Computersimulation von Plasmen 001

Computersimulation von Plasmen - Skriptum zur Vorlesung Prof. Dr. H.-J. Kull

Fraunhofer Institut f¨ur Lasertechnik und Lehr- und Forschungsgebiet Laserphysik Institut f¨ur Theoretische Physik A Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen 20. November 2003

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

i

Hinweis zum Skriptum: Das vorliegende Skriptum dient als Begleitmaterial zur Vorlesung, Computersimulation von Plasmen, im Wintersemester 00/01. Es soll kein Lehrbuch ersetzen. Das Skriptum ist in der Bibliothek der Physikalischen Institute (Kopierraum) und auf dem Server des Lehrund Forschungsgebietes Laserphysik (http://llp.ilt.fhg.de) erh¨altlich.

Literaturhinweise: Zur Erg¨anzung werden folgende B¨ucher aus den Gebieten Plasmaphysik, Numerik und Programmierung empfohlen: Plasmaphysik: 1. R.J. Goldston und P.H. Rutherford: Plasmaphysik (Vieweg,1998). 2. H.-J. Kull, Skriptum zur Vorlesung Plasmaphysik (http://llp.ilt.fhg.de) Plasmasimulation und numerische Methoden: 1. C.K. Birdsall, A.B. Langdon: Plasma Physics via Computer Simulation (Institute of Physics Publishing, 1991) 2. R.W. Hockney, J.W. Eastwood: Computer Simulation using Particles (Institute of Physics Publishing, 1988) 3. W. F. Ames: Numerical Methods for Partial Differential Equations (Academic Press, 1992) 4. W.H. Press et al.: Numerical Recipes in C (Cambridge University Press, 1992) Programmieren in C und C++: 1. B.W. Kernighan, D.M. Ritchie: Programmieren in C (Hanser, 1990) 2. B. Stroustrup: Die C++ Programmiersprache (Addison-Wesley, 1992) 3. D.M. Capper: Introducing C++. For Scientists, Engineers and Mathematicians (Springer, 1994).

Inhaltsverzeichnis 1

2

Diskrete Approximation von Funktionen

2

1.1

Numerische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Interpolation und Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Kinetische Theorie und Computersimulation

17

2.1

Vlasov-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Lineare Vlasov-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2

Plasmaschwingungen im kalten Plasma . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3

Plasmawellen im thermischen Plasma . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.4

Zweistrominstabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Plasmasimulation mit Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1

Regularisierung der Coulomb-Wechselwirkung . . . . . . . . . .

29

2.2.2

Teilchenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.3

Eindimensionales Modell

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.4

Dimensionslose Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.5

Gittermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

1

Kapitel 1 Diskrete Approximation von Funktionen Zur Anwendung numerischer Methoden m¨ussen kontinuierliche Variablen in der Regel zun¨achst diskretisiert werden. Im folgenden werden diskrete Approximationen von Funktionen auf einem Gitter betrachtet, wobei immer vorausgesetzt wird, daß diese Funktionen stetig und gegebenenfalls auch hinreichend oft differenzierbar sind. F¨ur diese diskreten Approximationen werden einige elementare numerische Operationen zur Differentiation, Integration, Interpolation und Fouriertransformation eingef¨uhrt.

1.1

Numerische Differentiation

Eine stetige Funktion y = f (x) wird diskretisiert, indem man nur die Funktionswerte yi = f (xi ) an diskreten Stellen xi betrachtet. Eine Stelle xi wird als Gitterpunkt, die Gesamtheit der Gitterpunkte als Gitter bezeichnet. W¨ahlt man die Gitterpunkte hinreichend dicht, so kann man den Verlauf der stetigen Funktion auf dem Gitter beliebig genau approximieren. Meist verwendet man, wie in Abb.1.1 dargestellt, Gitter mit a¨ quidistanten Gitterpunkten, (1.1) xi = x0 + ih, i = 0, 1, 2, · · · , N. Bei einer Unterteilung des Intervalls [x0 , xN ] in N gleiche Teilintervalle gilt f¨ur die Schrittweite h die einfache Beziehung h=

xN − x0 . N

(1.2)

Differentiale werden auf dem Gitter durch finite Differenzen dargestellt. Auf diese Weise k¨onnen Differentialgleichungen in Differenzengleichungen umgewandelt und danach mit algebraischen Methoden numerisch gel¨ost werden.

2

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

3

¨ Abbildung 1.1: Aquidistantes Gitter mit Schrittweite h

Wir wollen zun¨achst diskrete Approximationen f¨ur die Ableitungen von Funktionen finden. Die Ableitung einer Funktion wird durch den Grenzwert  → 0 des Differenzenquotienten f (x + ) − f (x) , (1.3) y 0 (x) = lim →0  definiert. Kennt man von der Funktion nur die Funktionswerte auf dem Gitter, so ist es naheliegend die Ableitung im Punkt i durch den Differenzenquotienten 0 yi,V =

yi+1 − yi h

(1.4)

zu berechnen. Der Index V deutet an, daß die Steigung vom Punkt xi aus in Vorw¨artsrichtung berechnet wird. Analog kann man aber auch den Differenzenquotienten 0 yi,R =

yi − yi−1 h

(1.5)

verwenden, der die Steigung in R¨uckw¨artsrichtung angibt. Da die Differenzenquotienten in Vorw¨arts- und R¨uckw¨artsrichtung i.a. verschieden sind, verletzen diese Approximationen die Stetigkeit der Ableitung im Punkt xi . Von einer numerischen Methode werden ganz allgemein gewisse Konsistenzeigenschaften erwartet. Hierzu z¨ahlt die Konvergenz. Die beiden Differenzenquotienten (1.4) und (1.5) konvergieren im Grenz¨ubergang zu einer infinitesimalen Schrittweite offensichtlich beide gegen den Differentialquotienten (1.3). Eine weitere w¨unschenswerte Konsistenzeigenschaft ist die Beibehaltung von exakten Symmetrien oder von Erhaltungsgr¨oßen in der diskreten Approximation. Daher w¨are eine Approximation der Ableitung vorzuziehen, die im Punkt xi eindeutig ist. Eine mit der Stetigkeit der Ableitung konsistente numerische Approximation ist der zentrale Differenzenquotient, den man aus dem arithmetischen Mittel von (1.4) und (1.5) bilden kann  yi+1 − yi−1 1 0 0 0 = yi,Z = yi,V + yi,R . (1.6) 2 2h Aus der Abbildung (1.2) erkennt man bereits graphisch, daß der zentrale Differenzenquotient eine bessere Approximation an die Ableitung im Punkt i darstellt. Finite Differenzen beinhalten immer Abbruchfehler, die ihre Genauigkeit begrenzen. Die Genauigkeit der verschiedenen Differenzenquotienten kann einfach abgesch¨atzt werden,

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4

Abbildung 1.2: Kurve y = f (x) mit monoton wachsender Steigung. Der Differenzenquotient in Vorw¨artsrichtung (V) ist gr¨oßer, der in R¨uckw¨artsrichtung (R) kleiner als der Differentialquotient im Punkt xi . Der zentrale Differenzenquotient (Z) stellt als Mittelwert eine bessere N¨aherung dar.

indem man yi+1 = f (xi + h) und yi−1 = f (xi − h) jeweils um die Stelle xi in eine Taylorreihe entwickelt, 1 1 1 1 0 yi h + yi00 h2 ± yi000 h3 + yi0000 h4 ± · · · . (1.7) 1! 2! 3! 4! Durch Einsetzen dieser Reihenentwicklungen f¨ur yi±1 , erh¨alt man in niedrigster Ordnung in h die Abbruchfehler 1 0 yi,V = yi0 + yi00 h + · · · 2 1 0 yi,R = yi0 − yi00 h + · · · (1.8) 2 1 0 yi,Z = yi0 + yi000 h2 + · · · 3! Die Differenzenquotienten in Vorw¨arts- und R¨uckw¨artsrichtung approximieren die erste Ableitung in erster Ordnung, d.h. der Abbruchfehler ist O(h). Der zentrale Differenzenquotient stellt dagegen eine N¨aherung zweiter Ordnung mit einem Abbruchfehler O(h2 ) dar. Zu seiner Berechnung werden nur zwei Funktionsauswertungen ben¨otigt. Die Schrittweite h muß so gew¨ahlt werden, daß sie klein im Vergleich zu den Gradientenl¨angen aber noch groß gegen¨uber den unvermeidlichen numerischen Rundungsfehlern ist. yi±1 = yi ±

In der Regel werden Differentiale wegen der h¨oheren Genauigkeit durch zentrale Differenzen approximiert. Allerdings gibt es F¨alle, bei denen die Fehler bei mehrfacher Anwendung eines Verfahrens unkontrolliert anwachsen. Ein solches Verfahren nennt man instabil. Neben der Konsistenz und der Genauigkeit stellt die Stabilit¨at ein weiteres wichtiges Merkmal eines numerischen Verfahrens dar. Beispiele unerw¨unschter instabiler Verfahren werden wir bei der numerischen L¨osung von Differentialgleichungen kennenlernen.

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5

H¨ohere Ableitungen kann man durch sukzessive Anwendung der Formeln f¨ur die erste Ableitung gewinnen. Zur Berechnung der zweiten Ableitung berechnen wir die erste Ableitung zentriert an den Zwischengitterpunkten xi+1/2 = x0 + (i + 12 )h und daraus die zweite Ableitung an den Gitterpunkten xi (Abb.1.3)

Abbildung 1.3: Berechnung der zweiten Ableitung auf einem Gitter mit Zwischengitterpunkten. An den Gitterpunkten sind y und y 00 , an den Zwischengitterpunkten ist y 0 definiert.

yi+1 − yi yi − yi−1 0 , yi−1/2 = , h h 0 0 yi+1/2 − yi−1/2 yi+1 − 2yi + yi−1 = = . h h2

0 yi+1/2 =

yi00

(1.9)

Diese Differenzenformel stellt eine N¨aherung zweiter Ordnung f¨ur die zweite Ableitung dar. Den Abbruchfehler erh¨alt man durch Addition der Taylorentwicklungen (1.7) f¨ur yi+1 und yi−1 , 1 yi+1 − 2yi + yi−1 = yi00 + y 0000 h2 + · · · . (1.10) 2 h 12

1.2

Interpolation und Extrapolation

Ist der Verlauf einer Kurve y = f (x) hinreichend glatt, so gibt es Verfahren, die Funktionswerte in einem beliebigen Punkt x aus den Funktionswerten an den Gitterpunkten xi n¨aherungsweise zu berechnen. Liegt x innerhalb des Intervalls [x0 , xN ], so spricht man von Interpolation, sonst von Extrapolation. Die hier besprochenen Interpolationsmethoden k¨onnen genauso zur Extrapolation verwendet werden, wobei zu beachten ist, daß der Abstand zu den Intervallgrenzen hierbei nicht viel gr¨oßer als eine Schrittweite sein sollte. Die einfachste Interpolationsmethode ist die konstante Interpolation. Hierbei wird y = f (x) = f (xi ) = yi gesetzt, wobei xi der dem Punkt x am n¨achsten gelegene Gitterpunkt ist. Die Funktion wird hierbei durch eine Treppenfunktion approximiert. Eine Verbesserung dieser Methode erh¨alt man durch lineare Interpolation. Zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten xi und xi+1 wird die Funktion durch eine Gerade mit der

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull Gleichung y = yi +

yi+1 − yi (x − xi ) xi+1 − xi

6

(1.11)

approximiert. Man kann diese Geradengleichung auch als einen gewichteten Mittelwert der Funktionswerte in den Gitterpunkten auffassen, indem man y = (1 − ξ)yi + ξyi+1 ,

mit

ξ=

x − xi xi+1 − xi

(1.12)

schreibt. Der Parameter ξ variiert hierbei zwischen 0 und 1. Abbildung 1.4 zeigt graphisch den Unterschied zwischen der linearen und der konstanten Interpolation.

