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COLLANA TECNICO SCIENTIFICA PER LA PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO
PLASTICITÀ
R. BALDACCI G. CERADINI E. GIANGRECO
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CISIA Centro Italiano Svilu ppo Impieghi Acciaio· Milano
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PREFAZIONE
COPYRIGHT © 1974 CISIA - MILANO
Il presente volume della Collana comprende alcuni argomenti fondamentali di Teoria delle Strutture, attinenti alla progettazione delle costruzioni in acciaio ma, di regola, soltanto accennati nei corsi istituzionali specifici svolti neile nostre Università. Essi riguardano il calcolo a rottura, lo studio dell'instabilità elastica ed elasto-plastica e l'analisi dinamica delle più comuni ed importanti strutture elementari che si incontrano nelle Costruzioni metalliche. Di questi temi è apparso opportuno tentare una trattazione, certamente imperfetta, ma impostata su un livello generale, adatta a fornire agli studiosi un quadro sufficientemente esteso della materia. Proprio il carattere degli argomenti trattati ha richiesto un approfondito collegamento con i principi generali della Meccanica ed un' ampia premessa dei fondamenti teorici, in vista del successivo sviluppo applicativo. Ne scaturisce in tal modo un discorso unitario che vuole costituire un utile e naturale collegamento tra i principi della III eccanica in generale e le indagini più tecniche ed applicative che formano l'oggetto degli altri Volumi della Collana. Tale esigenza ha comportato un ampliamento considerevole del programma originario, tanto da dover suddividere il volume in due parti, II A e II B. La prima fornisce una esposizione organica della Teoria della Plasticità, cui fa seguito lo studio concreto di problemi elasto-plastici delle strutture. La seconda contiene una trattazione unitaria dei fondamenti comuni alla Dinamica e Stabilità dei sistemi da cui conseguono l'analisi dinamica e lo studio dei fenomeni di instabilità delle strutture più importanti. Questa ricerca di una certa generalità e completezza ài trattazione ha comportato per gli A utori la necessità di essere affiancati, nella elaborazione della complessa materia , da studiosi italiani, il cui apporlo nei settori specifici loro affidati è risult(J,to veramente prezioso: ad essi va l'apprezzamento ed il ringraziamento più vivo.
R. PRINTED IN IT ALY STAMPA DELLA TAMBURIN! EDITORE S.p.A. - MILANO
BALDACCI
G. CERADINI
E.
GIANGRECO
9,
INDICE INTRODUZIONE
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•
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3
PARTE I FONDAMENTI GENERALI CAP. l -
COMPORTAMENTO DEI MATERIALI ELASTOPLASTICI
1.1 Generalità. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La condizione di snervamento. . . . . . . . 1.3 La condizione di snervamento per i materiali isotropi perfettamente plastici . . . . . . . . 1.4 Legami costitutivi dei materiali elastici-perfettamente plastici . . . . . . . . . .. 1.5 Legami costitutivi per i materiali incrudenti CAP. 2 -
Il
19 21 33 , 41
TEOREMI GENERALI DELLA TEORIA DELLA PLASTICITÀ
2.1 Materiale elasto-plastico stabile secondo Drucker 2.2 Inversione della legge incrementale di deformazione elasto-plastica . . . . . . . . 2.3 Il problema elasto-plastico incrementale 2.4 Il collasso plastico . . . . . . . . . . 2.5 L'adattamento dei corpi di materiale elasticoperfettamente plastico soggetti a carichi variabili nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . PARTE
57 63 66 77
88
II
ELASTO-PLASTICITÀ DELLE STRUTTURE CAP.
3 -
COMPORTAMENTO DELLA TRAVE ELASTO-PLASTICA
3.1 Trazione e compressione
109 VII
3.2 Flessione simmetrica . 3.3 Torsione. . . . . . . 3.4 Sollecitazioni composte
i
CAP.
4 -
110 118
132
ANALISI LIMITE: STRUTTURE MONODIMENSIONALI
l'
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
I"
CAP.
5 -
Generalità sul procedimento dell'analisi limite Sistemi reticolari. . . Travi e telai semplici. . . Telai . . . . . . . . . . Archi e strutture con più caratteristiche attive
ANALISI LIMI'l'E: STRUTTURE BIDIMENSIONALI
5.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Il caso delle lastre . . . . . . . . . . . . . 5.3 Il caso delle lastre caricate ortogonalmente al proprio piano . . . . . 5.4 Il caso dei grigliati. . . 5.5 Il caso delle lastre curve CAP.
6 -
155 160 166 174 183
191 193 210 232 246
COMPLEMENTI DI ANALISI ELASTO-PLASTICA DELLE STRUTTURE
6.1 Il calcolo a collasso quale problema di programmazione matematica . . . . . . . . . . 6.2 L'influenza delle variazioni di geometria sul comportamento al di là del collasso 6.3 Adattamento plastico (Shake down) . . .
VIII
279 289 295
INTRODUZIONE
Oggetto della teoria della plastieità è lo studio del comportamento dei corpi costituiti da materiale duttile, sollecitati oltre i limiti elastici. Per questi corpi ad una prima fase elastica della resi:;tenza segue, con il crescere della intensità delle azioni sollecitanti, una seconda fase detta elastoplastica, caratterizzata dalla presenza di ZOlle ove il materiale, pervenuto allo snervarnento, diviene sede di deformazioni plastiche. Poichè le deformazioni plastiche sono irreversiùili, in un dato istante del processo di carico di un corpo elastoplastico lo stato di deformazione e quello di tensione dipendono non solo dalle condizioni attuali di carico ma da tutta la precedente storia di sollecitazione. Questa circostanza puntualizza la sostanziale differenza che sussiste tra il comportamento dei corpi clastoplastici e quello dei corpi elastici, per i quali lo stato di tensione dipende unicamente dalle configuraziolli iniziale e finale d el corpo. Dal punto di vista applicativo, la differenza più rilevante si manifesta nell'ambito della teoria lineare per piccoli spostamenti, in cui - per i corpi elastici - lo stato di tensione e di deformazione dipende univocamente dalle azioni sollecitanti attuali, ed è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti; i problemi di resistenza dei corpi elasto-plastici, al contrario, devono in generale essere risolti anche in questo amùito per via incrementale, seguendo passo-passo le vicende dello stato di tensione e di deformazione con l'evolversi del processo di carico. Ciò rende l'analisi molto più complessa e onerosa. 'l'uttavia, grazie anche a recenti sviluppi teorici ed alle applizioni che ne discendono, basate sulle tecniche di calcolo della programmazione non lineare, è ora possibile seguire il comportamento elasto-plastico di ulla struttura soggetta ad un qualsiasi programma 3
"..--di carico comprendente anche il susseguirsi nella stessa zona di pIasticizzazioni e di rientri in fase elastica. L'impostazione sopra delineata viene generalmente definita « incrementale >). Nella ipotesi che in ciascun elemento della struttura le tensioni crescano proporzionalmente al crescere dei carichi esterni, il legame incrementale tensioni-deformazioni può essere integrato in modo da ottenere un legame tra le tensioni e le deformazioni totali del tipo di quello che regola il comportamento di un materiale elastico non lineare. Nella prima fase delle applicazioni t ecniche della teoria della plasticità, sulla base di detto legame in termini finiti è stata sviluppata la cosiddetta « teoria globale l), che è rigorosamente valida solamente in quei casi particolari nei quali è verificata l'ipotesi sopra formulata . Essa tuttavia è in grado di fornire soluzioni di buona approssimazione per quei problemi Ilei quali gli incrementi delle tensioni si mantengono pressochè proporzionali in tutte le zone più sollecitate della struttura. È quindi demandato alla sensibilità d ell'operatore il compito di stabilire se la teoria globale possa essere o meno applicata. Nel seguito la teoria globale non sarà ulteriormente sviluppata in considerazione della mancanza di generalità e della sua stretta connessione con le teorie elastiche non lineari. In molte questioni attinenti alla verifica delle strutture metalliche, è opportuno assumere (in favore della sicurezza) che il materiale non incrudisca: in tal caso esistono limiti di resisteuza che possono essere determinati direttamente, senza far ricorso all'analisi incrementale sopra menzionata. Tali limiti sono quelli d el collassoincl'ementale o della plasticità altema.ta, nel caso di carichi comunque variabili nel tempo, e quello di collasso statico nel caso di carichi sempre crescenti. Il collasso incrementa,le o la plasticità alternata si verificano per l'accumularsi nel tempo di deformazioni plastiche limitate, ma ricorrenti , collegate a cicli di sollecitazione provocati dalle variazioni dei carichi; il collasso plastico si verifica quando il diffondersi delle zone plasticizzate, con il crescere dell'intensità dei carichi, fa sÌ che i singoli sistemi locali di scorrimento plastico potenzialmente attivi possano coordinarsi tra loro trasformando il corpo in un m eccan ismo capace di deformarsi senza ulteriori incrementi di carico. Ciò vale naturalmente fin quando il fenomeno non è influenzato da lle varil1zioni di geometria subite dal corpo con la deforma~ion e . 4
Salvo il caso cii stl'\lttme particolarmente deformabili , all'atto dell 'instaurarsi del meccanismo di collasso gli spostamenti subiti dal corpo per effetto delle deformazioni elasto-plastiche preeedenti sono cosÌ piccoli da permettere ehe si faccia ancora riferimellto alla configurazione ini~i ale. In questo caso lo stato di collasso del corpo dipende solamente dalle cond i~i()ni di carico attuali e non dalla precedente storia di tensione e di deformazione. Qu esto fatto è di fundamentale importallza perchè permette di determinare la sicurezza al eullasso dil'ettamente, cioè omettendo ogni analisi d ell e precedenti fasi clastica ed elastoplastica, ed assumendo per il comportamento del matel'iale lo schenw rigido-plastico. Su ciò si b asa il capitolo fondamentale dell a teoria delle strutture rig uarda nte il calcolo n l'oama. Le prime ricerche di carattere applicativo s ul calcolo a rottura e sul controllo sperimentale della sua validità a i fini della verifiea dell e strutture in acciaio si svilupparono pressoeltè eontemporaneamellte in molti paesi nel periodo compreso tra il 1925 cd il I (H-O. Si eitano a tale proposito i contributi di G. Ka~inezy, N. C. Kist, M. GI'Unin g, J. Fritsehc , K Melan, F. ed H. Bleich , H . lVIaicr-Leibnitz, A. A. Gvodzev. Anche in Italia analoghe impostazioni erano nello stesso pe riodo avanzate, anche in relazione alle opere di cemento armato, e validamente sostenute da G . Colon netti ed A . lhnusso, eh un punto di vista più spiccatamente teorico, nonchè da P. L. Nervi da quello tecnicocostruttivo. Dopo la seconda g uerra mondiale, mentre le ricerche teori che si approfondivano e si diffondevano, le indag ini sperimentali erano COIldotte soprattutto negli Stati Uniti ed in Inghilterra, oltre ehe nell'Unione Sovietica, con l'intento di porre le basi di una nuova normativa s ull a progettazio ne e sulla verifica delle strutture, basata appunto sul el11eolo a rott.ura. Sono note le discussioni e le pole mi ch e ehe llcgli ultimi 25 a.nni si sono svolte::;u questo tema. Da un la.to i fautori dd calcolo a rottura. formulavano le seg uenti osservazioni: 1) I gradi di sicurezza effettivi di strutture progettate e vC'rificate con m otodi trac1i~ionali risultallo tra loro scnsibil!nCllte divers i in relazione alb natura delle strutture cd alle modalità cii carico. PC'r le strutture ipel'i:i t atiche il trascurare In riserve di resistenza in fase el astopbsti ca., eomc avv iene con i metod i tradizionali basati s nlla verifica delle t ell si\Jni massime in eHer ciz.io, calcolate in ha se alla teoria 5
dell'elasticità" porta in gcnemle a sot,tova,]utarc l'effettivo gmdo di sieurezza. D'altra parte il fatto ehe la l'esistenza di una struttura di materiale duttile non sia esaurita se sussiste Ja, possibilità, di una ridistribuzione delle tensioni, era ben nota agli ingegneri fin dai primi sviluppi della Scienza, delle Costruzioni. Bas ta citare a questo riguardo il metodo cosiddetto di Mery per il calcolo degli arehi c, successivamente, nel campo d ei calcoli eh1stiei , le semplificazioni introdotte negli schemi statici, semplifìcazioni che genera,]mente porta,llo a trascurare, in modo più o meno consapevole, le sollecitazioni cosiddette second a rie rispetto alle principali: cosÌ ad esernpio nelle strutture reticolari si trascurano gencralmente le sollecitazioni flcssiouali dovute ,di,L continuità nei nodi rispetto a quelle assiali. 2) Nel calcolo elastico le tensioni massime ùi esercizio poste a confronto con le tensioni ammissibili nOli SOllO le tensioni effettivamente presenti nella struttura ma rappresentano di queste valori ntedi nominali. ]nfatti 110lla loro determillazion e si trascurallo geJleralmente le tensioni residue (di laminazione, di saldatura, di m(Hltaggiù) e, almeno nelle strutture sollecitate staticamente, ogni effetto di concentrazione dovuto a fori, intagli e brusche variazioni di sez lon e, a n on uniforrni ripartizioni degli sforzi n egli clementi eli coll ega mento, alla applicazione di carichi concentrati ecc. Qualora s i tenesse COllto di flUCsti effetti si perverrebbe a valori delle tellsiOlli largalllCllte eecedcnti il limite di sllm'vamcnto, talchè, se }}Oll potesse farsi afTìdamelìto sulla dllttilitù, ùel materiale, quasi neSSUlla struttura verilieata ('OH il c
sostennta convenzionalità delle tensiuni elastiehe poste a base della verifica ribattevano che una prassi ormai almeno centenaria ha stabilito i limiti delle approssimazioni lecite, sanzionandole anche nelle norme e nelle regole del buon costruire, osservavano quanto segue: l) 11 ealco]o a l'ottura non fornisce alcun dato sulla entità delle deformazioni plastiche locali che hanno luogo nella fase elastoplastica precede nte il collasso. Non si ha quindi la possibilità di controllare che rotture locali per eCcesso di deformazione compromettano prematuramente il eomporta,mento delle zone più impegnate nella formazior:.e del meccani s mo di eollasso plastieo. In qucsta eventualità, la effettiva sicurezza a rottura clelia struttura risulterebbe inferiore a quella teoric,. e eiò non può essere ammesso p er un metodo di calcolo dii, introdurre nelle llonne . 2) Allaloga situazione può verificarsi se fenomeni di instabilit:ì, locali, favoriti dalle plasticizzazioni, compromettono prematuramente la l'esistenz,t delle zOlle dell:l struttura intet'ess,1te d a l meccanisnlo di collasso plastico. 3) Il calcolo a rottura non può eRsere amm esso nel caso di strutture sollecitate a fatieLt o soggette a deformazioni impresse eicliche, anche di na,tUl'
assicurare il pieno esplicarsi delle deformazioni plastiche fino al collasso. I~ così da escludersi, quando si rimanga ncll'ambito delle citate prescrir,ioni, il pericolo di rotture o di instabilità locali premature. Si sono inoltre studiati gli effetti delle forze assiali e delle forze taglianti sui momenti limite delle sezioni e quello delle deformazioni di insieme sul valore dei carichi limite di collasso. In queste condizioni il calcolo a collasso è apparso maturo per essere introdotto nella normativa e ciò, con le limitaziolli e le precauziuni di cui sopra, è stato già realizzato in alcuni regolamenti stranieri.
PAH,TE I
FONDAMENTI GENERALI
*** Il presente volume vuoI essere una introduzione teorica ai metodi di calcolo delle strutture costituite da materiale elastopIttstico e quindi, in particolare, delle strutture in -acciaio. Il primo capitolo riguarda il comporta mento dei materiali e1astoplastici e le sue schematizzazioni teoriche. Nel secondo capitolo si espongono gli elementi fondamentali della teoria incrementaI c delle strutture, discutendo i teoremi generali che la governano. Si trattano inoltre le teorie del collasso statico e del collasso incremelltale delle strutture di materiale perfettamente plastico ed i teoremi generali ad esse relative. Stabiliti cosÌ i fondamenti della trattazione, si passa nel terzo capitolo allo studio particolare del comportamento della tmve elastoplastica soggetta a solleeitazioni sempliei e eomposte. Si espongono poi nel quarto eapitolo i metodi di calcolo a rottura delle strutture monodimensionali iperstatiehe. Il quinto capitolo è dedicato alla trattaziolle dei metodi di ealcolo delle strutture bidimensionali, quali lastre, piastre e volte sottili. Nel sesto ed ultimo eapitolo il collasso plastico e l'adattamento sono trattati come problemi di programmazione. Si dà anehe un breve eOlmo sulla influenza delle deformazioni nella fase susseguente al collasso.
b
(Giulio Ceradini)
1.
COMPORTAMENTO DEI MATERIALI ELASTOPLASTICI
LI
Generalità
I materiali metalli ci I:;u lleeitati al di là di un dato limite l'l'esentano, oltre alle deform az ioni c1astiehe reversibili , defurmazioni plastiche dovute a variaziolii il'reve l'sibili dell 'assetto del reticolo cristallino. Se la temperatun1 è tale elH' possano escludersi fenomen;, di rin'\ienime nto e di scorrimento viscoso, al cpssare dell'azione sollecitante le deformazioni plastiche permangono, mentre si alllwllano le deformazioni clastiche. ] l fenom eno si presenta particolarmente eomplesso Il ei matcriali polieristallini a causa del variare dell 'orientamento e della forma dci grani, del disordine nell'assetto della materia ai bordi di questi e della presenza di tellsioni interne in scala microcristallina. A causa di ciò defor mazioni plastiche di modesta entità si verificano a nche nelle fasi ini ziali della sollecitazione e la definizione di un limite dci comporta mento elasti(;o del materiale ri snlt~1 puramente convenzionale, poi chè detto limite si Itb bassa all'affinarsi dei dispositivi di misura impiegati. L'attivazione delle deformazioni plastiche m aeroseopiehe è comun e mente indicata qua,le snervam enlo del lIlu terinle. li crescente disordine nell'assetto dei reticoli cristallini provocato dalle deformazioni plastiche porta al progressivo bloceaggio dei meccanismi di deformazione a ttivati, per cu i anch e in fase plastica. 1111 incremento della deformazione PII Ò aversi, generalmellte, Rolo mediante un adeguato incremento della sollecitazione. Questo fenomeno viene denominato incr l'ulimcnto dd material e. L 'indag ine sull e eau se e s ui Illeee,tliismi delle deformazioni Vla stich e alla. scala dei ruti(;ol i cl'ist<111ill i l'ien tra nei ealli pi di interesse della fi sica, {lei solidi. Allo staLo nttual,_' tutt<1Vi!1 i ri s llltati da essa eOI111
seguiti nun possono essere direttamente impiegati nella formulm-;ione delle leggi fondamentali della teoria della plastieità; essi d'altra parte possono fornire utili informazioni di insieme per la corretta formulazione delle dette leggi e per il loro affinamento. Nella teoria della plastieità, volta ai fini applicativi della scienza delle costruzioni, il materiale pOlieristallino è assimilato ad un continuo, generalmente isotropo allo stato vergine, per il quale i tensori della tensione e della deformazione unitaria descrivono, come nella teoria dell'elastieità, lo stato di tensione e di defcrmazione. La formulazione del legame cost,itutivo del materiale si è basata in passato e si basa tuttora snll 'analisi fenomenologica, effettuata su scala macroscùpica, del fenomeno della deformazione elasto-plastica, analisi inquadrata nei principi generali della meccanica del continuo. Un primo gruppo di infurmazioni fondamentali si ottiene dallu studio del comportamento del materiale nella sollecitazionc un iassiale di trazione e compressionf>.
Nella figura la sono ralJpresentati i diagrammi tensioni nominali -- elongazioni relativi ad acciai da carpenteria di corrente impiego e di diverse caratteristiuhe meccaniche. Essi presentano tutti una fase elastica ben marcata, corrispoudente alla retta di H ooke, alla qua,le segue dopo un breve raccordo un ampio tratto orizzontale relativo al primo snervamento del materiale; a questo tratto fa seguito il ramo della curva relativo alla fase di incrudimellto.
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26
Nella figura J b è rapprcsentata in dettaglio la. prima parte dei diagrammi, fino 11 deformaziolli unitarie dell'ordine dell' l %. Essa pone in evidenza come per deformazioni unitarie non eccessivamente grandi il comportamento degli acciai considerati possa essere convenientemente rapprescnt'1to dallo schema elastico-perfettamente plastico (fìg. 5a). Se le deformazioni superano la soglia dell'incrudimento può essere lItile far riferimento, per l'acciaio dolce da costruzione Pc 37 13
(eorrispondente all'aeciaio A 7 di produzione V.S.A.) al diagramma di di figura Id (Beedle) (l).
c rispettivamente:
• ;-o2-=-f=~;2-=~-;;:-i=-010n a id --- V 1 2 3 ~ -- °2°3
~ °3°1 =
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5000~-:~
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4000: Il~~ 3500:
~&-- ~ NO"
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Come risulta dall'esame della figura il eomportamento del materiale è rappresentato in modo soddisfacente dalla legge Tott = f (Yott) che è alla base della teoria globale della plastieità (N adai; l~os Eiehinger; 1Iyushin).
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Acciaio Siemens-Martin. Comportamento in campo elastoplastico per varie condizioni di sollecitazione m o ~-EichinQ0r)
Fig. 1
C
Nella figura le è rappresentato il dolec da eostruzione allo snervamento e dimento per vari stati di tensione o per zionale. Quali grandezze rappresentative e di tensione sono assunte:
V3
- -- - - t'id
2
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El
,,/3
+ + 1'2
1'3
1
_L 1'2 1 2
=-co
°
_1_ [;2 3
comportamento dcll'aeeiaio nella prima fase dell'illcrueOlldizioni di earico propordello stato di deformazione
;-2-+- ~2-=tl\ t'2 = .V'\ 2
(1' =
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valori
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medI
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L,C ' '; le>
(
2.100.000 kg/crn 2
0;.,
~ 2.400 kg/cm 2
Ep
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1,4x10- 2
i\g/cm 2
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["ig. Id
v=~=
Yott
2
(1) A.S.C.E., iVJal/1.w/s o/ lc'J/yiil eel'h1rl l'Y'aciù:e N. 41: C"lIl1l1f'ldary Oll l'lm;!i" Design in Slenl, l!lGl.
14
0.1
Ep "" 56.000
0,5) eoincide con:
--- l' [; - -- [le' 12 23
da -=E dE
L_ ~_
Aeeiai duri O honifìcati O fortemenk legati e altri materiali metalliei l'l'esentano normalmente il tratto orjzzontale dello snervameuto meno accentuato o totafrnentc aSi"C'lltc, come indicato nel diai!ramma di iigunt 2. 15
a
ma,teriale ed alle tensioni residue che di conseguenza sono presenti in O'. Quando la sollecitazione viene invprtita gli elementi chc presentano tensioni residue di cornpressiolle raggiungono lo snervamento prima degli altri c ciò provoca lo scostamento dal comportamento lineare fin dal punto 8".
a s p
o
E
Fig. 2
In questo diagramma è rappresentato il comportamento del materiale nel corso di lino scarico completo .lJ1 ()' e di un succcssivo carico O'P'lJ.l'. 00' è la dcformazione permanente allo scarico c l'arca racchiusa nel diagramma lJ10'P'lJ1' rappresfmta l'energia dispersa per isteresi nel ciclo di sollecitazione. Generalmente nellc schematizzazioni del legame tensioni-deformazioni la differenza dei percorsi lJ10' ed O' P'lJ1' viene trascurata, mentre si assume che sia allo scarico che al successivo carico il punto rappresentativo descriva una retta lJ10' parallela alla retta OP rappresentante il comportamento elastico iniziale. Un particolare comportamento si ha se il materiale dopo essere stato sollecitato a trazione nel campo dell'incrudimento, viene scaricato e successivamente sollecitato a compressione, o viceversa. Come indicato schematicamente nella figura 3, la curva 0'8" .lJ1" del materiale sollecitato a compressione dopo lo scarico risulta differente da quella 08'lJ1' che si avrebbe per il materiale vergine; in particolare lo snervamento viene raggiunto in 8" per una tensione inferiore, in valore assoluto, a quella relativa ad 8'. A l)uesto fenomeno viene dato il nome di effetto Bauschin(Jcr (l); esso è dovuto al diverso comportamento dei singoli grani formanti il (l) l'vlitt. Mech. Tech. Lab., Miinehen voI. 13, I88G.
16
M'
Fig. 0
Nella figura ·1 è indicato l'effettivo comportamento di un acciaio dolce assoggettato iL successivi cicli di sollecitazione per trazione e compressione (l~o~-Eichinger) (l). Le schematizzazioni più usuali del comportamento clasto-plastico déi materiali metallici nella sollecitazione uniftssiale, quali risultano da qlmnto sopra brevemente descritto, sono indicate nella figura 5. II diagramma, (a) rappresenta il comportamento elastico-perfettamente pl'Lstieo. Il diagramma (b) è del tipo elaCitieo-incrudente e pone in evidenza l'effetto Bauschinger; di esso il diagramma (c) costituisce una generalizzazione. Se pui nello schema (a) si trascura la deformazione elastica rispetto ,tIla plastica si ottiene il diagramma (cl) relativo alla selwmatizzazione del materiale rigido-plastieo, quale viene adottata nel calcolo a rottura. (I) Disku8sionsben:cht .Vr. 34 <1,,1' E.M.P.A., ZUl'ich, !!):!().
17
Quanto sopra indicato, relativo allo stato di tensione ulliassiale, deve essere generalizzato per gli stati di tensione triassiali, in modo da poter descrivere il comportamento del materiale nel caso più generale di un programma di carico nel quale il rapporto tra le componenti del tensore delle tensioni vari ad ogni incremento della sollecitazione .
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La trattazione di questi due argomenti fondamentali della teoria della plasticità è oggetto di questo capitolo. ()l
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Comportamento per azioni assiali alternate in campo plastico (Ros - Eichingr:r)
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Fig. 4
Per pervenire a questa generalizzazione si rende necessario definire una funzione, denominata funz 'i one di snervamento, Iche in o[!lli situazione del programma di carico indichi se il materiale si trova in fase elastica o se è suscettibile di deformazioni plastiche. Nella schematizzazione elastica-perfettamente plastica del materiale (figura 5a) la funzione di snervamento sarò, indipendente dalla sturia di s()llecitazione c eli deformazione; la dipendenza da detta storia sarà invece manifesta per i materiali elastico-in erudenti. Si dovr;\ inoltre formulare illcgame tensioni-deformazioni e detto legame, come risulta ovvio anehe dai semplici schemi della figura 5, dovrà essere di tipo incrementale, riguarderà cioè il comportamento del materiale in un passo di carico infinite8imo a partire
18
d Fjg. [)
U
1.2
La condizione di snerva mento
L'estensione di Cjuanto esposto lIel paragrafo precedente ad uno stato c()mplesso canLttel'i,,;zato da componenti di tensione (fij e da compOlwllti di defol'lna,,;iolle plastica flj conduce al concetto di funzione di snervafl/cnfo. Qllnsta rappresenta l'equivalente pluriassiale del punto di coordinate (Il", f) dte segna sul diagramma di fig. 3 l'evolvere della deformazione c1m;to-plastica a partire dal punto 8 :~C= (as, es) rappl'cselltativo del primo sllcrvamcnto. Nel caso presente, infatti, per ogni possibile combillazione delle compollcnti di tcnsione aij, ttle passaggio S
7.:1, k 2 ,
... ,
kn,
... )
=c O
(1.1 )
detta condi;:ùY/u: di 8nenwJr!rnlo o di ploslici/à. 19
F è la funzione di snervamento; in e3sa k l , k 2 , ... , k n , ... rappresentano dei parametri che caratterizzano lo stato attuale del materiale e dipendono dalla precedente storia di sollecitazione e di deformazione. Per lo stato vergine la Fo (aij)
= F (aij,
O, O, ... , O, ... )
( 1.2)
costituisce la funzione di primo sncrvarnento. Nello 8pazio delle tensioni rJij la (1.1) dà luogo ad lilla 8lIperflcie detta sllpcrfidc di sncrvamento che di pende dai parametri k l , k 2 , ... , le", .. c quindi varia di forma aII'evolvere deIIo stato di sollecitazione e di deformazione del materialc. Si assumerà nel scguito che nello spazio delle tensioni la superficie di Sllervamento sia conve8sa, in accorùo con il postulato di stabilità del materiale di Drllcker, postulato che verrà ()ll1lllCiato e discusso in 2.1. Come risulterà dalla trattazionc, questa ipotesi costi tu isce unH condizione necessaria per la validità di gran parte dci risultati fondamentali della teori~1 della plasticità. Es:,m d'altm parte, specialmente per i materiali metaJlici, è ampiamente convalidata dall 'esperienza. Se risulta F < O il materiale ò in fase dastica ; il punto rappresentativo dello 8tato di tensione ò all 'interno della sup(~rficie di 8l1crvamento. Per alcuni materiali metallici l'inerudimento ò eosì poco rilevante da poter essere tra8curato . Qualldo sia lecita tale ipotesi il com portamento del materiale si def]lìi~ce perfettamente plastù;o; l'l'l" esso J'isul .. tano impossibili stati di tensiollc per i quali siaPo (uij) > n. In altri termini gli incrementi dElj della defol'lnazioJle plastica l'i nUlllifcstano senza che sia neeessario incrementare i eorrispondenti stati di tellsione. La eondizione di plasticitù, risulta indipendente dalla deformazione plastica ed assume la forma 8cmplifìeab1:
F
(iJij)
o.
Fo (IJij)
20
==
O
J'T 1 = sono
1.3
al
-1- U2
(1.4 )
+
a3;
J"2
=cc.
- --
-+- IT2IT3
(ITIIT2
-+
ala2 a 3
J"3
IT3al);
tre invarianti del teIlsore delle tensioni.
materiali isotropi
La condizione di snervamento per perfettamente plastici
a3
Rappresentazione della superficie d·i snervmuento
M(a ·a , u ) 1 2 J
Come indieato nella figura 6, nello
n
spazio delle tensioni prillcipali ogni vettore -- - +
0]1:[
applicato all'origine rappresenta uno
stato di tensione (1). Per i suoi due comgiaeitura
al
+
IJ~
+
(J2
I
/-rt ~ I ---~
ponenti ON, secondo la normale n alla ~
(f3 =
cost, ed N JJ1
si ha
a,
(Jii
c=
ya l(Tull;
N]'·[ =-~
y3
],'ig-, li
T olt
ove, eome ò noto
-+
+
al 0'2 a3 -----
(Jrn
3
e
Tott --
( 1.3)
Qualot'iL il eomportamento del solido sia i8otropO la fUllzione di snervamento deve dipendere solamente dalle tre tensioni principali al, a2, a3 e non dall'orientamento delle direzioni prineipall: in tal caso quindi la (I .:~) si può esprimere llella forma
Fo (.1"1' .1"2' .l'T)
dove
y3
-
(Jm)2
-I
(a 2
y2 . /;;2· -::-f--(;i -=I~~ ~;.z· - V l 2 3 3
+
a m )2
-
((T 3
-
IT m )2
alO") - - (T·)(J'3 - - 03ITI
"
(I) B. l'. HA1GII, !(11 Ui Il Cf l' iII f/ , IIiD. 1020, 1,,8. 11. M.\\'I';S'J'EI
"
IH!I, 1!)20, ti27.
21
/
ral'presentauo rispet.tivamente la t ensione normal e e la t ellsione tangenziale risultttllte agolJti sulle fac ce d ell'ottaedro pril'lcipale (fig. 7). Una efficace rappresenta.zione per curve di livello della superficie di snerva.mento si ottiene p roiettando secondo n sul piano J1 (v. fi g . lì) le
T'ertanto la (1.4) può scriv0T'si: (1.5)
Fo (.l'" 2 , .l'O'3 ) = O
con J".' e J o ,' sccondo e terzo invariante del deviatore, essendo J" ' =c O. Nello spazio delle (li la superficie di snerva mento, dovendo essere indi pendente da (lm , risulta una superficie cilindrica di asse n. l
~3
~3
r3
"'-
, / // /
Z3
/
" ""
" 30°
r2
"
1,
"" l
"13
""" ~2 / /
r1
.;.., / '
~2
(
J ,
Fig. 7
l!'ig.
~
sue curve di intersczione con i piani (l1ll = costo Si otticlle in tal modo la rappresentazionc di figura 8 nella quale ogni CUl'va, eOl'l' ispondcnt.c ad un dato valore di 01li, è simm etrica rispetto ai tre assi (i, jll'oiezioll e su n di ( l i . N ei m ateriali metallici la t ensioll c media (lm non ha gencralm cnte influenza sulla condizione di plasticizz c1zion e (1). Quest'ultima dipende quindi esclus ivamen te dal deviatore del t onsore delle tension i, le cni componenti sono, come è noto:
Fig,
!)
La, SlU1 nl,ppresontazione nel piallO n s i riduce alla (11rettl'ico del cilin· dro (fig. H) . Se i limiti di snerva rncnto cL trazione e compressione sono ugun.li , i segmenti st.accati dalla curva sull e semirette ( lO - (2 devono essere uguali, m entre la curva ò si m n; etl'ica anche rispetto alle tro bisettri ci degli angoli format.i dagli assi Ci e - (j . Ha int0l"osse analizzaro n el piano n le coordinate 33, 'Y}3 del punto -~
al. lJ
=
(Jlj -
J.III', estremo del vettore proieziolle norm ale di OA! su -n. Le proie_.> -~
r}; j(Jrn.
ove rlij è il simlJOlo di Krollcc!(()t' , ch e vale I p er i = j c O per ·i =I
ziolli dci componenti di 0 111 · secondo gli assi ( i sono ()'Z[', O'Z2',
.i.
() 'Z:/ di grandezza pari a
V ')
- _.- !TI ,
( I) f:> i voda ,,,l 0R0 101' i" 1\'\ D'\[ , l 'laslil'il.'l, V,,1. T, Cap . :1 7, è\'''I' y " .. i<, 1');'0 e la bil,!. iv; e it afa .
22
~
v=~-- rr~
,
v-~-
1T3 .
23
Si ha pertanto 1]3
=
Y2
a2 -
(71
33
2
=~ y=~=
((l3 - ,.
(llll)
=
=
V~
---2 Y
Per uno stato di tensione piano (az deduce:
((J3--~- ;~~)
a'a
(U)
1/2 (a
e quinùi
+ (Jl
a2
O'lJ1'
=
Y3 Tott;
33
l
r;3
y3
O = arctg - - =-co arctg
(l2 -
con
(J
)
y
+ 1/2 y(;-='~-)2-+-4~2-1 ::;
+ (Jy) -
x
o
y
xy
1/2 y(~- =- (~)2-+-4-;'~:
I ::;
Cl
o
(1.11)
(J'o
Come risulta dalla prima delle CUi), alle (1.10) corrisponde ( 1.7)
O ::; O ::; 300
'Yjk
= cost; pertanto la superficie di snervamcnto è un eilindro avente
come direttrice nel piano n un esagono regolare con vertici sugli assi 31 (fig. lO).
Con queste premesse la (1.5) può porsi sotto la forma.
= O
+
a
xy
al
2
Fo (O'M', O)
1/2 (ax
2
a3 -
x
y
O) se ne
Tzy =
+ y(;-'=-;j2--t--4-;'2- ::; x
:~
=
0= Tz x
( 1.8)
~3
Le considerazioni qui sopra svolte permettono di rappreselltare c discutere facilmente le varie condizioni di plastieità.
Particolari condizl:on/: di plaslicità +--~_ .-
Si riportano nel seguito le condizioni di plasticità più frequelltemente adottate per la semplicità della formulazione c per la rispolldf'lIza alle risultanze sperimentali.
113 ~
I -
~2
~1
Condizione di plasticità di TresCCl (l)
Il materiale è plastico quando l~ verificata la condizione T ma ,(
I<'ig. lO
cost
( 1.9)
Ciò comporta il verificarsi come eguaglianza di nelle tensioni principali (*)
lilla
delle relazioni
II -
Condizione di plusticità di Huber- Von Miscs-Hencky (1) J]
Iai - -- (fjl ::; 809;
ao·
(1.10)
(I) H. Tm;scA, ()OIl!7'IC~ HelUI1l8 Acmi. Sci .• ])aJ'is, 59, (18M), 754; id (i4 (1807), div. SIl?!. Acwl. Sci., Pa/'i8, ].~ (18(i8) 733; id 20 (1872), 75 0281. (*) Nella (1.10),,, ]wlle S(w('('ssi"o (l.l:J) ('" (I. Ili), (l'o n'T'T'n'selita la t('lIsi,,,,,, di
materiale è plastico quando ì.: verificata la condizione: J'" 2
= cost
(1.l2)
jvlèlll. l)TeS.
R])('I'VHlnl'nto
ll('llu filalo di
lprlsi01IP IlIliIlRsia!('.
(1) JIiI. T. IIUBEH, Czo8opi81110 leclmiczc, L(,lllbcrg, 22, l !)04, 81. R. Vo:-; MISI';S, Uiiltinyer Naehrù:MclI, 111ath. Fliys, lO., 191:3, 582. II. HI';NC1'Y, Z.A,M.1\II. \'01. 4, 1(1:!~, ::2:3·33,1.
24
25
Essa equivale alle due seguenti condizioni (*):
!I!dist
eost;
Tott
= cost;
la prima esprime la costanza dell'energia elastica di distorsione, associata al deviatore della tensione aij - biWrn, la seconda la costanza della Totl.
Di qui si deduce, in b ttse alla seconda delle (] .6), la eOlldizione 3k = eost; pertanto la superficie di snervamento è un cilindro avente come diret trice nel piano Tl un esagono regolare con vertici sugli assi formanti angoli di 30° con gli assi 3i (fig. 12).
t~3
Con riferimento alle tCllsioni prineipali la condizione risulta eosÌ formulata: 2 Ul
2
2
-I- U2 -t- a3
(fI U 2 - - (T2a3 - -
-
a3aI
=
2 ao
~3
i
(1.13)
//
mentre, per un riferimeuto eartesiano generico, assume la fm ma 2 ax
-j-
2 Uy
-I-
2 a z -
uxa y -
aya Z
-
aza x
132 T
'3 T 2
xy - 1--
- j-
yz
')~ -j - ,>Tzx
=
2 ao
(1.I4) Dalla prima delle (1. 7) si deduce che la superficie di snervamento è il cilindro a direttrice circolare rappresentato nella fig. 1].
' ",
-----~>Io...
~/
~2
~1
~~
~/
~1
Fig. 11
~2 Fig. 12
III - - Condizione di ]Jla8ticità di Il ill (l) Confronto tra , : criteri di pla8ticità, emmciati
Il materiale è plastico quando è verificata la condizione: a' [
= cost
(1.15)
ove con a/ si indica la massima componente principale, in valore assoluto, del deviatore delle tensioni. Ciò comporta il verificarsi come eguaglianza di una delle relazioni:
I
(fk -
(1) H.
1111,1"
Pili l. 2"lag.,
Il
I
ai -I- Ui ---2---:<:;
Uo
(UG)
4\, I!) i) (l , 7:n.
(*) Si ha infatti: -'L'clist
20
.l'
.
tT
2 '
Tott
2 - - .l' :~
"2
Il divario tra le condizioni di plasticità (1.10), (1.l3) e (1.](j) è rdativamente modesto; infatti le curve direttrici delle superfici di snervamento relative alla prima ed alla terza condizione sono gli esagoni regolari rispl'ttivamente iscritto e circoscritto alht circonferenza, curva direttrice della superficie di snervamento della seconda condizione (fig. 13). Si osserva che, se deve essere verificata l'ipotesi della convessità enunciata al termine del § ].2 ogni possibile superficie di snervamento per un materiale perfettamente plastico, isotropo, indipendente da U m e con eguali tensioni di snervamento a trazione e compressione deve avere curva direttriee compresa tr<1 l'esagono di Tresca c quello di Hil1 (v. figl1m 13). Variando cOllvenientemente l'apotema, dei due esagoni rispetto al raggio del cerchio si possono ridurre le differenze a qualche unità per cento, eosì che n( ~lI() applica:,r:ioni della teoria dei corpi perfetLunente
26 27
plastici si ha tendenza a preferire l'uno o l'altro dei criteri sopra considerati secondo che gli sviluppi teorici o numerici risultano mellO gravosi.
Criterio di Tresca Criterio di H. lV!. H. a 2 +4r2-a~=0
2
a 2 +3 r2- ao = O
') a~
2
9
+- --4
a2
\,
,
Criterio di Hill
2
,
~.
\- -
9
4
r2
r2
aoa
+-
2
a~ = O
-
aoa - -
-
2
2
ao
= O
I criteri di Tresca e H. M. H. danno luogo ciasc1Ino ad una ullica ellisse con centro nell'origine. Il criterio di HilldH, 11logo a due ellissi eon centro rispettivamente in (± ao/2, O).
a2
1
\
,, , \
Fig. 1:3 --
-- -~
al
Per uno stato di tensione piano (a3 = O) la condizione di snervamento si riduce ad una curva, intersezione della superficie di snervamel1to con il piano a3 = o. Le tre condizioni si formulano in tal caso nel modo seguente: Condizione di Tresca Condizione di H. M. H. al - -
a2
= ±
(lO
al
± ao
a2
±
ao
(al +(2)/2 = 2 al
2
-t U2 -- ula2 =
Fig. H
Condizione di Hm
± aD
2
ao
al -
a2!2
a2 -
al!2
=
± aD ± ao
Le curve rappresentative sono indica te nella figura 14. Per la sollecitazione composta di trazione e tensione tangenziale tre criteri forniscono le seguenti condizioni, rappresentate !leI piallO a, r in fig. 1i).
Ulteriori cn:teri di plasticitù ed estensione dci crilen· precc(Jcnt-i Precedente in ordine di tempo al critelrio di Hulwr- VOIl l\fisesHeneky è il criterio di Beltrami(l)!t~ = 2?,ol !t'di,t ~= cost, in cui !t' è l'energia elastica di deformazione; la superficie di sncn--amento ò un ellissoide di rivoluzione la eui forma dipende dal rapporto di Pois-
+-
------(1) E. BELTHAMI, HClld. lst. 1.0mb., 18, 188,); \'. all("ll(' OPiH' jHat. 1. IV, ISO, Milano 1920.
28
29
son v. Per v = 0,5 le variazioni di volume sono nulle ed è quindi 2' = 2'dist: in tal caso il criterio di Beltrami coincide con il criterio di H. M. H. T
2/3
o;,
tI
lIna curva invilnppo dei cerchi di Mohr relativi agli stati di tensione limite (dcllominata. eurva intrinseea del materiale). La teoria di Mohr si applica anche alla descrizione degli stati di rottura dei mat.eriali fragili. Con maggiore aderenza alla impostazione generale della teoria della plastieità può porsi, quale estensione della (1.5)
1/ V3 U _____ _ o
Fo
(.]'u~, ']'u)
= Ic(am)
(l.17)
A questa impostazione appartiene il eriterio di Schleicher (l)
= k (alli)
2' ~ ~ __.
che, per
') I
(1.18)
= 0.5 risulta
a 2'dist
=
k (aut) (1.19)
od anche .]'u
2
= Ic(a m)
"""--~r!t('''() _~ i_I:!Jv'li, "-- cri~e ri -o cii ,-"---
"--- ~ -
Hill
--~
Fig. 1;:;
Alcune formulazioni più elaborate di quelle esaminate al n. precedente sono voltc a tener conto della influenza della tellsionc ali! sul fcnomeno della plasticizzaziolle; ciò permettc di rappr('scntare un diverso comportamento allo snervamcnto per trU7.iOllC o per compressione. La form ulazione pi ù r emota in q lIesto m'dine di idee è q nella di Coulomb per l'anaJisi della spinta delle tcrrc(l). La più nota è quella di Moltr (2) il quale, estendendo il criterio di Tresca. ammette' I 'esistellza di (l) C. A. COULOMB, iV/bn. Molh. ct 1'''.118. , 177:J, :1 -1:L ( 2) O. MOI/R, Z. V.TJ.!. , 1000, l [j:!~; v . [1I1 (: h" 0, -; \tOlllt , i ll,/""I111Il-III/O' Clp,l,.ieie del' T echm;schen .Ucchanik. , B"di" I ~)()(; .
30
(/ 118
La superficie di sllervamento relativa alla (l.19) è una superfieie di rivoluzione avente quale asse la retta n. As~umendo nella (1.19) per la k (orn) una funzione lineare si ott.iene il criterio di Stn.s~i d'Alia (2).
Condizioni eli primo snervarnento per i materiali isotr'op'i incrudenti Per il }Jrimo snervamento di materiali isotropi incrudenti valgono le mede~ime condizioni sopra menzionate per i materiali perfettamente plastici . Naturalmente con il procedere del processo elasto-plastico le proprietà del materiale variano e ciò è posto in evidenza dalla evoluzione della superficie di snel'vamento. Questo fenomeno sarà discusso al n . 1.5.
'!t.m
F. (2) :F.
(I)
S C ll.Ll'ICl IE H, Z.A.ll-l . .iY1. VoI. (i, 1~1 2 (ì, S'J'ASSI n'ALTA, 'l'eorù/, della 1'Insti,-i/ù
2 1G. e sue o1' l'licn z io1li,
}'"k'llIo
lD:i8.
31
Cm~r(!rJne
sperimentali
Fra i m ateriali metallici gli uceiai a busso tenore di carbonio ri c\Jtti si distinguono per un cumportarrwnto molto prossimo a quello del mat.eria le perfettamente plastico.
P er (]uesti materiali la teoria dei corpi rigido-pl astici od elastieiperfettamente plastici può eostit uire una prima approssimazione <1el~ (l o
Per essi infatti dopo il periodo elastico subentra la. fase dello snervamento, n el cors,] della (]lIale il caric0 rimane costante fin o a d eformazioni unitarie dell'ordine di alc ulle unità per cellto. Anche nella s uccess iva fase di inerudimento il modulo tangente è cosÌ basso ri spetto a l modllio elastico da pote r esserc posto uguale a zcro in m olte a pplicazioni (v. figure la, le cd Id). Per gli acciai sopra m enzionati il criterio di H. M. II. è molto ben verifi cato. I risultati riportati nella figu ra 16 mostrano l'indipend en za
c rit eri o di Hi ll
(
J:J (Ju 1
"2
°
0
c r i teri o d i cr iter io d i Tr csr;J
T+
(risul t ati
• RJme
Taylor e
A llum ini o o Acc ia iO d olc e
Il
s pcrlmt:ntali di
Quin n ey : 1931)
~
a
(To
Fig. 17
l'effettivo comportamento, secon d o le se mpli ci sehematizzazioni indicate simbolicamente nelle figure I8a, b. Un'analisi più approfondita può avvenire sola mente pre ndendo in eonsideraziollc il fenomeno dell'incrudimento. --
_ _ _ ....
L
u . -. Kglcni AcciaiO In getti
Ce rchi di Mahr rclativi arro stato
limi [e inferiore di snervamento
(Ros r ir:hillgcc)
F ig. ]G
al
"I
I, >
d elIn plasticizzazione dall a tensione principale med ia (l) . Nel diagmmma di fi g ura 17 sono riporta ti i risultati sperimentali rclntivi a ll'insorgere d elln plasticizzaziollc nell' twciaio dolce, rame e alluminio (2), confrontnti con le curve t eoriche relative ai criteri di Tresca, H . M. H. e Hil!. Ln buona cOlTisp ondellz;1, in special modo con il cr it erio di H . .IVI. H. , è evidente. P cr gli altri m a t eriali metalli ci all a prima p lasti cizzazion e segu e la fase di iner urlirn c nto. Tutt.avia per i metalli dut.tili l'insorgere della plasti cizzazion c avvi ene s(~ l1ljlre in bu oll accordo con il criterio di
H. IV!. H. ( I) M. Ho s. A. EI CllINGE H. Ui,sku B"irm8vericht N,. . 34 d m RM.P .A. , Ziiri" h ) !J~!). (") G. L 'J' AYLOR , II. QUl è<:>I EY, l'h il . '1'1'lU!s. HO!J. ,8oc. A 2:30, )!J;ll, :l23 .
.32
~ a
(
b
Fig-. lS
1.4
Legami costitutivi dei materiali elastici-perfettamente plastici
Affìnehè in un ele mellto di m ,tteri ale elastico-perfettam ente piasoggetto inizialmellte ,t llll d a to s tato di tensione aij, un in cretrHmto di t CI1 !-lione rl aij pro vochi un in cre mento dell a defor ma.7,ione
~Lico ,
33
plastica devono essere soddisfatte contempuraneamente le condizioni
Fo
= O
e
dFo
DFo
== - - - dapq 8ap r;
=c O
incrementi di tensiunc da;j non deyono aìterare la direzione degli incrementi dc~ della deformazione plastica. T ale circostanza sperimen~ tale permetto di introdurre l'ipotesi che le nij siano fUllZioni soltanto dello stato di tensione e non degli incrementi di tensione. Convielle quindi porre
In tal caso il punto-tensione giace sulla superficie di snervamento e - --+
il vettore da (applicato al punto-tensione) è tangcI'te ad essa. Incrementi di t ensiolle per cui si abbia }t'o
=
O
dl!'o > O
e
non possono aver luogo; Re invece è
Fo
=
O
e
rlP o < O
gli incremcllti di defo rmazione IJlastica devono essere nulli, avendosi un ritorno in fase clastica. Se poi è Fo < O, il materiale ù ili fase elastica e non può subire deformazioni plastichc. Quanto sopra è rispettato se gli ill crementi della deformazion e pbstiea d fi;1' si es primono nella forma,
7Tij
dE;j = con
-
d}.
a}l'o --a---·ai}
(1.22)
7TijflJ.
(lA
~
O
per
Ji'o =
°c
dJi'o = O
dÀ
= O
per
/1'0 = O e
dF o < O,
oppure per
Fo < O
(1.20)
dove le llij devono rappresentare le componenti di Ull tensore doppio simmetrico in accordo con il carattere tCllsoriale delle dE~. Per un elemento materiale perfettamente plasti co isolato, allo snervamento la deformazione plastica non è limitata. (cfr. per il caso uniassial e la fig . Ga): pertanto nella (1.20) il moltiplicatore dì. può assumere qualsiasi valore. Come si vedrà in seg uito , in un corpo elastico-perfettamente plastieo non al collasso, i valori che (V assume punto per punto in un passo illfinitesi mo di carico ri sultano llllivocamente determinati dalla soluzione dd problema incrent(mt1tle. Dall'osserv az iol\e ehe un incremento di d eformazione plastica si verifica lungo certe direzioni di scorrimento plastico qllal1do lo stato di tensione vi raggiunge li Il valor<~ limite bnn de finito , discende che gli
34
(1.21)
dove P (ai}) è una funzione dello stato di tensione cui viene dato, convenzionalmente, il ]lome di potenziale plastico. Per i materia.li metallici duttili , si assume generalmellte P ~ ]t'; (~iò è suggerito da i risultati sperimentali ed è in aecordo con la definizione di materiale stahile secolldo Drucker (vedi n. 2.1) . In tal caso gli incrementi dclj della deformazione plastica, 01'tugonali alla superficie P = O per le (1.21), sono ortogonali anche alla superficie]t' = O e le relaziolli (1.20) del legame elastoplastico assumono l'aspetto p d l'i]
l'
ap = - arr ij
Questo tipo di legame, con P }l', si definisce associato. Il legame in crementale sopra definito (associato o no) è anolonomo, non consente cioè di pervenire a un legame costitutivo in termini finiti: gli incrementi df0 non sono differenziali esatti e non esistono perciò delle Elj funzioni di ai} univocamente determinate dalla (1.20). Si ammette che, come avviene per le deformazioni elastiche, le deformazioni plastiche siano istantanee, ehe non si abbia cioè aleurl ritardo tra le deformazioni plastiche e le azioni che le hanno determinate. Sotto questa, ipotesi la (1.22) può scriversi, indicando con UI1 punto la d er ivazione rispetto al parametro tempo · 1' Cij
eon
=
•
À
ùPo
(1.23)
aa;}
). ~ O
p er
Fo = O e
l'o
}. = O
per
Fo = O e
}l'o < 0,
oppure }leI"
Po <
=
O
o. 35
Si badi che nella (1.23) il tempo compare lPuramente come parametro, per cui - nei problemi di stati ca - nom deve necessariamente rappresentare la grandezza fìsica tempo, ma 'può stare ad indicare qualunque grandezza ad esso correlata atta ad individuare la successione delle azioni esercitate sul materiale.
con:
Il moltiplicatore j. è essenzialmente posittivo per un materiale stabile, come sarà discusso al n. 2.1.
La potenza dissipata per unità di volume è Cf!
La (1.23) rappresenta la legge incrementale tensioni-deformazioni per i materiali rigido-perfettamente plastici. Se il materiale presenta anche Ulla deformabilità elastica si pone .e Eii =
per
Fo = O e
Fo
=
~
per
Fo = O e
Fo
< O, oppure per Fo < O.
= O
axEx
l
con
AijPqàpq
+- ?
a]l'o
(1.24 )
Dai}
) :;: O
per
Po
?=
per
]l'o =
oppure per
Po < O..
O
= 01 c Fo 01
c
,= O
·2
Yxy = 2?'T:c.!l
,
Ey "l"
11
= ~ Z
(a y - - a m ),
o) ...
i T li Z
/~
)
1['2
):! ze
36
·2
·2
Ey
·2
·2
.2]
+ Ez + !y"y + 1Yyz + 1Yzx
.
Eii
=
1 - 2v
aij
.
- --jj- - a rn
1'1' + -20(lii + },(lij I
(1.27)
con:
= J. (a z - - rr m) 'c",
( 1.25)
2 j,T z :r
(1) 1\L LEV\', Comples l!('mZus A('([(I. SC'i .• l'Hl'i" , 70, 1:87U, l:l~:i. H. VON 1\lrSES , aiittinger Na cilr. Mal". l'flys. IO ., 1lJJ:l, oR:!. (*) Sì ricorùa la 1'(']a7..iollo csis1pllte irH gli sl'Ol'J'jnlnlti uJlitari ~ ' lj c }p dpJlti ('olnponf'nti tlpI tCIlSOl'C d.ella, dpf(\ l'IlWziollP unitnrÌn.: :~'i.j := 'l l i , } ··1-
(i cf j).
+
Hegolano la variazione di deformazione di un materiale isotropo ela8to-plastico, avente la (1.14) quale superficie di snervamcllto; si formulano nel seguelltc modo:
Ji'o < 0,
Regolano la deformazione di un materiale isotropo rigido-pla8tico, avente quale superficie di snervamento la (1.141), ove la Fo assume anche il ruolo di potenziale plastico. Esse si s,crivono (*):
,= ~ (G x - a rn ),
(l.26)
Equazioni di Prandtl-Re1l88 (1)
Equazioni di Levy-Mi8cs (1)
8,"
2
[l'x
)
Éij =
•
},ao
3
.p
Con riferimento ad un legame lineare tPnlsioni-deformazioni in campo elastico, si avrà quindi pcr un matcriale relastico-pprfcttalllente plastico
O
+ ayf;y + azEz + Tx~YXY + TyzYyZ + Tzx)'zx =
2
+ Eij
Eii
=
) :;: O
~ :;: O
per
Fo
O e
]1\
= O
~=O
pcr
Fo = O e
Fo
< O,
O~=
oppure per P o < O;
(le (l'ii rappresentano le componenti del deviatore della tensione, definito a p. 22). In alcuni problemi è lecito assumere che anche per la deformazione elastica il materiale si compcrti come in comprimibile. In tal caso si ha ')I = 0.5 e quindi viene a mancare il termine in o-rn a secondo mcm bro delle (1.27); ciò comporta notevoli semplificazioni nelle elaborazioni analitiche.
( ' (Jl'I'iSPW1 U .i ,i
"2 r i]
(') L. A.
PHANOTL ,
l'mc' l1nt. COlli/I'. A Ti)J! .•~lec"., Dclft, 1024, 43.
HEUSS, ~.A.M.1\i.
VoI. lO, ]O;W , 2GIi.
