Теоретические основы электротехники: Методические указания и расчетно-графические задания к расчету сложных цепей постоянного тока по курсу

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТУ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА ПО КУРСУ «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ» для студентов электротехнических и электроэнергетических специальностей

Составители: Федоров К.А. Былкова Н.В.

2006

Методические указания и расчетно-графичеекие задания к расчету сложных цепей постоянного тока по курсу "Теоретические основы электротехники" для студентов электротехнических и электроэнергетических специальностей. Расчет электрической цепи заключается в составлении системы уравнений, описывающих электромагнитные процессы в цепи. Решение уравнений позволяет определить значения токов (напряжений, мощностей) различных элементов цепи. Выбор оптимального метода расчета позволяет сократить некоторое число уравнений и существенно уменьшить трудоемкость расчета цепи. В настоящих методических указаниях приводятся краткие теоретические сведения о наиболее часто применяемых на практике методах расчета сложных электрических цепей постоянного тока. Ключевые слова: сложные электрические цепи, методы расчета, узловые потенциалы, контурные токи, потенциальная диаграмма, преобразование цепи, эквивалентный генератор, ненаправленные графы, сигнальные графы.

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ При расчете электрической цепи методом узловых потенциалов определяются потенциалы узлов цепи, а затем по закону Ома токи в ее ветвях. Метод целесообразно применять в тех случаях, когда число узлов цепи меньше или равно числу независимых контуров этой цепи. Так, для электрической цепи, имеющей четыре узла, составляется три расчетных уравнения (например, для узлов I, 2 и 3 потенциал узла 4 принимается равным нулю):

ϕ 4 = 0 , G11ϕ1 − G12ϕ 2 − G13ϕ 3 ; 2

− G21ϕ1 + G22ϕ 2 − G23ϕ 3 = J y 2 ;

− G31ϕ1 − G32ϕ 2 + G33ϕ 3 = J y . где ϕ k - искомый потенциал К-го узла цепи (К = 1,2,3); Gkk - собственная (узловая) проводимость к-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу; Gkm - взаимная (межузловая) проводимость узлов к и m, равная сумме проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими узлами; J yk – узловой ток к-го узла, определяемый из выражения n

m

k =1

k =1

J yk = ∑ E k Gk + ∑ J k Под знаком первой суммы произведения ЭДС ветвей, присоединенных к К-му узлу, на проводимости этих ветвей учитывается ЭДС с положительным (отрицательным) знаком, если она направлена к К-му узлу (от К-го узла). Под знаком второй суммы со знаком «+» ("-"} учитываются токи источников тока, которые направлены к К-му узлу (от К-го узла). Если в цепи между двумя узлами включен идеальный источник ЭДС (внутреннее сопротивление которого равно нулю), необходимо принимать равным нулю потенциал одного из его зажимов, тогда потенциал другого зажима источника будет равен ЭДС с соответствующим знаком, а количество расчетных уравнений сократится. Последовательность расчета цепи методом узловых, потенциалов рассмотрим на примере. Параметры цепи считаются заданными. ПРИМЕР 1: Определить токи в ветвях цепи (рис. 1) методом узловых потенциалов. Положительные направления токов в 3

Рис 1. E1=100В R1=10 Ом E6=200В R2=20 Ом I=5А R3 =5 Ом R4=25 Ом R5=40 Ом 1. В заданной цепи четыре узла. Приравняем нулю (заземлим) потенциал узла 4.Тогда ϕ 4 = 0 , ϕ 2 = ϕ 4 + E 6 = 200 В . 2. Составим расчетную систему уравнений для узлов, потенциалы которых подлежат определению:

G11ϕ1 − G12ϕ 2 − G13ϕ 3 = J y1 ; − G31ϕ1 − G32ϕ 2 + G33ϕ 3 = J y 3 . Для узлов 2 и 4 уравнения не составляются, так как потенциалы этих узлов известны. 3. Определим узловые и межузловые проводимости:

G11 = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 = 1 10 + 1 20 + 1 5 = 0,35Ом ; 4

G33 = 1 R1 + 1 R2 + 1 R4 = 1 10 + 1 20 + 1 25 = 0,19Ом ; G12 = G21 = 1 R3 = 1 5 = 0,2Ом ; G13 = G31 = 1 R1 + 1 R2 = 1 10 + 1 20 = 0,15Ом . Взаимная проводимость между узлами 2 и 3 равна нулю, так как эти узлы непосредственно не связаны между собой какими-либо ветвями» т.е. G23=G32=0. Проводимость ветви с источником тока J также равна нулю, так как его внутреннее сопротивление бесконечно велико. Если в какой-либо ветви последовательно включено несколько резисторов, вначале определяется общее сопротивление этой ветви, а затем ее проводимость. Определим узловые токи:

J y1 = E1 R1 + J = 100 10 + 5 = 15 А J y 3 = − E1 R1 − J = −100 10 − 5 = −15 А 4. Подставим полученные значения узловых и межузловых проводимостей, а также узловых токов в расчетную систему уравнений. Решая ее, определим искомые потенциалы узлов цепи:

0,35ϕ1 − 0,2 ⋅ 200 − 0,15ϕ 3 = 15 , − 0,15ϕ1 + 0,19ϕ 3 = −15 , или 0,35ϕ1 − 0,15ϕ 3 = 55 , − 0,15ϕ1 + 0,19ϕ 3 = −15 . Решить систему уравнений можно методом определителей или с помощью микрокалькулятора по соответствующей программе (прил. I), однако, если система содержит два уравнения, ее целесообразно решать домножением на 5

общие множители:

0,35ϕ1 − 0,15ϕ 3 = 55 0,15 0,19,

откуда

− 0,15ϕ1 + 0,19ϕ 3 = − 15 0,35 0,15,

ϕ1 = 186,4 В, ϕ 3 = 68,2 В. Для проверки расчета целесообразно полученные значения потенциалов, вычисленные с точностью до 3-4 значащей цифры, подставить в исходную систему уравнений, которые при этом, очевидно, должны обратиться в тождества. 5. Используя закон Ома, определим токи в ветвях цепи. Направления токов в ветвях выбраны произвольно и указаны на схеме (рис. I). Составим выражение для разности потенциалов (напряжения) между узлами 3 и 1:

U 31 = ϕ 3 − ϕ1 = R1 I 1 − E1 , откуда I1 =

(U 31 + E1 ) (ϕ 3 − ϕ1 + E1 ) (68,2 − 186,4) = = = −1,82 А R1

R1

10

т.е. в дальнейшем при выбранном направлении тока в ветви его величина определяется следующим образом: в числителе выражения от потенциала узла, из которого ток вытекает, вычитается потенциал узла, к которому ток подтекает. Если в ветви есть ЭДС, она учитывается со знаком «+» ("-"), когда ее направление совпадает (противоположно) с направлением тока, В знаменателе выражения для тока 6

находится суммарное сопротивление определяются токи остальных ветвей:

ветви.

Аналогично

I 2 = (ϕ1 − ϕ 3 ) R2 = (186,4 − 68,2) 20 = 5,91А;

I 3 = (ϕ1 − ϕ 2 ) R3 = (186,4 − 200) 5 = −2,73 А;

I 4 = (ϕ 4 − ϕ 3 ) R4 = (0 − 68,2) 25 = −2,73 А; I 5 = (ϕ 2 − ϕ 4 ) R5 = (200 − 0 ) 40 = 5,0 А.

Значения токов I1 , I2 , и I4 получились со знаком «-». Это свидетельствует о том, что их направления в ветвях противоположны выбранным. Токи I3 и I4 равны между собой в силу принципа непрерывности электрического тока. Ток в ветви с идеальной ЭДС Е6 определяется из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа. Например, для узла 2

I 3 − I 5 + I 6 = 0 , откуда

I 6 = I 5 − I 3 = 5 + 2,73 = 7,73 А

6. Проверка расчета цепи выполняется по законам Кирхгофа и уравнению энергетического баланса (балансу мощностей), по первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Проверяем выполнение этого закона для всех узлов цепи (кроме узла 2: из уравнения для этого узла определялся ток I6:

5 − 1,82 − 5,91 + 2,73 = 0 ;

J + I1 − I 2 − I 3 = 0 ; 1) 0 ≅ 0; − J − I1 + I 2 + I 4 = 0 ; 3) 0 ≅ 0; − I4 + I5 − I6 = 0 ; 4) 0 ≅ 0.

