Уравнения математической физики (пространства Соболева): Методические разработки курса лекций

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet mehaniko-matemati~eskij fakulxtet kafedra differencialxnyh urawnenij

metodi~eskie razrabotki kursa lekcij

urawneniq matemati~eskoj fiziki (PROSTRANSTWA sOBOLEWA)

kazanx { 2000

uTWERVDENO NA ZASEDANII KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pROTOKOL 4 OT 19.11.98. sOSTAWITELI:

DOCENTY sALEHOW l.g., bIK^ANTAEW i.a.

dANNYE RAZRABOTKI SLOVILISX NA OSNOWE SPECKURSOW, PRO^ITANNYH STUDENTAM, SPECIALIZIRU@]IHSQ PO KAFEDRE DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, A TAKVE SLUATELQM INVENERNOGO POTOKA I fpk. w NIH RASSMATRIWA@TSQ \LEMENTY PROSTRANSTW sOBOLEWA I TEOREMY WLOVENIQ. sOHRANQETSQ SIMWOLIKA PREDYDU]IH IZDANIJ 1986, 1987 I 1999 GODOW. rAZRABOTKI MOGUT SLUVITX OSNOWOJ KURSA LEKCIJ uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, SPECKURSA ILI SPECSEMINARA DLQ WTOROJ STUPENI UNIWERSITETSKOGO OBRAZOWANIQ (MAGISTRY). oNI MOGUT BYTX POLEZNY PRI RABOTE NAD KURSOWYMI I DIPLOMNYMI RABOTAMI, KAK DLQ STUDENTOW, TAK I DLQ SLUATELEJ fpk.

c kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET 2000

pROSTRANSTWA sOBOLEWA.

w NAI CELI NE WHODIT IZLOVENIE TEORII PROSTRANSTW sOBOLEWA WO WSEJ EE POLNOTE. wWEDEM OSNOWNYE PONQTIQ I PREDLOVENIQ, KOTORYH BUDET DOSTATO^NO DLQ ISSLEDOWANIQ NEKOTORYH ZADA^. nEKOTORYE PREDLOVENIQ BUDUT DOKAZANY, DRUGIE PRIMEM BEZ DOKAZATELXSTWA, OGRANI^IWISX SSYLKAMI NA IZWESTNU@ LITERATURU. w DALXNEJEM DLQ KRATKOSTI PISXMA I QZYKA NE BUDEM DELATX RAZLI^IQ MEVDU FUNKCIEJ I KLASSOM FUNKCIJ, K KOTOROMU ONA PRINADLEVIT.

H (), GDE  2 Z. pUSTX  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ Rn, GDE n | NATURALXNOE ^ISLO. pERE^ISLIM OSNOWNYE SWOJSTWA PROSTRANSTW H ()  2 Z. 10): pROSTRANSTWA H k (), GDE k | CELOE NEOTRICATELXNOE ^ISLO. a) oPREDELENIE . ~EREZ H k () OBOZNA^A@T MNOVESTWO FUNKCIJ, OPREDELENNYH NA , ^ASTNYE PROIZWODNYE KOTORYH (W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ) PORQDKOW NE WYE k QWLQ@TSQ FUNKCIQMI, INTEGRIRUEMYMI S KWADRATOM MODULQ (PO MERE lEBEGA) NA . N.B. tAKIE FUNKCII NAZYWA@T E]E FUNKCIQMI, IME@]IMI OBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA PORQDKA NE WYE k. o^EWIDNO, ^TO H k () ESTX PODPROSTRANSTWO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA L2(). b) gILXBERTOWA STRUKTURA. wEKTORNOE PROSTRANSTWO H k () MOVNO SNABDITX SKALQRNYM PROIZI.

WEDENIEM

pROSTRANSTWA

(ujv)k :=

X

(DujDv)

jj6k

GDE SIMWOL (:j:) OBOZNA^AET SKALQRNOE PROIZWEDENIE W L2(). dALEE H k () SNABVA@T NORMOJ, POROVDAEMOJ WWEDENNYM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM: kuk2k := (uju)k . sNABVENNOE SKALQRNYM PROIZWEDENIEM I NORMOJ PROSTRANSTWO H k () STANOWITSQ PREDGILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM. tEOREMA. sNABVENNOE UKAZANNOJ PREDGILXBERTOWOJ STRUKTUROJ PROSTRANSTWO H k () QWLQETSQ POLNYM TO ESTX GILXBERTOWYM PRO STRANSTWOM ,

.

3

-

pUSTX (uj )j2N | POSLEDOWATELXNOSTX kOI PO k TOPOLOGII H (). tOGDA DLQ L@BOGO MULXTIINDEKSA  N, TAKOGO, ^TO dOKAZATELXSTWO.

jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX

2

(Duj )j2N

ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI PO TOPOLOGII L2(). nO PROSTRANSTWO L2(), PO IZWESTNOJ TEOREME rISSA-fIERA, QWLQETSQ POLNYM, PO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K \LEMENTU u 2 L2() PO TOPOLOGII L2(). aNALOGI^NO, DLQ L@BOGO  2 Nn , TAKOGO, ^TO jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX (Duj )j2N SHODITSQ K \LEMENTU W 2 L2() PO TOPOLOGII L2(). dALEE, IZWESTNO, ^TO TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA L2() BOLEE TONKAQ (SILXNEE), ^EM SLABAQ DUALXNAQ TOPOLOGIQ, INDUCIRUEMAQ NA L2() IZ D0 (). pO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u I PO TOPOLOGII D0 (). nAPOMNIM, ^TO D0 () OZNA^AET PROSTRANSTWO D0 (), SNABVENNOE SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. dALEE, OPERATOR D QWLQETSQ NEPRERYWNYM IZ D0 () W D0 (), PO\TOMU (Duj )j2N SHODITSQ K Du PO TOPOLOGII D0 (). nO, TAK KAK TOPOLOGIQ W D0 () QWLQETSQ OTDELIMOJ (HAUSDORFOWOJ), TO OTS@DA WYTEKAET, ^TO W = Du  2 Nn  jj 6 k. iTAK, OKON^ATELXNO, DLQ L@BOGO  2 Nn TAKOGO, ^TO jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX (Duj )2N SHODITSQ K Du 2 L2() PO TOPOLOGII L2() INA^E GOWORQ, POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA H k (). c) pLOTNOSTX D(Rn) W H k (Rn). tEOREMA. pROSTRANSTWO D(Rn), RASSMATRIWAEMOE KAK PODPROSTRANSTWO H k (Rn), QWLQETSQ PLOTNYM W H k (Rn), TO ESTX 8u 2 H k (Rn) I 8" > 0 SU]ESTWUET '" 2 D(Rn) TAKOE, ^TO supp '"  (supp u)" I k'" ; ukk 6 ", GDE (supp u)" ESTX "-OKRESTNOSTX DLQ supp u. dOKAZATELXSTWO. oNO PROWODITSQ S POMO]X@ SREZKI I REGULQRIZACII. 1) sREZKA. pOKAVEM, ^TO H k (Rn) \ E 0(Rn) PLOTNO W H k (Rn). rASSMOTRIM USEKA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX ( j )  D(Rn), TO ESTX 0 6 j (x) 6 1 x 2 Rn j = 1 NA OKRESTNOSTI j , GDE SEMEJSTWO (j ) IS^ERPYWAET Rn. tAKAQ POSLEDOWATELXNOSTX SU]ESTWUET W SILU LEMMY OB OTDELIMOSTI TIPA uRYSONA. tOGDA 8u 2 H k (Rn) I 8j 2 N FUNKCIQ uj = u j QWLQETSQ \LEMENTOM IZ H k (Rn) \ E 0(Rn), PRI^EM supp uj  supp u. pOKAVEM, ^TO u ESTX PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI (uj )j2N PO TOPOLOGII 4

H k (Rn). dEJSTWITELXNO, W SILU TEOREMY lEBEGA O DOMINIRU@]EJ SHODIMOSTI, POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2(Rn). dALEE, @ (u ) = u @ j + @u  j = 1 2 : : :  n @x j @x @x j i

i

i

I TA VE TEOREMA lEBEGA WLE^ET SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI (@uj =@xi )j2N K @u=@xi PO TOPOLOGII L2(Rn). aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO DLQ L@BOGO  2 Nn , TAKOGO, ^TO jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX (Duj )j2N SHODITSQ K Du PO TOPOLOGII L2(Rn). 2) rEGULQRIZACIQ. pOKAVEM, ^TO D(Rn) PLOTNO W H k (Rn) \E 0(Rn). pUSTX ( j )j2N | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX W D(Rn). tOGDA DLQ WSQKOJ u 2 H k (Rn) \ E 0 (Rn) RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX EE REGULQRIZACIJ (uj = j  u). w SILU TEOREMY O REGULQRIZACII, uj 2 D(Rn) I supp uj  (supp u)"j , PRI^EM POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2(Rn). a TAK KAK Duj = j  Du (jj 6 k) TO POSLEDOWATELXNOSTX D(uj )j2N SHODITSQ K Du PO TOPOLOGII L2(Rn). 20) pROSTRANSTWA H0k (). a) oPREDELENIE. pROSTRANSTWOM H0k () NAZYWAETSQ ZAMYKANIE D() W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H k (). sNABVENNOE PREDGILXBERTOWOJ STRUKTUROJ, INDUCIROWANNOJ IZ k H (), PROSTRANSTWO H0k () STANOWITSQ, O^EWIDNO, GILXBERTOWYM. b) oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE DLQ H0k () W H k (). tEOREMA. oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE DLQ H0k () W H k () ESTX MNOVESTWO TAKIH FUNKCIJ IZ H k (), KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@-

]EMU URAWNENI@ W ^ASTNYH PROIZWODNYH: X jj 2 (;1) D u = 0: jj6k

dOKAZATELXSTWO. |LEMENT u 2 H k () ORTOGONALEN K H0k (), ESLI

I TOLXKO ESLI u ORTOGONALEN K D(), W SILU PLOTNOSTI D() W H0k (). nO DLQ L@BOGO ' 2 D() I L@BOGO u 2 H k () IMEEM: (uj')k = 0 ()

X

j

(Du D') = 0

jj6k

()

X jj6k

()