37
Legge di deformazione rigido-plastica associata alla condizione di Tresca (l ) Si ha talvolta interesse, per semplificare gli sviluppi analitici, a far ricorso alla condizione di Tresca cd alla legge di deformazione ad essa associata. Ciò accade per esempio quando sono note a priori le direzioni principali. In uno stato di tensione piano, caratterizzato dalle tensioni 0'1, 0'2, le condizioni di snervamento sono:
Fl ==
0'1 -
== al
F4
0'0
+ 0'0
= =
0,
F2
0,
Fs
== ==
0'2 0'2
+
0,
~ = ~-~-~=O
~~~-~-~=O
0'0 =
Applicando per la deforma.zione plastica la legge del potenziale plastico ed assumendo le F" come funzioni potenziali, le Et risultanu, per ciascun lato deII'esagono - v. fig. 19 - come segue:
Ciò non accade per i punti di vertice dell'esagono, ove il vettore rappresentante la deformazione plastica incrementale può avere qualsiasi direzione compresa tra, quelle delle normali esterne ai due lati. Ad esempio risulta:
m Al
El
=
~l
m Az
El
=
)'1
A2A 3 A3 A 4
O
1.2
- - .1.3
.1.3
-.1.2 O
- --- - - - ----
A4A s - 1.4 --- - -- - -A5 A 6 As
AG
O
O
1.4
- - - -----
- ,15
Às
A6Al
1.6
- ,16
= )'2
a
La potenza dissipata per unità di volume è fornita dalla relazione 00
L).k
(1.28)
k
ove nella sommatoria compaiono effettivamente solo
~k attivi.
Caso di superficie di snervarnento a più. falde (l) La superficie di snervamento che rappresenta la condizione di plasticità di Tresca è l'esempio tipico delle superfici di snerva mento a più falde, che sono definite da più superfici regolari di equazione F o" (O'ij) = 0, a = l, 2, ... N, e dalle condizioni
O
Foa. (ai})
=
0,
F op (ai}) ~
°
per
f3 i=
a
( 1.29)
------
Nella figura 19 sono stati sovrapposti i piani il, è2 e 0'1, G2, applicando nel punto-tensione il vettore -; rappresentante la deformazione plastica incrementale. Per ciascun punto dell'esagono non coincidente coi vertici la direzione orientata del vettore -; è univoca mente determinata e coincide con quella della normale esterna. (1) A. REUSS, Z .A.M.M. VoI. 13, 1933, 356.
38
E2
- - - - - - - - ----Fig. ID
~6
É2 = -
;
Non esiste quindi per la legge di deformazione condiderata una corrispondenza biunivoca tra il vettore e il vettore T; tale corrispondenza esiste invece per le equazioni di Levy-Mises.
(p = Lato El 1'3 1'2 - - - - - - - - - - - ----1.1 1.1 O A 1 A2
+ ~6
Queste condizioni esprimono il fatto che il materiale è al limite di plasticizzazione quando il punto-tensione nello spazio delle ai} si trova sulla superficie Foo. = e non è esterno ad ogni alt.ra superficie
°
°
per f3 i= a. Le intersezioni delle varie falde danno luogo a punti singolari. Generalizzando il concetto di potenziale plastico espresso dalla (1.21) ed assumendo ciascuna funzione Fa. quale funzione potenziale relativa
F op
=
(1) W. T. KOITER. PTogres8 in Solid Mechanics, VoI. I, Amsterdam 1960, 165-221.
39
alle deformazioni plastiche che si generano quando è F", ponenti della deformazione plastica risultano • p Cii
. "Je
0, le com-
(1.30)
()(Jij
'"
con: )" ~ O
per
P",
},, =
per
P", =~
O
=
O e
Ìt'a. = O
°e
Ìt" < 0,
1.5 Legami costitutivi per
materiali incrudenti
PremeS8a
,LP", --
= L. '"
=
oppure p cr P", < O.
Pcr i m a teria li incrlldenti , la cui condizione di plastieità è rappresentata dalla (1.1), la permanenza in fase plastica, il rientro in fase elastica e la permanenza in f ase elastica sono indicati rispettivamente dalle condizioni seguenti: F (aij, k 1 , k 2 ,
... ,
kn )
=-'
O;
dP
ap
-
..
--- - a'J
-
dl
aaij
Con la formulazione (1.30) la deform azione plastica si fa dipendere dagli N para m etri A", ~ O, corrisponùenti ciascuno a una falda della superficie di snervamento . Quando il punto-tensione raggiunge la falda a-esima diviene potenzialmente attiva la deformazione govcruata dal corrispondente parametro l~. Si vengono così a definire N rneccani8rni di deformazione pla8tica . Se il puntot ensione si trova in punto singolare della superficie di snervamento, intcrsezionc di n delle N falùe, risultano potenzialmente attivi i corrispondenti n meccanismi. In tal caso il vettore -; può avere clllalsiasi direzione co mpresa tra le normali estel'l1e / alle fa lde che concorrono in quel punto (fig. 20) . l,e (l. 30) rappresentano an che il legame incrementale tensioni deformazioni lèig. 20 per un materiale rigido-perfettam ente plastico. Nel caso di materiale clastico-perfe ttamente plasti co si ha:
P (at}, k 1 , k 2 ,
k n ) = O;
k~,
... , k,,) < O
F (Uii> k j ,
dP
di
DP
+-
. _ O - kh ak h (1.32a) (1.32b)
< O
(1.32c)
Assegnata la forma della funzione di snervamento e del potenziale plastico (che nel seguito saranno sempre presi coincidenti) e precisata la dipendenza dei parametri k h dalla storia di sollecitazione e deformazione, queste condizioni consentono di formulare in modo esplicito il legame costitutivo (inerementale) del materiale.
/
/ ncrudimenlo i8otropo
Il primo - e più semplice - modello di inerudimento che sia stato proposto si basa sull'ipotesi che la funzione di snervamento di penda dalla storia del m a teriale media nte un solo parametro, e che si possa porre P (aij, k) =' P o (aij) -
. Cij
=
. A ijpq(J'pq
,. ,
DF"
"
Da ij
+ L.}'''' - - -
(1.31)
k
(1.33a)
con il che la condizione di plasticizzazione può esprim ersi nella forma
con:
P o (aij)
40
},,,, ~ O
per
b\
=--' O
t
per
}i'"
= O c 1;'" < O , opp1l1'e per Pc.. < O .
= O
c
./1'.,
=
=
k
(1.33b)
O
Un tale tipo di in crudilliento si d ice i80tropo perchè all'avanzare del processo di d eformazione plasti ca, e quindi al variare di k, la
41
superficie di snervamento si espande omoteticamente, mantenendo inalterata la sua forma, come è mostrato dalla (1.33b) (1). Tra le varie possibilità di scelta del parametro k, la più semplice appare quella di assumerlo funzione del lavoro di deformazione plastica, cioè del lavoro compiuto dalle componenti di tensione nel corso della deformazione plastica di un elemento di volume unitario; si ha in tal caso k
=
k(cp)
in cui ~ va determinato in modo da soddisfare la seconda delle (1.35). Posto l
dk
Il
dcp
( 1.36)
SI ha
(1.34) La funzione Il definita dalla (1.36) viene denominata funzione di incrudimento; affinchè il materiale abbia un comportamento stabile (vedi n. 2.1) essa deve essere positiva. Nel caso di rientro in fase
con
dove l'integrale è esteso al percorso l'effettivamente seguito nel proces.so di deformazione plastica, ed è k(O) = o. Differenziando la (1.34) rispetto al tempo si ottiene . k
=
dk dcp
.p
( 1.34')
- - - - ajjCi]
elastica si ha ovviamente mono la forma
ic
(1.37)
In definitiva, il modello di incrudimento isotropo dà luogo al seguente legame incrementale tensioni-deformazioni:
Le condizioni di permanenza in fase plastica (1.32a) si particolarizzano nel caso in esame nelle apo.
aaij
•p l'i]
.
Sostituendo la (1.34') nella seconda delle (1.35) SI ottiene dk
- - - - aij aajj
= ---dC('
.p aijEij
Ammessa la coincidenza tra potenziale plastico e funzione di snervamento, l'incremento di deformazione è legato allo stato di tensione da una relazione del tipo .p Cij
=
.
aFo
À-aaij
(1) R.
HILL,
(1.38)
À
( 1.35) À =
aFo .
•
=
con
.
---- a ii -- k = O
= O, e quindi le condizioni (1.32b) assu-
}, =
aFo . H--apq aapq
per
Fo
=
k e
apo ---apq aapq
°
per
Fo
=
k e
aFo --apq < 0, aapq
oppure per
Fo < k.
~
°
Il modello analitico dell'incrudimento isotropo permette di risolvere con sufficiente approssimazione gran parte dei problemi rel~ti:,i a corpi sollecitati da carichi crescenti proporzionalme~te. In. caSI pm generali esso tuttavia non può dare affidamento perche non tIene ~on to dell'effetto Bauschinger e della anisotropia che la deformazIOne plastica induce nel materiale.
The mathematical theory 01 pla8ticity, Oxforcl 1950.
43 42
I ncrudimento cinernaUco
Con questa schematizzazione (l) si assume che ogni deformazione plastica incrementa le produca una traslazione della superficie di snervamento, nello spazio delle aij, secondo la normale alla superficie stessa nel punto-tensione. Questa legge, in analogia con quanto avviene in talune strutture iperstatiche semplici, pone in evidenza in modo qualitativo l'influenza sull'incrudimen to degli stati di coazione che la deformazione plastica suscita nella struttura microcristallina del materiale. Ricordando che l'o (aij) = O rappresenta la superficie di snervamento iniziale, quella relativa ad un da to stato di incrudim ento diviene
•p
Ci} ~ O
P o (aij) = O e
- - - a'} >- O iJ-aij • ~
per
Ji'o (aij) = O e
---a'}
Lo scalare ~ viene determinato dalla condizione dP Idt = O, che assume la forma:
DJi'o':"
iJJi'o .
La traslazionc d ella superficie di snervamento è definita dalle relazioni ç'
1,'-
aij
-I
=
f
.p
( 1.40)
r ccijdt
ove c è una costante positiva o, più in generale, una funzione di inerudimento dipendente dalla storia di sollecitazione e deformazione d el materiale. Dalla legge di normalità discende il legame incrementale tensionideformazioni fJP.
•p
c ij .
=
- - ).
fJa ij
fJPo
f)apq
Dapq
Da i}
•
= - - - - - - }.
fJPo.
DFo . }. =
l -
DP o aO pq
iJjI'o
\V. \V.
44
(1.43)
aO pq
La legge dell'incrudimento cinematico sopra form ulata non risult,a inva · variante rispetto a un'eventuale riduzione delle dimensioni dello spazio delle tensioni (1). In altro parole, se, affrontando un problema per il quale alcune delle componenti di tens ione sono identicamente nulle, si passa dallo spazio di ten· sioni originario n el sottospazio che non contiene le componenti identicamente nulle, generalmente non viene mantenuta, nella nuova formulazione, la strut· tura semplice della (1.39); può anche accadere che la superficie di snervamento non mante nga , con il procedere dell 'incrudimento, la forma iniziale. A qua nto sopra s i può ovviaI'e se s i ammette, secondo una proposta di Zicgler(2), che le si ngo le traslazioni elementari d ella superficie di snervamento avvengano secondo la congiungente il « centro ,) d ella superficie (cioè il punto che coincide con l'ori g ine per aij = O) con il punto·tensione .
(I.4la) a'ij :.":::: Gijjl ;
(1) A.
(1.42)
Vai}
Ciò si esprimo con la relazione
cc= - - - -- - }. ij
(jo
.
-a~; aij
l'o (aii) = O
.... ,'
.
;:,_-(aij-aij)=O
tenedo conto delle (1.40) e (I.4la) si ottiene
C
. I L-:
, < O,
( 1.39)
ove aij sonu le componenti del vettore che llello spazio aij rappresenta la traslazione della superficie di snervamento rispetto alla pusizione iniziale. Se si pone ai} =--' aij - aii> la (1.39) può serivcrsi più brevemente
,-
ai}
P o (ai}) < O.
oppure per
Vaij
~-
iJJi'o iJ-
(1.4Ib)
-;=-aij=
P (aii> aij) ==Po(aij-ail)= O
DP o
per
(1.44 )
BEmo, Rend. 1st . Lomb. Sci. Lett. Cl . Sci. VoI. LXXXVII, Ul54, 331. PRAGEn, PHAGER,
P,,·oc. II/ st .•~l ech. Klllfrs., Hl9, 1955, 41. P1"Obieme der Plasticiliilsllworie , Basol 1955.
VoI. IXa l(l58, 2Gl·27G. Qual·t. Appl. iUath., VoI. 17 n. 1, 1!l59, 55·iii).
(1) R. T. SH1i':r.D, H. Zmau:lt, Z.A.M .l'. ( 2)
II.
ZIEGLE lt,
45
stica. Se si ammette, seguendo Koiter, che ciascun meccanismo sia indipendente dagli altri e che si attivi quando il punto-tensione giace sulla falda ad esso relativa, si ottiene la legge di deformazione
sostituendo nella (1.42) si ottiene
vFo . -
-
ai}
Vaii p, = - -
VFo _
vapq -
apq
'p
Cii
Per la determinazione dello scalare ~ che compare nel legame inerementale tensioni-deformazioni (1.4Ia), si ammette che il componente secondo la normale
a7t,
; di o di d;' coincida con il vettore cit ove c è la funzione di incrudimento che compare nella (1.40) (fig. 21). Si ottiene in tal mcdo di nuovo la (1.43); a seguito di ciò quando la direzione di ::g- coincide con quella di gler fornisce gli stessi risultati di quella di Prager.
vF" .
".
=
-
L."
VOii
t
vP
= H" ----"- Oii
per
F,,= O e
per
}l',,
VOii
n la legge di Zie·
j,,, = O
. Ctj
Fig. 21
Poichè con l'annullarsi identico di una delle componenti della tensione ai} risulta sempre nulla anche la corrispondente ai}, la legge di incrudimcnto cinematico ora descritta risulta invariante rispetto alle riduzioni di dimensione dello spazio delle tensioni.
I ncrudimento di un materiale con superfic'ie di snervamento a più falde secondo J( oiter (1 ) Nel caso di superfici di snervamento a più falde si può far corrispondere a ciascuna falda un diverso rneccanismo di deformazione pla(I) W. T. KOITER, Quart. Appl. Math., VoI. Il. n 3, 1953, 350-354.
46
vP
"
VOij- Oii
~ O
vJ'" L' = O e _ a;~-ali <
Pa <
O,
o.
t è un parametro che regula la deformazione dell' a-esimo meccanismo, e H" è la funzione (positiva) di incrudimento dell'a-esimo meccanismo, che può dipendere dalla storia delle tensioni e delle deformazioni. Se alle i& si aggiungono le deformazioni dastiche É:~i provocate dalle ai], si ottiene la legge incrementale di deformazione elastoplastica:
c
KOITER,
( 1.45)
con
oppure per
W. T.
A"
=
. AiillkOhk
-+-
vP" . La_, --}'" VOti
(1.4(j)
con
.
aFa .
aF
~
}'" = Ha ----- aii
per
Fa = O e
t
per
aF" . Fa =-= O e --;-a-o ij < O
aai}
=
O
-ao i: U
oppure per
Fa <
ii
aii
O
'
o.
In base a questa teori~1 la deformazione plastica provoca l'avanzamento delle sole falde attivate dal punto tensione, come indicato schematicamente nella fìgura 22 a e b.
Progress in Solid Mechanics, VoI. I, Amsterdam 1960, 165-221.
47
La figura b differisce dalla a per la presenza delle due falde F6 e F 7 , potenziali nella situazione iniziale, che entrano nella descrizione della superficie di snervamento soltanto a seguito della attivazione del meccanismo 4 e del conseguente avanzamento della falda F 4 in F'4 Di qui risulta che l'impostazione sopra descritta permette, con la considerazione di falde esterne alla superficie di snerva mento iniziale, di prevedere la formazione di nuovi punti angolosi. ,~ 2
,~-
___ \.
F,
Si ammette che non vi sia interazione tra i grani dell'aggregato, e l:he lo stato di tensione in ciascuno di cssi sia quello che si ha in un materiale isotropo; si ammette allcora che in tutti i microcristalli la deformazione plastica avvenga per scorrimento su un'unica giacitura carattcristiea lungo una caratteristica direzione e ehe lo scorrimento sia determinato dalla t ensione Tab (ove II indica la normale alla giacitura e b la direzionc di scorrimento) . In forma incrementalc(*) si ha pertallto
.,
,
,\ F .]
\1\
\
Ya/J
=f
(1.47)
(Tab) Tab
quando il meccanismo relativo è attivato, cioè quando è +
Tal)
=
TLa/J
e
Tab
> O
Tao
=
T Lab
e
T ao
< O
oppure F,
b
a
Fig. 22
La principale limitazione di questa teoria consiste nel fatto che le falde non attivate dal punto tensione rimangono ferme: risulta in tal modo predusa la possibilità di rapprosentazione dell'effetto Bauschinger.
ove con TLao + e TLao - si indicano il valore massimo ed il valore minimo raggiunto da Tab nella storia di carico. Se tutti i grani ugualmente -orientati forniscono lo stesso contributo alla deformazione plastica globale e se tale contributo è proporzionale al numero di grani, si ha per l'insieme infinitesimo di grani per i quali la normale Ci al piano di scorrimento è contenuta nell'angolo di! e la direzione di seorrimento b nell'angolo tlfJ -).
dYao
= f
(Tao) Tab di!dfJ
Teoria degli slittamenti plastici COli
In questa teoria, formulata da Batdorf e Budiansky(l) e sviluppata successivamente da questi e da altri autori, il materiale metallico policristallino viene considerato macroscopicamente isotropo ma costituito da microcristalli identici nelle loro caratteristiche, orientati in modo casuale .
riferimento a un sistema di assi .ali
Cij
= -
l
2
ove ni a , n;b (i = l, 2, 3) sono spetto agli assi J ·i.
. a o Yab (n; nj
Xi
si ha d'altra parte
+ nja ndo
( 1.48)
coseni direttori delle rette a e b
1'1-
(1) S . B. BATDOHF, B. B U DIANSKY, NAOA TN 1871, 194.0.
P. P. S.
48
R 'ivista Fac. O. Rxactos, Pis., Naturales, COl'doba, A 13, n. 2, 1950. J. Acmn. Sci. VoI. Hi , 1!)51. BATDORF, B. BUDTA NS KY, J. Appl. Mech. VoI. 21, 1954, 323-:126 .
CICALA, CICALA, B.
(*) Si osserva che originariamente la t,coriu è slat.a formulata dn llatdorf c Bu. diullsky in forma global e .
49
Di qui per integrazione si deduce
• p -Cij
_1 2
JJf __ n
lU
(Tab)
a b (ni nj
Tab
+ nja nt)b dQdfJ
( 1.49)
jJ
cui Q è l'angolo emisferico e fJ è l'angolo piatto. Si ha d'altra parte, con riferimento al sistema di assi l
Tab
. Tab
= -2 =
a
b
aij (ni nj
l. ab - - ai; (ni nj
2
Xi
+ nja nt)b (1.50) ab
+ nj ni)
Pertanto, fissata la legge (1.47) della deformazione plastica del microcristalIo, la (1.49) - tenendo conto delle (1.50) - fornisce la legge incrementale di deformazione plastica del materiale pol;cristallino. In questa formulazione, che è quclla primitiva dovuta a Batdorf e Budiansky, la teoria degli slittamenti può farsi rientrare nello schema teorico di Koiter(I), csposto nel paragrafo preccdente, considerando un numero infinito di meccanismi di dcformazione plastica indipendenti: infatti in luogo della sommatoria che compare nella (1.45) subentra l'integrale (1.49). È comunque interessante notare che i lavori di Batdorf e Budiallsky, basati su un punto di vista esscnzialmente fisico, sono anteriori alla sistemazione formale proposta da Koiter, e che anzi al loro comparire sembrarono costituire un approccio del tutto differente dalle teorie della plasticità esistenti, sia incl'ementali che globali. Successivamente, Budiansky e \\1u(2), considerando sempre il materiale quale aggregato di microcristalli orientati casualmente, hamJO esteso la teoria degli slittamenti plastici prendendo in esame più meccanismi in ogni microeristalIo, e introducendo un effetto di interazione
(l) W. 'l'.
KOITER,
(2) B. BUDIANSKY,
1175·1185.
50
Quw·t. Alil,l. Math., Vol. 1 I. n. 3, ] 91i3, i150-354. 'l'. 'l'. \\'1'. l'roc. 1' ..'1. Nat. C'mlgr. Ap,,!. Mechal1if's. l!)(i2,
4'"
fra i singoli meccanismi, dovuto alle tensioni di coazione provocate nell'aggregato dalle deformazioni plastiche. Questa visione non è quindi riconducibile allo schema teorico di Koiter, e dà luogo a superfici di snervamento le cui falde si spostano anche quando il meccanismo corrispondente è rimasto inattivo. A risultati non più inquadrabili nella teoria di Koiter sono giunti anche Como, D'Agostino e Grimaldi (1), i quali hanno fornito un'interpretazione della (1.49) deducendola direttamente nell'ambito del mezzo continuo, senza far rifcrimento a schematizzazione dell'aggregato poli cristallino ; essi inoltre hanno preso sistematicamente in conto l'effetto Bauschinger. Se Tab è il valore attuale della tensione tangenziale agente tra la coppia di piani (ortogonali) a, b, se Tab* è il valore che la tensione tangenziale ha assunto in corrispondenza dell'ultimo scorrimento plastico attivo tra a e b e Tab* è l'incremento di tensione che ha determinato detto scorrimento, la condizione di plasticizzazione su a, b è Tab - - TLab
In
(1.51 )
= O
CUI
+ TLab
TLab
se
TLab
TLab
se
.. Tab*Tab
> O
Tab*Tab
< O.
(1.52)
Infatti, a causa dell'effetto Bauschillger, occorre conoscere per la valutazionc di T Lab, se la T ab ha tendenza a produrre slittamcnti plastici nello stesso verso o nel verso opposto della T a1/. Si ha poi + TLab
Tab
*
mentre TLab è una funzione della storia di è stata esplicitata nclla forma T[,ab
(1)
M. M. M.
COMO, COMO, COMO,
= -
+ B1TLab
+B2
Tqb,
+ [TLab -
2TLV
che dagli autori citati
sgn
. (Tab*)]
S. D'AGOSTINO, Meccanica, AIMETA 1969, VoI. 2, 146-158. A. GRIMALDI, Meccanica, AIMETA 1969, VoI. 4, 286-297. A. GRIMALDT, Meccanica, AIMETA 1970, VoI. 2, 117-125.
'51
ove BI e B 2 sono due coefficienti che definiscono l'intensità dell'effetto Bauschinger locale, collegati tra loro dalla condizione
Incrudimento di un m«teriale con sup erfici e di snervamenlo a più falde secondo M andel
+ B2 =
La concezione di Koiter ò stata genOl:'alizzata" nella ipotcsi che i meccanismi di deformazione plastica del materiale non siano indipendenti, da Mandel (l) e successivamente da I-Iill (2), i quali hanno cosÌ fornito un quadro teorico alle impostazioni cui si è fatto cenno nella seconda parte del paragrafo preccdente. Si assume che la deformazione plc.~stica del materiale possa aver luogo secondo N meccani1:ìmi, ciascuno dei quali consiste nello scorrimento Y su un dato piano n di normale secondo una direzione I)cr ipotesi il generico Yk Ò non decrescente : in altre parole due scorrimenti di verso opposto sono considerati come due meccanismi distinti; si ha quindi Yk ~ O. Pertanto in qucst.a teoria i Yk svolgono il ruolo dei parametri A" nella formulazione di Koiter. La condizione di scorrimento per l'r-csimo meccanismo ò
BI
l,
condizione che risulta dal fatto che nello stato vergine deve essere +
Ir Lahl
-
Ir Labl
=
r Lv
=
.
Con la posizione sopra formulata è possibile prendere in considerazione un inerudimento locale intermedio tra quello cinematico (BI = O, B 2 = I) e quello isotropo (BI = l, B 2 = O). L'incremento dello slittamento plastico tra a, b si esprime in funzionc del corrispondente incremento della rah con Yah lJ1
=
cabliab Tab
( 1.53)
cui
' ..
~
l
I" se
Cab
= O
I se
+
"
rab
= rLab
e
TabTah*
> O
Tab
e
TabTab*
< O
> > <+ <
e
con
i ab * ~
O
Tabi ab * :::; O Tabrab*
Fr
(aij;
Y!' ... , YN)
Le (1.51) (1.52) (1.53) sono state applicate al caso del carico proporzionale e al problcma della determinazione delle superfici di pIasticizzazione susseguenti. I risultati teorici cosÌ ottenuti sono in buon accordo con quelli sperimentali.
= O
m.
(1.54)
Essa dipende cioè da lutti i parametri di scorrimento Y e non solo dall'r-esimo. Nello spazio delle aii ciascuna delle (1.54) dà luogo a una falda della superficie di snervamento. Quando avviene una deformazione plastica, anche secondo un solo meccanismo, tutte le superfici di snervamento subiscono una modificazione. Supponendo che il punto-tensione si trovi sulla intersezione di n delle N falde, saranno potenzialmente attivi gli n meccanismi corrispondenti; posto
~ O
e Hah è una funzione (positiva) d ella storia della sollecitazione caratterizzante la deformabilità locale tangente elel materiale. Naturalmente iIJ Ri ottiene sempre mediante l'integrale (1.49) dopo aver sostituito la (1.53) nella (1.48).
52
n
8Fr Hrk = -
fJYk
si ha uno scorrimento plastico nell'r-esimo di questi n meecanismi se è verificata la relazione (che si ottiene differenziando la (1.54» r fJaij
. -_ -fJF - - aij
HrkYk
(1.55a)
(I) J. MANDEL, P.·oc. 11th Congr. AppZ. M echanics, 1!JU4, 502-509. J . MANDléL, Int . J. Solids Structurc8, 14, 1965, :>0:>-308. (2) H. HILL, J. M ech. Pltys. Solids, ]4, ]966, 95-102.
53
Si ha invece Yr
o se
è
r iJF '. < HrkYk ---alj iJaij
(1.55b)
poichè si verifica uno « scarico » relativamente all'r-esimo meccanismo. Si ha inoltre ovviamente Yr = O per gli altri N-n meccanismi, per i quali è
Fr < O
(1.55c)
Per dedurre la legge incrementale della deformazione plastica si devono risolvere le (1.55a, b, c) rispetto alle }'k ed esprimere Successivamente queste in funzione delle i{j. L 'inversione delle (l .55a) con le condizioni (1.55b, c) dipende dalle caratteristiche della matrice Hrk. Dalla discussione di dette caratteristiche discendono vari comportamenti del materiale. In particolare, se la matrice Hrk è diagonale, si riotticne come caso particolare la teoria di Koiter; se ciascuna colonna di Hrk è composta da elementi tutti uguali, si ha l'incrudimento isotropo. La stabilità secondo Drucker (v. n. 2.1) del matcriale definito dalle (1.54) (1.55) è stata dimostrata da Mandel sotto le tre seguenti condizioni: a) il potenziale plastico coincida per i singoli meccanismi con
la funzione di snervamento b) la matrice IIrk sia semidefinita positiva c) la matrice H ,·k · sia simmetrica.
Si badi che le condizioni (b) e (c) sono sufficienti ma non necessarie.
Si è inoltre tenuto conto dell a influe nza dello seorrimento di tutti i mecca· nismi sulla tensione tangenziale limite di eiaseuno di essi. Si è infine presa in considerazione la presenza di microtensioni di coazione, dovute alla non uniforme trasmissione della maerotensione tra i singoli mieroeristalli e agli scorrimenti plastici micI'ocrist.a llini. Naturalmcnte con l'affinarsi dello studio d el eomportomento locale au· m enta l'impegno a nalitico e quello d0llu elaborazioni numeriche nelle applica. zioni. Ne segue che queste indagini, mentre mantengono tut.to il loro i nt.eressc per una critica approfondita della meccanica del materiale, ai fini d "lb t POl'ia de,le struttUl'C hanno un valore essenzialmente orientativo, relativamente alla definizione di legami costitut.ivi allo stesso tempo semplici e generali. In questo senso appare di notevole interesse lo studio recente di Hill(l), il quale, parttmdo dai fenomeni sopra discussi, tende a stabilire con una a nali"i globale, e nello stesso tempo rigorosa, le caratteristiche fondamentali del com· portamento elasto·plastico del materiale policri",tallino, che non sono affette dalle ekrogeneità a livello microscopico. QuestI' possono riassumersi come segue: a) Il dominio clastico di ogni gl'ano cristallino dell'aggregato allo stato vergine è limitato, nello spazio delle tensieni, da un policdro conVfSSO. Il do· minio clastico dell'aggregato, essendo l'inte l'H'zione dei domini di tut,ti i grani, sa r à anch 'esso convesso, con una superficie limite regolare, salvo eventua lmente in un numero finito di spigoli c di vortici.
b) L'incrudimento dci m at.eriale risulta dall'incrudinwnto proprio dei gl'ani cristallini e dall'inerudirncnto d'insi eme, dovuto a l vincolo di continuità tra i grani stess i, che desta mi erot.ensioni di coazionc.
c) Nd corso della sollecitazione del materiale in fase elasto·plastica, in corrispondenza del punto ra ppresentativo dello stato di tcnsione si forma sulla supcrficie di sncrva mento un punto singolare. Ciò è dovuto alla pluralità de i m eccanismi ehe contribuiscono alla deformazione. L'incremento di deformazio· ne plastica dcll'aggregato è contcnuto nel cono definito dalle normali l'sterne alla s uperfici e di snervarnento n el punto singolare.
Oenno sugli sviluppi più recenti Molti autori, riallacciandosi alla proposta di Batdorf e Budiansl,y, hanno preso in esame l'insieme dei'meccani smi di slittamento sia per un unico maero. cristallo ehe p er un aggregato di elementi mierocri stallini (l).
Il) Se l'incrudim ento proprio dci gnmi vicnc a ccssare, s i possono rag· giungere stati di tensione per i quali - essf'ndosi esaurit.o l'inerudimento d 'insirme dovuto al vincolo di continuità --- si hanno deformaz ioni plastiche senza incremento dI'Ile t.ens ioni: s tati di tensione di qu esto tipo possono dr'no· minars i stati limit.c di colll\;;80 dell'aggregato polieriRtallino.
(1) T. H. LIN, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 5, 1957, 143.149 .
. J. J. T. T.
54
W. HUTCHINSO~, J. Mech. Phys. Solids, VoI. 12, 1964, 11.24. W. 'HUTCHINS ON, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 12, 1964, 25.33. H . LIN, J. Mech. Phys. Solù18, VoI. 12, 1964, 391.408. H. LIN, M. ho, J. Mech. Phys. Solùl .• , Vol. 13, 1965,. i03.115.
(I) H.. HILI., J. Mec". PIt?J8. Sol'irls , VoI. 15, 1!JG7, 7()·!J8. D . HADlèN1WVJC, l'l·oe. Tnt. ('ullf. al! Civ-il l'nfl . M otN. (Suuthampton ]('169) ,
P 1'l'f'J' i Il L
55
L'insieme di questi stati limite di eollasso forma la {( superfieie limite l) del materiale. I meecanismi di deformazione eorrispondenti coincidono con quelli di collasso rigido.plastico del materiale: la superficie limite approssima quindi quella di snervamento definita per il materiale rigido. plastico. e) La superficie limite è convessa, generalmente regolare. Ad ogni punto regolare corrisponde un unico meccanismo di deformazione. Per una eventuale falda piana un unico meccanismo corrisponde n tutti i punti appartenenti alla falda. Ad un punto singolare corrispondono più meccanismi di deformazione.
2. TEOREMI GENERALI DELLA TEORIA DELLA PLASTICIT A'
f) La superfieie limite non coincidc con nessuna delle superfici di sner. va mento susseguenti: essa è infiltti il luogo dci punti ai quali tendono i punti. tensione al crescere d ella solleeit,azionc.
Se si applicano al materiale stati di rleformazione proporzionali rappresen. tati dal vettore
tl (con componente isotropa nulla),
susseguenti evolvono al crescere di t nel modo mostrato in figura 23: il puntotensione converge a quello stato limite di tensione (appartenente alla superficie limite) che ammette come meccanismo di collasso l'inen nwnto di deformazione imposto É. ~
superficie
di snervamento
asinto_t~c:.'!..- __ ... ___ _
snervamento superficie
susseguente
di
sner~~ento__ _ l~z~~_~
2.1
Materiale elasto-plastico stabile secondo Drucker
le superfici di snervamento
·",.p..~_~~9rso
di carico
li"'ig. 2i1
Dalla lettura dei nn. 2.3 c 2.4 apparirà evidente la stretta corrispondenza tra questa interpretazione del comportamento eIastoplastieo dci materiale ed i risultati della teoria incrementaI c dolle strutture elasto-perfcUamcnte plast,i. ehe iperstatiche e del ealcolo a rottura.
Si prenderanno nel seguito in cOllsiderazione corpi e strutture costituiti da materiale stabile secondo la seguente definizione (I). Si consideri un elemento di materiale soggetto ad un generico stato di tensione omogeneo provocato dalle azioni esterne sollecitanti Al. Un nuovo sistema di azioni esterne, che si indicherà con A t , indipendente dal primo, applichi all'elemento uno stato di tensione omogeneo addizionale e successivamente lo rimuova; l'operazione avvenga staticamente, cioè senza che nascano effetti dinamici. Il materiale è stabile se il lavoro compiuto dal sistema A 2 nel corso del ciclo completo di carico e scarico è non negativo. Questa definizione è spesso indicata quale postulato di Drucker riguardante il comportamento del materiale. Per i materiali ({ stabili secondo Druckcr » si deducono le seguenti proprietà: l) per uno stato di tensione aij allo snervamento (il cui punto rappresentativo P giace sulla superficie di snervamento) e per un qualsiasi stato di tensione ({ ammissibile» aij(a), appartenente cioè al campo elastico o alla SlH1 frontiera (il cui punto rappresentativo sia p(a»), risulta (al
•p
(aij - - a il ) E; ij ~
O.
(2.1 )
(1) D. C. DRUCKIm, QuaTt. Appl. Math., VoI. 7 n. 4, 1950,411-418. D. C. DRuCImu, l'TOC. 1st U.S. Nall. Congr. Appl. Mechanics, Chicago 1951, 487-401. D. C. DRUCKER, .l. Appl. Mechanics, 26, 1()59, 101-106. D. C. DnucKER, l'lasticity in "Structural Mechnnics)), Standford University 1958, 407-488. \'V. 'l'. KOITER, T',·ogTe .•" in Solid Mechanics, Volo I, Amsterdam 1060, 165-221.
56
57
In termini geometrici, se si sovrappongono gli spazi aii e f::ii, il prodotto scalare del vettore a- ~(a) per il vettore ip è positivo o nullo (v. fig. 24). Alla (2.1) si perviene considerando il materiale nello stato di tensione aij(a) ed applicando successivamente lo stato di tensione addizionale Il (aii - ai/a» con Il variabile tra O e l.
ED
Quest'ultimo termine è nullo e pertanto vale la (2.1). 2) l'oiehè p(a) può trovarsi all'interno o sulla superficie di snervamento, quest'ultima per la (2.1) deve essere convessa. 3) Ne segue, per uno stato di tensione (Jij(S) in sicurezza rispetto allo snervamento e quindi rappresentato da un punto situato all'interno della superficie, la relazione: (8)
(aii -
.p
aii ) Cii>
(2.2)
O
4) In un punto regolare della superficie di snervamento, ehe cioè ammette un unico piano tangente, la condizione (a)
(aii -
comporta la normalità di (,
(J,
.p
aii ) Cii ~
O
-;p al piano tangente (v. fig. 24). EP
l\\IP
~P
(\21P
Fig. 24
Fino a che Il non assume il valore l la deformazione è elastica. Per Il
= l si raggiunge in P la superficie di snervamellto. Se ora si entra
per un tratto infinitesimo in campo plastico il sistema delle aziùni esterne addizionali A 2 compie il lavoro plastico (a)
(aii -
.p
aii ) Cii'
dt
Se si rientra immediatamente in campo elastico e si fa variare j1 da l a O si ritorna, con una deformazione puramente elastica, nello stato di tensione iniziale ai/a). Pertanto il lavoro compiuto dal sistema di azioni esterne addizionali 11 2 nel ciclo di carico e scarico considerato, che per definizione deve essere non negativo, risulta costituito dalla somma del lavoro plastico incrementale sopra considerato e del lavoro elastico compiuto nel ciclo chiuso p(a) -+ p -+ p(a).
b
a
Fig. 25
5) In un punto di vertice, ove si intersecano più falde della
ip,
superficie di snervamento, il vettore applicato in P, non può essere esterno al cono definito dalle normali ai piani tangenti alle singole falde in P (v. fig. 250,). In qucsto caso ad un unico vettore acorrispondono più vettori
58
;p. 59
6) Nelle zone ove la superficie di snervamento non è convessa in senso stretto, cioè ove essa presenta generatrici rettilinee (come accade in tutti i punti della superficie di snervamento di H. M. H.) o falde piane (come si verifica nella superficie di Tresca) la (2.1) è verificata con il segno di uguaglianza.
Rientrano nella elasse dei materiali stabili secondo Drucker i materiali elastici-perfettamente plastici con superficie di snervamento convessa e legge incrementale (1.24) e (1.31). Per essi valgono le seguenti relazioni:
In tal caso, come indicato nella figura (25b), ad un unico ip corrispondono più
,
a.
7) Da quanto sopra si deduce che, affinchè la corrispondenza
a
tra ed -;; sia biunivoca, è necessario e sufficiente ehe la superficie di snervamento sia regolare e strettamente convessa. 8) Quando il campo clastico contiene l'origine, come si verifica certamente per i materiali perfettamente plastici, si può particolarizzare la (2.2) ponendo G'ij(S) = O; in tal caso si ha •p
..p
aijEii =
'P
(Ei]).>
O
(2.3)
• (1)
.(2)p
aii
Eii
:(
• (l)p
.(2)
O;
aii
Eii
:(
O
(2.H)
Per ai] allo snervamento la (2.5) si deduce per confronto della (2.4) con la (2.1) ave si sia posto (a)
=
•
aii
+ aiidl
->
a • EP
Dalla convessità della superficie di snervamento e dalla norma-
s-;
lità a quest'ultima della discende immediatamente che (p è funzione un'ivoca delle è~. Ciò vale anche quando la superficie di snerva mento non è strettamente convessa ma presènta generatrici rettilinee o falde piane, come mostrato nella fig. 25b. 9) Se ai] è la tensione incrementale corrispondente alla deformazione incrementale plastica ~i]P, si ha ••p
aiiEii ~
O
con questa stessa posizione si deducono dalla (2.1), conferendo a CIii l'indice l ed a iii l'indice 2 e viceversa, le (2.6). Rientrano nella classe dei materiali stabili secondo Drucker anche i materiali elastici incrudenti che seguono la legge di deformazione (1.38) o la legge di Koiter (1.46). Per tutti i materiali sopra indicati sono verificate le relazioni seguenti, riguardanti due generici sistemi di incrementi di tensione che si verifichino a partire dallo stesso stato di tensione aij al limite plastico:
(2.4)
Ciò si deduce assumendo come stato di tensione iniziale ai} e come stato di tensione addizionale, da applicarsi e rimuoversi, aijdt. Il lavoro compiuto dalle ai] nel ciclo chiuso di sollecitazione cons,ta di un lavoro elastico nullo e del lavoro plastico aijs~dt. Dalla definizione discende la (2.4).
60
(2.5)
La (2.5), cosÌ come le (2.6), è soddisfatta in modo ovvio con il segno di uguale se lo stato di tensione di partenza aii è elastico .
aii
=
= O
ove É;j)P e E;J>P sono gli incrementi di deformazione plastica provocati a partire dallo stesso stato di tensione da due diversi incrementi di tensione (;ii(l) e aii(2).
L'ultima espressione rappresenta la potenza dissipata per unità di volume. Con riferimento alla rappresentazione di fig. 24 può scriversi 'P
.p
aijEii
• (1)
(aii
.(1)
·(I)p
ai]
Eii
• (2)
-
• (l)p
aii ) (Eii
·(2)
+ aii
.(2)1'
Eii
• (2)p
- - Eii
·(1)
- -·2Uij
) ~
·(2)p
Ei]
(2.7)
O
~
O
(2.8)
Per i materiali perfettamente plastici le due relazioni si ottengono quali immediate conseguenze delle (2.fi) e (2.6).
61
Per i materiali incrudenti che seguono la (1.46) si ha d'altra parte: .(1) ( aij -
"
L..~H"
.(2») (·(l)P
aii
Ci!
oF<x
[(l)
'(2)P)
-
cti
·(1)
c'" -,-
=
Materiali elastici.perfettamente plastici
oF<x
(2)
.(2)J
c" - - -- aii
ai} -
éhTi1
oali
[
oF<x
.(I)
- - - - atj Daij
oF<x
.(2)]
- - - aii Daii
e rispettivamente • (I) • (l)p
aii Cii
• (2)
+ aii
• (l)
. (2)p
Cii
-
_~F",_
"'"
va ii
;(1) Il
. (2)p
+
Dati
_ 2C(2)
Per i materiali con superficio di snervamento ovunque regolare l'inversione è immediata: Ammesso ehe sia F = O e F = O, risolvendo la (1.24) rispetto agli incrementi di tensione si ha
aij = Bij/tk [
2aii cii
_ "H [ (I) (Dl!'a .(l»)2 L..'" '" Ca - - aii
-
2.2 Inversione della legge incrementale di deformazione elastoplastica
(2) C",
(OF", '(2»)2 - - - aii
À oaltk
ove è [B] = [A ]-1. Moltiplicando entra mbi i membri delle ultime relazioni p er oF / oa/i e som· mando rispetto agli indici ripetuti si ottiene
Oaij
_~l!...~_ ;(2)] ~ va pq
. OlI']
~ltk -
pq
DF' . a-;;; aij
= O=
[ O F . . oF Daij Ehk - À Daij
Bijltk
DF] aalt;;
ove è C",
C",
per
= l
=
per
O
e quindi
~'" > O
j,,,,
B
= O.
oF<x
.(1) _
-
Dl!'",
O
e
.(2)
_
- aii -Baii
O
(1)
62
D. C.
DR U CKER,
J. Appl. Mech. 21, 1954, 71.
f:hk
DE'
B i}hl: aai}
a;;;:;;
Tenendo eonto anche d ei ritorni in fase elastica il legame à ij pertanto: aii
con il segno > negli altri casi. Sotto date condizioni rientrano nella definizione di materiale stabile anche i materiali elastici-incrudenti con la superficie di snervamento a più falde e meccanismi di deformazione plastica non indipendenti. Non rientrano invece in generale nella definizione i materiali con leggi di deformazione non associate (per i quali cioè il potenziale plastico non coincide con la superficie di snervamento e non è quindi verificata la legge di normalità) ed i sistemi che presentano attrito(l).
DF Oaij
-
oF
À =
Di qui seguono le (2.7) e (2.8), con il segno di uguale se per ogni a è ---atj oaii
jjltk
-7
fii è
(2.9)
Hii/tlcflt/C
con ~
DiI'
llijpq B mnltk 8 amn Riillic = Hiihlc -
C
aE'
B mnpq
GOla .I
mn
aapq DE' oal-;;-
ove è: c c
=
l
p er
E'
O
p er
F=O
oppu['o pc r
]i'
=
O e e
fi'
==
Biil/Ie
aE' -a -ali- .ell.1c =
O
Jt' < O,
< O. 63
Per i materiali che seguono la (1.31) la sitllazione è più complessa per la presenza dei punti singolari ove due o più falde della superficie di snervamento si intersecano. In questi punti, relati vamcnte ad un dato incremento di defor. mazione non si conosce a priori quali d e i moltiplicatori A" siano diversi da zcro. La soluzione si ottiene ricercando il massimo, rispetto alle potel1,)\ialmentc attivi, della funziono
rp
(Oij,
.1
0, )
l
0= - 2
A;j/tk- aiPille -- - E/jOij
+
oii
cd ai
si ottiene moltiplicando entrambi i membri per òP lòai} e sommando rispetto agli indici ripetuti. Si ottiene in tal modo
i"
òP
DP B;jlik - ;-, UOij
- a;;;; aij
. (}P" . L"A" ~~-- aij ~u
'P
. (aij)
"
= - - Aiiltle aijGhle :2
òa"k
(}p
--,+ Rijhle ~ Il UrTij .
DJ"
• chk
.1= --l-- - - - -a"p
della funzione
l
aij
ap H;jh/c --aai}
•
,la ~ O , 0lj,
òb' A Bi}hle - ò--
Di qui, poiehè il primo membro è pari a ~/Ii, si deduce, ammesso che sia l!' = O e dP Idi = O:
con le condizioni
oppuro il minimo, rispotto alle
• chk - -
-aahle
ne segue:
.
EijGij aij
(2.10)
BIjllk EItI,
con le condizioni
aF
ove è o.
aa,..) -- aij
aF
~ O,
BijpqBmnhk
c
condizioni che devono imporsi a quelle funzioni P" che nel dato stato di torsione sono nulle. Si tratta di due problemi di programmazione quadratiea, l'uno duale dell'altro.
B;illk
=
-()~;;: -
_~ + Bmnpq -a~~_;:7jaJYl
-- -- --- ----- - -7ri'-a~
B; j hk -
Ii con
Poiehè la matrice [A l è definita positiva e la superficie di snervamento è supposta convessa, la soluzione del problema sopra menzionato C'siste cd è unica.
c
=
l
c = o
.
ci} =
. ' aF + .1-0;- -
A;j/ilc a"le
con
p
O
c
-
per
F=O
e
- 7"--
~=
ap
), =
Ii -
c - - a!tle
pCt·
dOlile
A
-64
O
b' = O e
--.- - al/le ~ aO!t1e ap
per
l" = O e
opplU'e per
p
< o.
-
--Oltle Dalile
O
a"le
<
O
O,
P
<
O
Per i materiali con superficie di snervamento a più falde che seguono la (1.46) l'inversione si ottiene ricercando il minimo risp etto alle ai) della funziono l 'P (aij) = - 2
(}P
- - -- allk ~ aal/Ie
dahle
oppure per
Oaij
(}P
aF
per
lYlateriali incrudenti (incrudimento isotropo e alla Koiter) Per i materiali incrudenti aventi una superficie di snervamento regolare l'inversione della legge di deformazione incremcntale
dF'--
-a-;;1!'L _
.
ap
con )." =, ll" -,--"-
ai}
I
. Aiihlc rT;jOhle
EiirTij
1'2 Aa
-+- -:)- L" - -Ii--~
"
e con le condizioni A" ~ O.
Vaij
<
O,
Anche in questo caso si tratta di un problema di programmazione quadratica, () poichè la matrice d e i coefficienti dei termini quadrati ci è definita positiva la soluzione esis te cd è unica .
65
Unicità della inver8Ìone L'unicità della inver~ione per i material i 8tubili secondo D ruo k or puo' " . . f.1· un dat.o sta to di OllBlOn?R ~mllc.dl snervament.o e per un dalo sistema di deformazioni incre. mentnh (iJ SI aLLumo due ,liversi sist.('mi di tensioni incrementa li a;pJ c 0-;/21: Da qUPHta ipotpsi Ri dcdupo ~os~rursl ~)~~ u:-sur~o nel sf!t,'l.wn1.o modo: si supponga clio; per
A ijhk
"il
molliplicando cnt.rnmhi t.ra.cndo Ri ott.iene . (I)
O ".. A 'jl
. (l) ah k
+
• (1)1' ti]
mernbri delle duo oquazioni per
• (2)
• (l )
<Jl i ) ("hk
. (2)
"M;) -
• (1)
• (2)
·(l)p
·(2)p
-
p1dt,JÌ,idt (*). Gli incrementi delle azi(JlIi sollecitanti Xi, pr, ~i suscitano nel corpo ~!li spostammlt.ili l , le deformazioni unitarie fjj e le temlioui 6/h per le quali valgono le condizioni indefinite dcll'equilihrio, le condizioni di eo .mpatibilit.ù tra spostamcuti e deformazioni nnitaric, nonchè le condizioni a.} eontorno, nelle tensioni su 8 p e negli spostamenti su 8 u . Si assume ehe il materialc sia st;Lbile sc("ondo Drucker. Quando si dovrà far riferimento alla legge incrementale di deformazione si ammetterà, chi, questa sia (,spressa. in una delle forme (1.24),
alj(i)
«h) - - . aiil (fii
Considera.t.o il corpo in una data situazione intermcdia del Vro gmmma di l'arieo, si analizza il suo comportamcnto IleI successivo lJM;SO infinitesimo del programma, nel corso del quale il parametro I varia di rlt e le azioni esterne subiRl'ono gli incrementi infinìtesimi Xilii,
f; j
).
(2.11)
, l'OiO~Jil il pri1:r'0 termine a spnondo membro ò il doppio dello densità dol.l CI.l'-'l"g,,\ . potenziale plastica as..<;O(,i M.a l'Ilo stato di tcnsiono ò"ij(lJ - a;/2) c l'md,o per !l secondo t.p,·mino vale la (2.7), Ili (2.11) non ò verificata a m0110 che, cont-riui"ment.o all a ipote8i, non sin. (fi/ l ) o-li(~)'
(1.31), (l.3R) ed (l.4ii). Si Vlwle studiare il comportamento del eorpo nel corso del passo infinitcsimo del programma di carico in esame, e in particolare gli incrementi (,;1> flj e tli subiti dalle tensioni, dallc deformazioni unit.arie c dagli spostamcnti. Si indinano con V R e V p le p!Lrti del corpo che all'inizio del pa.sso si trOV!1tlO in fase clastica e rispettivamente plastioa;
con 2.3
Il problema elasto-plastico incrementale
VPE
si indiea la parte di V p ehe rientra in fase elastica nel corso
del pa..."lSO e con
VJi;P
quella di V E che raggiunge il limite plast.ico.
Generalità Si considera IllI corpo di materiale elasto-plastico sottoposto ad dat-o programma di ('arioo, per il quale sono assegnatc le succcssivo vrariazioni subite, a pa.rtire dallo stato iniziale, dalle forze di volume XI, dalle, forzo superficiali Pt, applicate alla. }JU.rte :-"p dolla. superficie esterna fj del corpo, nOIwhè dagli SlJosta.ment.i Ui, imposti sulla partc Su di 8. ' Si ~m~lOtte che gli spostamelltl siano oosÌ Ilieooli d!t permett.ere d, far l'lfel'lment.o, nel oaloolo delle deforma,.-,ioui e delle tensioni interne, alla configurazione inhiu.Je del corpo. . Si ~mll~et-t-e dle nollo stato ini:.da.Je il corpo "ia a.[[o "bto vergine, p.1"lVO d.l,deform~zioni plastichc residlwe dì coazioni; qualora ciò"non sm vonfieato, SI ammetle di oonoscore lo st,\to di coazione 0, per i mat~riali incrudenti, quant.o è necesHa.rio Jwr pot.l~r preyedere le SlWCl'",,-;]\ro evoluzioni della "upeTlieie di snerva.mento. un
Unicità I _
~
molteplicità della 8o[uziOI!r; (1)
Unicità degli inrrementi di ten8ione
Sì dimofltra clH.l il si~tema di t,onsioni increment.ali Gj} corri"pol}-denLc nel problema onuncial-o t~l n. preccdcnte fl.d mI dato sistema di XI, P l e Ùi Ò unico.
(*) N .. l Rcguil.o _ -c !ìno "divcrs" avviso -- gli incrementi innnitcsÌmi delle grall. de".te prese in csunu, s"r;mno p"r brevit.à di Sl'l"itt.ura. indi",,( .i C"H XI, PI, t-;, ò-'J' e~~_, int",,,IE,,,,lo che quest.i simholi BORtituiseano 1(\ scrittura rigoro~u Xldl, j;,d/.,
""l<.
(') K MELA~, 8it~. Rcr. Ak. Wi~~. Wien, Ha, 1·17, n. E. MELA:<, ]"y. ArdI. 9, 1(jr;3, lIn. \V. 'l'. KQI'l'ER, Q1UUt. 041'1'/' Ma/h., voI. 11, 1953, 3.~O. D. C. DR'C"CK"", l'lust.:dty in "~t.rue[.t1ml -:'Iledlll.l1ies", Rtu"r,.,rd univo Cro.1. 1958, 407 -48H. \V. T. l
67 (,(,
Si ammetto. infatti cho esistano duc divcrse distribuzioni all ii e aiFI; pt'l" l'lInicità rlelb inH~rsione della legge increment.ale di deformaziune olil.swplas!icl\ (II. 2.2 ), ad esse corrisponrlonu duo divt'rse distribuzioni di deformazioni uniturie ;'lji11 ()(l (0(21. No ~"gue pcr il principio dci lavori virt.uali
I
.
- I~)
(l)
~ [alj - -- (lij
cioè
I, A,;"",,
II"
.
-
·(~i
(l )
- (2)
(a 'l -
ai) )
(II»
)( ri)
"ij
fijldV~-~D
['"ij
. (~I (I i ) I
(II ((lj) -
II T _
. (2)
- Il)
l
In eu~i di queHlo genere t.uHuvia l'indeterminazione scomparc se Bi am)nptte inizialm"nie l'ho il lllOtpriule Ria elast.ico-inrrutlent.e, (1 sl1cct'ssivamente ~ i fa tendO'rB a :-:"ro l'inver~o ddla funzione di incJ'lulirn\'nto Il.
• 12)p
-- "ii
)
8 t abiJita rUlliciti,. (kJlo s Ullo di iensiolw inerelUelltalu rdl'ti vo n,l ogni pU.SilO inlìnitesimo dr.l p1"ogrullllllfl. ,li earieo, rimano o.~~ipur,,\.n. l'lI11ieità ,\0>110 I
al'
dr
Unir:ilfÌ ddlo slal() di leHl/;one
~.iOlll'
=
o
Poichù il primo termin e è sempre maggioro dizero, ('~do il doppio ddl'energia potL\nzialc oluMico. as~ociMa allo s tato di tensione alill) - a/j(21, cd il seeondu t0l'mine non può essol'e rwgutivo p(,r la (2.7), l'ipotesi è assurrln; deve quinùi e~se("c aijll) = alPI.
Hi .. ('on'pldl1rrH'nll' Ilota. Se vicl'vprsa la p,·,·(]p(!c.nU, storia ddla sollC'ritazioll<' del ro rl'0 non è not.a, non è pOH:'\ibilc pon()~e('rc 10 3tnto di hollecitaziom' del corpo ~tc~S() e la. ri ~ p<)RI ,U di qlw.st.'nllilllO ad un inerellwnto di Holk-citazionl'. Ciò pcrehè nOlI sono nolo lo d isiol'~ion i pbs1.ielw pro\'()Cu l," nel COJ'fJO dall(']l'" ·"eden!.<'''1o,.i" di "efOl'l' "WiOlH'. f}"nieith (kllo ~!.al,O di ",,"~ione in \In corpo, 'l,mndo ~iano not,e sinle azioni Hollecit-ant.i dw k di",lor~iolli prcs'.""i ( ~ifl no <,~~n prodol,le ,h prce(,dpnt.i d(' fol'mazioni ]ll<1~ddw, o da v;\r;azioni kTlllidw e ,la [n,omel,i li~ieC)-(·hi",ini) il ogg<,tto rkl nuto j.{)UI"'IlHI di C'olonnetti (1)_
I, II
Uniri/cl de,gli incrementi delle deformazioni
]>"r i lnakl'in.li da~tie;-;ncrll,knti la leggo di defonlllw.iunc (1.46) fn {,(lI' riNpOlltklYl ad \11\ (lnlo inercm"nlu ddle (l'lmio"i unu t'tlllll solo incl'('llleuto delle (Informazioni unitariO). :'e ~eg"" che per i corpi eostiHliti da gl,esti materiali (,ll'unicitù ,kJl'in"rel\\\,\\(o ddle t,e"sioni eO\'J'i~poJl(le qndla dell'incremento ,lello defol'm>1zioni ""ilari,' . .I"" ~illwzionc può e>.<wrc diversn Iwr i torpi di llIakrialo ,-,lastieu'lw,'rdtaJICen(c, T'la~tieo poiehò pc\" q,w~t'ultiIno lo. lEgge inCI'ClllclItale di defo,.,nn~.iOlw l'l'CH,de allo MlPl'vl\mcnlo UIHI ddorrllazione plastica non (·on1.<"1ll1I.a, IJIj\'ehè OHSl'['\'ru,I·'" la kgge di normalitù. l'uò f]uinrli vrn'ifier\l"~i dle, P('I' una dala sitlJH,zione dd prob'T"o di ('ollasso l'b~Lico. Ad m~.O'Jl1pio PllÒ !weadere eho i" 11m, ~t['nt.t.\ll'a l'l'l,;('olaw il'\'r~l.atica llll"n;\a pla;.ciieiz~.aja, a s"guito {klrinerellll'nto rIdir: aziu ni so!l,'citn tlti slluiS("fl 1m ilJ\Tl'nwntu /1/ di UIlU/lglunenl,-, plam ieo. 1n ~al ell~O la di~ t.ri hl1l.i()ll'-' ddl'nllll"gnnwn\.(' unii,al·i,-, ;: J'lrnn,llp inde't,\'l'lnin"ta ]111rehò
~il'
,
!