− 5 + 1,82 + 5,91 − 2,73 = 0 ;

2,73 + 5 − 7,73 = 0 ; 7

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура. Проверяем выполнение этого закона дня всех независимых контуров заданной цепи; Для контура с элементами Е1, R1 и R2 E1 = R1 I 1 + R2 I 2 ; 100 = 10(− 1,82 ) + 20 ⋅ 5,91 ; 100 ≅ 100 ; для контура с элементами R2, R3, R4 и R5 0 = R2 I 2 − R3 I 3 − R4 I 4 − R5 I 5 ; 0 = 20 ⋅ 5,91 − 5(− 2,73) − 25(− 2,73) − 40 ⋅ 5 ; 0,1 ≅ 0 ; для контура с элементами E1, R3, E6, R4 и R1 E1 − E 6 = R1 I 1 + R3 I 3 + R4 I 4 ; 100 − 200 = 10(− 1,82 ) + 5(− 2,73) + 25(− 2,73) ; − 100 ≅ −100,1 . Дня любой электрической цепи мощность, потребляемая резисторами этой цепи, должна равняться мощности источников энергии. Уравнение энергетического баланса (баланс мощностей) в общем виде записывается следующим образом: n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ Ek I k + ∑ J kU k = ∑ I k2 Rk В левой части уравнения учтена мощность источников энергии. Мощность источников ЭДС учитывается с положительным (отрицательным) знаком, если ток, протекающий через источник ЭДС, совпадает (противоположен) с направлением ЭДС. Для определения знака мощности источника тока необходимо определить напряжение на источнике. Если ток 8

источника вытекает из точки с меньшим потенциалом и подтекает к точке с большим потенциалом, мощность источника будет положительной (источник генерирует энергию). Если ток источника вытекает из точки более высокого потенциала по сравнению с потенциалом точки, куда ток втекает, мощность источника будет отрицательной, а режим его работы соответствует потреблению энергии. В правой части уравнения энергетического баланса записывается арифметическая сумма мощностей, потребляемых резисторами цепи и определяемых по закону Джоуля-Ленца. По своему физическому смыслу эти мощности могут быть только положительными. Для заданной электрической цепи (рис. I) уравнение энергетического баланса имеет вид E1 I 1 + J (ϕ1 − ϕ 3 ) + E 6 I 6 = = I 12 R1 + I 22 R 2 + I 32 R3 + I 42 R 4 + I 52 R5 + I 62 R6 ;

100(− 1,82) + 5(186,4 − 68,2) + 200 ⋅ 7,73 = = 1,82 ⋅ 10 + 5,91 ⋅ 20 + 2,73(5 + 25) + 5 ⋅ 40; 2

2

2

1953 ≅ 1955 Вт

Расчет считается выполненным правильно, если расхождение между левой и правой частями уравнения электрического баланса не превышает 1...2%. Следует помнить, что при выполнении проверки расчета по законам Кирхгофа и балансу мощностей уравнения составляются по выбранным. В начале расчета положительным направлениям токов в ветвях заданной цепи, а числовые значения токов в уравнения подставляются со знаками, полученными в расчете. 9

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ При расчете электрической цепи методом контурных токов составляются уравнения по второму закону Кирхгофа для некоторых так называемых контурных токов, протекающих в независимых контурах заданной цепи. Токи в ветвях цепи определяются через контурные токи, протекающие в соответствующей ветви. Метод контурных токов целесообразно применять в тех случаях, когда число независимых контуров цепи меньше числа ее узлов. Так, для цепи, имеющей три независимых контура, система расчетных уравнений может быть записана следующим образом:

R11 I 11 + R12 I 22 + R13 I 33 = E11 ; R21 I 11 + R22 I 22 + R23 I 33 = E 22 ; R31 I 11 + R32 I 22 + R33 I 33 = E33 , где IКК - искомый контурный ток к-то контура цепи ( к = I, 2, 3); RКК- собственное сопротивление К -го контура, равное сумме сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур; RКm - взаимное сопротивление контуров к и m, равное сумме сопротивлений ветвей, обтекаемых двумя соответствующими контурными токами. Взаимное сопротивление входит в уравнение с положительным (отрицательным) знаком, если контурные токи протекают по нему в одном (в противоположных) направлении. При выборе одинакового направления всех контурных токов в цепи все взаимные сопротивления в расчетных уравнениях имеют отрицательный знак; Екк - контурная ЭДС к-го контура, определяется алгебраической суммой ЭДС, входящих в этот контур. Со 10

знаком "+" ("-") учитываются ЭДС, направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура (направлением контурного тока). Если в ветвях заданной цепи включены идеальные источники тока, выбор контурных токов необходимо производить таким образом, чтобы в ветви с источником тока протекал только один контурный ток (равный току источника); число расчетных уравнений при атом сократится. Последовательность расчета цепи методом контурных токов рассмотрим на примере. Параметры цепи считаются заданными. Пример 2. Определить токи в ветвях цепи (рис. 2) методом контурных токов. Положительные направления токов в ветвях показаны на рисунке.

ветвей включен идеальный источник тока. Выбираем независимые контуры и направляем в них контурные токи. Составляем расчетную систему уравнений для искомых контурных токов:

R11 I 11 + R12 I 22 + R13 I 33 + R14 I 44 = E11 ; R21 I 11 + R22 I 22 + R23 I 33 + R24 I 44 = E 22 ; R31 I 11 + R32 I 22 + R33 I 33 + R34 I 44 = E33 , Для контура 4 уравнение не составляется, так как его контурный ток известен: I44=J 2. Определим собственные сопротивления контуров. Контурный ток I11 обтекает резисторы R1 и R2 , следовательно R11 = R1 + R2 = 10 + 20 = 30 Ом Аналогично для контуров 2 и 3: R22 = R2 + R3 + R4 + R5 = 20 + 25 +40 + 50 = 135 Ом R33 = R5 = 50 Ом

Рис. 2 E1=100 В. R1=10 Ом R4=40 Ом R2=20 Ом R5=50 Ом E6=200В I=5А R3 =25 Ом 1. В заданной цепи четыре независимых контура, однако расчетных уравнений будет три, так как в одной из 11

Все собственные сопротивления контуров имеют положительный знак, так как направление обхода контура совпадает с направлением соответствующего контурного тока. Определим взаимные сопротивления контуров. Для контуров I и 2 общим является резистор R2. Направление обхода первого (второго) контура в резисторе R2 противоположно направлению контурного тока I22 (контурного тока I11), поэтому взаимное сопротивление контуров I и 2 имеет отрицательный знак: R12 = R12 = - R2 = -20 Ом 12

Общим для контуров 2 и 3 является резистор R5. Направление обхода второго (третьего) контура в резисторе R5 совпадает с направлением контурного тока I33 (контурного тока 1£1), поэтому взаимное сопротивление этих контуров имеет положительный знак:

или методом определителей. В этом случае матрица коэффициентов (после сокращения каждого уравнения на общий множитель) имеет вид | 3 | -2 | 0

R23 = R32 = R5 = 50 Ом Контуры 1 и 3 общих ветвей не имеют, поэтому R13=R31=0 Аналогично определяются взаимные сопротивления контуров 1 и 4, 2 и 4, 3 и 4: R24 = R42 = - R4 = -40 Ом ; = -10 Ом

R34 = R43 = 0 ;

R14 = R41 = -R1

Определим контурные ЭДС (направление обхода каждого из контуров совпадает с направлением контурного тока в нем): Е11 = Е1 = 100 В.; E22 = 0; E33 = E6 = 200 В. 3. Подставим вычисленные значения собственных и взаимных сопротивлений, а такие значения контурных ЭДС в систему расчетных уравнений. Решая ее, определим искомые контурные токи: 30Iн – 20I22

- 10·5 = 100 или

30Iн–20I22

=150

-20Iн + 135I22 + 50I33- 40·5 = 0 или -20Iн+135I22+50I33 =200 50I22 + 50I33

= 200 или

50I22+50I33 =200

Система уравнений может быть решена с помощью микрокалькулятора по соответствующей программе (прил, I) 13

-2 13.5 1

0 | 15 5 | 20 1 | 4

Определители системы: ∆ = 3 ⋅ 13,5 ⋅ 1 − (− 2 )(− 2 )1 − 3 ⋅ 5 ⋅ 1 = 21,5 ; ∆ 1 = 15 ⋅ 13,5 ⋅ 1 + (− 2 )5 ⋅ 4 − 20(− 2 )1 − 15 ⋅ 1 ⋅ 5 = 127,5 ; ∆ 2 = 3 ⋅ 20 ⋅ 1 − (− 2 )15 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 30 ; ∆ 3 = 3 ⋅ 13,5 ⋅ 4 + (− 2)1 ⋅ 15 − (− 2)(− 2 )4 − 3 ⋅ 1 ⋅ 20 = 56 .

Искомые контурные токи: I 11 = ∆ 1 ∆ = 127,5 21,5 = 5,93 A ; I 22 = ∆ 2 ∆ = 30 21,5 = 1,395 A ; I 22 = ∆ 3 ∆ = 56 21,5 = 2,60 A ; I 44 = J = 5 A .