XD

jj6k

(;1)jjD2u = 0: 5

(;

1)jjD2u '

E

=0

N.B. iZ DOKAZANNOGO, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE DLQ H00() W H 0() ESTX NULX INA^E GOWORQ, D() PLOTNO W H 0() = L2(). 30). pROSTRANSTWA H ;k () k 2 N. a) oPREDELENIE. dUALXNOE (SOPRQVENNOE) PROSTRANSTWO K PROSTRANSTWU H0k () NAZYWA@T PROSTRANSTWOM H ;k (). iZWESTNO, ^TO KOGDA PROSTRANSTWO X NORMIROWANO, TO SOPRQVENNOE (DUALXNOE) K NEMU PROSTRANSTWO X 0 POLNO. pOD^ERKNEM, ^TO \TO UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO NEZAWISIMO OT TOGO, POLNO ILI NET PROSTRANSTWO X (SM. 2], STR. 172 { 173). tEPERX SNABDIM PROSTRANSTWO H ;k () NORMOJ. pUSTX L 2 H ;k (). tOGDA NORMA kLk;k := sup fj hL ui j, GDE u 2 H0k () TAKAQ, ^TO kukk 6 1g. pO\TOMU H ;k () STANOWITSQ POLNYM NORMIROWANNYM PROSTRANSTWOM, TO ESTX BANAHOWYM PROSTRANSTWOM. tAK KAK WLOVENIE D() W H0k () NEPRERYWNO I PLOTNO, TO W SILU TEOREMY O KANONI^ESKOM WLOVENII DUALXNYH PROSTRANSTW 4], H ;k ()  D0 (). nAPOMNIM TAKVE, ^TO DLQ TOGO, ^TOBY OBOB]ENNAQ FUNKCIQ T BYLA \LEMENTOM IZ H ;k (), NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA NEPRERYWNA NA D() PO TOPOLOGII, INDUCIROWANNOJ IZ H k (). b) tEOREMA OB IZOMORFIZME. oPERATOR

X

jj6k

(;1)jjD2

OTOBRAVAET H0k () NA H ;k () I QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM (GOWORQT E]E KANONI^ESKIM) H0k () NA H ;k (). dOKAZATELXSTWO. pUSTX g 2 H k (). pOLOVIM X jj 2 T = (;1) D g: jj6k

pOKAVEM, ^TO T ESTX \LEMENT IZ H ;k (). dLQ L@BOGO ' IZ D() IMEEM:

hT 'i =

X

jj6k

(D'jDg) = ('jg)k :

sLEDOWATELXNO, LINEJNYJ FUNKCIONAL T NEPRERYWEN NA D(), SNABVENNOM TOPOLOGIEJ IZ H k (). a TOGDA T 2 H ;k () I, KROME TOGO, hT ui = (ujg)k  8u 2 H0k (), TO ESTX kT k;k = kgkk , ESLI g 2 H0k (). 6

oSTAETSQ POKAZATX, ^TO OBRAZ H0k () PRI OTOBRAVENII

X

jj6k

(;1)jjD2

SOWPADAET S H ;k (). pUSTX L | LINEJNYJ FUNKCIONAL, NEPRERYWNYJ NA H0k (). sOGLASNO TEOREME rISSA O PREDSTAWLENII NEPRERYWNOGO LINEJNOGO FUNKCIONALA, SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ \LEMENT g 2 H0k () TAKOJ, ^TO

hL ui = (ujg)k  u 2 H0k ():

pUSTX T | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCIONALU L, INA^E GOWORQ, T ESTX SUVENIE L NA D(). tOGDA 8' 2 D() IMEEM:

hT 'i = hL 'i = ('jg)k =

X

jj6k

oTS@DA SLEDUET, ^TO T=

(D'jDg) =

X jj6k

*X

+

(;1)jjD2g ' :

jj6k

(;1)jjD2g:

sLEDSTWIE. pROSTRANSTWO D() PLOTNO W H ;k () dOKAZATELXSTWO. kANONI^ESKAQ IZOMETRIQ

X

(;1)jjD2 : H0k () NA H ;k ()

jj6k

OTOBRAVAET, O^EWIDNO, D() W SEBQ. nO OBRAZ PLOTNOGO MNOVESTWA W NEKOTOROM MNOVESTWE PRI S@R_EKTIWNOJ IZOMETRII QWLQETSQ PLOTNYM MNOVESTWOM. oTKUDA I WYTEKAET SLEDSTWIE. c) tEOREMA O STRUKTURE \LEMENTA IZ H ;k (). oBOB]ENNAQ FUN KCIQ T NA  ESTX \LEMENT IZ H ;k () TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA ONA QWLQETSQ KONE^NOJ SUMMOJ PROIZWODNYH PORQDKOW NE WYE k OT FUNKCIJ PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2() dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX -

,

,

.

T=

X

jj6k 7

D  f 

GDE f 2 L2(). tOGDA DLQ L@BOGO ' 2 D() IMEEM:

hT 'i = oTKUDA

X

jj6k

hf (;

i=

1)D'

X

(;1)jj(fjD'):

jj6k

0 1 X j hT 'i j 6 @ kfk0A k'kk  jj6k

TO ESTX T NEPRERYWEN NA D() PO TOPOLOGII H k () PO\TOMU T 2

H ;k (). 2) oBRATNO, PUSTX T 2 H ;k (). tOGDA, SOGLASNO TEOREME OB IZOMORFIZME, SU]ESTWUET g 2 H0k () TAKOJ, ^TO T=

X

(;1)jjD2g:

jj6k

pOLAGAQ f = (;1)jjDg, IMEEM: T = Pjj6k Df . II.

pROSTRANSTWA L2s (Rn).

pUSTX s 2 R.

10) oPREDELENIE. ~EREZ L2s (Rn) OBOZNA^IM MNOVESTWO FUNKCIJ f ,

IZMERIMYH I TAKIH, ^TO

Z

Rn

jf ( )j2(1 + j j2)sd < 1:

o^EWIDNO, L2s (Rn) QWLQETSQ WEKTORNYM PROSTRANSTWOM. sNABVAQ EGO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM: (f jg)L2s :=

Z

Rn

f ( )g( )(1 + j j2)s d

I NORMOJ, POROVDAEMOJ \TIM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM, POLU^IM PREDGILXBERTOWO PROSTRANSTWO. 20) sWOJSTWA. a) pOLNOTA L2s (Rn). 8

tEOREMA. pREDGILXBERTOWY PROSTRANSTWA L2s (Rn) QWLQ@TSQ POL-

NYMI (TO ESTX GILXBERTOWYMI) I IZOMETRI^NO IZOMORFNYMI. oTOBRAVENIE f 7! (1 + jxj2)s=2f PREOBRAZUET IZOMETRI^NO L2r+s (Rn) NA L2r (Rn). dOKAZATELXSTWO. pUSTX s 2 R: rASSMOTRIM OTOBRAVENIE f 7! (1+ 2 s=2 jxj ) f IZ D0 (Rn) W D0(Rn). o^EWIDNO, ONO PREOBRAZUET IZOMETRI^NO PROSTRANSTWO L2r+s (Rn) NA L2r (Rn) DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA r. sLEDOWATELXNO, PROSTRANSTWA L2s (Rn) WSE IZOMORFNY. a POSKOLXKU L20(Rn) = L2(Rn) QWLQETSQ GILXBERTOWYM, TO WSE PROSTRANSTWA L2s (Rn) QWLQ@TSQ GILXBERTOWYMI. b) wLOVENIE S W L2s (Rn). tEOREMA. dLQ L@BOGO s 2 R PROSTRANSTWO S (Rn) KANONI^ESKI WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO L2s (Rn). kANONI^ESKOE WLOVENIE S (Rn) W L2s (Rn) QWLQETSQ NEPRERYWNYM I PLOTNYM, TO ESTX S  L2s I S = L2s : dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX f 2 S (Rn). tAK KAK (1 + jxj2)s=2 ESTX \LEMENT IZ M (Rn), GDE M (Rn) | PROSTRANSTWO MULXTIPLIKATOROW DLQ S (Rn), TO FUNKCIQ f (1 + jxj2)s=2 ESTX \LEMENT IZ S (Rn), A ZNA^IT I IZ L2(Rn). nO TOGDA f ESTX \LEMENT IZ L2s (Rn). 2) eSTESTWENNOE (KANONI^ESKOE) WLOVENIE S (Rn) W L2s (Rn) SOSTOIT IZ TREH NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ: a) UMNOVENIQ NA (1+ jxj2)s=2, KOTOROE NEPRERYWNO OTOBRAVAET S (Rn) W S (Rn). b) NEPRERYWNOGO WLOVENIQ S (Rn) W L2(Rn), TO ESTX S (Rn)  L2(Rn). c) UMNOVENIQ NA (1 + jxj2);s=2, KOTOROE NEPRERYWNO OTOBRAVAET L2(Rn) W L2s (Rn). sLEDOWATELXNO, S (Rn)  L2s (Rn). 3) pLOTNOSTX VE S (Rn) W L2s (Rn) WYTEKAET IZ TREH PREDLOVENIJ: a) S (Rn) PLOTNO W L2(Rn). b) UMNOVENIE NA (1 + jxj2);s=2 PREOBRAZUET S (Rn) W S (Rn). c) \TO VE UMNOVENIE PREOBRAZUET IZOMETRI^NO L2(Rn) NA L2s (Rn). c) wLOVENIE L2s (Rn) W S 0 (Rn). tEOREMA. dLQ L@BOGO s 2 R IMEEM: 2 n 0 n 1) pROSTRANSTWO Ls (R ) WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO S (R ). 2 n 0 n 2) sILXNOE DUALXNOE DLQ Ls (R ) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W S (R ), SNABVENNOE SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ, I OTOVDESTWLQETSQ S GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM L2;s (Rn). 9

dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX f 2 L2s (Rn). pOKAVEM, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ f (TO ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ) ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA. dEJSTWITELXNO, W SILU NERAWENSTWA {WARCA, IMEEM: Z jf ( )jd Z jf ( )j(1 + j j2)s=2d = 6 2) n 2) n;s (1 + j

j (1 + j

j Rn Rn 2

2

0Z 11=2 0Z 6 @ jf ( )j2(1 + j j2)sd A @ Rn

Rn

11=2 d A < 1: 2 n

(1 + j j )

