Учебно-методический комплекс дисциплины ''Математика'' (для естественнонаучного направления профессионального педагогического образования)

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА» (для естественнонаучного направления профессионального педагогического образования)

Санкт-Петербург Издательство РГПУ им. А.И. Герцена 2010

Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент С. П. Токарев, к. ф.-м. н., доцент Т. А. Свенцицкая

Авторы: Г.Г. Хамов, Т.А.Семенова, Р.А.Мыркина, Е.Г.Копосова

Учебно-методический комплекс (УМК) по дисциплине «Математика» (для естественнонаучного направления профессионального педагогического образования) содержит: учебную программу, технологические карты, методические рекомендации преподавателям, методические указания студентам, материалы к промежуточной и итоговой аттестации. УМК адресовано преподавателям и студентам педагогических университетов.

Введение Обновленный учебно-методический комплекс (УМК) по дисциплине «Математика» направления «Естественнонаучное образование» включает: 1) рабочую учебную программу дисциплины; 2) методические рекомендации для преподавателя; 3) методические указания для студентов; 4) материалы к промежуточной и итоговой аттестации студентов. В этом комплексе реализован компетентностный подход к процессу подготовки студентов в профессиональном педагогическом образовании. Обновление УМК проводилось в следующих направлениях: 1) выделены компетентности студентов, которые необходимо формировать в процессе изучения дисциплины; 2) определено математическое содержание, которое может обеспечить формирование выделенных компетенций, а также показана роль и значение математической подготовки в решении задач данной образовательной программы; 3) использованы гуманитарные образовательные технологии, обеспечивающие современное качество подготовки студентов. В УМК значительное внимание уделено вопросам организации самостоятельной учебной деятельности студентов, которая должна обеспечить глубокое понимание содержания дисциплины и владение способами его применения для решения различных задач, в том числе и профессиональной направленности. Технологии, рекомендуемые для осуществления самостоятельной деятельности студентов, предполагают получение педагогической поддержки из различных информационных источников. Материалы промежуточной и итоговой аттестации студентов предполагают: отслеживание динамики изменения личностных достижений; введение накопительной системы баллов; проверку комплексных умений; оценку компетентностей.

3

РАЗДЕЛ I. Учебная программа дисциплины «МАТЕМАТИКА» Специальность/Направление:…….…….050100 Естественнонаучное образование Курс ……………………………………………………1,2 Форма обучения ……………………………………...очная Семестр ………………………………………………..1,2,3 Количество часов на дисциплину ………………….504 Количество аудиторных часов на дисциплину …..252

Цель изучения дисциплины: формирование понятий важнейших математических моделей и математических методов, используемых для описания окружающего мира. Задачи, решение которых обеспечивает достижение цели: - формирование понимания значимости математической составляющей в естественнонаучном образовании бакалавра; - формирование представления о роли и месте математики в мировой культуре; - ознакомление с системой понятий, используемых для описания важнейших математических моделей и математических методов, и их взаимосвязью; - ознакомление с примерами применения математических моделей и методов; - формирование навыков и умений использования математических моделей и математических методов. Компетенции, в развитие которых вносит вклад данная дисциплина (требования к уровню освоения учебного содержания) Общенаучные: œ владеть основами фундаментальных математических теорий, используемых при построении математических моделей. Инструментальные: œ способность использовать математические модели в профессиональной деятельности. Социально-личностные и общекультурные: œ иметь представление о значимости математической составляющей в естественнонаучном образовании и о роли и месте математики в мировой культуре; œ способность использовать математические теории и методы для понимания естественнонаучной картины мира.

4

Ожидаемые результаты Компетенции Общенаучные Владеть основами фундаментальных математических теорий, используемых при построении математических моделей.

Знать

Уметь

Владеть

Знание основ линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики.

Выбирать математические методы, уместные при решении данной конкретной задачи. Использовать основные методы статистической обработки информации.

Основами фундаментальных математических теорий и навыками использования математического аппарата. Методами статистической обработки информации.

Инструментальные Способность исМатематические Выявлять матемапользовать матема- теории и методы, тические законотические модели в лежащие в основе мерности, лежащие профессиональной построения мате- в основе конкретдеятельности. матических моде- ных процессов и лей. явлений. Социально-личностные и общекультурные Иметь представле- Знание основ Использовать матение о значимости применения маматические поняматематической тематических мо- тия, методы и модесоставляющей в делей и методов. ли для описания естественнонаучразличных явлений ном образовании и и процессов. о роли и месте математики в мировой культуре. Способность использовать математические теории и методы для понимания естественнонаучной картины мира.

Иметь представление об основных математических теориях и методах исследования явлений и процессов.

Применять математические знания на междисциплинарном уровне.

Владеть математическим аппаратом, используемым при решении задач естественнонаучного содержания. Владеть понятиями, используемыми для описания математических моделей, методов, их взаимосвязью.

Владеть навыками математического стиля мышления в контексте решения профессиональных и социальноличностных задач.

5

Содержание учебной дисциплины

6

Лекции (126 ч 3,5 кредита)

№

Тема

1.

Аналитическая геометрия. Векторная и линейная алгебра. Метод координат. Системы координат. Уравнения линий на плоскости. Прямая. Кривые второго порядка. Линии и поверхности в пространстве. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Матрицы, действия с ними. Определители, их свойства и методы вычисления. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения.

10

Лабораторные работы (126 ч - 3,5 кредита) 12

2.

Дифференциальное и интегральное исчисления Функция одной переменной. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции. Класс элементарных функций. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции. Теоремы о пределах функций. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Производная и дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Основные правила дифференцирования. Свойства дифференцируемых функций. Производные высших порядков. Применение производной для вычисления пределов и исследования функций. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные. Производная по направлению. Скалярное поле. Градиент. Полный дифференциал. Экстремумы функции нескольких переменных. Понятие о кратных и криволинейных интегралах.

50

48

Самостоятельная работа (252 ч - 7 кредитов) 22

98

3.

4.

5.

Ряды Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Методы исследования сходимости числовых рядов. Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения. Степенные ряды. Разложение функции в степенные ряды. Применение степенных рядов. Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры приложения дифференциальных уравнений в различных областях науки и техники. Элементы теории вероятностей и математической статистики Случайные события. Статистический подход к определению вероятности случайного события. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Классическое и геометрическое определения вероятности. Схема Бернулли. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики. Системы случайных величин. Генеральная совокупность и выборка. Полигон и гистограмма. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке. Статистическое оценивание числовых характеристик случайной величины. Проверка статистических гипотез.

10

10

20

20

20

40

36

36

72

7

Текущая и итоговая аттестация Текущая аттестация: - защита лабораторных работ, выполняемых в аудиторные часы; - защита индивидуальных работ; - контрольные работы; - теоретическое тестирование; - коллоквиум. Итоговая аттестация: в 1 семестре - зачет, во 2 семестре – экзамен, в 3 семестре – зачет, которые являются проверкой усвоения основных понятий, приобретения навыков и умений работы с математическими моделями и методами. Организация самостоятельной работы Самостоятельная работа студентов организуется следующим образом: - на занятиях выдаются домашние задания; - для подготовки к коллоквиуму выдаются вопросы; - некоторые темы выносятся на самостоятельное изучение (смешанное произведение векторов, решение систем линейных уравнений методом Гаусса; неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами); - для внеаудиторной работы выдаются индивидуальные задания; рекомендуемые темы: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, прямая на плоскости, кривые второго порядка, векторы, предел функции, производная и ее приложения, неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения, дифференциальные уравнения.

1. 2. 3. 4.

5.

8

Рекомендуемая литература Основная Баврин И.И. Высшая математика. - М., 2002. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М., 1987. Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – 2-е изд., испр./ Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. – 149 с. Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Учеб.пособие / Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – 2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. – 377 с. Математика. Часть III.Теория вероятностей: Учеб. пособие/ М.Ю. Чурилова, Р.А. Мыркина, Т.А. Семенова и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Дополнительная литература Баврин И.И. Математический анализ. – М., 2006. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., 2005. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химикобиологических и медицинских специальностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 328 с. Основы высшей математики и математической статистики: учебник/ И.В. Павлушков и др. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007. – 424 с. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 1999. – 479 с.: ил. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб., 2001. Шипачев В.С. Высшая математика. – М., 2001. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – СПб., 1997. Мыркина Р.А., Семенова Т.А. Практикум по математике. Часть I. Элементы высшей алгебры и аналитической геометрии. – СПб., 2003.

Технологическая карта дисциплины «Математика» (1 курс, 1 семестр) Виды текущей аттестации аудиторной и внеаудиторной работы 1. Работа на практических занятиях (в том числе защита лабораторных работ) 2.Индивидуальные работы 3.Контрольные работы 4.Теоретическое тестирование 5.Коллоквиум Итого

Количество аттестационных мероприятий 24

Максимальное количество баллов 24

12 2 1 1

36 12 6 7 85

Итоговый зачет по темам, изученным в течение семестра: 15 баллов. Итого: 100 баллов.

9

Технологическая карта дисциплины «Математика» (1 курс, 2 семестр) Виды текущей аттестации аудиторной и внеаудиторной работы 1. Работа на практических занятиях (в том числе защита лабораторных работ) 2.Индивидуальные работы

Количество аттестационных мероприятий 24

Максимальное количество баллов 24

3

36

3.Контрольные работы 4.Теоретическое тестирование

2 1

12 6

5.Коллоквиум

1

7

Итого

85

Итоговый экзамен по темам, изученным в течение семестра: 15 баллов. Итого: 100 баллов.

Технологическая карта дисциплины «Математика» (2 курс, 3 семестр) Виды текущей аттестации аудиторной и внеаудиторной работы 1. Работа на практических занятиях (в том числе защита лабораторных работ) 2.Индивидуальные работы 3.Контрольные работы 4.Теоретическое тестирование 5.Коллоквиум Итого

Количество аттестационных мероприятий 15

Максимальное количество баллов 30

3 2

15 10

1 1

15 15 85

Итоговый зачет по темам, изученным в течение семестра: 15 баллов. Итого: 100 баллов.

10

РАЗДЕЛ II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Ι. Методические рекомендации для преподавателей математики на факультетах естественнонаучного направления В качестве средств обучения могут быть использованы учебники, учебные пособия, электронные ресурсы. В процессе обучения рекомендуем преподавателям использовать основные методы обучения, применяемые в высшей школе. 1. Информационно-рецептивный метод. Обучаемые усваивают знания в готовом виде, сообщенные преподавателем, почерпнутые из книжных источников или электронных ресурсов. Подобная деятельность необходима, так как она позволяет в сжатые сроки вооружать студента основными математическими определениями, теоремами, формулами и образцами способов деятельности. 2. Репродуктивный метод (метод организации воспроизведения способов деятельности). К этому методу относятся: решение типовых задач, ответы на теоретические вопросы. 3. Метод проблемного обучения. Преподаватель не просто излагает материал, а ставит проблему, формулирует познавательную задачу, показывает с помощью студентов логический путь решения проблемы. Здесь обучаемый становится соучастником поиска. 4. Эвристический (частично-поисковый) метод. После ознакомления обучаемых с материалом (определениями, математическими моделями, теоремами) перед ними ставится познавательная поисковая задача (лучше, если студенты сами ее выдвинут). Путем соответствующих заданий обучаемые подводятся к самостоятельным выводам. Таким образом, организуются активный учебный поиск, связанный с переходом к творческому, продуктивному мышлению. 5. Исследовательский метод. После постановки проблемы, формулирования задач, обучаемые самостоятельно работают над литературой, выдвигают гипотезу, ищут пути ее решения. Рекомендуем использовать некоторые частно-дидактические методы обучения. 1. Мотивационное обеспечение учебной деятельности. Применение этого метода предполагает создание условий, при которых студентом осознается важность изучаемого материала для своей последующей деятельности. При этом полезны задачи прикладного содержания, соответствующие приобретаемой профессии. 2. Выделение базисного материала, концентрация учебного материала вокруг базисного. Применение этого метода облегчает процесс усвоения и запоминания, освобождает от необходимости изучать некоторые частные, второстепенные вопросы, способствует формированию обобщенных знаний.

11

3. Пропедевтика вводимых понятий, новых теорем, формул. Перед изучением материала ограничиваются наглядными соображениями, не строгими рассуждениями, интуитивными представлениями о понятиях. Использование догадок, интуиции в обучении развивает мышление, интерес, улучшает запоминание. 4. Выбор методически обоснованного, с учетом знаний студентов и их умения мыслить, уровня строгости изучаемого материала. При обучении студентов естественнонаучного направления следует иметь в виду, что излишняя формализация материала препятствует полноценному его усвоению, развитию интуиции и может привести к потере интереса к предмету. 5. Создание проблемных ситуаций, возможностей для студентов самим делать обобщения, выводы, открытия. 6. Составление и применение алгоритмов. Алгоритмы организуют познавательный процесс, являются средством достижения результата, формируют у студента четкий стиль мышления. Их применение способствует более прочному усвоению материала. 7. Математическое моделирование. Математическая модель есть приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. При построении математических моделей необходимо выделять основные этапы: • формализацию; • решение задачи внутри построенной модели на языке той теории, в рамках которой находится модель; • интерпретации полученного результата к исходной задаче. В математических курсах модели различного вида встречаются очень часто: функциональном, графическом, знаковом и других выражениях. Особенно наглядны задачи практического содержания, в которых отчетливо выделяются все указанные три этапа математического моделирования. 8. Обучение с использованием информационных технологий. Размещение сотрудниками кафедры своих учебных материалов в сети Интернет позволяет студенту осваивать материал в соответствии с требованиями преподавателя в любое удобное для него время. Любой способ учебной деятельности целесообразно представить как цепь управляемых ситуаций, направленных на стимулирование и развитие познавательной и практической активности студента. Методика чтения лекций, организации практических занятий и самостоятельной работы должна содействовать развитию познавательной активности студентов, формированию необходимых компетенций. В практике необходимы лекции, предусматривающие как продуктивную, так и репродуктивную деятельность студента. При применении активных методов обучения доминирую-

12

щими видами деятельности являются частично-поисковые, творческие, исследовательские. Важными моментами таких лекций являются: • постановка проблемы; • определение базовых знаний, необходимых для ее решения; • создание атмосферы частично-поисковой деятельности; • организация исследовательской деятельности; • сравнение результатов исследования с точным результатом; • корректировка определений, выводов, полученных студентами; • самостоятельная работа студентов по специальным заданиям. Система задач и упражнений на практических и лабораторных занятиях должна давать целостное представление о функциях задач: • обучающей (формирование у студентов системы математических знаний, умений, компетенций); • развивающей (развитие математического мышления); • воспитывающей (формирование познавательного интереса); • контролирующей (проверка качества усвоения изучаемого материала). Задания для самостоятельной работы включают в себя задачи и упражнения: 1) тренировочного типа (в форме домашних заданий к практическим и лабораторным занятиям; самостоятельная работа над книгой или конспектом лекции по отбору и систематизации учебного материала); 2) реконструктивно-вариативного типа (при выполнении этих заданий студенты применяют правила, теоремы в различных ситуациях; реконструируют известный учебный материал или способы решения задач с целью их приложения к решению заданной задачи с измененными условиями). 3) эвристического типа (при выполнении заданий такого типа студенты приобретают опыт поисковой деятельности, самостоятельного анализа задачи, обобщения, нахождения ее способа решения). ΙΙ. Материалы для практических (лабораторных) занятий

Тема 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия 1. Матрицы. Определители. Решение систем линейных уравнений ⎛ 1 2⎞

⎛ 5 − 1⎞

⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟. Найти: 1. Даны матрицы: A = ⎜⎜ ⎝ − 3 4⎠ ⎝ − 2 3⎠ а) 2 A − 3B; б) 5 A − 2 B; в) − 2 A + B; г) − 3 A + 2 B; д) 3 A − 4 B.

13

⎛1 0 ⎞ ⎛−1 2 1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛− 2 4 5 ⎞ ⎟⎟. ⎟⎟, C = ⎜ 3 4 0 ⎟, D = ⎜⎜ 2. Даны матрицы: A = ⎜ 3 4 ⎟, B = ⎜⎜ 1 0 3 0 5 − ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎜2 5⎟ ⎜ − 2 1 − 3⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

Вычислить: а) AB; б) BC; в) CA; г) DB; д) AD. 3. Найти значение матричного многочлена: а) A 2 − 3 A + 2 E; б) 2 A 2 − A − 3E; в) 3 A 2 + A − 4 E; г) − A 2 + 5 A − 2 E; д) 4 A 2 − 2 A + E , ⎛−1 3⎞

⎟⎟, где E – единичная матрица второго порядка. если A = ⎜⎜ ⎝ 4 8⎠

4. Вычислить определитель второго порядка: а)

11 2 4 10 −2 1 ; б) ; в) ; г) −3 4 −2 0 3 −1

3 −1 7 3 ; д) . 5 4 −5 8

5. Вычислить определитель третьего порядка: 5

3

6 −1 0

0 ; б) − 2 0 − 1 ; в) 0 −2 1 −2 3

а) 7 − 1 2

4

10 2 − 1 3 0 1 −2

3 ; г) 4

−1 3

0

5 4 1 ; д) 1 2 −8

0 −3 4 1 −1 1 . 2 3 −5

6. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений: ⎧2 x − y = 0, ⎧ x − 7 y = −8, ⎧11x + y − 21 = 0, б) ⎨ в) ⎨ ⎩5 x + 2 y = 1. ⎩2 x + y = −1. ⎩− x + 3 y − 2 = 0. ⎧3x − 4 y + 5 = 0, ⎧7 x − 2 y = −23, г) ⎨ д) ⎨ ⎩2 x + 5 y − 12 = 0. ⎩ x + 5 y = 2.

а) ⎨

7. Найти матрицу, обратную данной: ⎛ 2 − 1⎞ ⎛1 − 7 ⎞ ⎛ 11 ⎟⎟; б) B = ⎜⎜ ⎟⎟; в) C = ⎜⎜ 2⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝−1

а) A = ⎜⎜ ⎝5

1⎞ ⎛3 4⎞ ⎛7 − 2⎞ ⎟⎟; г) D = ⎜⎜ ⎟⎟; д) N = ⎜⎜ ⎟⎟. 3⎠ ⎝ 2 5⎠ ⎝1 5 ⎠

8. Решить систему уравнений методом обратной матрицы: ⎧2 x − y = 0, ⎧ x − 7 y = −8, ⎧11x + y − 21 = 0, ⎧3x − 4 y + 5 = 0, б) ⎨ в) ⎨ г) ⎨ ⎩5 x + 2 y = 1. ⎩2 x + y = −1. ⎩− x + 3 y − 2 = 0. ⎩2 x + 5 y − 12 = 0.

а) ⎨

14

⎧7 x − 2 y = −23, ⎩ x + 5 y = 2.

д) ⎨

9. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений: ⎧4 y − 2 z = −2, ⎧ x − 4 y + 5 z = 2, ⎧ 2 x + 3 y + z = 7, ⎪ ⎪ б) ⎨2 x − 3 z = −6, в) ⎪⎨ x − z = −4, а) ⎨3x + 5 y − z = 2, ⎪ 2 x + 5 y − 4 z = − 2. ⎪4 x − 3 y + z = −4. ⎪ − x − 2 y + z = 0. ⎩ ⎩ ⎩ ⎧− x − y = 2, ⎧ x + 3 z = 9, ⎪ г) ⎨ x + 2 y + z = −1, д) ⎪⎨2 x − y − z = 3, ⎪2 x + 3 y = −7. ⎪ x + 3 y + 4 z = 14. ⎩ ⎩

10. Найти матрицу, обратную данной: ⎛ 0 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ а) A = ⎜ 3 5 − 1 ⎟ ; б) ⎜ 2 5 − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛−1 ⎜ г) D = ⎜ 1 ⎜ 2 ⎝

⎛1 − 4 5 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2 0 − 3 ⎟ ; в) C ⎜4 − 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ −1 0⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎟ 2 1 ⎟ ; д) N = ⎜ 2 − 1 ⎜1 3 3 0 ⎟⎠ ⎝

3 1⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ =⎜ 1 0 − 1⎟ ; ⎜−1 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3⎞ ⎟ − 1⎟ . 4 ⎟⎠

11. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и методом Гаусса: ⎧4 y − 2 z = −2, ⎧ x − 4 y + 5 z = 2, ⎧ 2 x + 3 y + z = 7, ⎪ ⎪ а) ⎨3x + 5 y − z = 2, б) ⎨2 x − 3z = −6, в) ⎪⎨ x − z = −4, ⎪ 2 x + 5 y − 4 z = − 2. ⎪4 x − 3 y + z = −4. ⎪ − x − 2 y + z = 0. ⎩ ⎩ ⎩ ⎧− x − y = 2, ⎧ x + 3 z = 9, ⎪ г) ⎨ x + 2 y + z = −1, д) ⎪⎨2 x − y − z = 3, ⎪2 x + 3 y = −7. ⎪ x + 3 y + 4 z = 14. ⎩ ⎩

12. Найти множество значений λ , при которых система ⎧ x + λy + z = 0, ⎪ ⎨2 x + 5 y − 3 z = 0, имеет единственное решение. ⎪ 4 x − 2 y + z = 0. ⎩

Найти решение системы при условии: а) λ = 1; б) λ = 0 ; в) λ = −2 ; г) λ = 3 ; д) λ = −1.

15

2. Координаты точки. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками 1. Выбрав прямоугольную систему координат, постройте точки: A (− 4; 2 ), B (2,5; − 6,5), C (0; 3), Д (− 5; 0 ), E (− 5; − 5).

2. Начертите ось l , проходящую через точку E (− 5; − 5) и имеющую то же направление, что и ось абсцисс. Каковы координаты точки O1 , в которой ось l пересекает ось ординат? 3. Дана точка A (− 3; 7 ) . Написать координаты точки A1 , симметричной точке A относительно оси абсцисс, точки A2 , симметричной точке A относительно оси ординат, точки A3 , симметричной точке A относительно начала координат. 4. Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки A (3; 2 ), B (6; 5), C (1; 10 ), прямоугольный. 5. Найти периметр треугольника ABC по данным задачи 4. 6. Найти длины медиан треугольника с вершинами A (2; 1), B (− 2; ,3) , C (0; − 1).

7. Проведен отрезок от точки (1; − 1) до точки (− 4; 5) . До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась? 8. В точке A (2; 5) сосредоточена масса 2 кг, в точке B (12; 0) — масса 3кг. Найти точку C — центр масс этой системы. 9. Отрезок между точками (x; 5) и (− 2; y ) делится в точке (1; 1) пополам. Найти эти точки. 3. Уравнение линии. Описание множества точек. Геометрический образ уравнения 1.Изобразить множество точек на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат по соотношениям, приведенным ниже: 1) x = 1 ;

2) x ≥ 3 ;

3) x = −2 ;

4) y = 2 ;

5) y ≥ −3 ;

6) x ≥ a (a > 0 ) ;

7) y ≤ в(в > 0 ) ;

8) x ≥ 0 ;

9) x > 0 ;

10) y ≥ 0 ;

11) y > 0 ;

12) xy = 0 ;

13) x = y ;

14) x = y ;

15) x + y = 5 ;

16) x + y > 5 ;

17) x + y ≥ 5 ; 18) x + y < 5 ; ⎧ x ≥ 1,

21) ⎨

⎡ x ≥ 1,

⎩x + y ≤ 9 ;

16

2

19) x 2 + y 2 = 9 ; 20) x 2 + y 2 < 9 ;

2

22) ⎢

⎣ x + y ≤ 9; 2

2

23) (x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9

⎧x2 + y 2 ≥ 1 , ⎡x 2 + y 2 = 0 , ⎪ 24) ⎨ x < y , 25) ⎢ 2 2 ⎢⎣( x − 3) + y ≥ 16 . ⎪ x<0 ; ⎩

2. Описать при помощи уравнений и неравенств изображенные ниже множества точек:

4. Прямая на плоскости. 1. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок, величина которого равна 5, и наклоненной к оси Ox под углом: а) 450 ; б) 600 ; в) 1350 ; г) 1200 . 2. Записать уравнения прямых с угловым коэффициентом: а) x − y − 1 = 0 ; б) 4 x − 2 y + 3 = 0 ; в) 3x + 2 y − 5 = 0 ; г) 2 x + 5 y = 0 ; д) 3 y − 7 = 0 . 3. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны 3 и -4 . 4. Написать уравнения прямых в отрезках: а) 3x + 2 y − 6 = 0 ; б) y = x − 1 ; в) 2 x − 3 y + 7 = 0 ; г) y = 6 x − 3 . 5. Построить прямые, определяемые уравнениями:

17

3x − 5 y + 15 = 0 , 5 x + 3 y = 0 , 3 y − 7 = 0 .

6. Исследовать, как расположены относительно осей координат следующие прямые: а) x − 2 y = 0 ; б) x − 1 = 0 ; в) y + 1 = 0 ; г) x − y = 0 ; д) x + y = 0 ; е) 5 x = 0 ; ж) 3 y = 0 ; з) 3x + 2 y − 6 = 0 . Построить эти прямые. 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (0; 3) и наклоненной к оси абсцисс под углом 135 0 . 8. Найти угол между прямыми: а) y = 3x − 1

и

y = −5 x + 2 ;

1 2

б) y = −2 x + 3

и y = x − 1;

в) 2 x − 3 y + 1 = 0

и

x + y + 3 = 0;

г) y + 4 = 0

и

y + 2x + 3 = 0 ;

д) x − 3 = 0

и

y + 8 = 0.