Abbildung 1.4: Konstante und lineare Interpolation zwischen den Gitterpunkten xi−1 und xi+1

Die Interpolation in mehreren Variablen kann auf eine Reihe eindimensionaler Interpolationen zur¨uckgef¨uhrt werden. Als Beispiel betrachten wir die bilineare Interpolation f¨ur eine Funktion z(u, v) mit zwei Variablen u und v. Mit den auf einem zweidimensionalen Gitter definierten Funktionswerten zik = z(ui , vk ) soll der Funktionswert im Punkt (u, v) durch lineare Interpolation bestimmt werden. Dazu betrachten wir diejenige Zelle des Gitters, ui < u < ui+1 , vk < v < vk+1 , die den Punkt (u, v) enth¨alt und bezeichnen die Funktionswerte an den Eckpunkten der Zelle mit z1 , z2 , z3 , z4 (Abb.1.5). Durch Interpolationen in u-Richtung f¨ur v = vk und v = vk+1 erh¨alt man Zwischenwerte z12 und z34 . Aus diesen ergibt eine weitere Interpolation in v-Richtung den gesuchten Wert z: z12 = (1 − ξ)z1 + ξz2 , z34 = (1 − ξ)z4 + ξz3 , z = (1 − η)z12 + ηz34 = (1 − ξ)(1 − η)z1 + ξ(1 − η)z2 + ξηz3 + (1 − ξ)ηz4 ,

(1.13)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull mit ξ=

u − ui , ui+1 − ui

η=

7

v − vk . vk+1 − vk

Abbildung 1.5: Zelle eines zweidimensionalen Gitters. Durch bilineare Interpolation kann z(u, v) als gewichtetes Mittel von z1 , z2 , z3 und z4 berechnet werden.

Die konstante und lineare Interpolation sind Spezialf¨alle der polynominalen Interpolation. Zu den Funktionswerten yi an N + 1 Gitterpunkten xi (i = 0, · · · , N ) gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom P01···N (x) N -ter Ordnung, welches die N + 1 Bedingungen P01···N (xi ) = yi an den Gitterpunkten erf¨ullt. Dieses Polynom wird als Interpolationspolynom bezeichnet. Das Interpolationspolynom kann explizit mit der Lagrange-Formel P01···N (x) =

N X

Lk (x)yk

(1.14)

x − xi xk − xi

(1.15)

k=0

berechnet werden, wobei die Koeffizienten Lk (x) =

N Y i=0i6=k

Polynome sind, die im Gitterpunkt xk den Wert 1 annehmen und an den restlichen Gitterpunkten i 6= k Nullstellen besitzen. Die Lagrange-Formel bestimmt das Interpolationspolynom einer festen Ordnung N als Funktion von x. Interessiert man sich f¨ur Interpolationswerte an einer festen Stelle x und f¨ur deren Genauigkeit als Funktion der Ordnung N , so ist es g¨unstiger einen Algorithmus von Neville zu verwenden. Der Neville-Algorithmus basiert auf einer Rekursionsformel f¨ur die Interpolationspolynome m-ter Ordnung. Sei Pi(i+1)···(i+m) das eindeutig bestimmte Interpolationspolynom m-ter Ordnung durch die Gitterpunkte i, · · · , (i + m). F¨ur dieses Polynom gilt die Rekursionsformel Pi(i+1)···(i+m) =

(x − xi+m )Pi(i+1)···(i+m−1) + (xi − x)P(i+1)(i+2)···(i+m) . xi − xi+m

(1.16)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

8

Den Beweis dieser Formel kann man nach dem Prinzip der vollst¨andigen Induktion f¨uhren. Seien Pi(i+1)···(i+m−1) und P(i+1)(i+2)···(i+m) bereits Interpolationspolynome (m − 1)-ter Ordnung, die an den angegebenen Gitterpunkten die vorgegebenen Werte annehmen. Dann ist Pi(i+1)···(i+m) nach (1.16) ein Polynom m-ter Ordnung, das in den Gitterpunkten x = xi , x = xi+m und x = xk mit k 6= i, i + m die vorgegebenen Werte annimmt, denn es gilt: Pi(i+1)···(i+m) (xi ) = Pi(i+1)···(i+m−1)(xi ) = yi , Pi(i+1)···(i+m) (xi+m ) = P(i+1)(i+2)···(i+m)(xi+m ) = yi+m . (xk − xi+m )yk + (xi − xk )yk Pi(i+1)···(i+m) (xk ) = = yk . xi − xi+m

(1.17)

Sei yi(i+1)···(i+m) = Pi(i+1)···(i+m) (x) der Wert des Interpolationspolynoms an der gesuchten Stelle x und es seien Cm+1,i = yi(i+1)···(i+m+1) − yi(i+1)···(i+m) Dm+1,i = yi(i+1)···(i+m+1) − y(i+1)···(i+m+1)

(1.18)

¨ die Anderungen dieser Werte bei der Hinzunahme eines weiteren Gitterpunktes. Diese ¨ Anderungen lassen sich mit Hilfe von (1.16) ebenfalls rekursiv berechnen: (x − xi+m+1 )yi(i+1)···(i+m) + (xi − x)y(i+1)(i+2)···(i+m+1) xi − xi+m+1 (xi − xi+m+1 )yi(i+1)···(i+m) − xi − xi+m+1 (xi − x)(y(i+1)(i+2)···(i+m+1) − yi(i+1)···(i+m) ) = xi − xi+m+1 (xi − x)(Cm,i+1 − Dm,i ) = , xi − xi+m+1

Cm+1,i =

(x − xi+m+1 )yi(i+1)···(i+m) + (xi − x)y(i+1)(i+2)···(i+m+1) xi − xi+m+1 (xi − xi+m+1 )y(i+1)···(i+m+1) − xi − xi+m+1 (xi+m+1 − x)(y(i+1)(i+2)···(i+m+1) − yi(i+1)···(i+m) ) = xi − xi+m+1 (xi+m+1 − x)(Cm,i+1 − Dm,i ) = . xi − xi+m+1

(1.19)

Dm+1,i =

(1.20)

¨ Die m¨oglichen Interpolationswerte und ihre Anderungen bei einer Erh¨ohung der Ordnung m lassen sich durch die in Abb.1.6 gezeigte Baumstruktur darstellen. F¨ur m = 0 w¨ahlt

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Abbildung 1.6: NevilleAlgorithmus zur rekursiven Berechnung eines Interpolationswertes mit Interpolationspolynomen m-ter Ordnung.

man als Interpolationswert den Funktionswert des n¨achstgelegenen Gitterpunktes. Mit ¨ Hilfe der Anderungen Cm,i und Dm,i k¨onnen die h¨oheren polynomionalen Interpolationen gem¨aß, yi···(i+m) = yi···(i+m−1) + Cm,i = y(i+1)···(i+m) + Dm,i ¨ sukzessive berechnet werden, bis man den Wert y012···N erreicht. Die letzte Anderung gibt eine Fehlerabsch¨atzung dieses Wertes an.

1.3

Numerische Integration

Zur numerischen Berechnung eines bestimmten Integrals gibt es eine Reihe von sogenannten Quadraturformeln, die das Integral als eine gewichtete Summe I=

ZxN x0

f (x)dx = h

N X

ci yi

(1.21)

i=0

der Funktionswerte yi = f (xi ) an den Gitterpunkten xi = x0 +ih approximieren. Die Gewichte ci werden durch unterschiedliche Interpolationsverfahren bestimmt und sind unabh¨angig von der zu integrierenden Funktion. Da sich Integrale im allgemeinen nicht geschlossen darstellen lassen, wurden Quadraturformeln bereits im 18. und 19. Jahrhundert untersucht. Mit der Verf¨ugbarkeit von Computern sind einige dieser Formeln zu allgemein anwendbaren praktischen Rechenverfahren geworden. Die bekanntesten Quadraturfomeln sind die Sehnentrapezformel und die Simpson-Formel. Im folgenden wird angenommen, daß die Gitterpunkte a¨ quidistant sind, der Integrand keine Singularit¨aten besitzt und das Integrationsintervall endlich ist. F¨ur allgemeinere F¨alle sei auf die Literatur verwiesen.

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Die Sehnentrapezformel erh¨alt man durch lineare Interpolation der Funktionswerte zwischen benachbarten Gitterpunkten. Dazu betrachten wir ein Teilinterval xi−1 < x < xi der Breite h = xi − xi−1 und ersetzen in diesem die Funktion y = f (x) durch die Sehne P (x) = yi−1 + (yi − yi−1 )ξ,

ξ=

x − xi−1 . h

(1.22)

Die Integration von P (x) ergibt Zxi

P (x)dx = h

xi−1

Z1

dξ {yi−1 + (yi − yi−1 ) ξ} =

0

h (yi−1 + yi ) 2

(1.23)

Geometrisch beschreibt diese Formel den in Abb.1.7 gezeigten Fl¨acheninhalt eines Trapezes unterhalb der Sehne P (x). Alternativ kann man darunter auch die Fl¨ache unterhalb einer Treppenfunktion verstehen, die eine Sprungstelle in der Intervallmitte hat. Abbildung 1.7: Die Sehnentrapezregel approximiert die Fl¨ache unterhalb einer Kurve f (x) im Teilintervall xi−1 < x < xi durch die Fl¨ache des Trapezes unterhalb der Sehne P (x) (grau). Diese Fl¨ache entspricht der Fl¨ache unterhalb einer Stufenfunktion, deren Sprungstelle in der Intervallmitte liegt (gestrichelt).

Der Fehler der Sehnentrapezformel kann durch ein Polynom 2. Grades f¨ur die Abweichungen R(x) = f (x) − P (x) der Funktionswerte f (x) von den Interpolationswerten P (x) abgesch¨atzt werden. Da R(x) in den Gitterpunkten verschwindet, gilt in quadratischer N¨aherung f 00 (˜ x) R(x) ≈ (x − xi−1 )(x − xi ), (1.24) 2 wobei die zweite Ableitung R00 = f 00 (˜ x) durch die zweite Ableitung der Funktion f an einer beliebigen Stelle x˜ innerhalb des Intervals definiert wird. Die Integration von R(x) u¨ ber das Teilintervall ergibt, Zxi xi−1

1 f 00 (˜ x)h3 Z 1 dx R(x) = dξ ξ(ξ − 1) = − f 00 (˜ x)h3 . 2 12 0

(1.25)

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11

Der Fehler der Sehnentrapezformel ist daher von der Ordnung O(f 00 h3 ). Das Integral I u¨ ber das Gesamtintervall [x0 , xN ] kann als Summe der Integrale u¨ ber die Teilintervalle [xi−1 , xi ] berechnet werden. Dies ergibt die summierte Sehentrapezformel, I=

N X h i=1

1 1 (yi−1 + yi ) = h y0 + y1 + y2 + · · · + yN −1 + yN 2 2 2 



.

