Множества, события, вероятность (Основные структуры)

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО “Уральский государственный технический университет – УПИ” Радиотехнический...

Author: Ченцов А.Г.

9 downloads 189 Views 915KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО “Уральский государственный технический университет – УПИ”

Радиотехнический факультет Кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики Секция “Современная математика в инженерном образовании”

А.Г. Ченцов

MНОЖЕСТВА, СОБЫТИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ (ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ)

Екатеринбург 2005

Содержание Введение

4

1 Теоретико-множественное введение 2 Вещественные числа, конечные и счетные множества

7 50

3 Простейшие типы измеримых пространств и их применения для целей представления событий в задачах теории вероятностей 87 4 Счетно-аддитивные семейства

125

5 Вероятность (вводные замечания)

129

ДОБАВЛЕНИЕ

146

ПРИЛОЖЕНИЕ

162

Библиографический список

192

3

Введение В предлагаемой работе делается попытка систематизированного изложения некоторых конструкций, приводящих к исходным понятиям современной теории вероятностей, а именно, — к понятиям события и вероятности, как функции множеств. Эти понятия не являются в общем случае столь же простыми, как в задачах элементарной теории вероятностей (хотя и в задачах элементарной теории вероятностей использование этих важных понятий существенно проясняет, в целом ряде случаев, дело и дополняет интуитивные представления, а также конструкции, основанные на применении комбинаторики). Более того, здесь становится ощутимым и влияние положений общей теории множеств, что, в частности, проявляется в аксиоматических конструкциях теории вероятностей. Последние можно, по-видимому, ограничить сейчас аксиоматикой А.Н.Колмогорова, ориентированной на активное использование счетно-аддитивной меры и интеграла Лебега, и конечно-аддитивной версии теории вероятностей, которую можно, в частности, связать с исследованиями де Финетти. Разумеется, и в том, и в другом случаях речь идет о разделах теории меры: классической лебеговской и, соответственно, конечно-аддитивной теории меры. Нам представляются наиболее впечатляющими достижения классической колмогоровской теории вероятностей, которые, к тому же, нашли применения при исследовании актуальных инженерных задач. В то же время представляется целесообразным обсудить некоторые из этих основополагающих конструкций в сравнении с аналогичными конструкциями конечно-аддитивной теории вероятностей. В данной брошюре подобное сравнение невозможно реализовать по соображениям объема и достаточно сложных предваряющих конструкций. Среди последних следует указать теорию множеств, топологию, теорию линейных пространств, теорию булевых алгебр. Мы лишены, по целому ряду причин, возможности оперировать достаточно богатым математическим аппаратом, поскольку его изложение стало бы, по-видимому, своеобразной доминантой, в то время как настоящая брошюра направлена на изложение лишь начальных сведений, реализуемых, однако, в терминах достаточно строгих теоретикомножественных построений. Мы не следуем здесь, однако, изложению основных понятий в виде аксиоматической теории по соображениям методического характера. Прежде всего, такое изложение вызывало бы, на наш взгляд, затруднения у читателя (впрочем, можно адресовать заинтересованного читателя к специализированной литературе [1]) С другой сторо4

ны, такое изложение, не используемое даже в монографиях и учебниках по конкретным разделам математики (обычно там используется лишь наивная теория множеств), едва ли оказалось бы полезным в прикладных исследованиях, базирующихся на вероятностных методах. Тем не менее, совсем игнорировать проблемы, вызвавшие к жизни конструкции аксиоматической теории множеств, на наш взгляд, нельзя. Известные парадоксы теории множеств [1] подтверждают этот вывод. Речь идет прежде всего об определении множеств в терминах свойств и о возможном появлении (здесь) “совокупностей”, которые множествами быть не могут. Приходится соблюдать известную осторожность. В этой связи далее достаточно подробно обсуждаются такие важные понятия как множество, семейство, отношение, функция и т.д. Внимание читателя акцентируется (по нашему замыслу) на моментах идейного характера при одновременном использовании достаточно развитой системы обозначений. Как и в [1, c. 64], мы придерживаемся здесь точки зрения, при которой осуществляется систематизация интуитивного смысла рассматриваемых понятий. Делать это следует весьма скрупулезно. К тому же мы имеем вполне определенную конкретную цель, связанную с выходом на базовые понятия теории вероятностей. Среди упомянутых понятий следует выделить события, интерпретируемые здесь в виде измеримых множеств (хотя, конечно, возможен и другой взгляд). В этой связи принципиальным является то обстоятельство, что при фиксированном объемлющем множестве (пространство элементарных событий) не всякое его подмножество (п/м) может рассматриваться в виде события, т.е. допускается возможность появления “особых” множеств, составленных, тем не менее, из исходов некоторого гипотетического эксперимента; эти “особые” (неизмеримые) множества не являются событиями. В этой связи, часть, ориентированная на теорию множеств, должна подготовить (в определенной степени) читателя к вышеупомянутому феномену. Последний обсуждается в основной части брошюры; там же приведены простейшие свойства, связанные с вероятностными пространствами в их современном толковании; рассматриваются примеры. Две упомянутые части “разделены” материалом, на первый взгляд совсем понятным; имеются в виду сведения о вещественных числах. Читатель может, в принципе, пропустить этот раздел при первом чтении, полагая, что знакомые ему по школьной программе понятия будут достаточны для знакомства с первичными (по сути дела) конструкциями общей теории вероятностей; последняя, как известно, является частью теории меры. 5

Однако, для других читателей столь резкий переход от весьма общих построений теории множеств с элементами математической логики к весьма конкретному направлению может показаться неестественным; у них может возникнуть желание осознать и знакомые, в том числе, понятия на “теоретико-множественном” уровне. Этим читателям полезно заглянуть в раздел 2. Приложение содержит доказательства основных положений, приведенных в разделе 1 в виде сводки понятий (речь идет о проблеме корректного определения таких объектов как область определения и область значений отношения, свойств суперпозиции отношений, отношения, обратного к заданному, и т.п.). Кроме того, здесь сообщаются некоторые сведения о кольцах и σ-кольцах множеств, используемых в общей теории меры. Отметим, наконец, раздел, названный добавлением и посвященный некоторым представлениям измеримых структур в терминах семейств множеств, замкнутых относительно счетных объединений и счетных пересечений, а также в терминах монотонных семейств. Рассматриваются σ-алгебры борелевских множеств; в этой связи кратко обсуждаются некоторые понятия общей топологии, связанные, в частности, с проблемой метризуемости топологических пространств. Автор выражает глубокую благодарность учителю — Николаю Николаевичу Красовскому. На протяжении многих лет автор имел неоценимую возможность общения с Николаем Николаевичем, ощущал его неизменную поддержку. При оформлении данной работы большую помощь оказали сотрудники отдела управляемых систем Института математики и механики УрО РАН. Особенно много сделали Л.Н.Коротаева и С.И.Морина. Автор выражает им свою глубокую признательность. Он благодарит также Е.Г.Пыткеева за обсуждение данной работы. Далее используются некоторые сокращения: ИП — измеримое пространство, к.-а. — конечно-аддитивная, КАВ — конечно-аддитивная вероятность, ПБ — произвольная буква, п/м — подмножество, с.-а. — счетно-аддитивная, ТВ — теория вероятностей, ТМВ — теоретико-множественное введение, ТП — топологическое пространство, 6

ФМ — функция множеств. 1. Теоретико-множественное введение Данное теоретико-множественное введение (ТМВ) имеет целью изложение простейших конструкций теории множеств; мы стремимся также наметить некоторую систему обозначений, связанных с этими конструкциями. Основные операции, обычно выполняемые над множествами, мы полагаем известными [1]: речь идет об объединении, пересечении, разности множеств и пр. Разумеется, все эти понятия важны, но в их истолковании мы следуем традиционным для современной математической литературы конструкциям и, по соображениям объема, их подробное изложение, как правило, опускаем. В то же время некоторые детали мы напомним, ориентируя читателя на последующую работу с множествами, семействами множеств, функциями в достаточно строгом понимании. Мы рассматриваем далее объекты и свойства, которыми могут обладать те или иные объекты. Среди всех свойств выделяем особо свойство объекта быть множеством; этим объектам, т.е. множествам, мы приписываем возможность содержать какие-то другие объекты в виде своих элементов (точек). В то же время мы допускаем к рассмотрению объекты, не являющиеся множествами. В дальнейшем выражение (ob)[x], где x — произвольная буква (ПБ), заменяет фразу “x есть объект”. С этим и другими выражениями далее сопрягаются кванторы и связки: ∀ (для всякого), ∃ (существует), ∃! (существует и единственно), ¬ (не), ⇒ (влечет), ⇔ (эквивалентно), ∈ (принадлежит, является элементом), & (и), ∨ (или); def следует читать “по определению”, 4

= обозначает равенство по определению. Полезно отметить, что в формулах двоеточие заменяет фразу “такой (такое, такая), что”. Как обычно, для обозначения равенства используется символ = ; именно, если (ob)[α] и (ob)[β], то выражение α = β означает, что α есть тот же самый объект, что и β. Иными словами, в нашем случае объекты α и β равны, совпадают. Разумеется, в качестве α и β могут использоваться множества; этот важный случай будет специально оговорен ниже, хотя на смысловом уровне мы отмечаем его и сейчас: два множества, составленные из одних и тех же элементов, совпадают. Это требование (одна из аксиом теории множеств; [1, c. 50]) является исключительно важным. В частности, во многих последующих построениях оно обеспечивает единственность 7

множества, конструируемого на основе тех или иных посылок содержательного характера. Как уже отмечалось, мы будем избегать применения термина “аксиома” (теории множеств). Кстати, наши последующие цели таковы, что использование всех аксиом современной теории множеств нам и не потребуется. Тем более, мы не стремимся ограничиваться применением минимального набора аксиом. В ряде случаев, когда тот или иной факт зависим от сделанных ранее предположений, но проведение должных выкладок осложняет изложение материала, мы будем вводить соответствующее предположение о существовании и свойствах требуемых объектов. Упомянутое сейчас требование относительно равенства двух множеств, строго говоря, должно рассматриваться как аксиома. Ниже будут отмечены и некоторые другие требования. В этой связи полезно следующее замечание. Создание теории множеств неразрывно связано с работами Г.Кантора, опубликованными во второй половине XIX века. Одна из целей, преследуемых Г.Кантором, состояла в осуществлении описания множества в терминах заданного первоначально свойства тех или иных объектов (более строгая постановка — в [1, c. 68, 69]). Речь идет о выделении множества {x : . . .} всех объектов, для каждого из которых верно . . . (разумеется следовало бы уточнить само понятие свойства . . ., допускаемого в вышеупомянутом выражении). Позднее в рамках упомянутой (наивной) теории множеств стали возникать парадоксы или антиномии. Сейчас ограничимся кратким описанием антиномии Б.Рассела (1903 год). Итак, пусть рассматривается следующее свойство объектов, обозначаемое через α: объект X обладает свойством α, если он является множеством, для которого ¬(X ∈ X) (иными словами, в рассматриваемом случае X — множество, не являющееся элементом самого себя). Попытаемся представить себе множество R всех объектов X, обладающих свойством α; последнее высказывание записываем сейчас в виде α[X] : X есть объект, удовлетворяющий свойству α. 4

Итак, мы оперируем с R = {x : α[x]}, как с множеством. Точнее, мы полагаем, что R — множество. Тогда непременно (α[R]) ∨ (¬α[R]). Если допустить α[R], то, по определению R, имеем R ∈ R (в самом деле, R есть точка множества {x : α[x]}), что противоречит определению α: α[R] означает, что R не есть элемент самого себя, т.е. не есть элемент R. 8

Остается возможность ¬α[R], т.е. множество (по нашему предположению) R свойством α не обладает и, стало быть, ¬(R ∈ {x : α[x]}). Но тогда ¬(R ∈ R) и, как следствие, имеем α[R], что противоречит нашему предположению. Мы видим, что и последняя возможность не может быть реализована при нашем предположении о том, что R — множество. Полученное противоречие показывает, что это предположение неверно и R множеством быть не может. Итак, определяя множества посредством тех или иных свойств, следует соблюдать известную осторожность, которую мы и постараемся отразить в настоящем ТМВ. Сейчас отметим только, что преодоление трудностей типа антиномии Б.Рассела требует аксиоматизации самой теории множеств. Две наиболее известные схемы такого рода суть аксиоматика Цермело-Френкеля и аксиоматика Геделя-Бернайса-фон Неймана. В рамках последней допускается образование, на основе свойств, совокупностей (классов) типа R, не являющихся множествами; в частности, R — класс Рассела, не являющийся множеством. Мы будем ориентироваться, однако, на другую (используемую в аксиоматике Цермело-Френкеля) конструкцию, в рамках которой совокупности, подобные R, попросту не рассматриваются. При этом образование множества на основе свойства осуществляется лишь в “усеченном” виде, т.е. в пределах некоторого заранее выбранного множества; подробнее см. в [1]. В то же время полезно заметить, что само понятие множества для нас является по сути дела неопределимым. Мы в значительной мере находимся здесь на интуитивных позициях, отождествляя множества с теми или иными интерпретируемыми совокупностями. Соглашения, накладываемые при этом, имеют характер своеобразных мер предосторожности, направленных на исключение парадоксов. В частности, это будет сделано и в части определения множеств посредством свойств тех или иных объектов. Вообще же следует отметить, что необходимые в столь общей ситуации соглашения (восходящие к аксиомам “строгой” теории множеств) касаются главным образом операций над множествами. Следуя [1, c. 64], отметим, что в данном случае цель (введения аксиом) состоит не в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее в том, чтобы систематизировать интуитивный смысл этих понятий. Используем, в частности, выражения ∀x (ob)[x] ,

∃x (ob)[x] , 9

∃!x (ob)[x]

(1.1)

для замены высказываний: “для всякого объекта x”, “существует объект x” и “существует единственный объект x” соответственно. Разумеется, в (1.1) вместо x может использоваться ПБ. Среди всевозможных объектов для нас особенно важны множества. Выражение S[X] заменяет фразу “X есть множество”; вместо X можно использовать ПБ. Выражения ∀X S[X] ,

∃X S[X] ,

∃!X S[X]

(1.2)

заменяют соответственно высказывания “для всякого множества X”, “существует множество X”, “существует единственное множество X”; вместо X допускаем использование ПБ. Если (ob)[x] и S[X], то, как обычно, выражение x ∈ X заменяет высказывание “x есть элемент (точка) множества X”. Постулируем, что ∀A S[A] ∀B S[B] def (A ⊂ B) ⇔ (a ∈ B ∀a ∈ A). В связи с последней формулой уместно сделать следующее замечание, касающееся также и других подобных соотношений, используемых в дальнейшем. Вышеупомянутое соотношение, определяющее вложение одного множества в другое, и последующие формулы такого рода разделяются каждая на две части, в первой из которых (предваряющей) говорится об условиях, при которых утверждается справедливость того или иного свойства (в этой части используются кванторы для ранее упоминаемой замены словесных выражений), а во второй, выносимой обычно в отдельную строку, приводится сама формулировка данного свойства. Возникающий при этом разрыв сплошного текста формулы играет роль “недостающего” разделяющего знака. Вернемся к общему изложению. Равенство множеств подчинено, как уже упоминалось, требованию: ∀U S[U ] ∀V S[V ] (U = V ) ⇔ ((U ⊂ V ) & (V ⊂ U )). В двух последних соотношениях использовалось (1.2). В аналогичном качестве будет использоваться и соотношение (1.1). Конечно же, ∀x (ob)[x] ∀y (ob)[y] def (x 6= y) ⇔ (¬(x = y)). Если (ob)[x] и S[X], то полагаем def (x 6∈ X) ⇔ (¬(x ∈ X)). 10

Итак, 6∈ есть отрицание ∈. Мы выделяем среди всех множеств пустое множество ∅: S[∅] и при этом ∀x (ob)[x] x 6∈ ∅. Итак, ∅ есть множество (существование его постулируется), не содержащее никаких элементов и определяемое единственным образом. Полагаем ∀X S[X] def (S[X 6= ∅]) ⇔ (∃x (ob)[x] : x ∈ X). Итак, выражение S[X 6= ∅], где вместо X может использоваться ПБ, заменяет фразу “X есть непустое множество”. Выражения ∀X S[X 6= ∅] ,

∃X S[X 6= ∅] ,

∃!X S[X 6= ∅]

заменяют соответственно высказывания: “для всякого непустого множества X”, “существует непустое множество X”, “существует единственное непустое множество X”; здесь мы действуем по аналогии с (1.1), (1.2), допуская использование (вместо X) ПБ. Термин ПБ понимается далее достаточно широко: это может быть буква какого-либо алфавита или символ типа ≤, ≺, v, ∠ и т.п. Заметим, что, в строгом смысле, понятие множества для нас является первичным и, как следствие, неопределимым. Мы постулируем, однако, далее целый ряд требований, касающихся взаимосвязи различных типов множеств. В этой части мы следуем содержательному способу изложения, отсылая более заинтересованных читателей к [1]. Сейчас мы напомним совсем кратко ряд простейших соглашений такого рода. Объединение двух множеств: если S[A] и S[B], то def S[A ∪ B] такое, что (A ⊂ A ∪ B) & (B ⊂ A ∪ B) & ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∀x ∈ A ∪ B); подчеркнем, что множество A∪B (объединение A и B), определяемое тремя последними свойствами, единственно. Разность двух множеств: если S[U ] и S[V ], то def S[U \ V ] такое, что (∀x ∈ U ((x 6∈ V ) ⇒ (x ∈ U \ V ))) & ((y ∈ U ) & (y 6∈ V ) ∀y ∈ U \ V ); множество U \ V (существование которого постулируется), определяемое единственным образом, именуется разностью множеств U и V . Если множество V содержится в U , т.е. V ⊂ U , то U \ V называют также дополнением V до множества U . 11

Вообще, если S[A] и S[B], причем A ⊂ B, то A называют п/м B. Если S[P ] и S[Q], то def S[P ∩ Q] такое, что (∀x (ob)[x] (((x ∈ P ) & (x ∈ Q)) ⇒ (x ∈ P ∩ Q))) & & (P ∩ Q ⊂ P ) & (P ∩ Q ⊂ Q) ; множество P ∩ Q именуют пересечением множеств P и Q (последние три условия определяют данное множество-пересечение однозначно). Разумеется, ∀U S[U ] (ob)[U ]. Однако, мы допускаем использование объектов, не являющихся множествами (например, удобно следовать этому соглашению в отношении натуральных чисел, не рассматривая их как множества и памятуя, что “Господь Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человеческих”; помимо всего прочего это соглашение поможет избежать двусмысленности в традиционных обозначениях). Если (ob)[x], то,как обычно, S[{x} 6= ∅] и (x ∈ {x}) & (∀y ∈ {x} : x = y); именуем {x} одноэлементным множеством, содержащим x. Разумеется, существование множества {x} мы постулируем. Полагаем ∀u (ob)[u] ∀v (ob)[v] 4

{u ; v} = {u} ∪ {v}

(1.3)

(напомним, что объединение, пересечение и разность множеств мы полагаем известными). В (1.3) введена неупорядоченная пара объектов. Мы полагаем, что ∀u (ob)[u] ∀v (ob)[v] 4

(u , v) = {{u} ; {u; v}} .

(1.4)

Тем самым введена упорядоченная пара (объектов). В представлении (1.4) (для упорядоченной пары) существенно только следующее свойство. Предложение 1.1. ∀x (ob)[x] ∀y (ob)[y] ∀u (ob)[u] ∀v (ob)[v] ((x, y) = (u, v)) ⇔ ((x = u) & (y = v)) . Рассмотрим доказательство этого интуитивно ясного свойства (впрочем, эту “ясность” создают скорее наши привычки и форма записи в левой части (1.4)). Пусть (ob)[µ], (ob)[ν], (ob)[ε] и (ob)[δ]. При этом (µ = ε) ⇔ ({µ} = {ε}). 12

Кроме того, имеем с очевидностью, что (ν = δ) ⇔ ({ν} = {δ}). Два последних свойства непосредственно следуют из вышеупомянутого определения одноэлементного множества (синглетона {x}, где (ob)[x]). Напомним, что ³ ´ ³ ´ {µ; ν} = {µ} ∪ {ν} & {ε; δ} = {ε} ∪ {δ} . Тогда, в частности, у нас имеет место ³ ´ (µ = ε) & (ν = δ) ⇒ ({µ; ν} = {ε; δ}). Наконец, учитывая первое свойство эквивалентности в данном доказательстве, имеем ³ ´ ³ ´ (µ = ε) & (ν = δ) ⇒ {{µ}; {µ; ν}} = {{ε}; {ε; δ}} . Однако (µ, ν) = {{µ}; {µ; ν}} и (ε, δ) = {{ε}; {ε; δ}}, тогда ³ ´ ³ ´ (µ = ε) & (ν = δ) ⇒ (µ, ν) = (ε, δ) . Данное свойство на самом деле очевидно и мы воспроизвели детали рассуждения лишь в методических целях, используя, в частности, соглашение, касающееся равенства двух множеств. Допустим теперь, что (µ, ν) = (ε, δ). Здесь мы снова имеем равенство двух множеств. Возвращаясь к (1.4), мы получаем ³ ´ ³ ´ {µ} ∈ (ε, δ) & {µ, ν} ∈ (ε, δ) . Используя первое утверждение и (1.4), мы получаем, что непременно ({µ} = {ε}) ∨ ({µ} = {ε; δ}), в то время как второе означает, что ({µ; ν} = {ε}) ∨ ({µ; ν} = {ε; δ}). Точно так же с учетом (1.4) имеем из основного предположения ³ ´ ³ ´ {ε} ∈ (µ, ν) & {ε; δ} ∈ (µ, ν) . 13

Первое свойство означает здесь, что ({ε} = {µ}) ∨ ({ε} = {µ; ν}), а второе приводит к суждению ({ε; δ} = {µ}) ∨ ({ε; δ} = {µ; ν}). При этом, конечно, имеет место (µ = ν) ∨ (µ 6= ν). Рассмотрим сначала возможность µ = ν, для которой {µ} = {ν} и {µ; ν} = {µ}. Из свойства синглетона {ε} получаем теперь {ε} = {µ} и, стало быть, ε = µ. Но из аналогичного свойства {ε; δ} имеем (в нашем случае µ = ν) совпадение {ε; δ} = {µ}, что означает, в частности, равенство δ = µ и, стало быть, δ = ν. Итак, в нашем простейшем случае µ = ν имеют, в частности, место равенства µ = ε и ν = δ. Пусть теперь µ 6= ν. Отметим простейшие следствия. Прежде всего {µ} 6= {ε; δ}. В самом деле, пусть от противного {µ} = {ε; δ}, что означает (ε = µ) & (δ = µ). Тогда {ε} = {δ} и, как следствие, множество {ε; δ} = {ε} совпадает с {µ}. Но тогда по ранее упомянутому свойству {µ; ν} имеем {µ; ν} = {ε} и, как следствие, µ = ν, что невозможно. Полученное противоречие означает требуемое свойство {µ} 6= {ε; δ}. По ранее упомянутому свойству {µ} имеем теперь равенство {µ} = {ε} и, стало быть, µ = ε. Привлекая свойства {µ; ν}, имеем ({µ; ν} = {µ}) ∨ ({µ; ν} = {ε; δ}); в этом соотношении первое положение невозможно (при его справедливости мы имели бы µ = ν) и, стало быть, непременно {µ; ν} = {ε; δ}, 14

где µ = ε. Тогда ν ∈ {ε; δ}, что означает (ν = ε) ∨ (ν = δ). Однако, в нашем случае (ν = ε) ⇒ (µ = ν) и, стало быть, ν 6= ε. Остается единственная возможность ν = δ. Итак, (µ = ε) & (ν = δ) во всех возможных случаях, реализующихся при совпадении (µ, ν) = (ε, δ). Мы, стало быть, имеем свойство ³ ´ ³ ´ (µ, ν) = (ε, δ) ⇒ (µ = ε)&(ν = δ) . Поскольку ранее было установлено, что из (µ = ε) & (ν = δ) следует (µ, ν) = (ε, δ), имеем эквивалентность ³ ´ ³ ´ (µ = ε)&(ν = δ) ⇔ (µ, ν) = (ε, δ) . Поскольку выбор µ, ν, ε, δ был произвольным, то упомянутое основное свойство упорядоченных пар полностью доказано. 2 Отметим, что упомянутое свойство упорядоченных пар подобно свойству плоских векторов: два таких вектора совпадают тогда и только тогда, когда у них совпадают одноименные проекции. Мы учтем эту аналогию в последующих обозначениях, сохраняя, однако, строгое толкование свойства, связанного с (1.4). Отметим одно очевидное, но полезное свойство: ∀A S[A] ∀B S[B] A ∩ B = A \ (A \ B). Из этого свойства, кстати, следует, что факт существования пересечения любых двух множеств следует на самом деле из факта существования, для любых двух множеств, их разности. Кроме того, ∀A S[A] ∀B S[B] ∀C S[C] 4

A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Проверка последнего равенства очевидна. Наконец, напомним важное понятие декартова произведения двух множеств: если S[A] и S[B], то S[A × B] и при этом ³ ´ (a, b) ∈ A × B ∀a ∈ A ∀b ∈ B & 15

³ ´ & ∀z ∈ A × B ∃x ∈ A ∃y ∈ B : z = (x, y) ;

(1.5)

(1.5) означает фактически, что A×B = {(u, v) : u ∈ A, v ∈ B}. Существование данного множества мы сейчас постулируем. Однако, в дальнейшем, после введения нужных вариантов семейства множеств (к определению семейства мы сейчас приступаем) мы, в порядке исключения, докажем существование множества A × B; единственность будет следовать из соглашения (а, по сути, из аксиомы) относительно равенства двух множеств. Итак, прежде всего, рассмотрим важное для нас (в том числе и с точки зрения конструкций теории вероятностей) понятие семейства. Множество, все элементы которого сами являются множествами, называем семейством. Условимся о соглашении: выражения (F am)[α] и (F am)[α 6= ∅] заменяют высказывания: “α — семейство” и “α — непустое семейство”; как и ранее, вместо α можно использовать ПБ. Действуя в духе (1.2), условимся о соглашениях: выражения ∀β (F am)[β] ,

∃β (F am)[β]

заменяют высказывания “для всякого семейства β” и “существует семейство β” соответственно; вместо β может использоваться ПБ. Аналогичным образом, выражения ∀τ (F am)[τ 6= ∅] ,

∃τ (F am)[τ 6= ∅]

заменяют фразы “для всякого непустого семейства τ ” и “существует непустое семейство τ ” соответственно; вместо τ допускается использование ПБ. Заметим, что ∀X (F am)[X ] h [ i S X ; X∈X

(существование данного множества-объединения постулируется) речь идет об объединении всех множеств произвольного семейства и, если последнее пусто, то упомянутое объединение также пусто. Напомним теперь основные свойства последнего множества (объединение множеств произвольного семейства): если (F am)[X ], то ³ ´ ³ ´ [ [ U⊂ X ∀U ∈ X & ∀x ∈ X ∃V ∈ X : x ∈ V . X∈X

X∈X

Разумеется, упоминаемое ранее объединение двух множеств есть частный случай данной весьма общей операции. Кроме того, ∀Y (F am)[Y 6= ∅] h\ i S Y ; Y ∈Y

16

здесь рассматривается пересечение всех множеств непустого семейства. Пересечение (всех) множеств пустого семейства не определено. Напомним основные свойства множества-пересечения: если (F am)[Y 6= ∅], то ³ ³\ ´ ³ ³ \ ´´´ Y ⊂ U ∀U ∈ Y & ∀x (ob)[x] (x ∈ V ∀V ∈ Y) ⇒ x ∈ Y . Y ∈Y

Y ∈Y

Подчеркнем, что две последние операции (объединения и пересечения) определяют по заданному семейству соответствующее новое множество (объединение или пересечение всех множеств семейства) единственным образом. Если S[U ], то через P(U ) и P 0 (U ) обозначаем соответственно семейства всех и всех непустых п/м множества U ; cуществование семейства P(U ) постулируем (см. [1, c.60]), P 0 (U ) = P(U ) \ {∅}. Если (ob)[x], то def ³ ´ ³ ´ (pair)[x] ⇔ ∃u (ob)[u] ∃v (ob)[v] : x = (u, v) . (1.6) В (1.6) введено специальное выражение для обозначения упорядоченной пары как целого посредством одной буквы. Выражения ∀z (pair)[z] , ∃z (pair)[z] , ∃!z (pair)[z] заменяют соответственно фразы: “для всякой упорядоченной пары z”, “существует упорядоченная пара z”, “существует единственная упорядоченная пара z”. Если S[A] и имеется некоторое свойство p , факт выполнения которого для того или иного объекта a обозначается сейчас как p[a], то S[{x ∈ A | p[x]}] (вместо x можно использовать ПБ), элементами которого являются те и только те точки множества A, для которых свойство p выполняется (является истинным). Полезно ввести еще специальное понятие отношения: если S[X], то def ³ ´ ³ ´ (REL)[X] ⇔ ∃P S[P ] ∃Q S[Q] : X ⊂ P × Q ; здесь (REL)[X] следует читать: X есть отношение. Кроме того, выражения ∀U (REL)[U ] , ∃U (REL)[U ] заменяют высказывания: “для всякого отношения U ” и “существует отношение U ” соответственно. Разумеется, ∀A S[A] ∀B S[B] ∀H ∈ P(A × B) (REL)[H]. 17

Мы рассмотрим сейчас простейший пример отношения, используя ранее упоминаемое понятие одноэлементного множества. В этой связи отметим, что, как легко видеть, в силу (1.5) ∀u (ob)[u] ∀v (ob)[v] S[{u} × {v}]. При этом, как легко проверить, имеет место следующее очевидное положение: если (ob)[u] и (ob)[v], то {(u, v)} = {u} × {v}. Как следствие, получаем, что ∀u (ob)[u] ∀v (ob)[v] (REL)[{(u, v)}]. Но в этом случае имеем (см. (1.6)) очевидное свойство: ∀z (pair)[z] (REL)[{z}].

(1.7)

В связи с понятием отношения уместно напомнить об его области определения и области значений. Если (REL)[P ], то def S[Dom(P )] такое, что ³ ´ ∃Y S[Y ] : P ⊂ Dom(P ) × Y & ³

´ & ∀H S[H] ((∃Y S[Y ] : P ⊂ H × Y ) ⇒ (Dom(P ) ⊂ H)) ; множество Dom(P ) называем областью определения отношения P . Обоснование вышеупомянутого свойства вынесено в приложение. По смыслу, Dom(P ) есть множество всех первых компонент упорядоченных пар, являющихся элементами отношения P . Эту идею мы развиваем последовательно в ближайшем изложении. Однако, предварительно мы отметим второе важное понятие — образ отношения. Более подробное обсуждение см. в [1, c. 72]. Для нас данное понятие является предваряющим по отношению к понятию функции. Последнюю будем определять как отношение специального вида, следуя конструкции Пеано. С другой стороны, и другие типы отношений нам потребуются ниже; так, например, мы рассматриваем отношения порядка и эквивалентности. В этой связи продолжим рассмотрение отношений общего вида. Если (REL)[P ] , то def S[Im(P )] такое, что ³ ´ ∃X S[X] : P ⊂ X × Im(P ) & 18

³ ´ & ∀H S[H] ((∃X S[X] : P ⊂ X × H) ⇒ (Im(P ) ⊂ H)) ; здесь Im(P ) мы называем областью значений P (образом P ). В содержательном отношении Im(P ) можно рассматривать как совокупность всех вторых компонент упорядоченных пар, являющихся элементами отношения P . Имеем ∀W (REL)[W ] ³ ´ W ⊂ Dom(W ) × Im(W ) & ³ ´ & ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ((W ⊂ X ×Y ) ⇒ ((Dom(W ) ⊂ X)&(Im(W ) ⊂ Y ))) . Мы получили, что область определения и область значений отношения определяют “наименьший прямоугольник”, еще содержащий данное отношение. Эти понятия применимы в силу (1.7) к упорядоченным парам. При этом в силу упомянутого ранее представления {(u, v)} = {u} × {v}, справедливого для любых двух объектов, имеем ∀z (pair)[z] ∃!x (ob)[x] : Dom({z}) = {x} . В этой связи используем соглашение: если (pair)[z], то def (ob)[pr1 (z)] такой, что Dom({z}) = {pr1 (z)} . (1.8) В (1.8), как и ранее, мы присваиваем имя объекту, определяемому единственным образом. Подобные соглашения используем и далее. В частности, по свойствам отношений ∀z (pair)[z] ∃!y (ob)[y] : Im({z}) = {y} . В этой связи используем прием, подобный (1.8). Именно, если (pair)[z], то def (ob)[pr2 (z)] такой, что Im({z}) = {pr2 (z)} .

(1.9)

С учетом (1.8), (1.9) и ранее упомянутых свойств одноэлементных множеств получаем ∀z (pair)[z] z = (pr1 (z), pr2 (z)) . Разумеется, мы вновь учли здесь ранее упоминавшееся представление одноэлементного множества, содержащего упорядоченную пару. Ясно, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀z ∈ X × Y ³ ´ ³ ´ pr1 (z) ∈ X & pr2 (z) ∈ Y & 19

³

´ & ∀x ∈ X ∀y ∈ Y ((z = (x, y)) ⇒ ((pr1 (z) = x) & (pr2 (z) = y))) . Данное свойство легко следует из предложения 1.1. Отметим одно удобное следствие: если (REL)[P ], то ³ ´ ³ ´ pr1 (z) ∈ Dom(P ) ∀z ∈ P & ∀x ∈ Dom(P ) ∃˜ z ∈ P : x = pr1 (˜ z) ; тем самым Dom(P ) характеризуется как множество всех объектов pr1 (z) при “переборе” z ∈ P . Далее, если (REL)[P ], то ´ ³ ´ ³ z ∈ P : y = pr2 (˜ z) ; pr2 (z) ∈ Im(P ) ∀z ∈ P & ∀y ∈ Im(P ) ∃˜ данное свойство означает на содержательном уровне следующее положение: Im(P ) есть множество всех объектов pr2 (z) при “переборе” z ∈ P . Итак, по существу мы имеем представления Dom(P ) = {pr1 (z) : z ∈ P } и

Im(P ) = {pr2 (z) : z ∈ P } ;

в этой связи см. конструкции [1, c. 72]. Смысл двух последних представлений уже обсуждался ранее. Напомним, что в дальнейшем используется традиционное для аксиоматики Цермело-Френкеля соглашение: если S[X], то через {x ∈ X | . . .} обозначается множество всех x ∈ X таких, что выполняется . . . ; разумеется, вместо x допустимо использовать ПБ. Существование упомянутого множества {x ∈ X | . . .} постулируется (см. [1, c.62]). В терминах данного представления мы можем (в порядке исключения) обсудить вопрос о сокращении числа сделанных ранее предположений относительно существования соответствующих множеств. Декартово произведение. Покажем, что декартово произведение двух множеств можно определить в терминах последнего соглашения и такого важного понятия как семейство всех п/м заданного множества (иными словами, мы могли бы не постулировать существование декартова произведения, а получить данное множество-произведение посредством выполнения некоторых построений). Итак, пусть S[A] и S[B]. Тогда S[A ∪ B]. При этом {x} ⊂ A ∪ B ∀ x ∈ A. Далее, в силу (1.3) {x; y} ⊂ A ∪ B ∀x ∈ A ∀y ∈ B. Иными словами, у нас {x} ∈ P(A ∪ B) ∀x ∈ A; кроме того, {x; y} ∈ P(A ∪ B) ∀x ∈ A ∀y ∈ B. Отметим теперь, что в силу (1.3), (1.4) для x ∈ A и y ∈ B (x, y) = {{x}; {x; y}} = {{x}} ∪ {{x; y}} ∈ P(P(A ∪ B)). 20

Как следствие, мы получаем теперь, что 4

C = {z ∈ P(P(A ∪ B)) | ∃x ∈ A ∃y ∈ B : z = (x, y)} есть множество: S[C]. По ранее установленному свойству упорядоченных пар (x, y), x ∈ A, y ∈ B, мы получаем, что (x, y) ∈ C ∀x ∈ A ∀y ∈ B . С другой стороны, по определению C имеем свойство ∀z ∈ C ∃x ∈ A ∃y ∈ B : z = (x, y) . С учетом (1.5) мы получили требуемое множество-произведение, т.е. C как раз и является множеством A × B (здесь еще раз следует напомнить о принципе определения равенства двух множеств, являющемся, строго говоря, аксиомой теории множеств; см. [1, c.59]). Пересечение всех множеств непустого семейства. Покажем, что пересечение всех множеств непустого семейства можно получить, используя операцию объединения (множеств того или иного семейства) и соглашение об определении множества в терминах свойства, применяемого к точкам некоторого объемлющего множества. Иными словами, существование множества-пересечения можно установить посредством теоремы [1, c.68]. Итак, пусть (F am)[Y 6= ∅]. Тогда, разумеется, S[Y 6= ∅]; S[Y ] ∀Y ∈ Y . Мы знаем уже, что S[

S

Y ]. Тогда для

Y ∈Y 4

P = {z ∈

[

Y | z ∈ U ∀U ∈ Y}

Y ∈Y

имеем: S[P]. Из определения P вытекает свойство: P ⊂ U ∀U ∈ Y . Пусть (ob)[x0 ], причем x0 ∈ V ∀V ∈ Y. Тогда, в частности, [ x0 ∈ Y; Y ∈Y

мы учитываем здесь свойство Y 6= ∅. Как следствие, получаем теперь x0 ∈ P. Стало быть, ∀x (ob)[x] (x ∈ V ∀V ∈ Y) =⇒ (x ∈ P) . 21

Мы установили, что множество T P обладает обоими свойствами, заложенными в определение множества Y . Последнее, стало быть, можно было Y ∈Y

бы определить в виде P , опираясь опять-таки на основополагающий принцип равенства двух множеств. Теперь мы вернемся к исследованию отношений, опираясь на правило определения множества в терминах свойства, восходящего к аксиоматике Цермело-Френкеля. Тогда ∀P (REL)[P ] −1 4

P = {z ∈ Im(P ) × Dom(P ) | (pr2 (z), pr1 (z)) ∈ P } . Тем самым определено отношение, обратное по отношению к заданному, ∀P (REL)[P ] ³ ´ ³ ´ −1 −1 Dom( P ) = Im(P ) & Im( P ) = Dom(P ) . Данное понятие мы, в частности, будем применять к функциям. Итак, среди всевозможных отношений выделяем функции. Если (REL)[P ], то def ³ ´ (F U N C)[P ] ⇔ (1.10) ³ ³ ´´ ⇔ ∀x ∈ P ∀y ∈ P (pr1 (x) = pr1 (y)) ⇒ (pr2 (x) = pr2 (y)) . Выражение (F U N C)[P ] означает: P есть функция (функция “вообще”, без указания множеств, в которых она действует; эти множества, однако, легко восстанавливаются по правилам, характеризующим область определения и область значений отношения). Мы допускаем использование пустой функции; именно, то, что (F U N C)[∅], следует из (1.10) и очевидного свойства ∅ = ∅ × ∅. Итак, для нас функция есть отношение со специальным свойством, определяемым правой частью (1.10). Выражения ∀P (F U N C)[P ] ,

∃P (F U N C)[P ] ,

∃!P (F U N C)[P ]

(1.11)

заменяют высказывания “для всякой функции P ”, “существует функция P ” и “существует единственная функция P ”. Из (1.10) легко следует, что ∀f (F U N C)[f ] ∀x ∈ Dom(f ) ∃! y ∈ Im(f ): (x, y) ∈ f .

(1.12)

Разумеется, в (1.11), (1.12) мы используем конструкции, применяемые ранее для отношений общего вида. С учетом (1.12) полагаем, что ∀f (F U N C)[f ] ∀x ∈ Dom(f ) def f (x) ∈ Im(f ): (x, f (x)) ∈ f . 22

(1.13)

В (1.13) мы имеем значение функции в произвольной точке ее области определения. Итак, если (F U N C)[f ] (т.е. f есть отношение, причем согласно (1.12) и (1.13) действие f на точки множества Dom(f ) сводится к правилу, когда x ∈ Dom(f ) преобразуется в f (x) ∈ Im(f ) на основе принципа, заложенного в (1.12), (1.13)), то, следовательно, само f можно рассматривать как правило f : Dom(f ) −→ Im(f ) . Этот взгляд на функции мы будем развивать и в дальнейшем. Заметим, что в (1.10) мы, по существу, используем определение Пеано. Если (REL)[P ] и (REL)[Q], то n 4 P ◦ Q = z ∈ Dom(Q) × Im(P ) | ∃x ∈ Im(Q) ∩ Dom(P ) : o ((pr1 (z), x) ∈ Q) & ((x, pr2 (z)) ∈ P ) .

(1.14)

В (1.14) введена суперпозиция двух отношений. Разумеется, (1.14) допустимо применять к функциям. В связи с (1.14) отметим, что ∀A (REL)[A] ∀B (REL)[B] ³ ´ Dom(B ◦ A) = Dom(A ∩ (Dom(A) × Dom(B))) & ³ ´ & Im(B ◦ A) = Im(B ∩ (Im(A) × Im(B))) . Доказательства упомянутых представлений вынесены в приложение. Ес4 ли (REL)[A] и (REL)[B], то для P = B ◦ A имеем (см. приложение) −1

−1

−1

P =A◦B . Еще одно “понятное” свойство (см. приложение): ∀A (REL)[A] ∀B (REL)[B] ∀C (REL)[C] A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C . В этой связи корректно определение: если 4

(REL)[A],

(REL)[B]

и

(REL)[C], то A ◦ B ◦ C = A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C. Здесь отмеченное ранее свойство ассоциативности суперпозиций позволяет экономить скобки. Прием такого рода будем использовать и в дальнейшем. При этом ∀u (F U N C)[u] ∀v (F U N C)[v] (F U N C)[v ◦ u] . 23

Доказательство вынесено в приложение. Этот частный случай заслуживает отдельного рассмотрения. При этом ∀u (F U N C)[u] ∀v (F U N C)[v] ∀x ∈ Dom(v ◦ u) u(x) ∈ Im(u) ∩ Dom(v) . (1.15) С учетом (1.13) ∀x ∈ Dom(v ◦ u)

и

(1.15)

имеем

∀u (F U N C)[u]

∀v (F U N C)[v]

v(u(x)) ∈ Im(v) .

(1.16)

Более того, (1.16) определяет значение функции-суперпозиции в точке ее области определения: ∀u (F U N C)[u] ∀v (F U N C)[v] ∀x ∈ Dom(v ◦ u) (v ◦ u)(x) = v(u(x)) ∈ Im(v ◦ u) . В связи с (1.15), (1.16) полезно вернуться к общему правилу построения суперпозиции произвольных отношений (1.14) и представлению области определения и области значений суперпозиции отношений. Теперь, возвращаясь к случаю отношений весьма общего вида, отметим, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] ∀G ∈ P(X × Y ) ∀H ∈ P(Y × Z) H ◦ G = {z ∈ X × Z | ∃y ∈ Y : ((pr1 (z), y) ∈ G) & ((y, pr2 (z)) ∈ H)} ∈ P(X × Z) . Кроме того, сейчас можно дополнить представление отношения, обратного заданному: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀G ∈ P(X × Y ) −1

G = {z ∈ Y × X | (pr2 (z), pr1 (z)) ∈ G} ∈ P(Y × X) .

Далее мы будем применять эти представления для частного случая функций (отношение, обратное функции, уже не всегда является функцией). Сейчас, однако, уместно коснуться традиционного определения функций, действующих из одного заданного множества в другое. Итак, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] 4

Y X = {f ∈ P(X × Y ) | (Dom(f ) = X) & ((F U N C)[f ])} .

(1.17)

В (1.17) определено множество всех функций, действующих из множества X в множество Y ; для таких функций f мы будем, конечно, использовать традиционную запись f : X −→ Y , 24

(1.18)

означающую, что f сопоставляет каждой точке множества X единственную точку множества Im(f ), Im(f ) ⊂ Y . Функция (1.18) оказывается также и функцией из X в множество Z, если Im(f ) ⊂ Z; допускается, что Y 6= Z. Вместе с тем в интерпретации (1.18) естественно говорить о значениях f , как о точках Y . Итак, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀x ∈ X f (x) ∈ Y ;

(1.19)

посредством (1.19) “оправдывается” традиционная запись (1.18). Отметим, что из (1.17) легко следует важное свойство суперпозиций: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] ∀g ∈ Y X ∀h ∈ Z Y h ◦ g ∈ ZX . Разумеется, ранее упоминавшееся представление значений функции-суперпозиции сохраняет силу: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] ∀g ∈ Y X ∀h ∈ Z Y ∀x ∈ X (h ◦ g)(x) = h(g(x)) ∈ Z . В последнем случае мы имеем, очевидно, правило x 7−→ h(g(x)) : X −→ Z , которое и обозначено через h ◦ g. Стало быть, здесь, по сути дела, речь идет о последовательном действии отображений (можно говорить и о произведении отображений): точку x ∈ X преобразует сначала функция g , доставляя точку g(x) ∈ Y , которая затем “подхватывается” функцией h; последняя и реализует (h ◦ g)(x) = h(g(x)) ∈ Z. Итак, по смыслу h ◦ g есть механизм типа g h X −→ Y −→ Z . Еще одна важная конструкция связана с построением сужения функции ∀f (F U N C)[f ] на п/м ее области определения. Полагаем ∀E ∈ P(Dom(f )) 4

(f | E) = f ∩ (E × Im(f )) .

(1.20)

Видно, что (1.20) определяет функцию: если (F U N C)[f ] и E ∈ P(Dom(f )), то (см. (1.10), (1.20)) (F U N C)[(f | E)] ; (1.21) при этом в условиях, определяющих (1.21), имеет место (Dom)((f |E)) = E. Замечание 1.1. Проверим последнее свойство. При этом согласно (1.20) (f | E) ⊂ E × Im(f ) 25

и в силу общих положений о свойствах отношений Dom((f | E)) ⊂ E .

(1.22)

Пусть u ∈ E. Тогда, в частности, имеем u ∈ Dom(f ) и, стало быть, ∃˜ z ∈ f : u = pr1 (˜ z) . Фиксируем z˜ ∈ f со свойством u = pr1 (˜ z ). Разумеется, (pair)[˜ z ] (см. (1.5) и определения отношения и функции). Стало быть, ³ ´ ³ ´ (ob)[pr1 (˜ z )] & (ob)[pr2 (˜ z )] . При этом pr2 (˜ z ) ∈ Im(f ) по ранее упомянутым свойствам множества Im(f ). Разумеется, z˜ = (u, pr2 (˜ z )) ∈ E × Im(f ) . С учетом (1.20) получаем z˜ ∈ (f | E), а тогда (см. (1.21)) u = pr1 (˜ z ) ∈ Dom((f | E)) . Итак, E ⊂ Dom((f | E)) и, стало быть, (см. (1.22)) Dom((f | E)) = E . 2 Значения функции (1.20) определяются совсем просто: они совпадают с соответствующими значениями f . Все же отметим данное свойство на более строгом уровне. Возвращаясь к (1.13) и (1.21), мы получаем ∀f (F U N C)[f ] ∀E ∈ P(Dom(f )) ∀x ∈ E (f | E)(x) ∈ Im((f | E)) . Более того, из (1.13) и (1.20) легко следует свойство: ∀f (F U N C)[f ] ∀E ∈ P(Dom(f )) ∀x ∈ E (f | E)(x) = f (x) .

(1.23)

Свойство (1.23) наглядно характеризует сужение функции как прежнее (т.е. соответствующее самой исходной функции) правило, но действующее на меньшей области определения. Если (F U N C)[Q] и E ∈ P(Dom(Q)), то множество 4

Q1 (E) = Im((Q | E)) ∈ P(Im(Q))

(1.24)

(множество (1.24) именуем образом множества E при действии Q) таково, что ³ ´ ³ ´ 1 1 Q(x) ∈ Q (E) ∀x ∈ E & ∀y ∈ Q (E) ∃x ∈ E : y = Q(x) . (1.25) 26

В (1.24), (1.25) мы столкнулись с очень интересным представлением, которое, впрочем, уже фактически возникало при обсуждении свойств области определения и области значения отношения. Именно, в силу (1.24), (1.25) мы получаем, что Q1 (E) есть множество всех точек Q(x), x ∈ E, т.е. Q1 (E) = {Q(x) : x ∈ E} .

(1.26)

Мы будем использовать представление (1.26) для более краткой записи, понимая при этом равенство (1.26) в смысле, определяемом (1.24), (1.25). Итак, образ множества определен у нас в терминах сужения (1.21); при этом, конечно, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀E ∈ P(X) (f | E) ∈ Y E .

(1.27)

Разумеется, к этому более “привычному” случаю вполне применимо (1.23); см. (1.17), (1.27). Итак, значения функции (1.27) определяются посредством (1.23). Из (1.17), (1.26) и (1.27) следует, в частности, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀H ∈ P(X) f 1 (H) = {f (h) : h ∈ H} ∈ P(Y ) .

