Соответствия. Лекция

"!#$&%('*),+,'.-0/213)&!42/6587:9*?@0AB6'< ?BC ÅHÈ=×ÅBÌÉ0ÑhÙ6Ã6È...

Author: Новоселов А.А.

11 downloads 225 Views 178KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

"!#$&%('*),+,'.-0/213)&!42/6587:9<;2/=!9<;2/>%@?!A-#B5&CD5FEG;,#H1B+JIK/=!0/;MLON(P ∗

SQ RRT2UBVWXY Z[2\^]_``Sa2bdcecef@bhgKa`i3bd\^gBckjmlAndoj0gK`A\JcenKndgKiB\^gBc^gKiK`j=p3nKqKnKqdrsbhturv\^wDn lAndoj0gK`A\Jx y3z o]_``pb{gdbh]|v\c^iKj0}~bhoo\co`AflAndoj0gK`jlAnh[Aj0a`]HnKf,lAndoA\^ogK}eyH2bhtugBcj c^iBndAc^gKi3bSegK`0nKqd\^]gBndi``0c^iKj0}eOclAndoAjHgK`2\^fFndgKoAndv\^o`j==uc^oAndiKo2bhj(bdcgKf@b~z gB\^a`2b~[(bslAndA\^aloyHgdbs`}ndoAndwea2bdx `` SSvS suvS &¡&¢0£¢¤8¢A¥&¦8¢M§=¨§©SªA«~¬ X, Y ®F¯H°²±K³(´HµH±¶ ·=¸¹ºs· ±d» ¹h«~¬ µ3¼½¾¿±B± ¬ µ ¹~¬ «~¬ µ3³ ¹º Φ : · ¸ ¹~¬ «^À ¯H°²±K³(´HµH±¶ · ± ¹ ¯±KÁ ºs· ±d» ¹~«~¬ µH± Φ ⊆ X × Y ½ X → Y ¼B´ µ3¼ ÂÄÃ=ÅHÆ~Ç0È6É0ÊËÆDÌ=Í2Ã=ÅHÎHÏ&ÐAÉ0ÑÒ²ÅÐ2Å3Ó ÒÔ ÕÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç x ∈ X ×3Ø ÉKÒÙ(ÇGÈ6Î Ú0É3ÌÎhÎHÏ@Ã6ÎhÊ × ÉdÒÈ(ÍÛ=ÅHÜ(Í Ï8Û6ÉBÌ=Í2Ã=ÅHÎ~Ç0ÆeÝMÉ0Ú0Ô Ã6È6É0Î{ÉdÒÈ6ÉHÞdÈ=ÅKÃ6È6É0Î{ÉHÇ0É0Ú0Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù6ÎÙ(Þ X × Y Ï8Ù2ÌÙàß ª·=áâ ³ À=ã (x, y) ∈ Φ äÅHÐ6Ù6Ê*É0Ú0Ü=Å3ÞdÉ0Ê Ï=Û6É0È(Ý(Ç0Ù6ÎmÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(ÝGÉ0Ú0É0ÚHåÅHÎ~ÇÛ6É0È(Ý(Ç0Ù6ÎSæsÍ2È6Ð6ç6Ù6Ù ã ã6ì ÎDí è8ÅHÆhÆhÊ¿ÉHÇ0Ü6Ù6ÊàÛ6Ü6Ù6Ê¿ÎhÜéÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç0Æ~Ç Ù(Ý ã,ê Í0Æ~Ç0ë Ï Ð(ÅHÜ(Ç0É × ÉÛ6Ü6É0Ù(Þ × ÎDÒÎhÈ6Ù6Î X × Y× Û6É0Ð(Å3× ÞKÅHÈ6ÉÈ=ÅOÆDÌÎDXÒ=Í2î<=å{xÎhÊ*,Ü6xÙ6Æ~, Í2xÈ6}Ð2Î Y×O× =Ù2Ò{yÎvÛ6, ÜyÝ6,Ê¿yÉHÍ2, ÑhyÉ3}Ìë0È6É0Õ ÇHÅHÚ3ÌÙ6ç6ÔsÏ8ÅÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç0Ô Φ = {(x , y ), (x , y ), (x , y ), (x , y )} Û6Ü6ÎDÒÆ~ÇHÅ × ÌÎhÈ6ÔïÞKÅHÛ6É3ÌÈ6ÎhÈ2í È6Ô Ê¿ÙÇ0É0Ã6Ð2ÅHÊ¿Ù ã 1

1

1

2

y4 y3 y2 y1

◦ ◦ ◦ • x1

1

2

◦ • • • x2

2

2

2

3

1

2

3

4

3

◦ ◦ ◦ ◦ x3

è¿Ù6Æ ã@ð0ñ=ê 6Ü Ù6Ê¿ÎhÜGÆ~É0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý òó A° ¼B´H± º Φ(A) ÊÈ6ÉKÓÎhÆ~Ç × Å A ⊆ X Û6Ü6ÙÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Ù Φ È=Å3ÞdÔ × HÅ Î~Ç0Æ^ÝGÊ¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × É Φ(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : (x, y) ∈ Φ}

Ç0É0Ã6ÎhÐ y ∈ Y Ï ×3Ø ÉdÒ=Ý(åÙ ØS× Φ × Û=ÅHÜ6ÎJÆJÈ6ÎhÐAÉHÇ0É0Ü6Ô Ê x ∈ A ãhì Ì=Ý x ∈ X É0Ú0Ü=Å3ÞJÉdÒÈ6ÉHÇ0É0Ã6ÎhÃ6È6É0ÑhÉ Ê¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × Å ÚHÍdÒÎhÊôÇ3ÅHÐ(ÓÎmÉ0Ú0ÉHÞdÈ=ÅKÃ=Å3Ç0ë Φ({x}) = Φ(x) ã õö3÷øDùBøDúdøû~ü>ýBù3÷ÿþ3ùBø dþø ~ö þ3ù ~û DöBù ~÷ö 3÷

∗ /102 354067+892;:&/=< >*?@0AB6'< ?BC <ED "FG HIKJFL"MH

!!"#$ &%'()%*+ , %'-&.

N

O P O P(QSRTURWVX YZRT

◦ • • y1

x3 x2 x1

◦ • ◦ y2

◦ • ◦ y3

◦ ◦ ◦ y4

¿è Ù6Æ ã ñê Ü6Ù6Ê¿ÎhÜÉ0Ú0Ü=Å3Ç0È6É0ÑhÉÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý òó °A¼ ¬·=¸&º Ð Φ ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6ÎhÊ Φ : Y → X È=Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0Æ^Ý*Û6ÉKÒÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × É Ï=É0Û6Ü6ÎDÒÎDÌ=Ý6ÎhÊ¿É0ÎSÆDÌÎDÒ=Í2î<åÙ6Ê.É0Ú0Ü=Å3ÞdÉHÊ ñ Y ×X N

−1

Φ−1 ⊆

Φ−1 = {(y, x) ∈ Y × X| (x, y) ∈ Φ}.