9. Даны две точки A и B . Составить уравнение прямой AB , если: а) A(−4; 2) и B(6; 4) ; б) A(0; − 1) и B(3; − 1) ; в) A(5 ;4) и B(5 ;−8) ; г) A(8; − 7) и B(−2; − 7) . 10. Даны две прямые 5 x + 3 y + 1 = 0 и α x + 5 y + 7 = 0 . Найти такое значение параметра α , при котором данные прямые перпендикулярны. 11. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; -3) и параллельной прямой, соединяющей точки (1; 2) и (-1; -5). 12. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки (4; 3) и (-2; 1). 13. Найти расстояние от точки A до каждой из двух данных прямых 5 x + y − 3 = 0 и 3x − 4 y + 1 = 0 , если: а) A(−2; 3) ; б) A(2;− 3) ; в) A(0; 0); г) A(1; 7) . 14. Найти расстояние между данными прямыми: а) 2 x + y + 5 = 0 и 4 x + 2 y + 1 = 0 . б) x + 4 y − 3 = 0 и 3x + 12 y + 4 = 0 . 15. Найти точку пересечения двух прямых: а) x + 2 y − 7 = 0 и

18

2x + y − 5 = 0 ;

б) 3x − 2 y = 0 и

3x − 2 y + 5 = 0 ;

в) 12 x + 3 y − 7 = 0 и 24 x + 6 y − 14 = 0 . 16. Даны вершины четырехугольника ABCD : A(2;2), B(5;1), C (3;6 ), D(0;3) . Найти точку пересечения его диагоналей. 5.Кривые второго порядка I. Окружность. 1. Написать уравнение окружности, зная, что: а) центр окружности лежит в точке (-2;-3) и радиус ее равен 3; б) центр окружности лежит в точке (2;-3) и окружность проходит через точку (5; 1); в) концы одного из диаметров имеют координаты (3; 9) и (7; 3). 2. Определить координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением: а) x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 ; б) 2 x 2 + 2 y 2 + 5 x − 3 y − 2 = 0 ; в) x 2 + y 2 − 6 x − 7 = 0 ;

г) x 2 + y 2 + 3 y = 0 .

3. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,

чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (3; 2)? 4. Найти уравнение окружности, касающейся оси Oy в начале координат и пересекающей ось Ox в точке (6; 0). 5. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и пересекающей ось Oy в точке (0;-8). 6. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ox в точке (-5; 0) и имеющей радиус, равный 3 единицам длины. II. Эллипс. 1. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: а) 16 x 2 + 25 y 2 = 400 ; б) 9 x 2 + y 2 = 36 . 2. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8; 0) и оси ординат в точке (0;5). Написать уравнение эллипса, если известно, что его оси параллельны осям координат.

19

3. Написать канонические уравнения эллипсов и построить эллипсы: а) 5 x 2 + 6 y 2 + 10 x = 25 ; б) 5 x 2 + 8 y 2 − 16 y = 32 . III. Гипербола. 1. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением: а) 25 x 2 − 144 y 2 = 3600 ; б) 16 x 2 − 9 y 2 = 144 . x2 y2 − = 1 . Написать уравнения асимптот. 2. Дана гипербола 9 25

3. Написать канонические уравнения гипербол и построить гиперболы: а) 5 x 2 − 6 y 2 + 10 x = 25 ; б) 5 x 2 − 8 y 2 + 16 y − 48 = 0 . IV. Парабола. 1. Составить уравнение параболы, зная, что: а) осью симметрии параболы служит ось Ox , вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины; б) парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (2;-4), и вершина ее лежит в начале координат; в) парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (-2;4), и вершина ее лежит в начале координат; г) парабола симметрична относительно оси Oy , фокус лежит в точке (0; 3), и вершина совпадает с началом координат; д) парабола симметрична относительно оси Oy , проходит через точку (4; 2), и вершина совпадает с началом координат; е) парабола симметрична относительно оси Oy , проходит через точку (-4;-2), и вершина совпадает с началом координат. 2. Привести уравнения параболы к каноническому виду и построить параболы: а) 6 x 2 − 12 x − y + 9 = 0 ; б) 6 y 2 − x − 12 y + 9 = 0 ; в) y = 3x 2 + 6 x + 4 ; г) y = − x 2 + 2 x + 5 . 6. Векторы 1. В параллелограмме ABCD обозначены: AB = a , AD = b. Точка M — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Через a и b выразить векторы BC , CD, AC , BD, AM , MC , MB.

20

2. В треугольнике ABC обозначены AB = a , BC = b. Через a и b выразить векторы AM , BN , CP , где M , N , P - соответственно середины сторон BC , AC , AB треугольника. 3. Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю. 4. Даны точки: A(2; 1; 0), B(0; 3;−1), C (−1;−1; 2). а) Найти координаты и длины векторов AB, AC , BC . б) Найти вектор m = 2 AB − BC и его длину. 5. Найти направляющие косинусы векторов a { 2; 1;−3} и b { 0;−3; 4} и записать орты данных векторов. 6. Найти скалярное произведение векторов a и b : а) a = 2i + j , b = −2 j + k ; б) a { − 1;−3; 1} , b { 4;−2;−4} ; в) a { 2; − 1;−5}, b { 2;−1; 1} . 7. Даны точки: A(3; 1; 2), B(2; 2;−1), C (1;−1; 2). Найти проекцию вектора AB на направление CB. 8. Даны векторы a { 1; 0;−1} и b { 2; 3; 0}. Найти угол между векторами: а) a и b ; б) c = a + 2b и d = 2a − b . 9. На материальную точку действуют силы F 1 = 2i − j + k , F 2 = −i + 2 j + 2k , F 3 = i + j − 2k . Найти работу равнодействующей R этих сил при перемещении точки из положения A(2; − 1; 0) в положение B(4; 1;−1) . 10. Найти вектор x , коллинеарный вектору a { 1; 2;−3} и такой, что x a = 28 . 11. Даны векторы a = 3i − j − 2k и b = i + 2 j − k . Найти a × b и (2a − b) × (a + 2b). 12. Даны векторы a { 1; 0;−2} и b { 1;−2; 3} . Найти единичный вектор, перпендикулярный этим векторам. 13. Даны точки: A(1; 2; 0), B(3; 0;−3), C (0; 2; − 1). Найти площадь треугольника ABC и длину высоты, проведенной из точки A . 14. Даны векторы: a { 1; 0;−2} , b { 1;−1; 2} , c {3; 1; − 1} . Найти смешанное произведение a b c . 15. Даны точки: A(1; 1; 2), B(2; 3;−1), C (2; − 2; 4), D(−1; 1; 3). Найти: а) объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC , AD. б) объем пирамиды ABCD и длину высоты, опущенной на грань ABC . 16. Даны точки: A(3;−4; 1), B(2;−3; 7), C (1; − 4; 3), D(4; − 3; 5). Доказать, что они лежат в одной плоскости. 7. Плоскость. Прямая линия в пространстве

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 (2,−1, 3) и:

21

а) параллельной плоскости XOY ; б) параллельной плоскости XOZ ; в) параллельной плоскости YOZ ; г) параллельной плоскости 3x − 4 y + z − 5 = 0 ; д) через ось OX ; е) через ось OY . 2. Для данного уравнения плоскости − 2 x + 3 y − z − 12 = 0 : а) найти координаты точек пересечения плоскости с осями координат; б) вычислить площадь треугольника, отсекаемого плоскостью от координатного угла YOZ ; в) вычислить объем пирамиды, ограниченной данной плоскостью и координатными плоскостями. 3. Составить уравнение плоскости: а) параллельной двум векторам a1 {3; 0;−2}, a 2 {1,−2,−4} и проходящей через точку M 1 (2, 3, 4) ; б) параллельной оси OY и проходящей через две точки M 1 (3, 1,−2 ), M 2 (1,−1, 3) ; в) перпендикулярной плоскостям x − y − z + 3 = 0, 2 x + 3 y + 4 z − 5 = 0 и проходящей через точку M (5;−1; 2) ; г) параллельной вектору a{1;−2; 1} и проходящей через две точки M 1 (4;−3; 1), M 2 (2; 3;−1).

4. Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными: 1 3

2 3

2 3

1 3

2 3

1 3

а) − x + y − z − 7 = 0; б) − x + y − z − 5 = 0; в)

1 2 2 x + y + z + 2 = 0; г) x − 2 = 0 ; д) y + 5 = 0 ; е) − z − 5 = 0 . 3 3 3

5. Привести уравнения плоскостей к нормальному виду: а) 4 x + 4 y − 2 z + 5 = 0 ; б)

3 2 6 x + y + z + 4 = 0; в) x + 2 y + z + 2 = 0; 7 7 7

г) x + 2 = 0 ; д) 3z − 2 = 0 . 6. Вычислить расстояние от: а) точки M (1; 2; 3) до плоскости 2 x − y + 2 z + 5 = 0; б) точки A (2,−1, 1) до плоскости, проходящей через три точки M 1 (− 1; 1; 1), M 2 (2;−1; 3), M 3 (1; 3; 1).

7. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями: 2 x − 3 y + 6 z − 14 = 0; 4 x − 6 y + 12 z + 21 = 0.

8. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку M 1 (3;−5; 7 ). 9. Определить направляющие косинусы прямой x−3 y +2 z −4 = = . −4 −3 12

22

10. Через точку M 1 (1;−3; 2) провести прямую: а) параллельно оси OZ ; x − 5 y +1 z + 2 = = ; −4 2 5 ⎧2 x − y + 4 z − 5 = 0, в) параллельно прямой ⎨ ⎩3x + y − 5 z + 2 = 0.

б) параллельно прямой

11. Найти точку пересечения прямой − 3x + 5 y − z + 5 = 0.

x +1 y − 2 z + 4 = = 2 −3 1

и плоскости

12. Доказать параллельность прямых x −1 y + 2 z = = , 0 −3 −3

⎧x + y − z + 2 = 0 ⎨ ⎩2 x − y + z − 3 = 0.

13. Доказать перпендикулярность прямых ⎧ x = t + 2, ⎪ ⎨ y = −2t − 3, ⎪ z = 3t + 1, ⎩

⎧3 x + y − 5 z + 4 = 0, ⎨ ⎩ 2 x + 3 y − 8 z − 5 = 0.

14. Даны вершины треугольника: A (7;−2; 3), B (1;−4;−5), C (3; 2;−6) . Составить параметрические уравнения прямой, содержащей медиану треугольника, проведенную из вершины C. 15. Точка M (x, y, z ) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M 0 (7; 5;−3) в направлении, противоположном вектору s {− 3; 6;−2} со скоростью v = 21. Составить уравнения движения точки M и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 3. 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3;−1; 2 ) и: а) перпендикулярной прямой б) через прямую

x − 3 y + 4 z −1 = = ; 1 −2 −5

⎧ x = 2t − 2, ⎪ ⎨ y = −4t + 1, ⎪ z = t + 3; ⎩ ⎧ x = t + 2,

x −1 y + 2 z − 4 ⎪ в) параллельной двум прямым = = , ⎨ y = 2t − 4, −3 1 5 ⎪

⎩ z = − 3t + 1.

x − 2 y + 3 z −1 = = провести плоскость: 4 3 −2 x y−2 z−4 а) параллельно прямой = = ; 1 3 −2 б) перпендикулярно плоскости 2 x − 5 y + z − 7 = 0.

17. Через прямую

18. Найти проекцию точки M (1; 2; 3) на плоскость 2 x + y − z + 5 = 0.

23

19. Найти проекцию прямой

x + 2 y −1 z + 4 = = на плоскость x + 2 y − z + 6 = 0. 3 −4 −2

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные

x −1 y + 2 z − 4 x − 3 y − 2 z −1 = = ; = = . 3 −1 2 3 2 −1 21. Через точку M (2; 1;−3) провести прямую, перпендикулярную прямой x +1 y −1 z + 2 = = . −1 2 −2

прямые

Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисления 1. Пределы

Задание 1. Найти пределы: 1. lim

x →∞

(x − 1)(x 2 − 3);

2. lim

x 3 + 4x + 5

n →∞

(n − 1)8 + (n + 1)8 ; n →∞ (n + 1)8 + (n + 2 )8

4. lim

(x + 1)(x 5 + 1) ; x →∞ (x 2 + 4)2 (x + 3)3

6. lim

1 + 8 + 15 + K + (7 n − 6 ) ; n →∞ n3

8. lim

5. lim

n →∞

7. lim

x →∞

x+ x+ x 3

x

(n

2

n6 +1 +4 +n

)

2

;

(x + 4)8 − (x + 3)7 ; x →∞ (x + 1)6 − (x + 2 )8

3. lim

9. lim

3

(

);

n +1 −1

3

n + 3n + 1

(n + 1)! + n ! ; n →∞ (n + 3)!

10. lim

;

n

x 5 + 2 − 3 x 2 +1

4

x →∞ 5

x 4 + 2 + 3 x +1

Задание 2. Найти пределы: x 3 − x 2 − x +1 ; x →1 x 4 + 2 x 3 − x 2 − 2 x

1. lim

3. lim

x →1

5. lim

x →0

7. lim

x →0

24

x x − x + x −1 x x −x

1− 1+ x 2 x2 +9 −3

;

x + x3 ; 5− x − 5+ x

;

x 2 − 5x + 6 ; x →2 x 3 − 2 x 2 − x + 2

2. lim

5x 4 − 6 x 3 + 1 ; x →1 x 2 − 2 x + 1

4. lim

6. lim

x → −2

x3 +8 x +6 −2

3− 5+ x ; x →4 1 − 5 − x

8. lim

;

.

x −1 ; x →1 1 − 4 x

9. lim

3

2+x2 − 2

10. lim arcsin x →0

1+ x 2 −1

.

Задание 3. Найти пределы: ⎛ x2

⎞

⎛

1. lim ⎜⎜ − x ⎟⎟; x →∞ x + 1 ⎝ ⎠ 3. lim

x →+∞

(x

2

)

4. lim

+ 6x + 5 − x ;

x →±∞

)

(

5. lim arctg x 2 + 2x − x ; x →∞

)

((

(x

)

2

+ 5x − x ;

(

) (

)

ln x 2 − 1 − ln x 2 + 1 ; x →+∞ e 2x + 3

6. lim

7. lim arccos x x 2 + 1 − x ; x →+∞

x2 ⎞

x3

⎟; 2. lim ⎜⎜ 2 − x →∞ 2 x − 1 2 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

8. lim (sin x + 1 − sin x ). x →+∞

Задание 4. Найти пределы, используя замечательные пределы: 1. lim1 x→

2

2arctg (2x − 1) ; 1 − 2x

1 − cos x ; x →0 2x 2

2. lim

1 − cos x ; x →0 4x

4. lim

1− x 2 ; x →1 sin πx

6. lim

3. lim

x →0

arctg (x + 4 ) ; x → −4 x 2 + 5 x + 4

7. lim

x →2

1+ x 2 −1

;

cos 2 x − cos 3x ; x →0 x2

5. lim

9. lim

1 − cos 2 x

x2 −2 − 2 ; sin 2 (x − 2)

8. lim

x →1

1− x cos

π 2

;

x

tgx − sin x . x →0 x3

10. lim

Задание 5. Найти пределы, используя замечательные пределы: 1. lim (1 + tg x →0

2

x

)

1 2x

;

1 2. lim ⎛⎜1 + ⎞⎟ x →∞ ⎝ x⎠

x 2 +1 − x 2 + 7

;

1

⎛ 5 − x 2 ⎞ x −2 3. lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ; x →2 x − 3 ⎝ ⎠ 3x − 1 ⎞ 5. lim ⎛⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x + 1 ⎠

3x 2

;

2

4. lim (cos x ) x 2 ; x →0

⎛ x 2 +1 6. lim ⎜⎜ x →∞ 6 + 5 x 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

x 4 +1

.

25

Задание 6. Найти пределы, используя замечательные пределы: e x −1 − 1 ; x →1 x −1

e sin 2 x − e sin x ; x →0 x

2. lim

1. lim

2

e x + x 2 sin x − 1 3. lim ; x →0 x2

e x − 1 + 3x 4. lim ; x →0 2x

1+ ex − 2 ; x

5. lim

x →0

⎛ ex −1 x3 ⎞ ⎟. + 2 x + 1 ⎟⎠ ⎝ x

6. lim arctg ⎜⎜ x →0

2. Производная

Задание 1. Найти производные следующих функций: 1. y = x 3 − 3x 2 + 3x + 4;

2. S =

1 1 1 + 2 + − 1; 4 t 4t 2t

x4 3. y = + 2tg x ; 6

4. y =

1 − 4arctg x ; 2x 2

1 x

6. y = 3 3 x − 6 6 x − 2x − 2 ;

2+x − cos x ; 3

8. y = 6 ⎛⎜ − arcsin x ⎞⎟;

9. y = 4

10. y = x 3 ⋅ e x ;

11. y = 2 x ⋅ ctg x ;

12. y = (x 2 + 2)⋅ log 2 x ;

13. y = 10 x (1 + sin x );

14. y = 3 x (ln x − e x );

15. x = t ⋅ cos t + sin t ;

16. y = x 2 ⋅ 3 x tg x ;

17. y =

sin x ; x2

18. y =

x −5 ; x +5

20. y =

2 + cos x ; 2 − cos x

21. y =

arctgx ; x 2 +1

24. y =

x ⋅ sin x . x + sin x

5. y = − log 3 x + ln 2; 7. y =

19. y = 22. y =

ex ; x 3 +1 4 4

x −4 ; x +4

x ⎝6

⎠

x 3 ⋅ ex 23. y = 2 ; x +2

1 1 + ; 3 x x2

Задание 2. Найти производные заданных функций в указанных точках:

26

1. S = 2(t + cos t ), t 0 = 0;

2. y = 3x − ln x , x 0 = 1;

3. y = x (2x − 3 x ), x 0 = 0;

4. y = x 4 ⋅ tg x , x 0 = ;

π

4

5. y =

x 3 + 2x 2 − 1 , x 0 = −2; ex

6. y =

x2 +4 , x 0 = 4. 3− x

Задание 3. Найти производные следующих функций: 1. y = (x 2 + 1) ; 6

5. y =

1 5

9. y =

;

2−x5

1 ; ctg x

13. y = e 8 x −1 ; 3

16. y = cos e

−

3 x

3. y = 3 1 − 3x ;

4. y =

6. y = cos 8x ;

7. y = sin 4 x ;

8. x = arcsin t 2 ;

10. y = arctg (4 − 3x );

11. y = ln cos x ;

12. S = 4 sin t ;

14. y = log 2 (x 2 + 9);

15. y = sin 5 (2 − x 2 );

; 17. y =

2x

2

−1

ln x

(4x + 1)3

;

1 x

18. y = arctg + 1 + e 2 x ;

;

19. y = (5 − x 3 ) ⋅ arccos x ;

20.

π 21. y = ln sin ⎛⎜ 3x − ⎞⎟ + 2 ⋅ 3 2 − sin 3 x ;

22. y = e sin

4

⎛π ⎞ y = ln arcsin ctg 2 ⎜ − 2 x ⎟; 8 ⎝ ⎠

1 3

4⎠

⎝

6

2. y = 4 − 2x 4 ;

tg (5 + 4 x )

.

Задание 4. Найти производные заданных функций в указанных точках: x 2

1. y = 4 ⋅ sin , x 0 = π ;

2. y = 3 10 − 3x , x 0 = 2;

π

4. y = 4 ln tg , x 0 = ;

6

5. y = 4

x e4

⋅ sin

πx 2

π

x 2

3. y = cos 5 x , x 0 = ;

6. y =

, x 0 = 1;

2

x +1 , x 0 = 2. x −1

Задание 5. Найти производные второго порядка следующих функций: 3

1. y = arctg x;

2. y = 4 ⋅ e x ;

3. y = 3 x 3 + 1;

5. x = ln sin t ;

6. y = x 2 ⋅ cos x ;

7. y =

e 2x ; x

4. y = sin 2 (2x − 3); 8. y =

x3

2(x + 1)2

.

Задание 6. 1. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции

y=

5x x+4

в точке (1;1) .

27

2. В каких точках графика функции y = x ⋅ e

−

x2 2

касательные к нему парал-

лельны оси Ox ? 3. Составить уравнение касательной к кривой y = x 3 + 3 x 2 + 8 в точке ее пересечения с параболой y = 3 x 2 . 4. Функция задана параметрически уравнениями: x = cos 3 t ,

y = sin 3 t.

Составить уравнение касательной, проведенной к графику этой функции в точке, для которой t =

π 6

.

5. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону S = 2e t + 3e − t , где S - путь в метрах, t - время в секундах. Найти скорость и ускорение движения в момент времени t = 2c. 6. Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0 , движет-

gt 2 ся по закону S (t ) = v0 t − ( S - путь в метрах, t - время в секундах). Через 2 сколько секунд после начала движения скорость тела будет равна 50 v0 = 100

м ? с

(принять g = 10

м , если с

м ). с2

7. Сила тока I изменяется в зависимости от времени по закону I = 3t 2 + 2t ( I - сила тока в амперах, t - время в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце второй секунды. Задание 7. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы: x 2 −1 ; 1. lim x →1 ln x e 3x ; x →+∞ x + 1

4. lim

28

3x − 2 x 2. lim ; x →0 x2

5. lim x →π

ctg x ; ln(x − π )

e x − e − x − 2x ; 3. lim 3 x →0 x (x − 2)

6. lim (x 2 + 1)⋅ 5 − x ; x →+∞

π

7. limπ ⎛⎜ − x ⎞⎟ ⋅ tg 2x ; x→

4

⎝4

⎠

10. lim (e x + x )x ; 4

⎛ 1

⎛

1

2

⎞

⎟; 9. lim ⎜⎜ − x →0 1 − cos x sin 2 x ⎟⎠ ⎝

11. lim (tg 2 x )

12. lim (cos 2x ) x 2 .

sin x

x →0

x →0

⎞

1

⎟; − 8. lim ⎜⎜ x →4⎝ x − 4 ln (x − 3) ⎟⎠

2

;

x →0

3. Неопределенный интеграл

Задание 1. Вычислить интегралы, используя свойства интегралов, тождественные преобразования и таблицу интегралов основных элементарных функций: ⎛

⎞

2

x а) ∫ ⎜⎜ + x + 4 ⎟⎟dx ; 3 ⎝

б)

⎠

cos 2 x dt ; 1 − sin x

∫

5t + t dt ; 5 4

г) ∫ (2x + 1) dx ;

в)

∫

д)

∫ 3− x ;

dx

е) ∫ 1001−lg x dx ;

ж)

∫

tg 2 x dx ;

з)

∫

1 ⎛ ⎜⎜ 3 x − 3 x ⎝

и)

∫

4 dx ; x2 −9

∫

x2 dx . x2 +7

2

⎞ ⎟⎟ dx ; ⎠

к)

Задание 2. Вычислить интегралы, применяя метод замены переменной: а)

∫

2 ln 2 x + 3 dx ; x

б) ∫ cos x sin x dx ; tg ϕ + 1 dϕ ; cos 2 ϕ

в) ∫ y 3y 2 + 1 dy ;

г)

∫

dx ; sin (1 − 3x )

е)

∫e

д)

∫

2

x

e x − 1 dx .

Задание 3. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы: а) ∫ x 2 e − x dx;

б) ∫ x ln 2 x dx ;

в) ∫ e − x cos x dx ;

г) ∫ x arctg x dx .

29

Задание 4. Вычислить интегралы от рациональных функций: а)

∫

dx ; б) (x − 1)(x + 2)

∫

2x + 3

(x + 2)3

в)

dx ;

dx ; 4 x +x2

∫

г)

x 5 dx . x 3 +1

∫

Задание 5. Вычислить интегралы: а) ∫ ctg x dx ;

б) ∫ cos 5 x dx ;

д) ∫ cos 2 x + sin 4 x dx ;

е)

∫

в) ∫ cos 2 3x dx ;

x dx ; 1− 3 x

ж) ∫ x

2

г) 4 − x 2 dx ; з)

dx

∫ 5 − 3 cos x ; ∫

x 2 dx

(3 + x )

2 5

.

4. Определенный интеграл

Задание 1. Вычислить интегралы: π

а)

4

∫ 1

x − 2x dx; x 3

4

−1 4

t −1 б) ∫ dt ; 2 0 1+ t

dx в) ; 1 + cos 2 x π

∫

−

4

0

x dx

∫

г) −

1

5 1− x 4

dx ;

2

π

д)

e

∫ 1

ln x dx; x

е)

0

∫π sin

−

3

e

ж) ∫ ln(x + 1)dx;

x dx;

1

2

2

з) ∫ x cos(4x )dx . 0

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = x 2 − 2x + 3,

y = 3x − 1 ;

б) астроидой: x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ; в) лемнискатой ρ 2 = a 2 cos 2ϕ . Задание 3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: а) y = sin x

(0 ≤ x ≤ π ),

y = 0 , вокруг оси Ox ;

б) x 2 − y 2 = 4, y = ± 2 , вокруг оси Oy. Задание 4. Вычислить длину дуги кривой: а) y =

(

)

x2 от вершины до точки 3 2 ;3 ; 6

б) всей астроиды x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ; в) первого витка архимедовой спирали ρ = aϕ .

30

Задание 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой y =

x3 от x = −2 до x = 2 . 3

Задание 6. Скорость нагревания тела зависит от времени по следующему закону: v = 0,03t + 0,1, где t - время (с), v - скорость (К/c). На сколько градусов нагреется тело в течение первой минуты? 5.Функции нескольких переменных

При изучении темы студенты должны:

• находить область определения функции двух переменных; • находить линии уровня и уметь изображать их на плоскости; • вычислять частные производные; • исследовать функцию на экстремум; • иметь представление о производной по направлению. Задание 1. а) Для функции

F ( x; y ) =

x − 2y 2x − y

вычислить F (3;1), F (1;3), F (2;1), F (1;2) .

При каких значениях x и y значение функции не определено? б) Доказать, что если F ( x; y ) =

x , то F (a; b) + F (b; a) = 1 . x− y

Задание 2. Найти и изобразить области определения следующих функций: 4 ; x + y2

а) z (x; y ) = x 2 + y 2 ;

б) z (x; y ) =

в) z (x; y ) = 9 − x 2 − y 2 ;

г) z (x; y ) =

д) z (x; y ) = x + y ;

е) z (x; y ) = xy .

