Об асимптотических свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 112–125 УДК 517.929

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА c 2006 г.

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

АННОТАЦИЯ. В работе установлены неулучшаемые оценки сильных решений функциональнодифференциальных уравнений нейтрального типа. Наш результат тесно связан с нашими предшествующими результатами, посвященными изучению начальной задачи для упомянутых уравнений в шкале пространств Соболева. При установлении оценок решений мы существенно используем базисность Рисса системы экспоненциальных решений. Результаты о базисности Рисса экспоненциальных решений являются одними из основных результатов работы

1.

ВВЕДЕНИЕ

Получение наиболее точных оценок решений функционально-дифференциальных уравнений играет важную роль в теории управления и в теории динамических систем и их приложениях, оставаясь и поныне актуальной задачей. Отметим, что ранее на этом пути было получено немало существенных результатов (см., например, [1, 12, 15–19, 25]). В предлагаемой работе установлены неулучшаемые оценки сильных решений функциональнодифференциальных уравнений нейтрального типа. Этот результат тесно связан с нашими предшествующими работами, посвященными изучению начальной задачи в шкале пространств Соболева (подробнее см. [2–5, 7, 22, 23]). Результаты упомянутых работ опираются на то, что система экспоненциальных решений образует базис Рисса. В настоящей статье мы также существенно используем базисность систем экспоненциальных решений в пространстве H ≡ Cr ⊗ L2 ((−h, 0), Cr ). Уравнение, изучаемое в работе, а также полугруппа Tt , действующая в пространстве H, имеют тот же вид, что и в работах [16,21]. Мы изучаем резольвенту Rλ генератора полугруппы Tt с целью доказательства базисности Рисса экспоненциальных решений. Эта задача сводится к проверке условий леммы 5 из [10]. При этом, в отличие от результатов работы [21], мы не предполагаем, что множество корней характеристического квазимногочлена отделимо. Используя результаты о базисности экспоненциальных решений, мы получаем неулучшаемые оценки полугруппы Tt . Работа состоит из трех частей. В первой части приведена постановка задачи и сформулированы основные результаты, которые доказаны во второй части. В третьей части мы приводим примеры, показывающие неулучшаемость изученных оценок, а также некоторые замечания и сравнение наших результатов с ранее известными. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00989), а также НШ-1927.2003.1. 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ,

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

1 ((a, b), Cr ), −∞ < a < b 6 +∞, весовые пространства Соболева векторОбозначим через W2,γ функций, снабженные нормами  b 1/2 Z kvkW2,γ e−2γt (||v(t)||2Cr + ||v 0 (t)||2Cr )dt , γ > 0. 1 (a,b) ≡  a

В случае γ = 0 мы полагаем

1 ((a, b), Cr ) W2,0

≡ W21 ((a, b), Cr ). c

2006 РУДН

112

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

113

Рассмотрим традиционную начальную задачу для дифференциально-разностного уравнения вида d M ut = Kut , t > 0, (2.1) dt u0 (s) = ϕ0 (s), s ∈ [−h, 0]. (2.2) Здесь M : C([−h, 0], Cr ) → Cr , K : W21 ((−h, 0), Cr ) → Cr - ограниченные линейные операторы, имеющие вид: Z0 M ϕ = dµM (t)ϕ(t), −h

Z0 Kϕ =

Z0 µK (t)ϕ(t)dt +

−h

ηK (t)ϕ0 (t)dt,

−h

где µM — матрица-функция ограниченной вариации, заданная на отрезке [−h, 0]; µK и ηK — матрицы-функции размера r × r, элементы которых принадлежат пространству L2 (−h, 0). Через ut обозначена вектор-функция ut (s) = u(t + s), t > 0, заданная на отрезке s ∈ [−h, 0], h > 0. 1 ((−h, ∞), Cr ) при некотоОпределение 2.1. Функцию u, принадлежащую пространству W2,γ ром γ ∈ R+ , назовем сильным решением задачи (2.1), (2.2), если u удовлетворяет почти всюду на полуоси R+ уравнению (2.1) и условию (2.2).

Обозначим через L(λ) матрицу-функцию вида L(λ) = (K − λM )eλt , через l(λ) = det L(λ) — характеристический квазимногочлен (см. [1]) уравнения (2.1), через λq — нули функции l(λ), упорядоченные в порядке возрастания модулей с учетом кратности νq , через Λ — множество всех нулей функции l(λ). Собственные векторы, входящие в каноническую систему (см. [8]) собственных и присоединенных (корневых) векторов матрицы-функции L(λ), отвечающие числу λq , обозначим через xq,j,0 , (j = 1, 2, · · · , rq ), их присоединенные порядка s — через xq,j,s , (s = 1, 2, · · · , pqj ) (индекс j показывает, каким по счету является вектор xq,j,0 в специально выбранном базисе подпространства решений уравнения L(λq )x = 0). Введем систему экспоненциальных решений уравнения (2.1):  s  ts−1 t xq,j,0 + xq,j,1 + · · · + xq,j,s . (2.3) yq,j,s (t) = eλq t s! (s − 1)! 1 ((−h, +∞), Cr ). Сформулируем результат о разрешимости задачи (2.1), (2.2) в пространстве W2,γ