Для проверки расчета целесообразно полученные значения контурных токов, вычисленные с точностью до 3-4 значащей цифры, подставить в исходную систему уравнений, которые при этом должны обратиться в тождества. 4. Определим токи в ветвях заданной цепи, рассматривая ток в каждой ветви как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих в этой ветви. Контурный ток берется со знаком "+" ("-"), если его направление совпадает (противоположно) с выбранным направлением тока в ветви: 14

I 1 = I 11 − I 44 = 5,93 − 5 = 0,93 A ; I 2 = I 11 − I 22 = 5,93 − 1,395 = 4,54 A ; I 3 = I 22 = 1,395 A ; I 4 = I 22 − I 44 = 1,395 − 5 = −3,60 A ; I 5 = I 22 + I 33 = 1,395 + 2,6 = 4 A ; I 6 = I 33 = 2,6 A .

Ток I 4 по расчету получился со знаком "-". Это означает, что его истинное направление противоположно выбранному. 5. Проверка расчета выполняется по законам Кирхгофа и уравнению энергетического баланса. По первому закону Кирхгофа: 1) J + I 1 − I 2 − I 3 = 0 ; − 0,005 ≅ 0 ; 2) I 3 − I 5 + I 6 = 0 ; − 0,005 ≅ 0 ; 3) − I 1 + I 2 + I 4 = 0 ; 0,01 ≅ 0 ; 4) − J − I 4 + I 5 − I 6 = 0 ; 0 ≅ 0.

5 + 0,93 – 4,54 – 1,395 = 0; 1,395 – 4 + 2,6 = 0; -0,93 + 4,54 – 3,6 = 0; -5 + 3,6 + 4 – 2,6 = 0;

По второму закону Кирхгофа: E1 − E 6 = I 1 R1 + I 3 R3 + I 4 R4 ; 100-200=0,93·10+1,395·253,6·40; − 100 ≅ −99,8 ; E1 = I 1 R1 + I 2 R2 ; 100 = 0,93 · 10 + 4,54 · 20; 100 ≅ 100,1 ; E 6 = I 5 R5 ; 200 = 4 · 50; 200 ≅ 200 . 15

По уравнению энергетического баланса: E1 I 1 + E5 I 6 + J (E 6 + I 3 R3 ) = I 12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 ; 100·0,93+200·2,6+5(200+1,395·25)=0,93210+4,542·20+ +1,3952·25+3,62·40+42·50; 1787 ~ 1788 (Вт).

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА По результатам расчета электрической цепи для любого ее контура (ветви) можно построить потенциальную диаграмму - график распределений потенциала в контуре (ветви). По оси абсцисс в выбранном масштабе откладываются сопротивления резисторов контура (ветви) в том порядке, в каком они расположены в контуре (ветви), а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек контура (ветви). Построение диаграммы можно начинать с любой точки контура, приравняв ее потенциал произвольной величине (например, нулю). Направление обхода контура (ветви) выбирается произвольно. Пример 3. Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2. При построении диаграммы используем значения токов, рассчитанные в примере 2. Обход контура выбираем по часовой стрелке. Приравняем потенциал точки 4 нулю. Потенциал точки 3 определяется из следующих соображений: при движении от точки 4 к точке 3 направление обхода контура совпадает с направлением тока I4 , а так как ток в ветви течет от большего потенциала к меньшему, потенциал точки 3 будет ниже потенциала точки 4 на величину падения напряжения на резисторе R4, следовательно 16

ϕ 4 = 0 , ϕ 3 = ϕ 4 − I 1 R1 = 0 − (− 3,6 ) ⋅ 40 = 144 В . В результате расчета потенциал точки 3 оказался выше потенциала точки 4, так как выбранное на схеме направление тока I4 противоположно его истинному направлению. Аналогично определим потенциал точки 5: ϕ 5 = ϕ 3 − I 1 R1 = 144 − 0,93 ⋅ 10 = 134,7 В

любой точки контура, эквипотенциальные точки контура, а также разность потенциалов (напряжение) между любыми точками контура. Для определения напряжения заданные точки проецируются на ось ординат; умножив отрезок между проекциями точек на масштаб по напряжению, получим разность потенциалов.

Потенциал точки I выше потенциала точки 5 на величину ЭДС E1, так как направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС (переход от отрицательного зажима источника ЭДС к его положительному зажиму), следовательно

ϕ1 = ϕ 5 + E1 = 134,7 + 100 = 235B . Аналогичным образом определяются потенциалы точек 2 и 4:

ϕ 2 = ϕ1 − I 3 R3 = 235 − 1,395 ⋅ 25 = 200 B ; ϕ 4 = ϕ 2 − E 6 = 200 − 200 = 0 . Расчет потенциала точки 4 выполнен для проверки вычислений. Суммарное сопротивление резисторов контура R1+ R2+ R4 = 10 + 25 + 40 = 75 Ом. Зная максимальное и минимальное значения потенциалов точек и суммарное сопротивление резисторов контура, можно выбрать масштабы для потенциалов и сопротивления, а затем построить потенциальную диаграмму (рис. 3). По потенциальной диаграмме можно определить потенциал 17

По диаграмме можно определить величину и направление тока на любом участке контура. Ток пропорционален тангенсу угла наклона к оси абсцисс отрезка диаграммы, соответствующего рассматриваемому участку. Направление тока определяется знаком угла наклона; угол, отсчитываемый по часовой стрелке, считается положительным.

18

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Расчет сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно упростить и сделать более наглядным путем преобразования схем одного вида в схемы другого вида. Целесообразное преобразование схемы приводит к, уменьшению числа ее ветвей или узлов, а значит и числа уравнений, необходимых для расчета. Во всех случаях такое преобразование должно выполняться эквивалентно: токи и напряжения в частях цепи, не затронутых преобразованием, остаются такими же, как и в исходной цепи. Примеры эквивалентного преобразования: замена нескольких последовательно или параллельно соединенных резисторов одним, преобразование треугольника резисторов в звезду и наоборот, замена параллельных ветвей с источниками энергии одной ветвью, взаимное преобразование источников электрической энергии, перенос источников энергии и т.д. Рассмотрим расчетные соотношения и применение некоторых эквивалентных преобразований. Преобразование треугольника резисторов в звезду и наоборот В узлах 1, 2 и 3 треугольник и звезда резисторов соединяются с остальной частью цепи (рис. 4). Расчетные зависимости имеют циклическую форму, т.е. получаются одно из другого перестановкой индексов, элементов.

При переходе от треугольника к звезде сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений двух ветвей треугольника, примыкающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений всех ветвей треугольника: R12 R31 ; (R12 + R23 + R31 ) R31 R23 R3 = . (R12 + R23 + R31 )

R1 =

R2 =

R23 R12 ; (R12 + R23 + R31 )

При переходе от звезды к треугольнику сопротивление ветви треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды: R + R3 + R2 R1 R1 + R2 + R1 R2 ; R23 = 2 ; R3 R1 R + R1 + R3 R1 . R31 = 3 R2 R12 =

Пример 4. Упростить схему электрической цепи (рис. 5), применяя преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник. 19

20

Преобразуем треугольник резисторов R3, R4, R5 в эквивалентную звезду (рис. 5,6) и звезду резисторов R2, R3, R4 в эквивалентный треугольник (рис. 5,в): R9 =

R3 R 4 15 ⋅ 25 = = 5Ом ; (R3 + R4 + R5 ) (15 + 25 + 35)

R10=R4R5/(R3+R4+R5)=25·35/(15+25+35)=11,67 Ом R11=R3R5/(R3+R4+R5)=15·35/(15+25+35)=7 Ом R13=R2+R3+R2R3/R4 =10+15+10·15/25= 31 Ом R14=R2+R4+R2R4/R3 =10+25+10·25/15= 51,7 Ом R15=R3+R4+R3R4/R2 =15+25+15·25/10= 77,5 Ом

Преобразование параллельных ветвей с источниками энергии Параллельное соединение ветвей с источниками энергии можно заменить эквивалентным участком, представляющим собой либо последовательное соединение идеальной ЭДС и резистора, либо параллельное соединение идеального источника тока и резистора; направление этих источников задается произвольно. Параметры эквивалентного участка m  n   ∑ E k Gk + ∑ J k  n m k =1 k =1 ; J = E G + J ; EЭ =  ∑ ∑ Э k k k n k =1 k =1 G ∑ k k =1

RЭ =

1

∑G k =1

Схему рис. 5,в можно упростить, заменив резисторы R5 и R15 резистором с эквивалентным сопротивлением R12=R5R15/(R5+R15) 21

.

n

k

В выражениях для Eэ и Iэ обе суммы являются алгебраическими. В первой сумме - совокупность произведений ЭДС и проводимостей ветвей; со знаком "+" ("-") учитываются слагаемые, направление ЭДС которых совпадает (противоположно) с направлением эквивалентного источника относительно рассматриваемых узлов. Во второй сумме со знаком "+" ("-") учитываются те источники тока, направление которых совпадает (противоположно) с направлением эквивалентного источника относительно рассматриваемых узлов. Эквивалентное сопротивление Rэ является обратной величиной суммарной проводимости параллельно соединенных ветвей в исходной цепи. Рассмотрим некоторые частные случаи преобразования ветвей с источниками энергии. Если в параллельных ветвях отсутствуют источники энергии, эквивалентная ЭДС (источник тока) равна нулю. 22

Если в преобразуемом параллельном соединении есть ветвь, содержащая только идеальный источник ЭДС, то искомая эквивалентная ЭДС равна идеальной и имеет такое же направление; эквивалентное сопротивление при этом равно нулю. Если в состав параллельного соединения входят только идеальные источники тока, это соединение можно заменить только эквивалентным источником тока, величина которого равна алгебраической сумме токов источников; эквивалентное сопротивление при этом бесконечно велико. Как видно из приведенных расчетных выражений, последовательное соединение идеального источника ЭДС и резистора можно заменить параллельным соединением идеального источника тока и резистора (и наоборот);

J Э = E Э RЭ , E Э = J Э R Э . Идеальные источники ЭДС и тока взаимно преобразовать нельзя. Пример 5. в схеме электрической цепи (рис. 5,в) преобразовать параллельное соединение между узлами 1 и 3 в эквивалентный источник тока, а параллельное соединение между узлами 3 и 5 - в эквивалентный источник ЭДС (рис. 6).

