Лекции по алгебраической топологии

А.Дольд ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ Этот курс алгебраической топологии и теории многообразий написан известным ученым и талантливым педагогом. Простота и ясность подачи материала сочетаются с аккуратностью и строгостью доказательств. Большое количество интересных примеров способствует пониманию предмета. Несомненное достоинство книги — элементарное и доступное изложение топологии многообразий. В то же время новый взгляд на некоторые известные понятия делает ее интересной и для специалистов. Книга рассчитана на широкий круг математиков и вполне пригодна как начальный учебник по алгебраической топологии для студентов и аспирантов университетов и пединститутов. Содержание От редактора перевода 5 Предисловие 7 Глава I. Предварительные сведения о категориях, абелевых группах 9 гомотопиях 1. Категории и функторы 10 2. Абелевы группы (точность, прямые суммы, свободные абелевы группы) 16 3. Гомотопии 24 Глава II. Гомологии комплексов 27 1. Комплексы 27 2. Связывающий гомоморфизм, точная гомологическая последовательность 30 3. Цепная гомотопия 35 4. Свободные комплексы 39 Глава III. Сингулярные гомологии 42 1. Стандартные симплексы и их линейные отображения 42 2. Сингулярный комплекс 43 3. Сингулярные гомологии 45 4. Специальные случаи 47 5. Гомотопическая инвариантность 51 6. Барицентрическое подразделение 55 7. Малые симплексы. Вырезание 58 8. Последовательности Майера — Вьеториса 62 Глава IV. Применения к евклидову пространству 70 1. Стандартные отображения между клетками и сферами 70 2. Гомологии клеток и сфер 72 3. Локальные гомологии 77 4. Степень отображения 81 5. Локальные степени 85 6. Гомологические свойства окрестностных ретрактов пространства Rn 91 7. Теорема Жордана, инвариантность области 99 8. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 101

Глава V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии 1. Клеточные пространства 2. CW-пространства 3. Примеры 4. Гомологические свойства CW-пространств 5. Характеристика Эйлера — Пуанкаре 6. Описание клеточных цепных отображений и клеточного граничного гомоморфизма 7. Симплициальные пространства 8. Симплициальные гомологии Глава VI. Функторы на категории комплексов 1. Модули 2. Аддитивные функторы 3. Производные функторы 4. Формула универсальных коэффициентов 5. Тензорное и периодическое умножения 6. Функторы Hom и Ext 7. Сингулярные гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами 8. Тензорное произведение и билинейность 9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета 10. Функтор Нот на категории комплексов. Гомотопическая классификация цепных отображений 11. Ацикличные модели 12. Теорема Эйленберга — Зильбера. Формула Кюннета для топологических пространств Глава VII. Умножения 1. Скалярное умножение 2. Внешнее гомологическое умножение 3. Внутреннее гомологическое умножение (умножение Понтрягина) 4. Индексы пересечения в Rn 5. Алгебраическое число неподвижных точек 6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 7. Внешнее когомологическое умножение 8. Внутреннее гомологическое умножение (∪ -умножение) 9. Вычисление ∪-умножения для проективных пространств. Отображения Хопфа и инвариант Хопфа 10. Алгебры Хопфа 11. Косое когомологическое умножение 12. ∩-умножение 13. Косое гомологическое умножение и косое умножение Понтрягина Глава VIII. Многообразия 1. Элементарные свойства многообразий

109 109 113 122 129 132 135 141 152 156 156 161 166 172 176 184 188 197 203 208 217 222 231 232 235 239 243 249 255 263 268 272 277 285 290 299 301 301

2. Ориентирующий пучок многообразия 306 3. Гомологии в размерностях, не меньших размерности многообразия 316 4. Фундаментальный класс и степень 324 5. Пределы 331 6. Чеховские когомологии локально компактных подмножеств пространства 343 Rn 7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 357 8. Примеры и приложения 364 9. Двойственность в многообразиях с краем 371 10. Трансфер 377 11. Класс Тома, изоморфизм Тома 385 12. Последовательность Гизина. Примеры 399 13. Пересечение гомологических классов 412 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов 427 Д.1. Пределы функторов 427 Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству, 432 Д.3. Распространение функторов с полиэдров на более общие пространства 443 Список литературы 452 Указатель терминов 456 Указатель терминов R-биаддитивное отображение 198 Абсолютный окрестностный ретракт Билинейное отображение 202 (ANR) 107 Бистепень отображения 83 Аддитивный функтор 161 Букет 60 Аксиома распространения гомотопии Вершины 143 (HEP) 108 — симплекса 42 Алгебра Хопфа 280 Вещественные числа 9 Алгебраическое число неподвижных Внешнее гомологическое умножение точек 249 235 Антиподальная точка 82 — когомологическое умножение 263, Ассоциативность 241 264 Атлас 305 Внутреннее когомологическое Аугментация 47, 48 умножение 268, 269 Ациклический комплекс 28 Внутренность многообразия 304 Базис 21 Вписанное покрытие 155 — модуля 159 Вырезаемая триада 62 — функтора 217 Гладкое многообразие 305 Барицентр 55 Гомологическая группа 27, 45 Барицентрическая координата 147 — последовательность 33, 46 Барицентрическое подразделение 55 — — ассоциированная с — разбиение 441 коэффициентной 195 Башенная нормализация 439 t-гомологическая последовательность — функция 438 пары 190 Башенное покрытие 438

