19.42. Aun asi, si la longitud del solenoide es mucho mayor que su radio, como se supondrá, no se comete mucho error haciendo esta consideración. Procediendo de esta manera, el flujo a través de cada vuelta puede expresarse como el producto de la inducción magnética por el área transversal A de la bobina, (20.4.2)
„, .= BÁ = //fl>iM
Si la corriente cambia en el tiempo, la rapidez ds variación del flujo dentro del solenoide es ''*»,
Ahora puede obtenerse la FEM autoinducida, a partir de la ley de Faraday como
\*&? i ,' 20-4 Autoinducción y autoinductancia: ' comportamiento de los circuitos R- L
. amortiguado rápidamente
(b)
Hasta este punto, la atención se ha centrado I .en Us FEMs generadas por flujos magnéticos 1 "producidos exteriormente. J3esdtluego^J!£Mt0 _ _ _ , incluso un cwnbioene[fhyq magnético
FIGURA 20.15. Circulación de corrientes de Foucault en la .lenteja de un péndulo de materia);'altamente conductor (a),,y, de.un péndulo del mismo material;cpn ranuras paralelas (b);, liLctefiO <:i*
(20.4.4)
en que N es el número total de vueltas igual a ni. siendo / la longitud del solenoide. Por ulumo se puede expresar la FEM automducida como (20.4.5)
f, - -iiaii2IA - -
Si el circuito fuera de alguna forma distinta a un solenoide largo, ya no se hubiera podi-
•42
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
AB
(b)
20.4 Autoinducción y autoinduc'sncia: comportamiento de los circuitos R-L
843
/di
función del tiempo, y poner así de matufies - -•• < el modo como crece la corriente cuando i ;I e £0/R cierra el interruptor. Es muy fácil resolver la ecuación difee ciando o derivando primero ambos miembra de (20.4.9) con respecto al tiempo:
, d2!
Lj? (a)
FIGURA 20.1 7. Cambios de flujo y FEMs inducidas (a) en el caso de la figura 20.1 6a y b) en el de ia figura 20.16b.
di
+ R~dr»
Ahora se designará a la cantidad dl/dt COIM w. Entonces, si w = dl/dt, debe tenerse qd dw/dt = cP!/dí2, o cual permite escribí] (20.4.10) como
'o
fi
(b) FIGURA 20.18.
Gráfica db la corriente en función del tiempo (a) para el caso de la figura 20.1 6a, y
Ib! para el de la figura 20.1 6b.
cambio de campo AB, como se muestra en la figura 20.17, a. En este caso la FEM autoinducida debe ser tal que si se determinara el sentido de la corriente en el campo, generaría un cambio de flujo opuesto. Por tanto, la FEM autoinducida f>, tiende a establecer una corriente que se oponga a la que está fluyendo en realidad; la corriente circula de la manera como lo hace debido a que la FEM de la fuente &(, es mayor que f>,. Actuando por sí sola, crearía una diferencia de potencial en el circuito que hacia al extremo superior de la bobina positivo con respecto al extremo inferior, como se muestra en la figura 20.17, a. Por tanto, el signo de 6, es opuesto al de la FEM de la batería. En vez de hacer que exista un aumento de potencial en el circuito al recorrerlo en el sentido de flujo de la corriente, provoca una calda de potencial, lo que ya se refleja en el signo negativo de la ecuación (20.4.8), que puede encontrar sus orígenes en la ley de Lenz. La aplicación de la ley II de Kirchhpff, que indica que la suma de todas las FEMs y cambios de potencial alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser cero, muestra entonces que con el interruptor S en la posición que se indica en la figura 20.16, a,
,
-.
-
' .
:-•
. , . . . , „ .
Como In A - In B = In(y4/fl), lo anterior puede escribirse
de donde
v
o sea, ,
/ = ^!--<
R (20.4T, wL Rt | ln¿_ = -—-
'
(20.4.14)
(20.4.18)
,; • • • . - . . . Ahora es posible integrar ambos miembros dtj í esta ecuación desde el tiempo / = O, cuando ir y exponencializando ambos miembros: corriente también es nula, hasta algún tiempo! (20.4.15) posterior t, cuando la corriente tenga el valor! y su derivada respecto al tiempo, el valor w.f Pero si la corriente / es cero inicialmente, * 'íí'.li: O (20.4.9) debe tenerse en estado inicial del sistema. (20.4.1ÍJ
Ya que dl/dt es w en (20.4.11), cuando / = entonces w debe tener el valor inicial «? i por lo que debe integrarse (20.4.11) desde / = O hasta el tiempo posterior / en el prima miembro desde iv = t,JL que corresponde al tiempo = O, hasta el valor w, que correspondí al tiempo /. De esta manera, recordando que , R y L son constantes y no varían en el tiempo- • se obtiene f v dw R ri J'o/'- w L Jo '
(20.4.9)
Esta ecuación diferencial puede resolverse para evaluar la corriente / en el circuito en •
L
e
La ecuación (20,4.18), que se obtuvo después de todas las operaciones, es la buscada. Describe la forma como crece la corriente del circuito cié la figura 20.16, a, en el tiempo, después que se cierra el interruptor. De la ecuación (20.4.8), la diferencia del potencial a través de la mductancia es
(20.4.16)
— di
recordando que en todo momento se utilizó w mo representación de dl/dt. Ahora es posible escribir (20.4.16) como . agüe:
í/r
(20.4.19)
y como (20.4.16) da dl/dt, se encuentra que
(20.4.17)
j - "'/'•
después de multiplicar ambos miembros por *. Esta expresión puede integrarse nuevamente desde t f= O, cuando la corriente / también es cero, hasja el tiempo /, cuando la corriente tiene el valor /:
(20.4.20)
y el signo negativo refleja el hecho de que la corriente experimenta una caída de potencial al pasar por la inductancia. La caída de potencial a través de la resistencia es IR, en que / está dada por (2Q.4.18); es fácil verificar que la suma de estos dos cambios de potencial dados por las ecuaciones (20.4.18) y (20.4.19) es igual a la FEM aplicada f. ,„
Ri I.
^7%S?(20..y3)
fl" >
' 846
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
externo es mucho menor que el radio medio d. En (19.7.8) se vio que el campo B dentro de una bobina toroidal está dada por B = p0nl
-
(20.4.27)
y es cero fuera de la bobina. En un toroide "delgado", la relación d/r está muy próxima a la unidad en todas partes dentro del toroide, como se ilustra en la figura 19.40, b. En este caso (20.4.27) se reduce a la expresión aproximada
B-
(20.4.28)
Ya que en este tipo de bobina toroidal, B prácticamente es constante en la sección transversal, el flujo magnético dentro de la bobina será 0>m = BA = n0nlA
(20.4.29)
en que A es el área transversal. Entonces, la FEM inducida es í/0> _ ..ü
_M
dt
di til --- = - L - dt tlt (20.4.30)
y la igualdad final se sigue (20.4.6). De esta ecuación es evidente que L = p(¡nNA
(20.4,31)
Pero el número total de vueltas N está relacionado con el número n por unidad de longitud mediante N = nc, en que c es la circunferencia media igual a 2*d. Sustituyendo esto en (20.4.31), /. = 27t/í,,ri2 tí A
(20 4.32)
Para una bobina de 10 cm de radio, el área transversal de 3 cm2, y con 50 vueltas/cm, se obtiene ¿ = Í6.283)( 12.57 x |
. 15.0 x IO-VfO.'IX3 x 10"*)
EJEMPLO 20 4.2
La bobina descrita en el ejemplo anterior esti formada con alambre de cobre de 0.2 mm dt diámetro, cuya resistividad eléctrica /> es 1.75 x 10-' fl.m. Calcular la constante de tiempo de la bobina. De acuerdo con el estudio anterior de los circuitos, la constante de tiempo es sencillamente L/R, en que R es la resistencia. Para encontrar este valor se necesita conocer la longitud de alambre que se utilizó en el devanado, la que está dada por / = 2nrf,\3
en que rc es el radio de la sección transversal circular de la bobina. Se sabe que el área transversal es de 3 cm2 = 3 x 10"' m 2 , por lo que, A = Tir,.2 = 3 x |()- 4 m 2 de donde rr = 9.772 x 10"•'m
FIGURA 20.19.
20.4 Autoinducción y autoinductancia: comportamiento da los circuitos R-L
«-£-!1-"^-'-'--
847
medida en las condiciones estables de la corriente continua: "' ~ /dc ~ 3.50
En efecto, se pueden reemplazar las resistencias en serie R¡ y R. en la figura 20.19 con una sola resistencia equivalente total R dada por
R = fi, + Re = 0.80 + 1.00 = 1.80 ohm en cuyo caso es que el circuito es idéntico al de la figura 20.16, a. Por tanto, los resultados deducidos para ese circuito son aplicables a éste, a condición de que se identifique a R como la suma de las resistencias internas y externas. De acuerdo con ello, (20.4.18) de la variación de la corriente en el tiempo después de cerrado el interruptor. Se sabe que para t = 4.2 x 10*' segundos, /es igual a 0.90 veces el valor asintótico final ó^/R, por lo que, sustituyendo estos valores en (20.4.18), junto con R = 1.80 fl,
El número total de vueltas es el número por i unidad de longitud (en este caso 50 cm"', o sea 5 000 m ~ ' ) por la circunferencia media de! constante (CC) de 3.50 A. cuando se mantiene toroide, que es 2-rtd = (2?r)(0.1) m. Por tanto, a través de ella una diferencia de potencial de N=(5 000)(2T)(0.1) = 3 142. En consecuen- «'2.80 V. Cuando se conecta en un circuito cocia, la longitud del alambre en la bobina es, dt . vno el de la figura 20.19, con ayuda de un osciacuerdo con (20.4.33), loscopio se observa que la diferencia de potencial a través de un resistor de 1.0 fl colocado < = (2;i)(9.772 x [(r-')(3!42) = 192.9 m en serie con la bobina se eleva a 90% de su valor asintótico en 4.2 x 10~3 segundos. ¿Cuál El área transversal del conductor es es la inductancia de la bobina? Determine el valor instantáneo de la corriente en ese moA,, = jr
Se determina que una bobina de inductancU desconocida lleva una corriente unidireccional
= 5.92 x 10 -' H
Ahora se puede cancelar 6 ^/R a ambos lados para encontrar c -xj<.«io-»t = =
, -.0.90 = 0.10
y tomando el logaritmo natural en ambos miembros,
La corriente instantánea en este momeniu puede encontrarse sustituyendo los valores <í u = 6.3 V, R = 1.80ÍÍ, / = 4.2 x l O - ' y S y ¿ = 3.28 X 10--' H en (20.4.18) para encontrar / = 3.15 A. Empero, es más simple observar que para i = 4.2 x 10' s.
La diferencia de potencial entre las terminales delinductor, es la suma de la diferencia de potendal inducida -L(dl/di) a través de U
850
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
n I
1
'3
'2
20.7 Inducción mutua, bobinas de inducción y transformadores
tas corrientes: /,, /2 e Iy La corriente total / que entra y sale del conjunto puede expresarse en términos de estas corrientes individuales como / = / , + / , + /,
AV
ay AV, >O¿.,--»-AI,IO¿
(20.6.5)
Diferenciando esto con respecto al tiempo: (20.6.6) '¡¡I
'¡I
<'<
Pero de (20.4.8), la magnitud de la diferencia de potencial AK a través de cada inductancia individual tiene que estar relacionada con la rapidez de variación de la corriente a través de ella por medio de (20.6.7)
Esto quiere decir que AK (a) FIGURA 20.20.
(b)
"•
AK
(20.6.8)
WB.*;
(a) Inductancias en serie y (b) inductancia s en paralelo.
20.6 Inductores en serle o en paralelo
Los inductores pueden combinarse como elementos de circuito en serie o en paralelo de la misma manera que los resistores o los capacitores. Surge asi la pregunta de qué valor debe tener la inductancia total del circuito en términos de las inductancias individuales combinadas en serie o en paralelo. Esta cuestión puede resolverse considerando la figura 20.20. En el caso de inductancias en serie, como se muestra en la figura 20.20, a, todos los inductores llevan la misma corriente I (i). La diferencia de potencial a través del conjunto es la suma de las diferencias de potencial en cada elemento, de donde se puede escribir ' -"•"•. AK = AK, + A K 2 + . A K 3
magnitud de la diferencia de potencial A V a través del conjunto debe ser L(dl/dt), en que L es la inductancia equivalente de la combinación en serie. Sustituyendo estos valores en (20.6.1), se obtiene
Sustituyendo estos valores en (20.6.6) y notando que la relación entre la diferencia de potencial A K y la rapidez de cambio de la corriente j¿Qtal debe estar expresada en términos de la inductancia equivalente L de la conexión en paralelo, por AK = L (dl/dt), resulta que AK_AK
AK
AK
20.6.9)
uZ = L;+17+1; o sea,
o, dividiendo entre (dl/dt), L = L, + L2 +'L}
(20.6.3! '
El mismo procedimiento dará para n inductancias.
_= _ + J_+-L •JsL.; L, L,' L3
(20.6.10)
•Nuevamente, una repetición de este mismo raMnamiento muestra que una combinación de n inductancias en paralelo tiene la inductancia equivalente dada por (20.6.11)
.(20.6.1)
De (20.4.8), puesto que todas las inductancias llevan la misma corriente, la magnitud de las caídas de potencial a través de ellas será L, (dl/dt), ¿2 (dl/dt) y L3 (dl/dt). También, la
--- /-, r /., -I /.,
(20.6.0
En el caso de varios inductores en paralelo, como .se muesira en la figura 20.20, b, toda5 las inductancias experimentan la misma wí/'* renda de potencial A y, aunque lleven'
De estos resultados es evidente que para las conexiones en serie o en paralelo de inductores, las inductancias equivalentes tienen la misma forma que las resistencias equivalentes
851
de conexiones de resistores en serie o en paralelo. Siendo asi, no es necesario presentar ejemplos específicos de cómo se realizan cálculos relacionados con esas combinaciones en serie y en paralelo. Empero, cabe aquí hacer una advertencia sobre otra cuestión: al deducir las ecuaciones (20.6.4) y (20.6.11), se supuso que la caída de potencial a través de cualquier inductancia dada, sólo se crea por el cambio en la corriente —y por tanto, por el cambio en el flujo magnético asociado a esa inductancia— y que tal caída es completamente independiente de los cambios en el flujo magnético generados por las otras inductancias en el circuito. Esto únicamente será cierto si las inductancias están muy separadas, de manera que el campo magnético generado por cada una no afecte a ninguno de los demás en medida apreciable. En consecuencia, los resultados señalados aqui sólo se refieren al caso de combinaciones de inductancias aisladas magnéticamente entre si. En la siguiente sección se atenderá el problema de cómo se comportan las inductancias que no estén aisladas magnéticamente entre ellas.
20.7 Inducción mutua, bobinas de Inducción y transformadores
En las secciones 20.5 y 2Ü.6 se estudió la manera cómo se inducen FEM en circuitos por las corrientes que fluyen en ¡os mismos; a este fenómeno se le dio'el nombre de automduí ción. Es posible que también se induzcan FEM por los cambia de flujo debidos a otro; circuitos. A este fenómeno, que ya se encontró en el circuito ilustrado en la figura 20 4, se le llama inducción mutua. ^ Para comprender los fundamentos de inducción mutua, se considerará el casi ilustrado en la figura 20.21, donde se ven do circuitos, designados por 1 y 2, que llevan la corrientes /, e I2 que pueden variar en, e1 n po. Ahora se desea calcular las F E M s n das en cada circuito por los cambios magnético asociados a estas « r r ! e r riables en el tiempo. Es Aportante reconocer que en este caso ciada circuito encierra
854
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
en tanto que la FEM inducida en el devanado secundario es, de acuerdo con (20.7.4),
específica de circuito. En consecuencia, es i sible escribir (20.7.17) y (20.7.18) como
Í1— *• —
^
•*— '2
fe^
~dt
di, fcLi
di
.i- ; r:
&
(20.7.
\- — 'j
-:.—
dt
(20.7.16)
en que D es el radio medio de la bobina, y n, y ,.2 los números de vueltas por unidad de longitud en cada devanado. Sustituyendo los valores de los flujos en términos de las corrientes dados en (20.7.13) y (20.7.14), las ecuaciones quedan
;--—-1
2
2nu0Dnln1A -~ dt
'20.7.17)
o, ya que N,
, y N2 = 2*Dn2,
Oí*
(20.7.25
N,
L2 = 2njDn*A (20.7.19)
= 2nfj0Dntn:¡A
(20.7.20)
(20.7.21)
20.7 Inducción mutua, bobinas de inducción y transformadores
(20.7. dt S' L^ h~
~2= /^ = "? (20.7.18)
til
Estas ecuaciones son de la misma forma que (20.7.7) y (20.7.8) con L, = 2nf¿üDn¡2A y con
A/,2 =
Los valores calculados de los coeficientes /., y I., de autoinducción concuerdan con el resultado que se obtuvo antes para el toroide delgado, ecuación (20.4.32); Se ve que son iguales los dos coeficientes de inducción mutua M¡2 y M2I, aunque en general esto no se verifica para circuitos acoplados inductivamente. De estas relaciones también se pueden expresar los coeficientes de inducción mutua en términos de las autoinductancias L, y L¿
M,, =
aunque nuevamente éste es un resultado que sólo corresponde a esta configuración
Esta ecuación expresa que la relación *! las FEMs es igual a la relación entre los números totales de espiras en los dos'devanados Por tanto, si el secundario tiene más vuelta-1 que el primario y en el primario se induce una' FEMií, conectando ese devanado a una fuente externa de corriente, la FEM <Í2 inducida e"' el secundario será mayor que <S, en el factt" N2/Nr Desde luego, físicamente esto ocurrí' debido a que ambas bobinas encierran los m¡s' mos cambios de flujo, y por tanto en cada • vuelta de cada devanado se induce la mis"181 FEM, que puede llamarse f , ' . Pero como -es- i da espira de devanado está en serie con las demás, estas FEMs inducidas individualmente^ suman de manera que <5-, = N,/.'
/ . , = /V,/;',:.-• (20.7.26)
i, lo que de inmediato conduce a la ecuación ^(20,7.25). -#*,;, Si el devanado secundario tiene más vueltas que el primario, la FEM inducida en la bobina secundaria puede ser mucho mayor que la FEM primaria, lo que proporciona la posibilidad de producir voltajes muy altos a partir de voltajes mucho más pequeños, con este tipo de configuración de circuito. A un dispositivo construido de esta manera se le llama bobina de inducción si se utiliza en circuitos de corriente continua (CC) o directa (CD) para -ucir FEMs altas, al cerrar o abrir el circuito, o bien, transformador si se utiliza en un circuito de corriente alterna (CA) para elevar FEMs en condiciones de continuidad de circuito. La primera configuración se utiliza para producir las FEMs elevadas y transitorias Que se necesitan para excitar las bujías de encendido de los motores de automóvil, a partir de la FEM mucho más pequeña de la batería, o acumulador en tanto que la segunda se emplea extensamente para elevar las FEMs de Ca en sistemas de transmisión de energía eléctrica y en circuitos electrónicos. Desde luego, si el devanado secundario tiene menos vueltas que el primario, la FEM del secundario será menor que la del primario, lo qué per-
855
mite construir dispositivos que reduzcan las tensiones con poca o casi nula perdida de energía. Estos transformadores de reducción son útiles en muchas aplicaciones técnicas. Debe observarse que toda la energía magnética generada por el circuito primario está contenida o se acumula en el interior de la bobina toroidal, ya que al menos en un toroide ideal, el campo B externo es cero. Es claro que, idealmente, toda esta energía magnética actúa sobre el circuito secundario, por lo que en principio no hay pérdida de energía electromagnética en una bobina de inducción con un transformador. En realidad, esta afirmación jamás se cumple totalmente en la práctica, pues siempre hay pérdidas resistivas que ocurren cuando las corrientes primarias y secundarias pasan por sus devanados respectivos, los que jamás serán de resistencia cero. Pero utilizando un conductor suficientemente grueso para el devanado, por lo general es posible reducir estas pérdidas hasta que en la práctica puedan considerarse despreciables. Entonces, si se desprecian las pérdidas resistivas internas, serán iguales a la potencia
I,
f,2
(20.727)
Como ya se ha visto, un solenoide largo puede considerarse como una bobina toroidal delgada de radio infinito. En consecuencia, los resultados que se estudiaron para el transformador o bobina de inducción de esta última clase, se aplican igualmente a un transformador o bobina de inducción en forma de un cilindro largo en el que se colocan dos devanados estrechamente, enrollados como se ilustra en la figura 20.23. Todas las ecuaciones formuladas para el toroide delgado se aplican al solenoide largo, a condición de que se recuerde en las ecuaciones (20.7.15) a (20.7.20) que debe reemplazarse la cantidad 2vD por la longitud / de la bobina recta. La operación de la bobina toroidal con devanados primario y secundario como una bo-
858
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
(20.7.24). Por último, se puede observar que la diferencia de potencial a través de la resistencia R2 es sencillamente (20.7.47)
*-i o, ya que de (20.7.24) y (20.7.25) la relación V¿2/¿, es igual a la relación de las espiras o vueltas del secundario a las del primario,
,v, ~v7
(20.7.48)
En el sistema de ignición de un vehículo automotor, el interruptor S es en realidad el ruptor con los "platinos" o contactos en el distribuidor, y la bobina de inducción es la llamada "bobina de encendido" del auto. La resistencia Rt es la del devanado primario de la bobina, en tanto que ¡a resistencia R2 es la resistencia combinada del devanado secundario, los conductores de las bujías y de los entrehierros de la chispa en éstas. Es claro que la diferencia de potencial de salida, que esencialmente aparece entre los electrodos de la bujía de encendido (pues de ordinario su resistencia es mucho mayor que la del alambre del devar.?do o del sistema de las bujías), al principio es mayor que la FEM de la batería, en proporción a la relación de números de espiras Nj/TV, = 1000 dará un voltaje inicial de encendido de 12 000 V.