(1.28)

Разумеется, в (1.28) мы следуем интерпретации (1.26), раскрываемой в (1.25). Напомним, что ∀α (F am)[α] S[α] . Семейства, стало быть, сами являются множествами и к ним применимо (1.17): в качестве Y достаточно использовать семейство. При этом (см. (1.19)), конечно, ∀X S[X] ∀Y (F am)[Y] ∀f ∈ Y X (F am)[Im(f )] . Как следствие, ∀X S[X] ∀Y (F am)[Y] ∀f ∈ Y X ³[ ´ [ [ 4 Y . f (x) = L ∈P x∈X

(1.29)

Y ∈Y

L∈Im(f )

Разумеется, по самому смыслу операции объединения, для (1.29) мы имеем следующее очевидное представление: если S[X], (F am)[Y] и f ∈ Y X , то ³ ´ ³ ´ [ [ f (u) ⊂ f (x) ∀u ∈ X & ∀y ∈ f (x) ∃v ∈ X : y ∈ f (v) ; x∈X

x∈X

27

стало быть, (1.29) — множество всех объектов, каждый из которых является элементом множества f (x) при некотором x ∈ X. В связи с (1.17) и (1.29) рассмотрим одну полезную конструкцию, учитывая, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀H ∈ P(X) Y H ∈ P(P(X × Y )) . (1.30) Попробуем зафиксировать в (1.30) множества X и Y и изменять при этом H. Мы должны получить при этом семейство функций с различными областями определения. Проверим корректность соответствующего определения, полагая ∀X S[X] ∀Y S[Y ] 4

AX,Y = {E ∈ P(X)×P(P(X ×Y )) | ∃H ∈ P(X) : E = (H, Y H )} . (1.31) Мы получили в (1.31) один весьма специальный вариант отношения. Более того, мы имеем в (1.31) функцию: если S[X] и S[Y ], то AX,Y ∈ P(P(X × Y ))P(X) и при этом ∀H ∈ P(X) AX,Y (H) = Y H ; разумеется, значениями функции (1.31) являются множества, т.е. мы имеем возможность применить (1.29). Действительно, если S[X] и S[Y ], то (F am)[Im(AX,Y )] и, в полном соответствии с (1.29), полагаем [ [ H 4 Y = AX,Y (H) ∈ P(P(X × Y )) ; H∈P(X)

(1.32)

H∈P(X)

в связи с (1.32) полезно напомнить ранее упоминавшееся представление множества (1.29): ³ ´ [ U Y ⊂ AX,Y (H) ∀U ∈ P(X) & H∈P(X)

³ & ∀M ∈

[

AX,Y (H) ∃V ∈ P(X) : M ∈ Y

V

´ .

(1.33)

H∈P(X)

Итак, (1.33) мотивирует обозначение в левой части (1.32): семейство (1.32) есть объединение всех семейств Y H , H ∈ P(X). Иными словами, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] h [ i H (F am) Y . H∈P(X)

28

С учетом (1.33) имеем при этом свойства: если S[X] и S[Y ], то h [ i H Y S H∈P(X)

такое, что справедливо ³ YU ⊂

[

Y

H

´ ∀U ∈ P(X) &

H∈P(X)

³ & ∀f ∈

[

Y

H

∃V ∈ P(X) :

f ∈Y

V

´ ;

H∈P(X)

мы повторили здесь (в естественных обозначениях) положение (1.33). В этой связи полезно отметить, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀H ∈ P(Y ) HX ⊂ Y X .

(1.34)

Свойство (1.34) используется обычно в “конкретной” математике без дополнительных оговорок. Например, если в качестве X и Y использовать вещественную прямую, а в качестве H — отрезок [−1, 1], то функция со значениями sin(x), где x — вещественное число, рассматривается и как функция из Y X , и как функция из H X . Можно проверить, что (см. (1.10), (1.17)) ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀g ∈ Y X (f = g) ⇐⇒ (f (x) = g(x) ∀x ∈ X) . Мы имеем здесь удобный для проверки признак совпадения двух функций: функции f и g совпадают, если при действии на любую точку из множества X (а это множество — их общая область определения) они доставляют один и тот же результат. Полезно также отметить простую конкретизацию положений, связанных с (1.10) и (1.17); именно, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀x ∈ X ³ ´ ³ ´ (x, f (x)) ∈ f & ∀y ∈ Y (((x, y) ∈ f ) =⇒ (y = f (x))) . Подчеркнем, что мы следуем здесь (1.13) в определении значения функции в точке ее области определения; разумеется, в случае, когда S[X], S[Y ], f ∈ Y X и x ∈ X, мы обязаны различать f (функция “как целое”) и f (x) ∈ Y (значение функции f в точке x). B связи с последним представлением заметим, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] Y X = {f ∈ P(X × Y ) | ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y : (x, y) ∈ f } . 29

(1.35)

Для Y X , где X и Y — множества, будем иногда использовать в содержательных рассуждениях обозначение {X −→ Y }. Тем самым подчеркивается, что речь идет о множестве функций, действующих из одного множества в другое. К самим же функциям — элементам такого рода множеств — мы относимся как к правилам, сопоставляющих каждой точке первого множества (области определения) единственную точку второго множества. Отметим еще одно свойство, часто используемое в конкретных исследованиях: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] ³ ´ ³ ´ X ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y : (x, y) ∈ Z =⇒ ∃!g ∈ Y : (x, g(x)) ∈ Z ∀x ∈ X . (1.36) В самом деле, фиксируем S[X], S[Y ] и S[Z]. Пусть истинна посылка импликации (1.36), т.е. ∀x ∈ X ∃ ! y ∈ Y : (x, y) ∈ Z. Введем отношение 4

L = (X × Y ) ∩ Z ∈ P(X × Y ) . При этом ∀x ∈ X ∀y ∈ Y ((x, y) ∈ L) ⇐⇒ ((x, y) ∈ Z) . Учитывая предположение об истинности посылки (1.36) имеем теперь ∀x ∈ X ∃ ! y ∈ Y : (x, y) ∈ L . Из (1.35) следует теперь включение L ∈ Y X . Фиксируем u ∈ X и рассматриваем L(u) ∈ Y ; ясно, что (u, L(u)) ∈ L и, как следствие, (u, L(u)) ∈ Z. Поскольку выбор u был произвольным, то (x, L(x)) ∈ Z ∀x ∈ X . Итак, установлено существование требуемой функции. Пусть Λ ∈ Y X также обладает свойством: (x, Λ(x)) ∈ Z ∀x ∈ X. Покажем, что L = Λ. В самом деле, пусть x∗ ∈ X. Тогда Λ(x∗ ) ∈ Y и L(x∗ ) ∈ Y . При этом, по свойствам функций L и Λ , мы имеем включения ((x∗ , L(x∗ )) ∈ Z) & ((x∗ , Λ(x∗ )) ∈ Z) . Вместе с тем по предположению об истинности посылки в (1.36) имеем, что ∃ ! y ∈ Y : (x∗ , y) ∈ Z. Стало быть, L(x∗ ) = Λ(x∗ ). Поскольку выбор x∗ был произвольным, установлено, что L(x) = Λ(x) ∀x ∈ X . 30

Иными словами, L = Λ, ч.т.д. Требуемое свойство единственности установлено. Стало быть, установлено и следствие импликации (1.36). В (1.36) говорится о том весьма распространенном приеме введения функции, когда ее значения конструируются, исходя из некоторого свойства, которому всякий раз удовлетворяет ровно один элемент из предполагаемого множества значений. Конструкция (1.36) хорошо согласуется с “конкретизированным” определением (1.35) (см. здесь также (1.17)) множества всех функций, действующих из X в Y . Если (F U N C)[f ], то полагаем def ³ ´ ³ (F U N C)0 [f ] ⇐⇒ ∀x1 ∈ Dom(f ) ∀x2 ∈ Dom(f ) ´ ((f (x1 ) = f (x2 )) =⇒ (x1 = x2 )) .

(1.37)

В (1.37) введено определение взаимно однозначной функции: выражение (F U N C)0 [f ] заменяет высказывание “f есть взаимно однозначная функция”; вместо f может использоваться ПБ. Как и ранее, допускаем сочетание с кванторами: выражения ∀f (F U N C)0 [f ] ,

∃f (F U N C)0 [f ] ,

∃!f (F U N C)0 [f ]

заменяют соответственно высказывания: “для всякой взаимно однозначной функции f ”, “существует взаимно однозначная функция f ” и “существует единственная взаимно однозначная функция f ”; см. в этой связи [1, c. 77]. Если (F U N C)0 [f ], то f есть отношение и определено соответ−1

ствующее обратное отношение f и, более того, всегда (см. приложение) −1

(F U N C)[ f ] ;

(1.38)

при этом имеют место равенства ³ ´ ³ ´ −1 −1 Dom( f ) = Im(f ) & Im( f ) = Dom(f ) . Из последних свойств следует (см. (1.13)), что ∀f (F U N C)0 [f ] ³

´

−1

f (f (x)) ∈ Dom(f ) ∀x ∈ Dom(f ) & ³

´ & f ( f (y)) ∈ Im(f ) ∀y ∈ Im(f ) . −1

31

Более того, имеет место ∀f (F U N C)0 [f ] ´ ³ −1 ´ ³ −1 f (f (x)) = x ∀x ∈ Dom(f ) & f ( f (y)) = y ∀y ∈ Im(f ) . (1.39) Свойства (1.39) наглядно характеризуют функцию, обратную к взаимно однозначной. Замечание 1.2. Пусть (F U N C)0 [f ]. Выберем произвольно −1

−1

y1 ∈ Dom( f ) и y2 ∈ Dom( f ) со свойством −1

−1

f (y1 ) = f (y2 ) .

(1.40)

Тогда y1 ∈ Im(f ) и y2 ∈ Im(f ). При этом, в согласии с (1.39), имеем −1

−1

y1 = f ( f (y1 )) = f ( f (y2 )) = y2 .

(1.41)

Итак, (1.40) =⇒ (1.41). Поскольку выбор y1 , y2 был произвольным, име−1

ем из (1.37) и (1.38), что (F U N C)0 [ f ]. Итак, установлено, что ∀g (F U N C)0 [g] −1

(F U N C)0 [ g ] . Стало быть, для взаимно однозначной функции и функция, к ней обратная, также оказывается взаимно однозначной. В дальнейшем мы вернемся к обсуждению свойств таких функций. 2 Образы и прообразы множеств. В связи с понятием прообраза множества уместно ввести сначала одно очень общее определение. Пусть ∀f (F U N C)[f ] ∀L S[L] 4

f −1 (L) = {x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ L} . Мы ввели множество, являющееся прообразом произвольного множества, никак не связанного, быть может, с рассматриваемой функцией. Разумеется, при этом в виде упомянутого прообраза может получаться пустое множество ∅. Понятие прообраза чаще всего применяют в условиях, определяющих (1.35): если S[X], S[Y ], f ∈ Y X и L ∈ P(Y ), то f −1 (L) = {x ∈ X | f (x) ∈ L} ∈ P(X) есть множество всех точек x ∈ X, которые переводятся функцией f в множество L. Все же имеет смысл наше “обобщенное” определение прообраза, особенно в связи с весьма абстрактным понятием (1.10), т.е. в связи с 32

определением функции, как функции “вообще”. Операция взятия прообраза (множества) обладает многими “хорошими” свойствами. Первое из этих свойств будем связывать с конструкцией на основе (1.29). Если (F U N C)[f ] и (F am)[L], то (см. (1.35)) 4

hf, Li−1 = {z ∈ L × P(Dom(f )) | ∃L ∈ L :

z = (L, f −1 (L))} ∈ P(Dom(f ))L ;

при этом, как легко проверить, построенная функция обладает свойством: ∀L ∈ L hf, Li−1 (L) = f −1 (L) . (1.42) Разумеется, hf, Li−1 : L −→ P(Dom(f )). Теперь уже операция (1.29) вполне применима в нашем случае и, с учетом (1.42), полагаем ∀(F U N C)[f ] ∀L (F am)[L] [ 4 [ −1 (1.43) f (L) = hf, Li−1 (L) . L∈L

L∈L

В (1.43) мы использовали прием, подобный применяемому в (1.32). Множества (1.32) и (1.43) могут рассматриваться каждое в виде своеобразного “окончательного” продукта, в то время как (1.31) и функция со значениями (1.42) играют роль вспомогательных (обеспечивающих) конструкций. В отношении (1.43) отметим следующие свойства: если (F U N C)[f ] и (F am)[L], то h[ i −1 f (L) S L∈L

и при этом выполняются условия ³ ´ ³ ´ [ [ −1 −1 −1 −1 f (A) ⊂ f (L) ∀A ∈ L & ∀y ∈ f (L) ∃B ∈ L : y ∈ f (B) . L∈L

L∈L

С учетом последнего соотношения и определения прообраза множества легко проверяется, что ∀f (F U N C)[f ] ∀L (F am)[L] ³[ ´ [ −1 f L = f −1 (L) . (1.44) L∈L

L∈L

Разумеется, (1.44) есть одно из хорошо известных свойств операции взятия прообраза. Заметим, в частности, что, как легко проверить, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀L ∈ P(Y ) f −1 (L) = {x ∈ X | f (x) ∈ L} ∈ P(X) . 33

В данном частном случае (1.44) вполне применимо (см. (1.17)): ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀Y ∈ P(P(Y )) ³[ ´ [ −1 f L = f −1 (L) . L∈Y

L∈Y

По аналогии с (1.29) обсудим конструкцию пересечения множеств, являющихся значениями функции. Заметим, что ∀X S[X 6= ∅] ∀Y (F am)[Y] ∀f ∈ Y X (F am)[Im(f ) 6= ∅] . Как следствие, получаем свойство: если S[X = 6 ∅], (F am)[Y] и f ∈ Y X , то \ \ 4 f (x) = H x∈X

H∈Im(f )

есть множество, т.е. S

h\

i f (x) ;

(1.45)

x∈X

при этом непременно имеет место ³\ ´ f (x) ⊂ f (˜ x) ∀˜ x∈X & ³ & ∀u (ob)[u]

³

x∈X

³

(u ∈ f (v) ∀v ∈ X) =⇒

u ∈

\

´´´ f (x) .

x∈X

Мы полагаем также (см. (1.45)) ∀f (F U N C)[f ] ∀L (F am)[L 6= ∅] \ 4 \ f −1 (L) = hf, Li−1 (L) . L∈L

(1.46)

L∈L

Сейчас, наряду с (1.45), мы используем (1.42). Здесь, т.е. в (1.46), мы оперируем функцией hf, Li−1 , действующей из L (а это — непустое множество) в семейство P(Dom(f )) всех п/м множества Dom(f ). Разумеется, из (1.45), (1.46) имеем ∀f (F U N C)[f ] ∀L (F am)[L 6= ∅] h\ i −1 S f (L) . L∈L

Используя теперь конкретизацию (1.45), связанную с (1.42), получаем ∀f (F U N C)[f ] ∀L (F am)[L 6= ∅] ³\ ´ −1 −1 f (L) ⊂ f (Λ) ∀Λ ∈ L & (1.47) L∈L

34

& (∀u (ob)[u] ((u ∈ f

−1

˜ ∀L ˜ ∈ L) =⇒ (u ∈ (L)

\

f −1 (L)))) .

L∈L

Разумеется, и (1.47) допускает дальнейшие конкретизации. Мы их опустим и отметим только один хорошо известный факт (см., например, [1]): ∀f (F U N C)[f ] ∀L (F am)[L 6= ∅] ³\ ´ \ −1 f L = f −1 (L) . L∈L

L∈L

Из последнего равенства извлекается представление: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀Y ∈ P 0 (P(Y )) ³\ ´ \ −1 L = f −1 (L) . f L∈Y

L∈Y

В дальнейшем мы продолжим анализ свойств операции взятия прообраза. В этой связи напомним свойства значений абстрактной функции в общих терминах области определения и области значения отношения: ∀f (F U N C)[f ] ³ ´ ³ ´ f (x) ∈ Im(f ) ∀x ∈ Dom(f ) & ∀y ∈ Im(f ) ∃x ∈ Dom(f ) : y = f (x) . (1.48) С учетом (1.17), (1.20), (1.27) и (1.48) получаем очевидное свойство: если S[X], S[Y ] и f ∈ Y X , то (f |X) = f и (см. (1.24)), следовательно, f 1 (X) = Im(f ) ;

(1.49)

с учетом (1.25) и (1.49) мы приходим к представлению Im(f ) в терминах (1.26) Im(f ) = {f (x) : x ∈ X} , которое хорошо согласуется и с (1.48) (см. (1.17)). Вообще же ∀f (F U N C)[f ] (f | Dom(f )) = f . В свою очередь, расширенная редакция (1.26) имеет следующий вид: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀H ∈ P(X) ³ ´ ³ ´ 1 1 f (x) ∈ f (H) ∀x ∈ H & ∀y ∈ f (H) ∃x ∈ H : y = f (x) . Тем самым, мы исчерпывающим образом охарактеризовали операцию взятия образа. Обсудим некоторые ее свойства. Имеем из (1.24) ∀f (F U N C)[f ] 35

∀E ∈ P(P(Dom(f ))) f

1

³[

´ E

∈ P(Im(f )) .

E∈E

Мы обсуждаем здесь (1.24), (1.25) в следующем случае: имеется функция f (она исполняет роль Q в (1.24), (1.25)) и семейство E п/м ее области определения; мы вводим объединение всех множеств семейства E и получаем снова п/м области определения f . Рассматриваем образ этого п/м (множества-объединения), действуя в духе (1.24) – (1.26) при Q = f . Удобно ввести одно вспомогательное семейство: если (F U N C)[f ] и E ∈ P(P(Dom(f ))), то (см. (1.24)) 4

Hf [E] = {H ∈ P(Im(f )) | ∃U ∈ E : H = f 1 (U )} ∈ P(P(Im(f ))) ; в этой связи полагаем, следуя общему определению объединения множеств произвольного семейства, что [ [ 4 1 f (E) = H. (1.50) E∈E

H∈Hf [E]

Мы действуем в (1.50) по аналогии с (1.43). Разумеется, из (1.50) следует, что ∀f (F U N C)[f ] ∀E ∈ P(P(Dom(f ))) ³ ´ ³ ´ [ [ 1 1 1 1 f (U ) ⊂ f (E) ∀U ∈ E & ∀h ∈ f (E) ∃V ∈ E : h ∈ f (V ) . E∈E

E∈E

В связи с (1.50) отметим только основное свойство: ∀f (F U N C)[f ] ∀E ∈ P(P(Dom(f ))) ³[ ´ [ 1 f E = f 1 (E) ; E∈E

E∈E

здесь полезно иметь в виду аналогию с (1.44). Легко видеть, что ∀f (F U N C)[f ] ∀E ∈ P 0 (P(Dom(f ))) Hf [E] ∈ P 0 (P(Im(f ))) . С учетом этого определяем, используя общие свойства непустых семейств, операцию пересечения образов: если (F U N C)[f ] и E ∈ P 0 (P(Dom(f ))), то \ \ 4 f 1 (E) = H ∈ P(Im(f )) E∈E

H∈Hf [E]

36

(мы используем здесь тот факт, что для произвольного непустого семейства (множеств) единственным образом определяется пересечение всех множеств данного семейства; в качестве последнего здесь используется Hf [E]) и при этом выполняются условия ³\ ´ 1 1 f (E) ⊂ f (U ) ∀U ∈ E & E∈E

³ ³³ ´ ³ ´´´ \ 1 1 & ∀x (ob)[x] x ∈ f (L) ∀L ∈ E =⇒ x ∈ . f (E) E∈E

Важное, хотя и весьма очевидное, свойство данной операции состоит в том, что ∀f (F U N C)[f ] ∀E ∈ P 0 (P(Dom(f ))) ³\ ´ \ 1 f E ⊂ f 1 (E) . (1.51) E∈E

E∈E

В (1.51) мы имеем некоторую особенность (равенства в (1.51) может и не быть). Возвращаясь к общему и весьма абстрактному определению прообраза, отметим, что ∀f (F U N C)[f ] ∀A S[A] ∀B S[B] f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B) .

(1.52)

Разумеется, для случая, когда S[X], S[Y ], f ∈ Y X , A ∈ P(Y ) и B ∈ P(Y ), имеем, что (1.52) справедливо. С учетом (1.24) получаем ∀f (F U N C)[f ] ∀A ∈ P(Dom(f )) ∀B ∈ P(Dom(f )) f 1 (A \ B) ∈ P(Im(f )). В отношении данного типа множеств отметим только совсем очевидное свойство: ∀f (F U N C)[f ] ∀A ∈ P(Dom(f )) ∀B ∈ P(Dom(f )) f 1 (A) \ f 1 (B) ⊂ f 1 (A \ B) .

(1.53)

Опять таки, в сравнении с (1.52) имеем (в (1.53)) особенность, связанную с возможным отсутствием равенства. Читателю предлагается построить соответствующий пример. Разумеется, имеем следствие: если S[X], S[Y ], f ∈ Y X , A ∈ P(X) и B ∈ P(X), то выполняется (1.53). Вообще, следует дополнить общие свойства образов и прообразов свойствами более частного характера, но зато более наглядными в сравнении со свойствами произвольных объединений и пересечений: речь идет о представлениях образа и прообраза объединения и пересечения двух множеств. Так, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀A ∈ P(Y ) ∀B ∈ P(Y ) ³ ´ −1 −1 −1 f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) & 37

³ &

f

−1

(A ∩ B) = f

−1

(A) ∩ f

−1

´ (B) .

Кроме того, имеем ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X ∀A ∈ P(X) ∀B ∈ P(X) ³ ´ ³ ´ 1 1 1 1 1 1 f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) & f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) . Примечание. Проиллюстрируем последнее свойство, полагая X = Y = [0, 1] (далее мы подробно обсудим свойства вещественных чисел), A = [0, 12 ] и B = [ 12 , 1]. Пусть f ∈ Y X определяется правилом 4

f (x) = 2 |x − 12 |. Тогда A∩B = { 21 }, f 1 (A∩B) = {0}, f 1 (A) = f 1 (B) = Y , а потому {0} = f 1 (A ∩ B) 6= f 1 (A) ∩ f 1 (B) = [0, 1] . Еще раз отметим, что более строгие определения, связанные с вещественными числами, будут даны ниже, в разделе 2. Легко проверяется следующее свойство: ∀E S[E] ∀H ∈ P(E) E \ (E \ H) = H .

(1.54)

Свойство (1.54) именуем свойством двойного дополнения. Оно является аналогом закона двойного отрицания в алгебре высказываний (см. [1, c.13]). 4

Итак, если E — множество, а H — п/м E, то для M = E \ H непременно E \ M = H. Сюрьективные и биективные отображения. В связи со свойствами операции взятия прообраза полезно вернуться к рассмотрению взаимно однозначных отображений (см. (1.37)). Легко видеть, что ∀f (F U N C)0 [f ] ∀y ∈ Im(f ) −1

f −1 ({y}) = { f (y)} .

(1.55)

Введем в рассмотрение сюрьективные отображения. Пусть (см. (1.49)) ∀X S[X] ∀Y S[Y ] 4

X Y(∗) = {f ∈ Y X | Im(f ) = Y } = {f ∈ Y X | f 1 (X) = Y } .

(1.56)

В (1.56) введено множество всех сюрьективных отображений X на Y . РаX зумеется, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y(∗) (Dom(f ) = X) & (Im(f ) = Y ) . Мы полагаем ∀X S[X] ∀Y S[Y ] 4

X (bi)[X; Y ] = {f ∈ Y(∗) | ∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X ((f (x1 ) = f (x2 )) ⇒ (x1 = x2 ))}; (1.57)

38

тем самым введено множество всех биективных отображений одного множества на другое. Если S[X], S[Y ] и f ∈ (bi)[X; Y ], то (см. (1.57)) (F U N C)0 [f ] ;

(1.58)

тогда (см. (1.38)), как легко видеть, имеет место свойство −1

f ∈ XY

и, стало быть, справедливы утверждения −1

−1

( f (f (x)) = x ∀x ∈ X) & (f ( f (y)) = y ∀y ∈ Y ) . Полезно теперь отметить очевидное следствие (1.55) и (1.58): если S[X], S[Y ] и f ∈ (bi)[X; Y ], то −1

−1

(f −1 ({y}) = { f (y)} ∀y ∈ Y ) & ( f ∈ (bi)[Y ; X]) . Отметим, кроме того, что биективность сохраняется суперпозициями: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] ∀f ∈ (bi)[X; Y ] ∀g ∈ (bi)[Y ; Z] g ◦ f ∈ (bi)[X; Z] . В связи с (1.57) и последующими соотношениями полезно отметить важное понятие равномощности двух множеств: ∀X S[X] ∀Y S[Y ] def (X ∼ Y ) ⇔ ((bi)[X; Y ] 6= ∅) .

(1.59)

Соотношение (1.59) характеризует условие равномощности двух множеств X и Y ; это условие сводится к следующему: должно существовать взаимно однозначное отображение множества X на множество Y . Пример. Забегая вперед, рассмотрим два п/м вещественной прямой R : ]0, 1[ = {ξ ∈ R | (0 < ξ) & (ξ < 1)} и ]0, ∞[ = {ξ ∈ R | 0 < ξ}. Определим отображение f : ]0, ∞[ −→ ]0, 1[ 4

x ∀x ∈]0, ∞[. Если f (x1 ) = f (x2 ), где x1 ∈ ]0, ∞[ и правилом: f (x) = 1+x x2 ∈ ]0, ∞[ , то x1 (1 + x2 ) = x2 (1 + x1 ), т.е. x1 = x2 . Итак, f — взаимно однозначное отображение из ]0, ∞[ в ]0, 1[. Пусть y ∈]0, 1[. Рассмотрим 4

xy =

y ∈ ]0, ∞[ 1−y 39

(надо учесть, что 0 < 1 − y). Тогда f (xy ) =

y 1 · 1 = y. 1 − y 1−y

Итак, f ∈ (bi)[X; Y ], где X = ]0, ∞[ и Y = ]0, 1[. Стало быть, ]0, ∞[ ∼ ]0, 1[. 2 Логично применять (1.59) к случаю непустых множеств; тогда (X ∼ X ∀X S[X 6= ∅]) & &(∀X S[X 6= ∅] ∀Y S[Y 6= ∅] ((X ∼ Y ) ⇒ (Y ∼ X))) & & (∀X S[X 6= ∅] ∀Y S[Y 6= ∅] ∀Z S[Z 6= ∅] (((X ∼ Y ) & & (Y ∼ Z)) ⇒ (X ∼ Z))) .

(1.60)

В силу (1.60) мы имеем, что (1.59) задает фактически отношение эквивалентности, которое, однако, определено не на каком-либо заданном множестве (полезно напомнить здесь о парадоксах теории множеств; см. [1]). Обсуждая множества произвольной природы, полезно иметь в виду и одно характерное свойство неравномощности множеств. Для его формулировки мы обратимся к одной конструкции, восходящей к Г.Кантору; подробнее см. в [1, c.185] (теорема о диагонали). Предложение 1.2. ∀A S[A] ∀T ∈ P 0 (A) ∀f ∈ P(A)T ∀t ∈ T / f (s)} . f (t) 6= {s ∈ T | s ∈ Доказательство. Пусть S[A], T ∈ P 0 (A), f ∈ P(A)T и t ∈ T . Итак, у нас f : T −→ P(A) , т.е. f — функция, действующая из непустого множества T, T ⊂ A, в множество (точнее, — в семейство) P(A) всех п/м A. Введем множество 4

Ω = {s ∈ T | s ∈ / f (s)} ∈ P(T ) . Покажем, что f (t) 6= Ω. В самом деле, допустим противное: f (t) = Ω. Тогда f (t) ⊂ T и s ∈ / f (s) ∀s ∈ f (t). Что же касается t ∈ T , то у нас возможен лишь один из следующих двух случаев: 1) t ∈ Ω; 2) t ∈ / Ω. Рассмотрим сначала случай 1). Итак, пусть t ∈ Ω, т.е. t ∈ f (t). Однако, по определению Ω имеем из предположения (т.е. из условия t ∈ Ω ), что 40

t ∈ / f (t). Получено противоречие. Остается допустить, что имеет место случай 2) t ∈ / Ω. Как следствие, t ∈ / f (t). Итак, у нас t ∈ T обладает свойством t ∈ / f (t). По определению Ω имеем тогда t ∈ Ω, что снова приводит к противоречию. Итак, ни один из случаев 1), 2) на самом деле невозможен; стало быть, и наше предположение о том, что f (t) = Ω, неверно, т.е. f (t) 6= Ω. 2 Полезно отметить в конструкции доказательства аналогии с рассуждением в связи с антиномией Б.Рассела. Из предложения 1.2 следует, в частности, тот факт, что ∀A S[A 6= ∅] ∀f ∈ P(A)A ∀a ∈ A f (a) 6= {s ∈ A | s ∈ / f (s)} . Мы получили, стало быть, следующее свойство: если S[A 6= ∅] и f ∈ P(A)A , то ∃B ∈ P(A) : f (a) 6= B ∀a ∈ A . Стало быть (см. (1.25), (1.56)), при всяком выборе множества A, A 6= ∅, не существует сюрьективного отображения A на P(A). Именно, ∀A S[A 6= ∅] P(A)A (∗) = ∅ . Последнее свойство легко проиллюстрировать на примере конечного множества, поскольку количества элементов самого множества и семейства всех его п/м различны: последнее всегда строго больше. Даже в случае, когда (ob)[α] и A = {α} упомянутое свойство имеет место, поскольку A одноэлементно, а P(A) = {∅; A} — двухэлементно, а тогда A нельзя сюрьективно отобразить на P(A). Возвращаясь к общему случаю, отметим, что при условии, когда S[A 6= ∅], всегда можно биективно отобразить A на непустое подсемейство P(A). В частности, для этого можно использовать одноэлементные п/м A. Итак, пусть S[A 6= ∅]; тогда {x} ∈ P(A) ∀x ∈ A. Пусть 4

f = {z ∈ A × P(A) | ∃x ∈ A : z = (x, {x})} . Тогда f ∈ P(A × P(A)). На самом же деле, f есть функция, действующая из A в P(A). Для проверки этого свойства воспользуемся (1.35). Пусть x0 ∈ A. Тогда (x0 , {x0 }) ∈ A × P(A) и, как следствие, (x0 , {x0 }) ∈ f . Пусть теперь B ∈ P(A) обладает свойством (x0 , B) ∈ f . Тогда (по определению f ) можно указать x0 ∈ A так, что (x0 , B) = (x0 , {x0 }). Тогда c учетом 41

предложения 1.1 мы имеем: (x0 = x0 ) & (B = {x0 }) . Как следствие B = {x0 }. Поэтому ∀C ∈ P(A) ((x0 , C) ∈ f ) =⇒ (C = {x0 }) . Стало быть, мы установили, что множество {x0 } ∈ P(A) таково, что ((x0 , {x0 }) ∈ f ) & (∀C ∈ P(A) (((x0 , C) ∈ f ) =⇒ (C = {x0 }))) . В частности, у нас ∃ ! U ∈ P(A) : (x0 , U ) ∈ f . Поскольку выбор x0 был произвольным, из (1.35) вытекает, что f ∈ P(A)A . Теперь мы заметим, что f (x) = {x} ∀x ∈ A. В самом деле, пусть x∗ ∈ A. Тогда ∃ ! V ∈ P(A) : (x∗ , V ) ∈ f . Здесь мы учли (1.35). С другой стороны (см. (1.12), (1.13), (1.17)) f (x∗ ) ∈ P(A) и при этом (x∗ , f (x∗ )) ∈ f . Поскольку {x∗ } ∈ P(A), то по определению f имеем (x∗ , {x∗ }) ∈ f . Но с учетом ранее упомянутого свойства единственности имеем ∀Y ∈ P(A) ((x∗ , Y ) ∈ f ) =⇒ (Y = f (x∗ )) . В итоге, f (x∗ ) = {x∗ }. Поскольку выбор x∗ был произвольным, требуемое представление значений функции f установлено. Рассмотрим теперь множество f 1 (A) ∈ P(P(A)); см. (1.28). Итак, f 1 (A) — множество и при этом f 1 (A) ⊂ P(A). Далее, из (1.28) и полученного ранее представления значений функции f следует, что f 1 (A) = {{x} : x ∈ A}, что означает ({x} ∈ f 1 (A) ∀x ∈ A) & (∀Y ∈ f 1 (A) ∃x ∈ A : Y = {x}) . Итак, посредством f множество A отображается на подсемейство семейства P(A). Важно отметить, что данное отображение является взаимно однозначным, т.е. ∀x1 ∈ A ∀x2 ∈ A (f (x1 ) = f (x2 )) =⇒ (x1 = x2 ) ;

42

мы учитываем здесь (1.17). Действительно, при x1 ∈ A и x2 ∈ A равенство f (x1 ) = f (x2 ) означает, что {x1 } = {x2 }; последнее (по определению одноэлементного множества) означает равенство x1 = x2 . Заметим теперь, что (F U N C)[f ] и при этом f ⊂ A × f 1 (A) . В самом деле, данное вложение следует из определения f и полученного ранее представления для f 1 (A). Стало быть, f ∈ P(A × f 1 (A)) и, с учетом (1.17) и того, что Dom(f ) = A (поскольку f есть функция из A в P(A) в смысле (1.18); теперь можно учесть (1.17) и (1.35)), мы получаем: f ∈ f 1 (A)A . С учетом (1.49), (1.56) получаем теперь свойство сюрьективности f , как функции из A в f 1 (A); именно, f ∈ f 1 (A)A (∗) . Вспоминая о том, что (F U N C)0 [f ], мы окончательно убеждаемся в том, что (см. (1.57)) f ∈ (bi)[A; f 1 (A)] , где f 1 (A) ⊂ P(A). Мы получили, что A отождествимо с подсемейством P(A), причем это подсемейство не совпадает с P(A). Полученное утверждение можно толковать следующим образом: множество P(A) имеет мощность, строго б´oльшую чем A (см. упомянутые ранее следствия предложения 1.2). Понятие мощности множества мы не определяем сейчас строго, отсылая заинтересованного читателя к [1, гл.V]. В дальнейшем совсем кратко мы коснемся свойств конечных и счетных множеств. В то же время конструкцию на основе предложения 1.2 можно рассматривать как способ получения очень “больших” множеств. Перечислим ряд легкопроверяемых свойств функций. Прежде всего, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X (A ⊂ f −1 (f 1 (A)) ∀A ∈ P(X)) & (f 1 (f −1 (B)) ⊂ B ∀B ∈ P(Y )) . X Далее, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y(∗) ∀B ∈ P(Y )

f 1 (f −1 (B)) = B . Кроме того, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ (bi)[X; Y ] ∀A ∈ P(X) A = f −1 (f 1 (A)) . 43

X В последнем соотношении равенство может нарушаться уже при f ∈ Y(∗) . Ясно, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀f ∈ Y X

(f 1 (X) = Im(f ) ⊂ Y ) & (f −1 (Y ) = X) . Рассмотрим теперь важное понятие обобщенного декартова произведения (см. [1, гл.IV]); ∀X S[X] ∀Y (F am)[Y] ∀f ∈ Y X n ³[ ´X ¯ o Y 4 ¯ f (x) = g ∈ f (x) ¯ g(u) ∈ f (u) ∀u ∈ X = x∈X

x∈X

n ³ [ ´X ¯ o ¯ = g∈ Y ¯ g(u) ∈ f (u) ∀u ∈ X . Y ∈Y

Как следствие, получаем ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Φ ∈ P(Y )X Y Φ(x) = {ϕ ∈ Y X | ϕ(u) ∈ Φ(u) ∀u ∈ X} ∈ P(Y X ) . x∈X

В этом соотношении можно, в частности, рассматривать случай Φ ∈ P 0 (Y )X , т.е. случай многозначного (а, правильнее, множественнозначного) отображения, все значения которого — суть непустые множества. Всюду в дальнейшем принимаем следующую важную аксиому. Аксиома выбора. ∀X S[X 6= ∅] ∀Y (F am)[Y] ∀Φ ∈ Y X ³Y ´ Φ(x) 6= ∅ . (Φ(u) 6= ∅ ∀u ∈ X) ⇒ x∈X

Замечание 1.3. Последняя аксиома, играющая важную роль в современной математике, дана в форме Рассела (аксиома мультипликативности). Эта аксиома (подробнее см. в [1]) равносильна, конечно, следующему предположению: ∀X S[X 6= ∅] ∀Y S[Y ] ∀Φ ∈ P 0 (Y )X Y (1.61) Φ(x) 6= ∅ . x∈X

При установлении эквивалентности аксиомы выбора в упомянутой выше форме и (1.61), а также в ряде других последующих конструкций, используется следующий очевидный факт: если S[P ], S[Q], R ∈ P(Q) и f ∈ QP , то (f (p) ∈ R ∀p ∈ P ) ⇒ (f ∈ RP ) ; (1.62) в самом деле, если истинна посылка (1.62), то f ⊂ P × R. 44

Индексная форма записи функций. Пусть S[X], S[Y ] и ax ∈ Y ∀x ∈ X .

(1.63)

Итак, мы полагаем в (1.63), что элемент ax ∈ Y каким-то образом определен при всяком x ∈ X. Тогда 4

(ax )x∈X = {z ∈ X × Y | ∃y ∈ X : z = (y, ay )} ∈ Y X .

(1.64)

Символическая запись (1.64) выглядит несколько ортодоксально. В левой части используется обозначение, имеющее смысл перечисления конкретных значений, указанных в (1.63). В правой части (1.64) определено отношение, для которого, после несложной проверки, можно установить, что оно на самом деле является функцией. В этих конструкциях, однако, мы ориентируемся на построения, связанные с определением (1.17), т.е. с определением Пеано. Построения на основе (1.63) относятся к т.н. конструктивному определению функций. Конечно, в левой части (1.64) вместо x может использоваться ПБ. Функция (1.64) имеет своими значениями элементы (1.63): если 4

A = (ax )x∈X и s ∈ X, то A(s) = as . В (1.63), (1.64) мы имеем т.н. индексную форму задания функции, понимая под этим правило x 7−→ ax : X −→ Y .

(1.65)

Выражения типа (1.65) мы рассматриваем как (1.64), т.е. как правило, сопоставляющее произвольной точке x ∈ X элемент ax ∈ Y . Данное соглашение используется в дальнейшем без дополнительных пояснений. Используя (1.65), мы, не отрицая представления (1.64), выносим “на первый план” представление нашей функции в виде реакции на так или иначе выбираемый элемент множества X. Подобный взгляд можно распространить и на случай операций (см. [1]), где уже не удается применить определение Пеано, поскольку оказывается затруднительным истолковать операцию как вариант отношения с той или иной парой “объемлющих” множеств (область определения и область значений). Бинарные отношения. Условимся о соглашении: ∀α (REL)[α] ∀x (ob)[x] ∀y (ob)[y] def (x α y) ⇔ ((x, y) ∈ α) . 45

Тогда, в частности, имеем: если S[X] и ξ ∈ P(X × X), то для u ∈ X и v∈X (u ξ v) ⇔ ((u, v) ∈ ξ) ; (бинарное) отношение ξ называется: 1) рефлексивным, если x ξ x ∀x ∈ X, 2) транзитивным, если ∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X ∀x3 ∈ X ((x1 ξ x2 ) & (x2 ξ x3 )) ⇒ (x1 ξ x3 ) , 3) симметричным, если ∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X (x1 ξ x2 ) ⇒ (x2 ξ x1 ) , 4) антисимметричным, если ∀p ∈ X ∀q ∈ X ((p ξ q) & (q ξ p)) ⇒ (p = q) . Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком; антисимметричный предпорядок называем порядком. Разумеется, в 1) – 4) и сейчас мы говорим о свойствах бинарного отношения, рассматриваемого как п/м X × X. В этой связи полезно следующее определение, в котором требуемые свойства увязывается с априори заданным множеством. Если S[X], то 4

(Ord)[X] = {ξ ∈ P(X × X) | (x ξ x ∀x ∈ X) & & (∀u ∈ X ∀v ∈ X ∀w ∈ X (((u ξ v) & (v ξ w)) ⇒ (u ξ w)))} есть множество всех предпорядков X; если ¹ ∈ (Ord)[X], то пару (X, ¹) называем предупорядоченным пространством. Пусть ∀X S[X] 4

(Ord)0 [X] = {ξ ∈ (Ord)[X] | ∀u ∈ X ∀v ∈ X (((u ξ v) & (v ξ u)) ⇒ (u = v))} . Если S[X] и ¹ ∈ (Ord)0 [X], то пару (X, ¹) называем частично упорядоченным пространством. Отметим один полезный пример: если S[E], то {z ∈ P(E) × P(E) | pr1 (z) ⊂ pr2 (z)} ∈ (Ord)0 [P(E)] ; тем самым мы получили упорядоченность по вложению (или по включению) на семействе всех п/м E. 46

Другой важный тип бинарных отношений — отношения эквивалентности (рефлексивные, симметричные и транзитивные бинарные отношения). Пусть ∀X S[X] 4

(equ)[X] = {ρ ∈ P(X × X) | (x ρ x ∀x ∈ X) & & (∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X

((x1 ρ x2 ) ⇒ (x2 ρ x1 ))) &

& (∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X ∀x3 ∈ X (((x1 ρx2 ) & (x2 ρx3 )) ⇒ (x1 ρx3 )))} . (1.66) В (1.66) введено множество всех отношений эквивалентности на X. Для обозначения отношений эквивалентности часто используется символ ∼ подобно (1.59). С (1.66) связан известный прием факторизации. Полагаем ∀X S[X 6= ∅] ∀ρ ∈ (equ)[X] ∀x ∈ X 4

(ρ − cl)[x] = {˜ x ∈ X | x ρ x˜} . Тем самым определен класс эквивалентности заданного априори элемента множества. Если S[X 6= ∅] и ρ ∈ (equ)[X], то 4

(CL)[ρ] = {H ∈ P(X) | ∃x ∈ X : H = (ρ − cl)[x]} =

(1.67)

= {(ρ − cl)[x] : x ∈ X} есть фактор-пространство X по отношению эквивалентности ρ. Последнее множество в (1.67) отвечает идее построения образа множества при заданном отображении (см. (1.26), (1.28)); это отображение можно в данном случае определить правилом x− 7 → (ρ − cl)[x] : X −→ P(X) , что соответствует, конечно, индексной записи ((ρ − cl)[x])x∈X ∈ P(X)X . Мы предлагаем читателю проверить справедливость второго равенства в (1.67) самостоятельно. В (1.67) введено семейство п/м X, составленное из множеств, каждое из которых есть класс эквивалентности некоторого элемента множества X. Отметим следующий очевидный пример: если S[X], то 4

diag(X) = {z ∈ X × X | pr1 (z) = pr2 (z)} ∈ (equ)[X] . 47

4

В самом деле, пусть δ = diag(X); если x1 ∈ X и x2 ∈ X, то x1 δx2 эквивалентно совпадению x1 = x2 ; см. (1.8), (1.9). Рефлексивность, симметричность и транзитивность δ очевидны. Пусть S[X 6= ∅]. Если x ∈ X, то (δ − cl)[x] = {˜ x ∈ X | xδ˜ x} = {x} . При этом, конечно, в силу (1.67) имеем для (CL)[δ] свойства: ({x} ∈ (CL)[δ] ∀x ∈ X) & (∀H ∈ (CL)[δ] ∃˜ x ∈ X : H = {˜ x}) ; иными словами, (CL)[δ] = { {x} : x ∈ X}. Легко проверяется, что ∀X S[X 6= ∅] ∀ρ ∈ (equ)[X] ³ ´ [ X = H &

(1.68)

H∈(CL)[ρ]

³ ³ ´´ & ∀H1 ∈ (CL)[ρ] ∀H2 ∈ (CL)[ρ] (H1 ∩ H2 6= ∅) ⇒ (H1 = H2 ) . Последнее свойство позволяет рассматривать (1.67) как “укрупненный” аналог X. В (1.68) мы имеем свойство разбиения множества X, реализуемого в (1.67). Итак, отношение эквивалентности порождает разбиение исходного множества в сумму непустых его п/м. Отношение эквивалентности, порожденное разбиением. Пусть теперь S[X 6= ∅] и D ∈ P 0 (P(X)) обладает свойствами ³ [ ´ X= D & (∅ ∈ / D) & D∈D

´ ³ & ∀D1 ∈ D ∀D2 ∈ D ((D1 ∩ D2 6= ∅) ⇒ (D1 = D2 )) .

(1.69)

Пусть, кроме того, в X × X выделено следующее п/м: 4

η = {z ∈ X × X | ∃D ∈ D : z ∈ D × D} =

[

(D × D) .

D∈D

С учетом (1.69) можно легко проверить, что ∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X (x1 η x2 ) ⇔ (∃D ∈ D : (x1 ∈ D) & (x2 ∈ D)) . Тогда из (1.66), (1.69) имеем с очевидностью η ∈ (equ)[X]. Поэтому, в соответствии с (1.67) можно построить фактор-пространство (CL)[η]; оказывается (CL)[η] = D. Из (1.68), (1.69) имеем тесную связь между понятиями отношения эквивалентности и разбиения (одно порождает другое). 48

Всюду в дальнейшем следуем соглашению (правило экономии скобок): если S[A], S[B], S[C], f ∈ C A×B , a ∈ A и b ∈ B, то (см. (1.5)) 4

f (a, b) = f ((a, b)) . Функции f такого типа часто называют функциями двух переменных. Можно по аналогии рассматривать и функции большего числа переменных. Мы делать этого не будем, а лишь отметим естественное развитие понятия упорядоченной пары (см. (1.4)). Именно, ∀x (ob)[x] ∀y (ob)[y] ∀z (ob)[z] 4

(x, y, z) = ((x, y), z) . Итак, (упорядоченные) триплеты мы рассматриваем как разновидность упорядоченных пар. Из свойств последних вытекает, в частности, что ∀x (ob)[x] ∀y (ob)[y] ∀z (ob)[z] ∀u (ob)[u] ∀v (ob)[v] ∀w (ob)[w] ((x, y, z) = (u, v, w)) ⇐⇒ ((x = u) & (y = v) & (z = w)) . Только это свойство триплетов и является для нас существенным. Мы можем теперь, в частности, рассматривать функции, аргументами которых являются триплеты. В этой связи полагаем ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] 4

X × Y × Z = (X × Y ) × Z . Здесь естественным образом введено декартово произведение трех множеств, согласующееся с нашим определением триплета.. Свойства упомянутых произведений легко извлекаются из (1.5). В частности, имеем, если S[X], S[Y ] и S[Z], ³ ´ (x, y, z) ∈ X × Y × Z ∀x ∈ X ∀y ∈ Y ∀z ∈ Z & ³ & ∀r ∈ X × Y × Z

∃u ∈ X ∃v ∈ Y ∃w ∈ Z :

´ r = (u, v, w) .

Переходя в основной части пособия к рассмотрению конкретных вопросов, связанных с понятием события в задачах теории вероятностей, мы, как и в других работах по конкретным разделам математики, будем использовать более естественную символику, обращаясь к настоящему ТМВ за своеобразными “разъяснениями”. Так, например, ориентируясь на (1.28), будем широко использовать выражения вида {f (h) : h ∈ H}, где f — функция, а H — п/м ее области определения. В качестве f (h) в фигурных скобках мы употребляем значения функций, задаваемых индексно (см. (1.64)). Точное 49

истолкование мы связываем здесь с (1.24), (1.25). Аналогичны и суждения о других “упрощениях” традиционного характера. Они неизбежны при рассмотрении конкретных задач, навеянных приложениями, в то время как в ТМВ мы изучаем сами конструкции рассуждений с элементами теории множеств.

2. Вещественные числа, конечные и счетные множества В настоящем разделе мы совсем кратко коснемся хорошо знакомых по школьным курсам математики понятий. Однако, наше рассмотрение будет опираться на конструкции, изложенные в ТМВ, а потому многое, что прежде представлялось очевидным, потребует определенной систематизации при соблюдении должной строгости изложения. Более того, само понятие вещественного числа является одним из наиболее тонких, если подходить к построению вещественной прямой с позиций современной теории множеств. Серьезных усилий требует и построение натурального ряда. В настоящем, весьма кратком, пособии нет возможности воспроизвести необходимые построения в их полной общности, мы адресуем интересующегося читателя к [1]. Можно отметить также подход [2], где постулируются требуемые свойства вещественных чисел. Последующее рассмотрение допускает естественные аналогии с изложением [2] и, вместе с тем, является логическим продолжением нашего ТМВ. Итак, полагаем фиксированным непустое множество R всех вещественных чисел, свойства которых будут подчинены определенным требованиям. Эти требования вполне согласуются со здравым смыслом и подчинены скорее соображениям некоторой систематизации первичных понятий, связанных с числами. Мы не пытаемся здесь строить R, а лишь оговариваем соответствующие особенности этого множества. Итак, S[R 6= ∅]; R именуется далее множеством всех вещественных чисел или вещественной прямой; постулируем ¬ S[ξ] ∀ξ ∈ R .