— — — — приведенная 192 t-гомологические группы 165 Гомологический класс 27 Гомоморфизмы Бокштейна 195 Гомотетия 157 Гомотопическая ассоциативность 239 — единица 239 — классификация (цепных отображений) 211 — коммутативность 239 — эквивалентность 36 Гомотопический гомоморфизм 239 Гомотопия 24, 35 Градуированная группа 28 Градуированное кольцо 241 Граница 27, 46 Граничный оператор 27 Граф 122 Групповое кольцо ISO Двойственное кольцо 157 Двойственность Александера 368 — в ∂ -многообразиях 372 — Пуанкаре 365 — Пуанкаре — Лефшеца 357 Двойственные базисы 367 Действие группы 160 Делимая группа 187 Дерево 132 Деформационный ретракт 54 Деформация 24 Джойн 85 Диагональное отображение 280 — — комплекса 222, 227 Диагональный класс 370 Диффеоморфизм 303 Дуальная категория 11 Дуальные классы Чжэня 409 Евклидов окрестностный ретракт (ENR) 103, 131 Единица 241 Естественная эквивалентность 13 Естественное преобразование 13 Замена карт 305

Изоморфизм 11, 16. — Тома 393 Инвариант Хопфа 275, 276 Инволюция 330 Индекс зацепления 248 — пересечения 244, 423 Инъективный модуль 186 Каковское распространение 444 Канонические вложения 15, 19 Канонический базис 40 Карта 301 Касательное векторное поле 85 Категория 10 Квазиупорядочение 331 Класс Тома 388 — Эйлера 388 Классы Чжэня 409 — Штифеля — Уитни 411 Клетка 113 Клеточное отображение 109 — пространство 109 Клеточный комплекс 110 Кобордизм 374 Ковариантный функтор 12 Когомологии комплекса 216 Когомологические операции 194 Когомологическое кольцо 232, 271 Кограница 189 Кольцо Понтрягина 241 Коммутативность 241 Комплекс 27 Комплексные числа 9 Композиция 10 Конечно-барицентрическое разбиение 442 Контравариантный функтор 12 Конус над комплексом 29 — над пространством 55 — отображения 29 Коостов 112 Копроизведение 15 Короткая точная последовательность 16

Короткий комплекс 39 Косое гомологическое умножение 299 — когомологическое умножение 286 — умножение Понтрягина 300 Кофинальное отображение 337 — подмножество 337 Кофинальный функтор 431 Кофунктор 12 Коцикл 189 Коэффициент инцидентности 138 Коэффициентная последовательность 155 Коэффициентный гомоморфизм 154 Коэффициенты кручения 40 Край многообразия 304 Кратность пересечения 398 — точки прообраза 88 Кручение 23 Левое действие 242 Левый R-модуль 157 — обратный 11 Линзовое пространство 128, 129 Локальная n-связность 108 — степень отображения 85 Локально замкнутое множество 102 — конечное семейство 434 — плоское подмногообразие 303 Локальное сечение 379 Локальные гомологии 77 — индексы пересечения 423 Малая категория 221 Многообразие 301 Cr-многообразие 305 Многообразие Грассмана 406 — с краем 303 — Штифеля 403 Модели 217 Модуль конечного типа 214 R-модульный гомоморфизм (Rгомоморфизм) 157 Мономорфизм 16 Монофунктор 165

Морфизмы 10 Надстройка над комплексом 29 — над пространством 67 Направленная категория 432 Направленное множество 331 Наследственное кольцо 159 Невырожденное, спаривание 233 Нерв 152, 436 Непрерывность чеховских когомологий 351 Нормализуемое покрытие 436 Нормализуемый функтор 437 Носитель 244 Нуль-гомотопия 210 Область значений 10 — определения 10 Обобщенное n-многообразие 315 Обратная Λ-система 331 Объекты 10 Ограниченное множество 353 Ограниченный градуированный модуль 214 Однородные координаты 124 Окрестностный ретракт 51 Ориентация 139, 306 — вдоль подмножества 310 — отображения 330 Ориентируемая поверхность рода q 76 Ориентируемое отображение 330 Ориентирующее многообразие 310 Ориентирующий пучок 308 Основная теорема алгебры 84 Остов 112 Открытая звезда вершины 151 Отмеченная точка 60 Отображение Александера — Уитни 229 — Хопфа 124 — Эйленберга — Зильбера 223 P-отображение 78 Пересечение гомологических классов 413, 419