2) sOGLASNO TEOREME O KANONI^ESKOM WLOVENII DUALXNYH PROSTRANSTW, SILXNOE DUALXNOE DLQ L2s (Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W S 0 (Rn), IBO WLOVENIE S (Rn) W L2s (Rn) QWLQETSQ NEPRERYWNYM I PLOTNYM. dALEE, TAK KAK UMNOVENIE NA (1+jxj2)s IZOMETRI^ESKI OTOBRAVAET L2s (Rn) NA L2;s(Rn), DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO SILXNOE DUALXNOE DLQ L2s (Rn) OTOVDESTWLQETSQ S L2;s (Rn), DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO \TO SAMOE UMNOVENIE IZOMETRI^ESKI OTOBRAVAET L2s (Rn) NA SWOE SILXNOE DUALXNOE. pUSTX g 2 L2s (Rn). pOLOVIM h = (1 + jxj2)sg. pOKAVEM, ^TO \TA OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA Th QWLQETSQ LINEJNYM FUNKCIONALOM, NEPRERYWNYM NA L2s (Rn). w SAMOM DELE, PUSTX ' 2 S (Rn). iMEEM: D E   2 s 2 s=2 2 s=2 hTh  'i = (1 + jxj ) g ' = (1 + jxj ) g (1 + jxj ) ' = ('jg)L2s : sLEDOWATELXNO, FUNKCIONAL Th NEPRERYWEN NA S (Rn) PO TOPOLOGII L2s (Rn). pO\TOMU Th PRODOLVIM W FUNKCIONAL L, NEPRERYWNYJ NA L2s (Rn). |TOT FUNKCIONAL ZADAETSQ FORMULOJ: hL f i = (f jg)L2s  f 2 L2s (Rn) I, SLEDOWATELXNO, kLk(L2s )0 = kgkL2s : oBRATNO, PUSTX L | LINEJNYJ FUNKCIONAL, NEPRERYWNYJ NA L2s (Rn). sOGLASNO TEOREME O PREDSTAWLENII LINEJNOGO NEPRERYWNOGO FUNKCIONALA W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, SU]ESTWUET \LEMENT g 2 L2s (Rn) TAKOJ, ^TO DLQ L@BOGO f 2 L2s (Rn) IMEEM: hL f i = (f jg)L2s . pUSTX T ESTX SUVENIE L NA S (Rn). tOGDA 8' 2 S (Rn) IMEEM:   hL 'i = hT 'i = ('jg)L2s = (1 + jxj2)sg ' : 10

oTKUDA T = (1 + jxj2)s g.

30) sOOTNOENIE MEVDU H (Rn) I L2 (Rn)  2 Z. tEOREMA. dLQ WSQKOGO  2 Z PREOBRAZOWANIE fURXE ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM PROSTRANSTWA H (Rn) NA PROSTRANSTWO L2 (Rn). dOKAZATELXSTWO. 1) sLU^AJ, KOGDA  = 0. tOGDA SFORMULIROWANNAQ TEOREMA ESTX NI^TO INOE, KAK TEOREMA pLANERELQ-pARSEWALQ W PROSTRANSTWE L2(Rn). 2) sLU^AJ, KOGDA  = k | CELOE I POLOVITELXNOE. pREOBRAZOWANIE fURXE PERESTAWLQET OPERATOR DIFFERENCIROWANIQ D I OPERATOR UMNOVENIQ NA MONOM x ( 2 Nn ). tEOREMA pLANERELQ-pARSEWALQ W \TOM SLU^AE POKAZYWAET, ^TO u ESTX \LEMENT IZ H k (Rn) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO  2 Nn TAKOGO, ^TO jj 6 k, FUNKCIQ xu^ PRINADLEVIT L2(Rn). kROME TOGO, IMEEM:

kukH k = 2

XZ

jj6kRn

j(2 )2j ju^( )j2d :

nO IZWESTNO, ^TO SU]ESTWU@T TAKIE DWE KONSTANTY c1 I c2, ^TO X 2 k c1(1 + j j ) 6 j(2 )2j 6 c2(1 + j j2)k  2 Rn: jj6k

pO\TOMU u 2 H k (Rn), ESLI I TOLXKO ESLI I

Z

(1 + j j2)k=2u^( ) 2 L2(Rn)

Z

c1 (1 + j j2)kju^( )j2d 6 kuk2H k 6 c2 (1 + j j2)k ju^( )j2d : Rn

Rn

3) sLU^AJ, KOGDA  < 0. iZ PUNKTA 2) SLEDUET, ^TO F ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM H k (Rn) NA L2k (Rn) DLQ L@BOGO CELOGO k > 1. sLEDOWATELXNO, TRANSPONIROWANNOE K NEMU OTOBRAVENIE tF ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM SILXNOGO DUALXNOGO K L2k (Rn), TO ESTX L2;k (Rn), NA SILXNOE DUALXNOE K H k (Rn), TO ESTX H ;k (Rn). pO\TOMU (tF );1 ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM H ;k (Rn) NA L2;k (Rn). nO (tF );1 ESTX NI^TO INOE, KAK tF , TO ESTX F . s n III. pROSTRANSTWA H (R ), GDE s 2 R. 10) oPREDELENIE. oBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA NAZYWAETSQ \LEMENTOM IZ H s (Rn), ESLI EE OBRAZ fURXE ESTX \LEMENT IZ 11

L2s (Rn). iNA^E GOWORQ, H s (Rn) :=

fu 2 S

0 (Rn)

Z

j (1 + j j2)sju^( )j2d < 1g: Rn

mNOVESTWO H s (Rn) SNABVA@T SKALQRNYM PROIZWEDENIEM: (ujv)s :=

Z

Rn

u^( )^v( )(1 + j j2)sd

I NORMOJ, POROVDAEMOJ \TIM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:

Z

kuks := ju^( )j2(1 + j j2)sd : 2

Rn

N.B. kOGDA s 2 Z, \TA NORMA \KWIWALENTNA NORME, OPREDELENNOJ RANEE, NO \TI DWE NORMY NE RAWNY. 20) sWOJSTWA PROSTRANSTW H s (Rn). a) tRANSFORMACIQ fURXE PREOBRAZUET IZOMETRI^NO H s (Rn) NA L2s (Rn). |TO SWOJSTWO WYTEKAET IZ SAMOGO OPREDELENIQ PROSTRANSTWA H s(Rn) I TOPOLOGIQ W PROSTRANSTWE H s(Rn) ESTX TOPOLOGIQ, PERENOSIMAQ IZ L2s (Rn) PRI PREOBRAZOWANII fURXE. b) pROSTRANSTWO H s (Rn) QWLQETSQ POLNYM (TO ESTX GILXBERTO-

WYM).

dOKAZATELXSTWO. pUSTX (u ) 2N | POSLEDOWATELXNOSTX kOI W s H (Rn). tOGDA ((1 + 2)s=2u^ ( )) 2N ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI W L2(Rn) I, SLEDOWATELXNO, ((1+ 2)s=2u^ ( )) 2N SHODITSQ W L2(Rn) K FUNKCII f L2(Rn). pOLOVIM g = (1 + 2);s=2f: pOSKOLXKU (1 + 2);s=2 M (Rn), TO g 0 (Rn). pO\TOMU g = u^ DLQ NEKOTOROGO u 0 (Rn). tAK KAK, S DRUGOJ STORONY, f = (1 + 2)s=2g = (1 + 2)s=2u^ L2(Rn), TO u H s(Rn). sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (u ) 2N SHODITSQ K u W H s (Rn).

jj

2

2

2S

jj

jj

jj

jj

2S 2

jj

2

pROSTRANSTWO OBOB]ENNYH FUNKCIJ A  D0 NAZYWA@T NORMALXNYM, ESLI D  A  D0 I D PLOTNO W A. pROSTRANSTWA H s (Rn) QWLQ@TSQ NORMALXNYMI. w DEJSTWITELXNOSTI SPRAWEDLIWO NESKOLXKO BOLXEE. c) S (Rn)  H s (Rn)  S 0 (Rn) I S (Rn) PLOTNO W H s(Rn). 12

dOKAZATELXSTWO. 1)

sWOJSTWO H s(Rn)  S 0 (Rn) SLEDUET IZ OPRE-

DELENIQ PROSTRANSTWA H s (Rn). 2) pUSTX OBOB]ENNYE FUNKCII u STREMQTSQ K NUL@ W H s (Rn). tOGDA (1 + j j2)s=2u^ STREMQTSQ K NUL@ W L2(Rn) I POSKOLXKU L2(Rn)  S 0 (Rn), PRI^EM TOPOLOGIQ L2(Rn) SILXNEE INDUCIROWANNOJ IZ S 0 (Rn), TO (1 + j j2)s=2u^ STREMITSQ K NUL@ W S 0 (Rn). nO (1 + j j2);s=2 2 M (Rn) I TAK KAK UMNOVENIE NA \LEMENT IZ M QWLQETSQ NEPRERYWNYM IZ S 0 (Rn) W S 0 (Rn), TO u^ STREMITSQ K NUL@ W S 0 (Rn). nO TOGDA u STREMITSQ K NUL@ W S 0 (Rn). 3) pUSTX ' 2 S (Rn). tOGDA '^ 2 S (Rn) I POSKOLXKU (1 + j j2)s=2 2 M (Rn), TO (1 + j j2)s=2'^ 2 S (Rn), ^TO OZNA^AET ' 2 H s (Rn), TAK KAK

S (Rn)  L2(Rn).