" 68
;c/I
,11
Hi (ldiniscono ,~/atiClWi(n/.(' anl'lIIi8.d!ili l(~ di"t,ribnziolii di tellsio1H: illerellwuhdi cbe soddisl"t)J)o, relativ<1Tlwnk ngli iu("rClllent,j delk azioni soJlN:ikl1lt.i }!.\ e iN, k eql1a~,ioTii inddìnite dell'pquilibriu {' le C(lW1Zioui al cont.orno su 8 1'" l'Cl' j llltlLerinli clas(i('i-pNfP1lamcnk lJla~t.iei le di~lrjbll:doni di t.ensioni illCreHlenbdi ~taticarncnte amJlIi~sihili devono wddif
Vi! l' ullerioro eOlldiziollfl ./t'c< (; O (a ,----- ,:.! .... , N). Si imli c:lllo con àij* k distribm',ioni ai tensioni in('n:lllcTlt<11i ~tHti uamellk ammissibili e (:0]] fij* le corrispolldenti (kforma~io]]i in('T'('mentali unit.arie Ot.lCll\.lte appli('amlo le kggi (I.:.\l), (lAI\), Ì\atnrHIJTlr:lltl' ]p, (list,rilJlI".iolli ddh' i'i/" così ddìl\ik non ~()JI() in gPl1prtìl(' euu)!I'(l('lIti.
- Si dl~fini sc()110
Cilì('lIiUlinl1!!fnle
mlUI1i881:bili]P distribuzioni di (\PfO!"-
(Il G . CO).O"~ET'C", S"'''.'iOZ'' ddl,' l.'Udi·"2:0"i, '['l']' inn ]\1.1 t. In 'p"'"'' "l)(" 'il " ', ,,,, ,'ih\." t~ ""t" ,.rigoi""tL >,ull'm'J;,,,n,,,,tn, cl .. ll,' ,\""li la 1,,.iJ)l;\ ,·i",t,' ili l!ltS, V I IV, T',uc"''', 1),,/. .. J.I,,{h .I . n. I~l·l:::. ~~B . \\'. l'aMi''''', (;{I; [,,/, ('I)" ~I I, _,1f!l-4. :1[" "1,, Pa,.j~ 1!llli, l' G, li'H\(; E. \\-. 1']1"'. 10:1\, ,J . j\Jullo 1'1':1.1'-, Vol. ~7, t!l·jH. l. H. ,I (}"I:l';..-nlm' :. 12"'11'1, ,·IPf'l. ,\[all,. 7_ l!,j!.!, .~~•.
69
Inazioni incremontaIi unitarie E,jO congruenti con una dist,ribu7.Ìone di spostl1mentiÙtO che soddisfano in Su la oondizione Ujo Le tensioni inorementaH corrispondenti alle definite pcr mezzo della inversione della. legge inoromentalc di ùeformazione (cfr. n. 2.2), si indicano con a/jo. :Naturalmente le dist,ribuzioni delle a,jO così definit.e non sono in generale equilibr3.k. 0,-=
e,l,
I -
.t,.
t' cioè, distiugllendo hl. defonlliw:Ìone plastica da quella olastica. c fa.cendo uso per quest'l] ltima del t,eOl'ema di reciprocità.: I 2
I
'l'l!orema di miniJlli) per gli i1wrementi di tensione
.*
.*/1
v (au fil
, • .p T (l/jFt}-
. *
2Ui)
.p Ejj)
dV.
l'oieht> il primo t.errniue è sempre positivo, a meno che non SIa (fii> ed il sccondo nOll è mai Il('~at.ivo per la (2.S), la (2.J2) risulta din10s1rat.a.
Il funzionale
O;}*
II Nlpresso in funziono degli incrementi di tenRione staUcamcnte a.mmis~ sibili alj*, raggiunge il minimo assolut{J in corrispondenza della distribuzione effett.iva delle tensioni inorementali ail' rispettosa (per tramite del legame illcrementa.\e tensioni-deformazioni) della congruenza. Si ha cioè: I-2
I .... l' ' ' v
Ili} EljdV -
'l'fo'rema di minimo per gli inr:rl'lnenfI delle deformazioni
Il funzionale
1)2
." (f;])
II'O'Od" Oi;
=c - - -
2
v
-
cun
IfI{njuidS-
s
"
,. °
in funzione tii E(l o per mezzo della inversione della l'legge c (fil ""0J)""ooo '''', " .. ,,, ' . cl .lllcremen t,a·I e t, l; d"t"I"n",,'oll{, relativo a1lliù "enora1e sistema e" " ,., .' < ' co . (l• .• Per dinlOstrare l'enunciato si osserva che, poiehè Uij* - Oij rappresenta uno stato di coazione. pcr il prineipio dei 13.\'ori virtuali si ha:
formazioni unit.arie inurernent,ali f;jO einemati(~anlente amnIISRl?Ill~ raggiunge il minimo ai:\.SOlllto per la distribuzione dello. ddormazlOlll unitarie' illerementali f;(j dfettive, rispettose (JlOI' tramIte del h:g~rne inerClTlclltale deformazioni-tensioni) dell'equilibrio e delll" eonthzlOne di plaf\Lieità. ~i
Sos~jtllendo nel primo membro delh (2.12), questo assume la fornut. I "
ìO
ha cioè: I 2 I
I
·u.O]""
(fotil l
v
' . JVX
·0 {Ui
l' ."as' + f" ,
dV --
P,Ui
sp
(2.13)
p;ù1dS > O . 71
Tali valori coincidono con quello effettivo quando è ovunque
l'Cl' dimostrare l'enunciato si osserva "ho '"'~ P"" v. ,>1 prlllClpio dei 1a\"o1'1 virtuali ò
ali =
.,
e
ai}
Ei} =
l'i)
Teorema di ma88imo rlcUc deformazt:oni plrwtiche incrementai'i (1) La soluzione del pl'ohlclIla cla;;to-plastico ineremont,ak può ot.ten0rs; sovrapponpndo alla soluzione dast.ica coft·ispondemt.o alle azioni increnlent>.li sul· Iecitanti Xi, 1:';, j'erroLto delle dnfonna;o:ioni plastiche ;'!J P eonsiderate quali
pertanto il termino Il primo membro della (2.13) può 801'ivo1'si:
iii
. o -o
(ao
E/]
-+- (fijEI)
di qui, con le stesse eonsidcl'a7.ioni svolte "eli·" rl>lmosraZlOne ! . precedente, si perviene alla (2.13). I risultati dci duo teoremi sO]Jra dimostrat,' po'SSOIlO 8111"'0 . <. t'lzzana. nella catena di disequà.zioni, che si ottiene CO]) l'impi o d I ' .. . I . . t l" ,eg c JH'lIle1JIlO d eJ aVOl'1 VII' ua l:
distorsioni. 8e 8i indicano cun (,iJ, a ed i-;!J'" le 1,0nsioni e le fkforrna~ioni increlllent.flli prov~>1t,c dallo azioni 0sterne nel corpo elastico c con (,!(P c ii{P quelle provocate nel corpo elastico dallc deronnazioni ph\f;t,iche, si ha: • al)
=
'L'
·
.'"
l'Ii ~- fil
+ +
(2.15)
"11 f i;
I
. 11 ]-
fil
Se si considera ogni eknwnto di V 1- come a 8<' stante,esso ptH'J subire qual.
(2.](;)
con
+ --2 2 ] ~
2
.r, aiit jjd V -+ai/ ljd V I""
1-
" v
f J.,, f XIÙ~rlV t . ., vX(UidV
v
'fiu/dR
J
(2.H)
Ad ugni di~t.ribuv,i(>nc di l." ;;. O in V p corrisponde una dist.ribuzione di doformil1.ioni ~ilP chc po(;.<;ono dcnominar~i plasliwmenl~ amndSlnbili. In COlTi~ponden7.fl di ciilSCUnfl. di tc;;.se, cunsidcrllta quak f:i~(rillll:-:ione di di~t{)J'sioni, si ha:
pi ll j d8.
·,a ai} =
p
(ij =
il
VltlO1'(~
.:. ..'P
<Tij , - <Ti!
·m fij
: ....'11 1- [i!
(2.l7)
:...P CI}
T.n :;;01"7;ono e\;\.stica ri,ppro:ill'nt.ata (lalh' ,illa cfl ~Ila fornisee \lIla fl;~(,ri· hm.iono di lt'n.s;oni in equilibl'io con le ror~u fluivc inen'mf'lltl\li Xl e 1il ('duna Jis!t'ihn;o:iOlw di (ldonn>w.;olli ,m;(arl0 ('Ollgn:(nti nlll gli sro~t!llH(llIi imJlost.i
doll'pspressiolw
:i,; ]
2
;;'1
8" .
- -- (') U. CEllA])!"l, 1,,1 . Lum&. 8"i. j,dl, C/.,'iri . , A nn, ATI'IIKt'A
1\ •
!
.'p
siasi deforTllflzioll0 plastica
]
!
l(Hì,i, .l2:'i; Y. o,w'h" .H,'(",,-,nira,
1-, l!)(\li.
•
73
Lasoluzionc clastica rappre!!Cnt.ata dalle ~jj'P c ~!J'P corrisponde a lUiO stuto di coazione, melltre le defonnazioni [i/P
+ [iJP rapproscnlllno
Ri ha cioè
llUtl. distribuziOll<'
di duforn'azioni eongr'wnte con sposttl.Hlenti nulli su 8". (2.20)
Applicando il principio dci IM"ori virtuali Bi ha
(2.18)
l°
+ (-,I
l' L, [- );"
:l . v
La diBtribll:r.ionc ridio deforma:r.ioni i"crcmcnl.ali plastiche effettive fijP si dll.llc ".It'·l' perchò pcr l'i;SU risulta in ogni punto
di~tingulJ
o
" . Ha.
La (2.20) ò dirnoHt,l'atl\ se si dimORlra che h RornHlH dell'esprcRsiol'" n primo Illt'mhro e tiPi t.ermine, eert.a.ment,() ncglltivo,
i nmtcria.li purfett.amente plMtici, e
pC'j'
(2.19)
è mnggiol'c o ugunle Bo \':('1"0. EffettuutI, la ~omrna, sviluppando e facpndo (J~O della (2.1.'!), noncl,ò del
JX'r i mat.l'riali inl'1"l1denti,
priu('ipio ,li ree iprot,ità, si ottiene: n .... lIh·e si ha in generalc in
(Tii /
O
li p
c\
por i ma1.o/'i'lli
p<'rld~amento
°
-,
1-
plfl.>Jtici, e
>O
;'''-JdV
(2.21)
H,
è PGt· i materiali Pl,rfet\",'lll\l'nie p )1\..'> t "w, l,. v'I,'d,'t.' , . . ,)",II'ult,'ffi',. ",'Ia-,'one ~ dimost.J"ula dullo (2.5) e (2.fI). reI" i materiali inc!"udenti 8; ha:
per i maj,()rinli lllcl"udcnl.i.
Dal punto ,li vista preso in esamo, la soluzione dd problema cIHflto-plastil'O inenmwnt.aln eonsist,~ noi dek'I"minH!'e tra t.utte le distriùuzioui t, quella ehu florldisfr. lo cO!ldi~,ioni (2. Hl). A tale rignardo vale il sef,'Uuut-e teor0ma: Il funzionale
t-
cl V
-
> O
\0 I
per i matm'iali p<'l"fdlanwnlc
pla.~tici
~,
2
Ic ~,
)"
dl- per i mukriuli illcnldenti
II,
ruggim,gr. il ~uo Vl1.lol"l' lIll\~sirno in IllM,iol\i plustiche incn·uli'nlnli.
74
l
ET,
cOl"l"i~l)()lHknza
dei valori dTrd,!.ivi d elIl' lif,for·
Si o~'wJ"va ehe 'l'p.,,) rappre,wnta, per i nmt.pl'iuli perfd,ta,,:r,nte pla~tiei, l'clwrgia differenziale ,]issipat>l a partire dalla soluzione u1fl.i;L:ea lnel".e~ent>lle. Si i"dldlino "on !i.;,p gli ~p()st.alllenti da~tid ns;;ne iati "Ila E;{P, e elOC provo· cati ,la!!to fiJP eonsidcrate quali ,!istenioni impnRs(, n I \:{}l"PO ('ons,'d , rrt,'o clnsticc: pn il prineirin lki luyori viJ~uali Ri hu. ;
· .'" . · '. I FodVo. I"
'J! X;l/i
p
. \'
,
di'
L, jJ;i/:
P
rìS'
,
75
Si p"c', fll!i,,,li ellunciar" il t,t;On.'llla sopra dimost.rato (lo a l" teorema ,Ii Il,inimo d el f'lnziona].-,
+
l° I
+t
_.~
L>
"
fl.,
" 1'-
Il teOI'<'Il\a ~npr'n ,1 i-;(" l"";0 pori,1l alla fonnulaziOll() ddl'anulisi incn'illcntnlo ddk stml,tlliY; "Ii '-~t.ol'ja~t ieho q l'llk l'lObI, 'Ir.a di programmazione qwvlratita (1l, ()uf'sl.o pl'ohl<'noa mnnw H<., "TI bl;O duale. AI problema duale corriHp ondo un leOf('Ul>t ,li minimo, ""li Jim iV;zioni, eh" p',;, co,sere cons id<.THto il duale cld p,'<.'cedente (~). li pl'Obkma d!~~to-jJlmt i,'o inerern l'nlale può \,~sel'(J f\llt,he fl.ffl'ontflt <) !l.~. sUInelldo quali val'iabili non Holo i l'ara mf:lri ).~ rllllla deforma.zione plastiea inermur,,,tu,lu, JTla aJu·,h ('. gli ~po.4arn('. nl i Ùi, o rispetti v anlCnl,ç) lo tonsioni ai;. Sus si~IOl'O Il 'jU('sto l'ig,,,,,..lo d,,(' [,x!l""lni di !llÌnililo eÌle sono Rtf~t,i enunciati e dimo.4 rat-i di rcnt'llk c dle l'urtano ",,<.,ora, IWI i >liMemi discreti, a problpmi di p]"og-rammfl~,iolle (j\ladJ'
2.4
Il collasso plastico
Nel trattare il problema- elasfo-l)la.stico incrementalc si è visto chc Ì corpi o1a.stici-perfeUamente plastici possono pervenire nel corso di uu datn programma. di carico a.llo stato di collasso plastico, perii quale non è piil a.'1sicurata. l'unicit:l, ddla deformaziQTH' relativa !111'ultimo pl1SS0 infinit.esimo di canco. In tal caso al termine dell'ultimo passo illfiniksilllo e senza ulteriorc incre mento delle forze attùre si genera in V l' lltl meccanismo di ml!as8o pla8ii(".o, earatteri7.zll.to <1,1 un sist.ema di sposbunenti Ùj~ (che rispet t';1no la. condizione u{ -- O su 8"j e dalle eorriSI!ondcnti deformazioni unitarie ~ ijc. CI i spostamenti ili" e di com;egllemr.il le E;jC sono de/iuiti Il, meno di \1no o più parametri indeterminati .·1 che govcrlmno l'elltitfl. della. (1eforrnaziOJw.
Comc irHliCllto nel t.enza. dis,<;ipata
n.
2.1, note le
Eij c
iu Vp rimane definita la po-
(2 .22)
o\'e r5i/ .'Iono le tensioni che in ogni punto cOlTitipondollo, in base ai prlllClpl di COTlvctisitù. c di J1ormalità, alle f l/' (v. fig. 24 e :!ii). Si cOllyiene di prendere in esame il fCllollwno del collasso plastico solo nell", su.1- fase ini7.iale, cOilì clIC gli spostarnenti posmTlo essere considerati infiniksirni rispetto alle dirncnl-iioni del corpo. Si eOllvierw inoltro di considernre alla st.eSila, iltJ"(~glla gli sl)lwtanH'nli del eOl"l)o nel corso della precedente st-Oria di cari{;o. SoUo 'jlws t,e condizioni si put) rrpplicare il lJrirwipio dci lavori virtuali, con rih,rilllento al1<1 configura,ziorw jwlC'fonllata.
(') G. CI·;.I IADI.";I, ('ostl"vz;",, ; "'let"I1;"",, Il. :l .' n. 5, 1>\1';;-;, l77. (' l G. l'It . J.lu'-'on;r", ,\1.\11':'1',\, ,. . ·1. j~"jfi'( f;-. .:\I AI>: [I . J"'J. Hi , ~ ,h HO"."]" " P. n. HonuF, Il'''.'/ ',,u.','·i ll.
'''':I',
Se si
rappl·(~Sent.a,no
con ,lIrX j e ,ucPlle forze agenti quando il corpo
e al collastio, caraUeriu.a ndone l 'inÌ011 s it?t eonil moltipliw.Lore l'C
applic<1t.o [lÌ c)\,("iehi Xi e
fi i
('onsiderati quali 1l1litari, si ottiene:
;'
J'v r(F;jjdV;
76 77
di qui si deduce l'espressione del moltiplicatore di collasso
fvP(;~j)dV 1'( = - ------ -.- - - - - - -- -
fvXjU~dV + fs Ptu~d8
(2.23)
Si definisce slalicamenfe ammissibile uno st.ato di tensione ai}' che soddisfa le condizioni dell'equilibrio, indefinit.e ed al contorno, llonchè la eondiziorm (2.24-). Corrispondentemf\nie sÌ definisce moltiplicatore ,~tatica1rumte ammi88ibile e si indica con l'" un moltiplicat.ore dei cariehi per il qllak risulti in V e per ogni a (2.27)
" Se si considera ora il fenomeno da un punto di vista statico intuisce come dalle condizioni lJl
V
(a =
1,2, .. " iV)
:-;1
(2.24)
con I<'" indipendente dalla. precedente storia di sollecitazione e di deformazione, debba discendere Ulla limitazione relativa al moltiplieat{)re dei carichi. Infatti, quando i uuichi crescono proporzionalmente provocando il sllperamento dci limite elastico, si realizza generalment.e un incremento della rcsistellza del corpo grazie agli stati di coazione Sllscitati dalle deforma.zioni pla.stiehe. In una situazione intermedia della fase elastoplastica lo stat.o di tensiolle PllÒ q\lindi rapprc:-;entl1rsÌ nclla forma Ol! ~
, . ' POi! T ail
(2.26)
Esso pertanto raggiunge lo flt·ato di collasso l)er quel primo valore (li Il per il quale diviplw impossihile soddi"fan! la relazione precedentt". TtuTi'mi del collassu plwsl-ic.()
78
I ." + I " ." v X j llidV
(2.25)
ove ai/' mpprcscnta uno stato di ten:-;ionc soùdisfacent.e le condizioni di equilibrio, indefinite e al contorno, relative aHe forze X j e ]il, (! (JJ/ (! uno st.ato di eoazione. Il corpo è in gra.do di far front.:! all'incremento di carico fin quando csist-c almeno lUHt di;;t.ribuzionc di t.ensioni di coazione (Jii' tale che ;;ia ovunqne in V e per ogni (1
COli
~i definisce cinelllalic.amenle ammissibile un meccanismo di collasso plast.ico carat.terizzato da una· distribuzione di ;;postamenti UiO continua (;mlvo al più su un numero finito di superfici di scorrimento, ove deve c;;,wre assicurata la continuit.à della component.e dello spostament.o normale alla superficie) e RoddiRfacento la. eondiziorw Uio = O su Su, nOllchè dalle corrispondent.i deforma.-;ioni unit.arie ~Ijo. In relazione ad e;;;;o si definisce einemat.icamcnt.c ammiRsibik il moltiplicatore dei e,~richi (*)
Quallto sopra inlro(lot.to in forma descrittiva. sarà 01'11 preeisato la enllnciazione e In. dirno;;t,razionc dei teoremi: dd NJ"a.\·so 1)lasti(o.
1 -
s
(2.28)
Pi1[ i dS
Teurema 8la/im dr! collasso plastiw (1)
II moltiplicatore di collas;;o è il massimo dei molt.iplicat.ori st.a.tieamente amlìli;;flibili. 8i ha cioè (2.2n) (.) Si iuteud" d,p. ~(' ,'_~iRto"o HHp"l"Iì~i di (liu-""t-ill1lità ddl" ';jo. il nUllleratur" dellu '>~pl""ssio"" di .l'o (~.2S) d,·,·" ('Ollk"ore ""d,,, 18. 'pOkIlZ" dj~~iF'll""H dN(e ""1""'1"_ li~ i .
(1)
o.
KAZ ! :o
.\Io~kva.L, 'ui n gmd 1938. '19. V. ""d;" (,.,,,.h,zione in illgiue i,;
)[",,1, i-l,'lSR ,ll ",-'h.
1-1'.1.
J:
Sri .. .1. l!)(;O. :l:Ò:Ò_ t';. 1\L F';(KllIwe. l'l'a,-I. ~>Iot _ ,1I .. /c", \01. I:!, l!H8. 63. ]). C. 1)1<,,(:.,:;:]:. I r. ,T. GJU:E" ""HU, \\'. P]L Hl, l i),"; l. :171. n . C. Drnw"J.:l\, W. PP.AGf-:Il, H_ ..l . G["':J·;~·D"Ila, (j'Jm·l. Appl. _JJath. Jl. fl. Ifl.')2. :{SL
79
Applicando il principio dci lavori virtua.li per un generico st.ato di tensione c rispett.ivamente per lo stato di tensione al collasso si 1m:
Per il pl'l!WlplO dci lavori virLuaii si IHl- iufatti
-l ''
P(iI~d81
fs "
1-
I , ·"
s J!i 11 /d8,I
Il primo membro di quest'lIltima espressione, essenzialmente positivo, rapl)J'(:,Wllb\ la potenza dissipati). corrispondente n,1 illeeeaJlisrTlo oonsidel',\to, eome precisato nd n. 2.1.
Di qui si deduce
Dalle d\lc cquazlOlll si otti(,IW
Poichè per la (2.3) è Il donominntol'e del secondo mcmbro è positivo per quanto sopra 11 IlUIIH'rat.oro II non u('gativo l){;t' la (2.1), rclal.ivamente alla quale ora 11ijO d(~v(' cOllsidoraTsi lo sl.ato di t(~r.sioTle allo snervalllellto corrispondent.e ad ;;/1, IlWlltrc O";{ <'~ \1n generico stato di tonsiollC' amlllissibik. ~e segue In, (2.:Hl). o.~serva.to.
il denominatore del seeondo membro è positivo. Il llUtnerat.ore (~ positivo o nullo per la (2.1). Ne segue la (2.29).
f)eterminazione dcl
Il -
11 moltiplicatore di collasso il il minitllo dei molt.iplicatori einematieament.c ammissibili. Si Ila ciOi! (2.30) (') A. A. GVOJJZ";V, op. "il. a l'a.,:. 7!1. D. C. ThICCKEll. II. J. G-f1J~"'
371.
n. C. 3S l.
NO
IIWltl~l)licaf()T(,
di wUasso pla.stico
Teorema cinematico del collasso plastico (l)
J, Appl. .lI"ct.. 11. IS. li);,],
DHI)()Klm, W . 1'1\,\.CER, H ..J. Olt]-;";~ll';I\O, Qwut . .11'1'1. Ma/A. 11. 9 . 1 UU:::,
Si O&'lerva ehe il moltiplicatore di collasso, così eome è st.ato definit.o, è U1I rn()ILipli('at()l'(~ st.nt.icamenie C'd illsiprne eincmatieamente aHlmis.~ihile. È sk,ti('ullwnt(' ammissibile poiellt, eRSO appa.l't.iI'Tlc all'ultimo passo inr:l'(:ll1cntale eli Uli programllla di eal'ico nel {"orso dd quale ili V deve 1'::4';('I'C F, (Glj) ~ O; f: cill('rtlatiealllcntc ilmmis.sibile p('rch(~ pWlwio nl termilH: ddl'\llt.imo ]HlSSO si verilìca la non llnieit:ì. della ,mlllZiOTlc: eiò pOIle jll evidellza la f01'm:lzione del meccanismo di ('Ol!ilSSO e pcrnwLte di scrivere la (~.~R). }; C'vi(lellt(' d'altra parto I\mieiUt di ,Ile, porrhè se così Ilon fosse sardlbC'l'o violate le (2.2n) (' (2 ..10). reltanto i molt.iplicnt-od st-a,tielUlwllte ammi"sibili e cinetll[\jjelHIH'llto 81
ammissihili eostihlifwono due clai'si cont.igue delle qua.li ;ìc è l'elemento di separazione (l), e rif'iUlta
Ne seguo che so, ill rela.zione ad un dato meccanismo eH collasso, le tensioni a;jO corrispondenti alle deformazioni ullitarie eil del meccanismo cost.ituiscono una distribuzionc st.aticamellte ammissibile, il moltiplicatore di oolla.s::>o coin('id(~ con l'o. Nat.uralmente lJcll'associaT!~ Ic 11j;0 ali!) eljO Oli dev(~ controllaro clw risulti, Hecondo la (2.a)
III) L'agg iunta (1'!J.~port.>\7.jone) di mat.eria.le ---: privo {li. p~so - effet.tuata 8en,,[1 che 8;ano v>1riat.e h! posizioni dci cfl.r;ehi fl.gent.1 non puo ridurre (allmon_ hue) il n1lom del rnolt.iplinfl.t.ore di eollasso. . 1 V) Re Bi mnnentl1no (si riducono).i lilJjiti d~ ~neI"Vu.J!lé",t.O d"] '~lfl.I-:.rlal? . una pa'.,.c ",,"10;,,°; ,l··leor·llo il moll.ipheatoro Il! collasso non può sllbll () n· In ~u~,. , ., . du"joni (aument.i). . li) Il vallO'·" del molt.iplieatore di eollnAAo effùttivo risulta mmOI:e.o a~ piiI llguak (maggiOl·e o ul più uguale) a quello c~lcobto pcr UIU: Sllperhe10 dI SIHèr·varncnt.o COllv('';.~a thc- sia 1"iroosnJ"iHa (inscntta) alla effettiva.
Il prohlema della determinazione del moltiplicatore di collal:!So ~u~ anche im [x>stat.o in tpl"llIini insieme di tenHioni e defo~m~zl?n~ incrementali. Si perviene in tltl modo alla formulazione di J~rm.el.pl dI estrcmo di funzionali espressi in entrambi i gruppi di funzlOlll mcogtlib~, soggett.i u. diseguaglianze (l). (~<;f\('r(~
ovunque ò eijo F
o.
Ql1amJo per un daLo prohlema non si (~onosca il meceanismo di colla&'lo plastico (od è qllestl1 hl. I·ogola., saJ;.-o casi del tutto eeeezionali o banali), valori approssimati l:H:r difetto di j.le Oli ot.tengono dalla applicazione dclla (2.27), ment.re v,tlori appro&,>imati por eccesso si hanno dalla (2.28). I metodi di calcolo che IlO scaturiscono si definiscono rispettivamente 8tatico e C"innnatù:.o (v. cap. 4 e 5). Buone approHsimmdoni per il valorr di Il c si ottengono con il metoùo statico descrivendo CT1jr per nwzzo di un certo numero di parametri liberi Qp o rieercalldo il massimo di ,w'" rispetto a.i para.metri u p eon le limitazioni (2.27). Allalogament( ~ nell'applicazione del met.odo cinematico si può descrivere il meceani!:
Di.WjJ188Ù)'//,e 8uUa Hnicità ddlo stalo di
[en.~ione
e dri mmcanismi al col-
l:t8S'J(2)
Si dimost.ra che la distribuzione delln. tensionp .al eolh~s,so è essen,ziahllcnto unica. in quella parte di V ove il rneeeu.mSITo? dI co.llasso da luogo a defortllu.ziolli unit.arie fi{ non llulle. Il meecamsmo dI eollasso illv~ce non è necessariamcnt.e UllÌeo. . . Si sU]1ponga (~h(' esistano due diverse ditlt.ribuzi?lll ~l eollal:'So o··cl e (J j .'~ e due diversi meccanismi di collasso al qllah (~()rrls~}()lldono h:'deforrr:a,zioni unitarie E/)d cd Ei/~.Poichè il moJt,iplicatore di col~ass() è unico, le tensioni ITijrl --- oj{2 rappresentano Im(l.8t.a.t(~ d~ COaZI(~m~, . " cl elle t· <1 . Il, . ..rl _ . f ,jjc~ C cmemat.lcamentre . il mceeanmTllO eornspm} C f'i . mente ammissibile. 'l ,l".' lavori virt.uali (~ (luindi l·)"." " ,JlrmClJllO L
J ,wguctlti eOl"olbr·j diset'ndono im'''f·djataml'lIte dai due t(·on.mi fondu. TllPntuli.
(2.31 )
lJ T"tt.e le t<'n~i()n; ri,mwgono eo~t"rlti nel ('Ot·~o della defornmzionp "lasl,i(·a a eolli1~'io. 1 f) St."I.i di ('oazione inizi,di "onlm"no irdl'u·"za sul villo,.,. d,.1 !noll;plica(ore di col!asHo.
('I 'l'.
Mt:RA.
S. L.
LI'J;.
(Jwul. _Ip/,l. Malh. :'1. Hlfi:l.
~13.
T. l'Ih1; ~.• 1./11(/1·1. AI'I,I. M,al". 2:1. 1!)(j,>. li!. T. ~lL"Iu. S. L. LM'. Jt. H. H'n· ~ "T. \Y. H. HDfAWI. 1 ,,,,.. A.S.I/.L'., J. l!-'"y. "U'é'. Di,.. , 3. 1%7. !.ii.
e·) H. J.:.
82
LI:I:. l'Iii/. U,,!/. Su i. 1:l. ;;·jIJ.
8\
La l'eltl.ziolle precedente pllÒ scriversl:
Se liL superficie di sncrl'amcnt.o 01
((f;i -
Ò
c2.d
a,j)
ti)
chc soddisfano su Su le eondizioni VirI ~-, O e rislJeitivanwlJ1.~~ U;f~ = n. In questo caso ogni eombilHn~iolle lineare delle (2.32) caratterizza. un possibile me(~ealliSnlO di collasso.
st.retta.mcnto convessa risult,a > O
e rispettivamente
Pertltnt,o, a·ffitlChò sia. verifioata la (2,;31), ùeve essore (Ji{l '--" r5j)c~ nella ZOFV" ave 8i hanll/) deformazioni 'unitllrie diverse IÙ" zero. So in voce l:~ superficie di flnorvamonto presenta generatrici rettilinee o fa.lde piano può anche iwersi per lo stesso iij": ~Jll'; IFi{2, come mostra hl fìgl1ra "!';;h. Può pertant.o accadere che nelle zone ove il meooanismo di eollas;;o (~ unico lo stato di t,ensione al collasso sia. definito il meno di IIJlO stato di corVl,ione n'ijcl - (lll~. In ogni punto di que"ta zona il veLt.ore (Id .- àC2 è normale al vettore fc. La (2,;31) dimostra inolt re eho nella. zona ove le flio SOllO nulle, cio(~ nella zona non intereR;;iLta da nessuno dci meeeanismi di collasso può aversi a i;"! - (lj(~ =1= O; .in quellu, zona non è quindi ~~sieuratl~ 1'1IniciU.. (idio st.ato di knsiOllC. Si 03scrva infine ehe, con1.rariamellk ;~ quanto a\'viene per lo stato di kusione, lwssmm condizione può porsi Ilei riguardi dell'uniciti\, del mect'anismo di col1a:s:;o plasl leo. Effettivumenk può a,eeadere ehe il meecanism\) di collasso dipenda lIOJl (bL un solo gl'ado di libertà, ma da un rlllmero fLlIito o a.nche infìnito di gradi di libertà.. Ad esempio si ha un meeoanisrno di colla3r-;o con dll(~ )..';radi di liberLà quando esisLollo in V p dm' distint.e distribuzioni di deformaziolli unitarie pla.stidlC l
el ., I Hj,J} ---,. j,
I "~ (U; , 2 "
H;.;)
.,
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t i j ---o -
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1'2
DF
r dr .-'
J l colla.8so Il!aslico dri COr1Ji rigù!o-plaslici Nella rH'eill'nt.e trattazione il fenomeno del colla&-;o plastico è stato presentato qnale stato limite raggiunto da un eorpo elasto-plastico nel l'orso di IHI qualsiasi programma di earipo, stat.o J)('I" il quale l'estcn;;ioflp della ZOlla phlsticizzata Vp pc;rmpUe la formazione di \In meeeanislllo di deforlllazione plustien., Quest'ult,irna pertanto non è più (~on t.ell1lt,a. (bIle )loue eOllt.iglle r imaste da.st,idw, TIla ha luo).\"o libCl'a[[h'nl(), governu.ta da uno () piil gradi d i lilJ('rtà. Tuttavia iLlh ha.'w della t.rat.tazione sono st.at.c post.e ivot.esi molt o t'( ~st rittive sulla deformazione. Si (\ SI1Jlpo.~to infaui elw le deformazioni ('Ia.RL{)·plnstiehe sllbit.(~ dal corpo nel corso del progrn.mma di carico precedente la fase di (;olla.8so produeano vurin.zioni di geometria trasl'lI1'a.hili, eosì dw la confìglll'Hzione lId l'orpo all'inst·a.tlrarsi dd mceeani;;lllo di collasso possa es.~ere as;;imll",f,a Ho quella illizin.le. Com(~ d'altra park ri;;ult.a dalla. dirnostraziom' dd fcol'('rrm stat..ie() e del teot'('nla einematieo, nella dderm i" ,lziollC del lllolti!Jlicu.t.ore di eollasso intervengono solamente le knsiòui e le deformazioni relative al meccanismo di eo[[a;;so, valutate ent.ramhe - come si (~(ktto - con rif( ~rilllcllto aUa eonfigllfHziollc inizia.Je. NOH ccmpare illveee alcuna graJlr.le:lza relativa alla precedente st,ol'ia di c.trieo, non essendo tale llPppure lo st;Lto di (;oaziorw cOllLenut,o nell" (2.27), che dev(~ (';;S('I'(' bCl'lto in lllOdo da rendere m:\ssill1o fl". Si llllÒ concludere quilldi che lldLunhito delle i110ksi Jlosk, le costanti dw rcg-o!aJlo la ddormabilitt\ e]astiea del mat("l'iak ]lossono eNr-;en~ varia.tp ad arbitrio e ullimite :\lIIl11][ak sellza clle ciò abbia. illtlueuza buI vfdon~ Llel moltiplicatore (ki carichi e sullo stato di lc;nsiOlw e di dcfonnaziollc al co!lasHO. In altre parole l'ipot.esj che le deformazioni l'lasto-plastiche a.llo inst,!l.uI'a.rsi del fenomeno del collasso slallo così ]lieeole da permettere di far riferimento alla contìg-ura.~i()ue inb:inle. perllH,Ue di a&~iIniJHre ii eorpo daslo-plustico H(I un corpo rir;irjo-lJ/lIs/im COli Iq!)!f' di deformazione (1.:'10). 85
L rhmltati conseguiti sono quindi 'validi anche per il collaf'SQ dei C'urpi di materiale ri.i<:ido-plastieu, Per questi corpi d'a.ltra ]Jartc la teoria può anche ($ser sviluppat.a in modo indipendente, sulla. base ùci corrispolldenti legami costitutivi (I),
La potenza dispersa dalle forze QI nella deformazione di collasso
è
}~ appunto nel suo riferimento alla schcmatizzaziollo rigido-plastica del materiale che la teoria del eolluSilo dci eorpi perfettamente plastici trova diretta applicazio1H~ nell'lmalisi limite delle strutture, che .fmrà trattata nei capit.oli 4 e 5,
,,
È interesllante not.a.rc a questo riguardo che la trattazione teorica del colla.sso dei corpi rigido-plast.iei ha preceduto quella relath'a ai corpi elastoplastiei,
" 4,0,
Influenza della drlonnazirmc 11'111 fenomeno dr! collasso plastico Tutttl. la jJrooeden(.u imt-t.azione è Ht.Ut.a. >òviluppata nella ipot-f"~i che le deformazioni non abbi uno influenza sul fenomeno dci collfis~o plast,ko cd in par(,icolare ~\ll valore del moltipJ.ieutoJ'l> di colla.sHo {Lc, In realtil un'inflllenza ùella ùeforInuzionc f;usRiM,c sempre, ma plJÒ esscre pii, meno l'Bevante n. st'COll, dl~ delle earattnriMieh" deI makriale n della geometria dol corpu, Pur i curpi da;;topLl.i;t,ici un'anali.';i della influen~,a della deformazione sul col]'].,.;~o pltls(,ico ri"hiHk lo studio della d"furnmdono nel corso di tutta la pre.
°
Per la disells;;ione di 'l'wst.O pI'ohlcma, dm Il,\ notevole impo'i.any.a ai lìni ddla vnlnt.aziom' della "ffp(.t,iva ~i""mzza di lrna .';truUnra, si l'invia 11.1 ('upito!o G,
La superficie lifm:tc di
COllU8S0
Se insieme al punto pc, al qua.le corrispondono le ~orze ~ic, si considera un secondo punto P* anch'esso rappresentativo dI una sihmzione di collas.'Jo si ha
fie si conferi!:lcc ",Ile Qic un generico incremento,Q,c ~ale ,ehe anche la condir.ione di carico rappreRcllta\.a dallc Qi c -: Qjc sm (11 collasso, SI ha., tenendo COllt.{) della. (2.5)'
rliun corpo
Si consideri il più geJlera.lr~ si::;t.ema (li forze a.ttive Qj agenti RU un corpo, siano esse ctrett.ive o generalizzate, .:-J"ello spazio delle Qi (che può a.vere un numero finito o hlfinito di dimensioni) ad ogni Rtato di sollceit,aziollc al eolla.sso (~otTi8pond() Ull punto pc. (I) H. HILl. , l'Iii!. ,uu[J. ,'hT.. I, u. 42, 1951, S('8,
X6
Fig. :W
Le due ultime rela-zioni !:lono illustrate dalla fig~lra 2ii, nella quaI~ spazio delle Qj si flOvrappone lo !:lpa.zio delle Ij/, Da, esse ~~ da\1~~ nni{'lt:1 dI'l moltiplicatore di collasso s! deducI' che nella IpoteSI che l nll.tplÌa,le sia stabllo secondo Drucker - Ipotesi nui ablJ!l.Ildonata nel presente c
,tUO
87
continua e convessa e che i vettori q~, rappresentanti i meeeani"mi di .:ol!asso, sono normali a detta ;;uperficie nei punti pc estremi dei vcttori
(i'. La. snpedioie in questione può denominarsi 8Upc1ficie limite di colper il corpo considerato, soggetto a.11'azione del sistema di forze Q,. Da quallto sopra indieato risulta che il comportamento al eollasso di Hll corpo eostituito da matcriale sj.ahile secondo ])l'ucker presenta le stDsse propriet:ì. che earattcrizzano il eomportamento al!r, Sllurvamento del makriale stesso. ll1880
Re il llIateriale è ela.'lto-plu,'ltiC'O si può, nello stesso spazio delle Qj, rappresentare la. sllJ)(,Tl"ìeie limite dello stato elastico dci corpo. Su 111111. reUa orientat.a. lIscent.e rla.ll'origine si avranno quindi due punti (generalmellte dist.int.i) p( e pc rappre;;entanti, per un ecrt.o sistema di forze crescenti llI'oporziollaIrnent.e, il limite ela.'ltico e quello di ('ol1a&~o. l:e1" il t:t'orcllla ~tat.ieo p ~ (- sempre itJb~rno al segment.o O[>c.]n cf~,>i part.IcoIa.1"J (sempre ndle strut.t.ure staticamenf..e determinat.e) si 1m. l'e ~= pro
La rappresentazione nello sJlazio delle Qi pone chiaramente in evidenza le tre fasi della resistenza di un corpo di materiale e1a.stieoperfettamente plastieo: qllella. ela-st.icn., quella. elasto-plastica e quella. di eollasso. Per il teorema fltatico 1I0n sono possibili punti rapprt'sellt.athri di stati di sol\edtaziolle del corpo esterni alIa fmperfieÌe limit.e di collai3so. D'alt.ra part.e (h:foflnilziolli nOli eontenute, cioò rnpprest'utate da fllcecanisrni, flono possibili solo p(~r gli stati di solkci{.azione rapprei3ellt.a.t.i da. pllnti snlla. s(lperfieie di eolln.s.'lo. ncneralmente 1<1 superficie limit.e di collasso è a. più faMe, in analogia con quant~) si ri'wont.m per talnne superfi(~i di snervamento. 2.5
L'adaltamento dei corpi di materiale elastico-perfettamente plastico soggetti ti carichi variabili nel tempo (to)
Ai considem. un eorpo di Hlateriak elust.ico-pl'l"fett.ament.e pla.;;t.ieo soggetto :ò più fon\(~ (h, vnriabili nel t~>mpo, ciascuna, indipcmknkmente dalle alt.re ed in modo cn,'lualC', elltro limit.i prest'rit.t.i. Cm;Ì al.gi(*) X r i purugr"li ""g>'Oj"ti \o Ri alJ1Jal,do"" la " " ",-"enzi" llf' ill.
1]('1\.'1, notu f(. pago t.i7 ,10>.1 n. Z . ~; ,·iù ,. ""0:(·'""";0 j'"rehil ""I I" l.()J18idr-J"H7.iotlj ~'·0~1" II l'Oll":'1l\drD l'''''I'O c()ltll'nl"(' dirdj"tl",,, j (': ~i ;",li,." 'luindi ,'<'" 'u, p""lo I"
(l"("l(>((."
(['II""ti""" J"lRpct (() " I.
88
seono sulle st.rutture i cosiddetti ea-richi aecldentali. Si ammet·tc che i carichi varino cosÌ lentamente (la non provocare efIetU dinamici. Nelle condizioni di uwieo sopra, descrit.to la sieurm.za rispet.to al colla,,'lso stat.ieo, Jlur sempre nee(~ssaria, non garantisce nei riguardi d~ un eceeS80 di deformazione pla.;;tica. Può accadere infatti che tra gl~ infiniti modi di variare delle forzc nel t.cmpo entro i limiti assegnati esistano uno o più eieli di earico ai quali corrispomlono eicli di .defor~ Illazioni pla...'lt.iehe che si riproducono ina.ltl'I"ati ad ogni IlUOVO etelo dI earico. Jn quest.o ea.;;o le deforuH1zioni plasticlw segllitnno !l(~ accum~l larsi con il ripdersi dci cicli di earico. Il cedimento progrcssl\'o che III tal modo ;;i produce il defillito collui:JSO plus/ico ·tncrclnf'rdalc . Un easo p
Cllndiziolle Jwte&'lar.ia (: sufficiente per l'a.da.tt.anwnto (li Ull corpo f;oggdto a. Cl1ridli comunque variabili (l'uno indip(·ndcnkJnellf.e dn.l('I JL JlU;'CH. 1I,t/JiYl~r";'·,,r, 1\1/:;0. Itl:\:3, %1. ..Ile. I [II.. 143, 1(1%. Itl;",. .1-:. }l;;L A " • Sii .:. l" '. lIl~"A'<, S"ilt. Ha. A I... 11" '''8. IV;,·" rr", 1·17, I!I~~, 7;J. E . lIl" ..",<, III!!. Arrh . li, 1!131<, 11(0.
n,·,· .
n·,:.,,,. n·;."
89
l'altro) entro limiti assegnati , è ehe esista almeno uno stato di eoazione che, sovrapposto a tutti i possibili stati di tensione elastici suscitati dai carichi, permetta al corpo di mantenersi ovunque entro i limiti di snervamento. Che la condizione sia necessaria è evidente; infatti se si verific!1 l'adattamento deve sussistere lo stato di coazione defi nito nell'enunciato. Clm la condizione sia sufficiente si dimostra nel seguente modo. Siano ~
tu
' -è
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1-
(;i j
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+
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-I
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' 1' .d) , ((ji } -- - O ,j f i j
dI'
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- f ,)
~d:1' ali ) L I} Il l'
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f
V
___
,
. 11·e dl! -- () (a""P --- OiJ ) f ,j f -
V
quali lavori di uno stato di eOi17;ionein deformazioni pO~lgru~nti. Tenendo presente le (2.33/1) e (2.:\4b) può anche SCl'lven"l
(2.34-a)
(i .3i)
cd (r l i
(2,,"b) fili,
1311"-1
e
, . Hl . l')U.~_e alla (2·:n· ehe da qUPHt.l\ espressIOne fU' I {e d 11((',
A<
0,
consideri la gmndezza.
A
90
=
r
.d t i}
Si ossenrn dm tlllul le grandezze variano con t sah..o Ai ha pertauto : "
,-=
'P
al/ d ;
t'i]
A
(T/ j
1- f l} f-j
,v
• V
a;i
•
. ep __ (j ~d Poichè (jJj'P cd 6 j{P variano nel tcmJlO subite dal corpo a meno che non sm (fI J ----: '!·I ',h ff "·\'0 t Il d ~ 1.iOllI P astlC e c e l I al variare de e Il orma~,. .1 A varia nel tempo e si h a nel corso del processo dI eanco, ane le
(2.33a)
Lo stato di coazione atto a mantenere sempre ed ovunque il eorV o entro i limiti elastici viene caratkrizzato dalle distorsioni /j~ e dalle tensioni di NJazione che, per mezzo delle deformazioni unit.arie ristahiliscono la congruenza viulata dalle ftj • La so\'rapposizione degli efi'etti della coa.zione e dei carichi dù. lungo alle defot'nl11.zionì unitarie ed alle tensiOlli ti} ' """' ( I ]
(2,36)
A> O
~p
t ij
le deformazioni unita.rie e le tensioni nel corpo in ogni istante del pro cesso di carico effettivo. Con l' indice (I e )) si indicano le grandezze elastiehe corrispondenti ai carichi agenti, con l'indice « P)) le deform azioni plastiche, con l'indice« fp ~ le deformazioni unitarie e le corrispon dent·i tensioni elastiche, necessarie per riAt abilire la congruenza violata dalle l'u p •
elastica associata allo stato di che rappresentl~ l'energia potenziale coazione (jl /P - (jl;!d Naturalmente è
(2:lO)
O
{~
sem pn, (2.:38)
, i ,1' SOIlO -r ~ O le (!i' sono al limite di snerva, . . .• I n f ,\tt I,' l',liIdove lp-ii] _ ,( .• t i di tellslOne SicurI. . 1.,·1 . . danno 1lloguas.", . mento, rnentrp per lpO Vll e a,! l' 'lo negli inkrvalli i11 (li t '1 ,,1 . l' A rUllano COt'l·M.. " . Pertanto J \3, Oie ( I • f las1in (t._ -p ovunque nullo), '" qU'lli il corllo p(~rmanp In usc e, . ' .') ne I cor.-; O d, , , 91
llIell~,re q~a~do ~i producono plasticiz?Rzioni A non può che decrescere. La dlJl l llHIZlOue del valore dì A è però limitat,H, pcr('hè ]mI' la (2 30) deve pssere . (2.3H)
Ciò dell\mci~ .il (:08SI11'(: delk plasticizzazioni Il partire da Ull t valon: di l e qmndi il deiìnitivo rientro del corpo in f"<' 1< o]"Ct~r ,o . ,,,,,,::;-1('11. . . :fn ~ase al tc<>renJa. st.ntieo la determinazione del moltiplicatore hnut.fl ,d! adattamento può a V\Tnire Ilel modo seguoll t e. sl ,111 ù'!Cano con jlodt)Q" (h = l 2 ) l o SUlgO ' le f orzo cffettJvo " ~ o ""ulu,tl lzz
'"
'"
".
•
•
,
.Si .indie
,
,.,
COll (,j/
"
,
• ••
H '
lo stat.o di tensione di coazione e con
();i'
le
t:~nslOnl ela.stlChc, varia,bili nel tempo, derivant.i dalle forzo ('1.(2",
Con quc."to prCIl}(:.sse si ha
tI Ij
,
--r (Tj }
r
-+- l'(Ti )
(2..10)
La determinaziom: di Ila itl base al teorema, st.at,ico può quindi formularsi nel ;;eguente modo: DetermilHl.re il massimo di f1- rispetto ad ogni po:;slhile stato di e03.zionc all, osservando in V le condizioni ((~on a = 1,2 ... N ):
< O,
(2.42)
ovc e
8i tmtttL quindi di un problema di ottirnizzazionc. Per UIli\ .strut.tura costitllita da un n umero discreto (li elellwnti cÌà.scuno ili st.ato (li tensione uniforme (quale ad r:scmp io una st.ruttura rcti(~olaT0 sollccitat.'l ai nodi), o r idoLtn. tale con UTlil opport.una schemat.izzaziouc in elemc:nti Jìll iti, il problema sopra indicato :; i PllÒ formul a re quale problellla di progmmnmzione (v. cap, (i). Se è pl~r ogni h ghl --" gh2 --= l si ricade nel caso
cioÌ':
, a/j
'".'
Il lwrfllw cill.f}It(t1-ico ddl 'adatlrl'm e1/.{o lJ[as!ico (2)
II ~
l' LlJ{,I'J;j
(2,41)
"
ove con aiJ"~ f:ii indicano k tensioni elasticJl(~ smwit.ate 11eI corpo dalle forze Q". sla!icafllfnle 111nmis8i{;i!.. (' ~i illdi", "l''' l' ' l ti )IicSi definisce . l' ". .v , , , I ogm ma 'l ,aLme . ((:1 canelli per Il cluale t ](1 ' coazIOne , . .. esist,· . , """> ,,'. ,,~a,o (11/ ta l e che Sia per ogni (X >
comunque varino i eilrichi OlltTO i limit,i ass('gnati. Indicn.lldo (:(l)j u" il H1oHil)li('nt.()n~ limite ~li adntJ.nmento, ll('t" il korerna stati('() riSlllt,a, '
.
Quando il molt.ipliuaturc /1 sll11cra il valore limit(~ di adattamento non csiste alcuno sta l,o di cOà,ziorw atto a, uont.rasl iU'e l'incrctn0])to indefinito nel t(~lnP() delle deforntn.zioni plast.iche. lll[at.ti non esist.c aluuno stato di knsione di coazione che possa ]"t'nd0rc s icuro risJlctto allo :;Ilcrvamt:nt,o lo ;;lat.o di t,en8iol1c ajj ddÌ nito dalla (2..10); perLwto non l: più v\:rj(ica.ta la (~.:lH). (!iò significa. che quando,ll raggil1llgc il valore limit,(' eli adattamento pus,s ono illSlaurn l'si tieli di nuinziolle dei r:a.richi, entro i limiti sta-
\iHil) .
l') 1'. ". SYMO;';D6, B . n . .\", . \ L, .1 . '''''''' ''.k1. 11,.,'1. :!:>Z, 1\),,1, :lll:l. \L 'l' . 1\:01'1" " ". I"'.,.O{" . j\'!II . N,-,'I, A I.-. \l"d. )I . • n. ,)t'i, li:,')li. :!·I
1'•• ::';p.lnM.'o. ("')'H'. },II. Iii!! . 8i"",;",,", 1I1,'""i" u . J !l;:;tl H. "PAIO." " ". Il,·,,,1 . .. 1<-,. Sci ri .•. " :ll(d. 8 ",- S"~. S,'i L"II . Adi , X"Jhlli ]!.ll\l.
93
I
biliti, che danno luogo ad una sucocssione di plasbicizzazioni i ijdl che, pur essendo non congruenti nei singoli istanti in cui si verifi cano, sommandosi lungo l'intervallo di tempo .:.11 di durata di un cielo danno luogo ad una deforma.zione congruente, }~ pertanto congrucntc la distribuzione di defor mazioni unit.arie
È facile dimost.rare che jl primo termine a secondo membro è nullo, Hi considerino a tal fine le tensioni di coazione 0"1/, la cui variazione nel tempo Hi esprime nel modo seguente
, ,
Ifi}
=
(i ij
+
(lo)
JI
oye le tensioni inerl'Tncnt.a.li al/ P corrispondono alle deformazioni uni tarie elaslìdw illerenwntali E;{P dm sono necessarie per rist,abilil'c la congruenza viobtta dalle [Op,
con fu si indica l'istantc iniziale del ciclo di variazione dei car ichi, Le tensioni di coazione O"ij variano nel tempo a seguito delle EjjP ma rial3SumOIlo al termine di ciascun eielo la distribmo;ione che avevallO nell'ist,ante iniziale, Le deformazioni definite dalle :Jfl jP costituiscono un rruGCllnismo di (:Ollfl880 in(:rernen!al(~ ; esse si accumulano indcfillitament.e al ripetersi dei cicli di carico, Si consideri quanto si vcrifiea quando il moltiplicatore dl)i wridbi assume il valore Umite di adattamento ed il meceanismo ò l'effettivo meccanismo di collasso incl'ementu.]e ad esso relativo. Negli istll.llt,i c nclle zone ove si producono le plasticizzazioni, le knidoni O\'C
au =
rag;g:iul1gono il limite di
,,
aij
il ali
Sll(~rvamellt()
(2.40)
"
(2.43)
,
'CI>
(f l j dt
l'oiell(~ i~
r,
.
r
,p
+ l';,) dV -,., O ,ep
(Tl i (l' I}
l'iSul1"l, kneudo e(juta della (2.4fi) ed indicando con !lr la dCllsitù dcll'energia pot.enzialc elastiea. relativa allo st.ato di coazione Oi, r, = . .-
J ,.,,, . ({i;fo
rl r-
v
SI
(2.44)
Di qui, }Joiehò lu fitflto di coazimw jn lo ha in fu si ded1H:e
JvnTdV , ... 11 i.' ugua.le a lJlwllo clic
cd ò quindi, secondo la (2.3), (~.4 7)
Inkgrando nello Hlmzio sul yolume V del corpo e Ilei t.empo IIdlo intervallo (li kmpo lo lo t 11, ,~i Ila quindi:
, In
" di
l'"
r "
(III ' ". •
9.+
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-
V
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lO
" ,li
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dr
.r,-
'
a (:iò In (2AFi) forniHee
•
rfi jf'fjd 1--
- -
(2.4G) "
kl.~f'
-------
(2AR)
, /'
r!' j f' / jrlV.
95
Poichè vak,
(~Ollle
r
è nr,t.o, la" rebzione
In ijlH:sb1 (~spl'of'.sione (fijO) è la. IXJte1l7.a di",,;ipaf,a pet' unità di volume rdntiva, al meccl111i~ttlo cinemat.i('amentc ammissibile. i)l !ti" quindi o .()
··0
Oyo lo ir,,~P ra.ppn~scl1tano gli spostamenti iIlt:rementali proyoca,ti dalle deforlllazioni plastiche incrementali ~i;l' consideraLe quali distorsioni, J'cspre,'!sùJllc (JAR) di pU può essere trasformata nella seguellt.e:
l''' =
(F ('Ij) ,--
ove
(lijo
(11}/:/}
(l.;) l)
0 la t.ensiOlw al limite di ,;nCl'\'n.rncnto cO!'J'isponrlcllt,p alla
~~i]o, ('Ome indi('ato 11(,1111 Jìgura, 27.
(2,49)
La (2.4-8) pr(~Sllppone dw SiiL noto iL priori il ciclo di ca.rieo (eioè le variazioni dci coefficienti (!fI nd t.empo) ed il meccanismo di colhsso irwremenLa.Je definito dalle Cjjj'(t). Tuttavia ill generale il meccanismo di collasso inerenwlltale non Ò lIoto e pnò quindi essere jmliyiduato solo in via approssimata. In tal easo l'illlpiego della. (2.48) porta alla determinazione di un valoro approssirnrtio 11° (IPI moltiplicaLore Il''. fii consideri Ull m('(:canismo di COllll88oinr;remenlale cinematicamente a,mmissihile, definitt) dalle deformazioni unitarie incrementali ~'ijO(l) (li\i"erse dalle {':ifP effdtive, ma, tali che
corrisponda ancora ad U1l<1 deforma7.iOlW cOllgruentc. f5(~ si il.pplù'a h (2.48) al dd.t.o mee(~Hllismo eirwmatielllllonto mnmif'.sibile si o!t.ielw il valon:
(2.50)
o
j'ig.
