Е.М. ЧЕТЫРКИН
РЕКОМЕНДОВАНО В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ ВУЗОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ "ФИНАНСЫ И КРЕ...
7 downloads
209 Views
18MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Е.М. ЧЕТЫРКИН
РЕКОМЕНДОВАНО В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ ВУЗОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ "ФИНАНСЫ И КРЕДИТ", "БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ" И "МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА"
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
У Д К 336.6(075.8) Б Б К 65.26и73 4-54
4-54
Четыркин Е . М . Ф и н а н с о в а я м а т е м а т и к а : Учебник. — 5-е изд., и с п р . — ML: Д е л о , 2005. - 400 с. I S B N 5-7749-0193-9 Учебник содержит последовательное и систематизированное изложе ние проверенных практикой методов количественного анализа финан совых || кредитных операций. Охвачены как традиционные методы раз нообразные расчетов, так и методы, вошедшие в практику в последнее десятилетие. Подробно обсуждаются различные методы начисления процентов, обобщающие характеристики потоков платежей, методики определения эффективности краткосрочных инструментов и долгосроч ных финансовых операций, включая производственные инвестиции и облигации. Книга предназначена студентам экономических вузов и лицам, при меняющим финансовые вычисления в своей работе, — сотрудникам банков, инвестиционных организаций, пенсионных фондов и страхооых компаний, УДК 336.6(075.8) ББК 65Лбя73
ISBN
5-7749-0193-9
© Издательство "Дело*. 2003 © Издательство "Дело*\ 2005, С изменениями
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ Пиша I. ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
6 .
§1.1. Финансовая математика — основа количественного а н а д . ш финансовых операции . . . . . . §1.2. Время как фактор в финансовых расчетах §1.3. Проценты, вилы процентных ставок .. . ••
И ..
Глава 2. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ
II 15 17
20
§2.1. §2.2. §2.3. §2.4.
Формула наришения 20 Погашение задолженности частями , •. .. 26 Нарашснис процентов в потребительском кредите 30 Дисконтирование по простым процентным ставкам. Нпрашение по учетной ставке • 31 §15. Прямые и обратные задачи при начислении процентов п дисконтировании по простым ставкам 34 §2 6. Определение срока ссуды \\ величины процентной ставки 36 §2.7. Конверсия валюты и наращение процентов , • « . , . » • . • • . « , • . . „ . 38 Duma 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
§3.1. Начисление сложных годовых процентов .. * §3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам §3.3. Нарашение процентов т раз в году. Поминальная и эффективная ставки §3.4. Дисконтирование по сложной ставке §3.5. Операция со сложной учетной ставкой » * . . * » . » . . « . . . . « §3.6. Сравнение интенсивности процессов нарушения н дисконтирования по разным видам процентных ставок §3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки §3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты Математическое приложение к главе . » . . « • . « . * • • • •
43 43 . • • . . 48 49 53
57 59 61 65
Глава 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ. КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ
66
§4.!. §4.2. §4.3. §4.4. §4.5. §4,6.
66 68* 73 79 82 89
Средние процентные ставки Эквивалентность процентных ставок M I M M Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей . . . Общая постановка задачи изменения условий контракта . . . . . . . . . Налоги и инфляция .« . . . . . . . . . . . Кривые доходности .+ ......,,»«
3
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
§10 4 Доходность купли-продажи финансовых инструментов §10 5 Долгосрочные ссуды §10 6 Упущенные методы измерения доходности <долгосрочныс С С У Д Ы )
216 223 225
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Гласа 11. ОБЛИГАЦИИ §11.1. §11.2. §11.3. §11.4. §11.5.
229
Виды облигашш И их рейтинг 229 И зморонне доходности облигации 233 Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций . . . 239 Характеристики сроков поступлений средств и измерение риски . . . 243 Оценивание займов Н облипший 248
Глава 12. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ИНВЕСТИЦИИ. И З М Е Р И Т Е Л И ФИНАНСОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
253
§12.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций §12.2. Чистый приведенный доход §12.3. Свойства чистого приведенною дохода §12.4. Внутренняя норма доходности §12.5. Срок окупаемости §12.6. Индекс доходности §12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности §12.8. Сравнение результатов оценки эффективности §12.9. Моделирование инвестиционного процесса §12.10. Анализ отзывчивости Математическое приложение к главе ,,
, . . 253 260 263 267 274 277 279 280 281 285 287
Глана 13. ЛИЗИНГ
289
§13.1. Финансовый и оперативный лизинг §13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту §13.3. Методы расчета лизинговых платежей
289 292 295
Глаоа 14. ФОРФЕЙТНАЯ ОПЕРАЦИЯ
305
§14.1. Сущность операции а форфэ §14.2. Анализ позиции продавца §14.3. Анализ позиций покупателя и банка Матемитичсское приложение к главе
305 306 313 318
,
Глава 15. КОРОТКО ОБ ОПЦИОНАХ
319
§15.1. Сущность опциона, основные понятия §15.2. Цена опциона §15.3. Модель Блока—Шоуд за
319 325 327
Глава 16. СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ
33J
§16.1. §16.2. §16.3. §16.4.
331 333 339 342
Финансовая эквивалентность в страховании Таблицы смертности и страховые вероятности Коммутационные функции Стоимость страхового аннуитета
Глава 17. ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ §17.1. §)7,2. §17.3. §17.4. §17.5. §17.6.
