Введение в алгебраическую квантовую теорию поля

С.С.Хоружий ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ Систематическое изложение некоторых основных направлений релятивистской квантовой теории, ранее не освещавшихся в монографиях. Подробно представлены ставшие уже классическими результаты алгебраической аксиоматики квантовой теории поля. Показано, как на базе этой аксиоматики формируется современная алгебраическая квантовая теория поля, дающая эффективные средства строгого анализа многих актуальных моделей систем элементарных частиц. В аспекте математическом книга впервые детально излагает алгебраический аппарат релятивистской квантовой физики, составляющий в совокупности с аналитическим и теоретико—групповым аппаратом математическую основу современной квантовой теории. ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 4 Глава 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 7 § 1. Введение. Алгебраический подход как локальная квантовая теория. 7 § 2. Аксиомы алгебраического подхода 15 § 3. Структура локальной квантовой теории: теоремы, вытекающие из 28 аксиом 3.1. Локальная алгебра. 29 3.2. Соотношения зависимости. 43 3.3. Дуальность 52 3.4. Причинная независимость и другие причинные свойства. 62 3.5. Свойства симметрии. 82 Глава 2. ОТ ТЕОРИИ НАБЛЮДАЕМЫХ К ТЕОРИИ 127 КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ § 4. Глобальная теория правил суперотбора 127 § 5. Локальная теория правил суперотбора: свойства эквивалентности 146 когерентных секторов § 6. Программа построения полевой теории путем реконструкции 159 зарядовых секторов. Метод морфизмов и коциклов Глава 3. ПОЛЕВЫЕ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 174 § 7. Ор*—алгебры полевых операторов и вакуумные правила суперотбора 174 7.1. Элементы теории Ор*—алгебр 181 7.2. Вакуумная структура квантовой теории поля 196 § 8. Построение и свойства полевых алгебр фон Неймана 213 8.1. Различные способы определения и'проблема локальности 213 8.2. Алгебры клиновидных областей: формализм Бизоньяно—Вичмана 226 § 9. Свободные и обобщенно свободные поля 246 ПРИЛОЖЕНИЕ. О построении алгебраической формулировки квантовой 282 калибровочной теории СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 288 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 302

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аддитивность сильная 20 — сильно регулярный 189 — слабая 20 — — циклический 183 Алгебра 11 — слабо регулярный 189 — абелева 11 — строго локализованный 155 — асимптотических наблюдаемых 95 302 — Борхерса 176 Вектор циклический 12 —Вейля252 Вес 13 — всех локальных наблюдаемых 19 — нормальный 13 — глобальная 19 — полуконечный 13 — инволютивная 11 — точный 13 — йорданова 16 Граф—топология 183 — квазилокальная 19 Двойной конус 29 —локальная 18 Дизъюнктность 14 — простая 12 Дуальность 27 — совершенная обобщенная — внутренняя 62 гильбертова 12 — с кручением 272 — фон Неймана 12 — слабая 5 7 — — бесконечная 13 — существенная 58 — — дискретная 13 Естественный изоморфизм 74 — — конечная 13 Идеал 12 — — непрерывная 13 — двусторонний 12 — — полуконечная 13 левый 12 — — собственно бесконечная 13 — локальности 177 — максимальный 12 — — типа I, In, I ∞ 13 — минимальный 12 ———II, II1,, II ∞ 13 — правый 12 — — —III 13 — спектральности 177 — — чисто бесконечная 13 Изотония 19 — — σ—конечная 13 —непрерывная 19 — Р—класса 134 Инволюция 11 Алмаз 30 Индукция алгебры фон Неймана Амснабсльная группа 84 13 Аномалия Борхерса 198 Квазилокальный Ms,1—коцикл 171 Асимптотическое свойство сильное Квазиэквивалентность 100 представлений 14 — слабое 100 — когерентных секторов 148 База двойного конуса 30 Класс Борхерса 53 Бозонизация 164 Кластерное свойство сильное 97 Вектор бициклический 12 — — слабое 96 — вакуумный 24 Коммутант 12 — вполне регулярный 189 — относительный 62 — разделяющий 12 —фон Неймана 215

Конструкция ГНС 14 — — для Ор*—алгебры 187 Локализованность 9 Локальная предсимметрия 124 Локальность 9, 20 — расширенная 27 Локальность с кручением 272 — строгая 27 Модель синус—Гордона 164 — Тирринга 164 Модулярная группа 13 — инволюция 13 Наблюдаемая 8 — глобальная 9 — квазилокальная 9 — локальная 9 Неравенство Вайтмана 38 Носитель векторного состояния 13 Область Гординга 174 — зависимости 44 — клиновидная 36 — нормальная 45 — пространственно полная 20 — светоподобно монотонная 36 — тотальная 47 Обобщенная H—оценка 204 Оболочка выпуклая 83 — пространственноподобная 45 Образ представления 14 Оператор антилокальный 253 — (форма) Вейля 252 — диагонализуемый 14 — заряда 161,167 — комплексной структуры 247 — модулярный 13 — переплетения 14 — присоединенный 12 — разложимый 15 — суперотборный 128, 137 Операция 8