0É ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6ÎHÏ8É0Ú0Ü=Å3Ç0È6É0Î Ð Ù(ÞdÉ0Ú0Ü=Å3ÓÎhÈ6È6É0ÊÍÈ=ÅÜ6Ù6Æ~Í2È6ÐAÎ ð Ï>Û6É0Ð2Å3ÞKÅHÈ6ÉGÈ=ÅÜ6Ù6Æ~Í2È6ÐAÎ Ï>ÐAÉ3í Ç0É0Ü6Ô Õ,ÏÉHÃ6Î × Ù2ÒÈ6É6ÏJÝ × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý DÇ0Ü=ÅHÈ6ÆhÛ6É0È6Ù6Ü6É × ÅHÈ6È6É0Õ × ÎhÜ6ÆhÙ6ÎdÕàÜ6Ù6Æ~Í2È6Ð2Å ð0ã Ú0Ü=Å3Þ Φ (B) Ê¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç Å Û6Ü6ÙÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç0Æ~Ç Ù6Ù È=Å3ÞdÔ ÅHî<ÇÇ3ÅHÐ(ÓÎ ó º Û6Ü6ÙÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç3í Æ~Ç × Ù6Ù Φ ã× ì Ì=BÝ:⊆É0ÚHYÉHÞdÈ=ÅBÃ6ÎhÈ6Ù(Ýé× Û6Ü6É0É0Ú0× Ü=Å3ÞdÉΦ× ÉdÒÈ6ÉHÇ0É0× Ã6ÎhÃ6È6Ô Ø Ê¿È6ÉKÓ¯H°²Îh±BÆ~±Ç × °A¼B{y}´H± Ù6BÆhÛ6É3ÌëHÞhÍ0Î~Ç0ÆeÝ:× Ç0É Ó ÎsÆhÉ0ÑÌ²Å ÎhÈ6Ù6ÎHÏ²Ã(Ç0ÉÙ{Ò6Ì=ÝÉ0Ú0Ü=Å3ÞdÉ × ñ Φ ({y}) = Φ (y), y ∈ Y ã ê É0È(Ý(Ç0Ù6ÎÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(ÝÉ0Ð2Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0Æ^Ý"É0ÆhÉ0Ú0ÎhÈ6È6ÉsÍKÒ²ÅKÃ6È6Ô Ê × Ç0É0Ê ÆhÊ¿Ô ÆDÌÎHÏAÃ(Ç0ÉSÉ0Ú0Ü=Å3Ç0È6É0Î ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Î × ÆhÎhÑÒ²Å Æ~ÍAåÎhÆ~Ç × ÍÎ~Ç3ÏÙ (Φ ) = Φã mÅHÐ Ù2ÒÈ6ÉÙ(ÞOÜ=ÅHÆhÆhÊ¿ÉHÇ0Ü6ÎhÈ6È6Ô Û6Ü6Ù6Ê¿ÎhÜ6É Ï=È6ÎhÐ2ÉHÇ0É0Ü6Ô ÎOÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç0Ô Ê¿É0Ñ~ÍAÇÙ6Ê¿Î~Ç0ë Û(ÍÆ~Ç0Ô ÎÉ0× Ú0Ü=Å3ÞdÔÛ6Ü6ÙÆhÉ0É3Ç × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Ø Ù Φ Ï,Ù,Ï>ÅHÈ=×ÅBÌÉ0ÑhÙ6Ã6È6É6Ï²Ò6Ì=Ý:È6ÎhÐ2ÉHÇ0É0Ü6Ô xØ ∈y X∈ Y × ÉHÞdÊ¿ÉBÓ"È6É ãBê É0Ö~Ç0É0ÊÍsÝ × Ì=Ý6î<Ç0Æ^ÝOÆhÉdÒÎhÜÓÅ3Ç0ÎDÌë0È6Ô Ê¿ÙÛ6É0È(Ý(Ç0Ù(Ý ± ó ¶¼ «~¬ ³"±d¯H° ¹ Á ¹ ¶ ¹~· ³ À D(Φ) Φ (y) = ∅ Ù ± ó ¶¼ «D¬ ³G´ · ¼ ¹~· ³ R(Φ) ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý ΦÏ6ÞKÅBÒ²Å × ÅHÎhÊ¿Ô ÎmÛ6É0ÆhÜ6ÎDÒÆ~Ç × É0Ê [

N

]\

_^

)\

−1

−1

`

−1

−1

−1 −1

a

−1

cb

(d

D(Φ) = {x ∈ X| ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ Φ},

R(Φ) = D(Φ−1 ).

Â Ü=ÅHÆhÆhÊ¿ÉHÇ0Ü6ÎhÈ6È6Ô Ø È=ÅÜ6Ù6Æ~Í2È6Ð(Å Ø ð Ï Û6Ü6Ù6Ê¿ÎhÜ=Å Ø D(Φ) = R(Φ ) = {x , x } Ï R(Φ) = ã D(Φ ) = {y , y , y } È6ÉKÓÎhÆ~Ç × Å X, Y È=Å3ÞdÔ × ÅHî<Ç0Æ^Ý ± ó ¶¼ «~¬ ± ¬ ¯H°A¼0µh¶ ¹~· ³ À Ù ± ó ¶¼ «~¬ ¯H°³ ó ¸¿¬ ³ À Φ Ï ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × ÎhÈ6È=É ã ÂÚ0É3Ìë Ù6È6Æ~Ç × ÎÆDÌ=Í2Ã=ÅHÎ × Ê¿ÉKÓ"È6É"ÚHÎ~ÞOÍAåÎhÜ6ÚÅÒ6Ì=ÝéÆ~ÍAåÎhÆ~Ç × ÅÒÎDÌ²Å"Ù(ÞdÚÅBí Ù(Ç0ë0ÆeÝÉHÇ eÌÙ È6Ù DÇ0É0Ã6ÎhÐ,ÏÙÆhÃ6Ù(ÇHÅ3Ç0ë X = D(Φ) Ï Y = R(Φ) Ï6Ã(Ç0É Ê¿Ô ÙÚHÍKÒÎhÊ ÒÎDÌ²Å3Ç0ë × Ò²× ÅBÌë0È6ÎhÕ ÎhÊ ã Ø ì Ì=ÝsÛ6ÉKÒÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × Å Z ⊆ X Æ~ÍAÓ ÎhÈ6Ù6ÎhÊGÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0ÆDÇ × Ù(Ý Φ È=Å Z È=Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0Æ^ÝOÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Î ÅHÛ6Ü6Ù6Ê¿ÎhÜ,Ï Ï@ÞKÅBÒ²Å ÅHÎhÊ¿É0ÎÆhÉ0ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6ÎhÊ Ò6Φ|Ì=ÝÆh: É0ÉHZÇ × →Î~Ç0Æ~Φ(Z) Ç × Ù(Ý,ÏAÛ6É0Ð(Å3ÞK× Å3È6È6É0ÑhÉSÈ=ÅmÜ6Ù6Æ~Í2È6ÐAÎ ð Ï0Æ~Φ|ÍAÓ Î~È6=Ù6Î<{(x, È=Å Zy) =∈{xΦ| }xÙ6∈Ê¿ÎhZ}. Î~Ç × Ù2Ò Φ| = ã {(x , y )} ê Í0Æ~Ç0ëÞKÅBÒ²ÅHÈ6Ô.ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý Φ : X → Y Ù Ψ : Y → Z ã sÉ0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù6Î~Õ{Ö~Ç0Ù Ø ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç3í Æ~Ç × Ù6Õ Θ = Ψ ◦ Φ È=Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0Æ^ÝGÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Î Θ : X → Z Ï(ÞKÅBÒ²Å × ÅHÎhÊ¿É0ÎmÆhÉ0ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6ÎhÊ N

e

−1

1

2

−1

3

1

f

2

f

c`

g\

E`

\

E`

c`

Z

h

Z

1

1

1

{x1 }

a

c`

Θ = {(x, z) ∈ X × Z| ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ Φ, (y, z) ∈ Ψ}.

ì ÅBÌÎhÎÛ6Ü6Ù ÎDÒÎhÈ6Ô Æ É0Õ6Æ~Ç Å ÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç0Æ~Ç Ù6Õ,ÏÒÉ0Ð2Å3ÞKÅ3Ç0ÎDÌë0Æ~Ç É ÐAÉHÇ0É0Ü6Ô Û6Ü6ÎDÒÉ0Æ~Ç3Å Ì=Ý2í ~Î Ç0ÆeÝÃ6Ù(Ç3Å3Ç0ÎDÌ²î × × Ð2ÅKÃ6ÎhÆ~× Ç × ÎÍ2× Û6Ü=Å3Ó"È6Îh× È6Ù(Ý ã× ê Ü6ÙàÉ0Û6Ù6ÆdÅHÈ6Ù6ÙÖ~Ç0Ù × Ø Æ × É0Õ6Æ~Ç × Ø Ù6ÆhÛ6É3ÌëHÞhÍ2î<× ÇÆ^Ý ÆDÌÎDÒ=Í2î<åÙ6ÎÉ0Ú0ÉHÞdÈ=ÅBÃ6ÎhÈ6Ù(Ý ñ Ï Ï ÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç0Æ~Ç Ù(ÝÊ¿Î~Ó í Ò=Í Í2Ð2Å3ÞKÅHÈ6È6Ô Ê¿ÙMÊ¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × ΦÅHÊ¿:Ù,ÏX{A→,Yλ ∈Ψ Λ}: Y →Û6Ü6ZÉ0Ù(Þ Θ× É3:Ìë0ZÈ6É0→Î{ÆhUÎ~ÊÎ~Õ6Æ~Ç × É× Û6ÉdÒÊ¿× È6ÉBÓÎhÆ~Ç × Ï²Û6Ü6É0Ù6È2ÒÎhÐAÆhÙ6Ü6É × ÅHÈ6È6É0ÎÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç3ÅHÊ¿ÙÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × Å Λ ã=ì Ì=ÝGÛ6Ü6É0Ù(Þ × É3Ìë0È6É0ÑhÉÊ¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × Å Z X Ù6ÆhÛ6É3ÌëHÞhÍÎ~Ç0ÆeÝéÉ0Ú0ÉHÞdÈ=ÅKÃ6ÎhÈ6Ù6Î I = {(z, z), z ∈ Z} ~ÑÌ²Å × È=Å3Ý{ÒÙ=ÅHÑhÉ0È=ÅBÌë eÒÎhÐ2ÅHÜ(Ç0É × ÅÛ6Ü6É3í Ù(Þ × ÎDÒÎhÈ6Ù(Ý Z × Z ã i

