Einführung in die Analysis 3 (De Gruyter Lehrbuch)

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de Gruyter Lehrbuch Walter · Einführung in die Analysis 3

Rolf Walter

Einführung in die Analysis 3

≥

Walter de Gruyter Berlin · New York

Prof. Dr. Rolf Walter Fakultät für Mathematik Technische Universität Dortmund Vogelpothsweg 87 44227 Dortmund E-Mail: [email protected]

앝 Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt. 앪

ISBN 978-3-11-020960-0 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 쑔 Copyright 2009 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin. Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Konvertierung von LaTeX-Dateien des Autors: M. Pfizenmaier, Berlin. Einbandgestaltung: Martin Zech, Bremen. Druck und Bindung: AZ Druck und Datentechnik GmbH, Kempten.

Vorwort Er lernte das Wunder und das Geheimnis der Zahl, . . . , die Göttlichkeit des Maßes und wie alles stimmte und einander entsprach, so dass es ein Staunen war und eine Anbetung des großen Einklanges. (Thomas Mann: Der junge Joseph)

Je mehr man in der Mathematik vorankommt, desto stärker schließt sich das Band des Verständnisses. Man sieht, wie die Dinge zusammenhängen und wie sich alles öffnet zur weiteren Erkenntnis. Der vorliegende Band dieses Analysiskurses ist folgenden Themen gewidmet: Differentialgleichungen, Fixpunkt-Theorie, Mannigfaltigkeiten und Fourier-Reihen. Alle vier haben starke klassische Wurzeln, dienen aber zugleich fruchtbaren neuen Entwicklungen. Eine bedeutsame Idee der Analysis ist der Schritt vom linearen Denken in die Welt des Nichtlinearen. Beide Bereiche sind wichtig und aufeinander bezogen. Das Differenzieren beruht letztlich auf einer Linearisierung, das Integrieren auf einer Verschmelzung lokaler linearer Inkremente zu Gunsten eines nichtlinearen Resultats. Die Aspekte kulminieren im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Gerade dieser Satz ist es, der auf Mannigfaltigkeiten eine erstaunliche Erweiterung erfährt in Gestalt des Satzes von Stokes. Damit ist bereits ein Hauptziel der Kapitel über Mannigfaltigkeiten umrissen. Differentialgleichungen sind das Modellierungsinstrument für kontinuierliche Vorgänge und nehmen in der theoretischen wie angewandten Analysis einen prominenten Platz ein. Das Startkapitel dient der Einstimmung in den Fragenkreis der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Darin werden klassische Methoden behandelt mit dem Hauptziel, explizite Lösungsausdrücke zu gewinnen. So wichtig es ist, Routine und Sicherheit mit den algorithmischen Verfahren zu gewinnen, so nötig ist es andererseits, diese durch eine solide und umfassende Theorie der Existenz und Eindeutigkeit zu untermauern. Das geschieht dann auch in der Folge, wobei ein weiteres, sehr universelles Prinzip eingesetzt wird: die Theorie der Fixpunkte und Iterationsverfahren nach Banach. Dazu gehören dann auch Anfangsgründe der Analysis in Banach-Räumen wie z.B. die Neumannsche Reihe mit ihren Folgerungen zur Inversion von linearen stetigen Abbildungen und deren Differenzierbarkeit. Das Kapitel über Fourier-Reihen erscheint zwar am Ende, könnte aber auch früher behandelt werden, da es unabhängig ist von den anderen Kapiteln dieses Bandes (bis

vi auf die Anwendung auf das isoperimetrische Problem). Es geht dabei um den Aufbau periodischer Vorgänge aus einfachen harmonischen Schwingungen. Eine solche Synthese ist i.allg. nicht mit endlich vielen harmonischen Oszillatoren zu erreichen, wohl aber mit abzählbar vielen in Form einer Reihe. Die Periodizität ist ein Grundphänomen in Wissenschaft, Technik und Natur, und die Fourier-Theorie schafft dafür eine sehr allgemeingültige mathematische Grundlage. Der Leser, der bis hierher gefolgt ist, hat wohl Kenntnisse und Kraft erworben, um weiter zu gehen. Es gibt natürlich viele neue und hochinteressante Gebiete der Analysis, die sich in ständiger Entwicklung beﬁnden. Nichts wäre falscher als die gelegentlich von Unwissenden geäußerte Meinung, in der Mathematik sei doch alles schon bekannt. Natürlich muss man erst mal einiges lernen und üben, bevor man Reife und Fähigkeit erlangt für das, was in der Forschung läuft. Vorbereiten auf eine solche Selbständigkeit kann man sich durch das Lösen von Übungsaufgaben, mit denen man „Forschung im Kleinen“ trainieren kann. Übungsaufgaben sind auch diesem Band reichlich beigegeben und seien dem Leser wie immer zur Bearbeitung anempfohlen. Die Grundsätze, die im Vorwort von Band 1 beschrieben sind, bestehen natürlich weiter, ebenso wie die Danksagungen, die erneut und gerne bekräftigt seien. Dortmund im Mai 2009

Rolf Walter

Zum Gebrauch des Buches Alle Kapitel sind in Abschnitte mit zweistelligen Unternummern gegliedert. In jedem Abschnitt fängt die Nummerierung von Deﬁnitionen, Formeln usw. neu an, wobei Sätze, Deﬁnitionen, Beispiele und Bemerkungen gemeinsam mit großen lateinischen Buchstaben durchgezählt sind. Verweise erfolgen im gleichen Abschnitt ohne dessen Nennung, an anderen Stellen unter Anfügung des zitierten Abschnitts in eckigen Klammern; z.B. verweist „Satz G[5.3]“ auf Satz G des Abschnitts 5.3. Bei einem Zusatz werden stets die Voraussetzungen beibehalten. Das Ende eines Beweises wird durch das Symbol „“ angedeutet, die Zeichen „DW“ und „WD“ signalisieren eine Deﬁnitionsgleichung, wobei der Doppelpunkt auf der Seite der neu eingeführten Größe steht. Generalvoraussetzungen eines Kapitels oder Abschnitts gelten auch für die zugehörigen Aufgaben und Anmerkungen. Die Standardmengen der Mathematik sind folgendermaßen bezeichnet: N Z Q R C

Menge der natürlichen Zahlen (ohne 0) Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen.

Das Anhängen des Indexes 0 bedeutet hier die Hinzunahme der Null; z.B. ist N0 die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit 0. Die Marken „C“ und „“ bezeichnen entsprechende Vorzeichenbeschränkungen; z.B. ist RC die Menge aller positiven, RC 0 die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Zur Schreibweise mathematischer Symbole: Angesichts der vielen verschiedenen Themen der Mathematik gibt es eigentlich zu wenige Buchstaben für Symbole. Natürlich kann man auf andere Alphabete oder auf Marken zurückgreifen. Aber alles sollte nicht nur lesbar sondern auch schreibbar sein. Hier wird nach dem Prinzip der Einfachheit verfahren, nämlich wie bei Programmiersprachen nötigenfalls lokale Vereinbarungen zu treffen. Das bedeutet nicht, die Symbolvergabe ständig zu wechseln, es bedeutet jedoch, dass ein und dasselbe Symbol in verschiedenen Abschnitten auch schon einmal etwas verschiedenes bezeichnen kann. Das wird aber jedesmal gesagt und kann auch oft dem betreffenden Kontext entnommen werden. Gerade bei Tupeln gibt es die Nummerierungsindizes der Komponenten (sehr oft als obere Indizes geschrieben), aber auch Indizes zur Bezeichnung von partiellen Ableitungen oder bei mehreren Tupeln zu deren Durchnummerierung. Hier muss man eben sinnvolle Vereinbarungen treffen und auf den Kontext achten.

viii Die Anhänge enthalten wieder Ergänzungen zur Literatur (wobei die Hinweise im Text nach dem Muster „Kamke[1983]“ erfolgen), ein Symbolverzeichnis und das Sachverzeichnis. Dieses ist ein sehr nützliches Hilfsmittel zur Ergänzung der im Text reichlich angegebenen Bezüge; es enthält auch ergänzend die Lebensdaten der zitierten Wissenschaftler. Auf der Homepage http://www.mathematik.uni-dortmund.de/walter/ ﬁndet man Hinweise zu ergänzendem Material z.B. über mengenthoeretische Grundlagen, Verallgemeinerungen auf abstrakte Mannigfaltigkeiten sowie Druckfehler-Verzeichnisse der Bände 1 und 2.

Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Zum Gebrauch des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

Vorwort

1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen . . . . 1.1 Trennung der Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten 1.3 Weitere Typen von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 1.4 Allgemeine Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . .

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2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen . . . . . . . . . . . . 2.1 Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten . . . . . . . . . . . 2.2 Anwendung auf Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen . . . . 2.4 Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

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. 47 . 47 . 58 . 85 . 114

3

Mannigfaltigkeiten im Rn . . . . . . . . . 3.1 Flächenstücke im Rn . . . . . . . . . 3.2 Untermannigfaltigkeiten von Rn . . . 3.3 Anwendung auf Extremalprobleme . . 3.4 Tangentiale Räume und Abbildungen .

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131 132 145 169 193

4

Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Äußerer Kalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Invarianz des äußeren Kalküls . . . . . . . . . 4.5 Anwendung auf totale Differentialgleichungen . 4.6 Integrale längs Abbildungen . . . . . . . . . .

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207 207 212 226 247 253 260

5

Die Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten 5.2 Integrale auf Mannigfaltigkeiten . . . . . 5.3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . 5.4 Metrische Gesichtspunkte . . . . . . . . . 5.5 Klassische Formulierung der Integralsätze

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269 269 285 305 332 346

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1 2 13 28 36

x

Inhaltsverzeichnis

6

Anwendungen und Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Integralsätze in der Funktionentheorie . . . . . . . . . . 6.2 Vom Satz von Stokes zum Brouwerschen Fixpunktsatz . 6.3 Der Approximationssatz von Stone/Weierstraß . . . . . . 6.4 Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

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364 364 384 388 395

7

Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Die Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . 7.3 Punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Gleichmäßige Konvergenz versus Gibbs-Phänomen . 7.5 Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . 7.6 Funktionen von beschränkter Schwankung . . . . . . 7.7 Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen 7.8 Anwendung auf die isoperimetrische Ungleichung . . 7.9 Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit . 7.10 Komplexe Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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405 405 422 435 448 456 459 473 486 489 499

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A Literatur (Ergänzungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 B Wichtige Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind zentrale mathematische Modellbildungen für kontinuierliche Vorgänge. Sie haben zahlreiche Anwendungen überall dort, wo bestimmte Entwicklungsgesetze gelten. Das betrifft fast alle Bereiche, in denen Mathematik zum Zuge kommt, z.B. in den Naturwissenschaften einschließlich der Biologie, der Technik, den Wirtschaftwissenschaften usw. Entwicklungsgesetze sind typisierend für eine gegebene Klasse von Vorgängen, und sie beziehen sich auf innere Gesetzmäßigkeiten, also auf Antriebe, die das Wesen der Vorgänge selbst beschreiben. Es gibt gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen suchen nach Funktionen von einer Veränderlichen, partielle Differentialgleichungen suchen nach Funktionen von mehreren Veränderlichen. Dabei dürfen in der Differentialgleichung Ableitungen der gesuchten Funktion bis zu einer bestimmten Ordnung vorkommen. In diesem Kapitel geht es um gewöhnliche Differentialgleichungen. Die eine unabhängige Veränderliche ist meistens die Zeit, d.h. die Vorgänge sind in vielen Fällen zeitliche Entwicklungen. Das muss aber nicht so sein. Wie immer in der Mathematik ist die Deutung der Variablen allgemein gehalten und dadurch ﬂexibel für die verschiedenen Anwendungen. Eine Differentialgleichung alleine liefert noch keine volle Information darüber, wie ein konkreter Vorgang abläuft. Dazu müssen noch weitere Bestimmungsstücke kommen, insbesondere Anfangs- oder Randbedingungen. Wenn es also um die Eindeutigkeit geht, so muss eine Differentialgleichung zusammen mit solchen Zusatzforderungen betrachtet werden. Tatsächlich kann man die Vielfalt der Lösungen einer Differentialgleichung an den möglichen Zusatzbedingungen ablesen. Dabei werden gerade die Anfangsbedingungen eine wichtige Rolle spielen Vorläuﬁges Vorgehen Die Analysis mit dem Kernstück der Differential- und Integralrechnung gehört zur Grundausstattung einer modernen mathematischen Bildung und wird demgemäß auch frühzeitig gelehrt und gepﬂegt. Beispiele sind hinreichend vorhanden, sodass von einem gewissen Zeitpunkt an eine abstraktere Behandlung einsetzen kann. Bei den Differentialgleichungen ist die Situation etwas anders, da dem Lernenden Beispiele und Anwendungen weniger bekannt sind. Das vorliegende Kapitel dient einer Vorbereitung in dem Sinne, dass konkrete Situationen behandelt und elementare

2

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Lösungsmethoden vorgestellt werden. Die Methoden werden später auf eine gute mathematische Grundlage gestellt, sollen hier aber ganz bewusst auf einer elementaren Ebene diskutiert werden, ganz so wie die Klassiker dieses Bereichs (Euler, Bernoulli und andere) dies zunächst auch getan haben. Die Lösungsmethoden folgen also nicht unbedingt einer streng logischen Deduktion, sie haben vielmehr den Charakter von Algorithmen. Diese Algorithmen erzeugen Lösungsausdrücke, die dann einer mathematisch einwandfreien Diskussion unterzogen werden können. Wir machen die Algorithmen durch Einrahmungen kenntlich, die den Leser darauf hinweisen sollen, dass die Ergebnisse kritisch überprüft werden müssen. Allgemeingültige Werkzeuge dazu werden sich im weiteren Verlauf ergeben, insbesondere durch die später zu beweisenden Existenz- und Eindeutigkeitssätze (A[2.2], H[2.2]).

1.1

Trennung der Veränderlichen

Der einfachste „innere Antrieb“ ist: Die Geschwindigkeit des Zuwachses ist proportional zum vorhandenen Bestand. Solche und ähnliche Wachstumsgesetze können in vielen Fällen durch die in der Überschrift genannte Methode gelöst werden. A. Beispiel (exponentielles Wachstum). Man denke an eine Populationen von sich vermehrenden Individuen, z.B. eine Bakterienkultur. Die gesuchte Funktion ist die Anzahl y.t/ der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit t . Die modellierende Annahme ist: Der Zuwachs pro Zeiteinheit ist konstant proportional zur augenblicklichen Größe der Population: (1)

y.t C h/ y.t / y WD k y.t /: t h

Dabei ist k 2 RC eine Konstante, die aus dem Experiment bekannt sein muss. Wir haben absichtlich das Zeichen „“ geschrieben, da das Zeitintervall t noch nicht ﬁxiert ist. Tatsächlich erhält man das „richtige“ mathematische Modell, indem man den Differenzenquotienten in (1) durch die Ableitung ersetzt. Die Forderung lautet also endgültig: (d)

y 0 .t / D k y.t /:

In dieser Idealisierung steckt außerdem, dass y.t / nicht nur ganzzahlige Werte annimmt, sondern auch solche aus R. (d) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für die gesuchte Funktion y. Sie hat die Ordnung 1, da die gesuchte Funktion und ihre erste Ableitung in ihr vorkommen.

Abschnitt 1.1

3

Trennung der Veränderlichen

Die Entwicklung einer konkreten Population erfordert die Kenntnis der Zahl y0 zu einem festen Zeitpunkt t0 : y.t0 / D y0 :

(a)

Das ist eine Anfangsbedingung. Anfangsbedingung und Differentialgleichung zusammen bilden ein Anfangswertproblem. Eine Differentialgleichung sagt, wie es inﬁnitesimal weitergeht, und man soll herausﬁnden, wie es überhaupt weitergeht. „Überhaupt“ kann bedeuten: „lokal“, also in einer Umgebung von t0 , oder vielleicht sogar „global“, d.h. für alle Zeiten t . Die meisten Naturgesetze und Fragestellungen sind von dieser Art. Lösungsalgorithmus y 0 D ky y0 Dk y

(Trennung der Veränderlichen)

.ln jyj/0 D k ln jyj D kt C a;

a D const.

jyj D e ktCa D e a e kt D ˛e kt

(Integration beider Seiten) (Substitution ˛ WD e a )

y D ˙˛e kt y D Ae kt

(Substitution A WD ˙˛):

Kommentar zum Lösungsalgorithmus: Der erste Schritt ist die Isolierung der Veränderlichen auf den beiden Seiten der Gleichung: Links kommt alles, was nur die abhängige Veränderliche betrifft (hier y), rechts alles, was die unabhängige Veränderliche (hier t ) angeht. Da t in der Differentialgleichung zufällig nicht vorkommt, steht hier rechts nur das k. Bis dahin ist das die Trennung der Veränderlichen. Der nächste Schritt ist die Integration der beiden Seiten, d.h. die Aufﬁndung von Stammfunktionen. Dabei reicht es, auf einer der beiden Seiten die Konstante der unbestimmten Integration einzubringen (hier a). Die restlichen Schritte sind einfache algebraische Substitutionen, wobei hier die Besonderheit herrscht, dass die Stammfunktionen von y 0 =y durch ln jyj gegeben ist (wirksam für y < 0).

4

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Warnung: Diese Schritte sind nicht streng deduktiv! Zum Beispiel wird nicht konsequent unterschieden zwischen einer Funktion und ihren Auswertungen, also zwischen y und y.t/. Außerdem weiß man beim ersten Schritt gar nicht, ob y Nullstellen hat, bringt aber „unverdrossen“ das y in den Nenner. Trotzdem ist das Vorgehen algorithmisch klar deﬁniert und sollte hier und im Folgenden so aufgefasst werden. Tatsächlich machen moderne Computeralgebra-Programme auch nichts anderes! So lautet der Lösungsbefehl im Programm Maple: dsolve(diff(y(t),t) = k*y(t));; und er produziert: y .t / D _C1 e kt ; wobei zu beachten ist, dass die oben mit A bezeichnete Konstante im Programm routinemäßig mit _C1 bezeichnet wird. Hiernach ist zu erwarten, dass die Lösungsfunktionen der Differentialgleichung (d) genau die der Bauart t 7! Ae kt sind. Das muss aber nun einwandfrei bewiesen werden! Glücklicherweise ist das bei diesem Beispiel schon geschehen, nämlich in Ana-1: I(ii)[4.3]. Soll nun aus dieser Lösungsgesamtheit die Lösung des Anfangswertproblems herausgeﬁltert werden, so fordert man eben die Gleichung (a) für den erhaltenen Lösungsausdruck: Ae kt0 D y0 () A D y0 e kt0 : Das geht also mit genau einem Wert der Konstanten A und liefert als eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems: y D y0 e kt0 e kt D y0 e k.t t0 / :

Eine Beobachtung kann man hier schon machen: Die Lösungen einer Differentialgleichung sind i. Allg. nicht eindeutig bestimmt, sondern hängen von zusätzlichen Konstanten (sog. Integrationskonstanten) ab, hier z.B. von A. Unter günstigen Bedingungen sind Anfangswertprobleme eindeutig lösbar.

Abschnitt 1.1

5

Trennung der Veränderlichen

Natürlich kann man aus einem Beispiel nicht solche allgemeinen Weisheiten ableiten. Wir haben hier eben schon vorgegriffen und den Existenz- und Eindeutigkeitssatz in Gedanken vorweggenommen.

B. Beispiel. Das gleiche Modell liegt dem radioaktiven Zerfall einer Substanz zugrunde, lediglich mit negativer Konstante k D c, wobei c als Zerfallskonstante bezeichnet wird. Die Anzahl der radioaktiven Teilchen N.t / der Substanz erfüllt: N 0 .t/ D cN.t /, und daraus folgt hier ein exponentielles Abklingen von der Anfangszahl N0 aus: N.t/ D N0 e c.tt0 / . Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne h, in der sich die Zahl der radioaktiven Teilchen halbiert. Die Bestimmungsgleichung dafür lautet also N0 e ch D

1 N0 2

mit der Lösung

hD

ln 2 : c

C. Beispiel (zur Epidemiologie). In einer Bevölkerung mit N Einwohnern gebe es genau zwei Klassen von Personen: die gesunden, aber ansteckbaren und die bereits erkrankten, also infektiösen Menschen. Es bezeichne ˇ 20; 1 die mittlere Wahrscheinlichkeit, dass ein kranker Mensch einen gesunden Menschen pro Zeiteinheit ansteckt. Die Krankenzuwachsrate (Inzidenz) bei s Gesunden und i Kranken ist also ˇ s i. Die Ansteckungsgefahr der Erreger (Virulenz) kann sich im Laufe der Zeit in der Weise verändern, dass ˇ eine (gegebene) Funktion der Zeit t ist. Zum Zeitpunkt t D 0 gebe es a infektiöse Personen mit 0 < a < N . Man stelle das zugehörige Anfangswertproblem auf und löse es für den Fall ˇ.t / D

1 : 1Ct

Lösung: N ist fest, und es gilt i C s D N . Es werde i DW y genannt. Dann lautet das Anfangswertproblem y 0 D ˇ.t / .N y/ y;

y.0/ D a:

Eine Differentialgleichung dieser Bauart nennt man eine logistische Gleichung. Es ist üblich (wenn auch nicht ganz konsequent), die Variablen nur dann zu schreiben, wenn es nötig ist. Selbstverständlich hängt y von t ab, sodass die Differentialgleichung eigentlich als y 0 .t/ D ˇ.t / .N y.t // y.t / oder als y 0 D ˇ .N y/ y zu schreiben wäre. Von jetzt ab werde das gegebene ˇ verwendet:

6

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Lösungsalgorithmus y0 D

1 .N y/y 1Ct

y0 1 D .N y/y 1Ct 1 1 1 1 y0 D N y yN 1Ct

(Trennung der Veränderlichen)

1 .ln jyj ln jy N j/ D ln j1 C t j C c1 N ˇ ˇ ˇ y ˇ ˇ D N ln j1 C t j C c1 N ln ˇˇ yNˇ

(Integration beider Seiten)

Der Lösungsalgorithmus wurde hier unterbrochen, obwohl y noch nicht bestimmt ist. Der Grund ist, dass in die Fortsetzung jetzt gleich die natürliche Annahme eingebracht werden kann, dass y, y N und 1 C t positiv sind. Hier können also aufgrund dieser besonderen Annahme die Betragsstriche weggelassen werden. Die Weiterführung des Algorithmus besteht nun im Wesentlichen in der Auﬂösung nach y: Lösungsalgorithmus – Fortsetzung y D .1 C t /N .˙e c1 N / yN

(Anwendung von exp)

y D .1 C t /N c2 yN

(Substitution c2 WD ˙e c1 N )

yD

N 1 .1 C t /N c12

(Isolieren von y)

yD

N 1 C c3 .1 C t /N

(Substitution c3 WD 1=c2 )

Dabei ist, wie schon in Beispiel A, eine Serie von Substitutionen der Konstanten erfolgt: c1 ! c2 ! c3 . Dies geschieht allein aus Gründen de Vereinfachung. Es handelt sich nicht etwa um mehrere unabhängige Konstanten, die erzielten Lösungen hängen nur von einer Integrationskonstanten ab. Allerdings müssen die Substitutionen dieser Konstanten so erfolgen, dass ihr Wertebereich erhalten bleibt. Verfolgt man diese Serie, so sieht man, dass dieser – in c3 ausgedrückt – durch c3 ¤ 0 beschrieben wird.

Abschnitt 1.1

7

Trennung der Veränderlichen

Die vom Algorithmus produzierte Lösungsgesamtheit wird durch die letzte Zeile des zweiten Kastens gegeben. Was nun zur Rechtfertigung einsetzen muss, ist auf jeden Fall die Probe dafür, dass der Lösungsausdruck wirklich die Differentialgleichung erfüllt. Das ist der Fall, sollte allerdings vom Leser selbst durchgeführt werden. Mehr kann man vorläuﬁg nicht tun (vgl. jedoch Abschnitt 1.4). Um nun noch das Anfangswertproblem zu lösen, hat man die Konstante c3 so zu bestimmen, dass y.0/ D a wird. Das führt auf die Gleichung N Da 1 C c3

mit der Lösung

c3 D

N a : a

Mit diesem c3 liefert dann die letzte Zeile des zweiten Kastens die Lösung des Anfangswertproblems. Hier würde sich natürlich jetzt noch die Diskussion des Kurvenverlaufs anschließen, was aber eine elementare Aufgabe ist und nichts mehr mit Differentialgleichungen zu tun hat. Anhand dieser Beispiele wurden die Prinzipien dieser Lösungsalgorithmen ausführlich erläutert. Bei den folgenden Beispielen können wir uns kürzer fassen, da die Grundsätze die gleichen sind. D. Beispiel (Leibnizens Taschenuhr oder die Traktrix). Eine Taschenuhr P ist an einer Schnur der Länge a > 0 befestigt, deren anderes Ende Z an der Tischkante entlang gezogen wird; vgl. das Bild. Das Modell ist hier, dass die Zugschnur PZ in P stets tangential zur Bahn der Uhr ist. Diese sei mittels x 7! y.x/ dargestellt. Man entnimmt dem Bild: p 0

y D

a2 x 2 : x

Das ist die Differentialgleichung. Hinzu kommt die Anfangsbedingung: y.a/ D 0: Die Lösung der Differentialgleichung ist hier sehr einfach, da y 0 explizit als Funktion

8

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

von x gegeben ist. Es ist nur die Aufﬁndung einer Stammfunktion erforderlich: p Z p 2 a x2 a C a2 x 2 p 2 y.x/ D dx D a ln a x 2 C c: x x Das Integral kann nach der Vorschrift von Ana-1: G(i)[8.7] oder mit der Substitution x D a cos t ausgewertet werden. Berücksichtigung der Anfangsbedingung liefert den Wert der Integrationskonstante c: y.a/ D 0 () a ln 1 0 C c D 0 () c D 0: Die Lösung des Anfangswertproblem ist somit: p a C a2 x 2 p 2 a x2; y D a ln x

x > 0:

Die Lösungskurve heißt Traktrix oder Zugkurve. Die Aufﬁndung einer Stammfunktion ist also Spezialfall einer Trennung der Veränderlichen und somit Spezialfall der Lösung einer Differentialgleichung. Aus diesem Grund hat es sich eingebürgert, die Lösung einer Differentialgleichung allgemein als Integration der Differentialgleichung zu bezeichnen. Die Lösungen heißen dann auch Integrale der Differentialgleichung. Hinweis: Dreht man eine Traktrix um die y-Achse (wobei die .x; y/-Ebene als Teil des R3 gedacht ist), so entsteht eine sog. Pseudosphäre. Diese ist ein (lokales) Modell der Nicht-Euklidischen hyperbolischen Geometrie in der Dimension 2. Vgl. das folgende Bild:

E. Beispiel (Kettenlinie). Welche Gestalt hat eine frei hängende Kette (also ohne Steiﬁgkeit) zwischen den Aufhängepunkten A und B?

Abschnitt 1.1

Trennung der Veränderlichen

9

Zur Aufstellung des Modells braucht man einige einfache Kenntnisse aus der Physik oder Mechanik. Das ist übrigens ein generelles Erfordernis bei allen Modellierungen: Nur wer sich in dem betreffenden Anwendungsfach auskennt, kann auf sinnvolle Weise eine vorgegebene Fragestellung dieses Fachs in ein mathematisches Problem übersetzen. Das gilt auch für „ganz große“ Probleme, wie z.B. die Elektrodynamik. Oftmals kann ein Feld von Erscheinungen, die einigermaßen zusammengehören, mit Glück und Erﬁndungsgabe mathematisch strukturiert werden. So entsteht dann der Versuch einer mathematischen Theorie. Auf diese Weise hat Maxwell die Erscheinungen bei bewegten Ladungen und Magneten in die nach ihm benannten Gleichungen eingebettet. Natürlich müssen aus dieser mathematischen Theorie Folgerungen und Vorhersagen abgeleitet werden. Stimmen die dann mit der Realität überein und ist das hinreichend oft der Fall, so kann die mathematische Theorie mit einem gewissen Recht als gültig betrachtet werden. Hinzukommen sollte allerdings auch die Geschlossenheit (oder wenn man will die „Schönheit“) einer solchen Theorie. In der Elektrodynamik jedenfalls hat sich diese innere und äußere Konsistenz auf glänzende Weise bestätigt, sodass die Maxwellschen Differentialgleichungen seit langem zum festen Bestandteil der Physik gehören. Zurück zur Kettenlinie! Die Fragestellung wird durch folgendes Bild erläutert: C : tiefster Punkt mit horizontaler Tangente. Gleichgewichtsbedingungen für das Stück CP : T cos ˛ D H T sin ˛ D s D Gewicht von CP Dabei ist WD speziﬁsches Gewicht der Kette s WD Bogenlänge von C P T WD Tangentialspannung in P D .x; y/ H WD Horizontalspannung in C D .0; h/: Das speziﬁsche Gewicht ist das Gewicht pro Längeneinheit; es wird hier als konstant angenommen. Die Division der Gleichgewichtsbedingungen liefert zusammen mit dem Bogenlängenausdruck aus Ana-1: H[9.1] die modellierende Differentialglei-

10

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

chung: Z

s ; y D tan ˛ D H 0

y 00 D

p 1 C .y 0 .t //2 dt

0

0 s; H

s0 D

y 00 D

x

sD

H

q

q

1 C y02

(HDI)

1 C y 02:

Die Anfangsbedingung ist hier: y.0/ D h;

y 0 .0/ D 0:

Die Differentialgleichung ist von zweiter Ordnung, da in ihr y 00 , aber keine höheren Ableitungen der unbekannten Funktion y vorkommen. Dementsprechend gibt es auch zwei Anfangsbedingungen. Kommentar zum Lösungsalgorithmus der nächsten Seite: Der erste Schritt ist hier möglich, da y nicht in der Differentialgleichung vorkommt, es sich also zunächst um eine Differentialgleichung für y 0 handelt. Im dritten und vierten Schritt wurde die Trennung der Veränderlichen gegenüber dem bisherigen Vorgehen abgeändert: Man schreibt die Ableitung als Differentialquotient und behandelt dessen Zähler und Nenner, also die Differentiale dw und dx als unabhängige Variable. Alles mit w und dw kommt nach links, alles mit x und dx nach rechts. (In diesem Beispiel kommt allerdings x zufällig nicht vor.) Dann wird auf beiden Seiten nach der jeweiligen Variablen integriert. Diese Manipulationen sind Teil des Algorithmus (und wären außerhalb dessen kritisch zu betrachten). Die weiteren Schritte verstehen sich wie angemerkt. Man überlegt: Durch die neue Art der Trennung der Veränderlichen erspart man sich die Anwendung der Substitution beim Aufsuchen der Stammfunktion. Wiederum sollte sich die Probe dafür anschließen, dass der gefunden Lösungsausdruck (bei beliebiger Wahl der Konstanten b, c) die Differentialgleichung befriedigt. Dann ist auf präzise Weise klargestellt, dass man auf eine „zweiparametrige“ Lösungsmenge gestoßen ist. Die Freiheit in der Wahl von b, c kann man jetzt ausnutzen, um die Lösung an die Anfangsbedingungen anzupassen: 9 8 H H ˆ = () > ˆ ; : y 0 .0/ D 0 () 0 D sinh b b D 0: y.0/ D h () h D

Abschnitt 1.1

11

Trennung der Veränderlichen

Lösungsalgorithmus w WD y 0

(Substitution)

p 1 C w2 H dw p 1 C w2 D dx H w0 D

dw p D dx 2 H 1Cw Z Z dw p D dx H 1 C w2

(Trennung der Veränderlichen)

(Integration beider Seiten)

xCb H D sinh xCb H xCb D sinh H Z x C b dx D sinh H H D cosh xCb Cc H

arsinh w D w y0 y y

(b Integrationskonstante) (Auﬂösung nach w) (Resubstitution)

(c Integrationskonstante):

Die Lösung des Anfangswertproblems lautet also: yD

H H cosh x C h : H

Auch in der allgemeinen Situation – kein Punkt mit horizontaler Tangente im Verlauf der Kette – ergäbe die Herleitung die Lösungsgestalt y D y0 C k cosh

x x0 ; k

wobei x0 ; y0 Integrationskonstante und k eine Materialkonstante ist. Kurven dieser Gestalt heißen Kettenlinien. Entgegen einer landläuﬁgen Ansicht nimmt also eine frei hängende Kette keineswegs Parabelgestalt an. Hinweis: Die Rotation der Kettenlinie y D k cosh.x=k/ um die x-Achse liefert ein sog. Katenoid. Das ist eine spezielle Minimalﬂäche. Solche Flächen realisieren, grob

12

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

gesprochen, die kleinste Oberﬂäche bei festgehaltenem Rand. Sie entstehen auch physikalisch als Seifenhäute, wenn der Rand durch eine oder mehrere Drahtschleifen ﬁxiert ist und diese aus einer Seifenlauge herausgehoben werden. Im Falle des Katenoids (rechtes Bild) besteht der ﬁxierte Rand aus den beiden gleichgroßen Abschlusskreisen, die sich mit gemeinsamer Achse parallel gegenüberstehen.

Kettenlinie und Katenoid

Aufgaben und Anmerkungen 1. Man löse folgende Anfangswertprobleme und diskutiere die Lösungen: a xy ; y a) y 0 D 2 D 1 (a eine positive Konstante). x a2 2 b)

y0 D

x2y ; xC1

y.0/ D 1.

c) y 0 D e y sin x; d)

y0 D

y ln x ; x ln y

y.0/ D 1. y.1/ D 2.

2. Man löse das Anfangswertproblem y 00 D 2xy 0 ; y.0/ D 3; y 0 .0/ D 2, indem man es zunächst als Anfangswertproblem für y 0 betrachtet. 3. Zur Epidemiologie: In Beispiel C war die Entwicklung der Krankenzahl y.t / unter der Annahme ˇ.t / WD 1=.1 C t / untersucht worden. a)

Man berechne hierfür lim t!1 y.t / D N und schließe daraus, dass niemand die Hoffnung haben kann, gesund zu bleiben. Man kann das so aussprechen: Die Anzahl der Erkrankten wird schließlich stabil bei N .

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

13

b)

Das Modell werde abgeändert durch die Annahme ˇ.t / WD e t . Man zeige: Jetzt wird die Anzahl der Erkrankten ebenfalls schließlich stabil, aber bei einem Wert < N.

c)

Welche Möglichkeiten für den Grenzwert lim t!1 y.t / gibt es generell, wenn die Funktion ˇ W Œ0; 1Œ ! R nur Werte 0 annimmt?

4. Die Beschleunigung, d.h. die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit v eines Körpers im freien Fall setzt sich zusammen aus der Erdbeschleunigung g und dem Reibungswiderstand v 2 der Luft, wobei g und als positive Konstanten angesehen werden. Es werde alles nach oben positiv gerechnet (sowohl der zurückgelegte Weg wie die Geschwindigkeit). Dann gilt also dv D g C v 2 : dt a)

Man löse das zugehörige Anfangswertproblem mit v.t0 / D v0 .

b)

Man diskutiere das Verhalten von v für lange Zeiträume.

c)

Man berechne die Höhe h.t / des Körpers, falls h.t0 / D h0 > 0 vorgegeben ist.

Hinweis: Die vorausgesetzte Konstanz von g entspricht der Annahme, dass das Gravitationsfeld der Erde im Bereich des zurückgelegten Weges unveränderlich ist (was nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz nur eine Annäherung darstellt).

1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

Lineare Differentialgleichungen enthalten die unbekannte Funktion y und ihre Ableitungen y 0 (eventuell y 00 usw.) nur linear. Die Koefﬁzienten von y und der Ableitungen sowie die „Inhomogenität“ dürfen dabei noch Funktionen von x sein (eine genaue Begriffsbestimmung erfolgt später in Abschnitt 1.4). Beispiele linearer Differentialgleichungen sind in A[1.1] und D[1.1] aufgetreten. A. Beispiel. Die Gleichung (1)

y 0 D 2xy C x 3

ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, da sie nur y und y 0 und diese nur in erster Potenz enthält. Der von y freie Term, die sog. Inhomogenität, ist hier x3.

14

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die zugehörige homogene Gleichung entsteht, indem man die Inhomogenität weglässt. Sie lautet hier y 0 D 2xy:

(2)

Beide Differentialgleichungen haben natürlich verschiedene Lösungsgesamtheiten, die jedoch in einer bestimmten Weise untereinander zusammenhängen (genau wie bei linearen Gleichungssystemen). Dieser Zusammenhang wird später auseinandergesetzt. Was aber hier die konkrete Lösung ermöglicht, besteht aus zwei Teilen: der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und der darauf aufbauenden „Variation der Konstanten“. Zur Lösung der homogenen Gleichung kann man bei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung immer die Trennung der Veränderlichen verwenden. Hier bei Gleichung (2) liefert das die Lösungen (man rechne selbst): y D A ex

2

mit Integrationskonstante A;

und es ist kein Problem zu bestätigen, dass diese Funktionen wirklich (2) erfüllen. Der Ansatz für das inhomogene Problem lauetet nun y D A.x/ e x

2

mit neuer Funktion A.x/:

Dieser Ansatz wird als Variation der Konstanten bezeichnet. Geht man mit diesem Ansatz in (1) hinein, so lässt sich A.x/ in Äquivalenzschritten bestimmen: y0 2

D 2xy C x 3 2

2

() A0 e x C Ae x 2x D 2xAe x C x 3 2

()

A0 e x

()

A0

()

A

D x 3 e x Z 2 D x 3 e x dx

()

A

D

D x3 2

x 2 C 1 x 2 Ca e 2

(neue Differentialgleichung) (Stammfunktion reicht) (Ausführung Integration).

Das letzte Integral lässt sich leicht mit der Substitution x 2 D w und anschließende Produktintegration ausführen. Es ergibt sich als Lösungsgesamtheit von (1) x 2 C 1 x 2 x2 C 1 2 2 yD C a e x D ae x e 2 2

(Integrationslonstante a 2 R):

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

15

An der Endformel zeigt sich, was später allgemein herauskommen wird: „Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.“ Das Vorgehen in diesem Beispiel ist generell anwendbar: Bei einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist die homogene Gleichung stets durch Trennung der Veränderlichen behandelbar. Die anschließende Variation der Konstanten besteht darin, in dem Lösungsausdruck der homogenen Gleichung die Integrationskonstante durch eine neue unbekannte Funktion von x zu ersetzen und diese so zu bestimmen, dass die inhomogene Gleichung erfüllt ist. Eine lineare Differentialgleichung beliebiger Ordnung ist homogen, wenn sie durch die Funktion y D 0 erfüllt wird. Tatsächlich bildet dann die Gesamtheit der Lösungen einen Vektorraum. Denn man kann ohne Mühe bestätigen, dass mit jeder Lösung u auch alle Vielfachen ˛ u (˛ konstant in R) Lösungen sind, und ebenso, dass mit zwei Lösungen u, v auch die Summe u C v Lösung ist. Unter günstigen Umständen ist die Dimension dieses Vektorraums endlich, nämlich gleich der Ordnung der Differentialgleichung. Auf lineare Differentialgleichungen und die Variation der Konstanten im zugehörigen inhomogenen Fall kommen wir allgemein in J[2.3], K[2.3] zurück. Was man nicht erwarten kann ist, dass die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung immer durch Stammfunktionen ausgedrückt werden können. Einen wichtigen Unterfall allerdings gibt es, wo dies und noch viel mehr möglich ist, nämlich bei konstanten Koefﬁzienten: Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koefﬁzienten Solche Differentialgleichungen treten in vielen Bereichen bei einfachen Modellierungen auf, bei der Ordnung 1 z.B. in den Elementen der Wirtschaftsmathematik: B. Beispiel. In der Ökonometrie entsteht ein (simples) Modell für die Entwicklung des Reallohns y.t / in Abhängigkeit von der Zeit t , indem man annimmt, dass die Ableitung von y konstant proportional zur Überschussnachfrage ist. Diese ist die Differenz aus Arbeitsnachfrage und Arbeitsangebot, die beide als afﬁne Funktionen des Lohns angenommen werden. Die modellierende Differentialgleichung hat dann die Gestalt y 0 D A C By mit gegebenen Konstanten A; B 2 R. Die Lösung ist hier durch Trennung der Veränderlichen möglich, könnte aber auch mit den folgenden Ansätzen, kombiniert mit Variation der Konstanten erreicht werden. In diesem Fall reichen also die obigen Methoden.

16

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Im Folgenden diskutieren wir den für viele Anwendungen wichtigen Fall der Ordnung 2. Eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten Koefﬁzienten kann auf die Form gebracht werden: (3)

y 00 C a1 y 0 C a0 y D g.t /;

a0 ; a1 reelle Konstante;

worin g eine gegebene reelle Funktion (deﬁniert auf einem Intervall) ist. Die Variable heiße jetzt t (natürlich auch bei y), da es sich in den Anwendungen oftmals um die Zeit handelt. (Ableitungen nach der Zeit werden dort auch durch Punkte bezeichnet. Wir bleiben aber bei der neutralen mathematischen Bezeichnung durch Striche.) C. Beispiele. (i) Mechanische Schwingungen. Eine Masse ist mit einer elastischen Feder verbunden, die dem Hookeschen Gesetz folgt (Rückstellkraft proportional zur Auslenkung y). Kombiniert mit dem Newtonschen Aktionsprinzip gilt: m y 00 D D y. Dabei ist m die Masse und D die Federkonstante des Hookeschen Gesetzes.

Die Masse werde in ihrer Bewegung gehemmt durch eine rauhe Unterlage. Diese verursacht eine Reibungskraft, die modellhaft als proportional zu Geschwindigkeit angenommen sei. Dadurch vermindert sich der Beschleunigungsterm m y 00 weiter um eine Größe der Bauart r y 0 mit r > 0. Wirkt außerdem eine gegebene zeitlich veränderliche äußere Kraft K auf die Masse, so entsteht schließlich eine Differentialgleichung der Gestalt: my 00 C ry 0 C Dy D K.t /: Da m, r und D in der Zeit fest sind und m > 0 gilt, entsteht nach Division mit m eine Differentialgleichung des Typs (3). (ii) Elektrischer Schwingkreis. Das Bild zeigt die zu diskutierende Schaltung, bestehend aus einem Kondensator mit Kapazität C , einem Widerstand der Größe R, einer Spule mit Induktion L und einem Generator mit zeitlich veränderlicher Spannung V .t /.

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

17

U.t/: gesuchte Spannung am Kondensator V .t /: gegebene von außen angelegte Spannung (Generator)

Die zuständigen physikalischen Gesetze sind, formuliert für die Ladungsmenge Q am Kondensator und die dortige Stromstärke J sowie die drei Spannungen: UC D U am Kondensator, UR am Widerstand und UL an der Spule: U D UC D

Q ; C

UR D RJ;

UL D LJ 0 :

Die mittlere Gleichung ist das Ohmsche Gesetz. Wegen J D Q0 folgt UR D RQ0 D RC U 0 ;

UL D LQ00 D LC U 00 :

Nach der zweiten Kirchhoffschen Regel ist die Summe aller Spannungen in der „Masche“ gleich 0: UC C UR C UL C V D 0: Das ergibt

LC U 00 C RC U 0 C U D V .t /:

Nach Division mit LC (im Fall LC ¤ 0) ist diese Gleichung wieder genau vom Typ (3).

Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koefﬁzienten Hier geht es um die zu (3) gehörende homogene Gleichung. (4)

y 00 C a1 y 0 C a0 y D 0;

a0 ; a1 reelle Konstante:

Dazu macht man einen Exponentialansatz der folgenden Gestalt mit noch zu bestimmendem konstantem y D e t : Geht man damit in (4) hinein, so ergibt sich 2 e t C a1 e t C a0 e t D 0;

18

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

also äquivalent 2 C a1 C a0 D 0:

(5)

Genau wenn diese quadratische Gleichung erfüllt, ist e t Lösung von (4). Gleichung (5) wird die charakteristische Gleichung, ihre linke Seite charakteristisches Polynom von (4) genannt. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung seien 1 und 2 . Zur Abkürzung sei gesetzt E1 .t / WD e 1 t ;

E2 .t / WD e 2 t :

Es gilt dann E10 D 1 E1 ;

E20 D 2 E2

E100 D 21 E1 ;

E200 D 22 E2 ;

und entsprechend für die höheren Ableitungen. Die Behandlung unterscheidet sich nun je nach Beschaffenheit von 1 und 2 : Zunächst seien 1 ¤ 2 und reell angenommen. Auf jeden Fall sind mit E1 , E2 auch alle Linearkombinationen c1 E1 Cc2 E2 (c1 , c2 reelle Konstante) wiederum Lösungen, wie unmittelbar aus der Linearität der Differentialgleichung (4) folgt. Es sieht also danach aus, dass der Lösungsraum von (4) die Dimension 2 hat. Das ist aber keineswegs selbstverständlich und bedarf eines Beweises: D. Satz. Im Fall reeller 1 ¤ 2 ist E1 ; E2 eine Basis des Lösungsraums der Differentialgleichung (4), dieser also zweidimensional. Beweis. Zu zeigen ist zweierlei: 1) E1 ; E2 sind linear unabhängig: Angenommen, für zwei reelle Koefﬁzienten gilt c1 E1 C c2 E2 D 0: Ableiten dieser Gleichung gibt c1 1 E1 C c2 2 E2 D 0: Das lineare Gleichungssystem, bestehend aus den letzten beiden Gleichungen kann eindeutig nach c1 , c2 aufgelöst werden, da seine Determinante nicht verschwindet: ˇ ˇ ˇ E1 E2 ˇˇ ˇ ˇ1 E1 2 E2 ˇ D .2 1 /E1 E2 ¤ 0:

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

19

Es gibt also nur die Null-Lösung c1 D c2 D 0. 2) Jede Lösung y von (4) ist eine Linearkombination von E1 ; E2 : Wenn y eine Linearkombination von E1 ; E2 mit konstanten Koefﬁzienten c1 , c2 sein soll, so gilt (6)

y D c1 E1 C c2 E2 y 0 D c1 E10 C c2 E20

(7)

y 0 D c1 1 E1 C 2 c2 E2 :

Die zwei (nummerierten) Gleichungen kann man als lineares Gleichungssystem für c1 , c2 betrachten. Da seine Determinante ¤ 0 ist, könnte es (z.B. mit der Cramerschen Regel) eindeutig nach c1 , c2 aufgelöst werden. Würde sich aus den erhaltenen Lösungsformeln c10 D c20 D 0 deduzieren lassen, so wäre man fertig, da dann ja (6), (7) konstante Auﬂösungen nach c1 , c2 besitzt. Diese Rechnung lässt sich in der Tat durchführen, ist aber rechnerisch umständlich. Stattdessen kann man äquivalent die Gleichungen (6), (7) differenzieren (ohne vorab zu wissen, dass c1 , c2 konstant sind) und dann auf das Verschwinden ihrer Ableitungen schließen: Differenzieren von (6), (7) liefert zunächst (8)

y 0 D c10 E1 C c20 E2 C c1 1 E1 C c2 2 E2

(9)

y 00 D c10 1 E1 C c20 2 E2 C c1 21 E1 C c2 22 E2 :

Vergleich von (7) und (8) ergibt c10 E1 C c20 E2 D 0: Multipliziert man andererseits (6) mit a0 , (7) mit a1 und (9) mit 1 und addiert auf, so ergibt sich wegen der Gültigkeit von (4) und der charakteristischen Gleichung für 1 und 2 : 0 D c10 1 E1 C c20 2 E2 : Aus den beiden letzten Formelzeilen folgt in der Tat c10 D c20 D 0, da die Determinante dieses linearen Gleichungssystems für c10 , c20 wie bei 1) nicht verschwindet. Unabhängig von der obigen Motivierung ist damit gezeigt, dass das lineare Gleichungssystem (6), (7) eine eindeutig bestimmte Lösung .c1 ; c2 / besitzt, die sogar unabhängig von t ist. Die zwei Lösungen 1 ¤ 2 der charakteristischen Gleichung können auch komplex werden, wegen der reellen Koefﬁzienten a0 , a1 in der Gleichung allerdings nur konjugiert komplex. Direkte physikalische Bedeutung haben komplexe Objekte nicht. Jedoch können aus ihnen destillierte reelle Größen eine reale Bedeutung erlangen.

20

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Nötig wären also in diesem Fall reelle Basislösungen. Die kann man aber leicht durch Austausch gewinnen. Sei dazu mit reellen ˛, ˇ: (10)

1 D ˛ C iˇ;

2 D ˛ iˇ;

ˇ ¤ 0:

Damit wird: e 1 t D e ˛tCiˇ t D e ˛t .cos ˇt C i sin ˇt / (11)

e 2 t D e ˛tiˇ t D e ˛t .cos ˇt i sin ˇt /:

Die gewünschten reellen Basisfunktionen erhält man nun einfach durch Umkehrung dieser Gleichungen: 1 1 t C e 2 t e e ˛t cos ˇt D 2 (12) 1 1 t e e 2 t : e ˛t sin ˇt D 2i Die linken Seiten hierin sind damit als Linearkombinationen von E1 .t / und E2 .t / dargestellt, allerdings mit komplexen Koefﬁzienten. Das ist aber nicht störend. Denn die obigen Überlegungen zur Basis E1 , E2 gehen mit komplexen Koefﬁzienten c1 , c2 genauso durch. Insbesondere bilden E1 , E2 eine C-Basis des C-Vektorraums aller komplexwertigen Lösungen von (4). Da die Umrechnungsformeln (11), (12) einen komplexen Basiswechsel beschreiben, haben die linken Seiten von (12) ebenfalls die Basiseigenschaft, und zwar zunächst im komplexen Sinne und dann auch im reellen Sinne, da es sich um reelle Funktionen handelt. Damit ist klar: E. Satz. Im Fall echt komplexer Nullstellen 1 ¤ 2 (10) bilden die Funktionen e ˛t cos ˇt;

e ˛t sin ˇt

eine reelle Basis des Lösungsraums der Differentialgleichung (4).

Nun zum Fall 1 D 2 , wobei zwangsläuﬁg 1 reell ist: Hier liefert der Exponentialansatz nur eine Lösung E1 .D E2 / der Differentialgleichung (4). Plausibilitätsbetrachtung zur Erzeugung einer zweiten Lösung: Man beobachtet das Zusammenfallen von 1 und 2 vom Zustand des Verschiedenheit aus: 1 ¤ 2 . Dann ist mit e 1 t , e 2 t auch (13)

e 1 t e 2 t 1 2

eine Lösung (die Lösungen bilden ja einen Vektorraum). Beim Grenzübergang 2 ! 1 geht (13) in die Ableitung von e t nach an der Stelle 1 über, und diese ist e 1 t t:

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

21

Warnung: Diese Überlegung ist nicht exakt, da die Vertauschung von Grenzübergang und Lösung nicht begründet ist. Trotzdem kann man unabhängig zeigen: F. Satz. Im Fall 1 D 2 bilden die Funktionen E1 .t / D e 1 t ;

tE1 .t / D t e 1 t ;

eine Basis des Lösungsraums der Differentialgleichung (4). Der Lösungsraum ist also wiederum zweidimensional. Beweis. Die Argumentation verläuft analog zum Beweis von Satz D. Insbesondere sind die beiden genannten Funktionen wirklich Lösungen von (4), sie sind linear unabhängig, und jede Lösung von (4) ist als Linearkombination dieser zwei Funktionen darstellbar. Da dies nochmals als Resultat der allgemeinen Theorie herauskommen wird, wollen wir es hier bei dieser Skizze belassen. Vgl. S(iii)[2.3]. G . Deﬁnition. Jede Basis F1 ; F2 des Lösungsraums der Differentialgleichung (4) heißt ein Fundamentalsystem von (4).

Variation der Konstanten Wir gehen nun zur inhomogenen Gleichung (3) über: (I-H)

y 00 C a1 y 0 C a0 y D g.t/:

Die Koefﬁzienten a0 , a1 sind reelle Konstante und g ist eine gegebene stetige Funktion (deﬁniert auf einem Intervall). Man nennt g die Inhomogenität oder auch das Störglied. Wie bei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung gibt es auch hier das Verfahren der Variation der Konstanten. Dieses startet mit einem Hauptsystem F1 , F2 der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (H)

y 00 C a1 y 0 C a0 y D 0:

F1 , F2 können so konstruiert worden sein wie in den Sätzen D, E, F. Es ist jedoch auch eine andere Basiswahl möglich. Motiviert durch die Darstellung beliebiger Lösungen von (H) (14)

y D c1 F1 C c2 F2

mit Konstanten c1 ; c2

22

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

macht man einen Ansatz zur Lösung von (I-H) in der Gestalt (15)

Y D C 1 F1 C C 2 F2

mit Funktionen C1 ; C2 :

Da jetzt zwei Koefﬁzientenfunktionen zur Verfügung stehen, ist die Freiheit in deren Wahl zu groß. Man fügt deshalb noch die Bedingung (16)

C10 F1 C C20 F2 D 0

hinzu. Gesucht sind also Lösungen Y der inhomogenen Gleichung in der angesetzten Gestalt mit dieser Zusatzbedingung an C1 , C2 . Die Zusatzbedingung könnte man besser motivieren, wenn man die Sache vektoriell behandelte. Hier wird sie durch den Erfolg gerechtfertigt. Aus dem Ansatz folgt durch Weiterdifferenzieren unter Beachtung der Zusatzbedingung Y D C1 F1 C C2 F2 Y 0 D C1 F10 C C2 F20 Y 00 D C1 F100 C C2 F200 C C10 F10 C C20 F20 : Multipliziert man nun die erste Gleichung mit a0 , die zweite mit a1 , die dritte mit 1 und addiert auf, so ergibt sich links g.t /, äquivalent damit, dass Y die Gleichung (I-H) erfüllt. Rechts heben sich die Glieder mit Koefﬁzienten C1 , C2 heraus, da F1 und F2 die Gleichung (H) befriedigen. Es verbleibt also (17)

g.t / D C10 F10 C C20 F20 :

Die Gesamtheit der Lösungen von (I-H) ergibt sich also in der Gestalt (14), wenn man die Funktionen C1 , C2 so wählt, dass (16) und (17) erfüllt sind. Diese beiden Gleichungen legen C10 , C20 eindeutig fest. Es handelt sich nämlich um ein lineares Gleichungssystem für C10 , C20 mit Determinante ˇ ˇ ˇF1 F2 ˇ ˇ ˇ 0 (18) ˇF F 0 ˇ ¤ 0: 1 2 Das Nichtverschwinden dieser Determinante rechnet man für die Basislösungen der Sätze D, E, F leicht nach, und bei beliebigem Hauptsystem ergibt es sich aufgrund des dann bestehenden Basiswechsels. Das Nichtverschwinden bezieht sich hier auf alle Stellen t , d.h. diese Determinante hat keinerlei Nullstellen. Sie heißt die WronskiDeterminante von (I-H) oder (H). Nachdem die Ableitungen C10 , C20 so ﬁxiert sind, besteht die einzige Freiheit für die Funktionen C1 , C2 selbst in der Addition von jeweils einer Konstanten: C1 kann ersetzt werden durch C1 C c1 , C2 durch C2 C c2 . Bringt man das in (15) ein, so ergibt sich die Gesamtheit der Lösungen von (I-H) in der Form Y D c1 F1 C c2 F2 C C1 F1 C C2 F2 ;

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

23

wobei jetzt natürlich C1 , C2 fest gewählte Lösungen von (16) und (17) sind. Wir fassen zusammen: H. Satz. Betrachtet wird für die Differentialgleichung (I-H)

y 00 C a1 y 0 C a0 y D g.t /;

a0 ; a1 2 R;

g stetig auf Intervall

die zugehörige homogene Differentialgleichung (H)

y 00 C a1 y 0 C a0 y D 0

und ein Hauptsystem F1 , F2 von ihr. Dann gilt: Die Gesamtheit der Lösungen von (I-H) lässt sich darstellen in der Form (19)

Y D c1 F1 C c2 F2 C Y0 ;

wobei c1 , c2 beliebige Konstante sind sowie Y0 eine fest gewählte Lösung von (I-H). Eine solche Lösung Y0 wird auch partikuläre Lösung von (I-H) genannt. Man sagt dafür: Die allgemeine Lösung von (I-H) setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung von (H), nämlich c1 F1 C c2 F2 , und einer partikulären Lösung von (I-H), nämlich Y0 . Eine partikuläre Lösung Y0 von (I-H) erhält man durch Variation der Konstanten, indem man die linearen Gleichungen C10 F1 C C20 F2 D 0 C10 F10 C C20 F20 D g.t/ nach C10 , C20 auﬂöst und mit fest gewählten Stammfunktionen C1 , C2 die Funktion Y0 WD C1 F1 C C2 F2 bildet.

In der Sprache der linearen Algebra bedeutet die Darstellung (19), dass die Lösungsgesamtheit ein afﬁner Unterraum im Vektorraum aller C 1 -Funktionen auf dem betreffenden Intervall ist. Insbesondere kann die partikuläre Lösung Y0 beliebig in diesem afﬁnen Unterraum der Lösungen gewählt werden, nicht nur so, wie sie durch Variation der Konstanten gewonnen wurde. Bei der Formulierung des obigen Satzes ist die reelle und komplexe Auffassung nicht weiter ausdifferenziert. Tatsächlich ist der Satz in beiderlei Sinn korrekt. Bei reeller Betrachtung sind alle Objekte (g, F1 , F2 , c1 , c2 , C1 , C2 ) reell. In der komplexen Variante können g F1 , F2 reell oder komplex sein, aber c1 , c2 müssen komplex gewählt werden, damit der volle komplexe Lösungsraum erzeugt wird. Die Koefﬁzienten a0 , a1 seien hier immer reell vorgegeben (sind auch die komplex, so wären einige Modiﬁkationen erforderlich).

24

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

I . Bemerkung. Ist y D u C iv eine komplexe Lösung von (I-H) mit Real- und Imaginärteil u, v und ist auch g D f Cih in Real- und Imaginärteil f , h aufgespalten, so kann man in der ganzen Gleichung (I-H) zu Real- und Imaginärteil übergehen und erhält so äquivalent zwei Gleichungen, je eine für u bzw. v: u00 C a1 u0 C a0 u D f .t / v 00 C a1 v 0 C a0 v D h.t /: Das macht man sich zunutze, wenn eine Differentialgleichung (I-H) mit rein reellem Störglied u vorgelegt ist: Man ergänzt dann u mit irgend einer zweiten reellen Funktion v zu einem komplexen Störglied g WD u C iv, löst damit die Gleichung (I-H) komplex und erhält schließlich die reellen Lösungen der Ausgangsgleichung in Gestalt der Realteile der erhaltenen komplexen Lösungen. J. Beispiel. Man berechne die reellen Lösungen der Gleichung (20)

y 00 C y D 3 cos 2t:

Lösung: Da cos 2t der Realteil von e 2it ist, behandelt man zunächst die Gleichung (21)

y 00 C y D 3e 2it :

Eine partikuläre Lösung von (21) ist z.B. e 2it (entweder geraten oder mit Variation der Konstanten). Die komplexen Lösungen von (21) sind nach Satz (H) y D c1 e it C c2 e it C e 2it ;

c1 ; c2 komplexe Konstanten;

oder auch (per Basiswechsel im komplexen Lösungsraum der homogenen Gleichung) y D d1 cos t C d2 sin t C e 2it ;

d1 ; d2 komplexe Konstanten:

Der Übergang hierin zum Realteil liefert die reellen Lösungen von (20) als y D d1 cos t C d2 sin t C cos 2t;

d1 ; d2 reelle Konstanten:

Nachdem nun eine solche Differentialgleichung (I-H) gelöst ist, kann man mit den erreichten expliziten Formeln entsprechende Anfangswertprobleme behandeln und die Lösungen weiter untersuchen, z.B. hinsichtlich Monotonie, asymptotischem Verhalten, Periodizität usw. Natürlich wird dieses Verhalten nicht nur von den Anfangsbedingungen abhängen, sondern auch von den Koefﬁzienten a0 , a1 und dem gegebenen Störglied g.t /. Eine solche Diskussion der Eigenschaften aufgrund expliziter Formeln ist sehr sinnvoll im Hinblick auf konkrete Problemstellungen und kann getrost den entsprechenden Fächern überlassen werden.

Abschnitt 1.2

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

25

K. Bemerkung. Eine grundsätzliche Erscheinung bei dem mechanischen oder elektrischen Beispiel soll doch hervorgehoben werden, nämlich die Frage, ob sich überhaupt Schwingungen, also periodische Vorgänge ausbilden. In der Tat ist das immer so, wenn die Differentialgleichung homogen ist, der Koefﬁzient von y 0 verschwindet und der Koefﬁzient von y positiv ist. Diese Koefﬁzientenbedingungen sind bei beiden Beispielen möglich, im mechanischen Fall C(i), wenn die Reibung fehlt (r D 0) und im elektrischen Fall C(ii), wenn kein Widerstand eingebaut ist (R D 0). Dann entsteht nämlich das, was als harmonischer Oszillator bekannt ist: y 00 C a0 y D 0;

a0 > 0:

Die charakteristische Gleichung 2 C a0 D 0 hat in diesem Fall die beiden rein p p imaginären Lösungen 1 D i a0 und 2 D i a0 , sodass die Basislösungen nach p Satz E die Gestalt haben F1 .t / D cos ˇt, F2 .t / D sin ˇt mit ˇ WD a0 . Somit sind alle Lösungen periodisch, unabhängig auch von den Anfangsbedingungen. Man nennt dann ˇ die Frequenz oder Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators (in den Anwendungen wird ˇ oft durch ! bezeichnet). Die Periode p erfüllt dann ! p D 2: Wird der harmonische Oszillator mit einem Störglied versehen: y 00 C a0 y D g.t /;

a0 > 0

und ist g selbst periodisch, so spricht man von Resonanz, wenn die Frequenz von g, die sog. Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators übereinstimmt. In diesem Fall können sich die Lösungen in schwingender Weise „aufschaukeln“, was in der Praxis zu Zerstörungen führen kann (Resonanzkatastrophe). Ist der Koefﬁzient a1 > 0, so hat dies bereits im homogenen Fall eine dämpfende Wirkung, da im Ausdruck e ˛t das ˛ dann negativ wird. Aufgaben und Anmerkungen 1. Man zeige: Ist y eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung (4) mit konstanten Koefﬁzienten, so sind auch y 0 , y 00 , y 000 ,. . . Lösungen von (4). Wegen einer möglichen Umkehrung vgl. Aufgabe 7[2.3]. 2. Zur Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung (3) mit konstanten Koefﬁzienten ist die Variation der Konstanten universell brauchbar. Bei speziellen Störgliedern g.t / greifen besondere Ansätze, die meistens schneller zum Ziel führen. Man zeige in den folgenden Fällen, dass die angegebenen Ansätze eine partikuläre Lösung liefern: a)

g hat die Gestalt g.t / D A e t mit A; 2 C.

26

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Ansatz, falls nicht Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist: y D C e t , C 2 C. Ansatz, falls Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist: y D C t 2 e t , C 2 C. b)

g ist ein Polynom und a0 ¤ 0: g.t / D Ak t k C C A0 . Ansatz: y D Ck t k C C C0 .

c)

g ist eine Summe: g.t / D g1 .t / C g2 .t /. Ansatz: Man löst einzeln und addiert. D.h. ist y1 eine Lösung der Differentialgleichung mit dem Störglied g1 und y2 eine Lösung der Differentialgleichung mit dem Störglied g1 , so ist y1 C y2 eine Lösung der Differentialgleichung mit dem Störglied g D g1 C g2 (immer bei gleicher homogenen Gleichung).

3. Harmonischer Oszillator mit harmonischem Störglied. Behandelt werden soll die Differentialgleichung y 00 C ! 2 y D A cos t;

(22)

! > 0; > 0; A 2 R n f0g

in Abhängigkeit von der Eigenfrequenz ! und der Erregerfrequenz . Man zeige: a)

Ist ¤ !, so lautet die reelle Lösungsgesamtheit von (22): y D c1 cos !t C c2 sin !t C

!2

a cos t; 2

c1 ; c2 2 R:

y ist bei .c1 ; c2 / ¤ .0; 0/ eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen. Dann ist y aber nur periodisch, wenn der Quotient =! rational ist. Ist er nahe 1, so wird in der Praxis von Schwebung gesprochen. b)

Ist D !, so lautet die reelle Lösungsgesamtheit von (22): y D c1 cos !t C c2 sin !t C

A.cos !t C !t sin !t / ; 2! 2

c1 ; c2 2 R:

Wegen des letzten Terms ist jede Lösung unbeschränkt (Resonanzkatastrophe!).

Abschnitt 1.2

27

Lineare Differentialgleichungen und Variation der Konstanten

4. Gedämpfte Schwingung. Behandelt werden soll die Differentialgleichung y 00 C a1 y 0 C a0 y D 0;

(23)

a0 > 0; a1 > 0

in Abhängigkeit von a0 , a1 . Die charakteristische Gleichung und ihre Lösungen 1;2 sind: 2 C a1 C a0 D 0;

1;2 D ˛ ˙

p

;

˛ WD

a1 ; 2

WD

a12 a0 : 4

Man zeige: a)

d.h. < 0, so lautet die reelle LösungsSind 1 , 2 echt komplex (konjugiert), p gesamtheit von (23) mit ! WD j j: y D c1 e ˛t cos !t C c2 e ˛t sin !t;

c1 ; c2 2 R:

Bei .c1 ; c2 / ¤ .0; 0/ bildet sich eine gedämpfte harmonische Schwingung aus. b)

Sind 1 ¤ 2 reell verschieden, d.h. > 0, so gilt 1 < 0 und 2 < 0, und die reelle Lösungsgesamtheit von (23) lautet y D c1 e j1 jt C c2 e j2 jt ;

c1 ; c2 2 R:

Es handelt sich bei .c1 ; c2 / ¤ .0; 0/ um einen reinen Abklingvorgang. Das ist der sog. aperiodische Fall. c)

Sind 1 D 2 reell zusammenfallend, d.h. D 0, so lautet die reelle Lösungsgesamtheit von (23) y D c1 e ˛t C c2 t e ˛t ;

c1 ; c2 2 R:

Auch hier ﬁndet ein Abklingen statt, wenn auch nicht ganz so heftig wie bei b): Bei geeigneter Wahl von .c1 ; c2 / ¤ .0; 0/ kann es zunächst zu einem Extremum von y kommen. Das ist der sog. aperiodische Grenzfall. 5 5

5

4 4

4

3 3

3

2 2

2

1 1

1

0 0

0

0 0

0

-1

-2

-3

2

4

6

8

2

4

6

8

2

4

6

8

28

1.3

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Weitere Typen von Differentialgleichungen

Es gibt eine Vielzahl von Differentialgleichungen, die sich mit den bisherigen Methoden nicht behandeln lassen. Generell kann man sowieso nicht erwarten, dass Lösungen immer in expliziter Gestalt möglich sind. Deshalb ist eine allgemeine Theorie, wie sie in Abschnitt 2.2 entwickelt werden wird, von großer Wichtigkeit. Im vorliegenden Abschnitt werden einige Typen behandelt, die zumindest ansatzweise explizite Lösungen besitzen. Eine Differentialgleichung gilt schon dann als explizit gelöst, wenn der Lösungsausdruck neben elementaren Funktionen auch unbestimmte Integrale von solchen enthält, auch wenn die Integrale nicht elementar ausgeführt werden können. In diesen Fällen ist die Differentialgleichung, wie man sagt, auf Quadraturen zurückführbar. Implizite Differentialgleichungen Hier handelt es sich um Gleichungen, in denen die höchste Ableitung nicht in isolierter 0 Weise vorkommt. Ein krasses Beispiel ist y 0 D xe y (hier chancenlos!). In leichteren Fällen ist die Isolierung möglich. A. Beispiel. Betrachte die implizite Differentialgleichung xyy 0 D x 2 C y 2 : Die Isolierung von y 0 ist möglich, aber man muss dafür annehmen: x ¤ 0 und y.x/ ¤ 0. Dann erhält man y2 C x2 y x D C : y0 D xy x y Diese „explizite“ Differentialgleichung kann unter den gemachten Annahmen gelöst werden, da sie einem der folgenden Typen angehört. Die Voraussetzung für die Isolierbarkeit von y 0 , betrachtet in der .x; y/-Ebene, ist verletzt, wenn x D 0 oder y D 0 ist, d.h. auf den beiden Koordinatenachsen. Man kann dann Lösungen mit Anfangspunkten außerhalb der Koordinatenachsen (d.h. irgendwo in einem der vier offenen Quadranten) aufstellen und nachsehen, ob die oder einige davon mal eine Koordinatenachse treffen. Dann hätte man Lösungen gefunden, die einen der Punkte enthalten, in denen die Isolierung nicht möglich ist. Das wird weiter unten ausgeführt werden. Dass eine Lösung auf einer Koordinatenachse verharrt, kann nicht eintreten, da aus x D 0 oder y D 0 bei Erfülltsein der Ausgangsgleichung folgt x D 0 und y D 0, sodass x gar kein Intervall durchlaufen kann. Auf implizite Differentialgleichungen soll im Rahmen dieser Einführung nicht weiter eingegangen werden.

Abschnitt 1.3

29

Weitere Typen von Differentialgleichungen

Variablentransformation

Ein möglicher Typ ist y 0 D f .ax C by C c/

mit gegebener Funktion f und reellen Konstanten a, b, c. Das ist nur interessant, falls b ¤ 0, da sonst nur eine Stammfunktion zu ﬁnden ist. Man setzt als neue Variable anstelle von y w WD ax C by C c Dann wird w 0 D a C by 0 , also ist die Ausgangsgleichung äquivalent zu w 0 D a C bf .w/ und damit durch Trennung der Veränderlichen behandelbar. Zum Schluss muss man natürlich rücktransformieren: yD

w ax c : b

Ein anderer Typ ist y

y0 D f

auf Intervallen ohne 0

x

mit gegebener Funktion f . Hier wählt man als neue Variable anstelle y w WD

y x

also

w0 D

xy 0 y : x2

Die Ausgangsgleichung ist äquivalent zu w0 D

xf .w/ xw f .w/ w D : 2 x x

Auch dies ist der Trennung der Veränderlichen zugänglich. Rücktransformation mit y D xw: B. Beispiel. Wir diskutieren die explizite Differentialgleichung aus Beispiel A unter der Annahme x ¤ 0, y.x/ ¤ 0 für alle x aus dem betrachteten Intervall. Der zuletzt beschriebene Transformationstyp ist zuständig, wenn f ./ WD C 1= gesetzt wird. Substitution w D

y x

führt auf

w0 D

1 . xw

30

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Lösungsalgorithmus 1 w0 D xw dw 1 D dx xw w dw D Z w dw D

dx x Z

(Trennung der Veränderlichen) dx x

1 2 w D ln jxj C a 2 w 2 D 2 ln jxj C 2a D ln.x 2 / C 2a p w D " ln.x 2 / C 2a p y D "x ln.x 2 / C 2a

." 2 f1; 1g/ (Rücktransformation)

Zunächst könnte das Vorzeichen " von x zu x verschieden sein. Dass " in Wirklichkeit konstant gleich 1 oder 1 ist, ergibt sich daraus, dass jede Lösung y differenzierbar, also stetig ist und sowohl x wie auch y.x/ im betrachteten Intervall von Null verschieden sein sollten. Wie immer bei diesen formalen Algorithmen wird zunächst ein Lösungsausdruck produziert, von dem die Probe zeigen muss, dass er wirklich die anfängliche Differentialgleichung löst. Das ist der Fall (man rechne selbst). Ob dies wirklich die Lösungsgesamtheit ist, wird später aufgeklärt werden (K[2.2]). Dann können auch die in Beispiel A aufgeworfenen Fragen beantwortet werden. Energie-Trick Die Methode bezieht sich auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Gestalt y 00 D f .y/;

f eine gegebene Funktion:

Man multipliziert mit y 0 . Dadurch entsteht links y 00 y 0 , die Ableitung von 1 02 y : 2 Hier erinnert 12 y 02 an die physikalische Formel für die kinetische Energie: Masse halbes Quadrat der Geschwindigkeit. Daher kommt der Name des Verfahrens.

Abschnitt 1.3

Weitere Typen von Differentialgleichungen

31

Lösungsalgorithmus y 00 D f .y/ y 00 y 0 D f .y/y 0 1 02 0 .y / D .f .y//0 2 y 02 D 2f .y/ C c p y 0 D ˙ 2f .y/ C c :: :

(Kettenregel) (c Integrationskonstante)

(Fortsetzung mit Trennung der Veränderlichen).

C. Beispiel (Pendelgleichung). Die Gleichung für die Winkelauslenkung eines Pendels in Abhängigkeit von der Zeit lautet: y 00 D a sin y;

(1)

wobei a > 0 eine (physikalische) Konstante ist. Mit dem obigen Algorithmus reduziert sich das nach Trennung der Veränderlichen auf Z Z dy D dt D t t0 ; t0 Integrationskonstante: p c 2a sin y Leider kann das Integral nicht mit elementaren Funktionen, sondern nur mit elliptischen Integralen ausgeführt werden. In der Physik ersetzt man daher sin y für „kleine“ Auslenkungen durch y und erhält dann anstelle der Pendelgleichung (1) die Gleichung eines harmonischen Oszillators y 00 D ay: x kommt nicht vor Die Differentialgleichung kann zunächst ruhig in der impliziten Form ˆ.y 00 ; y 0 ; y/ D 0;

ˆ eine gegebene Funktion;

angenommen werden, da das für die Methode nicht ausschlaggebend ist. Man setzt p WD y 0 und betrachtet dieses p als Funktion von y (ein zugegebenermaßen recht ungewöhnlicher Schritt). Ableitungen von y, y 0 sind nach der ursprünglichen Variablen x gemeint, die von p (ebenfalls mit Strichen bezeichnet) nach y.

32

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Lösungsalgorithmus p D y0 y 00 D

dy 0 dp dp dy D D D p0 p dx dx dy dx

ˆ.pp 0 ; p; y/ D 0

(Kettenregel) (Reduktion auf erste Ordnung)

:: :

(Lösung p.y/)

y 0 D p.y/

(Resubstitution)

:: :

(Lösung y)

Bei den Schritten, die durch vertikale Punkte angedeutet sind, handelt es sich um die Lösung von Differentialgleichungen, im ersten Fall für p als Funktion von y (!), im zweiten Fall für y als Funktion von x, falls diese möglich sind. Zur Funktion p.y/: Ist die gesuchte Lösung y D '.x/ umkehrbar durch x D .y/, so ist p als Funktion von y erzeugbar über p.y/ D y 0 .x/ D y 0 . .y//, d.h. p D y 0 ı . Diese Annahme ist gerechtfertigt für Lösungen y, deren Ableitung y 0 keine Nullstellen hat. Insbesondere kann y 0 D 0 so nicht erreicht werden, d.h. zu den mit dem Algorithmus gefundenen Lösungen müssen zumindest die konstanten Funktionen y D b mit ˆ.0; 0; b/ D 0 hinzugefügt werden. Eine Probe ist in diesen Fällen unerlässlich, und ob man damit alle Lösungen „erwischt“ hat, muss zusätzlich geprüft werden, am besten durch Hinwendung zum Anfangswertproblem und Zusammenspiel mit den späteren Existenzund Eindeutigkeitssätzen (vgl. A[2.2], H[2.2] und als Muster K[2.2]). D. Beispiel. Man bearbeite die Differentialgleichung y 00 .y 1/ D 2y 02 : Lösung: Es handelt sich um den obigen Typ. Die „Überwälzung“ auf p geht mit p D y0; und liefert

y 00 D p 0 p

p 0 p.y 1/ D 2p 2 :

In dieser Differentialgleichung ist y die unabhängige Veränderliche und p als Funktion von y gesucht.

Abschnitt 1.3

Weitere Typen von Differentialgleichungen

33

Es gibt die Hauptfälle: p D 0 bzw. p ohne Nullstellen. p D 0 bedeutet y 0 D 0, also y D const. Beliebige konstante Funktionen erfüllen in der Tat die Ausgangsgleichung. Im zweiten Fall (p ohne Nullstellen) ist p in der letzten Differentialgleichung kürzbar, und man erhält von da an: Lösungsalgorithmus p 0 .y 1/ D 2p 2dy dp D p y1 ln jpj D 2 ln jy 1j C

(Trennung der Veränderlichen) ( 2 R Integrationskonstante)

jpj D jy 1j2 e p D c.y 1/2

(c 2 R Ersatz Integrationskonstante)

y 0 D c.y 1/2

(Resubstitution)

dy D c dx .y 1/2

1 D cx C k y1 y D1

1 cx C k

(Trennung der Veränderlichen) (k 2 R neue Integrationskonstante) (Isolierung von y).

Dieser Lösungsausdruck ist sinnvoll, wenn .c; k/ ¤ .0; 0/, und die Probe zeigt, dass er dann die Ausgangsgleichung erfüllt. Es ergibt sich also eine „zweiparametrige Lösungsschar“. Dazu kommen noch die konstanten Funktionen y D b, die alle auch die Ausgangsgleichung erfüllen. Falls b ¤ 1 ist, sind diese schon im erhaltenen Lösungsausdruck enthalten (für c D 0 und k D 1=.1 b/). Die konstante Lösung y D 1 ist allerdings nicht enthalten. Den „gemischten“ Fall einer nichtkonstanten Lösung y mit Nullstellen von y 0 gibt es hier gar nicht. Das kann man aber erst begründen, wenn die obigen Lösungen im Licht der Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen untersucht werden. Wenn so wie hier eine von endlich vielen Parametern abhängige Lösungsschar existiert, so spricht man von einer allgemeinen Lösung. Kommen weitere einzelne Lösungen hinzu, die nicht in der Schar enthalten sind, so könnte man diese isolierte

34

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Lösungen nennen, Im obigen Beispiel wäre also y D 1 eine isolierte Lösung. Diese Begriffe sind allerdings mit Vorsicht zu gebrauchen, da sie nur anhand von Formelausdrücken deﬁniert sind. Lösungsanweisungen für Differentialgleichungen bestehen oftmals darin, wie eine Reduktion auf zuvor bekannte Typen erreicht werden kann. Das ist z.B. für die folgenden Differentialgleichungen der Fall. Bernoulli-Differentialgleichungen Diese sind von der Form

y 0 D g.x/y C h.x/y a ;

wobei a 2 R n f0; 1g eine Konstante und g, h gegebene stetige Funktionen sind. (Für a D 0 ergäbe sich eine reine Quadratur, für a D 1 eine lineare Differentialgleichung.) Durch die Substitution w WD y 1a gelangt man zu einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung: w 0 D .1 a/y a y 0 D .1 a/y a .g.x/y C h.x/y a / D .1 a/.g.x/w C h.x//: Riccati-Differentialgleichungen Diese sind von der Form (2)

y 0 D f .x/y 2 C g.x/y C h.x/;

wobei f , g, h gegebene stetige Funktionen sind. Für die folgende Methode muss zusätzlich f als stetig differenzierbar und nullstellenfrei vorausgesetzt werden. Hier existiert eine „rafﬁnierte“ Variablentransformation der abhängigen Variablen, die ein Überführung in eine lineare Differentialgleichung mit i. Allg. nichtkonstanten Koefﬁzienten leistet. Während die bisherigen Variablentransformationen ableitungsfrei waren, lautet sie hier (3)

y WD

1 u0 : f u

Setzt man dies und die Ableitung hiervon in die Ausdrücke von (2) ein, so folgt: f .x/u00 C f 0 .x/ C g.x/f .x/ u0 h.x/f .x/2 u 0 2 y f .x/y Cg.x/yCh.x/ D : f .x/2 u Gleichung (3) ist also (bei nicht verschwindenden Nennern) äquivalent zu: 0 f .x/ 00 (4) u C g.x/ u0 C h.x/f .x/u D 0: f .x/ Die Relation zwischen den Lösungen der Differentialgleichungen (2) und (4) ist also die folgende:

Abschnitt 1.3

35

Weitere Typen von Differentialgleichungen

E. Satz (Riccati-Gleichung versus lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung). Löst y die Gleichung (2) und wird u aus (3) so bestimmt, dass es keine Nullstellen hat – was möglich ist, da (3) eine explizite Auﬂösung nach u vermöge Z u.x/ D exp f .x/y.x/ dx besitzt –, so löst u die Gleichung (4). Ist umgekehrt u eine nullstellenfreie Lösung der Gleichung (4), so löst y, bestimmt aus (3), die Gleichung (2). Es existiert eine Vielzahl von speziellen Differentialgleichungen, die mit besonderen Methoden gelöst werden können. Die Hauptstoßrichtung liegt dabei auf der Gewinnung expliziter Lösungsausdrücke. Große Teile der klassischen Analysis sind diesem Ziel gewidmet. Das Buch von Kamke[1983] behandelt in enzyklopädischer Weise Hunderte von Typen und einzelnen Differentialgleichungen. Dazu kommen in neuerer Zeit viele weitere Sorten und Methoden. Ein großer Teil dieser Erkenntnisse ist in den modernen Computeralgebra-Systemen implementiert. Sobald man keine Lösungsausdrücke zu Verfügung hat, bleiben aber Fragen über Existenz, Eindeutigkeit, Eigenschaften von Lösungen (Asymptotik, Periodizität usw.) unbeantwortet. Deshalb ist eine von expliziten Formeln unabhängige Theorie enorm wichtig, zumal diese dann auch mächtige Ansätze zur numerischen Behandlung liefert. Die Grundlagen einer solchen allgemeinen Theorie werden im nächsten Kapitel im Gefolge des Fixpunktsatzes von Banach entwickelt. Ein Hauptziel dieser Richtung ist es, allein aus der Differentialgleichung möglichst viele Eigenschaften der Lösungen zu deduzieren. Aufgaben und Anmerkungen 1. Mittels Variablentransformation löse man folgende Anfangswertprobleme: a) y 0 D x 2 C y 2 C 2xy, y D ; 2 2 xCy 0 , y.1/ D 2 bzw. y.1/ D 2. b) y D y 2. Man löse das folgende folgende Anfangswertproblem: y0 C

y C .1 C x/y 4 D 0; 1Cx

y.0/ D 1:

3. Betrachtet wird die Riccati-Differentialgleichung (2) y 0 D f .x/y 2 C g.x/y C h.x/:

36 a)

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Kennt man eine partikuläre Lösung u: u0 D f .x/u2 C g.x/u C h.x/ und subtrahiert die beiden Gleichungen: y 0 u0 D f .x/.y 2 u2 / C g.x/.y u/; 1 eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Diese so entsteht für v WD yu ist durch Quadraturen lösbar, also auch die Riccati-Gleichung selbst.

b)

Man behandle so die Differentialgleichung y 0 D .1 x/y 2 C .2x 1/y x indem man zuvor eine partikuläre Lösung errät.

c)

Man beweise: Für vier Lösungen y1 , y2 , y3 , y4 der Riccati-Differentialgleichung ist das Doppelverhältnis stets konstant: y1 y2 y3 y2 W D const. y1 y4 y3 y4 Lösungshinweis: Man berechne die Ableitungen der Logarithmen der beiden Brüche vor und nach dem Divisionszeichen „W“.

4. Sind w1 , w2 , w3 drei stetig differenzierbare Funktionen, so ist die Gleichung ˇ ˇ 0 2 ˇ ˇy ˇ 0 y 2 y 1ˇ ˇw w w1 1ˇˇ 1 ˇ 10 ˇw w 2 w2 1ˇ 2 ˇ ˇ 20 ˇw w 2 w3 1ˇ 3

3

eine Riccati-Differentialgleichung für y mit den partikulären Lösungen w1 , w2 , w3 , es sei denn, der Koefﬁzient von y 0 wird 0. Man beweise das!

1.4

Allgemeine Begriffsbestimmungen

Einige Begriffe und Eigenschaften von Differentialgleichungen wurden in den vorangehenden Abschnitten anhand konkreter Situationen beleuchtet. Hier wollen wir einschlägige Begriffsbestimmungen präzisieren und allgemeingültig formulieren. A. Deﬁnition. Eine Differentialgleichung für eine unbekannte Funktion y W J ! R; t 7! y.t / (J

Abschnitt 1.4

Allgemeine Begriffsbestimmungen

37

reelles Intervall) enthält neben t die Ableitungen y; y 0 ; : : : ; y .r/ bis zu einer bestimmten Ordnung r 1, ist also von der Form (1)

‰.t; y; y 0 ; : : : ; y .r/ / D 0;

wobei ‰ eine gegebene reelle Funktion von .r C 2/-Veränderlichen ist. Man nennt r die Ordnung, wenn ‰ wirklich von der letzten Variablen y .r/ abhängt. Eine Lösung y W J ! R der Differentialgleichung (1) ist eine r-mal differenzierbare Funktion, die nach Einsetzen in die Gleichung (1) diese erfüllt. Hierzu gehört auch, dass für jedes t 2 J das .r C 2/-Tupel .t; y.t /; y 0 .t /; : : : ; y .r/ .t // in der Deﬁnitionsmenge von ‰ liegt. Eine einzelne Lösung wird oft als partikuläre Lösung bezeichnet. Man nennt die Differentialgleichung (1) explizit, wenn sie von der Form ist y .r/ ˆ.t; y; y 0 ; : : : ; y .r1/ / D 0 d.h. äquivalent

y .r/ D ˆ.t; y; y 0 ; : : : ; y .r1/ /:

Entsprechende Begriffsbestimmungen gelten für mehrere unbekannte Funktionen y1 ; : : : ; yn von J nach R. Diese können vektoriell zusammengefasst werden 0 1 y1 .t / B C .t / WD @ ::: A ; W J ! Rn ; yn .t / deﬁnieren also einen Weg in Rn . Anstelle einer Gleichung (1) sind dann mehrere Gleichungen zwischen t und Ableitungen von y1 ; : : : ; yn vorgeschrieben, ein sog. Differentialgleichungssystem. Die Ordnung richtet sich hierbei nach der höchsten Ableitung der yi , die in den Gleichungen wirklich vorkommt. Erscheint t in einer Differentialgleichung oder einem Differentialgleichungssystem nicht explizit, so nennt man das Problem autonom. Dies bedeutet also bei einer Differentialgleichung (1), dass ‰ gar nicht von der ersten Variablen abhängt, und entsprechend bei einem Differentialgleichungssystem, dass alle seine Gleichungen diese Eigenschaft haben. An expliziten Differentialgleichungssystemen erster Ordnung werden hier nur solche betrachtet, bei denen alle ersten Ableitungen vorkommen: y10 D ˆ1 .t; y1 ; : : : ; yn / :: : yn0 D ˆn .t; y1 ; : : : ; yn /: Vektoriell zusammengefasst, schreibt sich dies als 0 D ˆ.t; /: wenn ˆ als Abbildung in den Rn die Komponenten ˆ1 ; : : : ; ˆn hat.

38

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Warnung: Solange eine Differentialgleichung erst mal als Fragestellung vorliegt, sind die Einträge y; y 0 ; : : : ; y .r/ in den deﬁnierenden Gleichungen, also z.B. von ˆ in (1), freie Variable, die (noch) nichts mit der Bedeutung als Ableitungen zu tun haben, aber natürlich schon so nummeriert sind. Differenzieren von Funktionen auf Intervallen ist generell nur möglich, wenn die Intervalle mindestens zwei Punkte enthalten, also ihr Inneres nichtleer ist. Zur Vereinfachung der Sprechweise sollen solche Intervalle echt genannt werden. Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen sind naturgemäß auf echten Intervallen deﬁniert, was also nicht jedesmal betont werden muss. B. Beispiel. In den bisherigen Abschnitten dieses Bandes sind Differentialgleichungssysteme noch gar nicht vorgekommen, wohl aber schon in Band 1, nämlich bei der Einführung von Kosinus und Sinus! Vgl. Ana-1: E[4.4]. Es handelte sich dort um das Differentialgleichungssystem mit n D 2: y10 D y2 y20 D

y1 :

Damals wurden auch gleich Anfangsbedingungen vorgeschrieben (nämlich bei t D 0). Ein Lösungspaar dieses Differentialgleichungssystems ist cos t y1 D I sin t y2 denn es gilt cos0 t D sin t;

sin0 t D cos t. Ein anderes Lösungspaar ist

e y1 e y2

D

sin t : cos t

Tatsächlich sind diese beiden Paare linear unabhängig, und eine beliebige Lösung ist stets als Linearkombination dieser beiden darstellbar. Die Gesamtheit aller Lösungspaare ist somit ein Vektorraum der Dimension 2 (bestehend aus Paaren reeller Funktionen). Das kann man in diesem Fall mit den in Ana-1: Abschnitt 4.4 aufgestellten Aussagen nachweisen. Es folgt jedoch auch aus allgemeinen Eigenschaften linearer Differentialgleichungssysteme; vgl. J[2.3]. Sprechweise: Das Wort „Differentialgleichung“ wird oft als Oberbegriff für einzelne Differentialgleichungen und für Differentialgleichungssysteme gebraucht. Will man dann ausdrücken, dass es sich um eine Differentialgleichung für eine unbekannte Funktion

Abschnitt 1.4

39

Allgemeine Begriffsbestimmungen

handelt, so spricht man von einer skalaren Differentialgleichung, bei einem Differentialgleichungssystem von einer vektoriellen Differentialgleichung. Verwandlung in Systeme Skalare Differentialgleichungen der Ordnung 2 können in äquivalenter Weise in vektorielle Differentialgleichungen der Ordnung 1 umgeformt werden, indem man die niedrigeren Ableitungen als neue Funktionen einführt. Obwohl das auch für implizite Differentialgleichungen möglich ist, wollen wir das gleich für eine explizite Differentialgleichung der Ordnung r 2 y .r/ D ‰.t; y; y 0 ; : : : ; y .r1/ /

(DGL)

aussprechen: Man führt neue Funktionen gemäß (T) ein und erhält ein System (DGS): 8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < (T)

y0 WD y

y00 WD y1

y1 WD y 0

y10 WD y2

:: :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yr2 WD y .r2/ ˆ ˆ ˆ ˆ : yr1 WD y .r1/

:: :

(DGS)

0 yr2 WD yr1 0 yr1 D ‰.t; y0 ; y1 ; : : : ; yr1 /:

Damit ist klar: C. Satz. Die Differentialgleichung (DGL) und das Differentialgleichungssystem (DGS) sind äquivalent, d.h. ihre Lösungsgesamtheiten werden vermöge (T) bijektiv aufeinander abgebildet. D. Beispiel. Die Gleichung für die Winkelauslenkung eines Pendels in C[1.3] lautete: y 00 D a sin y;

a > 0:

Mit der Substitution y0 WD y, y1 WD y 0 ist diese Differentialgleichung zweiter Ordnung äquivalent mit dem Differentialgleichungssystem erster Ordnung: y00 D y1 y10 D a sin y0 : Zur Lösung trägt die Transformation in ein System zunächst nichts bei. Es ist jedoch für die Gewinnung einheitlicher Methoden wichtig, dass dieser Übergang Systeme erster Ordnung produziert. Für diese gibt es nämlich übersichtliche Verfahren, Existenz-

40

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

und Eindeutigkeit von Lösungen zu untersuchen. Auch numerische Algorithmen basieren auf der Formulierung für Systeme erster Ordnung. Nochmals die Trennung der Veränderlichen Auch ohne den Existenz- und Eindeutigkeitssatz heranzuziehen, lassen sich einige der Lösungsalgorithmen aus den obigen Abschnitten so ausbauen, dass die Lösungsgesamtheit präzise bestimmt wird. Wir wollen das hier für die Trennung der Veränderlichen tun. Die Trennung der Veränderlichen kann auf jede skalare Differentialgleichung der Form (2)

y 0 D f .x/ g.y/

angewendet werden. Formal geht das nach den beschriebenen Verfahren so: Lösungsalgorithmus y 0 D f .x/ g.y/ dy D f .x/ g.y/ dx dy D f .x/ dx g.y/ Z Z dy D f .x/ dx: g.y/ Dabei steht links ein unbestimmtes Integral bez. y, rechts eines bez. x, wobei die Integrationskonstante nur auf einer Seite beachtet werden muss. Soweit die inhaltlich ungenaue, jedoch algorithmisch wohlbestimmte Prozedur. Das Ergebnis legt es nahe, die Sache folgendermaßen zu präzisieren: Seien f W I ! R und g W J ! R stetige Funktionen auf echten Intervallen I; J R und g ohne Nullstellen. Ferner sei F W I ! R eine Stammfunktion von f und G W J ! R eine Stammfunktion von 1=g, also F 0 D f und G 0 D 1=g. Ist nun x 7! y.x/ eine auf einem Teilintervall von I deﬁnierte Lösung der Differentialgleichung, wobei stets y.x/ 2 J , so folgt dort mit präzisen Schlüssen der Reihe nach: y 0 .x/ D f .x/g.y.x// y 0 .x/ D f .x/ g.y.x//

Abschnitt 1.4

41

Allgemeine Begriffsbestimmungen

.G ı y/0 .x/ D F 0 .x/ G.y.x// D F .x/ C c

für ein c D const.

y.x/ D G 1 .F .x/ C c/: Dabei ist zu beachten, dass G W J ! R streng monoton und von der Klasse C 1 ist, so dass eine C 1 -Umkehrfunktion G 1 W B WD G.J / ! J existiert. Wenn es eine solche Lösung gibt, so ist sie also notwendig von der Form der letzten Zeile. Die ersten drei Zeilen entsprechen genau denen des Algorithmus, sind aber jetzt einwandfrei geschlossen! Umgekehrt erkennt man durch Rückwärtsrechnen: Wenn in einem Teilintervall von I gilt: F .x/ C c 2 B, dann löst y.x/ – dort deﬁniert durch die letzte Zeile – die Differentialgleichung. Wenn man in diesen Lösungen c so anpasst, dass eine Anfangsbedingung erfüllt ist, so ist auch das Anfangswertproblem eindeutig gelöst: E. Satz. In der Differentialgleichung (2) seien f W I ! R und g W J ! R stetig und g ohne Nullstellen. Weiter sei F bzw. G eine Stammfunktion von f bzw. 1=g. Sind x0 2 I und y0 2 J gegeben, so gibt es genau eine Lösung von (2) mit der Anfangsbedingung y.x0 / D y0 , nämlich die mit c D G.y0 / F .x0 /, also y.x/ WD G 1 .F .x/ F .x0 / C G.y0 //; und zwar auf jedem x0 enthaltenden Teilintervall, auf dem F .x/ F .x0 / C G.y0 / 2 G.J / gilt. (Es gibt solche echten Teilintervalle wegen G.y0 / 2 G.J / und weil F F .x0 / C G.y0 / stetig ist.) Besitzt g W J ! R eine Nullstelle: g.y0 / D 0, so ist die konstante Funktion y.x/ WD y0 eine Lösung der Differentialgleichung (2), wie man direkt an der Differentialgleichung sieht. Was man nun aber zusätzlich herausbekommen kann, ist Folgendes: Unter günstigen Umständen können sich längs einer beliebigen Lösung von (2) die beiden zuvor behandelten Fälle nicht mischen: F. Satz. In der Differentialgleichung (2) sei f W I ! R stetig und g W J ! R stetig differenzierbar mit echten Deﬁnitionsintervallen I , J . Ist y W e I ! R eine Lösung der Differentialgleichung (2) auf einem Teilintervall e I , so gilt g.y.x// ¤ 0 für alle x 2 e I. I I , und gilt g.y.x0 // ¤ 0 für ein x0 2 e Beweis. Wir zeigen äquivalent: Gilt für eine solche Lösung einmal g.y.x0 // D 0, so I , also g.y.x// D 0 für alle x 2 e I. ist y D y.x0 / konstant in e

42

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Wir starten mit der in e I erfüllten Gleichung (2) y 0 .x/ D f .x/g.y.x//

(3)

und zeigen, dass die Niveaumenge fx 2 e I j y.x/ D y.x0 /g offen ist. Dazu reicht es, zu x0 eine Umgebung anzugeben, auf der y konstant ist. Das basiert auf folgender Vorausabschätzung: Durch Integration von (3) folgt für x 2 e I Z

Z

x

y.x/ y.x0 / D

x

f .t /g.y.t / dt D x0

f .t /.g.y.t / g.y.x0 // dt; x0

also ˇ ˇ jy.x/ y.x0 /j max jf j max ˇg 0 ı y ˇ max jy y.x0 /j jx x0 j : jx0 ;xj

jx0 ;xj

jx0 ;xj

Die beiden ersten Maxima der rechten Seite existieren auf einer beliebig gewählten kompakten Umgebung von x0 in e I , und ihr Produkt sei durch L bezeichnet. Geht man nun auf der linken Seite ebenfalls zum Maximum über, so ergibt sich dort max jy y.x0 /j L max jy y.x0 /j jx x0 j :

jx0 ;xj

jx0 ;xj

Wird nun zusätzlich jx x0 j so klein gewählt, dass L jx x0 j < 1 wird, so folgt zwangsläuﬁg max jy y.x0 /j D 0; jx0 ;xj

also y.x/ D y.x0 / in einer Umgebung von x0 . Da die obige Niveaumenge auch abgeschlossen und e I zusammenhängend ist, ergibt e sich y.x/ D y.x0 / in ganz I . Ist y W e I ! R eine Lösung wie in Satz F, so ist die Bildmenge y. e I / ein Teilintervall von J (Ana-2: I[10.9] oder auch Konsequenz von Ana-1: E[3.4]), und es handelt sich um ein echtes Intervall, da y nicht konstant ist. Dann kann auf e I und y. e I / die Trennung der Veränderlichen wie oben angewendet werden. Somit ergibt sich als G. Folgerung. Unter den Voraussetzungen von Satz F für f und g liefert die Trennung der Veränderlichen in der obigen Präzisierung alle nicht konstanten Lösungen der Differentialgleichung (2). Die konstanten Lösungen y D c sind genau die mit g.c/ D 0.

Abschnitt 1.4

Allgemeine Begriffsbestimmungen

43

Richtungsfeld einer Differentialgleichung erster Ordnung Die Differentialgleichung habe die Gestalt y 0 D R.x; y/; wobei die Deﬁnitionsmenge der rechten Seite R offen (und nichtleer) in R2 sei. Die rechte Seite schreibt an jeder Stelle .x; y/ die Tangentensteigung der Lösung vor, wenn diese durch .x; y/ geht. Diese Steigungen oder Richtungen sind sehr wohl unabhängig davon deﬁniert, ob eine Lösung betrachtet wird oder nicht.

_

Die Veranschaulichung einer solchen Richtung erfolgt durch Markierung eines Punkts .x; y/ und einer (kurzen) Gerade durch .x; y/ mit Steigung R.x; y/, und zwar für alle .x; y/ aus der Deﬁnitionsmenge von R. Dies liefert das Richtungsfeld der Differentialgleichung, bestehend aus Linienelementen, d.h. den Punkten und den hindurchgehenden Geraden. Eine Lösung muss auf dieses Richtungsfeld „passen“. H. Beispiel. Die folgende Differentialgleichung ist dem Buch W. Walter[2000] entnommen: y 0 D e y sin x: Das Bild auf der folgenden Seite zeigt das Richtungsfeld und einige darauf passende Lösungen: Die Linienelemente sind nach rechts gerichtet, entsprechend der üblichen Durchlaufung der Graphen von links nach rechts. Eigentlich wären also die Linienelemente am rechten Ende (gemessen vom „Heftpunkt“ aus) mit einer Pfeilspitze zu versehen. Das ist unterblieben, um das Bild nicht zu überlasten.

44

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Richtungsfeld und Lösungskurven

Moral: Das Richtungsfeld gibt an jeder Stelle den Kurs vor, dem es zu folgen gilt, genau wie bei einem Schiff auf dem Ozean, das z.B. stets nach Südwesten fahren soll. Eine konkrete Lösung des Anfangswertproblem muss, vom Anfangspunkt ausgehend, in jedem Augenblick der durch R vorgeschriebenen „Kursrichtung“ folgen. Eine algorithmische Lösung ist bei der obigen Differentialgleichung möglich durch Trennung der Veränderlichen, die leicht durchzuführen ist. Das Ergebnis lautet: y D ln.C C cos x/;

C Integrationskonstante:

Eine partikuläre Lösung existiert nur für nichtleere x-Intervalle, auf denen C Ccos x > 0 gilt. Das ist auf ganz R der Fall, wenn C > 1 ist. Ansonsten handelt es sich um ein offenes Intervall, an dessen Endpunkten die Lösung aufhört zu existieren, was hier bedeutet, dass dort eine senkrechte Asymptote vorliegt. Hätte man die Differentialgleichung nicht explizit lösen können, so wäre es anhand des Richtungsfelds trotzdem möglich gewesen, sich eine ungefähre Vorstellung von dem doch recht unterschiedlichen Verlauf der Lösungen zu verschaffen. Das kann in praktischen Fällen eine wertvolle Orientierungshilfe sein. Übrigens werden in den modernen Kartendarstellungen der Wettervorhersage im Fernsehen die Windrichtungen analog durch Pfeile dargestellt, und dies nicht nur statisch sondern mit einem (zusätzlichen) Zeitparameter sogar dynamisch. Man kann sich daraus schon sehr gut ein Bild über die Entwicklung machen, auch wenn die Integralkurven nicht mitgezeigt werden! Im Anschluss an die Deﬁnition A sei nun weiter erklärt: I. Deﬁnition. Ein Anfangswertproblem für eine skalare Differentialgleichung erster Ordnung verlangt von einer Lösung der Differentialgleichung zusätzlich, dass sie an

Abschnitt 1.4

Allgemeine Begriffsbestimmungen

45

einer vorgegebenen Argumentstelle einen vorgegebenen Wert annimmt, eine sog. Anfangsbedingung. Eine Lösung des Anfangswertproblems ist dann eine Lösung y der Differentialgleichung auf einem echten Intervall J mit 2 J , die zudem y. / D

erfüllt. Bei einer vektoriellen Gleichung erster Ordnung gilt das entsprechend, nur dass eben für alle beteiligten Funktionen yi getrennt Anfangsbedingungen an der gleichen Stelle vorgeschrieben werden. Bei höhere Ordnung r 2 bezieht sich das Vorschreiben von Anfangsbedingungen auf alle Differentiationsordnungen der gesuchten Funktionen von der nullten bis zur Ordnung r 1. Hinweis: Beim Anfangswertproblem denkt man zunächst daran, die Lösung von der „Startabszisse“ aus für wachsende Argumente zu verfolgen, also für t > . Das entspricht einer Vorhersage, d.h. der Entwicklung in die Zukunft. Tatsächlich ist in der obigen Deﬁnition jedes enthaltende echte Intervall zugelassen, also auch der Blick zurück in die Vergangenheit. Anfangswertprobleme sind gleichberechtigt bezüglich der beiden Entwicklungsrichtungen. Zukunft und Vergangenheit sind aber natürlich nicht vertauschbar! Sprechweise: Lösungen von Differentialgleichungen werden klassischerweise auch als Integrale bezeichnet. Lösungen von vektoriellen Differentialgleichungen sind ihrer Natur nach Wege und heißen deshalb auch Lösungskurven. (In der geometrischen Betrachtungsweise sind es eigentlich parametrisierte Kurven.) In der älteren Literatur wird oftmals von der allgemeinen Lösung einer Differentialgleichung gesprochen. Gemeint ist damit ein Lösungsausdruck, der von endlich vielen reellen Parametern abhängt, wenn durch ihn alle Lösungen der Differentialgleichung „bis auf Ausnahmen“ erfasst werden. Offensichtlich ist dieser Begriff nicht ganz präzise und sollte deshalb mit Vorsicht gebraucht werden. Aufgaben und Anmerkungen 1. Man gebe die vollständige Lösungsgesamtheit der Differentialgleichungen aus Aufgabe 1[1.1] an. 2. Betrachtet wird eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht notwendig konstanten Koefﬁzienten: (4)

y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D 0:

46

Kapitel 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die Koefﬁzienten seien auf einem Intervall deﬁniert und stetig. Zu zwei Lösungen y1 , y2 ist dann die Wronski-Determinante deﬁniert als ˇ ˇ ˇy1 y2 ˇ ˇ: W WD ˇˇ 0 y1 y20 ˇ Man zeige: a)

Die Wronski-Determinante erfüllt die lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung W 0 D a1 .x/W:

b)

Diese Differentialgleichung für W kann durch Trennung der Veränderlichen gelöst werden: Z .x/ dx : W .x/ D C exp a1 W ist also niemals Null oder immer Null und kann bis auf einen konstanten Faktor allein aus dem Koefﬁzienten a1 berechnet werden.

c)

Sind y1 , y2 linear abhängig, so ist W D 0.

d)

Ist y1 eine nullstellenfreie Lösung von (4) und W von der Form wie in b) mit C ¤ 0, so ﬁndet man eine zweite von y1 linear unabhängige Lösung y von (4) durch Lösung der linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung ˇ ˇ ˇy1 y ˇ ˇ ˇ 0 ˇy y 0 ˇ D W: 1

Hinweis: Mit weitergehenden Hilfsmitteln wird später herauskommen, dass die Lösungen von (4) einen zweidimensionalen Vektorraum bilden und auch, dass die Umkehrung von c) richtig ist (Satz M[2.3] samt Zusatz und Aufgabe 16[2.3]). 3. Man wende Aufgabe 2 speziell an auf den Fall konstanter Koefﬁzienten mit zusammenfallenden Nullstellen 1;2 D 2 R des charakteristischen Polynoms. Die Differentialgleichung lautet also y 00 2y 0 C 2 y D 0;

d.h.

a1 WD 2; a0 WD 2 :

a) Man berechne die Wronski-Determinante aus Aufgabe 3 b) (mit irgendeinem festgewählten C ¤ 0 und irgendeiner Stammfunktion von a1 ). b)

Eine Lösung der Differentialgleichung ist nach dem Exponentialansatz e x . Man berechne mittels Aufgabe 3 d) eine zweite Lösung und stelle fest, dass diese ein konstantes Vielfaches von xe x ist. Damit ist Satz F[1.2] erneut gerechtfertigt.

2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Die klassische Analysis hat viele schöne Resultate und Einsichten hervorgebracht. Was ihre Schöpfer im 17. und 18. Jahrhundert erkannt haben, war in der Antike vielleicht andeutungsweise vorhanden. Aber so richtig los ging es erst mit Leibniz, Newton, Euler, den Bernoullis und einigen anderen. Tatsächlich entdeckten diese Heroen in atemberaubender Weise Einsichten ins Inﬁnitesimale, die ebenso grundlegend wie unerwartet waren. Man denke nur an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der ja nicht bloß zum Rechnen gut ist, sondern eine tiefe Einsicht in die Beziehungen zwischen lokalen und globalen Veränderungen bietet. Allgemeine Grundsätze von diesem Rang sind in der weiteren Entwicklung des 19. und 20. Jahrhunderts hinzugekommen. Neben der Erweiterung der Differential- und Integralrechnung in Gestalt der Lebesgueschen Integrationstheorie gehören dazu: die Extremalprinzipien für reelle Funktionen, die Approximationssätze (im Gefolge des Weierstraßschen Approximationssatzes), die Überlagerungstheorie zur Auﬂösung von Mehrdeutigkeiten, die Fixpunkttheoreme und die Integralsätze. Diese Themen werden in der einen oder anderen Weise in diesen Bänden behandelt. Natürlich kann es im Rahmen einer Einführung nur um Grundlagen und Grundprinzipien gehen. Neuere, recht universelle Sätze, die es natürlich auch gibt, bleiben dem Weiterbau vorbehalten. Das vorliegende Kapitel beschäftigt sich mit dem Fixpunktsatz von Banach und einigen seiner Anwendungen. Dieser Fixpunktsatz ist für die theoretische wie die numerische Analysis gleichermaßen bedeutsam. Er gehört ganz gewiss zu den tragenden Prinzipien. Das Schöne daran ist außerdem, dass er vom Verständnis her gut einleuchtet und auch nicht schwer zu beweisen ist.

2.1

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten

Viele Näherungsverfahren beruhen auf der sukzessiven Anwendung einer immer gleichen Vorschrift, d.h. sie haben die Gestalt einer Iteration: (I-T)

xkC1 WD F .xk /;

k D 0; 1; 2; : : : :

Zunächst sei F eine reelle Funktion F W R ! R. Besitzt die so konstruierte Folge .xk / einen Grenzwert x und ist F stetig, so folgt zwangsläuﬁg x D F .x /: Der Punkt x wird durch F auf sich selbst abgebildet, er ist ein Fixpunkt von F . Ein solches Iterationsverfahren wird also unter günstigen Umständen zur Lösung einer Fixpunktgleichung x D F .x/ dienen können.

48

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Dieses reelle Iterationsverfahren lässt sich gut veranschaulichen, wenn außer dem Graphen von F auch die Winkelhalbierende, also der Graph der identischen Funktion x 7! x eingezeichnet wird; vgl. die folgenden Bilder. Ein Fixpunkt ist dasselbe wie die Abszisse eines Schnittpunkts der beiden Graphen. Die Iteration (I-T) bedeutet die Verfolgung eines Polygonzugs abwechselnd vertikal und horizontal zwischen den beiden Graphen, woraus die Konvergenz anschaulich zu diskutieren ist. Die Konvergenz kann monoton erfolgen (linkes Bild) oder auch alternierend von beiden Seiten (rechtes Bild).

Bilder zum Iterationsverfahren Das Iterationsverfahren ist so einfach strukturiert, dass es aufs Höherdimensionale und noch viel allgemeinere Räume übertragen werden kann. Wir betrachten es nun für eine Selbstabbildung eines metrischen Raumes .X; d /: F W X ! X: Es sei an den verallgemeinerten Umgebungsbegriff erinnert, der schon in Ana-2 vor R[14.2] eingeführt wurde. A. Deﬁnition. Ist X ein metrischer Raum und p ein fester Punkt in X, so versteht man unter einer Umgebung von p jede Menge U X , die einen Ball B.p; r/ enthält. Eine offene Umgebung von p ist dann also eine offene Menge, die p enthält.

Konvention: In der neueren Terminologie werden Umgebungen im Sinn von Deﬁnition A verwendet, und wir werden uns diesem Brauch ab jetzt anschließen. Wenn es sich doch um Umgebungen im früheren Sinn handeln soll, so sprechen wir von Ballumgebungen oder eben kurz von Bällen.

Abschnitt 2.1

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten

49

B. Deﬁnition. Ein x 2 X heißt Fixpunkt von F , wenn F .x / D x gilt. Die Hauptfrage ist natürlich die nach der Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunkts. C. Beispiele. (i) Fixpunkte braucht es nicht zu geben: Nehme X D Rn , F .x/ D xCc Translation mit Verschiebungsvektor c 2 Rn n 0. Dann ist die Gleichung x D x C c nicht lösbar (denn daraus folgt c D 0!). (ii) Fixpunkte sind i. Allg. nicht eindeutig bestimmt: Nehme X D R, F .x/ D x 2 . Fixpunkte sind 0 und 1 (da 02 D 0; 12 D 1). Um der Fixpunktfrage zu Leibe zu rücken, nutzen wir aus, dass F eine Selbstabbildung ist. Daher wird die Bildmenge F .X / Teilmenge von X sein und ebenso die Bildmenge F .F .X// Teilmenge von F .X / usw.

So kommen auf natürliche Weise die sukzessiven Iterierten von F ins Spiel. Diese seien auch als Potenzen geschrieben: (1)

F 1 WD F;

F 2 WD F ı F;

allgemein F k WD F ı F k1 :

Die sukzessiven Bildmengen von F sind geschachtelt: sie bilden eine absteigende Mengenfolge: (2)

X F .X / F 2 .X / F 3 .X / :

Es ist vermutlich günstig, wenn diese sukzessiven Bildmengen gehörig schrumpfen. Das kann man mit einer Lipschitz-Bedingung erzwingen:

50

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

D. Satz (Fixpunktsatz von Banach). Sei .X; d / ein vollständiger metrischer Raum und F W X ! X eine kontrahierende Selbstabbildung, d.h. F ist dehnungsbeschränkt mit einer Lipschitz-Konstanten mit 0 < 1: d.F .x/; F .y// d.x; y/ 8 x; y 2 X:

Dann besitzt F genau einen Fixpunkt x 2 X. Bildet man, ausgehend von einem beliebigen Element x0 2 X, die Iterationsfolge .xk / durch xkC1 WD F .xk /;

(I-T)

k D 0; 1; 2; : : : ;

so konvergiert sie gegen x . Hierbei heißt x0 der Startpunkt. Hinweise: F wird auch ein Operator (auf X ) genannt. Gelegentlich wird die Argumentklammer weggelassen: F .x/ DW F x. Die Forderung < 1 ist wichtig, wie Beispiel C(i) zeigt: Dort ist F .x/ D x C c, also kF .x/ F .y/k D kx yk, somit eine Lipschitz-Bedingung mit D 1 erfüllt, es existiert aber kein Fixpunkt! Aus einer Lipschitz-Bedingung folgt immer die gleichmäßige Stetigkeit (auch wenn nicht kleiner 1 ist). Vgl. Ana-1: J[6.2]. Beweis des Fixpunktsatzes D. Eindeutigkeit von x : Angenommen, es existierten zwei verschiedene Fixpunkte: F .x / D x ¤ y D F .y /. Aus d.F .x /; F .y // d.x ; y / folgt dann: d.x ; y / d.x ; y /, also wegen d.x ; y / > 0 weiter: 1 , Widerspruch! Existenz von x : Startend mit einem beliebigen Element x0 2 X , bilden wir wie gesagt: xkC1 WD F .xk /, k D 0; 1; : : : und zeigen in den folgenden Schritten 1) und 2): .xk / ist CauchyFolge in X , dann im Schritt 3), dass der Limes existiert und Fixpunkt ist. 1) Vollständige Induktion gibt zunächst: (3)

d.xkC1 ; xk / k d.x1 ; x0 /;

k D 0; 1; 2; : : : :

Induktionsanfang: k D 0 ist in Ordnung. Induktionsschluss: „k H) k C 1“: d.xkC2 ; xkC1 / D d.F xkC1 ; F xk / d.xkC1 ; xk / k d.x1 ; x0 /:

Abschnitt 2.1

51

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten

2) Aus (3) deduziert man für p 1: d.xkCp ; xk / d.xkCp ; xkCp1 / C d.xkCp1 ; xkCp2 / C C d.xkC1 ; xk / kCp1 d.x1 ; x0 / C kCp2 d.x1 ; x0 / C C k d.x1 ; x0 / D .p1 C p2 C C 1/k d.x1 ; x0 / 1 0 1 X j A k d.x1 ; x0 /: @ j D0

Dabei wurde beim Übergang zur zweiten Zeile verwendet, dass in (3) x0 und x1 genauso gut durch irgendwelche aufeinanderfolgende Elemente der Folge ersetzt werden können (mit P entsprechender Weiterzählung auf der linken Seite). Mit der geometri1 ergibt sich schließlich schen Reihe j1D0 j D 1 d.xkCp ; xk /

(4)

k d.x1 ; x0 /; 1

also eine von p unabhängige Schranke der linken Seite. Wegen limk!1 k D 0, folgt hieraus die Cauchy-Eigenschaft von .xk /. 3) Aufgrund der Vollständigkeit existiert der Grenzwert x WD limk!1 xk in X . Dieses x ist Fixpunkt: Aus xkC1 D F .xk / folgt nämlich durch Grenzübergang auf beiden Seiten x D F .x /. D. Zusatz. Es gelten die Fehlerabschätzungen

d.x ; xk /

1 k d.xkC1 ; xk / d.x1 ; x0 /; 1 1

k D 0; 1; : : : :

Die erste Schranke für d.x ; xk / wird als aposteriori-Abschätzung bezeichnet, da sie erst berechnet werden kann, wenn die .k C 1/-te Iteration bekannt ist. Die zweite Schranke für d.x ; xk / wird apriori-Abschätzung genannt, da sie vor Durchführung der Iteration berechenbar ist. Beweis des Zusatzes D. Wir starten mit der obigen Gleichung (4) und schließen daraus weiter:

52

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

k d.xkCp ; xk / d.x1 ; x0 / 1 w

kD0

1 d.x1 ; x0 / d.xp ; x0 / 1 w

p!1

1 d.x1 ; x0 / d.x ; x0 / 1 w

xk anstelle x0 als Startwert

d.x ; xk /

(3) k 1 d.xkC1 ; xk / d.x1 ; x0 /: 1 1

Rechts stehen jeweils die Begründungen für die Schlüsse. Warnung: Die Bedingung d.F x; F y/ < d.x; y/

(5)

für alle x ¤ y aus X

reicht nicht aus, um einen Fixpunkt zu sichern. Nehme z.B. X WD RC 0 und F .x/ WD x C Vgl. das rechte Bild. Hier ist X vollständig, und für x1 ¤ x2 aus X gilt mit einer Stelle zwischen x1 ; x2 : jF .x1 / F .x2 /j D jF 0 . /j jx1 x2 j < jx1 x2 j; da F 0 .x/ D 1

1 2 Œ0; 1Œ : .1 C x/2

Es ist aber kein Fixpunkt vorhanden; denn xDxC ist in RC 0 nicht möglich.

1 1Cx

1 : 1Cx

Abschnitt 2.1

53

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten

Ist X allerdings kompakt, so reicht in der Tat die Voraussetzung (5) zur eindeutigen Existenz eines Fixpunkts, obwohl sie nicht impliziert, dass F kontrahierend ist. Vgl. Aufgabe 2. Häuﬁg ist F nur auf einer Teilmenge A X deﬁniert. Um Satz D für A anstelle X anzuwenden, muss A selbst vollständig, d.h.abgeschlossen sein (Ana-1: P(ii)[6.3]), und es muss gelten: F .A/ A. Letzteres ist eine schwer nachprüfbare (da globale) Voraussetzung. Daher ist die folgende Aussage extrem nützlich, wobei das A nicht einmal abgeschlossen zu sein braucht, aber noch geschrumpft werden muss: E. Satz (Variante des Fixpunktsatzes von Banach). Sei .X; d / ein vollständiger metrischer Raum, A X und F W A ! X eine kontrahierende Abbildung, d.h. für ein mit 0 < 1 gelte d.F .x/; F .y// d.x; y/

für alle x; y 2 A:

Für ein x0 2 A sei mit x1 WD F .x0 /

und

r1 WD

d.x1 ; x0 / 1

erfüllt: A1 WD B.x0 ; r1 / A: Dann ist F .A1 / A1 , also der Fixpunktsatz D auf A1 anstelle X anwendbar. Insbesondere existiert in A1 genau ein Fixpunkt x von F . Beweis. Zu zeigen ist nur: F .A1 / A1 . Das geht so: Aus der Voraussetzung d.x; x0 / r1 D

d.x1 ; x0 / 1

folgt d.F .x/; x0 / d.F .x/; F .x0 // C d.F .x0 /; x0 / d.x; x0 / C d.x1 ; x0 / d.x1 ; x0 / C d.x1 ; x0 / 1 C 1 d.x1 ; x0 / D 1

D

1 d.x1 ; x0 / D r1 : 1

54

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Die Schritte sind offenkundig.

Vollständigkeit von Funktionenräumen Der Fixpunktsatz von Banach kann auf Räume angewendet werden, deren Elemente selbst Funktionen sind. Voraussetzung ist natürlich, dass ein solcher Funktionenraum vollständig ist. In der Integralrechnung sind die Funktionenräume mit der Integralnorm (Ana-2: Kapitel 11) oder der p-Norm (Ana-2: Abschnitt 13.1) von diesem Typ. Hier sollen die wesentlich einfacher strukturierten Räume aus stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm kurz behandelt werden. Sie traten in Spezialfällen schon früher auf (Ana-2: H(iii)[10.4] und K(iii)[10.4]), und die allgemeine Behandlung ist nicht komplizierter. Von diesen Funktionenräume werden wir einige Male Gebrauch machen. Sei .X; d / ein metrischer Raum und .V; k k/ ein normierter Vektorraum. F. Deﬁnition und Satz. Für eine stetige und beschränkte Abbildung f W X ! V ist die Supremumsnorm deﬁniert durch kf k1 WD sup fkf .x/k j x 2 X g:

(6) Dann gilt:

(i) Die Menge aller stetigen und beschränkten Abbildungen von X in V wird durch 0 .X; V /. die Festsetzung (6) zu einem normierten Vektorraum, genannt C1 0 .X; V / ist identisch mit der gleichmäßigen (ii) Die Konvergenz von Folgen in C1 Konvergenz.

(iii)

0 Ist V vollständig, so auch C1 .X; V /.

Ist X kompakt, so ist jede stetige Abbildung f W X ! V von alleine beschränkt, und das Supremum (6) kann durch das Maximum ersetzt werden (Ana-1: D[6.5]). In 0 diesem Fall ist also C1 .X; V / der Vektorraum aller stetigen Abbildungen von X in V mit der Maximumsnorm kf k1 WD max fkf .x/k j x 2 X g: Beweis von F. 0 .X; V / (mit den argumentweisen VerZu (i): Die Vektorraumeigenschaften von C1 knüpfungen) sind erfüllt, da mit f und g auch f Cg stetig und beschränkt ist, letzteres wegen

(7)

kf .x/ C g.x/k kf .x/k C kg.x/k :

Abschnitt 2.1

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten

55

Von den Normaxiomen ist unmittelbar klar: kf k1 2 RC 0 und k˛f k1 D j˛j kf k1 . Ebenso ist klar, dass aus kf k1 D 0 folgt f D 0. Wäre nämlich einmal kf .x0 /k > 0, so wäre supx2X kf .x/k kf .x0 /k > 0. Zum Nachweis der Dreiecksungleichung vergrößert man die rechte Seite von (7) nochmals zur Summe der Suprema und geht dann mit der linken Seite zum Supremum über. 0 Zu (ii): Gilt limk!1 fk D f für eine Folge .fk / und eine Funktion f in C1 .X; V /, so bedeutet dies: Zu jedem " > 0 existiert ein N D N."/ 2 N, sodass: kfk f k1 < " für alle k > N , d.h.

kfk .x/ f .x/k < "

für alle k > N und alle x 2 X :

Das aber ist gerade die Bedingung für die gleichmäßige Konvergenz. 0 .X; V /. Zu " > 0 existiert dann ein N 2 N Zu (iii): Sei .fk / eine Cauchy-Folge in C1 mit: kfk f` k1 < " für alle k; ` > N . Hieraus folgt wieder

(8)

kfk .x/ f` .x/k < "

für alle k; ` > N und alle x 2 X :

Für jedes x 2 X ist also .fk .x// Cauchy-Folge in W und damit konvergent in W : lim`!1 f` .x/ DW f .x/. Aus (8) folgt durch Grenzübergang ` ! 1: (9)

kfk .x/ f .x/k "

für alle k > N und alle x 2 X :

Also konvergiert .fk / auf X gleichmäßig gegen f . Nach Ana-1: K[6.5] ist f stetig. Die Beschränktheit von f ergibt sich aus der voranstehenden Überlegung durch die spezielle Wahl k WD N C 1; denn mit der Dreiecksungleichung folgt dann kf .x/k " C kfN C1 .x/k ; sodass mit fN C1 auch f beschränkt bleibt. Schließlich liefert (9) aufgrund der Deﬁnition der Supremumsnorm: kfk f k1 " 0 für alle k > N , sodass die Funktionenfolge .fk / in C1 .X; V / gegen f konvergiert. Eine ähnliche Situation besteht für lineare stetige Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen. Zunächst etwas zur Schreibweise: Sind V , W normierte Vektorräume, so wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von V in W ab jetzt durch L .V; W / bezeichnet. Diese Symbolik ist besser lesbar (und vor allem besser schreibbar!) als die früher verwendete L.V; W /. Wenn nichts anderes vereinbart wird, ist die verwendete Norm in L .V; W / die OperatorNorm (Ana-2: H(iii)[10.1]). Im Spezialfall V D W ist natürlich auch in der neuen Schreibweise L .V / WD L .V; V /.

56

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Bei dieser Gelegenheit sei auch das Symbol für den Spann von endlich vielen Vektoren u1 ; : : : ; uN eines Vektorraums vereinbart: spann.u1 ; : : : ; uN / WD Menge aller Linearkombinationen von u1 ; : : : ; uN : Muss der Skalarenkörper K speziﬁziert werden, mit dem die Linearkombinationen zu bilden sind, so schreibt man genauer: spannK .u1 ; : : : ; uN /. Ein L 2 L .V; W / ist niemals im üblichen Sinne beschränkt (abgesehen vom Fall L D 0), sodass Satz F nicht direkt angewendet werden kann. Wohl aber ist die Einschränkung von L auf jeden Ball B.r/ V beschränkt, und es gilt LjB.1/ 1 D kLk, also wegen der Homogenität LjB.r/ D r kLk : (10) 1 Die Einschränkungen auf die Bälle B.r/ sind nun dem Satz F zugänglich, und man erhält auf diese Weise G. Folgerung. Ist W ein Banach-Raum, so ist auch L .V; W / ein Banach-Raum. Beweis. Sei .Lk / eine Cauchy-Folge in L .V; W /. Dann ist für jedes r 0 die Folge 0 .Lk jB.r// der Restriktionen eine Cauchy-Folge im Raum C1 .B.r/; W /, wie aus (10) folgt. Nach Satz F konvergiert diese Folge der Restriktionen gleichmäßig gegen eine stetige und beschränkte Abbildung L W B.r/ ! W . Diese Abbildung ist in Wirklichkeit unabhängig von r, da für s r die Inklusion B.s/ B.r/ besteht. Somit ist L als Abbildung von V in W wohldeﬁniert, stetig und auf jedem Ball B.r/ beschränkt. Die Linearitätsregeln für L ergeben sich aus denen für Lk durch Grenzübergang k ! 1. Schließlich folgt aus limk!1 .Lk L/jB.1/ 1 D 0 wegen (10) für r D 1 auch limk!1 kLk Lk D 0. Aufgaben und Anmerkungen 1. Das Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung einer Zahl c > 0 (Ana-1: A[2.2]) hat die Gestalt einer Iteration für die Funktion H W RC ! R mit c 1 xC : H.x/ WD 2 x vollständig. Man zeige aber für die Einschränkung F von H Allerdingshq ist RC nicht h c auf X WD ; 1 : 2 a) X ist vollständig. b)

F .X/ X .

Abschnitt 2.1

c)

Existenz und Eindeutigkeit von Fixpunkten

Für x; y 2 X gilt:

jF .x/ F .y/j

57

1 jx yj. 2

Somit kann der Fixpunktsatz von Banach auf F angewendet werden und liefert per Iteration xkC1 D F .xk / mit Startwert x0 2 X genau p einen Fixpunkt x 2 X. Für

diesen folgt aus F .x / D x durch Umstellung x D c. Lösungshinweis zu c): Man zeige zunächst jF .x/ F .y/j

1 jx yj 2

für alle positiven x; y mit 2xy c:

2. Sei .X; d / ein kompakter metrischer Raum und F W X ! X eine Selbstabbildung, sodass für alle x ¤ y aus X gilt d.F .x/; F .y// < d.x; y/. Man beweise: a)

F besitzt genau einen Fixpunkt.

b)

Aus den Voraussetzungen folgt nicht, dass F kontrahierend ist.

Lösungshinweis: Zur Existenz bei a): Betrachte eine Minimalstelle x0 der reellen Funktion x 7! d.F .x/; x/ und leite aus der Annahme d.F .x0 /; x0 / > 0 einen Widerspruch her. Zu b): Wähle X D Œ0; 1 und F geeignet polynomial. 3. Ist F W X ! X eine Selbstabbildung einer beliebigen Menge X, so besteht die absteigende Mengenfolge (2) der iterierten Bildmengen. Man zeige, dass ihr Durchschnitt 1 \ F k .X / F 1 .X / WD kD1

ebenso wie jede einzelne dieser Mengen immer in sich abgebildet wird: F .F 1 .X // F 1 .X /: 4. Sei .X; d / ein kompakter metrischer Raum, F W X ! X eine Selbstabbildung und .k / eine Nullfolge mit k 0 für alle k 2 N. Man beweise: Gelten für je zwei durch x0 ; y0 2 X und xk WD F .xk1 /; yk WD F .yk1 / für alle k 2 N festgelegten Iterationsfolgen die Abschätzungen d.xk ; yk / k

für k D 1; 2; : : : ;

so besitzt F genau einen Fixpunkt x , der gemeinsamer Grenzwert dieser Iterationsfolgen ist. Lösungshinweis: Man wende auf die absteigende Mengenfolge (2) und ihren Durchschnitt F 1 .X/ (Aufgabe 3) das verallgemeinerte Intervallschachtelungsprinzip aus Ana-1: Aufgabe 7[6.4] an.

58

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

5. Man beweise den folgenden Fixpunktsatz von Weissinger: Sei .X; P d / ein vollständiger metrischer Raum, F W X ! X eine Selbstabbildung und 1 kD1 k eine konvergente Reihe mit k 0 für alle k 2 N. Gelten für je zwei durch x0 ; y0 2 X und xk WD F .xk1 /; yk WD F .yk1 / für alle k 2 N festgelegten Iterationsfolgen die Abschätzungen d.xk ; yk / k d.x0 ; y0 /

für k D 1; 2; : : : ;

so besitzt F genau einen Fixpunkt x , der gemeinsamer Grenzwert dieser Iterationsfolgen ist. Ist eine solche Abbildung stetig? 6. Ohne Kontraktionsbedingungen eröffnet sich ein weites Feld für das Studium der Iterationen von Selbstabbildungen. Das reicht von der topologischen Dynamik bis zu den Fraktalen und Apfelmännchen, ohne dass diese Dinge hier weiter untersucht werden sollen. Diskutiert man z.B. die Selbstabbildungen Fc W C ! C mit Fc .z/ WD z 2 C c, so liefert die Iteration zkC1 D Fc .zk /, z0 WD 0, eine Folge, die – von c 2 C abhängend – unbeschränkt oder beschränkt sein kann. Die Menge der c, für die die Folge beschränkt ist, bildet die Grundﬁgur des Apfelmännchens (vgl. das Bild rechts, das der Anschaulichkeit wegen um 90ı gedreht ist). 7. Man untersuche das Iterationsverfahren 1 1 ; zk C zkC1 D 2 zk

k D 0; 1; 2; : : :

in der komplexen Ebene C. Für welche Startwerte z0 2 C konvergiert es in C und gegen welchen Wert? Man erweitere die Fragestellung auf das Iterationsverfahren 1 c wkC1 D ; k D 0; 1; 2; : : : wk C 2 wk mit gegebenem c 2 C.

2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

Als erste Anwendung des Fixpunktsatzes von Banach studieren wir jetzt die Existenz und Eindeutigkeit bei Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Abschnitt 2.2

59

Anwendung auf Differentialgleichungen

Wir können gleich den vektoriellen Fall einschließen, da die Grundmethode dafür nicht schwieriger wird. Das hat den Vorteil, dass wir uns nur mit Differentialgleichungen erster Ordnung beschäftigen müssen, weil die höheren Ordnungen darauf zurückgeführt werden können (Satz C[1.4]). Höhere Differentiationsklassen schließen den Fall C 1 ein, wenn nichts anderes bestimmt ist. Die Ausgangssituation ist wie folgt: Sei W ein Banach-Raum mit Norm k k, D eine Teilmenge von R W und RW

(1)

D ! .t; y/ 7!

W R.t; y/

eine Abbildung, die zukünftige rechte Seite. Eine Lösung der Differentialgleichung y 0 D R.t; y/

(DG)

ist eine differenzierbare Abbildung y W J ! W (J echtes Intervall), sodass gilt: .t; y.t // 2 D

y 0 .t / D R.t; y.t //

und

für alle t 2 J :

Eine Anfangsbedingung hat die Form y.t0 / D ;

(AB)

wobei das Paar .t0 ; / 2 D fest gegeben ist. Werden beide Bedingungen (DG) und (AB) vorgeschrieben, so spricht man von einem Anfangswertproblem. Diese Situation umfasst sowohl den skalaren Fall, nämlich für W D R, wie auch den Systemfall nämlich für W D Rn . Schreibt man im Systemfall y D .y1 ; : : : ; yn /> und R D .R1 ; : : : ; Rn /> , so besagt (DG): 10 0 1 R1 .t; y1 ; : : : ; yn / y1 B B :: C C :: @ : A D@ A; : yn Rn .t; y1 ; : : : ; yn / 0 (2a)

also äquivalent in die Komponenten aufgelöst: y10 D R1 .t; y1 ; : : : ; yn / (2b)

:: : yn0 D Rn .t; y1 ; : : : ; yn /:

60

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Die allgemeine Gestalt (DG) ist aber auch im Falle eines unendlich-dimensionalen Banach-Raums W gültig. Wir nennen (DG) generell eine Differentialgleichung (in W ), obwohl diese in Wirklichkeit einem System äquivalent sein kann. Der entscheidende Schritt zur Existenz und Eindeutigkeit ist nun, dass das Anfangswertproblem (DG), (AB) in Fixpunktform gebracht werden kann. Auf dieses Fixpunktproblem kann dann der Fixpunktsatz von Banach angewendet werden. Zunächst beschreiben wir das Resultat dieser Überlegung für ein besonders einfaches D: A. Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz nach Picard/Lindelöf). Seien t0 und a > 0 aus R gegeben, und sei R W Œt0 ; t0 C a W .t; y/

! 7!

W R.t; y/

stetig und erfülle eine Lipschitz-Bedingung bez. der zweiten Variablen, d.h. es gebe eine Konstante L 0 mit: kR.t; y/ R.t; z/k L ky zk

für alle t 2 Œt0 ; t0 C a; y; z 2 W :

Ferner sei 2 W fest. Dann existiert genau eine differenzierbare Abbildung y W Œt0 ; t0 C a ! W mit: (3)

y 0 .t / D R.t; y.t //

für alle t 2 Œt0 ; t0 C a

und y.t0 / D :

(4)

Kurz: Das Anfangswertproblem (DG), (AB) ist unter diesen Voraussetzungen eindeutig lösbar. Wir verwenden bis auf weiteres die Abkürzung J WD Œt0 ; t0 C a. Die Deﬁnitionsmenge D für die rechte Seite R ist hier also von der Gestalt eines kartesischen Produkts DDJ W. Beweis von A. 1) Wie angekündigt, bringen wir das Anfangswertproblem (DG), (AB) auf Fixpunktform: Angenommen y W J ! W ist differenzierbar und erfüllt (3), (4). Dann ist y 0 von alleine stetig, wie die rechte Seite von (3) lehrt. Integration von (3) zwischen t0 und t liefert für t 2 J : Z t Z t 0 y . / d D R. ; y. // d ; t0

t0

Abschnitt 2.2

61

Anwendung auf Differentialgleichungen

also nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (= HDI, ANA-2: C(vi)[11.1]) Z t y.t / y.t0 / D R. ; y. // d : t0

Mit (4) folgt weiter Z (IG)

t

y.t / D C

R. ; y. // d

für alle t 2 J :

t0

Dies ist eine sog. Integralgleichung. Sie hat Fixpunktgestalt: „gesuchtes y = Operator, angewandt auf y“. Jede Lösung des Anfangswertproblems genügt also dieser Integralgleichung. Umkehrung: Ist y W J ! W stetig und erfüllt y die Gleichung (IG), so folgt daraus für t D t0 sofort y.t0 / D und wiederum nach HDI: y 0 .t / D R.t; y.t //

für alle t 2 J ;

da der Integrand in (IG) stetig ist. Also sind dann (3), (4) erfüllt. Resümee: Das Anfangswertproblem (DG), (AB) für differenzierbares y W J ! W ist äquivalent mit der Integralgleichung (IG) für stetiges y W J ! W . Die Integralgleichung (IG) hat Fixpunktgestalt, wobei der Operator auf der rechten Seite gegeben ist durch Z t .F y/.t / WD C R. ; y. // d : t0

Das y durchläuft hierbei nicht den Raum W , sondern den Funktionenraum C 0 .J; W / der stetigen Abbildungen y W J ! W . In Kurzform schreibt sich (IG) als y D Fy

für y 2 C 0 .J; W /:

Der Funktionenraum C 0 .J; W / sei zunächst mit der Maximumsnorm versehen kyk1 WD max ky.t /k : t2J

Unter dieser Norm ist C 0 .J; W / vollständig (F[2.1]). 2) Um den Fixpunktsatz von Banach auf F anwenden zu können, muss jetzt gezeigt werden, dass F eine kontrahierende Selbstabbildung ist.

62

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Zu „Selbstabbildung“: Ist t 7! y.t / stetig auf J , so ist t 7! .F y/.t / stetig auf J (tatsächlich sogar stetig differenzierbar nach HDI). Zu „Kontraktion“: Wir überprüfen die Lipschitz-Bedingung für F , indem wir für zwei stetige Abbildungen y; z W J ! W so abschätzen: Z t Z t R. ; y. // d R. ; z. // d k.F y/.t / .F z/.t /k D C t0

t0

Z t D .R. ; y. // R. ; z. /// d t0

Z

(5)

t

kR. ; y. // R. ; z. //k d

t0

Z

t

L ky. / z. /k d

t0

L .t t0 / ky zk1 : Es folgt kF y F zk1 L a ky zk1 : Leider ist die so errechnete Lipschitz-Konstante L a für F nur dann < 1, wenn a < 1=L gilt, d.h. für kleine Intervalle. Abhilfe: Man geht in C 0 .J; W / zu einer gewichteten Norm über: kyk˛ WD max e ˛t ky.t /k t2J

mit passendem ˛ > 0, über das später verfügt wird. (Diese Norm hat trotz der gleichen Bezeichnung nichts zu tun mit der Integralnorm in den Lp -Räumen.) Man prüft ohne Mühe nach, dass dies wirklich eine Norm in C 0 .J; W / ist. Außerdem ist diese Norm äquivalent zur Maximumsnorm; denn es gelten folgende Ungleichungen: kyk˛ e ˛t0 max ky.t /k D e ˛t0 kyk1 t2J

kyk1 D max ky.t /k D max e ˛t e ˛t kyk e ˛.t0 Ca/ kyk˛ : t2J

t2J

Abschnitt 2.2

63

Anwendung auf Differentialgleichungen

Anstelle von (5) hat man dann, etwas modiﬁziert: Z t L ky. / z. /k d k.F y/.t / .F z/.t /k t0

Z

t

D

L ky. / z. /k e ˛ e ˛ d

t0

Z

t

e ˛ d

L ky zk˛

t0

e ˛t e ˛t0 ˛ ˛t e ; L ky zk˛ ˛

D L ky zk˛

somit k.F y/.t / .F z/.t /k e ˛t

L ky zk˛ ; ˛

also

L : ˛ Durch Wahl von ˛ ist beliebig klein zu machen .z.B. führt ˛ WD 2L zu D 1=2/. kF y F zk˛ ky zk˛

mit WD

Nun ist alles vorbereitet: Man kann auf die Gleichung y D F .y/ (y gesucht in C 0 .J; W //, den Fixpunktsatz von Banach D[2.1] anwenden. Es existiert also genau eine Lösung der Integralgleichung (IG) in C 0 .J; W / und damit genau eine Lösung des Anfangswertproblems (DG), (AB). Die behandelte Situation ist insofern einfach, als die Deﬁnitionsmenge der rechten Seite R der Differentialgleichung (DG) das kartesische Produkt Œt0 ; t0 C a W ist. Ein solches kartesisches Produkt wird ein Streifen genannt; man spricht von der Streifensituation. In diesem Fall existiert die Lösung eindeutig auf der gesamten ersten Projektion der Deﬁnitionsmenge. (Das wird sich ändern, wenn wir später zu allgemeineren Deﬁnitionsmengen übergehen.) Wird die Lösung als Kurve aufgefasst, so gilt 0

y D R.t; y/ ()

t y

!0 D

!

1 R.t; y/

:

64

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Ausgedrückt für den Kurvenpunkt, d.h. für das Paar WD .t; y/> entsteht so die Differentialgleichung 0 D S. / mit S. / WD .1; R. //> . Eine Differentialgleichung kann also durch diesen Variablenwechsel stets in eine äquivalente autonome Gestalt überführt werden. B. Bemerkungen. t 0 ! W mit t0 < e t0 < (i) Unter den Voraussetzungen von Satz A gilt: Ist e y W Œt0 ; e t 0 , so existiert t0 Ca eine Lösung des Anfangswertproblems auf dem Teilintervall Œt0 ; e genau eine Fortsetzung y W Œt0 ; t0 C a ! W von e y auf das ganze Intervall Œt0 ; t0 C a als Lösung des Anfangswertproblems.

Eindeutigkeit: Jede solche Fortsetzung erfüllt (3) auf Œe t 0 ; t0 C a, ist also laut Satz A auf Œe t 0 ; t0 C a eindeutig bestimmt.

Existenz: Deﬁniere yjŒt0 ; e t 0 WD e y und yjŒ e t 0 ; t0 C a als Lösung des Anfangswertproblems mit derselben Differentialgleichung, jedoch mit der Anfangsbediny .e t 0 /. Dann ist y in e t 0 differenzierbar, da dort links- und rechtsgung y.e t 0/ D e seitige Ableitung beide gleich R.e t 0; e y .e t 0 // sind. Das so deﬁnierte y leistet das Verlangte.

Das ist ein wichtiges allgemeines Prinzip: Ist man mit der Lösung bis zu einem gewissen Punkt gelangt, so macht man einfach mit dem erreichten Wert als neuem Anfangswert weiter! (ii) Entsprechende Aussagen wie in Satz A gelten für Intervalle Œt0 b; t0 links von t0 , also mit b > 0 oder auch für Œt0 b; t0 C a. Man hat dazu lediglich das Integral in (IG) als orientiertes Integral aufzufassen und die obigen Abschätzungen leicht abzuändern (vgl. Ana-1: G(ii)[5.3] und die Entsprechung für vektorwertige Integranden). (iii)

Das Iterationsverfahren zur Lösung der Integralgleichung (IG) lautet Z

t

ykC1 .t / D C

R. ; yk . // d ;

k D 0; 1; 2; : : : ;

t0

wobei y0 als stetige Funktion irgendwie gewählt sein darf, z.B. als konstante Funktion y0 D . Dieses Iterationsverfahren konvergiert auch bez. der Maximumsnorm k k1 , da diese äquivalent zur obigen Norm k k˛ ist. Dies hat zur Konsequenz, dass die Folge der stetig differenzierbaren Funktionen y1 ; y2 ; : : : auf J D Œt0 ; t0 C a gleichmäßig gegen die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems konvergiert. C. Beispiel (Sonderfall der linearen Differentialgleichungen). Eine solche Differentialgleichung ist von der Form: (6)

y 0 D P .t/y C q.t /;

also R.t; y/ WD P .t /y C q.t /;

Abschnitt 2.2

65

Anwendung auf Differentialgleichungen

wobei P und q Abbildungen von folgendem Typ sind P W J ! L .W /;

q W J ! W;

beide als stetig vorausgesetzt. P ist also ein Weg im Banach-Raum L .W /. Man nennt ein solches P eine einparametrige Schar von stetigen Endomorphismen. Generell bezeichnet der Terminus Endomorphismus hier eine lineare Selbstabbildung eines Vektorraums. Die Voraussetzungen von Satz A sind in der vorliegenden Situation von alleine erfüllt. Das überlegt man so: Stetigkeit von R: Bei „Produkten“, wie sie hier vorkommen, kann man generell eine Vorausabschätzung erreichen, in deren Summanden mindestens ein Faktor Differenzgestalt hat. Hier startet man mit: R.t; y/ R.s; z/ D P .t/y C q.t / P .s/z q.s/ D .P .t / P .s//y .P .t / P .s//.y z/ C P .t /.y z/ C q.t / q.s/ und erhält daraus durch Abschätzung kR.t; y/ R.s; z/k kP .t/ P .s/k kyk C kP .t / P .s/k ky zk „ ƒ‚ … ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ A1 A2 A3 C kP .t /k ky zk C kq.t / q.s/k : ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ A4 A5 Sind nun t 2 J , y 2 W und " > 0 gegeben, so lassen sich die Ausdrücke Ai , i D 1; : : : ; 5 folgendermaßen „klein kriegen“: Es gibt positive ı1 , ı2 , sodass A1 <

" 1 ; 4 kyk C 1

A2 <

" ; 2

A3 <

" ; 2

A4 <

" 1 ; 4 kP .t /k C 1

A5 <

" ; 4

für s 2 J , z 2 W mit jt sj < ı1 und ky zk < ı2 . Ist von vorn herein " < 1 gewählt (o.B.d.A.), so gilt 2" 2" < 4" , und es folgt für solche t; s; y; z; " insgesamt kR.t; y/ R.s; z/k <

" " " " C C C D ": 4 4 4 4

Lipschitz-Bedingung von R bez. des zweiten Arguments: Als Spezialfall der obigen Vorausabschätzung ergibt sich für t D s (oder direkt): kR.t; y/ R.t; z/k kP .t/k ky zk L ky zk ; wobei L 2 R eine obere Schranke von kP .t/k auf J ist (die wegen der Stetigkeit der Abbildung t 7! kP .t/k existiert).

