Решение и исследование задач тригонометрии: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю Г О У В П О « В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д А РС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т »

РЕ Ш Е Н И Е И И С С Л Е Д О В А Н И Е ЗА Д А Ч Т РИ Г О Н О М Е Т РИ И

У чебно-методическ ое п особие для студентов п о сп ециальности 010101 (010100) – М атематик а

В оронеж 2005

У твержденонаучно-методическ им советом математическ ого ф ак ультета

С оставители: М итягинаН .А. С адчик овП .В .

У чебно-методическ ое п особие п одготовлено на к аф едре уравнений в частны х п роизводны х и теории вероятностей математическ ого ф ак ультета В оронежск огогосударственного университета. Рек омендуется для студентов четвертого и п ятого к урсов математическ ого ф ак ультета и студентов, п олучаю щ их доп олнительную к валиф ик ацию «П реп одаватель».

В В Е ДЕ Н И Е В к урсе «Алгебра и начала анализа» средней общ еобразовательной ш к олы знак омство стригонометрическ ими неравенствами п роисходиточень бы стро, сжато и п оверхностно. П роблема зак лю чается в следую щ ем. В оп ервы х, в п рограмме к урса А (3 часа математик и в неделю ) тригонометрическ ие неравенстване изучаю тся вообщ е, в п рограмме к урсаВ (5 часов математик и в неделю ) изучаю тся тольк о п ростей ш ие тригонометрическ ие неравенства, п ричем в п рограмме ск азано, что «материал учебник а, связанны й среш ением тригонометрическ их неравенств, не является обязательны м». В о-вторы х, на этутемуотводится тольк о один час. В -третьих, тип урок а п о к ритерию ведущ его развиваю щ его метода обучения данной теме – это урок объяснительно-иллю стративного метода, индук тивное объяснение теоретическ ого материала на п римерах с п оследую щ им обобщ ением. В -четверты х, все известны е учебник и п о алгебре для 10-11 к лассов, втом числе так их авторов, к ак А.Н . К олмогорови А.Г . М ордк ович, раск ры ваю т данную тему тольк о на п римерах, не давая общ ей теории, атак же так сономии тригонометрическ их неравенствп о видам и методам их реш ения. В результате учащ иеся 10-11 к лассов, к ак п ок азы вает статистик а, в больш инстве своем п лохо усваиваю т данную тему, умею т реш ать тольк о п римеры , разобранны е в учебник е или им п одобны е, бы стро теряю т навы к и реш ения тригонометрическ их неравенств и не могут реш ать более сложны е задачи. Реш ением данной п роблемы является введение в учебны й п ланш к олы ф ак ультативны х занятий п о математик е, главной целью к оторы х является углубление и расш ирение знаний , развитие интереса учащ ихся к п редмету, развитие их математическ их сп особностей , п ривитие ш к ольник ам интереса и вк уса к самостоятельны м занятиям математик ой , восп итание и развитие их инициативы и творчества. В главе 1 данной работе раск ры ваю тся цели, ф ормы и методы п роведения ф ак ультативны х занятий п о математик е в 10-11 к лассах. В главе 2 дается методическ ий п роек т урок а учителя средней общ еобразовательной ш к олы п о теме «П ростей ш ие тригонометрическ ие неравенства», рассчитанной на 1 час п о п рограмме. Г лавы 3 и 4 п освящ ены так сономии тригонометрическ их неравенств п о видам и методам их реш ения, к оторая может бы ть исп ользована в п рограмме ф ак ультативны х занятий п о математик е. В главе 5 даю тся нек оторы е п римеры и их п одробны е реш ения для углубленного изучения данной темы , в том числе смеш анны е неравенстваи неравенствасп араметром.

Г Л А В А I. ПРО С Т Е Й Ш И Е Т РИ Г О Н О М Е Т РИ Ч Е С К И Е Н Е РА В Е Н С Т В А f ( x ) > m, f ( x ) < m , f ( x) Н еравенства вида где тригонометрическ ая ф унк ция, назы ваю тся п ростей ш ими тригонометрическ ими неравенствами. П ри реш ении п ростей ш их тригонометрическ их неравенств исп ользуется следую щ ий алгоритм. 1. Н а единичной ок ружности отмечаем дугу (неск ольк о дуг) так , что числа, соответствую щ ие точк ам этой дуги, удовлетворяю т неравенству. Д угавы деляется цветом или ш триховк ой . 2. О к оло одного из к онцов дуги зап исы ваем одно из чисел, соответствую щ их этой точк е. 3. Рисуем стрелк у, нап равленную к другому к онцу отмеченной дуги. С трелк а снабжается знак ом «+», если нап равление движения п ротив часовой стрелк и, и знак ом «-» - если п очасовой стрелк е. 4. Зап исы ваем соответствую щ ее число ок оло второго к онцадуги. 5. Зап ись ответа (с учетом, что к аждой точк е единичной ок ружности соответствует бесчисленное множество дей ствительны х чисел). О тветможнозап исы вать ввиде двой ного неравенстваили ввиде множества. Рассмотрим следую щ ие п ростей ш ие тригонометрическ ие неравенства. 1. cos x > m Е сли m < −1 , то x ∈ ( −∞, ∞ ) . Е сли m ≥ 1 , тонеравенство не имеетреш ений . Е сли −1 ≤ m < 1 , то в верхней п олуок ружности это неравенство вы п олняется в п ромежутк е 0 ≤ x < arccos m . Э то следует из убы вания к осинуса на сегменте 0 ≤ x ≤ π . В нижней п олуок ружности это неравенство вы п олняется в п ромежутк е − arccos m < x ≤ 0 . С ледовательно, в п ределах от −π до неравенство вы п олняется в интервале − arccos m < x < arccos m . О бщ им реш ением служит беск онечное множество интервалов ( − arccos m + 2 kπ , arccos m + 2 kπ ), k ∈ Z .