Лемма 2.1. Пусть мера µM атомарна в 0, т. е. µM (0) 6= µM (0−), а начальная векторфункция ϕ0 принадлежит пространству W21 ((−h, 0), Cr ). Тогда найдется такое γ0 , что для 1 ((−h, +∞), Cr ), любого γ > γ0 задача (2.1), (2.2) однозначно разрешима в пространстве W2,γ при этом для ее решения u справедливо неравенство kukW2,γ 1 ((−h,+∞),Cr ) 6 d0 kϕ0 kW 1 ((−h,0),Cr ) , 2 где константа d0 не зависит от начальной функции ϕ0 . Обозначим через H пространство Cr ⊗ L2 ((−h, 0), Cr ). Принимая во внимание лемму 2.1, введем аналогично [16] полугруппу (Tt , t > 0) ограниченных операторов, действующих в пространстве H согласно правилу     M ϕ0 M ut Tt = , t > 0, ϕ0 ut где u — сильное решение задачи (2.1), (2.2), отвечающее начальной функции ϕ0 . Сформулируем два утверждения, доказательства которых приведены в работе [16].

114

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

Лемма 2.2. Пусть µM атомарна в 0. Тогда семейство операторов (Tt , t > 0) образует C 0 -полугруппу в пространстве H с генератором A, имеющим область определения Dom(A) = {(c, ϕ) ∈ H, ϕ ∈ W21 ((−h, 0), Cr ), M ϕ = c} и действующим по правилу A

    c Kϕ = . ϕ ϕ˙

Предложение 2.1. Пусть µM атомарна в 0. Тогда спектр оператора A совпадает с множеством Λ нулей функции l(λ), а векторы (M yq,j,s , yq,j,s (t)) являются его корневыми функциями и образуют минимальную систему в пространстве H. Приведем два результата технического характера, которые понадобятся нам в дальнейшем. Лемма 2.3. Пусть µM атомарна в точках 0 и −h. Тогда 1) конечны величины κ+ = sup Reλq , κ− = inf Reλq , N = max νq ; λq ∈Λ

λq ∈Λ

λq ∈Λ

2) система корневых векторов (M yq,j,s , yq,j,s (t)) оператора A полна в пространстве H. Обозначим через B(λq , ρ) круг радиуса ρ с центром в точке λq и положим [ G(Λ, ρ) ≡ C \ ( B(λq , ρ)). λq ∈Λ

Лемма 2.4. Если µM атомарна в точках 0 и −h, то найдутся такие постоянные α и β, α < κ− 6 κ+ < β, что система замкнутых контуров Γn = {Re λ = α, γn 6 Im λ 6 γn+1 } ∪ {α 6 Re λ 6 β, Im λ = γn+1 }∪ ∪{Re λ = β, γn 6 Im λ 6 γn+1 } ∪ {α 6 Re λ 6 β, Im λ = γn } целиком принадлежит области G(Λ, ρ) при некотором достаточно малом ρ > 0. При этом выполняются условия: 1) последовательность вещественных чисел {γn }, n ∈ Z, такова, что 0 < δ 6 γn+1 − γn 6 ∆ < +∞,

(2.4)

где δ и ∆ — некоторые положительные постоянные; 2) количество N (Γn ) нулей функции l(λ) (с учетом кратности), лежащих в областях, границами которых являются контуры Γn , равномерно ограничено по n, т. е. существует постоянная N > 0 такая, что max N (Γn ) 6 N. n

Доказательство леммы 2.3 приведено в [21]. Доказательство леммы 2.4 вытекает из результатов работ [14, 24]. Обозначим через Wn подпространства пространства H, являющиеся линейной оболочкой всех корневых векторов (M yq,j,s , yq,j,s (t)) оператора A, отвечающих числам λq , лежащим в областях, границами которых являются контуры Γn , а через Vλq — подпространства пространства H, являющиеся линейной оболочкой корневых векторов (M yq,j,s , yq,j,s (t)), отвечающих числу λq . Перейдем к формулировкам основных результатов работы. Теорема 2.1. Пусть µM атомарна в точках 0 и −h. Тогда семейство странств {Wn }n∈Z образует базис Рисса из подпространств пространства H.

подпро-

Теорема 2.2. Пусть µM атомарна в точках 0 и −h. Тогда сильное решение u задачи (2.1), (2.2) удовлетворяет оценке k(M ut , ut )kH 6 d(t + 1)N −1 eκ+ t k(M ϕ0 , ϕ0 )kH , t > 0, где константа d не зависит от вектора (M ϕ0 , ϕ0 ).