2

1 9 − x2 − y2

;

Задание 3. Построить линии уровня данных функций: а) z (x; y ) = 3 x − 4 y + 8 ;

б) z (x; y ) = x 2 + y 2 ;

в) z (x; y ) = x 2 − y ;

г) z (x; y ) = xy ;

31

д) z (x; y ) =

1 ; 2 x + y2

е) z (x; y ) = 1 −

x2 y2 − . 9 4

Задание 4. Найти частные производные функций: y x

а) z ( x; y ) = x 3 + 3x 2 y − y 3 + 4 x + y − 5 ; б) z ( x; y ) = ; 2

в) z ( x; y ) = ln(2 x 2 + 4 y 3 ) ; д) u ( x; t ) =

г) z ( x; y ) = xe − xy ;

2x − t ; x + 2t

е) s ( x; t ) = sin(3x − 4t ) .

Задание 5. Найти значения частных производных заданных функций в указанных точках: π

б) z ( x; y ) =

а) z ( х; у ) = cos(5 x − 6 y ), M 0 (0; ); 2

x , M 0 (1;3) ; 3y − 2x

в) z ( x; y ) = 5 xy( x 2 + 3xy 2 − 3), M 0 (1;−1) . Задание 6. Найти градиенты заданных функций в указанных точках: 1 , М 0 (−1;2) ; x + y2

а) z ( х; у ) = 4 − x 2 − y 2 , М 0 (1;2) ;

б) z ( х; у ) =

y в) z ( x; y ) = arctg , M 0 (2;0) ; x

x2 г) z ( x; y ) = 20 + − y 2 , M 0 (2;1) ; 4

2

д) z ( x; y ) = x 2 + y 2 , M 0 (3;4) . Задание 7.Найти производные по направлению l в точке M 0 для функций, приведенных в задании 6: а) l {cos 60 0 ; cos 30 0 }; в) l{2;3};

⎧ 2 2⎫ ; ⎬; ⎩ 2 2 ⎭

б) l ⎨

г) l = OM 0 , O(0;0) ;

д) l = M 0 A, A(−1;1) . Задание 8. Найти частные производные второго порядка следующих функций двух переменных: y x

а) z ( x; y ) = 3x 2 y − xy 3 + 2 x − 4 y + 8 ; б) z ( x; y ) = ; в) z ( x; y ) = sin(5 x − y 2 ) .

32

Задание 9. Показать, что в точке M 0 ( x0 ; y 0 ) функция z = z ( x; y ) имеет экстремум ( z min или z max ): а) z ( x; y ) = x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4, z min = −9; M 0 (−2;1) ; б) z ( x; y ) = 3 − (x − 1)2 − 6( y + 1)2 , z max = 3, M 0 (1;−1) ; Задание 10. Исследовать на экстремум данные функции: а) z ( x; y ) = x 2 − xy + y 2 + 9 x − 6 y + 3 ; б) z ( x; y ) = y x − y 2 − x + 6 y ; в) z ( x; y ) = 2 xy − 4 x − 2 y .

Тема 3. Ряды Материал темы «Ряды» носит ознакомительный характер, расширяющий кругозор обучающихся и формирующий их взгляд на элементарные функции как на объекты, представимые в виде суммы бесконечного числа слагаемых – степенных функций. Возможны различные подходы к изучению материала. Можно, например, рассмотреть числовые ряды сразу после изучения темы «Числовые последовательности и их пределы», а степенные ряды после изучения и повторения элементарных функций. Другой подход предполагает рассмотрение темы «Ряды» как самостоятельный раздел, после изучения дифференциального и интегрального исчисления. Задание 1. Исследовать на сходимость следующие ряды: 2n ; а) ∑ n n =1 3 (n + 4 ) ∞

е)

n+5 в) ∑ ; г) n =1 n ! ∞

3 n (n + 5) ; д) ∑ n =1 2n + 1 ∞

∞

∑ n =1

(− 1)

n ( n +1) 2

2n

;

(− 1)3n+1 ⋅ 2 n ; ж) ∞ (− 1)n+1 n 2 + 5n + 1 ; з) ∞ (− 1)n 3 ; и) ∞ (− 1)n 1 ; ∑ 5n ∑ ∑ ∑ (2n + 1)! n+5 4n + 1 ∞

n =1

к)

n+3 б) ∑ ; n =1 2n + 7 ∞

∞

∑ (− 1) n =1

n =1

n +3

n =1

n =1

n+4 . n+3

33

Задание 2. Найти суммы следующих рядов: а)

∞

5 ; ∑ n n =1 2

б)

∞

∑

(− 1)n+1 ;

n =1

2

n

в)

∞

⎛ 3

∑ ⎜⎝ 2 n =1

n

+

2⎞ ⎟. 3n ⎠

Задание 3. Найти приближенно сумму ряда

(− 1)n+1 , заменив ее суммой ∑ 2 ∞

n

n =1

четырех членов ряда. Оценить погрешность такого приближения. Задание 4. Указать радиусы сходимости, интервалы сходимости и области сходимости следующих степенных рядов: ∞

а) ∑ 3 n x 2 n ; б) n =0

∞

∑ (−1) n+1 n =1

(x − 1)n ; в) 2n − 1

n ∞ n x ; г) ∑ (−1) n n =1

∞

∑ n =1

(3x + 1)n . n+3

Задание 5. Пользуясь известными разложениями, написать разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующих функций: 1 х

а) у = , х0 = 3; б) у = ln x, x0 = 1 . Задание 6. Разложить данные функции в степенные ряды по степеням x : а) у =

x 15 ; б) у = ln( x + 3) ; в) y = x arcsin x . 1− х

Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 1. Определить порядок дифференциального уравнения: а) y ′ = 2x 3 ; б) y ′′ − 3y ′ + 2 y − 4 = 0 ; в)

dr 5 + r tg ϕ = 0 ; г) x 2 ( y ′′′) 4 − x ( y ′) + 8 = 0 ; dϕ

д) 2stds = (1 + t 2 )dt . Задание 2. Проверить подстановкой, что функция y = Cx 3 , является решением дифференциального уравнения 3y − x y ′ = 0 . Построить интегральные кривые, проходящие через точки: 1 а) ⎛⎜1; ⎞⎟ ;

⎝ 3⎠

34

б) (1; 1) ;

1 в) ⎛⎜1; − ⎞⎟ .

⎝

3⎠

Задание 3. Проверить подстановкой, что дифференциальные уравнения 1) y ′′ + 4 y = 0

и 2) y ′′′ − 9 y ′ = 0

имеют соответственно общие решения:

1) y = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2x и 2) y = C 1 + C 2 e 3x + C 3 e −3x . Задание 4. Дано общее решение y = C 1 sin 2x + C 2 cos 2x дифференциального уравнения y ′′ + 4 y = 0 . Какое частное решение получается при C 1 = 2 , C 2 = 3 ? При каких значениях параметров C 1 , C 2 получаются частные решения: 1) y = sin 2x и 2) y = cos 2x ? 1 3

Задание 5. Показать, что функция y = C 1e 3x + x +

1 является решением 9

уравнения y ′′ − 4 y ′ + 3y = x − 1 . Является ли это решение общим? Задание 6. Решить дифференциальные уравнения: а) (x + 1)dx + (y − 2)dy = 0 ; б) (x + 3)dx − (y + 3)dy = 0 ; в) x 2 y ′ + y = 0 ; г) x + xy + y ′(y + xy ) = 0 ; д) 2st 2 ds = (1 + t 2 )dt . Задание 7. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям. Построить найденные интегральные кривые. а) y y ′ + x = 0

y = 4 при x = 3 ; б) x y ′ − y = 0

в) x y ′ + y = 0

y = 1 при x = 2 ; г) dr + r tg ϕdϕ = 0 r = 2 при ϕ = 0 .

y = 2 при x = 1 ;

Задание 8. Решить дифференциальные уравнения: а) y ′ =

y − 1; x

б) y ′ = −

x+y ; x

в) (x − y )dy − ydx = 0 ;

г) (x 2 + y 2 )dx − 2xydy = 0 ;

д) (2 xy + y 2 )dx − (x − y )dy = 0 ;

е) y − x y ′ = y ln ;

y x

y x

x y

ds s t = − ; dt t s

ж) x y ′ cos = y cos − x ;

з)

и) ydx + (2 xy − x )dy = 0 ;

к) xdy − ydx = x 2 + y 2 dx .

Задание 9. Решить уравнения: 3 x

а) y′ − y = x ;

б) y′ − 4 y = e2 x ;

35

в)

dy 2 y + = x3 ; dx x

г) ( x 2 +1) y′ + 4 xy = 3 ; 2x ; cos x

д) (2 x + 1) y′ + y = x ;

е) y′ − ytgx =

ж) y′ + xy = xy 3 ;

з) x 2y′ = y 2 + xy .

Задание 10. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: а) 3 y 2y′ + y 3= x + 1

y = −1 при x = 1 ;

б) (1 − x 2 ) y′ − xy = xy 2

y = 0,5 при x = 0 .

Задание 11. Решить уравнения: в) y ′′ = −

1 ; г) x 3 y ′′ + x 2 y ′ = 1 ; 2 x

а) y ′′ = cos x ;

б) y ′′ = sin x ;

д) y ′′x ln x = y ′ ;

е) y y ′′ + ( y ′) 2 = 0 ; ж) y ′′tgy = 2( y ′) 2 .

Задание 12. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: а) y ′′ = x 2 + cos x ,

y (0 ) = 1, y ′(0) = 2 ;

б) y ′′ = 4 cos 2x ,

y (0 ) = 0, y ′(0) = 0 .

Задание 13. Найти общие решения уравнений: а) y ′′ − 4 y ′ + 3y = 0 ;

б) y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 ;

в) y ′′ − 4 y ′ + 13y = 0 ;

г) y ′′ − 4 y = 0 ;

д) y ′′ + 4 y = 0 ;

е) y ′′ + 4 y ′ = 0 .

Задание 14. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а) y ′′ − 3y ′ + 2 y = 0

y (0) = 3 y ′(0) = 4 ;

б) y ′′ − 2 y ′ + y = 0

y (0) = 1 y ′(0) = 0 ;

в) y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0

y (0) = 1 y ′(0) = 1 .

Задание 15. Найти общие решения уравнений: а) y ′′ + 7 y ′ + 12 y = 24x 2 + 16x − 15 ; б) y ′′ + 3y ′ = 9x ; в) y ′′ − 2 y ′ + y = e x ;

36

г) y ′′ − 2 y ′ + y = (6x 2 − 4)e x ;

д) y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 2 sin 2x + 3 cos 2x ;

е) y ′′ + 9 y = cos 3x .

Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика Основные цели изучения теории вероятностей и математической статистики на естественнонаучных факультетах: • изучение теории вероятностей и математической статистики как адекватного средства описания явлений реального мира путем построения и изучения стохастических моделей; • повышение уровня математической культуры студентов на основе применения аппарата теории вероятностей в процессе обучения; • развитие навыков вероятностно-статистического аспекта «прикладного» мышления при решении задач по курсу теории вероятностей и математической статистики. Фундаментальными понятиями теории вероятностей являются понятия: «событие», «вероятность», «случайная величина». Под событием понимается любое подмножество множества элементарных исходов. Формирование понятия «событие» традиционно использует простейшие вероятностные модели: подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, карт из колоды и т.д., таким образом, происходит формирование также понятия «элементарный исход». На основе рассматриваемых примеров вводится понятие «полная группа событий». Формированию понятия «событие» также способствует классификация событий по степени их возможной реализации: достоверные, невозможные и случайные. Такая классификация позволяет осуществить подход к понятию «вероятность»: сопоставляя возможности или невозможности наступления конкретного события некоторую численную меру, в частности каждому достоверному событию поставить в соответствие число 1, а каждому невозможному – число 0, тогда каждому случайному событию будет соответствовать действительное число из интервала (0;1). Далее изучаются операции над событиями: сложение, умножение, аналогично через соответствующие определения операций над множествами; сложные события, получаемые из простых с использованием операций над событиями. При этом для лучшего усвоения этих понятий приводятся примеры, близкие к основной специальности студента. При изучении понятия «случайная величина» можно вести разговор о результатах любых измерений, т.е. метрологические данные и сопровождающие их случайные погрешности можно рассматривать как случайные величины. Рост значимости экологических, биотехнологических, фармакологических, токсикологических и других исследований требуют от ученого надежной и оперативной информации о составе и содержании самых разнообразных объектов. При этом требования к качеству анализов и соответственно к характеристикам методов анализа становятся все более жесткими. Повышенные требования к метрологическим характеристикам анализа в значительной мере обусловлены не столько специфическими особенностями методов анализа и аналитиче-

37

ских приборов, сколько спецификой объектов и задач. На современном этапе развития науки успешно решаются задачи анализа малых и ультрамалых содержаний веществ, анализа растворов. Расширение традиционного круга задач, переход от элементарного к многоуровнему анализу систем, в которых структурными единицами анализа являются фрагменты молекул или отдельные молекулы, требует все более четкой и строгой оценки надежности результатов анализа и их квалифицированной математической обработки. Обработка результатов эксперимента является необходимым этапом при решении любой задачи количественного анализа. Правильность анализа характеризуется систематическими погрешностями. Их выявление, учет и устранение осуществляются в рамках конкретных методов на основании детального анализа всех этапов и общей схемы аналитического определения. Корректное решение задачи анализа, помимо основного результата, обязано содержать оценку надежности полученного результата с помощью статистического критерия – доверительного интервала (интервал возможных вариаций искомой величины) при заданной надежности (доверительная вероятность). Грань между систематическими погрешностями, т.е. погрешностями, вызываемыми известными причинами, или причины которых можно установить при детальном рассмотрении процедуры анализа, и случайными погрешностями, т.е. погрешностями, не имеющими видимой причины, условна. Причины, вызывающие случайные погрешности многочисленны и каждая из них незначительно влияет на общий результат анализа, их индивидуальное рассмотрение не имеет смысла. Общая случайная погрешность не постоянна ни по абсолютному значению, ни по знаку и ее появление тем менее вероятно, чем больше ее абсолютное значение. Оценка случайных погрешностей проводится на основе теории математической статистики. Погрешности, квалифицируемые как систематические при рассмотрении в одной выборке, приобретают характер случайных в выборке большей мощности. Разделение на систематические и случайные погрешности имеет практическую пользу, так как оно дает исследователю методологию последовательного обнаружения и устранения погрешностей различной природы. Реализация целей изучения дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» осуществляется в следующем: при изучении курса студенты осваивают методы математического моделирования возникающих на практике ситуаций, вероятностные методы их исследования и решения, методы обработки статистических данных (аналитически и при помощи компьютерных программ), а также методы дальнейшего анализа полученных результатов. Это способствует развитию логического и алгоритмического мышления. Теория вероятностей опирается на предшествующие курсы математики (курс средней школы, разделы высшей математики: множества, функции, непрерывность, производные, интегралы, ряды).

38

Приведем примеры типовых задач для решения на практических (лабораторных) занятиях: 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех? 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350. 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10 000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков? 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян. 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х : 40 0,1

Х Р

42 0,3

41 0,2

44 0,4

Найти: 1) математическое ожидание М ( Х ) ; 2) дисперсию D(Х ) ; 3) среднее квадратическое отклонение σ . 6. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией ⎧0, x < 0, ⎪ распределения F ( x) = ⎨ х 3 ,0 ≤ x ≤ 1, ⎪1, x > 1. ⎩

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f (x) ; 2) математическое ожидание М ( Х ) ; 3) дисперсию D( Х ) . 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм. Следующие задания выполнить по данным наблюдений, приведенным в таблице: 7,5 6,3 6,4 7,8 5,6

5,8 4,1 3,5 4,9 6,4

5,2 4,0 7,6 4,9 6,0

6,0 6,4 6,6 5,6 3,5

4,5 5,6 4,1 5,5 4,6

4,2 4,5 5,4 6,3 5,8

7,6 5,6 3,7 6,0 6,1

6,5 6,7 7,9 5,2 6,4

6,0 5,1 9,2 5,6 3,9

8,7 6,5 4,3 6,9 7,9

8. Построить гистограмму. 9. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию. 10. Подобрать теоретический закон распределения по гистограмме и выборочным характеристикам и найти степень согласия его с имеющимися эмпирическими данными по критерию Пирсона.

39

11. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения (по выборочным данным). Более подробно материал по данной теме можно посмотреть в следующих изданиях (а также рекомендовать студентам): 1. Математика. Часть III.Теория вероятностей: Учеб. пособие/ М.Ю. Чурилова, Р.А. Мыркина, Т.А. Семенова и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. 2. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., 2005. 3. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химикобиологических и медицинских специальностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2003. – 328 с. 4. Основы высшей математики и математической статистики: учебник/ И.В. Павлушков и др. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007. – 424 с. 5. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 1999. – 479 с.: ил. 6. Чарыков А.К. Математическая обработка результатов химического анализа: Учеб. пособие для вузов.- Л.: Химия, 1984.

40

РАЗДЕЛ III. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Гла ва I. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – 2-е изд., испр./ Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. – стр. 4-32. Индивидуальная работа №1 Матрицы. Определители Задание 1. Даны матрицы: 0⎞ ⎛1 − 2 ⎛ 7 − 4 1⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜ 3 4 − 1⎟ , B = ⎜ 2 − 2 0 ⎟ , C = ⎜ 7 ⎜2 8 ⎜ 0 4 8⎟ ⎜− 4 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ Номер варианта 1

0 1 −1

Вычислить

6⎞ 1 1⎞ 0⎞ ⎛ 7 1 ⎛0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ , D = ⎜ 2 − 8 5⎟ , N = ⎜ − 5 4 − 1⎟ . ⎜ 2 3 ⎜ 4 − 1 3⎟ 0 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Вычислить

2 A − N + 4C

Номер варианта 9

2

− A + 3B − D

10

− A + 4B − N

3

4 A + D − 3N

11

− 2C + 3D − 2 B

4

C − 2B + 3 A

12

5 A − 2C + B

5

3 A − 4D + C

13

− B + 2 D − 3N

6

− 2 A + B − 3C

14

4B − A + 2 N

7

− 3 A + 5B − C

15

3N − 2 B + C

8

A − N + 4C

3C + A − B

Задание 2. Найти произведение матриц. Матрицы A, B, C, D, N взять в задании 1. Номер варианта Вычислить

1

2

3

4

5

6

7

8

AB

BA

BC

CB

AC

CA

DA

AD

41

Номер варианта Вычислить

9

10

11

12

13

14

15

DB

BD

CD

DC

AN

NC

BN

Матрицы A, B, C , D, N взять в задании 1. ⎛ α ⎜ Задание 3. Дана матрица A = ⎜ − 1 ⎜ 0 ⎝

1 5 2

2⎞ ⎟ 4⎟ . 3 ⎟⎠

Вычислить det A двумя способами: а) по определению; б) с помощью разложения по строке (столбцу). Значение параметра α взять равным номеру варианта. Задание 4. Найти матрицу, обратную матрице A. Матрицу A взять в задании 3. Индивидуальная работа №2 Решение систем линейных уравнений Задание 1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, используя формулы Крамера. Сделать проверку. ⎧3x − y = 1, ⎩ x + 4 y = 2.

2) ⎨

⎧3x + 5 y = −1, ⎩− x + 4 y = 0 .

5) ⎨

1) ⎨

4) ⎨

⎧2 x + y = 3, ⎩ x − y = −1.

3) ⎨

⎧− 2 x + y = 4, ⎩ 7 x − y = 1.

⎧− 3x + y = −4, ⎩ 8 x + 2 y = 3.

6) ⎨

⎧− x + 5 y = 17 ⎩ 2 x − 8 y = 1.

⎧− 3x + 7 y = 40, ⎧5 x + y = 5, 8) ⎨ ⎩ 5 x − y = 1. ⎩8 x − y = −1.

9) ⎨

⎧− x + 2 y = 4, ⎧2 x − y = 8, 11) ⎨ ⎩2 x − y = 5 . ⎩ 3x + 5 y = 1.

12) ⎨

7) ⎨

10) ⎨

⎧− 2 x − 5 y = 1, ⎧ 7 x + y = 23, 14) ⎨ ⎩ x + 3 y = 3. ⎩ − 5 x + 3 y = 1.

13) ⎨

⎧4 x + y = −1, ⎩3 x − 2 y = 3. ⎧ 5 x − 2 y = 4, ⎩− x − 5 y = 1. ⎧ 6 x − 8 y = 5, ⎩− 2 x + y = 15.

15) ⎨

Задание 2. Решить систему трех линейных уравнений: а) по формулам Крамера, б) методом обратной матрицы, в) методом Гаусса.

42

1)

2)

⎧2 x + y − z = −1, ⎪ ⎨3x − 2 y − 2 z = −6, ⎪ x − 3 y + 2 z = 1. ⎩

3) ⎧ x + 2 y − z = 4, ⎪ − y + z = −1, ⎨ ⎪ 2x + z = 1. ⎩

⎧ x + y + z = −1, ⎪ ⎨2 x + y − z = −4, ⎪x + 2 z = 1. ⎩

4)

5)

⎧− 2 x + y + z = 5, ⎪ ⎨ x + y − z = −1, ⎪ − x + 2 z = 2. ⎩

⎧ x − 2 y + z = 6, ⎪ ⎨2 x − y − z = −1, ⎪ x − y + 2 z = 5. ⎩

7)

8)

9)

2 y − z = 5, ⎧ ⎪ ⎨2 x + 2 y − 2 z = 4, ⎪2 x − y + 3z = −7. ⎩

⎧ x + y − z = 3, ⎪ ⎨ − x − 2 y + z = 2, ⎪ − 2 x − 3 y + z = 5. ⎩

⎧5 x + 3 y + 3z = 48, ⎪ ⎨2 x + 6 y − 3z = 18, ⎪ 8 x − 3 y + 2 z = 21. ⎩

10)

6) ⎧ x − 2 y + z = −2, ⎪ + 4 z = −6, ⎨2 x ⎪ x + 3 y = −1. ⎩

11)

⎧2 x + 3 y + z = 9, ⎪ 4 y − 2 z = −2, ⎨ ⎪ x + 3 y − z = 3. ⎩

12)

⎧3x + 2 y + 2 z = 3, ⎪ ⎨ x − 5 y − 8 z = −13, ⎪4 x + 2 y + z = 3. ⎩

13)

14)

⎧ x + 2 y + z = 4, ⎪ ⎨2 x + 7 y − z = 8, ⎪ 3x − 5 y + 3z = 1. ⎩

⎧ x − 2 y + 2 z = −5, ⎪ ⎨7 x + y + z = 6, ⎪ 2 x + y − z = 5. ⎩

15)

⎧3 x − y + 5 z = 7, ⎪ ⎨ x − 2 y + 4 z = 3, ⎪ 2 x − 4 y + 3z = 1. ⎩

⎧− x + 2 y − 3z = −4, ⎪ ⎨ 2 x − y = −1, ⎪ x − 3 y + z = 1. ⎩

Гла ва II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – 2-е изд., испр./ Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. – стр. 33-66. Индивидуальная работа № 3 Координаты точки на прямой и на плоскости. Деление отрезка в данном отношении Задание 1. Найти координату точки A на оси Ox , если известна координата точки B на той же оси и расстояние между точками A и B . № варианта координата точки B расстояние AB

1

2

3

4

5

6

7

8

(-5)

(-3)

(4)

(5)

(2)

(-7)

(1)

(0)

3

4

5

6

1

4

5

3

43

№ варианта координата точки B расстояние AB

9

10

11

12

13

14

15

(-4)

(-1)

(-2)

(11)

(13)

(-2)

(7)

8

9

3

1

2

4

3

Задание 2. На плоскости жду ними. Построить их. № варианта координаты точки A координаты точки B № варианта координаты точки A координаты точки B

Oxy

даны две точки A и B. Найти расстояние ме-

1 (-2;-5)

2 (-4;-3)

3 (5;-3)

4 (1;2)

5 (4;3)

6 (0;-2)

7 (-1;2)

8 (7;-2)

(3;-4)

(5;1)

(0;4)

(2;4)

(-1;0)

(-3;4)

(2;-1)

(2;1)

9 (0; 3)

10 (3; 0)

11 (9; 1)

12 (-3; -1)

13 (4; 3)

14 (8: 2)

15 (3; -3)

(5; 4)

(2; -3)

(2; -1)

(0; 2)

(2;-7)

(4;8)

(2; -1)

Задание 3 . Найти точку, удаленную от точки A на 6 единиц и находящуюся: а) на оси абсцисс; б) на оси ординат. Пояснить построением наличие двух решений. Координаты точки A взять в задании 2. Задание 4. На отрезке AB найти AM 1 = ; MB 2 BM λ= = 2. MA

а) точку M, делящую отрезок AB в отношении λ = б) точку M, делящую отрезок BA в отношении Координаты точек A и B взять в задании 2.

Индивидуальная работа № 4 Уравнение множества точек Задание 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку C (x1, y1) а) параллельно оси Ox ; б) перпендикулярно оси Ox .