π

1

arccos

m

1

0.5

0.5

m -1

-0.5

0.5

1

-5

-2.5

2.5

-0.5

-0.5

-1

-7.5

- arccos

m

-1

5

7.5

2.

cos x < m

m ≤ −1

−1 < m ≤ 1

Н етреш ений

М ножество интервалов arccos m + 2kπ < x < − arccos m + 2( k + 1)π

m >1 И нтервал (−∞, ∞)

Э то неравенство вы п олняется на дуге единичной доп олнительной к дуге − arccos m < x < arccos m . 1

arccos

ок ружности,

m

0.5

m -1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

3.

sin x > m

2p- arccos

m

Аналогичноп реды дущ емуп олучим:

m < −1

И нтервал m

m ≥1

М ножество интервалов

Н етреш ений

arcsin m + 2 kπ ≤ x < (π − arcsin m) + 2 kπ

(−∞, ∞)

p- arcsin

−1 ≤ m < 1

1

arcsin

1

m

0.5

0.5 m

-1

4.

-0.5

0.5

Н етреш ений

-7.5

-5

-2.5

2.5

-0.5

-0.5

-1

-1

sin x < m

m ≤ −1

1

5

7.5

−1 < m ≤ 1

m >1

М ножество интервалов

И нтервал (−∞, ∞)

− arcsin m + π (2k − 1) < x < arcsin m + 2 kπ

Э то неравенство вы п олняется на дуге, доп олнительной arcsin m < x < π − arcsin m :

к

дуге

p- arcsin

m

1

arcsin

m

0.5 m

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

5.

tg x > m

В силувозрастания тангенсаэто неравенство вп равой п олуок ружности π вы п олняется в интервале arctg m < x < . О бщ им реш ением служит 2 (2k + 1)π . беск онечное множество интервалов: arctg m + kπ < x < 2

4

4

2

2

-1 -0.5

0.5 1

-4 -2

2

4

-2

-4

6.

-2

-4

tg x < m

О бщ им реш ением служит беск онечное множество (2k − 1) π < x < arctg m + kπ . интервалов: 2 f ( x ) - данная Рассмотрим неравенство вида: f ( ax ) > m , где a - данное для оп ределенности тригонометрическ ая ф унк ция, п оложительное число. П ример: cos ax > m . Реш им это неравенство.

− arccos m + 2kπ < ax < arccos m + 2kπ , arccos m 2kπ arccos m 2kπ + <x< + a a a a П редп оложим в частности, что a = p есть натуральное число; в этом −

2π 2π cos px имеет п ериод случае ф унк ция p ; лю бой сегмент длиной содержит p п ериодов левой части. С ледовательно, на единичной ок ружности сущ ествует p геометрическ и различны х дуг, на к оторы х вы п олняется данное неравенство. Э ти дуги оп ределяю тся неравенствами: arccos m 2kπ arccos m 2kπ − + <x< + , п ри k = 0,1, 2,..., p − 1 . p p p p И зобразим дуги единичной ок ружности, на к оторы х вы п олняется неравенство cos 5 x >

1 . 2

1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

П римеры . 1. П ростей ш ие неравенства. Н еравенство О бщ ее реш ение

а) sin x >

2 2

π 3π + 2kπ < x < + 2 kπ 4 4

П остроение дуги единичной ок ружности 1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

0.5

1

0.5

1

-0.5

-1

3 б) sin x ≤ − 2

2π π − + 2 kπ ≤ x ≤ − + 2 kπ 3 3

1

0.5

-1

-0.5

-0.5

-1

1 в) cos x < − 2

2π 4π + 2 kπ < x < + 2kπ 3 3

1

0.5

-1

-0.5

-0.5

-1

г)

tg x > 2

π arctg 2 + kπ < x < + kπ 2

2 1.5 1 0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5 -1

д) sin x < sin 0,3

−0, 3 + (2k − 1)π < x < 0, 3 + 2kπ

1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

π kπ < x < + kπ 6

е) ctg x > 3

-1

1 0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5 -1

 tg x > 1,     1 2. Реш ить системунеравенств: cos 3x > −  .  2  Реш ение. Ч исло

2π

является общ им п ериодом ф унк ций

tg x

и

cos 3x .

Н ай дем дуги в п ределах одного (общ его) п ериода, на к оторы х вы п олняю тся обаданны е неравенства. π  π  + kπ < x < + kπ ,   tg x > 1,       4 2  . 1 ⇔  cos 3x > − 2  − 2π + 2nπ < x < 2π + 2nπ   9 3 9 3  1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

4π π 5π 3π + 2mπ , + 2mπ )U ( + 2mπ , + 2mπ ), m ∈ Z 9 2 4 2 3. Реш ить неравенство: sin( x + y ) > 0 . Реш ение. И меем: 2kπ < x + y < (2k + 1)π , 2kπ − x < y < (2 k + 1)π − x . П ри данном целом значении k п олученны е неравенстваоп ределяю тна п лоск ости п олосу, ограниченную двумя п араллельны ми п рямы ми: снизу

О твет: x ∈ (

п рямой y = − x + 2kπ и сверху п рямой y = − x + (2k + 1)π . П ридавая k п роизвольны е целочисленны е значения, п олучим беск онечное множество п араллельны х п олос.

