Математический анализ: Рабочая программа дисциплины

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ

¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÓÒÂÅÐÆÄÀÞ

Ðàññìîòðåíî è ðåêîìåíäîâàíî

Íà çàñåäàíèè êàôåäðû ÒÔ è ÔÀ ÐÃÓ Ïðîòîêîë 2005ã. Çàâ.êàôåäðîé

Äåêàí ôàêóëüòåòà (çàì. äåêàíà ïî ó÷åáíîé ðàáîòå) 2005ã.

Ó×ÅÁÍÎ-ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÎÌÏËÅÊÑ ó÷åáíîé äèñöèïëèíû ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ âóçîâñêîãî êîìïîíåíòà öèêëà ÎÏÄ ïî ñïåöèàëüíîñòè 010500 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà êâàëèôèêàöèè è íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè 010501 Ìàòåìàòèê, ñèñòåìíûé ïðîãðàììèñò

Ñîñòàâèòåëè: Â.Å.Êîâàëü÷óê, Ï.À.×àëîâ

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2005 1

Ðàáî÷àÿ ïðîãðàììà ïî äèñöèïëèíå Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç

äëÿ ñòóäåíòîâ äíåâíîãî îòäåëåíèÿ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ñïåöèàëüíîñòè 010500 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà êâàëèôèêàöèè è íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè 010501 Ìàòåìàòèê, ñèñòåìíûé ïðîãðàììèñò Ñîãëàñíî ãîñóäàðñòâåííîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ñòàíäàðòà âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îò 23 ìàðòà 2000 ãîäà íà èçó÷åíèå äèñöèïëèíû "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"îòâåäåíî 816 ÷àñîâ (204 ÷àñà ëåêöèîííûå + 204 ÷àñà ïðàêòè÷åñêèå àóäèòîðíûå çàíÿòèÿ + 408 ÷àñîâ ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà) â òå÷åíèå ÷åòûðåõ ñåìåñòðîâ è ïðåäóñìîòðåíû ñëåäóþùèå ôîðìû îò÷åòíîñòè: 4 ýêçàìåíà, 4 çà÷åòà è 8 êîíòðîëüíûõ ðàáîò.

Öåëü è çàäà÷è êóðñà Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç  îáùåîáðàçîâàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, îáúåêòîì èçó÷åíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ áîëüøàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííàÿ ñ ïîíÿòèÿìè ôóíêöèè, ïðîèçâîäíîé è èíòåãðàëà. Öåëü äèñöèïëèíû "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç îçíàêîìëåíèå ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí ïîñðåäñòâîì àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ, îñíîâó êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ â äàííîé äèñöèïëèíå ÿâëÿþòñÿ ïðåæäå âñåãî ôóíêöèè. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû êàê çàêîíû ïðèðîäû, òàê è ðàçíîîáðàçíûå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â òåõíèêå. Îòñþäà îáúåêòèâíàÿ âàæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà êàê ñðåäñòâà èçó÷åíèÿ ôóíêöèé. Äèñöèïëèíà "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"îòðàæàåò âàæíîå íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.  íåé ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìåòîäàìè âû÷èñëåíèé, ÷òî âàæíî äëÿ ñòóäåíòîâ ýòîé ñïåöèàëüíîñòè.

2

1

Òåîðåòè÷åñêàÿ (ëåêöèîííàÿ) ÷àñòü

204 ÷àñà àóä. çàíÿòèÿ + 204 ÷àñà ñàì. ðàáîòà, îò÷åòíîñòè  4 ýêçàìåíà

1.1

Ïåðâûé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)