Периодическое произведение комплексов 203 — умножение 178, 203 Петли 242 Плоский модуль 181 Поверхность рода h неориентируемая 128 Подкатегория 11 Подкомплекс 30 Подмодуль 158 Подчиненный полиэдр 432 — Полная линейная группа 242 — подкатегория 11 Полулокалыю стягиваемое пространство 79 Полуточный функтор 165 Порядок ветвления 80 — — инвариантность 81 Последовательность Гизина 400 — Кюннета 205, 210, 225. 226, 369 — Майера — Вьеториса 64 — — — относительная 64 — — — приведенная 66 — — — чеховских когомологий 349 — универсальных коэффициентов 173 Постоянный функтор 12 Правый R-модуль 157 — обратный 11 Предел функтора 427 Предпучок 332 Представимый функтор 14 Представление в виде прямого произведения 19 — — — прямой суммы 19 Предхопфова алгебра 280 Преобразование прямых (обратных) систем 332 Приведенные гомологические группы 47 Присоединение воротника 305 Проективное пространство 123 — — усеченное 126

Проективный модуль 187 Проекции на сомножители 15, 18 Произведение 15 Производное отображение 58 — преобразование 167 Производные координаты 58 Производный функтор 167 Пропускаемость через предел 334 Просвободный функтор 221 h, H-пространство 240 CW-пространство 114 — относительное 121 k-пространство 341 Прямая симплициальная аппроксимация 151 — Λ-система 331 — сумма 18 — точная последовательность 33 Прямое произведение 18 — слагаемое 20 Прямой предел (системы) 332 Пунктированное пространство 60, 79 Разбиение единицы 434 CW-разбиение 113 Разделяющее множество 348 Разложимый элемент 278 Размерность (CW-пространства) 114 Ранг группы 23 Расщепляющаяся алгебра 278 Рациональные числа 9 Регулярное значение 91 Резольвента (модуля) 166 Ретракт 50 Ретракция 50 Решетка 95 Росток отображения 78 Свободная группа 21 — коммутативная градуированная алгебра 282 — часть 23 Свободный комплекс 39 — модуль 159 — функтор 217

Связная алгебра 278 Связывающий гомоморфизм 32, 46, 171, 346 Сечение 309 Сигнатура квадратичной формы 373 — многообразия 373 Сильно аддитивный функтор 162 — кофинальный функтор 429 Симплекс разбиения 442 Симплициальная аппроксимация 152 — структура 143 — схема 148 Симплициальное отображение 146 — пространство 143 Симплициальные гомологии 152 Симплициальный атлас 142 — — упорядоченный 142 — комплекс 153 — — пары 153 Сингулярная цепь 44 Сингулярные (ко) цепи, (ко) циклы, (ко) границы, (ко)гомологии пары пространств с коэффициентами 189 Сингулярный комплекс 44 — симплекс 44 Скалярное умножение 232 Слабо кофинальный функтор 429 След 257 Собственное отображение 89, 326 Спектральная последовательность 110 Спрямляемое отображение 151 Стандартная n-мерная клетка 70 Стандартный симплекс 42 Степень отображения 81, 326 — — над K 324 — собственного отображения 326 Cr-структура 305 ∂ -структура 216 Стягиваемый комплекс 36 Тензорное произведение алгебр 271 — — комплексов 203

— умножение 178, 203 Теорема Брауэра о неподвижной точке 74 — Даукера 435 — двойственности 357 — Жордана 99 — Кюннета 205, 210, 225, 226 — — для чеховских когомологий 369 — Лефшеца —Хопфа 255 — об ацикличных моделях 220 — об инвариантности границы 79 — — — области 100 — — — размерности 79 — об универсальных коэффициентах 172 — Рохлина — Тома о сигнатуре 377 — Хопфа 328 — Эйленберга — Зильбера 223 Тождественный морфизм 10 — функтор 12 Толстая сфера 66 Топологическая группа 242 — независимость 302 — сумма 26 Точка ветвления 80 Точная гомологическая последовательность 33 — пара 110 — последовательность 16, 31 Точный слева функтор 165 — справа функтор 165 — функтор 165 Трансверсальный класс 387 Трансфер гомологический 377, 380 — когомологический 326, 380 — мультипликативные свойства 384 Триада 26, 62 Тройки 26 Удвоение многообразия 305 Умножение 241 — Понтрягина 240 ∩-умножения 291

Универсальное преобразование 332, 427 Универсальный элемент 14 Факторгруппа 22 Факторкомплекс 30 Фактормодуль 158 Фильтрация 109 — клеточная 109 Фильтрованный комплекс 110 Фундаментальный класс 237, 249 — — вблизи К 324 Функтор 12 — двух переменных 12 — Ext 186 — Hom 186 Характеристика Эйлера — Пуанкаре 132 Характеристическое отображение 114 Цепное отображение 27

— — степени п 209 Цепь 27 Цикл 27, 45 Чеховская когомологическая последовательность 347 Чеховские когомологии 343 — — с ограниченными (компактными) носителями 353 Чеховское распространение 445 — ∩-умножение 358 — — естественность 359 — ∪-умножение 352 Число вращения 98 — Лефшеца 257 Эйлерова Zp-характеристика 196 Эквивалентность 11 Элементарный комплекс 39 Эпиморфизм 16 Эпифунктор 165