λ

Z

i

i

\

K\

j RWRk*TUX*kV*kTWlEm n

ð0ã É0È6ÉHÇ0É0È6È6É0Æ~Ç0ë"Û6É × 2Ð Ìî Ã6ÎhÈ6Ù6î e

A ⊆ B ⊆ X =⇒ Φ(A) ⊆ Φ(B).

ã Ú0Ü=Å3ÞSÉ0Ú @ÎDÒÙ6È6ÎhÈ6Ù(ÝÙÛ6ÎhÜ6ÎhÆhÎhÃ6ÎdÈ6Ù(Ý

N o^

cp



Φ

[



Aλ  =

[



Φ (Aλ ) , Φ 

\



Aλ  ⊆

\

Φ (Aλ ) .

ã ÂuÔ Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù6ÎSÉ0Ú0Ü=Å3ÞKÅÊ¿È6ÉKÓ Î~Æ~Ç × Å Ã6ÎhÜ6Î~ÞOÉ0Ú0Ü=Å3ÞdÔ ÎhÑhÉÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç0É × n

λ∈Λ

λ∈Λ

Φ(A) =

[

λ∈Λ

λ∈Λ

Φ(x), A ⊆ X.

ãuì hÎ Õ6Æ~Ç × Ù6ÎSÐ2É0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù6ÙÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6ÕéÈ=ÅÊ¿È6ÉKÓ ÎhÆ~Ç × É x∈A

q

(Ψ ◦ Φ)(A) = Ψ(Φ(A)).

ã ÆhÆhÉ0ç6Ù=Å3Ç0Ù × È6É0Æ~Çë"É0Û6ÎhÜ=ÅHç6Ù6ÙÐ2É0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù6ÙÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Õ

r 1s

Θ ◦ (Ψ ◦ Φ) = (Θ ◦ Ψ) ◦ Φ.

ã Ú3Ì²ÅHÆ~Ç0ÙGÉ0Û6Ü6ÎDÒÎDÌÎhÈ6Ù(ÝGÙÞhÈ=ÅBÃ6ÎhÈ6Ù6Õ × KÞ ÅHÙ6Ê¿È6É É0Ú0Ü=Å3Ç0È6Ô Ø hÆ É0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Õ

t o^

D(Φ) = R(Φ−1 ), R(Φ) = D(Φ−1 ).

u

v

ã sÉ0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù(ÝÛ6ÜÝ6Ê¿É0ÑhÉÙÉ0Ú0Ü=Å3Ç0È6ÉHÑhÉÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Õ a

ãê Ü6ÎDÒÆ~Ç3Å × ÌÎhÈ6Ù=ÎSÐ2É0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù6Ù

Φ−1 ◦ Φ ⊇ IX .

Θ◦Ψ◦Φ= w

x

[

(y,z)∈Ψ

Φ−1 (y) × Θ(z) .

zy|{~}|

ê Í Æ~Ç0ë Φ : X → Y È6ÎhÐ2ÉHÇ0É0Ü6É0ÎSÆhÉHÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Î ã &¡&¢0£¢¤8¢A¥&¦8¢ ,¨§© ±¶ À °²± « ±B± ¬ µ ¹~¬ «~¬ µ3³ À Φ · ¼B´ ¸ µ3¼ ¹~¬ «^À ± ¬ ± ó °A¼3» ~¹ · ³ ¹ π «~¬ ¼0µ À ¹h¹ µ « ±B± ¬ µ ¹~¬ «~¬ µ3³ ¹Sá ¼3» Á3± ºsª"ºs· ±d» ¹h«D¬ µ ª A ⊆ X ºs· ±d» ¹h«~¬ Hµ ± 2 i

Y

d

(

πΦ (A) = {y ∈ Y | Φ−1 (y) ⊇ A}.

Φ

: 2X →

¿ÆDÌÙÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç0Æ~Ç Ù6Î æmÙ6Ð2ÆhÙ6Ü6É ÅHÈ6É6ÏHÇ0ÉsÍdÒÉ0Ú0È6ÉmÛ6Ù6ÆdÅ3Ç0ë Ê¿ÎhÆ~Ç0É Ð6Ü6É0Ê¿ÎÇ0É0ÑhÉ6Ï3Ò6Ì=Ý ÉdÒ6í È6É0ÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç× È6Ô Ø Ê¿× È6ÉKÓΦÎhÆ~Ç × {x}, × x ∈ X ÚHÍdÒÎhÊÙ6ÆhÛ6É3ÌëHÞdÉ × πÅ3Ç0× ëmÆhÉ0Ð6Ü=Å3πåÎhÈ6È(Í2îàæmÉ0Ü6ÊÍSÞKÅHÛ6Ù6ÆhÙ ã π({x}) = π(x) ê É3Ì=Ý6Ü=ÅÉ0Ú0Ü=Å3Ç0È6É0ÑhÉÆhÉHÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý Φ È=Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0Æ^ÝGÉHÚ0Ü=Å3Ç0È6É0ÕÛ6É3Ì=Ý6Ü6É0Õ Φ ÙÉHÚ0ÉHÞdÈ=ÅBÃ=ÅBí Î~Ç0ÆeÝ π = π = π ã ê ÎhÜ6ÎhÃ6Ù6ÆDÌÙ6ÊÈ6ÎhÐAÉHÇ0É0Ü6Ô ÎÆ × É0Õ6Æ~Ç × Å:Û6É3Ì=Ý6Ü6ÔsÏ&ÒÉ0Ð2Å3ÞKÅ3Ç0ÎDÌë0Æ~Ç × ÉÐAÉHÇ0É0Ü6Ô Ø Û6Ü6ÎDÒÉ0Æ~Ç3Å × Ì=Ý2í Î~Ç0ÆeÝÃ6Ù(ÇHÅ3Ç0ÎDÌî ã

Φ

−1

−1

−1 Φ

Φ−1

q

O P O P(QSRTURWVX YZRT

ð0ãê É3Ì=Ý6Ü=ÅÉKÒÈ6ÉHÇ0É0Ã6ÎhÃ6È6ÉHÑhÉ"Ê¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × Å π(x) = Φ(x).

ã ÂuÔ Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù6ÎSÛ6É3Ì=Ý6Ü6Ô Ê¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × Å Ã6ÎhÜ6Î~ÞOÛ6É3Ì=Ý6Ü6Ô ÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç0É × N

\

π(A) =

π(x), A ⊆ X.

x∈A

ãê É3Ì=Ý6Ü=ÅÉ0Ú @ÎDÒÙ6È6ÎhÈ6Ù(ÝÊ¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × cp

n



π

[

λ∈Λ

Aλ  =

ã É0È6ÉHÇ0É0È6È6É0Æ~Ç0ë"Û6É3Ì=Ý6Ü6Ô 6Û É × Ð2Ìî Ã6ÎhÈ6Ù6î e

q



\

π (Aλ )

λ∈Λ

A ⊆ B ⊆ X =⇒ π(A) ⊇ π(B).