En la figura 20.25 se tienen las gráficas de las corrientes 7. e 72 en función del tiempo. Después de un tiempo largo, si el interruptor S permanece cerrado, la corriente primaria It alcanzará el valor constante de estado estable (de CC) f,9/R¡ y ya no cambiará. En este caso, tampoco lo hará el flujo magnético que genera, y la FEM 6l en el circuito secundario caeré a cero. En estas condiciones, la corriente del secundario 72 también debe declinar asintóticamente a cero, como se muestra en la figura 20.25b o la ecuación (20.7.42). Si ahora se conecta repentinamente el interruptor a la derecha, eliminando la FEM¿, de la batería, la corriente primaria 7, comenzará a disminuir. Pero debido al hecho de que los campos magnéticos que reducen su magnitud originan las FEMs <í, y <í2 en ambas ramas del circuito, no decaerá de inmediato a cero, sino que será sostenida durante c;erto tiempo por la FEM f,} que —de acuerdo con la leydf Lenz— ahora estará en sentido opuesto. En consecuencia, la corriente 7, declinará e.xponencialmente a cero y su constante de tiempo /„ estará dada por (20.7.43), en forma muy pa- j recida a como la corriente autoinducida decre- * ce en un inductor, se estudió antes en la sección 20.4. Al mismo tiempo, el flujo magnético que cambia repentinamente a través del secundario de la bobina inducirá otra "punta" exponencial grande de FEM y corriente en el secundario, semejante a la que se muestra en j la figura 20.25b, pero nuevamente en direc-i
20.7 Inducción mutua, bobinas de-inducción y transformadores
859
"/2(íl ,/V, W1
O
(a)
(b)
¿URA 20.26. Aumento y disminución de (a) la corriente primaria, Ib! la corrióme secundaria y (el Ja FEM secundaria en una bobina de encendido conforme los "platinos" cierran y aorer ^"efnativamente el circuito primario
(a)
FIGURA 20.25. íal Comente primaria y (b) corriente secundaria en la bobina ni; inducción de automóvil f\f¡ ln liqura 20.24, gradearlas en ¡unción del tiempo transcurrido después <)<;! cierre rtfi 'M^rupior S..
'
ción opuesta, como lo requiere la ley de Lenz. Desde luego, se podrían verificar matemáticamente estas conclusiones cualitativas por métodos semejantes a lo? empleados antes, pero ?? será necesario, pues los métodos están bien 'stablecidos y los efectos se pueden describir •?,:,términos cualitativos por. razonamientos Puramente físicos. Si luego se acciona comidamente el interruptor de izquierda a de?cha,y viceversa, la corriente en el primario ^r¿ como se muestra en la figura 20.26a, en Janto que el voltaje y la corriente en el secun-
dario presentarán una serie de puntas que corresponderán a diferencias de potencial muy grandes a través de la resistencia de salida R, como se ilustra en las figuras 20.26b y 20.26c. En el sistema de un automóvil, esta acción repetitiva de cerrar y abrir el circuito primario lo hace automáticamente una leva en el distri- • buidor, que en forma reiterada abre y cierra los contactos (o platinos) del ruptor. En las bobinas de inducción de laboratorio.~esta acción interruptiva generalmente la efectúa un
i
882
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
y sí hay entonces una diferencia de fase entre la FEM aplicada exteriormente y la corriente. De modo que fue inteligente haber previsto tal contingencia en la ecuación (20.7.52). Por el signo menos en (20.7.58), se sabe que el ángulo de fase será negativo, de manera que la fase de la corriente será de atraso con respecto a la de la FEM aplicada. Más adelante, en el capitulo 22, se verá que ésta es una característica general de los circuitos inductivos de CA. Si la tangente del ángulo de fase es -uL/R, entonces de la figura 20.28 pueden deducirse el seno y el coseno; en el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo es -u/-, y el lado adyacente es R¡, lo que garantiza que la tangente está dada por (20.7.58). En este triángulo es claro que -mí., s e n < / > = - ; "TT \ que eos rj> = — -_-
(20 7.59)
Una característica especial de este resultado es que la relación de la corriente ^ a la FEM aplicada <Í0 —que se puede considerar como la conductancia en un circuito de CC— no es constante, sino que depende de la frecuencia. Esta es otra característica muy general de los circuitos de CA que contienen inductancia o capacitancia, acerca de la cual se aprenderá más en el capítulo 22. Sin embargo, se tiene interés en evaluar la f FEM inducida
= -L,
(20.7.60)
20.7 Inducción mutua, bobinas de inducción y transformadores
863
I•
(al
di
., „ ---•=•—=-- COS(<.Ml f ) (20.7.62) v / V + íwL,) 2
Luego puede obtenerse la FEM <",2 secundaria de (20.7.24) como
FIGURA 20.29. (j) Tensión secundaria de salida y (bl ángulo de fase <* entre las tensiones (o voltajes) de salida y de entrada, gradeados en (unción de la frecuencia.
puede despreciar Rí en el denominador de .(20.7.64), que entonces queda como
. "V
¿
*"AB ~ <M>
Sustituyendo estos valores de nuevo en (20.7.57) y despejando 7IO, finalmente se encuentra que /,„ = -^r.^—^--v'R,2 +d»L¡f-
Por último, sustituyendo este valor en (20.7.52),
lo que permite finalmente, de (20.7.50), expresar la diferencia de potencial de salida AK AB como
IL, /~ l -' üs (W' + )
(20.7.65)
•ate..v'-i -'También, en este caso, el ángulo de fase da, -m por (20.7.58) se aproxima a -ir/2, ya que tan <(> tiende a - co. Pero eos (ul - ir/2) = sen ut, de manera que puede escribirse 2Q.7.65) como
V Li
(20.7.61)
frmlmfc'''*'™"'-*1,
(20.7.67)
-ííf,;E1 resultado.final es: un transformador no trabaja en absoluto con corriente continua. Con frecuencias bajas, hay un voltaje de salida dado por (20.7.64). La fase dé esta tensión difiere de la fase de !a FEM fi(i) = t'^ sen w/ aplicada al- circuito primario, y su amplitud depende de la frecuencia, aumentando cuando 'o hace esta última, como se ilustra en la figu'á 20.29. Para frecuencia tan altas que wL, ? R¡, la amplitud del voltaje de salida es en "«encía independiente de la frecuencia, e igual a la FEM de entrada multiplicada por la relación de vueltas N¡/N, del secundario al primalimite, ya no hay una diferencia de
De aquí es obvio que si la frecuencia w « cero, el voltaje de salida A^g también será cero, lo que quiere decir sencillamente que «" transformador no funciona en un circuito & corriente continua, algo que ha molestado durante décadas tanto a los ingenieros electricistas como a los técnicos en electricidad, pef° acerca de lo cual poco puede hacerse. Desde luego, la razón es que en un circuito de CC n" hay cambio en el flujo, y por tanto, lampe*1' hay FEM secundaria inducida para crear0 voltaje de salida A KAB. No obstante para fK" cuencias de CA tales que uL » R¡ &
fase significativa entre los voltajes de entrada y salida; esto es evidente de la ecuación (20.7.67) y de la figura 20.29b. Se notará que la condición o>L, » J?,, con la que la bobina de inducción "opera como debe hacerlo un transformador", se puede expresar como w » R/Í.¡, o, ya que /-!//?, es la constante de tiempo inductivo rt del circuito primario, también en esta forma:
1
(20.7.68)
(20.7.66)
o, recordando (20.7.24) y (20.7.15),
5
FIGURA 20.28. Relaciones de fase en el circu'to primario del transformador de la figura 20.27
no. En este
De modo que, mientras la frecuencia sea mucho mayor que el recíproco de la constante de tiempo del circuito primario, el dispositivo se comportará como un transformador, "ideal" en el sentido antes descrito. Si una corriente /2 circula en el circuito secundario, prácticamente no cambian las características esenciales del sistema aunque el análisis Matemático se complica mucho más, al igual que las expresiones para las FEMs y corrientes en los dos circuitos. No se tratará de atacar los detalles de este caso, excepto para mencionar que la condición '20.7.68) queda entonces asi: (20.7.69) í, + I,
en que /2 representa la constante de tiempo inductiva del circuito secundario.
866
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
recordando que fl,lb> = 0. Las FEMs
dl¡
dlí (20.7.72)
~
2>
N2
dI2
di-,
(20.7.73)
Comparando estas ecuaciones con (20.7.7) y (20.7.8), es evidente que los coeficientes de dl/dt y de dt2/dí en (20.7.72) son L y M|2, respectivamente, mientras que los coeficientes de las mismas cantidades en (20.7.73) son M2t y L2, respectivamente. Por tanto, L, =/< 0 «, 2 '-4i
y
L2=n0n22IA2
(20.7.74)
que concuerda con (20.4.7), en tanto que 'w 12 = M 2 1 = /w¡2M,
(20.7.75)
En este ejemplo, es importante notar que la relación entre las autoinductancias L, y L2, y los coeficientes de inducción mutua, ya no está dada por (20.7.21), sino por (20.7.76)
1
RESUMEN Siempre que hay un flujo magnético variable en el tiempo que atraviesa un circuito, se induce una FEM en éste, cuya magnitud es igual a la rapidez de variación del flujo magnético interceptado por el circuito. A este enunciado se le llama de la inducción de Faraday, que matemáticamente se puede expresar como
Si la inducción magnética es uniforme en el mentó inductivo de circuito, depende del núárea encerrada por el circuito, esto queda mero de vueltas de conductor, del área y de la forma del circuito, pero es independiente de la d corriente. La FEM autoinducida magnética¿ m = -T(BAcosO) mente en una bobina se opone al crecimiento d' de la corriente que circula en ella, o puede mantener el flujo de la corriente en la bobina después de suprimir la FEM externa; la PtiM autoinducida da lugar a una diferencia de potencial entre las terminales de un inductor, cuya magnitud instantánea es
en que A es el área del circuito y 6 el ángulo entre la normal al plano en el que está y el vector inducción B. La FEM inducida aparece en el circuito sin importar cómo se produzca c! cambio en el flujo. La ley de Faraday implica que un flujo magnético variable en el tiempo genera ut campo eléctrico E, aunque no electrostático, cuya integral, evaluada alrededor de un circuito cerrado, representa la FEM inducida {. Vista de esta manera, la ley de Faraday puedt escribirse como
\V~-I•>: ,
L
di
En el caso de un solenoide largo, es fácil calcular que la inductancia es
¿n que 1 es la longitud de la bobina, A el área = d) £ • < / ! = --,- f B - n , U i di Js transversal y n el número de espiras por unidad de longitud. La ley de Lenz determina el La ley de Lenz indica que las corrientes in- sentido de las FEMs autoinducidas. ducidas fluyen de manera que sus propio! Debido a estas FEMs asociadas a las inefectos magnéticos se oponen al cambio d¡ ductancias, los circuitos con inductancia y re^ e" serie R-L presentan crecimiento y está relacionada con la ley de conservación di decrecimiento exponenciales de la corriente, la energía, y es la que origina el signo negativo comor se encuentra en los circuitos en serie de la FEM inducida expresada por la ley di *w~C; La constante f 0 que da la escala de tiemFaraday. Las corrientes de Foucault sor po en que ocurren estos cambios exponencorrientes inducidas magnéticamente que fin ciales es yen en cuerpos conductores extensos, aparif
V que la densidad de la energía magnética .energía de campo magnético- por unidad de -Volumen)- en cualquier parte de un campo magnético es
Resumen
867
Las inductancias en serie y en paralelo se combinan como las resistencias, es decir, en el caso de inductancias en serie,
L = L, + L 2 + - - - + Lr y para inductancias en paralelo, I
i L.
En el primer caso, la diferencia de potencial a través del conjunto es la suma de las asociadas a los elementos individuales, y la corriente que pasa por cada uno es la misma; en el segundo caso, la diferencia de potencial es también la misma a través de cada elemento, y la corriente en cada uno se suma para producir la corriente total a través del conjunto. La inducción mutua aparece entre distintos circuitos cuando un flujo cambiante generado por uno de ellos induce una FEM en otro. Si hay dos circuitos de esta clase la FEM en el circuito 1 dependerá de dl^/dl además de d!2/di, por lo que •
di
,.J>
:.,;
En estas ecuaciones, a M12 y A/21 se les llama coeficientes de inducción mutua o inductancias mutuas; expresan la intensidad de los campos magnéticos generados por los circuitos y la medida en que el flujo magnético generado por un circuito intercepta el área encerrada por el otro. Las leyes de la inducción mutua gobiernan el comportamiento de dispositivos como las bobinas de inducción y los transformadores, en los que se pueden elevar o reducir las tensiones mediante el acoplamiento inductivo entre bobinas con distinto número de vueltas. En estos dispositivos, las FEMs primaria y secundaria <5, .y «f2 están relacionadas con los números de espiras o vueltas Nt y N2 en los devanados por medio de
tí W
870
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
tiempo, el flujo cambia a $,. Demuestre que la carga neta que pasa por cualquier punto está dada por q = (*, - *,)//?. 10. Se coloca una bobina circular que tiene 100 vueltas de alambre, cada una de 5 cm de radio, en un campo magnético uniforme de 0.5 Wb/m 2 . El eje de la bobina es paralelo al campo magnético. Si la resistencia de la misma es de 200 Sí, determine qué carga neta fluye en la bobina, si repentinamente se invierte su orientación con respecto al campo magnético. 11 Un disco pequeño tiene 20 cm de radio y gira alrededor de su eje a 50 rev/s, como se muestra en el siguiente esquema. Paralelo al eje del disco hay un campo magnético uniforme de 0.5 Wb/m 2 . Calcule la diferencia de potencial entre el centro y la circunferencia. [Observación: L; diferencia de potencial a lo largo de un seg mentó pequeño de la línea AB es d¿ = Bv di]
X
12. Un cable coaxial de gran longitud consiste en un conductor interno de radio /-,, y un conductor externo de radio interior r1 y radio exterior rt, como se muestra. El conductor interno lleva una corriente / que varía en el tiempo en forma prescrita, y !a densidad de la corriente es uniforme. El conductor externo lleva la misma corriente /, pero en dirección opuesta. Demuestre que hay un campo eléctrico inducido paralelo al eje del conductor y que para r2 < r r, su magnitud está dada por £{r),= £(r, | 4- (/( 0 /
13. Una barra conductora recta de 100 g de masa y 15 cm de longitud está en reposo sobre dos rieles horizontales paralelos que distan 15 cm. La barra, que lleva una corriente de 30 A, es perpendicular a los rieles. Si el coenciente de fricción estática entre la barra y estos últimos es de 0.25, determine el campo magnético uniforme mínimo normal al plano del circuito que se requiere para poner en movimiento la barra. 14. Un solenoide largo tiene 500 vueltas por metro, un área transversal de 0.05 m2 y lleva una corriente de 2 A. Sobre el primario está arrollada estrechamente una bobina secundaria que tiene 4 O de resistencia. Se encuentra que si se invierte la corriente en el devanado primario en un intervalo de tiempo de 0.05, durante la inversión aparece en el secundario una FEM de 4 V. (a) ¿Cuántas vueltas tiene la bobina del secundario? (b) Determine la carga neta que pasa por determinado punto en el secundario, durante la inversión de la corriente primaria. 15. A una pequeña bobina circular que se utiliza para medir campos magnéticos se le llama "bobina de exploración". El plano de la bobina es inidalmente perpendicular al campo magnético y esta unida á un instrumento que mMe la carga total que fluye, por ejemplo, un galvanómetro balístico. Rápidamente la bobina se voltea (gira 180°) y se mide el flujo de la carga. Una bobina especifica de exploración j que se utiliza en un laboratorio consiste en 100 vueltas de alambre, cada una con área trans- ' versal de 3 cm2. La resistencia total de la bobina es de 40 O. En una medición especifica se encuentra que se registra una carga de 2 * 10"5 C. Con la información anterior determi* la magnitud del campo magnético. • ,6. Una bobina circular de 300 espiras y 3.0 * 10~ 2 m2 de área gira a 60 rev/s en un carnp0 uniforme de 0.25 Wb/m 2 . Halle la.máxima FEM generada y la máxima intensidad * corriente, si la bobina tiene 25 Q de resistencia-
Problemas
871
17. Un solenoide largo de 5.0 cm de radio está •' arrollado con 300 vueltas de alambre por centímetro, e inicialmente lleva una corriente "... de 2.40 A. La corriente se reduce linealmente a cero en 0.04 s. Obtenga (») el campo eléctrico , en un punto a 4.0 cm del eje del solenoide, (b) ,. el campo eléctrico en un punto a 8.0 cm del eje del mismo, (c) Determine la máxima intensidad ;,. de campo eléctrico y dónde ocurre. 1S. Se dispone una bobina de N vueltas con área transversal A como un péndulo que oscila con movimiento armónico simple 9 = fl0 scn "''• como se muestra en el diagrama anexo. También, como se ilustra, un campo magnético uniforme B apunta en la dirección horizontal. Obtenga una expresión para la FEM inducida en la bobina en función del tiempo. '/////////s
fluye por d resistor de la espira la corriente inducida (de A a B, o de B a A). (») Repentinamente la corriente / Se reduce a cero, (b) Se retira el imán de barra de la espira, (c) Se cierra el interruptor para completar el circuito. 20. Determine el sentido en que fluye la corriente inducida para los dos casos que se ilustran. A
B
X
X
X
X
X
i—VVWV—i
(a) Detector
"• Para cada uno de los casos que se muestran en el diagrama adjunto, halle el sentido en que
(a),n ,m¡
21.1 Introducción
El magnetismo se conoce desde tiempos antiguos corrió resultado de las propiedades magnéticas de la piedra imán o magnetita, que es un óxido de hierro, FejO,. Cientos de años antes de que se descubriera la relación entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas, ya se utilizaba el magnetismo permanente del hierro. En el capítulo anterior se mencionó el uso de los núcleos de hierro o acero para bobinas y transformadores, lo que puede producir cambios significativos en sus características, mismos que son sumamente importantes en determinadas aplicaciones. En la actualidad, es muy común también emplear materiales magnéticos en micrófonos, bocinas o altavo-
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
T
21.2 Magnetización, intensidacTmagnética y la ley de Ampére Bext
875
Bext
,
|~X / 1
t-'
/ -*'' v
!t M
A
X
- f!
|xU x~-
4 4 4 t __
4 4 4 t
4 4 4 4 4 4 M 4 f 4 4 _ _.j
(b)
(a)
r / \ \! / \ -*- \ / L f\ t /
.
x
(c)
FIGURA 21.1. (a) Alineación al azar de los momentos magnéticos atómicos provocada oor la agitación térmica, (b) Alineación magnética total en un sistema sujeto a la acción de un campo exterior intenso, en el que la agitación térmica es despreciable, (el Alineación magnética parcial en un sistema en el que son significativas las tendencias contrapuestas de lav agitación térmica y el campo exterior "alineante.
ticos se deriva del hecho de que los átomos de una sustancia poseen momentos magnéticos. Estos momentos magnéticos atómicos se deben a trayectorias de corriente asociadas al movimiento de electrones dentro de los ato: mos, y al hecho de que el giro o espín de los electrones cargados negativamente da a cada electrón un momento magnético intrínseco de espín.' Es muy impprtante__e_ntender que el momento^ magnético jietp asociado a_cualquier material es el resultadoTeüñáTüclTa entre dos efjectgs,íflrnpejjitiyos: la tendencia de los^campos aplicados exteriormente o los campos moleculares que se originan dentro del propio material, a_hacer_gue Jos momentos magnéticos atómicos se alinien en la misma dirección, _yja téñdeñcTa de la agitación térmica al azar a desarreglar lós"mójTientos alineados, y producir una distribución completamente aleatoria de magnetización atómica correspondiente al momento magnético total cero (fig. 21.1). Se verán ejemplos frecuentes que ilustran su mterrelacióri. Al considerar su comportamiento debe notarse que los efectos de alineación de
comprender buena parte del comportamiento observado de las sustancias magnéticas, estudiando los efectos de las corrientes que circulan en los átomos cuando se crean momentos magnéticos atómicos, y considerando la interacción de estos momentos y campos magnétis aplicados exteriormente. En el estudio del comportamiento eléctrico de los dieléctricos se encontró muy útil formular la ley de Gauss para casos en que hay materiales eléctricamente polarizables. En la forma, se encontrará ees y demás equipo de comunicaciones; tamsensato comenzar el estudio de las sustancias bién se usan extensamente en las memorias de magnéticas, tratando de formular el teorema computadoras, circuitos lógicos y aplicaciones fundamental que relaciona los campos magnéde conmutación de alta velocidad. En conseticos con las corrientes que los originan, en cuencia, es importante comprender algunos de • caso de haber sustancias magnetizables. Natulos principios básicos qu* gobiernan la interralmente, el teorema fundamental es la ley de acción de campos magnéticos con la materia. Ampére que, como se sabe, se asemeja a la ley La teoría general de las propiedades magde Gauss para campos eléctricos en determinéticas de la materia es muy compleja, y en esnados aspectos importantes. En consecuencia, te libro no se tratará de explicar detalladamense verá lo que indica la ley de Ampére cuando te todos sus aspectos. En particular, en sushay materiales magnéticos en consideración. tancias magnetizables permanentemente, es necesario el conocimiento de la mecánica cuántica de átomos y moléculas para entender 21.2 Magnetización, intensidad magnétila base de las interacciones magnéticas! lo que ca y la ley de Ampére es dc-musiado complejo de abordar por ahora. l'or otro lado, se encontrará que es posible Ef hecho de que los materiales magnetizables '."puedan actuar como fuente de campos magné-
1 En c¡ capitulo 28 e! espín intrínseco del elegirán y ti momento magnético asociado se estudian con mayor o
874
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
se la distribución ,de corriente de magn^tización. ^WT^Í^^L^Í* Alii_ífv _ *"" ^--c • Con estos antecedentes, se verá qué ocurre cuando se aplica la ley de Ampére a una sustancia magnetizada. Debido a la complejidad de las matemáticas necesarias, no se podrá hacer en la forma más general. En vez de ello, se desarrollarán los resultados considerando el comportamiento de una bobina toroidal delgada, que se forma arrollando A' vueltas totales de alambre sobre la superficie de una pieza toroidal uniforme de material magnetizable. Los resultados obtenidos de esa manera ;soñ de aplicabilidad general, _e jlustran bien los principios físicos esenciales comprendidos. Es mejor visualizar ¡a sustancia magnética sobre la que se arrolla la bobina como una sustancia que adquiere determinada magnetización proporcional a la corriente en el devanado, en lugar de por una sustancia magnetizable permanentemente; la magnetización desaparece con posterioridad si la corriente se íeduce a cero. Al hacerlo así, no se excluye la posibilidad de utilizar un núcleo que se pueda magnetizar permanentemente, sino que se ahorra la molestia de dar lugar a ciertas preguntas, que se pospondrán hasta el momento en que se tengan conocimientos suficientes para contestar-
21.2 Magnetización, intensidad magnética y la ley de Ampére
lasjfig. 21.4). Se supondrá que en la bobina jgual a la corriente total lm multiplicada por la toroidal fluye una corriente constante /, y se relación d6/2ic que representa la parte fracaplicará la ley de Ampére (19.6.9) alrededor cionaria del toroide subtendida por el ángulo de una trayectoria circular Ccuyo radio res el central d8. En forma de ecuarión, esto quiere radio medio del toroide. La corriente total que deár que atraviesa el contorno C consiste en la corriente NI que fluye en el devanado y también en la r~~"' M corriente de magnetización atómica !„ que cir. (212-9> cula alrededor de la sección transversal del to- ("--'" 2"» roide, como se muestra en la figura 21.4, b.' Sustituyendo en (21.2.8) se encuentra que Utilizando esta última, también se puede relacionar la magnetización M con el momento dipolar Jpm de la sección delgada de] 4 M - / ^_L-J^L '"2nrdO 2nr núcleo toroidal que se muestra, y con la parte o sea, de la corriente superficial de magnetización que fluye alrededor de esta sección y represen(21.2.10) ta la fuente de su campo magnético. De (21.2.4) y (21.2.1), se puede escribir la magnitud del vector magnetización M como A dín A(r ~Ji,
(21.2.8)
dlm es la porción de la corriente superficial total de magnetización que fluye alrededor de la sección delgada de material que subtiende un ángulo central dd como se muestra en la figura 21.4, b. En consecuencia, esta porción de JL.es
De (21.2.4), es evidente que el vector M tiene la misma dirección que el vector dpm, y ... de la figura 21.4, b, es igualmente evidente que _la dirección de este vector es tangencial al contorno circular C en todas partes. En conse' .cueñciá, los vectores M y B siempre son paralelos, debido a que, como se sabe por los estudios anteriores, el campo B de una bobina toroidal tiene este mismo carácter tangencial. ^Además, si se calcula la integral de M-rfl ¡alrededor del contornó C, se encuentra (JJ.M • d\ <j> M di = M 4 til = 2wM (21.2.11)
5
-.
