Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale

D : \t — t0 | < a,

\x — ®0 | <

eventual a

unui

continuă.

b, M = m a x \ f ( t , x)

\

Atunci pentru orice e > 0 există o z-soluţie a sistemului (1) pe \t — t0\*C astfel ca cp(J0) = x0. Demonstraţie. Deoarece / e continuă pe mulţimea compactă D, ea este uniform continuă, deci pentru e > 0 există 8 ( e ) > 0 astfel ca \f(t, * ) - f ( h < e pentru (t, x) 6 D, (F, x) ţ 2>, |<-r|<8(e), | x— x | Considerăm o diviziune a intervalului [J0, t0 + a] cu ajutorul punctelor t0 < t} < t2 < . . .
| < min^S(e), B ^ - j .

Definim funcţia 9 pe [*0, t0 + a] prin relaţiile ?(to) = ?(*) = ?(h-i) + flh-if 9(<*-i)](< - h-1) pentru t k - i < t ^ C t k . Funcţia astfel definită este continuă, derivabilă în interiorul intervalelor (tk, tk+1). î n plus | 9 ( t ) — h) rezultă t — tk_x < 8(z) şi | 9 ( t ) — 9(^-1) l < S ( e ) deci di

= \flh-i,

-/[*,*(*)]

|<e,

deci 9 este e-soluţie. La fel se construieşte e-soluţia şi în intervalul [t—a, t0]* TEOREMA 0.3. FieD : \t — t0 | < a , \x — a?0 | 0, zn+1 < zn, lim en = 0 ; pentru fiecare eM există h-+ao

p e b a z a l e m e i 0.1 o e w -soluţie 9W definită pe \t — t0 | < a şi astfel ca 9»(*o) = = în plus |9 n (<) - ?„' (î) I < M \ t - t\. Eezultă că funcţiile 9 n sînt uniform mărginite şi egal continue p e I*— I < a? deci pe baza teoremei lui Arzelâ (Ascoli) există un subşir 9njfc

TEORIACALITATIVĂA

10

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

uniform convergent pe \ t — t0 | «< a către o funcţie 9. Această funcţie rezultă continuă şi în plus 19 (t) —
în punctele în care 9 n nu e derivabilă. Avem
(t) = x0

+

f

[/(*,

. <0

9n («)) +

An

(s)] ăs,

I A n (!) | <

£n .

Deoarece f[t, ynje (£)] converge uniform pe 1t — t0 | < a către j[tj
X

9(3)] ds

Deoarece / e continuă, rezultă că 9 e derivabilă pe \t — t0 | < a şi
înainte de a trece la teoremele de unicitate şi de dependenţă continuă -de condiţiile iniţiale, vom stabili cîteva leme cu interes în sine. LEMA 0.2. Fie 9 o funcţie reală definită pentru t0 t0 + a ; notăm h F i e 9 si

continue în [J0, t0 + a) şi cu

proprietăţile:

b) D_y{t) -+(«)>/[«, +(*)! <6 [«o, + «). Atunci q>(t) < <];($) pe , t0 + a). Demonstraţie. Considerăm mulţimea valorilor t din [t0J t0 + a) în «are cp(t) > > această mulţime nu conţine pe t0 conform ipotezei. Dacă nu e vidă, fie £ marginea ei inferioară. Avem 9(S) = MS) deci D _ 9 ( $ ) < / [ $ , 9 ( « ] = / [ * , - + ( 5). D e aici rezultă că există t < 5 astfel încît 9(t) -


<

<M«) -

W

3

11*

INTRODUCERE

«deci •deci ceea ce contrazice definiţia lui i; ca margine inferioară. Mulţimea considerată rezultă deci vidă şi lema e demonstrată. LEMA 0.3. Fie f continuă pentru | t — t0 | < a, | y — y0 | b. Fie M = max \f(t, y) |, a = min f a , — 1 , p < a. Atunci există o l M) soluţie y(t) a ecuaţiei y' = f{t, y) definită pe [t0, t0 + P] astfel ca y(t0) = i/0 cw proprietatea că dacă z{t) e soluţie a ecuaţiei cu z(t0) = y0 să rezulte kt) 0 astfel încît dacă 0 <; e < e0 ecuaţia y' = /(*» y) + * admite soluţii pe [*0, t0 + p]. Fie en > 0, e n + i < e n < £ 0 > lim s n = 0, yn un şir monoton descrescător tinzînd către y0. Dacă yn (t) n~+ao

sînt soluţii ale ecuaţiilor y' = f ( t , y) + e„ cu yn(t0) = yn, rezultă pe baza lemei 0.2 că z(t) < yn+1 (t) < yn (t) pe [t0, t0 + p]. Eezultă că pentru orice t £[f 0 , t0 + |3] avem lim yn(t) =

W-*ao

y(t),

•deci lim [/(*, yn(t)) + s j

=f(t,y(t)),

deci

Şirul yn(t) fiind monoton descrescător, funcţiile yn(t) rezultă uniform mărginite, iar şirul derivatelor yn(t) fiind uniform mărginit, funcţiile yn(t) rezultă egal continue. Dar atunci, pe baza teoremei lui Arzelă, şirul yn (t) rezultă unifom convergent pe [t0, t0 + p] şi y(t) rezultă soluţie a ecuaţiei y' = f(t, y). D e o a r e c e y n - ^ y 0 J rezultă y(t0)=y0. Fie z(t) o soluţie oarecare cu z(t0) = =y0. Avem pentru toţi w, pe baza lemei 0.2, z(t) oo se capătă z(t)-^Cy(t) pe t0 p] şi lema e demonstrată. LEMA 0.4. Fie f continuă pentru \t — t0 | < a , \y — y0 \^b,M = = max \f(t,y) |, a = min fa, — ) , p < a, y(t) soluţia a cărei existenţă este \ MI afirmată de lema 0.3, co(J) o funcţie derivabilăpe [t0,t0 + P] astfel ca co'(J) < 0, lim ert = 0, yn un şir tinzînd n-+<x>

monoton

descrescător *>'(t)
către y(t0).

«(<)]
Avem

co(<)]+e„

o>(to))


deci pe baza lemei 0.2, c*{t) < yn (t) pe [J0, t0 + p). D e aici pentru n -+oo rezultă co(J) < y(t) pe , t0 + P].

TEORIACALITATIVĂA

12

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

LEMA 0.5. E c u a ţ i a

y' = a(t)y + 6(<), unde a(t) si b{t) sînt continue pe

\t — t0 | a, are pe acest interval soluţiar rt afujdu f*

y(t) = yo+\

jg '

e

Hs)ds

X

si această soluţie este unica soluţie pentru care y(t0) = y0. Demonstraţie. Că y(t) e soluţie se verifică imediat prin derivare. Să arătăm că soluţia e unică. Fie y(t) o altă soluţie cu y(t0) = y0, z(t) = = ~y(t) — y(t). Eezultă z(t0) = 0 şi z'(t) = a(t)z(t),

deci z(t) = \ a(s)z(s) ds.

De aici, \z(t) |< M ( |2(s) | ds. Dacă există tx > t0 astfel încît ( \z(s) ]ds=0 y J*o .'o atunci z(s) = 0 pentru t0 < t < tx şi luăm pe tx în loc de t0. Presupunem deci că pentru t > t0 avem X V | z(s) | ds 4= 0. Fie t?m = f |s(s) |ds. A v e m ^ < Jf deciC ^ d ^ C ^ - T ) , deci _ 1 _ *(t) h m ln v(t) — In v(i) < M(t — 7) pentru t0 < T < t, deci In v (t) < In v (t) + + M ( t - 7). Dar pentru avem lni?(J)-> — oocăci v(t0) = 0. Inegalitatea este contradictorie, deci z(t) = 0. LEMA 0.6. Fie cp, X funcţii reale definite pe [a, 6] si continue, X Presupunem că pe [a, 6] are loc inegalitatea
<W0 +

J

*(«)?(«)d

Atunci
f' X(«)i!« 8 ds pe [a, 6].

Jo

Demonstraţie.

Fie R(t) = J X(s)
Avem

= X ( 0 ? ( 0 < X(0'W0 + x ( o \ ' *(«)
Considerăm ecuaţia z'(t) = X{t)z(t) +X(t)

W).

13*

INTRODUCERE

Această ecuaţie admite pe [a, b] soluţia unică f' X(«)du e

*(s)<\>(s)ds

«a


r« J«

+ ^

. a

x(*)?(*)d*


Avem, cu notaţiile de mai sus

d (•) — e

d s = — ^ (s) e

dS

[' X(«)d« = -(«) + <M«)e "

r ' X(«)d« r( E +\ e <|/'(«)d« =

S x,",d" '

(

la

.'a

f' X(«)du

+


C* X(M)dM = i>(a)e '

<],(«) +z(t)

y X(t*)dt*

t

'(«) d«. •a

CONSECINŢA 2. Daca ^ e constantă, ?(«)<++

din

(s)
rezultă y x(M)dM
a

§ 4. TEOREMA DE UNICITATE LEMA

0.7.

Fie

f

definită

C Jc(t)\x1 — x2\. Fie
Pi(t) -

?«(<) I < S e

în

D QRn+1

şi

\f(t,

xx) — f ( t , x2)

| <

z2 — soluţii ale ecuaţiei (1) ^pe (a, b) astfel 1
+

.

^ k(u)du .

.

+ e2)\\ \X

e

'

n (a, 6).

14

TEORIACALITATIVĂA

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Demonstraţie. Presupunem t0 < t < b; în intervalul [a, t0] demonstraţia se face la fel. Avem l<M*) — /[«> ?i(«)] l < £ i > l<M*)—/[*>

?1 «o) - ( /[*> ?l(*)]d* | <

—
.''o

I
Mo) -

[ /[«>
Eezultă l
?«(*) -

(
?«Wo))

[/(«> ? i ( « ) ) - / ( « >

?«(»M]d*|<

J*o

deci I <M0 -

I <

l
+ ^ !/(*>

.«O


fcW)

-

«o) +

-

<0) +

—/(«>?«(«))ld«

sau l
?.(<) I < l
k


(s)\ ?i(*)-

?a(*)|d*.

•Jto

Aplicăm lema 0.6 (consecinţa 1) luînd cp = | ( t ) — cp2(t) |r =

Obţinem

(£i

e2) (< -

*0) +

I
| 9 ^ ) — <pa(t) | < |


(t0) — <pa(t0) | e °

t.

s:

+ (ei + e 2 ) \ e

*(*)•

+

ds

Jto

şi lema e demonstrată. TEOREMA 0 . 2 . I M

Dacă - / ( « ,

I <

*(0

1^1

-

în D C Rn+1 şi
INTRODUCERE

ţiei pe un interval cît mai mare. Fie în (a, b). Atunci ?(*) = ?(«o)

15*

o soluţie a ecuaţiei (1) definită» /(«>

.<0

?(«))d«.

Dacă a < ^ <J 2 < & rezultă | cp(^) — cp(t2) | < \ |/(s, 9(s)) |ds < M(t2— tj,.

X deci lim cp(t) şi lim o

i<6

9 definită prin 9 (t) = 9 (tf) pentru t g (a, &), 9 (&) = 9 (& — 0) este o soluţiea sistemului în (a, &]; această soluţie poate fi prelungită pentru t > b* luînd ca punct iniţial pe b şi ca valoare iniţială pe 9(b — 0). Eezultă de aici că o soluţie poate fi prelungită atît timp cît nu părăseşte domeniul D. § 5. TEOREMELE DE CONTINUITATE Şl DE DERIVABILITATE I N RAPORT CU CONDIŢIILE INIŢIALE

î n cele ce urmează vom nota cu x(t; t0J xQ) soluţia sistemului (1> care pentru t = tQ ia valoarea xQ. TEOREMA 0 . 3 . Dacă

\f(t,

xx) — f(t,

atunci din xn-+x0 rezultă x(t; t0J xn)-+x(t; Demonstraţie. Avem X

n)

=

®n +

\ \

/[*,

x2)

| < Tc(t) | xx — x2 | în

Dy

t0J x0).

®(*î

rt

x(t; t0, x0) = x0 + \ /[*, Eezultă, pentru J > I oc(t] t0,

oc{s-, t0,

â?0)]ds.

t0,

xn) — x(t; t0, x0) | <

—/[«, x(8 ; «o, ^0)] I d« < | Xn -

+ ^/o I /[*,

x0 I + ţ K(*) . t0

;

J—

, xn) - x(s; t0rx0) | d ^

Aplicînd lema 0.6 (consecinţa 2) rezultă I

; to> Xn) — X(t ;

J Xo) \ < \ x n —

e

°

şi teorema e demonstrată. Observaţie. Din demonstraţie rezultă că are loc convergenţa uniformă în raport cu t pe orice interval (a, b) pe care soluţiile sînt definite.

TEORIACALITATIVĂA

16

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Să presupunem acum că f(t, x) este diferenţiabilă în D, pentru I. Aceasta înseamnă că pentru orice x0£D,t£l are loc relaţia f(h x ) —/(<> ^o) = /*(«, xo) ( x — xo) + o( \x - x0 |). Să considerăm acum o soluţie x(t; t0, situată în D pentru t ţ l . TEOREMA 0.4. Dacă f este diferenţiabilă în D pentru t ţ l şi x(t; t0J x0) estepentru t ţ i situată în D, atunci x(t; t0J x0) este diferenţiabilă în raport cu x0 si ternului

^o) dx0

esţe

Q maţrice

fundamentală

de soluţii a sis-

liniar dy

df(t,

=

x(t]t0Jx0))

dt

da?

numit sistemul în variaţii corespunzător soluţiei x(t; #0). Demonstraţie. Fie astfel ca soluţia a^) să se afle pentru t g I în D. Fie Y (t, J0) o matrice fundamentală a sistemului în variaţii, cu alte cuvinte o matrice ale cărei coloane sînt soluţii ale sistemului în variaţii astfel ca Y(t0, t0) = E, E fiind matricea unitate. Atunci, evident, J0) (xx — x0) va fi o soluţie a sistemului în variaţii care pentru t = t0 coincide cu xx — x0. Avem relaţiile x(t; J0, x0) =

/[*,

x(t; <0, «i) = xx + C f[St

X

Y(t, t0) (xt

x0) = x, -

+ £

df[S

>

x

(s;

X(S.

^

t0, # 0 ) ] d s , t0, a^)] ds,

r ( t j

fo)

Eezultă de aici x(t;

-

t 0 , â?0) -

= [ \f[s,

Y(t, t0)(x1 - x0) =

^i)] —/[*>

®o)] -

./o I

9 a?

Ţinînd seama de ipoteza asupra diferenţiabilităţii funcţiei / x(t; t0, «o, a?0) — Y(J, tQ)(xx — x0) = = ^

;

9 xo)1 l> (s ; t0, + [ o(|a?(«; t0, •io

—

; —

deducem

, a?0) — T (s, t0) (xx — x0)] ds + t0J a? 0 )|)ds.

INTRODUCERE

17*

Pe baza relaţiei din teorema 0.3 rezultă y &(«)<]«

I

x

î

> i) —

;

®o) I < e

0

\001 — x 0 \

deci o(|#($; pentru t fixat. Prin urmare

xj-xis-,

—®(<î

< ( | x(s ; a?x) - x(s ; J0, \ deci, pe baza lemei 0.6,

t0, #<>) I) =

®o) - m

l^i -

I)

^oX^i — ^o) I <

- Y(s ; *0)

— x0) | ăs

+o(x1-x0)

I h, — ^0) t0)(a?1 — x0) I = o( \xx — xQ I) şi teorema este demonstrată. Se demonstrează o teoremă analogă cu privire la derivabilitatea în raport cu tQ şi în general în raport cu parametrii. C O M E N T A R I I BIBLIOGRAFICE

Pentru teoria generală a ecuaţiilor diferenţiale pot fi consultate, în traducere în limba romînă [1], [2]. De asemenea, teoria generală a ecuaţiilor diferenţiale este expusă într-o formă asemănătoare cu cea de aici în monografiile [3], [4], [5], [6]. Noţiunile relative la inegalităţile diferenţiale sînt date în [7].

CAPITOLUL I

TEORIA STABILITĂŢII DUPĂ LIAPUNOV

Teorema generală 0.3 asupra dependenţei continue în raport cu condiţiile iniţiale arată că problema determinării soluţiei prin condiţii iniţiale este corect pusă, are un sens fizic. într-adevăr, practic, condiţiile iniţiale se determină prin măsurători şi orice măsurătoare nu poate fi decît aproximativă. Continuitatea în raport cu condiţiile iniţiale exprimă tocmai faptul că aceste erori de măsurătoare nu se răsfrîng prea grav asupra soluţiei, iar lema 0.7 arată că ele nu se răsfrîng prea grav nici asupra soluţiilor aproximative, cu alte cuvinte, dacă se dă o eroare e admisă pentru soluţie, există S > 0 astfel încît dacă eroarea la stabilirea condiţiilor iniţiale este mai mică decît S sîntem siguri că eroarea în orice — — soluţie construită cu aceste condiţii iniţiale este mai mică decît e. Trebuie însă subliniat că această proprietate este stabilită pe un interval finit (a, b) de variaţie aluitf; S depinde de mărimea acestui interval şi scade cînd mărimea intervalului creşte. Eezultă că o soluţie va avea în realitate caracter fizic numai dacă pentru intervale de mărime destul de mare, 8 este destul de mare, de ordinul erorilor de măsurătoare. Un mod de a realiza aceasta constă în a cere ca S să nu depindă de mărimea intervalului considerat. Ajungem astfel la noţiunea de stabilitate în sensul lui Liapunov. Un alt mod de a ajunge la această noţiune este următorul. Considerăm o soluţie a sistemului care descrie desfăşurarea unui anumit fenomen. Să presupunem că în desfăşurarea fenomenului au intervenit perturbaţii de scurtă durată care nu pot fi cunoscute exact şi deci nu pot fi luate în seamă în studiul matematic al fenomenului. După ce aceste perturbaţii şi-au încetat acţiunea, fenomenul va fi descris de acelaşi sistem de ecuaţii diferenţiale ca şi înainte de apariţia lor. Ce s-a petrecut însă ? Sub influenţa perturbaţilor, fenomenul a fost modificat, deci valoarea corespunzătoare momentului cînd perturbaţiile îşi încetează acţiunea va fi alta decît aceea

20

TEORIACALITATIVĂA

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

dată de soluţia considerată la început. Rezultă că după încetarea acţiunii perturbaţiilor fenomenul va fi descris de altă soluţie decît cea cu care am plecat. Cu alte cuvinte efectul unor perturbaţii de durată scurtă constă în trecerea de la o soluţie cu anumite condiţii iniţiale la o soluţie cu alte condiţii iniţiale, drept moment iniţial fiind considerat momentul cînd perturbaţiile îşi încetează acţiunea. Cum în orice model matematic al fenomenelor naturale se neglijează asemenea perturbaţii, pentru ca fenomenul să fie corect descris şi soluţia matematică să aibă sens fizic este necesar ca modificări mici ale condiţiilor iniţiale să nu aibă efecte prea mari asupra soluţiei. Această condiţie este întotdeauna asigurată pe un interval dat (a, b) de teorema de continuitate în raport cu condiţiile iniţiale. Aceleaşi raţionamente ca mai înainte ne fac să considerăm necesară independenţa lui 8 de mărimea intervalului şi ne conduc astfel la noţiunea de stabilitate a soluţiei. § 1. TEOREME ASUPRA STABILITĂŢII Şl STABILITĂŢII UNIFORME

Să trecem acum la definiţia precisă a stabilităţii. Considerăm sistemul 17 dt

*)

(1)

şi fie x (t) o soluţie a sistemului definită pentru t >-10. DEFINIŢIE. Vom spune că soluţia x(t) este stabilă dacă pentru orice e > 0 există 8(e; t0) astfel încît dacă | x0 — x(t0) | < 8 să rezulte I j toi x0) — x(t) | < e pentru t > t0. Există împrejurări în care nu toate soluţiile unui sistem de ecuaţii diferenţiale au semnificaţie fizică. Este evident că în asemenea împrejurări nu ne interesează ca toate soluţiile cu condiţii iniţiale apropiate de cele ale soluţiei x(t) să rămînă în vecinătatea acestei soluţii; este suficient ca această proprietate să aibă loc numai pentru soluţiile care au sens fizic. Ajungem astfel la următoarea precizare a noţiunii de stabilitate. DEFINIŢIE. Vom spune că soluţia x(t) este stabilă relativ la o mulţime M de soluţii dacă pentru orice z > 0 există 8(e; t0) astfel încît dacă i xQ — x(t0) | < 8 şi soluţia x(t-, t0, x0) aparţine mulţimii M să rezulte | x(t; t0, xQ) — x(t) | < z pentru t > . Dacă x(t) este soluţia a cărei stabilitate o studiem (subliniem cu acest prilej faptul că întotdeauna este vorba despre stabilitatea unei anumite soluţii, pe care o presupunem cunoscută), prin schimbarea de variabile y — x — x(t) putem reduce întotdeauna problema la studiul stabilităţii soluţiei y = 0. într-adevăr, obţinem *>-/(*»£(*>>=/(«» dtf

dtf

y+xW)-f(t,x(t))=F(t,y)

dtf

di/ şi noul sistem — = F(t, y) admite soluţia y = 0 corespunzătoare soluţiei dJ

TEORIA

STABILITĂŢII

21,

x = x(t). Condiţia | x(tQ) — xQ | < 8 revine la | y0 | < 8 iar \x(t; t0 , x0) — — x(t) \< z revine la \y(t, t0, y0) \ < e. Liapunov a numit sistemul obţinut pe această cale sistemul de ecuaţii al mişcării perturbate; sensul acestei denumiri stă în faptul că noile necunoscute y reprezintă de fapt perturbaţiile suferite de mişcarea x(t). Prin trecerea la sistemul de ecuaţii al mişcării perturbate se poate spune că stabilitatea mişcării se reduce la studiul stabilităţii echilibrului. î n tot ceea ce urmează vom considera numai problema stabilităţii soluţiei banale x = 0. TEOREMA 1.1. Presupunem că există o funcţie V(t, x), definită pentru t > 0, \x | < S0, continuă si cu proprietăţile : a) V(t, 0) = 0 ; b) V(t, x)^>a(\x |), unde a(r) este continuă, monoton crescătoare şi a (0) = 0; c) V*(t) = V(t, x(t)) este monoton descrescătoare oricare ar fi soluţia x(t) a sistemului (1) cu | x(t0) |< 80; Atunci soluţia x = 0 a sistemului este stabilă. Demonstraţie. Fie„ §0 > s > 0 dat şi S(s; t0) astfel ales încît | x0 |< < S să implice V(tQ , x0) < a(s); asemenea alegere este posibilă deoarece V(t0, 0) = 0 şi V(t0, x) e continuă. Fie x0 cu \xQ | < S; considerăm soluţia x(t; t0, x0). Funcţia V*(t) = V(t, x (t-, t0, # 0 )) este prin ipoteză monoton descrescătoare, deci V*(t) < V(t0) = V(t0, x(t0; x0)) = V(t0, x0). Rezultă a(\x(t-, t0, x0) \) t0, deci soluţia rămîne în domeniul | x j <; S0, unde V e definită; teorema e demonstrată. Observaţii. 1) Dacă V este diferenţiabilă, funcţia V*(t) este derivabilă şi avem

deoarece x este soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale. Funcţia „ - « Ş t i ! + dt \

dx

/„,*,) ]

se numeşte derivata funcţiei V în virtutea sistemului. Condiţia c) din teoremă este evident satisfăcută dacă V este diferenţiabilă şi W(t, x) < 0. 2) Stabilitatea soluţiei banale implică evident'prelungibilitatea pentru orice t > a soluţiilor cu condiţii iniţiale într-o vecinătate a lui x = 0, deoarece faptul că | x(t; t0, x0) | < s asigură posibilitatea prelungirii, soluţia nepărăsind domeniul relativ la care sînt îndeplinite condiţiile teoremei de existenţă.

TEORIA CALITATIVA A ECUAŢIILOR

22

DIFERENŢIALE

3) Să analizăm modul în care se comportă teorema dacă vrem să obţinem numai stabilitatea relativ la o mulţime M de soluţii. Este suficient să cerem ca V(t, x(t)) > a( |x(t) |) şi V(t, x(t)) monoton descrescătoare numai pentru soluţiile x(t) aparţinînd mulţimii M de soluţii; de asemenea putem presupune că funcţia V(t, x) e definită numai în punctele (<, x) de pe graficele soluţiilor din M şi e continuă numai în aceste puncte. Teorema se va formula în felul următor : Presupunem că există o funcţie V(t, x), definită şi continuă pe intersecţia dintre domeniul (t >- 0, \x | S0) şi reuniunea graficelor soluţiilor din M, cu proprietăţile V(t, 0) = 0, V(t, x(t)) > a( \ x (t) |), V(t, x(t)) monoton descrescătoare pentru orice soluţie x(t) din M. Atunci soluţia banală a sistemului e stabilă relativ la M. Noţiunea de stabilitate definită mai sus are dezavantajul că este direct legată de momentul iniţial t0 ; valoarea 8 a abaterilor iniţiale admise depinde nu numai de abaterea admisă pentru soluţie, ci şi de' momentul iniţial. Or, dacă ne întoarcem la problema perturbaţiilor cu acţiune de scurtă durată, este clar că asemenea perturbaţii pot apărea în diferite momente ale desfăşurării fenomenului şi tocmai aceste momente (mai exact, momentele cînd acţiunea perturbatoare încetează) sînt considerate drept momente iniţiale. Pentru ca noţiunea de stabilitate introdusă să aibă valoare fizică este deci de dorit ca perturbaţiile iniţiale admise care nu au efect dăunător să nu depindă de momentul iniţial. Ajungem astfel la noţiunea de stabilitate uniformă. DiiFiNiŢiE. Soluţia banală x~0 se numeşte uniform stabilă dacă pentru orice e > 0 există 8(e) > 0 astfel încît dacă | x0 | < 8 să rezulte | x(t; t0, x0) | < s pentru t 10, oricare ar fi t0. Se vede că deosebirea faţă de cazul considerat anterior constă în independenţa lui 8(s) d t0. TEOREMA 1 . 1 ' . Presupunem că există o funcţie V(t, x) definită şi continuă pentru t > 0, | x | < 80, cu proprietăţile : a) V(t, 0) = 0. b) a(\ x |) < V(t, x) < b( \x |), a(r) şi b(r) fiind continue, monoton crescătoare şi a(0) = 6(0) = 0. c) V*(t) = V(t, x(t)) este monoton descrescătoare pentru orice soluţie gc(t) a sistemului cu | x(t) | S0. Atunci soluţia x — 0 este uniform stabilă. Enunţul corespunzător pentru stabilitatea uniformă relativă la o mulţime M de soluţii este imediat. ' Demonstraţie. Fie 0 < s < S0 şi S = [a(s)]; fie x0 cu \x0 | < S. Considerăm soluţia x(t; t0, x0). Funcţia V*(t) = V[t, x(t; t0, a?0)] este monoton descrescătoare, deci V*(t) < V*(to) = V[t0,

x(t0; t0, x0)] = V(t0, x0)
Eezultă deci

a(\x(f, | x(t;

t0,

=

a(e).

x0) |)
t0, x0) | < e pentru

< a(e) t>t0.

< b(8) =

TEORIA STABILITĂŢII

23,

T e o r e m a 1 . 2 . Dacă soluţia banală a sistemului este uniform stabilă, există o funcţie V(t, x) cu proprietăţile din teorema precedentă. Demonstraţie. Punem V(t, x) = sup | + ; t, x) |. Funcţia V(t, a?)

e

definită pentru £ > 0, | x | < S0 = sup S(e). Din

| x(t + a; t, x) | < e( \x |), unde s(S) este funcţia inversă a funcţiei S(s) (care poate fi aleasă continuă şi monoton crescătoare), rezultă V(t, |). Mai departe, sup [x(t + G; tj x) I > ; t, x) | = | a? |, 0

deci î n sfîrşit, fie F*(J) =

a? («; t0, x0)] = sup

+
x0)) | =

= sup I x ( t + a ; t0, x0) |. 0

Fie ^ > t2J d = tx —

Avem

F*(*x) = sup | x(tx + a ; t0, x0) | = sup | x (t2 + d + a ; t0, x0) | = = sup I x(t2 + a ; t0, x0) | < sup | x{t2 + a ; t0, x0) | =

V*(t2)

deci F*(£) este monoton descrescătoare. Teorema e demonstrată. Să considerăm acum un sistem de forma at

=

y),

^=Y(t,x,y), dt

(2)

unde X şi Y sînt definite pentru t > , |x y arbitrar (x, y vectori), 0, 0) = 0, Y(t, 0, 0) = 0. Definiţie. Soluţia x = 0, y = 0 a sistemului se numeşte stabilă în raport cu componentele x dacă pentru orice s > 0 există $ > 0 (depinzînd de z şi iar m cazwZ stabilităţii uniforme numai de e) astf/eZ ca, daoa | I + + I Vo I < 8 sa rezulte | x(t; ^, , t/0) | < s pentru t > T e o r e m a 1 . 1 " . Presupunem că există o funcţie V(t, a?, t / ) definită pentru t°^>t0, | x | <; H, y arbitrar, cw proprietăţile : 1°, F(£, 0, 0) = 0, V{tj x, 2/) continuă pentru x = 0, y = 0; 2°. F(£, i/) > a(| a? | ) cu a(r) continuă, monoton crescătoare, a(0) = 0 ; 3°. J W J ^ monoton descrescătoare pentru orice soluţie x(t), y(t) a sistemului cu | x(t) | E. Atunci soluţia banală a sistemului (2) este stabilă în raport cu componentele x. Dacă în plus V(t, x, y) <; b( \x | + \y |), unde b(r) e ca în teorema 1.1', atunci stabilitatea e uniformă. Demonstraţie. Fie s > 0, $ > 0 ales astfel ca V{t0, x0, y0) < a(e) dacă | x0 | + | y0 | < $ ; dacă V(t, x} y) *Cb(\x | + | y |) se ia 8 = b~x [a(e)].