ã × (Ý ÞdëÛ6ÜÝ6Ê¿É0ÕÙÉ0ÚHÜ=Å3Ç0È6É0ÕÛ6É3Ì=Ý6Ü [

r

A ⊆ X, B ⊆ Y, A × B ⊆ Φ =⇒ A ⊆ π −1 (B), B ⊆ π(A).

ã sÉ0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù(ÝÛ6ÜÝ6Ê¿É0ÕÙÉ0Ú0Ü=Å3Ç0È6É0ÕÛ6É3Ì=Ý6Ü a

t

A ⊆ X, B ⊆ Y =⇒ A ⊆ π −1 (π(A)), B ⊆ π(π −1 (B)).

S é G Ouv Î Æ^Ý6Ð2É0ÎÛ6ÉdÒÊ¿È6ÉKÓ Î~Æ~Ç É Ê¿ÉKÓÎ~Ç:Ú0ÔÇ0ë:ÞdÈ=ÅKÃ6ÎhÈ6Ù6ÎhÊÛ6É3Ì=Ý6Ü6Ô Ï8Ü=Å È6ÉéÐ(ÅHÐFÙ È6Î Æ× eÝ6ÐA× É0ÎÛ6ÉKÒÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × É A× ⊆BX⊆Ê¿YÉBÓÎ~ÇÝ × Ì=Ý(Ç0ë0Æ^Ý:ÞdÈ=ÅKÃ6ÎhÈ6Ù6ÎhÊ π ã ÂËÆDÌπÎDÒ=Í2î<× åÎhÕÇ0ÎhÉ0Ü6ÎhÊ¿Î ØÛ6ÅHÉ0Ü=È(ÅHÝ(Ð(Ç0Ç0Ù6ÎhÕéÜ6Ù(Û6ÞhÜÍ2Ý6î Ê¿Ç0É0ÆeÑhÝÉ"ÙGÊ¿È6É0ÉKÚ0ÓÜ=Å3ÎhÇ0Æ~ÇÈ6× É0Å(ÑhÉ"Ï>ÐAÆhÉHÉ0Ç0ÉHÉ0Ç Ü6Ô Î~Ç0ÎÆ~Ç Ý × Ù6Ì=Õ:Ý6î<Ö~Ç3Ç0ÅÆeÝ:Ç0ÎhÞdÉ0È=Ü6ÅKÎhÃ6ÊÎhÈ6Å Ù(ÌÝ6ÎhÊÑhÙÐAÉ"πÛ6ÎhÜ6ã ÎhÂ æm× É0Ù2Ü6Ò=ÊÍ:ÍKÌÆhÙ6Ù6Ê¿Ü(ÍÊ¿Î~Î~ÇÇ0Æ^Ü6Ý:Ù6ÙÙ × × Ò6Ì=ÝÛ6ÜÝ6Ê¿É0ÕÛ6É3Ì=Ý6Ü6Ô π ã ¢ ¡&¢ ,¨§©SªA«~¬ A ⊆ X ® ß ³ áA« ³H°²±Bµ3¼ ·=· ± ¹ ¯±KÁ ºs· ±d» ¹h«~¬ µH±3½ ¶ À:¬ ± D± ¬ ± ó ¸à«~ª ¹h«~¬ µH±Bµ3¼d¶²±é¯±KÁ ºs· ±d» ¹~«~¬ µH± B ⊆ Y ¬ ¼ á ± ¹ ¬ ± A = π (B) ·¹ ± ó ±KÁB³ º ±é³*Á3± «~¬ ¼ ¬ ± · ± ¬ ± ó ¸ Á~¶ À µ «^À=á ± D± x ∈ X \ A = A «~ª ¹h«~¬ µH±Bµ3¼d¶ ¬ ¼ á ± ^¶ ¹ºm¹~·=¬ y = y ∈ Y ¬ ± π (y ) ⊇ A ³ x 6∈ π (y ) ¯H°³ ¬ ± º A = π (π(A))0½ s¢ 6¥&¦&¢ ,¨§ J¬ ¼ ¬ ¹ ±° ¹kº ¼ µ á ¼ á ± ÿ¬ ± ºm¹ ° ¹· ¼H¯± º ³ · ¼ ¹~¬ ¬ ¹ ±° ¹ºs¸ ± ¬ Á ¹ ¶³ º ± «~¬ ³Ë³(´*µ ¸ ¯ ªá ¶²± D±F¼ · ¼d¶³(´3¼ ¯± «~á ±^¶ áª ´ · ¼ ¹~· ³ ¹ ¯±^¶ À ° ¸ π µ ¬ ± áA¹ y °A¼B´3Á ¹ ¶ À ¹~¬ ¬ ± áª x ³ ºs· ±d» ¹h«~¬ µH± A ½ J¬ ±± ó «~¬ ± À=¬ ¹ ¶ A«~¬ µH±³é± ó ªA« ¶²±Bµ3³A¶²± · ¼B´Hµ3¼ · ³ ¹ ¯ ª·=á¬ ¼½ 6¢¤ @ã &¥ @ã ÅBÒ²ÅBÒÙ6Ê*Ê¿È6ÉKÓ ÎhÆ~Ç × É B ÆDÌÎDÒ=Í2î<åÙ6Ê.É0Ú0Ü=Å3ÞdÉ0Ê ñ

}

1

_y

h

−1

−1

'

'z b

b

−1

b

'

−1

x

b

K¡¢E£'¤

x

¦¥ §W¤¨K

d

b

x

−1

§W¤'¤K §W¤E¥ (©

B=

d|

cb

−1

−1

|

]

b c

(

[

x∈Ac

{yx },

b

x

(

j RWRk*TUX*kV*kTWlEm r

Ù Û6É0Ð2Å3ÓÎhÊ ÏÃ(Ç0É Û6É3Ì=Í2Ã=ÅHÎhÊ

π −1 (B) = A

ãuì hÎ Õ6Æ~Ç × Ù(ÇÎDÌë0È6É6Ï<Ù6ÆhÛ6É3ÌëHÞhÍ0ÝÇ0Ü6Î~Ç0ë0ÎFÆ × É0Õ6Æ~Ç × ÉôÛ6É3Ì=Ý6Ü6ÔsÏ

π(B) = π

[

!

{yx } =

\

π(yx ) ⊇ A,

Û6É0ÆhÐ2É3Ìë0Ð(ÍéÛ6ÉÍ0ÆDÌÉ Ù6îïÐ2Å3Ó ÒÉ0ÎÙ(Þ Ê¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç ÆhÉdÒÎhÜAÓ"Ù(Ç ã ¿ÆDÌÙ:Ó ÎOÛ6É3í ÆDÌÎDÒÈ6ÎhÎsÛ6ÎhÜ6ÎhÆhÎhÃ6ÎhÈ=Ù6× Î × Ö~Ç0É0Õ{æmÉ0Ü6ÊÍKÌÎ Ù6Ü6Î A× ÏAπ(yÇ0É × ),È6ÎhxÊ ∈È=ÅHAÕ2ÒÎ~Ç0Æ^Ý x 6∈ AAÏÒ6Ì=ÝÐAÉHÇ0É0Ü6É0ÑhÉ6Ï Û6ÉÍ0ÆDÌÉ × Ù6îÇ0ÎhÉ0Ü6Î~ÊÔvÏÊ¿ÉKÓ"È6ÉÈ=ÅHÕ(Ç0Ù y Ç3ÅHÐAÉ0ÎHÏ²Ã(Ç0É x 6∈ π (y ) ÏÃ(Ç0É"Û6Ü6ÉHÇ0Ù × É0Ü6ÎhÃ6Ù(Ç{ÆhÛ6É3í ÆhÉ0ÚHÍÛ6É0Æ~Ç0Ü6É0ÎhÈ6Ù(Ý B ã äÅHÐ6Ù6ÊôÉ0Ú0Ü=Å3ÞdÉ0Ê Ï π (B) ÆhÉ × Û=ÅBÒ²ÅHÎ~Ç{Æ A ÏÙÒÉ0Æ~Ç3Å3Ç0É0Ã6È6É0Æ~Çë"ÍÆDÌÉ × Ù6Õ Ç0ÎhÉ0Ü6ÎhÊ¿Ô ÒÉ0Ð2Å3ÞKÅHÈ=Å ã ¢ A£¦ @ã=ê ÍÆ~Ç0ë"Æ~ÍAåÎhÆ~Ç × Í0ÎhÇ B ⊆ Y ÇHÅHÐAÉ0ÎHÏÃ(Ç0É A = π (B) Ï=Ù2ÌÙ,ÏÛ6ÉÉ0Û6Ü6ÎDí ÒÎDÌÎhÈ6Ù6îÛ6É3Ì=Ý6Ü6ÔsÏ x∈Ac