(1.26)

Die Randpunkte werden in (1.26) mit dem Faktor 1/2 gewichtet, w¨ahrend alle inneren Punkte den Faktor 1 besitzen. Wie in Abbildung 1.8 gezeigt, besitzen die Teilfl¨achen unterhalb der zusammengesetzten Treppenfunktion in den Randpunkten nur die halbe Intervallbreite.

Abbildung 1.8: Mit der summierten Sehnentrapezformel wird die grau gezeichnete Fl¨ache berechnet. Die Teilrechtecke besitzen in den Randpunkten die Breite h/2, in den inneren Punkten die Breite h.

Eine symmetrischere Darstellung erh¨alt man, wenn die Funktionswerte jeweils in den Mittelpunkten xi+1/2 der Teilintervalle berechnet werden. Dann besitzen alle Rechtecke unterhalb der Treppenfunktion dieselbe Breite h und f¨ur die Gesamtfl¨ache gilt die summierte Mittelpunktsformel 



I = h y1/2 + y3/2 + · · · + yN −1/2 .

(1.27)

Der Fehler der summierten Quadraturformeln wird u¨ blicherweise als Funktion der Anzahl N der Intervalle angegeben, wobei eine feste L¨ange xN − x0 = N h des Integrationsintervalles vorausgesetzt wird. Der Gesamtfehler von (1.26) bzw. (1.27) ist dann von der Ordnung N O(f 00 h3 ) = O(1/N 2 ). Um eine h¨ohere Genauigkeit zu erzielen, k¨onnen Interpolationspolynome h¨oherer Ordnung f¨ur eine entsprechend gr¨oßere Anzahl von Gitterpunkten verwendet werden. In einem Teilintervall xi−1 < x < xi+1 mit drei Gitterpunkten werde z.B. die Funktion y = f (x) durch ihre Taylorentwicklung um xi , 1 1 1 (4) y = yi + yi0 hξ + yi00 (hξ)2 + yi000 (hξ)3 + yi (hξ)4 + · · · 2 3! 4!

(1.28)

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12

dargestellt. Die Integration ergibt dann die Simpson-Formel xZi+1



dx f (x) =

xi−1

 1 00 1 1 (4) 1 3 5 +1 yi hξ + yi (hξ) + yi (hξ) −1 2 3 4! 5

1 = h 2yi + (yi+1 + yi−1 − 2yi ) + O(y (4) h5 ) 3   1 4 1 = h yi−1 + yi + yi+1 + O(y (4) h5 ). (1.29) 3 3 3 Durch die drei Gitterpunkte wird das Interpolationspolynom 2. Ordnung eindeutig bestimmt. Da jedoch ungerade Potenzen bei der Integration keinen Beitrag liefern, ist die Simpson-Formel auch f¨ur Polynome 3. Ordnung exakt und der Fehler ist von der Ordnung O(y (4) h5 ). Die zweite Ableitung h3 yi00 wurde durch die Differenzenapproximation (1.9) mit einem Gesamtfehler derselben Ordnung h3 O(h2 ) = O(h5 ) ersetzt. 



Zur Anwendung der Simpson-Formel auf das gesamte Integrationsintervall muß eine gerade Anzahl N von Teilintervallen vorliegen. Die Addition der Beitr¨age von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Teilintervallen ergibt die summierte Simpson-Formel x2i X Z

N/2

I =

dx f (x)

i=1 x2i−2

4 2 4 2 4 1 1 = h y0 + y1 + y2 + y3 + · · · + yN −2 + yN −1 + yN . 3 3 3 3 3 3 3 



(1.30)

Der Fehler der Simpson-Formel ist von der Ordnung N O(y (4) h5 ) = O(1/N 4 ). In der Regel ist nicht bekannt, welche Schrittweite h ben¨otigt wird, um ein Integral mit einer bestimmten Genauigkeit auszuwerten. Daher sind iterative Verfahren interessant, die die Schrittweite h solange halbieren, bis eine vorgegebene Genauigkeit erreicht ist (Abb.1.9). Zur Iteration eignet sich besonders die Sehnentrapezformel. Im k-ten Iterationsschritt wird das Grundintervall in 2k−1 Intervalle mit der Schrittweite hk = (xN − x0 )/2k−1 unterteilt. Mit der Sehnentrapezformel erh¨alt man f¨ur den Wert des Integrals, Ik , im k-ten Iterationsschritt die einfache Rekursionsformel h1 (y0 + yN ) 2 X 1 Ik = Ik−1 + hk y(x0 + hk ) + y(x0 + 3hk ) + · · · y(xN − hk ) . (1.31) 2 Hierbei ist k > 1, und die Summe l¨auft nur u¨ ber die im k-ten Iterationsschritt neu hinzugekommenen Punkte, deren Abstand 2hk betr¨agt. Die Summe Ik−1 des vorhergehenden Iterationsschrittes wird entsprechend der neuen Schrittweite halbiert. I1 =

Ein Vorteil des Iterationsverfahrens besteht in der M¨oglichkeit zur Fehlerelimination. Bei einer Halbierung der Schrittweite wird der quadratische Fehler der Sehnentrapezregel um den Faktor 1/4 reduziert. Die Linearkombination 4 1 Ik,Simpson = Ik − Ik−1 3 3

(1.32)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

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Abbildung 1.9: Fortgesetzte Halbierung der Schrittweite zur iterativen Berechnung von Integralen nach der Sehnentrapezformel (1.31). Die im k-ten Schritt neu hinzugekommenen Funktionswerte sind als Punkte gekennzeichnet.

eliminiert den quadratischen Fehler ganz und ist tats¨achlich a¨ quivalent zur Simpson Formel X 4 1 4 Ik−1 + hk y(x0 + hk ) + y(x0 + 3hk ) + · · · + y(xN − hk ) − Ik−1 3 2 3  4 X 1 Ik−1 + hk y(x0 + hk ) + y(x0 + 3hk ) + · · · + y(xN − hk ) = 3  3  2hk 1 1 = y(x0 ) + y(x0 + 2hk ) + · · · + y(xN ) 3 2 2 4hk X y(x0 + hk ) + y(x0 + 3hk ) + · · · + y(xN − hk ) . + 3 



Die Simpson-Formel kann daher einfach auf die Sehnentrapezformel zur¨uckgef¨uhrt werden. Mit mehreren N¨aherungsl¨osungen Ik lassen sich entsprechend Fehler h¨oherer Ordnung eliminieren. Dieses Verfahren wird als Romberg-Integration bezeichnet. Hat man mehrere aufeinanderfolgende N¨aherungsl¨osungen f¨ur verschiedene Schrittweiten berechnet, so l¨aßt sich der Wert f¨ur die Schrittweite Null durch Extrapolation bestimmen. Zur Extrapolation kann der oben beschriebene Neville-Algorithmus verwendet werden. Vergleichen Sie hierzu das Programm “qromb” aus den Numerical Recipes.

1.4

Diskrete Fouriertransformation

Eine periodische Funktion f (t) mit der Periode T kann durch eine Fourierreihe f (t) =

+∞ X n=−∞

fˆn exp(−iωn t)

(1.33)

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14

mit den Fourierkoeffizienten T 1 Z ˆ fn = dt f (t) exp(iωn t) T

(1.34)

0

dargestellt werden. Die Frequenzen ωn = nΩ bezeichnen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz Ω = 2π/T . F¨ur eine nichtperiodische Funktion gilt eine entsprechende Darstellung durch ein Fourierintegral. F¨ur den Grenz¨ubergang T → ∞ k¨onnen die diskreten Frequenzen ωn durch eine kontinuierliche Frequenz ω ersetzt werden. Mit den Substitutionen +∞ X

1 → 2π/T n=−∞

+∞ Z

dω,

T fˆn → fˆ(ω)

(1.35)

ω=−∞

erh¨alt man aus (1.33) und (1.34) das Fourierintegral und seine Umkehrung in der Form f (t) = fˆ(ω) =

+∞ Z ω=−∞ +∞ Z

dω ˆ f (ω) exp(−iωt) 2π dt f (t) exp(iωt).

(1.36)

t=−∞

Kennt man von einer Funktion eine hinreichend genaue diskrete Approximation in N Gitterpunkten, so kann man ihre diskrete Fouriertransformation berechnen. Die Funktion f (t) sei, wie in Abb.1.10 gezeigt, u¨ ber ein Intervall T = N ∆t an den Gitterpunkten tk = k∆t, k = 0, · · · , N − 1 vorgegeben.

Abbildung 1.10: Gitter f¨ur die diskrete Fouriertransformation. Innerhalb einer Periode T = N ∆t sind N unabh¨angige Funktionswerte in den Punkten t0 , · · · , tN −1 vorgegeben.

Setzt man die Funktion periodisch fort, so k¨onnen die Formeln f¨ur die Fouriertransformation periodischer Funktionen angewendet werden. Die Auswertung der Fourierkoeffizienten (1.34) nach der summierten Mittelpunktsformel (1.27) ergibt −1 1 NX fˆn = fk exp(2πink/N ) N k=0

(1.37)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

15

wobei ∆t = T /N und ωn tk = 2πnk∆t/T = 2πnk/N gesetzt wurde. Mit N Funktionswerten k¨onnnen nur N unabh¨angige Fourierkoeffizienten bestimmt werden. Dies bedeutet, daß die Fourierreihe (1.33) durch ein trigonometrisches Polynom N/2−1

fk =

X

fˆn exp(−2πink/N )

(1.38)

n=−N/2

zu ersetzen ist, wobei die maximale Frequenz ωmax = (N/2)Ω = π/∆t durch die Schrittweite ∆t bestimmt wird. Außerhalb des gew¨ahlten Intervalls −N/2 ≤ n < N/2 liefert die diskrete Fouriertransformation (1.37) nichts Neues, da ihre Fourierkoeffizienten periodisch sind, fˆn+N = fˆn . Dies folgt unmittelbar aus eiωn+N tk = eiωn tk e2πik = eiωn tk .

(1.39)

Es ist u¨ blich, die negativen Frequenzen −N/2, · · · , −1 durch die entsprechenden positiven Frequenzen +N/2, · · · , N − 1 zu ersetzen. Die diskrete Fouriertransformation und ihre Umkehrung k¨onnen dann durch analoge Summen N fˆn =

N −1 X k=0

fk e2πink/N ,

fk =

N −1 X

fˆn e−2πink/N ,

(1.40)

n=0

ausgedr¨uckt werden. Sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen des Exponenten und im Normierungsfaktor N . Daher kann derselbe numerische Algorithmus in beiden Richtungen angewandt werden. Der Abbruch der Fourierreihe bei der Frequenz ωmax = π/∆t kann zu fehlerhaften Ergebnissen f¨uhren, falls h¨ohere Frequenzen vorliegen. Bei der Frequenz ωmax ist die Schrittweite ∆t gerade gleich der halben Periode 2π/ωmax = 2∆t. Ist die Schrittweite gr¨oßer als eine halbe Periode, so wird durch die diskreten Werte die kleinere Frequenz ωn−N = ωn − N Ω vorget¨auscht. Dieser Effekt ist in Abb.1.11 f¨ur n ≈ N schematisch dargestellt.

