VL 4: FINANZMANAGEMENT
Walter S.A. Schwaiger∗ Innsbruck, Sommersemester
∗
Institut für Finanzwirtschaft und Controlling der Universität Innsbruck Bozner Platz 4, A-6020 Innsbruck, Tel.: ++43.512.507.7552, Fax: ++43.512.507.2846, email:
[email protected], homepage: http://info.uibk.ac.at/c/c4/c413/mitarb/mitarbws.html
A) CASH FLOW UND CASH FLOW-BILANZ .................................................1 Grundüberlegungen ..........................................................................................................................1 Klassifikation der Finanzinstrumente (Wertpapiere) ....................................................................2 Cash Flow-Abbildung der Finanzinstrumente................................................................................2 Finanzwirtschaftl. Betrachtung betrieblicher Geschäftspositionen..............................................5 Cash Flow-Abbild der Unternehmung: Die Cash Flow-Bilanz .....................................................5
B) KAPITALFLUßRECHNUNG UND FINANZPLAN .......................................7 Bilanzen und G&V ............................................................................................................................7 Bewegungsbilanz ...............................................................................................................................8 Kapitalflußrechnung .........................................................................................................................8 Kurzfristiger Finanzplan ..................................................................................................................9 Verweilzeit-Verteilung ......................................................................................................................9
C) KAPITALSTRUKTUR ...............................................................................10 Leverage und Leverage-Effekt.......................................................................................................10 Konkursrisiko ..................................................................................................................................14 Irrelevanz-These von Modigliani/Miller .......................................................................................15 Erfolg/Risiko-Analyse .....................................................................................................................16
D) DURATION, KONVEXITÄT UND TAYLOR-REIHENENTWICKLUNG .....17 Messung des Zinsrisikos mit der Duration....................................................................................17 Approximation (1. Ordnung) von zinsinduzierten Wertänderungen .........................................20 Berücksichtigung von Nichtlinearitäten mittels Konvexität........................................................20 Approximation (2. Ordnung) von zinsinduzierten Wertänderungen .........................................21
E) ASSET LIABILITY MANAGEMENT (ALM) ...............................................22 SV-Durationen.................................................................................................................................22 Besonderheiten der SV-Durationen ...............................................................................................23 SV-Konvexitäten..............................................................................................................................24
Approximation von zinsinduzierten SV-Wertänderungen ..........................................................24 Steuerung des SV-Zinsrisikos mit Termingeschäften...................................................................26
F) SV-STEUERUNG MIT TERMINGESCHÄFTEN ........................................27 Grundlegende Konzepte .................................................................................................................27 SV-Steuerung mit Futures ..............................................................................................................30 SV-Steuerung mit Index-Puts.........................................................................................................32 SV-Steuerung mit einem Zins-Swap ..............................................................................................34 SV-Steuerung mit einem Zins-Cap.................................................................................................35
G) VALUE AT RISK STATT VARIANZ..........................................................37 Quantile (Cut Off Rates).................................................................................................................37 VaRs .................................................................................................................................................40 Korrelationen-Methode ..................................................................................................................42 Erwarteter SV-Zuwachs .................................................................................................................43
H) WERT AM RISIKO ....................................................................................44 ZinsWaR ..........................................................................................................................................44 IndexWaR ........................................................................................................................................44 WährungsWaR ................................................................................................................................45 AusfallWaR......................................................................................................................................45 WaR-Aggregation ...........................................................................................................................46
I) WAR-BASIERTE RISIKO- & ERFOLGRECHNUNG IN BANKEN .............47 Externe RisikoRechung...................................................................................................................47 Interne Risiko- und ErfolgRechnung.............................................................................................48 Hilfsmatrizen und -vektoren der Internen RisikoRechnung .......................................................51 WaR-basierte Risiko- und ErfolgRechnung .................................................................................53
LITERATUR ...................................................................................................55
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VL 4: Finanz-Management
A) Cash Flow und Cash Flow-Bilanz • Literatur: Schwaiger (1998c) Grundüberlegungen
Finanzwirtschaft (Finance) ist die Lehre der Bewertung und Steuerung von Zahlungsströmen (Cash Flows). Der Zahlungsstrom (Cash Flow) eines Objektes (z.B. Finanzinstrument oder Unternehmen) umfaßt alle mit dem Objekt verbundenen zukünftigen Ein- und Auszahlungen. „übermorgen“: t+2
+
Einzahlungen: C
Zeit „morgen“: t+1
-
Auszahlungen: C
„heute”: t
Achtung: Verwechslungsgefahr mit dem Jahres-Cash Flow Hamburger-Analogie zur Veranschaulichung des Unterschiedes zwischen • vergangenheitsbezogener Buchhaltung und • zukunftsorientierter Finanzwirtschaft Risiko Zukunft
Wert
Erfolg
Liquidität Vergangenheit Risiko Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
Klassifikation der Finanzinstrumente (Wertpapiere) long 1. Kassa-Positionen 1.1. originäre 1.2. alternative (nichttraditionelle)
short
z.B. Aktien z.B. Hedge-Fonds
2. Termin-Positionen 2.1. Einzeltermingeschäfte 2.1.1. unbedingte (Festgeschäfte) 2.1.2. bedingte (Optionsgeschäfte) 2.2. Termingeschäftsportfolios 2.2.1. unbedingte (Festgeschäfte) 2.2.2. bedingte (Optionsgeschäfte)
z.B. Kredit z.B. Leerverkäufe
z.B. Forwards & Futures z.B. Calls & Puts z.B. Swaps z.B. Caps & Floors
Cash Flow-Abbildung der Finanzinstrumente
• Barmittel MW(Bar)
+
C
+
C
Bar(CF) short
long t
Zeit
T
t
Zeit
T
-
-
C
C
• Aktien +
+
C
C
short
long t -
C
Schwaiger
∞
Zeit
t
∞
Zeit
-
C
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VL 4: Finanz-Management
• Anleihen +
+
C
C
short
long t
T
Zeit
Zeit
t -
-
C
C
• Forwards & Futures +
+
C
C
short
long t
T
Zeit
t
T
Zeit
-
-
C
C
• Calls & Puts +
+
C
C
short
long t -
C
Schwaiger
T
Zeit
t
T
Zeit
-
C
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VL 4: Finanz-Management
• Swaps +
+
C
C
short
long t
T
Zeit
t
Zeit
t
Zeit
-
-
C
C
• Caps & Floors +
+
C
C
short
long t -
C
Schwaiger
T
Zeit -
C
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VL 4: Finanz-Management
Finanzwirtschaftl. Betrachtung betrieblicher Geschäftspositionen
Vermögensposition (long)
Schuldposition (short)
1. Operative Positionen z.B. Anlagen und Warenvorräte 1.1. originäre Positionen long 1.2. originäre Positionen short 2. Finanz-Positionen z.B. Forderungen, Zahlungsmittel und Wertpapiere
z.B. lang- und kurzfristige Schulden
2.1. fixierte (fix) 2.2. unsichere (uns) 2.3. Festgeschäfte (fest) 2.4. Optionsgeschäfte (opt) 3. Außerbilanz-Positionen z.B. Liefer- und Abnahmevereinbarungen z.B. Servituten z.B. Garantien und Produkthaftungen 3.1. wertlose (fest) 3.2. optionale (opt)
Cash Flow-Abbild der Unternehmung: Die Cash Flow-Bilanz
Betriebliche Finanzwirtschaft (Corporate Finance) ist die Lehre der Steuerung betrieblicher Zahlungsströme (corporate Cash Flows: cCF), und somit des Shareholder Values (SV). • betrieblicher Zahlungsstrom und Shareholder Value SVt
+
C
t1 t2 t3
long t
∞
Zeit
-
C
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
• Cash Flow-Bilanz und Shareholder Value
MW & CF Position
t MWi,t
t1
t2 CFi,t
t3
...
FinPosVfix1,t FinPosVfix2...,t FinPosVuns1,t FinPosVuns2...,t FinPosVopt1,t FinPosVopt2...,t FinPosVfest1,t FinPosVfest2...,t
MW Vfix1,t MW Vfix2...,t MW Vuns1,t MW Vuns2...,t MW Vopt1,t MW Vopt2...,t MW Vfest1,t MW Vfest2...,t
CVfix1,t1 CVfix2...,t1 CVuns1,t1 CVuns2...,t1 CVopt1,t1 CVopt2...,t1 CVfest1,t1 CVfest2...,t1
CVfix1,t2 Cvfix2...,t2 Cvuns1,t2 CVuns2...,t2 CVopt1,t2 CVopt2...,t2 Cvfest1,t2 CVfest2...,t2
CVfix1,t3 CVfix2...,t3 CVuns1,t3 CVuns2...,t3 CVopt1,t3 CVopt2...,t3 CVfest1,t3 CVfest2...,t3
... ... ... ... ... ... ... ...
operative Positionent
MW operativ,t
Coperativ,t1
Coperativ,t2
Coperativ,t3
...