66

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Eine solche lineare Differentialgleichung (6) ist also mit beliebiger Anfangsbedingung y.t0 / D eindeutig lösbar, und zwar auf dem ganzen Intervall J D Œt0 ; t0 C a. Wird allgemeiner die Differentialgleichung (6) auf einem beliebigen Intervall J mit t0 2 J betrachtet, so bleibt die eindeutige Lösbarkeit des Anfangswertproblems auf ganz J erhalten, wenn nur P und q auf J stetig sind. Zunächst kann man nämlich zu Intervallen der Form J D Œt0 b; t0 C a übergehen, wie in B(ii) beschrieben. Ein ganz beliebiges Intervall J mit t0 2 J schöpft man dann mit Intervallen der Gestalt Œt0 b; t0 C a aus und beachtet, dass laut B(i) je zwei solche Lösungen auf dem Durchschnitt der beiden zugehörigen Intervalle übereinstimmen. Im endlich-dimensionalen Fall W D Rn schreibt sich die lineare Differentialgleichung (6) natürlich als ein System y10 D p11 .t /y1 C C p1n .t /yn C q1 .t / :: :

(7)

yn0 D pn1 .t /y1 C C pnn .t /yn C qn .t / mit stetigen skalaren Funktionen pij ; qi . Weitere Resultate über lineare Differentialgleichungen werden in Abschnitt 2.3 erzielt. Zurück zur allgemeinen Differentialgleichung y 0 D R.t; y/: Häuﬁg ist die rechte Seite R nur lokal gegeben, z.B. in einem kartesischen Produkt J B. ; r/: Hier können Lösungen „abbrechen“, indem sie auf die eine oder andere Weise an den Rand stoßen (vgl. das Bild rechts). Jedoch kann man die Beweismethode von Satz A mit kleinen Änderungen beibehalten und erzielt dadurch folgendes Ergebnis: D. Satz. Seien t0 2 R, a > 0, r > 0 und 2 W gegeben. Sei weiter R W Œt0 ; t0 C a B. ; r/ ! W stetig und erfülle eine Lipschitz-Bedingung bez. der zweiten Variablen, d.h. es gebe eine Konstante L 0 mit: kR.t; y/ R.t; z/k L ky zk

für alle t 2 Œt0 ; t0 C a; y; z 2 B. ; r/:

Abschnitt 2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

67

Dann gilt: (i)

kRk ist beschränkt. Es sei ˇ

˚ M WD sup kR.t; y/k ˇ .t; y/ 2 Œt0 ; t0 C a B. ; r/ :

(ii)

Auf

n r o e a WD min a; M existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems a Œt0 ; t0 C e

mit

(DG)

y 0 .t / D R.t; y.t //

(AB)

y.t0 / D :

Beweis. Sei wieder J WD Œt0 ; t0 C a. Zu (i): Man hat für t 2 J , y 2 B. ; r/: kR.t; y/k D kR.t; y/ R.t; / C R.t; /k kR.t; y/ R.t; /k C kR.t; /k L ky k C kR.t; /k Lr C kR.t; /k : Hierin ist der letzte Summand eine stetige reelle Funktion von t 2 J , und J ist kompakt, also ist dieser Summand beschränkt. Zu (ii): Dies läuft genauso wie bei Satz A durch Zurückführung auf das Fixpunktproblem Z t

R. ; y. // d DW .F y/.t /:

y.t / D C t0

Nur muss jetzt die Deﬁnitionsmenge von F so eingeschränkt werden, dass sie durch F in sich abgebildet wird. Eine gute Wahl für diese Deﬁnitionsmenge ist ˇ ˚

A WD y W Œt0 ; t0 C e a ! W ˇ y stetig und ky.t / k r für t0 t t0 C e a mit noch geeignet zu wählendem e a 2 0; a. Die Wahl von e a ist gerade dadurch diktiert, dass A durch F in sich abgebildet werden soll. Nun besteht bei beliebigem e a 2 0; a die Abschätzung Z t R. ; y. // d aM y 2 A H) k.F y/.t / k D e t0

für t0 t t0 C e a. Also ist F y 2 A, falls e aM r. Dies ist erfüllt, wenn e a r=M im Falle M > 0 bzw. wenn e a WD a im Falle M D 0 gewählt wird.

68

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

0 Ferner ist A abgeschlossen im Raum C1 .Œt0 ; t0 C e a; W /; denn in diesem Raum ist A der Ball B. ; r/. Also liefert der Fixpunktsatz von Banach genau wie bei Satz A (einschließlich des Übergangs zur gewichteten Norm) die Behauptung.

Wir betrachten nun allgemeinere Deﬁnitionsmengen der rechten Seite: (8)

R W D ! W;

D R W:

E. Deﬁnition. Die Abbildung R (8) genügt einer lokalen Lipschitz-Bedingung bez. der zweiten Variablen, wenn zu jedem .t1 ; y1 / 2 D eine offene Umgebung U von .t1 ; y1 / in R W und ein L 0 existieren mit: kR.t; y/ R.t; z/k L ky zk

8 .t; y/; .t; z/ 2 D \ U:

Bevor wir das Anfangswertproblem unter dieser schwächeren Bedingung untersuchen, sei ein handliches Kriterium für das Eintreten dieser Voraussetzung aufgestellt: F. Satz (hinreichendes Kriterium für eine lokale Lipschitz-Bedingung). Ist R (8) stetig, D offen in R W und @R W D ! L .W / @y existent und stetig, so genügt R einer lokalen Lipschitz-Bedingung bez. der zweiten Variablen. .t ; y1 / die totale Ableitung von y 7! R.t1 ; y/ in y1 , also Für .t1 ; y1 / 2 D ist @R @y 1 Element von L .W /. Im skalaren Fall W D R ist natürlich L .W / zu identiﬁzieren mit R und @R die übliche partielle Ableitung (Ana-2: A[10.3]). @y Beweis von F. Gegeben sei .t1 ; y1 / 2 D. 1) Zu " D 1 existieren ı1 > 0, r1 > 0 mit @R .t; y/ @R .t1 ; y1 / 1 für alle .t; y/ 2 t1 ı1 ; t1 C ı1 Œ B.y1 ; r1 / DW U : @y @y Damit wird für .t; y/ 2 U : @R .t; y/ @R .t; y/ @R .t1 ; y1 / C @R .t1 ; y1 / @y @y @y @y @R 1C ; y / .t @y 1 1 DW L:

Abschnitt 2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

69

2) Aufgrund der Konvexität des Balls B.y1 ; r1 / besteht der Schluss: .t; y/; .t; z/ 2 U; 2 Œ0; 1 H) .t; y C .z y// 2 U: 3) Für .t; y/; .t; z/ 2 U folgt nach dem Schrankensatz (Ana-2: G[11.1]) @R ky zk L ky zk ; .t; y C .z y// kR.t; y/ R.t; z/k max @y 2Œ0;1

wobei zum Schluss 1) und 2) verwendet wurden. Lösungen von Differentialgleichungen können unbeschränkt werden oder am Rand von D abbrechen, aber sie können nicht einfach im Inneren „stecken bleiben“. Das liegt an dem oben erwähnten Fortsetzungsprinzip. Verschiedene Möglichkeiten, die hinsichtlich der Randannäherung bestehen, sind in dem Bild angedeutet. Wir präzisieren nun dieses Verhalten in den folgenden Aussagen G bis J.

Generalvoraussetzung für G bis J:

D ist offener Teil von R W .

R W D ! W ist stetig mit lokaler Lipschitz-Bedingung bez. der zweiten Variablen.

G. Lemma (über das Nichtenden von Lösungen). Sei y W Œt0 ; t1 Œ! W Lösung von y 0 D R.t; y/;

(DG) und es existiere

z1 WD lim y.t / t"t1

mit

.t1 ; z1 / 2 D:

Dann gibt es ein " > 0 und eine Fortsetzung von y auf Œt0 ; t1 C " als Lösung von (DG).

70

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Beweis. Wie bei Satz A gilt: Z

t

y.t / D y.t0 / C

R. ; y. // d

für t0 t < t1 :

t0

Deﬁniere

( y.t / '.t / WD z1

Dann ist

Z

für t 2 Œt0 ; t1 Œ für t D t1 :

t

y.t / D y.t0 / C

R. ; '. // d

für t0 t < t1 ;

t0

wobei der Integrand stetig auf ganz Œt0 ; t1 ist. Für t " t1 folgt hieraus Z t1 R. ; '. // d I '.t1 / D y.t0 / C t0

denn das Integral ist stetig als Funktion der oberen Grenze. Somit gilt Z t '.t / D y.t0 / C R. ; '. // d für t0 t t1 : t0

Durch Ableiten dieser Gleichung sieht man wiederum mittels HDI, dass ' Lösung von (DG) auf ganz Œt0 ; t1 ist, insbesondere ' 0 .t1 / D R.t1 ; '.t1 //. Damit ist der Punkt .t1 ; z1 / D .t1 ; '.t1 // „eingefangen“. Deﬁniere nun e ' als Lösung des Anfangswertproblems e ' 0 D R.t; e '/ e ' .t1 / D '.t1 / auf geeignetem Œt1 ; t1 C ", " > 0, was nach Satz D möglich ist. Dann ist ( '.t / für t 2 Œt0 ; t1 y.t / WD e ' .t / für t 2 Œt1 ; t1 C " die gewünschte Fortsetzung; vgl. B(i).

Nachdem nun klar ist, dass man im Inneren auf diese Weise noch „ein Stückchen“ weiterkommt, wird man maximal fortsetzen: H. Satz. Sei .t0 ; / 2 D gegeben. Dann gilt für das Anfangswertproblem (DG)

y 0 .t / D R.t; y.t //

(AB)

y.t0 / D W

Abschnitt 2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

71

(i) Das Anfangswertproblem ist lokal eindeutig lösbar, d.h. in einer geeigneten Umgebung von t0 gibt es genau eine Lösung. (ii) Es existiert genau eine maximale Lösung e y W e J ! W des Anfangswertproe blems, d.h. eine Lösung, die nicht auf ein J echt umfassendes Intervall als Lösung fortgesetzt werden kann. (iii)

e J ist offen, und jede Lösung des Anfangswertproblems ist Restriktion von e y.

Beweis. Mit Lösungen sind hier immer Lösungen des Anfangswertproblems gemeint. Zu (i): Dies folgt aus Satz D, wenn man zu .t0 ; / 2 D ein in D enthaltenes kartesisches Produkt Œt0 a; t0 C a B. ; r/ auswählt und die „beidseitige“ Variante analog zu B(ii) beachtet. Zu (ii): Sei Y die Menge aller Lösungen des Anfangswertproblems y W Jy ! W , Jy Intervall mit t0 2 .Jy /ı . Wir deﬁnieren [ e J WD Jy und e yW e J ! W y2Y

so: Zu t 2 e J wählen wir ein y 2 Y mit t 2 Jy und setzen e y .t / WD y.t /. Die Lösungen werden gewissermaßen „alle übereinandergelegt“. Nach Lemma G ist eine Lösung y mit nicht offenem Jy auf ein offenes Intervall als Lösung fortsetzbar. Zu zeigen ist zunächst für die Existenz: (a)

e y ist wohldeﬁniert;

(b)

e y ist Lösung;

(c)

e y ist maximal (hier wird sich die Eindeutigkeit mitergeben).

Zu (a): Zunächst ist e J wiederum ein Intervall. (Jede Vereinigung von Intervallen, die einen festen Punkt t0 enthalten, ist ein Intervall; vgl. Ana-2: G[10.9] und B[14.1]). Sei nun ein t1 2 e J betrachtet, etwa mit t1 > t0 , und seien y; z 2 Y mit t1 2 Jy \ Jz . (y und z sind hier nicht wie oben freie Variable, sondern Lösungsfunktionen.) Zur Wohldeﬁniertheit ist zu zeigen: y.t1 / D z.t1 /. Hierzu betrachten wir die Mengen der Übereinstimmung bzw. Nichtübereinstimmung: ˇ

˚ G WD 2 t0 ; t1 Œ ˇ y. / D z. / ˇ ˚

V WD 2 t0 ; t1 Œ ˇ y. / ¤ z. / : Dann gilt natürlich G \ V D ¿ und G [ V D t0 ; t1 Œ. G ist offen nach (i), V ist offen aufgrund der Stetigkeit von y und z. Da t0 ; t1 Œ zusammenhängend ist, folgt G D ¿ oder V D ¿. Nach (i) ist aber G ¤ ¿, also G D t0 ; t1 Œ und somit y.t1 / D lim y.t / D lim z.t / D z.t1 /: t"t1

t"t1

72

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Analog besteht die Wohldeﬁniertheit im Fall t1 < t0 , und bei t1 D t0 ist nichts zu zeigen. Zu (b): Klar, da e y in einer Umgebung eines jeden t1 2 e J mit einem y 2 Y übereinstimmt. Zu (c): Wäre e y fortsetzbar zu b y W b J ! W , so wäre b y 2 Y, also b J e J , also b e J D J. Daraus folgt auch die Eindeutigkeit von e y. Zu (iii): e J ist offen, sonst wäre e y über einen Randpunkt hinaus fortsetzbar (laut G). Der Rest ist klar aus der Konstruktion von e y. I. Lemma. Sei C eine kompakte Teilmenge von D und y W Œt0 ; t1 Œ ! W mit Œt0 ; t1 Œ R eine Lösung von (DG)

y 0 D R.t; y/;

sodass .t; y.t // 2 C

für alle t 2 Œt0 ; t1 Œ:

Dann gibt es ein " > 0 und eine Fortsetzung von y auf Œt0 ; t1 C " als Lösung von (DG). Dies verallgemeinert Lemma G; dort ist C das Bild von Œt0 ; t1 unter t 7! .t; '.t //. Beweis. Wegen der Kompaktheit von C ist kRk auf C beschränkt: kR.t; y/k %

für alle .t; y/ 2 C :

Mit dem Satz vom endlichen Zuwachs oder aus (IG) folgt ky.t / y.s/k % jt sj

für alle t; s 2 Œt0 ; t1 Œ:

Ist .tj / eine Folge in Œt0 ; t1 Œ mit limj !1 tj D t1 , so zeigt dies: .y.tj // ist CauchyFolge in W , also existiert z1 WD lim t"t1 y.t /. Wegen .t1 ; z1 / 2 C (C ist abgeschlossen), ist Lemma G anwendbar. J. Folgerung. Für die maximale Lösung e yW e J ! W des Anfangswertproblems (DG)

y 0 .t / D R.t; y.t //

(AB)

y.t0 / D ;

.t0 ; / 2 D

sei gesetzt: e J DW t ; t C Œ (t D 1 oder t C D 1 zugelassen). Ferner sei c.t / WD .t; e y .t// für t 2 t ; t C Œ sowie c C WD cjŒt0 ; t C Œ und c WD cj t ; t0 . Dann gilt:

Abschnitt 2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

73

(i)

Beide Wege c C und c verlassen jede kompakte Teilmenge C von D. Insbesondere ist c. e J / nicht kompakt.

(ii)

Existiert p C WD lim t"t C c C .t / 2 R W , so ist p C 2 @D.

(iii)

Existiert p WD lim t#t c .t / 2 R W , so ist p 2 @D.

„Verlassen“ soll bedeuten, dass der betreffende Weg wenigstens einmal aus C heraustritt. Beweis von J. Seien etwa die Varianten mit „C“ diskutiert. (Bei den Varianten mit „“ verfährt man analog.) Zu (i): Fall t C D 1: Hier gilt c C .t / … C für alle genügend großen t . Gäbe es nämlich eine y .tk // 2 C , so liegen Folge .tk / mit tk t0 , limk!1 tk D 1 und c C .tk / D .tk ; e alle tk in der Projektion P1 .C /, wobei P1 die Projektion von R W auf den ersten Faktor ist. Wegen der Stetigkeit von P1 ist P1 .C / kompakte Teilmenge von R, also beschränkt, was einen Widerspruch zu limk!1 tk D 1 ergibt. y nach Lemma I über t C Fall t C < 1: Wäre c C .t / 2 C für alle t 2 Œt0 ; t C Œ, so wäre e hinaus fortsetzbar, entgegen der Maximalität. Zu (ii): p C kann nicht in D liegen, weil sonst c C über t C hinaus als Lösung fortsetzbar wäre (Lemma G). Andererseits gilt wegen c C .t / 2 D für t0 t < t C , dass p C in D liegt. Es folgt also p C 2 D n D D D n Dı D @D. K. Beispiel (Kombination algorithmischer Lösungsverfahren mit dem Existenzund Eindeutigkeitssatz). Wir betrachten die Differentialgleichung aus B[1.3] y0 D

(DG)

y t C ; t y

wobei jetzt t statt x geschrieben ist. Hier ist R.t; y/ WD

t y C t y

und z.B.

ˇ ˚

D WD .t; y/ 2 R2 ˇ t > 0; y > 0 :

Im Lichte von Satz H können wir nun die frühere Diskussion mit folgenden Feststellungen ergänzen: a)

R erfüllt die Voraussetzungen von Satz F:

R ist stetig auf D; @R 1 t .t; y/ D 2 ist stetig auf D. @y t y Also ist das Anfangswertproblem für jedes .t0 ; / 2 D eindeutig maximal lösbar.

74 b)

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Wir hatten in B[1.3] algorithmisch Lösungen berechnet: p ya WD y D t ln.t 2 / C a; a D const.

Eine solche ist deﬁniert und differenzierbar für ln.t 2 / C a > 0, d.h. für t > e a=2 , also auf i h Ja WD e a=2 ; 1 : Die Probe zeigt: ya W Ja ! R löst (DG). c) Zu jeder Anfangsbedingung mit .t0 ; / 2 D existiert ein passendes a: Denn es besteht die Äquivalenz 2 q

D t0 ln.t02 / C a () a D ln.t02 /: t0 Weiter ist dann t0 > e a=2 ; denn dies ist äquivalent zu 1 a 2 1 a 2 t0 > exp t0 d.h. zu 1 > exp : 2 2 2 2 d)

Jede einzelne Lösung ya W Ja ! R ist auch maximal, da p p lim t ln.t 2 / C a D 0; lim t ln.t 2 / C a D 1: t "1 t # e a=2

Resümee: Die algorithmisch gefundenen Lösungen ya W Ja ! R; a 2 R, beschreiben tatsächlich die Gesamtheit der maximalen Lösungen von (DG) auf dem offenen Quadranten D. Die anderen drei offenen Quadranten von R2 kann man analog behandeln. Da R auf den Achsen von R2 nicht deﬁniert ist, müssen die vier Quadranten getrennt behandelt werden. In Beispiel H[4.5] wird gezeigt, wie durch eine verallgemeinerte Problemstellung ein besseres Lösungsverhalten entsteht. Dort folgen auch die Bilder der Lösungen in den vier Quadranten. L. Beispiele. (i) Wird auf die Lipschitz-Bedingung verzichtet, so braucht ein Anfangswertproblem nicht eindeutig lösbar zu sein. Die Differentialgleichung sei z.B. p (DG) y 0 D 3 y; D WD R R: p Die rechte Seite R.x; y/ WD 3 y ist überall stetig, aber eine lokale Lipschitz-Bedingung bez. y besteht für sie nicht: Wäre dies der Fall, so wäre die Ableitung @R in einer @y Umgebung jedes Punktes .x; 0/ 2 R .R n f0g/ beschränkt, was nicht der Fall ist, da 1 @R : D p 3 @y 3 y2

Abschnitt 2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

75

Eine Lösung von (DG) auf RC 0 ist z.B. y.x/ WD 0, aber auch r y.x/ WD

8x 3 ; 27

wie man leicht nachrechnet. Das Anfangswertproblem (DG) mit y.0/ D 0 hat also zumindest zwei C 1 -Lösungen. Tatsächlich gibt es sogar eine einparametrige Lösungsgesamtheit.

Unendlich viele Lösungen für ein Anfangswertproblem

Man kann nämlich zunächst ein beliebiges Stück a mit dem Wert Null nach rechts gehen und dann eine verschobene Lösung des zweiten Typs ansetzen, d.h. für jedes a > 0 ist auch 8 ˆ für 0 x a <0 r ya .x/ WD 3 ˆ : 8.x a/ für x a 27 eine C 1 -Lösung des Anfangswertproblems auf RC 0. (ii) Wird auf die Lipschitz-Bedingung verzichtet, so kann ein Anfangswertproblem trotzdem eindeutig lösbar sein. Die Differentialgleichung sei z.B. y0 D

1C

1 p

jyj

;

D WD R R:

Eine lokale Lipschitz-Bedingung bez. y besteht für sie aus dem gleichen Grunde wie bei (i) nicht. Mit Satz E[1.4] folgt jedoch: Das Anfangswertproblem y.0/ D 0 ist p eindeutig lösbar, und zwar sei als Stammfunktion von 1 C jyj gewählt G.y/ D p y C 23 y jyj (beide auf ganz R). Die Umkehrfunktion G 1 W R ! R hat also Klasse C 1 . Dann ist genau die Funktion y.x/ WD G 1 .x/ Lösung des Anfangswertproblems. In diesem Abschnitt wurden einige wichtige Grundprinzipien über gewöhnliche Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme entwickelt. Der lineare Fall wird im nächsten Abschnitt weitergeführt. Darüberhinaus gibt es viele weitere Aspekte und Aussagen, z.B. den Existenzsatz von Peano, bei dem nur die Stetigkeit der rechten Seite vorausgesetzt wird, jedoch keine Lipschitz-Eigenschaften.

76

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Insgesamt nehmen die Differentialgleichungen einen breiten Raum in der theoretischen und numerischen Analysis ein. Der Grund ist die große Anpassungsfähigkeit dieser Instrumente zur Modellbildung. Das gilt sowohl für die gewöhnlichen Differentialgleichungen wie erst recht für die partiellen Differentialgleichungen, die den Einﬂuss mehrerer Veränderlicher zu untersuchen gestatten. All das bleibt natürlich weiterführenden Studien überlassen. Aufgaben und Anmerkungen 1. In der Streifensituation kann eine Unbeschränktheit der Lösung eintreten, wenn der Streifen „halboffen“ ist, obwohl eine globale Lipschitz-Bedingung erfüllt ist: Betrachte z.B. das Anfangswertproblem y0 D

1 ; 1t

y.0/ D 0;

R W Œ0; 1Œ R ! R:

Dieses R ist stetig und erfüllt eine Lipschitz-Bedingung bez. y mit L D 0; denn R hängt gar nicht von y ab! Die Lösung ist eine passende Stammfunktion von 1=.1 t /, nämlich y.t / D ln.1 t / mit lim y.t / D 1: t "1

Vor dem rechten Intervallende ist aber laut Beispiel C kein Lösungsabbruch möglich. 2. Es sei a > 0. Man gebe möglichst große Gebiete D R2 an, in denen R.x; y/ WD jyja einer lokalen Lipschitz-Bedingung bez. y genügt. Für welche Exponenten a > 0 besitzt die Differentialgleichung y 0 D jyja durch jeden Punkt .x0 ; y0 / 2 R2 genau eine maximale Lösung? 3. Man löse das Anfangswertproblem für den freien Fall aus großer Höhe im luftleeren Raum: M y 00 D 2 ; y.0/ D h0 y 0 .0/ D v0 : y Dabei ist M die Masse des Planeten und die Gravitationskonstante. Diese Modellierung des freien Falls ist näher an der Realität als die von Aufgabe 4[1.1], weil die Anziehungskraft tatsächlich vom Abstand der Körper abhängt. Lösungshinweis: Energie-Trick aus Abschnitt 1.3 4. Für eine differenzierbare Abbildung y W J ! W gelte y 0 D py wobei p W J ! R stetig vorausgesetzt sei. Man beweise, dass der Spann spann.y.t // konstant (d.h. unabhängig von t 2 J ) ist. Genauer gilt in J : y.t / D eq.t/ c, wobei q eine Stammfunktion von p und c ein konstantes Element von W ist. 5. Gegeben seien zwei C r -Funktionen f; g W J ! R mit f 2 C g 2 D 1 (r 1). Man zeige:

Abschnitt 2.2

a)

77

Anwendung auf Differentialgleichungen

Es gibt eine C r -Funktion W J ! R, sodass für alle t 2 J gilt: f .t/ D cos .t / g.t / D sin .t /:

b)

Eine solche Funktion ist bis auf Addition eines konstanten Vielfachen von 2 eindeutig bestimmt.

Lösungshinweis: In komplexer Schreibweise lässt sich dies besonders einfach diskutieren: Mit F WD f C ig ist die Forderung äquivalent zu F D e i . Eine notwendige Bedingung ist also F 0 D e i i 0 D iF 0 , d.h. 0 D i F 0 =F . Man zeige nun umgekehrt: Die Funktion Z t 0 F . / d C c .t / WD i t0 F . / leistet das Verlangte, falls t0 2 J fest und c 2 R geeignet gewählt werden. Die C r Eigenschaft von ist gesondert zu überlegen (z.B. mit dem Umkehrsatz in Gestalt von Ana-2: E[12.1]). Hinweis: In der Terminologie von Ana-2: Abschnitt 14.2 ist die Funktion eine Anhebung des Kreiswegs W J ! S1 mit .t / WD .f .t /; g.t //. Der Existenzbeweis von gemäß obigem Teil a) ist unabhängig von dem Existenzbeweis in Ana-2: A[14.2], setzt allerdings mehr voraus als dort, nämlich die stetige Differenzierbarkeit (anstelle der bloßen Stetigkeit). Dass von der Klasse C r ist, folgt natürlich auch aus der dortigen allgemeinen Theorie (Ana-2: E[14.2]). 6. Elliptische Funktionen Gegeben eine reelle Konstante k 2 Œ0; 1Œ, betrachte man das folgende nichtlineare Anfangswertproblem für drei reelle Funktionen C; S; D: C 0 D S D (9)

0

S D

C D

D 0 D k 2 C S

C.0/ D 1 S.0/ D 0 D.0/ D 1:

Nach Satz H existiert zumindest auf einem Intervall J um 0 genau eine Lösung. Man beweise hierfür: C 2 C S 2 D 1. p b) D D 1 k 2 S 2 . a)

c) Schreibt man nach Aufgabe 5 (oder nach Ana-2: E[14.2]) C.x/ D cos A.x/;

S.x/ D sin A.x/

78

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

mit einer C 1 -Funktion A, so ist das Anfangswertproblem äquivalent zu D D A0 .2A/00 C k 2 sin 2A D 0;

A0 .0/ D 1;

A.0/ D 0;

wodurch D „aus dem Spiel geworfen“ und alles auf ein Anfangswertproblem (zweiter Ordnung) für A reduziert ist. d)

Mittels Energie-Trick (Abschnitt 1.3) und Satz E[1.4] löse man das Anfangswertproblem für A aus c) auf ganz R in der Gestalt Z y d

1 wobei F .y/ WD : A.x/ D F .x/; p 0 1 k 2 sin2

e) Daraus schließe man, dass die maximale Lösung des Ausgangssystems auf ganz R deﬁniert ist und dargestellt wird durch q C.x/ D cos A.x/; S.x/ D sin A.x/; D.x/ D 1 k 2 sin2 A.x/: f)

C und D sind gerade Funktionen, S ist eine ungerade Funktion.

g) C und D sind periodisch mit der Periode Z F .2/ D 0

2

d

D 4K; p 1 k 2 sin2

Z

=2

K WD 0

p

d

1 k 2 sin2

:

D ist periodisch mit der Periode 2K. Dies sind jeweils auch die kleinsten positiven (d.h. primitiven) Perioden. Man nennt C , S, D, A die Jacobischen elliptischen Funktionen und bezeichnet diese standardmäßig durch cnk WD C;

snk WD S;

dnk WD D;

amk WD A:

K ist das sog. vollständige elliptische Integral erster Gattung, präziser bezeichnet durch K.k/ WD K: Die Funktionen cnk , snk heißen Kosinus bzw. Sinus amplitudinis, die Funktion A die Amplitude, alle zum Modul k. Die Amplitude amk ist die Anhebung des Paars .cnk ; snk / in R mit amk .0/ D 0. Das folgende Bild veranschaulicht das typische periodische Verhalten der drei ersten Jacobischen Funktionen:

Abschnitt 2.2

79

Anwendung auf Differentialgleichungen

1

0 1

2

3

5

4

7

6

8

9

10

-1

Es wäre eine reizvolle Aufgabe, auf dieser reellen Grundlage weitere Eigenschaften dieser interessanten Funktionen aufzustellen. Für eine klassische Darstellung, die üblicherweise durchs Komplexe schreitet, vgl. z.B. Tricomi[1948]. Die Jacobischen elliptischen Funktionen wurden früher mit Tabellen berechnet, die recht umfangreich waren, da die Einträge von zwei Veränderlichen (x und k) abhängen. Mit moderner Software sind diese Funktionen genauso leicht zugänglich und berechenbar wie die trigonometrischen Funktionen, z.B. ist snk .x/ im Programm Maple aufrufbar mit dem Befehl JacobiSN.x; k/. Beim manuellen Rechnen lässt man oft die Argumentklammern weg, schreibt also z.B. snk .x/ DW snk x. 7. Die Grenzfälle k D 0 und k D 1 in Aufgabe 6 führen auf bekannte elementare Funktionen. Man zeige: a)

Für k D 0 ist die Lösung des Anfangswertproblems (9) C.x/ D cos x;

b)

S.x/ D sin x;

D.x/ D 1:

Für k D 1 ist die Lösung des Anfangswertproblems (9) C.x/ D D.x/ D

1 ; cosh x

S.x/ D tanh x:

8. Pendelgleichung 1 In Beispiel C[1.3] war die Pendelgleichung aufgestellt und kurz mit dem EnergieTrick behandelt worden. Will man feinere Eigenschaften herausﬁnden, insbesondere die Lösung als Funktion des (Zeit-)Parameters t darstellen, so muss man etwas anders vorgehen: Man starte wie dort mit der Differentialgleichung (10)

y 00 C a sin y D 0

für die Funktion y.t / mit gegebener Konstante a > 0.

80

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Die physikalische Bedeutung von y ergibt sich aus dem nebenstehenden Bild: Die Pendelmasse m bewegt sich in einer vertikalen Ebene mit masseloser Stange konstanter Länge `, also auf einer Kreislinie, und y ist der Winkel gegenüber der Vertikalen, gerechnet im mathematisch positiven Sinn. Die Konstante a ist in dieser physikalischen Deutung gegep ben durch a D g=`, worin g die Erdbeschleunigung und ` die Pendellänge ist. Jedoch wird von dieser Deutung im Folgenden kein Gebrauch gemacht. In dieser Aufgabe wird der Fall diskutiert, in dem y 0 eine Nullstelle besitzt. (Im Gegenfall ist y streng monoton, sodass keine „Umkehr“ stattﬁndet. Vgl. die Aufgaben 9 und 10.) a)

Mit der einfachen Substitution z WD

y 2

geht (10) über in z 00 C a sin z cos z D 0; und mit dem Energie-Trick liefert dies (11)

z 02 C a sin2 z D c;

c D const.

b) Die Gleichung (11) liefert als notwendige Bedingung für eine Nullstelle von z 0 : 0 c=a 1. Der Fall c D 0 ist uninteressant, da er z D const. impliziert. Der Falle c D a gestattet ebenfalls keine Nullstelle von z 0 (Aufgabe 9). Es sei also jetzt 0 < c=a < 1 und r c k WD 2 0; 1Œ a gesetzt. c) Unter dieser Annahme führt (11) auf folgende Differentialgleichung mit anschließendem

Abschnitt 2.2

81

Anwendung auf Differentialgleichungen

Lösungsalgorithmus

p p z 0 D ˙ a k 2 sin2 z

p Z 0

z

dz k 2 sin2 z

p D ˙ a dt

p d D ˙ a.t t0 / p k 2 sin2 Z u p uD d D ˙ a.t t0 /

(Trennung der Veränderlichen)

(Integration beider Seiten) (Substitution sin WD k snk )

0

snk u D ˙ snk

p a.t t0 /

(Anwendung von snk )

p sin z D ˙k snk . a.t t0 / (Resubstitution) p z D ˙ arcsin k snk . a.t t0 // (Isolierung von z):

Es sei an die Konvention aus Abschnitt 1.1 erinnert, dass ein solcher Lösungsalgorithmus nur dazu dient, Lösungsausdrücke zu erzeugen, jedoch nicht notwendig eine mathematische Deduktion darstellt. In der dritten Zeile ist t0 die notwendige Integrationskonstante. Die Substitution, die zur vierten Zeile führt, hat den Zweck, die Umkehrfunktion des voranstehenden elliptischen Integrals als Funktion der oberen Grenze zu ﬁnden. Dabei entsprechen sich bei der angegebenen Substitution die Variablen und im Integral und z und u bei dessen Grenzen. Durch Ableiten von sin WD k snk ergibt sich p p cos d D k cnk dnk , 2 2 also folgt wegen k sin D k cnk und cos D 1 sin2 D dnk (unter Voraussetzung von cos 0) der einfache Integrand d. d) Nun bestätige man, dass die erhaltene Formel für z (mit Vorzeichen 1!) und damit für p y D 2 arcsin k snk . a.t0 t // mit den Integrationskonstanten k 2 0; 1Œ und t0 2 R eine Lösungsgesamtheit von (11) darstellt, die auf jeden Fall die Anfangsbedingungen abdeckt: y.0/ 2 Œ0; Œ, y 0 .0/ D 0, wobei y.0/ K.k/ k D sin ; t0 D p : 2 a

82 e)

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Die Lösung aus d) ist periodisch mit der primitiven Periode 4 4K.k/ D p T D 4t0 D p a a

Z=2 p 0

d

1 k 2 sin2

:

9. Pendelgleichung 2 Man behandle den in Aufgabe 8 b) ausgeschlossenen Fall c D a mit dem Ergebnis p a y D 4 arctan tanh t ; 2

falls y.0/ D 0. Hieraus folgt lim y.t / D ˙:

t!˙1

Hinweis: Physikalisch entspricht diese Lösung einer Anfangsgeschwindigkeit y 0 .0/, die gerade so bemessen ist, dass das Pendel von der tiefsten vertikalen Lage aus asymptotisch den höchsten Punkt (y D ˙) anstrebt und dort „stehen bleibt“. Die dafür nötige Zeit ist 1. In diesem Fall ist die explizite Lösung der Pendelgleichung sogar mit elementaren Funktionen möglich! 10. Pendelgleichung 3 Der verbleibende Fall aus Aufgabe 8 b) ist c > a. Hier lautet die Gleichung (11), umgeschrieben auf y, nach etwas Umformung y 02 2a cos y D 4c 2a;

c > a:

Durch Vergleich mit der Differentialgleichung der Amplitude (Aufgabe 6) berechne man die Lösungen mit y.0/ D 0 als p y D 2 amk . c t/;

r kD

a c

Dieser p Fall entspricht physikalisch der Situation, dass die Anfangsgeschwindigkeit (2 c) so groß ist, dass das Pendel die obere vertikale Lage durchschreitet und sich immer monoton weiterdreht. Die Umlaufzeit T , d.h. das kleinste T > 0 mit y.t C T / D y.t/ C 2, ist dann 2kK.k/ : T D p a Die folgenden Bilder veranschaulichen den Ablauf der Pendelbewegung in den drei genannten Fällen:

Abschnitt 2.2

Anwendung auf Differentialgleichungen

83

Weg-Zeit-Ablauf der Pendelbewegungen

Es wird die Pendelstellung in gleichen Zeitabständen gezeigt. Dichte Positionen des Pendels bedeuten langsamen Ablauf, weite Positionen schnelle Bewegung. 11. In dieser Aufgabe wird erklärt, wie die elliptischen Funktionen zu ihrem Namen kommen. Das liegt an der Bogenlänge der Ellipse ˇ 2 ˇ y2 2 ˇ x E WD .x; y/ 2 R ˇ 2 C 2 D 1 ; 0 < a < b: a b Dabei ist bewusst die vertikale Halbachse b als die größere angenommen (um mit anderen Konventionen konform zu bleiben). Die übliche Parametrisierung von E lautet in Analogie zu der des Einheitskreises (Ana-1: O[4.4]) x D a cos ', y D b sin ', aus der man sie erhält, indem man die Ellipsengleichung als .x=a/2 C .y=a/2 D 1 schreibt, also x=a D cos ', y=b D sin ' setzt. Motiviert durch die Gleichung in Aufgabe 6 a) wähle man eine andere Parametrisierung von E, nämlich x.t / D a cnk .f .t //

(12)

y.t / D b snk .f .t //:

mit geeignetem k 2 0; 1Œ und geeigneter Funktion f , und zwar so, dass der hierdurch deﬁnierte Weg D .x; y/> auf Bogenlänge bezogen ist, d.h. j 0 j D 1 gilt (vgl. Ana-1: R[9.1]). Man beweise im Einzelnen: a)

Ist

r

a2 b2 und wird die bijektive Funktion g W R ! R deﬁniert durch Z u g.u/ WD dn2k .v/ dv; k WD

1

0

so leistet f .t / WD g

1

.t =b/ das Gewünschte.

84 b)

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

ist periodisch mit der primitiven Periode

K.k/ U WD 4bg 2

Z D 4bE.k/;

=2

E.k/ WD

q 1 k 2 sin2 d :

0

Das letzte Integral E.k/ heißt das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung zum Modul k 2 0; 1Œ. c) Es gilt .Œ0; U / D E, also ist U der Umfang der Ellipse E. Dieser wird somit dargestellt durch das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung.

Lösungshinweis zu a): Man schreibe mit dem Ansatz (12): x 02 C y 02 D dn2k f .a2 sn2k f C b 2 cn2k f / f 02 D dn2k f a2 sn2k f C b 2 1 sn2k f f 02 a2 D b 2 dn2k f 1 1 2 sn2k f f 02 b D b 2 dn2k f .1 k 2 sn2k f / f 02 D b 2 dn4k f f 02 : 12. Betrachtet wird eine autonome Differentialgleichung y 0 D R.y/, wobei die Deﬁnitionsmenge D von R offen im Banach-Raum W und R W D ! W stetig differenzierbar sei. Man beweise: Jede maximale Lösung y ist entweder konstant oder periodisch (wobei es eine kleinste positive Periode gibt) oder injektiv. In den ersten beiden Fällen ist y auf ganz R deﬁniert. 13. Sei Z W ein abgeschlossener Untervektorraum und y W J ! W eine differenzierbare Abbildung mit: y 0 .t / 2 Z für alle t 2 J . Weiter sei t0 2 J fest gewählt. Man beweise: Für alle t 2 J gilt y.t / y.t0 / 2 Z. Der Punkt y.t / bewegt sich also in dem festen afﬁnen Unterraum y.t0 / C Z von W .

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

85

Lösungshinweis: Man verwende die y entsprechende Abbildung y in den Quotientenraum W =Z, d.h. y WD ı y, wobei W W ! W=Z die zugehörige kanonische Projektion ist. (Ist y stetig differenzierbar, so ergibt sich das einfacher aus dem HDI: Rt 0 y . / d D y.t / y.t0 /.) t0 14. Für endlich viele differenzierbare Abbildungen y1 ; : : : ; yk W J ! W seien die Ableitungen yi0 stetig aus den yj linear kombinierbar, d.h. es gibt eine stetige Matrizenschar .pij .t// t2J mit: yi0 D

k X

pij yj ;

i D 1; : : : ; k:

j D1

Man beweise: spann.y1 .t /; : : : ; yk .t // ist konstant, d.h. dieser Spann ist unabhängig von t 2 J . Insbesondere besitzt das Vektorsystem y1 .t /; : : : ; yk .t / für alle t 2 J den gleichen Rang. Lösungshinweis: Vollständige Induktion nach k. Der Induktionsanfang ist Aufgabe 4. Beim Induktionsschluss kann man Aufgabe 13 verwenden. 15. Im endlich-dimensionalen Fall (2) zeige man: Ist die rechte Seite R von der Klasse C r (bez. der freien Variablen t; y1 ; : : : ; yn ), so ist jede Lösung von der Klasse C rC1 .

2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

Der Fixpunktsatz von Banach kann sehr wirkungsvoll für die Umkehrung nichtlinearer Abbildungen eingesetzt werden. Davon wird im nächsten Abschnitt die Rede sein. Im Augenblick wollen wir uns mit linearer Analysis beschäftigen, nämlich mit der Umkehrung linearer Abbildungen und mit linearen Differentialgleichungssystemen. Das lineare Umkehrproblem Die Umkehrung linearer Abbildungen ist im Fall endlicher Dimension eine Sache der linearen Algebra. Die Analysis kommt dann zum Zuge, wenn die Dimension nicht mehr endlich ist. Hierzu gibt es ein hervorragendes Werkzeug, nämlich die Neumannsche Reihe. Das ist eine Art geometrische Reihe, aber nicht für Skalare, sondern für Endomorphismen. Im linearen Fall stellt die Neumannsche Reihe eine Alternative zum Fixpunktsatz von Banach dar. Der allgemeine Rahmen ist wie folgt: Es seien V und W Banach-Räume. Wir wissen schon aus Folgerung G[2.1], dass der Raum L .V; W / der stetigen linearen Abbildungen wiederum ein Banach-Raum ist, wenn er mit der Operator-Norm ausgestattet wird. Wie in der linearen Algebra wird

86

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

die Komposition von linearen Abbildungen oftmals durch einen Punkt oder Hintereinanderschreiben bezeichnet und statt T .v/ einfach T v geschrieben (T lineare Abbildung, v Vektor). Als Erstes sei die Stetigkeit einiger Grundoperationen festgehalten: A. Lemma. Seien V; W; Z Banach-Räume. Die Komposition und die Auswertungsabbildung L .W; Z/ L .V; W / ! .S; T / 7 !

L .V; Z/ ST

L .V; W / V .T; v/

! 7!

W Tv

sind beide bilinear und stetig. Dabei werden kartesische Produkte mit der Maximumsnorm versehen. Insbesondere sind für feste A 2 L .W; Z/; B 2 L .V; W / die Abbildungen A W L .V; W / T

! 7!

L .V; Z/ AT

%B W L .W; Z/ ! S 7 !

L .V; Z/ SB

beide linear und stetig. Man nennt A Linkskomposition (mit A) und %B Rechtskomposition (mit B). Beweis. Bilinearität bzw. Linearität sind aus der linearen Algebra klar (man rechnet es leicht nach). Die Stetigkeit der Komposition bzw. der Auswertungsabbildung folgt dann aus den Abschätzungen kS T k kS k kT k bzw. kT vk kT k kvk; vgl. Ana-2: H,I,L[10.1]. A und %B sind Spezialfälle der Komposition (bei festem einen „Faktor“).

Eine bijektive lineare Abbildung T W V ! W hatten wir toplinear genannt, wenn T und die (automatisch lineare) Umkehrung T 1 W W ! V beide stetig sind. Einfaches Beispiel für eine toplineare Abbildung im Fall V D W ist die identische Abbildung E W W ! W . Bijektive lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension sind von alleine toplinear. Die Mengen toplinearer Abbildungen seien folgendermaßen bezeichnet: (1)

ˇ ˚

L .V; W / WD T 2 L .V; W / ˇ T toplinear ;

L .W / WD L .W; W /:

L .V; W / kann leer sein, wenn V ¤ W , z.B. wenn V und W von endlicher aber verschiedener Dimension sind. Eine Grundfrage des Umkehrproblems ist, wann eine stetige lineare Abbildung eine Inverse besitzt, die wiederum stetig und linear ist. Anders ausgedrückt: Welche linearen Abbildungen sind toplinear?

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

87

Hauptsächlich geht es hier um den Fall V D W , also um die stetigen Endomorphismen. Der zugrundeliegende Banach-Raum heiße jetzt meistens W und seine Identität meistens E. Aus Lemma A folgt sofort, dass die toplinearen Abbildungen von W auf sich eine Gruppe bilden (mit der Komposition als Verknüpfung). Natürlich ist die Identität E W W ! W toplinear. Eines der „Wunder der Analysis“ besteht darin, dass alle stetigen linearen Abbildungen im offenen 1-Ball um E immer noch toplinear sind, wobei die Inversen in Gestalt einer geometrischen Reihe explizit berechnet werden können: B. Satz. Für S 2 L .W / mit kS k < 1 ist E S 2 L .W /, und zwar gilt .E S /1 D E C S C S 2 C S 3 C ; wobei die Reihe rechts in L .W / absolut konvergiert. Sie hat die Bauart einer geometrischen Reihe und heißt die Neumannsche Reihe. Somit ist B.E; 1/ L .W /: Der offene Ball um die Identität E 2 L .W / mit Radius 1 besteht also aus lauter toplinearen Abbildungen. Beweis. Sei G WD E C S C S 2 C D

1 X

Sk:

kD0

Diese Reihe konvergiert in L .W / nach dem Majorantenkriterium (Ana-2: L(ii)[10.4] P k für einpunktiges M ). Denn mit s WD kS k ist S k kS kk D s k und somit 1 kD0 s wegen 0 s < 1 eine konvergente Majorante. Man berechnet nun: .E S /G D .E S /.E C S C S 2 C / D .E C S C S 2 C / .S C S 2 C / D E G.E S / D .E C S C S 2 C /.E S / D .E C S C S 2 C / .S C S 2 C / D E: Gliedweises Rechnen ist wegen des Rückgriffs auf die Teilsummen erlaubt. Hierbei gehen auch die Stetigkeiten aus Lemma A ein. Somit ist .E S/1 D G 2 L .W /, also E S 2 L .W /.

88

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

B. Zusatz. Es gelten die Abschätzungen 1 1 .E S /1 : 1 C kS k 1 kSk Beweis. Linke Ungleichung: Diese folgt aus der Kette kEk D .E S /1 .E S / .E S /1 kE S k .E S /1 .kEk C kSk/: Rechte Ungleichung: Diese ergibt sich so: .E S/1 D E C S C S 2 C kEk C kS k C kS k2 C D

1 : 1 kSk

In beiden Fällen beachtet man, dass natürlich kEk D 1 gilt.

C. Folgerung. Ist T0 2 L .W /, so gilt 1

!

B T0 ; 1 T

L .W /:

0

L .W / ist also eine offene Teilmenge von L .W /. Beweis. Liegt T in dem genannten Ball um T0 , so gilt 1 kT T0 k < 1 : T 0

Hieraus folgt E T T 1 D .T0 T /T 1 kT0 T k T 1 < 1 T 1 D 1; 0 0 0 0 T 1 0

also ist T T01 2 L .W / (Satz B), somit T D .T T01 /T0 2 L .W /.

D. Beispiel. Für W D Rn folgt insbesondere, dass die regulären .n n/-Matrizen eine offene Teilmenge aller .n n/-Matrizen bilden: GL.n; R/ R.n;n/ : offen

Abschnitt 2.3

89

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

E. Satz. Mit der Komposition als Verknüpfung bildet L .W / eine Gruppe mit stetigen Operationen: L .W / L .W / ! .S; T / 7 !

L .W / ST

L .W / T

! 7!

L .W / T 1 ;

also eine sog. topologische Gruppe. Tatsächlich ist die Inversen-Bildung R W T 7! T 1 an jeder Stelle T 2 L .W / differenzierbar mit der totalen Ableitung R0 .T /H D T 1 H T 1 ;

H 2 L .W /:

Beweis. Stetigkeit von .S; T / 7! S T : Klar aus Lemma A. Differenzierbarkeit von T 7! T 1 : Für T; T C H 2 L .W / gilt folgende algebraische Umformung, die zunächst etwas exotisch anmutet: 1 1 .T C H /1 T 1 D T H T 1 H /2 .T C H /1 „ ƒ‚ … C .T „ ƒ‚ … A1 A2

Um diese Gleichung zu bestätigen, geht man aus von E T 1 .T C H / D T 1 H T 1 .T C H / C .T 1 H /2 ; was offensichtlich richtig ist, und komponiert von rechts mit .T C H /1 . Der Bestandteil A1 ist linear und stetig in H : kA1 k T 1 kH k T 1 . Der Bestandteil A2 geht stärker als linear gegen 0, ist also das richtige „Restglied“ zur Differenzierbarkeit. Im Einzelnen: 2 kA2 k T 1 kH k2 .T C H /1 2 D T 1 kH k2 .E C T 1 H /1 T 1 3 T 1 kH k2 .E C T 1 H /1 3 T 1 kH k2

1 ; 1 kT 1 H k wobei zusätzlich angenommen wird, dass T 1 H < 1 gilt, und dann die rechte Ungleichung aus dem Zusatz zu B angewandt ist. Diese Einschränkung für H ist für den Grenzübergang H ! 0 bedeutungslos. Es folgt limH !0 kA2 k = kH k D 0 und damit die Behauptung über die Ableitung R0 .T /. Analog zur obigen geometrischen Reihe kann man die Exponentialreihe bilden:

90

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

F. Deﬁnition und Satz. Für S 2 L .W / ist e S 2 L .W / deﬁniert durch 1 X Sk 1 1 2 e WD exp S WD exp.S / WD E C S C S C D : 1Š 2Š kŠ S

kD0

Diese Exponentialreihe konvergiert für alle S 2 L .W / absolut, wobei die Majorante gerade die gewöhnliche Exponentialreihe für kSk ist: kexp S k exp kSk : Beweis. Die Majorantenprüfung erfolgt genau wie oben bei der geometrische Reihe aufgrund der Abschätzung S k kS kk . G. Bemerkung. Ganz analog funktioniert dieses Rezept für jede skalare Potenzreihe f .x/ D

1 X

ck .x a/k

kD0

mit Zentrum a und Konvergenzradius r > 0: f .S/ WD

1 X

ck .S aE/k :

kD0

Diese Reihe konvergiert in L .W / absolut für kS aEk < r und, falls 0 < % < r, absolut-gleichmäßig für kS aEk %. Das geht natürlich auch entsprechend komplex. Das ist eine Ausgangsidee des sog. Funktionalkalküls, in dem solche Potenzreihen und allgemeiner (holomorphe) Funktionen mit Argumenten S 2 L .W / studiert werden. In diesem Buch wird diese Linie nicht weiter verfolgt und auch nicht gebraucht. Vgl. dazu z.B. Heuser[2006]. Lineare Differentialgleichungssysteme Wir hatten solche Systeme in C[2.2] als Spezialfälle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes nach Picard/Lindelöf behandelt. Dabei stellte es sich heraus, dass die im allgemeinen nötige Lipschitz-Bedingung in diesem linearen Fall von alleine erfüllt ist. Daran knüpfen wir jetzt an. Betrachtet wird also eine lineare Differentialgleichung in der „basisfreien“ vektoriellen Gestalt, (2)

y 0 D P .t/y C q.t /;

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

91

wobei P und q Abbildungen von folgendem Typ sind (3)

P W J ! L .W /;

q W J ! W;

beide stetig auf dem beliebigen (echten) Intervall J . Außerdem sei eine zugehörige Anfangsbedingung von der Form (4)

y.t0 / D

für gegebene t0 2 J und 2 W :

Das Problem heißt homogen, falls q D 0, sonst inhomogen. Die Stetigkeit der Abbildungen (3) sei im ganzen Abschnitt beibehalten. Wir wissen schon aus C[2.2], dass das Anfangswertproblem (2), (4) auf dem ganzen Intervall J genau eine Lösung besitzt. Lineare Differentialgleichungen genießen nicht nur von der Gestalt her einen linearen Status sondern erst recht von der Lösungsmenge her. Im homogenen Fall ist die Lösungsmenge ein Vektorraum, der in umkehrbar eindeutiger und linearer Beziehung zur Gesamtheit der Anfangsvektoren steht. Im inhomogenen Fall bilden die Lösungen einen afﬁnen Raum, dessen Richtungsraum der Lösungsraum der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist. Diese Strukturfragen sind das nächste Ziel. Homogener Fall: H. Satz. Bei einer homogenen Differentialgleichung y 0 D P .t/y

(5)

und gegebener Stelle t0 2 J ordne man jedem 2 W die Lösung y mit y .t0 / D

zu. Dann vermittelt die Zuordnung 7! y , eine bijektive lineare Abbildung von W auf die Gesamtheit aller Lösungen von (5). Diese ist also ein Untervektorraum des Vektorraums aller stetig differenzierbaren Abbildungen von J in W . Kurz: Die Lösungsgesamtheit von (5) ist ein linearer Funktionenraum, isomorph zum Vektorraum W aller möglichen Anfangsvektoren (vermöge der Abbildung „Anfangsvektor 7! Lösung des Anfangswertproblems“). Beweis. Zur Linearität: Jedenfalls ist mit y und e y auch jede Linearkombination ˛y C ˇ e y (˛, ˇ Konstante) Lösung von (5). Denn aus y 0 .t / D P .t /y.t / und e y 0 .t / D P .t / e y .t / folgt durch Multiplikation der ersten Gleichung mit ˛ und der zweiten mit ˇ und y 0 .t / D ˛P .t /y.t / C ˇP .t / e y .t /, also .˛y.t / C ˇ e y .t //0 D Addition sofort ˛y 0 .t / C ˇ e P .t/.˛y.t/ C ˇ e y .t //. Zu zeigen ist jetzt für ; 2 W : y˛ Cˇ D ˛y C ˇy :

92

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Die rechte Seite ist schon mal Lösung von (5). Sie nimmt an der Stelle den Wert ˛ C ˇ an. Das tut aber auch die linke Seite, also folgt wegen der Eindeutigkeit des Anfangswertproblems die Gleichheit beider Lösungen. Die Zuordnung 7! y ist surjektiv, denn für eine beliebige Lösung y gilt aufgrund der Eindeutigkeit y D y mit WD y.t0 /. Die Zuordnung 7! y ist injektiv, denn aus y D 0 folgt D y .t0 / D 0. (Der Kern besteht nur aus dem Nullvektor). Da Vektorraumisomorphismen lineare Abhängigkeiten bzw. Unabhängigkeiten erhalten, kann man zusätzlich festhalten: H . Zusatz. Sind y1 ; : : : ; yN Lösungen von (5) in endlicher Anzahl, so sind diese als Abbildungen von J in W dann und und nur dann linear abhängig (bzw. linear unabhängig), wenn ihre Auswertungen y1 .t0 /; : : : ; yN .t0 / an einer festen Stelle t0 2 J als Vektoren von W linear abhängig (bzw. linear unabhängig) sind. Inhomogener Fall: Genau wie in der linearen Algebra gilt: I. Satz (Homogen/Inhomogen-Satz). Zwischen den Lösungsmengen der Differentialgleichung (I-H)

y 0 D P .t/y C q.t /

und der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (H)

y 0 D P .t/y

besteht folgender Zusammenhang: Ist yp eine partikuläre Lösung von (I-H), so sind die Lösungen von (I-H) genau die von der Form yp C y, wobei y den Lösungsraum von (H) durchläuft. Oder auch: Die Lösungen von (I-H) bilden einen afﬁnen Unterraum im Vektorraum der stetig differenzierbaren Abbildungen von J in W . Der zugehörige Richtungsraum ist gerade der Lösungsraum von (H). Klassisch drückt man das so aus: „Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung “. Beweis. Man weist die Behauptung in der gleichen einfachen Weise nach wie in der linearen Algebra. Die dortigen Argumente sind nämlich ganz unabhängig von der

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

93

Dimension (vgl. Kowalsky/Michler[2003], Satz 3.2.9 oder Walter[1996], Satz F[3.2]). Da der obige Homogen/Inhomogen-Satz in Kürze auf andere Weise herauskommen wird, soll diese Skizze hier genügen. Im Gegensatz zur linearen Algebra gibt es hier bei den Differentialgleichungen ein universelles Verfahren zur Aufﬁndung einer partikulären Lösung, nämlich die Variation der Konstanten. Diese werden wir in dem folgenden allgemeinen Rahmen herleiten. Anhebung in den Endomorphismenraum Der gegebenen homogenen Differentialgleichung in W kann man eine entsprechende Differentialgleichung im Endomorphismenraum L .W / zuordnen. Das hat den Vorteil, dass neben der Vektorraumstruktur von L .W / auch die multiplikative Struktur (der Komposition) zur Verfügung steht. Die beiden Differentialgleichungen und die Bezeichnungen für ihre Lösungen sind: ( ( Y 0 D P .t /Y y 0 D P .t/y (DG) (dg) Lösungen y W J ! W Lösungen Y W J ! L .W /. Existenz und Eindeutigkeit der Anfangswertprobleme für (DG) ergeben sich wie in C[2.2]. J. Satz. Über die Differentialgleichungen (dg) und (DG) kann man Folgendes aussagen: (i) Zusammenhang zwischen (dg) und (DG): Ist Y .t / die Lösung des Anfangswertproblems (AWP)

Y 0 D P .t /Y;

Y.t0 / D E;

so ist die Lösung des Anfangswertproblems (awp)

y 0 D P .t/y;

y.t0 / D

gegeben durch y.t / WD Y.t / : (ii) Gilt für eine Lösung Y von (DG): Y.t0 / 2 L .W / für ein t0 2 J , so ist Y .t / 2 L .W / für alle t 2 J . Ein solches Y wird reguläre Lösung von (DG) genannt. (iii) Die Abbildung, die bei festem t 2 J jedem Anfangsvektor 2 W bei t0 den Wert der Lösung des Anfangswertproblems (awp) bei t zuordnet, ist eine toplineare Abbildung von W auf W , nämlich wie in (i) gegeben durch 7! Y .t / .

94

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

e .t / WD TP .t /T 1 (iv) Ähnlichkeitsinvarianz: Ist T 2 L .W / fest und setzt man P 1 e und Y .t / WD T Y .t /T , so gilt die Äquivalenz Y 0 D P .t/Y

()

e0 D P e .t / Y e: Y

Beweis. Zu (i): Das angegebene y erfüllt (dg), da y 0 D Y 0 D P Y D P y, und die Anfangsbedingung, da y.t0 / D Y.t0 / D . Die Behauptung folgt also wegen der eindeutigen Lösbarkeit des Anfangswertproblems. Zu (ii): Wir behandeln zunächst die Lösung Y .t / von (AWP). Da das Y .t / natürlich von t0 abhängt, sei es genauer durch R.t; t0 / bezeichnet. Für je drei Stellen t0 , t1 , t in J besteht dann die „Transitivität“ (6)

R.t; t0 / D R.t; t1 /R.t1 ; t0 /:

In der Tat erfüllt die rechte Seite von (6) die Differentialgleichung in (AWP); denn ihre Ableitung ist P .t/R.t; t1 /R.t1 ; t0 /, und ihre Wert bei t1 ist R.t1 ; t1 /R.t1 ; t0 / D R.t1 ; t0 /. Diese Eigenschaften hat aber auch die linke Seite von (6), sodass aufgrund der Eindeutigkeit die beiden Ausdrücke übereinstimmen. Aus (6) folgt R.t0 ; t /R.t; t0 / D R.t0 ; t0 / D E R.t; t0 /R.t0 ; t / D R.t; t / D E: Somit ist R.t0 ; t / sowohl linksinvers wie auch rechtsinvers zu R.t; t0 /, also R.t; t0 / toplinear und R.t; t0 /1 D R.t0 ; t / (Rechnen in der Gruppe L .W /!). Damit ist die Behauptung von (ii) zunächst klar, wenn eine Lösung von (DG) bei t0 den Wert E annimmt. Gilt allgemeiner für eine solche Lösung Y stattdessen Y .t0 / 2 L .W /, so betrachte man Z WD Y Y.t0 /1 . Es ist dann Z 0 D Y 0 Y.t0 /1 D P .t/Y Y.t0 /1 D P .t /Z und Z.t0 / D Y.t0 /Y .t0 /1 D E, also Z.t/ stets toplinear und damit auch Y .t / D Z.t /Y .t0 /. Zu (iii): Konsequenz von (i) und (ii). Zu (iv): Von links nach rechts schließt man so: Aus Y 0 D P Y folgt T Y 0 T 1 D TP Y T 1 D TP T 1 T Y T 1 ; e0 D P eY e. Von rechts nach links geht es analog (es vertauschen sich nur die also Y Rollen von T und T 1 ).

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

95

Variation der Konstanten Dieses von den skalaren Differentialgleichungen in Abschnitt 1.2 bekannte Verfahren gibt es auch hier. Es dient dazu, die inhomogene Differentialgleichung (I-H) zu lösen, und zwar unter der Voraussetzung, dass die Lösungsraum der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (H) bekannt ist. In leichter Verallgemeinerung von Satz J(i) gilt Folgendes: Sei Y irgendeine reguläre Lösung der Endomorphismengleichung (DG). Die Lösungsgesamtheit von (dg) besteht dann aus den Abbildungen y.t / D Y .t /

mit beliebigem konstanten 2 W . Sei nämlich t0 2 J fest gewählt und wie oben Z.t / WD Y.t /Y .t0 /1 als neue Lösung von (DG) mit Z.t0 / D E gewählt. Nach J(i) ist die Lösungsgesamtheit von (dg) gegeben durch y.t / D Z.t / D Y .t /Y .t0 /1

mit freiem 2 W . Da mit auch Y.t0 /1 den ganzen Raum W durchläuft, folgt die Behauptung. Somit ist die Kenntnis aller Lösungen von (dg) äquivalent mit der Kenntnis eines solchen Y . Motiviert durch die so beschriebene Lösungsgesamtheit von (dg), macht man nun für (I-H) den Ansatz y.t / WD Y.t /z.t /; ersetzt also formal die Konstante durch eine Funktion z.t /, daher der Name „Variation der Konstanten“. Die unbekannte Funktion z W J ! W ist so zu bestimmen, dass dieses y die Gleichung (I-H) erfüllt. Das führt auf die Äquivalenzkette Y 0 .t /z.t / C Y.t /z 0 .t / D P .t /Y .t /z.t / C q.t / P .t /Y.t /z.t / C Y.t /z 0 .t / D P .t /Y .t /z.t / C q.t / (7)

Y.t /z 0 .t / D q.t / z 0 .t / D Y.t /1 q.t / Z

t

z.t/ D C

Y . /1 q. / d

t0

mit festem t0 2 J und 2 W . Damit ist gezeigt: K. Satz (Variation der Konstanten). Sei Y eine reguläre Lösung der Endomorphismengleichung (DG). Die Lösungsgesamtheit von (I-H) ist dann gegeben durch Z t 1 (8) y.t / D Y.t / C Y. / q. / d ; t0

worin bei festem t0 2 J das den ganzen Raum W durchläuft. Eine partikuläre Lösung von (I-H) erhält man daraus z.B. durch die Wahl D 0: Z t Y. /1 q. / d : yp WD Y.t / t0

96

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Hierin enthalten ist erneut der Homogen/Inhomogen-Satz I.

Wir haben gerade gesehen, dass die Kenntnis aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung (dg) äquivalent ist mit der Kenntnis einer regulären Lösung Y der Endomorphismengleichung (DG). Somit braucht das Y nicht unbedingt durch Lösung der Differentialgleichung (DG) berechnet zu werden: es ergibt sich rein algebraisch aus der Formel y.t / D Y.t / , in der den Raum W und y.t / den Lösungsraum von (dg) durchläuft, wenn man den Lösungsraum von (dg) kennt. Das lässt sich insbesondere im endlich-dimensionalen Fall nutzen. Der endlich-dimensionale Fall Im Fall W D Rn nimmt die Differentialgleichung (I-H) die Gestalt eines linearen Differentialgleichungssystems wie in (7)[2.2] an: y10 D p11 .t /y1 C C p1n .t /yn C q1 .t / (9)

:: : yn0 D pn1 .t /y1 C C pnn .t /yn C qn .t /;

worin die gegebenen reellen Funktionen pij ; qi stetig im Intervall J sind. Es ist also 0 1 0 1 p11 .t / p1n .t / q1 .t / B B C :: C ; P .t/ D @ ::: q.t / D @ ::: A : : A pn1 .t /

pnn .t /

qn .t /

Wie üblich, sind die linearen Abbildungen P .t / mit ihren Matrizendarstellungen (bez. der Standard-Basis) identiﬁziert. Es bleibt natürlich alles erhalten, was oben bei beliebigem Banach-Raum W herausgekommen ist, insbesondere: L. Satz. Im homogenen Fall (alle qi D 0) ist die Lösungsgesamtheit ƒ von (9) ein n-dimensionaler Untervektorraum des Funktionenraums aller stetig differenzierbaren Abbildungen von J in Rn , nämlich isomorphes Bild der Zuordnung „Anfangsvektor bei t0 7! Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit Anfangsbedingung y.t0 / D “. Jede Basis H1 ; : : : ; Hn des Lösungsraums ƒ wird ein Hauptsystem des Differentialgleichungssystems (9) genannt. Man erhält ein solches Hauptsystem z.B. in Gestalt der n Lösungen, die zu den Standard-Basisvektoren von Rn als Anfangswerte gehören. Im inhomogenen Fall gilt der Homogen/Inhomogen-Satz, wobei eine partikuläre Lösung durch die Formel in Satz K gefunden werden kann. Die Formel in Satz K ist erst wirksam, wenn man eine reguläre Lösung Y .t / der zugehörigen Endomorphismengleichung kennt. Tatsächlich ist ein solches Y .t / ablesbar aus einem Hauptsystem der homogenen Gleichung:

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

97

L. Zusatz. Ist H1 ; : : : ; Hn ein Hauptsystem des homogenen Differentialgleichungssystems (9) (alle qi D 0), so erhält man eine reguläre Lösung der Matrizendifferentialgleichung Y 0 D P .t/Y , indem man die Hi in die Spalten einer .n n/-Matrix einträgt, was so angedeutet sei: Y.t / D .H1 .t /; : : : ; Hn .t //: Beweis. Eine solchermaßen aufgebaute Matrix Y .t / ist an jeder Stelle vom Rang n, da ihre Spalten linear unabhängig sind. Mittels Hi0 D P .t/Hi rechnet man nun Y 0 .t/ D .H10 .t /; : : : ; Hn0 .t // D .P .t/H1 .t /; : : : ; P .t /Hn .t // D P .t /.H1 .t /; : : : ; Hn .t // D P .t /Y .t /: Dabei ergibt sicht der vorletzte Schritt aus der Deﬁnition der Matrizenmultiplikation (rückwärts gelesen). Skalare lineare Differentialgleichungen In den obigen Resultaten über lineare Systeme stecken auch die entsprechenden Aussagen über lineare skalare Differentialgleichungen. Diese Übertragung geschieht mit Hilfe von Satz C[1.4], der ganz allgemein sagt, wie eine skalare Differentialgleichung einer beliebigen Ordnung r als ein Differentialgleichungssystem der Ordnung 1 aufgefasst werden kann: M. Satz. Betrachtet wird das Anfangswertproblem für eine Funktion y W J ! R (Lr)

y .r/ C ar1 .t /y .r1/ C C a0 .t /y D g.t/

(Ar)

y.t0 / D 0 ; : : : ; y .r1/ .t0 / D r1

mit gegebenen stetigen Funktionen a0 ; : : : ; ar1 ; g von J nach R, einem t0 2 J und gegebenen Konstanten 0 ; : : : ; r1 in R. (i)

Das Anfangswertproblem (Lr), (Ar) hat genau eine Lösung auf ganz J .

(ii)

Die Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung

(Hr)

y .r/ C ar1 .t /y .r1/ C C a0 .t /y D 0

bilden eine Vektorraum der Dimension r. Insbesondere existiert eine Basis von r Lösungen F1 ; : : : ; Fr von (Hr), sodass also die Lösungen von (Hr) genau die Funktionen (10)

y WD ˛1 F1 C C ˛r Fr

mit eindeutig bestimmten reellen Konstanten ˛1 ; : : : ; ˛r sind. Solch eine Basis F1 ; : : : ; Fr des Lösungsraums heißt ein Fundamentalsystem von (Hr).

98

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

(iii) Ist yp eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung (Lr), so besteht wiederum der Homogen/Inhomogen-Satz: Die Lösungen von (Lr) sind genau die von der Form yp C y, wobei y die Lösungen y (10) von (Hr) durchläuft. Beweis. Nach Satz C[1.4] ist die Funktion y genau dann Lösung von (Lr), wenn die vektorielle Funktion z WD .y; y 0 ; : : : ; y .r1/ />

(11) Lösung des Systems

z 0 D P .t/z C q

(Sr)

ist, wobei (argumentfrei geschrieben) 0 B B B B P WD B B B B @

0

a0

1 0

a1

1 1 :: :

a2

::

:

::

:

::

: 0 ar2

1 ar1

C C C C C; C C C A

0 1 0 B 0C B C B :: C B :C C q WD B B :: C : B :C B C @ 0A g

Die Anfangsbedingung (Ar) für y schreibt sich dann als Anfangsbedingung z.t0 / D . 0 ; : : : ; r1 /> für z. Das zum Differentialgleichungssystem (Sr) gehörende homogene Differentialgleichungssystem ist (HSr)

z 0 D P .t /z:

Mit diesen Entsprechungen liefern nun die obigen Aussagen über lineare Differentialgleichungssysteme die Behauptungen über die skalaren Differentialgleichungen (Lr), (Hr) bzw. das Anfangswertproblem (Lr), (Ar). Für die Anfangsbedingungen ist dies unmittelbar klar, und beim Rest ist es einfach so, dass sich aufgrund der speziellen Bauart von (11) lineare Relationen für z mit konstanten Koefﬁzienten auf die erste Komponente y übertragen und umgekehrt. Die Beziehung (11) führt noch zu folgendem M. Zusatz. Sind F1 ; : : : ; Fr Lösungen von (Hr), so besteht für die gemäß (11) zuge-

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

99

hörigen Lösungen H1 ; : : : ; Hr von (HSr) die Äquivalenz: F1 ; : : : ; Fr Fundamentalsystem von (Hr) ~ w 0 B B H1 D B @

0

1

F1 F10 :: :

Fr Fr0 :: :

B C B C C ; : : : ; Hr D B @ A

F1.r1/

1 C C C Hauptsystem von (HSr): A

Fr.r1/

Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koefﬁzienten Es sei nun wieder W beliebig, aber der Sonderfall betrachtet, dass P .t / konstant gleich einem festen A 2 L .W / ist. Es genügt dabei, den homogenen Fall und die Endomorphismenvariante zu behandeln. Wir studieren also die Differentialgleichung Y 0 D AY;

(DG0 )

A 2 L .W / konstant:

Wiederum werden nur maximale Lösungen betrachtet, die hier in ganz R deﬁniert sind. Auch sind alle Anfangsstellen gleichberechtigt, wie in Bemerkung Q(ii) herauskommen wird. Wir wählen vorläuﬁg t0 D 0. N. Satz. Es sei Y die Lösung von (DG0 ) mit Y .0/ D E. Dann gilt für alle t; s 2 R: Y.t C s/ D Y.t /Y .s/

(i)

Y.t / 2 L .W /

(ii)

und

.Y.t //1 D Y .t /:

Beweis. Laut J(ii) ist Y.t / 2 L .W / für alle t 2 R. Zu (i): Betrachte bei festem s Z1 .t / WD Y.t C s/;

Z2 .t / WD Y .t /Y .s/:

Man berechnet: Z10 .t/ D Y 0 .t C s/ D AY .t C s/ D AZ1 .t /;

Z1 .0/ D Y .s/

Z20 .t/ D Y 0 .t /Y .s/ D AY .t /Y .s/ D AZ2 .t /;

Z2 .0/D Y .s/:

Somit lösen Z1 ; Z2 das gleiche Anfangswertproblem, sind also gleich. Zu (ii): Setzt man in (i) s WD t , so folgt E D Y .0/ D Y .t /Y .t / und durch Ersetzung von t durch t weiter E D Y.t /Y .t /. Also ist Y .t / D .Y .t //1 2 L .W /.

100

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

N . Zusatz. Wegen (i) und (ii) bilden die Y .t / eine kommutative Untergruppe von L .W /. Die Familie .Y .t // t2R wird als Einparametergruppe zum (inﬁnitesimalen) Erzeuger A bezeichnet. Die Zuordnung t 7! Y .t / ist ein Homomorphismus der additiven Gruppe .R; C/ in .L .W /; ı/. O. Satz (Exponentialdarstellung). Für die Einparametergruppe Y zum Erzeuger A, also für die Lösung von Y 0 D AY mit Y .0/ D E besteht für alle t 2 R die Darstellung: Y.t / D exp.tA/ D

1 X Ak k t : kŠ

kD0

Beweis. Man darf die Reihe gliedweise nach t differenzieren (wie bei skalaren Potenzreihen, Ana-1: I[8.5]): .exp.tA//0 D

1 1 1 X X Ak k1 X Ak A` ` D kt t k1 D A t D A exp.tA/: kŠ .k 1/Š `Š

kD0

kD1

`D0

Somit erfüllt die Reihe die gleiche Differentialgleichung und auch die gleiche Anfangsbedingung exp.0 A/ D E wie Y , und es folgt die Übereinstimmung. P. Satz. Sind A; B 2 L .W / vertauschbar, d.h. AB D BA, so gilt exp.A C B/ D exp.A/ exp.B/; insbesondere also exp.A/ exp.B/ D exp.B/ exp.A/: Beweis. Zunächst gilt für alle t 2 R: exp.tA/B D B exp.tA/I

(12)

denn beide Seiten lösen als Funktion von t 2 R das Anfangswertproblem: Y 0 D AY , Y.0/ D B, stimmen also überein: .exp.tA/B/0 D A exp.tA/B;

.B exp.tA//0 D BA exp.tA/ D AB exp.tA/:

Wir bilden nun Z1 .t / WD exp.t .A C B//;

Z2 .t / WD exp.tA/ exp.tB/:

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

101

Wiederum lösen Z1 ; Z2 dasselbe Anfangswertproblem Y 0 D .A C B/Y , Y .0/ D E, stimmen also überein: Z10 .t/ D .A C B/ exp.t .A C B/ D .A C B/Z1 .t / Z20 .t/ D A exp.tA/ exp.tB/ C exp.tA/B exp.tB/ D A exp.tA/ exp.tB/ C B exp.tA/ exp.tB/ D .A C B/Z2 .t /: Für t D 1 ergibt sich aus Z1 .t / D Z2 .t / die Behauptung des Satzes.

Q. Bemerkungen. (i) (13)

Für t D 1 folgt aus (12) exp.A/B D B exp.A/;

falls AB D BA;

speziell für B D Ak ; k 2 N: (14)

Ak exp.A/ D exp.A/Ak :

Alle diese Regeln kann man natürlich auch anhand der Reihendarstellung in O bestätigen. (ii) Das Anfangswertproblem Z 0 D AZ, Z.t0 / D C für gegebene t0 2 R und A; C 2 L .W / ist nicht wesentlich allgemeiner als das oben behandelte: Man kann die Lösung direkt angeben: Z.t/ D exp..t t0 /A/ C I denn beide Seiten dieser Gleichung genügen derselben Differentialgleichung und Anfangsbedingung. Analog ist die Lösung des Anfangswertproblems z 0 D Az; z.t0 / D für gegebene A 2 L .W /; 2 V explizit gegeben durch z.t/ D exp..t t0 /A/ : (iii) Die Ähnlichkeitsinvarianz aus Satz J(iv) drückt sich jetzt für A 2 L .W / und T 2 L .W / so aus: exp.TAT 1 / D T exp.A/ T 1 :

Grenzwertfreie Bestimmung von exp.A/ im endlich-dimensionalen Fall Auf der Ähnlichkeitsinvarianz beruht im Fall W D Rn die explizite Bestimmung von exp.A/ mittels Jordanscher Normalform. Wie oben seien die Endomorphismen von Rn wieder als .n n/-Matrizen aufgefasst.

102

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Dazu genügt es, die exp-Werte folgender „Bausteine“ zu kennen, wobei die Argumente jeweils .r r/-Matrizen sind: 0 (15)

B B exp B B @

1

1 ::

C B C B CDB C B A @

: ::

0

:

1

e 1 ::

::

: e r

r

0 (16)

0 (17)

B B exp B B @

1

0

B B 1 exp B B @

0

::

:

::

:

1 :: :

:

::

:

1%

0 ::

:

::

:

0

1 ::

0

C r1 B C X 1 B 1 B CD B C %Š A %D0 @

::

: 1

C C C C A

:

0

C r1 B C X 1 B CD B C %Š B 1 A %D0 @ 0

0

1 :: :

C C C C A

::

: 1

0

1% ::

:

::

:

C C C : C 1 A 0

In der ersten Zeile handelt es sich beim Argument von exp um eine Diagonalmatrix. Ihr exp-Wert ist wiederum diagonal mit den entsprechenden e-Potenzen als Einträge. Das folgt unmittelbar aus der Exponentialreihe in O. In der zweiten und dritten Zeile handelt es sich beim Argument von exp um die beiden Arten von Nilpotenzblöcken der Größe r. In beiden Fällen ist für den exp-Wert erneut die Exponentialreihe zuständig, die aber wegen der Nilpotenz nach r Summanden abbricht, also eine endliche Summe ist. (Die Matrizenpotenzen und -summen rechts in (16) und (17) könnten auch explizit hingeschrieben werden.) Die Rolle dieser Bausteine fußt auf folgendem R. Satz (Theorem der linearen Algebra). Zu jeder .n n/-Matrix A gibt es eine reguläre .n n/-Matrix T , sodass (Tr)

e A WD TAT 1

Jordansche Normalform besitzt: (JNF)

e A D D C N:

Abschnitt 2.3

103

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

Dabei ist D eine Diagonalmatrix, N nilpotent und beide miteinander sowie genauer von der Form 0 1 0 D1 N1 B C B : :: : DD@ N D@ A; : : Dk

vertauschbar 1 C A:

Nk

Dabei sind für j D 1; : : : ; k: Dj und Nj Blöcke gleicher Größe nj , Dj ein Vielfaches Dj D j Ej des Einheitsblocks Ej der Größe nj , Nj ein Nilpotenzblock der Größe nj von einer der beiden oben genannten Formen. Zum Beweis muss auf die lineare Algebra verwiesen werden (Kowalsky/Michler [2003], Abschnitt 6.3 oder Walter[1996], Satz A[6.6]). Dabei bezieht sich die obige Formulierung auf die i. Allg. komplexe Jordansche Normalform, die auch bei reeller Matrix A zwangsläuﬁg auftritt, wenn A echt komplexe Eigenwerte besitzt. Auf die Frage, was man rein reell tun kann, wird weiter unten eingegangen. Nun befolgt die Exponentialabbildung generell die Diagonalblock-Kompatibilität, d.h. für beliebige quadratische Teilblöcke gilt A1 exp A1 (18) exp D A2 exp A2 sowie entsprechend bei mehr als zwei quadratischen Teilblöcken, die sich entlang der Hauptdiagonale aneinanderreihen, wobei außerhalb nur Nullen stehen. Mit den Regeln (15) bis (18) ist dann jeder exp-Wert einer Jordanschen Normalform (JNF) berechenbar, und die Inversion von (Tr) exp.A/ D T 1 exp. e A/ T liefert schließlich den exp-Wert der Ausgangsmatrix. Offensichtlich erfordert dieses Verfahren die Kenntnis der Jordanschen Normalform von A und der Transformationsmatrix T , also insbesondere der Eigenwerte von A, die ja in dem obigen Anteil D auf der Hauptdiagonale in Erscheinung treten. Wie gesagt, im Fall echt komplexer Eigenwerte sind D und T ebenfalls komplex. Das gesamte Verfahren kann trotzdem durchgezogen werden: zwar sind dann die Zwischenergebnisse ( e A und T ) komplex, aber der errechnete Wert exp.A/ ist wieder rein reell (da A reell war). Das folgt einfach aus der Reihendarstellung von exp.A/. Es gibt jedoch auch eine reelle Jordansche Normalform (und dementsprechend eine reelle Transformationsmatrix T ). Dann allerdings benötigt man weitere Bausteine,

104

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

1

0

nämlich

B B B B B exp B B B B B @

˛ ˇ

ˇ ˛ ::

C C C C C C C C C C A

: ˇ ˛

˛ ˇ

0 B B B B B D e˛ B B B B B @ und z.B. 0 0 B0 B B1 B exp B B B B @

1 cos ˇ sin ˇ

sin ˇ cos ˇ ::

0 0 :: :

0 :: :

::

::

::

:

: cos ˇ sin ˇ

1

:

: 1

::

: 0

C C C C C C C C C C A

sin ˇ cos ˇ

0

0 B0 C B C B C 2.s1/ X 1 B1 C B CD B C

Š B C D0 B C @ A 0

1 0 0 :: :

0 :: :

::

::

::

:

:

: 1

::

: 0

C C C C C : C C C A 0

Hierin haben links beide Argumentmatrizen von exp eine gerade Ordnung 2s. Sie treten in der reellen Jordanschen Normalform in Paaren gleicher Größe auf, so wie oben bei Satz R die Dj und Nj . Während Dj und Nj einem eventuell mehrfachen Eigenwert j zugeordnet sind, gehören die voranstehenden Paare zu einem eventuell mehrfachen komplexen Eigenwert ˛ C iˇ mit ˇ ¤ 0. In der reellen Jordanschen Normalform kommen dann nur die Paare von Satz R, entsprechend reellen Eigenwerten und die voranstehenden, entsprechend echt komplexen Eigenwerten vor. Für weitere Einzelheiten der reellen Jordanschen Normalform vgl. die lineare Algebra (Greub[1975], Sect. 13.14; Klingenberg[1984], Th. 8.23; Walter[1993], Satz B[3.3]). Die exp-Werte, die oben gleich mitangegeben sind, entstehen durch Anwendung der Exponentialreihe, wodurch sich im zuletzt diskutierten Fall die Formel ˛ ˇ sin ˇ ˛ cos ˇ (19) exp De ˇ ˛ sin ˇ cos ˇ

Abschnitt 2.3

105

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

ergibt. Alternativ kann man (19) auch mittels Transformation gewinnen:

ˇ 1 D ˛ i

˛ ˇ

i 1

˛ C iˇ 0

0 ˛ iˇ

˛Ciˇ 0 ˇ 1 i e 1 D ˛ i 1 i 0 e ˛iˇ ˛ e cos ˇ e ˛ sin ˇ D : e ˛ sin ˇ e ˛ cos ˇ

˛ exp ˇ

1

i 1

1 i

1 i 1

Hinweis: Bei der Anwendung der Jordanschen Normalform auf lineare Differentialgleichungssysteme mittels Satz O ist natürlich zu beachten, dass statt exp.A/ nunmehr exp.tA/ zu bilden ist. Der Einﬂuss dieser Ersetzung in den obigen exp-Auswertungen ist leicht zu überblicken. S. Beispiel (zweidimensionale Klassiﬁkation). Im Fall der Dimension 2 ergibt sich aufgrund der möglichen Jordanschen Normalformen eine vollständige Aufzählung aller Fälle wie folgt. Es geht dabei um die Lösungsgesamtheit des Differentialgleichungssystems y 0 D Ay wobei jede Lösung y D .y1 ; y2 /> einen Weg in der Ebene R2 darstellt. Für die diversen Jordanschen Normalformen A 2 R.2;2/ sind die Lösungen des Differentialgleichungssystems gegeben durch y.t / D exp.tA/c mit c D const. 2 R2 . Im Folgenden wird jeweils A und exp.tA/ angegeben sowie der charakteristische Verlauf der Lösungskurven skizziert. (i)

A ist reell diagonalisierbar: A WD

(ii)

0

0 ;

; 2 R;

exp tA D

t e 0

0

e t

A ist komplex diagonalisierbar: A WD

˛ ˇ

ˇ ; ˛

˛; ˇ 2 R; ˇ ¤ 0;

exp tA D e ˛t

cos ˇt sin ˇt

sin ˇt cos ˇt

(iii) A nicht diagonalisierbar: A WD

1

0 ;

2 R;

exp tA D et

1 t

0 1

106

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

h = 0, μ < 0 h = 0, μ > 0

h=μ=0

Knotenpunkt h & μ,

Wirbelpunkt

_=0

h=μ=0

h < 0, μ < 0 h > 0, μ > 0

Strahlpunkt

Sattelpunkt

h=μ<0 h=μ>0

h < 0, μ > 0 h > 0, μ < 0

Strudelpunkt

_<0 _>0

ausgearteter Knotenpunkt

h=μ<0 h=μ>0

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

107

Die Unterfälle entstehen durch das unterschiedliche Verhalten der Eigenwerte. Die einschlägigen Namen sind bei den Bildern hinzugefügt. In den Skizzen sind jeweils die oberen Vorzeichenalternativen wiedergegeben. Bei den unteren Alternativen ändert sich das Erscheinungsbild der Kurven nur unwesentlich. Jedoch drehen sich die Pfeile um. Der Punkt .0; 0/> entspricht immer der trivialen Lösung mit Wert .0; 0/> . Die anderen Lösungen nähern sich für t ! 1 dem Punkt .0; 0/> , wenn beide Eigenwerte negative Realteile haben. Jedes andere Differentialgleichungssystem mit reeller konstanter .2 2/-Matrix A bietet bei gleichem Typ und gleichen Eigenwerten bis auf Basiswechsel ein solches Verhalten, d.h. die Bilder sind bei beliebigem A lediglich linear verzerrt.

Aufgaben und Anmerkungen 1. In dieser Aufgabe sei W ein normierter Vektorraum endlicher Dimension. Man zeige, dass L .W / dicht in L .W / ist, d.h. jede lineare Abbildung L W W ! W ist Grenzwert einer Folge regulärer linearer Abbildungen. Lösungshinweis: Man betrachte das Polynom t 7! det.L C tE/. 2. In dieser Aufgabe sei W ein normierter (nicht notwendig vollständiger) Vektorraum. Für ein S 2 L .W / sei kS k < 1 und E S W W ! W als bijektiv vorausgesetzt. Man zeige: .E S /1 ist stetig und 1 1 .E S /1 : 1 C kS k 1 kSk 3. Sei nun wieder W ein Banach-Raum und S 2 L .W / mit kSk < 1 gegeben. Man beweise mit dem Fixpunktsatz von Banach (jedoch ohne die Neumannsche Reihe), dass E S W W ! W bijektiv ist und deduziere daraus weiter mittels Aufgabe 2: E S 2 L .W /. 4. Man beweise für festes A ¤ 0 in L .W /: Es gibt genau eine Funktion F W R ! L .W / mit: (i)

F .t C s/ D F .t /F .s/ für alle t; s 2 R

(ii) F ist in 0 differenzierbar und F 0 .0/ D A. Diese Funktion ist F .t / D exp.tA/: Lösungshinweis: Argumentation wie bei Ana-1: I[7.3]. 5. Man beweise für festes A 2 L .W / und k 2 N: k A kAk k kAk 1C exp.A/ E C e k k

108

Kapitel 2

und schließe daraus

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

exp.A/ D lim

k!1

EC

A k

k :

Erfolgt diese Konvergenz in jedem Ball von L .W / gleichmäßig? 6. Gegeben sei die lineare Differentialgleichung in L .W /: Y 0 D f .t /AY; wobei f W J ! R (J Intervall) stetig und A fest in L .W / gegeben sind. Man zeige: Die Lösungsgesamtheit ist gegeben durch Y.t / D exp.F .t /A/ Y0 ; wobei F W J ! R eine festgewählte Stammfunktion von f ist und Y0 frei in L .W / gewählt werden kann. Lösungshinweis: Betrachte ‰.t / WD exp.F .t /A/ Y .t /. 7. Für die homogene lineare Differentialgleichung y 0 D P .t /y mit differenzierbarer Endomorphismenschar P .t/, t 2 J zeige man: P .t / ist dann und nur dann konstant, wenn mit jeder Lösung y auch ihre Ableitung y 0 Lösung ist. 8. Betrachtet wird die homogene lineare Differentialgleichung y 0 D P .t /y mit stetiger Endomorphismenschar P .t/, t 2 J . Es sei H eine Hyperebene von W mit stetigem Kovektor h W W ! R, d.h. h ist eine stetige Linearform und H D fw 2 W j h.w/ D 0g. Ist x eine Lösung der Differentialgleichung, die H meidet, also mit: x.t / … H für alle t 2 J , so kann man die gegebene Differentialgleichung auf eine Differentialgleichung in der Hyperebene H reduzieren (d’Alembertsche Reduktion). Man zeige hierzu: a)

Ist y irgendeine Lösung von y 0 D P .t /y, so existiert genau eine Funktion ' W J ! R, sodass z WD y 'x ganz in H liegt. Tatsächlich hat ' die Klasse C 1 , und es gilt: 'D

h.y/ ; h.x/

'0 D

h.P z/ ; h.x/

z0 D P z

h.P z/ x: h.x/

In geometrischer Sprache: z ist (argumentweise) die Projektion von y auf H längs x.

Abschnitt 2.3

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

109

d’Alembertsche Reduktion mittels Parallelprojektion längs einer gegebenen Lösung x (x, y, z sind mit Argument t zu lesen)

Die Abbildung

h.P e z/ x; e z2H h.x/ läuft (bei festem t ) linear von H nach H . Genauer: Hierdurch ist eine stetige Schar stetiger Endomorphismen von H deﬁniert, und das konstruierte z erfüllt die Differentialgleichung z 0 D Q.t /z. Diese Differentialgleichung (d.h. Q) ist unabhängig von y allein der gegebenen Hyperebene und der gegebenen Lösung x zugeordnet. Qe z WD P e z

b)

Ist umgekehrt z W J ! H eine Lösung von z 0 D Q.t /z und wird ' W J ! R deﬁniert durch h.P z/ ' 0 WD h.x/ (d.h. als Stammfunktion der rechten Seite), so ist y WD z C 'x Lösung von y 0 D P .t /y.

c)

Sind z1 ; : : : ; zn linear unabhängige Lösungen von z 0 D Q.t /z in H , und wird zu jedem zj das 'j deﬁniert wie in b), so sind yj WD zj C 'j x, j D 1; : : : ; n, Lösungen von y 0 D P .t/y, die zusammen mit x insgesamt n C 1 linear unabhängige Lösungen von y 0 D P .t/y bilden.

d)

Man spezialisiere dies auf den Fall W D Rn und H D spann.e2 ; : : : ; en /. Damit wird ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem (7)[2.2] im Rn auf ein ebensolches System im Rn1 reduziert, sobald eine Lösung x mit x1 .t / ¤ 0 bekannt ist.

9. Analog zu Satz K behandle man die inhomogene Differentialgleichung im Raum L .W /: Y 0 D P .t/Y C Q.t / durch Variation der Konstanten. Hierin sind P und Q gegebene stetige Endomorphismenscharen in L .W / auf dem gleichen Intervall J , und es sei bereits eine eine reguläre Lösung Y der zugehörigen homogenen Differentialgleichung Y 0 D P .t /Y bekannt. Als Lösungsgesamtheit der inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich Z t 1 Z.t/ D Y.t / Z1 C Y. / Q. / d ; t0

110

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

worin bei festem t0 2 J das Z1 den ganzen Raum L .W / durchläuft. 10. Allgemeiner als bei Satz J seien drei stetige Endomorphismenscharen P .t /, Q.t /, R.t/ in L .W / auf dem gleichen Intervall J vorgegeben. Man zeige, dass das Anfangswertproblem in L .W /: Y 0 D P .t /YQ.t / C R.t /;

Y .t0 / D Y0

auf ganz J eindeutig lösbar ist. 11. Noch etwas allgemeiner als in Aufgabe 10 seien endlich viele stetige Endomorphismenscharen Pj .t /, Qj .t /, j D 1; : : : ; N , und R.t / auf dem gleichen Intervall J gegeben. Man zeige, dass das Anfangswertproblem in L .W /: Y0 D

N X

Pj .t /YQj .t / C R.t /;

Y .t0 / D Y0

j D1

auf ganz J eindeutig lösbar ist. 12. Sei Y eine reguläre Lösung der Differentialgleichung Y 0 D P .t /Y . Man zeie.t / WD Y.t /1 ist differenzierbar und erfüllt die Differentialgleichung Y e0 D ge: Y eP .t/. Y Lösungshinweis: Man verwende die Differenzierbarkeit der Inversenbildung in L .W / (Satz E). 13. Man beweise Satz J(ii) erneut auf folgendem Wege: Motiviert durch Aufgabe 12 betrachte man neben der gegebenen Differentialgleichung: Y 0 D P .t/Y die Differentialgleichung: Z 0 D ZP .t / und wähle deren Lösung mit Z.t0 / D Y.t0 /1 (vgl. Aufgabe 10). Dann berechne man .ZY /0 D 0 und .Y Z/0 D P Y Z Y ZP . Auch die konstante Abbildung E löst die letzte Differentialgleichung: E 0 D PE EP . Da Z.t0 /Y .t0 / D E und Y .t0 /Z.t0 / D E, folgt ZY D E und Y Z D E. Somit ist Z.t/ stets invers zu Y .t /, also Y .t / 2 L .W / und Y.t /1 D Z.t/ für alle t 2 J . 14. Analytische Eigenschaften der det-Abbildung. Der Raum R.n;n/ aller reellen .n n/-Matrizen hat (als Vektorraum) die Dimension n2 . Man zeige: a)

Die Determinante ist als Abbildung det W R.n;n/ ! R differenzierbar.

b)

Die Menge GL.n; R/ aller regulären .n n/-Matrizen ist offen in R.n;n/ .

c)

An einer Stelle A 2 GL.n; R/ ist die Ableitung der Determinante gegeben durch det 0 .AI H / D det A spur .A1 H /;

H 2 R.n;n/ :

Abschnitt 2.3

d)

111

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

An einer beliebigen Stelle A 2 R.n;n/ ist die Ableitung der Determinante darstellbar mittels der Adjunkte A# (d.h. der transponierten Matrix der Kofaktoren) det 0 .AI H / D spur .A# H /;

H 2 R.n;n/ :

Lösungshinweis zu c): Für A 2 GL.n; R/, H 2 R.n;n/ , 2 R schreibe man: det.A C H / D det A det.E C A1 H / D det A .1 C spur .A1 H / C 2 p.//; wobei der Anfangsteil des charakteristischen Polynoms aus der linearen Algebra entnommen ist. p ist also ein (hier nicht näher interessierendes) Polynom. Daraus folgt als Richtungsableitung det 0 .AI H / D lim

!0

det.A C H / det A D det A spur .A1 H /:

Vgl. zur linearen Algebra: Greub[1976], Abschnitt 3.24; Kowalsky/Michler[2003], Abschnitt 5.5; Walter[1996], Satz B[6.2]. 15. Analytische Eigenschaften der exp-Abbildung. a)

Man beweise, dass die Exponentialabbildung exp W L .W / ! L .W / an jeder Stelle A 2 L .W / differenzierbar ist und bestimme die Ableitung als exp0 .A/H D exp A

Z

1

exp. A/H exp. A/ d ;

H 2 L .W /;

0

insbesondere exp0 .0/ D idL .W / . Lösungshinweis: Für H 2 L .W / beweise man zuvor mittels Aufgabe 9 Z exp.A C H / exp.A/ D exp A

1

exp. A/H exp. .A C H // d : 0

b)

Im Fall W D Rn zeige man, dass exp W R.n;n/ ! R.n;n/ von der Klasse C 1 ist, und folgere weiter aus a): Es gibt eine offene Nullpunktsumgebung U in R.n;n/ , sodass exp.U / eine offene Umgebung der Identität E in R.n;n/ (eine sog. Einheitsumgebung) und exp jU ein C 1 -Diffeomorphismus von U auf exp.U / ist.

16. Sei P eine einparametrige stetige Endomorphismenschar in L .W /, deﬁniert auf dem Intervall J . Der Vektorraum W habe endliche Dimension n (z.B. sei W D Rn und dann auch P eine einparametrige stetige Matrizenschar). Ist Y eine Lösung der Differentialgleichung Y 0 D P .t/Y in L .W /, so heißt .t / WD det Y .t / ihre Wronski-Determinante.

112 a)

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Man beweise den inﬁnitesimalen Satz von Liouville: 0 .t / D .t / spur P .t /:

b)

Für festes t0 2 J folgere man hieraus die explizite Darstellung Z t .t / D .t0 / exp spur P . / d : t0

c)

Damit zeige man für jede .n n/-Matrix A: det.exp.A// D exp.spur A/:

d)

Für festes t0 2 J sei t 7! ˆ t . / die Lösung der Differentialgleichung y 0 D P .t /y mit y.t0 / D . Die Abbildung .t; / 7! ˆ t . /, deﬁniert auf J W , heißt der Fluss der Differentialgleichung (zum Anfangswert t0 ). Natürlich ist ˆ t0 D E. Im Fall W D Rn beweise man: Ist B Rn integrierbar, so ist auch ˆ t .B/ integrierbar und für das Volumen V .t/ WD voln .ˆ t .B// gilt die explizite Formel Z t V .t/ D V .t0 / exp spur P . / d ; V .t0 / D voln .B/: t0

Insbesondere ist dieses Volumen konstant, wenn die Spur von P .t / identisch verschwindet. Das ist ein Spezialfall des Satzes von Liouville, der in differenzierter Form auch für nichtlineare Differentialgleichungssysteme besteht. 17. Bei einer skalaren linearen Differentialgleichung (Lr) der Ordnung r sei F1 ; : : : ; Fr ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (Hr). Wie im Zusatz zu M beschrieben, sei H1 ; : : : ; Hr das zugehörige Hauptsystem des homogenen Differentialgleichungssystems (HSr) und damit die reguläre Matrizenschar Y D .H1 ; : : : ; Hr / gemäß dem Zusatz zu Satz L gebildet. Man zeige: Mit diesen Beziehungen läuft das allgemeine Verfahren der Variation der Konstanten (Satz K) auf folgende Prozedur hinaus: Man macht zur Lösung von (Lr) den Ansatz y D z1 F1 C C zr Fr

(20)

und bestimmt die Ableitungen der zunächst unbekannten Funktionen z1 ; : : : ; zr aus dem (7) entsprechenden linearen Gleichungssystem F1 z10 C C F10 z10 C C .r2/ 0 z1 .r1/ 0 F1 z1

F1

Fr zr0 D 0 Fr0 zr0 D 0 :: :

C C Fr.r2/ zr0 D 0 C C Fr.r1/ zr0 D g:

Abschnitt 2.3

113

Lineare Umkehrung und lineare Differentialgleichungen

Dieses lineare Gleichungssystems ist eindeutig lösbar, da seine Determinante gerade die Wronski-Determinante des Differentialgleichungssystems (HSr) darstellt. Die zj ergeben sich dann durch Integration und liefern mit ihren freien Integrationskonstanten die allgemeine Lösung von (Lr) in Gestalt von (20). Der Rückgriff auf Differentialgleichungssysteme spielt bei dieser Prozedur keine Rolle mehr, motiviert aber die spezielle Bauart dieses Ansatzes. 18. Gegeben seien A; B 2 L .W / mit AB BA D A. Man beweise: a) b)

Für alle v 2 R gilt

exp.vB/A exp.vB/ D e v A:

Für alle u; v 2 R gelten die Vertauschungsregeln exp.uA/ exp.vB/ D exp.vB/ exp.ue v A/ exp.vB/ exp.uA/ D exp.uev A/ exp.vB/:

c)

Ist W endlich-dimensional, so ist A nilpotent.

Lösungshinweis zu a): Beide Seiten der Behauptung erfüllen als Funktion von v die Differentialgleichung Y 0 D YB BY und die Anfangsbedingung Y .0/ D E. 19. Es gibt auch Zweiparametergruppen. Zwei wichtige Typen werden folgendermaßen beschrieben, wobei anstelle des einen Erzeugers jetzt zwei Erzeuger A; B 2 L .W / treten: (i)

AB D BA

(ii) AB BA D A. In beiden Fällen sei G WD fexp.uA/ exp.vB/ j u; v 2 Rg: Man beweise: Im Falle (i) ist G ist eine kommutative Untergruppe von .L .W /; ı/, und die Funktion h.u; v/ WD exp.uA/ exp.vB/ deﬁniert einen Homomorphismus der additiven Gruppe .R2 ; C/ auf G. b) Im Falle (ii) ist G ebenfalls Untergruppe von .L .W /; ı/, wobei die Inversenbildung gegeben ist durch

a)

.exp.uA/ exp.vB//1 D exp.ue v A/ exp.vB/;

u; v 2 R2 :

Tatsächlich ist die Abbildung h.u; v/ WD exp.uA/ exp.vB/ in diesem Fall ein Homomorphismus der Gruppe .R2 ; ˇ/ auf G, wobei die Verknüpfung ˇ so deﬁniert ist: .u; v/ ˇ .U; V / WD .u C Ue v ; v C V /; .u; v/; .U; V / 2 R2 :

114

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Man vergesse nicht nachzuweisen, dass .R2 ; ˇ/ eine (nichtkommutative) Gruppe ist. Lösungshinweis zu b): Man verwende die Vertauschungsregeln aus Aufgabe 18. Hinweis: In einem gewissen Sinne sind die beiden Fälle (i), (ii) die einzigen zweiparametrigen Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe. Es gibt auch höherdimensionale Gruppen dieser Art. Dies alles wird in der Theorie der Lie-Gruppen weiter behandelt. Eine kurze Einführung in dieses Gebiet wird in Aufgabe 14[3.2] vorgestellt. Vgl. auch Aufgabe 20[3.2] für den zweidimensionalen Fall. 20. Die beiden Nilpotenzblöcke links in (16) und (17) unterscheiden sich lediglich durch eine Permutation der Basen. Man gebe diese Permutation an. Hinweis: Beim Nilpotenzblock in (16) erfolgt die Wirkung des zugehörigen Endomorphismus auf die Basisvektoren schematisch so: 1 ! 2 ! 3 ! ! .r 1/ ! r ! 0

(zyklische Wirkung);

beim Nilpotenzblock in (17) dagegen so: 1 ! 0; 2 ! 1; 3 ! 2; : : : ; r ! r 1:

2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

Wir kommen nun zum nichtlinearen Fall des Umkehrproblems, das bei endlicher Dimension schon in Ana-2: Abschnitt 12.1 behandelt wurde. Jetzt verwenden wir aber eine andere Methode, nämlich den Fixpunktsatz von Banach, und erzielen damit die Gültigkeit auch bei nichtendlicher Dimension. Der folgende Umkehrsatz enthält nochmals auf unabhängige Weise die entsprechende endlich-dimensionale Version (Ana-2: Satz D[12.1]). Als Anwendung folgen dann Sätze über Abbildungen von konstantem Rang, die die für die Mannigfaltigkeiten wichtig sind. Für diesen Zweck reicht dann der endlich-dimensionale Fall. Umkehrung Der allgemeine Rahmen ist wieder der folgende: V und W seien Banach-Räume und L .V; W / der Banach-Raum der stetigen linearen Abbildungen von V in W , versehen mit der Operator-Norm, speziell L .V / WD L .V; V /. Mit E wird generell die Identität eines Vektorraums bezeichnet.

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

115

A. Satz (Umkehrsatz). Gegeben sei eine C 1 -Abbildung F mit toplinearer Ableitung an einer festen Stelle:

offen

V A

F ! W; C1

a 2 A;

F 0 .a/ toplinear:

Dann existiert ein offener Ball B.a; r/ A, sodass gilt: (i)

F .B.a; r// ist offen in W .

(ii)

Die Einschränkung F jB.a; r/ W B.a; r/ ! F .B.a; r// ist bijektiv mit dehnungsbeschränkter Umkehrung.

Beweis. Wir setzen M WD F 0 .a/1 W W ! V:

b WD F .a/;

Die Grundidee ist, die Bestimmungsgleichung w D F .v/;

w gegeben, v gesucht

in ein Fixpunktproblem umzuformen. Dies geschieht anhand der folgenden Äquivalenzkette w D F .v/ () w F .v/ D 0

(1)

() M.w F .v// D 0 () v D v C M.w F .v//:

Für die neue Abbildung T W A ! V;

T .v/ WD v C M.w F .v//

handelt es sich also um das Fixpunktproblem v D T .v/;

v gesucht:

Die „Zwischenmultiplikation“ mit M in (1) ist so eingerichtet, dass T eine möglichst „kleine“ Ableitung erhält. Tatsächlich gilt: T 0 .v/ D E M ı F 0 .v/;

speziell

T 0 .a/ D E M ı F 0 .a/ D E F 0 .a/1 ı F 0 .a/ D 0:

116

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Das Fixpunktproblem für T wird jetzt mittels der Variante des Fixpunktsatzes von Banach (E[2.1]) angegangen. Dazu geben wir eine Konstante 2 0; 1Œ vor und versuchen, die Voraussetzungen dieses Satzes mit der Lipschitz-Konstanten zu erreichen. Das geschieht in folgenden Schritten: 1) Da T 0 stetig ist, existiert ein Ball B.a; r/ A mit: v 2 B.a; r/ H) T 0 .v/ : Umgeschrieben auf F 0 bedeutet das letzte: kE M ı F 0 .v/k . Laut Satz B[2.3] ist dann M ı F 0 .v/ toplinear, also auch F 0 .v/. Dies gilt für alle v 2 B.a; r/. 2) Die Abschätzung kT 0 .v/k für die Ableitung bewirkt nach dem Satz vom endlichen Zuwachs (Ana-2: G[11.1]) die Lipschitz-Bedingung kT .u/ T .v/k ku vk ; gültig für alle u; v 2 B.a; r/. Hieraus folgt dann der Reihe nach ku C M.w F .u// .v C M.w F .v///k ku vk ku vk kM.F .u/ F .v//k ku MF .u/ v C MF .v/k ku vk kM.F .u/ F .v//k .1 / ku vk wiederum für alle u; v 2 B.a; r/. 3) Aus der Schlussabschätzung in 2) folgt die Injektivität der Restriktion F jB.a; r/. Denn F .u/ D F .v/ für u; v 2 B.a; r/ impliziert hiernach u D v. 4) Wir beweisen nun, dass das Bild U WD F .B.a; r// offen in W ist. Dazu reicht es zu zeigen: Es gibt ein " > 0 mit B.b; "/ F .B.a; r//: Da F 0 .v/ für alle v 2 B.a; r/ toplinear ist, gilt dort das gleiche Resultat. Hierzu sei ein s mit 0 < s < r gewählt. Dann ist T jB.a; s/ W B.a; s/ ! V nach 2) kontrahierend, also der Fixpunktsatz E[2.1] darauf anwendbar, falls: kT .a/ ak B a; B.a; s/: 1 Dies ist äquivalent mit:

kT .a/ ak s; 1 also wegen T .a/ D a M.F .a/ w/ D a M.b w/ mit kM.b w/k .1 /s:

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

117

Dies ist erfüllt, sobald

.1 /s : kM k .1 /s ein v 2 B.a; s/ B.a; r/ mit Somit existiert zu jedem w 2 B b; kM k T .v/ D v, d.h. w D F .v/. Also ist .1 /s F .B.a; r// für jedes s 2 0; rŒ: B b; kM k kb wk

5) Damit ist F jB.a; r/ W B.a; r/ ! U D F .B.a; r// bijektiv. Die Umkehrung G WD .F jU /1 W U ! B.a; r/ erfüllt laut 2) (setze dort F .u/ D z1 , F .v/ D z2 ) kM.z1 z2 /k .1 / kG.z1 / G.z2 /k ; also

1 kM k kM.z1 z2 /k kz1 z2 k 1 1 jeweils für z1 ; z2 2 U . Das beweist die Lipschitz-Eigenschaft, wie behauptet. kG.z1 / G.z2 /k

A. Zusatz. Die Umkehrfunktion G WD .F jB.a; r//1 W F .B.a; r// ! B.a; r/ ist differenzierbar, und es gilt (2)

G 0 D .F 0 ı G/1 ;

also ist G sogar von der Klasse C 1 . Beweis. Nach Ana-2: Satz F[10.2] ist G an der Stelle b differenzierbar und die Gleichung (2) dort erfüllt. Dasselbe gilt aber an einer beliebigen Stelle aus U , da dort die gleichen Voraussetzungen erfüllt sind. Die Stetigkeit von G 0 ergibt sich nun gerade aus der bewiesenen Regel (2). Denn hiernach ist G 0 die folgende Komposition: erst G, dann F 0 dann die Inversen-Bildung R1 W L .V; W / ! L .W; V / S 7! S 1 : Die ersten beiden sind stetig. Dasselbe trifft für R1 zu. Tatsächlich ist R1 sogar differenzierbar genau wie im Fall V D W , der in Satz E[2.3] behandelt wurde und bei dem R1 als R bezeichnet worden war. Man kann nämlich

118

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

R1 auf R zurückführen: Dazu wählt man ein festes S0 2 L .V; W / und schreibt S 1 D .S01 S /1 S01 . Dies zeigt, dass R1 als Komposition darstellbar ist: R1 D %S 1 ı R ı S 1 ;

(3)

0

0

wobei %S 1 die Rechtskomposition und S 1 die Linkskomposition mit S01 bezeich0 0 net. Nach Lemma A[2.3] und der Kettenregel ist mit R auch R1 differenzierbar, insbesondere stetig. Insgesamt ist also G 0 stetig.

Die Aussage des Umkehrsatzes A ist lokaler Natur, wie schon in Ana-2: Abschnitt 12.1 betont wurde. Selbst wenn F W A ! W in jedem Punkt v 2 A eine toplineare Abbildung besitzt, braucht F nicht injektiv zu sein: Weit entfernte Teile von A können das gleiche Bild haben. Eine globale Eigenschaft ist allerdings gewährleistet: B. Folgerung. Ist A offen in V , F W A ! W von der Klasse C 1 und F 0 .v/ toplinear für jedes v 2 A, so ist die Bildmenge F .A/ offen in W . Beweis. Zu jedem a 2 A wähle man einen Ball B.a; ra / SA, sodass F .B.a; ra // offen in W ist. Dies geht nach Satz A. Dann ist F .A/ D a2A F .B.a; ra //, also F .A/ offen in W . C. Beispiel (endlich-dimensionaler Fall). Im Fall V D W D Rn war der Umkehrsatz in Ana-2 mit anderer Methode behandelt worden. Der Unterschied besteht hauptsächlich bei der lokalen Surjektivität. Dort waren die Urbilder mittels eines Extremalprinzips auf einem abgeschlossenen Ball konstruiert worden, hier mittels des Banachschen Fixpunktsatzes. Dieses Extremalprinzip ist aber nicht aufs Unendlichdimensionale übertragbar, da abgeschlossene Bälle dann nicht mehr kompakt sind. Wie gesagt, die endlich-dimensionale Version ist als Spezialfall im obigen Satz A (samt Zusatz) enthalten. Darüberhinaus zeigt die Formel des Zusatzes, dass bei höherer stetiger Differenzierbarkeit von F auch die lokale Umkehrabbildung entsprechend hoch stetig differenzierbar ist. Zur Bequemlichkeit des Lesers sei das Ergebnis aus Ana-2: D[12.1] hier nochmals formuliert: Gegeben die Situation offen

Rn F ! Cr betrachte man das Gleichungssystem A

Rn ;

a 2 A, r 1;

F1 .x1 ; : : : ; xn / D y1 (4)

:: : Fn .x1 ; : : : ; xn / D yn

d.h. F .x/ D y:

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

119

Es soll bei gegebenem y nach x aufgelöst werden. Kennt man ein festes zugeordnetes Paar a D .a1 ; : : : ; an /, b D .b1 ; : : : ; bn /, also F1 .a1 ; : : : ; an / D b1 :: : Fn .a1 ; : : : ; an / D bn ; und gilt dort für die Funktionaldeterminante ˇ ˇ @F1 ˇ .a/ ˇ @x1 ˇ @.F1 ; : : : ; Fn / .a/ D ˇˇ ::: @.x1 ; : : : ; xn / ˇ @F ˇ n .a/ ˇ @x1

ˇ @F1 ˇ .a/ˇ @xn ˇˇ :: ˇ ¤ 0; : ˇ @Fn ˇˇ .a/ˇ @xn

so ist das System (4) für y nahe b lokal eindeutig nach x auﬂösbar, wobei die Lösungsfunktionen x1 D G1 .y1 ; : : : ; yn / :: :

d.h. x D G.y/

xn D Gn .y1 ; : : : ; yn / von der Klasse C r sind, und es gilt 0 1 0 @G1 @G1 @F1 B @y C B @x ı G @y 1 n 1 B C B :: :: :: C D B B B : C : : C B B @ @Gn @Gn A @ @Fn ıG @y1 @yn @x1

11 @F1 ıG C @xn C :: C : : C A @Fn ıG @xn

Lokal, d.h. in einer geeigneten offenen Umgebung U von a in A, ist die Restriktion F jU W U ! F .U / ein C r -Diffeomorphismus auf eine offene Umgebung F .U / von b mit einer Umkehrung G W F .U / ! U der Klasse C r . Das Nichtverschwinden der Funktionaldeterminante kann natürlich auch ausgedrückt werden durch die lineare Unabhängigkeit der Spalten, d.h. durch die lineare Unabhängigkeit der vektoriellen partiellen Ableitungen .@1 F /.a/; : : : ; .@n F /.a/I

der Zeilen, d.h. durch die lineare Unabhängigkeit der Gradienten .grad F1 /a ; : : : ; .grad Fn /a :

120

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Abbildungen von konstantem Rang Es geht hier um ein Normalformenproblem bei nichtlinearen Abbildungen, wobei wir uns auf den endlich-dimensionalen Fall beschränken. Für Leser, die die entsprechenden Begriffe der linearen Algebra kennen, sei folgende Motivierung gegeben. (Die nachfolgenden Aussagen sind aber ohne diese Motivierung verständlich.) Ist L W V ! W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen mit dim V D m < 1, dim W D n < 1, die den Rang k besitzt, so existieren Basen a1 ; : : : ; am von V und b1 ; : : : ; bn von W , bez. denen die Matrix von L eine spezielle Gestalt hat, nämlich: 0 1 1 0 Ek B C Einheitsblock ; Ek WD @ ::: : : : ::: A (5) Matrix von L D der Größe k. 0 1 Die Kreise in der Matrix bezeichnen Bezirke in ihr, die mit Nullen besetzt sind. Diese Art von Normalform ist lediglich eine konkrete Ausgestaltung des Dimensionssatzes für lineare Abbildungen; vgl. Kowalsky/Michler[2003], Satz 3.2.13 oder Walter[1996], Satz C[3.5]. Wir wollen dies äquivalent mittels Abbildungen ausdrücken. Dazu betrachten wir die linearen Abbildungen ˛; ˇ in dem kommutativen Diagramm V ? ? ˛y

L ! W ? ? yˇ

˛.ai / D ei mit

ˇ ı L ı ˛ 1 Rm ! Rn

ˇ.bj / D Ej

;

wobei die ei , i D 1; : : : ; m, bzw. die Ej , j D 1; : : : ; n, die Standard-Basisvektoren von Rm bzw. Rn bezeichnen. Die Abbildungen ˛; ˇ sind Vektorraum-Isomorphismen; sie werden in der linearen Algebra lineare Karten genannt. Dann ist (5) äquivalent mit ˇ ı L ı ˛ 1 .ei / D Ei für i k und ˇ ı L ı ˛ 1 .ei / D 0 für i > k, also mit (6) .ˇ ı L ı ˛ 1 /.1 ; : : : ; m / D .1 ; : : : ; k ; 0; : : : ; 0/ ƒ‚ … „ n

für alle .1 ; : : : ; m / 2 Rm :

Somit kann man L durch Vor- und Nachschalten von Isomorphismen auf eine Normalform bringen, die allein durch den Rang k bestimmt ist. L ist bis auf „Übersetzung“ mittels Isomorphismen ˛; ˇ eine einfache Standard-Abbildung von Rm in Rn . Genau das Gleiche streben wir jetzt für nichtlineare Abbildungen an, wobei die Anpassung nicht mit linearen, sondern mit differenzierbaren „Karten“ erfolgen wird. Unbedingt nötig ist dabei wieder eine Rangbedingung, die nicht vom Ort abhängen darf.

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

121

Gegeben sei eine Abbildung

offen

Rm A

F !

Rn :

D. Deﬁnition. Ist F in a 2 A differenzierbar, so ist der Rang von F in a deﬁniert als der Rang der linearen Abbildung F 0 .a/: Rang a F WD Rang F 0 .a/ D dim F 0 .a/.Rm / D Rang Ja .F /: Wie üblich bezeichnet Ja .F / die Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) von F im Punkt a. Es gilt Rang a F minfm; ng. Ist Rang a F D minfm; ng, so heißt Rang a F maximal. Die Schranke für den Rang der linearen Abbildung F 0 .a/ W Rm ! Rn ist aus der linearen Algebra bekannt. Sie besagt, dass der Rang weder die Anzahl der Spalten noch die Anzahl der Zeilen der darstellenden Matrix übersteigt. E. Lemma. Ist F von der Klasse C 1 und Rang a F D k für ein a 2 A, so existiert eine offene Umgebung U von a in A, sodass Rang x F k für alle x 2 U . Beweis. Laut linearer Algebra ist der Rang die maximale Größe der nicht verschwindenden Unterdeterminanten der Funktionalmatrix. Die Unterdeterminanten sind stetige Funktionen. Ist also eine Unterdeterminante in a von Null verschieden, so in einer ganzen Umgebung. Somit kann sich der Rang in einer solchen Umgebung gegenüber a nicht verkleinern. F. Beispiel. Der Rang kann beliebig nahe der festen Stelle a echt größer sein als in a: Bei f W R ! R mit f .x/ D x 2 ist f 0 .0/ D 0, f .x/ D 2x ¤ 0 für x ¤ 0, also Rang 0 f D 0; Rang x f D 1 für x ¤ 0. Springt der Rang in dieser Weise, so wird eine Normalform des Typs (6) mit festem k nicht möglich sein. Ist der Rang jedoch konstant, so geht dies zumindest lokal: G. Satz (Rangsatz). Gegeben seien offene Nullpunktsumgebungen A Rm , B Rn und eine C r -Abbildung (r 1) F W A ! B mit F .0/ D 0 und von konstantem Rang k: Rang x F D k D const. für alle x 2 A:

122

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Dann existieren offene Nullpunktsumgebungen A0 , A1 in Rm und B0 , B1 in Rn sowie C r -Diffeomorphismen ˛; ˇ mit: Rn

A0 ? ? ? ˛? y A1

˛.0/ D 0;

B

ˇ.0/ D 0

F .A0 / B0

F !

A

Rm

F jA0 !

ˇ ı F ı ˛ 1 !

B0 ? ? ? ?ˇ y

.ˇ ı F ı ˛ 1 /.1 ; : : : ; m / D . 1 ; : : : ; k ; 0; : : : ; 0 / ƒ‚ … „ n 8 .1 ; : : : ; m / 2 A1 :

B1

Es ist also die gleiche Normalform möglich wie im linearen Fall, allerdings nicht durch „lineare Übersetzung“, sondern durch „diffeomorphe Übersetzung“ (und dies nur lokal). Beweis von G. Die Abbildungsgleichungen von F seien 8 y1 D F1 .x1 ; : : : ; xm / ˆ ˆ ˆ < @Fi : :: F W D k D const. Rang F D Rang ˆ @xj ˆ ˆ : yn D Fn .x1 ; : : : ; xm /; O.B.d.A sei

@Fi det .0/ @xj

¤ 0: 1i;j k

Dies ist ggf. durch Umnummerierung der Koordinaten in Rm und Rn zu erreichen (solche Umnummerierungen sind ebenfalls Diffeomorphismen). Wir deﬁnieren nun eine Abbildung ˛ über die Abbildungsgleichungen 8 1 D F1 .x1 ; : : : ; xm / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ < k D Fk .x1 ; : : : ; xm / ˛W ˆ ˆ ˆ kC1 D xkC1 ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ : m D x m :

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

123

In den ersten k Komponenten stimmt ˛ mit F überein, ansonsten wird „mit der Identität aufgefüllt“. Dann ist die Funktionaldeterminante hiervon: ˇ @F ˇ ˇ ˇ i ˇ ˇ ˇ ˇ @x j 1i;j k ˇ ˇ 9 ˇ ˇ 1 0 ¤ 0 in 0; ˇ ˇ = ˇ ˇ : : : ˇ ˇ mk :: : : :: ˇ ˇ ; ˇ ˇ 0 1

„ ƒ‚ … mk worin der große Stern einen Bezirk in der Determinante bezeichnet, dessen Einträge nicht weiter interessieren. Im Folgenden wird gelegentlich abgekürzt: .1 ; : : : ; m / DW :

Hiernach deﬁniert ˛ nach dem Umkehrsatz (Ana-2: D[12.1] oder Beispiel C) einen C r -Diffeomorphismus ˛ W A0 ! A1 für geeignete offene Nullpunktsumgebungen mit A0 A. Die Umkehrabbildung ˛ 1 von ˛ hat in A1 Abbildungsgleichungen der Gestalt: 8 x1 D f1 .1 ; : : : ; m / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ < xk D fk .1 ; : : : ; m / ˛ 1 W ˆ xkC1 D kC1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ : xm D m mit gewissen C r -Funktionen f1 ; : : : ; fk . In A1 gilt weiter: (7)

F ı ˛ 1 .1 ; : : : ; m / D .1 ; : : : ; k ; F kC1 .1 ; : : : ; m /; : : : ; F n .1 ; : : : ; m //

mit gewissen C r -Funktionen F kC1 ; : : : ; F n . Denn aus ˛ ı ˛ 1 D idA1 folgt ˛i .f1 ./; : : : ; fk ./; kC1 ; : : : ; m / D i

für 1 i m;

also, da F in den ersten k Komponenten mit ˛ übereinstimmt: Fi .f1 ./; : : : ; fk ./; kC1 ; : : : ; m / D i

für 1 i k:

124

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Durch Verkleinerung von A1 kann angenommen werden, dass A1 die Gestalt eines kartesischen Produkts hat: A1 D A11 A12 Rk Rmk ; wobei A11 ; A12 achsenparallele offene Quader sind, die 0 enthalten. Dazu muss A0 gegebenenfalls nachangepasst werden (als Urbild eines solchen kartesischen Produkts). Dann lautet die Funktionalmatrix von

F ı ˛ 1 W

k ‚ …„ ƒ 0 8 1 0 < B :: : : : B k : :: : B : B 0 1 B B B B B B B B B @

1

„

@F kC1 @kC1 :: :

@F n @kC1

ƒ‚ mk

@F kC1 @m :: : @F n @m …

C C C C C C C C C C C C C A

9 > > > > > = > > > > > ;

nk

Sie ist von gleichem Rang wie die von F in A0 , da ˛ Diffeomorphismus ist, also vom Rang k. Dann muss aber der rechte untere Block dieser Funktionalmatrix identisch Null sein, also sind F kC1 ; : : : ; F n Funktionen von 1 ; : : : ; k allein. Wir deﬁnieren nun eine weitere Abbildung ˇ über 8

1 D y 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < k D yk ˇW ˆ ˆ ˆ kC1 D ykC1 F kC1 .y1 ; : : : ; yk / ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ :

n D yn F n .y1 ; : : : ; yk /: Dann ist ˇ W A11 Rnk ! A11 Rnk ein C r -Diffeomorphismus. Denn diese Gleichungen sind explizit auﬂösbar in der folgenden Weise:

Abschnitt 2.4

ˇ 1 W

8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

125

y1 D 1 :: : yk D k

ˆ ykC1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : yn

D kC1 C F kC1 . 1 ; : : : ; k / :: : D

n C F n . 1 ; : : : ; k /:

Damit wird in A1 : ˇ ı F ı ˛ 1 .1 ; : : : ; m / D ˇ.1 ; : : : ; k ; F kC1 .1 ; : : : ; k /; : : : ; F n .1 ; : : : ; k // D .1 ; : : : ; k ; 0; : : : ; 0/: Die jetzt erreichte Situation wird dargestellt durch das Diagramm F jA0 A0 ! A11 Rnk ? ? ? ? ˛y yˇ ˇ ı F ı ˛ 1 A1 ! A11 Rnk Die Behauptung ist also erfüllt, wenn gesetzt wird: B0 WD .A11 Rnk / \ B;

B1 WD ˇ.B0 /;

ˇ WD ˇjB0 I

denn es gilt F .A0 / B0 und ˇ ı F ı ˛ 1 .A1 / D ˇ.F .A0 // ˇ.B0 / D B1 . Eine Nachanpassung von A0 , A1 ist nicht mehr nötig. Bei maximalem Rang sind zwei besonders markante Abbildungstypen herausgehoben: H. Deﬁnition. Sei A Rm offen und F W A ! Rn von der Klasse C 1 . (i)

F heißt Immersion, wenn F 0 .x/ W Rm ! Rn für jedes x 2 A eine injektive lineare Abbildung ist. Äquivalent damit ist laut linearer Algebra: Rang x F D m n

für alle x 2 A:

(ii) F heißt Submersion, wenn F 0 .x/ W Rm ! Rn für jedes x 2 A eine surjektive lineare Abbildung ist. Äquivalent damit ist laut linearer Algebra: Rang x F D n m

für alle x 2 A:

126

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

Tatsächlich sind dies genau die Fälle maximalen Ranges. Bei Submersionen vereinfacht sich die obige Normalform, da der zweite Schritt im Beweis entfällt: I. Satz. Gegeben seien offene Nullpunktsumgebungen A Rm , B Rn und eine C r Submersion F W A ! B mit F .0/ D 0. Dann existieren offene Nullpunktsumgebungen A0 , A1 in Rm mit A0 A und ein C r -Diffeomorphismus ˛ W A0 ! A1 , sodass die Abbildung F ı ˛ 1 W A1 ! B die Gestalt hat F ı ˛ 1 .1 ; : : : ; m / D .1 ; : : : ; n /

8 .1 ; : : : ; m / 2 A1 :

Beweis. Im Beweis des Rangsatzes G braucht man nur bis zur Gleichung (7) zu gehen. Die Eigenschaften der Ableitung übertragen sich bei Immersionen und Submersionen auf die Abbildung selber allerdings nur lokal: J. Satz. Sei A Rm offen und F W A ! Rn von der Klasse C 1 . (i) Ist F Immersion, so ist F lokal injektiv, d.h. zu jedem a 2 A existiert eine offene Umgebung U von a in A, sodass die Restriktion F jU W U ! Rn injektiv ist. (ii) Ist F Submersion, so ist F lokal surjektiv, d.h. zu jedem a 2 A existiert eine offene Umgebung U von a in A, sodass F .U / offen in Rn ist. Daraus folgt, dass F eine offene Abbildung ist, d.h. offene Teilmengen von A in offene Teilmengen von Rn überführt. Beweis. Sei b WD F .a/ und o.B.d.A. a D 0, b D 0 (sonst betrachte man F .x/ WD F .x C a/ b). Sei k WD Rang F . Der Fall m D n ist schon durch den Umkehrsatz abgedeckt. Sei also m ¤ n (obwohl mit der folgenden Methode der Fall m D n leicht mit herauskommen würde). Zu (i): Die Normalform aus Satz G lautet wegen k D m < n: ˇıF ı˛

1

nm ‚ …„ ƒ .1 ; : : : ; m / D . 1 ; : : : ; m ; 0; : : : ; 0 /: „ ƒ‚ … n

e WD ˇ ı F ı ˛ 1 ist hiernach die „kanonische Injektion“ Rm ! Rn . Die Abbildung F An der Zuordnung .1 ; : : : ; m / 7! .1 ; : : : ; m ; 0; : : : ; 0/ liest man unmittelbar ab, e injektiv ist. Aus F e D ˇ ı F ı ˛ 1 folgt (vgl. das Diagramm in G): F jA0 D dass F 1 e ˇ ı F ı ˛ , also ist auch F jA0 injektiv; denn ˇ 1 und ˛ sind beide bijektiv. Zu (ii): Die Normalform aus Satz I ist die Einschränkung der „kanonischen Projektion“ Rm ! Rn . Sie bildet die offene Menge A1 Rm auf eine offene Menge in Rn

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

127

ab. Man erkennt das unmittelbar, wenn man in beiden Räumen die Maximumsnorm verwendet. Offene Bälle in A1 werden dann auf offene Bälle in Rn projiziert. Wegen der Diffeomorphie von ˛ ist dann das Bild von A0 unter F die gleiche offene Menge in Rn . Dass F eine offene Abbildung ist, sieht man wieder S so: Man stellt eine gegeben offene Menge W A dar als Vereinigung W D U von offenen Mengen U der eben konstruierten Art, also so, dass jeweils U und F .U / beide offen sind. Dann ist S F .W / D F .U / offen. Hervorgehoben sei nochmals der Fall m D n mit Bezugnahme auf die früheren Resultate (Ana-2: D[12.1] oder Beispiel C): J. Zusatz. Ist F von der Klasse C r (r 1) und sowohl Immersion wie auch Submersion (also Rang F D m D n), so ist das Bild F .A/ offen in Rm , und zu jedem Punkt a 2 A existiert eine offene Umgebung U von a in A, sodass die Restriktion F jU W U ! F .U / ein C r -Diffeomorphismus von U auf die offene Menge F .U / Rm ist. Deswegen heißt eine solche Abbildung F ein lokaler C r -Diffeomorphismus. K. Beispiel. Dass ein solcher lokaler Diffeomorphismus nicht global (d.h. auf der ganzen Deﬁnitionsmenge A) injektiv zu sein braucht, wird schlagend durch die Polarkoordinaten belegt, was schon ausführlich in Ana-2: F(ii)[12.1] diskutiert wurde: Die Abbildung .r; '/ 7! .r cos '; r sin '/ ist außerhalb von r D 0 vom Rang 2, also ein lokaler C 1 -Diffeomorphismus, jedoch wegen der Periodizität in ' nicht injektiv. L. Bemerkungen. (i) Aus dem Rangsatz G könnte erneut der Satz über implizite Funktionen gewonnen werden (Ana-2: A[12.2]): Man schreibt die Gleichung F .x/ D 0 auf die Variable um und resubstituiert. (ii) Die im Rangsatz G gemachte Voraussetzung F .0/ D 0 ist nicht sehr einschränkend. Wird stattdessen von F .a/ D b mit festen a 2 A; b 2 B ausgegangen, so gibt es Diffeomorphismen ˛ und ˇ mit ˛.a/ D a und ˇ.b/ D b, sodass lokal gilt: (8)

.ˇ ı F ı ˛ 1 /.a1 C 1 ; : : : ; am C m / D b C . 1 ; : : : ; k ; 0; : : : ; 0 /: ƒ‚ … „ n

Die Differenzvektoren gegenüber a bzw. b werden also genauso abgebildet wie im Fall F .0/ D 0. Natürlich hat man ˛ bzw. ˇ auf entsprechend gelagerten offenen Umgebungen von a bzw. b zu betrachten. Man kann dies leicht auf die in G behandelte Situation zurückführen, indem man die durch F .x/ WD F .x C a/ b deﬁnierte Hilfsabbildung betrachtet. Diese entsteht aus F durch geeignete Translationen in Rm und Rn und erfüllt F .0/ D 0. Sind dann ˛ ,

128

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

ˇ die gemäß G zu F gehörenden Diffeomorphismen, so deﬁniert man ˛; ˇ durch ˛./ WD ˛ . a/ C a und ˇ. / WD ˇ . b/ C b und kann dann die Gleichung .ˇ ı F ı ˛ 1 /.1 ; : : : ; m / D .1 ; : : : ; k ; 0; : : : ; 0/ ohne Mühe auf (8) umrechnen.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Die Inversen-Bildung R1 W L .V; W / ! L .W; V / S 7! S 1 : ist, wie oben im Beweis des Zusatzes A gezeigt, differenzierbar. Tatsächlich gilt für ihre totale Ableitung genau wie in Satz E[2.3], falls S 2 L .V; W / ¤ ¿: R10 .S /H D S 1 HS 1 ;

H 2 L .V; W /:

Man beweise dies aus (3) mittels der Kettenregel und der Ableitung linearer stetiger Abbildungen. 2. Man übertrage die Folgerung Ana-2: G[12.1] aufs Unendlichdimensionale: Die Abbildung F W A ! W , deﬁniert auf einer offenen und konvexen Menge A V , sei von der Klasse C 1 . Gilt für eine toplineare Abbildung T W V ! W 1 0 T F .v/ idV < 1 für alle v 2 A oder

0 F .v/T 1 idW < 1 für alle v 2 A;

so ist die Bildmenge F .A/ offen in W , F W A ! F .A/ bijektiv und F 1 W F .A/ ! A von der Klasse C 1 . 3. Welche der folgenden Abbildungen sind Immersionen, welche Submersionen? a) F W R3 n f0g ! R2 mit F .x/ WD .jxj2 ; x2 x3 C x1 x3 C x1 x2 /, x 2 R3 n f0g, b) G W R4 ! R2

mit G.x/ WD .x1 cos.x2 x3 /; x22 C e x3 Cx4 /, x 2 R4 ,

c) H W Rn n f0g ! Rn mit H.x/ WD

x , jxj

Die senkrechten Striche bezeichnen die Euklidische Standard-Norm.

x 2 Rn n f0g.

Abschnitt 2.4

Nichtlineare Umkehrung und Abbildungen von konstantem Rang

129

4. In der Situation

A

Rm offen ! ! F

Rn

B

! G

Rp

sei F eine surjektive C r -Submersion mit r 1 und G beliebig. Zeige: Ist G ı F von der Klasse C r , so auch G. 5. Analog zu Satz I beweise man folgende Vereinfachung des Rangsatzes für Immersionen: Gegeben sei eine offene Nullpunktsumgebung A Rm und eine C r Immersion F W A ! Rn mit F .0/ D 0. Dann existieren offene Nullpunktsumgebungen A0 in Rm , B0 ; B1 in Rn mit A0 A, F .A0 / B0 und ein C r -Diffeomorphismus ˇ W B0 ! B1 , sodass die Abbildung ˇ ı F W A0 ! Rn die Gestalt hat ˇ ı F .1 ; : : : ; m / D .1 ; : : : ; m ; 0; : : : ; 0/

8 .1 ; : : : ; m / 2 A0 :

Lösungshinweis: Unter der Annahme, dass die Funktionaldeterminante @.F1 ; : : : ; Fm / @.x1 ; : : : ; xm / in 0 2 Rm ungleich Null ist, betrachte man die Hilfsabbildung ˆ mit den Abbildungsgleichungen 8 y1 D F1 .x1 ; : : : ; xm / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ < ym D Fm .x1 ; : : : ; xm / ˆW ˆ ymC1 D Fm .x1 ; : : : ; xm / C xmC1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :: ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ : yn D Fn .x1 ; : : : ; xm / C xn und zeige, dass diese einen C r -Diffeomorphismus einer Nullpunktsumgebung B1 auf eine Nullpunktsumgebung B0 in Rn deﬁniert. Man deﬁniere sodann ˇ WD ˆ1 W B0 ! B1 und veriﬁziere für ˇ ı F die Behauptung, wobei .x1 ; : : : ; xm / in einer Nullpunktsumgebung A0 A läuft, die unter F in B0 abgebildet wird. 6. Sei A Rm offen und F W A ! Rn eine C 1 -Abbildung vom konstanten Rang k < n. O.B.d.A. seien F10 ; : : : ; Fk0 linear unabhängig. Man zeige: Es gibt zu jedem a 2 A eine offene Umgebung U von a, eine offene Menge B Rk sowie eine Funktion G W B ! Rnk , sodass für alle x 2 U gilt: .FkC1 ; : : : ; Fn /.x/ D .G ı .F1 ; : : : ; Fk //.x/;

130

Kapitel 2

Fixpunktsatz von Banach und Anwendungen

d.h. in Komponenten ausgedrückt: FkC1 .x/ D G1 .F1 .x/; : : : ; Fk .x// :: : Fn .x/ D Gnk .F1 .x/; : : : ; Fk .x//: Lokal lassen sich also die n k Funktionen FkC1 ; : : : ; Fn durch die k Funktionen F1 ; : : : ; Fk ausdrücken. Man nennt in diesem Fall die Funktionen F1 ; : : : ; Fn funktional abhängig. Zahlreiche weitere Aufgaben zum endlich-dimensionalen Fall ﬁndet man in Ana-2: Abschnitt 12.1.

3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Bei den nichtlinearen Objekten galt unsere Interesse bisher den Funktionen und Abbildungen. Hilfsmittel dafür waren die Ableitung (zur Linearisierung) und die höheren Ableitungen (zur feineren Approximation) sowie die Integralrechnung als Werkzeug der Globalisierung. Jetzt wenden wir uns den nichtlinearen Räumen zu, soweit diese mit den Mitteln der Differential- und Integralrechnung erfasst werden können. Im weitesten Sinne gehören dazu die abstrakten Mannigfaltigkeiten. Diese kommen z.B. in der analytischen Mechanik oder in der allgemeinen Relativitätstheorie vor, aber auch in vielen anderen Bereichen, nämlich immer dann, wenn lokale analytische Erscheinungen zu einem Gesamtbild vereinigt werden sollen. Der Anschaulichkeit halber schränken wir uns auf einen Teilbereich der Mannigfaltigkeiten ein, der aber alles wesentliche enthält, nämlich auf die Untermannigfaltigkeiten von Zahlräumen. Das sind also nichtlineare Teilmengen eines Rn , die lokal durch Koordinaten zu beschreiben sind und global aus solchen lokalen Stücken zusammengesetzt werden. Im Fall des R3 als umgebenden Raum handelt es sich um Gebilde wie die Kugelﬂäche oder den Torus. Aus der Geographie ist bekannt, wie ein großer Teil der Kugelﬂäche mit einem Gradnetz versehen werden kann, sodass fast jedem Ort eindeutig zwei Koordinaten (Länge und Breite) zukommen. Allerdings wird diese Eindeutigkeit am Nord- und Südpol verfehlt. Es handelt sich nur um eine lokale Parametrisierung.

Man müsste auf „neue“ Weise die Umgebung dieser Ausnahmepunkte parametrisieren, ist dann aber gezwungen, die Umrechnung zu den „alten“ Koordinaten herzustellen. Dieses Phänomen wird uns zunächst beschäftigen. Es tritt in analoger Weise bei

132

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

anderen nichtlinearen Mengen auf, z.B. eben auch beim Torus, wo ebenfalls mehrere lokale Stücke zur Überdeckung nötig sind. Die folgende Theorie hat sowohl einen lokalen Aspekt, wo die „gewöhnliche“ Analysis angewendet werden kann, wie auch einen globalen, der durch Verkleben lokaler Teile erfassbar ist. „Lokal“ wird mit Parametrisierungen gearbeitet, und darum geht es als Erstes. Generalvoraussetzung: Gegebene Abbildungen haben i. Allg. offene Deﬁnitionsmenge und sind von einer Klasse C r mit gegebenem r 2 N [ f1g.

3.1

Flächenstücke im Rn

Wir schauen uns zunächst die Sache lokal an. Die Lokalität ist aber keineswegs so einschränkend, wie es auf den ersten Blick scheint. Auch sehr ausgedehnte Gebilde sind damit erfassbar, wie an den folgenden Beispielen klar werden wird. Wie bei den Wegen und Kurven (Ana-1: Abschnitt 9.1) empﬁehlt es sich, zunächst die Abbildungen zu betrachten, obwohl das Hauptaugenmerk auf die Bildmenge gerichtet ist. A. Deﬁnition. Ein p-dimensionales Flächenstück im Rn ist eine Immersion einer offenen Menge des Rp in den Rn : WA (1)

!

.x1 ; : : : ; xp / 7! „ ƒ‚ … x

Rn ;

0

B .x/ D @

1

A Rp offen

1 .x/ C :: A: : n .x/

Man spricht auch kurz von einem p-Flächenstück. Bei p D n 1 wird Hyperﬂächenstück genannt, bei p D 2 einfach Flächenstück. Bezeichnungen: Die Komponenten xi des Arguments x in (1) heißen Parameter. Die Deﬁnitionsmenge A wird in diesem Zusammenhang die Parametermenge genannt, und die Abbildung selbst eine Parameterdarstellung oder Parametrisierung der Bildmenge .A/. B. Bemerkungen. (i)

Es gelten folgende Äquivalenzen: Immersion () Rang D p n ()

@ @ .x/; : : : ; .x/ linear unabhängig 8 x 2 A: @x1 @xp

Abschnitt 3.1

Flächenstücke im Rn

133

Dabei sind die rechtsstehenden Vektoren die Spalten der Funktionalmatrix 0 .x/. (ii) Hauptobjekt des Interesses ist die Punktmenge Bild D .A/. Die Abbildung enthält aber mehr Information und ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung von Bild . Es kann sehr wohl vorkommen, dass ein und dieselbe Punktmenge durch zwei Parametrisierungen und e beschrieben wird: Bild D Bild e . Die Frage, wie dann und e untereinander zusammenhängen, werden wir in D[3.2] aufgreifen. (iii) Interessant sind nur die p mit 1 p < n. Bei p D n ist das Bild .A/ nach dem Zusatz zu J[2.4] eine offene Teilmenge von Rn , die eigentlich keiner näheren Beschreibung durch eine Parametrisierung bedarf. (iv) Die Abbildung braucht nicht injektiv zu sein, d.h. Selbstdurchdringungen von .A/ sind hier zugelassen. (v) Manche elementaren Situationen sind einfacher zu beschreiben, wenn die Abbildung auch in Randpunkten von A betrachtet wird oder wenn Punkte zugelassen werden, in denen der Rang von kleiner als p ist. Solche Stellen werden dann als „Singularitäten“ bezeichnet. Für den strengen Aufbau, insbesondere für die später zu erfolgende Globalisierung muss es aber bei den Forderungen von Deﬁnition A bleiben. C. Beispiele. (i)

Der Fall p D 1 führt im Wesentlichen zu den Wegen zurück.

Genauer: Ist A D ˛; ˇŒ ein offenes Intervall und W ˛; ˇŒ ! Rn eine C r -Immersion (also alles entsprechend Deﬁnition A), so ist eine Weg der Klasse C r im Sinne der früheren Deﬁnition in Ana-1: A[9.1]. Die hinzukommende Immersionseigenschaft besagt in diesem Fall: 0 .t / ¤ 0 für alle t 2 ˛; ˇŒ, bedeutet also die Regularität wie in Ana-1: C[9.1]. Bei einem Weg c W J ! Rn im Sinne von Deﬁnition Ana-1: A[9.1] durfte J ein beliebiges (echtes) Intervall sein, und außer der Stetigkeit war nichts verlangt worden. Einen solchen Weg werden wir gelegentlich auch als Kurve bezeichnen, obwohl für den Kurvenbegriff auch strengere Fassungen möglich sind (vgl. Ana-1: Abschnitt 9.1 und den folgenden Abschnitt 3.2).

Bei einem Weg c sind Selbstschnitte erlaubt, d.h. c braucht nicht injektiv zu sein; vgl. das Bild rechts.

134

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

(ii) Der Fall p D 2, n D 3 führt zur klassischen Flächentheorie im R3 , wie sie von Gauß[1828] stark gefördert wurde. Die Parametrisierung wird hierbei oft so geschrieben: R2 offen A ! R3 0 1 1 .u; v/ .u; v/ 7! .u; v/ D @ 2 .u; v/ A : 3 .u; v/ Die Immersionsbedingung lautet hier in zwei äquivalenten Formen 1 0 @1 @1 B @u @v C C B B @2 @2 C C D 2 stets () u v ¤ 0 stets: B Rang B @v C C B @u @ @ @3 A 3 @u @v Dabei bezeichnet das liegende Kreuz das Vektorprodukt im R3 (die Äquivalenz ist aus der linearen Algebra bekannt). Ganz klassisch schreibt man oft auch 1 .u; v/ DW x.u; v/;

2 .u; v/ DW y.u; v/;

3 .u; v/ DW z.u; v/;

da die kartesischen Koordinaten in R3 traditionell mit x; y; z statt mit x1 ; x2 ; x3 bezeichnet werden. Wählt man als Parametermenge A ein achsenparalleles Rechteck in R2 , so sieht die Situation so aus wie im folgenden Bild:

Die Veranschaulichung eines Flächenstücks wird oft unterstützt durch zusätzliche Attribute, z.B. durch Einfärbungen, Beleuchtung oder durch die Parameterlinien, das sind die Kurven, entsprechend den Parametrisierungen u 7! .u; v0 /

u-Linie

.v0 fest/;

v 7! .u0 ; v/

v-Linie

.u0 fest/:

Abschnitt 3.1

Flächenstücke im Rn

135

Flächenstücke sind wichtige Objekte der Computer-Graphik. Während die meisten Bilder dieser Analysisbücher mit standardmäßiger Software (Maple) produziert sind, folgen zwei Beispiele, hergestellt mit einem Spezialverfahren (Walter[1990]), das eine präzise Wiedergabe von Sichtbarkeitsgrenzen (Konturen) und Selbstschnitten liefern kann.

(iii) Die Parameterdarstellungen afﬁner Unterräume, wie sie in der linearen Algebra üblich sind, fallen ebenfalls unter den jetzigen Begriff. Ist z.B. a ein fester Punkt und sind b; c linear unabhängige Vektoren des R3 , so lautet die Parameterdarstellung der Ebene durch a mit der von b; c aufgespannten Richtung: .u; v/ D a C ub C vc; wobei das Paar .u; v/ den ganzen R2 durchläuft. Hier ist also A WD R2 , und die u- bzw. v-Linien sind Parametrisierungen von Geraden in der Ebene parallel zu b bzw. c.

136 (iv)

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Drehﬂächen im R3 .