Abbildung 1.11: Diskrete Darstellung einer Schwingung mit einer Schrittweite, die gr¨oßer ist als die halbe Schwingungsperiode. Die diskreten Punkte verf¨alschen die tats¨achliche Periode.

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

16

Bei der Anwendung der diskreten Fouriertransformation ist darauf zu achten, daß es zu keiner Verf¨alschung des Frequenzspektrums kommt. Wird die Schrittweite zu groß gew¨ahlt, so werden die hohen Frequenzen des Frequenzspektrums nicht nur abgeschnitten sondern auch in das Grundintervall −π/∆t ≤ ω < π/∆t zur¨uckgefaltet (Abb.1.12).

Abbildung 1.12: Spektrum einer Funktion (durchgezogen) und seine Verf¨alschung in der diskreten Approximation durch eine zu große Schrittweite (gestrichelt).

Die numerische Integration kann besonders effizient durch die sogenannte schnelle Fouriertransformation (FFT: “Fast Fourier Transform”) ausgef¨uhrt werden.

Kapitel 2 Kinetische Theorie und Computersimulation Plasmen k¨onnen als stoßbestimmt oder als stoßfrei unterschieden werden. Im ersten Fall sind die charakteristischen Zeitskalen sehr viel gr¨oßer, im zweiten Fall sehr viel kleiner als die mittlere freie Flugzeit der Teilchen. Stoßbestimmte Plasmen k¨onnen in der Regel makroskopisch durch hydrodynamische Gleichungen beschrieben werden. Stoßfreie Plasmen verlangen dagegen eine detailliertere kinetische Beschreibung im Rahmen der Vlasov-Theorie.

2.1

Vlasov-Theorie

Die Vlasov-Theorie basiert auf der Annahme, daß sich jedes Teilchen im Phasenraum (x, v) im mittleren Feld aller anderen Teilchen bewegt. Die mittlere Anzahl der Teilchen in einem Volumenelement des Phasenraumes, dN = f (x, v, t)d3 xd3 v, wird durch eine Verteilungsfunktion f (x, v, t) angegeben. Das von diesen Teilchen erzeugte mittlere elektrostatische Potential Φ(x, t) wird durch die Poisson-Gleichung, ∆Φ(x, t) = −4πq

Z

d3 v [f (x, v, t) − f0 ],

(2.1)

bestimmt, wobei f0 die Verteilungsfunktion eines neutralen Gleichgewichtszustandes ist. Beschr¨ankt man sich auf elektrostatische Probleme, so lauten die Bewegungsgleichungen der Teilchen q x˙ = v , v˙ = − ∇Φ(x, t) . (2.2) m ˙ v) ˙ im 6-dimensionalen Phasenraum ist divergenzfrei, Das Geschwindigkeitsfeld (x, ∂ ∂ ∂ q ∂ ·x˙ + ·v˙ = ·v − ·∇Φ(x, t) = 0, ∂x ∂v ∂x m ∂v 17

(2.3)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

18

da x und v unabh¨angige Koordinaten sind. Die Dichte f (x, v, t) bewegt sich daher im Phasenraum wie eine inkompressible Fl¨ussigkeit. Ein beliebiges mit den Teilchen mitbewegtes Gebiet ver¨andert zwar seine Form aber nicht sein Volumen. Daraus folgt, daß sich auch die Teilchendichte f (x(t), v(t), t) entlang der Bahn (x(t), v(t)) eines Teilchens nicht a¨ ndert, d.h. es gilt ∂f q ∂f ∂f + v· − ∇Φ(x, t)· =0. ∂t ∂x m ∂v

(2.4)

Diese Bewegungsgleichung f¨ur die Verteilungsfunktion ist eine einfache Form einer kinetischen Gleichung, die als Vlasov-Gleichung bezeichnet wird. Allgemeinere kinetische Gleichungen besitzen die Form ∂f ∂f ∂f ˙ + v· + v· =C, ∂t ∂x ∂v

(2.5)

¨ wobei C einen Stoßterm bezeichnet, der die Anderung der Verteilungsfunktion durch St¨oße beschreibt. Die Vlasov-Gleichung ist eine kinetische Gleichung ohne Stoßterm.

2.1.1

Lineare Vlasov-Gleichung

Das Vlasov-Poisson-Gleichungssystem ist im allgemeinen nichtlinear, da das mittlere Potential selbst von der Verteilungsfunktion abh¨angt. Vereinfachte lineare Gleichungen ergeben sich jedoch f¨ur hinreichend kleine St¨orungen einer bekannten Gleichgewichtsl¨osung. Diese St¨orungen k¨onnen durch ebene Wellen mit einem reellen Wellenvektor k dargestellt werden. Die m¨oglichen Frequenzen ω = ω(k) dieser Plasmawellen werden durch die Nullstellen einer Plasmadispersionsfunktion D(ω, k) bestimmt, deren allgemeine Form im folgenden hergeleitet wird. Das Gleichgewicht werde durch eine r¨aumlich homogene, zeitunabh¨angige Verteilungsfunktion f0 (v) und ein konstantes Potential Φ0 = 0 beschrieben. Kleine Abweichungen vom Gleichgewicht besitzen daher die Form, f (x, v, t) = f0 (v) + f1 (x, v, t),

Φ(x, t) = Φ1 (x, t)

(2.6)

wobei der Index 1 eine kleine St¨orung bezeichnet. Vernachl¨assigt man quadratische Terme in den St¨orungen, so ergeben sich mit diesem Ansatz aus (2.1) und (2.4) die linearisierten Gleichungen, ∂f1 ∂f1 q ∂f0 + v· − ∇Φ1 · =0, ∂t ∂x m ∂v ∆Φ1 = −4πq

Z

d3 v f1 .

F¨ur ein r¨aumliches Volumen mit periodischen Randbedingungen k¨onnen die St¨orungen als Fourierreihen dargestellt werden. Wegen der Linearit¨at der Gleichungen gen¨ugt es

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19

Abbildung 2.1: Integrationsweg der inversen Laplacetransformation in der komplexen ω-Ebene. Der Weg verl¨auft parallel zur reellen ωAchse oberhalb aller Singularit¨aten (Punkte) der Laplacetransformierten.

daher einen Ansatz f1 , Φ1 ∝ exp(ik · x) zu betrachten. Daf¨ur ergeben sich die Gleichungen, Z ∂f1 q ∂f0 + iv · kf1 − ik· Φ1 = 0 , −k 2 Φ1 = −4πq d3 v f1 . ∂t m ∂v F¨ur die Zeitentwicklung kann man im allgemeinen keine periodischen L¨osungen voraussetzen, da die St¨orungen im Laufe der Zeit anwachsen oder abklingen k¨onnen. Es ist daher zweckm¨aßig bez¨uglich der Zeit ein Anfangswertproblem zu betrachten und dieses mit der Methode der Laplace-Transformation zu l¨osen. F¨ur eine beliebige Funktion h(t) werden die Laplace-Transformation und ihre Umkehrung durch die Beziehungen ˆ h(ω) =

Z∞

dt h(t) eiωt ,

=(ω) > s,

(2.7)

0

h(t) =

∞+is Z −∞+is

dω ˆ h(ω) e−iωt , 2π

t > 0,

(2.8)

ˆ definiert. Hierbei wird angenommen, daß h(ω) in der Halbebene =(ω) > s konvergent ist. In der Halbebene =(ω) < s besitzt die Funktion im allgemeinen Singularit¨aten. Bei der R¨ucktransformation verl¨auft der Integrationsweg wie in Abb.2.1 gezeigt in der komplexen ˆ ω-Ebene oberhalb aller Singularit¨aten von h(ω). Die Laplacetransformierte der ersten Ableitung der Funktion erh¨alt man durch eine partielle Integration in der Form, Z∞ 0

dt

∂h(t) iωt ˆ e = −h(0) − iω h(ω). ∂t

(2.9)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

20

Sie h¨angt vom Anfangswert h(0) der Funktion ab. Mit einem Anfangswert f1 (t = 0) = g ˆ 1 das Gleichungssystem erh¨alt man f¨ur fˆ1 und Φ

fˆ1 =

−

∂f0 ˆ q k· Φ1 + ig m ∂v , ω−k·v

ˆ 1 = −4πq −k 2 Φ

Z

d3 v fˆ1 .

ˆ 1 der Ausdruck Eliminiert man fˆ1 aus diesen Gleichungen, so folgt f¨ur Φ ˆ 1 = i S(ω, k) Φ D(ω, k) mit

(2.10)

4πq Z 3 g S(ω, k) = 2 , dv k ω−k·v ∂f0 k· 4πq 2 Z 3 ∂v . dv D(ω, k) = 1 + mk 2 ω−k·v L

Hierbei ist S(ω, k) eine Quelle der Potentialst¨orung, deren Form vom Anfangswert abh¨angt und D(ω, k) ist die gesuchte Dispersionsfunktion. Die Integrationskontour L wird nach Landau so gew¨ahlt, daß die Polstelle im Nenner in der unteren Halbebene umgangen wird. Diese Vorschrift ergibt sich hier aus der Forderung, daß im Definitionsgebiet der Laplace-Transformierten, =(ω) > s, keine Singularit¨at von D(ω, k) liegen darf. ˆ 1 kann mit Hilfe des ResiduensatDie R¨ucktransformation der Laplacetransformierten Φ zes durchgef¨uhrt werden. Dazu wird der Integrationsweg, wie in Abb.2.2 gezeigt, in der unteren Halbebene gesclossen. Der Integrand besitzt an den Nullstellen der Dispersionsfunktion Singularit¨aten. Wir nehmen an, daß alle Nullstellen ωj von D(ω, k) einfach sind und innerhalb des Integrationsweges liegen. Außerdem sei S(ω, k) regul¨ar. Nach dem Residuensatz gilt dann I

X i S(ωj , k)(ω − ωj ) dω ˆ −iωt Φ1 e = −2πi e−iωj t . 2π 2π D(ω , k) j j

(2.11)

Die Teilst¨ucke des Integrationsweges parallel zur imagin¨aren Achse bei den reellen Frequenzen ±a liefern f¨ur a → ∞ nur unendlich schnell oszillierende Beitr¨age. Das Teilst¨uck, das in der unteren Halbebene parallel zur reellen Achse verl¨auft ist wegen =(ω) < 0 f¨ur bt → ∞ exponentiell klein. Vernachl¨assigt man diese Beitr¨age, so ergibt sich die L¨osung, Φ1 ∼

X j

Aj e−iωj t ,

Aj =

S(ωj , k)(ω − ωj ) D(ωj , k)

(2.12)

Die Nullstellen der Dispersionsfunktion bestimmen demnach die charakteristischen Frequenzen der Potentialst¨orung. Im allgemeinen sind diese Frequenzen komplex. Ist

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21

Abbildung 2.2: Erg¨anzung des Integrationsweges der inversen Laplace-Transformation zu einem geschlossenen Weg in der komplexen ω-Ebene. Die Polstellen im Innern des Gebietes werden im mathematisch negativen Sinn umlaufen. Ihre Residuen bestimmen den Wert des Umlaufintegrals nach dem Residuensatz.

=(ωj (k)) ≤ 0 f¨ur alle Moden j und alle Wellenvektoren k, so ist das Gleichgewicht gegen¨uber kleinen St¨orungen stabil. Gibt es dagegen ein ωj (k) mit einem positiven Imagin¨arteil, =(ωj (k)) > 0, so w¨achst diese Mode exponentiell an und das Gleichgewicht ist instabil.