TEORIACALITATIVĂA

24

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

Considerăm soluţia x(t; t0, x0, y(t; şi funcţia = x x = "PP* ; o> Voh V(t j o> 2/o)l c a r e e s t e P r i n ipoteză monoton descrescătoare. Rezultă deci |

a ( N < ; «o, y 0 ) I) < ^ (*) < V*M ; , , y0) | < s pentru t >

=

2/0) <

TEOREMA 1 . 2 ' . Dacă soluţia x = 0 , y = 0 a sistemului ( 2 ) este uniform stabilă în raport cu componentele x, există o funcţie V(t, a?, t/) cw Joate proprietăţile din teorema precedentă. Demonstraţie. Luăm F(£, a?, y) = sup | a? + a ; a?, y) E v i d e n t , x

> y) <

e

x

(l ® I + I y I ) şi

v*(t) = y\*j = sup |o(t + a ; t, x(t;

> y) > I

x

o, yQ)>

*o>

> avem = sup

2/0)] =

+ a;

x

o> Vo) | < sup |

Vo)) I = y0) t/0) | =

= sup I x(t2 + d + G-, t0,
I- Mai departe,

t0, x09 y0), y(t;

= sup \x(t + a ; «o, Fie ^ > t2, d = tx —

x

2/0) I =

+ <7 ; t0, x0,

t/0) | =

V*(t2)r

deci V*(t) este monoton descrescătoare. Să punem în evidenţă cîteva particularităţi ale sistemelor periodice în raport cu t. Fie deci în sistemul (l)f(t + o , x)=f(t, x). Atunci o dată cu x{t; t0, x0) este soluţie şi x(t + g> ; t0, x0). D e aici, dacă sistemul (1) îndeplineşte condiţiile teoremei de unicitate rezultă x(t + 0 Fie 8 = inf 80 (t0); 80 > 0 căci 80 (t0) poate fi aleasă continuă. Pentru 0 < 8 < 80 definim s(S) = sup | x(t0 + a ; t0,

x0) | .

Funcţia &( 8) este monoton crescătoare ; fie 8 (e) inversa ei. Pentru | xQ j < 8(e) rezultă | x(t; t0, x0) | < e pentru orice 0 < t0 < co.

TEORIA

25,

STABILITĂŢII

Pentru t0 > 0 arbitrar, avem fcw < t0 < {Jc + 1)g>, deci 0 < — Tc o < o) şi | x(t; t0J x0) | = | x(t — fco, t0 — fco, x0) | < e(S) | x0 | < S, deci | x(t; t0, x0) | < e dacă | x0 | < $(s). PROPOZIŢIA 2. Daca /(* + co, a?) = f(t, x), funcţia V(t, a?) & rema 1.2' este periodică de perioadă g>. Demonstraţie. A v e m + g>, a?) = sup | x(t + + ;t + 0

= sup |

+ a ; t, a?) I =

t0 — dacă, teo| =

a?).

U n caz particular de sisteme periodice îl constituie sistemele în care / nu depinde de t. Eezultă că pentru asemenea sisteme stabilitatea este întotdeauna uniformă şi funcţia V poate fi aleasă independentă de t. D E F I N I Ţ I E . Soluţia x(t) a sistemului ( 1 ) se numeşte nestabilă dacă nu este stabilă. Să formulăm acum o teoremă care permite să se recunoască nestabilitatea soluţiei banale x = 0. TEOREMA 1 . 3 . Dacă există o funcţie V(t, x) cu proprietăţile 1° | V(t, x) | < b( \x |), unde b(r) este monoton crescătoare şi continuă 2° Pentru orice $ > 0 si orice t0 > 0 există x0 cu | x0 | < 8 astfel ca V(t0, x0) < 0 ; + 1 —-—-— fe, x(t + 1 ——-—Ti, t, x)) - V(t, x) < , — c( | x |), unde 00 vlim sup V{t 3° —-— ——-

Jl c(r) este monoton crescătoare şi continuă, c(0) = 0, atunci soluţia x = 0 a sistemului (1) este nestabilă. Demonstraţie. Să presupunem că soluţia este stabilă. Atunci pentru orice s > 0 şi t0 > 0 există 8(s, t0) > 0 astfel ca | x0 | < 8 să implice | x (tt0J xQ) | < e pentru t0. Alegem pe x0 astfel ca \x0 | < 8 şi V{t0, x0)< < 0 . Din | x0 | < 8 rezultă | x(tţ t0,x0) | < e, deci | V ( t , x(t; t0, x0)) |< < b (| x (t; t0J xQ) I) < b (e), pentru orice t > t0. Din condiţia 3° rezultă în particular că V (t, x(t] t0J # 0 )) este monoton descrescătoare, deci pentru orice t > J 0 rezultă V{t, x(t; t0, #0)) < F ( J 0 , x0)<0, deci | V(t, x(t; t0, x0) | > > 1 V(t0, x0)\, deci b (\x(t; t0, x0)\)>\ V(t0, x0) | deci | x(t; t0, x0) | > > 6 " 1 ( | V(to, ®o)\)- D i l 1 condiţia 3° rezultă lim sup

y

t* +

+ ^

'<» *o)) h

F«,

* 0 , *o))

^

deci V{t,x(ti

t0, x0)) < V(t0, x0)

c( |x(u; t0, x0) |) du.

Din I x(t; t0, x0)\

rezultă c

deci

( \x(t}

(\V(t0,

to, ®o) \)>c[b~1(\V(to,

V(t, x(ti t0, a?0)) < V(t0, x0) -

(t - *0) c

x0) |) *o)l)] |F(* 0 , x0)

|)].

TEORIACALITATIVĂA

26

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

Dar aceasta înseamnă că lim V(t, x(t; t0, #0)) = — oo, t-+ao

ceea ce contrazice faptul că | V{t, x(t) t0, #0)) | < b(e). Observaţie. Analizînd demonstraţia se vede că existenţa unei funcţii V cu proprietăţile din enunţ implică o nestabilitate foarte puternică : pentru orice s > 0, orice t0 > 0 şi orice 8 > 0 există x0 cu \x0 | < 8 şi T > t0 astfel ca \x (T; t0, x0) j > e. § 2. STABILITATEA ASIMPTOTICĂ

De multe ori nu este suficient faptul că perturbaţiile cu acţiune de scurtă durată nu duc la perturbaţii mari ale soluţiei ci natura problemei cere ca efectul acestor perturbaţii să se amortizeze, să dispară după un interval destul de mare de variaţie a lui t. Astfel se ajunge la noţiunea de stabilitate asimptotică pe care o v o m defini în cele ce urmează. D E F I N I Ţ I E . Soluţia x = 0 se numeşte asimpt tic stabilă dacă e stabilă şi în plus există 80 (t0)> 0 cu proprietatea că dacă \x0 \ < 8 0 avem lim | x(t; toy x0) | = 0. t-+ao

Soluţia x = 0 se numeşte uniform asimptotic stabilă dacă există 80 > > 0 şi funcţiile 8(e) şi T(z) cu proprietatea că \x0 | < 8 implică \ x(t; tQ, x0) | < < e pentru t^>t0 iar \x0 | < 80. t^>t0 +jF(e) implică \x(t] t0, x0)\< e. Stabilitatea asimptotică uniformă revine la stabilitatea uniformă şi la lim x(t; t0, x0) = 0 uniform în raport cu t0 şi x0 (t0 > 0, | x0 | < 80). t

oo

PROPOZIŢIE.

Dacă

\f(t, xx) —f(t,

x2) ] < Tc(t) | x1 — x21 în t >

0,

| x

şi V Tc(s)ăs = O (t — t 0 ), atunci existenţa funcţiei T(z) este suficiX entă pentru stabilitatea asimptotică uniformă. într-adevăr, fie £ > 0, T(£) valoarea corespunzătoare; alegem pe 8(e) astfel încît \x0 | < 8 să implice \ x(t; t0, x0) \ < z pentru t0 < t < t0 + + T. Asemenea alegere este posibilă pe baza lemei 0.7 luînd = = x(t; t0, x0), 9 2 = 0 , £i = £ 2 = 0 . Obţinem Vo+T \ k(u)du

W;

t0j

®o)\

<

8©

0

şi deci Ct0+T(e)

\

8 <

£e

k(w)dw ;

ţinînd seama de proprietatea impusă lui 1c(u) rezultă că 8 depinde numai de £•

TEORIA

STABILITĂŢII

27,

Presupunem că există o funcţie continuă şi cu proprietăţile :

TEOREMA 1 . 4 .

^ > t0,

| ®|
V(t, x) definită

pentru

a) V(t, 0) = 0 ; b) V(t, x) >- a (\x |), a(0) = 0 , a(r) continuă şi monoton lim sup 7

c)

+

^

+

h ;

;

~

crescătoare; <

< - C [V(t, x(t; t09 a?0))], imâe c(r) este continuă şi monoton crescătoare, c (0) = 0. Atunci soluţia x = 0 este asimptotic stabilă. Demonstraţie. P e baza teoremei 1.1. soluţia este stabilă. Din ipoteză yp, ; # 0 )] rezultă monoton descrescătoare, deci există y 0 = lim y p ,

a?0)].

oo

Dacă y 0 ^ 0, avem c(y o ) c[V(t,

x(ti

0 şi cum c(r) e monotonă, t0, x0))] >

e(V0),


a?(t; «o, x0))] < -

c(V0)

deci lim

F s n p

^ +

x{t

+

7l;

~

^

^ ^

îl

). ^

o

Integrînd rezultă y p , x{f, t0, x0)] - V(t0, x0) < - c(V0) (t - t0) •deci V[tj x(t; t0, # 0 )] tinde către — oo cînd t oo, ceea ce contrazice faptul că y p , a?[<; x0)]^a(\x(t] t0, a?0)|). Eezultă y o = 0 şi din y p, x(t; rezultă a( \x(t; deci | x(t; t0, | 0 cînd 2 oo şi teorema e demonstrată. Observaţii. 1) Considerăm sistemul ^ = X(t, x, y), ^ = r(«, dt ăt

|)

0

2/), X ( t , 0, 0) = 0, Y (t, 0, 0) = 0 .

Presupunem că există V{t, x, y) continuă şi cu y(2, a?, y) > a( | a? |), y ( h 0, 0) = 0 , llTn

gup

Vjt+h, *(t+h; *o,

*/o),

< - c[V(f.

; *0, *0, j/o)] - V[*, *(*; t0, *0, y0), y(t; t0, *0, */0)] ^ ; *0, x 0 , j/0), i/(* ; *0, s 0 , i/ 0 ))].

TEORIACALITATIVĂA

28

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Atunci soluţia x = 0, y = 0 este asimptotic stabilă în raport cu componentele x. într-adevăr, demonstraţia decurge ca mai sus şi se deduce lim 7 p , x(t; tQ, x0, y 0 ), y(t; t09 x0, y0)] = 0 QO

şi deci lim «(!«(<; <0, a?0, y 0 ) | ) = 0

£->oo

deci lim |

;

t-+ao

a?0, y 0 ) | = 0 .

2) Se vede de asemenea uşor că atît definiţia stabilităţii asimptotice cît şi întreaga teoremă se pot relativiza la o mulţime M de soluţii. TEOREMA 1 . 5 . Presupunem că există o funcţie V (t, x) cu proprietăţile : a(\x\)^V(t, x)
Um

h-+ 0+

x0)]

^

h

Atunci soluţia banală a sistemului este uniform asimptotic stabilă~ Demonstraţie. Fie s > 0, 8 (e) < b 'x[a (e)]; dacă \x | < 8 (e) rezultă « (\x {ti t0,x0) |)< V [t, ff (t} t0, x0)] < V (t0, x0) < < b(\x0\) < b(8) < a (e) deci \x (t i t0, x0) | < s pentru t > t0. Fie \x | < H domeniul în care sînt îndeplinite condiţiile din enunţ, 80 = 8 (H),

T(z)

= — F i e \x0\ < 80. Să presupunem c [8 (e)] [t0, t0 -f T ] am avea |x (ti t0, x0) | > 8 (e). Atunci x(t+h lim s u p 7 > **> x o ) ] "" h-+ 0+ h pentru J £ J0 + 21] Şi integrînd V[t, ; <0, ®o] < -

m

x

x(ti t0, o)]
®o] -C[»(c)] se capătă

<

(* c

(<-<0)<6(»o)-^( )]

că

pe

c[8(s)]

U («-«o)-

; <0, ®o)] < b (*o) - c[»(e)]T = 0,

ceea ce este contradictoriu. Rezultă că există tx € h + astfel ca, I X(h ; Vo) I < 8 (€)deci \x(t; ®o) I < s P e n t ™ t > tl9 deci în orice caz, pentru t>t0+T(e). Observaţii. 1) Dacă lim a(r) = lim 6(r),

TEORIA

STABILITĂŢII 29,

atunci lim 8 (s) = oo e->oo

şi dacă proprietăţile din enunţ au loc pentru toţi x rezultă şi 80 = oo.. î n acest caz spunem că avem de-a face cu stabilitatea în mare. 2) Ca mai sus se vede că dacă sîntem în situaţia din observaţia 1) de la teorema precedentă şi funcţia V(t, x, y) verifică condiţiile M + M), u

m gup

yy +

x

h

(t+ ;

*o> *o> g0), */('+*;

+

*o, y0 )]-v[<, *(t;

y0), y(t; <0 *0, y0)i

/l

<

-

c (\x(t]

t0,

y0)

^ | +|y(<;<0>®0>

Sfo) I)»

atunci are loc stabilitatea uniformă în raport cu componentele x. într-adevăr, ca în demonstraţia teoremei se arată că există tx g [t0, t0 + T ] astfel încît I® (h ; hi xoi Vo) I + I y (h ; 2/o) I < * (e) şi apoi totul rezultă din proprietatea lui 8 (e). 3) î n problemele practice este de mare importanţă evaluarea numerelor 8 (e), 8 0 , T (e). Să observăm că din demonstraţia teoremei rezultă că dacă avem la îndemînă funcţia V (t, x) şi funcţiile a (r), b (r), c (r), putem lua 8 (e) = 6" 1 [a (e)], 80 = 8 (H) (şi cînd F e definită pentru orice 8 0 = lim 8 ( £ ) = 6 " i [ a ( o o ) ] ) , E-F<*>

T (e) =

& [

f°] •

c L6(E)J

Să facem acum cîteva observaţii în legătură cu stabilitatea asimptotică uniformă. 1° î n definiţia stabilităţii asimptotice uniforme intervin funcţiile $ (e) şi T (e). Să arătăm că aceste funcţii pot fi alese continue şi monotone. Demonstraţie. Fie e n un şir pozitiv, monoton, tinzînd la zero, \ (e) = sup 8 (e n+i) pentru s w +i ^ s < s » i I xo I < (s) implică 8

I ihi xo) I < s n+i < e pentru t > t0. Definim pe 8* (e) liniară în [e n + i, e n ] Şi 8* ( e . + i ) = «i (s n + 2 ), 8* ( e j = 8, (zn+1). Cum 8, (zn+1) < 81 ( e J (căci 8X (e n ) a fost definită ca margine superioară a mulţimii numerelor S cu proprietatea că \x0\ < 8 implică \x(t]t0J xQ) | < e j şi în plus ( s n) 0 cînd w - • o o , rezultă că 8i (e n + i) = 81 (zn) numai pe porţiuni finite ale şirului, pe care le putem suprima, astfel încît 81 ( e j şi deci 8*(e) să fie strict monoton crescătoare. Funcţia 8*(e) v a fi continuă, strict crescătoare, 8*(0) = 0 şi |a?0| < 8*(e) implică \x0 | < 8*(zn) = 81(zn+1) (e w + i < £ < £ „ ) deci | x (t-, hi xo) I < sn+1 ^ zi deci 8*(e) are toate proprietăţile cerute. Analog, fie Tx (e) = infT T (zn+1) pentru £ n + 1 < £ < £ „ ; \x0 | < 80 şi t > t0 + T1 (e) implică \x (£; t0, x0) | < £ n + 1 < e. Definim pe T*(e) liniară în [> n + 1 , £w] şi T* (zn+1) = Tl (S|l+2), T* ( e j = Tx (zn+1). Cum ( e n4i) (sn) ( c ăci T1 (en) a fost definită ca margine inferioară a numerelor T cu proprietatea că t > t0 + T implică \x (t\ t0, x0) | < £n, şi

TEORIA CALITATIVĂ A

30

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

( e n+i) a r e această proprietate) şi lim T1 (tn) = oo, egalitatea jf 7 1 (e n + 1 )= = Tx (en) poate avea loc numai pe porţiuni finite ale şirului pe care le putea, suprima. Funcţia T*(e) e monoton descrescătoare, continuă, lim T* (e) = oo şi t > t0 + T* (e) implică t > t0 + T* ( £ J = t0 + T± (zn+1) deci I x (t; t0, x0) | < e n + 1 < e, dacă e n + 1 < e < ew. 2° Fie e (S) inversa funcţiei 8 (e) şi v) (T) inversa funcţiei T (?]); avem \x (t;t0, x0)\ < e ( | x0 |) pentru t > t0, \x (t; t0, x0) | < 7) (t — J0) pentru t^>t0, \x0 | < 85. De aici rezultă |a? (J; t0, x0) |2 < e (\x0 |) 7) (t—10} pentru \x0 | < $ 0 , t > Prin urmare stabilitatea asimptotică uniformă este echivalentă cu existenta a două funcţii x şi ^ prima monoton crescătoare, a doua monoton descrescătoare, astfel încît Ix(t',to, ®o)\ < x ( l * o l ) < K * - *<>)• 3° Dacă x ( r ) liniară şi |f (t, x)\ < i ( r ) \x\ pentru \x\ 0, şi B > 0 astfel ca I * ( « ; *o, ®0)l < ^ e " a ( < - < o ) | ^ o l . Construim o funcţie Liapunov cu formula [ t+ T

V(t,

x)=\ .e

#)l2

|®(t;

dT.

Avem I*(«; «o, ®o)l < * l *ol <M<>), deci | 0? (T ; J, A?) | < fc (0)| x | pentru T !> t, deci ^ H 2 ( 0 ) | # | 2 d x = Tfc2tJ>2 (0)|tf|*.

V (t, x) Mai departe, — x dT ( ® ( T x ( r dr

9

(r}

t, x)

=

/

(T,

® (t ;

t , x ) ) = (a (t;«,

t,

a;)),

®),/(t,

® (t ;

a?))),

deci (T; t, x)\2

=

t,

(T;

x),

/(T,

A? ( T ;

2 dT Dacă |a? | < rx rezultă | A? ( T ;

t, x)

|

<

FC

<J* ( 0 )

^

*))).

TEORIA

STABILITĂŢII

31'

Şl

| / («, x

(T ;

% x))\

<

£

(RX)

(T ;

t,

x)\.

De aici 2

dr

o ? ) | 2 > ~ 2 X ( r 1 ) , | ® ( t ; « , o?) | 2 > e - 2 J ^ >
— In | dr

Eezultă rt+T

|0? | 2 \ \

F (*,#)>

pr e -2i(r 1 )(T-t)

i ^ j a l e-2L{rl)S Jo

fa

î n definitiv a

|2

(T)

F

(t, ® ) < p ( T ) \x |2.

Mai departe, rt+T

\

V p, A? (t;

rt+T rt+T

\x(t-,

®0)] = \

t, x(t-,

\x (T ;

<(3fciKT)|®(«;*0,®0)|-|®(«;*0,

t0, a? 0 ))| 2 dT = V

x (t;

®0) | ) ( | *

A?0)) | 2 DX = \

;

|®(T ; t0, ®0)lf d *r

® 0 ) 1 + I® (< >*o>

T x(t] to, * 0 ) ) H x(t; * 0 ) |) ( \x(t+ T; «0, ®0) \+\x(f, t0, x0)\) < Alegem pe T suficient de mare astfel ca ^ (T) < — deci Tc <J* ( T ) < — -r 2 rezultă = (|

at

F ( « , * ( « ; *<>> *o) < - -^r I® « J

^

^o) I ( I® (< + T ;

®o)| + 1® (< î

®b) I X

2t Din existenţa funcţiei F (£, a?) cu proprietăţile stabilite, rezultă imediat stabilitatea exponenţială. Din V(t,x(f,t0,

x0)\2

®0))< p(T)

rezultă -

| 0 («; «0, ®0) | 2 < -

F [*, a? (t;

deci dtf

2p(T)

x0)],

32 TEORIA CALITATIVĂ A

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

De aici 1

a ( T ) | x ( f , t 0 , xQ) |2

F (t, x(t; t0, *0))<

V (t0, x0) e

«-v <

Eezultă în definitiv oc(T) sau I® (t;

^o) I < 1 [ i m e ' ^ w { t ~ t o ) fa I. r a (T)

4° Din cele demonstrate la punctul precedent rezultă că dacă / (t, x) e omogenă în o? de gradul întîi, atunci stabilitatea asimptotică uniformă implică stabilitatea exponenţială. într-adevăr, dacă / (t, x) e omogenă în o? de gradul întîi, rezultă că x (t; Tc x0) = Tc x (t; ; în ambii membri ai egalităţii avem soluţii ale ecuaţiei şi aceste soluţii coincid pentru t=t0. într-adevăr d d —— Tc x(t; t0, Xq) = Tc —- o? dt dt = Tcf(t, x(t-,

x0) =

t0,x0))=f(t,Tcx(t-,

t0,

x0)).

Eezultă \x(t;t0,

Texo) | =

\Tc\ \x(t-,

t0, x0) | <

Tc

x

( |®0 I)
deci I a<«; t 0 , a?0) 1 = |*(«5

^

r ^ *o) I <

80 | x01

80

I X ( s o) W ~ to),

deci X* M = ceea ce arată că x (f) poate fi luată liniară. î n particular, dacă / (t, o?) = JL (J) o? condiţia de omogeneitate e îndeplinită şi obţinem teorema lui PersidsTci: la sistemele liniare stabilitatea asimptotică uniformă implică stabilitatea exponenţială. 5° Să arătăm că dacă f (t, x) este periodică în t cu perioadă c*>, f (t + co, x) = / (t, x)j stabilitatea asimptotică este întotdeauna uniformă. Stabilitatea uniformă a fost pusă în evidenţă anterior. Să luăm <j (t) = sup | x (t0 + u ; t0, x0) | pentru u > t , 0 < < co, | x0 | < t.

TEORIA

STABILITĂŢII

33,

Funcţia x (t0 + u; t0, x0) e periodică în t0J continuă şi deci marginea superioară construită este de fapt margine superioară pe toată axa tQ. Evident, c (t) este monoton descrescătoare; inversa ei este funcţia T (e) din definiţia stabilităţii asimptotice uniforme. Yom stabili acum teorema de existenţă a funcţiei Liapunov în cazul stabilităţii asimptotice uniforme. Există în momentul de faţă diferite procedee de construcţie a funcţiei Liapunov. Printre acestea vom alege pe cel dat recent de Massera ca fiind cel mai simplu. TEOREMA 1 . 6 . Dacă soluţia banală a sistemului este uniform asimptotic stabilă, există o funcţie V (t, x) cu toate proprietăţile din teorema 1.4. Demonstraţie. Fie G (r) cu G (0) = 0, G' (0) = 0, G (r) > 0, G" (r) > > 0 şi a > 1. N o t ă m g (r) = G" (r). Atunci r

fU %

rr

G(r) = \ dtA Jo

Punem

g(v)dv,

( R\

G -

CU

= \ ă,u\

Va/

Jo

Ca

g(v)dv.

.o

.0

W u =— ; se capătă a

V) a

O [—) = i r dw( g (v) d® < IT dw f° g (v) d» = -Q Va; a .'o .'o «Jo Jo a

\r).

Alegem V (t, x) = sup Q ( | * (t + «r; t, x) |) I ± - 2 2 ;

<*>o

1 + a

pentru a = 0 se capătă G (\x |) deci V (t, x) > ţia inversă a lui 8 (e). A v e m I x(t + <j; t,x) \<e(\x\),

G(\x(t

G (\x |). Fie s (8) func-

+ <j-,t,x)\)
1 +

ag

1 + a

< a

deci V (t, *)<

*G[s(\x\)].

Pentru a > T (e) avem \x(t + a'9t9x)\ rezultă \x (t + a ; J, x)]<-\x\,

G(\x(t

+ oit,

x)\)1

+

1 +

™ a

deciG(\x(t

+ a ; J, x) |) <

< OLG(-\X\) Va

< e, deci dacă a > T ^


\x | j

| x |j şi

TEORIA CALITATIVA A ECUAŢIILOR

34

DIFERENŢIALE

Eezultă V (t, x) =

sup G (| a? (t +

1 +

G ; t, x) |)

ag

1+

şi deoarece funcţia este continuă există un punct G1 în care marginea superioară este atinsă. P u t e m deci scrie V (t, x)=G(\x(t Fie x = x (t; t0J x0),

+ olit,

1 + a,

x* = x (t + A; t, x). A v e m 1

V (t + A, x*) = G ( \x (t + A + a* ; t + h, x*) |) = G(\x(t N o t ă m G* + A =

«)l)-1,+,g°* 1 + G

+ h + a*it1

+ a g* 1 + G*

=

•

G. A v e m

V (t + H, X*) = G ( | ^ (t + G

1 + O [

;

t, x) |)

1 +

1 + G

=

(1 + <7*)(1 + «
într-adevăr, 1 + oca l 1 + o l

(a — 1) A _

\

1 + aa

( l + g*)(l + a g ) ]

_

l + a

_ 1 + g* + «g + «gg* — ah + h _ ~

(1 + a) (1 + a*)

ah — h (1 +
1 + <7* + «p* + «gg* + h __

~

(1 + g) (1 + a*)

~

_ 1 +
~ l

+ g*'

Eezultă

F(L +

,(A~1)FE

< F(«, «)[L — „ L

J = "H«>

(1 + g ) ( 1 + ag) J

(a - 1 )hV(t,

X)

(1 + g*) (1 + «g)

deci V(t + h, x*) h

V (t, x)

<

(a - 1) F (t, x)

^

~ ( l + a * ) ( l + aa)'

~

TEORIA

Avem

0 <
V(t + Ji, x*) -

V (t, x)

35,

STABILITĂŢII

0 <
\x

(« -

<

V (t, x)

1)

| l + T ^ - | a r | j j 1 + « r | i | « * | J + ah Eezultă de aici lim

gup

V \t + h, x(t + h; t0, a?0)] -

ft-*0+

V [t, x (t-,t0,

a;0)]

<

h

(K-i)G(\x(tjt0,x0)\)

<

|l + T

1 0 (ii t0,x0)

Ij j | l + a T ^

I a? (/; t0, , 0 ) | ) j

A m folosit faptul că x* = x (t + h i tj x) = x (t + hi tj x (tit0J V (t, x) > O (\x |),

lim \x* | = h—> 0

x0)) = x(t + h; t0J x0)>

|x (ti t0J x0) | şi

T (z)

e continuă.

î n definitiv am arătat că V (t, x) verifică toate condiţiile din teorema 1.4. î n cele ce urmează vom studia proprietăţile de regularitate ale funcţiei V (t, x). Yom presupune că / (t, x) are următoarea proprietate : pentru orice pereche xx şi x2 cu \xx | -< A, \x21 < ft, I f ( t , Xx)

— / ( « ,

Xt)

I <

Lh

( t ) I xx

-

a?21.