Gegeben sei im R3 ein Weg c W ˛; ˇŒ ! R3 , der ganz in der .x; z/-Ebene liegt, also mit c2 D 0. Dieser Weg werde um die z-Achse mit Winkeln gedreht:

Analytisch: Die eigentlichen Drehungen D. / um die z-Achse bzw. die Proﬁlkurve c sind: 0 1 0 1 cos sin 0 c1 .t / cos 0A ; D./ D @ sin c.t / D @ 0 A ; c3 .t / 0 0 1 sodass die gedrehten Punkte sich ergeben als 1 0 c1 .t / cos .; t / D D./c.t / D @ c1 .t / sin A : c3 .t / Die Drehungen D./ bilden eine Einparametergruppe; denn es gilt: D.1 /D.2 / D D.1 C 2 /

8 1 ; 2 2 R;

und alle D./ sind eigentliche Isometrien von R3 . Es handelt sich um eine einparametrige Drehgruppe. Die Punkte .t; / entstehen, indem auf die Punkte des Weges c.t / die Elemente D. / dieser Drehgruppe „losgelassen“ werden. Die Abbildung läuft von R ˛; ˇŒ in R3 . Ist sie eine Immersion? – Man berechnet: 0 1 c1 .t / sin .; t / D D 0 . /c.t / D @ c1 .t / cos A ; 0 0 0 1 c1 .t / cos t .; t / D D./c 0 .t / D @ c10 .t / sin A ; c30 .t /

Abschnitt 3.1

Flächenstücke im Rn

137

also mit den Rechenregeln für das Kreuzprodukt ˇ ˇe1 ˇ t D ˇˇe2 ˇe3

c1 sin c1 cos 0

ˇ c10 cos ˇˇ c10 sin ˇˇ c30 ˇ

ˇ ˇ ˇc sin c10 sin ˇˇ e2 ˇˇ 1 0 ˇ c3 0 ˇ ˇ 0 ˇ c sin c cos ˇ 1 ˇ C e3 ˇˇ 1 c1 cos c 0 sin ˇ

ˇ ˇc cos D e1 ˇˇ 1 0

ˇ c10 cos ˇˇ c30 ˇ

1

D e1 c1 c30 cos e2 .c1 c30 sin // C e3 .c1 c10 /: Damit ergibt sich 0

1 c30 .t / cos .t; / t .t; / D c1 .t / @ c30 .t / sin A : c10 .t / Dies ist ¤ 0, falls c1 .t / ¤ 0 und .c10 .t /; c30 .t // ¤ .0; 0/. Somit ist eine Immersion, wenn die Proﬁlkurve die z-Achse nicht trifft und regulär ist. Man nennt das Bild von dann eine reguläre Rotationsﬂäche oder Drehﬂäche mit dem Spann von e3 als Achse. Die -Linien heißen hier Breitenkreise, die t-Linien Meridiane. Die Punkte der Drehﬂäche werden durch die Parametrisierung mehrfach erreicht, da bez. der ersten Variablen die Periode 2 besitzt. Die übliche Hilfsmaßnahme ist, aufzuschneiden, also z.B. das Intervall 0; 2Œ durchlaufen zu lassen. Dann fehlt das Bild des Nullmeridians t 7! .0; t / (und man muss zusätzlich die Proﬁlkurve als injektiv voraussetzen). Oder man nimmt für das Intervall Œ0; 2Œ, aber dann ist die Deﬁnitionsmenge von nicht mehr offen. Befriedigend kann dieses Dilemma erst durch das Vorgehen im nächsten Abschnitt gelöst werden (Deﬁnition A[3.2]). (v)

Gegeben sei eine Abbildung g W A ! Rnp mit offenem A Rp . Dann ist

W A ! Rn x 7! .x; g.x// D . x1 ; : : : ; xp ; g1 .x1 ; : : : ; xp /; : : : ; gnp .x1 ; : : : ; xp / /> „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … x g.x/ stets eine Immersion; denn

138

Kapitel 3

Rang 0 .x/

D

Rang

80 < B p B :B B B B B @

Mannigfaltigkeiten im Rn

p ‚ …„ ƒ 1 :: : 0

:: :

1 0 :: C : C C 1 C C C C A

D

p:

Man nennt eine solche Abbildung eine Graphendarstellung, da G WD .A/ Graph von g in Rp Rnp Š Rn ist. Statt „Graphendarstellung“ wird auch der Terminus Mongesche Darstellung gebraucht. Die folgenden Bilder zeigen einmal eine symbolische (stark verkürzte) Darstellung dieser Graphensituation, zum anderen eine realistischeres Beispiel im R3 in der klassischen Bezeichnungsweise.

Allgemein ist in der Deﬁnition der Ableitung der konstante Anteil zusammen mit dem linearen Anteil die Darstellung einer afﬁnen Abbildung, der sog. afﬁne Anteil: .a C v/ D .a/ C 0 .a/v C kvk r.v/ „ ƒ‚ … afﬁner Anteil

mit

lim r.v/ D 0:

v!0

Die Bilder dieser Anteile spielen natürlich die wesentliche Rolle bei der Linearisierung unserer Objekte: D. Deﬁnition. Ist W A ! Rn ein p-Flächenstück in Rn und a 2 A, so bezeichnen wir ˇ ˚

Ta . / WD 0 .a/v ˇ v 2 Rp D Bild 0 .a/ ˇ ˚

Aa . / WD .a/ C 0 .a/v ˇ v 2 Rp D .a/ C Bild 0 .a/ und nennen

Ta . / den (geometrischen) Tangentialraum Aa . / den afﬁnen Tangentialraum

von an der Stelle a (oder auch in .a/).

Abschnitt 3.1

Flächenstücke im Rn

139

Der geometrische Tangentialraum Ta . / ist ein Untervektorraum von Rn . Trägt man seine Vektoren im Punkt .a/ an, so entsteht ein afﬁner Unterraum von Rn , eben der afﬁne Tangentialraum Aa . /. In der Sprache der linearen Algebra ist also Ta . / der Richtungsraum oder die Richtung von Aa . /. Eine Basis von Ta . / wird gebildet von den Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix @ @ .a/; : : : ; .a/: @x1 @xp Da die Jacobi-Matrix den Rang p besitzt, haben Ta . / und Aa . / beide die Dimension p. Die Parametrisierung von Aa . / ist gerade der Anfang der Taylor-Entwicklung von am Zentrum a. Der afﬁne Tangentialraum stellt also die beste denkbare Approximation erster Ordnung an das Bild .A/ nahe .a/ dar. Vgl. das folgende erste Bild (für p D 2, n D 3). In den Dimensionen p D 1; 2; n 1 werden natürlich statt des Worts „Raum“ auch die Worte „Gerade“, „Ebene“, „Hyperebene“ gebraucht.

Vorsicht ist geboten, wenn Selbstschnitte vorhanden sind: Gilt .a/ D .b/ für a ¤ b aus A, so kann durchaus Aa . / ¤ Ab . / sein! Vgl. das obige Bild rechts (für p D 1). Konventionen zum konkreten Rechnen: Da hier bei zwei Zahlräume Rp und Rn im Spiel sind, sollten die Standard-Basen und zugehörige Standard-Koordinaten unterschiedlich bezeichnet werden, etwa so: Rp

Rn

Standard-Basis:

f1 ; : : : ; fp

e1 ; : : : ; en

Standard-Koordinaten:

x1 ; : : : ; xp

y1 ; : : : ; yn

Standard-Koordinaten:

für p D 2 u; v

für n D 3 x; y; z

140

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Die letzte Zeile enthält eine klassische Notation. Im R2 kann man dann z.B. schreiben V D .u; v/ und im R3 etwa Z D .x; y; z/. In R selbst heißt die StandardKoordinate meistens x (sehr üblich in der eindimensionalen Analysis), aber besser t , wenn weitere mehrdimensionale Objekte im Spiel sind. Bei der Arbeit mit Matrizen müssen Tupel als Spalten aufgefasst werden, da sonst die Konventionen des Matrizenkalküls nicht greifen würden. Kontextabhängig ist also z.B. y D .y1 ; : : : ; yn / oder y D .y1 ; : : : ; yn /> und Z D .x; y; z/ oder Z D .x; y; z/> . Alle dies Bezeichnungen sind nicht streng bindend, man kann das fallweise auch anders handhaben. Konventionen zu Matrizenräumen: Im Folgenden wird gelegentlich anstelle von Rn die Menge R.n;m/ aller reellen .n m/-Matrizen als umgebender Raum verwendet. Es werden etwa Immersionen W A ! R.n;m/ , A Rp , betrachtet. Für diesen Zweck identiﬁziert man R.n;m/ mit Rnm , indem man jeder Matrix P 2 R.n;m/ das nm-Tupel zuordnet, das aus allen hintereinander aufgeschriebenen Zeilen von P besteht. Diese Identiﬁkation ist ein Vektorraum-Isomorphismus (berücksichtigt aber z.B nicht die multiplikative Struktur der Matrizenmultiplikation im Fall n D m). Aufgaben und Anmerkungen 1. Ein Torus im R3 ist eine spezielle Drehﬂäche. In der Standard-Position ist die Achse wieder der Spann von e3 und die Proﬁlkurve ein Kreis in der .x; z/-Ebene mit Radius r > 0 und Mittelpunkt .R; 0; 0/> mit R > r ist. Man beweise als zugehörige Parametrisierung, wenn der Kreis in der üblichen Art (transzendent) parametrisiert wird: 0 1 cos .R C r cos t / .; t / D @ sin .R C r cos t / A r sin t 2. Die Sphäre im R3 mit Zentrum 0 und Radius r > 0 wird üblicherweise mit geographischen Koordinaten parametrisiert; vgl. Ana-2: Aufgabe 1 d)[10.6]. Man erhält die gleiche Parametrisierung aus der des Torus (Aufgabe 1), wenn man dort R D 0 setzt 0 1 cos cos t .; t / D r @ sin cos t A : sin t Man sieht, dass die geographische Länge ist (auch genannt) und t die geographische Breite (auch ˇ genannt). Man ermittle, in welchen Punkten die Immersionsbedingung für verletzt ist. 3. Für die eine Drehﬂäche (Beispiel C(iv)) zeige man: A.;t/ . / D D. /A.0;t/ . /; d.h. die Tangentialebenen werden einfach aus der Null-Lage mitgedreht.

Abschnitt 3.1

Flächenstücke im Rn

141

4. Die Drehgruppen produzieren aus Wegen die Drehﬂächen. Neben den Drehgruppen gibt es weitere einparametrige Gruppen von Bewegungen des R3 , die sog. Schraubgruppen. Diese haben ebenfalls eine Achse, die aber nicht punktweise fest bleibt, sondern nur als Ganzes. Wird diese Achse wie oben durch e3 aufgespannt, so lauten die Elemente einer solchen Schraubgruppe

./Z WD D./Z C pe3 ;

p D const. > 0:

Abgesehen von S.0/ D E ist S./ keine lineare sondern eine afﬁne Abbildung: Es wird um den Winkel gedreht und gleichzeitig proportional dazu in e3 -Richtung translatiert. Die Zahl h WD 2h heißt die Ganghöhe. Man zeige: a)

Jede Abbildung ./ ist distanztreu, d.h. j . /Z1 . /Z2 j D jZ1 Z2 j für alle Z1 ; Z2 2 R3 .

b)

Auf der z-Achse operiert ./ als Translation.

c)

Die ./ bilden (bei festem p) eine Einparametergruppe, d.h. es gilt

.1 / ı .2 / D .1 C 2 /

8 1 ; 2 2 R:

5. Wirkt die Schraubgruppe . . /2R (Aufgabe 4) auf die Punkte c.t / eines Weges ein, so entsteht eine sog. Schraubﬂäche mit der Parametrisierung .; t / WD ./c.t /: Die t -Linien heißen die Meridiane, speziell c (für D 0) der Nullmeridian. Es liegt nur dann ein Flächenstück im Sinne von Deﬁnition A vor, wenn die dortige Rangbedingung erfüllt ist. Ist der Nullmeridian eine Gerade (oder eine Strecke) im R3 , so beschreibt eine sog. Schraubregelﬂäche. Lässt man p D 0 zu, so wird aus der Schraubgruppe die Drehgruppe. Die Drehgruppe kann in dieser Auffassung also auch auf Kurven operieren, die nicht in der .x; z/-Ebene liegen. Man diskutiere folgende Fälle: a)

Schraubregelﬂäche, p > 0, Nullmeridian eine Gerade in spann.e1 ; e3 / senkrecht zu e3 : beschreibt eine sog. Wendelﬂäche. Praktisch: eine Parkhausauffahrt oder die Grundlage für eine Wendeltreppe im Hausbau.

b)

Drehregelﬂäche, p D 0, Nullmeridian eine Gerade in spann.e1 ; e3 /: Es entsteht eine Ebene oder ein Kegel oder ein Zylinder.

c)

Drehregelﬂäche, p D 0, Nullmeridian eine Gerade windschief zu spann.e3 /: Es entsteht eine Drehhyperboloid. Das muss man gesondert nachweisen, da Quadriken standardmäßig als Nullstellenmengen deﬁniert werden.

142

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Gleiches Drehhyperboloid mit zwei Geradenscharen

Ein und dasselbe Drehhyperboloid kann dann sogar auf eine zweite Weise durch Drehung einer zweiten Geraden erzeugt werden, trägt also zwei einparametrige Scharen von Geraden (sog. Regulus). Vgl. obiges Bild. d)

Schraubﬂäche, p > 0, Nullmeridian eine Kreislinie mit Zentrum M D .m; 0; 0/> , m > 0, Radius r > 0 in einer Ebene orthogonal zu 0 .0/M : Es entsteht eine sog. Schraubrohrﬂäche.

Wendelﬂäche und Schraubrohrﬂäche

6. Orthogonale Gruppe des Rn Gegeben sei eine Matrix A 2 R.n;n/ , und A> bezeichne die transponierte Matrix. a)

Man zeige: .exp A/> D exp.A> /.

b)

Man beweise die Äquivalenz: A schiefsymmetrisch () exp.tA/ orthogonal für alle t 2 R:

c)

Zeige weiter: Ist A schiefsymmetrisch, so ist exp A eigentlich orthogonal. Somit vermittelt die Exponentialabbildung (durch Restriktion) eine Abbildung exp W R.n;n/ ! SO.n/: a

Abschnitt 3.1

Flächenstücke im Rn

143

Diese Abbildung ist surjektiv und in einer Umgebung der Nullmatrix 0 eine Immersion.

d)

Hinweise: Es sind hier einige Kenntnisse aus der linearen Algebra nötig: A 2 R.n;n/ ist symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch, je nachdem A> D A bzw. A> D A gilt. A 2 R.n;n/ ist orthogonal (oder isometrisch), falls AA> D E; gilt zudem det A D 1, so heißt A eigentlich orthogonal. Die Menge aller symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen bzw. orthogonalen bzw. eigentlich orthogonalen .n n/-Matrizen werden durch R.n;n/ s .n;n/ bzw. Ra bzw. O.n/ bzw. SO.n/ bezeichnet. Die letzten beiden sind Untergruppen von GL.n; R/, die orthogonale bzw. spezielle orthogonale Gruppe. 7. Sei B ein beliebiger Einheitsvektor im R3 . Die eigentliche Drehung des R3 mit der festen Achse spann.B/ und dem Drehwinkel 2 R ist laut analytischer Geometrie gegeben durch: D./Z D cos Z C hB; Zi .1 cos / B C sin B Z: (Vgl. Koecher[1983], Kap. 7, §3, 8 oder Walter[1996], Bemerkung 1[6.3]. Wer diese Kenntnis nicht hat, kann die obige Formel als Deﬁnition betrachten und bestätigen, dass D./ eine eigentliche Isometrie mit den genannten Eigenschaften ist.) In Abhängigkeit von bilden die D./ eine Einparametergruppe; denn man rechnet nach: D.1 C 2 / D D.1 / ı D.2 / sowie ˇ @D. /Z ˇˇ D .0/Z D @ ˇD0 0

D . sin Z C hB; Zi sin B C cos B Z/jD0 D B Z: Man erkennt: Der inﬁnitesimale Erzeuger D 0 .0/ einer solchen einparametrigen Drehgruppe wird gegeben durch das Kreuzprodukt Z 7! B Z. Dieses beschreibt sozusagen eine „inﬁnitesimale Rotation“, da es das Feld der Geschwindigkeiten zum „Zeitpunkt“ D 0 ist. Die Bedeutung eines solchen Feldes ist, dass am Punkt mit dem Ortsvektor Z der Vektor B Z „anzuhängen“ ist. Es entsteht dadurch ein sog. Killing-Feld. Vgl. das Bild rechts (für B D e3 ).

144

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Ist nun außerdem ein Weg c W ˛; ˇŒ ! R3 gegeben, so kann man seine Punkte wie in Beispiel C(iii) den Elemente der Drehgruppe D. / unterwerfen und erhält .; t / WD D./c.t /. Man stelle die Bedingung dafür auf, dass W ˛; ˇŒ R ! R3 eine Immersion ist. In diesem Fall heißt das Bild von wiederum eine Drehﬂäche mit der Achse spann.B/. Beispiel C(iii) ist natürlich der Spezialfall mit B D e3 und Bild c spann.e1 ; e3 /. 8. Orthogonale Gruppe des R3 a)

Zeige: Die schiefsymmetrischen Endomorphismen von R3 sind genau die Abbildungen der Gestalt LB .x/ D B x wobei B 2 R3 fest ist und das Vektorprodukt bezeichnet.

b)

Für B ¤ 0 beweise man mittels der Exponentialreihe

B B B .exp LB /x D cos jBj x C .1 cos jBj/ ; x C sin jBj

x jBj jBj jBj und vergleiche mit dem Ergebnis von Aufgabe 7.

c)

Damit zeige man nochmals, dass die Abbildung exp W R.3;3/ ! SO.3/ surjektiv a ist.

d)

Ist die Abbildung aus c) injektiv? Ist sie eine Immersion?

Lösungshinweis zu b): Man berechne zuvor die Potenzen von LB . 9. Zur theoretischen Robotik mittels Quaternionen Welche Drehachse und welchen Drehwinkel besitzt die Komposition der beiden Drehungen des R3 jeweils um 90ı zunächst um die Achse span.e2 / dann um die Achse span.e3 /? – Diese Frage kann man beantworten durch Hintereinanderschaltung der Abbildungen aus Aufgabe 7. Eine alternative Antwort ist möglich mit der folgenden Behandlung durch Quaternionen. a)

Der Schiefkörper der Quaternionen kann aufgefasst werden als Menge aller Paare Q D .a; U /, P D .b; V /; : : : aus R R3 mit den Verknüpfungen Q C P WD .a C b; U C V /;

Q P WD .ab hU; V i; aV C bU C U V /:

Man zeige, dass wirklich die Axiome eines Schiefkörpers erfüllt sind und dass die Multiplikation i. Allg. nicht kommutativ ist. Man schreibt kurz Q DW a C U , und R erscheint als der Teilkörper der Elemente a C 0 DW a. Die zur Quaternion Q konjugierte Quaternion ist deﬁniert als Q WD a U . Es gelten die Regeln: Q C P D Q C P;

Q P D P Q:

Man nennt Q Einheitsquaternion, wenn QQ D 1, d.h. a2 C jU j2 D 1 gilt. Die Menge der Einheitsquaternionen identiﬁziert sich hierdurch mit der Euklidischen Einheitssphäre S3 R4 .

Abschnitt 3.2

b)

Untermannigfaltigkeiten von Rn

145

Die Darstellung der eigentlichen Drehung des R3 mit dem Achseneinheitsvektor B und dem Drehwinkel lautet nach Aufgabe 7: (2) D.; B/Z D cos Z C hE; Zi .1 cos / B C sin B Z;

Z 2 R3 :

Man ordne dem Paar .; B/ 2 R S2 die Einheitsquaternion Q WD cos

C sin B 2 2

zu und zeige: c)

Gleichung (2) ist äquivalent zu D.; B/Z D QZQ. Das ist die QuaternionenDarstellung der eigentlichen Drehungen des R3 .

d)

Ist D. 0 ; B 0 / eine weitere Drehung mit der zugeordneten Quaternion Q0 WD cos

0 0 C sin B 0; 2 2

so besitzt die Komposition D. 0 ; B 0 / ı D.; E/ einen Achseneinheitsvektor B 00 und einen Drehwinkel 00 , der aus dem Quaternionenprodukt mittels Q0 Q D cos

00 00 C sin B 00 2 2

ablesbar ist. Der Komposition in der Drehgruppe SO.3/ „entspricht“ also das Quaternionenprodukt, restringiert auf S3 R4 . (Die Striche sind hier natürlich keine Ableitungen, sondern Marken zur Unterscheidung.) e) Man beantworte hiermit die eingangs gestellte Frage. f)

Hierdurch wird keine Abbildung von SO.3/ in S3 deﬁniert, da D. 0 ; B 0 / D D.; B/ möglich ist, ohne dass 0 D , B 0 D B gilt. Wohl aber ist eine Abbildung F W S3 ! SO.3/ deﬁniert, nämlich durch F .Q/Z WD QZQ, und dieses F ist Gruppenhomomorphismus von S3 (bez. der Quaternionenmultiplikation) auf SO.3/ (bez. der Komposition). Man beweise dies!

3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

Nun ist es Zeit für die globale Sichtweise. Es geht also um Teilmengen des Rn , die im Kleinen aussehen wie p-Flächenstücke, aber im Großen allgemeiner sein dürfen. Dabei sind gewisse Phänomene als schlecht zu vermeiden:

146

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Innnerhalb der „schlechten“ Umgebungen handelt es sich um Selbstschnitte oder Aufsetzungen, die nicht in die Vorstellung einer ordentlichen Kurve oder Fläche passen: Das „Mikroskop“ zeigt ein kreuzartiges Verhalten, das auch nicht verschwinden würde, wenn die Vergrößerung gesteigert, also die Umgebung verkleinert würde. In einer „guten“ Umgebung hat man das Bild eines mäßig verbogenen afﬁnen Unterraums, das durch andere Teile der Menge nicht gestört wird, d.h. weiter entfernte Partien der Menge dringen nicht in die Umgebung ein, wenn diese nur klein genug gewählt wird. Es geht nun darum, eine exakte Beschreibung zu ﬁnden, die einerseits solche schlechten Phänomene verhindert und andererseits der Idee Rechnung trägt, dass die Menge durch die Bilder von p-Flächenstücken überdeckt werden kann Dabei braucht nicht gesagt zu werden, wie die einzelnen Bilder kombinatorisch aneinanderstoßen. Das wäre auch recht kompliziert, da man dann über Ränder und deren Verheftung reden müsste. Es reicht vielmehr eine einfache topologische Forderung, wie sie in (IM.2) formuliert ist. A. Deﬁnition. Eine Untermannigfaltigkeit M von Rn der Dimension p und Klasse C r (r 2 N[f1g) ist eine (nichtleere) Teilmenge M von Rn mit folgender Eigenschaft: (IM) Zu jedem Punkt b 2 M existiert eine C r -Immersion W A ! Rn einer offenen Menge A Rp in Rn mit folgenden Eigenschaften: (IM.1)

b 2 .A/ M ;

(IM.2)

ist als Abbildung nach M offen, d.h. zu jeder offenen Menge U A existiert eine offene Menge V Rn , sodass .U / D M \ V .

Für die Dimension wird das Symbol dim M WD p verwendet. Konventionen: Sei M eine solche Untermannigfaltigkeit. Jede C r -Immersion W A ! Rn einer offenen nichtleeren Menge A Rp mit .A/ M und der Eigenschaft (IM.2) wird eine lokale Parameterdarstellung von M genannt. Man spricht auch von einer Gaußschen Parameterdarstellung. Anstelle des Wortes „Parameterdarstellung“ wird auch der Ausdruck Parametrisierung gebraucht. Zur Vereinfachung der Sprechweise wird das Attribut „lokal“ meistens weggelassen. Statt „Untermannigfaltigkeit“

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

147

sagen wir zur Abkürzung einfach auch Mannigfaltigkeit. Der Mannigfaltigkeitsbegriff ist zwar umfassender (ein umgebender Raum ist nicht erforderlich); er wird aber in dieser Allgemeinheit hier nicht gebraucht, sodass keine Verwechslungsgefahr besteht. Bei dim M D 1 nennt man M auch eine Kurve, bei dim M D 2 Fläche, bei dim M D n 1 Hyperﬂäche. Um die Ausdrucksweise nicht zu überlasten, wird auch das Attribut „C r “ meistens weggelassen. Wir handhaben diese Vereinfachung in folgender Weise: Sind irgendwelche Daten einer bestimmten Differentiationsklasse vorgelegt, so ist damit eine Klasse C r mit festem r 1 gemeint. Werden daraus neue Objekte konstruiert und sind diese von der gleichen Klasse C r , so wird dies nicht gesondert erwähnt. Wenn sich jedoch im Laufe einer Konstruktion die Klasse verändert, so sollte dies ausdrücklich erwähnt werden. Wird das Attribut „C r “ doch explizit genannt, so kann es auch vorangestellt werden, man spricht also z.B. von einer C r -Untermannigfaltigkeit usw. B. Bemerkungen. (i) Die Mengen der Bauart M \ V , V offen in Rn , sind gerade die relativ-offenen Mengen in M . (IM.2) besagt also, dass offene Mengen in Rp auf relativ-offene Mengen in M abbildet. (ii) Eine Parametrisierung W A ! Rn einer Untermannigfaltigkeit M ist stetig, gleichgültig ob ihre Zielmenge als Rn oder M oder .A/ betrachtet wird (wobei in den letzten zwei Fällen die entsprechende Relativtopologie zu verwenden ist). Ist die Parametrisierung zusätzlich injektiv, so ist sie bijektiv, wenn sie als Abbildung von A auf .A/ aufgefasst wird, tatsächlich sogar ein Homöomorphismus, da nach (IM.2) offen, die Umkehrung 1 W .A/ ! A also stetig ist. In diesem Fall wird 1 eine Karte von M genannt. Zu y D .x/ 2 .A/ heißen dann die Komponenten des p-Tupels x die Koordinaten von y bez. . (iii) Jede Einschränkung einer lokalen Parametrisierung W A ! Rn einer Untermannigfaltigkeit M auf einen offenen Teil ¤ ¿ von A ist selbst wieder eine lokale Parametrisierung von M . Da durch geeignete Einschränkung injektiv gemacht werden kann (J[2.4]), dürfen die in Deﬁnition A als injektiv vorausgesetzt werden. (iv) Ist e W e A ! Rn eine lokale Parametrisierung einer Untermannigfaltigkeit M und ˆ W A ! e A ein Diffeomorphismus einer offenen Menge A Rp auf e A, so ist auch die Komposition WD e ı ˆ W A ! Rn eine lokale Parametrisierung von M . Denn ist wiederum eine Immersion, und für jede offene Menge U A ist ja ˆ.U / nach dem Umkehrsatz (Ana-2: E[12.1] oder B[2.4]) offen in e A, also .U / D e .ˆ.U // offen in M . Eine Umkehrung dieses Sachverhalts wird in Satz D besprochen. Sie wird besagen, dass zwei lokale Parametrisierungen von M , die gleiche Punkte erfassen, immer über einen solchen Diffeomorphismus zusammenhängen. (v) Da eine lokale Parametrisierung eine Immersion ist, gilt p n. Interessant sind jedoch nur die Fälle 1 p n 1. Für p D 0 gilt jede Vereinigung von

148

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

isolierten Punkten in Rn als Untermannigfaltigkeit der Dimension 0. Für p D n gilt jeder offene, nichtleere Teil von Rn als Untermannigfaltigkeit der Dimension n. (vi) In Deﬁnition A kann die Forderung (IM.2) äquivalent (jedoch äußerlich schwächer) so ausgedrückt werden: (IM.2’) .A/ ist offen in M , und für jeden offenen Teil U A ist .U / offen in .A/. Tatsächlich ergibt sich die Äquivalenz von (IM.2) und (IM.2’) unmittelbar aus der Deﬁnition relativ offener Mengen. C. Beispiel (Euklidische Sphäre). Ist die Einheitssphäre der Euklidischen StandardNorm ˇ ˚

Sn1 WD Sn1 .1/ WD z D .z1 ; : : : ; zn / 2 Rn ˇ z12 C C zn2 D 1 eine Untermannigfaltigkeit von Rn (für n 2)? Das Standard-Skalarprodukt bzw. die zugehörige Norm von Rn seien, wie üblich, durch spitze Klammern h ; i bzw. durch einfache Normstriche j j bezeichnet. Die Gleichung z12 C C zn2 D 1 schreibt sich damit als hz; zi D 1. Lösung: Anschaulich ist Sn1 von der Dimension n 1. Um die Frage präzise zu beantworten, müssen die Punkte von Sn1 durch geeignete Parametrisierungen aus Rn1 erfasst werden.

Stereographische Projektion (ebener Schnitt)

Dazu projizieren wir Sn1 auf den Koordinatenraum der ersten n 1 Koordinaten, aber nicht parallel zur zn -Achse, sondern zentral aus dem Nordpol N WD en D .0; : : : ; 0; 1/ 2 Rn : Vgl. das obige Bild (eine räumliche Darstellung ﬁndet sich bei Ana-2: Aufgabe 18 [10.6]).

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

149

Diese Zentralprojektion wird analytisch folgendermaßen dargestellt. Dabei sei identiﬁziert: Rn Š Rn1 R, insbesondere x 2 Rn1 geschrieben als x D .x1 ; : : : ; xn1 ; 0/: 1 .z N /: hz N; N i ˇ ˚

Hierin bezeichnet H die Hyperebene H WD z 2 Rn ˇ hN; zi D 1 , die natürlich nicht projiziert werden kann. Tatsächlich liegt das so deﬁnierte .z/ auf der Verbindungsgeraden von N und z und hat Skalarprodukt 0 mit N , liegt also im Koˇ ordinatenraum Rn1 . Die Einschränkung ˇSn1 n fN g heißt die stereographische Projektion der Sn1 (aus dem Nordpol N auf die Äquatorhyperebene). (1)

W Rn n H ! Rn1 ;

.z/ D N

Als eine Parametrisierung für Sn1 kommt die Umkehrung der stereographischen Projektion in Betracht. Diese Umkehrung wollen wir als Abbildung in Rn hinein auffassen; sie besitzt die Darstellung (2)

W Rn1 ! Rn ;

.x/ D N C

2 .x N /: jx N j2

In der Tat liegt das so berechnete .x/ auf der Verbindungsgeraden von x und N , aber auch auf Sn1 . Denn man berechnet j.x/j2 D jN j2 C

4 4 hN; x N i C jx N j2 D 1: 2 jx N j „ ƒ‚ … jx N j4 01

Klar ist auch, dass beide Abbildungen und von der Klasse C 1 sind und dass (3)

ı D idRn1 :

Das kann man natürlich durch Einsetzen von z WD .x/ in .z/ bestätigen. ist also linksinvers zu . Für sollen nun die Eigenschaften aus Deﬁnition A bewiesen werden: ist Immersion: Zu zeigen ist: 0 .x/v D 0 H) v D 0. Dies ergibt sich unmittelbar aus (3), da nach der Kettenregel gilt

0 ..x// 0 .x/v D v: ist nicht rechtsinvers zu , aber es gilt: ˇ (4) ı ˇSn1 n fN g D idSn1 nfN g : Zu (IM.2): Sei U offen in Rn1 . Für welches V Rn ist .U / D Sn1 \ V ? – Aus der Bedeutung entnimmt man:

150

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

V WD 1 .U / tut es!

Tatsächlich ist leicht zu bestätigen: .U / D Sn1 \ 1 .U /, sogar für beliebige Teilmengen U Rn1 : Ist z 2 .U /, so folgt z D .x/ für ein x 2 U , also z 2 Sn1 und nach (3): .z/ D ..x// D x 2 U . Ist umgekehrt z 2 Sn1 \ 1 .U / vorausgesetzt, so folgt z 2 Sn1 n fN g und x WD .z/ 2 U , also nach (4): .x/ D z 2 .U /. Bei offenem U ist auch 1 .U / offen in Rn n fN g also in Rn . Somit ist (IM.2) für bez. M WD Sn1 mit p D n 1 und mit der Differentiationsklasse C 1 erfüllt. Wir nennen dieses jetzt N . Es hat den Nordpol N nicht in seinem Bild, also muss eine weitere Parametrisierung gefunden werden. Eine solche ist das analoge S , konstruiert für den Südpol S WD .0; : : : ; 0; 1/ anstelle N . Dann hat S entsprechende Eigenschaften wie N , und da N .Rn1 / D Sn1 n fN g; S .Rn1 / D Sn1 n fS g, ist N .Rn1 / [ S .Rn1 / D Sn1 , also (IM) insgesamt mit p D n 1 erfüllt: Sn1 ist eine C 1 -Hyperﬂäche von Rn . Häuﬁg wird ein und derselbe Punkt von M durch zwei verschiedene Parametrisierungen erfasst, z.B. hier bei der Sphäre durch stereographische Projektion aus dem Nordx / (wenn der Punkt nicht gerade einer der Pole pol und dem Südpol: N .x/ D S .e selbst ist); vgl. das folgende Bild. Es ist dann die Frage wie die beiden Urbilder x; e x untereinander zusammenhängen. Hier geht dies anschaulich so: Die beiden gefärbten Dreiecke liegen in einer Ebene des Rn , und da sie ähnlich sind, folgt je x j W 1 D 1 W jxj. Offensichtlich ist e x positives Vielfaches von x, also

(5)

e xD

1 x x : D jxj jxj jxj2

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

151

Natürlich kann man diesen Zusammenhang zwischen x und e x auch aus der analytischen Darstellung von N ; S berechnen. N ist eine rationale Parametrisierung von Sn1 n fN g, ähnlich wie für n D 2 in Ana-1: N[4.4] (dort wurde der „Westpol“ verwendet). Die allgemeine Antwort, wie zwei Parametrisierungen zusammenhängen, gibt der folgende Satz. D. Satz (über die Parametertransformation). Sei M Untermannigfaltigkeit von Rn mit dim M D p, und seien W A ! Rn und e W e A ! Rn zwei injektive Gaußsche Parametrisierungen von M mit: D WD .A/ \ e . e A/ ¤ ¿. Dann gilt: (i)

A0 WD 1 .D/ und e A0 WD e 1 .D/ sind offen in Rp .

(ii)

A0 mit Es existiert genau eine Abbildung ˆ W A0 ! e .x/ D e .ˆ.x//

(iii)

für alle x 2 A0 :

ˆ ist Diffeomorphismus.

Man nennt ˆ die Parametertransformation zu und e , und die Restriktionen jA0 , e j e A0 werden als Umparametrisierungen voneinander bezeichnet. Die Situation wird durch folgende schematische Skizze verdeutlicht:

a

¾a

Natürlich könnte man sich bei p D 2 die Menge M (d.h. den gestrichelt berandeten Bereich) als Fläche vorstellen, auf der die hervorgehobenen zwei Mengen enthalten sind. Die Skizze ist absichtlich nicht an eine solche konkrete Situation angepasst, da nur die Lage der verschiedenen Mengen wesentlich ist.

152

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Beweis von D. Zu (i): Sei

.A/ D M \ V e e . e A/ D M \ V

e Rn : mit offenen V , V

Hieraus folgt e DDM \V \ V e / ist offen als Urbild einer offenen Menge, ebenso A0 D 1 .D/ D 1 .V \ V e e /: A0 D e 1 .D/ D e 1 .V \ V Zu (ii): Dies ist klar, da die Forderung bedeutet: ˆ D .e j e A0 /1 ı jA0 . Zu (iii): Es reicht zu zeigen: ˆ ist von der Klasse C r (denn ˆ1 ist symmetrisch behandelbar): Sei ˆ DW .ˆ1 : : : ˆp /. Wegen e .ˆ.x// D .x/, lösen die Funktionen ˆj das Gleichungssystem e 1 .y1 ; : : : ; yp / 1 .x1 ; : : : ; xp / D 0 :: : e n .y1 ; : : : ; yp / n .x1 ; : : : ; xp / D 0 D p, lassen sich lokal p der Gleichunmit den yj als Unbekannten. Da Rang e gen nach y1 ; : : : ; yp auﬂösen; denn mindestens eine p-reihige Unterdeterminante der Jacobi-Matrix der linken Seiten nach den yj ist ¤ 0. Damit greift der Satz über implizite Funktionen (Ana-2: A[12.2]. Die lösenden Funktionen sind lokal eindeutig bestimmt und von derselben Klasse wie die gegebenen Abbildungen und e . Also trifft dies insgesamt auch für die ˆj zu, da die Differentiationsklasse lokal bestimmt ist. Mit den gleichen Argumenten sieht man übrigens, dass die Dimension einer Untermannigfaltigkeit M eindeutig bestimmt ist. Gäbe es nämlich zwei Parametrisierungen und e von M wie in Satz D, aber mit offenen Deﬁnitionsmengen unterschiedlicher Dimension, so sind die im Beweis genannten Abbildungen ˆ und ˆ1 immer noch deﬁniert und von der gegebenen Differentiationsklasse. Dann sind aber die Ableitungen ˆ0 .x/ und .ˆ1 /0 .y/ an entsprechenden Stellen y D ˆ.x/ invers zueinander, also die zugehörigen Vektorräume von der gleichen Dimension. Es folgt nun eine Reihe von äquivalenten Kennzeichnungen (Sätze E bis G), die je nach Situation besser geeignet sind, Teilmengen von Rn als Untermannigfaltigkeiten zu erkennen. Der Beweis erfolgt danach gemeinsam in Form eines Ringschlusses. Es sei hier stets M ¤ ¿ als Teilmenge von Rn gegeben sowie 0 < p < n:

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

153

E. Satz. M ist Untermannigfaltigkeit der Dimension p, genau wenn gilt: (GM) Zu jedem Punkt b D .b1 ; : : : ; bn / 2 M existieren – nach eventueller Umnummerierung der Koordinaten von Rn – offene Umgebungen U Rp

von

a WD .b1 ; : : : ; bp /

V Rnp

von

c WD .bpC1 ; : : : ; bn /

sowie eine Abbildung g W U ! V der Klasse C r , sodass ˇ ˚

(GM.1) M \ .U V / D .x; y/ 2 U V ˇ y D g.x/ : Dabei ist natürlich zu identiﬁzieren: Rn Š Rp Rnp . Es handelt sich also um eine lokale Graphendarstellung (oder Mongesche Darstellung). Das Bild zeigt einen Fall mit n D 2, p D 1. Man sieht hieran, dass die Klausel „nach eventueller Umnummerierung der Koordinaten“ wirklich nötig ist. F. Satz. M ist Untermannigfaltigkeit der Dimension p, genau wenn gilt: (SM) Zu jedem Punkt b 2 M existiert eine offene Umgebung B von b in Rn sowie eine Submersion f W B ! Rnp mit ˇ ˚

(SM.1) M \ B D z 2 B ˇ f .z/ D 0 : Es handelt sich also um eine lokale Gleichungsdarstellung: f1 .z1 ; : : : ; zn / D 0 (6)

:: : fnp .z1 ; : : : ; zn / D 0;

d.h. M ist lokal Lösungsmenge eines (i. Allg. nichtlinearen) Systems von n p skalaren Gleichungen in den n Unbekannten z1 ; : : : ; zn . Man spricht auch von einer impliziten Darstellung. Bei Hyperﬂächen (p D n 1) reicht also lokal eine Gleichung. Die Darstellung (6) arbeitet nicht mit zwei unterschiedlichen Räumen; die Dimension ergibt sich vielmehr aus der Anzahl q WD n p der Gleichungen als p D n q (in einem System vom Rang q).

154

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Für das Folgende sei im Rn der Koordinatenraum der ersten p Koordinaten eingeführt – bei gelegentlicher Identiﬁzierung mit Rp gemäß dem Pfeil: ˇ ˚

Rp WD .x1 ; : : : ; xp ; 0; : : : ; 0/ 2 Rn ˇ xi 2 R x y .x1 ; : : : ; xp /: G. Satz. M ist Untermannigfaltigkeit der Dimension p, genau wenn gilt: (KM) Zu jedem Punkt b 2 M existiert eine offene Umgebung B von b in Rn sowie ein Diffeomorphismus ' W B ! B1 auf eine offene Menge B1 in Rn , sodass (KM.1)

'.B \ M / D B1 \ Rp :

Ein solches ' heißt Schnittkarte von Rn bez. M . Bis auf Diffeomorphie sieht also eine Untermannigfaltigkeit der Dimension p lokal aus wie ein p-dimensionaler afﬁner Unterraum des Rn :

Beweis der Sätze E, F, G. Wir gehen nach folgendem Schema vor: (IM) ~ w

H)

(KM) (H

(GM) w : (SM)

(IM) H) (GM): Sei .a/ D b für ein a 2 A, o.B.d.A. a D 0; b D 0 (was durch Anwenden von Translationen erreichbar ist). Wir wählen zur Immersion den zugehörigen Diffeomorphismus ˛ wie im Rangsatz G[2.4] (erster Beweisteil bis (7)[2.4]) und verkleinern A schrittweise so, dass 1) und 2) gelten: 1) ˛ W A ! A1 ist Diffeomorphismus und ı ˛ 1 ./ D .; F .// für alle 2 A1 . 2) .A/ D M \ .U 0 V / mit offener Nullpunktsumgebungen U 0 in Rp und offener Nullpunktsumgebung V in Rnp .

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

155

Dies geht; denn zunächst ist .A/ D M \ V0 mit offenem V0 in Rn . Wir wählen dann U 0 und V so klein, dass U 0 V V0 und ersetzen A durch 1 .U 0 V /. Dann wird weiter: 3) A1 U 0 : Es gilt nämlich 2 A1 H) x WD ˛ 1 ./ 2 A H) U 0 V 3 .x/ D .; F .// H) 2 U 0 : 4) Schließlich gilt M \ .U 0 V / D .A/ D .˛ 1 .A1 // D . ı ˛ 1 /.A1 / D f.; F .// j 2 A1 g

laut 1)

D f.; / 2 A1 V j D F ./g

da F ./ 2 V laut 2)

M \ .A1 V / und andererseits M \ .U 0 V / M \ .A1 V /

laut 3):

Insgesamt ist M \ .A1 V / D f.; / 2 A1 V j D F ./g, also (GM) erfüllt mit U WD A1 und g WD F W A1 ! V . Die Umnummerierungen kommen dadurch hinein, dass beim Rangsatz G[2.4] bereits zu Beginn eine passende Nummerierung der Koordinaten vorgenommen wurde. (GM) H) (SM): Wir deﬁnieren B WD U V und für z D .x; y/ 2 Rn ; x 2 Rp ; y 2 Rnp f .z/ WD g.x/ y; f W B ! Rnp : Dann gilt laut (GM.1): M \ B D fz 2 B j f .z/ D 0g. (SM) H) (KM): Sei wieder o.B.d.A. b D 0. (SM.1) bleibt bei Ersatz von B durch eine offene Teilmenge B0 B erhalten, also kann die Normalform von f nach dem Rangsatz G[2.4] so arrangiert werden, dass folgende Situation entsteht: B ? ? ˛y B1

f !

eD f ! ˇ ı f ı ˛ 1

f .B/ DW C Rnp offen ? ? yˇ C1

e. 1 ; : : : ; n / D . pC1 ; : : : ; n /: f

156

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Dabei ist die Nummerierung der Koordinaten etwas anders eingerichtet als in G[2.4]. Dann gelten für z 2 B mit WD ˛.z/ die Äquivalenzen: z 2 B \ M () z 2 B; f .z/ D 0

(SM.1)

e. / D 0 () 2 B1 ; f

˛; ˇ bijektiv, ˛.0/ D 0; ˇ.0/ D 0

() 2 B1 ; pC1 D D n D 0 obige Normalform () 2 B1 \ Rp : Also ist ˛.B \ M / D B1 \ Rp , und ' WD ˛ tut es. (KM) H) (IM): Zu gegebenem ' W B ! B1 deﬁnieren wir ˇ WD ' 1 ˇB1 \ Rp W B1 \ Rp ! Rn ; wobei B1 \ Rp als Teil von Rp aufgefasst sei.

a

Dann ist Immersion (als Einschränkung von ' 1 auf einen Koordinatenraum) und Bild D B \ M wegen (KM.1). Ferner ist offen. Ist nämlich W offen in B1 \ Rp gegeben, so ist W D W0 \ Rp mit offenem W0 B1 . Nach (KM.1) gilt dann .W / D ' 1 .W0 / \ M , wobei ' 1 .W0 / offen in Rn ist, weil ' diffeomorph ist. Die hinreichenden Teile der zwei Sätze E und F gelten insbesondere in dem Spezialfall, dass nur ein Objekt g bzw. f gegeben ist, sodass also gar keine Abhängigkeit von mehreren Umgebungen besteht. Das ist – unter den gegebenen Voraussetzungen – eine große Erleichterung zur Veriﬁzierung von Untermannigfaltigkeiten. Im Fall von Satz F wird das in den folgenden Satz K enthalten sein. Explizit formuliert lautet das im Fall des Satzes E:

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

157

H. Folgerung. Ist g W U ! V eine C r -Abbildung (U ¤ ¿ offen in Rp , V offen in Rnp ), so ist der Graph f.x; y/ 2 U V j y D g.x/g eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn der Klasse C r . I. Bemerkung. Für p D 0 oder p D n bleiben die Sätze F und G sinngemäß richtig (direkter Beweis, vgl. Bemerkung B(v)), während Satz E dann sinnlos wird. J. Satz (zum Tangentialraum). Sei M Untermannigfaltigkeit von Rn mit dim M D p, und seien eine lokale Parametrisierung von M gemäß (IM) W A ! Rn ˇ ˚

M \ B D z 2 B ˇ f .z/ D 0/ eine Gleichungsdarstellung von M gemäß (SM) sowie .a/ D b 2 B für ein a 2 A. Dann gilt: Bild 0 .a/ D Kern f 0 .b/: Insbesondere ist dieser Untervektorraum des Rn unabhängig von der Wahl von und f der Punktmenge M eindeutig zugeordnet. Wir nennen Tb M WD Bild 0 .a/ D Kern f 0 .b/

den (geometrischen) Tangentialraum

Ab M WD b C Tb M

den afﬁnen Tangentialraum

von M in b. Beide Unterräume haben die Dimension p. In der Notation von D[3.1] lauten diese Deﬁnitionen: Tb M WD Ta . /;

Ab M WD Aa . /:

Beweis von J. Wegen .A/ M gilt f ı .x/ D 0 für alle x 2 1 .B/. Dabei ist 1 .B/ eine offene Umgebung von a. Daraus folgt mit der Kettenregel f 0 ..a// ı 0 .a/ D 0 mit .a/ D b, also Bild 0 .a/ Kern f 0 .b/. Beide Räume sind aber p-dimensional: die linke Seite wegen D[3.1], die rechte Seite aufgrund des Dimensionssatzes der linearen Algebra: dim Kern f 0 .b/ C dim Bild f 0 .b/ D n, da f 0 .b/ surjektiv ist, also dim Bild f 0 .b/ D n p gilt. K. Satz (Urbilder als Untermannigfaltigkeiten). Sei offen

Rn A

F !

Rm

von konstantem Rang k

sowie c0 2 Bild F . Dann ist das Urbild ˇ ˚

F 1 .c0 / WD z 2 A ˇ F .z/ D c0

158

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Untermannigfaltigkeit von Rn und dim F 1 .c0 / C Rang F D n

(Dimensionssatz).

Man nennt F 1 .c0 / in dieser Situation gleichungsdeﬁniert. Beweis. Der Fall k D m ist gerade die obige Implikation (SM) H) (KM). Der jetzige Fall k m verläuft exakt mit den gleichen Argumenten: Die dort konstruierte Schnittkarte ' WD ˛ bildete ab: '.B \ M / D B1 \ Rp . Die jetzt konstruierte Schnittkarte ' WD ˛ bildet ab: '.B \ M / D B1 \ Rnk (k D Anzahl der Nichtnullen in der Normalform). Daher ist dim M D n k. L. Bemerkung. Im Fall k D n ist F Immersion, also lokal injektiv, und das Urbild F 1 .c0 / besteht aus isolierten Punkten – in Übereinklang mit dim F 1 .c0 / D 0. Der Rang braucht nicht generell auf der ganzen Deﬁnitionsmenge von F konstant zu sein. Es reicht, wenn dies auf dem genannten Urbild zutrifft: M. Folgerung. Sei offen

Rn A

F !

Rm

sowie c0 2 Bild F , und es gelte stets die Implikation H) Rang F 0 .z/ D min fm; ng DW k: F .z/ D c0 ˇ

˚ Dann ist F 1 .c0 / WD z 2 A ˇ F .z/ D c0 eine Untermannigfaltigkeit von Rn der Dimension n k. (7)

Beweis. Wegen Lemma E[2.4] existiert eine offene Menge U mit F 1 .c0 / U A, auf der der Rang von F maximal ist. Nun hat man lediglich Satz K auf U anstelle A anzuwenden. N. Beispiel. Mit Hilfe der Folgerung M kann z.B. sehr einfach nachgewiesen werden, dass die Sphäre Sn1 eine C 1 -Hyperﬂäche von Rn ist, wobei n 2 sei. (Für n D 1 besteht S0 aus den isolierten Punkten 1 und 1 in R.) Da ˇ ˚

Sn1 D z D .z1 ; : : : ; zn / 2 Rn ˇ z12 C C zn2 D 1 ; ist Sn1 das Urbild Sn1 D f 1 .0/ der C 1 -Funktion f W Rn ! R1 D R;

f .z/ WD z12 C C zn2 1:

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

159

Folgerung M ist also mit F WD f , m D 1 und c0 D 0 anwendbar, sofern die Bedingung (7) erfüllt ist. Das ist aber der Fall: Es gilt ja .grad f /z D .2z1 ; : : : ; 2zn /. Also folgt aus f .z/ D 0, d.h. z12 C C zn2 1 D 0 tatsächlich .grad f /z ¤ .0; : : : ; 0/, also Rang f 0 .z/ D 1 D min fm; ng. Das Axiom (IM.2) in der Deﬁnition A einer Untermannigfaltigkeit ist manchmal schwer nachprüfbar. Schließlich müsste zu jedem offenen Teil U A ein offener Teil V Rn konstruiert werden, sodass .U / D M \ V gilt. Die bisherigen hinreichenden Bedingungen, die ohne eine solche Detailprüfung auskommen, sind deshalb sehr hilfreich. Eine weitere Bedingung dieser Art bezieht sich auf Immersionen: O. Satz. Sei A ¤ ¿ offen in Rp (p 1) und W A ! Rn eine injektive Immersion mit folgenden Eigenschaften: (i)

Der Abschluss A ist kompakt.

(ii)

Die Abbildung besitzt eine stetige und injektive Fortsetzung W A ! Rn .

Dann ist .A/ eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn . Beweis. Die Offenheit der Abbildung W A ! .A/ ist äquivalent mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung 1 W .A/ ! A, wobei .A/ mit der Relativtopologie versehen ist. Das also ist nachzuweisen. Die Fortsetzung ist in der Auffassung W A ! .A/ eine bijektive und stetige Abbildung zwischen kompakten Räumen. Nach Ana-1: B[6.5] ist dann auch die Umkehrung 1 W .A/ ! A stetig. Da wegen der vorausgesetzten Injektivitäten gilt: 1 D 1 j.A/, ergibt sich so die Stetigkeit von 1 W .A/ ! A. Es sei nochmals betont, wie nützlich die obigen Aussagen H, K, M und O sind, um bei gegebener Teilmenge M eines Zahlraums nachzuprüfen, dass es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt. Hilfreich ist auch folgendes Kriterium für Parametrisierungen: P. Lemma. Sei M Rn eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit, U offen in Rp und W U ! Rn eine Immersion (der gleichen Differentiationsklasse wie M ) mit .U / M . Dann ist eine Parametrisierung von M . Beweis. Zu zeigen ist lediglich, dass .U / offen in M ist. Zu gegebenem b D .a/ 2 .U / sei eine Schnittkarte ' wie in Satz G gewählt. Das Urbild U0 WD 1 .B/ ist p dann offen in Rp mit a 2 U0 U . Weiter ist die Abbildung ' ı jU0 W U0 ! R vom Rang p, also eine Submersion und damit ihr Bild ' ı .U0 / offen in Rp (J[2.4]). Da ' W B ! B1 bijektiv und in beiden Richtungen stetig ist, folgt mit (KM.1) die Offenheit von .U0 / in B \ M und damit in M .

160

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Schließlich folgt noch, dass das Bild einer Immersion immer aus „kleinen“ Untermannigfaltigkeiten zusammengesetzt werden kann: Q. Folgerung. Sei A ¤ ¿ offen in Rp (p 1) und W A ! Rn eine Immersion. Dann besitzt jedes a 2 A eine offene Umgebung A0 A, sodass .A0 / eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn und jA0 einer injektive Parametrisierung von .A0 / ist. Beweis. Zunächst gibt es eine offene Umgebung A1 A von a, auf der injektiv ist. In A1 wähle man nun eine Umgebung A0 von a, deren Abschluss kompakt ist und ebenfalls noch in A1 liegt, z.B. einen Ball um a mit geeignetem Radius. Dann zeigt, Satz O, dass das Bild .A0 / Untermannigfaltigkeit von Rn ist und Lemma P, dass es durch jA0 parametrisiert wird. R. Satz (über die Zusammenhangskomponenten). Sei M Rn eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann gilt: (i)

Alle Zusammenhangskomponenten von M sind relativ-offen und damit selbst Untermannigfaltigkeiten der Dimension p.

(ii)

Ist M kompakt, so besitzt M nur endlich viele Zusammenhangskomponenten, und diese sind alle kompakt.

Beweis. Zu (i): Der Beweis läuft fast genauso wie bei Ana-2: F(ii)[14.1]: Sei Zp A die Zusammenhangskomponente von p 2 M . Zu q 2 Zp sei W U ! Rn eine injektive Parametrisierung für M , sodass für ein a 2 U gilt: .a/ D q. Es sei B.a; r/ ein Ball in U . Dann ist mit B.a; r/ auch .B.a; r// offen und zusammenhängend, also Zp [ .B.a; r// zusammenhängend (Ana-2: B[14.1]). Daraus folgt .B.a; r// Zp . Die Restriktion von auf B.a; r/ ist eine Parametrisierung von Zp ; denn sie ist eine Immersion, und für einen offenen Teil V von B.a; r/ ist .V / offen in M , also auch offen in Zp . Zu (ii): Die Zusammenhangskomponenten von M bilden nach (i) eine offene Überdeckung von M . Also wird M von endlich vielen Zusammenhangskomponenten M1 , : : :, Mk überdeckt. Andere Zusammenhangskomponenten kann es nicht geben, da je zwei Zusammenhangskomponenten entweder gleich oder aber disjunkt sind. Wird z.B. M1 von offenen Mengen U irgendeiner Familie überdeckt, so bilden diese zusammen mit M2 ; : : : ; Mk eine offene Überdeckung von M , und dann genügen davon endliche viele zur Überdeckung von M und damit endlich viele U zur Überdeckung von M1 .

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

161

S . Beispiel. In diesem Buch sind Parametrisierungen einer Untermannigfaltigkeit nicht notwendig injektiv. Z.B. ist W R ! R2 mit .t / WD .cos t; sin t / eine periodische Parametrisierung der Kreislinie S1 , da 0 .t / D . sin t; cos t / niemals 0 wird, also eine Immersion mit .R/ D S1 ist (Lemma P). Würde man nur injektive Parametrisierungen zulassen, so wären zur Erfassung aller Punkte von S1 mindesten zwei Parametrisierungen des Typs W A ! R2 , A offen in R, nötig. Für ein solches injektives mit .A/ D S1 wäre nämlich 1 W S1 ! A stetig, also S1 homöomorph zu A, was der Kompaktheit von S1 widerspricht.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Betrachtet werde die Funktion f W R2 ! R mit f .x; y/ WD x 2 exp.y 2 / C y 2 exp.x 2 /. a)

Man zeige: M WD f 1 .1/ ist eine kompakte eindimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit von R2 .

b)

Man berechne den geometrischen Tangentialraum Tb M für b D .0; 1/.

c)

Für welche b 2 M kann man eine lokale Graphendarstellung von M der Form 7 .x; g.x//, U offen in R2 , mit b 2 .U / ﬁnden? W U ! R2 ; x !

2. Sei F W Rn Rn ! R eine symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, d.h F .x; y/ D 0 für alle x 2 Rn impliziert y D 0. Weiter sei c 2 R. Unter der Voraussetzung, dass die Punktmenge Q WD fx 2 Rn n f0g j F .x; x/ D cg nicht leer ist, zeige man: a)

Q ist eine C 1 -Untermannigfaltigkeit von Rn der Dimension n 1, also eine Hyperﬂäche.

b)

Für b 2 Q sind die Tangentialräume gegeben durch Tb Q D fx 2 Rn j F .b; x/ D 0g;

Ab Q D fx 2 Rn j F .b; x/ D cg:

c)

Q ist in keiner Hyperebene von Rn enthalten. Q ist also eine Quadrik (vgl. Klingenberg[1984], Nr. 38 oder Walter[1993], Abschnitt 6.1).

d)

Q ist dann und nur dann beschränkt, wenn F (positiv oder negativ) deﬁnit ist.

162 e)

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Im Fall c ¤ 0 (Q ist dann eine echte Mittelpunktsquadrik) gebe man für Q wie bei der Sphäre in Beispiel C Parametrisierungen an. Dazu verwende man stereographische Projektion aus einem Punkt der Quadrik auf die diametral gegenüberliegende Tangentialhyperebene.

Lösungshinweis: Man arbeite möglichst basisfrei, indem man die quadratische Form f .x/ WD F .x; x/ betrachtet und deren Ableitung als f 0 .x/v D 2F .x; v/ berechnet, oder mit einer Normalform für F bzw. f , wie sie aus der linearen Algebra bekannt ist. 3. Es sei C eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit (Kurve) in der .x; z/-Ebene des R3 , auf der die x-Koordinate stets positiv ist und R.C / die von C erzeugte Rotationsﬂäche, d.h. R.C / WD f.x cos ; x sin ; z/> j .x; z/ 2 M; 2 Œ0; 2Œg R3 : Vgl. Beispiel C(iv)[3.1]. Man zeige: a) R.C / ist eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit von R3 . b)

Ist C kompakt, so auch R.C /.

Lösungshinweis zu a): Aus lokalen Darstellungen von C gemäß einer der Charakterisierungen A, E, F gewinne man durch Rotation eine entsprechende lokale Darstellung für R.C /. 4. Zeige: Jede relativ-offene nichtleere Teilmenge einer Mannigfaltigkeit M Rn der Dimension p und Klasse C r ist selbst Untermannigfaltigkeit von Rn der gleichen Dimension und Klasse. 5. Weitere Beschreibung des Tangentialraums. Sei M eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn und b 2 M . Der geometrische Tangentialraum Tb M soll auf folgende Art gedeutet werden: Ist k k irgendeine Norm auf Rn , so gilt: ˇ ˚

Tb M \ z 2 Rn ˇ kzk D 1 ˇ ˇ bk b n ˇ Dz : D z 2 R ˇ 9 Folge .bk / in M n fbg W lim bk D b und lim k!1 k!1 kbk bk 6. Verschiedene Tangentialräume am gleichen Punkt. a)

Zeige: Ist A offen in Rp , W A ! Rn eine Immersion und gibt es a; e a 2 A mit a ¤ e a sowie .a/ D .e a/, jedoch Ta . / ¤ Te . /, so ist .A/ keine pa dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn .

Abschnitt 3.2

b)

Untermannigfaltigkeiten von Rn

163

Man ﬁnde Beispiele und Gegenbeispiele für a), wenn Ta . / D Te a . / ist.

7. Kartesische Produkte. Seien M Rm und N Rn Untermannigfaltigkeiten (der gleichen Klasse C r ). Man zeige: M N ist C r -Untermannigfaltigkeit von Rm Rn D RmCn mit dim.M N / D dim M C dim N; und für .a; b/ 2 M N gilt T.a;b/ .M N / D Ta M Tb N: 8. Seien A; B offene Mengen in Rn und ' W A ! B ein C r -Diffeomorphismus. Zeige: Ist M eine C r -Untermannigfaltigkeit von Rn enthalten in A, so ist '.M / eine C r -Untermannigfaltigkeit von Rn enthalten in B von gleicher Dimension. Weiter gilt für alle b 2 M ' 0 .b/.Tb M / D T'.b/ '.M /: 9. Sind M; N Rn Untermannigfaltigkeiten der Klasse C r mit dim M D p, dim N D q und M N , so nennt man M eine Untermannigfaltigkeit von N der Klasse C r und der Dimension p. Man zeige in diesem Fall a)

Tb M Tb N für alle b 2 M , also insbesondere p q.

b)

p D q ist äquivalent damit, dass M relativ offene Teilmenge von N ist.

Die Zahl q p heißt die Kodimension von M in N . Schreibweise: codimN M WD q p. Bei N D Rn lässt man den Index meistens weg, also codim M WD n dim M . 10. Zwei Untermannigfaltigkeiten M; N Rn der Klasse C r mit M \ N ¤ ¿ heißen transversal, wenn gilt: Tb M C Tb N D Rn

8 b 2 M \ N:

Man zeige: a)

Die Transversalität kann äquivalent durch dim.Tb M \ Tb N / D dim Tb M C dim Tb N n

8b 2M \N

oder auch durch codim .Tb M \ Tb N / D codim Tb M C codim Tb N

8 b 2 M \ N;

ausgedrückt werden, wobei die letzten drei Kodimensionen sich auf den Gesamtraum Rn beziehen. Unter Voraussetzung der Transversalität zeige man weiter:

164 b)

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

M \ N ist Untermannigfaltigkeit von Rn der Klasse C r und der Dimension dim.M \ N / D dim M C dim N n oder äquivalent (und besser zu merken): codim .M \ N / D codim M C codim N:

c)

Für alle b 2 M \ N ist Tb .M \ N / D Tb M \ Tb N .

Lösungshinweis: Man verwende die Charakterisierung F von Untermannigfaltigkeiten. 11. Wenn Wellbleche sich schneiden . . . . Zwei Funktionen f1 ; f2 W R3 ! R seien deﬁniert durch f1 .x; y; z/ WD x cos.z/;

f2 .x; y; z/ WD y sin.z/:

Man zeige: W1 WD f11 .0/ und W2 WD f21 .0/ sind zweidimensionale und S WD W1 \ W2 ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von R3 (jeweils der Klasse C 1 ). Man beschreibe W1 ; W2 und S anschaulich. 12. Die spezielle lineare Gruppe und die orthogonale Gruppe als Untermannigfaltigkeiten von R.n;n/ . a)

Die spezielle lineare Gruppe ist deﬁniert als SL.n; R/ WD fA 2 R.n;n/ j det A D 1g: Man überlege, warum SL.n; R/ eine Gruppe bez. der Matrizenmultiplikation ist, und zeige dann: SL.n; R/ ist eine abgeschlossene C 1 -Untermannigfaltigkeit von R.n;n/ mit dim SL.n; R/ D n2 1; also eine Hyperﬂäche in R.n;n/ . Ihr geometrischer Tangentialraum an der Ein.n;n/ heitsmatrix E ist R0 , die Menge aller .n n/-Matrizen mit Spur 0. Ist SL.n; R/ wegzusammenhängend? Ist SL.n; R/ kompakt? Lösungshinweis: Man fasse SL.n; R/ als ein Urbild unter der Determinantenfunktion auf und verwende deren Ableitung (Aufgabe 14[2.3]).

b)

Die orthogonale Gruppe ist deﬁniert als O.n/ WD fA 2 R.n;n/ j AA> D Eg:

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

165

Man überlege, warum O.n/ eine Gruppe bez. der Matrizenmultiplikation ist, und zeige dann: O.n/ ist eine abgeschlossene C 1 -Untermannigfaltigkeit von R.n;n/ mit n.n 1/ : dim O.n/ D 2 Ihr geometrischer Tangentialraum an der Identität E ist R.n;n/ , die Menge aller a schiefsymmetrischen .n n/-Matrizen. Ist O.n/ wegzusammenhängend? Ist O.n/ kompakt? Lösungshinweis: Man fasse O.n/ als ein Urbild unter der Abbildung F W R.n;n/ ! mit F .A/ WD AA> auf. Dabei ist R.n;n/ die Menge aller symmetrischen R.n;n/ s s .n n/-Matrizen. Hinweis: Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL.n; R/, die zugleich Untermannigfaltigkeiten von R.n;n/ sind, werden als lineare Lie-Gruppen bezeichnet und ihre geometrischen Tangentialräume an der Identität als die zugehörigen LieAlgebren. Diese haben neben der Vektorraumstruktur die zusätzliche Eigenschaft, gegenüber dem Matrizen-Kommutator ŒA; B WD AB BA abgeschlossen zu sein (daher der Name „Algebra“). Die Lie-Algebra von SL.n; R/ ist also R.n;n/ , die von 0 .n;n/ O.n/ ist Ra . Aufgabe 14 enthält eine Einführung in die Anfangsgründe dieser LieGruppen. 13. Sei A offen in Rn und F ein C 1 -Vektorfeld auf A, d.h. eine C 1 -Abbildung F W A ! Rn . Die Vorstellung dabei ist, dass für x 2 A der Vektor F .x/ am Punkt x angehängt ist. Eine Integralkurve oder Feldlinie von F ist dasselbe wie eine Lösung der autonomen Differentialgleichung y 0 D F .y/. Sei nun M Rn eine C 1 Untermannigfaltigkeit enthalten in A und das Vektorfeld F überall tangential zu M , d.h. F .b/ 2 Tb M für alle b 2 M . Zeige: Ist .y.t// t2J eine Integralkurve von F , die an einer Stelle t0 2 J tangential zu M ist, d.h. y.t0 / 2 M und y 0 .t0 / 2 Ty.t0 / M , so gibt es eine Umgebung J0 von t0 in J mit y.J0 / M . Ist M außerdem abgeschlossen in A, so gilt sogar y.J / M . Lösungshinweis: Übersetze die Situation mittels einer Schnittkarte in den Rn . 14. Lineare Lie-Gruppen. Zunächst deﬁniere man zu jedem Y 2 GL.n; R/ die Rechtstranslation %Y W GL.n; R/ ! GL.n; R/;

%Y .X / WD X Y:

Ein gegebenes A 2 R.n;n/ kann nun mit den %Y überall in GL.n; R/ „herumtransportiert“ werden und liefert somit ein Vektorfeld FA W GL.n; R/ ! R.n;n/ : FA .Y / WD %0Y .E/A: Wegen %Y .E/ D Y kann man FA .Y / am „Punkt“ Y angehängt denken. Zeige:

166

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

a)

Jedes %Y ist eine C 1 -Diffeomorphismus von GL.n; R/ auf sich.

b)

Für alle H 2 R.n;n/ gilt %0Y .X /H D H Y , insbesondere FA .Y / D AY

8 Y 2 GL.n; R/:

Damit ist FA Restriktion einer linearen Abbildung. Man nennt FA die rechtsinvariante Fortsetzung von A. Sei nun G GL.n; R/ eine Untergruppe, die zugleich C 1 -Untermannigfaltigkeit von R.n;n/ der Dimension p ist. Ferner sei G abgeschlossen in GL.n; R/. Solch ein G nennen wir kurz eine (lineare) Lie-Gruppe. Für jedes A 2 R.n;n/ , das in E tangential zu G ist, d.h. A 2 TE G, zeige man c)

Die rechtsinvariante Fortsetzung FA von A ist überall tangential zu G. Lösungshinweis: Aufgabe 8.

d)

Die maximale Integralkurve t 7! Y.t / von FA mit Y .0/ D A ist für alle t 2 R deﬁniert und liegt ganz in G. Anders ausgedrückt: exp.tA/ 2 G

8 t 2 R:

Lösungshinweis: Aufgabe 13. Der Tangentialraum TE G wird aus gleich zu nennenden Gründen die Lie-Algebra von G genannt und sei hier durch G bezeichnet (klassisch schreibt man g). Die Exponentialabbildung, restringiert auf die Lie-Algebra G , deﬁniert somit eine Abbildung exp jG W G ! G; derart dass für jedes A 2 G die Einparametergruppe .exp.tA// t 2R ganz in G liegt. Zeige weiter: e)

Es gibt eine offene Nullpunktsumgebung U G , sodass exp.U / eine offene Umgebung von E 2 G ist (eine sog. Einheitsumgebung) und exp jU ein C 1 Diffeomorphismus von U auf exp.U / (d.h. eine Bijektion, die ebenso wie ihre Umkehrung von der Klasse C 1 ist). Vgl. Aufgabe 15[2.3].

f)

Sind A; B 2 G , so ist auch der Kommutator ŒA; B WD AB BA 2 G . Lösungshinweis: Man betrachte die Abbildung W R2 ! G, deﬁniert durch .t; s/ WD exp.tA/ exp.sB/ exp.tA/: Dann ist

@ .t; 0/ D exp.tA/B exp.tA/ 2 G @s

8 t;

Abschnitt 3.2

Untermannigfaltigkeiten von Rn

167

da XBX 1 2 G für alle X 2 G (Konsequenz aus: exp.X tBX 1 / D X exp.tB/X 1 2 G). Daraus folgt weiter G 3 g)

@2 .0; 0/ D AB BA: @t @s

Für den Kommutator gilt ŒA; B D ŒB; A und für je drei Matrizen A; B; C in R.n;n/ (oder in G ) bestätigt man durch Rechnung die sog. Jacobi-Identität ŒŒA; B; C C ŒŒB; C ; A C ŒŒC; A; B D 0:

Der Name „Lie-Algebra“ für G beruht auf der in f), g) beschriebenen multiplikativen Zusatzstruktur, deﬁniert durch den Kommutator Œ ; . h) Was ändert sich an der ganzen Konstruktion, wenn anstelle der Rechtstranslationen %Y die Linkstranslationen Y W GL.n; R/ ! GL.n; R/, Y .X / WD YX verwendet werden? 15. Zeige: Ist M Untermannigfaltigkeit von Rn , enthalten in der offenen Menge A Rn , so ist M offen in der abgeschlossenen Hülle M (dies bez. A gemeint). Lösungshinweis: Zeige, dass für jede Schnittkarte von M (wie in Satz G) gilt: B \ M M. 16. Man beweise: In der Deﬁnition einer linearen Lie-Gruppe (Aufgabe 14) ist die Forderung „G abgeschlossen in GL.n; R/“ überﬂüssig, d.h. ist G Untergruppe von GL.n; R/ und zugleich C 1 -Untermannigfaltigkeit von R.n:n/ , so ist G von selbst abgeschlossen in GL.n; R/. Lösungshinweis: Sei A WD GL.n; R/ und G die abgeschossene Hülle bez. A. Diese ist ebenfalls Untergruppe von A (folgt aus der Stetigkeit der Multiplikation und InversenBildung von Matrizen gemäß E[2.3]). Nach Aufgabe 15 ist G offen in G. Aber G ist auch abgeschlossen in G. Dies folgt aus der Zerlegung in Linksnebenklassen, d.h. aus GnG D

[

fXG j XG ¤ Gg;

X2G

da die XG offen in G sind. Da G in G abgeschlossen ist, so auch in A. 17. Eine Abbildung F W R ! S zwischen metrischen Räumen R, S wird eigentlich genannt, wenn für jede kompakte Teilmenge K S das Urbild F 1 .K/ eine kompakten Teilmenge von R ist. Man beweise: Ist eine injektive Immersion W A ! Rn (A offen in Rp ) eigentlich, so ist das Bild .A/ eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn .

168

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

18. Sei F W Rm ! Rn eine Submersion und N Rn eine Untermannigfaltigkeit mit F 1 .N / ¤ ¿. Man zeige: F 1 .N / ist Untermannigfaltigkeit von Rm mit m dim F 1 .N / D n dim N , d.h. codim F 1 .N / D codim N: Lösungshinweis: Mittels einer Schnittkarte von N führe man die Situation auf die von Satz K zurück. 19. Sei M Rn eine Untermannigfaltigkeit der Klasse C r . Man zeige: M ist dann und nur dann zusammenhängend, wenn M wegzusammenhängend ist. b) Ist M zusammenhängend, so gibt es zu je zwei Punkten b; e b 2 M einen C r -Weg n c W Œ˛; e ˛ ! R mit c.˛/ D b; c. e ˛/ D e b und Bild .c/ M . a)

20. Ein- und zweidimensionale Lie-Algebren Sei W ein reeller Vektorraum und ƒ eine Lie-Algebra in L.V /, d.h. ein Untervektorraum von L.V /, der mit A; B auch jeweils den Kommutator ŒA; B enthält. Man zeige: a)

Ist ƒ eindimensional, so besteht ƒ genau aus den Vielfachen eines festen Endomorphismus A ¤ 0 in L.V /.

b)

Ist ƒ zweidimensional, so gilt entweder ŒX; Y D 0 für alle X; Y 2 ƒ (kommutativer Fall) oder aber es gibt es eine Basis A; B von ƒ mit ŒA; B D A (nichtkommutativer Fall). Lösungshinweis: Im nichtkommutativen Fall betrachte man den Spann aller ŒX; Y mit X; Y 2 ƒ. Dieser ist eindimensional.

21. Über die hier behandelten Untermannigfaltigkeiten hinaus gibt es den Begriff der abstrakten Mannigfaltigkeit. Das sind Mengen, die a-priori nicht mehr in einem Rn zu liegen brauchen, aber nach wie vor lokal durch Parameterdarstellungen (oder äquivalent durch „Karten“) erfasst werden können. Dieser Mannigfaltigkeitsbegriff ist fundamental für viele moderne Zweige der Mathematik und ihrer Anwendungen. Man kann nun beweisen, dass unter milden Zusatzvoraussetzungen jede Mannigfaltigkeit als Untermannigfaltigkeit eines geeignet hochdimensionalen RN aufgefasst werden kann. Die hier behandelten Untermannigfaltigkeiten sind also nicht wesentlich spezieller als allgemeine Mannigfaltigkeiten. Ähnliches gilt für den allgemeinen Begriff der Lie-Gruppe. Darunter versteht man eine C 1 -Mannigfaltigkeit, die zugleich Gruppe mit C 1 -Multiplikation ist. Jede solche allgemeine Lie-Gruppe ist zumindest „lokal isomorph“ zu einer linearen Lie-Gruppe. Die wichtigsten Hilfsmittel für LieGruppen sind die Lie-Algebren, da ihre Eigenschaften mittels der Exponentialabbildung weitgehend auf die Lie-Gruppen übertragen werden können. Insbesondere gilt das für Klassiﬁkationsfragen. Zum weiteren Ausbau der Lie-Gruppen sei auf das Buch Hilgert/Neeb[1991] verwiesen.

Abschnitt 3.3

3.3

169

Anwendung auf Extremalprobleme

Anwendung auf Extremalprobleme

Extremalfragen sind von enormer praktischer Bedeutung. In diesem Kurs sind sie uns immer wieder begegnet, sei es ganz früh beim Mittelwertsatz der Differentialrechnung, sei es später beim allgemeinen Extremalprinzip oder bei der Anwendung der mehrdimensionalen Differentialrechnung auf freie bzw. gebundene Extrema (d.h. solche ohne bzw. mit Nebenbedingungen). Bei den Extrema mit Nebenbedingungen hatten wir notwendige Kriterien mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren aufgestellt. Offen geblieben war dabei die Frage nach hinreichenden Kriterien. Gerade dieses Problem kann nun mit Hilfe von Untermannigfaltigkeiten gelöst werden. Genau wie bei freien Extremalproblemen werden dabei partielle Ableitungen zweiter Ordnung heranzuziehen sein.

(1)

Rn A

offen ! ! F

Rm

F , ' beide C 2

Folgende Kettenregel wird dazu gebraucht: Sie bezieht sich auf die Situation

a2A

B

! '

R

b WD F .a/:

In erster Differentiationsordnung besteht die Kettenregel (Ana-2: E[10.2]): .' ı F /0 .a/ D ' 0 .b/ ı F 0 .a/: In zweiter Differentiationsordnung ist das etwas komplizierter, vereinfacht sich jedoch, wenn die erste Ableitung verschwindet, und nur das wird hier gebraucht: A. Lemma. Wird in der Situation (1) zusätzlich ' 0 .b/ D 0 vorausgesetzt (oder äquivalent: .grad '/b D 0), so gilt für die Hesse-Formen die Kettenregel: .H.' ı F //a .z/ D .H'/b .F 0 .a/z/

8 z 2 Rn :

Beweis. Für die partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung berechnet man nach der Kettenregel in Ana-2: D[10.6] m X @Fk @' @.' ı F / D ıF @xi @yk @xi kD1

! m m X X @2 .' ı F / @F` @Fk @' @2 Fk @2 ' D ıF C ıF : @xj @xi @y` @yk @xj @xi @yk @xj @xi kD1

`D1

Wertet man die zweite Gleichung an der Stelle a aus, so verschwindet der letzte Term wegen der Voraussetzung ' 0 .b/ D 0. Die verbleibenden Terme sind Auswertungen

170

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

von ersten Ableitungen und von Hesse-Formen. Ist nämlich e1 ; : : : ; en die StandardBasis von Rn und g1 ; : : : ; gm die von Rm , so gilt nach Deﬁnition der Jacobi-Matrix: F 0 .a/ei D

m X @F` `D1

@xi

.a/g`

und laut Basisdarstellung der zur Hesse-Form gehörenden symmetrische Bilinearform (Ana-2: D[10.7]): @2 ' .b/ D .H'/b .g` ; gk /; @y` @yk

und analog

@2 .' ı F / .a/ D .H.' ı F //a .ej ; ei /: @xj @xi

Damit wird .H.' ı F //a .ej ; ei / D

m m X X

.H'/b .g` ; gk /

kD1 `D1

@F` @Fk .a/ .a/; @xj @xi

also wenn man rechts die Skalare und Summen in die Argumente von .H'/b hineinzieht: .H.' ı F //a .ej ; ei / D .H'/b .F 0 .a/ej ; F 0 .a/ei /: Da dies für alle i; j 2 f1; : : : ; ng richtig ist, folgt die Behauptung.

Zurück zum Extremalproblem: Gegeben sei die Zielfunktion auf einer offenen Deﬁnitionsmenge B Rn : f W B ! R

(2a)

und die Nebenbedingungsfunktionen (2b)

gj W B ! R;

j D 1; : : : ; q;

vektoriell zusammengefasst zu: (2c)

g WD .g1 ; : : : ; gq /> W B ! Rq :

Notwendige Kriterien für lokale Extrema unter der Nebenbedingung g D 0 waren in Ana-2: C[12.3] mit Hilfe von Lagrangeschen Multiplikatoren aufgestellt worden. Dieses Werkzeug kann nun auch für hinreichende Bedingungen eingesetzt werden: B. Satz (hinreichendes Kriterium für lokale Extrema mit Nebenbedingungen). In der Situation (2) seien f und die gj von der Klasse C 2 sowie 1 q < n. Die Gradienten .grad g1 /y ; : : : ; .grad gq /y seien an allen Stellen y 2 B linear unabhängig. An einer Stelle b 2 B seien die notwendigen Bedingungen für ein lokales Extremum

Abschnitt 3.3

171

Anwendung auf Extremalprobleme

von f unter der Nebenbedingung g D 0 erfüllt, d.h. es gebe Konstanten j 2 R, sog. Lagrangesche Multiplikatoren, derart dass .grad f /b D

(3)

q X

j .grad gj /b :

j D1

Betrachtet man dann die folgende quadratische Form Gb auf dem Kern von g 0 .b/ 0 1ˇ ˇ q X ˇ @ A j .Hgj /b ˇˇ Kern g 0 .b/; (4) Gb WD .Hf /b ˇ j D1 so bestehen für das Extremalproblem von f unter der Nebenbedingung g D 0 die folgenden hinreichenden Bedingungen: (i)

Ist Gb positiv deﬁnit, so ist b eine lokale strikte Minimalstelle.

(ii)

Ist Gb negativ deﬁnit, so ist b eine lokale strikte Maximalstelle.

(iii)

Ist Gb indeﬁnit, so ist b keine lokale Extremalstelle, sondern ein Sattelpunkt.

Die Gleichung (3) wollen wir als eine Lagrange-Bedingung bezeichnen. Die Stelle b soll dann ein Lagrange-Punkt oder Gleichgewichtspunkt heißen. Das Wort „Lagrangescher Multiplikator“ wird auch in der Variante Lagrange-Multiplikator gebraucht. Sattelpunkt bedeutet, dass in jeder Umgebung von b Punkte bm ; bM existieren mit: g.bm / D g.bM / D 0 und f .bm / < f .b/ < f .bM /. Beweis von B. Deﬁniert man die Funktion ˆ W B ! R durch ˆ WD f

(5a)

q X

j gj ;

j D1

und setzt zur Abkürzung (5b)

Qb WD .Hˆ/b ;

Qb WD .Hˆ/b jKern g 0 .b/;

so schreiben sich (3) und (4) als (5c)

.grad ˆ/b D 0;

Gb WD .Hˆ/b jKern g0 .b/ D Qb :

Deﬁnitionsgemäß geht es bei einem gebundenen Extremalproblem um die (gewöhnlichen) Extrema der Restriktion f jZg auf die Nebenbedingungsmenge (6)

Zg WD fy 2 B j g.y/ D 0g:

172

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Da die Rq -wertige Abbildung g den Rang q besitzt, ist sie eine Submersion, also Zg eine C 2 -Untermannigfaltigkeit von Rn der Dimension p WD n q (Satz K[3.2]). Ist nun W A ! B (A offen in Rp ) eine injektive Parametrisierung von Zg mit .a/ D b für ein a 2 A, so gilt: b lokale strikte Minimalstelle von f jZg () a lokale strikte Minimalstelle von f ı

(7)

() a lokale strikte Minimalstelle von ˆ ı : Die erste Äquivalenz beruht darauf, dass einen Homöomorphismus von A auf die offene Umgebung .A/ von b in Zg deﬁniert (Bemerkungen B[3.2](ii),(iii)). Der Grund für die zweite Äquivalenz ist einfach, dass wegen .A/ Zg gilt g ı D 0, also f ı D ˆ ı . Die entsprechenden Äquivalenzen bestehen für eine Maximalstelle oder einen Sattelpunkt. Da der Gradient von ˆ in b verschwindet, folgt mit Lemma A .H.ˆ ı //a .h/ D .Hˆ/b . 0 .a/h/

8 h 2 Rp :

Da weiter nach J[3.2] gilt: Bild 0 .a/ D Kern g 0 .b/ D Tb M , ergibt sich hieraus die Behauptung, wobei natürlich auf ˆı die hinreichenden Bedingungen für freie lokale innere Extrema und Sattelpunkte anzuwenden sind (Ana-2: G,H[10.8]). Auf die Gleichungen (5) dieses Beweises wird weiterhin Bezug genommen, wobei die eingerahmten Größen für die konkrete Rechnung besonders wichtig sind. C. Bemerkungen. (i) Merkregel: Man bildet mit den (festen) Lagrange-Multiplikatoren 1 ; : : : ; q aus (3) die Funktion q X j gj ˆ WD f j D1

und setzt für diese die üblichen Deﬁnitheitskriterien an, wobei jedoch die Hesse-Form nicht auf ganz Rn zu betrachten ist, sondern nur eingeschränkt auf Kern g 0 .b/, d.h. auf den geometrischen Tangentialraum Tb Zg der Nebenbedingungsmenge Zg ; diese und ihr Tangentialraum haben die Dimension p D n q (vgl. obigen Beweis). Der Fall, dass alle j D 0 sind, ist mit eingeschlossen. In diesem Fall besagt die obige notwendige Bedingung, dass f an der Stelle b die notwendige Bedingung für ein freies Extremum erfüllt: .grad f /b D 0. (ii) Bei dieser Einschränkung geht der kanonische Zusammenhang zwischen HesseForm und Hesse-Matrix verloren! Um eine Matrixdarstellung für die eingeschränkte

Abschnitt 3.3

173

Anwendung auf Extremalprobleme

Hesse-Form Qb zu erhalten, muss man eine Basis v1 ; : : : ; vp von Kern g0 .b/ wählen. Die gewünschte Matrix von Qb ist dann ..Hˆ/b .vi ; vj //1i;j p . Mit (8)

vi DW .v1i ; : : : ; vni /> ;

i D 1; : : : ; p;

berechnen sich die Einträge dieser Matrix als: (9) ! n n n X X X .Hˆ/b .vi ; vj / D .Hˆ/b vki ek ; v`j e` D .Hˆ/b .ek ; e` /vki v`j kD1

`D1

k;`D1

D

n X k;`D1

ˇ @2 ˆ ˇˇ vki v`j : @yk @y` ˇb

Die n-Tupel vi sind einfach ein System linear unabhängiger Lösungsvektoren des linearen homogenen Gleichungssystems g 0 .b/z D 0, das mit z D .z1 ; : : : ; zn /> explizit so lautet: ˇ ˇ @g1 ˇˇ @g1 ˇˇ z1 C C zn D 0 @y1 ˇb @yn ˇb (10)

:: :

ˇ ˇ @gq ˇˇ @gq ˇˇ z1 C C zn D 0: @y1 ˇb @yn ˇb Dieses System ist mit h.grad gj /b ; zi D 0, j D 1; : : : ; q, äquivalent. M.a.W.: Der Raum Tb Zg D Kern g 0 .b/ D Bild 0 .a/ ist der Orthogonalraum zum Spann der Gradienten .grad g1 /b ; : : : ; .grad gq /b . Oder: Der Spann dieser Gradienten ist der Orthogonalraum von Tb Zg . Das Ergebnis der Rechnung (9) kann im Matrizenkalkül zusammengefasst werden: Schreibt man in die Spalten der Matrix 1 0 v11 : : : v1p B :: C V WD @ ::: : A vn1 : : : vnp eine Basis (8) des Tangentialraums Tb Zg D Kern g 0 .b/, so bedeutet das Resultat von (9): Matrix von Qb D V > .Hˆ/b V; worin .Hˆ/b die Hesse-Matrix von ˆ an der Stelle b ist. Alternativ zur Erfassung des Tangentialraums Tb Zg als Kern g 0 .b/ kann man diesen geeignet parametrisieren – etwa dadurch, dass q der Variablen z1 ; : : : ; zn in (10) durch

174

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

p D n q dieser Variablen ausgedrückt werden – und diese Parametrisierung in die Koordinatendarstellung von Qb einsetzen. So entsteht eine Koordinatendarstellung der restringierten Form Qb in p Variablen. In jedem Fall kann man aus dem Ergebnis für Qb (Matrix oder Form) die Deﬁnitheit nach den bekannten Kriterien diskutieren (Ana-2: K,M,P[10.8]). (iii) Die lineare Unabhängigkeit der Gradienten .grad g1 /y ; : : : ; .grad gq /y an allen Punkten y 2 B ist eine ziemlich einschneidende Voraussetzung. Sie beinhaltet, dass die Nebenbedingungsmenge Zg eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn ist (p D n q). Ist diese lineare Unabhängigkeit nicht bekannt, so kann man sich zunächst auf Teile der Nebenbedingungsmenge beschränken, um dort diese Unabhängigkeit zu garantieren und später die Nebenbedingungsmenge aus solchen Teilen zusammensetzen. Ist die lineare Unabhängigkeit der Gradienten .grad g1 /b ; : : : ; .grad gq /b nur im Untersuchungspunkt b bekannt, so erhält man eine solche Teilmenge als Lösungsmenge des (i. Allg. nichtlinearen) Gleichungssystems g.y/ D 0 entsprechend dem Satz über implizite Funktionen. Ist die lineare Unabhängigkeit der Gradienten .grad g1 /y ; : : : ; .grad gq /y in allen Punkten y 2 Zg erfüllt, so auch in einer offenen Zg enthaltenden Teilmenge von Rn , und diese kann die Rolle von B des Satzes B übernehmen. Zg ist also wiederum pdimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn und braucht in diesem Fall nicht weiter zerlegt zu werden. (iv) Wenn von vorn herein eine Nebenbedingungsmenge M als Untermannigfaltigkeit der Klasse C 2 gegeben ist, jedoch keine Beschreibung durch Gleichungen bekannt ist, so kann man trotzdem Satz anwenden, und zwar auf relativ-offene Teile von M , die solchermaßen beschreibbar sind. Dass solche (M überdeckenden) Teile existieren, folgt ja aus Satz F[3.2]. Man muss dann natürlich die Teilergebnisse für ganz M zusammenführen. (v) Ist eine Parametrisierung für die Nebenbedingungsmenge Zg oder für einen Teil von ihr bekannt, so braucht man den Weg über diese restringierte quadratische Form Qb nicht zu gehen. Man kann in diesem Fall einfach die Funktion f ı auf Extrema ohne Nebenbedingungen untersuchen – entsprechend der ersten Äquivalenz in (7). Natürlich erfasst man so nur die Punkte von Zg , die im Bild der Parametrisierung liegen. (vi) Soweit nur notwendige Bedingungen zum Extremalproblem eingesetzt werden (Sätze Ana-2: D[10.8] und C[12.3]), liefern diese zunächst Kandidaten für die Extremalstellen. Diese brauchen noch nicht wirklich Extremalstellen zu sein. Darüberhinaus kann es Stellen geben, an denen die Voraussetzungen dieser Sätze gar nicht erfüllt sind. Diese müssen ebenfalls zu den Kandidaten gerechnet werden. Die Kandidaten müssen dann mittels hinreichender Bedingungen (Sätze Ana-2: G[10.8] und B) weiter untersucht werden. Auch hierbei kann es geschehen, dass die

Abschnitt 3.3

175

Anwendung auf Extremalprobleme

Voraussetzungen dieser Sätze nicht angetroffen werden. Diese Kandidaten müssen dann gesondert durchgeprüft werden. D. Beispiel. Gegeben sei in klassischen Koordinaten eine Temperaturverteilung im Raum R3 T .x; y; z/ WD x C z x 2 C y 2 z 2 : Wo auf der Kreislinie K, beschrieben durch z D 0, x 2 C y 2 D 1, ist es am wärmsten, wo am kühlsten, und wie hoch sind diese extremalen Temperaturen? Lösung: Die Zielfunktion ist T , und es gibt hier zwei Nebenbedingungsfunktionen: h.x; y; z/ WD x 2 C y 2 1;

g.x; y; z/ WD z;

alle drei deﬁniert auf A WD R3 . Die Gradienten und Hesse-Matrizen berechnet man als 0 1 0 1 0 1 1 2x 0 2x grad g D @0A ; grad h D @2y A (11) grad T D @ 2y A ; 1 2z 1 0 0

(12)

2 HT D @ 0 0

0 2 0

1 0 0 A; 2

0

Hg D 0;

2 H h D @0 0

0 2 0

1 0 0A : 0

Die Gradienten von g und h sind in den Punkten der Kreislinie K linear unabhängig, sodass Satz B anwendbar ist. Die notwendige Bedingung grad T grad g grad h D 0 führt mit (11) auf das System 1 2.1 C /x D 0 2.1 /y D 0 1 2z D 0: Hinzu kommen die Nebenbedingungen zD0 x 2 C y 2 D 1: Lösung dieser fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten x; y; z; ; : Aus der dritten und vierten Gleichung folgt sofort D 1, und der Rest der Gleichungen kann nach

176

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Fallunterscheidung (i) ¤ 1 bzw. (ii) D 1 leicht aufgelöst werden. Es ergibt sich im Fall (i): D 1; D 1; .x; y; z/ D .˙1; 0; 0/ ! p 15 1 ;˙ ;0 : Fall (ii): D 1; D 1; .x; y; z/ D 4 4 Für die hinreichenden Bedingungen notieren wir allgemein die aus (12) folgende Hesse-Matrix 0 1 2.1 C / 0 0 0 2.1 / 0 A ; Hˆ D H T Hg H h D @ 0 0 2 die hier (zufällig) von x; y; z; unabhängig ist. Die zugehörige quadratische Form, ausgedrückt in .; ; / 2 R3 , lautet (hier an jeder Stelle b 2 R3 ): Qb .; ; / D 2.1 C / 2 C 2.1 / 2 2 2 ; Im Fall (i) ist b D .˙1; 0; 0/ und wegen D 1: Qb .; ; / D 4 2 2 2 : Die Orthogonalitätsbedingungen (10) lauten dann mit (11) D 0; ˙2 D 0, also hat die restringierte Form die Darstellung Qb . / D 4 2 bez. der einen freien Koordinate für den Orthogonalraum. Die Form Qb ist somit positiv deﬁnit, also sind die beiden Stellen b D .˙1; 0; 0/ relative Minimalstellen von T jK. p Im Fall (ii) ist b D 14 ; ˙ 415 ; 0 und wegen D 1: Qb .; ; / D 4 2 2 2 : Die Orthogonalitätsbedingungen (10) lauten dann mit (11) p ! 15 1

D 0; D 0; 2 C2 ˙ 4 4 also hat die restringierte Form die Darstellung Qb ./ D 4 2 bez. der einen freien Koordinate für den Orthogonalraum. Die Form Gb ist somit ne p 15 1 gativ deﬁnit, also sind die beiden Stellen b D 4 ; ˙ 4 ; 0 relative Maximalstellen von T jK.

Abschnitt 3.3

177

Anwendung auf Extremalprobleme

Die Funktionswerte an den beiden Stellen b von Fall (i) berechnen sich (zusammenfallend) als T .b/ D 2 und an den beiden Stellen b von Fall (ii) (ebenfalls zusammenfallend) als T .b/ D 98 . Da T als stetige Funktion auf der kompakten Menge K absolute Extrema besitzt, sind die ersten zwei Stellen zugleich absolute Minimalstellen und die zweiten zwei Stellen zugleich absolute Maximalstellen von T auf K. In diesem Beispiel könnte man auch die Kreislinie K in Parameterdarstellung beschreiben, z.B. mit den Abbildungsgleichungen x D cos t;

y D sin t;

z D 0;

diese in die Zielfunktion einsetzen T .cos t; sin t; 0/ D cos t cos2 t C sin2 t und die so entstehende Funktion einer Veränderlichen t 2 R (oder t 2 Œ0; 2) mit eindimensionaler Analysis auf Extrema untersuchen. Die obige Behandlung mittels Lagrange-Bedingung sollte jedoch das in Satz B steckende Verfahren praktisch erläutern. Anwendung auf Randextrema Extrema mit Nebenbedingungen können auch dazu dienen, Extremalprobleme für Funktionen f W C ! R mit abgeschlossener Deﬁnitionsmenge C Rn zu lösen, vorausgesetzt der Rand @C ist disjunkte Vereinigung von Untermannigfaltigkeiten (auch unterschiedlicher Dimension). Notwendig für eine relative Extremalstelle B auf einem solchen Randteil M ist, dass die Restriktion f jM W M ! R in b ein relatives Extremum hat, und dies führt auf ein Extremalproblem mit Nebenbedingungen. Hinreichend ist dies allerdings nicht; es kann Stellen auf M geben, wo die Restriktion f jM lokal extremal wird, nicht jedoch f selbst. Dieses Vorgehen liefert also für die lokalen Extremalstellen von f wiederum nur Kandidaten auf dem Rand. Hinzu kommen natürlich die lokalen Extremalstellen im Inneren C ı , die ja in die Kategorie freier Extrema fallen. E. Beispiele. Auch in den folgenden Beispielen wird meistens die klassische Notation für die Koordinaten in R2 oder R3 verwendet, ohne besonders darauf hinzuweisen. (i)

Wir betrachten eine Funktion auf der rechten Halbebene H R2 : ˇ

˚ f .x; y/ WD x 2 y 2 : f W H ! R; H WD .x; y/ 2 R2 ˇ x 0 ;

Hier ist der Rand die y-Achse @H D f.0; y/ 2 R2 j y 2 Rg, und f hat darauf die Werte .f j@H /.0; y/ D y 2 , also ein (sogar absolutes) Maximum bei a WD .0; 0/. Dieser Punkt ist jedoch keine relative Extremalstelle von f selbst; denn es gilt

178

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

f .x; 0/ > 0 für .x; 0/ 2 H mit x > 0 und f .0; y/ < 0 für .0; y/ 2 H mit y ¤ 0. Es gibt auf @H keine weiteren relativen Extrema von f j@H , also auch keine von f . Wegen grad f D .2x; 2y/> besitzt f auch im Inneren H ı D f.x; y/ 2 R2 j x > 0g keine relativen Extrema. Wird die gleiche Funktion auf der Halbkreisscheibe K betrachtet: ˇ

˚ f W K ! R; K WD H \ .x; y/ 2 R2 ˇ x 2 C y 2 1 ; f .x; y/ WD x 2 y 2 ;

(ii)

so muss f darauf ein Maximum und ein Minimum haben; denn K ist kompakt und f stetig, sodass das allgemeine Extremalprinzip greift (Ana-1: D[6.5]). Extremalstellen im Inneren K ı D f.x; y/ 2 R2 j x > 0; x 2 C y 2 < 1g existieren aus den gleichen Gründen wie bei (i) nicht, ebensowenig solche auf dem geradlinigen Randbestandteil G WD f.0; y/ 2 R2 j 1 < y < 1g. Für den weiteren Randbestandteil des Kreisbogens M WD f.x; y/ 2 R2 j x > 0; x 2 C y 2 D 1g hilft nun die Zurückführung auf ein Extremalproblem mit Nebenbedingung, wie eingangs beschrieben: Es gibt eine Nebenbedingungsfunktion g.x; y/ WD x 2 C y 2 1. Die beiden Gradienten sind grad f D .2x; 2y/> ; grad g D .2x; 2y/> ; wobei der zweite auf M immer ¤ .0; 0/> ist. Die notwendige Bedingung für relative Extrema von f jM ist also grad f grad g D 0, zusammen mit g D 0, d.h. explizit 2x 2x D 0 2y 2y D 0 x 2 C y 2 1 D 0: Bei ¤ 1 hat dies genau die Lösungen x D 0, y D ˙1, D 1, bei D 1 die Lösungen x D ˙1, y D 0. So ergeben sich für .x; y/ die vier Möglichkeiten .0; ˙1/; .˙1; 0/, wovon aber nur .1; 0/ in M liegt. Der Funktionswert dort ist f .1; 0/ D 1. Schließlich verbleiben auf dem Rand noch die beiden Punkte .0; ˙1/ als nulldimensionale Mannigfaltigkeiten mit dem gemeinsamen Funktionswert f .0; 1/ D f .0; 1/ D 1. Kandidaten für relative Extremalstellen sind also insgesamt die drei Punkte .1; 0/; .0; 1/; .0; 1/. Da die absoluten Extrema existieren und unter den Kandidaten vorkommen müssen, ist .1; 0/ die einzige relative (und absolute) Maximalstelle mit Wert 1, und .0; 1/; .0 1/ sind die einzigen relativen (und absoluten) Minimalstellen mit Wert 1. In diesem Fall ist die Anwendung von Satz B nicht nötig gewesen. Der Grund wird in der folgenden Bemerkung verdeutlicht. F. Bemerkung. Gibt es bei kompaktem C und stetigem f W C ! R genau zwei Kandidaten für lokale Extrema, so sind diese die beiden absoluten Extrema. Gibt es mehr als zwei Kandidaten, so beﬁnden sich die beiden absoluten Extrema unter diesen (eventuell an mehreren Stellen). Zur Suche absoluter Extrema kann also auf die Anwendung von Satz B verzichtet werden, wenn es nur endlich viele Kandidaten gibt. In diesem Fall ergeben sich die absoluten Extrema aus den endlich vielen Werten von f an den Kandidatenstellen als größte bzw. kleinste dieser Werte. Will man über die

Abschnitt 3.3

179

Anwendung auf Extremalprobleme

absoluten Extrema hinaus Aufschluss über die relativen Extrema bekommen, so muss Satz B in die Untersuchung einbezogen werden. G. Beispiel (warme Erdkugel). Wir kommen auf das Beispiel in Ana-2: E[12.3] zurück. Dort war im Raum R3 die Temperaturverteilung T .x; y; z/ WD 20 C 18xyz vorgegeben und gefragt worden, wo auf dem Erdkörper, d.h. auf dem Euklidischen Einheitsball C WD f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 C y 2 C z 2 1g es am wärmsten bzw. am kühlsten ist. Die Frage nach den absoluten Extrema konnte, entsprechend der vorangehenden Bemerkung, ohne Satz B beantwortet werden. Offen blieb jedoch, ob die sechs Pole (die Schnittstellen der drei Koordinatenachsen mit der Randsphäre @C ) lokale Extremalstellen sind. Dies werde jetzt z.B. für den Nordpol b D .0; 0; 1/ nachgeholt. Dazu sei zunächst die Temperatur T auf @C betrachtet. Dann handelt es sich um ein Extremalproblem mit der einen Nebenbedingungsfunktion g.x; y; z/ WD x 2 C y 2 C z 2 1: Auf Zg ist grad g niemals Null. Am Nordpol berechnet man die Gradienten und Hesse-Matrizen als 0 1 0 .grad T /b D 0; .grad g/b D @0A ; 2 0

0 .H T /b D @18 0

18 0 0

1 0 0A ; 0

0

2 .Hg/b D @0 0

0 2 0

Es gilt .grad T /b .grad g/b D 0 mit WD 0 und .grad g/b ¤ angewandt werden kann mit 0 0 18 .Hˆ/b D .H T /b .Hg/b D .H T /b D @18 0 0 0

1 0 0A : 2

0, sodass Satz B 1 0 0A : 0

Die Orthogonalität (10) lautet mit .z1 ; z2 ; z3 / DW .; ; / einfach 1 D 0, also wird Qb .; ; / D 36 ;

Qb .; / D 36 ;

wobei ; Koordinaten in Kern g 0 .b/ sind. Somit ist Qb indeﬁnit, also b keine Extremalstelle von T j@C , vielmehr ein Sattelpunkt. Damit ist von alleine klar, dass b auch für T jC keine lokale Extremalstelle sein kann, da ja bereits auf @C in jeder Umgebung Stellen existieren mit größerem und kleinerem T -Wert als in b. Die anderen fünf Pole kann man genauso behandeln – mit dem gleichen Ergebnis.

180

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

H. Beispiel (heißer Kegel). Eine Aufgabe für Randextrema mit unterschiedlich dimensionalen Randteilen ist folgende: Gegeben sei die Temperaturverteilung im Raum R3 : T .x; y; z/ D x C z x 2 C y 2 z 2 : Wo auf auf dem geraden Kreiskegelkörper C mit Basiskreis x 2 C y 2 D 1, z D 0 und Spitze .0; 0; 1/ ist es am wärmsten, wo am kühlsten, und wie hoch sind diese extremalen Temperaturen?

Lösung: C wird beschrieben durch (vgl. das obige Bild): p x 2 C y 2 1 z: z 0; Der Rand @C besteht aus Untermannigfaltigkeiten verschiedener Dimensionen: p x2 C y2 D 1 z

Mantel:

0 < z < 1,

Boden:

z D 0, x 2 C y 2 < 1

Basiskreislinie:

z D 0, x 2 C y 2 D 1

Spitze:

z D 1, x D y D 0.

Dass es sich hierbei wirklich um Untermannigfaltigkeiten handelt, folgt z.B. aus Satz K[3.2] Nun hat man die fünf Bestandteile (Inneres und diese vier Randteile) getrennt auf Extrema abzusuchen. Bezüglich der Basiskreislinie ist dies ausführlich mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren in Beispiel D durchgeführt worden. Die übrigen Bestandteile behandelt man analog, wovon hier nur das Ergebnis mitgeteilt sei:

Abschnitt 3.3

Anwendung auf Extremalprobleme

181

Extrema im Inneren sucht man nach dem Vorgehen aus Ana-2: 10.8. Die Rechnung zeigt jedoch, dass dort keine relativen Extrema vorhanden sind. Das Gleiche ergibt sich mit der Methode aus Satz B für den Mantel und den Boden. An der Spitze reicht natürlich die Berechnung des Funktionswerts. Insgesamt verbleiben als Kandidaten für relative Extremalstellen die Spitze mit Wert T .0; 0; 1/ D 0 und die folgenden vier Werte auf dem Basiskreis, entsprechend Beispiel D: ! ! p p 1 9 1 15 15 ; ;0 D T ; ;0 D : T .1; 0; 0/ D 0; T .1; 0; 0/ D 2; T 4 4 4 4 8 Der Vergleich dieser fünf Werte zeigt schließlich: Am wärmsten auf C ist es auf dem Basiskreis, und zwar bei den zwei zuletzt genannten Stellen mit 98 Einheiten. Am kühlsten auf C ist es ebenfalls auf dem Basiskreis (!), und zwar beim Punkt .1; 0; 0/ mit 2 Einheiten. Vgl. das folgende Bild. Dabei sind die Isothermen eingezeichnet, d.h. die Linien gleicher Temperatur, und zwar auf dem Rande @C des Kegelkörpers. Die Färbung entspricht der Temperatur.

Dynamisierung der Lagrange-Methode Die Lagrange-Multiplikatoren der obigen Kriterien haben starre Werte, nämlich als Koefﬁzienten in der Lagrange-Bedingung (3). Man kann ihnen aber eine neue Rolle zuweisen, indem man das Extremalproblem in einen zeitabhängigen Prozess einbettet. Dieser Prozess ist so gestaltet, dass auf eine kontinuierlichen Weise eine Lösung des gebundenen Extremalproblems angestrebt werden kann. Gegeben sind nach wie vor die Zielfunktion f W B ! R und die Nebenbedingungsfunktionen gj , j D 1; : : : ; q, wie zu Beginn von Satz B vorausgesetzt. Insbesondere seien die Gradienten grad g1 ; : : : ; grad gq überall in B linear unabhängig und damit die Nebenbedingungsmenge Zg eine Untermannigfaltigkeit von Rn der Dimension p D n q.

182

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Es empﬁehlt sich, neben Zg die anderen Niveaumengen von g Zg .c/ WD fy 2 B j g.y/ D cg;

c D .c1 ; : : : ; cq /> D const. 2 Rq

mitzubetrachten, soweit sie nichtleer sind. Diese Niveaumengen sind ebenfalls Untermannigfaltigkeiten von Rn der Dimension p, da die Funktionen gj cj die gleichen Gradienten haben wie die gj . Natürlich ist Zg .0/ D Zg . Die Wahl der Lagrange-Multiplikatoren in (3) bedeutet, dass .grad f /b im Spann der Gradienten .grad g1 /b ; : : : ; .grad gq /b liegt. Wegen b 2 Zg ist dieser Spann das orthogonale Komplement des Tangentialraums Tb Zg (Bemerkung C(ii)). Somit besagt (3) äquivalent, dass die Orthogonalprojektion von .grad f /b auf Tb Zg verschwindet. Das ist die geometrische Bedeutung der Lagrange-Multiplikatoren j . Die Idee zur Dynamisierung besteht nun darin, generell den Gradienten grad f an jeder Stelle einer Niveaumenge Zg .c/ orthogonal auf den Tangentialraum von Zg .c/ zu projizieren und die Integralkurven des so entstehenden Vektorfeldes zu studieren. Die Erwartung wird dann sein, dass diese Integralkurven die betreffende Niveaumenge nicht verlassen und gegen einen Punkt streben, an dem die Projektion Null wird, also die ursprüngliche Lagrange-Bedingung erfüllt ist. Ob sich das bewahrheitet, muss man natürlich untersuchen, aber es gibt gute Indizien dafür, wie der folgende Satz zeigt. An einer beliebigen Stelle y 2 Zg .c/ ist der Tangentialraum Ty Zg .c/ das orthogonale Komplement der Vektoren .grad g1 /y ; : : : ; .grad gq /y . Die orthogonale Projektion von .grad f /y auf Ty Zg .c/ ist daher von der Gestalt F .y/ WD .grad f /y

(13)

q X

j .y/.grad gj /y ;

j D1

wobei die Koefﬁzienten j .y/ so ˝zu bestimmen sind, ˛ dass F .y/ orthogonal zu allen Gradienten .grad gj /y wird, d.h. F .y/; .grad gj /y D 0 für j D 1; : : : ; q. Das ist äquivalent zum linearen Gleichungssystem (14)

q X ˝

˝ ˛ ˛ grad gj /y ; .grad gk /y k .y/ D grad f /y ; .grad gj /y ;

j D 1; : : : ; q:

kD1

Dieses System ist eindeutig nach den j .y/ auﬂösbar, weil die orthogonale Projektion eindeutig bestimmt ist. Rein rechnerisch ersieht man der .q ˛ ˝ das aus der Positivität q/-Determinante der paarweisen Skalarprodukte grad gj /y ; .grad gk /y . Es handelt sich um die Gramsche Determinante von linear unabhängigen Vektoren (Greub[1975], Chap. VII, Sect. 7.14, Walter[1996], Satz D und Bemerkung 3 in 5.5). Nun sollte man noch einen Schritt weitergehen und den Vektor F .y/ einfach an allen Stellen y 2 B betrachten. Er ist jedenfalls überall durch (13), (14) deﬁniert und stetig differenzierbar von y abhängig. An jeden Punkt y 2 B Rn wird dadurch ein

Abschnitt 3.3

183

Anwendung auf Extremalprobleme

Vektor F .y/ 2 Rn „angehängt“. Es entsteht ein Vektorfeld auf B, und man kann das zugehörige Differentialgleichungssystem y 0 D F .y/

(15)

betrachten. Das System ist autonom, da F .y/ allein durch y bestimmt ist. Seine Lösungswege (Integralkurven) erfüllen 0 .t / D F ..t // und sind nach Differentialgleichungstheorie auf maximalen Intervallen deﬁniert (H[2.2]). I. Satz. In dieser Situation gilt für das Differentialgleichungssystem (15): (i)

Auf jeder Integralkurve ist g konstant: g..t// D const.

(ii)

Auf jeder Integralkurve ist die Zielfunktion monoton wachsend; denn es gilt .f ı /0 .t / D jF ..t //j2 0:

Die t -Werte in diesen Behauptungen sind nicht weiter eingeschränkt (außer dass sie im maximalen Intervall der betreffenden Integralkurve enthalten sind). Beweis von I. Aus (13) folgt generell die orthogonale Zerlegung (ohne Argumente geschrieben): grad f D F C

q X

j grad gj ;

j D1

wobei F überall und zu allen Gradienten grad gj orthogonal ist. Zu (i): Für g ı berechnet man mit der Kettenregel (Ana-2: K[10.6]): ˝ ˛ ˝ ˛ .gj ı /0 .t / D .grad gj /.t/ ; 0 .t / D .grad gj /.t/ ; F ..t // D 0; das letzte wegen der gerade erwähnten Orthogonalität. Zu (ii): Analog berechnet man für f ı : ˝ ˛ ˝ ˛ .f ı /0 .t/ D .grad f /.t/ ; 0 .t / D .grad f /.t/ ; F ..t // D jF ..t //j2 : Die Diskussion, wann diese Ableitung Null wird, ist damit leicht möglich (vgl. den folgenden Zusatz). Sei nun für einen Punkt b 2 Zg die Lösung der Differentialgleichung (15) mit der Anfangsbedingung .0/ D b

184

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

verfolgt. Das ist von t D 0 aus in beiden Richtungen möglich. Die Integralkurve besitzt ja ein maximales Deﬁnitionsintervall t ; t C mit eventuell uneigentlichen Grenzen t < 0 und t C > 0 (J[2.2]). Wir können uns auf den rechten Teil 0; ; t C konzentrieren, weil die Behandlung des linken Teils t ; 0 spiegelbildlich verläuft. Nach Satz I liegen alle Punkte .t / in der Nebenbedingungsmenge Zg , und die Zielfunktion f ist längs monoton wachsend. Natürlich hätte man gerne, dass .t / wegen des monotonen Wachsens nach rechts hin eine Maximalstelle von f erreicht oder für t " t C annähert (und entsprechend nach links hin eine Minimalstelle). Das exakte Erreichen ist allerdings fast immer ausgeschlossen; denn es gilt: I. Zusatz. Erfüllt eine Integralkurve von (15) für ein festes t an der Stelle b WD .t / die Lagrange-Bedingung für die Zielfunktion f mit der Nebenbedingungsmenge Zg , so ist .t / D const. D b D b . Ist die Integralkurve nicht konstant, so trifft sie niemals einen Lagrange-Punkt, und f ı ist streng monoton wachsend. Beweis. Die Voraussetzung impliziert F ..t // D 0. Somit löst e .t / WD b die Dif

ferentialgleichung (15) und die Anfangsbedingung e .t / D b genau wie auch. Wegen der eindeutigen Lösung des Anfangswertproblems folgt D e auf dem Deﬁnitionsintervall von . Ist nicht konstant, so ist also stets F ..t / ¤ 0, und (ii) zeigt, dass die Ableitung von f ı immer positiv ist. Sei nun o.B.d.A. wieder Zg D Zg .0/ betrachtet. Da das exakte Erreichen nur trivial möglich ist, verbleibt alleine die asymptotische Annäherung. Wenn die Punkte .t / der betrachteten Integralkurve für t " t C nicht konvergieren, so hat man kaum Chancen. Existiert jedoch lim t "t C .t / in B, so ist zwangsläuﬁg t C D 1 (G[2.2]), also lim .t / DW b1 2 B:

t!1

Daraus folgt weiter mit g..t // D 0 durch Grenzübergang t ! 1: g.b1 / D 0, also b1 2 Zg . Es existieren dann auch lim 0 .t / D lim F ..t // D F .b1 / 2 Rn

t!1

t!1

und auch lim f ..t // D f .b1 / 2 R;

t!1

lim .f ı /0 .t / D lim jF ..t //j2 D jF .b1 /j2 0:

t!1

t !1

Wäre F .b1 / ¤ 0, so enthielte die letzte Zeile einen Widerspruch. Denn nach dem ersten Teil ist f ı wegen des monotonen Wachsens beschränkt, und nach dem zweiten Teil unbeschränkt (Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung). Es folgt also

Abschnitt 3.3

185

Anwendung auf Extremalprobleme

F .b1 / D 0, d.h. b1 ist ein Lagrange-Punkt. Damit ist unter den hier gemachten Annahmen die Existenz eines solchen Punkts gesichert, und überdies ist klar, wie man diesen Lagrange-Punkt als Grenzwert aus der Lösung eines Anfangswertproblems erhalten kann. Analog gilt alles nach links hin. Zusammengefasst: J. Folgerung. Bezüglich der Zielfunktion f und der Nebenbedingung g D 0 (2) seien die Voraussetzungen wie in Satz B erfüllt. Für einen gegebenen Punkt b mit g.b/ D 0 betrachte man die Lösung des Anfangswertproblems y 0 D F .y/; y.0/ D b C auf dem maximalen Intervall t ; t , wobei F durch (13), (14) deﬁniert ist. Dann gilt stets g..t // D 0. Existiert der Grenzwert b1 WD lim .t / 2 B; t"t C

so ist t C D 1, und b1 ist ein Lagrange-Punkt. Existiert der Grenzwert b1 WD lim .t / 2 B; t#t

so ist t D 1, und b1 ist ein Lagrange-Punkt.

Das ist die Formulierung für Zg D Zg .0/. Bei nichtleerem Zg .c/ lautet die Behauptung entsprechend. Natürlich kann man auf diesem Weg nur Punkte ﬁnden, an denen die notwendigen Bedingungen für ein lokales Extremum erfüllt sind. Ob dort wirklich ein Extremum vorhanden ist, kann dann mit den Kriterien von Satz B diskutiert werden. Erwarten wird man bei dem Grenzwert nach rechts hin ein lokales Maximum, nach links hin ein lokales Minimum, sodass also idealerweise die Integralkurve „aus der Gegend eines lokalen Minimums in die Gegend eines lokalen Maximums zieht“. Bei den obigen Überlegungen handelt es sich um eine Anwendung autonomer Differentialgleichungen auf Extremalprobleme. Autonome Differentialgleichungen werden im Gebiet der dynamischen Systeme, Extremalprobleme in der Optimierung und Variationsrechnung noch sehr viel weitergehend untersucht. K. Beispiel. Im Fall q D 1 ist die Nebenbedingungsmenge Zg eine Hyperﬂäche, und das lineare Gleichungssystem (14) kann einfach aufgelöst werden. Lässt man den Index „1“ weg (es gibt ja gar keine g2 ; : : : und 2 ; : : :), so lautet die Auﬂösung D

hgrad f; grad gi jgrad gj2

:

Mit diesem schreibt sich das Differentialgleichungssystem (15) als y 0 D .grad f /y .y/.grad g/y :

186

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Hieran sieht man nochmals deutlich, dass der Faktor .y/ im Falle des Verschwindens von F .y/ in den Lagrange-Multiplikator übergeht. Ein isoperimetrisches Problem und ein Stück experimentelle Mathematik Die Lagrange-Methode wird oft auf Extremalprobleme angewendet und liefert dann zunächst Kandidaten für die Annahme des Extremums. Selbst dann, wenn man die hinreichenden Bedingungen der Klasse C 2 anwenden kann, ist nur die Existenz lokaler Extrema gesichert. Die Existenz globaler Extrema muss trotzdem noch begründet werden. Wie in Bemerkung C(iii) ausgeführt, kann die Rangvoraussetzung bei den Nebenbedingungen ein zusätzliches Problem darstellen. Speziell Fragen nach Extremalwerten geometrischer Invarianten werden als isoperimetrische Probleme bezeichnet. Für das isoperimetrische Problem (maximaler Inhalt bei gegebenem gekrümmtem Umfang) sei auf Abschnitt 7.8 verwiesen. Auf das analoge isoperimetrische Problem bei Polygonen wurde die Lagrange-Methode von Weierstraß[1967], S. 70–75, angewandt und später von Study[1907] in erweiterter Form behandelt. Wir wollen hier eine andere Extremalfrage diskutieren: Gibt es unter allen ebenen geschlossenen Polygonen mit n Ecken und festen Seitenlängen solche von maximalem Flächeninhalt und welche sind das? Trotz seines elementaren Charakters ist dieses Problem recht hochdimensional, da ein Polygon mit n Eckpunkten von 2n Parametern abhängt, nämlich von den n Koordinatenpaaren .xj ; yj / seiner Ecken. Da Dreiecke durch ihre Seitenlängen (bis auf Kongruenz) bestimmt sind, kann man n 4 voraussetzen (in der ganzen Überlegung ist n festgehalten). Die repräsentierenden 2n-Tupel eines Polygons im Raum R2n seien in der Anordnung .x1 ; y1 ; x2 ; y2 ; : : : ; xn ; yn / gewählt. Der doppelte Flächeninhalt ist gegeben durch f D

(16)

n X

.xj yj C1 xj C1 yj /;

j D1

wobei .xnC1 ; ynC1 / WD .x1 ; y1 / gesetzt ist. Überhaupt werde mit den Indizes modulo n gerechnet, also z.B. .x0 ; y0 / WD .xn ; yn / und .x1 ; y1 / WD .xn1 ; yn1 / deﬁniert usw. Der doppelte Flächeninhalt f ist hier die Zielfunktion. Die Nebenbedingungen ergeben sich aus der Konstanz der Seitenlängen. Anstelle der Seitenlängen verwenden wir besser ihre „Energien“, d.h. die halben Quadrate der Seitenlängen: gj WD

1 .xj C1 xj /2 C .yj C1 yj /2 ; 2

j D 1; : : : ; n:

Der Faktor 12 ist natürlich unwesentlich, und die Konstanz aller Seitenlängen ist äquivalent zur Konstanz ihrer Quadrate. Die Nebenbedingungen sind gj D cj , j D

Abschnitt 3.3

187

Anwendung auf Extremalprobleme

1; : : : ; n mit Konstanten cj 0. Für die Lagrange-Bedingung können wir mit den gj selbst arbeiten, da gj den gleichen Gradienten besitzt wie gj cj . Die Energien haben bessere Differentiationseigenschaften als die Seitenlängen, und das ist der Grund für ihre Verwendung hier. Die partiellen Ableitungen berechnet man wie folgt: @f D ykC1 yk1 ; @xk

@gk D xkC1 C xk @xk

@gk D xkC1 xk @xkC1

@f D xkC1 C xk1 ; @yk

@gk D ykC1 C yk @yk

@gk D ykC1 yk : @ykC1

Alle anderen partiellen Ableitung von gk sind Null. Hier gehen offensichtlich die Kantenvektoren des Polygons in R2 ein, also die Paare uk WD

ak bk

WD

xkC1 xk : ykC1 yk

Damit berechnet man die Jacobi-Matrix der Nebenbedingungsfunktionen als 0

u1 B u1 B B B 0 B J.g/ D B : B :: B B : @ ::

0 u2

0

u2 0

0

0

u3 :: :

0 :: : :: : 0

:: : :: : un1

::

:

1 un 0C C :: C :C C :: C : : C C C 0A un

Hierin sollen die Plätze uj als die obigen vertikalen Paare aufgefasst werden, und die Nullen als entsprechende Nullenpaare. Der „irreguläre“ Platz in der rechten oberen Ecke kommt wegen xnC1 D x1 und ynC1 D y1 zustande. Die beteiligten Funktionen sind von der Klasse C 1 . Damit die allgemeinen Voraussetzungen von Satz B erfüllt sind, müssen die n Spalten dieser Matrix linear unabhängig sein. Diese Bedingung ist anschaulicher zu diskutieren, wenn man die Gramsche Matrix der paarweisen Skalarprodukte der Gradienten betrachtet. Sie berechnet sich zu:

188

(17)

Kapitel 3

0

2ju1 j2

B B hu2 ; u1 i B B B 0 B B G WD B :: B : B B B B 0 @ hun ; u1 i

hu1 ; u2 i

0

2ju1 j2

hu2 ; u3 i

0

hu3 ; u2 i

2ju3 j2

::

:

::

::

:

::

:

::

:

::

:

0

:

0

Mannigfaltigkeiten im Rn

0

hu1 ; un i

0

1

C C C C :: :: C : : C C C: :: C : 0 C C C :: : hun ; un1 iC A hun ; un1 i 2jun j2

Die Jacobi-Matrix J.g/ hat genau dann den Rang n, wenn die Gramsche Matrix G regulär ist (also positive Determinante hat). Damit dies bei G überhaupt der Fall sein kann, müssen die Seitenlängen alle positiv sein. Das reicht aber nicht, wie man sich an Beispielen klar macht, bei denen alle Kantenvektoren untereinander proportional sind, das Polygon also ganz auf einer Geraden liegt. Andererseits ist bekannt, dass eine quadratische Matrix regulär ist, wenn in jeder Zeile der Hauptdiagonaleintrag größer ist als die Summe der Beträge der anderen Einträge in der gleichen Zeile (vgl. z.B. Walter[1996], Aufgabe 2[2.3]). Das wird geometrisch deutbar, wenn man die vorkommenden Skalarprodukte mit den Winkeln aufeinanderfolgender Kantenvektoren ausdrückt: huk ; ukC1 i D juk j jukC1 j cos 'k . Bei einem gleichseitigen (auch nicht-regulären) Polygon ist diese hinreichende Bedingung für die Regularität erfüllt, wenn zwei aufeinanderfolgende Winkel nicht beide 0 oder sind. Jedenfalls ist die Gesamtheit B der Polygone mit positiven Seitenlängen und positiver Gramscher Determinante det G nichtleer und offen, sodass auf sie der Satz B angewendet werden kann. Die Lagrange-Bedingungen lauten nun, komponentenweise aufgeschrieben: @f @gk @gk1 k k1 D0 @xk @xk @xk @f @gk @gk1 k k1 D 0: @yk @yk @yk Mit den berechneten partiellen Ableitungen und den eingeführten Kantenvektoren schreibt sich das als (18)

? u? k C uk1 D k uk k1 uk1 :

Hierin bezeichnet das hochgestellte Zeichen „?“ den Übergang zum mit =2 im positiven Sinn gedrehten Vektor: a b ? uD H) u D D uD : b a 2

Abschnitt 3.3

189

Anwendung auf Extremalprobleme

Das hat folgende Konsequenz: L. Lemma. Gibt es unter allen ebenen geschlossenen Polygonen mit festen positiven Seitenlängen und positiver Gramscher Determinante det G (17) der Kantenvektoren eines mit maximalem Flächeninhalt, so liegen dessen Eckpunkte auf einer Kreislinie. Wenn sämtliche Ecken eines Polygons auf einer Kreislinie liegen, so nennt man es ein zyklisches Polygon. Beweis von L. Es ist die Lagrange-Bedingung auszunutzen. Die entscheidend Relation entsteht aus (18), indem man beide Seiten nochmals dreht: uk uk1 D k u? k1 u? , k k1 oder mit um 1 erhöhtem Index (was für die Rechnung bequemer ist): ? uk C ukC1 D k u? k kC1 ukC1 :

(19)

Hieraus ergibt sich durch vollständige Induktion: Die Punkte (20)

mk WD

k1 X j D1

1 k ? uj C uk C u ; 2 2 k

k D 1; : : : ; n;

sind unabhängig von k. Dazu reicht es, für k D 1; : : : ; n 1 zu zeigen: mkC1 D mk . Dies reduziert sich offensichtlich auf k ? 1 kC1 ? 1 uk C uk D uk C ukC1 C ukC1 ; 2 2 2 2 was nach leichter Umrechnung mit (19) äquivalent ist. Der Punkt m WD mk liegt auf der Mittelsenkrechten über der Kante mit Vektor uk , d.h. der Kante von .xk ; yk / nach .xkC1 ; ykC1 /. Alle diese Mittelsenkrechten treffen sich in m, und daraus folgt, dass alle Ecken auf einer gemeinsamen Kreislinie mit Zentrum m liegen. ˇ ˇ ˇ Der Radius r der Kreislinie ist z.B. gegeben durch r D jm1 j D 12 ˇu1 C 1 u? 1 , aber auch generell durch rD

ˇ 1 ˇˇ ˇ uk ˙ k u? k ; 2

k D 1; : : : ; n;

wobei es nicht darauf ankommt, welches Vorzeichen gewählt wird, da die zwei beteiligten Vektoren orthogonal sind. In der Tat gilt nach (19): ? .ukC1 C kC1 u? kC1 / D uk k uk ;

woraus die Unabhängigkeit der Beträge von k folgt.

190

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Bei dieser Diskussion sind zwei Dinge zu beachten: Ein Polygon mit n Eckpunkten wird repräsentiert durch n Punktepaare, also letztlich durch 2n Punkte im Raum R2n . Dazu gehört auch eine feste Aufeinanderfolge der Punktepaare, also der Ecken. Topologische Eigenschaften von Mengen von Polygonen werden ererbt durch die Darstellungen im R2n . Z.B. konvergiert eine Folge von Polygonen genau dann, wenn die repräsentierenden .2n/-Tupel es tun. Ferner kann der (doppelte) Flächeninhalt (16) auch negativ werden. Er ist auf jeden Fall positiv, wenn der Polygonzug der aufeinanderfolgenden Ecken ein nichtleeres beschränktes Gebiet berandet – also wenn der Polygonzug keine Selbstschnitte aufweist (Jordanscher Kurvensatz) – und das Gebiet im Gegenuhrzeigersinn umrundet wird. Natürlich ist man in erster Linie an Polygonen dieser Art interessiert und an der Frage, wann wohl bei gegebenen festen Seitenlängen der Inhalt maximal ist. Die obige Lagrange-Bedingung legt es nahe, dass diese Maximalität bei zyklischen Polygonen eintreten wird. Dazu müsste jedoch die Existenz eine Polygons mit maximalem Inhalt gesichert und es als in der Menge B beﬁndlich nachgewiesen werden. Das ist mit der Lagrange-Methode alleine nicht möglich. Trotzdem bietet das Lagrange-Verfahren in Verbindung mit der obigen Dynamisierung ein ausgezeichnetes Mittel, um den Flächeninhalt eines gegebenen Polygons unter Beibehaltung der Seitenlängen kontinuierlich zu vergrößern und es damit einem zyklischen Polygon mit unveränderten Seitenlängen mehr und mehr anzunähern. Tatsächlich kann man das als Hauptnutzen der bisherigen Überlegungen ansehen. Programmiert man mit den hervorragenden numerischen Integrationsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungssysteme den dynamische Prozess des Differentialgleichungssystems (15), so ergeben sich eindrucksvolle Beispiele für diese kontinuierlichen Deformationen. Wenn das Ausgangspolygon gleichseitig ist, so sind es auch die Polygone im Verlauf des dynamischen Prozesses, und sie werden „immer regulärer“. Das folgenden Beispiel enthält zwei experimentelle Studien dieser Art. M . Beispiel. In beiden Sequenzen ist der Anfangszustand fett gezeichnet und die sukzessiven Deformationen in normaler Strichstärke. Der Anfangszustand ist in der Sequenz wiederholt, um den Grad der Abweichung deutlich zu machen.

Die Deformation kann genauer und mit gutem Grund ein Aufblasen genannt werden. Denn der Inhalt wächst beständig an, während die Längenverhältnisse in der Berandung immer gleich bleiben. Die Figur ist am Ende des Aufblasens zyklisch, d.h. ihre Ecken liegen auf einer Kreislinie.

Abschnitt 3.3

Anwendung auf Extremalprobleme

191

Die erste Sequenz startet mit der Figur eines Buchstabens „L“. Zunächst ist die Ähnlichkeit mit der Ausgangsﬁgur noch erkennbar, später nicht mehr. Es ist wie beim Aufblasen eines Ballons, dessen Zustand bei praller Füllung nicht mehr erahnen lässt, wie er ohne Inhalt ausgesehen hat. Die zweite Sequenz startet mit einem gleichseitigen Siebeneck mit Selbstschnitten, gewissermaßen ein verschrumpelter Luftsack. Am Ende ist dieser zu einem schönen regelmäßigen Siebeneck aufgepumpt.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Man betrachte die Temperaturverteilung T .x; y; z/ WD 20 C 18xyz diesmal auf dem Kegelkörper C des Beispiels H. Wo auf C ist es am wärmsten, wo am kühlsten, und wie hoch sind diese extremalen Temperaturen? Man diskutiere jeweils auch, ob es sich um lokale Extrema handelt. 2. Man ermittle die Extrema von z unter einer der folgenden Nebenbedingungen: a)

x 3 C z 3 D 30xz

b)

2x 2 C z 2 C 8.xz C 1/ D 2y 2 C z

c)

x 3 C 4y C z.z C 1/ D y 2 C 3x C 8.

3. Man ermittle beim Ellipsoid mit der Gleichung y2 z2 x2 C 2 C 2 D 1; a > b > c > 0; 2 a b c den Abstand des Zentrums von den Tangentialebenen des Ellipsoids und bestimme die Extrema und ggf. die Sattelpunkte dieses Abstands. 4. Die Kurve für die Erbschaftssteuer werde deﬁniert durch eine monoton wachsende C 2 -Funktion ' W RC 0 ! R mit '.0/ D 0. Das bedeutet: Für ein Erbe in Höhe von x beträgt die Erbschaftssteuer '.x/. Wie muss ein Erbe der Gesamthöhe V auf n Erben so verteilt werden, dass die insgesamt zu entrichtende Steuer ein Minimum für die Erben bzw. ein Maximum für den Staat darstellt, und zwar in den Fällen:

192

Kapitel 3

a)

' 00 hat stets positive Werte;

b)

' 00 hat stets negative Werte?

Mannigfaltigkeiten im Rn

Man vergleiche auch mit den Ungleichungen für konvexe bzw. konkave Funktionen (Ana-1: Satz E[8.6] und das Maximumprinzip in Aufgabe 9[8.6]). 5. Betrachtet wird der Torus mit der in Aufgabe 1[3.1] genannten Parametrisierung W R2 ! R3 als Drehﬂäche. a)

Es soll zunächst bewiesen werden, dass der Torus als Punktmenge M WD .R2 / eine C 1 -Untermannigfaltigkeit der Dimension 2 in R3 und eine Parametrisierung von ihm ist.

b)

Man zeige weiter, dass M kompakt ist. (Ein Bild von M ﬁndet sich bei Beispiel C(ii)[3.1] und zu Beginn dieses Kapitels.)

c)

Sodann bestimme man alle lokalen Extrema der ersten Projektion x W R3 ! R unter der Nebenbedingung .x 2 C y 2 C z 2 .R2 C r 2 //2 C 4R2 .z 2 r 2 / D 0 oder – was dasselbe ist – die der Restriktion xjM .

Lösungshinweis zu a): Dazu gibt es ein allgemeines Argument (vgl. Aufgabe 3[3.2]). Im vorliegenden Fall kann man auch so vorgehen (Übergang zu einer impliziten Darstellung): M ist identisch mit der Lösungsmenge der Gleichung .x 2 C y 2 C z 2 .R2 C r 2 //2 C 4R2 .z 2 r 2 / D 0: Dann arbeite man mit F[3.2] oder M[3.2]. 6. Abstand von Untermannigfaltigkeiten. f Untermannigfaltigkeiten des Rn mit M \ M f D ¿. Seien M und M a)

f mögen den minimalen Euklidischen Abstand Zwei Punkte b 2 M und e b 2 M f, realisieren, d.h. es sei zwischen M und M ˇ ˚

f : jb e bj D inf jy e y j ˇ y 2 M; e y2 M b; vi D Man zeige, dass b e b orthogonal zum Tangentialraum Tb M ist, d.h. hb e f. b auch orthogonal zu Tb M 0 für alle v 2 Tb M . Natürlich ist dann b e f nur aus einem Punkt besteht. Man behandle auch den Sonderfall, dass M

b)

Reicht es zur Existenz von b; e b, dass

beide Untermannigfaltigkeiten kompakt;

eine kompakt, die andere abgeschlossen;

beide abgeschlossen

sind?

Abschnitt 3.4

Tangentiale Räume und Abbildungen

193

7. In der Situation von Satz I beweise man für die zweite Ableitung von f ı die Formel X 1 j ..t //.Hgj /.t/ . 0 .t // .f ı /00 .t / D .Hf /.t/ . 0 .t // 2 q

j D1

und ziehe daraus Folgerungen für das Konvexitäts- bzw. Konkavitätsverhalten von f ı nahe einer lokalen Extremalstelle von f jZg . 8. Sei A D .aij / eine .n n/-Matrix mit reellen oder komplexen Einträgen. Man zeige: Ist n ˇ ˇ X ˇ ˇ ˇajj ˇ > ˇaij ˇ ; j D 1; : : : ; n; iD1 i¤j

so ist A regulär.

3.4

Tangentiale Räume und Abbildungen

Im Zahlraum Rn wird oft davon gesprochen, dass ein Vektor „an einem Punkt angetragen oder angeheftet wird“, während der Punkt selbst ebenfalls als Vektor aufgefasst wird. Offensichtlich handelt es sich dabei um verschiedene Rollen von Vektoren. Diese Unterscheidung ist bei vielen Fragen nicht sehr wesentlich, solange man sich in einem Vektorraum beﬁndet. Das Problem stellt sich aber ernsthaft, wenn man in einem „nichtlinearen“ Raum arbeitet und dort an jeder Stelle eine Linearisierung vornehmen will. Denn eine solche Linearisierung setzt zumindest voraus, dass man am betrachteten Punkt einen dort zuständigen Vektorraum zu Verfügung hat. Einfach Differenzvektoren zu benachbarten Punkten zu bilden, ist ja nicht mehr möglich, wenn es an einer Vektorraumstruktur mangelt. Für abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann das Problem der Tangentialvektoren sehr befriedigend gelöst werden, und zwar auf verschiedene Weise. Da wir uns mit der umfangreichen Deﬁnition abstrakter Mannigfaltigkeiten hier nicht beschäftigen wollen, stellen wir die Lösung für den Raum Rn vor, und zwar nach dem gleichen Muster, wie man es bei der abstrakten Behandlung tun würde. So kann der Leser die Methode in einer einfachen Situation schon mal kennen lernen und ist dann gut vorbereitet für das analoge Vorgehen im abstrakten Fall (zu diesem vgl. z.B. Walter[2001]). Der Wunsch ist, den Raum Rn so auszustatten, dass er an jedem Punkt einen eigenen Tangentialraum bekommt. Dies löst dann auch das obige Deﬁnitionsproblem der „gebundenen“ bzw. „freien“ Vektoren, d.h. solcher die durch Pfeile im Nullpunkt bzw. an einem anderen Punkt veranschaulicht werden.

194

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Es sollen also einem festen Punkt a 2 Rn „Tangentialvektoren“ zugeordnet werden, die sozusagen in a „angreifen“. Jeder solche neue Vektor wird eine Vorschrift zur Richtungsableitung sein, also letztlich ein gewisser Differentialoperator oder eine Derivation. Operieren wird eine solche Derivation auf den nahe a deﬁnierten und in a differenzierbaren Funktionen. Dieser Funktionenraum ist also: Fa WD ff W A ! R j A Umgebung von a, f in a differenzierbarg: Die Deﬁnitionsmenge A Rn darf von Funktion zu Funktion verschieden sein! Demgemäß sind Verknüpfungen ggf. nur im Durchschnitt möglich, z.B. bei der Summe von f1 W A1 ! R und f2 W A2 ! R als: f1 C f2 W

A1 \ A2 x

! 7!

R .x/ C f2 .x/; f1

dagegen beim Vielfachen mit ˛ 2 R als: ˛f1 W

A1 x

! R 7! ˛ f1 .x/:

Mit f1 und f2 sind auch f1 C f2 und ˛f1 in Fa . Jedoch ist Fa kein Vektorraum (es existiert kein Neutralelement bez. C). A. Deﬁnition. Ein Tangentialvektor von Rn in a 2 Rn ist eine Abbildung uW

Fa f

! R 7! u.f /

mit folgenden Eigenschaften: (TV.1)

Für f; g 2 Fa und ˛ 2 R gilt stets u.f C g/ D u.f / C u.g/;

(TV.2)

u.˛f / D ˛ u.f /:

Aus f 0 .a/ D 0 folgt u.f / D 0.

Beim Axiom (TV.1) handelt sich um Linearitätseigenschaften, die sinnvoll sind, obwohl Fa kein Vektorraum ist. Das Axiom (TV.2) besagt, dass Funktionen, die in a eine kritische (stationäre) Stelle haben, durch u auf Null abgebildet werden. B. Bemerkung. Ein solches u ist ein lokaler Operator, d.h. seine Wirkung ist dieselbe auf Funktionen, die nahe a übereinstimmen: ) f1 ; f2 2 Fa H) u.f1 / D u.f2 /: f1 jU D f2 jU für eine offene Umgebung U von a

Abschnitt 3.4

Tangentiale Räume und Abbildungen

195

Aus der Voraussetzung folgt nämlich .f1 f2 /jU D 0, und dann weiter .f1 f2 /jU D 0 H) .f1 f2 /0 .a/ D 0 (TV.1) (TV.2) H) u.f1 f2 / D 0 H) u.f1 / u.f2 / D 0: C. Lemma (Produktregel). Ist u Tangentialvektor von Rn in a und sind f; g 2 Fa , so gilt: u.f g/ D f .a/ u.g/ C g.a/ u.f /: Beweis. Die Behauptung ist sukzessive äquivalent mit (TV.1) u.f g/ f .a/ u.g/ g.a/ u.f / D 0 () u f g f .a/ g g.a/ f D 0: Um die letzte Bedingung zu veriﬁzieren, zeigen wir: f g f .a/ g g.a/ f ist stationär in a. Die Ableitung hiervon in a ist aber tatsächlich: f .a/ g 0 .a/ C g.a/ f 0 .a/ f .a/ g 0 .a/ g.a/ f 0 .a/ D 0:

D. Beispiel. Für festes i 2 f1; : : : ; ng und alle f 2 Fa sei deﬁniert (1)

ui .f / WD .@i f /.a/:

ui ist also die Derivation, die der Funktion f die i -te partielle Ableitung von f in a zuordnet. Aus den Rechenregeln für partielle Ableitungen ist klar, dass die Differentialoperatoren ui die Axiome (TV.1), (TV.2) erfüllen, also Tangentialvektoren in a sind. Konvention: In diesem Zusammenhang ist es üblich, die Koordinaten von n-Tupeln auch mit hochgestellten Indizes zu bezeichnen. Diese hochgestellten Indizes dürfen natürlich nicht mit Potenzen verwechselt werden! In Zweifelsfällen muss man das im Kontext vermerken.

Die obige Deﬁnition von ui schreibt sich damit: ui .f / WD

ˇ @f ˇˇ @x i ˇa

196

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

E. Satz und Deﬁnition. Sei Ta Rn die Menge aller Tangentialvektoren von Rn in a 2 Rn : Ta Rn WD fu j u Tangentialvektor von Rn in ag : Dann ist Ta Rn ein n-dimensionaler reeller Vektorraum unter den natürlichen Verknüpfungen: .u1 C u2 /.f / D u1 .f / C u2 .f / (2)

8 2 R; f 2 Fa :

.u1 /.f / D u1 .f /

Man nennt Ta Rn den (abstrakten) Tangentialraum von Rn in a. Beweis. 1) Vektorraum-Axiome für Ta Rn : Für Ta Rn sind die Vektorraum-Axiome mit den Verknüpfungen (2) leicht zu bestätigen. Nullelement ist die Abbildung, die jedem f 2 Fa die Null in R zuordnet. Tatsächlich ist Ta Rn ein Untervektorraum des Vektorraums aller Abbildungen von Fp in R. 2) Basisbestimmung: Die Elemente u1 ; : : : ; un aus Beispiel D bilden eine Basis von Ta Rn : Es bezeichne nunmehr x j W Rn ! R die j -te Koordinatenfunktion: .t 1 ; : : : ; t n / 7! t j von Rn . Die Funktionen x j sind natürlich von der Klasse C 1 , und es gilt: (3)

ui .x j / D .@i x j /.a/ D ıij

(Kronecker-Symbol):

Dies hat zur Folge, dass die Koefﬁzienten in einer Linearkombination der Operatoren ui stets eindeutig bestimmt sind. Denn es gilt der Schluss: uD

n X

n X (2) ˛ i ui H) u.x j / D ˛ i ui .x j / D ˛ j :

iD1

iD1

Diese Operatoren sind also linear unabhängig, und für jedes u aus ihrem Spann gilt: (4)

uD

n X

u.x i / ui :

iD1

Zu zeigen bleibt, dass diese Gleichung für alle u 2 Ta Rn besteht. Hierzu betrachten wir zu gegebenem u 2 Ta Rn das neue Element v WD u

n X iD1

u.x i / ui 2 Ta Rn

Abschnitt 3.4

197

Tangentiale Räume und Abbildungen

und zeigen v.f / D 0 für alle f 2 Fa . Zunächst gilt laut (2) und (TV.1) v.f / D u.f /

n X

i

u.x / ui .f / D u f

iD1

„

n X

! ui .f / x

iD1

ƒ‚ DW h

i

:

…

Nun ist h stationär in a; denn .@j h/.a/ D .@j f /.a/

n X

ui .f / .@i x j /.a/ D .@j f /.a/ uj .f / D 0;

iD1

worin beim vorletzten Gleichheitszeichen (3) verwendet wurde. Nach (TV.2) folgt v.f / D 0. Diese Darstellung der u 2 Ta Rn rechtfertigt den Namen „Derivation“: Die Elemente u sind einfach die Linearkombinationen der Richtungsableitungen in Koordinatenrichtung, aufgefasst als Operatoren auf dem Funktionenraum FFa . Während diese speziellen Operatoren ui offensichtlich basisabhängig sind, ist der Tangentialraum Ta Rn selbst durch Deﬁnition E basisfrei erklärt. Die ui werden üblicherweise durch folgende Symbole bezeichnet: (5)

ˇ @ ˇˇ ui DW DW @i .a/; @x i ˇa

i D 1; : : : ; n:

Man nennt sie die Koordinaten-Vektoren von Rn in a. E. Zusatz. Die Koordinaten-Vektoren (5) bilden eine Basis des Tangentialraums Ta Rn . Für jedes u 2 Ta Rn besteht die Basisdarstellung

(6)

uD

n X iD1

ˇ @ ˇˇ u.x / @x i ˇa i

8 u 2 Ta Rn :

Beweis. Klar aus der obigen Basisbestimmung, speziell aus Gleichung (4).