FinPosSfest1,t FinPosSfest2...,t FinPosSopt1,t FinPosSopt2...,t FinPosSuns1,t FinPosSuns2...,t FinPosSfix1,t FinPosSfix2...,t
MW Sfest1,t MW Sfest2...,t MW Sopt1,t MW Sopt2...,t MW Suns1,t MW Suns2...,t MW Sfix1,t MW Sfix2...,t
CSfest1,t1 CSfest2...,t1 CSopt1,t1 CSopt2...,t1 CSuns1,t1 CSuns2...,t1 CSfix1,t1 CSfix2...,t1
Csfest1,t2 CSfest2...,t2 CSopt1,t2 CSopt2...,t2 CSuns1,t2 CSuns2...,t2 CSfix1,t2 CSfix2...,t2
CSfest1,t3 CSfest2...,t3 CSopt1,t3 CSopt2...,t3 CSuns1,t3 CSuns2...,t3 CSfix1,t3 CSfix2...,t3
... ... ... ... ... ... ... ...
SV & corp. CF
SVt,(in)direkt
cCt1
cCt2
cCt3
...
(1)
SVt ,direkt = MW (cCFt ) VS
(2)
SVt ,indirekt = ∑ MW ( PosCFi ,t ) i =1
Schwaiger
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B) Kapitalflußrechnung und Finanzplan • Literatur: Franke/Hax (1994) Bilanzen und G&V
• Bilanzen: 1996 und 1997 Anlagen Warenvorräte Forderungen Zahlungsmittel langfristige Schulden kurzfristige Schulden Gewinn 1996 Gewinn 1997 Eigenkapital Summe
31.12.96 450 110 60 50 -200 -60 -10 0 -400 0
31.12.97 510 120 40 30 -175 -75 0 -20 -430 0
• Gewinn- und Verlustrechnung (G&V): 1997 Umsatzerlöse Aufwendungen Abschreibungen Gewinn
-200 140 40 -20
• Operativer Jahres-Cash Flow Gewinn Abschreibungen Summe
Schwaiger
20 40 60
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VL 4: Finanz-Management
Bewegungsbilanz
Anlagen Warenvorräte Forderungen Zahlungsmittel langfristige Schulden kurzfristige Schulden Gewinn 1996 Gewinn 1997 Eigenkapital Summe
31.12.96 450 110 60 50 -200 -60 -10 0 -400 0
31.12.97 510 120 40 30 -175 -75 0 -20 -430 0
Veränd. 60 10 -20 -20 25 -15 10 -20 -30 0
Veränderung + … Mittelverwendung (Kapitalbindung) … Mittelherkunft (Kapitalfreisetzung)
Kapitalflußrechnung
• Substitution Gewinn 1997 durch G&V 1997 Anlagen Warenvorräte Forderungen Zahlungsmittel langfristige Schulden kurzfristige Schulden Gewinn 1996 Umsatzerlöse Aufwendungen Abschreibungen Eigenkapital Summe
Veränd. UmsatzB. AnlagenB. Finanz.B. GeldB. 60 60 10 10 -20 -20 -20 -20 25 25 -15 -15 10 10 -200 -200 140 140 40 40 -30 -30 0 -50 100 5 -55
• Jahres-Cash Flows aus dem Umsatz-Bereich:
-50
• Jahres-Cash Flow aus dem Anlagen-(Inv.)-Bereich:
100
• Jahres-Cash Flow aus dem Finanzierungs-Bereich:
5
• Jahres-Cash Flow aus dem Geld-Bereich:
Schwaiger
-55
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Kurzfristiger Finanzplan
• z.B. in Anlehnung an Kapitalflußrechnung 1. Monat
Ein-/Auszahlungen
2. Monat
3. Monat…
Umsatzbereich + Umsatzerlöse - Aufwendungen Anlagenbereich + Investitionen - Desinvestitionen Finanzierungsbereich + Eigenkapitalerhöhung - Gewinnentnahmen + Kreditaufnahme - Kredittilgung Geldbereich + kurzfristige Verschuldung - kurzfr. Entschuldung = Zu-(Abnahme) der Zahlungsmittel + Zahlungsmittel des Vormonats = Zahlungsmittel am Monatsende
Verweilzeit-Verteilung
• Zahlungswirksamkeit der Umsatzerlöse
Umsatzerlöse Jänner Februar März…
Schwaiger
15 10 20
sofort in 1 Monat in 2 Mo. 50,00% 40,00% 10,00% (Verweilzeitverteilung) 7,5 6 1,5 5 4 10
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C) Kapitalstruktur Literatur: z.B. Spremann (1996) Leverage und Leverage-Effekt
• unverschuldetes Unternehmen (kein Leverage) MW(Verm)
100,00 Up
Down 20,00% -10,00%
MW(Schuld) rBar
4,45% 120,00 0,00 120,00
MW(Verm) MW(Schuld) SV -MW(Schuld)/SV rSV
100,00 0,00 100,00 0,00% 20,00% -10,00% t
Schwaiger
90,00 0,00 90,00
T1
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VL 4: Finanz-Management
• verschuldetes Unternehmen (Leverage) MW(Verm)
100,00 Up 20,00%
MW(Schuld) rBar
-
Down -10,00%
50,00 4,45% 120,00 -52,23 67,78
MW(Verm) MW(Schuld) SV -MW(Schuld)/SV rSV
100,00 -50,00 50,00 90,00 -52,23 37,78
100,00% 35,55% -24,45% t
T1
• Investor kann Verschuldung (Leverage) rückgängig1 machen, wenn er die gleichen Bedingungen wie das Unternehmen vorfindet, u.z. durch Leerverkauf von z.B. 0,5 Anteilen eines unverschuldeten Unternehmens und einer risikolosen Veranlagung der Leerverkaufserlöse 67,78 -60,00 52,23 60,00 SV Leerverkauf risikolose Veranl. neue Position
Rendite
1
50,00 50,00 -50,00 50,00
20,00% -10,00%
37,78 -45,00 52,23 45,00
t
T1
Dies stellt den Motor der Arbitrageüberlegungen dar.
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
• Leverage-Effekt (3)
(4)
E (rSV ) * SV = MW (Verm) * E ( rVerm) + MW ( Schuld ) * rBar − MW ( Schuld ) * ( E (rVerm) − rBar ) SV = E (rVerm) + Verschuld . Grad * ( E (rVerm) − rBar )
E (rSV ) = E (rVerm) +
Beispiel: Up Rendite Wlkt. impl.Wlkt.
20,00% 60,00% 48,17%
E(rVerm) StdAbw(rVerm) rBar
8,00% 14,70% 4,45%
Down -10,00% 40,00% 51,83%
MW(Verm) MW(Schuld) SV
100,00 0,00 100,00
100,00 -25,00 75,00
100,00 -50,00 50,00
100,00 -86,17 13,83
100,00 -90,00 10,00
Verschuld.Grad E(rSV)
0,00% 8,00%
33,33% 9,18%
100,00% 11,55%
623,07% 30,12%
900,00% 39,95%
Leverage-Effekt
E(rSV)
40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 0,00%
200,00%
400,00%
600,00%
800,00%
1000,00%
Verschuld.Grad
Schwaiger
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Beweis: E (rSV ) = =
= = =
Schwaiger
MW (Verm) * E (rVerm) + MW ( Schuld ) * rBar SV ( SV − MW ( Schuld )) * E (rVerm) + MW ( Schuld ) * rBar SV − MW ( Schuld ) − MW ( Schuld ) SV * E (rVerm) − SV * rBar SV + SV SV SV − MW ( Schuld ) E (rVerm) + * ( E (rVerm) − rBar ) SV E (rVerm) + Verschuld . Grad * ( E (rVerm) − rBar )
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VL 4: Finanz-Management
Konkursrisiko
• verschuldetes Unternehmen (Leverage) mit Konkursrisiko für Gläubiger
MW(Verm)
100,00 Up 20,00%
MW(Schuld) rBar
-
Down -10,00%
90,00 4,45% 120,00 -94,01 26,00
MW(Verm) MW(Schuld) SV -MW(Schuld)/SV rSV
100,00 -90,00 10,00 900,00% 159,95% -100,00% t
90,00 -94,01 0,00
T1
• Gläubiger ist auch Stillhalter einer Put-Option
(5)
MW ( Schuld ) * (1 + rBar ) − max( − MW ( Schuld ) * (1 + rBar ) − VermT1 , 0)
Schwaiger
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Irrelevanz-These von Modigliani/Miller
• These E(rSV) wie in Gleichung (4) ansonsten gibt es Arbitragen, wenn Investoren die gleichen Bedingungen wie das Unternehmen vorfinden d.h. E(rSV) muß auf einer Geraden liegen2
Irrelevanz-These
E(rSV)
40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 0,00%
200,00%
400,00%
Verschuld.Grad
600,00%
623,07%
• Annahmen keine Unvollkommenheiten (wie z.B. Steuern und Transaktionskosten) vollständige Marktstruktur (aufgespannter Zustandsraum): d.h. ein Unternehmen der Risikoklasse ist handelbar3 und Soll-Zins = Haben-Zins4; kein Kreditrisiko5
2
Anstieg hängt von der Risikoprämie des Marktes sowie vom Asset-Mix des Unternehmens (Beta) ab 3 dies entspricht der Black/Scholes-Annahme 4 = rBar, sodaß C&C- und reversed C&C-Strategien möglich sind 5 dadurch ist die rBar-Unabhängigkeit vom Verschuldungsgrad plausibel
Schwaiger
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Erfolg/Risiko-Analyse
(6)
MW (Verm) MW ( Schuld ) * E (rVerm) + * rBar SV SV = aVerm * E (rVerm) + aSchuld * rBar
E (rSV ) =
mit
aVerm > 1
; aSchuld < 0 ; aVerm + aSchuld = 1
(7)
StdAbw(rSV ) = aVerm * StdAbw(rVerm)
Beispiel: Up Rendite Wlkt. impl.Wlkt.