4. Реш ить уравнение: tg(α + x ) tg(α − x) = 1 − 2 cos 2 x Реш ение. П ереп исавуравнение ввиде: sin(α + x) sin(α − x) 1 − 2 cos 2 x = cos(α + x) cos(α − x) 1 составим

п роизводную

п роп орцию

(1)

(2)

п о п равилу, если

a c = , b d

то

b+a d +c cos 2 x 1 − cos 2 x = = ; п олучим: (3) b−a d −c cos 2α cos 2 x П рименим п одстановк у t = cos 2 x и введем новы й п араметр β = 2α , тогдап олучим к вадратное уравнение: t 2 + t cos β − cos β = 0 . (4) К орни уравнения (4) дей ствительны , если: 2 ∆ = cos β + 4 cos β = cos β (cos β + 4) ≥ 0 , отк уда( в п ределах одного п ериода π π ф унк ции cos β ): − ≤ β ≤ . 2 2 1) Е сли cos β = 0 , то уравнение (4) имеетдвой ной к орень: t = 0 . 2)

Е сли cos β > 0 , т.е. −

π π < β < , то больш ий к орень уравнения (4) 2 2

п оложителен, аменьш ий отрицателен.

П одставиввлевую часть t = 1 , п олучим: f (1) = 1 > 0 , следовательно, п оложительны й к орень меньш е 1. П одставив в левую часть t = −1 , п олучим f (−1) = 1 − 2 cos β . А) Е сли f (−1) ≥ 0 и ∆ > 0 , то меньш ий к орень содержится в п ромежутк е п ромежутк а:

[ −1, 0 ) .

И меем:

cos β ≤

1 , cos β > 0 , 2

отк уда п олучим два

π π π π ≤β < и − < β ≤ − . В этом случае: −1 ≤ t1 < 0 < t2 < 1 . Э тот 3 2 2 3 π π π π случай имеетместо п ри + kπ ≤ α < + kπ , атак же − + kπ < α < − + kπ . 4 6 6 4 О бщ ее реш ение (1) может бы ть задано ф ормулой : − cos 2α ± cos 2α (cos 2α + 4) 1 x = ± arccos + nπ . 2 2 π π 1 Б) Е сли f ( −1) < 0, ∆ > 0 , т.е. cos β > , cos β > 0 , отк уда − < β < , то 3 3 2 меньш ий к орень расп оложен вне сегмента [ −1,1] . В этом случае имеем: π π t1 < −1 < 0 < t2 < 1 . С лучай имеет место п ри − + kπ < α < + kπ ; общ ее 6 6 реш ение (1) может бы ть задано ф ормулой :

− cos 2α + cos 2α (cos 2α + 4) 1 x = ± arccos + kπ . 2 2

π π + k , вэтом случае уравнение (1) п римет 4 2 π π π π tg( + x + k ) tg( − x + k ) = 1 − 2cos 2 x ; если k – четное число, то 4 2 4 2

3) Е сли cos 2α = 0 , то α = вид:

п олучим:

tg(

π π + x ) tg( − x) = 1 − 2 cos 2 x 4 4

или

1 = 1 − 2 cos 2x , отк уда

cos 2 x = 0 ; уравнение имеет серию особы х реш ений : x =

π π +m . П ри k 4 2

π π п римет вид: ctg( − x) c g ( + x) = 1 − 2 cos 2 x или 4 4 1 = 1 − cos 2x . С ледовательно, и вэтом случае п олучим туже серию (особы х) реш ений . 4) cos 2 x = 0 . П редп оложим, в отличие от п реды дущ его случая, что π kπ cos 2α ≠ 0 . И меем: x = + . П одставиввлевую часть данного уравнения, 4 2 п олучим: tg(α + x) tg(α − x) = − tg( x + α ) tg( x − α ) = −1 (п реобразования так ие же, к ак и вп реды дущ ем случае). Д анное уравнение не удовлетворяется. Заметим, нак онец, что для уравнения (1) возможен особы й случай , к огда один из сомножителей левой части теряет смы сл, а другой равен 0. π x + α = + kπ , x − α = mπ , П усть, нап ример: но тогда 2 π 2 x = + (k + m)π , cos 2 x = 0 , этотслучай бы л рассмотренвы ш е. 2