x∈Ac

c

x

o`

−1

x

x

−1

'K«U¬K

ª

z §W¤¥

−1

0Ç ÆhîÒ²Å × ÔÇ0ÎhÐ(ÅHÎ~ÇBÏÃ(Ç0ÉÒ6Ì=ÝÌî Ú0É0ÑhÉ x 6∈ A Ù6Ê¿ÎhÎ~Ç:Ê¿ÎhÆ~Ç0É Φ(x) 6⊇ B Ï@Ç0ÉéÎhÆ~Ç0ë6Ï8È=ÅHÕ2ÒÎ~Ç0ÆeÝ Ç3ÅHÐAÉ0Õ,Ï8Ã(Ç0É y 6∈ Φ(x) Ï&Ã(Ç0ÉéÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É x 6∈ Φ (y ) = π (y ) ã sÜ6É0Ê¿Î y = y ∈ B Ç0É0ÑhÉ6Ï ×0× Ù2Ò=ÍÊ¿É0È6ÉHÇ0É0È6È6É0Æ~Ç0ÙéÛ6É3Ì=Ý6Ü6ÔsÏ π (y ) ⊇ π (B) = A ã ä8ÎhÉ0Ü6ÎhÊÅOÒÉ0Ð2Å3ÞKÅHÈ=Å ã A = {x ∈ X| Φ(x) ⊇ B}.

^

x

−1

x

−1

®

−1

x

a

x

−1

x

°¯

±

1±

1

ê ÍÆ~Ç0ë ÆhÉ0ÉHÇ Î~Ç0Æ~Ç Ù6ÎÙ(Þ Ï>Å ÎhÑhÉÛ6É3Ì=Ý6Ü=Å ã mÅHÐ:ÍAÓÎ ÉHÇ0Ê¿ÎhÃ=ÅBΦÌÉ0:Æhë6XÏ6Ò6Ì=→ÝÛ6YÜ6É0Ù(Þ × É3Ì× ë0È6É0ÑhÉ× Ê¿È6ÉBÓÎhXÆ~Ç ×× Å YA ⊆ πX: × 2Ô Û6É3→ÌÈ(Ý62Î~Ç0Æ^Ý × Ð2Ìî Ã6ÎhÈ6Ù6Î ð A ⊆ π (π(A)). Â × Ù2Ò=ÍÊ¿É0È6ÉHÇ0É0È6È6ÉHÆ~Ç0ÙéÛ6É3Ì=Ý6Ü π, π Ò6Ì=ÝÐ2É0Ê¿Û6ÉHÞdÙ6ç6Ù6Ù ρ = π ◦ π Ù6Ê¿ÎhÎhÊ ρ : 2 → 2 Ù X

i

Y

a

i

−1

²

−1

−1

X

³

X

²

A ⊆ B ⊆ X =⇒ ρ(A) ⊆ ρ(B).

N ³

ÆhÉ0Ú0Ô Õ{Ù6È(Ç0ÎhÜ6ÎhÆsÛ6Ü6ÎDÒÆ~Ç3Å Ì=Ý6î<ÇÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç Å(ÏAÒ6Ì=ÝÐAÉHÇ0É0Ü6Ô Ð2Ìî Ã6ÎhÈ6Ù6Î ð É0Ú0Ü=Å3åÅHÎ~Ç0Æ^Ý Ü=Å × ÎhÈ6Æ~Ç × É ã äÅHÐ6Ù6ÎÊ¿È6ÉKÓ Î~Æ~× Ç × ÅSÈ=Å3ÞdÔ × ÅHî<Ç0Æ^Ý × á ± º ¯± ·¹~·=¬ ¼ º Ø{³ × ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý,ÏAÉ0È6Ù × È6ÎhÐAÉHÇ0É3× í Ü6É0ÊôÜ6ÉdÒÎsÝ × Ì=Ý6î<Ç0Æ^Ý ~È6ÎhÛ6ÉdÒ × Ù(Ó"È6Ô Ê¿ÙÇ0É0Ã6Ð2ÅHÊ¿Ù ~ÉHÇ0É0Ú0Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù(Ý ρ ã &¡&¢0£¢¤8¢A¥&¦8¢ @¨§ é· ±d» ¹h«~¬ µH± H ⊆ X · ¼B´ ¸ µ3¼ ¹~¬ «^Àéá ± º ¯± ·¹~·=¬ ± Φ ¹h« ¶³:µ ¸ ¯±^¶ ·2À ¹~¬ «^À °A¼0µ ¹~·«~¬ µH± H = π (π(H)) ½ ê ÉÇ0ÎhÉ0Ü6ÎhÊ¿Î ã ð Ê¿È6ÉKÓ Î~Æ~Ç × É H ⊆ X Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý ÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç0É0Õ × Ç0É0Ê ÙFÇ0É3Ìë0ÐAÉ × Ç0É0Ê ÆDÌ=Í2Ã=ÅHÎHÏ&Ð2É0ÑÒ²Å H = π (B) Û6Ü6Ù È6ÎhÐ2ÉHÇ0É0Ü6É0Ê B ⊆ Y ã Ç0ÆhîuÒ²Å × ÔÇ0ÎhÐ2ÅHÎ~ÇBÏ8Ã(Ç0É π (π(A)) Ý × Ì=Ý6Î~Ç0ÆeÝ"È=ÅHÙ6Ê¿ÎhÈ6ë ÎhÕ Û6É × Ð2Ìî Ã6ÎhÈ6Ù6î Ð2É0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç0É0Õ,Ï2ÆhÉdÒÎhÜÓÅBåÎhÕ A ⊆ X ã Ú0ÉHÞdÈ=ÅBÃ6Ù6Ê Ö~ÇHÍÈ=ÅHÙ6Ê¿ÎhÈ6ë OÍ2îÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(ÇHÍ ñ ^

²

´\

¶µ

³

)\

¸·

d

(

−1

n

c`

c`

¦^

−1

³

²

U^

A

A = π −1 (π(A)).

mæ É0Ü6ÊÍdÌÙ6Ü(ÍÎhÊ È6ÎhÆhÐAÉ3Ìë0Ð2ÉÆ × É0Õ6Æ~Ç × Ð2É0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç × × Ù2ÒÎmÛ6Ü6ÎDÒ6ÌÉKÓÎhÈ6Ù6Õ ã ¡&¢0£8¤ ¢A¥&¦&¢ @¨§©O¹ ° ¹h«h¹ ¹~· ³ ¹ ¯3°²±K³(´HµH±^¶ · ± « ±BµH± áª ¯ · ± «~¬ ³ á ± º ¯± ·¹~·=¬ À µh¶ À¹~¬ «^À á ± º ¯± ·¹~·=¬ ± ²½ [

¹

−1

¦Uº

gµ

d

b

d

t

O P O P(QSRTURWVX YZRT

6¢¤ @ã6ì ÎhÕ6Æ~Ç × Ù(Ç0ÎDÌ²ë0È6É6ÏÛ(Í0Æ~Ç0ë ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý Φãê É Æ × É0Õ6Æ~Ç × Í Ù(Þ Ù6Ê¿ÎhÎhÊ K¡¢E£'¤

¦¥ §W¤¨K

n

H=

\

N

{Hλ , λ ∈ Λ} i

Hλ =

\



π −1 (π(Hλ )) = π −1 

ÆhÉ × É0Ð(Í2Û6È6É0Æ~Ç0ë{ÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç{ÆhÉ3í [