Down 20,00% -10,00% 60,00% 40,00% 48,17% 51,83%
E(rVerm) StdAbw(rVerm) rBar
8,00% 14,70% 4,45%
MW(Verm) MW(Schuld) SV aVerm aSchuld Summe
100,00 0,00 100,00 100,00% 0,00% 100,00%
StdAbw(rSV) E(rSV)
14,70% 8,00%
100,00 -25,00 75,00
100,00 -50,00 50,00
100,00 -86,17 13,83
100,00 -90,00 10,00
133,33% 200,00% 723,07% 1000,00% -33,33% -100,00% -623,07% -900,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 19,60% 9,18%
29,39% 11,55%
106,27% 30,12%
146,97% 39,95%
Erfolg/Risiko-Analyse
E(rSV)
40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 0,00%
20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00% StdAbw (rSV)
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
D) Duration, Konvexität und Taylor-Reihenentwicklung Literatur: z.B. Fabozzi/Konishi (1996), Schwaiger/Mayr (1997) Messung des Zinsrisikos mit der Duration
Dur ( Anli ,t ) =
∑ ( s − t ) * gi ,s + (Ti − t ) * gT
i
s = t +1
TZ Ti
Ki ,s
(8) gi , s
(9)
Ti
(1 + rBart ) s−t = MW ( Anli ,t )
mod.Dur(Anli,t ) =
;
(1 + rBart ) Ti −t gTi = MW ( Anli ,t )
Dur ( Anli ,t ) 1 + rBart
(10) $ Dur ( Anli ,t ) = MW ( Anli ,t ) *
mod . Dur ( Anli ,t ) 100
Beispiel:
rBar
4,45%
Kup (long) Zero (long) Kup (short) Zero (short)
MW Laufzeit Nominale 100 3 100 100 1 104,45 -100 3 -100 -100 1 -104,45
Schwaiger
Kupon 4,45% 0,00% -4,45% 0,00%
Dur mod.Dur 2,87 2,75 1,00 0,96 2,87 2,75 1,00 0,96
$Dur 2,75 0,96 -2,75 -0,96
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VL 4: Finanz-Management
Exkurs: (HALB-)ELASTIZITÄTEN und ABLEITUNGEN • Duration d ( MW ( Anli ,t )) (11)
Dur ( Anli ,t ) = −
MW ( Anli ,t ) d (1 + rBart ) 1 + rBart
=−
d ( MW ( Anli ,t )) 1 + rBart d (1 + rBart ) MW ( Anli ,t )
MarktWert-Funktion 150,00
100,00
MW(Anl)
50,00
Kup (long) Zero (long)
0,00 0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
-Kup -Zero
-50,00
-100,00
-150,00 rBar
Schwaiger
Innsbruck, Sommersemester
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VL 4: Finanz-Management
Beweis: (12) Ki , s
T
MW ( Anli ,t ) = ∑
s = t +1 (1 +
d ( MW ( Anli ,t )) d (1 + rBart )
rBart ) s− t
+
TZ Ti (1 + rBart ) Ti − t
T
Ki , s
s = t +1
(1 + rBart ) s− t +1
= ∑ − (s − t ) *
d ( MW ( Anli ,t )) −
MW ( Anli ,t ) d (1 + rBart ) 1 + rBart
+ ( − (Ti − t )) *
TZ Ti (1 + rBart ) Ti − t +1 TZ Ti
Ki , s
(1 + rBart ) s− t (1 + rBart ) Ti − t = ∑ (s − t) * + (Ti − t ) * MW ( Anli ,t ) MW ( Anli ,t ) s = t +1 T
T
= ∑ ( s − t ) * gi ,s + (Ti − t ) * gTi s = t +1
• modifizierte Duration mod. Dur ( Anli ,t ) =
Dur ( Anli ,t )
1 + rBart d ( MW ( Anli ,t ))
(13) =−
MW ( Anli ,t ) d (1 + rBart )
=−
d ( MW ( Anli ,t )) d (1 + rBart )
1 MW ( Anli ,t )
• $-Duration $ Dur ( Anli ,t ) = MW ( Anli ,t )* (14) =−
Schwaiger
mod . Dur ( Anli ,t ) 100
d ( MW ( Anli ,t )) 1 d (1 + rBart ) 100
Innsbruck, Sommersemester
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VL 4: Finanz-Management
Approximation (1. Ordnung) von zinsinduzierten Wertänderungen
∆MW ( Anli ,t ) =
d ( MW ( Anli ,t ))
* ∆ (1 + rBart ) d (1 + rBart ) = − MW ( Anli ,t ) * mod . Dur ( Anli ,t ) * ∆ (1 + rBart )
(15)
= −$ Dur ( Anli ,t ) * ∆ (1 + rBart ) * 100 Beispiel: ∆(1+rBar) ∆MW( Anl)
Kup (long) Zero (long) Kup (short) Zero (short)
1,00%
-1,00%
2,00%
-2,00%
3,00%
-3,00%
-2,75 -0,96 2,75 0,96
2,75 0,96 -2,75 -0,96
-5,50 -1,91 5,50 1,91
5,50 1,91 -5,50 -1,91
-8,25 -2,87 8,25 2,87
8,25 2,87 -8,25 -2,87
Berücksichtigung von Nichtlinearitäten mittels Konvexität
mod. Konv( Anli ,t ) =
d 2 ( MW ( Anli ,t )) d (1 + rBart )
2
*
1 MW ( Anli ,t )
Ti ∑ ( s − t ) * (( s − t ) + 1) * g i ,s 1 (16) = * s = t +1 (1 + rBart ) 2 ( Ti − t ) * (( Ti − t ) + 1) * g Ti TZ Ti
K i ,s g i ,s
(1 + rBart ) s − t = MW ( Anli ,t )
;
(1 + rBart ) Ti − t g Ti = MW ( Anli ,t )
(17) $ Konv ( Anli ,t ) = MW ( Anli ,t ) *
Schwaiger
+
mod . Konv ( Anli ,t ) 100
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VL 4: Finanz-Management
Beispiel: Kup (long) Zero (long) Kup (short) Zero (short)
mod.Konv 10,38 1,83 10,38 1,83
$Konv 10,38 1,83 -10,38 -1,83
Approximation (2. Ordnung) von zinsinduzierten Wertänderungen
• Taylor-Reihenentwicklung (2. Ordnung) (18) ∆MW ( Anli ,t ) =
2 1 d ( MW ( Anli ,t )) ∆ (1 + rBart ) + ∆ (1 + rBart ) 2 2 2 d (1 + rBart ) d (1 + rBart )
d ( MW ( Anli ,t ))
- mod. Dur ( Anli ,t ) ∆ + = MW ( Anli ,t ) * 1 * (1 rBart ) + mod. Konv ( Anli ,t ) * ∆ (1 + rBart ) 2 1 = − $ Dur ( Anli ,t ) * ∆ (1 + rBart ) + $ Konv ( Anli ,t ) * ∆ (1 + rBart ) 2 * 100 2 Beispiel: ∆(1+rBar) ∆MW( Anl) Kup (long) Zero (long) Kup (short) Zero (short)
-2,70 -0,95 2,70 0,95
2,80 0,97 -2,80 -0,97
-5,30 -1,88 5,30 1,88
5,71 1,95 -5,71 -1,95
-7,79 -2,79 7,79 2,79
8,72 2,95 -8,72 -2,95
• Konvexitätseffekt: Approxi. 2. Ordnung minus Approxi. 1. Ordnung ∆(1+rBar) ∆MW( Anl) Kup (long) Zero (long) Kup (short) Zero (short)
Schwaiger
1,00%
-1,00%
2,00%
-2,00%
3,00%
-3,00%
0,0519 0,0092 -0,0519 -0,0092
0,0519 0,0092 -0,0519 -0,0092
0,2077 0,0367 -0,2077 -0,0367
0,2077 0,0367 -0,2077 -0,0367
0,4673 0,0825 -0,4673 -0,0825
0,4673 0,0825 -0,4673 -0,0825
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E) Asset Liability Management (ALM) Literatur: z.B. z.B. Fabozzi/Konishi (1996), Schwaiger/Mayr (1997) ALM = Steuerung des Zinsrisikos gehebelter Portfolios (SV) SV-Durationen
• Duration(SV) VS
(19)
Dur ( SVt ) = ∑ Dur ( Anli ,t ) * aAnli ,t i =1
• modifizierte Duration(SV) VS
(20) mod . Dur ( SVt ) = ∑ mod . Dur ( Anli ,t ) * aAnli ,t i =1
• $-Duration(SV) VS
(21) $ Dur ( SVt ) = ∑ $ Dur ( Anli ,t ) i =1