Нстто-премии в личном страховании Страхование жизни Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы Страховые пенсионные схемы Страховые pcjcpBbi в личном страховании
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблицы
349 *
349 352 354 356 359 365 376
*
•
376
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ПРЕДИСЛОВИЕ
Высшие ф и н а н с о в ы е вычисления — так называлась дисци п л и н а , и рамках которой в высших коммерческих учебных за ведениях д о р е в о л ю ц и о н н о й России' изучались методы финан с о в ы х расчетов, применяемых в финансовых операциях. Вряд ли есть необходимость в сохранении д а н н о г о названия в сов ременных у с л о в и я х . Общепринято именовать эту д и с ц и п л и н у финансовая математика. О н о и принято для настоящего учеб ника. Потребность в овладении методикой финансовых расчетов осознанна и в современной России. В связи с этим во многих э к о н о м и ч е с к и х вузах страны в рамках различных д и с ц и п л и н изучаются о т д е л ь н ы е темы и проблемы, которые м о ж н о отне сти к высшим ф и н а н с о в ы м вычислениям. В частности, неко т о р ы е расчетные методы рассматриваются в курсах " К р е д и т " , " Ф и н а н с о в ы й м е н е д ж м е н т " , " О п е р а ц и и с ценными бумагами" и т. п. Однако полного» систематизированного курса финансо вых вычислений, базирующегося на общей методологии, еще нет. Настоящий учебник н а ц е л е н на восполнение отмеченного пробела. Он содержит последовательную характеристику сов ременных методов финансовых вычислений. Автор ограничил ся о с н о в н ы м и методами и той степенью детальности, которая представлялась целесообразной в рамках учебника. Вместе с тем, учебник позволяет ознакомиться с основными направле н и я м и количественного финансового а н а л и з а , с п р и м е н я е м ы м п р и этом математическим аппаратом, п о н я т ь важность и необ1
В Московском коммерческом училище (ныне Российская экономическая академия им. Г\В. Плеханова) функционировала соответствующая кафедра. Руководитель этой кафедры H . C . Лунский опубликовал 11 фундаментальный для своего времени учебник "Высшие финансовые вычисления . М., 1916. Нельзя не упомянуть и о замечательной книге Б.Ф.Малешевского "Теория и практи ка пенсионных касс**. СПб.. 1890, первый том которой "Теория долгосрочных финансовых вычислений** посвящен основам высших финансовых вычисле ний.
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ходимость строгого аналитического решения с о о т в е т с т в у ю щ и х проблем. Основой здесь является, т а к сказать, " т е х н и ч е с к а я " сторона — методы расчетов, измерение в л и я н и я отдельных фа кторов на финансовые параметры, в з а и м о з а в и с и м о с т и э т и х па раметров. Поведенческая сторона участников ф и н а н с о в ы х опе раций, которая безусловно играет важную р о л ь , не затрагива ется. Учебник можно условно разделить на четыре раздела, разли чающиеся по сиоему назначению. В первом ( г л . 1 - 4 ) рассмат риваются основные понятия, которые применяются в ф и н а н с о вых вычислениях, — проценты, система п р о ц е н т н ы х с т а в о к , наращение процентов, дисконтирование платежей и т.д. в слу чаях, когда предусматриваются разовые выплаты. Обсуждаются здесь и важные в практическом отношении " с о п у т с т в у ю щ и е " проблемы, в частности, — учет и н ф л я ц и и , к о н в е р с и я валюты и наращение процентов, сбалансированные и з м е н е н и я условий контрактов 11 т.д. Во втором разделе (гл. 5—6) обсуждаются п р о б л е м ы , относя щиеся к количественному анализу разнообразных потоков (по следовательностей) платежей и, в частности, ф и н а н с о в ы х р е н т . С потоками платежей в практике встречаются к а ж д ы й раз, ко гда по условиям операции платежи распределены во в р е м е н и . Без знания количественных соотношений между п о к а з а т е л я м и , характеризующими потоки платежей, нельзя п о н я т ь м е х а н и з м любой долгосрочной финансовой операции. Материал первых двух разделов учебника п р е д с т а в л я е т со бой основу, которая за редкими и с к л ю ч е н и я м и и с п о л ь з у е т с я в анализе любых конкретных ф и н а н с о в о - к р е д и т н ы х опера ций. В практических расчетах часто сталкиваются с с и т у а ц и я м и , когда некоторые параметры операций нельзя заранее однознач но определить и возникает необходимость в расчете н е к о т о р ы х крайних значений результирующих показателей. В с в я з и с э т и м в третий раздел учебника включены гл. 7 и 8, и м е ю щ и е в ос новном общий методологический характер. В п е р в о й из н и х рассматриваются способы определения барьерных или критиче ских значений экономических, в том числе ф и н а н с о в ы х , пара метров. Во второй — в теоретическом плане обсуждается проб лема измерения риска в финансовых расчетах и в л и я н и я дивер с и ф и к а ц и и на его величину. Характеристика методов количественного а н а л и з а , п р и м е н я емых п р и решении конкретных практических задач, с о с р е д о т о 7