π(Hλ ) ,

ÇHÅHÐÃ(Ç0É6Ï=Û6É Ç0ÎhÉ0Ü6ÎhÊ¿Î ã ð Ï H Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^ÝGÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç0É0Õ ã vÞéÛ6Ü6ÎDÒ6ÌÉKÓÎhÈ6Ù(Ý ã ð ÔÇ0ÎhÐ2ÅHÎ~ÇBÏÃ(Ç0É Ê¿ÉKÓ"È6É ÑhÉ É0Ü6Ù(Ç0ëFÉFÈ=ÅHÙ6Ê¿ÎhÈ6ë ÎhÕàÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç0ÎHÏ Ð(ÅHÐÛ6ÎhÜ6ÎhÆhÎhÃ6ÎhÈ=Ù6Ù × ÆhÎ Ø Ð2É0Ê¿× Û6É0È6ÎhÈ(ÇÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý Φ ã × È=Å(Ï6É0Ã6Î × Ù2ÒÈ6É6Ï=ÆhÉ × Û=ÅBÒ²ÅHÎDÇ"Æ π (Y ) ÙÈ=Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0Æ^Ý â¹~·=¬ °²± º ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù(Ý ã ¡&¢0£8¤ ¢A¥&¦&¢ @¨ X À µh¶ À¹~¬ «^À · ¼H³ ó ±¶ ¹ á ± º ¯± ·¹~·=¬ ± Φ ½ 6¢¤ ÔÇ0ÎhÐ2ÅHÎ~ÇÙ(ÞSÆhÉ0ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù(Ý X = π (∅) ÙÇ0ÎhÉ0Ü6ÎhÊ¿Ô ã ð0ã × ¿ÆDÌÙ H Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý Ð2ÉHÊÛ6ÉHÈ6ÎhÈ(Ç0É0Õ Φ Ï¿Ç0É H = π(H) ÚHÍdÒÎ~ÇBÏuÉHÃ6Î × Ù2ÒÈ6É6ÏJÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç0É0Õ ·¹~· ¹º ã Ú0ÉHÞdÈ=ÅKÃ6Ù É0È=Å:È=Å3ÞdÔ ÅHÎ~Ç0Æ^Ý ÆhÉ É0Ð(Í2Û6È6É0Æ~Ç0ë ÆhÎ ÐAÉ0Ê8í Φ Û6É0È6ÎhÈ(ÇÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0× Æ~Ç × Ù(Ý ΦÁ3±KÏ=¯È6±^Î~¶ Ç0Ü(ÍKÒ³È6É"ÞKÅHHÊ¿Î~Ç0Ù(Çë(ÏÃ(Ç0É"Æ~× ÍAÓKÎhÈ6Ù6⊆Î 2π È=Å K× Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý × × ÞKÅHØ Ù6Ê¿È6É3í ÉKÒÈ6ÉHÞdÈ=ÅKÃ6È6Ô ÊÉHÇ0É0Ú0Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù6ÎhÊ K È=Å K Ï3É0Ú0Ü=Å3Ç0È6Ô ÊÐÐ2ÉHÇ0É0Ü6É0ÊÍSÝ × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^ÝÆ~ÍAÓÎhÈ6Ù6Î π È=Å K ã sÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç3Å È=Å3ÞdÔ ÅHÎ~Ç0Æ^Ý µ · ± Ï&ÎhÆDÌÙ Ò6Ì=ÝFÈ6ÎhÐ2ÉHÇ0É0Ü6ÉHÑhÉÖDÌÎ~ÊÎ~È(ÇHÅ x ∈ X ÆhÛ6Ü=Å × ÎDÒ6ÌÙ × É H =H{x}∈ KÏ2Û6Ü6Ù{Ö~Ç0É0Ê× H = π¶¼0(π(x)) Ï2Ù{ÑhÉ × É0ÜÝ(ÇBÏ(Ã(Ç0ÉÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç3Å H Û6É0Ü6ÉBÓ í ÒÎhÈ=ÅSÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(ÇÉ0Ê x ã ¿ÆDÌÙÊÅHÐAÆhÙ6ÊÅBÌë0È=Å3ÝÐ2É0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç3Å X Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^ÝÑÌ²Å × È6É0Õ,ÏÇ0ÉOÛ6É0Ü6ÉKÓ Ò²ÅBí î<åÙ6ÕÎhÎÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(ÇÈ=Å3ÞdÔ × ÅHÎ~Ç0ÆeÝ ¹ ÁB³ · ³ â¹ ã É0Û6É0Æ~Ç3Å × Ì=Ý(ÝÖDÌÎ~ÊÎ~È(Ç0Í x ∈ X Û6É0Ü6ÉKÓ ÒÎhÈ6È(Í2î Ù6ÊÑÌ²Å × È(Í2î Ð2É0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(ÇHÍ π (π(x)) ÏÛ6É3Ì=Í2Ã=ÅHÎhÊÉHÇ0É0Ú0Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù6ÎÙ(Þ X × K ÏÈ=Å3ÞdÔ × ÅHÎhÊ¿É0Î á ¼ · ± · ³ ¹h«~á ³ ºsã S ÅHÛ6É0Ê¿È6Ù6Ê Ï Ã(Ç0É ¬· ¹~· ¹º È=Å Ê¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç Î È=Å3ÞdÔ ÅHÎ~Ç0Æ^ÝàÌî Ú0É0ÎÛ6ÉdÒÊ¿È6ÉKÓ ÎDí Æ~Ç × É R ⊆ X × X ÒÎhÐ2± ÅHÜ(Ç0±É × ÅÛ6³ Ü6É0Ù(Þ R× ÎDÒÎhÈ6Ù(Ý X È=Å"×ÆhÎhÚBÝXã,ê É0Ö~Ç0É0× ÊÍGÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù(ÝÝ × Ì=Ý6î<Ç0Æ^Ý Ã=ÅHÆ~Ç0È6Ô ÊÆDÌ=Í2Ã=ÅHÎhÊÄÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6ÕMÛ6Ü6ÙFÆhÉ × Û=ÅBÒÎhÈ6Ù6Ù É0Ú3Ì²ÅHÆ~Ç0ÎhÕ ÉHÇ0Û6Ü=Å × ÌÎhÈ6Ù(ÝFÙFÛ6Ü6Ù6Ú0ÔÇ0Ù(Ý ñ ã è8ÅHÆhÆhÊ¿ÉHÇ0Ü6Ù6Ê*ÆhÉdÒÎhÜÓÅ3Ç0ÎDÌë0È6Ô ÕÆhÊ¿Ô ÆDÌ ×0× ÎDÒÎhÈ6È6Ô Ø Û6É0È(Ý(Ç0Ù6Õ{È=ÅOÛ6Ü6Ù6Ê¿ÎhÜ6ÎsÉHÇ0È6É ÎDí Y =X È6Ù6Õ ã È=ÅKÃ=ÅBÌ²ÅéÍ2Ð2Å3ÓÎhÊÈ6ÎhÐAÉHÇ0É0Ü6Ô ÎÉ0ÚHåÙ6Î{Æ × É0Õ6Æ~Ç × Å:ÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Ù6Õ,Ï¿Ð(ÅHÐ ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6Õ R È=Å Ê¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × Î X ã ð0ã R ⊆ X × X ÆhÙ6Ê¿Ê¿Î~Ç0Ü6Ù6Ã6È6ÉÇ0É0Ñ^Ò²Å ÙÇ0É3Ìë0ÐAÉ Ç0É0ÑÒ²Å(ÏÐAÉ0ÑÒ²Å R = R ã ã R ⊆ X × X Ç0Ü=ÅHÈ(ÞdÙ(Ç0Ù × È6ÉÇ0É0Ñ^Ò²Å ÙÇ0É3Ìë0ÐAÉ Ç0É0ÑÒ²Å(ÏÐAÉ0ÑÒ²Å R ◦ R ⊆ R ã ã R ⊆ X × X Ü6ÎhævÌÎhÐAÆhÙ × È6ÉÇ0É0ÑÒ²ÅÙ{Ç0É3Ìë0Ð2ÉÇ0É0Ñ^Ò²Å(Ï=ÐAÉ0Ñ^Ò²Å R ⊇ I ã ã R ⊆ X × X ÅHÈ(Ç0Ù6ÆhÙ6Ê¿Ê¿Î~Ç0Ü=Ù6Ã6È6ÉÇ0É0Ñ^Ò²Å ÙÇ0É3Ìë0ÐAÉ Ç0É0ÑÒ²Å(ÏÐAÉ0ÑÒ²Å R ∩ R ⊆ I ã λ∈Λ