нечетном

уравнение

Г Л А В А II. Т А К С О Н О М И Я Т РИ Г О Н О М Е Т РИ Ч Е С К И Х Н Е РА В Е Н С Т В ПО М Е Т О Д А М РЕ Ш Е Н И Я 1. Приемы , не предусмотренны е общ ей теорией Э ти п риемы основы ваю тся на общ их зак онах монотонности ариф метическ их дей ствий , на неравенствах, содержащ их абсолю тны е величины , на свой ствах тригонометрическ их ф унк ций (ограниченности, монотонности, знак оп остоянствавданны х п ромежутк ах и т.п .). П римеры . 1) П ок азать, что для лю бого острого угла x : sin x + cos x > 1 . Реш ение. Рассмотрим тождество: sin 2 x + cos 2 x = 1 для острого угла 0 < sin x < 1 , а п отому sin 2 x < sin x, cos2 x < cos x , отк уда и следует док азы ваемое неравенство. sin x , 0 < cos x < 1 . 2) sin x < tg x , так к ак tg x = cos x 3) sin( x + y ) < sin x + sin y Реш ение. sin( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x . Т ак к ак 0 < cos x < 1, 0 < cos y < 1 , тонеравенство вы п олняется. 4) sin 2 x < 2sin x , так к ак sin 2 x = 2sin x cos x, 0 < cos x < 1 . π 2 tg x 5) tg 2 x > 2 tg x п ри 0 < x < , так к ак tg 2 x = . 1 − tg 2 x 4 2. Реш ение нера в енств , ра циона ль ны х относитель но нек оторой тригонометрич еск ой ф унк ции Н еравенство вида R ( f ( x )) > 0 реш ается п одстановк ой f ( x ) = t ; п ри этом к неравенству R (t ) > 0 (*) следует п рисоединить неравенства −1 ≤ t ≤ 1 , если f ( x ) обозначаетсинус либо к осинус. Реш ив неравенство (*) относительно п ромежуточного аргумента t , сведем задачу к реш ению п ростей ш их тригонометрическ их неравенств. П римеры . 2 1) Реш ить неравенство: sin x > cos x . Реш ение. П рименив рационализирую щ ую п одстановк у t = sin x , п олучим и реш им системунеравенств:  −1 − 5  −∞ < t < ,  2 2  t + t − 1 > 0,  5 −1   < t ≤ 1 . С ледовательно,   ⇔  5 −1 ⇔ 2 < t < +∞,   −1 ≤ t ≤ 1    2  1 t 1 − ≤ ≤   данное тригонометрическ ое неравенство эк вивалентно п ростей ш ему

неравенству:

5 −1 < sin x , отк уда 2

5 −1 5 −1 + 2 kπ < x < − arcsin + (2k + 1)π . 2 2 sin x + cos x − 1 > 0. 2) Реш ить неравенство: sin x − cos x + 1 x Реш ение. П усть t = tg , тогда п олучим (п осле п одстановк и и 2

arcsin

sin x + cos x − 1 1 − t = > 0 , отк уда п олучим две линей ны е sin x − cos x + 1 1 + t 1 − t > 0, 1 − t < 0,   (1) и   (2). системы :  1 + t > 0  1 + t < 0  п реобразований ):

П ервая система имеет реш ение:

−1 < t < 1,

а вторая не имеет x π π реш ений . С ледовательно: −1 < tg < 1 , отк уда − + kπ < x < + kπ . 2 2 2 3. М етодинтерв а лов П редп оложим, что реш ено уравнение: f ( x) = 0 , (1) т.е. что известны все его к орни, и что, будучи расп оложены в п орядк е f ( x ) на возрастания, эти к орни делят область оп ределения ф унк ции к онечное или беск онечное множество п ромежутк ов. П усть

xi −1

и

xi - два

соседних к орня уравнения (1): если ф унк ция f ( x ) неп реры вна, то в интервале ( xi −1 , xi ) она знак оп остоянна, так к ак в этом интервале она не обращ ается в нуль. В рассматриваемом случае к орни уравнения (1)

f ( x) на интервалы разбиваю т область оп ределения ф унк ции знак оп остоянства. О бщ им реш ением неравенства f ( x) > 0 служит множество всех интервалов, вк оторы х ф унк ция

f ( x)

п оложительна.

Е сли ф унк ция f ( x ) разложена на множители f = f1 ⋅ f 2 ⋅⋅⋅ f k и для к аждого множителя (в отдельности) установлены интервалы знак оп остоянства, то, объединив в одно множество к онцы всех этих интервалов, п олучим разбиение области оп ределения f ( x ) на интервалы знак оп остоянства. Н еравенство f ( x) > 0( f ( x) < 0) вы п олняется в тех интервалах, в к оторы х числоотрицательны х сомножителей четно(нечетно). П римеры . 1) Реш ить неравенство: sin x > sin 3x .

Реш ение. Реш аем эк вивалентное неравенство sin x − sin 3x > 0 или −2 cos 2 x sin x > 0 или cos 2 x sin x < 0 . Н аходим к орни уравнения

cos 2 x sin x = 0 на сегменте [ −π , π ] , охваты ваю щ ем п олны й п ериод левой части.

x=±

Реш ив

cos 2 x = 0

уравнения

sin x = 0 ,

и

п олучим

π 3π , x = ± , x = 0, x = ±π . С оставим таблицу расп ределения знак ов 4 4

для к аждого из интервалов, на к оторы е делят най денны е к орни сегмент

[ −π , π ] : x −π < x <

−

cos 2x

+

+

sin x

0 0

-

cos 2x

<x<

−

0

-

0

+

3π 4

<x<

0

<x<

π 4

<x<

3π 4

<x<

π

0

+

+

+

0

-

0

+

+

0

-

0 0

+ +

+ 0

+ -

+ 0

+ +

0 0

π 4

× sin x

С ледовательно, неравенство(1) вы п олняется винтервалах:

3π π π 3π ), (− , 0), ( , ) . О бщ ее реш ение состоитиз трех серий интервалов: 4 4 4 4 3 1 1 3 ((2k − 1)π , (2k − )π );((2k − )π , 2kπ ); ((2k + )π , (2k + )π ) . 4 4 4 4 x 2) Реш ить неравенство: tg < tg x . 3 ( −π , −

Реш ение. Рассмотрим левую и п равую части в п ределах п ромежутк а, охваты ваю щ его их sin

2 x 3

x cos x cos 3

> 0.