Beispiel:
MW(Kup) MW(Zero) SV aKup aZero Summe Dur(SV) mod.Dur(SV) $Dur(SV)
Schwaiger
100 0 100
100 -25 75
100 -50 50
100 -86,17 13,83
100 -90 10
100,00% 133,33% 200,00% 723,07% 1000,00% 0,00% -33,33% -100,00% -623,07% -900,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 2,87 2,75 2,75
3,50 3,35 2,51
4,75 4,55 2,27
14,55 13,93 1,93
19,74 18,90 1,89
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Besonderheiten der SV-Durationen
• Duration(SV)-Leverage Beispiel: MW(Kup) MW(Zero) SV Verschuld.Grad Dur(SV) E(rSV)
100 0 100
100 -25 75
100 -50 50
100 -86,17 13,83
100 -90 10
0,00% 2,87 4,45%
33,33% 3,50 4,45%
100,00% 4,75 4,45%
623,07% 14,55 4,45%
900,00% 19,74 4,45%
Dur(SV)-Leverage 5,00% E(rSV)
4,00% 3,00% 2,00% 1,00% -20,00
-10,00
0,00% 0,00
10,00
20,00
Dur(SV)
MW(Kup) MW(Zero) SV Verschuld.Grad Dur(SV) E(rSV)
0 100 100
-25 100 75
-50 100 50
-86,17 100 13,83
-90 100 10
0,00% 1,00 4,45%
33,33% 0,38 4,45%
100,00% -0,87 4,45%
623,07% -10,68 4,45%
900,00% -15,87 4,45%
• Gegenläufigkeit der modifizierte und der $-Duration, wenn SV < 0 VS
MW ( Anli ,t )
i =1
SVt
mod.Dur(SVt ) = ∑ mod.Dur(Anli,t ) * VS
(22) mod.Dur(SVt ) * SVt = ∑ mod.Dur(Anli,t ) * MW ( Anli ,t ) i =1
mod.Dur(SVt )* SVt = $ Dur ( SVt )
Schwaiger
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SV-Konvexitäten
• modifizierte Konvexität(SV) VS
(23) mod . Konv( SVt ) = ∑ mod . Konv( Anli ,t ) * aAnli ,t i =1
• $-Konvexität(SV) VS
(24) $ Konv( SVt ) = ∑ $ Konv( Anli ,t ) i =1
Beispiel: MW(Kup) MW(Zero) SV aKup aZero Summe
100 0 100
100 -25 75
100 -50 50
100 -86,17 13,83
100 -90 10
100,00% 133,33% 200,00% 723,07% 1000,00% 0,00% -33,33% -100,00% -623,07% -900,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%
mod.Konv(SV) $Konv(SV)
10,38 10,38
13,23 9,93
18,94 9,47
63,66 8,80
87,35 8,73
Approximation von zinsinduzierten SV-Wertänderungen
• Approximation (1. Ordnung) (25)
∆SVt = − SVt * mod. Dur ( SVt ) * ∆ (1 + rBart ) = −$ Dur ( SVt ) * ∆ (1 + rBart ) * 100
Schwaiger
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Beispiel: ∆(1+rBar) ∆M W (SV )
Verschuld.Grad 0,00% 33,33% 100,00% 623,07% 900,00%
1,00%
-1,00%
2,00%
-2,00%
3,00%
-3,00%
-2,75 -2,51 -2,27 -1,93 -1,89
2,75 2,51 2,27 1,93 1,89
-5,50 -5,02 -4,55 -3,85 -3,78
5,50 5,02 4,55 3,85 3,78
-8,25 -7,54 -6,82 -5,78 -5,67
8,25 7,54 6,82 5,78 5,67
• Approximation (2. Ordnung)
(26)
- mod. Dur ( SVt ) * ∆ (1 + rBar ) ∆SVt = SVt * 1 t + mod. Konv ( SV ) * ∆ (1 + rBar ) t t 2 1 = − $ Dur ( SVt ) * ∆ (1 + rBart ) + $ Konv ( SVt ) * ∆ (1 + rBart ) 2 * 100 2
Beispiel: ∆(1+rBar) ∆M W (SV )
1,00%
-1,00%
2,00%
-2,00%
3,00%
-3,00%
-2,70 -2,46 -2,23 -1,88 -1,85
2,80 2,56 2,32 1,97 1,93
-5,30 -4,83 -4,36 -3,68 -3,61
5,71 5,22 4,74 4,03 3,95
-7,79 -7,09 -6,39 -5,38 -5,28
8,72 7,98 7,24 6,18 6,06
∆(1+rBar)
1,00%
-1,00%
2,00%
-2,00%
3,00%
-3,00%
Verschuld.Grad 0,00% 33,33% 100,00% 623,07% 900,00%
0,0519 0,0496 0,0473 0,0440 0,0437
0,0519 0,0496 0,0473 0,0440 0,0437
0,2077 0,1985 0,1894 0,1761 0,1747
0,2077 0,1985 0,1894 0,1761 0,1747
0,4673 0,4467 0,4261 0,3962 0,3931
0,4673 0,4467 0,4261 0,3962 0,3931
Verschuld.Grad 0,00% 33,33% 100,00% 623,07% 900,00%
• Konvexitätseffekt
∆M W (SV )
Schwaiger
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Steuerung des SV-Zinsrisikos mit Termingeschäften
• Duration von z.B. Futures long 100 -100 0
short -100 100 0
1 -1 0
-1 1 0
Dur(Fut) mod.Dur(Fut) $Dur(Fut)
1,87 1,79 1,79
-1,87 -1,79 -1,79
mod.Konv(Fut) $Konv(Fut)
8,55 8,55
-8,55 -8,55
MW(Kup) MW(Zero) MW(Fut) aKup aZero Summe
• Hedge-Ratio (HR)
$ Dur ( Zielt ) = $ Dur ( SVt ) + HR *$ Dur ( Fut t ) (27) $ Dur ( Zielt ) − $ Dur ( SVt ) HR = $ Dur ( Fut t )
Schwaiger
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F) SV-Steuerung mit Termingeschäften Literatur: z.B. Bookstaber (1991), Schwaiger (1994) Grundlegende Konzepte
• Stochastischer Prozeß Stochastischer Prozeß (2-dimensional) 120
120 110 100
100
100 90 80
Aktienkurs
80
60
40
20
0 t
T1
T2
Zeit
Stochastischer Prozeß (3-dimensional) ErgebnisRaum X IndexMenge -> reelle Zahlen
100 90
100
100
110 100
120
90 120
110
80
100
100
80 w4
Aktienkurs wj X ti -> konkrete Zahl
w3 40 w2
Pfade wj (Elemente des ErgebnisRaums)
0
w1 t
Zeit
T1 T2
ti (Elemente der Indexmenge)
Schwaiger
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• Ausgangssituation
Aktien-Index (AI) Index Up t T1Up T1Down
Zinskurve (flach) rBar
100
10,00% 12,00% 7,00%
Down -10,00% -7,00% -12,00%
Unternehmens-Kennzahlen SV 100 Beta 0,90
4,45%
Up t
-10,00%
Down 15,00%
Nominale 100
123,20 120,77 T1Up 110,00 4,01% 109,00 Index rBar SV
100 4,45% 100
102,30 102,13 96,30
T1Down 90,00 5,12% 91,00
96,73 79,20 81,17
t
Schwaiger
T1
T2
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• Zinskurve
(28)
E π ( Zero2 PerT1 ) MW ( Zero2 Pert ) = (1 + rBart )
Pi
T1Up T1Down 50,00% 50,00%
T1Up 4,01% 96,15 rBar Zero(1Per) Zero(2Per) rZero(2Per)
4,45% 95,74 91,57 4,50%
100
100
T1Down 5,12% 95,13
100
100
t
Schwaiger
T1
T2
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SV-Steuerung mit Futures
• Futures-Preise, -Zahlungen und -Marktwerte (29)
FutPreist = Index t * (1 + rBart )
(30) C ( Fut T ) = Index T − FutPreist ( 31) MW ( Fut t ) = Index t + MW ( Schuld t ) = 0 -8,79 0,00 -5,55 0,00 C(TerminG) MW(TG)
12,11 0,00
0,00 0,00
-1,69 0,00 14,45 0,00
t
15,41 0,00 T2
T1
• SV-Steuerung mit Futures ( 32) Erfolg ( Fut T ) = C ( Fut T ) Stück Index-Futures t T1Up T1Down Index-Put t T1Up T1Down Zins-Swap
Ausüb./F-Pr.