I. Ââåäåíèå (2 ÷àñà) Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Åñòåñòâîçíàíèå, êàê èñòî÷íèê îñíîâíûõ ïîíÿòèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îáùåå ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ôóíêöèè. Èíúåêòèâíîå, ñþðúåêòèâíîå, áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèÿ. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé. Ïîíÿòèå îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïðîñòåéøèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ãðàôèê ôóíêöèè. Ãðàôèêè ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. II. Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (4 ÷àñà) Ìíîæåñòâî ÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ áåñêîíå÷íûìè äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè, è åãî óïîðÿäî÷åííîñòü. Ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îãðàíè÷åííûå ñâåðõó, ñíèçó. Òî÷íûå ãðàíè ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû ìíîæåñòâà. Òî÷íûå ãðàíè êîíå÷íûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íûõ ãðàíåé ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà è èõ òî÷íûå ãðàíè. Ïëîòíîñòü êîíå÷íî-äåñÿòè÷íûõ ÷èñåë. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè è èõ êîððåêòíîñòü. Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà. Òåîðåìû îá îáúåäèíåíèè êîíå÷íûõ (ñ÷åòíûõ) ìíîæåñòâ. Ñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà. Íåñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà òî÷åê èíòåðâàëà (0; 1). III. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (9 ÷àñîâ) ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îêðåñòíîñòü, ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè. Ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà. Îãðàíè÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñâÿçü ìåæäó ñõîäèìîñòüþ è îãðàíè÷åííîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â íåðàâåíñòâàõ. Ïðèíöèï äâóñòîðîííåãî îãðàíè÷åíèÿ. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ñõîäÿùèìèñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñâÿçü ìåæäó íèìè. Ðàñøè˙ è R. ¯ ðåíèÿ îáëàñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåîðåìà î ïðåäåëå ìîíîòîííîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðèìåðû ìîíîòîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: ¶ µ 1 cn a , n ∈ N (a > 0). xn = , n ∈ N (c > 0); xn+1 = xn + n! 2 xn Áèíîì Íüþòîíà. Ñòÿãèâàþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåãìåíòîâ; òåîðåìà Êàíòîðà. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ñâîéñòâà. Êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òåðìèíàõ âåðõíåãî è íèæíåãî ïðåäåëîâ. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà ÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà. ×àñòè÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. 3

Ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. IV. Ïðåäåë (ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå) ôóíêöèè â òî÷êå (4 ÷àñà) Ïðåäåëüíûå è èçîëèðîâàííûå òî÷êè, òî÷êè ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå ïî Êîøè è ïî Ãåéíå; èõ ýêâèâàëåíòíîñòü. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà. Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ôóíêöèÿìè, èìåþùèìè ïðåäåë. Ïåðâûé è âòîðîé çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû. Ìîíîòîííûå è ñòðîãî ìîíîòîííûå ôóíêöèè. Ñóùåñòâîâàíèå îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ó ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Áåñêîíå÷íî áîëüøèå è áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè. Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ (áåñêîíå÷íî áîëüøèõ) ôóíêöèé. Ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè. Ñèìâîëû î, O∗ è Î. V. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè (5 ÷àñîâ) Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå (îïðåäåëåíèÿ Êîøè è Ãåéíå). Îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè. Êëàññèôèêàöèÿ ðàçðûâîâ. Òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ïåðâàÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëü ïðè ñìåíå çíàêîâ; å¼ ïðèìåíåíèå ê ðåøåíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Âòîðàÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè. Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèè. Òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â èõ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ:

loga (1 + x) ; x→0 x lim

ax − 1 ; x→0 x lim

(1 + x)µ − 1 . x→0 x lim

Äâå òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå ôóíêöèè. VI. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå (4 ÷àñà) Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ðàçíîñòíàÿ ôîðìà óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè â òî÷êå. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ñâÿçü äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ñ ñóùåñòâîâàíèåì ïðîèçâîäíîé. Íåïðåðûâíîñòü äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè â òî÷êå. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå è åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè è å¼ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè. Ïðîèçâîäíûå ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ïðîèçâîäíàÿ ñòåïåííî-ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè. VII. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ ÷èñëîâîé ôóíêöèè (2 ÷àñ) Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ ÷èñëîâîé ôóíêöèè âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî. Òåîðåìà Ëåéáíèöà. Ïàðàìåòðè÷åñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå. VIII. Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé (11 ÷àñîâ) 4

Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèè â òî÷êå. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì. Òåîðåìû Ôåðìà, Ðîëëÿ, Ëàãðàíæà, Êîøè. Ïîñòîÿíñòâî ôóíêöèè, èìåþùåé íà èíòåðâàëå ðàâíóþ íóëþ ïðîèçâîäíóþ. Êðèòåðèé ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ. 0 ∞ Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé âèäà è . 0 ∞ Ôîðìóëà Òåéëîðà. Îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà â îáùåé ôîðìå, â ôîðìå Ëàãðàíæà, Êîøè è Ïåàíî. Îöåíêà îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà. Ðàçëîæåíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà è èõ ïðèëîæåíèÿ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè â òî÷êå. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ñåãìåíòå. Âûïóêëûå ôóíêöèè. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Êðèòåðèè âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòðîãîé âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè. Àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè. Êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ íàêëîííîé àñèìïòîòû. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè. IX. Îñíîâíûå òåîðåìû î ôóíêöèÿõ, íåïðåðûâíûõ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå (5 ÷àñîâ) Ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Òåîðåìà Êàíòîðà. Îòêðûòûå ìíîæåñòâà; êðèòåðèé îòêðûòîñòè ìíîæåñòâà. Êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà. Ëåììà Ãåéíå-Áîðåëÿ äëÿ ñåãìåíòà. Ëåììà Ãåéíå-Áîðåëÿ äëÿ çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà. Êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà â R. X. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë (5 ÷àñîâ) Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè. Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Íåêîòîðûå êëàññû ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.

1.2

Âòîðîé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)

I. Èíòåãðàë Ðèìàíà (10 ÷àñîâ) Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà (òåîðåìà Äàðáó). Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ðèìàíà. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé è îò ôóíêöèé îïðåäåë¼ííûõ íà íåîãðàíè÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. II. Ãåîìåòðè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà (6 ÷àñîâ) Äëèíà äóãè êðèâîé. Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû. Âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. III. Ïðîñòðàíñòâî Rn (4 ÷àñà) Ëèíåéíûå îïåðàöèè, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ìåòðèêà. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà n R . Ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè. Ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ñâîéñòâà. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ìíîæåñòâà. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà. 5

IV. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà G(⊂ Rn ) â Rm (3 ÷àñà) Ñêàëÿðíûå è âåêòîðíûå ôóíêöèè îäíîãî è íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ãðàôèê ôóíêöèè. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Ïîâòîðíûå ïðåäåëû. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå. Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà. Ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè; òåîðåìà Êàíòîðà. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. Íîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ïîíÿòèå î ïîëèëèíåéíûõ ôîðìàõ. V. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé (10 ÷àñîâ) ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé è èõ âû÷èñëåíèå. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèé íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ â òî÷êå. Ñâÿçü äèôôåðåíöèðóåìîñòè ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé ñ ñóùåñòâîâàíèåì ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà. Òåîðåìà Ëàãðàíæà äëÿ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ãðàäèåíò. VI. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ (3 ÷àñà) ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé. VII. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì (3 ÷àñà) Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì ñêàëÿðíîé ôóíêöèè íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà â òåðìèíàõ ïåðâîãî è âòîðîãî äèôôåðåíöèàëîâ. VIII. Íåÿâíûå ôóíêöèè (5 ÷àñîâ) Çàäà÷à î ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé. Íåÿâíûå ôóíêöèè. Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, äèôôåðåíöèðóåìîñòè íåÿâíûõ ôóíêöèé. Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ íåÿâíûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè. IX. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì (4 ÷àñà) Ïîíÿòèå îá óñëîâíîì ýêñòðåìóìå. Ìåòîä Ëàãðàíæà. Îáùàÿ ñõåìà îòûñêàíèÿ íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. X. Ñèñòåìû ôóíêöèé (3 ÷àñà) Òåîðåìû î çàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé.