λ∈Λ

n

»

λ∈Λ

`

q

^

¦Uº

¹

K¡¢E£'¤

gµ 5

¼

¦¥ §W¤¨K

dc

c`

n

0

^

d

−1

−1

−1

Φ

X

Φ

Φ

−1

Φ−1

Φ−1

a

Φ

d

−1

d

[

−1

Φ

(b

½

x¾}

ÄÃ NÅ

h

1}¿¾À

=±

Á

1±

Â{

¼

c`

c`

[

c`

−1

N

n

q

X

−1

X

j RWRk*TUX*kV*kTWlEm Æ1ÇÈ

u

É´ÊË=ÌÍÏÎ¢ËÑÐ=Î°Ò Ó=ÔÕÐ=ÔÖ$×zÎ¢ËÑÊË=ÌØ ÊÐ

ê ÍÆ~Ç0ë ∼) Ê¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × ÉÆ ÞKÅBÒ²ÅHÈ6È6Ô Ê*È=ÅOÈ6ÎhÊ*ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6ÎhÊôÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ,Ï6Ç0ÉÎhÆ~Ç0ë6Ï ÆhÙ6Ê¿Ê¿Î~Ç0(X, Ü6Ù6Ã=È6Ô Ê Ï(Ü6ÎhævÌÎhÐAÆhÙ × È6Ô Ê ÏAÇ0Ü=ÅHÈ(ÞdÙ(ÇÙ × È6Ô Ê ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6ÎdÊ ãHì Ì=Ý ÍKÒÉ0Ú0Æ~Ç × ÅSÈ=ÅHÜÝ2Ò=Í ÆmÆhÙ6Ê × É3ÌÉ0Ê ∼ ÚHÍKÒÎhÊ*Ù6ÆhÛ6É3ÌëHÞdÉ × Å3Ç0ëÒ6Ì=ÝÖ~Ç0É0ÑhÉÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù(ÝGÉ0Ú0ÉHÞdÈ=ÅKÃ6ÎhÈ6Ù6Î R ã=ê ÉÆ × É0Õ6Æ~Ç × Í ð Ù(Þ É0Ú0Ü=Å3Ç0È6É0Î ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6Î ÆhÉ Û=ÅBÒ²ÅHÎ~ÇÆ Ï,Û6É0Ö~Ç0É0ÊÍ:É0Ú0Ü=Å3Ç0È=Å3ÝÛ6É3Ì=Ý6Ü=Å{ÆhÉ Û=ÅBÒ²ÅHÎ~Ç ÆÛ6ÜÝ6Ê¿É0Õ ñ π = π ã È=ÅBÃ6ÎhÈ6Ù6RÎÛ6É3Ì=Ý6× Ü6Ô π È=ÅÉdRÒÈ6ÉHÇ0É0Ã6ÎhÃ6È6É0Ê Ê¿È6ÉBÓÎhÆ~Ç × Î {x} Ý ×× Ì=Ý6Î~Ç0ÆeÝ Ð2Ì²ÅHÆhÆhÉ0ÊàÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ K(x) Ï²ÆhÉdÒÎhÜAÓ Å3åÙ6Ê.ÞKÅBÒ²ÅHÈ6È(Í2îÇ0É0Ã6Ð(Í ã ¿ÆDÌÙ:Ê¿È6ÉKÓ ÎhÆ~Ç × É A ⊆ ç6ÎDÌÙ6ÐAÉ0ÊôÆhÉdÒÎhÜÓ"Ù(Ç0ÆeÝ × È6ÎhÐAÉHÇ0É0Ü6É0ÊôÐ2Ì²ÅHÆhÆhÎmÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ C ∈ X/R Ï(Ç0É π(A) = C ã X ¿ÆDÌÙ"ÓÎ × A × Æ~Ç0Ü6ÎhÃ=Å3î<ÇÆeÝ Ø ÉHÇKÝ"Ú0Ô*Ò × ÎÇ0É0Ã6Ð6Ù"Ù(Þ Ü=Å3Þ~ÌÙ6Ã6È6Ô Ø Ð2Ì²ÅHÆhÆhÉ × ÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ,Ï Ç0É π(A) = ∅ ã äÅHÐ6Ù6ÊÉ0Ú0Ü=Å3ÞdÉ0Ê ÏÞdÈ=ÅKÃ6ÎhÈ6Ù(Ý6Ê¿ÙôÛ6É3Ì=Ý6Ü6Ô π Ò6Ì=Ý R Ê¿É0Ñ~ÍAÇ ÆDÌ=ÍAÓ"Ù(Ç0ëÇ0É3Ìë0ÐAÉ Û(ÍÆ~Ç0É0ÎSÊ¿È6ÉKÓ ÎhÆ~Ç × É ÙÐ2Ì²ÅHÆhÆhÔËÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~Ç0Ù ã Ì²ÅHÆhÆhÔÄÖhÐ Ù ÅBÌÎhÈ(Ç0È6ÉHÆ~ÇÙ Ý Ì=Ý6î<Ç0Æ^Ý,ÏÉ0Ã6Î Ù2ÒÈ6É6Ï²Ù:ÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç3ÅHÊ¿Ù ã=ì Ì=Ý Ç0Ü6Ù × Ù=ÅBÌë0È6É0ÑhÉ*× ÉHÇ0× È6É ÎhÈ6Ù(ÝÖhÐ × CÙ × ∈ÅBÌX/R ÎhÈ(Ç0È6É0Æ~× ÇÙ R = X × × X Ï × ÆhÎÖeÌÎhÊ¿ÎhÈ(ÇÔ X ÖhRÐ × Ù × ÅBí ÌÎhÈ(Ç0È6Ô ÒÜ(Í2Ñ{ÒÜ(Í2Ñ~Í X Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý ÎDÒÙ6È6Æ~Ç × ÎhÈ6È6ÔÊïÐ2Ì²ÅHÆhÆhÉ0Ê ÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~Ç0Ù>ÏuÅ:Ç3ÅHÐ(Ó Î ÊÅHÐ2ÆhÙ6ÊÅBÌë0È6É0ÕÙÊ¿Ù6È6Ù6ÊÅBÌë0È6É0Õ Ù,ÏÆDÌÎDÒÉ × Å3Ç0ÎDÌë0È6É6Ï2ÎDÒÙ6È6Æ~Ç × ÎhÈ6È6É0Õ ÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç0É0Õ R ã Ç3Å Ð2É0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç3Å Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý.ÑÌ²Å × È6É0Õ,ÏuÅ ÎDÒÙ6È6Ù6ç6ÎhÕàÊ¿ÉKÓÎ~ÇFÆDÌ=ÍAÓ"Ù(Ç0ë Ìî Ú0É0Õ ÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(Ç x ∈ X ã ì Ì=Ý"Ìî Ú0É0ÑhÉÈ6Î~Ç0Ü6Ù × Ù=ÅBÌë0È6É0ÑhÉ ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù(ÝÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ R Ê¿Ù6È6Ù6ÊÅBÌë0È6É0Õ{Ð2É0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ2í Ç0É0Õ ç6ÎhÈ(Ç0Ü6É0Ê Ý × Ì=Ý6Î~Ç0Æ^Ý ∅ ÏKÊÅHÐ2ÆhÙ6ÊÅBÌë0È6É0Õ X Ï3Å × ÆhÎuÉ0Æ~Ç3ÅBÌë0È6Ô ÎuÐ2É0Ê¿Û6É0È6Î~È(Ç0ÔMÆhÉ × Û=ÅBÒ²ÅHî<Ç ÆÐAÌ²ÅHÆhÆdÅHÊ¿ÙÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ,Ï>ÙéÝ × Ì=Ý6î<Ç0Æ^Ý:Ñ^Ì²Å × È6ÔÊÙ Û6É0Ü6ÉBÓ Ò²ÅHî<åÙ6Ê.Ê¿ÉBÓÎ~Ç{ÆDÌ=ÍAÓ"Ù(Ç0ë Ìî Ú0É0ÕÖDÌÎhÊ¿ÎhÈ(ÇÙ(ÞSÆhÉ0ÉHÇ × Î~Ç0Æ~Ç × Í(î<åÎdÑhÉ"Ð2Ì²ÅHÆhÆdÅ ÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~ÇÙ ã ê É0È(Ý(Ç0Ù6ÎÐ2ÅHÈ6É0È6Ù6Ã6ÎhÆhÐAÉ0ÑhÉ ÉHÇ0É0Ú0Ü=Å3ÓÎhÈ6Ù(Ý ÆhÊ ã Ù(Þ X × æSÅHÐ(Ç0É0Ü2íÿÊ¿È6ÉKÓ ÎhÆ~Ç × É X/R ÆhÉ × Û=ÅBÒ²ÅHÎ~Ç × ÆDÌ=Í2Ã=ÅHÎSÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù(ÝGÖhÐ × Ù × ÅBÌÎhÈ(Ç0È6É0Æ~Ç0ÙéÆmÉdÒÈ6É0Ù6Ê¿ÎhÈ6È6Ô Ê Û6É0È(Ý(Ç0Ù6ÎhÊ Ù(Þ ã c`