Аналогичным образом участок между узлами 1 и 3 (рис. 6) можно заменить эквивалентным последовательным соединением ЭДС E16 и резистора R16 E16 = J2R16 = 4,29*16,44 = 70,5 В. Перенос источников ЭДС В ряде случаев расчет цепи облегчается в результате переноса в схеме источников ЭДС. Например, если в какойлибо ветви требуется исключить источник ЭДС, в эту ветвь вводится компенсирующая ЭДС (равная по величине заданной, но имеющая противоположное направление). Точно такие же ЭДС вводятся во все ветви, сходящиеся в один из узлов, между которыми включена компенсируемая ЭДС; эти ЭДС должны иметь по отношению к узлу такое же направление, как и компенсирующая ЭДС. Пример 6. Исключить ЭДС Е8 в цепи, изображенной на рис. 6. В каждую из ветвей, присоединенных к узлу 5, включим ЭДС, равные по значению Е8 и направленные к узлу 5. Тогда между узлами 1 и 5 в ветви имеются две равные по величине и противоположно направленные ЭДС; эквивалентная ЭДС в этой ветви, таким образом, равна нулю (рис. 7,а). Узлы 1 и 5 имеют одинаковый потенциал и могут быть объединены. Таким образом, удалось уменьшить на один количество узлов цепи и тем самым упростить ее (рис. 7,6). Эквивалентные ЭДС в ветвях с резисторами R6 и R7 определяются алгебраической суммой ЭДС ветви и вносимой ЭДС: E6э = E8 –E6 = 200 – 100 = 100 В. E7э = E7 –E8 = 600 – 200 = 400 В.

Рис. 6 23

24

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ Для определения любых физических величин, связанных между собой линейной зависимостью, можно применить известный из курса физики принцип наложения. В линейных электрических цепях на основании этого принципа определяют токи и напряжения на элементах цепи: ток (напряжение) на любом участке линейной электрической цепи, содержащей несколько источников электрической энергии, равен алгебраической сумме токов (напряжений), действующих на этом участке от каждого источника энергии в отдельности. На принципе наложения основан метод наложения. При расчете цепи этим методом поступают следующим образом. 1. Поочередно оставляют в цепи один из источников энергии, остальные исключают, оставляя на их месте их внутренние сопротивления. В месте подключения идеального источника ЭДС (R0=0) ставят закоротку, в месте подключения идеального источника тока (R0→∞) оставляют разрыв. 2. В полученной схеме с одним источником энергии определяют токи (напряжения) всех ветвей. Аналогичный расчет проводится при действии каждого из источников энергии. 25

3. Токи (напряжения) в исходной цепи находят путем алгебраического суммирования частичных токов (напряжений). Со знаком "+" ("-") учитывают составляющие, совпадающие (не совпадающие) с принятым на исходной схеме положительным направлением соответствующего тока (напряжения). Проверку расчета целесообразно проводить в каждой из частичных схем по законам Кирхгофа, в исходной цепи - по балансу мощностей. Следует помнить, что при вычислении электрической мощности в резисторах принцип наложения не применим, так как эта мощность является квадратичной функцией тока (напряжения). Метод наложения для расчета электрической цепи целесообразно применять в тех случаях, когда в результате поочередного исключения источников энергии цепь становится простой (комбинацией последовательного и параллельного соединения резисторов), а число источников энергии не превышает 2-4. Пример 7. Определить методом наложения токи и напряжения в цепи, схема которой изображена на рис. 8. Положительные направления токов в ветвях показаны на рисунке, положительные направления напряжений совпадают с направлениями одноименных токов.

26

Исключаем из схемы источник ЭДС Е6 и источник тока J. В цепи (рис. 9) действует источник ЭДС E1 . В месте подключения идеального источника ЭДС Е6 (R0 = 0 ) необходимо включить закоротку, в месте подключения идеального источника тока J (Rо→∞) должен быть разрыв цепи. В результате частичная схема рис. 9 представляет собой последовательно-параллельное соединение резисторов, направления токов в ветвях однозначно определяются направлением ЭДС Е1, а сами токи и напряжения на резисторах могут быть найдены методами расчета простых цепей.

Рис. 9 Эквивалетное сопротивление цепи зажимов источника ЭДС Е1 RЭ (1) = R1 +

относительно

Ток источника и напряжения на резисторах определяются по закону Ома, токи в ветвях удобно определять по правилу "чужого сопротивления"

27

=

U 2 (1) = I 2(1) R2 = 2,9 ⋅ 20 = 58B ; U 3(1) = I 3(1) R3 = 1,29 ⋅ 40 = 51,6 B ; U 4 (1) = I 4 (1) R4 = 1,29 ⋅ 5 = 6,45B . Ток и напряжение в ветви с резистором R5 равны нулю, так как этот резистор закорочен шестой ветвью, по той же причине токи в третьей, четвертой и шестой ветвях равны между собой. Проверка расчета по законам Кирхгофа: 4,19 = 2,9 + 1,29; I 1(1) = I 2 (1) + I 3(1) ; 4,19 ≅ 4,19 . E1 = U 1(1) + U 2(1) ; 100 = 58 + 41,9; 100 ≅ 99,9 .

R 2 ( R3 + R 4 ) 20(40 + 5) = 10 + = 23,9Ом . R 2 + R3 + R 4 20 + 40 + 5

I 1(1) = E1 RЭ (1) = 100 23,9 = 4,19 А ;

I 1(1) (R3 + R4 )

4,19(40 + 5) = 2,90 А ; (R2 + R3 + R4 ) (20 + 40 + 5) I 1(1) R2 4,19 ⋅ 20 I 3(1) = I 4 (1) = I 6 (1) = = = 1,29 А ; (R2 + R3 + R4 ) (20 + 40 + 5) U 1(1) = I 1(1) R1 = 4,19 ⋅ 10 = 41,9 B ; I 2 (1) =

0 = U 2 (1) − U 3(1) − U 4 (1) ; 0 = 58 – 51,6 – 6,45; 0 ≅ −0,05 . 2. Исключаем из схемы источник ЭДС Е1 и источник тока J. В цепи (рис. 10) действует источник ЭДС Е6. В месте подключения идеального источника ЭДС Е1(R0 = 0 ) необходимо включить закоротку, в месте подключения идеального источника тока J (Rо→∞) должен быть разрыв цепи. В результате частичная схема рис. 10 представляет собой последовательно-параллельное соединение резисторов, направления токов в ветвях однозначно определяются направлением ЭДС Е6, а сами токи и напряжения на резисторах могут быть найдены методами расчета простых цепей. 28

Коэффициент пропорциональности между истинными и заданными значениями токов и напряжений.

K = E 6 E 6′ = 200 77,5 = 2,58 . Искомые токи и напряжения в цепи (см. рис. 10):

I 1( 2 ) = KI 1′( 2 ) = 2,58 ⋅ 1 = 2,58 A ; U 1( 2 ) = KU 1′( 2) = 2,58 ⋅ 10 = 25,8B ;

Воспользуемся методом пропорционального пересчета. Задаемся током в ветви с резистором R1, равным I' 1(2) =I А. Напряжение на резисторах R1 и R2 при этом.

U 2 ( 2 ) = KU 2′ ( 2 ) = 2,58 ⋅ 10 = 25,8 B ;

U 1′( 2 ) = U 2′ ( 2 ) = I 1T( 2 ) ⋅ R1 = 1 ⋅ 10 = 10 B .