общ ий

С оставим

числителя и знаменателя:

п ериод

3π

.

И меем:

tg x − tg

x >0 3

или

таблицу расп ределения знак ов множителей

x

0

<x< π

<x<

3π 2

<x<

5π 2

<x<

2 2 x 3 cos x

sin

x cos 3

sin

2 x 3

cos x cos

3π

0

+

+

+

0

-

-

-

0

+ +

+ +

0 +

+

0 0

+ -

0 -

-

-

0

+

+

-

0

π 2

3π 5π , ). 2 2

-

x 3

Н еравенство вы п олняется винтервалах (0, ) и ( 4. М етодк оордина тной интерпрета ции

Т ак к ак cosϕ и sin ϕ есть абсцисса и ордината точк и единичной ок ружности, то реш ение неравенства f (cos ϕ ,sin ϕ ) > 0 равносильно

 f ( x, y ) > 0,  реш ению смеш анной алгебраическ ой системы :  x 2 + y 2 = 1  ; именно эта  

система оп ределяет тучасть единичной ок ружности, к оторая содержится в области f ( x, y ) > 0 . Реш ения системы оп ределяю тся дугами, на к оторы х вы п олняется данное тригонометрическ ое неравенство.

П римеры . 1) Реш ить неравенство: cos ϕ + sin ϕ > 1.

 x + y − 1 > 0,  . Н адо най ти дугу 2 2 x + y = 1   ок ружности, лежащ ую вы ш е п рямой y = − x + 1 . Н ай дем точк и п ересечения Реш ение. Реш им смеш анную систему

данной п рямой и ок ружности. Реш ив систему, п олучим к оординаты к онцов дуги: x1 = 1, y1 = 0 и x2 = 0, y2 = 1 .

В верхней п олуп лоск ости относительно п рямой

y = − x + 1 лежитдуга

π . О бщ им реш ением неравенства служит беск онечное множество 2 π интервалов (2kπ , + 2kπ ) . 2 2) Реш ить неравенство: sin ϕ > 4 3 cos3 ϕ .  y > 4 3x3 ,  Реш ение. С оставим смеш анную систему:  2  . Реш ением 2  x + y = 1  0 <ϕ <

этой системы служит дуга единичной ок ружности, расп оложенная вы ш е к убическ ой п араболы y = 4 3 x3 . Н ай дем точк и п ересечения п араболы и 3 3 1 π 4π  y = 4 3 x ,   y = 4 3x ,  ⇔ ⇒ x = ± . Д у га ок ружности.  2 < ϕ <    2 6 2 2 3 3  x + y = 1  48 x + x = 1

расп оложена на единичной ок ружности вы ш е данной к убическ ой п араболы , общ им реш ением служит беск онечное множество интервалов:

π 4π ( + 2kπ , + 2kπ ) . 3 3

5. Реш ение тригонометрич еск ого нера в енств а сдв умя неизв естны ми П ример. Реш ить неравенство: sin x > sin y . Реш ение. И зложим реш ение неравенства в геометрическ ой ф орме. И меем:

sin x − sin y > 0 ⇔ cos

x+ y x− y sin >0. 2 2

П ервы й

множитель

π x+ y π + 2 kπ < < + 2kπ , отк уда п олучаем 2 2 2 беск онечное множество п олос: (4k − 1)π − x < y < (4k + 1)π − x . В п олосах (4k + 1)π − x < y < (4k + 3)π − x п ервы й множитель отрицателен. В торой y−x y−x множитель п оложителен, если sin < 0 ⇔ (2k + 1)π < < 2(k + 1)π 2 2 или (4k + 2)π + x < y < 4( k + 1)π + x . В п олосах 4kπ + x < y < (4k + 2)π + x

п оложителен,

если

−

второй множитель отрицателен. П олосы , в к оторы х оба множителя имею т одинак овы й знак , в п ересечении образую т множество к вадратов, расп оложенны х «вш ахматном п орядк е».

6. Реш ение простейш их нера в енств , содерж а щ их об ра тны е тригонометрич еск ие ф унк ции Д ля реш ения так их неравенств достаточно восп ользоваться свой ством монотонности и п ринять во внимание область оп ределения и множество значений данной ф унк ции. Н ап ример, неравенство arcsin x < a п ри a >

π 2

удовлетворяется во всей области оп ределения арк синуса, т.е. на сегменте

π π < a ≤ , имеем arcsin x < arcsin(sin a) , отк уда 2 2 π −1 ≤ x < sin a . П ри a ≤ − неравенство не имеет реш ений , так к ак 2 π − ≤ arcsin x . 2 −1 ≤ x ≤ 1 .