—-
—
-
,
------
----
----
----
+U
(21 .2.13)
—•^
. B •
+ /'o
(21.2.14)
879
o sea,
— - M I • di = NI
(21.2.15)
De aquí es evidente que la corriente verdadera NI que fluye en el devanado está relacionada con la inducción magnética por mediqjteja integral de la cantidad [(B/no) M] • di, en vez de simplemente por la integral de B • dí./^, como seria el caso si no existiera una sustancia magnética. A la cantidad (B//to) - M se le llama intensidad magnética (o intensidad de campo magnético) y generalmente se designa por el símbolo H. Utilizando esta notación se puede escribir (21.2.15) como
H • d\ /c
(21.2.16)
en que Ic(- NI) es la verdadera corriente que se debe al flujo de cargas móviles encerradas por el contorno C, y donde la intensidad magnética H está dada por (21.2.17)
Despejando B de esta ecuación:
Pero, usando (21.2.10) puede relacionarse ahora a M y a /„ mediante (21.2.12)
De modo que es posible aplicar la ley de Ampéíe^ dada por (19,6.9) al contorno C, "expresando la corriente total 7, encerrada por C como la suma de la corriente 'NI que fluye en el devanado y la corriente de magnetización /*. En esta forma, la ley de Ampére indica que B • di =
Utilizando (21.2.12), esta expresión queda como _
/*
FIGURA 21 .4. ' Relaciones entie la corriente, la inducción magnética y la magnetización en el caso de
una muestra toroidai magnetizada uniformemente.-
(21.2.18)
Generalmente, las (21.2.14) a (21.2.18) son aplicable;¡a todosJjKcasosen queihaiy; campos magnéticos y materiales magnetizables, aunque solóse deducen para el caso toroidal. De (21 .2.16), es claro que la unidad SI para la intensidad magnética H es A/m. De (21.2.17), fácilmente se ve que M y H tienen las mismas dimensiones. En la figura 21.5 se ilustran la relaciones entre H, M y B en una muestra toroidal magnetizada. El caso se parece al de los matenaie eléctricamente polarizables visto en Capítulo 17, donde se encontró que la ley Gauss cuando h a y materiales P ° b5 su expresa que se debe igualar la integral perficie de Í60E + ?)••> (en vez de la e,*. • *
¿II!
11
882
21.2 Magnetización, intensidad magnética y la ley de Ampére
883
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
lograrse esta medición experimental de la suceptibilidad. Entonces,.usando (21.2,19) para expresar M en términos de H, puede escribirse (21.2.18) como + /JH = iM
(21.2.20)
en que la cantidad p, definida por (21.2.21)
se conoce.como permeabilidad magnética (abspluta) del material. También Aveces es_út]l hablar déla permeabilidad magnética relativa Kmi que se define como la relación de la permeabilidad magnética ¡i a la permeabilidad magnética deLvacío^ n^. En cjjnsecuenciaja permeabilidad relativa se puede expresar como (21.2.22)
En estas definiciones se destacan las analogías entre las susceptibilidades eléctrica y magnética, la permeabilidad magnética y la permisividad dieléctrica, y entre la permeabilidad relativa (constante magnética) y la constante dieléctrica. Si no hay ningún material magnético, en=IP V de (21.2.18), . B = ^H. Si en verde ello, sin perturbar la distribución de -£2ÜÍ?5Í£-..YStdsdera _que forrna_]a fúentejdel campo II, se introduce un material con susceptibilidad magnética positiva aprjjciable, el valor de ÍÍJiCLc^mbiá, mientras que la magnitud de fi dada por (21.2.20) se_hace mucho mayor. Por esta razón, el campo de inducción magnética B dentro de los materiales de alta permeabilidad magnética es mucho mayor de lo que sería si no estuvieran presentes, tales sustancias. Pqr_tantq1_se observa qué las líneas del carnpOL.B de inducción tienden a concenjrqrse^ inXensamente_.ea_sustan.cias .dé. alta permeabilidad. Por estajazón, un cambio dado er¿ Ja corriente .verdadera., puedei_dár un cambiojie flujo musho mayor a través de materiales magnéticarnente perrn.eables.que a.través de Fa misma .regióri. en el vacío. Esta es.lá
razón esencial del gran aumento en la inductancia que se observa cuando se usa un núcleo de hierro, en vez de aire o vacío en un induc.tor. jMlLembargp^cabe recordar que aunque dicho metal siempre muestra valores muy grandes de permeabilidad, no obedece laVela^ ción lineal (21.2.19) entre la intensidad magnética y la magnetización. -Latabla.21..LdaJas susceptibilidades magnéticas de varias sustancias a la temperatura ambiente. Se observará que en la mayoría de los.casos, las,magnitudes numéricas de las susceptibilidades magnéticas son bastante pe,queñas; mucho menores, en efecto, que las susceptibilidades eléctricas de las sustancias aislantes comunes. La excepción es :\, que va al otro extremo, y que presenta valeres de susceptibilidad magnética mucho mayores que los de otros materiales, y en realidad, mucho mayores que los de susceptibilidades Eléctricas de la mayoría de las sustancias. No puede darse un_ valor fijó para este métaI7 puesto que no es una sustancia magnética lineal, como lo muestra el hecho de que su susceptibilidad varía con ja intensidad magnética aplicada, la historia de su magnetización anteTABLA 21.1. Susceptibilidades magnéticas Sustancia Aluminio Bismuto Cobre Oro Plomo Magnesio Platino Plata Agua CrK(S0 4 ) 2 -l2H 2 0 Cu(SO 4 )-5H 2 0 Gd 2 (S04h-8H 2 0 MnF 2 CoCI2 FeCl2 FeCl3 NiCl 2 Fierro (dulce)
2.3 x 10" 5 -1.7 x 10"4 - l . O x 10"' ' - 3 . 6 x ]
ñor y la elaboración metalúrgica de la muestra. Los grandes valores de permeabilidad observados en el hierro y en otras sustancias magnetizables permanentemente se deben a que en esos materiales ferromagnéticos, los dipolos magnéticos atómicos tienden también a alinearse unos con otros, y no sólo en respuesta a la acción de campos magnéticos aplicados cxteriormente. Hay otras sustancias con susceptibilidades magnéticas positivas que son mucho menores y cuyas susceptibilidades (al menos para campos razonablemente pequeños), son independientes de la intensidad magnética aplicada. En tales sustancias, los momentos magnéticos atómicos tienden a alinearse paralelamente al campo externo aplicado, pero no se influyen mutuamente de manera significativa, como en los materiales ferromagnéticos. Estas sustancias se llaman paramagnéficas. Por último, a partir de los valores de la tabla 21.1 se observa que hay muchos materiales cuya susceptibilidad magnética es negativa, lo que corresponde a permeabilidades relativas inferiores a la unidad. En este tipo de materiales, en tanto que los momentos magnéticos atómicos prácticamente son independientes entre sí, como en los materiales paramagnéticos, tienden a alinearse en dirección opuesta a la del campo aplicado exteriormente. Estas sustancias se llaman diamagnéticas. La mayor parte del resto de este capítulo se dedicará a tratar de explicar, con base en la infracción de momentos atómicos y electróni^os con campos externos y entre si-, las magni¡ ,|udes de las susceptibilidades magnéticas obi' servadas de diversas sustancias, y por qué la ¡ susceptibilidad varia como lo hace con la temperatura y el campo aplicado. Primeramente i se centrará la atención en las sustancias paramagnéticas y diamagnéticas, y se pasará luego a los materiales ferromagnéticos, para al último, mencionar brevemente los sistemas magnéticos más comunes y confusivos: los imanes
wpermanentes. --- . • : .
ton en una órbita circular de radio r = 0.528 x 10-10 m con velocidad angular constante u. La atracción electrostática entre el electrón y el protón proporciona la fuerza centrípeta necesaria para retener al electrón en su órbita circular. Utilizando el concepto clásico de que el momento magnético es el producto de la corriente por el área encerrada por la trayectoria en que circula, determinar el momento magnético orbital del átomo de hidrógeno. ¿Cuál es la relación de este momento magnético a la cantidad de movimiento angular del electrón? La fuerza centrípeta -mroj2 debe ser precisamente la fuerza atractiva entre el electrón y protón, que vale ( + e)(-e)/4Te0ra. Igualando estas dos cantidades, se obtiene ._ = mra>2
4nr.0r
de donde se puede despejar u y tener (21.2.23)
So d = v d 6 » 2./«. E» con*»»».. puede escribir
•¡ .^¿ffcítís^*^^.*^*
*r>; lo anterior lleva finalmente (21.2.25)
. . ... . . . . . . . . ... -, ntroduciendo los
.EJEMPLO 2 1 . 2 . 1
() ,
ÜEn un átomo de hidrógeno se P jjrar que un electrón gira alrededor
que :
886
21.3 Sustancias diamagnéticas y paramagnéticas: teoría de Larmor del diamagnetismo
887
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
es muy distinto, y suponer magnetización lineal o permeabilidad constante puede producir resultados falsos o sumamente engañadores. Este caso se estudiará en una sección posterior, con detalle. 21.3 Sustancias diamagnéticas y paramagnéticas: teoría de Larmor del diamagnetismo En toda sustancia dada, hay una serie de efectos magnéticos importantes para determinar la susceptibilidad magnética total del mismo. Algunos de estos efectos individuales pueden llevar al diamagnetismo, en tanto que otros pueden ocasionar contribuciones paramagnéticas. La cuestión de la susceptibilidad total del material y de si es paramagnética o diamagnética la susceptibilidad neta, depende de la importancia relativa de estos efectos separados e independientes en la sustancia en estudio. Por tanto, es razonable considerar los efectos más importantes bajo el mismo epígrafe general. En las sustancias cuyos átomos poseen momentos dipolares magnéticos netos permanentes, por lo común estos momentos son los que realizan la contribución predominante^ la susceptibilidad magnética! Como tales momentos atómicos tienden a alinearse en la dirección del campo aplicado, la magnetización resultante neta también está en esa dirección, por lo que los materiales son paramagnéticqs^ Sin embargo, en algunos otros materiales^ puede jjuceder que las corrienter^ifclilarítéT debidas a los'eiectfoñés atómicos 3enjirr.mo-~ mentó magnético orbital tótaligual a cero. Aunque los^elecfrones puedan tener valores no nulos de cantidad de movimiento angular, esto sucede porque hay pares de electrones cuyos momentos cinéticos son iguales y opuestos, lo que da una cantidad de movimiento angular total igual a cero, por lo que de acuerdo con (21.2.28), origina un momento magnético neto nulo. También puede suceder que los momentos magnéticos del espía neto estén agrupados por pares, y que den cero de la misma manera. Aunque los átomos de estos tipos de sustancias tienen moméüto~níagñéticoliulo en auseneia-de campos externos, cuando_se_ aplica un campo"magnético,~eTTluigjnagnét|-
co cambiante que produce puede interactuar con TaiTtrayéctorias de corriente circulante asociadas a los electrones atómicos, delrííñera que aparece un momento magnético inducido. De acuerdo con la ley de Lenz, la dirección de este momento magnético de inducción debe ser opuesta a la del campo magnético aplicado, por lo que este efecto lleva a una susceptibilidad diamagnética débil. Naturalmente, este efecto diamagnético existe incluso en materiales sin momentos magnéticos atói (Ol micos netos, pero en tales casos el efecto gene1 ralmente está opacado por el paramagnetismo más intenso, debido a los momentos atómicos permanentes. El débil diamagnetismo inducido asociado a las corrientes electroicas en circulación, se conoce como diamagnetismo de I/i, (SI (b) Larmor, en honor de Sir Joseph Larmor, e! científico inglés que lo descubrió. ' FIGURA 21.6. Fuerzas magnéticas erradas sobre electrones atómicos que circulan la) en sent'do En las sustancias diamagnéticas y las para- "contrario al de! reloj y Ib) en el sentido del reloj. magnéticas, es importante notar que aunque el alineamiento de los momentos atómicos está influido por el campo aplicado externo, la muestra en (a), esta fuerza magnética incremenacción magnética de los momentos atómicos ™En ausencia del campo magnético externo, ta la fuerza centrípeta, y portante, la aceleración entre sí es despreciable. Esto se debe a que los Tambos electrones giran con la misma velocicentrípeta - mri¿. En consecuencia, la velocidad angular u0, aunque en sentidos opuestos. campos magnéticos que experimentan los átodad angular de este electrón se hace mayor que t Sus momentos magnéticos individuales están mos por efecto de los momentos magnéticos antes, cambiando el momento magnético en ^dados por el producto de la corriente y el área de otros átomos son bastante pequeños, y una cantidad Apml. Pero para el segundo también porque la energía de campo magnéti- ?de la órbita, de donde, como en el ejemplo electrón, como indica en (b), la fuerza magnético asociada a los momentos atómicos es 1,21.2.1, ca disminuye la fuerza centrípeta, por lo que menor que la energía térmica de los átomos. hace que la velocidad angular de este electrón (-e)u>0 (21.3.2) -™ ( sea menor que antes. Su momento magnético En la figura 21.6, se puede ver como cambia en la cantidad Ap^2, como se muestra ocurre el diamagnetismo de Larmor. La en la figura 21.6, b. Puesto que Ap_i y Ap_ 2 esen tanto que ilustración muestra dos electrones que sólo tán en direcciones opuestas a B, el material es pueden moverse en sentidos contrarios en una diamagnético. órbita circular de radio fijo r0 alrededor de un núcleo cargado positivamente, cuya carga toSe pueden calcular los momentos magnétital es +Ze, siendo Z un entero. Cuando el cos, y después la susceptibilidad, escribiendo campo magnético externo es nulo, la fuerza la fuerza radial neta sobre cada electrón y haelectrostática — e( + Ze)/4T6o/o2 sobre cada ciéndola igual a la aceleración centrípeta electrón es la fuerza centrípeta total, que -mru2. Para el primer electrón, en la figura puede hacerse igual a la aceleración centrípeta 21.6, a, se tiene - /w0ü)02. En consecuencia, para cualquiera de los electrones se tiene
o sea que
ziÜ/ci" =
4iuviiiv i
(21.3.1)
t* De aquí, es claro que para B = O, los momen' tos magnéticos de los electrones se cancelan, sin dejar un momento magnético neto. También se supone que los momentos magnéticos de espín son opuestos de manera semejante, y * que su suma también da cero, del mismo mo, . do. i Jl Cuando existe el campo magnético B, adej más de la atracción electrostática hay fuerzas magnéticas q(\ B) que actúan sobre los electrones en las direcciones que se indican en la figura 21.6. Para el primer electrón, como se
= - mr0c
(21 ,3%4)
en Perc, de (21.3.1), ZeV(4TGoV) = que UQ es la velocidad angular inicial en ausen-
:
890
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA ,-h?
nente z promedio positiva del momento atómico. De la figura 21.7, es claro que, como pm. = pm eos O
eos O
ti
21.4 Pafamagnetismo clásico de sustancias que tienen momentos atómicos netos permanentes
891
ordenadas angulares 6 y <¿> y la magnitud dep m mediante (21.4.8)
se puede escribir sen O d<¡>
N(t), <¡>)cos()ilA =~—f -----j N(0. <¡>) ti A {"" f* = "" ,.*"•«••
J f l = 0 J*=0
(21.4.2)
Ya que no hay componentes de campo magnético a lo largo de las direcciones x y y, es evidentt que debe ser cero el valor medio de los momentos magnéticos atómicos a lo largo de cada una de esas direcciones. Entonces el magnético total de la muestra por unidad de volumen, que por definición es la magnetización M, se puede obtener simplemente multiplicando el momento atómico promedio (21.4.2) por el número de átomos por volumen unitario para dar Ai = n~pmt = npm cos
(21.4.4)f
(21.4.9)
elemento en el espacio de velocidades que define el intervalo de velocidad en cuestión. ^ Si se llama N(6,)dA al número de dipolos atómicos orientados dentro del área sombreada dA en la figura 21.8, entonces, de (21 .4.5) >' de (2 1.4.4), dA
En esta expresión se cancelaron los factores constantes Cypm2 del numerador y denominador" de la expresión del lado derecho, en la que también es evidente que los integrados del numerador y del denominador son completamente independientes del ángulo acimutal . Siendo esto cierto, tales factores son constantes en relación con la integración respecto de 4>, por lo que pueden sacarse del signo integral relativo a ésa, con el resultado de que ">"" cosflsentfí/tf f "¡/<¿>
peiu.... 8 t r cosí)senf)
. Jo
(21.4.10)
(21.4.6)
...
lor medio de eos 8 para todos los dipolos atómicos se obtiene entonces multiplicando el numero de dipolos dentro del área dA por cos '•'_ sumando esa contribución en todas las orientaciones posibles mediante integración, y dividiendo entre el número total de dipolos %. que por (21.4.6), está dado por
dA (21.4.7)
en que C es una constante. Debe notars' cuidadosamente que la probabilidad de orientación dentro del área dA es proporcional * tamaño de esa área, al igual que la p.robabil'' dad de que las moléculas tengan intervalos & dos de velocidad —expresados por (13.6.7)^ por (13.6.10)— es proporcional al tamaño d»
js tí sen O dtp dO sen O d(f> dO
FIGURA 21.8. El cálculo de la probabilidad de que un dipolo onentado al a/ar de momento p eslá dentro riel atoa sombrearte! (JA que se .tetra, depende sencillamente de evaluar la razón riel área dA al área total de la esfera.
(21.4.3)
En consecuencia, el problema de encontrar la magnetización de la muestra equivale a hallar el valor promedio del coseno del ángulo entre un momento atómico y el campo externo. De las ecuaciones (19.2.4) y (16.6.30) se sabe que la energía potencial de un dipolo mag- ' nético que forma un ángulo 8 con un campo magnético, es i = -pmBcosO
De acuerdo con la ley de distribución de la, energía de Maxwell-Botzman, !a probabilidad de que se encuentre un momento atómico orientado dentro del área sombreada dA que se muestra en la figura 21.8 será Ce
dA = pm2 senO dO d(p (21.4.1)
lo que quiere decir que el valor medio de la componente z de todos los momentos atómicos en la muestra, pm¡, está relacionado con el ángulo medio 8 que forma un momento atómico con el campo magnetice mediante eos O
FIGURA 21.7. Contribución de momento magnético a un dipolo magnético parcialmente alineado.
efecto de desorden asociado a la energía térmica interna de la sustancia, como se ilustra en la figura 21.1. En general, el resultado de esta pugna es producir una alineación parcial de momentos, cuya extensión depende de la intensidad del campo externo y de la temperatura, como se muestra en la figura 21.1 c.2 Si no hay campo magnético externo, todos los dipolos atómicos están orientados al azar; la componente vertical z promedio de sus momentos magnéticos será cero, ya que los valores positivos y negativos de esa componente (o de cualquiera otra) ocurren con igual probabilidad. Si se aplica un campo externo a lo largo de una dirección dada, como el eje z, mostrado en la figura 21.7, habrá más momentos atómicos con componentes z positivas, que negativas. Entonces se tendrá alguna compoLos resultados que se obtendrán en esta sección relativos a la susceptibilidad magnética de sustancias cuyos átomos tienen momentos magnéticos atómicos permanentes, son igualmente aplicables al estudio.de la susceptibilidad eléctrica de dieléctricos, cuyos átomos tienen momentos dipolares eléctricos permanentes. Estos cálculos se hacen exactamente de la misma manera, sustituyendo el mo mentó dipolar eléctrico del átomo en vez del momcnlo magnético. La ecuación (17.6.9) de la sección 17.6 es el análogo exacto de la ecuación (21.4.20) en esta sección.
S cálculo equivale en todos aspectos al que se "csarrolló en el ejemplo 13.6.1, cuando se de'crminó la velocidad media de una molécula "un gas ideal. Ya que el área dA, de la figura |'-8, puede expresarse en términos de las co-
La integración restante en 9 puede hacerse fácilmente teniendo (21.4.11)
y también vv = cos O
(21.4.12)
dw = -sen>:)
Sustituyendo lo anterior en (21.4.10) y notando, en los límites de las integrales, que w = - 1 cuando 6 = ir y w = + 1 cuando 9 = 0, re3"' T -r(ít?- U iv i
1
ñ
COS (7 —
Ve ' / H _ L £ __ Jii --
p jw~ll
(21.4.1
I y I L .. J- i
894
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
nenciales en (21.4.15) se aproxima mucho a la unidad, por lo que puede escribirse
(a » 1)
(21.4.21)
Para que la magnetización sea 80% del valor de saturación npn, f(a) debe tener el valor de 0,80, de donde —de acuerdo con (21.4.21) — se obtiene a = 5. Pero por (21.4.11) esto requiere que kT"
(21.422)
B=5Pm
Para T = 1 K, esto da (9.27 x 1(T2*) FIGURA 21.10.