MW(t)
-1 0 0
104,45 114,41 94,61
0,00
0 0 0
100 110 90
0,00
0
4,50%
0,00
0
4,20%
0,00
MW(T1Up) MW(T1Down)
0,00 0,00
0,00 0,00
Zins-Cap
Schwaiger
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114,62 0,00 114,62 109,00 -5,55 103,45 SV o.TG Erfolg(TG) SV gesteuert
96,93 0,00 96,93
100,00 0,00 100,00
112,09 0,00 112,09
91,00 14,45 105,45
t
Stück Index-Futures t T1Up T1Down Index-Put t T1Up T1Down Zins-Swap
94,06 0,00 94,06 T2
T1
Ausüb./F-Pr.
MW(t)
-1 -1 -1
104,45 114,41 94,61
0,00
0 0 0
100 110 90
0,00
0
4,50%
0,00
0
4,20%
0,00
MW(T1Up) MW(T1Down)
0,00 0,00
0,00 0,00
Zins-Cap
114,62 -8,79 105,83 109,00 -5,55 103,45 SV o.TG Erfolg(TG) SV gesteuert
100,00 0,00 100,00 91,00 14,45 105,45
t
Schwaiger
T1
96,93 12,11 109,04 112,09 -1,69 110,40 94,06 15,41 109,47 T2
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Seite -32-
VL 4: Finanz-Management
SV-Steuerung mit Index-Puts
• Put-Zahlungen und -Marktwerte (33) C ( Put T ) = max ( X − IndexT ,0) (34)
MW ( Put t ) = MW ( DuplPFt ) 0,00 = 110,00 * sIndex + 10,00 = 90,00 * sIndex + sIndex sBar
= -0,5000 = 0,5500
Index-Put =
Index Bar
100 * sBar 100 * sBar 100 95,74
2,66 0,00 0,00 0,00 3,12
C(TerminG) MW(TG)
7,70 0,00
0,00 2,66
0,00 0,00 10,00 1,02
t
10,80 0,00 T2
T1
• SV-Steuerung mit Index-Puts (35)
Erfolg ( Put T ) = C ( Put T ) − MW ( Put t ) *(1 + rBart )
Stück Index-Futures t T1Up T1Down Index-Put t T1Up T1Down Zins-Swap
Ausüb./F-Pr.
MW(t)
0 0 0
104,45 114,41 94,61
0,00
1 0 0
100 110 90
2,66
0
4,50%
0,00
0
4,20%
0,00
MW(T1Up) MW(T1Down)
0,00 0,00
0,00 0,00
Zins-Cap
Schwaiger
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Seite -33-
VL 4: Finanz-Management
117,70 0,00 117,70 109,00 -2,78 106,23 SV o.TG Erfolg(TG) SV gesteuert
99,53 0,00 99,53
100,00 0,00 100,00
104,41 0,00 104,41
91,00 7,22 98,23
t
Stück Index-Futures t T1Up T1Down Index-Put t T1Up T1Down Zins-Swap
87,62 0,00 87,62 T2
T1
Ausüb./F-Pr.
MW(t)
0 0 0
104,45 114,41 94,61
0,00
1 1 1
100 110 90
2,66
0
4,50%
0,00
0
4,20%
0,00
MW(T1Up) MW(T1Down)
0,00 0,00
3,12 1,02
Zins-Cap
117,70 -3,24 114,46 109,00 -2,78 106,23 SV o.TG Erfolg(TG) SV gesteuert
100,00 0,00 100,00 91,00 7,22 98,23
t
Schwaiger
T1
99,53 4,46 103,99 104,41 -1,07 103,34 87,62 9,73 97,35 T2
Innsbruck, Sommersemester
Seite -34-
VL 4: Finanz-Management
SV-Steuerung mit einem Zins-Swap
• Swap-Satz, -Zahlungen und -Marktwerte (36)
Nom * SwapSatz Nom * (1 + SwapSatz ) Nom * (1 + rBart ) = + 1 + rBart (1 + rBart ) (1 + rZero(2 Per )) 2
(37) C ( SwapT ) = Nom * (rBarT −1 − SwapSatz ) (38)
MW ( Swapt ) = MW ( Kupt ) + MW ( Schuld t ) -4,98 0,00 -0,53 -4,79 C(TerminG) MW(TG)
-4,98 0,00
0,00 0,00
6,15 0,00 -0,53 5,85
t
6,15 0,00 T2
T1
• SV-Steuerung mit einem Swap (39) Erfolg ( SwapT ) = MW ( SwapT ) + C ( SwapT ) − MW ( SwapT −1 ) *(1 + rBarT −1 ) Stück Index-Futures t T1Up T1Down Index-Put t T1Up T1Down Zins-Swap
Ausüb./F-Pr.
MW(t)
0 0 0
104,45 114,41 94,61
0,00
0 0 0
100 110 90
0,00
10
4,50%
0,00
0
4,20%
0,00
MW(T1Up) MW(T1Down)
0,00 0,00
0,00 0,00
Zins-Cap
Schwaiger
Innsbruck, Sommersemester
Seite -35-
VL 4: Finanz-Management
114,88 0,00 114,88 109,00 -5,32 103,68 SV o.TG Erfolg(TG) SV gesteuert
97,15 0,00 97,15
100,00 0,00 100,00
102,39 0,00 102,39
91,00 5,32 96,32
t
85,91 0,00 85,91 T2
T1
SV-Steuerung mit einem Zins-Cap
• Cap-Zahlungen und -Marktwerte (40) C (CapT ) = Nom * max (rBarT −1 − CapSatz ,0) (41)
MW ( Capt ) = MW ( DuplPFt ) 0,00 = 110,00 * sIndex + 8,73 = 90,00 * sIndex + sIndex sBar
= -0,4364 Index = 0,4801 Bar
Caplet
=
100 * sBar 100 * sBar 100 95,74
2,32 0,00 0,00 2,50 0,00
C(TerminG) MW(TG)
0,00 4,71
9,17 0,00 2,50 8,73
t
Schwaiger
0,00 0,00
T1
9,17 0,00 T2
Innsbruck, Sommersemester
Seite -36-
VL 4: Finanz-Management
• SV-Steuerung mit einem Zins-Cap (42) Erfolg ( CapT ) = MW ( CapT ) + C ( CapT ) − MW (CapT −1 ) * (1 + rBarT −1 ) Stück Index-Futures t T1Up T1Down Index-Put t T1Up T1Down Zins-Swap
Ausüb./F-Pr.
MW(t)
0 0 0
104,45 114,41 94,61
0,00
0 0 0
100 110 90
0,00
0
4,50%
0,00
10
4,20%
4,71
MW(T1Up) MW(T1Down)
0,00 0,00
0,00 0,00
Zins-Cap
118,09 0,00 118,09 109,00 -2,42 106,58 SV o.TG Erfolg(TG) SV gesteuert
100,00 0,00 100,00 91,00 6,31 97,31
t
Schwaiger
T1
99,86 0,00 99,86 103,44 0,00 103,44 86,80 0,00 86,80 T2
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Seite -37-
VL 4: Finanz-Management
G) Value at Risk statt Varianz Literatur: Jorion (1997), J.P.Morgan/Reuters (1996), Schwaiger (1998c) Quantile (Cut Off Rates)
• Aktien E (rAkt ) = 1,47% StdAbw(rAkt ) = 4,18%
20,00% 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00%
relat. Häufigkeit
12,69%
10,05%
7,41%
4,77%
2,13%
-0,52%
-3,16%
-5,80%
-8,44%
normale Wlkt.
-11,08%
Wahrscheinlichkeit
Aktien-Rendite-Wahrscheinlichkeiten
Rendite
Kumulierte Wlktn. der Aktien-Renditen 100,00%
kumulierte Wlkt
80,00% 60,00%
kumul.Häufigkeit
40,00%
norm.Approxim. Diff.: kumul.-norm.