U 3( 2) = KU 3′( 2 ) = 2,58 ⋅ 60 = 154,8B ;

Ток в резисторе R2 I’2(2 = U’2(2)/R2 = 10/20 = 0.5 А. Токи в резисторах R3 и R4 равны между coбой по принципу непрерывности электрического тока и могут быть найдены по первому закону Кирхгофа:

U 4 ( 2 ) = KU 4′ ( 2 ) = 2,58 ⋅ 7,5 = 19,35 B .

I 3′( 2) = I 4′ ( 2) = I 1′( 2) + I 2′ ( 2) = 1 + 0,5 = 1,5 A . Напряжения на этих резисторах определяются по закону Ома, а необходимая величина ЭДС источника - по второму закону Кирхгофа:

U 3′( 2 ) = I 3′( 2 ) R3 = 1,5 ⋅ 40 = 60 B ; U 4′ ( 2 ) = I 4′ ( 2 ) R4 = 1,5 ⋅ 5 = 7,5B ;

I 2 ( 2 ) = KI 2′ ( 2 ) = 2,58 ⋅ 0,5 = 1,29 A ; I 3( 2) = KI 3′( 2) = 2,58 ⋅ 1,5 = 3,87 A ; I 4( 2) = KI 4′ ( 2) = 2,58 ⋅ 1,5 = 3,87 A ;

Резистор R5 включен непосредственно на зажимы идеального источника ЭДС E6, поэтому

U 3( 2) = E 6 = 200 B ;

I 5( 2) = U 5( 2 ) R5 = 200 25 = 8 A .

Ток в источнике определяется по первому закону Кирхгофа:

I 6( 2 ) = I 3( 2 ) + I 5( 2) = 3,87 + 8 = 11,87 A .

E 6′ = U 5′( 2 ) = U 1′( 2 ) + U 3′( 2) + U 4′ ( 2) = 10 + 60 + 7,5 = 77,5B .

Проверим расчет по балансу мощностей (законы Кирхгофа использовались при нахождении токов):

29

30

E 6 I 6( 2) = I 12( 2) R1 + I 22( 2 ) R2 + I 32( 2 ) R3 + I 42( 2) R4 + I 52( 2 ) R5 2

2

2

2

200 · 11,87 = 2,58 · 10 + 1,29 · 20 + 3,87 (40 + 5) + 8 · 25

2370 ≅ 2370(Вт )

3. Исключаем из схемы источники ЭДС E1 и E6. В цепи (рис. II) действует источник тока J . В месте подключения идеальных источников ЭДС (R0 = 0) необходимо включить закоротки. В результате частичная схема рис. II представляет собой последовательнопараллельное соединение резисторов, направления токов в ветвях однозначно определяются направлением источника тока J , а сами токи и напряжения на резисторах могут быть найдены методами расчета простых цепей. Резистор R4 включен непосредственно на зажимы источника тока J , резистор R5 закорочен шестой ветвью, поэтому ток в нем Рис. II равен нулю, а токи в третьей и шестой ветвях равны между собой. Резисторы R1 и R2 соединены параллельно и вместе - последовательно с резистором R5. Эквивалентное сопротивление этого участка RЭ (1) =

R3 + R1 R2 40 + 10 ⋅ 20 = = 46,7Ом . (R1 + R2 ) (10 + 20)

Токи в резисторах R3 и R4 могут быть найдены по правилу "чужого сопротивления", напряжения на этих резисторах - по закону Ома. Аналогично определяются токи и напряжения резисторов R1 и R2:

I 3( 3) = I 6 ( 3) =

JR4 5⋅5 = (RЭ (3) + R4 ) (46,7 + 5) = 0,484 A ; 31

I 4 ( 3) =

(R

JRЭ ( 3) Э ( 3)

+ R4 )

=

5 ⋅ 46,7 = 4,52 A ; (46,7 + 5)

U 3(3) = I 3(3) R3 = 0,484 ⋅ 40 = 19,35B ; U 4 ( 3) = I 4( 3) R4 = 4,52 ⋅ 5 = 22,6 B ; I 1(3) =

I 3( 3) R2

(R1 + R2 ) I 3(3) R1

=

0,484 ⋅ 20 = 0,323 A ; (10 + 20)

0,484 ⋅ 10 = 0,1613 A ; (R1 + R2 ) (10 + 20) U 1( 3) = I 1( 3) R1 = 0,323 ⋅ 10 = 3,23B ;

I 2 ( 3) =

=

U 2 (3) = I 2(3) R2 = 0,1613 ⋅ 20 = 3,23B . Проверка расчета по законам Кирхгофа:

J = I 4 ( 3) + I 6 ( 3) ;

5 = 4,52 + 0,484;

I 3( 3) = I 1( 3) + I 2( 3) ;

0,484 = 0,323 + 0,1613; 0,484 = 0,484;

U 1(3) = U 2 (3) ;

5 = 5; 3,23 = 3,23;

U 4 (3) − U 1( 3) − U 3( 3) = 0 ; 22,6 – 3,23 – 19,35 = 0; 0,02 ≅ 0 . 4. Результирующие токи и напряжения в ветвях исходной цепи определяются алгебраическим сложением частичных токов и напряжений. Так, при нахождении тока в резисторе R1 со знаком "+" учитываются частичные токи I 1(1) и I 1(3) , так как их направление совпадает с направлением тока I 1 на рис.8; частичный ток I 1(2) учитывается со знаком "-", так как его направление противоположно направлению тока I1 . Аналогичным образом определяются остальные токи и напряжения цепи: 32

I 1 = I 1(1) − I 1( 2 ) + I 1( 3) = 4,19 − 2,58 + 0,323 = 1,933 A; U 1 = U 1(1) − U 1( 2 ) + U 1( 3) = 41,9 − 25,8 + 3,23 = 19,33B; I 2 = I 2 (1) + I 2( 2) − I 2 ( 3) = 2,9 + 1,29 − 0,1613 = 4,03 A; U 2 = U 2(1) + U 2 ( 2 ) − U 2 (3) = 58 + 25,8 − 3,23 = 80,6 B; I 3 = I 3(1) − I 3( 2 ) + I 3( 3) = 1,29 − 3,87 + 0,484 = −2,1A; U 3 = U 3(1) − U 3( 2) + U 3( 3) = 51,6 − 154,8 + 19,35 = −83,9 B; I 4 = I 4 (1) − I 4( 2) − I 4 (3) = 1,29 − 3,87 − 4,52 = −7,1A; U 4 = U 4(1) − U 4 ( 2 ) − U 4 (3) = 6,45 − 19,35 − 22,6 = −35,5 B;

I 5 = I 5(1) + I 5( 2) + I 5(3) = 8 A; U 5 = U 5(1) + U 5( 2) + U 5( 3) = 200 B; I 6 = − I 6(1) + I 6 (3) − I 6 ( 3) = −1,29 + 11,87 − 0,424 = 10,16 A . Проверка расчета выполняется по законам Кирхгофа и уравнению энергетического баланса (пояснения см. в примере I): 1) I 1 − I 2 − I 3 = 0 ; 1,933– 4,03 + 2,1 = 0; − 0,003 ≅ 0 ; 2) I 3 − I 5 + I 6 = 0 ; -2,1 – 8 + 10,16 = 0;

0,06 ≅ 0 ;

3) J − I 1 + I 2 + I 4 = 0 ; 5–1,933+4,03–7,1=0;

− 0,003 ≅ 0 .

E1 I 1 + E 6 I 6 + J (− I 4 R4 ) = I 12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 ; 100·1,933+200·10,16+5·7,1·5=1,9332·10+4,032·20+2,12·40 +7,12·5+82·25; 2390 ≅ 2390(Вт ) Токи I 3 и I 4 (и соответственно напряжения U 3 и U 4 ) по расчету получились с отрицательными знаками. Это означает, что их истинные направления противоположны выбранным на рис. 8. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА Для определения тока в одной (или нескольких) из ветвей сложной электрической цепи целесообразно использовать метод эквивалентного генератора. Этот метод основан на теореме об активном двухполюснике: ток в некоторой заданной ветви не изменится, если активную цепь, к которой подключена эта ветвь, заменить источником энергии, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, а его (источника) внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов искомой ветви (рис. 12).

E1 − E 6 = I 1 R1 + I 3 R3 + I 4 R4 ; 100 – 200 = 1,933 · 10 - 2,1 · 40 - 7,1 · 5; − 100 ≅ −100,2 ; 0 = I 2 R2 − I 3 R3 − I 4 R4 − I 5 R5 ; 0 = 4,03 · 20 + 2,1 · 40 + 7,1 · 5 – 8 · 25; 0 ≅ 0,1 ; E 6 = I 5 R5 ;

200 ≅ 200 .