Gráfica de la magnetización e" función de la inducción magnética, de acuerdo con
la ecuación (21 .4.1 5), para diversos valores de la temperatura. Este es un campo magnético muy grande, pero posible de producir en el laboratorio sin deI másiada dificultad. El campo correspondiente un estado cuántico dado, lo anterior no puede , a 77 K seria 77 veces mayor, de acuerdo con ocurrir. Entonces este efecto reduce mucho su (21.4.22), por lo que seria de 573 Wb/m 2 . A susceptibilidad paramagnética, lo que produ- 300 K se requeriría un campo de 2 230 Wb/m2 ce susceptibilidades comparativamente bajas, para lograr el mismo grado de saturación. Los que se observan en la mayoría de las sustan- campos de esta magnitud están mucho más allá de lo que puede lograrse experimentalcias metálicas paramagnéticas. mente. En efecto, a temperaturas de 77 K o niayores, es casi imposible observar nada que no esté en la porción lineal de la curva de magnetización que corresponde a la condición
Si en la ecuación (21.4.20) se sustituyen los valores típicos n = 6 x 1028 m- 3 y p m = 9.27 x 10"24 A.m2, se encuentra que para la temperatura ambiente (300K), se obtiene x« 5.2 x 10~4, lo que concuerda razonablemente bien con los valores de x- listados en la tabla 21.1 para sales paramagnéticas como MnF 2 o CoCl2, pero es mucho más alto que las susceptibilidades observadas en el laboratorio para metales paramagnéticos, como el aluminio o el magnesio. En este tipo de sustancias, el paramagnetismo se debe sólo a los electrones de conducción, y los iones metálicos en los puntos de la red cristalina no tienen momentos magnéticos netos, debido a que sus momentos orbitales y sus momentos de espín están en pares y su suma es igual a cero. El paramagnetismo que muestran los electrones de conducción se debe sólo a sus momentos magnéticos de espín, puesto que no tienen movimiento orbital. Pero muchos de los electrones no pueden alinearse magnéticamente con un campo aplicado, pues entonces tendrían que ocupar un estado cuántico de energía que ya está lleno. Como las leyes de la mecánica cuántica permiten a un electrón ocupar sólo
EJEMPLO 21.4.1
Determinar el valor de la inducción magnética necesario para "saturar" el momento magnético de una sustancia paramagnética típica, al grado de que la magnetización alcance SO'ft del valor asintótico npm a la temperatura de 1K. ¿Qué valor de campo se necesita para !» producir el mismo efecto a 77K, el punto de ebullición del nitrógeno? ¿Y a la temperatura ambiente de 300K? Se supondrá que p* = 9.27 x 10-MA.mV La magnetización es proporciónala/O 1 )De la figura 21.9, es evidente que a debe ser bastante grande en comparación con la unidad, para que J[a) se aproxime al valor asinw" tico de 1. Sin embargo, en este caso, ea es m^ grande y e~" es muy pequeño, de manera I*1* el término que contiene estás cantidades eJíp9"
i?1.5 Materiales ferromagn'éticos En las sustancias ferromagnéticas como el hierro, el níquel y el cobalto, haj^interacciones _tán intensas entre los momentos magOeticos_de átomos vecinos que los momentos Atómicos pueden alinearse con poca o ninguna ayuda de campos aplicados •exteriormente.- Es Crural que si hubiera campos externos pre•l*Bt£$,- jos momentos atómicos se alinearían ttja_djrección de éstos; «irrealidad, casi se :^2_P.OL, completo, incluso .cuando -se "^n. campos externos que no sean dema-
21.5 Materiales ferromagnéticos
895
siado intensos. En consecuencia, los materiales ferromagnéticos presentan permeabilidades magnéticas muy grandes, y en general, se pueden imantar o magnetizar permanentemente. Puesto que los momentos atómicos casi se alinean del todo, incluso con campos externos relativamente poco intensos el valor saturante de la magnetización se obtiene fácilmente con valores pequeños de la intensidad magnética, y la magnetización no es una función lineal^ del campo aplicado H. Como consecuencia de ello, la susceptibilidad magnética de las sustancias ferromagnéticas no es constante, sino que varía con la intensidad del campo externo H. Sería tentador llegar a la conclusión prematura de que las fuerzas que producen el alineamiento magnético en los materiales ferromagnéticos, son las fuerzas dipolares magnéticas que ejercen entre sí los imanes atómicos individuales, lo que no puede ser cierto. Estas fuerzas magnéticas no son significativamente más intensas en los materiales ferromagnéticos que en las sustancias paramagnéticas, donde, como se ha visto, son demasiado débiles para oponerse a los efectos aleatorizantes que se deben a los movimientos atómicos o moleculares producidos térmicamente. Los momentos atómicos en las sustancias ferromagnéticas, como en las que son paramagnéticas, son demasiado débiles, incluso para alinearse por sí solos. En Joda sustancia cristalina _sólida hay fuerzas de repulsión entre átomos vecinos a médidáLquOPJSiSB-^^-a-traslaparseJas-rez giones alrededor de_ los núcleos ocupadas por Io¿j3eitrones_atónncos. En realidad estas fuerzas son las que mantienen separados a los átomos y las que establecen una condición de equilibrio que da su carácter al espaciamiento interatómico del cristal. Cuando se trata de comprimir una sustancia cristalina sólida, se perciben esas fuerzas: permiten al material resistir la compresión, en vez de que se colapse por la acción de las fuerzas aplicadas. Las características de la nube de electrones que rodea al núcleo de cada átomo determinan la magnitud y dirección de esas fuerzas. A su vez, las características de la nube dependen del número de electrones, y de cómo interactúan éstos según las leyes "dé la mecánica cuántica.
) ! v i
898
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
21.5 Materiales ferromagnéticos
J • • •.
899
:••
Sin embargo, ya que *„ = BA. y como el área es constante, se puede'esc'rtbir dQ>m = AdB
(21.5.3)
También, de (21.2.16) o del ejemplo 21.2.2, se sabe que
I
2-n.r
NI
NI
H=-
(21.5.4)
o sea,
NI = IH
(21.5.5)
en que / es circunferencia media de la bobina. Sustituyendo (21.5.5) y (21.5.3) en (21.5.2), se encuentra que
En la citada figura 21.11, se ilustra el efecto de la histeresis graneando la magnetización en función de H, debido a que es muy fácil visualizar lo que sucede a la magnetización al aumentar el campo H, o disminuirlo. Pero con frecuencia es interesante ilustrar defecto deja histeresis en una gráfica de la inducción magnética B en función de H, que es muy parecida a la curva original que relaciona M y H, porque como se vio en el ejemplo 21.22, cuando se trata de una sustancia muy fácilmenlc magnetizable (¿i » 1), la corriente de magnetización atómica !„ es mucho mayor que » corriente verdadera /, .de conducción por 1° que M es mucho mayor que la intensidad magnética H. En consecuencia, de la ecuació" (21.2.18), en todos esos casos B = ^M, yu" s ! gráfica de M versus H difiere de una gráf'08 de B versus H solamente en el factor de escala constante /i0. En la figura 21.12 se una gráfica de B en función de H.
(21.5.6)
en que Al = Kes el volumen interior de la bobina; de (21.5.6) puede escribirse
o integrando,
FIGURA 21.11. La magnetización en función de la ntensidad magnética en el caso de una muestra ferromagnéüca toroidal, que presenta el fenómeno de histeresis magnética.
la "historia magnética" de la muestra. El hecho de que se siga la trayectoria AB en vez de la trayectoria inicial OA es una consecuencia directa de que se comienza con una muestra alineada magnéticamente, en vez de con una no magnetizada a! principio. El valor de H que hace cero la magnetización también depende de si se va desde B hacia C, o desde E hacia F. A este_ efecto se-le. llama histeresis magnética y. es mostrado en cierto grado por todas las sustancias ferromagnéticas, aunque es más notable en materiales ferromagnéticos duros. El ciclo cerrado de la figura 21.11 se llama c/c/a de histeresis. Su tamaño y su forma dependen de la composición y naturaleza cristalina de la muestra, y de los valores máximos elegidos para la intensidad magnética en A y D. Las lineas punteadas de la figura 21.11 muestran un ciclo de histeresis más pequeño, resultado de someter la muestra a intensidades magnéticas máximas más pequeñas.
Si se magnetizara la muestra y repentinamente se sustituyera la FEM externa que proporciona la corriente de magnetización, con una trayectoria conductora entre las terminales externas del devanado toroidal, el colapso del campo magnético dentrb de la bobina ¿eneraría una FEM de autoinducción f, (= N >'Jdt) que trataría de mantener la corriente ^en el circuito externo, la que entonces "decrecería exponencialmente, con una constante de tiempo determinada por la autoin^ductancia de la bobina y la resistencia del circuito. Ahora puede calcularse la energía magnética disipada en cualquier intervalo de tiemPo dt escribiendo, por la conservación de la -energía, <"•'„ + f , } di = 0
(21.5.1)
de donde ~ "dt
(21.5.2)
-
AL/,
^ = J H dB \)
(21.5.8)
Es claro que la integral en (21.5.8) representa el cambio en la energía magnética por unidad de volumen dentro de una sustancia magnetizada que resulta de un cambio en la magnetización. Además¡ de la figura 21.12 es evidente que la integral de (21.5.8), evaluada alrededor de todo el ciclo de magnetización (que corresponde al área limitada por el ciclo de histeresis en una gráfica de B versus H) representa el cambio en la energía magnética de la muestra durante el ciclo de magnetización. El caso es muy parecido al que se encontró antes en relación con las máquinas térmicas ciclicas, en que el área del ciclo cerrado en el diagrama de P versus Kque representa el proceso cíclico, corresponde al trabajo efectuado por el sistema en el curso de un ciclo.
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
FIGURA 21.16.
Alineamiento magnético obtenido por movimiento de las tronleras de los dominios
almacenada en el campo magnético externo de una sustancia magnetizable, y permite al sistema de momentos atómicos aproximarse a una condición de equilibrio que corresponde a una energía potencial almacenada mínima. En este sentido, el caso se parece al que se tiene cuando se estira un resorte. Este es capaz de almacenar energía potencial, elástica y por tanto, de ejercer fuerzas sobre objetos que estén sujetos a él. Sin embargo, la condición de equilibrio, en que la fuerza neta es cero, corresponde a la condición de resorte no estirado, en que la energía potencial almacenada es de valor mínimo. En el caso de un solo cristal, alineado magnéticamente del todo, se almacena mucha energía potencial en el campo magnético de la muestra; la cantidad precisa se puede calcular evaluando la integral de la energía por unidad de volumen (dada por IP/2fí) sobre todo el campo magnético. Pero si se dividiera el cristal en dos dominios de tamaño igual y alineación opuesta, se reduciría el campo externo de la muestra, y por tanto, la energía magnética que contiene. El efecto está ilustrado en la figura 21.17. Una subdivisión en más dominios puede reducir aún más esta energía de campo almacena-
(a)
wwu
da, y de hecho, puede ocurrir hasta que apenas exista un campo externo detectable asociado a la muestra. Sin embargo, el proceso de vvvvvvv formación de dominios no puede proseguir indefinidamente, porque después de todo, hay fuerzas intensas entre átomos vecinos que tratan de alinearlos ferromagnéticamente con los FIGURA 2 1 . 1 7 . Reducción en la energía del campo externo como resultado de la formación de momentos paralelos. En consecuencia, se al- "dominios. canza una condición de equilibrio cuando los cambios de energía correspondientes a estos dos requisitos conflictivos se equilibran mumagnéticos y las corrientes eléctricas desde el tuamente. Al alcanzarse este equilibrio se de- , dor de un imán, tienden a congregarse en las fronteras entre los dominios, permitiendo obprincipio, como se hizo aquí en el estudio de termina un tamaño promedio de dominio, esta materia, y también se cumple que en el cacaracterístico del cristal específico de que se ^servarlas directamente. so de los imanes permanentes, en cierto modo trate. Los procesos disipativos asociados a las parece haberse perdido esta correlación. Em' pérdidas por histéresis en los materiales magpero, un examen más detallado muestra que el néticos, están relacionados principalmente 21.6 Imanes permanentes magnetismo permanente puede describirse por con las energías que se requieren para lograr el las mismas leyes que permiten entender el Casi todo mundo tiene cierto conocimiento alineamiento magnético de los dominios indielectromagnetismo. del magnetismo, por haber advertido el comviduales y para lograr el movimiento de las Probablemente, lo mejor es comenzar volportamiento curioso de los imanes permanenfronteras de los mismos. Aplicando una susviendo a la configuración toroidal, ahora bien tes. Las fuerzas que ejercen mutuamente, y pensión liquida de material ferromagnético ficonocida, de la sección 21.1. En una sustancia sobre sustancias ferromagnéticas inicialmente namente molido a la superficie de la muestra imantada permanentemente, la corriente verno magnetizadas, parecen provenir de fuentes que se examina con un microscopio es posible dadera externa es cero, y la única corriente invisibles, por lo que a veces se les asigna derobservar las fronteras de los dominios magflc' que existe es la de magnetización equivalente la calidad mágica o esotérica. Es cierto que el ticos. Las pequeñas partículas, que actúan co!„, dada por las ecuaciones (21.2.10) y ^magnetismo se comprende mejor establecienmo limaduras de hierro espolvoreadas (21.2112); "puede ' visualizarse como una te firmemente la relación entre los campos
906
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
campo H. Todo ello es muy claro. Sin embargo, desafortunadamente, tanto B como H son cero en todas partes fuera de la muestra, de manera que sería imposible determinar que se tiene un imán permanente, a menos que de alguna manera se profundice y se descubra que el campo B está ahí, lo que el lector aceptará que es muy difícil. Entonces, para hacer más realista el caso supóngase que de alguna forma se corta un imán toroidal, quitándole un segmento en arco, de manera que quede un imán en herradu^ra con un pequeño espacio de aire, o • entrehierro), como se muestra en la figura 21.19. Desde luego, este procedimiento no afecta el campo de magnetización M, y se mantiene como se ilustra en dicha "figura 21. i' 1 , a. La inducción magnética B puede determinarse como antes, utilizando la ley de Ampére, aunque el hacerlo ocasiona ciertas complicaciones, pues al quitar el pedazo de material magnetizado, se destruye la simetría toroidal perfecta de la muestra. Por tanto, ya no puede asegurarse que la magnitud de B sea la misma en todas partes de un contorno circular, ni que su dirección sea tangente al círculo. Empero, rarno_se .tiene un imán per_ campo^B en el espacio; como por qtrajiarte, jamás nadie,..ha- podido -"caplurar- una carga magnética-aisladar-se- tiene la certeza de que las lineas de -este campo B deben cerrarse sobre si mismas, por lo .que han de continuar hacia el material magnetizado, más o menos como ,se. muestra.j;5iJ.a_figur_a JLJISLb,- Estudiándolo desde un punto de vista ligeramente distinto, también se puede notar que la relación del campo B con las corrientes de magnetización y las corrientes de conducción es la misma; no hay manera de decir, dentro o fuera de la muestra, si el campo B se debe a una corriente de magnetización, o a una corriente verdadera de la misma intensidad, que fluye en un conductor. Por tanto, el campc^Bjkbe^ersé^cprno_eJ £strechamente _arrolladla, portadora de cpJIlinteZsipuñjnucleojnagrielizaáf).,.amqüe con un espacio_en el devanado, guecprrespon"3e3r^f¿rfierr£]o^pacio de aireHeT irnán^ permanente. En lodo casorse'négá'TTá'ima-i
gen del campo de inducción magnética que se direcciones opuestas, por lo que sólo ocurrirá muestra en la figura 21.19, b. El campo es in- si la dirección de H es opuesta —o casi— a la tenso tanto dentro del material como en el de B. En la figura 21.19, c se muestra el campo entrehierro, aunque en la proximidad de éste, resultante. Como H está en la dirección las líneas se dispersen respecto del espacio, y opuesta a B en el interior del material magneproduzcan un magnetismo débil en el volumen tizado, y en la misma dirección que B en el circundante. También,! dentro del material entrehierro, es evidente que las líneas de H magnetizado, la inducción magnética será sufren una inversión de dirección en las caras apenas un poco menor que el valor anterior del corte. Esta inversión del campo está /iflM, debido a que ja corriente !„ de magneti- ilustrada en la figura 21.19, c; es característica zación Jia disminuido en la cantidad gue del comportamiento de las líneas de la intensicorresponde al pedazo fallante.] Esto también dad magnética en las caras de los polos de los queda claro de la expresión usual para eLcam- imanes permanentes. Es: claro que jin^esta inpo B dentro de una bobina toroidal delgada, B vgsján.jo podría satisfacerse- el requisito- de lajey de Ampere^de^uejea cero la integral de ' Y Tratándose de la intensidad magnética _H, H • tfl aTrecledór deJoda trayectoria cerrada de (21 .2.1$) es evidente que fuera de la susjan- posible, pues sin aquél, H y d\e ciá magnetizada, en especial dentro y alrede- ej¡íañan_enja misjña "dirección, alrededor de todas las espiras "cefradas formadasjrjor las dor del entrehierro, se debe tener lineas~3e. intensidad^y_"]erpfodüctp escalar tendría que dar una_ suma_r^itivajilfe"declc)r B H (fuera de la muestra) (21.6.6) de cualquiera de estas trayectorias'. /'o '• En el caso del imán toroidaf no interrumporque en esta región M =• 0. El campo JJ pido que se estudió en relación con la figura 21.18, se encontró que H era cero dentro del fuera de laTmíestra es, por tanto, igual al cammaterial magnético al igual que en el exterior, po B, excepto por el factor /i0 de escala consmientras que B y (ijM eran iguales dentro del tante. Sin embargo, en el interior ds__ls> imán. En el ejemplo de la figura 21.19, se ve rmi«tra,jgorj[2 L_2.J_8)_puede deducirsejjue que B es un poco menor que n^M en la parte Sin efribargo¡ ~~^< r^ - , u, ( H - M ) más interna del imán, pero que ahora hay un ¿í0H = B - fi0M (dentro de la muest|;a)(2i.6.7) campo H dentro del material, en dirección opuesta a B. Este campo H toma en cuenta la Pero como acaba de llegarse a la conclusión diferencia entre ^M y B, que se requiere por de que en las profundidades del imán toroidal, la ecuación (21.2.18); ésta exige que en todo la magnitud de B es menor que el valor p^A/en ¡ punto dentro de la sustancia, H = un toroide sin el espacio de aire, se tendrá que M, como en la figura 21.19, d. _ aceptar que la dirección de H debeseTSpuesía a la de M y de B en esa región. Esta conclusión es corroborada por el razonamiento de que, como no hay verdaderas corrientes ahi, de,/ acuerdo con (21.2.16), ,../RESUMEN H •
Todas las sustancias materiales muestran efectos magnéticos cuando se les somete a campos magnéticos producidos exteriormente. Tales efectos se deben a la orientación de momentos magnéticos atómicos o moleculares,, permanentes o inducidos. Los efectos crean un momento dipolar magnético en todo elemento de I volumen de la sustancia. La magnetización del ^material en un puntó dado se define como el
Resumen
907
momento dipolar local por unidad de volumen: M
Ap. Al'
Ya que los momentos dipolares atómicos pueden expresarse como corriente circulante por área, la magnetización puede relacionarse con una corriente superficial !„ de circulación, que para una sustancia magnetizada uniformemente puede escribirse como /,„ = M • I
en que / es la circunferencia o perímetro de la sección transversal. En la figura 21.2 se indica la corriente superficial circulante. También, en una sustancia de este tipo el momento dipolar total es pm = MV = M//4 = l,,,An en que n es un vector unitario normal al plano del área A. La ley de Ampére para los sistemas que contienen materiales magnetizables puede expresarse como (£ B • di = n0(l'+ U en que / es la corriente verdadera o de conducción debida al movimiento macroscópico de las cargas libres, e /„ es la corriente circulante de magnetización. Empero, la corriente de magnetización siempre puede expresarse coo . . . . . . . . mo
que permite escribir la ley de Ampére como
r^
(21.6.8)
Pero a lo largo de la circunferencia media de la bobina, la integral de H-ífl, en e' entrehierro es claramente positiva, por lo que para satisfacer (21.6.8), su valor debe de ser de signo contrario, dentro del material magnetizado, a lo largo del resto del contorno circular. Pero esto sólo puede ser si H y <ñ están en
H • ü\ / en que H = --M /'o Al vector H, definido aquí, se le llama intensidad magnética. En muchas sustancias magnetizables, en
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
ción B magnética débil no provoca un cambio en el radio de la órbita circular. Demuestre que el radio cambia, pero que esta variación depende cuadráticamente de B, por lo que puede despreciarse en el caso de campos pequeños. 17. Las moléculas de una sustancia paramagnética tienen un momento dipolar magnético de 5.0 x 10~ 24 A. m2. La sustancia se coloca en un campo magnético de 3.6 Wb/m 2 a la temperatura de 4.0 K. (a) Determine el ángulo medio entre los momentos dipolares moleculares de la sustancia y el vector inducción magnética. Dé la respuesta correspondiente, si se eleva la temperatura (b) hasta 40 K, (c) hasta 400 K. 18. Suponiendo que hay 7.2 x 10~2! moléculas por m 3 , halle la susceptibilidad magnética que corresponde a las condiciones descritas en las partes (a) a (c) del problema anterior. 19. Utilizando la ecuación (21.4.5), obtenga una expresión que dé la relación del número de dipolos magnéticos alineados paralelamente a la inducción magnética B, a los correspondientes que son antiparalelos. Investigue y grafique esta relación, en función de la temperatura T, desde el cero absoluto hasta temperaturas elevadas. 20. Un material paramagnético típico experimenta una "saturación" de 75% de su magnetización, a la temperatura de 2 K. Calcule el valor de inducción magnética que ,se. necesita para lograr ésta saturación si los valores dé n y pn son los dados en el ejemplo 21.4,1. 21. La susceptibilidad magnética de'una sustancia paramagnética es de 4.5 X 10~4 a 300 K. Si
22.
23. 24.
*25.
hay 5.5 x 10"2* átomos/m 3 , evalúe el momento magnético medio por átomo. Trace las lineas de campo asociadas a la intensidad magnética H, la inducción magnética B y la magnetización M en la proximidad de un imán de barra de sección transversal uniforme. Trace las lineas de campo de B, H y M para una muestra esférica magnetizada uniformemente. Un imán toroidal permanente de radio medio igual a 6.0 cm, se hace de una sustancia ferromagnética uniforme, cuya magnetización tiene la magnitud constante de 2.40 x 10' A/m. Calcule (a) la inducción magnética dentro del toroide, (b) la intensidad magnética dentro del mismo, (c) la inducción magnética fuera del toroide, (d) la intensidad magnética fuera del mismo, (e) la corriente superficial de magnetización. En el caso del problema anterior, suponga que se quita un pequeño sector del toroide, que subtiende un ángulo central de 10°, como se ilustra en la figura 21.19. Suponiendo que la distribución de la corriente superficial se perturba tan poco que el valor de B sobre la circunferencia media en el entrehierro o espacio de aire es la misma que dentro del material magnetizado, y que no se altera la simetría tangencial de los campos B y H sobre la citada circunferencia media determine: (a) el valor de B sobre la circunferencia media en el espacio de aire y en el interior del imán, (b) el valor correspondiente de H en el mencionado espacio de aire, y (c) el valor correspondiente de H dentro de la sustancia magnetizada.
•
. •
')
.