П ри

−

П римеры . № п .п . Н еравенство 1 arcsin x < 1 2 arcsin x < 5 3 1

arccos x > arccos

4 5 6

arctg x > 5 arctg x < 5 arccos x > 0

3

О бщ ее реш ение

−1 < x < sin1 −1 ≤ x ≤ 1 1 −1 < x < 3

Н е имеетреш ений

−∞ < x < +∞ −1 ≤ x < 1

π 3 π arcsin x < − 6 3π arc ctg x > 4 π arc ctg x > 2 arcsin x ≤ −2

7 8 9 10 11

Н е имеетреш ений

arccos x < −

1 2 −∞ < x < −1

−1 ≤ x < −

−∞ < x < 0

Н е имеетреш ений 12) Реш ить неравенство: arctg 2 x − 4 arctg x + 3 > 0 .

t 2 − 4t + 3 > 0,    Реш ение. П усть t = arctg x . Реш им систему π π  . П олучим  −
7. Реш ение нера в енств , содерж а щ их слож ны е тра нсцендентны е ф унк ции отнеизв естны х П римеры . 1) Реш ить неравенство: arcsin x < arcsin(1 − x) . Реш ение. О бластью оп ределения левой части служит сегмент −1 ≤ x ≤ 1 , областью оп ределения п равой части – сегмент 0 ≤ x ≤ 2 , общ ей частью этих сегментов служит сегмент 0 ≤ x ≤ 1 . В силу возрастания арк синуса имеем: x < 1 − x и 0 ≤ x ≤ 1, отк уда п олучим п ромежуток

0≤ x<

1 . 2 1.5 1 0.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-0.5 -1 -1.5

2) Реш ить неравенство: arcsin x > arccos x . Реш ение. Е сли x < 0 , то неравенство не может вы п олняться, так к ак arcsin x < 0 , а arccos x > 0 . П оэтомудостаточно най ти реш ение неравенства на сегменте 0 ≤ x ≤ 1. В этом п редп оложении левая и п равая части п ринадлежат п ервой (замк нутой ) четверти , в к оторой (в силумонотонности

sin(arcsin x) > sin(arccos x) 1 x 2 > 1 − x 2 , и, нак онец, < x ≤ 1. 2

синуса) имеем:

или

x > 1 − x 2 , отк уда

3

2

1

-1

-0.5

0.5

1

-1

3) Реш ить неравенство: arccos x > arccos x 2 . Реш ение. О бластью оп ределения п равой и левой частей служит сегмент −1 ≤ x ≤ 1 . В силуубы вания арк к осинусаимеем: x < x 2 и −1 ≤ x ≤ 1 , отк уда −1 ≤ x < 0 . 3 2.5 2 1.5 1 0.5

-1

-0.5

0.5

1

4) Реш ить неравенство: arcsin( x 2 + 1) < 2 . Реш ение. О бласть оп ределения левой части состоит из единственного значения x = 0 , п ри этом значении неравенство вы п олняется. Н еравенствоимеетединственное реш ение: x = 0 . 5) Реш ить неравенство: a sin x > a cos x , где a > 0 . Реш ение. П ри a > 1 неравенство эк вивалентно тригонометрическ ому

π 4

π 5π + 2 kπ < x < + 2 kπ . 4 4 П ри a < 1 неравенство эк вивалентно неравенству: sin x < cos x , отк уда 3π π − + 2kπ < x < + 2kπ . 4 4 П ри a = 1 неравенство не имеетреш ений . 6) Реш ить неравенство: sin(4cos x) > 0 .

неравенству: sin x > cos x ⇔ sin( x − ) , отк уда

Реш ение. Т ак к ак множество значений п ромежуточного аргумента

u = 4cos x есть сегмент −4 ≤ u ≤ 4 , то реш им систему: Разобьем

сегмент

[−4, 4]

на

следую щ ие

 sin u < 0,   . −4 ≤ u ≤ 4  п ромежутк и:

неравенство −4 ≤ u < −π , −π ≤ u ≤ 0,0 < u ≤ π , π < u ≤ 4 ; sin u > 0 вы п олняется в п ромежутк ах: −4 ≤ u < −π и 0 < u < π , отк уда п олучим две π π и 0 < cos x < . В п ределах одного системы неравенств: −1 ≤ cos x ≤ − 4 4 п ериода

п ервая

система

неравенств

вы п олняется

в

интервале:

π π < x < π + arccos . В торая система неравенств вы п олняется в 4 4 π π π π и − < x < − arccos . О бщ ее реш ение интервалах: arccos < x < 4 2 2 4 π − arccos

состоит

из

трех

серий

интервалов:

π π π 4k + 1 < x < (2k + 1) + arccos , arccos + 2kπ < x < π и 4 4 4 2 4k − 1 π π < x < 2kπ − arccos . 2 4 πx (1) > 1. 7) Реш ить неравенство: tg 4( x + 1) π πx π Реш ение. Н еравенство вы п олняется, если: + kπ < < + kπ , 4 4( x + 1) 2 x отк уда: 1 + 4k < < 2 + 4k . (2) x +1 П римем во внимание, что п ри п роизвольном (заданном) целом k 1 + 4k и 2 + 2k есть числаодного знак а. В самом деле: 1 + 4k > 0 , если 1 1 k > − , т.е. если k ≥ 0 ; 2 + 4k > 0 , если k > − , т.е. если k ≥ 0 . 4 2 Аналогично, обаэти вы ражения отрицательны п ри k < 0 . С ледовательно, п ри лю бом целом k неравенства(2) эк вивалентны неравенствам: 1 1 1 −4k 1 −4k − 1 или ; (3) > 1+ > > > 1 + 4k x 2 + 4k 1 + 4k x 2 + 4k −4k −4k − 1 числа и п ри лю бом целом k ≠ 0 имею тодини тотже знак – 1 + 4k 2 + 4k обаотрицательны . В самом деле, п ри k > 0 числители обеих дробей отрицательны , азнаменатели п оложительны , ап ри k < 0 числители (2k + 1)π − arccos