i

c`

ÙÃ NÅ

c`

c` −1 ©

r

−1

a

c`

²

³

³

²

UÚ

c`

³

²

i

c`

Æ1Ç@Û

Ã NÅ ³

²

q

É´ÊË=ÌÍÏÎ¢ËÑÐ=Î¸Ü=ÌÕÝ_Þ_ßzÓ1Ö

ê ÍÆ~Ç0ë (X, ≤) Í2Û6É0ÜÝ2ÒÉ0Ã6ÎhÈ6È6É0ÎéÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × É6ÏÇ0ÉFÎhÆ~Ç0ë6ÏuÊ¿È6ÉKÓÎhÆ~Ç × ÉFÆÞKÅBÒ²ÅHÈ6È6Ô ÊÈ=ÅÈ6ÎhÊ ÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù6ÎhÊ.Û6É0ÜÝ2ÒÐ(Å ã(ì Ì=Ý x, y ∈ X É0Û6Ü6ÎDÒÎDÌÙ6Ê Û6É0ÜÝ2ÒÐ2É × Ô ÎmÉHÇ0Ü6Î~ÞdÐ6Ù ñ i

c`

Ã NÅ

(←, x] = {z ∈ X| z ≤ x},

sÆhÈ6É6Ï=Ã(Ç0É × ~Ö Ç0É0ÊôÆDÌ=Í2Ã=ÅHÎ

[x, →) = {z ∈ X| x ≤ z}.

à

π(x) = Φ(x) = [x, →),

π −1 (x) = Φ−1 (x) = (←, x],

x ∈ X.

ì =Ì ÝÉ0Ú0Ô Ã6È6É0ÑhÉsÛ6É0ÜÝ2ÒÐ(Å È=Å × Î~åÎhÆ~Ç × ÎhÈ=È6É0Õ Û6ÜAÝ6Ê¿É0ÕÇ0É3Ìë0ÐAÉvÇ3ÅHÐ6Ù6Î ÉHÇ0Ü6Î~ÞdÐ6Ù É0Ú0ÉHÞdÈ=ÅKÃ=ÅHÎhÊ¿Ô Î Ù Ù:Ê¿É0Ñ~ÍAÇÚ0ÔÇ0ëÐAÉ0Ê¿Û6É0È6ÎhÈ(Ç3ÅHÊ¿ÙÉHÇ0È6É ÎhÈ6Ù(ÝÛ6É0ÜÝ2ÒÐ2Å ã Â ×ÆDÌ=Ö~Í2Ç0Ã=É0ÅHÊàÎvÃ=ÆDÌ=Å3Í2Æ~Ç0Ã=Ù6ÅHÃ6Î È6(−∞, É0ÑhÉÛ6É0x]ÜÝ2ÒÐ2[x,Å ∞)× ÉHÞdÊ¿ÉKÓ"È6Ô × ÅHÜ6Ù=ÅHÈ(Ç0Ô 3ÏAÜ=Å3ÞdÉ0Ú0Ü=Å3Ç0ë0ÆeÝ × ÐAÉHÇ0É0Ü6Ô Ø Ã6Ù(ÇHÅ3Ç0ÎDÌî Û6Ü6ÎDÒ6Ì²ÅHÑ~ÅHÎ~Ç0Æ^ÝéÆdÅHÊ¿É0Æ~Ç0ÉKÝ(Ç0ÎDÌë0È6É ÆhÊ ã Í2Û6Ü=Å3Ó"È6ÎhÈ6Ù6Î ã Dã &¡ ¥&¢A¥&¦&¢ ,¨§ ¸ µ ¹h«~¬ ³ ß ±° ºsª ¶ ª Á~¶ À ± ó °A¼ ¹~· ³ À á ± º ¯±h´3³ â ³=³ « ±B± ¬ µ ¹~¬ «~¬ µ3³ µ á ± ¬ ±°²± (Φ ◦ Ψ) µ ¸ °A¼3» ¼ ¹~¬ «^À ¹ ° ¹ ´ Φ ³ Ψ « ¯± º ± ±K¯ ¹ °A¼ â ³=³ á ± º ¯±h´3³ â ³=³²½ &¡ ¥&¢A¥&¦&¢ ,¨ {± á ¼B´3¼ ¬{« µH± «~¬ µ3¼ « ±B± ¬ µ ¹~¬ «~¬ µ3³ 0® ³(´ ½ &¡ ¥&¢A¥&¦&¢ ,¨ {± á ¼B´3¼ ¬{« µH± «~¬ µ3¼"¯±¶ À ° ¸ 0® ³(´ 2½ ³

c`

á\

\ t r ³

²

â

ãä¯}|zåæ±

Eº

ç

è

d

1±

Â{

¸é

−1

ç

Eº

è 5

ç

Eº

è 5

²

b

d

d

−1

−1

(dëê ì

ê Uí

(d

f

ïî

~ê

v

O P O P(QSRTURWVX YZRT

&¡ &¥ ¢A¥&¦&¢ &¡ &¥ ¢A¥&¦&¢ «~¬ (x , x ) ¼ 2¼

,¨ {± á ¼B´3¼ ¬{« µH± «~¬ µ3¼± ¬· ± ¹~· ³ 0® é³(´ ,¨ Ä©SªA«~¬ X = R e¶ ¹ºm¹~·=¬¸ X ¯H° ¹ Á «~¬ ¼0µh¶ À ¬ «^À ¯=¼D°A¼ º ³µ3³=ÁB¼ ³ ·=¸ :¯±° À Á3± á· ¼ X ´3¼HÁB¼ ·« ±B± ¬· ± ¹~· ³ À2º ³

ç

Eº

è ðµ

ç

Eº

è 5ó

1

~b 2

(b

¼

d

2

(dëê *ñ

áò

f

¼

d

x=

x ≤ y ⇐⇒ x1 ≤ y1 , x2 ≤ y2 .

ò ¯=³ « ¼ ¬{« ±BµH± áª ¯ · ± «~¬ µ «h¹ á ± º ¯± ·¹~·=¬ ¬ ± D± ¯±° À Á á ¼½ u Gv m ð ð ¯±° À Á3± ¹~·=·=¸¹ µ ¹~á¬ ±° ·=¸¹ ¯H°²± «~¬ °A¼ · «~¬ µ3¼ ã É × É0ÆhÙ6Ú0Ù6Ü6ÆhÐ ñ ÅdÍ2Ð(Å(Ï Æ ã

ð Ç0È6É ÎhÈ6Ù(Ý ãO¹~áâ ³ À Á~¶ À«~¬ª Á ¹~·=¬ ±Bµ! ½ sÜ=ÅHÆhÈ6ÉKÝ6Ü6ÆhÐ,Ï ð Æ ã #Ï "%$&$(' *ñ ))+,-.²ã ,#+/&-10,ã /&23)547698 $ 2/&69:hã "%$(;=<> 694

]¯

ôõy

ú

h

N

û$üZû

1}| Ñö~}¿

Ã ÅS÷ ø$ùúû$ü|ýþ ÿÂþ

Ã NÅ

nWtWv

h

úû$ü

÷áþ ÷áþ

²

N

þ

³¦^

c`

þ

²

u v ³

(

b

a

Our partners will collect data and use cookies for ad personalization and measurement. Learn how we and our ad partner Google, collect and use data. Agree & close