.Vi
Introducción En la actualidad, casi toda la energía eléctrica *qíie proporcionan las compañías sumimstra'doras se transmite como corriente alterna ICA) de 60 Hz (o cps). La razón primordial del uso extenso de la corriente alterna, en vez de la continua o directa (CC o CD) es la relativa facilidad y eficiencia para convertir un voltaje en otro por medio de transformadores. La necesidad de esta conversión se debe a consideraciones puramente económicas: la potencia transmitida a grandes distancias debe hacerse con bajas corrientes, y consecuentemente, altas tensiones, para minimizar las pérdidas por calentamiento Joule, que aumentan con el cuadrado de la intensidad de la corriente.
•
•
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
Cada vez que se cierra un circuito eléctrico insertando una clavija en un portacontacto o cerrando un interruptor, «J^Gorciojia una diferenci¿?Ot£arial entre dOJLpunlQJL ¿órTTeTel ángulo de^tasejL«ja_ir?iuciiyo íSúTaVfuQ ¿ad/s). Puesto que la mayor nafte de" a energía eléctrica que se consume en fa actualidad proviene de FEMj.de CA de esta clase, es muy importante estudiar el comportamiento de los circuitos excitados por tales " 1 También cabe señalar que esos voltajes se emplean no sólo en las lineas eléctricas 2Lies, sino en la recepción de señales de radio v de TV Por ejemplo, en el proceso de hacer funcionar un radio, se ajusta el sintonizador
i
914
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
de potencial AKi a través de la inductancia. Más adelante se verá que estas relaciones de fase entre la corriente y la tensión a través de elementos capacitivos e inductivos, siempre ocurren precisamente de esa manera. Desde luego, en el caso de las resistencias, la caida de voltaje siempre está en fase con la corriente, puesto que de la ley de Ohm AK K = IR, en que R es constante. Ahora se volverá la atención a algunas de las consideraciones de energía involucradas en este circuito oscilatorio. Si se multiplica por / la ecuación (22.2.1) se obtiene
«// o sea, (22.2.16)
Fácilmente se reconoce que el primer miembro es la potencia que suministra la batería. Ya que / es una corriente oscilatoria, la potencia P también oscilará en el tiempo. Para la mitad de cada ciclo, la energía se convierte de química a eléctrica, en tanto que en la otra mitad, la conversión es a la inversa. Al declarar lo anterior se supone que la batería es un dispositivo de almacenamiento completamente reversible, que conserva determinada cantidad de energía química durante una mitad del ciclo, y libera una cantidad equivalente de energía eléctrica.al circuito durante la otra mitad. Claramente, el segundo miembro de (22.2.16) es la rapidez de variación de la suma de las energías almacenadas en el inductor y en el capacitor. También se puede escribir la ecuación anterior como P=
B2 dV
(22.2.17)
en que E y B son los campos eléctrico y magnético variables en el tiempo, que existen respectivamente, en el capacitor y en el inductor. Es interesante notar que si P = O, como sucede cuando no hay una fuente, la energía del sistema se conserva, y que además" oscila entre la energía almacenada en la capacitancia
y la energía almacenada en la inductancia. Para ilustrar lo anterior más claramente, je aquí es fácil ver que se estudiará ahora el circuito de la figura = 1= 0» COS
— = — orq
í/(
:
U
22.2 El circuito/.—C simple
915
o, como u2 = l/LC, (22.2.28) (22.2.25)
(22.2.26)
[En este caso, la suma de AF C y AK t es cero en (22.2.18) iodo momento, como lo requiere (22.2.18) L - + q- = O L dt + C Suevamente, es fácil ver que estos dos voltao bien, ya que 7 = dq/dt, jes oscilatorios están defasados 180° en todo momento. Lo que ocurre aquí es que, al co(22.2.19) mienzo, el capacitor se descarga en el inductor LC dr y la corriente establece un campo magnético Nuevamente, ésta es la ecuación que describe tn su devanado. Empero, al descargarse el caun oscilador armónico simple de frecuencia pacitor, el campo magnético de la bobina coangular u = \/^/LC; por tanto, se puede mienza a decrecer y produce una tensión iutoinducida que mantiene el flujo de corrienescribir te durante cierto tiempo, hasta que nuevamen(22.2.20) te se cargue el capacitor, esta vez con polariq = q 0 cos(o)f + 6) Jid opuesta. Al dejar de fluir finalmente la en que o = l/^/LC y corriente, de nuevo la carga del capacitor alcanza el valor £?0, pero con polaridad contra(22.2.211 ria. Luego el capacitor se descarga otra vez + ó) Jácia el inductor, pero la corriente circula en Untido contrario, produciendo de nuevo un
da I = —=— al
di
«r dor, que naturalmente, es directamente opuesto al anterior. Como antes, al disminuir la car(22.2.22; = -~;COS(Wf (5) ga del capacitor, el decrecimiento de la corriente en el circuito, y el decrecimiento asoComo q = Q0 cuando í = O, y puesto que / = ¿ado del campo de la inductancia, producen O inicialmente, las ecuaciones (22.2.2) y un voltaje autoinducido que mantiene el flujo de corriente durante cierto tiempo, hasta que (22.2.21) dan para / = O, vuelva a cargarse el condensador, esta vez a su (22.2.23! .Polaridad original. Al reducirse a cero el flujo Q0 =
I = — <;;(?,) sen al 'H Qn -,--= -y". COSÍ»/ .
Entonces, la energía total, igual a la suma de las dos cantidades representadas por (22.2.27) y (22.2.28), es IY +
2C
que es constante e igual a la energía inicial almacenada en el capacitor, en el momento de cerrar el interruptor. En estas condiciones ideales^ la energía suministrada inicialmente al circuito se conserva y sólo oscila de un punto a otro,figura22.2. El caso recuerda lo estudiado en el capitulo 9 del tomo I, donde se consideró una serie de ejemplos de movimiento armónico simple. En ellos, la energía del sistema cambiaba una y otra vez de potencial a cinética, en forma periódica. Al relacionar eso con la situación que se estudia aquí, puede decirse que la energía potencial kx2/2 de un resorte es análoga a la energía q2/2C del capacitor, en tanto que la energía cinética mvV2 es análoga a la energía magnética en dellainductor, L/V2. \o magnético inductancia y alredeA menudo puede aprovecharse ventajosamente la analogía entre los sistemas eléctrico y mecánico. Se trata sólo de una analogía matemática, basada en el hecho de que ambos sistemas satisfacen la misma clase de ecuación., Empero, con frecuencia se pueden resolver problemas mecánicos estableciendo sus propiedades. Un péndulo simple, por ejemplo, que ejecute un movimiento armónico simple
C = 2T = ¥ C ° S 2 Í O Í (22 - 227) La energía almacenada en el campo magnético I inductor es
,.•.••..-::?,
el circuito L —
918
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
ley de conservación de la energía, la suma de las energías de los campos eléctrico y magnético debe disminuir en el mismo intervalo exactamente en esa cantidad. Es posible comprender cuantitativamente las diversas soluciones del circuito R—L—Cconsiderando la analogía de un péndulo simple que oscila en un medio viscoso. En este caso, la viscosidad del medio es análoga a la resistencia R en el circuito. Si el péndulo oscilara en el vacío, jamás se detendría (despreciando la fricción en el soporte); éste es el análogo de un circuito L—Csimple. Por ejemplo, un péndulo real empleado en una demostración escolar típica, oscilaría en uno y otro sentido en el aire, ejecutando un movimiento oscilatorio que acabará por detenerse gradualmente: éste es el movimiento oscilatorio amortiguado. La fuerza de restauración es mucho mayor que la fuerza que ejerce el aire sobre la masa del péndulo. Por tanto, el péndulo siempre rebasa su posición de equilibrio. En forma semejante, en el circuito eléctrico correspondiente, la corriente cambia de sentido muchas veces, mientras que su amplitud decrece a cero. Si la viscosidad del medio en que oscila el péndulo aumenta hasta determinado valor, el péndulo no alcanzará a pasar de su punto de equilibrio, y entonces dejará de oscilar: en el caso •< del movimiento críticamente amortiguado. Ocurre en el circuito eléctrico cuando la resistencia R tiene el valor R = 2^JL/C. Por último, si aumenta más la viscosidad del medio el movimiento estará sobre amortiguado, pues las oscilaciones del mismo están entonces muy restringidas por el medio; el péndulo alcanza entonces su posición de equilibrio, muy .,-. Jentamente^Siempre que R exceda de 2-JUC \o calor seria I2R di, y delacorrienteestarásobreacuerdo con la a cero más lenicamente amorcu, , Y9 "° ¿ é S * o
4-^|f8f as-!g l'-S
.3 M «"" -S
^11-S"3
' g ^°?
FIGURA 22.3. 1(> G inducía ncia-capacita^-j; fuente de FEM.'
íes mencionadas sitarías, ya que -•riergía decrecen ispués de transie tiempo. Desde K la corriente jajue pueda hacerse íS-'de un intervalo'
22.4 El circuito R—L—C en serie con una FEM alterna
919
Si se diferencia o deriva (22.3.9), se puede de tiempo muy corto, como lo ilustra el siescribir guiente ejemplo.
di 0.02
EJEMPLO 12 3.1
eos I
86.61 + -
Un circuito eléctrico contiene un capacitor dt - 86.6/0e -'< 0 0 2 sen Í86.6; 5 /JF, un inductor de 20 H, un resistor de 2 000 í), y un interruptor S. Al principio, el capacitor está cargado totalmente por una batería de osea, 200 V. En / = O se cierra el interruptor, completando el circuito, (a) ¿Cómo varía la á = -86.6/0 corriente en e! tiempo? (b) ¿Cuánto tiempo necesita la corriente para que su amplitud de- Jambién i = O, caiga hasta 1% de su valor máximo? Primero se calculará la cantidad w' dada /(O) = O
eos u>r
FIGURA 22.5. Circuito R—L-C en sene con una fuente FEM alterna senoidal (de CA)
(22.3.11)
por
1:. «(0) = C(AK r ) = (5 x 10-")(200) = 10'3 C ' LC
4L?
1 /(20)(5 x 1
2000V "40 /
¡*3 -
Ahora se sustituyen estos valores en (22.3.10) para encontrar iap. j 0 -3 =0 -(86.6)(20)/0 5 x 10'6
H) 4 '- 25(~X) = N 75007rud~s|T de modo que Ya que la cantidad dentro del radical es posi- í /-uo = 11.5 x 10~ 2 A (22.3.12) tiva, la solución es oscilatoria, con la frecuen- fs| Por tanto, la amplitud de la corriente está dacia angular da por - -l -
o)' = V'7500 = 86.6 rad/s
i / = /0e-""2L)I = (11.5 x 10- 2 )e-'-' 002
Por tanto, la constante de tiempo es 2L
40.
p Para determinar el tiempo / en que ///„ = bO.01, basta resolver la ecuación BÉÉÉÍÉ¿^.'.~ ^ ?^WP^*^
__.
1\
..t
En consecuencia, la solución tiene la forma /=/ 0 e-'<'°- 02 cos(86.6f + ,5)
"
•
' =0
(.'
....-, •-..-
.
--
0.01 = e -"°- 02 \ Tomando logaritmos naturales en ambos miembros de esta ecuación se obtiene
(22.3,9! ' ^ o o ! - míe-' 0 ' 02 ) = --'-'
(
Ahora deben evaluarse 70 y 5 a partir de las condiciones iniciales. Como /es cero al tiempo inicial t = O, cuando se cierra el interruptor, se debe escoger 5 = T/2. Entonces puede determinarse I, mediante la ecuación '.,, -•/-'.
til
al tiempo"/ ='0.
i-
0.02
! = 0.092 s
energía almacenada en la inductancia y el capacitor se disipa finalmente en esos casos, y por último la corriente cae a cero. Para mantener una corriente oscilatoria permanente en un circuito R—L—C, debe tenerse una fuente de FEM que también sea oscilatoria. Por ejemplo, un generador de CA puede proporcionar una FEM oscilatoria de la forma (í(í) =
COS (üf
(22.4.1)
en que oí es la frecuencia angular. Por tanto, para una frecuencia de 60 Hz, la frecuencia angular de la red suministradora de energía, u, es 120ir rad/s. Ahora se estudiarán circuitos R—L—C que tengan una FEM de esta forma. Primero se estudiará la solución matemática del circuito en serie, (fig. 22.5). De acuerdo con la ley de los circuitos de Kirchhoff, este circuito R—L—C en serie satisface ahora la ecuación diferencial. (22.4.2)
<5"0 eos wt = L '-- -f '¡R + — di C
en vez de la (22.3.1). Diferenciando ambos miembros de la ecuación con respecto a /, y recordando que / = dq/dt, se obtiene ! 7,7 7, TI (22 4.3)
0
i p 22.4 El circuito R-L-C en serie con 11 Una FEM alterna
.,3:-; (22.3.«« I'
^n la sección anterior se estudiaron las solu-«ones transitorias de un circuito R—L—C. La
:. . . i. , '
Esta es una ecuación diferencial no homogénea, en tanto que (22.3.2) es una ecuactfi«ia ferencial homogénea. La distinción se w que (22.4.3) contiene una f"nción ""^v u f(t) a la izquierda, en tanto que ei función f(() es cero.
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
sin resistencia. De acuerdo con lo anterior, en este ejemplo se encuentra que
Por tanto, el máximo valor de la corriente es (/o)»*. = ~ - 5Qo = 0-3 A En la figura 22.7 se muestran varias gráficas de /0 vs. u para las resistencias R = 500, 50 y 5 ohms. Lo que muestran claramente estas gráficas es la variación muy repentina de 7C con u conforme disminuye el valor de R. V Dicho en otras palabras, el pico o máximo de /0, que ocurre a la frecuencia de resonancia o>0 = -Jl/LC, se hace más marcado o agudo para valores pequeños de R, pues entonces la amplitud de la corriente se hace muy grande. Este fenómeno, en que 70 asume un valor máximo muy marcado a una frecuencia determinada, se conoce como resonancia. La agudeza de la resonancia se mide por una cantidad 2, llamada factor de calidad, que se define como la relación de la reactancia inductiva a la resistencia, evaluada a la frecuencia de reso-
Podría suponerse que al reducir R a cero nancia u>0. Matemáticamente, se puede escribir la definición del factor de calidad como sería infinita la corriente. Aunque las matemáticas lo sugieren, la corriente siempre está limitada a un valor finito. Este mismo fenó1 ¡L (22.4.15 meno de resonancia también ocurre en los R\¡C problemas de mecánica, como se señaló en el capítulo 9 del tomo I. En los sistemas mecáDe la figura 22.7 es evidente que un valor alto nicos, a menudo es importante evitar que de 'd implica una resonancia notablemente ocurra, pues las consecuencias pueden llegar a aguda, y un valor bajo de 4 una resonancia no ser desastrosas si un sistema estructural expemuy bien definida. rimenta una amplitud de vibración muv granCuando se sintoniza un radiorreceptor a de, como en el caso del derrumbe del puente determinada estación, en realidad se varia el deTacoma Narrows, en 1940. valor de la capacitancia C para lograr una amplitud máxima de corriente o voltaje a la frecuencia específica en que transmite la estación. Un radio puede amplificar señales de 22.5 Fasores o vectores rotatorios muchas frecuencias distintas aplicadas, recibi- .y toreactancias das como ondas electromagnéticas; empero, En el circuito R—L—Cen serie de la sección anen la resonancia, rechaza la mayoría de las terior, se tenía una FEM alterna de la forma frecuencias, y sólo amplifica la específica que %corresponde a la frecuencia natural de sus cir-; í(fj = S0 COS tul (22.5.1) cuitos de sintonía. Aunque los circuitos empleados en un radio utilizan la resonancia' y^se encontró que la corriente del circuito en forma ligeramente distinta de la descrita,' aria sinusoidalmente, y su fase difiere de la °e la FEM; por tanto, tiene la forma idea básica de variar una capacitancia para1, (y¿ 5 sintonizar a la frecuencia de resonancia, es la /(f, = JQ CQsM _ ^ misma. siones de resistencia, inductancia y ca¡ Pacitancia son cantidades oue varían sinusoidalmente y están relacionadas con la corriente en distintas maneras. Desde luego, ({ n el caso de la resistencia, la relación es f simplemente = IR = I0R cos(u>t -
(22.5.3)
I ysla diferencia de potencial a través de la resisi jwicia está en fase con la corriente. La tensión I ®^uctanci& está dada por -— dto COS 0)1 -
FIGURA 22.3. $ ~ inductancia-capacítatS? ;3í fuente dé FEM." \
120
140
160
180
f(Hz)
v i,,epfrienlí¡ con la frecuencia en el circuito R L '/ ,5 qhrris, que inriicn el oslarlo rie resonancia ,1 /
C del P|emplo 2J2 H' —
:_60
- ó) (22.5.4)
-i- -
*»
22.5 Fasores vectores rotatorios y reactancias
923
una carga ^(í) que oscila sinusoidalmente en el condensador y una caída de potencial sinusoidal correspondiente A Vc, a través del mismo, de la forma
(22.5.5)
en que 6 es un ángulo de fase cuyo valor todavía no es conocido. Empero, la corriente instantánea en el circuito y la carga instantánea en el condensador están relacionadas por
= qaci} eos I wi
(22.5.6)
ya que eos (90° + 9) = - sen 6. Pero ahora, de (22.5.2) y (22.5.6), se puede expresar 7(0 en dos formas distintas: 1(1) = / 0 COS(WÍ - )
= q0co eos
HH)]
(22.5.7)
Estas dos cantidades que varían sinusoidalmente sólo pueden ser iguales si tienen la misma amplitud y fase. Por tanto,
ó=
= /0
(22.5.8)
Pero esto permite escribir la tensión AFC a través del capacitor, dado por (22.5.5), como /
/
7T\
Vc = ~ COS I Wf - é
]
\
Comparando la anterior con (22.5.2), fácilmente se ve que la fase de la diferencia de potencial a través del capacitor se atrasa 90° a la corriente en el circuito. Ahora es posible resumir los resultados como sigue: 1. La corriente 7 del circuito, la FEM
926
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA COS (t*Jf ~ <
= / O fl
AVC = I0XC
(a)
(b)
FIGURA 22.1 O. (a! Gicuito H -C en serie con una tuenie de FEM de CA. (b) Vectores que representan la magnitud y fase relativa de los voltajes en (a)
se atras^ a la FEM, en tanto que si la reactancia capacitiva es mayor, el ángulo de fase es negativo y la corriente se adelanta en fase a la FEM. La estrecha relación entre este método de sumar tensiones y corrientes alternas y la geometría del "triángulo de impedancia" de la sección anterior queda puesta de relieve. Los lectores sensibles a la exactitud del lenguaje, habrán notado cierta impropiedad en las expresiones anteriores. Por ejemplo, se expresó en otros términos que el voltaje AK R está "descrito por la proyección de un vector rotatorio cuya longitud es la magnitud de AK* y cuya dirección representa el ángulo de fase de la corriente", en vez de decir sencillamente que "AK,, es un vector rotatorio." Hay una buena razón para este exceso de palabras: la cantidad A VK no es un vector, sino una cantidad escalar; lo mismo puede decirse de AK If A Vc, f¡ (t) e /(/). De la misma manera, la resistencia R y las reactancias XL y Xc son también escalares. Sencillamente sucede que las amplitudes y fases de los escalares que varían armónicamente se combinan matemáticamente de la misma manera que las proyecciones de vectores rotatorios con magnitudes y direcciones correspondientes. Se utiliza el concepto de "vector rotatorio" que "representa" una cartidad escalar que varía armónicamente, para tener una forma simple de sumar esas cantidades escalares utilizando una regla que es bien conocida: la ley de la adición vectorial. En la
terminología moderna estos segmentos representativos se denominan fasores *. EJEMPLO 2 2 . 5 . 1
El fasor que representa A VR está en fase con la corriente, y el fasor que representa a AK C se atrasa 90° respecto del otro, debido a que la corriente que pasa por un capacitor siempre se adelanta 90° al voltaje en el mismo. En la figura, 22.10, b, se muestran estas relaciones de fase, y como de costumbre, se optó por trazar el diagrama de fasores en el instante que el "vector rotatorio" AK R es horizontal. Ya que no hay inductancia en el circuito, no hay fasor que represente una caída de potencial inductiva. De la figura 22.10, es evidente que los dos voltajes variables armónicamente \VR y AK C deben de dar como suma la FEM /R T T(Í/wC) 2 . de donde
Un capacitor de 5 ¡ÍF y un resistor de 100 í) es / _ tan conectados en serie con una FEM de C.A *n (22.5.16) — r—^ de frecuencia variable e impedancia interna v R2 + (1/wC) 2 despreciable. La amplitud de la FEM es de 150 en tanto que V. Determinar la corriente en el circuito para las frecuencias de O, 10, 100 y 1000 Hz. Grafi-l e -tan 4>' = —'• (22.5.17) car la corriente en función de la frecuencia, y explicar por qué varía como lo hace. Hallar i • Este ejemplo es semejante al circuito que ángulo de fase entre la corriente y la FENÍ representa el primario de un transformador aplicada a las frecuencias anteriores, y trazar o,ue se consideró con relación al ejemplo la gráfica del ángulo de fase en función de b 20.7.2, en que sólo están presentes inductanfrecuencia. En este ejemplo, no hay reactancia inductiva sino sólo capacitiva. El circuito estí ilustrado en la figura 22.10, a. Utilizando d<% / 0 método expuesto en la sección anterior, * 90' pueden representar las cantidades variable Uv armónicamente A VR y A Vc como fasores cu o'" yas magnitudes están dadas por 45'
hVR = I.0R
y
22.5 Fasores vectores rotatorios y reactancias
927
cia y resistencia. Sería provechoso para el lector volver a ese ejemplo y aplicar a su solución los métodos desarrollados antes. Este caso difiere principalmente en que la corriente se adelanta a la FEM aplicada, en vez de ser atrasada, como en el ejemplo anterior. Sustituyendo los valores numéricos c?0 = • 100 V, R = 100 fl, C = 5 x 10-" F en estas ecuaciones, se encuentra que para u = O, entonces /„ = O, = 90°. Para/ = 10 Hz y u = 20jr rad/s, se tiene 70 = 0.0471 A, 0 = 88.2°. Para/ = 100 Hz, w = 200ir rad/s, entonces 70 = 0.450 A, <(> = 12.6°, etc. Estos resultados se muestran en la figura 22.11. Para bajas frecuencias, la reactancia capacitiva l/o>C es muy alta y la amplitud de la corriente es entonces muy baja. Al aumentar la frecuencia, la reactancia capacitiva ( y por tanto, la impedancia total) disminuye, lo que produce un aumento en la corriente. A altas frecuencias, la reactancia capacitiva se hace mucho menor que la resistencia, y la corriente se aproxima al valor límite ff
AFC = /0AV
(a)
(b)
N. del S. Para mayor claridad, en esta versión se uuWj rá en adelante sólo este término, que sé introduce í FIGURA 22.11. (al Amplitud de la corriente y Ib) ángulo de defasamlento entre la corriente y la complementar el texto original. .-.':..•., , gradeados en función de la frecuencia para el circuito de.la .figura 22.10. . , ,
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
T
cor. A esta relación se le llama la ganancia del circuito a la frecuencia u, y su reciproco es la atenuación. En el circuito R—C en serie, la corriente y la carga en el capacitor están dadas respectivamente por FIGURA 22.14. Red del tipo de "caja negra" de cuatro terminales.
tiene dos terminales de entrada, a las que se suministra una señal en forma de voltaje sinusoidal. También hay dos terminales de salida que proporcionan un voltaje que varia armónicamente a la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. El caso se muestra en la figura 22.14, donde se han confinado los elementos del circuito real a una "caja negra", que puede representar un amplificador, un atenuador, un filtro u otro dispositivo de procesamiento de señales. Sencillamente el propósito de la caja es convertir la señal de entrada AK mr en la señal de salida AV .. El contenido exacto de la caja dependerá del tipo de señal de salida que se desee. Primero se considerarán los dos circuitos mostrados en la figura 22.15. En la figura 22.15, a, la señal de salida es el voltaje en el resistor, en tanto que en la figura 22.15, b, es el voltaje en el capacitor. En cada caso se supone que se trata de un circuito R—C en serie y que son aplicables las soluciones desarrolladas en las secciones 22.4 y 22.5. Al utilizar tales soluciones, ya que no se tiene un elemento inductivo, se considerará que la reactancia inductiva XL = uL vale cero en todas partes. En gran parte de lo que sigue interesará calcular el promedio en el tiempo de la magnitud de A V^/A Vma para el caso en que A Ventr = &\s
/ =
—— cos(
de esta cantidad. Sin embargo, el promedio en el tiempo de tan ut es cero, y como en el triángulo de impedancia, eos =
R
(22.6.5)
(22.6.1)
se encuentra que la ganancia del dispositivo es A Ka!