(2.5)

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

115

Замечание 2.1. Если множество Λ нулей λq отделимо, т. е. inf |λp − λq | > 0, то система λp 6=λq

подпространств {Vλq }λq ∈Λ образует базис Рисса из подпространств в пространстве H, и в оценке (2.5) константу N (введенную в лемме 2.4) можно заменить на N1 = max νq 6 N . λq ∈Λ

Замечание 2.2. Условие атомарности µM в точке −h является существенным для равномерной минимальности, и, тем самым, для базисности Рисса системы (M yq,j,s , yq,j,s (t)) в пространстве H. Замечание 2.3. Оценка (2.5) является неулучшаемой в том смысле, что величину κ+ нельзя заменить на κ+ − ε при любом ε > 0. Соответствующие примеры приведены в третьей части работы (см. также [3]). 3.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Во избежание громоздких обозначений все скалярные произведения и нормы в пространстве Cr приводятся без индексов, а норму в пространстве L2 ((−h, 0), Cr ) обозначим через k · kL2 . В начале приведем утверждение, носящее технический характер и используемое при доказательстве основных результатов работы. Предложение 3.1. Если µM атомарна в точках 0 и −h, то матрица-функция L−1 удовлетворяет оценкам 1 kL−1 (λ)k 6 const , λ ∈ G(Λ, ρ) ∩ {Re λ > 0}, |λ| + 1 (3.1) eRe λh −1 kL (λ)k 6 const , λ ∈ G(Λ, ρ) ∩ {Re λ < 0}. |λ| + 1 Если µM атомарна только в точке 0, то в полуплоскости {λ : Re λ > β > κ+ } справедливо первое из вышеприведенных неравенств. Приведем здесь доказательство леммы 2.1 для более полного изложения материала. Этот результат, несомненно, не новый; близкие результаты можно найти в [2, 15, 17]. 1 ((−h, +∞), Cr ) при γ > κ . Применив к Доказательство леммы 2.1. Предположим, что u ∈ W2,γ + уравнению (2.1) преобразование Лапласа, получим:

Z∞

−λt

e



 d Kut − M ut dt = 0, Re λ > γ. dt

0

Преобразуем первое из подынтегральных слагаемых следующим образом:   0  Z∞ Z Z∞ e−λt Kut dt = K eλs  e−λx ϕ0 (x)dx + e−λx u(x)dx = s

0

=

0

1 1 1 Kϕ0 − Keλs ϕ0 (0) + K λ λ λ

Z−s

e−λt ϕ00 (t + s)dt + Keλs u ˆ(λ),

0

где через u ˆ обозначено преобразование Лапласа функции u. Второе слагаемое аналогичным образом приводится к виду: Z∞ Z∞ ∞ −λt d −λt e M ut dt = e M ut +λ e−λt M ut dt = dt 0 0

= −M eλs ϕ0 (0) + M

0

Z−s

e−λt ϕ00 (t + s)dt + λM eλs u ˆ(λ).

0

116

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

Таким образом получаем уравнение для u ˆ: 1 1 L(λ)ˆ u(λ) + Kϕ0 − L(λ)ϕ0 (0) + λ λ



1 K −M λ

 Z−s e−λt ϕ00 (t + s)dt = 0. 0

Из этого уравнения находим:   Z−s 1 1 −1 u ˆ(λ) = ϕ0 (0) − L (λ) Kϕ0 + (K − λM ) e−λt ϕ00 (t + s)dt . λ λ 0

Обозначим через u ˆ1 преобразование Лапласа производной функции u. Из представления для функции u ˆ получаем   Z−s u ˆ1 (λ) = −ϕ0 (0) + λˆ u(λ) = −L−1 (λ) Kϕ0 + (K − λM ) e−λt ϕ00 (t + s)dt . 0

Обозначим через H2 (Re λ > a) пространство Харди вектор-функций с естественной нормой:  +∞ 1/2 Z kf kH2 (Re λ>a) := sup  kf (x + iy)k2Cr dy  . x>a

−∞

Заметим, что вектор-функции Z−s M e−λt ϕ00 (t + s)dt, 0

1 K λ − κ+

Z−s e−λt ϕ00 (t + s)dt 0

являются целыми функциями экспоненциального типа, принадлежащими пространству H2 (Re λ > a) при любом a > κ+ и удовлетворяющими неравенствам:

−s

Z



M e−λt ϕ00 (t + s)dt 6 const kϕ0 kW21 ((−h,0),Cr ) , (3.2)



0 H2 (Re λ>a)

−s

Z

1

−λt 0

6 const kϕ0 kW21 ((−h,0),Cr ) . (3.3)

λ − κ+ K e ϕ0 (t + s)dt

0

H2 (Re λ>a)