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ч е н а в четвертом разделе учебника (гл. 9—17). Объектами ана л и з а здесь я в л я ю т с я проблемы из самых различных областей ф и н а н с о в о - к р е д и т н о й деятельности. Так» гл. 9 посвящена раз работке п л а н о в погашения долгосрочных займов, реструктури рованию задолженности и ипотекам. Методология измерения доходности различных кратко- и долгосрочных финансовых ин струментов обсуждается в гл. 10. Много внимания уделено про изводственным инвестициям — методам расчета параметров их экономической э ф ф е к т и в н о с т и , факторам, влияющим на эти параметры (гл. 12). Особое место в этом разделе з а н и м а ю т по следние две главы, в которых потоки платежей используются в страховых (актуарных) расчетах, главным образом в расчетах по личному с т р а х о в а н и ю . В учебнике рассматриваются как т е о р и я , так и практика расчетов. П р и в о д я т с я доказательства ряда с о о т н о ш е н и й фи нансовых п а р а м е т р о в , часть из которых вынесены в Матема тические п р и л о ж е н и я к соответствующим глаиам. Уместно в с в я з и с э т и м отметить, что в ряде опубликованных учебных пособий по ф и н а н с о в ы м вычислениям указывается, что для э к о н о м и с т а в а ж н ы готовые формулы и нет необходимости з н а т ь , как о н и получены. Это заблуждение. Доказательства важны как д л я о с о з н а н н о г о применения формул, т а к и д л я са мостоятельного вывода необходимых соотношений, не охва ч е н н ы х у ч е б н и к о м . Большое количество примеров, как наде е т с я автор, п о з в о л и т читателю овладеть соответствующими на в ы к а м и . В ряде случаев примеры содержат дополнительные методические сведения и и м е ю т самостоятельную познава тельную ц е н н о с т ь . Как известно, д л я наиболее распространенных видов финан с о в ы х расчетов имеются стандартные программы, в частности, раздел " ф и н а н с о в ы е функции" в известном программном про дукте Excel. В учебнике, там, где это представляется полезным, приводятся комментарии и рекомендации по п р и м е н е н и ю со ответствующих программ Excel 2003. Д л я о в л а д е н и я большинством тем финансовой математики достаточно з н а н и я школьного курса алгебры, и в особенности, прогрессий. Т а м , где речь идет о непрерывных процессах, необ ходимы н а ч а л ь н ы е знания анализа (производные и интегралы некоторых н е с л о ж н ы х ф у н к ц и й ) . Разделы, связанные с измере н и е м риска и страховыми расчетами, требуют знакомства с о с н о в н ы м и п о н я т и я м и теории вероятностей, параметрами
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
стандартных распределений случайных величин и н е к о т о р ы м и свойствами дисперсий в пределах обычного курса с т а т и с т и к и экономического вуза. При написании двух первых разделов учебника по возмож ности полно использована принятая в дореволюционной Рос сии финансовая терминология. Правда, не все т е р м и н ы т о й по ры были сохранены. Например, вместо бытовавшего словосоче тания "настоящая и е н а " (имелась в виду сумма дисконтирован ных членов ренты) в учебнике используются т е р м и н ы С о в р е менная СТОИМОСТЬ* или "современная величина". В холе написания остальных разделов а в т о р н е о д н о к р а т н о СТШ1КНВШ1СЯ с отсутствием в русском языке адекватных и усто явшихся современных экономических и финансовых т е р м и н о в . В ЭТИХ случаях он старался избегать буквальных " к а л е к " с анг лийского, если только они не укоренились в отечественной ли тературе, как, например, лизинг или о п ц и о н , и подбирал наи более близкие по смыслу русские слова и словосочетания. Сле дует заметить, что в финансовой литературе, вероятно для п р и дания "научности", такие кальки стали появляться сравнитель но часто. Добро бы они содержались только в переводной ли тературе. Увы, с большой скоростью англицизмы распространя ются и в публикациях российских авторов. П р и м е р а м и т а к о г о , прямо скажем, неприличного заимствования могут служить по явившиеся в финансовой литературе термины " к о м п а у н д и н г " (калька с compounding) вместо — наращение процентов, и л и расчет нарашенной суммы, волатильность (volatility) вместо из менчивость, или колеблемость. И уж совсем н е п р и с т о й н о п р и менять термин "перпетуитет" [perpetuity) вместо давно п р и н я т о го — вечная рента. Без таких заимствований вполне м о ж н о обойтись. Что касается сравнительно недавно п о я в и в ш е г о с я в переводной и оригинальной литературе по и н в е с т и ц и я м терми на " д ю р а ш ш " (duration), то он режет слух. Вполне можно подо брать русский эквивалент для обозначения д а н н о г о ф и н а н с о в о го параметра. Уместно упомянуть о т о м , что во Ф р а н ц и и , где бережно относятся к родному языку, принят з а к о н , с о г л а с н о которому применение англицизмов в тех случаях, когда суще ствуют адекватные французские т е р м и н ы , является наказуе мым. Учебник написан на основе курса л е к ц и й , которые а в т о р в свое время прочитал в Московском финансовом институте ( н ы не Финансовая академия при Правительстве Р Ф ) и в М е ж д у н а -
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
р о д н о м у н и в е р с и т е т е в М о с к в е . При подготовке р у к о п и с и ис пользованы
методические материалы, разработанные им для
р я д а страховых о р г а н и з а ц и й , пенсионных фондов, в том числе п е н с и о н н о г о ф о н д а О О Н , членом Комитета актуариев которо го автор б ы л в течение 25 лет. и некоторых финансово-кредит 1
н ы х институтов, а также выпушенные им монографии .
* См • * Методы финансовых И коммерческих расчетов". 2-е изд. М.: Дело, 4 1995; "Финансовый анализ производственных инвестиций . 3-е изд. Мл Дело. 2002; "Актуарные расчеты в негосударственном медицинском страховании**. 2-е изд. М.: Дело, 2000; Финансовые вычисления во внешнеэкономической деятельности. М.: Финансы н статистика, 1984; Финансово-экономические расчеты [и соавторстве с Н.Е. Васильевой). М.: Финансы и статистика, 1990.