~7
Il fforemu c.ù,una/Ù:o (hl collasso ÙMYflllcutalr ~t·abi!i,~(;e che ogni valore tl,ppl'Ossimat,o /,0 i'aleoln.to in base alla (2JiO) è rnag-giol'c o tutt.o al più ugllal(~ a quello cHd.tivo ,Ifa fornito dalla (2AiJ). La dimustrazione di (lU('~to llsserto 11l1h fornirsi per Hssurdo. Si S\1p[JfJllga che, jlPr un dat,o lTleocanismo di collasso ilHTemcntale CÙH'ltlilt,icallll'nto amllli."sibile (ktìllito dn,ll(' t'i}°(l) e per 1111 dato cido di vuria7.iolle dci carichi «(,ntro i limiti SbLhilit,i). il valure ,d) fornito dal. ìa (2.;)0) risulti illfi'rio\'e n ,II". In kd ('1\1'001)('1' il teorema statie(j deV(~ (';;istere UllO stato di (;0;1r.iotli: (:o.~ta.litc 1Ii'l kmpo 'fii"r) t.ak (:l1e lo stato di tellsiOll('
--o (fii =_CO
-r o (Ti;
"
l ,I/O";!
(Vi:!)
i. " i
l!
:I
Ne segue, moltiplicando entrambi i membri della (2.52) per Et/l ed integrando sul volume V del corpo c nel tempo tra to e fo Llt:
+
In baso al teorema cinematico ilmolt.iplieatore limite di collasso è il minimo tra tutti i moltiplicatori cinematicamcnte ammissibili j/o determinabili l'CI' mezzo della (2.50) relativamente ad ogni meccanismo di collasso inerementalc cinematieamcnte ammissibile e ad ogni possibile ciclo di variazioll(: dei carichi ent.ro i limit.i preiìssati. .A nche in questo caso SI perviene per la dekrminazione di fJIJ ad un problema di ott.imizzazione (v. ea.p. 6). Naturalmente, se le forze attivo JlOJl varia.no nel t.emllO, cioè se è ehi ~ (jh2 = 1, la (2.49) si riduce alla (2.28) rdat.iva al collasso statico. 1)ai due teoremi, statico e cinemat.ieo, si ottengono le rela.zioni
Poieh(~ i~
dalla precedente relazione si deduce
l'0 -'---- - - - - - - - -
e questa espressione di ,un è in contrast.o con In, (2.i50): iJlfat,ti, powhò per la ipotesi fatta, (l/jU (': sernpr(' l'{] ovunqlli: in sicllrE'zza rilSreUu allo srwrvarnent.o, si ha. per la (2.2)
o.
l)8
99
BlBLlOGTL\FTi\
L". ,'ip"J·d.o ,li Trcs(;;,\ R1I1 pnllzonn.!twl\to p r"Rtrn"iOlW "0"0 g('lwrnlnwnl,(' il pl'imo cOlli.l'ilml.o alln. t {'ori'l ddla plaf;ticith (H. 'l'm';sc,\, Co-mplcs J?cr.dl",! /lwJ. ,"·ci., l''Hi~, i,\l [18ti.J]. T;I;; (;4 [UHi7], 80ll; .1lèlll. preso !lin. """-'. / lwJ. SC1:., PMiR, 18 [18fi8], n::; :lll [1872], 7.3 p 2S1). B. jm N.\I1';T VR'IA"T 1m fornito, J'ul n tivu"llnt e alla I",).').;"" ,li H" lT\'all"ml.o di '1'r(:~en., una pl'inlt\ formuln.ziO"l' ,h,1 h·ganw tf'",~in"i-\T lueiIA di lIr'[ol'lluw.im", fWl" il l'l'obkm" (j"l1a (]"fol"!l,,,ziollP l'1a~j.if'a l,i""" (COli!f!(C8 Hcndus An/d. Sci., jJari,~ , 7n [lii70J, :WS " ,t73; i3 [1871J, SO, W\)8, 1181; Ti [lS72J !\O Il'idillwlI~ion"lc, il kganH' lO'n~iOIw-\Tlo('itil di (kfol'l1lilziorw t· ~Iato illlrolti, ~,dk ~"1pl<'nl i dil'diri(,i: c()n~idf'ril.ju
al ~I,udi(l d...! rompol"i.w ')("nlo d"i llli. I,·,'i,,]i "wtalliei in r,è.~,' pl<1~ t,ielL. Lo d".I" d,'I1,\ q1J('Miorw "gli iniy,i ,],.\ ",,"'(,010 ,'e ben J'al'I'lT~"llt"lo d",i Il·atiali di C . BA CH (!:.'lrlsfi!·':liil "",l Fe8ti!Jkeit. 1" ,.,1. lkdin ISBD,'(J{), !P ,'diziull" n H"lll(' C. B"\clI. H. n\U~lA !> N. Berlin liE!4) u di l'. LL1>\\lK (I~·luJl('Jt.le de/' ICi'h l
/,) Formlll"/.i",,,,, dei n·it·'·'l'i di '·'·.,iHI,'·"'-.a {l';. B.ELTJL\'oII, Ne),.,}. 1M. JAJmhw',(o Il> [1885]: O . .\loJTH, Z.I·.li.l. [1!.I(lUJ, 1,,24; .1 ..1. Gn:sT, l'l,il. Mag . :;0 [l\lUO], (i~l. '1. T. j{'Bl-:ll. (}W.';OP':8i1lii I .. ('''! ,ir~f, T.nnlwrg, 23 [lD04J, B I ; Il. 11fi:~(' J\ Y, Z ..·l .. I/.JI. 4 [ l U211. :1~:\) ,·I.)I"f) ""'Lln.dlo ~1)"rillwnt;1l" (,T..T.nl'l,xr, 0i', elt.; 'l'IL \()~ E.\I:~I\~, .1/ill. ùl,rl' FOl's,'Ii. I .11.1. Il.118, [l\Jli>J; H. n,i](I:It, ,li iII. iil
,,,,Ii .
cl }Contl,d,,'!.''''''· d"i kg"mi .-,o~jijLlli,·, in ron"" jn,:n1lknl"j,. ~i ",,]n Il. \'0.'- }ln·n':~. (;iill . .\'(/('lir . .\/(/Ih. 1'/','1"" 1,/. [l!1I:l]. i;~2; in 1'{~I'ItI" ).d"hd, Il. I!J.;:\I:KY. Y- .. 1..\I .. ll. 4 ll~I:!../Ì- :l~:l, j(,,~-j';j('1I1NI h B, (1). ''l' .
t::Ol'lllk'L I. , i"lul'lIo nl lH:W, J)l'i,,..il,,,I,,,, ,,,t, n'H i Iayur, di p illl{,~i di i\. :\.'\ I)AI I{) f r 1,,'/r1SUlil C Zu",,/(u;r! ,/q ' 11"(''''',ii l,~lIi. ll,·din l\I:?7, j'/'18Iizltii /. ".,,,1 ";.,.,1. drll('!:, j" . 1l:mdl"",I, ,l", "l'I,\·."iI{,'. Hd \"1, ..j2S·:'i)O, 11""l i" l(l~~ ) { H. \"""" }ll ims {f'n/(: . :J!'rl 1/1.1. ('O"!/I". ":t p p. :llfth., 1\\:1<.':!, 1,,\ inizi<> l·uni il"lj,wlIl .., d"II, t'ulIO~'" '/l,.,' " ",.]k ,.i(·,'n·h,· "",,, ,""'11' '"t i i I ('011'1 "' l'l ;; 11"'III" 1'1 :1~ 1 i(' o ck i "." I,·, in l i in lI na 11;~,'il'[iJl<1 'lI1il" .. ''''' T) i l'n"tit'ulul'l.' i1\I j.'od:IllZ:1 cI:l1 ]>\11"110 di \ i~t" I,'rH·i,·o Ò l·ilLl'·u,IIl'I.im\<' 01,, 1 ,·" ,t(,, ·tlo di ' 1)(,I"lWi ;·,T,· pL'~l i ,'()". c,1", l'i~lIk il 11. ",)K .\11 ~ 1';S (7, .. 1 ,1[ . .1/ ,~ I H1~ H I.II;H ; ,." E .'lEI.. \ '.; {f','~I . . I/ ) •. !l ll!l:;sl. II,;. I"
fOr'rllldazionc del legame e1ast.o-phl.lòt.ieo, dle vi()ne attrihuita a A. REI:$S (7..t1.M ..M. lO [1930J, 266), Rulh~ Lru;o di um. proc()dent.o indicazione di L. l'RANDTL (h'or. ht lut. COllor. Appl. ;.11ech., Drllrt [1924], 43).
Nel deel'I1nio precedenj.o l.. II guorra mon(lillie l'ono statf' po~te lo LURi per l'applicaziollf' dd).. teoria della plasticità nl calcolo delle sl-rutturo; a qllc~to rignunlo crullO giù stati l~vanzaj,i Rliggerimenti da vari flutori, e in pHriicoTt,re da G. KAZ1NC7.Y (lJelolll~::.emlc, vol. 2, n. 4, 5, 6, BndapoRt 1914) e K. C. KH,'{' (Ddft., 1914; ~i vcda flndoc Der Eùndmu [1920J, 425). Fmubnwnj,ali ~ono i lavori sul calcolo a rottura di J. 1<'mTSCli.h:, Buuing. II [l!l30], 851; 1(. CUtKMANN, SilZUrtgsbcridde Ak. /l'iss. Wicn [1931], v. auche Da Stuhllmu [1ll32J, Ill21; F. DLEICH, 8tahlhochùauten, par. 11, 39(;, fierlin 1\132, V. f""eho (),~s. lltet. 3 [lll34j, \l3, G27; H. MA1Ej~-T.F.IUNIT7., Bauteclmik, [1939J, :11::1, V. l\1wlw J>er Sla},/òau, O [1930); F. STUSS!, C. F.KoLl.BT\l:NNnH, J>ic ilm)lf(,hnik, 13 H. 21 [19::3]. Sul eompo,tmm'nlo delle s (.rutturo Huggpltc a f' fwiehi varial,ili, molto ;111. porta"ti sono i lavori ,li 1\1. U1tij"lNG, nic 'l'rur!jdhigkcit s{oli.s chuuòeslimmlcr 'l'm!}wcrkc (10,' Slahl ",il belie"'':!! Iwiifirl wùdaholler flelastuuy, Berlill 192(;; H. l!LJ,:H."II, lJauiil!}., lUj20 [1ll32], 261; C. KAZrN(JZY , lJie Ireitercill",icklung de)" 1'1(1sl,zit"t,~lehrf, Tp,-'h"ika, B'I,Tap('~I, 1931. 'Un /)l()nw"t.o f'ondu~ivo di questo ~viluppo fu il lf Cong!"'~80 ddl'A .l.P.C. di n"dillo (193fi) OVf) f"rullo pr'·Hl' nl.al.", Ira lo ,,11.1'0, nwmorip di A. Fl(l!:UllEti'j'jL.\L, ,1. T<"H1THmTJ,:, E. MF.r •..\N (eon"O'l"IH"'l.o !'adattfL",,'nlo), H. l\IAI(i;n-LIOHN1"l'Z, F. Dr.J~J('H, C. KA7.1~CZY. Contempol"!LllPi Ron" i eOlll. ,·ibuti di "\. A. (ivODZ}:V (Alfi w/I!}r. 81111e dejor. tJ"1.~io n i p[aslidle, Al;:. Nauk SSSH !tIo~kvu, Lcuingrlld H138, 19) eonc(,l"nenti i f,(,o!'cmi dr'l (;lIlcolo " roUI"'a {! lJudli di E, Mh;Lk" l'nlflt.ivi al t .... urom'\ ~j.atieu ddl'adaU".nl<'''t.o (i;'ih. Jhr . Ak. 11"88. W ir,,, Ilr/ l·j,ì [l!l:{GJ. l !I;,; Hi r1!I:18 j. 73; II/!I· Arrh. 9 r 1!J3S]. 1 Hl). Xnt,.'vuli ~nno in rJ1w~to p,,/'iodo i oO!l/..ributi i/..alinni, (kdi"'lii in preval,-,r,z)l a li" fOJ"/nu]a~.ion() di Il['ineipi vari rv .ionali, 1\. JhNCSSO, liclld. ,1I(1!. 1"i8. S, ~lilu"" IU:14; C: . C()LON~l,;'nr,.I. ;.11"1". 1'''''1'8 Api,l. 17 [1\l38[, 2,)3; Rei/d. Aec. N(I.~. ','-ucci, '>(,ri" VI voI. XX V T R('l(w~1 "" [I ((37], ;Jlji. 40:J, "SI), fi\li, \". andw Scirr;:cu ddin ('oslrllz.JoH'Ì, 'l'orino 1\).11; P. J,Oc'AT/,:r ,J,J, R. Aa . .fluii,/.. ('I. ,S" ien::..: Pi~. Alri!. " Nill , ~(Ti,' VI l, voI. 1, [I!):ml; R. 181. ].om/) . di ,'-,'r:ù'lize e Lrttere, F"'.~e. 1, voI. LXXllr rW!W -,juj; O. ZAr-nB<)NT, RH)"l. SCii< . Mul. Fi.•. l'I-filano \",d, XV r l !H1J.1. Ulla s intt"~i :-m11.., ~I.aj n d"lIo f'OllON("'nz" tr'n,'idl(~ lwgl i "m, i i"'1!wd ialmnr'nk PI'c'(T,'knli la s .. ..,onrla g",,!'!";) )[]ondiak è oIov"la a li. (: .EIIll~(J}:!~ (il/è.m. ,"",i. .1I'llh. "01. S(), P"ri~ 1\l:17), "·.l'l:,\(;!,:n (.lhm. Sci ..Halh. voI. 87, l'al'i.~ l!l:n) o II. JlI':~e.t.:.y (l'riU. ;1/ul, Mckll. ,1 [10../0[, !:I). 11 lavo,'() r"""I,iul'J 11<'1 1""'i()(I,-, lHt;J_IO·II), Hml"mlo "")fIi a""i ,]"l1a TI gu,"'j"a IllOfu.lial,> ha l'or talo llL'gli "Ilni inLHl(,din.("nH'nl." ~lIe()",,-~ivi a nuovi ill1j>ol'Lonti ri~l!llali, clw hanno ...onk l' iI.O alla \coria (klla plm;l.icilù. lIll .~olido f'.\lld" "'enl n h-o!'if'(\. ~i V'h,] 'lI' i fin' Hw"zimw dci I.po,·"",i f"ndnlll('ni n li ddl'an,,-
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in
10·1
~t('I'i,
l ihjl.
105
PARTE II ELASTO-PLASTICITA' DELLE STRUTTURE (:.\lichelc Capurso, Carlo
(J twal'ini)
3.
COMPORTAMENTO DELLA TRAVE ELASTOPLASTICA
(Carlo Cavarini)
3.1
Trazione e compressione
Nel capit.olo l, (~ .stato descritto il comportamento del materiale elastoplasLieo gotto l'aziono di statoi di tensione ~lPrnpliei e compost.i; sono .state inoltre illustrale le schematizzazioni ehe wmalmp,ntc si adottano m,!1a teoria. della Plnstieit.h, In questo e nci succe.'\sivi paragrafi ;;i studierà, quale promessa alla analisi dolle strutt\lre, il C(Htll)()l'tameut<:) (101 l)iù sempli(~c elemento strutturai\: In lran:. Per quanto ri,,;w1rda, il (;()lfIportll,mcllto ,1 trnzùmp, vak per LI trave f{ll1wto gi;ì de loto per l'eknu;nto illfìnite;irno di matN-Jale, con le relativo sdu;rnatiz:t.aziolli di materiale r igiùo-IwrfcUamente pIasticu, ela.stieo perfet,tamcnte plastieo, elastico-plastico ton ineruùimcnto; basterà lJorn~ iII a.,sciss.c l'allullgnmellto della. sbarra eù in ordinate la f(jrza. normale sollccita.lltc.
l::'e1' J'ac(:iaio il {;()ltlporta.ulellt.o (1 compnssionc si può cOTlside)'tue uguale a. qudlo a t,razione, con due important.i limit.a.zioui. Se la. Lrave ò molto ('ort.a, l' la dilaLaziolle trasversale delle sezioni (li test.nt.n. è impediLa, il comportamC'nto dopo lo snervarnellto è divpr::;(); l'area. dciI:) sC'zione ('resce e il materiale riesee iL sopport.arc tensioni 1llolt.o" tHH;rgiori. Se vicevC1"S:\ b trave è lllngà, si pllÒ pro- . sCIltare il [cllOInello dd (:arico (li pUlltH. il! campo elasto-pln.st,jc() pcr il (jllale si rimanda nl \"01. Il B. 109
3.2
Flessione simmetrica
La koria della flessione clasto-plastica. simmetrica. si basa, come la teoria clastica, sulla classica ipotesi di Bernoulli, della conservazione delle sezioni piane. La validità della ipOteRi si può riscontrare, anche in questo caso, con elementari cOJlRiderazioni di simmetria. Si prenderà in considerazione, in un pnffio tempo, il ca·so ;ldla s~zione con [doppio asse di sirnmetria i
Sia. ,Y 'J'!lsse di flessione, x il seeondo asse di simmetria. li: noto che ~!.!-!::~~l~~~~stieo ~ ~~s_sQ !~eutro mcntre i diagrammi dcgli allungamenti unitari lOllgltudinll,li, Ez = t, e delle eorrispondent.l tensioni, ~z --'- rf, si }lussano ra.ppresentare sovra.pposti ed hanno l'aspetto Ì!lOstrat.o in fig. 28(a). Va.lgollo le ben note esprcsslolll:
Si .Sllppollg-a om ehe il ml1tcriak sia del ,tipo c!a.l3tieY-l}~rfe~t~l' IllE'nt.c pbstieo con limit,j di I3nel'Vamcllto uguali a trazione o 11 eomi~ressiolle (± IT. l. _~!I~~_è IT m " si mantiene jnferio1'eaUim~te di sner,":ar:::.el.lto IT~- -E-k()da elastica, ed in particolare 10(.3-1),_(3-2), (:lc3), rimangono valide; oiò .'li verifica per: (H)
il JnOTTwnt.o limite:
.iV.
=
IV
(3-5)
0s,
si indiea momento massimo elastico. 1>01':d1(.>_ *l-fe~i ha la Jlcssione e!as/o.plu8t'ica; il dingrnmma delle "rimane lineare ((h) o (cl in fig. 28) IlWlltrc le
],1
l
---PTT il
=
Ri ottiene così)l (;a.rat.lerist.ieo diagramma. delle tensioni indicato in
ilI
1
M
amo>
=
--T--
h
M
2
IV
,,
L
y
Jìgtll't\ (b o c). ])etta. la distanZl\ dello fihre nelle quali ('~ lei = es, la rondizione di equilibrio fra tensiolli c momento agenle si t.raduce nella relazione:
:'I
<3=---
g •..]
"--,
IJ
=
introdotta la
2
II !J o as ----!J li (yl rly ·1
f
o, Y b (y) dy;
11
CHr-CIIL!rfa:
Ci
2
e.
{'mo,
1. = -h--- - ----:-:-- , !I
f '""
Fig. 2f1
"
con 111 ~'" ilI" momento flettellk agente, eostllllte lungo l'asse :c, modulo clastico del /lHlkriulC'. J ,---- 1", JnOlllCUt.O d'inerzin. (ldla sezione ri;;pe\.t{) ~Hl ~;. ]i}
llO
hl l"I'bziOlW ]H·cceUent.c
2
<3,<
!--1;-- t
SI
può Rerivero:
.•
,
y~ b (y) dy +
J
2,_. !I h (y) liN J
-
2
ad (x)
(3.8)
, !lI
Nel ca,so di sezioni a doppio 7' commerciali il rapporto h/l si a.vvieilla a'! va.!ore limit.e ] : si ha ad csompio .l, 14 per i profilati] PE. Tornando alla fase intermedia fra il limite elastico o la com plet.a plasticizzazionc, };L (3·8) fornisoe, per la sezione rettangolare:
Al cre,;eere d(~lIa curvatura il primo termine tra [J porde importanza di fronte al tloeondo; al limite, per Z tendente all'infinito (il ehe eostit,uisec una astrazione, irraggiungibile nella realtà), si conserva. soltanto il sooondo integrale e si ha:
(3.11 )
lim
(3.!)
con Z. ehe l·appl"esonta In curvatura limite clllstiea., pa.ri a 2 ( . /h. La (3-11) dà luog-o alla. curva di fig. 29; nella stetlga figura è riportata In, curva relativa ad un profibtto I PE, a parità di mom{'nt.o elasti{;o. S(~ poi si considera la spezzat.a costituit.i1 dalla, reUa ela.;;t.iea 111 /11If C ~ /X_ ~ e dalb retta )lE ',I1'f1( .~ l, si ot.tiene il dialframmn, b mome-nti-curvatui"c relativo alla sozione a doppio T limite,.
Il ..Y~J01"e
limik, ) v!.;J) si indica qua.le
-,
,~
~ M.
oiò perm(~tte di cSIJrimere il rapporto .J/p/M e in llna forma llart.icolarmen1e significativa:
.----.....
,
jlp
)
. M,
-
2,)'
28
TV
J
,h
h
(3.10)
I
"
I
l
Il guadagno di resistenza dovuto alla dllttilità del materiale, ' (qui SlippOSt.:"t infinita), ?s.sia ali:" ylu..,>t.iei.t.iì., ò quindi dirett.amente I.!?g~.to al rapporto h/t; dlponde clOe esclllsrvament.e dalla forma; della , sezIOne. , ~ol caso della sozione più razionale dal llUllU) di vista do.lla iles....,iollc, la. sezione a doppio TI' lùnile , il guadagno è nullo perchè è h/l ~ l. La sezione è giù, sfruttata. oompletamente quando si raggiunge il monwnt~) massimo elast.ieo. Vi(~oversa, nel caso di sezione quadrat.a oon asse di flessione secondo una diagonale, tli 1m h/t = 2. Il guadagno dovuto alla plasti . oitA è, in questa sozione poco sfruttat.a. in campo (~lastieo , rilcvallk. Valori intermedi si hanno por la sezione circolare pia.na (1,70), la sezione circolare ourva di s]l(~s;;ore sottile (1,27), la s~ziono rc/.tl1T1golarc C()1l at:.~e di flessione s('coJ)(!o HTl asse (li Sitrlllldria (l,50). 112
•
,.~
,
t_..
T
- .o r ... _,.. ~
:;
Ilmlle
,,. __.__ ..___ .~..x&. Fig. 1!J
Si passi ora al caso di sezioni oon un 8010 asse di !5i'/lUlU:I-riu , eoilloidenle COli l'atlse di flcssione. L'asse neut.ru rirnalw p(~rpcndi(:olaJ"o all'asse di simmet.ria, ma ]n. Slla. posiziono non è pill fissa. Iufu.tt.i la pOtliziolw ba.rieent.riea, che risulta, ill campo olastioo, dn-lla condiziolle di equilibrio alla tm,da.zio])o, è soggetta a cambiaro qunndo il diagramma delle tensioni ccs..'la di es.~cre lineufe. ~d caso limite i(l(,
.
,
con 0 1 () D'l che l'apprescntallo rispettivamente l'area delle parti di sezione situate al di sopra e al di sot.to dell'a,'>Sc neutro plastico rl.p . . . La (3-12) indica dunque la posizione di dotto a8.'Je neutro III ma.nlCra tale da divid(~re la sezione in due a.ree uguali.
compres'1 tru. i due a:-:.<;i neutri, elastico e plastico, si avrebbero delle ten sioni maggiori (in valore assoluto) di a. (fig. 32). 'Il paradosso si ;;piega subit.o cOIlRideralldo che in quella zona non si ha seu.rieo bensì + + +
+1
L_ Fig. 31
Fig.
una deformaziOIlC unita.ria. dello stesso segno di qnclll1 già. prc~;Pllk: Je tensioni, pari a (,-" non possono quindi varial"(~ pel' cui si ha, ileI diagramma di scarico, UIli1 ZOlla di tensioni nulle; in conscgllcnza della soppressionc di una parte del diagramma, vienc nwno l'equilibrio it11a t.n1s!azionc che si ripristina con uno spostamento dell'asse neutro rispet.to alla posiziOlw clastica.
:'10
Si ha poi, posto:
(3.13)
i con II e 12 che indieano le distanze dall'asse neutro 'fI. p dei baricentri dello due me7.7.e sezioni. Kei casi intermedi, J.llt < ilE < il!p, si hanno i diagrammi indicati in figura tOU (h) e (c); l'asso neutro è int'(lTmedio fra n~ ed ,("11' 'l'ornando al caso di seziono con doppio a'lse di simmetria., si veda quel che aecadc allo scarico. 13: noto che, nel diagramma (T-f, lo scarico avviene elast.icamente (vedi cap. l); da dò seguo che, se dopo avere applicato ad una travc il momento plastico (diagramma d ili fig. 2S), o comunque un Hlorrwnto nmg:g:iore di ,Me (b O G in fig. 28), si riport.a a zero il momento, il diagramma di ritorno delle tcnsioni ò clastico. Si hanno quindi delle tcnsioni rcsidw~, come illm;trato in fig. :~l. L1 dctcrminaziOIlC delk quantità che definis(:ono il diagramma delle tensioni rc;;idue è immediata: basta applicare le (:~-2), ('-3), (:\-7), (H). Nel oa;;o di sezione con un solo ,H;~(~ di I:'immetria, procedendo nel modo indicato ili fig. :n ;;i perviene ad un pltnulol:'so: nella zona 114
I
, ___ I I + I
t{j+ lY~1
=
-
I diagrammi corretti sono indicati in Iig. 33; le tmlsioni l'o e dello scarioo si determinano irnponelldo le due eond.izioni di equi,Iibrio, ddll~ forze e dei mOlTlUllti. Il dia.gralTlma (!PIle t.ensioni residue ha UII tratto cost.ant(~, jJari a _. rf, • Olt.ro allc tmll:'iolli residllc cvclltualnlE'llt-e })]·ovocat.e da precedent.i pla,-;tieizza.zioni, sono gt~J\(:ralrnente presenti nei profilati slari di cOfr:ùnot che sorgono dUl"allte la. fasc di raffreddamCIlt.o ehe segue la Iaminaziono. Tali (,oazioni non hanno cvident,emcntc influenza 1:'111 lTloment.o plast.ieo poiehè al limit.c t,lItk le fihrc si t,rovano allo snervanWllt.o: hanno però inHl10l17.U- sulla curva mOIT1(~IIt.i-curvatur[' (fìg. a,i). ai
115
la plasLicizzazione inizia prima e la curva si mantiene al di sotto di quella teorica (curva 2 invece di l) pur tendendo allo st.esso asintoto. Un'altra causa di modifica della curva momenti-curvature è rappresenta.ta dall'inerudimento del materiale. Infatti anche se è pre-
,
".
I
+
J.~,---
+
: " . -
+
-
+
+
" Fig. 33
sente una lunga soglia di snervamento, questa viene com1llHIlW superata, nel eorso della deformazione plastica, e le fibre più lontage dall'asse neut.ro vengono via via int.eressa.to dalla fase di incrudinwnto. In definitiva, sempre che si voglia fare assegnamento su una
Il concello di cerniera plastica. Si torni 11 considerare un nu\teriale cla.stico-perfcttamente plastico e si abbia una trave appoggiata la eui seziono, costa.nte, si possa cOllsidemrc a doppio T limite. La trave sia. sollecitata da due forze tra.sversali uguali, simmetriche rispetto alla mezzeria, distanziate di una quantità c piccola rispetto alla. luce e pari come ordine di grandezza all'altezza della sezione (fig. 35). Il diagramma dei momenti è quollo indicahJ in figura, con max fil = Pa, costante nel tratto c.
lI' ::~ç==. ==t=====~r=r~======~=J{~ .",,,M=P,
Fi g . :H
fase indennibL di eOItlrxH'tamento pla.st.ico (in questo caso di incrudimento), ~i {n·(·senta una curva momenti-curvaLLlre dw è inizialmente la. stessa (l) ma poi si staeca da.lla I mantenendosi Jliù alta fino a tendel'C ad Illl n.sint.oto inelinni.o (elll"Va ::> in fig. ;{4).
~"inchi> 1'11 ~i mantiene infpt'iore n,d ~lr(J , momento plastico deqa sezione (ed () _Mp = ~V.), la trave rinmne elastica con deformazioni e!lO, per i materiali correnti, sono molto modeste, Kon appena Fa ragginnge il vfdon~ il[l" si ha una zona, siv. pure di modesta estensione, nella. quale il monwnto (~ uguale al mOlllento plastico; in questa zona le curvature pOSSOIlO :~<;sumere qwdnnque valore (positivo), senza elIO i earidd creSC
Il7
Tabdl.. de, Iflolflont.i limit.e
lm~_ . eST.nior<1 <1d aU.rito" bloccata. finchè il moment.o () inferiorc Hl
momcnto plast.i(:o e suscettibile di rot.a7.ione arbitraria per jlI _ J1 p
.:\Indn1o di
.
.f:_fl'~<:S~()~n ~?n~~!.t() (~~i '3.rni~rlf...E!-q-..zti.cJl"", Le paTti rimancnti ùell<1 t.ra ve, deformate elast.icamente, si possono generalmente considerare rettilinee. Ln. struttura. considerat:1, originariamente isostatici1, diveut.a hhile a.ll'a.tt.o del formarsi della cerniera plastica; si forma cioè Utl meccanismo, detto ' meccanisino di C()Uù:ç.su, mentre il carieo, che non può più erescere, ha mggiuuto il va.lore di colla.flSo. 11 COllcettO di e(' l"llivr,t plnst.iea. si estend(; poi a.i e&..,i meno schcmati(:i di quello c(imiderato. tllUe k volu: che in lilla ,wzione di una travI: , o sistema di travi, il momento flettente ragginnge il valoru I:la.stieo, si ~n!rnd.t.c che si formi ivi una cel"Jliera pla.stiea, capac() (!! per ,H: di rotazione a.rbitraria, andj() S(: non vi i: un tratto di lung-hezzn. finita. di momento eostante ed anche se la se:r.ione nOll (' 11 doppio T litllit,~. Inoltre ~i tTtlSOura. j.!:flllern.lrnente l'illJhwnza ridia forza, t.a!!liallt,), quasi ~()lllpl"e pl·f~sent.e, sulla plastitizz:vl.ione (\'(~di par. 3.4-).
]"(,,,i,,. di~~t i f'o
:), ·zionn
~-Todllio pln~ t
ieo
28
IV
Fat. di forma 2SiW ,
.f
ha~
l,50
4
"01 j
b __
2,OH
12
.1
rP
~
In ddìnit.iva, detta O la rotazione della oerniera plasti(:a, si ha, il legame ~l!,() indicat.o in fig. :~(j; (J _ . li per M < M p , (j qualsiasi per M =--' Jl{/, . La ecrniera p[a.stica ò quindi Ull tipico rtJodf'llo l'i:/i d(). pl({ ,,/il"l!.
1,70
r
,1'- 1 n-
32
liln f
=
1,27
.~/
M,I-------o
-----~ l'i.:.
3.3
Torsione
Il caso di sfziune cirm!n·re. pieua () ('ava, è simile al ()a~o della fll':,~ion e sillHlwtrioa. ).'ipoL-t's di f:onservn.ziom: dello sezioni 111arw, f:he ruot,1110 rigi(bmente ]p une rispetto alle nlt.re, si muntiOllf"! illldw ili h .se ela.sto-plasfif';1., grazif: all<1 Silllllldl·i'1 pohre. J I eS
~
::n
24
=[1
=
+_.
1
.)
b
!
~ 1/'/12
r;
_:,;._j
, l
[(A .- ah)
} '3 .
(I,
n)
2,37
II, I
li')
+ f!h2]
119
Nel ea.'lO di seziOIw piena, in fase ela.stica, la. distribuzione delle tensioni tangenziali T è quella beH notl1 indicata in Hg. 37. Ident,i(,~1, a meno della scala, è la distribuziOllC delle distorsioni y. Ri ha.:
illtrodoLtlL la rolazione relalivn per unità di l'lln'}hezza della tmvc: (3.19)
(:\.14)
la relazi01w prePNlente si Rerive:
('.16)
_Mc
=
2:r
T~ l~ f ì'~
o
e r3 dr
con ~lft momento toreente a/.\'cnte, eostante lungo l'asse z, G modulo di elasticità trasversale, lp momeuto d'inerzia polare della sezione. L'inizio della fase elasto-plastica si ha, al crescere di J{t, quando 1m" raggiunge il va.lore limite di Sllcrvamento ,~ , proporzionale alla tensione Ilormale di ;;rWl'vamento a~ (r. = O,ti u. con il criterio di Tresca, T~ - ' a./V3 = O,ij8 (1, con il criterio di -"Iises). Si ha quindi il mo'l!1tnto (torcent.e) ml1S8Ùno elastico:
+ fn"
(3.20)
r2 dr]
.-- -
c'· ,~
y
,
•
" Y:_"
l"lg. 38 Fi~_
Ip
~lft, . = , Il
::,
. T~.
(3.1 i)
Per J11 1 > J.lit,e si hlL la torsione cll1s/o-plu8Uca; il diagramnm delle y rimane linean~ mentre le tem,ioni T non pOSSOllO ;;uperare il valore '$ nei punti per i qm.li si ha.: (3.1 H)
Si ot.tiene così il diagrarnmn. delle Lenr-;ioui di fig. 38 (u o b). Detta r la dir-;t·anza. dei punti nei quali r-;i ha y '----- y~, la condizione di eqUIlibrio gloha.le dei momenti forJJi;;t(~ la. J"ch?:ione: N
,Hl
120
,---= 2n
I
o
rr~dr =
:!:r
l',,.
o r, -----=-- r~ dr
f",
+ 2:r . __ r. r~ dr
Quest.a relazione il del t.utto simile alla (3-8), eh;. leg~ il m.oll1:nto ft.ettente alla curvatura. Al limite, per O tendente all mfimto (fig. 38e), si conserva solt.anto il secondo integrale e SI ottiene: (3.21)
lim MI =
Il valore limite, JI-f/,p, si indiel1 qua-k momento torcente plastiw ed risulta, t1O'uak al proùott~) della. tensione limite T~ per il «momento stati('o 1;)larc I) della seziOll('. Esplidt.n.mlo la (3-21) si otticue: H3
Jl1 t.
p
--= Ts • 2n
-:3 -'
.,
T
,
_
nR2 • - 3~- Il 121
•
Mt,~ =
Nel caso di .sezione di forma qualunq'uc, l'llSSCllZU. di sim mctrilL re nde il problema mollo più diOicile , g ià in ml·m po elasti(!O. Come è noLo, il p rohle m a clas tico :>i riconduce alhL risoluzione di lilla equ azione dill"erenzia le alle derivate parLla1i () presenta 11\ intel'es.'3ante ed utile analogia dettn dello. membrana. L 'estensione d ella trattazione a l easo elast.o-Jllastico o completamente pla.'!tico (caso limite) condme ad un'altra analogilL, el etta del cumulo di ,sabbia.
1 R 2
Ts ' 7lR 'J • - ' .-
il mpporto M 1•p /.1lI t ,e risu lttL p el'tanto pari a.:
-
2 3
II
_ ~_ R
•
-_!.!...
3
2 . Nd caso (~i .s{'::iou~; circolare
':l1nore
+
(fig. :~!)) vi ~ n at.u mhm ~ll t.e s(Jllrto fra .11. /,., e M " p. Nel ca~() limitA.: di SpCS!iorc infi nit.eCa1JU
SUllo, o comunque !\ufficienkrno nte pieeolo, pO!-ito e _, H, _ 2 = RI -1 - R 2 , si hn.:
n
Hl
w
+
--l
f =
I
,
Ing. 4D
(3-22)
Qu('sl.n n ~ lazione
11 0 11
è a ltro c he la Ilota form ula d i ]~ I'{'dt COli r _ rs.
Si (!ollsideri la, t r iINe (i i fig. 41 (1 ), a sezione JIlOll Oco nn c;;.'~I. , sollecit a t.a dal momt'nl-o tori:0lta.n Lo le I:.cnsioni tangenziali T: z e r ZJI tiono di verse da. 7.ero, si consl" ·vu. a nelli: in fase pla,,,t ica.. In tal modo, le t·rl ~ oon(ii1:ioni indefinite dell'equilibrio si J'id.ucono a lla. nnicD, l'e].-Lzione: (Ì TZ:L
8x
D'li; -+- --.-_.. dg
O
(3.2;3)
Una tioconda rcln7.imw è fornita , in campo elastit:
u= -- yzO v = x;: O 11 ' · ~
Allo scarico, analogamen t e Il qllanto av v iello n el eu:!() di flessiolw (;011 d lle a,';,si di " im m e lritl (vnd i tig . :ll). s i l:mllllO tensiOni r esidue (Iig. ·10).
122
( 3-2.1)
!(:c , y);
h~ prime liul! r('b:.r.io1\i e.'!pl"irnollo il fatto chi' ogn i sez ione l'llot.a, illLol'llo ,dJ'af!S(l " d i \l ll a n golo O rispet.to aUa sm,iulle pOSt.l\ a di.~t,a llZfl. Imi t~lI·i1t; la t,c'l'%:l re laziOlw tr;ld lH:e l'ill!10hhalllc n to .
12.3
Dalle iL, V, W si deduoono le Ytx e YZy; poi per doriva7.ionc c sottra7.iOIle si può eliminare la. funzione incogn.ita, f (x, y); si ottiene:
DYzer
uyy;;
- - -
- - -'-- - -
Dx
8y
20.
c=-= -
Le condi7.ioni a.l contorno per la ({! si ottengono da. ql1clk, di N}uilibrio, per le tensioni. Iufatti hmgo il cont.orno deve essere nulla la componente normale delle tensioni tangenzia.li (vedi Hg. 42):
(3.25) r,,!< cos xn -j;.;
..... -
T zy
cos
yn :=-_~ O;
--I
--
I I
..
~
I
------ -----
,
" -r" -
! FIg.
,
~2
!,
"
l'ig . 11
So infine
Sl
introduoe la legg,~ di Hooke
urzu
8y
cos xn · SI
ottipno in ,lennitiva
200.
- - - -- - - ----._ -
ax
('y
i)x
d,p
=-f}!I
dr dt
dy
drp dx --+ ------ =---= O, dt ilx dt
0,
rF (I) - costo Tzy'--- ~
-- -
Dx
(:.I.27)
con rp '--- c 'P (x , y) funzione in(;og-nit.ll, detta funzione di Irnsione. Con la (3-27) b (;_~-23) ò irkntiefunento so,ldisfaLta. mentro la (3-Hl) diventa:
- 200. 124
urp -- cosyn
"sSla:
(3.2H)
A questo() punto oonviene introdurre la classica l lO.'!i7.ionc:
op r zer - -
introducendo le (3-17) c tenendo conto della ng. 43 si ot.ticnc:
(3·"1
Cioò la rp i.: cOSkt.llle lungo il Lordo. D'altra. parl-e poiehè, 1'IlggillllLtl a. 'P di lilla costante arIJitra.rÌa Bon ha. tOW,llguenze, ~i può seeglillre il valon~ sul COl'Lt!JI"IlO pon'~lIdo: r{'(I) -- O
Si deve imporre un'altra cOJl(lizionl', p,~n:hè la quantit:\ O cho figura nulla (3 - IG) non (~not,a.. Que.'1ta si ott.ieno esprimendo l'u(luiva125
lenza fra ]JEt e l'insieme delle tensioni applicate alla. sezione termìmde (fig. 410):
N
t =
II J---'-
Tzx
y -1- rt!l x) dA;
tenendo presenti le (3-27) nonchè la (3-30) RI ottiene facilmente: Mt = 2
IIA
pdA;
(3.31)
Come è noto, questa analogia è stata sfruttata per una. risoluzione sperimcntale del problema (elastico) della torsione. l'Cl' sfruttare a fondo l'analogia è opportuno dcdurrc altre relazioni. Se si considera la risultante delle tensioni tangenziall, T, nel punto generico, l:ii ott.engono tiwilmente questi risult.at.i: la r è diretta secondo la eurva q; = cost in quel punto, ovycro secondo la carra di lù}cllo della SlIllcrfieie q; (ossia, per analogia, dollà membrana); detta n la normale (eslerna.) alla curva di livello, si ha JX>i:
ossia il momento torcente è Ilglllde al doppio del volume racthiu:;o. spazio x, y, p, dalla superficie rp e da.I piano xy.
T
Jl(~!Io
~
dq; --- - - -
dn
~
Iwad.1 ,
(3.33)
O';l:iil~
la r è uguale a.lla lIW88ùna. ]Jfndcn,za della superficie (P ilei punto. Si pa.ssi 01'<\ al problema ela..<;to-plastieo. 1ntauto le re1ar.iolli scritte sopri~ saranno valide l'CI" la zOlla clastiea, cile risulta però incognita a priori. Kella zUlla pla.stiea perde validità. hL (3-2H), insieme alle sue COlll:icguenze, pereh(: viene meno la legge ùi Hooke. Rimangollo invece valide lo, (~-2a), (3-29), (:l-31) e, fatta aneom la. posizione (3-27), b1 (~l-~O). Alla condizione di congnwnza si w;;(,itui"ce la. condizione di plastieiz7.;l.7.iorlo che, con il {~J"iterio di Mises <) di Tresca, è la seguente:
.. ,..
,
2 l'a
-I-'
2 l'zy
=
Z T" .
Tenendo conto delle (:3-::!7) si oU.iene: Le relazioni (:1-28, ao, 31) rappre>;cntano allehe un'alt.ro problema fisico: quello di Ul];1 membrana llriyft. di rigidezza al taglio, tecHl sul fondo di un eilindro eavo avenk sezione uguale a quella della tra ve e soggetLa ad una. preRsione uuiforme p. La rp Hi può ident.ificare con la deformata della membrana purchè si ponga: 2(}O =
con H pari al il cont.orno. 126
{<
til'll
~ (fOl'/.H.
_7!. ..
Il'
(3.:3'2)
diviso lunghezza) della mcmbrarH1 lungo
(_ '_'),_P_)' . , (]x
_1_ . (_ . ii. T)' . =c Ig:rad q;i 2 =rJy
Igrad q;1
=
eost
=
l's·
T.", (3.35)
_ Si è quindi ottenuto il seguente risultato: la. superiicie q', nella zona plastir:a, (~ UTm 8'upcrflcie a 1JU(.8SÙIW penduv:a. co8tllnl,;, ossi" dci tipo di quella che delimita S1l1)(~riormellte un cumulo di sabbia (materiale sciolto con att.rito alla Coulomb, privo di coesiorw). Se la. Sl;r.iolle si suppolle inlurrlJ!I"r.lc pla8tici,,;?ala (easo limite illeale), la (:1-:15) vale in t.utta la se7.ioue e In. supcrficie (l' si può realiz127
zarc sperimentalmente nel seguente modo: si predispone Ulla base di forma uguale al];~ sezione della tI'u,vc, la si immerge in ,mbbi!1 e successivamente si estrae in direzione perfettament.e verticale. Oltre a permet.tere una deduzione sperimentale, l'analogia ora. st.abilitn, consente in molti casi la Ilcfini7.ione immediata della superficie rp. Ad esempio, nel caso di sezione circolare si ha un cono, lllen-
l'N la. Clupedieic Ip rimangono VILlid(~ le seguenti in eampo elastico: la knsione tangenzialc punto generico è diretta secondo la curva di liveHo in è pari al gradiente di r; il moment.o torocnte è pari volume racchiuso tra la. sUl)erficie e il piano X,lj. st.H-bilib~
propriet,:'1, gù risultante nel quel punto ed al doppio del
\~-------
t.rc nei casi di seziolle a· contorno poligonale convesso si hanno dci Il tetti,) Il falde pia.ne (fig. 44). Afentre alle falde eorrispondono zone a tensioni tangen7.iali uniformi, gli spigoli dei " tetti» sono lince di discontinuità per là cornponente di t.ensione parallela alla proiezione dello Rpigolo st.esso (fig. 45).
/
Ncl caso di sezioll(~ nOli COl\Ves.Sil, mentre i vcrtici CSkI"lli sono ancora origine di linee di diseolltinuit,,1, i vert.ici interni sono angine di una s(;(~lla. d i lincc di mtl.ssima pC/Hkuza, In qnali vengono a (;ostituire una porzioue di l'OIlO (tig . .10). 12<
Il prohlf/Ufl daslo-pla8lù;o l)l"(~~enta la dift'wolt,<'t ùella dct.cnuina7.ioI\e della linea di sqmrazione della 7.orm elust.iea dalla plastica; in ogn11l1l1 ddh~ due zone valgono poi le proprietiL sopra ill11stratl~. Anel~e (pwsto problenm si pre;ta. ad Ulla risoluzione sperimentale (I). Si determina anzitut.to la. superficic Ip p(~r il ca.so di Se7.iOIlC interamente plast.ieizzata, lIel modo sopra. indicato. Si costruisce poi, con Illakriale rigido (pos.sibilrrwTlte trasparcnt.e), lillà \1 furma») dd eU!llulo di sabbia ottenut.o, ]ktt.a forma si pOlW Clulla base del cilindro normalmente impiegat.o per l'ealizzan~ l'esperienza. con la JlWIllbl'Ilm1 che in qucsto caso è eli gomma ..A.llorchè, dall'inkrllo del l'ilindro, si esercit.a la prcssio/w sulla membl'iwa., qUl'sta si deforma. rimanendo dapprima. indipemlente dalla SUl)( ~ l"ficie rr plast.ica: è là fase dasticà. AI ereseere della pressionc 1<1 membrana. si avvicina a.l\a. ~ forma.;) fino 11 toccarb~ in qualuhc punto del COiltOl"IlO (limite dast.ico: Jfl.~). SLJecc"sivanwllk la. memhJ'ana , ost.aeolàta nella. sua espansione, aderisce in all~ulw zone alla forma (zonc pla"tidw) ment.re /'imane ~bw citt.a nellà parte l'itnatl<:nte (zoLln elasti('u, vedi fig. 47) ..l.l1'llltpriOL'e
129
crescere della pressione, cioè del momento torcent.e, la zom~ elast.ica diminuisce .sempre più (b), fino a ridursi ad una striscia .sottile lungu gli Hpigoli del ~ tetto » (c) (la completa sparizione della zona elaHtiea
, '-''-,
,
/
",,
,/
,,, ,, ,,
,
,,
,/
"- ,
,
'--~~-
"
(~
una ast.razionc, analoga a quelln della cerniera pla..'lt.ica), Nel caso di sezione circolare lc successive [ac;i sono illustrate, con sezioni diametrali, nella fig. 48.
'\<
>.< , .
- '', . /
.....
.....:;:..-~"
,
toreente limite
(a meno di T,.)
o 'o DI ,,
T,'ig. 47
~-Iomento
Sezione
,
,
," ,
Tu.bella dei momenti /.orepnl, i limite
d' ,~
12
-
,
,
I
"I
"" b
f
L
~l~
12
Fig_ ·18
L'analogia. del cumulo (li sabbia, che si può ut.ilizzare, con particolari accorgiment.i, anche nel ca,so di sezioni biconnes..,e (vedi Nadai loc. cit..), è molto utile per dewl'miuare il mO!twnt<:) t.orccntc plac;tico, J.1It,p, delle sezioni più eOllluni. Alcuni di quest,i SOIlO ril)ol'tat-i nell<1. tabella che seguo.
BO
'I[]] ~ 131
3.4
Sollecitazioni composte
Con la condizione: (Q, ,
Generalità ~el
capitolo 1, dedicato ai legami costitutivi, le relazioni ehe coneernOilO gli Rtati composti di t.em;ione in fase plasticlL fiono st.ate espresso in termini di tensioni e deforma7.ioni unita.ric. Le stesse rclazioni possono Vel'ò csprimertli in tcrmini di fen8ùmi .qenerali:;z(t[('. c deformazioni nnilal'ù, f/tlwralizzafe. Ciò Ò TJa.rticolD:rmcnk opportuno nel caso di strutture, pcr le quali dcth~ grandezze generaliz7.lltc si identifiCano con le caratt.erist.iche della solleeita.ziolle e le corrispondenti ddOl'Ill:iolle: in ogni punto di unlt pùtslm saranno prescnti due forze taglilwt.i, dlW momenti flett.enti, llll momento torcente: iu ogni ]>llntll di una IXllirJ, di: rivoluzione (sillltllCtricameut.e caricata.) si avranno due for>:c normali, una forza tagliante, due momenti flcttellt.i. l)r:tb, Ql, ... , Q" le t.ensioui genendizzate nd generico punto (o seziolle) di UIll1 struttura., le corrispondenti deformazioni uuit.arie gcncralizzak, ql, ... , q" , ):li detiniscOllO in modo che il lavoro virtuale 11(;1' unitù. di volume (o di lunglwzza., o di area) sia espresso dalla rela~ione:
"
LQi
si definiscono i punti ammissibili dello spazio delle tensioni. 'raH punt.i oceupano una regionc dello spazio, che ovviamente comprende l'origine, detta dominio d-i resistenza. La frontiera di tale dominio, definita dalla (3-37), si indica qua.le superficie (o meglio Ìpersuperfieie) di plaslicizzazimu o superficie di Rnen!amento. 'J'ogliendo al domi. nio di resiHtenza la. sua frontiera, si ottiene il campo elastico (l), definito quindi dalla relazione:
W (Ql, ... , Q,,) < O.
La elassica ipot.esi di cmòvessilà, già introdotta nel Cap. 1, rimane valida. quando si paHHa dalle tensiolli alle t.ensioni generalizzate, in quanto lc re[;Lzioni che legano fra loro tali grandezze sono di tipo lineare. Anche la eosidetta legge di normalità rimane valida.; infatti essa. Ò consegucnza del fatto chc, per ipotesi, gli incrementi di sforzo Bon compiono lavoro uegli ineremcuti di deformazione plast.iea. Si può quindi esprimere tale proprietà uel modo seguente: si possonù pl"Odurre deformazioni plastiche, dfj~, soltanto fie il punto (Q], ... , Qn) fii trova snlla front.iera di snervamento e tali deforrna.zioni sono del t.ipo:
arp
r)r/i,
À--
i-l
DQi
per qualunque sedta dellc Qi e (!PII(, deformazioni virt.ua.li /j (j! • Ciò posto, la pla.~fiGi;;;;a:àOJl,t in un punto (o sezione) si rcaliz7.it. qualora sia vel"itieat.a In. ('ondiziolw: rI) ((h, ... , QIi) ,---'
0,
PI-37)
ddhl condizione di plnslù';;;;;u::i01/'(" ('"sendo rp lllliL fUllZiOIW di 11 variabili In. cui e~pressi()ne dipeudo dal IlHltcrinle C dalla forma della. fiezione (uel ca.~o di piast.re o volte, dnlla (listribu>:ione del materiale H;('oJldo lo spessore). Non l, voi det.t.o (-Ile In, I/! fii possa esplieitnre ('Od Ulla uni(·a espn\~sionc aualit.ira; auzi. il l,iù (!elk volt.l' O('('OfrOUO Viù (~qlHìZIOll1 per ('sprinwrf> la ('undizioIll' di plaslieizzaziolw. 152
(3-39)
1
o---,
l, '" , n,
(HO)
eon ), :) () di intensitit imprecisata. La (3-40) esprime a.mditicamente la normalitii. dd vettore (d'lf, ... , dq~) alla frontiera di snmvnm(~nt'J nel punt.o (P 1 , ,.., P,,), qU~Llldo si cOIl8iderino sovra.pposti gli spazi delle tensioni () delle deformazioni genemlizzate (vodi fig. 4\1, punto A, ncl caso ti o--c 2). 8c poi la supel"fi(~ic di snerva.rnento presenta punt.i singolari (ove si iueolltraIIO più porzioni di superfìeie regolarc), in tali }JUllti si può serrvere 1- • .
l, '" , n,
(Hl)
(1) Si devollo film in Pl'0I".sito ulelllle ossorvazio"i, I~'" le 'I"u!i Ili riI"'''''''' ul successivo.
l"'I")yOfSO
])3
lu (b" fllllzinui clw rldiniHcollo le ~illgol c por7.inni d(,l]n "'1 1]H'rlide .I I .~ Il '·n' , U1WJlto (la ( :l - :~i) do \"endosi SO:'ltitu irc c.on l'ill "il'!l1 l' rI,'llc· eq ullzi" l1 l (b I/ = O) ; la P~ - 4 1 ) è illustrat a. Ilella. lìg, 4!J ))C,. il , ;
Ke.i l'al"agrn fi che 1'lC',JIIOIIO, fi ssa_mio l'atLenll.iullf' s ulle (nwi, s i prcnderalllw itl !'ollsidl'J'aziollt.' vari litat.i co mpost.i di so]kwitoilzi'lll \! fOfll('nLlo indicazio ni s lù lc l'e!al·iv(' t'omlizioni tli Jlla .>,\ t.idz 1,a,~.iollP . In li!l(-n di pl'indpiu t.a]t' m(ldo di p rocedere p.>f.rehl.rt~ M'm hrurl" Oll,inli'); si po l'l'e bbe pe ns<\.l'e ,li all"rontare dird·t.nlllcute il ca.i:lo dell e :omi cantt.tcris t,k hc prescntJ conwmpornllealllc llt.e-_ ])i fn U.tI il pri lllll InOel(1 di proCt,t!,, ["O appare di grull lungo. più opport,ulh.l da\.;\ It~ comp!t:ssiU~ de.1 problema e il] \7ist.a d elle appli('a1.ioni ,
Forza nOl'lmde (' jlt!ssionr ( 'i s i limi \.('r;t
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sinllIl L'trin.
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supe rfici.: ùi Snl'rVAnWllh) l' rf!ll)!nn: (of:!sia pri Vl~ rli punti
s ingcllo .·i) c slrel./amrul c c.tmn:s..m (os~i ,~ lIo n vi SOIiO J;llùe p ia lle ) il legame tm i punti (
Ì\'l (11t.o
nl'ill> ap plicazioni , allo "'(:( 'PO di SE' llIplkit,ì. , non ",i con si,k·nuH' luU ... le " <.I I" ltt(·ri st.idle d i ~o ll cc itaz io n c pl'l'st>n t,i neJ l i~ sl"i'.iull(' nel d (' !i n in,l il t"JIIdiziOllc Il i p la:-llipiz"l1l1, ioHe. C iò è I('ci to qU l"lIltlo h, (~:\ rnlt{'ri ~til"he t ra l(\ ";('\;)'l (' halln o SClll ..~H inllllCII ZL\ :mlla }Jli\stkiz7.u,z iollc . T a le o pe (';lZiOllC ("lui n lle a su pprimt" l"c uno O l'iù kflll ini 1l('lIa f'i>pn · ~ ;; imH' dcI la VOI'(I (:3. ;~6), oosia , CR.'l(' W In cl i verl' 11 dr. zero la 01 t 1"1),Ia.>'\('it\.l:\ , ,.'qllind,ò ;\ ,'(m s id l'l':\ rc II II 1I a l,. eorl'is jl(,ndc nl."'" d et'ol'lnazi O)1e q,. Si pa rht l'l' rl·iù ol i n'1I,(~ul" r j ,V'Jli
l .a !,l'R.t t llziOlH':;i sv ilupp:I h u:illl)('n l.c gcn cnlli zZitllJo L' Lldl a ,;\·(,Ilu. nd ea so eli fle s.<;ioll c l>I' llIplire (pal". :'J.1). D Rt.a la fOl'l'..a n or lllaitt N l."Oll cenl·I'O Lli pl'essim te su ll ' n~e!l (di si Il) tlll'Lrill) li ùist,LIl'l.fl, (": da l ba ri ee nt.I'fl, a l ('1"{;:O:l 'f' I'{< .Ii N si IUII IIIO le l'n.rie fa si illust·l"llt.c iu fi ~ . 50 : fl) filSO' l'la , st.ica: ~) di .. trihll1.ioIlEl dà,<:to -plast.i ea COli 1,lastieizZllzion c d a 11 11 l[l,t.o sollnnto; cJ idem ("(In pla,;tid1.zuziUIlt' ùa ÙIHl hti ; d) f~'s e limite (idcak) di "Olllplda pIaHI.ie i'l.'l.f\zion,· con t; ur v atlll·~ ill fi llit~~,
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I "
I.