В полуплоскости {λ : Re λ > a > κ+ } матрица-функция L−1 удовлетворяет первой из оценок (3.1), поэтому вектор-функции 1 1 L−1 (λ)Kϕ0 , L−1 (λ)Kϕ0 , L−1 (λ)K λ − κ+ λ − κ+

Z−s e−λt ϕ00 (t + s)dt, 0

Z−s Z−s −1 −λt 0 −1 L (λ)K e ϕ0 (t + s)dt, L (λ)M e−λt ϕ00 (t + s)dt, 0

0

Z−s −1 λL (λ)M e−λt ϕ00 (t + s)dt 0

также принадлежат пространству H2 (Re λ > a) при a > κ+ и удовлетворяют неравенствам аналогичным (3.2), (3.3). Заметим, что λ = 0 не является особой точкой функции u ˆ(λ) при условии κ+ < 0, поэтому из λ принадлежности пространству H2 (Re λ > a), при a > κ+ , функции λ−κ u ˆ(λ) следует принадлеж+ ность этому пространству и функции u ˆ(λ).

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

117

Таким образом, по теореме Харди получаем, что обращения преобразования Лапласа функций u и u0 Z Z 1 1 λt 0 e u ˆ(λ)dλ, u (t) = eλt u ˆ1 (λ)dλ, t > 0, u(t) = 2πi 2πi α+iR

α+iR

существуют при любом α > κ+ и удовлетворяют оценкам ke−αt u(j) (t)kL2 ((0,∞),Cr ) 6 const kϕ0 kW21 ((−h,0),Cr ) , j = 0, 1, где u(0) = u, u(1) = u0 . Отсюда заключаем, что задача (2.1), (2.2) однозначно разрешима при γ > γ0 = κ+ в пространстве 1 ((−h, ∞), Cr ) и для ее решения выполнена оценка W2,γ kukW2,γ 1 ((0,∞),Cr ) 6 const kϕ0 kW 1 ((−h,0),Cr ) . 2

Доказательство теоремы 2.1. Найдем резольвенту Rλ оператора A из соотношения     c a (A − λI) = , ϕ z где (c, ϕ) ∈ D(A), a ∈ Cr и z ∈ L2 ((−h, 0), Cr ). Это уравнение распадется в систему уравнений  Kϕ − λM ϕ = a, ϕ(t) ˙ − λϕ(t) = z(t). Решая эту систему, получим: ϕλ (t) = zλ (t) + eλt L−1 (λ)(a − Kz (λ) + λMz (λ)), cλ = M ϕλ = Mz (λ) + Me (λ)L−1 (λ)(a − Kz (λ) + λMz (λ)),

(3.4)

где Zt zλ (t) =

eλ(t−s) z(s)ds, t ∈ [−h, 0].

0 λt

Ke (λ) = Ke

Z0 =

eλt (µK (t) + ληK (t))dt,

−h

Z0 Kz (λ) = Kzλ (t) =

Z0 (µK (t) + ληK (t))zλ (t)dt +

−h

Me (λ) = M eλt =

ηK (t)z(t)dt,

−h

Z0

eλt dµM (t),

−h

Z0 dµM (t)zλ (t).

Mz (λ) = M zλ (t) = −h

Таким образом, резольвента Rλ действует следующим образом:     a cλ Rλ = , z ϕλ где cλ и ϕλ имеют вид (3.4) (см. также [16, 21]). Известно утверждение (см. [10, с. 30]), формулировку которого приведем с учетом сделанных здесь обозначений.

118

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

Лемма 3.1. Если для любых элементов

    a b , ∈ H выполняется неравенство z w



    X Z  a  b 

a b



R , dλ 6 const λ

z w , w H z H H n∈Z

(3.5)

Γn

то система подпространств Wn является безусловным базисом (базисом Рисса из подпространств) в замыкании своей линейной оболочки и безусловным базисом в H, если она полна в H. Из леммы 2.3 следует, что система подпространств Wn полна в пространстве H, поэтому остановимся на доказательстве соотношения (3.5). Подынтегральное выражение в неравенстве (3.5) имеет вид:



    Z0 a b Rλ , = (cλ , b) + (ϕλ (t), w(t))dt, z w H −h

где cλ и ϕλ представимо в виде (3.4). Следовательно, для доказательства неравенства (3.5) достаточно доказать серию неравенств:

X Z (Me (λ)L−1 (λ)a, b)dλ 6 constkakkbk, n∈Z Γ n X Z (Mz (λ) − Me (λ)L−1 (λ)(Kz (λ) − λMz (λ)), b)dλ 6 constkzkL kbk, 2 n∈Z Γ n X Z (L−1 (λ)a, w(λ))dλ 6 constkakkwkL , ˆ 2 n∈Z Γ n  0  Z X Z −1  (zλ (t), w(t))dt − (L (λ)(Kz (λ) − λMz (λ)), w(λ))  dλ 6 ˆ n∈Z Γn

−h

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

6 constkzkL2 kwkL2 , где Z0 w(λ) ˆ =

eλt w(t)dt.