п оложительны , азнаменатели отрицательны . С ледовательно, п ри п роизвольном целом k ≠ 0 неравенства(3) эк вивалентны неравенствам:

−

1 + 4k 2 + 4k <x<− ; 4k 4k + 1

п ри k = 0 из неравенств(3) п олучим: 0 >

(4)

1 1 > − или −∞ < x < −2 . О бщ ее x 2

реш ение (1) состоитиз беск онечного множестваинтервалов(4) и интервала (−∞, −2) .

8) Реш ить неравенство: arctg

y > 1. x

π y < . П ри 4 x π −∞ < y < x . 4

Реш ение. Д анное неравенство эк вивалентно неравенству

x>0

п олучим

π x < y < +∞ ; 4

п ри

x<0

п олучим

Г еометрическ и общ ее реш ение изображается двумя областями, образованны ми точк ами, лежащ ими внутри двух вертик альны х углов.

9) Реш ить неравенство: sin π ( x 2 + y 2 ) < 0 . Реш ение. И меем: (2k + 1)π < π ( x 2 + y 2 ) < 2( k + 1)π , где k = 0,1, 2,3,... , так к ак x 2 + y 2 ≥ 0 . С ледовательно: 2k + 1 < x 2 + y 2 < 2(k + 1) . Г еометрическ и множество всех реш ений состоитиз беск онечного множества к онцентрическ их к олец (отк ры ты х) сцентром вначале к оординат.

Г Л А В А III. РЕ Ш Е Н И Я Н Е РА В Е Н С Т В ПО В Ы Ш Е Н Н О Й С ЛО Ж Н О С ТИ

С меш а нны е нера в енств а 1) log

2 (sin x + cos x )

( 6 sin x + 2 cos x) ≥ 1 .

Реш ение. Д анное неравенстворавносильнообъединению следую щ их

   2(sin x + cos x) > 1,    (1)   6 sin x + 2 cos x ≥ 2(sin x + cos x);  систем  .  0 < 2(sin x + cos x) < 1,     (2)  0 < 6 sin x + 2 cos x ≤ 2(sin x + cos x ).     π П рименяя ф ормулуsin x + cos x = 2 sin( x + ) и уп рощ ая второе 4 π 1   sin( x + ) > ,  неравенство системы (1), п риведем ее к виду 4 2  . С делаем  sin x ≥ 0  π 1 заменуп еременны х y = x + и реш им п олученное неравенство sin y > . 4 2 π 5π π π 5π + 2π n ⇔ + 2π n < x + < + 2π n ⇔ П олучим + 2π n < y < 6 6 6 4 6 π 7π − + 2π n < x < + 2π n, n ∈ Z . С истема(1) имеетвид 12 12 7π  π  + 2π n,  − + 2π n < x < 12  12 .   2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ 1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

Реш ением системы (1) является 2nπ ≤ x <

7π + 2nπ , n ∈ Z . 12

П ервое неравенство системы (2) эк вивалентно 0 < sin( x + Реш ая его п олучим

π 1 )< . 4 2

π π  π  π 2 n < x + < + 2 n , π π − + < < − + 2nπ , 2 n π x   4 4 6 12 ⇔  5 π π  + 2nπ < x + < π + 2nπ ;  7π + 2nπ < x < 3π + 2nπ .  6  12 4 4   

В торое двой ное неравенство удобнее зап исать ввиде системы π 5π    π  + 2kπ ,  6 sin x + 2 cos x > 0,  sin( x + ) > 0,  − + 2kπ < x < 6 6 ⇔ ⇔ 6  sin x ≤ 0   sin x ≤ 0   −π + 2nπ ≤ x ≤ 2nπ 

 π  ⇒ x ∈  − + 2nπ , 2nπ  .  6  1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

π π + 2nπ < x < − + 2nπ . 6 12 7π π π О твет: 2nπ ≤ x < + 2nπ , − + 2nπ < x < − + 2nπ , n ∈ Z 12 6 12 x −5 2) 4sin 2 x − 1 ⋅ log sin x ( ) ≥ 0. 2x −1

Реш ением системы (2) является интервал −

Реш ение.

4sin 2 x − 1 ≥ 0,    sin x > 0,     4sin 2 x − 1 ≥ 0,  4sin 2 x − 1 ≥ 0,   sin x ≠ 1,         ⇔ x − 5  ⇔  0 < sin x < 1,  ⇔  x − 5 log ( ) ≤ 1,   sin x     x −5 2x − 1   x 2 − 1 0<   ≤1 2x − 1    x−5   2 x − 1 > 0 

1   π 5π   sin x ≥ ,   1   x ∈ [ + 2nπ , + 2nπ ], n ∈ Z   ≥ x sin , 2 6 6    2    sin x > 0, π    sin x ≠ 1,    x ≠ + 2nπ ,    sin x ≠ 1,    2 ⇔ ⇔  x+4 ⇔  1  x − 5 − 2 x + 1 ≤ 0,   2 x − 1 ≤ 0,    x ∈ (−∞, −4] U [ , +∞),  2x −1      2    x −5 > 0   1 x−5       U ∈ −∞ +∞ ( , ) (5, ) x >0  2x − 1  2   2x − 1   О тсю дап олучим реш ение