(2.1)

Иными словами, будем полагать, что вещественные числа – элементы R – не являются множествами. Требование (2.1) используется только во избежании двусмысленности в традиционных обозначениях. Дело в том, что мы ориентируемся теперь на символику ТМВ, которая, в свою очередь, 50

использует аналогии с некоторыми обозначениями школьной математики. Принимая (2.1), мы стараемся объявить вещественные числа объектами сравнительно простыми (заметим, что среди вещественных мы будем выделять натуральные числа). Если S[X], то элементы RX именуем функционалами на множестве X; итак, функционалы на X – суть отображения f : X → R и только они. Напомним (см. ТМВ), что (2.1) доставляет свойство: ∀X S[X] RX ∩ R = ∅ . Отметим также, что S[R × R 6= ∅]. Фиксируем отображения (prod ∈ RR×R ) & (sum ∈ RR×R ) ,

(2.2)

определяющие произведение и сумму двух вещественных чисел. В (2.2) введены две операции (строго говоря, – функции), понимаемые каждая как целое, т.е. как отношение со специальным свойством одноэлементности сечений (см. ТМВ: (1.35)). Однако, для значений этих операций используем традиционную символику: ∀ x ∈ R ∀ y ∈ R 4

4

(x · y = prod(x, y)) & (x + y = sum(x, y))

(2.3)

(см. заключительную часть ТМВ). Более того, в первом случае в (2.3) будем, как правило, точку опускать: 4

xy = x · y ∀ x ∈ R ∀ y ∈ R . Точка (см. (2.3)) потребуется только для исключения двусмысленности при указании последовательности действий. Считаем известным (т.е., по сути дела, постулируем), что ∀ x ∈ R ∀ y ∈ R (xy = yx) & (x + y = y + x) . Итак, умножение и сложение коммутативны. Мы считаем известными также следующие свойства R: ∀x ∈ R ∀y ∈ R ∀z ∈ R ³ ´ ³ ´ ³ ´ (xy)·z = x·(yz) & (x+y)+z = x+(y+z) & x·(y+z) = (x y)+(x z) . Мы постулируем, что ∃!ξ ∈ R ∀x ∈ R x + ξ = x. 51

(2.4)

Число ξ в (2.4) обозначаем, как обычно, через 0 и называем нулем. Итак, 0 ∈ R есть def такое (единственное) число, что x + 0 = x ∀x ∈ R. Ясно, что 0 + x = x ∀x ∈ R; мы учли свойство коммутативности сложения. Постулируем, что ∃! ξ ∈ R \ {0} ∀x ∈ R ξx=x .

(2.5)

Число ξ в (2.5) называют единицей и обозначают через 1 . Итак, 1 ∈ R\{0} есть такое (единственное) число, что 1 x = x ∀x ∈ R . Ясно, что x 1 = x·1 = x ∀x ∈ R. Полезно отметить следующие свойства обратимости сложения и умножения. Считаем известным, что ∀x ∈ R ∃!y ∈ R : x + y = 0. Единственный элемент, фигурирующий в этом свойстве при фиксации x, есть элемент, обратный к x по сложению. Как обычно, полагаем: если x ∈ R, то −x ∈ R есть def такое (единственное) число, что x + (−x) = 0. В этих терминах удобно охарактеризовать разность двух вещественных чисел: ∀x ∈ R ∀y ∈ R 4

x − y = x + (−y) . Также полагаем известным, что ∀x ∈ R \ {0} ∃! y ∈ R : x y = 1. С учетом этого используем традиционное обозначение: если x ∈ R \ {0}, то def 1 1 ∈R: x· =1 . (2.6) x x В терминах (2.6) определяется операция деления: ∀x ∈ R ∀y ∈ R \ {0} x 4 1 =x· ∈R . y y Считаем известным следующее свойство нуля: если x ∈ R и y ∈ R, то (x y = 0) ⇐⇒ ((x = 0) ∨ (y = 0)) . Введем в рассмотрение естественный порядок ≤∈ (Ord)0 [R], следуя здесь соглашениям ТМВ. Строго говоря, ≤ есть п/м R×R, но для нас важно соглашение, принятое в ТМВ: если x ∈ R и y ∈ R, то вместо (x, y) ∈≤ используется, как обычно, выражение x ≤ y. Разумеется, ∀x ∈ R ∀y ∈ R def ³ ´ (x < y) ⇐⇒ (x ≤ y) & (x 6= y) . 52

Постулируем, что 0 ≤ 1. Мы знаем уже, что 0 6= 1, а тогда 0 < 1. Считаем известным, что ∀x ∈ R ∀y ∈ R (x ≤ y) ∨ (y ≤ x) . Как следствие, мы получаем ∀x ∈ R ∀y ∈ R (x ≤ y) ∨ (y < x) . Точно так же устанавливается свойство: если x ∈ R и y ∈ R, то (x < y) ∨ (y ≤ x) . Как обычно, постулируем согласованность порядка ≤ и операции сложения: считаем известным, что ∀x ∈ R ∀y ∈ R (x ≤ y) =⇒ (x + z ≤ y + z ∀z ∈ R) . Кроме того, мы считаем известным (т.е. по сути дела постулируем), что ∀x ∈ R ∀y ∈ R ³ ´ (0 ≤ x) & (0 ≤ y) =⇒ (0 ≤ x y) . Промежутки в R. Как обычно, в R вводим систему промежутков, связываемую с порядком ≤. Конечные промежутки (в том числе и пустые) определяем по следующим правилам: ∀a ∈ R ∀b ∈ R ³ ´ 4 ]a, b] = {ξ ∈ R | (a < ξ) & (ξ ≤ b)} & ³

´

4

& [a, b[= {ξ ∈ R | (a ≤ ξ) & (ξ < b)} & ³ ´ 4 & [a, b] = {ξ ∈ R | (a ≤ ξ) & (ξ ≤ b)} & ´ ³ 4 & ]a, b[= {ξ ∈ R | (a < ξ) & (ξ < b)} .

(2.7)

Мы не исключаем случаев, когда тот или иной промежуток в (2.7) совпадает с ∅. Так, например, [1, 0] = ∅. Пусть, кроме того, ∀c ∈ R ³ ´ ³ ´ 4 4 [c, ∞[= {ξ ∈ R | c ≤ ξ} & ]c, ∞[= {ξ ∈ R | c < ξ} & (2.8) ³

4

´

³

4

´

& ] − ∞, c] = {ξ ∈ R | ξ ≤ c} & ] − ∞, c[= {ξ ∈ R | ξ < c} . 53

Все промежутки в (2.8) — суть непустые множества. В связи с (2.7), (2.8) полезно отметить хорошо известное свойство: если x ∈ R, y ∈ R и z ∈ R, то ³ ´ ((x ≤ y) & (y < z)) ∨ ((x < y) & (y ≤ z)) =⇒ (x < z) . В числе других очевидных, но полезных, свойств отметим, что −x = (−1) x ∀x ∈ R . Далее, ∀a ∈ R ∀b ∈ [a, ∞[ ∀c ∈ [0, ∞[ b c ∈ [a c, ∞[ . Как следствие, имеем ∀a ∈ R ∀b ∈ [a, ∞[ ∩ [0, ∞[ ∀c ∈ [0, ∞[ ∀d ∈ [c, ∞[ b d ∈ [a c, ∞[ . В свою очередь, последнее свойство означает, что ∀a ∈ [0, ∞[ ∀b ∈ [a, ∞[ ∀c ∈ [0, ∞[ ∀d ∈ [c, ∞[ b d ∈ [a c, ∞[ . Конечно же, −c ∈] − ∞, 0[ ∀c ∈]0, ∞[. С другой стороны, ∀a ∈]0, ∞[ ∀b ∈]0, ∞[ a b ∈ ]0, ∞[ . Из двух последних положений имеем с очевидностью a b ∈ ] − ∞, 0[ ∀a ∈]0, ∞[ ∀b ∈] − ∞, 0[ . Из определения обратного по сложению элемента имеем следующее свойство: −(−x) = x ∀x ∈ R . В связи с согласованностью порядка в R и сложения заметим, что ∀x ∈ R ∀y ∈ R (x < y) =⇒ (x + z < y + z ∀z ∈ R) . Заметим также, что −c ∈]0, ∞[ ∀c ∈] − ∞, 0[ . В упомянутом соотношении (и ранее) мы говорили о свойствах элемента, обратного по сложению. Заметим в порядке аналогии и некоторые свойства

54

элемента, обратного по умножению (советуем читателю проделать необходимые доказательства). Так 1 ∈]0, ∞[ ∀c ∈]0, ∞[ . c Напомним, что [c, ∞[⊂]0, ∞[ ∀c ∈]0, ∞[. Как следствие, имеем ∀c ∈]0, ∞[ ∀d ∈ [c, ∞[ 1 ∈]0, ∞[ . d Здесь же отметим очевидное следствие определений и ранее упомянутых неравенств: если a ∈ R, b ∈ [a, ∞[ и c ∈]0, ∞[, то a b ≤ . c c С другой стороны, ∀a ∈]0, ∞[ ∀b ∈ [a, ∞[ ∀c ∈ [0, ∞[ c c ≤ . b a В то же время ∀a ∈ ]0, ∞[ ∀b ∈ ]a, ∞[ ∀c ∈ ]0, ∞[ c c < . b a Можно полагать в последнем соотношении c = 1. Тогда 1 1 < ∀a ∈ ]0, ∞[ ∀b ∈ ]a, ∞[ . b a Отметим, кроме того, два полезных свойства, связанных с согласованностью порядка и линейных операций: ∀x ∈ R ∀y ∈ R ³ ´ ³ ´ (x < y) ⇐⇒ (y − x ∈ ]0, ∞[ ) & (x ≤ y) ⇐⇒ (y − x ∈ [0, ∞[ ) . Сделаем несколько замечаний в связи с очень важными понятиями точной верхней и точной нижней граней числового множества. Для этого введем семейство 4 BR↓ = {E ∈ P 0 (R) | ∃c ∈ R : E ⊂ [c, ∞[ } (2.9) всех непустых ограниченных снизу п/м R и семейство 4

BR↑ = {E ∈ P 0 (R) | ∃c ∈ R :

E ⊂ ] − ∞, c]}

(2.10)

всех непустых ограниченных сверху п/м R. Для каждого из множеств семейства (2.10) постулируем существование точной верхней грани. Именно, постулируем, что ∀E ∈ BR↑ ∃!x ∈ R: ³ ´ ³ ³ ´´ E ⊂ ] − ∞, x] & ∀y ∈ R (E ⊂ ] − ∞, y] ) =⇒ (x ≤ y) . 55

В соответствии с этим свойством вводим теперь следующее определение точной верхней грани: если E ∈ BR↑ , то sup(E) ∈ R есть def такое число, что E ⊂ ] − ∞, sup(E)] и, вместе с тем, ∀y ∈ R (E ⊂ ] − ∞, y] ) =⇒ (sup(E) ≤ y) . Мы предлагаем читателю проверить самостоятельно, что ∀E ∈ BR↓ ∃!x ∈ R: ³ ´´ ³ (E ⊂ [y, ∞[ ) =⇒ (y ≤ x) (2.11) (E ⊂ [x, ∞[ ) & ∀y ∈ R (для этого следует использовать (2.9) и предыдущее предположение о существовании точной верхней грани). С учетом (2.11) введем следующее определение точной нижней грани: если E ∈ BR↓ , то inf(E) ∈ R есть def такое число, что E ⊂ [inf(E), ∞[ и, вместе с тем, ∀y ∈ R (E ⊂ [y, ∞[ ) =⇒ (y ≤ inf(E)) . Неупорядоченные пары (см. ТМВ) вещественных чисел ограничены и сверху, и снизу: ∀x ∈ R ∀y ∈ R {x; y} ∈ BR↓ ∩ BR↑ . Поэтому точные верхняя и нижняя грани определены для каждой неупорядоченной пары в R. Более того, если x ∈ R и y ∈ R, то ³ ´ ³ ´ sup({x; y}) ∈ {x; y} & inf({x; y}) ∈ {x; y} . В этой связи, как обычно, полагаем, что 4

| x | = sup({x; −x}) ∀x ∈ R . Легко видеть, что так определяемое число (модуль заданного числа) неотрицательно: | x | ∈ [0, ∞[ ∀x ∈ R. Натуральные числа, последовательности. Среди всех вещественных чисел выделяем числа натуральные: постулируем в этой связи, что N ∈ P 0 ( [1, ∞[ ) 56

есть такое множество (фактически мы постулируем его существование, хотя, имея своей целью построение R, можно было бы поступить наоборот, определив сначала натуральный ряд, а затем, после целого ряда дополнительных построений, придти к множеству R), что (1 ∈ N ) & (k +1 ∈ N ∀k ∈ N ) & ( ]n, n+1[ ∩ N = ∅ ∀n ∈ N ) & (2.12) & (∀x ∈ R ∃ m ∈ N : x ≤ m) . Иными словами, мы считаем известным натуральный ряд N , N ⊂ R, со свойствами (2.12); по определению N ⊂ [1, ∞[ . Заметим, что иногда в натуральный ряд включают число 0, но мы не следуем этому соглашению. 4 Вместо этого введем N0 = { 0 } ∪ N — множество всех неотрицательных целых чисел. Разумеется, в обозначениях следуем традиционным соглаше4 4 ниям: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 и т. д. Ясно, что N0 ∈ BR↓ и N ∈ BR↓ ; см. (2.9). Тогда H ∈ BR↓ ∀H ∈ P 0 (N ). Поэтому корректно определяется inf(H) ∈ R ∀H ∈ P 0 (N ) . Возвращаясь к N0 , введем понятие промежутков в N0 : ³ n o ´ 4 ∀p ∈ N0 ∀q ∈ N0 & p, q = i ∈ N0 | (p ≤ i) & (i ≤ q) ³ &

´ 4 − − → n, ∞ = {i ∈ N0 | n ≤ i} ∀n ∈ N0 .

(2.13)

Мы допускаем пустоту промежутков первого типа в (2.13). Видно, что ³ n o ´ p, q = i ∈ N | (p ≤ i) & (i ≤ q) ∀p ∈ N ∀q ∈ N & ³ &

− n,−→ ∞ = {i ∈ N | n ≤ i} ∀n ∈ N

´ .

(2.14)

В (2.14) имеем промежутки натурального ряда N ; в частности, 1, n = {i ∈ N | i ≤ n} ∀n ∈ N . Напомним, что 2 = 1 + 1 ∈ N ; считаем известным, что k − 1 ∈ N −−→ ∀k ∈ 2, ∞. Как следствие, ∀m ∈ N ∀n ∈ N (m < n) =⇒ (m ≤ n − 1) . Кроме того, легко проверяется, что ∀m ∈ N 1, m + 1 = 1, m ∪ {m + 1} . 57

Также очевидным является (при нашем способе рассуждений) свойство: inf(E) ∈ E

∀E ∈ P 0 (N ) .

(2.15)

Мы предлагаем читателю проверить (2.15) самостоятельно, опираясь на определение точной нижней грани и аксиомы N (см. (2.12)). Из (2.15) легко извлекается принцип математической индукции: ∀E ∈ P 0 (N ) ³ ´ ( 1 ∈ E) & (k + 1 ∈ E ∀k ∈ E) =⇒ (E = N ) (2.16) (подчеркнем, что именно при нашем способе рассуждений, не связанном с конкретным построением N , (2.16) следует из (2.15) непосредственно). В дополнение к (2.15) отметим, что inf(E) ∈ E

∀E ∈ P 0 (N0 ) .

Разумеется, из (2.16) следует, в свою очередь, ∀E ∈ P 0 (N0 ) ³ ´ (0 ∈ E) & (k + 1 ∈ E ∀k ∈ E) =⇒ (E = N0 ) . → Отметим, наконец, что ∀n ∈ N0 ∀E ∈ P 0 (− n,−∞) ³ ´ → . (n ∈ E) & (k + 1 ∈ E ∀k ∈ E) =⇒ (E = − n,−∞) Отметим как следствие, что из (2.16) следует ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p + q ∈ N ) & (p q ∈ N ) . Еще одно следствие (2.16): если (ai )i∈N ∈ RN , то (aj ≤ aj+1 ∀j ∈ N ) =⇒ (am ≤ ak

−−∞) → . ∀m ∈ N ∀k ∈ − m,

В виде очередного непосредственного следствия получаем двойственное утверждение: если (ai )i∈N ∈ RN , то (aj+1 ≤ aj

−−∞) → . ∀j ∈ N ) =⇒ (ak ≤ am ∀m ∈ N ∀k ∈ − m,

Отметим здесь же, что из определения множества N вытекает ∀m ∈ N ∀k ∈ N −−−−−−→ (m < k) =⇒ (k ∈ m + 1, ∞) . Полезно ввести понятие строго возрастающей последовательности натуральных чисел и множества всех таких последовательностей: n o 4 N N = (ki )i∈N ∈ N | ks < ks+1 ∀s ∈ N . 58

По индукции проверяется, что s ≤ ks ∀(ki )i∈N ∈ N ∀s ∈ N . С использованием свойств точных нижней и верхней граней можно проверить справедливость следующего положения: если (ai )i∈N ∈ RN и (bi )i∈N ∈ RN — две вещественнозначные (в/з) последовательности, для которых (ai ≤ bi ∀i ∈ N ) & (ak ≤ ak+1 ∀k ∈ N ) & (bk+1 ≤ bk

∀k ∈ N ) ,

то справедливо следующее утверждение \ [ak , bk ] 6= ∅ . k∈N

Сходимость последовательностей, полнота вещественной прямой. Используем обычное понятие сходимости последовательности в R: если (xi )i∈N ∈ RN и x ∈ R, то полагаем def ³ ´ ³ ´ − − − → (xi )i∈N −→ x ⇐⇒ ∀ε ∈ ]0, ∞[ ∃m ∈ N : |xk − x| < ε ∀k ∈ m, ∞ . (2.17) Последовательность (xi )i∈N в случае, определяемом правой частью (2.17), называют сходящейся, а точку x — ее пределом. Пусть n o 4 N (LIM ) [R] = (xi )i∈N ∈ R | ∃x ∈ R : (xi )i∈N −→ x . Тем самым, введено множество всех сходящихся в/з последовательностей. Еще один важный тип последовательностей в R — фундаментальные последовательности: если (xi )i∈N ∈ RN (последовательность в R), то называем ее фундаментальной, или последовательностью Коши, если ∀ε ∈ ]0, ∞[ ∃m ∈ N : −−∞ → ∀q ∈ − −−→ |xp − xq | < ε ∀p ∈ − m, m, ∞. Через (F U N D) [R] обозначаем множество всех фундаментальных последовательностей в R: n 4 (F U N D)[R] = (xi )i∈N ∈ RN | ∀ε ∈ ]0, ∞[ ∃m ∈ N : o − − − → − − − → |xp − xq | < ε ∀p ∈ m, ∞ ∀q ∈ m, ∞ . Из определения модуля легко извлекается неравенство треугольника |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x ∈ R ∀y ∈ R . 59

В свою очередь, из этого неравенства следует очевидное вложение (LIM ) [R] ⊂ (F U N D) [R] .

(2.18)

К уточнению (2.18) вернемся позднее, после перечисления целого ряда простых, но очень полезных, свойств множества R. Так, например, легко проверяется, что ∀(ai )i∈N ∈ RN ∀a ∈ R ³ ´ ³ (ai )i∈N −→ a =⇒ ((αai )i∈N −→ αa ∀α ∈ R) & ´ & ((ai + ξ)i∈N −→ a + ξ ∀ξ ∈ R) . Напомним (без доказательств) простейшие свойства операции взятия модуля ( |x| = | − x| ∀x ∈ R) & (|x| = x ∀x ∈ [0, ∞[ ) & & ( |αβ| = |α| · |β| ∀α ∈ R ∀β ∈ R) . Еще одно “удобное” свойство (сходящихся) последовательностей: если (αi )i∈N ∈ RN , (βi )i∈N ∈ RN , α ∈ R и β ∈ R, то ³ ´ ((αi )i∈N −→ α) & ((βi )i∈N −→ β) =⇒ ((αi βi )i∈N −→ α β) . Если α ∈ R \ {0} и β ∈ R \ {0}, то α β ∈ R \ {0} и, как следствие, 1 ∈ R. αβ Из определения элемента, обратного по умножению, вытекает свойство 1 1 1 = · ∀α ∈ R \ {0} ∀β ∈ R \ {0} . αβ α β Число, обратное по умножению к числу −1, снова есть число −1. Имеем |x| ∈ ]0, ∞[ ∀x ∈ R \ {0} . Как следствие, имеем при x ∈ R \ {0} корректно определяемое число 1 |x| ∈ R, причем ¯1¯ 1 ¯ ¯ ∈ ]0, ∞[ ¯ ¯ = x |x| (здесь полезно проанализировать отдельно возможности x < 0 и 0 < x). Из последнего свойства вытекает, что ∀α ∈ R ∀β ∈ R \ {0} ¯α¯ |α| ¯ ¯ . ¯ ¯ = β |β| 60

Введем в рассмотрение ограниченные в/з функции: если S[H = 6 ∅] и H f ∈ R , то называем f ограниченной в/з функцией, если ∃c ∈ [0, ∞[ : |f (x)| ≤ c ∀x ∈ H. Полагаем ∀X S[X 6= ∅] n o 4 X B(X) = f ∈ R | ∃c ∈ [0, ∞[ : |f (x)| ≤ c ∀x ∈ X . (2.19) Итак, в (2.19) введено множество всех ограниченных в/з функций на заданном непустом множестве. С учетом определения образа в ТМВ имеем: если S[X 6= ∅], то o n X 1 B(X) = f ∈ R | ∃c ∈ [0, ∞[ : f (X) ⊂ [−c, c] . Заметим, что в/з функции называют также функционалами. Поэтому (2.19) можно именовать множеством всех ограниченных функционалов на X. Заметим, кстати, что B(N ) есть множество всех ограниченных последовательностей в R. Вообще, если S[X], то последовательностью в X называется всякий элемент множества X N , т.е. всякое отображение из N в X. Для обозначения последовательностей часто используется индексная форма записи. В этой связи полезно следующее традиционное соглашение: если S[X] и f ∈ X N , то, при условии, что 4

ai = f (i) ∀i ∈ N , имеем с очевидностью ∀M ∈ P(N ) {am : m ∈ M } = f 1 (M ) ; см. в этой связи ТМВ: (1.25), (1.26). Еще одно традиционное соглашение состоит в следующем: если S[T 6= ∅] и n ∈ N , то 4 T n = T 1,n ; (2.20) данное определение корректно в силу (2.1): T n нельзя истолковать как множество всех отображений из какого-либо множества, обозначаемого буквой n, в T . В качестве T допустимо использовать семейство. В этой связи полезны (1.29), (1.45). Именно, с учетом (2.20) мы полагаем ∀Y (F am)[Y] ∀n ∈ N ∀f ∈ Y n n ³[ i=1

4

f (i) =

[

n ´ ³\ ´ 4 \ f (i) & f (i) = f (i) . i=1

i∈1,n

61

i∈1,n

Данное соглашение удобно сочетать с индексной формой записи функций, действующих из непустого множества 1, n, где n ∈ N , в семейство. Именно, если (F am)[Y], n ∈ N и (Yi )ı∈1,n ∈ Y n , то n ³[ i=1

Yi =

[

´ Yi &

n ³\

Yi =

i=1

i∈1,n

\

´ Yi .

i∈1,n

Разумеется, для точной интерпретации двух последних соотношений следует использовать (1.29), (1.45) и построения в связи с этими формулами, а также (2.20). Для того или иного элемента множества (2.20) мы часто используем далее термин “кортеж”. Случай,когда в (2.20) T = R, соответствует n-мерному арифметическому пространству, широко используемому в современной математике. Если f ∈ RN и n ∈ N , то (см. (1.23)) (f |1, n) = (f (i))i∈1,n ∈ Rn . Рассуждением по индукции проверяется, что f 1 (1, n) ∈ BR↓ ∩ BR↑ ∀n ∈ N ∀f ∈ Rn . Иными словами, если у нас n ∈ N и (ai )i∈1,n : 1, n −→ R ,

(2.21)

то {ai : i ∈ 1, n} ∈ BR↓ ∩ BR↑ ; это позволяет определять для множества значений (2.21), т.е. для образа 1, n при действии функции f = (ai )i∈1,n , точную верхнюю и точную нижнюю грани. Рассуждением по индукции проверяется, что ∀n ∈ N ∀f ∈ Rn ³ ´ 1 1 sup(f (1, n)) = sup({f (i) : i ∈ 1, n} ) ∈ f (1, n) & ³

1

1

´

& inf(f (1, n)) = inf( {f (i) : i ∈ 1, n} ) ∈ f (1, n) . Иными словами, всегда имеют место свойства (см. (1.25)): ∀n ∈ N ∀(ai )i∈1,n ∈ Rn ³ ´ ∃p ∈ 1, n : sup({ai : i ∈ 1, n}) = ap & ³ ´ & ∃q ∈ 1, n : inf({ai : i ∈ 1, n}) = aq . (2.22) 62

В (2.22) мы перешли на более естественный, в “мире” конечномерных арифметических пространств, язык. Возвращаясь к (2.18), (2.19), заметим, что (F U N D)[R] ⊂ B(N ) .

(2.23)

Доказательство (2.23) легко следует из определения (F U N D)[R] и (2.19). Отметим несколько простых следствий (2.23), обращаясь к более традиционной индексной форме записи последовательностей. В этой связи напомним (1.65); в нашем случае в качестве X следует использовать (в (1.65)) N . Если (xi )i∈N ∈ (F U N D)[R] и m ∈ N , то непременно −−→ {xk : k ∈ − m, ∞} ∈ BR↑ ∩ BR↓ . Это позволяет ввести соответствующие точные грани: нижнюю и верхнюю. Именно, корректны следующие определения: если (xi )i∈N ∈ (F U N D)[R] и n ∈ N , то ³ ´ ³ ´ − − → − − → inf({xi : i ∈ n, ∞}) ∈ R & sup({xi : i ∈ n, ∞}) ∈ R . Следующее свойство очень полезно, хотя и выглядит очевидным: если (ai )i∈N ∈ RN и (bi )i∈N ∈ RN , причем (aj ≤ bj ∀j ∈ N ) & (ak ≤ ak+1 ∀k ∈ N ) & & (bs+1 ≤ bs ∀s ∈ N ) & ( (bi − ai )i∈N −→ 0) , то непременно ∃!c ∈ R:

\

[ai , bi ] = {c} .

i∈N

Здесь мы дополнили ранее упоминавшееся свойство (перед введением сходимости (2.17)). В свою очередь, из данного “простого” свойства следует усиление (2.18): имеет место равенство (LIM )[R] = (F U N D)[R] , характеризующее свойство полноты R (при оснащении метрикой - модулем): всякая фундаментальная последовательность в R имеет предел. Как уже отмечалось, ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀Z S[Z] ∀f ∈ Z X×Y ∀x ∈ X ∀y ∈ Y f (x, y) = f ( (x, y) ) . 63

Введем важное понятие степени вещественного числа. Именно, введем функционал (в/з функцию) degr : R × N0 −→ R , полагая, что ∀x ∈ R ³ ´ ³ ´ 4 degr(x, 0) = 1 & degr(x, k + 1) = x degr(x, k) ∀k ∈ N0 .

(2.24)

(2.25)

Определение (2.24), (2.25) сводится к построению итерационной процедуры. Оно корректно в силу следствия (2.16). С учетом (2.24), (2.25) полагаем ∀x ∈ R ∀k ∈ N0 4 xk = degr(x, k) . Как следствие, получаем ∀x ∈ R (x0 = 1) & (xk+1 = x · xk = xk · x ∀k ∈ N0 ) .

(2.26)

В частности, имеем из (2.26) свойства (0k = 0 ∀k ∈ N ) & (1k = 1 ∀k ∈ N0 ) . Отметим, что обычно предполагается следующее: значение 00 не определено (см., например, Е.С.Кочетков, Е.С.Кочеткова “Алгебра и элементарные функции, часть 1”, Москва, Просвещение 1966, с. 161). В (2.25), (2.26) этот случай формально допускается, хотя в дальнейшем и не используется, что и (в какой-то степени) отражено в последнем соотношении. Из (2.26) следует, что в нашей интерпретации 00 = 1. Мы исходим здесь из следующего представления. Именно, для x ∈ R \ {0} имеем x0 = 1 “бесспорно”; стало быть, это верно и для очень малых по модулю ненулевых значений x, т.е. для значений, почти равных нулю. Вот мы и распространили данное свойство “по непрерывности”. К (2.24), (2.25), стало быть, можно относиться в этом плане как к некоторому расширению естественных определений. Тем самым у нас введена, в частности, операция возведения в степень (строго говоря, мы постулируем существование отображения (2.24), реализуемого в (2.25)). В свете (2.25), (2.26) имеем ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀k ∈ N0 (a b)k = ak bk . Кроме того, из (2.26) извлекаем свойство: если x ∈ ]0, ∞[ и k ∈ N0 , то ³ 1 ´k 1 = k . (2.27) x x 64

Можно легко проверить, что ∀c ∈ R \ {0} 1 1 = − . −c c С учетом этого свойства проверяется, что ∀x ∈ ] − ∞, 0[ ∀k ∈ N0 ³ 1 ´k 1 = k . (2.28) x x Объединяя (2.27), (2.28), мы получаем полезное общее свойство: ³ 1 ´k 1 = k ∀x ∈ R \ {0} ∀k ∈ N0 . x x Продолжая подобные рассуждения с использованием последнего свойства, имеем ∀x ∈ R ∀y ∈ R \ {0} ∀k ∈ N0 ³ x ´k ³ 1 ´k ³ 1 ´k 1 xk k k = x· = x · = x · k = k . y y y y y Разумеется, все эти построения касаются вещей известных. Однако нам представляется целесообразным некоторое их упорядочение. Конечные суммы. Сейчас нам потребуется напомнить понятие конечной суммы, подобрав для этой цели надлежащий язык, согласующийся с ТМВ. Последнее несколько затрудняет изложение, но представляется важным, коль скоро речь идет о системе весьма общих понятий. Нам потребуется конструкция (1.31). В этой связи полезно сделать некоторые добавления (к ТМВ) весьма общего характера. Если S[X], S[Y ], S[Z] и g ∈ P(X)Z , то AX,Y ◦ g ∈ P(P(X × Y ))Z ; (2.29) при этом справедливо ∀z ∈ Z (AX,Y ◦ g) (z) = AX,Y (g(z)) = Y g(z) ; в качестве Z здесь можно, в частности, использовать п/м X. Заметим, что (см. (1.33)) справедливо свойство: если S[X], S[Y ], M ∈ P(X), g ∈ P(X)M и m ∈ M , то [ Y g(m) ⊂ YH. H∈P(X)

Рассмотрим теперь вариант (2.29) с использованием множества (1.32): ´Z ³ S H , то если S[U ], S[Y ], Z ∈ P(U ) и g ∈ P Y H∈P(Z)

A

S

Y H ,Y

³ ³³ [ ◦g ∈ P P

H∈P(Z)

H∈P(Z)

65

Y

H

´ ×Y

´´Z

;

(2.30)

при этом, конечно, ∀z ∈ Z ³ A S

´

Y H ,Y

◦ g (z) = Y g(z) .

(2.31)

H∈P(Z)

В этой связи введем некоторые новые определения, первое из которых будем связывать с (2.29), а второе — c (2.30); для нас будет более существенным второе определение (первое имеет подготовительный характер). Отметим, что ∀Y S[Y ] ∀Z ∈ P(Y ) ∀f ∈ P(Z)Z ³ [ o n ´ 4 H f (z) A0 [Y ; Z; f ] = x ∈ Z × P Y | ∃z ∈ Z : x = (z, Y ) ∈ H∈P(Z)

∈ P

³ [

YH

´Z

(2.32) .

H∈P(Z)

Мы определили сейчас функцию, которая при заданных Y, Z и f действует из множества Z в семейство всех п/м множества [ YH ; H∈P(Z)

в связи со свойствами данного множества см. (1.32) – (1.34). Нетрудно показать, что ∀Y S[Y ] ∀Z ∈ P(Y ) ∀f ∈ P(Z)Z ∀z ∈ Z A0 [Y ; Z; f ] (z) = Y f (z) .

(2.33)

Отметим, что функцию (2.32) можно использовать в качестве функции g в (2.30), (2.31). Именно, если S[Y ] , Z ∈ P(Y ) и f ∈ P(Z)Z , то ³ ³³ [ ´ ´´Z 4 0 H S A [Y ; Z; f ] = A Y ×Y . Y H ,Y ◦ A0 [Y ; Z; f ] ∈ P P H∈P(Z)

H∈P(Z)

(2.34) В этих условиях имеем (с учетом (2.33)) следующее представление значений получившейся функции. Именно, ∀Y S[Y ] ∀Z ∈ P(Y ) ∀f ∈ P(Z)Z ∀z ∈ Z f (z) A0 [Y ; Z; f ] (z) = Y (Y ) . (2.35) Конструкция (2.34), (2.35) реализует отображение, действующее из заданного множества Z, Z ⊂ Y , в некоторое семейство. В самом деле, ∀Y S[Y ] ∀Z ∈ P(Y ) h ³ ³³ [ ´ ´´i H Y ×Y . (F am) P P H∈P(Z)

66

Теперь уже в согласии c ТМВ имеем свойство: если S[Y ] и Z ∈ P(Y ), то h i [ S A . ³ ³³ ´ ´´ A∈P P

S

YH

×Y

H∈P(Z)

Заметим, что функция (2.34), (2.35) принимает всякий раз своим значением некоторое п/м последнего множества-объединения. Вместе с тем, из (2.34), (2.35) видно, что рассматриваемая функция действует из множества в семейство, поэтому к ней вполне применима конструкция (1.29), т.е. ∀Y S[Y ] ∀Z ∈ P(Y ) ∀f ∈ P(Z)Z i h [ 0 S A [Y ; Z; f ] (z) . (2.36) z∈Z

Множества, определяемые в (2.36) — суть п/м полученного множестваобъединения. Теперь можно воспользоваться конструкцией декартова произведения (см. заключительную часть ТМВ). Итак, если S[Y ], Z ∈ P(Y ) и f ∈ P(Z)Z , то Y A0 [Y ; Z; f ] (z) = (2.37) z∈Z

n ³[ ´Z o (Y f (l) ) 0 = ω∈ | ω(l) ∈ Y ∀l ∈ Z . A [Y ; Z; f ] (z) z∈Z

Мы воспользовались здесь свойством (2.35). Полезно отметить (2.35) и при построении (2.36), полагая ∀Y S[Y ] ∀Z ∈ P(Y ) ∀f ∈ P(Z)Z [ f (z) 4 [ 0 A [Y ; Z; f ] (z) . Y (Y ) = z∈Z

z∈Z

Здесь мы действуем подобно (1.32): конкретные значения (2.35) множественнозначной функции используем для формульной записи множества объединения (2.36). Стало быть, и для (2.37) имеем теперь следующее естественное определение: если S[Y ], Z ∈ P(Y ) и f ∈ P(Z)Z , то Y Y (Y f (z) ) 4 Y = A0 [Y ; Z; f ](z) = z∈Z

n = ω∈

³[

z∈Z

Y

(Y f (z) )

´Z

| ω(l) ∈ Y

z∈Z

67

(Y f (l) )

o ∀l ∈ Z .

(2.38)

Итак, посредством (2.38) мы проясняем смысл (2.37). Именно, в (2.38) рассматривается множество всех таких функций ω на множестве Z, для каждой из которых при z ∈ Z ω(z) : Y f (z) −→ Y ; напомним, что f (z) — п/м Z. Подчеркнем, что два последних определения (см. (2.38) и предыдущее множество-объединение), основанные на понятии декартова произведения (см. ТМВ), формальными определениями, строго говоря, вообще не являются, а могут рассматриваться всего лишь как переобозначения, связанные с (2.35) и используемые для смыслового наполнения более ранних формализованных определений. Теперь мы используем следующий вариант (2.38): Y = R, Z = N и f — отображение k 7−→ 1, k : N −→ P 0 (N ) . В индексной форме f записывается в виде 4

f = ( 1, k )k∈N ∈ P 0 (N )N . Иными словами, f : N −→ P 0 (N ), P 0 (N ) ⊂ P(N ), есть такая функция, что f (k) = 1, k ∀k ∈ N . Тогда, разумеется, (2.36) сводится к множеству-объединению следующего вида: именно, имеем, что h[ i (R1,k ) S R . k∈N

Учитывая (2.20), мы и здесь используем логичное переобозначение: [ k 1,k 4 [ R(R ) . R(R ) = k∈N

k∈N

Разумеется, S

h S

k

R(R

)

i со свойствами

k∈N

³ R

(Rs )

⊂

[

R

(Rk )

´

³ ´ [ (Rk ) (Rm ) ∀s ∈ N & ∀u ∈ R ∃m ∈ N : u ∈ R .

k∈N

k∈N

Наконец, у нас полагается, что (см. (2.20)) Y Y 1,k (Rk ) 4 R = R(R ) . k∈N

k∈N

68

Стало быть, у нас теперь n ³[ ´N Y (Rk ) (Rk ) R = ω∈ R | k∈N

ω(l) ∈ R

(Rl )

o ∀l ∈ N .

(2.39)

k∈N

В терминах (2.39) мы и введем систему конечных сумм как некое функциональное целое. Именно, в терминах (2.39) нам предстоит ввести функцию конечных (упорядоченных) сумм. Фактически речь идет о том, чтобы посредством одного предположения определить всевозможные суммы m X

xi , m ∈ N , x1 ∈ R, . . . , xm ∈ R ,

i=1

постулируя их связи между собой, а также перечислить затем простейшие их свойства. Для этого мы постулируем существование и, вслед за тем, фиксируем отображение X Y k [R] ∈ R(R ) (2.40) k∈N

такое, что справедливо ³X ´ ³X 1 [R] (1) (f ) = f (1) ∀f ∈ R & [R] (k + 1) (f ) = =

X

[R] (k) ((f |1, k)) + f (k + 1) ∀k ∈ N ∀f ∈ R

k+1

´ ;

(2.41)

(на самом деле можно постулировать только существование функции (2.40), (2.41), а затем рассуждением по индукции легко устанавливается ее единственность). Теперь, ориентируясь на (2.41), можно ввести и традиционные обозначения: полагаем ∀s ∈ N ∀(xi )i∈1,s ∈ Rs s X

4

xi =

X

[R] (s) ((xi )i∈1,s ) .

i=1

Тогда (2.41) принимает следующий вид 1 ³X

xi = x1 ∀(xi )i∈1,1 ∈ R

1

´ &

i=1

&

k+1 ³X i=1

k ´ ³X ´ k+1 xi = xi + xk+1 ∀k ∈ N ∀(xi )i∈1,k+1 ∈ R . i=1

69

(2.42)

Заметим, что (2.42) можно было бы извлечь из построений, использующих математическую индукцию (см. (2.16)), но все эти весьма “объемные” построения мы опустим, предпочитая постулировать такую известную и “привычную” конструкцию как система конечных сумм. Фактически мы постулируем существование взаимосвязанных операций (упорядоченного) суммирования конечных наборов вещественных чисел произвольной “длины” и, в этом смысле, имеем комплекс соглашений, привычных, впрочем, еще в связи с понятиями школьной математики; (2.40) является одним из вариантов материализации данного комплекса, реализуемого (в данном случае) посредством функции. Заметим, что из (2.42) извлекаются стандартные свойства конечных сумм. Мы не стремимся к их полному перечислению. Отметим лишь некоторые, так или иначе используемые в дальнейшем. Из (2.42) легко следует, что (см. свойства нуля) ∀k ∈ N ∀(xi )i∈1,k ∈ Rk (xj = 0 ∀j ∈ 1, k) =⇒

k ³X

´ xi = 0 .

i=1

Также очевидным (и проверяемым, строго говоря, по индукции) свойством является то, что ∀k ∈ N ∀(xi )i∈1,k ∈ Rk ∀j ∈ 1, k (xl = 0 ∀l ∈ 1, k \ {j}) =⇒

k ³X

´ xi = xj .

i=1

Используя согласованность порядка и операции сложения, а также индукцию, можно проверить, что ∀k ∈ N ∀(xi )i∈1,k ∈ [0, ∞[k k ³X

´ xi ∈ [0, ∞[ &

³³

´ ∃j ∈ 1, k : xj ∈ ]0, ∞[

i=1

=⇒

k ³X

´´ xi ∈ ]0, ∞[

.

i=1

Далее имеем, как нетрудно проверить, другое хорошо известное свойство ∀k ∈ N ∀u ∈ Rk ∀v ∈ Rk k k k ³X ´ ³X ´ X u(i) + v(i) = ( u(i) + v(i) ) . i=1

i=1

i=1

Свойство дистрибутивности имеет здесь следующий вид: ∀a ∈ R ∀k ∈ N ∀(bi )i∈1,k ∈ Rk k k ´ ³X X a· (a bi ) . bi = i=1

i=1

70

Используя общее понятие биекции, введем в рассмотрение перестановки конечных промежутков множества N . Пусть ∀n ∈ N 4

Πn = (bi) [1, n; 1, n] . Тем самым введены соответствующие множества перестановок любого порядка. Эти перестановки (элементы Πn ) имеют смысл перенумераций. Если n ∈ N , f ∈ Rn и l ∈ Πn , то ³ ´ ∈ Rn . f ◦ l = f (l(i)) i∈1,n

В данной ситуации удобно пользоваться индексной формой записи: при n ∈ N , (xi )i∈1,n ∈ Rn и l ∈ Πn имеем (xl(i) )i∈1,n ∈ Rn . С использованием индукции проверяется, что ∀n ∈ N ∀l ∈ Πn n n X X xi = xl(i) . i=1

∀(xi )i∈1,n ∈ Rn

i=1

Мы опускаем сейчас изложение прочих хорошо известных свойств конечных сумм, которые, в частности, нам потребуются при определении важного свойства конечной аддитивности вероятности. В свою очередь, сочетание (2.17) и свойств конечных сумм при неограниченно возрастающем верхнем индексе суммирования приводит к определению суммы ряда, что может быть полезно при определении счетной аддитивности. Мы, однако, отложим эти вопросы до раздела 5, где будут рассмотрены некоторые вводные понятия, связанные с вероятностью. Сейчас в очень краткой форме обсудим понятие конечного множества, а также свойства конечных множеств. Конечные множества. Если S[K], то полагаем def ´ ³ ³ ³ ´´ SF [K] ⇐⇒ (K = ∅) ∨ ∃n ∈ N : (bi) [1, n; K] 6= ∅ ; (2.43) выражение SF [K] заменяет у нас фразу: K есть конечное множество. Подобно (1.1), выражения ∀K SF [K] ,

∃K SF [K] ,

∃!K SF [K]

соответствуют высказываниям: “для всякого конечного множества K”, “существует конечное множество K”, “существует единственное конечное множество K”; вместо K может использоваться ПБ. Особо оговариваем случай 71

непустых конечных множеств: если S[K 6= ∅], то def ³ ´ ´ ³ SF [K 6= ∅] ⇐⇒ ∃n ∈ N : (bi) [1, n; K] 6= ∅ . Здесь речь идет о множестве, все элементы которого можно занумеровать числами из некоторого конечного промежутка натурального ряда N . Как обычно используем выражения ∀K SF [K 6= ∅] ,

∃K SF [K 6= ∅] ,

∃!K SF [K 6= ∅]

вместо фраз “для всякого непустого конечного множества K”, “существует непустое конечное множество K” и “существует единственное непустое конечное множество K” соответственно. Ясно, что ∀K SF [K 6= ∅] SF [K] . В дополнение к определениям ТМВ введем ∀X S[X] ∀Y S[Y ] 4

(in)[X; Y ] = {f ∈ Y X | ∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X ((f (x1 ) = f (x2 )) =⇒ (x1 = x2 ))}. (2.44) В (2.44) введено множество всех инъективных (взаимно однозначных) отображений из X в Y . Отметим, кстати, что (см. (1.56), (1.57)) ∀X S[X] ∀Y S[Y ] X (bi) [X ; Y ] = (in) [X; Y ] ∩ Y(∗) .

Можно проверить, используя индукцию, что ∀p ∈ N (in) [ 1, p; 1, p ] = (bi) [ 1, p; 1, p ] = Πp . Кроме того, полезно отметить следующее свойство: если p ∈ N и q ∈ N , то ³ ´ (in) [ 1, p; 1, q ] 6= ∅ =⇒ (p ≤ q) . Итак, мы имеем некоторую конструкцию сравнения натуральных чисел в терминах инъективных отображений. Важное, хотя и очень простое свойство непустых конечных множеств состоит в том, что ∀K SF [K 6= ∅] ∃!n ∈ N :

(bi) [ 1, n; K] 6= ∅ .

Это свойство устанавливается с помощью вышеупомянутой конструкции сравнения (предлагаем это сделать читателю самостоятельно). С учетом этого свойства введем полезное понятие мощности (количества элементов) 72

конечного множества: если SF [K 6= ∅], то |K| ∈ N есть def такое (единственное, как мы уже убедились) число, что (bi) [ 1, |K|; K] 6= ∅ .

(2.45)

В связи с обозначениями напомним (2.1); мы сразу получаем, что |x|, где x ∈ R, и |K| нельзя “спутать”, так как в первом случае мы оперируем с числом x, которое (в силу (2.1)) не есть множество, в отличие от K. В (2.45) число |K| ∈ N есть количество элементов K. Отметим, что (1.59) применимо, в частности, к случаю непустых конечных множеств: если SF [P 6= ∅] и SF [Q 6= ∅], то ³ ´ (P ∼ Q) ⇐⇒ (bi) [P ; Q] 6= ∅ . Легко видеть, что данное свойство исчерпывающим образом характеризуется соотношением для мощностей. Именно, ∀P SF [P 6= ∅] ∀Q SF [Q 6= ∅] (P ∼ Q) ⇐⇒ (|P | = |Q|) ;

(2.46)

(2.46) — также очень важное, хотя и “понятное” свойство. Еще одно свойство, часто используемое уже на “школьном уровне”, состоит в следующем: если SF [K 6= ∅] и f ∈ RK (т.е. f есть функция, действующая из K в числовую прямую R), то ∃!c ∈ R: c=

|K| X

(f ◦ l)(j) ∀l ∈ (bi)[ 1, |K|; K] .

(2.47)

j=1

Здесь при доказательстве следует использовать свойства биекций и суперпозиций, приведенные в разделе 1, т.е. в ТМВ (см., в частности, (1.39)). В силу (2.47) корректно следующее определение: если SF [K 6= ∅] и f ∈ RK , то X (2.48) f (k) ∈ R k∈K

есть def такое (единственное) число, что ∀l ∈ (bi) [ 1, |K|; K ] X k∈K

|K| X f (k) = (f ◦ l)(j) .

(2.49)

j=1

Разумеется, с учетом (2.47) мы просто “присвоили имя” числу c, там используемому. В (2.48) часто используется индексная запись функций, определенных на непустых конечных множествах (по сути дела эти функции — 73

суть вектора соответствующей размерности, но мы пока предпочитаем этого “не замечать”; впрочем, в правой части (2.48) используется f ◦ l ∈ Rn , где n = |K|, а это уже есть вектор в настоящем смысле слова). Представление (2.48), (2.49) позволяет легко переносить многие свойства ранее упоминаемых “упорядоченных” сумм (2.42) на случай сумм “неупорядоченных” (см. (2.48)). Так, например, ∀K SF [K 6= ∅] ∀f ∈ RK ³ ´ ³X ´ f (k) = 0 ∀k ∈ K =⇒ f (k) = 0 . k∈K

Данное свойство непосредственно извлекается из (2.49). Точно так же имеем свойство: если SF [K 6= ∅], f ∈ RK и s ∈ K, то ³ ´ ³X ´ f (k) = 0 ∀k ∈ K \ {s} =⇒ f (k) = f (s) . k∈K

Имеем также с очевидностью (см. (2.49)) ∀K SF [K 6= ∅] ∀f ∈ [0, ∞[K ³X ´ ³³ ´ ³X ´´ f (k) ∈ [0, ∞[ & ∃s ∈ K : 0 < f (s) =⇒ f (k) ∈]0, ∞[ . k∈K

k∈K

Заметим, что при определении конечного множества мы использовали биекции, т.е. нумерации без повторений. Теперь, однако, можно легко проверить, что ∀K S[K 6= ∅] ³ ´ ³ ´ 1,n SF [K 6= ∅] ⇐⇒ ∃n ∈ N : K(∗) 6= ∅ . (2.50) Свойство (2.50) проверяется рассуждением по индукции. В (2.50) речь идет уже о возможности произвольных нумераций всего множества K. Легко “увидеть” теперь и следующее свойство: если SF [P 6= ∅] и SF [Q 6= ∅], то SF [P ∪ Q 6= ∅ ]. Кроме того, имеем с очевидностью ∀P SF [P 6= ∅] ∀Q ∈ P 0 (P ) SF [Q 6= ∅] . После перечисления упомянутых простейших свойств конечных множеств логично ввести их естественные совокупности, т.е. семейства, объединяемые некоторым характерным признаком. Пусть ∀A S[A] o n 4 0 (2.51) F in(A) = K ∈ P (A) | SF [K] . 74

В ( 2.51) мы имеем конкретное пространство множеств. Именно, элементами семейства (2.51) являются непустые конечные п/м заданного множества A и только они; ясно, что ∀A S[A] ∀K ∈ F in(A) SF [K 6= ∅] . Стало быть, для множеств — элементов семейства (2.51) — можно рассматривать их мощность. Поэтому имеем ∀A S[A] ∀K ∈ F in(A) |K| ∈ N .

(2.52)

В связи с (2.52) напомним (2.45). Далее, имеем свойства (фактически уже упоминавшиеся): если S[A], то ³ ´ P ∪ Q ∈ F in(A) ∀P ∈ F in(A) ∀Q ∈ F in(A) & ³ ´ 0 & P (K) ⊂ F in(A) ∀K ∈ F in(A) . В связи с последним обстоятельством полезно заметить, что ∀K SF [K] F in(K) = P 0 (K) .