P e baza lemei 0.7 rezultă că pentru orice pereche de soluţii x(t x (t i t0J x2) care rămîn în | x | <; h avem [[

\x (t i t0, xx) — X (ti tm x2) i < I xx — x21 e

Lh(*)ds

0

A m văzut mai înainte că V (tj x) = G( \x (t + a1 i t, x) l) 1 l

+

agl

+

^i

> unde 0 <

< T ( - \x |V Va )

Fie acum x1 şi x2 astfel ca < 8 (h), \x2\ < 8 (h); atunci soluţiile x (t i t0, xx) şi x (ti t0J x2) rămîn în \x | < h. N o t ă m

-

TEORIACALITATIVĂA

36

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Avem I

1 A.

1 + ai a? (J +

< a 6 T (r 0 )

r0 fiind cuprins între\x (t +

1 + oi

; t, a^) | — |a> (J + ; t, xx) | ş i \ x (t +

<

; t, x2) |

; t9 x2) | deci 0 < r0 < h.

Cum G' (r) e monotonă, rezultă G' (r0) < G' (h). Eezultă {G(\x(t

+ o1;t,x1)\)-G(\x(t

+ al5l, V+Tx \

1 +

x2)\)}

a(7

l

<

Lh{s)ds


I&! —a?2|-

Deci — mG'(h)e

a?i) 1 ) 1

| + G ( | a ? ( « + *r,

+

***<

1 + (« +

CF1?

Ol

1 ^ ^ 1 » 1 + <7!

^ l )

De aici Ct+Tt \ Lh(s)ăs

-aG'(fc) <

3<

e

— x2 \ + V (t, a*) <0(

|

+

* i î | )

1 4- a<7, * < 1 +

F («, x2). Prin urmare Ct+Tt

V («,

-

\ Lh{s)6s F (t, a?2) < aG' (fc) e J '

-

oj.

-

o>2|.

Aceleaşi calcule dau V (t, x2) -

V (t, xx) < a ( î ' (h) e J i

fa

Fie T = m a x (T 1? T 2 ) . Eezultă n+r

I F («, x2) -

F («,

V IrA(«) dS | < a G' (A) e Ji

-

(Ti

TEORIA

37

STABILITĂŢII

sau

I V («, x2) pentru r <

V (t, xj

\xt | < 8 (fc),

r <

| < M (h,

r) \ x 1 - x t \

\x2 | < 8 (fc),

M (H-, t, r) =

olG'(H)

t > 0,

EJt

Dacă Lh este constantă, sau dacă are proprietatea

I rt+u V Lh (s) &s <;

< K \u\, atunci M nu depinde de t. î n cele ce urmează v o m face această ipoteză. D e asemenea vom presupune pe h fixat. Alegînd pe G (r) astfel ca G' (r) <

Ae

putem obţine | V (t, x j — V (t, x2) I < M \xx — x2 I pentru \xt | < h0. într-adevăr, să notăm \x(t+a1it9x1)\=

rly

\x (t +

t, x2) | = r2.

Dacă r2 >- rx avem G (r2) > G (rx) deci V

x2) > G ( \x (t + + c1-,t,x1)\)1

>G(\x(t Dacă r 2

; «, x2) |) 1;+

J.

>

1 +
+ agl = V (t, Xt). 1 + <*!

rx putem scrie

0 < f f (rx) - ff (r 2 ) = G' ( P ) (r x <

agl

8(ri>

) fa -

..

r

2

r2)

) < J. e " " ( «

^ ,

-jrr^«(fj))

fa)

-

r2)

| * (* + a x ; I, xx) -

Kr/i-ixti) ,

Din |a?(J + «rx;

= rx

rezultă I «i I >

fa

8 (rx),

<

x (t

+

TEORIACALITATIVĂA

38

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

deci

deci 0 < G (r±)

-

G (r2) < A

fa

-xt\.

De aici x(t + a l } % x2)\)1

0 < F(«, xx) -G(\

+

"^Ca^l^-^K»)

1 +

(7!

deci + a l } t, x2) 1) 1

F(«,

+

a(Tl

1 +

> F («,

-

a l

| ^ - tf

2

|.

(7!

Eezultă astfel în toate cazurile F (J, # 2 ) — F (J,

> — aA fa — x2 |.

Schimbînd acum rolurile lui xx şi x2 se capătă F (t, xx) — V (t, «

2

) > - a l

fa

— x2 |

deci în definitiv I F (t, xx) — V (t, x2) | < a A | xx — x2 |, dacă | xi | 4= 0. Dacă x2 = 0, prima inegalitate (*) dă 0 < F (t, xj < CLA | x11, deci relaţia obţinută e valabilă şi în acest caz. Dacă x1 = x2 = 0 relaţia e banală. Bămîne de arătat că putem alege pe G astfel încît să verifice condiţia cerută. Pentru aceasta nu avem decît să luăm

«0

avem G(0) = 0, G'(r) = A e

' > 0, G' (0) = 0,căci 8(0) = 0,

T (0) = oo, şi G' (r) e monoton crescătoare deci G" (r) există aproape peste tot şi e pozitivă. î n definitiv putem formula : TEOREMA 1 . 6 ' . Dacă soluţia banală a sistemului este uniform asimptotic stabilă si \f(t,

- f ( h x*) I
fa

-

xt \ pentru

I rtrt +m +m

\\

Lh (s) ds
I

există

o funcţie

V (t, x) cu

proprietăţile

\u\,

\x1\ < Ji, | a? 2 1< h şi

TEORIA

1° a(\x\)*£V(t, 2° l i m sup

STABILITĂŢII

39,

aO<M|*|);

V

+

V

x

(t +

h

î

-

F

a? (t;

a?0)]

^

Jl <

- c( \x(t]t0,

a?0)|);

3° | F (J, xx) — V (t, x2) | < M \xx — x21 pentru

\xx | < 8 (8 0 ),

Această teoremă v a juca un rol deosebit în ceea ce urmează. P e baza ei v o m deduce o serie de propoziţii care subliniază însemnătatea stabilităţii asimptotice uniforme. Să'observăm în încheierea acestor consideraţii că dacă soluţia banală este uniform asimptotic stabilă în mare, lim 8 (e) = o o deci lim e (8) = e-foo

8-fao

= oo, şi cum a (r) = G (r), b (r) = OLG (e (r)) rezultă lim a (r) = lim b (r) = oo. r-foo

r-foo

D e asemenea, dacă / este periodică în raport cu t de perioadă
+ fe, x(t +

|), 6 (fc0) < a (ht), fc0 < \ fe;—-—— #)] -

h-K)+

< fc;

F p, a?]J < 0 pentru . ——-

,\x ,| < h

Jl

egalitatea din b) putînd avea loc numai în punctele unei mulţimi o>îl care nu conţine semitraiectorii întregi, atunci soluţia x = 0 este asimptotic stabilă şi sfera \x\ < h0 se află în domeniul de atracţie. Demonstraţie. Stabilitatea simplă şi faptul că \x0\
x0)\)
Presupunem că

x{tit0, există

x0))
traiectorie

astfel ca | x (t; t0, x0) \ > y) pentru t > t0,

şi

un

număr pozitiv tj

\x0 | < h0. Considerăm funcţia

V* (t) = V (t, x(t;t0, x0)). Această funcţie e monoton deci există F 0 = lim F * (t) şi F* (t) > F 0 *pentru t > t0.

descrescătoare,

Considerăm şirul x{k) = x (t0 + ftco ; t0, x0); din \&k) | < hx rezultă că se poate extrage un subşir convergent, fie x*0 limita l u i ; atunci x*0 =/= 0.

TEORIA CALITATIVA A ECUAŢIILOR

40

DIFERENŢIALE

Avem lim V*(t0 + &) = F (t 0 ,

fc-foo

deci lim F* («o + JCM) = F («o, a?*). Jfc-fOO

Eezultă F («o, = F0. Considerăm semitraiectoria t0, x*0 ) ; deoarece această traiectorie nu se poate afla în întregime în SR, funcţia F (t, o? (J; a?0)) nu e constantă deci există t* > t0 astfel ca F (t*, x («* ; «o, ®0)) < F (*0, ®5) = F 0 . Pentru orice y > 0 avem *o,

- * ( « * ;

«o,

x{k))\ <

r

dacă Tc > N (y), deci lim F («% o? (t% t0, a?<*>)) = F (I* ; 0 («* ; t0, x*0)) < F 0 . k-*ao

Dar aj («* ; «o, »•*>) = «(<*;

<0, x (*0 + &to; t0, x0)) =

= «(<*+ fcw, t0 + fcto, a; (<0 +

; <0, a?0)) = x (<* + Tc
x0)

Şi

7 (<*, a?) = 7 (** + fcco, a;) deci 7 (t% x (t* j *0, <»<*>)) = 7 (<* + fcto, a; (<* + fcw ; t0, x0)) = 7 * (<* + Eezultă lim 7 (<* ; a? (<*; <0, a;'*»)) = 7 0

fc-foo

ceea ce este contradictoriu. Contradicţia obţinută demonstrează că pentru orice traiectorie cu I x0 | <

şi orice y) > 0 există ^ >

Alegem y) = 8 (s) şi din |a?

astfel ca \x

; t0,

; t0, a?0) | < 8 (s) rezultă tl9 x

fo;

a?0)) I <

deci I x {t;

a?0) | < s pentru t > tx (s)

deci lim x (t;

t-fr-oo

a?0) = 0.

| < y).

TEORIA

STABILITĂŢII

41

î n încheierea acestui paragraf vom da criterii de stabilitate în care funcţiilor Liapunov li se cer condiţii mai slabe şi care se bazează toate pe lema asupra inegalităţilor diferenţiale dată în introducere. Aceste criterii au fost stabilite de'C. Corduneanu. TEOREMA 1 . 5 " . Fie co (t, y) o funcţie continuă pentru t > 0 , 0 < Y < + oo, co (t9 0) = 0 ; considerăm ecuaţia $

dt

=

y)

a

#

>

şi presupunem că prin fiecare punct (t0, y0) t0 > 0, 0 <; y0 < Y trece o soluţie unică. Fie V (t, x) o funcţie diferenţiabilă, pentru t >- 0, \x \ < Mr V (t + h, x + hf (t, —— x)) ,. presupunem K (J, x)x = i• lim — 0 ft

tr/

că

F ' (J, # ) < co (t, F (J, a?)). 1°

Daca soluţia y = 0 a ecuaţiei (1') este stabilă şi V (t, x)^a (\x \ )r x = 0 a sistemului (1) este de asemenea stabilă. 2° Dacă soluţia y = 0 a ecuaţiei (1') este uniform stabilă şi a (|a? |) <; > >. a ( | ) , soluţia x=Q a sistemului (1) este de asemenea asimptotic stabilă. 4° Dacă soluţia y = 0 a ecuaţiei (1') este uniform asimptotic stabilă şi a ( | ) F (J, # ) < < & ( |), soluţia x = 0 a sistemului (1) este de asemenea uniform asimptotic stabilă. Demonstraţie. 1° Fie s > 0, > 0, Y) (S, > 0 astfel ca 0 < y0 t0. Din continuitatea funcţiei F rezultă că există 8 (s, t0) > 0 -astfel ca \x0 | < 8 să implice F a?0) < < rj. Avem

soluţia

— V (t, x (t; t0, ®0)) = F' («, ^ («; «o, * 0 )) < co («, F («, a? («; t0, x0))). dt Din lema 0.3 rezultă F (J, x (t; «o, a?0)) < y (t; F(J 0 , < » (*)• D e aici a ( ( t ; ^o) I) < < a (s), deci | x(t\t^ x0)\ < e pentru t^toy dacă | # 0 | < 8 (s, 2° Din F (t, a ? ) < 6 ( | ® | ) rezultă că 8 poate fi ales independent de t0 şi restul demonstraţiei decurge ca mai sus, căci şi tj poate fi ales independent de t0. 3° Din F («, x (t; t0, x0)) < y ( t ] t0,V (t0, x0)) Şi t0, F

#<>)) =

rezultă lim F (J, a? (t;

t—>QO

a?0)) = 0

TEORIA CALITATIVĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

42

deci lim a (\x(ti

t0, x0) |) = 0,

t-+ oo

de unde se deduce limoo x (t; t0, x0) = 0. 4° Din ipoteză rezultă că există y)0 > 0 astfel încît pentru s > 0 există T (s) > 0 cu proprietatea că din y0 < y)0 rezultă y (t; t0, y0) < < a (s) pentru t > + T (s). Alegem pe S0 astfel ca b (S 0 ) < y)0. Dacă ! x o I < »0, rezultă x0) <

< 6(»0)

< Io»

deci y (t;

^

®o)) <

a

(£)

Pentru

t>t0

+ T (s).

Din F p , a? («; t0, x0)] < y («; «o> ^ (*o> ®o))

rezultă a

(I x (t;

a?0) |) < a (s) pentru t >

+ T (s),

deci I®

;

I<

£

Pentru t>tQ+

T (s), \xQ | <

80.

Teorema este demonstrată. § 3. SISTEME LINIARE

Yom studia acum aspectele specifice ale problemei stabilităţii în cazul sistemelor liniare. î n legătură cu aceasta vom pune în evidenţă şi o serie de proprietăţi generale esenţiale ale sistemelor liniare. U n sistem liniar omogen se scrie sub forma ^=A(t)x, dt

(3)

unde vom presupune că A(t) este o matrice pătratică ale cărei elemente sînt funcţii continue de t definite pentru t > 0. î n acest caz teorema de existenţă are un caracter global; soluţiile sînt prelungibile pe toată semiaxa t > 0. Pentru a vedea acest lucru este suficient să arătăm că pe orice interval finit soluţiile rămîn mărginite deci nu părăsesc domeniul în care sînt verificate condiţiile teoremei de existenţă. Fie x (t; t0, x0) soluţia sistemului (3) care pentru t = t0 trece prin punctul x0. Avem, pentru'valorile t pentru care soluţia este prelungibilă, x (t; t0,x0)

= x0+

^ A (s) oc(s-,t0, x0) d s. . t0

TEORIA

STABILITĂŢII

43,

Eezultă l®(*;*o>*o)l < i # o l + \

1^001 \

x(s;t0,x0)\ds.

Aplicînd lema 0.6 (consecinţa 2), rezultă V |-4 (s)|ds

\x(t;t0,x0)\

<|o?0|e^

,

«evaluare din care rezultă că soluţia rămîne mărginită pe orice interval finit. Observăm că am folosit aici evaluarea | A (s) x (s ; t0, x0) |<

| A (s) | | a? (s ; t0, x0) \

care rezultă direct din definiţia normei matricii; anume \A \ = sup \Ax |. Să observăm că dacă pentru vectori se foloseşte norma euclidiană, atunci | A | este dată de |/A, unde A este cea mai mare valoare proprie a matricii A* A, (A* este matricea transpusă a lui A, cînd A este reală şi conjugata lui A cînd A e complexă). într-adevăr, avem, conform definiţiei normei euclidiene \Ax\2 = = (Ax, Ax) = (A* Ax, x) < A (x, x) deci \ax\
I/Ă:

P e de altă parte, ţinînd seama de proprietăţile extremale ale valorilor proprii ale matricilor simetrice rezultă că există u n vector x cu | x | = = 1 astfel ca (A* Ax, x) = A deci | A | = )'Ă. D a c ă x1 (t) şi x2 (t) sînt două soluţii oarecare ale sistemului se verifică imediat că OLx x1 (t) + a2 x2 (t) este de asemenea soluţie a sistemului (<*! şi a 2 vor fi presupuse numere reale; în general în toată teoria v o m lucra numai cu funcţii reale, cazurile contrarii fiind subliniate special). De aici rezultă că mulţimea soluţiilor sistemului (3) formează un spaţiu liniar. Fie x (t; t0, w0) soluţia sistemului (3) care pentru t = t0 trece prin punctul x0. Această soluţie defineşte pentru t şi t0 fixaţi o transformare a s p a ţ i u l u i ^ 6 în el însuşi care ataşează punctului x0 punctul x(t-,t0, x0) -r v o m nota această transformare cu G (t; t0). PXIOPC ZI ] \ E . Transformarea G (t; t0) este liniară. Demonstraţie. Avem G (t; t0) (ai

+

a

2 x2) = x (t; t0,04 xx + a2 x2).

TEORIACALITATIVĂA

44

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

P e de altă parte, ax C (t; t0) xx + a 2 C (t; t0) x2 =

x (t;

,

+ a 2 a? ;

, #2)

deci fiind o combinaţie liniară de soluţii ale sistemului (3) este soluţie a sistemului. Avem însă x(t'Jt09oc1x1+ oc2#2) = axa?(t;, a^) + oc2o?(J ; , x2) deoarece cele două soluţii coincid pentru t = t0. Propoziţia este astfel demonstrată. Yom scrie deci x (t, x0) = C (t; t0) x0. Odată fixată o bază a spaţiului orice transformare liniară este dată printr-o matrice ale cărei coloane sînt imaginile prin transformarea dată ale vectorilor bazei. Yectorii bazei au coordonatele | ^ j ' | ^ j

| î j*

^ ^' ^

V a cores

PUI1^e

unei matrici ale cărei coloane sînt soluţiile sistemului (3) care la momentul t0 coincid cu coloanele matricii unitate. Notînd matricea unitate cu E şi nefăcînd distincţie între transformarea C (t; t0) şi matricea corespunzătoare, vom scrie C (t0; t0) = E. Yom spune că O (t; t0) este o matrice fundamentală de soluţii a sistemului (3); deoarece coloanele matricii C(t-jt0) sînt soluţii ale sistemului (3) putem scrie dt Relaţia x (t; t0, x0) = C (t-, t0) x0 arată că orice soluţie a sistemului (3) se exprimă ca o combinaţie liniară a soluţiilor unui sistem fundamental. Să punem acum în evidenţă cîteva proprietăţi fundamentale ale matricii C (t; t0). PROPOZIŢIE. Are loc

relaţia

C(t-,s)C(s-,u)

=

C(t-,u).

Demonstraţie. Este suficient să arătăm că pentru orice vector x^ are loc egalitatea G (t; s) C (s ; u) x0 = C (t; u) x0. Avem C (s ; u) x0 = x (s ; u, x0),

C (t; s) C (s ; u) x0 = x (t; s, C (s ; u) #0) =

= x (t; s, x (s ; u, x0)) = x(t',u, şi relaţia e dovedită. Egalitatea

x0) = C (t] u) x0

x (t; s, x (s ; u, x0)) = x(tţu9

x0)

rezultă din faptul că pentru t = s cele două soluţii coincid.

TEORIA

Din

această propoziţie

STABILITĂŢII

45,

rezultă imediat

punînd

x = t0,u

= t:

C(t-,t0)C(t0-,t)=E. Aceasta înseamnă că matricea C (t; t0) este inversabilă şi inversa ei este C (t0; t). î n unele probleme este util să considerăm sistemul adjunct sistemului (3). Anume, vom numi sistem adjunct al sistemului (3) sistemul dt unde y este un vector linie. PROPOZIŢIE. Dacă x este o soluţie a sistemului dat iar y o soluţie a sistemului adjunct, atunci produsul yx este constant. Demonstraţie. Avem ^ y x = dJ dJ

+

dt

= —yA(t)x

+ yA(t)x

= 0,

deci yx este constant. Propoziţia e demonstrată. Evident, întreaga teorie dezvoltată pentru sistemul (3) se transpune corespunzător pentru sistemul adjunct (care poate fi scris de altfel şi dv sub forma —=- = — A* (t) y9 y fiind acum tot un vector coloană). Fie dt C(t ] t0) o matrice fundamentală de soluţii a sistemului adjunct; subliniem că de această dată liniile matricii C (t-,t0) sînt soluţii ale sistemului adjunct. Ţinînd seama de propoziţia de mai sus rezultă că matricea C (t; t0) C (t; t0) este constantă, deoarece elementele ei sînt produse ale liniilor matricii C (t; t0) cu coloanele matricii C (t; t0) deci produse dintre soluţiile sistemului adjunct şi ale sistemului (3). ' Dar C(t0-,t0)C(t0',t0)=EE=E. Eezultă ^(tit0)O(titQ)=E9 deci C(f,t0)

= [C(t-,t0)]-i

=

C(t0]t).

A m stabilit astfel următoarea Avem C (t; t0) = C (t0; t) deci liniile matricii C (t0; t) formează un sistem fundamental de soluţii ale sistemului adjunct. Yom încheia aceste consideraţii generale asupra sistemelor liniare stabilind aşa numita „formulă a variaţiei constantelor" care se va dovedi utilă în multe împrejurări. PROPOZIŢIE.

TEORIACALITATIVĂA

46

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

Să considerăm sistemul neomogen ^ = A(t)x dt

+

f(t).

Fie C (t; t0) ca mai sus matricea fundamentală de soluţii a sistemului omogen corespunzător. Facem schimbarea de variabile x (t) =? = C {t; t0) y (t). Obţinem ^

=

y{t) +

dt

C{t.to)

^L

dt

=

A ( t ) x +

f{t)

=

dt = A (t) C(t-,t0)y ( t ) + f ( t ) .

Dar dO(*;<0)

= A ( t ) C ( t

.

t o )

.

at rezultă C ( t ' , t 0 = f ( t ) dt deci -ŞL= dt

[C(t',t0)r1f(t)

=

C(t0]t)f(t).

De aici y(t) = y(t0) + ^

C(t0-,s)f(s)ds.

110

Din relaţia care leagă pe x (t) de y (t) rezultă x (t0) = y (t0) deoarece C ( t 0 ; t0) = E . î n definitiv se capătă x(t-,t0,x0)

= C(t-, t0) x0 + C(t; t0) C C (t0 ; s)f (s) &s

x(t',t0,x0)

= C(t; t0) x0 + C C (t; t0) C (t0 ; s)f(s) &s

X

sau

X

ceea ce dă x(t-,t0,x0)

= C(t-,t0)x0

C(t-,s)f(s)ds.

§4. STABILITATEA LA SISTEMELE LINIARE

După această parte introductivă relativă la sistemele liniare putem trece la studiul problemelor de stabilitate pentru asemenea sisteme. Am văzut mai sus, ca o consecinţă a unei propoziţii mai generale, că în cazul

TEORIA

STABILITĂŢII

47,

sistemelor liniare pentru care matricea A(t) este mărginită, stabilitatea asimptotică uniformă este întotdeauna exponenţială, adică există constantele B şi a astfel încît să avem

Vom da o nouă demonstraţie acestei propoziţii. Conform definiţiei stabilităţii asimptotice uniforme, există S0 > O şi T (e) astfel încît dacă \x0 | < S0 şi t > t0 + T (e) să rezulte I ® (t; h » ®o) I <

£

-

Dar I x(t',t0,x0)

| = | C(t-,t0)x0

|,

deci din \x0 | < S0 şi t > t0 + T (e) rezultă I C(t-,t0)x0\

I

< e.

î n cele ce urmează fixăm pe 0 < e < 1. Fie u 0 un vector cu \u0 | 1, arbitrar. Atunci u 0 I < so> d e c i \ c J *o) s o uo I < £ pentru t > t0 + T (e). Dar | C ( M o ) So^o I =

8ol0(*;*o)«ol,

deci \C(t-,t0)u0\ Cum t > T^z)

< £

este arbitrar cu \u0 \ < 1, rezultă \C (t; J0) | < —

+ T (e), sau |C (tf; t0) I < = T (S0e).

£

pentru

S0

pentru t > t0 + 1\ (e), unde am notat

Din relaţia rezultă IC (t; t0) | < | C (t;

+ Tx) | | C (t0 + Tx ; t 0 )| < e 2 pentru t>t0

+

2T1.

Prin inducţie se verifică imediat că \C (t; t0) | < ew pentru t > tQ + +

m2V

Fie acum t >-

arbitrar. Există m > - 1 astfel ca «o + (m - 1) Ti < t < tQ + m Tx. i

Atunci m

1 — <« - 'o) > « — «0 * m > — (< — «0)5 e™ < s " 1 , căcie < 1 .

TEORIA CALITATIVĂ A

48

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

P e de altă parte există 8 (e) astfel ca \x (t; t0J x0) | < s dacă \x01 <; < 8 (s) şi t > t0. D e aici rezultă ca mai sus | C(t;

8 (e) u0 | < s pentru t >

t0,

deci \C(f,t0)\< D i n t>t0

+ (m — l ) T±rezultă

—^-pentru b (e)

t>t0.

| C («;«„) I < — — 8 (e)

m > 2, această inegalitate rezultă din faptul că

- 1 . într-adevăr, dacă 8 (e) < s iar pentru

m = 1 din faptul că | C (t; t0) | < —-—pentru toţi t > t0. 8 (e)

î n definitiv, pentru orice t > t0 am obţinut

o (e)

deci —

(t -
8 (e) Să notăm

—-— = 8(e)

B, a =

— In e. Atunci S > 0, a > 0, e = Ti

= e " a T » , şi evaluarea obţinută devine Am demonstrat astfel din nou că stabilitatea asimptotică uniformă la sistemele liniare este întotdeauna exponenţială. Observăm că în această demonstraţie nu am mai folosit ipoteza că matricea A (t) este mărginită. Cu ajutorul acestei proprietăţi fundamentale a sistemelor liniare se demonstrează că dacă soluţia banală a unui sistem liniar este uniform asimptotic stabilă, atunci există o funcţie Liapunov formă pătratică. TEOREMA 1 . 6 " . Dacă soluţia banală a sistemului (3) este uniform asimptotic stabilă, atunci oricare ar fi forma pătratică (W (t) x, x), cu Xm (x, x) < X (t) (x, a?) < (1F (J) x,x)*CA «nete Xm > 0, există o formă pătratică

(t) (x, o?) < A ^ (o?, o?)

( F (t)x,

[x (a?, o?) < (F(J) x, o?) < ilf (a?, o?),

{jl

> 0

Şi

A oricare ar fi soluţia

( F (t)x(t),x(t))

= -(1F(<)*(<),*(<))

x (t) a sistemului

(3).

TEORIA

Demonstraţie.

STABILITĂŢII

49,

Definim

(F (t) x,x)

=r°(TT A

(s) C(s-,t)x,C

(s-, t)x)ds,

adică matricea V (t) este dată de relaţia V(t)

=rC*(s;t)W(s)C(s;t)ds.

J*

Convergenţa integralei este asigurată de faptul că
lC(t;t0)l

că

\W\
Tot de aici rezultă

B©-*'-» A .»©-«<•-» d* = A B 2

17(1) | < \ }t

ds X

2a

Pentru orice soluţie x (t; t0, x0) a sistemului (3) avem P oo

(V(t)x(t',t0,x0),x(t-,t0,x0))=\

(W(s)C(s,t)x(t-,t0,x0),C{s,t)x(t',t(nx0))ds= .t

/•oo

= \

(W(s)x(s-,t0,x0),x(s,t0,x0))ds

deci dt î n felul acesta rămîne să demonstrăm numai faptul că ( F (t) X,X)^>[L (X, x) CU {JL > 0. Avem ( F (t) x, o?) > r Xm (C (s ; .e Dar

o?, c (s ;o?)

ds = \

m

| o? (s ;o?)

|2 ds.

Je

x (s; t, x) = o? + ^ JL (w) o? (w; t, o?) dw. De aici, ţinînd seama de faptul că u > t, rezultă \x(8-,t,x) Presupunînd \

\x(u\

— x\4£B\x\^

că matricea A are proprietatea

\A (u) | du < co (s — t),

unde co(r)

t, x) |

B \x | pentru

\A(u)\du că 0 cînd r

0,

TEORIACALITATIVĂA

50

rezultă că pentru t ^C s

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

+ <x. vom avea IX ( S ' j t j X ) —

x \ <

—

2

\x\

deci \x(8',t,x)\>

\x\ -

\x{s-,t,x)

2

\x\.

Dar (V(t)x,x)>-km

\x(s-,t,x)

|2 ds >

Jt

a|a?|S 4

deci putem lua Xm a Teorema este complet demonstrată. Observaţie. Dacă matricea A este constantă şi matricea W este aleasă independentă de t, atunci matricea V nu depinde de t. Pentru a demonstra acest lucru observăm că pentru sistemele care nu depind explicit de t are loc relaţia ®(t + t0;t0,x0)

=

x(t;0,x0)

(am stabilit proprietatea corespunzătoare pentru sistemele periodice; dacă sistemul nu depinde de t, atunci orice t0 real poate fi considerat perioadă). Această relaţie se scrie în cazul sistemelor liniare sub forma C(t+t0;t0)x0

= C(t;0)x0,

deciC(t

+ t0;t0) =

C(t;0).