−h

Заметим, что вектор-функции Ke , Kz , Mz , w ˆ являются целыми функциями экспоненциального 1 1 ˆ принадлежат пространству Харди в типа (не превосходящего h). Функции Ke , Kz , Mz , w λ λ

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

119

любой полосе {λ : A < Re λ < B, 0 6∈ [A, B]}, причем справедливы неравенства +∞ Z

sup A6x6B −∞ +∞ Z

sup A6x6B −∞

sup

x2

1 kKe (x + iy)k2 dy 6 const, x2 + y 2

(3.10)

1 kKz (x + iy)k2 dy 6 constkzk2L2 , + y2

(3.11)

+∞ Z kMz (x + iy)k2 dy 6 constkzk2L2 ,

(3.12)

+∞ Z kw(x ˆ + iy)k2 dy 6 constkwk2L2 .

(3.13)

A6x6B −∞

sup

A6x6B −∞

Заметим, что подынтегральное выражение в неравенстве (3.6) может быть представлено в виде двух слагаемых: 1 1 (Me (λ)L−1 (λ)a, b) = (Ke (λ)L−1 (λ)a, b) − (a, b). λ λ Интегралы от второго слагаемого по всем контурам Γn (за исключением, быть может, одного) по теореме Коши равны нулю. Поэтому само неравенство (3.6) может быть преобразовано в неравенство X Z 1 −1 (3.14) λ (Ke (λ)L (λ)a, b)dλ 6 constkakkbk. n∈Z Γn

Исходя из представлений Mz = LL−1 Mz = Ke L−1 Mz − λMe L−1 Mz , 1 1 Me L−1 Kz = Ke L−1 Kz − Kz , λ λ неравенство (3.7) может быть преобразовано к виду X Z  1 (Ke (λ)L−1 (λ)Mz (λ) − Ke (λ)L−1 (λ)Kz (λ), b)+ λ n∈Z Γ n   1 + Kz (λ), b dλ 6 constkzkL2 kbk. λ Интегралы от последнего слагаемого подынтегрального выражения по всем контурам Γn (за исключением, быть может, одного) равны нулю поскольку Kz — целая функция. Поэтому окончательно неравенство (3.7) принимает вид:    X Z  1 −1 6 constkzkL kbk. K (λ)L (λ) M (λ) − K (λ) , b dλ (3.15) e z z 2 λ n∈Z Γ n

Первое слагаемое Z0 (zλ (t), w(t))dt −h

в подынтегральном выражении в неравенстве (3.9) является целой функцией и, следовательно, дает нулевой вклад в интеграл по любому контуру Γn . Таким образом, неравенство (3.9) равносильно

120

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

неравенству X Z 6 constkzkL kwkL . (L−1 (λ)(Kz (λ) − λMz (λ)), w(λ))dλ ˆ 2 2 n∈Z

(3.16)

Γn

Приведем оценки, которые понадобятся в дальнейшем для доказательства неравенств (3.14), (3.15), (3.8) и (3.16). Из неравенства Коши—Буняковского и оценок (3.10) и (3.1) вытекают оценки +∞

Z

1

−1

x + iy Ke (x + iy)L (x + iy) dy 6

−∞

v uZ u +∞ u 6t

v uZ u +∞ 1 u kKe (x + iy)k2 dy t kL−1 (x + iy)k2 dy 6 const, 2 2 x +y

−∞

−∞

где переменная x пробегает значения α и β, которые могут быть сделаны отличными от нуля за счет выбора контуров Γn . Принимая во внимание оценку (3.1), получаем следующие неравенства: +∞  Z

Ke (x + iy)L−1 (x + iy) Mz (x + iy) −

−∞

+∞ Z

6 const



1 Kz (x + iy)

dy 6 x + iy

1 kKe (x + iy)kkMz (x + iy)kdy+ |x + iy|

−∞ +∞ Z

+ −∞

1 1 kKe (x + iy)k kKz (x + iy)kdy |x + iy| |x + iy| v uZ u +∞ 1 u 6 constt kKe (x + iy)k2 dy × 2 x + y2

! 6

−∞

v v uZ uZ u +∞ u +∞ u u kMz (x + iy)k2 dy + t × t −∞

 1  kKz (x + iy)k2 dy  6 constkzkL2 , x2 + y 2

−∞

последнее из которых вытекает из оценок (3.10), (3.12) и (3.11), переменная x пробегает значения α и β. Учитывая неравенства (3.1) и (3.13), получаем следующую оценку: +∞ Z k(L−1 (x + iy)kkw(x ˆ + iy)kdy 6 −∞

v v uZ uZ u +∞ u +∞ u u −1 2 kL (x + iy)k dy t kw(x ˆ + iy)k2 dy 6 constkwkL2 , 6t −∞

где переменная x пробегает значения α и β.