200 = 8 · 25; 33

34

Если эквивалентный генератор представляется источником ЭДС, ток в заданной ветви определяется по закону Ома (рис. 12,6): I=

UX . (RВХ + R )

Если эквивалентный генератор представляется источником тока, ток в заданной ветви находится по правилу "чужого сопротивления" (рис. 12,в): I=

I K RВХ . (RВХ + R )

В формулах Uх - напряжение холостого хода активного двухполюсника на зажимах ветви, в которой определяется ток; Iк - ток короткого замыкания активного двухполюсника при закороченной заданной ветви; Rвх - входное сопротивление пассивного двухполюсника, найденное относительно зажимов заданной ветви; R - сопротивление заданной ветви. Выбор схемы замещения эквивалентного генератора определяется схемой цепи, в которой рассчитывается ток. Если в заданной ветви, кроме резистора, есть источник ЭДС и для расчета используется последовательная схема замещения эквивалентного генератора (рис. 12,6), ток можно определить из выражения I=

ЭДС Е учитывается с положительным (отрицательным) знаком, если напряжение Uх и ЭДС Е совпадают (противоположны) по направлению. Определение тока в заданной ветви электрической цепи методом эквивалентного генератора удобно производить в следующей последовательности. 1. Разомкнуть (закоротить) заданную ветвь с искомым током. 2. Определить напряжение холостого хода /ток короткого замыкания/активного двухполюсника относительно заданной ветви. 3. Исключая из активного двухполюсника все источники энергии, определить входное сопротивление двухполюсника относительно зажимов заданной ветви. При исключении источников в схеме должны быть сохранены их внутренние сопротивления. 4. Используя закон Ома (правило "чужого сопротивления"), найти ток в заданной ветви. Направление тока определяется направлением напряжения холостого хода /тока короткого замыкания"/. Пример 8. В цепи, схема которой изображена на рис. 2, определить ток I1 методом эквивалентного генератора ЭДС (напряжения). После исключения ветви с ЭДС Е1 и резистором R1 получаем схему, изображенную на (рис. 13,а). В исходной цепи ток I1 направлен от узла 3 к узлу 1, такое же направление выбрано и для напряжения холостого хода U1x.

UX ± E . (RВХ + R )

35

36

Ток в ветви о резисторами R2 и R4 I2X =

(ϕ1 − ϕ 4 ) 229 = = 3,82 A . (R2 + R4 ) (20 + 40)

Напряжение холостого хода находится по второму закону Кирхгофа:

Для расчета напряжения холостого хода U1x сначала нужно найти ток I 2х в ветви с резисторами R2 и R4; удобнее всего это сделать методом узловых потенциалов. Положим потенциал узла 4 равным нулю, тогда потенциал узла 2

U 1 X = − I 2 X R2 = −3,82 ⋅ 20 = −76,5 B Схема для определения входного сопротивления пассивного двухполюсника изображена на рис. 13,6. В месте включения идеального источника ЗДС Е6 поставлена закоротка, в месте включения идеального источника тока J цепь разомкнута. Резистор R5 из схемы исключен, так как он закорочен шестой ветвью. Входное сопротивление относительно заданной ветви

ϕ 4 = 0 , ϕ 2 = ϕ 4 + E 6 = 200 B . Для узла 1 составим уравнение методом узловых потенциалов: G11ϕ1 − G12ϕ 2 = I , где G12 = 1 R3 = 1 25 = 0,04 Ом , 1 1 1 1 G11 = + = + = 0,0567Ом . (R2 + R4 ) R3 (20 + 40) 25

Подставляя уравнение, имеем откуда

подученные

значения

φ

0,0567 1 -200*0,04 = 5

φ 1=229 В. 37

в

расчётное

RВХ 1 =

R2 (R3 + R4 ) 20(25 + 40 ) = = 15,29Ом . (R2 + R3 + R4 ) (20 + 25 + 40)

Искомый ток I1 определяется по схеме с эквивалентным генератором напряжения (рис. 12,6). ЭДС E1 учитывается со знаком "+", так как ее направление совпадает с направлением тока I1 , а значит и с направлением напряжения холостого хода: I1 =

(E ЭГ (RЭГ

+ E1 ) (U 1 Х + E1 ) (− 76,5 + 100 ) = = = 0,930 А . (15,29 + 10) + R1 ) (R ВХ 1 + R1 )

Пример 9. В цепи, схема которой изображена на рис. 2, определить ток I2 методом эквивалентного генератора тока. 38

Закорачиваем в исходной схеме ветвь с резистором; получаем схему, изображенную на (рис. 14,а). В исходной цепи ток I2 направлен от узла 1 к узлу 3, такое же направление выбрано и для тока короткого замыкания I2k. Этот ток в схеме (рис. 13,6) можно найти, например, методом наложения: I 2K =

E1 (E 6 + JR3 ) 100 (200 + 5 ⋅ 25) + = + = 15 A . (25 + 40) R1 (R3 + R4 ) 10

Схема для определения входного сопротивления пассивного двухполюсника, изображена на (рис. 14,6). В месте включения идеальных источников ЭДС Е1 и Е6 поставлены закоротки, в месте включения идеального источника тока J цепь разомкнута. Резистор R5 из схемы исключен, так как он закорочен шестой ветвью. Входное сопротивление относительно заданной ветви

RВХ 2 =

R1 (R3 + R4 ) 10(25 + 40) = = 8,67Ом (R1 + R3 + R4 ) (10 + 25 + 40)

Искомый ток I2 определяется по схеме эквивалентным генератором тока (рис. 12,в): I2 =

Рис. 14 Пример 10. В цепи, схема которой изображена на (рис. 2), определить ток I4 методом эквивалентного генератора напряжения. Размыкаем в исходной схеме ветвь с резистором R4; получаем схему, изображенную на (рис. 15,а). В исходной цепи ток I4 направлен от узла 4 к узлу 3, такое же направление выбрано и для напряжения холостого хода U4x

J ЭГ RЭГ I R 15 ⋅ 8,67 = 2 Х ВХ 2 = = 4,53 А . (RЭГ + R2 ) (RВХ 2 + R2 ) (8,67 + 20)

39

с

Рис. 15

Размыкание заданной ветви существенно упрощает схему: ток I2x определяется только источником ЭДС E4 и не зависит от других источников энергии, ток I3x равен току источника тока J в силу принципа не прерывности электрического тока: E1 100 I2Х = = = 3,33 A , I 3 Х = J = 5 A . (R1 + R2 ) (10 + 20)

40

Напряжение холостого хода находится по второму закону Кирхгофа:

U 4 X = I 2 X R2 − JR3 − E 6 = 3,33 ⋅ 20 − 5 ⋅ 25 − 200 = −258B . Схема для определения входного сопротивления пассивного двухполюсника изображена на (рис. 15,6). В месте включения идеальных источников ЭДС E1 и E6 поставлены закоротки, а в месте включения идеального источника тока J цепь разомкнута. Резистор R5 из схемы исключен, так как он закорочен шестой ветвью. Входное сопротивление относительно заданной ветви RВХ 4 = R3 +

R1 R2 10 ⋅ 20 = 25 + = 31,7Ом (R1 + R2 ) (10 + 20)

Искомый ток I4 определяется по схеме с эквивалентным генератором напряжения (рис. 12,6): I4 =

E ЭГ U 4X − 258 = = = −3,6 А (RЭГ + R4 ) (RВХ 4 + R4 ) (31,7 + 40)

МЕТОД НЕНАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ В методе ненаправленных графов за основу принимается информация о так называемом графе цепи, выраженная в виде остова заданной цепи, на котором показаны только узлы и ветви цепи. Определяется передаточный коэффициент (передача) между входным воздействием (источником энергии) и искомой реакцией (током или напряжением). Передача определяется по топологической формуле 41

T=

∆′ = ∆

∑ П ′ ∆′ ∑П ∆ K

K

K

K

где Т - передача цепи, т.е. любая передаточная функция цепи (входные и взаимные сопротивления и проводимости, коэффициент передачи по току и напряжению); ∆ - узловой определитель графа цепи, найденный с помощью разлояения по путям между двумя произвольно выбранными узлами; П’к - к-ый путь передачи, равный произведению проводимое тек ветвей, входящих в данный путь; всегда начинается на положительном зажиме источника и заканчивается на отрицательном его зажиме, должен включать в себя ветвь с искомой реакцией и не проходить по ветви с источником; ∆’к - определитель к-го пути передачи графа; определяется из графа, полученного при закорачивании этого пути передачи в исходном графе; Пк, ∆к соответственно к-ый путь и его определитель, полученный на основании исходного графа с закороченным к-ым путем. Если искомой реакцией является ток, в ветвь этого тока включают амперметр с единичной проводимостью; если искомой реакцией является напряжение ветви, параллельно этой ветви включают вольтметр с единичной проводимостью. При наличии в схеме идеального источника ЭДС закорачивают узлы, к которым подключен этот источник; ветвь с идеальным источником тока в граф цепи не входит. Топологический метод применим только для цепей с одним источником энергии. Если цепь содержит несколько источников, для расчета используется принцип наложения. Пример 11. Определить передачу в мостовой цепи (рис. 16,а) от источника напряжения, подключенного к 42

узлам 1 и 3, к току I4 в ветви с проводимостью G4 . Положительное направление этого тока (и положительное направление вдоль этой ветви) совпадает с заданным направлением напряжения источника.