1.3

Òðåòèé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)

I. ×èñëîâûå ðÿäû (8 ÷àñîâ) ×èñëîâîé ðÿä. ×àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà. Ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû. ×èñëîâûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Êðèòåðèé (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå) ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä. Ðàñõîäèìîñòü ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà è Êîøè. Ïðèëîæåíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Î ïåðåñòàíîâêå ÷ëåíîâ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè. Ïðèçíàêè Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû (18 ÷àñîâ)

6

Îïðåäåëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäà. Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Âåéåðøòðàññà, Àáåëÿ, Äèðèõëå è Äèíè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Íåïðåðûâíîñòü ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñóììû ðÿäà. Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Òåîðåìà Àáåëÿ. Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìíîãî÷ëåíàìè (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà îá àïïðîêñèìàöèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìíîãî÷ëåíàìè). III. Êðàòíûå èíòåãðàëû (14 ÷àñîâ) Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ êðàòíîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà. Îïðåäåëåíèå n-êðàòíîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà ïî n-ìåðíîìó ïðÿìîóãîëüíèêó. Âåðõíèé è íèæíèé èíòåãðàëû Äàðáó. Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè ïî n-ìåðíîìó ïðÿìîóãîëüíèêó. Ìíîæåñòâà íóëåâîãî îáú¼ìà è íóëåâîé ìåðû. Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà ïî ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè â Rn . Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Îñíîâíûå ñâîéñòâà êðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó (òåîðåìà Ôóáèíè). Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ôóáèíè ê âû÷èñëåíèþ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â n-êðàòíîì èíòåãðàëå. IV. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (3 ÷àñà) Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè. Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëû. Îáùàÿ ñõåìà ïðèìåíåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ Ðèìàíà â ãåîìåòðèè, ìåõàíèêå è ôèçèêå. V. Ðÿäû Ôóðüå (8 ÷àñîâ) Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ðÿäû Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíûì ñèñòåìàì. Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ. Çàìêíóòûå è ïîëíûå îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà è å¼ çàìêíóòîñòü. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå. Ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè è ñõîäèìîñòè â òî÷êå. Ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè. Óñëîâèÿ ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïîíÿòèå î êðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäàõ Ôóðüå.

1.4

×åòâåðòûé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)

I. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà (9 ÷àñîâ) Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü; êðèòåðèé Êîøè. Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Èíòåãðàëû Ýéëåðà-Ïóàññîíà è Äèðèõëå. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Èíòåãðàëû Ýéëåðà (ãàììà- è áåòà-ôóíêöèè); èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà. II. Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî (26 ÷àñîâ) 7

Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ðàñøèðåííàÿ êîìˆ . Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. ïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C Ôóíêöèè îäíîé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíîñòü â òî÷êå òî÷êè ðàçðûâà. Ïðîñòåéøåå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî (ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, ïîêàçàòåëüíàÿ è ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèè, ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì îòîáðàæåíèÿ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Òåîðåìà Êîøè. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé â îäíîñâÿçíûõ è ìíîãîñâÿçíûõ îáëàñòÿõ. Èíòåãðàë Êîøè è èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè. Èíòåãðàë òèïà Êîøè. Òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäàõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè è èõ ðàçëîæåíèå â ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû. Ñâîéñòâà ìàêñèìóìà àíàëèòè÷åñêèõ è ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè îäíîçíà÷íîãî õàðàêòåðà àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé è èõ êëàññèôèêàöèÿ. Íóëè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ðÿä Ëîðàíà. Ïîâåäåíèå ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè. Âû÷åòû è îñíîâíàÿ òåîðåìà î âû÷åòàõ. Ïðèìåíåíèå òåîðèè âû÷åòîâ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâ. Ëåììà Æîðäàíà. Ïðèíöèï àðãóìåíòà è åãî ïðèìåíåíèå. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè. Ïîíÿòèå ïîëíîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Òî÷êè ðàçâåòâëåíèÿ. Îäíîëèñòíûå ôóíêöèè. Îáðàùåíèå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. III. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà (16 ÷àñîâ) Ìåðà Ëåáåãà íà ïðÿìîé è â Rn . Èçìåðèìûå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà è èõ ñâîéñòâà. Ñâîéñòâà ìåðû Ëåáåãà. Ïðèìåðû èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Èçìåðèìûå ôóíêöèè. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó è ñõîäèìîñòü ïî ìåðå; ñâÿçü ìåæäó íèìè. Àëãåáðà è σ -àëãåáðà ìíîæåñòâ, σ -àääèòèâíûå ìåðû. Ïðîñòûå ôóíêöèè. Èíòåãðàë Ëåáåãà è åãî ñâîéñòâà. Òåîðåìû Ëåáåãà, Ëåâè è Ôàòó î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà Ëåáåãà. Èíòåãðàë Ëåáåãà íà ïðÿìîé è â ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñâÿçü èíòåãðàëà Ëåáåãà ñ èíòåãðàëîì Ðèìàíà. Ìåðà Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Èíòåãðàë Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà Lp è èõ ïîëíîòà. Ïëîòíîñòü â Lp ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà Ôóáèíè.