4) pUSTX ' SHODITSQ K NUL@ W S (Rn). tOGDA '^ TAKVE SHODITSQ K NUL@ W S (Rn), A POSKOLXKU (1 + j j2)s=2 2 M , TO (1 + j j2)s=2'^ SHODITSQ K NUL@ W S (Rn) I TEM BOLEE W L2(Rn). tAKIM OBRAZOM, ' SHODITSQ K NUL@ W H s (Rn). 5) pUSTX u 2 H s (Rn). tOGDA (1 + j j2)s=2u^ 2 L2(Rn). tAK KAK S (Rn) PLOTNO W L2(Rn), TO SU]ESTWUET TAKAQ POSLEDOWATELXNOSTX (  ) 2N  S (Rn), ^TO (  ) 2N SHODITSQ K (1+ j j2)s=2u^. tAK KAK  = (1+ j j2)s=2'^ , PRI^EM '^ 2 S (Rn), TO \LEMENTY ' 2 S (Rn) SHODQTSQ K u W H s (Rn). 0 d) eSLI s 6 s0, TO H s (Rn)  H s(Rn). dOKAZATELXSTWO. o^EWIDNO, (1 + j j2)s=2 6 (1 + j j2)s0=2. iZ TOGO, ^TO (1+j j2)s0=2u^ 2 L2(Rn) NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET, ^TO (1+j j2)s=2u^ 2 L2(Rn) I, SWERH TOGO, kuks 6 kuks0 . w SILU UKAZANNYH SWOJSTW POLU^A-

ETSQ BESKONE^NAQ CEPX PROSTRANSTW

D  S  H s0  H s  S 0  D0 s 6 s0

GDE D PLOTNO W KAVDOM PROSTRANSTWE. pOSKOLXKU H s (Rn) NORMALXNO, TO EGO DUALXNOE QWLQETSQ PROSTRANSTWOM OBOB]ENNYH FUNKCIJ, TO ESTX H s (Rn)]0  D0(Rn). N.B. wAVNO ZAMETITX, ^TO HOTQ H s (Rn) QWLQETSQ GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM, MY NE OTOVDESTWLQEM EGO SO SWOIM DUALXNYM, RASSMATRIWAQ H s (Rn)]0 KAK BANAHOWSKOE SOPRQVENNOE S H s (Rn). sPRAWEDLIWO BOLEE SILXNOE UTWERVDENIE e) H s (Rn)]0  S 0 (Rn).

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK S (Rn) PLOTNO W H s (Rn) I

S (Rn)  H s (Rn), TO PO TEOREME O KANONI^ESKOM WLOVENII DUALXNYH 13

PROSTRANSTW WYTEKAET, ^TO H s (Rn)]0  S 0 (Rn). f) pROSTRANSTWO H s (Rn)]0 DUALXNOE K PROSTRANSTWU H s(Rn) IZO METRI^ESKI IZOMORFNO PROSTRANSTWU H ;s (Rn) TO ESTX H s (Rn)]0 = ,

,

-

,

H ;s (Rn).

dOKAZATELXSTWO.

S 0 (Rn), TO u 2 S 0 (Rn).

pUSTX u 2 H s (Rn)]0 . pOSKOLXKU H s (Rn)]0 

rASSMOTRIM MAKSIMUM WYRAVENIQ ((1 + j j2);s=2u^j )

KOGDA PROBEGAET MNOVESTWO fk kL 6 1g. |TOT MAKSIMUM RAWEN 2

k(1 + j j2);s=2 u^kL = kuk;s : 2

tAK KAK (1+ j j2)s=2 2 M (Rn), TO MOVNO S^ITATX, ^TO = (1+ j j2)s=2'^ , GDE ' 2 S (Rn), PRI^EM USLOWIE k kL 6 1 \KWIWALENTNO k'ks 6 1. sLEDOWATELXNO, ISPOLXZUQ TEOREMU pARSEWALQ, POLU^IM 2

((1 + j j2);s=2u^j ) = ((1 + j j2);s=2u^j(1 + j j2)s=2'^ ) = (^uj'^ ) = (uj'):

dALEE IMEEM:

j(uj')j 6 kukH s(Rn)]0 k'ks 6 kukH s(Rn)]0 : oTKUDA (1 + j j2);s=2 u^ 2 L2(Rn), TO ESTX u 2 H ;s (Rn) I kuk;s 6 kukH s(Rn)]0 : () j(uj')j, TO oBRATNO, PUSTX u 2 H ;s (Rn). tAK KAK kukH ;s(Rn)]0 = kmax 'ks61

DOSTATO^NO OCENITX WYRAVENIE

((1 + j j2);s=2u^j(1 + j j2)s=2'^ )

PRI USLOWII, ^TO ' 2 S (Rn) k'ks 6 1. iMEEM:

j(uj')j = j((1 + j j2);s=2 u^j(1 + j j2)s=2'^ )j 6 k(1 + j j2);s=2u^kL k(1 + j j2)s=2'^kL = kuk;s k'ks  2

2

OTKUDA u 2 H s (Rn)]0 I KROME TOGO

kukH s(Rn)]0 6 kuk;s : 14

()

sLEDOWATELXNO, H s (Rn)]0 = H ;s (Rn) I, U^ITYWAQ OCENKI (*) I (**), IMEEM:

kukH s(Rn)]0 = kuk;s : g) pREOBRAZOWANIE SWERTKA S F (1+ jxj2)s=2] IZOMETRI^ESKI OTOBRA -

VAET PROSTRANSTWO I s IZ R:

H r+s (Rn)

NA PROSTRANSTWO

H r (Rn)

-

DLQ L@BYH r

dOKAZATELXSTWO. pUSTX u 2 H r+s (Rn). tOGDA IMEEM

Z

kuk = ju^( )j (1 + j j 2 r+s

Rn

2

2

)r+sd

Z

= fju^( )j(1 + j j2)s=2g2(1 + j j2)r d : Rn

pOLOVIM v^( ) = u^( )(1 + j j2)s=2. tOGDA v 2 H r (Rn) I kuk2r+s = kvk2r . dALEE, F v = F uFF (1 + j j2)s=2], OTKUDA v = u  F (1 + j j2)s=2] = u 

F (1 + j j2)s=2].

N.B. eSLI s 2 N s, TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ F (1 + jxj2)s ] ESTX NI ^TO ; INOE, KAK 1 ; 4 2 , GDE  | MERA dIRAKA I  | OPERATOR lAPLA2 ;s SA KAK F (1+ j x j ); ] ESTX \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA ;1,;W TO WREMQ ;

]F E = s

s

s . w SAMOM DELE , ESLI 1 ;   E =  , TO F  1 ; 2 2 2 4 4 4 1, OTKUDA (1 + j j2)sF E = 1. sLEDOWATELXNO, E = F (1 + j j2);s ] = F (1 + j j2);s ]. 30): tEOREMY WLOVENIQ s.l.sOBOLEWA. pUSTX X I Y | BANAHOWY PROSTRANSTWA. dALEE, PUSTX WSE \LEMENTY PROSTRANSTWA X PRINADLEVAT TAKVE I PROSTRANSTWU Y . tOGDA GOWORQT, ^TO PROSTRANSTWO X KANONI^ESKI (ESTESTWENNO) WLOVENO (ILI WKLADYWAETSQ) W PROSTRANSTWO Y . oBOZNA^IM ^EREZ I OPERATOR, KOTORYJ L@BOMU \LEMENTU u 2 X STAWIT W SOOTWETSTWIE TOT VE \LEMENT u, NO RASSMATRIWAEMYJ UVE KAK \LEMENT PROSTRANSTWA Y . oPERATOR I NAZYWA@T OPERATOROM (KANONI^ESKOGO) WLOVENIQ PROSTRANSTWA X W PROSTRANSTWO Y . s PODOBNYM OBSTOQTELXSTWOM MY UVE WSTRE^ALISX. nAPRIMER, H k () k 2 N, WKLADYWAETSQ W L2(), TO ESTX H k ()  L2(), NO \TOT FAKT TRIWIALEN, IBO ON SLEDUET IZ SAMOGO OPREDELENIQ PROSTRANSTWA H k (). iNTERES, KONE^NO, PREDSTAWLQ@T NETRIWIALXNYE TEOREMY WLOVENIQ. tEOREMAMI WLOVENIQ PRINQTO NAZYWATX TEOREMY OB OGRANI^ENNOSTI (NEPRERYWNOSTI) OPERATORA WLOVENIQ ILI EGO KOMPAKTNOSTI (WPOLNE NEPRERYWNOSTI). w TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ RASSMATRIWAETSQ, WOOB]E GOWORQ, NE KONKRETNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, A KLASS \KWIWALENTNYH OBOB]ENNYH 15

FUNKCIJ. w ^ASTNOSTI, NEKOTORYJ KLASS OBOB]ENNYH FUNKCIJ MOVET OKAZATXSQ \KWIWALENTNYM NEKOTOROJ KLASSI^ESKOJ NEPRERYWNOJ ILI INTEGRIRUEMOJ FUNKCII, NE BUDU^I RAWNYM EJ (POTO^E^NO). tEOREMY WLOVENIQ GOWORQT O TOM, ^TO, ESLI OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PRINADLEVIT K KAKOMU-TO PROSTRANSTWU sOBOLEWA, TO ONA OKAZYWAETSQ \KWIWALENTNOJ NEKOTOROJ KLASSI^ESKOJ FUNKCII IZ OPREDELENNOGO KLASSA. pOSTAWIM WOPROS O REGULQRNOSTI (GLADKOSTI) \LEMENTOW IZ H s . a) sLU^AJ PROSTRANSTWA Rn. dLQ WSQKOGO k 2 N POLOVIM B0k (Rn) := fu 2 E k (Rn)jDu 2 C0(Rn) jj 6 kg GDE C0(Rn) | PODMNOVESTWO IZ C (Rn), OBRAZOWANNOE IZ FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. gOWORQT, ^TO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (x) OBRA]AETSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI, ESLI I TOLXKO ESLI, DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KOMPAKT K IZ Rn TAKOJ, ^TO ESLI x 2 Rn n K , TO jf (x)j < ". mNOVESTWO C0(Rn) SNABVA@T NORMOJ kf k1 = supn jf (x)j x2R TOGDA C0(Rn) STANOWITSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM. nAPOMNIM, ^TO TOPOLOGIQ W C0(Rn) NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI W Rn.

o^EWIDNO, B0k (Rn) ESTX WEKTORNOE PROSTRANSTWO SNABDIM EGO NORMOJ: pk (u) := sup supn jDu(x)j: jj6k x2R

tEOREMA. pUSTX k 2 N I s 2 R TAKIE, ^TO s > n=2 + k, GDE n |

RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA Rn. tOGDA PROSTRANSTWO H s (Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO B0k (Rn). dOKAZATELXSTWO. 1) rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA k = 0. tO ESTX POKAVEM, ^TO ESLI s > n=2, TO PROSTRANSTWO H s(Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO C0(Rn). w SILU NERAWENSTWA {WARCA IMEEM:

Z

Rn

0Z 11=2 0Z jf ( )jd 6 @ jf ( )j2(1 + j j2)s d A @ Rn

Rn

11=2 d A : 2 s

(1 + j j )

oTKUDA, TAK KAK s > n=2, SLEDUET, ^TO PROSTRANSTWO L2s (Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO L1(Rn). pO\TOMU PROSTRANSTWO H s(Rn) 16

NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO F L1(Rn). nO, W SILU TEOREMY rIMANA-lEBEGA, PROSTRANSTWO F L1(Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO C0(Rn), SNABVENNOE TOPOLOGIEJ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI. 2) pEREJDEM K OB]EMU SLU^A@. eSLI u 2 H s(Rn), TO DLQ  2 Nn  jj 6 k Du 2 H s;k (Rn). a TAK KAK s ; k > n=2, TO Du DOPUSKAET PREDSTAWITELQ, PRINADLEVA]EGO C0(Rn). oTKUDA u 2 B0k (Rn). mOVNO UBEDITXSQ, ^TO WLOVENIE H s(Rn) W B0k (Rn) NEPRERYWNO. b) sLU^AJ PROIZWOLXNOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA tEOREMA. pUSTX  OTKRYTOE MNOVESTWO IZ Rn A k 2 N I m 2 N TAKIE ^TO m > n=2 + k tOGDA PROSTRANSTWO H m () NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO E k () dOKAZATELXSTWO. pREVDE POKAVEM, ^TO H m () WLOVENO W E k (). dLQ \TOGO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO SUVENIE FUNKCII u 2 H m () NA WSQKOE OTKRYTOE MNOVESTWO 1, OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W , QWLQETSQ (PREDSTAWIMA ^EREZ) FUNKCIEJ IZ KLASSA C k . dLQ \TOGO RASSMOTRIM FUNKCI@  2 D(), RAWNU@ 1 NA 1. o^EWIDNO, u ESTX FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM W , PRINADLEVA]AQ H m(). pUSTX fu ESTX PRODOLVENIE NULEM DLQ FUNKCII u NA Rn n . tOGDA fu 2 H m(Rn) I, W SILU TEOREMY WLOVENIQ sOBOLEWA W SLU^AE  = Rn IMEEM, ^TO fu ESTX (DOPUSKAET PREDSTAWITELQ) FUNKCIQ IZ KLASSA C k (Rn). nO SUVENIE DLQ fu NA 1 RAWNO u. oTKUDA I SLEDUET REZULXTAT. oSTAETSQ UBEDITXSQ, ^TO WLOVENIE H m () W E k () QWLQETSQ NEPRERYWNYM. pUSTX K | NEKOTORYJ KOMPAKT IZ , A  2 D(), RAWNAQ 1 NA K . tOGDA IMEEM: pK k (u) = sup sup jDuj = pK k (fu) 6 .

|

,

,

.

.

jj6k x2K

pk (fu) 6 C kfukH m(Rn) = C kukH m( ) 6 C 0 kukH m ( ): |TO POKAZYWAET NEPRERYWNOSTX WLOVENIQ H m () W E k (), IBO pK k | ODNA IZ POLUNORM PROSTRANSTWA E k (). c) sLU^AJ OTKRYTOGO MNOVESTWA, OBLADA@]EGO SWOJSTWOM m-PRODOLVENIQ. gOWORQT, ^TO OTKRYTOE MNOVESTWO   Rn OBLADAET SWOJSTWOM mPRODOLVENIQ, ESLI SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVENIE  : L2() ! L2(Rn), NEPRERYWNOE IZ H r () W H r (Rn) DLQ r = 0 1 : : :  m, I TA17

KOE, ^TO SUVENIE u W  SOWPADAET (PO^TI WS@DU) S u. u NAZYWA@T m-PRODOLVENIEM FUNKCII u 2 H m () NA Rn, GDE u 2 H m(Rn). pOZVE UWIDIM, ^TO POLUPROSTRANSTWO OBLADAET SWOJSTWOM m-PRODOLVENIQ DLQ L@BOGO CELOGO POLOVITELXNOGO m. tEOREMA. pUSTX  OTKRYTOE MNOVESTWO OBLADA@]EE SWOJST WOM m PRODOLVENIQ tOGDA PROSTRANSTWO H m () NEPRERYWNO WKLA DYWAETSQ W PROSTRANSTWO Bk () ESLI m > n=2 + k GDE Bk () ESTX MNOVESTWO FUNKCIJ k RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH NA  dOKAZATELXSTWO. mNOVESTWO Bk () SNABVA@T NORMOJ pk (u) := sup sup jDu(x)j. pUSTX u 2 H m () I  ESTX m-PRODOLVENIE DLQ . x2 jaj6k tOGDA u ESTX \LEMENT IZ B0k (Rn) I, SLEDOWATELXNO, SUVENIE u ESTX \LEMENT IZ Bk (). nO \TO SUVENIE ESTX NI^TO INOE, KAK u. wLOVENIE H m () W Bk () ESTX KOMPOZICIQ TREH NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ: 1) OTOBRAVENIQ , PREOBRAZU@]EGO NEPRERYWNO H m () W H m(Rn) 2) ESTESTWENNOGO NEPRERYWNOGO WLOVENIQ H m (Rn) W B0k (Rn) 3) NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ | SUVENIQ u ! uj , PREOBRAZU@]EGO k B0 (Rn) W Bk (). pO\TOMU H m ()  Bk (). |

-

,

-

.

-

,

,

,

.

40) kOMPAKTNOE WLOVENIE. a) tEOREMA. pUSTX K | KOMPAKT IZ Rn, A r I s | DWA DEJSTWITELXNYH ^ISLA TAKIH, ^TO r < s. tOGDA ESTESTWENNOE WLOVENIE H s (Rn) \ EK0 (Rn) W H r (Rn) QWLQETSQ KOMPAKTNYM. zDESX H s (Rn) \ EK0 (Rn) := fu 2 H s(Rn)jsupp u  K g | MNOVESTWO FUNKCIJ, SNABVENNOE TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ IZ H s (Rn).

dOKAVEM PREDWARITELXNO LEMMU lEMMA. dLQ WSQKOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA s I L@BYH x I y IZ Rn IMEET MESTO NERAWENSTWO (1 + jx + yj2)s 6 (1 + jxj)2jsj(1 + jyj2)s: dOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NO EE DOKAZATX DLQ s = 1. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA s = +1. iMEEM: 1+jx+yj2 = 1+jxj2 +2xy +jyj2 6 1+jxj2 +2jxjjyj+jyj2 6 (1+jxj)2(1+jyj2) IBO 2jyj 6 2jyj2 + jxjjyj2 + 2. :

:

18

rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA s = ;1. pOLOVIM = ;x I  = x + y I ISPOLXZUEM NERAWENSTWO, TOLXKO ^TO DOKAZANNOE: 1 + j + j2 6 (1 + jj2)(1+j j)2. iMEEM: 1+jyj2 6 (1+jx+yj2)(1+jxj)2. iLI: (1+jx+yj2);1 6 (1 + jyj2);1(1 + jxj)2.

dOKAZATELXSTWO TEOREMY. sMYSL TEOREMY W TOM, ^TO ESLI

(uj )j2N ESTX POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ H s (Rn) S NOSITELQMI, SODERVA]IMISQ W K I kuj ks 6 1, TO W NEJ SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX, KOTORAQ QWLQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ kOI PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA H r (Rn). 1) pOKAVEM, ^TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (ujk )k2N TAKAQ, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (^ujk )k2N RAWNOMERNO SHODITSQ NA KAVDOM KOMPAKTE. pUSTX ' 2 S (Rn) I RAWNA 1 NA OKRESTNOSTI K  O^EWIDNO, uj = 'uj I, KAK SLEDSTWIE, u^j = '^  u^j , TO ESTX

u^j ( ) =

Z

Rn

'^( ; )^uj ()d:

uMNOVAQ \TO RAWENSTWO NA (1 + j j2)s=2, ISPOLXZUQ NERAWENSTWO (1 + j j2)s=2 6 (1 + j ; j)jsj(1 + jj2)s=2, DOKAZANNOE W LEMME, I PRIMENQQ NERAWENSTWO {WARCA, POLU^IM: Z 2 s=2 2 j(1 + j j ) u^j ( )j 6 j(1 + j j)jsj'^( )j2d : Rn

tAKVE DLQ WSQKOGO  2 Nn IMEEM: Z j(1 + j j2)s=2Du^j ( )j2 6 j(1 + j j)jsjD'^( )j2d : Rn

sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (^uj )j2N RAWNOMERNO OGRANI^ENA I RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNA NA KAVDOM KOMPAKTE. sOGLASNO TEOREME aSKOLI, SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX RAWNOMERNO SHODQ]AQSQ NA L@BOM KOMPAKTE. dLQ PROSTOTY OBOZNA^ENIJ BUDEM S^ITATX, ^TO \TO SAMA POSLEDOWATELXNOSTX (^uj )j2N SHODITSQ RAWNOMERNO. 2) pUSTX TEPERX " > 0. wYBEREM AR B DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA, TAKOGO, ^TO (1 + j j2)r=2=(1 + j j2)s=2 6 " KAK TOLXKO 62 B . tOGDA

91=2 8Z = < 2 r 2 kuj ; uk kr 6 "kuj ; uk ks + : (1 + j j ) ju^j ( ) ; u^k ( )j d  : B 19

tAK KAK (^uj )j2N SHODITSQ RAWNOMERNO NA B , TO WTOROE SLAGAEMOE PRAWOJ ^ASTI STREMITSQ K NUL@, KOGDA k j ! 1. s DRUGOJ STORONY, PERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI WSEGDA 6 2". sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N QWLQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ kOI. b) tEOREMA rELIHA-kONDRAOWA. pUSTX  OTKRYTOE MNO VESTWO OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W Rn tOGDA DLQ WSQKOGO CELOGO m>1 wLOVENIE H0m () W H0m;1() QWLQETSQ KOMPAKTNYM wLOVENIE H m () W H m;1 () QWLQETSQ KOMPAKTNYM ESLI  OB LADAET SWOJSTWOM m PRODOLVENIQ dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX (uj )j2N | POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ H0m (), TAKAQ, ^TO kuj kH m ( ) 6 1: pUSTX u~j | PRODOLVENIE NULEM uj NA Rn n . tOGDA u~j 2 H m(Rn). tAK KAK  | KOMPAKT W Rn, TO, W SILU PREDYDU]EJ TEOREMY, POSLEDOWATELXNOSTX (~uj )j2N SODERVIT PODPOSLEDOWATELXNOSTX (~ujk )k2N, SHODQ]U@SQ PO TOPOLOGII H m;1 (Rn). sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (ujk )k2N SHODITSQ PO TOPOLOGII H m;1 (). 2) tO VE DOKAZATELXSTWO S u WMESTO u~, GDE  2 D(Rn), RAWNA 1 NA OKRESTNOSTI , I GDE  ESTX m-PRODOLVENIE DLQ . |

,

-

.