(22.6.6)
(22.6.2) :sen(wf - < Es importante observaí que esta relación es muy grande, la reactancia capacitiva se aproxima a cero, en que por lo que la relación tiende a la unidad. En el extremo opuesto, para a muy pequeña, la re(22.6.3) ~ lación se aproxima a cero. Esta dependencia OJAL de la ganancia sobre la frecuencia implica que Entonces, para la figura 22. 15, a, la relación de cualquier señal de entrada que contenga una la salida a la entrada es superposición de distintas frecuencias (como la grabación de una pieza musical) puede procos(wf - < R IR cesarse de manera que tenga casi 100% de eos cor lr. r transmisión en la parte de alta frecuencia de la señal, y muy poca transmisión en la parte de baja frecuencia. A este tipo de circuito se le R eos u>t eos
_—
^
—— (eos <$> + sen (/> tan wf)
/A 2 + f-1;? V \J
(22.6.4)
Para obtener la ganancia a esta frecuencia, se toma el valor medio de la magnitud absoluta,
r
(22.6.7)
(¿o'
Utilizando la identidad trigonométrica sen(<Mí -
I
V promediando el valor absoluto en el tiempo, s? obtiene ahora
O
(a) FIGURA 22.15.
— = sene/;
(b) lal Filtro/?- Cde paso alto y (ti) lilim 'V
V
(.: de i>.i'.n luí"
¡ (22.6.8)
22.6 Algunos otros ejemplos de circuitos de CA
931
Esta expresión en función de la frecuencia, se comporta en forma muy distinta respecto de (22.6.6). En este caso, la ganancia se aproxima a la unidad a bajas frecuencias, y se reduce a cero a altas frecuencias. Por tanto, este dispositivo funciona como filtro de paso bajo, ya que las componentes de baja frecuencia son transmitidas fácilmente hacia la salida, mientras que se suprimen las de alta frecuencia. En la figura 22.16, b, se tiene una gráfica de (22.6.8), en la que se muestra la variación de la ganancia en función de u. Ahora se estudiarán varios ejemplos de circuitos resonantes, de los que ya se examinó uno en el estudio del circuito R—L—C en serie (fig. 22.5). Se vio que este circuito presenta comportamiento resonante cuando se gráfica I versus co. La resonancia ocurre cuando oí es igual \A7TU. Esto implica que el voltaje de salida en la resistencia es mucho mayor cerca de la frecuencia de resonancia, que lejos de ella. Si el voltaje de entrada contiene muchas frecuencias distintas, la señal de salida será intensa sólo a frecuencias próximas a la resonancia, por lo que este tipo de circuito puede emplearse para sintonizar un radio a una frecuencia especifica de radio difusión. Pero en la práctica hay ciertas desventajas técnicas cuando se emplea este circuito; como resultado, se prefiere emplear uno distinto, llamado "circuito tanque," para la función de sintonía. En este circuito, que se muestra en la figura 22.17, se conectan el capacitor y el inductor en paralelo, y su combinación en serie con el resistor R. Aunque por lo general el inductor también tiene cierta resistencia, en el análisis que sigue se desprecia su efecto. El voltaje de salida se toma de la combinación L—C en paralelo. En el circuito R—L—C en serie, la condición de resonancia implica que la corriente es máxima. Pero en este caso, un circuito debidamente sintonizado será aquél en el que la corriente a la frecuencia de resonancia es mínimo. Asimismo, el voltaje en la resistencia es también mínimo, por lo que el voltaje de salida A^ a | será máximo. Este tipo de circuitos se puede analizar por métodos bastante generales y elegantes, en los que se combinan las diversas impedancias para encontrar la impedancia total del circuito. En este texto no se desarrollarán estos métodos generales, sino
934
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
se muestra la impedancia Z', la corriente 7 y la relación i A^ s a l /AK c r u : mtd en función de la frecuencia u, suponiendo una sola frecuencia de entrada. Al/
Esta expresión se puede volver a escribir, en forma más conveniente, usando la identidad trigonométrica cos a cos b = j [cos(a - b) + cos(n + 6)] Entonces se tiene r AI/
22.7 Potencia en circuitos de CA
P(t) = -°~—2 [eos ñ + cos(2o)i + 2 - ó)]
Ahora se estudiarán las transformaciones de energía que ocurren en los circuitos de CA. La potencia instantánea entregada a cualquier elemento de circuito está dada por 7(/)AK(í), en que 7(f) y A K(f) son los valores instantáneos de la corriente que pasa por el elemento y la tensión en el mismo. La potencia que proporciona una fuente de FEM, como un generador, también está dada por la corriente multiplicada por la tensión. En general, aunque los valores medios de 7(/) y A V(t) sean cero, el promedio de su producto no necesariamente es nulo.'' Por ejemplo, cuando se especifica que una lámpara eléctrica disipa 100 watts, se implica que la transferencia media de energía al elemento es de 100 joules/segundo, aunque la corriente promedio y el voltaje promedio sean cero. Si P(t) designa la potencia instantánea, la potencia media P se define como k/í
(22.7.2)
(22.7,5)
Ahora se sustituye esta expresión en (22.7.1) para encontrar la potencia media que se entrega al elemento del circuito: 1 fr/0AV0
^
_ f T .-2
° cos(2wr + 2<j> - 5) dt
22.7 Potencia sn circuitos de CA
935
de voltaje eficaz, o sea 110 x %/T= 156 V, como su valor pico o máximo de voltaje. Es común llamar también valores medios cuadráticas o rms (del ingles root-meansquare, raíz del cuadrado medio o, en español, r.c.m.) a los valores eficaces, puesto que están dados por la raiz cuadrada del promedio de los cuadrados en el tiempo: 7rms = \ffil En adelante, como es usual, a estas cantidades se las designará utilizando el subíndice rms. De ordinario, los instrumentos de medición de voltaje y corriente de CA están calibrados para que indiquen valores rms de tensión o de corriente, en vez de los valores pico. De los cálculos anteriores se ve que la potencia media entregada a un elemento de circuito puede escribirse como
P=/,
(22.7.8)
La cantidad eos ¿ se llama factor de potencia (FP) del elemento de circuito. Expresando entonces (22.7.8) en palabras,
^ cos &
Potencia media = (corriente rms) x (voltaje rms) x (factor de potencia) En seguida se considerarán los factores de potencia de algunos elementos ideales de circuitos de CA.
ó sea que eos 5.
(22.7.1)
en que T es el periodo de oscilación. Este promedio, tomado en un ciclo completo, seria el mismo que el tomado en muchos ciclos. El valor de Pen cualquier elemento de circuito depende de dos factores muy importantes. El primero es el producto de la magnitud de la tensión y la corriente, y el segundo, la relación de fase que existe entre el voltaje y el amperaje. Por ejemplo, considérese un caso en que la diferencia de potencial en determinado elemento de circuito es A V(t) = A K, costo! +
FIGURA 22.18. (a) Ganancia, (b) impedancia y (c) corriente L del circuito en función de la frecuencia para el circuito "tanque"
en tanto que la corriente es /(r) = / 0 cos(r/jí + 4> - Ó)
(22.7.3)
Entonces, la corriente se atrasa al voltaje en el ángulo de fase 5. En este caso la potencia instantánea P(t) está dada por
! '
P(i ) = / ( / ) A V(t) 3 Básicamente, la razón de ello se debe a! hecho de que aunque es cero el valor medio de sen ut en un ciclo completo, el valor medio de sen* <jf no es nulo, puesto que sen2 u/ jamás puede tener valores negativos. '"
(22.7.6)
1.
„ Para obtener este resultado, se utilizó - .
• '
• "
.
-
• •
' '
'
sen(2wr+ 20 - ó) -sen(2<¿ - á) '• =seh(47t + 2$ - 5) -sen(2<¿> - <5) = O La aparición del factor Vi siempre se debe al proceso de promediado, y sugiere la siguiente definición de los valores eficaces de la corriente y la tensión:
'\ /~ ' K-b.
ay'c
fc:.
.
AK
-**'•
~
(22.7.7)
H
N/2.,
V/2
2.
3.
4.
¡,
En la práctica, casi siempre estos valores son los especificados, en vez de la amplitud, o va,!or de cresta o pico. Por tanto, una línea de L de "110 volts" tiene 110 V como su valor
= /„ A K > COS(u)/ +
(22'7.4)
Resistor: La tensión y la corriente en un resistor están en fase, ya que AK S = IR, lo que implica que 6 = 0, por lo que el FP es la unidad. . . , Inductor: Como se vio antes, el voltaje en un inductor se adelanta 90° o ir/2 a la corriente. Por tanto, 6 = r/1 y el FP es cero. ',, • Capacitor: El voltaje en un capacitor se atrasa 90° a la corriente, lo que implica que 6 = - r/2, por lo que nuevamente el FP es cero. Generador en un circuito R—L—C: Un generador proporciona una FEM al circuito. En este caso, la corriente se atrasa al voltaje un ángulo de fase dado por (22.4.11). Por tanto, el FP es R
-cos
z
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Y RESONANCIA
3. La amplitud de la tensión de inductancia es IJClt en que
en que 6 representa el ángulo de fase entre la corriente y la FEM del circuito, y donde
/„
XL = a>L
PROBLEMAS 1.
'o/V12
. •
es la reactancia inductiva, y la corriente que pasa por un inductor se atrasa 90° respecto del voltaje en el mismo. 4. La amplitud de la tensión de capacitancia es I¡¡Xc, en que
son los valores rms o eficaces de la FEM y la corriente. La cantidad eos 6 se conoce en la práctica como factor de potencia (FP) del circuito.
2. 3.
PREGUNTAS es la reactancia capacitiva, y la corriente que pasa por un capacitor se adelanta 90° al voltaje correspondiente. Los voltajes instantáneos en todos los elementos de circuito dan por suma la FEM, aunque esto no se verifica tratándose de las amplitudes o de los valores eficaces o rms, debido a que las tensiones en los elementos individuales del circuito no están en fase entre sí, o con la FEM. Como se muestra en la figura 22.6, el caso puede visualizarse geométricamente considerando a los voltajes de la inductancia, la capacitancia y la resistencia como fasores, cada uno con su fase apropiada respecto de la corriente. Luego se suma tales segmentos geométricamente, para obtener un fasor que representa la amplitud y fase de la FEM. La amplitud de la corriente es máxima y la impedancía es mínima en un circuito R—L—C en serie, cuando uL - (1/uQ = 0; osea, cuando la frecuencia w es igual a la frecuencia de resonancia del circuito
Para frecuencia mayores o menores que ésta, la corriente es correspondientemente menor y la impedancia es mayor. En la condición de resonancia, las reactancias capacitiva e inductiva son iguales, y los voltajes en un capacitor y un inductor son de igual magnitud, aunque naturalmente están def asados 180°. La potencia media disipada en un circuito de CA puede expresarse por P =
eos 6 - f tms / rm » eos <5
1. ¿Quí ventajas tiene utilizar corriente alterna en vez de corriente continua (o directa) en los sistemas eléctricos comerciales? 2. La corriente alterna en una linea eléctrica cambia de sentido 60 veces por segundo. ¿Cómo se puede tomar energía eléctrica del circuito, sabiendo que la corriente y la FEM medias son cero? 3. ¿Qué se entiende por ecuación diferencial lineal? Enuncie varios ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales. 4. Demuestre que la constante de tiempo en un circuito R—L—C en serie tiene las dimensiones de segundos. 5. Describa las características físicas del circuito K—L—C en serie con una FEM alterna aplicada, y sin FEM, pero con una carga inicial en el capacitor. 6. En los estudios de circuitos de corriente alterna, a menudo se desecha la solución transitoria de la ecuación del circuito. ¿En qué condiciones es permisible hacerlo? 7. En un circuito R—L—C simple en serie, ¿qué valor tiene la impedancia cuando la. frecuencia se sintoniza a la de resonancia? 8. El voltaje en un resistor de resistencia R está dado por C» = I^R eos (ut - 4>). Exprese lo anterior utilizando la función seno, en vez del coseno. 9. El voltaje en un inductor se adelanta 180° al voltaje en un capacitor en un circuito serie de CA. Explique lo que significa lo anterior. 10. Explique cualitativamente por qué la impedancia de un capacitor disminuye al aumentar la frecuencia, en tanto que la impedancia de un inductor aumenta con la frecuencia. ti. I ' n i m circuito/<—/.—Ccnserie,¿existencircunstancias en las que la suma algebraica de los voltajes rms medidos en un resistor, un capacitor y un inductor sea igual al valor rms de la FEM aplicada?
4.
5.
Un generador proporciona una FEM alterna con valor eficaz o rms de 2000 V a 100 Hz. Determine el voltaje pico y el periodo. Escriba una expresión para la FEM variable en el tiempo. Un circuito L—C simple en serie tiene una capacitancia de 10 ¿iF. Si oscila a 100 Hz, evalúe la inductancia /. y la reactancia inductiva Xt. Una lámpara incandescente de 100 W opera ordinariamente con un voltaje de 117 V y 60 Hz. Si ahora se aplica la FEM a través de una combinación en serie de la lámpara y un capacitor de 2 /iF, calcule el volíaje en la bombilla o foco. Suponga que este elemento actúa como una resistencia ideal. ¿Cree usted que la lámpara pueda encender en estas circunstancias? Inicialmente se da una carga g a un capacitor de capacidad C. Si se conecta una inductancia L al mismo y se cierra el circuito, determine la máxima corriente en el mismo. Un circuito R—L—C en serie consiste en R = 1000 íl, /. = 15 H y C = 30 (»F. Evalúe la frecuencia de oscilación en este circuito y determine la constante de tiempo /„. No hay FEM aplicada. Si la amplitud de la corriente en el circuito es de 10 A en l - O, determine su valor cuando l
6. Demuestre, por sustitución directa, que la ecuación (22.3.4) es una solución de (22.3.2) cuando 1
LC
-i'AY >0 \2L
Calcule la reactancia inductiva de un inductor de 0.02 H (a) a 60 Hz, (b) a 600 Hz, (c) a 6000 Hz. (d) ¿Cuál es el ángulo de fase entre el voltaje del inductor y la corriente que pasa por él, a las tres frecuencias dadas? Calcule la reactancia capacitiva de un capacitor de 0.5 ff (a) a 6 Hz, (b) a 60 Hz, (c) a 600 Hz. (d) Determine el ángulo de fase entre e! voltaje del capacitor y la corriente que fluye a través del mismo. 9. Una inductancia de 0.036 H y una resistencia de 12.0 Q están en serie con una FEM de CA cuya amplitud es de 165 V y cuya frecuencia es de 60 Hz. Hallar (a) la amplitud de la corriente en el circuito, (b) la amplitud del voltaje en la inductancia, (c) la amplitud del voltaje en la resistencia, (d) el ángulo de fase entre la FEM y la corriente en el circuito. 10. Un capacitor y un resistor de 3600 O están en serie con una FEM de 60' Hz cuya amplitud es
Problemas
939
de 165 V. Se observa que la amplitud de la corriente es de 0.0320 A. Halle (a) la capacitancia del capacitor, (b) la amplitud del de la tensión en la capacitancia, (c) la amplitud del voltaje en la resistencia, (d) el ángulo de fase entre la FEM y la corriente en el circuito. 11. Un inductor de 0.24 H consiste en una bobina de alambre de cobre con resistencia a la CC de 7.50. Se conecta en serie con un resistor de 60 ' í) y una FEM de 60 Hz y 312 V de amplitud. Halle (a) la corriente en el circuito, (b) el ángulo de fase entre la corriente y la FEM, (c) la amplitud del voltaje en la inductancia, (d) el ángulo de fase entre el voltaje en el inductor y la corriente en el mismo, (c) la amplitud del voltaje en el resistor de 60 SI. (Sugerencia: Represente la ¡nductancia como un elemento "ideal" en serie con una resistencia de 7.5 íi.) 12. Dé ahora las respuestas a las partes (c) y (d) del problema anterior, si se cambia la frecuencia de la FEM a (») 6 Hz, (b) 600 Hz. 13. Un circuito K—L—Cm scriecontiene una inductancia de 0.12 H, una resistencia de 25 O, y una capacitancia de 2.0 fdr, en serie con una FEM de CA de 400 Hz y 72 V. Calcule (a) la impedancia del circuito, (b) la reactancia total del mismo, (c) la amplitud de la corriente, (d) el ángulo de fase entre la corriente y la FEM, y la amplitud del voltaje en (e) el resistor, (f) el inductor y (g) el capacitor. 14. (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito R—L—C en serie del problema anterior? Determine (b) la reactancia inductiva, (c) la reactancia capacitiva, (d) la impedancia del circuito a la frecuencia de resonancia. Obtenga (e) la corriente y los voltajes en (f) el resistor, (g) el inductor y (h) el capacitor, en la condición de resonancia. 15: Se induce una FEM de 2 x 10"3 V (rms) y 400 kHzde frecuencia en un circuito R—L—Cen serie. El factor de calidad del mismo es J = 20 y su resistencia es de 105 ft. (») Halle el valor de la inductancia. (b) En la resonancia, ¿qué valor tiene C? (c) Halle el voltaje en el resistor en el estado de resonancia, (d) Determine el voltaje a 380 kHz, suponiendo los mismos valores para R, L y C. (e) A esta frecuencia, ¿cuál es el ángulo de atraso <í> de la corriente con respecto al voltaje de entrada? 16. Un físico experimental tiene una bobina de 2 mH (2 x 10~ 3 H) de inductancia y desea formar un circuito L—C resonante a la frecuencia de 1500 Hz. ¿Qué valor debe tener la capacitancia a
23.1 Introducción
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
néticas, unificando con ello los estudios de la luz y el electromagnetismo. Ocho años después de la muerte de Maxwell, Heinrich Hertz (o Herz) pudo confirmar experimentalmente esas predicciones, generando y detectando ondas electromagnéticas. Maxwell también logró importantes aportaciones en otras áreas de la ciencia, incluyendo la visión de los colores y la física estadística. En 1931, se conmemoró el centenario del natalicio de Maxwell, a quien se reconoce como el físico teórico más destacado del siglo xix. En esa ocasión, Max Planck dijo de él:' "Su obra consistió en elaborar y terminar la teoría [electromagnética] clásica y al hacerlo, alcanzó una grandeza inigualada. Su nombre destaca significativamente en el pórtico de la fisica clasica, y podemos decir de él: por su nacimiento, James Clerk Maxwell pertenece a Edinburgh; por su personalidad, a Cambridge, y por su obra, a todo el mundo."
En este capítulo, se tratará principalmente de comprender el origen de la corriente de desplazamiento, de analizar las ecuaciones de Maxwell en su forma integral, y de estudiar las ondas electromagnéticas.
A la temprana edad de 24 años, James Clerk Maxwell (1831-1879), nacido en Edimburgo (Escocia), se propuso dar una firme base matemática a las leyes conocidas de la electricidad y el magnetismo. Michael Faraday (17911867) ya había descubierto que un campo magnético variable inducía un campo eléctrico, pero sus contemporáneos no estaban del todo satisfechos con sus explicaciones en términos de las líneas de fuerza. Maxwell logró llegar a una formulación matemática correcta de la ley de inducción de Faraday, además de predecir que un campo eléctrico variable en el tiempo induciría un campo magnético. Esta predicción se originó luego de descubrir la
corriente de desplazamiento dieléctrico, un nuevo concepto que se estudiará en detalle en este capítulo. Además de postular este efecto tan esencial, que modifica significativamente las leyes de la electricidad y el magnetismo, Maxwell reformuló las leyes en términos de cuatro ecuaciones diferenciales que comprendían campos eléctricos, campos magnéticos y distribuciones de carga y densidad de corriente. Estas ecuaciones, que umversalmente se conocen como ecuaciones de Maxwell,-son la base física de la teoría clásica del electromagnetismo, además de constituir la base para la formulación cuántica, conocida por electrodinámica cuántica. Apoyándose en sus ecuaciones, el propio Maxwell predijo teóricamente la existencia de ondas electromag-
23.2 Corriente de desplazamiento dieléctrico En el capítulo 19 se demostró que cuando las cargas libres se mueven por un conductor, se establece un campo magnético en el espacio del rededor. Las cargas móviles son los electrones libres (de conducción); la corriente que aparece como resultado de su movimiento se conoce como corriente de conducción, que en adelante se denotará por L. La ley de BiotSavart proporciona la manera de calcular el campo magnético para una configuración geo, métrica especificada y corrientes de conducción conocidas. Si en el problema hay la
1 James Clcrk Maxwell, A Collection of Commemorative Essays (Nueva York": Macmillan, 1931), pág. 65. > •
23.2 Corriente de desplazamiento dieléctrico
943
simetría suficiente, puede utilizarse la ley de Ampére B • ,11 =
(23.2.1)
para determinar B. La integración se realiza alrededor de una trayectoria cerrada amperiana, por la que pasa la corriente de conducción /,. Es importante enfatizar que se supone que la corriente de conducción que aparece en el segundo miembro de (23.2.1) es la corriente total que pasa a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria que se utiliza para evaluar la integral de linea, figura 23.1. Ahora se demostrará que existe una paradoja si (23.2.1) siempre es válida, lo que sugiere una modificación importante a la ecuación de Ampére. Considérese una pequeña porción de un circuito eléctrico cerrado, en que hay un capacitor de placas paralelas que contiene un dieléctrico de permisividad E, como se muestra en la figura 23.2, a. Se supone que por los conductores fluye una corriente de conducción Ie, que carga al capacitor y produce un campo eléctrico en la región, entre las placas. A medida que la corriente fluye hacia el capacitor, se acumula la carga, y el campo eléctrico dentro del mismo se hace cada vez más intenso. Es evidente que el flujo de corriente hacia el capacitor provoca un campo eléctrico variable en el tiempo, entre las placas. Ahora se aplicará la ley de Ampére al contorno C que rodea uno de los conductores. De
í.