−∞

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

121

Принимая во внимание оценки (3.11), (3.12), (3.13) и (3.1), получаем следующие неравенства: +∞ Z kL−1 (x + iy)(Kz (x + iy) − (x + iy)Mz (x + iy))kkw(x ˆ + iy)kdy 6 −∞ +∞ Z

 1 kKz (x + iy)k + kMz (x + iy)k kw(x ˆ + iy)kdy 6 6 const |x + iy| −∞ v v uZ +∞  u u +∞ uZ 1 u u 2 2 6 constt kKz k + kM zˆk dy t kwk ˆ 2 dy 6 constkzkL2 kwkL2 , x2 + y 2 −∞

−∞

где переменная x пробегает значения α и β. Таким образом, мы проверили выполнение части неравенств (3.14), (3.15), (3.8) и (3.16), отвечающей интегрированию по вертикальным отрезкам контуров Γn . Поэтому для завершения доказательства этих неравенств нам достаточно доказать следующие неравенства: β X Z 1 −1 x + iγn (Ke (x + iγn )L (x + iγn )a, b)dx 6 constkakkbk, n∈Z

(3.17)

α

β    X Z  1 Ke (x + iγn )L−1 (x + iγn ) Mz (x + iγn ) − Kz (x + iγn ) , b dx 6 x + iγn n∈Z

(3.18)

α

6 constkzkL2 kbk, β X Z (L−1 (x + iγn )a, w(x ˆ + iγn ))dx 6 constkakkwkL2 , n∈Z

(3.19)

α

β X Z −1 (L (x + iγn )(Kz (x + iγn ) − (x + iγn )Mz (x + iγn )), w(x ˆ + iγn ))dx 6 n∈Z

(3.20)

α

6 constkzkL2 kwkL2 . Для получения заключительной серии оценок нам понадобится утверждение, являющееся незначительной модификацией теоремы 3.3.1 из [13] (доказательство см. в [24]). Для его формулировки обозначим через Mν2 (R) совокупность всех целых функций экспоненциального типа ν, которые как функции действительного переменного t ∈ R принадлежат пространству L2 (R). Лемма 3.2. Пусть ω(z) ∈ Mν2 (R), а последовательность действительных чисел {tn }n∈Z такова, что 0 < δ 6 tn+1 − tn 6 ∆ < +∞, где δ и ∆ — положительные постоянные. Тогда справедливо неравенство !1/2 X

|ω(tn )|2

 +∞ 1/2 Z 6 δ −1/2 (1 + ν∆)  |ω(t)|2 dt .

n∈Z

−∞

1 1 (Ke (λ) − Ke (0)), (Kz (λ) − Kz (0)), элементы векторλ λ функций Mz , w ˆ и последовательность γn удовлетворяют условию леммы 3.2, и, следовательно, Заметим, что элементы матриц-функций

122

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

выполняются следующие неравенства: X 1 n∈Z +∞ Z

6 const

x2 + γn2

kKe (x + iγn ) − Ke (0)k2 6

x2

1 kKe (x + iy) − Ke (0)k2 dy 6 const, + y2

x2

1 kKz (x + iγn ) − Kz (0)k2 6 + γn2

−∞

X n∈Z +∞ Z

1 kKz (x + iy) − Kz (0)k2 dy 6 constkzk2L2 , x2 + y 2

6 const −∞

X

+∞ Z kMz (x + iγn )k 6 const kMz (x + iy)k2 dy 6 constkzk2L2 , 2

n∈Z

−∞

X

+∞ Z kw(x ˆ + iγn )k 6 const kw(x ˆ + iy)k2 dy 6 constkwk2L2 , 2

n∈Z

Отсюда заключаем, что подобные неравенства справедливы и для функций

n∈Z

+

n∈Z

n∈Z +∞ Z

x2

1 kKe (0)k2 6 const + γn2

X n∈Z

+

x2

1 kKe (x + iy) − Ke (0)k2 dy+ + y2

(3.23)

−∞

+ const

n∈Z

1 1 Ke , Kz : λ λ

X 1 1 2 kK (x + iγ )k 6 kKe (x + iγn ) − Ke (0)k2 + e n x2 + γn2 x2 + γn2

X

X

(3.22)

−∞

где x ∈ [α, β], а числа γn могут быть выбраны отличными от нуля.