44

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

(3;-1)

(4; 3)

(5;-3)

(-3; 6)

(7; -8)

(8; -7)

координаты точки C (x1 ; y1 )

(1;-3) (-1; 2)

№ варианта

9

10

11

12

13

14

15

(3; -9)

(-3; 3)

(2;-1)

(-8; 5)

(5; 2)

(0; 7)

(-2; 4)

кординаты точки C (x1 ; y1 )

Задание 2. Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным номеру варианта. Где находится точка С: лежит на окружности или внутри круга, вне круга? Координаты точки С взять в задании 1. Задание 3. Составить уравнение окружности с центром в точке С(х1; y1) и радиусом R, равным номеру варианта. Проходит ли эта окружность через начало координат? Координаты точки С взять в задании 1. Задание 4. Составить уравнение траектории точки, которая в своем движении остается на одинаковом расстоянии от начала координат и от точки С. Координаты точки С взять в задании 1. Сделать чертеж. Задание 5. Составить уравнение траектории точки, которая в своем движении остается вдвое ближе от начала координат, чем от точки С. Координаты точки С взять в задании 1. Сделать чертеж. Индивидуальная работа № 5 Прямая на плоскости Задание. Даны координаты вершин треугольника АВС . Найти: 1) уравнения сторон треугольника АВС ; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину С и параллельной стороне АВ ; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С ; 4) уравнение медианы, проведенной из вершины С ; 5) длину медианы, проведенной из вершины С ; 6) длину высоты, проведенной из вершины С . № варианта 1 2 3 4 5

A

B

C

(-1;7) (-2;6) (6;5) (1;5) (6;1)

(11;2) (10;1) (-6;0) (13;0) (-6;-4)

(17;10) (16;9) (-10;3) (19;8) (-10;-1)

№ варианта 9 10 11 12 13

A

B

C

(10;-1) (6;5) (-1;5) (8;-1) (-9;-4)

(-2;-6) (-6;0) (11;0) (-4;-6) (-1;-13)

(-6;3) (-10;3) (17;8) (-8;3) (3;-5)

45

6 7 8

(0;5) (-9;4) (-8;1)

(12;4) (-1;13) (-4;4)

(18;8) (3;5) (8;-1)

14 15

(-6;-5) (7;4)

(6;0) (-3;13)

(10;-3) (1;5)

Индивидуальное задание №6 Кривые второго порядка Задание 1. Выяснить геометрический смысл уравнения. Сделать чертеж. 1. 4 xy + y 2 = 0; 3. y 2 − 16 y = 0; 5. x 2 + y 2 + 2 x + 2 = 0; 7. 4 x 2 − y 2 = 0; 9. x 2 + y 2 + 4 x − 4 = 0; 11. 4 x 2 + y 2 + 8 x − 6 y − 3 = 0; 13. x 2 − 7 xy = 0; 15. x 2 + y 2 + 8 x + 20 = 0.

2. x 2 − 4 y 2 + 8 x − 24 y − 24 = 0; 4. x 2 + 4 y 2 − 6 x + 8 y − 3 = 0; 6. x 2 + xy = 0; 8. 8 xy − y 2 = 0; 10. х 2 + 5 ху = 0; 12. x 2 + 2 y − 10 = 0; 14. x 2 − 9 y 2 = 0;

Задание 2. Построить область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств: 1.

2.

⎧ y > x − 4, ⎨ ⎩ y − x − 2 ≤ 0.

5.

3. 2

⎧x y ⎪ 4 + 2 ≤ 1, ⎪⎪ 2 ⎨ y > x − 16, ⎪ x ≥ − y. ⎪ ⎪⎩

⎧ y 2 > 2 − x, ⎪ ⎨ x < 4, ⎪ y ≤ 0. ⎩

⎧ x ≥ −2, ⎪ 2 ⎨y < 4 − x , ⎪ y > −2 . ⎩

10.

11.

⎧ х + у ≤ 4, ⎨ ⎩0 p y ≤ 1.

⎧ y f x − 9, ⎪ ⎨ y f 0, ⎪ x f 0. ⎩

⎧ y f x + 3, ⎪ ⎨ y p 4, ⎪ x f 0. ⎩

12.

13.

14.

2

2

⎧⎪ y ≥ x , ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 p 2. 2

46

2

7.

9. 2

⎧4 < x 2 + y 2 < 9, ⎨ ⎩ x ≥ 1.

⎧⎪ y ≤ 4 − x , ⎨ ⎪⎩ x + y + 2 ≥ 0.

2

6.

8.

4.

⎧ x + y ≤ 16, ⎨ ⎩1 < x ≤ 3.

2

2

⎧y ≤ 6 − x , ⎨ ⎩0 ≤ x < 2. 2

2

⎧y ≤ 9 − x2 , ⎪ ⎨x y ⎪ + f 1. ⎩3 9

⎧ x 2 + y 2 ≤ 16, ⎪ 2 2 ⎨ x + y ≥ 4, ⎪y p 0 ⎩

15. ⎧ x 2 + y 2 ≤ 16, ⎪ 2 2 ⎨ x + y ≥ 4, ⎪ y p 0. ⎩

Глава III. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – 2-е изд., испр./ Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. – стр. 67-79. Индивидуальная работа №7 Векторы Даны точки A, B, C, D. Номер

Координаты точек A

B

C

D

(1; -2; -1)

(0; -5; 4)

(3; -1; 3)

(-1; 0; 3)

2

(4; 5; 1)

(1; 0; -3)

(-2; 1; 5)

(0; 1; -4)

3

(1; 2; 0)

(3; 1; 4)

(0; 2; -1)

(-1; 3; -1)

4

(4; -5; 1)

(3; -1; 0)

(1; 0; 1)

(-2; 0; 1)

5

(3; -1; 0)

(4; 1; -2)

(2; 0; 3)

(-1; 0; 1)

6

(0; 3; 1)

(2; 1; 4)

(3; 1; 0)

(3; 2; 1)

7

(2; 0; -1)

(-1; 0; 3)

(1; 1; 1)

(-1; 2; -1)

8

(3; 4; 0)

(3; 2; 1)

(0; -1; 0)

(1; 2; -2)

9

(1; 1; 1)

(-1; 0; 3)

(-2; -1; 0)

(3; -3; 4)

10

(3; -5; 4)

(-3; -4; 0)

(-7;0;4)

(5; -6; 1)

11

(-1; 4; -1)

(3; 0; 4)

(1;1;2)

(-1; 3; -1)

12

(4; -3; -3)

(1;4;2)

(-3; 2; 1)

(0; 4; 0)

12

(0; 0; 1)

(3; 4; -1)

(2; - 2; 3)

(1; -4; 1)

14

(2; 1; 3)

(-2; 4; -1)

(0; 0; 3)

(2; -1; 3)

15

(0; 3; 0)

(1; 1; 2)

(4; -2; 1)

(-1; 0; -4)

варианта 1

Задание 1. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора AB.

Задание 2. Найти координаты вектора 2 AB − 3CB. Задание 3. Вычислить площадь треугольника ABC и внутренний угол B. Задание 4. Найти объем пирамиды ABCD и длину ее высоты, опущенной из вершины D.

47

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – 2-е изд., испр./ Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. – стр. 80-99. Индивидуальная работа № 8 Плоскость

Даны точки M 1 , M 2 ; векторы a1 , a 2 ; плоскости

P1 , P2 .

№ варианта

M1

M2

a1

a2

P1

P2

1

(1;-1;1)

(2;3;-2)

{-4,3,-2}

{1,-1,2}

3x-2y+5z-3=0

x+3y-4z+7=0

2

(3;0;-2)

(5;1;-1)

{2,-3,1}

{1,0,-2}

2x-y+4z-9=0

-x+2y-3z+5=0

3

(-1,2,4)

(3;1;-2)

{-3,1;-1}

{2,-1,-3}

4x-y+5z+1=0

3x+y-5z-1=0

4

(2;-1;3)

(4;-2;1)

{1;1;-1}

{7;1;-3}

x+2y-z+2=0

5x+y+2z-3=0

5

(4;1;-3)

(1;2;-1)

{-2;1;-5}

{4;-2;-1}

2x+y-7z+3=0

x-3y+5z+2=0

6

(5;-2;2)

(-2;1;3)

{5;2;-1}

{3;1;-2}

-2x+3y-z+4=0

-3x+2y-z+3=0

7

(-3;1;-2) (-4;3;0;)

{3;-4;1}

{-1;-5;1}

5x+2y-3z+1=0

2x-3y+4z-5=0

8

(-2;3;0)

(0;-3;-1)

{2;1;0}

{-3;5;1}

-3x-y+4z-5=0

4y-5z+1=0

9

(-4;5;-1)

(-1;4;1)

{0;-2;3}

{3;-4;5}

2x-5y+z-1=0

4x+5y-3z-2=0

10

(0;-2;1)

(-5;-2;1)

{3;-5;2}

{1;-3;4}

-3y+4z+2=0

-2x+y-5z-7=0

11

(-5;3;1)

(4;1;5)

{-1;3;-2}

{6;3;-1}

6x-2y+z-1=0

-4x-2y-z-1=0

12

(6;2;-1)

(-3;2;4)

{6;-1;2}

{5;-1;2}

-4x-y+z+4=0

x+6y+5z+1=0

13

(2;-6;1)

(3;5;-4)

{1;-6;3}

{-2;6;1}

-5x+7y-z+3=0

6x-y+4z+5=0

14

(3;2;1)

(4;3;2)

{2;1;6}

{4;3;-1}

4x+3y-2z+5=0

7x+y+2z-3=0

15

(3;-5;2)

(2;3;-4)

{2;5;-1}

{-7;2;1}

3x-4y+2z+9=0

-x+5y-2z+10=0

Задание 1. Составить уравнение плоскости: 1) проходящей через точку M 1 параллельно плоскости P1 ; 2) проходящей через точку M 2 перпендикулярно вектору М 1 М 2 ; 3) проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1 , a 2 ; 4) проходящей через точку M 1 параллельно плоскости XOZ ;

48

5) проходящей через ось OZ и точку M 2 ; 6) проходящей через точки M 1 , M 2 параллельно оси OZ ; 7) проходящей через точки M 1 , M 2 параллельно вектору a 2 ; 8) проходящей через точки M 1 , M 2 перпендикулярно плоскости P2 ; 9) проходящей через точку M 1 перпендикулярно плоскостям P1 , P2 . Задание 2. Вычислить расстояние от точки M 2 до плоскости P2 . Индивидуальная работа № 9 Прямая в пространстве

Даны точки М 1 , М 2 , векторы боту № 8) и прямые l1 , l 2 : № варианта 1

2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

a1 ,a 2

l1

x +1 y − 3 z + 5 = = 1 4 −2 x − 2 y +1 z − 4 = = 1 −2 −3 x+ 4 y −3 z +6 = = 3 5 −1 x y+2 z +3 = = 3 −4 −2 x+3 y z+2 = = 2 1 −4 x − 5 y +1 z − 3 = = 6 4 −3 x + 2 y + 6 z −1 = = 4 5 −1 x−3 y + 2 z −4 = = 1 3 −5 x − 6 y − 5 z +1 = = 4 3 −1 x+5 y−2 z +4 = = 2 3 −2 x − 2 y + 4 z −1 = = 3 5 −1 x−4 y+2 z+3 = = 2 −2 −3 x+6 y+3 z−2 = = −3 −4 −5

плоскости

P1 , P2 (см.

индивидуальную ра-

l2 x = −2t − 4; y = t + 1; z = 4t − 2

x = t + 3; y = −3t + 2; z = −2t x = 3t + 2; y = 5t − 4; z = −t + 3 x = −4t − 1; y = −2t + 1; z = 3t − 3 x = 2t + 5; y = −4t + 7; z = t − 6 x = 6t − 2; y = −3t + 4; z = 4t + 1 x = −t + 3; y = 4t + 1; z = 5t − 3 x = −5t − 3; y = t + 2; z = 3t − 7 x = 4t + 4; y = 3t − 2; z = −t x = 2t + 1; y = 3t − 5; z = −2t + 3 x = 3t + 5; y = −t − 3; z = 5t + 1 x = −3t + 2; y = 2t + 5; z = −2t + 4 x = −4t + 1; y = −5t + 3; z = −3t − 2

49

14 15

x −1 y + 5 z +1 = = 5 3 −4 x+7 y−2 z+7 = = 2 −5 −6

x = 5t + 2; y = 3t − 1; z = −4t + 2 x = −6t + 1; y = 2t + 3; z = −5t − 1

Задание 1. Составить уравнения прямой, проходящей: а) через точки M 1 , M 2 ; б) через точку M 1 параллельно оси OY ; в) через точку M 2 параллельно прямой l1 ; г) через точку M 1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей P1 , P2 ; д) через точку M 2 перпендикулярно плоскости P1 . Задание 2. Определить направляющие косинусы прямой l 2 . Задание 3. Найти точку пересечения прямой l1 и плоскости P2 . Задание 4. Точка M (x, y, z ) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M 1 в направлении вектора a 2 со скоростью v = 1. Составить уравнения движения точки M и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 2. Индивидуальная работа № 10 Прямая и плоскость

Координаты точек М 1 , М 2 , векторов а1 ,а 2 , уравнения плоскостей P1 , P2 даны в индивидуальной работе №8, уравнения прямых l1 , l 2 в индивидуальной работе №9. Задание 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно прямой l 2 . Задание 2. Найти проекцию точки M 2 на прямую l 2 . Задание 3. Найти проекцию точки M 1 на плоскость P1 . Задание 4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 и прямую l 2 . Задание 5. Через прямую l1 провести плоскость перпендикулярную к плоскости P1 . Задание 6. Найти проекцию прямой l 2 на плоскость P2 . Задание 7. Провести плоскость через перпендикуляры, опущенные из точки M 1 на плоскости P1 , P2 . Задание 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые l1 , l 2 . Задание 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 параллельной прямой l1 и вектору a1 .

50

Задание 10. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l 2 и параллельно вектору a 2 . Задание 11. Через точку M 1 провести прямую перпендикулярную прямой l1 . ГЛАВА V. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Учеб.пособие / Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – 2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009– стр. 4-121. Индивидуальная работа №11 Пределы.

Указание. Перед выполнением заданий параметры a и b , входящие в условия задач, следует заменить числовыми значениями, которые определяют по номеру N варианта индивидуального задания. Значение параметра a равно числу десятков номера N, а значение параметра b равно числу единиц номера N. Например, если N=23, то a = 2 и b = 3 ; если N=10, то a = 1 и b = 0 ; если N=3, то a = 0 и b = 3. ∞ Задание 1. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа ): ∞

(a + 1)x b+3 + bx b+ 2 + 1 ; x →∞ (b + 3)x b + 3 + (a + 1)х + a

а) lim

ax b+ 4 + x b+3 + 2 ; x →∞ (b + 4 )x b + 2 + ax b + b

б) lim

(a + 5)x a+1 + bx a + 3 . x →∞ (b + 1)x a + b + 2 + bx + a + b

в) lim

Задание 2. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа

0 ): 0

x 2 − (a + 1)2 ; x →a +1 x 2 + (b − a + 1)x − (ab + 2a + b + 2 )

а) lim

б) lim

x →a +1

x − a −1 ; a + 1 − 2a + 2 − x

51

в) lim

3

1 + (b + 1)x − 1

(2 + a )x 2 + x

x →0

.

Задание 3. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа ∞ − ∞ ): ⎛

a + b +1

1

⎞

⎟; − 2⋅ 2 а) lim ⎜⎜ x →a + b +1 x − a − b − 1 x − (a + b + 1)2 ⎟⎠ ⎝ ⎛

x3

⎞

x2

⎟; б) lim ⎜⎜ − x →∞ (a + 2 )x 2 + 1 (b + 1)x − 1 ⎟ ⎝ ⎠

( г) lim ( x

)

в) lim 3 x 3 + (a + 1) − 3 x 3 − b − 1 ; x →∞

x →∞

4

)

+ (a + 1)x 2 + b − x 2 .

Задание 4. Найти пределы, используя первый замечательный предел и

следствия из него: а) lim

x →0

в) lim

(a + 3)sin 7 x ; sin x

(b + 3)sin x x + ax

x →0

д) lim

4 tg (a + 1) x ; x →0 sin 2x

б) lim

2

г) lim

;

x →a +3

arcsin (b − a + 1) x

x →0

sin (x − a − 3)

3

x +x

(b + 1)(x 2 − (a + 3)2 )

;

1 − cos (a + 2) x . x →0 (b + 1)x 2

е) lim

;

Задание 5. Найти пределы, используя второй замечательный предел: 2x + 1 ⎞ а) lim ⎛⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − 1 ⎠

г) lim (1 + x ) x →0

a +3 x

(a+1)x 2

;

;

⎛ x 2 +1 ⎞ б) lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x → ∞ 3x + b ⎝ ⎠

д) lim (1 + ln x ) x →1

x

x 2 + bx +1

b +1 ln x

a + 1 ⎞ b+ 2 в) lim ⎛⎜1 + ⎟ ; x →∞ ⎝ x ⎠

;

4x + 1 ⎞ е) lim ⎛⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x − 1 ⎠

;

(a + b +1)x

.

Задание 6. Найти пределы, используя следствия из второго замечатель-

ного предела: ln (1 + (a + 4)x ) ; x →0 (b + 3)x

б) lim

ln (1 + sin x ) ; x →0 x + ax 2 + bx 3

г) lim

а) lim

в) lim

52

(

)

ln 1 + x ; x →0 2 x + (b + a )x

e x −a−2 − 1 ; x →a + 2 (b + 1)(x − a − 2 )

д) lim

x →0

e (a +1)x − 1 . 3(1 + b )x

ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Учеб.пособие / Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская и др. Под ред. Г.Г. Хамова. –2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. – стр. 122-223. Индивидуальная работа №12 Производная и ее приложения

В заданиях 1-4 параметры a и b определяются по номеру N варианта, а именно, значение параметра а равно числу десятков номера N, а значение параметра b равно числу единиц номера N. Задание 1. Найти производные следующих функций: 5 ⋅ x b + 5 − 3x b + 3 + 2 x a + b − ( a + b ) ⋅ x 1. y = ; x3

2. y =

a + b + 1 ⋅ 4 x b+ 2 a + b + 1 − ; 3 b +1 2 x

3. y = (2 ⋅ x b+1 − e b+1 ) ⋅ ((b + 2) x + log b+ 2 x ); 4. y =

(a + b + 1) ⋅ sin x + x a+b+1 ; a + b ⋅ex

5. y =

x a + 2 ⋅ arctgx (b + 3) x + arcsin x + , x0 = 0. a+b+2 (a + b + 2) ⋅ cos x

Задание 2. Найти производные следующих функций: 1. y = ((b + 2) ⋅ x b+2 − (b + 3) ⋅ x b+3 + (a + b + 2) 2 ) a+b+2 ; arctg

x2 a + b +1

2. y = (a + b + 1) ⋅ e ; 3. y = ln x 3 + (b + 1) ⋅ x + a + 1; 4. y = ( x + a + b) 3 ⋅ cos 2 ((b + 1) ⋅ x + a) ; 5.

y=

(b − 4) 2 + arcsin 2 (b + 1 − x) a + 1 + 2 e b +1− x

;

6. y = sin a+b ln 3 (b + 2) x + a . Задание 3. Используя правило Лопиталя, найти пределы: ln(x 2 − b 2 + 1) ; x →b x 2 + (5 − b) x − 5b

1. lim

53

(5 − a) 2 + x a + 2 + x b +1 ; x →+∞ (b + 2) ⋅ ln x

2. lim

3. lim ((a + b) 2 − x 2 ) ⋅ ctg

πx

; a+b ⎛ 3(b + 2) 2 ⎞ 1 ⎟; − 4. lim ⎜⎜ 3 3 x →(b + 2 ) x − (b + 2) x − (b + 2) ⎟⎠ ⎝ x →( a + b )

2(a + b )

5. lim (cos x )

x2

x →0

;

6. lim ((a + 2) + (b + 2) x ) x →+∞

x ⎞ 7. lim ⎛⎜ sin 2 ⎟ x → 0⎝ a+b⎠

tg

x a+b

a+4 x ;

.

Задание 4. Исследовать следующие функции и построить их графики:

а) у =

( a + b) х ( a + b) х 2 а+b = у у ; б) = ; в) . 2 2 (2а + b )2 − х 2 х 2 − (2а + b ) х 2 − (2а + b )

ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Учеб.пособие / Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – 2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. –стр. 224-251. Индивидуальная работа №13 Неопределенный интеграл Задание 1. Вычислить интегралы:

54

x +1

1.

∫

4.

e−x x⎛ ⎜ e 1 + ∫ ⎜⎝ x 3

7.

∫

10.

∫

3

x +1

dx 1 + tg x 2

3 2 + 2x 2

(x + 1)(1 +

x

) dx ;

3.

∫2

x dx ; 2

6.

∫ 1 − cos 2 x ;

x

9.

∫ 2 + 2x

12.

∫9− x

2.

∫

⎞ ⎟⎟ dx ; ⎠

5.

∫ sin

;

8.

∫ sin 2 cos 2 dx ;

dx ;

11.

∫9+ x

dx ;

x 2

x

4

2

2

dx ;

5x

5 2 x dx ; dx

3

4

2

2

dx ;

dx ;

13.

4

∫

9 − x2

dx ;

14.

∫(

)

2

x + x dx ; 3

∫

15.

2

⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ dx . ⎝ x x⎠

Задание 2. Применяя метод замены переменной или подведение под знак

дифференциала, вычислить интегралы: 1.

2 ∫ x x − 4 dx ;

2.

∫ (x

4.

6x 2 ∫ cos 2 x 3 dx ;

5.

∫

dx

7.

∫

10.

7e x ∫ sin 2 e x dx ;

13.

∫

x cos 2 x

3 arcsin 10 x 1− x2

;

dx ;

x2 3

)

+1

3.

∫

dx ;

6.

∫

;

9.

dx ;

2

sin x cos x + 4 2

2 dx

8.

∫x

11.

∫ cos x (tg

14.

sin 3x ∫ cos 2 3x dx ;

1 − ln 2 x 8 dx

2

2

x−4

)

;

12. ∫

∫

x4

dx ;

1 − x10 dx

x (1 + x) 3e x

;

dx ;

1 − e2x

7 dx ; 1 + x 2 arctgx

(

15.

)

∫

5x 1 − 25 x

dx .

Задание 3. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы:

1.

∫ x sin xdx ;

2.

∫ x ln xdx ;

3.

∫ arctg

4.

∫ xe

5.

∫ (x

6.

∫ (3x − 2)e

7.

∫ (9 x + 2) cos 2 xdx ;

8.

∫ x cos

9.

∫ arctg

10.

∫e

11.

∫

13.

2 ∫ (3x − 2x ) cos(1 − 3x )dx ; 14.

x

2x

dx ;

sin 3 xdx ;

2

+ 1)e x dx ; 2

xdx ;

arcsin x x +1

dx ;

∫e

2x

sin 3 xdx ;

x dx ;

2

5x

dx ;

xdx ;

12. ∫ ( x 2 + 6 x) sin( x + 3) dx ; 15.

∫ (x

2

+ 4 x)e 3 x dx .

Задание 4. Вычислить интегралы от рациональных функций:

1.

x −1 ∫ x 2 + x − 6dx ;

2.

2 x 2 + 41x − 91 ∫ ( x − 1)( x + 3)( x − 4)dx ;

3.

x 2 − 5x + 9 ∫ x 2 − 5 x + 6dx ;

4.

x2 ∫ x 2 − 4 x + 3dx ;

5.

x 4 − 16 x − 8 ∫ x 3 − 4 x dx ;

6.

∫ x( x + 1)

7.

x 2 + 4 x + 14 ∫ x( x − 1) 2 dx ;

8.

2x − 5 ∫ ( x + 1)( x − 2) 2 dx ;

9.

1

∫

2

dx ;

x 2 − 3x + 4 x 3 + 4x 2

dx ;

55

10.

1 ∫ x 3 − 2 x 2 + xdx ;

11.

2 x 2 − 15 x + 30 ∫ ( x + 6)( x − 2) 2 dx ;

12.

∫x

4

13.

1 ∫ x 2 + x 4 dx ;

14.

x 2 + x + 13 ∫ ( x − 1)( x 2 + 4)dx ;

15.

∫x

3

3.

∫

1 dx ; − x2

x −8 dx . + 4x

Задание 5. Вычислить интегралы:

1.

x ∫ sin 3 cos xdx ; 3

5.

sin 3 x ∫ 1 + cos 2 xdx ;

6.

sin 3 x ∫ cos 4 x dx ;

8.

cos 3 x ∫ 2 + sin 2 xdx ;

9.

∫ cos 2 cos 3dx ;

11.

∫ 1 + sin xdx ;

14.

sin 4 x ∫ cos 6 x dx ;

∫ sin

7.

sin 3 x + sin x ∫ cos 2 x dx ;

10.

∫ sin

12.

1 ∫ 4 sin x + 3 cos x + 5dx ;

15.

∫ cos x −1dx .

x cos xdx ;

2

3

∫ sin

4.

3

2

2.

4 xdx ;

1 dx ; x − 4 sin x cos x + 5 cos 2 x

13.

3 ∫ ctg xdx ;

sin x cos 5 xdx ;

x

x

1

cos x

ГЛАВА VΙΙΙ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Учеб.пособие / Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – 2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. – стр. 252-284. Индивидуальная работа №14 Определенный интеграл Задание 1. Вычислить методом подстановки: π

1.

1

e ∫0 1 + e 2 x dx ; 6

4.

56

x

3

x5 ∫0 x 6 + 1dx ;

2.

2

∫e

sin x

cos xdx ;

3.

0

5.

ln 3

ex ∫ln 2 e x + 1dx ;

2

1

∫ x+x

3

dx ;

1

6.

e

1 + ln x dx ; x 1

∫

5

7

∫

7.

0

x4 x5 + 7

dx ;

8.

3

5

4

x2 − 4 dx ; x4

12.

1+ x dx ; 1− x

15.

25 − x dx ;

9.

2

5

x2 ∫0 x 6 + 25dx ;

∫x

2

−5

π 4

7 ∫ sin (2 x)dx ;

10.

11.

0

1

2

x ∫0 (1 + x 2 ) 2 dx ;

13.

∫ 2

14.

2 2

∫ 0

9

x

∫

dx ; x −1

4

ln 5

∫ 0

ex ex −1 dx . ex + 3

Задание 2. Вычислить методом интегрирования по частям:

1.

1

∫ arctgxdx ;

2.

0

e

ln 2 x ∫1 x dx ;

1

∫ xe

3.

−5 x

dx ;

0

1

4.

1

∫x e

3 2x

dx ;

5.

0

7.

1

∫ x ln(1 + x)dx ;

1

∫x e 3

x

2

dx ;

2

ex ∫1 x 2 dx ;

6.

0

π

1

8.

0

∫ ln(1 + x )dx ; 2

∫ x cos xdx ;

9.

0

0

π

10.

2

x ∫π sin 2 x dx ;

11.

1

∫ arcsin xdx ;

2

∫ x ln( x

12.

2

+ 1)dx ;

0

0

6

π 3

13.

∫π

−

x sin x dx ; cos 2 x

π

14.

1

∫ xarctgxdx ;

e2

∫ cos ln xdx .

15.

