Статистическая механика

Р. Кубо СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Современный курс с задачами и решениями, составленный при участии Х.Ичимура, Ц.Усуи, Н.Хасизуме Оглавление Предисловие редактора перевода Предисловие Предисловие к японскому изданию Глава 1. Принципы статистической механики Основные положения § 1. Микроскопические состояния § 2. Статистическое описание § 3. Принцип равной вероятности и микроканонический ансамбль § 4. Термодинамический вес макроскопического состояния и энтропия § 5. Число состояний и плотность состояний § 6. Нормальные системы в статистической термодинамике § 7. Контакт между двумя системами § 8. Квазистатический адиабатический процесс § 9. Равновесие между двумя системами, находящимися в контакте § 10. Основные законы термодинамики § 11. Наиболее вероятное состояние и флуктуации § 12. Каноническое распределение § 13. Обобщенное каноническое распределение § 14. Статистические суммы и термодинамические функции § 15. Статистики Ферми, Бозе и Больцмана § 16. Обобщенная энтропия Примеры. Задачи Решения Литература Глава 2. Метод канонического распределения Основные положения § 1. Общие свойства статистической суммы Z (р) § 2. Асимптотическая оценка для больших систем § 3. Асимптотические оценки и преобразования Лежандра термодинамических функции 8 4. Большая статистическая сумма Z(β) § 5. Статистические суммы обобщенных канонических распределений § 6. Классические конфигурационные интегралы § 7. Матрицы плотности Примеры. Задачи

5 7 9 13 13 13 15 18 20 21 23 25 27 28 31 38 35 36 39 42 46 46 72 80 119 120 120 120 122 125 125 127 127 128 130 149

Решения. Литература Глава 3. Статистическая термодинамика газов Основные положения § 1. Статистическая сумма для идеального газа § 2. Внутренние степени свободы и внутренние статистические суммы § 3. Смеси идеальных газов § 4. Взаимодействие молекул § 5. Групповые разложения Примеры. Задачи Решения. Литература Глава 4. Применение статистики Ферми и статистики Бозе Основные положения § 1. Основные формулы ферми-статистики § 2. Функция распределения Ферми § 3. Энергетические зоны в кристаллах § 4. Дырки § 5. Полупроводники § 6. Статистика Бозе. Жидкий гелий Примеры. Задачи Решения. Литература Глава 5. Системы с сильным взаимодействием Основные положения § 1. Приближение молекулярного поля § 2. Приближение Брэгга — Вильямса § 3. Кооперативные явления § 4. Средний потенциал в системе заряженных частиц § 5. Теория Дебая — Хюккеля § 6. Функции распределения в многочастичной системе Примеры. Задачи Решения Литература Глава 6. Флуктуации и кинетическая теория Основные положения § 1. Флуктуации § 2. Частота столкновений § 3. Уравнение переноса Больцмана

159 201 203 203 203 204 208 209 211 214 221 226 249 250 250 250 252 255 256 258 260 262 273 281 324 325 325 325 328 330 333 333 335 337 346 352 385 386 386 386 387 388

Примеры Задачи Решения Литература Предметный указатель

392 400 406 442 443

Предметный указатель Адиабатическая теорема 27, 93 — — статистика 23, 43, 69, 76, 79, Адиабатический инвариант 27, 93 111, 201, 260, 296 — процесс 27, 74, 77 Бозоны 43 Адсорбции центр 152, 169 — плотность состояний 270 Активность (абсолютная) 37, 100, 269 Больцмана — Максвелла 309 распределение 18, 45, 253 — — статистика 45, 102, 110, 203, Акцептор 259, 276, 278, 294, 305 261, 277, 291 Ангармонический осциллятор 154, 175, 224 — — уравнение 388—392, 397, 398, 402, 404, 405 — член 240 — — — линеаризация 391 Ансамбль см. Распределение Большой канонический ансамбль см. Антиферромагнетизм 332 Асимптотическая оценка 122, 124, Распределение Бора — Ван Левен теорема 157 125 Бора магнетон 157, 168, 277 Бернулли формула 47, 82 Бриллюэна функция 167, 168 Бете приближение 344, 352, 380—383 Биномиальная теорема 89 Броуновское движение 297, 404, 425, 426 Биномиальное распределение 91, 424 Брэгга—Вильямса приближение Ближайшие соседи, взаимодействие 328, 339, 344, 346, 347 347 — — число 327, 352 Валентная зона 258 Ван дер Ваальса радиус атома 395 — спины, число 327, 351, 352, 359 — сила 210 Бозе-газ — внутренняя энергия 279 — уравнение 345 — идеальный 276, 279, 280 — слабое вырождение 269, 279, 280, Ван Флека модель 346, 349 Вектор-потенциал 157, 189 310, 315 Видемана — Франца закон 428 — -теплоемкость 271 — термодинамические свойства 279, Вина закон излучения 141 Вириал 48 316 — теорема 47, 151, 163, 348 — химический потенциал 271, 315 Вириальное разложение 214, 223 Бозе распределение 44, 261 Бозе — Эйнштейна конденсация 262, — — для идеального квантового газа 280, 315 269—271, 276, 280, 297, 314 Вириальный коэффициент 225 — — критическая температура 271 Водород 244