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Глава
1
ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
§1.1. Финансовая математика — основа количественного анализа финансовых операций Любая финансово-кредитная операция, и н в е с т и ц и о н н ы й проект или коммерческое соглашение предполагают н а л и ч и е ряда условий их выполнения, с которыми с ог л а сн ы участвуюшие с т о р о н ы . К таким условиям относятся следующие количе ственные данные; денежные суммы, временные параметры, процентные ставки и некоторе другие дополнительные величи ны. Каждая из перечисленных характеристик м о ж е т быть пред ставлена самым различным образом. Н а п р и м е р , платежи могут быть единовременными (разовыми) или в рассрочку, постоян ными или переменными во времени. Существует более десятка видов процентных ставок и методов начисления п р о ц е н т о в . Время устанавливается в виде ф и к с и р о в а н н ы х сроков плате жей, интервалов поступлений доходов, моментов п о г а ш е н и я за долженности и т.д. В рамках одной ф и н а н с о в о й операции пе речисленные показатели образуют некоторую взаимоувязанную систему, подчиненную соответствующей л о г и к е . В связи со множественностью параметров т а к о й системы конечные кон кретные результаты (кроме элементарных ситуаций) часто не очевидны. Более того, изменение значения д а ж е одной величи ны в системе в большей или м е н ь ш е й мере, но обязательно, скажется на результатах соответствующей о п е р а ц и и . Отсюда с очевидностью следует, что такие системы могут и д о л ж н ы яв ляться объектом приложения количественного ф и н а н с о в о г о анализа. Проверенные практикой методы этого анализа и соста вляют предмет финансовой математики (ФМ). Количественный финансовый анализ п р е д н а з н а ч е н для ре шения разнообразных задач. Эти задачи м о ж н о разделить на две большие группы: традиционные и л и " к л а с с и ч е с к и е " , и н о -
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
вые, нетрадиционные, постановка и интенсивная разработка которых наблюдается в последние д в а — т р и десятилетия. Разу меется, т а к о е деление у с л о в н о . То, что было новым словом, скажем, е щ е десять лет назад, часто оказывается рутинным се годня и д о л ж н о рассматриваться в Ф М . Количественный ф и н а н с о в ы й анализ применяется к а к в ус ловиях определенности, так и неопределенности. В первом слу чае предполагается, что д а н н ы е дня а н а л и з а заранее известны и фиксированы. Например, при выпуске обычных облигаций од нозначно оговариваются все п а р а м е т р ы — срок, купонная до ходность, порядок выкупа. Анализ заметно усложняется, когда приходится учитывать неопределенность — динамику денежно го рынка (уровень процентной ставки, колебания валютного курса н т л * К поведение контрагента. Для т о г о чтобы в первом приближении представить себе предмет Ф М , приведем постановку о д н о й простейшей задачи. Пусть от одновременной инвестиции в размере D млн руб. ожи дается следующая отдача: через 3 м е с А млн руб., через 8 мес. В млн руб. и далее в течение двух лет ежемесячно по С млн руб. Какова доходность инвестиции, выраженная в виде годовой сложной процентной ставки? Рамки ФМ достаточно ш и р о к и — от элементарных начисле ний процентов до относительно сложных расчетов, например оценки влияния различных факторов на эффективность выпус ка облигаций или методов сокращения риска путем диверсифи кации портфеля финансовых и н в е с т и ц и й и т.д. К о с н о в н ы м за дачам ФМ относятся: — измерение конечных ф и н а н с о в ы х результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон; — разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов п о г а ш е н и я задолженности; — измерение зависимости к о н е ч н ы х результатов операции от основных ее параметров; — определение допустимых критических значений этих па раметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточ ного) изменения первоначальных условий операции. Разумеется, данный перечень не я в л я е т с я исчерпывающим. Современная практика ставит новые задачи. К числу послед них, например, относится о п т и м и з а ц и я портфеля активов и, что более интересно, о п т и м и з а ц и я по какому-либо критерию портфеля задолженности. 12
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Свидетельством важности дальнейшего р а з в и т и я количест венного финансового анализа служит тот ф а к т , ч т о н е с к о л ь к о последних Нобелевских премий по э к о н о м и к е присуждены за работы именно в этой области з н а н и я . Знание методов, применяемых в Ф М , н е о б х о д и м о при непо средственной работе в любой сфере ф и н а н с о в и кредита, в том числе tl на этапе разработки условий контрактов. Нельзя обой тись без них при финансовом проектировании, а также при сравнении и выборе долгосрочных и н в е с т и ц и о н н ы х проектов. Финансовые вычисления являются необходимой с о с т а в л я ю щ е й расчетов в долгосрочном личном страховании, н а п р и м е р проек тировании и анализе состояния пенсионных ф о н д о в (расчет та рифов, оценка способности фондов в ы п о л н и т ь с в о и обязатель ства перед пенсионерами и т.