(2.53)

В свою очередь, из (2.53) имеем очевидные следствия для п/м N . Действительно, если n ∈ N , то 1, n ∈ F in(N ) и (см. (2.53)) F in (1, n ) = P 0 ( 1, n ) . Как следствие, имеем очевидное свойство P 0 ( 1, n ) ⊂ F in(N ) ∀n ∈ N . −−∞. → Вообще же Кроме того, получаем: m, n ∈ F in(N ) ∀m ∈ N ∀n ∈ − m, имеем свойство: если p ∈ N и q ∈ N , то SF [ p, q ] и F in( p, q ) = P 0 ( p, q ). С использованием ранее установленного свойства конечности объединения двух конечных множеств имеем по индукции следующее положение: если S[A], m ∈ N и (Ki )i∈1,m ∈ F in(A)m , то m [

Ki ∈ F in(A) .

(2.54)

i=1

В условиях, определяющих (2.54), учитывается соглашение (2.20): F in(A)m есть множество всех отображений ˜ i )i∈1,m : 1, m −→ F in(A) . (K 75

Отметим еще несколько простых свойств конечных множеств. Так, можно легко проверить, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀A ∈ F in(X) ∀B ∈ F in(Y ) A × B ∈ F in(X × Y ) . Как следствие, получаем ∀A SF [A 6= ∅] ∀B SF [B 6= ∅] SF [A × B 6= ∅] .

(2.55)

Полезно заметить и очевидное теперь положение: если SF [A] и SF [B], то SF [A × B]. С упомянутыми свойствами декартова произведения связаны широко используемые свойства двойных сумм. Заметим сначала, что ∀A SF [A 6= ∅] ∀B SF [B 6= ∅] ∀f ∈ RA×B X f (z) ∈ R ; (2.56) z∈A×B

мы учли (2.48) и (2.55). Рассмотрим далее требуемые представления величин вида (2.56), используя символику ТМВ и, в частности, правило экономии скобок для функций двух переменных (см. заключительную часть ТМВ). Кроме того, имеем ∀A S[A 6= ∅] ∀B S[B 6= ∅] ∀C S[C] ∀f ∈ C A×B ³ ´ B f (a, ·) = (f (a, y))y∈B ∈ C ∀a ∈ A & ³ & f (·, b) = (f (x, b))x∈A ∈ C

A

´ ∀b ∈ B .

(2.57)

Как следствие, получаем, что ∀A SF [A 6= ∅] ∀B SF [B = 6 ∅] ∀f ∈ RA×B ³X ´ ³X ´ f (a, y) ∈ R ∀a ∈ A & f (x, b) ∈ R ∀b ∈ B . (2.58) y∈B

x∈A

Подчеркнем, что в (2.58) используется, для непустых конечных множеств A, B и функции f ∈ RA×B , индексная форма записи функций f (a, ·) и f (·, b), где a ∈ A и b ∈ B: под знаком (неупорядоченной) конечной суммы мы размещаем значения этих функций, т.е. f (a, ·)(y), y ∈ B, и f (·, b)(x), x ∈ A, которые были указаны в (2.57). Итак, при a ∈ A и b ∈ B мы понимаем суммы в (2.58) как ³X ´ ³X ´ f (a, ·)(y) ∈ R & f (·, b)(x) ∈ R y∈B

x∈A

соответственно (в дальнейшем подобное соглашение используем без дополнительных пояснений). Таким образом, мы использовали здесь (2.48), (2.49) 76

в комбинации с (2.57). В свою очередь, можно применить (2.48) и (2.58). Здесь мы учитываем следующее (см. (2.58)): если SF [A 6= ∅], SF [B 6= ∅] и f ∈ RA×B , то ´ ³³ X ´ ³³ X ´ ´ A B ∈R & f (a, y) f (x, b) ∈R ; y∈B

a∈A

x∈A

b∈B

теперь уже можно реализовать две версии (2.48) при K = A и при K = B. С учетом (2.56) имеем теперь ∀A SF [A 6= ∅] ∀B SF [B 6= ∅] ∀f ∈ RA×B ³ X ´ ³XX ´ ³XX ´ f (t) ∈ R & f (x, y) ∈ R & f (x, y) ∈ R . (2.59) t∈A×B

x∈A y∈B

y∈B x∈A

В (2.59) мы снова используем индексную форму записи функций. Разумеется, все три числа в (2.59) совпадают; однако, чтобы это проверить, нам потребуется целый ряд дополнительных положений, имеющих и самостоятельное значение. Напомним в этой связи (2.54). Если S[A], P ∈ F in(A), S P Q Q ∈ F in(A) и f ∈ R , то ³X ´ ³X ´ ³ X ´ (f |P )(x) ∈ R & (f |Q)(x) ∈ R & f (x) ∈ R . x∈P

x∈Q

x∈P

S

Q

В последних соотношениях мы воздерживаемся от применения приема, используемого в (2.58), т.е. не используем индексную запись, применяя (как и в (2.48)) указание: для какой именно функции (как целого) рассматривается сумма. В дальнейшем используем, по мере необходимости, оба вышеупомянутых варианта. В этих конструкциях можно, в частности, допустить, что одно из множеств (например, Q) одноэлементно. При этом, конечно, ∀A S[A] ∀K ∈ F in(A) ∀a ∈ A \ K (2.60) K ∪ {a} ∈ F in(A) . Это свойство позволяет применить (2.52) с целью определения мощности конечного множества, отличающегося от исходного конечного множества одним элементом. Разумеется, имеем свойство: если S[A], K ∈ F in(A) и a ∈ A \ K, то |K ∪ {a}| = |K| + 1 ; если, к тому же, f ∈ RK∪{a} , то X X f (x) = (f |K)(x) + f (a) . x∈K∪{a}

x∈K

77

(2.61)

Полезно представить последние построения и на несколько ином языке, учитывая, что ∀x (ob)[x] SF [{x} 6= ∅] . Подобно (2.60) мы имеем свойство: если SF [P 6= ∅] и (ob)[x], то SF [P ∪ {x} 6= ∅]. Ясно также, что ∀K SF [K 6= ∅] ∀x (ob)[x] ³ ´ (x ∈ / K) =⇒ |K ∪ {x}| = |K| + 1 . По аналогии с (2.61) мы реализуем правило суммирования: если SF [K 6= ∅], (ob)[x] и при этом x ∈ / K, то X X f (k) = f (x) + (f |K)(k) ∀f ∈ RK∪{x} . k∈K

k∈K∪{x}

Все эти простейшие рассуждения подводят нас к важному выводу: если S[A], P ∈ F in(A), Q ∈ F in(A) и при этом P ∩ Q = ∅, то X X X f (k) = (f |P )(k) + (f |Q)(k) ∀f ∈ RP ∪Q . (2.62) k∈P ∪Q

k∈P

k∈Q

Мы имеем в (2.62) аддитивность неупорядоченных конечных сумм (доказательство проводится по индукции). Из (2.62) имеем, в частности, ∀A S[A 6= ∅] ∀P ∈ F in(A) ∀Q ∈ F in(A) ³ X (P ∩ Q = ∅) =⇒ (f |P ∪ Q)(k) = k∈P ∪Q

´ X X A = (f |P )(k) + (f |Q)(k) ∀f ∈ R . k∈P

k∈Q

Наконец, еще одна редакция данного (важного для нас в основной части пособия) свойства имеет следующий вид: если SF [P 6= ∅] и SF [Q 6= ∅], то ³ X ´ X X P ∪Q (P ∩ Q = ∅) =⇒ f (t) = (f |P )(t) + (f |Q)(t) ∀f ∈ R . t∈P ∪Q

t∈P

t∈Q

Разбиения. Для наших последующих построений в основной части полезным оказывается понятие разбиения; сейчас это понятие будет применяться по соображениям более частного характера. Мы различаем далее 78

разбиения упорядоченные и неупорядоченные; отметим сейчас, что понятие разбиения уже возникало в разделе 1 (см. (1.68)). Имеем ∀A S[A] ∀H (F am)[H] ∀I S[I 6= ∅] ¯³ n ´ [ 4 I¯ (P ART )[A|H; I] = h ∈ H ¯ A = h(i) & (2.63) i∈I

³

³ ´´o & ∀i1 ∈ I ∀i2 ∈ I ( h(i1 ) ∩ h(i2 ) 6= ∅) =⇒ (i1 = i2 ) = ¯³ n ´ ³ ´o [ I ¯ = h∈H ¯ A= h(i) & h(i1 ) ∩ h(i2 ) = ∅ ∀i1 ∈ I ∀i2 ∈ I \ {i1 } . i∈I

Подчеркнем, что в (2.63) мы одновременно даем определение и приводим простейшее утверждение — следствие данного определения. В частности, ∀X S[X] ∀A ∈ P(X) ∀X ∈ P(P(X)) ∀I S[I 6= ∅] ¯ ³ n ´ [ I ¯ (P ART )[A|X ; I] = h ∈ X ¯ A = h(i) & (2.64) i∈I

³ & ∀i1 ∈ I ∀i2 ∈ I

´o ((h(i1 ) ∩ h(i2 ) = 6 ∅) =⇒ (i1 = i2 )) .

Подчеркнем две особенности. Во-первых, в (2.63), (2.64) речь идет об упорядоченных разбиениях. По сути дела, эти разбиения — множественнозначные функции. Вторая особенность связана с тем, что, вообще говоря, мы рассматриваем в (2.63), (2.64) разбиения, осуществляемые множествами специального вида, а, точнее, множествами из заданных семейств, хотя можно, конечно, допустить в (2.64), например, версию X = P(X). Однако последующие конструкции, связанные с оснащением событий вероятностями, мотивируют взгляд на вещи, подобный (2.63), (2.64). Отметим, кстати, два важных частных случая: 1)I = N ; 2)I = 1, m при m ∈ N . Оба этих случая будут существенны в построениях, связанных с вероятностью. Сейчас мы только наметим два эти направления. Если S[A] и (F am)[H], то полагаем 4

∆∞ [A; H] = (P ART )[A|H; N ] ,

(2.65)

получая при этом множество всех последовательностей (Hi )i∈N : N −→ H , для каждой из которых имеет место ³ [ ´ ³ A= Hi & ∀p ∈ N ∀q ∈ N i∈N

79

´ ((Hp ∩ Hq = 6 ∅) =⇒ (p = q)) .

Конечно, случай, обсуждаемый в (2.65), является очень общим. Как правило, для нас представляет основной интерес та версия, когда H ∈ P 0 (P(A)), т.е. H является непустым семейством п/м A. Именно эта (нетривиальная) редакция будет использована в разделе 4 при рассмотрении σ-аддитивных семейств. Если S[A], (F am)[H] и m ∈ N , то полагаем 4

∆m (A, H) = (P ART )[A|H; 1, m ] ,

(2.66)

получая при этом множество всех отображений (кортежей) (Hi )i∈1,m : 1, m −→ H , для каждого из которых имеет место ³ A=

m [

´ Hi

³ ´ & ∀p ∈ 1, m ∀q ∈ 1, m ((Hp ∩ Hq 6= ∅) =⇒ (p = q)) .

i=1

К этому понятию (см. (2.66)) мы вернемся в разделе 3. Итак, в (2.65) мы определили множество всех счетных разбиений множества A элементами семейства H, а в (2.66) — множество всех m-разбиений A элементами H. Двойные суммы. Возвращаясь к (2.51), отметим следующее легкопроверяемое представление: если S[A], то n F in(A) = K ∈ P 0 (A) | o m ∃m ∈ N ∃(ai )i∈1,m ∈ K ∀x ∈ K ∃j ∈ 1, m : x = aj = n o 1,m 0 = K ∈ P (A) | ∃m ∈ N : K(∗) 6= ∅ , здесь учтено (1.56). С использованием конструкций на основе (2.66) можно проверить следующее положение: если SF [A 6= ∅], f ∈ RA , m ∈ N и (Hi )i∈1,m ∈ ∆m (A, P 0 (A)), то X a∈A

f (a) =

m X X

(f |Hs )(k) .

(2.67)

s=1 k∈Hs

Для доказательства достаточно использовать принцип математической индукции. Напомним теперь, что ∀p ∈ N ∀q ∈ N SF [1, p × 1, q 6= ∅] . 80

При этом (см. ТМВ) ∀p ∈ N ∀q ∈ N ∀f ∈ R1,p×1,q ∀i ∈ 1, p ∀j ∈ 1, q f (i, j) = f ((i, j)) ∈ R . В итоге получаем для p ∈ N , q ∈ N , f ∈ R1,p×1,q свойство q ³X

´ f (i, j)

i∈1,p

j=1

∈ Rp

и, как следствие, имеем число p X q X

f (i, j) ∈ R ;

i=1 j=1

с другой стороны, у нас p ³X

´ f (i, j)

i=1

j∈1,q

∈ Rq

и в результате получаем, что q X p X

f (i, j) ∈ R ;

j=1 i=1

с учетом (2.51), (2.56), (2.59) имеем также X f (z) ∈ R . z∈1,p×1,q

С использованием (2.67) можно легко проверить хорошо известное и весьма важное положение: если m ∈ N , n ∈ N и f ∈ R1,m×1,n (т.е. f есть двойная конечная последовательность чисел f (i, j), i ∈ 1, m, j ∈ 1, n), то X z∈1,m×1,n

f (z) =

m X n X

f (i, j) =

i=1 j=1

n X m X

f (i, j) .

(2.68)

j=1 i=1

Свойство (2.68) существенно в конструкциях теории меры и теории вероятностей. С его помощью можно придти к отождествлению всех величин, участвующих в (2.59). 4

4

В самом деле, пусть SF [A 6= ∅], SF [B 6= ∅], f ∈ RA×B , m = |A| и n = |B|. Используя (2.45), подберем ³ ´ ³ ´ ϕ ∈ (bi)[1, m; A] & ψ ∈ (bi)[1, n; B] . 81

Тогда, в частности, имеем для ³³ ´´ 4 λ = ϕ(pr1 (z)), ψ(pr2 (z))

z∈1,m×1,n

∈ (A × B)1,m×1,n

приводимые ниже полезные свойства, которые, для краткости, мы будем формулировать в терминах множества 4

C =A×B.

(2.69)

При этом (см. (2.56), (2.69)) f ∈ RC и число X X f (z) = f (z) ∈ R z∈C

z∈A×B

определяется (см. (2.55)) по правилу, указанному в (2.48), (2.49). Здесь мы отметим прежде всего, что 4

r = |C| = | A × B| ∈ N есть единственное число из N , для которого (см. (2.45)) (bi)[ 1, r; C] 6= ∅ ; r — количество элементов C. Кроме того, ∀l ∈ (bi)[ 1, r; C] X

r X (f ◦ l)(j) . f (z) =

z∈C

j=1

Вернемся к определению λ ∈ C 1,m×1,n . При этом для z ∈ C имеем pr1 (z) ∈ A и pr2 (z) ∈ B (см. ТМВ), а потому для некоторых i ∈ 1, m и j ∈ 1, n имеем z = (ϕ(i), ψ(j) ) ; 4

мы использовали здесь биективность ϕ, ψ. Напомним, что для u = (i, j) ∈ 1, m × 1, n имеет место ³ ´ ³ ´ λ(u) = λ(i, j) = ϕ(pr1 (u)), ψ(pr2 (u)) = ϕ(i), ψ(j) = z . С учетом (1.25), (1.28) имеем z ∈ λ1 (1, m × 1, n). Вложение C ⊂ λ1 (1, m × 1, n) установлено, а тогда (см. (1.28)) C = λ1 (1, m × 1, n) 82

и, в силу (1.56), получаем, что 1,m×1,n λ ∈ C(∗) .

На самом же деле отображение λ биективно. Для проверки этого свойства выберем v ∈ 1, m×1, n и w ∈ 1, m×1, n так, что λ(v) = λ(w). Для краткости 4

4

4

4

полагаем α = pr1 (v), β = pr2 (v), γ = pr1 (w) и δ = pr2 (w). Разумеется, α ∈ 1, m, β ∈ 1, n, γ ∈ 1, m и δ ∈ 1, n. По определению λ имеем ³ ´ ´ ³ λ(v) = ϕ(α), ψ(β) , λ(w) = ϕ(γ), ψ(δ) . Из основного свойства упорядоченных пар имеем следующие два равенства ³ ´ ³ ´ ϕ(α) = ϕ(γ) & ψ(β) = ψ(δ) , что, в силу биективности ϕ и ψ, означает (α = γ) & (β = δ) , т.е. v = (α, β) = (γ, δ) = w. Импликация ³ ´ λ(v) = λ(w) =⇒ (v = w) установлена, что, в силу произвольного выбора v и w, означает (см. (1.57)): λ ∈ (bi)[ 1, m × 1, n; C] .

(2.70)

Теперь мы напомним, что f ◦ λ ∈ R1,m×1,n и, согласно (2.68), имеем X z∈1,m×1,n

(f ◦ λ)(z) =

m X n X

(f ◦ λ)(i, j) =

i=1 j=1

n X m X

(f ◦ λ)(i, j) .

(2.71)

j=1 i=1

Здесь, конечно, используется следующее представление: для i ∈ 1, m и j ∈ 1, n ³ ´ ³ ´ (f ◦ λ)(i, j) = (f ◦ λ)((i, j)) = f λ((i, j)) = f (λ(i, j)) = f ϕ(i), ψ(j) . Стало быть, в (2.71) имеем X z∈1,m×1,n

m X n n X m ³ ´ X ³ ´ X (f ◦ λ)(z) = f ϕ(i), ψ(j) = f ϕ(i), ψ(j) . (2.72) i=1 j=1

j=1 i=1

83

В силу биективности ψ имеем (см. (2.49)) при i ∈ 1, m равенство n ³ ´ X X f ϕ(i), ψ(j) = f (ϕ(i), y) j=1

y∈B

(следует учесть свойства суперпозиций, рассматриваемые в ТМВ). Но и ϕ биективно, а тогда XX

f (x, y) =

m X X

m X n ³ ´ X f (ϕ(i), y) = f ϕ(i), ψ(j) .

i=1 y∈B

x∈A y∈B

(2.73)

i=1 j=1

Комбинацию (2.72), (2.73) дополним еще одним рассуждением, относящимся к последнему выражению в (2.72). Именно, используя биективность ϕ, мы получаем для j = 1, n равенство m ³ ´ X X f ϕ(i), ψ(j) = f (x, ψ(j)) i=1

x∈A

(см. (2.49)). С учетом же биективности ψ имеем теперь в силу (2.49) равенство n X n X m ³ ´ XX X X f (x, y) = f (x, ψ(j)) = f ϕ(i), ψ(j) . (2.74) j=1 x∈A

y∈B x∈A

j=1 i=1

Из (2.72) – (2.74) вытекает, что справедливо XX

m X n ³ ´ X f (x, y) = f ϕ(i), ψ(j) =

x∈A y∈B

(2.75)

i=1 j=1

n X m ³ ´ XX X = f ϕ(i), ψ(j) = f (x, y) ; j=1 i=1

y∈B x∈A

кроме того, полезно отметить цепочку равенств (см. (2.72),(2.75)) XX XX X f (x, y) = f (x, y) = (f ◦ λ)(z) . x∈A y∈B

y∈B x∈A

(2.76)

z∈1,m×1,n

Напомним теперь, что 1, m ∈ F in(N ) и 1, n ∈ F in(N ). Тогда, в частности, имеем (см. (2.51)) ³ ´ ³ ´ SF [ 1, m 6= ∅] & SF [1, n 6= ∅] . 84

В этом случае, согласно (2.55), SF [ 1, m × 1, n 6= ∅] . Кроме того, по выбору A и B имеем (см. (2.55), (2.69)) SF [C 6= ∅]. Из (1.59), (2.69), (2.70) получаем теперь 1, m × 1, n ∼ C , а тогда, как следует из (2.46), выполняется равенство | 1, m × 1, n | = |C| = r . Пусть теперь w ∈ (bi)[ 1, r; 1, m×1, n ] (мы учли (1.60), (2.45), (2.46)). Тогда X

r ³ ´ X (f ◦ λ) ◦ w (i) , (f ◦ λ)(z) =

(2.77)

i=1

z∈1,m×1,n

мы учли (2.49). Заметим, однако, что (f ◦ λ) ◦ w = f ◦ (λ ◦ w); см. свойства суперпозиции функций в ТМВ. Однако, λ ◦ w ∈ (bi)[1, r; C] . Вновь используя (2.49), получаем теперь, что X

(f ◦ λ)(z) =

r ³ X

´ X f ◦ (λ ◦ w) (i) = f (c) .

i=1

z∈1,m×1,n

c∈C

Из (2.76) – (2.78) получаем цепочку равенств X XX XX f (c) = f (x, y) = f (x, y) ∈ R , c∈C

(2.78)

x∈A y∈B

(2.79)

y∈B x∈A

где SF [A 6= ∅], SF [B 6= ∅] и C = A × B. В (2.68) и (2.79) мы, в сущности, имеем одно и то же, но только по-разному записанное, свойство. Не более, чем счетные, множества. Мы рассматриваем далее множества, элементы которых можно занумеровать натуральными числами. Наше рассмотрение здесь будет совсем кратким; оно ограничивается лишь соображениями, так или иначе связанными с рассмотрением некоторых примеров построения σ-алгебр множеств в последующих разделах и важного свойства счетной аддитивности функций множества. Для более подробного знакомства рекомендуется ознакомиться с конструкциями [3, гл.1]. 85

Напомним, что последовательность в множестве X есть функция из N в X, т.е. элемент множества X N . Стало быть, для последовательностей мы можем использовать понятия, связанные с функциями общего вида, и, в частности, понятие образа множества N (см. (1.26)). Если S[X] и Y ∈ P 0 (X), то называем множество Y не более, чем счетным п/м X, если ∃f ∈ X N : Y = f 1 (N ) . (2.80) Для обозначения последовательностей часто используется индексная форма записи функций. Тогда требование (2.80) можно переписать в следующей форме: существует последовательность (xi )i∈N : N −→ X

(2.81)

такая, что Y = {xi : i ∈ N }; разумеется, последовательность (2.81) является при этом элементом множества Y N . Более того, (2.81) является функN цией из Y(∗) ; см.(1.56). С учетом этих рассуждений мы вводим следующее определение: если S[X], то 4

(count)[X] = {f 1 (N ) : f ∈ X N }

(2.82)

есть семейство всех непустых не более, чем счетных, п/м X. К не более, чем счетным, п/м того или иного множества обычно причисляют и ∅, т.е. пустое множество; тогда 4

ω[X] = (count)[X] ∪ {∅} можно рассматривать как семейство всех не более, чем счетных, п/м X. Мы, однако, сейчас сосредоточимся на обсуждении (2.82). Легко видеть, что (2.82) есть семейство всех множеств Y ∈ P 0 (X) таких, что ∃(yi )i∈N ∈ Y N ∀y ∈ Y ∃j ∈ N : y = yj .

(2.83)

Из (2.82) и представления в терминах (2.83) легко следует очевидное свойство: ∀X S[X] F in(X) ⊂ (count)[X] (подчеркнем, что в своем требовании (2.83) мы не предполагали возможность нумерации множества Y “без повторений”, т.е. нумерации посредством биективной последовательности). Имеем ∀X S[X] ∀A ∈ (count)[X] ∀B ∈ (count)[X] A ∪ B ∈ (count)[X] . 86

Как следствие, имеем свойство: если S[X], n ∈ N и (Ci )i∈1,n : 1, n −→ (count)[X] , то непременно имеет место n [

Ci ∈ (count)[X] .

i=1

Более того, можно показать, что ∀X S[X] ∀(Ci )i∈N ∈ (count)[X]N [ Ci ∈ (count)[X] . i∈N

Отметим, наконец, совсем простое свойство: ∀X S[X] ∀C ∈ (count)[X] P 0 (C) ⊂ (count)[X] . Итак, если мы располагаем произвольным множеством X (в частности, это множество может быть семейством) и непустым не более, чем счетным, множеством C, C ⊂ X, то каждое непустое п/м C само является (непустым) не более, чем счетным, п/м X. Отметим в качестве следствия, что ∀X S[X] ∀Λ ∈ ω[X] P(Λ) ⊂ ω[X] . Полезно иметь в виду, что ∀X S[X] ∀Y S[Y ] ∀A ∈ (count)[X] ∀B ∈ (count)[Y ] A × B ∈ (count)[X × Y ] . На этом мы завершаем сводку простейших свойств не более, чем счетных множеств; более подробные сведения можно найти, например, в [1,3].

3. Простейшие типы измеримых пространств и представление событий в задачах теории вероятностей В ТМВ были рассмотрены простейшие теоретико-множественные конструкции, которые находят свое применение практически во всех областях современной математики и в ее многочисленных приложениях. Мы ставим себе в настоящий момент очень скромную цель: речь пойдет только 87

о некоторых вопросах, связанных с основаниями теории меры и теории вероятностей (см. [4]). Именно, в теории вероятностей (ТВ) принято [4] рассматривать события как п/м заданного множества, называемого часто пространством элементарных событий (ПЭС). Замечание 3.1. Разумеется, возможен и другой взгляд на события. В частности, они могут определяться в форме предложений (см. [5, c.10 23]), так или иначе выражаемых символами и допускающих исполнение тех или иных операций, реализующих новые предложения из уже имеющихся. В этих построениях должны соблюдаться правила математической логики и, в принципе, мы должны опираться здесь на соответствующую систему аксиом, которые, в применении к понятиям ТВ, должны охватывать содержательные явления, относительно достоверности которых у нас нет полной уверенности: будет тепло, пойдет дождь, выпадет снег, сломается станок, родится мальчик и т.д. Нам удобнее, однако, сейчас интерпретировать многие из этих явлений в терминах принадлежности исхода некоторого опыта заданному априори множеству возможных (в принципе) исходов.2 Возвращаясь к понятию ПЭС, мы должны ориентироваться на тот или иной (более или менее сложный) эксперимент. Множество всех его исходов мы и отождествляем с ПЭС (множеством элементарных событий). Так, например, в опыте с подбрасыванием монеты M у нас имеется только два возможных исхода: P (решка) и O (орел); в опыте с подбрасыванием двух монет M1 и M2 их уже четыре: (P, P ), (P, O), (O, P ), (O, O). В опыте с вбрасыванием точки в единичный квадрат K на плоскости последний следует рассматривать в качестве ПЭС. Для обозначения ПЭС в ТВ часто используется буква Ω (см. [4, 6] и др.). Поэтому во многих случаях можно, в принципе, рассматривать P(Ω) (см. ТМВ) как вариант семейства событий, интерпретируя последние как п/м Ω. При этом, фиксируя M ∈ P(Ω) (т.е. множество M со свойством M ⊂ Ω), ситуацию ω ∈ M , где ω – исход опыта, мы интерпретируем как событие, иногда это событие удается сравнительно просто охарактеризовать словесно. Например, в опыте с подбрасыванием монет M1 , M2 множество {(P, P ); (O, O)} характеризуется утверждением: M1 и M2 падают гранями равного достоинства. Здесь интересующее нас событие задано и словесно, и перечислением исходов (т.е. элементарных событий), его составляющих. Такая возможность имеется не всегда. Более того, во многих случаях не всякое п/м Ω можно рассматривать как событие. Правда в случае конечного множества Ω можно принять, что любое п/м Ω есть событие; это очень 88

удобно с точки зрения последующего оснащения семейства событий вероятностью, как функцией множества. Для бесконечных множеств Ω, а это имеет место во многих опытах (экспериментах), событиями логично считать лишь некоторые п/м Ω. Впрочем, события, понимаемые как некоторые п/м Ω, должны составлять достаточно “хорошие” семейства, в пределах которых допустимо исполнять основные теоретико-множественные операции; речь идет об объединении, пересечении, дополнении (до Ω) и т.п., т.е. об операциях, рассматриваемых в ТМВ (см. раздел 1). Подчеркнем еще раз, что сознательный отказ от рассмотрения произвольных п/м Ω в качестве событий связан с принципиальными трудностями в их последующем оснащении вероятностями соответствующего типа (характеризующими достоверность реализации исхода из того или иного множества). Мы не будем, разумеется, в данной работе входить во все детали этих конструкций, отсылая к специализированной литературе по теории меры (см. [6, 7] и др.) и ТВ [4, 8, 9] и ограничиваясь сейчас констатацией принципиальной необходимости разумных ограничений в вопросах интерпретации событий как п/м Ω. Итак, фиксируем далее произвольное множество Ω; стало быть, S[Ω]. Напомним (см. раздел 1), что P(Ω) есть семейство всех п/м Ω, а P 0 (Ω) – семейство всех непустых п/м Ω. Далее, P(P(Ω)) есть (см. ТМВ) множество всех подсемейств P(Ω), т.е. множество всех семейств п/м Ω. Наконец, P 0 (P(Ω)) есть множество всех непустых подсемейств P(Ω), т.е. множество всех непустых семейств п/м Ω. Нас будут интересовать п/м (а, точнее, подсемейства) P(Ω), обладающие теми или иными “хорошими” свойствами. В частности, отметим, что в P(Ω) произведение обычно представляют в виде пересечения, ∅ рассматривают в качестве “нуля”, а само Ω – в качестве “единицы”. Если H ∈ P(P(Ω)) обладает свойством H1 ∩ H2 ∈ H ∀H1 ∈ H ∀H2 ∈ H,

(3.1)

то семейство H называем мультипликативным. Тогда 4

π[Ω] = {L ∈ P 0 (P(Ω)) | (∅ ∈ L) & (Ω ∈ L) &

(3.2)

& (A ∩ B ∈ L ∀A ∈ L ∀B ∈ L)} есть множество всех мультипликативных семейств п/м Ω с “нулем” и “единицей”. В терминах (3.1), (3.2) мы определяем один из вариантов измеримого пространства (ИП) в виде пары (Ω, L), где L ∈ π[Ω]. Будем называть такую пару также мультипликативным пространством (с “нулем” и “единицей”). 89

Пример. Пусть Ω = ]0, 1[ , а L есть семейство всех интервалов ]a, b[ , a ∈ [0, 1], b ∈ [0, 1], т.е. L = {]pr1 (z), pr2 (z)[ : z ∈ [0, 1] × [0, 1]}. Тогда (Ω, L) есть мультипликативное пространство, т.е. L ∈ π[Ω]. Однако с точки зрения использования в задачах ТВ, наш вариант (Ω, L) “плох”. / L, Дело в том, что для L ∈ L не только возможен случай, когда Ω \ L ∈ но и возможна более неприятная ситуация: Ω \ L, вообще говоря, нельзя разбить в конечную сумму попарно непересекающихся множеств из L. В частности, последнее свойство реализуется для L = ] 13 , 32 [ , так как тогда i h 2 h 1 i 0, ∪ , 1 . Ω\L = 3 3 Стало быть, ИП, конструируемые на основе (3.2), вообще говоря, могут не обладать свойствами, необходимыми для работы с семейством событий уже в простейших задачах ТВ. 2 Попытаемся сейчас исправить наше определение ИП, ориентируясь на вышеупомянутый пример и привлекая понятие полуалгебры множеств [4]. Здесь мы добиваемся, на первый взгляд, немногого; однако, на самом деле данное понятие оказывается весьма удачным как некоторый промежуточный вариант измеримой структуры. Если L ∈ π[Ω], то условимся называть семейство L полуалгеброй п/м Ω в случае, когда при всяком выборе L ∈ L множество Ω\L допускает разбиение в конечную сумму (объединение) попарно непересекающихся множеств из L. Для более формализованного определения нам понадобится определить строго понятие разбиения (мы уже касались этого понятия в ТМВ, при рассмотрении отношений эквивалентности). Будем рассматривать сейчас конечные упорядоченные разбиения множеств элементами L ∈ π[Ω] (более общий случай нам сейчас не потребуется); напомним, что для n ∈ N в виде Ln мы имеем множество всех отображений (Li )i∈1,n : 1, n → L ;

(3.3)

такие отображения часто называют упорядоченными n-ками или кортежами длины n со значениями из L. Подчеркнем, что в (3.3) мы используем индексную форму записи функций (см. раздел 1). Если L ∈ P 0 (P(Ω)), M ∈ P(Ω) и n ∈ N , то называем (см. (2.66)) n-разбиением множества M элементами L всякий кортеж (3.3), для кото90

рого

n ´ ³ ³ ´ [ Li & Lp ∩ Lq = ∅ ∀p ∈ 1, n ∀q ∈ 1, n \ {p} . M= i=1

В литературе по ТВ в последнем случае часто используют запись M =

n G

Li

(3.4)

i=1

(M есть дизъюнктное объединение множеств L1 , . . . , Ln ). Мы следуем далее конструкциям раздела 2 и символике [10, гл. 3], получая при L ∈ P 0 (P(Ω)), M ∈ P(Ω) и n ∈ N n ³ ´ n [ n Li & ∆n (M, L) = (Li )i∈1,n ∈ L | M =

(3.5)

i=1

³

´o

& Lp ∩ Lq = ∅ ∀p ∈ 1, n ∀q ∈ 1, n \ {p}

.

В (3.5) введено множество всех n-разбиений множества M элементами L, т.е. множество всех кортежей (3.3), обеспечивающих справедливость (3.4); см. (2.66). Возвращаясь к понятию полуалгебры п/м Ω, мы привлекаем к соответствующему определению конструкцию (3.5). Именно, семейство L ∈ π[Ω] называем полуалгеброй п/м Ω, если ∀L ∈ L ∃n ∈ N : ∆n (Ω \ L, L) 6= ∅.

(3.6)

Через Π[Ω] обозначаем множество всех полуалгебр п/м Ω: 4

Π[Ω] = {L ∈ π[Ω] | ∀L ∈ L ∃n ∈ N : ∆n (Ω \ L, L) 6= ∅}.

(3.7)

Отметим один очевидный 4 Пример. Пусть Ω = [0, 1[, а L = {[pr1 (z), pr2 (z)[ : z ∈ [0, 1] × [0, 1]}. Иными словами, L есть семейство всех полуинтервалов [a, b[ таких, что a ∈ [0, 1] и b ∈ [0, 1]. Тогда ∅ = [1, 0[ ∈ L, Ω = [0, 1[ ∈ L. Если a1 ∈ [0, 1], 4

b1 ∈ [0, 1], a2 ∈ [0, 1] и b2 ∈ [0, 1], то [a1 , b1 [ ∩ [a2 , b2 [ = [α, β[ , где α = 4

sup({a1 ; a2 }) и β = inf({b1 ; b2 }). Поэтому A∩B ∈ L ∀A ∈ L ∀B ∈ L. Пусть L ∈ L. Подберем a∗ ∈ [0, 1] и b∗ ∈ [0, 1] так, что L = [a∗ , b∗ [ . Рассмотрим Ω \ L. При этом, конечно, Ω \ L = [0, a∗ [ ∪ [b∗ , 1[ и, при a∗ < b∗ , мы имеем в виде [0, a∗ [ ∈ L и [b∗ , 1[ ∈ L разбиение Ω\L в сумму двух непересекающихся 91

множеств из L (одно из которых может быть пустым). Если же b∗ ≤ a∗ , то L = ∅ и Ω\L = Ω ∈ L. Итак, мы установили, что в нашем случае L ∈ Π[Ω]. 2 Если L ∈ Π[Ω], то пару (Ω, L) называем ИП с полуалгеброй множеств. Имея такое ИП, мы не получили еще должной свободы в исполнении традиционных для ТВ операций; в частности, в пределах L ∈ Π[Ω] еще нельзя, вообще говоря, исполнять операции дополнения и объединения. Но в части получения удобных представлений для дополнений множеств, рассматриваемых в виде “событий”, мы все же продвинулись: эти дополнения здесь можно представлять как дизъюнктные объединения (суммы) “событий”. Следующий шаг – введение усовершенствованных полуалгебр, а именно, – алгебр множеств. Если L ∈ Π[Ω], то называем семейство L алгеброй п/м Ω, если Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L .

(3.8)

Итак, в (3.8) мы несколько усовершенствовали свойство (3.6). Мы обнаружим сейчас, что это усовершенствование на деле достаточно серьезно. Через (alg)[Ω] условимся обозначать множества всех алгебр п/м Ω: 4

(alg)[Ω] = {L ∈ Π[Ω] | Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L} =

(3.9)

= {L ∈ π[Ω] | Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L} . Если L ∈ (alg)[Ω], то пару (Ω, L) именуем ИП с алгеброй множеств. Отметим без доказательства несколько эквивалентных представлений множества (3.9): (alg)[Ω] = {L ∈ P(P(Ω)) | (∅ ∈ L) & (Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L) & & (A ∪ B ∈ L ∀A ∈ L ∀B ∈ L)} = = {L ∈ P(P(Ω)) | (∅ ∈ L) & (Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L) & & (A ∩ B ∈ L ∀A ∈ L ∀B ∈ L)} = = {L ∈ P(P(Ω)) | (Ω ∈ L) & (A \ B ∈ L ∀A ∈ L ∀B ∈ L)}. Мы предоставляем читателю проверку вышеупомянутых достаточно простых представлений множества (alg)[Ω]; некоторые соображения, облегчающие данную проверку, приведены ниже.

92

Уместно, однако, отметить сейчас ряд простейших следствий вышеупомянутых определений. Так, возвращаясь к (3.1), (3.2) и применяя индукцию, получаем свойство: если L ∈ π[Ω], n ∈ N и задан кортеж (3.3) (множеств из L), то n \ Li ∈ L . (3.10) i=1

Обоснование (3.10) использует метод математической индукции. Полезно переписать (3.10) в несколько иной форме. Напомним, что F in(L) есть множество всех непустых конечных подсемейств L, т.е. множество (на самом деле – семейство) всех непустых семейств K, K ⊂ L, допускающих каждое нумерацию числами из некоторого конечного промежутка натурального ряда N . Разумеется, ∀K ∈ F in(L) (F am)[K 6= ∅] . Тогда из (3.10) легко следует, что ∀L ∈ π[Ω] ∀K ∈ F in(L) \ L ∈ L.

(3.11)

L∈K

Фактически (3.11) — другая форма записи свойства конечной мультипликативности (3.10). Отметим на будущее соотношения двойственности: если U ∈ P 0 (P(Ω)), то ³ ³[ ´ ´ ³ ³\ ´ ´ \ [ Ω\ U = (Ω \ U ) & Ω \ U = (Ω \ U ) ; (3.12) U ∈U

U ∈U

U ∈U

U ∈U

итак, если дано непустое семейство U п/м Ω, то дополнения до объединения и пересечения всех множеств из U реализуются после исполнения двойственных операций над соответствующим семейством дополнений множеств из U. В частности, из (3.12) имеем: если A ∈ P(Ω) и B ∈ P(Ω), то (Ω \ (A ∪ B) = (Ω \ A) ∩ (Ω \ B)) & (Ω \ (A ∩ B) = (Ω \ A) ∪ (Ω \ B)). Эти соотношения полезно комбинировать с (3.11). Разумеется, само (3.11) может использоваться и при L ∈ (alg)[Ω] (см. (3.9)); в этом случае получаем важное следствие: если K ∈ F in(L), то [ L∈L. (3.13) L∈K

Действительно, пусть L ∈ (alg)[Ω] и K ∈ F in(L) фиксированы. Тогда для 4

K0 = { Ω \ L : L ∈ K} ∈ F in(L) 93

(проверьте это свойство с учетом (3.9)) имеем аналог (3.11), т.е. \ \ Λ= (Ω \ L) ∈ L , Λ∈K0

L∈K

а тогда с учетом (3.12) ´ ´ ³ \ ´ [ [³ [ ³ L = Ω \ (Ω \ L) = Ω\Λ = Ω\ Λ ∈L, L∈K

Λ∈K0

L∈K

Λ∈K0

чем и доказывается (3.13). Теперь имеем ∀ L ∈ (alg)[Ω] ∀ A ∈ L ∀ B ∈ L (A ∩ B ∈ L) & (A ∪ B ∈ L);

(3.14)

(3.14) – частный случай (3.11), (3.13). Отметим еще один вариант (3.11), (3.13): если L ∈ (alg)[E], n ∈ N и (Li )i∈1.n – кортеж (3.3), то n ³[

´ Li ∈ L &

i=1

n ³\

´ Li ∈ L .

(3.15)

i=1

Из (3.9), (3.15) видно, что в пределах алгебры п/м Ω мы обладаем уже достаточной свободой в исполнении ряда теоретико-множественных операций, т.е. мы имеем здесь некий “мирок”, в котором хоть как-то можно “жить”. К этому следует добавить еще и то, что алгебру п/м Ω легко можно построить по заданному априори семейству п/м Ω и притом сделать это весьма экономным образом (см. [4, гл.I]). Разумеется, ³ ´ ³ ´ (3.16) {∅; Ω} ∈ (alg)[Ω] & P(Ω) ∈ (alg)[Ω] ; в (3.16) мы имеем два крайних случая ИП с алгеброй п/м E. Обычно для нас наиболее интересны промежуточные, в смысле (3.16), случаи. Сейчас отметим только один простейший Пример. Пусть A ∈ P(Ω), т.е. A есть п/м Ω. Допустим, что A 6= ∅ и A 6= Ω. Рассмотрим вариант 4

L = {∅; Ω} ∪ {A; Ω \ A}

(3.17)

(см. символику ТМВ). Итак, у нас L – четырехэлементное семейство. Ясно, что L ∈ π[Ω] (проверяется непосредственно с учетом (3.2)). С учетом свойства двойного отрицания, мы получаем также, что для L (3.17) имеет место: Ω \ L ∈ L ∀ L ∈ L. Теперь используем второе представление в (3.9). В итоге, L (3.17) есть алгебра п/м Ω, т.е. L ∈ (alg)[Ω]. 2 94

Разумеется, имеется много других (и более интересных) примеров алгебр п/м Ω, отличных от упоминаемых в (3.16). Рассмотрим теперь то (отмечавшееся выше) полезное обстоятельство, что, имея произвольное семейство п/м Ω, можно построить, и притом наиболее экономно, алгебру п/м Ω, содержащую это семейство. Если H ∈ P(P(Ω)), то введем множество 4

(alg)[Ω | H] = {L ∈ (alg)[Ω] | H ⊂ L}

(3.18)

(всех алгебр п/м Ω, содержащих каждая H); в силу (3.16) имеем P(Ω) ∈ (alg)[Ω | H]. Каждый элемент (3.18) — семейство, и, стало быть, множество. Стало быть, (3.18) — непустое семейство, т.е. (F am)[(alg)[Ω|H] 6= ∅] , и можно определить пересечение всех множеств этого семейства (см. ТМВ); более того, ∀ H ∈ P(P(Ω)) \ 4 0 L ∈ (alg)[Ω | H] . aΩ (H) = (3.19) L∈(alg)[Ω| H]

Ясно, что (3.19) есть наименьшая алгебра п/м Ω, еще содержащая H . В [4, c. 23 - 25] указан и конкретный алгоритм построения алгебры (3.19). Мы ограничимся сейчас тем весьма распространенным случаем, когда H ∈ Π[Ω], т.е. H является полуалгеброй п/м Ω; в этом случае a0Ω (H) = {H ∈ P(Ω) | ∃ n ∈ N : ∆n (H, H) 6= ∅} = =

n [ n[ n∈N

Hi : (Hi )i∈1,n ∈ H

n

(3.20)

o .

i=1

Доказательство (3.20) вынесено в Приложение. Смысл операции, определяемой первым равенством в (3.20), чрезвычайно прост. Речь идет о семействе всех п/м Ω, каждое из которых допускает конечное разбиение множествами из L (мы рассматриваем “домики”, построенные из “кубиков”, т.е. из элементов L). Пример. Рассмотрим в качестве Ω отрезок [0, 1], [0, 1] ⊂ R, и следующие четыре семейства п/м Ω = [0, 1]: 4

J1 = { ]pr1 (z), pr2 (z)[ : 4

J2 = { [pr1 (z), pr2 (z)] : 95

z ∈ Ω × Ω} , z ∈ Ω × Ω} ,

4

J3 = { [pr1 (z), pr2 (z)[ : 4

J4 = { ]pr1 (z), pr2 (z)] : Полагаем (в данном примере), что L =

4 S i=1

z ∈ Ω × Ω} , z ∈ Ω × Ω} . Ji . Тогда L ∈ Π[Ω] (проверьте

это свойство), а a0Ω (L) есть семейство всех объединений конечных наборов попарно непересекающихся промежутков из L. Например, h 1i h1 3h 0, ∪ , ∈ a0Ω (L) . 3 2 4 4

Напротив, счетное множество K = { k1 : k ∈ N } ∈ P(Ω) не есть элемент a0Ω (L) (приведем элементарное доказательство этого очевидного положения). В самом деле, допустим противное: K ∈ a0Ω (L). Тогда можно указать n ∈ N так, что 4n (K, L) 6= ∅. Пусть (Li )i∈1,n ∈ 4n (K, L) . Тогда K =

n S i=1

Li и при этом Lp

T

Lq = ∅ ∀p ∈ 1, n ∀q ∈ 1, n \ {p}. Каждое

из множеств Li , i ∈ 1, n, обладает свойством: если s ∈ 1, n, x ∈ Ls и y ∈ Ls , то ]x, y[⊂ Ls . Введем в рассмотрение множества 4

Ni = {k ∈ N |

1 ∈ Li } ∀i ∈ 1, n . k

Тогда, как легко проверить (с учетом нашего предположения), N =

n [

Ni .

i=1

Напомним, что (см. (2.12), (2.22)) N не является конечным множеством: N ∈ / F in(N ). С другой стороны, из (2.51), (2.54) следует, что (Ni ∈ F in(N ) ∀i ∈ 1, n ) =⇒ (N ∈ F in(N )) . Стало быть, для некоторого m ∈ 1, n имеем, что Nm ∈ / F in(N ). Тогда, в силу того, что 1, k ∈ F in(N ) при всяком k ∈ N (см. раздел 2) мы получаем, что Nm \ 1, k 6= ∅ ∀k ∈ N . 96

Но в этом случае для некоторого N ∈ N −−−→ N, ∞ ⊂ Nm .

(3.21)

В самом деле, пусть s ∈ N и ks ∈ Nm \ 1, s. Тогда ks ∈ N и s < ks . Пусть −−−−−→ 4 l = ks . Тогда s < l, l ∈ Nm . Выберем произвольно t ∈ l + 1, ∞. Тогда l + 1 ≤ t, 1 1 1 1 ≤ < , ∈ Lm . t l+1 l l С другой стороны, имеем свойство Nm \ 1, t 6= ∅ , −−−−−→ т.к. t ∈ N . Выберем r ∈ Nm \ 1, t. Тогда r ∈ t + 1, ∞ и, вместе с тем, 1 ∈ Lm . r Отметим теперь, что имеет место следующая цепочка неравенств 1 1 1 ≤ < . r t+1 t Мы установили, что для чисел 1 1 ∈ Lm , ∈ Lm r l справедливо следующее утверждение 1 i1 1 h ∈ , . (3.22) t r l С другой стороны, имеем по определению L вложение i1 1 h , ⊂ Lm , (3.23) r l т.к. Lm ∈ L (упомянутое свойство L1 , . . . , Ln уже отмечалось ранее). Мы получаем из (3.22), (3.23) свойство 1 ∈ Lm . (3.24) t Это означает, что t ∈ Nm . Поскольку выбор t был произвольным, уста−−−−−→ 4 новлено, что l + 1, ∞ ⊂ Nm . Мы полагаем N = l + 1, чем и завершается −−−→ обоснование (3.21). Итак, у нас ∀k ∈ N, ∞ 1 ∈ Lm . k 97

В частности, из последнего соотношения мы имеем вложение i 1 1 h , ⊂ Lm N +1 N

(3.25)

(здесь мы используем рассуждение, подобное обоснованию (3.24)). При −−−−−−→ этом N = 1, N ∪ N + 1, ∞ . Но 1 1 −−−−−−→ ≤ ∀k ∈ N + 1, ∞ . k N +1 С другой стороны, имеем с очевидностью свойство 1 1 ≤ ∀k ∈ 1, N . N k Из двух последних утверждений вытекает, что i 1 1 1 h ∈ / , ∀k ∈ N . k N +1 N

(3.26)

С другой стороны, число ³ 1 1 ´ 1 2N + 1 1 1 4 1 + = · = + a= 2 N +1 N 2 N (N + 1) N +1 2N (N + 1) обладает очевидным свойством i a∈

1 1 h , N +1 N

(3.27)

и, в силу (3.25), a ∈ Lm . Тогда по предположению о выборе (Li )i∈1,n имеем включение a ∈ K, что означает равенство a=

1 q

для некоторого q ∈ N . Стало быть, в силу (3.27) i 1 1 1 h ∈ , , q N +1 N что противоречит (3.26). Полученное противоречие показывает, что на самом деле K∈ / a0Ω (L) . Итак, мы имеем очень простой пример множества K, K ⊂ Ω, которое не есть элемент a0Ω (L). 98

Полезно отметить, однако, что K является счетным объединением множеств из L. В самом деле [ n1o K= , (3.28) k k∈N n o h i где 1s = 1s , 1s ∈ J2 ∀s ∈ N . При этом, конечно, n1o s

∈ L ∀s ∈ N .

Как следствие, получаем, что i n o [ 1 k=1

k

∈ a0Ω (L) ∀i ∈ N .