"
L",
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r\(.·.lIa t {'or i:\. dd fla leolo a rott.ll nl. ,'d iII l'lu,t.ic,,hu·p 1lI,lIa ddA·I'llI i Il:tzi~lll e
fldl!\ S llllt'l'li " i~' di ltl a:;t,ieiz:l.ltz i'llle . i: il ''I11;' J lill1itl~ (d) d,, ~ iiI · S i ri (';(Y~ p",rò. 1'111· ,~IlZi\, (· II II":'l I"( \ Ll t'l ddt."lg:li ddla j.r'll,t,:'l7.i"llt:', dIti y i ì: in .!.!, ·nfo .. all' \l n: 1 fa,I,{' ..lastll- IJI;),.1i t:a ,·he 8(' 1''' 1';'1· la jiHW plll'nlll t' nt~' (· lllst.icit ,b,lli. !"a.--u inf l"!'(\.! lW II! P I,JilS i,il :
13 5
dominio di resistenza, o curva di sncrvamento, verrà ora determinata, per il caso di forza normale a flessione, considerando appunto la fase d) ; ma la figura 50 mostra che fra tale frontiera e l'effettivo campo clastico vi è una fascia elasto-plastica (fig. 51). Il fatto di ignorare tale fascia costituisce, insieme alla legge di normalità, la generalizzazione del concetto di cerniera plastica.
t -J , I
SU!' f> rfI CI C
r --- --
di
il momento plastico della sezione ridotta alla zona ± d, si può scrivere:
M~
d
M = Mp----,.Mp m =
-ti;
~- =
= ]-
1-
~d
=f
(:p) =f(n).
(3.43)
Nel caso di sezione rettangolare, la (3-43) si esplicita nel modo seguente:
p l JstlCI':l JZ i G ne
N 2bdas d n =---=---=2Np b h as h \..._~~lp~I~ ~il~ limite
(i! comp
d bd-
C! 3Gt.CQ
m =
Fig. 51
Tornando al caso specifico di fig. 50 si osserva che il diagramma d) si può scomporre nel modo indicato in fig. 52, e) cd f)· Il diagramma e) ha per risultante la forza N, il diagramma f) ha per risultante il momento flettente M = Ne.
2
l----h
l -
h b----2 4
d2
n2
4 -- = l -
h2
•
(3.44)
Si ha quindi, nel piano m n, primo quadrante, una parabola (1) (fig. 53, a)). Naturalmente, negli altri quadranti si hanno parabole simmetriche della prima e in definitiva si ha il dominio (convesso) completo di fig. 54.
-a,
-a,
n
N
n=
N;
t
di
td~ a,
m -1
a,
a.
.1
e
d
M
Fig. 52
L -_ _ _ _ _ __
Detto M p il momento plastico dell'intera sezione, N p la fon a norm(tle plast1:w, N p = asA , 136
(3-42)
_ __
---'_
_ __ __
I<'ig. 53
_
Mp ____ ___
Fig. 54
(1) Le curve di questo tipo vengono denominate, nella letteratura anglosassone, curve di interazione.
137
Nel caso di sezione a doppio T inflessa secondo il suo <~ asse forte ~) si hanno delle espressioni un po' più complesse e si ottengono curve situate al disotto della parabola precedente (b in fig. 53); se l'asse di
mini di resistenza simmetrici rispetto all'origine. Ad esempio, la fig. 56 si riferisce ad una sezione a T; la curva è costituita da due coppie di parabole con assi paralleli all'asse m; una coppia si riferisce ai casi nei quali l'asse neutro taglia l'anima, l'altra ai casi nei quali l'asse neutro taglia l'ala.
M
n
m
m
Fig. 55 Fig.5G
flessione è quello <~ debole ~), le curve passano al di sopra della parabola (c). Nel caso di profili normali a doppio ']', le curve sono generalmente comprese in una fascia molto ristretta, che si può approssimare molto bene con le due rette (flessione secondo l'asse forte):
m n
+ 0,85 m =
l,
per
n
l,
per
0,15
~
(3-45)
0,15; ~
n
Si osserva che la sollecitazione composta di forza normale e flessione è particolarmente importante perchè si presenta negli archi e nei telai; a dire il vero essa si accompagna quasi sempre alla forza tagliante ma l'influenza di quest'ultima è generalmente trascurabile.
~
1.
Flessione e taglio Secondo queste espressioni, l'influenza della forza normale sul valore del momento plastico si può trascurare finchè essa è inferiore al 15% del suo valore plastico. Nel caso di sezione con un solo asse di simmelria, con materiale avente uguale resistenza a trazione e eompressione, si ottengono do138
Rinunciando alle trattazioni rigorose, di scarso interesse tecnico, si daranno due trattazioni approssimate: la prima per la rezione rettangolare, la seconda per la sezione a doppio T. Si abbia una sezione rettangolare soggetta a flessione e taglio sc139
condo l'asse principale y (simboli di fig. 28). Si fanno le due ipotesi seguenti:
a) si trascurano le
y- :- y
Potrebbe venire il dubbio che la condizione di plasticizzazione venga violata in qualche punto O < Y < ma si controlla facilmente che la funzione u z2 3
y;
+
y;
-us
M = Mp
t
( 3.48)
Introducendo la forza tagliante plastica
as T p = b h---
(3.49)
y3 nonchè le notazioni 1n = M (Jl;Jp e t = T (Tp , cd eliminando il parametro dalle (3-47) (3-48) si ottiene l'equazione:
Us
a,
[l--~ (~r].
y
T,V
M
3
P
Le consuete condizioni di equilibrio forniscOlw l'andamento dclle tensioni tangenziali
TS
3
']'2
---+ - 4 --= JJl ']'2
Fig. 57
1n
P
+ --t2 = 4
l
(3.50)
Si ha quindi la parabola indicata in fig. 58 (l); nella stessa figura è indicata anche la curva dedotta, con una teoria meglio ,approssimata, da Hodge (2).
Ix b
.....
con Ix momcnto d'inerzia della sola parte di sezione compresa fra _ ye y. Si ha quindi l'andamento parabolico, fra -- ye y, di figura 57, con tensione massima pari a:
3 <max -
2
0,8
di Hodge
0,4
T
(3.46)
0,2
-
m
~----------------~------------
Imponendo a tale tensione massima la condizione di plasticizzazione, ad esempio secondo il criterio di Mises, si ottiene: 2 = -. 2 Y- b • -as- = T
3
curva
0 16
2yb
' '] max
.....
y3-
(3.47)
Fig. ;;8
1ft =
(1) Si osserva che la (:l-50) non risulta valida per valori grandi di t, infatti, per 0, essa fornisce il valore t = palesemente inaccettabile. (2) P. Hodge: PlaRtic analysis of strudures, Mc Gra\\' Hill, 191)9.
2/y3:
141 140
Per avere un'idea dei valori che può assumere t nelle applicazioni, si consideri una trave appoggiata di luce 2a, soggetta al carico 2T concentrato nella mezzeria. Si ha così (in prossimità della mezzeria) forza tagliante pari a T e momento flettente M = Ta; si può quindi
viene assorbito dalle sole ali; in tali condizioni si ha (vedi simboli di fig. 59):
T max
(Js
= --Aa
=
Tp
(3.52)
y3
scrivere:
T = t T p= t bh ~ =
y3
-~ t _1!!p = _~ ~_ ~ = -~ _t_ -~- T
y3
h
y3
m
h
y3
m
per T prossimo a 'l'p:
h M
Mp
da qui si ottiene:
m
x _~__
y3 h-= 4 .
l
(3.51)
Affinchè la trave si posl:la considerare tale, occorre che sia a/h> ],5--;.-2; da qui segue, per la (3-51)
m
~A_S
r
l
I
t < 0,22 --;.- 0,29, Aa
hl Ih
m = 0,98 --;.- 0,99 (secondo Hodge)
142
h
1+--
Per una sezione IPE 200 la (3-53) fornisce il valore 0,776; per una HE 200 si ha invece 0,898.
ossia:
seguono. Per ']' sufficicntemcntc piccolo si può pensarc di riprenderc la tcoria svolta prima per la sczione rettangolare, con la differenza che, a causa del piccolo valore dello spessore dell'anima di fronte alla larghczza delle ali, l'alterazionc del momento risulta trascurabilc. Al crescere di ']' si può ammettere che, al limite, si plasticizzi l'intera anima ad opera delle tensioni tangenziali mentre il momento flettente
+ -2.1e
ha
< 0,217 --;.- 0,288,
Si può quindi concludere che l'influenza della forza tagliante sulla plasticizzazione non ha, per la sezione rettangolare, rilevanza tecnica. È prevedibile che l'influenza sia maggiore nel caso di sczioni a doppio T. Anche qui si può sviluppare una tcoria pressochè esatta (vedi Hodge) che dà luogo ad una curva assai prossima a quella della sezione rettangolare, oppure si possono fare le elementari considerazioni chc
(3.53)
Aa
la _ ~_~-L
I
I
-t -t y
As
Fig. ri9
Fig. 60
Flessione deviata Ci si limita a considerare le sezioni con doppio asse di simmetria ponendo l'attepzione, per fissare le idee, sulla sezione rettangolare. Mantenendo l'ipotesi della conservazione delle sezioni piane, si deduce
143
che l'asse neutro rimane rettilineo e, per la doppia simmetria, baricentrico. Sia (3-54)
y=-kx
Si ha quindi la curva d'interazione di fig. 61, ottenuta riunendo le due parabole (3-58). Ovviamente, l'intero dominio di resistenza si ottiene per simmetria.
l'equazione dell'asse neutro. In condizioni di completa plasticizzazione (caso limite ideale) tutte le fibre poste da una parte dell'asse neutro sono al limite di snervamento positivo, le altre al limite negativo (limiti supposti eguali in valore assoluto). Scelto J{ quale parametro, è immediata la deduzione dei due momen ti flettenti M x ed M y :
n1v
f fA * as y dA ,
Mx = 2
(3.55)
ff
My = 2
A
* aB x
dA m,
A * indica la semi sezione che comprende il primo quadrante. Fatte le posizioni
Mx m·x =~ M
p
x
.
my
My = -M-p ,-y ,
Fig. 61
(3.56)
eon 2
M , x -_ aB - bh --p
4
M '
p,
y =
b2h
as--
4
(3.57)
ad integrazioni effettuate si ottengono, eliminando il parametro i risultati seguenti: h
per
J{ ~ - ,
per
h >- - "'" b '
b
J{
m.x
=
l -
Può presentare qualche interesse l'esame della legge di variazione del coefficiente angolare J{ in funzione del rapporto myfmx ed il confronto di tale legge con quella valida in campo elastico. Per CORlodità si porrà:
.!!!1!.._ _
J{,
K = ~x M y l y -Al· x
(3.58) my
=
1--
2
mx ,
4
(3.59)
In campo elastico, come è noto, si ha:
3 2 - - my , 4 3
a.
mx
'
OSSIa
h
per ]( = --- , b 144
111x
=
my
=
2
-'3- .
h K= - b- a .
145
I Il campo pla~tico basta utilizzare le relazioni ottCllutC effettuando le integrazioni (3-55) :
pcr ]{
h
~
m."
=
1ny
= -:3
l -
6 2
per
h J( ;:, ---
b
r"~ my =
62 :) h 2
- --.-- 1(2 '
_~_ K
La (3-60) e la (3-62) danno luogo al diagramma di fig. 62 nel quale la retta rappresenta il comportamento elastico. L'esame della figura mostra che per a < l l'inclinazione dell'asse neutro sull'asse :c è maggiore nel caso plastico che nel caso elastico: il contrario accade per a > 1. Per mx = my si ha il caso di transizione, con assi neutri coincidenti, giacenti sulla seconda diagonale del rettangolo.
h
:++
I __ !~2_
:3 b2-
p.til)
Flessione e torsione Una soluzione approssimata si può ottenere nel modo seguente. Si considera una distribuzione di tensioni tangenziali simile a quella della torsione plastica (par. 3.3) ma con ampiezza ridotta:
- -j{2
2 2
r
2
=
2
rxz
+ ryz
aB
<
3
Con qualche passaggio, dalle (:3-()I) si ottielle :
per O
~
a
~
l ,
]( =
-~b
(v=
l a2
il corrispondente momento torcente, in forma adimensionale, sarà pari a:
~-; - -~--) a
mt=
(3.62)
h
per l
~
a < 00 ,
J( = - - - - - -- -
6
l - -- -- -
- - --Va2 + 3-
~K
/'~ #.~ ~ -----
.~.•I •• tic:o
rV3
Mt,p
aB
.
Si considera poi una distribuzione di tensioni normali simile a quella della flessione (retta) plastica (par. 3.2) anch'essa di ampiezza ridotta:
a
a
~
h
Mt
SI
avrà poi:
M _ _~.
= -Mp-
m (K.
l!- 1!-) b
< ao<;
-
aB
(3.(4)
1,5
Ovviamente a c r dovranno essere correlati dalla condizione di plasticizzazione: a
m, 0,5
5
2
Ii'ig.
(j:!
mx
2
+ 3 r2 =
2
aB ,
tenendo conto delle (:)-63) (3-64) si ottiene la relazione rn, mi, in forma approssimata: 2 111
+ mt2 =
l.
(3.G5)
147 · 146
La curva corrispondente è quindi una circonferenza di raggio unitario (fig. 63).
casi seguenti (indicati con simboli per semplicità): T , M, N; T, M,
Mt; N, M, Mt; Mx , My, N; M x, M y, Mt. I primi due casi si riducono generalmente, nelle applicazioni, ai casi M, N e M, M t , trascurando l'influenza della forza tagliante. Gli altri casi si possono trattare in via approssimata, con tecniche del tipo di quella utilizzata in precedenza. Considerando, a titolo di esempio, il caso di flessione deviata e torsione (M x , My, Mt)' si può procedere nel modo seguente. Si considera una distribuzione di tensioni normali simile a quella della flessione deviata plastica (vedi sopra) ma con ampiezza ridotta (a < as) :
mI
per
J( ~
mx-~
h b
I - -~- (my ~-r
=
m
(3.67)
Fig . 63
per
Altre curve approssimate, più distanti dall'origine, si possono ottenere per altre vie. La soluzione esatta soddisfa una equazione differenziale risolvibile soltanto per via numerica (1) .
J(
as
>-
h "'" -b-'
n1y --;;-
3 -'4-
= I -
(
as
n1 x --;;
)2
Si considera poi una distribuzione di tensioni tangenziali simile a quella della torsione plastica, anch'essa con ampiezza ridotta: • <
a.
V3
Forza normale e torsione
TV3
Si può ottenere una soluzione approssimata analoga alla precedente. Procedendo in modo del tutto simile si ottiene la (3-65 ) con n in luogo di m: 2
2
n +mt
1.
(3.66)
rnt = - - ---- . aB Infine a e zione (Mises)
T
(3 .68)
si correlano con la consueta condizione di plasticizza 2
2
2
a + 3 . = a.. ,
Casi più complessi Nei paragrafi precedenti sono stati considerati tutti i possibili accoppiamenti di due caratteristiche della sollecitazione. Passando ai casi di tre caratteristiche concomitanti, si possono presentare i cinque
e
SI
ottiene, eliminando a e per
148
per mezzo delle (3-67) (3-68):
h b '
--rn VI - rn 2
h
--rny VI -
J( ~ - -
x
t
3
+ -.:..rn + rn 4 y 2
2 t
=
I (3 .G9)
per (1) Vedi Hndge, 10<:. <; it. .
T
J(
>-
-- Z;-'
-m 2t
3
+ -4
m x2
+ mt
2
=
I
149
Naturalmente, ponendo Mt = O si ritrovano le (3-58), mentre ponendo M y = O (o mx = O) si ritrova la (3-65).
m,
m'l
m
m,=m y=V2
I
my= O
~-------------:-:,~_._-_. ;.-
m:<,nl
m,
-»o-"
Fig. 65
rrig. 64
La superficie di snervamento, espressa analiticamente (per mx > O, my > O, mt > O) dalle (3-69), è rappresentata in fig. 64 per mezzo delle sue curve di livello mt = costo Nella fig. 65 sono poi indicate le sezioni my = O (arco di circonferenza), e mx = my (eltine di equazione 9/8 m 2 mt 2 = 1).
t
my
+
Linearizzazione delle superfici di snerva mento
m,
Nelle applicazioni l'impiego diretto di condizioni di plastieizzazione non lineari , quali sono le (3-44), (3-50), (3-58), (3-65), (3-66), (3-69), può dar luogo a difficoltà, mentre il ricorso a condizioni lineari può consentire, come si vedrà nel cap. 6, l'utilizzazione di comode tecniche di calcolo. Si procede pertanto frequentemente alla linearizzazione delle condizioni di plasticizzazione, ovvero alla sostituzione delle superfici di snervarnento con poliedri (o iperpoliedri) equivalenti. 150
Fig.
(i(j
151
Naturalmente ciò comporta una approssimazione, tanto migliore quantà più numerose sono le facce del poliedro (e qui sta uno degli inconvenienti di questo modo di procedere; il notevole aumento del numero di condizioni analitiche, sia pure lineari, da prendere in considerazione), che è generalmente accettabile almeno dal punto di vista tecnico, tenendo presenti le numerose altre incertezze nei dati. Un esempio di linearizzazione è fornito dalla fig. 55 e dalle (3-45), per il caso N, M, sezione a doppio T. Per fare un esempio più complesso si consideri il caso Mx, My, Me (figg. 64 e 65). L'intera superficie si può sostituire con un poliedro a 32 facce (il minimo indispensabile per una approssimazione ragionevole) rappresentato in fig. 66 (ove si vedono le 16 facce superiori).
l52
BIBLIOGRAFIA
Maggiori notizie e trattazioni più approfondite sul comportamento elastoplastico delle travi si possono trovare nei principali trattati di plasticità nonchè nelle pubblicazioni originali sull'argomento. Tuttavia non tutti i trattati dedi· cano a questo capitolo la stessa importanza; si citano pertanto qui soltanto quelle opere che si occupano più diffusamente della questione, rimandando inoltre alle stesse per la bibliografia dettagliata dei lavori originali. Della flessione elasto·plastica, trattandosi del caso fondamentale, si oc· cupano più o meno tutti i trattati. La torsione è invece spesso trascurata, ma è oggetto di una trattazione molto ampia nell'opera già citata (piè di pago 129) di NADAI nonchè nel capitolo 48 (ToRsION, redatto da W. F. FREIBERGER) dello Handbook oj Engineering Mechanics edito a cura di W. FLUGGE (Mc Graw Hill, 1962). Per quanto riguarda le generalità sullo solleoitazioni oomposte ed in genero por una chiara puntualizzazione delle questioni fondamentali della plasti. oità, è di notevole interesse l'opera di W. PRAGER. Introduction to Plasticity (Addison-Wesley, 1959), ora disponibile anche nella traduzione italiana (EtasKompass). I oasi di flessione e taglio e di flessione e forza normale sono quelli più trattati; in proposito si possono consultare le opere: C. MAssoNNET e M. SAVE: Calcul plastique des constructions (Bruxelles, I ed. 1961, II ed. 1967), ora tradotto in italiano (Zaniohelli); V. FRANCIOSI: Calcolo a rottura, IV volume del trattato di Scienza delle Costruzioni (Lignori, Napoli); O. BELLUZZI: La plasti. cità, Cap. XXX del trattato di Scienza delle Costruzioni (Zaniohelli, Bologna); A. PHILLIPS: Introduction to plasticity (Ronald, N.Y. 1956); dati sperimentali nonchè preoise disposizioni por il oalcolo pratico si possono reperire in un ma· nuale redatto da una Commissione di studiosi e teonioi americani, Cornmentary on Plastic Design in Steel (ASCE, Manuals of Engineering Praotice, n. 41, New York, 1961; oppure Proooedings ASCE E.M. Division, July 1959. Oct. 1959, Jan. 1960, ApriI 1960). Gli altri casi di sollecitazioni composto sono spesso trascurati; una delle opero che vi dedica maggiore attenzione è il trattato di HODGE già citato (piè di pago 141).
153
4.
ANALISI LIMITE: STRUTTURE MONODIMENSIONALI (Carlo Gavarini)
4.1
Generalità sul procedimento dell'analisi limite
Si consideri una generica struttura, mono, bi o tridimensionale, soglgetta ad una distribuzione assegnata di carichi definita a meno di \m fattore moltiplicativo comune a tutti i carichi. Ci si domanda per quale valore del moltiplicatore si ha il c~so~lastico) della strllIttura, collasso inteso nel senso definito in pr~cedenza ( vedi-Cap. 2). Il procedimento, o teoria, dell'analisi limite, si propone la determilltazione diretta del moltiplicatore di collasso nonchè della (o delle) distribuzione delle sollecitazioni all'atto del collasso e delle modalità del collasso stesso (distribuzione delle velocità di deformazione pIastic:a, che definisce il meccanismo di collasso). Questo scopo si vuole rag!giungere senza effettuare lo studio passo passo dell'intero proces~so di carico, (fase elastica ed elasto-plastica), caratterizzando diretttamente la sola situazione di collasso. I presupposti teorici del procedimento risiedono nei due teoremi fonrdamentali dell'analisi limite che sono stati illustrati nel Cap. 2. r t<eoremi si fondano su importanti ipotesi che ora si richiamano formulando alcune osservazioni: -
il materiale è elastico-perfettamente plastico;
_ gli spostamenti dei punti della struttura, nel corso della fase elafsto-plastica che precede il collasso, si mantengono così piccoli che si lpossa considerare valida la teoria del lO ordine (non hanno cioè inflluenza apprezzabile sulle sollecitazioni); _ il collasso avviene per il formarsi di un meccanismo plastico, toto,alc o parziale, sul quale le deformazioni elastiche ed elasto-pla-
155
stiche che precedono il collasso non hanno, per l'ipotesi precedente, influenza; ne segue che le grandezze che caratterizzano il collasso non cambiano al variare ipotetico del modulo di elasticità del materiale ed in particolare rimangono le stesse anche se il valore di detto modulo tende all'infinito; - si perviene cosÌ ad un concetto di notevole importanza, quello di struttura rigido-plastica; una siffatta struttura, che costituisce ovviamente una astrazione, rimane rigida fino all'atto del formarsi del meccanismo (plastico) di collasso e per quanto si è detto il suo moltiplicatore di collasso coincide con quello della corrispondente struttura elasto-plastica;
potenza dissipata (anzi, se il vettore deformazione non risulta normale ad un eventuale tratto rettilineo della frontiera di snervamento, è determinato univocamente il vettore sollecitazione); l'integrale della potenza dissipata in ogni punto costituisce la potenza dissipata dal meccanismo nel suo deformarsi; tale potenza deve risultare uguale, per il principio dei lavori virtuali, alla potenza delle forze esterne, trascinate dal meccanismo stesso; dalla eguaglianza: &t
Ciò posto si richiamano i teoremi fondamentali in una formulazione adatta alla istituzione della teoria dell'analisi limite. Si premettono alcune definizioni:
f!}Ji flc = - &e
&i =
b) non viola in nessun punto (in nessuna sezione) le condizioni di plasticizzazione.
Nloltiplicatore staticamente ammissib1:le: è il moltiplicatore associato ad un campo staticamente ammissibile (attraverso le condizioni di equilibrio).
(4.1 )
Se poi soltanto una parte delle forze è destinata a crescere fino alla rottura (carichi accidentali) mentre la rimanente parte rimane costante (carichi permanenti), si ha, con ovvi simboli, la seguente modifica:
Campo staticamente ammissibile: è una distribuzione di sollecitazioni che soddisfa a due condizioni: a) è in equilibrio con le forze este~ne;
flc&e
si ricava il valore del moltiplicatore flc:
-- poichè l'analisi limite ignora la fase elasto-plastica, lo schema rigido-plastico è del tutto coerente con tale teoria; - i teoremi fondamentali sono stati enunciati nel Cap. 2 per le strutture clasto-plastiche ma rimangono validi anche nella schematizzazione rigido-plastica.
=
&e
9 Jlc =
+ }lc &e , i -
&e
~---
(4.2)
f!}Je
Teorema statico (lower bound): Il moltiplicatore di collasso è il massimo dei moltiplicatori stati ca mente ammissibili.
Campo cinematicamente ammissibile: è una distribuzione di velocità di deformazioni (plastiche) tale da costituire un meccanismo (sono quindi soddisfatte le condizioni di compatibilità cinematica).
Teorema cinematico (upper bound): Il moltiplicatore di collasso è il minimo dei moltiplicatori cinematicamente ammissibili. Con tale formulazione la impostazione della teoria dell'analisi limite si profila chiaramente secondo due fondamentali aspetti, esplicitamente espressi dai teoremi stessi: il metodo statico ed il metodo
Moltiplicatore cinematicamente ammissibile: è il moltiplicatore associato ad un campo cinematicamente ammissibile, nel modo seguente: date le velocità di deformazione plastica, ad ognuna di esse si può associare, per quanto si è visto nel Cap. 3, la corrispondente
cinematico. Il problema non è però semplice come può sem brare a prima vista Infatti l'applicazione di uno dei due teoremi conduce alla determinazione esatta del moltiplicatore di collasso soltanto quando si riesce ad esaminare l'intera classe dei moltiplicatori di uno o dell'altro
156
157
tipo ed a trovare il massimo o rispettivamente il minimo della elasse stessa. Molte volte ciò non è possibile. La difficoltà om menzionata conferisce particolare interesse al teorema seguente, che è un immediato corollario dei due fondamentali.
Teorema di unicità: un moltiplicatore che sia al tempo stesso staticamente ammissibile e cinematicamente ammissibile coincide necessariamente con il moltiplicatore di collasso. È quindi possibile controllare che un moltiplicatore, ad esempio stato amm., è molto di collasso anche se non si sa riconoscere che esso è il massimo della sua classe: basterà pl"Ovare che vi è un meccanismo associato / alla corrispondente distribuzione di sollecitazioni. Quando ci si trova in una situazione (;ome quella ora indicata, risulta individuata qudla che si chiama la soluzione completa del problema. Dal punto di vista concettuale cd in vista delle applieaziolli, assume notevole importanza la distinzione fra strutture monodirncnsionali (travi e sistemi di tmvi, archi, telai, graticci) () strutture bi o tridimensionali (piastre, volte, tmvi paret(), corpi massicci). Altra distinzione di notcvole irnportanza concettuale e pratica ò quella fra problemi nel discreto e problemi ilei contùmo. I problemi nel discreto che si preselltano direttanlCnte sono pochi. Ciò aecade per le 8trutture reticolari sollecitate da forze applicate Ilei nodi, semprechò si possa pre8cinderc (1<11 carico di punta nelle aste compresse (rispetto della 2° ipotesi). I n tal ca80 il mc)todo 8tatico si fot"mula con un numero finito di sollecitazioni inGognitc (le forze nelle aste) e con Ull nlllllCro finito di discgtmgliallze da S,)c!disfare (due per ogni asta). Lo stesso può dirsi del metodo cilwrnatico. Dal punto di vista matematico si ò ricondotti ad un problema di Programmazione lineare sul quale si tornerà nel Cap. (i. Per le altre strutture il problema si jlrc8cllta Ild contillllo, anche se si tratta di strutture mOllodi mensionali (sal vo c,tsi particolari ]ICI' la di8tribuziollc dei carichi, la geometria della 8truttUt"a e Lt distribuzione della resistenza delle sezioni). Così ad esempio, in lilla trave continua soggetta a carichi generici (anche rip:utiti), anche se di sezione costnnte, le condizioni di pbstieizz:tziollu devono C's:wre rispettate in ogni sezione; sono
158
il numero delle incognite rimane finito (bastano poehi parametri, oltre al moltiplicatore dei carichi, per definire lo stato di sollecitazione: questi pammctri non sono poi altro che le consuete incognite iperstatiehe). In una struttura bidimensionale diventano infinite anche le incognite (è infatti noto che una tale struttura si può considerare come ad infinite iperstatiehe). Inoltre, quando nella stessa sezione, o nello stesso punto generico della struttura, vi sono più caratteristiche della sollecitazione determinanti ai fini della plasticizzazione, le condizioni da imporre saranno in generale non lilleari (Cap. 3). II pr()blem~1 matem~1tico che così si presenta è, nella sua generalità, notevolmente più complesso del precedente; anche su questo punto si tornerà nell'apposito paragrafo del Cap. 6. I problemi nel eontinuo si possono ridurre a problemi nel discreto si,t operando sulle relazioni matematiehe effettive (discretizzazione del problema matematieo mediante tecniche basate sull'impiego delle differell7.e finite o di sviluppi in serie), sia operando preliminarmente slllla struttura (discretizzazione della struttura eon la tecnica degli clementi finiti, equivalente ad una sostituzione della struttura effettiva eon un modello appropriato) e con eventuale linearizzazione delle condizioni di plasticizzazione (par. 3.4). La discretizzazione comporta in ogni caso approssimazioni di vario tipo, Slllle quali si tornerà nel seguito. Nel quadro dei due metodi fondamentali, sono state svilupp
4.2
Sistemi reticolari
Qualsiasi soluzione delle (4-3) (4-4) è staticamente ammissibile. Per il teorema statico a queste relazioni si deve aggiungere la condizione
Per fissare le idee, e a titolo di esempio, si farà riferimento alla struttura di fig. 67 per la quale si ammetterà che la sneIIezza delle aste sia tale da escludere, fino al collasso, il pericolo di carico di punta. La struttura considerata è iperstatica di grado 3; è sollecitata dalle forze indicate in figura comprendenti una parte fissa (carico permanente) ed una parte affetta dal moltiplicatore fJ. Col metodo statico il calcolo a rottura del sistema reticolare si può formulare nel modo seguente.
di massimo: (4-5)
fl = max.
L'insieme delle (4-3), (4-4), (4-5) costituisce un problema di Programmazione lineare facilmente risolvibile con metodi ed algoritmi oggi ben noti (vedi Cttp. 6). Comunque si presenta spontaneo un primo accorgimento in vista della risoluzione del problema: la eliminazione delle due equazioni (4-3) e di due incognite. Tale operarazione, anzichè essere effettuata a posteriori, può essere vantaggiosamente realizzata a priori qualora si ricorra al noto concetto di sistema princ'ipale ed incognite iperstatiche.
Ni
qJi
]fig. 67
Dette N t le forze nelle aste, positive se di trazione, ed assunte queste come incognite del problema, le relazioni da soddisfare sono: 2 equazioni di equilibrio: 5
.L N
i
sin rpi
i~l
+ fl Fl + Fl
(4.3)
5
L N t cos rpi i~l
Il F 2
-
NeI caso in esame, scelto ad esempio il sistema principale di
F2 = O
fig. 69 e posto che sia:
2 X 5 = lO diseguaglianze che costituiscono le condizioni di piasticizzazione: -
+
Ni ~ Ni ~ Ni 160
Fig, 6n
Fig, GS
= O
,
l, ... , 5;
(4.4)
rp5 = rp4
= -
rpl =
n
-4 '
rp2 = rp,
161
si lJanno le relazioni:
Si consideri ad esempio il meccanismo V (l'asta 05 rimane rigida) e sia O l'entità (arbitraria ma piceola del lO ordine) dello spostamento 00', parametro che caratterizza il meccanismo. A meno di infinitesimi di ordine superiore, si hanno nelle aste i seguenti allungamenti (fig. 70):
N 2 = Xl N3 = X 2 N4 = X3
,;Jlt = Q
(4.G)
NI =
-!~ + -~~ ~+- 1(~!_±_~'2__
y2-
y2-
y2-
Xl
COS
(_~___ ~ rp) _,_ l
-
X 3 sin
yi Fl
y2
F2 + ----~ --- /I
y2
li'l
~__ ~~2_ ~_ Xl sin (_~
11l:3
~=
ill4
== Q cos
_ _ (p)
(-~- -- rp) __
y2
(-~4 - rp)
oeos - n4 (-~- + rp)
ills = O;
risulta inoltre:
-'-=-
'- X 2 l
y2
' ) Xa cos (-~~- q!
Sostituendo le (4-6) nelle (4-4) si ottengono IO diseg llagliallze nelle incognite Il, Xl , X 2 , X 3 . Si ricollosee facilmente elle tale impostazione ò generale: il metodo statico si riconduce ad un problem ct di massimo condi"ùmnto da sole diseguaglinn-ze lineari; le variabili sono il moltiplicatot'C e le incognite iperstatiche. Il metodo cinematico, che per questo tipo di strutture ha avuto maggiore sviluppo del mctodo statico, si imposta (con riferimento all'esempio considerato) nel modo seguente. Si sceglie un meccanismo; poiehò la struttura ò iperstatiea di grado 3, debbono plasticizzarsi :3 l = 4 aste, ossia rimane Ulla sola asta rigida; si hanno pertanto 5 mece~Lnismi possibili. Scelto il meccanismo, con la (4-2) si determina il valore del corrispondente moltiplieatore. Se i meccanismi possibili non so no troppo numerosi (come nel caso attuale) si individua quello che dà luogo al più piccolo moltiplicatore e con ciò si trovano il meecanismo cd il moltiplicatore di collasso.
+
162
= () cos
4
-- X 2 - - -
N 5 = - ---~-
ili') - -
u = v
n
=c_c
Q cos --- . 4
Detta N1' hL forza normale plastica (supposta ugwlle a trazione e compressione e per tutte le aste) , il lavoro virtuale interno associato iL (~ risulta pari a:
2' i
=
N l'
o [l + cos (-~- - rp) + ~~ + cos ( -~- + rp) ]
lavori esterni sono
seguenti:
2'e =
(J?~ + F~) Q y~ 2 '
:re =
(}l'I
+F
2)
b
~~ p. 2
Applieando la (4-2) (con i lavori Sf. ovviamente sostituibili alle potenze &l') si ottiene l'espressione del moltiplicatoro Il,, qui riportata insieme 163
alle altre quattro espressioni relative agli altri meccanismi, dedotte in maniera analoga:
+ CF) + ~ + cos (--~- -- -- V 2 2
N p [ cos ( : -
+ (F - F 2 - -- -----:=--
--- - -
(F 2 - F l )
N p [sin
/12
=
=
/
/ >./ f
y2 2
v
CF)
+ sin CF + sin 2 CF + sin (-~- +
-
(F I
CF) -O'
l'2 sin CF) ]
COS Cf! -
(2 sin -~- + 2 sin rp) -
l'
u
Fig. 70
Posto ad esempio rp = ] 5° ed l'l = F 2 = O, si possono dedurre le espressioni di p in funzio!le del parametro :
}\
- -- - - ---_._-------- ---
l'I
N p rsin
(-~- -1- CF) + sin 2 Cf! + sin CF + sin (-~- ~
=
Np
[
l
--
-
(l\ cos CF + F z sin CF) - --- - - - -- - - - -- _._- - - ---- -F I COS CF + l' 2 sin CF
+ cos (-~- - (p) (F 1
-j-
~~ + cos (-~- + rp) ]_
+ F 2 ) i~
l' ( .Li I
CF) ] -
F2
+ F 2 ) _-./? y._:-" 2
FI
Si ottengono faeilmeute le espressiòlli seguellti: Np
fil =
---
112
--
Fl
4,347
-----
1- a
Np =
f/3 =
Fl
2,200 l -
p l\ 1,fl32
l'I Np'
Il5
--
--
0,268 • a
N
Np /14 =
2
115
164
\~ 4
------
a
114
W~·
~-
I.
~dtt ],
--------- ------ - - - -- ------Fl COS CF - F 2 sin CF
Np /13
(-~- -
+ l] +
2)-
l
/Il
CF)
Assegnati i dati ((P, F I , l'2, F I , Fz, N p ), è facile individuare il più piccolo dci moltiplicatori. Anzi, questo problema si presta ad una interessante discussione.
-],~~-
2,200 I
+
0,268 . a
4,347
+a
- - --
l
165
Tali espressioni si traducono nel grafico di fig. 71, dal quale si rilevano i campi di compctenza di ciascun meccanismo. Infatti ogni CUl"va risulta, in un determinato intervallo, inferiore a tutte le altre di
Si illustreranno alcuni casi elementari che costituiranno una introduzione al paragrafo successivo. Si consideri in primo luogo la trave incastro-appoggio di fig.72a, con M p + = - .J'lp- costante su tutta la lunghezza, soggetta ad un'unica forza trasversale j.{ P.
j ,F
IV
BV:
A
~
~ .•.
C
a
b
-M p
b III
,
~- - ---~ - ----- -- ~ - - - --.
I
... I · _.1
I I I I
, : I I I
,
-- ----~ --- - ----+
r"'" 1.-415
I I I I
I I I I
~t~=~ ._ ~ _~:___J --- ~I ==·-t l~~~ - --_ l ,? ~)O
_(), ~ 18
C, "l ! d
'. :'~<)
V
-'2- --~
I
r
Fig.7l c
modo che il corrispondente meccanismo è, in quell'intervallo, il meccanismo di collasso. Si è ottenuta così, por quel dato valore di cp e in assenza di carichi permanenti, una soluzione parametri ca completa del problem'1.
4.3
Travi e telai semplici
In questo paragrafo si prenderanno in considemzione travi (iperstatiche) e telai molto semplici con seziono costante a tratti , linea d'asse non curvilinea, soggetti a forze concentrate o carichi ripartiti. Si farà l'ipotesi che l'influenza della forza tagliante e della forza, normale (quando presente) sulla plastieizzazione 8ia trascurabile ; pertanto il momento flettente sarà l'unica camtteri"tiea della sollecitazione « attiva ». 166
Fig. 72
La soluzione è immediata tanto col metodo statico che col metodo cinematico. Si ha infatti per l'equilibrio (fig. 72b) : ab a PsP-i- - Mp -
T
= Mp
da qUI: 2a
jls
+b
= - ab
Mp
p 167
mentre col principio dei lavori virtuali si ottiene (fig. 72c): fle F () b
= ()
(2 +
+)
M
Col metodo statico si può scrivere (fig. 73b):
p ,
e si trova fle = fls = flr, moltiplicatore di rottura. Si osserva che in questo esempio vi è un solo possibile meccanismo di collasso mentre la distribuzione dei momenti al collasso è ovvia. Meno immediato si presenta il problema nel caso di carico ripartito uniformemente (fig. 73a). Infatti in questo caso la distribuzione
~R
~
,~ ,
/
/
"/
'/
dM
dx
2
=
x -
-, I
Mp
-l
Mp
-Z-- =
°
Mp Pl
2
)l
ponenùo pOI:
~
,.
---~----
pp(I-2xo) -2--- -
/
-Mp
flP(I--2x)
-
----
Xo
._ /l~_
l_
Il P x (I- x)
M =
maxM = M
= }lpx!!J~-xo) __ M
p
n
Xo
P-I- '
si ottiene a conti fatti: fI
"-- - - !-
=
Jlr
= (6 Xo
Mp 4 V 2) ---- A
/-
P I2
(V2-
'
I)I = 0,414 ·l.
j
( + -;;l)
Mp O l
=
[pc p Xo
-+
I-
l'c P (l-- xo)] 0-- --
l
=
Xo
l (lIleP - -2
xriL () ,
+
2 Mp l Xo Ile ="" - - ---p l Xo I - Xo
0(1 -xo ' 7:_~
se ora dei momenti e il meccanismo di collasso sono ancora qualitativamente evidenti, ma è a priori incognita la distanza :(;0 indicata in figura. 168
'
Il P(I-X o)
~l Fig.
Mp P I2
= Il 657 - -----
Col metodo cinematico il generico moltiplicatore cinematicamente ammissibile si ottiene dal consueto bilaneio energetico (fig. 73e):
Mp IlPr
=
+
SI
impone a pc , funzione di Xo , la condizione di minimo: _dfl e
= 0,
dxo 169
si ritrova il precedente valore di Xo e successivamente il valore di /l,. . Si consideri ora il caso di fig. 74a. Col metodo dei meccanismi si ha: IlF,
Si ha quindi il diagramma di fig. 75, analogo a quello di fig. 7l. Si passa ora al portale a falde inclinate di fig. 76a, e lo si studia col metodo cinematico.
11F,
F,I Il M p
"
A él
::
tI
1
1...1
31
3
t
1
3 19"
29
'li 9
- - ---, ----- -i wl---------------------
l,
~
/' a
3
I<'ig. 75
-- J.---39
--- --_--_ _ 3~ ,
9 --- --, ---
~
c~ _
~ 19 ~ 3
!
~~!I I<'ig. 74
meccanismo I (fig. 74b): ]
M p (3 O
+ O) = -3- l O (2 FI + F
2)
fil
Tenuto conto delle forze applicate, i possibili meccanismi (ad un grado di libertà) sono quelli indicati in fig. 76b), c), d), e). Vi sarebbero anche i simmetrici di I e II che però si possono scartare a priori poichè è a ~ O. I primi tre hanno 4 cerniere plastiche, in armonia col grado di iperstaticità della struttura (4-3); il quarto comporta 5 cerniere plastiche, pur avendo un solo grado di libertà, e ciò si spiega con la simmetria. Applicando sistematicamente la (4-1) si ottengono, a conti fatti, le seguenti espressioni per i 4 moltiplicatori cinematicamente ammissibili:
meccanismo II (fig. 74c):
-
1
iV!p (3 O-+-2 O) = ----l O (F1 3
-+-
l'l --
2 F 2)
~FlM~ l 2 (I + tg f{!),
1'2
4Mp
ossia ponelldo:
F2
jl2
= -Fil -
3
F~-- =-~ a ~ O;
Mp
l'l =~
M 11 1'2
170
=
12
-Fl f 2' -+-
FIl ]
1'3
=
jl4
=
a
2 a
2
Fd
a
4 Mp
15 _ ___
-+-
4Mp
- P1- --l
-+-
2 tg
I
+a
T.._ (4.7)
+
l tg Cf!. 2 -----] - a tg f{! 171
A titolo di esempio si deduce l'espressione di /'2 . Com'e al solito l'applicazione della (4-1) richiede lo studio cinematico del mecca-
{JA =
r
{},
{}c
=
{}E
= {} (l
+
{}D
= {} (2
+ 2 tg p);
2 {},
2 tg p),
l
I,r"
B
--------
l
= -- O;
Un
Ve = - - ()
2
D
2
si ha poi:
....!2.. F,
~
(t
>--0
A
1 2
:
1
.2!i
/
E
= 111p [ ·0 + 2 {J -+ {} (l = 111p ((i + 4 tg p)D .
+ 2 tg p) + {J (2 + 2 tg p) I =,
.!l'e = a
111p (6
1'2
/ . /.....
=
2
Fd
1'2 -2-- O (l
+ 4 tg p) O
---p-;l'(l +
a) (j--
~.:/~
+ a) , 111
4 p ----
l\l
+
3 2 tg P ------_. l+a
o
b
c
\
/////
I
~
/
III
~B
__
/"/
B ~/ ~ ,/1
l
cl
I I I I I
c I<' ig. 76 0
nismo considerato. Dalla fig. 77 si deducono le rotazioni delle cerniere plastiche e gli sposta menti dei punti di applicazione delle forze: '172
..../ .
,,- /"
1
A
11'ig. 77
173
Si è così ottenuta, anche in questo caso, la soluzione parametrica completa del problema. Nella fig. 78 sono riportate le curve rappresentative delle (4-7) e sono indicati gli intervalli di competenza di ogni meccanismo. Si osserva che il meccanismo simmetrico può essere di collasso solo per a = o. D'altra parte è facile controllare che detto meccanismo si può ottenere dalla sovrapposizione, o combinazione, M~
4Mp IV
4,1 5 6
-"'i-~.~''''''' .'
156 3,
1"-=
7,15C.~ - -- - - - - -
-
I
'.j , .-
--
_ _ __ - --- - -
- --
-------
Il ~-------_~~ '____.
:
+ V2
1:1 '}:-
0 , :1:-:'/
o.~
O,9 2 U
1
" l~ig_
Il
78
del meccanismo I c del suo simmetrico; complessivamente la forza Il P 1 compie, a parith di lavoro virtuale interno, lo stesso lavoro virtuale esterno, ma poichè la forza p P 2 compie lavoro negativo, il lavoro esterno risulta più piccolo c di eonseguemm è più grande il moltiplicatore.
4.4
Telai
Si mantiene l'ipotesi dell'unica caratteristica di sollecit.azione (, attiva », ma si vogliono prendere in considerazione problemi pill complessi di quelli del § precedente, problemi cioè nei quali il numero delle incognite ovvero il numero dei meceanismi d,1 considerare rell dono inattuabili le tecni<:he di calcolo prim,1 indicate.
174
Comunque gli esempi sviluppati suggeriscono alcune osservazioni. Nel caso che siano applicate soltanto forze concentrate il problema è, per le ipotesi fatte, nel discreto; infatti i diagrammi dei momenti sono poligonali e il momento plastico è stato supposto costante a tratti; è quindi sufficiente, col metodo statico, imporre le condizioni di plasticizzazione in un numero finito di sezioni, mentre essendo le stesse sezioni le uniche candidate ad essere sedi di cerniere plastiche, è altresì finito il numero dei possibili meccanismi. Basta però che vi siano carichi ripartiti perchè la posizione di una (o più) cerniera plastica possa risultare indeterminata a priori: il problema è nel continuo. Lo stesso accade in generale se il momento plastico vari,1 da sezione a sezione oppure se qualche tratto di linea d'asse è eurvilineo. Nel seguito si supporrà che il problema sia o si possa considerare nel discreto; eventualmente si assegnerà provvisoriamente la posizione di alculle cerniere plastiche, salvo un ritocco successivo generalmente di poco conto. Per avere un'idea dell'incidenza di tale approssimazione basta riprendere l'esempio di fig. 73 ponendo la cerniera plastica intermedia in una posizione prefissata diversa da quella esatta. Ponendola in mezzcr-ia si ottiene 12 anziehè 6 4 = Il ,657, con un errore del :3 %; ponendola in Xo = 3/8 l (posizione di max M nella tra ve clastica) si ottiene Il,73, con un errore del 0,7%. Nell'ultimo esempio si è aceennato alla combinazione di due meccanismi; questo concetto è alla base di un metodo generale del quale si farà cenno fra breve. Prescindendo dai metodi che si rifanno alla teoria della Programmazione lineare, i metodi generali per l'analisi al collasso dei telai sono sostanzialmente due: il metodo detto della « distribuzione dei momenti plastici ) (plastic mOlllent distribution method) dato da Horne nel 1954 e il metodo detto per « eombinazione di meceanismi) (method of eombining mechanisms) dato da Neal and Symonds nel 1952.
M elodOi di H ome Questo procedimento, ehe rientra nel metodo statico, consiste in una successione di modifiche della distribuzione dei momenti, tali da soddisfare l'equilibrio (campi staticamente ammissibili) e da far
175
crescere via via il moltiplicatore (staticamente ammissibile) associato. Quando non si riesce più a far crescere il moltiplicatore si controlla se la distribuzione dei momenti ottenuti è tale da dar luogo ad un meccanismo; se ciò accade si è sicuri, per il teorema di unicità, di aver raggiunto il collasso; se ciò non accade si riprendono i tentativi. Il metodo quindi, non è a,utomatieo, e questo è forse il suo principale difetto; esso peraltro ha qualche analogia con il noto metodo Cross per il calcolo dei telai elastici e come già accade per quest'ultimo, l'abilità e l'esperienza della persona che effettua il calcolo possono avere un sensibile peso sulla rapidità con la quale viene ottenuta la soluzione.
Ciò posto, le condizioni d'equilibrio si scrivono (fig. 80):
JJ1 c
flF2a.a
=
- --3;---
JJ1.::t_+ JJ1!!.::t_ a
+
l
+ -3
JJ1 BD -
JJ1 E + JJ1 DE a
2
-3 JJ1 DB ,
+ fl F
= O,
+ JJ1BD = O, JJ1DB + JJ1DE = o. JJ1BA
Vatta la posizione:
/
I
IlF
IIF
B
m
( 4.8)
D
C
~~ J~ , // .'/ / / /
///////
2a
M. flFa
=
a
Fig.7D
le suddette equazioni diventano:
+ 3 mc + 2 111DB = mA + mBA + mDE + mE = ~ mBA + mBD = O ,
~ --
mBD
(111])B
-1-
m])E
2 ,
-
(4.9) l
(4.] O)
= O.
Mc
Per illustrare il metodo si considera il portale di fig. 79. Come gla detto, si ignorano le forze taglianti e normali e si assume un momento plastico costante (positivo e negativo) in tutto il telaio, JJlp • Le condizioni di equilibrio che occorre prendere in considerazione sono in questo caso due: l'equilibrio dei momenti del traverso BD, e l'equilibrio alla traslazione, in direzione orizzontale, dello stesso traverso. Inoltre si dovrà aflsicuram l'equilibrio (alla rotazione) dei nodi. Per quanto riguarda i segni si assumerà, per i momenti di nodo, la convenzione dci metodo di Cross ed in particolare si assumeranno positivi i momenti orari. Si manterrà invece I~L consueta convenzione per il momento in C.
176
;:;
,:--'0'""' MA
~, ~
A
Ii'ig . 80
] I procedimento inizia eon la seelta di una distribuzione di momenti cIle soddisfi le (4-9) , mentre le (4-10) saranno in generale 177
violate. Nell'effettuare tale scelta conviene fare in modo che i momenti siano, in valore assoluto, i più piccoli possibili. Così si porrà: mc
=
mDB
mA
=
= -
mBD
2
l
6
3
= -- = -- =
mBA = rnDE = mE
= -
A questo punto si dà il via al processo di distribuzione. Si danno eioè delle variazioni, Llm, ai momenti, tali che le (4-9) siano semjJre soddisfatte; devono cioè valere le equazioni:
O 333 "
0,25.
\
I momenti così scelti si possono scrivere a fianco di uno schema della struttura, come si usa fare col metodo di Cross (fig. 81).
B -
+
(l)
(2)
(4)
(7)
-
o
0,250 0,250
-- 0,333 0,222
0,000 0,333
-
0,333 0,222
-
0,111 0,016
- - 0,127
0,333 0,000
(3)
(3)
+
0,333 0,111
-- 0,250 --- 0,083 (l)
0,111 0,000
(5)
0,333 0,049
(5)
(5)
-
0,444 0,074
-
0,333 0,111 (2)
0,111 0,016
0,382 0,008
0,370
(6)
-
(6)
(6)
-I- 0,004
0,444 0,074 (4)
-
0,370 0,005 (7)
-
0,375
0,374
0,374
0,127
A I -- 0,250
-
0,250 0,08:3
-
0,083
(1)
(l)
-
0,333 0,111
(2)
- 0,:l33 (2) -- 0,111
-
0,444 0,074
(4)
(4)
-
0,370 0,005
-
0,375
-
(7)
(7)
-
11mBD
(4.11 )
Inoltre tali variazioni devono essere tali da ristabilire l'equilibrio dei !lodi (generalmente uno por volta) e da coutenere il più possibile il massimo valore assoluto dei momenti. Ad esempio si può iniziare cosÌ: 1) nodo /). Llm /)/.; ~~ - 0,083 (si ristabilisce l'e
lJ
(3)
-
+- 3 L1mc +- 2 L1mlJB = 0, iI1mA + I1muA +- I1mDE + limE = O. ~-
l lm .. 1 =-~ ,ImE
== I1mJ)f; ~ -
0,083;
In tale modo i momenti in queste tre sezioni mantengollo lo stesso valore; ora / lmlLi ò determinato e si ha: LI milA = ~ :~ X 0,083 =
O,2!>0
(si osserva elle questo risultato app,1L'e soddisfacente perehò diminuisce il forte squilibrio in B). Le variazioni suddette si scrivono nello schema e si sommano (fig. 81). Le variaziolli successive sono indicate qui di seguito e riportate nello schema:
IfJ'
0,444 0,074
2) nodo B:
0,370 0,005
:1) lìodo
! lUIIU
-- O , ;\~U --,'>- /J/II.I ~_CO /llI/./)I\' ---' tlI1lR '~
j):
11m /)/1 -- 0,375
0, III
O, Il I - --;.. /1/11"
o,
/ Ili/n /)
0,222
4) Iludo lJ :
'·'ig. Hl
/ lmllA
0,222 ---;..
/J Ili . 1
l Jml!E
/ bil E
=c 0,074
17&
l
[79
5) nodo D: LlrnDB
= -
=
0,074 -+ Llrne
0,049,
LlrnnD
=
O.
A questo punto la soluzione si profila chiaramente: i quattro momenti in A, 0, D, E' devono diventare eguali in valore assoluto mentre il momento in B rimane inferiore; bastano alcuni tentativi per individuare le ultime mosse: 6) L1mc
= - 0,008,
L1rnDR = 0,004,
7) L1rnnA
= O,OW,
L1rnA
=
L1rnDE
=
LlrnRD = -
0,016
= -
0,005.
L1rnB
Lo sviluppo di (Iuesto calcolo ha mostrato quanta libertà ci sia nella scelta da fare ad ogni passo. Ciò, come si è detto, è un'inconveniente del metodo, perchè può portare a soluzioni diverse da quella di collasso. Ad illustrazione di ciò, si osservi lo schema di fig. 83 (nel quale per brevità si sono riportate soltanto le somme parziali e non
n (I) (3)
Basta ora porre: 0,374
-7-
0,375
= -}!~ Il]?
(5) (7) (!l) (Il)
a '
0,250 0,333 0,444 0,481 0,493 0,497 0,498
per ottenere il moltiplicatore di collasso: l'r
A
Mli
= 2,67 --l-~-- /a
Si constata immediatamente el)() questa soluzione è corretta; infatti la distribuzione dei momenti è tale da dar luogo al mecca-
.
c -- -
1------
0,333 0,444 0,481 0,493 0,497 0,4!)8
(2) (4) (6) (8) (lO)
0,250 0,444 0,481 0,493 0,4!l7 0,4\)8
(l) (3) (5) (7) (9)
0,333 0,222 0,185 0,173 0,169 0,1G8
---------- .
o
(J
II r ~cc
, 180
8 - ---- -
3
+
J.l1 p -----
Pn
3 D) C~ I/r p ~__C
(1) (3) (5) (7) (9)
lE
Mp
I1lsmo di fig. 82; a titolo di conferma si JlUù ealcolare Jlr a partire dal meccanismo e si ottieIle:
-I ~~ {}
0,250 0,444 0,481 0,493 0,4!l7 0,498
0,250 0,444 0,481 0,493 0,497 0,498
gli incrementi) che riporta un calcolo che conduce ad una soluzione di versa, alla quale corrisponde un moltiplicatore pari a (lo 0,498 si deve portare a 0,5, come mostra il controllo per mezzo delle (4-9):
f/s
3 l'i
-----
-
,-'-
Fig. S2
+
(2) (4) (4) (6) (6) (8) (8) (lO) (lO)
Fig. 8::
o
M p (O
0,333 0,444 0,481 0,493 0,497 0,498
(2)
(l) (3) (5) (7) (9)
J-
W"t
D
CO a
Jlf )
2 67 ---- _1
'
Fa
+
20 a),
=
2
F-;;-'
con 1111 crrore per difetto del 25 %. Comunque è facile controllare che questa soluzione non è quella di collasso perchè la distribuzione di momenti ottenuta non dà luogo ad un meccanismo (il momento in B ha il segno contrario a quello che occorrerebbe per avere il meccallismo a parallelogramma ABDE). 181
Metodo di N eal e Symonds OA
rrwcc.
Si tratta ancora di un metodo non automatico, che richiede aneh'esso abilità e pratica da parte dell'operatore. Per dare un'idea dei principi informatori del procedimento si considera ancora la struttura di fig. 79. Si osserva che ad ognuna delle equazioni della stati ca (4-9) si può associare, per il tramite del principio dei lavori virtuali, un meccanismo, rispettivamente T e II in fig. 84. Infatti il bilancio energetico relativo a questi meceanismi dà luogo prccù'la-
B
D
c A
li'ig. 84
mente alle (4-9) con momenti tutti uguali al momento plastico. Definiti cosÌ duc meccanismi detti elementari (in gcnerale saranno più numerosi) si può tentare di combinarli fra loro in modo da ottenere un meccanismo al quale corrisponda un moltiplicatore più piccolo. L'operazione si conduce per mezzo della tabella qui riportata ehe fornisce in ogni sua riga i dati cinematici di un mcccanismo, per mezzo dei quali Hi effettua il bilancio energetico. Con la (4-1) Hi ottiene:
l'l = 0 3 -
Mp
F a -,
l'Il
=
Mp
4 -F-~-
.