1)

.

2)

,

-

IV.

-

.

iZU^ENIE SLEDOW.

pUSTX ; | GIPERPLOSKOSTX (; MOVET BYTX I NEKOTORYM KOMPAKTNYM PODMNOGOOBRAZIEM IZ Rn RAZMERNOSTI 6 n ; 1) W Rn. iZWESTNA SLEDU@]AQ PROBLEMA: KAKIE FUNKCII f IZ L2(Rn) DOPUSKA@T ESTESTWENNOE SUVENIE NA ; (SLED NA ;, OBOZNA^AEMYJ trace ;f )? tAK KAK MERA lEBEGA MNOVESTWA ; W Rn RAWNA NUL@, TO NE KAVDU@ FUNKCI@ MOVNO SUZITX NA ;. eSTX NADEVDA, ^TO IME@T SLEDY NA ; HOTQ BY TE FUNKCII f , W KLASSE \KWIWALENTNOSTI KOTORYH IMEETSQ DOSTATO^NO GLADKIJ PREDSTAWITELX. nAPRIMER, f 2 S (Rn) IMEET ESTESTWENNOE SUVENIE (SLED) trace ;f , ZADAWAEMOE PROSTO NABOROM ZNA^ENIJ f NA ;. iDEQ NAEGO PODHODA SOSTOIT W NAHOVDENII TAKOGO BANAHOWA PROSTRANSTWA B , ^TO S (Rn)  B  L2(Rn) I ktrace ;f kL (;) 6 ckf kB DLQ f 2 S (Rn). eSLI S (Rn) PLOTNO W B , TO MOVNO PRODOLVITX trace ;f NA WSE B . ~TO VE SLEDUET WYBRATX W KA^ESTWE TAKOGO BANAHOWA PROSTRANSTWA B ? iZWESTNO, ^TO USLOWIQ NA GLADKOSTX FUNKCII f \KWIWALENTNY USLOWIQM NA SKOROSTX UBYWANIQ FUNKCII f^, PO\TOMU ESTESTWENNO WOSPOLXZOWATXSQ PROSTRANSTWAMI sOBOLEWA H s(Rn). 2

20

bUDEM ISSLEDOWATX SLEDY FUNKCII NA GIPERPLOSKOSTI W Rn. 10): iNTEGRALXNYE SLEDY. tO^KU PROSTRANSTWA Rn BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ = ( 1 2 : : :  n). bUDEM POLAGATX  = ( 1 : : :  n;1) 2 Rn;1 I  = n 2 R, TAK ^TO = (  ). pUSTX ; | GIPERPLOSKOSTX f 2 Rnj = 0g. a) oPREDELENIE. dLQ WSQKOJ FUNKCII u 2 S (Rn) I WSQKOGO j 2 N

POLOVIM

(j u)() =

Z

 j u(  )d:

R

fUNKCII j u 2 S (;), PO SAMOMU IH OPREDELENI@, ESTX INTEGRALXNYE SLEDY ILI MOMENTY FUNKCII u NA GIPERPLOSKOSTI ; b) tEOREMA bUDEM NAZYWATX STROGIM S@R_EKTIWNYM MORFIZMOM GILXBERTOWA PROSTRANSTWA E NA GILXBERTOWO PROSTRANSTWO F WSQKOE LINEJNOE OTOBRAVENIE f , NEPRERYWNOE IZ E NA F , DOPUSKA@]EE NEPRERYWNOE POD NQTIE, TO ESTX SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVENIE g, NEPRERYWNOE IZ F W E , TAKOE, ^TO f  g ESTX TOVDESTWO W F . tOGDA IMEET MESTO SLEDU@]AQ tEOREMA. pUSTX m CELOE > 1 pUSTX ~ = (0 1 : : :  m;1 ) OTOBRAVENIE WEKTORNYJ INTEGRALXNYJ SLED KOTOROE PREOB RAZUET S (Rn) W S (;)   S (;) DEKARTOWO PROIZWEDENIE m SOMNO VITELEJ tOGDA ~ EDINSTWENNYM OBRAZOM PRODOLVIMO W STROGIJ S@R_EKTIWNYJ MORFIZM ZANOWO OBOZNA^AEMYJ ^EREZ ~ IZ L2m (Rn) NA Q (

)

.

.

-

|

|

,

.

|

,

-

(

-

).

(

m;1 L2 j =0 m;j ;1=2 (;).

)

dOKAZATELXSTWO. 1) sNABDIM S (Rn) TOPOLOGIEJ INDUCIROWANNOJ,

IZ L2m(Rn). pOKAVEM, ^TO 0 NEPRERYWNO OTOBRAVAET S (Rn) W L2m;1=2(;). pUSTX u 2 S (Rn). pOLOVIM  () =

Z

R

u(  )d  2 Rn;1:

pRIMENQQ NERAWENSTWO {WARCA, IMEEM:

j ()j 6 2

Z

R

d (1 + j j2)m

Z

R

21

ju( )j2(1 + j j2)md 

()

p

GDE = (  ). pRIMENQQ ZAMENU  = t 1 + jj2, POLU^IM:

Z

GDE

Z d d 1 = = I  (1 + j j2)m (1 + jj2 +  2)m (1 + jj2)m;1=2 m

R

R

Im =

a TOGDA IZ (*) IMEEM:

Z

Rn;1

Z R

dt 6 : (1 + t2)m

(1 + jj2)m;1=2j ()j2d 6 

Z Rn

ju( )j2(1 + j j2)md :

|TO NERAWENSTWO POKAZYWAET, ^TO LINEJNOE OTOBRAVENIE ; : u !  NEPRERYWNO PREOBRAZUET S (Rn) W L2m;1=2(;). w SILU PLOTNOSTI S (Rn) W L2m (Rn) I POLNOTY PROSTRANSTWA L2m;1=2(;), MOVNO EDINSTWENNYM OBRAZOM PRODOLVITX 0 W LINEJNOE OTOBRAVENIE, NEPRERYWNOE IZ L2m(Rn) W L2m;1=2(;). dALEE IMEEM: j (u) = 0( j u) DLQ WSQKOJ FUNKCII u 2 S (Rn). nO OTOBRAVENIE u 7!  j u NEPRERYWNO PREOBRAZUET L2m(Rn) W L2m;j (Rn). sLEDOWATELXNO, OTOBRAVENIE j NEPRERYWNO PREOBRAZUET S (Rn), PO PREVNEMU SNABVENNOE TOPOLOGIEJ IZ L2m (Rn), W L2m;j;1=2 (;). zATEM, KAK I WYE, j PRODOLVA@T NA L2m (Rn). 2) pOKAVEM TEPERX S@R_EKTIWNOSTX OTOBRAVENIQ ~ I SU]ESTWOWANIE NEPRERYWNOGO PODNQTIQ S POMO]X@ SLEDU@]EJ LEMMY. lEMMA O S@R_EKTIWNOSTI (PRI FIKSIROWANNOM j ). pUSTX j 2 L2m;j;1=2 (;) tOGDA SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODIN \LEMENT uj 2 L2m (Rn) TAKOJ ^TO j uj = j I kuj kLm 6 C kj kLm;j; = GDE C KONSTANTA ZAWISQ]AQ TOLXKO OT j I m. dOKAZATELXSTWO LEMMY. pUSTX .

2

,

|

2

1 2

,

2m;1 j  uj (  ) =  (2 +  2)m+j j () p GDE  = 1 + jj2, I  | POKA PROIZWOLXNAQ KONSTANTA. dALEE IMEEM:

j uj =

Z

uj (  ) j d = j ()

R 22

,

Z (p1 + jj2)2m;1 2jd j () = j ( )

ILI

R

(1 + jj2 +  2)m+j

p Z

ILI, PROWODQ ZAMENU  = t 1 + jj2, IMEEM:

2j dt t  (1 + t2)m+j = 1

R

TO ESTX

1= 

dALEE,

Z R

t2j dt : (1 + t2)m+j

2 Z  2m;1 j kuj kLm =  (2 +  2)m+j j () (2 +  2)mdd = Rn Z 24m;2 2jj ()j2 2

2

=

(2 +  2)m+2j

R p zAMENA  = t 1 + jj2 DAET: Z  t 2j dt

kuj k2Lm = 2 2

GDE

R

1+t

Z

(1 + t

2

2

)m

Rn;1

dd:

jj ()j2(1 + jj2)m;j;1=2 d =

= 2 2kl k2L2m;j;1=2 

Z  t 2j 2 = R

1 + t2

dt : (1 + t2)m

tAKIM OBRAZOM, LEMMA DOKAZANA. pEREJDEM TEPERX K DOKAZATELXSTWU PUNKTA 2). pOLOVIM   m;1 m

XX

ch j uj  h j =0 h=1 I OPREDELIM ^ISLA ch j (0 6 j 6 m ; 1 1 6 h 6 m) TAK, ^TOBY l u = l  l = 0 1 : : :  m ; 1: u(  ) =