198

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Man kann Ta Rn als einen Vektorraum begreifen, der an die Stelle a „angehängt“ ist. Seine Elemente sind ihrer Natur nach etwas anderes als die Vektoren von Rn , die sich in a antragen lassen. Anschaulich kann man sich Ta Rn als eine Glasscheibe vorstellen, die auf den Raum Rn aufgelegt ist. Schaut man durch die Scheibe hindurch, so entdeckt man unter der 0 2 Ta Rn direkt den Punkt a 2 Rn und direkt unter einem u 2 Ta Rn einen ganz bestimmten Vektor von Rn , was in Satz I präzisiert werden wird. Die Elemente von Ta Rn sind eine präzise Fassung dessen, was man intuitiv Vektoren mit Fußpunkt a nennt. Das Bild mit der Glasscheibe sollte man allerdings nicht überstrapazieren. Es wird nämlich an jeder Stelle von Rn ein anderer Tangentialraum angehängt. D.h. es gilt Ta Rn \ Tb Rn D ¿ für a ¤ b in Rn : Die Deﬁnitionsmengen der u 2 Ta Rn sind bereits verschieden von den Deﬁnitionsmengen der v 2 Tb Rn . Die paarweise disjunkten Vektorräume Ta Rn kann man natürlich zu einer großen Menge vereinigen und erhält auf diese Weise das sog. Tangentialbündel über Rn : [ (7) T Rn WD T a Rn : a2Rn

Es ist Beispiel eines sog. Vektorbündels. Solche Bündel spielen in weitergehenden Gebieten der Analysis eine wichtige Rolle; sie tragen dann noch zusätzliche Strukturen, von denen aber hier kein Gebrauch gemacht wird. Wie jeder Vektorraum besitzt auch der Tangentialraum einen Dualraum, der aus den über ihm deﬁnierten Linearformen besteht. (Zur Dualität vgl. die lineare Algebra, z.B. Kowalsky/Michler[2003], Abschnitt 3.6 oder Walter[1993], Abschnitt 1.3.) F. Deﬁnition. Der Kotangentialraum von Rn in a ist der Dualraum des Tangentialraums: (8)

Ta Rn WD .Ta Rn / :

Für f 2 Fa ist das Differential von f in a deﬁniert als .df /a 2 Ta Rn mit (9)

.df /a .u/ WD u.f /

8 u 2 T a Rn :

Abschnitt 3.4

199

Tangentiale Räume und Abbildungen

Dass die Zuordnung u 7! u.f / linear ist, folgt unmittelbar aus (2). In dem Ausdruck u.f / sind zwei Aspekte vereinigt: Läuft das f bei festem u, so beschreibt dies die Wirkung eines Tangentialvektors auf Funktionen. Läuft das u bei festem f , so beschreibt dies die Wirkung eines Differentials auf Tangentialvektoren. G. Satz (Rechenregeln für das Differential). Es gilt: .d.f C g//a D .df /a C .dg/a .d.f g//a D f .a/ .dg/a C g.a/ .df /a

8 f; g 2 Fa :

Beweis. Dies ist unmittelbar klar aus den Axiomen (TV.1), (TV.2) und Lemma C. Wir betrachten nun die Koordinatenfunktionen x i W Rn ! R und ihre Differentiale i D 1; : : : ; n:

.dx i /a ;

(10)

Diese werden die Koordinaten-Differentiale in a genannt. Dann gilt analog zum Zusatz zu E: H. Satz. Die Koordinaten-Differentiale (10) bilden eine Basis des Kotangentialraums Ta Rn . Diese Basis ist die Dualbasis zur Basis (5) des Tangentialraums Ta Rn . Für das Differential einer jeden Funktion f 2 Fa gilt die Basisdarstellung .df /a D

(11)

n X

.@i f /.a/ .dx i /a :

iD1

Beweis. Laut (9) und (3) gilt .dx j /a .@i .a// D .@i x j /.a/ D ıij . Dies beweist die Dualität und zugleich die Basiseigenschaft der .dx i /a . Zu (11): Wendet man beide Seiten von (6) auf f 2 Fa an, so folgt wiederum mit (9): u.f / D

n X iD1

.df /a u D

n X iD1

u.x i / .@i f /.a/ ! n X i .dx /a .u/ .@i f /.a/ D .@i f /.a/.dx /a .u/; i

iD1

also die Behauptung, da dies für alle u 2 Ta Rn gilt.

Nun kommen wir auf das zurück, was oben schon über die Relation zwischen den Vektoren von Ta Rn und denen von Rn anvisiert wurde. Jeder einzelne Tangentialraum Ta Rn ist isomorph zu Rn :

200

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

I. Satz. Die Abbildung (12) ja W Rn ! Ta Rn

.ja h/.f / WD f 0 .a/h

mit

8 h 2 Rn ; f 2 Fa

ist ein Vektorraum-Isomorphismus, und für jedes f 2 Fa kommutiert das Diagramm: R (13)

f 0 .a/

n

-

R

> .df /a

ja

d.h.:

f 0 .a/ D .df /a ı ja :

? T a Rn

Die erste Behauptung besagt: Jeder Vektor h 2 Rn kann vermöge ja aufgefasst werden als die Operation, die jeder Funktion f 2 Fa ihre Richtungsableitung in a längs h zuordnet. Die Korrespondenz zwischen den Elementen von Rn und denen von Ta Rn ist in dem obigen Bild nach (6) veranschaulicht. Gleichung (13) bedeutet: Bis auf den Isomorphismus ja sind f 0 .a/ und .df /a das Gleiche. Beweis von I. Zu (12), Linearität: Für h; k 2 Rn , ˛; ˇ 2 R gilt .ja .˛h C ˇk//.f / D f 0 .a/.˛h C ˇk/ D ˛ f 0 .a/h C ˇ f 0 .a/k D ˛ .ja h/.f / C ˇ .ja k/.f / D .˛ ja h C ˇ ja k/.f /: Da dies für alle f 2 Fa gilt, folgt durch Vergleich von Anfang und Ende: ja .˛h C ˇk/ D ˛ ja h C ˇ ja k. Man nennt einen solchen Schritt, der schon mehrfach vorgekommen ist (z.B. im Beweis von H) Löschen des Arguments (hier also von f ). Zu (12), Injektivität: Der Kern von ja ist 0: Aus ja h D 0 folgt f 0 .a/h D 0 für alle f 2 Fa . Wählt man f W Rn ! R linear, so ist f 0 .a/ D f , also f .h/ D 0 für alle f im Dualraum .Rn / , also laut linearer Algebra h D 0. Zu (13): Man rechnet mittels (9) und (12) .df /a ı ja .h/ D .ja h/.f / D f 0 .a/h für alle h 2 Rn .

Abschnitt 3.4

201

Tangentiale Räume und Abbildungen

J. Bemerkungen. (i)

Speziell folgt aus (12) für die Standard-Basisvektoren e1 ; : : : ; en von Rn : ja .ei / D @i .a/

in Übereinklang mit der Tatsache, dass die Richtungsableitungen längs der ei dasselbe sind wie die partiellen Ableitungen: Der Isomorphismus ja ist gerade so beschaffen, dass er die Standard-Basis von Rn in die Basis der Koordinaten-Vektoren von Ta Rn überführt. (ii) In der Situation von (13) gilt außerdem die Koppelung von f 0 .a/ mit dem Gradienten: .df /a .ja h/ D f 0 .a/h D h.grad f /a ; hi

8 h 2 Rn :

Somit bedeuten alle drei Begriffe f 0 .a/, .df /a und .grad f /a im Wesentlichen das Gleiche. Der Gradient nimmt allerdings Bezug auf die Euklidische Struktur von Rn , während f 0 .a/ und .df /a metrikfreie Objekte sind. Jetzt betrachten wir eine vektorwertige Abbildung

offen

Rn A

F !

F in a 2 A differenzierbar, b WD F .a/: R

m

So wie jedem Punkt a 2 Rn ein Vektorraum als Tangentialraum zugeordnet ist, wird nun der Abbildung F in jedem Punkt eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen zugewiesen: K. Satz. Die Abbildung F a W Ta Rn ! Tb Rm

mit

.F a u/.g/ WD u.g ı F /

8 g 2 Fb

ist linear. Sie heißt das Tangential (oder die induzierte Abbildung) von F in a. Beweis. 1) Aus g 2 Fb folgt g ı F 2 Fa : Aus der Stetigkeit von F in a folgt, dass die Abbildung g ı F in einer geeigneten Umgebung von a deﬁniert ist. Die Differenzierbarkeit von gıF ergibt sich dann nach der Kettenregel. Die Einschränkung auf eine geeignete Umgebung von a ist auch bei den folgenden Gleichungen zu beachten. 2) Aus u 2 Ta Rn folgt F a u 2 Tb Rm : Dazu sind für F a u die Axiome (TV.1), (TV.2) nachzuprüfen:

202

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Zu (TV.1): Zunächst gilt für g1 ; g2 2 Fb , ˛ 2 R .g1 C g2 / ı F D g1 ı F C g2 ı F .˛g1 / ı F D ˛ .g1 ı F /: Wendet man auf diese Gleichungen u 2 Ta Rn an und beachtet die Deﬁnition von F a , so folgt die Behauptung. Zu (TV.2): Für g 2 Fb gilt der Schluss: g 0 .b/ D 0 H) .g ı F /0 .a/ D g 0 .b/ ı F 0 .a/ D 0 H) u.g ı F / D 0: 3) Linearität von F a : Zunächst gilt für u1 ; u2 2 Ta Rn ; g 2 Fb ; 2 R nach (2) .u1 C u2 /.g ı F / D u1 .g ı F / C u2 .g ı F / .u1 /.g ı F / D u1 .g ı F /: Laut Deﬁnition von F a folgt hieraus, indem das Argument g gelöscht wird F a .u1 C u2 / D F a .u1 / C F a .u2 / F a .u1 / D F a .u1 /:

Damit ist alles bewiesen. L. Satz (Kettenregel für das Tangential). In der Situation

A

a2A

Rm offen ! ! F

b WD F .a/

Rn

B

! G

Rp

F in a differenzierbar G in b differenzierbar

gilt .G ı F / a D G b ı F a : Beweis. Sei c WD G.b/. Wir berechnen beide Seiten der Behauptung in ihrer Wirkung auf f 2 Fc und u 2 Ta Rn : ..G ı F / a u/.f / D u.f ı G ı F / ..G b ı F a u//.f / D .G b .F a u//.f /

K ı

D .F a u/.f ı G/

K

D u.f ı G ı F /

K:

Vergleich und Löschen der Argumente liefert die Behauptung.

Abschnitt 3.4

203

Tangentiale Räume und Abbildungen

M. Bemerkungen. (i)

Unmittelbar aus der Deﬁnition des Tangentials folgt .idA / a D idTa Rn :

(ii) Ist F W A ! B ein C 1 -Diffeomorphismus, so ist F a W Ta Rn ! Tb Rn ein Vektorraum-Isomorphismus. Dies folgt wie schon einmal (in Ana-2: F[10.2]) durch Anwendung der Kettenregel auf F 1 ı F D idA und F ı F 1 D idB . Wir reproduzieren das Argument von damals: Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich .F 1 / b ı F a D idTa Rn ;

F a ı .F 1 / b D idTb Rn :

Somit ist F a bijektiv mit der Umkehrung .F 1 / b , also .F 1 / b D .F a /1 : Das ist strukturell die gewohnte Formel. N. Satz. Das folgende rechteckige Diagramm ist kommutativ R

F 0 .a/

n

> .dF /a

ja ? T a Rn

-

F a

Rm jb ;

d.h. es gilt:

F a ı ja D jb ı F 0 .a/:

?

- Tb Rm

Wird das Differential .dF /a der vektorwertigen Abbildung F so deﬁniert: (14)

.dF /a WD jb1 ı F a ;

so sind auch die dreieckigen Teildiagramme kommutativ; es gilt also auch (15)

.dF /a D F 0 .a/ ı ja1 :

Beweis. Wir berechnen beide „Wege“ des rechteckigen Diagramms in ihrer Wirkung auf Argumente h 2 Rn ; g 2 Fb : (12) K .F a .ja h//.g/ D .ja h/.g ı F / D .g ı F /0 .a/ (12) .jb F 0 .a/h/.g/ D g 0 .b/F 0 .a/h:

204

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

Die rechten Seiten stimmen laut Kettenregel überein, also auch die linken. Das Löschen der Argumente h; g ergibt dann die Behauptung. Die Deﬁnitionsgleichung (14) zeigt bereits, dass das untere Dreieck kommutiert. Andererseits folgt aus (14) und dem schon bewiesenen ersten Teil: .dF /a ı ja D jb1 ı F a ıja D F 0 .a/, sodass auch das obere Dreieck kommutiert. Durch Umstellen ergibt sich hieraus (15). O. Bemerkungen. (i) Bis auf „Übersetzung“ mit den j ’s sind hiernach F 0 .a/, F a und .dF /a das Gleiche! Bei einiger Übung könnte man diese Abbildungen schließlich identiﬁzieren. Wir wollen das hier nicht tun, sondern die Dinge nach wie vor auseinanderhalten. Die Philosophie dabei ist folgende: Differentiale .dF /a sind auf abstrakten Tangentialräumen deﬁniert und haben Bilder in Vektorräumen. Sternabbildungen F a sind auf abstrakten Tangentialräumen deﬁniert und haben Bilder in abstrakten Tangentialräumen. Ableitungen F 0 .a/ sind auf Vektorräumen deﬁniert und haben Bilder in Vektorräumen. (ii)

Für m D 1 folgt die Koinzidenz von .df /a mit .dF /a aus (13).

(iii) Statt F 0 .a/ kann man generell auch .DF /.a/ schreiben (Ana-2: Zusatz zu A[10.2]), was allerdings zusätzliche Klammern erfordert. Man könnte auch DF .a/ schreiben, muss aber dann vereinbaren, dass die Bindung zwischen „D“ und „F “ stärker sein soll als die zwischen „F “ und „.a/“. Aus diesem Grunde, und weil das Symbol „D“ eigentlich schon anderweitig belegt ist („kovariantes Differential“), lassen wir diese Symbolik etwas im Hintergrund. P. Satz (Basisdarstellung des Tangentials). Die Matrix von F a W Ta Rn ! Tb Rm bez. der Basen .@i .a//1in von Ta Rn ;

.@j .b//1j n von Tb Rm

ist gerade die Funktionalmatrix von F in a, d.h. ˇ m X @F j ˇˇ F a @i .a/ D @j .b/; @x i ˇa j D1

wobei die F j die Komponenten von F sind.

Abschnitt 3.4

205

Tangentiale Räume und Abbildungen

Beweis. Für g 2 Fb rechnet man: .F a @i .a//.g/ D @i .a/.g ı F /

K

ˇ ˇ m X @g ˇˇ @F j ˇˇ D @y j ˇb @x i ˇb

Kettenregel

j D1

0

1 ˇ m jˇ X @F ˇ D@ @j .b/A .g/ @x i ˇa

(5)

j D1

Löschen des Arguments g gibt die Behauptung.

Obwohl die Dualisierung dieser Aussage im Folgenden nicht gebraucht wird, sei sie hier festgehalten: P. Zusatz. Für die zu F a duale Abbildung Fa W Tb Rm ! Ta Rn ist die Matrix bez. der Basen .dx i /a von Ta Rn ; .dy j /b von Tb Rm 1j m

1in

gleich der Transponierten der Funktionalmatrix von F in a, d. h. Fa ..dy j /b / D

ˇ n X @F j ˇˇ .dx i /a : @x i ˇa iD1

Beweis. Wie sich die Matrizen von lineare Abbildungen und dualen linearen Abbildungen gegeneinander verhalten, ist aus der linearen Algebra bekannt (Greub[1976], Abschnitt 2.30 oder Walter[1993], R[1.3]). Ein Spezialtyp von Abbildungen sind die Wege. Für deren Ableitungsvektoren hat man jetzt folgende neue Version: Q. Deﬁnition und Satz. Sei c W J ! Rn ein Weg, der in t0 2 J differenzierbar ist. Dann ist der (abstrakte) Tangentialvektor von c in t0 deﬁniert durch c .t0 / WD jc.t0 / .c 0 .t0 // 2 Tc.t0 / Rn : Äquivalent mit dieser Deﬁnition ist auch jede der folgenden Gleichungen: c .t0 /.f / D .f ı c/0 .t0 / 8 f 2 Fc.t0 / ! ˇ d ˇˇ : c .t0 / D c t0 dt ˇ t0

206

Kapitel 3

Mannigfaltigkeiten im Rn

In der letzten Gleichung bezeichnet das Argument von c t0 den (einzigen) KoordinatenVektor von R in t0 . Hier im Fall von Wegen darf t0 auch ein Randpunkt von J sein, wenn in ihm c (einseitig) differenzierbar ist. Beweis. Die behaupteten Äquivalenzen ergeben sich unmittelbar aus den Deﬁnitionen in den Sätzen I und K. R. Bemerkungen. (i) Die Symbole x i treten in zwei Bedeutungen auf: einmal als (Standard-)Namen für die Koordinaten in Rn , zum anderen als die Koordinatenfunktionen des Rn . Welche Bedeutung gemeint ist, geht aber aus dem Kontext hervor. (ii) Eigentlich wäre die Tangentialraum-Konstruktion im Falle des Rn nicht unbedingt nötig, da ja die Korrespondenz von Satz I besteht. Die Einführung der abstrakten Tangentialräume sorgt jedoch für die „Aufwärtskompatibilität“, wenn man abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet will. Dann verläuft die Deﬁnition der Tangentialräume und des Tangentials analog, aber der Isomorphismus im Sinne von Satz I geht verloren. (iii) Man hat versucht, Tangentialvektoren in a 2 Rn ohne Rückgriff auf die Stationärheit zu deﬁnieren, und zwar durch die Linearität wie in (TV.1) und die Produktregel wie in Lemma C, also durch die Axiome u.f C g/ D u.f / C u.g/;

u.˛f / D ˛ u.f /

u.f g/ D f .a/ u.g/ C g.a/ u.f /

für alle f; g 2 Fa , ˛ 2 R:

Die Operatoren u mit diesen Eigenschaften bilden einen Vektorraum, der Ta Rn umfasst, aber viel größer ist, nämlich von unendlicher Dimension (vgl. Newns/Walker [1956]). Dieser Vektorraum würde mit Ta Rn übereinstimmen, wenn man statt der Funktionenmenge Fa alle Funktionen betrachtete, die in einer offenen Umgebung von a deﬁniert und von der Klasse C 1 sind. Da diese Funktionenklasse nicht gegenüber C 1 -Diffeomorphismen invariant ist, kommt diese Möglichkeit nur im Rahmen der C 1 -Mannigfaltigkeiten in Betracht.

4

Differentialformen

Die Integralsätze – ein Hauptziel unserer Betrachtungen – sind am besten mit dem Kalkül der Differentialformen zu formulieren. Differentialformen sind und schon sehr früh begegnet, nämlich bei der Schreibweise von Integranden mit dem (immer etwas ominösen) „dx“ dahinter. Solche Ausdrücke bekommen jetzt eine inhaltliche Bedeutung, während sie bislang nur eine formale Merkhilfe waren, z.B. für die Substitutionsregel. Gleichzeitig werden diese Ausdrücke, die Differentialformen, aufs Höherdimensionale verallgemeinert. Damit einher geht eine Verallgemeinerung des Integralbegriffs aufs „Zwischendimensionale“, sodass z.B. ein- oder zweidimenionale Integrale im R3 sinnvoll werden. Das werden dann Kurven- oder Flächenintegrale sein. Man sollte also das, was von nun an über Mannigfaltigkeiten folgt, hauptsächlich unter dem Gesichtspunkt einer universellen Differential- und Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten betrachten. Wie so oft in der Mathematik ergeben sich auch hier durch den allgemeineren Standpunkt überraschende neue Ansichten, z.B. Beziehungen zur Topologie in Gestalt der sog. Kohomologie. Für solche Dinge wird also hier eine wichtige Vorarbeit geleistet.

4.1

Multilineare Algebra

Der Kalkül der Differentialformen hat einen algebraischen und analytischen Hintergrund. Zunächst geht es ums Algebraische. Zentral dafür ist die äußere Algebra, also das Studium der alternierenden Multilinearformen. Wichtig sind aber auch nichtalternierende Multilinearformen, z.B. symmetrische Bilinearformen bei Euklidischen Vektorräumen. Einige wenige Grundlagen für beliebige Multilinearformen werden hier mitentwickelt, insbesondere das Tensorprodukt. Nun ist die multilineare Algebra eigentlich ein Teilgebiet der linearen Algebra und sollte dort entsprechend gepﬂegt werden. Deshalb geben wir in diesem Abschnitt nur einen Abriss von Deﬁnitionen und Eigenschaften, soweit sie für die Analysis gebraucht werden. Die Beweise werden dabei meistens weggelassen. Diese sind aber nicht schwierig, nämlich in den meisten Fällen von rein rechnerischer Natur. Für die Details muss auf die Literatur zur lineare Algebra verwiesen werden (Greub[1976], Kap. 5 oder Walter[1993], Abschnitte 4.1, 4.4 und 4.5). V sei ein R-Vektorraum endlicher Dimension n. Zahlenindizes dienen hier i. Allg. der Nummerierung (nicht der Bezeichnung von Komponenten).

208

Kapitel 4

Differentialformen

Multilinearform der Stufe s auf V: Darunter versteht man eine Abbildung W V V ! R .v1 ; : : : ; vs / 7! .v1 ; : : : ; vs /; die linear in jedem Argument ist. Es sei Ls .V / WD die Menge der Multilinearformen der Stufe s auf V . Ls .V / ist selbst ein Vektorraum mit den argumentweisen Verknüpfungen: . C /.v1 ; : : : ; vs / WD .v1 ; : : : ; vs / C .v1 ; : : : ; vs / .˛/.v1 ; : : : ; vs / WD ˛ .v1 ; : : : ; vs /: Tensorprodukt von Multilinearformen: Zu 2 Ls .V / und 2 L t .V / deﬁniert man das Tensorprodukt ˝ 2 LsCt .V / durch . ˝ /.v1 ; : : : ; vs ; vsC1 ; : : : ; vsCt / WD .v1 ; : : : ; vs / .vsC1 ; : : : ; vsCt /: Spezialfälle: L1 .V / D V (der Dualraum); L0 .V / WD R. Das Tensorprodukt mit Elementen von L0 .V / ist die gewöhnliche Multiplikation mit reellen Zahlen; es wird auch durch einen Malpunkt oder bloßes Hintereinanderschreiben bezeichnet. Rechenregeln für das Tensorprodukt: .1 C 2 / ˝ D 1 ˝ C 2 ˝

)

˝ .1 C 2 / D ˝ 1 C ˝ 2 . ˝ / ˝ D ˝ . ˝ / WD ˝ ˝

Distributivgesetze Assoziativgesetz,

speziell wenn einer der drei Faktoren von der Stufe 0 (also D ˛ 2 R) ist: .˛/ ˝ D ˝ .˛/ D ˛. ˝ / DW ˛ ˝ : Die Beweise hierfür bestehen aus reiner Schreibarbeit! Aus den Rechenregeln folgt, dass das Tensorprodukt als Abbildung N W Ls .V / L t .V / ! LsCt .V / .; / 7! ˝ bilinear ist (also den Namen „Produkt“ zurecht verdient).

Abschnitt 4.1

209

Multilineare Algebra

Beispiel: Für s D t D 1 sind ; 2 V , also ˝ 2 L2 .V / mit . ˝ /.u; v/ D .u/ .v/: Hieran sieht man übrigens, dass i. Allg. ˝ ¤ ˝ gilt: Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ. Basisdarstellung: Sei 1 ; : : : ; n Basis von V . Dann ist jedes 2 Ls .V / eindeutig darstellbar als X i1 : : : is i1 ˝ ˝ is ; .i1 ; : : : ; is / 2 f1; : : : ; ngs : D „ ƒ‚ … i1 ; : : : ; is 2R Die Bedingung rechts besagt, dass die Indizes in der Summe unabhängig voneinander aller Zahlen von 1 bis n durchlaufen. Hieraus folgt für die Dimension: dim Ls .V / D ns : Beweis (Skizze). Ist a1 ; : : : ; an die Dualbasis in V zu 1 ; : : : ; n in V , so zeigt man D

X

.ai1 ; : : : ; ais / i1 ˝ ˝ is ;

i 1 ; : : : ; is wobei die Koefﬁzienten eindeutig bestimmt sind. Das ist eine gut zu merkendes Rezept: Man erhält die Koefﬁzienten als Auswertung des gegebenen auf den entsprechenden dualen Basisvektoren. Alternierungseigenschaft: Ein 2 Ls .V / heißt alternierend, falls .v.1/ ; : : : ; v.s/ / D sign .v1 ; : : : ; vs / für alle Argumente v1 : : : ; vs 2 V und alle Permutationen aus der symmetrischen Gruppe Ss gilt. Es sei As .V / WD f 2 Ls .V / j alternierendg: Dies ist ein Untervektorraum von Ls .V /. Ab s D n C 1 kann nur noch die Nullform alternierend sein, somit gilt As .V / D f0g

für s > n:

210

Kapitel 4

Differentialformen

Dachprodukt von alternierenden Multilinearformen: Zu 2 As .V / und 2 A t .V / deﬁniert man das Dachprodukt ^ 2 AsCt .V / durch . ^ /.v1 ; : : : ; vsCt / X 1 sign .v.1/ ; : : : ; v.s/ / .v.sC1/ ; : : : ; v.sCt/ /: WD sŠt Š 2SsCt

Spezialfälle: A1 .V / D L1 .V / D V ; A0 .V / D L0 .V / D R. Für das Dachprodukt mit Elementen von A0 .V / gilt die gleiche Schreibweise wie beim Tensorprodukt. Beispiel: Für s D t D 1 sind ; 2 V , also ^ 2 A2 .V / und . ^ /.u; v/ D .u/ .v/ .v/ .u/: In diesem Fall gilt also ^ D ˝ ˝ D ^ . Rechenregeln für das Dachprodukt: .1 C 2 / ^ D 1 ^ C 2 ^

)

^ .1 C 2 / D ^ 1 C ^ 2 . ^ / ^ D ^ . ^ / WD ^ ^

Distributivgesetze Assoziativgesetz

^ D .1/st ^ für 2 As .V /; 2 A t .V / Vorzeichenregel; speziell wenn einer der drei Faktoren von der Stufe 0 (also D ˛ 2 R) ist: .˛/ ^ D ^ .˛/ D ˛. ^ / DW ˛ ^ : Aus den Rechenregeln folgt, dass das Dachprodukt als Abbildung V W As .V / A t .V / ! AsCt .V / .; / 7! ^ bilinear ist (also wieder zurecht ein „Produkt“ genannt wird). Spezielle Auswertungsformel: Für 1 ; : : : ; s 2 V , v1 ; : : : ; vs 2 V gilt ˇ ˇ 1 ˇ .v1 / : : : 1 .vs / ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ :: :: (1) .1 ^ ^ s /.v1 ; : : : ; vs / D ˇ ˇ: : : ˇ ˇ ˇ s .v1 / : : : s .vs / ˇ Elemente der Gestalt 1 ˝ ˝ s mit 1 ; : : : ; s 2 V heißen zerlegbar in Ls .V /, solche der Gestalt 1 ^ ^ s heißen zerlegbar in As .V /.

Abschnitt 4.1

Multilineare Algebra

211

Basisdarstellung: Sei 1 ; : : : ; n Basis von V . Für 1 s n ist jedes 2 As .V / eindeutig darstellbar als X D i : : : i i 1 ^ ^ i s : „ 1ƒ‚ …s 1 i1 < < is n 2R Hierin laufen die Summationsindizes nicht mehr unabhängig von 1 bis n, sondern in der Anordnung wie am Summenzeichen angegeben. Hieraus folgt für die Dimension: ! n dim As .V / D : s Hinweis: In der Basisdarstellung kann statt der monotonen Anordnung der Indizes auch jede andere Anordnung gewählt werden, wenn nur jede s-elementige Teilmenge der Menge f1; : : : ; ng mindestens einmal als Indexkombination realisiert ist. Eindeutigkeit der Koefﬁzienten herrscht allerdings nur, wenn gewährleistet ist, dass jede solche Teilmenge genau einmal als Indexkombination realisiert ist. Z.B. lautet für n D 3 und s D 2 die Basisdarstellung eines Elements 2 A2 .V / entweder wie oben mit monotoner Anordnung D 12 1 ^ 2 C 13 1 ^ 3 C 23 2 ^ 3 oder mit zyklischer Anordnung D 12 1 ^ 2 C 23 2 ^ 3 C 31 3 ^ 1 ; wobei die Umrechnung besteht: 31 D 13 . Aber natürlich kann man z.B. auch schreiben D 12 1 ^ 2 C 23 2 ^ 3 C 313 1 ^ 3 231 3 ^ 1 ; nur sind dann die Koefﬁzienten von 1 ^ 3 und 3 ^ 1 nicht mehr eindeutig; denn es gilt genauso gut D 12 1 ^ 2 C 23 2 ^ 3 C 413 1 ^ 3 331 3 ^ 1 :

Aufgaben und Anmerkungen 1. Für 1 ; 2 2 Ls .V / und 1 ; 2 2 L t .V / zeige man: a)

Aus 1 ˝ 1 D 0 folgt 1 D 0 oder 1 D 0 (Nullteilerfreiheit).

212 b)

Kapitel 4

Differentialformen

Aus 1 ˝ 1 D 2 ˝ 2 ¤ 0 folgt: Es gibt Zahlen ˛; ˇ 2 R mit ˛ˇ D 1 und 1 D ˛2 , 1 D ˇ2 .

2. Für 1 ; : : : ; s 2 V zeige man: a)

1 ; : : : ; s sind dann und nur dann linear abhängig, wenn 1 ^ ^ s D 0.

b)

Für 2 V gilt ^ D 0. Gilt das auch für alternierende Formen der Stufe > 1?

4.2

Äußerer Kalkül

Wir haben jedem Punkt a 2 Rn einen eigenen Tangentialraum Ta Rn verschafft. Diese Tangentialräume variieren von Punkt zu Punkt. Tangentialräume an verschiedenen Stellen des Rn haben allein aufgrund ihrer Deﬁnition nichts miteinander zu tun: Man kann Elemente von Ta Rn und Tb Rn für a ¤ b z.B. nicht miteinander vergleichen oder sie addieren; denn es gilt Ta Rn \ Tb Rn D ¿. Allerdings erlaubt die besondere Struktur von Rn als Vektorraum, dass jeder Tangentialraum Ta Rn kanonisch isomorph zu Rn selber ist. Wenn später der Begriff des Tangentialraums aufs Nichtlineare ausgedehnt wird, so geht eine solche Isomorphie allerdings verloren. Die Ortsabhängigkeit der Tangentialräume bewirkt, dass für jeden Punkt a 2 Rn eine separate multilineare Algebra aufgebaut werden kann, nämlich fußend auf dem jeweiligen Tangentialraum Ta Rn . Hierauf gründen sich entsprechende Feldbegriffe. Man kann z.B. an jeder Stelle a eine (symmetrische) Bilinearform vorgeben und spricht dann von einem Feld von (symmetrischen) Bilinearformen, usw. Wir deﬁnieren zunächst solche Tensorfelder und gehen dann rasch zu einer analytischen Operation für alternierende Tensorfelder, d.h. für Differentialformen über. Das wird das äußere Differential sein. A. Deﬁnition. Sei A Rn eine nichtleere Teilmenge. (i)

Ein Vektorfeld X auf A ordnet jedem a 2 A genau ein Element Xa 2 Ta Rn zu.

(ii)

Eine Pfaffsche Form ! auf A ordnet jedem a 2 A genau ein Element !a 2 Ta Rn zu.

(iii)

Ein kovariantes Tensorfeld der Stufe s auf A ordnet jedem a 2 A genau ein Element a 2 Ls .Ta Rn / zu.

(iv)

Eine alternierende Differentialform ! der Stufe s auf A ordnet jedem a 2 A genau ein Element !a 2 As .Ta Rn / zu. Statt „alternierender Differentialform“ der Stufe s sagt man auch äußere Differentialform der Stufe s, kurz: Differentialform oder s-Form.

Abschnitt 4.2

213

Äußerer Kalkül

Differentialformen sind hiernach spezielle kovariante Tensorfelder, nämlich solche die an jeder Stelle a 2 A alternierend von den vektoriellen Argumenten aus Ta Rn abhängen. Bezeichnungen: Statt Xa wird auch X ja oder X.a/ geschrieben, und entsprechend bei den anderen Objekten. Dies ist z.B. nötig, wenn der „Indexplatz“ bereits vergeben ist, z.B. für eine Nummerierung. Meistens werden Differentialformen (speziell Pfaffsche Formen) durch ! oder ähnliche Buchstaben bezeichnet, z.B. auch durch (was dann natürlich nichts mit 3;14159 : : : zu tun hat!). Eine Differentialform fällt genauso unter den Feldbegriff wie die anderen hier genannten Objekte, obwohl sich das nicht in der Namensgebung widerspiegelt. B. Beispiele. (i) Jedes @x@ i D @i ist ein Vektorfeld auf Rn mit den Werten @i heißen Koordinaten-Vektorfelder.

ˇ

@ ˇ ˇ @x i a

D @i .a/. Diese

(ii) Jedes dx i ist eine Pfaffsche Form auf Rn mit den Werten .dx i /a . Diese dx i heißen Koordinaten-Differentiale. (iii) Ist f W Rn ! R differenzierbar, so ist df die Paffsche Form mit Werten .df /a 2 Ta Rn . Man nennt df das Differential von f . Analoge Begriffe hat man natürlich für A anstelle Rn . C. Bemerkungen. (i) Die Zielmenge eines Vektorfeldes X auf A ist eine Vereinigung von (disjunkS n ten) Vektorräumen, nämlich das Tangentialbündel T A WD a2A Ta R über A ; vgl. (7)[3.4]. Genauer: X ist eine Abbildung des Typs X W A ! T A mit der zusätzlichen Eigenschaft: X.a/ 2 Ta Rn für alle a 2 A. Eine solche Abbildung heißt in der Sprache der Vektorbündel ein Schnitt. Entsprechendes gilt für die anderen Begriffe in Deﬁnition A. (ii)

Eine 1-Form ist kraft Deﬁnition dasselbe wie eine Pfaffsche Form.

Grundsatz für solche Felder: Algebraische Operationen (C; ; ˝; ^; : : :) werden punktweise ausgeführt, ebenso das Einsetzen. Z.B. gilt, wenn auf A zwei Pfaffsche Formen ! und und ein Vektorfeld X gegeben sind: .! ^ /a WD !a ^ a ;

.!.X//a WD !a .Xa /

jeweils für alle a 2 A. Beachte: !.X / ist dann eine reelle Funktion auf A. Sobald differenziert wird, ist die Deﬁnitionsmenge A als offen anzunehmen (mit gewissen Ausnahmen im eindimensionalen Fall).

214

Kapitel 4

Differentialformen

D. Lemma. Für differenzierbares f W A ! R gilt

df D

n X @f dx i : @x i iD1

Beweis. Dies ergibt sich direkt aus der Formel (11)[3.4] unter Anwendung der obigen punktweisen Deﬁnition. Ebenso gilt: Da sich die @x@ i bzw. die dx i an jeder Stelle a zu Basen von Ta Rn bzw. Ta Rn auswerten, bestehen folgende Standard-Darstellungen für unsere Objekte:

XD

Vektorfeld:

n X

i

iD1

Pfaffsche Form:

!D

n X

@ @x i

i dx i

iD1

Kovariantes Tensorfeld der Stufe s:

D

X

i1 :::is dx i1 ˝ ˝ dx is :

i1 ;:::;is

!D

s-Form:

X

i1 :::is dx i1 ^ ^ dx is :

1i1 <
Die Koefﬁzienten i usw. sind dabei jeweils reelle Funktionen auf A. Bzgl. der Summationsvorschrift der letzten Zeile gilt wiederum das am Ende von 4.1 Gesagte. E. Deﬁnition. Ein solches Objekt heißt von der Klasse C r , wenn alle seine Koefﬁzienten in der obigen Standard-Darstellung von der Klasse C r sind. Bezeichnungen: Xr .A/ WD Menge der Vektorfelder auf A der Klasse C r rs .A/ WD Menge der s-Formen auf A der Klasse C r r0 .A/ D C r .A/ Menge der C r -Funktionen von A in R: Statt 1 s .A/ schreibt man auch s .A/. Das ist also die Menge aller s-Formen auf A der Klasse C 1 . Entsprechend bedeutet das Weglassen der oberen Marke bei den anderen Symbolen, dass es sich um die Klasse C 1 handelt.

Abschnitt 4.2

215

Äußerer Kalkül

Natürlich gilt X0 .A/ X1 .A/ X2 .A/ X1 .A/ D X.A/ D

\

Xr .A/

r0

0s .A/ 1s .A/ 2s .A/ 1 s .A/ D s .A/ D

\

rs .A/:

r0

Alle diese Mengen sind zumindest Vektorräume (unendlicher Dimension), aber mit zusätzlichen Produktverknüpfungen, z.B. V

W rs .A/ rt .A/ ! rsCt .A/

mit den entsprechenden Rechenregeln wie in 4.1: .!1 C !2 / ^ D !1 ^ C !2 ^ ! ^ .1 C 2 / D ! ^ 1 C ! ^ 2 .! ^ / ^ D ! ^ . ^ / WD ! ^ ^ ! ^ D .1/st ^ !

(s die Stufe von !, t die Stufe von ):

Die zentrale analytische Operation ist ein Differentiationsprozess für Differentialformen, der die Stufe um 1 anhebt, und für die Stufe 0, d.h. für Funktionen, einfach das obige Differential ist: (1)

dW

10 .A/

!

01 .A/

f

7!

df:

Hierfür folgt aus G[3.4] die Produktregel: d.fg/ D f dg C g df: Der Operator d aus (1) soll jetzt auf höhere Stufen erweitert werden. Dafür verlangen wir naheliegende Rechenregeln und beweisen, dass es genau einen Operator gibt, der diese erfüllt: F. Satz. Für jedes s 2 N0 existiert genau ein Operator d W 1s .A/ ! 0sC1 .A/; sodass Folgendes gilt:

216

Kapitel 4

Differentialformen

(i)

Für s D 0 ist d durch (1) gegeben.

(ii)

d ist linear.

(iii)

d.df / D 0

8 f 2 20 .A/

(iv)

d.f !/ D df ^ ! C f d!

8 f 2 10 .A/; ! 2 1s .A/

(v)

d! D 0; d D 0 H) d.! ^ / D 0

8 ! 2 1s .A/; 2 1t .A/.

d heißt äußeres Differential. Beweis. Eindeutigkeit: Für gegebenes X

(2) ! D

1 j1 < < js n

j1 : : : js dx j1 ^ ^ dx js 2 1s .A/

folgt mit den vorgeschriebenen Regeln: X d j1 : : : js dx j1 ^ ^ dx js d! D

mit s 1

(ii)

<

D

X

d j1 : : : js ^ dx j1 ^ ^ dx js

<

C j1 : : : js d.dx j1 ^ ^ dx js /

(iv);

wobei die Summationsvorschrift beibehalten (aber nur in Kurzform angeschrieben) ist. Zwischenbehauptung: d.dx j1 ^ ^ dx js / D 0. Zwischenbeweis: Vollständige Induktion nach s D 1; 2; : : :: Induktionsanfang s D 1: d.dx j1 / D 0 aus (iii) da x j 2 0 .A/. Induktionsschluss „s 1 H) s“: Wir schreiben die linke Seite der Behauptung mit geeigneter Klammerung und wenden (v) auf das Dachprodukt beim Pfeil an: # d .dx j1 ^ ^ dx js1 / ^ „ƒ‚… dx js D 0: „ ƒ‚ … e e ! Es ist d e ! D 0 nach Induktionsvoraussetzung und d e D d.dx js / D 0 nach (iii).

Abschnitt 4.2

217

Äußerer Kalkül

Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen, und es folgt aus der obigen Formel: d! D

(3)

X 1 j1 < < js n

d j1 : : : js ^ dx j1 ^ ^ dx js :

Dies ist eine notwendige Konsequenz aus den Regeln (i) – (v) und zeigt damit die Eindeutigkeit von d . Existenz: Wir zeigen: Das so hergeleitete d tut es, erfüllt also (i) – (v): Zu (i), (ii): Dies ist ohne Schreibarbeit zu sehen. Zu (iii): Mit der Formel in Lemma D folgt (alle Indizes laufen von 1 bis n): X @f d.df / D d ^ dx j @x j j XX @2 f i j D fij dx ^ dx fj i WD i j D fij @x @x j i X X fij dx i ^ dx j C fij dx i ^ dx j (beachte: dx i ^ dx i D 0) D i <j

D

X i <j

D

X

i>j

fij dx i ^ dx j

X

fj i dx i ^ dx j

j >i

(beachte: dx j ^ dx i D dx i ^ dx j )

.fij fj i / dx i ^ dx j D 0:

i <j

Bei der vorletzten Umformung wurden i; j zunächst umbenannt und dann die angeschriebene Vorzeichenregel eingebracht. Insgesamt ist die Symmetrie der gemischten zweiten Ableitungen zu berücksichtigen (hier geht die C 2 -Voraussetzung für f ein). Zu (iv): Wir rechnen für das ! aus (2) folgendermaßen: X d.f !/ D d f j1 : : : js dx j1 ^ ^ dx js < X D d.f j1 : : : js / ^ dx j1 ^ ^ dx js < X D .f d j1 : : : js C j1 : : : js df / ^ dx j1 ^ ^ dx js <

218

Kapitel 4

Df

X < „

Differentialformen

d j1 : : : js ^ dx j1 ^ ^ dx js ƒ‚ … d! X C df ^ j1 : : : js dx j1 ^ ^ dx js : < „ ƒ‚ … !

Zu (v): 1. Fall der „Monome“: (4)

Dann ist

! D W dx i1 ^ ^ dx is ;

1 i1 < < is n

D P dx j1 ^ ^ dx j t ;

1 j1 < < j t n:

! ^ D W P dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t :

1.a. Unterfall: fi1 ; : : : ; is g \ fj1 ; : : : ; js g ¤ ¿. Dann ist ! ^ D 0, d! ^ D 0, ! ^d D 0, da jeweils zwei gleiche Faktoren der Stufe 1 an verschiedenen Positionen des Dachprodukts stehen. 1.b. Unterfall: fi1 ; : : : ; is g \ fj1 ; : : : ; js g D ¿. Dann sei dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t D " dx k1 ^ ^ dx ksCt mit " 2 f1; 1g; also

k1 < < ksCt ;

! ^ D "W P dx k1 ^ ^ dx ksCt :

Daraus folgt durch weitere Rechnung: d.! ^ / D d."W P / ^ dx k1 ^ ^ dx ksCt D ".P d W C W dP / ^ dx k1 ^ ^ dx ksCt D .P d W C W dP / ^ dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t D P d W ^ dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t C W dP ^ dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t D P d W ^ dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t C .1/s W dx i1 ^ ^ dx is ^ dP ^ dx j1 ^ ^ dx j t :

Abschnitt 4.2

219

Äußerer Kalkül

Beim letzten Schritt wurde das dP nach rechts hin „durchgeschoben“, d.h. solange mit seinem jeweiligen rechten Nachbarn vertauscht, bis es an „seinem“ Platz steht. Dazu sind s Nachbarvertauschungen nötig, also insgesamt s Vorzeichenwechsel. Zusammengefasst: (5)

d.! ^ / D d! ^ C .1/s ! ^ d :

Dies gilt auch bei Fall 1.a.; denn alle drei Terme sind dann Null. 2. Fall: ! und sind Summen solcher Monome. Dann ergibt sich (5) wegen der Additivität von d und der Bilinearität des Dachprodukts. In jedem Fall folgt aus d! D 0 und d D 0 auch d.! ^ / D 0, also (v).

Damit hat sich aus der „rudimentären“ Produktregel F(v) zwangsläuﬁg folgende Präzisierung ergeben: G. Folgerung. Für ! 2 1s und 2 1t gilt stets die Produktregel (5).

H. Bemerkung. Aus der expliziten Vorschrift (3) für d! liest man ab: ! 2 rs .A/; r 1

H)

d! 2 r1 sC1 .A/:

I. Folgerung. Für ! 2 2s .A/ gilt stets d.d!/ D 0: Beweis. O.B.d.A. sei wieder ! ein Monom (4). Dann ist d! D d W ^dx i1 ^ ^dx is und weiter nach Folgerung G d.d!/ D d.d W / ^ dx i1 ^ ^ dx is C .1/ d W ^ d.dx i1 ^ ^ dx is / D 0: In dieser Summe ist d.d W / D 0 nach F(iii), und der Faktor nach d W im zweiten Summanden ist 0, wie im Beweis von Satz F begründet. Die Gesamtheit der Rechenregeln für das Dachprodukt ^ und das äußere Differential d ist der sog. äußere Kalkül, der auf É. Cartan zurückgeht, nachdem Grassmann den algebraischen Teil erfunden hatte. J. Bemerkung. Der äußere Kalkül kann ausgeführt werden, ohne auf die inhaltliche Deﬁnition der Operationen zurückzugreifen. Es gibt sozusagen eine Benutzeroberﬂäche. Falls nämlich die Differentialformen als Summen von Monomen:

W dx j1 ^ ^ dx js

jeweils gleicher Stufe darstellt sind, genügt Folgendes:

220

Kapitel 4

Differentialformen

Praktische Regeln (Benutzeroberﬂäche) des äußeren Kalküls: 1)

Gliedweise Addition „gleichartiger“ Terme:

.W dx i1 ^ ^ dx is / C .P dx i1 ^ ^ dx is / D .W C P / dx i1 ^ ^ dx is : 2)

Distributivgesetz von ^ gegenüber C.

3)

Hintereinanderschreiben der Differentiale: .W dx i1 ^ ^ dx is / ^ .P dx j1 ^ ^ dx j t / D W P dx i1 ^ ^ dx is ^ dx j1 ^ ^ dx j t :

4)

Vertauschungsregeln:

dx k1 ^ ^ dx k ^ ^ dx k ^ ^ dx kp D ( 0; falls k D k und ¤ D k k k k p 1 dx ^ ^ dx ^ ^ dx ^ ^ dx ; falls ¤ .

5) df D

n X @f dx i : @x i i D1

6)

d linear.

7)

d.W dx i1 ^ ^ dx is / D d W ^ dx i1 ^ ^ dx is .

K. Beispiel. Für n D 3 sollen für alle möglichen Stufen die äußeren Differentiale ausgerechnet werden, wobei die Koordinatenfunktionen klassisch bezeichnet seien (x 1 DW x, x 2 DW y, x 3 DW z) und partielle Ableitungen durch Indizes markiert werden. Lösung: (i)

Stufe 0: !0 D f : d!0 D df D fx dx C fy dy C fz dz:

Abschnitt 4.2

(ii)

221

Äußerer Kalkül

Stufe 1: !1 D P dx C Q dy C R dz. d!1 D dP ^ dx C dQ ^ dy C dR ^ dz D

.Px dx C Py dy C Pz dz/ ^ dx C .Qx dx C Qy dy C Qz dz/ ^ dy C .Rx dx C Ry dy C Rz dz/ ^ dz

D

0 C Py dy ^ dx C Pz dz ^ dx C Qx dx ^ dy C 0 C Qz dz ^ dy C Rx dx ^ dz C Ry dy ^ dz C 0

D .Ry Qz / dy ^ dz C .Pz Rx / dz ^ dx C .Qx Py / dx ^ dy: Hinweis: Die zyklische Anordnung dy ^ dz, dz ^ dx, dx ^ dy ist hier wichtig, auch in der nächsten Stufe! (iii)

Stufe 2: !2 D A dy ^ dz C B dz ^ dx C C dx ^ dy. d!2 D dA ^ dy ^ dz C dB ^ dz ^ dx C dC ^ dx ^ dy D

.Ax dx C Ay dy C Az dz/ ^ dy ^ dz C .Bx dx C By dy C Bz dz/ ^ dz ^ dx C .Cx dx C Cy dy C Cz dz/ ^ dx ^ dy

D .Ax C By C Cz / dx ^ dy ^ dz: (iv)

Stufe 3: !3 D W dx ^ dy ^ dz. d!3 D 0;

da d!3 von der Stufe 4. (v)

Hierbei treten automatisch die folgenden Bildungen auf: grad f D .fx ; fy ; fz / rot F D rot .P; Q; R/ WD .Ry Qz ; Pz Rx ; Qx Py / „ ƒ‚ … F div G D div .A; B; C / WD Ax C By C Cz „ ƒ‚ … G

Gradient Rotation Divergenz:

Man ﬁndet hier also den Gradienten wieder. Aber was noch interessanter ist: Man kann ein Tripel von reellen Funktionen als F D .P; Q; R/ in eine 1-Form oder als

222

Kapitel 4

Differentialformen

G D .A; B; C / zyklisch in eine 2-Form des R3 einbauen, und das äußere Differential produziert dann von alleine die Operationen Rotation und Divergenz, allerdings abhängig von der Art und Weise des Einbaus. Der Gradient ordnet einer skalaren Funktion f ein Vektorfeld zu, die Rotation ordnet einem Vektorfeld F ein Vektorfeld zu, die Divergenz einem Vektorfeld G eine skalare Funktion. Vektorfelder sind dabei einfach als R3 -wertige Abbildungen aufgefasst. Diese sind isomorph zu Vektorfeldern, wie oben in A deﬁniert. Der genaue Zusammenhang wird in den folgenden Bemerkungen O beschrieben. Die Operationen Gradient, Rotation, Divergenz sind wesentliche Elemente der klassischen Vektoranalysis. Diese ist zu großen Teilen im äußeren Kalkül enthalten. Dementsprechend kann man die Vektoranalysis als Teil des universellen Kalküls der äußeren Differentialformen behandeln, was wir auch tun werden. (vi) Die universelle Regel d.d!/ D 0 spaltet hier in die folgenden Annullierungsregeln auf rot .grad f / D 0;

div .rot F / D 0:

L. Deﬁnition. Man nennt (i)

! 2 1s .A/ geschlossen, wenn d! D 0;

! 2 rC1 ! . Ein (ii) ! 2 rs .A/ mit s 1 exakt, wenn ein e s1 .A/ existiert mit ! D d e solches e ! heißt dann eine Stammform von !. Gelegentlich taucht eine etwas schwächere Variante der Exaktheit auf: % L. Zusatz (zu Deﬁnition L). Existiert zu ! 2 rs .A/ mit s 1 ein e ! 2 s1 .A/ mit % % ! eine C -Stammform !Dde ! und einem % 2 Œ1; r, so nennen wir ! C -exakt und e von !.

M. Folgerung. Für ! 2 rs .A/ mit r 1 und s 1 gilt der Schluss ! exakt H) ! geschlossen: Beweis. Dies ist klar aus Folgerung I: ! D d ! H) d! D d.d !/ D 0.

Das Aufﬁnden einer Stammform e ! zu einer gegebenen Form ! ist vergleichbar mit der Aufgabe, zu einer (stetigen) Funktion einer Veränderlichen eine Stammfunktion zu bestimmen. Tatsächlich besitzt eine 1-Form ! auch hier eine skalare Funktion als Stammform (der Stufe 0), wenn sie geschlossen ist und die Deﬁnitionsmenge eine bestimmte Gestalt besitzt. Das werden wir bei den Kurvenintegralen im nächsten Abschnitt sehen (O[4.3] und T[4.3]). In den höheren Stufen ist das ähnlich (vgl. das

Abschnitt 4.2

223

Äußerer Kalkül

Lemma von Poincaré A[7]). Das ist überhaupt der Unterschied zum Eindimensionalen: Zur Existenz einer Stammform von ! sind rechnerische Bedingungen notwendig (d! D 0) und erst zusammen mit Anforderungen an die Gestalt der Deﬁnitionsmenge werden diese hinreichend. Die rechnerische Voraussetzung d! D 0 wird als Integrabilitätsbedingung des Stammformenproblems für ! bezeichnet. Analytisch gesehen, ist das Stammformenproblem eine Integrationsaufgabe, da der Operator d ein Differentialoperator ist. Warnung: Beim Übergang von der Formel (2) für ! zur Formel (3) für d! muss man beachten, dass (2) eine Basisdarstellung mit eindeutigen Koefﬁzienten ist, nicht jedoch (3). Der Grund ist natürlich, dass die d j1 : : : js keine Skalare sind, sondern Pfaffsche Formen. An den obigen Beispielen ist bereits deutlich geworden, wie man von (3) aus zu einer Darstellung mit eindeutigen Koefﬁzienten gelangt: Man muss die Differentiale d j1 : : : js nach der Regel in Lemma D entwickeln und das Resultat mit geeigneter Anordnung der Summationsindizes neu aufschreiben, z.B. mit der monotonen Anordnung (oder auch anders, wie am Ende von Abschnitt 4.1 beschrieben). N. Beispiel. Wir wollen dies nochmals am Beispiel einer Pfaffschen Form !D

X

j dx j

j

verdeutlichen. Wir rechnen ähnlich wie oben bei F(iii), wobei alle Indizes von 1 bis n laufen (mit den angegebenen Einschränkungen): d! D

X

d j ^ dx j

j

X X @j i D dx ^ dx j @x i j

i

X @j X @j i j D dx ^ dx C dx i ^ dx j @x i @x i i<j

D

i>j

X @j X @i dx i ^ dx j C dx j ^ dx i i @x @x j i<j

j >i

X @j X @i dx i ^ dx j dx i ^ dx j i @x @x j i<j j >i X @j @i D j dx i ^ dx j : i @x @x D

i<j

224

Kapitel 4

Differentialformen

Im letzten Ausdruck sind nun wirklich die skalaren Koefﬁzienten von dx i ^ dx j eindeutig bestimmt, sodass z.B. das Verschwinden von d! mit dem Verschwinden diese Koefﬁzientenfunktionen äquivalent ist. O. Bemerkungen. (i) Sei A offen in Rn . Ein Vektorfeld X auf A in abstrakter Auffassung wird durch die Deﬁnition A(i) erfasst. Daneben gibt es aber auch Vektorfelder in konkreter Auffassung, nämlich deﬁniert als Abbildungen F W A ! Rn . Der Unterschied ist lediglich in den Abbildungen j von I[3.4] begründet: Zu F kann man nämlich bilden: X.x/ WD jx .F .x// für alle x 2 A und erhält ein X im abstrakten Sinne. Umgekehrt kann man zu X bilden: F .x/ WD jx1 .X.x// für alle x 2 A und erhält ein F im konkreten Sinne. Wir verwenden wahlweise beide Auffassungen. (ii) Sind F; X in dieser Weise gekoppelt, so bedeutet dies, dass sie in den entsprechenden Basisdarstellungen gleiche Koefﬁzienten haben; vgl. J(i)[3.4]: F D

n X

i ei ;

XD

iD1

n X iD1

i

@ : @x i

Man kann dann noch die zugehörige Pfaffsche Form bilden, wiederum durch die Vorschrift gleicher Koefﬁzienten. ! WD

n X

i dx i :

iD1

(iii) Ein stetiges Vektorfeld F auf der offenen Menge A Rn in konkreter Auffassung heißt konservativ oder exakt oder ein Gradientenfeld, wenn es eine C 1 Funktion f W A ! Rn gibt, sodass F D grad f . Ein solches f wird nicht nur als Stammfunktion sondern auch als Potential von F bezeichnet. Ein stetiges Vektorfeld X auf A Rn in abstrakter Auffassung heißt exakt, wenn die zugehörige Pfaffsche Form exakt ist. F ist dann und nur dann exakt, wenn seine abstrakte Auffassung X exakt ist. In Koefﬁzienten ausgedrückt, bedeutet nämlich beides die Existenz einer C 1 -Funktion f W A ! Rn mit i D

@f ; @x i

i D 1; : : : ; n:

X bzw. F heißt geschlossen, wenn es C 1 ist und die zugehörige Pfaffsche Form ! geschlossen ist, d.h. d! D 0 erfüllt. Mit der obigen Regel in N bedeutet dies für die Komponenten i : @ j @ i D ; i; j D 1; : : : ; n: j @x @x i

Abschnitt 4.2

225

Äußerer Kalkül

An diesen Formeln kann man nochmals bestätigen, dass aus der Exaktheit die Geschlossenheit folgt, wenn die i zweimal stetig differenzierbar sind: i D

@f @ i @2 f @2 f @ j H) D j i D i j D : i j @x @x @x @x @x @x @x i

(iv) In der Dimension n D 3 hat man für ein Vektorfeld F zwei verschiedene Exaktheitsbegriffe, je nachdem die drei Komponenten von F in eine 1-Form !1 eingebaut werden (das ist der obige Standard) oder in eine 2-Form !2 . Damit hat man in dieser speziellen Dimension die folgenden Namengebungen: (6)

F D grad f

() W f Potential von F

(notwendig: rot F D 0)

(7)

F D rot G

() W G Vektorpotential von F

(notwendig: div F D 0):

Im Fall (6) ist das Potential f eine skalare Funktion, und die erste Gleichung ist die Übersetzung von !1 D df . Im Fall (7) ist das Vektorpotential G eine Vektorfeld, und die erste Gleichung ist die Übersetzung von !2 D d!1 Das Hauptroblem besteht darin, bei gegebenem F ein Potential f bzw. ein Vektorpotential G zu ﬁnden. Notwendige (jedoch nicht generell hinreichende) Bedingungen für die Existenz von f bzw. G sind oben mitnotiert. Dabei ist F von der Klasse C 1 vorausgesetzt. Vgl. Beispiel K. Gilt rot F D 0, so heißt F wirbelfrei, gilt div F D 0, so heißt F quellenfrei oder divergenzfrei. Deutungen dieser Begriffe werden in H[5.5] erfolgen. Mit diesen Zusammenhängen werden wir uns gleich ab Abschnitt 4.3 befassen, wobei es sinnvoll ist, dies primär in der Sprache der Differentialformen zu tun und dann die Übersetzung auf Vektorfelder vorzunehmen. Denn man sieht schon hier, wie die Dinge für Differentialformen eine systematische Gestalt annehmen, während die Bildungen der klassischen Vektoranalysis doch etwas heterogen und schwer zu behalten sind.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Aus den folgenden Differentialformen des R3 (in klassischer Notation) !0 WD f !1 WD P dx C Q dy C R dz !2 WD A dy ^ dz C B dz ^ dx C C dx ^ dy !3 WD g dx ^ dy ^ dz bilde man alle Dachprodukte !i ^ !j mit 0 i < j 3 sowie auch !1 ^ 1 , wobei 1 WD L dx C M dy C N dz. Dabei sind die Koefﬁzienten f; P; Q; : : : auf R3 deﬁnierte Funktionen. Man beobachte, welche bereits bekannten Produktbildungen (z.B. Skalarprodukt, Vektorprodukt) sich hiermit automatisch einstellen.

226

Kapitel 4

Differentialformen

2. Seien !i sowie 1 wie in Aufgabe 1 Differentialformen im R3 mit C 1 -Koefﬁzienten. Desweiteren deﬁniere man mit der C 1 -Abbildung f W R3 ! R die 0-Form 0 D f . Man berechne die Ausdrücke für d.j ^ !i / mit 0 j i. Damit beweise man für e auf R3 die folgenden Formeln der klassischen VektoranaC 1 -Vektorfelder Q; B; Q lysis: a)

rot .f Q/ D f rot Q C grad f Q

b)

div .f B/ D f div B C hgrad f; Bi

c)

e D hrot Q; Qi e hQ; rot Q/i. e div .Q Q/

4.3

Kurvenintegrale

Wie schon angekündigt, treten Differentialformen insbesondere als Integranden von „zwischendimensionalen“ Integralen auf. Dabei werden Differentialformen der Stufe p über p-dimensionale Gebilde (Flächenstücke oder Mannigfaltigkeiten) im Rn integriert. Diese allgemeine Theorie wird im nächsten Kapitel aufgebaut. Hier studieren wir den Fall p D 1. Das Ziel ist, Differentialformen der Stufe 1 längs Wegen zu integrieren. Dadurch entstehen die sog. Kurvenintegrale. Beispiele von Kurvenintegralen im R2 sind uns schon bei den holomorphen Funktionen begegnet, damals in komplexer Gestalt (Ana-1: C[9.3]). Sie spielen dort eine wichtige Rolle bei der Cauchyschen Integralformel. Erneut taten sich Kurvenintegrale hervor bei der Berechnung der Windungszahl (Ana-2: E[14.2]), also letztlich einer topologischen Größe. Tatsächlich können Kurvenintegrale gewisse topologische Eigenschaften aufdecken, wie wir hier am Zusammenhang mit der Homotopie von Wegen sehen werden. In manchen Situationen sind die Kurvenintegrale als analytische „Marker“ für topologische Erscheinungen im Großen brauchbar, und dasselbe gilt für ihre höherdimensionalen Analoga. Wir betrachten hier eine 1-Form (Pfaffsche Form) sowie einen Weg in folgender Situation: U Rn ; offen

! 2 01 .U /;

! D W1 dx 1 C C Wn dx n ;

c W Œ˛; ˇ ! U

C 1 -Weg

c D .c 1 ; : : : ; c n /> :

A. Deﬁnition. Das Kurvenintegral der stetigen Pfaffschen Form ! längs des C 1 -Weges c ist Z Z ˇ dc 1 dc n W1 .c.t // ! WD .t / C C Wn .c.t // .t / dt: dt dt ˛ c

Abschnitt 4.3

Kurvenintegrale

227

B. Beispiel. Sei U D R2 n f0g

n D 2;

x y dx C 2 dy 2 Cy x C y2 cos t c.t/ D 0 t 2: sin t !D

x2

c ist die übliche transzendente Parametrisierung der Einheitskreislinie. Wegen Herausnahme des Ursprungs ist ! von der Klasse C 1 . Laut Deﬁnition A ist Z Z 2 cos t sin t !D . sin t / C cos t dt cos2 t C sin2 t cos2 t C sin2 t 0 c Z

2

D

1 dt D 2: 0

C. Bemerkung. Mit der Abbildung 1 W1 B C W WD @ ::: A W U ! Rn 0

Wn und dem Standard-Skalarprodukt h ; i von Rn schreibt sich das Kurvenintegral als Z

Z

ˇ

!D c

˝

˛ W .c.t //; c 0 .t / dt:

˛

Die rechte Seite ist physikalisch deutbar, wenn W ein Kraftfeld ist: Das Skalarprodukt ist die Komponente von W in tangentialer Richtung, das Integral also die Arbeit von W längs des Weges c. Zur Rechtfertigung dieses Arbeitsbegriffs vgl. Bemerkung V. D. Satz (Parameterinvarianz des Kurvenintegrals). ˛; e ˇ ! Œ˛; ˇ sei Sei e c D c ı ˆ eine C 1 -Neuparametrisierung von c, d.h. ˆ W Œ e 1 monoton, surjektiv und C . Dann gilt ( Z Z C1; wenn ˆ o-treu ! D" ! mit "D 1; wenn ˆ o-umkehrend: e c c

228

Kapitel 4

Differentialformen

Dabei heißt ˆ orientierungstreu (kurz: o-treu), falls ˆ monoton wächst (d.h. ˆ0 0), und orientierungsumkehrend (kurz: o-umkehrend), falls ˆ monoton fällt (d.h. ˆ0 0). Beweis. Sei z.B. ˆ o-umkehrend. Wir rechnen zunächst aufgrund der Deﬁnition und t / D c 0 .ˆ.e t // ˆ0 .e t/ setzen die Ableitung von e c entsprechend der Kettenregel e c 0 .e ein: Z Z e Z e ˇ ˝ ˇ ˝ ˛ ˛ W .e c.e t //; e c 0 .e W .c.ˆ.e t ///; c 0 .ˆ.e !D t/ de tD t // ˆ0 .e t/ de t: e c e ˛ e ˛ Jetzt substituieren wir entsprechend der Transformationsformel für orientierte Integrale (Ana-1: D[5.3]): t D ˆ.e t /, wobei ˆ. e ˛ / D ˇ, ˆ. e ˇ/ D ˛ und erhalten weiter Z ˛ Z ˇ Z Z ˛ ˛ ˝ ˝ !D W .c.t //; c 0 .t / dt D W .c.t //; c 0 .t / dt D !: c c e ˇ ˛ Ist ˆ o-treu, so gilt im Wesentlichen die gleiche Rechnung, nur dass die Vorzeichenfrage gar nicht auftritt. E. Bemerkung. Das Kurvenintegral Z ! c

kann allgemeiner deﬁniert werden, wenn ! stetig und der Weg c stückweise C 1 ist. Ein solcher Weg wird ein C 1 -Zug genannt. Dies bedeutet (Ana-1: P[9.1]): c ist stetig, und es existiert eine Unterteilung (Zerlegung) ˛ D t0 < t1 < < tN D ˇ; sodass alle Restriktionen ck WD cjŒtk ; tkC1 von der Klasse C 1 sind (k D 0; : : : ; N 1). Vgl. das Bild rechts. Dann ist Z ! WD c

N 1 Z X kD0

!: ck

Bei einem C 1 -Zug c wird eine Neu- bzw. Umparametrisierung so vorgenommen, dass sie insgesamt stetig ist und die Restriktionen auf die C 1 -Teilintervalle von c Neu- bzw. Umparametrisierungen sind. Als nächstes soll die Frage der Wegunabhängigkeit diskutiert werden. Sinnvollerweise sollte dann U zusammenhängend (also ein Gebiet) sein. Die Gebietseigenschaft lässt

Abschnitt 4.3

Kurvenintegrale

229

sich mit allgemeinen Wegen ausdrücken (Ana-2: E[10.9]) oder auch mit speziellen Wegen, z.B. so: F. Lemma. Sei U offen in Rn . Dann sind äquivalent: (i)

U ist zusammenhängend.

(ii)

Zu je zwei Punkten a; b 2 U existiert ein C 1 -Zug c W Œ˛; ˇ ! U mit c.˛/ D a, c.ˇ/ D b.

Beweis. Bis auf kleine Änderungen überlegt man alles genauso wie früher in Ana-2: E[10.9]. Wie stark hängt bei festen Endpunkten ein Kurvenintegral von den verbindenden Wegen ab? Lehrreich dafür ist Beispiel B. Verbindet man den Punkt .1; 0/ mit sich selbst über den dortigen Kreisweg, so erhält das Kurvenintegral über ! den Wert 2. Nimmt man als Verbindungsweg von .1; 0/ mit sich einen konstanten Weg, so ergibt sich für das Kurvenintegral der Wert 0. Die Abhängigkeit vom Verbindungsweg kann also sehr stark sein. Im ersten Fall des Kreiswegs „merkt“ das Kurvenintegral irgendwie, dass der Weg eine Singularität von ! (im Nullpunkt) umrundet und signalisiert das durch sein Nichtverschwinden. Dieses „Merken“ ist nicht allgemeingültig, aber es gibt eben Fälle, wo das Umrunden einer Singularität nicht spurlos am Kurvenintegral vorübergeht. Andererseits gibt es Situationen, in denen keine Abhängigkeit besteht. Diese Frage wird jetzt behandelt.

G. Deﬁnition. Sei U Rn ein Gebiet und ! 2 01 .U / Reine Pfaffsche Form. Das Kurvenintegral über ! heißt wegunabhängig in U , wenn c ! für jeden C 1 -Zug c W Œ˛; ˇ ! U alleine von c.˛/; c.ˇ/ abhängt. Einen besonders einfachen Fall, in dem diese Wegunabhängigkeit vorliegt, beschreibt der folgende

230

Kapitel 4

Differentialformen

H. Satz (hinreichende Bedingung für Wegunabhängigkeit). Sei U ein Gebiet in Rn . Ist die Pfaffsche Form ! 2 01 .U / exakt, d.h. ! D df für eine Funktion f 2 10 .U /, so ist das Kurvenintegral über ! in U wegunabhängig; es gilt nämlich für jeden C 1 -Zug c W Œ˛; ˇ ! U : Z df D f .c.ˇ// f .c.˛//: c

Im Grunde ist dies der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI). Vor dem Beweis bemerken wir folgende Äquivalenzen: ! D df () Wi D

(1)

@f ; i D 1; : : : ; n () W D grad f: @x i

Beweis von H. 1) Sei c zunächst ein C 1 -Weg: Wir rechnen dann wie folgt: Z ˛ Z ˝ ˛ W .c.t //; c 0 .t / dt !D ˇ

c

Z

ˇ

D

˝

˛ .grad f /c.t/ ; c 0 .t / dt

˛

Z

ˇ

D

.f ı c/0 .t / dt

Ana-2: K[10.6]

˛

ˇˇ ˇ D f .c.t//ˇ

HDI

˛

D f .c.ˇ// f .c.˛//: 2) Sei nun c ein C 1 -Zug mit Unterteilung wie in E: Dann kann man entsprechend zerlegen: Z !D c

N 1 Z X kD0

!D ck

N 1 X

.f .c.tkC1 // f .c.tk /// D f .c.ˇ// f .c.˛//:

kD0

Dabei wurde im ersten Schritt Teil 1) verwendet. Bei der Summe handelt es sich um eine Teleskopsumme, in der sich alles heraushebt bis auf die beiden angeschriebenen Terme. Erstaunlicherweise besitzt dieser Satz eine komplette Umkehrung:

Abschnitt 4.3

231

Kurvenintegrale

I. Satz (notwendige Bedingung für Wegunabhängigkeit). Sei U ein Gebiet in Rn . Ist das Kurvenintegral über die Pfaffsche Form ! 2 01 .U / in U wegunabhängig, so existiert eine Funktion f 2 10 .U / mit ! D df , d.h. ! ist exakt. Ist darüberhinaus ! 2 11 .U /, so gilt d! D 0, d.h. ! ist geschlossen. Beweis. Die Gleichung in H legt es nahe, wie das gesuchte f zu konstruieren ist: Wir wählen einen Punkt a 2 U fest (ein solcher Punkt a wird auch Aufpunkt genannt). Zu jedem x 2 U wählen wir sodann irgendeinen C 1 Zug von a nach x, genannt cx W Œ˛; ˇ ! U , also mit cx .˛/ D a; cx .ˇ/ D x (die Existenz ist klar aus Lemma F) und deﬁnieren Z (2) f .x/ WD ! (nur abhängig von x): cx @f D Wi also df D !. @xi Dazu wählen wir einen Ball B.x; r/ U sowie ein h 2 R mit 0 < jhj < r. Zur Berechnung von f .x C hei / betrachten wir den Weg Wir zeigen:

.t / WD x C t hei ;

t 2 Œ0; 1

von .0/ D x nach .1/ D x C hei in U . Man schreitet also von x aus geradlinig in Richtung des i-ten Standard-Basisvektors ei fort; vgl. das obige Bild. Dann wird Z f .x C hei / D f .x/ C !;

da rechts insgesamt ein Kurvenintegral über ! eines C 1 -Zuges von a (über x) nach x C hei steht. Hieraus folgt für den Differenzenquotienten von f : Z f .x C hei / f .x/ 1 ! D h h Z ˛ 1 1˝ W ..t //; 0 .t / dt D h 0 Z 1 1 D hW .x C t hei /; hei i dt h 0 Z 1 h (Substitution t h D ); D hW .x C ei /; ei i d h 0

232

Kapitel 4

also wird für h ! 0: f .x C hei / f .x/ 1 D lim h!0 h h!0 h

Z

Differentialformen

h

hW .x C ei /; ei i d D hW .x/; ei i D Wi .x/:

lim

0

Dabei wurde beim vorletzten Gleichheitszeichen der HDI verwendet (Ana-1: A[5.2]). Es folgt .@i f /.x/ D Wi .x/. Also ist ! D df , und da Wi stetig ist: f 2 C 1 .U /. Im Falle ! 2 11 .U / ist f 2 C 2 .U /, da @i f D Wi 2 C 1 .U /, also ergibt sich nach F(iii)[4.2]: d! D d.df / D 0. J. Deﬁnition. Gilt ! D df (bzw. äquivalent W D grad f ) für eine Funktion f 2 10 .U /; so heißt f eine Stammfunktion von ! (bzw. ein Potential von W ). K. Bemerkungen. U sei nach wie vor ein Gebiet. (i) Wenn zu ! eine Stammfunktion existiert, so ist sie bis auf eine additive Kone folgt nämlich d.f f e/ D 0, also stante eindeutig bestimmt: Aus ! D df D d f 0 e D const. e/ D 0 und somit nach dem Konstanzkriterium: f f nach I(ii)[3.4]: .f f (ii)

Die Sätze H und I besagen zusammen die genaue Äquivalenz: Kurvenintegral über ! 2 01 .U / in U wegunabhängig () ! exakt.

(iii) Die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals über ! in U kann äquivalent so ausgedrückt werden: Für jeden geschlossenen C 1 -Zug c W Œ˛; ˇ ! U gilt Z ! D 0: c 1

Je zwei C -Züge von a nach b deﬁnieren nämlich einen geschlossenen C 1 -Zug von a nach a, indem der zweite mittels einer monoton fallenden Parametertransformation umorientiert wird, wobei sein Kurvenintegral nach Satz D das Vorzeichen wechselt:

Hatten die ursprünglichen C 1 -Züge gleiche Kurvenintegrale, so ist das Kurvenintegral über den geschlossenen C 1 -Zug somit 0 – und umgekehrt. Andererseits kommt jeder geschlossene C 1 -Zug als solch eine Zusammensetzung vor, indem man irgendeinen Zwischenpunkt auf ihm wählt und die beiden so entstehenden Teilwege betrachtet. Die obigen Bilder machen das so deutlich, dass sich eine Formalisierung erübrigt.

Abschnitt 4.3

233

Kurvenintegrale

Bezeichnung: Für einen geschlossenen C 1 -Zug c gebraucht man das Zeichen für das Kurvenintegral manchmal in einer besonderen Gestalt: Z I ! DW !: c

c

L. Beispiel. In U D R2 sei ! D .3x 2 2y/ dx C 2.y x/ dy gegeben. Hat ! eine Stammfunktion f , wenn ja welche? Lösung: (i)

Prüfung der notwendigen Bedingung d! D 0 W d! D d.3x 2 2y/ ^ dx C 2d.y x/ ^ dy D .6x dx 2 dy/ ^ dx C 2..1/ dx C 1 dy/ ^ dy D 2 dy ^ dx C 2 .1/ dx ^ dy D 0:

(ii) a)

Versuchsweise Bestimmung von f : „Symbolisches“ Vorgehen: Man formt die Bestimmungsgleichung für f , d.h. ! D df , nach der Äquivalenz (1) um und versucht „Stammfunktionen für partielle Ableitungen“ zu ﬁnden. Dies läuft folgendermaßen: ! D df

()

@f D 3x 2 2y; @x

@f D 2.y x/: @y

Nun integriert man die erste Gleichung nach x, wobei aber die Integrationskonstante noch vom (unbeteiligten) y abhängt: f D x 3 2xy C g.y/: Information über g.y/ ist hieraus nicht zu gewinnen, aber dafür existiert ja noch die zweite Gleichung: Einsetzen von f in die zweite Gleichung gibt nämlich eine gewöhnliche Differentialgleichung für g, die hier ohne Mühe gelöst werden kann: 2x C

dg dg D 2y 2x () D 2y () g D y 2 C c: dy dy

Damit folgt f D x 3 2xy C y 2 C c; c D const.. Die saubere Zuendeführung dieses Vorgehens besteht wieder in der Probe. Tatsächlich erfüllt dieses f offensichtlich die Ausgangsgleichungen, wobei die Konstante c wie bei den Stammfunktionen der gewöhnlichen Integralrechnung offen bleibt.

234 b)

Kapitel 4

Differentialformen

Vorgehen nach dem Beweis von I: Integration längs des Fahrstrahls, d.h. längs des geraden Weges c von .0; 0/ nach .x; y/: c.t / D .tx; ty/;

0 t 1:

Z f .x; y/ D

! c

Z

1

..3t 2 x 2 2ty/x

D 0

Z

C 2.ty tx/y/ dt 1

.3t 2 x 3

D 0

C 2t .2xy C y 2 // dt ˇ1 ˇ D t 3 x 3 C t 2 .2xy C y 2 /ˇ

tD0

3

2

D x 2xy C y : c)

Vorgehen nach dem Beweis von I: Integration längs eines Koordinatenhakens von .0; 0/ nach .x; y/: Sei z.B. .x; y/ im ersten Quadranten, also x > 0, y > 0. Die achsenparallelen Teilwege des Koordinatenhakens seien c1 und c2 . (Tiefgestellte Indizes bedeuten hier nicht Komponenten. Diese wären, falls nötig, durch hochgestellte Indizes zu repräsentieren; vgl. die Konvention zu Beginn des Abschnitts). Die beiden Wege c1 und c2 seien so parametrisiert: c1 ./ D .; 0/;

0 x

c2 . / D .x; /;

0 y:

Z

Z

f .x;y/ D

!C c1

Z

! c2

Z

x

y

.3 2 1 C 2 ./ 0/ d C

D Z

0

0

Z

x

y

3 2 d C

D 0

..3x 2 2 / 0 C 2. x/ 1/ d

2. x/ d

0

Abschnitt 4.3

235

Kurvenintegrale

ˇx ˇ D 3ˇ

D0

3

ˇy ˇ C . 2 2x /ˇ

D0

2

D x C y 2xy: Für die anderen Quadranten ginge es analog. Jedoch ist dies hier nicht nötig; denn die Probe zeigt, dass f überall die verlangten Gleichungen löst. Im R3 kann analog vorgegangen werden, wobei ein Koordinatenhaken wiederum darin besteht, zunächst parallel zur x-Achse, dann parallel zur y-Achse und schließlich parallel zur z-Achse zu laufen, um von einem festen Aufpunkt a nach .x; y; z/ zu gelangen (vgl. Ana-2: E[10.6]). Die Bedingung d! D 0 ist nicht hinreichend für die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegral über !: Anders ausgedrückt: Aus d! D 0 folgt nicht zwangsläuﬁg, dass ! exakt ist. M. Beispiel. Wir nehmen das ! aus Beispiel B: !D Dann wird d! D d

x y dx C 2 dy x2 C y2 x C y2

y 2 x C y2

^ dx C d

x 2 x C y2

auf

U WD R2 n f0g:

^ dy

D

.x 2 C y 2 / 1 x 2x .x 2 C y 2 /.1/ .y/ 2y dy ^ dx C dx ^ dy .x 2 C y 2 /2 .x 2 C y 2 /2

D

x 2 C y 2 x 2 C y 2 dy ^ dx C dx ^ dy D 0; da dy ^ dx D dx ^ dy: .x 2 C y 2 / .x 2 C y 2 /2

Die notwendige Bedingung d! D 0 ist also erfüllt. Trotzdem kann kein f mit ! D df existieren. Denn das Kurvenintegral von ! über die Einheitskreislinie ist laut B nicht 0. Somit ist das Kurvenintegral über dieses ! bei dieser Deﬁnitionsmenge wegabhängig, obwohl d! D 0 gilt! Würde man allerdings ! auf der rechten Halbebene H WD f.x; y/ j x > 0g betrachten, so existierte sehr wohl eine Stammfunktion, nämlich f .x; y/ D arctan

y I x

236

Kapitel 4

Differentialformen

denn

1 y 2 x dx C x dy D !: df D y2 y2 1C 2 1C 2 x x Auch in der längs der negativen x-Achse geschlitzten Ebene würde eine Stammfunktion existieren, nämlich der Hauptwert .x; y/ 7! Arg.x; y/; vgl. Ana-1: R[4.4].

Die hier behandelte Form ! spielt auch eine Rolle, wenn R2 als komplexe Ebene aufgefasst wird. Man kann im Komplexen ganz allgemein komplexwertige Differentialformen bilden. In der Tat werden die zentralen Integralsätze der Funktionentheorie mit diesen formuliert. Das hat sich schon beim elementaren Studium der Holomorphie angedeutet (Ana-1: Abschnitt 9.3), und wir kommen darauf allgemein in Abschnitt 6.1 zurück. Der Schluss „! geschlossen H) ! exakt“ hängt offenbar stark von der „Gestalt“ des Gebiets ab. Wir etablieren jetzt eine einfache geometrische Bedingung an das Gebiet, die uns garantieren wird, dass geschlossene Pfaffsche Formen auf ihm tatsächlich eine Stammfunktion besitzen: N. Deﬁnition. Eine Menge U Rn heißt sternförmig bez. des Punktes a 2 U , wenn für jeden Punkt x 2 U die Verbindungsstrecke mit a ganz zu U gehört, d. h. x2U

H)

.1 t /a C tx 2 U 8 t 2 Œ0; 1:

Die Menge U heißt sternförmig, wenn es einen Punkt a 2 U gibt, bez. dessen sie sternförmig ist.

Für den Begriff der Sternförmigkeit braucht U nicht offen zu sein. O. Satz. Sei U Rn ein sternförmiges Gebiet. Dann besitzt jede Pfaffsche Form ! 2 11 .U / mit d! D 0 eine Stammfunktion f 2 20 .U /.

Abschnitt 4.3

237

Kurvenintegrale

Vor dem Beweis sei an die Äquivalenz aus N[4.2] erinnert: Ist !D

X

Wj dx j ;

j

so gilt

d! D 0

(3)

()

@Wi @Wj D j @x @x i

8 i; j 2 f1; : : : ; ng:

Beweis von O. Sei U sternförmig bez. a 2 U . Wie bei Satz I konstruieren wir f explizit, diesmal durch „geradlinige Integration von a aus“: Für x 2 U sei cx der Weg cx .t / WD a C t .x a/;

0 t 1;

cx0 .t / D x a:

Wir setzen Z (4)

Z

f .x/ WD

1

!D cx

hW .a C t.x a//; x ai dt 0

und berechnen @j f bei festem j : Die rechte Seite ist als Funktion von x j ein Parameterintegral, also ist für die Ableitung die Leibniz-Regel zuständig (Ana-2: D[11.2]). Die erforderliche Differenzierbarkeit des Integranden ist hier erfüllt; denn @ hW .a C t .x a//; x ai @x j

˛ ˝ @W .a C t .x a// t; x a C W .a C t .x a//; ej D j @x Dt

n X @Wi iD1

Dt

@x j

n X @Wj iD1

@x i

.a C t .x a// .x i ai / C Wj .a C t .x a// .a C t .x a// .x i ai / C Wj .a C t .x a//

d .t Wj .a C t .x a///: D dt Die dritte Zeile zeigt, dass der Ausdruck stetig von .t; x/ abhängt. Im weiteren Verlauf wurde gleich die Voraussetzung d! D 0 entsprechend der Äquivalenz (3) eingebracht. Dies ist ein wesentlicher Schritt, da der Ausdruck damit in eine vollständige Ableitung

238

Kapitel 4

Differentialformen

nach t übergeht. Es folgt: ˇ ˇ Z 1 ˇ @ @f ˇˇ D hW .a C t .x a//; x aiˇˇ dt ˇ j j @x x 0 @x x Z 1 d D .t Wj .a C t .x a///dt 0 dt ˇ1 ˇ D t Wj .a C t .x a//ˇ D Wj .x/ tD0

(HDI):

Also ist ! D df und damit auch f von der Klasse C 2 , da W von der Klasse C 1 ist.

O. Zusatz. Ist U Rn bez. a D .a1 ; : : : ; an / 2 U sternförmig und ! D so ist eine Stammfunktion f von ! explizit so erhältlich:

f .x/ D

Z1 X n 0

Pn iD1

Wi dx i ,

Wi .a C t .x a// .x i ai / dt:

iD1

Beweis. Dies ist lediglich die Umschreibung der Deﬁnition von f im voranstehenden Beweis.

P . Bemerkung. Betrachtet man die Gleichung df D ! (! 2 11 .U / gegeben, f 2 02 .U / gesucht), so ist eine notwendige Bedingung zur Lösbarkeit: d! D 0. Diese ist auch hinreichend, wenn U sternförmig ist. Nun besitzt jeder Punkt eines beliebigen Gebietes eine sternförmige Umgebung darin, z.B. einen offenen Ball mit genügend kleinem Radius. Also ist die Bedingung d! D 0 lokal hinreichend auch bei beliebigem Gebiet. Man nennt deswegen d! D 0 die Integrabilitätsbedingung der Gleichung df D !. Allerdings brauchen sich die lokalen Stammfunktionen nicht zu einer globalen (auf ganz U deﬁnierten) Stammfunktion zusammenzufügen.

Um die allgemeine Situation in den Griff zu bekommen, betrachten wir bei beliebigem Gebiet U zwei Wege c0 und c1 mit gleichen Endpunkten, die „stetig ineinander deformierbar“ sind:

Abschnitt 4.3

239

Kurvenintegrale

Man kann eventuell hoffen, dass sich das Kurvenintegral bei der Deformation nicht ändert (vorausgesetzt d! D 0). Diese Hoffnung geht tatsächlich in Erfüllung. Folgende Präzisierung der Deformierbarkeit wird dabei verwendet: Q. Deﬁnition. Sei U eine offene Teilmenge von Rn , und seien a; b feste Punkte in U . Zwei Wege von a nach b c0 W Œ0; 1 ! U;

c0 .0/ D c1 .0/ D a

c1 W Œ0; 1 ! U;

c0 .1/ D c1 .1/ D b

heißen homotop in U , falls eine stetige Abbildung H W

Œ0; 1 Œ0; 1 ! .s; t /

7!

U H.s; t /

existiert mit: (i)

H.s; 0/ D a;

H.s; 1/ D b

8 s 2 Œ0; 1

(ii)

H.0; t / D c0 .t /;

H.1; t / D c1 .t /

8 t 2 Œ0; 1:

Wir schreiben auch H.s; t / DW cs .t /: Jedes cs (s fest) ist dann selbst ein Weg, ein. sog. Zwischenweg, im Bild oben ausgezogen. Die Wege s 7! H.s; t / (t fest) heißen Bahnkurven, im Bild oben punktiert. H selbst wird eine Homotopie zwischen c0 und c1 genannt.

240

Kapitel 4

Differentialformen

R. Satz (Homotopie-Invarianz des Kurvenintegrals). Sei U Rn ein Gebiet und ! 2 11 .U / eine Pfaffsche Form mit d! D 0. Für a; b 2 U seien c0 ; c1 W Œ0; 1 ! U zwei C 1 -Züge von a nach b, die in U homotop sind. Dann gilt Z Z !D !: c0

c1

Beweis. Sei H eine Homotopie wie oben, und es bezeichne k k die Maximumsnorm in Rn . Wir machen uns zunutze, dass lokal immer Stammfunktionen für ! existieren (Bemerkung P). Diese Stammfunktionen verändern sich allerdings im Laufe der Deformation, jedoch so, dass sich je zwei in einem zusammenhängenden Überlappungsbereich nur um eine Konstante unterscheiden. Man kann dann die Deformation so „ruckweise in kleinen Schritten“ vornehmen, dass diese Veränderungen überblickt werden können. Als Deﬁnitionsmengen für die lokalen Stammfunktionen wählen wir achsenparallele Würfel, d.h. Bälle in der Maximumsnorm. Die Durchführung dieses Plans geschieht in folgenden Etappen: 1) Es existiert ein " > 0, sodass (5)

kH.s; t/ wk "

8 .s; t; w/ 2 Œ0; 1 Œ0; 1 .Rn n U /:

Anschaulich ausgedrückt: Das Bild von H kommt dem Komplement Rn n U nicht beliebig nahe. Diese Behauptung folgt daraus, dass das Bild H.Œ0; 1 Œ0; 1/ eine kompakte Teilmenge von U ist. Daher besitzt die Distanzfunktion von Rn n U auf diesem Bild ein Minimum (Ana-1: K(i)[6.2] und D[6.5]). Dieses Minimum ist nicht 0, weil sonst die Minimalstelle gleichzeitig in U und in der abgeschlossenen Menge Rn n U läge. Das Minimum ist also positiv. 2) Zu diesem " existiert wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von H (Ana-1: F[6.5]) ein ı > 0, sodass (6)

kH.s; t/ H.s1 ; t1 /k < " 8 .s; t /; .s1 ; t1 / 2 Œ0; 1 Œ0; 1 mit k.s; t / .s1 ; t1 /k < ı:

3) Wir wählen eine Zerlegung 0 D t0 < t1 < < tN D 1

mit

jtj C1 tj j < ı für j D 0; : : : ; N 1:

Für jeden Zwischenweg cs sei (vgl. das folgende Bild): s der Polygonzug von H.s; t0 / über H.s; t1 / über : : : nach H.s; tN /: „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … a b

Abschnitt 4.3

241

Kurvenintegrale

Wir wollen zeigen Z Z (a) !D !; c0 0

Z c1

!D

1

!

Z

Z (b)

Z

s1

!D

s2

für s1 ; s2 2 Œ0; 1 mit js1 s2 j < ı:

!

Aus (a), (b) folgt die Behauptung Z

Z c0

!D

c1

!;

wenn man das s-Intervall Œ0; 1 ebenfalls so unterteilt, dass die Intervallängen < ı werden. Denn die Gleichheit der -Integrale pﬂanzt sich mit (b) vom Wert bei s D 0 bis zum Wert bei s D 1 fort, und an diesen Enden stimmen die -Integrale mit den c-Integralen laut (a) überein.

Zu (a), erster Teil: Nach (5) gilt für j 2 f0; : : : ; N g Bj WD B.c0 .tj /; "/ U: Dann folgt für j 2 f0; : : : ; N 1g nach (6) für s D s1 D 0: c0 .Œtj ; tj C1 / Bj ;

0 .Œtj ; tj C1 / Bj ;

wobei für die zweite Inklusion die Konvexität von Bj zu beachten ist. In jedem Bj besitzt ! nach Satz O eine Stammfunktion fj 2 C 2 .Bj /, also gilt nach Satz H Z Z !D !: c0 jŒtj ;tj C1

0 jŒtj ;tj C1

242

Kapitel 4

Differentialformen

Aufsummieren für j D 0; : : : ; N 1 liefert nun (a). Zu (a), zweiter Teil: Dies geht analog wie beim ersten Teil. Zu (b): Bei festem s 2 Œ0; 1 gilt wiederum nach (5) Bj WD B.cs .tj /; "/ U: Sei fj 2 C 2 .Bj / eine Stammfunktion von ! in Bj : Dann gilt nach Bemerkung K(i) fj C1 fj D dj D const. in Bj \ Bj C1 ¤ ¿:

(7)

Der Durchschnitt Bj \ Bj C1 ist zusammenhängend (sogar konvex) und nichtleer, da er cs .tj / und cs .tj C1 / enthält. Sei jetzt s1 2 Œ0; 1 mit js1 sj < ı gewählt. Dann gilt laut (6): s1 .tj /; s1 .tj C1 / 2 Bj ; da js s1 j < ı und jtj C1 tj j < ı. Also wird wieder nach Satz H Z ! D fj .s1 .tj C1 // fj .s1 .tj //: s1 jŒtj ; tj C1 Œ Wir rechnen nun zusammen und erhalten Z s1

!D

N 1 Z X j D0

s1 jŒtj ; tj C1

!

f0 .s1 .t1 // f0 .s1 .t0 //

D

C f1 .s1 .t2 // f1 .s1 .t1 // :: : C fN 2 .s1 .tN 1 // fN 2 .s1 .tN 2 // C fN 1 .s1 .tN // fN 1 .s1 .tN 1 // D fN 1 .s1 .tN // f0 .s1 .t0/ // d0 dN 2 D fN 1 .b/ f0 .a/ d0 dN 2 : Dabei werden jeweils zwei Auswertungen an gleichen Stellen für aufeinanderfolgende fj ; fj C1 gemäß (7) ersetzt. Der Endausdruck ist unabhängig von s1 , da die dj allein durch die Wahl der Bj bestimmt sind. Somit ist (b) bewiesen und damit die komplette Behauptung.

Abschnitt 4.3

Kurvenintegrale

243

Bei festen Endpunkten a; b 2 U deﬁniert die Homotopie eine Äquivalenzrelation in der Menge der auf Œ0; 1 parametrisierten Wege in U von a nach b. Satz R sagt aus, dass das Kurvenintegral einer geschlossenen Pfaffschen Form ! 2 11 .U / nur von der Äquivalenzklasse des Integrationswegs abhängt, nicht aber von der Wahl eines Repräsentanten. Die zugehörigen Äquivalenzklassen von Wegen (mit festen Endpunkten) heißen relative Homotopieklassen. Bezüglich des Kurvenintegrals macht es nichts aus, dass das Deﬁnitionsintervall zu Œ0; 1 spezialisiert ist, da ja die Invarianz gegenüber orientierungstreuen Neuparametrisierungen besteht (Satz D). Das Kurvenintegral bietet eine hinreichende Möglichkeit zu unterscheiden, ob zwei Wege unterschiedlichen Homotopieklassen angehören: Liefert eine geschlossene 1Form verschiedene Werte des Kurvenintegrals für die beiden Wege, so können die Wege nicht relativ homotop sein. Damit ist z.B. klar, dass in einem ebenen Kreisring, der die Punkte a WD .2; 0/ und b WD .2; 0/ enthält, der Kreisweg „oben herum“ nicht homotop zum Kreisweg „unten herum“ ist (jeweils von a nach b). Denn die geschlossene Form ! aus Beispiel M liefert unterschiedliche Kurvenintegrale für die beiden Wege (mittels der dort angegebenen Stammfunktion in der geschlitzten Ebene):

Z !D

obenherum

Z ! D : untenherum

Die beiden Wege sind unter Festhaltung der beiden Endpunkte innerhalb des Kreisrings nicht stetig ineinander deformierbar: Auch anschaulich betrachtet, kann man den oberen Faden nicht stetig in den unteren Faden verformen, ohne den Kreisring zu verlassen. Das Kurvenintegral über ! kann das Loch im Zentrum „wahrnehmen“. Für geschlossene Wege (a D b) gilt als Spezialfall alles genauso. Die Äquivalenzklassen (bei festem a) heißen dann Homotopieklassen. In der Topologie wird dieses Thema weiter ausgebaut und führt zu einer bedeutsamen topologischen Invariante, der Fundamentalgruppe. Der Fall, in dem zu jedem Punktepaar genau eine Homotopieklasse existiert, ist besonders ausgezeichnet:

244

Kapitel 4

Differentialformen

S. Deﬁnition. Das Gebiet U Rn heißt einfach zusammenhängend, wenn je zwei Wege c0 W Œ0; 1 ! U , c1 W Œ0; 1 ! U mit c0 .0/ D c1 .0/, c0 .1/ D c1 .1/ in U homotop sind. T. Folgerung. Sei U Rn ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form ! 2 11 .U / eine Stammfunktion f 2 C 2 .U /. Beweis. Das Kurvenintegral über ! ist in U wegunabhängig. Also existiert nach Satz I eine Funktion f 2 C 1 .U / mit ! D df . Tatsächlich ist f 2 C 2 .U /, da @j f D Wj von der Klasse C 1 ist. Zusammen mit der Aussage M[4.2] folgt noch: T. Zusatz. Eine Pfaffsche Form ! 2 11 .U / auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet U Rn ist genau dann exakt, wenn sie geschlossen ist. U. Beispiele. (i) R2 nf0g und ebenso ein Kreisring sind Gebiete, die nicht einfach zusammenhängend sind. Das Gleiche gilt für Gebiete, in denen mindestens ein kreisförmiges Loch fehlt. Für anders geformte Löcher gilt die gleiche Argumentation, wenn es möglich ist, ein Loch mit zwei nicht homotopen Wegen zu „umgehen“. (ii) Jeder konvexe offene Teil U Rn ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Man kann zwei Wege c0 ; c1 (mit den Voraussetzungen wie in Q) parameterweise geradlinig in U verbinden: H.s; t / WD .1 s/c0 .t / C sc1 .t /: (iii) Man kann zeigen, dass Rn n f0g für n 3 ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist. (iv) Der einfache Zusammenhang ist allgemeiner als die Sternförmigkeit, wie man an der zweiten Menge im Bild bei Deﬁnition N erkennt: Das dortige U ist einfach zusammenhängend, aber bez. keines Punktes a 2 U sternförmig! Die „sternförmige“ Situation lässt sich auf Differentialformen höherer Stufe übertragen, wie wir in Abschnitt 6.4 sehen werden. V. Bemerkung. Für das Kurvenintegral eines stetigen Feldes W W U ! Rn längs eines C 1 -Weges c W Œ˛; ˇ ! U gilt folgende Abschätzung: ˇ ˇ ˇ ˇZ ˇ N 1 X ˇ ˇ ˛ ˛ ˝ ˝ 0 ˇ W .c.t //; c .t / dt W .c.tj //; c.tj C1 / c.tj / ˇˇ !W ıc .ı/ Lˇ˛ .c/: ˇ ˇ ˇ ˛ j D0

Abschnitt 4.3

245

Kurvenintegrale

Dabei ist ˛ D t0 < t1 < < tN D ˇ eine Zerlegung von Œ˛; ˇ mit Feinheitsmaß ı, und ! bezeichnet den Stetigkeitsmodul (Ana-1: (10)[9.1] für W ıc anstelle c) sowie L die Bogenlänge. Diese Abschätzung wird fast genauso wie in Ana-1: P[5.1] bewiesen: Man stellt die Funktionsdifferenz c.tj C1 / c.tj / als Integral dar: Z

tj C1

c.tj C1 / c.tj / D

c 0 . / d ;

tj

zieht die abzuschätzende Differenz zu einem Integral über Œ˛; ˇ zusammen und wendet dann die Cauchy/Schwarz-Ungleichung an. In der Felddeutung wird also das Kurvenintegral beliebig genau angenähert durch Summen über die Arbeiten längs der Teilwege eines einbeschriebenen Polygonzugs, wenn auf diesen das Feld als konstant angenommen wird. Das rechtfertigt die Deutung des Integrals in Bemerkung C als Arbeit. Aufgaben und Anmerkungen 1. Welche der folgenden Pfaffschen-Formen sind geschlossen, welche exakt (bei welchen Deﬁnitionsgebieten)? !1 WD x dx C xz dy C xy dz !2 WD y dx !3 WD .

1 1 C 2 /.y dx x dy/ x2 y

!4 WD .2x C 3y/ dx C .3x C 2z/ dy C 2.y C 4z/ dz: R Man berechne das Kurvenintegral !1 längs des geradlinigen Weges von .0; 0; 0/ nach .1; 1; 1/ und längs des Weges c.t / WD .t; t 2 ; t 3 /, t 2 Œ0; 1. Man versuche gegebenenfalls Potentiale zu ﬁnden! 2. Im dreidimensionalen Raum sei das Feld F gegeben durch F .x; y; z/ WD .x C y; y z; xz/: Man berechne die Arbeit dieses Kraftfelds längs des geschlossenen Weges c.t / WD .cos t; sin t; cos2 t /, t 2 Œ0; 2. 3. Heiße Kurvenintegrale. a)

Man berechne das Kurvenintegral

R

! von

! WD .y C e x sin y/ dx C .e x cos y x/ dy über die im positiven Sinne durchlaufene Kreislinie .x 3/2 C y 2 D 1.

246 b)

Kapitel 4

Analog für

R c

! von ! über c W

2

Differentialformen

; ! R2 mit

x2 ! WD .x ln y C sin x/dx C 2 cos x C 2y

dy;

c.t / WD .t; 1 C sin t /:

Lösungshinweis: Man zerlege ! in zwei Pfaffsche Formen, von denen eine exakt ist. 4. Eine offene Kugelschale im Rn ist eine Punktmenge der Form ˇ ˚

S WD x 2 Rn ˇ ˛ < jxj < ˇ ; wobei j j die Euklidische Norm ist und 0 < ˛ < ˇ (ˇ D 1 zugelassen). Ein Vektorfeld F W S ! Rn wird radial genannt (oder physikalisch: eine Zentralkraft), wenn es eine Funktion ' W S ! R gibt, sodass F .x/ D '.x/x für alle x 2 S gilt. Ein solches Feld wird rotationssymmetrisch genannt, wenn ' von der Form ist '.x/ D f .jxj/ mit einer C 1 -Funktion f W ˛; ˇŒ ! R. Zeige: Ist ein radiales Feld F von der Klasse C 1 und geschlossen, so ist F rotationssymmetrisch mit einer C 1 -Funktion f W ˛; ˇŒ ! R. Lösungshinweis: Die zu F gehörende 1-Form ist ! WD ' .x 1 dx 1 C C x n dx n / D

1 ' d hx; xi: 2

Aus d! D 0 folgt d' ^ d hx; xi D 0. Also sind die beiden Faktoren an jeder Stelle in S linear abhängig (Aufgabe 2[4.1]), also – da der zweite nullstellenfrei ist – Rang .'; hx; xi/ D 1. Mittels Aufgabe 6[2.4] folgt dann die Existenz von W S ! R mit '.x/ D .hx; xi/. Mit f .t/ WD .t 2 / ergibt sich die Behauptung. 5. Fortsetzung von Aufgabe 4: Man zeige, dass jedes stetige, radiale und rotationssymmetrische Vektorfeld F exakt ist, indem man ein Potential bestimmt. 6. Das Feld F W U ! Rn besitze ein Potential f W U ! Rn der Klasse C 2 und erfülle jF j D 1. Man zeige, dass die Feldlinien von F geradlinig sind. 7. Ein C 0 -Feld F W U ! Rn besitze ein C 1 -Potential f W U ! R. Die Niveaumengen von f heißen in diesem Fall auch Äquipotentialmengen. Man beweise: a)

Werden die Äquipotentialmengen nur in der offenen Teilmenge U0 WD fx 2 U j F .x/ ¤ 0g von U betrachtet, so sind sie C 1 -Hyperﬂächen und schneiden die Feldlinien von F jeweils orthogonal.

b)

Für jede Feldlinie c W J ! U von F und alle t1 ; t2 2 J gilt: Z t2 jc 0 .t /j2 dt: f .c.t2 // f .c.t1 // D t1

Abschnitt 4.4

247

Invarianz des äußeren Kalküls

8. Ein bewegter Massenpunkt sei deﬁniert als Paar .m; c/, wobei m 2 RC und c W J ! Rn ein Weg ist. Ein solcher Massenpunkt heiße Bahnkurve in einem C 0 Feld F W U ! Rn , wenn c.J / U , c von der Klasse C 2 ist und wenn für alle t 2 J gilt: (zweites Newtonsches Bewegungsgesetz): mc 00 .t/ D F .c.t // Für ein konservatives Feld F beweise man für jede Bahnkurve und alle t1 ; t2 2 J den Energiesatz f .c.t2 // f .c.t1 // D

1 1 mjc 0 .t2 /j2 mjc 0 .t1 /j2 : 2 2

9. Ist ! 2 r1 .U / mit r 0 und f eine C 1 -Stammfunktion von !, so ist f automatisch von der Klasse C rC1 . Warum ist das so?

4.4

Invarianz des äußeren Kalküls

Der äußere Kalkül hat wichtige Invarianzeigenschaften gegenüber differenzierbaren Abbildungen. Das bedeutet, dass seine Operationen wie Dachprodukt oder äußeres Differential mit solchen Abbildungen vertauschbar sind. Es ist dann also egal, ob man zuerst abbildet und dann die Operation vornimmt oder zuerst die Operation ausübt und dann abbildet. Dieses Kommutieren ist entscheidend, damit im nächsten Kapitel die Übertragung auf Mannigfaltigkeiten geleistet werden kann. Wir betrachten die Situation einer C 1 -Abbildung Rn

offen !

Rm

A

F ! C1

B:

Als Erstes holen wir kovariante Tensorfelder auf B mittels F nach A zurück: A. Deﬁnition. Ist ein kovariantes Tensorfeld der Stufe s auf B, so ist F das kovariante Tensorfeld der Stufe s auf A, deﬁniert durch folgende Festsetzungen: (i) Für s D 0 sei F WD ı F , wobei W B ! R. (ii)

Für s 1 sei für alle x 2 A und u1 ; : : : ; us 2 Tx Rn .F /x .u1 ; : : : ; us / WD F .x/ .F x u1 ; : : : ; F x us /:

F heißt Zurückholung von . Andere Bezeichnungen sind Zurückziehung oder Pull-Back.

248

Kapitel 4

Differentialformen

Die Zurückholung F läuft in umgekehrter Richtung zu F . Dass dies gut geht, liegt einerseits an dieser Richtung des Prozesses und andererseits an der Kovarianz, d.h. daran dass man Formen betrachtet statt Vektoren. Weder gibt es einen ebenso universellen Begriff in die andere Richtung noch z.B. für Vektorfelder. Insofern scheint die Mathematik (und vielleicht die Natur) die Formen zu bevorzugen. B. Satz (Rechenregeln für F ). Für die Zurückholung von kovarianten Tensorfeldern 1 ; 2 auf B gilt: (i)

F .1 C 2 / D F 1 C F 2 .

(ii)

F .1 ˝ 2 / D .F 1 / ˝ .F 2 /.

(iii)

Sind 1 ; 2 alternierend, d. h. Differentialformen auf B, so sind F 1 ; F 2 Differentialformen auf A und F .1 ^ 2 / D .F 1 / ^ .F 2 /:

In (i) müssen die Stufen von 1 ; 2 gleich sein, nicht aber in (ii) und (iii). Beweis von B. Alles läuft nach dem gleichen Schema. Z.B. sei der Nachweis für (iii) ausgeführt: Unmittelbar klar ist der Schluss y .v1 ; : : : ; vs / multilinear alternierend in v1 ; : : : ; vs F .x/ .F x u1 ; : : : ; F x us / H) : multilinear alternierend in u1 ; : : : ; us Dies liegt einfach daran, dass F x eine lineare Abbildung von Tx Rn in TF .x/ Rm ist. Weiter gilt für das Dachprodukt, falls 1 die Stufe s 1 und 2 die Stufe t 1 hat: .F .1 ^ 2 //x .u1 ; : : : ; usCt / A D .1 ^ 2 /F .x/ .F x u1 ; : : : ; F x usCt / 4.1 1 D sŠt Š

X

sign 1F .x/ .F x u.1/ ; : : : ; F x u.s/ /

2SsCt

2F .x/ .F x u.sC1/ ; : : : ; F x u.sCt/ /

Abschnitt 4.4

249

Invarianz des äußeren Kalküls

A 1 D sŠt Š

X

sign .F 1 /x .u.1/ ; : : : ; u.s/ /

2SsCt

.F 2 /x .u.sC1/ ; : : : ; u.sCt / / 4.1 D ..F 1 / ^ .F 2 //x .u1 ; : : : ; usCt /: Dies ist entsprechend auch richtig, wenn s D 0 oder t D 0 (und dann sogar einfacher aufzuschreiben). C. Satz. In der Situation

A

F ! C1

offen !

offen !

Rp

Rm

Rn

B

G ! C1

C

gilt für jedes kovariante Tensorfeld auf C die inverse Kettenregel: .G ı F / D F .G /

(Reihenfolge!):

Beweis. Hat die Stufe 0, so werten sich beide Seiten der Behauptung aus zu ıGıF . Hat die Stufe s 1, so starten wir mit der Auswertung der linken Seite und formen um: ..G ı F / / .u ; : : : ; u / x

1

s

D G.F .x// ..G ı F / x u1 ; : : : ; .G ı F / x us /

A

D G.F .x// .G F .x/ .F x u1 /; : : : ; G F .x/ .F x us //

L[3.4]

D .F .G //x .u1 ; : : : ; us /

A:

Löschen der Argumente zu Beginn und Ende liefert die Behauptung. D. Satz. In der Situation Rm

offen !

Rn

A

F ! C1

B

g ! C1

gilt: F .dg/ D d.g ı F / D d.F g/:

R

250

Kapitel 4

Differentialformen

Beweis. Wir starten wieder mit der Auswertung der linken Seite und formen um: .F .dg//x u D .dg/F .x/ .F x u/

A

D .F x u/.g/

F[3.4]

D u.g ı F /

K[3.4]

D .d.g ı F //x u

F[3.4]:

Löschen der Argumente zu Beginn und Ende liefert die erste Gleichung der Behauptung. Die zweite folgt dann aus A(i). E. Bemerkung (F in Standard-Darstellung). Sei eine s-Form auf B dargestellt als X (1) D Pj1 : : : js dy j1 ^ ^ dy js ; wobei die y j die Koordinatenfunktionen von Rm sind. Dann folgt mit den Rechenregeln aus Satz B X F D .F Pj1 : : : js / F .dy j1 / ^ ^ F .dy js /: Sind F j die Komponenten von F , so gilt nach A(i) und D F Pj1 : : : js D Pj1 : : : js ı F;

F .dy j / D d.y j ı F / D dF j ;

also entsteht: (2)

F D

X

.Pj1 : : : js ı F / dF j1 ^ ^ dF js :

Der Übergang von (1) zu (2) enthält eine gute Praktische Regel zur Herstellung von F aus Setze in die Darstellung von das F ein, und zwar sowohl bei den Koefﬁzientenfunktionen wie auch bei den Differentialen!

Hieraus liest man noch ab, wenn die dF j nach Lemma D[4.2] entwickelt werden: (3)

2 ks .B/; s 1; F C `

H)

F 2 minfk;`1g .A/: s

Im Falle s D 0 tritt kein Differentiationsverlust bei F ein, sodass es statt minfk; ` 1g heißen muss: minfk; `g.

Abschnitt 4.4

251

Invarianz des äußeren Kalküls

F. Satz. Ist 2 1s .B/ und F von der Klasse C 2 , so gilt d.F / D F .d/: Beweis. Mit Rücksicht auf die Darstellungsmöglichkeit (1) reicht wieder der Fall eines Monoms D P dy j1 ^ ^ dy js , wobei P von der Klasse C 1 ist. Dafür gilt nach Bemerkung E und G[4.2] F D .P ı F / dF j1 ^ ^ dF js d.F / D d.P ı F / ^ dF j1 ^ ^ dF js C .P ı F / d.dF j1 ^ ^ dF js /: Da (4) d.P ı F / D d.F P /;

dF j D d.F y j /;

d.dF j1 ^ ^ dF js / D 0;

folgt weiter nach den Sätzen D und B d.F / D F .dP / ^ F .dy j1 / ^ ^ F .dy js / D F .dP ^ dy j1 ^ ^ dy js / D F .d/ und damit die Behauptung. Die C 2 -Eigenschaft von F wurde für die letzte Gleichung von (4) gebraucht. G. Beispiel. Wir hatten in Beispiel K[4.2] Tripel von reellen Funktionen auf verschiedene Weisen in Differentialformen eingebaut: ˆ WD .u; v; w/

!1 WD u.x; y; z/ dx C v.x; y; z/ dy C w.x; y; z/ dz

‰ WD .U; V; W / !2 WD U.x; y; z/ dy ^ dz C V .x; y; z/ dz ^ dx C W .x; y; z/ dx ^ dy: Die Tripel sind jetzt etwas anders bezeichnet, da im vorliegenden Abschnitt einige Symbole schon verbraucht sind. Beide Abbildungen ˆ, ‰ laufen von der offenen Menge A R3 nach R3 . Als transformierende Abbildung F sei die Punktspiegelung mit den Abbildungsgleichungen D x;

WD y;

WD z

betrachtet. Dann sind die zurückgeholten Formen laut obiger Regel: F !1 D u.; ; / d v.; ; / d w.; ; / d F !2 D U.; ; / d ^ d C V .; ; / d ^ d C W .; ; / d ^ d :

252

Kapitel 4

Differentialformen

Verwunderlich sind hier nicht die Minuszeichen in den Argumentlisten der Koefﬁzienten (sie verstehen sich von selbst). Bemerkenswert sind die Minuszeichen in der ersten Zeile vor den Koefﬁzienten im Gegensatz zu den Pluszeichen vor den Koefﬁzienten in der zweiten Zeile. Offensichtlich transformieren sich die Koefﬁzienten-Tripel unterschiedlich gegenüber Punktspiegelung, je nachdem sie in eine 1-Form oder in eine 2-Form eingebaut sind. Das entspricht den unterschiedlichen Typen von „Vektoren“, die in der Physik als „polar“ bzw. als „axial“ bezeichnet werden. In diesem Zusammenhang sind die Vektoren der Physik nicht bloß Tripel, sondern Tripel mit einem angehängten Attribut. Solche Hilfskonstruktionen erübrigen sich, wenn man die entsprechenden Differentialformen betrachtet. Ein Tripel, auftretend in einer 1- oder 2-Form, weiß von alleine, wie es sich unter Punktspiegelungen zu benehmen hat; man muss ihm keine Regeln mit auf den Weg geben!

Aufgaben und Anmerkungen 1. Man gehe anhand der Übersetzungsverfahren zwischen Differentialformen in R3 und der Größen der klassischen Vektoranalysis die folgende Tabelle durch und veriﬁziere dabei nochmals die verschiedenen Entsprechungen, wobei auch der Fall des R2 einbezogen werden soll:

p 0

Darstellung von ! !0 D g

1

!1 D P dx C Q dy

2 0

!2 D f dx ^ dy !0 D g

1

!1 D P dx C Q dy C R dz

# # # #

2 3

!2 D A dy ^ dz C B dz ^ dx C C dx ^ dy # !3 D f dx ^ dy ^ dz

Deutungsmöglichkeit von ! d = skalare Funktion g # Gradient D b Vektorfeld P; Q # ebene Rotation D b skalare Funktion f = skalare Funktion g # Gradient (polares) VektorD b feld .P; Q; R/ # Rotation (axiales) VektorD b feld .A; B; C / # Divergenz D b skalare Funktion f

Abschnitt 4.5

4.5

Anwendung auf totale Differentialgleichungen

253

Anwendung auf totale Differentialgleichungen

Motivierung Wir betrachten eine skalare Differentialgleichung mit stetiger rechter Seite: y 0 D g.x; y/

(1)

und führen zunächst eine symbolische Rechnung durch: dy D g.x; y/ dx dy D g.x; y/ dx g.x; y/dx dy D 0:

(2)

Natürlich hat dieser Algorithmus zunächst keinen rechten Sinn. Trotzdem ist der Kalkül manchmal schlauer als der Mensch. Wir schauen uns das Ergebnis an, ohne die (vielleicht dubiosen) Zwischenschritte zu beachten und fragen uns: Was genau haben (1) und (2) miteinander zu tun? Die Antwort ist folgende: Falls f .x/ Lösung von (1) ist, d.h. f 0 .x/ D g.x; f .x// gilt, und der zu f gehörende Weg (Ana-1: I(i)[9.1]) deﬁniert wird als t .t / WD ; f .t/ so folgt: .gdx dy/ D g.t; f .t //dt df D g.t; f .t //dt f 0 .t /dt D 0: Wir nennen die Auffassung von f als Kurventyp. Eine Lösung von (1), aufgefasst als Weg, „annulliert“ also die Pfaffsche Form gdx dy. Die Umkehrung ist (unter Regularitätsannahmen) ebenfalls richtig, wie sich im folgenden Satz C herausstellen wird. Die Lösungen von (1) werden also durch den „Übergang von Funktionen zu Wegen“ auf Lösungen von (2) abgebildet. Präzise Behandlung Gegeben sei ein Gebiet U R2 und eine Pfaffsche Form ! D P dx C Q dy 2 01 .U /: A. Deﬁnition. Ein C 1 -Weg c W J ! U (J Intervall) heißt Lösung oder Integralkurve der totalen Differentialgleichung ! D 0, falls c ! D 0.

254

Kapitel 4

Differentialformen

B. Bemerkungen. (i)

Es gilt c ! D c .P dx C Q dy/ D .P ı c/ d.x ı c/ C .Q ı c/ d.y ı c/ D .P ı c/ .x ı c/0 dt C .Q ı c/ .y ı c/0 dt:

Setzt man in klassischer Schreibweise c.t / D .x.t /; y.t //> , so besteht also die Äquivalenz: c ! D 0 () P .x.t /; y.t //x 0 .t / C Q.x.t /; y.t //y 0 .t / D 0 8 t 2 J: (ii) Parameterinvarianz: Ist c W J ! U Lösung von ! D 0 und ˆ W I ! J eine C 1 -Abbildung (I Intervall), so ist auch c ı ˆ Lösung von ! D 0. Denn .c ı ˆ/ ! D ˆ .c !/ D ˆ 0 D 0: (iii) Faktorinvarianz: Ist W U ! R stetig und nullstellenfrei, dann haben ! D 0 und ! D 0 die gleiche Lösungsgesamtheit. Denn: c . !/ D c c ! D . ı c/ c !: C. Satz. Die Lösungen von (1) und (2) stehen in folgender Beziehung: (i) f W J ! R (J Intervall) löse (1), d.h. es gilt f 0 .x/ D g.x; f .x/ für alle x 2 J . Dann ist W J ! R2 mit .t / WD .t; f .t //> reguläre Lösung von (2) (ii)

c W J ! R2 sei reguläre Lösung von (2), also mit c.t / WD .x.t /; y.t //> : 0 0 x .t / 0 0 ¤ 8 t 2 J: g.x.t /; y.t //x .t / y .t / D 0; 0 y 0 .t /

Daraus folgt x 0 .t / ¤ 0 für alle t 2 J . Somit ist t 7! x.t / C 1 -invertierbar: x 7! .x/, x 2 I (Intervall). Dann ist f .x/ WD y. .x//, x 2 I , Lösung von (1). Beweis. Zu (i): Mit x.t/ WD t , y.t / WD f .t/ gilt 0

0

0

g.x.t/; y.t//x .t /1y .t / D g.t; f .t //f .t / D 0;

0 1 ¤ : c .t / D 0 0 f .t / 0

Zu (ii): Laut B(ii) gilt g.x. .//; y. ./// .x ı /0 ./ .y ı /0 ./ D 0: Wegen x. .// D ; y. ./// D f ./ folgt g.; f .// f 0 ./ D 0, d.h. f ist Lösung von (1). Der Nutzen bei diesen totalen Differentialgleichungen ist, dass sie manchmal explizit gelöst werden können, wenn andere algorithmische Methoden versagen:

Abschnitt 4.5

255

Anwendung auf totale Differentialgleichungen

D. Satz. Die Pfaffsche Form ! 2 01 .U / besitze eine Stammfunktion F 2 C 1 .U /, sei also exakt. Die totale Differentialgleichung ! D 0 wird dann ebenfalls exakt genannt. Dann sind die Lösungen von ! D 0 genau die C 1 -Wege c.t / D .x.t /; y.t //> (t aus einem Intervall) mit F .x.t /; y.t // D const. Beweis. Es gilt c ! D c .dF / D d.c F / D d.F ı c/. Daraus folgen die Äquivalenzen: c ! D 0

()

d.F ı c/ D 0

()

F ı c D const.;

aus denen man die Behauptung abliest.

E. Bemerkung. Ist U einfach zusammenhängend und ! 2 11 .U /, so gilt nach dem Zusatz zu T[4.3] und (3) ! exakt

()

d! D 0

()

@P @Q D : @y @x

Ist eine totale Differentialgleichung ! D 0 nicht exakt, so kann man versuchen, sie mittels der obigen Faktorinvarianz B(iii) exakt zu machen, und dann die in Satz D enthaltene Lösungsmethode anwenden. F. Deﬁnition. Ist die Funktion W U ! R stetig und nullstellenfrei sowie ! exakt, so heißt ein Eulerscher Multiplikator oder ein integrierender Faktor. G. Bemerkung. Nach Bemerkung E ist eine notwendige Bedingung für einen integrierenden Faktor (falls und ! beide von der Klasse C 1 sind): .P /y D .Q/x , also (3)

y P C Py D x Q C Qx :

Die Indizes x und y bezeichnen hier partielle Ableitungen. Die Gleichung (3) ist lokal auch hinreichend für die Existenz von , aber es handelt sich um eine partielle Differentialgleichung für . Es ist nicht nötig, die Lösungsgesamtheit der partiellen Differentialgleichung (3) zu bestimmen, es reicht eine nullstellenfreie Lösung. Eine solche gewinnt man in manchen Fällen dadurch, dass man als Funktion allein von x (bzw. allein von y) ansetzt. Dann vereinfacht sich (3) wegen y D 0 (bzw. x D 0). Auch andere spezielle Ansätze für können zum Ziel führen. Das muss man ausprobieren.

256

Kapitel 4

Differentialformen

H. Beispiel. Die Differentialgleichung y0 D

(4)

y x C x y

wurde in K[2.2] im ersten Quadranten Q1 WD f.x; y/ 2 R2 j x > 0; y > 0g vollständig gelöst, d.h. alle maximalen Lösungen wurden angegeben (analog ginge das in den anderen drei Quadranten von R2 ). Auf keiner Lösung wird x gleich 0. Das Überspringen der x-Achse (d.h. y D 0) ist hier von der Aufgabenstellung her nicht erlaubt, da ein Nenner Null würde. Nun ersetzen wir (4) nach symbolischer Umrechnung durch .x 2 C y 2 / dx xy dy D 0:

(5)

Dadurch erhalten wir zwar eine neue Aufgabenstellung; diese hat aber ein besseres Verhalten der Lösungen bei Durchquerung der x-Achse und ist innerhalb der Quadranten mit (4) äquivalent. Im Einzelnen gilt nämlich: (i) Jede reguläre Lösung von (5) in A WD R2 n f.0; y/ j y 2 Rg ist nach geeigneter Parametertransformation darstellbar als (6)

x.t / D c exp.2t 2 /;

y.t / D 2ct exp.t 2 /:

mit einer Konstanten c ¤ 0. Diese Lösungen überqueren jetzt ohne Probleme die x-Achse! Um dies einzusehen, behandeln wir (5) mittels Eulerschem Multiplikator. Von der Regularität wird zunächst kein Gebrauch gemacht. Die Gleichung (5) ist nicht exakt; denn es gilt: P D x2 C y 2 ;

Px D 2x;

Py D 2y

Q D xy;

Qx D y;

Qy D x:

Wir probieren es mit einem Faktor .x/. Die Bedingung (3) lautet dann 2y D x .xy/ C .y/; entsteht also aus 2 D xx durch Multiplikation mit y. Trennung der Veränderlichen liefert für die letztgenannte Gleichung z.B. die Lösung D x 3 . Also ist dies ein nullstellenfreier Multiplikator in A. Die mit durchmultiplizierte Gleichung (5) ist e dx C Q e dy D 0 P

mit

2 e WD 1 C y ; P x x3

Die Integrabilitätsbedingung ist jetzt erfüllt: ex: ey D 2y D Q P x3

e WD y : Q x2

Abschnitt 4.5

Anwendung auf totale Differentialgleichungen

257

Die Berechnung einer Stammfunktion für die neue Gleichung muss für die beiden Zusammenhangskomponenten von A (x > 0 bzw. x < 0) getrennt durchgeführt werden; man erhält jedoch in beiden Fällen nach den Methoden von L[4.3] oder O[4.3] als Stammfunktion y2 F D ln jxj 2 : 2x Die Probe stimmt; denn für F gilt Fx D

1 y2 e; C 3 D P x x

Fy D

y e D Q: x2

Die Lösungen 7! .x. /; y. //> erfüllen die Gleichung F .x; y/ D const.. Die Konstante schreiben wir in Form von ln jcj mit c ¤ 0 und erhalten die mit F .x; y/ D ln jcj äquivalente Gleichung (7)

y 2 D x 2 ln

x2 ; c2

c D const. ¤ 0;

wobei x. / nie Null ist. Also wird ln.x 2 =c 2 / 0, d.h. jxj jcj. Nun sei .x; y/> zusätzlich regulär. Motiviert durch das Auftreten des Quotienten in (4), deﬁnieren wir t . / durch (8)

t WD

1y : 2x

Dann ist 7! t . / von der Klasse C 1 und streng monoton. Für die Ableitung gilt nämlich xy 0 yx 0 dt : D d 2x 2 Wäre dies an einer Stelle einmal 0, so folgte dort xy 0 yx 0 D 0, also .x; y/ D % .x 0 ; y 0 / mit einem % ¤ 0. Dann ergäbe sich dort aus .x 2 C y 2 /x 0 xyy 0 D 0 sofort %2 x 02 D 0, also x D 0. Somit ist 7! t . / eine Parametertransformation. Aus (7) folgt x2 4t 2 D ln 2 ; c also x D c exp.2t 2 / wobei c > 0 bzw. c < 0, wenn .x; y/> in der rechten bzw. linken Komponente von A liegt (x > 0 bzw. x < 0). Schließlich folgt aus (8) y D 2ct exp.2t 2 /: Das folgende Bild veranschaulicht die so errechneten Lösungen in den beiden Zusammenhangskomponenten von A, wobei die Sonderrolle der x-Achse jetzt völlig aufgehoben ist: Die Lösungen durchqueren sie ohne Probleme als reguläre C 1 -Wege.

258

Kapitel 4

Differentialformen

(ii) Die Lösungen von (5) im Quadranten Q1 sind bis auf Parametertransformation die Lösungen von (4) (als Kurventypen). Dies ergibt sich aus Satz C, da in Q1 die Lösungsgesamtheit von (5) mit der von y x C dx dy D 0 x y übereinstimmt.

3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1

1

2

3

4

-2 -3

Natürlich kann man die Lösungen von (5) auch direkt in die von (4) umrechnen, soweit beide in Q1 verlaufen. Die maximalen Lösungen von (4) in Q1 waren in K[2.2] berechnet worden: p (9) y D x ln.x 2 / C a; x 2 e a=2 ; 1Œ; a D const. Startet man mit einer Lösung (6) von (5) und eliminiert t durch Auﬂösen der ersten Gleichung nach t und Einsetzen in die zweite, so ergibt sich in Q1 p y D x ln.x 2 / ln.c 2 /; x > c > 0: Mit c WD e a=2 geht dies in (9) über. Umgekehrt erhält man (6) aus (9), indem man wie oben t durch (8) deﬁniert. Entsprechendes gilt natürlich für die anderen drei Quadranten von R2 . (iii) Jede Lösung von (5) in R2 erfüllt entweder die Gleichung (7) mit einer Konstanten c ¤ 0 (verläuft also ganz in einer der zwei Komponenten von A), oder aber sie ist von der Form x.t / D 0, y.t / D .t / mit irgendeiner C 1 -Funktion (verläuft also ganz auf der y-Achse). Dafür ist lediglich zu zeigen: Wenn x.t / auf einer Lösung von (5) einmal Null ist, dann immer: Angenommen, es gilt x.t0 / D 0, aber x.t1 / ¤ 0, z.B. mit t0 < t1 . Indem man

Abschnitt 4.5

259

Anwendung auf totale Differentialgleichungen

zum Supremum der Nullstellen von x.t / für t < t1 übergeht, kann man annehmen: x.t / ¤ 0 für alle t 2 t0 ; t1 . Nach dem ersten Teil in (i) folgt dann die Existenz einer Konstanten c ¤ 0, sodass jx.t/j jcj für alle t 2 t0 ; t1 . Der Grenzübergang t # t0 ergibt hieraus jx.t0 /j jcj > 0 im Widerspruch zur Annahme. Analog schließt man im Falle t0 > t1 .

Aufgaben und Anmerkungen 1. Man bestimme alle positiven Lösungen der Differentialgleichung y0 D

3xy.xy C 2/ : 3x 2 C y 2

2. Gegeben sei die Differentialgleichung y0 D

e xy 1 : x C 2e y

a)

Ist P WD f.x; y/ 2 R2 j x C 2e y > 0g offen, und erfüllt die rechte Seite der Differentialgleichung in P die Voraussetzungen von Satz H[2.2] (beachte die dortige Generalvoraussetzung)?

b)

Man bestimme die maximale Lösung der Differentialgleichung mit y.0/ D 0.

3. Sei G R2 ein einfach zusammenhängendes Gebiet, und seien P; Q W G ! R zwei C 1 -Funktionen, wobei P nullstellenfrei ist. a)

Man zeige: Hängt die Funktion f WD

1 P

@Q @P @x @y

nur von y ab, so ist

Z .y/ WD exp

f .y/dy

ein integrierender Faktor für die Differentialgleichung P .x; y/ dx C Q.x; y/ dy D 0: b)

Man bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung .xy 2 y 3 / dx C .1 xy 2 / dy D 0:

260

4.6

Kapitel 4

Differentialformen

Integrale längs Abbildungen

So wie man Pfaffsche Formen längs Wegen integrieren kann, was zum Begriff des Kurvenintegrals führt, kann man Differentialformen der Stufe p längs Flächenstücken der Dimension p integrieren. Dieses höherdimensionale Analogon der Kurvenintegrale wird hier eingeführt. Danach ergibt sich sogleich eine Anwendung auf unser Hauptziel, den Satz von Stokes. Dieser ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung. Er überführt ein Integral über eine Ableitung (hier „d!“) in ein Randintegral über die unabgeleitete Größe (hier „!“). Die einfachste Version für achsenparallele Quader wird hier behandelt. Im nächsten Kapitel sollen dann Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten integriert und die damit verbundenen allgemeinen Integralsätze aufgestellt werden. Der Begriff des mehrfachen Integrals, der im Augenblick vorausgesetzt wird, ist nicht sehr anspruchsvoll, da die Integranden in der folgenden Variante des Satzes von Stokes (Satz H) stetig sind und die Integrationsmengen keine Komplikationen aufweisen. Trotzdem ist die Formulierung am übersichtlichsten, wenn der Lebesguesche Integralbegriff zugrunde gelegt wird. Wir tun das auch im Hinblick auf die weitergehenden Resultate des nächsten Kapitels. Wir betrachten eine offene Menge U Rp und eine p-Form , deﬁniert auf U , also D P dx 1 ^ ^ dx p

mit

P W U ! R:

Eine solche Differentialform der Stufe p auf einer offenen Menge U Rp wird auch als Top-Form bezeichnet. (Von der Stufe p C 1 an gibt es ja nur noch die Nullformen.) A. Deﬁnition. Die p-Form heißt integrierbar über U , wenn P über U integrierbar ist, und dann setzt man: Z Z WD U

P: U

Dies ist zunächst nichts Neues, aber die Transformationsformel für Integrale schreibt sich damit in invarianter Gestalt: B. Satz. Sei ˆ ein C 1 -Diffeomorphismus Rp

offen !

Rp e U

ˆ !

U

e /: und eine p-Form auf U D ˆ. U

Abschnitt 4.6

261

Integrale längs Abbildungen

e integrierbar und Ist über U integrierbar, so ist ˆ über U ( Z Z C1; falls ˆ o-treu ˆ D " mit " WD 1; falls ˆ o-umkehrend. e U ˆ. e U/ e, Dabei heißt ˆ orientierungstreu (kurz: o-treu), falls det ˆ0 .x/ > 0 für alle x 2 U 0 und orientierungsumkehrend (kurz: o-umkehrend), falls det ˆ .x/ < 0 für alle x 2 e. U Bei wechselndem Vorzeichen der Funktionaldeterminante det ˆ0 ist dies nicht anwendbar. Das ist aber nicht sehr einschneidend, weil det ˆ0 keinen Vorzeichenwechsel e zusammenhängend ist. Wäre nämlich in diesem Fall det ˆ0 .a/ < haben kann, sobald U e mit 0 und det ˆ0 .b/ > 0 für a; b 2 U , so wähle man einen Weg c W Œ˛; ˇ ! U 0 c.˛/ D a und c.ˇ/ D b. Die stetige reelle Funktion t 7! det ˆ .c.t //, t 2 Œ˛; ˇ hat dann nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle, während doch det ˆ0 in U immer ¤ 0 ist. Beweis von B. e mögen x i heißen. Sei Die Koordinatenfunktionen in U seien y i genannt, die in U D P dy 1 ^ ^ dy p :

(1) Dann wird nach E[4.4]

ˆ D .P ı ˆ/ dˆ1 ^ ^ dˆp : Hier kann man die dˆj nach D[4.2] entwickeln und einsetzen. Auf jeden Fall kommt dabei etwas heraus von der Form e dx 1 ^ ^ dx p : ˆ D P e zu bestimmen, wenden wir beide Seiten auf die Koordinaten-Vektorfelder Um P @1 ; : : : ; @p an (B(i)[4.2]) und rechnen um: e dx 1 ^ ^ dx p .@1 ; : : : ; @p / .P ı ˆ/ dˆ1 ^ ^ dˆp .@1 ; : : : ; @p / D P e det..dx j /.@i // .P ı ˆ/ det..dˆj /.@i // D P .P ı ˆ/ det

@ˆj @x i

e det.ı j / D P i

e: .P ı ˆ/ det ˆ0 D P

(1)

(9)[3.4]

262

Kapitel 4

Differentialformen

Es folgt ˆ D .P ı ˆ/ det ˆ0 dx 1 ^ ^ dx p :

(2)

Damit wird, da det ˆ0 D " j det ˆ0 j: Z Z Z Z # Z A A eD" ˆ D .P ı ˆ/ j det ˆ0 j D " P D" : P e e e U U U U U Beim Pfeil wurde der Transformationssatz (Ana-2: R[11.9]) eingebracht.

An (1) und (2) sieht man: Das Transformationsverhalten der Differentialformen ist gerade so eingerichtet ist, dass es dem Transformationsverhalten der Integranden in Transformationssatz für Integrale entspricht, jedenfalls für orientierungstreue Diffeomorphismen. Unter dem Gesichtspunkt der Abbildungsinvarianz ist es also besser, nicht Funktionen zu integrieren, sondern Differentialformen (derjenigen Stufe, die der Dimension des zugehörigen Raumes gleicht). C. Deﬁnition. Ist A Teilmenge von U und eine p-Form nur auf A gegeben, so wird wieder das Nullfortsetzungsprinzip angewandt: Es sei b die Nullfortsetzung von auf U . Dann heißt über A integrierbar, wenn b über U integrierbar ist, und man setzt dann Z Z WD b : A

U

Es folgt nun die Verallgemeinerung des Kurvenintegrals: D. Deﬁnition. Betrachtet wird die Situation

U

Rn offen ! ! C1

Rp

;

! eine p-Form auf V

A U:

V

Die p-Form ! heißt längs jA integrierbar, falls ! über A integrierbar ist, und man setzt dann Z Z ! WD !: jA

A

E. Bemerkung. Falls p D 1 und A kompaktes Intervall sowie ! eine stetige 1-Form ist, so besteht Koinzidenz mit dem Kurvenintegral (A[4.3]). Es gilt nämlich mit den dortigen Bezeichnungen: ! n n n X X X d i

i i Wi dx D .Wi ı / d.x ı / D .Wi ı / dt: !D dt iD1

iD1

iD1

Abschnitt 4.6

263

Integrale längs Abbildungen

Hierbei ist U die offene Obermenge von A, auf die laut Deﬁnition als C 1 -Abbildung fortsetzbar ist. F. Satz (zur Parameterinvarianz). In der Situation Rp offen !

e U

ˆ ! C 1 -Diffeom.

U

Rn offen ! ! V C1

Rp

;

! eine p-Form auf V ,

e e A U A WD ˆ. e A/;

gilt: Ist ! längs jA integrierbar, so ist ! auch längs ı ˆj e A integrierbar und Z Z !D" ! (" wie in Satz B). jA ıˆj e A e (sonst kann man die Nullfortsetzungen beBeweis. O.B.d.A. sei A D U; e A D U trachten). Dann rechnet man so: Z Z Z Z Z D B C D !D ! D " ˆ . !/ D " . ı ˆ/ ! D " !: e e [4.4] U U U ıˆ Die Behauptung liest man aus Beginn und Ende dieser Kette ab.

G. Beispiel. Sei p D 2, n D 3 und S2 WD f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 C y 2 C z 2 D 1g

die Euklidische Einheitssphäre deﬁniert auf V WD R3 :

! WD x dy ^ dz

Erfasse einen möglichst großen TeilR von M WD S2 mittels einer injektiven Parametrisierung W U ! R3 und berechne !. Lösung: Wir führen geographische Koordinaten auf S2 ein, nämlich die geographische Länge und die geographische Breite ˇ. Betrachtet wird also die Parametrisierung 0

1 cos cos ˇ B C .; ˇ/ WD @ sin cos ˇ A sin ˇ

264

Kapitel 4

Differentialformen

oder, als Abbildungsgleichungen geschrieben:

(3)

x D cos cos ˇ y D sin cos ˇ zD sin ˇ:

Die Deﬁnitionsmenge von ist: ˇ ˇ 2 ˇ U WD .; ˇ/ 2 R ˇ 0 < < 2;

<ˇ< : 2 2

W U ! R3 ist offensichtlich C 1 und eine Immersion; die Funktionalmatrix lautet nämlich: 0 1 sin cos ˇ cos sin ˇ 0 .; ˇ/ D @ cos cos ˇ sin sin ˇ A ; 0 cos ˇ und hierin ist die .1; 3/-Unterdeterminante ¤ 0, wenn ¤ 0 und die .2; 3/-Unterdeterminante ¤ 0, wenn D 0. Weiter gilt für die Bildpunkte .x; y; z/ von gemäß (3): x 2 C y 2 C z 2 D cos2 ˇ C sin2 ˇ D 1, also .U / S2 . Zusammen mit der Immersionseigenschaft folgt hieraus, dass eine Parametrisierung von M ist (P[3.2]). Schließlich ist injektiv, was anschaulich klar ist und präzise anhand von (3) wie folgt begründet werden kann: Aus z folgt eindeutig ˇ, da der Sinus auf 2 ; 2 injektiv ist, und aus x; y folgt eindeutig wegen cos ˇ ¤ 0. Ausgelassen auf S2 werden von Nord- und Südpol .0; 0; 1/, .0; 0; 1/ und allgemeiner der halbe Greenwich-Meridian f.x; y; z/ 2 S2 j y D 0; x 0g. Um auch diese zu erfassen, müsste ˇ D ˙ 2 zugelassen werden, wo jedoch der Rang von niedriger wird, bzw. D 0; 2, was die Offenheit der Deﬁnitionsmenge zerstören würde. Also ist maximal sinnvoll gewählt. (Tatsächlich gibt es überhaupt keine injektive Parametrisierung 0 W U0 ! R3 mit offenem U0 R2 und 0 .U0 / D S2 , da dann 01 die S2 stetig auf U0 abbilden würde, was nicht geht, da S2 kompakt, U0 jedoch nicht kompakt ist.) Weiter gilt ! D 1 d 2 ^ d 3 D cos cos ˇ.cos cos ˇ d sin sin ˇ dˇ/ ^ cos ˇ dˇ D cos2 cos3 ˇ d ^ dˇ;

Abschnitt 4.6

also

265

Integrale längs Abbildungen

Z

Z

! D

!D

Z

U 2

D „0

Z

=2

Z

2

cos2 cos3 ˇ d dˇ =2

Z

0 =2

4 cos2 d cos3 ˇ dˇ D ; 3 ƒ‚ … „ =2 ƒ‚ … 4=3

wobei die letzten zwei Integrale mit den Methoden der eindimensionalen Integralrechnung berechnet sind. Satz von Stokes für Quader Zur Vorbereitung betrachten wir folgende Situation: U Rp ; offen

Q WD Œ˛1 ; ˇ1 Œ˛p ; ˇp U;

1 ! 2 p1 .U /;

p 2:

Q ist ein achsenparalleler kompakter Quader im Rp , und ! ist eine Differentialform der Stufe p 1 und Klasse C 1 . Das äußere Differential d! besitzt also die Stufe p und ist stetig, kann somit über Q integriert werden. Die Erwartung ist, dass dieses Integral durch Randwerte ausgedrückt werden kann. Im Fall p D 1 ist das möglich; denn das Integral des Differentials df einer C 1 -Funktion f W Q D Œ˛; ˇ ! R gleicht der Differenz der Funktionswerte am Rande: f .ˇ/ f .˛/ (Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung). Im Rp gibt es insgesamt 2p „Randstücke“ von Q, nämlich in jeder Koordinatenrichtung einen „Deckel“ und einen „Boden“. Diese können durch Parametrisierungen erfasst werden, bei denen einfach eine der Koordinaten einen festen minimalen bzw. maximalen Wert hat. Genauer: In der i -ten Koordinatenrichtung hat man folgende Parametrisierungen von Deckel und Boden von Q: QiC Qi ‚ …„ ƒ iC ‚ …„ ƒ Œ˛1 ; ˇ1 Œ˛i ; ˇi b Œ˛p ; ˇp ! Œ˛1 ; ˇ1 fˇi g Œ˛p ; ˇp xi ; : : : ; xp / 7! .x1 ; : : : ; ˇi ; : : : ; xp / .x1 ; : : : ; c Qi Qi ‚ …„ ƒ i ‚ …„ ƒ Œ˛1 ; ˇ1 Œ˛i ; ˇi b Œ˛p ; ˇp ! Œ˛1 ; ˇ1 f˛i g Œ˛p ; ˇp .x1 ; : : : ; c xi ; : : : ; xp / 7! .x1 ; : : : ; ˛i ; : : : ; xp /: Das Dachzeichen über oder rechts über einem Symbol bedeutet hier dessen Weglassung. Die Deﬁnitionsmengen dieser Parametrisierungen sind kompakte Quader im Rp1 , ihre Bilder die erwähnten Deckel und Böden im Rp . Nummerierungen von Koordinaten seien hier als untere Indizes geschrieben. Das folgende Bild zeigt die Situation für p D 2:

266

Kapitel 4

Differentialformen

H. Satz (von Stokes für Quader). In dieser Situation gilt: Z d! D Q

p X

.1/i1

iD1

!

Z

Z iC

!

i

! :

Beweis. O.B.d.A. sei ! als Monom angenommen:

b

! D W dx1 ^ ^ d xk ^ ^ dxp ;

k fest:

Dann gilt einerseits: d! D

b

p X @W @W dxi ^ dx1 ^ ^ d xk ^ ^ dxp D .1/k1 dx1 ^ ^ dxp @xi @xk i D1

Z

Z d! D .1/k1

Q

Q

Z D .1/k1 Qk

@W .x/ dx1 dxp @xk 0 B @

Zˇk

˛k

1

(A)

b

@W C .x/ dxk A dx1 d xk dxp @xk

(Fubini)

Z D .1/k1 Qk

.W .x1 ; : : : ; ˇk ; : : : ; xp /

b

W .x1 ; : : : ; ˛k ; : : : ; xp // dx1 d xk dxp

(HDI)

Abschnitt 4.6

267

Integrale längs Abbildungen

und andererseits: Z Z D ! D .i˙ / ! D 0 i˙

Z

Qi

für i ¤ k; denn .i˙ / .dx i / D d.xi ı i˙ / D d.const./ D 0 D !D

kC

Z

.kC / !

Qk

Z

D

b

.W ı kC / dx1 ^ ^ d xk ^ ^ dxp

Qk

A D

Z

b

W .x1 ; : : : ; ˇk ; : : : ; xp / dx1 d xk dxp : Qk

Analog ist: Z

Z

b

!D k

W .x1 ; : : : ; ˛k ; : : : ; xp / dx1 d xk dxp : Qk

Trägt man dies in die rechte Seite der obigen Darstellung von Behauptung.

R Q

d! ein, so folgt die

I. Beispiel. Sei p D 2 und also Q ein Rechteck in R2 . Dann wird aus der allgemeinen Formel in H: Z Z Z Z Z Z d! D ! ! !C ! D !: Q

1C

1

2C

2

Hierin ist der geschlossene Polygonzug vom Punkt A über die Punkte B; C; D nach A zurück (vgl. das Bild auf der folgenden Seite), und rechts steht ein Kurvenintegral! Explizit schreibt sich dies, wenn ! D R dx C S dy; also d! D Ry dy ^ dx C Sx dx ^ dy;

268

als

Kapitel 4

Z Q

Differentialformen

Z @S @R dx ^ dy D .R dx C S dy/: @x @y

Das ist der Gaußsche Integralsatz für ein (achsenparalleles) Rechteck in R2 .

5

Die Integralsätze

Was im Rn möglich ist hinsichtlich Differential- und Integralrechnung, ist in einem gewissen Ausmaß auch möglich auf Mannigfaltigkeiten. Das Kernstück, das sich auf jeden Fall übertragen lässt, ist der äußere Kalkül mit seinen zwei Komponenten des Differenzierens und Integrierens sowie der Verbindung zwischen diesen in Gestalt des Satzes von Stokes. Dieser Satz verallgemeinert in einer glänzenden und universellen Weise den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er ist in diesem Rahmen metrikfrei formulierbar, enthält aber als Spezialfall alle klassischen Integralsätze, die sich auf metrische Gegebenheiten stützen. Die Bedeutung des äußeren Kalküls geht weit über diese analytischen Phänomene hinaus. Z.B. bestehen enge Verbindungen zur Homologietheorie der algebraischen Topologie mit dem Effekt, dass zumindest für kompakte Mannigfaltigkeiten topologische Invarianten wie die Betti-Zahlen und die Euler-Charakteristik durch den äußeren Kalkül ausgedrückt werden können. Für solche weitergehenden Dinge wird also hier mit vorgearbeitet. Wenn oben allgemein von Mannigfaltigkeiten gesprochen wird, so sind präziserweise differenzierbare Mannigfaltigkeiten gemeint, hier speziell Untermannigfaltigkeiten des Rn . Diese Spezialisierung stellt jedoch keine starke Einschränkung dar, weil erstens alle differenzierbaren Mannigfaltigkeiten unter milden Zusatzbedingungen als Untermannigfaltigkeiten eines geeigneten Raums Rn vorkommen und zweitens die jetzige Theorie mit gewissen Abänderungen für abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten umformuliert werden könnte.

5.1

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

Dass sich der äußere Kalkül auf Mannigfaltigkeiten übertragen lässt, liegt an dem guten Transformationsverhalten dieser Struktur (vgl. Abschnitt 4.4, insbesondere die Sätze B(iii)[4.4] und F[4.4]). Wir betrachten eine Untermannigfaltigkeit M Rn der Dimension p 1 und der Klasse C r mit einem r 1. Die Differentialformen für M werden auf den Tangentialräumen von M leben, ähnlich wie die Differentialformen auf Zahlräumen auf deren abstrakten Tangentialräumen leben. Konsequenterweise muss dem Begriff des geometrischen Tangentialraums von M (D[3.2]) eine abstrakte Version zur Seite gestellt werden. Das geht folgendermaßen:

270

Kapitel 5

Die Integralsätze

A. Deﬁnition und Satz. Für b 2 M ist der abstrakte Tangentialraum Tb M von M in b so deﬁniert: Sei W U ! Rn eine Parametrisierung von M , die b erfasst, also mit .a/ D b für ein a 2 U . Dann ist: Tb M WD a .Ta Rp / D jb .Tb M /: Somit ist Tb M ein p-dimensionaler Untervektorraum von Tb Rn , der unabhängig von der Wahl von allein der Untermannigfaltigkeit M und dem Punkt b 2 M zugeordnet ist. Die Deﬁnition besagt, dass Tb M aus dem abstrakten Tangentialraum Ta Rp hergeholt werden kann, und zwar mit der tangentialen Abbildung einer (passenden) Parametrisierung . Die zweite Gleichung etabliert den gleichen Raum Tb M als die Gesamtheit aller abstrakten Tangentialvektoren des umgebenden Raums Rn , die den Vektoren des geometrischen Tangentialraums Tb M unter der Identiﬁkation von I[3.4] entsprechen. Wenn diese Deﬁnition zunächst auch abstrakt erscheint, so kann man aus ihr doch leicht den geometrischen Kern herausschälen (vgl. Satz Q). Wir arbeiten aber zunächst mit dieser Deﬁnition. Beweis von A. Zu beweisen ist die zweite Gleichung: Dazu beachtet man das Diagramm aus N[3.4], angewandt auf . Aus ihm folgt unmittelbar, was im Folgenden rechts steht: Rp ? ? ja y

0 .a/ !