FIGURA 23.1. La corriente lc de la ley de Ampére puede considerarse como la corriente total que atraviesa la superficie S1 o la S2. ya que ambas están limitadas por el mismo contorno ampenano •• • . - C.
í
946
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Escrita de esa manera, es evidente que la ley de Ampere predice un nuevo efecto físico, lo que fácilmente se aprecia considerando la región entre las placas del capacitor en el ejemplo anterior, donde /«es cero y el término pa£,d$,/dt representa toda la integral de Ampére. En esta región, si se ha de creer en la ecuación (23.2.8), siempre que haya un flujo eléctrico variable, la integral de la derecha tendrá un valor no igual a cero, lo que significa que en la región debe existir un campo magnético. Esto puede ser cierto o no, dependiendo de que la corriente de desplazamiento de Maxwell tenga realidad ñsica, o simplemente sea una hermosa ilusión matemática. Es fácil determinarlo; no es difícil efectuar experimentos que detecten el efecto antes descrito. En todos los casos, los resultados de estos experimentos concuerdan totalmente con la teoría de Maxwell, corroborando la realidad de la corriente de desplazamiento dieléctrico. En efecto, puede demostrarse que sin tal corriente, no habrían ondas electromagnéticas. Fácilmente se puede ver que la ley de Ampere, escrita en la forma enmendada (23.2.8), es análoga a la ley de Faraday de la inducción, que expresa que a todo flujo magnético variable hay asociado invariablemente un campo eléctrico; es decir que (23.2.9)
Al utilizar la ley de Ampere, es importante comprender la diferencia cualitativa entre una corriente de, conducción y una de desplazamiento. Cuando hay una corriente de conducción, se mueven cargas reales, por lo que hay materia en movimiento. Por otra parte, existe una corriente de desplazamiento siempre que hay un flujo eléctrico variable en el tiempo. Si se intenta atribuir esta corriente a la materia en movimiento, necesariamente se incurrirá en error. Es fácil apreciar la razón de la falla, comprendiendo que todos los razonamientos anteriores se conservan intactos aunque el espacio entre las placas del capacitor tenga la permisividad e0. De ser así, este espacio entre las placas es un vacio; no contiene carga ni masa, pues nada material hay ahí. Sin embargo, todavía existe un campo eléctrico
variable en el tiempo, y por tanto, una corriente de desplazamiento £,0(d&./dt). Las ideas expresadas por (23.2.8) y (23.2.9), de que un campo eléctrico variable en el tiempo provoca un campo magnético, y un campo magnético variable en el tiempo provoca un campo eléctrico, llevan finalmente a predecir las ondas electromagnéticas, lo que se estudiará en detalle más adelante. Ahora se examinarán varios ejemplos que ayudarán a aclarar algunas de estas ideas. EJEMPLO 2 3 . 2 . 1 .
Un capacitor de placas paralelas de 5 /¿F de capacitancia está conectado directamente a una línea de CA de 60 Hz con un voltaje rms de 110 V. Encontrar la corriente de desplazamiento entre sus placas. La corriente total de desplazamiento es (23.2.10)
Entonces, <j>e = I E . n da — EA
(23.2.11)
da la corriente de desplazamiento variable en el tiempo. Como se mencionara antes, esta corriente es igual a la corriente de conducción dq/dt que fluye por las terminales del circuito conectadas a las placas del condensador. La corriente rms es 0.29/V2~ = Ü.205 A. EJEMPLO 2 3 . 2 . 2
La carga q en un capacitor de placas paralelas circulares está dada por
(23.2.15)
en que C es la capacitancia y R la resistencia en el circuito externo. Los radios de las placas circulares son r0. (a) Encontrar la corriente total de desplazamiento entre las placas, suponiendo que el campo es uniforme en la región entre ellas, (b) Determinar el campo magnético entre las placas, en función de la distancia desde el eje central que une las placas, (c) Relacionar la variación espacial del campo magnético con la variación del campo eléctrico en el tiempo. Como nuevamente, la comente total de desplazamiento es idéntica a la corriente total
23.2 Corriente de desplazamiento dieléctrico
947
de conducción en las terminales, se tiene que '/u
•d,--RCK
''
(23216>
en que Id0 e 7r0 son las corrientes totales de desplazamiento y de conducción, respectivamente. Para evaluar el campo magnético entre las placas, se puede utilizar la ecuación (23.2.17)
-~
para una trayectoria de Ampere apropiada, como se muestra en la figura 23.3. Dicha trayectoria es circular, su radio es r, y es concéntrica con respecto a las placas del capacitor. Ya que el campo eléctrico e uniforme, directamente se puede llegar a la conclusión, por razonamientos de simetría como los usados antes al aplicar la ley de Ampere, que B depende sólo de la distancia desde el eje, y no de la distancia de una placa a la otra. También razonablemente se puede llegar a la conclusión de que las líneas de B tienen que ser tangentes a la trayectoria circular de integración, por argumentos semejantes a los empleados
ya que el campo eléctrico entre las placas de un capacitor de placas paralelas es uniforme. El campo eléctrico está relacionado con la diferencia de potencial a través de las placas mediante E = A V/d, en que d es la separación entre éstas, y A V es el voltaje instantáneo. Se sigue que
_ "~ d Pero si
_
di
dt
(23.2.12)
A I / = 110y2cos(1207if) (23.2.13)
= !54cos(1207tt) caracteriza el voltaje a través de las placas, entonces
' •
Eje de las z hacia adentro de la página (b)
di
= (5 x 10 6 K-1207r)(I54senl207ií) "7 ;, ' ="^0.290sen 1207t(.;-'^;- I ; • ¡-(23.2.Í4)
B. = BsenO * By=-BcosO Y
FIGURA 23.3. Configuración geométrica del campo magnético inducido por.el campo eléctrico 'variable en el interior de un capacitor de placas paralelas.
950
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
generalización que resulta a! de introducir la corriente de desplazamiento. Se puede escribir como
(2334)
(b) El flujo magnético que sale de un volumen arbitrario es igual a la carga magnética neta en el volumen. El flujo debe ser nulo debido a la inexistencia de cargas magnéticas. Por lanío, el flujo que entra y el que sale del volumen siempre deben ser iguales.
M-'«-5-/,i • nda (c) La integral de línea de E-c/l alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la rapidez de cambio dei flujo magnético que atraviesa una área limitada por la trayectoria.
Esta ecuación expresa que el campo magnético puede ser producido por el movimiento de cargas eléctricas o por un campo eléctrico variable en el tiempo. Su forma matemática es semejante a la de la ley de Faraday, excepto que esta última, dada por (23.3.3), no tiene un término que corresponda a la corriente de conducción /¿0/t en 'a 'eV de Ampére. Esta diferencia en la forma de (23.3.3) y (23.3.4) también puede atribuirse a la ausencia de monopolos magnéticos. Si existieran cargas magnéticas, ciertamente habría una corriente asociada a su movimiento, la que presumiblemente contribuiría con un término adicional a (23.2.2). Las cuatro ecuaciones estudiadas están resumidas en la figura 23.4. Juntas, forman la base para el electromagnetismo en el vacio. Como se verá más adelante, implican la existencia de ondas electromagnéticas. De hecho, la corriente de desplazamiento dieléctrico presentada en la sección anterior proporciona el ingrediente esencial para establecer la presencia de estas ondas. 23.4 Ondas electromagnéticas
Id) La integral de línea de B alrededor de una trayectoria cerrada es igual al producto de /¿0 por la suma de las corrientes de conducción y de desplazamiento FIGURA 23.4. Diagramas que ilustran el contenido físico de las ecuaciones de Maxwell, (a) Ley de Gauss, que relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga contenida en ésta, (b) Ley de Gauss para el magnetismo, que niega la existencia de cargas magnéticas, (c) Ley de Faraday que relaciona la FEM inducida alrededor de una trayectoria
ada con la rapide/ de variación del flujo iní'.'lK.n a llaves di; la trayectoria, (di Ley de adaplada jxii Maxwell, que relaciona' AII il de la conipotKinlu tangencial de la sobro un contorno cerrado, la comenle verdadera a través del contorno, V c HI la rapide/ de variación real del flujo eléctrico (jui! lo atraviesa.
La predicción más impresionante que surge de la formulación de Maxwell de las leyes de la electricidad y el magnetismo es que existen ondas electromagnéticas. La predicción teórica rigurosa de la presencia de estas ondas se obtiene con máxima facilidad de una forma de las ecuaciones de Maxwell, diferente de la dada antes. Como se mencionara en la sección anterior, dichas ecuaciones están expresadas como relaciones entre integrales de los campos eléctricos y magnéticos alrededor de trayecto-
23.4 Ondas electromagnéticas
951
rias cerradas y sobre determinadas áreas de superficies. Pero las propiedades esenciales de las ondas están expresadas por el hecho de que la cantidad Tísica que propaga el movimiento ondulatorio, debe obedecer una ecuación de onda de la forma (10.3.9) en todos los puntos del espacio. No obstante, ésta es una ecuación diferencial, y no una relación integral de la forma en que se conocen las ecuaciones de Maxwell. Así, para demostrar que las ecuaciones de Maxwell llevan inevitablemente a ondas electromagnéticas, es entonces deseable transformarlas a un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionen los campos eléctricos y magnéticos y sus derivadas respecto del espacio y del tiempo en cualquier punto. En la sección 16.7 se vio que es posible expresar la ley de Gauss como una ecuación diferencial (ecuación de Poisson) en lugar de la forma integral usual. De manera parecida, se pueden expresar las otras tres ecuaciones también en forma diferencial. Al deducir la ecuación (23.2.28), se expresó la ley de Ampére como una ecuación diferencial. No es necesario decir que se puede aplicar el mismo tratamiento a las otras ecuaciones. Ya que las matemáticas necesarias son sensiblemente tediosas, no se intentará mostrar todas las ecuaciones; pero al explorar la relación entre las ecuaciones de Maxwell y las ondas electromagnéticas, se usarán implícitamente algunas de ellas. En esta sección se emplearán (23.3.3) y (23.3.4) en el vacío, donde lc es cero. Se demostrará que estas ecuaciones permiten la existencia de determinadas ondas caracterizadas por variaciones temporales y espaciales apropiadas de los campos E y B. Más aún, se calculará explicitamente la velocidad con que se propagan estas ondas, y se demostrará que es exactamente la de la luz. Para comenzar, se supone que es posible establecer campos eléctricos y magnéticos de una clase muy especial. El campo eléctrico tiene una sola componente en la dirección x, y es uniforme en todo el plano xy. El campo magnético sólo apunta en la dirección y, y también es uniforme en el plano xy. Por tanto, E y B sólo dependen del tiempo f y de la
954
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
23.4 Ondas electromagnéticas
955
Plano z =
''• I FIGURA 23.7. Otra vista de una onda electromagnéüca plana que se propaga en la dilección donde se aprecia la longitud de onda y el vector de propagación k.
¡MI
FIGURA 23.6. Disposición de los vectores de campo eléctrico y magnético en una onda electromagnética plana.
teriai como en el caso de la propagación del sonido. Empero, la presencia de la onda, que consiste en campos eléctricos y magnéticos en oscilación, se detectaría fácilmente con instrumentos apropiados. Por ejemplo, un campo eléctrico variable en el tiempo puede medirse en cualquier punto, en principio, determinando su influencia sobre partículas cargadas que se colocaran en ese sitio, aunque por lo general se dispone de métodos más prácticos. Ya se aseveró desde el principio que los campos eléctricos y magnéticos están dados por (23.4.1). Son uniformes en todo el plano xy, y sólo dependen de z y de /. Cuando los campos eléctricos y magnéticos obedecen estas condiciones impuestas, que llevan a las ecuaciones de onda (23.4.6) y (23.4.8), se dice que la onda electromagnética es una onda plana. Los campos eléctricos y magnéticos asociados a las ondas planas son uniformes en
cualquier plano como z = z,, como se indica en la figura 23.6, pero varían de un plano a otro. Por ejemplo, son distintos en los planos . z = z, y z = Zj. Es importante destacar que las . ondas electromagnéticas no siempre son ondas planas. No obstante, se escoge estudiar sólo estas ondas, por dos razones: primero, son muy sencillas de comprender, matemática y físicamente; segundo, a mucha distancia de su punto de origen, todas las ondas electromagnéticas son muy aproximadamente ondas planas en una región limitada de espacio. Por tanto, aunque las ondas luminosas que llegan a la Tierra desde el Sol realmente son ondas esféricas, las esferas tienen radios tan grandes en la proximidad de la Tierra, que sus superficies prácticamente ya son planas. Cuando una onda electromagnética viaja por el espacio, sus campos eléctrico y magnético siempre son perpendiculares o transversales
a la dirección de propagación. En el caso presentado aqui, el^ector eléctrico será una función de z - ct. Por tanto, sin importar los valores que tengan los campos en el instante t} en el plano z = z,, también se obtendrán en instantes posteriores t2 en el plano z = Z2, a conI dición de que z, - cr, = z2 — ctr Por ende, la configuración de los campos avanza en la dirección de z con la velocidad c. Ya que E y B son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, las ondas electromagnéticas son transversales. En este sentido, son análogas a las ondas transversales generadas en una cuerda o un instrumento de cuerdas, aunque no deben compararse con las ondas sonoras, que son longitudinales. La figura 23.7 ilustra la propagación de las ondas electromagnéticas transversales. La solución de la ecuación de onda (23.4.6) puede escribirse como (23.4.9)
si la onda se propaga en la dirección z.positiva.4 Empero, la dependencia exacta del campo eléctrico respecto de la cantidad z — ct no surge de la propia ecuación. La dependencia está determinada exclusivamente por las , características de la fuente de ondas. Por tan" tó, aun para las ondas formadas en una cuerda, se sabe que un solo pulso puede viajar a lo largo de la misma, o que en otras condiciones, es posible establecer una onda sinusoidal. Exactamente de la misma manera, ¡a fuente de las ondas electromagnéticas determina la forma exacta de la onda. En este estudio, también se ha supuesto que los campos eléctrico y magnético tienen una sola dirección, invariable. Desde luego, podría suceder que la energía electromagnética se propagara en forma de una superposi-
t
4 En esta ecuación, i— ct es el argumento de la función £(z, /), y no a E. • un factor • que multiplica • '• -
958
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
rio normal dirigido hacia el exterior de la superficie cerrada E, a través de la cual se calcula el flujo. La ecuación (23.5.4) expresa que la disminución en la energía electromagnética dentro de cualquier volumen dado está compensada por la energía que se propaga hacia afuera, a través de la frontera, o viceversa, figura 23.8. Los siguientes ejemplos ilustran la utilidad del vector de Poynting para calcular flujos de energía magnética, y también para ilustrar la validez de la ecuación (23.5.4), en problemas de física simples. EJEMPLO 23.5.1
Una onda plana que viaja en la dirección z positiva consiste en un campo eléctrico y uno magnético oscilatorios dados por
tí, = O (23.5.6)
BJz, í) = --' cos(A-; - i,ji)
F.f = O
Ex(z, t) - E0 cosfc - oii)
(23.5.5)
Obtener una expresión para el vector de Poynting en el plano z = z0 y determinar su valor medio en el tiempo. De acuerdo con (23.5.3), el vector de Poynting está en la dirección de las z positivas (fig; 23.9). Por tanto, notando que E, = B, = O y que By = Eje, se puede escribir S. - '- (ExBy - ErBx) =£*-> = E*2 Un ií<¡ c// 0 l'n
cos2(kz - oí!)
Entonces, en At : ^ z 0 . se obtiene
23.5 Flujo de energía en las ondas electromagnéticas
magnitud del vector de Poynting en la superficie solar como S,,
S. = -- cos 2 (/>r 0 - tat) Haf
F
2
+ eos 2(k:<, -
(235.8)
S.. = £02/2/í,,í'
(23 5.9)
= 1.7 x 10 21 W
= 6 x 10 --1 W/m 2
959
Go£V2, y la densidad de energía electrostática media dentro del volumen será KQ&
u, =
de donde 1.50 x 10
El promedio en el tiempo de la función coseno se anula, por lo que el promedio en el tiempo del vector de Poynting es
EJEMPLO 2 3 . 5 . 2
Los átomos de hidrógeno dentro del Sol emiten radiación ultravioleta de 1.216 x 1Q- 7 m de longitud de onda. Si la magnitud media del vector de Poynting debido sólo a esta componente de la radiación es 6 x 10- 3 W/m 2 en la Tierra, calcular la producción de energía a esta longitud de onda, y determinar las amplitudes de los campos eléctrico y magnético en la Tierra y en la superficie del Sol, debido a esa radiación. Si R denota la distancia desde el Sol a la Tierra (unos 150 000 000 km) y S es la magnitud del vector de Poynting en la superficie terrestre, la energía total emitida a través de una esfera de radio R por unidad de tiempo será P = 4r.R2S = (6 x l(r-')(47r>(1.50 x IO") 2
(23.5.7)
c
Esto representa la potencia total radiada por el Sol a esta longitud de onda. Para determinar la amplitud del campo eléctrico, se utiliza (23.5.9) y entonces
2/ioC
Sustituyendo los valores de p<, y de c, se encuentra £„ = 2.13 V/m Recordando luego que B0 = E0/c, se obtiene B0 = 7.1 x 10-' Wb/m2. En la superficie solar se radia la misma potencia total a través de una esfera que tenga el radio R. del Sol, que es aproximadamente de 6% 000 km. Por tanto, designando la
FIGURA 23.9. - ,
-—
(23.5.10)
en que E2 es el promedio en el tiempo de E2 en cualquier punto. En forma análoga, la densidad de energía magnética es en que
(6.0 x 10"
279 W
(235.11)
Calculando £0 y B0 como antes, utilizando (23.5.9) y (23.4.11), se encuentra que en la citada superficie solar, £0 = 459 V/m y B0 = 1.53 x 10 -" Wb/m 2 . En este ejemplo, se supuso que la radiación es polarizada linealmente, lo que es un error. Por tanto, debe considerarse que los valores numéricos obtenidos son ilustrativos, y no cuantitativamente correctos.
¿/l«
en que W es el promedio en el tiempo de B2. Por tanto, la energía total U dentro del volumen es
(23.5.12) EJEMPLO 2 3 . 5 . 3
Una onda electromagnética plana y de forma sinusoidal, se propaga en la dirección z con la velocidad c. A partir de las relaciones de densidad de energía para ¡os campos eléctrico y magnético, demostrar que la cantidad de energía que se propaga por unidad de área y por unidad de tiempo, está dada por EB~/^ = F/C/ÍO, que concuerda con los resultados predichos por el vector de Poynting, obtenidos en el ejemplo 23.5.1. En este ejemplo se supone que la onda plana es emitida por una fuente que está en algún "'punto a lo largo del eje z'y que se pone' en marcha en determinado momento. Cuando funciona la fuente, se propaga una onda plana en la dirección z con !a velocidad c. Cierto tiempo después, la onda llega a la superficie plana S de área A que se muestra en la figura 23.10. En este instante, la energía comienza a fluir a través de la superficie. Después de un intervalo de tiempo t, él frente de la onda ha avanzado hasta la superficie S', a la distancia / = c/, más adelante a lo largo del eje z. Ahora la onda plana llena el volumen V = Al = Act (fig. 23.10). La energía electromagnética ocupa ahora este volumen, y para llegar ahi debe haber cruzado la superficie S. La densiI dad de energía electrostática en todo puntó es
Esta energía ha cruzado ¡a superficie S en un intervalo de tiempo /. Por tanto, el flujo de energía por área unitaria y por unidad de tiempo a través de la superficie debe ser
í. Ai
i:,,/:-
B2
'i'
(23.5.13)
Pero, de acuerdo con (23.3.11) y (23.4.9), B = E/c, por lo que
Ul
"..:! y también -
F
_
-/'o
:''| sí i
,
1 (EB) -/'»
(EB)
(23.5.14)
''
Sustituyendo estos resultados en (23.5.13) y notando que c1 = 1/(£„/!(,), se puede escribir la ecuación (23.5.13) como EB
Ai
!!t
jj| j'.i
(23.5.15)
/'o
Claramente, este es el mismo resultado que se obtuvo usando el vector de Poynting definido por (23.5.3). De la figura 23.10 es evidente que la magnitud del vector de Poynting es S =
>l
d
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
do directamente la presión de radiación. Su técnica consistió en dirigir un haz de luz hacia uno de dos espejos suspendidos de una fibra torsional en una cámara al vacío, como se muestra en la figura 23.12. Pudieron medir la presión, determinando el ángulo de giro de la balanza de torsión. La principal dificultad para realizar este experimento es eliminar efectos espurios de los átomos de gas residuales, que pueden ser mucho mayores que el efecto que desea medirse, a menos que se tenga mucho cuidado. Las presiones de radiación medidas por Nichols y Hull fueron del orden de 7 x 10-' N/m 2 . Por tanto, en un pequeño espejo de 10 cm2 de área, la fuerza debida a la radiación es de sólo cerca de 7 x 10-' N. EJEMPLO 23 6.1
En una superficie no reflejante, perpendicularmente se hace incidir un haz de luz, con un flujo de energía de 15 W/cm2. Si la superficie tiene 40 cm2 de área, calcular la fuerza media ejercida sobre la superficie, durante un lapso , de 30 min. La energía total que llega a la superficie es
tudiar brevemente el efecto de Doppler, ahora para ondas electromagnéticas. Cuando las ondas se mueven a través de un medio material, como lo hacen las ondas sonoras, ocurren dos efectos bien definidos como se explicó en el capitulo 10. Si el observador está en movimiento, pero la fuente es estacionaria, sufre un corrimiento la frecuencia de la radiación detectada. Por otra parte, si la fuente está en movimiento y el observador está en reposo en el medio de la vibración, cambia la longitud de onda de la energía radiante. En el caso de radiación electromagnética que viaja a través del vacío, el efecto Doppler puede depender sólo del movimiento relativo entre la fuente de radiación y el detector. Físicamente, no hay manera de distinguir si la fuente se está moviendo con respecto al detector, o al revés. La deducción exacta del corrimiento de frecuencia por efecto Doppler implica el uso de la teoría de la relatividad, por lo que se presentará aquí. Para el caso en que la fuente se está alejando del observador, el resultado es (23.7.1)
AL/ = (15W/cm 2 )(1800s)(40cm 2 ) '"" = i:b8"x'Í0 6 J
Por tanto, la cantidad total de movimiento entregada vale AC1 1.08 x 10" <• : = 3xTÓ« A/7=
= 0.36x,l
I
) )
23.7 E! efecto de Doppler en el caso de la luz En el capítulo 10, se estudió el origen del efecto de Doppler y se vio que siempre que hay movimiento relativo entre una fuente de ondas y un detector, hay cambios en la frecuencia y longitud de onda detectadas. Se dio especial atención u las aplicaciones relativas a las ondas sonoras. En esta sección se volverá a es-
Si la fuente y el observador se están aproximando mutuamente, esta ecuación se modifica reemplazando v por — v. En la mayoría de los casos que comprenden movimiento de fuentes macroscópicas, v/c « 1; por tanto generalmente la cantidad (v/c)2 puede despreciarse. Una de las manifestaciones más importantes del efecto Doppler es el famoso corrimiento hacia el rojo de la luz que proviene de las galaxias distantes. Todas las mediciones de las frecuencias espectrales atómicas conocidas en la luz emitida por estas fuentes, indican corrimientos hacia longitudes de onda más largas, o sea, frecuencias más bajas; lo que lleva a la conclusión que las galaxias distantes están retrocediendo, o alejándose, de la nuestra. Esto proporciona pruebas directas qué apoyan la teoría de un universo en expansión. En 1919, el astrónomo estadounidense Hubble encontró que las galaxias se alejan de nosotros a velocidades variables, y que sus velocidades
23.8 Generación y detección de ondas electromagnéticas: el espectro electromagnético
son directamente proporcionales a su distancia de la Vía Láctea. Esta relación lineal, que es sumamente importante en la astronomía, se conoce como ley de Hubble.