2.1.2

Plasmaschwingungen im kalten Plasma

Ein Plasma mit vernachl¨assigbarer Temperatur wird als kaltes Plasma bezeichnet. Im Grenzfall verschwindender Temperatur kann eine Maxwellsche Gleichgewichtsverteilung durch eine Deltafunktion (2.13) f0 = n0 δ(v), ersetzt werden. Die zugeh¨orige Dispersionsfunktion erh¨alt man aus (2.10) und (2.13) mit Hilfe einer partiellen Integration, D(ω, k) = 1 −

  ωp2 Z 3 1 d v f k·∂ 0 v k2 ω−k·v L

ωp2 ω2

4πq 2 n0 . (2.14) m Die Frequenz ωp wird als Plasmafrequenz bezeichnet. Die Dispersionsfunktion besitzt einfache Nullstellen bei ω = +ωp und ω = −ωp . Diese sind reell und unabh¨angig von k. Kleine St¨orungen schwingen daher unged¨ampft mit der Plasmafrequenz ohne sich r¨aumlich auszubreiten. Sie werden als Plasmaschwingungen bezeichnet. = 1−

,

ωp2 =

Wir betrachten nun das Anfangswertproblem. Nimmt man an, daß die Elektronen zu Beginn um eine kleine Auslenkung ξ 0 ∝ exp(ik · x) mit einer Anfangsgeschwindigkeit

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

22

ξ˙ 0 ∝ exp(ik · x) verschoben werden, so a¨ ndert sich die Teilchenzahl in einem beliebigen Phasenraumvolumen ∆Γ aufgrund der Teilchenverschiebung durch die Oberfl¨ache, ∆N = −

Z

dS·(ξ 0 , ξ˙ 0 )f0 = −

Z

h

i

d3 xd3 v ∂x ·(ξ 0 f0 ) + ∂v ·(ξ˙ 0 f0 ) .

(2.15)

∆Γ

∂∆Γ

Da ∆Γ beliebig ist, entspricht dies einer Anfangsst¨orung der Verteilungsfunktion f1 (t = 0) = g = −ik · ξ 0 f0 − ξ˙ 0 ·∂v f0 .

(2.16)

F¨ur die Funktion S(ω, k) erh¨alt man entsprechend aus (2.10) und (2.16), 1 −ik · ξ 0 Z 3 + d v f0 ξ˙ 0 ·∂v ω ω−k·v ! ξ iξ˙ 4πq C = 2 (−ik) . = C· 0 + 20 , ω ω k

4πq S(ω, k) = k2



!

(2.17)

Der Integrand der inversen Laplace-Transformation, S ωξ 0 + iξ˙ 0 = C· D (ω − ωp )(ω + ωp )

!

,

(2.18)

besitzt einfache Polstellen bei ω = ωp und ω = −ωp . Die Potentialst¨orung (2.12) besitzt daher die Form, 4πq Φ1 = 2 (−ik)·ξ(t) (2.19) k mit !

!

1 1 i ˙ i ˙ ξ(t) = ξ 0 e−iωp t + ξ e+iωp t ξ0 + ξ0 − 2 2ωp 2 2ωp 0 ξ˙ = ξ 0 cos(ωp t) + 0 sin(ωp t) ωp

(2.20)

Die Funktion ξ(t) stellt eine zeitabh¨angige Verschiebung der Elektronen dar. Sie ist die L¨osung einer harmonischen Schwingungsgleichung mit der Frequenz ωp zu den Anfangswerten ξ 0 und ξ˙ 0 . Eine anschauliche Herleitung der Schwingungsgleichung, die auch f¨ur nichtlineare Schwingungen g¨ultig ist, erh¨alt man im Rahmen eines einfachen Fl¨ussigkeitsmodells. Im Gleichgewicht sei das Plasma neutral und die Elektronen seien homogen verteilt mit einer Dichte n0 . Die Bewegung der Elektronendichte kann makroskopisch durch eine Abbildung a → x(a, t) = a + ξ(a, t) (2.21) beschrieben werden, die jedem Punkt a des ungest¨orten Gleichgewichtszustandes einen verschobenen Ort x(a, t) zur Zeit t zuordnet. Die Verschiebung ξ(a, t) gen¨ugt dabei der Bewegungsgleichung der Teilchen des Fl¨ussigkeitselementes, m

∂ 2 ξ(a, t) = qE(a, t) ∂t2

(2.22)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

23

Abbildung 2.3: Verschiebung ξ(a) einer Schicht der Dicke da.

wobei E(a, t) das elektrische Feld am Ort des Fl¨ussigkeitselementes zur Zeit t bezeichnet. Bei einer Verschiebung ξ(a, t) der Elektronen in x-Richtung werden die Elektronen einer Schicht der Dicke da auf eine Schicht der Dicke !

∂ξ(a, t) ∂x(a, t) da = 1 + da dx = ∂a ∂a

(2.23)

abgebildet (Abb.2.3). Dabei a¨ ndert sich die Dichte am Ort x gem¨aß, n(x, t)dx = n0 da .

(2.24)

Von der verschobenen Elektronendichte wird ein elektrostatisches Feld erzeugt, das eine r¨ucktreibende Kraft auf die Elektronen aus¨ubt. Aus der Poisson-Gleichung folgt mit (2.21) und (2.24), dE = 4πq [n(x, t) − n0 ] dx = 4πq (n0 da − n0 dx) = −4πqn0 dξ(a, t).

(2.25)

Mit der Anfangsbedingung E = 0 f¨ur ξ = 0 erh¨alt man f¨ur das elektrostatische Feld E(a, t) am Ort des Volumenelementes a, E(a, t) = −4πqn0 ξ(a, t).

(2.26)

Die Bewegungsgleichung (2.22) besitzt daher die Form einer Schwingungsgleichung, ∂t2 ξ(a, t) + ωp2 ξ(a, t) = 0

(2.27)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

24

mit der Plasmafrequenz ωp , deren allgemeine L¨osung in (2.20) angegeben wurde. Zur Bestimmung der Teilchendichte und des elektrischen Feldes am Ort x zur Zeit t muß die Umkehrfunktion a = a(x, t) der Gleichung x = x(a, t) bestimmt werden. Damit erh¨alt man die L¨osungen, n0 n0 n(x, t) = n(a, t)|a=a(x,t) , n(a, t) = = ∂x(a, t) ∂ξ(a, t) 1+ ∂a ∂a (2.28) E(x, t) = E(a, t)|a=a(x,t) , E(a, t) = −4πqn0 ξ(a, t). Das Modell eines kalten Plasmas ist nur anwendbar solange dx/da > 0 gilt. Unter dieser Voraussetzung kann man in der Umgebung eines Punktes x0 = x0 (a0 ) eine eindeutige Umkehrfunktion angeben, da (x − x0 ) . a − a0 = (2.29) dx Bei großen Amplituden kann der Fall eintreten, daß zwei benachbarte Punkte a und a+da an denselben Ort x verschoben werden, so daß die Dicke dx der verschobenen Schicht verschwindet. Gleichzeitig werden die Dichte n0 (da/dx) und die Ableitung dE/dx = (dE/da)(da/dx) des elektrischen Feldes unendlich groß. Man sagt, daß die Welle bricht. Aus (2.23) folgt f¨ur das Wellenbrechen das Kriterium, ∂ξ(a, t) = −1 . ∂a

(2.30)

Als Beispiel w¨ahlen wir die Anfangsbedingungen ξ0 (a) = A cos(ka) und ξ˙0 (a) = 0. F¨ur die entsprechende L¨osung der Schwingungsgleichung gilt ∂ξ(a, t) = −kA sin(ka) cos(ωp t). ∂a Diese Welle bricht daher f¨ur Amplituden A ≥ 1/k.

2.1.3

(2.31)

Plasmawellen im thermischen Plasma

Wir untersuchen nun die Dispersionsrelation von Plasmawellen in einem thermischen Plasma mit einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung. Dabei treten zwei neue Effekte in Erscheinung: Die r¨aumliche Ausbreitung der St¨orungen mit der thermischen Geschwindigkeit und eine nach Landau benannte D¨ampfung der Welle durch Teilchen, die sich mit der Phasengeschwindigkeit der Welle mitbewegen. Sei ω = ωr + iωi eine komplexe Nullstelle der komplexwertigen Dispersionsfunktion D(ω, k) = Dr (ω, k) + iDi (ω, k). F¨ur schwach ged¨ampfte Schwingungen sind die Imagin¨arteile ωi und Di (ω, k) klein. Entwickelt man die Dispersionsfunktion um die reellen Werte bis zur linearen Ordnung, so folgt "

#

∂D(ωr ) ∂Dr (ωr ) D(ω, k) ≈ D(ωr ) + iωi ≈ Dr (ωr ) + i Di (ωr ) + ωi =0. ∂ωr ∂ωr

(2.32)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

25

Aus dem Real- und dem Imagin¨arteil dieser Gleichung erh¨alt man als Bestimmungsgleichungen f¨ur ωr und ωi , ωi = −

Dr (ωr ) = 0,

Di (ωr ) . ∂ω Dr (ωr )

(2.33)

F¨ur schwache D¨ampfung gen¨ugt es daher die Dispersionsfunktion f¨ur reelle Frequenzen auszuwerten. In der Dispersionsfunktion aus (2.10) kann die Verteilungsfunktion f0 u¨ ber die beiden Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zum Wellenvektor integriert werden. Die Verteilungsfunktion der verbleibenden Geschindigkeitskomponente u parallel zu k sei n0 F (u). Damit gilt, ω2 Z ∂u F . (2.34) D(ω, k) = 1 + 2p du k (ω/k) − u L

Die Polstelle bei u = ω/k wird in der unteren Halbebene umgangen. Hierf¨ur gilt die Beziehung Z Z f (x) f (x) dx = + iπf (0) (2.35) dx x − i0 x C wobei f (x) eine beliebige Funktion darstellt und C den Cauchy-Hauptwert des Integrals bezeichnet. Damit erh¨alt man Dr (ω, k) = 1 +

ωp2 Z ∂u F du , 2 k (ω/k) − u

(2.36)

C

Di (ω, k) =

πω 2 − 2p k



∂u F

u=ω/k

.

(2.37)

Im thermischen Gleichgewicht bei einer Temperatur T besitzt F (u) die Form einer Maxwellverteilung u2 − 2 1 e 2vth , (2.38) F (u) = √ 2πvth q

mit der thermischen Geschwindigkeit vth = T /m. Wir betrachten den Grenzfall kleiner thermischer Geschwindigkeiten, vth  ω/k, und definieren hierf¨ur die dimensionslosen Variablen

=

ku , ω

th =

kvth , ω

ω 1 F (u) = √ k 2πth

F () =

2 − 2 e 2th .