Rn ? ? yjb

a .Ta Rp / D jb ı 0 .a/ ı ja1 .Ta Rp / D jb ı 0 .a/.Rp /

a Ta Rp ! Tb Rn

D jb .Tb M /:

Dabei ist die Deﬁnition von Tb M aus J[3.2] verwendet. Da 0 .a/ injektiv ist, so auch a . Also folgt noch: A. Zusatz. a W Ta Rp ! Tb M ist ein Vektorraum-Isomorphismus.

Geometrische und abstrakte Tangentialräume entsprechen sich also unter den Abbildungen j . Trotzdem sollte man sie auseinanderhalten, da sie sich unterschiedlich verhalten. Z.B. sind je zwei abstrakte Tangentialräume Tb M und Tc M für b ¤ c in M stets disjunkt, während die zugehörigen geometrischen Tangentialräume Tb M und Tc M Vektoren gemeinsam haben können. Die Vereinigung der abstrakten Tangentialräume ist das Tangentialbündel über M : [ TM D Tb M: b2M

Der Feldbegriff für Tensoren usw. wird analog zu Deﬁnition A[4.2] gefasst, z.B. für Formen so:

Abschnitt 5.1

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

271

B. Deﬁnition. Sei B M eine offene Teilmenge. Eine s-Form auf B ordnet jedem Punkt b 2 B genau ein Element !b 2 As .Tb M / zu. Weitere Namengebungen dafür lauten genau wie in A[4.2]. Z.B. heißt s auch hier die Stufe, und eine Pfaffsche Form ist dasselbe wie eine 1-Form, usw. As .Tb M / ist der Vektorraum der alternierenden Multilinearformen mit s Argumenten aus Tb M . Jeder Punkt b 2 B erhält damit seine eigene äußere Algebra, aufgebaut auf seinem individuellen Tangentialraum Tb M . Die Zielmenge einer s-Form ! auf B ist analog zu C(i)[4.2] eine Vereinigung von (disjunkten) Vektorräumen, genauer: [ ! W B ! As .Tb M / DW As .TM /: mit !b 2 As .Tb M / 8 b 2 B: b2B

Bei dieser Vereinigung handelt es sich wieder um ein Vektorbündel, diesmal über B, und ! ist ein Schnitt in diesem. Solch ein Schnitt ist nicht nur eine Abbildung in diese Vereinigung hinein, sondern sie hat die zusätzliche Eigenschaft, dass !b immer genau in der Faser As .Tb M / liegt. Die algebraischen Operationen (C; ^; : : :) für solche Objekte werden genau wie früher punktweise erklärt. Auch liefert der Pull-Back einer s-Form ! auf M mittels einer Parametrisierung W U ! Rn eine s-Form ! auf U , deﬁniert durch: (1) . !/a .u1 ; : : : ; us / WD !.a/ . a u1 ; : : : ; a us / 8 a 2 U; u1 ; : : : ; us 2 Ta Rp : C. Bemerkungen. Die folgenden Eigenschaften seien für Formen ausgesprochen, die auf ganz M deﬁniert sind. Das ist keine Einschränkung, da ein offener nichtleerer Teil B M in naheliegender Weise als Untermannigfaltigkeit von Rn der gleichen Dimension und Klasse wie M aufgefasst werden kann. (Die Parametrisierungen von B sind die Einschränkungen j 1 .B/ der Parametrisierungen von M mit 1 .B/ ¤ ¿.) (i) Genau wie in B[4.4] ist mit den algebraischen Operationen C und ^ verträglich. (ii) Die Vorgabe von ! legt ! bereits auf .U / fest. Das sieht man direkt an (1) unter Beachtung des Zusatzes zu A. e ! Rn zwei (iii) Transformationsverhalten von !: Sind W U ! Rn und e W U e / und injektive Parametrisierungen von M , so sei wie in D[3.2]: D WD .U / \ e . U e 0 WD e 1 .D/, beide offen in Rp , sowie (falls D ¤ ¿) ˆ W U0 ! U0 WD 1 .D/, U e 0 die zugehörige Parametertransformation. Dann ist jU0 D e U ı ˆ, also (2)

ı ˆ/ ! D ˆ .e !/; . jU0 / ! D .e

wobei zum Schluss die inverse Kettenregel C[4.4] verwendet wurde.

272

Kapitel 5

Die Integralsätze

Die letzte Bemerkung lässt sich umkehren: D. Satz (Transformationsprinzip). Sei … eine Kollektion von injektiven Parametrisierungen von M mit [ (3) M D .U /; 2…

wobei U jeweils die Deﬁnitionsmenge von ist. Für jedes 2 … sei eine s-Form ! auf U gegeben. Gilt für je zwei ; e 2 … mit D ¤ ¿ ! jU0 D ˆ ! e ;

(4)

so existiert genau eine s-Form ! auf M mit: ! D !

8 2 …:

Dieser Satz drückt Folgendes aus: Hat man Parametrisierungen gegeben, deren Bilder M überdecken, so kann man eine s-Form auf M dadurch deﬁnieren, dass man in den Deﬁnitionsmengen der Parametrisierungen jeweils s-Formen vorschreibt, die sich beim Wechsel zwischen zwei solchen Parametrisierungen „richtig“ transformieren. Ein analoges Transformationsprinzip besteht generell: Objekte auf einer Mannigfaltigkeit kann man dadurch deﬁnieren, dass man (i) eine Übersetzungsvorschrift mittels Parametrisierungen auf Objekte in einen Zahlraum vorgibt – hier die – und (ii) diese übersetzten Objekte sich unter Parameterwechsel geeignet transformieren – hier gemäß (4). Das ist auch der tiefere Grund, warum man bei Kurven und Flächenstücken sosehr darauf achtet, wie sich die Begriffe bei Parameterwechseln verhalten. Beweis von D. Eindeutigkeit: Diese ist klar aus C(ii) und (3). Existenz: Wir deﬁnieren !j.U / für jedes 2 … vermöge ! D !: Wegen (3) ist damit ! auf ganz M erklärt, falls in den Durchschnitten D ¤ ¿ die Deﬁnition eindeutig ist. Es ist also zu zeigen: Aus (5)

! D !

(6)

De e ! !e

folgt !jD D e ! jD. Nun gilt

9 (4) e (2) > (6)

! jU0 D ˆ ! D ˆ .e ! = e ! / D . jU0 / e > (5) ; ! jU0 D . !/jU0 D . jU0 / !

C(ii) H)

!jD D e ! jD:

Abschnitt 5.1

273

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

Hieraus folgt die Behauptung.

E. Deﬁnition. Eine s-Form ! auf M heißt von der Klasse C k , wenn für alle Parametrisierungen W U ! Rn von M gilt: ! 2 ks .U /. Erforderlich dazu ist k < r, wenn s > 0, und k r, wenn s D 0; vgl. (4) und (3)[4.4]. F. Bemerkung. Aus C(iii) folgt, dass ! bereits dann von der Klasse C k ist, wenn die ! für alle 2 … von der Klasse C k sind. Die Aussagen B bis F gelten samt Beweisen analog für kovariante Tensorfelder auf M , die nicht alternierend sind. Bezeichnungen: ks .M / WD Menge der s-Formen auf M der Klasse C k s .M / WD 1 s .M /;

falls k D 1:

Das obige Transformationsprinzip kann jetzt auch dazu dienen, das äußere Differential auf Mannigfaltigkeiten einzuführen: G. Satz. Sei r 2. Dann existiert für jedes s 0 genau ein Operator d W 1s .M / ! 0sC1 .M / mit: .d!/ D d. !/

(7)

für alle ! 2 1s .M / und alle Parametrisierungen von M . d heißt äußeres Differential. Beweis. Mit Rücksicht auf Satz D und Bemerkung C(iii) ist nur zu zeigen, dass sich die d. !/ gemäß (4) transformieren, wenn die ! es tun. Die Behauptung ist also unter Voraussetzung von (4): .d. !//jU0 D ˆ .d.e !//. Tatsächlich erkennt man .d. !//jU0 D d.. !/jU0 / D d.ˆ e !/ D ˆ d.e !/

(3)[4.2] (4) für ! F[4.4], da ˆ C 2 ;

also die Behauptung. Insgesamt ergibt sich mittels der Übersetzungsvorschrift (7):

274

Kapitel 5

Die Integralsätze

H. Folgerung. Der äußere Differentialkalkül überträgt sich auf Differentialformen auf einer Mannigfaltigkeit M in Rn der Klasse C r , falls r 2. Unter dem äußeren Differentialkalkül verstehen wir dabei die Rechenregeln für die Verknüpfungen C und ^ wie in Abschnitt 4.1 und für d wie in F-I[4.2]. Tangentialräume von M treten in zwei Formen auf, nämlich in der geometrischen Gestalt als die Räume Tb M und in der abstrakten Gestalt als die Räume Tb M . Beide Versionen haben ihre Berechtigung: Die geometrischen Tangentialräume Tb M sind Untervektorräume von Rn und spiegeln deshalb eine Relation zum umgebenden Raum Rn wider. Sie sind nicht notwendig punktfremd zueinander, z.B. hat die Sphäre im Nord- und Südpol den gleichen geometrischen Tangentialraum. Für die abstrakten Tangentialräume gilt in jedem Punkt Tb M Tb Rn , und da je zwei Räume Tb Rn und Te Rn , b ¤ e b, punktfremd sind, so gilt das erst recht für Tb M und Te M . Trotz b b dieses verschiedenartigen Verhaltens besteht an jeder Stelle b 2 M ein inniger Zusammenhang vermöge der Gleichung Tb M D jb .Tb M / aus Satz A: Die Elemente v D jb h 2 Tb M sind diejenigen Operatoren, die den in b differenzierbaren reellen Funktionen ihre Richtungsableitung längs h 2 Tb M zuordnen. Noch deutlicher werden diese Räume, wenn man entsprechende Basen für sie aufstellt (vgl. die nächste Bemerkung (iii)) und wenn man ihre Elemente mit Wegen deutet, die in der Mannigfaltigkeit verlaufen (vgl. Satz Q). I. Bemerkungen. (i) Praktisch arbeitet man oft nicht mit ! selbst, sondern mit den !, wobei es genügt, so viele (injektive) Parametrisierungen für M zu benützen, dass ihre Bilder M überdecken. Natürlich versucht man, mit möglichst wenigen Parametrisierungen auszukommen. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen (F[5.2]), dass stets abzählbar viele Parametrisierungen genügen. Bei vielen konkreten Mannigfaltigkeiten reicht eine geringe Zahl endlich vieler Parametrisierungen, manchmal sogar eine einzige. Bei der Integration reduziert sich i. Allg. die Zahl der notwendigen Parametrisierungen noch dadurch, dass „Nullmengen“ auf M weggelassen werden können. Vgl. im Folgenden O(i)[5.2]. (ii) Ist !V eine s-Form auf einer Obermenge V von M in Rn , so ist die auf M induzierte oder zurückgeholte Form i !V deﬁniert durch .i !V /b .v1 ; : : : ; vs / WD .!V /b .v1 ; : : : ; vs / 8 b 2 M; v1 ; : : : ; vs 2 Tb M: Das i soll an die Inklusionsabbildung i W M ,! Rn erinnern. Auch dieses i ist mit den Verknüpfungen C, ˝, ^ vertauschbar und, wenn V offen ist, auch mit d . Das letzte folgt aus .i !V / D !V so: d. .i ! // D d. ! / V

V

d.i !V / D .d!V / D .i .d!V // d.i ! / D i .d! / V

V

(7) C(ii):

Abschnitt 5.1

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

275

Wir nennen i den Inklusions-Pull-Back. (iii) Basisbestimmung für Tb M und Tb M . Ist W U ! Rn eine Parametrisierung von M und a 2 U mit b D .a/, so sind eine

@ Basis vonTb M W .a/ @x i

1ip

ˇ @ ˇˇ Basis vonTb M W a @x i ˇa 1ip

@ .a/ D .@i /.a/ D i .a/ DW Íi .a/; @x i a

ˇ @ ˇˇ D a .@i .a// DW i .a/: @x i ˇa

Die rechts eingeführten Symbole sind bei manchen Rechnungen zur Abkürzung nützlich. Mit der Indexschreibweise i .a/ für die Ableitung .@i /.a/ sollte man vorsichtig sein, da ein einfacher Index oft für Nummerierungszwecke gebraucht wird. Bei Verwechslungsgefahr schreibt man, wenn Ableitungen gemeint sind, statt i .a/ besser Íi .a/. Das oben eingeführte Symbol i .a/ für die entsprechende abstrakte Auffassung ist aber unproblematisch. Vermittelt zwischen diesen Basen wird natürlich mit dem Isomorphismus jb : Aus dem Diagramm bei A folgt speziell jb .i .a// D i .a/. Bei Parameterwechsel wie in C(iii) haben wir jU0 D e ıˆ und daraus laut Kettenregel 0 .a/ D e 0 .ˆ.a//ıˆ0 .a/, also angewandt auf den i -ten Standard-Basisvektor von Rp (8)

i .a/ D

p X @ˆj .a/ e j .ˆ.a//: @x i

j D1

Der Isomorphsimus jb macht hieraus: (9)

p X @ˆj .a/ e j .ˆ.a//: i .a/ D @x i j D1

Der Basiswechsel in den Tangentialräumen, induziert durch einen Parameterwechsel, wird also in beiden Auffassungen durch die Funktionalmatrix der Parametertransformation beschrieben. Orientierung von Mannigfaltigkeiten In der globalen Integrationstheorie spielt die „Orientierung“ von Mannigfaltigkeiten eine wichtige Rolle. Der Grund ist das Transformationsverhalten für das Integral einer Top-Form gegenüber o-umkehrenden Diffeomorphismen wegen des störenden Minuszeichens (Satz B[4.6]).

276

Kapitel 5

Die Integralsätze

Zur Erinnerung: Eine Orientierung O eines p-dimensionalen R-Vektorraums W ist eine Äquivalenzklasse von Basen von W unter der Relation: Zwei Basen sind äquivalent, wenn die zugehörige Basistransformation eine positive Determinante besitzt. Determinanten von Basistransformationen werden Übergangsdeterminanten genannt. Es gibt genau zwei Orientierungen von W . Die Basen, die zu einer Orientierung gehören, werden positiv genannt, die anderen negativ. Eine bijektive lineare Abbildung L W W ! W1 zwischen zwei orientierten p-dimensionalen Vektorräumen ist orientierungstreu (kurz: o-treu), wenn sie positive Basen in positive Basen überführt. Eine andere Bezeichnung für „positive Basis“ bzw. „negative Basis“ lautet Rechtssystem bzw. Linkssystem. Vgl. Klingenberg[1984], Nr. 41 oder Walter[1996], Abschnitt 4.6. Der Raum Rp trägt eine Standard-Orientierung, die durch die Standard-Basis deﬁniert ist. Ebenso trägt jeder Tangentialraum Ta Rp eine Standard-Orientierung, die durch die Basis @1 .a/; : : : ; @p .a/ deﬁniert ist. Die Abbildung ja W Rp ! Ta Rp ist also o-treu. J. Deﬁnition. Eine Orientierung von M ordnet jedem b 2 M eine Orientierung Ob von Tb M zu, wobei gilt: Ist W U ! Rn irgendeine Parametrisierung von M mit zusammenhängendem U , so ist entweder (K.1)

. 1 .a/; : : : ; p .a// 2 O.a/

8a2U

. 1 .a/; : : : ; p .a// … O.a/

8 a 2 U:

oder aber (K.2)

Existiert auf M eine Orientierung b 7! Ob , so heißt M orientierbar. K. Bemerkung. Sei S W Rp ! Rp die Spiegelung mit S.x 1 ; : : : ; x p / WD .x 1 ; : : : ; x p /: Diese lässt die Hyperebene mit der Gleichung x 1 D 0 punktweise fest. Es handelt sich um eine Hyperebenenspiegelung. Sie hat die Determinante 1. Zu jeder Parametrisierung W U ! Rn von M bilde man S W U S ! Rn durch U S WD S.U /;

S WD ı S:

Dies ist wieder eine Parametrisierung von M ; vgl. B(iv)[3.2]. Ihre Parametertransformation gegenüber ist gerade (die Einschränkung von) S . Damit gilt nach den Transformationsformeln (9) die Äquivalenz: erfüllt (K.1) () S erfüllt (K.2): Man kann also jede Parametrisierung durch Übergang zu S umpolen.

Abschnitt 5.1

277

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

Die Orientierbarkeit ist auch ohne die Tangentialräume formulierbar, alleine mit Parametrisierungen: L . Satz. Die Untermannigfaltigkeit M Rn ist genau dann orientierbar, wenn Folgendes gilt: Es gibt eine Kollektion … von injektiven Parametrisierungen von M mit: S (i) M D 2… .U /. (ii)

Für je zwei Parametrisierungen ; e 2 … mit D ¤ ¿ ist die zugehörige Parametertransformation ˆ orientierungstreu (d.h. det ˆ0 > 0).

Beweis. 1) Sei M orientierbar vorausgesetzt und b 7! Ob eine Orientierung. Wir deﬁnieren … als die Menge aller injektiven Parametrisierungen von M , die (K.1) erfüllen, und haben für dieses … die Eigenschaften (i) und (ii) nachzuweisen. Zu (i): Aus jeder Parametrisierung kann man durch Restriktion auf die Bälle, die in ihrer Deﬁnitionsmenge enthalten sind, neue injektive Parametrisierungen mit zusammenhängenden Deﬁnitionsmengen gewinnen. Deren Bilder überdecken M . Jede erfüllt nach Voraussetzung (K.1) oder (K.2), also ggf. nach Umpolung (K.1). Zu (ii): Aus (K.1) für ; e 2 … folgt mit (9): det ˆ0 > 0. 2) Sei umgekehrt … eine Kollektion mit (i), (ii). Zu 2 … deﬁnieren wir eine Orientierung Ob für die b 2 .U / so: . 1 .a/; : : : ; p .a// 2 O.a/

8 a 2 U:

278

Kapitel 5

Die Integralsätze

Wegen (i), (ii) ist damit b 7! Ob für alle b 2 M wohldeﬁniert; vgl. (9). Es verbleibt zu zeigen: Ist e W V ! Rn irgendeine Parametrisierung mit zusammenp hängendem V R , so gilt für sie (K.1) oder (K.2). Wir betrachten dazu die beiden Mengen 1 .a/; : : : ; e p .a// 2 Oe V C WD fa 2 V j .e .a/ g V WD fa 2 V j .e 1 .a/; : : : ; e p .a// … Oe .a/ g: Beide Mengen sind offen; denn in einem geeigneten Ball um jedes a hat die Parametertransformation zu einem 2 … eine Jacobi-Determinante festen Vorzeichens. Wegen V D V C [V und V C \V D ¿ folgt, da V zusammenhängend ist: V C D V . oder V D V , also (K.1) oder (K.2) für e Aus dem zweiten Beweisteil folgt noch: L . Zusatz. Eine Orientierung von M ist durch eine Kollektion … mit (i) und (ii) festlegbar. Eine solche Kollektion … heißt orientierend für M . M. Deﬁnition und Satz. Sei M orientierte Untermannigfaltigkeit. Eine Parametrisierung W U ! Rn von M heißt positiv bzw. negativ, wenn (K.1) bzw. (K.2) gilt. Eine Basis v1 ; : : : ; vp von Tb M heißt positiv, wenn sie zu Ob gehört, sonst negativ. Nach (K.1) ist die Parametrisierung dann und nur dann positiv, wenn orientierungstreu (kurz o-treu) ist, d.h. wenn a für alle a 2 U eine orientierungstreue lineare Abbildung von Ta Rp auf T.a/ M ist. Die Orientierbarkeit kann man noch auf andere Weisen feststellen, z.B. bei Hyperﬂächen mit Normalenvektoren. Vgl. K[5.4]. Eine Orientierung gibt die Möglichkeit, den Top-Formen auf M , d.h. den Formen der Stufe p, einen „Betrag“ zuzuordnen: N. Satz und Deﬁnition. Sei M orientiert und dim M D p. Dann existiert zu jeder p-Form ! auf M genau eine p-Form j!j, ihr Betrag, mit folgender Eigenschaft: (10)

j!jb .v1 ; : : : ; vp / D j!b .v1 ; : : : ; vp /j

8 b 2 M; v1 ; : : : ; vp 2 Ob :

Beweis. Eindeutigkeit: Diese ist klar, da j!jb jeweils auf einer Basis vorgeschrieben und dadurch eine Top-Form immer eindeutig festgelegt ist.

Abschnitt 5.1

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

279

Existenz: Für jede injektive positive Parametrisierung von M sei (11)

! D W dx 1 ^ ^ dx p :

Wir setzen dann (12)

j!j D jW j dx 1 ^ ^ dx p :

Damit ist j!j wohldeﬁniert; denn aus dem Transformationsverhalten für W entsprechend (1), (2), e ı ˆ/ det ˆ0 ; W jU0 D . W folgt durch Übergang zum (gewöhnlichen) Betrag, da det ˆ0 > 0: ˇ e j ı ˆ/ det ˆ0 ; jW j ˇU0 D .j W also das richtige Transformationsverhalten für jW j. Zu beweisen bleibt noch, dass das so deﬁnierte j!j die Bedingung (10) erfüllt. Sei zunächst vi WD i .a/ D a .@i .a// für i D 1; : : : ; p und b D .a/. Dann liefert die Auswertung von j!jb auf v1 ; : : : ; vp nach (1): (12) . j!j/a .@1 .a/; : : : ; @p .a// D jW .a/j .dx 1 ^ ^ dx p /a .@1 .a/; : : : ; @p .a// (1) D jW .a/j 1 und analog die von !b auf den gleichen Argumenten: (11) . !/a .@1 .a/; : : : ; @p .a// D W .a/ .dx 1 ^ ^ dx p /a .@1 .a/; : : : ; @p .a// (1) D W .a/ 1: Hieraus ergibt sich die Gültigkeit von (10) auf dieser speziellen positiven Basis von Tb M . Aber für jede andere positive Basis spalten beide Seiten von (10) den gleichen (positiven) Umrechnungsfaktor ab. O. Beispiele. (i) Genügt eine injektive Parametrisierung zur Überdeckung von M , gilt also M D .U /, so ist M orientierbar. (ii) Dies trifft insbesondere zu, wenn p D n, d.h. M eine offene Teilmenge von Rn ist. Die Orientierung wird dann kanonisch festgelegt, indem die einelementige Kollektion … WD fidM g als orientierend gewählt wird. Das läuft darauf hinaus, dass für jedes b 2 M der Vektorraum-Isomorphismus jb W Rn ! Tb Rn o-treu ist (bez. der Standard-Orientierung von Rn durch die Standard-Basis).

280

Kapitel 5

Die Integralsätze

(iii) Genügen zwei injektive Parametrisierungen ; e zur Überdeckung von M , gilt e /, und ist U0 D 1 ..U / \ e e // ¤ ¿ und zusammenalso M D .U / [ e . U . U 0 hängend, so ist M orientierbar. Denn det ˆ ist in U0 ungleich 0, also stets > 0 oder stets < 0, also … WD f; e g oder … WD f ı S; e g orientierend (S die Spiegelung aus Bemerkung K). (iv) Hiernach ist die Sphäre Sn für n 2 orientierbar; denn die Parametertransformation zu den beiden stereographischen Projektionen aus Nord- und Südpol hat als Deﬁnitionsmenge Rn n f0g, und diese ist zusammenhängend. Vgl. C[3.2]. (v) Auch die Kreislinie S1 ist orientierbar. Hier hat die eben genannte Parametertransformation die Deﬁnitionsmenge R n f0g (was nicht zusammenhängend ist), aber man sieht direkt aus ihrer Formeldarstellung (5)[3.2], dass sie eine negative Ableitung besitzt, sodass durch Umpolen von S eine orientierende Kollektion (aus zwei) Parametrisierungen entsteht. In C[5.5] werden wir die Orientierung der Sphären standardmäßig festlegen. (vi) Genügen drei injektive Parametrisierungen 1 , 2 , 3 zur Überdeckung von M , gilt also M D 1 .U1 / [ 2 .U2 / [ 3 .U3 /, und sind die Durchschnitte Dij WD i .Ui / \ j .Uj / ¤ ¿ sowie alle i1 .Dij / zusammenhängend (i j ) sowie zwei der zugehörigen Parametertransformationen ˆ12 , ˆ23 , ˆ13 o-treu, die dritte jedoch o-umkehrend, so ist M nicht orientierbar. Denn durch Umpolung der i ist nicht ere23 , ˆ e13 alle o-treu e12 , ˆ reichbar, dass die zugehörigen neuen Parameterwechsel ˆ werden. Das müsste aber nach J und (9) so sein, wenn M orientierbar wäre. Die sieben Möglichkeiten der Umpolung lauten, wenn etwa ˆ12 , ˆ23 o-treu und ˆ13 o-umkehrend ist: Nr.

Umpolung

e12 ˆ

e23 ˆ

e13 ˆ

0

1 ;

2 ;

3

C

C

1

1 ı S;

2 ;

3

C

C

2

1 ;

2 ı S;

3

3

1 ;

2 ;

3 ı S

C

C

4

1 ;

2 ı S;

3 ı S

C

C

5

1 ı S;

2 ;

3 ı S

6

1 ı S;

2 ı S;

3

C

C

7

1 ı S;

2 ı S;

3 ı S

C

C

Das Vorzeichen in der letzten Spalte gibt jeweils an, ob die betreffende Parametertransformation o-treu (C) oder o-umkehrend () ist.

Abschnitt 5.1

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

281

Es kommt niemals die Verteilung C C C vor! (vii) Als Spezialfall von (vi) kann das Möbiusband behandelt werden. Anschaulich entsteht ein solches aus einem langen rechteckigen Papierstreifen, indem seine zwei schmalen Kanten nach Verdrehen um 180ı zusammengeklebt werden. (Ohne Verdrehung würde ein zylindrisches Band entstehen.) Man kann eine mathematisch deﬁnierte Fläche angeben, die das simuliert. Dazu betrachtet man die Abbildung W U ! R3 mit 8 u ˆ x D cos u 1 C v cos ˆ ˆ 2 ˆ U WD R J ˆ < u und den y D sin u 1 C v cos 1 1 Abbildungsgleichungen: ˆ 2 ˆ J WD ; ˆ ˆ u 2 2 ˆ :z D v sin : 2 Das ist so gemacht, dass eine (gerichtete) Strecke der Länge 1 in der Weise um die z-Achse herumgeführt wird, dass ihr Mittelpunkt auf dem Einheitskreis in der .x; y/Ebene wandert und sie nach einer „Runde“ (u D 0 bis u D 2) ihre Richtung gerade umkehrt. Dieses Möbiusband ist nun deﬁniert als M WD .U /. Es gilt jedoch auch M D .Œ0; 2 J ), da .u C 2; v/ D .u; v/. Wegen der geradlinigen Strecken, die infolge dieser Erzeugung auf M liegen, handelt es sich um ein sog. Regelﬂäche. Vgl. das folgende Bild.

Zunächst soll gezeigt werden, dass dieses Möbiusband wirklich eine Untermannigfaltigkeit von R3 ist. Auf jeden Fall ist eine C 1 -Immersion, wie man durch Berechnung der JacobiMatrix 0 sehen kann. Daraus folgt allerdings noch nicht, dass M Untermannigfaltigkeit ist. Dies und den Zugang zur Orientierungsfrage erhält man durch Betrachtung

282

Kapitel 5

der folgenden drei Restriktionen von , wobei " klein und fest (z.B. k WD jUk ;

2 I1 WD "; C" ; 3

Uk WD Ik J;

Die Integralsätze 1 ) 10

gewählt sei:

k D 1; 2; 3

2 4 I2 WD "; C" ; 3 3

4 I3 WD "; 2 C " : 3

Die Restriktionen k sind injektiv, da die v-Linien in Ebenen liegen, die aus der .x; z/Ebene durch Drehung um den Winkel u um die z-Achse entstehen (und da die vLinien selber afﬁn parametrisiert sind und die z-Achse nicht schneiden). Die Bilder k .Uk / sind offen in M , da gleich den Durchschnitten von M mit offenen „Keilen“: k .Uk / WD M \ f.r cos u; r sin u; z/ j u 2 Ik ; r > 0; z 2 Rg: Weiter sind die k .Uk / Untermannigfaltigkeiten und die k offene Abbildungen in sie, wie man mittels O[3.2] erkennt. Daraus folgt jedenfalls, dass M wirklich eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit von R3 der Klasse C 1 ist. Die Parametertransformationen zu den drei Parametrisierungen k kann man explizit berechnen, und sie erfüllen gerade die Bedingung von (vi): ˆ12 ˆ23

2 2 WD ı 1 D Identität auf "; C" J 3 3 4 4 WD 31 ı 2 D Identität auf "; C" J 3 3 21

ˆ13 WD 31 ı1 W "; "Œ J ! 2 "; 2 C"Œ J;

ˆ13 .u; v/ D .uC2; v/:

Hierin sind die Kompositionen k1 ı j mit den maximal möglichen Deﬁnitionsmengen (jeweils wie in D[3.2]) zu verstehen. Die dritte Beziehung besteht wegen 3 .u C 2; v/ D 1 .u; v/: Somit sind ˆ12 ; ˆ23 o-treu, und ˆ13 ist o-umkehrend. Damit ist insgesamt das so deﬁnierte Möbiusband M als eine nichtorientierbare Fläche im R3 der Klasse C 1 erkannt. Das folgende Bild veranschaulicht die Verheftung der drei o.g. Flächenteile entlang zusammenhängender Streifen, die bei zwei Verklebungen o-treu, bei der dritten aber o-umkehrend ist.

Abschnitt 5.1

283

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

Ein anderer Zugang zur Nichtorientierbarkeit des Möbiusbands wird sich später in K[5.4] mittels Normalenvektoren ergeben. Anschauliche Beschreibung der Tangentialräume Eine geometrische Deutung der Tangentialräume Tb M und Tb M ergibt sich aus den ursprünglichen Deﬁnitionen mit Hilfe von Wegen, die in M verlaufen: P. Deﬁnition und Satz. Ein Weg in der Mannigfaltigkeit M ist ein Weg C W J ! Rn , J Intervall, mit C.J / M . Ist J offen, so kann ein solcher Weg lokal aus einem Weg in Rp erhalten werden. Das bedeutet: Zu jedem t0 2 J existiert eine injektive Parametrisierung W U ! Rn von M mit C.t0 / 2 .U /, ein Intervall J" WD t0 "; t0 C "Œ J , " > 0, sowie ein Weg c W J" ! U mit C.t / D .c.t // 8 t 2 J" : Wenn J nicht offen ist, so gilt das analog, nur dass bei einem Randpunkt t0 die Formulierung etwas anders ist. Beweis von P. Sei b WD C.t0 / und ' W B ! B1 eine Schnittkarte von Rn bez. M mit b 2 B (Satz G[3.2]). Wegen der Stetigkeit von C existiert ein " > 0 mit J" J und C.J" / B, tatsächlich C.J" / B \ M . Deﬁniert man für t 2 J" c.t / WD '.C.t //; p

p

so ist c W J" ! R der gewünschte Weg und WD ' 1 W B1 \ R ! Rn die p p gewünschte Parametrisierung (wobei natürlich U WD B1 \ R zu setzen und R mit Rp zu identiﬁzieren ist). Vgl. den Schluss „(KM) H) (IM)“ im Abschnitt 3.2. Q. Satz. Sei b ein Punkt in der p-dimensionalen Mannigfaltigkeit M Rn . Der geometrische Tangentialraum Tb M ist die Gesamtheit der Ableitungsvektoren C 0 .t0 / aller möglichen C 1 -Wege C W J ! M (J offen) durch b, d.h. mit C.t0 / D b für ein t0 2 J .

284

Kapitel 5

Die Integralsätze

Der abstrakte Tangentialraum Tb M ist die Gesamtheit der Ableitungsvektoren C .t0 / aller möglichen C 1 -Wege C W J ! M (J offen) durch b, d.h. mit C.t0 / D b für ein t0 2 J . Beweis. Wegen Tb M D jb .Tb M / (A) und C .t0 / D jb C 0 .t0 / (Q[3.4]) genügt der Nachweis für den ersten Teil. Gegeben sei ein z 2 Tb M , also z D 0 .a/h für eine Parametrisierung W U ! Rn mit b 2 .U / sowie a 2 U mit .a/ D b und h 2 Rp . Es sei c W "; "Œ ! U mit genügend kleinem " > 0 ein C 1 -Weg mit c.0/ D a und c 0 .0/ D h, z.B. eine (offene) gerade Strecke c.t / D a C t h. Dann ist C WD ı c ein Weg in M mit C.0/ D b und C 0 .0/ D 0 .a/c 0 .0/ D 0 .a/h D z, somit z von der behaupteten Art. Ist umgekehrt C 0 .t0 / ein solcher Ableitungsvektor wie beschrieben, so sei dazu ein Weg c W J" ! Rp wie in Satz P konstruiert, also C.t0 / D .c.t0 // D b und C 0 .t0 / D 0 .c.t0 //c 0 .t0 / 2 Tb M . Aufgaben und Anmerkungen W R2 ! 1. Für die Euklidische Einheitssphäre S2 R3 seien W R2 ! R3 bzw. e 3 R die aus der stereographischen Projektion aus Nord- bzw. Südpol entspringenden injektiven Parametrisierungen (vgl. C[3.2]). a)

Man berechne die zu ; e gehörende Parametertransformation ˆW

! U0 .x; y/ 7!

e0 U ˆ.x; y/;

e 0 WD e wobei wie üblich D WD .R2 / \ e .R2 / und U0 WD 1 .D/, U 1 .D/. Ist ˆ orientierungstreu? Wie verträgt sich die Antwort mit der Orientierbarkeit von S2 ? b)

Auf R2 seien zwei 2-Formen gegeben durch ! WD 4

dx ^ dy ; .1 C x 2 C y 2 /2

!e WD 4

du ^ dv : .1 C u2 C v 2 /2

Deﬁnieren diese beiden Formen eine 2 Form ! auf S2 ? 2. Sei U eine Überdeckung vom M mit relativ-offenen Mengen. In Verallgemeinerung von Bemerkung F soll gezeigt werden: Eine Form ! auf M ist dann und nur dann von der Klasse C r wenn die Restriktionen von ! auf jede Menge U 2 U von der Klasse C r sind. 3. Man zeige, dass eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit entweder überhaupt keine oder aber genau zwei Orientierungen besitzt. Lösungshinweis: Man gehe ähnlich vor wie im Beweis von Satz L.

Abschnitt 5.2

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

285

4. Die Untermannigfaltigkeit M Rn mit dim M 1 sei orientiert. Eine Top-Form ! auf M heißt positiv (geschrieben ! > 0) bzw. nichtnegativ (geschrieben ! 0), wenn es für alle b 2 M ein Vektorsystem v1 ; : : : ; vp in Ob gibt mit !b .v1 ; : : : ; vp / > 0 bzw. !b .v1 ; : : : ; vp / 0. Man zeige: a)

In diesen Deﬁnitionen kann das „es gibt“ äquivalent durch „für alle“ ersetzt werden.

b)

Für jede Top-Form ! gilt j!j ! 0.

c)

Für jede Top-Form ! gilt: ! 0 () ! D j!j.

Hinweis: Für zwei Top-Formen !, auf M ist die Relation < ! bzw. ! deﬁniert durch ! > 0 bzw. ! 0. Entsprechende Deﬁnitionen bestehen natürlich auch für die Relationen > ! bzw. ! und auch für eine Teilmenge von M anstelle von M . 5. Die Untermannigfaltigkeit M Rn mit dim M 1 sei Vereinigung von endlich vielen Bildern von injektiven Parametrisierungen: M D 1 .U1 / [ [ N .UN /: Für 1 i; j N sei Dij WD i .Ui / \ j .Uj /. Falls Dij ¤ ¿, so sei i1 .Dij / zusammenhängend, und ˆij bezeichne die zugehörige Parametertransformation. Man deﬁniere eine .N N /-Matrix .Eij / durch 8 ˆ < 0; falls Dij D ¿ Eij WD 1; falls Dij ¤ ¿ und ˆij o-treu ˆ : 1; falls Dij ¤ ¿ und ˆij o-umkehrend und beweise: Ist det.Eij / ¤ det.jEij j/, so ist M nicht orientierbar.

5.2

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

Auf Mannigfaltigkeiten werden nicht Funktionen integriert, sondern Differentialformen der höchsten Stufe, die Top-Formen. Der Grund ist das Transformationsverhalten beim Wechsel der Parametrisierung, das bei Funktionen ungünstig ist, bei Differentialformen aber genau richtig. Wir hatten das sehr deutlich bei Satz B[4.6] erkannt. Allerdings gab es da noch ein Vorzeichenproblem, das nur verschwindet, wenn man o-treu transformiert. Sinnvollerweise muss man also die Mannigfaltigkeiten orientiert voraussetzen. Natürlich sollen auch Teilmengen einer orientierten Mannigfaltigkeit als Integrationsbereiche zugelassen werden.

286

Kapitel 5

Die Integralsätze

Der Weg zur Integration auf Mannigfaltigkeiten folgt dem Motto: „vom Lokalen zum Globalen“. Das ist eine sehr typische, allgemeine Methode: Man konstruiert die Objekte zunächst lokal mittels Parametrisierungen und verbindet dann in geeigneter Weise die lokalen Objekte, um die entsprechende globale Version zu erhalten. Lokal werden wir das Lebesgue-Integral reellwertiger Funktionen zugrunde legen und global direkt mit den aneinanderschließenden Bildmengen von Parametrisierungen arbeiten. Für die Verwendung des Lebesgueschen Integralbegriffs gibt es gute Gründe, wie sich im Lauf der Diskussion herausstellen wird; vgl. Bemerkung T(i). Sei M Rn eine orientierte Untermannigfaltigkeit der Klasse C r mit r 1 und der Dimension p 1. Für M werden nur positive, injektive Parametrisierungen W U ! Rn verwendet. ! sei eine Top-Form auf M , d.h. von der Stufe p. Es werden zunächst keine Stetigkeits- oder Differenzierbarkeitsannahmen über ! gemacht. Wir setzen jeweils ! D W dx 1 ^ ^ dx p ;

W W U ! R:

Lokaler Teil: Die Top-Form ! sei Null außerhalb einer Bildmenge .U /. A. Deﬁnition (und Lemma). Wir nennen ! integrierbar (über M ), wenn ! über U integrierbar ist, und deﬁnieren dann Z Z Z ! WD ! D W: M

U

U

Diese Deﬁnition ist unabhängig von der Wahl von . e /. Dann verschwindet ! außerhalb .U / \ Beweis. Sei ! auch Null außerhalb e . U e /. Mit den analogen Bezeichnungen wie in D[3.2] gilt e . U Z Z ! D !; U

U0

da ! außerhalb U0 gleich Null ist. Analog gilt: Z Z e ! D e !: e e U U0 ı ˆ (B[4.6]) mit " D 1). Die Integrale rechts stimmen überein, da jU0 D e

Die Integration von ! über eine Teilmenge B .U / leistet man wieder mit der Abschneidung B !, genau wie im Fall des Rn (Ana-2: H[11.6]):

Abschnitt 5.2

287

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

B. Deﬁnition (und Lemma). Ist B .U /, so heißt ! über B integrierbar, wenn B ! im Sinne von Deﬁnition A integrierbar ist, und dann setzt man: Z Z ! WD B !: B

M

Dies ist genau dann der Fall, wenn ! über 1 .B/ integrierbar ist, und dann gilt Z Z ! WD !: 1 .B/

B

Beweis. Dies ergibt sich aus der Relation .B !/ D . B / . !/ D . 1 B jU / . !/;

(1)

die unmittelbar klar ist.

In dieser „lokalen“ Situation innerhalb einer Menge .U / übertragen sich die Regeln der Lebesgue-Theorie weitgehend mittels der Übersetzung ! $ !. So erhält man z.B. folgende Regeln (vgl. Ana-2: I[11.4] und P[11.6]): C. Satz. (i)

Lokale Abschätzungsregel: Ist ! über B .U / integrierbar, so ist es auch j!j, und es gilt ˇZ ˇ Z ˇ ˇ ˇ !ˇ j!j: ˇ ˇ B

(ii)

B

Lokaler Zerlegungssatz: Gegeben sei eine abzählbare Zerlegung innerhalb .U /: B D B1 [ B2 [ .U /, wobei ! über alle Bk integrierbar ist. Dann gilt die Äquivalenz: XZ j!j < 1: ! über B integrierbar () k

Ist ! über B integrierbar, so gilt Z !D B

XZ k

Bk

!

Bk

einschließlich der absoluten Konvergenz rechts.

Die Summenzeichen bedeuten Reihen bzw. endliche Summen, wenn die Zerlegung abzählbar unendlich bzw. endlich ist, und im zweiten Fall ist die absolute Konvergenz natürlich von alleine erfüllt.

288

Kapitel 5

Die Integralsätze

Im Folgenden werden einige Grundlagen über messbare Mengen in den Zahlräumen gebraucht. Es sind durchweg einfache Folgerungen aus der Deﬁnition messbarer Mengen und einiger Grundsätze der Integralrechnung, nämlich die Aussagen A, B, D, E, G, H aus Ana-2: Abschnitt 13.2. D. Satz und Deﬁnition. Für B .U / sind äquivalent: (i)

1 .B/ ist messbar.

(ii)

B ! ist integrierbar für alle !, die über .U / integrierbar sind.

Ist (i) oder (ii) erfüllt, so heißt B messbar. Mit Rücksicht auf Deﬁnition A folgt aus der Formulierung in (ii), dass dieser Begriff der Messbarkeit unabhängig von derjenigen Parametrisierung ist, deren Bild B umfasst. Des weiteren erkennt man die Koinzidenz mit dem Messbarkeitsbegriff von Ana-2: A[13.2] im Falle B U Rp , indem man WD idU wählt. Beweis von D. Klar aus (1) und der analogen Äquivalenz in Ana-2: A[13.2]

ee e / messbar. Dann gilt: E. Lemma. Seien B .U / und B . U (i)

e ist messbar. B\B

(ii)

e integrierbar, so auch über B \ B. e Ist ! über B

e als Teil von .U / auf. (Genausogut Beweis. Wir fassen den Durchschnitt B \ B e könnte er als Teil von e . U / aufgefasst werden, worauf es aber mit Rücksicht auf die in den Aussagen A und D ausgedrückte Unabhängigkeit von der Parametrisierung nicht ankommt.) Letzten Endes muss dieser Durchschnitt mittels 1 in den Rp übersetzt und mit e durch e der Übersetzung von B 1 in Verbindung gebracht werden. Das geschieht natürlich über die Parametertransformation ˆ zwischen ; e . Es gilt nämlich: (2)

e D 1 .B/ \ ˆ1 . U e0 \ e e 1 .B \ B/ 1 . B//:

Man macht sich diese Gleichung an einer Skizze klar und kann sie auch leicht formal bestätigen (sie ist rein mengentheoretisch). Nun folgt der Reihe nach – zur sukzessiven Abarbeitung der rechten Seite von (2): Zu (i): e ist messbar nach B[13.2], D[13.2] e0 \ e 1 . B/ U e0 \ e e ist messbar nach G[13.2] ˆ1 . U 1 . B// e0 \ e e ist messbar nach D[13.2]: 1 .B/ \ ˆ1 . U 1 . B//

Abschnitt 5.2

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

289

Die Zitate mit dem Attribut „[13.2]“ beziehen sich auf Ana-2. Mit (2) folgt also die Behauptung (i). Zu (ii): e ist e e0 \ e 1 . B/ ! integrierbar nach B, E[13.2] über U e \e e ist ! integrierbar nach F[4.6] über ˆ1 . U 1 . B// 0

e0 \ e e ist ! integrierbar nach Ana-2: E[13.2]: 1 . B// über 1 .B/ \ ˆ1 . U Mit (2) folgt die Behauptung (ii).

Globaler Teil: Die Top-Form ! unterliege keiner Einschränkung bez. Nullstellen. Will man ein Integral aus lokalen Teilen zusammensetzen, so wird das in einem abzählbaren Prozess zu geschehen haben. Wir müssen also zunächst dafür sorgen, dass unsere Untermannigfaltigkeit M durch abzählbar viele Bilder von Parametrisierungen überdeckt werden kann, also durch endlich viele (wünschenswerterweise) oder allenfalls abzählbar unendliche viele solche Bilder. Das geht tatsächlich: F. Lemma. Es gibt eine abzählbare Kollektion … SD f1 ; 2 ; : : :g von injektiven (und positiven) Parametrisierungen von M mit M D k k .Uk /. Ist M nicht orientierbar, so bleibt dieses Lemma samt Beweis gültig, wenn der Klammerzusatz weggelassen wird. Beweis von F. Wir betrachten alle offenen Bälle K des Rn mit rationalen Zentren und rationalen Radien (sog. rationale Bälle), die außerdem erfüllen: (i)

M \ K ¤ ¿;

(ii)

es gibt eine Parametrisierung von M , so dass M \ K .U /.

Die Menge dieser Bälle K ist dann abzählbar, und wir zeigen nun, dass die zugehörigen Durchschnitte M \ K die Mannigfaltigkeit M überdecken: Zu jedem b 2 M wählen wir eine injektive (und positive) Parametrisierung mit b 2 .U / sowie eine offene Menge V Rn mit .U / D M \ V (A[3.2]). Es existiert dann ein rationaler Ball K mit b 2 K V : Da V offen ist, gibt es zunächst einen Ball B.b; r/ V . Wir wählen eine Zahl s 2 QC mit s < r=2 und ein b 0 2 Qn mit jb b 0 j < s. Dann folgt jb b 0 j C s < 2s < r, also K WD B.b 0 ; s/ B.b; r/ V (Ana-1: G(iii)[6.1]) und b 2 K. Insgesamt gilt: b 2 M \ K M \ V D .U /. Wählt man nun zu jedem offenen rationalen Ball K, der (i) und (ii) erfüllt, ein mit M \ K .U /, so erhält man die gesuchte Kollektion ….

290

Kapitel 5

Die Integralsätze

F. Zusatz. Es gibt eine zugehörige Zerlegung [ (3) M D Bk mit messbaren Bk k .Uk /. k

Beweis. Wir betrachten die Mengen ` .U` / und subtrahieren die jeweils vorherigen: B1 WD 1 .U1 / Bk WD k .Uk / n

k1 [

` .U` /;

k D 2; 3; : : : :

`D1

Unmittelbar klar ist die Zerlegungseigenschaft (wobei die leeren Bk einfach mitnummeriert werden, aber keine Rolle spielen). Auch die Messbarkeit ist erfüllt: Für B1 folgt dies, da 11 .B1 / D U1 offen ist, und für Bk mit k 2 ebenfalls, da k1 .Bk /

D Uk n

k1 [

k1 .k .Uk / \ ` .U` //;

`D1

wobei die zu vereinigenden Mengen nach D[3.2] offen sind, sodass die Sätze Ana-2: B[13.2] und D[13.2] angewendet werden können. Nun werden die lokalen Integrale einfach gemäß (3) aufaddiert: G. Deﬁnition. Wir nennen die Top-Form ! integrierbar (über M), wenn es eine abzählbare Zerlegung von M durch Mengen Bk mit (3) gibt, sodass gilt: (i) (ii)

! ist über alle Bk integrierbar; XZ j!j < 1. k

Bk

Dann ist das Integral von ! (über M ) deﬁniert durch Z XZ ! WD !: M

k

Bk

Die letztgenannte Reihe konvergiert absolut aufgrund von (ii) und der lokalen Abschätzungsregel C(i). Die hier zugelassene Zerlegung (3) braucht nicht auf die Weise wie im Lemma F entstanden zu sein (die obige Konstruktion diente allein zur Existenzsicherung). Aber natürlich ist die Unabhängigkeit von der Art und Weise der Zerlegung nachzuweisen:

Abschnitt 5.2

291

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

H. Satz (Rechtfertigung). Seien (i) und (ii) aus Deﬁnition G für die Mengen Bk e` mit (3) erfüllt, und sei eine zweite abzählbare Zerlegung von M durch Mengen B e` gegeben (mit eventuell anderen e ` ). Dann sind (i) und (ii) auch für die Mengen B erfüllt und XZ XZ !D !: e Bk B` k ` Beweis. Vorausgesetzt ist also neben (3) [ e` e e ` /. e` mit messbaren B `. U (4) M D B `

Zunächst sei ` fest: Es gilt dann e` D B

(5)

[

e ` /; e ` \ Bk e `. U B

k

wobei die zur Vereinigung gelangenden Durchschnitte nach Lemma E messbar sind und ! über sie integrierbar ist. Auf diese Zerlegung ist der lokale Zerlegungssatz C(ii) anwendbar; denn es gilt die folgende gliedweise Abschätzung XZ XZ j!j j!j < 1; e B ` \Bk Bk k k worin die Beschränktheit der zweiten Reihe nach Voraussetzung besteht. Damit ergibt sich aus (5) Z XZ !D !: e e B` B ` \Bk k Dasselbe gilt für j!j anstelle !: Z XZ (6) j!j D j!j: e e B` B ` \Bk k e` klar. Damit ist (i) für die B Nun soll der große Umordnungssatz angewendet werden (Ana-2: T[11.9]), und zwar auf die unendliche Matrix der Integrale über die paarweisen Durchschnitte: Bei endli[ e ` \ Bk : chen Summen (durch 0 markiert) gilt, da Bk D B X k

0

!

X Z 0

`

e B ` \Bk

j!j

`

X Z 0

k

Bk

j!j

XZ k

j!j < 1:

Bk

Also folgt einschließlich der Konvergenz aller Reihen: ! ! X XZ X XZ j!j D j!j < 1: (7) e e B ` \Bk B ` \Bk ` k k `

292

Kapitel 5

Die Integralsätze

Setzt man links in (7) entsprechend (6) ein, so sieht man, dass auch (ii) für die Mengen e` erfüllt ist. Danach sind beide Zerlegungen gleichberechtigt, also folgt analog zu B (6) Z XZ j!j D j!j e B ` \Bk Bk ` und damit aus (7)

XZ e B`

`

j!j D

XZ

j!j:

Bk

k

Dasselbe gilt für ! anstelle j!j, da (7) laut großem Umordnungssatz auch ohne die Betragsstriche richtig bleibt. I. Bemerkung (zur Koinzidenz). Ist ! Null außerhalb eines .U /, so nimmt man zu der nach Lemma F konstruierten Zerlegung als „nullte“ Parametrisierung 0 WD hinzu (was die Abzählbarkeit nicht stört) und beginnt das Verfahren bei 0 statt 1. Dann ist ! gleich Null in allen Mengen Bk mit k 1, sodass diese keinen Beitrag leisten, also die Integralsummen in G nur aus dem nullten Term bestehen. Hieraus folgt die Koinzidenz der allgemeinen Deﬁnition G mit der speziellen in A. Die Regeln für das Integral übertragen sich vom lokalen Fall auf die globale Situation. Wir notieren zunächst die, welche sich auf den Integranden beziehen: J. Satz. (i)

Sind die Top-Formen !1 ; !2 über M integrierbar und ˛1 ; ˛2 2 R, so ist auch ˛1 !1 C ˛2 !2 über M integrierbar und Z

Z .˛1 !1 C ˛2 !2 / D ˛1 M

(ii)

Z !1 C ˛2

M

!2

(Linearität):

M

Ist ! über M integrierbar, so auch j!j und ˇZ ˇ ˇ ˇ

M

ˇ Z ˇ ! ˇˇ

j!j

(Abschätzungsregel):

M

Beweis. Dies ergibt sich aus den entsprechenden lokalen Regeln aufgrund der additiven Deﬁnition G. Bei der Summe hat man für jeden Summanden eine eigene Zerlegung, kann aber dann aufgrund von (7) zur gemeinsamen Zerlegung der Durchschnitte übergehen.

Abschnitt 5.2

293

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

K. Bemerkungen. (i) Ist !V eine p-Form auf einer Obermenge V M in Rn , so wird die Integrierbarkeit von !V über M erklärt anhand des Inklusions-Pull-Backs i !V auf M ; vgl. I(ii)[5.1]. Man setzt Z Z ! WD i ! : V

M

V

M

(ii) Zu jeder Orientierung b 7! Ob einer (orientierbaren) Untermannigfaltigkeit M gibt es eine inverse Orientierung, deﬁniert durch b 7! O0b , wobei der Strich die inverse Orientierung im Sinne der Vektorräume ist. Dies bedeutet: Ist .v1 ; : : : ; vp / 2 Ob so ist .v1 ; : : : ; vp / 2 O0b . Man bestätigt leicht, dass mit O auch O0 die Deﬁnition J[5.1] erfüllt. Ist … eine orientierende Kollektion der Ausgangsorientierung, so erhält man eine orientierende Kollektion der inversen Orientierung, indem man jedes 2 … umpolt. Wird M als orientierte Untermannigfaltigkeit aufgefasst, so soll dieselbe Untermannigfaltigkeit, jedoch mit der inversen Orientierung, durch M 0 bezeichnet werden. Beim Integral bewirkt dies dann einen Vorzeichenwechsel! Dies erkennt man zunächst an der lokalen Situation A: Für M 0 ist anstelle W U ! Rn zu verwenden: ı S W S.U / ! Rn , S die Spiegelung aus K[5.1]. Dann gilt: . ı S / ! D S . !/ D S .W dx 1 ^ ^ dx p / D .W ı S /d.x 1 ı S / ^ ^ d.x p ı S / D .W ı S /d.x 1 / ^ dx 2 ^ ^ dx p D .W ı S /dx 1 ^ ^ dx p ; also

Z

Z !D

W

M

U

Z M0

Z

Z

!D

Z # Z W ıS D W j det S j D W;

.W ı S / D S.U /

S.U /

U

U

worin beim Pfeil der Transformationssatz eingeht. Hieraus folgt Z Z !D !; M0

M

und mit Rücksicht auf Deﬁnition G gilt dies auch global für jede über M integrierbare Top-Form !. Die Integration über Teilmengen von M geschieht nach dem gleichen Muster wie im Fall der Zahlräume durch Nullfortsetzung bzw. Abschneidung. Um die beiden Dinge unter einen Hut zu bringen, sei in diesem Zusammenhang Folgendes vereinbart:

294

Kapitel 5

Die Integralsätze

Konvention: Sind eine reelle Funktion f und eine Differentialform ! nur auf Teilmengen von M deﬁniert, so sei das Produkt f ! auf der Vereinigung der beiden Deﬁnitionsmengen deﬁniert, und zwar in den Punkten, wo einer der Faktoren nicht deﬁniert ist, als Null. Bei anderen Produktbildungen (z.B. Dachprodukt) soll analog verfahren werden. Ist z.B. B M und ! nur auf B gegeben, so schreibt sich die Nullfortsetzung von ! auf M damit als b ! D B !. L. Deﬁnition. Sei B M Teilmenge. Ist die Top-Form ! auf B oder auf M deﬁniert, so heißt ! integrierbar über B, wenn B ! über M integrierbar ist, und in diesem Fall ist das Integral von ! über B erklärt durch Z Z ! WD B !: B

M

Das Verhalten gegenüber mengentheoretischen Verknüpfungen basiert nun wieder auf einfachen Regeln für die Multiplikation mit charakteristischen Funktionen: M. Satz. Seien B; C Teilmengen von M . (i)

Ist eine Top-Form ! auf B [ C gegeben und B \ C D ¿, so gilt: Ist ! über zwei der Mengen B, C , B [ C integrierbar, so auch über die dritte und Z Z Z !D !C !: B [ C B C

(ii)

Ist eine Top-Form ! auf B [ C gegeben, so gilt: Ist ! über drei der Mengen B, C , B \ C , B [ C integrierbar, so auch über die vierte und Z Z Z Z !C !D !C !: B\C

B[C

B

C

Beweis. Der Grund sind die folgenden Relationen:

[

B

C

! D B ! C C !;

B\C ! C B[C ! D B ! C C !:

Diese sind korrekt: Ist ! in y 2 M nicht deﬁniert, so sind alle Auswertungen der beteiligten Formen bei y gleich Null. Im Gegenfall folgen die Relationen aus B

[

C

D B C C ;

B\C C B[C D B C C ;

Abschnitt 5.2

295

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

was sehr leicht durch Fallunterscheidung zu bestätigen ist. An den obigen Relationen kann man die Behauptungen (i), (ii) direkt ablesen. Satz M ist auch von praktischer Bedeutung, weil man oft Teile von M aus anderen Teilen zusammensetzen möchte und dann wissen muss, wie sich die Integrale dabei verhalten. Ebenfalls wichtig fürs Praktische ist, dass man Nullmengen vernachlässigen darf. Hier zunächst zwei Deﬁnitionen: N. Deﬁnition. Eine Teilmenge B M heißt (i)

Nullmenge, wenn für alle Parametrisierungen von M das Urbild 1 .B/ Nullmenge in Rp ist.

(ii)

messbar, wenn für alle Parametrisierungen von M das Urbild 1 .B/ messbar in Rp ist.

O. Bemerkungen. (i) Genau wie in einem Zahlraum kommt es bei der Integration einer Top-Form nicht auf das Verhalten in einer Nullmenge an, d.h. für jedes ! gilt Z ! D 0; falls B Nullmenge in M : B

Dies folgt unmittelbar aus der obigen Deﬁnition N(i) und der des Integrals in Deﬁnition G. (ii)

Jede Nullmenge ist messbar. Denn jede Nullmenge in Rp ist messbar.

(iii) Bei der Messbarkeit herrscht Koinzidenz mit der lokalen Version in Deﬁnition e WD e e / anzuwenden. D. Dazu hat man lediglich Lemma E auf den Fall B . U (iv) Gemeint sind in der obigen Deﬁnition N zunächst alle injektiven und positiven Parametrisierungen von M . Tatsächlich reichen solche k aus einer festen abzählbaren Kollektion … wie in Lemma F (unabhängig von der dortigen Konstruktion), und dann sind die obigen Forderungen (i), (ii) von alleine für alle Parametrisierungen W U ! Rn von M erfüllt (nicht nur für die injektiven und positiven). Um dies einzusehen, sei die Parametertransformation S zwischen k und mit ˆk W e 0k bezeichnet. Aus (3) folgt dann B D U0k ! U k B \ Bk und damit ähnlich wie bei (2) [ [ e 0k \ 1 .B/ \ 1 .Bk / : U 1 .B/ D 1 ..U / \ B \ Bk / D ˆ1 k k k k

k

Hieraus liest man ab, dass 1 .B/ Nullmenge bzw. messbar ist, wenn die k1 .B/ Nullmengen bzw. messbare Mengen sind. Im Falle (i) hat man dazu Ana-2: D[11.3] und N[11.3] heranzuziehen, im Falle (ii) Ana-2: D[13.2] und G[13.2].

296

Kapitel 5

Die Integralsätze

In den Anwendungen sind Top-Formen meistens stetig, und auch im theoretischen Aufbau könnte man zunächst die Stetigkeit voraussetzen. Was man auf jeden Fall gerne hätte, ist die Integrierbarkeit stetiger Top-Form über kompakte Mengen. Das ist auch tatsächlich gewährleistet: P. Satz. Jede stetige Top-Form ! 2 p0 .M / ist über jede kompakte Teilmenge C M integrierbar. Beweis. Das soll natürlich mittels einer endlichen Überdeckung von C auf den lokalen Fall zurückgespielt werden. Das Problem ist nur, dass die Urbilder kompakter Mengen von M unter Parametrisierungen i. Allg. nicht kompakt sind. Man kann aber Parametrisierungen ﬁnden, bei denen die Abweichung von der Kompaktheit lediglich in Nullmengen besteht. Das geht so: Mit B.a; r/ sei der offene Euklidische Ball in Rp mit Zentrum a und Radius r bezeichnet. Zu jedem Punkt b 2 M sei eine injektive und positive Parametrisierung e gilt e e ! Rn gewählt, sodass für ein a 2 U .a/ D b. Außerdem sei ein e W U e abgeschlossener Ball B.a; s/ U und ein Radius r < s bestimmt. Die Restriktion WD e jB.a; r/ W B.a; r/ ! Rn ist dann ebenfalls eine injektive und positive Pa @B.a; r/ gilt in rametrisierung von M mit .a/ D b. Wegen B.a; r/ D B.a; r/ [ dieser Situation e 1 .e .B.a; r// \ C / D 1 .C / [ e 1 .e [email protected]; r// \ C /:

[email protected]; r// \ C / ist Teilmenge von @B.a; r/, Die linke Seite ist kompakt, und e 1 .e p also eine Nullmenge in R (Ana-2: P(iv)[11.3]). Somit unterscheidet sich 1 .C / von einer kompakten Menge nur um eine Nullmenge. Also ist 1 .C / integrierbar und die stetige Form ! darüber ebenfalls integrierbar (Ana-2: R[11.6]). Es folgt, dass .B.a; r// messbar und C ! darüber integrierbar ist. Wegen der Kompaktheit von C existiert eine Überdeckung von C durch endlich viele Bilder Bk WD k .B.ak ; rk //, k D 1; : : : ; N , von Parametrisierungen k W B.ak ; rk / ! Rn der eben genannten Art. Dann ist die Deﬁnition G für die Integrierbarkeit von C ! fast erfüllt, abgesehen davon, dass diese Bk eventuell M noch nicht überdecken. Man nehme deswegen diese Parametrisierungen als die ersten N für die Konstruktion in Lemma F. In den dortigen Bk mit k > N ist dann C ! gleich Null, also ist insgesamt C ! über M integrierbar. Q. Bemerkung. Bei der Integration einer Top-Form über eine kompakte Teilmenge C M kommt man immer mit endlich vielen injektiven Parametrisierungen von M aus. Es muss ja nur C durch die Bilder von solchen Parametrisierungen überdeckt werden. Auf diese kann dann das Verfahren von Lemma F angewendet werden. Weitere Parametrisierungen, deren Bilder zur Überdeckung von M erforderlich sind, kann man weglassen, da diese Bilder keine Punkte von C enthalten. Das ist die Quintessenz des Schlusses am vorangehenden Beweisende.

Abschnitt 5.2

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

297

Wenn M selbst kompakt ist, so reichen analog endlich viele Parametrisierungen, wenn man über ganz M integrieren möchte. Mit den bisherigen Resultaten sind die grundlegenden Begriffe zum Lebesgue-Integral auf Mannigfaltigkeiten eingeführt. Wie gesagt, das allgemeine Prinzip besteht darin, lokale Situationen mittels Parametrisierungen aus dem Rp zu übertragen und dann die Globalisierung vermöge der additiven Deﬁnition G zu bewerkstelligen. Vektorwertige Integrale Hier sei noch die vektorwertige Integration auf eine einfache Weise behandelt. Diese wird z.B. in der Physik gebraucht, um Schwerpunkte zu berechnen. Wir beschränken uns auf endlich-dimensionale Zielräume. Der einfachste Fall ist ein Rm als Zielraum: Eine Differentialform ! der Stufe s auf M mit Werten in Rm kann aufgefasst werden als ein m-Tupel von gewöhnlichen (skalaren) Differentialformen auf M der Stufe s, z.B. geschrieben als Spalte: 0

1 !1 B : C ! D @ :: A : !m Operationen werden damit, soweit sinnvoll, komponentenweise vorgenommen, z.B. Dach-Multiplikation von links oder rechts mit einer skalaren Differentialform oder äußere Ableitung und Integration wie folgt: 1 0 1 0 1 ^ !1 ! ^ C B C B C B C B B :: C B :: C ^ ! WD B : C ; ! ^ WD B : C ; C B C B A @ A @ m m ! ^ ^! 0 11 1 0 Z d! 1 ! B C C B M Z B C C B B :: C :: C: d! WD B : C ; ! WD B : C B B C Z M A @ @ A !m m d! M Natürlich muss man beim Operator d voraussetzen, dass alle ! i von der Klasse C 1 sind, und beim Integral, dass s D p ist und alle ! i über M integrierbar sind. Dies ist keineswegs, wie es scheinen könnte, basisabhängig; denn es lässt sich mit dem Dualitätsprinzip folgendermaßen beschreiben: Zunächst deﬁniert ! für jedes b 2 M

298

Kapitel 5

Die Integralsätze

eine multilineare, alternierende Abbildung !b W .Tb M /s ! Rm : 1 0 1 !b .v1 ; : : : ; vs / C B :: !b .v1 ; : : : ; vs / WD @ A: : !bm .v1 ; : : : ; vs / Weiter kann mit einem beliebigen Element ˛ des Dualraums Rm WD .Rm / über die kanonischen Paarung Rm Rm ! R, .y; ˛/ 7! ˛.y/ DW hy; ˛i, aus ! die skalare s-Form h!; ˛i gebildet werden: h!; ˛ib .v1 ; : : : ; vs / WD h!b .v1 ; : : : ; vs /; ˛i WD ˛.!b .v1 ; : : : ; vs //: Die kanonische Paarung wird sinnvollerweise auch als Inzidenzprodukt bezeichnet. Die obigen komponentenweisen Deﬁnitionen sind dann äquivalent mit h ^ !; ˛i D ^ h!; ˛i ; h! ^ ; ˛i D h!; ˛i ^ ;

Z Z !; ˛ D (8) h!; ˛i ; M

hd!; ˛i D d h!; ˛i

M

jeweils für alle ˛ 2 Rm . Dies ist basisfrei, und es formuliert sich genauso, wenn Rm durch einen beliebigen endlich-dimensionalen Vektorraum Z als Zielraum ersetzt wird. Man bestätigt dann sehr leicht die Übertragung:

der algebraischen Regeln des äußeren Kalküls aus Abschnitt 4.2, soweit sinnvoll, z.B. das Assoziativgesetz für skalare Formen 1 ; 2 : 1 ^ .2 ^ !/ D .1 ^ 2 / ^ !/ DW 1 ^ 2 ^ !:

der analytischen Regeln des äußeren Kalküls aus Abschnitt 4.2, soweit sinnvoll und unter entsprechenden Voraussetzungen, z.B. d.d!/ D 0;

d. ^ !/ D d ^ ! C .1/t ^ d!

(t die Stufe von ):

der Regeln dieses Abschnitts für das Integral.

Schließlich besteht noch die Vertauschbarkeit mit linearen Abbildungen des Zielraums (analog zu Ana-2: R[11.4]): R. Lemma. Ist L W Z ! W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen reellen Vektorräumen und ist die Z-wertige Top-Form ! über M integrierbar, so gilt das auch für die W -wertige Top-Form L! und Z Z L !D L!: M

M

Abschnitt 5.2

299

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

Beweis. Man kann das natürlich mit Matrizen nachrechnen. Eleganter geht es mit der zu L W Z ! W dualen linearen Abbildung L W W ! V zwischen den zugehörigen Dualräumen, charakterisiert durch die Eigenschaft: ˝ ˛ (9) 8 v 2 V; ˇ 2 W : hLv; ˇi D v; L ˇ Es ist zu zeigen:

Z L

Z

!; ˇ D

M

L!; ˇ :

M

Wegen (9) und (8) gilt für die linke Seite:

Z Z Z

L !; ˇ D !; L ˇ D M

M

M

˛ !; L ˇ ;

M

und für die rechte Seite aufgrund von (8) und (9):

Z Z Z L!; ˇ D hL!; ˇi D M

˝

˝

˛ !; L ˇ :

M

Vergleich liefert die Behauptung.

Zur Klassiﬁkation von Mannigfaltigkeiten Wie können Mannigfaltigkeiten prinzipiell aussehen? Gibt es Modelle, anhand deren man sie klassiﬁzieren kann? – In höheren Dimensionen p sind diese Fragen nicht leicht zu beantworten. In niedrigen Dimensionen ist einiges vollständig bekannt. Wir starten mit einem eindimensionalen Fall, der sich mit analytischen Mitteln behandeln lässt: S. Satz (Struktur abgeschlossener, orientierter Kurven). Sei Z Rn eine abgeschlossene, orientierte und zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C r mit r 1. (i)

Ist Z kompakt, so existiert ein normaler periodischer Weg W R ! Rn mit .R/ D Z und einer primitiven Periode p > 0, sodass die Restriktion j 0; pŒ eine injektive Parametrisierung von Z ist mit .0; pŒ/ D Z n f.0/g.

(ii)

Ist Z nicht kompakt, so existiert eine injektive normale Parametrisierung W R ! Rn von Z mit .R/ D Z.

Dieser Satz ist erst ab der Dimension n D 2 interessant, da es außer R selbst keine abgeschlossenen eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten von R gibt. Dem Beweis liegt folgende Idee zugrunde: Zu jedem Punkt b 2 Z existiert genau ein Einheitsvektor F .b/ 2 Tb Z mit F .b/ 2 Ob .Z/. Die so deﬁnierte Abbildung F W Z ! Rn kann man als ein Vektorfeld auf Z betrachten. Dieses Feld „steuert“

300

Kapitel 5

Die Integralsätze

gewissermaßen die positiven Parametrisierungen von Z, indem es an jedem erreichten Punkt vorschreibt, wie es „inﬁnitesimal weitergeht“. Solch eine Parametrisierung ist ein regulärer Weg in Rn , und wenn er auf Bogenlänge bezogen ist, so gilt stets 0 .t/ D F ..t //. Das ist die gleiche Situation wie bei den Lösungen von (autonomen) Differentialgleichungen, sodass die gleichen Fortsetzungsargumente greifen. Das liefert die behaupteten Parametrisierungen mit einer anschließenden Aufspaltung, die dann zu den beiden Möglichkeiten (i) und (ii) führt. Beweis von S. Alle hier verwendeten Parametrisierungen von Z sind reguläre Wege W J ! Rn mit: 0 .t / 2 O.t/ für alle t 2 J . Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn ein solcher Weg auf Bogenlänge umparametrisiert, was durch eine leichte Abwandlung von Ana-1: S[9.1] zu erreichen ist. Eine solche Normalisierung wird in diesem Beweis immer angenommen. Mit solchen Parametrisierungen kann man nun folgendermaßen argumentieren: 1) Lokale Eindeutigkeit: Sind k W Jk ! Rn , k D 1; 2, zwei Parametrisierungen von Z mit einem t0 2 J1 \J2 und 1 .t0 / D 2 .t0 /, so folgt 1 .t / D 2 .t / in einem offenen Intervall um t0 . Zunächst kann man beide Parametrisierungen durch Einschränkung auf Intervalle um t0 injektiv machen, und dann eine entsprechenden Parameterwechsel ˆ zwischen 1 und 2 ansetzen. In Intervallen um t0 gilt dann 2 .t / D 1 .ˆ.t // und ˆ.t0 / D t0 . Aufgrund der Kettenregel, der Normalisierung und der Orientierung folgt dort: ˆ0 .t / D 1 und damit ˆ.t / D t , also 2 .t / D 1 .t /. 2) Maximale Fortsetzung: Sei b 2 Z ein fester Punkt und W J ! Rn eine Parametrisierung von Z mit 0 2 J und .0/ D b. Dann kann man nach beiden Seiten maximal fortsetzen. Das Vorgehen besteht wie bei Satz H[2.2] darin, alle solchen Parametrisierungen „übereinander zu legen“. Bei der Begründung der Wohldeﬁniertheit hat man für zwei Parametrisierungen i W Jk ! Rn , k D 1; 2, dieser Art zu zeigen: Ist Œ0; t1 Œ J1 und Œ0; t2 Œ J2 mit t1 t2 , so gilt 1 .t˚/ D 2 .t ˇ/ für 0 t <

t1 . Hierzu ˇ die beiden Mengen G WD t 2 0; t1 Œ 1 .t / D 2 .t / und V WD ˇ ˚betrachtet man t 2 0; t1 Œ ˇ 1 .t / ¤ 2 .t / . Die erste Menge G ist als Konsequenz von 1) offen. Die zweite Menge V ist offen wegen der Stetigkeit der beteiligten Funktionen. Außerdem ist G ¤ ¿; denn ein gewisses Intervall 0; t3 Œ gehört bereits zu G, wiederum aufgrund von 1). Somit folgt wegen des Zusammenhangs von 0; t1 Œ: G D 0; t1 Œ (und V D ¿). Analog läuft es bei der maximalen Fortsetzung nach links hin. 3) Die so erzeugte maximale Parametrisierung von Z ist auf ganz R deﬁniert. Wäre ihre maximale Deﬁnitionsmenge z.B. nach rechts hin nur ein Intervall 0; t C mit 0 < t C < 1, so besitzt die Abbildung beim Grenzübergang t " t C die Cauchy-

Abschnitt 5.2

301

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

Eigenschaft, da für 0 < s t < t C die Abschätzung besteht: ˇZ t ˇ Z t ˇ 0 ˇ ˇ ˇ 0 ˇ . /ˇ d D t s: ˇ . / d ˇˇ j.t / .s/j D ˇ s

s

Also existiert der Grenzwert lim t"t C .t / DW b1 in Rn (vektorielle Fassung von Ana1: P[3.2]), und wegen der Abgeschlossenheit von Z gilt b1 2 Z. Dann kann durch Wahl einer injektiven, b1 erfassenden Parametrisierung e nach rechts hin fortgesetzt werden. Im Detail: Sei e W "; "Œ ! Rn von dieser Art mit e .0/ D b1 und ein ı mit C 0 < ı < t so gewählt, dass . t C ı; t C / Bild e . Setze e J WD "; "Œ und J WD C C e 1 ..t // wohlt ı; t . Dann ist eine Abbildung ˆ W J ! J durch ˆ.t / WD e deﬁniert und stetig und (nach Ana-2: E[12.3]) differenzierbar. Aus .t / D e .ˆ.t // .t C c/ in folgt ˆ0 .t/ D 1 in ganz J , somit ˆ.t / D t C c, c D const. und .t / D e J . Es existiert dann lim t"t C ˆ.t / D t C C c, und damit wird: .t C C c/ D e .t C C c/: b1 D lim .t / D lim e t"t C

t"t C

Wegen b1 D e .0/ und der Injektivität von e folgt t C C c D 0, also c D t C , also C C C .t / D e .t t / für t ı < t < t . Eine differenzierbare Fortsetzung von über t C hinaus ist gegeben durch .t / WD e .t t C /;

für t C t < t C C ı:

Das widerspricht aber der Maximalität. Spiegelbildlich geht es in R . 4) .R/ ist eine offene Teilmenge von Z, die selbst eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn mit einer einzigen (normalen) Parametrisierung W R ! Rn . Es besteht die Alternative: Entweder ist nicht injektiv oder aber doch. 5) Im ersten Fall ( nicht injektiv) existieren t0 < t1 in R mit .t0 / D .t1 /. Sei p WD t1 t0 . Dann folgt, dass periodisch ist mit der Periode p. Dazu betrachtet man die beiden Abbildungen 1 .t / WD .t / und 2 .t / WD .t C p/ für t 2 R. Beide sind Parametrisierungen von .R/. Es gilt 1 .t1 / D .t1 / und 2 .t1 / D .t1 C p/ D .t2 / D .t1 /, also nach 1): 1 .t / D 2 .t /, d.h. .t / D .t C p/ in einer Umgebung von t1 . Nach dem gleichen Schluss ist dann wieder die Menge ft 2 R j .t / D .t C p/g offen in R, und da sie auch abgeschlossen und ¤ ¿ ist, gleich R, also periodisch mit der Periode p. Natürlich kann dann p minimal, also als primitive Periode angenommen werden. In diesem Fall ist weiter .R/ D .Œ0; p/, also .R/ kompakt und damit abgeschlossen in Z. Da .R/ schon als offen bekannt ist, folgt: .R/ D Z. Die Restriktion j 0; pŒ ist nunmehr injektiv. 6) Im zweiten Fall ( injektiv) vermittelt einen Homöomorphismus von R auf .R/. Insbesondere ist .R/ nicht kompakt.

302

Kapitel 5

Die Integralsätze

Um .R/ D Z zu beweisen, reicht es zu überlegen, dass .R/ abgeschlossen in Z ist. Sei dazu .tk / eine Folge in R mit existierendem Grenzwert limk!1 .tk / D b2 2 Z. Wir werden zeigen, dass die tk eine beschränkte Folge in R bilden. Dann ist man fertig. Es existiert dann nämlich eine konvergente Teilfolge lim`!1 tk` D t 2 R, und für diese gilt b2 D lim`!1 .tk` / D .t /, also b2 2 .R/. e ! Rn eine injektive Parametrisierung Die Folge .tk /k2N ist beschränkt: Sei e W U e D .a/ D b2 . O.B.d.A. sei U von Z, die b2 erfasst, sodass also für ein a 2 U gilt e e /. Die Parametertransformation ˛; ˇŒ ein beschränktes Intervall und alle .tk / 2 e . U e 0 bildet die (abzählbar vielen) Zusammenhangskomponenten ˆW e 1 ı W U0 ! U von U0 jeweils diffeomorph auf die entsprechenden Zusammenhangskomponenten e 0 ab. Alle diese Zusammenhangskomponenten sind offene Intervalle. von U e: Man betrachte nun den Graph von ˆ in R U G WD f.t; e t / j .t / D e .e t /g: Dieser setzt sich aus Strecken der Steigungen 1 zusammen, die sich jeweils auf eine der genannten Zusammenhangskomponenten projizieren, also „offene“ Enden haben.

e ist, kann es nur eine solche Strecke geben, Da aber G abgeschlossen im Streifen R U die dann vom Rand R f˛g zum Rand R fˇg verläuft. Diese projiziert sich auf eine beschränktes Intervall in R, das die Punkte tk enthält. Nachdem so .R/ D Z nachgewiesen ist, folgt jetzt auch die Nichtkompaktheit von Z. Damit sind alle Behauptungen bewiesen.

Weitere Klassiﬁkationsfragen: Die Klassiﬁkation von abstrakten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten lässt sich generell durchführen, auch im berandeten Fall (Milnor [1965], Appendix). In höheren Dimensionen p erweist sich das Problem als extrem schwierig und ist noch weitgehend Gegenstand der Forschung. Zweidimensionale kompakte Mannigfaltigkeiten sind (im abstrakten Fall) schon lange klassiﬁziert. Im orientierten Fall sind die Modelle „Sphären mit endlich vielen Höhlungen“; vgl.

Abschnitt 5.2

Integrale auf Mannigfaltigkeiten

303

Kerékjártó[1923], 4. Abschn., §4. Aber bereits in der Dimension p D 3 wird es kompliziert. Immerhin weiß man seit einigen Jahrzehnten, dass jede zusammenhängende, einfach zusammenhängende abstrakte Mannigfaltigkeit der Dimension p 4 homöomorph zur entsprechenden gleichdimensionalen Sphäre ist. Der Fall p D 3 war lange Zeit offen, bis Perelman[2003] einen sensationell einzuschätzenden Beweis dafür fand und damit die sog. Poincaré-Vermutung endgültig bestätigte. Warnung: Diese Hinweise beziehen sich auf die innere, topologische Struktur der Mannigfaltigkeiten. Sie sagen nichts über die Relation zum umgebenden Raum aus. Das sieht man schon bei den kompakten Kurven im Raum R3 . Es gibt in diesem Raum „Knoten“, z.B. die Kleeblattschlinge:

Knoten sind kompakte, zusammenhängende eindimensionale Untermannigfaltigkeiten von R3 , die sich nicht durch einen Homöomorphismus des ganzen umgebenden Raums R3 auf eine standardmäßig darin liegende Kreislinie abbilden lassen. Ein Grundlagenbuch darüber ist Reidemeister[1932]. Die Methoden dafür sind sehr vielfältig. T. Bemerkungen. (i) Die obigen Entwicklungen zum Integral zeigen, dass für solch schlicht wirkende Aussagen wie Satz P ein gewisser Aufwand erforderlich ist. Man könnte denken, dass das auf andere Weise einfacher gehen müsste, z.B. mit Integralen stetiger Funktionen mit kompakten Trägern oder mit Riemann-Integralen. Mit solchen Integralbegriffen ist aber Satz P nicht beweisbar, da seine Behauptung falsch ist. Es existieren nämlich kompakte Mengen, die nicht Jordan-quadrierbar sind. Man kann sie ähnlich konstruieren wie das Cantorsche Diskontinuum (Ana-2: P(v)[11.3]): Die konstante Funktion 1 ist über ein solches Kompaktum nicht Riemann-integrierbar. Der Schritt zum Lebesgue-Integral ist also zwingend nötig, wenn man Satz P zur Verfügung haben möchte. (ii) In der Literatur wird die Globalisierung des Integrals oftmals mit Hilfe einer differenzierbaren Zerlegung der Eins vollzogen. Das ist ein sehr elegantes Hilfsmittel, das bei einigen theoretischen und weitergehenden Fragen wertvolle Dienste leistet. Auch wir werden es bei der globalen Variante des Satzes von Stokes einsetzen. Wir

304

Kapitel 5

Die Integralsätze

wollten es nicht zur Deﬁnition des globalen Integralbegriffs verwenden, weil man damit Integrale noch nicht konkret berechnen kann. Man müsste dann schon die Verbindung zur obigen Deﬁnition G herstellen, was eines zusätzlichen Aufwands bedarf. Die Deﬁnition G liefert in Verbindung mit der Konstruktion von Lemma F eine direkte Berechnungsmöglichkeit anhand von gegebenen Parametrisierungen, wobei die Vernachlässigbarkeit von Nullmengen eine zusätzliche Erleichterung darstellt. Außerdem reichen in den meisten Fällen endlich viele Parametrisierungen, sodass die dortige Reihe in eine endliche Summe übergeht.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Für die Euklidische Einheitssphäre S2 R3 waren in Aufgabe 1[5.1] die aus der stereographischen Projektion aus Nord- bzw. Südpol entspringenden injektiven W R2 ! R3 betrachtet und mit ihrer Hilfe Parametrisierungen W R2 ! R3 bzw. e 2 eine 2-Form ! auf S deﬁniert worden. a)

Man berechne nun

Z S2

!

entsprechend Deﬁnition G aus der zweielementigen Kollektion von Parametrisierungen, die aus , e durch Umpolung von e entsteht. b)

Muss man dazu wirklich beide Parametrisierungen berücksichtigen?

Lösungshinweis zu b): Das Bild von ist S2 ohne Nordpol, das Bild von e ist S2 ohne Südpol. 2. Man zeige: Ist N eine Untermannigfaltigkeit der Untermannigfaltigkeit M Rn mit dim N < dim M (Aufgabe 9[3.2]), so ist N Nullmenge in M . 3. Man berechne das gleiche Integral wie in Aufgabe 1 mittels der Parametrisierung von S2 durch geographische Koordinaten; vgl. G[4.6]. 4. Sei ! eine integrierbare Top-Form auf M . Man zeige: R a) Aus ! 0 folgt M ! 0. R b) Ist ! 0 und M ! D 0, so folgt ! D 0 fast überall auf M (d.h. bis auf eine Nullmenge in M ). R c) Ist B ! 0 für alle Teilmengen B M , über die B integrierbar ist, so folgt ! 0 fast überall auf M . Lösungshinweis: Zu b) vgl. Ana-2: Q[11.4]. Zu c) vgl. Ana-2: Aufgabe 4[13.3].

Abschnitt 5.3

305

Der Satz von Stokes

5. Sei ! eine nichtnegative Top-Form auf M und F W M ! Z eine beschränkte Abbildung in einen Vektorraum Z endlicher Dimension. Sowohl F ! wie auch ! seien über B M integrierbar. Man beweise den folgenden ersten Mittelwertsatz für pdimensionale Integrale: Liegt das Bild F .B/ in einer konvexen und abgeschlossenen Menge C Z, so existiert ein c 2 C mit Z

Z F! D c B

!: B

Lösungshinweis: Man kann ähnlich vorgehen wie in Ana-2: C[13.4], wobei man lokal das dortige Ergebnis benutzt. Oder man verwendet einen Satz aus der Konvexitätstheorie, wonach die abgeschlossene konvexe Hülle einer beschränkten Teilmenge von Z gleich dem Durchschnitt aller die Menge enthaltenden abgeschlossenen Halbräume ist (Leichtweiß[1980], Satz 3.5). Der analytische R R Teil ist dann sehr einfach: Da die Behauptung für B ! D 0 trivial ist, kann man B ! D 1 annehmen. Aus R ˛.F .y// a für ein ˛ 2 Z und ein a 2 R ist dann nur zu schließen: ˛ B F ! a. Das geht aber so: Z Z Z Z F! D ˛.F !/ D ˛.F /! a! D a: ˛ B

5.3

B

B

B

Der Satz von Stokes

Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung. Er wurde in H[4.6] für achsenparallele Quader im Raum Rp behandelt und soll nun auf Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Die Rolle dieses wichtigen Satzes bleibt dabei dieselbe, wie bereits dort formuliert: Es wird ein Integral über eine Ableitung (hier „d!“) in ein Randintegral über die unabgeleitete Größe (hier „!“) übergeführt, strukturell genau wie bei der eindimensionalen Gleichung Z

b

f 0 .x/ dx D f .b/ f .a/:

a

Hier sei immer M Rn eine orientierte Untermannigfaltigkeit der Klasse C r mit r 1 und der Dimension p 2. Für M werden nur positive, injektive Parametrisierungen W U ! Rn verwendet. Als Integrationsmengen in M kommen sog. reguläre Bereiche in Frage. Das sind abgeschlossene Teilmengen mit „guter Randstruktur“. Sie sehen am Rande lokal wie verzerrte Teile eines Halbraums aus. Das untenstehende Bild zeigt einen solchen Bereich B auf einer Fläche M zusammen mit zwei kleinen „Pﬂastern“ in typischer Position.

306

Kapitel 5

Die Integralsätze

Die präzise Beschreibung solcher Mengen B folgt sogleich. Dabei kann auch genau deﬁniert werden, was es heißt, dass das Innere eines solchen Bereichs „zur Linken“ des Randes liegt, eine Erscheinung, bei der man oft nur an die Anschauung appelliert. Zunächst einige einfache Eigenschaften und Bezeichnungen, die im ganzen Abschnitt beibehalten werden: Es sei H WD f.x 1 ; : : : ; x p / 2 Rp j x 1 0g @H D f.x 1 ; : : : ; x p / 2 Rp j x 1 D 0g H: Sinnvollerweise wird H der linke Halbraum von Rp genannt, und @H ist sein topologischer Rand. Damit wird modellhaft festgelegt, welche Punkte des Rp links der Koordinatenhyperebene @H liegen sollen. (Das ist vergleichbar mit dem Vorgehen bei der Deﬁnition der Orientierung des Rp , bei dem ebenfalls durch eine einmalige Setzung der Standard-Basis die Rolle einer positiven Basis zugewiesen wird.) @H , wobei H ı das Innere von H ist. Natürlich gilt H D H ı [

Gelegentlich wird @H mit Rp1 identiﬁziert vermöge der Zuordnung: .0; x 2 ; : : : ; x p / $ .x 2 ; : : : ; x p /: A. Deﬁnition. Sei B M eine nichtleere relativ-abgeschlossene Teilmenge. Wir nennen B einen regulären Bereich, wenn zu jedem b 2 B eine Parametrisierung W U ! Rn von M existiert mit b 2 .U / und .U / \ B D .U \ H /: Eine solche Parametrisierung heißt dann angepasst an B. Ist B regulärer Bereich in M , so ist die Begrenzung @B deﬁniert als @B WD fb 2 B j es gibt eine angepasste Parametrisierung mit b 2 .U \ @H /g: Für eine solche Parametrisierung gilt wegen b 2 .U / \ B D .U \ H / auch U \ H ¤ ¿. Entweder ist U \ @H ¤ ¿ oder aber U \ @H D ¿. Im ersten Fall ist U \ @H eine nichtleere relativ-offene Menge in der Hyperebene @H . Das folgende Bild zeigt schematisch diese beiden Fälle:

Abschnitt 5.3

307

Der Satz von Stokes

a

a

Beides ist möglich und zugelassen. Im ersten Fall gelten genau die Bilder des Randes von H unter , soweit sie in U liegen, als Begrenzungspunkte von B in .U /; dabei werden diejenigen Punkte in U , die im linken Halbraum H liegen, auf Punkte in B abgebildet und diejenigen, die in U aber außerhalb H liegen, eben nicht. In diesem Sinne liegt B „zur Linken“ seiner Begrenzung @B. Im zweiten Fall ist mit U \ @H auch .U \ @H / leer, und kein Bildpunkt von ist ein Begrenzungspunkt von B. Als Erstes zeigen wir, dass die Begrenzung in Wirklichkeit dasselbe ist wie der Relativrand: B. Lemma. Ist B M regulärer Bereich, so gilt @B D B n B ı : Wegen B D B, stimmt also die Begrenzung @B mit dem Relativrand B n B ı überein. (Der Querstrich bzw. der hochgestellte Kreis bezeichnen den relativen Abschluss bzw. das relative Innere bez. M .) Beweis. 1) Sei b 2 @B vorausgesetzt. Dann ist b 2 B. Wäre b 2 B ı , so wählt man eine angepasste Parametrisierung W U ! Rn und ein a 2 U \ @H mit b D .a/. Dann existiert eine offene Umgebung W von b in M , mit W .U / \ B. Wegen der Stetigkeit von ist 1 .W / offene Umgebung von a in Rp . Dann besitzt 1 .W / Punkte in U , die nicht in H liegen. Also enthält . 1 .W // D W Punkte in .U /, die nicht in B liegen, im Widerspruch zu W .U / \ B. 2) Sei b 2 B n B ı vorausgesetzt. Wäre b … @B, so gilt für jede angepasste Parametrisierung W U ! Rn : b … .U \ @H /, also b 2 .U \ H ı /. Dann folgt aber b 2 B ı , da .U \ H ı / offene Umgebung von b in M ist.

308

Kapitel 5

Die Integralsätze

C. Beispiele. (i) In M WD Rp ist H selbst regulärer Bereich mit der Begrenzung @H . Es reicht eine angepasste Parametrisierung, nämlich die Identität WD idRp (hier ist p D n). (ii) M ist selbst regulärer Bereich in M mit leerer Begrenzung @M D ¿. Als angepasste Parametrisierungen kann man alle Parametrisierungen von M verwenden, deren Deﬁnitionsmenge im Inneren H ı liegen. Deren Bilder überdecken ganz M , wie man folgendermaßen einsieht: Zu gegebenem b 2 M sei W B.a; r/ ! Rn eine Parametrisierung von M mit .a/ D b. Eine solche existiert stets durch Einschränkung einer beliebigen Parametrisierung auf einen geeigneten Ball. Wir verschieben den Ball nach H ı , indem wir sein Zentrum genügend weit nach links verlagern (parallel zum ersten Standard-Basisvektor e1 ). Sei nämlich c WD .jaj C r C 1/e1 . Dann ist U WD B.a c; r/ H ı und e W U ! Rn mit e .x/ WD .x C c/ eine Parametrisierung von M ; vgl. B(iv)[3.2]. e ist natürlich angepasst an M mit e .U \ @H / D ¿. (iii) Ist M zusammenhängend, so gilt folgende Umkehrung von (ii): Ist B M regulärer Bereich mit @B D ¿, so ist B D M . Das folgt unmittelbar aus der all @B [ .M n B/, die sich bei @B D ¿ zu M D gemeinen Zerlegung M D B ı [ .M n B/ spezialisiert. Beide Mengen rechts sind offen und B D B ı ¤ ¿, Bı [

also folgt M n B D ¿, d.h. M D B. Randlose reguläre Bereiche sind also strukturell nichts Neues. Trotzdem macht der folgende Satz von Stokes auch für sie eine interessante Aussage. (iv) Sei eine abgeschlossene Teilmenge B M mit relativem Inneren B ı ¤ ¿ vorgegeben. Dann kann man genau wie in (ii) zu jedem Punkt b 2 B ı eine angepasste

Parametrisierung konstruieren, d.h. eine Parametrisierung e W U ! Rn von M mit ı b2e .U / B . Die in Deﬁnition A formulierte Prüfung, ob B ein regulärer Bereich ist, kann also auf die relativen Randpunkte b 2 @B beschränkt werden. (v) Die abgeschlossene Einheitskreisscheibe K WD f.x; y/ 2 R2 j x 2 C y 2 1g ist ein regulärer Bereich der Klasse C 1 von M WD R2 mit Rand @K D S1 D f.x; y/ 2 R2 j x 2 C y 2 D 1g. Um dies nachzuweisen, reicht es nach (iv), alle Randpunkte von K durch angepasste Parametrisierungen zu erfassen. Dazu verwendet man eine leichte Abänderung der Polarkoordinaten .r; /. Die Kreisscheibe ist in diesen Koordinaten durch r 1 beschrieben, also äquivalent durch r 1 0 oder mit r 1 DW % durch % 0. Dies entspricht in der .%; /-Ebene der Einschränkung auf die linke Halbebene H , was hier einschlägig ist. Dies motiviert die Parametrisierung .%; / WD .% C 1/ .cos ; sin /, deﬁniert auf U WD f.%; / 2 R2 j 1 < %; < < g. Tatsächlich ist diese ein orientierungstreuer C 1 -Diffeomorphismus von U auf die geschlitzte Ebene R2 n f.x; 0/ 2 R2 j x 0g, also eine injektive und positive Parametrisierung von R2 mit .U \ H / D K n f.x; 0/ 2 R2 j x 0g D .U / \ K und

.U \ @H / D S1 n f.1; 0/g;

Abschnitt 5.3

Der Satz von Stokes

309

d.h. eine angepasste Parametrisierung für K. Hierdurch werden alle Randpunkte von K bis auf den „Westpol“ .1; 0/ erfasst. Deﬁniert man analog einen zweiten C 1 Diffeomorphismus durch die gleiche Zuordnung wie bei , jedoch mit der Deﬁnitie WD f.%; / 2 R2 j 1 < %; 0 < < 2g, so liefert dieser ebenfalls onsmenge U eine angepasste Parametrisierung für K, die jetzt den „Ostpol“ .1; 0/ auslässt. Beide zusammen erfassen aber alle Punkte von S1 . (vi) Ein Vorhang im R3 : Sei M WD f0g R2 R3 (also p D 2, n D 3) und f W R ! R als C r -Funktion gegeben. Dann ist B WD f.x; y; z/ 2 R3 j x D 0; z f .y/g ein regulärer Bereich in M (eine Art Vorhang). Eine angepasste Parametrisierung ..u; v//.u;v/2U muss so gewählt sein, dass u 0 bewirkt, dass .x; y; z/ WD .u; v/ die Ungleichungen x D 0, z f .y/ 0 erfüllt. Das geht mit U WD R2 ;

.u; v/ WD .0; v; u C f .v//:

Dies ist jedenfalls eine Parametrisierung von M mit .U / D M (man kann formelmäßig invertieren!), und für x D 0, y D v, z D u C f .v/ ist u 0 äquivalent mit x D 0, z f .y/. Hier ist @B D f.x; y; z/ 2 R3 j x D 0; z D f .y/g: M ist dabei durch die einelementige Kollektion … D fg orientiert. Wie man an diesen Beispielen sieht, erfordert der Nachweis der Bereichseigenschaft detaillierte Argumente über die lokale Gestalt der betreffenden Punktmenge. Prinzipiell handelt es sich darum, Parametrisierungen zu ﬁnden, bei denen die Menge lokal durch eine Ungleichung für die erste Koordinate der Parameter beschrieben wird. Denn die Zugehörigkeit zum linken Halbraum in Rp wird eben durch x 1 0 charakterisiert. Wir werden in der späteren Bemerkung L erkennen, wie reguläre Bereiche allgemeiner und oftmals einfacher durch Ungleichungen beschrieben werden können. Zunächst müssen wir herausﬁnden, wie zwei angepasste Parametrisierungen untere ! Rn zwei an den W U einander zusammenhängen. Seien W U ! Rn und e regulären Bereich B angepasste Parametrisierungen, also .U / \ B D .U \ H / e/ \ B D e e \ H / und wie in D[3.2] D WD .U / \ e e / ¤ ¿, sowie und e . U . U . U 1 1 e U0 WD .D/ und U 0 WD e .D/. Rein mengenmäßig folgt dann leicht wegen e0/ \ B D . U der Injektivität von ; e , dass auch .U0 / \ B D .U0 \ H / und e

310

Kapitel 5

Die Integralsätze

e 0 \ H / gilt. Um das Transformationsverhalten zwischen und e e . U zu verfolgen, e /, somit U D U0 und U eD U e 0. können wir also o.B.d.A. annehmen: .U / D e . U 1 Für die Parametertransformation ˆ WD e ı folgt dann 1 ..U / \ B/ ˆ.U \ H / D e 1 ..U \ H // D e e / \ B/ D e e \ H // D U e \ H; De 1 .e . U 1 .e . U d.h. ˆ „respektiert das Linksliegen“. Außerdem ist ˆ o-treu, da und e positive Parametrisierungen sind. Was nun hieraus weiter folgt, wird im nächsten Lemma gezeigt, das sich allein auf die Lageverhältnisse in Rp bezieht: D. Lemma. In der Situation Rp S offen ! j

Rp S j U

ˆ !

e U

e\H ˆ.U \ H / D U o-treuer C r -Diffeomorphismus

gilt:

(ii)

e n H. ˆ.U n H / D U e \ @H . ˆ.U \ @H / D U

(iii)

Ist U \ @H ¤ ¿, so ist

(i)

e \ @H ˆjU \ @H W U \ @H ! U ein o-treuer C r -Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen von Rp1 . Beweis. e \H und den mengentheoZu (i): Dies ist klar aus der Voraussetzung ˆ.U \H / D U e e \ H/ [ e n H /. retischen Gleichungen U D .U \ H / [ .U n H / und U D . U .U e \ @H . Angenommen, Zu (ii): Es genügt der Nachweis der Inklusion ˆ.U \ @H / U e \ @H , also ˆ.a/ 2 U e n @H . Dann wird ein es gibt ein a 2 U \ @H mit ˆ.a/ … U e \ H abgebildet (Stetigkeit von ˆ). Ein genügend kleiner offener Ball um a nach U solcher Ball enthält Punkte von U n H , im Widerspruch zu (i). Zu (iii): Dass die Abbildung ˆjU \ @H wiederum von der Klasse C r und auch C r invertierbar ist, folgt einfach daraus, dass sie nach (ii) Einschränkung auf einen Koordinatenraum ist. Sei nun 0 11 ˆ B :: C also nach (ii): ˆ1 .0; x 2 ; : : : ; x p / D 0; (1) ˆD@ : A ˆp

Abschnitt 5.3

311

Der Satz von Stokes

wobei alle Argumente natürlich in U laufen (auch im Folgenden). Da ˆ o-treu ist, gilt für die Jacobi-Determinante ˇ ˇ ˇ @ˆ1 @ˆ1 ˇˇ ˇ ˇ @x 1 @x p ˇ ˇ 1 ˇ :: :: ˇ .x ; : : : ; x p / > 0; ˇ ˇ ˇ : : ˇ ˇ p p @ˆ @ˆ ˇ ˇ ˇ ˇ @x 1 @x p also nach (1) ˇ ˇ ˇ @ˆ1 ˇ ˇ ˇ 0 0 ˇ @x 1 ˇ ˇ ˇ 2 2 ˇ ˇ @ˆ @ˆ ˇ ˇ

2 p ˇ ˇ .0; x 2 ; : : : ; x p / > 0: (2) @x @x ˇ ˇ :: :: :: ˇ ˇ : : : ˇ ˇ ˇ @ˆp @ˆp ˇˇ ˇ

ˇ ˇ @x 2 @x p Weiter gilt @ˆ1 ˆ1 .h; x 2 ; : : : ; x p / ˆ1 .0; x 2 ; : : : ; x p / 2 p 0; .0; x ; : : : ; x / D lim @x 1 h h"0 da ˆ1 .h; x 2 ; : : : ; x p / < 0 für h < 0 nach Voraussetzung und ˆ1 .0; x 2 ; : : : ; x p / D 0 nach (1). Aus (2) folgt mittels Entwicklung nach der ersten Zeile: ˇ ˇ 2 ˇ @ˆ2 ˇ @ˆ ˇ ˇ ˇ @x 2 @x p ˇ ˇ ˇ :: :: ˇ ˇ .0; x 2 ; : : : ; x p / > 0: ˇ ˇ : : ˇ ˇ @ˆp ˇ ˇ @ˆp ˇ ˇ @x 2 @x p Hierin ist die Orientierungstreue von ˆjU \ @H ausgedrückt.

E. Bemerkungen. Sei B M regulärer Bereich. Dann überlegen wir Folgendes: (i) Sei W U ! Rn irgendeine angepasste Parametrisierung für B. Liegt ein b 2 @B im Bild .U /, so folgt aus (ii): b 2 .U \ @H /; denn für eine angepasste Parametrisierung e ist dies ja erfüllt. Hiernach ist .U / \ @B .U \ @H /, und die inverse Inklusion ist nach A ebenfalls richtig. Somit gilt für alle an B angepassten Parametrisierungen die folgende erste Gleichung und durch Komplementbildung auch die zweite: .U \ @H / D .U / \ @B;

.U \ H ı / D .U / \ B ı :

312

Kapitel 5

Die Integralsätze

(ii) Ist W U ! Rn eine angepasste Parametrisierung für B und U1 ¤ ¿ offener Teil von U , so folgt direkt aus Deﬁnition A mittels der Injektivität von , dass auch die Restriktion jU1 W U1 ! Rn eine angepasste Parametrisierung für B ist. Bezeichnung: Ist W U ! Rn eine angepasste Parametrisierung mit U \ @H ¤ ¿, so sei die Restriktion darauf so bezeichnet: ı WD jU \ @H W U \ @H ! Rn : Diese Einschränkungen parametrisieren nun @B als Untermannigfaltigkeit: F. Satz. Sei B M regulärer Bereich mit @B ¤ ¿. Dann gilt: (i)

@B ist Untermannigfaltigkeit von Rn der Dimension p 1 und Klasse C r .

(ii)

Ist die Parametrisierung W U ! Rn angepasst an B und U \ @H ¤ ¿, so ist ı eine Parametrisierung von @B.

(iii)

Die Kollektion dieser ı ist orientierend für @B.

(iv)

Für b 2 @B ist der Tangentialraum Tb .@B/ eine Hyperebene im Tangentialraum Tb M .

Beweis. Die Restriktionen ı müssen strenggenommen auf Teilmengen von Rp1 (und nicht von @H ) deﬁniert werden, d.h. mittels der Identiﬁkationsabbildung i.x 2 ; : : : ; x p / WD .0; x 2 ; : : : ; x p / D .0; / „ ƒ‚ … „ ƒ‚ …

8 .0; / 2 U

gilt:

ı D ı i:

Es wird dann (3)

.ı /

D .0; / ı i

;

woraus man sieht, dass ı die Klasse C r hat und vom Rang p 1 ist (da Rang D p und Rang i D p 1). Wir identiﬁzieren aber weiterhin @H mit Rp1 (unterdrücken also das Symbol i beim Aufschreiben). Zu (i), (ii): Die ı sind C r -Immersionen, und ihre Bilder überdecken @B nach Deﬁnition A. Nach E(i) ist jedes @ offen als Abbildung von U \ @H in @B. Zu (iii): Dies ist klar aus Lemma D.

Abschnitt 5.3

313

Der Satz von Stokes

Zu (iv): Konsequenz aus (3). Konvention:

Wenn nichts anderes gesagt ist, sei @B immer gemäß F(iii) orientiert (kanonische Randorientierung). Wir kommen nun zum Hauptanliegen dieses Abschnitts, der Umformung eines „pdimensionalen“ Bereichsintegrals in ein „.p 1/-dimensionales“ Randintegral: G. Satz (großer Satz von Stokes). Sei M Rn orientierte Mannigfaltigkeit der 1 .M / Dimension p 2 und Klasse C 2 . Dann gilt für jede .p 1/-Form ! 2 p1 und jeden kompakten regulären Bereich B M mit @B ¤ ¿ Z

Z d! D

(4) B

! @B

einschließlich der Existenz der Integrale. Ist M selbst kompakt, so gilt

Z d! D 0 M

einschließlich der Existenz des Integrals. Mit B ist generell auch @B kompakt, R da abgeschlossen; vgl. Ana-1: P(i)[6.3]. Das R ! zu lesen, wobei i@B die Inklusion @B ,! Randintegral @B ! ist eigentlich als @B i@B M ist; vgl. I(ii)[5.1]. Der Beweis dieses Satzes gliedert sich in einen lokalen und einen globalen Teil. Wir beschäftigen uns zunächst mit der lokalen Situation. Dann werden einige Hilfssätze zur Vorbereitung des globalen Falls behandelt und schließlich dieser selbst. Beweisteil 1 von Satz G (lokaler Teil) Die lokale Zusatzvoraussetzung: ist hier (Z) Es gibt eine an B angepasste Parametrisierung W U ! Rn und einen kompakten (achsenparallelen) Quader Q U \ H mit: ! D 0 in B n .Q/. Wir unterscheiden die Fälle:

(a) Q \ @H ¤ ¿,

(b) Q \ @H D ¿.

Zu (a): Die Lageverhältnisse werden durch das folgende schematische Bild verdeutlicht:

314

Kapitel 5

Die Integralsätze

Der wesentliche Punkt ist, dass Q mit @H genau den „rechten“ Deckel gemeinsam hat und ansonsten ganz in U \ H ı enthalten ist. Dies hat zur Folge, dass jeder Randpunkt b von B n .Q/ Häufungspunkt des Inneren von B n .Q/ ist. Im Falle, dass b in .U / liegt, entnimmt man dies der entsprechenden Situation in Rp , im Falle b … .U / aus einer angepassten Parametrisierung um b, deren Bild .Q/ nicht trifft. Da ! in B n .Q/ Null ist, gilt dann dasselbe für d!. Man rechnet und argumentiert nun folgendermaßen, indem man alles auf die Quadersituation in Rp zurückspielt: Z Z d! D d! B d! D 0 außerhalb .Q/ B

Z

.Q/

Z

Q

D D

.d!/

B[5.2]

d. !/

G[5.1]

Q

Z p #X i1 D .1/ i D1

Z D

1C

Z D Z

Q1

D Q1

Z

iC

!

Z i

!

! H[4.6]

!

auf allen anderen Qi˙ ist ! D 0

.1C / !

D[4.6]

. ı 1C / ! „ ƒ‚ … ı .ı / !

D U \@H

C[4.4]

Integrand 0 außerhalb Q1

Abschnitt 5.3

315

Der Satz von Stokes

Z D

!

A[5.2]:

@B

Die Existenz der Integrale ist nach Abschnitt 4.6 klar, da d! und ! stetig und die Integrationsmengen im Rp kompakt sind (vgl. Ana-2: R[11.6]). Zu (b): Die Lageverhältnisse werden durch folgendes Bild verdeutlicht. Hier gilt, da ! D 0 auf @B

Z ! D 0: @B

Andererseits können wir die gleiche Rechnung starten wie im Fall (a), und zwar bis zum Pfeil (einschließlich). Danach sind aber alle Integrale längs der i˙ Null, da ihr Integrand verschwindet, also folgt auch Z d! D 0: B

Ende des Beweisteils 1.

Um die Sache zu globalisieren, kann man versuchen, B in separate Teile zu zerlegen, die aus Bildern von Quadern oder Simplexen bestehen. Solche simplizialen Zerlegungen sind aber nicht ganz leicht zu konstruieren, und die Verrechnung der Randteile, die aneinander stoßen, ist recht mühsam. Man geht besser den Weg, nicht die Integrationsmenge zu zerlegen, sondern den Integranden ! so in eine Summe aufzuspalten, dass die Summanden lokal behandelt werden können. Dies geschieht mittels einer Zerlegung der Eins. Hier reicht eine Version dieses Werkzeugs, das an kompakte Teilmengen angepasst ist. Die einzelnen Summanden einer solchen Zerlegung werden aus Glockenfunktionen aufgebaut. Das sind nichtnegative Funktionen der Klasse C 1 mit kompaktem Träger,

316

Kapitel 5

Die Integralsätze

der geometrisch einfach gestaltet ist, z.B. ein achsenparalleler Quader ist. Die Konstruktion startet mit dem eindimensionalen Fall: H . Lemma. Zu jedem kompakten Intervall Œ˛; ˇ R mit ˛ < ˇ existiert eine Glockenfunktion g, d.h. eine C 1 -Funktion g W R ! R mit ( > 0 für t 2 ˛; ˇŒ g.t / D 0 für t … ˛; ˇŒ:

_

`

Beweis. Wir deﬁnieren eine Hilfsfunktion h W R ! R durch ( e 1=t für t > 0 h.t/ WD 0 für t 0. Diese ist C 1 (ähnlich wie bei der ﬂachen Wanne in Ana-1: N[8.3]). Setzen wir nun g.t / WD h.t ˛/ h.ˇ t /; so hat g offensichtlich die verlangten Eigenschaften.

I. Lemma. Zu jedem kompakten achsenparallelen Quader Q Rp mit Qı ¤ ¿ existiert eine Glockenfunktion G, d.h. eine C 1 -Funktion G W Rp ! R mit G.x/ > 0 für x 2 Qı ;

G.x/ D 0 für … Qı :

Beweis. Sei Q D Œ˛1 ; ˇ1 Œ˛p ; ˇp . Wir bestimmen gi W R ! R als Glockenfunktion zu Œ˛i ; ˇi gemäß Lemma H und setzen G.x 1 ; : : : ; x p / WD g1 .x 1 / gp .x p /: Dann hat G offensichtlich die verlangten Eigenschaften.

Abschnitt 5.3

317

Der Satz von Stokes

Beweisteil 2 von Satz G (globaler Teil) Die Hauptidee besteht darin, die gegebene Top-Form ! in endlich viele Summanden !k zu zerlegen, auf die die lokale Version angewendet werden kann. Dabei ist die Kompaktheit von B auszunutzen. Das führt zu einer gewissen, B umfassenden offenen Menge M0 , auf der eine solche Zerlegung möglich ist, ausgedrückt in der folgenden Gleichung (7). Dann braucht man nur noch aufzusummieren, um die Behauptung für ! selbst zu gewinnen. Die Details vor (7) dienen lediglich zur Konstruktion der !k und von M0 . Wir ordnen jedem Punkt b 2 B eine angepasste Parametrisierung W U ! Rn zu mit b D .a/ für ein a 2 U und wählen einen kompakten Quader R U mit a 2 Rı e W Rp ! R bez. R eine Glockenfunktion G

einen kompakten Quader S R S ı S U und setzen Q WD R \ H („linker“ Teil von R).

mit

Da B kompakt ist, genügen endlich viele solche Wahlen, sodass für die entsprechenden Quader R gilt: B

(5)

N [

k .Rkı / DW M0 :

kD1

Wir haben diese endlich vielen Quader R mit k durchnummeriert, und wollen die e gleichermaßen mit dem Index k versehen. Die zugehörigen Objekte ; U; R; S; Q; G so deﬁnierte Vereinigung M0 ist ein offener Teil von M . Wir deﬁnieren weiter ( Gk WD M ! R

durch

Gk .y/ WD

e k . 1 .y// G k 0

für y 2 k .Rkı / sonst.

Dann ist Gk von der Klasse C r : Dies ist nämlich richtig

e k jS ı von der Klasse C 1 ist, in k .Skı /, was offen in M ist, da G k

in M n k .Rk /, was offen in M ist, da k .Rk / kompakt ist; hierauf ist Gk D 0.

Es gilt M D k .Skı / [ .M n k .Rk //. Eine Funktion auf M ist von der Klasse C r , wenn ihre Restriktionen auf die Mengen einer offenen Überdeckung von M von der Klasse C r sind. Das kann man aufgrund von Deﬁnition E[5.1] leicht bestätigen. Somit sind die Gk von der Klasse C r .

318

Kapitel 5

Die Integralsätze

Nun deﬁnieren wir (6a)

k W M0 ! R

durch

k .y/ WD

Gk .y/ : G1 .y/ C C GN .y/

Dann ist in M0 der Nenner > 0, da y in wenigstens einem k .Rkı / liegt, also ist auch k von der Klasse C r und (6b)

N X

k D 1:

kD1

Eine solche Familie nichtnegativer C r -Funktionen, deren Summe 1 ist, wird Zerlegung der Eins der Klasse C r genannt. Die k bilden also auf M0 eine Zerlegung der Eins. Schließlich deﬁnieren wir Differentialformen der Stufe p auf M0 durch !k WD k !jM0 : Dann gilt (7)

!jM0 D

N X

!k :

kD1

Damit ist die gegebene Form ! so in eine endliche Summe von Formen zerlegt, dass jeder Summand lokal behandelt werden kann. Dies geht zumindest auf der offenen Teilmenge M0 von M . M0 ist Vereinigung von Bildern von Parametrisierungen von M gemäß (5), also selbst p-dimensionale Mannigfaltigkeit. Offensichtlich ist B auch regulärer Bereich in M0 . Wegen B M0 kommt es bei beiden Seiten des Satzes von Stokes nur auf M0 an. Nun erfüllt jedes !k bez. M0 die Zusatzvoraussetzung (Z) von Beweisteil 1. Es ist nämlich !k D 0 in B n k .Uk /, und zwar in beiden Fälle (a), (b) des lokalen Teils.

Abschnitt 5.3

319

Der Satz von Stokes

Damit gibt der Beweisteil 1: Z

Z d!k D

!k ;

B

@B

also durch Summation wegen (7) Z

Z d! D

B

!; @B

einschließlich der Existenz der Integrale. Wenn @B D ¿ ist, so tritt für jedes k nur Fall (b) auf, also sind dann alle Randintegrale 0. Anstelle M0 ist dies auch bez. M richtig. Dazu wählt man die Parametrisierungen aus (5) als die ersten N für die Konstruktion in F[5.2]. In den dortigen Bk mit k > N ist dann B ! bzw. B d! Null, sodass diese keinen Beitrag leisten. Ist M kompakt, so ist @M D ¿ nach C(ii) und überdies p < n, da eine kompakte nichtleere Teilmenge von Rn nicht zugleich offen sein kann. Kompakte Mannigfaltigkeiten nennt man auch geschlossen. Liest man ein Integral mit leerer Integrationsmenge als Null, so können beide Fälle (@B ¤ ¿, @B D ¿) in der Formel (4) zusammengefasst werden: Z

Z d! D

(8) B

!

(Satz von Stokes):

@B

Der Name „großer“ Satz von Stokes soll darauf hinweisen, dass dieser für allgemeine Dimensionen n und p in einer einheitlichen Formulierung gültig ist, im Gegensatz zu den ursprünglichen Varianten in niedrigen, anschaulichen Dimensionen. Die Behauptung des großen Satzes von Stokes, ausgedrückt in dieser Gleichung, hat fast den Charakter einer „Weltformel“, zumindest was ihre Prägnanz angeht. Wir wollen nun einige Spezialfälle hervorheben, die auch für die Anwendungen besonders wichtig sind. J. Beispiele (Spezialfälle des Satzes G). (i) p D n. Dies bedeutet, dass M D U eine offene Teilmenge von Rn ist, wobei wir als Parametrisierung die kanonische Injektion von U in Rn verwenden können, d.h. die Restriktion der Identität von Rn auf U , deren Komponentenfunktionen einfach x 1 ; : : : ; x n genannt seien. Sei B kompakter regulärer Bereich in U der Klasse C 2 , d.h. U wird von der Klasse C 2 aufgefasst (obwohl C 1 ). Äquivalent: die angepassten Parametrisierungen von B seien

320

Kapitel 5

Die Integralsätze

von der Klasse C 2 . Dann ist der Rand @B eine (nichtleere) kompakte Hyperﬂäche in Rn der Klasse C 2 . Die Differentialform ! in (8) habe die Darstellung !D

n X

b

.1/i1 Wi dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx n 2 1n1 .U /:

iD1

Dann ist d! D

n X

i1

.1/

d Wi ^ dx

1

b ^ ^ dx ^ ^ dx i

i D1

n

n X @Wi D dx 1 ^ ^ dx n : @x i iD1

Wird das Vektorfeld W mit den Komponenten Wi eingeführt, so heißt der Koefﬁzient von dx 1 ^ ^ dx n im letzten Ausdruck die Divergenz von W : 0 1 W1 @W1 @Wn B :: C div W WD W WD @ : A ; C C D spur W 0 : @x 1 @x n Wn Somit gilt d! D div W dx 1 ^ ^ dx n : Die Stokes-Formel (8) geht damit über in Z 1

n

div W dx ^ ^ dx D

(9) B

Z X n @B

b

.1/i1 Wi dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx n :

iD1

Diese Gleichung ist im Wesentlichen schon die sog. Divergenzformel oder der Gaußsche Integralsatz. Allerdings wird diese Gleichung im Abschnitt 5.5 mit Hilfe metrischer Begriffe noch etwas umformuliert werden. Ihre linke Seite ist ein Volumintegral im Sinne von Ana-2: Abschnitt 11.6, d.h. gleich Z div W dx 1 dx n ; B

während die rechte Seite (wegen dim @B D n1) als Hyperﬂächenintegral bezeichnet wird. Im Fall n D p D 3 ist p 1 D 2, und man sagt dann statt „Hyperﬂächenintegral“ natürlich Flächenintegral. Im Fall n D p D 2 wird die linke Seite zu einem Flächenintegral und die rechte zu einem Kurvenintegral. Immer ist zu beachten, dass selbst bei zusammenhängendem Bereich B der Rand @B nicht zusammenhängend zu sein braucht (Beispiel: die Schale zwischen zwei konzentrischen Sphären, speziell im R2 ein Kreisring). Bei eindimensionalem Rand @B ist dann die rechte Seite nicht eigentlich ein Kurvenintegral im Sinne von Abschnitt 4.3, sondern eine Summe solcher, wenn @B mehr als eine Komponente hat; vgl. hierzu auch die folgende Bemerkung N.

Abschnitt 5.3

(ii)

321

Der Satz von Stokes

Speziell für W D idU ergibt sich aus (i) div W D

@x 1 @x n C C D n; @x 1 @x n

sodass sich die Gleichung (9) spezialisiert zu 1 n .B/ D n

Z X n @B

b

.1/i1 x i dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx n :

iD1

Das ist die sog. Leibniz-Formel, die das Volumen eines n-dimensionalen kompakten regulären Bereichs B Rn durch ein Hyperﬂächenintegral über den Rand @B ausdrückt. Speziell für n D 2 hat man die ursprüngliche Leibniz-Formel Z 1 .x dy y dx/; 2 .B/ D 2 @B wobei die Koordinaten in R2 in der klassischen Weise durch x; y (anstelle x 1 ; x 2 ) bezeichnet sind. Auch hier steht rechts wieder ein Kurvenintegral bzw. eine Summe von Kurvenintegralen. (iii) In der gleichen Situation wie in (i) sei das Vektorfeld W speziell das Gradientenfeld einer skalaren Funktion: @f @f 2 f W U ! R C grad f D ; : : : ; n W U ! Rn : @x 1 @x Man deﬁniert den Laplace/Beltrami-Operator 4 als 4f WD div .grad f / WD

@2 f @2 f C C D spur .Hf /; @.x 1 /2 @.x n /2

wobei Hf D .grad f /0 die Hesse-Matrix ist; vgl. Ana-2: E(iii)[10.7]. Gegeben sei außerdem eine weitere C 1 -Funktion h W U ! R, und wir setzen nun in (i) @f W WD h grad f; also Wi D h i : @x Dann berechnet man n n X X @Wi @h @f @i f div W D div .h grad f / D D C i i h @x i @.x i /2 @x @x iD1

D h4f C hgrad h; grad f i;

iD1

322

Kapitel 5

Die Integralsätze

und die Gleichung (9) geht über in Z .h4f C hgrad h; grad f i/dx 1 dx n B

Z

D @B

h

n X

.1/i1

iD1

b

@f dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx n : @x i

Das ist eine Vorform der sog. ersten Greenschen Formel. Falls f; h beide von der Klasse C 2 sind, so kann man hierin f und h vertauschen und die beiden Formeln voneinander subtrahieren. Dies liefert Z .h4f f 4h/dx 1 dx n B

D

Z X n @B

.1/

i1

iD1

@h @f h i f i @x @x

b

dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx n ;

eine Vorstufe der sog. zweiten Greenschen Formel. Auch diese Greenschen Formeln werden in Abschnitt 5.5 noch auf ihre endgültige Form gebracht. Falls h und f auf dem Rand @B Null sind, folgt aus der letzten Gleichung Z Z h4f D f 4h: B

B

Diese Eigenschaft wird die Selbstadjungiertheit des Laplace/Beltrami-Operators 4 genannt. (iv) Sei n D 3, p D 2 (hier der erste zwischendimensionale Fall), und sei B ein kompakter regulärer Bereich auf der orientierten C 2 -Fläche M R3 . Die StandardKoordinaten in R3 seien wieder klassisch mit x; y; z bezeichnet (anstelle x 1 ; x 2 ; x 3 ). Wir betrachten nur den Fall, dass die Pfaffsche Form ! in einer ganzen offenen Obermenge V von M gegeben ist: ! D P dx C Q dy C R dz 2 11 .V /: Das zugehörige d! wurde in K(ii)[4.2] berechnet. Dann liefert (8), angewandt auf i ! 2 11 .M / Z @R @Q @P @R @Q @P dy ^ dz C dz ^ dx C dx ^ dy @y @z @z @x @x @y B

Z D

.P dx C Q dy C R dz/: @B

Abschnitt 5.3

323

Der Satz von Stokes

Die Integranden sind jeweils mit den zuständigen Inklusions-Pull-Backs (i etc.) zu lesen. Rechts steht wiederum ein Kurvenintegral (oder eine Summe solcher). Diese Gleichung ist nun eine Vorstufe des ursprünglichen Satzes von Stokes (manchmal als kleiner Satz von Stokes bezeichnet). Über Orientierung und reguläre Bereiche Bei der Anwendung der Integralsätze hat man jeweils genau die Orientierung zu beachten, sonst bekommt man falsche Vorzeichen. Daher beschreiben wir weitere Möglichkeiten, die Orientierung zu erkennen und reguläre Bereiche zu charakterisieren. K. Deﬁnition und Satz. Sei B regulärer Bereich in M und ein Punkt b 2 @B gegeben. Ein Vektor w1 2 Tb .@B/ wird tangential, ein Vektor v1 2 Tb M n Tb .@B/ wird transversal zu @B genannt. Ist v1 transversal, so sind folgende Eigenschaften äquivalent: (i)

Es gibt .v2 ; : : : ; vp / 2 Ob .@B/ mit .v1 ; v2 ; : : : ; vp / 2 Ob .M /.

(ii)

Es gibt einen C 1 -Weg C W Œ"; " ! Rn , " > 0, mit C.0/ D b, C .0/ D v1 und

(10)

C.t / 2 B ı für t < 0;

C.t/ 2 M n B für t > 0:

Ist (i) oder (ii) erfüllt, so heißt v1 ein äußerer Vektor von B in b 2 @B. In (i) verweist das Symbol in der Klammer nach Ob auf die betreffende Untermannigfaltigkeit. Man kann in (i) das „es gibt“ äquivalent durch „für alle“ ersetzen, da die Übergangsdeterminante vom einem Vektorsystem .v1 ; v2 ; : : : ; vp / zu einem anderen Vektorsystem .v1 ; e v2 ; : : : ; e vp / positiv ist, wenn das für die Vektorsysteme .v2 ; : : : ; v2 ; : : : ; e vp / so ist. Die Eigenschaft (10) des Wegs C drückt man so aus: Der vp / und .e Weg C durchdringt @B von B in das Komplement M n B, d.h. anschaulich: er geht von innen nach außen. Beweis von K. Wir übersetzen alles lokal mittels einer angepassten Parametrisierung W U ! Rn in den Rp .

a

324

Kapitel 5

Die Integralsätze

Dazu sei .a/ D b für ein a 2 U \ @H und u1 2 Ta Rp als Urbild von v1 unter a gewählt, also a u1 D v1 . Weiter sei c W Œ"; " ! U ein Weg mit c.0/ D a und c .0/ D u1 (Q[5.1]). Schließlich sei C WD ı c. Dann gilt C .0/ D a c .0/ D v1 . Die Wege c und C entsprechen sich unter , und c durchdringt den Rand @H dann und nur dann, wenn C den Rand @B durchdringt, wie man der Bemerkung E(i) entnimmt. Für das Durchdringen von c kann man nun folgende Äquivalenzen aufstellen: c durchdringt @H () c 0 .0/ hat positive 1-Komponente

(11)

() .c 0 .0/; e2 ; : : : ; ep / 2 O.Rp / () .c .0/; @2 .a/; : : : ; @p .a// 2 O.Ta Rp /: Die letzte Bedingung ist aber wegen der Positivität von äquivalent mit .v1 ; 1 .a/; : : : ; p .a// 2 O.Tb M /;

also mit einer Bedingung der Gestalt (i). Hinweis:

Begriffe, die für Elemente von abstrakten Tangentialräumen deﬁniert sind, werden oft auch entsprechend für ihre Urbilder unter den j -Isomorphismen A[5.1] in den geometrischen Tangentialräumen verwendet. Z.B. heißt eine Basis z1 ; : : : ; zp von Tb M positiv, wenn jb z1 ; : : : ; jb zp eine positive Basis von Tb M ist. Oder ein z1 2 Tb M heißt äußerer Vektor, wenn jb z1 2 Tb M äußerer Vektor ist, usw. L. Bemerkung (über reguläre Bereiche und Ungleichungen). So wie Untermannigfaltigkeiten durch Gleichungen beschrieben werden können (F[3.2]), lassen sich reguläre Bereiche durch Ungleichungen beschreiben. Das ist eigentlich schon in der Deﬁnition der regulären Bereiche in A angelegt. Es gilt Folgendes: Sei f W M ! R von der Klasse C r , und sei eine Teilmenge von M gegeben als Subniveau B WD fy 2 M j f .y/ 0g ¤ ¿: Für alle y 2 M sei vorausgesetzt (12)

f .y/ D 0 H) .df /y ¤ 0:

Dann ist B ein regulärer Bereich in M der Klasse C r mit @B D fy 2 M j f .y/ D 0g

und

B ı D fy 2 M j f .y/ < 0g:

Bei der Behandlung einer solchen Funktion muss man auf die Deﬁnition E[5.1] zurückgreifen und das dortige Transformationsprinzip D[5.1] beachten. Daraus folgt zunächst, dass f stetig ist, also B abgeschlossen.

Abschnitt 5.3

Der Satz von Stokes

325

Die weiteren Dinge erkennt man mittels einer Normalform für die Funktion f ı gemäß I[2.4], wobei W U ! Rn eine injektive Parametrisierung von M ist, die einen Punkt b mit f .b/ D 0 erfasst. Die „Übersetzung“ f D f ı ist nämlich wegen (12) in einer offenen Umgebung ihrer Nullstellenmenge eine Submersion in R hinein. Dadurch kann man so durch eine neue Parametrisierung (o.B.d.A. mit gleichem Namen) ersetzen, dass f ı .x1 ; : : : ; xp / D x1 gilt. Die Bedingung f .y/ 0 übersetzt sich dann bez. in x 1 0, d.h. die neue Parametrisierung wird zu einer angepassten Parametrisierung bez. B. Für b 2 @B, d.h. f .b/ D 0 und v1 2 Tb M gilt: v1 tangentialer Vektor zu @B () .df /b .v1 / D 0 v1 äußerer Vektor zu @B () .df /b .v1 / > 0: Die erste Gleichung folgt aus J[3.2] und I[3.4], die zweite mittels (11). Denn es gilt in den obigen Bezeichnungen 0 < .c 1 /0 .0/ D .x 1 /0 .a/.c 0 .0// D .dx 1 /a .c .0// D .dx 1 /a .u1 /; wobei Q[3.4] eingebracht wurde. Die Bedingung .dx 1 /a .u1 / > 0 bedeutet aber aufgrund von f ı D x 1 das Gleiche wie .df /b .v1 / D 0; vgl. (1)[5.1]. Bei p D n entspricht dem Differential df der Gradient grad f ; vgl. J(ii)[3.4]. In diesem Fall kann man die vorangehenden Charakterisierungen für z1 2 Rn (anstelle v1 ) umformulieren zu: z1 tangentialer Vektor zu @B () h.grad f /b ; z1 i D 0 z1 äußerer Vektor von @B () h.grad f /b ; z1 i > 0:

Nach Satz K(ii) sind transversale Vektoren genau dann äußere Vektoren, wenn sie Ableitungsvektoren an solche Kurven auf M durch b sind, die aus B heraustreten, d.h. @B in b von innen nach außen durchdringen. Diese Eigenschaft selbst hat nichts mit der Orientierung von M oder @B zu tun! Aber: Aufgrund der Äquivalenz in K kann die Orientierung von @B mittels der äußeren Vektoren an eine gegebene Orientierung von M kanonisch gekoppelt werden. M. Beispiele. (i) Ist der abgeschlossene Euklidische Einheitsball in R3 ein regulärer Bereich? – Hier ist B WD f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 C y 2 C z 2 1g: M WD R3 ;

326

Kapitel 5

Die Integralsätze

Lösung: In Beispiel C(v) wurde die entsprechende Frage eine Dimension tiefer durch direktes Zurückgehen auf die Deﬁnition eines regulären Bereichs beantwortet. Stattdessen soll jetzt die vorangehende Bemerkung L verwendet werden. Beschreibung durch Ungleichungen: Mit der Funktion f W R3 ! R;

f .x; y; z/ WD x 2 C y 2 C z 2 1

ist B das Subniveau B D f.x; y; z/ 2 R3 j f .x; y; z/ 0g: f ist C 1 , es verbleibt also lediglich die Bedingung (12) zu überprüfen. Das ist aber die gleiche Bedingung, wie sie in M[3.2] zum Nachweis der Untermannigfaltigkeitseigenschaft diente (im Fall der Hyperﬂächen), und für diesen Zweck wurde sie bereits in N[3.2] bestätigt. Tatsächlich gilt ja .grad f /.x;y;z/ D 2.x; y; z/, also folgt aus f .x; y; z/ D 0 ganz leicht .grad f /.x;y;z/ ¤ .0; 0; 0/. Somit ist B regulärer Bereich der Klasse C 1 in R3 mit Rand @B D f.x; y; z/ 2 R3 j f .x; y; z/ D 0g D S2 : Bestimmung der äußeren Vektoren nach Bemerkung L: Diese sind˛ für .x; y; z/ 2 ˝ S2 diejenigen Tripel .u; v; w/ 2 R3 mit .grad f /.x;y;z/ ; .u; v; w/ > 0, d.h. mit h.x; y; z/; .u; v; w/i > 0. Unter ihnen beﬁndet sich der Ortsvektor .x; y; z/ selbst und dazu alle Vektoren, die mit ihm einen Winkel < =2 bilden. Diese Vektoren entsprechen Elementen von T.x;y;z/ R3 , sind also sinnvollerweise am Punkt .x; y; z/ anzubringen. Vgl. das entsprechende Bild in C[5.5]. (ii) sei

Ist eine Halbsphäre regulärer Bereich auf der zugehörigen Sphäre? – Konkret

M WD S2 D f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 Cy 2 Cz 2 D 1g;

P WD f.x; y; z/ 2 R3 j z 0g:

Ist die nördliche Halbsphäre M C WD S2 \ P regulärer Bereich in S2 ? Lösung: Beschreibung durch Gleichungen und Ungleichungen: Sei g.x; y; z/ WD x 2 C y 2 C z 2 1;

h.x; y; z/ WD z;

beide auf ganz R3 deﬁniert. Dann wird S2 D f.x; y; z/ 2 R3 j g.x; y; z/ D 0g;

P D f.x; y; z/ 2 R3 j h.x; y; z/ 0g

und (13)

dg D 2x dx C 2y dy C 2z dz;

dh D dz:

Abschnitt 5.3

327

Der Satz von Stokes

Für b D .x; y; z/ 2 S2 ist stets .dg/b ¤ 0, da .x; y; z/ ¤ 0. Nach J[3.2] und I[3.4] ist der Tangentialraum Tb S2 der Kern von .dg/b . Auf S2 ist M C gegeben durch M C D fb 2 S2 j .hjS2 /.b/ 0g. Die Restriktion f WD hjS2 ist von der Klasse C 1 , da f ı D h ı für jede Parametrisierung von S2 von der Klasse C 1 ist. Ferner ist, falls b 2 S2 , .df /b die Restriktion von .dh/b auf Tb S2 ; vgl. I(ii)[5.1]. Für b 2 S2 mit f .b/ D 0 (d.h. auf dem Äquator) ist jetzt nach Bemerkung L zu prüfen, ob .df /b ¤ 0: Wäre .df /b D 0, so wäre .dh/b .v/ D 0 für alle v mit .dg/b .v/ D 0. Dann wäre .dh/b Vielfaches von .dg/b , also an dieser Stelle nach (13): x D y D 0, also z D ˙1, (wegen der Sphärengleichung) und z D 0 (wegen der Äquatorgleichung), Widerspruch! Somit ist M C regulärer Bereich auf S2 mit dem Äquator als Begrenzung @M C . Bestimmung der äußeren Vektoren nach Bemerkung L: Für b 2 @M C und v 2 Tb S2 ist die Bedingung .df /b .v/ > 0 äquivalent mit h0 .b/w > 0, w WD jb1 v. Da grad h D .0; 0; 1/ bedeutet dies, wenn w D .w1 ; w2 ; w3 / gesetzt wird: w3 < 0. Die äußeren Vektoren sind also die mit negativer dritter Komponente, tangential zu S2 (was vollkommen der Anschauung entspricht). Das obige Bild zeigt solche äußeren Vektoren, die zudem senkrecht auf dem Äquator aufsetzen, wovon bei der metrischen Variante zu sprechen sein wird (Abschnitt 5.4). Beide Beispiele lassen sich mühelos auf den Rn und natürlich auch auf beliebige Radien r > 0 verallgemeinern. N. Bemerkung (zum eindimensionalen Fall). Sei Z Rn eine eindimensionale zusammenhängende Untermannigfaltigkeit der Klasse C r , also eine Kurve im Sinne von Deﬁnition A[3.2] für p D 1 (n D 1 ist hierbei zugelassen). Im Fall n D 1 ist Z ein offenes Intervall in R. Im Fall n 2 ist uns die Struktur von Z aus Satz S[5.2] bekannt, wenn Z abgeschlossen und orientiert istist. In jedem der dortigen zwei Fälle existiert eine injektive und positive Parametrisierung W˛; ˇŒ! Rn von Z, die höchstens einen Punkt von Z auslässt (˛; ˇŒD R zugelassen). Eine 1-Form ! auf Z ist über Z genau dann integrierbar, wenn sie über .˛; ˇŒ/ integrierbar ist, und in diesem Fall gilt Z Z ˇ (14) !D !: Z

˛

Das folgt aus Deﬁnition G[5.2], da in den Bk höchstens ein Punkt herauszunehmen ist.

328

Kapitel 5

Die Integralsätze

Ist ein solches Z Randkomponente eines regulären Bereichs B in einer zweidimensionalen orientierten Untermannigfaltigkeit (Fläche) M , so sind die Voraussetzungen von Satz S[5.2] erfüllt, und die Parametrisierung ist genau dann positiv, wenn das Paar .z; 0 .t// für jedes t 2 ˛; ˇŒ und für einen äußeren Vektor z in .t / eine positive Basis von T.t/ M ist. Eine weiter konkretisierte Orientierungsregel wird mit den metrischen Größen des nächsten Abschnitts möglich sein; vgl. G[5.5]. Es sei nochmals hervorgehoben, dass der Rand @B eines regulären Bereichs B generell aus mehreren Komponenten bestehen kann, selbst dann, wenn B zusammenhängend ist. Bei kompaktem B ist auch @B kompakt, da abgeschlossen, sodass die Zahl der Komponenten von B und @B endlich ist. Beim Satz von Stokes setzt sich das Randintegral aus den endlich vielen Bestandteilen über diese Komponenten zusammen. Im Fall p D 2 ist jeder Bestandteil einfach ein Kurvenintegral, entsprechend der Gleichung (14). O. Bemerkung. Sind B; C reguläre Bereiche in M mit B C ı , so ist die Differenz C n B ı ebenfalls abgeschlossener regulärer Bereich in M . Der Rand C n B ı setzt sich aus den zwei Rändern von C und B zusammen.

Allerdings ist der von B herrührende Bestandteil für C n B ı hinsichtlich der Orientierung umzupolen, d.h. es gilt @.C n B ı / D @C [ .@B/0 :

Man kann diese Tatsache unmittelbar an den angepassten Karten, die Randpunkte von B erfassen, ablesen, wenn diese so klein gewählt werden, dass Ihre Bilder in C ı liegen. Dann werden die Teile, die zum Inneren bzw. zum Komplement von B gehören, beim Übergang zu C nB ı hinsichtlich ihrer Rolle vertauscht, was durch eine Spiegelung an der Hyperebene @H im Parameterraum Rp ausgedrückt wird. Hierher rührt der Orientierungswechsel, wobei @H als Punktmenge fest bleibt. Auch an den äußeren Vektoren ist der Vorzeichenwechsel beim Übergang von B zu C n B ı klar. Ist C kompakt, so auch B und C n B ı (da beide abgeschlossen sind), und der Satz von Stokes besagt dann für die Differenzmenge Z Z Z Z d! D !D ! !: C nB ı @.C nB ı / @C @B

Abschnitt 5.3

Der Satz von Stokes

329

Aufgaben und Anmerkungen 1. Welche der folgenden Teilmengen von R2 sind reguläre Bereiche von R2 , welche nicht? Was ist gegebenenfalls die Differentiationsklasse? a)

A1 WD f.x; y/ j x 2 C y 2 1g

b)

A2 WD f.x; y/ j .x 1/2 C y 2 2 und .x C 1/2 C y 2 2g

c)

A3 WD Œ0; 1 Œ0; 1

d)

A4 WD f.x; y/ j x C y 1 C e xy g.

2. Sei B WD f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 C y 2 C z 2 D 1; z 0g die nördliche Halbsphäre, die stereographische Projektion aus dem Südpol und ! WD .t s/ ds C s dt: R R Man berechne die beiden Seiten der Gleichung @B ! D B d! (wobei ! D !). 3. Die Abbildung W R2 ! R3 mit .x; y/ WD .x; y; x 2 y 2 / ist eine Graphendarstellung für die zweidimensionale Untermannigfaltigkeit .R2 / von R3 . Sie enthält den kompakten regulären Bereich B WD .B.0; 1//. Für M sei die Orientierung so gewählt, dass positiv ist. Man berechne für ! WD yz dx C x dy C dz das Integral R B d! einmal direkt und einmal mit dem Satz von Stokes. 4. Seien A; B offene Mengen in Rn und ˆ W A ! B ein C r -Diffeomorphismus. In Aufgabe 8[3.2] wurde gezeigt: Ist M eine C r -Untermannigfaltigkeit von Rn , enthalten in A, so ist ˆ.M / eine C r -UMF von Rn , enthalten in B von gleicher Dimension. Man beweise zusätzlich: a)

Ist M orientiert und ˆ o-treu, so ist auch ˆ.M / orientiert, und zwar so, dass für alle b 2 M die Einschränkung ˆ0 .b/jTb M W Tb M ! Tˆ.b/ ˆ.M / o-treu wird.

b)

Ist außerdem B M regulärer Bereich, so ist auch ˆ.B/ ˆ.M / regulärer Bereich.

Lösungshinweis: Man sehe nach, was aus einer positiven Parametrisierung vom M durch Nachschalten von ˆ wird. 5. Sei M Rn Untermannigfaltigkeit sowie U ein relativ-offener, B ein relativabgeschlossener Teil von M mit nichtleerem Relativ-Rand @B. Man beweise: a)

Ist der Relativrand @U eine Hyperﬂäche von M , d.h. eine Untermannigfaltigkeit von M der Kodimension 1 (Aufgabe 9[3.2]), so ist U [ @U ein abgeschlossener regulärer Bereich von M , jedoch i. Allg. @.U [ @U / ¤ @U .

b)

B ist dann und nur dann regulärer Bereich in M , wenn @B Hyperﬂäche von M ist und B ı D B.

330

Kapitel 5

Die Integralsätze

6. Ein regulärer Bereich B M sei wie in Bemerkung L als Subniveau mit nichtleerem Rand gegeben: B WD fy 2 M j f .y/ 0g;

@B D fy 2 M j f .y/ D 0g ¤ ¿:

e ! Rn für @B ist dann und nur dann Zeige: Eine injektive Parametrisierung e W U positiv (bez. @B), wenn für jede injektive, positive Parametrisierung W U ! Rn für e / ¤ ¿ gilt M mit .U / \ e . U ˇ ˇ ˇf1 ı e : : : fn ı e ˇˇ ˇ 1 ˇ e ::: e n1 ˇˇ ˇ 1 x/ > 0 ˇ :: :: ˇ .e ˇ : : ˇˇ ˇ ˇe nn1 ˇ 1n1 : : : e

8e x2e 1 ..U //;

wobei fi .y/ WD .f ı /i .x/

für y D .x/:

Obere Indizes bei e markieren hier Komponenten, untere Indizes bei e und f ı partielle Ableitungen. 7. Eng verwandt mit dem Begriff des regulären Bereichs ist der der Mannigfaltigkeit mit Rand. Im Rn versteht man darunter eine Teilmenge M mit analoger Deﬁnition wie in Deﬁnition A[3.2], nur dass die Parametrisierungen auf relativ-offenen Teilmengen des Halbraums H Rp deﬁniert sein sollen. Damit wird z.B. eine Halbkugelﬂäche als eigenständiges Objekt behandelbar und nicht nur als Teil (d.h. regulärer Bereich) der gesamten Kugelﬂäche. Ähnlich zeigt das folgende Bild eine Vase mit oberem dazugehörenden (fettem) Randkreis als eine solche Mannigfaltigkeit mit Rand. Dazu gezeichnet sind zwei typische angepasste Parametrisierungen. Der Begriffsapparat für solche Mannigfaltigkeiten mit Rand müsste allerdings separat aufgebaut werden. Man kann jedoch beweisen, dass jede Mannigfaltigkeit mit Rand als regulärer Bereich einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit aufgefasst werden kann. Die untenstehende Vase kann etwas nach oben „ausgewalzt“ werden, bis zum gestrichelten „Heiligenschein“ (aber ohne diesen). Dann wird die ursprüngliche Vase ein regulärer Bereich in der vergrößerten Fläche. Reguläre Bereiche sind also genauso allgemein wie Mannigfaltigkeiten mit Rand. Während das Vergrößern an dieser konkreten Rotationsﬂäche leicht machbar ist, erfordert der allgemeine Beweis eine weitergehende Technik Vgl. Bourbaki[1971], §11.1 und Bangert[1977], Anhang.

Abschnitt 5.3

Der Satz von Stokes

331

8. Der Satz von Stokes bleibt gültig für kompakte Bereiche, die gegenüber dem hier behandelten regulären Fall „milde“ Singularitäten aufweisen, z.B. solche in der Art von krummlinigen Polyedern. Die folgenden Bilder zeigen zwei typische Vertreter solcher Bereiche (für p D 2 und n D 3).

Beim obigen linken Bild handelt es sich um ein Stück eines Kreiszylinders, das oben und unten durch eine (dazugehörende) Kreislinie berandet wird. Die maßgebliche Begrenzung für den Satz von Stokes besteht aus diesen beiden Kreislinien. Das obige

332

Kapitel 5

Die Integralsätze

Bild rechts zeigt einen „gequetschten“ Zylinder, wieder oben und unten ohne Deckel, aber mit dazugehörenden begrenzenden C 1 -Zügen oben und unten. Die Fläche enthält zwei senkrechte Strecken, an denen ihre Differenzierbarkeit gestört ist. Die maßgebliche Begrenzung für den Satz von Stokes sind hier die beiden C 1 -Züge oben und unten. Eine mathematische Behandlung komplizierter Singularitäten ist möglich, aber geometrisch detailliert und analytisch recht tieﬂiegend. Vgl. z.B. Lang[1983] und Federer[1969]. 9. Es gilt der Satz von Jordan/Brouwer, der eine Verallgemeinerung des Jordanschen Kurvensatzes ist (Ana-2: Aufgabe 16[14.2]): Ist H eine kompakte zusammenhängende Hyperﬂäche von Rn , so besteht Rn n H aus zwei Zusammenhangskomponenten U0 ; U1 , von denen jede H als Rand besitzt. Vgl. auch Greenberg[1971], Theorem (27.10). Nach Aufgabe 5 sind dann U0 \ H und U1 \ H reguläre Bereiche in Rn . Für n 2 ist genau eine der beiden Zusammenhangskomponenten unbeschränkt.