д.), долгосрочном м е д и ц и н с к о м страховании. Область приложения методов количественного анализа фи нансовых операций последовательно расширяется. Кратко про следим этапы развития. Есть свидетельства того, что на заре ци вилизации (Месопотамия) уже применялось начисление процен тов в простых ссудных операциях. В прошлом веке анализ в ос новном был нацелен на операции, предполагающие выплаты ре гулярных последовательностей платежей — ф и н а н с о в ы х рент. В наше время преобладающим объектом являются потоки плате жей. В последнее десятилетие большое внимание уделяется порт фелям финансовых инвестиций и задолженности. Если по проб лемам методов анализа портфеля активов уже имеется обширная литература и накоплен некоторый опыт его п р и м е н е н и я , то к со зданию методов анализа портфеля задолженности аналитики только приступили. Причем при разработке соответствующих мо делей они пытаются совместно решить ряд задач, а и м е н н о ми нимизировать: стоимость обслуживания долга, изменчивость этой стоимости в связи с влиянием ряда факторов, величину некото рых макроэкономических индикаторов, связанных с внешним долгом страны (отношение суммы долга к размеру В В П , отноше ние стоимости обслуживания долга к текущим доходам, общая сумма задолженности). Научно-технический прогресс не мог не затронуть т а к о й важной области экономики, как ф и н а н с о в о - к р е д и т н ы е отноше ния. М н о г и е новшества здесь п р я м о или к о с в е н н о связаны с компьютеризацией финансово-банковской деятельности. Воз можности компьютеризации и достижения в ряде областей зна ния (системный анализ, информатика, э к с п е р т н ы е системы, статистическое моделирование, л и н е й н о е и н е л и н е й н о е п р о 13
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
г р а м м и р о в а н и е и прочее) позволил» заметно осовременить как технологию финансово-банковского дела, так и применяемый в к о л и ч е с т в е н н о м ф и н а н с о в о м анализе, в том числе Ф М , анали т и ч е с к и й а п п а р а т . В связи со сказанным можно указать на за м е т н о е усовершенствование методик применительно к тради ц и о н н ы м о б ъ е к т а м финансового анализа. Примером может служить р а з р а б о т к а системы показателей эффективности про изводственных и н в е с т и ц и й , внедряемых в практику в последнее десятилетне, создание аналитических характеристик для тради ц и о н н ы х ф и н а н с о в ы х инструментов и их портфелей и др. Воз н и к л а возможность по-новому взглянуть на содержание финан сово-кредитных операций и предложить клиентам новые виды услуг, выходящие за рамки традиционных. К таким новшест в а м , в частности, относятся новые инструменты денежно-кре д и т н о г о р ы н к а — о п ц и о н ы , свопы, соглашения о будущей про ц е н т н о й ставке и т.п. Лизинг в его современном виде также на чал применяться не так уж давно. Внедрение указанных нов ш е с т в в практику сопровождалось развитием соответствующих м е т о д о в количественного анализа. Отметим, что в последнее время созданы новые технологии, с о в е р ш е н с т в у ю щ и е саму финансово-кредитную деятельность. Т а к и е технологии, как правило, содержат в качестве одной из в а ж н ы х составляющих тот или иной метод Ф М . В качестве при м е р а такого новшества нельзя не указать на экспертные систе м ы . Экспертная система кратко может быть определена к а к ав т о м а т и з и р о в а н н а я система, способная имитировать мышление специалиста и принимать решение в определенной узкой дея тельности человека. Основное отличие экспертной системы от о б ы ч н о й автоматизированной системы обработки информации с о с т о и т в наличии развитого логического аппарата в виде набо ра правил " е с л и то . . / \ Правила формулируются и вводятся в систему непосредственно высококласными экспертами или с п о м о щ ь ю самообучения системы путем множественных прого н о в на ЭВМ реальных ситуаций. Д л я иллюстрации укажем на экспертную систему, разрабо т а н н у ю в О к о б а н к е (Финляндия). Эта система предназначена для принятия решений о предоставлении частными банками субсидированных государством сельскохозяйственных креди тов. При н а л и ч и и множества видов кредитования фермеров и б о л е е 3 тыс. правил и условий их выдачи (пример простейшего правила: кредит открывают лицам не моложе 18 и не старше 60 лет) решение о кредитовании, включая правомерность его пре д о с т а в л е н и я , размер, срок, продолжительность льготного пери14
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ода, оказывалось весьма трудоемким. Применение э к с п е р т н о й системы позволило многократно сократить в р е м я п р и н я т и я ре шений.
§ 1 . 2 . Время как фактор в финансовых расчетах В практических финансовых операциях с у м м ы денег в н е за висимости от их назначения или происхождения т а к или ина че, но обязательно, связываются с конкретными м о м е н т а м и или периодами времени. Для этого в контрактах ф и к с и р у ю т с я соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. В н е вре мени нет денег. Фактор времени, особенно в д о л г о с р о ч н ы х опе рациях, играет не меньшую, а иногда даже и б о л ь ш у ю р о л ь , чем размеры денежных сумм. Необходимость учета в р е м е н н о г о фа ктора вытекает из сущности финансирования, к р е д и т о в а н и я и инвестирования и выражается в принципе неравноценности де нег, относящихся к разным моментам времени (time-value of money), или в другой формулировке — п р и н ц и п е изменения цен ности денег во времени. Интуитивно понятно, что 1000 р у б л е й , полученные через 5 лет, не равноценны этой же сумме, посту пившей сегодня, даже, если не принимать во в н и м а н и е и н ф л я цию и риск их неполучения. Здесь, вероятно, вполне уместен u известный афоризм Время — Деньги Отмеченная неравноценность двух одинаковых по абсолют ной величине разновременных сумм связана прежде в с е г о с тем, что имеющиеся сегодня деньги могут быть и н в е с т и р о в а н ы И принести доход в будущем. Полученный доход в свою о ч е р е д ь реинвестируется и т.д. Если сегодняшние деньги, в силу с к а з а н ного, ценнее будущих, т о , соответственно, будущие поступле ния менее ценны, чем более близкие при равных их суммах. Приведем иллюстрацию. В свое время газеты с о о б щ а л и , что 44 американская компания Юнион Карбайд", на х и м и ч е с к о м за воде которой в Индии произошла крупная а в а р и я , п р е д л о ж и л а в качестве компенсации выплатить пострадавшим в т е ч е н и е 35 лет 200 млн долл. (индийская сторона отклонила это предложе ние). Воспользуемся этими данными для д е м о н с т р а ц и и влия ния фактора времени. Определим сумму денег, которую необ ходимо положить в банк, скажем, п о д 10% годовых для т о г о , чтобы полностью обеспечить последовательную в ы п л а т у 200 млн долл. Оказывается, для этого достаточно выделить всего 57,5 м л н долл. Иначе говоря, 57,5 м л н долл., в ы п л а ч е н н ы х се15