Пути П1 и П2 , а также находятся для пары узлов 2 и должны быть закорочены. Тогда ветви G1 и G2 , а также G3 и G4

их определители ∆1 и ∆2 4, узлы 1 и 3 источника соединяются параллельно (рис. 17,а).

Первый путь от узла 2 к узлу 4 проходит последовательно по этим двум параллельным разветвлениям; при закорачивании этого пути все четыре узла объединяются (рис. 17,6). Следовательно, Граф цепи показан на (рис. 16,6). В цепи два пути передачи от узлов 1 и 3 источника к ветви G4 Первый путь передачи проходит по ветви G3 . При закорачивании этого пути передачи узлы 1, 3 и 4 соединяются вместе, образуя с узлом 2 одну ветвь, состоящую из параллельно соединенных проводимостей G1 , G2 и Gs (рис. 16,в). Следовательно,

П1′ = G3G4 ,

∆ 1′ = G1 + G2 + G5 .

Второй путь передачи проходит по ветвям G1 и Gs. При закорачивании этого пути передачи все четыре узла объединяются (рис. 16,г). Следовательно,

П 2′ = G1G4 G5 , 43

П1 = (G1 + G2 )(G3 + G4 ) ;

∆1 = I .

Второй путь от узла 2 к узлу 4 проходит по ветви G5 при закорачивании этого пути все остальные ветви оказываются соединенными параллельно (рис. 17,в). Следовательно,

П 2 = G5 ,

∆ 2 = G1 + G2 + G3 + G4

В результате передача (взаимная проводимость)

∆ ′2 = I . 44

T= =

G3 G4 (G1 + G2 + G5 ) + G1G4 G5 I4 = = U (G1 + G2 )(G3 + G4 ) + G5 (G1 + G2 + G3 + G4 )

0,025 ⋅ 0,2(0,1 + 0,05 + 0,04) + 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,04 = 3,59 ⋅ 10 − 2 См (0,1 + 0,05)(0,025 + 0,2) + 0,04(0,1 + 0,05 + 0,025 + 0,2)

Если, например, напряжение источника В, ток в четвертой ветви

U = 100

I 4 = TU = 3,59 ⋅ 10 −2 ⋅ 100 = 3,59 A Пример 12. Определить топологическим методом ток I6 в цепи, изображенной на (рис. 18,а). Положительное направление тока показано на рисунке.

Главный определитель графа определяют по путям между двумя произвольно выбранными узлами 1 и 2. Определители путей находят для графов с соответственно закороченными путями (рис. 19): П1 = G1 ,

П 2 = G5 , П 3 = G 2 G3 , П 4 = G3 G 4

∆ 1 = G 2 + G3 + G 4 , ∆ 2 = G 2 + G3 + G 4 , ∆3 = I , ∆4 = I ,

(рис. (рис. (рис. (рис.

19, 19, 19, 19,

а); б); в); г).

(Определитель пути равен единице, если этот путь проходит по всем узлам графа.)

Главный определитель графа

∆ = ∑ П K ∆ K = G1 (G2 + G3 + G4 ) + G3 (G2 + G3 + G4 ) + G2 G3 ⋅ 1 + G3G4 ⋅ 1 =

= (0,1 + 0,2)(0,05 + 0,04 + 0,025) + 0,04(0,05 + 0,025) = 3,75 ⋅ 10 −2 См

Граф цепи изображен на (рис. 18,6). Ветвь с идеальным источником тока в граф цепи не входит (G 3 = 0), искомая ветвь стянута в точку (узлы 2 и 4 слиты в один). 45

Для определения путей передачи и их определителей используют граф, изображенный на (рис. 20), а заданная ветвь учитывается единичной проводимостью.

46

Искомый ток I6 = TJ = 0,36 • 5 = 1,8 А. Аналогичным образом могут быть найдены и напряжения в заданных ветвях; передача при этом имеет размерность сопротивления. МЕТОД СИГНАЛЬНЫХ (НАПРАВЛЕННЫХ) ГРАФОВ

Первый путь передачи проходит по ветви G1 ; при закорачивании этого пути передачи узлы 1, 2 и 4 объединяются вместе, образуя параллельное соединение ветвей G 2 , G 4 и G 3 (рис. 20,6): П1′ = G1 ;

∆ 1′ = G2 + G3 + G4 .

Второй путь передачи проходит по ветвям Gs и G2; при закорачивании этого пути передачи все четыре узла объединяются (рис. 20,в), следовательно,

П 2′ = G2 G3 ;

∆ ′2 = I .

Оба пути передачи проходят через заданную ветвь в том же направлении, что и ток I6 , поэтому произведения путей передачи на их определители в формуле передачи должны быть учтены с положительным знаком:

I 6 ( П1′∆ 1′ + П 2′ ∆ ′2 ) (G1 (G2 + G3 + G4 ) + G2 G3 ⋅ 1) = = = ∆ J ∆ (0,1(0,05 + 0,04 + 0,025) + 0,05 − 0,04) = 0,360 = 3,75 ⋅ 10 − 2

T = KI =

47

Сигнальным графом (направленным графом, графом уравнения) называется совокупность узлов и соединяющих их ветвей, имеющих направление, указываемое стрелкой. В отличие от ненаправленного графа, сигнальный граф представляет собой геометрический образ системы линейных алгебраических уравнений, описывающих электрическое состояние цепи, иными словами, сигнальный граф не повторяет электрическую цепь, а представляет собой графическое изображение уравнений, связывающих величины, характеризующие эту цепь. Узел графа, к которому подключена одна уходящая ветвь, характеризуется входным сигналом - свободным членом системы уравнений (заданным напряжением или током), узел с одной входящей ветвью - выходным сигналом, т.е. искомой величиной, остальные узлы - другими неизвестными величинами, которые должны быть исключены в процессе решения задачи. Каждая ветвь характеризуется передачей, являющейся функцией коэффициентов уравнений и равной отношению сигналов выходного (по направлению ветви) узла к входному. К узлам графа может подходить и уходить по нескольку ветвей; сигнал узла равен сумме сигналов, приходящих к этому узлу (уходящие сигналы не учитываются). Граф цепи позволяет по заданному входному сигналу (напряжению или току источника энергии) найти выходной сигнал (ток или напряжение приемника). Эта задача может быть решена или последовательным упрощением графа, или 48

применением общего выражения для передачи сигнала (формула Мезона). При упрощении исходный граф преобразуется в эквивалентный с одной ветвью, непосредственно связывающей входной и выходной узлы. Сигнальный граф цепи может быть построен по системе расчетных уравнений, составленных для заданной цепи методом контурных токов или узловых потенциалов. Однако преимущества использования сигнальных графов для расчета электрических цепей сказываются в полной мере лишь тогда, когда граф строится сразу по схеме цепи без составления и преобразования уравнений. В случае построения графа контурных уравнений необходимо задаться положительными направлениями контурных токов, выбирая в качестве контуров ячейки, на которые разбита цепь; положительные направления контурных токов цепи принимаются одинаковыми (например, по часовой стрелке). Количество узлов будущего графа определяется количеством неизвестных контурных токов и количеством источников энергии в исходной цепи. Далее поступают следующим образом. 1. На поле графа располагают узлы, соответствующие искомым переменным и источникам схемы. 2. Узлы-переменные (контурные токи) соединяются двумя параллельными противоположно направленными ветвями, причем, если ветвь направлена от узла j к узлу i , то передача этой ветви принимается равной –Rij/Rii 3. Источники ЭДС схемы соединяются с узламипеременными, направление передачи всегда от источника к соответствующему узлу - переменной, т.е. к тому току, в контуре которого находится данная ЭДС. Передача ветви, соединяющая источник ЭДС, с i-м контурным током численно равна +(-)1/Rii. Знак "+" берется в случае, если i-й контурный ток совпадает по направлению с данной ЭДС.

4. Источники тока схемы соединяются с теми узламипеременными, в контуре которых находятся сопротивления, включенные параллельно самим источникам тока; передачи этих ветвей численно равны +(-)Rk/Rii (здесь под Rk понимается сопротивление резистора, включенного параллельно данному к-му источнику тока и входящего в i-й контур). Знаменатель Rii означает, что данный источник тока соединен с i-м узлом, т.е. с i-м контурным током. Знак «+» отношения Rk/Rii принимается в случае, если эквивалентная ЭДС к -го источника тока направлена согласно с i-м контурным током. Пример 13. Построить граф контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на (рис. 21,а). Для большего удобства построения графа необходимо видоизменить схему так, чтобы каждому источнику тока соответствовал параллельно включений резистор /рис.21,б/. Задаемся положительными направлениями контурных токов I11 и I22 по часовой стрелке. Граф будет содержать шесть узлов, четыре из которых принадлежат источникам энергии. Контурные сопротивления:

49

50

R11 = R1 + R3 + R4 ; R22 = R2 + R3 + R5 . Взаимное сопротивление контуров

R12 = R21 = − R3 . Сигнальный граф для цепи (рис. 21,а) изображен на (рис. 21,в).