5.4

Metrische Gesichtspunkte

Bei der Behandlung der Untermannigfaltigkeiten hat es bisher keine wesentliche Rolle gespielt, welche Metrik in Rp oder Rn verwendet wird. Es kam hauptsächlich auf die topologische und differenzierbare Struktur an. Insbesondere ist der obige Satz von Stokes metrikfrei formuliert. Die bloße Restriktion z.B. der Euklidischen Metrik d von Rn auf eine Untermannigfaltigkeit M reicht zwar für die Formulierung von Grenzprozessen auf M . Es ist aber nicht sehr sinnvoll, die Distanz zweier Punkte P; Q 2 M einfach „quer rüber“ als d.P; Q/ festzulegen, da dann das Verhalten von M dazwischen keine Rolle spielen würde. Das wäre genauso unsinnig, wie die Entfernung zwischen Hamburg und New York geradlinig quer durch die Erde zu messen. Man muss vielmehr die Metrik von Rn auf die Tangentialräume von M restringieren und diese tangentialen Metriken „auﬁntegrieren“. Hier wird dies durchgeführt für den Fall der Euklidischen Standard-Metrik im „umgebenden Raum“ Rn . Man kommt so zu metrischen Begriffen auf M wie der ersten Fundamentalform, der Bogenlänge, dem Volumen usw. (Die im „Parameterraum“ Rp vorhandene Metrik spielt auch weiterhin keine Rolle für unsere Mannigfaltigkeiten M in Rn .)

Abschnitt 5.4

333

Metrische Gesichtspunkte

Zunächst wollen wir das Euklidische Standard-Skalarprodukt in Rn , bezeichnet durch h ; i, mit gleicher Symbolik auf die einzelnen Tangentialräume von Rn übertragen, indem wir festsetzen (1)

˛ ˝ hu; vi WD jb1 u; jb1 v

8 b 2 Rn ; u; v 2 Tb Rn :

Jeder Tangentialraum Tb Rn erhält dadurch eine eigene, für ihn zuständiges Bilinearform h ; i (die eigentlich mit h ; ib bezeichnet werden müsste, was jedoch zur Vereinfachung unterbleiben soll). Natürlich sind diese Bilinearformen auf den Tangentialräumen jeweils wieder symmetrisch und positiv deﬁnit, also wiederum Euklidische Skalarprodukte. Das ist so gemacht, dass für jeden Punkt b 2 Rn der kanonische Isomorphismus jb W Rn ! Tb Rn eine Isometrie ist. In diesem Abschnitt sei M Rn eine orientierte Untermannigfaltigkeit mit dim M D p 1 und von der Klasse C r mit r 1. Als Erstes werden die auf den Tangentialräumen von Rn deﬁnierten Skalarprodukte auf die Tangentialräume von M eingeschränkt: A. Deﬁnition. Der metrische Fundamentaltensor g von M ist das kovariante Tensorfeld auf M der Stufe 2, deﬁniert durch gb .u; v/ WD hu; vi

8 b 2 M; u; v 2 Tb M:

Der metrische Fundamentaltensor heißt auch die erste Fundamentalform. Jeder Tangentialraum Tb M bekommt so eine eigene Euklidische Struktur gb ; denn mit h ; i ist auch gb wiederum bilinear, symmetrisch und positiv deﬁnit. Die metrischen Folgegrößen einer Euklidischen Metrik, z.B. die Norm eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren ¤ 0 sind in jedem Tangentialraum Tb M mitfestgelegt: juj WD

p gb .u; u/

^.u; v/ WD arccos

gb .u; v/ juj jvj

8 u 2 Tb M; 8 u; v 2 Tb M n f0g:

(Eigentlich müsste an das Norm- und Winkelzeichen ein „b“ angehängt werden, was aber nicht üblich ist.) Das Gleiche gilt für die signierte (vorzeichenbehaftete) Volumfunktion. Diese ist in jedem orientierten Euklidischen Vektorraum der Dimension p eindeutig festgelegt als die p-Form, die auf einer (und dann auf jeder) positiv orientierten Orthonormalbasis

334

Kapitel 5

Die Integralsätze

den Wert 1 annimmt. Explizit wird sie durch eine bestimmte Zahldeterminante ausgedrückt. Für den orientierten Euklidischen Vektorraum Tb M heißt diese Form .dM /b , und sie ist gegeben durch vˇ ˇ uˇ uˇgb .u1 ; u1 / : : : gb .u1 ; up /ˇˇ q uˇ ˇ :: :: DW (2) .dM /b .u1 ; : : : ; up / D u det.gb .ui ; uj // ˇ tˇˇ : : ˇ ˇgb .up ; u1 / : : : gb .up ; up /ˇ für alle positiven Basen u1 ; : : : ; up von Tb M . Der Ausdruck ganz rechts ist lediglich eine Kurzschreibweise. Die auftretende Zahldeterminante aus den paarweisen Skalarpodukten ist eine Gramsche Determinante (Greub[1975], Chap. VII, Sect. 7.14, Walter[1996], Satz D und Bemerkung 3 in 5.5). A. Zusatz. Das (p-dimensionale) Volumelement dM von M ist die p-Form auf M mit dem Wert .dM /b für alle b 2 M . Für spezielle Dimensionen hat man folgende Sonderbezeichnungen und -namen: pD1W

dM DW ds

Bogenelement

pD2W

dM DW dA

Flächenelement

p Dn1W

dM DW dS

Hyperﬂächenelement

pDnW

dM DW d V

Volumelement von Rn .

Warnung: Diese d ’s sind keine äußeren Differentiale! Konvention: Zum praktischen Rechnen müssen diese Größen wieder mittels Parametrisierungen erfasst werden. Hierzu seien die Standard-Basen und -Koordinaten in den beiden Räumen Rp bzw. Rn wie am Ende von Abschnitt 3.1 bezeichnet (soweit nichts anderes vereinbart). Die entsprechenden Standard-Basen in den Tangentialräumen sind dann Ta Rp W Standard-Basis @1 .a/; : : : ; @p .a/ Tb Rn W Standard-Basis @1 .b/; : : : ; @n .b/: Entsprechend dem Transformationsprinzip D[5.1] braucht man die Zurückziehungen der eingeführten Größen: B. Lemma. Sei eine positive Parametrisierung von M . Dann gilt:

p X @ @

i k gD gik dx ˝ dx mit gik WD ; (3) @x i @x k i;kD1

(4)

.dM / D

p det.gik / dx 1 ^ ^ dx p :

Abschnitt 5.4

335

Metrische Gesichtspunkte

Beweis. Sei b D .a/. Zu (3): Man rechnet so: . g/a .@i .a/; @k .a// D gb . a @i .a/; a @k .a// ˛ ˝ D jb1 a @i .a/; jb1 a @k .a/ ˝ ˛ D 0 .a/ja1 @i .a/; 0 .a/ja1 @k .a/ ˛ ˝ D 0 .a/ei ; 0 .a/ek ˇ ˇ

@ ˇˇ @ ˇˇ D ; : @x i ˇa @x k ˇa

AŒ4:4 (1) N Œ3:4

Daraus folgt (3) nach dem allgemeinen Rezept der Tensorrechnung in 4.1, wobei man beachtet, dass @1 .a/; : : : ; @p .a/ und .dx 1 /a ; : : : ; .dx p /a dual zueinander sind. Zu (4): Analog gilt . .dM //a .@1 .a/; : : : ; @p .a// D .dM /b . a @1 .a/; : : : ; a @p .a// D

p

det.gb . a @i .a/; a @k .a/// p D det.gik .a//

D D

p p

AŒ4:4 (2) Teil 1

det.gik .a// 1 det.gik .a// .dx 1 ^ dx p /a .@1 .a/; : : : ; @p .a//:

Dabei beachtet man, dass . a @1 .a/; : : : ; a @p .a// zu Ob gehört, weil positiv ist. Außerdem wurde die 1 vermöge (1)[4.1] als Auswertung dargestellt. Die beiden Seiten der zweiten Behauptung stimmen also auf @1 .a/; : : : ; @p .a/ und damit generell überein, da es sich um p-Formen handelt. Hieraus liest man weiter ab: C. Folgerung. Ist M von der Klasse C r , so sind die erste Fundamentalform g und die Volumform dM von der Klasse C r1 , und es gilt dM D jdM j. Jetzt kann man auch Funktionen integrieren, da eine „Referenz-Form“ dM existiert: D. Deﬁnition. Sei B M eine Teilmenge und f W B ! R eine reelle Funktion.

336

Kapitel 5

Die Integralsätze

(i)

Ist f dM über B integrierbar, so heißt f über B integrierbar.

(ii)

Ist die Funktion 1 (also dM ) über B integrierbar, so heißt B integrierbar und Z dM volp .B/ WD B

das p-dimensionale Volumen von B (wegen dM D jdM j ist dies stets 0). Bei p D 2 spricht man auch vom Flächeninhalt oder der Oberﬂäche von B, bei p D 1 von der Bogenlänge (oder dem Umfang, falls B D M ). Die Verwendung des Lebesgueschen Integralbegriffs garantiert, dass jede kompakte Teilmenge B M integrierbar ist, also ein wohlbestimmtes Volumen in RC 0 besitzt. Die metrischen Begriffe (^, dM , vol, usw.) sind erst durch das Paar .M; g/ bestimmt. Ein solches Paar ist Beispiel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Hier wird g durch die Metrik im umgebenden Raum Rn festgelegt. Allein aus der Mannigfaltigkeitsstruktur heraus sind metrische Begriffe nicht erklärbar. E. Beispiele. (i) Ist B integrierbar und B .U /, wobei W U ! Rn eine injektive positive Parametrisierung von M ist, so folgt nach Lemma B und B[5.2] die Darstellung durch ein gewöhnliches mehrfaches Integral: Z q volp .B/ D det.gij / dx 1 dx p : 1 .B/

(ii) Im Fall p D n und M D Rn ist dM D d V D dy 1 ^ ^ dy n , also dM über B Rn integrierbar, genau wenn B im Sinne der Lebesgue-Theorie integrierbar ist, und dann gilt: voln .B/ D n .B/: Hier besteht also Koinzidenz mit dem Lebesgue-Maß. Das Gleiche gilt für die Integrierbarkeit von f W B ! R im obigen und im Lebesgueschen Sinn. (iii) Im Fall p D 1 ist M eine Kurve, und es besteht Koinzidenz mit der Bogenlänge: Ist nämlich W J ! Rn eine injektive positive Parametrisierung von M (J offen in R), so ist dM D ds und .ds/ D j 0 .t /j dt . Dabei ist t statt x 1 geschrieben, und die Gramsche Determinante in (2) spezialisiert sich auf ihren einzigen Eintrag. Ist Œ˛; ˇ J , so ist ds über .Œ˛; ˇ/ integrierbar und Z

ˇ

vol1 ..Œ˛; ˇ// D ˛

Vgl. Ana-1: H[9.1].

j 0 .t /j dt D Lˇ˛ . /:

Abschnitt 5.4

337

Metrische Gesichtspunkte

(iv) Im Fall p D 2, n D 3 sei eine parabolische Schale B betrachtet, deﬁniert durch 0

1 x .x; y/ WD @ y A ; f .x; y/

f .x; y/ WD x 2 C y 2 1:

Wie groß ist der Flächeninhalt von B? Lösung: B ist Teilmenge des gesamten Paraboloids M , also der Fläche, die als Bild von entsteht, wenn .x; y/ den gesamten R2 durchläuft. (Dass M eine zweidimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit von R3 ist, folgt natürlich unmittelbar aus H[3.2], da M ein Graph ist.) Hier liegt die lokale Situation aus Lemma B vor, wobei B kompakt ist, da 1 .B/ D f.x; y/ 2 R2 j x 2 C y 2 1g es ist. Die konkreten Darstellungen aus Lemma B berechnen sich wie folgt; dabei seien die partiellen Ableitungen nach x und y durch Indizes bezeichnet: 0 1 0 1 1 0 y D @ 1 A x D @ 0 A ; fx fy ˝ ˝ ˛ ˛ g11 D hx ; x i D 1 C fx2 ; g12 D x ; y D fx fy ; g22 D y ; y D 1 C fy2 2 det.gik / D g11 g22 g12 D 1 C fx2 C fy2 :

Mit der Formel aus (i) ergibt sich also Z q 1 C fx2 C fy2 dx dy vol2 .B/ D 1 .B/

Z D

q x 2 Cy 2 1

Z

2

Z

1

D 0

1 C fx2 C fy2 dx dy

p 2 1 C 4r r dr d

0

Z

1

D 2

p 1 C 4r 2 r dr

0

p

D 2

5 51 p D .5 5 1/ D 5;330413 : : : : 12 6

338

Kapitel 5

Die Integralsätze

Das Integral in der zweiten Zeile ist mit dem Transformationssatz auf Polarkoordinaten .r; / umgeschrieben. Die Auswertung des Integrals über r geht ganz leicht mit der Substitution D 1 C 4r 2 . Der Tangentialraum von Rn in b 2 M zerspaltet sich in eine direkte Summe, bestehend aus dem Tangentialraum Tb M und dessen orthogonalem Komplement .Tb M /? , dem sog. Normalenraum: Tb Rn D Tb M ˚ .Tb M /? : Neben der Vereinigung der Tangentialräume von M , dem Tangentialbündel, hat man also immer auch die Vereinigung der Normalenräume, das Normalenbündel: [ T ? M WD .Tb M /? : b2M

Im Rest dieses Abschnitts geht es um den Fall der Hyperﬂächen p D n 1. Hier haben die Normalenräume die Dimension 1, können also von einzelnen Vektoren aufgespannt werden:

F. Deﬁnition. Ein Vektor v 2 .Tb M /? mit jvj D 1 heißt ein Normaleneinheitsvektor von M in b (es gibt deren zwei, die durch Multiplikation mit 1 auseinander hervorgehen). Gilt außerdem für ein solches v D .b/ (5)

9 .v2 ; : : : ; vn / 2 Ob .M /

mit

..b/; v2 ; : : : ; vn / 2 Ob .Rn /;

so heißt .b/ der Normaleneinheitsvektor von M in b (es gibt genau einen solchen). Die Abbildung heißt das Normaleneinheitsfeld der orientierten Hyperﬂäche M .

Abschnitt 5.4

339

Metrische Gesichtspunkte

Äquivalent kann in (5) wiederum „8“ statt „9“ geschrieben werden. In der Sprache der Vektorbündel ist ein Schnitt im Normalenbündel T ? M . Wir wollen nun verschiedene Darstellungen des Hyperﬂächenelements dS von M und des Normaleneinheitsfelds herleiten, die für das Folgende wichtig sind: G. Lemma. Das Hyperﬂächenelement dS von M kann mittels des Volumelements dV von Rn und des Normaleneinheitsfelds so ausgedrückt werden: .dS/b .v2 ; : : : ; vn / D .d V /b ..b/; v2 ; : : : ; vn /

8 v2 ; : : : ; vn 2 Tb M:

Beweis. Die rechte Seite hat die oben vor (2) genannten deﬁnierenden Eigenschaften der signierten Volumfunktion des orientierten Euklidischen Vektorraums Tb M , stimmt also mit dieser überein. Auch eine argumentfreie Darstellung von dS ist möglich: H. Lemma. Seien k die Komponenten des Normaleneinheitsfelds bez. des StandardBasisfelds @1 ; : : : ; @n in Rn : D

n X

k @k ;

k D h; @k i :

also

kD1

Dann gilt: (6) (7)

b

k dS D .1/k1 i .dy 1 ^ ^ dy k ^ ^ dy n / dS D

n X

b

.1/k1 k i .dy 1 ^ ^ dy k ^ ^ dy n /:

kD1

Hierin gehört i zur Inklusion i W M ,! Rn . Beweis. 1) Es gilt k .b/.b/ @k .b/ 2 Tb M ; denn das Skalarprodukt der linken Seite mit .b/ ist 0. 2) Zu (6): Man rechnet für Argumente v2 ; : : : ; vn 2 Tb M wie folgt: k .b/ .dS /b .v2 ; : : : ; vn / D k .b/ .d V /b ..b/; v2 ; : : : ; vn /

G

340

Kapitel 5

Die Integralsätze

D .dV /b . k .b/.b/; v2 ; : : : ; vn / D .dV /b .@k .b/; v2 ; : : : ; vn /

1)

D .dy 1 ^ ^ dy n /b .@k .b/; v2 ; : : : ; vn /

E(ii)

ˇ ˇ 0 .dy 1 /b .v2 / ˇ ˇ :: ˇ :: ˇ : : ˇ ˇ D ˇˇ 1 .dy k /b .v2 / ˇ ˇ : :: ˇ :: : ˇ ˇ ˇ 0 .dy n / .v / b 2

(1)Œ4:1

ˇ ˇ ˇ ˇ :: ˇ ˇ : ˇ ˇ k .dy /b .vn / ˇˇ ˇ ˇ :: ˇ : ˇ ˇ n .dy /b .vn / ˇ

.dy 1 /b .vn /

b

D .1/k1 .dy 1 ^ ^ dy k ^ ^ dy n /b .v2 ; : : : ; vn /: Dabei wurde zum Schluss die Zahldeterminante nach der ersten Spalte entwickelt und erneut (1)[4.1] herangezogen. Anfang und Ende dieser Kette enthalten die Behauptung. 3) Zu (7): Man multipliziert (6) mit k , summiert über k und beachtet, dass n X

. k /2 D 1;

kD1

da die Länge 1 hat.

Das Normaleneinheitsfeld kann völlig explizit bestimmt werden, indem man das Vektorprodukt im Rn heranzieht. Dieses ordnet je n 1 Vektoren c2 ; : : : ; cn 2 Rn einen Vektor c2 cn 2 Rn zu, der eindeutig bestimmt ist durch die Forderung (8)

hc1 ; c2 cn i D Œc1 ; c2 ; : : : ; cn

8 c1 2 Rn ;

worin Œ: : : die Standard-Determinantenform in Rn bezeichnet. Das Vektorprodukt hängt multilinear und alternierend von seinen Argumenten ab. Explizit kann es mit folgender Formel berechnet werden: ˇ ˇ ˇe1 c 1 cn1 ˇ 2 ˇ ˇ ˇ :: :: ˇ ; (9) c2 cn D ˇ ::: : : ˇˇ ˇ ˇen c n c n ˇ n 2 wobei die cik die Komponenten von ci sind und die Determinante nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. In der Tat folgt aus (8) für c1 D ek , dass die k-te Komponente

Abschnitt 5.4

341

Metrische Gesichtspunkte

von c2 cn gerade der Kofaktor von ek in der Determinante der rechten Seite von (9) ist. I. Deﬁnition und Satz. Ist b ein Punkt der orientierten Hyperﬂäche M Rn der Klasse C r , so heißt N.b/ WD jb1 ..b// 2 Rn der geometrische Normaleneinheitsvektor von M in b. Ist W U ! Rn eine positive Parametrisierung von M , so gilt für alle x 2 U : (10)

N..x// D

1 .x/ n1 .x/ ; j1 .x/ n1 .x/j

i WD

@ : @x i

Die entsprechende Abbildung N W M ! Rn ist von der Klasse C r1 und heißt die Gauß-Abbildung von M . Beweis. N.b/ ist orthogonal zum geometrischen Tangentialraum Tb M , von der Länge 1 und so orientiert, dass für b D .x/ das Vektorsystem N.b/; 1 .x/; : : : ; n1 .x/ eine positive Basis von Rn bildet. Es gilt nämlich jb i .x/ D i .x/, und jb ist isometrisch und o-treu. Die rechte Seite von (10) hat ebenfalls diese Eigenschaften, wie man an (8) sieht. Daraus folgt die Übereinstimmung. Die C r1 -Eigenschaft ergibt sich aus der expliziten Formel (9).

J . Folgerung. Die k aus Lemma H sind auch die Komponenten von N bez. der Standard-Basis des Rn : N D

n X

k ek ;

also

k D hN; ek i

kD1

somit ebenfalls von der Klasse C r1 . Beweis. Dies folgt aus der ersten Gleichung in Lemma H durch Anwendung der Iso morphismen jb . K. Bemerkung. Anhand des Normaleneinheitsfelds sieht man, dass die Orientierung einer Hyperﬂäche M die Möglichkeit bietet, eine stetige „Normalisierung“ von M einzuführen. (Ohne Orientierung ist der Normaleneinheitsvektor ja nur bis aufs Vorzeichen bestimmt!) Dies lässt sich auch umkehren: Existiert für eine Hyperﬂäche M eine stetige Normalisierung , so ist M orientierbar. Man kann dann nämlich die Orientierung der

342

Kapitel 5

Die Integralsätze

Tangentialräume von M , die der Forderung (5) mit v1 D .b/ genügen, auszeichnen und mittels der Stetigkeit nachweisen, dass die Forderung aus Deﬁnition J[5.1] tatsächlich erfüllt ist. Das folgende Bild veranschaulicht den Gegenfall beim Möbiusband:

Weder ist das Möbiusband orientierbar, noch existiert eine stetige Normalisierung. Wäre eine solche möglich, so müsste ein Normaleneinheitsvektor beim stetigen einmaligen Herumschieben längs der Mittellinie als er selbst zurückkommen. In Wirklichkeit verkehrt er sich ins Negative! Analog erfährt eine Figur, z.B. das eingezeichnete „F“, beim stetigen einmaligen Herumschieben längs der Mittellinie nach Rückkehr eine Umwendung!

Aufgaben und Anmerkungen 1. Sei B M integrierbar und f W B ! R stetig und beschränkt. Zeige: f ist über B integrierbar und ˇZ ˇ ˇ ˇ ˇ f dM ˇ sup jf j volp .B/: ˇ ˇ B

2. Ist B M integrierbar und beschränkt, sowie g W B ! RC 0 integrierbar, so ist das Paar .B; g/ ein mathematisches Modell für eine p-dimensionale Schale mit der p-dimensionalen Massendichte g. Die Gesamtmasse von .B; g/ ist dann Z G WD g dM B

und der Schwerpunkt von .B; g/ ist im Fall G > 0 deﬁniert durch Z 1 g iB dM; S WD G B

Abschnitt 5.4

Metrische Gesichtspunkte

343

wobei iB die Inklusionsabbildung iB W B ! Rn bezeichnet. Das letzte Integral ist also Rn -wertig. Man zeige, dass es existiert. Ist g D const. > 0 (homogene Massenbelegung), so nennt man S den geometrischen Schwerpunkt der Schale B, vorausgesetzt das Volumen volp .B/ ist positiv. Der geometrische Schwerpunkt ist also (da sich die Konstante g herauskürzt): Z 1 Sp .B/ WD iB dM: volp .B/ B Aus Aufgabe 5[5.2] folgt, dass der Schwerpunkt in jedem Fall in der abgeschlossenen konvexen Hülle von B liegt. Für M D Rn und p D n kommt man auf die entsprechenden Begriffe aus Ana-2: Aufgabe 3[13.4] zurück. Hinweis: In den Standard-Koordinaten von Rn hat iB die Darstellung .x1 ; : : : ; xn /> . 3. Man berechne den geometrischen Schwerpunkt der parabolischen Schale B aus Beispiel E(iv) Lösungshinweis: Der Schwerpunkt S2 .B/ DW .xS ; yS ; zS /> lautet nach der Deﬁnition in Aufgabe 2 0 1 0 1 Z x xS p 1 @ y A 1 C 4x 2 C 4y 2 dx dy: S2 .B/ D @yS A D vol2 .B/ x2 C y 2 z S

A

Man berechnet (wieder mit Polarkoordinaten):

p 313 C 15 5 D 0;558937 : : : : zS D xS D yS D 0; 620 Der Schwerpunkt S2 .B/ liegt also auf der z-Achse etwas oberhalb der Mitte der Höhe der Schale. Liegt der Schwerpunkt der homogen mit Masse gefüllten Schale höher oder tiefer? 4. Sei U Rn offen, f W U ! R eine C r -Funktion (r 1) und M ihr Graph, also die Hyperﬂäche in RnC1 mit der Parametrisierung .x/ D .x; f .x//; x 2 U . Man berechne die Zurückziehung des Hyperﬂächenelements von M als q .dS / D 1 C jgrad f j2 dx 1 ^ ^ dx n ; wobei M so orientiert sei, dass positiv ist. Lösungshinweis: Man beweise zuvor die Determinantenidentität ˇ ˇ ˇ 1 C t12 t1 t2 ::: t1 tn ˇˇ ˇ ˇ t2 t1 1 C t22 : : : t2 tn ˇˇ ˇ ˇ D 1 C t12 C C tn2 : ˇ :: :: :: ˇ ˇ : : : ˇ ˇ 2 ˇ ˇ tn t1 tn t2 : : : 1 C tn

344

Kapitel 5

Die Integralsätze

5. Sei Z eine eindimensionale, kompakte, orientierte und zusammenhängende Untermannigfaltigkeit Z Rn mit einer normalen periodischen Parametrisierung der primitiven Periode p (S[5.2]). a)

Man zeige für den Umfang: vol1 .Z/ D p.

b)

Man deﬁniere eine Abbildung F der gleichgroßen Kreislinie S.r/ R2 mit p D 2 r in Z durch F .r .cos '; sin '// D .r'/

für

0 ' < 2:

und beweise, dass F ein Homöomorphismus von S.r/ auf Z ist, der zudem längentreu ist, d.h. für alle integrierbaren B S.r/ ist auch F .B/ Z integrierbar und vol1 .B/ D vol1 .F .B//. 6. Sei M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit (Kurve) in der .x; z/-Ebene des R3 , auf der die x-Koordinate stets positiv ist, und sei R.M / die von M erzeugte Drehﬂäche, d.h. R.M / WD f.x cos ; x sin ; z/> j .x; z/ 2 M; 2 Œ0; 2Œ g R3 : Nach Aufgabe 3[3.2] ist R.M / eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit von R3 . Ist B kompakte Teilmenge von M , so beweise man, dass auch die zugehörige Rotationsmenge R.B/ kompakt ist und dass ihr Flächeninhalt durch folgende Formel gegeben wird: vol2 .R.B// D 2xS vol1 .B/

(zweite Guldinsche Regel):

Dabei ist xS die x-Koordinate des geometrischen Schwerpunkts von B. Kurz: Fläche von R.B/ = Rotationsweg des Schwerpunktes von B mal Bogenlänge von B. Im Fall vol1 .B/ D 0 ist S nicht deﬁniert; die Behauptung besagt dann vol2 .R.B// D 0. 7. Zusammen mit der ersten Guldinschen Regel aus Ana-2: Aufgabe 3[11.9] berechne man Volumen und Oberﬂäche des Volltorus R.C /, wobei C eine abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius r in der .x; z/-Ebene ist, deren Mittelpunkt von der z-Achse den Abstand R hat (mit 0 < r < R). 8. Sei ˇ W Rn ! Rn eine Afﬁnität, also ˇ.z/ D Lz C c, L eine reguläre lineare Selbstabbildung von Rn (äquivalent: L 2 GL.n; R/) und c 2 Rn fest. Man beweise: a)

Mit M ist auch ˇ.M / orientierte Untermannigfaltigkeit von Rn .

b)

Ist B M integrierbar, so beweise man, dass auch ˇ.B/ ˇ.M / integrierbar ist und dass im Falle p D n gilt: voln .ˇ.B// D j det Lj voln .B/, nicht jedoch i. Allg. für p < n.

Abschnitt 5.4

c)

345

Metrische Gesichtspunkte

Ist ˇ eine Ähnlichkeit, d.h. L D %L0 , wobei % 2 R n f0g und L0 eine lineare Isometrie, so gilt jedoch für alle p: volp .ˇ.B// D j%jp volp .B/ und für den geometrischen Schwerpunkt, falls deﬁniert: Sp .ˇ.B// D ˇ.Sp .B//.

9. Sei ˆ W U ! V ein C 1 -Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen des Rn . Ist die Menge V integrierbar, so stelle man ihr Volumen auf zweifache Weise durch ein Integral über U dar: Z ˇ ˇ ˇdet ˆ0 .x/ˇ dx 1 dx n n .V / D U

Z q ˛ ˝ D det. ˆi ; ˆj / dx 1 dx n ;

ˆi WD

U

@ˆ : @x i

Die erste Darstellung ist eine unmittelbare Konsequenz des Transformationssatzes (Ana-2: R[11.9]), die zweite folgt aus dem Zusammenhang zwischen Determinantenform und Gramscher Determinante. 10. Auf einer orientierten Untermannigfaltigkeit M Rn gibt es immer eine stetige Top-Form, die an keiner Stelle verschwindet, nämlich das Volumelement dM (Zusatz zu A und Folgerung C). Man zeige umgekehrt: Existiert auf einer (nicht notwendig orientierten) Untermannigfaltigkeit M Rn eine stetige Top-Form !, so ist M orientierbar. Lösungshinweis: Deﬁniere zu jedem b 2 M eine Orientierung Ob von Tb M durch .u1 ; : : : ; up / 2 Ob () !b .u1 ; : : : ; up / > 0 und zeige, dass diese Zuordnung b 7! Ob die Deﬁnition J[5.1] erfüllt. Man kann also sagen: Eine Untermannigfaltigkeit M Rn ist dann und nur dann orientierbar, wenn auf ihr eine stetige, nirgends verschwindende Top-Form existiert. 11. Es sei M Rn eine (nicht notwendig orientierte) Hyperﬂäche. Man zeige: e W M ! Rn eine stetige Abbildung mit Ist N e .y// Rn D Ty M ˚ spann. N

8 y 2 M;

so existiert genau eine Orientierung von M , sodass für alle y 2 M und z2 ; : : : ; zn 2 Ty M gilt: e .y/; z2 ; : : : ; zn / 2 Oy .Rn /: .z2 ; : : : ; zn / 2 Oy .M / H) . N e .y/ braucht nicht orthogonal zu Ty M zu sein! Hinweis: N

346

Kapitel 5

5.5

Die Integralsätze

Klassische Formulierung der Integralsätze

Die klassischen Varianten des Integralsatzes haben eine metrische Gestalt. Die eigentliche Quelle, der Integralsatz von Stokes G[5.3] ist aber allgemeiner, nämlich diffeomorph-invariant. In diesem Abschnitt erfolgt nun die Spezialisierung auf die klassische Situation. Sei zunächst p D n 2, also B regulärer Bereich der Klasse C r mit r 1 in einem offenen Teil U Rn . Ebenso wie Rn trage U die Standard-Orientierung und dementsprechend @B die kanonische Randorientierung. Der Rand @B ist dann eine Hyperﬂäche derselben Klasse C r (kompakt, wenn B kompakt). Ein solches B heißt ein n-dimensionaler regulärer Bereich in Rn der Klasse C r . Die Bezeichnungen aus Abschnitt 5.4 werden jetzt für die Hyperﬂäche @B beibehalten. Der Normaleneinheitsvektor .b/ in b 2 @B gemäß F[5.4] ist dann ein äußerer Vektor bez. B, wie der Vergleich mit K[5.3] lehrt. Daher heißt .b/ der äußere Normaleneinheitsvektor von B in b, ebenso auch N.b/ WD jb1 .b/. Man sagt auch: @B ist durch den äußeren Normaleneinheitsvektor orientiert. Es soll zunächst die Vorform der Divergenzformel (9)[5.3] umgeschrieben werden. Also wird zusätzlich eine Abbildung betrachtet: 0 1 W1 B :: C n C 1: W WD @ : A W W U ! R ; Wn Mit dem Pull-Back i zur Inklusion i W @B ,! U wird der Integrand des dortigen Randintegrals: i

n X

b

.1/k1 Wk dx 1 ^ ^ dx k ^ ^ dx n

kD1

D (1)

n X

b

.1/k1 .Wk j@B/ i .dx 1 ^ ^ dx k ^ ^ dx n /

kD1

D

n X

k .Wk j@B/ dS

(6)[5.4]

kD1

D hN; W j@Bi dS; und man erhält: A. Satz (Divergenzsatz). Sei B ein kompakter n-dimensionaler regulärer Bereich der Klasse C 2 in der offenen Menge U Rn . Dann gilt für jede C 1 -Abbildung

Abschnitt 5.5

347

Klassische Formulierung der Integralsätze

W W U ! Rn

Z

Z div W d V D B

hW; N i dS: @B

Dabei ist rechts W auf @B einzuschränken und @B mit der kanonischen Randorientierung zu versehen. Integrale über Teile einer Hyperﬂäche mit dem Integranden hW; N i dS werden als Durchﬂüsse oder Flüsse von W durch diese Teile bezeichnet. Das beruht auf folgender anschaulicher Deutung: Ist W das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, so ist ein solches Integral die Flüssigkeitsmenge pro Zeiteinheit, die durch den betreffenden Teil der Hyperﬂäche hindurchströmt. Aus der Kenntnis dieser Durchﬂüsse lässt sich rückwärts der Skalar div W konstruieren, was in Bemerkung H(i) besprochen wird. Etwas verkürzt und nicht ganz präzise wird auch gesagt: „hW; N i dS ist die Flüssigkeitsmenge pro Zeiteinheit, die durch das “kleine“ Stück dS der Hyperﬂäche hindurchströmt“. Wählt man wie in J(ii)[5.3] das Feld W als Identität auf U und bezeichnet diese auch durch x WD idU , so folgt div W D

@x 1 @x n C C Dn @x 1 @x n

hW; N i D hx; N i : Das Skalarprodukt hx; N i nimmt an der Stelle b 2 @B den Wert hb; N.b/i an. Das ist der Abstand der afﬁnen Tangentialhyperebene Ab M vom Ursprung 0, der sog. Stützabstand. Der Stützabstand ist (wie bei der Hesseschen Normalform) mit einem Vorzeichen versehen: Er ist positiv, falls b; N.b/ in den gleichen durch Tb M bestimmten Halbraum weisen, sonst negativ (vgl. das Bild rechts). Damit spezialisiert sich der Divergenzsatz so: B. Folgerung. Unter den gleichen Voraussetzungen an den regulären Bereich B wie im Divergenzsatz A gilt die Volumformel von Minkowski:

(2)

1 n .B/ D voln .B/ D n

Z P dS: @B

348

Kapitel 5

Die Integralsätze

Hierin ist P W @B ! R;

P WD hx; N i

die Stützfunktion.

Die Formel (2) drückt das n-dimensionale Volumen von B (also das Maß von B im Sinne von Analysis 2) durch ein .n 1/-dimensionales Integral über die Randhyperﬂäche @B aus. Genauer: Das Volumen entsteht durch Integration des Stützabstands gegen das Volumelement des Randes (dividiert durch n). Die inﬁnitesimal-anschauliche Deutung ist sehr einfach: 1=n P dS ist das Volumen eines „kleinen“ Kegels mit Basisvolumen dS und Höhe P . Diese „kleinen“ Kegelvolumina werden „aufsummiert“, sprich auﬁntegriert. Allerdings stößt man hier auch an die Grenzen einer intuitiven Auffassung, wenn man bedenkt, dass der Kegel vielleicht nicht ganz in B enthalten ist oder keine Punkte von B ı trifft. Das kann ja durchaus vorkommen, z.B. wenn der Ursprung 0 außerhalb B liegt. Trotzdem ist die Gleichung (2) aufgrund der analytischen Herleitung generell richtig. Natürlich kann man das Volumen von B, wie generell, auch durch Z voln .B/ D dV B

berechnen. Der Minkowski-Formel (2) für das n-dimensionale Volumen von B kann man die Formel für das .n 1/-dimensionale Volumen des Randes @B gegenüberstellen: Z voln1 .@B/ D dS: @B

Die Volumformel (2) ist nichts anderes als eine Umformulierung der Leibniz-Formel in J(ii)[5.3]. Minkowski hat aber eine ganze Serie von Formeln initiiert, die eine große Bedeutung erlangt haben. Sie enthalten neben der Stützfunktion P wichtige Krümmungsinvarianten der Randhyperﬂäche. C. Beispiel (Sphärenvolumen). Dieses ergibt sich leicht als Spezialfall von Folgerung B, angewandt auf den Euklidischen Ball vom Radius r > 0: ˇ

˚ B WD Bn .r/ D x 2 Rn ˇ jxj r @B D Sn1 .r/ N D

x äußerer Normaleneinheitsvektor r

D xE D r: P D hx; N i D x; r

Abschnitt 5.5

349

Klassische Formulierung der Integralsätze

Anschaulich ist dies die richtige Vorzeichenwahl von N . Genauer erkennt man, dass dieses N der Ableitungsvektor des Strahls vom Zentrum zum betreffenden Punkt x der Randsphäre ist. Dieser Strahl, parametrisiert durch t 7! tx=r für t 0, liegt zunächst in B ı und verlässt B transversal bei t D r. Also ist N wirklich das äußere Normaleneinheitsvektor-Feld. Das obige Bild zeigt neben dem Ortsvektor x und dem Normaleneinheitsvektor N eine Schar weiterer äußerer Vektoren im Punkt x der Randsphäre (die ja insgesamt einen Halbraum erfüllen). Damit ergibt sich aus Folgerung B: voln .Bn .r// D voln .Bn .r// D

Z r 1 r dS D voln1 .Sn1 .r//: n Sn1 .r/ n

Die n-dimensionalen Volumina der Euklidischen Bälle sind aus Ana-2: G(i)[11.8] bekannt. Man kann dann die vorangehende Gleichung nach dem letzten Term auﬂösen und erhält die Sphärenvolumina n voln .Bn .r// r

voln1 .Sn1 .r// D

8 m 2m1 ˆ ˆ 2 < .m 1/Š r D ˆ m 2mC1 ˆ : r 2m 1 3 .2m 1/

für n D 2m gerade für n D 2m C 1 ungerade:

Mit Hilfe der Gamma-Funktion ließen sich beide Fälle beim Ballvolumen zusammenfassen (Ana-2: E[13.5]), sodass wir hier insgesamt notieren können: p 2 n n r n; voln .B .r// D n 2 n

n1

voln1 .S

p n 2 n n1 n .r// D voln .B .r// D n r : r 2

Bei dieser Gelegenheit sei als Standard-Orientierung einer Sphäre diejenige festgelegt, die zum äußeren Normaleneinheitsvektor-Feld des zugehörigen Balls gehört. Das bedeutet also, dass z2 ; : : : ; zn genau dann eine positve Basis in Tx Sn1 .r/ bilden, wenn N.x/; z2 ; : : : ; zn eine positive Basis von Rn ist. Im Falle n D 2 entspricht dies der Orientierung einer Kreislinie im Gegenuhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn. Bei n D 3 entspricht die Standard-Orientierung auf der zweidimensionalen Sphäre (Erdoberﬂäche) ebenfalls dem Gegenuhrzeigersinn bei Draufsicht von

350

Kapitel 5

Die Integralsätze

außen (vom Weltraum aus). Es ist eine meteorologische Erfahrungstatsache, dass Zirkulationsströmungen in ein Tiefdruckgebiet auf der Nordhalbkugel der Erde diesen Drehsinn aufweisen, während sich Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn drehen. Physikalisch wird das durch die sog. Corioliskraft erklärt. Aus dem Divergenzsatz A folgert man wie in J(iii)[5.3] die Greenschen Formeln, indem man W D h grad f setzt. Dabei tritt längs des Randes das Skalarprodukt von grad f mit N auf; dieses ist nach Ana-2: (8)[10.6] eine Richtungsableitung: hgrad f; N i D

@f ; @N

die sog. Normalableitung von f längs @B. So erhält man: D. Satz (Greensche Sätze). Unter den gleichen Voraussetzungen an den regulären Bereich B wie im Divergenzsatz A gilt für je zwei Funktionen f; h W U ! R: (i)

die erste Greensche Formel: Z

Z .h 4f C hgrad h; grad f i/ d V D B

h @B

@f dS; @N

falls f von der Klasse C 2 und h von der Klasse C 1 ist; (ii)

die zweite Greensche Formel: Z

Z .h 4f f 4h/ d V D

B

h @B

@f @h f @N @N

dS;

falls f; h von der Klasse C 2 sind.

In der Leibniz-Formel J(ii)[5.3] trat auf der rechten Seite eine besondere .n 1/-Form auf, die wie immer bei den Randintegralen auf dem Rand auszuwerten ist, hier aber in natürlicher Weise auf den ganzen Raum fortgesetzt werden kann. Wir können diese .n 1/-Form bzw. ein geeignetes Vielfaches von ihr, jetzt näher deuten: E. Lemma. Für die .n 1/-Form auf Rn

WD

n X kD1

gilt:

b

.1/k1 x k dx 1 ^ ^ dx k ^ ^ dx n 2 n1 .Rn /

Abschnitt 5.5

351

Klassische Formulierung der Integralsätze

d D n d V .

(i)

(ii) Ist i der Pull-Back zur Inklusion i W Sn1 ,! Rn , so ist das Hyperﬂächenelement dS der Einheitssphäre Sn1 gegeben durch dS D i : Man nennt % WD

2 n1 .Rn n f0g/ jxjn

die Raumwinkelform von Rn . Hinweis: In dV und dS ist das d nicht das äußere Differential, wohl aber in d . Beweis von E. Zu (i): Wie in J(ii)[5.3] gilt 1 @x @x n d D C C n dx 1 ^ ^ dx n D n d V: @x 1 @x Zu (ii): Bei Sn1 als Randhyperﬂäche des Euklidischen Einheitsballs gilt nach Beispiel C für die Komponenten des äußeren Normaleneinheitsvektor-Felds: k D x k jSn1 , also wird nach H[5.4]: dS D

n X

b

.1/k1 x k jSn1 i .dx 1 ^ ^ dx k ^ ^ dx n / D i :

kD1

Dass und damit % in ihrer jeweiligen Deﬁnitionsmenge von der Klasse C 1 sind, liest man direkt an den obigen Darstellungen ab. Die Namengebung erklärt sich wie folgt: Betrachtet man in Rn einen Kegel C mit Spitze im Ursprung 0, so ist dessen Raumwinkel deﬁniert als das .n 1/-dimensionale Volumen seines Durchschnitts B WD C \ Sn1 mit der Einheitssphäre Sn1 , falls dieses existiert. Dieses Volumen wird aber durch das Integral über dS erhalten, und dS entsteht seinerseits gemäß (i) aus oder auch aus % (da auf Sn1 gilt jxj D 1): dS D i D i %: Ein Kegel C ist hierbei aufzufassen als eine Vereinigung von Halbgeraden startend im Ursprung 0, analytisch gekennzeichnet durch: z 2 C; 0 H) z 2 C .

352

Kapitel 5

Die Integralsätze

Für n D 2 ist % nichts anderes als die Form ! aus Beispiel B[4.3], (3)

%D

x2

y x dx C 2 dy; 2 Cy x C y2

die deshalb auch die Winkelform von R2 genannt wird. Im Hinblick auf den „kleinen“ Satz von Stokes betrachten wir eindimensionale Ränder, die immer dann auftreten, wenn der reguläre Bereich auf einer Fläche liegt, also zweidimensional ist. Eindimensionale Ränder sind Kurven, und für die zugehörigen „eindimensionalen“ Integranden besteht folgende Umschreibung mittels der tangentialen Vektoren: F. Lemma. Sei K Rn eine orientierte eindimensionale C r -Mannigfaltigkeit (d.h. eine Kurve) und ! eine 1-Form, deﬁniert auf einer offenen Obermenge V K mit der Darstellung (wie in A,C[4.3]) 0

! D W1 dx 1 C C Wn dx n ;

1 W1 B C W WD @ ::: A W V ! Rn : Wn

Ferner sei T W K ! Rn das Tangenteneinheitsvektor-Feld von K, d.h. für b 2 K ist T .b/ 2 Tb K der eindeutig bestimmte Einheitsvektor, der eine positive Basis von Tb K bildet. Dann ist T von der Klasse C r1 und i ! D hW jK; T i ds; i die Inklusion von K in Rn und ds das Bogenelement von K. Beweis. Sei W J ! Rn , J offen in R, eine positive Parametrisierung von K. Dann gilt 0 T ı D 0 ; j j worin der Nenner nullstellenfrei ist ( ist Immersion). Mit E[4.6] und (4)[5.4] wird: ˛ ˝ ! D W ı ; 0 dt D hW ı ; T ı i j 0 j dt D hW ı ; T ı i .ds/: Hieraus ergibt sich die Behauptung mittels C(ii)[5.1]. Damit erfolgt jetzt die metrische Interpretation des Falls p D 2, n D 3:

Abschnitt 5.5

Klassische Formulierung der Integralsätze

353

G. Satz (kleiner Satz von Stokes). Sei B ein kompakter regulärer Bereich auf der C 2 -Fläche M R3 und W W V ! R3 eine C 1 -Abbildung, deﬁniert auf einer offenen Obermenge V M . Dann gilt Z

Z hrot W; N i dA D

(4) B

hW; T i ds: @B

Dabei sind N das Normaleneinheitsvektor-Feld und dA das Flächenelement von M , T das Tangenteneinheitsvektor-Feld und ds das Bogenelement von @B, und die Integranden sind einschlägig zu restringieren. e ein äußeres Vektorfeld Die Orientierungen sind folgendermaßen gekoppelt: Es sei N e von B längs @B, d.h. N .b/ 2 Tb M für jedes b 2 @B äußerer Vektor von B. Dann gilt: e ; T > 0; ŒN; N wobei die eckigen Klammern die Standard-Determinantenform in R3 bezeichnen. e kann speziell das relative äußere Normaleneinheitsvektor-Feld von @B geFür N e .b/ äußerer Vektor von B der Länge 1, orthogonal wählt werden, d.h. für b 2 @B ist N zu N.b/ und T .b/.

Beweis. Es ist die Formel in J(iv)[5.3] umzuschreiben: Die dortige linke Seite ergibt mit der gleichen Rechnung wie bei (1) (mit rot W anstelle W ): Z hrot W; N i dA: B

354

Kapitel 5

Die Integralsätze

Die dortige rechte Seite ergibt mit obigem Lemma F Z hW; T i ds; @B

wobei die Einschränkungen der Kürze halber weggelassen (aber natürlich gemeint) sind. e .b/; T .b/ positiv in Tb M und dann nach Nach N[5.3] ist für b 2 @B die Basis N e F[5.4] die Basis N.b/; N .b/; T .b/ positiv in R3 . Hinweis: In den Anwendungen wird die Rotationsformel (4) oftmals anders geschrieben, indem die vektorwertigen Formen ! ds WD T ds (vektorielles Bogenelement) ! dA WD N dA (vektorielles Flächenelement) eingeführt werden, nämlich als Z Z D ! E rot W; dA D B

D

!E W; ds :

@B

Das ist inhaltlich aber nichts Neues gegenüber (4). H. Bemerkungen. (i)

Deutung der Divergenz. Sei

W W U ! Rn ein C 1 -Feld, U offen in Rn , a 2 U ein fester Punkt, Br U ein abgeschlossener Euklidischer Ball mit Mittelpunkt a und Radius r > 0, Sr D @Br die zugehörige Randsphäre, N ihr äußeres Normaleneinheitsvektor-Feld. Dann gilt ˇ ˇZ ˇ ˇ ˇ max j.div W /x .div W /a jvoln .Br /: ˇ vol .B / N dS .div W / hW; i a n r ˇ ˇ x 2 Br Sr Das sieht man sofort, indem man das Randintegral über hW; N i dS mittels des Divergenzsatzes A umformt und dann die Abschätzungsregel J(ii)[5.2] anwendet. Hieraus folgt R Fluss durch Sr Sr hW; N i dS .div W /a D lim : D lim voln .Br / r#0 r#0 Volumen von Br

Abschnitt 5.5

Klassische Formulierung der Integralsätze

355

Das kann man weniger präzise aber anschaulicher so ausdrücken: Wird W als Geschwindigkeitsfeld einer (inkompressiblen) Strömung aufgefasst, so misst die Divergenz die lokale „Quelldichte“. In diesem Licht erscheint der Divergenzsatz als eine Balance der aufaddierten lokalen „Ergiebigkeiten“ bzw. „Verluste“ gegenüber dem, was durch den Rand heraus bzw. hereinströmt. Das Vektorfeld W heißt divergenzfrei oder quellenfrei, falls div W D 0. Äquivalent hiermit ist, dass der Fluss von W durch den Rand eines jeden regulären Bereiches B U verschwindet. Ist W speziell ein konservatives Feld mit einem C 2 -Potential f , W D grad f , so gilt grad f divergenzfrei () 4f D div .grad f / D 0: Ein solches Gradientenfeld ist also genau dann divergenzfrei, wenn sein Potential der Laplace-Gleichung 4f D 0 genügt. Eine Funktion f , die diese Gleichung erfüllt, heißt eine Potentialfunktion oder harmonisch. (ii) Deutung der Rotation im R3 . Seien wie in (i) W und a 2 U gegeben, aber nun n D 3. Weiter sei: Dr U eine abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt a und Radius r > 0, N ein fester Normaleneinheitsvektor der Kreisscheibe Dr (diese und ihre Ebene dadurch orientiert), Cr die zugehörige Kreislinie als Begrenzung von Dr . Dann gilt

ˇZ ˇ ˇ ˇ

Cr

ˇ ˇ hW; T i ds h.rot W /a ; N i vol2 .Dr /ˇˇ

max j.rot W /x .rot W /a j vol2 .Dr /: x 2 Dr Der Nachweis geschieht analog zu (i), indem das Kurvenintegral über hW; T i ds mittels des kleinen Satzes von Stokes G (angewandt auf Dr ) umgeformt und dann wieder die Abschätzungsregel herangezogen wird. Damit folgt R Umlaufarbeit längs Cr Cr hW; T i ds : D lim h.rot W /a ; N i D lim r#0 vol2 .Dr / r#0 Flächeninhalt von Dr Hieraus liest man ab: Der Rotationsvektor .rot W /a deutet in diejenige Richtung N D N0 , für die dieser Limes maximal wird, und j.rot W /a j ist das Maximum dieses Limes für alle Einheitsvektoren N (angetragen in a). Deswegen wird rot W auch als Zirkulation des Felds W bezeichnet.

356

Kapitel 5

Die Integralsätze

Aufgaben und Anmerkungen 1. Gegeben sei das Vektorfeld W W R3 ! R3 mit W .x; y; z/ WD .xz; 1 yz; z/> und die Torusﬂäche M R3 wie in Aufgabe 5[3.3]. Die Torusﬂäche M wird aufgefasst als Begrenzung M D @B des entsprechenden Volltorus B und als solche orientiert. Man berechne unabhängig voneinander beide Seiten des Divergenzsatzes Z Z div W d V D hW; N i dS B

@B

und stelle damit konkret sicher, dass dieser erfüllt ist. 2. Auf der Einheitssphäre S2 R3 wird durch z 12 eine Teilmenge B S2 ausgeschnitten, und es sei W W R3 ! R3 das gleiche Vektorfeld wie in Aufgabe 1. a)

Man zeige, dass B ein kompakter regulärer Bereich auf S2 ist.

b)

Man berechne unabhängig voneinander beide Seiten des Rotationssatzes Z Z hrot W; N i dA D hW; T i ds B

@B

und veriﬁziere damit konkret seine Richtigkeit. 3. Man betrachte das auf R3 n f0g deﬁnierte Vektorfeld W WD

.x; y; z/> .x 2 C y 2 C z 2 /3=2

sowie den skizzierten regulären Bereich B in R3 , in dessen Inneren der Euklidische Einheitsball B3 .1/ liegt und dessen Rand durch das äußere Normaleneinheitsvektor-Feld N orientiert ist. Man berechne alleine aus diesen Angaben den R Fluss @B hW; N i dS von W durch die Oberﬂäche @B. 4. Sei ein regulärer C 2 -Weg in R2 . Die Krümmung ~ (Ana-1: Q[9.1]) kann in diesem ebenen Fall mit einem Vorzeichen versehen werden. Man zeige nämlich: a)

Wird die signierte Krümmung k deﬁniert durch k WD

Œ 0 ; 00 j 0 j3

so gilt: ~ D jkj :

;

Abschnitt 5.5

b)

Klassische Formulierung der Integralsätze

357

Tangenten- und Normaleneinheistvektoren seien so deﬁniert T WD

0 ; j 0 j

N WD D0 T;

wobei D0 die Drehung von R2 um 2 ist. Das Vorzeichen von N ist dabei so gewählt, dass N; T stets eine positive Basis von R2 bilden. Dann bestehen die Ableitungsgleichungen ˇ ˇ N 0 D wkT; w WD ˇ 0 ˇ : T 0 D wkN; c)

Hieraus folgt

0 D wT;

00 D w 0 T w 2 kN

und die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung mit Restglied (Ana-1: Aufgabe 12[8.3], vektoriell verallgemeinert): 1 1 0 .t C h/ D .t / C h w hw .t / T .t / h2 w.t /2 k.t /N.t / C o.h2 /: 2 2 Skalarmultiplikation mit N.t / ergibt h.t C h/ .t /; N.t /i D

1 2 h w.t /2 k.t / C o.h2 /: 2

Hieraus liest man ab: Im Fall k.t/ > 0 liegt .t C h/ für genügend kleine jhj auf der N.t / abgewandten Seite der Tangente .t / C spann.T .t // (Linkskurve), im Fall k.t / < 0 auf der N.t/ zugewandten Seite dieser Tangente (Rechtskurve). Im Fall k.t / D 0, d.h. bei linearer Abhängigkeit von 0 .t /, 00 .t /, spricht man von einem Wendepunkt. Auch k.t / selbst kann hieraus gedeutet werden, z.B. mittels der sog. Schmiegparabel, die in den Koordinaten des rechtwinkligen Bezugssystems mit .t / als (neuem) Ursprung und Basisvektoren T .t /; N.t / die Gleichung D 12 k.t / 2 , also im Fall k.t/ ¤ 0 den Brennpunktsabstand 1 2 jk.t/j besitzt. Die Stützfunktion ist auch hier durch P WD h; N i deﬁniert. Man zeige: d)

Ist k.t / D const. D k0 , so liegt das Bild von auf einer Kreislinie vom Radius jk0 j, falls k0 ¤ 0, und auf einer Geraden, falls k0 D 0.

e)

Ist P .t / D const. und k nullstellenfrei, so liegt das Bild von auf einer Kreislinie mit Zentrum 0.

358

Kapitel 5

Die Integralsätze

f)

Ist P .t /k.t / D const. D 1 und C 2 -geschlossen, so liegt das Bild von auf einer Kreislinie mit Zentrum 0.

g)

Ist W Œ˛; ˇ ! R2 C 2 -geschlossen, so gilt für die Gesamtbogenlänge Z L WD Lˇ˛ . / D

ˇ

P kw: ˛

h)

Aus f) und g) folgere man weiter: Ist C 2 -geschlossen und stets P k 1 oder stets P k 1, so liegt das Bild von auf einer Kreislinie mit Zentrum 0.

i)

Ist C 1 -geschlossen, so gilt für die Tangentendrehzahl uml. 0 I 0/ D

1 2

Z

ˇ

kw: ˛

5. Reguläre Bereiche und Kurven in R2 . Die Begrenzung @B eines kompakten regulären Bereichs B 2 R2 besteht aus endlich vielen kompakten Randkomponenten, die allesamt orientierte Kurven sind. Folgende Relationen bestehen dann für den Umfang L (die Gesamtbogenlänge) und den Flächeninhalt A WD vol2 .B/: R a) L D @B ds; R b) L D @B P k ds; R c) A D 12 @B P ds; R d) @B k ds D 2, falls nur eine Randkomponente vorhanden ist (Konsequenz aus dem Umlaufsatz Ana-2: Aufgabe 15[14.2]); R , falls B konvex und k > 0 auf @B ist, mit Gleichheit genau für eine e) A 12 @B ds k Kreisscheibe (Ros[1987]); f)

4A L2 , die isoperimetrische Ungleichung, falls nur eine Randkomponente vorhanden ist (Abschnitt 7.8).

6. Ein regulärer Bereich B Rn sei wie in L[5.3] als Subniveau mit nichtleerem Rand gegeben: B WD fy 2 Rn j f .y/ 0g;

@B D fy 2 M j f .y/ D 0g ¤ ¿:

Zeige: Eine Parametrisierung W U ! Rn für @B ist dann und nur dann positiv (bez. @B), wenn gilt Œ.grad f /.x/ ; 1 .x/; : : : ; n1 .x/ > 0

8 x 2 U:

Abschnitt 5.5

Klassische Formulierung der Integralsätze

359

7. Sei M Rn eine orientierte Hyperﬂäche der Klasse C r (r 2) mit der GaußAbbildung N W M ! Rn . Aus der Normierungsbedingung hN; N i D 1 deduziere man hN; dN i D 0 und leite daraus her, dass zu jedem b 2 M genau eine lineare Abbildung Lb W Tb M ! Tb M existiert mit .dN /b D Lb ı .d i /b (i die Inklusion M ,! Rn ). Man nennt Lb die Weingarten-Abbildung oder den Form-Operator von M in b. (In der Literatur wird auch Lb so benannt.) Durch Kb ./ WD det.Eb C Lb / wird zu jeder Stelle b ein Polynom vom Grad n 1 deﬁniert; dabei ist Eb die identische Selbstabbildung von Tb M . (Es handelt sich um eine Abwandlung des charakteristischen Polynoms der linearen Selbstabbildung Lb von Tb M .) Die Bedeutung dieses Polynoms ergibt sich aus Folgendem: Sei jetzt M kompakt. Für festes t 2 R betrachte man die Parallelmenge M.t / von M im Abstand t deﬁniert durch M.t / WD fb C tN.b/ j b 2 M g: Man beweise: a)

Für alle genügend kleinen jt j ist M.t / wiederum eine kompakte Hyperﬂäche in Rn . Nur solche genügend kleinen t werden ab jetzt betrachtet und etwa t > 0 angenommen (im Fall t < 0 geht alles genauso, abgesehen von Details der Beschreibung.)

b)

Das .n 1/-dimensionale Volumen der Parallelhyperﬂäche M.t / ist eine Polynom vom Grad n 1 mit Koefﬁzienten, die allein durch M bestimmt sind, und zwar gilt genauer Z voln1 .M.t // D

K.t / dM; M

wobei die rechte Seite bedeutet, dass bei festem t die Funktion b 7! Kb über M zu integrieren ist. Da Kb polynomial in t ist, geht das auch koefﬁzientenweise. c)

Ist M D @B der Rand eines kompakten regulären Bereichs B Rn , so ist die Parallelhyperﬂäche M.t / für t > 0 der Rand des Parallelbereichs B.t/ WD B [ fb C N.b/ j 0 < t g:

d)

Für das n-dimensionale Volumen des Parallelbereichs gilt Z 1 voln .B.t // D .P C t /K.t / d.@B/: n @B Auch dies ist ein Polynom in t , das sog. Steiner-Polynom. Das Volumen eines solchen Parallelbereichs hängt also polynomial vom „Verdickungsparameter“ t ab.

360 e)

Kapitel 5

Die Integralsätze

Andererseits gilt Z

t

voln .B.t // D voln .B/ C

voln1 .@B. // d : 0

f)

Durch Vergleich der Ableitungen von d) und e) nach t (nach Einsetzen von b)) deduziere man die Minkowskischen Integralformeln: Z Z PK 0 .t / d.@B/ D ..n 1/K.t / tK 0 .t // d.@B/: @B

@B

oder, äquivalent, wenn in der üblichen Weise K.t/ D

n1 X kD0

! n1 Hk t k ; k

wobei

H0 D 1;

gesetzt wird: Z .Hk1 PHk / d.@B/ D 0;

k D 1; : : : ; n 1:

@B

Die Größen Hk sind reelle Funktionen auf M ; man nennt sie mittlere Krümmungen, speziell H WD H1 die mittlere Krümmung. In ihnen und ihren Integralen sind wichtige Invarianten „gespeichert“. Lösungshinweis: Folgende Tatsachen sind entscheidend für diesen Themenkreis: Ist W U ! Rn eine Parametrisierung von M , so ist die Abbildung .x; t / 7! .x/ C t .N..x// für genügend kleine jt j eine Immersion, deﬁniert also Diffeomorphismen von geeigneten offenen Mengen in Rn1 R auf solche in Rn . Für festes t ist dann t WD C t .N ı ) eine Parametrisierung von M.t /. Der Normalenvektor von M.t / an der Stelle b.t / WD b C tN.b/ ist N.b/, und dementsprechend ist der geometrische Tangentialraum von M.t / an dieser Stelle gleich dem von M an der Stelle b: Tb.t/ M.t / D Tb M : Hyperﬂäche und Parallelhyperﬂäche sind durch parallele (geometrische) Tangentialhyperebenen aufeinander bezogen. Die .n 1/-dimensionale Volumform im Tangentialraum Tb M ist induziert durch die Metrik im geometrischen Tangentialraum Tb M , und entsprechend bei M.t /. Für die Zurückziehungen der Volumelemente mittels einer Parametrisierung von M hat man dann, wenn b D .a/: . .dM //.u1 ; : : : ; un1 / D det.jb1 a u1 ; : : : ; jb1 a un1 / 1 1 t a u1 ; : : : ; jb.t/ t a un1 /: .t .dM.t ///.u1 ; : : : ; un1 / D det.jb.t/

Abschnitt 5.5

361

Klassische Formulierung der Integralsätze

Hierin bezeichnet det für den Augenblick die Volumform des orientierten Euklidischen Vektorraums Tb M , und die Argumente uj liegen in Ta Rn1 . Nun gilt aufgrund von N[3.4]: 1 jb.t/ t a D .d t /a jb1 a D .d /a ; und wegen D C t N ist t

d t D d C t . L/d D . .E C tL//d; diesmal alles ohne Argumente geschrieben. Mit den voranstehenden Gleichungen folgt .dM.t // D . K.t // .dM /; und die Bildungsregeln für das Integral liefern dann das Volumen in b). 8. Ein Teil der Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten funktioniert auch ohne die Voraussetzung der Orientierung. Das sieht man schon daran, dass auch eine nichtorientierbare Fläche wie das Möbiusband einen wohlbestimmten Flächeninhalt haben kann. Im nicht-orientierbaren Fall hat man allerdings statt der Top-Formen sog. Dichten zu integrieren. Dies wird in den folgenden Aufgaben beschrieben: 9. Ist V ein R-Vektorraum der Dimension p, so ist eine Dichte auf V eine Funktion ı W V p ! R, sodass eine p-Form ¤ 0 auf V und ein r 2 R existieren mit: ı.v1 ; : : : ; vp / D r j.v1 ; : : : ; vp /j a)

Man zeige: und r sind zwar durch ı nicht eindeutig bestimmt, wohl aber bis auf Abänderungen der Art: D %;

b)

8 v1 ; : : : ; vp 2 V:

rD

r j%j

mit

% 2 R n f0g:

Zur Dichte ı ist als neue Dichte der Betrag jıj deﬁniert und zwar durch ˇ ˇ 8 v1 ; : : : ; vp 2 V; jıj .v1 ; : : : ; vp / D jrj ˇ.v1 ; : : : ; vp /ˇ was nach a) in Wirklichkeit wiederum darstellungsunabängig ist.

c)

Mittels linearer Algebra oder Ana-2: G[11.9] beweise man, dass eine Dichte ı auf V auch axiomatisch festgelegt werden kann durch die beiden Forderungen der absoluten Homogenität und Scherungsinvarianz.

10. Ist M Rn eine Untermannigfaltigkeit der Dimension p 1 und Klasse C 1 , so ordnet eine Dichte ı auf M jedem b 2 M eine Dichte ıb auf dem Tangentialraum Tb M zu. Es existiert dann also eine nullstellenfreie p-Form ! und eine skalare Funktion f auf M mit ıb .v1 ; : : : ; vp / D f .b/ j!b .v1 ; : : : ; vp /j

8 b 2 M; v1 ; : : : ; vp 2 Tb M:

362

Kapitel 5

Die Integralsätze

a) Mit Aufgabe 9 überlege man, dass die möglichen Abänderungen von ! und f gegeben sind durch: ! D %!; b)

f D

f ; j%j

% W M ! R n f0g:

wobei

Die lokale Integration von ı verläuft analog zu A[5.2] so: Z Z ! D W dx 1 ^ ^ dx p H) ı WD .f ı / jW j; M

U

falls das Integral rechts existiert. Dabei ist vorausgesetzt, dass ı außerhalb der Menge .U / verschwindet ( W U ! Rn injektive Parametrisierung von M ). Man zeige, dass dies nur von ı, aber nicht von der Wahl von !, f abhängt. c)

Die globale Integration erfolgt analog zu G[5.2] mittels einer abzählbaren Zerlegung .Bk / von M wie in (3)[5.2], wenn ı im lokalen Sinne über alle Bk integrierbar ist, als Z XZ ı WD ı; M Bk k vorausgesetzt, die Reihe

XZ k

jıj

Bk

konvergiert in R. Man übertrage die grundlegenden Eigenschaften aus Abschnitt 5.2 auf das Integral von Dichten.

e

11. Fortsetzung von Aufgabe 10: Eine ausgezeichnete Dichte ist das absolute Volumelement d M , für b 2 M und v1 ; : : : ; vp 2 Tb M deﬁniert als das (positive) Volumen des von v1 ; : : : ; vp aufgespannten Parallelotops im Euklidischen Vektorraum .Tb M; h ; i/. Damit kann man das Integral einer Funktion f W B ! R über B M und das p-dimensionale Volumen von B analog zu D[5.4] deﬁnieren: Z Z f dM ; volp .B/ WD dM ; B

e

B

e

vorausgesetzt diese Integrale existieren. Man zeige: Liegt B in einem orientierbaren offenen Teil M0 M , so ist dies äquivalent mit den in D[5.4] eingeführten Begriffen. Man hat also diesbezüglich Koinzidenz, insbesondere gilt die gleiche lokale Formel wie in E(i)[5.4]:

Z q @ @ 1 p volp .B/ D det.gij / dx dx ; gij WD ; ; @x i @x j 1 .B/ wenn eine injektive Parametrisierung von M ist.

Abschnitt 5.5

Klassische Formulierung der Integralsätze

363

e

Hinweis: Man schreibt auch d M als jdM j, sollte aber beachten, dass dies nicht genau dasselbe ist wie im Zusatz zu A[5.4]; denn im dortigen orientierten Fall ist jdM j eine p-Form, hier aber eine Dichte. Notfalls muss man hinzusagen, welche Variante gemeint ist. 12. Man berechne den Flächeninhalt des Möbiusbands M aus O(vii)[5.1]. Lösungshinweis: Eine injektive Parametrisierung ist die Restriktion 0 des dortigen auf U0 WD 0; 2Œ J mit J WD 12 ; 12 . Ausgelassen auf M wird durch 0 nur das Bild von f0g J , also einer Nullmenge in R2 , auf die es beim Integral nicht ankommt. Damit kann man bez. 0 wie im orientierten Fall rechnen. Man erhält aus

@ @ @ @ @ @ g11 D ; ; g12 D ; ; g22 D ; @u @u @u @v @v @v q 2 du ^ dv 0 jdM j D g11 g22 g12 nach etwas Rechnung explizit vol2 .M / D

Z1=2 Z2r

1 C v cos

1=2 0

u 2 v 2 C du dv D 6;35327 : : : : 2 2

Das Integral kann nicht elementar ausgewertet werden; eine numerische Approximation liefert den angegebenen Zahlwert. Er unterscheidet sich nur um ca. 1% vom Flächeninhalt 2 D 6;28318 : : : des Parameterbereichs.

6

Anwendungen und Erweiterungen

Die bisherigen Themen sind nicht willkürlich ausgewählt, sondern nach dem Gesichtspunkt, ein Basis zu schaffen für möglichst viele Anwendungen in und außerhalb der Mathematik. Natürlich geht es bei der Analysis in erster Linie um kontinuierliche Vorgänge, und dafür sind Differentialgleichungen, Fixpunktfragen und nichtlineare Räume wie die Mannigfaltigkeiten schon ganz zentrale Dinge. Im nächsten Kapitel treten die Fourier-Reihen hinzu, die für Fragen der Periodizität als fundamentales Werkzeug dienen. Im augenblicklichen Kapitel sollen Fragen unterschiedlichen Charakters behandelt werden, die mit dem Bisherigen zu tun haben, aber doch ein eigenständiges Interesse beanspruchen können oder sinnvolle Erweiterungen darstellen.

6.1

Integralsätze in der Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist das Studium der komplex-holomorphen Funktionen einschließlich ihrer Singularitäten, d.h. des Grenzverhaltens bei Verletzung der Holomorphie. Wir haben dazu in Band 1 und 2 schon einige Vorarbeit geleistet. Das Wesentliche wird hier nochmals zusammengefasst. Hauptziel sind einige fundamentale Integralsätze, wie sie aus der allgemeinen Theorie des Kapitels 5 folgen. Verfeinerungen und Verallgemeinerungen sind natürlich weitergehenden Studien vorbehalten. Betrachtet wird eine Funktion (1)

f W ! C;

offener Teil von C:

Für viele Fragen kann die Menge C der komplexen Zahlen mit R2 identiﬁziert werden, indem ein Element z D x C iy 2 C mit Realteil x 2 R und Imaginärteil y 2 R dem Paar .x; y/ 2 R2 zugeordnet wird. Das gilt insbesondere für geometrische oder topologische Begriffe. Metrische Größen in C (Norm, Bälle, Sphären) sind die der Euklidischen Standard-Metrik. Bezeichnungen dafür sind, wie gewohnt, j j, B.a; r/, S.a; r/. Die Bälle sind natürlich Kreisscheiben, die Sphären Kreislinien. Dagegen ist die Multiplikation von komplexen Zahlen schon etwas typisch Komplexes. Für die Funktion f wird die Real/Imaginärteil-Zerlegung meistens in der Form geschrieben: (2)

f D u C iv;

u W ! R;

v W ! R:

Als Erstes sei an eine Reihe gleichwertiger Deﬁnitionen für die Holomorphie erinnert:

Abschnitt 6.1

365

Integralsätze in der Funktionentheorie

A. Satz. Die Funktion f (1) ist holomorph, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: (i) Gültigkeit einer Kettenregel: Es gibt eine stetige Funktion f 0 W ! C, sodass für alle stetig differenzierbaren Wege W Œ˛; ˇ ! die Komposition f ı W Œ˛; ˇ ! C differenzierbar ist mit der Ableitung .f ı /0 .t / D f 0 ..t // 0 .t /

für alle t 2 Œ˛; ˇ:

(ii) Lokale Potenzreihendarstellung: Für alle c 2 existiert eine Kreisscheibe B.c; r/ , in deren Innerem f durch eine Potenzreihe dargestellt wird: f .z/ D

1 X

ak .z c/k

für

jz cj < r:

kD0

(iii)

Komplexe Differenzierbarkeit: Für alle c 2 existiert der Grenzwert f 0 .c/ WD lim

z!c

f .z/ f .c/ 2 C; zc

und die Funktion f 0 W ! C ist stetig. (iv) Cauchy/Riemannsche Differentialgleichungen: u und v sind stetig differenzierbar und erfüllen ux D vy ;

(CRD)

uy D vx :

Die komplexe Ableitung f 0 W ! C ist allen Charakterisierungen gemeinsam und ergibt sich im Fall (ii) durch formales Ableiten der Potenzreihe und im Fall (iv) als f 0 D ux C ivx mit Austauschmöglichkeiten entsprechend (CRD).

Die Beweise ﬁndet man in Ana-1: J[7.3], D[9.3], E[9.3] und Ana-2: N[10.6]. Der entscheidende Schritt ist die Gewinnung der Potenzreihendarstellung (ii) aus den anderen Eigenschaften. Dazu haben wir die Cauchysche Integralformel für Kreislinien verwendet, was jetzt nochmals in allgemeinerer Form herauskommen wird. Eine wichtige Rolle spielen die komplexen Kurvenintegrale, die für einen stetig differenzierbaren Weg W Œ˛; ˇ ! so erklärt sind: Z ˇ Z (3) f .z/ dz WD f ..t // 0 .t / dt Z

˛

Z

f .z/ jdzj WD

(4)

˛

ˇ

ˇ ˇ f ..t // ˇ 0 .t /ˇ dt

366

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Die Funktion f braucht hierbei nicht holomorph zu sein, es würde die Integrierbarkeit von f ı reichen (hier ist meistens f selbst stetig). Im zweiten Fall spricht man vom Integral nach der Bogenlänge, da speziell für f WD 1 die Bogenlänge Lˇ˛ . / resultiert. Es besteht die Abschätzungsregel ˇ Z ˇZ ˇ ˇ ˇ f .z/ dz ˇ jf .z/j jdzj sup jf .z/j Lˇ . /: ˛ ˇ ˇ

z2.Œ˛;ˇ /

Um den Anschluss an die Kurvenintegrale aus Abschnitt 4.3 herzustellen, führen wir die vektorwertigen Differentiale dz WD dx C i dy;

(5)

d z WD dx i dy

ein. Diese sind, so wie sie da stehen, C-wertig, aber C kann eben als Vektorraum über R der reellen Dimension 2 betrachtet werden, sodass die Ausführungen am Ende von Abschnitt 5.2 greifen. dz (bzw. d z) ist das Differential der Abbildung .x; y/ 7! xCiy (bzw. .x; y/ 7! x iy). Allgemeiner kann man C-wertige Differentialformen auf R2 betrachten, wobei sich neben der Summe auch das komplexe Produkt in C auf die Formen (argumentweise) überträgt. Das äußere Differential ist dann C-linear und erfüllt die Produktregeln auch bez. dieser komplexen Multiplikation. Ebenso ist das Integral von Pfaffschen Formen C-linear, letztlich eine Konsequenz der Vertauschbarkeit des vektorwertigen Integrals mit linearen Abbildungen des Zielraums (R[5.2]), da die Multiplikation mit i eine lineare Abbildung von C als reeller Vektorraum ist. Die beiden Differentiale dz, d z sind (an jeder Stelle) C-linear unabhängig; denn man berechnet dz ^ d z D 2i dx ^ dy; woraus durch Umstellen für das Flächenelement von R2 folgt: dA D

(6)

i dz ^ d z: 2

Aus (5) folgt durch Addition und Subtraktion dx D

1 .dz C d z/ ; 2

dy D

1 .dz d z/ 2i

Ist f (1) im reellen Sinne stetig differenzierbar, so ergibt sich damit @f 1 @f @f 1 @f dx C dy D .dz C d z/ C .dz d z/ @x @y @x 2 @y 2i 1 @f @f 1 @f @f D i dz C Ci d z: 2 @x @y 2 @x @y

df D

Dies legt es nahe, die sog. Wirtinger-Operatoren einzuführen: @ 1 @ @ @ 1 @ @ WD i ; WD Ci ; @z 2 @x @y @z 2 @x @y

Abschnitt 6.1

Integralsätze in der Funktionentheorie

367

mit denen dann die letzte Gleichung die Gestalt df D

(7)

@f @f dz C dz @z @z

annimmt, also formal wie gewohnt. Damit können die Cauchy/Riemannschen Differentialgleichungen neu geschrieben werden, nämlich als @f D 0: @z

(CRD’)

In der Tat besagt dies für f in der Darstellung (2): .u C iv/x C i.u C iv/y D 0, also nach Trennung von Real- und Imaginärteil gerade (CRD). Für holomorphes f gilt also: @f df D f 0 dz: D f 0; @z Zurück zum komplexen Kurvenintegral (3): Schreibt man den Weg in der Real/Imaginärteil-Zerlegung mit zwei reellen Funktionen , : D C i ;

; W Œ˛; ˇ ! R;

so lautet der Integrand rechts in (3), argumentfrei geschrieben: .u ı C i v ı /. 0 C i 0 / D .u ı C i v ı / 0 C i.u ı C i v ı / 0 ; und dies entspricht der Deﬁnition des Kurvenintegrals in A[4.3] für die komplexwertige Pfaffsche Form !f WD .u C iv/ dx C i.u C iv/ dy. Diese Form ergibt sich aber auch direkt durch Rechnen mit dem komplexen Differential dz (5) als (8)

!f D f dz:

R R Man kann also f .z/ dz D !f unter Beachtung der Komplexwertigkeit wie bisher behandeln. Ist f holomorph, so gilt df D f 0 dz, also d!f D df ^ dz D f 0 dz ^ dz D 0: Das unterstreicht die Bedeutung von !f (8), hinausgehend über die Rolle als Integrand des obigen Kurvenintegrals: Bei holomorphem f ist d!f geschlossen, sodass all das anwendbar wird, was in den Kapiteln 4 und 5 darüber herausgekommen ist.

368

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

B. Satz (komplexer Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Besitzt die Funktion f W ! C eine holomorphe Stammfunktion g W ! C, d.h. g 0 D f , so gilt für jeden C 1 -Zug W Œ˛; ˇ ! : Z f .z/ dz D g.ˇ/ g.˛/:

Somit ist ein solches Kurvenintegral

R

f .z/ dz wegunabhängig, insbesondere

I f .z/ dz D 0;

falls geschlossen:

Beweis. Es gilt

f .z/ dz D g 0 .z/ dz D dg;

sodass unmittelbar Satz H[4.3] angewendet werden kann.

C. Satz. Ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f W ! C holomorph, so besitzt f eine holomorphe Stammfunktion g W ! C, und es gelten die Konsequenzen von Satz B. Insbesondere besteht für jeden geschlossenen C 1 -Zug in der Cauchysche Integralsatz I f .z/ dz D 0:

Beweis. Für die Pfaffsche Form !f gilt d!f D 0. Somit existiert nach T[4.3] eine C 2 -Stammfunktion g W ! C, also mit dg D f dz. Diese Stammfunktion ist holomorph; denn aus der letzten Gleichung folgt @g @g dz C d z D f dz; @z @z und die äußere Multiplikation von links mit dz liefert hieraus @g dz ^ d z D 0; @z also nach (6): @g=@z D 0.

Zur Vereinfachung der Sprechweise sei wie in Ana-2: M[10.6] Folgendes vereinbart: D. Deﬁnition. Eine Funktion f W A ! C, deﬁniert auf einer Menge A 2 C, gilt als holomorph, wenn sie auf eine offene Obermenge von A als holomorphe Funktion fortgesetzt werden kann.

Abschnitt 6.1

Integralsätze in der Funktionentheorie

369

E. Satz. Sei B C ein kompakter regulärer Bereich der Klasse C 2 und f W B ! C holomorph. Dann gilt der Cauchysche Integralsatz Z f .z/ dz D 0: @B

Beweis. Für !f WD f dz gilt d!f D 0. Nach dem Satz von Stokes G[5.3] folgt R ! D 0, also die Behauptung. f @B Die zwei Varianten des Cauchyschen Integralsatzes in den Sätzen C und E beziehen sich auf holomorphe Funktionen in unterschiedlichen geometrischen Situationen. Bei Satz C muss das Gebiet einfach zusammenhängend sein und und der Integrationsweg unterliegt keiner lagemäßigen Einschränkung. Bei Satz E ist es umgekehrt: Der Bereich muss nicht speziell gestaltet sein, aber die Integrationsmenge ist eng an ihn gebunden – nämlich als sein Rand. Dieser kann aus endlich vielen eindimensionalen Mannigfaltigkeiten (Kurven) bestehen:

Regulärer Bereich mit drei Randkomponenten

Die phantastischste Gleichung der Funktionentheorie ist: F. Satz (Cauchysche Integralformel). Sei B C ein kompakter regulärer Bereich der Klasse C 2 und f W B ! C holomorph. Dann gilt für alle a 2 B ı Z f .a/ D

f .z/ dz: za

@B

Beweis. Im Spezialfall einer Kreisscheibe (B D B.c; r/) war das in Ana-1: B[9.3] mit Hilfe eines (etwas trickreichen) Parameterintegrals gezeigt worden. In der jetzigen allgemeinen Situation geht man anders und transparenter folgendermaßen vor. Da der Integrand an der Stelle z D a nicht deﬁniert ist, schneidet man diese Stelle zusammen mit einer kleinen konzentrischen Kreisscheibe aus B heraus. Auf die verbleibende Menge kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden. Zum Schluss

370

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

macht man einen Grenzübergang, bei dem der Radius der Kreisscheibe gegen Null konvergiert. Durchführung: Sei B.a; r/ eine Kreisscheibe, enthalten in B ı . Dann ist B n B.a; r/ wieder ein kompakter regulärer Bereich (vgl. das linke Bild):

Die Funktion

f .z/ ist auf B n B.a; r/ holomorph: za Nach Satz E folgt unter Beachtung von O[5.3]: Z Z Z f .z/ f .z/ f .z/ dz D dz dz: (9) 0D za za za z 7!

@.BnB.a;r//

@B

@B.a;r/

Das Integral ganz rechts – wegen des Minuszeichens ist der Kreisrand bereits mathematisch positiv zu orientieren – kann als komplexes Kurvenintegral mit der Parametrisierung .t / D a C re it , t 2 Œ0; 2, ausgewertet werden: Z @B.a;r/

f .z/ dz D za

Z2

f .a C re it / it re i dt D i re it

0

Z2 f .a C re it / dt: 0

Für r # 0 konvergiert das letzte Integral gegen das Integral über f .a/ dt mit den gleichen Grenzen. Das folgt leicht mit der majorisierten Konvergenz oder ganz elementar aus der Abschätzung ˇ 2 ˇ ˇ 2 ˇ ˇZ ˇ ˇZ ˇ Z2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ f .a C re it / dt f .a/ dt ˇ D ˇ .f .a C re it / f .a// dt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0

0

0

max jf . / f .a/j 2

2B.a;r/

Abschnitt 6.1

371

Integralsätze in der Funktionentheorie

zusammen mit der Stetigkeit von f in a. Der Grenzübergang r # 0 in (9) liefert damit Z f .z/ 0D dz if .a/2; za @.BnB.a;r//

also die Behauptung.

Aus Satz F kann man nun die gleichen Folgerungen ziehen, wie das im Spezialfall B D B.c; r/ in Ana-1: D-G[9.3] getan wurde. Wir skizzieren das nur, weil die Schritte die gleichen sind wie dort, wobei lediglich das Randintegral über @B anstelle S.c; r/ zu erstrecken ist: Zunächst schreibt sich die Cauchyschen Integralformel, wenn man a als Variable z 2 B ı betrachtet (und konsequenterweise die Bezeichnungen neu festlegt, insbesondere die Integrationsvariable jetzt mit bezeichnet) als

(10)

1 f .z/ D 2 i

Z

f . / d z

8 z 2 B ı;

@B

selbstverständlich unter den Voraussetzungen von Satz F. Man kann also die holomorphe Funktion im ganzen Inneren des Bereichs B durch ihre Werte auf dem Rand @B ausdrücken. Diese Tatsache unterstreicht, wie schon früher betont, die starke Bindung der Werte einer holomorphen Funktion untereinander. Nun kommt die Hauptvariable z in einer sehr einfachen Weise als Parameter in dem Integral (10) vor, und man kann den relevanten Faktor 1=. z/ bez. eines festen Punktes a 2 B ı in eine geometrische Reihe entwickeln. Dadurch gelangt man zu einer Potenzreihen-Entwicklung der Art 1 Z 1 X f . / f .z/ D d .z a/k 2 i . a/kC1

für z 2 B.a; r/

kD0 @B

einschließlich der Konvergenz. Hierin muss der Radius r lediglich so gewählt werden, dass die Kreisscheibe B.a; r/ in B enthalten ist (vgl. das obige linke Bild). Nun bläst man wieder die Kreisscheibe B.a; r/ so weit auf wie es in B möglich ist (vgl. das obige rechte Bild), d.h. man deﬁniert (11)

% WD sup fr > 0 j B.c; r/ Bg:

Dann kann die bisherige Überlegung für % anstelle r durchgeführt werden, und man erhält die Potenzreihen-Entwicklung f .z/ D

1 X kD0

ak .z a/k

für

jz aj < %

372

Kapitel 6

mit ak WD

1 2 i

Z

f . / d . a/kC1

Anwendungen und Erweiterungen

für

k 2 N0 :

@B

Das ist also die lokale Entwickelbarkeit einer holomorphen Funktion in eine Potenzreihe. G . Bemerkung. Will man mit diesem Zugang die Äquivalenzen von Satz A neu beweisen, so kann man zuerst die Äquivalenz von (i) und (iv) etablieren, daraufhin mittels Satz F im Spezialfall eines kreisförmigen regulären Bereichs die PotenzreihenEntwicklung gewinnen, daraus die Eigenschaft (iii) herleiten und aus dieser schließlich (iv) deduzieren. Nachdem man die Existenz der Potenzreihen-Entwicklung hat, kann man dann nach dem gleichen Schema wie in Ana-1: I[8.5] ihre Koefﬁzienten ak durch die sukzessiven Ableitungen von f in a ausdrücken und auch folgern, dass die Holomorphie sich auf sämtliche Ableitungen überträgt, genau wie in Ana-1: F[9.3]. Im Fall eines einfach zusammenhängende Holomorphie-Gebiets kann aus Satz C eine andere Variante der Cauchyschen Integralformel gewonnen werden: H. Satz (Cauchysche Integralformel). Sei C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f W ! C holomorph. Dann gilt für jeden geschlossenen C 1 -Zug W Œ˛; ˇ ! und jeden Punkt z 2 n .Œ˛; ˇ/ 1 uml. I z/ f .z/ D 2 i

Z

f . / d : z

Hierin ist uml. I z/ die Umlaufzahl von bez. z (Ana-2: X[14.2]). Beweis. Man betrachtet die Hilfsfunktion h W ! C, deﬁniert durch 8 < f . / f .z/ für ¤ z z h. / WD : 0 f .z/ für D z: Diese ist in ganz holomorph. In n fzg ist dies unmittelbar klar (z.B. nach Ana-1: O[7.3]). Um D z kann man zunächst f . / f .z/ in die Taylor-Reihe mit Zentrum z entwicklen, diese durch z durchdividieren und erhält eine Taylor-Entwicklung mit dem gleichen Zentrum. Deren Wert am Zentrum ist gleich f 0 .z/, also stimmt sie in einer Umgebung von z mit dem eingeführten h überein, weswegen h dort ebenfalls holomorph ist.

Abschnitt 6.1

373

Integralsätze in der Funktionentheorie

Die Anwendung von Satz C auf h ergibt sodann Z 0D

f . / f .z/ d D z

Z

R

h. / d D 0, also

f . / d f .z/ z

Z

d : z

Das letzte Integral ist nach Ana-2: Z(i)[14.2] gleich 2 i uml.I z/, sodass die Behauptung durch Umstellen resultiert. I. Deﬁnition und Satz. Gegeben sei eine offene punktierte Umgebung U .a; ı/ von R a 2 C und eine Funktion f W U n fag ! C. Gibt es ein R 2 C, sodass f .z/ za in U n fag eine holomorphe Stammfunktion g besitzt: f .z/

(12)

R D g 0 .z/ za

für

z 2 U .a; ı/;

so ist R eindeutig bestimmt und heißt das Residuum von f in a. Es gilt nämlich für jeden Kreisweg .t / D a C reit in U .a; ı/: Z 1 (13) RD f .z/ dz; 2 i Bezeichnung: R DW ResŒf .z/I a: Der Name rührt daher, dass alle Potenzen .z a/k mit Exponenten k 2 Z eine Stammfunktion in C n fag haben bis auf die eine mit k D 1. Beweis. Die Eindeutigkeit folgt durch Integration aus (12): Z f .z/ dz R 2 i D g..2// g..0// D 0:

Hieraus ergibt sich direkt (13).

Die Existenz und der Wert des Residuums hängen offensichtlich nicht von einer speziellen Wahl der punktierten Umgebung ab. J. Beispiele. (i)

Ist f auf U.a; ı/ holomorph fortsetzbar – man nennt dann a eine hebbare Singularität – so besitzt f in a das Residuum 0, da das fortgesetzte f in einem Ball B.a; r/ U.a; ı/ selbst eine holomorphe Stammfunktion besitzt (Satz C).

(ii)

Die Funktion 1=.z a/ besitzt an der Stelle a das Residuum 1 (und natürlich an allen anderen Stellen das Residuum 0).

(iii)

Jede Potenz .z a/k mit k 2 Z n f1g besitzt in a das Residuum 0, da sie in ganz C n fag die Stammfunktion .z a/kC1 =.k C 1/ hat.

374

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

K. Satz (Residuensatz). Gegeben sei ein kompakter regulärer Bereich B C der Klasse C 2 , endlich viele paarweise verschiedene Stellen a1 ; : : : ; aN 2 B ı und eine holomorphe Funktion f W B n fa1 ; : : : ; aN g ! C. Besitzt f an jeder dieser Stellen ein Residuum, so gilt Z f .z/ dz D 2 i

N X

ResŒf .z/I ak :

kD1

@B

Beweis. Man legt disjunkte Kreisscheiben B.ak ; r/ B ı um die Punkte ak :

Dann ist f im Komplement e WD B n B

[N kD1

B.ak ; r/

holomorph, also gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz E Z

Z f .z/ dz D

0D @e B

f .z/ dz @B

N X

I f .z/ dz:

kD1 S.a ;r/ k

Die Integrale ganz rechts sind gerade die 2 i-Fachen der Residuen ResŒf .z/I ak . Das liefert wieder durch Umstellen die Behauptung.

Abschnitt 6.1

375

Integralsätze in der Funktionentheorie

Bezeichnungen: Beim praktischen Rechnen schreibt man ein Integral über eine Kreislinie S.a; r/ im mathematisch positiven Sinn oft auch so: I I f .z/ dz DW f .z/ dz; S.a;r/

jzajDr

d.h. man ersetzt die Integrationsmenge durch ihre Beschreibung (und behält „im Kopf“, dass die Orientierung standardmäßig sein soll). Ähnlich wird bei der Summe der Residuen verfahren, indem man die Beschreibung der Stellen unten an das Summenzeichen hängt: N X

ResŒf .z/I ak DW

kD1

X ak 2B ı

ResŒf .z/I ak :

Der Residuensatz wird zu einem hervorragenden Werkzeug der Integralrechnung, da die Residuen auf der rechten Seite oft durch inﬁnitesimale Rechnung bestimmt werden können, z.B. in den folgenden Situationen: L. Bemerkungen. (i) Sei a 2 B ı ein einfacher Pol, d.h. f .z/ ist auf keine Umgebung U.a; ı/ holomorph fortsetzbar, wohl aber ist es .z a/f .z/, d.h. es existiert auf einer Umgebung U.a; ı/ eine holomorphe Funktion F .z/ mit f .z/ D

F .z/ za

8 z 2 U .a; ı/:

Dann gilt hierin zunächst für beliebiges R 2 C f .z/

R F .z/ R F .z/ R D D ; za za za za

und dies wird auf U.a; ı/ holomorph fortsetzbar, wenn R D F .a/ gewählt wird (Darstellung von F durch die Taylor-Reihe mit Zentrum a): Das Residuum von f in a existiert und hat den Wert F .a/. Tatsächlich folgt aus F .z/ D .z a/f .z/ für z 2 U .a; ı/, dass F .a/ der Grenzwert von F .z/ ist, also ResŒf .z/I a D lim .z a/f .z/: z!a

(ii) Sei a 2 B ı ein p-facher Pol mit p 2 N, p 2, d.h. .z a/q f .z/ ist für q 2 N mit q < p auf keine Umgebung U.a; ı/ holomorph fortsetzbar, wohl aber

376

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

ist es .z a/p f .z/, d.h. es existiert auf einer Umgebung U.a; ı/ eine holomorphe Funktion F .z/ mit F .z/ 8 z 2 U .a; ı/: f .z/ D .z a/p Lautet die Taylor-Reihe von F mit Zentrum a F .z/ D

1 X

An .z a/n

nD0

so gilt für z ¤ a 1 X Ap1 Aq f .z/ D C Aq .z a/qp : C pq .z a/ z a qDp qD0

X

p2

A

p1 Zieht man hiervon za ab, so hat der Rest eine holomorphe Stammfunktion in einer punktierten Umgebung von a (durch gliedweise Integration der beiden Summen darstellbar). Das Residuum von f .z/ in a existiert also und hat den Wert Ap1 . Drückt man noch diesen Koefﬁzienten der Taylor-Entwicklung von F durch Ableitungen von F in a aus, so folgt

ResŒf .z/I a D Ap1 D D

F .p1/ .z/ F .p1/ .a/ D lim z!a .p 1/Š .p 1/Š

d p1 1 .z a/p f .z/: lim .p 1/Š z!a dz p1

M. Beispiele. (i)

Berechne für a > 1 das (reelle) Integral Z2 T WD

1 dt: a C cos t

0

Lösung: Man macht den (naiven) Ansatz:

z D e it D cos t C i sin t;

dz D e it i dt D iz dt

1 D e it D cos t i sin t z 1 1 z C D 2 cos t; z D 2i sin t z z und rechnet das Integral formal um: I dz 1 : T D 1 1 iz zC jzjD1 a C 2 z

Abschnitt 6.1

377

Integralsätze in der Funktionentheorie

Tatsächlich ist das letzte Integral ein komplexes Kurvenintegral, das nach Parametrisierung der Einheitskreislinie gerade wegen der vorausgehenden Zeilen in das vorgegebene reelle Integral übergeht (man rechnet also „rückwärts“!). Als komplexes Kurvenintegral kann T mit dem Residuensatz berechnet werden: I X 2 T D i dz D i 2 i ResŒf .z/I zj : 2az C z 2 C 1 jz j<1 ƒ‚ … „ j jzjD1 f .z/

Die möglichen Singularitäten von f liegen bei den Nullstellen des Nenners: p z1;2 D a ˙ a2 1; z 2 C 2az C 1 D 0; p also ist jz2 j D a C a2 1 > 1 und damit jz1 j < 1, da z1 z2 D 1. Relevant für das Integral ist nur das Residuum von f .z/ bei z1 : ResŒf .z/I z1 D lim .z z1 /f .z/

(Bemerkung L(i))

z!z1

2 .z z1 /.z z2 / 2 1 D : Dp z1 z2 a2 1

D lim .z z1 / z!z1

Damit wird: Z2 T D 0

(ii)

dt 2 ; Dp a C cos t a2 1

a > 1:

Mit genau der gleichen Methode kann man allgemein zeigen: Sei R.x; y/ D

P .x; y/ Q.x; y/

eine reelle rationale Funktion mit Q.x; y/ ¤ 0 für x 2 C y 2 D 1. Dann gilt: Z2 R.cos t; sin t / dt 0

D 2

X jzj j<1

1 1 1 1 1 Res R zC ; z I zj : z 2 z 2i z

378

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

N. Bemerkungen. (i) Die Anwendbarkeit des Residuensatzes K ist etwas eingeschränkt durch die Forderung der C 2 -Eigenschaft des Randes. Dieser besteht nämlich oft aus einem C 1 -Zug, bei dem nur die Teilwege von der Klasse C 2 sind. Wir sprechen von einem C 2 -Zug; vgl. E[4.3]. In solche Fällen kann man einen Ersatzbereich konstruieren, der die Voraussetzungen von Satz K erfüllt, aber zum gleiche Ergebnis führt, sodass eben auch der ursprüngliche Rand verwendet werden kann. Bei der Konstruktion des Ersatzbereichs hat man darauf zu achten, dass a)

eine Kurve entsteht, die einen kompakten regulären Bereich B der Klasse C 2 berandet;

b)

die gleichen Singularitäten im Inneren von B liegen wie zuvor;

c)

das Randintegral sich nicht ändert.

Das geschieht, indem einzelne der C 2 -Teilwege ersetzt werden. Bzgl. a) muss man für einen C 2 -Anschluss an den Trennpunkten sorgen, was letztlich lokal zu machen ist (Abrundung). Bei b) und c) hat man ziemlich große Freiheiten: Bei b) dürfen keine neuen Singularitäten ins Innere dazukommen oder verloren gehen. Bei c) gestaltet man den Ersatz eines einzelnen Teilwegs so, dass die Endpunkte gleich bleiben, der neue Ersatzweg aber dem gleichen einfach zusammenhängenden Holomorphie-Gebiet angehört wie der alte Teilweg. Dann bleibt das Kurvenintegral nach Satz B unverändert. Meistens sind die vorhandenen C 2 -Teile sehr elementare Kurven wie gerade Strecken oder Kreisbögen, für die man sich elementare Abrundungen ausdenken kann. Jedenfalls ist der Residuensatz auf den vorgelegten Bereich anwendbar, wenn seine C 2 Differenzierbarkeit in dieser milden Weise gestört ist und ein solcher Ersatz möglich ist. Mit einer etwas anderen Beweistechnik kann man speziell in R2 den Satz von Stokes auf kompakte halbreguläre Bereiche verallgemeinern. Deren Rand darf dann durch einen C 1 -Zug parametrisiert werden. Eine gute Beschreibung dieser Variante ﬁndet man in Cartan[1974.b], Abschnitt 4.2. (ii) Es gibt weitere Fassungen des Cauchyschen Integralsatzes (und auch des Residuensatzes), bei denen das Holomorphie-Gebiet mehrfach zusammenhängend und der Integrationsweg ein geschlossener C 1 -Zug in ihm sein darf. Dann gehen gewisse ganzzahlige Größen ein, die diesem Paar geometrischer Objekte zugeordnet werden können. Diese zeigen an, wie oft der Weg die „Löcher“ des Gebiets umrundet. Das Kurvenintegrale im Cauchyschen Integralsatz sind dann Linearkombinationen solcher ganzzahligen Größen mit gewissen speziellen Kurvenintegralen als Koefﬁzienten, den sog. Perioden. Das soll hier nicht weiter verfolgt werden (vgl. z.B. Ahlfors[1953], Ch. III, Sect. 4.4 und 5.1).

Abschnitt 6.1

Integralsätze in der Funktionentheorie

379

Aufgaben und Anmerkungen Vorbemerkung: Der Residuensatz liefert in manchen Fällen eine Möglichkeit zur Auswertung bestimmter reeller Integrale, auch wenn keine Stammfunktionen bekannt oder diese zu kompliziert sind. Es folgen einige Aufgaben dazu, wobei für die erste ein typischer Lösungsweg skizziert ist. Das allgemeine Prinzip geht so: Man vervollständigt die reelle Integrationsstrecke durch Zusatzwege in C zu einer geschlossenen Kurve, wendet auf dies den Residuensatz an und versucht durch einen Grenzübergang die Beiträge der Zusatzwege Null werden zu lassen. 1. Berechne

Z1 T WD 1

cos x dx: .1 C x 2 /2

Es ist keine elementare Stammfunktion bekannt! Lösungshinweis: Zunächst ist Z1 T D Re 1

e ix dx; .1 C x 2 /2

wobei sowohl dieser Realteil wie auch der Imaginärteil absolut konvergieren. Dies legt es nahe, auf die Funktion f .z/ WD

e iz .1 C z 2 /2

den Residuensatz anzuwenden. Natürlich ist der Integrationsbereich (die ganze reelle Achse) zunächst gar nicht brauchbar, da der Residuensatz u.a. die Kompaktheit des Wegs voraussetzt. Man muss zunächst entlang des reellen Intervalls J WD Œr; r mit r > 0 integrieren und später den Grenzübergang r " 1 durchführen. Außerdem muss J zu einem geschlossenen Weg in C ergänzt werden, damit der Residuensatz anwendbar wird. Die Wahl eines solchen Zusatzwegs wird durch die Lage der Singularitäten des Integranden diktiert. Diese liegen hier bei den Nullstellen des Nenners: .1 C z 2 /2 D 0 () 1 C z 2 D 0 () z D z1;2 D ˙i: z1 ,z2 sind doppelte Nullstellen des Nenners, da .1 C z 2 /2 D ..z i /.z C i //2 D .z i /2 .z C i /2 ;

380

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

also – da der Zähler von f .z/ nullstellenfrei ist – Pole zweiter Ordnung von f .z/. Die Residuen berechnet man nach L(ii) als ResŒf .z/I i D

1 ; 2ei

ResŒf .z/I i D 0;

sodass nur z1 D i einen Beitrag leisten wird. Mit Rücksicht hierauf und auf die Bauart des Integranden und seiner Symmetrie reicht es es vermutlich, J durch den Halbkreisbogen der oberen Halbebene mit Zentrum 0 und Radius r > 1 zu einem geschlossenen Weg zu ergänzen; vgl. das folgende linke Bild:

Die entstehende Halbkreisscheibe S ist allerdings kein regulärer Bereich, sodass eine Abrundung vorzunehmen ist (Bemerkung N(i)). Diese kann hier sehr großzügig gehalten werden, da in der oberen Halbebene genügend Platz ist, um die einzige Singularität zu umschließen, und das Ersatzstück für die Halbkreislinie so zu wählen, dass es mit dieser zusammen in einem einfach zusammenhängenden Holomorphie-Gebiet verbleibt, z.B. in dem Gebiet oberhalb der gestrichelten Geraden. Das rechte Bild zeigt eine solche Möglichkeit: Der Bereich B ist regulär von der Klasse C 2 . Dazu hat man die Bögen links und rechts mit C 2 -Anschluss pan die geraden Strecken zu gestalten, was z.B. durch Drehung des Graphen von y D 3 x.r x/ über Œ0; r erreicht werden kann. Der Bereich B enthält genau wie die Halbkreisscheibe S die einzige relevante Singularität i und sein Randintegral ist das gleiche wie bei S . Kurzum: Der Residuensatz kann statt auf B gleich auf S angewendet werden. Die Parametrisierung des oberen Halbkreisbogens bei S ist .t / WD re it ;

t 2 Œ0; :

Es folgt: Z f .z/ dz D 2 i ResŒf .z/I i D

(14) @S

: e

Nun gilt Z

Z f .z/ dz D T1 C T2 ;

(15) @S

T1 WD

Z

r

f .x/ dx; r

T2 WD

f .z/ dz:

Abschnitt 6.1

381

Integralsätze in der Funktionentheorie

Es verbleibt der Grenzübergang r " 1. Hierbei gilt Re T1 ! T , was wir ja haben wollten, und T2 ! 0, was noch zu zeigen ist. Hierzu dient die Ungleichung: ˇ ˇ ˇ iz ˇ ˇZ ˇ iz ˇe ˇ ˇ ˇ 1 e ˇ sup r 2 dz r; (16) jT2 j D ˇˇ ˇ 2 /2 2 /2 j .1 C z .r 1/2 C z j.1 ˇ ˇ z2.Œ0;/

wobei sich die Abschätzung des Nenners aus der modiﬁzierten Dreiecksungleichung und die des Zählers so ergibt: ˇ ˇ ˇexp.ire it /ˇ D jexp.i r.cos t C i sin t //j D jexp.r sin t C i r cos t /j D exp.r sin t / 1: Somit folgt aus (14), (15), (16) die wegen des simultanen Auftretens von und e bemerkenswerte Formel Z1 1

2. Man berechne das Integral

cos x dx D : 2 2 .1 C x / e

Z1 1

x2 dx: 1 C x4

Lösungshinweis: Wende den Residuensatz auf die gleichen Halbkreisscheiben wie in Aufgabe 1 an. 3. Man berechne die Fresnelschen Integrale Z

Z

1 2

2

cos.t / dt D 0

r

1

sin.t / dt D 0

: 8 2

Lösungshinweis: Wende den Cauchyschen Integralsatz für f .z/ WD e z auf den Kreissektor ˇ n o ˇ z D %e it ˇ 0 % r; 0 t 4 an und mache den Grenzübergang r " 1. 4. Sei f W ! C holomorph, ein Gebiet in C und a 2 fest. Man beweise folgende Nullstellenalternative: Ist a Nullstelle von f , so ist entweder f D 0 in ganz oder aber a ist isolierte Nullstelle und dann von endlicher Vielfachheit m 2 N, d.h. f .a/ D f 0 .a/ D D f .m1/ .a/ D 0; f .m/ .a/ ¤ 0:

382

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

In diesem zweiten Fall gilt in einer Kreisscheibe B.a; %/ die Taylor-Entwicklung 1 .m/ 1 .m/ m m f .a/.za/ C D .za/ f .a/ C D .za/m g.z/ f .z/ D mŠ mŠ mit g.a/ ¤ 0. Dabei ist g als Potenzreihe auf B.a; %/ holomorph, lässt sich aber durch die Festsetzung f .z/ g.z/ WD für z 2 B.a; %/ .z a/m auf ganz holomorph fortsetzen, sodass also für alle z 2 gilt: f .z/ D .z a/m g.z/; wobei g.a/ ¤ 0. Lösungshinweis: Man verwende die Nullstellenalternative für Potenzreihen (Ana-1: N[8.5]). 5. Seien f; g W ! C holomorph und ein Gebiet in C. Aus Aufgabe 4 deduziere man a)

den Identitätssatz: Existiert eine Folge an in mit: limn!1 an DW a 2 , an ¤ a und f .an / D g.an / für alle n, so folgt f .z/ D g.z/ für alle z 2 .

b)

das Permanenzprinzip: Ist der Durchschnitt von mit der reellen Achse R nicht leer und dort f .x/ D g.x/, so folgt f .z/ D g.z/ für alle z 2 .

6. Die Funktionen f; g seien in a 2 C holomorph und für beide sei a eine Nullstelle endliche Multiplizität 1. Man beweise für die Konvergenz in der erweiterten komplexen Ebene b C die komplexe Regel von de l’Hospital lim

z!a

f 0 .z/ f .z/ Dc2 b C () lim Dc2 b C: 0 z!a g.z/ g .z/

7. Man berechne das Residuum an der Stelle 0 von 1 C z ez ; a) f .z/ WD z4 b)

g.z/ WD e 1=z .

8. Zeige für a 2 R2 : Die R-linearen Abbildungen von Ta R2 in C bilden einen CVektorraum der C-Dimension 2 mit der Basis .dz/a , .d z/a . 9. Sei B C ein kompakter regulärer Bereich der Klasse C 2 , a 2 B ı fest, und g W B n fag ! C holomorph. Man zeige: Z g 0 .z/ dz D 0: @B

Abschnitt 6.1

383

Integralsätze in der Funktionentheorie

10. Unter der Voraussetzung der Cauchyschen Integralformel F gilt die Formel (10) auch für die k-te Ableitung, da diese mit f holomorph ist: f

.k/

1 .z/ D 2 i

Z

f .k/ . / d z

8 z 2 B ı:

@B

Daraus folgere man mittels sukzessiver Produktintegrationen Z kŠ f . / .k/ d 8 z 2 B ı: f .z/ D 2 i . z/kC1 @B

Lösungshinweis: Man verwende bei der Produktintegration Aufgabe 9. 11. Der Hauptwert des komplexen Logarithmus ist auf der geschlitzten komplexen Ebene S WD C n fz j z 0g holomorph: Log W S ! C: Vgl. Ana-1: Aufgabe 9[9.3]. Man beweise die folgende Real/Imaginärteil-Zerlegung d.Logz/ D d ln jzj C i !; wobei ! die Winkelform aus M[4.3] ist. Im Gegensatz zu Logz ist die rechte Seite dieser Gleichung ein holomorphes Differential auf der punktierten komplexen Ebene C n f0g, d.h. dort von der Form !g D g.z/ dz mit holomorphem g, nämlich g.z/ D 1=z. 12. Zur Terminologie: Die Gebiete Funktionentheorie und Funktionalanalysis sind traditionell so umrissen: Funktionentheorie bezeichnet das Teilgebiet der Analysis, das sich mit holomorphen komplexen Funktionen und ihren Singularitäten befasst. Die Funktionalanalysis studiert reelle und komplexe Funktionen (auch von mehreren Variablen) von einem höheren Standpunkt, nämlich als Punkte in unendlich-dimensionalen (Vektor)-Räumen. Dabei werden unendlich-dimensionale Räume auch sehr intensiv als eigenständige Objekte behandelt. Typische Sätze der Funktionentheorie sind z.B. die Cauchysche Integralformel oder der Riemannsche Abbildungssatz. Ein typischer Satz der Funktionalanalysis ist der Banachsche Fixpunktsatz. Natürlich gehören diese Sätze zu den Grundlagen dieser Gebiete, die heutzutage weit darüberhinaus entwickelt sind. Sätze über reelle Funktionen wie Mittelwert- oder Zwischenwertsatz und über Extrema oder auch die Differential- und Integralrechnung gehören zwar zur Analysis, man würde sie aber weder zur Funktionentheorie noch zur Funktionalanalysis rechnen, obwohl sie sich natürlich intensiv mit Funktionen beschäftigen. Weitere Aufgaben zur Holomorphie ﬁndet man am Ende der Abschnitte Ana-1: 9.3 und Ana-2: 14.2.

384

6.2

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Vom Satz von Stokes zum Brouwerschen Fixpunktsatz

Eine recht eigenartige Anwendung des Integralsatzes von Stokes führt uns zu einem Fixpunktsatz, der weniger einschneidende Voraussetzungen macht als der Fixpunktsatz von Banach. Hier wird zunächst eine differenzierbare Variante dieses Fixpunktsatzes vorgestellt. Im nächsten Abschnitt folgt dann ein allgemeiner Approximationssatz, der für sich selbst von großer Bedeutung ist und es generell und speziell hier erlaubt, sich von Differentiationsannahmen zu befreien. Die endgültige Fassung des Brouwerschen Fixpunktsatz erfolgt deswegen erst im nächsten Abschnitt. Als Erstes zeigen wir etwas sehr Anschauliches, nämlich dass man einen Ball nicht auf seinen Rand zusammenziehen kann, ohne dass er einreißt. Sei Bn

der Euklidische Einheitsball im Rn , n 2

Sn1 D @Bn

die zugehörige Euklidische Einheitssphäre

V

eine offene Obermenge von Bn .

A. Satz. Es existiert keine C 2 -Abbildung ˆ W V ! Rn mit (i)

ˆ.V / D Sn1

(ii)

ˆjSn1 D idSn1 :

Man sagt, V lässt sich (in der Differentiationsklasse C 2 ) nicht auf Sn1 retrahieren. Beweis. Der Ball Bn wird als kompakter regulärer Bereich in Rn betrachtet. Wir setzen deshalb zur Vereinfachung: B WD Bn ;

@B D Sn1 :

Angenommen (i), (ii) sind erfüllt, also (i)

ˆ.V / D @B

(ii)

ˆj@B D id@B .

Hieraus leiten wir einen Widerspruch her, und zwar auf folgende Weise: 1) Zunächst „drücken sich (i), (ii) auf die Tangentiale durch“, d.h. es gilt (i’) (ii’)

ˆ b .Tb Rn / Tˆ.b/ .@B/ ˆ b j.Tb .@B// D idTb .@B/

8b2V 8 b 2 @B:

Abschnitt 6.2

385

Vom Satz von Stokes zum Brouwerschen Fixpunktsatz

Aus (i) folgt (i’): Sei f .z/ D 0 eine lokale Gleichungsdarstellung von @B in einer offenen Umgebung V0 von ˆ.b/ gemäß F[3.2]. Wegen (i) gilt 8 x 2 ˆ1 .V0 /;

f .ˆ.x// D 0

wobei ˆ1 .V0 / eine offene Umgebung von b ist. Hieraus ergibt sich nach der Kettenregel L[3.4]: f ˆ.b/ ı ˆ b D 0, also Bild ˆ b Kern f ˆ.b/ D Tˆ.b/ .@B/; worin die letzte Gleichung aus J[3.2] und A[5.1] folgt. Aus (ii) folgt (ii’): Sei W U ! Rn eine Parametrisierung von @B mit .a/ D b für ein a 2 U . Wegen (ii) gilt ˆ ı D : Hieraus folgt nach der Kettenregel: ˆ b ı a D a , also: ˆ b .v/ D v

8 v 2 Bild a D Tb .@B/:

2) Sei i zur Inklusion i W @B ,! Rn gebildet. Dann gilt: (i”) (ii”)

ˆ ! D 0 i .ˆ / D i

für jede n-Form ! auf Rn für jede Form auf Rn .

Aus (i’) folgt (i”): Für b 2 V , v1 ; : : : ; vn 2 Tb Rn gilt: .ˆ !/b .v1 ; : : : ; vn / D !ˆ.b/ .ˆ b v1 ; : : : ; ˆ b vn / D 0: Dabei wurde zum Schluss verwendet, dass nach (i’) alle Bilder ˆ b vk zu Tˆ.b/ .@B/ gehören und dass @B die Dimension n 1 hat. Aus (ii’) folgt (ii”): Sei s die Stufe von . Es gilt für b 2 V und v1 ; : : : ; vs 2 Tb Rn : .ˆ /b .v1 ; : : : ; vs / D ˆ.b/ .ˆ b v1 ; : : : ; ˆ b vs /; also für b 2 @B und v1 ; : : : ; vs 2 Tb .@B/: .i .ˆ //b .v1 ; : : : ; vs / D ˆ.b/ .ˆ b v1 ; : : : ; ˆ b vs / D b .v1 ; : : : ; vs / D .i /b .v1 ; : : : ; vs /:

(ii), (ii’)

386

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

3) Sei 2 n1 .Rn / die Form aus E[5.5] und dS das Hyperﬂächenelement von Sn1 . Dann folgt der Reihe nach: Z n1

voln1 .S

/D

dS @B

Z D

i

E[5.5]

i .ˆ /

(ii”)

ˆ

Konvention

@B

Z D

@B

Z D

@B

Z D

d.ˆ /

Stokes G[5.3]

ˆ .d /

F[4.4]

B

Z D

B

D0

(i”):

Anfang und Ende dieser Kette enthalten einen Widerspruch!

Hieraus ergibt sich nun der Fixpunktsatz von Brouwer in folgender C 2 -Version: B. Folgerung. Jede C 2 -Abbildung F W V ! Rn mit F .Bn / Bn besitzt einen Fixpunkt x D F .x / 2 Bn . Unter dieser Voraussetzung kann es mehrere Fixpunkte geben (z.B. bei der Identität) im Gegensatz zum Fixpunktsatz von Banach D[2.1]! Beweis von B. Während beim Fixpunktsatz von Banach der Fixpunkt mit dem Iterationsverfahren konstruiert werden konnte, handelt es sich hier um einen Beweis durch Widerspruch, der also nicht konstruktiv ist. Angenommen, es sei F .x/ ¤ x für alle x 2 Bn . Dann gilt dies wegen der Stetigkeit von F auch in einer offenen Obermenge V1 von Bn :

F .x/ ¤ x

8 x 2 V1 ;

Bn V1 V:

Abschnitt 6.2

387

Vom Satz von Stokes zum Brouwerschen Fixpunktsatz

Wir konstruieren aus dieser Annahme eine Abbildung ˆ mit den Eigenschaften (i), (ii) wie in Satz A auf sehr naheliegende Weise: Wir schneiden jeweils den Halbstrahl durch x mit Richtungsvektor x F .x/ ¤ 0 mit der Sphäre Sn1 . Dies wird eine Retraktion auf Sn1 liefern, die nach Satz A nicht existieren kann. Die Wohldeﬁniertheit und C 2 -Eigenschaft bleiben zu prüfen, wozu wir ˆ explizit mit der folgenden Äquivalenzkette bestimmen: x C t .x F .x// 2 Sn1 ; jx C t .x F .x//j2 D 1;

tD

t 0 t 0

t 2 jx F .x/j2 C 2t hx; x F .x/i C jxj2 D 1; t 0 q hx; F .x/ xi C hx; F .x/ xi2 C .1 jxj2 /jF .x/ xj2 jF .x/ xj2

DW .x/:

Hierin ist der Radikand offensichtlich positiv, wenn jxj < 1, aber auch wenn jxj D 1. Im zweiten Fall folgt nämlich mit der Cauchy/Schwarz-Ungleichung: hx; F .x/i < 1, da jF .x/j 1 aber F .x/ ¤ x, und dann ist weiter hx; F .x/ xi < 1 1 D 0. Aufgrund der Stetigkeit ist der Radikand auch noch positiv in einer offenen Obermenge V2 von Bn , o.B.d.A. V2 V1 V . Der Schnittpunkt ˆ.x/ WD x C .x/ .x F .x// deﬁniert dann eine wohlbestimmte C 2 -Abbildung ˆ W V2 ! Rn mit ˆ.V2 / Sn1 und ˆ.x/ D x für alle x 2 Sn1 . Ein solches ˆ kann aber nach Satz A nicht existieren. Also muss es einen Fixpunkt geben. Dieses Ergebnis hat noch einige Schönheitsfehler, da F auf einer etwas größeren Menge als Bn deﬁniert sein muss und weil man zweimalige stetige Differenzierbarkeit benötigt. Von beidem werden wir uns befreien, indem wir eine Technik anwenden, die darin besteht, stetige Abbildungen durch C 1 -Abbildungen zu approximieren.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Sei B Rn kompakter regulärer Bereich (insbesondere @B ¤ ¿) und V Rn offene Obermenge vom B. In Verallgemeinerung von Satz A zeige man: Es gibt keine C 2 -Abbildung ˆ W V ! Rn mit ˆ.V / D @B und ˆj@B D id@B .

388

6.3

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Der Approximationssatz von Stone/Weierstraß

Der Approximationssatz von Weierstraß bezog sich ursprünglich auf die Approximation stetiger Funktionen durch Polynome. Es gibt für ihn eine Reihe klassischer Beweise, wovon einer im Rahmen der Fourier-Reihen gebracht werden wird (Abschnitt 7.5). Die moderne Fassung ist von wunderbarer Allgemeinheit und nicht allzuschwer zu beweisen. Aus ihr erhält man die klassischen Fälle durch Spezialisierung. Auch den Fixpunktsatz von Brouwer können wir damit in die angemessene allgemeine Form bringen. Wir betrachten einen kompakten metrischen Raum K und dazu die Menge C 0 .K/ der stetigen reellen Funktionen f W K ! R. Dieser Funktionenraum wird mit der Maximumsnorm versehen: kf k1 WD max jf .p/j: p2K

Der zugehörige Konvergenzbegriff für Funktionenfolgen ist die gleichmäßige Konver0 .K/. Es ist ein genz. Wir bezeichnen diesen Raum mit dieser Norm genauer als C1 normierter R-Vektorraum, ja sogar ein Banach-Raum, was aber hier nicht benötigt wird. Trotzdem soll das hier in allgemeiner Form festgehalten werden: A . Satz. Sei K ein kompakter metrischer Raum und .W; k k/ ein Banach-Raum. 0 .K; W / der stetigen Abbildungen F W K ! W mit den Dann ist die Menge C1 argumentweisen Verknüpfungen und der Maximumsnorm kF k1 WD max kF .p/k p2K

ein Banach-Raum, dessen Konvergenzbegriff für Folgen identisch ist mit der gleichmäßigen Konvergenz. Beweis. Die Maximumsnorm existiert nach dem allgemeinen Extremalprinzip (Ana1: D[6.5]), da mit F auch die Abbildung p 7! kF .p/k auf K stetig ist. 0 .K; W / auch ˛F (˛ 2 R) und F C G Es ist sehr leicht zu sehen, dass mit F; G 2 C1 0 zu C1 .K; W / gehören; man hat lediglich die Homogenität und Dreiecksungleichung in W punktweise anzusetzen und zum Maximum überzugehen. Ebenso bestätigt man damit die Normeigenschaften der Maximumsnorm. 0 .K; W /, so gilt für alle p 2 K und Ist .Fk / eine Folge und F eine Abbildung in C1 alle Indizes k; `: kFk .p/ F .p/k kFk F k1

kFk .p/ F` .p/k kFk F` k1 : 0 .K; W / dasAus der ersten Abschätzung deduziert man, dass die Konvergenz in C1 selbe bedeutet wie die gleichmäßige Konvergenz.

Abschnitt 6.3

Der Approximationssatz von Stone/Weierstraß

389

0 Hat nun die Folge .Fk / die Cauchy-Eigenschaft in C1 .K; W /, so lehrt die zweite Ungleichung mit Rücksicht auf Ana-1: J[6.5], dass diese Folge gleichmäßig gegen eine Abbildung F W K ! W konvergiert, und Ana-1: K[6.5] zeigt, dass F stetig ist. Schließlich ergibt sich aus der Normdeﬁnition, angewandt auf Fk F , die Konvergenz 0 .K; W /. von .Fk / gegen F im Raum C1

B. Satz (Approximationssatz von Stone/Weierstraß). Gegeben sei ein kompakter metrischer Raum K und eine Teilmenge A des Funktio0 nenraums C1 .K/ mit folgenden Eigenschaften: (i)

f; g 2 A H) f C g; f g 2 A.

(ii)

Jede konstante Funktion gehört zu A.

(iii)

A trennt Punkte, d.h. für alle p ¤ q in K existiert ein f 2 A mit f .p/ ¤ f .q/.

0 0 .K/, d.h. A D C1 .K/. Anders ausgedrückt: Dann ist A dicht in C1

Zu jeder stetigen Funktion f W K ! R existiert eine Folge .fk / in A, die in K gleichmäßig gegen f konvergiert. Beweis. Der Beweis läuft über eine Reihe von Teilbehauptungen, die jeweils am Anfang genannt sind und dann begründet werden. Gleichmäßige Konvergenz bezieht sich immer auf K, wenn nichts anderes gesagt ist. 1) Auch A hat die Eigenschaften (i) – (iii): Trivial sind die Punkte (ii), (iii), da A A. Bei (i) sei z.B. das Produkt behandelt. Wir beachten: A besteht aus allen Limites gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen .fk / in A. Demnach ist zu zeigen: Gilt für Funktionenfolgen .fk /; .gk / in A mit gleichmäßiger Konvergenz: fk ! f; gk ! g, so gilt auch für die Produkte: fk gk ! f g mit gleichmäßiger Konvergenz. Dies geht (wie immer bei Produkten) aufgrund folgender Vorausabschätzung. Aus der Identität fk gk f g D .fk f / g C .fk f / .gk g/ C f .gk g/ folgt kfk gk f gk1 kfk f k1 kgk1 C kfk f k1 kgk gk1 C kf k1 kgk gk1 : Hieraus ist die Behauptung unmittelbar klar. (Entsprechend, aber leichter, läuft es bei der Summe.) 2) Bei festen ˛ > 0 und s > 0 ist die Potenzfunktion x 7! x s auf Œ0; ˛ gleichmäßiger Limes von Polynomen: Für s 2 N ist dies natürlich trivial, aber es geht hauptsächlich um Exponenten s … N.

390

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Um zunächst die eventuelle Nichtdifferenzierbarkeit bei 0 zu umgehen, beachten wir die Limesbeziehung 1 s lim x C D x s gleichmäßig auf Œ0; ˛: m!1 m Diese ist richtig aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit von x 7! x s auf Œ0; ˛ C 1. Somit reicht es zu zeigen: Für feste h > 0, ˛ > 0, s > 0 ist die Funktion x 7! .x Ch/s auf Œ0; ˛ gleichmäßiger Limes von Polynomen Qk . Dies gelingt mittels „Taylor“ auf folgende Weise: Man schreibt mit einer (noch zu wählenden) Konstanten a > 0: s xCh s xCh s s s Da 1C 1 .x C h/ D a a a ! j 1 X s xCh s Da 1 : j a j D0

Die Binomialreihe rechts ist gleichmäßig konvergent, wenn mit einem festen q 2 Œ0; 1Œ gilt ˇ ˇ ˇ ˇx C h ˇ q: ˇ 1 (1) ˇ ˇ a Um das zu erreichen, wählen wir a als Mittelpunkt des Intervalls Œh; ˛ C h und q folgendermaßen: 1 ˛ a WD .˛ C 2h/; q WD : 2 2a Dann wird tatsächlich q < 1, und für x 2 Œ0; ˛ folgt x C h 2 Œh; ˛ C h, also jx C h aj

˛ D qa; 2

also (1). Somit leisten die Teilsummen der obigen Binomialreihe: s

Qk .x/ WD a

k X j D0

s j

!

j

xCh 1 a

;

die ja Polynome sind, das Verlangte. 3) Aus f 2 A folgt jf j 2 A: Diespberuht darauf, dass der Betrag mit Hilfe der Wurzelfunktion darstellbar ist: jf j D f 2 . Im Detail: Seien gemäß 2) Polynome Pk gewählt, sodass p gleichmäßig auf 0; f 2 1 : Pk .x/ ! x

Abschnitt 6.3

391

Der Approximationssatz von Stone/Weierstraß

Daraus folgt (2)

Pk .f .p/2 / !

p f .p/2

gleichmäßig auf KI

denn es gilt p ˚

p ˇ Pk .f 2 / f .p/2 max jPk .x/ xj ˇ x 2 0; f 2 : 1 1 p Aus (2) folgt die Behauptung, da Pk .f 2 / 2 A wegen (i), (ii) und da jf j D f 2 . 4) Aus f; g 2 A folgt min ff; gg; max ff; gg 2 A: Dies beruht auf der elementaren Darstellung von Minimum und Maximum durch den Betrag (Ana-1: H[1.3]) min ff; gg D

1 .f C g jf gj/; 2

max ff; gg D

1 .f C g C jf gj/ 2

und auf 3), angewandt auf A. 5) A hat die Eigenschaft der Zweipunktinterpolation, d.h. für alle p ¤ q in K und alle ˛; ˇ 2 R existiert ein f 2 A mit f .p/ D ˛; f .q/ D ˇ: Nach (iii) existiert ein g 2 A mit g.p/ ¤ g.q/. Wir setzen f .z/ WD ˛ C

ˇ˛ .g.z/ g.p//: g.q/ g.p/

Dann ist f 2 A nach (i), (ii) und f .p/ D ˛; f .q/ D ˇ. 0 6) Zu f 2 C1 .K/, p0 2 K, " > 0 existiert ein g 2 A mit g.p0 / D f .p0 / und: g.p/ f .p/ C " für alle p 2 K: Für jedes q 2 K sei hq 2 A so gewählt, dass

hq .p0 / D f .p0 /;

" hq .q/ D f .q/ C : 2

Die Existenz ist klar nach 5). Es gibt dann wegen der Stetigkeit von hq und f eine offene Umgebung V .q/ von q mit (3)

hq .p/ f .p/ C "

8 p 2 V .q/:

Wir überdecken K mit endlich vielen solchen Umgebungen V .qi /, i D 1; : : : ; k, und setzen g WD min fhq1 ; : : : ; hqk g 2 A: Dass dieses Minimum zu A gehört, folgt aus 4). Dieses g tut es; denn jedes p 2 K liegt in einem V .qi /, und dort gilt (3) für hqi , also erst recht für g. 0 0 .K/: Sei f 2 C1 .K/ gegeben. Zu " > 0, q 2 K sei gq 2 A nach 7) Es gilt A D C1 6) so gewählt, dass

gq .q/ D f .q/;

gq .p/ f .p/ C "

8 p 2 K:

392

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Dann existiert eine offene Umgebung U.q/ von q mit: gq .p/ f .p/ "

8 p 2 U.q/;

was wieder auf der Stetigkeit von gq und f beruht. Nun überdecken wir K mit endlich vielen solchen Umgebungen U.qi /, i D 1; : : : ; `, und setzen e WD max fgq ; : : : ; gq g 2 A; f 1 ` das letzte erneut nach 4). Dann gilt e.p/ f .p/ C "; f .p/ " f ek1 ". da wiederum ein gegebenes p 2 K in einem der U.qi / liegt. Somit ist kf f Damit ist bewiesen: f 2 A D A.

C. Folgerung. Sei K eine kompakte Teilmenge von Rn . Dann ist jede stetige Funktion f W K ! R Grenzwert einer Polynomfolge (in n Veränderlichen), die auf K gleichmäßig konvergiert. Beweis. Wir wählen A als die Menge der Restriktionen aller Polynome X ai1 : : :n .x1 /i1 .xn /in i1 C C in L auf K. Dann sind (i) – (iii) erfüllt, wobei für (iii) schon die Polynome vom Grad L D 1 (also die afﬁnen Funktionen) genügen. Damit folgt die Behauptung aus Satz B. Der ursprüngliche Approximationssatz von Weierstraß ist die weitere Spezialisierung von Folgerung C auf n D 1 und K D Œ˛; ˇ. Im Folgenden bezeichnet Bn .r/ wieder den abgeschlossenen Euklidischen Ball mit Mittelpunkt 0 und Radius r > 0 und B WD Bn .1/ den zugehörigen Einheitsball. D. Satz (Fixpunktsatz von Brouwer). Jede stetige Selbstabbildung F W B ! B des abgeschlossenen Einheitsballs B Rn besitzt einen Fixpunkt x D F .x / 2 B. Beweis. Wir approximieren F gleichmäßig durch Abbildungen Fk mit Polynomen als Komponenten gemäß Folgerung C: (4)

"k WD kFk F k1 ! 0;

und haben die Absicht, die „Vorvariante“ B[6.2] des Fixpunktsatzes anzuwenden. Allerdings geht dies noch nicht für die Fk , da diese i. Allg. B nicht in sich abbilden werden. Jedoch folgt aus (4) für x 2 B: jFk .x/j jF .x/j C "k 1 C "k , also gilt für e k WD F

1 Fk W 1 C "k

e k .B/ B: F

Abschnitt 6.3

Der Approximationssatz von Stone/Weierstraß

393

e k konvergieren auf B gleichmäßig gegen F ; denn mit %k WD 1=.1 C "k / Auch die F hat man F e k F D k%k .Fk F / C .%k 1/F k1 1 %k kFk F k1 C j%k 1j kF k1 ! 0: Die 1-Norm bezieht sich natürlich auf K WD B. e k nach B[6.2] einen Fixpunkt xk D F e k .xk / 2 B, Nun besitzt jede Abbildung F und o.B.d.A. können wir (notfalls durch Übergang zu einer Teilfolge) annehmen, dass diese Fixpunkte einen Grenzwert in B haben: xk ! x 2 B. Dann folgt aus xk D e k .xk / mittels Ana-1: N[6.5]: x D F .x /, d.h. x ist Fixpunkt von F in B. F E. Bemerkungen. Der Brouwersche Fixpunktsatz ist bez. der Deﬁnitionsmenge sehr viel allgemeiner als in der obigen Formulierung erkennbar. Das wird in den beiden folgenden Aussagen (i) und (ii) deutlich. (i) Sei X ein metrischer Raum, der homöomorph zum Euklidischen Einheitsball Bn ist. Es gibt dann also eine bijektive Abbildung ˆ W X ! Bn , sodass ˆ und ˆ1 beide stetig sind. Dann besitzt jede stetige Abbildung F W X ! X einen Fixpunkt x D F .x / 2 X . Dies kann man in sehr einfacher Weise auf Satz D zurückführen, indem man die Abbildung F1 WD ˆıF ıˆ1 W Bn ! Bn betrachtet (diese wird konjugiert zu F genannt). F1 bildet Bn stetig in sich ab, besitzt also einen Fixpunkt x D F1 .x / 2 Bn . Hieraus folgt x D ˆ ı F ı ˆ1 .x /, also durch Umstellen ˆ1 .x / D F ı ˆ1 .x /, d.h. ˆ1 .x / ist Fixpunkt von F in X. (ii) Ist k k eine beliebige Norm auf Rn , so ist jeder abgeschlossene Ball B.a; r/ (mit Radius r > 0) bez. k k homöomorph zum Euklidischen Einheitsball Bn . Als Erstes ist nämlich B.a; r/ homöomorph zu B.0; 1/ vermöge der afﬁnen Abbildung x 7! .x a/=r. Weiter ergibt sich ein Homöomorphismus ˆ W B.0; 1/ ! Bn durch „radial proportionale Streckung“, d.h. in Gestalt der Abbildung 8 ˆ für x D 0 <0 ˆ.x/ WD kxk ˆ : x für x ¤ 0. jxj Damit ist der Brouwersche Fixpunktsatz auf jeden Ball einer beliebigen Norm anwendbar (auch in einem beliebigen endlich-dimensionalen normierten Vektorraum mit Rücksicht auf die Überlegungen in Ana-2: E[10.4]). (iii) Auf einem abgeschlossenen Ball B.0; 1/ betrachten wir einmal die Punktspiegelung F .x/ WD x. Diese bildet den Ball auf sich ab, ist stetig und besitzt genau

394

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

den einen Fixpunkt 0 (sie ist auch dehnungsbeschränkt mit der Lipschitz-Konstanten 1). Trotzdem wird man mit dem Iterationsverfahren den Fixpunkt nicht ﬁnden, wenn man ihn nicht schon hat. Startet man nämlich die Iteration xkC1 WD F .xk / mit einem x1 ¤ 0, so ist die Folge der xk nicht konvergent. Sie besitzt zwar konvergente Teilfolgen (die mit geradem bzw. ungeradem Index), aber keine ihrer konvergenten Teilfolgen hat den Fixpunkt als Grenzwert! Dies zeigt, dass das Iterationsverfahren ohne Kontraktionseigenschaft selbst bei Vorhandensein eines einzigen Fixpunkts i. Allg. erfolglos sein wird. Aufgaben und Anmerkungen 1. Man beweise, dass eine kompakte konvexe Teilmenge C Rn mit nichtleerem Inneren stets homöomorph zu einem abgeschlossenen Euklidischen Einheitsball ist. (Der Fixpunktsatz von Brouwer kann also auf jede solche konvexe Menge angewandt werden.) Lösungshinweis: Ohne Einschränkung sei 0 ein innerer Punkt von C und der abgeschlossene Euklidische Einheitsball B in C ı enthalten (alles durch Translation und Streckung zu erreichen). Zu jedem x 2 @C sei u.x/ der zugehörige Einheitsvektor: u W @C ! @B;

u.x/ WD

x : jxj

Diese Abbildung ist stetig, injektiv und surjektiv. (Zur Injektivität beachte man, dass der Ball B von jedem Punkt der Menge C aus „gesehen werden“ kann.) Aus diesen Eigenschaften folgt wegen der Kompaktheit von @C , dass u ein Homöomorphismus ist (Ana-1: B[6.5]). Seine Umkehrung sei v W @B ! @C . Ein Kandidat für einen Homöomorphismus ‰ W B ! C ist dann wieder erzeugbar durch radial proportionale Streckung: 8 ˆ für x D 0 <0 ˇ ˇ ‰.x/ WD ˇ x ˇˇ ˆ x für x ¤ 0: :ˇˇv jxj ˇ 2. Die Funktion f W Œa; b ! R sei integrierbar. Man beweise: Gilt Z b t n f .t/ dt D 0 für alle n 2 N0 ; a

so ist f D 0 fast überall. Lösungshinweis: Man zeige zunächst Z x (5) f .t/ dt D 0

für alle x 2 Œa; b

a

und wende dann Ana-2: Aufgabe 6[13.3] an. Zum Nachweis von (5) beachte man Rb Rx a f .t / dt D a .t /f .t / dt , wobei WD Œa;x . Dann approximiere man die

Abschnitt 6.4

395

Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

Sprungfunktion (über den Zwischenschritt mit stetigen afﬁnen Funktionen) durch eine Folge von Polynomen Pk , die in Œa; b n fxg punktweise gegen konvergieren und in Œa; b gleichmäßig beschränkt sind. Aus der Gleichung Z b Z b Z b Z x f .t / dt D

.t /f .t / dt D . .t / Pk .t //f .t / dt C Pk .t /f .t / dt a

a

a

a

folgere man dann durch Grenzübergang k ! 1 die Behauptung, da das letzte Integral immer Null ist. 3. Ein trigonometrisches Polynom ist ein Ausdruck der Gestalt a0 X C T .x/ WD .ak cos kx C ak sin kx/ 2 n

kD1

mit n 2 N0 und reellen Koefﬁzienten ak , bk . Man beweise: Zu jeder 2-periodischen stetigen Funktion f W R ! R und zu jedem " > 0 existiert ein trigonometrisches Polynom T mit für alle x 2 R: jf .x/ T .x/j < " Lösungshinweis: Eine 2-periodische stetige Funktion f W R ! R ist auffassbar als eine stetige Funktion der Einheitskreislinie S1 in R: f W S1 ! R. Man wende den Approximationssatz von Stone/Weierstraß B an auf K WD S1 und die Menge A aller trigonometrischen Polynome (mit beliebigem n und beliebigen Koefﬁzienten). Die Produkteigenschaft in B(i) folgt aus trigonometrischen Formeln (Ana-1: M(iv)[4.4]). Die Trennungseigenschaft B(iii) besteht bereits für die Linearkombinationen von Kosinus und Sinus (Ana-1: P[4.4]). 0 .K; C/ der komple4. Gegeben sei ein kompakter metrischer Raum K, und es sei C1 xe Banach-Raum der stetigen Funktionen f W K ! C mit der Maximumsnorm. Es 0 sei A eine Teilmenge von C1 .K; C/ mit folgenden Eigenschaften:

(i)

f; g 2 A H) f C g; f g 2 A.

(ii)

Jede konstante Funktion gehört zu A.

(iii)

A trennt Punkte, d.h. für alle p ¤ q in K existiert ein f 2 A mit f .p/ ¤ f .q/.

(iv)

Mit f gehört auch die konjugiert komplexe Funktion f mit f .p/ WD f .p/ zu A.

0 Man zeige als (leichte) Konsequenz aus Satz B: A ist dicht in C1 .K; C/.

6.4

Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

Ausgangspunkt der Betrachtung ist die Formel d.d!/ D 0, die für zweimal stetig differenzierbare Formen ! gilt. Diese Formel enthält eine notwendige Bedingung für die

396

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Existenz von Stammformen: Damit d e ! D ! möglich ist, muss die Integrabilitätsbedingung d! D 0 erfüllt sein (I[4.2]). Die Umkehrung gilt nicht allgemein, wie wir bei den Pfaffschen Formen gesehen haben (M[4.3]). Jedoch verbessert sich die Situation schlagartig durch eine Zusatzbedingung an die Gestalt der Deﬁnitionsmenge. Bei den Pfaffschen Formen war das die Sternförmigkeit (oder allgemeiner der einfache Zusammenhang). Hier kommt man immer mit der Sternförmigkeit durch, muss aber Abstriche bei der Differenzierbarkeit machen: A. Satz (Lemma von Poincaré). Sei U Rn ein bez. a 2 U sternförmiges Gebiet r .U / eine Form mit r 1, p 0. Ist ! geschlossen, also d! D 0, so und ! 2 pC1 besitzt ! eine C r -Stammform e ! 2 pr .U /, d.h. es gilt !Dde !:

(1)

Wie wir am Schluss sehen werden, kann eine solche Form e ! explizit angegeben werden. Resultieren wird das aus einem Verfahren, das auf einer Dynamisierung der Situation beruht. Tatsächlich besitzt die Erzeugung einer Stammfunktion mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine ganz ähnlichen Charakter, da ein bestimmtes Integral mit einer variablen oberen Grenze versehen wird (Ana-1: A[5.2]). Auch bei den Extremalproblemen lieferte die Dynamisierung zusätzlich Einblicke (vgl. Abschnitt 3.3). Die obige Fragestellung ist ebenfalls eine Art Integrationsaufgabe, so wie eben d letztlich ein Ableitungsoperator ist. Wir führen einen Integraloperator ein, der aus Formen der Stufe p C 1 solche der Stufe p macht und unabhängig von der Voraussetzung der Geschlossenheit deﬁniert ist. Er erfüllt eine eigenartige Vertauschungsregel gegenüber d , aus der als Spezialfall das Lemma von Poincaré folgen wird. Zunächst behandeln wir diese etwas allgemeinere Fragestellung: Betrachtet wird neben der Menge U Rn und den ihr variierenden Punkten x auch die Menge R U und die in ihr variierenden Punkte .t; x/. Bei R U handelt es sich um den Zylinder über U . Wir deﬁnieren als zugehörige Injektionen: Jt W

U x

! 7!

R U .t; x/:

B. Satz. Für p 0, r 0 existiert eine lineare Abbildung r K W pC1 .R U / ! pr .U /; r .R U / mit r 1 und für ˛ < ˇ aus R gilt sodass für alle 2 pC1

(2)

d.K/ C K.d / D Jˇ J˛ :

Abschnitt 6.4

Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

397

Beweis. Deﬁnition von K: Zunächst sei D P dt ^ dx i1 ^ ^ dx ip C Q dx j1 ^ ^ dx jpC1

(3) mit

P; Q W R U ! R

von der Klasse C r

und monoton wachsenden Indizes. Dann setzt man als „Integral nach t “, entsprechend dem Vorkommen von P dt im ersten Summanden von (3): Z ˇ i i 1 p e e (4) K WD P dx ^ ^ dx mit P .x/ WD P .t; x/ dt: ˛

Zusammen mit der Additivität ist K wohldeﬁniert, da eine allgemeine Differentialr form 2 pC1 .R U / eindeutig als Summe solcher spezieller dargestellt werden kann. Tatsächlich besteht dann der Übergang von (3) zu (4) auch ohne die Monotonie e von der Klasse C r ist (mehrmalige Anwender Indizes. Weiter erkennt man, dass P dung von Ana-2: D[11.2]) und dass K homogen, also linear ist. Nachweis von (2): Es genügt, in der speziellen Form (3) anzunehmen. Wir rechnen folgendermaßen: e ^ dx i1 ^ ^ dx ip D d.K/ D d P

n X e @P iD1

@x i

dx i ^ dx i1 ^ ^ dx ip

d D dP ^ dt ^ dx i1 ^ ^ dx ip C dQ ^ dx j1 ^ ^ dx jpC1 D

n X @P dx i ^ dt ^ dx i1 ^ ^ dx ip @x i i D1

@Q dt ^ dx j1 ^ ^ dx jpC1 @t n X @Q C dx j ^ dx j1 ^ ^ dx jpC1 @x j C

j D1

D

n X @P dt ^ dx i ^ dx i1 ^ ^ dx ip @x i iD1

C

@Q dt ^ dx j1 ^ ^ dx jpC1 C Glieder ohne dt : @t

Somit ist K.d / D

n X iD1

e dx j1 ^ ^ dx jpC1 e i dx i ^ dx i1 ^ ^ dx ip C R W

398

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

mit e i .x/ WD W

Z

ˇ

@P .t; x/ dt @x i

ˇ

@Q .t; x/ dt D Q.ˇ; x/ Q.˛; x/: @t

˛

e R.x/ WD

Z ˛

Hieraus ergibt sich: d.K/ C K.d /

! n X e @P e i dx i ^ dx i1 ^ ^ dx ip C R e j1 ^ dx jpC1 ; D W „ dx ^ ƒ‚ … @x i i D1 „ ƒ‚ … Jˇ Jˇ 0

wobei die erste Unterklammerung wieder aus Ana-2: D[11.2] folgt.

r C. Bemerkung. Der Beweis bleibt auch richtig für 2 pC1 .V /, V offene Obermenge von Œ˛; ˇ U .

Beweis des Lemmas von Poincaré A. Wir betrachten die Zusammenziehung von U auf a, d.h. die folgende Abbildung h: h Œ0; 1 U ,! V ! U;

h.t; x/ WD a C t .x a/

V WD f.t; x/ 2 R U j a C t .x a/ 2 U g: V ist offen in R U (Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Abbildung). r Zu dem gegebenen ! 2 pC1 .U / mit r 1, p 0, d! D 0 bilden wir r .V /: WD h ! 2 pC1

Dann gilt nach (2) d.K/ C K.d / D J1 J0 ;

(5) wobei

d D d.h !/ D h .d!/ D 0 J1 D J1 .h !/ D .h ı J1 / ! D id ! D !; J0 D J0 .h !/ D .h ı J0 / ! D 0;

da h ı J1 .x/ D h.1; x/ D x

da h ı J0 .x/ D h.0; x/ D a D const.

Abschnitt 6.4

Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

399

Somit folgt aus (5): d.K/ C 0 D !, d.h. e ! WD K D Kh !

(6) leistet das Verlangte.

Mit der Bedeutung von h ergibt sich, wenn ! WD W dx i1 ^ ^ dx ipC1 ;

a D .a1 ; : : : ; an /;

zunächst: h.t; x/ D a C t .x a/

()

hi .t; x/ D ai C t .x i ai /

und damit: h ! D .W ı h/ dhi1 ^ ^ dhipC1 D .W ı h/ .x i1 ai1 / dt C t dx i1 ^ ^ .x ipC1 aipC1 / dt C t dx ipC1 X

pC1

D .W ı h/

.x ik aik / t p dx i1 ^

kD1 k

^ ^ dt ^ ^ dx ipC1 C Glieder ohne dt

D .W ı h/

pC1 X kD1

.1/k1 .x ik aik / t p dt ^ dx i1 ^

1

^ dx ik ^ ^ dx ipC1 C Glieder ohne dt : Aufgrund der Deﬁnition von K geht dann (6) über in X

pC1

e e !D W e .x/ WD W

Z

1

.1/k1 .x ik aik / dx i1 ^ ^ dx ik ^ ^ dx ipC1

kD1 1

W .a C t .x a// t p dt: 0

Bei allgemeinem ! setzt sich dies additiv zusammen. Damit erhält man die folgende explizite Darstellung einer Form e ! für das Lemma von Poincaré:

400

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

D. Satz (Ergänzung von Satz A). Ist die Form ! gegeben durch X

!D

1 i1 < < ipC1 n

Wi1 : : : ipC1 dx i1 ^ ^ dx ipC1 ;

so erfüllt die Form (7)

X

e ! WD

1 i1 < < ipC1 n

e ! i1 : : : ipC1 W i1 : : : ipC1 e

mit e W i1 : : : ipC1 .x/ WD (8) e ! i1 : : : ipC1 WD

pC1 X

Z

1 0

Wi1 : : : ipC1 .a C t .x a// t p dt

1

.1/k1 .x ik aik / dx i1 ^ ^ dx ik ^ ^ dx ipC1

kD1

die Gleichung (1): d e ! D !.