23

()

o^EWIDNO, l u =

X

m;1 j =0

ch j hl+1l uj :

tEPERX DOSTATO^NO NA ^ISLA ch j NALOVITX USLOWIQ: m X h=1

ch j hl+1 = j l  j = 0 1 : : :  m ; 1 l = 0 1 : : :  m ; 1

GDE j l | SIMWOL kRONEKERA. |TO WOZMOVNO, IBO MATRICA wANDERMONDA OBRATIMA. a TOGDA IZ (*) LEGKO POLU^ITX NERAWENSTWO:

kukLm 6 c 2

2

X

m;1 j =0

kj k2Lm;j; = : 2

1 2

|TO DOKAZYWAET SU]ESTWOWANIE NEPRERYWNOGO PODNQTIQ. tEOREMA POLNOSTX@ DOKAZANA. 10) iSSLEDOWANIE SLEDOW. zDESX TO^KU IZ Rn BUDEM OBOZNA^ATX x = (x1 : : :  xn): pOLOVIM y = (x1 x2  : : :  xn;1 ) z = xn TOGDA x = (y z ) y 2 Rn;1 z 2 R. pUSTX ; | GIPERPLOSKOSTX fx 2 Rnjz = 0g. a) oPREDELENIE. dLQ WSQKOJ FUNKCII u 2 S (Rn) I L@BOGO j 2 N

POLOVIM ;.

j (j u)(y) = @ j u(y z )jz=0: @z fUNKCII (j u)(y) 2 S (;) NAZYWA@T SLEDAMI u NA GIPERPLOSKOSTI

b) tEOREMA. pUSTX m | CELOE ^ISLO > 1. pUSTX ~ = (0 1 : : :  m;1 ) | OTOBRAVENIE | WEKTORNYJ SLED, PREOBRAZU@]EE S (Rn) W S (;)  S (;) (m RAZ). tOGDA ~ EDINSTWENNYM OBRAZOM PRODOLVIMO W STROGIJ S@R_EKTIWNYJ MORFIZM (OBOZNA^AEMYJ SNOWA ~ ) IZ H m(Rn) Q NA mj=0;1 H m;j;1=2(;). |TA TEOREMA WYTEKAET IZ PREDYDU]EJ TEOREMY I SLEDU@]EJ LEMMY. lEMMA. pUSTX u 2 S (Rn). tOGDA (2i)j j (F u) = F (j u). zAMETIM, ^TO BUKWA F W LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA OZNA^AET PREOBRAZOWANIE fURXE W Rn, A W PRAWOJ ^ASTI F OZNA^AET PREOBRAZOWANIE fURXE W Rn;1. 24

dOKAZATELXSTWO LEMMY. pUSTX f = F u, TOGDA u = F f , ILI

u(x) =

oTKUDA

Z

Rn

e2ix f ( )d :

@ j u(x) Z (2i )j e2ix f ( )d : @z j n R

sLEDOWATELXNO,

Z

(j u)(y) = (2i )j e2iy f (  )dd = =

Rn

Z Z

Rn;1

= (2i)j

8Z 9 < = 2iy j e : (2i ) f (  )d  d = R

Rn;1 V.

e2iy (j f )()d = (2i)j F (j f )(y):

sWOJSTWA POLUPROSTRANSTWA.

iZU^ENIE LOKALXNYH SWOJSTW GRANICY NEKOTOROGO OTKRYTOGO MNOVESTWA, KOGDA \TA GRANICA DOSTATO^NO GLADKAQ, SWODITSQ S POMO]X@ LOKALXNYH KART K IZU^ENI@ POLUPROSTRANSTWA. pO\TOMU OSTANOWIMSQ NA IZU^ENII SWOJSTW POLUPROSTRANSTWA. pREVDE WSEGO, WWEDEM NOWOE PROSTRANSTWO. dLQ WSQKOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA  IZ Rn BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ D() MNOVESTWO FUNKCIJ, OPREDELENNYH NA , QWLQ@]IHSQ SUVENIQMI NA  \LEMENTOW IZ D(Rn). iTAK, D() := fuj  GDE u 2 D(Rn)g. w KA^ESTWE  BUDEM RASSMATRIWATX POLUPROSTRANSTWO  := fx 2 Rnjz > 0g

GDE x = (y z ) y 2 Rn;1 z 2 R, A EGO GRANICA ESTX GIPERPLOSKOSTX ; := fx 2 Rnjz = 0g:

10) pLOTNOSTX D() W H m(). tEOREMA. dLQ KAVDOGO m 2 N D() WS@DU PLOTNO W H m (). 25

bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ u~ PRODOLVENIE NULEM FUNKCII u WNE EE OBLASTI OPREDELENIQ I ^EREZ  = fx 2 Rnjz +  > 0g. pUSTX u 2 H m (). dLQ WSQKOGO " > 0 POLOVIM: dOKAZATELXSTWO.

u"(y z ) := u(y z + ") ^TO OPREDELQET u" (y z ) NA " . ~EREZ " OBOZNA^IM SUVENIE DLQ u" NA . a) pOKAVEM, ^TO DLQ WSQKOGO FIKSIROWANNOGO " > 0 " MOVET BYTX APPROKSIMIROWANO \LEMENTAMI IZ D(). pUSTX  | \LEMENT IZ E (Rn), RAWNYJ EDINICE NA OKRESTNOSTI , GDE supp   ". pOLOVIM U = u~". tOGDA U ESTX \LEMENT IZ H m (Rn) I EGO SUVENIE NA  RAWNO " . nO PROSTRANSTWO D(Rn) PLOTNO W H m(Rn) SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (!j )j2N \LEMENTOW IZ D(Rn), SHODQ]AQSQ K U PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA H m (Rn). pUSTX 'j = !j j . tOGDA ' 2 D() I POSLEDOWATELXNOSTX ('j )j2N SHODITSQ K " PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA H m (). b) pOKAVEM, ^TO " SHODITSQ K u PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA m H (), KOGDA " ! 0. sNA^ALA POKAVEM, ^TO " STREMITSQ K u PO TOPOLOGII L2(). dLQ \TOGO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO ~" STREMITSQ K u~ PO TOPOLOGII L2(Rn). iMEEM: k~" ; u~k 6 ku~ ; u~"k + ku~" ; ~" k GDE k k | NORMA W L2(Rn). oBOZNA^AQ ^EREZ w SUVENIE u NA ;" , WIDIM, ^TO WTOROE SLAGAEMOE PRAWOJ ^ASTI RAWNO ku~ ; w~k I STREMITSQ K NUL@ W SILU TEOREMY lEBEGA O MAVORIROWANNOJ SHODIMOSTI. ~TO KASAETSQ PERWOGO SLAGAEMOGO PRAWOJ ^ASTI, TO ONO RAWNO ku~ ; ;" u~k I STREMITSQ K NUL@ W SILU NEPRERYWNOSTI OTOBRAVENIQ x 7! x u, PREOBRAZU@]EGO Rn W L2(Rn). rASSMOTRIM TEPERX PROIZWODNYE MULXTIINDEKSA , GDE jj 6 m. iMEEM: Du"(y z ) = Du(y z + ") I D" = Du" j , TO ESTX SUVENIE Du" NA . pOSKOLXKU Du 2 L2()  2 Nn  jj 6 m, MY MOVEM ZAKL@^ITX, W SILU TOLXKO ^TO SKAZANNOGO, ^TO D" ! Du PO TOPOLOGII L2(). 20) sWOJSTWO m-PRODOLVENIQ POLUPROSTRANSTWA, m 2 N. tEOREMA. pOLUPROSTRANSTWO OBLADAET SWOJSTWOM m-PRODOLVENIQ DLQ L@BOGO m 2 N. dOKAZATELXSTWO. pUSTX  = fx 2 Rnjz > 0g. sOGLASNO PREDYDU]EJ TEOREME, D() PLOTNO W H m (). sLEDOWATELXNO, DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ u 2 D() QWLQETSQ m-PRODOLVIMOJ. dLQ 26

 u(x) z > 0 u (x) =  (x) z < 0

\TOGO POLOVIM

#

GDE  (x) = 1u(y 1z )+ 2u(y 2z )+ : : : + m u(y m z )+ m+1u(y m+1 z ) I W KA^ESTWE i WOZXMEM OTRICATELXNYE, RAZLI^NYE MEVDU SOBOJ ^ISLA (NAPRIMER, i = ;i). tEPERX OPREDELIM i TAK, ^TOBY u# 2 H m(Rn). dLQ \TOGO NEOBHODIMO, ^TOBY DLQ WSEH k = 0 2 : : :  m IMELI BY:



TO ESTX



@ k  (y z ) = @ k u(y z )  y 2 Rn;1 z=0 @zk z=0 @z k

X

m+1 j =1

(j )k j = 1 k = 0 1 : : :  m:

mY POLU^ILI LINEJNU@ SISTEMU IZ (m + 1) URAWNENIJ S (m + 1) NEIZWESTNYMI 1 2 : : :  m+1 . oPREDELITELX SISTEMY ESTX OPREDELITELX wANDERMONDA I, SLEDOWATELXNO, NE RAWEN NUL@, IBO WSE j RAZLI^NY MEVDU SOBOJ. pO\TOMU SISTEMA IMEET EDINSTWENNOE REENIE. pOLOVIM u# = u. o^EWIDNO, u 2 H m (Rn) I ^TO  ESTX LINEJNOE OTOBRAVENIE, NEPRERYWNOE IZ H r () W H r (Rn) DLQ r 6 m. 30) sLEDY DLQ POLUPROSTRANSTWA. dLQ WSQKOJ ' 2 D() I L@BOGO j 2 N OBOZNA^IM ^EREZ (j u)(y) j ZNA^ENIE @z@ j u(y z ) W TO^KE z = 0. fUNKCII (j u)(y) NAZYWA@T SLEDAMI u NA GIPERPLOSKOSTI ;. iMEET MESTO tEOREMA. pUSTX m | CELOE ^ISLO > 1, A ~ = (0 : : :  m;1 ) | OTOBRAVENIE | WEKTORNYJ SLED, PREOBRAZU@]EE D() W D(;)  D(;) (m RAZ). tOGDA a) ~ PRODOLVIMO EDINSTWENNYM OBRAZOM W STROGIJ S@R_EKTIWNYJ MORFIZM PRODOLVENIE SNOWA OBOZNA^IM ^EREZ ~ ) IZ H m () NA Qm;1 H m;(j\TO ;1=2 (;). j =0 b) DLQ PO^TI WSEH (y z ) 2 