Rezultă V (t) =

C* (s; t)WC (s ; t) ds = Jt

O* (s + t; t)WC (s + t-,t)ds

=

}o =

0) WC

(s;0)ds,

Jo

deci V nu depinde de t. § 5. SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI CONSTANŢI

Propoziţia demonstrată în cadrul observaţiei de mai sus are în realitate un caracter pur algebric pus în evidenţă încă de Liapunov. Pentru a putea reproduce raţionamentele lui Liapunov vom reaminti unele propoziţii fundamentale relative la sistemele liniare cu coeficienţi constanţi şi legat de aceasta, reducerea matricilor la forma normală Jordan de care vom avea nevoie şi mai tîrziu. Fiind dată o transformare liniară T într-un spaţiu liniar w-dimensional complex şi o bază e19 e2, ..., en a spaţiului, transformării i se ataşează

TEORIA STABILITĂŢII

51'

o matrice A care are drept coloane vectorii Tek scrişi în baza {ev e2, ..., e j . Dacă y = Tx, atunci y = Ax, x şi y fiind scrierea vectorilor în baza într-adevăr, fie n

n x

* = s

*e»

y=Y*yiei'

»=i

»=i

Avem t y««i = t

k= l

i= l

^ Te k ;

scriind n

TCjc — aik ei i=1 rezultă n

S

i= l

n

= S fc=l

n

n

S

r n

= iS= l U S= 1

i= 1

\

**

deci n

Vi = S «<* k=l PROPOZIŢIE. D a c a fn fcaza . . . , transformării T îi corespunde matricea A iar în baza f19 /2, ..., fn îi corespunde matricea B, atunci B = = O"1 AC, ţmrfe C este matricea corespunzătoare trecerii de la o bază la cealaltă. Demonstraţie. Elementele bi} se capătă scriind imaginile vectorilor f j în b a z a / i , . . . fn. Avem

Tf = t bafi' i=1 Fie n

/» =

S

5

fc=l

rezultă T/, =

£

c*

I V

Dar n

= Ş] alk ex, i=i deci

1=1

1=1

TEORIA CALITATIVA A ECUAŢIILOR

52

DIFERENŢIALE

P e de altă parte, «i =

£ i= l

unde D este inversa matricii C. Rezultă ^

= t fc=l

t

£

i=l

/ « = £ ( £ * . * * ) / < • i= 1

i—1

2, A;

î n definitiv = £ du alk

c^

deci C~1AC.

B = DAC =

Un vector u este vector propriu al transformării T dacă u nu este nul, şi există un număr complex X astfel ca Tu = Xu. Dacă ^i, e 2 , . . . , este o bază a spaţiului şi A matricea corespunzătoare transformării, condiţia n

ca w să fie vector propriu se scrie £ aik uk= şi se vede că pentru fc=i ca să existe un vector u nenul care să verifice această condiţie este necesar şi suficient ca det (A — XE) = 0. Valorile Xcare verifică această ecuaţie se numesc valorile proprii ale transformării (sau ale matricii). O consecinţă a propoziţiei precedente este următoarea : matricile A şi G^1AC au aceleaşi valori proprii. Fie Xx, X 2 , . . . , Xs valori proprii distincte ale transformării T, vectori proprii corespunzători. Vectorii u2J ..., us sînt liniar independenţi. într-adevăr, să presupunem că + c2u2 + . . . + c8u8 = 0 . Aplicăm transformarea T şi obţinem CI Tux +

Dar

c2 TU2 H Tuk=\kuk

b c3 Tu8 = 0 .

deci c1 Xx% + c2X2u2+

• • • + c8 \sus = 0.

Din E

^ °

se capătă csus = — cxux — c2u2 — ... Eezultă +

— c^i

+ . . . +X S _1 Cg_1us_1—\sc1u1—'ksc2u2—

u8_l9 ... —

sau (Xx — X 2 K % + (X2 — X8)c2u2 + ...

+ (Xs_x — X , ) ^ , ! ^ . ! = 0.

TEORIA

Dacă u^u2,...,

STABILITĂŢII

53,

us_1 sînt liniar independenţi, rezultă

(X* — X,)oJfc = 0, (fc = l , . . - 1 ) . Dar prin ipoteză Xk — Xs 4= 0, deci ck = 0 pentru Tc = 1, . . . , 8 — 1. Dar atunci ^ = 0, deci c8 = 0. Prin urmare independenţa liniară a sistemului de s vectori v a rezulta prin inducţie (pentru s = 1 rezultă din faptul că % =4= 0). Rezultă de aici că dacă transformarea T admite n valori proprii distincte, atunci ea admite n vectori proprii liniar independenţi. Luînd aceşti vectori %, u2, . . . , un drept bază a spaţiului, relaţiile Tuk = \kuk arată că în această bază matricea transformării este diagonală şi are pe diagonală elementele Xk. Ţinînd seama de cele stabilite mai sus rezultă : dacă rădăcinile ecuaţiei det (A — \E) = 0 sînt distincte, există o matrice C astfel încît matricea O - 1 AC să aibă forma diagonală, elementele diagonale fiind rădăcinile ecuaţiei. dtic Aplicaţie. Considerăm sistemul — = Ax. Presupunem că ecuaţia dJ det (A — 7J2) = 0 pe care o numim ecuaţia caracteristică a sistemului are rădăcinile distincte. Conform celor de mai sus există o matrice C astfel încît O"1 AC să fie diagonală şi să aibă pe diagonală elementele x 3 , . . . , X n . Facem în sistem schimbarea de variabile x = Cy, y = C'1 x. Căpătăm dy

dt

=

0

.

1

d »

= 0

.

1

A x

=

c

-!

A C

dt

Rezultă că sistemul în y se scrie X i/ • O matrice fundamentală de soluţii a sistemului are forma o f e \ xt Y = 0

6XJ

Rezultă că matricea fundamentală de soluţii a sistemului dat se scrie X = CY. Matricea C are drept coloane vectori proprii ai matricii A. Rămîne deci de cercetat cazul cînd transformarea T nu admite n vectori proprii liniar independenţi. Să presupunem că ev f19 . . . sînt vectorii proprii liniar independenţi. V o m arăta că se poate alege o bază a spaţiului formată din fc grupuri de vectori e

i i • • • > ep î f n

j.. . j h s

54

TEORIA CALITATIVĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

în care transformarea T să aibă forma Tdi =

Cu

= e1 "I"

j • • • j Tep = ev^i -f- Xi 6P,

î n această bază matricea corespunzătoare transformării v a avea forma 1

Xx 1 0 . . 0 0 Xx 1 . . 0 0 0

O..X x X2 1 0 . . 0 0 X2 1 . . 0 o o o . . xa

I

Aceasta formă se numeşte forma normală Jordan a matricii. Teorema corespunzătoare se formulează astfel: Pentru orice matrice A există o matrice C astfel încît matricea C~ÎAC să aibă forma normală J ordan. î n cazul particular cînd există n vectori proprii liniar indepedenţi, forma normală Jordan se reduce la forma diagonală. Fără ca forma normală să fie diagonală se poate întîmpla ca unele celule jordaniene să fie de ordinul întîi. Forma diagonală corespunde cazului cînd toate celulele sînt de ordinul întîi. O celulă jordaniană se scrie A1 = \XE + I. Dacă celula e de ordinul p avem : /«io.. . 0 0 0 1 . . . 0 <M 1 0 0 0 . .. 0 1 \ o 0 0 . . . 0 0/ •

jp-I _

•

0 0 0 /0 0 0

•

>

0 1 . . 0 ox 0 0 0 1. . 0 0

. . . .. . .

• I

2

=

>

0 0 0 0.. 0 0 Vo 0 0 . . 0 OJ Olv o o

0 0 0

o o

lo o o

o 0/

Jy

—

Jp + l —

= 0.

TEORIA

STABILITĂŢII

55,

U n polinom P(t) se scrie cn ajutorul formulei lui Taylor sub forma : = P ( X x ) + (t -

P(t)

XjP'Ux) + ^ - ^ V ^ X J

+

2

P^XJ.

...

nl

Eezultă P(AX) = PdJE

+ (A~Xi^)2p»(Xi)

+ (A, - X^P'fXJ

...

+

+

2 ! -

+

n\

deci P(A1)

= P(X1)E

+ I P'(\1)+

P (Xl)

"

I* +

I»

nl

2 !

sau P(At)

= P(Xt)H

+

P

'(Xl) I

•

1!

P

"(xi) I 2

2 !

+

(P- 1)1

î n definitiv pa>j !

P(A1)

=

0

V o

P(Xx)

o

2 !

li - D !

P'(Xl)

\

./

1!

(î>-l)!

o

P(X

Demonstraţia existenţei bazei de forma dorită o v o m face prin inducţie în raport cu n. Dacă T acţionează într-un spaţiu unidimensional, matricea corespunzătoare are un singur element şi corespunde deci formei normale. Yom presupune teorema adevărată în spaţii w-dimensionale şi v o m demonstra că e adevărată şi pentru spaţii cu n + 1 dimensiuni. U n rol fundamental îl v a juca în această demonstraţie prin inducţie următoarea : LEMĂ. Orice transformare liniară T într-un spaţiu complex n-dimensionai admite cel puţin un subspaţiu (n — 1) -dimensional invariant. Demonstraţie. Reamintim că un subspaţiu R' al spaţiului liniar R se numeşte invariant în raport cu transformarea liniară T dacă pentru orice x g R' avem Tx g R\ Considerăm o bază e19 ..., en oarecare ; fie A — (a{i) matricea ataşată transformării în această bază. Considerăm matricea A ' obţinută din A prin transpunere; fie u un vector propriu al acestei matrici. A v e m n

deci

relaţia Şj ajjt Uj = \u{.

Considerăm

relaţia £

x{u{ = 0.

Deoarece

i=l

-u 4= 0, mulţimea soluţiilor acestei ecuaţii formează un subspaţiu liniar

TEORIACALITATIVĂA

56

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

(n — l)-dimensional (spaţiul generat de n—l soluţii liniar independente). Acesta este spaţiul R' invariant în raport cu transformarea T. n

n

Fie, într-adevăr, x g R' deci £ xi u% = 0 şi

= £ aH

i=l

;

i=1

avem n

n

E

n

n

= E H

3= 1

3= 1

i=

= E

1

n x

i= l

i E

n

n

a u

3= 1

a > = E *«

Xtt

i= l

*=

x

E xiui i= l

=°

deci y ţ R ' . Demonstraţia prin inducţie decurge în modul următor. Fie T o transformare în spaţiul R cu n + 1 - d i m e n s i u n i . Conform lemei există u n subspaţiu R' cu n dimensiuni, invariant în raport cu T. P u t e m deci considera transformarea T ca lucrînd în subspaţiul R'; pe baza ipotezei de inducţie în R' există o bază e19 e2, ..., e9, , f2,...,/<,,..., , h2, . . . , h8 astfel ca • • • ? ^^p = ^p-i ~t~ ^î^py

Tex = X-j^, Te2 = e1

Xj^,

Tfi = X 2 /u Tf2 =fx-\-

X2/2, • • • >

T/^ =

Tfe2 =

= / f l _ i + X 2 / fl J

+ lkh2J . . . , T h 8 = h

8

+

X*

A v e m de arătat că p u t e m găsi o bază în R în care transformarea T să acţioneze în modul dorit. Pentru aceasta, începem prin a completa baza din R' cu u n v e c t o r e, liniar independent de ceilalţi, astfel încît să obţinem o bază în R. Avem Te=*1e1+

. . . + aP ev + p ^ + P2/2 + • • • + P«/« + • • • + M i + • • . + +

88h8

+

Te.

Căutăm acum să înlocuim pe e cu un alt vector e' astfel ca Te' să aibă forma cea mai simplă posibilă. Căutăm pe e' de forma : e' = e — Xi^i — . . . - XpCp—V-ifi —...

— [t-Jg — . . . —co^

Te' = Te — Xi Te1 — . . . — Xp TeP — -

c +

-

.. . + ... +

co,

=

— . . . — coafeg

Tfx — . . . — \iq Tfq — . . . —

+ . . . + «p«p + P1/1 + . . . + P f l / g + . . . + -

+ t^ — Xi

— . . . — Xp^p-i — Xv

— . . . — hz/fl-l — \Lq fq ~ • • • ~ <°1 Dar ^ = e' + Xi^i + • • • + Xv ep + jj^/i + . . . +

+

~ ••• ~ + ... +

—

X2/i —

— ^ + . . . +•

TEORIA

STABILITĂŢII

57,

deci Te' = ie' + +

. . .

+

T/A

e1 +

TCOSh8 +

+ . . . + s,

. . .

+

0 4 e1 +

TXptfp

. . .

+

- (Xx Xi + X2)

+

T^/X +

Ap

-

+

. . .

PI/I +

TJ^/, +

. ..

+

. . .

TCO X

— . . . — \ co,

... +[ap + Xp(T-

hx

+

+

+

• • • - Xp X ^ - (X2 [Xj + [X2)/X -

— x 2 [LQfq — . . . — (x^. C0i + co2)

+ [&! + co^T - XJ -

+

...

-

= Te' + [a t + Xi(f —

[PI + J*i(T — — j i J / i

+

co,]^ + . . . + [8. + < 0 s ( T - X,)] h8.

Dacă T e diferit de X, se pot determina pe rînd coeficienţii Xj y-j • • • . . . , co astfel încît să rămînă Te' = t^' şi se vede că adăugînd pe e' la baza din B' obţinem o bază normală în B. Dacă T e diferit de unele din valorile Xj putem alege coeficienţii corespunzători acestor valori. Pentru simplificare să presupunem că T = Xx, T = X2, x =£= X,-, 3 >2. Rămîne I V

=

T*' +

K

Alegem X2 =

-

X2)

+

. . . + * , € , +

(p! -

(X2)A +

. . .

+

a

i> • • • > 1*2 = Pi > . . . şi rămîne Te'=

re'+

? Jq.

Presupunem p > q. Alegem acum baza canonică în B în modul următor : punem ev+i = e'y ev = Tep+1 — t6p+i,

=

— iep,

...,

e[ =

~

Luăm prima grupă formată din vectorii e[,..., ep+i iar celelalte grupe rămîn . . . fq, . . . , . . . fe,. Pentru a arăta că avem de-a face cu o bază canonică rămîne de verificat că e\ . . . ep+1 se comportă ca o parte a unei baze canonice. Avem Te2 = e[ +

> ••

Tev=

ep~i + t^, Ttfp+i = ep +

deci ne mai rămîne de verificat numai faptul că Te[ = ep =

=

Te' a

-

Te'

=

ep +

p«/«, e * - i =

p K - l + ^p) + Pa (/«-l + T/
Continuînd, -q = a p , . . . , e[ = a^ Teorema este astfel demonstrată.

ap T ^ Ta

* ep ~

+

tep+i ie8.

p f l T / f l — toc p ^

=

deci Tei = a p T ^ =

— Tpfl

=

+ P'd/t-l-

^ =

ie\.

TEORIA CALITATIVĂ A

58

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

c\.x Considerăm din nou sistemul — — Ax, presupunînd de dt data aceasta matricea A oarecare. Dacă C este matricea care aduce pe A la forma normală Jordan, transformarea de variabile x = Cy aduce Aplicaţie.

sistemul la forma — = By. unde B are forma normală Jordan. Eezultă dt ~f = d$

+ y»

— HVp+1 + Vp + 2>

dz

+ y*,

=

dt

d£

— 2 Vp + 2 +

Jjt

ar

=

••

Jjt

ai

— Â 2 ^P+fl

d yv +q+ . . . +1

-v

..

.

..

— A* "p + q+ ... +1 "r yp+q+ . . . + 2 > • • • >

~ at

at

77

—

Sub această formă sistemul se rezolvă imediat şi se capătă structura soluţiilor. Este însă mai simplu să folosim alt procedeu. Din teorema generală de existenţă a lui Cauchy rezultă că soluţia x(t; t0, x0) v a fi o funcţie analitică de t, deci putem scrie x(t; t0, x0) =

+ x(t0) (t-t0)

2

(t0) (t - t0)2 + ...

+

+ — ^ (t0) (t- t0y + . . . n !

Din sistem rezultă imediat _

* —

a ./iX»

d<

x

dt2

A JL

— —

— —

•

d<

di3

a ^ J\

dt2

x

__ J\

. . . . .

.

—

dt*

dl»"1

deci x(t0) = Ax0,$(t0)

= Ax(t0)

= A2xw

36(t0) =

(J0) =

^3ar0,...,

»>'•» (t0) = A• a>0. Eezultă a? (* i «o, «*>) =

+

1 !

~
+ i ^ » » 0 (< w. !T n

1

E + — A(t-t0) 1!

1

. . . .

+ — A*(t-t0)*+ 2 !

•••

+

<0)» + . .

...

1

+ —A*

(t-t0)"

+

n!

Aici convergenţa seriei trebuie înţeleasă ca fiind convergenţa celor n 2 serii formate cu elementele matricilore

TEORIA

59,

STABILITĂŢII

Notăm, prin analogie, E + i i ( l 1 !

-

2 !

+ . .. + —A» w!

(t - t0)« + . . . =

Cu această notaţie soluţia sistemului se scrie x0) = eA
x(t-,t0,

x0.

Să observăm că seriile de puteri corespunzătoare seriei matriciale pot fi derivate termen cu termen şi avem

dt c a m eA{t°~to) —E, d e soluţii. D a c ă A =[Al U A2J

rezultă că eA{t-^]

reprezintă

un

sistem

fundamental

atunci An = (•A* ® I, deci IO AVJ A 1 RlAt. (e >

"

0

G

Rezultă că fej,t e

m

=

' JJ

e *

•Ju • • • y Jk fiind celulele jordaniene din care e formată matricea B. Rămîne deci de precizat structura unei matrici eJt, unde J e o «elulă jordaniană. Avem * J + ţ _ j t + . . . + Jl eJt = E + + 1! 2! n!

Dar J = XE

/ j"

=

>t

fcX^ l(k-l)X*-« ii

0

x*

2 ! fcX*-1 1 !

+1,

h(i-l)..(k-p+2) '"

(p

xk_p+1

-1)! jc(ic-:)..(k-p+3)

( p - 2) !

p+ 2

\

60

TEORIACALITATIVĂA

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

I \ktk \k~Hk lk~2tk ' Tc\ (7c —1)1 2 \(Tc—2) ! lktk Xk~ltk eJt = E+

\k-v+1tk (p—l) ! (Ic—p+l) yJe-p+2 fJe

A

o

^

kl

(k-1)!

(p-2)

l(k-p+2)l

k=l

\

0 Ăi

0

fc!

\k tk kl

0

fcti

(&-1)! 2!it4(ft-2)!"" -

1

h

/ \

X ^

kl

/

\

112! |

0

(p-1)

1

1 !

0

!

0

0

(p-2)

. . .

î n acest fel structura soluţiilor sistemelor liniare cu coeficienţi constanţi este complet determinată. Comportarea soluţiilor depinde de structura formei normale a matricii A. Numerele valorile proprii ale matricii A, joacă rolul esenţial. Anume, dacă x* < 0, atunci toate soluţiile tind către zero cînd t oo; acesta este cazul oscilaţiilor amortizate. Dacă Xfc sînt reale avem aşa-numitul caz de comportare aperiodică; dacă \ k au părţi imaginare nenule apar termeni oscilatori. Dacă cel puţin pentru

TEORIA

STABILITĂŢII

61,

un Tc avem lk > 0, apar oscilaţii a căror amplitudine creşte cînd t oo. Dacă toţi au părţi reale nule sau negative avem oscilaţii stabile (mărginite) cu condiţia că dacă 5U Xk = 0 celula jordaniană respectivă să fie de dimensiune 1 ; dacă există o rădăcină cu parte reală nulă pentru care celula jordaniană are dimensiune mai mare decît 1 apar termeni în t care fac ca soluţia să fie nemărginită; aceşti termeni sînt numiţi uneori termeni seculari. Dacă toate rădăcinile au părţi reale nule şi forma normală e diagonală soluţiile sînt mărginite pe toată axa. î n acest caz soluţiile sînt în general funcţii aproape-periodice.

§ 6. FUNCŢIA LIAPUNOV LA SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI

CONSTANŢI

Să considerăm o formă liniară (a, x) şi să vedem c e condiţii trebuie să verifice vectorul oc pentru ca — ( a , x) = X (a, x), x fiind soluţie a sistemului (3) cu matrice A constantă. Avem — ( a ? x ) = ( a, — \ = (a, Ax) = ( A * a, x) = (X a, x). d£ V dt) D a c ă A*a. = Xa deci dacă a este vector propriu al matricii conjugate a matricii JL şi X este valoare proprie a matricii A, atunci relaţia este sigur verificată. Să vedem acum în ce condiţie există o formă pătratică V de forma dF V = (a, x) ((3, x) c u — = XF. Avem, x fiind soluţie a sistemului, dt

=

h df)' x) + *> {

x)

= (a Ax)

'

[

+ (a x) Ax) =

'

= X(a, x) (P, x). Această egalitate este verificată dacă X = Xx + X2, unde Xx şi X2 sînt valori proprii ale lui A iar a şi p sînt vectori proprii pentru A*. Să vedem acum cum se exprimă condiţia generală ca să existe o formă pătradV tică V = (Bx, x) astfel ca — = XF. dt Avem =

®J + ^Bx,^=(BAx,

+ (A*Bx,

x) = {(BA

x) + (Bx, Ax) = (BAx,

+A*B)x,x).

x) +

TEORIACALITATIVĂA

62

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Condiţia dV

= XF

dt devine ((BA+A*B)x,

x) = CkBx, x)

şi deci BA+A*B

=

1B,

sau BA+A*B-1B

= 0.

Această ecuaţie poate fi considerată ca un sistem liniar în elementele matricii B ; sistemul admite soluţie nebanală dacă şi numai dacă determinantul D(X) este egal cu zero. Am văzut însă că dacă X e de forma X1 + X2, unde X! şi X2 sînt valori proprii ale matricii A există forme V cu proprietatea dorită. Dar gradul ecuaţiei D (X) = 0 este egal cu numărul valorilor de forma Xx + X2 şi este n

(

n

_L_

egal cu —

— • Eezultă de aici că valorile de forma Xx + X2 reprezintă 2 toate rădăcinile ecuaţiei D(X) = 0, dacă sînt distincte. Dacă aceste numere nu sînt distincte raţionăm în felul următor. Fie X* o rădăcină a ecuaţiei -D(X) = 0 care nu este de forma Xx + X2, a cea mai mică distanţă de l a X* la numerele de forma Xx + Xa; printr-o modificare suficient de mică a matricii A putem face ca numerele Xx + X2 să fie distincte şi să difere de numerele X x +X 2 cu mai puţin decît — iar X * să difere de X * cu mai puţin de * • 4

'

4

Eezultă că X* coincide cu unul din numerele X1 + X 2 ; avem a = |X* - (Xi + X 2 )| < | X * -

,

_

,

x* | + | T* ^ x

.

oc

.

oc

(Xx+

+

oc

+ X2) I < — + — = —4

4

2

ceea ce este contradictoriu. Prin urmare în toate cazurile rădăcinile ecuaţiei B (X) = 0 sînt toate de forma + X2; rezultă că dacă rădăcinile X, ale ecuaţiei caracteristice a matricii A sînt nenule şi toate sumele Xi + fy sînt diferite de zero vom avea D (0) 4= 0. Dar de aici v a rezulta că pentru orice formă pătratică (Cx, x) există o formă pătratică ( B x , x) astfel ca — (Bx, x) = (Cx, dJ

x).

într-adevăr, —

( B x , x) = ((BA

+ A*B) x, x)

dJ

şi obţinem condiţia BA + A*B = C. Considerat ca un sistem liniar în elementele matricii B, acest sistem are soluţii oricare ar fi C dacă şi numai dacă determinantul sistemului este diferit de zero; dar acest determinant este chiar D (0) care în condiţiile noastre este diferit de zero. Se vede acum că forma B rezultă în acest caz unic determinată.

TEORIA

63,

STABILITĂŢII

Din forma generală a soluţiei sistemelor liniare cu coeficienţi constanţi se vede că soluţia banală a sistemelor liniare cu coeficienţi constanţi este asimptotic stabilă dacă şi numai dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice a matricii A au părţi reale negativa î n acest caz condiţia formulată, mai sus ca D (0) =f= 0 este evident îndeplinită, deci forma ( B x , x) există,, oricare ar fi (Gx, x). Să arătăm că dacă (Cx, x) este o formă pătratică. negativ definită, atunci forma pătratică ( B x , x) este pozitiv definită. într-adevăr, fie x0 4= 0 astfel ca (Bx0, x0) < 0. Din ^ — (Bx (t; 0, x0), x(t; di

0, x0)) = (Cx (t; 0, x0), x ( f , 0, x0)) < 0

rezultă că pentru t0 > 0 avem (Bx (t0; 0, Xq), x (t0 ] 0, x0)) < 0. Pe baza teoremei de nestabilitate soluţia banală a sistemului (3> ar rezulta instabilă, ceea ce contrazice ipoteza. Prin urmare, am stabilit, cu mijloace nealgebrice, următorul fapt algebric : Dacă valorile proprii ale matricii A au părţi reale negative, oricare ar fi matricea C negativ definită, există o matrice B pozitiv definită unică astfel ca BA + A*B = C. Prezintă interes demonstraţia pur algebrică a acestei propoziţii. Asemenea demonstraţie a fost dată în 1956 de W. Hahn folosind forma, canonică a matricilor. § 7. TEORIA STABILITĂŢII DUPĂ PRIMA APROXIMAŢIE

Una din problemele centrale ale teoriei stabilităţii este următoarea. Presupunem că avem de studiat stabilitatea soluţiei x0(t) a sistemului (1). Conform procedeului descris încă de la început trecem la sistemul de ecuaţii al mişcării perturbate. Punem y = x — x0(t) şi obţinem d£

d£

*)-/(«,

d£ =

0

ox

) = f ( t , y + xo(t))-f(t,

oo0(t))y+

x0V))

=

o(\y\)

Am notat cu — matricea dx dXjl î n mod firesc se pune problema neglijării termenilor de forma ( \V I); practic, aşa se şi procedează în majoritatea cazurilor. Justificarea

TEORIACALITATIVĂA

64

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

acestui procedeu este dată de teoria stabilităţii după prima aproximaţie. Teorema fundamentală a acestei teorii arată că dacă soluţia banală a sistemului liniar de primă aproximaţie este uniform asimptotic stabilă, neglijarea termenilor de grad superior în studiul stabilităţii este admisă. TEOREMA 1.7. Considerăm sistemul: ^L = A(t)y dt unde A (t) este mărginită

+ Y(t,

y),

(4)

(sau mai general ^ | A (u) | du = co (t — s)) şi .8

I 3T (t> y) I
y 0 ), y(t;t0,

y0)).

Funcţia F* (t) este chiar derivabilă şi avem = 2 ţ 7 (t) y (t; *„,

+ ('^

y ( f , t0, y0), y(t ;«.,*)]

= 2 ( 7 (t) y(t; <„, y0), A (t) y(t; t0, y0)) + 2 ( 7 (t) y(t; +

t0, y0),

Considerăm soluţia x (u-,t,y 7 * * (u) = (V (u) x(u-,t,y(t;

y(t;

=

y0), Y(t, y (t; t0, y0))) +

<0, y0))-

(t; t0, y0))

a sistemului (3)

<0, y0)), x(u-,t,

şi fie

y (t; <0,

Conform celor stabilite în teorema 1.6" avem d 7 " (u) = —\x(w,t, du Pe de altă parte , 1 du

)

= 2 ( F (u) x (u ; dF + —— ® (w; du

y (t; t0,

y0))

(«; «0, y 0 )), J. (ti) x(u;t, y (ti t0,

® («*; h y(t;

y(t-, t0, y0))) t0, 2/0)))-

+

TEORIA

STABILITĂŢII

65,

Rezultă 2 ( F (u) x (u j t) y (t; t0, y0)), A (u) x{u-,t, +

; *9ytii

2 / o ) ) > t

0

, y

y (t; t0, y0)))

) ) J = —I®

0

+

y (*; *o» yo)) I2.

;

Această egalitate devine pentru u = t dF \ 2 (V (t) y (t; J0, y0), A (t) y (t; t0, y0)) + (— y (t; t0, y0), y (t; tw y0) j = I y(t->to> Vo) I2'

= -

Folosind acest rezultat, deducem dF* -—= dt Avem

\ y (tit0,y0)\*

Wy(*î*wyo)»

+ 2 (V (t)y (t;t09

y 0 ), Y («, y (t; t0, y0))).

(I;«o,yo)) K ^ l y (tîhiyo)

Presupunem c < — ş i

|y 0 I < j / j j ^

11 r & y t o ^ y o ) ) ! .

Atunci, pentru valori

destul de apropiate de va rezulta |y (t; t pentru care |y (t; y0) | < fe,

y0) | < h; pentru valorile («; l0, y0) I2 < 4" M*' ^ »o) l2>

I V (t) y (t; t0, y0), Y («, y («; «0, y0) | < Jfc

4

deci dF* 1 < - — ly d£ 2

2/0) I2'

De aici rezultă însă că 7 * (t) descreşte, deci V* (t) < F* (t0) = ( F (*0) 2/0, y 0 ) < Jf |y 0

< p ^

ţi din V

(t)>

[x

(# î #0, y0)I2

rezultă \y(t-,t0,

y0) |2 < fe2.