Se nel combinare T e Il si vu~le far diminuire fI, è chiaro che conviene scegliere '17' eO" in modo da far diminuire il lavoro interno a parità di lavoro esterno. Ciò si ottiene ponendo '17' = 1?" = {}; in tal modo la rotazione somma in B riHulta nuUa e si ottiene (Iuale meccanismo combinato (3 0 riga) proprio il Ilwc:canisrno eli collasso eli fìg. 82. 1"82
OB
Oc
-- - --- _ ._. --------- --------.- - --
I
O
--- ----- -
II
--- O'
- - - - - - - - - - - - --
()"
O"
- --
3 O' --~ ----
---~~
\
-- O
O
3O
O
._-- - - - - - - - -- --
O"
O
---- -- - - _._- ---_._--- - - - _ .._- _._---------
comb.
~~
J_ _~~___ ---~~--J
---I __ __
- - 2 O'
O"
I
O
2 O' a
- - - - ------
O" a
O
--------- - --- - - - - - -- ---
-
BO
O
O a
2 O
II
Nei casi più complessi vi saranno più di duc equazioni del tipo (4-0) e quindi più di due meccanismi elenlcntari indipendenti (l). Si sceglierà il meccanismo col moltiplicatore più basso e si cercherà di migliorare combinando a questo qualcullo degli altri. Anche qui si controllerà infine la validità della soluziOne ottenuta ricordando il teorema di unicità, ossia controllando C:he il moltiplicatore (l:in. amm.) ottenuto è anche staticamcntc ammissibile. Sc vi sono carichi ripartiti si potran\lO, per quanto già detto, porre cerniere provv isorie al cen tro delle C'\m pate, salvo aggiustaggio finale della posizione effettiva delle cernier~ di quel tipo che figurano ilei meccanismo trovato alla conelusione del calcolo precedente. Vi sono altri metodi specifici per il e:alc:olo a rottura dei telai. Fm questi merita di essere menzionato il lmetodo per (' distribuzione dci momenti residui» dato da Heyman nel l !)f)8. Questo procedimento, contrariamente a quelli sopra descritti, ò q,utomatico; si prest,1 pertanto al calcolo per mezzo degli elaboratOri elettronici e cosÌ viene effettiva mente i m piegato.
4.5
Archi e strutture con più carat1teristiche attive
Si abbia un problema nel discreto COlme quello di fig. 7G. Se SI vuole tener conto della influenza della for' za normale sulla plasticiz-
{I} Il nUlncro delle equazioni, ossia il numero dei meeeanislni elementari indipendenti risulta pari al numero di rnornenti incognitj diminuito del grado di ipel'statieità dnl sistema; nel caso attuale [) - -- :l = 2_
183
zazlOne, si deve introdurre nel calcolo il concetto di dominio di resistenza (Cap. 3). Col metodo st.atico, alle condizioni di plasticizzazionc -
+
Mi ~ Mi ~ Mi,
i
l, 2, ... ,
staticamenté ammissibili. In tal modo si ottiene, se non l'esatto moltiplieatore di eollasso, almeno un intervallo (che si può restringere finchè si vuole proseguendo nel ealeolo) nel quale esso è compreso.
(4.] 2)
si devono sostituire condizioni del tipo (3.38) con n = 2. Se queste ultime sono (o si vogliono considerare in via approssimata) lineari, come ac;)ade ad esempio se si adottano le (3.45) (vedi anche fig. 65), il problema matematico rimane un problema di Programmazione lineare e come tale si risolve facilmente (vedi Cap. 6). Se invece le condizioni di plasticizzazione non sono lineari, si è l'i condotti ad un problema di Progra/J/.rIlrlzionc non lineare, anch'esso risolvibile con i mezzi moderni di calcolo (vcdi Cap. G). Si è giù osservato nel par. 4.1 che si perviene a questi tipi di problemi matematici solo se si parte da problemi neI discreto ovvero se si opera 11 priori una opportuna discreti7:7:aziolle. Itimandundo all 'apposito paragrafo l'approfondimento di tali questioni si dedica il presente paragrafo alla rapida illustrazione di qualche metodo specifico sviluppato per strutture particolari.
\
Si consideri l'arco incastrato di fig. 85, sollecitato da un carico permanente ripartito g e da un carico p affetto dal moltiplicatore f1. Al solito si chiede il valore di l'r . In ogni sezione dell'arco si conosce il dominio di resistenza, ad esempio del tipo di fig. 86.
N
['v'.
Notevole interesse ha suscitato negli anlli scorsi lo studio a rottura dell'arco incastralo, in particolare in Italia ove Fmnciosi e la sua Scuola hanno dedicato numerosi lavori a questo tipo strutturale. l<'ig. SU
-~.~="-L'llLl'.Will-'.l.L...LL"l~ l'· Il g ~~~_llD
__ LDD~UJ~.' __ ~.~. .~~~~ . ~. ". j
A
B
Fig. S,)
11 met.odo sviluppato è di tipo cinemat.ico ma permette altresì di ottenere, con un sempliee provvedimento, anche dei moltiplieatori 184
}">oichè il sistemil è 3 volte iperstatico si dovranno considerare 4 cerniere plastiche. Si tratterrà di cerniere plastiche generalizzate, associate ad un vettore normale alla frontiera di snerva ment.o ; essendoci in generale una rotazione ed un allungamento, il centro di rotazione della cerniera non coinciderà con il baricentro della sezione come accade quando solt.anto JYI determina la plastici7:zazione. Se poi il punto di coordinate M, N, in una sezione, corrisponde ad un punto angoloso della frontiera, vi sono due parametri liberi di deformazione (vedi Cap. :1) e si può parlare di cerniera plasl'ica dopp'ia. Ecco ora in breve in ("he cosa consiste il metodo di Franciosi. 185
Si scelgono a sentimento (in bas{, all'esperienza) le posizioni delle
In definitiva si ha quindi un sistema di 8 equazioni (4 non lineari) in 8 ineognite (vi sono poi la flc e la (4-13» che si può risolvere per iterazione: si scelgono delle N i di l° approssimazione, attraverso le condizioni di plasticiz>',azione si deducono gli Mi , dalle (4-14) si deducono poi degli N i di 20 approssimazione, e così via. Ottenute infine due quadruple N i ed JJl i che soddisfano le otto condizioni richieste, si
4 cerniere plastiche (vedi fig. 87) e si considera il meccanismo che si
ottiene ponendo il centro di rotazione di ogni cerniera nel baricentro
\
calcola l'c con la (4-13). A questo punto si disegnano i diagrammi M ed N ed in generale si constata ehe le condizioni di plasticizzazione sono violate in sezioni diverse da quelle sedi di cernipre plastiche. Accade cioè che il pUllto N
Fig. 87
della relati va sezione; in tal modo le forze normali non cum piono lavoro virtuale. fìi imposta poi l'equazione di bilancio energetico, che (1;ì, luogo alla (4-2), ossia:
- - -M
4
2, i
=
Mi Oi -- 2/e
Fig. 8S
l
ile ::.:: -
(P
<:...E-
(4.18)
e
con Y'e, .2'e lavori virtuali compiuti da g c da p rispettivamente. Però nella (4-18) non si COlloscono i valori degli Mi. D'altra parte detti Mi ,Sono legati agli N i (altre 4 incognite, 8 in tutto) dalla condizione di appartenellza dei punti (Mi, N i ) alla frontiera di snel'vamento (4 legami non lineari) e da equazioni di equilibrio (lineari) anch 'esse in numero di 4. Per ottenere queste ultime basta applieare opportunamente il principio dei lavori virtuali: si sceglie una deformata tale dIO una sola delle iV; compit~ lavoro () si ripete 4 volte l'operazione; si ottengono relazioni m;plicite nelle iV i , del tipo:
Pc di coordinate (Mi, N;) ò fuori dal dominio di resistenza (fig. Si-) Sia invece PII il pUlito ehe corrisponde all'a,zione dcI solo carico permanente e P' il punto intersczione del segmento Pc Pg con la frontiera, del dominio. Si calcola, nelle se,~iolli più « sospette ), il valore
del l'a pport,o:
Pc Pg
P' Pg se lJ l, il valore più elevato di tali rapporti ò chiaro ehe la qU
4
iV i = LV io -I-
L nijM j1
186
j ,
1, 2, 3, 4.
(4.14)
J~,,-
=
Il,,
( 4.15)
lJ
187
BIBLIOGRAFIA
è un moltiplicatore staticamente ammissibile. Si è cosÌ individuato un intervallo nel quale deve trovarsi il moltiplicatore di collasso l'r: l'c
e
~
jlr
~
l'c .
(4.16)
Se questo intervallo si ritiene sufficientemente ristretto si può interrompere il calcolo; in caso contrario il calcolo si riprende spoHtando una cerniera plastica, quella più prossima alla sezione dove si è trovato (}; e conviene porre proprio in quest'ultima sezione detta cerniera. Eventualmente si Hpostano anche più cerniere contemporaneamente. Per ulteriori particolari, artifici per accelerare il calcolo, ed esempi numerici, si rimanda al trattato del Franciosi. Per altri tipi strutturali, si può pensare di sviluppare metodi analoghi a fJucllo sopra esposto; tuttavia ei si renele conto chc si incontreranno in generale llOn poche difficoltà, soprattutto aJ crescere del grado di iperstaticità che rwgli archi è assai modcst,o. Appare fJuindi importantc la ricerca di UW1 i m postazione generale, quale sarù, esposta nel Cap. 6.
188
\
Pressochè tutti i trattati citati nella bibliografia dci Cap. 3 si occupano dell'Analisi limite delle strutture monodimensionali; ad essi si possono aggiungere le seguenti opere: J. F. BAKER·H. R. Homm-J. HEYMAN: '1'he Steel Skelelon, voI. II (Cambridge, 1956); B. G. NEAL: The plastic metlwds o] structural analysis (Chapman e Hall, 195fi); L. S. BEEDI.E: Plastic Design o] Steel Frames (Me Graw IIill, 1959); K. A. RECKLING: Plast'izitatstheorie unii ihre Anwendung au] Festigkeitsprobleme (Springer, 19(7); P.S. SYMONDS: Limit Analysis (Cap. 49 nello Handbook di Fltigge, citato nel Cap. 3). In particolare si dilungano di più sui metodi gcnemli per i telai le opere di BAKER-HoRNE-IIEYMAN, NEAL, IIODGE, MASSONNET-SAVI';, FRANCIOSI. Delle strutture con più caratteristiehe di sollecitazione attivI) nei riguardi della pIasticizzazione Hi occupano IIOnGE e MAssoNNET-SAvE (C( nni) il Cornrncl1tary ASCE (i telai), FUANCIOSI (estesa t,rattazione per gli archi da ponte). !{isultati sperimentali sul comportamento a rottura delle strutturo monodimensionali si trovano raccolti nel predetto Comrnentw'y ASCE (esperienze I1Incricane, travi cont.inue e telai). Per esperienze su archi si veda FRANCIOSI. Per la citazione dci lavori originali si rimanda ai predetti trattati.
189
.
\
5. ANALISI LIMITE: STRUTTURE BIDIMENSIONALI (Michele Capurso)
5.1
Premesse
Il comportamento di un continuo rigido-perfettamente plastico può essere convenientemente rappresentato come proposto da Pragel' [11 in termini di caratteristiche di sforzo generalizzate e di caratteristiche di deformazione generalizzate. Si consideri pertanto il ·caso che lo stato di sforzo in un generico elemento del continuo in esame sia definibile in funzione degli n parametri generalizzati di sforzo: Ql Q2 ... Qn e siano: ql q2 ... qn le corrispondenti velocità di deformazione generalizzate. La condizione di snervamento dell'elemento sarà rappresentabile nel caso più generale dalle m condizioni:
Fa (Ql Q2 ... Qn)
=
2
K",
(5.1 )
con K", costanti appropriate dipcndenti in gencre dal materiale che costituisce l'elemento. Le condizioni (5.1) descrivono nello spazio delle variabili Qi una superficie convessa per ipotesi i cui punti interni caratterizzano i regimi di sforzi che lasciano rigido il materiale ed i cui punti invece caratterizzano gli stati di sforzo limite che posson dar luogo al flusso plastico (fig. 89). Ovviamente stati di sforzo per cui risulti Fa > Ka 2 sono impossibili. I legami fra velocità di deformazionc e caratteristiche di sforzo generalizzate sono deducibili dalle condizioni: m_
epi =
()~',,:___ ~a
L -;)(/i éX. = 1
(5.2)
191
essendo À" m scalari positivi condizionati dalle relazioni: À~ =
À"
O se
> O se
P" <
2
le
2
P"=K,,
2
o
P,,=lC,
e
Pa
=
ed
Pa < O
(5.3)
O
Considerando quindi lo spazio degli sforzi come spazio delle vclocità di deformazione la supcrficie di equazione (5.1) assume anche il significato di potenzialc plastico delle velocità di deformazione ed in particolare il prodot.to vettori aIe Q . q, assume il significato di potenza dissipata per effetto del flusso plastico associato al vettore q. I teoremi dell'analisi limite prima enunciati per i continui in generale si trasformano così in corrispondcnti teoremi per qualsiasi particolare tipo struttumle . .È necessario ovviamente soltanto dc-
Q2t
\
Tale distribuzione non necessariamente deve essere prescelta nella elasse delle distribuzioni continue rispetto alle variabi!.i indipendenti essendo ammcsse tutte le discontinuità che non violano le condizioni di equilibrio [21, [3]. Analogamente un limite superiore del carico di collasso può determinarsi scegliendo un qualsiasi insieme congruente di velocità di spostamento ed eguagliando il lavoro esterno alla potenza dissipata internamente. Anche in questo caso le velocità di spostamento non necessariamente devono essere funzioni conti n ue essendo ammesse tutte le diseontinuità che lasciano finito il valore della potenza dissipata internamente. La presenza di discontinuità nei campi di velocità può peraltro interpretarsi fisicamente eomc associata all'esistenza di zone di misura ristretta in cui le velocità, pur continue subiscono forti variazioni.
(q2)1
5.2
Definizione delle caratteristiche generalizzate di sforzo e di deformazione e della superficie disnervamento
V)~---";j j
O
o, ili,) I
Il caso delle lastre
/
Com'è noto la lastra è una struttura piana avente una dimensione (lo spessore) trascurabile rispetto alle altre due, caricata esternamente da forze la cui risultante giace nel piano medio della struttura (fig. 90).
F,,=O J\~ig.
~u
I _~12H
finire pl'cventivamcnte, in funzione del tipo strutturale in esame, gli sforzi c lc deformazioni gcneralizzatc cd esplicitare le espressioni analitiche dei fronti di sncrvarnento (5.1) avvalendosi dei legami fra sforzi generalizzati c tensioni intel'lle. Svolto hle lavoro preventivo, un limite inferiore al carico di collasso può determinarsi in virtù del teorema statico determinando una qualsiasi distribuzione efluilibrata di sforzi generalizzati che soddisfi punto per punto le relazioni:
P" (Ql Q2 ... Qn) (; K: 192
I z
y
11'ig. fiO
193
è indipendente da Z, lo stato tensionale O'x, (Jy, Txy nelle condizioni di flusso plastico dovrà parimenti essere indipendente da Z. Ciò implica necessariamente che risulti:
Fatta l'ipotesi che le componenti dello spostamento U secondo X e V secondo Y non dipendono dalla variabile indipendente Z, le componenti generalizzate della velocità di deformazione risultano essere:
Nx Ex
=
au
av
ax-'
. -----, BY
YXY
l'y -
au =
BY
av + -ax-
(5.4)
\
=
III
{O'x [x
-lI
+
O'y [y
+
Txy YXy}
dZ = [.'t
III
O'x
- lI
dZ
O'x
-
nx -
+
Nx
[x
=
O'y2H,
N xy
O'y -0'-;;- ,
n xy
=
Txy2H
(5.10)
,
--0'0
ny =
Txy
=-0
(Jo
(5. Il)
La superficie di snervamento in termini di caratteristiche adimensionali n risulta quindi immediatamente deducibile non appena sia assunta una particolare condizione di snervamento del materiale in termini tensionali . Assumendo ad esempio la condizione di Mises che per stati tensionali piani assume l'aspetto:
+ [y •( lI-11 O'y dZ + YXy III-lI Txy dZ =" =
Ny
O'x2H,
e quindi, per le (5.6) c (5.7):
e la potenza dissipata per unità di area assume l'aspetto:
D
=
+ N y Ey + N xy YXy
2 O'x -
essendo quindi N x, N y, N xy le caratteristiche generalizzate dalla azione interna. Introdotto lo sforzo di piena plastieizzazione:
(Jx (Jy
-1-
2 O'y
-+
3
2
Txy
=
2 0'0
(5.12)
la condizione di snervamento nel caso in esame assume l'aspetto:
No =
Go 2
H
(5.6)
con 0'0 tensione di snervamento del materiale supposto isotropo, le caratteristiche di sforzo possono essere convenientemente adimensionalizzate attraverso la posizione:
Nx
Ny
n· x =-.= No
ny == -
No '
n,r,y
=
N xy No
n; -
max Si
]) = No
(n x É: x
+ ny É: y + n xy YXy)
(5.8\
Osservato ora che per ipotesi il vettore velocità di defol'ltHLzione :
q 194
(Ex, l'y,
YXY)
(5.n)
ny
+ n~ -I- 3 n;y oc=
( 1).13)
l
Analogamente se si adotta il criterio di Tresca ('> si suppone per semplicità che siano note le tensioni principali (T l' (T2 dal criterio pnntuale:
(5.7)
che consente di scrivere la potenza dissipata unitaria (5.5) nella forma:
'nox
{I 0'11
, 10'21 , 10'1 -
0'0
(3.14 )
nzl} =" l
(I). \5)
(J21}
=,
passa con le (5.1 J) alla equivalente: max
{Inil , In21 ' Inl __
o
A nalisi limite delle lastre circolari Un esempio classico di lastra in cui le direzioni prillci pali ;;0]]0 Ilote a priori si ha nel caso dcUa lastra circolare caricata in 1ll001o assialsi m metrico. 195
Se si usano le coordinate polari R e
\
Risulta evidente pertanto ehe se la lastra fluisce plasticamente con regimi statici corrispondenti ad uno dei sei lati dell'esagono di fig. 91, l'accoppiamento dell'equazione linèare che descrive il lato suddetto con la (5.4) rende il problema staticamente determinato a meno di una costante d'integrazione da valut,al'si opportunamente. Si rileva inoltre che ad ogni lato di tale esagono corrisponde, per la legge di normalità, a meno ovvia~ente dell'ampiezza,un ben determinato vettore velocità di deformazione:
-~ nr
D
. (5.17)
q==c(Èr,éq,) e quindi attraverso le condizioni:
IF
E
LI ~-
dU
t I<'ig.
Er
m
Le condizioni indefinite d'equilibrio, poste per semplicitù nulle le forze di massa radiali, assumOIlO, in conformità con le lIotazioni di ~g. 92 l'aspetto:
dN r Nr - N --+ ---------=-= O dR R 1,
=
-dR-'
cq,
(5.lG)
\
I / p
!
~/
I
!
\
\ I
· ~I id
-I
N, • Q!:!rdR dR
(5.18)
ove U è la velocità di spostamento radicale, un ben preciso meccanismo di flusso plastico. Tali considerazioni possono essere utilmente impiegate per la definizione del carico di collasso della struttura. La tecnica di utilizzazione viene a scopo esemplificativo illustrata nel paragrafo seguente.
'-
N,
U R
=
.\
~\_ .
/'-...
"-...
>'), :--~1-'~\
R
Fig. !l3 Fig-. !):.!
e vanno accoppiate con le opportullc (,ondizioni di cquiliurio ai limiti sullc circonferellze pcrilll<'tl'ali della struttura. 196
La lastra circolare forata a trazione radiale esterna Sia A il raggio della circonferenza perimetrale esterna, B il raggio della circonferenza perimetrale interna e P l'intensità del carico radiale applicato alla circonferenza perimetrale esterna. 197
Introducendo le variabili adimensionali:
r=A-'
{3
=
P=J.io-
-:.4'
n r -n<1>
per
{3~r~1
nr = O
per
r = {3
nr = p
per
r
-------
r
dr
=0
=
1.
Introducendo inoltre la velocità di spostamento adimensionale:
t;
u=
(5.21 )
-A-
con
\
e
costante arbitraria. L'esplicitazione di tale costante può ottenersi sfruttando la seeonda delle (5.20) c si ha così:
e= (5.20)
(5.25)
nr =I+-r
(5.19)
il problema, in conformità con le notazioni di fig. 93, risulta le~ato aJle condizioni di equilibrio:
-~~+
e
p
B
R
che integrata porge:
(5.26)
{3
I n definitiva quindi il regime tensionale associato al lato dell'esagono di fig. 91 risulta descritto dalle relazioni:
n,
=
] __
Lr
nq, = l
'
Be
(5.27)
ed in conformità eon l'ultima delle (5.20) risulta in equilibrio col carico: ( 5.28)
p=I-{3
le velocità di deformazione (5.18) assumono l'aspetto:
Rilevato che il regime (5.27) in tutto l'intervallo:
du Cr
=
U
S<1> =
-d~-'
r
(5.22)
Volendo determinare una limitazione inferiore del carico di collasso si rileva che in conformità con le due ultime delle (5.20) lo sforzo adimensionale radiale nr deve variare da zero a p al variare di r da {3 a uno. Assumendo che tutta la lastra sia plasticizzata all'atto del collasso è dunque plausibile pensare chc in ogni punto il regime tCI1sionale dia luogo a stati di sforzo corrispondenti al lato Be dell'esagono di fig. 91. Segue quindi che poichè l'equazione del detto lato risu lta essere: n",
=
(5.2;3)
l
dr
1'18
r
r
è sempre contenuto nel segmento Be dell'esagono di snervamento la soluzione è staticamente ammissibile e l'espressione (5.28), per il teorema statico risulta essere una limitazione inferiore del carico di collasso pc . Se peraltro al regime (5.27) è associabile anche un meccanismo di collasso, l'espressione (5.28) risulta essere coincidente col carico di collasso della struttura. Rilevato che al lato Be dell'esagono di fig. 91 è associato per la legge di normalità un vettore velocità di deformazioni definito dalle componenti: eT =
la prima delle (5.20) si trasforma nella relazione: dn r nr l ___ + __ =c= ----
(5.29)
{3~r~1
C<1> ~
0,
O
(5.20)
discende dalle (5.22) che il meccanismo qualificato dalle condizioni: (5.24)
~=;s
(5.31 )
199
con !5 costante arbitraria positiva risulta associabile a tale regimc. L'espressione (5.28) determina quindi l'effettivo carico di collasso della struttura.
A nalisi delle lastre rettangolari Nel caso delle lastre rettangolari le dirczioni principali non sono note a priori ma le intensità N l ed N 2 degli sforzi principali sono determinabili in funzione delle componenti di sforzo generalizzate N x , N v' N xv attraverso le note relazioni:
N 1 ,2
Nx
=
+Ny 2
V(
±
_N x -; N y
r
+ N;y
(5.32)
\
c vanno accopiate con le opportune condizioni di equilibrio ai limiti sui lati perimetrali. Ovviamente, a meno di casi particolarissimi, nel cas() delle lastre rettangolari è estremamente improbabile che al collasso la lastra si presenti interamente plasticizzata e ciò esclude la possibilità di poter rendere staticamente determinato il regime degli sforzi con l'accoppiamento delle (5.33) all'equazione di un particolare profilo di plasticizzazione scelto sull'esagono di snervamento. Il calcolo di un limite inferiorc del carico di collasso non può quindi più appoggiarsi a considerazioni di tal genere ma dev'essere condotto cercando di determinare per tentativi una distribuzione equilibrata di sforzi interni talc da dar luogo a regimi che soddisfino sempre in termini di sforzi principali le limitazioni associate all'esagono di fig. 95.
Le (5.32) consentono così di avvalcrsi ancora del criterio di Tresca espresso nella forma (5 .15).
n2
E2
t'~~d'
N dy
""
x
jD-~---.NX1Y+-~~"d:.''''d' ~
Nxy
XY
N
t
cJ
~.(1.1)
Èl --~D
nl
ox
Nv,,+=Ox
j
E
Ny
Fig. !l5
dx Fig. !l'l
Le condizioni indefinitc d'equilibrio, poste al solito pcr semplicità nulle le forze di massa, in conformità con lc notazioni di fig. 94assumono l'aspctto: fJN x fJN xy - - + - - - ,=0 fJX fJY éJN xv
fJN y
-- +-- = 0 fJY
200
La bontà del limite cosÌ determinato può poi verificarsi solo attraverso la costruzione di una limitazione superiore attraverso l'imposizione di un arbitrario meccanismo di collasso definito assegnando le componenti di velocità.
u = u (X,
Y),
v =,
V (X, Y)
(5.34)
(5.33) cd eguagliando il lavoro esterno alla potenza dissipata internamente. Per la valutazione di quest'ultima rilcvato che lc velocità di deforma-
201
l'equilibrio richiede che siano verificate le condizioni:
zione discendono dalle (4.5), è opportuno ricordare che le componenti principali delle dette velocità sono valutabili attraverso le relazioni:
Cl,2
=
i: x
+ cy
- - - -- -
2
±
~
~.
(
CY ) Cx ---2-----
8nx 8nXY --+--=0 8x 8y
-l~x~l
a)
per 2
l y2 + ____ 4 xy
(5.35)
\
nx = O note le quali è possibile con la legge di normalità valutare lo stato di sforzo n 1 , n 2 e quindi la potenza dissipata. Ovviamente il problema diventa di gran lunga più complesso di quello prima esposto per le lastre circolari in simmetria polare ed un esempio tra i più semplici tratto da [4] valga ad illustrare la tecnica applicativa.
La lastra rettangolare appoggiata con carico uniforme
-h~y~h
8nXY 8ny (-+-=0 8x 8y
(5.37) per
x =
±
b)
l
n xy = O
ny=-p
per
y=h
c)
n xy = O
ny = O
per
y=-h
d)
Un metodo per la ricerca di una limitazione inferiore può pertanto svilupparsi suddividendo il campo della lastra in un numero n di elementi finiti in ciascuno dei quali si supponga costante il regime di azioni interne n x , ny, nxy. In tal guisa le condizioni (5.37a) sono sicuramente soddisfatte mentre restano da soddisfarsi le (5.37b, c, d) oltre alle condizioni di equilibrio lungo ogni linea di confine fra
Si consideri la lastra rettangolare di fig. 96 soggetta al carico uniforme P sulla linea d'estradosso ed appoggiata agli estremi su
~ 2
-+H
o i --------..-x
- -1
"2
I
Fig. 97
- 1-- ---- L Fig. Hfi
due timpani atti ad assorbire esclusivamente sforzi tangcll7;Ìali [4]. Introdotte le variabili adimensionali:
elementi adiacenti. Nella fig. 97 è illustrata la suddivisione in quattro clementi e il parametro , che denota la quota del punto di concorso dei detti elementi si mantiene libero come variabile di ottimizzazione: Tenendo presente la simmetria del problema rispetto alla sezione di mezzeria ed avvalendosi delle (5.37b, c, d) lo stato tensionale nei quattro elementi risulta definibile nella forma: (1)
x
x
202
=-L
y
Y= --L-'
h
p
11
-' L
' --C-
p
=
No
nx (5.3 6 ì
(l)
Kl
ny = - p
nXY = O
=
K2
n~) = O
n xy
(2)
nx
(l)
=--,
(2)
=
O
203
(3)
(3)
nx = O (,I)
ny
(4)
O
nx
ny
=
n xy = (4)
K3
K4 - K4
n xy =
essendo le 4 costanti KI K 2 K3 K4 deducibili dalle condizioni di equilibrio interno lungo le linee di confine 1-3 e 2-3. Tali condizioni possono esplicitarsi attraverso le equazioni di equilibrio di un quadri-
r K,
~4
~1' I
...
t
3
4
K?
\
Elemento 1
1 P nl=-T-h'
Elemento 2
nl =
1
ElementI. 3 e 4 : nI
l K3
3
//
Gli sforzi principali nei quattro elementi assumono allora i valori:
(5.38) (3)
= K3
2
a
~
I '
,
-h -
n2=-p
P 1;- h
n2 = O
'
p ~ - -h-- - (- + = --
2
h
2
-
(5.42)
V( -- -)2 + h - 1; 2
l I~
~
Affinchè lo stato di sforzo sia staticamente ammissibile esso deve essere ovunque contenuto nell'esagono di fig. 95. Pel' l'elemento ] è necessario cioè che siano soddisfatte le due relazioni: -
1 :::; nl
-
1 :::;
n2
(lati ED ed EP)
(5.43)
j
Per l'elemento 2 è richiesta invece la sola condizione:
K4
l
nl :::; 1
(lato AB)
(5.44)
K3
mentre per l'elemento 3 deve sussistere la condizione:
Fig. 98
latero avente come diagonale un ·elemento infinitesimo delle suddette linee. Operando quindi in conformità con le notazioni di fìg. 98 e tenendo presente che in conformità con quanto illustrato in fig. 97 risulta: tgf3=~(,
tga=h-(
( 5.39)
si ha:
IKl (+ K4 = O
IK 4 1;-K3 - p =
IK2 (h - Cl - K4 = O IK 4 (h -- Cl ]{3 =co O
+
O
1
K3
204
P
K2
P = - (h - Cl --, h
p , h
= -h-- 1; ]{4
=L h
(5.45)
Esplicitando tali diseguaglianze con le (5.42) si ottengono cosÌ le quattro condizioni: p:::;h1;
(5.40)
(5.46) P :::; h (h -
p:::; 1
=--Yh'
(lato AP)
nz :::; 1
p :::; 1
Tali equazioni risolte forniscono quindi:
KI
nl -
1;) -
vi (h -
h ----
1;)2
"
(5.41 )
+4
Può quindi assenrSI che per ogni valore prefissato di ( nell'intervallo:
O:::; 1;:::; h
(5.4 7)
205
Un primo tipo di meccanismo che si presenta logicamente è quello di collasso fiessionale tipo trave in cui le due porzioni di lastra
un limite inferiore al carico di collasso è fornito dalla relazione: 1
p-
min {h "
1, h (h -
n,
')2
h [(h -
+ 4]
2}
( 5.48)
Per ottenere la migliore limitazione inferiore è evidente che per ogni h è necessario determinare il valore 'ott che rende massima la (5.48). Con semplici considerazioni si dimostra che i valori di 'Olt risultano essere: 1
'olt
'ott
= --- h
°
per
2
--- 1
~ h ~ 0,972
0,972
per
0,486
~
h
~
2,058
mentre per h > 2,058 non ha più senso tale ricerca essendo p = l il minimo valore deducibile dalla (5.48). I limiti inferiori deducibili dalle (5.49), in accordo con hl (5.48) risultano così essere:
h2
per
2
°
per
0,972
~
h
~
2,058
p-
=
per
2,058
~
h
~
w
(5.50)
Il calcolo di una limitazione superiore al carico di collasso può ottenersi ora imponendo dei plausibili meccanismi di collasso ed imponendo l'eguaglianza fra potenza esterna e potenza interna. A tal fine, adimensionalizzate le velocità di spostamento con le posizioni:
u = L-'
v
==
L1~ = 2 ~
il ù
= 0,486 h
u
separate dall'asse di simmetria ruotano rigidamente una rispetto all'altra intorno all'origine degli assi (fig. 99) della quantità:
v
-L--
=
-
L1 ~Y = -
(5.53)
2 TY
c per 111 leggc di normalità il regime di sforzi affioranti lungo tale sczione deve essere caratterizzato dalle condizioni: r~x = - 1 n:,-y = O
h O~ Y ~ 2
per
(5.54) ~nx ,= l nX?!
=
°
h
per
2
~ Y ~
°
La potenza dissipata internamente ristllta eosì essere: (5.51) 2i , =
si tratta di definire in funzione del mcecanismo prcscelto la potenza dissipata internamente ed eguagliarla a quelh1 esterna.
206
(5.52)
In corrispondenza della sezione di mezzeria si hanno quindi le discontinuità:
~ h ~ 0,972
p-
l
Fig. !l!l
(5.49)
= h-
p- -
\
"2
In
2
~ Y dy - -
fa
2 ~ Y dy li
. h2
=
rp -9-~
:.::
207
La potenza esterna risulta peraltro fornita dalla relazione:
2'e e
SI
=
2
f:
p
~ (l -
x) dx = p
~
La potenza esterna risulta peraltro esssre:
2'e e
SI
(5.60)
2P b
trae quindi l'ulteriore limitazione superiore: p+
trae quindi quale prima limitazione superiore l'espressione: h2 P+=-2
==
( 5.156)
(5.57)
Dal confronto della (5.57) con la prima delle (5.50) si vede subito come per h ~ 0,972 il carico di collasso della lastra sia esattamente individuato. Per valori più elevati di h invece la limitazione superiore definita dalla (5.57) mal si accorda con la limitazione inferiore relativa alla seconda delle (15.50). È opportuno quindi cercare un ulteriore
= 0,5 h
(5 .61 )
che si accorda quasi esattamente con la seconda delle (5.50). Poichè è evidente che in nessun caso può risultare p > l è immediato rilevare dalla (5.fil) che per h > 2 risulterà: (5.62)
p+ = l
Le limitazioni SUperIOl"l (5.57), (5.61), (5.62) assumono quindi l'aspetto: h2 p+ = ---
per
O~ h
~
l
p+ = 0,5 h
per
l
h
~
2
p+ = l
per
2~h~oo
2
~
(5.63)
e confrontate con le (5.50) consentono di inquadrare quasi esattamente il problema del collasso plastico della struttura in esame. Tale com portamento risulta particolarmente chiaro nel diagramma p ]<'ig. 100
meccanismo che fornisca una migliore limitazione superiore. In tal senso si considera il meccanismo di fig. 100 nel quale il collasso avviene per tranciamento della lastra sui timpani d'estremità. Indicando con b il valore adimensionale dello spostamcnto verticale della lastra e tenendo presente che alle imposte, se si verifica tale meccanismo, si ha secondo Tresca: n xy -
'e=J.
1.0
l 2
(5.58)
-liti -l
i U [t.l
o.c 0.6
_+ ~. 1 _
-t
,h
-+
.~.'
I
-J1 -J I
1 t-
o.~
ROTTURA PER T AG 1I0
ROTTURA PER FLESSIONE
I
I-
0.2
-11----, II I
I
o
w
~
®
~
W
U
0
~
l ROTTURA PER I SCHIACCIAMENTO
w
~
~
h
Il'ig. 101
la potenza dissipata internamcnte vale: 2'i
.208
=
l 2
2
.
.
bh =c= bh
(5.5!))
di fig. 101 ove sono confrontate le (5.50) con le (5.63) e sono chiaramente indicati i tre tipici comportamenti che emergono per la lastra all'atto del collasso. 209
Cenni ad ulteriori pro!Jlemi risolti
b) piceolezza dello spostamento W rispetto allo spessore 2H della
Nell'ambito dell'analisi plastica delle lastre piane numerosi problemi sono stati risolti. Se ne ricordano qui alcuni di particolare iuteresse nel campo delle costruzioni metalliche. Fra i primi problemi affrontati in tale ambito si ricordano infatti il calcolo al collasso di lastre rettangolari soggette a trazione uniforme con fori di varia conformazione geometrica [5], [6], [7]. Di rilievo anche ulteriori studi che, nell'ambito della problematica precedentc, considerano il problema della definizione del carico di collasso di lastre forate con il foro rinforzato da opportuni irrigidimenti [8], [9]. Partieolare interesse trovano parallelamcnte studi inerenti alla detcrminazione della velocità critica di rotazione di una lastra circolare che vengono sviluppati tanto nel caso di spessore costante [lO], [11]' [l2] che nel easo di spessore variabile [13], [14], (15], [16]. Di notevole interesse applicativo infìne alcuni studi [17], [18] sul collasso delle lamiere chiodate. Notevoli compendi di tali lavori trovansi Bei testi di Hodge [l9] e Massonnet [20].
5.3
Il caso delle lastre caricate ortogonalmente al proprio piano
piastra.
ù
Yk » /y
l!'ig. 102
In tali ipotesi il meccanismo di collasso della struttura viene a dipenderc dalla conoscenza della sola funzione: (5.64)
W = W (X, Y)
essendo le componenti V e V definibili in funzione di questa, attraverso le ovvie relazioni:
il
=c __ z _aW
aX- ,
Definizione delle caratteristiche generalizzate di sforzo e di deformazione e della superficie di snervamento
]l = __ Z_aW
aY-
(5.05)
In conformità con tali posizioni le velocità di deformazione risulCom'è noto la piastra è una struttura piana avente una dimensione (lo spessore) trascurabile rispetto alle altre due. Tale struttura geometricamente eoincidcnte con la lastra si differenzia da quest'ultima per essere caricata da forze agenti normalmente al piallO medio anzichè giacenti in esso (fìg. 102).
.
.
.
.
E x ==
a) conservazioue dello spessore rettilineo ed ortogonale alh superfieie media deformata;
.
aV a2 W ---- = -- Z ----aX fJX2
.
.
Indieando al solito con U, V, W le componenti della velocità di spostamento della struttura relative al meceanismo di collasso plastico si assumono, in comune con la bcn nota teoria elastica, le seguenti ipotesi cinematiche:
210
tano essere:
E'y
.
. YXy
=
.
aV
fj2W
aY
fJY2
= ---- = -"- Z -----
.
al) DV --5Y -I- -5x-
= -
2Z
(5.HG)
a2 W --h-x;;I'
cssendo identicamente nulle tutte le altre. 211
La potenza dissipata per unità di area assume così l'aspetto.
Mo = O"OH2
H {O"xBx-+-O"yBy+iXyyxy}dZ=. .. 32W fIl - --2
D=
f -H
3X
Introdotto il momento di piena plasticizzazione:
O"xZdZ-+-
- H
le caratteristiche di sforzo possono, anche in questo caso essere convenientemente adimensionalizzate attraverso le posizioni:
(5.67) 32}V
2
H
f_
--ijy2
O"yZdZ--2
3
f
}V
H
-H
<xy Z dZ
fH
(J
x
Z dZ,
My
=
f
.
ll
Il
-H
O"y Z dZ,
M xy
-- , Mo
my=
, Mo
M xy
1n xy =
Mo
(5,72)
In modo analogo le componenti (5.69) del vettore velocità di deformazione, possono essere adimensionalizzate attraverso le posizioni:
Se pertanto si indicano con: Mx =
My
Mx
mx =
H
(5.71)
f
=
-Il
<xy Z dZ -II
.
kx
= HK x ,
.
.
ky
=
HK y
.
.
,
kxy = HKxy
(5.73)
e la potenza specifica (5.70) assume così l'aspetto:
Mo
i momenti unitari flettenti e torcente (fig. 103) e si assumono come caratteristiche generalizzate di sforzo, le corrispondenti componenti
D =
.
.
.
--ir (m x le x -+- my k y -+- m xy k xy )
(5.74)
Per costruire 1:1 superficie di snervamento in termini di componenti adimensionali di sforzo mx my rn xy è sufficiente osservare che il vettore di deformazione di componenti Ex, l'y , y:CY , in conformità con le (5.6G) varia linearmente con Z. La direzione di tale vettore
/ [\'_Y_--\0 x
M y,
y
l<'ig.
-i
10:~
H
generalizzate del vettore velocità di deformazione, in conformità con la (5.67), risultano essere:
Xx
=
-
32JV - ij){2-'
.
Ky
=
2W 3, --3Y2
Kxy
=
-
32 W 2 - 3X ---3Y
.
'212
-+-
.
.
M y K y -+- M xy Kxy
H
(5.69) l!'ig. 104
Con tali posIZIOni infatti la potenza dissipata per unità di arca assume l'aspetto:
D = Mx Kx
-~
(5.70)
resta quindi immutata al variare di Z e varia solo l'intensità oltre che il verso attraversando il piano medio. Ciò significa che se la superficie di snervamento nello spazio delle tensioni O"x , O"y , <xy presenta simmetria radiale rispetto all'origine (ciò comporta ovviamente che 213
si abbia identico comportamento a trazione e compressione) lo stato tensionale risulta essere costante da ciascuna parte del piano medio e la distribuzione si presenta come illustrato in fig. 104. In conformità con le notazioni di fig. 104 si ha allora: ~~1x
=
ax
H2,
M y == ay
H2,
M xy
=
T:iY
H2
Usando al solito le coordinate polari Re (/J i momenti principali risultano essere m r cd m<1> • La fig. 105 illustra la condizione di snervamento (5.82).
(5.75)
I
e si deduce quindi dalle (5.71) e (5.72):
ax mx = - ao '
'( my
ay -~~- '
=
ay
m xy -
ao
2
ax -- ax ay
-1-
2. 2 .~ T xy
ay
-I
l _
+
r-~mr
(5.76)
Ciò posto assunta una qualsiasi superficie di snervamento In termini di com ponenti ax, ay , Txy che rispetti le condizioni di simmetria radiale prima precisate, la omologa superficie in termini di componenti di sforzo interno m x , 1IIy, 1//xy si deduce immediatamente attraverso le (5.70). Assumendo ad esempio la eondizione di Mises:
1
1
~
E
- ~
1 l<'ig. lO;:;
III
Le condizioni indefinite d'equilibrio di un elemento di piastra, conformità con le notazioni di fig. 106 assumono l'aspetto:
2
=-= ao
la richiesta condiziolle di snervamento aSSltnW l'aspetto: ..../ 2
?
.....-/// Mr
2
mx-mxmy -I - m; + 3111 ,""== I
(f).77)
In perfetta analogia, se si aSfiUIlW il criterio di Tl'nsca:
dcI> ///
........ "" Q?::_- - -- --RcfR
1ll,1X
{I ad, Ia21, Ial- (Jzl} =
(Jo
Fig. 10()
la condizione di snervamento in krmini di momenti principali m l si srive:
,
m2
max {Imd, Im21, Im'l - -1II21}
l
(f).78)
Analisi limite delle piastre circolari Un caso classico di lastra in cui le direzioni principali fiono note a priori si ha nel caso della piastra circolare C:1rie,lt,1 in 1l10(]o assialsimmetrico. -214
~
d - -- (R T r ) + R P dR ' d
-dR (R M r ) -
= O (5.79)
M
<1> -
R Tr = O
unificabili peraltro nell'equazione: d2
-;iR2- (R M r ) --
dM <1>
-dR -
+ RP =
O
(5.80)
215
Tali condizioni vanno poi ovviamente accoppiate con le ulteriori condizioni di equilibrio ai limiti sulle circonferenze perimetrali della struttura. Risulta evidente pertanto che se la piastra fluisce plasticamente con regimi stati ci corrispondenti ad uno dei lati dell'esagono di fig. 105, l'accoppiamento dell'equazione linearc che carat~erizza il lato suddetto con la (5.80) rendc il problema staticamentc dcterminato a meno di due costanti d'integrazione da valutarsi opportunamente. Si rileva inoltre che ad ogni lato del detto esagono corrisponde un ben determinato vettore velocità di deformazione:
;1
~:=
(ic r , LI»
2
-
H d W dRz- ,
(nv ic~, = - - jf -dR Il
r= -A-"
( 5.83)
il problema, in conformità con le notazioni di fig. 107 risulta legato alle condizioni di equilibrio:
dr
dr
+rp =
O
per
o :s:
r
pcr
r
l
:s: ] (5.84)
rn r =
- 216
O
(5.86)
H I
I I
. / . • ;é
:
/ / / / /
I
I
I
,
=
~
r
I
-- 1 -
- t
.-
1-
Fig. ]07
Introducendo inoltre la velocità di spostamento adimensionale: le velocità di deformazione (5.82), assumono l'aspetto:
h2
-(~~~ dr 2 -
ic'l> = _
71. 2
_ ~_ d~ r
dr
(5.87)
essendosi posto:
H
h
PA2 p = Mo
R
drn,p
TV
=
'W
jC r =cc -
Sia A il raggio della circonferenza perimetrale esterna e P l'intensità uniforme del carico trasversale. Introdotte le variahili adimensionali :
- --- -
( 5.85)
che dcriva dall'esser nel centro della piastra indistinguibili le fibre radiali da quelle circonferenziali:
(5.82)
La piastra circolare appoggiata soggetta a carico unljorme
d2
r = O
per
m
11111111 \111111111
un ben preeiso meccanismo di flusso plastico. Tali considerazioni consentono, come già nel caso delle lastre, di concretizzare in molti casi il valorc del carico di collasso pcr v,trie condizioni di vincolo e di carico dell:1 struttura. Un esempio concreto in tale senso viene svolto nel paragrafo seguente.
---- (r m r ) 2
mr
(5.81 )
e quindi attraverso le eondizioni:
ic r =
A tali condizioni va aggiunta la relazione:
= -A-
(5.88)
Volendosi determinare una limitazione inferiore al carico di collasso si fa al solito l'ipotesi che tutta la piastra all'atto del collasso sia plasticizzata. Affinchè tale circostanza si verifichi è immediato dedurre per il rispetto della (5.85) che il centro della piastra deve sviluppare un regime di sforzi eorrispondcnte al punto B dell'esagono di snervamento di fig. 105. 217
Poichè peraltro m T , in conformità con la scconda delle (5.84) deve annullarsi per r = l, è plausibile pensare che il Iato BO dell'esagono suddetto corrisponda ai regimi di sforzo che si sviluppano nella piastra in tutto il campo di definizione:
o ::;;
r ::;; l
Anche in questo caso può però dimostrarsi che il valore (5.95) costituisce l'effettivo valore del carico di collasso della struttura. Al lato BC dell'esagono di fig. 105, è associato infatti, per la legge di normalità, un vettore velocità di deformazione definito dalle componenti:
(5.89)
kr
Poichè su tale lato si ha: m<J>
(5.90)
k ~ O
O,
=
In conformità con le (5.91) devono quindi essere verificate le condizioni:
la prima delle (5.84) diviene: 2
d w
d2
7i;2- (r
mr )
+rp
dr 2
(5.91)
O
=
(5.96)
=
O
l
d~
r
dr
::;; O
(5.97)
Il vincolo perimetrale richiede inoltre che SIa: e integrata porge: nl T
pr 2 6
== -- ----
+
1
Cl
~=O
+ -C2 r
O2
=
O
(5.H3)
In definitiva quindi il regime di sforzi associato al lato BC dell'esagono di fig. 105 risulta descritto dalle rclazioni:
mT = I
J)r
=
l
(5.98)
w=o(l-r)
(5.99)
con O costante arbitraria positiva soddisfa le (5.97) e (5.98) ed è dunque associabile al regime staticamente ammissibile prima determinato. Ciò prova che l'espressione (5.95) costituisce l'effettivo carico di collasso della struttura.
2
6
rn<[>
=
1
(5.94)
ed, in conformità con l'ultima delle (5.84), risulta in equilibrio col carico:
p=6
(5.H5)
Itilevato ora che il regime (6.94) per p= 6 è sempre contenuto nel segmento BC dell'esagono di snervamento, è lccito asserire che l'espressione (5.95) rappresenta sicuramente, per il teorcma statico, una limitazione inferiore del carico di collasso della struttura. 218
r
È elementare verificare che il meccamsmo:
eon Cl e C 2 costanti arbitrarie. La condizione (5.85), esplicitata in conformità, con le (5.!)O) e (5.92), richiede peraltro che risulti:
C1 =
per
(5. !l2)
Analisi limite delle piastre rettangolari Nel caso delle piastre rettangolari le direzioni principali non sono note a priori. Si potrebbe tuttavia come già nell'esempio sviluppato per le lastre, adottare ancora il criterio di Tresca osservando che gli sforzi principali .M l , .M 2 sono deducibili in funzione di ]j,l x , y , M xy attraverso le usuali rehtzioni:
.M
.MI, 2 =
~0_~_~y_
±
V-(-~.!-=2- My-y:-;-.M~-y-
(5.100)
219
Risulta più semplice tuttavia avvalersi della condizione di Mises (5.77) con la quale ovviamente la trasformazione (5.100) non risulta più necessaria.
Una qualsiasi distribuzione di sforzi interni che soddisfi le condizioni di equilibrio e che inoltre verifichi la condizione di compatibilità plastica: 2
mx --- mx my
Ty
T, M
II
i M yx
· /jM v
..
'iX
/
I
/
~
,; /j,M,y
/
<'T
-f-Oy y
y
-
M
T, ./j,TY
'Z
f~ '1 dx
__~
y/
dY
cP (m x , my, m XY ) = m~ - mx my
Ciò premesso il problema dell'equilibrio, in conformità con le notazioni di fig. 108 risulta retto dalle equazioni:
aM yx
x --+----= ax DY
Tx
DM xy -DX -
Ty
D'l' DX
DM y
+-----= DY + -D'l' --y DY
=-= --
acp_ ~
·
ky
Dm y
· k xy (5.101 )
p
=
D2M xy a2My 2 -DXDY +-DY2-=-P
~
==
D~__ = 6 -Dmxy
+ m~ + 3 m;y
(5.104)
(2
11Iy -
11I x )
(5.]05)
~m.ry
con À fattore positivo arbitrario, si trae dalle (5.105):
mx
1 =
---
. (2 kx
-+
.
/cy)
3~
.
]
my = - - (2 /cy (5.102)
Tale condizione va poi accoppiata con le condizioni di equilibrio sui lati perimetrali associate ai vincoli ivi esistenti.
220
(5.103)
Dmx
unificabili nella sola equazione:
D2Mx iTx2-+
l
a~ ~ = ~ (2 mx -- my)
· kx
x -- -
~
risulta:
Fig.10S
aM
2
3 m xy
in ogni punto del dominio di definizione, conduce, in accordo col teorema statico, ad un limite inferiore del carico di collasso. Per la valutazione di una limitazione superiore è opportuno definire in forma esplicita la potenza unitaria dissipata associata ad un qualsiasi meccanismo di collasso ed alla condizione di snerva mento prescelta. . In tal senso, osservato che per la legge di normalità, posto:
""0---,
"\ --tr
+ my2 +
.
+ lc
2 :)
(5.IOG)
3~ 1
.
m xy = --- /c XY 6~
221
(/) =
Poichè l'insieme (m x l, deve risultare: _1._
deve verificare la condizione
, m y , m XY )
~(2 kx + ky)2 -
(2 kx
+
()2mx
k x) +
+
ky) (2 k y
l'equilibrio richiede che siano soddisfatte le condizioni:
ox2
9 À2
2 [J2m xy ò my + -----+ --òx òy 2
• 2
+ (2 Ìc y + kx)2 +
3
~~I 4
~
l
=
(5.107)
=-p
-l:(x:(1
per
-(3:(y:(f3 (5.1]])
mx
=
O
per
x = ±
my
= O
per
y = ± (3
y
Il fattore À risulta dunque espresso univocamente in funzione delle velocità di deformazione dalla relazione:
--= I
. À=
l
~. 2
kx
V3
'2
••
Kxy
• 2
I2
2 M. o · --s-
À=
2 Mo
-II--4-;_ ._L _____ ~ ~
(5.108)
I I I I
I
~.
• 2
2
--~ /kx
I I I
"
+ kx k y +
• 2
ky
k xy
I
+ --4-'
La piastra rettangolare appoggiata soggetta a carico uniforme Si consideri la piastra rettangolare di fig. 109 semplicemente appoggiata al contorno e soggetta a carico uniforme P. Introdotte le variabili adimensionali: y
x=-X- , y= -;C'
fi =-~
B
-it '
PA2 P =- Mo
A (l -- ;(2)
rnx
=
my
=B
(1- y2_) fi2
(5.11 2)
m xy = O xy essendo A, B, O costanti arbitrarie cdllegate al carico p per la prima delle (5.111) dalla relazione:
p =
2(A + -~2
- -
O)
(5.113)
Affinchè tale regime sia staticamente ammissibile deve essere soddisfatta in ogni punto del dominio di definizione la condizione (/) :( l con (/) espresso dalla (5.104). Con la scelta (5.112) la (5.l04) assume peraltro l'aspetto: cP
(5.] lO)
I
Un regime di sforzi equilibrato può quindi assumersi nella forma:
(.5.109)
Poichè peraltro le velocità di deformazione sono legate univocamente attraverso le (5.69) e (5.73) al meccanismo prescelto, resta evidente che la (5.109) consente di determinare la potenza dissipata associata ad un qualsiasi meccanismo di collasso e pertanto, attraverso il teorema cinematico, di definire una limitazione superiore del carico di collasso.
I
A - .----t
A
Fig. lO!)
1
-2
I
+--
HV 3
x
-j---
t}--
+ kx k y + k y + -4-~
+ B
I
-
In possesso dell'espressione (5.108) è ora possibile esplicitare l'espressione della potenza unitaria in funzione delle velocità di deformazione osservando che effettuando nella (5.74) le sostituzioni consentite dalle (5.105) e (5.77) si trae:
D=-=
--1
I I
l
= A2 (l
-
x2)2 -
AB (l -
x 2)
2 + B2 ( (1 -- -~2-)
+ 302 X2 y2
l -
2 )2 + -~2 (5.114)
. 222
223
Per ogni prefissato valore di x, (]> risulta dunque essere una funzione del quart'ordine di y che soddisfa le seguenti proprietà:
Le (5.115), esplicitate in conformità con la (5.114) porgono così le relazioni:
a) simmetria rispetto all'origine y = O;
A2-AB+B2
b) positività dei suoi valori per qualsiasi valore di y (*).
B2
~
l
A2
~
l
Ciò comporta che l'intersezione della (5.114) con un piano di equazione x = costo da luogo a una curva del tipo illustrato in fig. 110.
3 C2 {J2
o
(5.117) ~
1
y
Cl = -
Fig.11G
Tale proprietà si riflette immutata per le intersezioni con i piani di equazione y = costo Ciò premesso resta evidente che i punti nei quali (]> può presentare i valori più grandi corrispondono all'origine degli assi, ai punti di mezzerÌa dei lati perimetrali e ai quattro vertici della piastra. Tenendo conto della simmetria è quindi suffieiente imporre che risulti: (]>
(1, O) ~ l,
(]>
(O, (J)
~
1,
(]>
(l, (J) ~ l
(5.]]5)
per esser certi che risulti ovunque: (]>
(x, y) ~ l
per
--- l
~
x
~
-(J~y~{J
(.5. Il 6)
{J
+
Al = l, SI
Bl
=
l
(5.Il9)
trae quindi dalla (5.113) la limitazione inferiore:
1'~2(1+ ;,
-I
y';p)
(5.120)
Per il calcolo di una limitazione superiore, introdotte le variabili adimensionali:
TV (1) Tale proprietà deriva dall'essere t1> una funzione quadratica definita positiva delle componenti mx my m xy . Ciò è infatti immediatamente rilevabile osservando ehe la
v3
(5.118)
mentre per ciò che attiene Al e BI è evidente che fra tutti gl'insiemi A, B che soddisfano le prime tre delle (5.Il7) deve scegliersi quello che soddisfa 1<1 condizione A (B! (J2) = max. Si rileva quindi immediatamente che dovrà scegliersi:
e (O, O) ~ l,
l
Per tutti gl'insiemi di costanti A, B, C che verificano le (5.117), la (5.113) fornisce una limitazione inferiore al carico di collasso. È evidente che la miglior limitazione corrisponderà all'insieme Al, BI, Cl che soddisfacendò sempre le (5.Il7) rende massima la (5.113). Per ciò che attiene Cl è immediato rilevare dalla terza delle (5.1l7) che si dovrà porre:
$1
(]>
~
w=
II
II
h=A
(5.121)
I :
(5.lO4) può scriversi nella forma equivalente:
t1> = ! {mx __ rny)2 o
224
+ mx2 + m,,2 + 6rnXy2}
è immedillto rilevare che le (5.69) in conformit:ì con le (5.73) porgono:
225 I
I
•
kx
()Zw.
()Zw.