−1

1

3

Задание 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1.

y = 1− ex ; x = 2 ; y = 0 ;

2. y = x 2 ; y = 3 − x ;

3.

y 2 = x + 1; y 2 = 9 − x ;

4. y = arcsin x ; y =

5.

y = x 2; y = 2 − x 2;

6. y = x 2 − 6x + 10 ; y = 6x − x 2 ; x = −1 ;

7.

x − y + 2 = 0 ; y = 0 ; x = −1 ; x = 2 ;

8. y = − x 2 + 4 ; y = 0 ;

9.

y 2 = x ; y = 0 ; x = 1; x = 4 ;

10. xy = 6 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 3 ;

11.

y = 3 sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π ;

12. y = tgx ; x = 0 ; x =

π 2

π

; y = − ; x = 0; 2

π 3

; y = 0;

57

1 3 x ; y = 0; x = 2 ; x = 3; 3

13.

y=

15.

y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ; y = 5−x .

14. y = 2 − x ; y = 0 ; x = −1 ; x = 1 ;

Задание 4. Фигура, ограниченная заданными линиями, вращается вокруг

оси Ox . Найти объем полученного тела вращения: 1.

y 2 = 4x ; y = 0 ; y = 4 ;

2. y 2 = x ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 ;

3.

y 2 = 2x ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ;

4. y 2 = 2(x + 2) ; y = 0 ; x = 0 ;

5.

y 2 = 4(x − 2) ; y = 0 ; x = 3 ; x = 6 ;

6. y = x 2 − 9 ; y = 0 ;

7.

x + 2y − 4 = 0 ; y = 0 ; x = 0 ;

8. x 2 + y 2 = 4 ; y = 0 ;

9.

x − 2y + 6 = 0 ; y = 0 ; x = 0 ;

10. 2x − 3y − 6 = 0 ; y = 0 ; x = 3 ; x = 9 ;

11.

y 2 = 4x ; x 2 = 4 y ;

12. y 3 = x 2 ; y = 1 ;

13.

y=

15.

y = sin −1 x ; x =

1 x 2 +1

;x=

3 4 ;x= ; 4 3

π 4

;x=

π 2

14. y = e x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 ;

.

Задание 5. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:

58

Ox ;

1.

2 y = x 2 − 1 между точками пересечения с осью

2.

y = 2 x; 0 ≤ x ≤ 1 ;

3.

y = ln (sin x ) от x =

4.

y = 1 − ln(cos x ) от x = 0 до x =

5.

x=

6.

x = 3 cos t , y = 3 sin t ;

7.

x = 8 sin t + 6 cos t , y = 6 sin t − 8 cos t от t = 0 до t = ln π ;

8.

x = 9(t − sin t ) , y = 9(1 − cos t ) (длину дуги одной арки циклоиды);

9.

ρ = 5(1 + cos ϕ ) ;

10.

ρ = 2(1 + sin ϕ ) ;

π 3

до x =

π 2

; π 6

;

t3 − t , y = t 2 + 2 от t = 0 до t = 3 ; 3

11.

π ⎛ϕ ⎞ ρ = sin 3 ⎜ ⎟ , 0 ≤ ϕ ≤ ;

12.

ρ = 4 cos ϕ ;

13.

ρ = 5 sin ϕ ;

14.

x = 2(cos t + t sin t ) , y = 2(sin t − t cos t ) , 0 ≤ t ≤ π ;

15.

x=

⎝3⎠

2

t6 t4 , y = 2 − между точками ее пересечения с осями координат. 6 4

ГЛАВА ΙX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в учебном пособии: Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Учеб.пособие / Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – 2-е изд., испр. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. –стр. 285-335. Индивидуальная работа №15 Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Задание 1. Найти общее решение уравнения: 1. x 2 dy + y 2 dx = 0 ;

2. xy y ′ = 1 − x 2 ;

3. (xy 2 + x )dx + (x 2 y − y )dy = 0 ;

4.

5. dr − rctg ϕdϕ = 0 ;

6. y ′ = y 2 cos x ;

7. (1 + e x )y y ′ = e x ;

8. 1 − x 2 y ′ + xy = 0 ;

9. y sin xdx + cos xdy = 0 ;

10. (1 + x )dy = 2 ydx ;

11. xydx + (x + 1)dy = 0 ;

12. x ln xdt − t 2 dx = 0 ;

13.

dx t sin t ; = dt cos 2 x

15.

dx = tx 2 − 8 + 2t − 4x 2 . dt

y′ y

+ sin x = 0 ;

14. y ′ = xy 2 − 4 − x + 4 y 2 ;

59

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию:

1. 2 y ′ x = y 3. xy ′ =

y ln x

x 2 +1 5. y ′ = 3 y −3

y (4 ) = 1 ;

2. y ′tgx = y

⎛π ⎞ y⎜ ⎟ = 1 ; ⎝2⎠

y (e ) = 1 ;

4. (x 2 + 4)y ′ − 2 xy = 0

y (1) = 5 ;

y y (0 ) = 1 ; x +1

6. yarctgxdx + 1 + y 2 dy = 0 , y (0) = 3 ;

ϕ (1) = 0 ;

8. y ′ + ytgx = 0

y (0 ) = 1 ;

10. x ′ = 2 x ln t

x(e ) = 1 ;

π 1 11. y ′ = (2 y + 1)ctgx y⎛⎜ ⎞⎟ = ;

12. x 2 y ′ + y 2 = 0

y (− 1) = 1 ;

π 13. ydx + ctgxdy = 0 y⎛⎜ ⎞⎟ = −1 ;

14. 2(1 + e x )yy ′ = e x

y (0) = 0 ;

7. ϕ 2 + 2ϕ − 2tϕ ′ = 1 9. y ′(x 2 − 6) = 2 xy

y (0) = −

⎝4⎠

1 ; 2 2

⎝3⎠

15. (1 + x 2 )y 3 dx − ( y 2 − 1)x 3 dy = 0

y (1) = −1 .

Линейные дифференциальные уравнения Задание 3. Найти общее решение уравнения: y = x; x

1 x

2. y ′ + y = 2 ln x + 1 ;

3. y ′ − yctgx = sin x ;

1.

y′ −

4.

xy ′ = x + 2 y ;

5. y ′ − ytgx =

7.

y ′ cos x − y sin x = sin 2 x ;

8. y ′ + y =

10.

y ′ cos x + y sin x = 1 ;

11. y ′ −

xy = x; x +1

12. y ′ −

13.

y′ = −

2 y + x2 x

14. y ′ +

y = e 2x ; x −3

15. y ′ − ytgx =

3 x

2x ; cos x

6. y ′ − 2 y = − x 2 ;

2 ; x3

9. y ′ +

2

x y = 1; 1− x 2

2x y = 1+ x 2 ; 2 1+ x

1 . cos x

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Задание 4. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: 1. y ′′ = −6x

60

y(0) = 0 ,

y ′(0 ) = 0 ;

1 ; 2

2. y ′′ = x + 1

y (1) = 1,

y ′(1) =

3 x2

y (1) = 2,

y ′(1) = 1 ;

3. y ′′ = −

4. y ′′ = sin x 5. y ′′ =

6 x3

6. y ′′ = 3x

2

x

y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 2 ; y (1) = 0,

y ′(1) = 1 ;

y (0 ) = 2,

y ′(0 ) = 1 ;

7. y ′′ = e 2

y (0 ) = −1, y ′(0 ) = 1 ;

8. y ′′ = 6x + cos x

y (0 ) = 2, y ′′(0 ) = 1 ;

9. y ′′ = 3x − sin x

y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 3 ;

x 10. y ′′ = e + x

y (0 ) = 2, y ′(0 ) = 0 ;

11. y ′′ = 6 sin 3x

y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 2 ;

12. y ′′ = e 3x + 1

1 4 y (0) = , y ′(0 ) = ; 9 3

13. y ′′ =

1 cos 2 x

14. y ′′ = x sin x 15. y ′′ =

1 x

⎛ π ⎞ ln 2 ⎛π ⎞ y⎜ ⎟ = , y ′⎜ ⎟ = 1 ; 2 ⎝4⎠ ⎝4⎠ y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 2 ; y (1) = 1,

y ′(1) = 2 .

Задание 5. Найти общее решение уравнения:

1. (1 + x 2 )y ′′ − 2x y ′ = 0 ;

2. x y ′′ = y ′ ;

3. y ′′y 3 = y ′ ;

4. y y ′′ + (y ′)2 = 1 ;

5. y ′′ =

y′ ⎛ y′ ⎞ ⎜1 + ln ⎟ ; x⎝ x⎠

7. y ′′ − (y ′)2 + y ′(y − 1) = 0 ; 9. t

d 2 s ds + +t = 0; dt 2 dt

11. (x + 1) y ′′ − (x + 2) y ′ + x + 2 = 0 ;

6. y ′′(1 + ln x ) + 1 y ′ = 2 + ln x; x

8. y 2 + (y ′)2 − 2 y y ′′ = 0 ; 10. x 2 y ′′ + xy ′ = 1 ; 12. yy ′′ = ( y ′)2 ;

61

13. y ′′y 2 = 1 ;

14. у ′′ −

у′ = х; х

15. ху ′ = х + 2 у ′ .

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью Задание 6. Найти общее решение уравнения: 1.

y ′′ + y ′ − 2 y = 6 x 3 ;

2. y ′′ − 4 y = 8 x 3 ;

3.

y ′′ + 2 y ′ + y = 8e x ;

4. y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 4e − x ;

5.

y ′′ + 6 y ′ + 8 y = 10 sin x ;

6. y ′′ − 9 y = cos 3x ;

7.

y ′′ + 3 y ′ + 2 y = e x ;

8. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 13 sin 3x ;

9.

y ′′ + 2 y ′ = 2 x + 1 ;

10. y ′′ + y = 2 x 3 − x + 2 ;

11.

y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 2e x ;

12. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2 cos x ;

13.

y ′′ + 2 y ′ − 5 y = 4e − x ;

14. y ′′ + 2 y ′ − 8 y = 3 sin x ;

15. y ′′ − 6 y ′ + 8 y = cos 2 x . ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В этой главе приведены краткие теоретические сведения и индивидуальные работы. Более подробно с теоретическим материалом по данной теме можно познакомиться в следующих учебных пособиях: 1. Математика. Часть III. Теория вероятностей: Учеб. пособие/ М.Ю. Чурилова, Р.А. Мыркина, Т.А. Семенова и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Издво РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. 2. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., 2005. 3. Основы высшей математики и математической статистики: учебник/ И.В. Павлушков и др. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007. – 424 с. 4. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 1999. – 479 с.: ил.

62

1. Случайные события. Основные понятия. Операции над событиями

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий может либо произойти, либо не произойти. Например, событие А1 - выпадение «шестерки» при одном броске игральной кости. Это событие может произойти, но может и не произойти (т.е. выпадет другое число очков). Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность некоторых условий. Пример: событие А2 при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7 - достоверное событие. Обозначим достоверное событие буквой Ω . Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности условий. Пример: событие А3 - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно – невозможное событие. Два или более событий называют несовместными, если в результате осуществления совокупности условий (или в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А4 - при броске игральной кости выпало нечетное число очков – несовместно с событием А1 (выпадение «шестерки»). Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В , т.е. наступило либо А , либо В , либо оба сразу. Пример: для событий А1 и А4 : А1 + А4 = {выпало 1, 3, 5 или 6 очков}. Произведение событий А ⋅ В - это совместное осуществление и события А и события В . Пусть событие В ={при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В ⋅ А4 ={выпала грань с 3 очками}. Для несовместных событий А и В их произведение – пустое множество. В частности А1 ⋅ А4 = ∅ . Два события А и А называется противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Пусть испытание состоит в однократном бросании монеты. Событие А выпадение герба, событие А - выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого. Для операций над событиями выполняются свойства:

63

А + В = В + А, А ⋅ В = В ⋅ А,

( А + В ) + С = А + (В + С ), ( А ⋅ В ) ⋅ С = А ⋅ (В ⋅ С ), ( А + В ) ⋅ С = А ⋅ С + В ⋅ С. Если события Н 1 , Н 2 ...Н п попарно несовместны ( Н i ⋅ H j = ∅ при i ≠ j ) , а их сумма - достоверное событие (H 1 + H 2 + ...H n = Ω ) , то говорят, что {Н 1 , Н 2 ...Н п } полная группа несовместных событий или разбиение Ω . В частности, {А, А} полная группа несовместных событий для любого А . 2. Классическое определение вероятности

Вероятность события А - это число Р( А) , которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А . Рассмотрим испытания, в которых множество Ω представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие Ω здесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты – 4 различных исхода: «орел-орел», «орел-решка», «решка-орел», «решка-решка»; их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие Ω для данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна

1 1 , а во втором . 6 4

В общем случае, если число всех элементарных исходов N (Ω ) = n , то веро1 . Пусть число благоприятствующих исходов для A n или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие A , N ( A) m равно m (N ( A) = m ) ,тогда вероятность P( A) = = . N (Ω ) n

ятность каждого из них

Это формула классической вероятности. В примерах из п.1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1,2,3,4,5,6. Событие А1 включает в себя ровно один элементарный исход, А2 (достоверное) – все шесть, А3 (невозможное) – 0, А4 -три. Поэтому Р( А1 ) =

64

1 3 1 6 0 , Р( А2 ) = Р(Ω ) = = 1 , Р( А3 ) = Р(∅ ) = = 0 , Р( А4 ) = = . 6 6 2 6 6

Другие примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = {выпал хотя бы один «орел»} включает в себя три элементарных исхода из че3 4

тырех, поэтому Р(С ) = . Событие D = {при трех бросках монеты выпало ровно два «орла»} благо3 8

приятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому P(D ) = . 3. Примеры задач на классическую вероятностную схему

1.Найти вероятность того, что при однократном бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А ). Решение. Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2,4,6). Поэтому Р( А) =

3 1 = . 6 2

2.Задача о вероятности рождения мальчиков и девочек. Предполагаем, что случаи рождения мальчика и девочки – равновозможные события. Пусть в семье двое детей. Какова вероятность, что оба ребенка – мальчики? Если известно, что один мальчик, то какова вероятность, что оба ребенка – мальчики? Решение. 1 вопрос. Имеется 4 равновозможных исхода: ММ , МД , ДМ , ДД . (Исходы М - мальчик, Д - девочка). Исходы МД и ДМ различны, так как в первом из них сначала родился мальчик, а потом девочка, во втором – наоборот. Из этих четырех исходов только один ММ благоприятствует нашему событию. 1 4

Отсюда следует, что Р( ММ ) = . Если дополнительно известно, что один ребенок – мальчик, то событие ДД исключается. Из трех равновозможных событий ММ , МД , ДМ по прежнему 1 3 известно, что старший ребенок – мальчик, то исключаются исходы ДМ , ДД . В 1 этом случае Р( ММ ) = . 2

только одно ММ благоприятствует желаемому исходу. Поэтому Р(ММ ) = . Если

3.Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно? Решение. Две последние цифры можно набрать А10 2 способами, а благоприятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому Р ( М ) =

1 А10

2

=

1 1 = ≈ 0,011 10 ⋅ 9 90

4.Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие A )?

65

Решение. Число всех случайных выборок n = C10 5 , а число выборок, благоприятствующих событию A , есть m = C9 5 . Таким образом, искомая вероятность P ( A) =

C9

5

C10

5

5 = 0,5 . 10

=

( Сп т =

п! ) т!(п − т)!

5.Задача о Генуэзской лотерее. Разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Если участник лотереи ставил на один номер, то он получал при выигрыше в 15 раз больше ставки; если на два номера, то в 270 раз больше; если на три номера, то в 5500 раз больше; если на четыре номера - в 75 000 раз больше; если на пять номеров – в 1 000 000 раз больше, чем ставка. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев? Решение. В первом случае вероятность выигрыша оказывалась р1 = р2 = р3 = р4= р5 =

С5

1

С 90

1

С5 2 2

С 90

С5 3 С 90

3

С5 4 С 90

4

С5 5 С 90

5

=

5 1 = ≈ 0,055 . В остальных случаях: 90 18

=

5⋅4 2 = ≈ 0,0025; 90 ⋅ 89 801

=

5⋅4⋅3 1 = ≈ 8,5 ⋅ 10 −5 ; 90 ⋅ 89 ⋅ 88 11748

=

5⋅ 4⋅3⋅ 2 1 = ≈ 1,9 ⋅ 10 −6 ; 90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 511038

=

5⋅ 4⋅3⋅ 2 1 = ≈ 2,3 ⋅ 10 −8. 90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 43949268

4. Определение статистической и геометрической вероятности

Относительная частота события А - это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А ) к общему числу проведенных испытаний: W ( A) =

m . n

Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота – после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1, W ( A) меняется – хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W ( A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события A . Когда в задаче говорится, что «вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7», то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.

66

По известным данным шведской статистики относительные частоты рождения девочек по месяцам одного года характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Эти частоты группируются около числа 0,482. Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Известен еще один такой пример с бросанием монеты (см. таблицу): Экспериментатор Бюффон К.Пирсон К.Пирсон

Число бросаний 4 040 12 000 24 000

Число выпадений герба 2 048 6 019 12 012

Относительная частота 0,5080 0,5016 0,5005

Здесь относительные частоты незначительно отличаются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4 040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000 – 0,0005. Относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико. С этой точки зрения величина m = np представляет собой среднее значение числа появления события A при n испытаниях. При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смысле совпадают между собой. Существуют задачи, когда множества всех элементарных исходов и благоприятствующих исходов невозможно пересчитать. В этих задачах иногда удается выразить вероятность события как отношение либо длин, либо площадей, либо объемов. Например, если считать, что попадания в круглую мишень происходят равномерно по площади всей мишени, а диаметр центра мишени в 5 раз меньше диаметра самой мишени, то вероятность попадания в центр (при условии попадания в мишень) равна отношению площадей центра мишени и всей мишени: 2

Р ( А) =

1 S ( A) πr 2 ⎛ r ⎞ = =⎜ ⎟ = 2 25 S (Ω ) πR ⎝R⎠

В этом случае количество вариантов, благоприятствующих A , бесконечно, но и общее число вариантов исхода испытания бесконечно, т.е. формулы классической или статистической вероятности неприемлемы. Вероятность, определяемую как отношение длин, площадей, объемов, называют геометрической вероятностью.

67

5. Простейшие свойства вероятности

Для классического, статистического и геометрического определений вероятности выполняются следующие аксиомы: 1. Р( А) ≥ 0 для любого наблюдаемого события А ; 2. Р(Ω ) =1; 3.Если события А и В несовместны ( А ⋅ В = ∅ ) , то Р( А + В) = Р( А) + Р( В) . Из аксиом можно вывести следующие свойства: 1. Р(∅ ) =0, откуда следует, что если А и В несовместны ( А ⋅ В = ∅ ), то Р( А ⋅ В) = 0 ; 2. Р(А ) = 1 − Р( А); 3. Р( А) ≤ 1 ; 4.Если А ⊂ В ( А влечет за собой В , т.е. все исходы, содержащиеся в А , содержатся и в В ), то Р( А) ≤ Р( В ); 5. Если А = В , т.е. А ⊂ В и B ⊂ A , то Р( А) = Р( В) ; 6. Р( А + В) = Р( А) + Р( В) − Р( А ⋅ В) , формула сложения вероятностей. В частности, если А и В несовместны ( А ⋅ В = ∅ ), то получим аксиому 3. 6. Условная вероятность. Независимость событий

Условная вероятность Р ( В / А) = Р А (В ) - это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не является невозможным), т.е. Р( А) > 0 . Эту вероятность можно вычислить по формуле: Р( В / А) =

Р( А ⋅ В) , Р ( А) > 0 . Р ( А)

Для краткости эта величина называется «вероятностью события В при условии А ». Для величины Р( В / А) выполняются аксиомы 1, 2, 3 и простейшие свойства 1-6. Обозначим через Х число очков, выпавших при одном бросании играль3 1 = 6 2 3 1 1 (числа 2, 3, 5 – простые, 1, 4, 6 – нет), Р( В) = = , Р( А ⋅ В) = (простое и чет6 2 6 1 ное одновременно число только одно – 2). Следовательно, Р( В / А) = , т.е. веро3

ной кости. Пусть А = {Х − простое} , В = {Х − четное}. Тогда Р( А) =

ятность того, что выпало четное число очков при условии, что выпало простое число очков, равна

1 (среди 3 простых чисел четное – одно); 3

1 Р ( А / В) = , т.е. 3

вероятность того, что выпало простое число очков при условии, что выпало четное число очков, также равна

68

1 (среди 3 четных чисел простое – одно). 3

События А и В называются независимыми, если Р( А ⋅ В) = Р( А) ⋅ Р( В) . Если одно из событий невозможное, то в обеих частях стоят нули. Если же Р( А) > 0 и Р( В) > 0 , то Р( А / В) = Р( А), Р( В / А) = Р( В) . Для последнего примера Р( А ⋅ В) ≠ Р( А) ⋅ Р( В) , значит, А и В зависимые. Во многих задачах независимость событий задается по условию задачи (из общих соображений). Пример 1. Вероятность выживания одной клетки в течение 20 минут Р = 0,7 . В пробирке с благоприятными для существования этих клеток условиями находятся только что разделившиеся две клетки. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут жизнеспособны? Пусть событие А - первая клетка жизнеспособна через 20 минут, событие В - вторая клетка жизнеспособна через 20 минут. Будем считать, что между клетками нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что обе клетки жизнеспособны, есть событие А ⋅ В. Р ( АВ) = 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49 . Пример 2.Пусть случайным образом перемешаны записи нейронной активности 10 клеток из одной области мозга (у 5 клеток зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания», у 5 – другой вид активности) и 20 из другой области (у 15 – активность типа клеток «внимания», у 5 – другого вида). Выяснить, зависимы ли события А - «выбранная наугад запись сделана в первой области» и В - на «выбранной наугад записи зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания». 10 1 20 2 5 1 = ; Р( В) = = ; Р( АВ) = = ; Р( АВ) ≠ Р( А) ⋅ Р( В) . 30 3 30 3 30 6 Следовательно, события А и В зависимы.

Имеем Р( А) =

7. Вероятность наступления хотя бы одного события

Сложные события выражаются через другие наблюдаемые события с помощью алгебраических операций, описанных в п.2. Основные формулы для вычисления вероятностей таких событий: Р ( А ) = 1 − Р ( А); Р ( А ⋅ В ) = Р( А) ⋅ Р ( В / А) = Р ( В ) ⋅ Р( А / В) -

формула умножения вероятностей,

(еслиР( А) > 0, Р ( В ) > 0);

Р ( А + В) = Р ( А) + Р( В) − Р ( А ⋅ В) - формула сложения вероятностей.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны Р( А) = 0,7, Р( В) = 0,8 .Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий. Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому Р ( А + В) = Р ( А) + Р ( В) − Р ( А ⋅ В ) = 0,7 + 0,8 − 0,7 ⋅ 0,8 = 0,94

69

Пример 2. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны р1 = 0,8, р 2 = 0,6 . Каждый произвел по одному выстрелу. Вычислить вероятность события А ={произойдет ровно одно попадание}. Рассмотрим события А1 ={первый стрелок попал в мишень} и А2 = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда А1 ={первый стрелок промахнулся}, а А2 = {второй стрелок промахнулся}. В мишени окажется ровно одно попадание в том случае, когда-либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый Р ( А) = р1 q 2 + p 2 q1 , где промахнулся, а второй попал. Поэтому q1 = 1 − p1 = 1 − 0,8 = 0,2, q 2 = 1 − p 2 = 1 − 0,6 = 0,4 . P ( A) = 0,8 ⋅ 0,4 + 0,6 ⋅ 0,2 = 0,44 . Вероятность наступления «хотя бы одного события» (т.е. суммы нескольких событий) вычисляют по формуле: Р ( А1 + А2 + ... + Ап ) = 1 − Р( А1 ⋅ А2 ⋅ ... ⋅ Ап ) . Если же эти события попарно независимы, то Р ( А1 ⋅ А2 ⋅ ... ⋅ Ап ) = Р( А1 ) ⋅ Р( А2 ) ⋅ ... ⋅ Р( Ап )

8. Формула полной вероятности

Вероятность события А , которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1 , В2 ,...Вп , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А : (1) Р ( А) = Р( В1 ) Р В ( А) + Р( В2 ) РВ ( А) + ... + Р( Вп ) РВ ( А). События В1 , В2 ,...Вп называют гипотезами. Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором – три белые и одна серая, в третьем – две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь? Обозначим В1 − выбор первого ящика, В2 − выбор второго ящика, В3 - выбор третьего ящика, А - извлечение белой мыши. 1

2

т

1 3

Так как все ящики одинаковы, то Р( В1 ) = Р(В2 ) = Р( В3 ) = . Если выбран 2 3

3 4

1 2

первый ящик, то РВ ( А) = . Аналогично, РВ ( А) = , РВ ( А) = . Наконец, по фор1

муле (1) получаем: Р ( А) =

70

1 2 1 3 1 1 23 ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 3 3 3 4 3 2 36

2

3

Пример 2. В санатории 30% пациентов – мужчины и 70% - женщины. Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный пациент сердечник? Обозначим С наличие заболевания сердца, тогда Р ( М ) = 0,3, Р( Ж ) = 0,7, РМ (С ) =

2 1 , Р Ж (С ) = . 3 3

Подставляя эти числа в формулу полной вероятности (1) получим: Р (С ) = 0,3 ⋅

2 1 + 0,7 ⋅ = 0,2 + 0,23 = 0,43 . 3 3

Пример 3. На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году – с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе – в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? Или какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом? Обозначим С - ветер с севера, З - ветер с запада, В - воздействие вредных выбросов на город. Тогда имеем: Р (С ) =

100 20 200 40 1 1 = ≈ 0,27; Р( З ) = = ≈ 0,55; РС ( В) = ≈ 0,33; РЗ ( В) = ≈ 0,14. 365 73 3 7 365 73

Отсюда по формуле полной вероятности: Р ( В) = Р (С ) РС ( В) + Р( З ) РЗ ( В) =

20 1 40 1 ⋅ + ⋅ ≈ 0,09 + 0,08 = 0,17. 73 3 73 7

Таким образом, около двух месяцев в году город накрыт смогом. 9. Формула Байеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А . Как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т.е. величины Р( В k ), k = 1;2;...; n ? Найдем условную вероятность PA ( Bk ) . По формуле умножения вероятностей имеем Р( АВk ) = P( A) PA ( Bk ) = P( Bk ) PB ( A). Отсюда: k

PA ( Bk ) =

P ( Bk ) PBk ( A) P ( A)

.