Fie T astfel ca 12/ ( T ; toi yo) I = h I yttî

yo) I <

h

pentru J 0 < J < T ;

din calculele de mai sus rezultă \y(Tit0,

y0)

|2
deci existenţa lui T este contradictorie. Rezultă că pentru orice t^

t0

TEORIACALITATIVĂA

66

avem | y (t; t0, y0) | < h deci

dF*

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

1

<

| y (t; t0, i/0) | 2 . Teorema este

dJ 2 demonstrată. Teorema 1.7 poate fi demonstrată şi prin altă metodă, mai simplă, care nu foloseşte metoda fnncţiei lui Liapunov, ci se bazează pe unele considerente specifice din teoria sistemelor liniare. Fie y (t; y0) o soluţie a sistemului (4). Avem d y ( t

\ y y o ) = A (t)y(t;

t0, y0) + Y ( t , ; < ,

0

)).

Considerînd pe Y (t, y (t; t0, y0)) ca o funcţie dată de t, aplicăm „formula variaţiei constantelor" stabilită în § 3. Eezultă y (t; to, yo) = o («;

2/0 + [ 0 (t; s) Y (s,y(s>t0,

y 0 )) ds,

Deoarece prin ipoteză soluţia banală a sistemului (3) este uniform asimptotic stabilă, ea rezultă exponenţial stabilă, deci | C(t; t0) |<

Be~« <*-<•>.

Eezultă I y(t;

2/o) I <

| y0 | + C Be-««->| X

Y («, y( s;

y0)) I

Pentru toate valorile t cu proprietatea că <0 < s < < implică I y (*; 2/o) I < rezultă «o, y 0 ) I <

{t k)

~

12/0 I +

c e " | y ( * ; « o , 2/0) I

Fie *(*) =

e*\y(t',t0,y0)\.

Avem < Bu (t0) + Bc f u(s) ds. \ Pe baza lemei 0.6 (consecinţa 2) rezultă u(t) < Bu (t0) eBc{t~^\ deci e * l y(t',t0, y0)\, y0)I <

B\y0\

TEORIA

67

STABILITĂŢII

deci dacă | y0 | < — (vom presupune B > 1) relaţia B 2/0) I < * v a rezulta adevărată pentru orice t > t0. Dar atunci, pentru orice t > t0, rezultă I y(t ]t0Jy0)\^> B e - ^ ^ ^ | y0 | cu % = a — Bc > 0 şi deci soluţia banală a sistemului (4) este exponenţial stabilă. Să observăm că în această demonstraţie nu se mai foloseşte faptul că ^ | A (u) | du

<

co

(t — s);

.8

în demonstraţia precedentă acest fapt intervenea pentru stabilirea proprietăţilor funcţiei (V (t) x, x) din teorema 1.6". Vom pune acum în evidenţă unele generalizări ale teoremei 1.7. Am văzut în treacăt în § 2 că dacă |f(t,

x) | < L (r) \x | pentru \x \ < r

şi dacă soluţia banală a sistemului (1) este uniform asimptotic stabilă şi în plus I % (t; hi ®o) I < <1* (* — h) I xo I > stabilitatea este exponenţială. Demonstraţia s-a făcut cu ajutorul construirii unei funcţii Liapunov de forma rt+T

V (t, x) = \ A

x)\2d
\x(t ;t,

Prin urmare, dacă / îndeplineşte condiţia de mai sus şi soluţia banală este exponenţial stabilă, există o funcţie V cu proprietăţile I* Nl2<

x ( dt Vom presupune în plus că

IM

V(t,

x)<M

| x

x

i) ~ f (h ^2) I <

\

L

t

i

«o, ®0))<

-

V Wti*o, 2

x

o) I2-

(r) I xi — x2 |pentru | xx | < r, \x2 | < r

şi vom arăta că în acest caz există o constantă K astfel încît \V(t, xx) — F(J,a? 2 )|< K (\x1\+

| x2\)

\xx—x2 | pentru | xx | < S 0 , | a ? 2 | < S 0 .

Avem x(u; t, xt) = x1 + \ f(s, x(s ; t, xx))

ds;

dacă \xx\ < 8 (r) rezultă I x(s ; t, xx) | < r deci

| f(s, x(s ; t, xx)) I < L (r) | x(s ; t, xx) |.

TEORIACALITATIVĂA

68

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Eezultă, pentru \xx\ < 8 (r), | x(u-, t, x1) I < I xx I + ^ L(r) I x(s ; t9 xx) | ds. Conform lemei 0.6 (consecinţa 2) rezultă deci |eTi(r)

| x(u ; tj x j \ < | xx pentru t < u < t + T, Mai departe

| < 8 (r).

I oc(u; J, a?i) — x(u ; t, x2) | < [ L(r) | x(s ; tjXj) — x(s; I, x2) | ds + |a?i — x2 | A dacă I I < &(r), I | < S(r), deci ; t,

; t, x2) | < | x± — x2 | eTL{r) pentru t < u < t +

—

T.

Folosind aceste evaluări, deducem pentru | xx | < 8(r), | x2 | < 8(r) (t+T

| V(t,

i

ri+T

^)|2dti - \ Jt

xx) - V ( t , x%) I = I V ( (| x(u

xj I + | x(u jt, x2) I) (

; t, xJl-l

tf2)|2dn|

| x(u; t, x(u-,t,

=

x2) |) du | <

rt+T

< \

(

; t, XJ I +

Ix(u ; t, #2) |) \x(u ;

a?a) — x(u ; J, a?2) | du <

ff + T < \ Punînd

I e Ti(r) +1

(I

= Te^(\x1\

|eTZ(f)) I

—

+ \x2\)

|e Ti(f) dw = *2|.

K — Te2TL{r) rezultă |F (t,

-

V (t, x2) | < K (

| +

\xt |)

-

xt\.

Putem demonstra acum t E O R E M A 1.7'. Dacă \f(t, — / ( * , y 2 ) | < Z (r) | ^ - y 2 | p e n t r u 12/11 < ^ 12/2 I < r I 0 (*9 y) I < Li (r) I y I \y\
= f(t, y) + M, y)-

(5)

TEORIA

Demonstraţie.

69,

STABILITĂŢII

T — 2

Fie y (v ; t, y) o soluţie a sistemului (5) cu | y | <

Avem rv

y(Vjt,y)

rv

\ g[u, y(u ; t, y)] du,

= y + \ f [u,y(w,t,y)]du+

deci rv

I

rv

y) | < | y | + \ L(r) \ y(u; t, y) | du + V Lx(r) \ y(u; t, y)\ .< .t pentru toate valorile t < v astfel încît dacă t < w < v să avem Iy iu > h y) I < r• Rezultă y(f>; t,

du

I y (V 5 t, y) I < I y I ehiL{r)+L«r)) pentru t < v < t + h. r De aici rezultă că dacă | y | < — şi Ji e suficient de mic, \y (u; t, y) | < r 2 pentru toţi t < u < v şi inegalitatea e adevărată pentru orice v cu t < v ^ t + Ji. Fie x (v; t, y) o soluţie a sistemului (1). Avem vi?*

t>y) — ®

\ U(u>

y)=

y(u*>

y)) - /

x

sO)]

+

+ (j g (u, y(u; J, deci I y (v;

2/) - ® («;

+ T L(r)\y(u;t,y)

y) I < J

~x(w,t,

(*•) I y (w,t,y)\du

y)\ du <

+

(r) e* <'>+* <'» \y\

+

.t

+ \ L .t

(r)

|y (u\ t, y) — x (u; t,

dw.

Rezultă Iy ; y) — ® ; y) I < (r) eJliL>{r)+L{r)) ehL{r) \ y | pentru t < v < t + Ji. Ţinînd seama de aceste evaluări deducem | V (t + Ji, y (t + Ji; t, y)) - V (t + h,x (t + Ji; t, y)) | < < K (©mm^c» \ y\+ ehL {r) \y\)JiLx(r) y | deci I V(t + Ji, y (t+Ji; t, y) -V

t, y)) | < 2 K L , (r) eih<*<'>+L><'»l y

(t + h,x(t+h;

De aici rezultă lim sup

+

Jl

+

+

<

2 K L i {r), y , , .

TEORIACALITATIVĂA

70

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Avem v

lim

+

y (* +

n

>*o>yo)] -

fc-M>+

J^

=

< l i m sup

+

J^

7

ft y

*<» ^

=

Jl

y [«+

gup

y ( < + * ; <, y («; t0, y 0 ))] - Y P,y (*; h, y 0 )] h

<

v i * + W + * ; % (<; « 0 , y 0 ) ) ] - T [ < + f t , * ( « + * >*>y « ; *o> y»))] gup

V[t

+ h,x(t

+ h',t,y(t;t0,

/*-><>+

+

y 0 ))] - V [ t , y (t; /„ y,)] ^ h

<2EL, dacă | y (t; t0, y0) | <

(r) \y(t-,t0,y0)\*-±-\y T 2

z

(t-,t0,y0)\*

Fie Lx (r) suficient de mic pentru ca

rezultă r p + *.y(« + » ; < . , f t ) ] - m y ( « ; < . , y . ) ] < - J L | y ( < ; < . > y . ) | . Ji 4 T dacă |y (t; t0, y0) < Eezultă de aici că F [tf, y (t; ?/)] este descres2 cătoare deci î* Iy («; «o^PCF (*; «o> y0)]<7 («o>2/0) <M\y0\* \l M r deci dacă \y0 \
T < — > deci funcţia F (tf, x) construită pentru sistemul (1) pe baza pro2 prietăţii de stabilitate exponenţială verifică pentru sistemul (5) toate condiţiile din teorema 1.5. î n acest fel teorema 1.7' este demonstrată. Yom da şi pentru această teoremă încă o demonstraţie, bazată pe o idee principial nouă, datorită lui Barbaşin. Yom presupune că I 9 (h y2) - 9 (*9 Vi)\< Ca mai sus vom scrie y (*; *OJ yo) + \9 X

(r) \Vi - y2 I pentru |y x | < r, \y%\
y<>) = \ X

C«9y(«9*09

+ ( {9 K y

L

+

= [ {flu,y(u;t0,y0)]—f\u,x(u;t0,y0)'\}ău X ;

l>, ® (*;

2/0)]}^ +

X

+ ;«0>yo)]d*.

TEORIA

STABILITĂŢII

71,

Eezultă e"a(tt-^

\y(*ito,Vo)-*(*ih,Vo)\<^(r)Bţ { 2L(r)\y(w,t0,y0) X

—

\y0\&u

+

x(u-,t0,y0)\du

deci Lx (r) B

|y(*;
«

2 L (r) (*-«o)

e

|y0|

pentru care Z

z F i e e > 0, | y 0 | < — — , T= 2B

Z 1 — In a

şi ^ (r) astfel ca

L,(r)B l V } a

2ri f

e

(>

1 <—. 4

Avem lyol
Mai departe, pentru acei t0 <

dacăc<-^.

4

2

+ T pentru care li

rezultă \y(u;to,yo)-®(w,t0,y0)\

<

2ri f

L*(r)B

e

(>

1 |y0| < — |y0| <

a

e — ,

4

deci

8B

2

8B

2

Eezultă c ă | y ( ^ ; < o > y 0 ) l < — pentru J 0 < w < f 0 + T ş i în plus 2 I y ( « î *0» y 0 )l < E Pentru < 0 <M<< 0 + T. Mai departe 25

8B

8.B

8.B

42Î

TEORIACALITATIVĂA

72

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Considerăm acum intervalul t0 + T < t < t0 + 2T; în loc de y9 vom pleca cu valoarea y (t0 + T; t0, y0) pentru care am stabilit evaluarea | y (t0 + T ;t0,y0)

| < —— • Aceleaşi calcule ca mai sus (în care rolul lui z 4 B

este luat d e — ) conduc la | y (t; t0, y0) \ < — p e n t r u t 0 + T < t < t 0 + 22 T 2 2 (h + 2 T]

t0, y0) | <

8 B

• Continuînd în acelaşi mod se

pentru t0 + nT < t < t0 + (n + 1) T evaluarea |y (t;t0, Eezultă în orice caz că dacă pentru orice t > t0. Dacă \y0 | <

y0) \ <—— • 2»+i

< — — a v e m \y(tţ 2 B rezultă | y (t; t0,

capătă

t0, y0)

<

| <e pentru

t0 + w T < t < t 0 + ( w + l ) T. Fie t > t0; există m > l astfel ca t0 + ( m — 1 ) T < +

m atunci mT > t — t0, m > — jt (t—10), 2 >

2T(t~to)

W 2—

<

< 2 - F ( t - ^ . Din « > f 0 + (m - 1) T rezultă

1 luînd ol1 = — In 2 avem 2 = e*iT , deci | y (t; t0, T

r | < — e 2

_ a i

, ceea

ce dovedeşte că soluţia banală a sistemului (5) este exponenţial stabilă. Yom demonstra acum o teoremă de stabilitate după prima aproximaţie, valabilă numai în cazul cînd sistemul de primă aproximaţie nu depinde explicit de t ; extinderea ei în cazul general este încă o problemă deschisă. Teorema a fost demonstrată pentru prima dată în 1951 de I. G. Malkin. Alte demonstraţii au fost date de J. L. Massera şi ÎT. ÎT. Krasovski. Aici vom da o nouă demonstraţie bazată pe unele rezultate subliniate mai înainte. TEOREMA 1 . 7 " . Considerăm sistemul ^

= X(x)

+ R(t,x),

unde X (lcx) = Jcm X(x), | R (t,x) |
banală a sistemului

bilă, atunci soluţia banală a sistemului

(6) de

= X (x) este asimptotic stadt (6) este uniform asimptotic stabilă.

TEORIA STABILITĂŢII 73,

Demonstraţie.

Considerăm sistemul X(z) __ — p e n t r u \z \ 4= 0, — 2 0 pentru \z\ =0.

dz dT

(7)

Fie z (t ; t 0 , XQ) o soluţie a sistemului (7), t

( t ) = T

-

du,

Jo t (t) funcţia inversă corespunzătoare. Fie ' y(t) = z[ t (t); Eezultă

d<

d-r

d*

r0,x0].

|«[t(«);

dx =

x[0(t(i);to,®

o

)]

deci dt = t (t 0 ).

în plus y (t0) = x0, unde

Deoarece am presupus că soluţia sistemului omogen este asimptotic stabilă putem scrie |yWKx(l*ol)
I)

(« - *<>)•

Eezultă i« (t ; t

0

,

X0) i

Dar deoarece z (u; t 0 , 1 is

unde

;t

0

, ^o) i m

1

<

x ( i X 0 ) i

(t

(t) - «

(t0))

=

e mărginită, rezultă că

> l > 0, deci | ^ (t ; t 0 , x0) | < x ( i ®ol)ty(l (t - t 0 ))

= X ( I ®o I ) (r) este monoton descrescătoare şi

— To)>

lim <];* (r) = 0. Din această evaluare rezultă că soluţia banală a sistemului (7) este uniform asimptotic stabilă, deci pe baza unei observaţii din §2 este expo-

TEORIA CALITATIVA A ECUAŢIILOR

74

DIFERENŢIALE

nenţial stabilă. F i e acum x {t; t0, x0) o soluţie a sistemului (6). Punem t (t)

=J'l®(u;/o,«o)l"~1d«;

fie t (a) inversa acestei funcţii şi = x(t ( t ) ; t 0 , x 0 ) .

y(i) Avem

i4i \ *

d

dT =

(X

\

dt

[ » ( t ( t ) ; t 0 , «0)]

(t)

dT +

R [ t ( t ) , x (t ( t ) ; «o,

a>0)]) dT

=

( x [ » ( i ( t ) ; <0, «o)] +

d* 1

R [ t ( t ) , ® (t ( t ) ; « 0 , a> 0 )])

t)]

+

| y ( t ) r - i

l y w i -

(I)

1

Eezultă că y (t) verifică sistemul d^ _ dT

X(y)

^ •

.B(<( T ),y)

+

IyI

dacă | y |

0,

lyl* dT

= 0 d a c ă |y.| = 0.

Din \R(t,y)\
x(t-,t0,x0)\
lsZo>lm_1
-oc \ J(

»

XN

TEORIA

o o , t (t)

Dacă pentru t

STABILITĂŢII

75,

t » < o o , atunci soluţia

nu ar fi prelungibilă dincolo de t » deoarece pentru t t » avem t - + o o . Dar soluţia y (t) este prelungibilă pentru orice t , deci obligatoriu t® = oo. Eezultă că integrala este divergentă deci are loc stabilitatea asimptotică. Teorema este demonstrată. Să punem în evidenţă caracterul stabilităţii asimptotice pentru sistemele omogene considerate. Presupunem m > l . Pentru sistemul X(z)

ds dT

z= 0

0

stabilitatea asimptotică este totdeauna exponenţială, deci \x0 |, deci (to)] Xn

S ă evaluăm pe | z (t ; t 0 , x0) | . A v e m

dx

z (t ; t 0 , x0) = Z (z (t ; t 0 , x0)), unde

a m notat X(z) Z(z)

rr,

=

« = 0;

dT D a r Z (s) e omogenă de gradul întîi deci \Z (z) | < L | z |, unde L = sup \Z(z) |. .Eezultă 1 d 2 dT dBci - ^ - ^ - l n

2 I n \z

(t ; t

| s ( t ; t

dT 0

, x0)

|•2 >

0

, ^

0

)

- 2 L ( t - t

|

2

| < i , ^ - l n | s ( t ; t

0

)

+

In |

|2, | s{t ;t

, ^

0

dT 0

,

0

|

2

>

) |2 >

- 2 i ,

e "

2

^ — |

|i,

deci i « (t ; t 0 , ®0) | >

| ®0 |, | * ( t ; t 0 , x0) r-1

<

. g(m-l)L

i®o r

1

> e-n»-» (T-T0)

|

I—1,

TEORIACALITATIVĂA

76

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

Eezultă (T) ^ dT

^

1

e (m-l)i(T-To)

| # o l

w _ 1

deci

_1

—

fT"T°e { m ~ 1 ) L a d(j = V

1

l ^ o h ^ . o

De aici

/e(m-i)i(T-T0) _

( m - l ) Z K r -

1

1 + (m — 1) L | x0 I™"1 (t — t0) < e^"1*L i [ 1 + (m - 1) L | r-1 (t - tQ)] L < e(w-1J a

1

[ 1 + (m — 1 ) L | x01™" (t - J0)] L < e ( m _ 1 ) a
1

0

[l + Eezultă

(m-l)L\x0\^(t-t0)]

m

~1

I y (t; «o, «o) I < Bm

l

L

Ţ>m~l I rp \m-l e -«*-»«<*-*>

1<

—

[l +

im-VLfar-^t-VY

sau

= S [[

| -f— 1 ' + (m — l ) i (i — #0)]

£(

"-1) |a»|

1-

Krasovski a demonstrat că dacă soluţia banală a sistemului dt verifică o evaluare de acest tip, atunci se poate demonstra o teoremă de stabilitate după prima aproximaţie de tipul teoremei 1.7". Este însă o problemă deschisă dacă o asemenea evaluare are loc întotdeauna pentru sistemele omogene. Yom stabili acum unele teoreme de stabilitate după prima aproximaţie cu caracter mai puţin general, dar care se pot dovedi efective în diferite cazuri concrete. PROPOZIŢIA 1 . Considerăm sistemul dx — =A(t)x + X(x, t), dt 2 unde | X{x,t) |

TEORIA

77,

STABILITĂŢII

Dacă există o matrice G (t) autoadjunctă si pozitivă forma ermitică (Gx, x) să fie pozitiv definită) astfel încît

(adică astfel încît

dt = — atunci soluţia banală a sistemului este asimptotic stabilă. Aici qM este cea mai mare valoare proprie a matricii A + G~1 G + 1 + G~ A*Gy iar X şi a sînt respectiv cea mai mică şi cea mai mare valoare proprie pentru matricea G. Demonstraţie. Fie Ut) = (G(t)x(t-,

t0, x0), x(t]t0J

x0)).

Avem d^r d

t

[ +

d

— «(<; t0,x0), d t x(t;

t0,

x(t;t0,x0))

+ (G(t)—x(t;

«o, »0), x(t; t0, x0)) +

di

«

o

)

,

«

(

i

;

, « o )

j

= ^

x(t;t0,x0),

(G(t) A (t) x(t; t0, x0), x(t; t0, x0)) + (G(t)X(x(t; + (G(t) x(t-,t0, =

x0), A(t) x(t; t0 x0)) + (G(t) x (t; t0,x0),X(x t0, x0), x(t; «o, «0)| + (G(t)A(t)

x0)f X(x(t;

«

t0, x0),t),x(t-,t0,

t0, x0), t)) = (Q(t)x(t;t0,

) j

0

+

x0)) +

(t-,t0, x0),t)

x(t; t0, x0), x(t;

+ (A* (t) G (t) x(t; «o, x0), x(t; t0, x0)) + (G (t) X(x(t; + (G(t) x{t-,t0,

; <0,

=

t0, x0) +

t0, x0), t), x(t; t0, x0), x{t-,t0,

«0))+

x0)) +

to J ^o) > t))j unde am notat Q(t) = ^ + dt

GA+A*G.

Avem G~l

Q (t) = G1 — + A + G'1 A* G, dt

(t)

deci qM este cea mai mare valoare proprie a matricii G1 Q. Avem (Qx, x) < qM (Gx, xyy *) într-adevăr, să considerăm funcţia (Qx,x) dată pe ( G x t x ) = 1 ; deoarece (Ga;,ic) = l e compactă, există Xjf = sup (Qx,x). Conform teoriei generale a extremelor cu legături, punctele (Gx,x) = 1

{(Qx,x) — (X gz,x)} = dx are soluţii nenule numai dacă det (Q-XG) = 0. Dar de maxim verifică relaţia

0 deci (Q — X G) x = 0 ; această ecuaţie

det (Q-XG) = det G det (G" 1 Q-X £ ) , deci X verifică ecuaţia det ( G - 1 Q-X E) — 0 deci e valoare proprie a matricii G _ 1 Q.

TEORIA CALITATIVĂ A

78

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

D e asemenea, se demonstrează imediat inegalitatea (
2 |iGx, x)

(Qy,y).

Ţinînd seama de aceste inegalităţi rezultă S + 2 VZ(GX,

dt

X).

Dar (GX,X)
= — X

* ) < — x ) . x

Prin urmare d

I UJ

deci

Rezultă 5 («) < (^«0, «o) e Pe de altă parte, l(t) = (0(t) x(t;t0,

a?0),

< 0 ,«o)l 2 -

t0, x0))>X\x(t-,

Eezultă f { ( « U + 2 3 1 / a ) dt

X(l) |

«„) | » < A(« 0 )| «o |» e J , A

r

,

deci

Dacă \(t) > X0 > 0 şi dacă jj ^

+ 2(3 / y ) 4 *

—

°°

CÎnd %

°°r

soluţia banală rezultă asimptotic stabilă. Dacă în plus

stabilitatea este chiar exponenţială. Teorema este demonstrată. Să considerăm un caz particular important. Presupunem că A e Dacă x0 e punctul de maxim, x 0 este vector propriu pentru G~ 1 Q, deci(Qx 0 ,x 0 ) — X(Gx 0 x 0 )= = 0 ; cum (Grr0, x 0 ) = 1 rezultă (Qx0, x 0 ) = X, deci Xjf este valoarea proprie a lui G _ 1 Q corespunzătoare lui x 0 . Cum valoarea (Qx 0 ,x 0 ) este maximă, rezultă "KM—QM- De aici rezultă imediat evaluarea scrisă.

TEORIA STABILITĂŢII 79,

constantă şi că forma normală Jordan corespunzătoare este diagonală. Fie C matricea care aduce pe A la forma normală Jordan G — C*C. Atunci Şi

G'1 Q = A + G~XA* G = A + C'1 O*-1 A* C* C

C G'1 Q O"1 = CAC-1 + C*"1 A: C* = CAC-1 +

(CAC-1)*.

Eezultă că valorile proprii ale matricii CGQC'1 care coincid cu cele ale matricii G'1 Q sînt tocmai dublul părţilor reale ale valorilor proprii ale matricii A . Presupunînd că părţile reale ale valorilor proprii ale matricii A sînt negative şi notînd cu —d pe cea mai mare dintre ele, condiţia din teoremă devine ^ - i + ^ A ) *

— CX).

Semnificaţia acestui rezultat este următoarea. Se ştie că dacă matricea A are valorile proprii cu părţi reale negative, soluţia banală a sistemului liniar de primă aproximaţie este uniform asimptotic stabilă, deci funcţionează teorema de stabilitate după prima aproximaţie. Eezultatul de mai sus permite evaluarea lui p astfel încît stabilitatea să se păstreze; de exemplu, presupunînd că p este constant, obţinem evaluarea

/ A . "

A

i n sfîrşit, să observăm, că metoda folosită ne-a condus nu numai la o teoremă de stabilitate după prima aproximaţie ci şi la o evaluare a soluţiilor. Alegînd convenabil matricea C? se pot obţine formule tot mai precise de evaluare a soluţiilor. PROPOZIŢIA 2 . Considerăm din nou sistemul din propoziţia precedentă, şi presupunem jj°V(*) di < oo. Bacă soluţia banală a

sistemului

f

dt

=

Mt)y

este uniform stabilă, atunci soluţia banală a sistemului stabilă. Dacă soluţia banală a sistemului

dat este

uniform-

este uniform asimptotic stabilă, atunci soluţia banală a sistemului uniform asimptotic stabilă. Aici se presupune că

dat este

f

dt

C |A(u) X

=

Mt)y

| du < 6)(t -

t0).

80 TEORIA CALITATIVĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Demonstraţie. Yom demonstra această propoziţie în două feluri. Prima demonstraţie se bazează pe construcţia unei funcţii Liapunov. Din ipoteza de stabilitate uniformă rezultă |C (t, s)\ \x\ V(t, x) < M \ x |. Mai departe | | y(t-a^xx)

| - | y(t + c, t,x2) || <|y(<

+

ff—

x2) |<

M\xx-x21

{am folosit liniaritatea sistemului de primă aproximaţie). Eezultă | y(t + o-,t, xx) \ <|y (t + a; t, x2) |+ M \ x1—x2\, deci V(tj V(t,x2) + M\x1-x2\. La fel V(t, x2) < V (t, xx) + M \xx - x2 | deci I V(h

~ V(t, x2) |< M l ^ - ^ l .

Funcţia v*(t) =

y^y{t)tQJx0))

este monoton descrescătoare (vezi teorema 1.2'). Avem x(v;

t, x0) — ^o + \ {A (u) x(Ujt9 jt

x0) + X(x (u ; tj x0)j u)) du

Pentru \ x0\ < — rezultă, dacă t <] v < t + ^ şi ^ e suficient de mic, 2 \x(v,

f, x0) I < |a?0| + {

\ x(u-,t,x0)

.t

I + $2(u) \x(u;

t, x0) |} d^

deci \x(v\

/, a?o)l
e

Mai departe x(v,t,

x0)—y(v,t,

x0) = ^ A(u)[x(u;

-h V JT Jt

t, a?0) — y(u-,

; t, # 0 ), w) du.

t, #0)1 dîi +

TEORIA

STABILITĂŢII

81,

Eezultă V (M (u)\+Piu))du l | x(v ; J, x0) - y ( v , t , x0) | < |a?0| e J A -f \ .'t

|

$2(
t, x0) — y(u) t, x0) | du

deci Ct+h

\x(v;t,

x0)-y(v;t,x0)\4C\x0\\

f' t + h

$2(u) du ©J«

{2 («) l - P«(M)> d«

J« pentru t < v < t + 7L Ţinînd seama de această evaluare deducem | V [t + h, x(t + h ; t, x)] - V [t + h, y (t + h ; t, x)] |< rt+h

< M \

C'+A{2M(tt> l + (î8(«)> du $ (u) du e^ 2

Jt

deci m u sup

yn +

M ( t u ^ ) ] - y [ « H i f ( t + > i ^ ) ] h

< J f ( l

,

( < ) H i

De aici, cu ajutorul unui calcul pe care l-am mai făcut (vezi de exemplu teorema 1.7'), rezultă lim sup n t + n , x , ( t + h - , t , x ) ] - V [ t L x 1 < M ^ A-+0+ /t Notînd

x] <

M

p2

F**(«) = 7 [«,«(«, «o, ®o)L deducem lim sup V* * { t ^-•0+

+

h)

~ h

(<)

< M p» («) 7 " ( « )

deci M f' p2 («) dt* sau M C* P2(«) du ceea ce împreună cu^ p2 (w) du < K atrage | x(t-,t0,

ilfC' P2 («) du x0) | <; MeMR ja?0|

şi prima afirmaţie a propoziţiei e demonstrată. Pentru cea de-a doua afirmaţie, procedînd ca în teorema 1.7, alegem funcţia (V(t) x, x) dată de teorema 1.6" şi notînd V*(t) = (V(t) x(t-, t0 xQ),x(t-,t0,

x0)),

TEORIACALITATIVĂA

82

deducem dF* = - I®(t; t0, x0) dt < -1

(t; t0,

ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

+ 2 (7i(l) x(f,t0,x0),X

(x(t;

t0, x0), t) <

|» + 2M p» \x (t; t0, x0) |» < _(Î_MJ!>

y*

M

{t)

deci dt de aici deducem ln7*(«) - In 7 * (t0) < - l ( « _ | M

0

) + 2 J f f (J2(«) d «

>

deci 7*(0<^*«o)e

e

^

<Jf|»0|2e

de unde se capătă in definitiv !*(<;«.,

Kl

şi propoziţia e demonstrată. Cea de-a doua demonstraţie foloseşte formula variaţiei constantelor x(t-,t0,x0)

= C(t-,t0)x0

+ [ 0(1; Jt0

8) X(x(s-,

t0,

x0),s)ds.