X

(3.21)

x2

1 6 const, + γn2

X 1 1 2 kK (x + iγ )k 6 kKz (x + iγn ) − Kz (0)k2 + z n 2 2 2 x + γn x + γn2 n∈Z +∞ Z

X n∈Z

x2

1 kKz (0)k2 6 const + γn2

x2

1 kKz (x + iy) − Kz (0)k2 dy+ + y2

−∞

+ constkzk2L2

X n∈Z

1 6 constkzk2L2 , x2 + γn2

где x пробегает значения от α до β. Вновь воспользовавшись неравенством Коши—Буняковского, получаем оценку β

XZ n∈Z α

6

Zβ s X α

n∈Z

1 kKe (x + iγn )L−1 (x + iγn )kdx 6 |x + iγn | 1 kKe (x + iγn )k2 2 x + γn2

sX

kL−1 (x + iγn )k2 dx,

n∈Z

из которой, исходя из (3.1) и (3.23), следует справедливость неравенства (3.17)

(3.24)

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

123

Учитывая, что выражение λL−1 (λ) равномерно ограничено на контурах Γn , получаем следующее неравенство β

XZ

kKe (x + iγn )L−1 (x + iγn )(Mz (x + iγn ) −

n∈Z α

6 const

Zβ s X α

 ×

sX

n∈Z

1 kKe (x + iγn )k2 × x2 + γn2 s

kMz (x + iγn )k2 +

n∈Z

1 Kz (x + iγn ))kdx 6 x + iγn

 X n∈Z

1 kKz (x + iγn )k2  dx. x2 + γn2

Из этого неравенства и оценок (3.23), (3.21) и (3.24) вытекает оценка (3.18). Оценка (3.19) следует из оценок (3.1), (3.22) и неравенства: β

XZ

kL−1 (x + iγn )kkw(x ˆ + iγn )kdx 6

n∈Z α

v v u β u β uZ X uZ X u u 6t kL−1 (x + iγn )k2 dxt kw(x ˆ + iγn )k2 dx. α n∈Z

α n∈Z

И наконец, из оценки (3.1) следует неравенство: β

XZ

kL−1 (x + iγn )(Kz (x + iγn ) − (x + iγn )Mz (x + iγn ))kkw(x ˆ + iγn )kdx 6

n∈Z α

Zβ 6 const

s

X

 α

n∈Z

sX



1 kMz (x + iγn )k2  × kKz (x + iγn )k2 + x2 + γn2 n∈Z s X kw(x ˆ + iγn )k2 dx, × n∈Z

из которого в силу оценок (3.24), (3.21) и (3.22) в свою очередь вытекает оценка (3.20). Таким образом, в соответствии с леммой 3.1, система подпространств Wn является безусловным базисом (базисом Рисса из подпространств) пространства H. Из полученного результата о базисности семейства подпространств Wn , а также [11, теорема 1] вытекает утверждение теоремы 2.2.

4.

ПРИМЕРЫ,

КОММЕНТАРИИ И ЗАМЕЧАНИЯ

Отметим особенности нашей работы и ее связь с ранее полученными результатами. Прежде всего заметим, что давно известны оценки сходные с (2.5), в которых величина κ+ заменяется на κ+ + ε с некоторым ε > 0 (подробнее см. [1, 12, 15, 17–19, 25]). Точные оценки весьма актуальны при изучении так называемых критического и сверхкритического случаев, а именно, случаев, когда корни λq характеристического квазимногочлена асимптотически приближаются или лежат на мнимой оси (подробнее см. [9, 15, 17]). В этой связи возникает естественный вопрос: можно ли в установленных ранее оценках (см. [1, 12, 15, 17–19, 25]) положить ε = 0? Теорема 2.2 дает в определенном смысле положительный ответ на этот вопрос. Следующий пример показывает, что в оценке (2.5) величину κ+ нельзя заменить на κ+ − ε (ε > 0).

124

В. В. ВЛАСОВ, Д. А. МЕДВЕДЕВ

Пример. Рассмотрим следующее дифференциально-разностное уравнение: du du (t) − au(t) − (t − 1) + au(t − 1) = 0, t > 0. (4.1) dt dt Здесь r = 1, M ϕ = ϕ(0) − ϕ(−1). Известно (см. [9], а также [15] и [17, глава 9]), что все корни λq характеристического квазимногочлена L(λ) = λ + a − e−λ (λ − a) уравнения (4.1) лежат на мнимой оси (Re λq = 0), и их кратности νq равны единице. Поэтому κ+ = κ− = 0, N = max νq = 1. λq ∈Λ

Исходя из нашего определения решения и теоремы 2.2, справедливо неравенство k(M ut , ut )kH 6 constk(M ϕ0 , ϕ0 )kH , t > 0,

(4.2) eλq s .