Используя формулу полной вероятности, находим: P ( Bk ) PBk ( A) PA ( Bk ) = n , (k = 1,2,..., n) -формула Байеса. ∑ P( B j ) PB j ( A) j =1

Пример. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй – 35%, третий – 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго – 4% и в продукции

71

третьего – 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим? Введем обозначения для событий: А - выбранная для контроля деталь оказалась бракованной; В1 , В2 , В3 − эта деталь изготовлена соответственно первым, вторым, третьим рабочим. Имеем: Р ( В1 ) = 0,25; Р ( В2 ) = 0,35; Р( В3 ) = 0,40; РВ ( А) = 0,05; РВ ( А) = 0,04; РВ ( А) = 0,02 . По формуле Байеса находим: 1

Р А ( В2 ) =

2

3

0,35 ⋅ 0,04 28 = ≈ 0,4. 0,25 ⋅ 0,05 + 0,35 ⋅ 0,04 + 0,40 ⋅ 0,02 69

10. Случайные события в химии, биологии

1.Задача о цепной реакции. Цепной называют химическую реакцию, которая представляет собой цепочку одинаковых звеньев. Звеном может быть одна, две, реже – несколько стадий. Например, звено •

•

•

•

R + O2 → R O 2 , R O 2 + RH → ROOH + R , •

начавшись с появления свободного радикала углеводорода R , во второй стадии снова выделяет этот радикал и тем самым создает возможность повторения такого же звена. На некотором этапе цепная реакция может оборваться. Причиной обрыва может служить захват свободного радикала стенкой сосуда, действие ингибитора и т.п. Таким образом, на каждом этапе существует некоторая вероятность р продолжения цепи и вероятность q = 1 − p обрыва цепи. Можно рассчитать какова вероятность, что цепная реакция содержит n звеньев. Для осуществления такой реакции нужно, чтобы n раз произошло продолжение реакции, и после этого произошел обрыв. Так как процессы продолжения и обрыва независимы, то по формуле умножения вероятностей для P(n) - вероятности появления цепи длины n , т.е. содержащей n звеньев, можем записать: P (n) = p ⋅ p... p ⋅ q = p n q = p n (1 − р) . 1 424 3 n

2.Молекула полимера. Процесс полимеризации состоит в том, что к звенумономеру присоединяется такой же мономер, к этому звену – еще один такой же мономер и т.д. Присоединение происходит с некоторой вероятность р и, следовательно, не происходит с вероятностью q = 1 − p . Так как каждое следующее присоединение происходит независимо от предыдущих, то вероятность образования молекулы, содержащей n мономеров, как и в предыдущем примере, p ⋅ p... p ⋅ q = p n q = p n (1 − р) . вычисляется по формуле P(n) = 1 424 3 n

3.Законы Менделя. Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак, находятся парами. Например, в клет-

72

ках гороха имеется пара генов, отвечающих за окраску цветков потомства – красную и белую. Эти гены могут находиться в двух состояниях – доминантном (обозначается буквой А ) и рецессивном (обозначается буквой а ). Поэтому пары генов могут быть такими: АА, Аа, аА, аа. Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый – доминантный, второй – смешанный, третий – рецессивный. Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи. Например, для гороха красная окраска цветков – доминантный признак, а белая – рецессивный. Экспериментально установлен I закон Менделя: особи доминантного и смешанного генотипов в фенотипе (внешнем проявлении признака) обладают доминантным признаком, и только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным признаком. Согласно этому закону, для гороха особи доминантного и смешанного генотипов имеют красную окраску цветков, и только особи с рецессивным генотипом имеют белые цветки. Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и аа - поколение F0 (родительские формы). После скрещивания особей с генотипом AA с особями с генотипом aa поколения F0 образуется поколение гибридов с генотипом Aa . Это поколение в генетике принято обозначать F1 . В поколении F1 других генотипов, кроме генотипа Aa , нет. При случайном скрещивании особей поколения F1 образуется поколение F2 , в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа: АА, Аа, аА, аа. Экспериментально получен II закон Менделя: в поколении F2 происходит расщепление фенотипов в отношении 3:1 (3 части составляют особи с доминантным признаком в фенотипе, 1 часть приходится на особи с рецессивным признаком в фенотипе). Из этого закона следует, что для поколения F2 вероятность того, что в фе3 , а вероятность того, 4 1 что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна . 4

нотипе особи проявляется доминантный признак, равна

11. Повторные независимые испытания

Пусть проводятся п последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность осуществления очередного исхода не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два («успех» и «неуспех»). Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность «успеха» в каждом испытании

73

неизменна и равна р , т.е. вероятность «неуспеха» также неизменна и равна q = 1 − р . Такие испытания называются испытаниями Бернулли. Простейшими примерами здесь могут служить: • последовательное бросание монеты (с вероятностью «успеха» - выпадения «орла» - равной 0,5); • последовательная стрельба по мишени с постоянной вероятностью «успеха» - попадания – в каждом выстреле; • извлечение из урны, содержащей шары двух цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и т.д. Я.Бернулли вычислил вероятность того, что в п последовательных «испытаниях Бернулли» произойдет ровно k «успехов»: Pn (k ) = C n k p k q n −k . Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости выпадут 2

2

1 5 25 ровно 2 «четверки», равна Р4 (2) = С 4 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ = ≈ 0,116 . ⎝6⎠ ⎝6⎠

Здесь

р=

1 6

216

5 6

- вероятность выпадения «четверки в одном» броске, q = ,

общее число испытаний n = 4 , число «успехов» k = 2 . Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3 попадания? Здесь n = 5, k = 3, q = 1 − p = 0,4, P5 (3) = C5 3 (0,6)3 (0,4)2 = 10 ⋅ 0,216 ⋅ 0,16 = 0,3456. Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара. 6 раз извлекают по 1 шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных шаров более 4 белых? Пусть «успех» состоит в том, что вынут белый шар. Тогда р =

4 2 = (из 6 6 3

1 3

шаров 4 белых), q = 1 − p = . По условию n = 6, k = 5 или k = 6 , откуда искомая 5

6

2 1 2 256 ≈ 0,35 . вероятность: P6 (5) + P6 (6) = C 6 ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ + C 6 6 ⎛⎜ ⎞⎟ = 729 ⎝3⎠ 3 ⎝3⎠ 5

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что третье попадание произойдет в пятом выстреле? Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2: там третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела. Вероятность искомого события является произведением вероятностей двух следующих (независимых) событий: А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и В = {в пятом выстреле Р( А) вычисляется по формуле Бернулли: попадание}. 2 2 2 Р ( А) = Р4 (2) = С 4 (0,6) (0,4) = 6 ⋅ 0,0576 = 0,3256; Р ( В) = р = 0,6 . Искомая вероятность равна Р( А ⋅ В) = Р( А) ⋅ Р( В) = 0,3256 ⋅ 0,6 = 0,16536. В общем случае вероятность того, что k -й «успех» произойдет ровно в n - м испытании Бернулли, равна C n−1 k −1 p k q n − q .

74

Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя бы 2 попадания? Мы знаем, что P5 (0) + P5 (1) + P5 (2) + P5 (3) + P5 (4) + P5 (5) = 1 . В данной задаче нас интересует сумма четырех последних слагаемых: P5 (2) + P5 (3) + P5 (4) + P5 (5) = C 5 2 ⋅ 0,6 2 ⋅ 0,4 3 + C 5 3 ⋅ 0,6 3 ⋅ 0,4 2 + C 5 4 ⋅ 0,6 4 ⋅ 0,4 + C 5 5 ⋅ 0,6 5 = = 0,91296

Или вероятность противоположного события: 1 − P5 (0) − P5 (1) = 1 − C 5 ⋅ 0,6 0 ⋅ 0,4 5 − C 5 ⋅ 0,61 ⋅ 0,4 4 = 0,91296 . 0

1

Пример 6. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдем вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех. а) В данном случае п = 4, k = 3, p = 0,9, q = 0,1. По формуле Бернулли получим 4! (0,9)3 ⋅ 0,1 = 0,2916. 3!1! б) Искомое событие A состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей P( A) = P4 (3) + P4 (4) . 3

P4 (3) = C 4 p 3 q =

Но P4 (4) = (0,9)4 = 0,6561 . Имеем P( A) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477. Пример 7. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. а) Какова вероятность того, что из 5 больных выздоровят 4? б) Из 5 больных выздоровят не менее 4? В данном случае p = 0,8; q = 1 − p = 0,2; n = 5, m = 4. по формуле Бернулли 5! 5 ⋅ 84 ⋅ 2 84 (0,8) 4 (0,2) 5− 4 = = 4 = 0,4096 4!(5 − 4)! 10 5 10 5 б) P5 (4) + P5 (5) = 0,4096 + (0,8) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728 .

а) P5 (4) =

Пример 8 (задача об экстрасенсе). Обычный человек примерно в половине случаев правильно угадывает, в какой руке спрятан мелкий предмет. Пусть верный ответ получен в трех случаях из четырех. Случайно ли это? Или это говорит о необычных способностях угадывающего? 1 2

Примем вероятность угадывания p = , тогда по формуле Бернулли 3

⎛1⎞ 1 1 P4 (3) = C 4 p q = 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ = . ⎝2⎠ 2 4 3

3

Итак, каждый четвертый нормальный человек правильно угадывает в трех случаях из четырех. Допустим, что верный ответ получен в девяти случаях из десяти. Какова вероятность такого угадывания у обычного человека? По формуле Бернулли

9

1 1 ⎛1⎞ 1 P10 (9) = C10 9 ⎜ ⎟ ⋅ = C101 ⋅ 10 = 10 ⋅ 10 = 0,01. ⎝2⎠ 2 2 2

Таким образом, обычный человек лишь в одном случае из 100 может случайно продемонстрировать такой результат. Если подобное угадывание проис-

75

ходит чаще, то можно, по-видимому, говорить, что угадыватель – экстрасенс (или мистификатор). 12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли

Формула Бернулли является точной, но она не всегда удобна. Например, при 100 бросках монеты Р100 (50) = С100

50

50

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠

50

=

100!

(50!)2 2100

вычисление точного

ответа затруднительно. Формула Бернулли приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает 10-15. При больших п используют либо формулу Лапласа, либо формулу Пуассона. Формула Лапласа (локальная теорема Лапласа): Рп (к ) ≈

1 npq

1

ϕ (x ) , ϕ (x ) =

2π

⋅e

−

x2 2

,х =

k − np npq

,

тем точнее, чем больше n . Здесь n, k , p, q - те же величины, что и в формуле Бернулли. Функция ϕ ( х) четная: ϕ (− х) = ϕ (х ). Она быстро убывает: считают, что при х > 4 ϕ (х ) = 0 . Таблица, позволяющая вычислять значения функции ϕ (х ) , имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей. Можно использовать калькулятор, вычисляющий экспоненту (функцию е х ). Пример 1. Вычислить вероятность выпадения ровно 50 «орлов» при 100 бросках монеты. Воспользуемся формулой Лапласа: п = 100 , k = 50 , p = 0,5, q = 0,5, k − np = 0, npq = 5, 1 1 P100 (50) ≈ ϕ (0) = 0,2 ⋅ ≈ 0,2 ⋅ 0,3989 = 0,07978. 5 2π

Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты. При решении подобных задач ( п > 15) используют интегральную теорему Лапласа: вероятность Рп (k1 ; k 2 ) появления события в n испытаниях от k1 до k 2 ⎛ k 2 − np ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ − Φ⎜ k1 − np ⎟ . ⎟ ⎜ npq ⎟ ⎝ npq ⎠ ⎝ ⎠ Здесь n, p, q те же, что и в примере 1: n = 100, p = q = 0,5, k1 = 47, k 2 = 57 : ⎛ 57 − 50 ⎞ ⎛ 47 − 50 ⎞ P100 (47,57 ) ≈ Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = Φ (1,4) − Φ(− 0,6) . ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠

раз: Рп (k1 , k 2 ) ≈ Φ⎜⎜

Функция Φ(х ) =

1 2π

x

∫е 0

−

t2 2

dt вычисляется с помощью таблиц.

Функция Φ(x ) нечетная: Φ(− x ) = Φ(x ). При x > 5 считают, что Φ(x ) = 0,5 .

76

Значит, Р100 (47,57) = Φ(1,4) + Φ(0,6). По таблице Φ(1,4) = 0,4192, Φ(0,6 ) = 0,2257 . Поэтому Р100 (47;57) = 0,6449 . При небольших значениях вероятности р (меньше 0,1) и больших значениях п более точный результат дает другая приближенная формула - формула Пуассона: Рп (k ) ≈

λk k!

⋅ e −λ , λ = np , где λ - параметр распределения Пуассона, а са-

ма формула выражает «закон редких явлений» (т.к. р мало). Пример 3. Первый черновой набор «Методических указаний» на 50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка, 2 опечатки, 3 опечатки? Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу взятую страницу равна 0,02, число испытаний (опечаток) п = 100 . Поскольку р мало, воспользуемся формулой Пуассона с параметром λ = пр = 2 . Вероятность того, что опечаток нет, 1, 2, 3 опечатки: 2 0 −2 21 2 2 −2 ⋅ е = е − 2 , Р100 (1) ≈ ⋅ е − 2 = 2 ⋅ е − 2 , Р100 (2) ≈ ⋅ е = 2 ⋅ е −2 , 0! 1! 2! 2 3 −2 4 −2 Р100 (3) ≈ ⋅е = ⋅е . 3! 3 Наибольший коэффициент при е −2 у Р100 (1) и Р100 (2) . Р100 (0) ≈

Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность 2 ⋅ е −2 ≈ 0,27 . Пример 4 (редкие болезни). Многие болезни достаточно редки или становятся таковыми после принятия профилактических и лечебных мер. Но, даже при самых благоприятных условиях, в больших популяциях все же встречается некоторое число больных редкими болезнями. Например, при введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 10 000 вакцинированных детей заболеет один? Вероятность заболеть p = 1 − 0,9999 = 0,0001 , число испытаний n = 10000 . По1 1! 12 Аналогично, вероятность, что заболеют 2 ребенка P10000 (2) = e −1 ≈ 0,184 . 2!

этому λ = 0,0001 ⋅ 10000 = 1 , и по формуле Пуассона имеем P10000 (1) = e −1 ≈ 0,368 .

Вероятности ны: P10000 (3) =

−1

заболевания

3

и

4

детей

соответственно

рав-

−1

e e ≈ 0,061; P10000 (4) = ≈ 0,015. 3! 4!

13. Дискретные случайные величины

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное числовое значение из заранее известной совокупности значений. Дискретной случайной величиной (случайной величиной дискретного типа) называется величина, которая может принимать

77

либо конечное число возможных значений, либо такое бесконечное число значений, которые могут быть расположены в числовую последовательность. Для каждого из этих значений указывают его вероятность. Сумма этих вероятностей должна быть равна 1. Если случайная величина принимает только одно значение, то соответствующая ему вероятность равна 1. Результаты любых измерений, т.е. метрологические данные и сопровождающие их случайные погрешности, могут рассматриваться как случайные величины. Например, каждый отдельный результат анализа будем рассматривать как отдельное значение случайной величины; набор из некоторого числа n результатов анализа – выборочная совокупность, где n - объем выборки. Любая реальная выборочная совокупность результатов, например химического анализа, представляется аналитику, ведущему статистическую обработку, в виде конечнозначной, дискретной и ограниченной величины. Рассмотрим выборку, представляющую результаты шести параллельных определений SiO2 в образце силиката: Номер анализа Содержание SiO2 ,%

1 57,3

2 56,8

3 57,6

4 57,3

5 56,9

6 57,1

Объем приведенной выборки (кратность анализа) равен шести. Это число в реальных ситуациях может быть больше или меньше, оно всегда остается конечным, прежде всего потому, что масса анализируемой пробы всегда ограничена, а для каждого параллельного анализа требуется определенная доля пробы. В силу указанных обстоятельств результаты химического анализа всегда представляются выборкой конечного объема. Далее, все приведенные результаты представлены с точностью до 0,1%. При использовании других методов анализа эта величина может быть уменьшена, но никогда не будет выражена бесконечно малой величиной. Величина, равная 0,1% в этом примере, может рассматриваться как минимальный интервал, разделяющий возможные соседние значения случайной величины. В силу этого она дискретна. Кроме того, имея в виду результаты любого химического анализа, всегда можно с уверенностью утверждать, что какой бы большой ни была погрешность анализа, результат никогда не выпадает из некоторого конечного интервала возможных значений. Поэтому эта величина ограниченная. Характеризуя результаты химического анализа как случайную величину, следует отметить их существенную неравномерность распределения по отдельным значениям. Неравномерность не является очевидной для малых выборок, подобных приведенной выше. Но, если число параллельных анализов достаточно велико (больше 30), нетрудно установить, что большая часть результатов группируется около среднего значения, а значительные отклонения от среднего (в обе стороны) редки, причем, чем больше абсолютное значение отклонения, тем менее вероятно появление такого результата.

78

Пример 1. Пусть Х - число «орлов», выпавших при двух бросках симметричной монеты. Х может принимать значения 0;1 или 2 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: С 2 0 p 0 q 2 , C 21 p1 q1 , C 2 2 p 2 q 0 . Т.к. p = q = 0,5 , то эти вероятности равны 0,25; 0,5; 0,25 соответственно. Дискретные случайные величины записывают в виде таблицы. Для данного примера получим: Х р

0 0,25

1 0,5

2 0,25

Верхняя строка таблицы – возможные значения Х , нижняя – их вероятности, сумма которых равна 1. С помощью таблицы можно считать вероятности попадания дискретной случайной величины в интервалы. Например, для заданной выше случайной величины Х : Р(0,5 < Х ≤ 2) = Р( Х = 1) + Р( Х = 2) = 0,5 + 0,25 = 0,75. Пример 2. В полном наборе игры в домино 28 костей. Пусть Y - сумма очков на случайно выбранной кости. Т.к. наименьшее значение такой суммы равно 0 («пусто-пусто»), следующее – 1 и так до 12 («6-6»), Y является дискретной случайной величиной. Зададим ее таблицей: Y р

0 1 28

1 1 28

2 2 28

3 2 28

4 3 28

5 3 28

6 4 28

7 3 28

8 3 28

9 2 28

10 2 28

11 1 28

12 1 28

Вероятности в этой таблице вычислены по формуле классической вероятности, в числителях дробей количества костей домино с данным числом очков, знаменатели равны общему числу костей. Случайные величины традиционно обозначаются заглавными буквами Х , Y , Z ,... , а их возможные значения – прописными: x1 , x 2 , y1 ,... и т.д. 14. Функция распределения

Функция F ( x) = P( X < x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины X . Функция распределения в точке « x » - это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x . Из определения следуют свойства этой функции: F (−∞) = 0, F (+∞) = 1, F (x) − неубывающая функция (т.е. если x1 < x2 , то F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) ).

79

Функция распределения для случайной величины дискретного типа имеет «ступенчатый» график (см. рис. 1). Для случайной величины X из примера 1 п.13 F (x) запишется так: ⎧0, x ≤ 0, ⎪0,25,0 < x ≤ 1, ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪0,75,1 < x ≤ 2, ⎪⎩1, x > 2.

Левые концы «ступенек» - выколотые, а правые – нет. Например, F (1) = P( X < 1) = P( X = 0) = 0,25; F (1,1) = P( X < 1,1) = P ( X = 0) + P( X = 1) = 0,75 . «Высоты» «ступенек» равны очередным вероятностям, взятым из таблицы: 0,25, затем +0,5 и еще +0,25. Аналогично можно составить функцию распределения и построить ее график и для примера 2 про домино, только там будет не 2, а 12 «ступенек». Верна формула: Р(а ≤ Х < b) = F (b) − F (a) . y 1

0,75

0,25

0

1

2

Рис.1 График функции распределения

80

x

15. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическая ожидание – важнейшая характеристика положения случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле: k

М ( х) = х1 р1 + х 2 р 2 + ... + х k p k = ∑ xi pi , где x1 , x 2 ,..., x k - возможные значения случайi =1

ные величины (верхняя строка таблицы), р1 , р 2 ,... р k - их вероятности (нижняя строка). Математическое ожидание – это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера 1 из п.13 М ( Х ) = 0 ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0,25 = 1. Здесь Х - число «орлов», выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М ( Х ) - среднее число «орлов», выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1. Для примера 2 из п.13 М (Y ) = 6 . Известны простейшие свойства математического ожидания: 1. М (С ) = С ; 2. М (С ⋅ Х ) = С ⋅ М ( Х ) , где С - постоянная. В дальнейших вычислениях приходится вычислять математическое ожидание случайной величины Х 2 . Если случайная величина Х задана таблицей: Х

х1

х2

P

p1

p2

… …

хk pk

Случайная величина Х 2 получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х , при этом Р ( Х = х k ) = P( X 2 = x k 2 ) = p k : 2

Х2

х1

P

p1

х2

… …

2

p2

M ( X 2 ) = x1 2 p1 + x 2 2 p 2 + ... + x k 2 p k =

хk

2

pk

k

∑ xl 2 p i . i =1

Для примера 1 из п.13: Х2 P

02 0,25

12 0,5

22 0,25

М ( Х 2 ) = 0 2 ⋅ 0,25 + 12 ⋅ 0,5 + 2 2 ⋅ 0,25 = 1,5 .

81

16. Дисперсия случайной величины.

Дисперсия – важнейшая характеристика рассеивания случайной величины. Рассеивание оценивается относительно среднего значения случайной величины Х - математического ожидания М (Х ) . Из всех возможных значений случайной величины Х вычитают число М ( Х ) . Новая случайная величина Y = X − M ( X ) называется отклонением случайной величины X , причем ее среднее значение M (Y ) = 0. Далее рассматривается случайная величина Y 2 . Ее возможные значения неотрицательны. Среднее значение квадрата отклонения M (Y 2 ) также неотрицательно. Оно называется дисперсией. Итак, D( X ) = M (Y 2 ) = M (( X − M ( X )) 2 ) . Для вычисления дисперсии используют формулу D( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 . Для дисперсии справедливы свойства: D(C ) = 0, D(C ⋅ X ) = C 2 D( X ) . Для примера 1 из п.13 M ( X ) = 1, M ( X 2 ) = 1,5 . Поэтому D( X ) = 1,5 − 12 = 0,5 Для примера 2 из п.13 M (Y ) = 6, M (Y 2 ) = 45, D(Y ) = 45 − 6 2 = 9. 17. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение связано с повторными независимыми испытаниями и формулой Бернулли. Оно задается фиксированным числом испытаний п и вероятностью «успеха» в одном испытании р . Отличительные черты биномиального эксперимента: 1.Все п испытаний абсолютно одинаковы. 2.Результаты разных испытаний не зависят друг от друга. 3.Для каждого испытания возможны только два исхода: «успех» и «неудача»; «успех» - интересующее нас событие появилось и «неудача» - событие не появилось. 4. Для каждого испытания вероятность появления «успеха» постоянна и равна р . Число «успехов» в п независимых испытаниях будет случайной величиной Х , распределенной по биномиальному закону. Вероятность того, что случайная величина Х , распределенная по биномиальному закону примет значение k k , вычисляется по известной формуле Бернулли: P ( X = k ) = Pn (k ) = C n p k q n − k . Ряд распределения Х принимает вид: X Pi

0 0

1 0

Cn p q

n

1

1

Cn p q

2 n −1

2

2

Cn p q

n−2

… …

n −1 C n p n −1 q 1 n −1

n Cn p n q 0

Числовые характеристики биномиального распределения:

82

n

1.Математическое ожидание равно произведению числа испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p : M ( X ) = np . 2.Дисперсия равна произведению числа испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p и на вероятность «неудачи» q : D( X ) = npq . 18. Распределение Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу: Pn ( k ) =

λk k!

e −λ ,

где

k

- число появлений события в

n

независимых испытаниях,

(среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Приведем примеры, приводящие к случайным величинам, распределенным по закону Пуассона. 1.Автоматическая телефонная станция получает в среднем за минуту a вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит ровно m вызовов? Случайное число вызовов за данную минуту распределено по закону Пуассона. 2.Автодорожная инспекция регистрирует количество аварий за неделю на определенном участке дороги. Какова вероятность того, что в течение данной недели произойдет ровно n дорожных аварий? Случайное число аварий за неделю распределено по закону Пуассона. Аналогичные примеры можно привести не только для временных интервалов (минута, неделя), но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста. Отличительные черты эксперимента, приводящего к распределению Пуассона (на примере временных интервалов): 1.Каждый малый интервал времени может рассматриваться как испытание, результатом которого служит либо «успех» - поступление телефонного вызова, либо «неудача». Интервалы столь малы, что может быть только один «успех» в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна. 2.Число «успехов» в одном большом интервале не зависит от их числа в другом. То есть попадание «успехов» в непересекающиеся интервалы – события независимые, и «успехи» беспорядочно разбросаны по временным промежуткам. 3.Среднее число «успехов» в большом интервале для разных интервалов постоянно на протяжении всего времени. Числовые характеристики распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии и равно параметру распределения λ : M ( X ) = λ , D( X ) = λ. λ = np

83

Пример. Пусть лаборант, выдающий задание в студенческом практикуме, допускает ошибку в среднем 1 раз из 300 (неверно выданная или неправильно записанная задача). В ходе практикума 150 человек выполняют по 8 заданий. Какова вероятность того, что по вине лаборанта среди полученных результатов будет не более 0,5% ошибочных? Решение. Рассмотрим биномиальное распределение с параметрами п = 1200 , р =

1 . Так как 0,5% от 1200 равно 6, необходимо найти сумму вероят300

ностей биномиального распределения

6

∑Р k =0

п

(k ) = Pn (0) + Pn (1) + ... + Pn (6) , отвечаю-

щую соответственно случаям без промаха, с одним, двумя и т.д., вплоть до 6 промаха. Но биномиальные вероятности Рn (k ) приближенно равны пуассоновским вероятностям с параметром λ = np = 1200 ⋅

1 = 4. 300

Поэтому искомая вероятность равна: 6

∑

m =0

Pn =

6

∑

m =0

e − 4 (1 +

4 42 46 + + ... + ) ≈ 0,66 . 1! 2! 6!