Eezultă \x(t; h, x0)\<M\w0\

M p*(«) | x(s; Jt0

t0, x0) |ds.

D e aici se capătă M F p* (*) d8

\x(t;t0,x0)\^M\x0

| e

şi prima afirmaţie a propoziţiei e demonstrată. î n sfîrşit, dacă soluţia banală a sistemului liniar de primă aproximaţie este uniform asimptotic stabilă deducem | <7(1; s ) | deci I®(«î deci notînd

K

| ®0 I + T J<0

^

p* { s ) | ^

.

Xq)

|

TEORIA

STABILITĂŢII

83,

deducem u(t) < Bu(t0) + B\! p 3 (s) U(S) ds, Jt0 deci u(t)^Bu(t0)

e

B C* P2(«) Jt

°

de unde deducem I x(t; t0, x0) | <

Jf

| x0 | e

< B © M er-»<M^ |* 0 1

°

şi propoziţia e complet demonstrată. PROPOZIŢIA 3 . Considerăm sistemul x

Tr,,

ar

Ş =

y),

dtf «md*

|y

(3>0, | Y(t, x,y) | < S

| pen/rw

Jc suficient de mic.că soluţia banală a sistemului Presupunem dz — = A (t) z dt

|
| < a0,

liniar

este uniform asimptotic stabilă. Atunci soluţia banală a sistemului dat este uniform stabilă şi în plus pentru orice soluţie pentru care valorile iniţiale sînt suficient de mici avem y(t)^

0, x(t)-+l

pentru

oo.

Demonstraţie. Yom da şi pentru această teoremă două demonstraţii, prima bazată pe construcţia unei funcţii Liapunov, iar a doua pe formula variaţiei constantelor. Fie V (t) matricea construită ca în teorema 1.6" pentru sistemul în z. ETotînd V*(t) = (V(t)y(t;t0,

x0,y0),

y(f,

t0,x0,y0))

obţinem ca în teorema 1.7 dF* —— = - I y(t]t0, dt + 2(V(t)y(t-,t0,

x0, y0),

oc0,y0)\*

Y(t, x(t',t0,

+

x09 y0)9y{ti*09

Vo)))

TEORIA CALITATIVA A

84

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIALE

deci dF* < ~ dt

«o»

|y(*; * 0 , x09 y0) |2.

Sfo) I* +

Mai departe, ca în teorema 1.7, deducem

dt

2

2M

deci - 5M ' ^ < ^l^ol2 e

(*;*<» ®o,yo)\2
\y (tjtoi

x

(<—
oi Vo) I ^ l/~

lyol.

Din ;

x u

y0) = ^o + \

(;

> xo, Vo)jy(Ujt0,

x0,

y0)]du

rezultă

= | *„ | + Z ( \ j f - J P

:

"' d.

< I * | + Jt

I»

ceea ce arată stabilitatea uniformă. î n plus, \ X O , x(u; t0, x0, y0), dw rezultă con• 'o vergentă, deci lim x (t; t0, există. Propoziţia este demonstrată. t-+oo

Trecem la cea de-a doua demonstraţie. Fie C (t, s) matricea fundamentală de soluţii pentru sistemul în z ; avem \C(t, «)| <

Be-^s)

Eezultă y Vito* + [ 0(t9 S) Y(s; X

x

o9 yo) = C(t'9to)yo

+

X(8] t0, x0, y0)9 y (s ] t0,

ds,

deci

Iy(t 9 k9

9 yo) I < Be-^•>

|y 0 I +BJc( X

|y (s ; t0, x0, y0) | ds

TEORIA

85,

STABILITĂŢII

Notînd u(t) = e«t\y(t-,t(n

x0,y0)\,

obţinem u (t) < Bu (t0) + BTci\ u (s) ds, deci u(t) <

Bu(t0)

Eezultă IV (t; h ,x0,

y0) | < Be~« ^
Dacă avem fc < — , rezultă evaluarea exponenţială pentru B \y(t-j t0J x0, y0) | şi demonstraţia continuă ca mai sus. Cu ajutorul propoziţiei 3 v o m stabili un criteriu de stabilitate de tip special relativ la sistemele de ordinul al doilea. dy PROPOZIŢIA 4 . Considerăm sistemul de ordinul al doilea — = dt = Y (y, t), unde Y depinde analitic de y şi are dezvoltarea în serie cu coeficienţi mărginiţi pentru t >- 0. Fie cp (t, Ji) o familie de soluţii mărginite pentru 0 ale sistemului depinzînd analitic de h şi cu proprietatea că funcţiile 0) sînt mărginite pentru t >-0. Dacă *;(«,o)i>Y>o

st ^

J

< — v (J — t0) +x(t)>

unde

x (*) este o funcţie

mărginită, atunci soluţia y = (t) şi obţinem dt unde dY (

TEORIACALITATIVĂA

86

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

de grad mai mare sau egal cu doi. Atît A (t), cît şi X (t> x) sînt mărginite ca funcţii de t pentru t > 0. Sistemul în x admite familia de soluţii x=9(t,

*)-
=

(t, 0)+

...

înlocuind în sistem se constată că
componentele vectorului 9h (t, 0). A v e m

2

prin ipoteză

y > 0. Fie Y = ( ^

~~

[

1

Eezultă det Y = <J£+

Y = f 4»!

şi se vede că pe baza ipotezelor teoremei, T , T - 1 W sînt mărginite» Facem schimbarea de variabile x = Ta?*. Sistemul devine — ^(tdt {

1

AY

-

T -

1

— \x* + dt)

r

1

! ^ ^ / ) .

Sistemul liniar dz . — = A (t) z dtf devine prin schimbarea de variabile 0 = — = dt \

AT-T-I — I dt I

Acest sistem va admite soluţia z[ = 1 9 z% = 0 care corespunde soluţiei Zx = S2 = <j>a. ^ De aici rezultă că matricea Y""1 A Y — Y - 1

are prima d* nulă; fie a (t), b (t) elementele celei de-a doua coloane. Avem b(t) = Sp [ y - 1 i L

f

-

r

^ U dt \

= Sp A - Sp Y - 1 — = Sp A - — dt dt

coloană

Sp T " 1 1 T - S p Y " 1 — = dt d e t T = Sp A - — l n ( + f +
TEORIA STABILITĂŢII

Sistemul în x*

87,

are deci forma — dt

=

+ xl(t,

xl9x2),

da?2 = b (t) xl + X\ (t, x\, a?;), dt unde X* are aceleaşi proprietăţi ca şi X. 1 Din x* = x rezultă că acest sistem admite familia de soluţii mărginite x* = fcY-1 ffh{t9 0) +—h2 T-1 2

0) +

...

Ţinînd seama de faptul că 9* 0) este prima coloană a matricii 1 rezultă că 0) are componentele 1 şi 0, deci x\ = h + h2 oc2 (t) + xl

=

h2

+

...,

...,

unde conform ipotezelor a* şi (3*. sînt funcţii mărginite de t pentru t > 0. Efectuăm o nouă schimbare de variabile x\ = u + u2 <x2 (t) + x\ = v+ u2 &(!) +

... ...

î n vecinătatea punctului x\ = x\ = 0 se capătă u = x[ — x{2 a 2 (t) +

...

v = a?2 —

...

p2

+

şi proprietăţile de stabilitate pentru sistemul în (u, v) conduc la proprietăţi d e stabilitate pentru sistemul în x*. După ultima transformare sistemul devine ^L dt

+ U{t,u,

v),

4î\ dt = H%)v + V(%,

«),

=

a(t)v

unde U şi T sînt mărginite ca funcţii de t pentru t > 0 şi au dezvoltări î n serie după puterile lui u şi v începînd cu termenii de grad > 2. Acest sistem admite familia de soluţii u = A, v = 0, ceea ce impune ca U (t, w, 0 ) = 0 V (t, u, 0) = 0. D e aici rezultă că pentru |u | <; u0J \v | < v0 avem | U(t, u, v) | < a | v | V(t, u, v) | < p |t? unde a şi p pot fi aleşi oricît d e mici, cu condiţia ca u0 şi v0 să fie suficient de mici.

TEORIACALITATIVĂA

88

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Pe de altă parte, din b(t) = Sp A

at

rezultă f » W d . = r (SpA, ds—In Soluţia generală a ecuaţiei

dt

«« ++

(t)

.

= b (t) w

se scrie /

5 b(8)ds
r£

v?

\ Sp A ds -In — -

Conform ipotezelor din enunţ, | w (t) | < ( w (*0) | J

Wl

|2

e--v«-*0) ex«) ^ Y ceea ce arată că soluţia banală a ecuaţiei în w este uniform asimptotic stabilă. Putem aplica propoziţia 3, deci soluţia banală a sistemului î n (u, v) este uniform stabilă, ceea ce atrage stabilitatea uniformă a soluţiei banale pentru sistemul în x*, deci pentru sistemul în x, deci stabilitatea uniformă a soluţiei cp (t). î n plus pentru u (t0), v (t0) suficient de miei avem u(t)-+h, deci x\(t) — (h + h2 oc2(J)+ .. x*2(t) — 2 — (h p2 (tf) + . . . ) - • 0 deci soluţiile x (t) tind către una din soluţiile

există h astfel ca lim(y (t) - 9 (t, h)) = 0. 2

t-yco

§ 8. STABILITATEA IN RAPORT CU PERTURBAŢII PERMANENTE

î n cele ce urmează vom stabili o serie de teoreme care pun în evidenţă faptul că dacă o soluţie este uniform asimptotic stabilă ea prezintă anumite proprietăţi de stabilitate şi în raport cu diferite clase de perturbaţii permanente. Ca şi pînă acum, va fi vorba numai despre cazul stabilităţii soluţiei banale, deoarece prin procedeul cunoscut, studiul stabilităţii oricărei soluţii se reduce la acesta. D E F I N I Ţ I E . Soluţia banală a sistemului ( 1 ) se numeşte stabilă în raport cu perturbaţii permanente dacă pentru orice s > 0 există (s) şi S2 (e) cu proprietatea ca oricare ar fi funcţia R (t, x)cu | R (t, x)\ < 82pentru

TEORIA

STABILITĂŢII

\x | < s, t > t0 şi oricare ar fi y0 cu \y0 | < temului

89,

, soluţia y (t] t0, y0) a sis-

^ - = f ( t , y ) + B(t,y) dt

(8>

verifică

inegalitatea \y(t; t0, y0) | < e pentru t >-10. 1.8. Dacă soluţia banală a sistemului (1) este uniform asimptotic stabilă, atunci ea este stabilă şi în raport cu perturbaţii permanente. Se presupune că / îndeplineşte condiţia | f(t, xj —f{t, x2)\ < I Ct+U <£(£) | xx — x2 | pentru \x± | < a 0 , \x2 | < a 0 şi \ L(s) d s
A —• 0 -f

h

i V(t, xx) - V(t, a?a) | < Jf K I pentru fa | < 8(8 0 ), \x% \ <8(&o)> unde S(s) şi 80 apar în definiţia stabilităţii asimptotice uniforme. Fie y0 cu \y0\

< — a 0 ; considerăm soluţia y(v; 2

t, y 0 ) a sistemului (8). Din

2/0? ; t, Vo) = Vo + J { / ( * ,

2/o)) +

t, 2/o))}d^

rezultă 12/ (« ; t, Vo) I < I Vo I + \ J0(u)\y(u;

t, i/0) | d^ + Ay),

unde 73 = sup |22(J, 3/) |. Inegalitatea are loc pentru t < v < J + h astfel încît

t>0,

|y (w ; tf, i/0) | < a 0 . Eezultă

\V{vi*f 2 / o ) l < ( l 2 / o l + deci pentru h suficient de mic vom avea în orice caz |y (u; t, y0) | < a 0 şi inegalitatea este adevărată pentru orice t^C v ^Ct + h cu h suficient de mic. Fie mai departe x (v; t, y0) soluţia sistemului (1). Avem 2/0)

y0) =

-b (j

\ .t

{ / ( ^

Vo))

— / ( * ,

t, y 0 )) dw-

2/o))>d^

+

TEORIACALITATIVĂA

90

Fie

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

s > 0, l < min | a (e), a

Alegem

|y 0 1 <

a 0 )J, ^ ( e ) =

(Z), S 2 (g) =

v o m avea în orice caz |y 0 1 < ~

a

oj •

D a c ă B (tj x) este astfel încît | jR (t, x) \ < pentru | x \ s, v o m avea = sup |JB(J, y)\ < S 2 . Ca mai sus se vede că dacă t>0, IvKs I Vo I < atunci pentru Ti suficient de mic v o m avea |y (u; t, y0) | < e pentru t < u < t + h. Eezultă că putem scrie evaluarea t >

Vo) — x(v

I y(v,t,

5 h 2 / o ) l < ^ i + Jj L(u)\y(u;t,y0)

-

x(u;

t,y0)\du

d e unde valabilă în orice caz pentru % suficient de mic. P e de altă parte, avem iim sup o+

«o+

h v +

lim

+

oup

v

+ fr <>y)3 -

h—•<>+

r

h P + h *(< + M t, y >]

Jt

Dar I V(t + h,y(t

+ h; t, y)] — V[t + h, x(t + h-, t, y)]

< M\y(t

+ h-, t, y) -x(t

+

<

h-,t,y)\

dacă x(t + h-,t,y)

| < S(80),\y(t

+ h-, t, y) | < S(S 0 ).

Dacă \y | < min j i §(8 0 )>-^- «o, e}> s e vede ca mai sus că pentru h suficient de mic are loc evaluarea | y(t + h-,t, y) — x{t + h; t, y) \ < h ^ e™, deci J V[t + h, y(t + h;t,

y)] - V [t + h, x(t + h-, t, y)] \ < M h ^ e™

D e aici rezultă A—• 0+ Deducem h m sup — — 5 — '

ft 9 v

—L-Ij^ZJ

LliLL < _ c (| y |) + Jf ^

<

TEORIA

< -C(\y\)

91,

STABILITĂŢII

+ M *%=-e(\y\)+e\tr-*

(l)]

dacă \y | < e cu e suficient de mic. Putem acum demonstra că \y(t ;t0J y0)\ < e pentru t^>t0. Dacă proprietatea nu are loc există tx > t0 astfel ca |y ; t0 y0) | > e ; există atunci t0
y\h)

= y [*« > y (U; *<> >

V(to)

=

F «o, yo) <

y0)]

6 (12/0 I) <

>

a

b (

(I y (U; =

fe

> 2/0) I) =

[6-

1

(l)] =

«(e) >

h

l.

Eezultă că există t0 < t3 < t2 astfel ca V*(tz) = Z, F*(t) > l pentru < t ^2* Avem »(l y(«»î *o> 2/o) I X ^ Eezultă

y(«3Î «o, 2/o)] =

= I < b [| y(h;t0,

fr-MiXly^î^oiyoîK^W

y 0 ) |].

<«.

Putem deci scrie h > y ( h ) h >

1iTn

= lim sup

+

h <-c[b-i(l)]

2 / o ) ) ] - ^ [ ^

< - 0(1 y + c[b~i(l)]

y(«»;

*o> 2 / 0 ) ]

_

; t0, y0) |) + o [b~HD] < = 0

deci V*(t) < V*(t3) = l pentru t > tz ceea ce este contradictoriu. Teorema a, fost astfel complet demonstrată. Yom da acum unele aplicaţii ale acestei teoreme. Aplicaţii. 1° Să presupunem că sistemul (1) conţine un număr de parametri; vom nota cu a un punct în spaţiul parametrilor. Sistemul (1) se scrie — =/(*> x 5 «). dt Mulţimea punctelor pentru care soluţia banală este uniform asimptotic stabilă formează în spaţiul parametrilor domeniul de stabilitate al sistemului; fie G acest domeniu. Considerăm un punct a 0 £fr G;punctul se va numi punct nepericulos al frontierei domeniului de stabilitate dacă pentru orice e > 0 există 81(z) > 0 şi S 2 (e) > 0 cu proprietatea că dacă I xo I < (£) fi p(a> «o) < M s ) , atunci |x(t; t0, x0; a) | < e pentru t >• t0. A m notat aici cu p (a, a 0 ) distanţa dintre a şi a 0 în spaţiul parametrilor. Semnificaţia acestei definiţii este următoarea. Dacă a 0 este un punct al frontierei domeniului de stabilitate, oricît de aproape de el se află puncte din afara acestui domeniu, deci puncte a pentru care soluţia banală încetează să mai fie stabilă; faptul că a 0 este un punct nepericulos al frontierei înseamnă că dacă a este destul de apropiat de a 0 , chiar dacă se află în

TEORIA CALITATIVĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

92

afara domeniului de stabilitate, soluţia x (t; t0J x0J a) continuă să rămînă apropiată de soluţia banală, deci se păstrează anumite proprietăţi de stabilitate, suficiente pentru nevoile practice. Eezultă de aici că punctele nepericuloase ale frontierei domeniului de stabilitate au proprietatea că ne putem apropia oricît de mult de ele fără să riscăm ca erori sau perturbaţii mici să provoace pierderea stabilităţii. O consecinţă imediată, a teoremei 1.8 este următoarea : Dacă soluţia banală a sistemului — = / ( « ; ®; oo) dt este uniform asimptotic stabilă, punctul frontierei domeniului de stabilitate. într-adevăr, sistemul SI*

— =/(«, dt

se poate scrie

a 0 este un punct

x

nepericulos

al

\

; a)

dx — = f(t, x ; a 0 ) + {/(«, x ; a) - f(t, dt

# ; a 0 )}.

Punînd £(t,

x) = f ( t , x; a) —f(t,

x; a 0 ),

rezultă că dacă presupunem că / este continuă în raport cu a, uniform în raport cu t, x, atunci pentru S 3 ( s ) > 0 dat există S 2 (s) > 0 astfel ca, p( a i> <*0) < S2, \x \ < s să implice \R (t, x) | < S 3 ( s ) . Soluţia banală a sistemului • d^

=/(«;

x; oc0)

fiind uniform asimptotic stabilă, ea rezultă stabilă în raport cu perturbaţii permanente, deci există S^s) şi &3(s) astfel ca | x0 | < &i( e ) şi I R(t,'x) | < $ 3 (e) pentru | x \ < e să implice | x(t; t0, x0) | < e pentru t > t0. Dar p (a, a 0 ) < S 2 (s) implică \R(t, # ) | < S 3 (s), deci, dacă \x0\ <S 1 (e)şi p (a, a 0 ) < S 2 (s) rezultă \x(t; t0J x0; a) | < s pentru t^>t0, ceea ce arată că a 0 este u n punct nepericulos al frontierei. Să observăm că din cele de mai sus decurge importanţa studierii stabilităţii şi în punctele frontierei domeniului de stabilitate. Acest studiu este de obicei mult mai dificil decît pentru punctele interioare ale domeniului de stabilitate. 2° Considerăm sistemul -vru \ — = X{t, x, y ) , dt

=

y),

TEORIA

STABILITĂŢII

93,

unde x şi y sînt vectori. Presupunem X (t, 0, 0) = 0, Y(t, 0, 0) = 0 şi că soluţia banală a sistemului (9) este stabilă în raport cu componentele x; aceasta înseamnă că există S^s) astfel ca \ x0 | + | y0 | < să implice \ x(t] t0, x0, y0) | < s pentru t>t0. Presupunem în plus că soluţia banală a sistemului ajutător Tlh 0, z) dt este uniform asimptotic stabilă. în aceste condiţii, soluţia banală a sistemului (9) rezultă uniform Demonstraţie. Sistemul =

stabilă.

x

> y>

se poate scrie sub forma = Y(t, 0, y) + {Y(t, y) - Y(t, 0, y)}. dt Prin ipoteză, soluţia banală a sistemului ajutător este uniform asimptotic stabilă, deci, pe baza teoremei 1.8, este stabilă în raport cu perturbaţii permanente. Eezultă că există S 2 (£) şi S 3 (£) astfel că din | y0 | < S 2 şi | Y(t, x, y) — Y («, 0, y) | < 8 3 (*) pentru | y | < £, rezultă Vo) I < £ pentru t>t0. Deoarece Y este presupusă continuă în x, rezultă că există S4 (z) astfel ca | x | < S4 să implice | Y (t, x, y) — — Y (tj 0, y) | < &3 (e) pentru t > 0, | y | < e. Pe de altă parte, dacă l®ol + I yo I < s i [ M £ ) L rezultă \x(t] t0, y0)\ < S4 (e). Fie 8 (e) = min {8 1 (e), 8X [S 4 (e)]}. Atunci | x0 | + | y0 | < 8 (s) implică pe de o parte I to, xo> Vo) I < M*) < iar pe de alta | Y (t, x(t;t0J deci

x0, y 0 ), y) — Y («, 0, y) | < S2 ( e ) pentru | y | < e, | y (t;

y 0 ) I < £ pentru t > J 0 .

Propoziţia e demonstrată. U n exemplu de aplicare a acestei propoziţii a fost dat de T. Hacker în studiul stabilităţii avionului. î n cazul cînd sistemul (9) reprezintă sistemul mişcării perturbate pentru un avion, prin natura lucrurilor o parte din componente pot fi controlate de către pilot. Considerînd că acestea sînt componentele notate cu x şi că sistemul (9) conţine în el şi acţiunea pilotului, controlul pilotului se va traduce prin faptul că soluţia banală a sistemului (9) este stabilă în raport cu componentele x. Admiţînd, ceea ce este firesc, că acţiunea pilotului e nulă cînd componentele •x sînt nule (adică admiţînd că pilotul nu acţionează atunci cînd nu apar perturbaţii), rezultă că sistemul ajutător nu depinde de acţiunea pilotului, ci'numai de parametrii constructivi ai avionului. Alegînd aceşti parametri în aşa fel încît soluţia banală a sistemului ajutător să fie uni-

94

TEORIA CALITATIVĂ A ECUAŢIILOR

DIFERENŢIA LE

form asimptotic stabilă, acţiunea pilotului asupra componentelor controlabile va fi suficientă pentru a asigura stabilitatea mişcării avionului. Să presupunem acum că soluţia banală a sistemului (9) este uniform asimptotic stabilă în raport cu componentele x şi că soluţia banală a sistemului ajutător este şi ea uniform asimptotic stabilă. Atunci soluţia banală a sistemului (9) este*uniform asimptotic stabilă. Demonstraţie. Deoarece soluţia banală a sistemului (9) este uniform asimptotic stabilă în raport cu componentele x, există S0 şi T (s) astfel ca | x0 | + | y0 | < 80 şi t > t0 + T (s) să implice | x (t; t0, x0, y0) | < e. Să notăm R {t, y) = Y (t, x {t; t0, x0, y 0 ), y) — Y (t, 0, y). Fie a (s) < $ (s) cu proprietatea că | x | < a (s), \ y\ < s ($ 0 ) implică | Y (t, x, y) — Y {t, 0, y) | <

Y (E)

^^

, unde Jf

este

constanta

Lipschitz a funcţiei Liapunov construită pentru sistemul ajutător, iar Y (e) = c [8 (e)]. ' Fie T 0 (e) astfel încît t>t0 + T0 (s) să implice | x(t-, t0, x0J y0) | < a (s). Fie b0 = b (S 0 ) şi cx astfel ca Jj^

yV + hy *Q1 xo> yoft-Vltj

+

h-> 0+

y(t'jto>

x

o> ffo)] ^

Tl

pentru t0 < t < + ^o I I + 13/o I < • Existenţa lui rezultă din faptul că, la fel ca în teorema de stabilitate în raport cu perturbaţii permanente, avem Vlt + h, y(t + h-,to,

liTY1 sup

/*-*)+

x09 y 0 )] — 7 [ < , y(tjt0j

cc0J y 0 )]

^

Jl

<-c(\y(t-,t0,

x0, y0) I) + Jf^Q»

unde y] > | R (t9 y) |. Or, | x0 | + | y0 | < S0

implică

y 0 )I < e(» 0 ), I y<>)l < e (*<>)> ceea ce arată că yj va depinde numai de S0 şi nu de t0J deci se poate lua c1 = Mr\. Fie

+

T{z) =

To{z) +

T

M

î n [;t0 + T 0 , t0 + T] există astfel ca | y (tf; t0, x0, y 0 ) | < S (s). Dacă f n-ar exista, atunci am avea în tot intervalul I y (<; to, xo> yo) I > 8 ( s ) deci — e(\y(t;to9 x0, y 0 ) | ) < - o ( 8 ( e ) ) = - y ( e ) ; rezultă lim sup

+

+

'

7[i,y(t;fr,s0,y0)]<

2M

2

TEORIA

STABILITĂŢII

95, Y(s)

t0 + T0 avem | x(t; t0, x0, y 0 ) | < a(s), deci | R{t, y) \ < -L1-L . 2ilf

căci pentru Notînd

V*(t) = V[t, y ( < ; y 0 )] rezultă F*(* 0 + T) - F*(* 0 ) = F*(*o + T ) - F*(*o + T0) + V*(t0 + T0)

-

- ^ ( « o X - ^ T i + ^To, z deci «o + T) < 6 (S0) - X Tx + T 0 = O, Z ceea ce este contradictoriu. Eezultă că există V £ [;t0 + T0J t0 + T ] astfel ca | y (tf; , x0, y 0 ) | < < S(s) deci |y (J; y 0 ) | < e pentru t >+ T (s). Ou aceasta* demonstraţia e terminată. O variantă a noţiunii de stabilitate în raport cu perturbaţii permanente se obţine dacă în loc să cerem ca perturbaţiile permanente să fie mici tot timpul, le impunem numai cererea de a fi mici în medie. Sînt astfel luate în consideraţie clase mai largi de perturbaţii permanente r deci obţinem o proprietate de stabilitate mai puternică. D E F I N I Ţ I E . Soluţia banală a sistemului ( 1 ) se numeşte stabilă în raport cu perturbaţii permanente mărginite în medie dacă pentru orice z > 0 şi T > 0 există 8 > 0 şi tj > 0 astfel încît oricare ar fi funcţia y) cu | R(tj

R(tj

y)| <
(t+T

| y | <; s si \ '

ar

oricare

.t

Vocu \ Vo \ < 8, să rezulte \y (t, t0, y 0 ) | < £ pentru t^>t0J unde y(t; t0J y 0 ) este soluţia sistemului (8). TEOREMA 1 . 8 ' . Bacă soluţia banală a sistemului ( 1 ) este uniform asimptotic stabilă, atunci ea este stabilă în raport cu perturbaţii permanente mărginite în medie. Sînt presupuse îndeplinite aceleaşi condiţii ca în teorema 1.8. Demonstraţie. Fie V (t, x) ca în demonstraţia teoremei 1.8. Considerăm o soluţie y(t'j t0J y 0 ) a sistemului (8), t £ t] şi soluţia x ( t j T> Ki Vo)) a sistemului (1). Yom avea + y(T + h-,t0, y0)]-V[T + h, + t , y ( x ; t0, y 0 ))] < fi

+

t0,

y 0 ) — o?(T + A ; T , y ( T ; t0,

y0))|,

dacă I y (t ; , y 0 ) | este suficient de mic. P u t e m scrie y{T+h'yt0J

y0)—oc(T+h-,T,

y ( x ; t0, y 0 )) = y (t + Ti; J 0 , y 0 ) - y ( f ;

+ t, y(t ; y0))-y(f; pT+ft rx-fA = \ y(t-, t0, yo)to-\ /P» «(*» T, y(r;

= y0))]|dl.

2/o) —

TEORIA CALITATIVĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

96

Eezultă y 0 )] - f [ t + Ti, x{z + a ; t , y(

I V[z + h, y(T+h-,t0,

t0, y 0 ))]| <

fT+ft 2/0)— flh

y(Tjtojyo))]

\

D e aici se capătă lim

s

u

p

y ( T + *;*o>

+

+

+

y0))j^

Ti <Jlf

| y ( t ; ţ o , y

) - / [ t ,

0

•dacă Deducem |y(-r; ymai e. 0 ) | <departe

f [ t + &, y ( t +

u m

y

;

(t

, y 0 )]|

?(t)

y 0 ) ] - F [ t , y ( - r ; <0, y 0 ) ]

ft;

^

Ji

^ l i m aup ^

+ fe; >

2/

Ş/p)]

— F [t

+

ft,

# ( t + fe;

t, y (t ;

y»))] ,

Jl

<Jf
Integrînd de la

la tf se capătă

v i h y(«î

y o X J f f
Fie acum 73 < m i n

{ ^

y0)D-

c

[

6

"

e

1

> 0, ( 7

T > 0. Alegem

a ( £ )

)

'

a ( e )

}

8 <

*

f i e

b

^ o l

(

a

<

s

)

s, ţ

j

t + t

(*)

şi
<

y).