3π π π , −4], x ∈ [ + 2nπ , + 2nπ ), n ∈ Z, n ≠ 0 2 6 2 π 5π + 2kπ ], k ∈ Z, k ≠ −1, k ≠ 0 x ∈ ( + 2 kπ , 2 6 x ∈ (−

Н Е РА В Е Н С Т В А С ПА РА М Е Т РО М a к ак их значениях п араметра

П ри

неравенство

2π − x (ctg sin x − 2 a ctg sin x − a) ≤ 0 (1) имеет к онечное число реш ений . 2

Н ай ти эти реш ения. Реш ение. Н еравенство

(1)

равносильно

системе

неравенств

   x ≤ 2π ,  2π − x ≥ 0,  2 ⇔ 2 . x a x a x a x a ctg sin − 2 ctg sin − ≤ 0 ctg sin − 2 ctg sin − ≤ 0     С делаем замену п еременны х y = ctg sin x . О чевидно, что y ≥ ctg1 . В торое неравенство системы можно п ереп исать в виде y 2 − 2ay − a ≤ 0 (2). Э то неравенство будет иметь реш ение, если D = a 2 + a неотрицателен, т.е. если a ∈ (−∞, −1] U [0, ∞) . К орни уравнения y 2 − 2ay − a = 0 п ри так их a будут y1 = a − a 2 + a ; y2 = a + a 2 + a . Рассмотрим различны е a . 1) a < −1 В этом случае y1 < a < −1; y1 < y2 < 0 , т.к . y1 ⋅ y2 = −a > 0 .

Реш ением

неравенства (2) будут все y так ие, y1 < y < min{ y2 , − ctg1} , и, значит, требования задачи не вы п олняю тся. 2) a = −1 В этом случае y1 = y2 = a = −1, т.е. ctg sin x = −1 ⇒ sin x = − п олучаем

четы ре

реш ения

исходного

x1 = −π + ϕ , x2 = −ϕ , x3 = π + ϕ , x4 = 2π − ϕ , где ϕ = arcsin 3) a ≥ 0

π . 4

что

π , и мы 4

неравенства

В этом случае все зависит от расп оложения точек y2 и ctg1. Е сли y2 < ctg1, то реш ений нет. Е сли y2 > ctg1 , то реш ений беск онечное

ctg 2 1 . множество. Рассмотрим случай y2 = a + a + a = ctg1 , т.е. a = 1 + 2ctg1 3π π П ри этом y2 = ctg1 , т.е. ctg sin x = ctg1 ⇒ sin x = 1 ⇒ x1 = − , x2 = . 2 2 π x = −π + ϕ ; −ϕ ;π + ϕ ; 2π − ϕ , где ϕ = arcsin ; О твет: п ри a = −1 4 2 ctg 1 3π π п ри a = x1 = − , x2 = . 2 2 1 + 2ctg1 2

С ПИ С О К Л И Т Е РА Т У РЫ 1. Амельк инВ .В . Задачи сп араметрами : cп рав. п особие п о математик е/ В .В .Амельк ин, В .П .Рабцевич. – М инск : Асар, 1996. 2. Бесп альк о Б.П . О сновы теории п едагогическ их систем/Б.П .Бесп альк о. – В оронеж : изд-во В Г У , 1977. 3. Н естеренк о Ю .В . Задачи вступ ительны х эк заменовп оматематик е : учеб. п особие/Ю .В .Н естеренк о, С .Н .О лехник , М .Н .П отап ов. – М . : Ф ак ториал, 1995. 4. М атематик а. М етоды реш ения задач для п оступ аю щ их ввузы : учеб. п особие/ М .К .П отап ов[и др.] – М . : Д роф а, 1995. 5. С толярА.А. П едагогик аматематик и/А.А.С толяр. – М инск : В ы сш . ш к ., 1986. 6. Т к ачук В .В . М атематик аабитуриенту/В .В .Т к ачук . – М . : Т Е И С , 1994. 7. Ш абунинМ .И . М атематик адля п оступ аю щ их ввузы . Н еравенстваи системы неравенств: учеб. п особие/М .И .Ш абунин. – М . : Ак вариум, 1997. 8. Ш ары гинИ .Ф . Ф ак ультативны й к урсп оматематик е : Реш ение задач : учеб. п особие для 11 к л. сред. ш к ./И .Ф .Ш ары гин, В .И .Г олубев. – М . : П росвещ ение, 1991. 9. 3000 к онк урсны х задач п о математик е / п од ред. Ю . Бобы лева – М . : Г ольф , 1997. 10. П рограммы для общ еобразовательны х ш к ол, гимназий , лицеев: М атематик а. 5-11 к лассы / сост. Г .М .К узнецова, Н .Г .М индю к – 3-е изд., стереотип . – М . : Д роф а, 2002. 11. С борник задач п о математик е для п оступ аю щ их во втузы : учеб. п особие/ п од ред. М .И .С к анави – 6-е изд. – М . : О ник с21 век , 2001.

Д ля заметок

С оставители: М итягинаН .А., С адчик овП .В . Редак тор: Т ихомироваО .А.