19. Непрерывные случайные величины

Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток (a; b ) ⊂ R (конечный или бесконечный в одну или обе стороны), то табличный способ задания случайной величины непригоден. Такая случайная величина называется непрерывной случайной величиной (случайной величиной непрерывного типа). Ее функция распределения F (x) будет непрерывна. Напомним, что F (−∞) = 0, F (+ ∞ ) = 1, F ( x) − монотонная неубывающая функция. Производная такой функции F (x) будет функцией неотрицательной. Она называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения вероятности. Ее обозначают f (x) ( f ( x) = F ′( x) ). Часто по условию задачи задают именно плотность распределения, зная которую можно вычислить и (интегральную) функцию распределения (по форx

муле Ньютона-Лейбница): F ( x) = F ( x) − F (−∞) = ∫ F ′(t )dt = −∞

x

∫ f (t )dt.

−∞

f (x) не обязательно непрерывная функция, она допускает в отдельных

точках разрывы 1-го рода, т.е. f (x) - неотрицательная кусочно-непрерывная функция, причем, согласно одному из свойств F (x) : F (+∞) =

+∞

∫ f (t )dt = 1.

−∞

Последнее равенство, называемое условием нормировки f (x) , показывает, что f (x) - не любая неотрицательная функция: площадь между графиком

84

плотности распределения и осью абсцисс должна быть равна 1 (для дискретной k

∑р

случайной величины условием нормировки являлось равенство

i =1

Для

непрерывных

случайных

величин

справедливы

i

= 1 ).

равенства:

b

F (b) − F (a ) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx. a

M (X ) и D(X ) определяются формулами: +∞

M (X ) =

+∞

∫ xf ( x)dx, D( X ) = ∫ ( x − M ( X ))

−∞

2

f ( x)dx или

−∞

+∞

D ( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 =

∫x

2

f ( x)dx − ( M ( X )) 2 .

−∞

20. Нормальный закон распределения и его характеристики

Случайные погрешности анализа, в отличие от систематических погрешностей, не имеют видимых причин. Точнее говоря, ввиду многочисленности отдельных случайных погрешностей и ничтожных значений каждой из них, аналитик сознательно отказывается от выяснения их причин и оценки значений. Ценой этого отказа он получает право изучать и описывать общую случайную погрешность и оценивать результаты анализа методами математической статистики, рассматривая их как случайные величины. Аналогично поступает физикисследователь, который ценой отказа от измерения скоростей и направления движения отдельных молекул газа приобретает возможность статистического описания огромного макроскопического ансамбля температуры, давления, теплоемкости и т.д. Какими бы далекими друг от друга ни казались упомянутые явления, в них имеются общие черты. Это относится, прежде всего, к постановке задачи – описать множественный ансамбль, состоящий из однородных элементов, таким образом, чтобы появилась возможность количественной оценки свойств отдельных элементов или определенных групп внутри изучаемого ансамбля. Общим является и путь решения поставленной задачи: рассмотрение множественного ансамбля как статистической совокупности, выяснение характера распределения случайных величин внутри этой совокупности и последующая вероятностная оценка. Но в приведенных примерах общность не исчерпывается статистическим подходом и вытекающим из него методом исследования конкретных задач. Существенно, что сам закон распределения случайных величин оказывается общим. Если число параллельных анализов и число молекул газа в каждой из соответствующих совокупностей достаточно велико, то распределение результатов анализа по отдельным значениям и молекул газа по скоростям можно описать одной и той же плавной кривой плотности вероятности f ( x) =

1

σ 2π

e

−

( x −a )2 2σ 2

, где σ и а - постоянные, причем σ > 0 . Этот закон рас-

85

пределения получил название нормального (гауссовского) закона распределения. а ∈ R и σ > 0 называются параметрами нормального закона. При a = 0 функция f (x) четная, ее график симметричен относительно оси OY , и поэтому среднее значение M ( X ) = 0 . График f (x) для нормального закона с параметрами а и σ получается из графика f (x) с параметрами 0 и σ сдвигом на а единиц вправо, поэтому в общем случае М ( Х ) = а для нормального закона. Дисперсия вычисляется по формуле D( X ) = σ 2 . Пример 1. Группе студентов из 24 человек для определения меди было выдано одновременно по 20,0 мл раствора соли меди ( CuSO4 ) с содержанием примерно 600 мг меди. Студенты получали растворы в мерные колбы объемом 250 мл, доводили объем растворов в мерных колбах дистиллированной водой до метки, перемешивали и отбирали по 5-6 аликвотных проб объемом 25 мл для параллельных определений. Затем по определенной методике последовательно определяли медь в каждой пробе, титруя рабочим раствором тиосульфата натрия (концентрация Na 2 S 2 O3 была установлена лаборантом заранее). Всем студентам было предложено сдать результаты 5 параллельных определений, округлив ответы до 0,5 мг. Для дальнейшего расчета были отобраны 100 результатов 20 студентов. Их ответы в порядке увеличения найденного содержания меди представлены ниже (mi — число совпадающих результатов, qi — количество меди, мг): qi 600,5 601,5 602,5 603 604 604,5 605

mi 1 1 1 1 2 2 4

Выборочные n

S2 =

∑ (q i =1

i

− q)

n −1

qi 605,5 606 606,5 607 607,5 608 608,5

mi 3 1 3 4 4 5 4

параметры

qi 609 609,5 610 610,5 611 611,5 612

этого

mi 3 6 5 5 6 4 4

qi 612,5 613 613,5 614 614,5 615 615,5

распределения:

mi 5 4 3 3 3 2 2 q=

qi 616 616,5 617 617,5 618 618,5 621 ∑ q i mi 100

mi 2 1 2 1 1 1 1 = 610,0 мг,

2

(выборочная дисперсия): S = 4,0 мг.

Для наглядности результатов проведенного эксперимента, строят гистограмму (подробнее о построении гистограммы см. п.21). Все результаты разбивают на классы так, чтобы каждый класс объединял результаты анализа на интервале, например, шириной в 0,5S = 2 мг. Подсчитывают число результатов внутри i -го класса;

86

mi m = i — частота попадания результатов в i -й n 100

класс, приближенная мера вероятности результата анализа попасть в интервал [ qi − 1; qi + 1 ]. Анализ гистограммы (рис.2) показывает, что огибающая ее кривая имеет вид, характерный для кривой нормального распределения. Этот факт можно предложить студентам проверить, выполнив соответствующие вычисления, например, в пакете STATISTICA. Класс

mi

600< q ≤602 602< q ≤604 604< q ≤606 606< q ≤608 608< q ≤610 610< q ≤612 612< q ≤614 614< q ≤616 616< q ≤618 618< q ≤620 620< q ≤622

2 4 10 16 18 19 15 9 5 1 1

mi n 0,02 0,04 0,1 0,16 0,18 0,19 0,15 0,09 0,05 0,01 0,01

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 598

600

602

604

606

608

610

612

614

616

618

620

622

624

Рис.2 Гистограмма результатов химического анализа определения меди и огибающая ее кривая нормального распределения

87

Пример 2. Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности вероятности f ( x) = A ⋅ e A, M ( x), D( x), P(−3 < Х < 3) .

−

х2 +2 х−2 2

. Найти

(х − 2) , т.е. f ( x) = A ⋅ e − 2 . Показатель экспоненты х2 Решение. − + 2 х − 2 = − 2 2 2 (х − 2) приравняем к − (х − а )2 , откуда а = 2, σ = 1. Числовой коэффициент − 2 2σ 2 1 1 должен быть равен А, следовательно, = σ 2π 2π 1 А= , М ( Х ) = а = 2, D( X ) = σ 2 = 1 . 2π ( х −2)2

2

3

P (−3 < X < 3) = F (3) − F (−3) =

∫

−∞

1

e

2π

−

( x − 2 )2 2

−3

dx −

∫

−∞

1 2π

e

−

( x − 2 )2 2

dx =

1 2π

3

∫e

−

( x−2 ) 2

dx .

−3

Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам. В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций Φ ( х) =

1 2π

Φ (x)

x

∫е

−

t2 2

dt или Φ 1 ( х) =

0

-

нечетная

1 2π

x

∫е

−

t2 2

−∞

функция,

dt =

1 + Φ ( x). 2

т.е.

Φ ( − х ) = Φ ( x) .

В

общем

случае

⎛ x −a⎞ ⎛x −a⎞ P ( x1 < X < x 2 ) = Φ⎜ 2 ⎟ − Φ⎜ 1 ⎟ , где a и σ - параметры нормального закона. ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠

Следовательно, для данного примера P ( X < 3) = Φ 1 (1) − Φ 1 (−5) = Φ (1) − Φ (−5) = Φ (1) + Φ (5) = 0,3413 + 0,5 = 0,8413.

21. Другие законы распределения непрерывных случайных величин.

Кроме случайных величин, имеющих нормальный закон распределения, есть случайные величины, имеющие другие законы распределения. Приведем примеры некоторых из них. 1. Равномерное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все свои значения из отрезка [a; b] , называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е. ⎧0, x < a; ⎪ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ , a ≤ x ≤ b; ⎪b − a ⎪⎩0, x > b.

88

Для равномерного закона распределения функция распределения задается формулой:

⎧0, x < a, ⎪x − a ⎪ F ( x) = ⎨ , a ≤ x ≤ b, b − a ⎪ ⎪⎩1, x > b.

Числовые характеристики: M ( X ) =

(b − a ) . a+b , D( X ) = 2 12 2

2.Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , которое описывается плотностью ⎧⎪0, x < 0, , f ( x) = ⎨ ⎪⎩λ ⋅ e −λx , x ≥ 0

где λ - постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона задается формулой: ⎧⎪0, x < 0, F ( x) = ⎨ ⎪⎩1 − e −λx , x ≥ 0.

Вероятность попадания в интервал (a; b ) непрерывной случайной величины X , распределенной по показательному закону, P(a < X < b ) = e −λa − e −λb . Числовые характеристики:

M (X ) =

1

λ

, D( X ) =

1

λ2

.

22. Построение гистограммы

Задачей статистического исследования является изучение закономерностей, лежащих не в случайном взаимоотношении, а в самой природе исследуемых явлений. Полученные в результате исследования относительные числа и средние величины должны служить отображением действительности. Теория статистики дает возможность определения степени достоверности полученных результатов статистического исследования. Полученный в каждом индивидуальном испытании результат имеет свои причины. В этом смысле он является необходимым. Но как бы тщательно мы ни отбирали объекты для проведения эксперимента, как бы тщательно ни следили за их подготовкой и в ходе эксперимента за идентичность условий, и т.д., все же подопытные субъекты сохранят те или иные индивидуальные особенности. Вследствие этого мы наблюдаем изменчивость признака в выборке. Итак, проводится серия испытаний, результат каждого случаен. Чтобы выявить статистическую закономерность, для опыта выбирают наиболее характерных представителей из изучаемой группы объектов (из генеральной совокупности). Все результаты опыта записывают в таблицу. Что измерять и как измерять – решает экспериментатор, найти закономерность в полученных результатах измерений – задача математика. Эксперимент проведен. Имеется таблица результатов наблюдения.

89

Строим гистограмму (одна из форм статистического закона распределения вариаций). Для этого необходимо сделать следующее: 1. В таблице данных наблюдений найти наибольшее и наименьшее значение изучаемого признака. На числовой оси отметить промежуток, в котором будут заключены все вариации. 2. Полученный промежуток разбить на равные промежутки – разряды. Число разрядов должно быть таким, чтобы частное от деления числа опытов на число разрядов было не меньше 5. Обычно число разрядов принимают равным k = n , где n - объем выборки. 3. Начертить таблицу, в которой в первой графе указать номер разряда, во второй - границы разрядов, в третьей – частоту значений признака, принадлежащего данному разряду, т.е. следует просмотреть таблицу и подсчитать, сколько в ней чисел больше наименьшего числа в разряде (например, больше левого конца разряда) и меньше или равно наибольшему числу (правому концу); в четвертой указать относительные частоты вариаций в разрядах, т.е. отношение частоты значений признака в разряде к общему числу проведенных наблюдений. 4. Построить на плоскости ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются разряды, а высотами служат относительные частоты вариаций в разрядах, деленные на длину разряда. Построенная фигура - гистограмма, дающая приближенное представление о плотности распределения случайной величины. Площадь каждого построенного столбика приближенно можно считать равной вероятности попадания значений случайной величины в соответствующий разряд. Пример. Имеется 100 результатов наблюдений – измерений длины зерен пшеницы. Наименьшее значение 5,18 мм, наибольшее – 5,69 мм. Для удобства возьмем промежуток [5,175;5,725] – в нем содержится все вариации признака, имеющиеся в таблице. Длина промежутка 0,55. Разобьем его на 11 разрядов, длина каждого разряда ∆хi = 0,05, i = 1,2,...11. 100 = 9,1 > 5. (см. рис.3) 11

90

№ разряда

Границы разрядов

Частоты

1 2 3 4 5 6 7

5,175-5,225 5,225-5,275 5,275-5,325 5,325-5,375 5,375-5,425 5,425-5,475 5,475-5,525

1 4 7 11 16 30 14

Относительные частоты 0,01 0,04 0,07 0,11 0,16 0,30 0,14

8 9 10 11

5,525-5,575 5,575-5,625 5,625-5,675 5,675-5,725

8 6 2 1

0,08 0,06 0,02 0,01

0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

5,675 - 5,725

5,625 - 5,675

5,575 - 5,625

5,525 - 5,575

5,475 - 5,525

5,425 - 5,475

5,375-5,425

5,325 - 5,375

5,275 - 5,325

5,225 - 5,275

5,175 - 5,225

0

Рис. 3 23. Выборочное среднее и выборочная дисперсия

В статистике интерес нацелен не на те случайные числа, которые непосредственно устанавливаются подсчетами, а на те истинные величины, которые характеризуют всю массу, познаваемую нами по выборке: состав планктона не в зачерпнутой случайной пробе, а в море; не число кровяных шариков в поле зрения микроскопа, а в свойствах крови больного и т.д. Числовые характеристики случайных величин дают представление об общих свойствах изучаемых объектов, выборочные характеристики – являются приближениями для числовых характеристик. Рассмотрим вычисление выборочного среднего. Пусть n – объем выборки, k – число разрядов( см. выше), i – номер разряда, xi - любое число из i-го разряда (представители),

91

τ i - относительная частота вариаций, принадлежащих i-разряду.

Определение 1. Выборочным средним называется величина M

*

=

k

∑

i =1

x iτ i .

Выборочное среднее является оценкой для математического ожидания случайной величины. Для вычисления выборочного среднего нужно составить таблицу: X

x1

x2

x3

τ

τ1 τ 1 x1

τ2 τ 2 x2

τ3 τ 3 x3

Xτ

… … …

xi

τi τ i xi

… … …

xk

τk τ k xk

Сумма чисел последней строки и есть выборочное среднее. Вычисление выборочной дисперсии. Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии. Дисперсия «рассеяние». Мерой рассеяния, разбросанности значений случайной величины относительно среднего значения служит среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии. Определение 2. выборочной дисперсией называется величина k

D* = ∑ ( xi − M * ) 2τ i i =1

Для вычисления дисперсии (выборочной) нужно составить таблицу: X − M* ( X − M * )2 = ρ 2

x1 − M *

x2 − M *

x3 − M *

( x1 − M * ) 2

( x2 − M * ) 2

( x3 − M * ) 2

( X − M * ) 2τ

ρ12τ 1

ρ 22τ 2

ρ32τ 3

… … …

xi − M * ( xi − M * ) 2

ρi2τ i

… … …

xk − M * ( xk − M * ) 2

ρ k2τ k

Сумма чисел последней строки и есть выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение σ * = D* . 24. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения (по выборочным данным)

В какой степени свойства выборки отображают свойства генеральной совокупности? Прямая проверка обычно невозможна, поскольку, как правило, генеральная совокупность не находится в распоряжении исследователя. Однако, возможна косвенная проверка. Для различных выборок мы получаем разные значения параметров – выборочные средние, выборочные дисперсии … Чем больше объем выборки, тем

92

меньше вероятность того, что выборочное среднее будет значительно отличаться от математического ожидания. Пусть θ * - эмпирическое значение характеристики, являющееся оценкой её теоретического значения θ . Точность оценки определяется неравенством θ * −θ < δ (1) Чем в большем числе случаев это неравенство будет выполняться, тем больше мы можем «доверять» полученной оценке. Если δ > 0 - некоторое фиксированное число, то мы не можем утверждать, что неравенство (1) выполняется всегда, но мы можем говорить о вероятности, с которой осуществляется эта оценка. Английским биологом и статистиком Р.Фишером было введено понятие доверительной вероятности. Определение 1. Надежностью (доверительной вероятностью) называют вероятность γ , с которой осуществляется неравенство (1), т.е. γ = P (θ * − θ < δ ) . Обычно надежность задается заранее, при чем в качестве γ берут число, близкое к единице. Неравенство (1) иначе можно записать так: − δ < θ − θ * < δ или θ* −δ <θ <θ* +δ . Тогда P(θ * − δ < θ < θ * + δ ) = γ означает: вероятность того, что интервал (θ * − δ ,θ * + δ ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр θ , равна γ . Определение 2. Интервал (θ * − δ ,θ * + δ ) , который покрывает неизвестный параметр θ , с заданной надежностью γ , называют доверительным. Замечание. Интервал (θ * − δ ,θ * + δ ) имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Надежность γ = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок (заданного объема), то 95% из них определяет такие доверительные границы, в которых параметр действительно будет заключен и 5% случаев, когда оцениваемый параметр может выйти за границы доверительного интервала. Выборочное среднее – случайная величина, зависящая от выборки. Согласно центральной предельной теореме, эта случайная величина имеет закон распределения, близкий к нормальному. Поэтому, чтобы найти доверительный интервал для математического ожидания, которое одновременно является математическим ожиданием выборочных средних, достаточно провести следующие вычисления: 1. По данным выборки вычислить выборочное среднее θ * = M * и вы2 борочную дисперсию D * = (δ * ) (см. выше).

93

~

2. В таблице значений функции Лапласа Φ(t ) =

2

t

∫e

2π

−

x2 2

0

dx найти значе-

ние аргумента этой функции t γ , при котором её значение Φ (t γ ) = γ . ~

3. Вычислить среднюю ошибку выборки µ =

σ* n

,

n–

объем выборки

(число испытаний). 4. Получим доверительный интервал для математического ожидания рассматриваемой случайной величины (М * − δ , M * + δ ) , где δ = t γ ⋅ µ 2 , т.е. справедливо неравенство M ∗ − µ ⋅ t γ 2 < М (ξ ) < M ∗ + µ ⋅ t γ 2 или P[M (ξ ) ∈ (M ∗ − µ ⋅ t γ 2 , M ∗ + µ ⋅ t γ 2 )] = γ . 25. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Построенная по эмпирическим данным гистограмма дает приближенное представление не только о генеральной совокупности, но и отражает индивидуальные свойства выборки. Поэтому, чтобы получить неискаженное представление о случайной величине, необходимо сгладить опытные данные. Выравнивание статистических распределений производят, например, по методу наименьших квадратов, т.е. таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений имела минимальное значение. Построенная таким образом кривая – предполагаемый теоретический закон распределения. Очевидно, что как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и гистограммой неизбежны расхождения. Возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная нами кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение? k

Введем меру расхождения u = ∑ ci (τ i − pi )2 , где ci = i =1

n , n – число испытаpi

ний, k – число разрядов, pi - теоретическая вероятность, τ i - относительная часk

(τ i − pi )2

i =1

pi

тота. Иначе, мера расхождения есть χ 2 = n∑

.

Критерий согласия Пирсона ( χ 2 ) Пусть k – число разрядов, s – число связей; обозначим r = k − s - число степеней свободы. Рассмотрим случайную величину, имеющую распределение χ 2 . По най2 денным для нашего случая значениям (χ * ) и r в таблице для критерия Пирсона

94

находим вероятность того, что эта случайная величина превзойдет величину (χ * )2 = u * . Если эта вероятность мала, то гипотеза о теоретическом законе распределения отвергается; если же эта вероятность велика, то мы считаем, что имеющиеся эмпирические данные не противоречат теоретическому распределению. Правила пользования критерием Пирсона: 1. Выбрать уровень значимости β , т.е. достаточно малую вероятность того, что события, с вероятностями не превосходящими β можно отбросить как невозможные. 2 2. Вычислить величину (χ * ) и определить число степеней свободы r (при этом число связей всегда не меньше 1, так как при отсутствии дополнительных условий всегда имеет место связь

k

∑p i =1

i

= 1 ).

3. По таблицам для критерия Пирсона по найденным величинам u * = (χ * ) и r найти вероятность γ того, что в силу случайных причин величина суммы квадратов отклонений, деленная на число испытаний, больше найденного значения u * . Вывод: если найденная вероятность меньше уровня значимости β , то данные наблюдений не согласуются с гипотезой о теоретическом распределении генеральной совокупности; если эта вероятность больше β , то данные наблюдений согласуются с гипотезой о теоретическом распределении. 2

Индивидуальная работа №16 Теория вероятностей и математическая статистика Задание 1. Решить следующие задачи. 1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял три учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете. 2. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса. 3. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода. 4. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму. 5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что

95

при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадет хотя бы один из них. 6. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными. 7. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой кости появится нечетное количество очков. 8. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, третьего сорта – 10%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта равна 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно. 9. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна 0,3, на втором – 0,2, на третьем – 0,5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,3. Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется небракованным. 10. В мастерской на трех станках изготавливаются однотипные детали. Вероятность безотказной работы первого станка равна 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,9. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,1. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется стандартной. 11. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз. 12. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее 3? 13. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Написать закон распределения вероятностей попаданий в цель при 5 выстрелах и построить многоугольник распределения вероятностей. 14. Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян. 15. Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Найти вероятность того, что в 1000 семян будет 6 семян сорняков. Задание 2. В задачах 1-5 дана вероятность р того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из п посеянных семян прорастет ровно k семян. 1. п = 100, р = 0,9, k = 95; 2. п = 400, р = 0,8, k = 330; 3. п = 900, р = 0,36, k = 340; 4. п = 225, р = 0,64, k = 158; 5. п = 250, р = 0,81, k = 200.

96

В задачах 6-15 дана вероятность р появления события А в каждом из п независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k 2 раз. 6. n = 360, p = 0,8, k1 = 280, k 2 = 300; 7. n = 490, p = 0,6, k1 = 320, k 2 = 350; 8. n = 640, p = 0,9, k1 = 500, k 2 = 540; 9. n = 225, p = 0,2, k1 = 50, k 2 = 60; 10. n = 810, p = 0,4, k1 = 340, k 2 = 400; 11. n = 250, p = 0,7, k1 = 150, k 2 = 180; 12. n = 300, p = 0,3, k1 = 110, k 2 = 130; 13. n = 625, p = 0,8, k1 = 480, k 2 = 500; 14. n = 100, p = 0,5, k1 = 60, k 2 = 80; 15. n = 256, p = 0,9, k1 = 200, k 2 = 220. Задание 3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны возможные значения величины Х , во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М ( Х ) ; 2) дисперсию D( X ) ; 3) среднее квадратическое отклонение σ ( X ) . 1. 3 4 5 6 X 2. 3.

4.

5. 6.

7.

p

0,1

0,3

0,2

0,4

X p

23 0,2

25 0,1

27 0,3

29 0,4

X p

1 0,4

6 0,1

8 0,3

9 0,2

X p

32 0,1

35 0,3

37 0,4

42 0,2

X p

41 0,3

42 0,3

43 0,2

45 0,2

X p

11 0,2

12 0,5

13 0,2

14 0,1

X p

51 0,1

52 0,4

54 0,3

57 0,2

97

8.

9.