Mit dieser expliziten Fassung des Lemmas von Poincaré kann man jeweils eine ganz bestimmte Stammform konstruieren. Man muss sich aber im Klaren darüber sein, dass Stammformen im Fall der Existenz nicht eindeutig bestimmt sind. Das war ja auch schon im Eindimensionalen so (Ana-1: E[5.2]). Hier können wir Folgendes sagen: E. Satz (über die Gesamtheit der Stammformen). Sei U Rn ein Gebiet, und die r Form ! 2 pC1 .U / mit r 1, p 0 besitze eine C r -Stammform e ! 2 pr .U /. (i)

Die Gesamtheit der C r -Stammformen von ! ist gegeben durch e ! C ! cl ;

wobei ! cl alle geschlossenen Formen in pr .U / durchläuft. (ii) Ist U sternförmig sowie r 2, p 1, so ist die Gesamtheit der C r -Stammformen von ! gegeben durch e ! C ! ex ; wobei ! ex alle C r -exakten Formen in pr .U / durchläuft. Im Fall p D 1 reicht r 1, und jedes solche ! ex ist von selbst von der Form ! ex D df mit einer Funktion f 2 rC1 .U / D C rC1 .U /. 0

Abschnitt 6.4

Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

401

Beweis. ! D !. Ist umgekehrt neben e ! auch Zu (i): Mit d e ! D ! gilt auch d. e ! C ! cl / D d e r e ! 1 eine C -Stammform von !, so folgt aus ! D d e ! D de ! 1 durch Subtraktion ! / D 0. Also ist ! cl WD e !1 e ! geschlossen und e !1 D e ! C ! cl . d. e !1 e Zu (ii): Kombination von (i) mit der Anwendung von Satz A auf ! cl und H[4.2]. Bei p D 1 und r 1 verläuft die Überlegung analog, wobei jetzt Satz O[4.3] anstelle von Satz A greift. F. Beispiele. In den Ausdrücken von Satz D sind speziell Vorschriften zur Gewinnung von Potentialen enthalten. (i) Ist W ein geschlossenes Vektorfeld, so führt Satz D bei p D 0 zum gleichen Ausdruck für ein Potential f von W wie schon Gleichung (4)[4.3]:

Z

1

f .x/ WD

W .a C t .x a// dt; x a :

0

Bei nicht sternförmiger aber einfach zusammenhängender Deﬁnitionsmenge gab es dazu die allgemeine Formel in (2)[4.3]. In jedem Fall ist f nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. In der Dimension n D 3 bedeutet die Geschlossenheit von W : rot W D 0. (ii) Ist W im Fall der Dimension n D 3 ein divergenzfreies Vektorfeld der Klasse C r mit r 1 (div W D 0), so liefert Satz D bei p D 1 eine explizite Vorschrift für e ): e von W der Klasse C r (W D rot W ein Vektorpotential W (9)

e .x/ WD W

Z

1

t W .a C t .x a// dt .x a/:

0

Der Nachweis ist reine Übersetzungsarbeit: Die Standard-Koordinaten in R3 seien diesmal durchnummeriert: x i , i D 1; 2; 3. Man hat das gegebene Vektorfeld W D .A; B; C /> in eine 2-Form einzubauen (Beispiel K[4.2]), diese aber mit monoton wachsenden Indizes zu schreiben: ! W D A dx 2 ^ dx 3 C B dx 3 ^ dx 1 C C dx 1 ^ dx 2 D C dx 1 ^ dx 2 B dx 1 ^ dx 3 C A dx 2 ^ dx 3 : In der obigen Bezeichnungsweise ist also W12 D C;

W13 D B;

W23 D A;

402

Kapitel 6

und hieraus errechnet man: e ij D W

Z

Anwendungen und Erweiterungen

1

Wij .a C t .x a// t dt;

i <j

0

e ! 12 D .x 1 a1 / dx 2 .x 2 a2 / dx 1 e ! 13 D .x 1 a1 / dx 3 .x 3 a3 / dx 1 e ! 23 D .x 2 a2 / dx 3 .x 3 a3 / dx 2 : Wird dies alles in (7) eingesetzt, so ergibt sich die 1-Form e ! , aus deren Koefﬁzienten man dann (9) ablesen kann. Die Gesamtheit der Vektorpotentiale von W der Klasse C r ist dann gegeben durch: e C grad f W .U / D C rC1 .U /. mit beliebiger Funktion f 2 rC1 0 Kurzer Bericht über die de Rham-Kohomologie Das Lemma von Poincaré studiert die Relation zwischen geschlossenen und exakten Differentialformen für sehr einfach gestaltete (nämlich sternförmige) Deﬁnitionsmengen. Bei komplizierteren z.B. mehrfach zusammenhängenden Mengen ist keineswegs jede geschlossene Form auch exakt (vgl. das Beispiel M[4.3] in der punktierten Ebene). Dass diese Diskrepanz besteht, hängt offensichtlich an Besonderheiten der Deﬁnitionsmenge. Oder anders herum betrachtet: Das Ausmaß, wie stark die geschlossenen Differentialformen von der exakten abweichen, ist ein Maß für die Komplexität der Deﬁnitionsmenge. Wie man das in eine quantiﬁzierbare Form bringen kann, soll hier geschildert werden. Als Deﬁnitionsmengen seien dabei kompakte Mannigfaltigkeiten der Klasse C 1 und Dimension n zugrunde gelegt. Die Klasse C 1 vereinfacht die Beschreibung, da das Ableiten von C 1 -Objekten (Funktionen, Formen usw.) keinen Verlust an Differenzierbarkeit mit sich bringt. Der äußere Kalkül ist auf solchen Mannigfaltigkeiten wohletabliert (Abschnitt 5.1). Insbesondere ist p .M / die Menge der auf M deﬁnierten Formen der Stufe p und Klasse C 1 , und es existiert der Operator d des äußeren Differentials, der Formen der Stufe p solche der Stufe p C 1 zuordnet. Für die p 2 Œ0; n ist p .M / ein Vektorraum der Dimension 1, d.h. es gibt in jeder dieser Stufen eine nicht verschwindende Form. Das folgt leicht mit einer Zerlegung der Eins (6)[5.3]). Tatsächlich sind diese Vektorräume p .M / sogar von unendlicher Dimension. Für p > n ist p .M / D 0, und für p < 0 sei formal ebenfalls p .M / WD 0 deﬁniert. Es sei nun Zp .M / die Menge der geschlossenen und Bp .M / die Menge der exakten Formen der Stufe p: Zp .M / WD f! 2 p .M / j d! D 0g

D Kern .d W p .M / ! pC1 /

Bp .M / WD fd! 2 p .M / j ! 2 p1 .M /g D Bild .d W p1 ! p .M //:

Abschnitt 6.4

Das Lemma von Poincaré und Bericht zur Kohomologie

403

Wegen d.d!/ D 0 ist Bp .M / ein Untervektorraum von Zp .M /, sodass der folgende Quotientenraum gebildet werden kann: Hp .M / WD Zp .M /=Bp .M / D

Kern .d W p .M / ! pC1 .M // : Bild .d W p1 .M / ! p .M //

Man kann grob sagen: „Die Größe von Hp .M / gibt an, wie viele exakte Differentialformen es jeweils unter den geschlossenen Differentialformen gibt.“ Präzisen Aufschluss hierüber gibt der Satz von de Rham. Der Vektorraum Hp .M / heißt der p-te de Rhamsche Kohomologie-Vektorraum von M . Seine Elemente sind die Nebenklassen ! C d p1 .M /;

! geschlossen in p .M /:

Die Hauptaussage des Satzes von de Rham stellt einen Isomorphismus zu rein topologisch deﬁnierten Gruppen für den Raum M dar. Das kann hier nicht näher ausgeführt werden. Die Folgerungen, die man daraus ziehen kann, sind aber gut zu beschreiben: G . Satz (Konsequenzen des Satzes von de Rham). Sei M eine kompakte C 1 Mannigfaltigkeit der Dimension n. Dann ist der de Rhamsche Kohomologie-Vektorraum Hp für jedes p von endlicher Dimension ˇp .M / WD dim Hp .M / < 1: Die Zahlen ˇp .M / sind für p D 0; : : : ; n topologische Invarianten des Raums M , die sog. Betti-Zahlen. Eine weitere topologische Invariante von M ist die Wechselsumme der Betti-Zahlen: .M / WD ˇ0 .M / ˇ1 .M / C ˇ2 .M / C C .1/n ˇn .M / die sog. Euler-Charakteristik.

Die endliche Dimension beinhaltet, dass es in jeder Stufe endlich viele geschlossene, nicht exakte Formen gibt, sodass jede geschlossene Form dieser Stufe bis auf eine additive exakte Form als Linearkombination dieser endlich vielen Formen dargestellt werden kann. Diese Tatsachen unterstreichen die Bedeutung der Differentialformen für topologische Fragen im Zusammenhang mit differenzierbar zu beschreibenden Objekten wie Mannigfaltigkeiten oder regulären Bereichen. Eine Ausführung der Beweise ﬁndet man z.B. in Hu[1969] oder in Lück[2005]. Es sind dazu Techniken der Differentialgeometrie und der algebraischen Topologie nötig, die den Rahmen der vorliegenden Darstellung sprengen würden. Mit dieser Beschreibung des Satzes von de Rham sollte lediglich eine Tür einen Spalt weit geöffnet werden zu weiteren interessanten Entwicklungen.

404

Kapitel 6

Anwendungen und Erweiterungen

Aufgaben und Anmerkungen 1. Die reelle Funktion f sei in einer offenen Umgebung des Euklidischen Einheitsballs Bn Rn von der Klasse C 1 . Da die n-Form ! WD f dx 1 ^ ^dx n geschlossen ist, existiert nach dem Lemma von Poincaré eine explizit angebbare .n 1/-Form e ! mit ! D d e !. a)

Zusammen mit dem Satz von Stokes beweise man die Gleichung Z 1 Z Z n1 f dV D f .tx/t dt dS: Bn

b)

0

Kann man hierin die Integrationsreihenfolge vertauschen mit dem Effekt: Z Z 1 Z f dV D f .tx/ dS t n1 dt ‹ Bn

c)

Sn1

0

Sn1

Wie kann diese Gleichung für beliebigen Radius des Balls und für integrierbares f verallgemeinert werden?

2. Sei U R3 offen, und auf R U sei die 2-Form WD A dy ^ dz C B dz ^ dx C C dx ^ dy C dt ^ .P dx C Q dy C R dz/ der Klasse C 1 gegeben. Man berechne konkret die Formen K, d.K/ K.d / auf U sowie die Summe der beiden letzten.

7

Fourier-Reihen

In der Fourier-Theorie geht es um die Darstellung von periodischen Vorgängen. Die Periodizität ist eine Grunderscheinung in vielen Bereichen: von der Musik über technische Schwingungen bis hin zu wiederkehrenden Erscheinungen in der Natur. Bei einer vibrierenden Saite z.B. ist seit langem bekannt, dass ein Ton sich aus einer Grundschwingung und verschiedenen Oberschwingungen zusammensetzt. Dabei haben alle diese Komponenten einen sinusartigen Verlauf, tragen aber mit unterschiedlichen Stärken (Amplituden) zur Gesamtschwingung bei. Man spricht von der Superposition solcher Töne und kann dieses Zusammensetzen auch aus plausiblen physikalischen Annahmen ableiten. Ein mathematisches Modell für diese Erscheinungen sind periodische Funktionen. Dabei stellt es sich heraus, dass man unter sehr geringen Voraussetzungen jede periodische Funktion durch Zusammensetzung aus harmonischen Funktionen (Kosinus und Sinus) mit unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen im Verhältnis 1 W 2 W 3 W : : : zusammensetzen kann. Allerdings muss man im Allgemeinen unendlich viele dieser Oberschwingungen zulassen. Dieses erstaunliche und letztlich rein innermathematische Phänomen wird hier untersucht. Die resultierende Theorie bildet die Grundlage für zahlreiche Anwendungen in allen Bereichen, wo periodische Vorgänge auftreten, z.B. der Elektrotechnik, der Akustik usw. Man unterscheidet dabei zwei Aspekte: Einerseits besteht die Aufgabe, aus einer gegebenen Funktion die Amplituden der Oberschwingungen zu berechnen, die sog. Fourier-Analyse. Zum anderen soll man aus gegebenen Amplituden der Oberschwingungen die Funktion wieder zusammensetzen, die sog. Fourier-Synthese. In der Akustik bedeutet die Fourier-Analyse, dass man aus einem Ton die Obertöne herausﬁltern soll. Die Fourier-Synthese verlangt, Töne aus gegebenen Obertönen zusammenzusetzen. Beides ist heutzutage auch mit technischen Mitteln (angenähert) möglich.

7.1

Die Fourier-Reihe

Wir betrachten eine periodische Funktion g W R ! R mit der positiven Periode p (vgl. die Deﬁnition in Ana-1: X[4.4]). Es gelte also: g.t C p/ D g.t/ für alle t 2 R. Einige Dinge lassen sich in einfacher Weise auf den komplexen Zahlkörper C als Zielraum ausdehnen. In Abschnitt 7.10 wird die komplexe Verallgemeinerung systematisch studiert. Bei der mathematischen Behandlung kann ohne Einschränkung die einheitliche Periode p D 2 gewählt werden. Dies kann man stets durch eine „Maßstabsänderung“

406

Kapitel 7

Fourier-Reihen

der Argumente erreichen. Besitzt nämlich g die Periode p, so hat f , deﬁniert durch p x ; f .x/ WD g 2 die Periode 2. Gegenstand unserer Betrachtung sind also Funktionen f W R ! R mit der Periodizitätseigenschaft f .x/ D f .x C 2/

(1)

für alle x 2 R:

In diesem Abschnitt machen wir die Generalvoraussetzung: f ist außerdem über das Intervall Œ0; 2 integrierbar. Die Grundfrage ist: Kann f in folgender Weise aus Kosinus- und Sinusfunktionen aufgebaut werden: f .x/ D (2)

a0 C .a1 cos x C b1 sin x/ C .a2 cos 2x C b2 sin 2x/ 2 C .a3 cos 3x C b2 sin 3x/ C ;

wobei die rechte Seite im Sinne einer Reihe verstanden werden soll. Hierin ist der „nullte“ Term a0 =2 eine Konstante, die aus gewissen Gründen in halbierter Form geschrieben wird. Die erste Klammer kann als Grundschwingung, die weiteren Klammern können als Oberschwingungen betrachtet werden. Auch die Größen a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; a3 ; b3 ; : : : sind Konstante, die sog. Amplituden. Aber noch ist in keiner Weise gesagt, wie diese Größen gewählt werden sollen, damit die Reihe an möglichst vielen Stellen x (tunlichst gegen f .x/) konvergiert. Die folgenden Hilfssätze bereiten eine optimale Wahl dieser Größen vor: A. Lemma. Jedes Intervall Œ˛; ˇ der Länge ˇ ˛ D 2 heißt Periodenintervall; z.B. sind Œ0; 2 oder Œ; häuﬁg verwendete Periodenintervalle. (i)

Die Funktion f ist durch ihre Restriktion auf ein Periodenintervall Œ˛; ˇ (sogar Œ˛; ˇŒ oder ˛; ˇ) eindeutig festgelegt.

(ii)

f ist über jedes kompakte Intervall Œ˛1 ; ˇ1 integrierbar, und es gilt für k 2 Z: Z ˇ1 Z ˇ1 Ck2 f .x/ dx D f .x/ dx: ˛1 Ck2

˛1

(iii)

Für jedes Periodenintervall Œ˛; ˇ gilt Z Z 2 f .x/ dx D 0

ˇ

f .x/ dx: ˛

Abschnitt 7.1

407

Die Fourier-Reihe

Beweis. Zu (i): Für k 2 Z und x 2 R folgt durch sukzessive Anwendung von (1) f .x/ D f .x k 2/: Soll zu gegebenem x das andere Argument x k 2 in Œ˛; ˇŒ liegen, so bedeutet dies < k C 1, also ˛ x k 2 < ˇ D ˛ C 2. Umstellungdieser Kette liefert k x˛ 2 x˛ (nach Deﬁnition der Gauß-Klammer) k D 2 . Somit ist f .x/ durch f .x k 2/ mit diesem k eindeutig festgelegt. Das Entsprechende ergibt sich hieraus für den Intervalltyp ˛; ˇ, da f .˛/ D f .ˇ/. Zu (ii): Zunächst gilt aufgrund der Periodizität und der Substitution t D x C k 2: Z

Z

2

Z

2

f .x/ dx D

.kC1/2

f .x C k 2/ dx D

0

f .t / dt:

0

k2

Insbesondere ist f über die Intervalle der Art Œk 2; .k C 1/ 2 integrierbar. Weiter ist f über jedes Teilintervall eines solchen Intervalls integrierbar. Schließlich kann ein beliebiges Intervall Œ˛1 ; ˇ1 als endliche Vereinigung solcher Teilintervalle dargestellt werden, sodass f auch darüber integrierbar ist. Die vorangehende Umrechnung liefert in dieser Situation analog: Z

ˇ1

Z

ˇ1

f .x/ dx D

˛1

Z f .x C k 2/ dx D

ˇ1 Ck2

f .t / dt: ˛1 Ck2

˛1

Zu (iii): Ohne Einschränkung kann angenommen werden: ˛ 2 Œ0; 2Œ. Denn nach (i) existiert ein k˛ 2 Z mit ˛ C k˛ 2 2 Œ0; 2Œ, und nach (ii) gilt Z

Z

ˇ

f D

ˇ Ck˛ 2

f: ˛Ck˛ 2

˛

Im Falle ˛ 2 Œ0; 2Œ ist aber Z

Z

2

f D 0

Z

˛

2

f C 0

(ii)

Z

f D ˛

Z

˛C2

f C 2

Z

2

Z

˛C2

f D

f D

˛

˛

f: ˛

Alle vorkommenden Integrale existieren aufgrund der verwendeten Regeln. Die folgenden Integrale kann man elementar berechnen: B. Lemma. Z Z 2 cos kx dx D 0 für k 2 N; (i) 0

Z

2

2

cos 0x dx D 0

dx D 2; 0

ˇ

408

Kapitel 7

Z

2

sin kx dx D 0 für k 2 N0 ;

(ii) Z

Fourier-Reihen

0

Z

2

2

cos kx cos `x dx D

(iii) 0

Z

sin kx sin `x dx D ık` für k; ` 2 N;

0 2

(iv) 0

cos kx sin `x dx D 0 für k; ` 2 N0 .

Dabei ist ık` das sog Kronecker-Symbol, deﬁniert durch ( 1 für k D ` ık` D 0 für k ¤ `: Soweit bei den Integralen 0 herauskommt, spricht man von den Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen. Beweis. Ein systematisches Vorgehen wurde in Ana-1 J[8.7] beschrieben. Direkt geht es folgendermaßen: (i) und (ii) folgen aus Grundintegralen oder durch die Substitution kx D t . (iii) ergibt sich aus (i) durch die folgende Rechnung mittels des Additionstheorems für den Kosinus: Z 2 Z 2 Z 2 2ık` D cos.k `/x dx D cos kx cos `x dx C sin kx sin `x dx Z

0

0

Z

2

cos.k C `/x dx D

0D 0

Z

2

0 2

cos kx cos `x dx

sin kx sin `x dx:

0

Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Zeilen liefert (iii). (iv) verläuft analog wie eben bei (iii) durch Aufspaltung von mittels des Additionstheorems des Sinus.

0

R 2 0

Einen ersten Fingerzeig zur Wahl der Koefﬁzienten in (2) liefert: C. Satz. Gilt in Œ0; 2 die Darstellung 1

(3)

f .x/ D

a0 X .ak cos kx C bk sin kx/ C 2 kD1

mit gleichmäßiger Konvergenz auf Œ0; 2, so folgt Z 1 2 ak D f .x/ cos kx dx für k 0 0 Z 1 2 f .x/ sin kx dx für k 1: bk D 0

sin.k ˙ `/x dx D 0

Abschnitt 7.1

409

Die Fourier-Reihe

Beweis. Die Funktion f ist auf Œ0; 2 stetig, da sie dort gleichmäßiger Limes von stetigen Funktionen ist. Man multipliziert nun (3) mit cos nx für festes n 2 N0 und integriert gliedweise. Das ist erlaubt, weil auch f .x/ cos nx auf Œ0; 2 stetig ist und weil die gleichmäßige Konvergenz für die durchmultiplizierte Reihe erhalten bleibt. So folgt Z2 f .x/ cos nx dx 0

a0 D 2

Z2 cos nx dx C

1 X

0 @ak

kD1

0

Z2

Z2 cos kx cos nx dx C bk

0

1 sin kx cos nx dx A :

0

Auf der rechten Seite verschwinden die meisten Integrale aufgrund von Lemma B: Es verbleibt im Falle n D 0 nur der nullte Term mit Wert a20 2 D a0 und im Falle n 1 nur der n-te Term mit Wert an . Es folgt Z

2

f .x/ cos nx dx D an ; 0

also die erste Gleichung, wie behauptet. (Man sieht an dieser Stelle, dass es sinnvoll war, den nullten Term rechts in (3) als a0 =2 anzusetzen; so ergibt sich eine einheitliche Formel für alle an .) Analog deduziert man die zweite Gleichung der Behauptung durch Multiplikation von (3) mit sin nx. Dieses Vorgehen hat den Charakter eines Eindeutigkeitsbeweises: Wenn eine Darstellung existiert, dann muss sie in einer bestimmten Weise beschaffen sein. Störend ist dabei die relativ starke Zusatzannahme der gleichmäßigen Konvergenz. Lieber hätte man doch, dass die Voraussetzungen alleine die Funktion f betreffen. So sollte man Satz C hauptsächlich als Motivation ansehen für die folgende Deﬁnition, die ganz unabhängig von speziﬁschen Voraussetzungen ist: D. Deﬁnition. Die Fourier-Koefﬁzienten von f sind: 1 ak WD 1 bk WD

Z

2

f .x/ cos kx dx

für k 0

0

Z

(Euler-Fouriersche Formeln).

2

f .x/ sin kx dx 0

für k 1

410

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Man schreibt dann auch 1

(4)

f .x/

a0 X .ak cos kx C bk sin kx/ C 2 kD1

und nennt die Reihe rechts die Fourier-Reihe oder Fourier-Entwicklung von f . Das Zeichen „“ wird gelesen als: „hat die Fourier-Reihe“. Warnung: Die letzte Schreibweise ist keine Gleichung sondern eine Relation. Sie soll lediglich ausdrücken, dass die Funktion f die zuvor deﬁnierten Fourier-Koefﬁzienten ak ; bk besitzt. Die Integrale in Deﬁnition D existieren nach dem Produktsatz (Ana-2: L[11.5]), da die zweiten Faktoren über Œ0; 2 integrierbar und beschränkt sind. Es entsteht nun das fundamentale Problem, wann die Relation (4) in eine richtige Gleichung übergeht. Die möglichen Antworten sind der eigentliche Inhalt der FourierTheorie. Spezieller und präziser formuliert geht es um folgende Hauptfragen: (a) Konvergenzproblem: Für welche x konvergiert die Fourier-Reihe? (b)

Darstellungsproblem: Für welche dieser x konvergiert die Fourier-Reihe gegen f .x/?

Tatsächlich kann man diese Fragen noch in verschiedener Weise abwandeln. Z.B. kann man fragen, auf welchen Teilmengen eines Periodenintervalls die Konvergenz gleichmäßig erfolgt. Oder, da das Problem der punktweisen Konvergenz in voller Allgemeinheit schwierig ist: Gibt es andere Konvergenzbegriffe, bezüglich denen die Konvergenz gegen f klar und übersichtlich zu bejahen ist? So wird sich am Ende herausstellen, dass die Konvergenz im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen von dieser Natur ist. Die Funktionen 1; cos kx; sin kx (k 2 N), die uns hier ständig begegnen, heißen die harmonischen Grundfunktionen. Die Konvergenz der Fourier-Reihe bedeutet natürlich (wie bei jeder Reihe) die Konvergenz der Teilsummen a0 X .ak cos kx C bk sin kx/; C 2 n

(5)

Fn .x/ WD

n 2 N0

kD1

für n ! 1. Es ist wichtig und offenkundig dass die Teilsummen linear von der Funktion abhängen. Wenn es darauf ankommt, die Funktion zu speziﬁzieren, so kann man statt Fn auch schreiben Fn Œf . Damit kann die Linearität präzise so formuliert werden:

Abschnitt 7.1

411

Die Fourier-Reihe

E. Lemma. Für ˛ 2 R, n 2 N0 und 2-periodische Funktionen f; g W R ! R, die über Œ0; 2 integrierbar sind, gelten die Linearitätsregeln Fn Œ˛f D ˛Fn Œf Fn Œf C g D Fn Œf C Fn Œg: Beweis. Die lineare Abhängigkeit gilt zunächst für die Fourier-Koefﬁzienten (bei festem k) aufgrund deren Bauart als Integrale. Sie überträgt sich dann in naheliegender Weise auf die Teilsummen (bei festem n). Im Falle der Konvergenz beider Teilsummen für n ! 1 besteht die lineare Abhängigkeit dann auch für die Werte der Fourier-Reihen (Ana-1: K[2.1]). Auf der praktischen Seite resultiert aus der Linearität eine gewisse Erleichterung beim Bestimmen der Fourier-Koefﬁzienten: Hat man z.B. die Fourier-Koefﬁzienten von f und g bereits berechnet, so erübrigt sich eine weitere Berechnung der Fourier-Koefﬁzienten von f C g; denn man erhält diese direkt für jedes k durch Addition der entsprechenden einzelnen Fourier-Koefﬁzienten. Im Rest dieses Abschnitts sollen einige Situationen und Beispiele vorgestellt werden, bei denen man die obigen Fragen direkt beantworten kann. Dazu ist es manchmal zweckmäßig, die Fourier-Koefﬁzienten komplex zu schreiben. Komplexe Schreibweise Wir betrachten die Teilsummen der Fourier-Reihe entsprechend (5) und drücken die trigonometrischen Funktionen komplex aus: 1 ikx C e ikx e cos kx D 2 (6) i ikx 1 ikx e ikx D e ikx : e e sin kx D 2i 2 Durch Einsetzen ergibt sich n a0 X 1 ikx i ikx ikx ikx Fn .x/ D bk Ce e ak C e e 2 2 2 kD1

D

X1 a0 X 1 C .ak i bk /e ikx C .ak C i bk /e ikx : 2 2 2 n

n

kD1

kD1

Mit den Deﬁnitionen 1 ck WD .ak i bk /; 2 c0 WD

ck WD

a0 1 D .a0 i b0 / 2 2

mit

1 .ak C i bk / 2 b0 WD 0;

für k 1

412

Kapitel 7

Fourier-Reihen

folgt: n X

Fn .x/ D

(7)

ck e ikx :

kDn

Hierin kann man die (i. Allg. komplexen) Koefﬁzienten durch Integrale mit komplexwertigen Integranden ausdrücken: Für k 0 ist nämlich: Z Z 1 1 1 2 1 2 ck D .ak i bk / D f .x/ cos kx dx i f .x/ sin kx dx 2 2 0 0 Z 2 1 f .x/e ikx dx D 2 0 und für k < 0: ck D

1 1 .ak C i bk / D 2 2

1 D 2

Z

1

2

f .x/ cos .k/x dx 0

1 Ci

Z

2

Z

2

f .x/ sin .k/x dx 0

f .x/e ikx dx;

0

also gemeinsam: (8)

1 ck D 2

Z

2

f .x/e ikx dx

0

für k 2 Z:

Diese ck , wobei der Index k jetzt ganz Z durchläuft, heißen die komplex geschriebenen Fourier-Koefﬁzienten von f . Analog zu (4) schreibt man (9)

f .x/

1 X

ck e ikx

oder

f .x/

kD1

X

ck e ikx ;

k2Z

um auszudrücken (nicht mehr und nicht weniger!), dass f die komplex geschriebenen Fourier-Koefﬁzienten ck besitzt. Die Konvergenz der Reihe rechts ist dabei, wenn sie besteht, in dem Sinne gemeint, dass die obigen Teilsummen Fn .x/ für n ! 1 konvergieren. Die Umrechnungsformeln zwischen den ak ; bk einerseits und den ck andererseits lauten also für k 0: ck D

1 .ak i bk /; 2

ck WD

1 .ak C i bk /; 2

Abschnitt 7.1

413

Die Fourier-Reihe

invertiert durch ak D ck C ck ;

bk D i.ck ck /

ebenfalls für k 0. Durchläuft man die bisherigen Argumente für 2-periodische Funktionen des Typs f W R ! C, so erkennt man ohne Mühe, dass alles erhalten bleibt – vorausgesetzt, f ist über Œ0; 2 integrierbar (was bedeutet, dass Real- und Imaginärteil von f beide über Œ0; 2 integrierbar sind). Fourier-Reihen aus Potenzreihen Aus der Darstellung einer Funktion durch eine komplexe Potenzreihe kann man recht einfach gleichmäßig konvergente Fourier-Reihen erzeugen: F. Satz. Ist eine Potenzreihe mit Zentrum 0 und Konvergenzradius r > 0 gegeben: h.z/ D

1 X

hk z k ;

z 2 C; jzj < r;

kD0

und ist 2 C fest mit j j < r, so erhält man durch Einsetzen von z D e ix eine gleichmäßig konvergente Fourier-Reihe: f .x/ WD h. e ix / D

1 X

hk k e ikx ;

x 2 R:

kD0

Beweis. Sei % WD j j < r. Die gegebene Potenzreihe konvergiert für jzj % gleichmäßig gegen h.z/. Speziell gilt dies für die betrachteten z D e ix , da jzj D %. G. Beispiel (geometrische Reihe). Diese lautet mit Zentrum 0 und Konvergenzradius r D 1: 1 jzj < r D 1: D 1 C z C z2 C ; h.z/ WD 1z Die Substitution z D %e ix mit % 2 1; 1Œ liefert nach diesem Rezept: f .x/ D h.%e ix / D

1 X

%k e ikx D

kD0

1 1 %e ix D : 1 %e ix j1 %e ix j2

Trennung von Real- und Imaginärteil in dieser Gleichung ergibt: 1 X

%k cos kx D

1 % cos x 1 2% cos x C %2

%k sin kx D

% sin x : 1 2% cos x C %2

kD0 1 X kD1

414

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Dies gilt gleichmäßig für x 2 R. Nach Satz F sind die Koefﬁzienten auf den linken Seiten die Fourier-Koefﬁzienten der Funktionen auf der rechten Seite mit jeweils festem % 2 1; 1Œ. Was passiert z.B. bei % D 1? – Hier versagt die obige Argumentation, da die geometrische Reihe für jzj D 1 nicht konvergiert. Abhilfe bietet hier der Rückgriff auf die Teilsummen, die ja bei der geometrischen Reihe explizit berechnet werden können: Für z D e ix ¤ 1 startet man mit der Teilsumme (für n 0), substituiert wie oben und trennt Real- und Imaginärteil: 1 C z C z2 C C zn D 1 C e ix C e 2ix C C e nix D D

cos

x 2

1 z nC1 1z 1 e i.nC1/x e ix=2 e i..nC1/xx=2/ D 1 e ix e ix=2 e ix=2 i sin x2 cos n C 12 x i sin n C 12 x : 2i sin x2

Dabei wurde zu Beginn mit eix=2 erweitert. Vergleich der Real- und Imaginärteile links und rechts ergibt schließlich: sin n C 12 x 1 (10) C cos x C cos 2x C C cos nx D 2 2 sin x2 cos x2 cos n C 12 x (11) : sin x C sin 2x C C sin nx D 2 sin x2 Diese Formeln gelten zunächst für x 2 R n Z2. Die linken Seiten sind jedoch in den Punkten x 2 R n Z2 stetig, also besitzen die rechten Seiten dort hebbare Unstetigkeiten und seien dort als die entsprechenden Grenzwerte ( 12 C n bzw. 0) aufgefasst. Für n ! 1 sind diese Ausdrücke i. Allg. nicht konvergent. Die Integration verbessert (wie so oft) die Situation. Integriert man (10) von der Mitte aus nach x 2 0; 2Œ, so folgt bei zunächst festem n:

(12)

1 1 1 .x / C sin x C sin 2x C C sin nx 2 2 n Zx 1 1 t D sin n C dt 2 2 sin 2t

D

cos n C 12 x nC

1 2

1 2 sin

x 2

1 nC

Zx 1 2

cos n C 12 t cos 4 sin2

t 2

t 2

dt DW Jn :

Abschnitt 7.1

415

Die Fourier-Reihe

Dabei wurde zum Schluss Produktintegration angewendet. Solange die Sinusterme in den Nennern von Null weg beschränkt sind, kann man diesen Ausdruck auf naheliegende Weise abschätzen und erhält so die Nullkonvergenz von jJn j, letzten Endes beruhend auf den anderen Nennern n C 12 . Das ergibt die Aussagen: Jn ! 0

glm. auf Œı; 2 ı

Jn ! 0

für x 2 0; 2Œ;

wenn ı eine festgewählte Zahl in 0; Œ ist. Hieraus folgt (13)

1 1 1 . x/ D sin x C sin 2x C sin 3x C ; 2 2 3

0 < x < 2;

wobei die Konvergenz punktweise erfolgt in 0; 2Œ und gleichmäßig in Œı; 2 ı. Die Reihe rechts konvergiert jedoch für alle x 2 R und deﬁniert damit eine 2periodische Funktion von R in R. Die Reihe stimmt auf 0; Œ mit 12 . x/ überein (nicht aber bei x D 0 und x D 2, wo sie den Wert 0 annimmt). Speziell für x D

2

ergibt sich erneut die Leibniz-Reihe aus Ana-1: K[8.5]: 1 1 1 D 1 C C : 4 3 5 7

Deﬁniert man nun f W R ! R auf Œ0; 2 durch ( 1 . x/ für 0 < x < 2 f .x/ WD 2 0 für x D 0 oder x D 2; und ansonsten durch 2-periodische Fortsetzung, so gilt auf ganz R 1 1 sin 2x C sin 3x C 2 3 Damit ist allerdings noch nicht klar, dass diese Reihe die Fourier-Reihe von f ist. Das kann man aber ganz elementar bestätigen, indem man die Fourier-Koefﬁzienten von f ausrechnet. Es ergibt sich in der Tat Z 1 2 1 bk D f .x/ sin kx dx D : ak D 0; 0 k (14)

f .x/ D sin x C

Es hat historisch großes Aufsehen erregt, als zum ersten Mal eine solche Reihe aus holomorphen Funktionen auftauchte, deren Summe eine unstetige Funktion ist. Dieses Phänomen hat dann den Anlass zur Schaffung des modernen Funktionsbegriff (der heute selbstverständlich ist) gegeben. Die unstetige Funktion f bietet das Bild einer Sägezahn-Welle; denn ihr Graph hat folgendes Schaubild:

416

Kapitel 7

Fourier-Reihen

2

1 5 -10

10

-5 -1

-2

Instruktiv ist die Annäherung der Funktion f durch die Teilsummen der Fourier-Reihe in (14), die in den Approximationsstufen 2 und 5 so aussehen: 2

1

-10

5

10

5

10

-5 -1

-2

2

1

-10

-5 -1

-2

Die Zacken werden außerhalb der Sprungstellen durch stetige (allerdings oszillierende) Funktionen gut angenähert; die Sprünge kann eine stetige Funktion natürlich nicht adäquat approximieren. Mathematisch drückt sich das genau durch das aus, was oben über die punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz festgestellt wurde. Die Berechnung der Fourier-Koefﬁzienten vereinfacht sich im Fall von Symmetrien der gegebene Funktion: H. Lemma. Ist f eine gerade Funktion, so gilt: bk D 0 für alle k 2 N. Ist f eine ungerade Funktion, so gilt: ak D 0 für alle k 2 N0 .

Abschnitt 7.1

417

Die Fourier-Reihe

Beweis. Beide Fälle verlaufen nach der gleichen Methode. Es sei z.B. eine gerade Funktion f behandelt, d.h. f .x/ D f .x/ für alle x 2 R. Man rechnet so: Z 2 f .x/ sin kx dx bk D Z

0

D

f .x/ sin kx dx

Lemma A(iii)

Z

D

Substitution x D t

f .t / sin.kt / dt Z

D

f .t/ sin kt dt

D bk : Vergleich von Anfang und Ende der Kette ergibt sie Behauptung.

I. Beispiel. Hier sei f die stückweise afﬁne Funktion mit ( x für x 2 Œ0; f .x/ D 2 x für x 2 Œ; 2; natürlich mit 2-periodischer Fortsetzung. Auf Œ; ist f .x/ D jxj. Diese Funktion stellt eine sog. Zickzack-Welle dar:

f ist gerade, also alle bk D 0. Bei ak berechnet man hier die Integrale sinnvollerweise von bis durch Zerlegung unter Ausnutzung der Symmetrie: Z Z Z f .x/ dx D 2 f .x/ dx D 2 x dx D 2 a0 D Z ak D

0

Z

f .x/ cos kx dx D 2

D

0

cos kx C kx sin kx k2

x cos kx dx 0

D 0

.1/k 1 : k2

In der zweiten Zeile ist natürlich Produktintegration anzuwenden. Hiernach sind die bk mit geradem Index k gleich Null, sodass die Fourier-Reihe folgende Gestalt annimmt: cos 3x cos 5x 4 cos x f .x/ C C C : 2 12 32 52

418

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Die Reihe rechts konvergiert in ganz R gleichmäßig nach dem Majorantenkriterium (Ana-1: C[8.2]). Trotzdem ist an dieser Stelle noch nicht klar, dass das -Zeichen in ein Gleichheitszeichen verwandelt werden darf, dass also die Funktion wirklich durch ihre Fourier-Reihe dargestellt wird. Es handelt sich hier um eine Fourier-Analyse, für die das inverse Problem der Fourier-Synthese im Augenblick noch offen ist. Das wird sich aber in Kürze ändern. J. Bemerkung. Die obige Behandlung der Funktionen Sn .x/ WD sin x C

sin 2x sin 3x sin nx C C C 2 3 n

in (12) mittels Integraldarstellung und Produktintegration lässt sich nach Kneser[1905] etwas abwandeln und liefert dann die interessante Eigenschaft, dass Sn .x/ gleichmäßig beschränkt ist. Es reicht dazu, das Integral Zx Jn .x/ WD

1 1 sin n C t 2 2 sin

t 2

dt

für x 2 2; 2Œ zu betrachten. Zunächst soll der Integrand statt des Nenners 2 sin den Nenner t erhalten, was natürlich korrigiert werden muss. Das ergibt Zx Jn .x/ D

t 2

Zx sin n C 12 t 1 dt C ˆ.t / sin n C t dt t 2

mit ˆ.t / WD

t 2 sin 2t : 2t sin 2t

Die somit eingeführte Funktion ˆ W 2; 2Œ hat bei t D 0 eine hebbare Unstetigkeit, kann somit als Funktion der Klasse C 1 behandelt werden. (Sie besitzt bei ˙2 nur uneigentlichen Grenzwerte.) Das Gleiche gilt für ihre Ableitung ˆ0 . Nun wird wie oben das zweite Integral durch Produktintegration umgeformt mit dem Resultat: Jn .x/ D Jn1 .x/ C Jn2 .x/; wobei Zx Jn1 .x/

WD

Jn2 .x/

WD

sin n C 12 t dt t

"

#x ˆ.t / cos n C 12 t nC

1 2

Zx C

ˆ0 .t / cos n C 12 t nC

1 2

dt:

Abschnitt 7.1

419

Die Fourier-Reihe

Die oberen Indizes bezeichen hier keine Potenzen, sondern dienen zur Nummerierung. Den ersten Bestandteil kann man durch die Substitution u D n C 12 t verwandeln in 1 .nC Z 2 /x

Jn1 .x/ D

sin u du: u

.nC 12 / Für diesen Ausdruck kommt die Asymptotik des Integralsinus zum Zuge, die besagt, dass das uneigentliche Integral Z1 sin t dt t 0

konvergiert, wenn auch nicht absolut (Ana-2: Beispiel F(iii)[11.7]). Dasselbe gilt natürlich auch für die Grenzen von 1 bis 0, da der Integrand eine gerade Funktion ist. Hiernach existiert eine Konstante M1 mit ˇ 1 ˇ ˇJ .x/ˇ M1 für alle n und x 2 R: n Beim zweiten Bestandteil besteht offensichtlich die gleichmäßige Nullkonvergenz 3 3 2 lim J .x/ D 0 glm. auf ; ; n!1 n 2 2 da sowohl ˆ.x/ wie auch ˆ0 .x/ in diesem Intervall beschränkt sind. Insbesondere herrscht auch bei diesem Bestandteil auf Œ 32 ; 32 gleichmäßige Beschränktheit: ˇ 2 ˇ ˇJ .x/ˇ M2 für alle n und x 2 3 ; 3 : n 2 2 3 3 Zusammengefasst ist damit Jn .x/ auf 2 ; 2 gleichmäßig beschränkt, also auch Sn .x/. Da dieses Intervall ein Periodenintervall enthält und Sn .x/ die Periode 2 besitzt, ergibt sich insgesamt die (15)

gleichmäßige Beschränktheit von

n X sin kx für alle n 2 N und x 2 R: k

kD1

Die Eigenschaft der gleichmäßigen Beschränktheit deutet sich in den obigen Näherungskurven für die Sägezahn-Welle an. Außerdem kann man an diesen Bildern erahnen, dass die Extrema der Approximationen etwas über die Extrema der ZickzackWelle selbst „hinausschießen“. Man kann zeigen, dass der Betrag dieses Hinausschießen mit wachsendem n nicht geringer wird, sondern sich einem konstanten positiven Wert nähert. Das ist das sog. Phänomen von Gibbs. Wir werden es im Abschnitt 7.4 studieren.

420

Kapitel 7

Fourier-Reihen

An dieser Stelle wollen wir nun nicht weiter nach speziellen Methoden suchen, sondern das Darstellungsproblem, also die Fourier-Synthese, allgemein angehen. Ein erster wichtiger Schritt ist die Betrachtungsweise in einem geeigneten Funktionenraum, die im nächsten Abschnitt folgt. K. Bemerkung. Manchmal werden in der Fourier-Reihe die beiden Kosinus-und Sinusglieder mit gleichem Index k zusammengefasst zu einem einzigen Kosinus- oder Sinusterm. Z.B. beruht die Kombination zu einem Kosinusterm auf der allgemeinen Formel a cos x C b sin x D A cos.x '/;

(16)

in der a, b gegebene reelle Konstante sind und die reellen Konstanten A und ' so bestimmt werden sollen, dass diese Gleichung für alle x 2 R gilt. Im Sonderfall a D b D 0 kann man einfach A D 0 und ' beliebig (z.B. als 0) wählen. Sei jetzt also .a; b/ ¤ .0; 0/. Dann läuft die Berechnung der Unbekannten A, ' über die äquivalente Umformung von (16) a cos x C b sin x D A cos x cos ' C A sin x sin ': Dies ist erfüllt, wenn a D A cos ', b D A sin ' gilt, und dies wiederum, wenn AD

p

a2 C b 2 ;

' D Arg.a; b/:

A heißt Gesamtamplitude und ' Phasenverschiebung. Mit dieser Wahl von A und ' gilt also (16) für alle x. (Vgl. zur Funktion Arg: Ana-1: R[4.4]; liegt das Paar .a; b/ in der geschlitzten Ebene oder in der rechten Halbebene, so lässt sich ' in der dort genannten Weise formelmäßig durch den Arkustangens ausdrücken.) Angewandt auf die Fourier-Reihe ergibt sich so eine alternative Darstellung in der Gestalt 1 q a0 X f .x/ Ak cos.x 'k / mit Ak WD ak2 C bk2 ; 'k WD Arg.ak ; bk /; C 2 kD1

mit der Sonderbestimmung, dass 'k im Falle .ak ; bk / D .0; 0/ frei wählbar ist.

Aufgaben und Anmerkungen 1. In Ergänzung zu Lemma H zeige man a)

Ist f eine gerade Funktion, so gilt außer bk D 0: Z 1 ak D f .x/ cos kx dx; 2 0

k 2 N0 :

Abschnitt 7.1

b)

421

Die Fourier-Reihe

Ist f eine ungerade Funktion, so gilt außer ak D 0: Z 1 f .x/ sin kx dx; bk D 2 0

k 2 N:

2. Durch Anwendung von Satz F auf die komplexe Exponentialfunktion gewinne man die folgenden Darstellungen als Fourier-Reihen: e cos x cos.sin x/ D

1 X cos kx ; kŠ

e cos x sin.sin x/ D

kD0

1 X sin kx : kŠ

kD0

3. Man berechne die Fourier-Reihen der folgenden auf ; deﬁnierten und im übrigen 2-periodisch fortgesetzten Funktionen: a)

x

1 X

.1/kC1

kD1

2 sin kx. k

1

b)

jsin xj

X 4 2 C cos 2kx. .4k 2 1/ kD1

1

c)

d)

X 2a sin a cos kx sin a .1/k . C a a2 k 2 kD1 Hierin sei a eine reelle, nicht ganzzahlige Konstante. cos ax

1 X 2a sinh a cos kx sinh a .1/k . C a a2 C k 2 kD1 Hierin sei a ¤ 0 eine reelle Konstante.

cosh ax

4. Analog zur Herleitung von (13) beweise man: (17)

x 1 1 ln 2 sin D cos x C cos 2x C cos 3x C ; 2 2 3

0 < x < 2:

Dabei ist die Konvergenz dieser Reihe im Intervall 0; 2Œ gesichert, es ist aber (noch) nicht klar, dass die Summenfunktion über dieses Intervall integrierbar ist und dass die Reihe rechts ihre Fourier-Reihe darstellt. 5. In Fortsetzung von Aufgabe 4 zeige man in folgenden Schritten, dass es sich bei (17) wirklich um eine Fourier-Entwicklung handelt: a) Die Funktion f .x/ WD ln 2 sin x2 ist über 0; 2Œ integrierbar. Sie sei durch f .0/ WD f .2/ WD 0 und 2-periodische Fortsetzung ergänzt und wird dadurch zu einer geraden Funktion f W R ! R. b)

Die Fourier-Koefﬁzienten von f sind ak D

1 für k 1. k

422 c)

Kapitel 7

Für k D 0 gilt

Z

2

a0 WD 0

Fourier-Reihen

x ln 2 sin dx D 0: 2

Lösungshinweis: Bei b) verwende man Produktintegration und forme die trigonometrischen Ausdrücke im verbleibenden Integral so um, dass (10) anwendbar wird. Teil c) erfordert eine Spezialbehandlung, da keine Stammfunktion von f bekannt ist. Man gewinne das behauptete Integral aus Z (18) J WD ln sin x dx D ln 2; 0

was seinerseits durch folgenden Kunstgriff berechnet werden kann: Man schreibe sin x D 2 sin x2 cos x2 , zerspalte das Integral entsprechend den drei Summanden ln 2, ln sin x2 und ln cos x2 und substituiere im dritten Bestandteil mit x D t . Dadurch erhält man eine Bestimmungsgleichung für J , die nach J aufgelöst werden kann. Bei all diesen Rechnungen ist zu beachten, dass an den Intervallgrenzen Singularitäten liegen, sodass man über uneigentliche Integrale argumentieren muss. 6. Die Erzeugung einer Fourier-Reihe nach Satz F kann noch etwas verallgemeinert werden, indem statt z D e ix die Substitution z D e ix verwendet, also x durch x ersetzt wird. Sind nun zwei Potenzreihen h.z/ D

1 X

hk z k ;

jzj < rh ;

g.z/ D

kD0

1 X

gk z k ;

jzj < rg

kD0

mit Konvergenzradien rh > 0, rg > 0 gegeben, so kann man in die erste z D e ix einsetzen und in die zweite z D e ix . So erhält man in Gestalt der Summe h. e ix / C g. e ix / D

1 X

ck e ikx ;

kD1

eine komplexe Fourier-Reihe der Form (9), nun aber mit Gleichheit statt „“, zumindest für j j < min frh ; rg g. Man führe dies analog zu Satz F aus.

7.2

Approximation im quadratischen Mittel

Das Darstellungsproblem der Fourier-Reihe nimmt eine überraschend positive Wendung, wenn man sich von der punktweisen Konvergenz löst und stattdessen nach der Konvergenz in einem geeigneten Funktionenraum fragt. Besonders geeignet dafür ist der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen. Das hat gute Gründe. Zum einen ist in diesem Raum eine geometrische Sprache möglich, welche die Dinge analog zu

Abschnitt 7.2

Approximation im quadratischen Mittel

423

den Verhältnissen in einem Euklidischen Raum beschreibt. Zum anderen genießen die Teilsummen der Fourier-Reihe in diesem Raum eine Minimaleigenschaft, die sie von anderen Summen der gleichen Bauart auszeichnet. A. Deﬁnition und Satz. Eine Funktion f W Œa; b ! R heißt quadratisch integrierbar, wenn f und f 2 integrierbar sind. Mit f W Œa; b ! R und g W Œa; b ! R sind auch f C g und ˛f (˛ 2 R) quadratisch integrierbar, ebenso f g. Somit existieren das Skalarprodukt Z b f .x/g.x/ dx 2 R; hf; gi WD a

und die 2-Norm von f p kf k2 WD hf; f i D

s Z

b a

f .x/2 dx 2 R:

Diese Ergebnisse entnimmt man der allgemeinen Integrationstheorie, wie sie in Ana2, Abschnitt 13.1 entwickelt wurde (insbesondere im dortigen Spezialfall p D q D 2). Tatsächlich gilt noch viel mehr, worauf später eingegangen wird. Die obigen Eigenschaften kann man aber auch für andere Integralbegriffe (dann elementarer) beweisen, z.B. für Riemann-integrierbare Funktionen oder – ganz einfach – für Integrale stetiger Funktionen. Jedenfalls reichen sie aus, um die folgende Minimaleigenschaft der Fourier-Koefﬁzienten zu formulieren. B. Bemerkung. Die Bezeichnung „quadratisches Mittel“ rührt daher, dass die 2-Norm kf k2 , dividiert durch die 2-Norm der Einsfunktion k1k2 , also der Quotient s Z b 1 kf k2 D f .x/2 dx ba a k1k2 als quadratischer Mittelwert bezeichnet wird. Hier arbeiten wir aber mit der 2-Norm selbst. Zurück zur Fourier-Reihe, machen wir in diesem Abschnitt die Generalvoraussetzung: Die 2-periodische Funktion f W R ! R ist über das Intervall Œ0; 2 quadratisch integrierbar. Neben den Teilsummen der Fourier-Reihe a0 X .ak cos kx C bk sin kx/ C Fn .x/ WD 2 n

(1)

kD1

424

Kapitel 7

Fourier-Reihen

betrachten wir einen Ausdruck der Gestalt ˛0 X .˛k cos kx C ˇk sin kx/; Tn .x/ WD C 2 n

(2)

kD1

mit freien reellen Koefﬁzienten ˛k , ˇk . Während in Fn .x/ die Koefﬁzienten ak , bk in einer ganz bestimmten Weise gewählt sind, eben als die Fourier-Koefﬁzienten, besteht eine solche Fixierung für Tn .x/ nicht. Man nennt (1) das n-te Fourier-Polynom und (2) ein n-tes trigonometrisches Polynom. C. Satz (Minimaleigenschaft der Fourier-Koefﬁzienten). Sei f W Œ0; 2 ! R quadratisch integrierbar und n 2 N0 fest. Dann gilt: kf Tn k2 kf Fn k2 mit Gleichheit genau dann, wenn die ˛k , ˇk mit den entsprechenden Fourier-Koefﬁzienten ak , bk übereinstimmen: ˛k D ak und ˇk D bk für alle k n. Diese Ungleichung könnte man ganz elementar nachrechnen, indem man den Ausdruck kf Tn k22 mit den obigen Regeln umformt und abschätzt, wobei die Orthogonalitätsrelationen B[7.1] eine wichtige Rolle spielen. Allerdings erfordert das doch eine längere Rechnung, die einfacher zu bewältigen ist, indem man die ganze Situation in einen allgemeineren Rahmen stellt. Dieser allgemeine Rahmen, der im Grunde sehr nahe liegt, wird jetzt beschrieben und danach der Beweis für Satz C erbracht (in Folgerung I). Die quadratisch integrierbaren Funktionen f W Œ0; 2 ! R bilden mit dem obigen Skalarprodukt einen Euklidischen Vektorraum (oder Prä-Hilbert-Raum), der sogar vollständig ist, wovon aber zunächst kein Gebrauch gemacht wird. Dementsprechend bleiben die Argumente dieses Abschnitts auch gültig, wenn ein elementarer Integralbegriff zugrunde gelegt wird. Orthonormalsysteme in einem Prä-Hilbert-Raum Es werde nun ein beliebiger reeller Prä-Hilbert-Raum V mit Skalarprodukt hu; vi und zugehöriger Norm juj WD hu; ui1=2 betrachtet. Die Elemente von V werden neutral mit Buchstaben wie u; v; : : :, die zugehörige Norm neutral mit einfachen senkrechten Strichen bezeichnet, um sie von diversen Normen in den Funktionenräumen zu unterscheiden. Immer wieder gebraucht wird die Cauchy/Schwarz-Ungleichung: j hu; vi j juj jvj ; wobei Gleichheit genau für linear abhängige u; v eintritt. Die Cauchy/Schwarz-Ungleichung impliziert die Dreiecksungleichung: ju C vj juj C jvj ;

Abschnitt 7.2

Approximation im quadratischen Mittel

425

wie man der folgenden Umformung entnimmt: ju C vj2 D hu C v; u C vi D hu; ui C 2 hu; vi C hv; vi juj2 C 2 juj jvj C jvj2 : An dieser erkennt man auch die Gleichwertigkeit der Orthogonalität mit dem Satz des Pythagoras, d.h. hu; vi D 0 () ju C vj2 D juj2 C jvj2 : Ist U ein Untervektorraum von V , so erbt dieser das Skalarprodukt von V und wird dadurch selbst zu einem Prä-Hilbert-Raum. Der Orthogonalraum U ? zu U besteht aus allen v 2 V , sodass für alle u 2 U gilt: hu; vi D 0. Statt „Orthogonalraum“ sagt man auch Lotraum. Sei nun .uk /k2N ein abzählbares System von Elementen von V mit der Indexmenge N D f1; 2; : : : ; ng im endlichen Fall bzw. N D N im abzählbar unendlichen Fall. Ein solches System heißt ein Orthogonalsystem, falls huk ; u` i D 0 für alle k ¤ ` in N gilt. Es heißt ein Orthonormalsystem, wenn zusätzlich alle Elemente die Länge 1 haben, d.h. wenn huk ; u` i D ık` für alle k; ` 2 N ; ık` das Kronecker-Symbol. Bei Orthonormalsystemen schreiben wir meistens ek statt uk . Das lange Wort „Orthonormalsystem“ sei auch als ON-System abgekürzt. D. Lemma. Sei .ek /k2N ein ON-System in V . (i)

Ist e1 ; : : : ; en Basis des Vektorraums V (dieser also endlich-dimensional), so gilt für alle v 2 V : n X ˝ ˛ vD v; ej ej ; j D1

eine sog. Orthonormalentwicklung. (ii)

Sei U der Untervektorraum von V , aufgespannt von e1 ; : : : ; ek für ein k 2 N . Dann existiert zu jedem v 2 V genau ein v 2 U mit v v 2 U ? , nämlich v D

k X ˝

˛ v; ej ej :

j D1

Beweis. Sei v 2 V gegeben. Zu (i): Wegen der Basiseigenschaft existiert jedenfalls eine Darstellung vD

n X j D1

j ej ;

426

Kapitel 7

Fourier-Reihen

mit eindeutig bestimmten Koefﬁzienten j . Skalarmultiplikation dieser Gleichung mit festem ek liefert aus dieser Gleichung hv; ek i D

n X

n ˝ ˛ X j ej ; ek D j ıj k D k :

j D1

j D1

P Zu (ii): Man macht den Ansatz v D kiD1 i ei ; und bestimmt die zunächst freien Koefﬁzienten i so, dass v v in U ? liegt. Diese Forderung rechnet sich äquivalent um: ˛ ˝ v v 2 U ? () v v ; ej für j D 1; : : : ; k ˝ ˛ ˝ ˛ () v; ej D v ; ej für j D 1; : : : ; k ˛ ˝ für j D 1; : : : ; k () v; ej D j () v D

k X ˝

˛ v; ej ej :

j D1

˝ ˛ Beim Übergang von der zweiten zur dritten Zeile berechnet man v ; ej genau wie bei (i). Die Forderung an v ist also tatsächlich äquivalent mit der genannten Bestimmung von v . E. Lemma. Ist U ein endlich-dimensionaler Untervektorraum von V , so gilt (i)

V D U ˚ U ?;

(ii)

U D .U ? /? .

Beweis. Sei e1 ; : : : ; ek eine Orthonormalbasis von U . Eine solche existiert, da man sie aus einer beliebigen Basis von U mittels des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens gewinnen kann. Zu (i): Die Behauptung besagt, dass V die direkte Summe der beiden Untervektorräume U und U ? ist. Dazu ist laut linearer Algebra zu zeigen (a) V D U C U ? (d.h. jedes v 2 V kann als Summe eines Elements aus U und eines Elements aus U ? dargestellt werden); (b) U \ U ? D f0g. Zu (a): Man schreibt einfach v D v C .v v / mit dem v aus Lemma D(ii). Hierin ist v 2 U und v v 2 U ? . Zu (b): Aus u 2 U \ U ? folgt hu; ui D 0, also weiter u D 0. Zu (ii): Die Inklusion U .U ? /? ist klar aus der Deﬁnition des Orthogonalraums. (Jeder Vektor u 2 U ist orthogonal zu jedem Vektor, der zu allen Vektoren von U orthogonal ist.)

Abschnitt 7.2

427

Approximation im quadratischen Mittel

Die Inklusion .U ? /? U beweist man so: Ist v 2 .U ? /? , so existieren nach (i) v1 2 U und v2 2 U ? mit v D v1 C v2 . Wegen hu; vi D 0 für alle u 2 U ? folgt hv2 ; vi D 0, also hv2 ; v1 C v2 i D 0, also hv2 ; v2 i D 0, also v D v1 2 U . Gilt V D U ˚U ? für einen Untervektorraum U V (gewährleistet z.B. nach Lemma E, falls U endliche Dimension hat), so spricht man von einer Orthogonalzerlegung von V , und man nennt U ? das orthogonale Komplement von U . Verbunden damit sind immer die beiden Orthogonalprojektionen P1 W V ! U mit P1 .v/ WD v1 und P2 W V ! U mit P2 .v/ WD v2 , wenn jeweils v D v1 C v2 mit v1 2 U und v2 2 U ? ist. Beide Orthogonalprojektionen sind linear, und es gilt v D P1 v C P2 v für alle v 2 V , d.h. P1 C P2 D E (E die Identität von V ). F. Folgerung. Ist e1 ; : : : ; ek eine Orthonormalbasis des endlich-dimensionalen Untervektorraums U V , so bestehen für die beiden Orthogonalprojektionen die expliziten Darstellungen: P1 v D

k X ˝

˛ v; ej ej ;

P2 v D v P1 v D v

j D1

k X ˝

˛ v; ej ej :

j D1

Beweis. Dies ergibt sich unmittelbar aus D(ii) und E(i).

G. Lemma (Minimaleigenschaft der ersten Projektion). Besteht für einen Untervektorraum U V die Orthogonalzerlegung V D U ˚ U ? , so gilt für alle v 2 V und u 2 U : (3)

jv uj2 jv P1 vj2 D jP2 vj2 D jvj2 jP1 vj2 0:

Genau für u D P1 v gilt jv uj D jv P1 vj. Wir schreiben wie oben auch P1 v D v . Die erste Ungleichung in (3) drückt aus, dass der Abstand eines Elements v 2 V von den Elementen u 2 U sein Minimum annimmt, wenn u D v gewählt wird. Der Zusatz besagt, dass v die einzige Minimalstelle der Funktion u 7! jv uj ist. Anders ausgedrückt: v ist in U die beste Approximation an v und als solche eindeutig bestimmt.

428

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Man sagt auch, v sei das Proximum oder der Fußpunkt von v in U . Dieser wird hier realisiert durch die Orthogonalprojektion von v auf U . Das ist auch anschaulich klar, wie das obige Bild zeigt. Beweis von G. Aus v u D P1 v C P2 v u D P2 v C .P1 v u/ „ƒ‚… „ ƒ‚ … 2U 2 U? folgt nach „Pythagoras“ jv uj2 D jP2 vj2 C jP1 v uj2 jP2 vj2 D jv P1 vj2 mit Gleichheit genau für P1 v u D 0, d.h. u D P1 v. Wegen v D P1 v C P2 v gilt wiederum nach „Pythagoras“ jvj2 D jP1 vj2 C jP2 vj2 , also 0 jP2 vj2 D jvj2 jP1 vj2 . Die Ergebnisse F und G enthalten im Kern das, was man als abstrakte FourierEntwicklung bezeichnen kann: Bei gegebenem ON-System .ek /k2N und festem Index k 2 N versucht man, ein Element v 2 V möglichst gut durch eine endliche Linearkombination n X

k ek

kD1

anzunähern. Das gelingt auch. Denn wendet man Lemma G auf den Spann von e1 ; : : : ; en an, so folgt

(4)

ˇ ˇ2 ˇ ˇ2 n n n ˇ ˇ ˇ ˇ X X X ˇ ˇ ˇ ˇ k ek ˇ ˇv hv; ek i ek ˇ D jvj2 hv; ek i2 0 ˇv ˇ ˇ ˇ ˇ kD1

kD1

kD1

mit Gleichheit bei an der ersten Position genau für k D hv; ek i, k D 1; : : : ; n. Dabei ist noch bemerkenswert, dass die „Bestkoefﬁzienten“ hv; ek i gar nicht von n abhängen; sie heißen die Fourier-Koefﬁzienten von v im ON-System .ek /k2N . Aus der zweiten Position von folgt außerdem (5)

n X

hv; ek i2 jvj2

für alle v 2 V und n 2 N :

kD1

Im Falle N D N schreibt man (6)

v

1 X kD1

hv; ek i ek ;

Abschnitt 7.2

429

Approximation im quadratischen Mittel

um auszudrücken, dass hv; ek i die Fourier-Koefﬁzienten von v sind (womit auch hier nichts darüber gesagt ist, ob und in welchem Sinne das Zeichen durch D ersetzt werden kann). Die rechte Seite von (6) ist eine Reihe im Prä-Hilbert-Raum V , die (abstrakte) Fourier-Reihe von v bez. des ON-Systems .ek /k2N . In (5) erscheinen links die Teilsummen einer skalaren Reihe mit nichtnegativen Gliedern. Daraus liest man ab: H. Folgerung. Für jedes abzählbar unendliche ON-System .ek /k2N und alle v 2 V besteht die Bessel-Ungleichung 1 X

hv; ek i2 jvj2

kD1

einschließlich der Konvergenz der Reihe auf der linken Seite. Insbesondere gilt lim hv; ek i D 0

k!1

für die Glieder dieser Reihe. Anwendung auf die Fourier-Reihe

In diesen allgemeinen Rahmen passen die Verhältnisse bei den Fourier-Reihen exakt hinein. Die Rolle des Prä-Hilbert-Raums V wird dabei übernommen vom Raum der 2-periodischen, über Œ0; 2 quadratisch integrierbaren Funktionen f W R ! R mit Skalarprodukt und 2-Norm entsprechend Z 2 p f .x/g.x/ dx; hf; gi WD kf k2 WD hf; f i: 0

Das ON-System erhält man aus den harmonischen Grundfunktionen (immer mit k 1): g0 WD 1; gk .x/ WD cos kx; hk .x/ WD sin kx etwa in der Anordnung g0 ; g1 ; h1 ; g2 ; h2 ; : : : Diese bilden nach Lemma B[7.1] eine Orthogonalsystem, müssen also noch auf 1 normiert werden. Dazu berechnet man ihre Normen mit Hilfe dieses Lemmas als Z 2 1=2 Z 2 1=2 p g02 D 1 D 2 kg0 k2 D 0

Z (7)

kgk k2 D

gk2

0

Z khk k2 D

0

0

Z

1=2

2

h2k

2

D

cos kx dx

D

p

D

p :

0

1=2

2

1=2

2

Z

1=2

2 2

D

sin kx dx 0

430

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Das entsprechende Orthonormalsystem besteht also aus den Funktionen (8)

1 G0 WD p g0 ; 2

1 Gk WD p gk ;

1 Hk WD p hk

in der Anordnung (9)

G0 ; G1 ; H1 ; G2 ; H2 ; : : : :

Die Fourier-Koefﬁzienten im Sinne von Deﬁnition D[7.1] lauten damit p Z 2 1 2 1 a0 D f .x/ dx D hf; g0 i D p hf; G0 i 0 Z 1 2 1 1 (10) ak D f .x/ cos kx dx D hf; gk i D p hf; Gk i 0 Z 1 2 1 1 bk D f .x/ sin kx dx D hf; hk i D p hf; Hk i : 0 Daraus berechnen sich die Teilsummen der Fourier-Reihe im Sinne von (5)[7.1] als

X 1 Fn D hf; g0 i C 2 n

kD1

(11) D hf; G0 i G0 C

n X

1 1 hf; gk i gk C hf; hk i hk

.hf; Gk i Gk C hf; Hk i Hk /:

kD1

Das Ergebnis ist genau die Teilsumme der abstrakten Fourier-Reihe von f bez. des Systems (9). Mit den obigen Übersetzungsvorschriften kann man aus den Ergebnissen im „abstrakten“ Prä-Hilbert-Raum ganz konkret Folgendes gewinnen: I. Folgerung. Sei f W Œ0; 2 ! R quadratisch integrierbar und Fn das FourierPolynom (1) sowie Tn ein trigonometrisches Polynom (2). (i)

Es besteht die Minimaleigenschaft der Fourier-Koefﬁzienten: kf Tn k2 kf Fn k2

mit Gleichheit genau dann, wenn die ˛k , ˇk mit den entsprechenden Fourier-Koefﬁzienten ak , bk übereinstimmen: ˛k D ak und ˇk D bk für alle k n. Bei festem n realisiert also Fn in der 2-Norm das Proximum an f unter allen Tn und ist als solches eindeutig bestimmt.

Abschnitt 7.2

(ii)

Es gilt: Z 0 kf Fn k22 D

(iii)

X 2 .ak2 C bk2 /: a0 2 n

2

f .x/2 dx 0

kD1

Es besteht die Bessel-Ungleichung: 1 2 X 2 1 a C .ak C bk2 / 2 0 n

kD1

(iv)

431

Approximation im quadratischen Mittel

Z

2

f .x/2 dx: 0

Für die Fourier-Koefﬁzienten gilt: lim ak D lim bk D 0:

k!1

k!1

Die Minimaleigenschaft der Fourier-Koefﬁzienten, wie sie in Satz C behauptet wurde, ist in Teil (i) enthalten. Beweis von I. (i) und (ii) ergeben sich unmittelbar aus (4) durch die Umrechnungen in (7), (8), (10) und (11). (iii) ist wie oben eine direkte Konsequenz aus (ii), und (iv) folgt aus (iii), da die Glieder einer konvergenten Reihe gegen Null konvergieren. Aus der Nullkonvergenz (iv) der Fourier-Koefﬁzienten kann man interessante Folgerungen ziehen. Als Erstes lässt sich diese Konvergenz „verstärken“, und zwar umso mehr, je höher die Funktion differenzierbar ist: J. Satz. Ist die 2-periodische Funktion f W R ! R von der Klasse C r für ein r 1, so gilt: (12)

lim k r ak D lim k r bk D 0;

k!1

k!1

und die Fourier-Reihe konvergiert absolut-gleichmäßig. In der Landau-Symbolik (Ana-1: Aufgabe 6[3.5]) besagen die Behauptungen (12): 1 1 ; bk D o : ak D o kr kr Wogegen die Fourier-Reihe konvergiert, bleibt an dieser Stelle noch offen. Die Antwort ist erst später möglich (Satz A[7.4]). Beweis von J. Das passende Hilfsmittel ist die Produktintegration. Sei zunächst r D 1 betrachtet. Die Ableitung f 0 W R ! R ist nach Voraussetzung stetig und wiederum 2-periodisch; denn aus f .x C 2/ D f .x/ folgt nach der

432

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Kettenregel f 0 .x C 2/ D f 0 .x/. Die Fourier-Koefﬁzienten von f seien wie immer ak , bk , die von f 0 seien Ak , Bk genannt. Dann gilt Z 2 f 0 .x/ cos kx dx Ak D 0

Z

D Œf .x/ cos kx2 0 C

2

f .x/ sin kx k dx D 0 C k bk : 0

Der herausintegrierte Bestandteil ist Null, da f .0/ D f .2/. Analog berechnet man Z 2 f 0 .x/ sin kx dx Bk D 0

D Œf .x/ sin

Z kx2 0

2

f .x/ cos kx k dx D 0 k ak ; 0

somit Ak D kbk ;

Bk D kak :

0

Damit folgt aus I(iv), angewandt auf f : 0 D lim Ak D lim kbk ; k!1

k!1

0 D lim .Bk / D lim kak : k!1

k!1

Die Behauptung für beliebige r 2 N ergibt sich nun durch vollständige Induktion: Für jede weitere Ableitungsstufe kommt ein Faktor k hinzu. Zum Beweis der absoluten Gleichmäßigkeit genügt der Fall r D 1, da die Zugehörigkeit zu einer höheren Differentiationsklasse die zur Klasse C 1 impliziert. Zunächst gilt nach der Cauchy/Schwarz-Ungleichung für k 1 q q p jak cos kx C bk sin kxj ak2 C bk2 cos2 kx C sin2 kx D ak2 C bk2 ; so dass es zur Majorantensuche ausreicht, die Reihe mit den zuletzt genannten Ausdrücken als Gliedern zu untersuchen. Für deren Teilsummen gilt v v u n u n n q n q X X uX 1 uX 1 2 2 2 2 ak C bk D Ak C Bk t t .A2k C Bk2 / k k2 kD1 kD1 kD1 kD1 v v u1 u1 uX 1 uX 2 t .Ak C Bk2 /: t k2 kD1

kD1

Dabei wurde in der ersten Zeile erneut die Cauchy/Schwarz-Ungleichung eingebracht. Die zuletzt vorkommenden zwei Reihen sind q konvergent, sodass aufgrund dieser Abschätzung auch die Reihe mit den Gliedern

ak2 C bk2 konvergiert. Insgesamt hat also

Abschnitt 7.2

Approximation im quadratischen Mittel

433

die Fourier-Reihe eine konvergente, von x unabhängige Majorante. Nun liefert das Majorantenkriterium von Weierstraß (Ana-1: C[8.2]) die Behauptung. Eine zweite Folgerung aus I(iv) ist das K. Lemma (von Riemann/Lebesgue). Ist f W Œa; b ! R quadratisch integrierbar, so gilt Z b Z b f .x/ cos kx dx D lim f .x/ sin kx dx D 0: lim k!1

k!1 a

a

Beweis. Es sei z.B. das „Kosinus-Integral“ behandelt. Zunächst kann man annehmen, dass das Intervall die Gestalt hat: Œ` 2; m 2 mit ` < m in Z. Denn ein beliebiges Intervall Œa; b ist in einem solchen Intervall enthalten, und eine quadratisch integrierbare Funktion f , deﬁniert auf Œa; b, kann durch Nullfortsetzung zu einer quadratisch integrierbaren Funktion, deﬁniert auf Œ` 2; m 2, gemacht werden. Weiter kann man annehmen, dass Intervall von der Gestalt Œ` 2; .` C 1/ 2 ist, da Œ` 2; m 2 in endliche viele Intervalle dieser speziellen Gestalt zerlegt werden kann. Für ein solches Intervall gilt aber Z

Z

.`C1/2

2

f .x/ cos kx dx D `2

f .t ` 2/ cos k t dt 0

aufgrund der Substitution x D t ` 2 und der Periodizität des Kosinus. Das letzte Integral konvergiert nun für k ! 1 gegen Null. Das sieht man durch Anwendung von I(iv) auf die Funktion t 7! f .t ` 2/, die wiederum über Œ0; 2 quadratisch integrierbar ist. Damit ist für das „Kosinus-Integral“ alles bewiesen. Für das „Sinus-Integral“ geht es natürlich ganz analog.

Wenn irgendwo in der Mathematik eine Ungleichung vorkommt, so erhebt sich immer die Frage, ob auch die entsprechende Gleichung möglich ist und für welche Objekte. Manchmal ist diese Frage recht einfach zu beantworten, z.B. bei der Ungleichung zwischen dem arithmetische und geometrischen Mittel oder bei der Cauchy/SchwarzUngleichung. (Die Antworten ﬁndet man in Ana-1: Aufgabe 2[2.2] und Ana-1: Bemerkung G[8.6].) Letztlich handelt es sich dabei um Extremalprobleme und die Frage, für welche Objekte die Extrema angenommen werden. Bei den Fourier-Reihen liegt eine Ungleichung in Gestalt der Bessel-Ungleichung I(iv) vor, und es entsteht (und entstand in der historischen Entwicklung) das Problem, wann wohl diese Ungleichung in eine Gleichung übergeht. Die Behandlung dieser Frage eröffnet in der Tat eine neue Sichtweise, die wir später genau verfolgen

434

Kapitel 7

Fourier-Reihen

werden: Es wird sich erstens herausstellen, dass die Gleichheit nicht nur für gewisse einzelne Funktionen besteht, sondern generell für alle quadratisch integrierbaren. Und zweitens bekommt die Sache ein funktionalanalytisches Gesicht, indem sie nämlich mit der Vollständigkeit des Raums der quadratisch integrierbaren Funktionen in enge Verbindung gebracht wird. All das wird uns später intensiv beschäftigen (vgl. die Abschnitte 7.7 und 7.9). Aufgaben und Anmerkungen 1. Man ﬁnde ein Beispiel einer Fourier-Reihe mit unendlich vielen Gliedern ak ¤ 0, sodass für alle r 2 N0 gilt lim k r ak D 0: k!1

2. Sei V ein Prä-Hilbert-Raum. Als Wiederholung aus der linearen Algebra beweise man: a)

Bilden die Vektoren u1 ¤ 0; : : : ; uk ¤ 0 in V ein Orthogonalsystem, so sind sie linear unabhängig.

b)

Es sei .uk /k2N ein abzählbares System von Vektoren in V mit der Eigenschaft, dass je endlich viele von ihnen linear unabhängig sind. Man zeige, dass man aus diesem System ein ON-System .ek /k2N erzeugen kann, indem man aus den uk zunächst mittels der Rekursionsformeln v1 WD u1 vk WD uk

k1 X j D1

˝

˛ uk ; vj ˝ ˛ vj ; vj ; vj

k 2; k 2 N

ein Orthogonalsystem .vk /k2N macht und dessen Vektoren dann durch ek WD

vk ; jvk j

k2N

auf 1 normiert (Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). c)

Die Vektoren des Systems .ek /k2N sind bis aufs Vorzeichen charakterisiert durch die Eigenschaft der Orthonormalität und die Forderung, dass die Spanne von e1 ; : : : ; ek und u1 ; : : : ; uk für alle k 2 N übereinstimmen. (Will man auch noch das Vorzeichen ﬁxieren, so muss man die Forderung hinzufügen, dass diese beiden Vektorsysteme jeweils gleichorientiert sind.)

3. Sei W ein normierter Vektorraum. Man beweise: a)

Hat W endliche Dimension, so ist jeder Untervektorraum von W abgeschlossen.

b)

Ist W beliebig, so ist jeder endlich-dimensionale Untervektorraum von W abgeschlossen.

Abschnitt 7.3

435

Punktweise Konvergenz

4. Im Prä-Hilbert-Raum C Œ1; 1 der stetigen Funktionen f W Œ1; 1 ! R (mit Skalarprodukt und Norm wie in A mit a D 1 und b D 1) deﬁnieren die LegendrePolynome Pn , n 2 N0 , ein abzählbar unendliches Orthogonalsystem .Pn /n2N (Ana-1: Aufgabe 13[8.3]). Mit den dortigen Formeln ﬁndet man r kPn k2 D

2 ; 2n C 1

sodass durch Normierung ein ON-System .Qn /n2N mit Qn WD Pn = kPn k2 entsteht. Man zeige, dass das System .Qn /n2N dasjenige ist, welches nach dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus dem System der Monome 1; x; x 2 ; : : : entsteht.

7.3

Punktweise Konvergenz

Wir kehren zur Frage der gewöhnlichen Konvergenz zurück und machen hier wie in Abschnitt 7.1 die Generalvoraussetzung: Die 2-periodische Funktion f W R ! R ist über Œ0; 2 integrierbar. Der eigentliche Angriffspunkt für die punktweise Konvergenz wurde von Dirichlet gefunden, indem er die Teilsummen in eine geschlossene Integralgestalt übergeführt hat. Diese Umformung verläuft folgendermaßen: a0 X .ak cos kx C bk sin kx/ C 2 n

Fn .x/ D

kD1

D

1 2

Z

f .t/ dt

(Substitution der Fourier-Koefﬁzienten D[7.1])

Z Z n X 1 f .t/ cos kt dt cos kx C f .t / sin k t dt sin kx C kD1

D

1 2

1 D

Z

f .t/ dt C

Z

Z n X 1 f .t/ cos.k t kx/ dt

kD1

1 X C f .t/ cos k.t x/ 2

n

kD1

! dt

436

Kapitel 7

1 D 2 D D

Z

sin.2n C 1/

f .t/

Z

1

t x 2 dt t x sin 2

=2x=2

f .x C 2 / =2x=2

Z

1

=2

f .x C 2 / =2

Z

1 D

(10)[7.1]

sin.2n C 1/ d sin

sin.2n C 1/ d sin

Substitution D

sin.2n C 1/ 1 f .x C 2 / d C sin =2 0

1

Z

0

f .x 2t / =2

t x 2

(Integrand hat in die Periode ) Z

=2

f .x C 2 / 0

(Substitution D t #) D

Fourier-Reihen

sin.2n C 1/t 1 dt C sin t

sin.2n C 1/ d sin

(Substitution D t #) Z

=2

f .x C 2t / 0

sin.2n C 1/t dt: sin t

An den entsprechenden Stellen ist angemerkt, was zu tun ist. Die Schritte sind weitgehend zwangsläuﬁg, wenn man das Ziel vor Augen hat, eine möglichst einfache Darstellung zu erreichen. Jetzt kann man die beiden letzten Integrale zusammenfassen und erhält so das Dirichlet-Integral

(1)

2 Fn .x/ D

Z=2

f .x C 2t / C f .x 2t / sin.2n C 1/t dt: 2 sin t

0

Speziell für f .x/ D c D const. ist Fn .x/ D c, also 2 cD

Z=2 sin.2n C 1/t c dt: sin t 0

Subtraktion der letzten zwei Formeln liefert: (2)

2 Fn .x/ c D

Z=2

f .x C 2t / C f .x 2t / sin.2n C 1/t c dt: 2 sin t

0

Der Quotient vor dt hat in t D 0 eine hebbare Unstetigkeit, ist somit als stetige Funktion zu behandeln. Die Subtraktion einer Konstanten c hat den Sinn, die Differenz Fn .x/ c abschätzen zu können, wobei c noch passend gewählt werden kann – bevorzugt als f .x/, wenn

Abschnitt 7.3

Punktweise Konvergenz

437

man auf die Konvergenz der Fourier-Reihe gegen f .x/ aus ist. Interessanter ist jedoch eine andere Wahl von c, die durch die Gestalt der großen runden Klammer in (2) nahegelegt wird. Bei der obigen Rechnung haben die Integranden zum Schluss eine Form angenommen, bei der eine Funktion mit einem Term sin.2n C 1/t multipliziert wird, sodass es naheliegt, darauf das Lemma K[7.2] anzuwenden. Das würde allerdings die quadratische Integrierbarkeit des anderen Faktors erfordern. Damit wir mit der bloßen Integrierbarkeit hinkommen, beweisen wir zunächst ein Analogon zum genannten Lemma unter dieser schwächeren Voraussetzung und mit einer ganz anderen Methode: A. Lemma. Die Funktion h W R ! R sei beschränkt und über jedes kompakte Teilintervall von R integrierbar, und es sei Z Z 1 T 1 0 lim h.x/ dx D 0; lim h.x/ dx D 0: T !1 T 0 T !1 T T Dann gilt für jede integrierbare Funktion g W Œa; b ! R: Z b g.x/h.px/ dx D 0: lim p!1 a

In den Limesrelationen sind die kontinuierlichen Grenzübergänge T ! 1, T ! 1 bzw. p ! 1 gemeint. Die Integrierbarkeit von h über jedes kompakte Teilintervall von RC 0 bedeutet, dass h lokal integrierbar ist (Ana-2: A[13.1]). Die lokale Integrierbarkeit wird aber an dieser Stelle nicht weiter gebraucht. Beweis von A. 1) Sei g zunächst die charakteristische Funktion g D Œ˛;ˇ eines Intervalls Œ˛; ˇ Œa; b. Bei ˛ D ˇ ist nichts zu beweisen. Bezüglich der Lage von 0 bez. des Intervalls Œ˛; ˇ mit ˛ < ˇ gibt es verschiedene Möglichkeiten: (i) ˛ D 0 < ˇ: Dann gilt für p > 0 Z b Z Z pˇ Z ˇ 1 pˇ ˇ g.x/h.px/ dx D h.px/ dx D h.t / dt D h.t / dt: p 0 pˇ 0 a 0 Dabei wurde gemäß t D px substituiert. Nach dem ersten Teil der Voraussetzung strebt der letzte Ausdruck für p ! 1 gegen Null. (ii) ˛ < 0 D ˇ: Dann gilt für p > 0 mit analoger Rechnung Z Z 0 Z b Z 0 1 0 ˛ g.x/h.px/ dx D h.px/ dx D h.t / dt D h.t / dt: p p˛ p˛ p˛ a ˛ Nach dem zweiten Teil der Voraussetzung strebt der letzte Ausdruck für p ! 1 gegen Null.

438

Kapitel 7

(iii) ˛; ˇ beliebig: Z

Fourier-Reihen

Aufgrund von Z

b

g.x/h.px/ dx D a

Z

ˇ

h.px/ dx D ˛

Z

ˇ

h.px/ dx 0

˛

h.px/ dx 0

kann man jetzt das Integral in zwei Summanden zerlegen, von denen jeder vom Typ (i) oder (ii) ist. Damit ist der Fall 1) insgesamt erledigt. 2) Ist g W Œa; b ! R eine Treppenfunktion, so bleibt die Behauptung in Kraft, da das Rb Integral a g.x/h.px/ dx eine endliche Linearkombination von Integralen des Typs 1) ist. 3) Im allgemeinen Fall verwendet man die Dichtheit der Treppenfunktionen in der Menge der integrierbaren Funktionen (Ana-2: P[11.5]). Ist also g W Œa; b ! R integrierbar und jh.x/j c sowie ein " > 0 gegeben, so existiert eine Treppenfunktion Rb W Œa; b ! R mit a jg j < ". Damit kann man abschätzen: ˇZ ˇ ˇZ ˇ ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ b ˇ ˇ b ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ g.x/h.px/ dx ˇ ˇ .g.x/ .x//h.px/ dx ˇ C ˇ .x/h.px/ dx ˇ ˇ ˇ a ˇ ˇ a ˇ ˇ a ˇ ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ ˇ c" C ˇ .x/h.px/ dx ˇ : ˇ a ˇ Nach 2) existiert ein P > 0, sodass der letzte Term < " wird, falls p > P . Daraus folgt insgesamt ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ ˇ g.x/h.px/ dx ˇ < .c C 1/" für p > P ; ˇ ˇ a ˇ

also die Behauptung.

Dieses Lemma kann man speziell auf h.x/ D cos x und h.x/ D sin x anwenden. So ergibt sich: B. Folgerung (Riemann/Lebesgue-Lemma). Ist f W Œa; b ! R integrierbar, so gilt Z lim

p!1 a

Z

b

f .x/ cos px dx D lim

p!1 a

b

f .x/ sin px dx D 0;

beide Grenzübergänge im kontinuierlichen Sinne verstanden.

Abschnitt 7.3

439

Punktweise Konvergenz

Beweis. Kosinus und Sinus sind beide beschränkt und über jedes kompakte Intervall integrierbar. Außerdem gilt z.B. beim Kosinus 1 lim T !1 T lim

T !1

1 T

Z

T

cos x dx D lim

T !1

0

Z

sin T D0 T

0

cos x dx D lim T !1

T

sin T D0 T

und analog beim Sinus. Lemma A ist also anwendbar und liefert die Behauptung. Als nächstes deduzieren wir aus der Darstellung (2) einige zur Konvergenz äquivalente Bedingungen. C. Satz. Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei über Œ0; 2 integrierbar. Notwendig und hinreichend dafür, dass die Fourier-Reihe von f an der Stelle x gegen c 2 R konvergiert, ist jede der drei folgenden, untereinander äquivalenten Bedingungen: Z =2 f .x C 2t / C f .x 2t / sin.2n C 1/t c dt D 0: (i) lim n!1 0 2 sin t (ii)

Nach Wahl eines beliebigen ı 2 0; =2 gilt Z

ı

lim

n!1 0

(iii)

f .x C 2t / C f .x 2t / sin.2n C 1/t c dt D 0: 2 sin t

Nach Wahl eines beliebigen ı 2 0; =2 gilt Z lim

n!1 0

ı

f .x C 2t / C f .x 2t / sin.2n C 1/t c dt D 0: 2 t

Beweis. Wir setzen zur Abkürzung 'c .t; x/ WD

f .x C 2t / C f .x 2t / c: 2

Bei festem c und x ist die Funktion t 7! 'c .t; x/ über Œ0; =2 integrierbar. Dies folgt aus der Integrierbarkeit von f und der Transformationsformel für Integrale gegenüber afﬁnen Abbildungen (Ana-2: I[11.9]), wenn man noch A(ii)[7.1] heranzieht. Nun zu den Äquivalenzen: Die Konvergenz Fn .x/ ! c ist äquivalent mit (i): Das ist unmittelbar klar aus (2).

440

Kapitel 7

Fourier-Reihen

(i) () (ii): Man zerlegt das Integral in (2) in die zwei Teile von 0 bis ı und von ı bis =2. Der zweite Bestandteil ist Z

=2 ı

'c .t; x/ sin.2n C 1/t dt: sin t

Dieser konvergiert nach Folgerung B von alleine gegen Null. Denn die Funktion t 7! 'c .t; x/

1 sin t

ist über Œı; =2 integrierbar, weil der zweite Faktor dort stetig ist (Produktsatz Ana2: K[11.5] oder L[11.5]). Somit ist die Nullkonvergenz von (i) äquivalent mit der Nullkonvergenz in (ii). (ii) () (iii): Man bildet die Differenz der Integrale in (ii) und (iii): Z

ı

Z ı sin.2n C 1/t sin.2n C 1/t 'c .t; x/ dt dt D sin t t 0 Z ı 1 1 'c .t; x/ sin.2n C 1/t dt: D sin t t 0

'c .t; x/ 0

Der Ausdruck in der letzten großen Klammer ist in 0; ı stetig und hat in t D 0 eine hebbare Unstetigkeit, da 1 1 t sin t D lim D 0; lim t!0 sin t t!0 t sin t t wie sich z.B. durch Taylor-Entwicklung von Zähler und Nenner des letzten Quotienten oder durch zweimalige Anwendung der Regel von de l’Hospital (Ana-1: D[4.5]) ergibt. Die Differenz konvergiert also nach Folgerung B für n ! 1 gegen Null, sodass die Nullkonvergenzen in (ii) und (iii) miteinander äquivalent sind. Eine eigenartige Erscheinung folgt aus der Tatsache, dass das ı > 0 in Satz C beliebig klein gewählt werden darf. Da in die Integranden von (ii) oder (iii) nur die Funktionswerte von f zwischen x 2ı und x C 2ı eingehen, bedeutet das: D. Folgerung (Lokalisationssatz von Riemann). Das Konvergenzverhalten der Fourier-Reihe einer Funktion f an der Stelle x hängt nur ab von den Werten von f in einer beliebig kleinen Umgebung von x. Die Kriterien von Satz C sind zwar notwendig und hinreichend, sie enthalten aber neben der Funktion f weitere Bestandteile, insbesondere den Grenzübergang n ! 1. Man hätte gerne Kriterien, die nur Eigenschaften von f betreffen (z.B. Stetigkeit,

Abschnitt 7.3

Punktweise Konvergenz

441

Monotonie usw.). Kriterien dieser Art, die zugleich notwendig und hinreichend sind, gibt es leider nicht. Jedoch existieren hinreichende Bedingungen, die in konkreten Fällen dann auch eine Entscheidung über die Konvergenz und den Wert der FourierReihe ermöglichen. Einige dieser hinreichenden Kriterien werden jetzt behandelt. E. Satz (Kriterium von Dini). Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei über Œ0; 2 integrierbar. Hinreichend dafür, dass die Fourier-Reihe von f an der Stelle x gegen c 2 R konvergiert, ist jede der folgenden Bedingungen an die Größe f .x C 2t / C f .x 2t / c W 2 Z ı 'c .t; x/ Für ein ı mit 0 < ı existiert das Integral dt 2 R. 2 t 0 'c .t; x/ WD

(i)

'c .t; x/ Die Funktion t ! 7 ist auf einem Intervall 0; ı mit 0 < ı bet 2 schränkt. 'c .t; x/ 2 R. (iii) Es existiert lim t t#0 (ii)

Tatsächlich gelten die Implikationen: (iii) H) (ii) H) (i). Beweis. Aus (i) folgt die Konvergenz: Das ist unmittelbar klar aus Satz C(iii) und dem Riemann/Lebesgue-Lemma B. Aus (ii) folgt (i): Sei für den Augenblick .t / WD 'c .t;x/ für 0 < t ı und .0/ WD t 0 gesetzt. Aus der Bauart von folgt, dass über jedes Intervall Œı1 ; ı mit 0 < ı1 < ı integrierbar ist. Außerdem existiert nach Voraussetzung eine Konstante K mit: j .t/j K für t 2 Œ0; ı. Die konstante Funktion mit Wert K ist also eine integrierbare Majorante von auf Œ0; ı. Damit existiert das Integral in (i) zunächst als uneigentliches Integral, und zwar im absoluten Sinne (Ana-2: D(i)[11.7]. Dann existiert dieses Integral auch wie behauptet in R (Ana-2: C[11.7]). Aus (iii) folgt (ii): Die Existenz des Grenzwerts in R impliziert die Beschränktheit in einem Intervall 0; ı. F. Bemerkung. Die Kriterien des Satzes E gelten natürlich speziell bei der Wahl von c als f .x/ und liefern so hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der FourierReihe von f gegen f .x/. Die Bauart des Quotienten in E(iii) legt es nahe, eine Verbindung zur Ableitung herzustellen. Das gelingt sogar dann, wenn x eine Sprungstelle von f ist und die Differenzierbarkeit einseitig verstanden wird:

442

Kapitel 7

Fourier-Reihen

G. Satz (zur Standard-Darstellung). Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei über Œ0; 2 integrierbar, und x sei eine feste Stelle. Existieren die vier Grenzwerte lim f .x ˙ h/ DW f˙ .x/; h#0

lim h#0

f .x ˙ h/ f˙ .x// ˙h

in R, so konvergiert die Fourier-Reihe von f an der Stelle x gegen fC .x/ C f .x/ : 2 Unter diesen Voraussetzungen „sucht sich die Fourier-Reihe die goldene Mitte“ zur Konvergenz. Weder bevorzugt sie als Wert den rechten oder linken Grenzwert der Funktion, sondern „wählt“ deren arithmetisches Mittel.

Beweis von G. Man verwendet das Kriterium aus E(iii) mit c WD Damit wird 1 'c .t; x/ D t t

fC .x/ C f .x/ : 2

f .x C 2t / C f .x 2t / fC .x/ C f .x/ 2 2

f .x C 2t / fC .x/ f .x 2t / f .x/ : 2t 2t In dem letzten Ausdruck existieren die Grenzwerte der einzelnen Quotienten, also auch der von 'c .t; x/=t . D

Mit diesem Satz werden fast alle in der Praxis vorkommenden Fälle abgedeckt, insbesondere alle bisher und im Folgenden auftretenden Beispiele konkreter Natur. Wichtiger Hinweis: Wenn hier und im Folgenden die Konvergenz der Fourier-Reihe gegen das arithmetische Mittel fC .x/ C f .x/ : 2

Abschnitt 7.3

443

Punktweise Konvergenz

besteht und überdies die Funktion an der Stelle x stetig ist, so geht dieses Mittel in f .x/ über. Die Konvergenz der Fourier-Reihe erfolgt dann also direkt gegen den Funktionswert f .x/. H. Beispiel. Die Zickzack-Welle war in Beispiel I[7.1] behandelt worden. Dort am Ende steht ihre Fourier-Reihe, aber mit dem -Zeichen. Offensichtlich erfüllt die Zickzack-Welle die Voraussetzungen von Satz G, wobei wegen der Stetigkeit überall fC .x/ D f .x/ D f .x/ gilt. Daher ist das dortige -Zeichen an allen Stellen durch das Gleichheitszeichen ersetzbar, d.h. für alle x 2 Œ0; 2 besteht Konvergenz und Gleichheit: ( cos 3x cos 5x 4 cos x x für x 2 Œ0; C C C D 2 12 32 52 2 x für x 2 Œ; 2: Setzt man speziell x D 0 so resultiert 0, also erhält man durch Umstellen die bemerkenswerte Gleichung 2 1 1 1 D 2 C 2 C 2 C 8 1 3 5 Will man keine Voraussetzungen an Stetigkeit und Differenzierbarkeit machen, so kommen als nächstes die monotonen Funktionen in Betracht. Für diese existiert eine allgemeine Konvergenzaussage, wobei sich die Fourier-Reihe wiederum „die goldene Mitte aussucht“. Der Beweis dafür wird sich auf die Bedingung C(ii) stützen. Der dortige zweite Faktor sei jetzt so bezeichnet: (3)

Ln .t / WD

sin.2n C 1/t ; t

t 2 R:

Diese Funktion ist für t ¤ 0 stetig und hat in t D 0 eine hebbare Unstetigkeit mit Grenzwert 2n C 1, kann also insgesamt als stetige Funktion behandelt werden. Über ihr Integral gilt Folgendes I. Lemma. Es gibt eine Konstante K mit: ˇ ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ Ln .t / dt ˇ K für alle a 0 und alle n 2 N0 : ˇ ˇ ˇ a Beweis. Diese Aussage beruht auf der Asymptotik des Integralsinus, nach der das uneigentliche Integral Z 1 sin t dt t 0

444

Kapitel 7

Fourier-Reihen

konvergiert, wenn auch nicht absolut (Ana-2: Beispiel F(iii)[11.7]). Somit existiert eine Konstante M mit ˇZ x ˇ ˇ ˇ sin t ˇ ˇ M für alle x 0: dt ˇ ˇ t 0 Daraus folgt für unser Integral über Ln nach Variablentransformation D 2.n C 1/t : Z

Z

b

.2nC1/b

Ln .t/ dt D a

.2nC1/a

sin d D

Z

.2nC1/b 0

sin d

Z

.2nC1/a

0

sin d :

Übergang zu den Beträgen ergibt also die Behauptung mit K WD 2M .

J. Bemerkung. Über den Wert des obigen uneigentlichen Integrals ist bekannt: Z 1 sin t dt D I t 2 0 vgl. Ana-2: Aufgabe 10[11.8]. Dieser Wert wird hier aber nicht benötigt. Mit dem voranstehenden Lemma kommen wir allmählich an das Integral in C(i) heran. Ein nächster Schritt ist: K. Folgerung. Ist die Funktion g W Œa; b ! R monoton (a 0), so gilt mit der Konstanten K aus Lemma I ˇ ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ g.t /Ln .t / dt ˇ max jgj 2K: ˇ ˇ Œa;b ˇ a Beweis. Nach dem zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung (Ana-2: F[13.4]) gibt es eine Stelle 2 Œa; b mit Z

Z

b

g.t /Ln .t / dt D g.a/ a

Z

b

Ln .t / dt C g.b/ a

Ln .t / dt:

Übergang zu den Beträgen ergibt die Behauptung mit Hilfe von Lemma I.

L . Satz (Kriterium von Dirichlet). Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei über Œ0; 2 integrierbar, und x sei eine feste Stelle. Ist f in einem Intervall x; x C ı0 Œ beschränkt und monoton und ebenso in x ı0 ; xŒ (ı0 > 0), so konvergiert die Fourier-Reihe von f an der Stelle x gegen fC .x/ C f .x/ : 2

Abschnitt 7.3

445

Punktweise Konvergenz

Es ist durchaus zugelassen, dass die Monotoniesinne in den beiden genannten Intervallen verschieden sind. Die einseitigen Grenzwerte fC .x/, f .x/ existieren in R aufgrund der Monotonie und Beschränktheit (Ana-1: H[3.6]). Beweis von L. Natürlich arbeitet man jetzt mit dem speziellen Wert c WD

fC .x/ C f .x/ : 2

Nun kann man für jedes ı 2 0; =2 mit 2ı < ı0 das Integral in C(iii) abschätzen. Zunächst entsteht durch leichte Umrechnung: Z ı f .x C 2t / C f .x 2t / fC .x/ C f .x/ Ln .t / dt 2 2 0 D

1 2

Z

ı

.f .x C 2t / fC .x//Ln .t / dt C 0

1 2

Z

ı

.f .x 2t / f .x//Ln .t / dt: 0

Wegen der Monotonie der Vorfaktoren von Ln .t / bez. t 2 Œ0; ı kann man auf die beiden letzten Integrale Folgerung K anwenden. Dazu hat man für den rechtsseitigen Teil den Wert f .x/ durch fC .x/ ersetzt zu denken und ebenso für den linksseitigen Teil f .x/ durch f .x/, um jeweils Monotonie im ganzen Intervall Œx; x C ı bzw. Œx ı; x zu erreichen. Auf diese Weise erhält man ˇ ˇZ ˇ ˇ ı f .x C 2t / C f .x 2t / f .x/ C f .x/ ˇ ˇ C Ln .t / dt ˇ ˇ ˇ ˇ 0 2 2

max jf .x C 2t / fC .x/j C max jf .x 2t / f .x/j K:

t2Œ0;ı

t2Œ0;ı

Das ist eineVorausabschätzung für das Integral, gültig für alle eingangs speziﬁzierten ı. Um nun die Bedingung C(ii) zu erfüllen, sei ein " > 0 vorgegeben. Dann existiert nach der Vorausabschätzung ein solches ı1 > 0 mit der zusätzlichen Eigenschaft: ˇZ ˇ ˇ ı1 f .x C 2t / C f .x 2t / f .x/ C f .x/ ˇ " C ˇ ˇ Ln .t / dt ˇ für alle n 0: ˇ ˇ 0 ˇ 2 2 2 Das beruht darauf, dass der Term f .x C 2t / fC .x/ für t # 0 gegen Null konvergiert und ebenso der Term f .x 2t / f .x/. Dieses ı1 wird jetzt festgehalten. Nach dem Riemann/Lebesgue-Lemma B existiert dann weiter ein n0 2 N0 mit: ˇZ ˇ ˇ =2 f .x C 2t / C f .x 2t / f .x/ C f .x/ ˇ " ˇ ˇ C Ln .t / dt ˇ für alle n > n0 : ˇ ˇ ı1 ˇ 2 2 2

446

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Nimmt man die letzten zwei Zeilen zusammen, so folgt: ˇ ˇZ ˇ ˇ =2 f .x C 2t / C f .x 2t / f .x/ C f .x/ ˇ ˇ C Ln .t / dt ˇ " für alle n > n0 : ˇ ˇ ˇ 0 2 2 Damit haben die bisherigen Größen ı und ı1 ausgedient; sie kommen gar nicht mehr vor. Aus der letzten Abschätzung folgt nun die Gültigkeit von Bedingung C(iii) mit ı WD =2. Wegen der Äquivalenzen in Satz C folgt schließlich die Gültigkeit der Bedingung C(i), also die behauptete Konvergenz der Fourier-Reihe. Stückweise Varianten In den Darstellungssätzen G und L werden die beiden Seiten links und rechts von x getrennt behandelt, sowohl im Ergebnis wie auch beim Beweis. Diese Tatsache legt es nahe, diese beiden Sätze auf Funktionen auszudehnen, die an endlich vielen Stellen wirklich eine getrennte Behandlung erfordern, sich aber dazwischen einheitlich verhalten (also „stückweise Eigenschaften“ besitzen). M . Deﬁnition. Die Funktion f W Œa; b ! R heißt stückweise differenzierbar, wenn es eine Zerlegung Z D fa0 ; a1 ; : : : ; aN g von Œa; b gibt, sodass jede Restrik tion f j aj 1 ; aj eine differenzierbare Fortsetzung auf Œaj 1 ; aj besitzt. Warnung: Die Fortsetzung von f j aj 1 ; aj auf Œaj 1 ; aj kann in den Randpunkten aj 1 , aj zu Funktionswerten führen, die von den ursprünglichen Werten f .aj 1 /, f .aj / verschieden sind. N. Folgerung. Ist die 2-periodische Funktion f W R ! R auf dem Intervall Œ0; 2 stückweise differenzierbar, so konvergiert ihre Fourier-Reihe an allen Stellen x 2 R gegen fC .x/ C f .x/ : 2 Beweis. Die Bezeichnungen aus Deﬁnition M seien beibehalten. Die Funktion f ist über Œ0; 2 integrierbar, da sie evtl. nach Abänderung von zwei Funktionswerten auf jedem Intervall Œaj 1 ; aj 1 differenzierbar, also stetig wird. Solche Abänderungen lassen die Fourier-Koefﬁzienten unberührt. Weiter erfüllt die Funktion f an allen Zerlegungspunkten aj die Voraussetzungen des Satzes G zur Standard-Darstellung: Zunächst folgt aus der Stetigkeit der Fortsetzung f W Œaj 1 ; aj ! R für deren Grenzwerte f .aj 1 / D lim f .x/ D fC .aj 1 / (4)

x#aj 1

f .aj / D lim f .x/ D f .aj /: x"aj

Abschnitt 7.3

447

Punktweise Konvergenz

Weiter ist diese Fortsetzung differenzierbar. Also existieren für deren Differenzenquotienten die Grenzwerte f .aj 1 C h/ f .aj 1 / f .aj 1 C h/ fC .aj 1 / lim D lim h#0 h h#0 h (5) f .aj h/ f .aj / f .aj h/ f .aj / D lim : lim h h h#0 h#0 Soweit in (4) und (5) die Symbole f .aj 1 /, f .aj / auftreten, sind diese die Funktionswerte der genannten Fortsetzung. In den inneren Punkten der Zerlegungsintervalle sind die Voraussetzungen des Satzes G ohnehin erfüllt.

Damit folgt alles aus Satz G.

O. Deﬁnition. Die Funktion f W Œa; b ! R heißt stückweise monoton, wenn es eine Zerlegung Z D fa0 ; a1 ; : : : ; aN g von Œa; b gibt, sodass jede Restriktion f j aj 1 ; aj monoton ist. P. Folgerung. Ist die 2-periodische Funktion f W R ! R auf dem Intervall Œ0; 2 beschränkt und stückweise monoton, so konvergiert ihre Fourier-Reihe an allen Stellen x 2 R gegen fC .x/ C f .x/ : 2 Beweis. Wegen der Beschränktheit kann jede Restriktion f j aj 1 ; aj unter Beibehaltung der Monotonie auf das abgeschlossene Intervall Œaj 1 ; aj fortgesetzt werden, und zwar so, dass die Fortsetzung in den Randpunkten aj 1 und aj stetig wird (Ana-1: G[3.6] und H[3.6]). Daraus ergibt sich zunächst wieder die Integrierbarkeit von f über Œ0; 2 (Ana-2: S(iii)[11.6]). Weiter existieren an allen Zerlegungspunkten die Grenzwerte fC .aj /, f .aj /, sodass an diesen das Kriterium von Dirichlet (Satz L) angewendet werden kann. An den Stellen der offenen Intervalle aj 1 ; aj sind die Voraussetzungen von Satz L ebenfalls erfüllt. Aufgaben und Anmerkungen 1. Für a 2 R n Z beweise man die Fourier-Entwicklung (vgl. Aufgabe 3c)[7.1]): ! 1 X sin a 2a2 k 1C cos ax D .1/ 2 cos kx ; x a a k2 kD1

und deduziere daraus die sog. Partialbruchzerlegung des Kotangens: ! 1 1 1 X 2a ; a … Z: C cot a D a a2 k 2 kD1

448

Kapitel 7

Fourier-Reihen

2. Für a ¤ 0 beweise man die Fourier-Entwicklung (vgl. Aufgabe 3d)[7.1]): ! 1 X 2a2 sinh a k .1/ 2 cos kx ; x cosh ax D 1C a a C k2 kD1

und deduziere daraus die sog. Partialbruchzerlegung des Kotangens hyperbolicus: ! 1 1 1 X 2a coth a D ; a ¤ 0: C a a2 C k 2 kD1

7.4

Gleichmäßige Konvergenz versus Gibbs-Phänomen

Nahe einer Sprungstelle kann die Konvergenz der Fourier-Reihe, wenn sie denn überhaupt besteht, niemals gleichmäßig sein. Wohl sind dann die die obigen Darstellungssätze unter den jeweiligen Voraussetzungen anwendbar und sichern die Konvergenz gegen das arithmetische Mittel der rechts- und linksseitigen Grenzwerte, aber mehr geben diese Sätze nichts her. Will man also gleichmäßige Konvergenz der FourierReihe in einem Teilintervall erreichen, so muss man zwangsläuﬁg dort die Stetigkeit der Funktion voraussetzen. Unter dieser Annahme lassen sich die Methoden des vorangehenden Abschnitts zu einem gewissen Teil ausbauen. Das soll hier durchgeführt werden. Im zweiten Teil gehen wir dann auf eine merkwürdige Erscheinung im Konträrfall von Sprüngen ein (Gibbs-Phänomen). Bezüglich der gleichmäßigen Konvergenz sei der „differenzierbare Fall“ wieder zuerst behandelt, danach der „monotone Fall“. A. Satz. Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei stetig und auf Œ0; 2 stückweise von der Klasse C 1 . Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f auf R absolutgleichmäßig gegen f . Beweis. Wäre die Funktion f insgesamt von der Klasse C 1 (nicht nur stückweise), so ergäbe sich die absolut gleichmäßige Konvergenz ihrer Fourier-Reihe aus Satz J[7.2]. Tatsächlich kann man die dortige Argumentation übernehmen, weil die C 1 Eigenschaft nur bei der Berechnung der Fourier-Koefﬁzienten von f 0 eingeht. Diese wiederum beruht auf der Produktintegration, die bei stetigen und stückweise stetig differenzierbaren Funktionen immer noch in Kraft bleibt. Denn der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung, der zum Beweis der Produktintegration diente, besteht seinerseits für solche Funktionen (Ana-2: V[11.6]). Die absolut-gleichmäßige Konvergenz ist eine Eigenschaft der Reihe. Dass die Reihensumme für jedes x 2 R gleich f .x/ ist, ergibt sich nun aus dem Satz zur StandardDarstellung G[7.3] zusammen mit der Stetigkeit von f .

Abschnitt 7.4

449

Gleichmäßige Konvergenz versus Gibbs-Phänomen

Die „monotone Situation“ werde diskutiert unter Zulassung von Wechseln des Monotoniesinns, also für stückweise monotone Funktionen. Die Behandlung ist etwas umfangreicher als beim vorangehenden Fall. Wir starten mit einer quantitativen Version des Lemmas von Riemann/Lebesgue. B. Lemma. Sei f W Œa; b ! R monoton. Dann gilt für alle p 2 RC : ˇZ ˇ ˇ ˇZ ˇ b ˇ ˇ ˇ b 4 4 ˇ ˇ ˇ ˇ f .x/ cos px dx ˇ max jf j ; f .x/ sin px dx ˇ max jf j : ˇ ˇ ˇ a ˇ Œa;b ˇ ˇ p p Œa;b a Beweis. Nach dem zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung (Ana-2: F[13.4]) existiert eine (von n abhängende Stelle) c 2 Œa; b, sodass z.B. für das Kosinus-Integral gilt Z b Z c Z b f .x/ cos nx dx D f .a/ cos nx dx C f .b/ cos nx dx: a

a

c

Nun gilt bei beliebigen Grenzen ˛; ˇ ˇ ˇZ ˇ 2 ˇ ˇ ˇ ˇ cos nx dx ˇ ˇ ˇ n ˇ ˛ wie man ohne Mühe durch Ausrechnung des Integrals (mit der Substitution y D nx) erkennt. Damit folgt aus der ersten Gleichung durch Übergang zu den Beträgen die Behauptung bez. des Kosinus-Integrals. Beim Sinus-Integral geht es genauso. Diese Aussage kann iteriert werden und liefert z.B. bei zwei monotonen Faktoren: C. Lemma. Seien f; g W Œa; b ! R monoton. Dann gilt für alle p 2 RC : ˇZ ˇ ˇ b ˇ 8 ˇ ˇ f .x/g.x/ cos px dx ˇ ˇ max jf j max jgj ˇ a ˇ Œa;b p Œa;b ˇZ ˇ ˇ b ˇ 8 ˇ ˇ f .x/g.x/ sin px dx ˇ max jf j max jgj : ˇ ˇ a ˇ Œa;b p Œa;b Beweis. Man schreibt z.B. wieder für das Kosinus-Integral mit Zwischenstelle c 2 Œa; b Z

Z

b

f .x/g.x/ cos px dx D f .a/ a

Z

c

b

g.x/ cos px dx C f .b/ a

g.x/ cos px dx c

450

Kapitel 7

Fourier-Reihen

und deduziert daraus ˇ ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ f .x/g.x/ cos px dx ˇ ˇ ˇ ˇ a ˇZ ˇ max jf j ˇˇ Œa;b

c a

ˇ! ˇ ˇˇZ b ˇ ˇ ˇ ˇ g.x/ cos px dx ˇˇ C ˇ g.x/ cos px dx ˇ : ˇ c ˇ

Wendet man nun auf die zuletzt vorkommenden zwei Integrale Lemma B an, so folgt die Behauptung. Sind f , g stückweise monoton und beschränkt, so lässt sich Lemma C sofort verallgemeinern, indem man es auf jedes der Intervalle, in denen f , g beide monoton sind, getrennt anwendet und aufaddiert. Das liefert mit einer neutralen Bezeichnung für die Vorfaktoren, die durch die Werte von jf j bzw. jgj bestimmt sind: D. Lemma. Seien f; g W Œa; b ! R stückweise monoton und beschränkt. Dann gibt es eine Konstante C > 0, sodass ˇ ˇ ˇZ ˇZ ˇ C ˇ C ˇ b ˇ b ˇ ˇ ˇ ˇ f .x/g.x/ cos px dx ˇ ; f .x/g.x/ sin px dx ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a ˇ a p p für alle p 2 RC gilt.

Die gleiche Technik funktioniert bei Multiplikation mit der Funktion Ln aus (3)[7.3] anstelle der Kosinus- und Sinusfunktionen. Für Ln selbst existiert nach Lemma I[7.3] eine Konstante K mit: ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ ˇ Ln .t / dt ˇ K für alle a 0 und alle n 2 N0 : ˇ ˇ a ˇ E. Lemma. Die Funktion g W Œa; b ! R (a 0) sei stückweise monoton und beschränkt. Die Zerlegung in ihre Monotonie-Intervalle gemäß Deﬁnition O[7.3] laute: Z D fa0 ; a1 ; : : : ; aN g, sodass N die Anzahl dieser Intervalle in Œa; b ist. Dann gilt ˇ ˇZ ˇ ˇ b ˇ ˇ g.t /Ln .t / dt ˇ N sup jgj 2K für alle n 2 N0 : ˇ ˇ ˇ a Œa;bnZ Die Teilungspunkte der Zerlegung, also die Elemente von Z, müssen bei der Supremumsbildung herausgenommen werden, da sie willkürlich sein können und dann nichts mit dem Verhalten von g im Inneren der Zerlegungsintervalle zu tun haben.

Abschnitt 7.4

451

Gleichmäßige Konvergenz versus Gibbs-Phänomen

Beweis von E. Ist zunächst N D 1, so gilt wieder nach dem zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung Z c Z b Z b g.t /Ln .t / dt D gC .a/ Ln .t / dt C g .b/ Ln .t / dt a

a

c

für geeignete c 2 Œa; b. Durch Übergang zu den Beträgen folgt mit der Dreiecksungleichung die Behauptung. Ist N > 1, so kann man wieder aufaddieren: Z

b

g.t /Ln .t / dt D

N Z X

aj

g.t/Ln .t / dt:

j D1 aj 1

a

Die Dreiecksungleichung und die Behandlung der Einzelintegrale nach dem vorangehenden Spezialfall liefert dann ˇ ˇZ N ˇ X ˇ b ˇ ˇ g.t /L .t / dt sup jgj 2K N sup jgj 2K: ˇ ˇ n ˇ ˇ a Œa;bŒnZ a ;a Œ j D1

j 1

j

Dabei wurde verwendet, dass supaj 1 ;aj Œ jgj supŒa;bŒnZ jgj.

F. Satz. Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei auf Œ0; 2 beschränkt und stückweise monoton. Ist f auf einem offenen Intervall ˛; ˇŒ stetig, so konvergiert die Fourier-Reihe von f auf jedem kompakten Intervall Œa; b ˛; ˇŒ gleichmäßig gegen f . Beweis. Zu zeigen ist nach Satz C(iii)[7.3] Z =2 f .x C 2t / C f .x 2t / f .x/ Ln .t / dt D 0 lim n!1 0 2 gleichmäßig für x 2 Œa; b. Wir tun dies für den ersten Bestandteil (für den zweiten geht es genauso), d.h. es ist zu zeigen Z =2 lim .f .x C 2t / f .x//Ln .t / dt D 0 gleichmäßig für x 2 Œa; b: n!1 0

Für jedes x 2 Œa; b ist die Funktion t 7! f .x C 2t / f .x/ auf Œ0; =2 beschränkt und stückweise monoton (x C 2t läuft dabei von x bis x C ). Es sei N die Anzahl der Monotonie-Intervalle von f im Intervall Œ˛; ˇ, und es sei ein ı mit 0 < ı < min fˇ b; g fest gewählt. Für x 2 Œa; b und 2t 2 Œ0; ı gilt dann a x x C 2t b C ı < ˇ.

452

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Sei nun " > 0 vorgegeben. Da f auf Œa; bCı stetig, also gleichmäßig stetig ist, gibt es ein ı1 mit 0 < ı1 < ı derart, dass jf .u/ f .v/j < "=.4KN / für alle u; v 2 Œa; b Cı mit ju vj ı1 wird. Insbesondere ist jf .x C 2t / f .x/j <

" 4KN

für x 2 Œa; b und 0 2t ı1 :

Nunmehr kann das fragliche Integral in die Bestandteile von 0 bis ı1 und von ı1 bis =2 zerlegt und mittels Dreiecksungleichung abgeschätzt werden: ˇZ ˇ ˇ =2 ˇ ˇ ˇ .f .x C 2t / f .x//L .t / dt ˇ ˇ n ˇ 0 ˇ ˇ ˇZ ˇ ˇZ ˇ ˇ =2 ˇ ˇ ı1 ˇ ˇ ˇ ˇ .f .x C 2t / f .x//Ln .t / dt ˇ C ˇ .f .x C 2t / f .x//Ln .t / dt ˇ : ˇ ˇ ˇ ı1 ˇ ˇ 0 Für den ersten Bestandteil gilt nach Lemma E ˇZ ˇ ˇ ı1 ˇ " " ˇ ˇ .f .x C 2t / f .x//Ln .t / dt ˇ N 2K D ˇ ˇ 0 ˇ 4KN 2

für x 2 Œa; b und n 2 N0 :

Beim zweiten Bestandteil hat man .f .x C 2t / f .x//Ln .t / D .f .x C 2t / f .x//

1 sin .2n C 1/t: t

Da hierin die Faktoren vor dem Malpunkt im Intervall Œı1 ; =2 beschränkt und stückweise monoton sind, ergibt sich nach Lemma D eine Abschätzung des Typs ˇ ˇZ ˇ C ˇ =2 ˇ ˇ .f .x C 2t / f .x//Ln .t / dt ˇ für x 2 Œa; b und n 2 N0 : ˇ ˇ ˇ ı1 n Die letzte Schranke strebt für n ! 1 gegen 0, ist also ab einem gewissen Index n0 kleiner als "=2. Zusammengenommen folgt ˇ ˇZ ˇ " ˇ =2 " ˇ ˇ .f .x C 2t / f .x//Ln .t / dt ˇ < C D " für x 2 Œa; b und n n0 ; ˇ ˇ 2 ˇ 0 2 womit die Behauptung bewiesen ist.

Das Gibbs-Phänomen Wenn die darzustellende Funktion Sprünge hat, so kann die Konvergenz der FourierReihe nicht durchweg gleichmäßig sein. Wie verhält sich dann aber die Konvergenz in der Nähe einer Sprungstelle, „mikroskopisch“ betrachtet? Man hat das zunächst an

Abschnitt 7.4

453

Gleichmäßige Konvergenz versus Gibbs-Phänomen

Beispielen untersucht. Dabei enthüllte sich ein merkwürdiges Verhalten der Teilsummen: sie schießen deutlich über die Sprunghöhe hinaus, nehmen gewissermaßen einen „Anlauf“. Diese Eigenart wird als Gibbs-Phänomen bezeichnet. Bei anderen Sorten ungleichmäßiger Konvergenz braucht so etwas nicht zu passieren, z.B. nicht bei der Konvergenz von x n auf Œ0; 1; vgl. die Diskussion und das Bild in Ana-1: C(ii)[5.5]. Wir beleuchten hier das Gibbs-Phänomen am Beispiel der Sprungfunktion

(1)

8 ˆ <1 f .x/ WD 1 ˆ : 0

für < x < 0 für 0 < x < für x 2 f; 0; g:

Diese Funktion ist ungerade und besitzt die konvergente Fourier-Entwicklung (2)

4 f .x/ D

sin x sin 3x sin 5x C C C 1 3 5

Das „Überschießen“ wird an den folgenden Graphiken deutlich:

:

454

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Steigert man den Endindex m der Teilsummen von den Werten 5 und 10 weiter, so ist in den mittleren Bereichen kaum noch ein Unterschied zur dargestellten Funktion zu erkennen, während die „Anläufe“ an den Sprungstellen deutlich hervortreten:

Wir untersuchen das jetzt genauer: Die Teilsummen der Reihe (2) lauten: Fm .x/ WD

(3)

m 4 X sin .2k 1/x : 2k 1 kD1

Die Extremalstellen von Fm kann man in der üblichen Art und Weise mit der Ableitung diskutieren. Diese ist Fm0 .x/ D

m 4 X cos .2k 1/x; kD1

und glücklicherweise ist die Summe hierin explizit darstellbar als m X

(4)

cos .2k 1/x D

kD1

sin 2mx : 2 sin x

Der Beweis für diese Summenformel verläuft wie bei G[7.1] über eine komplexe geometrische Summenformel, nämlich: (5)

m X kD1

z 2k1 D z

m X

.z 2 /k1 D z

kD1

mit z WD e ix :

1 .z 2 /m 1 z2

Abschnitt 7.4

Gleichmäßige Konvergenz versus Gibbs-Phänomen

455

Der Realteil der linken Seite von (5) ist gerade die Summe (4), die rechte Seite von (5) formt man um zu i 1 e i2mx 1 e i2mx D ; e ix e ix 2 sin x was den Realteil sin 2mx 2 sin x besitzt. Es folgt 2 sin 2mx : Fm0 .x/ D sin x Die Nullstellen von Fm0 .x/ in 0; Œ sind j ; 2m

j D 1; : : : ; 2m 1;

also die Kleinste davon:

: 2m Diese ist wirklich eine relative Maximalstelle; denn für die zweite Ableitung gilt allgemein (außerhalb der Nennernullstellen): xm D

Fm00 .x/ D

2 d sin 2mx 2 sin x cos 2mx 2m sin 2mx cos x ; D dx sin x sin2 x

also

2 2m < 0: sin xm Es kommt nun insbesondere auf den Funktionswert von Fm an der Stelle xm an. Dieser ist gegeben durch Fm00 .xm / D

m m 2 X 4 X sin .2k 1/ 2m D ' .2k 1/ ; Fm .xm / D 2k 1 m 2m kD1

kD1

wobei gesetzt ist: sin x : x Die hier auftretende Summe ist im Wesentlichen die Zerlegungssumme Sm für das Integral der Funktion ' auf dem Intervall von 0 bis mit der äquidistanten Zerlegung .2m 1/ 3 5 ; ; ;:::; Z WD 0; 2m 2m 2m 2m '.x/ WD

und den Funktionswerten an den linken Endpunkten der Teilintervalle. Es fehlt allerdings der Term für das erste Teilintervall, also gilt Fm .xm / D

2 .Sm '.0/ /: m

456

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Für m ! 1 ergibt sich hieraus die folgende Gleichung (6). G. Folgerung. Ist xm die kleinste positive relative Extremalstelle der Teilsumme Fm (3) der Sprungfunktion f (1), so besteht für den zugehörigen Funktionswert die Limesrelation Z 2 sin x D 1;1789 7974 : : : : (6) lim Fm .xm / D m!1 0 x Somit gilt nach dem Zwischenwertsatz: Die Bildmenge Fm .Œ0; / enthält ein Intervall Œ0; bm mit limm!1 bm D 1;1789 7974 : : : : Der Integralwert ist numerisch berechnet. Dies ist eine präzise Fassung des eingangs geschilderten Gibbs-Phänomens. Man kann dieses Phänomen noch umfassender beschreiben, was allerdings mit einem größeren Aufwand verbunden ist. Insbesondere ist der Wert Fm .xm / das absolute Maximum von Fm auf dem Intervall Œ0; , also Fm .Œ0; / D Œ0; Fm .xm /. Die Bildmenge Fm .Œ0; / ist somit ein Intervall, dessen Länge für m ! 1 gegen 1;1789 7974 : : : konvergiert. Dementsprechend erfolgt das „Überschießen“ der Approximation nahe der Sprungstelle asymptotisch um rund 18 % vermehrt gegenüber der Sprunghöhe der Ausgangsfunktion. Solche weitergehenden Untersuchungen ﬁndet man z.B. in Gronwall[1912] detailliert ausgeführt. Aufgaben und Anmerkungen 1. Für eine stetige Funktion g W Œa; b ! R beweise man die Äquivalenz folgender Eigenschaften: (i)

f ist stückweise von der Klasse C 1 (im Sinne der Deﬁnition in Ana-1: P[9.1]).

(ii) Es existiert eine Zerlegung Z D fa0 ; : :: ; aN g des Intervalls Œa; b, sodass die Ableitung f 0 auf allen offenen Teilintervallen aj 1 ; aj existiert und stetig ist und in den Endpunkten aj 1 , aj einseitige Grenzwerte in R besitzt (j D 1; : : : ; N ). Lösungshinweis: Bei der Richtung (ii) H) (i) verwende man Ana-1: H[4.3].

7.5

Der Approximationssatz von Weierstraß

In disem Abschnitt wird der Approximationssatz von Weierstraß in seiner ursprünglichen Fassung erneut bewiesen, und zwar mittels Fourier-Theorie und damit unabhängig von der Verallgemeinerung in Abschnitt 6.3.

Abschnitt 7.5

Der Approximationssatz von Weierstraß

457

Der geeignete Ansatzpunkt ist der erste Satz des vorangehenden Abschnitts. Dieser eröffnet die Möglichkeit, eine beliebige stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig durch Linearkombinationen trigonometrischer Funktionen und dann auch durch Linearkombinationen von Monomen (d.h. durch Polynome) anzunähern. Die Idee ist einfach: Zunächst kann eine stetige 2-periodische Funktion beliebig genau durch einen stetigen Polygonzug angenähert werden, dann der Polygonzug wiederum beliebig genau durch Teilsummen seiner Fourier-Reihe. Schließlich können trigonometrische Funktionen beliebig genau durch die Teilsummen ihrer TaylorEntwicklungen approximiert werden. Ein kleines Problem ist, sich am Ende von der Periodizität zu befreien, was aber mittels afﬁner Transformation der Argumente leicht möglich ist. A. Lemma. Gegeben sei eine stetige Funktion f W Œa; b ! R und eine Zahl " > 0. Dann existiert eine stetige, stückweise afﬁne Funktion g W Œa; b ! R mit: jf .x/ g.x/j < "

für alle x 2 Œa; b:

Beweis. Da f gleichmäßig stetig ist, existiert ein ı > 0 mit jf .s/ f .t /j < " für alle s; t 2 Œa; b mit js t j < ı. Man wähle eine Zerlegung Z D fx0 ; x1 ; : : : ; xN g von Œa; b mit: xj xj 1 < ı für j D 1; : : : ; N und deﬁniere g W Œa; b ! R auf jedem Teilintervall Œxj 1 ; xj als afﬁne Funktion: g.x/ WD

xj x x xj 1 f .xj 1 / C f .xj /: xj xj 1 xj xj 1

Das ist die Gleichung der Strecke zwischen den zwei Punkten .xj 1 ; f .xj 1 // und .xj ; f .xj //. Da die zwei Deﬁnitionen von g auf Œxj 1 ; xj und Œxj ; xj C1 an der Anschlussstelle x D xj zum gleichen Ergebnis f .xj / führen, ist g stetig. Auf Œxj 1 ; xj gilt dann xj x x xj 1 f .x/ C f .x/ g.x/ xj xj 1 xj xj 1 xj x x xj 1 D .f .x/ f .xj 1 // C .f .x/ f .xj //; xj xj 1 xj xj 1

f .x/ g.x/ D

woraus die Abschätzung folgt jf .x/ g.x/j

xj x x xj 1 "C " D ": xj xj 1 xj xj 1

Die Funktion g leistet also das Gewünschte.

B. Folgerung. Gegeben sei eine stetige Funktion f W Œ0; 2 ! R mit f .0/ D f .2/ sowie eine Zahl " > 0. Dann existiert ein trigonometrisches Polynom T mit: jf .x/ T .x/j < "

für alle x 2 Œ0; 2:

458

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Beweis. Zunächst wähle man eine stetige, stückweise afﬁne Funktion g W Œ0; 2 ! R mit: " (1) für alle x 2 Œ0; 2: jf .x/ g.x/j < 2 Das geht nach Lemma A, wobei wegen f .0/ D f .2/ auch g.0/ D g.2/ gilt. Die 2-periodisch fortgesetzte Funktion g ist dann immer noch stetig und auf Œ0; 2 stückweise von der Klasse C 1 . Nach Satz A[7.4] existiert eine Teilsumme T .x/ der Fourier-Reihe von g mit: (2)

jg.x/ T .x/j <

" 2

für alle x 2 Œ0; 2:

T .x/ ist ein trigonometrisches Polynom, und aus den Ungleichungen (1) und (2) folgt: jf .x/ T .x/j < " für alle x 2 Œ0; 2. C. Satz (Approximationssatz von Weierstraß). Gegeben sei eine stetige Funktion f W Œa; b ! R sowie eine Zahl " > 0. Dann existiert ein Polynom P W R ! R mit: jf .x/ P .x/j < "

für alle x 2 Œa; b:

Beweis. Das Intervall Œa; b lässt sich durch eine afﬁne Abbildung auf ein Intervall einer positiven Länge < 2 transformieren, konkret z.B auf das Intervall Œ0; vermöge ' W Œa; b ! Œ0; mit xa '.x/ WD : ba Aus der gegebenen Funktion f W Œa; b ! R baut man sich die transformierte Funktion f1 W Œ0; ! R vermöge f1 WD f ı ' 1 W Œ0; ! R und setze diese in die „zweite Hälfte“ von Œ0; 2 (d.h. in Œ; 2]) so stetig fort, dass eine Funktion f2 W Œ0; 2 ! R entsteht mit f2 .2/ D f2 .0/. Das geht z.B. wieder wieder mit einer afﬁnen Funktion auf Œ; 2 mit Wert f1 ./ bei und Wert f1 .0/ bei 2. Dann gibt es zu der Funktion f2 nach Folgerung B ein trigonometrisches Polynom T .t / mit: jf2 .t / T .t /j < "=2 auf Œ0; 2, also speziell (3)

jf1 .t / T .t /j <

" 2

für alle t 2 Œ0; :

Indem man alle Kosinus- und Sinusterme von T .t / in ihre Potenzreihen mit Zentrum 0 (und Konvergenzradius 1) entwickelt und geeignete Teilsummen dieser Potenzreihen bestimmt, erhält man ein Polynom Q.t / mit: (4)

" 2

für alle t 2 Œ0; :

jf1 .t / Q.t /j < "

für alle t 2 Œ0; :

jT .t / Q.t /j <

Aus (3) und (4) folgt

Abschnitt 7.6

Funktionen von beschränkter Schwankung

459

Dies kann man nun auf das Intervall Œa; b „rücktransformieren“, indem man t D '.x/ einsetzt: jf .x/ Q.'.x//j < " für alle x 2 Œa; b: Da P .x/ WD Q.'.x// ein Polynom ist, folgt die Behauptung.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Der Approximationssatz von Weierstraß kann leicht auf komplexe Funktionen einer reellen Veränderlichen ausgedehnt werden. Man zeige nämlich: Ist g W Œa; b ! C eine stetige Funktion, so existiert zu jedem " > 0 eine Polynom Q W C ! C mit: jg.t / Q.t/j < " für alle t 2 Œa; b. Ähnliches gilt für stetige Abbildungen W Œa; b ! Rn , d.h. für Wege. Wir haben in Abschnitt 6.3 eine sehr allgemeine Fassung dieses Approximationssatzes kennen gelernt. 2. Eine andere sehr interessante Aussage, die gar nichts mit der Konvergenzfrage zu tun hat, ist der Satz von Hurwitz: Gilt bei einer stetigen 2-periodischen Funktion a0 D a1 D a2 D D an D 0;

b1 D b2 D D bn D 0;

so besitzt f im Intervall Œ0; 2Œ mindestens 2n C 2 Nullstellen, an denen die Funktion ihr Vorzeichen wechselt. Vgl. Hurwitz[1903].

7.6

Funktionen von beschränkter Schwankung

Monotone Funktionen betten sich ein die größere Klasse der Funktionen mit beschränkter Schwankung. Dieser Begriff trat ursprünglich für reellwertige Funktionen auf. Er lässt sich aber mühelos auf vektorwertige Funktionen ausdehnen. Dadurch erreicht man eine gewisse Nähe zum Begriff der Bogenlänge und damit eine anschaulich geprägte Einsicht, die das Verständnis erleichtert. In diesem Vorgehen erkennt man ein wiederkehrendes Muster der modernen Analysis. Es besteht darin, sich von konkreten Situationen zu lösen und die Dinge in einen allgemeinen und zugleich transparenten Rahmen zu stellen. Wir betrachten Abbildungen des Typs g W Œa; b ! W , wobei Œa; b ein kompaktes reelles Intervall und W ein normierter Vektorraum mit Norm k k ist. (Wer nur am skalaren Fall interessiert ist, kann überall W als R und die Norm als Betrag lesen.) A. Deﬁnition. Die Funktion g W Œa; b ! W heißt von beschränkter Schwankung, wenn es eine Konstante K gibt, sodass für jede Zerlegung von Œa; b: Z D ft0 ; t1 ; : : : ; tN g;

a D t0 < t1 < < tN D b;

460

Kapitel 7

Fourier-Reihen

die Polygonzuglänge P .g; Z/ WD

(1)

N X g.tj / g.tj 1 / j D1

höchstens gleich K ist: P .f; Z/ K

für alle Zerlegungen Z von Œa; b:

Ist g von beschränkter Schwankung, so heißt das Supremum ˇ ˚

Vab .g/ WD sup P .g; Z/ ˇ Z Zerlegung von Œa; b 2 RC 0 die totale Variation von g. B. Beispiele. (i) Ist W D R und g W Œa; b ! R monoton, so ist g von beschränkter Schwankung. Ist g z.B. monoton wachsend, so gilt nämlich P .g; Z/ WD

N N X ˇ X ˇ ˇg.tj / g.tj 1 /ˇ D .g.tj / g.tj 1 // D g.b/ g.a/ j D1

j D1

und analog für monoton fallendes g (mit inversem Vorzeichen). In beiden Fällen ist also die totale Variation gegeben durch Vab .g/ D jg.b/ g.a/j : (ii) Ist W D R und g W Œa; b ! R stetig differenzierbar, so ist g von beschränkter Schwankung. Da g0 als stetige Funktion auf Œa; b beschränkt ist, gilt nämlich mit K WD max jg 0 j nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung N N X ˇ X ˇ ˇ ˇ K.tj tj 1 / D K.b a/: g.tj / g.tj 1 / P .g; Z/ WD j D1

j D1

(iii) Ist W D Rn und g D W Œa; b ! Rn stetig, so ist ein Weg im Sinne von Ana-1: A[9.1] mit kompaktem Deﬁnitionsintervall. In dieser Situation zeigt der Vergleich mit der dortigen Deﬁnition (Ana-1: F[9.1]), dass der Begriff „von beschränkter Schwankung“ das Gleiche bedeutet wie der Begriff „rektiﬁzierbar“ und der Begriff „totale Variation“ das gleiche wie der Begriff „Bogenlänge“: Vab . / D Lba . /. Es gibt Wege mit kompaktem Deﬁnitionsintervall, die stetig (sogar differenzierbar), jedoch nicht rektiﬁzierbar sind. Somit existieren stetige (sogar differenzierbare) Funktionen (auch mit reellen Werten), die nicht von beschränkter Schwankung sind (Ana-1: Aufgabe 18[9.1]).

Abschnitt 7.6

Funktionen von beschränkter Schwankung

461

C. Lemma. Ist g W Œa; b ! W von beschränkter Schwankung, so ist g beschränkt. Beweis. Zu gegebenem x 2 a; bŒ betrachtet man die Zerlegung Z WD fa; x; bg. Für diese gilt mit K WD Vab .g/ kf .x/ f .a/k C kf .b/ f .x/k K; insbesondere kf .x/ f .a/k K und kf .b/ f .x/k K, also kf .x/k kf .x/ f .a/k C kf .a/k K C kf .a/k kf .x/k kf .b/ f .x/k C kf .b/k K C kf .b/k ; sodass kf .x/k in der Tat nach oben beschränkt ist

Im übrigen teilt die totale Variation manche Eigenschaften mit dem bestimmtem Integral: D. Lemma. Ist ˛ 2 R und sind f W Œa; b ! W und g W Œa; b ! W von beschränkter Schwankung, so sind es auch ˛g und f C g, und es gilt Vab .˛g/ D j˛j Vab .g/ Vab .f C g/ Vab .f / C Vab .g/: Beweis. Zur Gleichung: Diese folgt einfach daraus, dass der Ausdruck in (1) für die Polygonzuglänge bei Multiplikation von g mit ˛ den Faktor j˛j abspaltet: P .˛g; Z/ D j˛j P .g; Z/. Supremumsbildung auf beiden Seiten liefert dann die Behauptung. Zur Ungleichung: Zunächst gilt bei fester Zerlegung: P .f C g; Z/ P .f; Z/ C P .g; Z/. Dies entnimmt man unmittelbar dem Ausdruck für P .f Cg; Z/, indem man auf seine Summanden die Dreiecksungleichung anwendet. Hieraus folgt weiter durch Vergrößerung der rechten Seite: P .f Cg; Z/ Vab .f /CVab .g/ für alle Zerlegungen Z, also durch Supremumsbildung Vab .f C g/ Vab .f / C Vab .g/. Die Sprechweise „Vab .g/ existiert“ soll das Gleiche bedeuten wie „g ist von beschränkter Schwankung“. E. Lemma (Zerlegungsregel der totalen Variation). Für jede Funktion g W Œa; b ! W und jede Zwischenstelle c 2 a; bŒ sind äquivalent: (i)

g ist von beschränkter Schwankung;

(ii)

die Restriktionen gjŒa; c und gjŒc; b sind beide von beschränkter Schwankung.

462

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Ist (i) oder (ii) erfüllt, so gilt Vab .g/ D Vac .g/ C Vcb .g/: In der letzten Gleichung ist Vac .g/ eine Kurzschreibweise für Vac .gjŒa; c/ und Vcb .g/ eine für Vcb .gjŒc; b/. Beweis von E. Der Beweis ist der gleiche wie in Ana-1: M[9.1], da dort von der Stetigkeit gar kein Gebrauch gemacht wurde. Man hat lediglich die dabei zugrundeliegende Euklidische Norm durch die Norm in W ersetzt zu denken. Auch von der Euklidischen Norm war nur die Dreiecksungleichung verwendet worden. Natürlich kann diese Zerlegungsregel auch mehrfach angewendet werden. Ist z.B. Œ˛; ˇ eine Teilintervall von Œa; b, so gilt Vab .g/ D Va˛ .g/ C V˛ˇ .g/ C Vˇb .g/; falls eine der zu Lemma E(i),(ii) analogen Bedingungen erfüllt ist. Generell verwendet man die Kurzschreibweise V˛ˇ .g/ anstelle von V˛ˇ .gjŒ˛; ˇ/, falls existent. Immer ist Vaa .g/ D 0 (da es keine Zerlegung des einpunktigen Intervalls Œa; a gibt, die P .g; Œa; a/ deﬁnierende Summe also leer ist). Wie beim Integral bilden wir nun die totale Variation mit veränderlicher oberer Grenze: F. Deﬁnition und Satz. Ist g W Œa; b ! W von beschränkter Schwankung und x 2 Œa; b, so ist auch die Restriktion gjŒa; x von beschränkter Schwankung. Die Funktion Tg W Œa; b ! R;

mit

Tg .x/ WD Vax .g/

heißt die unbestimmte totale Variation von g. Sie hat folgende Eigenschaften: (i)

Tg W Œa; b ! R ist monoton wachsend von Tg .a/ D 0 auf Tg .b/ D Vab .g/.

(ii)

Ist g W Œa; b ! W stetig, so ist auch Tg W Œa; b ! R stetig.

Beweis. Zu (i): Zu zeigen ist: Aus Œ˛; ˇ Œa; b mit ˛ < ˇ folgt Tg .˛/ Tg .ˇ/. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Zerlegungsregel; denn 0 V˛ˇ .g/ D Tg .ˇ/ Tg .˛/:

Abschnitt 7.6

463

Funktionen von beschränkter Schwankung

Zu (ii): Es sei zunächst die Stetigkeit bei a geprüft: Ist x 2 a; b gegeben, so geht es um die Abschätzung von Vax .g/ gegenüber Vaa .g/ D 0. Jedenfalls ist Vax .g/ 0. Eine Abschätzung in die andere Richtung ist Vax .g/ Vab .g/ P .g; Z/ C kg.x/ g.a/k ;

(2)

gültig für jede Zerlegung Z von Œa; b Z WD ft0 ; : : : ; tN g

mit t0 D a; tN D b

und alle x 2 a; t1 Œ. Zum Nachweis dieser Ungleichung sei weiter eine Zerlegung Z 0 des Intervalls Œa; x betrachtet, speziﬁziert durch Z 0 WD ft00 ; : : : ; tk0 g

mit t00 D a; tk0 D x:

e WD Z [ Z 0 wiederum eine Zerlegung von Œa; b, und für diese gilt Dann ist Z e D P .g; Z/

k X 0 g.t / g.t 0

N X g.tj / g.tj 1 / C kg.t1 / g.x/k C / j 1

j

j D1

j D2 0

D P .gjŒa; x; Z / C kg.t1 / g.x/k kg.t1 / g.a/k C P .g; Z/: e Vab .g/ folgt hieraus Wegen P .g; Z/ P .gjŒa; x; Z 0 / Vab .g/ P .g; Z/ C kg.t1 / g.a/k kg.t1 / g.x/k Vab .g/ P .g; Z/ C kg.x/ g.a/k ; wobei zum Schluss die modiﬁzierte Dreiecksungleichung zum Zuge kam. Geht man jetzt zum Supremum für alle Zerlegungen Z 0 von Œa; x über, so folgt (2). Hieraus ergibt sich nun die (rechtsseitige) Stetigkeit von x 7! Tg .x/ D Vax .g/ bei a auf folgende Weise: Zu " > 0 bestimmt man zunächst eine Zerlegung Z von Œa; b mit Vab .g/ P .g; Z/ < "=2 und hält diese Zerlegung fest. Dann bestimmt man ein positives ı < t1 mit: kg.x/ g.a/k < "=2 für alle x 2 a; ıŒ. Für diese x folgt dann aus (2) " " 0 Tg .x/ D Vax .g/ < C D "; 2 2 sodass der ."; ı/-Test für limx#a Tg .x/ D 0 erfüllt ist. Anstelle von a sei nun eine andere feste Stelle ˛ 2 Œa; bŒ betrachtet. Wendet man das, was soeben für das Intervall Œa; b und den Grenzübergang x # a erreicht wurde, auf das Intervall Œ˛; b und den Grenzübergang x # ˛ an, so folgt limx#˛ V˛x .g/ D 0. Wegen V˛x .g/ D Tg .x/ Tg .˛/ liefert dies limx#˛ .Tg .x/ Tg .˛// D 0, also die rechtsseitige Stetigkeit von Tg an der Stelle ˛. Ganz analog geht diese ganze Überlegung für ˇ 2 a; b anstelle ˛ 2 Œa; bŒ, und man erhält so die linksseitige Stetigkeit von Tg bei ˇ.

464

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Im reellwertigen Fall (W D R) kommen wir nun zu dem angekündigten Zusammenhang mit den monotonen Funktionen: G. Satz (von Jordan). Die Funktion g W Œa; b ! R ist dann und nur dann von beschränkter Schwankung, wenn sie als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen f1 ; f2 W Œa; b ! R dargestellt werden kann: g D f1 f2 : Ist g von beschränkter Schwankung und stetig, so können f1 ; f2 außerdem beide stetig gewählt werden. Beweis. Sind f1 ; f2 beide monoton (und stetig), so ist ihre Differenz nach Beispiel B(i) und Lemma D von beschränkter Schwankung (und stetig). Der inverse Schluss ist nichttrivial. Er erfordert die obigen Aussagen über die unbestimmte totale Variation und darüberhinaus eine Idee. Die Idee ist, bei gegebener Funktion g von beschränkter Variation zu schreiben g.x/ D Tg .x/ .Tg .x/ g.x//: Dann haben f1 WD Tg und f2 WD Tg g in der Tat die erwünschten Eigenschaften: Jedenfalls ist Tg nach F(i) monoton wachsend (und nach F(ii) stetig, falls g stetig ist). Zur Monotonie von f2 ist zu zeigen: Aus Œ˛; ˇ Œa; b mit ˛ < ˇ folgt f2 .˛/ f2 .ˇ/. Das rechnet sich um zu Tg .ˇ/ Tg .˛/ g.ˇ/ g.ˇ/, also zu V˛ˇ g.ˇ/ g.ˇ/. Dies wird aber impliziert von V˛ˇ jg.ˇ/ g.ˇ/j, was zutrifft, da f˛; ˇg eine (sehr simple) Zerlegung von Œ˛; ˇ darstellt. Ist g stetig, so auch Tg , also auch f2 . Dank Satz G übertragen sich die Eigenschaften monotoner Funktionen (Ana-1: D[3.6] und H[3.6], Ana-2: S(iii)[11.6]) direkt auf reelle Funktionen von beschränkter Schwankung: H. Folgerung. Für jede Funktion g W Œa; b ! R von beschränkter Schwankung gilt: (i)

g besitzt an jeder Stelle x 2 Œa; b einseitige Grenzwerte, hat also nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen.

(ii)

Die Menge der Sprungstellen von g ist abzählbar.

(iii)

g ist integrierbar.

Abschnitt 7.6

Funktionen von beschränkter Schwankung

465

Fourier-Darstellungen für Funktionen von beschränkter Schwankung Mit Hilfe von Satz G lassen sich nun die Darstellungssätze der Abschnitte 7.3 und 7.4 von den monotonen Funktionen auf Funktionen von beschränkter Schwankung übertragen. Das ist der eigentliche Grund für die Einführung der totalen Variation in diesem Kapitel. Allerdings kann eine monotone Funktion nur im Ausnahmefall (der Konstanz) 2 periodisch sein. Das muss und kann man berücksichtigen, indem man an einzelnen Stellen oder in geeigneten Intervallen Funktionswerte so abändert, dass sich die Auswirkung auf die Fourier-Reihe gut überblicken lässt. Für das Kriteriums von Dirichlet (L[7.3]) geht das z.B. auf folgende Weise: I . Folgerung (verallgemeinertes Kriterium von Dirichlet). Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei über Œ0; 2 integrierbar, und x0 sei eine feste Stelle. Ist f im Abschluss einer Umgebung von x0 von beschränkter Variation, so konvergiert die Fourier-Reihe von f an der Stelle x0 gegen fC .x0 / C f .x0 / : 2 Beweis. Ohne Einschränkung kann x0 im Inneren eines Periodenintervalls P angenommen werden. Es sei dann A D Œx0 ı; x0 C ı P ı ein abgeschlossenes Intervall, auf dem f von beschränkter Schwankung ist. Für x 2 A sei dargestellt: f .x/ D G.x/ g.x/ mit zwei monoton wachsenden Funktionen G; g W A ! R. Für x 2 P sei gesetzt: ( ( f .x/ für x … A 0 für x … A ˆ.x/ WD '.x/ WD G.x/ für x 2 A; g.x/ für x 2 A und ˆ, ' natürlich 2-periodisch auf R fortgesetzt. Dann gilt in ganz P und damit auch in R: (3)

f D ˆ ':

Beide Funktionen ˆ, ' sind über P integrierbar, da dies für ihre Restriktionen auf A und P n A zutrifft. Sind Ak ; Bk die Fourier-Koefﬁzienten von ˆ und ak ; bk die von ', so sind Ak ak ; Bk bk die Fourier-Koefﬁzienten von f . Entsprechendes gilt für die zugehörigen Teilsummen der Fourier-Reihen von ˆ, ' und f (Linearität gemäß Lemma E[7.1]). Nach dem ursprünglichen Kriterium L[7.3] konvergieren an der Stelle x0 die Teilsummen der Fourier-Reihe von ˆ gegen .ˆC .x0 / C ˆ .x0 //=2, die Teilsummen der Fourier-Reihe von ' gegen .'C .x0 /C' .x0 //=2. Dann konvergieren die Teilsummen der Fourier-Reihe von f an der Stelle x0 gegen ˆC .x0 / C ˆ .x0 / 'C .x0 / C ' .x0 / ˆC .x0 / 'C .x0 / ˆ .x0 / ' .x0 / D C 2 2 2 2 fC .x0 / C f .x0 / D : 2

466

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Dabei wurde zum Schluss (3) eingebracht.