Перестановочные соотношения Вейля—Сигала 248, 266 Поле алгебр фон Неймана 14 — гильбертовых пространств 14 Положительный элемент *—алгебры 11 — — алгебры Борхерса 176 Постулат аналитичности (квазианалитичности) вакуума 223 Правило суперотбора 137 — — Баргмана 131 — — вакуумное 209 — — динамическое 130 — — дискретное 138 — — дихотомическое 130,136 — — кинематическое 130 — — непрерывное 138, 211 — — по асимптотике потока электромагнитного поля 163 — по типу 130 — — по унивалентности 130 Преддуал 12 Представление 14 Представление замкнутое 183 — ковариантное 86 — локально нормальное 54 — невырожденное 14 — неприводимое 14 — нормальное 14 — положительное 24 — самосопряженное 183 — — в существенном 183 — сильно циклическое 183 — точное 14 — факторное 14 — циклическое 14 — эрмитово 182 Преобразование Боголюбова 269 Принцип суперпозиции 16, 142 — — обобщенный 143 Причинная независимость 27

— тень 22 Причинность 9, 20 — примитивная 21 —Эйнштейна 9, 21 Проектор абелев 13 — бесконечный 13 — конечный 13 — минимальный 13 — чисто бесконечный 13 Прообраз векторного состояния 13 Пространственноподобное дополнение20 Прямой интеграл 14 Расщепленное W*—включение57 Редукция алгебры фон Неймана 12 Свойство Рее—Шлидера 32 — Шлидера 2 7 —F 54 Сектор суперотборный 128, 137 — — абелев 145 — — вакуумный 112, 209 — — зарядовый 167 — — когерентный 141 — — неабелев 142 — — солитонный 164 Сепаратор 12 Сеть локальных алгебр 19, 28 Симметрия внешняя 125 — внутренняя 125, 132 — спонтанно нарушенная 125 — точная 125 След на алгбере фон Неймана 13 Слой временной 21 — полный пространственноподобный 21 Состояние 8, 12 — вакуумное 87 — векторное 13 — заряженное 167 — квазисвободное 266 — локальное 27

— подчиненное 12 Состояние равномерно кластерное 95 — сильно кластерное 97 — смешанное 12 — факторизуемое 63 — чистое 12 — эргодическое 92 Спектр Арвесона 107 — элемента *—алгебры 64 Спектральность 23 — сильная 23 Тензорное произведение бесконечное 257 ——C*.W* 63,64 Теорема Борхерса 80, 109 — Борхерса — Арвесона 108 — Борхерса о трубе 45 — (гипотеза) об алмазе 52, 278 — Рее — Шлидера 30 — — обратная 32 — Шлидера 74 Теория Хаага — Араки 18 — Хаага — Кастлера 18 — Р—класса 112 — — локальная 149 Топологический заряд 161 Топология операторная равномерная 12 — — сильная 12 — — слабая 12 — — ультрасильная 12 — — ультраслабая 12 Тотализатор 12 Точное условное ожидание 42 Транзитивность локальности 58, 245 Труба будущего 38 — прошлого 38 — расширенная 126 Фактор 12 — типа III0, IIIλ, III1 14 Факторизация 54 — парная 54

Фермионизация 164 Фоковское пространство 246 Функционал Вайтмана 177 — на *—алгебре 12 — нормальный 13 — положительный 12 Функционал точный 12 — С—инвариантный 86 — С—ковариантный 86 Центр алгебры фон Неймана 12 Центральное разложение 15 Центральный носитель проектора 13 — — представления 14 Чистая фаза 141,206 Эквивалентность когерентных секторов 148 — представлений слабая (физическая) 14, 18 — проекторов 13 Ядро представления 14 — функционала левое 177 В*—алгебра 12 С*—алгебра 12

С*—динамическая система 86 — — С—абелева 87 — — , обладающая большой группой симметрии 87 — — слабо асимптотически абелева 87 — — асимптотически абелева по Стермеру 87 — — равномерно асимптотически абелева 87 СPТ—оператор 61,228 С—коцикл 169 С—орбита 88 Ор*—алгебра 181 — вакуумная 199, 20] —класса 1,11, III 190 Ор*—состояние 204 W*—алгебра 12 *—автоморфизм 14 — йорданов 125 *—алгебра 11 *—морфизм 14 — локализованный 172 — G—транспортабельный 170