X p

20 0,5

21 0,2

22 0,2

26 0,1

X p

30 0,2

32 0,4

34 0,3

36 0,1

X p

48 0,3

50 0,2

51 0,2

53 0,3

X p

-3 0,1

0 0,2

1 0,3

2 0,4

X p

2 0,2

8 0,6

10 0,1

15 0,1

X p

2 0,4

3 0,2

4 0,1

10 0,3

X p

11 0,1

12 0,2

18 0,4

30 0,3

X p

1 0,3

10 0,1

15 0,2

23 0,4

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Задание 4. В задачах 1-10 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F (x) . Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f (x) ; 2) математическое ожидание M ( X ) ; 3) дисперсию D( X ) . ⎧0, приx < 0, ⎪ 1. F ( x) = ⎨ х 2 , при 0 ≤ x ≤ 1, ⎪1, приx > 1. ⎩

98

⎧0, приx < 0, ⎪ 2 х 9. F ( x) = ⎪⎨ , при 0 ≤ x ≤ 4, ⎪ 16 ⎪⎩1, приx > 4.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

⎧0, приx < 0, ⎪ 2 ⎪х F ( x) = ⎨ , при 0 ≤ x ≤ 4, ⎪ 16 ⎪⎩1, приx > 4. ⎧0, приx < 2, ⎪ F ( x) = ⎨ х − 2, при 2 ≤ x ≤ 3, ⎪1, приx > 3. ⎩ ⎧0, приx < 0, ⎪ 2 ⎪х F ( x) = ⎨ , при 0 ≤ x ≤ 2, ⎪4 ⎪⎩1, приx > 2. ⎧0, приx < 4, ⎪ F ( x) = ⎨ х − 4, при 4 ≤ x ≤ 5, ⎪1, приx > 5. ⎩ ⎧0, приx < 0, ⎪ 2 ⎪х F ( x) = ⎨ , при 0 ≤ x ≤ 2, ⎪8 ⎪⎩1, приx > 2. ⎧0, приx < 0, ⎪ 2 ⎪х F ( x) = ⎨ , при 0 ≤ x ≤ 3, ⎪9 ⎪⎩1, приx > 3. ⎧0, приx < 1, ⎪ F ( x) = ⎨ х − 1, при1 ≤ x ≤ 2, ⎪1, приx > 2. ⎩

⎧0, приx < 0, ⎪ 10. F ( x) = ⎨ x 2 + 1, при 0 ≤ x ≤ 3, ⎪1, приx > 3. ⎩ ⎧0, приx < 0, 11. F ( x) = ⎪⎨ x + 3, при 0 ≤ x ≤ 2, ⎪1, приx > 2. ⎩ ⎧0, приx < 0, ⎪ 2 х 12. F ( x) = ⎪⎨ , при 0 ≤ x ≤ 2, ⎪2 ⎪⎩1, приx > 2. ⎧0, приx < 0, ⎪ 13. F ( x) = ⎨ x 3 + 1, при 0 ≤ x ≤ 1, ⎪1, приx > 1. ⎩ ⎧0, приx < 0, ⎪ 3 х 14. F ( x) = ⎪⎨ , при 0 ≤ x ≤ 3, ⎪ 27 ⎪⎩1, приx > 3. ⎧0, приx < 0, 15. F ( x) = ⎪⎨ х, при 0 ≤ x ≤ 1, ⎪1, приx > 1. ⎩

Задание 5. Решить следующие задачи. 1. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Найти процент стандартных деталей. 2.Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25 см, среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см. 3. Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

99

4. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1. 5. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95? 6. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16 г до 0,22 г. 7. Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией 0,95. 8. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей? 9. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г. 10. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух. 11. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 20 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,2 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 19,5 мм и 20,5 мм. Найти процент стандартных деталей. 12.Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 30 см, среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 25 см. 13. Процент всхожести семян равен 85%. Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

100

14. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,6. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 0,9. 15. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 180 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95? Индивидуальная работа №17 Дискретные случайные величины

Данные для решения следующих заданий смотрите в приложении Б «Обработка опытных данных» в книге «Математика. Часть III. Теория вероятностей» Учеб. пособие/ М.Ю. Чурилова, Р.А. Мыркина, Т.А. Семенова и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. Задание 1. Для наблюдавшихся 50 значений дискретной случайной величины постройте: 1) дискретный вариационный ряд; 2) график выборочной функции распределения. Задание 2. Подсчитайте выборочные среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задание 3. Попробуйте выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины. Задание 4. Сравните относительные частоты наблюдавшихся значений с гипотетическими вероятностями. Индивидуальная работа №18 Непрерывные случайные величины

Данные для решения следующих заданий смотрите в приложении Б «Обработка опытных данных» в книге «Математика. Часть III. Теория вероятностей» Учеб. пособие/ М.Ю. Чурилова, Р.А. Мыркина, Т.А. Семенова и др. Под ред. Г.Г. Хамова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. Задание 1. Для наблюдавшихся значений непрерывной случайной величины постройте: 1) интервальный вариационный ряд; 2) график выборочной функции распределения. Задание 2. Подсчитайте выборочные среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

101

Задание 3. По виду гистограммы попробуйте выдвинуть гипотезу о законе распределения вероятностей. Задание 4. Подсчитайте гипотетические вероятности для каждого интервала и сравните с относительными частотами.

102

РАЗДЕЛ IV. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОЙ И ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ 1. Примерные варианты контрольных работ Контрольная работа №1 Задание 1. Даны два уравнения: y = x + 2 и x 2 − 4 x + y 2 − 12 = 0 . Какие линии на плоскости Оху они описывают? Сделать чертеж. Указать точки пересечения этих линий. Задание 2. 0 1 х 1 . Найти x . а) − 2 3 4 = 5 2 −1 0 2 х

б) Используя формулы Крамера, решить систему линейных уравнений: ⎧5 х − у = 8, ⎨ ⎩2 х + 3 у = 10.

Задание 3. Материальная точка под действием силы F переместилась из точки C (1;1;0) в точку D(4;2;5) . Вычислить работу A силы F , если F = i + 4 j + 3k .

Контрольная работа №2

Задание 1. Найти производную функции у = е х sin x +

tgx в точке x0 = 0. x +1

Задание 2.Найти производную сложной функции y = 2 + x 2 . Задание 3. Размер популяции бактерий в момент времени t (время выражено в часах) задается формулой P(t ) = 10 5 + 10 3 t + 10 2 t 2 . Найти скорость роста популяции, когда t = 1 ч. 5x 3 + 4 x − 1 ex −1− x lim ; 2) . x →∞ x →0 8 − 3x 2 ex −1

Задание 4. Вычислить пределы: 1) lim

Контрольная работа №3

Задание 1. Вычислить интегралы: 1)

∫

⎛ ⎞ 1 − x ⎟⎟dx; х ⎜⎜ 2 ⎝ х cos x ⎠

2) ∫ (x − 1) cos 2 xdx;

103

3)

∫

x x+4

Задание

4)

dx;

2.

Найти

1

3arctgx + x dx. 1+ x2 0

∫

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями:

y = 3 − x , y + 2 x − 3 = 0. 2

Задание 3. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t ) = 10t + 2 (м/с). Контрольная работа №4

Задание 1. Дано дифференциальное уравнение у ′′ + 6 у = 0. Проверить, является ли данная функция решением данного дифференциального уравнения: 1) у = е 2 х + х ; 2) у = 3 cos 6 x . ⎧ y ′ + 2 y = 0, ⎩ y (0) = 3.

Задание 2. Решить задачу Коши: ⎨

Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

y ′′ + 2 y ′ + 4 y = 0.

Контрольная работа №5

Задание 1. В группе студентов из 20 человек 11 знают математику, 12 знают химию, 2 не знают ни математики, ни химии. Сколько студентов знает и математику и химию? Задание 2.Всхожесть семян, предназначенных для посева, оценивается вероятностью в 98%. Вероятность попадания семян в благоприятные для прорастания условия равна 96%. Какой процент семян даст всходы? Задание 3. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбираются два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым. Задание 4. Садовод сделал осенью 6 прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки 7 из каждых 10 черенков оставались жизнеспособными. Составить таблицу распределения вероятностей числа прижившихся черенков. Задание 5. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян. Найти вероятность того, что число семян давших всходы, не менее 520 и не более 570. Контрольная работа №6

Задание 1. Урожайность двух сортов пшеницы А и В , возделываемых на трех участках с одинаковыми условиями роста и развития, характеризуется следующими таблицами:

104

Сорт А Х,ц 18 Площадь, 15 га

Сорт В

19 25

20 15

Y,ц Площадь, га

17 19 20 20

22 40 3

Найти дисперсии значений признака урожайности обоих сортов. Задание 2. Наблюдения за дневным удоем 8 коров, случайно отобранных из стада, дали следующие результаты: Удой хi , л Число голов ni , шт.

12

13

15

16

18

1

1

3

2

1

1) Определить вероятность того, что средний удой по всему стаду будет отличаться от среднего удоя 8 коров не более чем на 2,5 л. 2) С вероятностью γ =0,95 найти доверительный интервал для среднего удоя по стаду Х = М ( Х ) . Задание 3.На двух группах животных сравнивали влияние на суточный привес двух видов кормов: льняного жмыха и сои. Данные помещены в следующих таблицах: Льняной жмых хi

1,95

2,05

2,11

2,17

2,24

2,52

ni

2

2

1

1

1

1

уi

1,74

1,77

1,83

1,86

1,92

2,50

ni

1

2

2

2

1

1

Соя

Вычислите разность между выборочными средними и установите при уровне 0,05, значимо или случайно это расхождение. 2. Примерный вариант теста по теме: «Линейная алгебра»

1.Минором элемента определителя является: а) строка определителя, в котором находится элемент; б) столбец определителя, в котором находится элемент; в) определитель, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент. 2. Минор матрицы – это: а) строка матрицы; б) столбец матрицы;

105

в) порядок определителя матрицы; г) определитель, составленный из элементов матрицы. 3. Что такое алгебраическое дополнение элемента матрицы? а) минор элемента, взятый со знаком плюс, если ячейка в которой лежит элемент - четная и со знаком минус, если нечетная; б) минор определителя, взятый со знаком плюс, если порядок минора четный; и со знаком минус, если нечетный; в) число, равное сумме индексов строки и столбца, в которых находится данный элемент. 4. Ранг матрицы – это: а) минор матрицы, отличный от нуля; б) наивысший порядок миноров матрицы, отличных от нуля; в) порядок определителя матрицы. 5. Базисный минор матрицы – это: а) любой минор наивысшего порядка отличный от нуля; б) любой минор матрицы, отличный от нуля; в) любой минор матрицы, порядок которого равен наименьшему из чисел, равных количеству строк, столбцов. 6. Что означает ранг матрицы? а) число линейно независимых столбцов матрицы; б) число строк матрицы; в) максимальное число линейно независимых строк матрицы; г) число столбцов матрицы. 7. Ранг матрицы не изменится, если: а) к матрице добавить один столбец; б) из матрицы убрать столбец, являющийся линейной комбинацией столбцов данной матрицы; в) к матрице добавить столбец, являющийся линейной комбинацией столбцов матрицы. 8. Ранг матрицы не изменится, если: а) из матрицы убрать строку, являющуюся линейной комбинацией строк данной матрицы; б) из матрицы убрать строку, являющуюся линейной комбинацией других строк матрицы; в) из матрицы убрать одну из строк. 9. Система линейных уравнений имеет единственное решение, если: а) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы; б) ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы системы; в) ранг основной матрицы системы больше ранга расширенной матрицы системы;

106

г) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу переменных. 10. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если: а) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы; б) ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы системы; в) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и меньше числа переменных; г) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу переменных. 11. Квадратная однородная система имеет ненулевые решения, если: а) определитель системы равен нулю; б) определитель системы не равен нулю; в) ранг матрицы системы равен числу переменных. 12. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, если: а) ранг матрицы системы равен числу переменных; б) ранг матрицы системы больше числа переменных; в) ранг матрицы системы меньше числа переменных; г) уравнений в системе больше, чем переменных. 3. Примерный вариант теста по теме: «Аналитическая геометрия»

1.Что такое вектор? а) отрезок прямой; б) отрезок оси; в) направленный отрезок. 2. Два вектора a и b исходят из общей точки. Какой вектор является их суммой? а) диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b , соединяющая конечную точку вектора a с конечной точкой вектора b ; б) диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b , исходящего из общего начала векторов a , b ; в) диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b , направленная к общему началу векторов a , b . 3. Какими свойствами обладают векторы a и λ a , где λ - действительное число? а) коллинеарны; б) коллинеарны и сонаправлены; в) ортогональны.

107

4. Что является проекцией вектора AB на ось? а) отрезок A′B ′ , соединяющий проекции точек A и B на ось; б) величина отрезка A′B ′ , соединяющего проекции точек A и B на ось; в) длина отрезка A′B ′ , соединяющего проекции точек A и B на ось. 5. Что такое координаты вектора? а) длины отрезков, заключенных между проекциями на оси координат начальной и конечной точек вектора; б) проекции вектора на оси координат; в) координаты конечной точки вектора. 6. Если скалярное произведение векторов a и b равно нулю, то а) векторы коллинеарны; б) координаты векторов пропорциональны; в) векторы оргтогональны. 7. Скалярное произведение векторов а = α 1 i + α 2 j + α 3 k , b = β1 i + β 2 j + β 3 k равно: а) α 12 + α 22 + α 32 ⋅ β12 + β 22 + β 32 ; б) (α 1 + β1 )2 + (α 2 + β 2 )2 + (α 3 + β 3 )2 ; в) α 1 β1 + α 2 β 2 + α 3 β 3 . 8. Проекция вектора a на вектор b равна: а) вектору, заключенному между проекциями начальной и конечной точек вектора a на вектор b ; б)

a⋅b a⋅b ; в) . a b

9. Какие числа являются координатами единичного вектора? а) направляющие косинусы вектора; б) 1; 1; 1; в) координаты конечной точки вектора. 10. Векторы a и b коллинеарны, тогда и только тогда, когда а) a × b = 0 ; б) a ⋅ b = 0 ; в) векторы a , b лежат в одной плоскости. 11. Векторы a , b , c компланарны, если: а) a × b c ; б) угол между векторами a × b и c тупой; в) (a b c ) =0. 12. Какой геометрический смысл коэффициентов A, B, C в уравнении Ax + By + Cz + D = 0 ?

а) координаты вектора, параллельного плоскости; б) координаты вектора, перпендикулярного плоскости; в) координаты точки, принадлежащей плоскости. 13. Какое из данных уравнений определяет плоскость? а) Ax + By + Cz 2 + D = 0 ; б) A(x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 ;

108

в) Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 . 14. Определите уравнение плоскости, проходящей через данную точку: а) Ax + By + Cz + D = 0 ; б) x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 ; в) A(x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 . 15. Какой геометрический смысл чисел m; n; p в канонических уравнениях прямой

x−a y −b z −c = = ? m n p

а) координаты вектора параллельного прямой; б) координаты точки, принадлежащей прямой; в) координаты вектора перпендикулярного прямой. 16. Что определяет система уравнений A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C 2

⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, , ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0

где

?

а) две параллельные плоскости; б) две перпендикулярные плоскости; в) прямую линию. 17.Каково условие параллельности прямой

x−a y −b z −c = = и плоскости m n p

Ax + By + Cz + D = 0 ? m n p a b c = = ; в) Aa + Bb + Cc = 0 ; г) Am + Bn + Cp = 0 . а) = = ; б) m n p A B C 18. Какой геометрический смысл чисел a; b; c в параметрических уравнени-

ях прямой x = mt + a; y = nt + b; z = pt + c ? а) координаты вектора параллельного прямой; б) координаты вектора перпендикулярного прямой; в) координаты точки, принадлежащей прямой. 19. Какое уравнение определяет эллипс? а) −

x2 y2 x2 y2 x2 y2 + = 1 ; б) − − = − 1 ; в) − = 1. a2 b2 a2 b2 a2 b2

20. Какое уравнение определяет гиперболу? x2 y2 x2 y2 x2 y2 а) 2 + 2 = 1 ; б) − 2 + 2 = -1; в) − 2 − 2 = −1 . a b a b a b 21. Какую ось симметрии имеет парабола y 2 = 5 x и в какую сторону оси

симметрии направлены ее ветви? а) ось симметрии OY , ветви направлены в отрицательную сторону; б) ось симметрии OY , ветви направлены в положительную сторону; в) ось симметрии OX , ветви направлены в положительную сторону.

109

22. Какую ось симметрии имеет парабола y 2 = −2 x и в какую сторону оси симметрии направлены ветви? а) ось симметрии OX , ветви направлены в отрицательную сторону; б) ось симметрии OY , ветви направлены в отрицательную сторону; в) ось симметрии OX , ветви направлены в положительную сторону. 23. Какую ось симметрии имеет парабола x 2 = −5 y и в какую сторону оси симметрии направлены ее ветви? а) ось симметрии OY , ветви направлены в положительную сторону; б) ось симметрии OX , ветви направлены в отрицательную сторону; в) ось симметрии OY , ветви направлены в отрицательную сторону. 24. Какое уравнение определяет двуполостный гиперболоид? а)

x2

+

y2

+

z2

= 1 ; б) −

x2 y2 z2 − + = −1 ; a2 b2 c2

a2 b2 c2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 в) 2 + 2 + 2 = −1 ; г) − 2 + 2 + 2 = −1 . a b c a b c

25. Какое уравнение определяет эллипсоид? x y z x2 y2 z2 + + = 1 ; б) − − + = 1; a2 b2 c2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 в) 2 + 2 − 2 = 1 ; г) − 2 − 2 − 2 = −1 . a b c a b c

а) −

26. Какое уравнение определяет однополостный гиперболоид? x2 y2 z2 x2 y2 z2 − − = − 1 ; б) − − = 1; a2 b2 c2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + = 1 ; г) − − − = 1. в) a2 b2 c2 a2 b2 c2

а).

27. Какое уравнение определяет эллиптический параболоид (при p > 0 , g > 0) ? а) −

x2 y2 x2 z2 y2 z2 x2 y2 − = −2 z ; б) − = 2 y ; в) − + = −2 x ; г) − = −2 z . p g2 p g2 p g2 p g

28. Какое уравнение определяет гиперболический параболоид (при p > 0 , g > 0) ? а)

x2 y2 y2 z2 x2 z2 y2 z2 − = −2 x ; б) + = −2 z ; в) − − = −2 y ; г) + = 2x . p g p g p g p g

4. Вопросы для подготовки к коллоквиуму по теме «Дифференциальное и интегральное исчисления»

1. Приведите примеры множеств, числовых множеств. 2. Укажите соотношения между множествами натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел.

110

3. Дайте определение величины, приведите примеры постоянных и переменных величин. 4. Приведите примеры промежутков: замкнутых, открытых, полуоткрытых, бесконечных. 5. Дайте определение функции одной действительной переменной. Приведите примеры. Что такое область определения функции? 6. Перечислите способы задания функции. 7. Дайте определение четной и нечетной функций. 8. Дайте определение числовой последовательности. 9. Какая последовательность называется ограниченной? 10. Что такое монотонная последовательность? 11. Какие последовательности называются сходящимися? Дайте определение предела последовательности. 12. Сформулируйте необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности. 13. Сформулируйте понятие бесконечно большой последовательности. 14. Сформулируйте основные теоремы о пределах последовательностей. 15. Дайте определение предела функции. 16. Дайте определение односторонних пределов функции. 17. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций. 18. Запишите первый и второй замечательные пределы. 19. Дайте определение непрерывности функции в точке, на интервале. 20. Что такое точка разрыва? Какие существуют точки разрыва? 21. Перечислите основные свойства непрерывных функций. 22. Дайте определение производной функции, приведите обозначения производной. 23. В чем состоит геометрический смысл производной, механический смысл производной? 24. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. 25. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций. 26. Запишите правило дифференцирования сложной функции. 27. Дайте определение дифференциала функции и укажите его геометрический смысл. 28. Дайте определение производной второго порядка и укажите ее механический смысл. 29. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции на интервале. 30. Дайте определение точки строго локального максимума (минимума) функции. 31. В чем состоит необходимое условие существования точки экстремума? 32. В чем состоит достаточное условие существования точки экстремума?

111

33. Сформулируйте правило исследования функции на экстремум. 34. Дайте определение первообразной функции. 35. Что такое неопределенный интеграл? 36. Что называется интегрированием функции? 37. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла. 38. Напишите таблицу интегралов основных элементарных функций. 39. В чем состоит способ подстановки и интегрирования по частям в неопределенном интеграле? 40. Сформулируйте задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 41. Что такое интегральная сумма функции у = f (x) на отрезке [a; b] ? 42. Что называется определенным интегралом от данной функции на данном отрезке? В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? 43. Сформулируйте свойства определенного интеграла. 44. Напишите формулу Ньютона-Лейбница. 45. Какие интегралы называются несобственными, как они вычисляются? 46. Напишите формулу вычисления объема тела вращения в случае, когда осью вращения является ось Ох , ось Оу . 47. Напишите формулу для вычисления работы, совершаемой переменной силой на прямолинейном участке пути. 48. Что называется функцией двух переменных? Областью определения функции двух переменных? 49. Что называется частной производной функции двух переменных? Каков ее геометрический смысл? 50. Дайте определение точки экстремума функции двух переменных. 51. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции двух переменных. 52. Сформулируйте достаточные условия существования экстремума функции двух переменных. 5. Вопросы для подготовки к коллоквиуму по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

1. Дайте определение дифференциального уравнения. 2. Что такое порядок дифференциального уравнения? 3. Что называется решением дифференциального уравнения? Что такое общее решение дифференциального уравнения? Частное решение? 4. Дайте определение уравнения с разделяющимися переменными. 5. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. 6. Как решаются дифференциальные уравнения следующего вида: а) у ′′ = f ( x) ; б) y ′′ = f ( x, y ′) ; в) y ′′ = f ( y, y ′) ?

112

7.Приведите примеры использования дифференциальных уравнений в физике, химии, биологии. 6. Вопросы для подготовки к коллоквиуму по теме «Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Что является предметом теории вероятностей? 2. Что называется событием? 3. Дайте определение события: а) случайного; б) достоверного; в) невозможного. 4. Какие события называются совместными, несовместными, равновозможными, образующими полную группу, противоположными? Приведите примеры. 5. Что называется относительной частотой события? Какие свойства относительной частоты вы знаете? 6. Дайте статистическое определение вероятности события. 7. Дайте классическое определение вероятности события. 8. Что такое сумма и произведение двух событий, нескольких событий? 9. Сформулируйте теорему сложения вероятностей в случае: а) событии совместны; б) события несовместны. 10. Дайте определение условной вероятности события. 11. Сформулируйте теорему умножения вероятностей и ее следствия. Запишите формулу полной вероятности события. Запишите формулу Байеса. 12. Запишите формулу Бернулли и определите смысл входящих в нее параметров. 13. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа. 14. Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа. 15. Сформулируйте определение случайной величины. 16. Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры случайных величин. 17. Дайте определение закона распределения случайной величины. 18. Что такое интегральная функция распределения случайной величины и каковы ее свойства? 19. Как определяется дифференциальная функция распределения, каковы ее свойства? 20. Дайте определение математического ожидания М ( Х ) случайной величины. Какая существует связь между математическим ожиданием и средним арифметическим возможных значений случайной величины?

113

21. Дайте определение дисперсии D( X ) и среднего квадратического отклонения σ (x ) . Какие свойства случайной величины характеризуют D( X ) и σ (x ) ? 22. Перечислите свойства М ( Х ) и D( X ) . 23. Дайте определение законов распределения: биномиального, Пуассона. 24. Дайте определение нормального закона распределения случайной величины. 25. Начертите кривую нормального распределения. 26. Как найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал? 27. Напишите формулу для определения вероятности попадания случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания. 28. Сформулируйте закон больших чисел. 29. Сформулируйте теорему Бернулли. В чем ее практическое значение? 30. Опишите этапы построения полигона. 31. Опишите этапы построения гистограммы. 32. Напишите формулы для вычисления числовых характеристик случайной величины по выборке. 7. Контрольные вопросы (1 семестр)

1. Понятие множества. Подмножество. Равенство множеств. Операции над множествами. 2. Понятие функции одной переменной. Сложная функция. Элементарные функции. 3. Основные способы задания функций. 4. Ограниченные и неограниченные функции. 5. Монотонные функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции. 6. Понятие числовой последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. 7. Понятие предела последовательности. 8. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. 9. Теоремы о пределах последовательностей. 10. Предел функции при x → x0 и при x → ∞ . Односторонние пределы. 11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 12. Теоремы о пределах функций. 13. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

114

14. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 15. Понятие матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема разложения. Обратная матрица. Ранг матрицы. 16. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения. 17. Метод координат. Системы координат а) на плоскости: прямоугольная декартова и полярная; б) в пространстве: прямоугольная декартова, цилиндрическая, сферическая. 18. Уравнение линии на плоскости. Прямая. Общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках. Уравнение пучка прямых. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой. 19. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. 20. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. 21. Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 22. Поверхности второго порядка: эллипсоид, цилиндрические поверхности, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус второго порядка. 23. Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Сложение векторов, вычитание векторов, умножение вектора на число. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по компонентам на координатные оси. 24. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов. 8. Контрольные вопросы (2 семестр)

1. Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Дифференциал. Касательная к графику функции и ее уравнение. 2. Правила дифференцирования. 3. Свойства дифференцируемых функций (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). 4. Правило Лопиталя.

115

5. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. 6. Монотонные функции. Условия возрастания и убывания функции на интервале. 7. Точки экстремума. Необходимое условие существования точки локального экстремума. Достаточные условия существования локального экстремума. 8. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. 9. Асимптоты графика функции. 10. Понятие функции двух переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии уровня. 11. Частные производные. Полное приращение функции двух переменных. Полный дифференциал. 12. Экстремумы функции двух переменных. 13. Скалярное поле. Градиент скалярного поля. Производная по направлению. 14. Первообразная функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенных интегралов. 15. Методы вычисления неопределенных интегралов (замена переменной и интегрирования по частям). 16. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. 17. Формула Ньютона-Лейбница. Метод интегрирования определенного интеграла по частям. Замена переменной в определенном интеграле. 18. Несобственные интегралы (интеграл от разрывной функции на конечном промежутке и интеграл от непрерывной функции на бесконечном промежутке). 19. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимые признаки сходимости рядов. Признаки сходимости положительных рядов. 20. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 21. Степенные ряды. Область сходимости. Разложение функций в степенные ряды. 22. Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка. Понятие решения. Общее решение, частное решение. Задача Коши. 23. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 24. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 25. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и неоднородные уравнения. Уравнения Бернулли.

116

26. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понятие решения. Общее и частное решение. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. 27. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. 28. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения второго порядка. 29. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение. 9. Контрольные вопросы (3 семестр) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Размещения. Перестановки. Сочетания. Случайное событие. Алгебра событий. Статистическое определение вероятности события. Классическое и геометрическое определения вероятности события. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Условная вероятность. Вероятность суммы, произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли (повторные независимые испытания). Дискретная случайная величина. Законы распределения. Числовые характеристики. 10. Непрерывная случайная величина. Законы распределения. Числовые характеристики. 11. Нормальный закон распределения. 12. Генеральная совокупность и выборка. 13. Дискретный вариационный ряд. Выборочная функция распределения. Числовые характеристики выборки. 14. Интервальный вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки. 15. Интервальное оценивание параметров нормального распределения.

117

Оглавление Введение ………………………………………………………………………….3 РАЗДЕЛ I. Учебная программа дисциплины «Математика»……………….…4 РАЗДЕЛ II. Методические рекомендации для преподавателя ……….………11 РАЗДЕЛ III. Методические указания для студентов………………………….41 РАЗДЕЛ IV. Материалы к промежуточной и итоговой аттестации………....103

118