20,00%
12,69%
10,05%
7,41%
4,77%
2,13%
-0,52%
-3,16%
-5,80%
-8,44%
-20,00%
-11,08%
0,00%
Renditen
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
• Nichttraditionelle Anlagen E (rNTr ) = 0,95% StdAbw(rNTr ) = 4,01%
20,00% 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00%
relat. Häufigkeit
11,71%
9,17%
6,64%
4,11%
1,58%
-0,95%
-3,49%
-6,02%
-8,55%
normale Wlkt.
-11,08%
Wahrscheinlichkeit
Nichttrad. Anlagen-Rendite-Wahrscheinlichkeiten
Rendite
Kumulierte Wlktn. der NichtTrad.Anlagen-Renditen 100,00%
kumulierte Wlkt
80,00% 60,00%
kumul.Häufigkeit norm.Approxim.
40,00%
Diff.: kumul.-norm.
20,00%
11,71%
9,17%
6,64%
4,11%
1,58%
-0,95%
-3,49%
-6,02%
-8,55%
-20,00%
-11,08%
0,00%
Renditen
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
• Quantile
Kumulierte Wlktn. der NichtTrad.Anlagen-Renditen 100,00%
kumulierte Wlkt
80,00% 60,00%
kumul.Häufigkeit norm.Approxim.
40,00%
Diff.: kumul.-norm.
20,00%
11,71%
9,17%
6,64%
4,11%
1,58%
-0,95%
-3,49%
-6,02%
-8,55%
-20,00%
-11,08%
0,00%
Renditen
Konf.Niveau # Element 1,00% 1 norm.Quantil emp.Quantil std.Quantil JPM.Quantil param.Quanti Aktien -8,27% -8,28% -2,33 -9,73% -8,27% NichtTrad. -8,38% -4,99% -2,33 -9,33% -8,38% Anleihen -1,56% -2,01% -2,33 -2,24% -1,56% Barmittel 0,11% 0,24% -2,33 -0,26% 0,11%
Konf.Niveau # Element norm.Quantil emp.Quantil std.Quantil JPM.Quantil param.Quantil
vorgegebene kumulierte Wahrscheinlichkeit empirische Entsprechung vom Konf.Niveau Quantil aus approximierten Normalverteilung Quantil aus Häufigkeitsverteilung, d.h. Quantil für # Element Quantil aus Standardnormalverteilung std.Quantil*StdAbw(r) std.Quantil*StdAbw(r)+E(r)
Konf.Niveau # Element 5,00% 3 norm.Quantil emp.Quantil std.Quantil JPM.Quantil param.Quanti Aktien -5,42% -7,01% -1,64 -6,88% -5,42% NichtTrad. -5,65% -4,59% -1,64 -6,59% -5,65% Anleihen -0,91% -1,24% -1,64 -1,58% -0,91% Barmittel 0,19% 0,25% -1,64 -0,18% 0,19%
Schwaiger
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VaRs
Konf.Niveau
Aktien NichtTrad. Anleihen Barmittel Aktien NichtTrad. Anleihen Barmittel
5,00% std.Quantil
-1,64
-1,64
norm.VaR emp.VaR JPM.VaR param.VaR WaR freier WaR Preise -1261,44 -1632,45 -1602,76 -1261,44 -1164,68 -1863,48 23293,56 -5635,08 -4580,42 -6578,01 -5635,08 -2992,39 -7979,71 99746,37 -12,95 -17,75 -22,61 -12,95 -57,07 -114,13 1426,64 0,24 0,31 -0,23 0,24 0,00 0,00 124,94 -5,42% -5,65% -0,91% 0,19%
-7,01% -4,59% -1,24% 0,25%
-6,88% -6,59% -1,58% -0,18%
-5,42% -5,65% -0,91% 0,19%
-5,00% -3,00% -4,00% 0,00%
-8,00% -8,00% -8,00% 0,00%
• Normalverteilung-VaR (norm.VaR) norm.VaR-Berechnung über 1. Preis (Marktwert) und 2. konfidenzniveau-spezifisches Quantil der (kumulierten) Normalverteilung (43) norm.VaRt = Preist * norm. Quantil Aktien-Beispiel: norm.VaRt = 23.293,56 * ( −5,42%) = −1261 . ,44
• Empirischer VaR (emp.VaR) emp.VaR-Berechnung über 1. Preis (Marktwert) und 2. konfidenzniveau-entsprechendes Quantil der (kum.) Häufigkeitsverteilung (44) emp.VaRt = Preist * emp. Quantil Aktien-Beispiel: emp.VaRt = 23.293,56 * ( −7,01%) = −1632 . ,45
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
• JP.Morgan VaR (JPM.VaR) JPM.VaR-Berechnung über 1. Preis (Marktwert), 2. konfidenzniveau-spezifisches Quantil der Standard-Normalverteilung (std.Quantil) und 3. Streuungsparameter (StdAbw(r))
(45)
JPM .VaRt = Preist * std . Quantil * StdAbw(r ) = Preist * JPM . Quantil
Aktien-Beispiel: JPM .VaRt = 23.293,56 * ( −1,64) * 4,18% = −1602 . ,76
• Parametrischer VaR (param.VaR) param.VaR-Berechnung über 1. Preis (Marktwert), 2. konfidenzniveau-spezifisches Quantil der Standard-Normalverteilung (std.Quantil), 3. Streuungsparameter (StdAbw(r)) und 4. Lageparameter (E(r))
(46)
param. VaRt = Preist * ( std. Quantil * StdAbw(r ) + E(r )) = Preist * param. Quantil
Aktien-Beispiel: param.VaRt = 23.293,56 * ( −1,64 * 4,18% + 1,47%) = −1261 . ,44
• Freier VaR (freier VaR) z.B. 8 % Cook-Ratio in Solvabiltitäts- und Kapitaladäquanzrichtlinie
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
Korrelationen-Methode
VS VS
(47) VaR ( SV ) = ∑ ∑ si * s j *VaRi *VaR j * Korreli , j i =1 j =1
(48) si =
ai * SV Preisi
oder VS VS
(49) VaR ( SV ) = SV * ∑ ∑ ai * a j * Quantili * Quantil j * Korreli , j i =1 j =1
Beispiel sAkt* VaRAkt sNTr* VaRNTr sAnl* VaRAnl sBar* VaRBar
sAkt* VaRAkt sNTr* VaRNTr sAnl* VaRAnl sBar* VaRBar
Schwaiger
sAkt*VaRAkt
sNTr*VaRNTr
sAnl*VaRAnl
sBar*VaRBar
1
Korrel(rAkt,rNTr)
Korrel(rAkt,rAnl)
Korrel(rAkt,rBar)
Korrel(rNTr,rAkt)
1
Korrel(rNTr,rAnl)
Korrel(rNTr,rBar)
Korrel(rAnl,rAkt)
Korrel(rAnl,rNtr)
1
Korrel(rAnl,rBar)
Korrel(rBar,rAkt)
Korrel(rBar,rNTr)
Korrel(rBar,rAnl)
1
sAkt*VaRAkt
sNTr*VaRNTr
sAnl*VaRAnl
sBar*VaRBar
1
0,68
0,39
-0,01
0,68
1
0,49
-0,04
0,39
0,49
1
0,15
-0,01
-0,04
0,15
1
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VL 4: Finanz-Management
Vermögen
100
VaR($PF) norm.VaR emp.VaR JPM.VaR param.VaR WaR freier WaR E($PF) aAkt aNTr aAnl aBar aPF
8,13 11,41 10,47 8,13 8,26 12,09 1,99 200,00% -100,00% 0,00% 0,00% 100,00%
11,93 16,26 15,18 11,93 11,78 17,63 2,51 300,00% -200,00% 0,00% 0,00% 100,00%
5,07 5,34 6,17 5,07 3,69 7,33 1,21 50,00% 50,00% 0,00% 0,00% 100,00%
8,60 6,79 9,90 8,60 4,50 12,09 0,43 -100,00% 200,00% 0,00% 0,00% 100,00%
12,46 11,14 14,53 12,46 7,67 17,63 0,09 -200,00% 300,00% 0,00% 0,00% 100,00%
E($PF)
$Erfolg/VaR-Analyse 3,00
freier WaR
2,00
WaR param.VaR
1,00
JPM.VaR
-1,00
emp.VaR -
5
10
15
20
norm.VaR
VaR($PF)
Erwarteter SV-Zuwachs VS (50) E ( ∆SV ) = SV * E (rSV ) = SV * ∑ ai * E (ri ) i =1
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
H) Wert am Risiko Literatur: Schwaiger (1998a, 1998b, 1998c)
ZinsWaR
ZinsWaR-Berechnung 1. Marktwert, 2. Zins-Sensititvität (1. Ordnung: - mod.Duration) und 3. ungünstige Zinskurvenänderung (∆rBari,t)
(51)
ZWaRi ,t = MWi ,t * ( − mod. Durationi ,t * ∆rBari ,t ) = MWi ,t * mod . ZinsQuantili ,t
Anleihen-Beispiel: . ,64 * ( −2 * 2%) = −57,07 ZWaRi ,t = 1426
IndexWaR
IndexWaR-Berechnung 1. Marktwert, 2. Index-Sensititvität (1. Ordnung: -Beta) und 3. ungünstige Änderung der erwarteten Indexrendite (∆E[rIndexi,t])
(52)
IWaRi ,t = MWi ,t * ( − Betai ,t * ∆E [rIndexi ,t ]) = MWi ,t * mod . IndexQuantili ,t
Aktien-Beispiel: . ,68 IWaRi ,t = 23.293,56 * ( −1 * 5%) = −1164
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
WährungsWaR
WährungsWaR-Berechnung 1. Marktwert, 2. ungünstige Wechselkursänderung in % (∆%WKi,t)
(53)
WWaRi ,t = MWi ,t * ( − ∆ %WKi ,t ) = MWi ,t * WährungsQuantili ,t
Beispiel: WWaRi ,t = 1000 . * ( −10%) = −100
AusfallWaR
AusfallWaR-Berechnung eines Finanzinstrumentes der Bonitätsklasse i 1. Marktwert, 2. Bonitäts-Sensititvität (1. Ordnung: - Kredit-Duration), 3. Risikoprämienerhöhungen für Bonitätsverschlechterungen (∆RPji,t), 4. Bildung des wahrscheinlichkeitsgewichteten (Wlkt) Durchschnitts aller möglichen Verschlechterungen
(54)
Klassen AWaRi ,t = MWi ,t * − ∑ KreditDurationi ,t * ∆RPi ,jt * Wlkt i j,t j =i +1 = MWi ,t * AusfallQuantili ,t
Beispiel: AWaRi ,t = 1000 . * ( −5 * (3% * 0,2 + 10% * 0,1)) = −80
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
WaR-Aggregation
• modifizierte Korrelationen-Methode 1. jede Position kann bis zu vier WaRs haben: WaR-Vektor 2. keine Normalverteilungsannahme: Risiko-Matrix 3. Marktwerte statt Preise
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
I) WaR-basierte Risiko- & ErfolgRechnung in Banken Literatur: Schwaiger (1998a, 1998b), Bankers Trust (1995) Externe RisikoRechung
• Grundstruktur der externen RisikoRechnung
Risiko-Träger FW-Positionen Bankbuch Handelsbuch WährungsRisiko AktienkursRisiko
Risiko-Arten
Schuldtitel
Substanzwerte
Aktienindex-Termink.