Возврата теорема 236 Волновая функция 201, 207 Волны электромагнитные 139—141, 164, 272 Восприимчивость магнитная 349 Вырождение 203, 250, 270, 273, 275, 276, 301 — вращательных состояний 206, 227 — низшего электронного состояния 205, 207 — спиновое 268, 269, 291 Вырождение, температура 287 — ядерных спиновых состояний 205, 208, 242 Вязкие силы 388 Вязкость (объемная и сдвиговая) 405, 434 — разреженного газа 405, 435 Гамильтониан 14, 15 — во вращающейся системе координат 161 — гармонических осцилляторов 87 — для вращательного движения 134 — ротатора 221 — системы взаимодействующих частиц 189 — — заряженных частиц 157 — — спинов в магнитном поле 337 — электрона в магнитном поле 157, 192 Гармонический осциллятор 51, 73, 75, 87, 135, 142, 154, 157, 301, 405 Гармонических осцилляторов система 73, 77, 95 — — — матрица плотности 158 — — — свободная энергия Гельмгольца 97, 135 — — — средняя энергия 51 1 — — — статистическая сумма 96, 135, 142 — — — теплоемкость 239

— — — энтропия 52, 93, 97, 143 Гаусса распределение 91, 400 Гелий жидкий 260, 261, 332 Гетероядерная молекула 205 Гиббса — Дюгема соотношение 411 Гиббса парадокс 209 Гомоядерные молекулы 205 Грина функция 421 Групповой интеграл 212, 226, 248 Групповые разложения 211 Грюнайзена предположение 156 Гука закон 95 Давления тензор 414, 434 Дальний прядок 345, 346, 351, 372, 380 Дальтона закон 72 Дебая константа экранирования 378 — радиус 343, 365 — теория 135—139, 155 — уравнение 433 Дебая — Хюккеля теория 333, 348 Дебая частота 135, 180 де Бройля длина волны 100, 103 де Гааза — Ван Альфена эффект 281, 322 Дефекты решетки 78, 108 Джоуля — Томсона коэффициент 225, 244 — — эффект 225, 244 Диаграммы 211, 248 Динамическая величина (переменная) 14, 129 Диполи электрические 131, 145, 404 — — взаимодействие 188 Диссипативный процесс 441 Диссоциации реакция 219, 223, 268 — энергия 223, 234 Диффузии коэффициент 399, 404, 424, 426, 427 Диэлектрическая проницаемость 132, 334, 342, 404, 433

Донор 259, 267. 278, 292—294, 305, 308, 309 Допплеровское уширение 72, 83 Дрейфовый член 389 Друде электронная теория 267, 418 Дырка 256, 258, 265, 295 Дюлонга — Пти закон 136, 155, 181, 267, 274 Жидкость, решеточная модель 361 Заполнения числа 44 — — средние 44, 250 Заряженных частиц система, гамильтониан 157 — — — матрица плотности 158 — — — свободная энергия Гельмгольца 118 — — — энтропия 80 Зоммерфельда электронная теория 267 Зона валентная 258, 276, 305 — заполненная 258, 276 — проводимости 258, 267, 278, 287, 292, 305, 308 — — плотность состоянии 398 Зонная теория 267 Идеальная смесь, энтропия 328 Идеальный газ 17, 49, 61, 72, 74—76, 99, 100, 150 Идеальный газ, свободная энергия Гельмгольца 41, 61, 62 — — — — Гиббса 63 — — смесь 208 — — химический потенциал 63 — — энтропия 50, 63 Изинга модель 326, 344, 347, 349, 351 — система спинов 349 — — — свободная энергия 349 — — — статистическая сумма 349 — — — теплоемкость 346, 352 — — — энергия 349 — спин 326, 349, 351