2

Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü

204 ÷àñà àóä. çàíÿòèÿ + 204 ÷àñà ñàì. ðàáîòà, îò÷åòíîñòè  8 êîíòðîëüíûõ ðàáîò, 4 çà÷åòà

2.1

Ïåðâûé ñåìåñòð

51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 8

1. Ââåäåíèå. Ôóíêöèÿ: îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü èçìåíåíèÿ. Ãðàôèêè ôóíêöèé â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé è ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèé. (4 ÷àñà) 2. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îãðàíè÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×àñòè÷íûå ïðåäåëû. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû. (8 ÷àñîâ) 3. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè. Ïðåäåë (ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå) è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè. Ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû. Ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè, ñèìâîëû Ëàíäàó. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè è òî÷êè ðàçðûâà. (10 ÷àñîâ) 4. Äèôôåðåíöèðîâàíèå. Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè è íåÿâíî. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. (10 ÷àñîâ) 5. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé. (3 ÷àñà) 6. Ôîðìóëà Òåéëîðà. Ôîðìóëû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà. Ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì è ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. (8 ÷àñîâ) 7. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ ïðîèçâîäíîé. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ñåãìåíòå. Òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ. (8 ÷àñîâ)

2.2

Âòîðîé ñåìåñòð

51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè. Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíîñòåé. (20 ÷àñîâ) 2. Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ê âû÷èñëåíèþ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð è äëèí äóã ïëîñêèõ è ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ. Âû÷èñëåíèå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. (10 ÷àñîâ) 3. Ñêàëÿðíûå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé è èõ âû÷èñëåíèå. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â äèôôåðåíöèàëüíûõ âûðàæåíèÿõ. Ëîêàëüíûé è óñëîâíûé ýêñòðåìóìû. Ìåòîä Ëàãðàíæà. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé ôóíêöèé. (23 ÷àñà)

2.3

Òðåòèé ñåìåñòð

51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 1. ×èñëîâûå ðÿäû. Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà è Êîøè. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèëîæåíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. (8 ÷àñîâ) 2. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû. Ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü, îáëàñòü ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëü9

íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Âåéåðøòðàññà, Àáåëÿ, Äèðèõëå è Äèíè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. 3. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííîé ðÿä. Ñóììèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ. (10 ÷àñîâ) 4. Êðàòíûå èíòåãðàëû. Ñâåäåíèå êðàòíîãî (äâîéíîãî è òðîéíîãî) èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå. Ïîëÿðíàÿ, öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ. (20 ÷àñîâ) 5. Ðÿäû Ôóðüå. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ðÿä Ôóðüå. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâ Ôóðüå. (5 ÷àñîâ)

2.4

×åòâåðòûé ñåìåñòð

51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 1. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû. Ñõîäèìîñòü, ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ 1-ãî è 2-ãî ðîäà. (4 ÷àñà) 2. Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó. (8 ÷àñîâ) 3. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü. Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó. Èíòåãðàëû Ýéëåðà-Ïóàññîíà, Äèðèõëå, Ëàïëàñà. Èíòåãðàëû Ýéëåðà (ãàììà- è áåòà-ôóíêöèè). (16 ÷àñîâ) 4. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíîñòü â òî÷êå òî÷êè ðàçðûâà. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà. Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Òåîðåìà Êîøè. Èíòåãðàë Êîøè è èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè. Èíòåãðàë òèïà Êîøè. Ðÿä Ëîðàíà. Ðàçëîæåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè îäíîçíà÷íîãî õàðàêòåðà àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé è èõ êëàññèôèêàöèÿ. Âû÷åòû. Âû÷èñëåíèå âû÷åòîâ. Ïðèìåíåíèå òåîðèè âû÷åòîâ ê âû÷èñëåíèþ íåêîòîðûõ òèïîâ îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèíöèï àðãóìåíòà è åãî ïðèìåíåíèå. (23 ÷àñà)

Îáÿçàòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà

1. Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1971, 1973. 2. Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, Ì.:Íàóêà, 1979. 3. Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òîìà I,II,III, Ì.:Íàóêà, 1969, 1962, 1969. 4. Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîìà I,II, Ì.:Íàóêà, 1968. 5. À.Ã.Ñâåøíèêîâ, À.Í.Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. 6. À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. 7. Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961.

10

8. Ë.È. Âîëêîâûñêèé, Ã.Ë. Ëóíö, È.Ã. Àðàìàíîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.:Íàóêà, 1970.

Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà

1. Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1981, 1984. 2. Ó. Ðóäèí, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Ì.:Ìèð, 1966. 3. È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1983, 1985. 4. Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî. ×àñòè 1-2, Ì.:Íàóêà, 1969. 5. È.Ï. Íàòàíñîí, Òåîðèÿ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. 6. Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. 7. Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåë¼â, Ã.È. Ìàêàðåíêî, Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ... Ì.:Íàóêà, 1971. 8. È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, Ã.Ï. Ãîëîâà÷, Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1978, 1979. 9. Â.À. Çíàìåíñêèé, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Âåùåñòâåííûå ÷èñëà. ×àñòü I, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1990. 10. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Âåùåñòâåííûå ÷èñëà. ×àñòè 2,3,4, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1992. 11. Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 12. Â.À. Çíàìåíñêèé, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×àñòü II, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 13. Â.À. Çíàìåíñêèé, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1991. 14. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. ×àñòè I, II. Ìåòîäè÷åñêèå ðàçðàáîòêè äëÿ I êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 15. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. Îïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâà, âû÷èñëåíèå. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1985. 16. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ. Âû÷èñëåíèå äëèí äóã êðèâîé, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1985. 17. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë (îïðåäåëåíèå, ñóùåñòâîâàíèå, ñâîéñòâà). Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, Ðîñòîâ-íàÄîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 18. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. (âû÷èñëåíèå), Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 19. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. (ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ), Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 20. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòü I, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 21. Â.Ï. Çàõàðþòà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòü II. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984.

11

22. Â.Ï. Çàõàðþòà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòü III, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 23. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòè 1,2,3, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1995. 24. È.Á. Ñèìîíåíêî, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Çàìåíà ïåðåìåííûõ â âûðàæåíèÿõ, ñîäåðæàùèõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. ×àñòè I, II, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1980. 25. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå ×èñëîâûå ðÿäû. ×àñòè I, II, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 26. Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Ïðèëîæåíèÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 27. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Êðàòíûé èíòåãðàë. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 2000. 28. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Í.Í. Ðîæàíñêàÿ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ðÿäû Ôóðüå. ×àñòè 1,2, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 29. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Í.Í. Ðîæàíñêàÿ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ðÿäû è èíòåãðàëû Ôóðüå. ×àñòü 3, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 30. Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû, ñóììèðîâàíèå ðÿäîâ, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1982. 31. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, À.Â. Àáàíèí, Î.Â. Åïèôàíîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ñòåïåííûå ðÿäû è ðÿäû Ëîðàíà. Îñîáûå òî÷êè, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 32. Â.Â. Ìîðæàêîâ, Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Þ.À. Êèðþòåíêî, Î.Â. Åïèôàíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Âû÷èñëåíèå îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ òåîðèè âû÷åòîâ, Ðîñòîâíà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1979. 33. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Þ.À. Êèðþòåíêî, Â.Â. Ìîðæàêîâ, Í.Í. Ðîæàíñêàÿ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Âû÷åòû è èõ ïðèëîæåíèÿ ê âû÷èñëåíèþ îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 34. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà. ×àñòè 1,2,3, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1994.

12