= - hZ ---- k ()x Z
'
y
2 hZ --;::---- (5.122) ux oy
La potenza dissipata per unità di area espressa dalla (5.100) assume con l'aspetto:
D
=
2_~~
• h \ ( __~~~)_)
___
A
y3
I
ox z
+
oyZ
=~
fA fil
ox2
2 .Mo A 2) i =, ------- h
(-d~-~-)21"2
(5.123)
D (X, Y) dX dY
r f /' !P
l
(D2'W) 2 (hZ -
l
)2 •
2
+ (--~!~-) +
f
(5.128)
wdxdy
-p
che rappresenta l'espressione generale del limite superiore al canco di collasso associato al meccanismo == (x, y). È però da osservare che per meccanismi (x, y) generici la (5.218) non è di facile esplicitazione numerica in quanto compare in essa un integrale di funzione irrazionale di non semplice calcolazione. Se però si fa riferimento a meccanismi di eollasso a plasticizzazione concentrata lungo linee (cerniere plastiche cilindriche) tale ostacolo viene immediatamente superato. Si consideri infatti un elemento - -I
D2w
iJ2io
+ -0--;;2- -;ii/2- + (Fi.12ii)
iJ2?;) ( -()x()y-
)21+
a z
(h: dy +------~-l
-t--
A fII
f
=:1
--n p
WdX d Y
l l
SPe = 1110 A h
I
(5.126)
X
:
e
- -+.
e--+--
I I
b
l
1
J
- 1
ffl
~
I
I
assume peraltro, in conformità con le (5.110) e (5.12l), l'aspetto:
z r"ig. Il t
p
u) dx dy
(5. 127)
- jI
Tenendo presente che p è costank, l'eguaglia,nz,1 fra (5.125) c (ii. 127) fornisee l'espressione: 226
IfJ
l
(ii. 124)
La potenza esterna:
2?e
oy"-
02W )2 t.2..2 dxdy + (--OX oy
2
Xo
scrive:
oy2
--11
-A
SI
ox 2
w w w
e la potenza dissipata relativa a tutta la piastra:
!/]j
p+
-
-l
l
D2' 2 (-DY~--) +
-l
y3
2+ _02~___~:1~ +
Dxz
Il IfJfJ I\( OZw_)2 + _?~~ ~ + (~2W_)2 +
()2(;;
-- hZ ---,--, k xy = ay2
di lunghezza Lll di una ipotizzat.a eerniera plastica che si supponga per semplicità ortogonale all'asse x, e sia Ù il valore della rota~\ione relativ,1 fra i due clementi di piastra intorno a tale cerniera (fig. llla). 227
Per valutare il contributo offerto dall'elemento di lunghezza Lll all'integrale che compare a numeratore della (5.128) può approssimarsi il meccanismo di fig. l11a con il meccanismo di fig. l11b ove la discontinuità angolare è viene diffusa in modo continuo su un segmento di lunghezza 2e ponendosi:
.
W
== wo
ih + ih + -----2
(x -
xo)
ÌJ 2 - ÌJ I (x - XO)2 + ---- - 2--2 e
(5.129)
con rotazioni relative Oi la (f).128) si scrive:
p+
2: 8 lt i
= -~
i
y3
(5.135)
jr
Nel caso in esame si assume quale meceanismo di collasso quello illustrato in fig. 112 ove la lunghezza 2 Il della cerniera cilindrica centrale è lasciata incognita al fine di avvalersene come parametro
Nell'intervallo: Xo - - e :::; x :::; Xo SI
+e
(5.]30)
ha allora:
I
à2t~
O2
--
2 iJ w = O, iJy2
01
2e
àX2
ax éJy
(5.131)
I
I
I
I
+J,[A
e rilevato che:
i
I
I
+-
I
Ò2 - - Òl = Ò
I
(5.132)
I
I
! I
t"
l'
+"
: I
l
si trae:
Ing. 112
I \ (_ iJ2~_)2 + _ I I
éJ2';;_ ~2~ éJx 2 oy2
xo +e X
o
-e
,JI
iJx 2
_+ (~2~ )2 + éJy2
di ottimizzazione. Detto ò lo spostamento relativo a tale cerniera, le rotazioni rigide dei quattro elementi risultano eSSNe: (5.133)
+ ---- )21 ~ dx iJ2-:V ( iJx oy
2
dy .~-=
. O AI
Indicando quindi con :
. = Il JfI
V
-l
b
Elemento l:
Ox = l--/~-
Òy = O
Elemento 2:
Ox = O,
8y
b
==
--71 (5.] 36)
.
wdxdy
(4.] 34)
Elemento 3:
bx = -
1'~lemento
o,,;
-p
il volume generato dal meccanismo di collasso, nell'ipotesi che questo si sviluppi per fermazione di u cerniere cilindriche di lunghezza li
228
! {l
j
2
éJ w _ = O
-II
4
4:
=cc
0,
b
-l"-==-;-
Oy
=
O
Uy
=
--or
b
229
La rotazione relativa nella cerniera centrale di lunghezza h = 2 Il risulta quinùi essere:
éc=-p
(5.137)
y(l -
1')2
+
fJ2 risultano essere:
- -O' (;-)0- --j (O' (l) · o --- V(O' (1) O x _ . - x " -y
- -
. Y (1 -
= <5
1/ ')2 V (-j-=-~--;- )2 + (b -/F =
'O(2»)~ y
(1 -
+ (:J2 -
4
= ---3
. (:J (1 --l') <5
(:J2 {3
.
+ __
2
- --
Oe le
y3
+ 4 bo lo
2
= -- (:J (2 3
V
4
y3
= -- -
I
I
.
+ l') o
I
!!
I l
20
(5.139)
p "Ef
-- I
!
l-p+(12 2-
/l -
)l2
/1 /'
Il :::;; l
i ,/
41
(5.] 4 J)
!
una limitazione superiore al carico di collasso. La migliore limitazione corrisponderà quindi al minimo ùella (5,140) nell'intervallo (5.1-11). Derivando la (5.140) rispetto a p, la condizion_e di stazionarietà di p porge l'equ a zione :
230
(:J2
= O
(5.142)
,/11
I : .
i ./
:/
/
"
I
,i
I
,
"/', l i1 I
1
I
,/
I
2
i
: //
61
(5.140)
/
y
81
0
/
I
/
1
l
+ fP) l' + 1 -
+
I
i
e fornisce per og ni valore di Il compreso nell'intervallo:
2 (1
(5.145)
:1
;
112 -
(5.144)
2 (:J2 -- 2 (:J y3 +72}
101
(:J2
o : :;
+ (:J2
1
La (5.135) assume allora l'aspetto: p
(:J y3
80
1')(1
+ 2 (:J j-l <5
(5.143)
(:J2
4Y3 -- --
p+ =---=
Il volume V descritto dal meccanismo è fornito inoltre dalla relazione: . V
+
Tale valore corrisponde all'ascissa del punto di mll11mO di p rispetto a l'. La sostituzione della (5,144) nella (5.140) fornisce così quale valore della limitazione .superiore ottimale per il meccanismo prescelto:
(5.138)
+ pz--
p)2
(:J2 ± (:J y3
Di tali radici l'unica compresa nell'intervallo {5.141) risulta essere : /1 = l
mentre le rotazioni relative nelle quattro cerniere oblique di lunghezza lo =
+
1'1.2 = l
b
2
le cui ùue radici si scrivono:
V
1/
CJ"
)'
'
l'
28
,
. ,
:
I
o,O L__ I .. - .1 .. . . l D,H 0,6
O."
2
A
I
I
!! ~i
iJ
0/
0,1
Il
Fig , 113
I valori delle due limitazioni (5 ,120) e (5,145) sono confrontati al variare di fJ nell'abaco di fig. 113 dall'ispezione d el quale si rileva imm ediatam ente come l'intervallo ent,ro il qu ale il carico di collasso 231
resta definito attraverso tali limitazioni risulta sufficientemente stretto ai fini t ecnici.
rI-
Cenni ad ulteriori problemi risolti
Tali sistemi tuttavia nel caso di maglie molto fitte possono essere convenientemente sehcmatizzati come continui bidimensionali particolari l461 aventi in media le stesse proprietà limiti del sistema discreto reale. r--r--- ·--\'---.-- --~-·- T-- ---~---.---- ---,--~r_--__,_---,
La formulazione generale del problema del collasso rigido-plastico delle piastre risale ad alcuni studi fondamentali di Hopkins [21] Schumann l22j, Hopkins e Pragel' [23]. Num erose applicazioni nel campo delle piastre cil'colar i in condizioni di carico assialsimmetrico, tanto nell'ambito dei m ateriali isotropi, che n ell 'ipotesi di comportamento ortotropo, sono sviluppate nei lavori [24 ... 32]. Per piastre prive di simmetria assiale solo in alcuni casi sporadici so no invece state studiate soluzioni complete. In questo settore un lavoro molto pregevole è dovuto a Zaid !33] che ha risolto in forma completa il problema del collasso plastico delle piastre di contorno generico e a vincoli rigidi soggette a carico concentrato. Soluzioni complete nell'ambito dell e piastre rettangolari appoggiate con carico uniforme sono state fornite da Shull ad Hu [34], l35]. Tali soluzioni sono state generalizzate da Cap urso [36] al caso di vincoli generici a l contorno. Il problema dell'influenza di un diverso comportamento limite a trazione c compressione p er il materiale è stato esaminato d,1llo stesso Autore e d a altri in [37 .. .40], mentre un impostazione matematica per la ricerca delle limitazioni inferiori e superiori al carico di collasso è stata fornita da Villaggio [411. Compendi notevoli nel campo di tale problematica si trovano nei testi di H odgc [j 9], [271, lVIassonnet [201, Sawckzuk e J aeger l42].
J( - ~S
--t--i--~--}--+--~--L-J.i -----1- - -
---- +-"""
L -. ... L _______'---- L
.---
.J___
+_. .___
,,'- .__
(-
-"
x
x
----L.~'---..l.- --1- .-.-
. .,l.- -::-+I .
Sy
yT Fig. 114
Si consideri infatti il grigliato generico di fig. 114 avente maglie ortogonali di dimensioni Sx, Sy e siano (vi! x , vi! Xy), (vi! y, vi! yx) le azioni interne flessionali e torsionali che competono alle singole nervature delle orditure parallele ad X ed y (fig. 115).
y
// s,
5.4
Il caso dei grigliati
Defini zione delle caratteristiche generalizzate di sforzo e di deforma zione e della superficie di snerva mento I grigliati sono str utture costituite da, sistemi di travi incrocianti8.i ad aligolo retto o obliquo mutuamentc saldate ili corrispondenza dei nodi c variamente vincolate alle estremità. Uvme tali quindi i suddetti sistemi non rientrano strettamente nell'ambito delle strutture bidimensionali ma piuttosto nell'arn bito de i sistcrn i di travi a molte iperstatiche.
232
"r
/
M" r; l'
(il
M ''':'' x
s, Fig. 11'i
233
J ntrodotti i momenti medi agenti per unità di lunghezza del continuo equivalente: Mx
=
Ax Sx
.$1 xy
M xy =
Sx
(5.1 46)
111 y
=
J/ y Sy -,
.$1 yx M yx
COH •.A0 t momento di piena plasticizzazione per sola flessione e AOti momento di piena plasticizzazione per sola torsione. Se pertanto indicando con (AO x , AO xy ), (AO y , AO yx ) le analoghe quantità pcr le nervature ortogonali si pone:
= -
Mox =
Sy
e si tratta ora
SI
A
o
O
x
Sx
o
M xy =
afV =~
({Jy
ax
=
aiv
Mx
1nx =-- -MO
, 1n xy
-- , Sx
Mxy =
o
o
M yx = .
.,II yx ----c-
My
MO
my=~,
'
xy
x
1nyx =
y
ky
-
a~x
ax - =.-~
= __ a~!L
ay
_
a2 TV -
- -
- -
aX2 '
a2 w
ap ,
.
a'
]{xy =-co _ _ ~ __
.
2
. a({Jx
. ]{YX =
--BY =
+ m 2xy =
l,
2
1ny
2 + myx ==
.,lei;
' 234
(5.152)
l
B
o
x ,
I
(5. 148)
B
I
2
Hesta il problema della definizione della condizione di snervamento per il ()ontinuo equivalente. A tal fine si ricorda ehe per 1111a generica travc la condizionc d i snervamellto per fiesso-torsione P'lÒ essere convenientemente rappresentata nella forma :
)2+ ( Jt~ )2 (~~: .$li
(5.151)
-r-
a w.
a__ w -ay aX
yx M ~fo
y
2
ax - -
(5.150)
yx
per entrambe le nervature; supponendo valide tali relazioni in ogni punto, si t rae per le componenti generalizzate dalla velocità di deformazione:
k x =~ -
/:5y
si dedu ce immediatamente dalla (5.149) che le condizioni di snervamento del continuo equivalente divengono:
(5.1 47 )
ay
=, -
o ..A y
adimensionalizzano gli sforzi interni con le posizioni:
1nx
q'x
o My
Axy __ Sx
(5.14n)
1
- A
----- ----- ~
-- A --
-- - I
t---
Fig. 11G
Analisi li1nite dei grigliati su pianta rettangolare
Si consideri ora il caso di un grigliato a maglie ortogonali su pianta rettangolare di semilati A c B (fig. 116) e sia P (X , Y) il carico continuo equivalente in media all a distribuzione nodale di forze con centrate esterne .
235
Le condizioni indefinite di equilibrio nel continuo cquivalente risultano sempre espresse dalle (.5.101) con l'unica variante che nel caso attuale risulta in genereMxy # Myx. L'unica equazione cui, in accordo con le (5.105), il problema è riconducibile risulta quindi essere: f)2M x
fJ2(Mxy+Myx)
--+ fJX
+
2
fJ2)JiJy
=-p
Posto peraltro:
2
+ m 2xy
~
2
l,
my
2 + myx
~ l
(5.153)
SI
+ M xy k xy + Myk y + MyxKyx
== Mxkx
(5.155 )
• ky
0
111 y
A .
Ky.
=-' - - - -
11fo
Mo
=v
•
!c xy
x
==
2 my
2 mx
- fJf/J:._ fJm xy
\
~x =
2 rn xy Ax
III
(5.158)
~x .
(5.159)
~
y
fJf/J _ fJm y
. ky
fJf/Jy fJrn yX
.
? le yX = con
~y
=-= 2 rny
; = Ay
~y
2 rnyx Ay
fattori arbitrari purchè positivi. La sostituzione delle (5.159) nella (5.157), tenuto presente che dev'essere f/J x = ], f/J y = l porge quindi per la dissipazione unitaria interna: 2Mo· . (5.160) D = - - - (À,x ;'y) Ax Ày
.
Per esplicitare Ax e ;'y in funzione delle componenti adimensionali della velocità di deformazione si osserva ehe, risultando dalle (5.159):
o
MxyA.
= ------ Kxy Mo
o
.
le yX
MyxA. K yx ,
= --if-;-
kx
mx
(5.]56)
!c y
my
2 ~x
MOMO x y
m xy
2 ~y
kxy -
rnyx
•
=
(5.161)
kyx --~-
2Ay
2Ax essa,
2 + rnyx
~ =
ihn.'
) . xy rk -
. • MxA. kx = - - - K x , Mo '
f/J y
+
rileva che, illtrodotte le posizioni: o
fJf/J
\ k.
(5.154)
in ogni punto del dominio di definizione, conduce, in accordo col teorema statico, ad un limite inferiore del carico di collasso. Per la valutazione di una limitazione superiore, osservato che la potenza unitaria dissipata, si fìcrive:
D
2
mx
le velocità di deformazione adimensionale conseguono dalla legge di normalità nella forma:
e va, poi ovviamente accoppiata con le condizioni di equilibrio ai limiti associate alle condizioni di vincolo sui lati perimetrali. Una qualsiasi distribuzione di sforzi interni che soddisfi le condizioni di equilibrio e che inoltre verifichi le condizioni di compatibilità plastica: mx
+ m xy ,
2
f/J x
conformità con le (5.151), assume l'aspetto: la sostituzione delle (5.161) nelle relazioni (5.152) porge: D =~
..llIo
·
.
.
.
A- (m x kx + rn xy k X1J + my k y + myX le yx )
(5.157 )
. },x
l
= --2
y--------+ .2'
kx
•2
le XY
.
1
Ay = --2
y--------+ .2
k .1l
•2
le yX
(5.162)
,236
237
I due sistemi di nervature ortogonali siano identici e siano vito, vIt tO i valori limiti dei momenti di flessione o di torsione per la singola nervatura. Detto 8 l'interasse delle nervature si ponga:
La (5.160) assume così l'aspetto definitivo:
Mo D = - A-
h/.2 (V
kx
1/.2 .2!
·2
+ k xy + V !c y -\- k yx \
(5.163)
Tenendo presente che le velocità !c sono legate linearmente attraverso le (5.156) e (5.148) al meccanismo prescelto, resta evidente che la (5.163) consente di determinare univocamente la potenza dissipata associata ad un qualsiasi meccanismo di collasso e pertanto di valutare, col teorema cinematico, una limitazione superiore del carico di collasso.
M
_
0 - --
o
vlt t fJ = - vlto-
vito -
8
(5.164)
Con tali posizioni le (5.150), assumono l'aspetto: o
Mx
Q
=
My
M
==
Q o 11-1. xy = M yx =
o
fJ lWo
(5.165)
e le (5.151) si scrivono fluindi:
v
Mx
-M
Inx =
o
ln xy oc_=
M yx
My
1Y1 xy my
(J~WQ
= -M
o
'
myx
P-M~
(5.166)
Introdotte quindi le variabili adimensionali:
x
--
~ s
~
I--
x
t
Fig. 117
Il grigliato su pianta quadrata semplicemente appogyiato e soggetlo a carico uniforme
A titolo esemplificativo si consideri il caso del grigliato di fig. 117 a maglie e pianta quadrata soggetto a carico uniforme e semplicemente appoggiato sui lati perimetrali.
y
Y
= co
PA2
"A--
P
=
(5.167)
-MQ
le condizioni di equilibrio, in conformità con le (5.153), (5.166), (5.167) assumono l'aspetto:
02 (mXY + myx) ---+ fJ - - - - -ox 2 ox oy
A -
A
x -.Ji- ,
[j2m x
.!
+
==
oZrny
-\- -- - = - p per ay2
= ± l
mx
= O
per
x
rny
= O
per
y =
±
- - l::C:;x::c:;l
-
1 ::c:; y::c:; l (5.168)
l
Un regime di sforzi equilibrato che tenga presenti le condizioni di simmetrill del problema, può allora assumersi nella forma: mx
=0=
A (l - - X2)
my
==
A (l -
m,xv
== Bxy
myx
= B yx
y2)
(5.169)
239 238
essendo A e B costanti arbitrarie legate al carico p per la prima delle (5.168) dalla condizione:
=
p
+ {3 B)
2 (2 A
La potenza dissipata per unità di area espressa dalla (5.163) assume quindi l'aspetto:
(5.170)
Mo
D = -y
Affinchè tale insieme sia staticamente ammissibile devono essere soddisfatte in tutto il dominio le condizioni (5.154) che nel caso attuale assumono l'aspetto:
+ B2 x 2 y2 y2)2 + B2 X2 y2
X2)2
A 2 (l -
A 2 (1 -
BI
=
(5.175)
l /( cJ2w )2 (éJ W )21 + V 8y-Z- + {32 -15;ay- ~ 2
I
:( l (5.171)
:(
e la potenza relativa a tutto il grigliato:
Con ragionamenti del tutto analoghi a quelli sviluppati preced.entemente per la piastra rettangolare si dimostra che i valori A l B l che, compatibilmente col soddisfacimento delle (5.171), rendono l'espressione (5.172) massima, risultano essere:
Al = l,
.!l'. , -
SI
l =
Mo A
Dalla (5.170) si trae quindi la limitazione inferiore:
=
2 (2
+ {3)
(5.172)
Per il calcolo di una limitazione superiore, introdotta la velocità adimensionale:
W w = A"-
(5.173)
= - -
cJ2w f)x 2
'
Ìc
Ìc y = ~. - oy2 ' . 240
J1
- l
-l
f)2w --~-
= - p
ky x = -
{3
ox f)y
(5.176)
)2 + {32 (éJ 2W )2 + éJx éJy
-( a~w )2-(-~~::-)~I ---+ V {32 - - éJx ay
ay2
(5.177)
dx dy
La potenza esterna:
.!l'e =
JA JA
P iv dX dY
(5.178)
- A
assum e pemltro, in conformità con le (5.167) e (5.173) l'aspetto:
ox oy , f) 2 w
éJx 2
Jl Jl - 1
(5.174)
cJ2w
+
J IV( l
.!l'e = Mo A
f) 2w
Xy
D (X, Y)dXdY
-A
- A
-A
è immediato rilevare che le (5.156), tenendo presenti le (5.148) e (5.162) porgono:
Ìc x
A fA
J
SCrIve quindi:
.!l'i
p-
11/( 02W )2 (02 W )2 V 8x2 - + {32 -ox oJj- +
P wdxdy
(5.17!))
- 1
L'eguaglianza fra (5.177) e (5.17H) , tenelldo presente che p è costante porge quindi quale espressione generale del moltiplicatore di collasso associato <1
w:
241
p+
= l Jl !V(------ )2 + J -l
+
fJ2{v fJx 2
,-l
V(---;--)2 + fJ2{v fJ y 2
2
Jl Jl -l
fJ2{v fJ2 ( - -fJx uy
fJ2 (fJ ---,u)fJx òy
y
)2 +
TJ
)21 dx dy (5.180)
'Wdx dy
<1, o
- l
qJ
Anche in questo caso scegliendo meccanismi di collasso gencrIcl la valutazione della limitazione superiore attraverso la (5.180) risulta essere piuttosto complessa a causa dell'integrale a numeratore . Una via semplificata si ottien e al solito con l'introduzione delle cerniere cilindriche. Indicando quindi al solito con /Jl un tratto elementare di una tale cerlliera la cui normale 1; formi l'angolo (P con l'asse d elle x, n ella striscia di grigliato di spessore 2 e a cavallo di t ale cerniera (fig. 118) la velocità di spostame nto può a ppross imarsi con la funzione qu adratica:
.
w
=
.
Wo
Ih + iJ + --_ .-2 - - (~ - ç-o) + -ih_.---2 il. •
2
(~-- ~o)2
-
--2e
I
x eos cp
+ y s in cp
_ _o
fJ:l;2
!!_ __e
i)2{v (ix òy- = c] 2
" iJ
<'08 2
= _')
o
.~ '"
-t --
I _,I
I
Vi
I I
'
!
~
il, Fig. 118
Il contributo offerto all'integrale che appare a numeratorc della (5.180) dalla deformata (5.181) nel campo di area 2 e.di risulta quindi essere: €p
+ fJ2 sin2 €p + sin €p V sin 2 cp + = m
(5.183)
(€p) {}
fJ2 cos 2
.dl
€p }
iJ Lll = (5.185)
avendo posto:
m (cp)
=
cos cp
V cos
2
cp
+ -p'2;;in
2
€p
+ sin cp V
sin 2
€p
+
fJ2 eos 2 cp (5.186)
avendo pORtO :
242
"
, I
(5.182)
2 = - 2---e 'Hin. cp
o
: I
b
b ==.= ih __ ih
I
v_
w&
y2
I
,
(5.181 )
cp,
cp COR cp,
I
I
{cos cp V cos 2
-'2~- sm
I
V.
N ell 'illtervallo 2 e e per lo spessore .d l si ha allora:
rplV
I
S ·L ".
essendo palesemente:
=
,
-r e + e ,
w ~
[,
(5.184)
cd essendo inteso che i seni e caselli a fattore delle radici vanno presi in valore a8so11l10.
243
Ciò posto se il meccanismo di collasso si sviluppa con n cerniere cilindriche di lunghezza li angolo CFi a rotazione relativa -&i la (5.180) diviene:
2: m (CF/) 1ft li p+ =
(5.187)
v
Nella tabella 5.1 sono riportati per fJ variabile tra O e 1,2 i valori delle limit azioni inferiori e superiori dedotti in conformità con le (5.172) e (5.190). Nella quarta colonna è riportato il valore medio con le differenze e nella quinta l'errore percentuale rispetto al valore medio dello scarto che definisce l'intervallo. Valori di fJ più elevati di 1,2 non sono stati considerati essendo fuori del campo realizzabile con nervature comuni.
avendo posto al solito:
v
==
Il Il iv -l
dx dy
(5.188)
-l
Tabella 5.1
Nel caso in esame assumendo il meccanismo a piramide di fig. 119 detto b lo spostamento del punto di centro si trae per ciasc una delle quattro cerniere cilindriche:
~
=--;
2 -~
l=y2,
y2
m
=
yl + fJ2
(5. 189)
1--- - --
4.
V=-o . 3
0,2
0,5 0, 6
- -----
--...(Tt
0,7 0,8
I itz
0,9
6,99G
6,099
7,326
5,400
6,363
± 0,831
--
± 0,855
J, l
6, 198
- ---
± 0,897
f------ -~
1, 2
(5.190)
6,402
6,936 7,242
14,70
± 0,963
- --- - 15,13
± 1,044
15,7 1 -- -- - - - -~.
± 1,1 34
16,34
± 1, 248
--
17,14
--- - - - - -- - - - - - - ---
- - -- - - -
7,560
8,922 -
- ---- - - --
--- - ---- - -- - -- - ---- - --- - 8,484
--
14,60
- - - - - _._- -
- - --~---- - -_ .
8,070
5,802 6,000
14,75
- -- -- ---
-- - - - -----6,642
7,686
5,598
l,O
15,29
- - -- - --- - - ----- - - - -- - -
~- - ~-
- - - - - ------ - -
e la (5. 187) porge pertanto:
. 244
5,853
- _ ._
- -~ - -
11'ig. 11!J
= 6 yl--~-p2
5,631
6,708
5,202
16,37
-------
± 0,831
- --- - - - - - - - _.
~!;~.
p+
.-- -
± 0,861
---~ - --- - --
- -- - - -- - -
4,998 f - - - --
~--- --
- - ---------
6,462
---- - --
. f----
- - -- -
5,433
- - -----
4,800
0,4
5,259
-- - - - J 7,88
---------~
6,2G4
1---. -- - -
± 0, 91 5
- -- -- - ~-- -
6,120
4,602
0,3
/
5,115
--
19,97
-- -
6,030
4,398
- -- - --
± 0,999
--
r--
- -- -
- - _.-- -
T,
5,001
- - - - - - - - - -- - - - - - -- -
._~-_/
- -_.
4,200
0,1
--~-------
6,000
f------
%
Cari co di collasso
- -----
--
4,002
O
.
Limite superiore p+
Limite inferiore p-
f1
± 1,362
18,01
-- -
- - - ---
9,372
7,887 --
± 1,485
- --
--
18,82
- --
245
Oenni ad ulten:ori problemi risolti Il calcolo dei grigliati rigido-plastici come sistemi discreti è dovuto sostanzialmente ad H ey man l43], [44]. Uno studio relativo al collasso dei grigliati intesi come impalcati da ponte e trattati sempre al discreto è dovuto a Sparacio [45]. L'introduzione del continuo equivalente nell'analisi plastica dei grigliati è dovuto a Capurso [46J. Due estensioni relative ad altri casi di vincolo perimetrale [47} e ai grigliati a pianta (~ maglia oblicJl1:t [48} sono dovute a lVIa7.7.0lani.
In accordo con l'ipotesi a) se U, V rappresentano le velocità di spostamento della superficie media secondo .; ed 'YJ e se ~I, ~2 rappresentano le velocità di rotal,ione della normale si ha:
t;
t;
(Z) =
-+
Z ~I
li (Z)
,
=c
li + Z
~2
(5.192)
Dalle (5.1!)2), tenendo presente l'ipotesi (5.191) discende che la velocità.
+ Z Xc E", (Z) = E~ + Z X y", (Z) = jl ;~ + Z k ,~
Eg(Z) = E; 5.5
Il caso delle lastre curve
D efinizione delle caratteristiche generalizzate di sforzo e d'i deformazione e della superjicie d,i snervamento Si consideri una generica sUI;erficie a doppia curvatura, e siano ~ e "Y) le coordinate curvilinee ortogonali coincidenti eon le linee di cnrvatura principale. Detta Z la distanza di un generico punto della lastra dalla superfieie media e 2 II lo spessore della lastra, in fig. 119 è rappresentato un elemento infìnitesimo di tale lastra delimitato dalle linee di curvatura ~ = eost., ~ rl~ = cost., 'YJ = cost., 'YJ + d"Y) = costo Detti RI e R z i raggi di curvatura delle linee coordinate'; ed'YJ si farà l'ipotesi che risulti :
+
Il
--
// ] Rl "-.--,
(5.193)
q
con i,;, È" , y;~ velocità di deformazione estensionale e ]("
](;~ velocità di deformazione flessi0l1l1le riferite sempre alla superficie media dell'elemento. Dette quindi (J", ' (J"", T,q = T~; le componenti di tensione agenti sulla lamina alla quota Z rispetto alla superficie media la potenza dissipata per l'unità di area, conformemente alle (5.193) risulta essere:
+
11
- ]-)- «
1
J) =
E;
+x~
fU H f--H dZ + k; -H H (J"~ZdZ+?~é~ fil (J",;
f-H
- }[
(J";
Z dZ
fH
+ E~ -H
T f? dZ+X;~
fil - }[
(J""
dZ +
(5.194)
T;~ZdZ
(5. ]!)])
L2
Ciò posto si porranno a fondamento della teoria assunti:
](",
due seguenti
a) i punti situati sulla normale alla superficie m edia nella con-
figurazione indefurmata, a deformazione avvenuta, si troveranno sulla normale alla superfìcie media deformata. b) le componenti di w llsione agenti su elementi la cui normale è Z sono trascurabili rispetto alle altre componenti di tensione e possono quindi essere omr;ssn nnlla cOl1di7.iol1c di snervarncnto.
Rilevato peraltro che, se in accordo con le (5.191) si trascurano rispetto all'unità i rapporti Z IRi , Z IE2 si può porre:
N, =
fIl
N" =
fil (J"~ dZ
N ;_" =-=
(J"fdZ
]Jf,
=
tI
(J",
Z dZ
- H
-- H
M" =
fil-- H
M [q=
fIl T; ~ ZdZ
(J"
~ Z dZ
(5.11)5)
- If
ti-Il
T; ~
dZ
- H
247 246
con N ed M risultanti e coppie risultanti d ella distribuzione tensionale (fig. 120), la (5.194) assume l'aspetto:
Se analogamente s'introducono le posizioni:
.
D =
N~ f~
k,
+ N ", f7J + N~ " Y~ 7J + Jf,k [ + M7Jk", + M~7Jk" ,(5.196) =
.
11.
k = --- J( '"
2
2
k f,q
''l'
11.
=
(5.199)
- 2 ]('"
la (5.196) assume l'aspetto:
Introdotte le quantità: No
.
11. == - - ] ( "
(5.197)
Mo = ao112
2 ao Il,
coincidenti rispettivamente con lo sforzo normale e il momento flett ente di piena plastieizzazione della sezione della lastl'l1, le caratte-
D
=
No
(n ~ Et
+ n7J Eq + n(,,,, Yt7J + m, k f, + m 7J k7J + rn'7J k[", ) (5.200)
Il calcolo d ella superficie di snervamento , nell'ipotesi che il materia le obbedisea alla legge di Mises: 2
a ~ - - a, a"
+ a2" -+-
2
3 T ~ 7J
2
=
ao
è stato sviluppato da I1iouchine [491 che ha dimostrato che l'e quazione di tale superfi cie può essere espressa in forma parametri ca dalle relazioni: if>n
= _!!.~_ ln 2 ~_±_yl 1-
It2
-
f.1 2
Il - --
",'
(5.201)
.~
, \
(
1]
M~"
....N ,
if>m
~
=
!_--.!!.~_ ln _~yl - = f.1
2
!2
l
_
v1 -
Il
1 - 1'2
- --
p2
N'I
essendo 1-'. un para metro definito nell'intervallo:
z
o~
Fig. ]20
f.1 ~
(5.202)
l
e avendo posto: ristiche dello sforzo possono essere lizzate attraverso le posizioni:
n;
Nf
No
248
né'l
N",
'
m 'I
=
111 'I
-i,j~
2 2 ·
if>m
111,,,, m. f', ~-
=
2
+ n", + 3 nr,7J
(5.203)
2 2 2
rnr, -- m , m 'I
+ m", + 3 mf,7J
No
(5.1 (8)
Mf,
m' = 1I10
adimen>liolla-
Wn =c. nf, -- n , n7J
N"
n",
No
eOllvnni( ~ ntelm~nte
AI{o
L 'impiego d ella d etta condizione di snervamento è tuttavia estrem a mente complesso c si è p ertanto t entato di semplificare il il proble ma per diverse vie.
249
Una prima via fornita dallo stesso Iliouchine consiste nell'osservazione che la relazione lineare:
Wn
+ Wm =
(5.204)
l
Il materiale di collegamento si ritiene inoltre inefficiente per quanto riguarda l'assorbimento di tensioni al;' a'l' Tl;q. Con tali ipotesi i valori limiti dello sforzo normale e del momento flettente risultano essere:
approssima nell'intervallo (5.202) la curva di equazione (5.201) con un errore non superiore al 9 % . In conformità con le (5.203) è dunque lecito asserire che la condizione:
(5.206)
M = 2 a' t II'
N = 2 a' t o o '
o
o
e l'eguaglianza con le (5.]97) porge: 2
n; -
+- n~ -+- 3 n;~ +- m~ 2
n; nq
2
2
ms mq
+- mq +- 3 m;q = 2
2
l
(5.205)
descrive con sufficicnte approssinuLzione la superficie di snervamento della lastra curva. Una seconda via suggerita da Sawczuk e l-!'ychlewski 150] consistc nello schematizzare la lastra di materiale omogeneo eon un'ideale lastra « sandwich» avente uguale comportamento limite a sforzo normale e flessione semplice. Secondo tale sehematizzazione 111m lastra sandwich è composta da due lastre sottili, ciascurm di spessore /, separate da materiale intermedio di spessore 2 II' (fig. 121).
a' t o
.....
~'" (J~
,==
-~t- (N
S -
-
~+-)
-2\-- (N'I --- -~~-) =~ --2\--(N !{;,'I )
aq =
iL
1]
=!L 2
(5.207)
dalle relazioni:
-\-
rT
lI'
a II o'
Con tale schematizzazione l'esplicitm~ione dell,t condizione di snervamento per la lastra diventa, estremamente semplice. Con le notazioni di fig. 120 e fig. 121 si ricava infatti im mediatamente ehe il regime tensionale nelle due lastre risulta essere espresso
a; +
=
T;q
a
~
=>-2\- (N
_
aq =
Sq - -
_
T;q =
S
+ -~; -)
l ( 111 --2t-N q+-- H'
q
l
(
-2-(-- N S'I
)
--
(5.208)
Mh)
-+- -7j1-
ovvero anche, tenendo presenti le (5.202) e (fi.210):
..!' (J-
!.
11'ig. 1201
(T,-I-\-
Le due lastre hanno uguale tensione di sncrv,1mento a' o e sono così sottili da poter trascurare le variazioni dello stato tensionale lungo lo spessore. 250
aq
+
T;~
m;)
af
=
a~ (n s
-+ rn;)
a'o (n ~ ---.- rn n)
a'l
=
a'o(n"
-1-
a~ (n",--- m",)
T"I =
a~ (n s -
=
a~ (n;'1
rn'l)
(,).200)
+- rn,,) 251
Se pertanto entrambe le lastre obbediscono alla condizione di Mises:
+2
+ +
+ a~+2 + 3iG~+2 =
ao
-2
-
+ a~-2 + 3 ig~-2 =
a~
a G - a G a~
-
a G -- ag a"
,2 2
nella condizione di snerva mento (5.15) delle lastre, mentre, nel caso siano nulle le azioni estensionali ni , ricade nella condizione di snervamento (5.78) delle piastre. Osservato peraltro che in molti problemi riguardanti l'analisi delle lastre curve le azioni flessionali ed estensionali non hanno simultaneamente la stessa importanza, Hodge [51] ha proposto di semplificare la (5.211) assumendo come condizione di snervamento le relazioni:
la condizione di snervamento della lastra risulta espressa dalle due relazioni:
([>+
=
(n G-- m G)2 -
(no -
m;) (n~ -
m~)
+ 3 (nG~-m;n)2 =
+ (nn -
m~)2
+
1 (5.210)
([>- = (ng
+ m!J2 -
+ mg) (nn + m~) + (nn + m,,)2 + + 3 (ng~ + mgq)2 = 1 (ng
Nel caso delle cupole di rivoluzione caricate in modo assial-simmetrico le linee di curvatura principale coincidono con le direzioni principali degli sforzi estensionali e flessionali. In tal caso può essere più utile avvalersi della condizione di plasticità di Tresca che si
([>n
= max {inii ' In21 ' Ini - n21 } =
([>m
= max
{!mI! ' !m2! '
ImI -
m21}
l
(5.212)
= ]
in cui viene trascurata l'interazione plastica fra azioni estensionali e flessionali. Resta evidente che analogo ragionamento può farsi per la condizione di Mises ove ([>n e 1J m sono rappresentati anzichè dalle (5.212), dalle (5.203). Analisi limite delle lastre cilindriche
Si consideri il caso di una lastra cilindrica a sezione circolare in condizioni di carico assial-simmetrico e sia A il raggio della sezione trasversale, 2 II lo spessore ed 2 L la lunghezza (fig. 122).
SCrIve:
max {I atl , I ail , I at max {la~1
, la;1 ,
la~
~ u
a;1} = a~
- a;l} =
x
a~
essendo al± a2± le tensioni principali nelle due lastre. La condizione di snervamento assume allora l'aspetto:
([>+
=
max {Inl-- mII, In2 -
([>- = max {Inl
+ mll,
In2
m21, Inl -
+ m21,
Inl
ml -
+ mI -
n2
+ m21} =
n2 --- rnzl}
=
1 (5.211 )
1
e nello spazio a quattro dimensioni dclle caratteristiche ni mi (i = 1,2) è rappresentato da un ipcrpoliedro a dodici facce. La (5.211), quando siano nuIle le azioni flessionali mi, ricade
lfig. 122
Dette U e W le componenti della velocità di spostamento rIspettivamente secondo l'asse X e secondo la normale interna n, le velocità di deformazione risultano essere:
W
dV Ex
= -dX'
E.p =
A
k
d2 W x =-
dX-Z'
K.p =
O
(5.213)
253 252
Delle quattro caratteristiche attive ai fini della plasticizzazione l'ultima, in conformità con la quarta delle (5.213) non compie mai lavoro durante il flusso plastico della lastra. La m<1> assume dunque il ruolo di reazione interna e può essere eliminata dalla condizione di plasticizzazione. Per operare tale eliminazione, osservato che l'assunzione della condizione di snervamento (5.211) porterebbe alle diseguaglianze:
n x , 11,<1> , m x , m<1>
- 1 ~ nx
±
mx ~
l
~ 11,<[>
±
m<[> ~
l
-1 -
si rileva che
'i1Lp
±
mx --- (11,<1>
t / ~,
-
(5.214)
111.<[»
~ l
m,
l ±
+ 111..7;
±
(n:r -
l ±
11,<1> ~ mq, ~ 11,<[»
11,<[>
+ mx
~ m'P ~ l
(5.215)
±
-
l
~ 1Lp ~ ]
-
1
~
-
2
~ mx
-
2
~ n:c __
nx -
nx ~
2
o .
n",
(5.2IG)
2
-I-
mx
,ç 2
Rilevato che la terza delle (5.2l6) è contenuta nella prima delle (5.214) la condizione di snervamento in termini di caratteristiche attive 11,x n", mx risulta definita dalle condizioni: 11,x
±
n",
=-~
mx ==
n:r -
± l
±
(5.217)
nx-n,/, ==
2 1Lp
della condizione di snervamento (5.2l2) ove l'eliminazione della, comporta quale risultato il poliedro di equazione: nx =
±
n", =
±
nx ~
n'P
±
Fig. 12B
(nx - - n -p)
Affinchè le (5.215) siano compatibili ciascuno dei limiti inferiori deve risultare più piccolo dei limiti superiori. Ciò comporta, escludendo le diseguaglianze ovvie, che risulti:
254
no
deve soddisfare le condizioni: -
-- l
±
l ~ nx
che configurano nello spazio n); n <1> mx un poliedro ad otto facce (fig. 123). Ad una condizione molto più semplice conduce invece l'adozione
±
+ mx "C"
mx =
(5.218)
± l
n<[>
± l
rappresentato in fig. 124. Assunta in alternativa la condizione (5.217) e (5.218) un qualsiasi regime di sforzi contenuto nel rispettivo poliedro che soddisfi, in conformità con le llotazioni di fig. 125, le equ!lzioni indefinite d'equilibrio: dN x -dX - -I- Q = O
d'l' _. -dX - + --NA", -l" 1)- = = O
dM x i: 2
111.<[>
dX
(5.2] 9)
l'
255
e le condizioni d'equilibrio ai limiti conduce alla definizione di una limitazione inferiore al carico di collasso. Per il calcolo di una limitazio\le superiore inv ece, calcolate attraverso le (5.213) le velocità Ò
/'
'~n
Il caso del t'ubo quadrato soggetto a pressione uniforme A titolo d'esempio si consideri il caso di un tubo di lunghezza 2 L, raggio A e spessore 2 Ii con incastri scorrevoli alle estremità soggetto a pressione uniforme P (fig. 126).
~
~
l
J.ttlttttt ilttttt~t l
,
~ /-d'-
o~ x -
//~
:4 %
III Il 11111111
~
"-
m,
L l L ~' ~
. A ~ ~ ~~ A
Fig. 12G
J ntrodotte le variabili adimensionali:
x l1'ig,
w2 =
x= L '
]2~
deformazione associate al meccanismo prescelto, l'eguaglia nza fra potenza dissipata esterna e potenza interna fornisce la richiesta limitazione. Un semplice esempio valga ad illustrare la tecnica operativa.
N o L2
MoA
PA P = -N o
(5.220)
e tenuto presente che in virtù delle condizioni di carico e di vincolo risulta: (5.221) n", = O le condizioni di equilibrio (5.219) sono sintetizzabili nell'unica relazione:
r N. p
M,
l d 2m --w - dx2 '"2
-I-
n
= P
per
- 1~x~1
(5.222)
A tale condizione si aggiunge la rela zione: N dN,
'CiX'"
dm~=O cix
N. 1+ d1d
CI;;-
Fig. J2.-,
256
x
p er
x = O
(5.223)
derivante dalla simmetria del problema. Volendo avvalersi della condizione di snervamento (5.218) è immediato rilevare in conformità con la relazione (5.221), che l'intersezione dell'esagono di fig. 124 con il pi a no di equazione (5 .221) da 257
luogo al quadrato di fig. 127 che rappresenta nel caso in esame il dominio di snerva mento. Fatta l'ipotesi che il tubo pervenga al collasso interamente pia-
Attesa l'espressione (5.226) di mx è sufficiente verificare che ciò accada nei punti x = O ed x = 1 per esser eerti che la (5.227) sia soddisfatta in tutto l'intervallo di definizione. Si h a nno così le seguenti diseguaglianze: -1:(0:(1
c
(5.228) 0)2
-
l :( 2~ (p -
l)
+ O :(
1
K, che nel piano di coordinate p, O corrispolldono ai punti interni del parallelogramma di fi g. 128.
c
D D
c
] ' ig. 127 p
I - - - - - -""'-",.--.... - ----r..-
sticizzato è logico attendero che lo st a to di sforzo interno eorriRponda ai punti del lato BO del quadrato di fi g. 127 ove n
I
t'o
n<]>
lA
I
I I
(5.224)
t-
In conformità con tale posizione la (5.222 ) diviene:
d~mx = 2 dx·
W
2
(p _
l)
0)2
=- 2
(p -
1)
~;2
+U
258
1 :(
111.1;
:(
4/w2 _
\
-
( 5.225)
n
11 nmssimo valore pm;itivo di p si ha in conispondenza del pun to l) c vale:
(O = -
4
( 5.22H)
con O eostante arbitmria. Affinehè tale regime sia statieamellte ammi ssibile, p er ogni v,llore di x compreso nell'intervallo - l, l deve r iRllltare (cfr. lato BO cIel quadrato di fig. 127): -
0
]<'ig . ]:!s
e integrata, porge, tenendo present.e la (.') .223): rnx
0
B
I
(fJ.227)
p = l + - --w2
(5.22 9)
La (5.229) furnisce così la migliore lilOit.azione inferiore COlTlspondclltc al reg ime statico prescelto. Per dimostrare clIO tale valore coincide a nehe col carico di collasso, è suflicientc dimostrare che al regime statico prima determinaJ.0 llllÒ farsi corrispol\d ere U Il llleeca.nismo.
159
Introdotte infatti le variabili adimensionali:
A nalisi delle volte di rivoluzione riùassata
W
ù u = -Z- '
'W
(5.230)
= -A
Si consideri una volta di rivoluzione ribassata e siano R I , R 2 i raggi di curvatura dei meridiani e dei paralleli ed A la lunghezza d el semiarco di parallelo (fig . 130).
è immediato rilevare che, in conformitù, con le (5.213), (5.220) risulta:
ex
= -
du dx
- ,
.
e
JJ1 ()
.
= - w, kx = - ---- 1{x No
l == -
d2~
----- - - - - 0)2
I
(5.231)
~. si / i
dx2
Al lato BO del quadrato di fig. 127 ò associato per la legge di normalità un vett.ore velocità di d eformazione caratterizzato dalle co m-
l...>1 '',:\-----1------------'_" ,.
~~ l
/
ponenti :
eq,
~
kx =
O
u/
(5.232)
O
I
/~ ·1"'-, , \ w'~ -,J'
'\
\
I I
I . \ \ I ',\. \ R
I
I
!
R~"~,\\\ l t
~\ \,
Fig. BO
Dalle u, W le velocitù, di spostamento rispettivamente secondo la ta,llgente ai meridiani e la normale interna le veloeità di deformazione estensionali c flessionali dei meridialli (S) e d ei paralleli (W) n el caso di volte ribassate possono assumersi nella forma a.pprossimata
es Fi~.
1t
= O
b (1
-
:t:)
l'l'r
() ~x~
]
ks
Ri d2 W
=
-
dS 2
'
e 1> = - '(,- n
k = - --S-
Hl
----n;.- , (5.234)
dW dS
In conform ità con t:11i posizioni le el] uazioni di equilibrio per il generico elemento di volta., dedotte attmverso il prin cipio d ei lavori virtuali, assumono l'aspetto (fig. 1:\1):
(!).2 :~3 )
u' = -- b (l + x)
per
(iN S <18
- l ~x ~O
con (j fattore è"1rLitrnrio p OS itiVO s()ddi ~; fa tutti i re qui siti riehic.,;ti e rappresenta pertanto l' effett.ivo nwecnnislllO eli c()lIasso dd tllbo.
260
-;]:8-
1:2!l
fatta eccezione per i punti cstn~mi n (' c dove ò poss ibile avere
w== -
=
iJ
fv
di;
N,, --- N + () =-7~ O + - --~--iT--q, _
t
q:J~_!!!.!L __ dM ,!> dS 2
dS
+8
(_~~'_ ~ -I _ _N q~Il]
R2
+ p)
(5 .235)
=
O
261
Per la ricerca di una limitazione inferiore del carico di collasso d eve quindi d et erminarsi un regime di sforzi interni ch e soddisfi le condizioni indefinite d'equilibrio (5.235), le eventuali condizioni di
Il caso della calotla sferica incernierala alla ba8e e soggetta a pressione uniforme A titolo esemplificativo si consideri il caso di una calotta sferica di raggio R incernierata alla base c soggetta a pressione uniforme P (fig. 133) .
No
\j I~I/I s
p
I
1/
~ \ R, R2
Fr'
\
. \
Ns+d N,
.
\
"
\
/
///
'~,
./
\
\ \
•
l" ig . 1m
Fig.
equilibrio ai l imiti associate ai vincoli i vi osistcl1ti e le co ndizioni di compatibilit,ì pl astica derivanti dal crit,erio adott,tto. Per sempli cità si fa rà qui riferimento al criterio espresso d a lle (5.212) ehe eonsente di asserire che tutti i regimi di sforzi co mpa tibili plast ica lllcnte I·\(mo quelli interni ai due esago ni indipendenti di fig . 1:3 2.
~
B(I1)
---7/\-
DI
-
ns
-C
FI
E
s
s = -A'
No A2
0)2 =
PR
- MoR
p
(5.230)
-No
=
le equazioni di eCluilibrio del proble ma risultano essere:
,B( I ')
/A
m ,.
dns ns - n
([2 (s m s) r-----;,- [--l
l
.,
(j)"
rls2
per
O
~
~
s
I (5.237)
dm.,/> ] b - -- -1ds
F
E
8
(n 'l'
-1- ns -1- p) = O
ms = O per
s
=~
b)
a) I1'i~.
1:-!~
L a limitaz ioll e s uperiore vielle invece :tI solito d edotta da UllO o pill meccanismi attraven;o l'applicaz iol w (1<-1 r('orell1a eill c mat ieo_
262
lntrodotte le variabili adim ell sionali:
m(/)
n(/)
Cj
1 : ;:.~
1\ t ,di condizioni vanllo assoei ate le condizioni di sferi eit<ì degli sforzi nell' origine. n"
nq, ,
1ns
rn 1,
per
s
=
O
(5.238)
263
Per la ricerca di una limitazione inferiore, rilevato che la volta è sicuramente compressa per effetto della pressione esterna e che ms deve variare con 8 ed essere presumibilmente positivo, si fa 'l'ipotesi che la struttura pervenga al collasso intera mente plastieizzata e che i regimi di sforzi estensionali e flesslonali corrispondano rispettivam ente ai lati EJj' dell' esagono di fig. 133a e BC dell'esagono di fig. 133b. Ciò equivale a porre: -l,
n ",
m,p =
l
1
Cl + --, 8
=
l _ ~ (p 6
=
n8 = - - I
(ii.241)
d8 2
+w
2 8
(p - - 2)
=
O
=-= --
ns
= n<1> = -
ms
l
m.p = l
= l - c'P,
(5.246)
È elem entare v erificare che tale regime non viola mai le condizioni di a ppartenenza ai lati prescelti degli esagoni di fig. 132: segue d a ciò che l'espressione (5.245) fornisce un a limitazione inferiore del carico di collasso . Può però al t;olito dimostrarsi che la (5.245) rappresenta l'effettivo valore d el carico d i collasso osservando che al regime (5.246) è associabile un b en preciso m eccanismo. Introdotte infatti le velocità adimensionali di spostamento:
u
TV
w= R
(5.247)
(5.242)
e le corrispondenti velocità di d eform a zioni:
dù
w 2 (p ~- 2)
.
---- -- - ---. 8 2 (j
-f A l
Az
+ ----8
con A l e A 2 costanti arbitrarie. L a seconda, delle (5.237) , esplicitata in conformità con la spondent() (5.2:{f)) e la (.'i .2 i ;3 ) ri c hiedo peraltro ehe sia:
Al .264
(5.245)
ed in d efinitiva quindi il regime statico associato assume l'aspetto:
ch e, integra ta , da:
1rIs
(5.244)
6
u = -A ' -~ , (8 rtl s )
2 8
p = 2+w2
La sostituzione dell e (5 .241) e della seco nda delle (5.23D) nella seconda d elle (5 .237) porge peraltro la relar,ione:
d2
2)
II soddisfaeimento d ell'ultima delle (5 .237) comporta infine che:
(5.240)
con Cl costante arbitraria . l ,a prima d elle (5 .238 ), tenendo conto d ella corrispond ente (5.230) , impli ca pcraltro chc r is ulti Cl , occ O. D a ciò di scende che il regime di sforzi estensionali risulta definito d a i valori:
n <1'
ms
(5.239)
In conformità con t a li posizioni, la priml1 d elle (5.2 37), integrata, porge:
n, = -
La (5.246) assume così l'aspetto:
l,
Az = O
cs= - ~-W,
d8
(5.243)
. ks
= -
Mo. -
No
1(8
1
= - ---2 w
c<1>
U
= --
-
-
1))
8
'
(5.248)
w
d2
-~-
d8
2
. k
Mo·
1
l
(1)2
8
dw ds
= -._--]{ = -- ---- - - -- -<1>
No
COlTl-
è imm ediato rilevare che il meccanismo: 1.1:
= O
w
=
b (1
-
8)
(,1'> .249)
265
1 con
o arbitrario
purchè positivo soùdisfi" a tutte Je eOllùizioni:
Cs ~
0,
C<[, ~
ics = 0,
0,
ic
~
°
da due successive curve generatrici e direttrici poste a distanza infinitesima possono porsi nella forma approssimàta:
(5.250)
che sono riehieste dalla legge di !1onnalit:l. per il verificarsi dei regime di sforzi eorrispondente alle (5.246).
tI
8'U
pianta rettangolare
Si consideri una volta di trHslaziolle ribassata su pianta rettangolare e siano Rl ed R 2 i raggi di emvat.um delle curve direttrici e generatrici ed A () B le lunghc7.ze dei rispettivi serniarchi. Siano P (i, (h le compone nti dell'azione esterna rispettivamente secondo la normale interna e le tangenti alle curve gelleratrici e di-
.
.
I
W
aSI
Hl.
av
TV
\](1 ' .
= - -- - -
I~ c2
Analisi limite delle volte di traslazione r'iba8sate
.
au
l,
aS 2
=~-2 aS I
a TV-
.
=~----_.
y" _;::_ +
.
a2 W 2
(5.251)
](2 = - --
_;~ I k" ~ aSI
_ 2 a'9la'w
\
aSI aS2
N,
.
rdtrici e U, V, W le rispettive componenti della veloeità di spo-
8N 21 dS, N 21 + 8S, 8M21 dS,
'ìM,,+~
8N'dS , N, + IiS,
8M'2dS, M12+ ;ss,-( N +~dS '8S, '
I
,
R2:
/
,
,
8T, dS T, + 8S, '
.sT, dS
1: '+8S,
/f1,
' ,ID,
In conformità con tali posizioni, le equazioni d'equilibrio indefinito del suddetto elementino risultano essere (fig. 135):
aNI
+ aSl
l"ig . ];;4
stamellto (fig. 134). NeIl 'ipot('si elw la volta sia sufficientemente ribassata le linee d i eurvatllm principale risultano essere sensibilmente coineidenti con le curve di eqnazionp 8, = cost., 8 2 = costo e coindicenti cioè con ]r, curve gCll cratric:i ( ~ direttrici della volta. In tali ipotesi le "Vel0citil di deforma7.iolle re lative all'elemento determinato
'
Fig. 135
°2
266
)
aNI 2
aN l2 aS2 ()N 2
-aSI -- -+- -----+aS 2
()2.Llf l -()S2 I
-+-
2
a2.Llf12 aSI aS 2
------ ~
a.Llf 2 aS
° = °
+ QI = Q2 '
NI
(5.252)
N2 R2
-+- -- ----+ ------ -+- --- + p 2 2
RI
=
° 267
A tali rel
D'altra parte esplicitando attraverso le (5.254) le azioni interne
n ed m in funzione delle velocità di deformazione e dei moltiplicatori plastici ~n, ~m e sostituendo tali relazioni nelle (5.253) si ottiene: l
. An
2 nl -
nl
= mI2 -
n2
mI
2
+ n2 +
rn2
+
2 m2
3
2 nI2
+3 -
E2
yl2
- _fJW,,_ -
Dnl
Dn2
n DW - 12 = -D n
i /·n
2 'm12
=
-
=
Alt (2 n'l --
rn2 -
am2
· DW m . k I2 = - --- Am aml2
·2
kl
'2
--
h12ì2
+ kl k + k + -4- \ 2
2
L'espressione (5.255) della potenza dissipata unitaria assume cosÌ l'aspetto definitivo:
Iv
·2 El
••
'2
·2 Yl2
+ El EZ + -+- --4 + E2
(5.257)
V
•2
h
•• l k2
+k
•2 2
k
'2l2 + k + ---4
I
.
che consente, assegnato un generico meccanismo di collasso di pervenire, attraverso l'applicazione del teorema cinematico, alla valutazione esplicita della limitazione superiore associata al detto meccanismo.
•
==
G }'m
La volta di trasletzione ad etreo eireoletre ineerniemtet etl contorno e soggetta et pressione uniforme
11112
con An C }'m fattori positivi arbitmri , è immediato constatare per sostituzione nella (f>.200) che quest.a, tencndo presenti le (2.2fi:3), assume l'aspetto:
D ~~ 2 No (~n I Àm)
268
y3
+
mI)
2
(5.256)
-= I
Am =
nl)
G ).n nl2
aW m · • = ----- Am = Am (2
l'2
l'l l'2
1\'2"
2 No) D = - _- - (
n2)
(5.254)
·
y3
(l'l
l
.