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
г о д н я , р а в н о з н а ч н ы (эквивалентны) 200 млн долл., погашаемых е ж е м е с я ч н о в равных долях на протяжении 35 лет. В л и я н и е фактора времени многократно усиливается, как мы з н а е м из собственного житейского опыта, в период инфляиии. Э т о т ф а к т о р часто лежит в основе явного или скрытого мошен н и ч е с т в а и недобросовестности. Достаточно в связи с этим упо м я н у т ь о случаях, когда "продавец" получал деньги в качестве п р е д о п л а т ы за товар, который он и не собирался поставить. О б е с ц е н е н н ы е деньги через некоторый срок возвращались по купателю. О ч е в и д н ы м следствием принципа изменения ценности денег во в р е м е н и является неправомерность суммирования денежных в е л и ч и н , относящихся к разным моментам времени, особенно п р и п р и н я т и и решений финансового порядка. Однако такое с у м м и р о в а н и е вполне допустимо там, где фактор времени не и м е е т принципиального значения. Например, в бухгалтерском у ч е т е для п о л у ч е н и я итогов по периодам и в финансовом кон т р о л е , но, повторяем, не при принятии финансовых решений д о л г о с р о ч н о г о характера. Неправомерно также и непосредст в е н н о е сравнение разновременных денежных величин. Их срав н е н и е допустимо только при "приведении" таких сумм к одно му м о м е н т у времени. Способы приведения обсуждаются ниже д л я разных вариантов производства платежей. Не менее важным в финансовом анализе является принцип финансовой эквивалентности. Под последним понимается ра в е н с т в о (эквивалентность) финансовых обязательств сторон, у ч а с т в у ю щ и х в операции. Ограничимся двумя иллюстрациями. П о к у п а т е л ь облигации оплачивает ее рыночную цену, а эми т е н т обязуется периодически выплачивать ему купонный доход и вернуть в к о н ц е срока сумму, равную номиналу облигации. С т р а х о в а т е л ь оплачивает стоимость страхования, а страховщик о б я з у е т с я выплатить ему страховую сумму, но только при на с т у п л е н и и страхового события, В отличие от первого примера, где платежи обеих сторон безусловны, здесь платеж страховщи ка и м е е т вероятностный характер. П р и н ц и п эквивалентности позволяет изменять условия конт р а к т о в без нарушения принятых обязательств (поэтому в старой ф и н а н с о в о й литературе этот принцип назывался условием безо бидности). Согласно ему можно изменять уровень процентных с т а в о к , их вид, сроки исполнения обязательств, распределение п л а т е ж е й во времени и т.д. (разумеется, с согласия контрагента) в р а м к а х одной операции, не нарушая взаимной ответственно16
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
сти. На этом принципе, как будет показано н и ж е , о с н о в а н ы ре шения многих проблем, с которыми мы п о з н а к о м и м с я н и ж е . Оба указанных выше принципа не могут б ы т ь р е а л и з о в а н ы без того или иного способа наращения процентов и л и дискон тирования с применением какого-либо вида п р о ц е н т н о й ставки.
§ 1 . 3 . Проценты, виды процентных ставок Проценты. Под процентными деньгами или, к р а т к о , процента ми (interest), понимаю! абсолютную величину д о х о д а от предо ставления денег в долг в любой его форме: в ы д а ч а ссуды, про дажа товара в кредит, помещение денег на д е п о з и т н ы й счет, учет векселя, покупка сберегательного с е р т и ф и к а т а или облига ции и т.д. Како.1 бы вид или происхождение ни и м е л и процен ты, это всегда конкретное проявление такой э к о н о м и ч е с к о й ка тегории, как ссудный процент. Практика п о л у ч е н и я процентов за выданные в долг деньги существовала задолго до нашей э р ы . Например, в Древней Греции взимали от 10 до 36 % суммы дол u 41 га в год. В Русской Правде годовой рост на з а н я т ы й капитал определялся в 4 0 % , При заключении финансового или к р е д и т н о г о с о г л а ш е н и я стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере про центной ставки. Под процентной ставкой (rate of interest) пони мается относительная величина дохода за ф и к с и р о в а н н ы й отре зок времени — отношение дохода (процентных д е н е г ) к сумме долга. Процентная ставка — один из в а ж н е й ш и х элементов коммерческих, кредитных или и н в е с т и ц и о н н ы х к о н т р а к т о в . Она измеряется в виде десятичной или о б ы к н о в е н н о й д р о б и (в последнем случае она фиксируется в контрактах с т о ч н о с т ь ю до 1/16 или 1/32) или в процентах. При в ы п о л н е н и и расчетов про центные ставки обычно измеряются в д е с я т и ч н ы х дробях. Временной интервал, к которому приурочена п р о ц е н т н а я ставка, называют периодом начисления (running period), е г о не следует путать со сроком начисления. В качестве такого перио да принимают год, полугодие, квартал, м е с я ц и л и даже д е н ь . Чаше всего на практике имеют дело с годовыми с т а в к а м и . Проценты согласно договоренности между к р е д и т о р о м и за емщиком выплачиваются по мере их начисления и л и присоеди няются к основной сумме долга (капитализация п р о ц е н т о в ) . Процесс увеличения суммы денег во времени в с в я з и с присо единением процентов называют наращением, и л и ростом, э т о й суммы. Возможно определение процентов и п р и д в и ж е н и и во 17