Arătăm că \y (t;t0, y0) \ < z pentru t > Presupunem că n-ar fi aşa; atunci există tx > t0 astfel ca \y(tijtoj Vo) I Eezultă că există t0
TEORIA

STABILITĂŢII

97,

Eezultă că există t0 < tz < t2 astfel ca 7 * V*(t)>

—a(z)

pentru ts

Eezultă, pentru t3 < t ^Ct2,

că avem

±a(z)
= V[t,

= — a ( z ) şi 2
y ( f ; t0, y 0 )] < 6 ( 1

i t0,

y0)\)

deci

I y(«; «'O? y0) I >

6

deci H Din t < (*) şi deducem

rezultă | y (t;

i

(O

»

, y 0 ) | < s, deci putem aplica formula

Fie (m — 1) T < t2 — J3 < raT; rezultă rt2 rJi+mr V 9(T)DT<\

Jl3


J«t

Dar m — 1 < — (J2 — deci m < — — y

+ 1,

deci ? ( T ) d T < - J

r

( «

f

- <

8

) + 7 ) <

Jt*

ilf

" ( t H

(h — <3) + V).

Eezultă ^P., +

- h) | c

«o, y o ) ] < — ^

+

a (e)]J - o Jft- 1 ^

+ a (c) j

TEORIA CALITATIVĂ A

98

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

deci

Dar y) < —— a(e), deci în definitiv V [t2, 2M

y(t2;

t0, y 0 )] < a (s)*

Eezultă «(I y(h>

Vo)\)< e

ceea

vih,y

(hi

ce

deci | y (t2; t0, y 0 ) I < > contrazice alegerea lui t2. Teorema este demonstrată. O variantă puţin diferită a aceluiaşi tip de stabilitate, bazată t o t pe ideea considerării unor perturbaţii care pot fi în unele momente mari dar sînt mici în medie, a fost definită de Ivo Vrkoc care a numit-o stabilitate integrală. D E F I N I Ţ I E . Vom spune că soluţia banală a sistemului ( 1 ) este integral stabilă dacă există §0 > 0 şi funcţia B (8) > 0 definită pentru 0 < 8 < $0 (pe care o presupunem monotonă şi continuă) cu lim B (8) = 0 oo

8-+0

S

sup | R(t, y)\dt< 8 să implice \y(t\ t0, y0) | < f0 \v\t0,y(t]t0, y0) fiind soluţie a sistemului (8). Este uşor de văzut că această definiţie este echivalentă cu următoarea Soluţia banală a sistemului (1) este integral stabilă dacă pentru orice e > 0 există 8X > 0 si 8 2 > 0 astfel încît \ y0 | < si [°° sup | B (t, y)\dt< Sa să implice \y (tm9 t0, y0)\ < s pentru t^t0; dacă luăm 8 = min ( 8 ^ S 2 ) şi B (8) ca inversă a funcţiei 8 (e) cădem peste prima definiţie, iar prima definiţie implică pe a doua cu == 8 2 . Soluţia banală a sistemului (1) se numeşte asimptotic integral stabilă dacă e integral stabilă şi în plus există funcţiile T( 8, s) şi y( 8, s) astfel ca \y0\ < 8, sup \B(t,y)\ dtf < y (8, s), t>t0+ T( 8, z)săimplice\y(t-, t0, y0) | < s . J'o

In cele ce urmează vom pune în evidenţă o serie de condiţii echivalente cu stabilitatea integrală, respectiv stabilitatea integrală asimptotică. 1) Soluţia banală a sistemului (1) este integral stabilă dacă şi numai dacă există 80 > 0 şi B (8) definită pe (0, 80) B (8) > 0, lim 8-M) JB(8) = 0, astfel ca oricare ar fi funcţia y(tj

toi Vo)

a

cu f |

sistemului - Ş r = f ( * f *) + ?(*)

(io>

dt cu

I yo I < &

verifice inegalitatea

\y (t; t0, y0)\ < B (8) pentru

t > tQ»

TEORIA

STABILITĂŢII

99,

Demonstraţie. E suficient să arătăm că dacă proprietatea din enunţ are loc, soluţia banală a sistemului (1) este integral stabilă. Fie R {t, y) astfel ca r sup \R(t, y)\ dt < 8, X unde B (8) e ales pe baza proprietăţii din enunţ. Fie y0 cu | y0 | < 8 şi soluţia y {t; t0, y0) a sistemului (8). Dacă nu am avea pentru toţi t > t0 inegalitatea | y (t; t0, y0)\ < B (8) ar exista un prim punct tx > t0 astfel ca | y ; t0 , y 0 ) = B ( s )- Pentru p 0 , y luăm

î l l | l î ( « , y ( « ; «0> y o ) ) i a * < C sup y)|d*<8. \ X ^ ^ pe cp (t) continuu pe toată semiaxa t >-1 0 astfel ca pentru aceasta e suficient să luăm t2>t1 astfel ca t2 —1± <

<0 2(8-(<1| t2. Fie acum z{t; t0, y0) soluţia sistemului (10) cu cp (t) ales ca mai sus. Din | y0 \ < 8 şi^°°| cp(t) \ dt < 8 rezultă | z(t; t0, y0)\ t0 =y(t]

deci \z(t1) t0,°y0) \ < B (8). Dar pe [t0, t^, z(t; t0, y 0 ) = toi Vo)i deci \y(t1; y 0 ) | < l ? ( 8 ) ceea ce este contradictoriu. 2) Soluţia banală a sistemului (1) este asimptotic integral stabilă dacă şi numai dacă e integral stabilă şi în plus există T (8, s) > 0 şi y (8, s) > 0 deroo

finite pe (0, 8 0 ), e > 0 astfel ca oricare ar fi cp (t) continuă cu\ \ cp (J) | dt < X t0+T(8, e) să rezulte \y(t; t0, y0)\ < s, V (t> toi Vo) soluţia sistemului (10). Demonstraţie. Din nou e suficient să arătăm că cererea din enunţ implică stabilitatea integrală asimptotică. Dacă nu ar fi aşa ar exista 8' < 80 şi s' > 0 astfel încît oricare ar fi T > 0 şi y > 0 să existe y0 cu | y0 | < 8 ' , R{t, y) cu sup | R{t, y)\ dt < y şi tx > t0 + T astfel ca Jto

|v|^B(8)

\y(h> toj Vo) I > e'> y ( h ; A» 2/0) f ^ d soluţia sistemului (8). Fie T(8', s'), y(8', e') construite pe baza proprietăţii din enunţ, y 0 , R (t, y) şi ^ corespunzătoare pe baza ipotezei raţionamentului prin absurd. Fie
ât = fl\B{t, X

y(t;

«0, y o W l d x f 1 X

sup ^Bl8)

< r sup | JB(«, y ) | d * < y ( 8 ' , e'). X Iv\^B(8)

y)|d*<

TEORIACALITATIVĂA

100

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Ca în cazul precedent prelungim continuu pe 9 (t) pe toată axa cu păstrarea acestei inegalităţi şi luăm soluţia z (t; t0, y0) a sistemului (10) cu | y0 | < 8' şi t1> t0 + + T( 8', e') rezultă | z(tx; <0°, y0) \ < e'. Dar pe [*0, avem z (*; t0, y 0 ) = ce e = y(ti toi Vo); deci Iy ; 2/o) I < e ' s t e contradictoriu. 3) Soluţia banală a sistemului (1) este integral stabilă dacă şi numai dacă pentru orice 0 < 8 < 80 există B (8) > 0, lim B(8) = 0 (monotonă si 8-fO

continuă),

astfel ca oricare ar fi y(t)

Iy (to)\ < 8, £ I y (t) - f(t,

cu derivată

continuă pe [t0, tx~\ cu

y (t)) I d* < 8, să rezulte \ y(t)\

<

B(8)

«6 Po» y Demonstraţie. Să presupunem soluţia banală integral stabilă şi fie B (8) construit conform proprietăţii de stabilitate integrală, y(t) ca în enunţ. Fie cp(tf) continuă pentru astfel ca
P e ft» hlj \ I

Considerăm sistemul (10) cu 9 (t) astfel ales şi soluţia z(t; t0, y (t0)). Conform celor stabilite la punctul 1) rezultă | z(t; t0, y (t0)) | < B (8) pentru tf > tQ şi cum pe , avem z (tf; , y (t0)) = y (t), rezultă | y ( t ) | < J5(S) pe p 0 , Fie acum J5 (S) ca în enunţ şi y(t) continuă pentru t > t0 cu °° | 9 (t) | dt < 8. Soluţia y (t; , y0) cu | y01 < 8 a sistemului (10) verifică pentru <0 ' orice tx condiţia din enunţ, deci pentru orice tx > avem | y (t; , y0) | < < J5(8)pe [t0, tx\ deci condiţia de la punctul 1) e îndeplinită şi soluţia banală a sistemului (1) e integral stabilă. Propri tat a 3) arată că noţiunea de stabilitate integrală definită de Ivo Yrkoc este echivalentă cu noţiunea de stabilitate tare definită de Okamura şi reluată recent de Kyuzo Hayashi. 4) Soluţia banală a sistemului (1) este asimptotic integral stabilă dacă şi numai dacă e integral stabilă şi în plus pentru orice 0 < 8 < 80, e > 0, există 2 r (8, s) > 0, y(8, e) > 0 cu proprietatea că pentru oricare y(t) cu Ch derivată continuă pe [t0, tx> t0+T şi astfel ca \ y (t0) | < 8, \ \y(t) — Jto

- f ( h y(t)) I te < y('5> rezultă \y(t) \ <e pe [i0 + T, t{]. Demonstraţie. Presupunem soluţia banală a sistemului (1) asimptotic integral stabilă şi fie T( 8, e), y( S, z) ca la punctul 2) y(t) ca în enunţ. Definim pentru t > td funcţia t0 + T şi cum pe \t0J avem z(t',t0, y ( t o ) ) = y(*h rezultă \y(t)\ < e pe [*0 + T, Eeciproc, fie T ( 8 , z) şi y ( 8 , e) ca în enunţ şi 9(tf) continuă cu C°°| 9(«) I d* < y(8, e); atunci soluţia y(t;

t0, y0) a sistemului (30) cu

TEORIA

STABILITĂŢII

101,

I Vo I < 8 verifică pentru orice t± > t0 condiţia din enunţ, deci | y (t; t0, y0) | < < e pentru t > t0 + T. LE MĂ. Dacă V(t, A?) are proprietăţile: 1°. a?) e continuă; 2°. | F(J, - F £c2) | < ilf | x1 - x2 | pentru | xi | < S 0 ; + x( t x x 3° Um < + l1^ o)]-vtt> oH ^ h <0[x{t; t0, x0)], unde x(t; x0) e soluţia sistemului (1) iar O e continuă, atunci V(t,

y(t))
y(t0)) + M?

\ y ( t ) - f ( t , y(t))\dt

+

Jt0

[^(y(t))ăt Jt0

pentru

orice funcţie y (t) cu derivată continuă pe [t0, t]. Demonstraţie. Fie [t0, t]; considerăm soluţia x(t; sistemului (1). A v e m | F [ t

- ^ ( t

+

+

A,

a;

+

+

y(z))\

t,

= M \y(T

+

t,

y ( t ) ) ] | < J f | y ( t

h)-y(z) -\r+hf[t,

+

I 1 px+fc

t , y (t))

+

fc)-

*(«;t,y(t))]d*|

-i px+ft

a

=

I

deci lim

sup

T^b +

fe,

+

+

s(t + * ; t, y(T))]

^

Tl <

j f

| y ( t ) - / [ t ,

y(t)]|.

Eezultă lim sup ^ < u m

SUp

7 [ T

+

+

+

y(t +

*(*>]<

h

v [ T

-

+

h

>

+

y(t))]

|

Ji +

lim

s u p

^ [ T

+

fe,

+

<Jf|y(T)-/[T;

T,

y ( T ) ) ] - F [ T ,

y(T)]

<

y(T)]|+4»(y(T)).

Integrînd, se capătă inegalitatea din enunţ. LEMĂ. Dacă există o funcţie continuă V (t, x) definită t >- 0, x \ S0 cu proprietăţile : 1°. V(t, x)>a( |®|), V(t, 0) = 0 ; 2 ° . | V(t, xj ~V(t, x2) |< M | xj, - x2 | ;

pentru

TEORIACALITATIVĂA

102

3°. lim sup o+

V

x( t

P +

< +

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

h

»


dt < oo,

^ h x(t}

F

t0,

flf(^)>>0,

& ^

»

^o)] ^

x0)]

soluţie

a sistemului

(1),

atunci

soluţia banală a sistemului (1) este integral stabilă. Demonstraţie. Avem ca în lema precedentă lim sup

+

+

*(*>]<

y(T)]|+jf(T)F[T,

< j f | y ( t ) - / [ t ,

y(t)].

D e aici se capătă prin integrare ^ P » y ( « ) ] < T r [ « 0 , y(
+ Jfe*

+

— f ' g (tt) dtt

[ e X

|y(T)-/[T,y(T)]|dT.

Dacă i

y

(*0) i <

(*)

= fc, c 1 1

A.

y

(t) - /

y ( t ) ] | dr < 8,

[t,

. <0

rezultă «(I y (*) I) < V [h y (*)] < Jfe fc S + Jfe* 8 = 2J!fefc 8, deci \y(t)\^a-1(2Mek8)

=

B(8).

P e baza proprietăţii 3) rezultă stabilitatea integrală. Dacă există F (t, x) definită pentru t > 0, | a? | <; 80 cw proprietăţile: a) 7 ( 1 , ® ) > a ( | ® | ) , F(«, 0) s 0 ; b) | F (I, — V (t, x<^) \ < M \ xx — x%\; Lemă.

c) lim m V V [ t + h ' x l * + h'> *<>> *(<; *o> ^ o ) ] ^ &-•<)+ Jl — c(\ x(t, t0, x0) I), atunci soluţia banală a sistemului (1) este asimptotic integral stabilă. Demonstraţie. P e baza lemei precedente soluţia banală a sistemului (1) e integral stabilă. Pentru s > 0 alegem y x > 0 astfel încît dacă | y (t2) | < Şi f l y ( * ) - / P , y ( * ) ] | c U < Y 1 să rezulte \y(t)\ < s pentru Jh asemenea există pe baza proprietăţii 3), anume = Luăm apoi

T

= min (8,

T l ),

l = c( Y l ),

T(8,

e) =

Jf

<>

+ V

. Fie y(t) cu de-

TEORIA

rivată continuă pe [t0, t j , t1>t0

STABILITĂŢII

103,

+ T ( 8 , s), \y(t0)\

Ch < 8, \ \y(t) — Jto + T], atunci

— / P » y (*)] | d< < y. D a c ă a m avea | y(t) | > y pe f<»+r . V[t0 + T, + y«o)] + J f \ ly (<)-/[*, J<0

- C^(| y (t) I) dt < J f 8 + Jkfy - TI = 0 \ ceea ce e contradictoriu. Eezultă că există t € [ J 0 , + T ] astfel ca | y ( T ) | < Cum

y(*)]| d* —

y
^ \ y ( t ) - f ( t ,y ( t ) ) \ d t ^ l \ y ( t ) - f ( t , jf(*))|dl
+

*(« + > ; « , «] < _ „ ( , , , „ | , h unde b (r) e continuă, monoton crescătoare, b (0) = 0, iar a (t, r), c (t,r) sînt continue şi astfel încît pentru orice pereche 0 < a £ < H există 6 (a, p) > 0, fc(oc, P) > 0 astfel încît a(t, r) > fc(oc, p), c(ty r) > fc(oc, p) pentru a <; r << (3, $ > - 0 ( a , (3). J i t m c i soluţia banală a sistemului (1) este uniform asimptotic stabilă. Demonstraţie. F i e s > 0, 0X = 0 (s, e), Tcx = Tc(z, s). A v e m a (t, e)>Tc1 pentru Fie % ( £ ) < 6 " 1 e)]. Y o m avea x)^>a(t, |a?|)> > \ dacă | a? | = e, J > 0X, şi V(% x) < 6(| x |) < dacă | x | < ^ ( e ) . Fie 0 2 = 0 [-)Qi(e), e]. Atunci pentru t > 0 2 , % r < s v o m avea c(t, r) > 0. F i e acum 0 = m a x ( 0 x , 0 2 ) şi 73 (s) ales astfel încît | # 0 | < rj şi ®^ ^ 0 implice | x ( t ; | < yj! pentru t0 < J < 0. Alegerea lui y](e) este posibilă pe baza lemei 0,7, conform căreia a v e m F' L (u) du

!*(«$ <0, «b) I < I «b I e Jj>


TEORIACALITATIVĂA

104

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Condiţia \x0\ < ^ ( e ) ©—*«<«> implică | x{t; t0, x0) | < y)x pentru deci putem lua yj(e) = ^ ( e ) e~^ 8 ( s ) . Dacă \ x 0 \ < vj(s), v o m avea în particular | a?(0 ; t0, x0)\ < y)x pentru 0 <; t0 < 0. Dacă există t > 0 astfel ca | x(t-, t0, | > e, există h > 0 astfel «a | a?0) | = s şi \x(t\ t0, a?0)| < e pentru 0 < t < t1. Deoarece h > 0 > 0X şi | x (h ; t0J xQ) \ = e, rezultă V [t19x

(h; t0, ®0)] >

\ )

pe de altă parte, F [0, # ( 0 ; toy x0)1 < Tcx. Eezultă că va exista 0 < t2 , pentru t2 < J < h- Eezultă deci | x (t2; t0, #0)| >y)x. Din 7)! < |a? (t2 ; a?0) | < e şi t > 0 > 0 2 rezultăc (t 2 , |a? (t,; t0, a?0) |) > 0, deci 1iTYţ g u p

F [t2 + Ji,x(t2

+ h-,t0, x0)] — V [t2Jx (t2 ; t0, q?0)] Ji < — c [t2, \x(t2-,t0, x0) |] <0.

<

Dar din F p 2 , x (t2; a?0)] = Tcxi V [t, x(t;t0, a?0)] > \ pentru t2 < t> rezultă F [t2 + h,x(t2 + Ji-,t0, x0)] - V ft2, a? (t2 ; q?0)] ^ Q U m sup h Am obţinut o contradicţie, deci \x (t; t0J xQ) | < s pentru toţi t > 0 dacă |â?0 | < yj (e). Cum pentru t0 < t < 0 avem (J; | < < % ( e ) < s> rezultă că |a?0 | < 7 3 (e) implică (J; tQ, x0) | < s pentru toţi t >Pentru > 0 şi \x0 | < rj < y)x rezultă F (J0, xQ) < Tcx. Dacă există t > t0 astfel ca \x (t; t0, x0) | >- e, atunci există ^ > t0 > 0 astfel ca \x (hi h, x0) \ = e Şi I® (ti t09 x0) \ < e pentru t0 < < < V Din ^ > 0 rezultă V [h9 x (hi t0, > departe demonstraţia decurge ca mai sus şi rezultă şi în acest caz \x (t; t0, x0)\ < e pentru t i> t0. î n definitiv, oricare ar fi t0J dacă | x0 \ < rj (e) rezultă I

x

(ti t 0 , x 0 ) | < s pentru t > t 0 .

Fie acum Ji > 0, r\ (A) găsit ca mai sus, 0 < S < (A), yj (S) ca mai sus. Alegem 0X = 0 (y), ft), \ = Tc (yj, A), C1 = b (h) C2 = inîc (ty r> pentru 0 < < < 0 X , yj < r < A,

=

Cl +

611

°2

1

, T(8) = 0X + T x . De-

monstrăm că dacă \x0\ < y] (fe), există t'ţ [t0, + T ] astfel ca I ® (t' i t0J x0) | < y). Dacă nu ar fi aşa, am avea y] < \x(t\ t0, x0) | < Ji (căci am ales pe x0 cu \x0\ < y) (JI)) deci c (<, |a? (<; a?0) |) > C2 pentru < t < 0X şi c \x (t; , â?0) |) > \ pentru 0X < t < t0 + T. N o t ă m

TEORIA STABILITĂŢII

105,

F* (t) = V [«, * (*; «0,®0)]. Avem F* (t0 + T) —- F* (*0) = F* (*0 + T) - F* (6X) + F* (0X) - F* (*0) < - ^ T + 0X | 0 , | , deci V* (t0 + T ) < F * (*0) - Tc, Tx + 0X | C21< 6 (A) - ^ = — Tx + 0! \C2\ = 0 , ceea ce contrazice faptul că V*(t0 deci

+ T)>a(t0

+ T, \x(t0

+ T;«0,

*0)|) >

+ e^C.I

=

> 0.

Eezultă că există f € + astfel ca | x ( f ; t0J x0) | < yj, a? ( f ; # 0 )) | < S pentru J > f deci în orice caz \x (t; t0J x0) | < 8 dacă |®0 | < tj (A), J > J0 + T (8).

Ou aceasta stabilitatea asimptotică uniformă a soluţiei banale a sistemului e dovedită. TEOREMA 1 . 8 ' " . Dacă soluţia banală a sistemului (1) este uniform asimptotic stabilă şi dacă B (t, 0) = 0, lim B (t, a?) = 0 uniform în raport t -> oo

cw a? pentru \ x | ^ a 0 , iar 22 este lipschitzianâ, atunci soluţia banală a sistemului (8) este uniform asimptotic stabilă. Demonstraţie. Considerăm aceeaşi funcţie F (J, a?) ca în teorema 1.8. Prin ipoteză | 22 (t, 0) | < O ( 4 u n d e ® (*) 0 cînd J ^ 0 0 Şi poate fi aleasă monoton descrescătoare. Aceleaşi calcule ca în teorema 1.8 conduc la »-H>+

Jl

Notăm c (t, r) = c (r) -

M O (<). Fie 0 < a < p < h, le (a, p) = — c (a).

Din lim <S> (t) = 0 rezultă că există 0 (a, p) > 0 astfel ca pentru t > 0 să oo

avem O (ţ) <

(oc). Eezultă că dacă a < r < p, t > 0 (a, (3), avem

2M c

(«, r ) >

c (a.) -

—

c (a) >

Tc

(a,

P).

Sînt verificate condiţiile din lemă şi teorema 1.8'" rezultă astfel demonstrată. § 9. SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI PERIODICI

Yom studia acum unele probleme de stabilitate pentru sistemele liniare. începem cu sistemele liniare cu coeficienţi periodici. Fundamentală în teoria sistemelor liniare cu coeficienţi periodici este următoarea teoremă : TEOREMA 1 . 9 . Fiind dat sistemul dt

= A {t) x, A (t + *>) = A (t),

TEORIACALITATIVĂA

106

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

există o matrice P (t), periodică de perioadă co, nesingulară, astfel încît schimbarea de variabile x = P (t) y să transforme sistemul într-un sistem liniar cu coeficienţi constanţi. Demonstraţie. Ca pentru orice sistem periodic, o dată cu x (t) este soluţie şi x (t + co). D e aici rezultă pentru sistemele liniare x (t + co ; s, x0) = x (t; t0, x (t0 + co ; s, a?0)) = = C(t;

t0)x (t0 + co ; s, y 0 ) = O ( * ; J0) O (t0 + co ; s) x0.

Dar x (t + co ; s, x0) = (7 (J + co ; s) x0. Eezultă

O (t + co ; s) = C (t; t0) <7 (J0 + co ; s)

Luînd aici s = t0 + co, obţinem C(t+

co; t0 + co) =

C(t;t0).

Luînd t0 = 0, s = 0, obţinem C(t + co; 0) = C(t;

0) C ( c o ; 0).

Notînd C (t; 0) = U (t) această relaţie devine U(t + co) = U{t) U (co). Matricea U (co) joacă im rol esenţial în teoria sistemelor liniare cu «coeficienţi periodici; ea se numeşte matrice de monodromie a sistemului. Matricea' U (co) este nesingulară, căci pentru orice t, t0 matricea C {t; t0) este inversabilă. Eezultă că putem găsi o matrice B astfel ca U (co) = = e5<0 *). Punem prin definiţie P(t)

=

f7(J)e-f«;

*) într-adevăr, pentru orice matrice nesingulară A putem găsi o matrice B astfel ca •eB = A Pentru a arăta aceasta să presupunem mai întîi că A are forma normală Jordan; A =

/0

j J

I» K = XFC (EK H

= I \ 1

X j J

1

—?\

Zfc), X& ^ 0 căci A este nesingulară, ZK = I \ \J

,

lo

\ J

I, Z 3 * =

"

Z

k

•= 0. Seria V (— 1)

l=i

1

are un număr finit de termeni nenuli, deci converge. Punem, prin

definiţie,

jfc+i (ZfcAfe)*

TEORIA

STABILITĂŢII

107,

P (t) este derivabilă şi nesingulară o dată cu U (t) şi e~ Bt . Să arătăm c ă P (t) •este periodică. Avem P(t +
e

ln[^+— V

Zk) ^ X*

pentru aceasta se observă că se fac aceleaşi calcule ca în identitatea 2

l+x=e

l n <1+a5)

\

.(

unde seria na ( xx

l

= 1 + f . - ^ + . . . U - 1 - f —

2

J

2!\

—

2

+

h • • • J are de data aceasta un număr finit de termeni nenuli. Fie acum

2 Bk

= (In Xfc)

Ek +

In

Avem

şi dacă luăm

M\J

vom avea

Dacă A este acum o matrice nesingulară oarecare, există T astfel ca T~1 AT = Af unde A •este jordaniană ; pe baza celor de mai sus există o matrice B astfel ca e^ = A. Atunci

TeB T~^ = T f E + — B + — B2 + V 1! 2! = E + —(TBT-i) II

+ —(T~BT-l)2+ 2!

deci luînd B = T~B T~

1

. . .

+

—

nl

Bn + ... \ T~ 1 = )

... + — (T B T-i) n + ... = eT * T nl

l

— A,

vom avea eB = A.

*) Am folosit relaţia e-B(t+ co)

=

e

-£co

e

-

Bt.

această relaţie rezultă imediat din înmulţirea seriilor corespunzătoare, ca în cazul scalar. Observăm că relaţia

eA .eB = eA+B n u e în general valabilă ; ea este însă valabilă dacă matricile A şi B sînt permutabile, adică dacă

AB = BA.

TEORIACALITATIVĂA

108

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Să facem acum schimbarea de variabile x = P (t) y. A v e m x (t; x0) == = U(t)x0 = P (t) eEt x0 = P (t) y (t; x0). Eezultă că = e7^0

V (ti deci

dy (t, x0) = BeBtx0 dt

= By (<; x0),

deci y (t; x0) este soluţia sistemului liniar cu coeficienţi constanţi

^dt

=

By. 9

Teorema este demonstrată. Să observăm că din această teoremă rezultă structura soluţiilor sistemelor cu coeficienţi periodici. Avem într-adevăr * (ti t0 , x0) = P (t) y (t; t0, a?0) = P («) x0. De aici se deduce că întreaga comportare a soluţiilor unui sistem liniar cu coeficienţi periodici va depinde de valorile proprii ale matricii B. Dar aceste valori proprii sînt de forma — I n unde pfc sînt valorile co proprii ale matricii de monodromie E7(
Dacă |pfc |

1 rezultă (Qe— In pk
=

1 rezultă
are valorile proprii egale cu In XFC, deoarece In fE& +

are toţi termenii si-

tuaţi deasupra diagonalei principale. Deoarece

rezultă că valorile proprii ale lui B sînt In \ v . . . , In Xs. Cum B = T B T—1 rezultă că şi valorile proprii ale lui B vor fi tot In \ 9 . . I n X s .