Излучение тепловое 141, 151, 155, 165 Индукция электрическая 133, 334, 404, 432 Ионный заряд 348 — раствор 333, 342 Ионы, взаимодействие .333 Канонически сопряженный импульс 159, 221 Каноническое уравнение движения 14 Квазихимическое приближение см. Бете приближение Квазиэргодическая теорема 104, 237 Квантовое состояние магнитное 169 — число магнитное 152, 167 Кеезома сила 188 Кинетическая теория газов 17, 67, 386 Кинетический коэффициент 389, 399 Кирквуда приближение 344, 351 Классический предельный переход 19, 22, 45, 158, 200, 203, 250 Кнудсеновская область 413 Ковариации (корреляции) матрица 408-410 Колебания нормальные (моды) 135, 138, 155, 178, 179, 272 — степени свободы 240 — характеристическая температура 223, 240 Коллоидные частицы 297, 403, 425 Консервативная система 14 Контакт изобарический 27, 30 — материальный 26, 29, 63 — механический 25 — тепловой 25, 28, 63 Кооперативные явления 330, 344 Координатное представление матрицы плотности 147, 198, 280, 317

Координатное представление уравнения Шредингера 197 Корреляционная функция 336, 348, 402, 425 — — электрического тока 406, 439 Корреляция пространственная 348, 367 — скоростей 439 Кристалл антиферромагнитный 332. 346, 348 — — упорядоченность спинов 369 — идеальный 77, 108 — неидеальный 77, 108 — парамагнитный 332 — теплоемкость 155 — ферромагнитный 326, 330, 337, 346 Кюри — Вейсса закон 338, 357 Кюри закон 168, 357 — константа 339 — температура (точка) 330, 337— 339, 345, 346, 354, 355, 381 Ландау квантование уровней 321 Ланде g-фактор 168 Ланжевена — Дебая формула 288, 309 Ланжевена уравнение 404 — функция 145, 177 Лежандра преобразование 40, 42, 102, 125, 146 Леннарда — Джонса потенциал 210 Лиувилля теорема 104 — уравнение 437 Лоренца закон 429 — сила 277 — число 429 Лэнгмюра изотерма 110 Магнитная восприимчивость 152„ 157, 279, 281, 346, 370, 371 Магнитный момент 152, 285, 326 — — спиновый 274, 298, 326

Мазеры 167 Максвелла демон 26 — равенство 395 — распределение 18, 45 — соотношения 407 Масс действующих закон 268, 382 Матрица плотности для канонического ансамбля 129, 147, 157, 196-200 Матрица плотности для системы гармонических осцилляторов 158 — — — — заряженных частиц 157 — — — ферми-газа 317 Междоузлия 77, 107 Ми— Грюнайзена уравнения 156 Многоатомная молекула 207, 221 Молекулярного поля константа 327, 337 — — приближение 323, 329, 339, 344—346, 349, 351, 355 Молекулярный хаос 388 Мотта константа экранирования 378 Мульхолланда формула 215 Найквиста соотношение 441 Намагниченность 152, 167, 189, 327, 332, 346, 349, 355, 368 — насыщения 328, 355 — спонтанная 327, 330, 346, 348, 355 Нееля температура 332, 348, 371 Нейтрон 43 — дифракция 331, 332 Необратимый процесс 386, 399, 441 Неопределенности принцип 14 — соотношение 166 Неопределенность энергии 20 Неразличимость тождественных частиц 22, 98, 200 Нормальная система 23, 54, 117, 166 — — энтропия 24 Нормальное распределение 409 Нулевые колебания 106