@ j u(y z ) ; ( u)(y) = Z @ j+1 u(y t)dt 0 6 j 6 m ; 1: j @z j @z j+1 z

0

c) QDRO OTOBRAVENIQ ~ ESTX H0m(). w ^ASTNOSTI, QDRO 0 ESTX H01(). 27

oBOZNA^IM ^EREZ ~; = (;0 : : :  ;m;1) WEKTORNYJ SLED FUNKCII u 2 H m(Rn) NA GIPERPLOSKOSTX ;. pUSTX  | mPRODOLVENIE DLQ . dLQ ' 2 D() IMEEM : dOKAZATELXSTWO. a)

j j   j ' = @@z'j  = @@zj'  = ;j ('): z =0 z =0 pUSTX D() SNABVENO PREDGILXBERTOWOJ NORMOJ IZ H m (). tOGDA OTOBRAVENIE j ESTX KOMPOZICIQ DWUH NEPRERYWNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ: 1) , OTOBRAVA@]EGO D() W H m (Rn) I 2) ;j , OTOBRAVA@]EGO H m (Rn) W H m;j;1=2 (;). sLEDOWATELXNO, j PREOBRAZUET LINEJNO I NEPRERYWNO D() W H m;j;1=2 (;). dALEE, MOVNO PRODOLVITX j EDINSTWENNYM OBRAZOM W NEPRERYWNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ H m () W H m;j;1=2 (;). o^EWIDNO, DLQ WSQKOGO m-PRODOLVENIQ  IMEEM: j u = ;j u u 2 H m (). w SAMOM DELE, \TO RAWENSTWO WERNO DLQ D(), A D() PLOTNO W H m (). oSTAETSQ POKAZATX, ^TO ~ = (0 : : :  m;1 ) ESTX STROGIJ S@R_EKTIWNYJ MORFIZM. oBOZNA^IM ^EREZ R~ NEPRERYWNOE PODNQTIE DLQ ~;, A ^EREZ r | OTOBRAVENIE, KOTOROE KAVDOMU v 2 H m (Rn) STAWIT W SOOTWETSTWIE EGO SUVENIE NA . tOGDA r  R~ ESTX, O^EWIDNO, NEPRERYWNOE PODNQTIE DLQ ~ . b) tAK KAK j u = 0(@ j u=@z j ), TO DOSTATO^NO RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA j = 0. iNA^E GOWORQ, POKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO u 2 H 1() IMEEM: Zz @u u(y z ) ; (0u)(y) = @z (y t)dt: 0

|TO SOOTNOENIE WERNO, ESLI u 2 D(). pUSTX u 2 H 1() I ('k )k2N ESTX POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ D(), SHODQ]AQSQ K u PO TOPOLOGII H 1(). tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (0'k )k2N SHODITSQ K 0u PO TOPOLOGII H 1=2(;), A SLEDOWATELXNO, I PO TOPOLOGII L2(Rn;1). s DRUGOJ STORONY, ESLI OBOZNA^IM ^EREZ

Zz @u(  t)

FUNKCI@

@z dt

0

y 7!

Zz @u(y t)

@z dt

0

28

TO, O^EWIDNO, ^TO DLQ L@BOGO z > 0 POSLEDOWATELXNOSTX

Zz @'k(  t)

SHODITSQ K

0

@z dt

Zz @u(  t)

@z dt 0 2 n ; 1 PO TOPOLOGII L (R ). oKON^ATELXNO, ESLI OBOZNA^IM ^EREZ u(  z ) FUNKCI@ y 7! u(y z ), TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX ('kp )p2N TAKAQ, ^TO 'kp (  z ) SHODITSQ K u(  z ) PO TOPOLOGII L2(Rn;1) I DLQ PO^TI WSEH z > 0. pO\TOMU DLQ PO^TI WSEH z > 0 IMEEM: Zz @u(  t) u(  z ) ; 0u = @z dt 0

TO ESTX DLQ PO^TI WSEH (y z ) 2  POLU^AEM: u(y z ) ; (0u)(y) =

Zz @u 0

@z (y t)dt:

c) pOKAVEM, ^TO QDRO ~ ESTX 0 1) pUSTX u 2 H0m(). tOGDA u ESTX PREDEL, PO TOPOLOGII H m (), NEKOTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI ('k )k2N \LEMENTOW IZ D(). o^EWIDNO, DLQ L@BOGO j 2 N IMEEM: j 'k = 0. nO DLQ 0 6 j 6 m ; 1 j NEPRERYWNO OTOBRAVAET H m () W H m;j;1=2 (;). sLEDOWATELXNO, j u ESTX PREDEL, PO TOPOLOGII H m;j;1=2 (;), POSLEDOWATELXNOSTI (j uk )k2N. tAKVE DLQ WSEH j (0 6 j 6 m ; 1) (j u) ESTX NULEWOJ \LEMENT IZ H m;j;1=2(;) INA^E GOWORQ, ~ u = 0. 2) oBRATNO, PUSTX u 2 H m(), GDE j u = 0 DLQ j = 0 : : :  m ; 1. pOKAVEM, ^TO u 2 H0m (). dLQ \TOGO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO a) DLQ WSQKOGO ' > 0, DLQ WSQKOGO a > 0 I DLQ WSQKOGO  2 H m), GDE supp   Rn;1  a +1, SU]ESTWUET ' 2 D() TAKOE, ^TO k ; 'kH m ( ) 6 ". |TO UTWERVDENIE DOKAZYWAETSQ LEGKO. pUSTX V | PRODOLVENIE NULEM DLQ  NA Rn n . tOGDA O^EWIDNO, ^TO V 2 H m (Rn). a TOGDA SU]ESTWUET ! 2 D(Rn) TAKOE, ^TO k! ; V kH m(Rn) 6 " I supp!   A TOGDA ' = !j .

H m().

29

b) DLQ WSQKOGO " > 0 I WSQKOJ u 2 H m (), GDE ~ u = 0, SU]ESTWU@T a > 0 I  2 H m(), GDE supp   Rn;1  a +1, TAKIE, ^TO ku ;  kH m( ) 6 ".

sNA^ALA POSTROIM USEKA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX W OKRESTNOSTI ;: pUSTX | FUNKCIQ IZ KLASSA C 1]0 1 0 6 6 1, RAWNAQ NUL@ NA ]01, RAWNAQ 1 NA ]2 1. dLQ WSQKOGO k 2 N POLOVIM k (z ) = (kz ) z > 0. tOGDA FUNKCIQ k (z ) IZ C 1]0 1, RAWNAQ NUL@ NA ]0 1=k, RAWNAQ 1 NA ]2=k 1 KROME TOGO, SU]ESTWUET KONSTANTA C , NE ZAWISQ]AQ OT k z I j , TAKAQ, ^TO dj k (z ) (z ) 6 Ckj  0 6 j 6 m @z j (C MOVET ZAWISETX OT m). pOLOVIM "k = 1 k (z ), GDE 1 OZNA^AET FUNKCI@, OPREDELENNU@ NA Rn;1, RAWNU@ 1 WS@DU. tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX ("k )k2N NAZOWEM USEKA@]EJ POSLEDOWATELXNOSTX@ W OKRESTNOS TI ; dLQ PROSTOTY RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA m = 1. iNA^E GOWORQ, PUSTX u 2 H 1(), GDE 0u = 0. pOLOVIM uk = u"k I POKAVEM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (uk )k2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII H 1(). dLQ 1 6 j 6 n ; 1 IMEEM: -

.

@uk = " @u k @xi @xi

I TEOREMA lEBEGA O MAVORIROWANNOJ SHODIMOSTI POKAZYWAET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (@uk =@xi )k2N SHODITSQ K @u=@xi PO TOPOLOGII L2(). s DRUGOJ STORONY, IMEEM: @u = " @u + @ "k u k @z @z @z

GDE xn = z . ; SHODITSQ K @u PO TOPOLOGII L2(), pOSLEDOWATELXNOSTX "k @u @z k2N @z W SILU;TOJ VE TEOREMY lEBEGA . oSTAETSQ POKAZATX , ^TO POSLEDOWATELX

@ k NOSTX @z u k2N SHODITSQ K 0 PO TOPOLOGII L2(). s R 2 lEMMA pUSTX g 2 L (]0 a) PUSTX f (s) = g(t)dt DLQ PO^TI WSEH 0 s 2]0 a tOGDA a a .

.

,

Z 0

2 Z a jf (s)j ds 6 2 jg(t)j2dt: 2

0

30

dOKAZATELXSTWO.

Zs 2 0Zs 1 0Zs 12 Za   jf (s)j2 =  g(t)dt 6 @ 12 dtA @ jg(t)j2dtA = s jg(t)j2dt 6   0

0

0

Za

0

6 s jg(t)j2dt 0

W SILU NERAWENSTWA {WARCA. pO\TOMU

Za

jf (s)j2ds 6

0

Za 0

Za

2 Z a 2 jg(t)j dt sds = 2 jg(t)j2dt:

a

0

0

pRODOLVENIE DOKAZATELXSTWA TEOREMY.

pOSKOLXKU 0 u = 0 MOVNO ZAPISATX u(y z ) =

Zz @u(y t)

@z dt

0

DLQ PO^TI WSEH (y z ) 2 . w SILU LEMMY IMEEM:



Z2=k

2=k

0

0



2  2 Z  @u 2 ju(y z )j dz 6 k2  @z (y t) dt:

sLEDOWATELXNO,

2 Z1  @"k Z2=k @u 2  (y z)u(y z) dz 6 2C 2  (y t) dt @z @z

A TOGDA

0

Z  @"k 2  u dx 6 2C 2 @z

0

Z

Rn;1]02=k

 @u 2   dx: @z

nO PRAWAQ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA STREMITSQ K NUL@, A PO\TOMU I LEWAQ ^ASTX STREMITSQ K NUL@. tEOREMA DOKAZANA. 31

lITERATURA 1] {WARC l. kOMPLEKSNYE MNOGOOBRAZIQ. |LLIPTI^ESKIE URAWNENIQ. m.: mIR, 1964. 2] kOLMOGOROW a.n., fOMIN s.w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIONALXNOGO ANALIZA. m.: nAUKA, 1972. 3] wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1988. 4] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX I. kAZANX: kgu, 1986. 5] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX II. kAZANX: kgu, 1987.

32