(3.29)

Из сравнения (3.28), (3.29) мы имеем, что K лишь чуть-чуть “не дотягивает” до элемента a0Ω (L). На самом же деле здесь различие весьма существенно: мы имеем в свете (3.29) характерный эффект операции над бесконечным набором множеств из L. 2 Итак, наше множество K является несколько более сложным в сравнении с множествами из a0Ω (L). Нам, однако, нужны по многим причинам измеримые структуры, содержащие такие множества, а, точнее, допускающие “безнаказанное” выполнение операций, приводящих к образованию таких множеств. Разумеется, мы могли бы обратиться к семейству P(Ω), в рамках которого любые мыслимые операции над п/м Ω допустимы. Однако, в задачах ТВ за это придется заплатить чрезмерно большую цену. Очень часто мы не сможем определить для столь изощренных множеств, каковыми могут быть произвольные п/м Ω (впрочем, в некоторых случаях эта изощренность является надуманной), значения вероятности. Выберем другой путь, определяя усовершенствованные алгебры п/м Ω: алгебру L ∈ (alg)[Ω] называем σ-алгеброй п/м Ω, если при всяком выборе последовательности (Li )i∈N : N −→ L (3.30) (множеств из L) имеет место [

Li ∈ L .

i∈N

Итак, в пределах нашей σ-алгебры L п/м Ω можно “безнаказанно” выполнять операцию счетного объединения (говорят еще: семейство L замкнуто 99

относительно счетных объединений). Напомним, что LN — множество всех последовательностей в L (см. ТМВ): последовательность в L есть всякое отображение вида (3.30). С учетом этого разъяснения введем множество n o [ 4 N (σ − alg)[Ω] = L ∈ (alg)[Ω] | Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ L (3.31) i∈N

всех σ-алгебр п/м Ω. Итак, A ∈ (σ − alg)[Ω] означает высказывание: A есть σ-алгебра п/м Ω; пару (Ω, A) называем стандартным ИП или ИП с σ-алгеброй множеств. Обсудим некоторые свойства (3.31). Прежде всего, n o \ N (σ − alg)[Ω] = L ∈ (alg)[Ω] | Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ L . (3.32) i∈N

В самом деле, обозначим через Σ семейство в правой части (3.32). Пусть U ∈ (σ − alg)[Ω]. Тогда U ∈ (alg)[Ω] есть семейство, замкнутое относительно счетных объединений (вспомните это свойство). Пусть (Ui )i∈N ∈ U N , т.е. (Ui )i∈N есть последовательность в U (стало быть, U1 ∈ U, U2 ∈ U , . . .). Рассмотрим ´ ´ \ \³ \³ Ui = Ω \ (Ω \ Ui ) = Ω\V , i∈N

i∈N

V ∈V

4

где V = {Ω \ Ui : i ∈ N } ∈ P 0 (P(Ω)). В силу (3.12) получаем: ³[ ´ ³[³ ´´ \ Ui = Ω \ V =Ω\ Ω \ Ui . i∈N

V ∈V

(3.33)

i∈N

Но в силу (3.9) имеем, что i 7−→ Ω \ Ui : N −→ U . Поэтому, по свойствам U, имеем положение: ´ [³ Ω \ Ui ∈ U ; i∈N

тогда из (3.9) и (3.33) имеем: \

Ui ∈ U .

(3.34)

i∈N

Поскольку выбор (Ui )i∈N был произвольным, из (3.34) имеем свойство U ∈ Σ. 100

Вложение (σ − alg)[Ω] ⊂ Σ установлено. Пусть, напротив, W ∈ Σ, т.е. W ∈ (alg)[Ω] и \ Li ∈ W ∀(Li )i∈N ∈ W N . (3.35) i∈N

Выберем произвольную последовательность (Wi )i∈N : N −→ W . Рассмотрим множество

[

(3.36)

Wi ∈ P(Ω) .

i∈N

Будем действовать, как и при доказательстве уже установленного вло4 жения. Именно, для непустого семейства S = {Ω \ Wi : i ∈ N } мы имеем ´ [³ ´ [ [³ Wi = Ω \ (Ω \ Wi ) = Ω\S , i∈N

i∈N

S∈S

откуда с учетом (3.12) получаем ³\ ´ ³\³ ´´ [ Wi = Ω \ S =Ω\ Ω \ Wi . i∈N

S∈S

(3.37)

i∈N

Но по выбору последовательности (3.36) имеем из (3.9), что i − 7 → Ω \ Wi : N −→ W , а тогда непременно (по свойствам Σ ) ´ \³ Ω \ Wi ∈ W i∈N

и, снова с использованием (3.9), имеем из (3.37) [ Wi ∈ W .

(3.38)

i∈N

Поскольку выбор (3.36) был произвольным, имеем из (3.38) свойство: W ∈ (σ − alg)[Ω] (см. (3.31)). Итак, Σ ⊂ (σ − alg)[Ω], чем и завершается обоснование (3.32). Заметим, сравнивая (3.9), (3.15), (3.31), (3.32), что в случае стандартного ИП (Ω, L) мы имеем очень большие возможности в части исполнения

101

различных операций над множествами из L (не покидая при этом L). Грубо говоря, в L можно “жить”, хотя конкретная природа L все-таки сильно влияет на наши возможности. Разумеется, ´ ³ ´ ³ {∅; Ω} ∈ (σ − alg)[Ω] & P(Ω) ∈ (σ − alg)[Ω] . (3.39) Ясно, что первый в (3.39) случай является крайне ограничительным, в то время как второй дает предельно широкие возможности, которыми зачастую трудно распорядиться. В этой связи рассмотрим следующий 4 Пример. Пусть снова Ω = [0, 1]; L1 = ω[Ω] = (count)[Ω]∪{∅} (семейство 4

4

всех не более, чем счетных, п/м Ω), L2 = {Ω \ C : C ∈ L1 } и L = L1 ∪ L2 (в этом примере). Покажем, что L ∈ (σ − alg)[Ω]. Здесь нам потребуются сведения из раздела 2 и некоторые дополнительные свойства, которые мы отметим сейчас на идейном уровне. Итак, имеем ∅ ∈ L1 и Ω = Ω \ ∅ ∈ L2 . В итоге (∅ ∈ L) & (Ω ∈ L). Далее выберем Λ1 ∈ L и Λ2 ∈ L. Тогда либо среди Λ1 и Λ2 есть множество из L1 , либо Λ1 ∈ L2 и Λ2 ∈ L2 . Иными словами, ³ ´ ³ ´ (Λ1 ∈ L1 ) ∨ (Λ2 ∈ L1 ) ∨ (Λ1 ∈ L2 ) & (Λ2 ∈ L2 ) . (3.40) Если (Λ1 ∈ L1 ) ∨ (Λ2 ∈ L1 ), то Λ1 ∩ Λ2 ∈ L1 и, в частности, Λ1 ∩ Λ2 ∈ L. Итак, у нас ³ ´ ³ ´ (Λ1 ∈ L1 ) ∨ (Λ2 ∈ L1 ) =⇒ Λ1 ∩ Λ2 ∈ L . (3.41) Пусть (Λ1 ∈ L2 ) & (Λ2 ∈ L2 ). Подберем C1 ∈ L1 и C2 ∈ L1 , для которых (Λ1 = Ω \ C1 ) & (Λ2 = Ω \ C2 ) . Из соотношений, являющихся следствиями (3.12) для случая пересечения и объединения двух п/м Ω, имеем Λ1 ∩ Λ2 = (Ω \ C1 ) ∩ (Ω \ C2 ) = Ω \ (C1 ∪ C2 ),

(3.42)

где C1 ∪ C2 ∈ L1 . Из (3.42) имеем теперь Λ1 ∩ Λ2 ∈ L2 и, в частности, Λ1 ∩ Λ2 ∈ L. Итак, ³ ´ ³ ´ (Λ1 ∈ L2 ) & (Λ2 ∈ L2 ) =⇒ Λ1 ∩ Λ2 ∈ L . (3.43) Из (3.40), (3.41) и (3.43) имеем во всех случаях Λ1 ∩ Λ2 ∈ L . 102

Мы установили следующее свойство: L1 ∩ L2 ∈ L ∀L1 ∈ L ∀L2 ∈ L . С учетом (3.2) получаем, что L ∈ π[Ω]. Но по построению L1 , L2 и L имеем (очевидное) свойство: Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L . (3.44) В самом деле, если L ∈ L1 , то Ω \ L ∈ L2 . Пусть L ∈ L2 , а C ∈ L1 таково, что L = Ω \ C; тогда Ω \ L = Ω \ (Ω \ C) = C . Во всех случаях имеем Ω \ L ∈ L, чем и доказывается (3.44). В силу (3.9) имеем теперь важное положение: L ∈ (alg)[Ω]. Воспользуемся (3.32). Пусть (Mi )i∈N : N −→ L . По построению L имеем, что (∃j ∈ N : Mj ∈ L1 ) ∨ (Mj ∈ L2

∀j ∈ N ) .

(3.45)

Если имеет место первый случай в (3.45), то \ Mi ∈ L 1 . i∈N

Мы получаем, что истинна импликация ³ ´ ³\ ´ ∃j ∈ N : Mj ∈ L1 =⇒ Mi ∈ L .

(3.46)

i∈N

Пусть теперь Mj ∈ L2 ∀j ∈ N . Тогда при каждом j ∈ N для некоторого C ∈ L1 выполняется равенство Mj = Ω \ C; разумеется, множество C зависит от j. При этом, однако, Ω \ Mj = Ω \ (Ω \ C) = C ∈ L1 , т.к. C есть п/м Ω. Итак, мы установили, что Ω \ Mi ∈ L1 ∀i ∈ N .

(3.47)

Из (3.47) следует (см. свойства не более, чем счетных, множеств в разделе 2), что [ (Ω \ Mi ) ∈ L1 . (3.48) i∈N

103

Строго говоря, при нашей логике рассуждений в разделе 2 мы сразу имеем (3.48) лишь в случае, когда Ω\Mi ∈ (count)[Ω] ∀i ∈ N . Возможно, однако, что для каких-то j ∈ N верно Ω \ Mj = ∅. Обсудим данную ситуацию. Если последнее свойство верно при всех j ∈ N , то множество в левой части (3.48) пусто и потому является элементом L1 . Осталось рассмотреть случай, когда Ω \ Ms ∈ (count)[Ω] (3.49) для некоторого s ∈ N . В этом случае можно ввести вспомогательную последовательность (Ni )i∈N : N −→ (count)[Ω] , определяемую следующими условиями: если j ∈ N , то 4

Nj = (Ω \ Ms ) ∪ (Ω \ Mj ) (каждое такое множество непусто и не более, чем счетно). При этом ³[ ´ [ (Ω \ Mi ) ∈ P Ni , (3.50) где

S

i∈N

i∈N

Ni ∈ (count)[Ω] согласно свойствам, приведенным в заключении

i∈N

раздела 2. Из упомянутых свойств и (3.50) мы извлекаем (3.48) и в случае (3.49). Итак, (3.48) верно в рассматриваемой ситуации всегда. Вернемся к вопросу о пересечении всех множеств Mi , i ∈ N . При этом ´ ´ \ \ ³ \ ³ Mi = Ω \ (Ω \ Mi ) = Ω\H , i∈N

i∈N

H∈N

4

где N = {Ω \ Mi : i ∈ N }. Но тогда с учетом (3.12) ³ [ ´ ³[ ´ \ Mi = Ω \ H =Ω\ (Ω \ Mi ) ∈ L2 , i∈N

i∈N

H∈N

где учтено (3.48); напомним, что данное утверждение получено при условии Mj ∈ L2 ∀j ∈ N . Итак, установлена импликация ´ ³\ (3.51) (Mj ∈ L2 ∀j ∈ N ) =⇒ Mi ∈ L 2 . i∈N

Из (3.45), (3.46) и (3.51) получаем, что (во всех случаях) \ Mi ∈ L . i∈N

104

Поскольку последовательность (Mi )i∈N выбиралась произвольно, установлено свойство \ Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ LN . (3.52) i∈N

Напомним, что из (3.44) и ранее доказанного свойства L ∈ π[Ω] мы имеем (см. (3.9)) свойство L ∈ (alg)[Ω], откуда в силу (3.32) и (3.52) следует, что L ∈ (σ − alg)[Ω] , что требовалось доказать. Итак, (Ω, L) = ([0, 1], L)

(3.53)

есть конкретное стандартное ИП. К этому ИП мы еще будем возвращаться по мере надобности. 2 Стандартные ИП являются основными в колмогоровской ТВ, где предусматривается использование в качестве вероятностей только таких функций множества, которые обладают свойством счетной аддитивности. Если L ∈ (σ − alg)[Ω], то в пределах L мы фактически не ограничены в исполнении основных теоретико-множественных операций. Однако, уже рассмотренный пример показывает, что практически интересные версии L ∈ (σ−alg)[Ω] могут, на уровне проверки аксиом σ-алгебры множеств, доставлять определенные трудности. Вообще же в ТВ семейство “понятных” исследователю событий не является обычно σ-алгеброй. Есть, однако, прием построения σ-алгебры как некоторой оболочки семейства “понятных” событий. Здесь используется конструкция, обладающая аналогией с (3.18), (3.19); на самом деле, данная аналогия глубже и связана она с важным положением теории множеств [1, c. 135]. Если H ∈ P(P(Ω)) (т.е., если H — семейство п/м Ω), то полагаем 4

(σ − alg)[Ω | H] = {L ∈ (σ − alg)[Ω] | H ⊂ L} ,

(3.54)

определяя “часть” множества (σ−alg)[Ω], составленную из тех и только тех σ-алгебр п/м Ω, которые содержат H. Таковые непременно существуют: P(Ω) ∈ (σ − alg)[Ω | H] ∀H ∈ P(P(Ω)) . Итак, (3.54) всегда является непустым семейством: (F am)[(σ − alg)[Ω | H] 6= ∅] ∀H ∈ P(P(Ω)) . 105

Более того (см. ТМВ) непременно \ 4 σΩ0 (H) = A ∈ (σ − alg)[Ω | H] ∀H ∈ P(P(Ω)) .

(3.55)

A∈(σ−alg)[Ω|H]

Итак, если мы имеем нужное семейство H “понятных” событий, то мы можем наиболее экономным образом подобрать объемлющую это семейство σ-алгебру п/м Ω; на такую возможность указывает (3.55). Напомним, что ω[Ω] = (count)[Ω] ∪ {∅}. Рассмотрим простой 4

4

Пример. Пусть Ω = [0, 1] и H = {{t} : t ∈ [0, 1]}. Итак, H = {{t} : t ∈ Ω} есть множество всех синглетонов точек из Ω. Требуется определить σ-алгебру (3.55) в этом конкретном случае. 4

Как и в предыдущем примере введем L1 = ω[Ω] и 4

L2 = {Ω \ C : C ∈ L1 } ; 4

пусть L = L1 ∪ L2 . Мы знаем уже из предыдущего примера, что L ∈ (σ − alg)[Ω]. Далее, {t} ∈ L1 ∀t ∈ Ω. Тогда H ⊂ L. Поэтому (см. (3.54)) L ∈ (σ − alg)[Ω | H] .

(3.56)

Из (3.55) и (3.56) имеем сразу вложение σΩ0 (H) ⊂ L .

(3.57)

Покажем, что в (3.57) на самом деле имеет место равенство. Для этого учтем, что (см. (3.54), (3.55)) σΩ0 (H) ∈ (σ − alg)[Ω] .

(3.58)

Из (3.31) и (3.58) имеем, в частности, свойство: σΩ0 (H) ∈ (alg)[Ω] .

(3.59)

Кроме того, из (3.31), (3.32) и (3.58) следует утверждение: если (Mi )i∈N : N −→ σΩ0 (H) , то непременно имеет место ³[ ´ ³\ ´ 0 0 Mi ∈ σΩ (H) & Mi ∈ σΩ (H) . i∈N

i∈N

106

(3.60)

Рассмотрим некоторые варианты применения (3.60). Пусть L ∈ L1 . Тогда (L = ∅) ∨ (L ∈ (count)[Ω]) . Из (3.2), (3.9) и (3.59) имеем сразу: (L = ∅) =⇒ (L ∈ σΩ0 (H)) .

(3.61)

Пусть теперь L ∈ (count)[Ω]. Подберем последовательность (ωi )i∈N : N −→ Ω так, что при этом L = {ωi : i ∈ N }. Последнее означает, что [ L= {ωi } .

(3.62)

i∈N

С другой стороны, по выбору H получаем свойство {ωi } ∈ H

∀i ∈ N .

При этом (см. (3.54), (3.55)) имеем, как следствие, что ({ωi })i∈N : N −→ σΩ0 (H) и, в согласии с (3.60) и (3.62), получаем: L ∈ σΩ0 (H) и в случае L ∈ (count)[Ω]. С учетом (3.61) имеем свойство L ∈ σΩ0 (H) во всех возможных случаях. Поскольку выбор L был произвольным, установлено, что L1 ⊂ σΩ0 (H) . (3.63) Из (3.9), (3.59) и (3.63) имеем Ω \ L ∈ σΩ0 (H)

∀L ∈ L1 .

Стало быть, L2 ⊂ σΩ0 (H), а тогда (см. (3.63)) L ⊂ σΩ0 (H) .

(3.64)

Из (3.57), (3.64) мы получили равенство σΩ0 (H) = L = L1 ∪ L2 ; 107

(3.65)

(3.65) означает, что с помощью операции (3.55) мы в данном случае получаем достаточно простую σ-алгебру п/м Ω, содержащую H. Вместе с тем наша σ-алгебра (3.65) достаточно бедна множествами (например, любой отрезок [a, b], где a ∈]0, 1[, b ∈]0, 1[ и a < b, не является ее элементом). Это свойство является результатом весьма неудачного выбора H; в построении на основе (3.55) “что посеешь, то и пожнешь”. Итак, в пределах σ-алгебры (3.65) мы обладаем полной свободой в исполнении основных теоретико-множественных операций и, тем не менее, эта σ-алгебра бедна множествами, поскольку порождающее ее семейство H также бедно множествами. Если, однако, в качестве семейства “понятных нам” событий будет использоваться достаточно обширное семейство H, то и непосредственная реализация (3.55) окажется очень сложной, а ведь (3.55) наименьшая из всех σ-алгебр п/м Ω, содержащих H. Напомним в этой связи, что (3.55) принято называть σ-алгеброй п/м Ω, порожденной семейством H. 2 Очень хорошо располагать для представления σ-алгебры (3.55) возможностью, подобной той, которую представляет для построения алгебры (3.19) конструкция (3.20) (или более общая конструктивная процедура [4, гл.I]). К сожалению, в случае (3.55) дело обстоит сложнее. Мы ограничимся здесь обсуждением одного представления (3.55) в том достаточно естественном случае, когда H есть алгебра множеств. Это представление связано с использованием т.н. монотонных классов или семейств п/м Ω. Если (Ai )i∈N : N −→ P(Ω) и A ∈ P(Ω), то: 1) полагаем def, что ³ ´ \ ((Ai )i∈N ↓ A) ⇐⇒ (A = Ai ) & (Ak+1 ⊂ Ak ∀k ∈ N ) , (3.66) i∈N

и, аналогичным образом, постулируем, что 2) имеет место def ³ ´ [ ((Ai )i∈N ↑ A) ⇐⇒ (A = Ai ) & (Ak ⊂ Ak+1 ∀k ∈ N ) .

(3.67)

i∈N

В (3.66), (3.67) введена монотонная сходимость последовательности множеств. Мы подчеркиваем в обозначениях, что в (3.66), (3.67) непременно участвуют два объекта: последовательность п/м Ω, т.е. функция из N в P(Ω), и фиксированное п/м Ω (являющееся в (3.66) и (3.67) пределом данной последовательности). Условимся еще об одном соглашении: если (Ai )i∈N и A удовлетворяют условиям, определяющим (3.66) и (3.67), то def ³ ´ ((Ai )i∈N ↓↑ A) ⇐⇒ ((Ai )i∈N ↓ A) ∨ ((Ai )i∈N ↑ A) . (3.68) 108

Если H ∈ P(P(Ω)), то полагаем, что m[H] есть def семейство всех множеств A ∈ P(Ω), для каждого из которых ∃(Hi )i∈N ∈ HN : (Hi )i∈N ↓↑ A . Итак, m[H] есть семейство всех таких п/м Ω, каждое из которых может быть получено в виде монотонного предела последовательности в H, реализуемого по рецепту (3.68). Тогда H ⊂ m[H] ∀H ∈ P(P(Ω)) .

(3.69)

В самом деле, если H ∈ H, то последовательность (Hi )i∈N ∈ HN со свойством ((Hi )i∈N ↓ H) & ((Hi )i∈N ↑ H) 4

можно определить по правилу: Hk = H ∀k ∈ N . Если семейство H ∈ P(P(Ω)) таково, что H = m[H], то называем H монотонным семейством. Примечание. В литературе чаще используется термин “монотонный класс”. Мы, однако, будем использовать выражение “монотонное семейство”, поскольку термин “класс” используется в одной из аксиоматик теории множеств для совсем другой цели. Здесь же отметим несколько иное по форме определение монотонного семейства (класса), которое обычно используется в литературе (см., например, [4, гл.I]). Семейство H ∈ P(P(Ω)) называют монотонным, если оно удовлетворяет следующим двум условиям: 1) ∀(Ai )i∈N ∈ HN ∀A ∈ P(Ω) ((Ai )i∈N ↓ A) =⇒ (A ∈ H) ; 2) ∀(Bj )j∈N ∈ HN

∀B ∈ P(Ω) ((Bj )j∈N ↑ B) =⇒ (B ∈ H) .

Мы предлагаем читателю самостоятельно проверить (с учетом (3.68)) эквивалентность данного определения монотонности семейства и упомянутого ранее (определение в терминах совпадения H и m[H], где H — семейство п/м Ω). Через (M O)[Ω] обозначаем множество всех монотонных семейств п/м Ω: 4

(M O)[Ω] = {H ∈ P(P(Ω)) | 109

H = m[H]} .

(3.70)

Из (3.9), (3.31), (3.32), (3.66) – (3.68) и (3.70) следует полезное свойство: (σ − alg)[Ω] = (alg)[Ω] ∩ (M O)[Ω]

(3.71)

(см. также (3.15)). Итак, алгебра п/м Ω есть σ-алгебра (п/м Ω) тогда и только тогда, когда эта алгебра является монотонным семейством (мы рекомендуем читателю доказать (3.71) самостоятельно; см. также [4, гл.I]). Если H ∈ P(P(Ω)), то 4

(M O)[Ω | H] = {M ∈ (M O)[Ω] | H ⊂ M}

(3.72)

есть непустое семейство. В самом деле, P(Ω) ∈ (M O)[Ω | H] ∀H ∈ P(P(Ω)) . Из (3.70), (3.72) имеем теперь свойство h i (F am) (M O)[Ω | H] 6= ∅ ∀H ∈ P(P(Ω)) , что позволяет (см. ТМВ) рассматривать как множество пересечение всех множеств семейства (3.72). Более того, ∀H ∈ P(P(Ω)) \ 4 M ∈ (M O)[Ω | H] m0Ω (H) = (3.73) M∈(M O)[Ω|H]

(проверку (3.73) предоставляем читателю). Монотонное семейство (3.73) (самое “маленькое” из еще содержащих H) называем монотонным семейством (классом — в традиционной для ТВ терминологии), порожденным семейством H. Заметим, что (3.20) дает неплохой способ построения по наперед заданной полуалгебре п/м Ω наименьшей алгебры, ее содержащей. В то же время ситуации, когда семейство “понятных” нам событий составляет полуалгебру, являются достаточно распространенными. Стало быть, можно принять, что в (3.55) весьма разумным с практической точки зрения является случай, когда H является алгеброй п/м Ω. Оказывается, в этом случае операция (3.73) всегда реализует искомую σ-алгебру множеств: ∀A ∈ (alg)[Ω] σΩ0 (A) = m0Ω (A) . (3.74) Замечание 3.2. Подробное доказательство (3.74) дано в [4, c. 31, 32]. Мы почти не рассматривали ранее доказательств нужных нам свойств, ограничиваясь обсуждением их значимости. Рассуждение, обосновывающее (3.74), являясь достаточно “тонким”, вместе с тем поучительно и, в 110

порядке исключения, рассмотрим его схему, опуская некоторые детали доказательства. Итак, фиксируем A ∈ (alg)[Ω]. В силу (3.55), (3.71) и (3.72) σΩ0 (A) ∈ (M O)[Ω | A] , что означает согласно (3.73) справедливость вложения m0Ω (A) ⊂ σΩ0 (A) .

(3.75)

Осталось установить вложение, противоположное (3.75). Для этого установим сначала свойство m0Ω (A) ∈ (alg)[Ω] . (3.76) При обосновании (3.76) используем (3.9). Пусть 4

M = {H ∈ m0Ω (A) | Ω \ H ∈ m0Ω (A)} .

(3.77)

Итак мы несколько “сократили” семейство m0Ω (A). Поскольку A ⊂ m0Ω (A) и A есть алгебра п/м Ω, то (см. (3.9)) A ⊂ M ⊂ m0Ω (A) .

(3.78)

При проверке (3.78) учитываем, что семейство A замкнуто относительно дополнений. Напомним, что m0Ω (A) есть монотонное семейство п/м Ω. Пусть теперь (Ki )i∈N ∈ MN и K ∈ P(Ω). Кроме того, пусть (Ki )i∈N ↓↑ K .

(3.79)

Тогда в силу (3.68) у нас ³ ´ ³ ´ (Ki )i∈N ↓ K ∨ (Ki )i∈N ↑ K . Имеем теперь с очевидностью импликацию ³ ´ ³ ´ (Ki )i∈N ↑ K =⇒ (Ω \ Ki )i∈N ↓ (Ω \ K) . Учитывая монотонность m0Ω (A), имеем также (см. (3.78)) ³ ´ ³ ´ 0 (Ki )i∈N ↑ K =⇒ K ∈ mΩ (A) . Из (3.77), (3.80) имеем, с другой стороны ³ ´ ³ ´ 0 (Ki )i∈N ↑ K =⇒ Ω \ K ∈ mΩ (A) . 111

(3.80)

Две последние импликации означают в силу (3.77), что ³ ´ (Ki )i∈N ↑ K =⇒ (K ∈ M) .

(3.81)

Далее, мы имеем с очевидностью ³ ´ ³ ´ (Ki )i∈N ↓ K =⇒ (Ω \ Ki )i∈N ↑ (Ω \ K) .

(3.82)

По свойству монотонности семейства m0Ω (A) имеем (см. (3.78)) импликацию ³ ´ ³ ´ 0 (Ki )i∈N ↓ K =⇒ K ∈ mΩ (A) . С другой стороны, из (3.77) и (3.82) вытекает, что ³ ´ ³ ´ 0 (Ki )i∈N ↓ K =⇒ Ω \ K ∈ mΩ (A) . Из двух последних свойств и (3.77) получаем, что ³ ´ (Ki )i∈N ↓ K =⇒ (K ∈ M) .

(3.83)

Из (3.81), (3.83) имеем во всех случаях K ∈ M; стало быть (см. (3.79)), ³ ´ (Ki )i∈N ↓↑ K =⇒ (K ∈ M) . Поскольку выбор (Ki )i∈N , K был произвольным, установлено, что M = m[M], т.е. (в согласии с (3.70)) M ∈ (M O)[Ω] .

(3.84)

Из (3.78), (3.84) имеем (см. (3.72)), что M ∈ (M O)[Ω | A] , а тогда в силу (3.73) непременно m0Ω (A) ⊂ M и снова с учетом (3.78), M = m0Ω (A) .

(3.85)

Из (3.77), (3.85) вытекает, что Ω \ H ∈ m0Ω (A)

∀H ∈ m0Ω (A) .

(3.86)

Итак, m0Ω (A) — замкнутое относительно дополнений семейство п/м Ω, содержащее алгебру A. Нам осталось проверить (см. (3.2), (3.9)) свойство замкнутости относительно пересечений, поскольку в силу (3.72), (3.73) имеем (∅ ∈ m0Ω (A)) & (Ω ∈ m0Ω (A)) ; 112

(3.87)

мы учитываем в (3.87) также (3.2) и (3.9). Условимся о следующем обозначении: если E ∈ m0Ω (A), то n o 4 0 0 ME = M ∈ mΩ (A) | E ∩ M ∈ mΩ (A) . (3.88) Подчеркнем, что семейство (3.88) определено, в частности, при E ∈ A, коль скоро, A ⊂ m0Ω (A). Ясно, что ME ⊂ m0Ω (A) Кроме того, E ∈ ME

∀E ∈ m0Ω (A) .

(3.89)

∀E ∈ m0Ω (A). Стало быть, у нас

ME ∈ P 0 (m0Ω (A))

∀E ∈ m0Ω (A) .

Отметим два легкопроверяемых свойства. Если (Ai )i∈N : N −→ P(Ω)

(3.90)

и A ∈ P(Ω), то при условии (Ai )i∈N ↓ A имеем следующие свойства сходимости: для B ∈ P(Ω) непременно (Ai ∩ B)i∈N ↓ (A ∩ B). Точно так же имеем: если (Ai )i∈N соответствует (3.90) и A ∈ P(Ω), то при условии (Ai )i∈N ↑ A имеем следующие свойства сходимости: при B ∈ P(Ω) реализуется (Ai ∩ B)i∈N ↑ (A ∩ B) . С учетом (3.68) получаем из двух упомянутых легкопроверяемых свойств следующее положение: если (Ai )i∈N соответствует (3.90) и A ∈ P(Ω), то ³ ´ ³ ´ (Ai )i∈N ↓↑ A =⇒ (Ai ∩ B)i∈N ↓↑ (A ∩ B) ∀B ∈ P(Ω) . (3.91) Имеем теперь, что (3.88) — монотонное семейство п/м Ω. В самом деле, фиксируем V ∈ m0Ω (A) и рассмотрим (3.88) при E = V . Пусть W ∈ m[MV ]. Тогда W ∈ P(Ω) и для некоторой последовательности (Vi )i∈N : N −→ MV 113

имеет место свойство (Vi )i∈N ↓↑ W . Тогда (см. (3.91)) имеем сходимость (Vi ∩ V )i∈N ↓↑ (W ∩ V ).

(3.92)

По выбору (Vi )i∈N имеем (см. (3.88)), что (Vi ∩ V )i∈N : N −→ m0Ω (A) . Но тогда в силу монотонности семейства m0Ω (A) получаем V ∩ W = W ∩ V ∈ m0Ω (A)

(3.93)

(см. (3.70)). Вернемся теперь к рассмотрению самого множества W . При этом учтем, что (см. (3.88)) (Vi )i∈N : N −→ m0Ω (A) ; данная последовательность монотонно сходится к W , а потому (снова с учетом монотонности m0Ω (A)) имеем W ∈ m0Ω (A), что с учетом (3.93) означает (см. (3.88)): W ∈ MV . Итак, установлено вложение m[MV ] ⊂ MV . С учетом (3.69) получаем равенство MV = m[MV ], т.е. MV ∈ (M O)[Ω] .

(3.94)

Поскольку выбор V был произвольным, то из (3.94) имеем,что ∀E ∈ m0Ω (A) .

ME ∈ (M O)[Ω]

(3.95)

Напомним, что A ⊂ m0Ω (A) ,

(3.96)

а тогда (3.88), (3.95) справедливы при E ∈ A. Мы неоднократно будем использовать (3.96) в дальнейшем. Если A ∈ A, то в силу (3.88) и (3.96) имеет место A ∈ MA . Кроме того, поскольку, в частности, A ∈ π[Ω] (см. (3.9)), то A ∩ B ∈ m0Ω (A)

∀A ∈ A ∀B ∈ A 114

(3.97)

(см. (3.96)). Из (3.97) можно извлечь важное следствие. В самом деле, при A ∈ A имеем согласно (3.88) n o 0 0 MA = M ∈ mΩ (A) | A ∩ M ∈ mΩ (A) , а тогда для B ∈ A получаем с учетом (3.96) и (3.97) свойство B ∈ MA ; стало быть, у нас A ⊂ MA . Поскольку выбор A был произвольным, то тем самым установлено: A ⊂ MA

∀A ∈ A .

(3.98)

Теперь можно учесть (3.95), полагая E ∈ A. Именно, MA ∈ (M O)[Ω] ∀A ∈ A. С учетом (3.72) и (3.98) имеем при A ∈ A важное положение: MA ∈ (M O)[Ω|A]; используя (3.73), мы получаем теперь m0Ω (A) ⊂ MA ⊂ m0Ω (A) . Иными словами, установлено свойство MA = m0Ω (A)

∀A ∈ A .

(3.99)

Выберем теперь произвольно (P ∈ m0Ω (A)) & (Q ∈ m0Ω (A)) . Пусть, кроме того, имеет место P ∈ MQ .

(3.100)

Тогда в силу (3.88) и (3.100) имеем P ∩ Q = Q ∩ P ∈ m0Ω (A) . Стало быть, у нас Q ∈ m0Ω (A) обладает свойством P (3.88) получаем Q ∈ MP .

T

Q ∈ m0Ω (A). В силу (3.101)

Итак, (3.100) =⇒ (3.101), т.е. (P ∈ MQ ) =⇒ (Q ∈ MP ) . (3.102) T T Пусть теперь Q ∈ MP . Снова в силу (3.88) имеем P Q = Q P ∈ m0Ω (A). T Стало быть, у нас P ∈ m0Ω (A) таково, что Q P ∈ m0Ω (A). Из (3.88) имеем P ∈ MQ . Мы установили (см. (3.101)) импликацию (Q ∈ MP ) =⇒ (P ∈ MQ ) . 115

С учетом (3.102) получили свойство (P ∈ MQ ) ⇐⇒ (Q ∈ MP ) . Но выбор P, Q был произвольным. Стало быть, ∀A ∈ m0Ω (A) ∀B ∈ m0Ω (A) (A ∈ MB ) ⇐⇒ (B ∈ MA ) .

(3.103)

Напомним, что (3.103) означает следующее: A ∈ MB тогда и только тогда, когда B ∈ MA . Вновь используем (3.96). В самом деле, из (3.96) и (3.103) имеем, в частности, ∀A ∈ A ∀B ∈ m0Ω (A) (A ∈ MB ) ⇐⇒ (B ∈ MA ) . Мы используем здесь частный случай (3.103). Это означает, однако, что ∀A ∈ A ∀B ∈ m0Ω (A) A ∈ MB . В самом деле, пусть T ∈ A и Θ ∈ m0Ω (A). В силу упомянутого частного случая (3.103) имеем свойство (T ∈ MΘ ) ⇐⇒ (Θ ∈ MT ) .

(3.104)

Из (3.99) имеем, однако, что Θ ∈ MT , а тогда из (3.104) следует T ∈ MΘ . Коль скоро выбор T и Θ был произвольным, имеем требуемое свойство: A ∈ MB

∀A ∈ A ∀B ∈ m0Ω (A) .

(3.105)

Теперь рассмотрим (3.95) и (3.105) в комбинации: если B ∈ m0Ω (A), то MB ∈ (M O)[Ω] и A ⊂ MB . С учетом (3.72) имеем MB ∈ (M O)[Ω|A] ∀B ∈ m0Ω (A) . С учетом (3.73) и последнего свойства имеем вложения m0Ω (A) ⊂ MB

∀B ∈ m0Ω (A) .

(3.106)

Из (3.89) и (3.106) мы получаем теперь свойство ME = m0Ω (A) ∀E ∈ m0Ω (A) .

(3.107)

Из (3.88) и (3.107) вытекает, что E ∩ M ∈ m0Ω (A) ∀E ∈ m0Ω (A) ∀M ∈ m0Ω (A) . 116

(3.108)

Из (3.2), (3.87) и (3.108) вытекает, что m0Ω (A) ∈ π[Ω] .

(3.109)

Далее, из (3.9), (3.86) и (3.109) получаем утверждение m0Ω (A) ∈ (alg)[Ω] , т.е. m0Ω (A) есть алгебра п/м Ω. Мы установили (3.76). С учетом (3.72), (3.73) и (3.76) получаем, что m0Ω (A) ∈ (alg)[Ω] ∩ (M O)[Ω] и, в силу (3.71), справедливо свойство m0Ω (A) ∈ (σ − alg)[Ω] .

(3.110)

Из (3.72), (3.73) и (3.110) вытекает, что m0Ω (A) ∈ (σ − alg)[Ω] :

A ⊂ m0Ω (A) .

Из (3.54) извлекаем теперь важное положение: m0Ω (A) ∈ (σ − alg)[Ω|A] . Тогда, как видно из (3.55), непременно σΩ0 (A) ⊂ m0Ω (A) .

(3.111)

Из (3.75) и (3.111) вытекает равенство σΩ0 (A) = m0Ω (A) ; итак, (3.74) установлено. 2 Роль свойства (3.74) намного больше, чем может показаться на первый взгляд. Оно активно используется в ТВ (см., например, [4, c.111]). Хотя (3.74) и не доставляет какого-либо конкретного способа построения σ-алгебры σΩ0 (A), данное соотношение позволяет при работе с ИП использовать технику монотонных пределов, с которой хорошо увязывается свойство счетной аддитивности, рассматриваемое далее и являющееся основным в конструкциях лебеговской теории меры и колмогоровской ТВ. Теперь мы проиллюстрируем некоторые возможности обогащения произвольной алгебры п/м Ω на основе использования (3.69) и (3.74). Соотношение (3.74) характеризует σΩ0 (A) как своеобразную “монотонную оболочку” алгебры A ∈ (alg)[Ω]. С другой стороны, (3.69) можно использовать 117

для организации итерационной процедуры (мы не рассматриваем сейчас строгие определения в духе нашего ТМВ, а лишь используем конструкции итераций, традиционные для современной математики). Итак, на основе (3.69) можно определить последовательность (Mk )k∈N0 :

N0 −→ P(P(Ω))

(напомним, что N0 = {0} ∪ N ) посредством следующего правила 4

(M0 = A) & (Mk = m[Mk−1 ] ∀k ∈ N ) .

(3.112)

Ясно, что мы получили в (3.112) последовательность расширяющихся семейств п/м Ω: Mk−1 ⊂ Mk ∀k ∈ N . При этом M0 ⊂ m0Ω (A) по выбору M0 . Пусть вообще число n ∈ N0 таково, что Mn ⊂ m0Ω (A) .

(3.113)

Рассмотрим семейство Mn+1 = m[Mn ]. Пусть U ∈ Mn+1 . По определению операции m[·] имеем (см. определение, предшествующее (3.69)), что U ∈ P(Ω) обладает свойством: существует последовательность (Mi )i∈N : N −→ Mn , для которой выполняется (Mi )i∈N ↓↑ U .

(3.114)

В силу (3.113) имеем, в частности, что (Mi )i∈N : N −→ m0Ω (A) .

(3.115)

Вновь используя определение операции m[·], получаем из (3.114), (3.115), что U ∈ m[m0Ω (A)] , (3.116) так как U может быть получено в виде монотонного предела некоторой последовательности в m0Ω (A) (в (3.115) мы указали такую последовательность). Но в силу (3.72), (3.73) имеем свойство m0Ω (A) ∈ (M O)[Ω] , а тогда (см. (3.70)) имеет место равенство m[m0Ω (A)] = m0Ω (A) . 118

Из (3.116) следует теперь , что справедливо U ∈ m0Ω (A) .

(3.117)

Поскольку выбор U был произвольным, из (3.117) следует вложение Mn+1 ⊂ m0Ω (A) .

(3.118)

Итак, (3.113) =⇒ (3.118). Поскольку выбор n был произвольным, установлено, что ∀k ∈ N0 (Mk ⊂ m0Ω (A)) =⇒ (Mk+1 ⊂ m0Ω (A)) . С учетом ранее установленного свойства M0 ⊂ m0Ω (A) имеем по индукции важное утверждение Ms ⊂ m0Ω (A) ∀s ∈ N0 .

(3.119)

Свойство (3.119) дополняется (см. (3.69), (3.112)) положением: Ms ⊂ Ms+1 ∀s ∈ N0 .

(3.120)

Заметим, наконец, что в силу (3.74) и (3.119) у нас Ms ⊂ σΩ0 (A) ∀s ∈ N0 .

(3.121)

Из (3.120), (3.121) видно, что требуемая σ-алгебра (3.74) может оказаться очень богатой множествами (см. (3.112), (3.120)), хотя в ряде случаев итерационная процедура (3.112) может быстро стабилизироваться. Пример. Рассмотрим следующий вариант алгебры A п/м Ω = [0, 1]. Итак, Ω отождествляется сейчас с отрезком [0, 1]. Семейство A определяем как объединение двух семейств A1 и A2 . Именно, A1 определяется 4 в виде семейства всех конечных п/м Ω, включая ∅: A1 = F in(Ω) ∪ {∅}; 4

4

A2 = {Ω \ A : A ∈ A1 }. При этом A = A1 ∪ A2 . Нашей целью является построение σ-алгебры σΩ0 (A). В первую очередь установим, что A ∈ (alg)[Ω]. В самом деле, ∅ ∈ A1 и Ω ∈ A2 . Пусть A∗ ∈ A и A∗ ∈ A; рассмотрим A∗ ∩ A∗ ∈ P(Ω). Если (A∗ ∈ A1 ) ∨ (A∗ ∈ A1 ) ,

(3.122)

то A∗ ∩ A∗ ∈ A1 и, как следствие, A∗ ∩ A∗ ∈ A. Пусть (3.122) нарушено, т.е. (A∗ ∈ A2 ) & (A∗ ∈ A2 ) . 119

Подберем K∗ ∈ A1 и K ∗ ∈ A1 так, что A∗ = Ω \ K∗ и A∗ = Ω \ K ∗ . Тогда (см. (3.12)) A∗ ∩ A∗ = Ω \ (K∗ ∪ K ∗ ) , (3.123) где по свойствам F in(Ω) имеем K∗ ∪ K ∗ ∈ A 1 . Тогда в силу (3.123) получаем свойство A∗ ∩ A∗ ∈ A2 и, в частности, A∗ ∩ A∗ ∈ A. Итак, и в случае нарушения (3.122) требуемое свойство имеет место. Поскольку выбор A∗ и A∗ был произвольным, установлено: A ∩ B ∈ A ∀A ∈ A ∀B ∈ A . В силу (3.2) A ∈ π[Ω]. Наконец, имеем также свойство Ω \ A ∈ A1 ∀A ∈ A2 . В итоге, по определению A1 , A2 и A Ω \ A ∈ A ∀A ∈ A . С учетом (3.9) получили требуемое свойство A ∈ (alg)[Ω] . Стало быть, для нашей σ-алгебры п/м Ω справедливо свойство (3.74). Впрочем σΩ0 (A) легко определить непосредственно, используя предыдущий пример. 4 4 Пусть снова Ω = [0, 1], L1 = ω[Ω] = (count)[Ω] ∪ {∅} и L2 = {Ω \ L : 4

L ∈ L1 }. Полагаем, как и в упомянутом примере, L = L1 ∪ L2 . Покажем, что σΩ0 (A) = L . Ранее мы доказали, что L ∈ (σ − alg)[Ω]. Далее, F in(Ω) ⊂ (count)[Ω] , а тогда A1 ⊂ L1 и, как следствие, A2 ⊂ L2 . В итоге, A ⊂ L, т.е. L ∈ (σ − alg)[Ω|A] ; мы учли (3.54). Но тогда согласно (3.55) имеем σΩ0 (A) ⊂ L . 120

(3.124)

В действительности же в (3.124) имеет место равенство. Мы покажем, однако, несколько большее. Вернемся к (3.112) и рассмотрим семейство M1 = m[A] .

(3.125)

Мы знаем уже, что для семейства (3.125) справедлива оценка M1 ⊂ σΩ0 (A) ;

(3.126)

L ⊂ M1 .

(3.127)

(см. (3.121)). Покажем, что В самом деле, пусть выбрано произвольно L ∈ L1 . Если L = ∅, то L ∈ A и, поскольку, (см. (3.120)) A = M0 ⊂ M1 , получаем L ∈ M1 . Остается рассмотреть случай L ∈ (count)[Ω]. Пусть (ωi )i∈N : N −→ Ω есть такая последовательность, что

[

L = {ωi : i ∈ N } =

{ωi } .

i∈N 4

Введем теперь L(k) =

k S i=1

{ωi } ∈ A1 ∀k ∈ N . Тогда (L(i) )i∈N ↑ L ,

что означает, в частности, свойство (L(i) )i∈N ↓↑ L . Коль скоро L ∈ P(Ω), имеем очевидно L ∈ m[A], т.е. L ∈ M1 в силу (3.125). Итак, во всех возможных случаях L ∈ M1 . Вложение L1 ⊂ M1

(3.128)

установлено. Пусть теперь Λ ∈ L2 , а L0 ∈ L1 таково, что Λ = Ω \ L0 . Имеем (L0 = ∅) =⇒ (Λ = Ω) . Но Ω ∈ A (см. (3.2), (3.9)), а потому у нас (L0 = ∅) =⇒ (Λ ∈ A) 121

и, тем более, имеет место (L0 = ∅) =⇒ (Λ ∈ M1 ) ; см. (3.112), (3.120). Пусть теперь L0 ∈ (count)[Ω], а (ω (i) )i∈N : N −→ Ω обладает свойством [

L0 = {ω (i) : i ∈ N } =

{ω (i) } .

i∈N

Пусть теперь у нас L0k

4

=

k [

{ω (i) } ∀k ∈ N .

i=1

Ясно, что (L0i )i∈N есть последовательность в A1 , а тогда 4

Λk = Ω \ L0k ∈ A2 ∀k ∈ N . При этом Λs+1 ⊂ Λs ∀s ∈ N . Кроме того, ³[ ´ ´ \ \³ 0 Λk = Ω \ Lk = Ω \ L0k = Ω \ L0 = Λ . k∈N

k∈N

k∈N

Мы получили свойство сходимости (Λi )i∈N ↓ Λ . В частности, имеем сходимость (Λi )i∈N ↓↑ Λ . Поскольку у нас (Λi )i∈N : N −→ A, то Λ ∈ m[A]. Из (3.125) имеем Λ ∈ M1 . Поскольку выбор Λ был произвольным, установлено вложение L2 ⊂ M 1 . С учетом (3.128) имеем теперь вложение L = L1 ∪ L2 ⊂ M1 ; итак (3.127) полностью доказано. Из (3.124), (3.127), (3.126) имеем теперь цепочку вложений σΩ0 (A) ⊂ L ⊂ M1 ⊂ σΩ0 (A) . 122

Это означает (см. ТМВ), что σΩ0 (A) = L = M1 . 2 Мы видим, что в примере, рассмотренном сейчас, σ-алгебра σΩ0 (A) имеет очень простую структуру и определяется второй итерацией процедуры (3.112). Мы не утверждаем, что это всегда так, и даже не утверждаем, что последовательность, определяемая в (3.112), сходится к σ-алгебре (3.74) в общем случае; для возрастающей (Mk ⊂ Mk+1 ∀k ∈ N0 ) последовательности в (3.112) утверждается лишь свойство [ Ms ⊂ σΩ0 (A) s∈N0

(см. (3.121)). В своих построениях мы ограничились случаем, когда в (3.55) семейство H есть алгебра множеств. Этот случай является, однако, в известной мере достаточным: σΩ0 (H) = σΩ0 (a0Ω (H)) ∀H ∈ P(P(Ω)) .