Vorleistungen
PensionsGeschäfte
Leihgeschäfte
Sonstige HB-Geschäfte
Nicht-HB-Geschäfte
ZinsRisiko AusfallRisiko
Risiko-Stellen
• Anforderungen des BankWesenGesetzes (BWG)
AusfallRisiko ZinsRisiko EigenmittelErfordernis
§ 22/2 § 29/4 § 22m-n
MarktRisiko AktienkursR.
WährungsR.
(§ 22b/2) § 26/1
allg. Positionsrisiko spezielles Positionsrisiko Abwicklgsrisiko Ausfallsrisiko
Schwaiger
§ 22h
§ 22i-j
§ 22g § 22i-j § 22l § 22o
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VL 4: Finanz-Management
Interne Risiko- und ErfolgRechnung
• Cash Flow-Bilanz von Banken
Position \ MarktWert und CashFlow Schuldtitel Substanzwerte Beteiligungen VerbraucherKredite GeschäftsKredite Sonstige Aktiva Außerbilanz-Aktivkomponenten Operative Positionen Außerbilanz-Passivkomponenten Sonstige Verbindlichkeiten Verbriefte Verbindlichkeiten Kreditinstitut-Verbindlichkeiten KundenVerbindlichkeiten Shareholder Value & corp. CF
t
ti > t MW V1,t MW V2,t MW V3,t MW V4,t MW V5,t MW V6,t MW V7,t
CFV1,t CFV2,t CFV3,t CFV4,t CFV5,t CFV6,t CFV7,t
Mwoperativ,t
CFoperativ,t
MW S5,t MW S4,t MW S3,t MW S2,t MW S1,t
CFS5,t CFS4,t CFS3,t CFS2,t CFS1,t
SVt
cCFt
Beispiel: CF-Bilanz Abteilung
Yen-Anleihen US$-Aktien Euro-Kredite US$-Verbindl. Euro-Einlagen Anl Akt Kred Verb Einl Veranlagung Veranlagung Kredit Finanzierung Finanzierung
Währung BW WK MW
Yen US$ Euro US$ Euro 300.000,00 1.000,00 5.000,00 -2.000,00 -4.000,00 0,01 0,8 1 0,8 1 3.000,00 800,00 5.000,00 -1.600,00 -4.000,00
SV
3.200,00
• RisikoArten Veränderungen Risikoprämien Zinssätze Marktindizes Wechselkurse Beispiel:
Schwaiger
RisikoArten AusfallRisiko (AR) ZinsRisiko (ZR) IndexRisiko (IR) WährungsRisiko(WR)
IndividualWaRs => AWaR => ZWaR => IWaR => WWaR
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VL 4: Finanz-Management
Anl
Akt
Kred
Wlkt KreditDur RPÄnd AWaR mod.Dur ZinsÄnd ZWaR
Einl
0,25 10 6,00% -750 7 2,00% -420,00
Beta IndexÄnd IWaR WährgÄnd WWaR
Verb
10 3,00% -1.500,00
5 1,00% -80,00
0,5 2,50% -50,00
0,8 10,00% -64 20,00% -600,00
10,00% -80,00
15,00% -240,00
• RisikoStellen Zusammenfassung von Finanzpositionen unter 1. RisikoArten- und 2. RisikoTräger-Gesichtspunkten
Beispiel: Yen-Anleihen (Anl) US-$-Aktien (Akt) Euro-Kredite (Kred) US-$-Verbindlichkeiten (Verb) Euro-Einlagen (Einl)
RS1 RS2 RS3 RS4 RS5
• RisikoTräger organisatorische Einheiten der 1. Geschäftsebene: Risikonehmende Einheiten (RNEs) und 2. Steuerungsebene: Risikosteuernde Einheiten (RSEs)
Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
Beispiel: Geschäftsebene VeranlagungsAbteilung KreditAbteilung FinanzierungsAbteilung Steuerungsebene AusfallKomitee ZinsKomitee IndexKomitee WährungsKomitee
RNE1 RNE2 RNE3 RSE1 RSE2 RSE3 RSE4
• Grundstruktur der WaR-basierten Risiko- & ErfolgRechnung
budgetierter WaR-basierter Erfolg 4 4 4
Risiko-TrägerHierarchie RSE (2) Veranl.Abt.(4) KreditAbt.(3) Finanz.Abt.(1)
4
4 4
4 3
4
3
4 3
3 3
3
3
3
2
3
2
3 2
1
2
1
1
1
1
1
1
2 1
1
WährungsRisiko (WR)
Kreditinstitut-Vb.
Verbriefte Vb.
Sonstige Vb.
KundenVerbindlichktn.
Risiko-Stellen
Risiko-Arten
AusfallRisiko (AR)
Außerbilanz-Passivkomp.
Außerbilanz-Aktivkomp.
Sonstige Aktiva
GeschäftsKredite
VerbraucherKredite
ZinsRisiko (ZR) Beteiligungen
Substanzwerte
Schuldtitel
IndexRisiko (IR)
Beispiel:
budgetierter WaR-basierter Erfolg 4
4 4
4
Risiko-TrägerHierarchie RSE (2) Veranl.Abt.(4) KreditAbt.(3) Finanz.Abt.(1)
1
3
WährungsRisiko (WR)
3 1
1
IndexRisiko (IR)
ZinsRisiko (ZR)
Yen-Anleih.
AusfallRisiko (AR) US$-Aktien
Euro-Kredite
Risiko-Stellen
Schwaiger
Risiko-Arten
US$-Verb.
Euro-Einlag.
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VL 4: Finanz-Management
Hilfsmatrizen und -vektoren der Internen RisikoRechnung
• RisikoMatrix Interdependenzen zwischen den RisikoArten der RisikoStellen
Schuldtitel (V1) ... Verbr. Verb. (S3) ...
AR ZR WR ... ZR WR ...
Schuldtitel (V1) ZR WR ρAW,V1V1 ρAZ,V1V1 1 ρZA,V1V1 ρZW,V1V1 1 ρWA,V1V1 ρWZ,V1V1 ... ... ... ρZA,S3V1 ρZZ,S3V1 ρZW,S3V1 ρWA,S3V1 ρWZ,S1V1 ρWW,S3V1 ... ... ... AR 1
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Verbr.Verbindl. (S3) ZR WR ρAW,V1S3 ρAZ,V1S3 ρZW,V1S3 ρZZ,V1S3 ρWW,V1S3 ρWZ,V1S3 ... ... 1 ρZW,S3S3 1 ρWZ,S3S3 ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
• WaRVektor IndividualWaRs der RisikoStellen Schuldtitel (V1) ... Verbr. Verb. (S3) ...