— — энергия 106 Обменное взаимодействие 326, 332, 346 Обменный интеграл 337 Обобщенная координата 14, 40, 151 — сила 40 — энтропия 46 Онсагера соотношение взаимности 399, 429 Ортоводород 207, 222, 229 Ортодейтерий 207 Осмотическое давление 400 Ошибок интеграл 431 Параводород 207, 222, 229 Парадейтерий 207 Парамагнетизм 267, 332 Паули операторы спина 157, 192, 193 — принцип 287, 288, 390 Перевала метод (метод седловой точки) 122, 126, 146, 156, 187 Переноса явления 389 Перенос импульса 414, 434 Перестановки оператор 201 λ-переход 262, 332 Периодические граничные условия 86 Планка формула излучения 139, 155, 178 Плотность состояний 22, 28, 59, 73, 93, 113, 121, 156, 184, 251, 255, 270, 274, 284, 398, 408 — числа частиц локальная 405 Поверхность адсорбирующая 152, 169, 225, 244 Подвижность 427 Подрешетка 331, 339, 346, 356 Позитрон 43, 102 Полимер 350, 374 Полупроводник 258, 276, 278, 402 — примесный 259 — собственный 258, 265, 308 — n-типа 259, 267

— p-типа 259 Поляризация колебаний 138 — электрическая 131, 432 — электромагнитных волн (фотонов) 139, 296 Преломления показатель 155, 178, 412 Примесь 378, 402 Принцип равной вероятности 18, 28 Пространственный заряд 342 µ-пространство 17, 389 Протон 43, 102 Пуассона распределение 74, 76, 92 — уравнение 77, 333, 376 Равновесие локальное 405, 434 Равновесия константа химической реакции 223, 235, 244 — условие для двух фаз 153, 172 Радиационное давление 164 Разреженный газ 401, 404, 405 — — вязкость 401, 405, 414, 434 T-p-распределение 38, 61, 76, 400 Распределение биномиальное 111, 424 — большое каноническое (T-µраспределение) 36, 39, 76, 99, 109, 269 — вероятностей флуктуации 387 392, 400 Распределение заряженных частиц 333 — каноническое 35, 39, 61, 75, 120, 386 — микроканоническое 18, 19, 39, 79, 112, 386 — обобщенное каноническое 36, 39, 127 — плотности 150, 161 — по объему 38 — электронов 350 — энергии равномерное 130, 274, 287 Распределения функция 16, 127, 335

— — ориентации диполей 404 — — спектральная 135, 178, 180 — — n-частичная (приведенная) 128, 225, 336, 348, 352 — — электронов 406, 427 Рассеяния света коэффициент 412 — центр 387, 388 Релаксации время 276, 405 — функция 405 Релятивистская механика 99 Решетка 179, 331 — колебания 178, 287, 325 — правильная (упорядоченная) 331 Рпмана ζ-функция 255 Ричардсона формула 275 Рэлея — Джинса формула излучения 141 Сверхструктура 331 Свободная энергия Гельмгольца 41, 61, 62, 64, 65, 98 — — Гиббса (термодинамический потенциал) 63, 99, 240 Сечение рассеяния 388, 394 — — дифференциальное 390 Сжимаемость адиабатическая 408 — идеального ферми-газа 275, 289 — изотермическая 183, 403, 423 Симметрии число 207, 241, 350 Скорость потока локальная 405 Случайные блуждания 424 Смолуховского уравнение 403 Состояние макроскопическое 13, 20 — микроскопическое 13 — теплового равновесия 18, 29 Состояний плотность 22, 28, 59 — — в зоне проводимости 398 — — классического гармонического осциллятора 156, 184 — — свободных бозонов 270 — — электронов 273, 274 Спиновые волны 179, 356 Сплавы 330, 349, 351, 371

— типа АВ 331, 339, 346, 357 Статистическая сумма (интеграл) 35, 39 — — бинарного сплава 349, 351 — — внутренняя 204, 205 — — вращательная 134, 206, 208, 221, 227—229 — — гармонического осциллятора 75, 135, 142 — — двух равновесных фаз 154 — — и термодинамические функции 39 — — канонического распределения 35, 120 — — классическая конфигурационная 127 — — колебательная 208, 239 — — обобщенного канонического распределения 127 — — одпочастичная 45, 203, 242 — — отдельного спина 65 — — T-µ-распределения 37, 125 — — T-p-распределения 38, 61, 189 — — симметричного волчка 223 — — системы электронов 268 — — составной системы 126 — — фотонного газа 273 Стефана — Больцмана закон 141 — — постоянная 165, 296 Стирлинга формула 51 Столкновений число (допущение, используемое при вычислении — Stosszahlanzatz) 387, 388 Столкновения, длительность времени 387 — частота 387 Столкновительный член 389—392 Стохастическая переменная 403 — теория 298 Твердый раствор 361 Температура, градиент 407, 427— 429, 435