(2.39)

F¨ur th  1 kann der Realteil der Dispersionsfunktion nach den Momenten der Verteilungsfunktion n

<  >=

+∞ Z

d n F ()

−∞

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

26

in der folgenden Form entwickelt werden, Dr (ω, k) = 1 +

ωp2 Z ∂ F () d 2 ω C 1−

Z ∞ +∞ ωp2 X = 1+ 2 d n ∂ F () ω n=0 −∞

∞ ωp2 X = 1− 2 n < n−1 > . ω n=1

(2.40)

Durch die Entwicklung des Nenners entstehen gew¨ohnliche konvergente Integrale, die wie angegeben partiell integriert werden k¨onnen. Ber¨ucksichtigt man die Momente bis zur zweiten Ordnung, < 0 >= 1,

< 1 >= 0,

< 2 >= 2th ,

so folgt, ωp2 (1 + 32th ) . (2.41) ω2 Die reellen Nullstellen dieses Ausdruckes ergeben nach (2.33) die m¨oglichen Schwingungsfrequenzen. Durch Iteration findet man Dr (ω, k) = 1 −

2 2 ω 2 = ωp2 + 3vth k = ωp2 (1 + 3k 2 λ2D ) ,

(2.42)

wobei λD = vth /ωp als Debye-L¨ange bezeichnet wird. Die aus dieser Gleichung sich ergebende Beziehung q ω = ω(k) = ωp 1 + 3k 2 λ2D (2.43) wird als die Bohm-Gross Dispersionsrelation f¨ur Plasmawellen bezeichnet. Sie wurde 1949 von D. Bohm und E.P. Gross hergeleitet. F¨ur große Wellenl¨angen mit kλD  1 erh¨alt man Schwingungen bei der Plasmafrequenz ωp . Dies entspricht der N¨aherung des kalten Plasmas. F¨ur kleine Wellenl¨angen mit kλD  1 erh¨alt man formal die Dispersions√ relation einer Elektronenschallwelle, ω = sk, mit der Schallgeschwindigkeit s = 3vth . Man muß jedoch beachten, daß die Herleitung f¨ur diesen Grenzfall streng genommen ihre G¨ultigkeit verliert. Die Schallgeschwindigkeit s entspricht der adiabatischen Schallgeschwindigkeit s p f +2 s= γ , (2.44) γ= % f eines idealen Gases (p/% = T /m) mit einem Freiheitsgrad (f = 1). Aufgrund des Elektronendruckes breitet sich eine lokalisierte Anfangsst¨orung mit der Gruppengeschwindigkeit q ∂ω vgr = = s 1 − ωp2 /ω 2 (2.45) ∂k aus.

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull Mit

ωp2 ∂ω Dr = 2 3 , ω

27

πωp2 ω F (ω/k) Di = 2 2 k kvth

(2.46)

erh¨alt man aus (2.33) den Imagin¨arteil π ω ωi = − ωp 8 ωp r



1  ω 3 −

kvth 1 r − π 1 e 2 ≈ − 8 k 3 λ3D

e 2



ω kvth

2

!

1 +3 2 k λ2D

(2.47)

Wegen ωi < 0 sind die Plasmawellen im thermischen Gleichgewicht immer ged¨ampft. F¨ur große Wellenl¨angen ist die D¨ampfung exponentiell klein. F¨ur Wellenl¨angen von der Gr¨oßenordnung der Debye-L¨ange tritt jedoch eine starke D¨ampfung auf. Diese Art der D¨ampfung wird als Landau-D¨ampfung bezeichnet. Im Rahmen der VlasovTheorie ist die Entropie eine exakte Erhaltungsgr¨oße, da Stoßprozesse v¨ollig vernachl¨assigt wurden. Demnach kann die D¨ampfung der Wellen nicht mit einer Energiedissipation durch St¨oße verbunden sein. Eine physikalische Erkl¨arung der Landau-D¨ampfung kann mit Hilfe der allgemeinen Gleichung (2.36) f¨ur den Imagin¨arteil der Dielektrizit¨atsfunktion gegeben werden. Dieser Ausdruck h¨angt von der Steigung der Verteilungsfunktion im Punkt u = ω/k ab. Teilchen, die sich mit Geschwindigkeiten in der N¨ahe der Phasengeschwindigkeit der Welle bewegen, sehen ein quasistatisches elektrisches Feld, in dem sie besonders effektiv beschleunigt oder abgebremst werden k¨onnen. F¨ur ∂u F (ω/k) < 0 tritt eine D¨ampfung auf. In diesem Fall sind mehr Teilchen mit u < ω/k vorhanden als Teilchen mit u > ω/k. Daher nehmen die Teilchen im Mittel Energie auf und die Welle wird ged¨ampft. Ist dagegen ∂u F (ω/k) > 0 so geben die Teilchen im Mittel Energie ab und die Welle w¨achst an. Das Gleichgewicht ist dann instabil. Da es sich bei der Landau-D¨ampfung nicht um einen irreversiblen Vorgang handelt, ist es m¨oglich, die ged¨ampfte Welle wieder aus der Verteilungsfunktion zu rekonstruieren. Dies wurde durch Experimente mit “Plasmaechos” best¨atigt.

2.1.4

Zweistrominstabilit¨at

Besitzt die Geschwindigkeitsverteilung f0 im Bereich der Phasengeschwindigkeit einer Plasmawelle eine positive Steigung, so kann eine Instabilit¨at auftreten. Ein Beispiel dieser Art ist die Zweistrominstablit¨at, die auftritt, wenn sich ein Elektronenstrahl in einem Hintergrundplasma ausbreitet. Die Strahlelektronen bilden ein zweites Maximum der Verteilungsfunktion, so daß diese nicht mehr monoton abnehmend ist. Ein einfaches Modell der Zweistrominstabilit¨at erh¨alt man mit der Verteilung f0 =

n2 n1 δ(u) + δ(u − U ) , n0 n0

n0 = n 1 + n 2 .

(2.48)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

28

Hierbei bezeichnet n1 die Elektronendichte des Hintergrundplasmas, n2 die Dichte der Strahlelektronen und U die Strahlgeschwindigkeit. Die thermische Verbreiterung der Geschwindigkeitsverteilungen beider Elektronengruppen wird hierbei vernachl¨assigt. Die Dispersionsfunktion dieser Verteilung kann wie in Abschnitt (2.1.2) ausgewertet werden. Dies ergibt, D(ω, k) = 1 −

2 2 ωp1 ωp2 − , ω2 (ω − kU )2

2 ωp1,2 =

4πq 2 n1,2 . m

(2.49)

Definiert man die dimensionslosen Parameter 2 2 R = ωp2 /ωp1 ,

K = kU/ωp1 ,

W = ω/ωp1 ,

so erh¨alt man die Dispersionsrelation, D(W, K) = 1 −

1 R − = 0. 2 W (W − K)2

(2.50)

Ein Kriterium f¨ur das Auftreten komplexer Nullstellen kann aus Abb.?? abgelesen werden. Die Dispersionsfunktion besitzt im Intervall 0 < W < K ein Maximum. Falls dieses Maximum positiv ist, gibt es vier reelle Nullstellen. Ist das Maximum dagegen negativ, so treten zwei zueinander konjugiert komplexe Nullstellen auf, die jeweils einer ged¨ampften und einer instabilen Mode entsprechen. Aus der Bedingung f¨ur ein Extremum 2 2R ∂D(W, K) = 3+ =0 ∂W W (W − K)3

(2.51)

folgt f¨ur das Maximum Wmax =

K , 1 + R1/3

Dmax = 1 −

(1 + R1/3 )3 K2

(2.52)

Aus der Bedingung Dmax ≥ 0 folgt das Stabilit¨atskriterium K ≥ (1 + R1/3 )3/2

oder

2/3

2/3

(kU )2/3 ≥ ωp1 + ωp2 .

(2.53)

Die Nullstellen der Dispersionsfunktion lassen sich nur n¨aherungsweise angeben, wobei im folgenden vorausgesetzt wird, daß die Dichte der Strahlelektronen sehr viel kleiner sei als die Dichte der Hintergrundelektronen, d.h. R  1. F¨ur W = O(1), (W − K)2  R gibt es zwei reelle N¨aherungsl¨osungen, 1−

1 =0 W2

oder

W = ±1.

(2.54)

F¨ur |W |  1, |W − K|2  R gibt es zwei konjugiert komplexe N¨aherungsl¨osungen, 0=

1 R + W 2 (W − K)2

oder

√ W = K(1 ± i R).

(2.55)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

29

Diese Asymptoten schneiden sich bei K = 1. Zur Absch¨atzung der maximalen Anwachsrate setzen wir K = 1 und W = 1 + δ, wobei δ  1 angenommen wird. Mit diesem Ansatz erh¨alt man aus der Dispersionsrelation drei L¨osungen R 1/3 2  1/3  1/3      R R 2π 2π = e±2πi/3 = cos ± i sin 2 2 3 3 



δ1 = δ2,3

F¨ur die Anwachsrate der instabilen Mode gilt √  1/3 √  1/3 3 R 3 R ωp1 = kU . ωi = 2 2 2 2

(2.56)

Die hier besprochenen analytischen Ergebnisse der Vlasov-Theorie sollen als Beispiele f¨ur Plasmasimulationen mit der Particle-in-Cell Methode dienen, die im Rahmen der ¨ Ubungen stattfinden.

2.2

Plasmasimulation mit Teilchen

Neben der Vlasov-Maxwell-Theorie stellen Computersimulationen mit Teilchen eine weitverbreitete Methode zur Untersuchung stoßfreier Plasmen dar. Die Computersimulation bietet einen allgemeinen Zugang zu kinetischen Nichtgleichgewichtsvorg¨angen, die mit analytischen Methoden oft nicht oder nur schwer zug¨anglich sind. Besonders bew¨ahrt haben sich Teilchensimulationen auf der Basis der Particle-in-Cell (PIC) Methode, zu deren Entwicklung besonders Arbeiten von Buneman und Dawson, Hockney und Eastwood sowie von Birdsall und Langdon beigetragen haben. Im folgenden wird die PIC-Methode am Beispiel eines eindimensionalen elektrostatischen Plasmamodells dargestellt. Erweiterungen auf mehrdimensionale Geometrien und elektromagnetische Wechselwirkungen findet man in der angegebenen Literatur. Das Prinzip der PIC-Simulation besteht in der numerischen L¨osung der Bewegungsgleichungen einer großen Anzahl von Teilchen in einem selbstkonsistent erzeugten mittleren Feld. Die Form der Bewegungsgleichungen kann man leicht mit intuitiven Argumenten angeben. Wir wollen hier aber eine Begr¨undung im Rahmen der Vlasov-Theorie betrachten, um die physikalischen Annahmen und die N¨aherungen der diskreten Modellierung besser deutlich zu machen.