/ "
'' l l f . .
;Jf „,,,.,..
- =+0.047
¿jiOS&t'
963
de donde
EJEMPLO 23 7 1
Se sabe que una galaxia en la constelación de la Osa Mayor se aleja a 1.4 x 104 km/s. Si la galaxia emite luz con longitud de onda X, ¿qué longitud ondulatoria se detectará en la Tierra? Ya que v/c = 0.047 es mucho menor que la unidad en este caso, se puede emitir la cantidad vVc 2 en el denominador de la ecuación (23.7.1). De esta ecuación, ÍJJ,A/ = _ ! ! . . _ 0.047
l í e Pero como A/y AX son pequeñas en comparación con / y con X, y como
rfnA-,,,(r/n= ,<
se puede escribir finalmente /"
Por tanto, la longitud de onda detectada X' será X + AX, o sea A 1 - 1.047;.
EJEMPLO 23.7.2
Determinado cúasar está alejándose con una velocidad v = 0.8c. Si la longitud de onda de una de las lineas espectrales detectadas en su luz es de 1.25 x 10~7 m, cuando se emite desde una fuente en reposo, ¿qué longitud de onda se observa realmente en la luz de dicho cúasar? Utilizando la relación (23.7.1) y/X = c, se obtiene3 ! En este ejemplo no se puede utilizar la relación simple dX/X = —¿////utilizada en la ecuación anterior, porque aquí v/c ya no es pequeña y los corrimientos ¿fy AX en la frecuencia y longitudes de onda.¡ya no son mucho menores que las propias longitudes de onda y frecuencia! Por Wnto, no se pueden aproximar corrió diferenciales.
(23.7.2)
Sustituyendo, se tiene
-".-'»-'< = 3.75 x 10"' m 23.8 Generación y detección de ondas electromagnéticas: el espectro electromagnético La naturaleza ondulatoria de la luz ya se había demostrado y estudiado mucho antes de que se desarrollara la teoría de Maxwell. La teoría de la óptica estaba bastante refinada, aunque sólo abarcaba la porción del espectro electromagnético que se conoce como luz o radiación visible. Esta luz, que abarca las longitudes de onda entre 4.0 x 10~7 m y 7.0 x 10-7 m, o fr:cuencias entre 7.5 x 1Q-14 y 4.3 x 1Q-'4 Hz, constituye solamente una muy pequeña porción del espectro posible de las frecuencias o longitudes de onda electromagnéticas. En esta sección se consideran algunos aspectos cualitativos del espectro electromagnético, incluyendo la generación y detección de las ondas electromagnéticas. Heinrich Hertz logró generar y detectar las ondas de naturaleza electromagnética que predijo Maxwell; la conocida obra del primero, publicada en 1887, proporcionó demostración directa de la teoría del segundo. Hertz creó estas ondas en el laboratorio (fig. 23.13) produciendo corrientes alternas de alta frecuencia en un circuito que consistía en una sola espira conductora, en la que había un estrecho espacio de descarga entre dos electrodos esféricos pequeños. El circuito funcionaba como un L—C ordinario, en el que la capacitancia es la debida principalmente al espacio de descarga, y la inductancia es la de la espira única. Debido a que tanto la inductancia como la capacitancia asociadas'al circuito son bastante pequeñas, es
* 'I
t i
*
•p
,M
.
it M»
i,,:
ii
i» •>'
i
í
)j > )
966
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
radiación electromagnética en el laboratorio, a las frecuencias de los rayos cósmicos de alta energía. En el extremo opuesto de la frecuencia muy baja o la longitud de onda muy larga, las limitaciones se refieren principalmente a la eficiencia del proceso de radiación. En un circuito que oscila a frecuencias muy bajas, se emite radiación, pero en cantidades sumamente pequeñas, y con muy baja eficiencia. En estas circn. Rancias, la energía necesaria para producir ia radiación es mucho mayor que la energía radiada. En la práctica, a veces se utilizan frecuencias de unos cuantos kilohertz, que corresponden a longitudes de onda de varios cientos de kilómetrcs, para comunicaciones a larga distancia, con submarinos. Ahora se harán algunas observaciones con relación a las, fuentes de radiación electromagnética. Ya se ha mencionado que, cuando se aceleran partículas cargadas, se produce radiación de energía. A menudo se correlaciona la longitud de onda de la radiación con el tamaño característico del sistema que radia. Por tanto, la radiación gama (o gamma), cuyas dimensiones son de 10-' 4 a 10-" m., típicamente se origina en los núcleos de los átomos. Por su parte, los rayos X, rayos ultravioleta, luz visible, rayos infrarrojos y las microondas pueden ser emitidas desde átomos o moléculas, que pierden algo de su energía en el proceso. Las ondas de radio se producen por electrones acelerados en un circuito de CA. Una antena de radio transmisión puede radiar ondas con la máxima eficiencia, cuando su longitud de onda es aproximadamente del orden del tamaño1 general de la antena; la radiación se logra produciendo una corriente oscilatoria de la frecuencia apropiada, entre la tierra y la antena. En todos estos casos, la radiación electromagnética es emitida mediante cargas aceleradas. Ya que las ondas electromagnéticas consisten en campos eléctricos y magnéticos oscilatorios, el aparato de detección generalmente emplea el hecho de que a su vez, dichos campos pueden acelerar cargas y producir corrientes oscilatorias. El "receptor" original de Hertz trabajaba exactamente de esta manera, aparte de que se emplea el mismo principio básico en prácticamente todos los dispositivos modernos de radiorrecepción. Empero, en és-
tos no hay espacios de descarga.6 En vez de ello, para reproducir la señal original, la corriente de la antena se procesa a través de los complejos circuitos de detección y amplificación que tienen los radios y los televisores. Como las ondas electromagnéticas viajan a 3 x 10* m/s, todo el proceso de convertir el sonido o la imagen en una señal eléctrica, transmitir las ondas a largas distancias, recibirlas y reconvertirlas a partir de la señal original, casi es instantáneo. Las ondas electromagnéticas de frecuencias más altas se detectan por otros medios. Por ejemplo, se puede utilizar una placa fotográfica para detectar una serie de frecuencias, desde los rayos gamma hasta los infrarrojos. Incluso, algunas ondas pueden detectarse por medio de la fluorescencia. Por ejemplo, en una lámpara fluorescente, un material de esta naturaleza absorbe la radiación ultravioleta invisible de un arco de mercurio, y emite energía en el intervalo visible. Los rayos gamma, X y ultravioleta también puede detectarse mediante un electroscopio o una cámara de ionización; la técnica utiliza el hecho de que la radiación de alta energía puede ionizar los átomos, cambiando así la atmósfera circundante, en un medio conductor. Otra manera de detectar algunas formas de radiación es por el efecto fotoeléctrico, en el que la radiación electromagnética absorbida por una superficie metálica ocasiona el desalojamiento de algunos de los electrones de conducción en el metal, al espacio circundante, donde pueden ser colectados por un electrodo externo y detectarse cómo una corriente, continua (o directa). Hay muchas maneras de producir y detectar la radiación electromagnética. Las técnicas que se utilizan en todos los casos dependen de la frecuencia de la radiación. Empero, en cada caso las ondas electromagnéticas se originan a partir de cargos aceleradas. Luego, los campes eléctricos y magnéticos oscilatorios se alejan de estas cargas a la velocidad de la luz, detectándose al observar la respuesta de otras " Herí/ util«ó un espacio de descarga (o "explosor")cn el circuito receptor, sencillamente porque en su época n° había ninguna otra forma de detectar la presencia de 1a corriente alicrna dr alta frecuencia.
23.9 Observaciones finales al estudio de los campos electromagnéticos
cargas. Las leyes subyacentes que permiten analizar completamente la emisión y la detección de estas ondas están expresadas por las ecuaciones de Maxwell, que matemáticamente son de gran belleza.
23.9 Observaciones finales al estudio de los campos electromagnéticos En el estudio original de la electrostática en el capitulo 15, se presentó el concepto de campo. En ese momento, tal concepto pareció introducir una complicación innecesaria en el análisis de la interacción entre cargas. También pareció como si hubiera sido más fácil expresar la ley de Coulomb como una ley referente al hecho de que la fuerza de una carga actuaba "a distancia" sobre otra (u otras). En vez de ello, se insistió en expresar que las cargas establecen un "campo" en el espacio que las rodea y que otras cargas experimentan fuerzas como resultado de la acción del campo sobre ellas. Al principio, el papel del campo como un intermediario en el proceso parece extraño e innecesario. Ya se ha terminado el estudio formal de la electricidad y el magnetismo, y va a principiarse el de la óptica y la física moderna. Empero, antes de hacerlo, probablemente convenga una pequeña pausa para reconsiderar la comprensión que se tiene de los campos, pues ahora se está en una posición mucho mejor para apreciar la utilidad de este concepto. El problema con la idea simple de "acción • de fuerzas a distanda" es que la "acción" no ocurre instantáneamente, sino sólo después de un retardo suficiente para que las interacciones electromagnéticas se propaguen entre la fuente de corriente o carga, y el punto donde se siente su efecto. Cuando se hace pasar corriente en un circuito o se mueve una carga eléctrica, los efectos físicos de estas acciones se manifiestan en otro lugar, sólo después de un lapso que corresponde al tiempo necesario para que la luz viaje entre los dos puntos. Pero ahora, ¿qué concepto es el más simple y satisfactorio: la idea de una fuerza que actúa a distancia, pero sólo después de un tiempo que depende de la distancia a que se :.hallen el cuerpo que ejerce la influencia y el
967
cuerpo influido; o el concepto de una fuente que crea un campo que se propaga con la velocidad de la luz y que actúa sobre otros sistemas a medida que los encuentra? Ahora parece que el concepto de la acción a distancia tiene cierto aspecto de trama —de haber sido alterado en una forma extraña para explicar efectos que realmente no maneja bien; es necesario responder a preguntas turbadoras, difíciles de responder satisfactoriamente, para justificarlo. Por ejemplo, ¿cómo sabe el segundo cuerpo a qué distancia se halla del primero, para determinar qué tiempo debe esperar para reaccionar a la fuerza? No hay una buena respuesta. Se puede enmendar la teoría para hacerla encajar con los hechos, inviniendo bastante esfuerzo, pero, ¿vale la pena? Este caso de la acción a distancia se parece al de la teoría de los epiciclos de Tolomeo, mencionada en el capítulo 8, del Tomo I. El concepto de campo que se propaga exteriormente desde una fuente de carga o de corriente con la velocidad de la luz de todas las respuestas requeridas en forma sencilla y clara. Incluso la velocidad de propagación se obtiene en términos de las constantes 6o y ¿4, que indican la intensidad de las interacciones básicas entre las cargas y las corrientes.' Parece predecir en forma satisfactoria, los resultados de cualquier experimento que se idee para probarlo. Y es al menos tan bueno como el de la acción a distancia, e indiscutiblemente más simple, menos incómodo de manejar, y por tanto más grato y satisfactorio, intelectualmente hablando. Por tanto, se acepta y se cree que existe —hasta que se tenga algo mejor. Se pudo haber desarrollado este argumento gradualmente mientras se avanzaba en el capítulo, debido a que conforme se expone el tema del electromagnetismo, la antigua idea de la acción a distancia cada vez se hace menos convincente, en tanto que se vuelve más y más evidente la belleza y simplicidad del concepto de campo. Sin embargo, se escogió vol-
t ,
|l! ,J
""M
£
II
7 Es interesante notar que si la velocidad de la luz fuera realmente infinita, nuevamente volvería a ser atractivo el concepto de la acción a distancia. Entonces, para que c = 1/vfitíí = o>, se tendría que tener ^ = „, y no existirían los campos magnéticos. Sólo existiría la electrostática.
970
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
zamiento. ¿Ambas son igualmente importantes en la aplicación de la ley de Ampére? 2. ¿Es posible tener corriente de coaducción y de desplazamiento, y que no haya un campo magnético en la proximidad? 3. A menudo se dice que un campo eléctrico variable en el tiempo produce un campo magnético, y que un campo magnético variable produce un campo eléctrico. ¿Cómo es posible éste? 4. La longitud de onda y la frecuencia de una onda monocromática son reciprocas. Explique cualitativamente por qué es asi. 5. Demuestre directamente, a partir de la definición del vector de Poynting, que su unidad (SI) es el watt por metro cuadrado. 6. ¿Es posible que un objeto absorba cantidad de movimiento de una onda electromagnética, y j que no absorbe energía? ¿Un cuerpo puede ab\ 7. sorber energía, sin absorber cantidad de movimiento? ¿Es posible construir un sistema a partir de componentes macroscópicas que emitan raI diación infrarroja monocromática de 1.0 x 10"' m de longitud de onda? Describa algunos de los problemas que pudieran encontrarse al tratar de realizar este trabajo. 8. Si una galaxia se aleja de un observador a velocidad muy próxima a la de la luz, describa lo que sucede a la frecuencia de la radiación recibida. ¿Sería posible detectar la presencia de la galaxia?- .<..-• ¡ 9. Una de las ecuaciones de Maxwell es un cimnciado de la inexistencia de cargas magnéticas aisladas. Explíquelo, comparando la ecuación con la ley de Gauss. 10. Explique claramente la diferencia entre una onda plana, una esférica y otra cilindrica. ¿Por qué la mayoría de las ondas parecen planas •cuándo están léjós'de las fuentes que las produjeron? 11. Una onda electromagnética se propaga por determinada región del espacio. ¿Cómo puede verificarse esto experimentalmente? 12. La antena de una estación radiodifusora radia energía como ondas electromagnéticas de radiofrecuencia. Un receptor a 50 km de la estación sintoniza el programa. ¿Fluye una corriente desde la antena de emisión hasta la antena receptor? En caso afirmativo, ¿qué características físicas tiene? 1 13. Una lámpara incandescente ilumina el interior de un salón, cuyas paredes absorben la energía radiada. ¿Fluye una corriente del foco luminoso a las paredes? En caso afirmativo, ¿qué clase de corriente? En caso negativo, ¿por qué no fluye? "
14. Una lámpara incandescente está en el centro de un espacio cúbico con superficies interiores perfectamente reflejantes. Describa la variación en la intensidad de la luz dentro del espacio, en función del tiempo. ¿Qué le sucede a la intensidad luminosa cuando se apaga el foco? 15. Suponga que recibe la información de que se ha verificado experimentalmente la existencia de cargas magnéticas aisladas. ¿Qué alteraciones propondría a las ecuaciones de Maxwell para que tomen en cuenta este nuevo descubrimiento? ¿Qué efectos físicos nuevos esperaría que ocurrieran?
1.
8.
PROBLEMAS 1. Las placas paralelas circulares de un capacitor tienen 0.25 m2 de área. Si el campo eléctrico entre las placas cambia a razón de dE/dt = 1 x 10" V/ms, determine la corriente de desplazamiento, suponiendo que la región entre las placas contiene aire. 2. Las placas paralelas de un condensador tienen 0.6 m2 de área y están separadas 0.12 mm. Entre las mismas se aplica una FEM senoidal de 360 V de amplitud y 400 Hz. Encontrar (a) a amplitud de la corriente de conducción hacia las placas, (b) la amplitud de la rapidez de cambio del campo eléctrico dentro del capacitor, (c) la amplitud de la densidad de corriente de desplazamiento, (d) la amplitud de la corriente de desplazamiento total. 3. ¿Cuál es la magnitud de la inducción magnética B a 2 cm del eje del capacitor del problema anterior? 4. Se conecta un capacitor de placas paralelas, de C = 3 (iF, a una linea de 60 Hz. Si'la amplitud de la corriente es de 0.5 A, calcule el voltaje rms de la linea. 5. Dos conductores pequeños están cargados a una diferencia de potencial de 100 000 V, y separados 3.33 cm. Esta diferencia de potencial es apenas suficiente para provocar la ruptura eléctrica del aire entre los conductores. Si la ruptura completa ocurre en 10"' de s, halle la densidad media de corriente de desplazamiento durante este intervalo. Sugerencia: cuando ocurre la ruptura eléctrica, el campo eléctrico se reduce a cero. 6. Un capacitor de placas circulares paralelas se carga a una diferencia de potencia! A V, y luego se desconecta de la batería. Las placas del capacitor están a una distancia d, su área es A y el dieléctrico entre las placas tiene la permisivi-
9.
10.
11.
12. 13. 14.
15.
dad E:. Suponga que como el dieléctrico no es perfectamente aislante, sino que tiene una pequeña conductancia de escape, el capacitor se descarga a través del dieléctrico. Demuestre que durante esta descarga, la inducción magnética total dentro del dieléctrico es cero. Hay un campo eléctrico paralelo al eje de un volumen cilindrico de radio R, que está vacío. El campo es espacialmente uniforme pero varía en el tiempo según £ = £„ eos uit. Evalúe el campo magnético inducido B en función de r y l, en que r es la distancia desde el eje de la cavidad. Un capacitor esférico está conectado a una diferencia de potencial alterna AK = AK 0 cos wt. Demuestre que entre sus electrodos existe una corriente de desplazamiento dada por 1¿ = - CVil'o sen uí, en que C es la capacitancia. Un capacitor de placas circulares paralelas contiene un dieléctrico de permisividad £ y su capacitancia es C. Si la diferencia de potencial entre las placas es AK - AK 0 eos uí, obtenga una expresión para la corriente de desplazamiento. Se supone que el campo es uniforme en la región entre las placas. Utilizando los resultados de! problema anterior, halle la inducción magnética B en función del tiempo y de la distancia desde el eje del capacitor. Las placas están separadas por la distancia d. Utilizando la ecuación (23.3.4) con /, = O, demuestre la ecuación (23.4.5). Integre B • z, como se ilustra en: la figura 23.5, b. Demuestre por diferenciación directa que E(z,t) dada por (23.4.10) es una solución de la ecuación de onda (23.4.6). ¿Cuánto tiempo necesita una señal electromagnética para propagarse desde la Tierra hasta la Luna, y regresar? En noviembre de 1974, los profesores Cari Sagan y Frank Drake de Cornell University enviaron mensajes codificados al cúmulo estelar MI3. Si hay vida en alguna parte de MI3, se podrá recibir una respuesta dentro de 48 000 años. ¿A qué distancia están estas estrellas, en metros y en millas? (a) Demuestre que la ecuación du/dx = v~l(du/dt) es una ecuación de onda que satisface cualquier función que tenga la forma u(x, 1} = f(x + vt). (b) Pruebe que la ecuación dl/dx = - c~ }(du/dt) es una ecuación de onda cuyas soluciones son u(x, l) - f(x - v ')- (£) Demuestre que todas las soluciones de ias dos ecuaciones anteriores también satisfacen la ecuación de onda más conocida d2 u/dx1 —
Problemas
971
v~ 2 (3 2 u/3f 2 ). (d) Indique si todas las soluciones de la ecuación de segundo orden de la parte (c) satisfacen la ecuación de onda de la-parte (a), (e) ¿Por qué siempre se insiste en utilizar la ecuación de onda como la ecuación diferencial parcial de segundo orden que se muestra en la parte (c)? 16. Demuestre que E(z, f) = £(z + cf )¡, es una solución de la ecuación de onda unidimensional en que el vector eléctrico se propaga en la dirección z negativa. 17. El vector eléctrico de una onda electromagnética que se propaga en la dirección z positiva está dado por /, n cos 5000[; -Ó * lü"Y]¡v en que los valores numéricos están dados en unidades CGS. Encontrar la longitud y la frecuencia de la onda. Obtenga una expresión para la inducción magnética B(;, í) usando la ecuación (23.4.5). 18. Halle las frecuencias y constantes de propagación para ondas electromagnéticas de las siguientes longitudes, si las ondas se propagan en el vacio: 10"8 cm (rayos X), 100 cm (ondas de radio), 5.5 x 10~ s cm (luz visible). 19. La frecuencia de transmisión de una estación radiodifusora es de 750 000 Hz. Obtenga la longitud de las ondas electromagnéticas que emite. ,, , ( t 20. Una onda electromagnética plana se propaga en el vacío con longitud de onda de 2.5 x 10~ 6 m. Su intensidad es de 4.24 W/m 2 . El vector eléctrico está en la dirección z, en tanto que el vector magnético se halla en la dirección -y. (a) Calcule la magnitud del campo eléctrico debido a esta onda, (b) Escriba una expresión matemática para el campo eléctrico instantáneo asociado a la onda en cualquier punto del espacio y en cualquier tiempo, (c) Halle la magnitud y dirección del vector de Poynting. 21. La densidad de energía asociada a determinada onda electromagnética de una sola frecuencia es 10~7 J/m 3 . Encuentre las amplitudes de los campos eléctrico y magnético. 22. Demuestre que las densidades de energía eléctrica y magnética debidas a la propagación de una onda electromagnética plana son iguales. 23. Las ondas electromagnéticas planas de determinada frecuencia inciden normalmente a la superficie de la tierra. Suponga que la amplitud f 0 del campo eléctrico es de 500 V/m. (a) ¿Cuál es la amplitud 80 de la inducción magnética? (b) Obtenga el valor med'.o del vector de
1 I