В случае построения графа узловых уравнений в качестве узлов-переменных принимаются потенциалы узловых точек цепи, причем их количество на единицу меньше числа узлов цепи. Если в схеме действует идеальный источник ЭДС, необходимо предварительно произвести преобразование цепи, например перенести источник через узел. Общее количество узлов графа равно количеству узлов-источников и узлов-переменных. Далее поступают следующим образом. 1. Располагая узлы на поле графа, соединяют их между собой, причем узлы-переменные соединяются двумя параллельными противоположно направленными ветвями, а узлы-истоки соединяются одиночными ветвями с теми узлами-переменными, между которыми включен данный источник в электрической цепи. Если ветвь направлена от j-го узла-переменной к i-му узлу-переменной, передача ветви равна -G ij /G ii /

2. Передача ветви, соединяющей источник ЭДС Ек с iом узлом-переменной, равна +(-)Gk/Gii ( Gк- проводимость ветви с ЭДС Eк ). Знак "+" принимается в случае, когда ЭДС Eк направлена к i-му узлу. 3. При соединении источника тока JK с i-му узломпеременной в граф вводится ветвь с передачей +(-)1/Gii , причем знак "+" берется тогда, когда ток JK направлен к iму узлу. Пример 14.ПОСТРОИТЬ граф узловых уравнений для цепи, схема которой изображена на рис. 22,а. Используя формулу Мезона, определить ток J5 в ветви с резистором R5 ЭДС E5. Положительное направление тока показано на рисунке. 51

52

Поскольку решение графа с помощью топологической формулы Мезона предполагает наличие только одного источника энергии, преобразуем несколько истоков в один эквивалентный; при этом в графе появляются ветви между Е6 и J , между Е1 и J , а также между Е5 и J. Передачи этих ветвей соответственно равны: E 6 J = 200 15 = 13,33Ом ; E5 J = 100 15 = 6,67Ом ; E1 J = 150 15 = 10Ом . В результате такого преобразования истоком графа является только узел J , остальные истоки графа превратились в зависимые (смешанные) узлы. Передачи остальных ветвей вычисляются согласно известным правилам и обозначаются на графе (см. рис. 22,6). Нахождение определителя графа топологическим методом осуществляется по формуле ∆ УД = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + ... , (1)

Рис. 22 Учитывая приведенные рекомендации, строим сигнальный граф цепи (рис.22,6). Узловые и межузловые проводимости:

G11 = 1 R1 + 1 R2 + 1 R4 + 1 R6 = 1 5 + 1 20 + 1 25 + 1 50 = 0,1См

где ∑L i - сумма величин всех контуров графа без исключения; ∑L i -L j — сумма произведений величин контуров графа, взятых попарно и не соприкасающихся между собой; ∑LiLjLk.- сумма произведений величин контуров графа, взятых по три и не соприкасающихся между собой и т.д. В графе (рис. 22,6) есть только один контур, величина которого

;

G22 = 1 R3 + 1 R4 + 1 R5 = 1 10 + 1 25 + 1 40 = 0,165См G12 = G21 = − 1 R4 = − 1 25 = −0,04См . 53

( 2)

L1 =

G12 G21 0,04 ⋅ 0,04 = = 3,13 ⋅ 10 − 2 G11G22 0,31 ⋅ 0,165 54

(Напомним, что контур сигнального графа должен замыкаться по ветвям одного направления.) Таким образом, узловой определитель сигнального графа ∆ УД = 1 − L1 = 1 − 3,13 ⋅ 10 −2 = 0,969 .

Остальные слагаемые топологической формулы определителя равны нулю, так как отсутствуют пары, тройки и другие комбинации несоприкасающихся контуров. Формула Мезона для передачи узлового графа между истоком и стоком T=

(∑ П

∆К )

К

i

(1)

,

∑L L i

j

,

( 2)

∑L L L i

j

k

.

( 3)

и т.д. не должны соприкасаться с данным к-м путем (об этом напоминает "звездочка" в числителе формулы передачи). Искомой величиной (стоком графа) является ток I5 в ветви с резистором R5 и ЭДС Е5. Передачи ветвей, подходящих к стоку, определяются из уравнения: I5 =

(ϕ 2 − ϕ 3 − E5 ) R5 55

∆1 = 1 ;

П2

∆2 = 1;

П3 П4

П5

∆ УД

= G5ϕ 2 − G5 E5 .

E 6 G6 G21 ⋅ ⋅ ⋅ G5 , J G11 G22 1 G21 =− ⋅ ⋅ G5 , G11 G 22 E G G = 1 ⋅ 1 ⋅ 21 ⋅ G5 , J G11 G22 E G = 5 ⋅ 5 ⋅ G5 , J G22 E = − 6 ⋅ G5 , J

П1 = −

∗

где Пк - величина к-го пути графа между заданным истоком и искомой величиной стока; ∆к - определитель к-го пути; вычисляется по топологической формуле разложения определителя с учетом дополнительного условия: все контуры в выражениях

∑L

Величины путей графа и их определителей:

∆3 = 1 ; ∆4 = 1;

∆5 = 1 −

G12 G21 ⋅ . G11 G22

После подстановки в топологическую формулу передачи и необходимых алгебраических преобразований имеем: I T = 5 = J

(∑ П

∆К )

∗

К

∆УД

=

G5 ⋅ J (G11G22 − G12G21 )

⋅ (E1G1G21 + E5 (G5G11 + G12G21 − G11G22 )− E6G6G21 − JG21 ) = =

0,025 ⋅ (− 150 ⋅ 0,2 ⋅ 0,04 + 15(0,31 ⋅ 0,165 − 0,04 ⋅ 0,04) + 100(0,025 ⋅ 0,31 + 0,04 ⋅ 0,04 − 0,31 ⋅ 0,165) + + 200 ⋅ 0,02 ⋅ 0,04 + 15 ⋅ 0,04) = −0,1554

Ток в заданной ветви I5=TJ = -0,1554*15 = -2,33 А. Знак "-" указывает, что истинное направление тока противоположно выбранному на рис. 22,а. 56

Полученное выражение для передачи можно использовать для анализа влияния параметров цепи на силу тока в заданной ветви, для оптимизации режима работы цепи по заданным условиям. Аналогично могут быть найдены передачи (коэффициенты по току и напряжению) для других ветвей цепи. Далее приводятся условия задания на расчет сложной линейной электрической цепи постоянного тока и данные вариантов этого задания. УСЛОВИЯ ЗАДАНИЯ 1. Рассчитать токи в ветвях заданной цепи методами узловых потенциалов и контурных токов. Проверить расчет цепи по законам Кирхгофа для всех узлов и независимых контуров. Составить и проверить уравнение энергетического баланса (баланс мощностей) цепи. 2. Построить потенциальные диаграммы для контуров заданной цепи (контур задает преподаватель). 3. Преобразовать заданную цепь до трех независимых контуров. Рассчитать полученную цепь методом наложения. Проверить расчет по законам Кирхгофа. 4. Рассчитать токи в ветвях цепи методом эквивалентного генератора (номер ветви задает преподаватель). 5. Оставить в цепи один источник электрической энергии и рассчитать ток в одной из ветвей топологическим методом ненаправленных графов (номера источника и ветви задает преподаватель). 6. Составить сигнальные графы контурных и узловых уравнений цепи. Рассчитать ток в одной из ветвей цепи с помощью топологической формулы передачи (номер ветви задает преподаватель). 57

Вариант задает преподаватель в виде числа из трех цифр: Резисторы R 1, R 2, R 3, R 4, R 5,

Ом Ом Ом Ом Ом

Источники энергии E, В E 6, В I 1, А I 2, А

0 5 10 20 25 40

1 10 20 25 40 50

2 20 25 40 50 5

Первая 3 25 40 50 5 10

цифра варианта 4 5 6 40 50 40 50 5 25 5 10 20 10 20 10 20 25 5

7 50 40 25 20 10

8 5 50 40 25 20

9 10 5 50 40 25

Вторая цифра варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 100 150 200 250 100 200 300 100 150 100 200 300 100 150 50 100 150 200 300 5 10 15 20 25 10 10 15 25 5 25 15 5 10 20 15 25 5 10 20

Сопротивление резистора R6 задает преподаватель. Третья цифра варианта соответствует номеру схемы цепи (рис. 23).

58

Подписано в печать 04.05.2006 г. Формат 60 * 841/16. Усл.п.л. 3,48. Тираж 100 экз. Заказ №64. Издательство ВСГТУ, г. Улан-Удэ, ул.Ключевская, 40в.

Рис. 23

59