(3.129)

Если в (3.129) H ∈ Π[Ω], то a0Ω (H) определяется в (3.20), после чего можно применять (3.74) при A = a0Ω (H). По поводу более общего случая H см. [4, гл.I]; a0Ω (H) и в этом общем случае допускает сравнительно несложное представление. В примере, который был рассмотрен, удалось осуществить построение конкретной σ-алгебры п/м Ω, порожденной алгеброй множеств. К сожалению, такое построение удается осуществить редко. Мы отметим сейчас еще один случай, когда реализуется подобная возможность. Именно, мы рассмотрим вопрос о “присоединении” к σ-алгебре множеств только одного множества, ей не принадлежащего, с последующим определением σ-алгебры, порожденной упомянутым новым семейством п/м Ω. В этом построении мы следуем [17, c. 21]. Итак, пусть F ∈ (σ − alg)[Ω] и F ∈ P(Ω) \ F . Тогда F ∪ {F} ∈ P 0 (P(Ω)) есть семейство, отличающееся от F только одним множеством: F ∪ {F} содержит, наряду с множествами из F, еще и множество F. Оказывается [17, c. 21], что σΩ0 (F ∪ {F}) = {(pr1 (z) ∩ F) ∪ (pr2 (z) ∩ (Ω \ F)) : z ∈ F × F } . (3.130) 123

Итак, в (3.130) утверждается, что σ-алгебра σΩ0 (F ∪ {F }), порожденная семейством F ∪ {F } есть семейство всех таких множеств A ∈ P(Ω), для каждого из которых можно указать множества F1 ∈ F и F2 ∈ F так, что при этом A = (F1 ∩ F) ∪ (F2 ∩ (Ω \ F)) . Грубо говоря, здесь мы видим цену добавления к ранее построенной σ-алгебре только одного, не принадлежащего ей, множества. Мы предлагаем читателю самостоятельно исследовать случай, который рассматривался h i 1 2 в последнем примере, когда Ω = [0, 1], F = L = L1 ∪ L2 и F = 3 , 3 . Для этого частного случая предлагается построить σ-алгебру (3.130). Отметим еще одно полезное представление σ-алгебры, порожденной семейством; будем использовать при этом (2.82). Именно, [17, c. 113], [ σΩ0 (E) = σΩ0 (H) ∀E ∈ P 0 (P(Ω)) . (3.131) H∈(count)[E]

Из (3.131) видно, что σ-алгебры п/м Ω, порожденные не более, чем счетными, семействами п/м Ω и именуемые сепарабельными [4, c. 32], играют важную роль при построении σ-алгебры вида (3.55) в общем случае. В этой связи отметим важный частный случай (см. [4, c. 32]), вновь обращаясь к понятию разбиения в том смысле, как это было сформулировано в разделе 1 (т.е. в ТМВ; см. (1.68)). Иными словами, будем говорить о неупорядоченных разбиениях Ω, полагая, однако, эти разбиения не более, чем счетными. Имеем, n 4 (∞) D [Ω] = C ∈ (count)[P(Ω)] | (3.132) ³ o [ ´ Ω= C & (∀C1 ∈ C ∀C2 ∈ C ((C1 ∩ C2 6= ∅) =⇒ (C1 = C2 ))) = C∈C

n ³ [ ´ C ∧ = C ∈ (count)[P(Ω)] | Ω = C∈C

o ∧ ((C1 ∩ C2 = ∅) ∨ (C1 = C2 ) ∀C1 ∈ C ∀C2 ∈ C) . Введем, кроме того, множество всех упорядоченных счетных разбиений Ω в сумму произвольных п/м Ω, полагая 4

∆(∞) [Ω] = ∆∞ [Ω; P(Ω)] . В связи с (3.132) заметим, что {Li : i ∈ N } ∈ D(∞) [Ω] (Li )i∈N ∈ ∆(∞) [Ω] . 124

(3.133)

Отметим важное свойство, связанное с (3.132), учитывая, что D(∞) [Ω] ⊂ P 0 (P(Ω)). Именно, n[ o 0 Y : Y ∈ P(C) σΩ (C) = ∀C ∈ D(∞) [Ω] ; (3.134) Y ∈Y

см. [4, c. 32]. Из (3.133) и (3.134) вытекает, что n[ o 0 σΩ ({Li : i ∈ N }) = Li : Z ∈ P(N ) ∀(Li )i∈N ∈ ∆(∞) [Ω] . (3.135) i∈Z

Заметим, что в (3.134) и (3.135) мы имеем сепарабельные σ-алгебры п/м Ω. Отметим, наконец, совсем очевидное свойство: если SF [Ω], то (alg)[Ω] = (σ − alg)[Ω] , т.е. в случае конечного ПЭС (а это предположение соответствует задачам элементарной ТВ) каждая алгебра п/м Ω является σ-алгеброй. Последнее равенство позволяет в принципе распространить аксиоматику А.Н.Колмогорова на задачи элементарной ТВ. В связи с этим равенством заметим, что вообще ∀L ∈ (alg)[Ω] (SF [L]) =⇒ (L ∈ (σ − alg)[Ω]) . Стало быть, конечная алгебра п/м произвольного ПЭС всегда является σ-алгеброй. Итак, мы отметили ряд случаев, когда описание требуемых σ-алгебр п/м Ω удается получить достаточно просто. Мы использовали для построения σ-алгебры, порожденной семейством п/м Ω, различные схемы рассуждений, отвечающие всякий раз конкретной задаче. В то же время свойство (3.131) имеет весьма общий характер и порождает целый ряд полезных следствий.

4. Счетно-аддитивные семейства Мы по-прежнему считаем фиксированным множество Ω раздела 3, интерпретируемое как ПЭС. Мы уже знаем, что наиболее совершенным семейством событий является σ-алгебра п/м Ω. В то же время “понятные” нам события редко составляют σ-алгебру множеств. В связи с этим мы используем конструкцию σ-алгебры п/м Ω, порожденной семейством. В 125

описании этой σ-алгебры нам помогает (см. (3.74)) другая схема, использующая монотонное семейство, порожденное исходным; в этой схеме важно, однако, чтобы последнее было алгеброй множеств. Сейчас мы рассмотрим еще один взгляд на эту проблему (см. [4, c. 38]). Если H ∈ P 0 (P(Ω)) (т.е. если H есть непустое семейство п/м Ω), то назовем H σ-аддитивным семейством, если ³ ³ ´´ (Ω ∈ H)& ∀H1 ∈ H ∀H2 ∈ H (H1 ∩ H2 = ∅) =⇒ (H1 ∪ H2 ∈ H) & ³ ³ ´´ (H1 ⊂ H2 ) =⇒ (H2 \ H1 ∈ H) & & ∀H1 ∈ H ∀H2 ∈ H ³ ³ ³[ ´´´ & ∀(Hi )i∈N ∈ HN (Hj ⊂ Hj+1 ∀j ∈ N ) =⇒ Hi ∈ H . (4.1) i∈N

Через (σ − F AM )[Ω] обозначаем множество всех семейств H ∈ P 0 (P(Ω)), обладающих свойством (4.1), т.е. множество всех σ-аддитивных семейств п/м Ω: n 4

(σ − F AM )[Ω] = H ∈ P 0 (P(Ω)) | (Ω ∈ H) & (4.2) ³ ³ ´´ & ∀H1 ∈ H ∀H2 ∈ H (H1 ∩ H2 = ∅) =⇒ (H1 ∪ H2 ∈ H) & ³ ³ ´´ & ∀H1 ∈ H ∀H2 ∈ H (H1 ⊂ H2 ) =⇒ (H2 \ H1 ∈ H) & ³ ³ ³[ ´´´o N & ∀(Hi )i∈N ∈ H (Hj ⊂ Hj+1 ∀j ∈ N ) =⇒ Hi ∈ H . i∈N

По индукции проверяется, что ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ∀H ∈ P(Ω) (∃n ∈ N : ∆n (H, E) 6= ∅) =⇒ (H ∈ E) .

(4.3)

Теперь введем в рассмотрение счетные разбиения п/м Ω множествами того или иного семейства. Если L ∈ P 0 (P(Ω)) и M ∈ P(Ω), то (см. раздел 2) счетным разбиением множества M элементами L называем (здесь и далее) всякую последовательность (Li )i∈N : N −→ L , для которой имеют место следующие два свойства: ³ ´ [ ´ ³ M = Li & Lp ∩ Lq = ∅ ∀p ∈ N ∀q ∈ N \ {p} ; i∈N

126

в литературе по ТВ в данном случае часто используют запись M =

∞ G

Li .

(4.4)

i=1

Если L ∈ P 0 (P(Ω)) и M ∈ P(Ω), то (см. раздел 2) через ∆∞ [M ; L] обозначаем, как и ранее, множество всех счетных разбиений множества M элементами L: ³ n [ ´ N ∆∞ [M ; L] = (Li )i∈N ∈ L | M = Li & (4.5) i∈N

³

´o & Lp ∩ Lq = ∅ ∀p ∈ N ∀q ∈ N \ {p} ; (ситуацию (4.4) интерпретируем как факт счетного разбиения M множествами L1 , L2 , . . . ; последние, в своей совокупности, предполагаются выбранными в соответствии с (4.5)). Используя (4.2), (4.3) и (4.5), можно показать, что ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ∀H ∈ P(Ω) (∆∞ [H; E] 6= ∅) =⇒ (H ∈ E) .

(4.6)

В (4.6) мы имеем характерное свойство σ-аддитивных семейств. Из (4.2) имеем с очевидностью ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ∀E ∈ E Ω\E ∈E .

(4.7)

В свою очередь, последнее в сочетании с (4.2) доставляет следующее положение: ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ∀(Si )i∈N ∈ E N ³\ ´ Si ∈ E . (Sj+1 ⊂ Sj ∀j ∈ N ) =⇒ i∈N

Теперь уже практически очевидно вложение (σ − F AM )[Ω] ⊂ (M O)[Ω] .

(4.8)

Мы получили полезную связь счетно-аддитивных и монотонных семейств п/м Ω; напомним, что последние играют важную роль с точки зрения описания σ-алгебры, порожденной алгеброй п/м Ω (см. (3.74)). Из (4.2) видно, что ∅ ∈ E ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] . Поэтому (см. (3.2)) имеем ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ³ ´ ³ ´ A ∩ B ∈ E ∀A ∈ E ∀B ∈ E =⇒ E ∈ π[Ω] . 127

Из (3.9) и (4.7) получаем теперь важное свойство: ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ³ ´ ³ ´ A ∩ B ∈ E ∀A ∈ E ∀B ∈ E =⇒ E ∈ (alg)[Ω] . (4.9) С учетом (3.71), (4.8) и (4.9) мы видим, что грань, разделяющая понятия σ-аддитивного семейства и σ-алгебры п/м Ω, связана только с мультипликативностью упомянутого σ-аддитивного семейства. Именно, если E ∈ (σ − F AM )[Ω], то ³ ´ ³ ´ A ∩ B ∈ E ∀A ∈ E ∀B ∈ E =⇒ E ∈ (σ − alg)[Ω] . Однако, из (3.2), (3.9) и (3.31) следует мультипликативность каждой σ-алгебры п/м Ω. Поэтому на самом деле ∀E ∈ (σ − F AM )[Ω] ³ ´ ³ ´ E ∈ (σ − alg)[Ω] ⇐⇒ A ∩ B ∈ E ∀A ∈ E ∀B ∈ E . (4.10) Из (4.2) вытекает свойство: если S ∈ P(P(Ω)), то множество (а, точнее, семейство) n o 4 (σ − F AM )[Ω|S] = E ∈ (σ − F AM )[Ω] | S ⊂ E (4.11) содержит семейство P(Ω): P(Ω) ∈ (σ − F AM )[Ω|S] . В частности, мы получили свойство: (4.11) есть непустое семейство, что позволяет (см. ТМВ) определить пересечение всех множеств (а, точнее, — семейств), являющихся элементами (4.11). Более того, \ 4 (σ −f am)0Ω [S] = E ∈ (σ −F AM )[Ω|S] ∀S ∈ P(P(Ω)); (4.12) E∈(σ−F AM )[Ω|S]

тем самым, в (4.12) введено определение σ-аддитивного семейства, порожденного произвольным семейством п/м Ω, т.е. σ-аддитивной оболочки последнего. В силу (3.72), (3.73), (4.8) и (4.11) имеем для (4.12) следующую оценку: если S ∈ P(P(Ω)), то m0Ω (S) ⊂ (σ − f am)0Ω [S] . Здесь же отметим тот очевидный факт (см. (4.2)), что (σ − alg)[Ω] ⊂ (σ − F AM )[Ω] ; 128

(4.13)

кроме того, имеем (как следствие) свойство: если S ∈ P(P(Ω)), то (σ − f am)0Ω [S] ⊂ σΩ0 (S) .

(4.14)

В свете (4.13), (4.14) наиболее интересным представляется следующее свойство: ∀S ∈ P(P(Ω)) ³ ´ ³ ´ 0 0 A ∩ B ∈ S ∀A ∈ S ∀B ∈ S =⇒ (σ − f am)Ω [S] = σΩ (S) . (4.15) Замечание. В вопросах, связанных с построением σ-алгебры, порожденной семейством S ∈ P(P(Ω)) (см. (3.55)), обычно приходится сталкиваться с ситуацией, когда семейство S “понятных” исследователю событий мультипликативно: в качестве S используется обычно топология [11], полуалгебра или алгебра множеств. Все семейства этих трех типов мультипликативны, а потому верно следствие импликации (4.15). Стало быть, фактически мы получили (для практически интересных случаев) полезный взгляд на структуру σ-алгебры, порожденной семейством п/м Ω. В Добавлении мы приведем ряд дополнительных положений, касающихся структуры упомянутой σ-алгебры множеств.

5. Вероятность (вводные замечания) В двух предыдущих разделах мы сформировали представление о семействе событий, как о σ-алгебре F п/м Ω. Это представление является основным в аксиоматике А.Н.Колмогорова. В то же время используется и представление ПЭС и семейства событий в виде пары (Ω, A), где A есть алгебра п/м Ω. Последнее может иметь чисто вспомогательный характер, когда A рассматривается лишь как “начальная ступень” при построении σ-алгебры множеств, но, в некоторых конструкциях (см. работы де Финетти и его школы), A может использоваться как самостоятельный объект, а, точнее, как семейство событий в конструкциях конечно-аддитивной ТВ. Поскольку различие между полуалгеброй и алгеброй п/м Ω фактически является несущественным (см. очень простую процедуру (3.20)), то, во второй версии, можно было бы гипотетически рассматривать в качестве ИП пару (Ω, L), где L ∈ Π[Ω]. Так или иначе, в любом из трех вариантов ИП, (Ω, F), (Ω, A) или (Ω, L), нам предстоит оснащать получившееся семейство событий (т.е. F, A или L) вероятностью, т.е. указывать для любого наперед выбранного события из соответствующего семейства конкретную степень достоверности наступления этого события (последнее предполагает осуществление исхода ω ∈ Ω нашего гипотетического эксперимента в пределах данного события). 129

На уровне строгих определений это означает, что мы должны построить функцию множеств (ФМ), областью определения которой было бы соответствующее семейство событий, а значениями – вышеупомянутые степени достоверности наступления отдельных событий. Такая программа, особенно в колмогоровской версии (Ω, F), зачастую не может быть конструктивно реализованной: мы уже знаем, что F ∈ (σ − alg)[Ω] может иметь очень сложную структуру, точное осознание которой может оказаться выше человеческих сил. В этой связи в разделе 3 был намечен иной подход: мы определяем F в виде σΩ0 (H), где H есть то или иное семейство “понятных” нам событий. Сама степень “понятности” тех или иных событий очень часто отождествляется с достаточно простым предсказанием степени достоверности их наступления. В этой модели мы “не знаем” всех множеств из F, но сам объект F определен вполне удовлетворительно с математической точки зрения: семейству H сопоставляется единственная σ-алгебра п/м Ω, обладающая целым рядом полезных представлений (см. разделы 3, 4). Такой взгляд может быть с некоторой долей аналогии распространен и на построение требуемой ФМ, значения которой — суть степени достоверности событий F ∈ F . Именно, следует построить значения этой ФМ для “понятных” событий, а затем попытаться доказать возможность продолжимости (лучше однозначной) такой усеченной, но опять-таки понятной, ФМ на все семейство F. Пример. Обратимся к второму примеру из раздела 3, где Ω = [0, 1], а полуалгебра L ∈ Π[Ω] есть семейство всех промежутков числовой прямой, содержащихся в Ω; L определяется в виде объединения семейств J1 , J2 , J3 и J4 (см. раздел 3). Степень достоверности осуществления события, выражаемого промежутком из L, логично оценить длиной. Итак, будем полагать, что l : L −→ [0, 1] (5.1) есть функция длины, определяемая по правилу: ³ ´ 4 4 (l(∅) = 0) & l(I) = sup(I) − inf(I) ∀I ∈ L \ {∅} .

(5.2)

Данное определение (5.1), (5.2) во многих случаях можно считать бесспорным. Легко проверить, что таким образом мы получаем, в частности, ФМ со свойством конечной аддитивности. Поясним сейчас это свойство содержательно. Известна (см. (3.20)) структура a0Ω (L), что позволяет “приписывать” множествам A ∈ a0Ω (L), представимым конечными суммами множеств из L, суммы соответствующего конечного набора длин этих 130

множеств. Именно так устроена процедура продолжения l с L на a0Ω (L) с сохранением свойства конечной аддитивности; см. [4, §I.6], [12, §12] и [13, гл. I]. Мы не будем сейчас эту процедуру рассматривать, а обратимся к истолкованию данного продолжения в терминах т.н. относительных частот. Именно, мы будем исходить из предположения, что значения (5.2) являются пределами упомянутых относительных частот, реализующихся в схемах с неограниченно большими количествами повторения эксперимента по реализации ω ∈ Ω; будем называть это бросанием в множество Ω. Более того, допустим гипотетически ситуацию, когда число таких бросаний бесконечно. Итак, пусть Э1 , . . . ,ЭN ,ЭN +1 , . . . — последовательность бросаний; в результате бросания с номером t мы получаем ωt ∈ Ω. Стало быть, мы располагаем здесь (но не “в жизни”) бесконечным протоколом (ωt )t∈N : N −→ Ω . Если M ∈ P(Ω) и N ∈ N , то введем число kN [M ] бросаний из “отрезка” (Э1 , . . .,ЭN ), в которых реализующаяся точка множества Ω попадала в M : ¯ ¯ ¯ ¯ kN [M ] = ¯{t ∈ 1, N | ωt ∈ M }¯ ; соответственно отношение kN [M ] ∈ [0, 1] N именуется обычно относительной частотой наступления события M . Будем исходить из предположения о том, что 4

νN [M ] =

(νN [I])N ∈N −→ l(I) ∀I ∈ L .

(5.3)

Иными словами, в (5.3) мы постулируем объективность (5.1), (5.2) с точки зрения длинных серий повторений эксперимента. С другой стороны, можно представить и другие множества M ∈ P(Ω), для которых ∃c ∈ [0, 1] : (νN [M ])N ∈N −→ c .

(5.4)

Такие множества M можно, с точки зрения имеющейся у нас статистической информации, объявить событиями. Оказывается, что таковыми являются все множества из a0Ω (L). Более того, для этих “новых” событий естественным образом определяются “вероятности”, интерпретируемые как пределы частот. В самом деле, пусть A ∈ a0Ω (L). Используя (3.20), подберем n∈N и (Li )i∈1,n ∈ ∆n (A, L) . 131

Иными словами, у нас верно (3.4) при замене M → A. Тогда, как легко проверить, при N ∈ N {t ∈ 1, N | ωt ∈ A} =

n G

{t ∈ 1, N | ωt ∈ Li } .

i=1

Здесь мы снова используем соглашение (3.4). Но в этом случае kN [A] =

n X

kN [Li ] :

i=1

успех в осуществлении A происходит т. и т.т., когда происходит успех в осуществлении одного (и только одного) события Li . В итоге νN [A] =

n X

νN [Li ] ,

i=1

каково бы ни было N ∈ N . С учетом (5.3) получаем теперь сходимость (νN [A])N ∈N −→

n X

l(Li ) .

(5.5)

i=1

Стало быть, имеем два полезных обстоятельства: 1) A логично интерпретировать как событие и с точки зрения эмпирических оснований ТВ; 2) степень достоверности в осуществлении A логично отождествить с суммой в правой части (5.5). Напомним, что слагаемые этой суммы отвечали бесспорным в смысле (5.4) событиям; стало быть, и A можно считать таковым. Коль скоро A ∈ a0Ω (L) выбиралось произвольно, можно считать, что событиями являются все множества из a0Ω (L) и, более того, все они естественным путем оснащаются вероятностями в виде пределов частот. Из (5.5) уже угадывается и основное (казалось бы) свойство этих значений вероятности: если с их помощью сформировать ФМ на a0Ω (L), то она будет конечно-аддитивной. Последнее означает, что если некоторое “целое” разбито в сумму “частей”, причем “целое” и “части” — суть множества из a0Ω (L), то вероятность “целого” равна сумме вероятностей упомянутых “частей” (нам потребуется и более сильное свойство счетной аддитивности, но мы его сейчас не обсуждаем). Мы используем установленную в разделе 3 шкалу измеримых структур: (σ − alg)[Ω] ⊂ (alg)[Ω] ⊂ Π[Ω] ⊂ π[Ω] ; 132

(5.6)

кроме того (см. (3.2)), π[Ω] ⊂ P 0 (P(Ω)). Стало быть, каждое семейство, являющееся элементом какого-либо множества в (5.6), есть непустое семейство п/м Ω и мы вправе рассматривать ФМ на каждом таком семействе. Более общих, в сравнении со случаем L ∈ π[Ω], семейств L п/м Ω мы далее в требуемом качестве рассматривать не будем. Поэтому естественно остановиться на следующем весьма общем определении: если L ∈ π[Ω] и µ ∈ RL (т.е. µ есть в/з функция на L, или функционал на L), то называем µ конечно-аддитивной (к.-а.) мерой на L, если µ(L) =

n X

µ(Li ) ∀L ∈ L ∀n ∈ N ∀(Li )i∈1,n ∈ ∆n (L, L) .

(5.7)

i=1

Само свойство (5.7) именуем конечной аддитивностью µ. Разумеется, свойство (5.7) не определяет µ однозначно. В этой связи мы введем множество всех к.-а. мер на L. Итак, полагаем ∀L ∈ π[Ω] n n X L µ(Li ) (add)[L] = µ ∈ R | µ(L) = 4

i=1

∀L ∈ L ∀n ∈ N ∀(Li )i∈1,n

o ∈ ∆n (L, L) .

(5.8)

Не совсем естественным в конструкциях ТВ представляется то обстоятельство, что в (5.8) содержатся, вообще говоря, знакопеременные ФМ, хотя в некоторых конструкциях теории меры это полезно. В этой связи введем ∀L ∈ π[Ω] n o 4 (add)+ [L] = µ ∈ (add)[L] | 0 ≤ µ(L) ∀L ∈ L . (5.9) В (5.9) используются только неотрицательные ФМ, а, точнее, неотрицательные к.-а. меры. Если L ∈ π[Ω], то полагаем n o 4 P(L) = µ ∈ (add)+ [L] | µ(Ω) = 1 . (5.10) Элементы множества (5.10) будем называть к.-а. вероятностями и использовать при этом для них аббревиатуру КАВ. Полезно, однако, заметить, что при L ∈ π[Ω]\Π[Ω] возможны ощутимые патологии для КАВ из множества (5.10). Мы предлагаем читателю самостоятельно их рассмотреть для примера раздела 3, следующего за (3.2). Сейчас отметим только, что уже при L ∈ Π[Ω] многие из этих патологий исчезают, хотя остаются и некоторые проблемы, вызванные тем, что мы работаем со свойством (только) конечной аддитивности. 133

Дополним (5.10) еще одним полезным определением: если L ∈ π[Ω], то полагаем, что n o 4 T(L) = µ ∈ P(L) | (µ(L) = 0) ∨ (µ(L) = 1) ∀L ∈ L . (5.11) В (5.11) используются двузначные, а, точнее, (0, 1)-значные КАВ. Опятьтаки, полезно иметь в виду, что определение (5.11) содержательно, если, в смысле шкалы (5.6), мы имеем “хотя бы” L ∈ Π[Ω] (т.е. L является либо полуалгеброй, либо алгеброй, либо σ-алгеброй п/м Ω). Так или иначе, в “самом общем” случае L ∈ π[Ω] имеем шкалу T(L) ⊂ P(L) ⊂ (add)+ [L] ⊂ (add)[L] .

(5.12)

В ряду свойств шкалы (5.12) отметим прежде всего, что µ(∅) = 0 ∀L ∈ π[Ω] ∀µ ∈ (add)[L] .

(5.13)

Доказательство этого положения практически очевидно: ∅ можно неограниченно разбивать в сумму экземпляров ∅, после чего надлежит использовать (5.7) при доказательстве (5.13) от противного. Отметим другое полезное для нас свойство: если L ∈ Π[Ω], µ ∈ (add)+ [L] и L ∈ L, то (5.14)

µ(L) ≤ µ(Ω) .

Обоснование (5.14) вытекает из (3.7). Полезно, однако, напомнить идею, фиксируя L, µ и L в соответствии с условиями, определяющими (5.14). Итак, следуя (3.7), подберем n ∈ N и (Li )i∈1,n ∈ ∆n (Ω \ L, L) . S Учтем (см. раздел 2), что 1, n + 1 = 1, n {n + 1} и построим (L(i) )i∈1,n+1 : 1, n + 1 −→ L по следующему правилу: 4

4

(L(i) = Li ∀i ∈ 1, n) & (L(n+1) = L) . Легко видеть, что (L(i) )i∈1,n+1 ∈ ∆n+1 (Ω, L), а потому в силу (5.7) µ(Ω) =

n+1 X i=1

(i)

µ(L ) =

n ³X

(i)

´

(n+1)

µ(L ) + µ(L

i=1

)=

n ³X i=1

134

´ µ(Li ) + µ(L) .

Стало быть, в силу неравенства 0≤

n X

µ(Li )

i=1

(см. (5.9)) имеем (5.14), ч. т. д. Из (5.10) и (5.14) получаем ∀L ∈ Π[Ω] ∀P ∈ P(L) ∀L ∈ L P (L) ∈ [0, 1] . (5.15) Свойство (5.15) естественно для вероятностей; оно дополняется следующими положениями: в условиях, определяющих (5.15), т. е. при L ∈ Π[Ω] и P ∈ P(L) верны равенства P (∅) = 0 и P (Ω) = 1. Эти два равенства являются простыми следствиями (5.13) и (5.14); последние два соотношения определяют более общие свойства. Подчеркнем, что мы пока говорили только о КАВ, не вводя каких-либо более сильных предположений. Стало быть, уже в случае использования КАВ мы получаем (см. (5.8) - (5.10), (5.15)) набор свойств, подобных свойствам относительных частот и их пределов (см. пример, связанный с рассмотрением (5.1), (5.2); на самом деле нам сейчас важны не предельные представления величин вида (5.1), (5.2), а соответствующие свойства самих частот, которые мы предлагаем читателю проверить самостоятельно: речь идет о конечной аддитивности и об определении значений в “точках” ∅ и Ω). Отметим, однако, несколько “странный” на первый взгляд Пример. Пусть Ω = N ; рассматриваем, стало быть, случайность в реализации натуральных чисел. Введем L ∈ Π[Ω] по следующему правилу. Именно, построим сначала семейство 4

L1 = {m, n :

m ∈ N, n ∈ N}

(5.16)

всех конечных промежутков N ; строго говоря, L1 следовало бы определить в духе ТМВ как {pr1 (z), pr2 (z) : z ∈ N × N }. Легко видеть, однако, что (5.16) эквивалентно данному более строгому определению: (5.16) есть семейство всех множеств m, n, когда m и n “пробегают” N . Введем также семейство 4 → : n ∈ N} L2 = {− n,−∞ всех бесконечных промежутков N . Тогда [12, c. 116] 4

и при этом L1

T

L = L1 ∪ L2 ∈ Π[Ω] L2 = ∅. Введем теперь ФМ η : L −→ {0; 1} 135

(5.17)

на полуалгебре (5.17) по следующему правилу 4

4

(η(L) = 0 ∀L ∈ L1 ) & (η(Λ) = 1 ∀Λ ∈ L2 ) .

(5.18)

Известно, что η ∈ T(L); см. [12, c. 116]. Из (5.16) имеем, что {ω} ∈ L1 ∀ω ∈ Ω. Стало быть, η({i}) = 0 ∀i ∈ N . Однако, Ω = N ∈ L2 , так как −−→ Ω = 1, ∞; поэтому η(Ω) = 1 в силу (5.18). Итак, единичная “вероятность” достоверного события Ω возникла на первый взгляд ниоткуда, ибо n X

η({i}) = 0 ∀n ∈ N .

i=1

На самом же деле, никакого противоречия нет, поскольку мы строили ФМ, а ее значения необязательно должны выражаться в терминах точек Ω. Тем не менее, некая неудовлетворенность остается. В самом деле, −−−−−→ η(1, n) = 0 при n ∈ N , а дополнение 1, n до Ω, т.е. n + 1, ∞ становится с ростом n все меньше и меньше. Более того, в пересечении всех множеств − → s ∈ N , нет ничего, так как оно (это пересечение) пусто и, тем не s,−∞, → = 1 ∀s ∈ N . Где же “прячется” единичное значение веменее, η(− s,−∞) роятности на Ω. Обсуждение этого вопроса отложим до введения счетноаддитивных (с.-а.) мер и, в частности, с.-.а. вероятностей. 2 Вернемся к (5.7); данное свойство, как показывает пример, может служить источником “патологий”. Примечательно, что в 1901 - 1904 гг. А.Лебег, а позднее целый ряд других математиков, среди которых особо отметим А.Н.Колмогорова в связи с его работами по построению аксиоматики ТВ, опирались на другое свойство, более сильное в сравнении с (5.7). Именно, речь идет о свойстве счетной аддитивности или σ-аддитивности (см. также [14]). Для введения соответствующего определения нам потребуется понятие счетного измеримого разбиения п/м Ω. Будем действовать по аналогии с (3.5) и (4.4). Напомним, что при L ∈ P 0 (P(Ω)) у нас LN есть множество всех последовательностей вида (3.30). Среди таких последовательностей выделяем счетные измеримые разбиения. Напомним это важное определение. Если L ∈ P 0 (P(Ω)) и M ∈ P(Ω), то счетным разбиением множества M элементами L мы называем (см. раздел 4) всякую последовательность (3.30), для которой ³ ´ [ ´ ³ M= Li & Lp ∩ Lq = ∅ ∀p ∈ N ∀q ∈ N \ {p} . i∈N

136

Это свойство характеризуется обычно как представление M в виде дизъюнктного объединения множеств Li , i ∈ N ; при этом часто используется следующая запись (см. (4.4)) M=

∞ G

Li .

i=1

Нам потребуется рассматривать различные счетные разбиения подмножеств Ω, т.е. по сути дела, работать с множествами таких разбиений. Если L ∈ P 0 (P(Ω)) и M ∈ P(Ω), то (см. (4.5)) ¯ ³ n [ ´ N¯ ∆∞ [M ; L] = (Li )i∈N ∈ L ¯ M = Li & i∈N

³ ´o & Lp ∩ Lq = ∅ ∀p ∈ N ∀q ∈ N \ {p} ; разумеется, мы постулируем, что символ ∞ не является обозначением какого-либо числа из N ; стало быть, мы не можем извлечь (4.5) из (3.5), конкретизируя в (3.5) каким-либо образом число n. Теперь мы определили по аналогии с (5.7) свойство счетной аддитивности ФМ в наиболее общей, для шкалы (5.6), ситуации: если L ∈ π[Ω] и µ ∈ RL , то называем µ с.-а. мерой на L, если k X µ(Li ))k∈N −→ µ(L) ∀L ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ ∆∞ [L; L] . (

(5.19)

i=1

Разумеется, в (5.19) мы используем определения раздела 2; очень часто это свойство интерпретируется в терминах суммы ряда: (5.19) заменяется выражением µ(L) =

∞ X

µ(Li ) ∀L ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ ∆∞ [L; L] .

(5.20)

i=1

В сущности (5.20) есть просто сокращенная форма записи свойства (5.19). Мы, по соображениям методического характера, будем придерживаться представления (5.19). Если L ∈ π[Ω], то k ¯ ³X n ´ L¯ (σ − add)[L] = µ ∈ R ¯ µ(Li ) 4

i=1

∀L ∈ L ∀(Li )i∈N 137

k∈N

o ∈ ∆∞ [L; L]

−→ µ(L) (5.21)

есть множество всех с.-а. мер на мультипликативном семействе L с “нулем” и “единицей”. Шкала (5.6) позволяет нам применять (5.21) для более частных, но и более полезных, случаев L ∈ Π[Ω], L ∈ (alg)[Ω] и L ∈ (σ−alg)[Ω]. Легко проверяется, что µ(∅) = 0 ∀L ∈ π[Ω] ∀µ ∈ (σ − add)[L] .

(5.22)

Обоснование (5.22), как и обоснование (5.13), практически очевидно: в рассуждении от противного следует определить (Li )i∈N ∈ ∆∞ [∅; L] условием: 4

Lj = ∅ ∀j ∈ N . С учетом (5.22) легко проверяется свойство: если L ∈ π[Ω], то (σ − add)[L] ⊂ (add)[L] . (5.23) Мы видим из (5.23), что счетная аддитивность влечет конечную; обратное справедливо далеко не всегда, как показывает хотя бы последний пример. Как и в случае к.-а. мер, основной интерес для нас представляют неотрицательные с.-а. меры. Если L ∈ π[Ω], то полагаем, что 4

(σ − add)+ [L] = {µ ∈ (σ − add)[L] | 0 ≤ µ(L) ∀L ∈ L} .

(5.24)

В (5.24) имеем множество всех неотрицательных с.-а. мер на L. Среди последних естественно выделяются с.-а. вероятности, которые играют основную роль в современной ТВ. Полагаем ∀L ∈ π[Ω] 4

Pσ (L) = {P ∈ (σ − add)+ [L] | P (Ω) = 1} .

(5.25)

С учетом (5.6) мы можем, в частности, применять (5.25) в случае, когда L есть полуалгебра, алгебра или σ-алгебра п/м Ω. В упомянутых трех случаях (5.25) определяет множество всех с.-а. вероятностей на соответствующем ИП. Если L ∈ (σ − alg)[Ω] и P ∈ Pσ (L), то триплет (Ω.L, P )

(5.26)

называем вероятностным пространством (ВП) в смысле А.Н.Колмогорова. Если же L ∈ (alg)[Ω] и P ∈ P(L), то триплет (5.26) часто называют ВП в расширенном смысле (пространства такого типа рассматривались де Финетти и некоторыми другими математиками). По своим свойствам к пространствам такого рода близки пространства, определяемые триплетами вида (5.26) при условиях L ∈ Π[Ω] и P ∈ P(L). Две последние конструкции ВП относятся к т. н. к.-а. ТВ. Следует признать, однако, что классическая ТВ, основанная на принципах, предложенных А.Н.Колмогоровым, 138

достигла наиболее впечатляющих успехов (см. [4, 8] и др.). Это связано с ориентацией на свойство счетной аддитивности вероятности как ФМ, что позволяет затем построить стройную математическую теорию, следствия которой находят свое применение в самых различных приложениях. В рассмотренном ранее примере (см. (5.5) и предшествующие соотношения) был намечен гипотетический предельный переход для потенциально реализуемой последовательности относительных частот. Мы опирались правда на ряд предположений частного характера, связанных с распространением функции (5.1), (5.2) на алгебру п/м Ω, порожденную семейством всевозможных промежутков в [0, 1]. В действительности же этот пример приводит нас к весьма трудной проблеме продолжения вероятности; к обсуждению этой проблемы мы сейчас и переходим. Суть ее можно свести к следующему: у нас имеется достаточно простое семейство понятных нам (бесспорных) событий, для которых по тем или иным соображениям мы в состоянии указать значения присущих им вероятностей; однако, само это семейство для наших целей недостаточно, хотя оно и правильно отражает некоторые простейшие закономерности статистического характера. Требуется распространить (продолжить) нашу “первичную” вероятность на некоторое объемлющее семейство событий (мы знаем уже из разделов 3, 4, как такие семейства возникают). Остановимся на двух традиционных версиях. Итак, пусть для множеств H из некоторого семейства H, H 6= ∅, понятных нам событий уже построены значения µ(H) ∈ [0, 1], характеризующие степень достоверности наступления H; разумеется, H ⊂ P(Ω). Стало быть, мы уже располагаем некоторой ФМ µ, действующей из H в отрезок [0, 1]. Эта ФМ имеет те или иные свойства вероятности. Обычно это сводится к требованию о том, чтобы ФМ µ была бы к.-а., либо с.-а., неотрицательной и такой, что µ(Ω) = 1, если, конечно, Ω ∈ H. Возможно ли продолжить µ на более совершенное семейство п/м Ω, сохранив эти естественные свойства и не разрушив уже имеющуюся ФМ µ. Что касается “нового” семейства событий, то мы уже пришли ранее (см. раздел 3) к выводу о том, что оно должно быть алгеброй или σ-алгеброй множеств. Можно сказать и более определенно: алгеброй или σ-алгеброй п/м Ω, порожденной семейством H. Итак, речь идет о том, чтобы построить новую ФМ, определенную на a0Ω (H) или σΩ0 (H), которая на H принимала бы значения µ(H) и обладала всеми требуемыми свойствами КАВ или с.-а. вероятности на a0Ω (H) или σΩ0 (H) в зависимости от принятой концепции. Рассмотрим сначала тот весьма распространенный случай, когда H есть полуалгебра п/м Ω, т.е. H ∈ Π[Ω]. Относительно µ потребуем сейчас меньше свойств, чем обсуждалось, хо139

тя ориентироваться в конце концов будем на тот случай, когда µ есть КАВ. Однако обсуждаемая сейчас возможность касается более общего случая. 4 Итак, пусть H ∈ Π[Ω], µ ∈ (add)[H] и A = a0Ω (H). Нас интересуют к.-а. меры ν ∈ (add)[A] со свойством µ = (ν|H). Последнее означает, что µ(H) = ν(H) ∀H ∈ H. В частности, возможен случай, когда µ ∈ P(H), но мы его сейчас специально не выделяем. Заметим, что в силу упомянутого в разделе 3 представления для A имеет место следующий факт: если упомянутая к.-а. мера ν = νµ существует, то она непременно единственна и такова, что для каждого множества A ∈ A значение ν(A) ∈ R обладает представлением: ν(A) =

n X

µ(Hi ) ∀n ∈ N ∀(Hi )i∈1,n ∈ ∆n (A, H) .

i=1

В самом деле, мы потребовали от ν конечной аддитивности, а тогда ν(A) =

m X

ν(Ai ) ∀m ∈ N ∀(Ai )i∈1,m ∈ ∆m (A, A) .

i=1

В частности, в последнем случае можно, учитывая вложение H ⊂ A, рассматривать разбиения A множествами H ∈ H, для которых µ(H) = ν(H). В итоге мы приходим к вышеупомянутому представлению ν в терминах µ. Для того, чтобы установить саму возможность построения ν, т.е. обнаружить факт существования, следует отметить два свойства: 1) если A ∈ A, m ∈ N , (Li )i∈1,m ∈ ∆m (A, H), n ∈ N и (Λj )j∈1,n ∈ ∆n (A, H), то непременно m X i=1

µ(Li ) =

n X

µ(Λj ) ;

j=1

2) если ϕ : A −→ R, то для того, чтобы имело место свойство ϕ ∈ (add)[A], необходима и достаточна “простая” аддитивность ϕ: ∀A1 ∈ A ∀A2 ∈ A ³ ´ ³ ´ A1 ∩ A2 = ∅ =⇒ ϕ(A1 ∪ A2 ) = ϕ(A1 ) + ϕ(A2 ) . Свойство 1) — прямое следствие конечной аддитивности µ. В самом деле, пусть A, m, (L1 , . . . , Lm ), n и (Λ1 , . . . , Λn ) выбраны в соответствии с 1). 140

Тогда при использовании символической записи получаем A=

m G

Li =

i=1

n G

Λj ,

j=1

откуда вытекает, что ³ ´ (Li ∩ Λj )j∈1,n ∈ ∆n (Li , H) ∀i ∈ 1, m & ³

´

& (Li ∩ Λj )i∈1,m ∈ ∆m (Λj , H) ∀j ∈ 1, n ; теперь уже из свойства µ ∈ (add)[H] имеем n ³ ´ X µ(Li ) = µ(Li ∩ Λj ) ∀i ∈ 1, m & j=1

³ & µ(Λj ) =

m X

´ µ(Li ∩ Λj ) ∀j ∈ 1, n .

i=1

Суммируя µ(L1 ), . . . , µ(Lm ) и µ(Λ1 ), . . . , µ(Λn ), мы получаем 1); см. (2.68). Свойство 1) доставляет нам следующую возможность, соответствующую нашему выбору H, µ и A. Именно, мы можем корректно определить ФМ α[µ] ∈ RA , т.е. α[µ] : A −→ R , для которой ∀A ∈ A ∀s ∈ N ∀(Hi )i∈1,s ∈ ∆s (A, H) α[µ](A) =

s X

µ(Hi ) .

i=1

Дело в том, что 1) означает справедливость утверждения: если A ∈ A, то ∃! c ∈ R: s X c= µ(Hi ) ∀s ∈ N ∀(Hi )i∈1,s ∈ ∆s (A, H) . i=1

Разумеется, здесь мы должны учесть представление A = a0Ω (H), данное в разделе 3. Все эти несложные рассуждения предоставляем читателю; вернемся теперь к свойству 2), фиксируя ФМ ϕ ∈ RA . Ясно, что при ϕ ∈ (add)[A] имеем свойство “простой” аддитивности ϕ, упомянутое в 2). Действительно, для этого достаточно для множеств A ∈ A рассматривать только разбиения этих множеств в сумму двух п/м Ω, являющихся элементами A. В части достаточности наше утверждение также проверяется 141

легко: используется индукция на основе свойства “простой” аддитивности. Мы предлагаем эту простую проверку выполнить читателю, а сейчас отметим, что α[µ] обладает “простой” аддитивностью и, стало быть, α[µ] ∈ (add)[A] . Это последнее свойство непосредственно вытекает из определения: при проверке “простой” аддитивности выбираем два множества A1 ∈ A и A2 ∈ A, для которых A1 ∩ A2 = ∅, а затем подбираем (см. раздел 3) m ∈ N , (Li )i∈1,m ∈ ∆m (A1 , H) , n ∈ N , (Λj )j∈1,n ∈ ∆n (A2 , H) , после чего нумеруем L1 , . . . , Lm , Λ1 , . . . , Λn подряд, получая при этом разбиение множества A1 ∪A2 ∈ A (см. раздел 3) множествами из H (последних будет ровно m + n). Как следствие, α[µ](A1 ∪ A2 ) =

m X i=1

µ(Li ) +

n X

µ(Λj ) = α[µ](A1 ) + α[µ](A2 ) ,

j=1

чем фактически и завершается доказательство “простой” аддитивности ФМ α[µ] и, стало быть, конечной аддитивности этой функции (напомним, что здесь следует использовать рассуждение по индукции; см. раздел 2). Заметим, что в определении α[µ] допускалась большая свобода в выборе представления множества из A в виде дизъюнктной суммы множеств из H. Эта свобода полезна при исследовании многих свойств операции α[·]. Сейчас отметим только, что из данного определения вытекает, что µ = (α[µ]|H), т.е. µ(H) = α[µ](H) ∀H ∈ H . В самом деле, если мы выбрали множество H ∈ H, то, в частности, имеем H ∈ A (см. раздел 3) и потому α[µ](H) =

n X

µ(Hi ) ∀n ∈ N ∀(Hi )i∈1,n ∈ ∆n (H, H) .

i=1 4

В частности, можно выбрать n = 1 и (Hi )i∈1,1 ∈ ∆1 (H, H) в виде: H1 = H. Мы сразу же получаем равенство α[µ](H) = µ(H1 ) = µ(H) , 142

ч.т.д. Итак, α[µ] действительно является к.-а. продолжением “исходной” к.-а. меры µ. Из данного свойства вытекает, что α[µ](Ω) = µ(Ω) , ибо Ω ∈ H. Заметим, наконец, что из определения α[µ] следует утверждение ³ ´ ³ ´ µ ∈ (add)+ [H] =⇒ α[µ] ∈ (add)+ [A] ; иными словами, если µ есть неотрицательная к.-а. мера, то и α[µ] является таковой (в этом рассуждении существенно свойство: α[µ] есть неотрицательная ФМ, если µ есть неотрицательная ФМ). С учетом ранее упоминавшегося свойства значений µ и α[µ] в “точке” Ω имеем теперь ³ ´ ³ ´ µ ∈ P(H) =⇒ α[µ] ∈ P(A) . Итак, если µ есть КАВ на H, то α[µ] есть КАВ на A, т.е. КАВ, определенная на более совершенном семействе множеств. Заметим здесь же без доказательства (см. [4, гл. I]), что ³ ´ ³ ´ µ ∈ (σ − add)+ [H] =⇒ α[µ] ∈ (σ − add)+ [A] . Из последнего свойства вытекает теперь важное следствие: (µ ∈ Pσ (H)) =⇒ (α[µ] ∈ Pσ (A)) . Итак, если мы имеем с.-а. вероятность, определенную “только” на полуалгебре H ∈ Π[Ω], то эту вероятность можно продолжить на алгебру A п/м Ω, порожденную H, до некоторой с.-а. вероятности на A, т.е. до вероятности, определенной на более совершенном ИП. Отметим, наконец, что ³ ´ ³ ´ µ ∈ T(H) =⇒ α[µ] ∈ T(A) . Данное свойство, не столь важное в наших конструкциях, мы не доказываем, отсылая к [13, гл. 4]. Суммируя сказанное выше, можно заметить, что в терминах преобразования µ в α[µ] мы сформулировали весьма эффективный метод (а, по сути дела , — алгоритм) построения к.-а. меры на алгебре п/м Ω. Поскольку свойства исходной, понятной нам, к.-а. меры µ просто копируются для α[µ], такое продолжение вообще может рассматриваться как некоторое несущественное преобразование. Для нас, конечно, наиболее важен случай, когда µ есть КАВ и, что еще лучше, с.-а. вероятность. 143

Отметим, что конструктивное продолжение КАВ µ с сохранением основных свойств возможно и на еще более “широкую” алгебру п/м Ω; имеется в виду семейство п/м Ω, измеримых по Жордану. Однако, если в нашей предыдущей конструкции продолжения конкретный выбор µ был несущественным для определения семейства A, на которое исходная КАВ и была продолжена, то в упомянутой “жордановой” схеме семейство п/м Ω, на которое продолжается исходная КАВ, зависит уже от µ, т.е. от “первичной” КАВ. Мы в данной работе будем ограничиваться продолжениями первого типа, для которых характерна универсальность в вопросах реализации “финального” ИП по отношению к выбору исходной меры. Обсудим теперь совсем кратко вторую постановку задачи о продолжении; речь идет о продолжении на σ-алгебру п/м Ω, порожденную исходным семейством H. Такая конструкция продолжения требуется обычно в классической (колмогоровской) TB. Однако, прежде уместно еще раз коснуться вопроса о возможности продолжения КАВ на семейство всех п/м Ω. В математике с аксиомой выбора (см. ТМВ) такие продолжения существуют для КАВ, заданных первоначально на полуалгебре множеств. Этот факт следует, с использованием только что рассмотренной простейшей схемы продолжения, из известной теоремы Тарского [15, c. 294]. При этом у µ ∈ P(H), где H ∈ Π[Ω] или H ∈ (alg)[Ω], существует уже в достаточно простых случаях много различных продолжений с требуемыми свойствами, главным из которых является конечная аддитивность. Однако какие-либо методы построения таких продолжений неизвестны. Более того, Кристенсен [14] показал, что в математике без аксиомы выбора на σ-алгебре п/м Ω вообще не могут быть определены к.-а., но не с.-а., вероятности. Такой ответ не согласуется, конечно, с упомянутой теоремой Тарского. Мы не будем сейчас вдаваться в обсуждение этого непростого вопроса. Отметим только, что упомянутые соображения показывают, что теория меры и, в частности, ТВ тесно соприкасаются с достаточно тонкими вопросами аксиоматической теории множеств. Замечание 5.1. Упомянем, в дополнение к сказанному, знаменитую нерешенную проблему меры: возможно ли, что для некоторой меры µ ∈ Tσ (P(Ω)) выполнено µ({ω}) = 0 ∀ω ∈ Ω. Разумеется, при обсуждении этой проблемы мы должны иметь возможность рассматривать различные варианты Ω. Известно (см. [16], [17, c. 108]), что если проблема меры и разрешима при некотором выборе Ω, то мощность Ω (аналог количества элементов) должна быть чрезвычайно большим кардинальным числом. Заметим, что неразрешимость этой задачи для случая счетного множества Ω 144

проверяется непосредственно; аналогичная неразрешимость в случае мощности континуума также хорошо известна; это и более общие положения на этот счет см. в [1]. С учетом уже упомянутых свойств операции продолжения α[·] достаточно логичной представляется теперь следующая постановка: для A ∈ (alg)[Ω] задана вероятность P∗ ∈ Pσ (A); требуется определить колмогоровскую вероятность на σ-алгебре 4

F = σΩ0 (A) ∈ (σ − alg)[Ω] ,

(5.27)

сужение которой на A есть P∗ . Условие (5.27) представляется, в свете построений разделов 3 и 4, весьма логичным : мы стремимся к распространению P∗ на наименьшую σ-алгебру п/м Ω, еще содержащую A. Итак, первичное пространство (Ω, A, P∗ )

(5.28)

требуется “распространить” до нового пространства (Ω, F, P ∗ ) ,

(5.29)

где P ∗ ∈ Pσ (F) и выполняется свойство P∗ (A) = P ∗ (A) ∀A ∈ A .

(5.30)

Итак, (5.29) есть ВП по Колмогорову; (5.30) выражает принцип “не навреди” (нельзя разрушать то, что уже построено). Переход от (5.28) к (5.29) с соблюдением условий (5.27), (5.30) будем считать своей основной задачей. Оказывается, данная задача всегда разрешима; более того, ее решение единственно. Соответствующее точное утверждение на этот счет дано, например, в [4, гл.I]; сама же используемая при этом процедура называется продолжением вероятности. Замечание. Многие из рассмотренных выше примеров приведены в [17] с несущественными отличиями; кроме того, в [17, гл. 1] изложены многие весьма общие конструкции современной теории меры. В этой связи мы настойчиво рекомендуем читателю ознакомиться хотя бы с [17, гл. 1], а также с [4, гл. 1].