2.2.1

Regularisierung der Coulomb-Wechselwirkung

Die Dynamik eines idealen stoßfreien Plasmas h¨angt nicht von der individuellen Wechselwirkung der Teilchen ab. Daher ist es zweckm¨aßig, in Teilchensimulationen die CoulombWechselwirkung bei kleinen Teilchenabst¨anden zu regularisieren, um so die komplizier-

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

30

te Dynamik von “harten” St¨oßen zu eliminieren. Eine Regularisierung der CoulombWechselwirkung wird erreicht, indem man die Punktladungen durch ausgedehnte Ladungsdichten ersetzt: qδ(x − xi ) → qS(x − xi ). (2.57) Hierbei bezeichnet S(x − xi ) eine noch beliebig w¨ahlbare auf eins normierte Dichteverteilung der Ladung q am Ort xi . Verteilt man die Ladung z.B. auf eine homogen geladene Kugel, so ist das elektrische Feld im Außenraum der Kugel identisch mit dem CoulombFeld einer Punktladung, im Innenraum der Kugel nimmt es dagegen zum Mittelpunkt hin auf Null ab. Auf diese Weise wird die Coulomb-Wechselwirkung bei kleinen Abst¨anden k¨unstlich unterdr¨uckt. Die Teilchen mit ausgedehnter Ladungsverteilung werden im folgenden als Simulationsteilchen bezeichnet. In der Literatur sind auch die Bezeichnungen Makroteilchen oder CloudTeilchen gebr¨auchlich. Ein System von stoßfreien Simulationsteilchen kann genauso wie ein System von stoßfreien Punktteilchen mit der Vlasov-Theorie beschrieben werden. Sei mv˙ = F S die Bewegungsgleichung der Simulationsteilchen unter Einwirkung der Kraft F s , so lautet die entsprechende Vlasov-Gleichung f¨ur die Verteilungsfunktion fS (x, v, t) der Simulationsteilchen, 1 (2.58) ∂t fS + v · ∂x fS + F S ·∂v fS = 0. m W¨ahrend die allgemeine Form der Gleichungen unabh¨angig ist von der Art der Wechselwirkung, muß die Regularisierung der Wechselwirkung bei der Berechnung der Ladungsdichte τS und der Kraft F S ber¨ucksichtigt werden: τS = q F S (x, t) = q

Z

d3 x0 S(x − x0 )

Z

Z

d3 x0 S(x0 − x) E(x0 , t).

d3 v fS (x0 , v, t)

(2.59) (2.60)

Ersetzt man hier die Dichteverteilung S wieder durch eine Deltafunktion, so ergeben sich die u¨ blichen Ausdr¨ucke f¨ur Punktteilchen. Im allgemeinen beschreibt die Faltung einer Funktion f (x) mit einer Dichteverteilung S(x) eine Gl¨attung der Funktion. Die Fourierˆ fˆ(k) der Fouriertransformierte des Faltungsintegrals ist das punktweise Produkt S(k) ˆ transformierten. Durch geeignete Wahl des Faktors S(k) kann das Spektrum bei großen Wellenzahlen abgeschnitten werden. Die PIC-Methode ist streng genommen eine Methode zur L¨osung der Vlasov-Gleichung der Simulationsteilchen. Konzeptionell ist es wichtig, zwischen der Regularisierung der Wechselwirkung mit einer ausgedehnten Ladungsdichte S und der Verteilungsfunktion fS der Teilchen klar zu unterscheiden. Die Vorstellung, daß die Ladungsdichte S physikalisch durch Teilchen repr¨asentiert wird, f¨uhrt zu Widerspr¨uchen, da sich ein mitbewegtes Volumenelement im Phasenraum im Laufe der Zeit verformt.

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

2.2.2

31

Teilchenmodell

Anstelle der numerischen L¨osung der Vlasov-Gleichung auf einem Gitter ist es meist einfacher die Zeitentwicklung eines repr¨asentativen Teilchenensembles im Phasenraum zu verfolgen. W¨ahlt man die Teilchen hinreichend dicht, so ist dieses Teilchenmodell a¨ quivalent zur Kontinuumsbeschreibung durch die Vlasov-Gleichung. Der Vorteil des Teilchenmodells besteht darin, daß nur der besetzte Teil des Phasenraumvolumens f¨ur die Rechnungen ben¨otigt wird. Repr¨asentiert man das N -Teilchensystem zum Zeitpunkt t durch I Phasenraumpunkte (xi (t), v i (t)) mit i = 1, · · · , I, so entspricht dies formal einer Verteilungsfunktion fSP (x, v, t) =

I NX δ(x − xi (t))δ(v − v i (t)), I i=1

(2.61)

mit einer zugeh¨origen Ladungsdichte τSP (x)

= q = q

Z

3 0

0

d x S(x − x )

Z

d3 v fSP (x0 , v, t)

I NX S(x − xi (t)). I i=1

(2.62)

Ein Phasenraumpunkt tr¨agt damit die Ladung qN/I, die entsprechend der Dichte S(x) des Simulationsteilchens verteilt ist. Typischerweise kann man Systeme mit einer makroskopischen Teilchenzahl N schon mit einer relativ kleinen Anzahl von repr¨asentativen Punkten (z.B. I ≈ 104 ) simulieren. In einem Plasma k¨onnen verschiedene Teilchensorten, wie Elektronen und Ionen mit unterschiedlichen Massen und Ladungsstufen, vorliegen. Die Teilchensorten werde im folgenden mit einem Index α unterschieden. F¨ur Teilchen der Sorte α bezeichne qα die Ladung, mα die Masse, Nα die Teilchenzahl und Iα die Zahl der Simulationsteilchen. Die Bewegungsgleichungen des i-ten Teilchens der Sorte α lauten dxiα (t) = v iα (t) dt dv iα (t) 1 qα Z 3 = F S (xiα (t), t) = d x Sα (x − xiα )E(x, t), dt mα mα

(2.63) (2.64)

wobei f¨ur die Teilchensorten auch unterschiedliche Dichteverteilungen Sα (x) gew¨ahlt werden k¨onnen. Das elektrische Feld wird durch die Poisson-Gleichung ∇ · E = 4π

X α,iα

qα

Nα Sα (x − xiα (t)), Iα

(2.65)

bestimmt. Im Teilchenmodell werden also die Bewegungsgleichungen jedes Simulationsteilchens im Feld aller u¨ brigen Simulationsteilchen gel¨ost.

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2.2.3

32

Eindimensionales Modell

Im folgenden werden wir ein eindimensionales Modell betrachten, bei dem sich die Teilchen entlang der x-Achse in einem elektrischen Feld E(x, t) im Intervall 0 < x < L bewegen. In der zur x-Achse senkrechten Ebene sei das Plasma homogen. Die Dichteverteilung eines Teilchens der Sorte α besitzt dann die Form nα0 L Sα (x), Sα (x) = Nα

ZL

Sα (x)dx = 1,

(2.66)

0

wobei nα0 die mittlere Teilchendichte bezeichnet. Die Normierungskonstante ist so gew¨ahlt, daß eine Integration u¨ ber die Querschnittsfl¨ache die eindimensionale Verteilung Sα (x) ergibt. Die Grundgleichungen des eindimensionalen Modells lauten entsprechend, dxiα dt

= viα

dviα dt

L qα Z = dx Sα (x − xiα )E(x, t), mα

(2.67)

0

X qα nα0 L ∂E(x, t) = 4π Sα (x − xiα ). ∂x Iα α,iα

2.2.4

Dimensionslose Variablen

Es ist h¨aufig zweckm¨aßig vor der numerischen L¨osung geeignete dimensionslose Variablen und dimensionslose Parameter zu definieren. Hierzu setzen wir f¨ur die Variablen x = x0 x∗ ,

v = v0v∗,

t = t0 t∗ ,

E = E 0E ∗,

wobei die gestrichenen Gr¨oßen dimensionslos sind und die mit einem Stern bezeichneten Gr¨oßen einen geeigneten dimensionsbehafteten Skalenfaktor darstellen. F¨ur die Ladung, die Masse, die mittlere Dichte und die Intervall¨ange gelte entsprechend, q = q 0 e,

m = m0 me ,

n0 = n00 ne0 ,

L = L0 x ∗

mit der Elementarladung e, der Elektronenmasse me und der mittleren Elektronendichte ne0 . Damit lauten die transformierten Gleichungen des eindimensionalen Teilchenmodells dx0iα dt0 dvi0α dt0



t∗ v ∗ x∗



t∗ eE ∗ v ∗ me

= =



vi0α , 

L0 qα0 Z dx0 S 0 (x0 − x0iα )E 0 (x0 , t), m0α 0

(2.68)

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33

X 4πene0 L 1 ∂E 0 = q 0 n0 S 0 (x0 − x0iα (t)) ∗ α α0 α ∂x0 I E α α,iα X 4πe2 ne0 me L

=

α,iα

eE ∗ Iα

me

qα0 n0α0 Sα0 (x0 − x0iα (t))

(2.69)

Zur Vereinfachung der Bewegungsgleichungen der Elektronen ist es zweckm¨aßig, die Skalenfaktoren v ∗ und E ∗ durch die Bedingungen, x∗ , t∗

v∗ =

v∗ eE ∗ = ∗, me t

(2.70)

festzulegen. Damit gilt dx0iα dt0

= vi0α ,

dvi0α dt0

L0 qα0 Z = dx0 Sα0 (x0 − x0iα )E 0 (x0 , t0 ), m0α

0

∂E ∂x0

(2.71)

0

= τ 0.

mit τ

0

=

ωp02

0 0 X qα nα0 L0 α,iα

Iα

Sα0 (x0

−

x0iα ),

ωp0

∗

= ωp t ,

ωp2

4πe2 ne0 . = me

Hierbei bezeichnet τ 0 die dimensionslose Ladungsdichte und ωp die Plasmafrequenz der Elektronen. Noch frei w¨ahlbar sind die L¨angeneinheit x∗ und die Zeiteinheit t∗ . Sie werden im folgenden jeweils durch die Schrittweiten ∆x und ∆t des numerischen Gitters festgelegt. Damit gilt f¨ur die dimensionslosen Schrittweiten ∆x0 = 1,

∆t0 = 1.

(2.72)

Durch diese Wahl k¨onnen Differenzenquotienten durch einfache Differenzen ersetzt werden. Im folgenden werden wir nur die Dynamik der Elektronen behandeln, da die Ionen, wegen ihrer gr¨oßeren Masse, hochfrequenten Feldern nur viel langsamer folgen k¨onnen. Nimmt man die Ionen als homogen verteilt und das Plasma insgesamt als neutral an, so gilt Sα0 (x0 ) =

1 L0

f¨ur

α 6= e,

X

qα0 n0α0 = 1.

α6=e

Der Beitrag der Ionen zur Ladungsdichte ist dann einfach ωp02 . Verwendet man f¨ur die Elektronen nun wieder den Teilchenindex i ohne Subskript e und verzichtet auf die Striche

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34

zur Kennzeichnung der dimensionslosen Gr¨oßen, so erh¨alt man das Gleichungssystem dxi = vi , dt L

Z dvi = − dx S(x − xi )E(x, t), dt

(2.73)

0

I ∂E 1 X = ωp2 1 − S(x − xi ) . ∂x Ic i=1

!

Die hierbei auftretenden dimensionslosen Parameter haben folgende Bedeutung: L bezeichnet die Anzahl der Ortsschritte des Simulationsintervalls, I die Zahl der Simulationsteilchen, Ic = I/L die Anzahl der Simulationsteilchen pro Ortsschritt und 2π/ωp die Zahl der Zeitschritte pro Plasmaperiode.