• · DW m · icI = - --;- --- Am = Am (2 mI - - rJl2) Dml
k2
---=1 \'2 + .. + + J~2 t
y3 =
·2--
(5.253)
An ~= }'n (2 nl -
~~r:__An
=
= l
che può esssre considerata l 'equivalente della (5.212) quando il criterio di Tresca venga sostituito con quello di lVIises. Per la valutazione di una limitazione superiore è opportuno definire in forma esplicita la potenza dissipata per unità di area (5.200). A tal fine rilevato che la legge di normalità applicata alla (5.253) porge:
El
.2
( 5.25fi)
A titolo esemplificativo si consideri il caso che la superficie di fig. 134 costituisca una volta di traslazione avente curve generatrici e direttrici circolari (R I = cost, R'l == cost.). Tale volta sia soggetta a pressione uniforme P (QI = Q2 = O) e sia, vincolata con cerniere fisse sul contorno.
269
Introdotte le variabili adimensionali:
B
S2
SI
Sl=i!'
S2
=
-y'
{3=A' (5.258)
r
PR I
NoA2
E2
, = El
0)2
=
P
MoRI
Ne
la corrispondente limitazione inferiore del carico di collasso (la dimostrar.iolle della verifica d elle cond izioni (5,260) per ciò che attiene al regime (5.261) s i omette in qu a nto essa è banale per ciò che attiene al regime est ension a le mcntre è già riportata nel paragrafo 5.3 per ciò che attiene al regime flessiollal e). Per il calcolo di una limitazione s uperiore, adimensionalizzate le velocità di sposbuTI ento attraverso le posizioni :
U anI
anI2
aSI
aS2
_+--=0 an12
an2
aSI
aS2
a
2ml
as 2 l
l ~
-
~
per ) _ _ {3
__ + _ = 0
~ l
SI S2
~
= -/i-"
+ 2 -OS1 - aS- + ---+ 0)2 as 2 ()2m2
2
(
n1
2
m1
= O
per
S]
= ±
m2
O
per
S2
= ± fi·
+ -r + p n2
)
11r
v = --je
w
-j~~
=
(5.268)
In COlTispondent.i v('locitù, di deform az io ne assulllono l'aspetto :
fJ
(5,259)
o1i a 2m12
v
iJ
le equazioni di equilibrio si scrivono:
EI
=~ O
- - ----- ---()SI
-~ -
'o
l
-
y"
Un regime di sforzi interni che soddisfa t ali condizioni e che
'.
w
\
kt
Mo·. l - --- 1\ l = --- - --2
_ltIo_ j(, 0'
'".
b
!Ìs 2
r
l' -
!Ìs 2
r)s l
-
~ ~ + _~v_
No
No
w
-
No
k"
OS2
~ ifl~_
~ .!!o. ~
k" .
a210
__ _ _ 2 iv
__ 2; (02
(5.264)
OS2
. ;'. aSI cJs z
verifica identicamente le diseguaglianze: -]
per
c[Jm ~ l
c[>n ~ ],
~ SJ ~ ]
-- {3 ~ 83 ~
fJ
risulta definibile nella form a: n} = n2
=
-
D m ,l
1, 2
=
rn 12 =
{32 '
1-
1 --
2 s} ,
(5 .2GI)
l
S'l m2
La potcnza dissipata pcr unità di a rea (5.257) si scrive allora:
(5.260)
-
~ ~'- i[ (~ - ';»'I (,~:. - w) (-:, + (_~v __ __ _iv iJs 2
- - -- -- S]32
r
)2+
4
+ __L_[-(_ ?~~~_)2 _I a2~, ]_ ) 2 1 + --{fl 2 + _____ _ + --;;- +-w y3 fJ
l
l
+ --.!!~_)211 + ( _~~_ as } _ aS 2
y:~{f
essendo : p- =
--t-)I
2
(
(02
( 5.2(2)
as 2 , I
aSI
U2/:U _1_ (!~~~ ):! fJs 2
éJs 2
+ (-;--(~~~-)21 ! 1 dS J US2
\
(1).265) 271
270
e la potenza interna dissipata in tutta la volta si scrive:
!l'l
=
L: f:B
2 N oA2
l
D(Sl, S2)dS dS2
y3
fI f:p
essendo )l la lunghezza della cerniera cilindrica centra le (cfr. fig . 11 2) . Minimi~zando p + rispetto a Il si ottiene infin e il valore ottimale:
d(s1, S2) dS I dS 2 (5.266)
p+
__
. 2r
V 3
avendo indi cato con d (SI, 82) il t ermine in parentesi graffa che co mpare nella (5.265). La potenza esterna può peraltro scriversi nella furm a :
!l'2 = f~Af:B PW dS IdS2=
fI f:p
N oA2
I
p{o dS dS2
(5.267)
L' eguaglianza fra (5.266) e (5.267), tenendo presente che p l~ costante porge quale espression e della limitazione I>uperiore p lassociata ad un generico m eccanismo di collasso:
2
p+
y3
I
j fl
l
d (SI, S2 ) dS I dS 2
- fi
- l
(5.268)
1
r l''
• --1
tU dSI dS 2
- fi
Assum endo come meccan ism o di collasso il cin em atismo itssociato alle velocità:
u = v= O
(5.269)
Y l
l
l
+-+---+ 2 l' r
4Y3 w 2fJ2
l
3
+- 2 fJ2 - - 2 fJ y 3 + fJ2 (5.271)
che insieme alla (5 .2H5) consente di delimitare in un intervallo sufficientemente ristretto il valore della pressione di collasso pc .
Cenni ed ulteriori problerni risolti Nell'ambito dell 'analisi rigido plasti ca delle superfici curve numerosi problemi hanno ricevuto una sistemazione soddisfacente. Particolare rilievo in questo settore ha trovato il problema d el collasso plastico delle superfi ci di rivolmr.ione in condizioni ài carico assialsimmetrico p er le quali un esauriente trattazione dei problemi di maggiore interesse tecnico ò co ntenuta nel t esto di Hodge r27J cni si rimanda anche per la bibliografia. In questo settore infa tti i campi tratta ti fJu as i sistematicamente rig uardano il collasso dei tubi [52 .. . 57] delle lastre coniche [58 ... u L] delle volte di rivoluzione [li2 ... fi4] e delle cupole ribassat.e [651 . N on a ltretta nto sviluppato invcee è il problema del eoll asso delle htstre curve n on di r ivoluzione per le quali si ricorda no solo alcuni risultati isolati lfiu ... 69J. N ell 'ambito sperim ent.ale sono state eseg uite alcune prove sulle lastre cilindriche [70 ... 73] cd altre sulle volte di rivoluzione contenute nel già eitnto lavoro [32].
con w corrispondente al m eccanismo di frattura g iù, ass unto p er la piastra ed illustrato in fig. 112, co n considerazioni del tntto analoghe a quelle sviluppate in tale parag rafo si ricava:
pl
272
___ 2
y3
y-l
+
l - 1- 4y3 -; - + -;:2--1 fJ2 (1)2
] -- Il -+- fJ2 - ---- - - ----2 - /1 - /12
(5.270)
273
mBLIOGHAFIA
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274
275
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276
277
l 6. COMPLEMENTI DI ANALISI ELASTO-PLASTICA DELLE STRUTTURE (Carlo Gavarini)
6.1
Il calcolo a collasso quale problema di programmazione matematica
Programmazione lineare e non lineare La, Programmazione lineare (P.L.), parte della, Programmazione matematica, che a sua volta è un capitolo della Ricerca Operativa, è una, materia che si è sviluppata in tempi assai recenti. Si può fissare nel 1951 l'inizio dello sviluppo vero e proprio, con la pubblicazione ad opera di Dantzig del metodo del simplesso, mentre nello stesso a nno il fondamentale lavoro di Kuhn e Tueker d ava il via alla Programmazione non lineare (P.N.L.). È interessante notar e che negli stessi anni si verificava il « boom» della teoria d el calcolo a rottura, del tutto indipendentemente. Si deve inoltre osservare che l'intera Ricerca Operativa ha tratto decisivi vantaggi dallo sviluppo parallelo i1V utosi nel settore degli elabomturi elettronici, trovando in questi ultimi gli indispensabili strumenti per la risoluzione di problemi di grande mole. Tn breve, un problema di P.N.L. è un problema di massimo (o di minimo) cond1:zionatu da disuguaglùtn:"e. In generale la funzion e da rendere estr ema è una funzione n on lineare di n variabili, detta fun ziune obiettivo (o economica) m entre le disuguaglianze (aleuue d ell e quali, purehè in numero inferiore ad n, possono essere eguaglianze) sono anch'esse costruite con funzioni non lineari e prendono il nom e di limitazioni (o vincoli, termine poco adatto per applicazioni alla teoria dell e strutture ). Se tutte le fllnr.ioni sono lineari, si ha il caso partieolare della, P.L .. 279
"I
In termini analitici, e in vista delle applicazioni che qui interessano, il probkma si può porre in questi terr.1ini (si rimanda ai trattati per la esposizione completa): P.N L. \ gi
If
(ì )~ j~l2: ,
P.L.
(Xl,
(Xl,
j ~l
X2, X2,
aij Xj
Cj Xj
.•• , Xn) .•. , Xn)
~
=
~ O max.
~
l, 2, "', ln;
(6.2)
I, 2, ... , m;
bi ,
(6.] )
=, max .
(6 .3) (6.4 )
Vi sono oggi numerosi metodi, nonchè i relativi programmi per l'elaboratore elettronico, per risolvere sia il problema (6.1), (6.2) chc il problema (6.3), (6.4) (questo ultimo si chiama prog'ramma lineare). Non si può in questa sede trattarc tale argomento; baroterà sapere che questi problemi sono risolti come lo è quello costl.tuito da un sistema di equazioni lineari. In particolare il metodo del simples8o, già citato, è il primo algoritmo sistematico che è stato Droposto per la soluzione dei programmi lineari; si darà ora un brevirosimo cenno sui concetti che stanno alla base di tale metodo, considerarldo un esempio con due variabili: Xl Xl 4XI
4
Xl
+5 + + +7
:1:2 ~
]5
,
(a) (b) (c)
X2 ~
5
X2 ~
16
Xl ;:,
O
(d)
X2 ;:,
O
(e)
= max .
(j)
X2
,
Le 5 diseguaglianze a-b-c-d-e definirocono il dominio A B C D O di fig. 136; è questa la regione delle sol1lzioni amrn'issibiiZi , La soluzione ottinw, che rende massima la funzione obicttivo, si individua facilmente tenendo presente che la funzione stessa è pro:porzionale alla distanza dall'origine, l, della retta di equazione 4Xl --j- 7X2 = costo ; infatti il massimo si ottiene facendo passare detta retta per il punto 13. Naturalmente qui la soluzione si è ottelluta facilmcJnte pcrehè vi erano soltanto due variabili e si è potuto usufl'llire di llma corotrllzione
280
I ,
grafica; ben altre difficoltà roi incontrano se vi sono decine o centinaia di incognite e lo stesso ordine di grandezza di limitazioni. Però nella fig. 136 roi riscontrano le proprietà che vengono poi sfruttate dal metodo del simplesso. Infatti si riconosce facilmente che la soluzione ottima si raggiunge necessariamente in un vertice del poligono frontiera, (eventualmente in due vertici adiacenti ed in tutti i punti del lato che li collega, se tale lato è parallelo alla retta i)· Questo vale in generale : nel caso di n variabili si dovranno consi-
xJ
A
I
Id
"~ I,,:,""""" "
O -
-
-
-
e
-- -
~':-.'''''-::: ...... '
.....
'~
, "-
"f'
Fig. 1:1(j
derare i vertici di un iperpolicdro. Si osserva poi che un vertice si ottiene rendendo soddisfatte come eguaglianze due limitazioni (in generale n). Da qui la prima regola del metodo del simplesso: si ricerca la soluzione ottima fra quelle, deUe di base, che corrispondono ai vertici dell'iperpoliedro. Però queste soluzioni, per 11 ed 1n grandi, sono pur sempre molto numerose e sarebbe impossibile saggiarle tutte. La seconda regola pertanto, consiste in una ricerca ordinata fra le soluzioni di base: si parte da un vertice e si passa ad uao adiacente tale che la funzione obiettivo cresea il più possibile e si prosegue in questo modo finchè si raggiunge l'ottimo. Il calcolo si svolge, se fatto a mano, in forma tabellare, con modalità che non si possono qui esporre nei dettagli. Una proprietà del massimo intercrose, anche in vista delle appli cazioni, è quella di dualità. Si definisce duale del programma (6.3) 281
1 "
(6.4) il programmalineare seguente: ,
m
\ 2: a'ii Yi = ) i=1
. (
In
2: bi
Ci
j = 1,2, t
Yi
~
O
Yi
=
min.
l, 2,
6'. ,
n;
(6.5)
m;
(6.6) (6.7)
; =1
Come si vede il programma duale è definito dagli stessi coefficienti del programma di partenza, detto primale , ma con ruoli invertiti : la matrice degli aii è trasposta, i bi si sono scambiati con i Ci . Le nuove variabili, Yi , si dieono variab'il-i duali:. Fin qui si tratta soltanto di definizioni; ma il fondamental e teorema di dualità afferma che i valori ottimi delle due funzioni obiettivo (se esistono) sono coinc·identl;. Inoltre per qualunque coppia di soluzioni ammissibili si ha: n
2: i o' l
un programma lineare, nel quale ci sono eguaglianze e ove la funzione obiettivo è del tutto particolare perchè coincide con una delle variabili, il moltiplicatore Il (tutti i Cl meno uno sono eguali a zero). Se poi si eliminano le eguaglianze e due incognite, come si è fatto introducendo le incognite iperstatiche, si ottiene, sostituendo le (4.6) nelle (4.4), un problema proprio della forma (6.3, 6.4). Si consideri ora un problema più complesso, ad esempio, per fissare le idee, l'arco incastrato (ma quanto si dirà ora si può considerare valido per una generica struttura monodimensionale). Se si vuole pervenire ad un programma lineare (o non lineare), occorre anzitutto rendere il problema discreto. Ciò si può fare nel seguente modo: si suddivide la struttura in tronchi (vedi fig. 137) per mezZO di sezioni di calcolo che saranno le sole nelle quali si imporranno le condizioni di plasticizzazione.
m
Cj Xj
~
2:
bi Vi .
«(i.8) ~10
i=1
Si verifica poi questa circostanza : quando, col metodo' del sanplesso, si risolve un programma lineare, si ottiene anche, nella tabella finale dell 'algoritmo, la soluzione del programma duale. In definitiva due programmi duaJi non sono ,tltro che due aspetti di un unico problema matcll1atieo. Un teorema di dualità. si può formulare anche in P .N.L., eOIl lo stesso interesse p er le applica7. ioni , m 'L mitl1C,1 lo spar.io per trattare questo argom en to.
Strutture monodimensionaZ'i Si riconosce ora (l) ehe le (4.3) , (4.4), (4.5) del par. 4.2 costituiscono (1) Il fatto <:110 i lnotodi stati e i (101 ealcolo a l'ot.t.ura diano luogo a pl'ograJllIlli. linear i ò stato segn a lato per la prima volta lH'1 1951 in 111\ lavoro poco eOllos(·iuto di Churnes-Greell berg: l'lusl'ic colla1'8e and linear progrwlUnin(f, T'l'C!. l k p. , Ilul!. AIIl. Math. Soc., nov. 1951. Sono poi occOl'si m ol ti a nni p e rd.ù il pl'UhleJna ven iSSI> appro. fondito () s i ricon os('osse l'interesse (l la pOI·lal.a dcl\ 'u('('os(ull1f'Jtlo fra Calcolo a rottura o l'r'ogl'arnrnu.ziollO Lin eare; si P0F;SOIlO Ùl propoRiLo ( ~it·are j seguPllti lavori: J)nl'JlGreonLiOl'g, An. AprI. Mal lt .• voI. 15, 1957; Charnl's .Lomke-Zienki uw;(·z, J>J'()". ltoy. Soc., Se I'. A Math . J>hys. Be., may 1!J5!J; l'.-agOI', Sehw. Bauz., lO Mai l!Jli2; l\I;'SSOIl. net-M a,lls, Syrnp. un tho Il F)B of C'olnput,tl!'S in Civ. Efl~., Lishon J ~H;2; '\VolfcIlNhorgerThurlimann, Bui!. C ..KB. JlO 4a, S('pt.. 1!Hl4; COl'adini·Ga\·a l'ini , Gio('llalo .],,1 Genio Civi lo, n O 1-2 19G5; Koopma n -La'H'e , .l. Mo('h. Phys., f)o lid s. man·h I!)() ii; Cf'l'adini· Gavarilli, lot . Symp. 'l'he use of El. Dig. Comp u ter,; in St. Ellg. , New(·ast.! e HHili; L a nee.Koopmall, g o]'>o!'t, NH l" 01\: (;87 ! 1. .Tall. IlJG7.
282
14
Fig. ]:\7
Ciò fatto, si può scegliere un sistema principale (ad esempio l'arco a 3 cerniere nel caso di fig. 137) ed esprimere le caratteristiche della sollecitazione nella generica sezione i, Zii, in funzione delle incognite iperstatiche X r (r = l, 2, ... , n r ) e del moltiplicatore fl, per mezzo di espressioni del tipo: n
Zii
=
(O)
Zii
r
+ /lMii,o + L Mti . rXr, r =1
t =
J
=
l,
n,
1,
ni ,
(6.9)
con Z~~) che rappresenta gli effetti del carico permanente, Mii, o gli effetti d el carico destinato a crescere, per /1. "'-" l, M' ii, r gli effetti della sola X r agente con intensità unitaria.
283
Con le (6.9) l'equilibrio è assicurato. Si devono ora imporre le condizioni di plasticizzazione. Se queste sono non lineari, si perverrà ad un problema di P.N.L. del quale per brevità non ci occuperemo. Se invece queste sono lineari, o comunque sono state rese tali (vedi Cap. 3), saranno del tipo:
n.
.L d lk , i
i
~ bik ,
• Z ii
ni
nk (
.L L )
j
=1
k=1
d ik , i
,) ii M • r Utk =
nj
L dik. i
Utk =
nk
n ,.
nk (
nk
!i
r=l
l'
(n.
i
, d ik , i •
i=1
M ii ,
) r
n.
Xr
+ J=1 .'1 d i k , i
•
M ij,
O •
f1
~ (6.11)
n
~ bik -
L .L d lk , j =1
f1 = max.
(O)
j Zii,
i
],
ni
k = l,
nk
,,-
(6 . ]2)
Naturalmente la risoluzione del programma lineare (6.11), (6.12) fornisce una soluzione approssimata del problema fisico perchè le condizioni di plasticizzazione sono state impost e in un numero finito di sezioni; può accadere che esse siano invece violate in qualche sezione intermedia. Si può peraltro migliorare l'approssimazione aumentand0 il numero delle sezioni di calcolo. Si verifica comunque questa circostanza a prima vista contraddittoria: pur operando col metodo statico si ottiene un moltiplicatore approssimato per eccesso. Pcr fare piena luce su questa questione si consideri il programma duale di (6.11), (6.12). In base alla definizione data si ottiene il seguente programma:
284
j
l, ... ,
ni
=
l, ... ,
nk,
(6.15)
)
(O)
d ik •
=
Uik =
Z ii
(6.16)
min.
che con il dominio di fig. 137
Basta ora introdurre le (6.9) nelle (6.10) e, in base al teorema statico, imporre a f1 di essere massimo, per ottenere il programma lineare seguente, nelle incognite X r e li:
n
i k
0,
ni
i~ k~1 bUe Uik .- i~ k~ i~ con ni che per l'arco è pari a 2 ed è pari a 6.
(6.13)
(6.14)
l,
(6.10) n •.
nr ,
i =1
Uik ):
nk ,
1, 2, ... ,
r =
0,
,)
M ii • o
l, ... , nj
k =--= l, ... ,
j =l
ni
I i~ k~1 j~ IJ
nj
nk (
A qucsto problema, definito in via puramente matematica, si può dare una interpretazione fisica, infatti lo si può riconoscere come form ulazione del metodo cinematico. (1 ) Le variabili duali, Uik' hanno il significato di parametri della deformazione plastica; ognuna di esse è associata ad una faccia del poliedro di snervamento. La ({ attivazione ) di una Utk richiede che sia soddisfatta come eguaglianza la corrispondente condizione di plasticizzazione; questa proprietà fisica è contenuta nelle relazioni seguenti, sicuramente soddisfatte dalla soluzione ottima del programma duale (relazioni di Kuhn e Tuck.er):
(!
d ik , i Zii -
bik) Uik
=
i 0,
i =1
.k
l, ... , ni
=
l,
o • •
,
(6.17)
nk·
Come la (6.17), ogni relazione del programma duale ha il suo significato fisico. Si tenga presente che le caratteristiche della deformazione (plastica ), Zij , sono espresse, per la l egge di normalità (vedi Cap. 3) , dalle relazioni:
Zij =
nk
'/,
l,
k =1
j
= l;
L d ik , i Uik ,
ni
(6.18)
nj .
Tenendo conto delle (6.18) si comprende il significato delle (6.15): normale esterna; inoltre si riconosce che le (6.13) non sono altro che (1) Cha l"ll es .Le mke. Zie llkiewiez, loe. <:'il .; Gava rilli , Tng. Civ., nO 18, 19GG; Ga va · rini , Meccani ca, nO ~.4, 1!)(H) ; Maicr , Mfl('('alli(·a, Il') 4, ) (HiR.
285
l~
condizioni di compatibilità del meccanismo (basta applicare il principio dei lavori virtuali) che devono essere soddisfatte dalle Zij , c quindi dalle Uit ; la (6.14) è una equazione di normalizzazione e il suo primo membro ha il significato (si applichi il principio dei lavori virtuali) di lavoro esterno !l'e [vedi formula (4.2)1; infine, essendo Y e = 1, si constata che la (6.16) non è altro che il secondo membro della (4.2), ossia la funzione obiettivo del programma duale coincide col moltiplicatore associato al meccanismo definito dalle U,k. Ma i due ottimi sono, per il teorema di dualità, uguali. Quindi il moltiplicatore che si trova quale ottimo del programma primale (metodo statico approssimato) non è altro che un autentico moltiplicatore cinematicamente ammissibile ed è perciò approssimato per eccesso. Si sono cosÌ riconosciuti, negli aspetti duali di un unico problema di P.L., la formulazione statica (eventualmente approssimata) e la formulazione cinematica del calcolo al collasso. I vantaggi di questo inquadramento sono molteplici: anzitutto una maggiore chiarezza di impostazione dal punto di vista concettuale; poi la possibilità di fare ricorso per le applicazioni ad algoritmi e programmi di calcolo già noti e collaudati, tali da fornire, con la soluzione completa del problema matematico, la soluzione complet11 (generalmente approssimata) del problema fisico (moltiplicatorc di collasso, sollecitazioni, meccanismo); possibilità di rendere interamente automatico il metodo di calcolo con facile traduzione in un programma generale per elaboratore elettronico, comune a tutte od almeno un gran numero di strutture monodimensionali, nel quale il procedimento del calcolo a rottura è ridotto alla subroutine di risoluzione di un problema di P.L. mentre le altre subroutines si riferiscono ai singoli tipi strutturali; nella messa a punto del metodo si può presentare il programma lineare indifferentemente nella sua forma primale o nella forma duale, a seconda della maggiore comodità di calcolo. Per quanto riguarda l'approssimazione non vi sono difficoltà sostan:liali. A parte il fatto che dal punto di vista tecnico ò sufficiente, tenuto conto di tutte le altre incertezze (ipotesi di calcolo, non precisa conoscenza dei dati), una approssimazione non troppo spinta, si osserva che si può adottare lo stesso criterio impiegato nel metodo di Franciosi per ottenere, ultre al /Ic , anche un l's , e con ciò un intervallo nel quale è compreso flr . Si viene così a conoscere l'approssimazione del risuJt,ato ottenuto Cl questo l~ molto importante.
Alla linearizzazione delle frontiere di snervamento, anch'essa del tutto giustificata in campo tecnico, si può eventualmete l'inunciare, operando con la P.N.L .. (1)
Strutture bidimensionali Nel caso delle strutture bidimensionali (o adirittura tridimensionali) il passaggio a problemi di P.L. o di P.N.L. è più difficile. Vediamo anzitutto in che cosa consiste il problema matematico presentato dal calcolo al collasso. Per fissare le idee si pensi ad una piastra, ad escmpio rettangolare cd appoggiata lungo i lati, soggetta ad un carico ripartito !l p (x, y), con x cd y assi coordinati, paralleli ai lati. Col 'metodo statico, considerando come di consueto le forze taglianti quali « rea:lioni », le incognite del problema sono, oltre a fi, le tre funzioni di x cd y: M x , M y , .Mxy , momenti flettenti Cl torcentc. Eliminate le « reazioni », le condizioni di equilibrio si riducono alla relazione d1:jfcrcnzia le : 8 Mx:v [)2M x [)2M y --;:---+ 2 - - - - + ----- = 8X2 8x 8y oy2 2
1·
- fl P (x, y).
(6.19)
Le condizioni di plasticizzazione consistono in un legame non lineare del tipo: (6.20) .g (.lli x , M:v, Mx:v; x, y) ~ O, , .~
da soddisfare in tutti i punti della piastra. Se la piastra è di spessore costante c di materiale omogeneo viene meno la dipendenza esplicita da x, y; rimane naturalmente quella tramite i momenti. Nel rispetto delle condizioni (6.19) e (6.20), il teorema statico richiede chc sia massimo il moltiplicatore jt:
/), = max.
(6.21)
L'insieme delle (6.19), (6.20), (6.21) si può definire genericamente quale problcma di Programmazione matematica. Si tratta di un problema molto difficile che soltanto ora viene, per quanto è noto, affrontato dai matematici, e che ancora non risulta inquadrato in Ulla teoria generale sufficientemente sviluppata. l'.
(1) Hodge, l'mc. ] l (h InL Congo of A l'PI. Moeb., l\Tllnich l!){ì4; Sacchi·13llz"i Ferraris, 1st. Lomb. (Hene!. Sc.), A 101, 1!ltì7; Gavarini, 1st. Lomb. (Hend. Sc.). A J 02, ]!H.iS.
286
287
I
'i Si può comunque pensare, cd è quello che è stato fatto dagli studiosi di plasticità, di affrontare egualmente la questione trattando i singoli problem i caso per caso; c si sono così ottenuti non pochi successi, come mostra il Cap. 5. Nel tentativo di pervenire ad una impostazione generale, alcuni autori hanno recentemente proposto di rendere il problerna discreto riconducendolo così a problemi di P.N.L. o P.L .. (1) La discretizzazione si può effettuare , come si è g ià accen nato nel primo paragrafo, in vari modi. Si può ad esempio, RecIto un reticolo opportuno, scrivere la (tU U) alle difJ(nn "e finite; in tal modo ci si riduce ad un numero finito di incognite, i valori dei momenti nei nodi del reticolo; poi si può limitare l'imposizione della (6.20) ai soli nodi e in tal modo ci si è ridotti ad un problema di P.N.L.; infine si può eventualmente linearizzare la condizione di plasticizzazione ed ottenere un problema di P.L. nel quale vi SOllO sia equazioni che diseguaglianze. ]j~ stato dimostrato(2) che anche in questo caso il programma duale ha il significato di formulazione del metodo cinematico, naturalmente alle differenze finite, e ciò offre gli stessi vantaggi teorici e pratici già elencati nel nO precedente. Si può osservare che il fatto che la dualità della P.L. conservi il suo significato fisico anche nella formulazione alle differenze finite di un problema quale il (6.19), (6 .20), (6.21), fa presagire che si dovrebbe poter sviluppare una teoria della dualità anche per questi nuovi e complessi problemi di Programmazione matematica. lt stata anche proposta una discretizzaziol1e mediante sviluppi in serie, con una formulazione cinematiea.(3) Ma l'impostazione che oggi appare più promettente, sopratutto in vista della migliore valutazione delle approssimazioni che comporta il calcolo, è quella basata sull'impiego della tecnica degli elementi finiti che già ha dato tanti soddisfacenti risultati in campo elastico. Questa strada è stata però i m boccata molto recentemente cd ancora non si può fare un bilancio sufficientemellte ampio; com unque i primi risultati appaiono molto soddisfacenti.( 4)
Calcolo plastico e calcolo al collasso
~
Per concludere questo paragrafo sulla concezione del calcolo al collasso quale problema di P.N.L. e più in particolare di P.L., si vuole ora brevemente mettere in parallelo il calcolo elastico tradizionale ed il calcolo a rottura. Se si considerano le (6.9) si constata che le matrici {Z(gl} , {M'i}, o}, {M' i} , r} che, insieme alle matrici {di/(. j} e {b u\} , costituiscono i dati del programma lineare (ti. Il ), (6.12), ossia del calcolo a rottura, sono altresÌ i dati del calcolo elastico; è infatti con essi che si scrivono le condizioni dì congruenza che risolvono il problema elastico. Analoghe considerazioni si possono fa.re per le strutture bidimensionali sehematizzate con elementi finiti. In tal modo il calcolo elastico tradizionale, al quale non appare lecito rinunciare, non chè il calcolo al collas8o, si presentano come due elaborazioni parallele defili stessi dati di partenza: nel primo caso si deve risolvere UH81:sterna di equazioni lineari (condizioni di congruenza), nel secondo caso si deve risolvere un programma lineare.
6.2
L'influenza delle variazioni di geometria sul comportamento al di là del collasso
Una delle cause che possono compromettere la validità del calcolo a rottura è rappresentata dalla influenza delle deformazioni provocate dal formarsi del meccanismo di collasso. Una condizione necessaria perchè il carico di collasso, determinato con la teoria esposta nei para,grafi precedenti (ed in particolare con l'ipotesi di comportamento rigido- perfettamente plastico della struttura), rappresenti l'effettivo carico limite raggiungib ile, è che tale carico sia poco sensibile, almeno per un conveniente campo , alle variazioni di geometria della struttura. I! comportamento della struttura nella fase susseguente al collasso si rappresenta sinteticamente con il diagramina !.l - 15, ove D è un parametro di deformazione opportuno. In tale diagramma, la condizione sopra ricordata si traduce nel parallelismo della curva all'asse D.
(1) Ceradini-GuvtLI'iIli, 19G5, loe. cit.; 'l(uopnlan -J.oItt.llce, loe. cit.; Ccrud illi-G-avul'illi, 19GG, 10(:. C"it.; Lanec.Koopman, lo". ci/.. (2) L'111CO, R e portNSF GK 087 / 2, A pl'il l Oti7; Co radilli-Gavarini, Giornale d ol Gf>ll io Civ il e, nO 2·3 e nO 4, l!HlS. (3) Saechi, 1st. Lomb. (l~"nd. Se .) A ](lO, I!)(Hì. (4) Hodge-Be lyt.Rc hko, J. of Appl. Mpph. , d " ,· l!)fiS ; Ca se iaro -Di Carlo, Giornale d ol GOllio Civ il e, Il'' 2, 1070.
28 8
289 ."
11 legame jJ - 15 è fornito dalle condizioni di equilibrio del meccanismo di collasso che si va formando, tenuto conto degli spostamenti nella valutazione delle sollecitazioni; si vedrà fra breve un esempio in pruposito. Vi è una, categoria di strutture (fig. l38a) per le quali la condizione di cui sopra, è soddisfatta, almeno finchè gli sposta menti non diventano decisamente gra,nd i ; tra queste si possono citare le travi continue. Vi SOllO però altre due categorie, comprendenti strutture molto importanti, per le quali la con dizionc non è soddisfatta, o perchè la curva !l-c5 presenta un ramo ascendente (influenza stabilizzante dell e deformazioni: fig. 138b) , o per il cOlltrario, cioè ramo discendente (influenza instabilizzante, c). Alla prima appartengono le piastre c le volte di rivoluziolle sollecitate da,ll'interno (fondi di serbatoi); della seconda fanno parte i telai, gli archi, le cupole.
subito dall'asse p c dopo un tratto r ettilineo (teoria elastica del I ordine, si incurva per l'influenza delle deformazioni (teoria elastica del II ordine, ®) e successivamente per la comparsa delle plasticizzazioni (@) finchè va a raggiungere, all'atto del formarsi del meccanismo, la curva p-c5 « rigido-plastica » (nel caso di strutturc molto deformabili tale coincidenza potrebbe peraltro anche non verificarsi).
CD)
/-L I h I
3)1
I
b
-==
,'/
t
I
1/
b
'/
t :' I 1
/-Lll ~J /
I
~
I
c
,7 ,
I ""
/-Ld Ii -~ - .... 8
V... .-
.
>-
8
Fig. 1H9
I
a
c
~
.----~
l~ig.
a
/-L
/ /
prL _ _J}F. //
/-L
I<:
pt
,
Il
,
1 2
138
Nel caso di ramo ascendente, il risultato del calcolo al collasso è a vantaggio della sicurezza e può quindi conservare un certo interesse ; nel caso invece di ramo discendente il carico di collasso perde valore, sopratutto se la pendenza è pronunciata. Lo studio del. comportamento delle strutture rigido-plastiche nella fase susseguente al collasso riveste quindi in numerosi casi importanza decisiva. Si deve a questo punto osservare ehe lo schema rigido-plastico, accettabile per lc strutturo di tipo a , va invece rimesso in di8CllSsione per le categorie b c f;OJlratutto c. Infatti la effettiva curva p-o (vedi fig. 139), che tiene co nto llelle deforrnazùm'i elastiche, si scosta,
La fig. 139 illustra quanto si è detto e dlì ulteriori indicazioni. Particolarmente interessante appare il caso c, per il quale si nota l'esistenza di un carico massimo, raggiunto durante la fase elastoplastica, il cui valore è necessariamente inferiore al carico p, ; tale valore, jJd , è da considerare l'effettivo carico di collasso e viene generalmente denominato carico di collasso deteriorato. In quest e condizioni la soluzione radicale consiste nel tracciare la curva 1'-c5 elasto-plastica che descrive completamente il com portamento dell a struttura. Comunque sufficienti informazioni sul comportamento al di là del collasso e sul carico deteriorato si possono ottenere per molte struttUl'e anche col solq schema rigido-plastico. Numerosi autori hanno proposto di sostituire alla eurva effcttiva, in via approssimat[t, le curve e Nel caso c, si viene in tal modo ad assumere quale carico deteriorato l'ordinata del punto di intersezione e si compie quindi una valutazione per eccesso; ciò si potrà accettare per struttllre~ non troppo snelle (curva molto ripida) mentre per le strutture snelle l'influenza delle deformazioni può risultare decisiva già in fase clastica per cui il problema si deve affrontare per la via
CD
CD
CD
291
,290 ~
Per il traccia mento dellL curva ® si può procedere seguendo il meccanismo al di là del collasso, nel modo che ora si illustrerà con l'esempio di fig. 141. Si supponga che il meccanismo di collasso sia
elasto-plastica. A questo proposito una indicazione preziosa può essere ottenuta per mezzo del criterio empirico di Merchant. Secondo tale criterio il carico deteriorato viene fornito da una formula tipo l~ankine : l
1
l
l'd
l'r
l'e
--=----1---,
(6.22)
nella quale l'e rappresenta il moltiplicatore critico euleriano della struttura. Il criterio è stato indicato con riferimento ai telai c le numerose verifiche effettuate hanno mostrato che esso risulta essere a vantaggio della sicurezza (,ud è cioè valutato per difetto). Questo dato può essere di grande utilità. in due modi: primo, esso permette di valutare la snellezza della struttura e di decidere cosÌ se la sostituzione di alla curva effettiva è lecita; secondo, si può migliorare la spezzata con l'aggiunta di un tratto di retta di equazione Il = l'd, eon !Id fornito dalla (6.22) (fig. 140). Con quest'ultimo accorgimento lo studio del comportamento post-collasso effettuato sullo schema rigido-plastico può essere ritenuto soddisfacente per una vasta gamma di strutture.
CD ®
/'·F
C
D
• I
f
,h
f
!- I
I
B
A
Fig. 141
CD ®
11
quello di fig. 142 (basta che sia a ~ hll) e si considerino le sue condizioni di equilibrio tenuto conto delle deform'1zioni. Le equazioni di equilibrio sono (vedi fig. 142): h sin OA
t
j
C
Il
Il},
Pei
IlF
I
I I I I
I
'J. ..... I ..........
~
D
I--;~~-------
1
--------5
A
I
I
I
I
'.-iM p
I I
I I l / h.cas OA I . III" M I
I I
I I
0./,
BMri> ._X" S? ~;> "!/; .
/
k.
3 }1'ig. 142
(5
L'impostazione ora proposta riconduce il problema alla determinazione della curva ®, mentre il tracciamento della retta non offre difficoltà così come il calcolo di Jld, almeno dal punto di vista concettuale.
CD
292
-I- Y A h sin OA =.~ 2 jJ;Ip X B h cos OA -I- Y II h sin 0.'1 = 2 Mp X A -I- XII = Il F Y A -I- Y B = Il a F XA h cos OA
l i
l,'ig. 140
Y B l - Il a F
(-2'l - -I- h sin OA ) I
JI F h cos OA
-I- 2 Mp
=
O;
293
sommando membro a membro le prime due e tenendo conto della terza e della quarta si ottiene il legame p-ò (avendo posto ò = 8A ) : p
4 JYlp
= - -- F h
l
(6.23)
:----:-~
cos ò
+ a sin ò
che dà luogo, p er a = 2, alla curva a di fig. 143. Se poi sono presenti dei carichi assiali sui montanti , siano il (3 F per ogni montante, la (6.23) diventa: 4Mp
l
= - - - - - -- - - - - - - -
P
Fh
cos ò
+ (a + 2 (3) sin ò
(6.24)
Ponendo ad esempio a = fi. = 2 si ottiene la curva b di fig. 143, la quale, come è ovvio, scende più rapidamentc della preccdentc.
f.l-Bl 4M p
j
--a --------b -- _. __ . ,._----_.
Con la conoscenza del comportamento delle strutture al di là del collasso si aggiunge ai risultati del calcolo a rottura un importante elemento di giudizio sulla sicurezza d elle strutture stesse. Infatti è chiaro che a parità di moltiplicatore di collasso una struttura con curva p-ò crescente si potrà considerare assai più sicura di una struttura con curva decrescente. Peraltro mancano allo sta,to attuale precisi criteri per valutare la sicurezza da questo punto di vista: si tratta di una questione ancora aperta.
.
6.3
Adattamento plastico (shake down)
Il problema è stato posto nel Cap. 2. I teore mi ivi forniti costituiscono la base concettuale per la istituzione di metodi di calcolo del moltiplicatore limite di adattamento, ossia di quel valore che separa i processi con adattamento da quelli che comportano il progressivo deterioramento della struttura, o per collas8o incrementale o per plasticizzazione alternata.
Strutture monodimensionali con una sola caratteristica attiva
/)
_._ -SO
10°
Fig. 1.4::
Vi è tuttavia una obiezionc al metodo prcccdentc: nulla assicura che il mecca nismo rimanga sempre lo stesso aI" crescere della deformazione; può accadcrc chc csso venga ad un certo punto sostituito da un altro. Ciò è stato mostrato proprio per il caso di fig. 141 e si è proposto un metodo, ancora basato sull'impiego della P.L. ed in particolare sullc proprietà di dualità , che permette di tracciare la curva 0, eliminando l 'inconveniente ora menzionato, per una gencrica struttura monodimensionale e).
Come già si è visto per il problema dell'analisi limite, la ricerca del moltiplicatore limite di adatta mento si riconduce immedia tamente, sulla base del teorema di Blcich-Melan, ad un problema di Programmazione "lineare. Infatti , ·considéra ndo il problema discreto (se non lo è già: struttura reticolare) previa suddivisione della struttura in un conveniente numero di conci, il variare assegnato d ei carichi dà luogo in ogni sezione di calcolo a due valori estremi della sollecitazione, calcolati nell'ipotesi di comporta mento clastico della struttura. A questi valori si dcvono aggiungerc gli cffetti delle coazioni. Con i sim boli del § 6.1 si può cioè seri vere:
(O)
(1) C. Gavarini, in Atti d oll. 'I s t,itu to
294
Zi = Zi
max
+ mln .
n
Mi , O
• ,Il
-I-
r.
L M' i,
r
Xr
,
1
= l , ... ,
ni.
((i .25)
r ~l
295
Per il suddetto teorema di Bleich-Melall, il moltiplicatore limite
inoltre si opererà con grandezze adimensionali, ponendo:
Ila sarà fornito dalla soluzione ottima del programma lineare seguente,
M
nelle incognite Il, Xl, ... , X nr ·
m
= -M
i=
, p
F'l M
(6.28)
•
p
n
max Mi,
P
O •
+ .L! A-I i, r X r ~ I
.
+
(O)
_
(O)
Zi -- Zi ,
(6.26a)
r ~l
n
mm Mi,o· P
r
+ .L M'i,rXr~
Zi -Zj,
La frontiera del dominio elastico si ottiene immediatamente considerando la sol uzione elastica ed eguagliando a ± l i momenti:
(6.26b)
r ~l
p = max.
mc
= --
nLD
= ---il 64
c
A
i
l,
6
-6"4 12 = ± 13
+ --h = 64
l,
+ l.
-
~~f
4,
F,
64- ft
3
~/ 0
F,
64 ft ---64- 12 = 6
Si noti che la semplice sostituzione di max ]l;I i , o e l'isp. min-Mi . o (sollecitazioni estreme nella struttura iperstatica elastica) ai termini M't, o (sollecitazione nel sistema princ!pale) permette di passare dal problema dell'analisi limite a quello dell'adattam ento.
Per porre in evidenza come si può r ealizzare l'adattamento e come viceversa si possono configurare il collasso incrementale ovvero la, plf1sticizzazione alternata, si considel'i il semplice ese mpio di fig. 144.
3
=
(6.27)
Un esempio
13
mJj
~
~
Fig. Hl
~
Per meglio caratterizzare la questione si tracceranno, nel piano delle forze esterne, F'l ed F'2 , il dominio clastico ed il dominio plastico. Si supporrà rlle "ia lungo tut~a la trav c:
La frontiera del dominio plastico si ottiene considerando i tre possibili meccanismi di collasso e scrivendo le relative condizioni di bilancio energetico. Si ottengono in tal modo le sei equazioni:
& '-/ .
-
D
9
,
l
I
.
-L--+-~---r----
+
.M p
296
-
= - Mp
=
Mp
/
.
/
Fig. Hj
= cost.;
ft
=
± 6,
12=
+ - 6,
ft -h
=
± 8.
(6.30)
297
Le (6.29), (6.30) danno luogo ai due domini a contorno poligonale di fig. 146.
t
I
m Co _ 1
mB= -f1
dominio elastico / frontiera -- ----./
-'.,
perchè la struttura, non plastieizzandosi mai, rimanga elastica. È altrettanto ovvio che, viceversa, condizione necessaria perchè la struttura possa adattarsi è che il dominio dei carichi variabili appartenga al dominio plastico. Se poi il dominio dei C.V. è tutto contenuto all'interno d el dominio plastico ma esce dal dominio elastico, la struttura può, pur non raggiungendo mai il collasso statico, andar ugualmente fuori servizio o per accumulo inde finito di deformazioni plastiche (collasso incrementale) o perchè in qualche sezione la sollecitazione plafitica attinge infinite volte valori opposti (plasticizzazione alternata: si ha cioè un fenomeno an alogo alla fatica ma molto più rapiùo perchè le sollecitazioni raggiungono i valori plastici).
ontiera dominio ..pJ.~~tico / fr'----
t2 '" ,"
mD ", l
/_~o~_.eJas!..Q.~j~@!tjca 64
_,
---
-- -
t-
---------
-~---- -----------;;
.!!l~.!= c • ..
-
C,.9
+
.
6
~
<
mecc. B:- 0+
_____ _ _ .:!to.,
~- f,
,,
0=-1
frontiera plastic a
,,
~ --
3, '5r - ----------~
/"
I
frontie~ a
--
-
ela stica
--
.
frontier a di ada ttam ento
I I
L·-
I
/ --1
_L _ __ I 2
6' _
_ _
t,
~' ~s t.
Fig. 147
l~ig .
14G
Assegnare una legge di variazione alle forze Fl ed F 2 equivale a fisfiare un percorso (semmai ripetuto infinite volte) per il punto di coordinate iI fz· Assegnare dei valori estremi entro i quali le forze suddette ovvero loro com binazioni (lineari o non) possano variare arbitrariamente equivale a fissare nel piano iIh il dominio dei carichi variabili. È ovvio che l'a ppartenenza del suddetto percorso o dell'intero dominio dei carichi varia bili al dominio elastico è condizione sufficl:ente
298
In base a quanto detto nel Cap. 2 e all'inizio del presente p a ragrafo, la sicurezza nei riguardi di questi nuovi tipi di collasso si può ottenere studiando il problema dell'adattamento. Assegnato un modo di variare d elle forze, ad esempio
-h
j~ =
costo =
i2 e il
va-
riabile fra e h, si può tracciare un t erzo dominio, il dominio di adattamento. Infatti il valore limite di dipenderà in generale dal
h
valore di f2 e questo legame determinerà la frontiera del dominio. P er l'esempio considerato si ottiene il dominio di adattamento indicato in fi g . 147 (ci si può ovviamente limitare ai valori positivi di ]'2). I tre lati del dominio (gli altri si ottengono per simmetria) si ottengono
299
nel mouo seguente. Il primo corrispollde alla plasticizzazione alternata in B: !
13 -
3
m
-
\- -64- iI -- -64]2 + - 2 =
(-- --~1- lt - - i - ]2 + ~~()3
l,
a) per O !(
h
< 3,15,
iI
> 4,92 e
]1
< 8-
b,
si ha plasti-
cizzazione alternata;
= -
l ;
b) per 2 <
m è il momento di coazionc (l'unica possibile). Sottraendo la seconda dalla prima si ottiene: -
I punti compresi fra il dominio di adattamento e la frontiera del dominio plastico danro luogo ad una forma di collasso; più precisamente:
h <
6,
iI
> 8 -12, si ha collasso statico;
c) per 4,8
< 8-J2, si ha col -
f1
()4
]1 = ---- = 4 !J2. 13
'
l'Cl' individuare gli altri lati si tenga presente il secondo teorema sull'adattamento, in base al quale il collasso incrementalc è ancora, come il collasso statico, associato ad un mcccanismo, con la differenza che le cernierc plastiche non si formano tutte insieme bensÌ in istanti diversi . Così si ottiene il terzo lato considerando il meccanismo Cf - D +- , ossia imponendo le condizioni:
G -
max mD
=
3
+-
--+----------+----------
I
i
G
- -64 ]1 -- -64- h +
min 'llic
-r-
-
13 -
m
l,
=
-
=
l'
rn
+ ---- ]1 + ---- f2 + - G4 G4 2
' 7,603 I
da qui si ottiene:
8D -
iI =
- . _~ .\-
8 1G-- -
- ]2
3
48EI
8
;>
Mpl2
Infìne il secondo lato si ottiene considerando il meccanismo 11 - D + ed in questo caso si raggiunge il collasso statico tutte le volte
Fig. 148
che iI attinge il suo valore minimo --- Il . Tnfatti il simmetrico di questo lato giace sulla frontiera del dominio plastico e precisamente sul lato corrispondente al meccanismo R - D' .
Vediamo ora con uno studio diretto un caso di adattamento ed uno di collasso incrementale (si tralascia il caso di plasticizzazione alternata, più banale).
300
301
....
12
Sia = 5,5 ed h = 1. In base alla fig. 147 si deve avere adattamento. Ammesso che le variazioni fra i valori estremi di Il siano lineari, si hanno i cicli di carico indicati nella parte alta della fig. 148. Effettuando lo studio completo del processo elasto-plastico, che qui
":/ ; '
I
~,
Se invece si assume h = 5,5 ed h = 2, si constata con lo studio completo (anche questo omesso: il lettore troverà maggiore soddisfazione a svilupparlo da se) che si ha, come previsto dalla fig. 147, collasso incrementale. La fig. 148, analoga alla 149, mostra che la freccia in D aumenta indefinitamente (l), incrementandosi ad ogni ciclo di carico della quantità 2 (adimensionale).
Metodi di calcolo Poichè dal punto di vista matematico l'analisi limite e lo studio dell'adattamento si riconducono allo stesso tipo di problema (programma lineare), si comprende facilmente che i metodi che sono stati proposti per i due problemi sono molto simili. Non appare pertanto necessario insistere su questo argomento tanto più che oggi appare più opportuno affrontare direttamente la questione quale problema di programmazione lineare.
Strutture monodimensionali con più caratteristiche attive
7.693
I I
i
I
I
I
~-~/
---_I I
I
I
•
I
:
:
I
+I t'. .-+-1.-- -1-' I 1
I
I Mpf
8
I
J r~ r" -ll1---' -jl---, '
I .
48 El
i
I
2,0
.
li-
-t--
I
I
,I I __ .___
--t-.
I
I
f
I
I
I -t-
- ~ .I '__
o
L...... ........
~
i I '-~ l'.
I .
'.
Il'ig. 14!l
si omette per brevità, si constata che la struttura, dopo una sola fase plastica (per h decrescente da O a - l), rientra definitivamente in fase elastica. La fig. 148 fornisce l'andamento delle freccie dei punt.i B c D. 302
Per queste strutture il problema della ricerca àel moltiplica,tore limite di adattamento si presenta diverso ed in generale assai più difficile del problema dell'analisi limite. In ogni sezione di calcolo (siano esse limitate ad un numero finito o meno), in luogo dei due valori estremi min lIf i , o e max Mi, o che bastava considerare nel nO 2, si deve considerare il luogo dei punti raggiunti, nello spazio delle sollecitazioni Zii (o = l, 2, ... ), dal punto rappresentativo delle sollecitazioni indotte dai carichi variabili nella struttura iperstatica elastica. Tale luogo si potrà indicare quale dominio delle sollecitazioni variabili. L'aggiunta delle sollecitazioni provocate dalle coazioni, a priori incognite, provoca un eguale spostamentQ di tutti i punti del dominio suddetto, ossia una traslazione del dominio stesso. A traslazione avvenuta il dominio delle sollecitazioni variabili, che può ancora essere ampliato agendo sul moltiplicatore dei carichi fl, dovrà però, per il rispetto delle condizioni di plasticizzazione, essere interno al dominio di resistenza; ciò dovrà verificarsi in ogni sezione. Se ora si impone, nel rispetto delle condizioni suddette, che il moltiplicatore fl debba essere massimo, si viene ad impostare un (1) In r ealtà tal e comportanlento viene poi Inodificato qua ndo si esce dal campo di va l idità d e lla teoria del lO ordin c.
303
~
metodo di calcolo basato sul teorema di Bleich-Melan. Tuttavia, poichè in generale sia la frontiera (leI dominio delle s.v. che la frontiera del dominio di r esistenza saranno curvilinee, il problema che così si formula è un difficile problema di ottimizzazione. Il problema è stato affrontato, per gli archi incastrati, con una tecnica analoga (ma naturalmente più complessa) a quella sviluppata per l'analisi limite delle stesse strutture. Il metodo di calcolo è esposto nel trattato del Franciosi, al quale si rimanda per la esposizione dettagliata. Si avverte tuttavia la necessità, anche in questo campo, della ricerca di metodi generali, sia pure approssimati. Ad una formulazione generale del problema si può pervenire ricorrcndo ancora una volta alla Programmazione lineare. (1) A parte la preventiva discretizzazione del problema, già discussa nel § 6.1, si dovrà naturalmente procedere alla linearizzazione delle condizioni di plasticizzazione , mentre nulla si richiede per quanto riguarda il dominio delle sollecitazioni variabili. Sia Zij la generica caratteristica di sollccitazione (j = 1, 2, ... , n,) nella generica sezione della struttura (i = 1, 2, ... , ni); sia Fl (l = l, 2, .. , , n/) la generica forza attiva, pari a: F/ = Fl
+ fiFa.l
,
Ki},
I
FI ,
(6.32)
l ~l
essendo Ki} , I d ei coefficienti facilmente deducibili con i noti metodi per il calcolo delle strutture elastiche. Al secondo membro d elle (6.32) si devono aggiungere gli effetti delle coazioni; detti X r i parametri dello st ato di coazione, ossia le incognite iperstatiehe relative ad un sistema principale opportunamente scelto, si può scrivere : (1) Ceradini.GasariJli , UioJ'J1 tl le dld G-t'lIio Ci vi l(' , ugust u lBHU; Maier, M e c('allicù, nO 3, l !J6\J.
304
n
1
Z tj= :LKi}, IFI + l ~l
~ ;...
r
r ='1
con le M 'i}, r già definite al § 6.]. Introducen do le (6.:31) llelle (6.3 3) poi queste ultime n ellé COlldizioni di plasticizzazione (H. IO) e ricordando che le Fa, l sono ora da considerarc quali funzioni del t empo, Fa , l (t) (variabili molto lentamente, s'intende), si ottengono le diseguaglianze: fi'
L i
Idik,} ](ii, IFa,
l
(t)
+ 2,(Ldik , } Mii,r) r
I
~ bik -
2
......
(6.34) i
2dik,i](ij, lF I
• Xr ~
}
], ... ,
ni
,
]( =
l
~
(6.33)
IM'ij,rXr,
], ... , nk·
Ma poichè Jl è essenzialmente positivo, ad ogni termine, variabile nel tempo:
L 2 d ik , } ](i ) ,
l
Fa , l (t)
(6.31 )
nl
I
n
f
con Fl carico permanent e, Fa, I carico accidentale per fi = l. Nell'ipotesi di comportamento elastico d ella struttura le Zij sono legate alle FI per mezzo delle relazioni:
Zij =
1
si può sostituire il suo valore ma.ssim o: EiI( ; ciò fatto basta aggiungere la condi zione l' c.--= max per ottenerc il programma lineare seguente : p • FJ ik
l i
+I
(Id ik ,
r
= 1, ... ,
j
M ij , r) X r ~ bik - -
11i;
L
Id ik , i ](ii,
l
Fl
(0.35)
i
,
J(
= l , ... ,
nk;
fi
= max.
(6.36)
Si osserva che il generico t ermine E tK ha un intere:ssa ntc significato geometri co nello spazio delle sollecitazioni Zij , illustrato dalla fig. 150, tracciata per nj = 2. Infatti le dii\, j sono, come è noto, proporzionali ai cosen i direttori della normale esterna alla retta 'il( definita dall a generica (6.]0) scritta comc eguagli anza; esse sono eioè proporzionali alle eomponellti del versore di detta normale; /!;,;" risnlta CJ.uindi ugua.le, a meno di un fattore , al valor nUl,f;simo della
305
proiezione, secondo la normale i1C , del vettore variabile di componenti Ktj, z Fa, z (j = l, 2, ...) (indicato con V iK in figura). D'altra parte anche i termini
L ("2,d 1k ,
j
M ij , r) X r
j
e
L Ldik,jKif,zFz j
hanno il significato di proiezioni, a meno dello stesso fatt.ore, dei vettori Vie e Vi dovuti rispettivamente alle coazioni ed ai carichi permanenti. In definitiva le (6.35) esprimono la propriet.à geometrica
Zj2
r
BIBLIOGRAFIA
Gli argomenti affrontati nel presente capitolo sono di sviluppo troppo recente per poter avere ampio spazio nei trattati. Soltanto il problt'ma dell'adattamento plastico, più classico, è larganwnte considerato, anche dal punto di vista spcriment,alu, come si può constatare consultando aleunn delle opere citate noi Cap. 3 () 4: NEAI", HODGE, Comrnentary ASCE, MASSONNET-SAVE, FRANCIOSI. Gli altri duo problemi flono per lo più ancora assenti o appen>1aeeennati, fatta eccezione per la recente (19U7) II edizione del I volume di MASSONNETSAVE che d edicano un capitolo (VIII, assente nella I edizione c di conseguenza nella traduzione italiana) a lla influenza dell o val'iazioni di geometria l'mi collasso ed un lungo pn,ragmfo (X-4) al tema : Calcolo a l'ottura o programmazione lineare. Si rim>1ndl1 quindi a i trattat i pOI' la bibliografia concernente l'adattamento plastico m entre per gli altri argomenti di questo capitolo valgono le citazioni fatte a piè di pagina. Per una introduzione alla Programma7.ione , linearo e non ,si può consul tare l'opera di L. MURACCHINI: Programmazione Matematica (UTET, 1969); per una trattaziono approfondita della P .L. si veda ad esempio SIMONNARD: Programmation linéaire (Dunod, Paris 1962).
1,12.1.' Zii
l"ig. 1:;0
ben nota: la massima proiezione del vettore della sollecitazione
Hl
~,
somma dei tre termini Vi, Vie e V i ]{ , deve essere inferiore o uguale alla distanza della retta il( dall'origille. 306
j07