145

ДОБАВЛЕНИЕ: некоторые представления измеримых пространств В этом разделе мы стремимся дополнить свойства, перечисленные в разделах 3, 4. Нашей целью здесь является получение несколько иных представлений σ-алгебры п/м Ω, порожденной тем или иным семейством п/м Ω. Данные представления касаются, в частности, σ-алгебры борелевских п/м Ω, т.е σ-алгебры, порожденной топологией (семейством открытых множеств). Эти последние семейства мы и должны рассмотреть в первую очередь. Здесь мы касаемся очень важных понятий, связанных со свойством непрерывности функций. Очень часто топологии определяются с помощью метрик (расстояний); нам также придется кратко коснуться этих важных понятий. Это естественным образом приведет к рассмотрению метризуемых топологий. Как и прежде мы фиксируем множество Ω, полагаемое далее непустым (случай Ω = ∅ не представляет интереса в смысле последующих построений). Из общих положений раздела 3 (см. (3.31), (3.32)) легко следует, что n (σ − alg)[Ω] = L ∈ P 0 (P(Ω)) | (∅ ∈ L) & (Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L) &

³[

Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ L

N

´o =

i∈N

n = L ∈ P 0 (P(Ω)) | (∅ ∈ L) & (Ω \ L ∈ L ∀L ∈ L) & ³\ ´o N & Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ L = {L ∈ P 0 (P(Ω)) |

(Д.1)

i∈N

(Ω ∈ L) & (L1 \ L2 ∈ L ∀L1 ∈ L ∀L2 ∈ L) & & (∀A ∈ P(Ω) ((∆∞ [A; L] 6= ∅) =⇒ (A ∈ L)))} . В последнем равенстве соотношения (Д.1) следует учитывать (4.5). Мы располагаем в (Д.1) обширным “списком” представлений множества всех σ-алгебр п/м Ω. К этому “списку” уместно добавить следующее Предложение Д.1 . Пусть L ∈ P 0 (P(Ω)), причем выполнены следующие условия: 1) (∅ ∈ L) & (Ω ∈ L) ; 2) ∀(Li )i∈N ∈ LN ³[ ´ ³\ ´ Li ∈ L & Li ∈ L . i∈N

i∈N

146

Тогда {L ∈ L | Ω \ L ∈ L} ∈ (σ − alg)[Ω]. Доказательство практически очевидно; оно сводится к применению (3.12). В связи с условием 2) предложения Д.1 имеет смысл обратиться еще к одному нередко используемому в теории меры типу семействa множеств. Именно, рассмотрим сейчас семейства п/м Ω, замкнутые относительно счетных объединений и счетных пересечений. Среди таких семейств будем рассматривать, в частности, и пустое семейство. Итак, пусть n ³[ ´ ³\ ´o 4 N Bi ∈ B & Bi ∈ B . b0 [Ω] = B ∈ P(P(Ω)) | ∀(Bi )i∈N ∈ B i∈N

i∈N

(Д.2) Ясно, что P(Ω) ∈ b0 [Ω]. Как обычно (см. раздел 3) рассматриваем семейства из множества (Д.2), содержащие некоторое семейство п/м Ω, заданное априори. Мы вводим множество всех таких семейств: если E ∈ P(P(Ω)), то 4 ˜ 0 [Ω|E] = b {B ∈ b0 [Ω] | E ⊂ B} ∈ P 0 (b0 [Ω]) . (Д.3) Мы действуем в (Д.3) по аналогии с (3.18) и (3.54). Легко видеть, что при E ∈ P(P(Ω)) \ 4 ˜ 0 [Ω|E] ; b0Ω (E) = B∈b (Д.4) ˜ 0 [Ω |E] B∈b

˜ 0 [Ω|E]. В (Д.4) мы получили наименьшее разумеется, b0Ω (E) ⊂ C ∀C ∈ b семейство из множества (Д.2), еще содержащее E. При этом, конечно, b0Ω (E) ∈ b0 [Ω] ∀E ∈ P(P(Ω)) . Напомним, что P(Ω)N есть непустое множество всех последовательностей (Li )i∈N : N −→ P(Ω) . Для каждой из таких последовательностей можно определить объединение и пересечение всех множеств данной последовательности. Стало быть, определены отображения [ (Li )i∈N − 7 → Li : P(Ω)N −→ P(Ω) , (Д.5) i∈N

(Li )i∈N 7−→

\

Li : P(Ω)N −→ P(Ω) .

(Д.6)

i∈N

Мы получили два отображения, задаваемых в (Д.5) и (Д.6) по сути дела индексно. Если же E ∈ P(P(Ω)), то E N ∈ P(P(Ω)N ) есть множество 147

всех последовательностей в E (элементы E N — суть последовательности множеств) и, по рецепту (1.24), (1.25), (1.28), мы можем определить образ множества E N , E N ⊂ P(Ω)N , при действии каждого из операторов (Д.5), (Д.6); эти множества-образы (точнее, семейства-образы) суть семейства n[ o 4 ∞ N {∪1 }(E) = Li : (Li )i∈N ∈ E ∈ P(P(Ω)) , (Д.7) i∈N

4 {∩∞ 1 }(E) =

n\

Li : (Li )i∈N ∈ E

N

o ∈ P(P(Ω)) .

(Д.8)

i∈N

Итак, семейства (Д.7), (Д.8) — суть версии (1.28), нужные нам в дальнейшем. Из (Д.2) – (Д.4), (Д.7) и (Д.8) следует, что ∞ 0 {∪∞ 1 }(E) ∪ {∩1 }(E) ⊂ bΩ (E) ∀E ∈ P(P(Ω)) .

Далее, из (3.54) и (Д.3) легко следуют свойства ˜ 0 [Ω|E] ∀E ∈ P(P(Ω)) . (σ − alg)[Ω|E] ⊂ b Из (3.55), (Д.4) мы получаем теперь следующее очевидное следствие: b0Ω (E) ⊂ σΩ0 (E) ∀E ∈ P(P(Ω)) .

(Д.9)

Полезно, однако, заметить, что ∀E ∈ P(P(Ω)) ˜ 0 [Ω|E]) . ((∅ ∈ E) & (Ω ∈ E)) =⇒ ({L ∈ B | Ω \ L ∈ B} ∈ (σ − alg)[Ω] ∀B ∈ b (Д.10) Доказательство (Д.10) является очевидным следствием (3.12), (3.13) и предоставляется читателю. Всюду в дальнейшем 4

CΩ [E] = {Ω \ E : E ∈ E} ∀E ∈ P(P(Ω)) . Мы ввели семейство всех дополнений множеств из E. Предложение Д.2 . Если H ∈ P(P(Ω)), то истинна импликация ∞ ((∅ ∈ H) & (Ω ∈ H) & (CΩ [H] ⊂ {∪∞ 1 }(H) ∪ {∩1 }(H))) =⇒

(Д.11)

=⇒ (σΩ0 (H) = b0Ω (H)) . Схема доказательства. Пусть истинна посылка импликации (Д.11). Тогда в силу (Д.4) и (Д.10). 4

T = {L ∈ b0Ω (H) | Ω \ L ∈ b0Ω (H)} ∈ (σ − alg)[Ω] . 148

(Д.12)

Напомним, что H ⊂ b0Ω (H). Пусть M ∈ H. В частности, M ∈ b0Ω (H) и при этом Ω \ M ∈ CΩ [H], откуда по предположению ∞ Ω \ M ∈ {∪∞ 1 }(H) ∪ {∩1 }(H) ;

с учетом ранее установленной оценки снизу для b0Ω (H) мы получаем включение Ω \ M ∈ b0Ω (H), означающее в силу (Д.12) свойство M ∈ T . Поскольку выбор M был произвольным, установлено вложение H ⊂ T и, как следствие (см. (3.54)), T ∈ (σ − alg)[Ω|H] . Тогда в силу (3.55) и (Д.12) имеем цепочку вложений σΩ0 (H) ⊂ T ⊂ b0Ω (H) . С учетом (Д.9) получаем равенство σΩ0 (H) = b0Ω (H) . 2 Легко видеть (см. предложение Д.1), что по схеме доказательства предложения Д.2 получается (при небольшой коррекции рассуждения) следующее Предложение Д.3 . Для всякого семейства H ∈ P(P(Ω)) истинна импликация ∞ 0 0 ((∅ ∈ H) & (CΩ [H] ⊂ {∪∞ 1 }(H) ∪ {∩1 }(H))) =⇒ (σΩ (H) = bΩ (H)) .

В качестве отдельного положения мы выделяем Следствие Д.1 . Если H ∈ P(P(Ω)), причем ∅ ∈ H и, кроме того, 0 0 CΩ [H] ⊂ {∩∞ 1 }(H), то σΩ (H) = bΩ (H)). Доказательство очевидно: мы, в сравнении с предложением Д.3, налагаем более ограничительное, но достаточное для многих целей, условие. С использованием трех последних положений мы рассмотрим одно естественное применение конструкции на основе (Д.4). До сих пор в своих конкретных построениях мы рассматривали σ-алгебры п/м Ω, порожденные алгебрами и полуалгебрами п/м Ω. Сейчас мы коснемся еще одного важного случая. Речь пойдет о σ-алгебре, порожденной топологией, т.е. семейством открытых множеств. В частности, нас будет интересовать случай метризуемой топологии, т.е. топологии, порожденной некоторой метрикой.

149

Для этого нам, однако, следует (хотя бы кратко) познакомиться с некоторыми начальными понятиями общей топологии; см. в этой связи [18–20]. Мы будем рассматривать топологии множества Ω. Пусть (см. (3.2)) n o [ 4 (top)[Ω] = τ ∈ π[Ω] | G ∈ τ ∀G ∈ P(τ ) = (Д.13) G∈G

n [ = τ ∈ π[Ω] | G∈τ

o ∀G ∈ P (τ ) ; 0

G∈G

элементы множества (Д.13) (а это — непустые семейства п/м Ω) называем топологиями Ω. В терминах топологий можно ввести важное понятие непрерывности функций; для этого следует, однако, иметь пару множеств, оснащенных каждое топологией. Мы адресуем заинтересованного читателя к [18–20], а сейчас ограничимся (Д.13). Если τ ∈ (top)[Ω], то пару (Ω, τ ) называют топологическим пространством (ТП); кроме того, σ-алгебру σΩ0 (τ ) ∈ (σ − alg)[Ω]

(Д.14)

называют σ-алгеброй борелевских множеств в данном ТП или (кратко) борелевской σ-алгеброй. Множества из τ называют открытыми в (Ω, τ ). Очень часто (но не всегда) топологию Ω можно задавать посредством некоторой псевдометрики и, в частности, метрики Ω; см. [18–20]. Напомним соответствующие определения. Функция ρ : Ω × Ω −→ [0, ∞[ называется псевдометрикой Ω, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) ρ(ω, ω) = 0 ∀ω ∈ Ω; 2) ρ(ω1 , ω2 ) = ρ(ω2 , ω1 ) ∀ω1 ∈ Ω ∀ω2 ∈ Ω; 3) ρ(ω1 , ω3 ) ≤ ρ(ω1 , ω2 ) + ρ(ω2 , ω3 ) ∀ω1 ∈ Ω ∀ω2 ∈ Ω ∀ω3 ∈ Ω . Через (p − Dist)[Ω] условимся обозначать множество всех псевдометрик Ω. Итак, (p − Dist)[Ω] есть множество всех функций ρ ∈ [0, ∞[Ω×Ω , для каждой из которых выполнены вышеупомянутые условия 1) – 3), т.е. 4

(p − Dist)[Ω] = {ρ ∈ [0, ∞[Ω×Ω | (ρ(ω, ω) = 0 ∀ω ∈ Ω) & & (ρ(ω1 , ω2 ) = ρ(ω2 , ω1 ) ∀ω1 ∈ Ω ∀ω2 ∈ Ω) &

(Д.15)

& (ρ(ω1 , ω3 ) ≤ ρ(ω1 , ω2 ) + ρ(ω2 , ω3 ) ∀ω1 ∈ Ω ∀ω2 ∈ Ω ∀ω3 ∈ Ω)} ; если ρ ∈ (p − Dist)[Ω], то пара (Ω, ρ) называется псевдометрическим пространством. Элементы множества 4

(Dist)[Ω] = {ρ ∈ (p − Dist)[Ω] | 150

∀ω1 ∈ Ω ∀ω2 ∈ Ω ((ρ(ω1 , ω2 ) = 0) =⇒ (ω1 = ω2 ))} называются метриками Ω или расстояниями на Ω. Простой пример. Пусть функция ρ : Ω × Ω −→ {0; 1} действует по следующему правилу (см. раздел 1) 4

4

(ρ(z) = 0 ∀z ∈ diag(Ω)) & (ρ(z) = 1 ∀z ∈ (Ω × Ω) \ diag(Ω)) . Тогда ρ ∈ (Dist)[Ω] есть дискретная метрика на Ω. 2 Введем теперь понятие открытого шара в псевдометрическом пространстве: если ρ ∈ (p − Dist)[Ω], ω ∈ Ω и ε ∈ ]0, ∞[ , то 4

B0ρ (ω, ε) = {˜ ω ∈ Ω | ρ(ω, ω ˜ ) < ε} (открытый шар в (Ω, ρ) с центром ω и радиусом ε, ε > 0). Легко видеть, что ∀ρ ∈ (p − Dist)[Ω] 4

τρ\ = {G ∈ P(Ω) | ∀ω ∈ G ∃ε ∈ ]0, ∞[ : B0ρ (ω, ε) ⊂ G} ∈ (top)[Ω] ; (Д.16) (Д.16) называется топологией, порожденной псевдометрикой ρ. Принято называть [18, 19] ТП (Ω, τ ) псевдометризуемым, если ∃ρ ∈ (p − Dist)[Ω] : τ = τρ\ . Заметим, что в (Д.16) можно использовать метрику, т.е. ρ ∈ (Dist)[Ω], получая топологию Ω, порожденную данной метрикой. Соответственно, ТП (Ω, τ ) называется метризуемым, если ∃ρ ∈ (Dist)[Ω] : τ = τρ\ . Мы отсылаем заинтересованного читателя к [18–20] за более подробными сведениями о метризуемых ТП, что составляет важный раздел общей топологии. Сейчас отметим только несколько свойств, полезных для реализации представлений в духе предложения Д.2. Если τ ∈ (top)[Ω], то семейство CΩ [τ ] называют семейством всех п/м Ω, замкнутых в ТП (Ω, τ ); при этом семейства 0 ∞ 0 {∩∞ 1 }(τ ) ∈ P (P(Ω)), {∪1 }(CΩ [τ ]) ∈ P (P(Ω))

(Д.17)

именуют семействами всех Gδ -множеств и всех Fσ -множеств в ТП (Ω, τ ). В связи с (Д.17) отметим одно общее свойство: если L ∈ P(P(Ω)), то ∞ CΩ [{∩∞ 1 }(L)] = {∪1 }(CΩ [L]) ;

151

(Д.18)

здесь в качестве L можно использовать топологию τ (см. (Д.17)). Проверка (Д.18) сводится к применению формул двойственности. В связи с псевдометризуемостью и метризуемостью ТП отметим без доказательства (см. [18–20]) следующее важное положение: если ρ ∈ (p − Dist)[Ω], то \ \ ∞ \ (τρ\ ⊂ {∪∞ 1 }(CΩ [τρ ])) & (CΩ [τρ ] ⊂ {∩1 }(τρ )) .

(Д.19)

Разумеется, (Д.19) выполняется при ρ ∈ (Dist)[Ω]: в метризуемом ТП каждое открытое множество есть Fσ -множество, а каждое замкнутое множество есть Gδ -множество. Возвращаясь к (Д.9), отметим, что b0Ω (τ ) ⊂ σΩ0 (τ ) ∀τ ∈ (top)[Ω]. Из следствия Д.1 вытекает важное положение: если τ ∈ (top)[Ω], то истинна импликация 0 0 (CΩ [τ ] ⊂ {∩∞ (Д.20) 1 }(τ )) =⇒ (σΩ (τ ) = bΩ (τ )) . Теперь из (Д.16), (Д.19) и (Д.20) мы получаем следующее представление σ-алгебры борелевских множеств в псевдометризуемом пространстве: σΩ0 (τρ\ ) = b0Ω (τρ\ ) ∀ρ ∈ (p − Dist)[Ω] .

(Д.21)

Отметим и конкретизацию (Д.21) для метризуемых ТП: σΩ0 (τρ\ ) = b0Ω (τρ\ ) ∀ρ ∈ (Dist)[Ω] .

(Д.22)

В (Д.21), (Д.22) мы получили новое представление σ-алгебры, порожденной семейством (точнее, топологией); это представление касается важного случая измеримой структуры в виде σ-алгебры борелевских множеств. Более общие случаи использования (Д.20) мы сейчас не рассматриваем. В связи с предложением Д.3 и следствием Д.1 уместно напомнить о монотонных семействах (см. раздел 3). Из определений легко следует вложение b0 [Ω] ⊂ (M O)[Ω] ; (Д.23) см. (3.70), (Д.2). Из (3.72) и (Д.3) вытекает, что ˜ 0 [Ω|E] ⊂ (M O)[Ω|E] ∀E ∈ P(P(Ω)) . b

(Д.24)

В (Д.24) мы используем (3.70), (Д.3) и (Д.23). Из (Д.4), (Д.24) и (3.73) вытекает, что m0Ω (E) ⊂ b0Ω (E) ∀E ∈ P(P(Ω)) . (Д.25)

152

Отметим совсем простое свойство (читателю следует его проверить): ∀M ∈ (M O)[Ω] (∀A ∈ M ∀B ∈ M ((A ∩ B ∈ M) & (A ∪ B ∈ M))) =⇒ (M ∈ b0 [Ω]) . (Д.26) Предложение Д.4 . Пусть семейство H ∈ P(P(Ω)) таково, что ∀A ∈ H ∀B ∈ H (A ∪ B ∈ H) & (A ∩ B ∈ H) . Тогда монотонное семейство m0Ω (H) (3.73), порожденное семейством H, обладает свойством: ∀A ∈ m0Ω (H) ∀B ∈ m0Ω (H) (A ∪ B ∈ m0Ω (H)) & (A ∩ B ∈ m0Ω (H)) . Доказательство предложения осуществляется в идейном отношении по схеме, используемой при доказательстве (3.74) в части проверки (3.108), где обсуждалось свойство мультипликативности m0Ω (A). Однако, подобное рассуждение можно применить и при установлении свойства аддитивности. Общая логика рассуждений в этой части сводится к установлению равенств, подобных (3.107), но касающихся замены в (3.108) свойства мультипликативности свойством аддитивности (символ пересечения в (3.108) следует, грубо говоря, заменить символом объединения). В этой связи отметим одно весьма общее полезное свойство (более общие положения такого рода см. в [1, гл. IV]): если L ∈ P 0 (P(Ω)) и A ∈ P(Ω), то ³\ ´ \ (L ∪ A) = L ∪ A. (Д.27) L∈L

L∈L

Доказательство (Д.27) предоставляется читателю; оно является достаточно простым. Вариант (Д.27) используется при обосновании предложения Д.4. При этом обосновании достаточно оперировать в (Д.27) счетным семейством п/м Ω. Возвращаясь к предложению Д.4, отметим простое следствие (см. также (Д.25) и (Д.26)): если E ∈ P(P(Ω)), то (∀A ∈ E ∀B ∈ E (A∪B ∈ E) & (A∩B ∈ E)) =⇒ (m0Ω (E) = b0Ω (E)) . (Д.28) Теперь уже можно учесть предложение Д.3 и (Д.28): ∀E ∈ P(P(Ω)) ∞ ((∅ ∈ E) & (CΩ [E] ⊂ {∪∞ 1 }(E) ∪ {∩1 }(E)) &

(Д.29)

& (∀A ∈ E ∀B ∈ E (A ∪ B ∈ E) & (A ∩ B ∈ E))) =⇒ (σΩ0 (E) = m0Ω (E)) . 153

Отметим, что (см.(Д.28)) m0Ω (τ ) = b0Ω (τ ) ∀τ ∈ (top)[Ω]. Данное свойство извлекается из (Д.28). Разумеется, последнее свойство справедливо, в частности, для топологии, порождаемой произвольной псевдометрикой. Учитывая (Д.21), мы получаем важное следствие: если ρ ∈ (p − Dist)[Ω], то σΩ0 (τρ\ ) = b0Ω (τρ\ ) = m0Ω (τρ\ ) . (Д.30) Ключевую роль в обосновании (Д.30) играет свойство (Д.19), которое обычно используется для частного случая метрического пространства. В этой связи отметим, что из (Д.30) следует, стало быть, утверждение: σΩ0 (τρ\ ) = b0Ω (τρ\ ) = m0Ω (τρ\ ) ∀ρ ∈ (Dist)[Ω] .

(Д.31)

Мы ограничимся обсуждением (Д.31). Данное свойство означает, что в случае метризуемого ТП (а, на самом деле, и в целом ряде более общих случаев) σ-алгебра борелевских п/м Ω совпадает с монотонным семейством, порожденным топологией (т.е. семейством всех открытых множеств): данная σ-алгебра является “монотонной оболочкой” семейства открытых множеств. Потребности приложений покрываются обычно упомянутым случаем метризуемых ТП, но следует все же отметить, что (Д.29) доставляет целый ряд более общих положений. Мы ограничимся сейчас только следующим свойством: если τ ∈ (top)[Ω], то истинна импликация 0 0 (CΩ [τ ] ⊂ {∩∞ 1 }(τ )) =⇒ (σΩ (τ ) = mΩ (τ )) .

(Д.32)

Условие посылки в (Д.32) охватывает важный класс ТП (точнее, все ТП, в которых каждое замкнутое множество является Gδ -множеством; такие ТП называются совершенными [19, c. 86]). Таким образом, в терминах предложения Д.4 и (Д.29) мы фактически имеем другую версию теоремы о монотонных классах, построения которой были воспроизведены при доказательстве (3.74). В связи с данной теоремой отметим, что в силу (3.74), (Д.9) и (Д.25) σΩ0 (A) = m0Ω (A) = b0Ω (A) ∀A ∈ (alg)[Ω] . Тем самым установлено, что для случая, когда исходное семейство — алгебра п/м Ω, подходы на основе (3.55) , (3.73) и (Д.4) смыкаются и приводят к одному и тому же результату. Супераддитивные функции множеств. Заметим, что свойство счетной аддитивности ФМ (см. (5.19) – (5.21)) естественно рассматривать как 154

усиление свойства конечной аддитивности (см. (5.7)), т.е. как лучшее, в сравнении с конечной аддитивностью, свойство ФМ. Имеет смысл коснуться и вопроса об “ухудшении” свойства конечной аддитивности; последнюю можно тогда истолковать как более совершенное свойство, что позволяет лучше понять природу к.-а. мер и, в частности, КАВ. При этом рассмотрении будем использовать операции над ФМ, естественно возникающие из построений раздела 2; в частности, речь пойдет о линейных операциях и умножении ФМ. В качестве основного объекта для рассмотрения (имеются в виду ФМ со свойством, “худшим” в сравнении с конечной аддитивностью) мы выберем т.н. супераддитивные ФМ; см. [17, c. 256]. Заметим, что такие ФМ используются, в частности, в современной теории игр (см., например, [21, c. 183]) и при построении экономических моделей. При рассмотрении упомянутых конструкций будем придерживаться формы, естественной для обзора, используя по возможности содержательный способ изложения. В последующих построениях настоящего раздела мы фиксируем L ∈ (alg)[Ω] (см. (3.9)), получая ИП с алгеброй множеств. Пусть (S − add)+ [L] есть def множество всех функций µ : L −→ [0, ∞[ ,

(Д.33)

для каждой из которых ∀L ∈ L ∀n ∈ N ∀(Li )i∈1,n ∈ ∆n (L, L) n X

µ(Li ) ≤ µ(L) ;

(Д.34)

i=1

ФМ µ ∈ (S − add)+ [L] (т.е. функции (Д.33) со свойством, определяемым в (Д.34)) будем называть супераддитивными (мы ограничиваемся рассмотрением неотрицательных супераддитивных ФМ). Разумеется (см. (5.8), (5.9)), (add)+ [L] ⊂ (S − add)+ [L] .

(Д.35)

Из (Д.35) следует, что неотрицательные к.-а. меры супераддитивны; ниже мы приведем другие примеры супераддитивных ФМ. С учетом (Д.33), (Д.34) имеем следующее очевидное свойство: ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀L ∈ L {c ∈ [0, ∞[ | ∃ n ∈ N ∃ (Li )i∈1,n ∈ ∆n (L, L) : c=

n X

µ(Li )} ∈ P 0 ([0, µ(L)]) .

i=1

155

(Д.36)

Это свойство позволяет (см. раздел 2) ввести при всяком выборе µ ∈ (S − add)+ [L] функцию µ(l) : L −→ [0, ∞[

(Д.37)

по следующему правилу: если L ∈ L, то 4

µ(l) (L) = inf({ c ∈ [0, ∞[ | ∃ n ∈ N ∃ (Li )i∈1,n ∈ ∆n (L, L) : c=

n X

(Д.38)

µ(Li )})

i=1

(в (Д.37), (Д.38) мы используем фактически индексную форму записи функций; см. (1.63), (1.64)). Используя свойства, перечисленные в разделе 2, можно показать, что (см. [17, c. 257]) µ(l) ∈ (add)+ [L] ∀µ ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.39)

Кроме того, полезно учесть очевидное следствие (Д.36); напомним в этой связи, что в разделе 2 был введен естественный порядок ≤ ∈ (Ord)0 [R]. Посредством этого порядка мы определяем сейчас поточечный порядок 5 ∈ (Ord)0 [RL ] множества RL всех ФМ на L: если µ ∈ RL и ν ∈ RL , то def (µ 5 ν) ⇐⇒ (µ(L) ≤ ν(L) ∀L ∈ L) .

(Д.40)

Используя (Д.40) для точного определения 5 , следует иметь в виду соглашение, принятое в ТМВ о том, что “неравенство” µ 5 ν используется вместо включения (µ, ν) ∈ 5; стало быть, посредством (Д.40) мы перечисляем фактически из каких элементов состоит отношение 5. Из (Д.36) и (Д.38) вытекает, что µ(l) 5 µ ∀µ ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.41)

Итак, к.-а. мера (Д.37) оценивает снизу соответствующую супераддитивную ФМ. Легко видеть (см. [17, c. 257]), что данная оценка точна: ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀ν ∈ (add)+ [L] (ν 5 µ) =⇒ (ν 5 µ(l) ) .

(Д.42)

В силу (Д.39), (Д.41) и (Д.42) мы можем говорить об аддитивной компоненте выбранной априори супераддитивной ФМ; последняя “возвышается” 156

над этой своей компонентой в силу (Д.41). В связи с (Д.42) отметим весьма общее свойство: ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀ν ∈ (add)+ [L] ((µ(Ω) = ν(Ω)) & (ν 5 µ)) =⇒ (µ = ν) .

(Д.43)

Мы рекомендуем читателю проверить (Д.43) самостоятельно, используя свойства, указанные в разделе 5 и (Д.40). Из (Д.39), (Д.41) и (Д.43) следует, что ∀µ ∈ (S − add)+ [L] (µ(Ω) = µ(l) (Ω)) =⇒ (µ = µ(l) ) .

(Д.44)

Следующее представление множества (S − add)+ [L] легко получается с использованием индукции (см. раздел 2): (S − add)+ [L] есть множество всех функций µ (Д.33) таких, что ∀A ∈ L ∀B ∈ L (A ∩ B = ∅) =⇒ (µ(A) + µ(B) ≤ µ(A ∪ B)) .

(Д.45)

При построении данного представления (см. (Д.45)) мы учитываем (3.13), (3.14) и (Д.34). Для дальнейших построений существенны линейные операции в пространстве RL ; эти операции реализуют представление RL как линейного пространства функций. Важно, однако, что данные операции вводятся простейшим, в некотором смысле, способом, а именно, поточечно. Именно, к значениям функций из RL мы применяем операции раздела 2: сложение и умножение. Результатом этого является построение в RL операций сложения, умножения и умножения на скаляр. Будем учитывать (2.1). Мы начнем с определения последней операции. Если α ∈ R и µ ∈ RL , то 4 (Д.46) α µ = (α µ(L))L∈L ∈ RL ; иными словами, α µ (Д.46) есть ФМ α µ : L −→ R , для которой (α µ)(L) = α µ(L) ∀L ∈ L. В (Д.46) мы воспользовались индексной формой записи функций (см. ТМВ). Если µ ∈ RL и ν ∈ RL , то 4

µ + ν = (µ(L) + ν(L))L∈L ∈ RL ; тем самым введена ФМ µ + ν : L −→ R, для которой (µ + ν)(L) = µ(L) + ν(L) ∀L ∈ L . 157

(Д.47)

Случай, когда в (Д.46) α = −1, обычно реализуется посредством более простого обозначения, как в операциях с вещественными числами. Именно, если µ ∈ RL , то def функция −µ : L −→ R есть α µ при α = −1. Итак, (−µ)(L) = −µ(L) при L ∈ L. В этих терминах естественно ввести специальное обозначение для разности двух ФМ: если µ ∈ RL и ν ∈ RL , то 4 µ − ν = µ + (−ν) ∈ RL ; (Д.48) стало быть, (µ − ν)(L) = µ(L) − ν(L) при L ∈ L. Можно ввести линейные комбинации ФМ, обобщая понятие 4

α µ + β ν = (α µ) + (β ν) ∈ RL , где α ∈ R, β ∈ R, µ ∈ RL и ν ∈ RL . Мы, однако, делать этого не будем, поскольку наши цели являются достаточно скромными и вышеупомянутых определений вполне достаточно для их реализации. Введем сейчас произведение двух ФМ: если µ ∈ RL и ν ∈ RL , то 4

µν = (µ(L)ν(L))L∈L ∈ RL ;

(Д.49)

иными словами, (µν)(L) = µ(L)ν(L) ∀L ∈ L. Если в (Д.49) µ = ν, то будем говорить о квадрате ФМ. Именно, 4

µ2 = µµ ∈ RL ∀µ ∈ RL . Введем, наконец, в рассмотрение ФМ O ∈ RL , для которой O(L) = 0 ∀L ∈ L. Заметим, что мы превратили RL в линейное пространство (см. [3, 7]) и, кроме того, ввели операцию умножения. Вернемся к рассмотрению супераддитивных ФМ. Отметим, используя (Д.48), простое свойство: µ − µ(l) ∈ (S − add)+ [L] ∀µ ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.50)

При обосновании (Д.50) следует использовать представление множества (S − add)+ [L], связанное с (Д.45). С учетом (Д.50) имеем из (Д.39), что (µ − µ(l) )(l) ∈ (add)+ [L] при µ ∈ (S−add)+ [L]. Из определений раздела 5 следует, что O ∈ (add)+ [L] (см. (5.8), (5.9)). Из (Д.38) имеем: (µ − µ(l) )(l) = O ∀µ ∈ (S − add)+ [L] . 158

(Д.51)

Свойства (Д.50), (Д.51) мотивируют следующее определение: 4

(S − add)0+ [L] = {µ ∈ (S − add)+ [L] | µ(l) = O} .

(Д.52)

Будем называть ФМ из множества (Д.52) чисто супераддитивными, следуя [17, c. 256, 257]. Таковой является каждая ФМ (Д.50), т.е. µ − µ(l) ∈ (S − add)0+ [L] ∀µ ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.53)

Стало быть, реализуется (см. (Д.39), (Д.53)) свойство: каждая супераддитивная ФМ является суммой к.-а. меры и чисто супераддитивной ФМ: µ = µ(l) + (µ − µ(l) ) ∀µ ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.54)

Мы увидим, что разложение, реализуемое в (Д.54), обладает свойством единственности. Условимся о следующем обозначении: если µ есть ФМ (Д.33), то 4

(5 −add)+ [L; µ] = {ν ∈ (add)+ [L] | ν 5 µ} ;

(Д.55)

всегда O ∈ (5 −add)+ [L; µ]. С учетом представления (S − add)+ [L] на основе (Д.45) имеем ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀ν ∈ (5 −add)+ [L; µ] µ − ν ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.56)

Для ФМ (Д.56) можно построить функцию (Д.37); при этом (µ − ν)(l) = µ(l) − ν

∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀ν ∈ (5 −add)+ [L; µ] . (Д.57)

При проверке (Д.57) следует учитывать (5.8),(5.9) и (Д.38). Далее имеем теперь (S − add)0+ [L] = {µ ∈ (S − add)+ [L] | (5 −add)+ [L; µ] = {O}} , т.е. чисто супераддитивные ФМ — суть супераддитивные ФМ, не имеющие ненулевых к.-а. минорант (см. (Д.55)). Возвращаясь к вопросу о единственности разложения супераддитивной ФМ в сумму к.-а. и чисто супераддитивной компонент, нетрудно проверить теперь, что ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀µ1 ∈ (add)+ [L] ∀µ2 ∈ (S − add)0+ [L] (µ = µ1 + µ2 ) =⇒ ((µ1 = µ(l) ) & (µ2 = µ − µ(l) )) .

(Д.58)

Из (Д.39), (Д.53), (Д.54) и (Д.58) мы получаем “полноценное” разложение требуемого типа, существенно проясняющее структуру супераддитивных ФМ. 159

С учетом (Д.45) и (Д.49) легко проверяется, что µ ν ∈ (S − add)+ [L] ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀ν ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.59)

Свойство (Д.59) позволяет получить много интересных примеров супераддитивных ФМ. Для этого мы прежде всего отметим, что в силу (Д.35) и (Д.59) µ ν ∈ (S − add)+ [L] ∀µ ∈ (add)+ [L] ∀ν ∈ (add)+ [L] .

(Д.60)

В частности, из (Д.60) следует свойство µ2 ∈ (S − add)+ [L] ∀µ ∈ (add)+ [L] . Получаемые таким образом ФМ, как правило, неаддитивные (постройте соответствующий пример самостоятельно). Супераддитивные ФМ монотонны: если µ ∈ (S − add)+ [L] , A ∈ L и B ∈ L, то (A ⊂ B) =⇒ (µ(A) ≤ µ(B)) . Проверьте данное свойство, используя аксиомы алгебры множеств. С учетом свойства (Д.45) легко проверяется тот факт, что ∀α ∈ [0, ∞[ ∀µ ∈ (S − add)+ [L] α µ ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.61)

Из (Д.39) и (Д.61) вытекает, что при α ∈ [0, ∞[ и µ ∈ (S − add)+ [L] определена к.-а. мера (α µ)(l) ∈ (add)+ [L]; более того (α µ)(l) = α µ(l) . Кроме того, с учетом (Д.45) легко проверяется тот факт, что ∀µ ∈ (S − add)+ [L] ∀ν ∈ (S − add)+ [L] µ + ν ∈ (S − add)+ [L] .

(Д.62)

С учетом (Д.39) и (Д.62) при µ ∈ (S − add)+ [L] и ν ∈ (S − add)+ [L] имеем (µ + ν)(l) ∈ (add)+ [L]; более того, (µ + ν)(l) = µ(l) + ν (l) . Отметим, что свойства (Д.61) и (Д.62) характеризуют (S − add)+ [L] как выпуклый конус линейного пространства RL (в связи с понятием выпуклого конуса см. [22, c. 194]). Подобным свойством обладают также множества (add)+ [L] и (S − add)0+ [L]; ограничимся последним случаем: O ∈ (S − add)0+ [L] и (α µ ∈ (S − add)0+ [L] ∀α ∈ [0, ∞[ ∀µ ∈ (S − add)0+ [L]) & 160

& (µ + ν ∈ (S − add)0+ [L] ∀µ ∈ (S − add)0+ [L]) ∀ν ∈ (S − add)0+ [L]) . Конус (S − add)+ [L] получается алгебраической суммой конусов (add)+ [L] и (S − add)0+ [L]: (S − add)+ [L] = {pr1 (z) + pr2 (z) : z ∈ (add)+ [L] × (S − add)0+ [L]} . (Д.63) В (Д.63) мы используем (1.8), (1.9) и (Д.47). Отметим возможность, связанную с комбинацией (Д.59), (Д.60), (Д.61) и (Д.62) при построении полиномов неотрицательных к.-а. мер с неотрицательными коэффициентами; в результате таких построений реализуются супераддитивные ФМ. В порядке упражнения мы рекомендуем читателю это проверить. Отметим, кстати, что µ(∅) = 0 ∀µ ∈ (S − add)+ [L]; данное свойство также рекомендуем читателю для самостоятельной проверки.

161

ПРИЛОЖЕНИЕ В части, касающейся основных понятий теории множеств, как правило, были опущены доказательства утверждений, связанных с основными конструкциями. Имеющиеся в тексте ссылки позволяют восстановить эти рассуждения с должной полнотой для наиболее существенных конструкций. В то же время некоторые рассуждения или их схемы полезно вынести для отдельного рассмотрения, имея в виду читателя, заинтересованного в изложении с требуемой полнотой. В первой части настоящего приложения мы рассмотрим некоторые обоснования такого рода, имея в виду в основном материал раздела 1. Область определения и область значений произвольного отношения. Пусть (REL)[M ], т.е. M есть отношение. Тогда S[M ] (M есть множество) и ∃P S[P ] ∃Q S[Q] : M ⊂ P × Q. (Π.1) Пусть (см. (П.1)) S[X] и при этом ∃Q S[Q] : M ⊂ X × Q.

(Π.2)

Мы рассматриваем семейство P(X) всех п/м X. Пусть (см. (П.2)) S[Y ] и при этом M ⊂ X × Y. (Π.3) 4

Тогда X = {H ∈ P(X) | M ⊂ H × Y } ∈ P 0 (P(X)), а потому (F am)[X 6= ∅]. Следуя построениям раздела 1, введем 4 \ X= H ∈ P(X).

(Π.4)

H∈X 4

4

Пусть m ∈ M , u = pr1 (m) и v = pr2 (m); см. (П.1). Ясно, что в силу (П.3) (u ∈ X) & (v ∈ Y ). Кроме того, m ∈ H × Y ∀H ∈ X . Поскольку m = (u, v), имеем свойство: u ∈ H ∀H ∈ X . В силу (П.4) u ∈ X, а тогда m ∈ X × Y . Поскольку выбор m был произвольным, имеем вложение M ⊂ X × Y. 162

(Π.5)

При этом (см. (П.4)) S[X]. Коль скоро S[Y ], то (см. (П.5)) установлено положение: S[X] такое, что ∃Q S[Q] : M ⊂ X × Q.

(Π.6)

Пусть вообще S[A] и при этом ∃Q S[Q] : M ⊂ A × Q.

(Π.7)

С учетом (П.7) подберем требуемое множество: пусть S[B] такое, что M ⊂ A × B.

(Π.8)

Из (П.5) и (П.8) легко следует, что M ⊂ (X ∩ A) × (Y ∩ B) ⊂ (X ∩ A) × Y.

(Π.9)

При этом (см. (П.4)) X ∩ A ∈ P(X) и, по определению X , имеем из (П.9) свойство X ∩ A ∈ X. (Π.10) Из (П.4) и (П.10) вытекают вложения X ∩ A ⊂ X ⊂ X ∩ A. В итоге X ∩ A = X и, как следствие, X ⊂ A при условии (П.7). Тем самым, установлена (см. (П.7)) импликация (∃Q S[Q] : M ⊂ A × Q) =⇒ (X ⊂ A).

(Π.11)

Коль скоро и выбор A был произвольным, установлено, что ∀H S[H] (∃Q S[Q] : M ⊂ H × Q) =⇒ (X ⊂ H). С учетом (П.6) получаем теперь, что S[X] такое, что (∃Q S[Q] : M ⊂ X × Q)&(∀H S[H] ((∃Q S[Q] : M ⊂ H × Q) =⇒ (X ⊂ H))).

(Π.12)

Осталось установить единственность такого множества X. В самом деле, пусть S[X], для которого (∃Q S[Q] : M ⊂ X × Q) & (∀H S[H] ((∃Q S[Q] : M ⊂ H × Q) =⇒ (X ⊂ H))). 163

(Π.13)

Из (П.6) и второго утверждения в (П.13) имеем вложение X ⊂ X. С другой стороны, из второго утверждения в (П.12) и первого положения в (П.13) имеем вложение X ⊂ X. Итак, X=X

(Π.14)

при условии (П.13). Стало быть, у нас ((∃Q S[Q] : M ⊂ X × Q) & (∀H S[H] ((∃Q S[Q] : M ⊂ H × Q) =⇒ =⇒ (X ⊂ H)))) =⇒ (X = X).

(Π.15)

Поскольку выбор множества X со свойством (П.13) был произвольным, установлено, что ∀L S[L] ((∃Q S[Q] : M ⊂ L × Q) & (∀H S[H] ((∃Q S[Q] : M ⊂ H × Q) =⇒ =⇒ (L ⊂ H)))) =⇒ (L = X).

(Π.16)

Нам осталось “объединить” (П.12) и (П.16). Мы получили утверждение о том, что отношению M сопоставляется единственное множество X со свойствами (П.12). Это множество X можно использовать в качестве Dom(M ). Существование и единственность Im(M ) устанавливается аналогично. Читателю следует самостоятельно проверить это свойство, ориентируясь на (П.1) – (П.16), но предпринимая усилия в части коррекции этих соотношений. 2 Свойства (1.8), (1.9) практически очевидны, как и представление Dom(P ) и Im(P ) в терминах pr1 (z) и pr2 (z), где z ∈ P ; здесь (REL)[P ]. Суперпозиция двух отношений. Пусть (REL)[P ] и (REL)[Q], т.е. даны два произвольных отношения. Мы рассматриваем P ◦ Q (1.14); ясно, что (REL)[P ◦ Q]; при этом S[Dom(P ◦ Q)] и S[Im(P ◦ Q)]. Два последних множества будут предметом нашего рассмотрения. Напомним, что (pr1 (z) ∈ Dom(P ◦ Q) ∀z ∈ P ◦ Q) & & (∀x ∈ Dom(P ◦ Q) ∃˜ z ∈ P ◦ Q : x = pr1 (˜ z )).

(Π.17)

Выберем произвольно α ∈ Dom(P ◦ Q), получая α = pr1 (z) для некоторого z ∈ P ◦ Q; см. (П.17). Упорядоченную пару z в этом рассуждении зафиксируем. В силу (1.14) для некоторого элемента x ∈ Im(Q) ∩ Dom(P )

164

(Π.18)

имеют место следующие свойства ((α, x) ∈ Q) & ((x, pr2 (z)) ∈ P ).

(Π.19)

Из (П.19) имеем, в частности, что α = pr1 (β) ∈ Dom(Q),

(Π.20)

4

где β = (α, x). С учетом (П.18), (П.20) имеем для β: β ∈ Dom(Q) × (Im(Q) ∩ Dom(P )). В частности, получаем свойство β ∈ Dom(Q) × Dom(P ).

(Π.21)

Из (П.19) имеем по определению β включение β ∈ Q. С учетом (П.21) β ∈ Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P )), а потому (см. раздел 1) выполнено: α = pr1 (β) ∈ Dom(Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P ))); этим завершается обоснование вложения (Π.22)

Dom(P ◦ Q) ⊂ Dom(Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P ))).

Выберем теперь произвольно κ ∈ Dom(Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P ))). Тогда (REL)[Q∩(Dom(Q)×Dom(P ))] и κ = pr1 (u) для некоторой упорядоченной пары (Π.23) u ∈ Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P )). Стало быть, u ∈ Q и, вместе с тем, u ∈ Dom(Q) × Dom(P ).

(Π.24) 4

Из (П.24) имеем включение κ ∈ Dom(Q); см. раздел 1. Для η = pr2 (u) имеем в силу (П.24) η ∈ Dom(P ). (Π.25) Поскольку (REL)[Q] и (см. (П.23)) η ∈ Im(Q), получаем с учетом (П.25) включение η ∈ Im(Q) ∩ Dom(P ). (Π.26) 165

Напомним, что u = (κ, η) ∈ Q. С учетом (П.25) и свойств области определения произвольного отношения (см. раздел 1) можно указать v ∈ P , для которого η = pr1 (v). Кроме того, 4

ω = pr2 (v) ∈ Im(P ).

(Π.27)

Наконец, по выбору v имеем из (П.27) свойство v = (η, ω) ∈ P . Заметим, что κ ∈ Dom(Q) и ω ∈ Im(P ); тогда 4

w = (κ, ω) ∈ Dom(Q) × Im(P ),

(Π.28)

причем pr1 (w) = κ и pr2 (w) = ω. С учетом (П.26) имеем теперь, что η ∈ Im(Q) ∩ Dom(P ) : ((pr1 (w), η) = (κ, η) ∈ Q) & & ((η, pr2 (w)) = (η, ω) ∈ P ). Стало быть (см. (П.28)), у нас w ∈ Dom(Q) × Im(P ) обладает свойством ∃ x ∈ Im(Q) ∩ Dom(P ) : ((pr1 (w), x) ∈ Q) & ((x, pr2 (w)) ∈ P ). Из (1.14) имеем теперь включение w ∈ P ◦ Q, а тогда κ = pr1 (w) ∈ Dom(P ◦ Q). Тем самым (поскольку выбор κ был произвольным), установлено вложение Dom(Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P ))) ⊂ Dom(P ◦ Q). С учетом (П.22) получаем требуемое равенство Dom(P ◦ Q) = Dom(Q ∩ (Dom(Q) × Dom(P ))). Соответствующее представление для Im(P ◦Q) устанавливается аналогичными рассуждениями. 2 Отношение, обратное к суперпозиции двух произвольных от4 ношений. Пусть (REL)[A] и (REL)[B]; полагаем P = B ◦ A. Рассмотрим отношение −1

P = {z ∈ Im(P ) × Dom(P ) | (pr2 (z), pr1 (z)) ∈ P }

(Π.29)

и представление этого отношения в терминах суперпозиции отношений −1

A = {z ∈ Im(A) × Dom(A) | (pr2 (z), pr1 (z)) ∈ A}, 166

(Π.30)

−1

B = {z ∈ Im(B) × Dom(B) | (pr2 (z), pr1 (z)) ∈ B}.

(Π.31)

Напомним, что для суперпозиции отношений (П.30), (П.31) имеет место представление (см. (1.14)) −1

−1

−1

−1

−1

−1

A ◦ B = {z ∈ Dom( B ) × Im( A ) | ∃ x ∈ Im( B ) ∩ Dom( A ) : −1

(Π.32)

−1

((pr1 (z), x) ∈ B ) & ((x, pr2 (z)) ∈ A )}. Используя представления раздела 1 для области определения и области значений отношения, обратного заданному, имеем из (П.32) −1

−1

A ◦ B = {z ∈ Im(B) × Dom(A) | ∃ x ∈ Dom(B) ∩ Im(A) :

(Π.33)

−1

−1

((pr1 (z), x) ∈ B ) & ((x, pr2 (z)) ∈ A )}. −1

Сравним отношения (П.29) и (П.33). Пусть u ∈ P . Тогда u = (pr1 (u), pr2 (u)) ∈ Im(P ) × Dom(P ),

(Π.34)

т.е. pr1 (u) ∈ Im(P ) и pr2 (u) ∈ Dom(P ). При этом (см. (П.29)) 4

v = (pr2 (u), pr1 (u)) ∈ P.

(Π.35)

Ясно, что pr1 (v) = pr2 (u) и pr2 (v) = pr1 (u). Тогда (pr1 (v) ∈ Dom(P )) & (pr2 (v) ∈ Im(P )). По определению отношения P имеем v ∈ B ◦ A и для некоторого элемента x ∈ Im(A) ∩ Dom(B) следующие свойства (см. (П.35)) ((pr1 (v), x) ∈ A) & ((x, pr2 (v)) ∈ B). 4

(Π.36) 4

Иными словами, a = (pr2 (u), x) ∈ A и, кроме того, b = (x, pr1 (u)) ∈ B. Поэтому имеем, в частности, что (pr1 (a) = pr2 (u) ∈ Dom(A)) & (pr2 (a) = x).

(Π.37)

Кроме того, мы получаем, что (pr1 (b) = x) & (pr2 (b) = pr1 (u) ∈ Im(B)). 167

(Π.38)

Свойства (П.37), (П.38) непосредственно следуют из представлений раздела 1 для области определения и области значений произвольного отношения. Заметим, что (см. (П.36), (П.37)) − 4

a = (x, pr1 (v)) = (x, pr2 (u)) ∈ Im(A) × Dom(A)

(Π.39)

и, кроме того, справедливо (см. (П.38)) − 4

b = (pr2 (v), x) = (pr1 (u), x) ∈ Im(B) × Dom(B).

(Π.40)

В (П.39), (П.40) мы учли свойства объекта x. Из (П.39) вытекает, что −

−

(pr1 (a) = x) & (pr2 (a) = pr1 (v) = pr2 (u)). −

(Π.41)

−

Тогда (pr2 (a), pr1 (a)) = (pr1 (v), x) ∈ A в силу (П.36). Из (П.30), (П.39) − − − имеем теперь для a∈ Im(A) × Dom(A) свойство (pr2 (a), pr1 (a)) ∈ A и, как − −1

следствие, a∈ A . С другой стороны, из (П.40) имеем −

−

(pr1 ( b ) = pr2 (v) = pr1 (u)) & (pr2 ( b ) = x). −

−

Тогда (pr2 ( b ), pr1 ( b )) = (x, pr2 (v)) ∈ B. Из (П.40) получаем, что −

−

−

b ∈ Im(B) × Dom(B) : (pr2 ( b ), pr1 ( b )) ∈ B. − −1

С учетом (П.31) имеем теперь b ∈ B . Мы установили, что − −1

− −1

(a∈ A ) & ( b ∈ B ).

(Π.42)

Из (П.39), (П.40) и (П.42) получаем, что справедливо −1

−1

((pr1 (u), x) ∈ B ) & ((x, pr2 (u)) ∈ A ).