AWaR ZWaR WWaR ... ZWaR WWaR ...
• erweiterte RisikoMatrix
Schuldtitel ... Verbr. Verbindl. ...
AWaR ZWaR WWaR ... ZWaR WWaR ...
AWaR 1 ρZA,V1V1 ρWA,V1V1 ... ρZA,S3V1 ρWA,S3V1 ...
Schuldtitel ZWaR ρAZ,V1V1 1 ρWZ,V1V1 ... ρZZ,S3V1 ρWZ,S1V1 ...
WWaR ρAW,V1V1 ρZW,V1V1 1 ... ρZW,S3V1 ρWW,S3V1 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Verbr.Verbindl. ZWaR WWaR ρAZ,V1S3 ρAW,V1S3 ρZZ,V1S3 ρZW,V1S3 ρWZ,V1S3 ρWW,V1S3 ... ... 1 ρZW,S3S3 1 ρWZ,S3S3 ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Beispiel: Schwaiger
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VL 4: Finanz-Management
ZRAnl WRAnl IRAkt WRAkt ARKred ZRKred ZRVerb WRVerb ZREinl
-420,00 -600,00 -64 -80,00 -750 -1.500,00 -80,00 -240,00 -50,00
ZRAnl -420,00 1 -0,75 -0,25 -0,25 0 0,25 -0,25 -0,25 -0,25
WRAnl -600,00 -0,75 1 0,25 0,25 0 0,5 -0,25 -0,25 -0,5
IRAkt -64 -0,25 0,25 1 -0,5 0 0,5 -0,75 0,5 -0,5
WRAkt -80,00 -0,25 0,25 -0,5 1 0 0,5 -0,75 -1 -0,5
ARKred ZRKred -750 -1.500,00 0 0,25 0 0,5 0 0,5 0 0,5 1 0,75 0,75 1 0 -0,25 0 -0,5 -0,75 -1
ZRVerb WRVerb -80,00 -240,00 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,75 0,5 -0,75 -1 0 0 -0,25 -0,5 1 0,75 0,75 1 0,25 0,5
ZREinl -50,00 -0,25 -0,5 -0,5 -0,5 -0,75 -1 0,25 0,5 1
• WaRMatrix elementweise Multiplikation der RisikoMatrix mit dem WaR- und dem transponierten WaRVektor
Beispiel: ZRAnl WRAnl IRAkt WRAkt ARKred ZRKred ZRVerb WRVerb ZREinl
Schwaiger
ZRAnl 176.400 -189.000 -6.720 -8.400 0 157.500 -8.400 -25.200 -5.250
WRAnl -189.000 360.000 9.600 12.000 0 450.000 -12.000 -36.000 -15.000
IRAkt -6.720 9.600 4.096 -2.560 0 48.000 -3.840 7.680 -1.600
WRAkt -8.400 12.000 -2.560 6.400 0 60.000 -4.800 -19.200 -2.000
ARKred
ZRKred 0 157.500 0 450.000 0 48.000 0 60.000 562.500 843.750 843.750 2.250.000 0 -30.000 0 -180.000 -28.125 -75.000
ZRVerb WRVerb -8.400 -25.200 -12.000 -36.000 -3.840 7.680 -4.800 -19.200 0 0 -30.000 -180.000 6.400 14.400 14.400 57.600 1.000 6.000
ZREinl -5.250 -15.000 -1.600 -2.000 -28.125 -75.000 1.000 6.000 2.500
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VL 4: Finanz-Management
WaR-basierte Risiko- und ErfolgRechnung
• RisikoStellen- und RisikoArtenRechnung Bestimmung der RisikoStellen, RisikoArten und Interdependenzen
• RisikoTrägerRechnung Bestimmung von GesamtWaRs der RNEs und RSEs sowie der Gesamtbank (modifizierte Korrelationen-Methode) (55) BankWaRt = Summe(WaRMatrixt ) (56) Subk WaRt = Summe( Subk WaRMatrix t ) Beispiel: ZRAnl WRAnl IRAkt WRAkt ARKred ZRKred ZRVerb WRVerb ZREinl
ZRAnl 176.400 -189.000 -6.720 -8.400 0 157.500 -8.400 -25.200 -5.250
AusfallKomitee ZinsKomitee IndexKomitee WährungsKomitee Summe BankWaR
Schwaiger
WRAnl -189.000 360.000 9.600 12.000 0 450.000 -12.000 -36.000 -15.000
IRAkt -6.720 9.600 4.096 -2.560 0 48.000 -3.840 7.680 -1.600
GesamtWaR 750,00 1.585,88 64,00 581,03 2.980,91 2.310,75
WRAkt -8.400 12.000 -2.560 6.400 0 60.000 -4.800 -19.200 -2.000
ARKred 0 0 0 0 562.500 843.750 0 0 -28.125
ZRKred 157.500 450.000 48.000 60.000 843.750 2.250.000 -30.000 -180.000 -75.000
ZRVerb -8.400 -12.000 -3.840 -4.800 0 -30.000 6.400 14.400 1.000
WRVerb -25.200 -36.000 7.680 -19.200 0 -180.000 14.400 57.600 6.000
ZREinl -5.250 -15.000 -1.600 -2.000 -28.125 -75.000 1.000 6.000 2.500
VeranlagungsAbt. KreditAbt. Summe
GesamtWaR 420,40 2.121,32 2.541,72
FinanzierungsAbt.
330,61
Summe(RNE-WaRs)
2.872,33
Summe(IndividWaRs)
3.784,00
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VL 4: Finanz-Management
• ErfolgRechnung BankErfolg (57) SVt * E[rSVt ] = SVt * (rBart + β Bank ,WeltIndex ,t * RPWeltIndex ,t ) (58)
BasisErfolgt = SVt * rBart
(59)
RisikoErfolgt = SVt * ( β Bank ,WeltIndex ,t * RPWeltIndex ,t )
WaR-Preis (60) WaRPreist =
RisikoErfolg t Summe(WaRRNE ,t )
geforderte Erfolge (61)
BasisErfolg RNE,t = MWRNE,t * rBart
(62)
RisikoErfolg RNE,t = WaR RNE,t * WaRPreist
Beispiel: Beta(Bank,WeltIndex) RP-Markt
SV WaR-Preis
3.200,00
RisikoErfolg BasisErfolg BankErfolg 115,20 142,40 257,60
0,0401
VeranlagungsAbt. KreditAbt. FinanzierungsAbt. Summe
Schwaiger
1,2 3,00% rBar 3,60% 4,45%
16,86 85,08 13,26 115,20
169,10 222,5 -249,2 142,40
geforderter Erfolg 185,96 307,58 -235,94 257,60
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VL 4: Finanz-Management
Literatur
Bankers Trust (1995): RAROC & Risk Management, Bankers Trust New York Corporation, New York Bookstaber (1991): Option Pricing and Strategies in Investing, 2nd edition, Addison-Wesley, Reading, Mass. Fabozzi/Konishi (1996): The Handbook of Asset/Liability Management, revised edition, Irwin, Chicago et al. Franke/Hax (1994): Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 3. Auflage, Springer Verlag, Berlin et al. Jorion Ph. (1997): Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, McGraw-Hill, New York et al. J.P.Morgan/Reuters (1996): RiskMetricsTM - Technical Document http://what.inet.jpmorgan.com, New York, December 18, 1996 J.P.Morgan (1997): CreditMetricsTM - Technical Document http://what.inet.jpmorgan.com, New York, April 2, 1997 Schwaiger (1994): Cash & Carry-Strategien - Dynamische Betrachtung von Fest- und Optionsgeschäften, Gabler Verlag, Wiesbaden Schwaiger/Mayr (1997): Asset & Liability Management mit dem DurationKonzept in der Raiffeisenbank Reutte, Fachblätter für Raiffeisenbanken, Dez. 1997, Jän. - März 1998 Schwaiger (1998a): Externe BWG- versus Bank-Interne RisikoRechnung zum BankManagement, Zeitschrift für das Gesamte Bank- und Börsewesen, 46, 179-186 Schwaiger (1998b): Risiko- und Erfolg-Rechnung in Universalbanken, AWGWorking Paper, Mai 1998 Schwaiger (1998c): Grundbegriffe der Finanzwirtschaft, Innsbrucker Beiträge zur Finanzwirtschaft, Heft 8, Innsbruck Spremann (1996): Wirtschaft, Investition und Finanzierung, Oldenburg Verlag, München
Schwaiger
Innsbruck, Sommersemester