TEORIA

STABILITĂŢII

109

melor liniare cu coeficienţi constanţi rezultă |eB(<_ t0. Dar atunci | 0 ( « ; W I < | P ( « ) l I eB(f—*o}| rezultă uniform mărginită, căci P (t) fiind periodică şi continuă este sigur mărginită. Dacă \pk\ < 1, rezultă că valorile proprii ale matricii B au părţi reale negative, deci | eB{t-t0)

| <

jfe-a«-

?

de unde rezultă o evaluare analogă pentru \ C ( t ] t 0 ) \ . Să observăm că dacă există o valoare proprie a matricii de monodromie situată în | z | > 1, atunci soluţia banală a sistemului este sigur nestabilă. Să dăm o demonstraţie teoremei 1.10 care nu foloseşte teorema 1.9. Din relaţia TJ (t + <*) = U (t) TJ ( 0 oarecare există m natural astfel încît (m — 1) co <; t < mco, rezultă U(t) = U ( f ) [U(o>)r~\ unde 0 < V < )]*. Dacă pentru orice Tc > 0 acest şir este mărginit, atunci TJ (t) este mărginită pentru t > 0 şi are loc stabilitatea. Dacă I (U (•00

deci Um TJ (t) = 0 t-i-ac

şi are loc stabiUtatea asimptotică. Dar, dacă T este matricea care aduce pe TJ {a) la forma normală Jordan, avem T-1

TJ

(co)

T =

U,

U(u>) = TU

[TJ (<*)f = T TJ k fc

T~\

Eezultă că proprietăţile de mărginire ale şirului [ U (
deci

TEORIACALITATIVĂA

110

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

deci proprietăţile de mărginire ale şirului Uk vor depinde de cele ale şirurilor Ji. Dar Jki au pe diagonala principală numerele p? iar deasupra* diagonalei puteri mai mici ale lui p,. Rezultă de aici că necesar pentru ca \TJ (co)] f c să fie mărginit este ca şirurile {p*} să fie mărginite, deci ca> pentru valorile proprii pl să avem |p, | < 1 . Dacă |pj | = 1 şi celula jordaniană corespunzătoare nu e unidimensională, în matricea Ji apar termeni 1 de forma Tc care atunci cînd Jc-+oo devin oricît de mari, deci matricea j ] nu este mărginită. Eezultă că necesar şi suficient pentru ca [17 (co)]* să formeze un şir mărginit este ca valorile proprii p, să f i e în | z | < 1 iar cele pentru care | p J = 1 să corespundă unor celule jordaniene unidimensionale. Dacă | p, | < 1 , atunci lim p* = 0 şi se vede c ă o

lim [ U (
= ŢJ (t) x (0).

Condiţia X (t +

co) =

p

X (t)

se scrie deci U (t +
+

co) =

U (t) TJ

(co)

deci U(t)U(
x(0) = p U(t)

x(0).

Deoarece TJ (t) este nesingulară, condiţia devine TJ (u>) x (0) = p a?(0) şi se vede că p trebuie să fie o valoare proprie a matricii TJ (co). Cu ajutorul teoremei 1.10 se pot obţine condiţii efective de stabilitate pentru sistemele liniare cu coeficienţii periodici. Iată cea mai simplă condiţie de acest f e l : TEOREMA 1.11. Fie G o matrice constantă ale cărei valori proprii au părţi reale negative, A (t) o matrice periodică de perioadă co. Dacă fco \ | A (t) — G\ dt este suficient de mică, soluţia banală a sistemului dx dt este asimptotic

stabilă.

= A (t) x

TEORIA

12Î.

STABILITĂŢII 12Î.

Demonstraţie. Dacă x (t; x0) este soluţia sistemului care pentru t = 0 coincide cu x0 putem scrie dJ

x (t'y x0) = C x (t; x0) + [.A (t) — C]x(t;

x0),

deci pe baza formulei variaţiei constantelor (t; x0) = eCi x0 + C ec<«-*> [A (*) -C]x(s;

x0) ds.

.o

Această relaţie se mai poate scrie TJ (t) x 0 = e ct x 0 + ^ e0**-* [A (s) -

C] U (s) x0 ds,

deci U (t) = e ct + ^ .o

[A (*) -

C] TJ (s) ds.

Conform ipotezelor avem | ect | < K e - * \ deci 117(«)|
+ C

| A (*) - 0| | U{s)\

ds.

.o

Notînd obţinem v (t) <

+ x C | A (s) -

C | v (s) ds,

Jo

de unde K V U(s)—C l ds J0

V (t) < J£e î n particular

fn0co

® K co)<JCe

Cfjd»

J0

,

deci

r«0
-aB0a)+E\

| U (n0

co) I <

Ke

M(s)—C\ds

j 0

Dacă P°w . ^ / v V IA (s) .o

^,^ G\ ds <

a n 0
rezultă I TJ (n0co) | <

g

<

1.

q
TEORIACALITATIVĂA

112

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Dar n0co este tot o perioadă a sistemului şi aplicînd teorema 1.10 rezultă stabilitatea asimptotică uniformă. Avem însă, din cauza periodicităţii, f*W0W

V Jo

f <•>

| A (s) -

G | ds = n0 \ | A (s) Jo

G | ds,

deci condiţia de stabilitate devine C41 J. (*) Jo

<71 d* <

+ —ln-^- • Kn0 K

K

Cum n0 poate fi ales arbitrar de mare, rezultă că dacă [* \ A(s) Jo

-

C\ds

<

— K

condiţia de stabilitate este asigurată. Yom stabili acum o teoremă care face să intervină unele consideraţii mai profunde. TEOREMA 1 . 1 2 . Dacă B (t) este o matrice periodică astfel încît matricea de monodromie a sistemului — = dt

B(t)x

are valori proprii distincte situate pe cercul unitate, iar matricea periodică A (t) are proprietatea că ecuaţia caracteristică a matricii de monodromie a sistemului — = dt

A(t)x

rto

este reciprocă şi în plus V | A (t) — B (t) | dJ este suficient de mică, soluţiile

atunci

sistemului H = A dt

(t)x

sînt mărginite pe toată axa. Demonstraţie. Fie V (t) matricea fundamentală de soluţii a sistemului

dJ iar U (t) cea a sistemului - f = A(t)x-, dt

V (0) =

U(0)=E.

TEORIA

STABILITĂŢII

113,

Avem ^ ^ dt

= A(t)TJ

(t) = B(t)U

(t) + [.A (t) -

B(t)] TJ (t).

P e baza formulei variaţiei constantelor rezultă (t) V-1 (s) [A (s) -

TJ (t) = V (t) +

B (s)] TJ (s) ds.

Matricea de monodromie V (ca) are prin ipoteză valori proprii distincte situate pe cercul unitate, deci are forma normală diagonală, elementele de pe diagonală avînd modulul 1. Rezultă de aici că şirurile F n (co) şi V~n (co), n = 1, 2, . . s î n t mărginite, deci pe baza relaţiei V(t+

co) = V(t)V(

co)

rezultă că F (t) şi F —1 (t) sînt mărginite. într-adevăr, pentru t arbitrar există m întreg astfel încît (m — 1) co < tf < m co, deci t = t' + (m - 1) co, unde 0 < t' < co ; rezultă V(t) = Y ( f ) V [(m - 1) co] = F ( f ) V™-1 (co), deci F (t) e mărginită pe toată axa. La fel, deoarece F " 1 (0 este matrice de soluţii pentru sistemul adjunct, care este tot un sistem cu coeficienţi periodici, rezultă V"1 {t + co) = F " 1 (t) F - M " ) , deci pentru orice t V

=

F"1^') F - ^ ( c o ) ,

ceea ce arată că şi F " 1 (t) este mărginită pe toată axa. Avem TJ (t) - F (t) = C F (t) F - i (s) [.A (s) Jo

B (*)] [U (s) -

V (s)] ds +

+ C F (t) F - 1 (s) [A (s) - B (*)] F (s) ds. Jo Eezultă pentru 0 < t <; co evaluarea \ U (t) - V (t) \ ^ MĂ" \A (s) - B (s)\ds Jo +

IA (s) -

B (s) I I 17 (s) -

+

F (s) I ds.

D e aici deducem | î7(co) -

F ( c o ) | < MA

| A(s)-

B(s)\

ds e

MŢ C^0 \A («)—B (#)|ds Jj

114

TEORIACALITATIVĂA

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

$
tricile TJ (co) şi V (ca) diferă oricît de puţin între ele. Considerăm valorile proprii ale matricii F ( c o ) ; conform ipotezei ele sînt distincte şi situate pe cercul unitate. înconjurăm aceste valori proprii cu cercuri destul de mici pentru ca în fiecare cerc să se afle o singură valoare proprie şi cercurile să nu se intersecteze. Dacă

(s)—B(s)

| ds

este destul de mică, matricile U(co) şi V (ca) sînt destul de apropiate pentru ca în fiecare asemenea cerc să se afle o valoare proprie şi numai una a matricii î7(co). Prin ipoteză, matricea TJ {co) are ecuaţia caracteristică reciprocă, deci o dată cu pk este valoare proprie ş i — ; P* deoarece U( co) este reală, atunci aste valoare proprie ş i ^ - . Valorile pk Pk

şi - i - sînt simetrice faţă de cercul unitate şi dacă pk este într-un cerc P* mic cu centrul pe cercul unitate, a t u n c i — este în acelaşi cerc. Dar ?k în cercurile construite se află o singură valoare proprie a matricii TJ (co), deci pk şi

coincid. Pk Aceasta înseamnă însă că pk pk = 1, deci \ pk\ = 1, deci valorile proprii ale matricii TJ (co) se află pe cercul unitate. Din faptul că valorile proprii ale matricii V (co) sînt distincte, rezultă că şi cele ale matricii U (co) sînt distincte şi teorema este demonstrată. Vom stabili acum unele fapte care ne vor permite să dăm teoremei demonstrate un caracter mai efectiv. Foarte adesea în problemele de mecanică se întîlnesc sistemele canonice de forma dPi _ dH dg i _ dH dJ

dqi

dJ

dpi

î n cazul cînd H este o formă pătratică în variabilele p { , & cu coeficienţii funcţii de t, sistemul rezultă liniar. Notînd Pi =

qt = (cn+i, H = — £ h^ (t) x{ xf,

nic liniar se scrie:

CLI

j

Cit

j

sistemul

cano-

TEORIA

STABILITATII

(o

E ^ n

este matricea unitate de ordinul n, vom avea f

0...0 1 0...0 0...0 0 1...0 IH =

-1...0 0 0...0

J, unde

hn

^1.2n ^2.2n

hn+1.1 • »« • hn+1 ,n

hn+1.2n 2n

' ^n+l.l • • • hn+l,n ^n+l.n+1 • • • ^m+1.2n * — Jl ii . . . —hin —

.

. . —Ai,2»

şi se vede că sistemul se poate scrie sub forma da? = IH (t) x. dt PROPOZIŢIE.

Dacă U (t) este matricea fundamentală

de soluţii cu U (0)

= E avem U*IU Demonstraţie.

= I.

Avem dt

dt

d<

Dar dî7

dt

=

mu,

U*H*I* ,

dt

deci dt

[U*IU]=

U*H*I*IU+

U*IIHU.

Dar I* =

- I ,

H* =

H,

deci dt

[ U*I U~\= — U*HII

U + U* IIH

U.

Se verifică prin calcul direct că P

=

(

0

0

L—E

OJ \ - E

EA n

OJ

=

f-En L

0 \ _ 0—EJ

K

En

116

TEORIA CALITATIVA A

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIALE

Eezultă
= U*H U — U*HU

= 0,

deci U*I U este o matrice constantă. Pentru t = 0, aceasta cu I, deci pentru toţi t avem TJ* IV

coincide

= I.

Matricile cu proprietatea A*I A = I se numesc simplectice. Propoziţia demonstrată afirmă deci că pentru un sistem canonic matricea U (t) este simplectică pentru orice t. Dacă presupunem acum că H (t) este periodică de perioadă
deci o dată cu valoarea proprie

matricea simplectică A admite şi valoarea proprie — , deci ecuaţia ei caracteristică este reciprocă. Din cele două propoziţii de mai sus rezultă următoarea propoziţie cunoscută sub numele de teorema lui Poincare-Liapunov: PROPOZIŢIE. Ecuaţia caracteristică a matricii de monodromie a unui sistem canonic este reciprocă. Din această propoziţie rezultă în particular faptul că pentru sistemele canonice cu coeficienţi periodici nu poate avea loc stabilitatea asimptotică deoarece dacă sistemul admite un multiplicator în interiorul cercului unitate, el admite numaidecît şi un multiplicator în afara cercului unitate (simetric cu primul). Pentru sistemele canonice, ca pentru toate sistemele pentru care ecuaţia caracteristică a matricii de monodromie este reciprocă, poate avea'loc numai mărginirea soluţiilor pe toată axa, şi anume în cazul cînd multiplicatorii se află pe cercul unitate şi forma normală Jordan este diagonală. Vom pune acum în evidenţă încă o clasă de sisteme pentru care ecuaţia caracteristică a matricii de monodromie este reciprocă. 'PROPOZIŢIE. Dacă GA ( - t ) + A (t)G = 0, unde

TEORIA

ecuaţia caracteristică

a matricii

STABILITĂŢII

117,

de monodromie

a

sistemului

dt este reciprocă. Demonstraţie.

Pentru sistemele considerate are loc relaţia U(-t)

=GU(t)

G~\

într-adevăr, avem — [GTJ(t) dt

U(-t)

= GA (t) U(t) + A (~t)

ăUW

G] =G

dt

dt

U(-t)G

=

TJ (—t) G = [G A (t) + A ( - t ) G] TJ (t) +

+ A ( - t ) [TJ {-t)G

-G

U(t)];

dar G =

G~\

deci = G~1A (t) + A ( - t ) G'1

GA (t) + A(-t)G 1

= G" [A (t) G + GA (-1)]

=

x

G~ = 0.

Eezultă — [GTJ(t) - TJ(-t)G] = - A (~t) [GU (t) TJ{-t)G]. dt D e aici se vede că matricea GTJ (t) — TJ(—t)G verifică o ecuaţie diferenţială liniară şi deoarece pentru t = 0 această matrice este nulă, ea rezultă identic nulă. Dar dacă GTJ{t) =

TJ(-t)G

rezultă U(-t)

GTJ(t)G~1.

=

Pentru t = o se capătă 17 ( - © ) =

GTJ(<*)G~1.

Dar l 7 ( - « ) = [17 ( « ) ] - * .

Eezultă că [ { / ( w ) ] " 1 coincide cu GTJ (w) G"1, deci are aceleaşi valori proprii ca TJ (o), ceea ce arată că ecuaţia caracteristică a matricii î7(g)) este reciprocă. Pe baza ultimelor două propoziţii vom obţine imediat exemple efective de sisteme pentru care ecuaţia caracteristică a matricii de monodromie este reciprocă şi pentru care teorema 1.12 capătă un caracter foarte efectiv. PROPOZIŢIE.

Considerăm d2 2

dty

sistemul +[C

de ordinul al doilea

+ P («)] y = 0,

118

TEORIACALITATIVĂA

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

unde G şi P sînt matrici de ordinul n. Dacă matricile C şi P sînt reale şi simetrice sau dacă G este reală oarecare şi P (—t) = P (t), atunci ecuaţia caracteristică a matricii de monodromie este reciprocă. Demonstraţie. Dacă G şi P sînt reale şi simetrice, sistemul echivalent dt dt este canonic. într-adevăr, matricea sistemului este de forma 0

A=[

oj

V-C-P

(

C 1 P 0\

0 E)9 o dată cu G şi P . Dacă G e reală oarecare şi P (—t) = P (t) avem A (-«) v

'

= ( ° l-C-P(-t)

E

] = A(t), oj [ - C - P

GA(t)

^ °

= f° lo + P

o)

0}

deci A{t)G

+ GA (t) = 0,

adică GA { - t ) + A(t)G şi propoziţia e demonstrată. Putem acum formula: TEOREMA 1 . 1 2 ' . Considerăm

= 0

sistemul

dt* unde 1) G este simetrică şi pozitiv definită, iar P (t) e simetrică sau G este reală oarecare, cu valori proprii distincte şi pozitive, iar P (—t) = P (t); P (t) este periodică în t de perioadă atunci co

<*h = oSAtunci, pentru | X | suficient de mic, soluţiile sistemului sînt mărginite pe toată axa. Demonstraţie. Ipoteza 1) asigură că ecuaţia caracteristică a sistemului este reciprocă; pentru X = 0 se capătă sistemul dy dz ^

<*>, ±

m

TEORIA

Fie B =

^

STABILITĂŢII

119,

j; matricea de monodromie corespunzătoare este

B<0

e . Valorile proprii ale matricii eB<0 sînt de forma eV°, unde Xfc sînt valorile proprii ale matricii B. Aceste valori proprii sînt date de ecuaţia detf-XJ5» \-G

) = 0. -XJ0./

Dar deJ~XJ7n

En

\

d e

/ 0

En\

= d e t (

_

0

_

X

2^

n )

.

Eezultă că —X2 sînt valorile proprii ale matricii O, deci — X2 = o*. Deducem de aici că valorile proprii ale matricii B sînt de forma ± i^i > deci valorile proprii ale matricii efi<0 sînt de forma e ± ^3 <0 . Dacă c^ ± co^ rufa, rezultă o,- ±

, deci i o , w deci va6) lorile proprii e ±i0 Y° sînt distincte. Sîntem astfel în condiţiile teoremei 1.12 şi deducem că soluţiile sistemului sînt mărginite pe toată axa pentru | X | suficient de mic. § 10. CONDIŢIA LUI PERRON DEFINIŢIE.

Vom spune că

dt

sistemul = Alt)

x

satisface condiţia lui Perron dacă pentru orice funcţie continuă f (t), mărginită pe semiaxa t >- 0, soluţia sistemului at cu x (0) = 0 este mărginită pe semiaxa t >- 0. TEOREMA 1 . 1 3 . Dacă \A (t) | <; A0 şi sistemul satisface condiţiei lui Perron, atunci soluţia banală a sistemului este uniform asimptotic stabilă. înainte de a trece la demonstraţia teoremei vom stabili o serie de fapte preliminare. LEMA 1. Există S0 > 0 astfel încît oricare ar fi t, t9 > 0 şi I 8 ~ to I ^ ^o să avem \X(t,s)-X(t, Demonstraţie.

«K-^I-T&WI. Z

Din X(t,x)=X(t,

t0)X(t0,s)

TEORIACALITATIVĂA

120

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

rezultă |X («, 8) - X («, *0)| < \X (t, t0)\\X

(t0, s ) - E |.

Dar X (t0, s) = Y

ds Y (s, t0) = E —

deci

X

*o)

J0)

Y (a, £Q) J. (a) da = E —

A (a) da + ^ A (a) da,

de unde | Y (s, t0) - E | < T I A (a) I da + T J«. X

| Y (a, *0) - E || A (a) | da

deci | Y (s, *0) - E | < A0 8 0 e^o, A0 = sup Dacă S0

( 0 |.

e suficient de mic, rezultă z

şi lema e demonstrată. CONSECINŢĂ. Există A IX (t, t0) |<\X 2

S0 > 0 astfel ca (t, s) I <

^o) | dacă \ s — t0\ ^C 80.

2

LEMA 2. Dacă ^ | X (J, a) | d a < C pentru

t > 0,

J f asţfeZ c a

| X (t, a) | < Jf pentru 0 < a < t. Demonstraţie. Dacă astfel ca 0 < a n < tn şi \X adevăr, dacă tn < T0 am felul cum au fost definite C>[n\X(tn, Jo

afirmaţia n u (t n , ocj | > w. avea | X (tn, a n şi tn. Dacă

a) | d a > r n + 8 ° | X(tn,

ar fi adevărată, există a n şi t^ Şirul {tn} este nemărginit. î n t r an) | < ceea ce contrazice { a j este nemărginit, avem

a) | da >

Joc n

S0 \X (tn,*n) \ > ± ^

80 n ^

ceea ce este contradictoriu. Dacă a n n u este mărginit, a v e m C>

f W | X(tn, Jo

a)|da>rn | X(tn, Joc*—80

a

) | d a > ^ - 8 0 | X (tn, ^

ceea ce este din nou contradictoriu. Lema e demonstrată.

xn)\

TEORIA

LEMA 3. C astfel ca

Dacă sistemul

STABILITĂŢII

satisface

12Î.

condiţia

[ \X (t, a) | di < C pentru

lui Perron,

atunci

există

orice t > 0.

Jo

Demonstraţie. Soluţia cu condiţia x (0) = 0 a sistemului neomogen este dată de formula x (t)=^X(t,

a ) / ( a ) da.

.o

D i n condiţia lui Perron rezultă că pentru orice funcţie continuă ş i mărginită / definită pe t > 0, funcţia^ X (t, a ) / ( a ) d a este mărginită. Pentru t fixat, considerăm operatorul TJ i f ) care aplică spaţiul B a n a c b al funcţiilor vectoriale continue / , mărginite pe semiaxa t >- 0, în spaţiul vectorilor numerici, definit de U ( f ) = [ x ( t , a ) / ( a ) da. Jo F i e {tk} şirul numerelor raţionale pozitive, U k ( f ) =

Î

X

a ) / ( a ) da.

Deoarece pentru ||/|| < c1 f u n c ţ i a a ) / ( a ) da este mărginită,, rezultă lim sup || I M / ) || < o o .

k-*ao

Deoarece sfera ||/|| < cx este în spaţiul Banach considerat o mulţime de-a doua categorie, p u t e m aplica lema lui Banach-Steinhaus şi deducem, că există M cu \\TJk ( / ) | | < M\\f\\ pentru orice / din spaţiu, deci IP\Z(ltf

« ) / ( « ) d « | < Jf||/||.

'A

Pentru t real oarecare există un şir {tnk} de numere raţionale a cărui limită este t. Din

rezultă

R 'n

,«)/(«) da <

M

a) / ( a ) d a < M

TEORIACALITATIVĂA

122

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

pentru orice / din spaţiu. Fie xik elementele matricii X (t, a ) ; pentru t f i x a t considerăm vectorul fk ale cărui componente / * sînt egale cu sign xtk. Vectorul Xfk v a avea componentele sign x i k = Yi I xik Ik

k

k n

Fie f - un şir de vectori, cu elementele funcţii continue tinzînd către fk. P e baza teoremei lui Lebesgue de trecere la limită sub semnul de integrare, rezultă lim C X (t, a) fk'n (a) da = C X (t, a ) / * (a) d a )o Jo şi din

rezultă pentru

deci

n

^ X («,«)/*•» («) d a | < J f I»o oo r-< « ) / * ( « ) da I .o ^ n I

||

(<»«)! d a < J f x .

• 0 A;

Deoarece această relaţie este adevărată pentru orice i rezultă că există C astfel ca ^ | X (t, a) | d a < G şi lema e demonstrată. Demonstraţia teoremei 1.13. D i n lemele 2 şi 3 rezultă stabilitatea uniformă. Mai departe din |X (a, t0) < M rezultă pe baza condiţiei lui Perron |( J

(t, a) X (a,

<|X(Mo)l

< Ov

da < 0 i

deci \X(t,t0)\ v

<3eea ce arată că are loc stabilitatea asimptotică. Ţinînd seama de lema 3 a v e m a)I(a,gda I Jo

|X(*,a)| .0

|X(a,*0)|da<

< M f I X (I, a) I da < MC =CX

TEORIA

STABILITĂŢII

123,

deci C1 este independent de t0. De aici rezultă că stabilitatea asimptotică e uniformă şi teorema e demonstrată. O generalizare a teoremei 1.13 datorită lui M. Reghiş se obţine în felul următor. Fie Ll spaţiul funcţiilor vectoriale definite pe semiaxa t >- 0 |h (s) \v epas ds < oo, L™ spaţiul funcţiilor pentru

măsurabile şi astfel ca

care vrai sup | h (s) \ eas < oo. Luînd în aceste spaţii normele P lk«> =

I ft («) \p e vas

te^'P

€ [1, oo)

respectiv II AII(®.«) = vrai sup \h(s)\ eas, o0 Ll şi Lr devin spaţii Banach, căci operatorul liniar £2« : Lva-+Ll definit de h = e (a_6)s h (s) este un izomorfism izometric între Ll şi Ll, iar L este spaţiu Banach. LEMA 4.

Dacă

V u = f X (t,s)u Jo este un operator din Ll în L™, atunci \\Vu\\{co.b)<

Demonstraţie.

Dacă Vku=

M

(s) ds

\\u\\

e şirul numerelor raţionale pozitive şi Clk

euk V X (tk, s) u (s) ds, Jo

avem, prin ipoteză, pentru uţL% lemei Banach-Steinhaus

sup || Vk (u) || < o o , deci conform h^l || Vk || <; J f , deci

|| Vku

|| < M || « ||(„>,

sau e«* de unde

C* X (tk, s) u (s) ds ||< >n I e w K' X (t, s) u (s) ds <

şi lema e demonstrată. T E O R E M A 1 . 1 3 ' . Dacă există pţ[ f ţ L* soluţia cu x (0) = 0 a sistemului

1,

M || u I U , ,

M\\u\\(v,a)

+ oo) astfel ca pentru

^ = A ( t ) x + f dt

orice

TEORIA CALITATIVA A

124

să aparţină pentru

ECUAŢIILOR

DIFERENŢIALE

LvbJ a, b > 0, atunci există h > 0 astfel ca

lui

\X(t,t0)\ t0 > 0. Demonstraţie. Fie 80 constanta din lema 1. Definim funcţiile X(sm80)x0 =

as

e \X

^

M e~ w

gia

i ) S o L |a?0 | = 1 ,

(s,m80)\

0 Avem

(m +

[mS 0 , (m + 1) * 0 ], s > 0. şi || u m ||(P.a) < 1. Conform lemei 4, __L I p(mfl)80

> Jo <80"

I.U. e«s|X(s,m80)| nm+l)« ds | J ( « , m 8 (:o) I \ > a lm8o0 e * | X (s, mS 0 ) | JM8

<

i 2 > So » - | X ( « , m S 0 ) | S 0 e"»8» e-""18» 3

căci | X (s, m80) | <

— pentru m80 < s < (m + 1) S 0 ,

2

Eezultă 1 o I < *o — ^

I^

2

Fie $ € [0,*] şi m astfel c a m 80

8

o 1 ' eaS° eam8°

s < (m + 1) 80. Eezultă

| X (t,s) | < | X(t,m80)\\X(m80,s)

<

ir

•

|< ^ Z

M e a8 ° So 9 e"8

| X(t,m80)

| <

= h e™

şi teorema e demonstrată. Y o m demonstra acum o teoremă datorită t o t lui M. Eeghiş relativă la existenţa unei funcţii Liapunov pentru sistemele liniare cu proprietatea din teorema 1 . 1 3 ' . TEOREMA 1 . 6 " ' . Dacă \X (t, t0) | < h ea<° e ~ w , atunci oricare ar f i 8 < b există V(x,t) continuă, cu proprietăţile 1° F (0, t) = 0, t > 0, 2° | F ^ , * ) pentru

F

]

<

( + 8)tX xi € D , 3° l e8t \x | < F (x, t) < Tc (8) e(a—b

lim sup a—>>0+

V [x (t + h-,t9 x), t + h] — V [x, t] Ti

(«) K -

a 2 |,

TEORIA

Demonstraţie.

125,

STABILITĂŢII

Se defiiieşte V (x, t)

e8t

=

|| *

(t ;

t, x) || d r .

Convergenţa uniformă a integralei e asigurată pentru 0 < t < T, \x\ <J5L datorită ipotezei 8 < b. 00 \V (x„ t ) - V ( x 2 , t) | < V eJ ® (t ; t, a?x) | - | x ( t ; t, ®,)| d x <

S

e S T \ x ( x i t , x j ) — x (x ; t, x2) | dx <

<

< L (t) |

-

eST | J (t, <) | dx \x1-x2

| unde L (t) = J" e»T | X (t, t) | dx <

fe^V

| <

e - * e*< dx =

r»(
eST | X

( x , t)

| d x | x | = L (t)

\x

\ =

Jc ( 8 ) e ( a - ^ + 8 *

C«o fi+a 1 V (x,t) > e 8t \ I « (x; t,x) | dx > e 8 H \x (x; t, x) | dx > — <xe8< \x \ (cu aceleaşi raţionamente ca în teorema 1.6"). Se vede imediat că 1*00 1*00 V [x (t; t0, x0), t~\ = \ e8^ I x (x ; t, x (t; tw a?0)) | d x = ^ e 8x | x (x ;<0, x0) | d x deci

Pentru t = se capătă condiţia din enunţ. Să încheiem aceste consideraţii cu o teoremă de stabilitate după prima aproximaţie. TEOREMA 1 . 7 " ' . Dacă \X (t, I < ^ ea'° oricare ar fi funcţia 0(a>, «) |®(a?,0 | < / ( O I ® r , | | ® [ | < D , / € l i o , 1 1 / I U » x (t-y t0, x0) a ecuaţiei dâ? — — A (t) x + O t), cw |

| suficient I

de mic verifică «o, ®0)

inegalitatea e~w

« > t0 > 0.


TEORIACALITATIVĂA

126

ECUAŢIILOR DIFERENŢIA LE

Valoarea iniţială x0 trebuie să verifice relaţiile: («)

dacă

K | < (P)

a > b , m > ^ b

[2(m-l)hm

--î1 1 || e'*-™"»' ||(,.0)] — - + - = l ; P î

||/|U,

dacă

p t [ l , + oo]

a > 6 , m = ~>p = l i_

em(a~6)
I ®0 I < [2 ( w - 1 ) (y)

(S)

l < [ 2 {m—l) fc* | | / ||(2>,o) || e(a~w6)o||(9,0) ] dacă

Demonstraţie.

;

a < &, m > 1, p € [1, + oo]

dacă I

1

a < &, » = l , p 6 [ l , + oo], ||

1 + 1 = 1 ; V î || < D .

Avem

I ® ( M o ^ o ) K I ^ (Mo)l I

I+ f

O

(T), t ] dT, / > ^o > 0.

J«o

Punînd J = t0 + 8, t = t0 + a, | x (t0 + *; t0, x0) | =