2.2.5

Gittermodell

Die Berechnung der langreichweitigen Coulomb-Wechselwirkung in einem Vielteilchensystem erfordert besondere numerische Verfahren. Bei N Teilchen gibt es N (N − 1)/2 Teilchenpaare, so daß eine direkte Berechnung aller paarweisen Coulomb-Kr¨afte gr¨oßenordnungsm¨aßig O(N 2 ) Rechenoperationen erfordert. Diese Skalierung ist f¨ur die meisten Teilchensimulationen zu ung¨unstig. Eine weitere Schwierigkeit kommt bei elektromagnetischer Wechselwirkung hinzu: die Auswertung der retardierten Potentiale der Teilchen w¨urde eine aufwendige Berechnung der Teilchenpositionen zur retardierten Zeit erfordern. Bei der PIC-Methode erfolgt die Berechnung der Kraft mit Hilfe der Maxwellschen Feldgleichungen, die auf einem r¨aumlichen Gitter gel¨ost werden. Diese Methode ist wesentlich schneller als die direkte Berechnung der Wechselwirkungskr¨afte und sie kann in gleicher Weise auf elektrostatische und auf elektromagnetische Felder angewandt werden. Die Methode ist jedoch ungenauer, da unvermeidliche Diskretisierungsfehler auftreten. Ladungszuweisung Zur Diskretisierung des elektrischen Feldes w¨ahlen wir ein Gitter mit den Gitterpunkten xj = j f¨ur j = 1, 2, 3 · · · , J. Jeder Gitterpunkt xj ist Mittelpunkt einer Gitterzelle mit den Randpunkten xj−1/2 und xj+1/2 . Das Simulationsgebiet ist das Intervall [1/2,J+1/2] mit der L¨ange L = J + 1/2 − 1/2 = J (Abb. 2.4). Integriert man die Poisson-Gleichung in (2.73) u¨ ber die j-te Gitterzelle, so erh¨alt man die Fl¨achenladungsdichte I 1 X Wij . 1− Ic i=1

!

σj = Ej+1/2 − Ej−1/2 =

ωp2

(2.74)

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35

Abbildung 2.4: Gitter zur Berechnung des elektrischen Feldes innerhalb eines eindimensionalen Intervalls der L¨ange L.

Hierbei bezeichnet

xj+1/2

Wij =

Z

S(x − xi )dx

(2.75)

xj−1/2

den Bruchteil der Ladung des i-ten Teilchens innerhalb der j-ten Zelle. Durch die Gewichte Wij werden die Teilchenkoordinaten Gitterpunkten zugewiesen. Die Art der Zuweisung h¨angt von der Wahl der Ladungsverteilung S(x) ab. Im Fall einer punktf¨ormigen Ladung gilt z.B., S(x − xi ) = δ(x − xi ), Wij = Θ(1 − 2|xi − xj |).

(2.76)

Hier wird die Ladung immer dem n¨achsten Gitterpunkt zugewiesen, d.h. innerhalb der Zelle xj− 1 < xi < xj+ 1 dem Gitterpunkt xj . Daher ist die Bezeichnung NGP-Zuweisung 2 2 (nearest-grid-point) gebr¨auchlich. Diese Art der Zuweisung f¨uhrt allerdings zu Unstetigkeiten, wenn sich das Teilchen u¨ ber eine Zellgrenze bewegt. Einen glatteren Verlauf erh¨alt man mit der in Abb.2.5 dargestellten rechteckf¨ormigen Ladungsverteilung, S(x − xi ) = Θ(1 − 2|x − xi |), Wij = Θ(1 − |xi − xj |)(1 − |xi − xj |).

(2.77)

Die Ladung wird hierbei den beiden n¨achstgelegenen Gitterpunkten zugewiesen, d.h. f¨ur xj < xi < xj+1 , den Gitterpunkten xj und xj+1 mit den Gewichten, Wij = 1 − δ, δ = xi − xj , Wi j+1 = 1 − (xj+1 − xi ) = δ. Sie wird als CIC-Zuweisung (cloud-in-cell) bezeichnet.

(2.78)

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36

Abbildung 2.5: Dichteverteilung S(x) = Θ(1 − 2|x − xi |), Zuweisungsfunktion W (x) = (1 − 2|x − xi |) Θ(1 − 2|x − xi |) und elektrisches Feld E(x) eines Simulationsteilchens am Ort xi . Den Gitterpunkten werden die Ladungsanteile Wij = W (xj ) (Kreise) zugewiesen. Das elektrische Feld Ej einer Zelle (Kreise) wird als Mittelwert der exakten elektrischen Felder (gestrichelt) an den Zellgrenzen definiert. Dieser Mittelwert bestimmt die Kraft auf die Fl¨achenladung der Zelle.

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37

Kraftberechnung Der PIC-Algorithmus legt fest, in welcher Weise aus den Teilchenpositionen die Ladungsdichte, das elektrische Feld und die Kraft auf die Teilchen zu berechnen sind. Am gebr¨auchlichsten ist ein Algorithmus, der die Erhaltung des Gesamtimpulses der Teilchen garantiert. Zu dessen Ableitung betrachten wir die Kraft, die vom elektrischen Feld auf die Ladungen innerhalb der j-ten Zelle ausge¨ubt wird, xj+1/2

Z

Fj =

xj+1/2

Z

dx τ E =

xj−1/2

xj+1/2

Z

dx (∂x E)E =

xj−1/2

xj−1/2

1 dx ∂x E 2 2

(2.79)

Durch Integration erh¨alt man hierf¨ur die exakte Beziehung Fj =

 1 2 2 Ej+1/2 − Ej−1/2 = σj Ej , 2

(2.80)

mit σj = Ej+1/2 − Ej−1/2 ,  1  Ej = Ej+1/2 + Ej−1/2 . (2.81) 2 Hierbei bezeichnet σj die Fl¨achenladungsdichte der j-ten Zelle und Ej den Mittelwert der Felder an den Zellgrenzen. Wird das elektrische Feld nur an diskreten Punkten berechnet, so l¨aßt sich die Kraft, fi = −

ZL

dx S(x − xi )E(x)

(2.82)

0

auf die Ladungsdichte S(x−xi ) des i-ten Teilchens nicht exakt angeben. Die diskrete Approximation von fi kann aber so gew¨ahlt werden, daß die Gesamtimpuls¨anderung (2.80) f¨ur jede Zelle exakt erf¨ullt wird. Durch Einsetzen von (2.74) in (2.80) erh¨alt man f¨ur Fj die Darstellung ! I 1 X 2 Wij Ej . (2.83) Fj = ωp 1 − Ic i=1 Andererseits erh¨alt man durch explizite Berechnung der Kraft (2.79) mit der Ladungsdichte aus (2.73) den Ausdruck 

Fj = ωp2 

j+1/2 Z



Edx −

j−1/2

j+1/2 Z I 1 X

Ic



S(x − xi )Edx . 

(2.84)

i=1j−1/2

¨ Eine hinreichende Bedingung f¨ur die Aquivalenz von (2.83) und (2.84) ist, j+1/2 Z

Edx = Ej ,

j−1/2

j+1/2 Z

S(x − xi )Edx = Wij Ej .

j−1/2

(2.85)

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38

Mit dieser diskreten Approximation der Integrale wird der Impulserhaltungssatz f¨ur das Gesamtsystem exakt erf¨ullt. Damit wird insbesondere garantiert, daß eine einzelne Ladung keine Kraft auf sich selbst aus¨ubt und daß die Kr¨afte zwischen zwei Ladungen entgegengesetzt gleich sind. Wertet man die Kraft auf ein Teilchen (2.82) nach der Vorschrift (2.85) aus, so folgt fi = −

J X

Wij Ej .

(2.86)

j=1

Hierbei ist die Ladung des Teilchens mit den Gewichten Wij auf die Gitterpunkte zu verteilen. Die Berechnung des elektrischen Feldes an den Gitterpunkten erfolgt nach der Rekursionsformel 1 Ej+1 = Ej + σj+1/2 , mit σj+1/2 = (σj + σj−1 ) (2.87) 2 wobei die Fl¨achenladungsdichte als Mittelwert der Fl¨achenladungsdichten an den Zellgrenzen zu berechnen ist. Diese Beziehung folgt unmittelbar aus (2.81),  1 1 σj+1/2 = (σj+1 + σj ) = Ej+3/2 − Ej+1/2 + Ej+1/2 − Ej−1/2 2 2  1 = Ej+3/2 + Ej+1/2 − Ej+1/2 − Ej−1/2 = Ej+1 − Ej . 2 Periodische Randbedingungen Beginnend mit einem Anfangswert E1 , k¨onnen die nachfolgenden Werte Ej nach (2.87) sukzessive berechnet werden. Zur Bestimung des Anfangswertes E1 sind Randbedingungen notwendig. Wir werden periodische Randbedingungen E(L) = E(0),

Φ(L) = Φ(0)

(2.88)

f¨ur das elektrische Feld und das elektrostatische Potential annehmen. Im allgemeinen sind die Randwerte durch die Beziehungen E(L) − E(0) =

ZL

dx τ,

Φ(L) − Φ(0) = −

0

ZL

dx E

(2.89)

0

miteinander verkn¨upft. Periodische Randbedingungen liegen dann vor, wenn die mittlere Ladung und das mittlere elektrische Feld der Schicht verschwinden. Die Neutralit¨at der Schicht kann durch die Anfangs- und Randbedingungen ZL

dx τ = 0

f¨ur

t = 0,

0 L

d Z dx τ = −j(L) + j(0) = 0 dt 0

(2.90)

Computersimulation von Plasmen, WS 00/01, H.-J. Kull

39

f¨ur die Ladungsdichte τ und die Stromdichte j erf¨ullt werden. Aus dem Verschwinden der Potentialdifferenz zwischen den Oberfl¨achen der Schicht ergibt sich die Forderung, L

E1

J 1Z 1X = − dx (E − E1 ) = − (Ej − E1 ) L J j=1

= −

1 J

0 J X

(Ej − E1 ) = −

j=2

X 1 J−1 (Ej+1 − E1 ). J j=1

(2.91)

Unter Verwendung von (2.87) gilt j X

Ej+1 = E1 +

σk+ 1 . 2

k=1

(2.92)

Damit folgt f¨ur periodische Randbedingungen E1

j XX X 1 J−1 1 J−1 = =− σk+ 1 = − (J − j) σj+ 1 . 2 2 J j=1 k=1 J j=1

(2.93)

Bewegungsgleichungen Die Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen werden durch die Bewegungsgleichungen aus (2.73) bestimmt. Eine geeignete diskretisierte Form dieser Gleichungen lautet, n+1/2

vi

n−1/2

= vi

+ fin (2.94)

xn+1 i

=

xni

+

n+1/2 vi .

F¨ur den ersten Zeitschritt muß der Anfangswert der Geschwindigkeit mit Hilfe der Kraft um einen halben Zeitschritt zur¨uckgerechnet werden −1/2

vi

1 = vi0 − fi0 . 2

(2.95)

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40

Zusammenfassung Zusammenfassend besteht der PIC-Algorithmus des eindimensionalen elektrostatischen Modells im Zeitschritt n aus den folgenden Schritten: • Ladungszuweisung:

I 1 X 1− Wn , Ic i=1 ij

!

σjn

=

ωp2

n σj+1/2 =

 1 n n , σj + σj+1 2

Ic =

• Feldberechnung:

E1n = − J1

J−1 P k=1

n (J − k)σk+1/2

n n Ej+1 = Ejn + σj+1/2

j = 1, · · · , J − 1

• Teilchenbewegung:

n+1/2

vi

n−1/2

= vi

+ fin ,

fin = −

J P j=1

Wijn Ejn ,

n+1/2

xn+1 = xni + vi i

• Definitionen:

I J Ic Wij 2π/ωp

: Zahl der Simulationsteilchen : Zahl der Gitterzellen : Zahl der Simulationsteilchen pro Gitterzelle I/J : Gewichte der Ladung i an den Gitterpunkten j, z.B. (2.78) : Zahl der Zeitschritte pro Plasmaperiode

I J