— локальная 405 H-теорема 46, 67, 236 Тепла поток 395 Теплоемкость аномальная 56, 354 — вращательная 230 — идеального ферми-газа 275, 288 — кристалла 155 — пара- и ортоводорода 230 — почти идеального газа 225, 247 — системы осцилляторов 239 Теплопроводность 389, 395, 399, 404, 405, 427—429, 434, 436 Термодинамический вес 20 Термостат 35, 36, 79, 151 Томаса — Ферми константа экранирования 378 Трения коэффициент 403 Упорядочение идеальное 331, 332 Упругие волны 135, 139, 179 Уравнение состояния 49, 213, 279 — — ферми-газа 275 Фазовое пространство (Гпространство) 14 — — квантование 22 Фазовый переход 157 — — вращательный 363 — — второго порядка 261 — — порядок—беспорядок 331, 332, 351, 359 Фаулера — Дарвина метод, см. Перевала метод Фаулера диаграмма 304 Ферми-газ вырожденный 253, 286 — идеальный 262, 263, 280, 288, 302, 316 — — внутренняя энергия 263 — — свободная энергия Гельмгольца 251 — — сжимаемость 275. 289 — — теплоемкость 263, 273, 276, 283, 287

— — термодинамические функции 44 — — уравнение состояния 275, 289 — матрица плотности 280, 317 — релятивистский 279, 280, 310— 313 Ферми — Дирака статистика 42, 69, 76, 79, 201, 250 Ферми-импульс 280, 311 Ферми-поверхность 398 Ферми-потенциал 250, 255, 262—264, 273, 281—293, 299, 309 Ферми распределение 44, 79, 250, 269, 275, 398 — для дырок 295 Ферми-частица (фермион) 43, 250, 279 Ферромагнетизм 325, 326, 330, 346, 355 — модель Гейзенберга 337, 338 — — Изинга 326, 351, 352 Флори приближение 350 Флуктуации координаты струны 420 — полного магнитного момента 78> — распределение вероятностей 392 — термодинамическая теория 386 — термодинамических переменных 400 — числа молекул в растворе 400> — — ластиц 423 Флуктуапионно-диссипацнонная теорема 399, 441 Флуктуирующая сила 403 Фотонный газ, статистическая сумма 273 — — термодинамические свойства 276, 295, 296 — — химический потенциал 272 Фотоэффект 278, 304 Френкеля дефект 108 Фугативность 213 Г-функция 186, 243

Хартри — Фока приближение 326 Химическая реакция 223, 233, 243 Химический потенциал 30, 37, 44, 152, 245, 292, 427 Центральная предельная теорема 123 Центробежная сила 159 Чепмена соотношение 437 Черное тело 165 Шоттки дефект 78 — удельная теплоемкость 55 Шредингера уравнение 43, 85 — — в q-представлении 197 Шумы тепловые 441 Эйлера — Маклорена формула суммирования 214 Эйлера теорема 131 — углы 221 — формула суммирования 280 Эйнштейна модель 153 — соогношение 427 — теория теплоемкости 137, 139 Электролит 348 Электронейтральности условие 276, 292, 295, 306, 333 Электронный газ вырожденный 279, 280, 311, 313, 351, 397 — — невырожденный 276, 351, 390, 402 — — свободная энергия 291 — — теплоемкость 276, 300 Электроны 43, 102, 267 — валентные 275 — невырожденные 402 — плотность 347, 364 — — состояний 274, 285 — проводимости 265, 276, 278 — свободные 267 — спин 279 — функция распределения 405, 427 — эффективная масса 259, 265, 267, 277, 397

Электропроводность 276, 389, 397, 398, 402, 406, 416-419, 440 Энергия средняя 41, 55 — микроскопическая см. Гамильтониан Энтальпия 99 Энтропия 21, 31, 33, 75, 346 — аддитивность 30, 209 — возрастание 31, 74, 93 — и вероятность 33, 67 — нормальной системы 24 — обобщенное определение 46 — одномерной цепочки 75, 94 — смешения 209, 350, 360 — статистическое определение 21, 33 — термодинамическое определение 21, 33 Эргодическая гипотеза 104 — поверхность 14, 104 — теорема 19, 104 Якобиан 409