Was die gleichmäßige Konvergenz angeht, so lässt sich Satz F[7.4] mit einer eher einfacheren „Minimalchirurgie“ verallgemeinern: J. Satz. Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei auf Œ0; 2 von beschränkter Variation. Ist f auf einem offenen Intervall ˛; ˇŒ stetig, so konvergiert die FourierReihe von f auf jedem kompakten Intervall Œa; b ˛; ˇŒ gleichmäßig gegen f . Beweis. Das Intervall Œa; b kann mit endlich vielen kompakten Intervallen, die eine Länge < 2 haben und in ˛; ˇŒ enthalten sind, überdeckt werden. Besteht die gleichmäßige Konvergenz auf den überdeckenden Intervallen, so auch auf Œa; b. Daher reicht die Behandlung des Falles, dass das Intervall ˛; ˇŒ in einem Periodenintervall enthalten ist, wofür dann sogar P D Œ0; 2 genommen werden kann. Es gilt also 0 < ˛ < a < b < ˇ < 2: Nach Satz G sei f für x 2 P dargestellt als Differenz f .x/ D G.x/ g.x/ zweier monoton wachsender Funktionen G; g W P ! R. Damit G; g periodisch „werden“, sei für x 2 P gesetzt ( ( g.x/ für x 2 Œ0; 2Œ G.x/ für x 2 Œ0; 2Œ '.x/ WD ˆ.x/ WD g.0/ für x D 2 G.0/ für x D 2; und ˆ, ' natürlich 2-periodisch auf R fortgesetzt. Dann gilt f D ˆ ': Beide Funktionen ˆ, ' sind auf P stückweise monoton und beschränkt. Darüberhinaus sind sie in einem Œa; b umfassenden offenen Intervall stetig, wenn G und g nach dem Verfahren von Satz G konstruiert werden. Mit festen Punkten a0 2 ˛; aŒ, b 0 2 b; ˇŒ sei nämlich für x 2 P 0

G.x/ WD V0x .f / D V0a .f / C Vax0 .f / g.x/ WD G.x/ f .x/; und die Abbildung x 7! Vax0 .f / ist nach F(ii) stetig auf Œa0 ; b 0 , also erst recht auf a0 ; b 0 Œ Œa; b. Somit folgt die gleichmäßige Konvergenz auf Œa; b bezüglich ˆ und ' aus F[7.4] und dann auch bezüglich f D ˆ ' aufgrund der Linearität. K. Bemerkung. Der Satz F[7.4] stellt sich jetzt als Spezialfall des obigen Satzes J dar. Denn allgemein gilt für eine Funktion f W Œa; b ! R die Implikation: f beschränkt und stückweise monoton H) f von beschränkter Schwankung:

Abschnitt 7.6

Funktionen von beschränkter Schwankung

467

Ist nämlich f beschränkt und zunächst monoton wachsend auf a; bŒ, so gilt für jede Zerlegung Z D ft0 ; : : : ; tk g von Œa; b k k1 X X ˇ ˇ ˇf .tj / f .tj 1 /ˇ D jf .t1 / f .t0 /j C .f .tj / f .tj 1 // j D1

j D2

C jf .tk / f .tk1 /j D jf .t1 / f .t0 /j C f .tk1 / f .t1 / C jf .tk / f .tk1 /j 6 max jf j : Œa;b

Analog schließt man, wenn f monoton fallend statt monoton wachsend auf a; bŒ ist. Ist schließlich f W Œa; b ! R beschränkt und stückweise monoton und T D fa0 ; : : : ; aN g eine zugehörige Zerlegung gemäß Deﬁnition O[7.3], so ergibt sich die Behauptung aus dem zuvor behandelten Fall mit Hilfe der Zerlegungsregel E, da die Restriktionen f jŒaj 1 ; aj alle von beschränkter Schwankung sind. Bei Funktionen, die stückweise von der Klasse C 1 sind, wurde bislang immer die Stetigkeit der Funktion selbst vorausgesetzt. Das führt in der Tat zu dem relativ starken Ergebnis, dass die Fourier-Reihe sogar absolut-gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert (Satz A[7.4]). Ohne die Stetigkeit der Ausgangsfunktion kann man so etwas nicht erwarten. Zunächst die genaue Deﬁnition unter der abgeschwächten Voraussetzung: L. Deﬁnition. Die Funktion f W Œa; b ! R heißt stückweise von der Klasse C 1 oder stückweise stetig differenzierbar, wenn es eine Zerlegung Z D fa0 ; a1 ; : : : ; aN g von Œa; b gibt, sodass jede Restriktion f j aj 1 ; aj eine stetig differenzierbare Fortsetzung auf Œaj 1 ; aj besitzt (j D 1; : : : ; N ). Über Intervalle, die hier als Zerlegungsintervalle vorkommen, kann man allgemein Folgendes sagen: M. Lemma. Besitzt die Restriktion der Funktion g W Œ˛; ˇ ! R auf ˛; ˇŒ eine stetig differenzierbare Fortsetzung h W Œ˛; ˇ ! R, so ist g von beschränkter Variation. Beweis. Ist Z D ft0 ; : : : ; tk g eine Zerlegung von Œ˛; ˇ, so gilt P .g; Z/ D jg.t1 / g.˛/j C

k1 X j D2

ˇ ˇ ˇg.tj / g.tj 1 /ˇ C jg.ˇ/ g.tk1 /j

468

Kapitel 7

Fourier-Reihen

jg.˛/ h.˛/j C jh.t1 / h.˛/j C C

k1 X

ˇ ˇ ˇh.tj / h.tj 1 /ˇ C jh.ˇ/ h.tk1 /j C jg.ˇ/ h.ˇ/j

j D2

D jg.˛/ h.˛/j C P .h; Z/ C jg.ˇ/ h.ˇ/j jg.˛/ h.˛/j C V˛ˇ .h/ C jg.ˇ/ h.ˇ/j : Dabei wurde zuletzt der mittlere Term nach Beispiel B(ii) abgeschätzt.

Ist f W Œa; b ! R wie in Deﬁnition L stückweise stetig differenzierbar, so ist f im Inneren eines jeden Zerlegungsintervalls Œaj 1 ; aj stetig und besitzt an dessen Endpunkten einseitige Grenzwerte, da dies für die genannte stetig differenzierbare Fortsetzung zutrifft. Außerdem kann man nun Lemma M und die Zerlegungsregel E kombinieren und erhält so: N. Lemma. Eine stückweise stetig differenzierbare Funktion f W Œa; b ! R ist von beschränkter Schwankung und besitzt als Unstetigkeiten nur Sprünge in endlicher Anzahl. Damit wird das obige Hauptergebnis über die Fourier-Reihe einer Funktion von beschränkter Schwankung (Satz J) hier anwendbar und liefert: O. Folgerung. Ist die 2-periodische Funktion f W R ! R auf Œ0; 2 stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert ihre Fourier-Reihe auf jedem kompakten Intervall, das in einem offenen Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Sprungstellen von f enthalten ist, gleichmäßig gegen f . Integration der Fourier-Reihe Eine beliebige Fourier-Reihe darf man gliedweise integrieren (gleichgültig ob sie konvergiert oder nicht!) und erhält immer eine konvergente Reihe, deren Wert sogar gleich dem Integral der Ausgangsfunktion ist. Der tiefere Grund ist, dass das Integral als Funktion seiner oberen Grenze stetig und von beschränkter Schwankung ist: P. Satz. Für jede integrierbare Funktion g W Œa; b ! W ist die Funktion G W Œa; b ! W mit Z x G.x/ WD g.t/ dt a

stetig und von beschränkter Schwankung, und es gilt Z b b Va .G/ kg.t /k dt D kgk1 : a

Abschnitt 7.6

469

Funktionen von beschränkter Schwankung

Beweis. Die Stetigkeit wurde bereits in Ana-2: I[11.7] nachgewiesen. Zur Existenz der totalen Variation schätzt man bei gegebener Zerlegung Z WD fx0 ; : : : ; x0 g ganz routinemäßig ab: k X G.xj / G.xj 1 / P .G; Z/ D j D1

Z b k Z xj k Z xj X X g.t / dt D kg.t/k dt D kg.t/k dt: xj 1 xj 1 a j D1

j D1

Das beweist alles.

Sei nun f W R ! R über Œ0; 2 integrierbar und 2-periodisch mit der FourierEntwicklung 1 a0 X f .x/ .ak cos kx C bk sin kx/: C 2 kD1

Will man bestimmte Integrale von f ausrechnen, so reicht die Kenntnis des Integrals von f von 0 bis zu (variablem) x. Eine gewisse Kalamität besteht aber darin, dass dieses Integral i. Allg. nicht periodische von x abhängt. Wir bilden deshalb die Hilfsfunktion Z x a0 H.x/ WD f .t/ dt x: 2 0 Dann wird

Z

xC2

f

H.x C 2/ D Z

0

Z

x

D

a0 .x C 2/ 2

xC2

f C Z

0

Z

x

D

f x 2

f C 0

f 0

a0 x a0 2

a0 x a0 2

D H.x/: Dabei wurde zum Schluss die Deﬁnition von a0 eingebracht. Die abgeänderte Funktion H wird also jetzt 2-periodisch (und ist natürlich wieder über Œ0; 2 integrierbar). Nach Satz P ist H W R ! R stetig und auf Œ0; 2 von beschränkter Schwankung, besitzt also nach Satz J eine gleichmäßig konvergente Fourier-Entwicklung, die wir in der folgenden Form ansetzen: 1

A0 X H.x/ D .Ak cos kx C Bk sin kx/: C 2 kD1

470

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Die Frage ist jetzt nur, wie sich die Fourier-Koefﬁzienten Ak , Bk von H aus den Fourier-Koefﬁzienten ak , bk von f bestimmen lassen. Letzten Endes muss da die Deﬁnition der Fourier-Koefﬁzienten zum Zuge kommen. Das führt naturgemäß auf Doppelintegrale, die mit dem Satz von Fubini behandelt werden können. Bei den Ak läuft dies so: Z 2 Z x a0 Ak D f .t/ dt x cos kx dx 2 0 0 (4) Z Z 2 Z 2 a0 2 cos kx dx f .t / dt x cos kx dx: D 2 0 0 t Der Satz von Fubini (Ana-2: D[11.8]) wird dabei auf das Dreieck f.x; t / j 0 x 2; 0 t xg angewandt. Über dieses Dreieck ist die Funktion .x; t / 7! f .t / cos kx integrierbar (nach Ana-2: N[11.8], zunächst bezüglich des Quadrats f.x; t/ j 0 x 2; 0 t 2g, dann aber auch bezüglich des Dreiecks, da dieses integrierbar ist). Die Integrale nach x in der zweiten Zeile von (4) sind elementar auswertbar: Für k > 1 ergibt sich Z 2 Z 2 sin kt cos kx dx D x cos kx dx D 0; ; k t 0 also aus (4):

Z

2

Ak D 0

Für k D 0 ergibt sich Z

sin kt 1 f .t / dt D ak : k k Z

2

2

x dx D 2 2 ;

dx D 2 t t

0

also aus (4): Z

Z

2 0 2

D2 0

D 2

. t /f .t / dt 0

Z (5)

2

.2 t /f .t / dt 2 a0 D

A0 D

1 X sin kt k

kD1

! f .t/ dt D 2

1 Z X kD1

0

2

sin k t f .t / dt k

1 X bk : k

kD1

Dabei wurde beim Übergang zur zweiten Zeile der Faktor t gemäß (13)[7.1] in seine Fourier-Reihe entwickelt, wobei die unterschiedlichen Werte an den Intervallenden

Abschnitt 7.6

471

Funktionen von beschränkter Schwankung

beim Integrieren keine Bedeutung haben. Dann wurden in der zweiten Zeile Integration und Reihenbildung vertauscht. Dies ist gerechtfertigt, weil die Teilsummen der o.g. Fourier-Reihe nach Bemerkung J[7.1] beschränkt sind, sodass auch die Teilsummen der mit f .t / durchmultiplizierten Reihe eine integrierbare Majorante (const. jf .t /j) besitzen. Diese Rechnung liefert also für die Ak A0 D 2

1 X bk ; k

Ak D

kD1

bk ; k

k 1:

Für die Bk lautet die entsprechende Rechnung

(6)

Z

a0 f .t/ dt x sin kx dx Bk D 2 0 0 Z Z 2 Z 2 a0 2 sin kx dx f .t/ dt x sin kx dx D 2 0 0 t Z 2 cos kt 1 a0 ak D f .t/ dt C D ; k k k k 0 Z

2

x

also Bk D

ak ; k

k 1:

Fasst man alles zusammen, so erhält man als Hauptresultat: Q. Satz (Integration der Fourier-Reihe). Besitzt die 2-periodische, über Œ0; 2 integrierbare Funktion f W R ! R die Fourier-Entwicklung 1

f .x/

(7)

a0 X .ak cos kx C bk sin kx/; C 2 kD1

so gilt für alle x 2 R Z

x

(8) 0

1 X ak a0 bk xC .1 cos kx/ C sin kx f .t/ dt D 2 k k kD1

mit gleichmäßiger Konvergenz auf ganz R. Der Ausdruck rechts in (8) entsteht durch formales gliedweises Integrieren der rechten Seite von (7) in den Grenzen von 0 bis x.

472

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Wünscht man das Integral von f in beliebigen Grenzen, so kann man dieses einfach aus (8) erhalten, da ja Z b Z b Z a f .t / dt D f .t/ dt f .t/ dt a

0

0

a0 D .b a/ C 2

1 X kD1 1

D

bk ak .cos kb cos ka/ C .sin kb sin ka/ k k ! Z Z

X a0 ak .b a/ C 2 kD1

b

b

cos k t dt C bk a

sin k t dt : a

R. Bemerkung. In diesem Abschnitt sind die Funktionen von beschränkter Schwankung vor allem in Bezug auf die Analysis beleuchtet worden. Sie spielen aber, gerade auch im vektorwertigen Fall, eine wichtige Rolle unter geometrischen Gesichtspunkten. Tatsächlich sind die stetigen Abbildungen des Typs W J ! W (J reelles Intervall) nichts anderes als die Verallgemeinerungen der Wege W J ! Rn , wie sie schon in Ana-1: Abschnitt 9.1 diskutiert wurden. Nur wird eben jetzt der Euklidische Zielraum Rn durch den normierten Vektorraum W ersetzt. Das ist schon bei endlicher Dimension von W von Bedeutung, da die Norm von W beliebig ist, also keineswegs Euklidisch zu sein braucht. Stetige Abbildungen dieses allgemeinen Typs W J ! W sollen wiederum als Wege bezeichnet werden. Im Falle J D Œa; b heißt der Weg W J ! W rektiﬁzierbar, wenn er von beschränkter Schwankung ist und seine Bogenlänge ist dann deﬁniert durch Lba . / WD Vab . /. Sowohl die Existenz wie auch der Wert von Lba . / hängen von der verwendeten Norm in W ab. Hat W endliche Dimension (aber beliebige Norm), so spricht man von einem Minkowski-Raum. Der voranstehende Bogenlängenbegriff gehört dann zur „geometrischen Grundausstattung“ eines solchen Raums. Aufgaben und Anmerkungen 1. Durch Integration der Fourier-Reihe der Zickzack-Welle (Beispiel I[7.1]) von 0 bis =2 gewinne man die Reihenentwicklung 1 1 1 3 D 1 3 C 3 3 C : 32 3 5 7 2. Man zeige: Ist g W Œa; b ! R Lipschitz-stetig, so ist g von beschränkter Schwankung. 3. Man zeige: Beim Abbildungstyp g W Œa; b ! W ändert sich der Begriff „von beschränkter Schwankung“ nicht, wenn man in W zu einer äquivalenten Norm übergeht. Das bedeutet: Ist W mit zwei äquivalenten Normen ausgestattet, so ist g bezügliche der einen Norm genau dann von beschränkter Schwankung, wenn g bezüglich der anderen Norm von beschränkter Schwankung ist.

Abschnitt 7.7

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

473

4. Sei g W Œa; b ! W1 W2 eine Abbildung in ein kartesisches Produkt zweier normierter Vektorräume, wobei W1 W2 mit der Maximumsnorm versehen sei (Ana2: Abschnitt 10.1). Die Komponenten von g seien g1 W Œa; b ! W1 und g2 W Œa; b ! W2 , also g.t / D .g1 .t /; g2 .t //. Man beweise: a)

g ist dann und nur dann von beschränkter Schwankung, wenn g1 und g2 es sind.

b)

Ist g von beschränkter Schwankung, so gilt max fVab .g1 /; Vab .g2 /g Vab .g/ Vab .g1 / C Vab .g2 /:

5. Beim Abbildungstyp g W Œa; b ! Rn mit g D .g1 ; : : : ; gn / zeige man: g ist dann und nur dann von beschränkter Schwankung, wenn alle Komponentenfunktionen gj W Œa; b ! R, j D 1; : : : ; n; von beschränkter Schwankung sind. Dabei darf Rn mit einer beliebigen Norm ausgestattet sein. Insbesondere ist ein Weg W Œa; b ! Rn dann und nur dann rektiﬁzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen 1 ; : : : ; n von beschränkter Schwankung sind.

7.7

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

Nach den Fragen der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz kehren wir zum alternativen Konvergenzproblem im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen zurück. Anfangsgründe dieser Theorie waren im Abschnitt 7.2 entwickelt worden. Der Ausgangspunkt war dort die Approximation im quadratischen Mittel, die zu einer interessanten Charakterisierung der Fourier-Koefﬁzienten geführt hat (Satz C[7.2]). Dabei war bald deutlich geworden, dass man die Dinge sehr transparent im Rahmen der Prä-Hilbert-Räume formulieren und behandeln sollte. Dieser funktionalanalytische Aspekt wird hier fortgesetzt, jedoch mit dem Ziel konkreter Resultate für FourierReihen, z.B. der Parseval-Gleichung. Auf dem Weg dahin liegt auch der Schritt von den Prä-Hilbert-Räumen zu den Hilbert-Räumen. Wir hatten schon gesehen, dass die harmonischen Grundfunktionen (nach leichter Abänderung ihrer Normen) ein ON-System bilden im Raum der 2-periodischen Funktionen, die über Œ0; 2 quadratisch integrierbar sind. Es war dabei offen geblieben, ob jede solche Funktion bezüglich des quadratischen Mittels durch ihre Fourier-Reihe dargestellt werden kann. Offen geblieben war auch, ob die Bessel-Ungleichung vielleicht zu einer Gleichung ausgebaut werden kann. Überraschenderweise hängen diese und weitere Fragen eng zusammen, und diese Zusammenhänge sollen zunächst auf der abstrakten Ebene geklärt werden. Es sei V wie in Abschnitt 7.2 ein reeller Prä-Hilbert-Raum mit Skalarprodukt hu; vi und zugehöriger Norm juj WD hu; ui1=2 . Es geht zunächst um ein gegebenes ON-

474

Kapitel 7

Fourier-Reihen

System .ek /k2N von Elementen in V , für die also die Bedingungen hek ; e` i D ıkl erfüllt sind. A. Satz und Deﬁnition. Sei .ek /k2N ein ON-System im Prä-Hilbert-Raum V . Dann sind folgende Eigenschaften (i) bis (iv) untereinander äquivalent: (i)

(ii)

Die Menge aller endlichen Linearkombinationen der ek ist dicht in V . Man sagt: Das ON-System .ek /k2N ist total in V . Für alle v 2 V gilt die Fourier-Entwicklung v D

1 X

hv; ek i ek .

kD1

(iii)

Für alle v 2 V gilt die Parseval-Gleichung jvj2 D

1 X

hv; ek i2 .

kD1

(iv)

Für alle u; v 2 V gilt die verallgemeinerte Parseval-Gleichung 1 X hu; ek i hv; ek i einschließlich absoluter Konvergenz der Reihe. hu; vi D kD1

Die Eigenschaft (iii) impliziert: (v)

Aus v 2 V und hv; ek i D 0 für alle k 2 N folgt v D 0. Man sagt: Das ONSystem .ek /k2N ist maximal in V .

Warnung: Es wird nicht behauptet, diese Eigenschaften seien in einem Prä-HilbertRaum oder Hilbert-Raum erfüllt. Das kann der Fall sein oder auch nicht! Behauptet werden Beziehungen zwischen Eigenschaften eines ON-Systems. Äquivalent besagt die Eigenschaft (v) im Fall ihres Erfülltseins: Es gibt kein das System .ek /k echt umfassendes ON-System. Daher rührt das Attribut „maximal“. In der Literatur wird statt „maximal“ synonym das Wort „vollständig“ gebraucht. Da der Begriff „Vollständigkeit“ in vielen Bedeutungen vorkommt, bevorzugen wir hier den Terminus „maximal“ für die Eigenschaft (v). Sie drückt ja in der Tat aus, dass zu dem ON-System .ek /N kein weiterer Vektor ¤ 0 hinzugefügt werden kann, wenn die paarweise Orthogonalität erhalten bleiben soll. Endlich viele Elemente eines ON-Systems sind immer linear unabhängig. Daher besitzt ein Prä-Hilbert-Raum unendliche Dimension, wenn in ihm ein ON-System mit abzählbar unendlicher Indexmenge existiert. Das Anschreiben einer Gleichung mit einer Reihe soll die Konvergenz der Reihe beinhalten. Bei (ii) bedeutet das die Konvergenz der Teilsummen bezüglich der Norm von V . Bei (iii) und (iv) handelt es sich um Reihen in R mit der dafür üblichen Konvergenz. Beweis von A. Die Teilsummen der Reihe in (ii) seien so bezeichnet: sn WD

n X kD1

hv; ek i ek :

Abschnitt 7.7

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

475

(i) H) (ii): Nach (4)[7.2] gilt bei gegebenem v 2 V : jv uj jv sn j

für jede Linearkombination u von e1 ; : : : ; en :

Ist nun " > 0 gegeben, so wähle man nach Voraussetzung (i) n und u so, dass jv uj < " wird. Dann gilt erst recht jv sn j < ": Ebenso ist nach (4)[7.2] jv sn j jv sm j

für alle m > n;

da sn Linearkombination von e1 ; : : : ; en , also auch von e1 ; : : : ; em ist. Zusammengenommen ergibt sich jv sm j < " für alle m > n: (ii) H) (i): Aus sn ! v folgt (i), da sn Linearkombination von e1 ; : : : ; en ist. (ii) () (iii): Wieder nach (4)[7.2] gilt 2

2

jv sn j D jvj

n X

hv; ek i2 :

kD1

Hieraus liest man die behauptete Äquivalenz ab. (ii) H) (iv): Man rechnet so: + *1 1 1 X X X hu; ek i ek ; v D hhu; ek i ek ; vi D hu; ek i hek ; vi : hu; vi D kD1

kD1

kD1

Die durchgeführte Vertauschung ergibt sich aus der Stetigkeit des Skalarprodukts in jedem Faktor. Diese Stetigkeit ist eine leichte Konsequenz der Cauchy/Schwarz-Ungleichung jhu u0 ; v0 ij ju u0 j jv0 j. Ebenfalls aus der Cauchy/Schwarz-Ungleichung (diesmal für n-Tupel) folgt v v u n u n n X uX uX 2 t t jhu; ek i hv; ek ij hu; ek i hv; ek i2 ; kD1

kD1

kD1

sodass die absolute Konvergenz mitgesichert ist. (Aus (ii) folgte ja auch (iii).) (iv) H) (iii): Man spezialisiere u D v. Damit sind die Eigenschaften (i) bis (iv) als paarweise äquivalent erkannt. (iii) H) (v): Das liest man direkt aus (iii) ab.

476

Kapitel 7

Fourier-Reihen

B. Bemerkung. Einige der Eigenschaften in Satz A sind unabhängig von der Normierung der ek , also auch sinnvoll für ein Orthogonalsystem .vk /k2N anstelle eines Orthonormalsystems .ek /k2N , sofern alle vk ¤ 0 sind. Es sind dies die Eigenschaften (i) und (v). In den restlichen Eigenschaften (ii) bis (iv) hätte man bei der Formulierung für ein solches Orthogonalsystem in den Reihen die Normierungsfaktoren einzubringen, entsprechend den Substitutionen ek D vk = jvk j. Ist V vollständig, also ein Hilbert-Raum, so gelten weitere Eigenschaften: C. Lemma. Sei .ek /k2N ein ON-System im Hilbert-Raum V . Dann ist für jedes Element v 2 V die Reihe 1 X hv; ek i ek kD1

konvergent in V . Beweis. Natürlich muss die Vollständigkeit von V (d.h. die Cauchysche Konvergenzbedingung) zum Zug kommen. In der Tat gilt für die „Abschnitte“ (d.h. für die Differenzen zweier Teilsummen) der genannten Reihe ˇ2 ˇ m m ˇ ˇX X ˇ ˇ hv; ek i ek ˇ D hv; ek i2 ; ˇ ˇ ˇ kDn

m > n:

kDn

Das ist einfach der Satz des Pythagoras, angewandtP auf die paarweise orthogonalen 2 Vektoren hv; en i en ; : : : ; hv; em i em . Da die Reihe 1 kD1 hv; ek i nach der BesselUngleichung H[7.2] konvergiert, kannP man folgendermaßen schließen: Zu gegebenem 2 2 " > 0 existiert ein Index N 2 N mit: 1 kD1 hv; ek i < " für alle m > n > N . Dann folgt aufgrund des obigen „Pythagoras“ ˇ m ˇ ˇX ˇ ˇ ˇ hv; ek i ek ˇ < " für alle m > n > N : ˇ ˇ ˇ kDn

Das ist die Cauchy-Bedingung für die fragliche Reihe, diese also wegen der Vollständigkeit von V konvergent. D. Folgerung. Ist V ein Hilbert-Raum, so sind alle fünf Eigenschaften (i) bis (v) von Satz A untereinander äquivalent. Beweis. Wir zeigen: (v) H) (ii): Zu gegebenem v 2 V bilde man v WD

1 X kD1

hv; ek i ek 2 V;

Abschnitt 7.7

477

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

was nach Lemma C möglich ist. Dann gilt für jedes ` 2 N: + *1 X hv; ek i ek ; e` hv v ; e` i D hv; e` i kD1

D hv; e` i

1 X

hv; ek i hek ; e` i D hv; e` i hv; e` i D 0:

kD1

Somit folgt nach (v): v v D 0, also v D v .

Anwendung auf die Fourier-Reihen Diese Dinge werden wir jetzt auf den Funktionenraum angewendet, der bei den FourierReihen von besonderer Bedeutung ist:

L2 Œa; b, der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen f W Œa; b ! R mit der 2-Norm kf k2 . Er ist vollständig, also ein Hilbert-Raum (Ana-2: M[13.1] und O[13.1]).

In den Darlegungen oben und in Abschnitt 7.2, die sich auf abstrakte Prä-HilbertRäume oder Hilbert-Räume V bezogen haben, war die Norm neutral durch einfache Striche j j bezeichnet worden. Bei deren Anwendung auf L2 Œa; b ist also j j D k k2 zu setzen. Neben L2 Œa; b haben wir zwei weitere Funktionenräume zu betrachten:

L1 Œa; b, der Raum der integrierbaren Funktionen f W Œa; b ! R mit der 1-Norm k k1 . Aus der Integralrechnung ist wohlbekannt, dass L1 Œa; b ein Banach-Raum ist (Ana-2: I[11.6]).

C 0 Œa; b, der Raum der stetigen Funktionen f W Œa; b ! R. Er spielt hier vor allem als Untervektorraum von L2 Œa; b und L1 Œa; b eine Rolle. Der Einfachheit halber schreiben wir dann C 0 Œa; b DW C Œa; b. Wird C 0 Œa; b als eigenständigen Raum betrachtet und mit der Maximumsnorm k k1 versehen, so wird dieser mit 0 0 Œa; b bezeichnet. C1 Œa; b ist ebenfalls ein Banach-Raum mit der gleichmäC1 ßigen Konvergenz als Konvergenzbegriff (Ana-2: K(iii)[10.4] oder A[6.3]).

Die Normen in V und L2 Œa; b entstehen aus Skalarpodukten (in beiden Fällen durch 0 Œa; b. Es war h ; i bezeichnet). Dies gilt nicht für die Normen in L1 Œa; b und C1 Z kf k1 D

b

jf .x/j dx a

s kf k2 D

Z

b

f .x/2 dx D a

kf k1 D max jf .x/j : x2Œa;b

Z p hf; f i; Skalarprodukt: hf; gi D a

b

f .x/g.x/ dx

478

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Integrierbarkeit schlechthin ist hier wie im ganzen Kapitel im Sinne von Lebesgue zu verstehen. An Relationen zwischen diesen Normen sei Folgendes festgehalten: E. Lemma. Es gilt:

p

(i)

f 2 L2 Œa; b H) f 2 L1 Œa; b und kf k1

(ii)

f 2 L1 Œa; b; f beschränkt H) f 2 L2 Œa; b; p f 2 C Œa; b H) f 2 L2 Œa; b und kf k2 b a kf k1 .

(iii)

b a kf k2 ;

Beweis. Zu (i): Die erste Behauptung ist klar aus Deﬁnition A[7.2], die zweite folgt aus der Cauchy/Schwarz-Ungleichung in L2 Œa; b: s s Z b Z b Z b f .x/2 1 dx 12 dx: jf .x/j 1 dx a

a

a

Zu (ii): Dies folgt aus f 2 D f f zusammen mit dem Produktsatz in Ana-2: L[11.5]. Zu (iii): Die erste Behauptung ist klar, da mit f auch f 2 stetig, also über Œa; b integrierbar ist. Die zweite Behauptung folgt aus der Standard-Abschätzung Z kf

k22

b

D a

f .x/2 dx kf k21 .b a/

durch Wurzelziehen.

Das nächste Ziel ist die Gültigkeit der Parseval-Gleichung für das System der harmonischen Grundfunktionen im Raum L2 Œ0; 2. Diese beruht letzten Endes auf der aus I[7.2] bekannten Ungleichung ! Z 2 n X 1 ak2 C bk2 ; (1) kf Tn k2 kf Fn k2 D f .x/2 dx a2 C 2 0 0 kD1

worin Fn die Teilsumme der Fourier-Reihe (1)[7.2] und Tn ein beliebiges trigonometrisches Polynom (2)[7.2] (zum gleichen Index) ist. Nun kann man versuchen, die rechte Seite der Ungleichung (1) „klein zu kriegen“, also letzten Endes die Konvergenz dieser rechten Seite für n ! 1 gegen 0 zu erreichen. Dieses „Kleinkriegen“ gelingt aufgrund des Terms ganz links in (1); denn über diesen kann man noch in geeigneter Weise verfügen. Dazu dienen die folgenden Approximationsüberlegungen:

Abschnitt 7.7

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

479

F. Lemma. Für jede Funktion f W A ! R (A R) ist der positive- bzw. negative Anteil f C W A ! R bzw. f W A ! R deﬁniert durch f C .x/ WD max ff .x/; 0g;

bzw.

f .x/ WD min ff .x/; 0g:

(i)

Es gilt f D f C C f .

(ii)

f ist genau dann integrierbar, wenn f C und f beide integrierbar sind.

Beweis. Beides folgt aus den alternativen Darstellungen (Ana-1: H[1.3]): f C .x/ D

1 .f .x/ C jf .x/j/; 2

f .x/ D

1 .f .x/ jf .x/j/; 2

da mit f auch jf j integrierbar ist.

G. Lemma. C Œa; b ist ein dichter Unterraum von L2 Œa; b, d.h. zu jeder Funktion f 2 L2 Œa; b und jedem " > 0 existiert eine stetige Funktion g W Œa; b ! R mit kf gk2 < ". Beweis. Nach Lemma F kann o.B.d.A. angenommen werden: f .x/ 0 für alle x 2 Œa; b. 1)

Approximation von „L2 “ durch „beschränkt L2 “:

Man deﬁniert eine Folge von Funktionen fk W Œa; b ! R durch „Abschneiden nach oben“: fk .x/ WD min ff .x/; kg; k 2 N: Dann gilt

fk 2 L1 Œa; b: Dies ist klar, da das Minimum wieder mit dem Betrag ausgedrückt werden kann.

fk 2 L2 Œa; b: Dies ist klar aus E(ii), da fk beschränkt ist.

fk .x/ fkC1 .x/: Klar aus min ff .x/; kg min ff .x/; k C 1g.

limk!1 fk .x/ D f .x/: Für k > f .x/ gilt fk .x/ D f .x/.

Somit konvergiert fk .x/ 0 bez. k monoton wachsend punktweise gegen f .x/ 0. Insbesondere gilt 0 f .x/ fk .x/ f .x/, also jf .x/ fk .x/j2 f .x/2 . Nach Rb dem Satz über die majorisierte Konvergenz (Ana-2: H[11.5]) folgt limk!1 a jf fk j2 D 0, also limk!1 kf fk k2 D 0. Zum gegebenen " > 0 sei dann k 2 N fest gewählt mit (2)

kf fk k2 < ":

480

Kapitel 7

Fourier-Reihen

2) Approximation von „beschränkt L2 “ durch „stetig“: Nach Ana-2: N[11.4] exibk der konstruierten Funktion fk eine stetige Funktion stiert zur Nullfortsetzung f g0 W R ! R mit kompaktem Träger, sodass b k g0 k1 < kf

"2 : 4k

Für die Restriktion g1 WD g0 jŒa; b 2 C Œa; b gilt dann erst recht kfk g1 k1 <

"2 : 4k

Man schneidet nun g1 genau wie zuvor nach unten durch 0 und nach oben durch k ab: g.x/ WD min fg1C .x/; kg D min fmax fg1 .x/; 0g; kg: Dann ist g W Œa; b ! R stetig und in Œa; b jfk .x/ g.x/j jfk .x/ g1 .x/j ; da die Funktionsdifferenzen durch das beidseitige Abschneiden von g1 nicht vergrößert werden. (Im Einzelnen kann dies durch Fallunterscheidung geprüft werden: Ist g1 .x/ > k so gilt g.x/ D k und g1 .x/ fk .x/ > g.x/ fk .x/ 0. Ist g1 .x/ < 0, so ist g.x/ D 0 und fk .x/ g1 .x/ > fk .x/ D fk .x/ g.x/ 0. Ist schließlich 0 g1 .x/ k, so gilt g.x/ D g1 .x/.) Wegen 0 fk .x/ k und 0 g.x/ k ist jfk .x/ g.x/j k, also jfk .x/ g.x/j2 k jfk .x/ g.x/j k jfk .x/ g1 .x/j, und es folgt durch Integration " 2 "2 ; D kfk gk22 k kfk g1 k1 < k 4k 2 also (3)

kfk gk2 <

Aus (2) und (3) folgt kf gk2 < ".

" : 2

H. Lemma. Der Untervektorraum der Funktionen h 2 C Œa; b mit h.a/ D h.b/ ist L2 -dicht in C Œa; b, d.h. zu jeder stetigen Funktion g W Œa; b ! R und jedem " > 0 existiert eine stetige Funktion h W Œa; b ! R mit h.a/ D h.b/ und kg hk2 < ". Beweis. Seien g und " > 0 so gegeben, und sei M > 0 eine obere Schranke von jgj, also: jg.x/j M für x 2 Œa; b. Man wählt eine Stelle ˇ 2 a; bŒ und ersetzt g auf dem Intervall Œˇ; b durch eine afﬁne Funktion ' mit '.ˇ/ D f .ˇ/ und '.b/ D f .a/. Dadurch entsteht eine stetige Funktion h W Œa; b ! R mit ( g.x/ für a x ˇ h.x/ WD '.x/ für ˇ x b:

Abschnitt 7.7

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

481

Auf dem Intervall Œˇ; b liegt '.x/ im abgeschlossenen Intervall zwischen f .ˇ/ und f .a/, erfüllt also j'.x/j M . Für die 2-Norm der Differenz g h gilt: Z kg

hk22

Z

b

D

jg hj D a

Z

b

2

2

jg 'j ˇ

b

2.jf j2 C j'j2 /

ˇ

.2M 2 C 2M 2 /.b ˇ/ D 4M 2 .b ˇ/: Dabei wurde in der ersten Zeile nach der Regel . /2 2 2 C 2 2 abgeschätzt, die ihrerseits leicht zu bestätigen ist. Falls ˇ so gewählt wird, dass 4M 2 .b ˇ/ < "2 gilt, so folgt hieraus kg hk2 < ". Dies ist erfüllt, wenn ˇ so nahe an b herangerückt wird, dass "2 0 0 existiert ein trigonometrisches Polynom T mit kf T k2 < ": Beweis. Zu f gibt es nach Lemma G ein g 2 C Œ0; 2 mit (4)

kf gk2 <

" : 3

Zu g gibt es nach Lemma H ein h 2 C Œ0; 2 mit h.0/ D h.2/ und (5)

kg hk2 <

" : 3

Zu h gibt es nach Folgerung B[7.5] ein trigonometrisches Polynom T mit " kh T k1 < p ; 3 2 also nach E(iii) mit (6)

kh T k2

p

2 kh T k1 <

" : 3

Schließlich folgt kf T k2 < " durch Kombination von (4), (5), (6).

Nun haben wir die ganze Zeit auf die Ungleichung (1) zugearbeitet und es bei gegebenem f 2 L2 Œa; b geschafft, den dortigen linken Term beliebig klein (< ") zu

482

Kapitel 7

Fourier-Reihen

bekommen, wenn nur das trigonometrische Polynom Tn und damit n passend gewählt wird. Da die rechte Seite dieser Ungleichung nichtnegativ ist und bez. n monoton fällt, ist diese rechte Seite erst recht < " für alle m > n. M.a.W. die rechte Seite konvergiert gegen Null, was einfach bedeutet, dass die Parseval-Gleichung erfüllt ist. Damit ergibt sich mit einem Schlag aus Folgerung D, dass alle fünf Eigenschaften von Satz A für das System der harmonischen Grundfunktionen wirklich gültig sind. Damit die Norm-Konvergenz angemessen formuliert werden kann, seien für die Funktionen x 7! cos kx bzw. x 7! sin kx (x 2 R) die Namen cosk bzw. sink eingeführt. J . Satz (Hauptsatz der L2 -Fourier-Theorie). Betrachtet wird im Hilbert-Raum L2 Œ0; 2 das System der harmonischen Grundfunktionen 1; cos ; sin ; cos2 ; sin2 ; cos3 ; sin3 ; : : : ;

(7)

und es seien Funktionen f 2 L2 Œ0; 2

mit Fourier-Koefﬁzienten a0 ; ak ; bk

' 2 L2 Œ0; 2

mit Fourier-Koefﬁzienten ˛0 ; ˛k ; ˇk ;

k2N

gegeben. Dann gilt: (i)

Das System der harmonischen Grundfunktionen (7) ist total in L2 Œ0; 2, d.h. die Menge aller endlichen Linearkombinationen dieser Funktionen ist dicht in L2 Œ0; 2.

(ii)

Es besteht uneingeschränkt die Fourier-Entwicklung im L2 -Sinne: 1

f D

a0 X C .ak cosk Cbk sink / 2

.L2 /

kD1

d.h.

(iii)

lim f n!1

! D 0:

a0 X .ak cosk Cbk sink / C 2 n

kD1

2

Es gilt stets die Parseval-Gleichung: 1

Z

1

2

f .x/2 dx D 0

1 2 X 2 a0 C ak C bk2 2 kD1

einschließlich der Konvergenz der Reihe rechts.

Abschnitt 7.7

(iv)

483

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

Es gilt stets die verallgemeinerte Parseval-Gleichung: 1

Z

1

2

f .x/'.x/ dx D 0

X 1 a0 ˛0 C .ak ˛k C bk ˇk / 2 kD1

einschließlich der absoluten Konvergenz der Reihe rechts. (v)

Das System der harmonischen Grundfunktionen (7) ist maximal in L2 Œ0; 2, d.h. aus Z

Z

2

2

f .x/ dx D 0

f .x/ cos kx dx Z

0 2

D

f .x/ sin kx dx D 0 0

folgt f .x/ D 0 fast überall.

für alle k 2 N

Die Maximalität (v) besagt: Man kann dem System (7) keine weitere Funktion in L2 Œ0; 2 mit Norm ¤ 0 hinzufügen, ohne die paarweise Orthogonalität zu verletzten. Eine andere Konsequenz dieser Eigenschaft ist: K. Folgerung. Jede Funktion f 2 L2 Œ0; 2 ist durch ihre Fourier-Koefﬁzienten fast überall eindeutig bestimmt. Beweis. Haben f; g 2 L2 Œ0; 2 die gleichen Fourier-Koefﬁzienten, so sind alle Fourier-Koefﬁzienten von f g gleich Null, also ist f g orthogonal zu allen harmonischen Grundfunktionen, also fast überall f .x/ g.x/ D 0 laut J(v). L. Bemerkung. Sei f 2 L2 Œ0; 2 und wie immer Fn die Teilsumme der FourierReihe von f zum Index n. Nach J(ii) gilt limn!1 Fn D f .L2 /, also nach E(i) auch limn!1 Fn D f .L1 /. Somit existiert nach einem Satz aus der Integralrechnung (Ana-2: B[11.5]) eine Teilfolge .Fnk /, die fast überall punktweise gegen f konvergiert. Es war lange Zeit offen, ob dies auch für die Folge .Fn / selbst richtig ist. In einer sehr tiefschürfenden Arbeit hat Carleson[1966] bewiesen, dass dies tatsächlich zutrifft. Vierzig Jahre danach, nämlich im März 2006 hat Lennart Carleson für diese Arbeit und weitere hervorragende Beiträge den Abel-Preis der „Norwegian Academy of Science and Letters“ (Det Norske Videnskaps-Akademi) erhalten. Der Abel-Preis ist ein Gegenstück zum Nobel-Preis, der ja keine Preisverleihung zur Mathematik vorsieht.

484

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Aufgaben und Anmerkungen 1. Durch Anwendung der Parseval-Gleichung auf diverse Funktionen beweise man folgende Reihenentwicklungen: a)

Bei der Sägezahn-Welle (Gleichung (13)[7.1]): 2 1 1 1 D 2 C 2 C 2 C : 6 1 2 3

b)

Bei der Zickzack-Welle (Beispiel I[7.1]): 1 1 4 1 D 4 C 4 C 4 C : 96 1 3 5

c)

Bei der Sprungfunktion (Gleichung (1)[7.4]): 2 1 1 1 D 2 C 2 C 2 C : 8 1 3 5 Die Sprungfunktion wird auch oft als Funktion des zerhackten Gleichstroms bezeichnet.

2. Einige ähnliche Reihen wie in Aufgabe 1 über reziproke Potenzen von ganzen Zahlen lassen sich ebenfalls explizit angeben, insbesondere die Werte der Riemannschen -Funktion .2p/ für p 2 N. Vgl. Knopp[1996], Nr. 136–140. Dagegen sind die Werte .2p C 1/ für p 2 N bis heute nicht explizit bekannt, z.B. nicht einmal .3/ D

1 1 1 C 3 C 3 C ; 3 1 2 3

obwohl diese Reihen gut konvergieren und natürlich numerisch beliebig genau berechnet werden können. 3. Die Funktion des gleichgerichteten Wechselstroms ist f W R ! R mit f .x/ WD jsin xj.

a)

Man berechne die Fourier-Koefﬁzienten von f (vgl. Aufgabe 3b)[7.1]).

b)

An welchen Stellen konvergiert die Fourier-Reihe von f und mit welchem Grenzwert? Setze insbesondere x D =2!

Abschnitt 7.7

485

Die Maximalität der harmonischen Grundfunktionen

c)

In welchen Intervallen konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig?

d)

Wie lautet die Parseval-Gleichung für f ?

4. Die gliedweise Integration einer Fourier-Reihe (Q[7.6]) gestaltet sich wesentlich einfacher, wenn statt der Integrierbarkeit die quadratische Integrierbarkeit über Œ0; 2 vorausgesetzt wird. Tatsächlich „darf“ man dann noch mit einer weiteren Funktion durchmultiplizieren. Man zeige: Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei über Œ0; 2 quadratisch integrierbar mit der Fourier-Entwicklung 1

a0 X .ak cos kx C bk sin kx/; C f .x/ 2 kD1

und sei weiter g W Œ˛; ˇ ! R quadratisch integrierbar. Dann gilt Z ˇ f .x/g.x/ dx ˛

a0 D 2

Z

ˇ

g.x/ dx C ˛

1 X

Z

Z

ˇ

g.x/ cos kx dx C bk

ak ˛

kD1

!

ˇ

g.x/ sin kx dx ˛

einschließlich der Konvergenz der Reihe rechts. Lösungshinweis: Es seien Fn .x/ die Teilsummen der Fourier-Reihe von f , und sei zunächst angenommen: Œ˛; ˇ D Œ0; 2. Dann besteht die Vorausabschätzung ˇZ 2 ˇ Z 2 ˇ ˇ ˇ f .x/g.x/ dx Fn .x/g.x/ dx ˇˇ D jhf Fn ; gij kf Fn k2 kgk2 ˇ 0

0

aufgrund der Cauchy/Schwarz-Ungleichung in L2 Œ0; 2. Wegen J(ii) konvergiert die rechte Seite und damit auch die linke Seite der Vorausabschätzung für n ! 1 gegen 0. Man überlege, wie bei einem beliebigen Intervall Œ˛; ˇ die Reduktion auf das Intervall Œ0; 2 vorgenommen werden kann. 5. Die 2-periodische Funktion f W R ! R sei stetig differenzierbar. Man beweise die sog. Wirtinger-Ungleichung: Aus Z 2 f .x/ dx D 0 0

folgt kf k2 kf 0 k2 , d.h. Z

Z

2 2

f .x/ dx 0

2

f 0 .x/2 dx

0

mit Gleichheit genau dann, wenn f von der Form ist: f .x/ D a cos x C b sin x mit a; b 2 R.

486

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Lösungshinweis: Man setze sowohl für f wie auch für f 0 die Parseval-Gleichung an und beachte die Relation zwischen den Fourier-Koefﬁzienten der beiden Funktionen aufgrund der Produktintegration wie bei Satz J[7.2]. 6. Die Funktion f W R ! R sei 2-periodische Funktion. Man beweise: a)

Ist f über Œ0; 2 integrierbar, so gilt: Z 2 1 X 1 bk f .x/. x/ dx: D k 2 0

kD1

b)

Ist f über Œ0; 2 quadratisch integrierbar, so gilt: Z 1 X 1 2 ak x D dx: f .x/ ln 2 sin k 0 2

kD1

Lösungshinweis: Bei a) schaue man auf Gleichung (5)[7.6]. Bei b) spezialisiere man das Resultat von Aufgabe 4 auf g.x/ WD ln 2 sin x2 .

7.8

Anwendung auf die isoperimetrische Ungleichung

Zwischen den beiden wichtigsten Invarianten einer ebenen Menge B, dem Flächeninhalt und dem Umfang, besteht eine fundamentale Bindung, die „isoperimetrische Ungleichung“. Voraussetzen muss man natürlich, dass beide Begriffe sinnvoll deﬁniert sind. Ihre Werte seien dann durch F .B/ bzw. U.B/ bezeichnet. Schon im Altertum wurde die Vermutung ausgesprochen, dass eine Kreisscheibe unter allen Vergleichsmengen mit gleichem Umfang den größten Inhalt besitzt: Die Prinzessin Dido, der Legende nach die Gründerin von Karthago, sollte ein Stück Land erhalten, das man mit einer Kuhhaut bedecken kann. Sie schnitt die Kuhhaut in dünne Streifen und umlegte mit diesen eine möglichst große Fläche, natürlich in Form eines Kreises. So entstand das Problem der Dido, nämlich exakt zu beweisen, dass der Kreis die obige Maximaleigenschaft besitzt. Für die Kreisscheibe B.r/ vom Radius r bedeutet diese Eigenschaft, dass für jede Vergleichsmenge B mit U.B/ D 2 r die Ungleichung r 2 F .B/ zutrifft. Die Elimination von r ergibt die hiermit gleichwertige Relation (1)

.U.B//2 4F .B/ 0:

Sie drückt in Form einer Ungleichung die genannte Maximaleigenschaft des Kreises aus.

Abschnitt 7.8

Anwendung auf die isoperimetrische Ungleichung

487

Natürlich muss man an die Vergleichsmengen B gewisse Anforderungen stellen, zumindest müssen ja die beiden Größen F .B/, U.B/ präzise deﬁniert sein. Die folgenden Voraussetzungen passen in den Rahmen, in dem wir hier arbeiten können: A. Satz. Für jeden kompakten regulären Bereich B R2 der Klasse C 2 mit genau einer Randkomponente gilt die isoperimetrische Ungleichung (1), wobei F .B/ WD vol2 .B/;

U.B/ WD vol1 .@B/:

In (1) steht dann und nur dann das Gleichheitszeichen, wenn B eine Kreisscheibe ist. Für diesen sehr geometrischen Satz hat Hurwitz[1902] einen analytischen Beweis gefunden, der sich auf die Parseval-Gleichung für die Fourier-Koefﬁzienten stützt. Dieses schöne Argument soll dem Leser nicht vorenthalten werden. Es läuft folgendermaßen: Beweis von A. Der Rand @B ist eine kompakte, orientierte und zusammenhängende Kurve mit einer normalen periodischen Parametrisierung , wie in S[5.2] beschrieben. Die dortige primitive Periode p ist das 1-dimensionale Volumen p D U.B/. Das folgt aus Bemerkung E(iii)[4.6] und der Integraldeﬁnition A[5.2]; denn der eine ausgelassene Punkt .0/ D .p/ ist eine Nullmenge in @B. Somit p WD U.B/: Für das Folgende muss die normale Parametrisierung W R ! R2 von @B konstant proportional abgeändert werden, sodass statt des Intervalls Œ0; p das Intervall Œ0; 2 verwendet wird. Das ist nötig, weil auf die beteiligten Funktionen die Fourier-Theorie angewendet werden soll. Für die neue Parametrisierung (ohne neue Bezeichnung) ist dann Œ0; 2Œ ein primitives Periodenintervall, und es ist jetzt ˇ 0ˇ ˇ ˇ D p 2 (anstelle von 1). Damit ist nach wie vor Z 2 Z U.B/ D ds D 0

aber auch

Z 0

2

0

2

ˇ 0ˇ ˇ ˇ dt D p 2 D p; 2

2 ˇ 0 ˇ2 p2 ˇ ˇ dt D p 2 D : 2 2

Mit den Komponentenfunktionen von : .t / DW .x.t /; y.t //> , schreibt sich das als Z 2 p2 .x 02 C y 02 / dt D : (2) 2 0

488

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Offensichtlich ist das „reif gemacht“ für die Anwendung von Fourier-Reihen. Der Flächeninhalt kann nach der Leibniz-Formel (J(ii)[5.3]) ebenfalls durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden: F .B/ D

(3)

1 2

Z

2

.xy 0 yx 0 / dt;

0

und auch das ist der Fourier-Theorie zugänglich. Seien nämlich die Fourier-Reihen der Ableitungen x 0 und y 0 angesetzt als 1

a0 X .ak cos k t C bk sin k t / x .t / C 2 0

kD1

(4)

1

y 0 .t /

˛0 X .˛k cos k t C ˇk sin k t /: C 2 kD1

Die Fourier-Koefﬁzienten existieren, da diese Funktionen 2-periodisch und stetig sind. Für x und y selbst folgt daraus nach Satz Q[7.6] 1

x.t/ D x0 C

X a0 tC 2

kD1

(5)

ak bk sin k t cos k t k k

1 X ˛0 ˛k ˇk y.t / D y0 C t C sin k t cos k t 2 k k kD1

mit Integrationskonstanten x0 , y0 . Die Koefﬁzienten a0 , ˛0 müssen verschwinden, da x und y periodisch sind, und durch eine Translation von B kann man auch x0 D y0 D 0 erreichen. Es verbleiben dann rechts in (4) und (5) Fourier-Entwicklungen von quadratisch über Œ0; 2 integrierbaren Funktionen. Mit (2), (3) und der ParsevalGleichung J(iii)[7.7] ergibt sich nun für die entscheidende Differenz: 1 2 p 4F .B/ 2 2 Z Z 1 2 1 2 02 .x C y 02 / .xy 0 yx 0 / D 0 0 D

D

1 X

.ak2 kD1

C

C

˛k2

C

ˇk2 /

2

1 X a k ˇk kD1

1 X kD1

bk2

ˇk ak k

2

˛k C bk C k

2

k

bk ˛ k k

1 C 1 2 k

! ˛k2 C ˇk2 :

Abschnitt 7.9

489

Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit

Die letzte Reihe hat nur Glieder 0; es folgt also p 2 4F .B/ 0. Das Gleichheitszeichen tritt genau dann ein, wenn alle Glieder der Reihe verschwinden. Das bedeutet a1 D ˇ1 ; b1 D ˛1

für k D 1

und

˛k D ˇk D ak D bk D 0

für k 2:

In diesem Fall geht (5) über in ˛1 x.t/ ˇ1 sin t C ˛1 cos t ˇ1 D .t / D D cos t C sin t: ˇ1 ˛1 y.t / ˛1 sin t ˇ1 cos t Das ist die Parameterdarstellung einer Kreislinie in einer gedrehten Orthonormalbasis von R2 , bestehend aus den beiden (zu normierenden) Koefﬁzientenvektoren von cos t und sin t . Dieser Beweis besticht durch seine Verbindung von Analysis und Geometrie und die Einfachheit der Durchführung, vorausgesetzt man hat die Parseval-Gleichung zur Verfügung. Es gibt viele weitere Varianten erstens in höhere Dimensionen und zweitens unter schwächeren Voraussetzungen an den Rand. Die n-dimensionale isoperimetrische Ungleichung lautet voln1 .@B/n nn cn voln .B/n1 ;

cn WD voln .Bn /:

Sie gilt auf jeden Fall für konvexe kompakte Mengen B Rn mit inneren Punkten einschließlich der Gleichheitsaussage. Also auch unter den Vergleichsmengen dieser Art besitzt der n-dimensionale Euklidische Ball bei gleichem Randvolumen das größte Volumen, und zwar als einziger. Ein schöner Beweis hierfür stammt von Kneser/Süss[1932]; er verläuft weitgehend analytisch mit nur wenigen Hilfsmitteln der Konvexitätstheorie. Allerdings muss dann das Randvolumen neu deﬁniert werden, nämlich als sog. Minkowskische Oberﬂäche. Neudeﬁnitionen des Randvolumens sind typisch für noch weitergehenden Verallgemeinerungen. Man hat dann sog. HausdorffMaße zu verwenden und auch die Rektiﬁzierbarkeit in beliebigen Dimensionen einzuführen. Die technischen Einzelheiten erfolgen im Rahmen einer eigenen Theorie, der geometrischen Maßtheorie (Federer[1969]).

7.9

Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit

Wir hatten zuletzt gesehen, dass eine Funktion f 2 L2 Œ0; 2 durch ihre FourierKoefﬁzienten eindeutig bestimmt ist (bis auf Abänderungen fast überall). Das Gegenstück zu dieser Eindeutigkeit ist das Existenzproblem: Gibt es zu einer willkürlich

490

Kapitel 7

Fourier-Reihen

vorgegebenen Folge von reellen Zahlen eine Funktion f 2 L2 Œ0; 2, deren FourierKoefﬁzienten mit der Vorgabe übereinstimmen? Eine notwendige Bedingung kennen wir schon: Die Reihe über die Quadrate der gegebenen Zahlenfolge muss konvergieren (Bessel-Ungleichung). Wir werden in diesem Abschnitt sehen, dass diese Bedingung auch hinreichend für die Existenz von f ist. Die Methode ist weitgehend funktionalanalytisch, sodass wir zunächst wieder in einem Hilbert-Raum arbeiten können. Generalvoraussetzung: V sei ein reeller Hilbert-Raum unendlicher Dimension mit Skalarprodukt ˝ ˛h ; i und zugehöriger Norm j j, und sei .ek /k2N ein ON-System in V , also ek ; ej D ıkj . P 2 A. Lemma. Ist .rk /k2N eine reelle Folge mit 1 kD1 rk < 1, so existiert ein v 2 V mit: hv; ek i D rk für alle k 2 N, und zwar tut es 1 X

v WD

rk ek :

kD1

Die Konvergenz dieser Reihe ist Teil der Behauptung. Beweis. 1) Konvergenz der Reihe: Man zeigt, dass die Teilsummen sn WD

n X

rk ek

kD1

dem Cauchy-Kriterium genügen. Man berechnet zunächst mit dem „Pythagoras“ für n; p 2 N: ˇ2 ˇ ˇ ˇ X nCp X ˇ ˇ ˇ2 ˇ nCp ˇ ˇsnCp sn ˇ D ˇ r e D rk2 : k kˇ ˇ ˇ ˇkDnC1 kDnC1 Hiernach ist .sn /n2N eine Cauchy-Folge in V , also existiert ihr Grenzwert v D lim sn D n!1

1 X

rk ek 2 V:

kD1

2) Dieses v tut es: Für das so konstruierte v berechnet man seine Fourier-Koefﬁzienten als *1 + 1 X X ˛ ˝ ˛ ˝ rk ek ; ej D rk ek ; ej D rj : v; ej D kD1

Dabei wurde beim Herausziehen von in einem Faktor benutzt.

P1 kD1

kD1

wieder die Stetigkeit des Skalarprodukts

Abschnitt 7.9

491

Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit

B. Beispiel. Es sei `2 .R/ der Vektorraum aller reellen Folgen mit konvergenten Quadratsummen ( ) 1 ˇ X ˇ rk2 < 1 ; `2 .R/ WD r D .r1 ; r2 ; : : :/ ˇ rk 2 R für alle k 2 N; kD1

versehen mit den komponentenweisen Verknüpfungen der Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen. Für je zwei Folgen r WD .rk /k2N und s WD .sk /k2N in `2 .R/ sei ein Skalarprodukt deﬁniert durch 1 X rk sk : hr; si WD kD1

Die Reihe rechts ist absolut konvergent, da (wieder nach der Cauchy/Schwarz-Ungleichung): !1=2 !1=2 n n n X X X rk2 sk2 jrk sk j kD1

kD1 1 X

kD1

!1=2 rk2

kD1

1 X

!1=2 sk2

:

kD1

Offensichtlich ist .r; s/ 7! hr; si bilinear, symmetrisch und positiv deﬁnit, also `2 .R/ mit diesem Skalarprodukt ein Prä-Hilbert-Raum. Die Elemente k ^ k 2 N; (1) Bk WD .0; : : : ; 0; 1 ; 0; : : :/; bilden ein ON-System in `2 .R/. Wir betrachten nun auf dieser abstrakten Ebene die Zuordnung „Vektor 7! Folge der Fourier-Koefﬁzienten“: C. Lemma. Sei .ek /k2N ein maximales ON-System im Hilbert-Raum V . Dann ist die Abbildung L W V ! `2 .R/ v 7! .hv; ek i/k2N linear, bijektiv und isometrisch, d.h. hLv; Lwi D hv; wi

für alle v; w 2 V :

Beweis. Da V ein Hilbert-Raum ist, sind alle fünf Eigenschaften von A[7.7] untereinander äquivalent, also hier erfüllt (D[7.7]). Überprüfung der Behauptungen über L:

492

Kapitel 7

Fourier-Reihen

L ist wohldeﬁniert: Klar nach A(iii)[7.7] (Parseval-Gleichung).

L ist linear: Klar aufgrund der Linearität der Zuordnungen v 7! hv; ek i und der Vektorraum-Verknüpfungen in `2 .R/.

L ist injektiv: Der Kern von L besteht nur aus dem Nullvektor; denn aus hv; ek i D 0 für alle k 2 N folgt v D 0 wegen der vorausgesetzten Maximalität.

L ist surjektiv: Konsequenz von Lemma A.

L ist isometrisch: Klar nach A(iv)[7.7] (verallgemeinerte Parseval-Gleichung).

Dies kann man sofort auf den Hilbert-Raum V D L2 Œ0; 2 anwenden, wenn in ihm die normierten harmonischen Grundfunktionen als maximales ON-System zugrunde gelegt werden: Die obigen ek seien also jetzt die Funktionen aus (9)[7.2]. Die Skalarprodukte von f mit diesen normierten Funktionen verändern sich geringfügig gegenüber den Fourier-Koefﬁzienten ak ; bk im Sinne von (5)[7.1], was in (10)[7.2] notiert worden war. Damit folgt: D. Satz. Die Abbildung

(2)

L2 Œ0; 2 ! `2 .R/ p a0 f 7! p ; a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; : : : 2

ist linear, bijektiv und isometrisch. Insbesondere existiert zu jeder reellen Folge .˛0 ; ˛1 ; ˇ1 ; ˛2 ; ˇ2 ; : : :/ 2 `2 .R/, d.h. mit 1 X

.˛k2 C ˇk2 / < 1

kD1

eine Funktion f 2 L2 Œ0; 2 mit den Fourier-Koefﬁzienten a0 D ˛0 ;

a k D ˛k ;

bk D ˇk ;

und f ist hierdurch fast überall eindeutig bestimmt.

k 2 N;

Da der Raum L2 Œ0; 2 vollständig und die Abbildung (2) isometrisch und bijektiv ist, kann man sofort schließen, dass auch der Raum `2 .R/ vollständig ist und dass sich die Aussagen aus Satz J[7.7] in diesen Raum übersetzen lassen. Insbesondere gilt: E. Folgerung. Der Vektorraum `2 .R/ (Beispiel B) ist ein reeller Hilbert-Raum, der sog. Hilbertsche Folgenraum. Die Elemente .Bk /k2N (1) bilden ein maximales ON System in `2 .R/.

Abschnitt 7.9

Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit

493

Die Aussagen D und E sind ein „Ausﬂug“ in die reale Welt konkreter Räume, wo sich doch ansonsten alles in diesem Abschnitt auf der abstrakten Ebene abspielt. Tatsächlich ist dieser Ausﬂug von fundamentaler Bedeutung; denn er etabliert den konkret und handfest deﬁnierten Raum `2 .R/ als einen Hilbert-Raum, der Modellcharakter für andere Hilbert-Räume besitzt, nämlich für alle Hilbert-Räume, die ein maximales ON-System zulassen (Lemma C). Diese Voraussetzung kann noch etwas von ihrem metrischen Charakter befreit werden, indem folgende Begriffe eingeführt werden: F. Deﬁnition. Sei W ein normierter Vektorraum. Ein Vektorsystem .wk /k2N in W heißt total, wenn jeweils endlich viele der Vektoren wk linear unabhängig sind und die Menge aller endlichen Linearkombinationen der wk dicht in W ist. Man nennt den Raum W separabel, wenn es in ihm ein totales Vektorsystem gibt. Offensichtlich ist der neue Begriff „total“ kompatibel mit dem in A(i)[7.7] eingeführten gleichnamigen Begriff. G . Satz. Jeder unendlich-dimensionale separable Hilbert-Raum V ist isometrisch zum Hilbertschen Folgenraum `2 .R/. Das ist ein unendlich-dimensionales Gegenstück zum Satz aus der linearen Algebra, dass jeder Euklidische Vektorraum isometrisch auf den Zahlraum Rn mit dessen Standard-Metrik abgebildet werden kann. Beweis von G. Aus einem totalen Vektorsystem .wk /k2N in V kann mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren ein Orthogonalsystem .vk /k2N und schließlich durch Normierung ein ON-System .ek /k2N gebildet werden. Die rekursive Erzeugungsweise für die vk ist aus der linearen Algebra (zumindest im endlich-dimensionalen Fall) bekannt: Sie lautet: v1 WD w1 vk WD wk

k1 X j D1

˝

˛ wk ; vj ˝ ˛ vj ; vj ; vj

k 2:

Das ist so gemacht, dass für jedes k 2 N der Spann von v1 ; : : : ; vk mit dem Spann von w1 ; : : : ; wk übereinstimmt, die vk aber paarweise orthogonal sind: hvk ; v` i D 0;

k ¤ ` in N:

Insbesondere sind alle vk ¤ 0, sodass man in den normierten Vektoren ek WD

vk ; jvk j

k 2 N:

494

Kapitel 7

Fourier-Reihen

ein ON-System erhält. (Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren wird auch als Gram/Schmidt-Prozess bezeichnet.) Das System .ek /k2N ist wiederum total, weil jede Linearkombination von w1 ; : : : ; wk auch als Linearkombination von e1 ; : : : ; ek dargestellt werden kann (k 2 N). Da V ein Hilbert-Raum ist, folgt aus der Totalität des Systems .ek /k2N auch seine Maximalität (D[7.7] und A[7.7]). Nun wird die Isometrie aus Lemma C auf das maximale ON-System .ek /k2N anwendbar und liefert die Behauptung. H. Satz (Darstellungssatz von Riesz). Sei V ein separabler Hilbert-Raum. Dann existiert zu jeder stetigen Linearform h W V ! R genau ein Vektor b 2 V mit h.v/ D hb; vi

für alle v 2 V :

Beweis. Im endlich-dimensionalen Fall ist dies aus der linearen Algebra bekannt. Ist dim V D 1, so existiert wie bei Satz G ein maximales ON-System .ek /k2N in V . Eindeutigkeit von b: Aus hb; vi D h e b; vi für alle v 2 V folgt hb e b; vi D 0 für alle v 2 V , also, indem man speziell v WD b e b wählt: b e b D 0. Existenz von b: Nahegelegt durch A(ii)[7.7], versuchen wir es mit dem Element b WD

(3)

1 X

h.ek /ek :

kD1

Zunächst ist diese Reihe konvergent: Dies folgt aus der Gültigkeit einer Abschätzung jh.v/j M jvj für alle v 2 V ; die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von h mit einer Konstanten M 0 besteht (Ana-2: Satz F[10.1]). Spezialisiert man diese Abschätzung auf eine Teilsumme v WD

n X

h.ek /ek

kD1

der Reihe in (3), so folgt n X

h.ek / h.ek / M

kD1

n X

!1=2 h.ek /

kD1

also n X kD1

!1=2 h.ek /2

M:

2

;

Abschnitt 7.9

Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit

Daraus wird für n ! 1

1 X

495

h.ek /2 M 2 ;

kD1

also folgt nach Lemma A die Konvergenz der Reihe in (3). Das so konstruierte b leistet das Gewünschte: Mit (3) rechnet man weiter: + *1 1 X X h.ek /ek ; v D h.ek / hv; ek i hb; vi D kD1

Dh

kD1

1 X

! hv; ek i ek

D h.v/:

kD1

Dabei wurde in der Mitte die Stetigkeit des Skalarprodukts und die von h und zum Schluss die Fourier-Entwicklung von v (A(ii)[7.7]) benutzt. Die explizite Bestimmung von b in (3) sei noch festgehalten: H. Zusatz. Ist dim V D 1 und .ek /k2N ein maximales ON-System in V , so gilt b WD

1 X

h.ek /ek

kD1

einschließlich der Konvergenz der Reihe.

Dieser Darstellungssatz von Riesz gestattet weitere Verallgemeinerungen. Die obige Variante hat den Vorteil einer konstruktiven Darstellung des Vektors b mittels einer unendlichen Reihe. Eine solche Reihendarstellung ist letztlich an die Abzählbarkeit ihrer Glieder gebunden. Tatsächlich kann man mit mehr geometrisch-abstrakten Argumenten den Darstellungssatz von Riesz von der Voraussetzung der Separabilität befreien. Aufgaben und Anmerkungen In den folgenden Aufgaben sei V ein reeller Hilbert-Raum V mit Skalarprodukt h ; i und Norm j j, wenn nichts anderes vereinbart wird. 1. Sei U ein abgeschlossener Untervektorraum von V . Man beweise: a)

Jedes Element z 2 V besitzt ein Proximum z 2 U , d.h. ein Element z 2 U mit d.v; z / D dU .z/, dU die Distanzfunktion von U (Ana-1: K(i)[6.2]).

b)

Für ein solches Proximum z gilt z z 2 U ? , d.h. z z ist orthogonal zu U . Insbesondere ist z eindeutig bestimmt.

496 c)

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Es gilt V D U ˚ U ? und damit auch U D .U ? /? .

Lösungshinweis zu a): Zunächst ist U selbst vollständig (Ana-1: P(ii)[6.3]). Aufgrund der Deﬁnition von dU .z/ existiert eine Folge .uk /k2N in U mit limk!1 jz uk j D dU .z/. Eine solche Folge ist Cauchy-Folge. Dazu wendet man die ParallelogrammIdentität (Ana-2: Aufgabe 2[10.4]) an auf die beiden Vektoren u WD z uk , v WD z u` : juk u` j2 C j2z .uk C u` /j2 D 2 jz uk j2 C 2 jz u` j2 : Hieraus folgt ˇ ˇ2 ˇ ˇ 1 ˇ juk u` j D 2 jz uk j C 2 jz u` j 4 ˇz .uk C u` /ˇˇ : 2 2

2

2

Wegen 12 .uk C u` / 2 U ist das letzte Quadrat dU .z/2 , also juk u` j2 2 jz uk j2 C 2 jz u` j2 4dU .z/2 D 2 jz uk j2 dU .z/2 C 2 jz u` j2 dU .z/2 : Da die zwei großen Klammern Nullfolgen sind, beweist dies die Cauchy-Eigenschaft der Folge .ukˇ/k2N inˇU . Somit ist die Folge .uk /k2N konvergent gegen ein Element z 2 U , und ˇz z ˇ D dU .z/. Lösungshinweis zu b): Für alle u 2 U gilt ˇ ˇ jz uj ˇz z ˇ : Für alle w ¤ 0 in U und 2 R folgt hieraus ˇ ˇ ˇ ˇ ˇz .z C w/ˇ ˇz z ˇ ; also

˝ ˛ z z ; w C 2 jwj2 0:

˝ ˛ Wäre z z ; w ¤ 0, so ergäbe sich hieraus ein Widerspruch für genügend kleine ˝ ˛ jj. Dies impliziert: z z ; w D 0 für alle w 2 U , also z z 2 U ? . Gilt daneben auch noch z z1 2 U ? für ein z1 2 U , so deduziert man z z1 2 U \ U ? , also z z1 D 0. Lösungshinweis zu c): Aus der trivialen Zerlegung z D z C .z z / folgt V D U C U ? und damit auch V D U ˚ U ? wegen U \ U ? D f0g. Der Rest geht wie bei E(ii)[7.2].

Abschnitt 7.9

Darstellungssätze bei quadratischer Integrierbarkeit

497

2. Man beweise den Darstellungssatz von Riesz: Ist h W V ! R eine stetige Linearform, so gibt es genau einen Vektor b 2 V mit: h.v/ D hb; vi

für alle v 2 V :

Lösungshinweis: Die Eindeutigkeit von b ergibt sich wie bei Satz H. Zur Existenz von b: Ist h D 0, so tut es b WD 0. Sei also jetzt h ¤ 0. Der Kern U WD h1 .0/ ist ein abgeschlossener, also vollständiger Untervektorraum von V , somit V D U ˚ U ? (Aufgabe 1). Hierin ist U ? ¤ f0g, weil sonst h auf allen Vektoren von V verschwinden würde. Man wähle ein festes c 2 U ? n f0g. Dann ist h.c/ ¤ 0; denn im Gegenfall wäre c 2 U \ U ? , also c D 0. Für v 2 V und 2 R gilt dann und nur dann h.v c/ D 0, wenn D h.v/= h.c/ gewählt wird. Also ist v

h.v/ c2U h.c/

Wegen c 2 U ? folgt hieraus

h.v/ c; v c D0 h.c/ also h.v/ D

h.c/ jcj2

hc; vi

für alle v 2 V :

für alle v 2 V ;

für alle v 2 V :

Das ist die Behauptung, wenn b WD .h.c/= jcj2 /c gesetzt wird. Dies gilt für jedes c 2 U ? n f0g. Aufgrund der Eindeutigkeit von b folgt hieraus, dass je zwei nichtverschwindende Vektoren von U ? zueinander proportional sind. Also gilt im Fall h ¤ 0: dim .Kern h/? D 1: 3. Ist h W V ! R eine nichtverschwindende Linearform, so ist Kern .h/ WD h1 .0/ eine Hyperebene durch 0 (Ana-2: Aufgabe 16[10.1]). Man zeige: h ist dann und nur dann stetig, wenn Kern .h/ abgeschlossen ist. Lösungshinweis: Für die nichttriviale Richtung kann man vorgehen wie bei Aufgabe 2. 4. Ist h W V ! R eine nichtverschwindende Linearform und c 2 R, so nennt man WD fu 2 V j h.u/ D cg eine Hyperebene (Ana-2: Aufgabe 16[10.1]). Man zeige in (leichter) Verallgemeinerung von Aufgabe 3: h ist dann und nur dann stetig, wenn abgeschlossen ist. 5. Sei C eine abgeschlossene konvexe Menge mit ¿ C V . Man zeige:

498 a) b)

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Jeder Punkt z 2 V besitzt ein Proximum (auch Fußpunkt genannt) z 2 C . Für ein solches Proximum z gilt: ˝ ˛ ˝ ˛ z z ; u z z ; z

für alle u 2 C :

Ist z … C , so bedeutet das: C ist enthalten in dem Halbraum ˇ˝ ˚ ˛ ˝ ˛

.H.z// WD v 2 V ˇ z z ; v z z ; z ; der zur Hyperebene ˇ˝ ˚ ˛ ˝ ˛

H.z/ WD v 2 V ˇ z z ; v D z z ; z ; durch z gehört. c)

Enthält irgendein Halbraum durch z0 2 C H D fv 2 V j hN; vi hN; z0 ig

für ein N 2 V n f0g

die Menge C , so entsteht H auf die in b) genannte Weise. Ein Halbraum mit dieser Eigenschaft heißt ein Stützhalbraum, und seine zugehörigen Hyperebene H WD fv 2 V j hN; vi D hN; z0 ig wird eine Stützhyperebene von C in z0 genannt. d) Zu jedem z 2 V ist der Fußpunkt z 2 C eindeutig bestimmt. Man nennt die Abbildung PC W V ! C mit PC .z/ D z die metrische Projektion auf C . In Verallgemeinerung von Ana-2: Aufgabe 13[11.6] zeige man weiter: e) PC ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten 1: jPC .z/ PC .w/j jz wj für alle z; w 2 V . Lösungshinweis zu a) und b): Gleiche Technik wie bei Aufgabe 1, a) und b). 6. Bei einem Prä-Hilbert-Raum V ist der Darstellungssatz von Riesz (Aufgabe 2) nicht notwendig erfüllt. Man beweise in diesem Fall für jede Linearform h W V ! R mit h ¤ 0 die paarweise Äquivalenz der folgenden drei Bedingungen: (i)

V D Kern h ˚ .Kern h/? ;

(ii)

.Kern h/? ¤ f0g;

(iii)

Es gibt ein b 2 V n f0g mit: h.v/ D hb; vi für alle v 2 V .

Die Darstellbarkeit einer Linearform h ¤ 0 in Form eines Skalarprodukts hängt also genau an der Bedingung .Kern h/? ¤ f0g.

Abschnitt 7.10

7.10

499

Komplexe Fassung

Komplexe Fassung

Auch für periodische Funktionen mit komplexen Werten bleibt die Fourier-Theorie im Wesentlichen erhalten. Tatsächlich ergibt sich die komplexe Variante durch Betrachtung von Real-und Imaginärteil und, was die Funktionenräume betrifft, durch die Übertragungstechnik von reellen Skalarpodukten zu Hermiteschen Skalarpodukten, wie sie in Ana-2 am Ende von Abschnitt 10.4 geschildert wurde. Wir werden diese Prinzipien, im Einzelnen beschreiben und mit ihrer Hilfe die komplexen Hauptresultate herleiten. Sei G W R ! C eine komplexwertige Funktion mit der Zerlegung in Real- und Imaginärteil entsprechend (1)

G D f C ig;

f; g W R ! R:

G ist genau dann 2-periodisch, wenn f W R ! R und g W R ! R es sind; G ist genau dann über Œ0; 2 integrierbar, wenn f und g es sind (Ana-2: S(ii)[11.4]). Die quadratische Integrierbarkeit von vektorwertigen Funktionen war in Ana-2: Abschnitt 13.1 erklärt worden. Sie bedeutet hier, dass G genau dann über Œ0; 2 quadratisch integrierbar ist, wenn G und jGj2 D f 2 C g 2 über Œ0; 2 integrierbar sind (Ana-2: P[13.1]). Hierfür besteht aber auch eine „komponentenweise Auffassung“, die zunächst für ganz R als Deﬁnitionsmenge ausgesprochen werde: A. Lemma. G (1) ist dann und nur dann quadratisch integrierbar, wenn f und g es sind. Beweis. Jedenfalls gilt bez. der lokalen Integrierbarkeit nach Ana-2: S(ii)[11.4]: G lokal integrierbar () f; g lokal integrierbar: Sind f; g quadratisch integrierbar, so auch G: Das ist klar aus jGj2 D f 2 C g2 . Sind f; g lokal integrierbar und ist f 2 C g 2 integrierbar, so sind auch f 2 und g 2 integrierbar: Aus der lokalen Integrierbarkeit von f folgt die Messbarkeit von f (nach Ana-2: F(ii)[13.3]) und daraus die Messbarkeit von f 2 (nach Ana-2: J(iv)[13.3]). Wegen f 2 f 2 C g 2 folgt die Integrierbarkeit von f 2 (nach Ana-2: N[13.3]). Analog geht es für g (oder hier auch wegen g 2 D .f 2 C g 2 / f 2 ). Beim Bezug auf die (integrierbare) Menge Œ0; 2 anstelle R hilft dann Ana-2: P[13.1]. Dies lehrt: B. Folgerung. G (1) ist dann und nur dann über Œ0; 2 quadratisch integrierbar, wenn f und g über Œ0; 2 quadratisch integrierbar sind.

500

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Nun sei G (1) 2-periodisch und über Œ0; 2 quadratisch integrierbar sowie f

ck die komplex geschriebenen Fourier-Koefﬁzienten von k

g:

Die (komplex geschriebenen) Fourier-Koefﬁzienten von G sind deﬁnitionsgemäß: (2)

1 Ck WD ck C i k D 2

Z

2

G.x/e ikx dx;

0

wobei für die ck die Gleichung (8)[7.1] verwendet wurde und analog für die k . Man schreibt dann wieder 1 X

G.x/

Ck e ikx

oder

G.x/

kD1

X

Ck e ikx ;

k2Z

um auszudrücken, dass G die komplex geschriebenen Fourier-Koefﬁzienten Ck besitzt. Die Räume der über Œ0; 2 integrierbaren bzw. quadratisch integrierbaren Funktionen G (1) sind Z L1 .Œ0; 2; C/

mit der Norm

L2 .Œ0; 2; C/

mit der Norm

kGk1 WD

(3)

2

jG.x/j dx 0

Z kGk2 WD

2

1=2 jG.x/j2 dx

:

0

Beide Räume in (3) sind komplexe Vektorräume; die Betragsstriche rechts unterm Integralzeichen bezeichnen den komplexen Betrag. Für L1 .Œ0; 2; C/ sehe man auch die Ausführungen zu komplexen Integranden am Ende von Ana-2: Abschnitt 11.9. Die Norm in L2 .Œ0; 2; C/ entsteht aus dem Hermiteschen Skalarprodukt Z (4)

2

hhG; H ii WD

G.x/H.x/ dx; 0

G; H 2 L2 .Œ0; 2; C/:

Beide Räume in (3) sind bez. ihrer Normen vollständig (Ana-2: A[11.5] bzw. Ana-2: K[13.1] mit W WD R2 ). Wegen der Ausstattung von L2 .Œ0; 2; C/ mit dem Hermiteschen Skalarprodukt hh ; ii ist L2 .Œ0; 2; C/ ein komplexer Hilbert-Raum. Jedes Hermitesche Skalarprodukt hh ; ii steht in umkehrbar eindeutiger Beziehung zu einem reellen Skalarprodukt h ; i vermöge der Zerlegung in Real- und Imaginärteil (5)

hhG; H ii D hG; H i C i hG; iH i :

Abschnitt 7.10

501

Komplexe Fassung

Manche Begriffe sind so eingerichtet, dass sie gleichwertig mit dem Hermiteschen oder dem zugehörigen reellen Skalarprodukt ausgedrückt werden können. Dazu gehört die Norm p p kGk2 D hhG; Gii D hG; Gi; und dazu gehört der Orthogonalraum eines komplexen Untervektorraums U : U ? WD fH j hhG; H ii D 0 für alle G 2 U g D fH j hG; H i D 0 für alle G 2 U g: Dazu vergleiche man die Hinweise über komplexe Prä-Hilbert-Räume am Ende von Ana-2: Abschnitt 10.4. Bei den Vektorsystemen, die den Skalarpodukten angepasst sind, bestehen hingegen Unterschiede. Ein abzählbares System .Gk / heißt ON-System, falls hGk ; G` i D ık` . Es heißt ein UN-System, falls hhGk ; G` ii D ık` . Ein UN-System ist immer auch ein ON-System, wie aus (5) folgt, nicht aber umgekehrt! (Das „U“ in „UN“ soll auf das Wort „unitär“ hinweisen. Komplexe (Prä-)Hilbert-Räume werden manchmal als unitäre Räume bezeichnet.) Die Funktionen Nk W R ! C, k 2 Z, mit 1 Nk .x/ WD p e ikx 2

(6)

bilden ein UN-System bez. hh ; ii in L2 .Œ0; 2; C/; denn mit (4) berechnet man hhNk ; N` ii D ıkl ;

k; ` 2 Z:

Erst recht bilden die Funktionen Nk , k 2 Z, ein ON-System in L2 .Œ0; 2; C/ bez. h ; i. Wir gehen jetzt die Hauptströmungen der reellen Theorie der Reihe nach durch und etablieren mit den obigen Prinzipien die entsprechenden komplexen Resultate. Die Funktion G (1) sei 2-periodisch und über Œ0; 2 integrierbar, wenn nichts anderes gesagt ist. Zur punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz Der Schlüssel zur punktweisen Konvergenz war das Dirichlet-Integral für die Teilsummen der Fourier-Reihe. Das Dirichlet-Integral lautet jetzt Fn .x/ W D

n X

Ck e ikx

kDn

(7) 2 D

Z=2 0

G.x C 2t / C G.x 2t / sin.2n C 1/t dt: 2 sin t

502

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Speziell für G.x/ D c D const. 2 C ist Gn .x/ D c, also 2 cD

Z=2 sin.2n C 1/t c dt: sin t 0

Subtraktion der letzten zwei Formeln liefert: 2 Fn .x/ c D

Z=2

G.x C 2t / C G.x 2t / sin.2n C 1/t c dt: 2 sin t

0

Die Gleichung (7) braucht nicht neu hergeleitet zu werden. Sie ergibt sich aus den Darstellungen der Teilsummen entsprechend (7)[7.1] und (1)[7.3] für f bzw. g durch Zusammenfassung laut (2). (Natürlich könnte man auch die Rechnung zu Beginn von Abschnitt 7.3 komplex nachvollziehen.) Die Gültigkeit der Formel (7) in dieser GestaltP ist erneut ein deutlicher Hinweis, dass ikx bei den Konvergenzfragen einer Fourier-Reihe immer die der speziellen k2Z Ck e Pn ikx gemeint sind. Teilsummen Fn .x/ D kDn Ck e Eine wichtige Zutat zur punktweisen Konvergenz war das Riemann/Lebesgue-Lemma B[7.3]. Dieses bleibt hier vollständig erhalten, d.h. für eine integrierbare Funktion G W Œa; b ! C gilt stets Z lim

p!1 a

b

G.x/e ipx dx D 0:

Wieder ist kein neuer Beweis erforderlich: Man kann einfach G.x/ und e ipx in Realund Imaginärteil zerlegen und die Version B[7.3] anwenden. Mit diesen Hilfsmitteln laufen die Argumente wie im reellen Fall, soweit nur Stetigkeit und Ableitungen betroffen sind. Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind ja bei dem Funktionentyp (1) komponentenweise (sprich: „real- und imaginärteilweise“) ausdrückbar. So bleibt z.B. die Standard-Darstellung (Satz G[7.3]) wörtlich erhalten, wobei natürlich f durch G zu ersetzen ist. Etwas anders sieht es bei der Monotonie aus, da diese für die komplexwertige Funktion G nicht sinnvoll deﬁniert werden kann. Hier hilft aber die Hinwendung zu den Funktionen von beschränkter Schwankung. Denn diese Eigenschaft ist wieder komponentenweise formulierbar: C. Lemma. G (1) ist dann und nur auf Œa; b von beschränkter Schwankung, wenn f und g es sind.

Abschnitt 7.10

503

Komplexe Fassung

Beweis. Der Grund ist die Äquivalenz der Euklidischen Norm mit der Betragssummennorm in C, die sich in den elementaren Ungleichungen ausdrückt: 1 p .jxj C jyj/ jx C iyj jxj C jyj ; 2

x; y 2 R:

Ist Z D ft0 ; : : : ; tN g eine Zerlegung des Intervalls Œa; b, so folgt hieraus 0 1 N N X X ˇ ˇ ˇ ˇ 1 ˇg.tj / g.tj 1 /ˇ/A p @ .ˇf .tj / f .tj 1 /ˇ C 2 j D1 j D1

N X ˇ ˇ ˇG.tj / G.tj 1 /ˇ j D1

N N X ˇ ˇ X ˇ ˇ ˇg.tj / g.tj 1 /ˇ ; .ˇf .tj / f .tj 1 /ˇ C j D1

j D1

woran man sofort die Behauptung abliest.

Diese Methode lässt sich ganz offensichtlich auf die Euklidische Norm in Rn anstelle C übertragen. Sie hängt allein an gewissen Äquivalenzeigenschaften von Normen, sodass noch weitere Verallgemeinerungen möglich sind. Das Lemma C eröffnet nun die Möglichkeit, die Resultate aus dem Abschnitt 7.6 mit einem Schlag auf die komplexe Situation zu übertragen. Alles Wesentliche kann ja in Komponenten ausgedrückt werden. Das gilt insbesondere für die Aussagen zu den Sprüngen und zur Integrierbarkeit (Folgerung H[7.6]), das verallgemeinerte Kriterium von Dirichlet (Folgerung I[7.6]), die Sätze zur gleichmäßigen Konvergenz (J[7.6] und O[7.6]) sowie die gliedweise Integration der Fourier-Reihe (Satz Q[7.6]). Zur L2 -Konvergenz Der Schlüssel zur Konvergenz im quadratischen Mittel war die Minimaleigenschaft der Fourier-Koefﬁzienten in einem reellen Prä-Hilbert-Raum, ausgedrückt in der Ungleichung (4)[7.2]. Für ein UN-System .ek /k2N in einem komplexen Prä-HilbertRaum lautet dies für reelle Koefﬁzienten k (8)

ˇ2 ˇ ˇ2 ˇ n n n ˇ ˇ ˇ ˇ X X X ˇ ˇ ˇ ˇ k ek ˇ ˇv hv; ek i ek ˇ D jvj2 hv; ek i2 0 ˇv ˇ ˇ ˇ ˇ kD1

kD1

kD1

mit Gleichheit bei an der ersten Position genau für k D hv; ek i, k D 1; : : : ; n. Um dies „ins Hermitesche“ zu übersetzen, beachtet man, dass die Vektoren e1 ; : : : ; en ; ie1 ;

504

Kapitel 7

Fourier-Reihen

: : : ; ien ein ON-System bilden; denn hhek ; e` ii D ık` bedeutet hek ; e` i C i hek ; ie` i D ık` , also hek ; _`i D ık` ; hek ; ie` i D 0; sodass auch hi ek ; i e` i D hek ; e` i D ık` : Außerdem ist hhv; ek ii D hv; ek i C i hv; iek i : Damit rechnet man für komplexe Koefﬁzienten k D k C i k , k ; k 2 R wie folgt: ˇ2 ˇ ˇ2 ˇ n n n ˇ ˇ ˇ ˇ X X X ˇ ˇ ˇ ˇ k ek ˇ D ˇv k ek

k .i ek /ˇ ˇv ˇ ˇ ˇ ˇ kD1

kD1

kD1

ˇ2 ˇ ˇ2 ˇ n n n ˇ ˇ ˇ ˇ X X X ˇ ˇ ˇ ˇ ˇv hhv; ek iiek ˇ hv; ek i ek hv; iek i .i ek /ˇ D ˇv ˇ ˇ ˇ ˇ kD1

kD1

kD1

mit Gleichheit bei genau für k D hv; ek i und k D hv; iek i, also für k D hhv; ek ii, k D 1; : : : ; n. Auf diese Weise hat man die Sache auf reelle Koefﬁzienten zurückgespielt, sodass der erste Teil von (8) nutzbar war. Analog folgt mit dem zweiten Teil von (8): ˇ ˇ2 n n n ˇ ˇ X X X ˇ ˇ 2 hv; ek i ek hv; i ek i .i ek /ˇ D jvj hv; ek i2 C hv; iek i2 ˇv ˇ ˇ kD1

kD1

kD1

D jvj2

n X

jhhv; ek iij2 :

kD1

Somit lautet die Hermitesche Fassung von (4)[7.2] nunmehr für komplexe Koefﬁzienten 1 ; : : : ; n :

(9)

ˇ ˇ2 ˇ ˇ2 n n n ˇ ˇ ˇ ˇ X X X ˇ ˇ ˇ ˇ 2 v e v h hv; e i ie D jvj jhhv; ek iij2 0 ˇ ˇ k kˇ k kˇ ˇ ˇ ˇ ˇ kD1

kD1

kD1

mit Gleichheit bei an der ersten Position genau für k D hhv; ek ii, k D 1; : : : ; n. Dies ist das Hermitesche Gegenstück zur Rolle der Fourier-Koefﬁzienten hhv; ek ii als die „Bestkoefﬁzienten“ wie sie reell bei der Ungleichung (4)[7.2] ausgesprochen und aus der sie hergeleitet wurde. Damit kann der Äquivalenzsatz A[7.7] auf die komplexe Situation übertragen werden. Da die Beweisschritte praktisch die gleichen sind, werde nur das Ergebnis festgehalten:

Abschnitt 7.10

505

Komplexe Fassung

D. Satz und Deﬁnition. Sei .ek /k2N ein UN-System im komplexen Prä-Hilbert-Raum V . Dann sind folgende Eigenschaften (i) bis (iv) untereinander äquivalent: (i)

Die Menge aller komplexen endlichen Linearkombinationen der ek ist dicht in V . Man sagt: Das UN-System .ek /k2N ist total in V .

(ii)

Für alle v 2 V gilt die Fourier-Entwicklung v D

1 X

hhv; ek iiek .

kD1

(iii)

Für alle v 2 V gilt die Parseval-Gleichung jvj2 D

1 X

jhhv; ek iij2 .

kD1

(iv)

Für alle u; v 2 V gilt die verallgemeinerte Parseval-Gleichung 1 X hhu; ek iihhv; ek ii einschließlich absoluter Konvergenz der Reihe. hu; vi D kD1

Die Eigenschaft (iii) impliziert: (v)

Aus v 2 V und hhv; ek ii D 0 für alle k 2 N folgt v D 0. Man sagt: Das UN-System .ek /k2N ist maximal in V .

Der Satz des Pythagoras bleibt natürlich in der Form hu; vi D 0 () ju C vj2 D juj2 C jvj2 erhalten, nimmt aber für das Hermitesche Skalarprodukt wegen hhu; vii D hu; vi C i hu; ivi und jivj D jvj die Gestalt an hhu; vii D 0 () ju C vj2 D ju C ivj2 D juj2 C jvj2 : Ist der Raum V vollständig und .ek /k2N ein UN-System in V , so hat das Lemma C[7.7] zur Folge, dass die Reihe 1 X

hhv; ek iiek

kD1

für alle v 2 V konvergiert. Dies liegt einfach an der Umformung hhv; ek ii D hv; ek i C i hv; i ek i D hv; ek i C i hiv; ek i D hv; ek i i hiv; ek i : Damit bleibt auch Folgerung D[7.7] in Kraft. Beim Beweis hat man lediglich das Hermitesche Skalarprodukt statt des reellen Skalarprodukts anzuschreiben: E. Satz. Ist V ein komplexer Hilbert-Raum, so sind alle fünf Eigenschaften (i) bis (v) von Satz D untereinander äquivalent.

506

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Kehren wir zum komplexen Hilbert-Raum L2 .Œ0; 2; C/ zurück, um das alles anzuwenden! Als UN-System wird natürlich das System aus (6) verwendet: 1 Nk .x/ WD p e ikx ; 2

k 2 Z:

Hier tritt gegenüber der obigen abstrakten L2 -Theorie die Indexmenge Z statt N in Erscheinung. Das ist nicht weiter schlimm, da ja die Funktionen Nk , k 2 Z, mit N durchnummeriert werden können, etwa als N0 ; N1 ; N1 ; N2 ; N2 ; : : : Allerdings muss das bei der Bildung der Fourier-Reihe berücksichtigt werden. Die Teilsummen sind dann von der Form: n X

hhG; Nk iiNk

kDn

und Konvergenz in allen möglichen Varianten beziehen sich auf deren Grenzwert für n ! 1. Was jetzt noch fehlt, ist der Nachweis der Dichtheit endlicher komplexer Linearkombinationen der Funktionen Nk im Raum L2 .Œ0; 2; C/. Hierzu muss aber nicht neu gearbeitet werden; die reelle Theorie hat schon das Wesentliche geschafft! Man approximiert einfach Real- und Imaginärteil von G D f C ig reell und fasst die Approximationen zusammen: Sei " > 0 gegeben. Dann existieren nach Folgerung I[7.7] trigonometrische Polynome Tf und Tg (mit reellen Koefﬁzienten), sodass f Tf < " ; 2 2

g T g < " : 2 2

Hieraus folgt .f C ig/ .Tf C iTg f Tf C g Tg < ": 2 2 2 Im Ausdruck Tf CiTg kann man die vorkommenden Terme cos kx, sin kx (deren k ja alle einer natürlichen Zahl m sind) durch die komplexen e-Funktionen (6)[7.1] ausdrücken, sodass Tf C iTg als komplexe Linearkombination TG von N0 ; N1 ; N1 ; : : : ; Nm ; Nm erscheint. Damit wird kG TG k2 < ": Das zeigt die behauptete Dichtheit, und die Kombination der Sätze E und D liefert wiederum mit einem Schlag:

Abschnitt 7.10

507

Komplexe Fassung

F. Satz (Hauptsatz der komplexen L2 -Fourier-Theorie). Betrachtet wird im HilbertRaum L2 .Œ0; 2; C/ das System der Grundfunktionen Ek .x/ WD e ikx ;

(10)

k 2 Z;

und es seien Funktionen G 2 L2 .Œ0; 2; C/

mit Fourier-Koefﬁzienten;

H 2 L2 .Œ0; 2; C/

mit Fourier-Koefﬁzienten Dk ;

Ck

k 2 Z;

gemäß (2) gegeben. Dann gilt: (i)

Das System der Grundfunktionen (10) ist total in L2 .Œ0; 2; C/, d.h. die Menge aller endlichen komplexen Linearkombinationen dieser Funktionen ist dicht in L2 .Œ0; 2; C/.

(ii)

Es besteht uneingeschränkt die Fourier-Entwicklung im L2 -Sinne: GD

1 X

Ck Ek

.L2 /

kD1

n X Ck Ek D 0: lim G n!1

d.h.

kDn

(iii)

2

Es gilt stets die Parseval-Gleichung: Z

1 2

2

2

jG.x/j dx D 0

1 X

jCk j2

kD1

einschließlich der Konvergenz der Reihe rechts. (iv)

Es gilt stets die verallgemeinerte Parseval-Gleichung: 1 2

Z

2

G.x/H.x/ dx D 0

1 X

Ck D k :

kD1

einschließlich der absoluten Konvergenz der Reihe rechts. (v)

Das System der Grundfunktionen (10) ist maximal in L2 .Œ0; 2; C/, d.h. aus Z 2 G.x/e ikx dx D 0 für alle k 2 Z 0

folgt G.x/ D 0 fast überall.

508

Kapitel 7

Fourier-Reihen

Beweis. Erklärungsbedürftig sind lediglich noch die Faktoren in (iii) und (iv). Diese rühren daher, dass in der Formulierung dieses Satzes p statt des UN-Systems .Nk /k2Z das System .Ek /k2Z mit der Umrechnung E D 2Nk verwendet wird. Die KoefP P k ﬁzienten in G D k2Z hhG; Nk iiNk D k2Z Ck Ek rechnen sich dann so um:

p 1 1 1 hhG; Nk ii D G; p Ek D p hhG; Ek ii D p 2 Ck D 2Ck : 2 2 2 p Man nennt das „kontragredient“ zur Umrechnung Ek D 2Nk . Damit wird aus der abstrakten Parseval-Gleichung X hhG; Nk ii2 kGk22 D k2Z

konkret

Z 0

2

jGj2 D 2

X

jCk j2 ;

k2Z

und analog bei der verallgemeinerten Parseval-Gleichung.

Aufgaben und Anmerkungen 1. Es gibt natürlich auch endliche UN-Systeme; das sind Vektorsysteme .uk /k2N mit einer endlichen Indexmenge N , sodass hhuk ; u` ii D ık` für alle k; ` 2 N . Man überlege: C ist komplexer Hilbert-Raum, und 1 ist ein UN-System sowie 1; i ein ON-System in C, also h1; i i D 0, aber hh1; i ii ¤ 0. 2. Die Aufspaltung des Hermiteschen Skalarprodukts in einem komplexen Prä-HilbertRaum V : hhu; vii D hu; vi C i hu; ivi deﬁniert in Form des Realteils das reelle Skalarprodukt h ; i W V V ! R mit Werten hu; vi, das allein für die Längenmessung in V (d.h. die Norm) zuständig ist, und in Gestalt des Imaginärteils eine weitere Form ! W V V ! R mit Werten !.u; v/ WD hu; ivi. Man zeige, dass ! schiefsymmetrisch und reell bilinear ist, also: !.v; u/ D !.u; v/;

!.1 u1 C 2 u2 ; v/ D 1 !.u1 ; v/ C 2 !.u2 ; v/

für alle u; u1 ; u2 ; v 2 V und alle 1 ; 2 2 R. (Die R-Linearität im zweiten Argument ist dann von alleine erfüllt.) Man nennt ! die Fundamentalform des Hermiteschen Skalarprodukts hh ; ii. 3. Ein Vektorsystem .uj /j 2N in einem normierten K-Vektorraum (K D R oder K D C) heißt total oder genauer K-total, wenn jeweils endlich viele der uj K-linear unabhängig sind und die Menge aller endlichen K-Linearkombinationen der uj dicht

Abschnitt 7.10

509

Komplexe Fassung

in V ist. (Das Attribut K braucht nur dann hinzugefügt zu werden, wenn K D C ist, da in einem komplexen Vektorraum zwei Sorten von Skalaren in Betracht kommen: reelle oder komplexe.) Man beweise: Ist .vj /j 2N ein Vektorsystem im normierten K-Vektorraum V mit der Eigenschaft, dass die Menge aller endlichen K-Linearkombinationen der vj dicht in V ist, so existiert ein abzählbares Teilsystem .vj` /, sodass endlich viele der vj` jeweils K-linear unabhängig sind und die Menge aller endlichen K-Linearkombinationen der vj` dicht in V ist. Die Separabilität eines normierten Vektorraums könnte also auch durch die Existenz eines solchen Vektorsystem .vj /j 2N deﬁniert werden. 4. Man zeige, dass endlich viele Vektoren eines UN-Systems jeweils C-linear unabhängig sind. 5. Sei V ein komplexer Prä-Hilbert-Raum. Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren kann aus dem Reellen (Aufgabe 2[7.2]) ins Komplexe übertragen werden, um damit UN-Systeme zu erzeugen. Ausgangspunkt ist ein abzählbares System .wk /k2N von Vektoren in V mit der Eigenschaft, dass je endlich viele von ihnen Clinear unabhängig sind. Hier ist wieder N D f1; : : : ; ng oder N D N. Zunächst bildet man aus den wk mittels der Rekursionsformeln v1 WD w1 vk WD wk

k1 X j D1

hhwk ; vj ii ˇ ˇ2 vj ; ˇvj ˇ

k 2; k 2 N

ein Vektorsystem .vk /k2N mit vk ¤ 0 und hhvk ; v` ii D 0 für alle k ¤ ` in N . Die Vektoren vk können dann durch ek WD

vk ; jvk j

k2N

auf 1 normiert werden, sodass insgesamt ein UN-System .ek /k2N entsteht. 6. Ist .uk /k2N ein Vektorsystem im normierten C-Vektorraum V , so zeige man: (i)

Für n 2 N besteht die Äquivalenz: u1 ; : : : ; un ist C-linear unabhängig () u1 ; i u1 ; : : : ; un ; i un ; ist R-linear unabhängig

(ii) u1 ; u2 ; : : : ist C-total () u1 ; i u1 ; u2 ; iu2 ; : : : ist R-total.

A

Literatur (Ergänzungen)

Zur linearen Algebra und analytischen Geometrie: W. Greub[1975]: Linear algebra, Springer W. Klingenberg[1984]: Lineare Algebra und Geometrie, Springer M. Koecher[1983]: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer H.-J. Kowalsky/G. Michler[2003]: Lineare Algebra, de Gruyter, 12. Auﬂ. Allgemeine Parallel-Literatur: H. Amann[2006]: Analysis I, II, Birkhäuser H. Amann/J. Escher[2001]: Analysis III, Birkhäuser H. Cartan[1974.a]: Differentialrechnung, BI Mannheim H. Cartan[1974.b]: Differentialformen, BI Mannheim H. Holmann/H. Rummler[1972]: Alternierende Differentialformen, BI Mannheim M. Spivak[1965]: Calculus on manifolds, Benjamin, Inc. Weiterführende Literatur: L. V. Ahlfors[1953]: Complex analysis, McGraw-Hill H. Amann[1983]: Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter M. Greenberg[1971]: Lectures on algebraic topology, Benjamin Inc. H. Heuser[2006]: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, 5. Auﬂage S. T. Hu[1969]: Differentiable manifolds, Holt, Rinehart and Winston E. Kamke[1983]: Gewöhnliche Differentialgleichungen – Lösungsmethoden und Lösungen I, Teubner, 10. Auﬂ. B.v. Kerékjártó[1923]: Vorlesungen über Topologie, I. Flächentoplogie, Springer W. Lück[2005]: Algebraische Topologie, Homologie und Mannigfaltigkeiten, Vieweg J. Milnor[1965]: Topology from the differentiable viewpoint, Univ. Press Virginia

Literatur (Ergänzungen)

511

R. Walter[2001]: Einführung in die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsvii/Preprints/diffmann.pdf W. Walter[2000]: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer Berlin, 7. Auﬂage

Spezialliteratur und Originalarbeiten: V. Bangert[1977]: Konvexität in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, Dissertation Dortmund W. Blaschke[1949]: Kreis und Kugel, Chelsea N. Bourbaki[1971]: Variétés différentielles et analytiques, Fasc. d. rés. §§ 8 à 15 (Éléments de mathématique, Fasc. XXXVI, Livre 10) L. Carleson[1966]: On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta math. 116, 135–157 H. Federer[1969]: Geometric measure theory, Springer C. F. Gauß[1828]: Disquisitiones generales circa superﬁcies curvas, Comm. Soc. Reg. Scient. Gottingensis 6, 99–146, Werke IV, 217–258; deutsch von A. Wangerin: Allgemeine Flächentheorie, Ostwald’s Klassiker 5 (1900), Engelmann O. Gronwall[1912]: Über die Gibbssche Erscheinung und die trigonometrischen Summen, Math. Ann. 72, 228–237 J. Hilgert/H. Neeb[1991]: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg A. Hurwitz[1902]: Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier. Ann. de l’Éc. Norm. (3) 19, 357–408 A. Hurwitz[1903]: Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 57, 425–446 A. Kneser[1905]: Beiträge zur Theorie der Sturm-Liouvilleschen Darstellung willkürlicher Funktionen, Math. Ann. 60, 402–423 H. Kneser/W. Süss[1932]: Die Volumina in linearen Scharen konvexer Körper, Mat. Tidsskr. B 1, 19–25 K. Leichtweiß[1980]: Konvexe Mengen, Springer W. F. Newns/A. Walker[1956]: Tangent planes to a differentiable manifold, J. London Math. Soc. 31, 400–407 G. Perelman[2003]: Ricci ﬂow with surgery on three-manifolds. arXiv e-print service, Cornell University Library, Paper No. 0303109, 22 p., electronic only (2003); http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109

512

Literatur (Ergänzungen)

P. V. Reidemeister[1932]: Knotentheorie, Springer A. Ros[1987]: Compact hypersurfaces with constant higher order mean curvatures. Rev. Mat. Iberoam. 3, 447–453 E. Study[1907]: Geradlinige Polygone extremen Inhalts, Arch. der Math. u. Phys. 11, 289–295 F. Tricomi[1948]: Elliptische Funktionen (Übersetzung aus dem Italienischen durch M. Krafft), Geest & Portig R. Walter[1990]: Visibility of surfaces via differential geometry, Comput. Aided Geom. Des. 7, 353–373 K. Weierstraß[1967]: Mathematische Werke VII, Vorlesungen über Variationsrechnung, Olms/Johnson Reprint

B

Wichtige Symbole

Die Ordnung erfolgt nach den Seitenzahlen des ersten Auftretens.

Kapitel 2 49

Fk

Iterationen einer Selbstabbildung

54

kf k1

Supremumsnorm

54

0 .X; V / C1

Raum stetiger beschränkter Abbildungen

54

kf k1

Maximumsnorm

55

L .V; W / D L.V; W /

Raum linearer stetiger Abbildungen

56

spann, spannK

Spann von Vektoren

57

F 1 .X/

Durchschnitt aller F k .X /

78

K.k/

elliptisches Integral

78

cnk , snk , dnk , amk

Jacobische elliptische Funktionen

87

E

identische Abbildung eines Vektorraums

Kapitel 3 136

D./

Drehung um

139

Ta ./

geometrischer Tangentialraum (Immersion)

139

Aa ./

afﬁner Tangentialraum (Immersion)

143

R.n;n/ s

Raum aller reellen symmetrischen .n n/Matrizen

143

R.n;n/ a

Raum aller reellen schiefsymmetrischen .n n/-Matrizen

143

O.n/

Gruppe aller reellen orthogonalen .n n/Matrizen

143

SO.n/

Gruppe aller reellen eigentlich orthogonalen .n n/-Matrizen

157

Tb M

geometrischer Tangentialraum (Untermannigfaltigkeit)

514

Anhang B

Wichtige Symbole

157

Ab M

afﬁner Tangentialraum (Untermannigfaltigkeit)

163

codimN M , codim M

Kodimension

164

SL.n; R/

spezielle lineare Gruppe

164

R.n;n/ 0

Menge der reellen .n n/- Matrizen mit Spur 0

165

ŒA; B

Matrizen-Kommutator

166

G

Lie-Algebra

?

188

u

194

Fa

Menge lokal deﬁnierter Funktionen

196

T a Rn

abstrakter Tangentialraum

Drehung um rechten Winkel

Koordinatenfunktionen in Rn

i

196

x

197

@i .a/

Koordinaten-Vektoren in a 2 Rn

198

Tangentialbündel über Rn

198

T Rn T Rn

198

.df /a

Differential in a 2 Rn (f skalar)

199

.dx i /a

Koordinaten-Differentiale in a 2 Rn

200

ja

Isomorphismus Rn ! Ta Rn

203

.dF /a

Differential in a 2 Rn (F vektoriell)

205

c .t0 /

(abstrakter) Tangentialvektor

a

Kotangentialraum

Kapitel 4 D @i

213

@ @x i

213

dx i

Koordinaten-Differentiale

213

df

Differential

214

X .A/

Menge von Vektorfeldern

214

rs .A/

Menge von Differentialformen

221

rot F

Rotation eines Vektorfelds

221

div G Z !

Divergenz eines Vektorfelds

226

r

c

Koordinaten-Vektorfelder

Kurvenintegral

515 I 233

!

geschlossenes Kurvenintegral

Integral einer p-Form

Integral einer p-Form (Variante)

Zc 260 ZU 262 ZA

262

Integral einer p-Form (Variante)

jA

Kapitel 5 270

Tb M

abstrakter Tangentialraum

270

TM

Tangentialbündel über M

271

As .TM /

Vektorbündel der alternierenden s-Formen

273

Mengen von Differentialformen

274

ks .M /, s .M / i

275

Íi .a/

partielle Ableitungen (Versionen)

276

Ob

Orientierung (Tangentialraum)

278

j!j

Betrag einer Top-Form

285

< !, ! usw. Z !

Vergleichsrelationen für Top-Formen

290

Pull-Back (Variante)

Integral einer Top-Form über M

M

294

b ! Z

Nullfortsetzung !

294

Integral einer Top-Form über B

B

298

Rm

Dualraum von Rm

298

hy; ˛i

duale Paarung

312

ı

Randeinschränkung

320

div W

Divergenz

321

grad f

Gradient

321

4f

Laplace/Beltrami-Operator

333

hu; vi

tangentiales Skalarprodukt

333

g

metrischer Fundamentaltensor

334

dM

Volumelement

516

Anhang B

334

ds

Bogenelement

334

dA

Flächenelement

334

dS

Hyperﬂächenelement

334

dV

Volumelement in Rn

336

volp .B/

Wichtige Symbole

p-dimensionales Volumen

?

338

.Tb M /

Normalenraum

338

T ?M

Normalenbündel

338

Normaleneinheitsfeld

340

c2 cn

Vektorprodukt

340

Œc1 ; c2 ; : : : ; cn

Standard-Determinantenform in Rn

341

N

Gauß-Abbildung

348

P

Stützfunktion

351

% ! ! ds, dA

Raumwinkelform

354

vektorielles Bogen-und Flächenelement

Kapitel 6 Z

Z

366 366 367 373 375

f .z/ jdzj

f .z/ dz,

365

komplexe Kurvenintegrale

dz, d z @ @ , @z @z !f ResŒf .z/I a I f .z/ dz

komplexe Differentiale Wirtinger-Operatoren Differentialform zu f Residuum komplexes Kurvenintegral (Variante)

jzajDr

375

X

ak 2B ı

ResŒf .z/I ak

Residuensumme

517

Kapitel 7 410

ak ; b k

Fourier-Koefﬁzienten

410

hat die Fourier-Reihe

410

Fn Œf

Fourier-Teilsummen

412

ck

komplex geschriebene Fourier-Koefﬁzienten

423

hf; gi

Skalarprodukt von f; g

423

kf k2

2-Norm von f

424

hu; vi

Skalarprodukt von u; v

424

juj

Norm von u

425

N

Indexmenge f1; : : : ; ng oder N ?

425

U

426

˚

direkte Summe von Untervektorräumen

427

P1 ; P2

Orthogonalprojektionen

429

hat die (abstrakte) Fourier-Reihe

442

fC .x/, f .x/

einseitige Grenzwerte

460

P .g; Z/

Polygonzuglänge

460

Vab .g/

totale Variation

462

Tg

unbestimmte totale Variation

472

Lba ./

Bogenlänge

477

kf k1

1-Norm von f

477

C Œa; b

Vektorraum der stetigen Funktionen f Œa; b ! R

479

f C; f

positiver, negativer Anteil

482

cosk ; sink

harmonische Grundfunktionen

500

Ck

komplex geschriebene Fourier-Koefﬁzienten

507

Ek

komplexe Grundfunktionen

Orthogonalraum, Lotraum

W

Sachregister Symbole 1

C -Zug, 228 C 2 -Zug, 378 K-total, 508 p-Flächenstück, 132

A Abbildung eigentliche, 167 induzierte, 201 kontrahierende, 53 offene, 126, 146 tangentiale, 193 Abel-Preis, 483 abgeschlossene Einheitskreisscheibe, 308 abhängig funktional, 130 Abklingvorgang reiner, 27 Ableitung komplexe, 365 Ableitungsgleichungen, 357 Abschätzungsregel, 292 lokale, 287 Abschneidung, 286 absolute Volumelement, 362 Abstand, 192 abstrakte Auffassung eines Vektorfelds, 224 abstrakte Fourier-Entwicklung, 428 abstrakter Tangentialraum, 196, 270 abstrakter Tangentialvektor, 205 Achse, 137, 143, 144 Adjunkte, 111 Ähnlichkeitsinvarianz, 94, 101 afﬁner Anteil, 138 afﬁner Tangentialraum, 139, 157

afﬁner Unterraum, 135 Aktionsprinzip Newtonsches, 16 Alembert, Jean Baptiste Le Rond de (1717–1783), 108 Algebra multilineare, 207 allgemeine Lösung, 33, 45 alternierend, 209 alternierende Differentialform, 271 Alternierungseigenschaft, 209 Amplitude, 78, 406 Analysis lineare, 85 Anfangsbedingung, 3, 45, 59 Anfangswertproblem, 3, 44, 59 angepasst, 306 Annullierungsregeln, 222 Anordnung monotone, 211 zyklische, 211 Anteil afﬁner, 138 negativer, 479 positiver, 479 aperiodischer Fall, 27 aperiodischer Grenzfall, 27 aposteriori-Abschätzung, 51 Approximationssatz von Stone/Weierstraß, 388, 389 apriori-Abschätzung, 51 Äquator, 327 Äquipotentialmenge, 246 Arbeit, 227 Arbeitsangebot, 15 Arbeitsnachfrage, 15 Assoziativgesetz, 208, 210

519

Sachregister

Aufblasen, 190 Aufpunkt, 231 auf Quadraturen zurückführbar, 28 ausgearteter Knotenpunkt, 106 äußere Differentialform, 212, 271 äußerer Kalkül, 212, 219, 247 äußerer Normaleneinheitsvektor, 346 äußerer Vektor, 323, 324 äußeres Differential, 216 Auswertungsabbildung, 86 Auswertungsformel, 210 autonom, 37 autonome Gestalt, 64 axialer Vektor, 252

B Bahnkurve, 239, 247 Bakterienkultur, 2 Ball rationaler, 289 Ballumgebungen, 48 Banach, 47, 60, 68 Fixpunktsatz von, 47, 50, 53 Basis negative, 276 positive, 276, 278, 324 Basisdarstellung, 209, 211 Basisdarstellung des Tangentials, 204 Begrenzung, 306 Beltrami, Eugenio (1835–1900), 321 Bereich halbregulärer, 378 n-dimensionaler regulärer, 346 regulärer, 306 Bernoulli-Differentialgleichung, 34 Beschleunigung, 13 beschränkte Schwankung, 459 Bessel, Friedrich Wilhelm (1784–1846), 429, 431 Bessel-Ungleichung, 429 Betrag, 278 Betti, Enrico (1823–1892), 403 Betti-Zahl, 269, 403

bewegter Massenpunkt, 247 Bewegungsgesetz Newtonsches, 247 Bildmenge sukzessive, 49 Boden, 265 Bogenelement, 334 vektorielles, 354 Bogenlänge, 336, 472 Breite geographische, 263 Breitenkreis, 137 Brennpunktsabstand, 357 Brouwer Fixpunktsatz von, 386, 392 Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881– 1966), 386, 392 Brouwerscher Fixpunktsatz, 384

C Carleson, Lennart, geb. 1928, 483 Cartan, Élie (1869–1951), 219 Cauchyscher Integralsatz, 368, 369 charakteristische Gleichung, 18 charakteristisches Polynom, 18 Computer-Graphik, 135 Coriolis, Caspar Gustav (1792–1843), 350 Corioliskraft, 350

D d’Alembertsche Reduktion, 108 Dachprodukt, 210 Darstellung implizite, 153 Mongesche, 138, 153 Darstellungsproblem, 410 Deckel, 265 de l’Hospital komplexe Regel von, 382 de Rham, Georges (1903–1990), 403

520 de Rhamscher Kohomologie-Vektorraum, 403 Derivation, 194 Determinante Gramsche, 182, 334 Deutung der Divergenz, 354 Deutung der Rotation, 355 Diagonalblock-Kompatibilität, 103 Diagonalmatrix, 102 Dichte, 361 Dido Problem der, 486 Diffeomorphismus lokaler, 127 Differential, 198, 203, 213 äußeres, 216 Differentialform, 207, 212, 269, 271 äußere, 212, 271 alternierende, 271 Differentialgleichung, 36, 58, 60 exakte, 255 explizite, 37 gewöhnliche, 1 lineare, 13, 64 partielle, 1 skalare, 39 totale, 253 vektorielle, 39 Differentialgleichungen Maxwellsche, 9 Differentialgleichungssystem, 37 lineares, 90 Differentialgleichung von Bernoulli, 34 Riccati, 34 Differentialoperator, 194 Dimension, 146, 163 Dimensionssatz, 158 Dini-Kriterium, 441 Dirichlet-Integral, 436 Dirichlet-Kriterium, 444 Distributivgesetz, 208, 210 Divergenz, 320

Sachregister

Deutung, 354 Divergenzformel, 320 divergenzfrei, 225, 355 Divergenzsatz, 346 Doppelverhältnis, 36 Drehﬂäche, 136, 137, 144 erzeugte, 344 Drehgruppe, 136 einparametrige, 143 durchdringen, 323 Durchﬂuss, 347

E echtes Intervall, 38 Eigenfrequenz, 25 eigentliche Abbildung, 167 eigentliche Drehungen Quaternionen-Darstellung, 145 eigentlich orthogonale Matrix, 143 einbauen, 222 eindimensionaler Fall, 327 einfacher Pol, 375 einfach zusammenhängend, 244 Einheitskreisscheibe abgeschlossene, 308 Einheitsumgebung, 111, 166 Einparametergruppe, 100 einparametrige Drehgruppe, 143 einparametrige Schar, 65 Ellipsenumfang, 84 elliptische Funktion, 77 Jacobische, 78 elliptisches Integral erster Gattung vollständiges, 78 elliptisches Integral zweiter Gattung vollständiges, 84 endliches UN-System, 508 Endomorphismus, 65 Energie-Trick, 30 Energiesatz, 247 Erbschaftssteuer, 191 Erdbeschleunigung, 13 Erdkörper, 179

Sachregister

Erdkugel warme, 179 Erregerfrequenz, 25 erste Fundamentalform, 333 erste Greensche Formel, 322, 350 erster Mittelwertsatz, 305 Erzeuger inﬁnitesimaler, 100 erzeugte Drehﬂäche, 344 erzeugte Rotationsﬂäche, 162 Euklidische Sphäre, 148 Euler-Charakteristik, 269, 403 Euler-Fouriersche Formeln, 410 Eulerscher Multiplikator, 255 exakt, 222, 224 exakte Differentialgleichung, 255 Existenzsatz von Peano, 75 Exponentialansatz, 17 Exponentialdarstellung, 100 Exponentialreihe, 90 exponentielles Wachstum, 2 Extremalproblem, 169 Extremum freies, 169 gebundenes, 169

F Faktor integrierender, 255 Faktorinvarianz, 254 Fall aperiodischer, 27 skalarer Fall, 59 Faser, 271 Federkonstante, 16 Feldbegriff, 212 Feldlinie, 165 Fixpunkt, 47, 49 Fixpunktgleichung, 47 Fixpunktsatz Brouwerscher, 384 Fixpunktsatz von Banach, 47, 50, 53

521 Brouwer, 386, 392 Weissinger, 58 Fläche, 147 Flächenelement, 334 vektorielles, 354 Flächeninhalt, 336, 358 Flächenintegral, 320 Flächenstück, 132 Fluss, 112, 347 Folgenraum Hilbertscher, 492 Form, 212, 271 induzierte, 274 Pfaffsche, 212 zurückgeholte, 274 Form-Operator, 359 Fortsetzung rechtsinvariante, 166 Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768–1830), 409 Fourier-Entwicklung, 410 abstrakte, 428 Fourier-Koefﬁzient, 409 Fourier-Koefﬁzienten, 428, 500 komplex geschriebene, 412 Fourier-Polynom, 424 Fourier-Reihe, 405, 410, 429 freier Fall, 13 freies Extremum, 169 Frequenz, 25 Fresnel, Augustin (1788–1827), 381 Fresnelsches Integral, 381 Fundamentalform, 508 erste, 333 Fundamentalgruppe, 243 Fundamentalsystem, 21, 97 Fundamentaltensor metrischer, 333 Funktion elliptische, 77 implizite, 127 funktional abhängig, 130 Funktionalkalkül, 90

522 Funktionentheorie, 364 Fußpunkt, 428

G Ganghöhe, 141 Gauß-Abbildung, 341 Gaußsche Parameterdarstellung, 146 Gaußscher Integralsatz, 268, 320 gebundenes Extremum, 169 gedämpfte harmonische Schwingung, 27 gedämpfte Schwingung, 27 gegen, 348 Gegenuhrzeigersinn, 349 geographische Breite, 263 geographische Koordinaten, 263 geographische Länge, 263 Geometrie Nicht-Euklidische hyperbolische, 8 geometrische Maßtheorie, 489 geometrischer Normaleneinheitsvektor, 341 geometrischer Schwerpunkt, 343 geometrischer Tangentialraum, 139, 157 Gesamtamplitude, 420 Gesamtmasse, 342 geschlossen, 222, 224, 319 Gesetz Hookesches, 16 Ohmsches, 17 Gestalt autonome, 64 Gewicht speziﬁsches, 9 gewichtete Norm, 62 gewöhnliche Differentialgleichung, 1 Gibbs, Josiah Willard, (1839–1903), 419 Gibbs-Phänomen, 419, 453 Gleichgewichtspunkt, 171 Gleichstrom zerhackter, 484 Gleichung

Sachregister

charakteristische, 18 logistische, 5 Gleichungsdarstellung lokale, 153 gleichungsdeﬁniert, 158 Glockenfunktion, 316 Gradientenfeld, 224, 321 Gram, Jorgen Pedersen (1850–1916), 182, 334 Gram/Schmidt-Prozess, 494 Gramsche Determinante, 182, 334 Graphendarstellung, 138 lokale, 153 Grassmann, Hermann (1809–1877), 219 Gravitationsgesetz Newtonsches, 13 Gravitationskonstante, 76 Green, George (1793–1841), 322 Greensche Formel erste, 322, 350 zweite, 322, 350 Greensche Sätze, 350 Greenwich-Meridian, 264 Grenzfall aperiodischer, 27 großer Satz von Stokes, 313 Grundfunktion harmonische, 410 Grundschwingung, 406 Gruppe orthogonale, 142–144, 164 spezielle lineare, 164 spezielle orthogonale, 143 symmetrische, 209 topologische, 89 Guldinsche Regel zweite, 344

H Halbebene rechte, 177 Halbkreisscheibe, 178, 380

523

Sachregister

Halbraum linker, 306 halbregulärer Bereich, 378 Halbsphäre nördliche, 326 Halbwertszeit, 5 harmonisch, 355 harmonische Grundfunktion, 410 harmonischer Oszillator, 25, 26 harmonische Schwingung gedämpfte, 27 harmonisches Störglied, 26 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung komplexer, 368 Hauptsystem, 96 Hausdorff-Maß, 489 HDI, 61 hebbare Singularität, 373 Heron-Verfahren, 56 Hilbertscher Folgenraum, 492 Hoehne-Wronski, Josef-Maria (1778– 1853), 22, 111 holomorphe Stammfunktion, 368 homogen, 15, 91 Homogen/Inhomogen-Satz, 92, 96, 98 homogene Gleichung zugehörige, 14 homogene Massenbelegung, 343 homotop, 239 Homotopie, 239 Homotopie-Invarianz des Kurvenintegrals, 240 Homotopieklasse relative, 243 Hooke, Robert (1635–1703, 16 Hookesches Gesetz, 16 Hurwitz Satz von, 459 Hyperebenenspiegelung, 276 Hyperﬂäche, 147, 329 Hyperﬂächenelement, 334 Hyperﬂächenintegral, 320

Hyperﬂächenstück, 132

I Identitätssatz, 382 Immersion, 125 implizite Darstellung, 153 implizite Funktion, 127 induzierte Abbildung, 201 induzierte Form, 274 inﬁnitesimaler Erzeuger, 100 inﬁnitesimaler Satz von Liouville, 112 inhomogen, 91 Inhomogenität, 13, 21 Injektion zugehörige, 396 injektiv lokal, 126 Inklusions-Pull-Back, 275 Integrabilitätsbedingung, 223, 238, 396 Integral, 45, 285, 294 Fresnelsches, 381 nach der Bogenlänge, 366 Integralformel Minkowskische, 360 Integralgleichung, 61 Integralkurve, 165, 253 Integral längs Abbildungen, 260 Integralsatz, 269, 346, 364 Cauchyscher, 368, 369 Gaußscher, 268, 320 Integration, 8 Integrationskonstante, 4 integrierbar, 260, 262, 286, 287, 290, 294, 336 quadratisch, 423 integrierender Faktor, 255 Intervall echtes, 38 inverse Kettenregel, 249 inverse Orientierung, 293 Inzidenz, 5 Inzidenzprodukt, 298

524 isometrische Matrix, 143 isoperimetrisches Problem, 186 isoperimetrische Ungleichung, 358, 486, 487, 489 Isotherme, 181 Iteration, 47 Iterationsfolge, 50 Iterationsverfahren, 47 Iterierte sukzessive, 49

J Jacobi-Identität, 167 Jacobische elliptische Funktion, 78 Jordansche Normalform, 101, 102 reelle, 103

K Kalkül äußerer, 212, 219, 247 Kandidaten (beim Extremalproblem), 174 kanonische Paarung, 298 kanonische Randorientierung, 313 Karte, 147 kartesisches Produkt, 163 Katenoid, 11 Kegel, 351 Kettenlinie, 8, 11 Kettenregel, 202 inverse, 249 Killing, Wilhelm (1847–1923), 143 Killing-Feld, 143 Kirchhoff, Gustav (1824–1887), 17 Kirchhoffsche Regel, 17 Klasse, 214, 273 Kleeblattschlinge, 303 kleiner Satz von Stokes, 353 Kneser, Adolf (1862–1930), 418 Knoten, 303 Knotenpunkt, 106 ausgearteter Knotenpunkt, 106

Sachregister

Kodimension, 163 Kohomologie, 395 Kohomologie-Vektorraum de Rhamscher, 403 Kommutator, 166 Komplement orthogonales, 427 komplexe Ableitung, 365 komplexe Regel von de l’Hospital, 382 komplexer Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung, 368 komplexer Logarithmus, 383 komplex geschriebene Fourier-Koefﬁzienten, 412 konjugiert, 144, 393 konkrete Auffassung eines Vektorfelds, 224 konservativ, 224 kontrahierend, 50, 53 kontrahierende Abbildung, 53 kontrahierende Selbstabbildung, 50 Konvergenz punktweise, 435 Konvergenzproblem, 410 Koordinate, 147 Koordinaten geographische, 263 Koordinaten-Differential, 199, 213 Koordinaten-Vektor, 197 Koordinaten-Vektorfeld, 213 Koordinatenfunktion, 196 Kosinus amplitudinis, 78 Kotangens Partialbruchzerlegung, 447 Kotangens hyperbolicus Partialbruchzerlegung, 448 Kotangentialraum, 198 kovariantes Tensorfeld, 212 Kreiskegelkörper, 180 Kreissektor, 381 Kriterium von Dini, 441 Kriterium von Dirichlet, 444 verallgemeinertes, 465

525

Sachregister

Kronecker, Leopold (1823–1891), 408 Kronecker-Symbol, 408 Krümmung mittlere, 360 signierte, 356 Kugelschale, 246 Kurve, 133, 147 Kurvenintegral, 226, 320 Homotopie-Invarianz, 240 Parameterinvarianz, 227 Kurventyp, 253

L Länge geographische, 263 längentreu, 344 Lagrange-Bedingung, 171 Lagrange-Multiplikator, 171, 172 Lagrange-Punkt, 171 Lagrangescher Mulitplikator, 171 Laplace, Pierre Simon (1749–1827), 321, 355 Laplace-Gleichung, 355 Laplace/Beltrami-Operator, 321 Legendre-Polynom, 435 Leibniz-Formel, 321, 348 Leibniz-Reihe, 415 Lemma von Poincaré, 395, 396 Lemma von Riemann/Lebesgue, 433, 438 Lie, Sophus (1842–1899), 114, 165 Lie-Algebra, 165, 166 Lie-Gruppe, 114, 168 lineare, 165, 166 Lindelöf, Ernst Leonhard (1870–1946), 60 lineare Analysis, 85 lineare Differentialgleichung, 13, 64 lineare Gruppe spezielle, 164 lineare Lie-Gruppe, 165, 166

lineares Differentialgleichungssystem, 90 Linearität des Integrals, 292 Linienelement, 43 linker Halbraum, 306 Linkskomposition, 86 Linkskurve, 357 Linkssystem, 276 Liouville Satz von, 112 Lipschitz-Bedingung, 60, 66 lokale, 68 Logarithmus komplexer, 383 logistische Gleichung, 5 lokale Abschätzungsregel, 287 lokale Gleichungsdarstellung, 153 lokale Graphendarstellung, 153 lokale Lipschitz-Bedingung, 68 lokale Parameterdarstellung, 146 lokale Parametrisierung, 146 lokaler Diffeomorphismus, 127 lokaler Operator, 194 lokaler Zerlegungssatz, 287 lokal injektiv, 126 Lokalisationssatz von Riemann, 440 lokal surjektiv, 126 Löschen des Arguments, 200 Lösung, 45, 59, 253 allgemeine, 33, 45 einer Differentialgleichung, 37 maximale, 71 partikuläre, 23 reguläre, 93 Lösungskurve, 45 Lotraum, 425

M Mannigfaltigkeit, 131, 147, 168 mit Rand, 330 Riemannsche, 336 Masse, 16, 76 Massenbelegung

526 homogene, 343 Massendichte, 342 Massenpunkt bewegter, 247 Maßtheorie geometrische, 489 mathematisch positiver Sinn, 349 Matrix eigentlich orthogonale, 143 isometrische, 143 orthogonale, 143 schiefsymmetrische, 143 symmetrische, 143 Matrizen-Kommutator, 165 maximal, 474, 483, 505, 507 maximale Lösung, 71 maximaler Rang, 121 Maximumsnorm, 54 Maxwell, James Clerk (1831–1879), 9 Maxwellsche Differentialgleichungen, 9 Meridian, 137, 141 messbar, 288, 295 metrische Projektion, 498 metrischer Fundamentaltensor, 333 Minimalﬂäche, 11 Minkowski Volumformel von, 347 Minkowski-Raum, 472 Minkowskische Integralformel, 360 Minkowskische Oberﬂäche, 489 Mittel quadratisches, 422 Mittelwert quadratischer, 423 Mittelwertsatz erster, 305 mittlere Krümmung, 360 Möbiusband, 281 Modul, 78, 84 Monge, Gaspard (1746–1818), 138, 153 Mongesche Darstellung, 138, 153 Monom, 218, 219

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monotone Anordnung, 211 Mulitplikator Lagrangescher, 171 multilineare Algebra, 207 Multilinearform, 208 Multiplikator Eulerscher, 255

N n-dimensionaler regulärer Bereich, 346 Nebenbedingungsfunktion, 170 Nebenbedingungsmenge, 171 negative Basis, 276 negative Parametrisierung, 278 negativer Anteil, 479 Neumann, Johann von (1903–1957), 87 Neumannsche Reihe, 87 Neuparametrisierung, 227 Newtonsches Aktionsprinzip, 16 Newtonsches Gravitationsgesetz, 13 Nichtenden von Lösungen, 69 nichtnegative Top-Form, 285 Nilpotenzblock, 102 Nobel-Preis, 483 nördliche Halbsphäre, 326 Nordpol, 148 Norm gewichtete, 62 Normalableitung, 350 Normalenbündel, 338 Normaleneinheistvektor, 357 Normaleneinheitsfeld, 338 Normaleneinheitsvektor, 338 äußerer, 346 geometrischer, 341 Normaleneinheitsvektor-Feld relatives äußeres, 353 Normalenraum, 338 Normalform, 122 Jordansche, 101 Nullfortsetzung, 294

527

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Nullmenge, 295 Nullmeridian, 137, 141 Nullstellenalternative, 381

O o-treu, 228, 261, 276, 278 o-umkehrend, 228, 261 Oberﬂäche, 336 Minkowskische, 489 Oberschwingung, 406 offene Abbildung, 126, 146 offene Umgebung, 48 Ohm, Georg Simon (1789–1854), 17 Ohmsches Gesetz, 17 Ökonometrie, 15 ON-System, 425, 501 Operator, 50 lokaler, 194 Ordnung, 2 einer Differentialgleichung, 37 orientierbar, 276 orientierend, 278 Orientierung einer Mannigfaltigkeit, 276 eines Vektorraums, 276 inverse, 293 orientierungstreu, 228, 261, 276, 278 orientierungsumkehrend, 228, 261 orthogonale Gruppe, 142–144, 164 orthogonale Matrix, 143 orthogonales Komplement, 427 Orthogonalisierungsverfahren Schmidtsches, 434, 493, 509 Orthogonalitätsrelation, 408 Orthogonalprojektion, 427 Orthogonalraum, 425 Orthogonalsystem, 425 Orthogonalzerlegung, 427 Orthonormalentwicklung, 425 Orthonormalsystem, 425 Oszillator harmonischer, 25, 26

P Paarung kanonische, 298 parabolische Schale, 337 Paraboloid, 337 Parallelbereich, 359 Parallelhyperﬂäche, 359 Parallelmenge, 359 Parameter, 132 Parameterdarstellung, 132 Gaußsche, 146 lokale, 146 Parameterinvarianz, 254, 263 Parameterinvarianz des Kurvenintegrals, 227 Parameterlinie, 134 Parametermenge, 132 Parametertransformation, 151 Parametrisierung, 132 lokale, 146 negative, 278 positive, 278 rationale, 151 Parseval-Gleichung, 474, 482, 505, 507 verallgemeinerte, 474, 483, 505, 507 Partialbruchzerlegung des Kotangens, 447 Partialbruchzerlegung des Kotangens hyperbolicus, 448 partielle Differentialgleichung, 1 partikuläre Lösung, 23 Pendelgleichung, 31, 79, 82 Periodenintervall, 406 Permanenzprinzip, 382 Pfaff, Johann Friedrich (1765–1825), 212 Pfaffsche Form, 212, 271 zugehörige, 224 Phänomen von Gibbs, 419 Phasenverschiebung, 420 Picard, Emile (1856–1941, 60

528 Picard/Lindelöf Satz von, 60 Poincaré Lemma von, 395, 396 Poincaré, Henri (1854–1912), 396 Poincaré-Vermutung, 303 Pol, 375 einfacher, 375 polarer Vektor, 252 Polygon zyklisches, 189 Polynom charakteristisches, 18 trigonometrisches, 395, 424 Population, 2 positive Basis, 276, 278, 324 positive Parametrisierung, 278 positiver Anteil, 479 positive Top-Form, 285 Potential, 224, 225, 232, 401 Potentialfunktion, 355 praktische Regel (äußerer Kalkül), 220 Problem isoperimetrisches, 186 Problem der Dido, 486 Produkt kartesisches, 163 Produktregel, 195, 215, 219 Proﬁlkurve, 136 Projektion metrische, 498 stereographische, 149 Proximum, 428, 495 Pseudosphäre, 8 Pull-Back, 247, 271 Punkte trennen, 389 Punktspiegelung, 251, 393 punktweise Konvergenz, 435 Pythagoras Satz des, 425, 505 Pythagoras (ca. 580–500 v. Chr.), 425

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Q quadratischer Mittelwert, 423 quadratisches Mittel, 422 quadratisch integrierbar, 423 Quaternion, 144 Quaternionen-Darstellung für eigentliche Drehungen, 145 quellenfrei, 225, 355

R radial, 246 radioaktiver Zerfall, 5 Randextremum, 177 Randorientierung kanonische, 313 Rang, 121 maximaler, 121 Rangsatz, 121 rationale Parametrisierung, 151 rationaler Ball, 289 Raum tangentialer, 193 unitärer, 501 Raumwinkel, 351 Raumwinkelform, 351 Real/Imaginärteil-Zerlegung, 364 Reallohn, 15 rechte Halbebene, 177 rechte Seite, 59 rechtsinvariante Fortsetzung, 166 Rechtskomposition, 86 Rechtskurve, 357 Rechtssystem, 276 Rechtstranslation, 165 Reduktion d’Alembertsche, 108 reelle Jordansche Normalform, 103 Regel Kirchhoffsche, 17 praktische (äußerer Kalkül), 220 Regelﬂäche, 281 reguläre Lösung, 93

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regulärer Bereich, 306, 324 Regulus, 142 Reibungskraft, 16 Reibungswiderstand, 13 Reihe Neumannsche, 87 reiner Abklingvorgang, 27 rektiﬁzierbar, 472 Rektiﬁzierbarkeit, 489 relative Homotopieklasse, 243 relatives äußeres NormaleneinheitsvektorFeld, 353 Residuum, 373 Resonanzkatastrophe, 25 retrahieren, 384 Riccati, Jacopo Francesco (1676–1754), 34 Riccati-Differentialgleichung, 34 Richtungsfeld, 43 Riemann/Lebesgue-Lemma, 433, 438 Riemannsche Mannigfaltigkeit, 336 Riemannscher Lokalisationssatz, 440 Robotik, 144 Rotation Deutung, 355 Rotationsﬂäche, 137 erzeugte, 162 Rotationsformel, 354 rotationssymmetrisch, 246

S s-Form, 212, 271 Sägezahn-Welle, 415, 484 Sattelpunkt, 106, 171 Satz des Pythagoras, 425, 505 Satz von Green, 350 Hurwitz, 459 Liouville, 112 Liouville, inﬁnitesimaler, 112 Picard/Lindelöf, 60 Stokes, 265, 266, 305, 319, 384 Stokes, großer, 313

529 Stokes, kleiner, 323, 353 Schale, 342 parabolische, 337 Schar einparametrige, 65 schiefsymmetrische Matrix, 143 Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, 434, 493, 509 Schmiegparabel, 357 Schnitt, 213, 271, 339 Schnittkarte, 154 Schraubﬂäche, 141 Schraubgruppe, 141 Schraubregelﬂäche, 141 Schraubrohrﬂäche, 142 Schwankung beschränkte, 459 Schwebung, 26 Schwerpunkt, 342 geometrischer, 343 Schwingung gedämpfte, 27 Seite rechte, 59 Selbstabbildung kontrahierende, 50 Selbstadjungiertheit, 322 separabel, 493 signierte Krümmung, 356 Singularität hebbare, 373 Sinn mathematisch positiver, 349 Sinus amplitudinis, 78 skalare Differentialgleichung, 39 skalarer Fall, 59 Spann, 56 spezielle lineare Gruppe, 164 spezielle orthogonale Gruppe, 143 speziﬁsches Gewicht, 9 Sphäre Euklidische, 148 Standard-Orientierung, 349

530 Sphärenvolumen, 348, 349 Spiegelung, 276 Sprungfunktion, 453, 484 Stammform, 222, 396 Stammfunktion, 232 holomorphe, 368 Standard-Darstellung, 214, 250 Standard-Orientierung, 276 Standard-Orientierung einer Sphäre, 349 Startpunkt, 50 Steiner-Polynom, 359 stereographische Projektion, 149 sternförmig, 236 stetig differenzierbar stückweise, 467 Stokes großer Satz von, 313 kleiner Satz von, 353 Satz von, 265, 266, 305, 313, 319, 323, 384 Stokes, George Gabriel (1819–1903), 265, 305, 313, 323, 353 Stone, Marshall Harvey (1903–1989), 389 Stone/Weierstraß Approximationssatz von, 388, 389 Störglied, 21 harmonisches, 26 Strahlpunkt, 106 Streifen, 63 Streifensituation, 63 Strudelpunkt, 106 stückweise stetig differenzierbar, 467 stückweise von der Klasse C 1 , 467 Stufe, 208, 212 Stützabstand, 347 Stützfunktion, 348, 357 Submersion, 125 Subniveau, 324 Südpol, 150 sukzessive Bildmenge, 49 sukzessive Iterierte, 49

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Superposition, 405 Supremumsnorm, 54 surjektiv lokal, 126 symmetrische Gruppe, 209 symmetrische Matrix, 143 Systemfall, 59

T Tangentendrehzahl, 358 Tangenteneinheistvektor, 357 Tangenteneinheitsvektor-Feld, 352 Tangential, 201 Basisdarstellung, 204 Tangentialbündel, 198, 213, 270, 338 tangentiale Abbildung, 193 tangentialer Raum, 193 tangentialer Vektor, 323 Tangentialraum, 157, 196 abstrakter, 196, 270 afﬁner, 139, 157 geometrischer, 139, 157 Tangentialvektor, 194 abstrakter, 205 Tensorfeld kovariantes, 212 Tensorprodukt, 208 Top-Form, 260, 278 nichtnegative, 285 positive, 285 topologische Gruppe, 89 Torus, 140, 192 total, 474, 482, 493, 505, 507, 508 totale Differentialgleichung, 253 totale Variation, 460 unbestimmte, 462 Zerlegungsregel, 461 Traktrix, 8 Transformationsprinzip, 272 transversal, 163 tranversaler Vektor, 323 trennen, 389 Trennung der Veränderlichen, 2, 3

531

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trigonometrisches Polynom, 395, 424

U u-Linie, 135 Übergangsdeterminante, 276 Überschussnachfrage, 15 Umfang, 336, 344, 358 der Ellipse, 84 Umgebung, 48 Umkehrsatz, 115 Umlaufzeit, 82 Umparametrisierung, 151 umpolen, 276 UN-System, 501 endliches, 508 unbestimmte totale Variation, 462 Ungleichung, 324 isoperimetrische, 358, 486, 487, 489 unitärer Raum, 501 Untermannigfaltigkeit, 145, 146, 163 Unterraum afﬁner, 135 Urbild, 157

V v-Linie, 135 Variation totale, 460 Variation der Konstanten, 14, 15, 21, 95, 112 Vektor äußerer, 323, 324 axialer, 252 polarer, 252 tangentialer, 323 tranversaler, 323 Vektoranalysis, 222 Vektorbündel, 198, 271 Vektorfeld, 165, 183, 212 abstrakte Auffassung, 224 konkrete Auffassung, 224

vektorielle Differentialgleichung, 39 vektorielles Bogenelement, 354 vektorielles Flächenelement, 354 Vektorpotential, 225, 401 verallgemeinerte Parseval-Gleichung, 474, 483, 505, 507 verallgemeinertes Kriterium von Dirichlet, 465 vertauschbar, 100 Virulenz, 5 vollständiges elliptisches Integral erster Gattung, 78 zweiter Gattung, 84 Volltorus, 344 Volumelement, 334 absolutes, 362 Volumen, 336 von beschränkter Schwankung, 459 Vorhang, 309 Vorzeichenregel, 210

W Wachstum exponentielles, 2 warme Erdkugel, 179 Weg, 283, 472 wegunabhängig, 229 Wegunabhängigkeit, 230, 231 Weierstraß, 392 Weingarten-Abbildung, 359 Weissinger Fixpunktsatz von, 58 Wendelﬂäche, 141 Wendepunkt, 357 Winkelauslenkung, 31 Winkelform, 352 Winkelhalbierende, 48 wirbelfrei, 225 Wirbelpunkt, 106 Wirtinger, Wilhelm (1865–1945), 366, 485 Wirtinger-Operatoren, 366 Wirtinger-Ungleichung, 485

532 Wronski-Determinante, 22, 46, 111

Z Zentralkraft, 246 Zentralprojektion, 149 Zerfall radioaktiver, 5 Zerfallskonstante, 5 zerhackter Gleichstrom, 484 zerlegbar, 210 Zerlegung der Eins, 303, 318 Zerlegungsregel der totalen Variation, 461 Zerlegungssatz lokaler, 287 Zickzack-Welle, 417, 484 Zielfunktion, 170 Zirkulation, 355 zugehörige homogene Gleichung, 14 zugehörige Injektion, 396 zugehörige Pfaffsche Form, 224 Zugkurve, 8 zurückführbar auf Quadraturen, 28 zurückgeholte Form, 274 Zurückholung, 247 Zurückziehung, 247 zusammenhängend einfach, 244 Zusammenziehung, 398 Zweiparametergruppe, 113 Zweipunktinterpolation, 391 zweite Greensche Formel, 322, 350 zweite Guldinsche Regel, 344 zweites Newtonsches Bewegungsgesetz, 247 Zwischenweg, 239 zyklische Anordnung, 211 zyklisches Polygon, 189 Zylinder, 396

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