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Бремени в обратном направлении — от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьша е т с я на величину соответствующего дисконта (скидки). Такой с п о с о б называют дисконтированием (сокращением,). Размер процентной ставки зависит от ряда как объективных, т а к и субъективных факторов, а именно: общего с о с т о я н и я эко н о м и к и , в том числе денежно-кредитного рынка; кратковре м е н н ы х и долгосрочных ожиданияй его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита: особенностей заемщика (его надеж ности) И кредитора, истории их предыдущих отношений и т. д. В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но И в более ш и р о к о м смысле — как измеритель степени доходности (эффе ктивности) любой ф и н а н с о в о й , кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет ф а к т непосредственного инвести рования денежных средств и процесс их наращения. В старой русской ф и н а н с о в о й литературе такую ставку называли ставка помещения. Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Су ществуют различные способы начисления процентов, завися щ и е от условий контрактов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок. Можно выделить ряд п р и з н а к о в , по которым различаются процентные ставки. Д л я начисления процентов применяют постоянную базу на числения и последовательно изменяющуюся (за базу принима ется сумма, полученная на предыдущем этапе н а р а щ е н и я или д и с к о н т и р о в а н и я ) . В первом случае используют простые, во втором — сложные процентные ставки, при применении кото рых проценты начисляются на проценты. Важным является выбор принципа расчетов процентных де нег. Существует д в а таких принципа: от настоящего к будуще му и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно п р и м е н я ю т ставки наращения (interest base rate) и дисконтные, или учетные, ставки (discount base rate). В ф и н а н с о в о й литера туре проценты, полученные по ставке наращения, п р и н я т о на зывать декурсивными, по учетной ставке — антисипативными. (В России этим понятиям соответствовали проценты " н а 100" и " с о 10(Г). Далее декурсивные проценты в большинстве случаев будем называть просто процентами. Пока ограничимся этими сведениями. Подробную характеристику упомянутых ставок от18
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ложим до параграфов, в которых обсуждаются к о н к р е т н ы е ме тодики их применения в финансовых расчетах. Процентные ставки могут быть фиксированными (в контрак те указываются их размеры) или плавающими (floating). В пос леднем случае указывается не сама ставка, а и з м е н я ю щ а я с я во времени база (базовая ставка) и р а з м е р надбавки к ней — мар жи Классическим примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка Л И Б О Р ( L I B O R : London interbank offered rate) В России применяются б а з о в ы е ставки по рублевым кредитам МИ БОР Размер маржи определяется рядом условии, в частности финансовым положением заемщика, сро ком кредита и тд Он может быть п о с т о я н н ы м на п р о т я ж е н и и срока ссудной операции или п е р е м е н н ы м Важное место в системе процентных ставок занимает ставка рефинансирования Центральною Б а н к а Р о с с и и — ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим б а н к а м . Д о б а в и м , что при последовательном п о г а ш е н и и задолженно сти возможны два способа н а ч и с л е н и я п р о ц е н т о в . Согласно первому процентная ставка (простая или с л о ж н а я ) применяет ся к фактической сумме долга. По второму способу простые проценты начисляются сразу на первоначальную сумму долга без учета последовательного его погашения. П о с л е д н и й с п о с о б применяется в потребительском кредите и в некоторых других (правда, редких) случаях В практических расчетах п р и м е н я ю т так называемые дис кретные проценты, т.е проценты, начисляемые за фиксирован ные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как д и с к р е т н а я переменная. В некото рых случаях — в доказательствах и аналитических ф и н а н с о в ы х расчетах, связанных с процессами, которые м о ж н о рассматри вать к а к непрерывные, в общих теоретических разработках и значительно реже на практике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов (continuous interest), когда наращение или дисконтирование производится н е п р е р ы в н о , за бесконечно малые промежутки времени. В п о д о б н ы х ситуациях применяют специальные непрерывные процентные ставки.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1 Ковалев В В, Уланов В А Курс финансовых вычислений М Финансы и ста тистика, 1990 Гл 5 2 Четыркин ЕМ, Васильева Н Е Финансово-экономические расчеты. М.: Фи нансы и статистика, 1990 Гл I
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Глава
2
НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ
§2.1. Формула наращения Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают перво начальную ее сумму с начисленными процентами к к о н ц у сро ка начисления (dole of maturity, due date). Наращенная сумма оп ределяется умножением первоначальной суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий н а рашения. К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до I года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периоди чески выплачиваются. Д л я записи ф о р м у л ы н а р а щ е н и я про стых процентов (simple interest) примем обозначения:
20
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Выражение (2.1) называют формулой наращения по п р о с т ы м процентам или кратко — формулой простых процентов, а м н о житель (1 + т) — множителем наращения простых процентов. График роста по простым процентам представлен на рис. 2Л. Заметим, что увеличение процентной ставки или с р о к а в к раз одинаковым образом влияет на множитель н а р а щ е н и я . Последним увеличится в (1 + kni) / (I + ni) раз.
ПРИМЕР 2 . 1 . Определим проценты и сумму накопленного д о л г а , если ссуда равна 7 0 0 тыс.руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 2 0 % годовых (/ = 0,2). / = 700 х 4 х 0,2 = 5 6 0 тыс. руб.; S = 7 0 0 + 560 - 1260 тыс руб. Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при э т о м , естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в <1 + 2 х 4 х 0,2) / (1 + 4 х 0,2) о 1,444 раза.
Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. П о с кольку процентная ставка, как правило, устанавливается в рас чете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо о п р е д е лить, какая часть годового процента уплачивается к р е д и т о р у . Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок с с у д ы меньше периода начисления. Рассмотрим наиболее распространенный в практике с л у ч а й — с годовыми периодами начисления. Очевидно, что с р о к ссу ды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок п в ви де дроби 21
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
(2.2) где t — ч и с л о д н е й ссуды, К — число дней в году, или времен ная база начисления процентов (time basis). При расчете процентов применяют две временные базы: К = 360 д н е й (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К= 360, то получают обыкновенные или коммерческие про центы (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты (exact interest) . Число д н е й ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается рав ным 30 д н я м . В с в о ю очередь точное число дней ссуды опреде ляется путем подсчета числа д н е й между датой выдачи ссуды и датой ее п о г а ш е н и я . День выдачи и д е н ь погашения считаются за один д е н ь . Точное число д н е й между двумя датами можно определить по табл. I Приложения. Итак, в о з м о ж н ы и применяются на практике три варианта расчета простых процентов. L Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вари ант, естественно, дает самые точные результаты. Д а н н ы й спо соб применяется центральными банками многих стран и круп ными коммерческими б а н к а м и , например, в Великобритании, С Ш А . В коммерческих документах он обозначается к а к 365/365 или ACT/ACT. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), распро странен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейца рии. Он о б о з н а ч а е т с я , как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. З а м е т и м , что п р и числе д н е й ссуды, превышающем 360, данный с п о с о б приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой став кой. Например, е с л и / = 364, то п - 364/360 = 1,01111. Мно житель и а р а ш е н и я за год при условии, что / = 20% , составит 1,20222. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, н а п р и м е р при промежуточных расчетах. Он принят в 22
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
практике коммерческих банков Германии, Ш в е ц и и , Д а н и и . Метод условно обозначается как 360/360. Очевидно, что вариант расчета с т о ч н ы м и п р о ц е н т а м и и приближенным числом дней ссуды л и ш е н с м ы с л а и не приме няется. Поскольку точное число дней ссуды в б о л ь ш и н с т в е случаев, но разумеется, не всегда, больше п р и б л и ж е н н о г о (в чем л е г к о убедиться, определив среднее за год число д н е й в месяце, кото рое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным чис лом дней ссуды обычно дает больший рост, ч е м с приближен ным.
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда пред усматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если ого простые ставки, то н а р а щ е н н а я на конец срока сумма определяется следующим образом:
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
25
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
26
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
Рис. 2.2 случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу д л я расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода ре ш е н и я этой задачи. Первый, который применяется в основном в о п е р а ц и я х со сро ком более года, называют актуарным методом (Actuarial method). Второй метод назван правилом торговца {Merchant's Rule). Он используется коммерческими ф и р м а м и в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то при н а ч и с л е н и и про центов в обоих методах используются о б ы к н о в е н н ы е п р о ц е н т ы с приближенным числом дней (360/360). Актуарный метод предполагает последовательное начисле ние процентов на фактические суммы долга. Ч а с т и ч н ы й платеж идет в первую очередь на погашение процентов, н а ч и с л е н н ы х на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму на численных процентов, то разница (остаток) и д е т на п о г а ш е н и е основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой д л я начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных п р о ц е н т о в , то никакие зачеты в сумме долга не делаются. П о с т у п л е н и е при плюсовывается к следующему платежу. Для случая, показанно го на о и с 2.2, получим следующие расчетные ф о р м у л ы для оп~
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ПРИМЕР 2 . 6 . Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.2005 по 12.09.2006 г.) долг в сумме 15 млн руб. Креди тор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляют ся по ставке 2 0 % годовых. Частичные поступления характеризу ются следующими данными (в т ы с руб.): 12.06.2005 12.06.2006 30.06.2006 12.09.2006
г. г. г. г.
— — — —
500; 5000; 8000; ?
Решение представим в следующей последовательной записи:
Иной подход предусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то с у м м а долга с процентами остается н е и з м е н н о й до п о л н о г о по гашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с н а ч и с л е н н ы м и на них до конца срока процентами. Последний в з н о с должен б ы т ь равен разности этих сумм. В случае, когда с р о к превышает г о д , указанные выше расчеты делаются д л я го28
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
дового периода задолженности. В к о н ц е года из суммы задол женности вычитается наращенная сумма н а к о п л е н н ы х частич ных платежей. Остаток погашается в следующем году. Алгоритм можно записать следующим образом:
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
§ 2 . 3 - Наращение процентов в потребительском кредите
В связи с тем ч т о проценты здесь начисляются на первона чальную сумму долга, а его фактическая величина систематиче ски уменьшается во времени, действительная стоимость креди та заметно п р е в ы ш а е т договорную процентную ставку. Подроб нее об этом с м . г л . 9, в которой, кроме того, обсуждается про блема разбиения платежей на проценты и суммы п о г а ш е н и я ос новного долга. Необходимость в таком разбиении возникает при досрочном погашении задолженности. ПРИМЕР 2 . 8 . Кредит для покупки товара на сумму 1млн руб. от крыт на три года, процентная ставка — 15% годовых, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами S - 1(1 + 3 х 0,15) = 1,45 млн руб. Ежемесячные платежи:
30
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
ТОЛЬКО для ОЗНАКОМЛЕНИЯ www.moimirknig.com для www.mirknig.com