которое превращается в равенство с const = 1, если положить ϕ0 (s) = Следует подчеркнуть, что наши выводы не противоречат результатам работы [9]. Мы рассматриваем решение из пространства Соболева W21 , тогда как в [9] начальная функция ϕ0 не принадлежит пространству W21 (−1, 0). Отметим, что предлагаемый спектральный подход к изучению задачи представляется достаточно эффективным. В самом деле, поскольку уравнение (2.1) содержит слагаемые типа свертки, было бы очень естественно использовать преобразование Лапласа и его обращение. Однако, на этом пути не удалось бы получить оценку (2.5). Дело в том, что при обращении преобразования Лапласа прямая, параллельная мнимой оси, по которой производится интегрирование, должна находиться на положительном расстоянии от спектра (множества Λ нулей квазимногочлена l(λ)). Важно также подчеркнуть и то обстоятельство, что основной нашей задачей является получение оценок решений уравнений именно нейтрального типа. Так, в частности, локализация нулей Λ для уравнения запаздывающего типа существенно отличается от нашей. В этом случае имеется доминирующий нуль λq (с наибольшей действительной частью) характеристического квазимногочлена. В этой ситуации использование преобразования Лапласа является весьма эффективным. Отметим, что аналогичные результаты для дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа произвольного дифференциального порядка m с матричными коэффициентами установлены в [7, 23]. Весьма детально базисность Рисса системы экспоненциальных решений изучалась в [5, 6] в скалярном случае (r = 1) для уравнений произвольного порядка. В упомянутых работах установлены также аналогичные результаты для системы разделенных разностей, построенных по системе экспоненциальных решений. Это полезное свойство в случае, когда множество Λ является неотделимым. Результаты работ [5,6] установлены в скалярном случае в шкале пространств Соболева с произвольным индексом (s > m, s 6= l +1/2, l ∈ N). Результат о базисности Рисса экспоненциальных решений {yq,j,s (t)} однородного уравнения (2.1) в пространстве H ≡ Cr ⊗ L2 ((−h, 0), Cr ) при дополнительном условии (отделимости множества Λ) был установлен в [21]. В частном случае уравнения с одним запаздыванием аналогичный результат о системе экспоненциальных решениях получен в [20]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. 2. Власов В. В. Корректная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1996. — № 1. — С. 22–35. 3. Власов В. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов, сер. мат. — 1999. — № 2. — C. 20–29. 4. Власов В. В. Об оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв. вузов, сер. мат. — 2000. — № 4. — С. 14–22. 5. Власов В. В., Иванов С. А. Оценки решений уравнений с последействием в пространствах Соболева и базис из разделенных разностей// Мат. заметки. — 2002. — 72, № 2. — С. 303–306. 6. Власов В. В., Иванов С. А. Оценки решений уравнений с последействием в шкале пространств Соболева и базис из разделенных разностей// Алгебра и анализ. — 2003. — 15, вып. 4. — С. 115–141. 7. Власов В. В., Медведев Д. А. Оценки решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Докл. РАН. — 2003. — 389, № 2. — С. 156–158.

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ

125

8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965. 9. Громова С. Г., Зверкин А. М. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная неограниченная на числовой оси функция - решение уравнения с отклоняющимся аргументом// Дифф. ур-я. — 1986. — 4, № 10. — С. 1774–1784. 10. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев: Штиница, 1986. 11. Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. мат. ж. — 1985. — 26. — C. 118–132. 12. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом — М.: Наука, 1972. 13. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977. 14. Седлецкий А. М. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси// Усп. мат. наук. — 1982. — 37, № 5. — С. 51–95. 15. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. 16. Burns J. A., Herdman T. L., Stech H. W. Linear functional differential equations as semigroups on product spaces// SIAM J. Math. Anal. — 1983. — 14, № 1. — C. 98–116. 17. Hale J., Verduyn Lunel S. Introduction to Functional Differential Equations. — New York: Springer-Verlag, 1993. 18. Henry D. Linear autonomous neutral functional differential equations// J. Differ. Equations. — 1974. — 15. — C. 106–128. 19. Kolmanovskii V., Nosov V. Stability of Functional Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1986. 20. Rabath R., Sklyar G., Resounenko A. Generalized Riesz basis property in the analysis of neutral type systems// C. R. Acad. Sci. Paris. — 2003. — 1337. — C. 19-24. 21. Verduyn Lunel S. M., Yakubovich D. V. A functional model approach to linear neutral functional difference equations// Int. Equ. Oper. Theory. — 1997. — 27. — C. 347–378. 22. Vlasov V. V. On spectral problems arising in the theory of functional differential equations// Funct. Differ. Equ. — 2001. — 8, № 3-4. — C. 435–446. 23. Vlasov V. V., Medvedev D. A. On certain properties of exponential solutions of difference differential equations in Sobolev spaces// Funct. Differ. Equ. — 2002. — 9, № 3-4. — C. 423–435. 24. Vlasov V. V., Wu J. Sharp estimates of solutions to neutral equations in Sobolev spaces// Funct. Differ. Equ. — 2005. — 12, № 3–4. — C. 437–461. 25. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. — 1996. — 119.

Виктор Валентинович Власов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Россия, 119899, Москва E-mail: [email protected], [email protected] Данил Александрович Медведев Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Россия, 119899, Москва E-mail: [email protected]