(Π.43)

Напомним, что в силу (П.37), (П.38) упорядоченная пара u = (pr1 (u), pr2 (u)) ∈ Im(B) × Dom(A). обладает следующим свойством (см. (П.43)) −1

−1

∃ x ∈ Dom(B) ∩ Im(A) : ((pr1 (u), x) ∈ B ) & ((x, pr2 (u)) ∈ A ). 168

−1

−1

Из (П.33) имеем теперь u ∈ A ◦ B . Поскольку выбор u был произвольным, установлено вложение −1

−1

−1

P ⊂A◦B. −1

(Π.44)

−1

Пусть η ∈ A ◦ B . Тогда в силу (П.33) η ∈ Im(B) × Dom(A) и для некоторого элемента t ∈ Dom(B) ∩ Im(A) выполняется −1

4

−1

4

(γ = (pr1 (η), t) ∈ B ) & (δ = (t, pr2 (η)) ∈ A ).

(Π.45)

Разумеется, pr1 (η) ∈ Im(B) и pr2 (η) ∈ Dom(A), pr1 (γ) = pr1 (η), pr2 (γ) = t, pr1 (δ) = t, pr2 (δ) = pr2 (η). Из (П.30) и (П.45) получаем, что δ ∈ Im(A) × Dom(A) и при этом выполняется: − 4

δ = (pr2 (η), t) = (pr2 (δ), pr1 (δ)) ∈ A.

(Π.46)

Аналогичным образом, из (П.31), (П.45) имеем, что γ ∈ Im(B) × Dom(B), причем справедливо −

4 γ= (t, pr1 (η)) = (pr2 (γ), pr1 (γ)) ∈ B.

(Π.47)

Напомним, что по выбору P мы имеем равенство (см. (1.14)) P = {˜ z ∈ Dom(A) × Im(B) | ∃ x˜ ∈ Im(A) ∩ Dom(B) :

(Π.48)

((pr1 (˜ z ), x˜) ∈ A) & ((˜ x, pr2 (˜ z )) ∈ B)}. Поскольку η = (pr1 (η), pr2 (η)) ∈ Im(B) × Dom(A), то −

4 η= (pr2 (η), pr1 (η)) ∈ Dom(A) × Im(B), −

−

pr1 (η ) = pr2 (η), pr2 (η ) = pr1 (η). Имеем равенства −

−

−

−

((pr1 (η ), t) = δ ) & ((t, pr2 (η ) =γ ). 169

(Π.49)

Поэтому из (П.46), (П.47) получаем свойство −

−

t ∈ Im(A) ∩ Dom(B) : ((pr1 (η ), t) ∈ A) & ((t, pr2 (η )) ∈ B).

(Π.50)

−

Из (П.48) – (П.50) получаем свойство η ∈ P . Тогда в согласии с (П.49) получаем, что η ∈ Im(B) × Dom(A) : (pr2 (η), pr1 (η)) ∈ P. −1

С учетом (П.29) имеем теперь включение η ∈ P . Поскольку выбор η был произвольным, установлено вложение −1

−1

−1

A ◦ B⊂P .

−1 −1

(Π.51)

−1

Из (П.44), (П.51) имеем: P = A ◦ B . Ассоциативность суперпозиции. Пусть (REL)[A], (REL)[B] и (REL)[C]. Тогда A ◦ (B ◦ C) и (A ◦ B) ◦ C — отношения, т.е. ((REL)[A ◦ (B ◦ C)]) & ((REL)[(A ◦ B) ◦ C]). Согласно (1.14) имеем равенство A ◦ (B ◦ C) = {z ∈ Dom(B ◦ C) × Im(A) | ∃ x ∈ Im(B ◦ C) ∩ Dom(A) : (Π.52) ((pr1 (z), x) ∈ B ◦ C) & ((x, pr2 (z)) ∈ A)}. Кроме того, из (1.14) получаем равенство (A ◦ B) ◦ C = {z ∈ Dom(C) × Im(A ◦ B) | ∃ x ∈ Im(C) ∩ Dom(A ◦ B) : (Π.53) ((pr1 (z), x) ∈ C) & ((x, pr2 (z)) ∈ A ◦ B)}. В связи с (П.52) напомним (см. раздел 1), что Dom(B ◦ C) = Dom(C ∩ (Dom(C) × Dom(B)))

(Π.54)

и, кроме того, имеет место равенство Im(B ◦ C) = Im(B ∩ (Im(C) × Im(B))).

(Π.55)

Далее в связи с (П.53) напомним (см. раздел 1), что Dom(A ◦ B) = Dom(B ∩ (Dom(B) × Dom(A))) 170

(Π.56)

и, кроме того, выполняется равенство Im(A ◦ B) = Im(A ∩ (Im(B) × Im(A))).

(Π.57)

Выберем произвольно µ ∈ A ◦ (B ◦ C). Тогда (см. (П.52)) упорядоченная пара µ такова, что (pr1 (µ) ∈ Dom(B ◦ C)) & (pr2 (µ) ∈ Im(A)).

(Π.58)

При этом для некоторого η ∈ Im(B ◦ C) ∩ Dom(A) имеют место свойства ((pr1 (µ), η) ∈ B ◦ C) & ((η, pr2 (µ)) ∈ A).

(Π.59)

Тогда, в силу (П.54) и (П.58), имеем pr1 (µ) ∈ Dom(C ∩ (Dom(C) × Dom(B))).

(Π.60)

Далее из первого свойства в (П.59) имеем, что (pr1 (µ), η) ∈ Dom(C) × Im(B)

(Π.61)

и для некоторого ω ∈ Im(C) ∩ Dom(B) выполняются соотношения ((pr1 (µ), ω) ∈ C) & ((ω, η) ∈ B).

(Π.62)

Из (П.59), (П.62) следует, в частности, что ((pr1 (µ), ω) ∈ C) & ((ω, η) ∈ B)&((η, pr2 (µ)) ∈ A).

(Π.63)

Рассмотрим два последних (в (П.63)) положения более подробно. В силу (П.60), (П.61) (pr1 (µ) ∈ Dom(C)) & (η ∈ Im(B)). Как следствие, по выбору η получаем, что η ∈ Im(B) ∩ Dom(A).

(Π.64)

Отметим, что ω ∈ Dom(B), а потому 4

θ = (ω, pr2 (µ)) ∈ Dom(B) × Im(A).

(Π.65)

Разумеется, pr1 (θ) = ω и pr2 (θ) = pr2 (µ). Из двух последних свойств в (П.63) и из (П.64) вытекает, что η ∈ Im(B) ∩ Dom(A) : ((pr1 (θ), η) ∈ B) & ((η, pr2 (θ)) ∈ A). 171

С учетом (П.65) и (1.14) имеем теперь включение θ ∈ A ◦ B.

(Π.66)

Вернемся к (П.65). С учетом (П.66) (ω, pr2 (µ)) ∈ A ◦ B.

(Π.67)

Вместе с тем имеет место (П.63). Из (П.63) и (П.67) имеем, в частности, что ((pr1 (µ), ω) ∈ C) & ((ω, pr2 (µ)) ∈ A ◦ B). (Π.68) Из (П.67) имеем (см. раздел 1) свойство ω = pr1 (θ) ∈ Dom(A ◦ B). С другой стороны, по выбору ω имеем: ω ∈ Im(C). Стало быть, ω ∈ Im(C) ∩ Dom(A ◦ B). С учетом (П.68) получаем теперь, что, в частности, ∃ x ∈ Im(C)∩Dom(A◦B) : ((pr1 (µ), x) ∈ C) & ((x, pr2 (µ)) ∈ A◦B). (Π.69) Из (П.61) вытекает свойство pr1 (µ) ∈ Dom(C). С другой стороны, из (П.67) вытекает (см. раздел 1): pr2 (µ) ∈ Im(A ◦ B). С учетом (1.5) получаем включение µ = (pr1 (µ), pr2 (µ)) ∈ Dom(C) × Im(A ◦ B), которое с учетом (П.53) и (П.69) означает: µ ∈ (A ◦ B) ◦ C. Поскольку выбор µ был произвольным, вложение A ◦ (B ◦ C) ⊂ (A ◦ B) ◦ C

(Π.70)

установлено. Выберем теперь произвольно ν ∈ (A ◦ B) ◦ C. Разумеется, ν есть упорядоченная пара; из (П.53) имеем, в частности, ν = (pr1 (ν), pr2 (ν)), где (pr1 (ν) ∈ Dom(C)) & (pr2 (ν) ∈ Im(A ◦ B)). (Π.71) 172

Отметим, что (см. (1.14)) для некоторого объекта u ∈ Im(C) ∩ Dom(A ◦ B) выполнено ((pr1 (ν), u) ∈ C) & ((u, pr2 (ν)) ∈ A ◦ B). (Π.72) Заметим, кстати, что из (П.71) вытекает (см. раздел 1) включение pr2 (ν) ∈ Im(A ∩ (Im(B) × Im(A))). Кроме того, из второго свойства в (П.72) вытекает: (u, pr2 (ν)) ∈ Dom(B) × Im(A),

(Π.73)

т.е. u ∈ Dom(B) и pr2 (ν) ∈ Im(A). Вместе с тем (см. (1.14), (П.72)), для некоторого объекта v ∈ Im(B) ∩ Dom(A) имеют место следующие свойства ((u, v) ∈ B) & ((v, pr2 (ν)) ∈ A).

(Π.74)

Из (П.72), (П.74) следует, в частности, что ((pr1 (ν), u) ∈ C) & ((u, v) ∈ B)&((v, pr2 (ν)) ∈ A).

(Π.75)

Заметим, что из (П.75) вытекают включения (pr1 (ν) ∈ Dom(C)) & (u ∈ Im(C)). Стало быть, имеет место свойство (см. (П.73)): элемент u ∈ Im(C) ∩ Dom(B)

(Π.76)

обладает в силу (П.74), (П.75) свойством ((pr1 (ν), u) ∈ C) & ((u, v) ∈ B).

(Π.77)

Из (П.76), (П.77) имеем, в частности, следующее свойство ∃ x ∈ Im(C) ∩ Dom(B) : ((pr1 (ν), x) ∈ C) & ((x, v) ∈ B).

(Π.78)

Заметим, что по выбору v и с учетом (П.71) 4

λ = (pr1 (ν), v) ∈ Dom(C) × Im(B).

(Π.79)

Из (1.14), (П.78), (П.79) получаем, что λ ∈ B ◦ C или, иными словами, (pr1 (ν), v) ∈ B ◦ C. 173

(Π.80)

С учетом (П.75) мы получаем, что ((pr1 (ν), v) ∈ B ◦ C) & ((v, pr2 (ν)) ∈ A).

(Π.81)

Напомним, что (см. (П.74)) v ∈ Dom(A). Далее, из (П.80) вытекает, что v ∈ Im(B ◦ C). В связи с двумя последними свойствами см. раздел 1 в части, касающейся области определения и области значений произвольного отношения. Мы получили, что v ∈ Im(B ◦ C) ∩ Dom(A).

(Π.82)

Из (П.81), (П.82) следует, в частности, что ∃ x ∈ Im(B ◦ C) ∩ Dom(A) : ((pr1 (ν), x) ∈ B ◦ C) & ((x, pr2 (ν)) ∈ A). (Π.83) Напомним, что (см. (П.81)) pr1 (ν) ∈ Dom(B ◦ C) и pr2 (ν) ∈ Im(A); см. (П.73). В итоге, ν = (pr1 (ν), pr2 (ν)) ∈ Dom(B ◦ C) × Im(A). Из (П.52), (П.83) имеем теперь свойство ν ∈ A ◦ (B ◦ C). Поскольку выбор ν был произвольным, вложение (A ◦ B) ◦ C ⊂ A ◦ (B ◦ C) установлено. Из (П.70) и последнего вложения получаем равенство A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C. Суперпозиция двух функций есть функция. Пусть (F U N C)[u] и (F U N C[v]. Тогда, в частности, ((REL)[u]) & ((REL)[v]). Следовательно, (REL)[v ◦u]. При этом (см. раздел 1) имеем представления (Dom(v ◦ u) = Dom(u ∩ (Dom(u) × Dom(v)))) & & (Im(v ◦ u) = Im(v ∩ (Im(u) × Im(v)))). Мы напомним, что справедливо (см. (1.14)) равенство v ◦ u = {z ∈ Dom(u) × Im(v) | ∃ x ∈ Im(u) ∩ Dom(v) : 174

((pr1 (z), x) ∈ u) & ((x, pr2 (z)) ∈ v)}.

(Π.84)

Будем использовать (1.10). Пусть (µ ∈ v ◦ u) & (ν ∈ v ◦ u).

(Π.85)

Пусть, кроме того, имеет место равенство (Π.86)

pr1 (µ) = pr1 (ν). Имеем из соотношений (П.84), (П.85), что (µ ∈ Dom(u) × Im(v)) & (ν ∈ Dom(u) × Im(v)). Это означает очевидные (см. раздел 1) свойства (pr1 (µ) ∈ Dom(u)) & (pr2 (µ) ∈ Im(v)) & (pr1 (ν) ∈ Dom(u)) &

(Π.87)

& (pr2 (ν) ∈ Im(v)). Далее из (П.84), (П.85) следует, что для некоторого t ∈ Im(u) ∩ Dom(v)

(Π.88)

справедливы свойства (pr1 (µ), t) ∈ u и (t, pr2 (µ)) ∈ v. Аналогичным образом, из (П.84), (П.85) имеем, для некоторого s ∈ Im(u) ∩ Dom(v),

(Π.89)

что (pr1 (ν), s) ∈ u и (s, pr2 (ν)) ∈ v. Для −4

−4

(µ= (pr1 (µ), t) ∈ u) & (ν = (pr1 (ν), s) ∈ u)

(Π.90)

имеем цепочку равенств (см. (П.86)): −

−

pr1 (µ) = pr1 (µ) = pr1 (ν) = pr1 (ν ); с учетом (1.10) получаем, коль скоро u — функция, что (см. (П.90)) −

−

t = pr2 (µ) = pr2 (ν ) = s, т.е. t = s. Далее, мы напомним, что 4

4

(µ\ = (t, pr2 (µ)) ∈ v) & (ν \ = (s, pr2 (ν)) ∈ v). 175

(Π.91)

При этом, как уже установлено, pr1 (µ\ ) = t = s = pr1 (ν \ ) и, поскольку v — функция, получаем из (1.10), что (при условии (П.86)) pr2 (µ) = pr2 (µ\ ) = pr2 (ν \ ) = pr2 (ν). Итак, установлена импликация (pr1 (µ) = pr1 (ν)) =⇒ (pr2 (µ) = pr2 (ν)). Поскольку выбор (П.85) был произвольным, установлено (см. (1.10)), что (F U N C)[v ◦ u]. Мы установили справедливость следующего свойства: (F U N C)[g ◦ f ] ∀f (F U N C)[f ] ∀g (F U N C)[g]. Суперпозиция отношений в декартовом произведении двух заданных множеств. Полагаем, что S[X], S[Y ], S[Z], G ∈ P(X × Y ) и H ∈ P(Y × Z). Итак, X, Y, Z — множества, G — п/м X × Y , а H — п/м Y × Z. Нас будет интересовать отношение H ◦ G (мы учитываем, что ((REL)[G]) & ((REL)[H]) и используем по этой причине (1.14) для построения суперпозиции G и H); H ◦ G = {z ∈ Dom(G) × Im(H) | ∃ x ∈ Im(G) ∩ Dom(H) :

(Π.910 )

((pr1 (z), x) ∈ G) & ((x, pr2 (z)) ∈ H)}. При этом (см. раздел 1) справедливы вложения (Dom(G) ⊂ X) & (Im(G) ⊂ Y ) & (Dom(H) ⊂ Y ) & (Im(H) ⊂ Z). (Π.92) С учетом (П.92) для отношения 4

Ω = {z ∈ X × Z | ∃ y ∈ Y : ((pr1 (z), y) ∈ G) & ((y, pr2 (z)) ∈ H)} (Π.93) мы получаем следующее утверждение (см. (П.910 )): H ◦ G ⊂ Ω. Выберем произвольно ω ∈ Ω. Тогда ω ∈ X × Z, т.е. (pr1 (ω) ∈ X) & (pr2 (ω) ∈ Z). 176

(Π.94)

При этом для некоторого w ∈ Y реализуются включения ((pr1 (ω), w) ∈ G) & ((w, pr2 (ω)) ∈ H).

(Π.95)

Из (П.95) вытекает (см. раздел 1), что (pr1 (ω) ∈ Dom(G)) & (w ∈ Im(G) ∩ Dom(H)) & (pr2 (ω) ∈ Im(H)). Тогда, в частности, ω = (pr1 (ω), pr2 (ω)) ∈ Dom(G) × Im(H) и (см. (П.95)) ∃ x ∈ Im(G) ∩ Dom(H) : ((pr1 (ω), x) ∈ G) & ((x, pr2 (ω)) ∈ H). Из (П.910 ) вытекает, что ω ∈ H ◦G. Поскольку выбор ω был произвольным, установлено вложение Ω ⊂ H ◦ G, откуда с учетом (П.94) имеем равенство H ◦ G = Ω, что (с учетом (П.93)) доставляет требуемое представление H ◦ G = {z ∈ X × Z | ∃ y ∈ Y : ((pr1 (z), y) ∈ G) & ((y, pr2 (z)) ∈ H)}. Отношение, обратное к взаимно однозначной функции, есть функция. Рассмотрим обоснование (1.38). Итак, пусть (F U N C)0 [f ]. Тогда (F U N C)[f ], т.е. f есть функция, и (см. (1.37)) ∀x1 ∈ Dom(f ) ∀x2 ∈ Dom(f ) (f (x1 ) = f (x2 )) =⇒ (x1 = x2 ). (Π.96) −1

Разумеется, (REL)[f ] и потому (REL)[ f ]: −1

f = {z ∈ Im(f ) × Dom(f ) | (pr2 (z), pr1 (z)) ∈ f }. −1

(Π.97)

−1

Выберем произвольно u ∈ f и v ∈ f так, что pr1 (u) = pr1 (v).

(Π.98)

Разумеется, pr1 (u) ∈ Im(f ) и pr1 (v) ∈ Im(f ) согласно (П.97). Напомним, что (см. раздел 1) −1

−1

(Dom( f ) = Im(f )) & (Im( f ) = Dom(f )). −1

(Π.99)

−1

Стало быть, pr1 (u) ∈ Dom( f ) и pr1 (v) ∈ Dom( f ). Заметим, что −4

−4

(u= (pr2 (u), pr1 (u)) ∈ f ) & (v = (pr2 (v), pr1 (v)) ∈ f ); 177

(Π.100)

−

−

−

−

pr1 (u) = pr2 (u), pr2 (u) = pr1 (u), pr1 (v ) = pr2 (v), pr2 (v ) = pr1 (v). Из (1.12), (1.13) и (П.100) получаем, что −

−

−

−

pr1 (u) = pr2 (u) = f (pr2 (u)) = f (pr1 (u)), pr1 (v) = pr2 (v ) = f (pr2 (v)) = f (pr1 (v )), а тогда, поскольку pr2 (u) ∈ Dom(f ) и pr2 (v) ∈ Dom(f ), имеем из (П.96) и (П.98) равенство (Π.101) pr2 (u) = pr2 (v). Итак (см. (П.98), (П.101)), получена импликация (pr1 (u) = pr1 (v)) =⇒ (pr2 (u) = pr2 (v)). −1

−1

Поскольку выбор u, v был произвольным, установлено, что ∀x ∈ f ∀y ∈ f (pr1 (x) = pr1 (y)) =⇒ (pr2 (x) = pr2 (y)). −1

Из (1.10) имеем (F U N C)[ f ]. 2 Далее мы рассматриваем обоснования одного важного положения раздела 3, имея в виду конструкции теории ИП. Доказательство равенства (3.20). Мы рассматриваем здесь, стало быть, алгебру, порожденную полуалгеброй п/м Ω (напомним, что построение алгебры п/м Ω, порожденной любым семейством п/м Ω, приведено, например, в [4, c. 23-25]). Итак, пусть H ∈ Π[Ω] (H — полуалгебра п/м Ω), 4

A = a0Ω (H) и 4

B = {H ∈ P(Ω) | ∃n ∈ N :

∆n (H, H) 6= ∅} .

(Π.102)

Тогда, поскольку (см. (3.19)) A ∈ (alg)[Ω] и H ⊂ A, имеем из (3.5), (3.15) и (П.102) очевидное вложение B ⊂ A.

(Π.103)

Итак, в силу (П.103) B есть подсемейство искомой алгебры множеств A. С другой стороны, H ⊂ B, (Π.104) поскольку (см. (3.5)) каждое множество из H допускает очевидным образом конечное разбиение множествами из H (достаточно использовать разбиение в “сумму” только одного множества). Из (П.104) имеем, в частности, что B ∈ P 0 (P(Ω)) и при этом (∅ ∈ B) & (Ω ∈ B) . 178

(Π.105)

С учетом (П.105) уместно “заменить” B более удобным семейством 4

C = {H ∈ B | Ω \ H ∈ B} .

(Π.106)

Из (П.105), (П.106) следует, конечно, что (∅ ∈ C) & (Ω ∈ C) .

(Π.107)

Кроме того, из (3.7), (П.102) и (П.104) вытекает, что справедливо также вложение H ⊂ C. (Π.108) Пусть U ∈ B и V ∈ B. С учетом (П.102) подберем p ∈ N и q ∈ N так, что (∆p (U, H) 6= ∅) & (∆q (V, H) 6= ∅) . Пусть (Ui )i∈1,p ∈ ∆p (U, H) и (Vj )j∈1,q ∈ ∆q (V, H). С учетом (3.2) и (3.7) имеем Ui ∩ Vj ∈ H ∀i ∈ 1, p ∀j ∈ 1, q . (Π.110) Дальнейшее обоснование того, что U ∩ V ∈ B — очевидное следствие (П.110), если исходить из соображений обычного здравого смысла. Однако, мы (быть может, несколько затрудняя читателя) будем действовать в духе раздела 2 с должной пунктуальностью. Напомним, что (см. (2.55)) SF [ 1, p × 1, q 6= ∅ ] . 4

Полагаем r = | 1, p × 1, q | , r ∈ N ; тогда в силу (2.45) S[ (bi)[ 1, r; 1, p × 1, q ] 6= ∅ ] . Пусть ϕ ∈ (bi)[ 1, r; 1, p × 1, q ]. Тогда ∀k ∈ 1, r (pr1 (ϕ(k)) ∈ 1, p ) & (pr2 (ϕ(k)) ∈ 1, q ) .

(Π.111)

Поэтому (см. (П.110), (П.111)) корректно определяются 4

Wk = Upr1 (ϕ(k)) ∩ Vpr2 (ϕ(k)) ∈ H ∀k ∈ 1, r .

(Π.112)

Стало быть, у нас (Wi )i∈1,r ∈ Hr . С учетом предложения 1.1 имеем ∀i1 ∈ 1, p ∀j1 ∈ 1, q ∀i2 ∈ 1, p ∀j2 ∈ 1, q ((i1 , j1 ) = (i2 , j2 )) ⇐⇒ ((i1 = i2 ) & (j1 = j2 )) . 179

(Π.113)

Из (П.113) получаем,как следствие, ∀i1 ∈ 1, p ∀j1 ∈ 1, q ∀i2 ∈ 1, p ∀j2 ∈ 1, q ((i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 )) ⇐⇒ ((i1 6= i2 ) ∨ (j1 = 6 j2 )) . Тогда, по выбору кортежей (Ui )i∈1,p и (Vj )j∈1,q имеем с очевидностью, что для всяких i1 ∈ 1, p , j1 ∈ 1, q , i2 ∈ 1, p и j2 ∈ 1, q ((i1 , j1 ) 6= (i1 , j2 )) =⇒ ((Ui1 ∩ Vj1 ) ∩ (Ui2 ∩ Vj2 ) = ∅) ;

(Π.114)

см. свойства разбиений вида (2.66), а также (3.5). Теперь уже с учетом (1.5), (1.57), (П.112) имеем Wk1 ∩ Wk2 = ∅ ∀k1 ∈ 1, r ∀k2 ∈ 1, r \ {k1 } .

(Π.115)

С другой стороны, для объединения всех множеств Wk , k ∈ 1, r, мы имеем, в силу (П.112) и свойств ϕ, равенство r [

Wk = U ∩ V .

(Π.116)

k=1

В самом деле, если k ∈ 1, r, то, в согласии с (П.111) и (П.112), имеем Wk = Ui ∩ Vj

(Π.117)

для некоторых i ∈ 1, p и j ∈ 1, q. Из (П.117) имеем, в частности, что Wk ⊂ U ∩ V

∀k ∈ 1, r .

Здесь мы учли свойства (Ui )i∈1,p и (Vj )j∈1,q . Таким образом, вложение r [

Wk ⊂ U ∩ V

(Π.118)

k=1

установлено. Пусть x∗ ∈ U ∩ V . Тогда для некоторых i∗ ∈ 1, p и j∗ ∈ 1, q имеет место x∗ ∈ Ui∗ ∩ Vj∗ . При этом (i∗ , j∗ ) ∈ 1, p × 1, q и, в силу биективности ϕ (на самом деле, здесь существенна сюрьективность), мы из (1.25), (1.56) и (1.57) получаем равенство (i∗ , j∗ ) = ϕ(k∗ ) , где k∗ ∈ 1, r. Тогда в силу (П.112) Wk∗ = Ui∗ ∩ Vj∗ . 180

Итак, x∗ ∈ Wk∗ и, тем более, x∗ ∈

r S

Wk . Поскольку выбор x∗ был произ-

k=1

вольным, вложение, противоположное (П.118), установлено, что означает справедливость (П.116). Из (3.5), (П.112), (П.115) и (П.116) следует, что (Wk )k∈1,r ∈ ∆r (U ∩ V, H) .

(Π.119)

Поскольку r ∈ N , из (П.102) и (П.119) имеем включение U ∩V ∈ B. Поскольку выбор U и V был произвольным, установлено, что B1 ∩ B2 ∈ B ∀B1 ∈ B ∀B2 ∈ B . Из (3.2), (П.105) с очевидностью имеем, что B ∈ π[Ω] .

(Π.120)

Выберем теперь произвольно (U˜ ∈ C) & (V˜ ∈ C) . В частности, U˜ ∈ B , V˜ ∈ B и, кроме того, Ω \ U˜ ∈ B и Ω \ V˜ ∈ B. Легко видеть, что в силу (3.2) и (П.120) U˜ ∩ (Ω \ V˜ ) ∈ B . Кроме того, очевидным образом справедливо следующее представление дополнения до множества U˜ ∩ V˜ . Именно, Ω \ (U˜ ∩ V˜ ) = (Ω \ U˜ ) ∪ (U˜ \ V˜ ) = (Ω \ U˜ ) ∪ (U˜ ∩ (Ω \ V˜ )) .

(Π.121)

Напомним, что в силу ранее упомянутых свойств имеет место (Ω \ U˜ ∈ B) & (U˜ ∩ (Ω \ V˜ ) ∈ B) .

(Π.122)

Сопоставим (П.102) и (П.122). Пусть m ∈ N обладает свойством ∆m (Ω \ U˜ , H) 6= ∅ .

(Π.123)

С учетом (П.123) подберем теперь (Γi )i∈1,m ∈ ∆m (Ω \ U˜ , H) . 181

(Π.124)

В (П.124) мы указали конечное H-разбиение множества Ω \ U˜ . Аналогичным образом из (П.102), (П.122) имеем при некотором n ∈ N свойство ∆n (U˜ ∩ (Ω \ V˜ ), H) 6= ∅ .

(Π.125)

С учетом (П.125) подберем разбиение (Λj )j∈1,n ∈ ∆n (U˜ ∩ (Ω \ V˜ ), H) .

(Π.126)

Отметим,что m + n ∈ N . При этом ( 1, m + n = 1, m ∪ m + 1, m + n ) & ( 1, m ∩ m + 1, m + n = ∅) . (Π.127) Будем использовать (2.14). При этом, конечно, m + i ∈ m + 1, m + n ∀i ∈ 1, n .

(Π.128)

С учетом (П.128) мы введем отображение 4

ϕ = (m + i)i∈1,n , действующее из 1, n в m + 1, m + n, т.е. ϕ : 1, n −→ m + 1, m + n . −−→ При этом ϕ(j) = m + j ∀j ∈ 1, n. Заметим, что m + 1, m + n ⊂ 2, ∞, поскольку m ∈ N (см. также (2.12)). Покажем, что k − m ∈ 1, n ∀k ∈ m + 1, m + n .

(Π.129)

В самом деле, имеем с очевидностью 1 = (m + 1) − m ∈ 1, n .

(Π.130)

Покажем, что выполнено (П.129). Допустим противное: 4

K = {k ∈ m + 1, m + n | k − m ∈ / 1, n } 6= ∅ .

(Π.131)

Тогда, в частности, K ∈ P 0 (N ). При этом (см. (2.15)) 4

k = inf(K) ∈ K .

(Π.132)

Тогда k ∈ m + 1, m + n и k − m ∈ / 1, n. Из (П.130) имеем, что k 6= m + 1. Тогда m + 1 < k и (см. раздел 2) для k − 1 ∈ R имеем неравенство m + 1 ≤ k − 1. 182

(Π.133)

−−→ −−−−−−→ Но k ∈ 2, ∞, а потому k − 1 ∈ N , т.е. k − 1 ∈ m + 1, ∞ в силу (П.133). Мы получили, что k − 1 ∈ m + 1, m + n . (Π.134) Вместе с тем (см. (П.132)) k − 1 ∈ / K, что в силу (П.131) и (П.134) означает справедливость свойства 4

r = (k − 1) − m ∈ 1, n .

(Π.135)

Уточним (П.134): в силу (П.131) и (П.132) k−1 ≤ (m+n)−1. Поэтому (см. (П.135)) r ≤ n − 1, т.е. r ∈ 1, n − 1 и, стало быть, r + 1 ∈ 2, n. В частности, r + 1 ∈ 1, n и при этом (см. (П.135)) k − m = r + 1. Стало быть, k − m ∈ 1, n, что (см. (П.131)) противоречит (П.132); противоречие означает, что само (П.131) невозможно и, стало быть, справедливо (П.129). Как следствие, имеем, что ∀k ∈ m + 1, m + n ∃l ∈ 1, n : k = m + l = ϕ(l) . Стало быть, отображение ϕ сюрьективно (см. (1.56)), т.е. ϕ1 (1, n ) = m + 1, m + n . Свойство

биективности

ϕ

следует

теперь из ϕ ∈ (bi)[ 1, n ; m + 1, m + n ] . Пусть ψ = ϕ ; тогда

определения,

т.е.

4 −1

ψ : m + 1, m + n −→ 1, n и при этом справедливо, при i ∈ m + 1, m + n, равенство (см. раздел 2) ϕ(ψ(i)) = m + ψ(i) = i , т.е. ψ(i) = i − m. Используем (П.127). Введем (Ti )i∈1,m+n : 1, m + n −→ P(Ω) по следующему правилу: 4

4

(Ti = Γi ∀i ∈ 1, m ) & (Ti = Λψ(i) ∀i ∈ m + 1, m + n ) .

(Π.136)

Ясно, что при i ∈ m + 1, m + n Ti = Λi−m . 183

(Π.137)

Далее, из (П.124), (П.125), (П.129), (П.137) мы получаем, что (Ti )i∈1,m+n : 1, m + n −→ H

(Π.138) ,

т.е. (Ti )i∈1,m+n ∈ Hm+n . При этом в силу (П.124) и (П.127) m+n [ i=1

Ti =

m ³[

´ Ti

∪

³ m+n [

i=1

´ Ti =

m ³[

´ Γi

∪

³ m+n [

i=1

i=m+1

³ m+n [

= (Ω \ U˜ ) ∪

´ Λψ(i) =

(Π.139)

i=m+1

´ Λψ(i) .

i=m+1

Последнее множество-объединение в (П.139) есть, очевидно, объединение всех множеств Λψ(i) , i ∈ m + 1, m + n, т.е. (в смысле определений ТМВ; см. (1.29)) множество S ∈ P(Ω), для которого (Λψ(i) ⊂ S ∀i ∈ m + 1, m + n) & (∀ω ∈ S ∃j ∈ m + 1, m + n : ω ∈ Λψ(j) ) . (Π.140) Тогда, в частности, из (П.140) имеем по определению ϕ, что Λψ(ϕ(i)) ⊂ S ∀i ∈ 1, n . С учетом (1.39) получаем Λi ⊂ S ∀i ∈ 1, n. Стало быть, у нас n [

Λi ⊂ S .

(Π.141)

i=1

С другой стороны, из второго свойства в (П.140) получаем с учетом сюрьективности ϕ, что ∀ω ∈ S ∃ i ∈ 1, n : ω ∈ Λψ(ϕ(i)) . Вновь учитывая (1.39) имеем свойство ∀ω ∈ S ∃ i ∈ 1, n : ω ∈ Λi . Это свойство означает справедливость вложения S⊂

n [

Λi .

i=1

С учетом (П.126), (П.134) мы получаем равенство m+n [ i=m+1

Λψ(i) = S =

n [ i=1

184

Λi = U˜ ∩ (Ω \ V˜ ) .

В результате из (П.121), (П.139) получаем m+n [

Ti = (Ω \ U˜ ) ∪ (U˜ ∩ (Ω \ V˜ )) = Ω \ (U˜ ∩ V˜ ) .

(Π.142)

i=1

Выберем произвольно i ∈ 1, m + n и j ∈ 1, m + n \ {i}. Тогда i 6= j и (см. (П.128)) (i ∈ 1, m) ∨ (i ∈ m + 1, m + n ) . (Π.143) Рассмотрим отдельно обе возможности в (П.143). 1) Пусть i ∈ 1, m. Тогда Ti = Γi ∈ P(Ω \ U˜ ). Из (П.124), (П.129) имеем сразу (j ∈ 1, m ) =⇒ (Ti ∩ Tj = ∅) . (Π.144) В (П.144) мы используем свойство разбиения (П.124). Если же j ∈ m + 1, m + n, то ψ(j) = j − m ∈ 1, n и, как следствие (см. (П.126), (П.129)) Tj = Λψ(j) ∈ P(U˜ ), а тогда Ti ∩ Tj = ∅. Стало быть, (j ∈ m + 1, m + n ) =⇒ (Ti ∩ Tj = ∅) .

(Π.145)

Из (П.127), (П.144) и (П.145) имеем непременно в рассматриваемом случае 1) равенство Ti ∩ Tj = ∅. Стало быть, (i ∈ 1, m ) =⇒ (Ti ∩ Tj = ∅) .

(Π.146)

Рассмотрим теперь следующий случай 2) i ∈ m + 1, m + n. Тогда ψ(i) = i − m ∈ 1, n и при этом (см. (П.126), (П.129)) Ti = Λψ(i) ∈ P(U˜ ). Тогда в силу (П.124) имеем Ti ∩ Γj = ∅ ∀j ∈ 1, m . Стало быть (см. (П.129)), Ti ∩ Tj = ∅ ∀j ∈ 1, m. Как следствие, получаем импликацию (j ∈ 1, m ) =⇒ (Ti ∩ Tj = ∅) . (Π.147) Отдельно рассмотрим случай j ∈ m + 1, m + n. В этом случае ψ(j) = j − m ∈ 1, n. Поскольку i 6= j, то ψ(i) = i − m 6= j − m = ψ(j) .

(Π.148)

При этом, согласно (П.129), Tj = Λψ(j) . Однако, из (П.126) и (П.148) вытекает, что Λψ(i) ∩ Λψ(j) = ∅. Стало быть, в рассматриваемом сейчас случае m + 1 ≤ j имеет место равенство Ti ∩ Tj = ∅. Итак, (j ∈ m + 1, m + n ) =⇒ (Ti ∩ Tj = ∅) . 185

Итак, из (П.147) мы, в случае 2), всегда имеем равенство Ti ∩ Tj = ∅. Стало быть, (i ∈ m + 1, m + n ) =⇒ (Ti ∩ Tj = ∅) . Из (П.143), (П.146) получаем теперь окончательное равенство Ti ∩ Tj = ∅ . Поскольку выбор i и j был произвольным, установлено, что Ti ∩ Tj = ∅ ∀i ∈ 1, m + n j ∈ 1, m + n \ {i} .

(Π.149)

Из (3.5), (П.138), (П.142) и (П.149) мы получаем важное свойство (Ti )i∈1,m+n ∈ ∆m+n (Ω \ (U˜ ∩ V˜ ), H) .

(Π.150)

Итак (см. (П.150)), мы установили, что ∃k ∈ N :

∆k (Ω \ (U˜ ∩ V˜ ), H) 6= ∅ .

Тогда в силу (П.102) получаем, что справедливо свойство Ω \ (U˜ ∩ V˜ ) ∈ B. По выбору U˜ и V˜ имеем из (3.2), (П.120), что U˜ ∩ V˜ ∈ B. С учетом (П.106) получаем теперь свойство U˜ ∩ V˜ ∈ C. Поскольку выбор U˜ и V˜ был произвольным, установлено, что A ∩ B ∈ C ∀A ∈ C ∀B ∈ C .

(Π.151)

Коль скоро (см. (П.102), (П.106)) C ∈ P 0 (P(Ω)), имеем из (3.2), (П.107) и (П.151) важное положение: C ∈ π[Ω] . (Π.152) Далее, из (П.106) непосредственно следует, что Ω \ C ∈ C ∀C ∈ C .

(Π.153)

В самом деле, пусть C ∈ C, т.е. C ∈ B и при этом Ω \ C ∈ B. Из (П.102) имеем теперь C ∈ P(Ω), а тогда Ω \ C ∈ P(Ω) обладает свойством Ω \ (Ω \ C) = C ∈ B . Поэтому множество Ω \ C ∈ B таково, что Ω \ (Ω \ C) ∈ B. Из (П.106) получаем свойство Ω \ C ∈ C. Поскольку выбор C был произвольным, (П.153) доказано. Из (П.152), (П.153) следует, что C ∈ π[Ω] : Ω \ C ∈ C ∀C ∈ C . 186

С учетом (3.9) получаем, что C ∈ (alg)[Ω], а из (3.18) и (П.108) имеем теперь включение C ∈ (alg)[Ω|H] . Из (3.19) получаем вложение A ⊂ C.

(Π.154)

Заметим, с другой стороны, что согласно (П.103) и (П.106) C ⊂ B ⊂ A. Учитывая (П.154) получаем цепочку равенств A = B = C, которая (в силу (3.20) и (П.102)) означает справедливость первого равенства в (3.20). Кроме того, из (П.102) имеем для семейства 4

D=

k [ n[ k∈N

Hi : (Hi )i∈1,k ∈ H

k

o

∈ P 0 (P(Ω))

(Π.155)

i=1

вложение B ⊂ D. Однако, в силу (3.15) получаем k [

Hi ∈ A ∀k ∈ N ∀(Hi )i∈1,k ∈ Hk .

i=1

С учетом (П.155) получаем, стало быть, вложение D ⊂ A, из которого по ранее доказанному следует, что A = D; (3.20) полностью доказано. 2 Кольца и σ-кольца. В заключении пособия совсем кратко коснемся двух понятий, часто используемых в общей теории меры; имеются в виду кольцо и σ-кольцо множеств (отметим также полезное понятие полукольца; см., в частности, [6,17,23]). На наш взгляд упомянутые понятия можно рассматривать двояко: кольцо (соответственно, σ-кольцо) “вообще” и кольцо п/м заданного множества. В первом случае мы действуем в духе таких построений ТМВ, как семейство, отношение, функция и т.п. Во втором — мы говорим о соответствующих семействах п/м заданного множества. Для определенности будем полагать, что таковым является Ω. Мы ограничиваемся сейчас конструкциями второго типа. Итак, мы вводим в рассмотрение кольца п/м Ω; см. [6, 17, 23]. Для этого, следуя традиции разделов 3 – 5, введем сразу множество всех колец п/м Ω: 4

(ri)[Ω] = {L ∈ P 0 (P(Ω)) | (A ∪ B ∈ L) & (A \ B ∈ L) ∀A ∈ L ∀B ∈ L)} . (Π.156) 187

Итак, элементы семейства (П.156) — кольца п/м Ω и только они. Из (П.156) следует, что ∅ ∈ L ∀L ∈ (ri)[Ω]. Мы предлагаем читателю проверить, что ∀L ∈ (ri)[Ω] ∀A ∈ L ∀B ∈ L A ∩ B ∈ L. Еще одно очевидное свойство: (alg)[Ω] = {L ∈ (ri)[Ω] | Ω ∈ L}. Иными словами, кольцо L п/м Ω есть алгебра (п/м Ω) т. и т.т., когда Ω ∈ L. Простой пример кольца п/м Ω доставляет семейство F in(Ω) ∪ {∅} всех конечных п/м Ω. Замечание П.10 . Совсем кратко коснемся нашей первой версии определения кольца, отметив, что в свойствах, определяющих кольцо п/м Ω, само множество Ω никоим образом не используется. В этой связи (см. ТМВ) полагаем, что ∀L (F am)[L 6= ∅] def ((RI)[L]) ⇐⇒ ((A ∪ B ∈ L) & (A \ B ∈ L) ∀A ∈ L ∀B ∈ L) .

(Π.157)

Выражение (RI)[H], где вместо H может, разумеется, использоваться ПБ, заменяет высказывание: H есть кольцо. Здесь уже речь идет о кольце “вообще”, без всякой привязки к какому-либо определенному множеству. Как и в соглашениях, принятых в ТМВ, мы полагаем, что выражения ∀L (RI)[L] , ∃L (RI)[L] , ∃L ! (RI)[L] заменяют соответственно высказывания: для всякого кольца L, существует кольцо L, существует единственное кольцо L. Из(П.156), (П.157) непосредственно следует, что ∀L (RI)[L] ³[ ´ L ⊂ Ω =⇒ (L ∈ (ri)[Ω]) . L∈L

В то же время имеем: (RI)[K] ∀K ∈ (ri)[Ω]. Два последних свойства наглядно характеризуют связь определений (П.156), (П.157). 2 Читателю предлагается самостоятельно проверить следующие простые свойства: ∀A ∈ P(Ω) ∀B ∈ P(Ω) (A∪(Ω\B) = Ω\(B \A)) & (A\(Ω\B) = A∩B) & ((Ω\A)\B = Ω\(A∪B)) . (Π.158) С учетом (П.158) нетрудно показать (см. обозначения в Добавлении), что [6, § 4] ∀L ∈ (ri)[Ω] L ∪ CΩ [L] ∈ (alg)[Ω] . 188

(Π.159)

В свою очередь, из (3.19) и (П.159) очевидным образом следует свойство a0Ω (L) = L ∪ CΩ [L] ∀L ∈ (ri)[Ω] .

(Π.160)

Напомним, что алгебра п/м Ω есть кольцо, содержащее Ω. Казалось бы, “перейти” от кольца к алгебре очень просто (т.к. “не хватает” только Ω). На самом же деле, данный “переход” не столь прост и соответствует процедуре (П.160). Обсудим понятие σ-кольца п/м Ω. В этой связи мы введем множество n o [ 4 N (σ − ri)[Ω] = L ∈ (ri)[Ω] | Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ L (Π.161) i∈N

всех таких σ-колец. Итак, про кольцо K ∈ (ri)[Ω] мы говорим, что K есть σ-кольцо (п/м Ω), если семейство K замкнуто относительно счетных объединений (что и отражено в (П.161)). Ясно, что n (σ − ri)[Ω] = L ∈ P 0 (P(Ω)) | (A \ B ∈ L ∀A ∈ L ∀B ∈ L) & &

³[

Li ∈ L ∀(Li )i∈N ∈ L

N

´o .

i∈N

Связь с понятием σ-алгебры п/м Ω также является очень простой: (σ − alg)[Ω] = {L ∈ (σ − ri)[Ω] | Ω ∈ L} ;

(Π.162)

из (П.162) следует, что σ-кольцо п/м Ω является σ-алгеброй (п/м Ω) т. и т.т., когда Ω ∈ L. Предложение П.10 . Если L ∈ (σ − ri)[Ω] и (Li )i∈N : N −→ L, то \ Li ∈ L . i∈N

Доказательство. Фиксируем L ∈ (σ − ri)[Ω] и последовательность (3.30). Тогда, в частности, L ∈ (ri)[Ω] (см. (П.161)). Поэтому L замкнуто относительно пересечений и, как следствие, 4

Λi = L1 ∩ Li ∈ L ∀i ∈ N . Разумеется, из (П.163) следует равенство \ \ Λi = Li . i∈N

i∈N

189

(Π.163)

(Π.164)

Если j ∈ N , то в силу (П.163) имеем равенство (см. ТМВ) Λj = L1 \ (L1 \ Λj ) . В итоге из (П.164) мы получаем с использованием конструкции, аналогичной (3.12), что ´ ³[ ´ \³ \ Li = L1 \ (L1 \ Λi ) = L1 \ (L1 \ Λi ) . (Π.165) i∈N

i∈N

i∈N

При каждом j ∈ N имеем из (П.156), что L1 \ Λj ∈ L. Как следствие (см. (П.161)), ´ [³ L 1 \ Λi ∈ L . (Π.166) i∈N

Снова учитываем (П.156); именно, поскольку L1 ∈ L и выполнено (П.166), то ³[ ´ L1 \ (L1 \ Λi ) ∈ L , i∈N

T

что, в силу (П.165), означает: i∈N Li ∈ L. 2 Из (П.161) и предложения П.10 вытекают, как следствия, свойства: если L ∈ (σ − ri)[Ω] и C ∈ (count)[L], то ³[ ´ ³\ ´ L∈L & L∈L . (Π.167) L∈C

L∈C

С учетом (П.167) устанавливается следующее положение, подобное (П.159). Предложение П.20 . Если L ∈ (σ − ri)[Ω], то L ∪ CΩ [L] ∈ (σ − alg)[Ω]. Данное предложение рекомендуется читателю для выполнения самостоятельного доказательства, т.е. в качестве упражнения. Следствие П.10 . Если L ∈ (σ − ri)[Ω] то σΩ0 (L) = L ∪ CΩ [L]. Доказательство непосредственно вытекает из предложения П.20 . Итак, построение σ-алгебры п/м Ω, порожденной σ-кольцом, сводится к очень простой процедуре, подобной в логическом отношении (П.160). Отметим простейший пример σ-кольца п/м Ω: ω[Ω] ∈ (σ − ri)[Ω] .

(Π.168)

Читателю рекомендуется проверить последнее утверждение, используя свойства не более, чем счетных, множеств в заключительной части раздела 2. Кроме того, полезно сравнить для случая (П.168) следствие П.10 и равенство (3.65). Более того, читателю целесообразно попытаться истолковать 190

(3.65) как вариант применения следствия П.10 . Отметим, что для случая σ-колец также могут быть реализованы представления, подобные (П.157); они соответствуют рассмотрению σ-кольца как структуры, не связанной с фиксацией какой-либо “единицы” (т.е. множества, содержащего множества из σ-кольца в качестве своих п/м). Мы опускаем эти очевидные (в свете замечания П.10 ) представления и их связь с (П.161). Мы рекомендуем заинтересованному читателю познакомиться со свойствами полуколец, колец и σ-колец, изложенными в [6, 17, 23]. Отметим, например, возможность конструктивного построения наименьшего кольца, содержащего полукольцо, что в логическом отношении подобно (3.20), где мы рассматривали представление алгебры п/м Ω, порожденной произвольной полуалгеброй из Π[Ω].

191

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[1] Куратовский К. Теория множеств/K.Куратовский, A.Мостовский. М.: Мир, 1970. 416 c. [2] Дьедонне Ж. Основы современного анализа/ Ж.Дьедонне. М.: Мир, 1964. 430 с. [3] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/A.H.Колмогоров, C.B.Фомин. М.: Наука, 1976. 543 c. [4] Неве Ж. Математические основы теории вероятностей/ Ж. Неве. М.: Мир, 1969. 309 с. [5] Бернштейн С.Н. Собрание сочинений/С.Н.Бернштейн. T.IV. М.: Наука, 1964. 576 c. [6] Халмош П. Теория меры/ П.Халмош. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 291 с. [7] Данфорд Н. Линейные операторы.Общая теория/ Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.895 с. [8] Ширяев А.Н. Вероятность/ А.Н.Ширяев. М.: Наука, 1989. 640 c. [9] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер/ П.Биллингсли. М.: Наука, 1977. 351 с. [10] Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач/ А.Г.Ченцов. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с. [11] Келли Дж.Л. Общая топология/ Дж.Л.Келли. М.: Наука, 1981. 433 c. [12] Ченцов А.Г. Приложения теории меры к задачам управления/ А.Г.Ченцов. Cвердловск: Средн.-Урал.кн.из-во, 1985. 128 c. [13] Chentsov A.G. Extensions and relaxations/ A.G.Chentsov and S.I.Morina. Dordrecht - Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2002. 408 p. [14] Christensen J.P.R. Finitely additive measure defined on sigma-field is automatically countably additive/ J.P.R.Christensen. Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 2001. II P. 509 – 511. 192

[15] Semadeni Z. Banach Spaces of Continuous Functions/ Z.Semadeni. PWN, Warszawa, 1971. 411 p. [16] Окстоби Дж. Мера и категория/ Дж.Окстоби. М.: Мир, 1974. 158 c. [17] Богачев В.И. Основы теории меры/ В.И.Богачев. Москва – Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003. Т.1. 544 c. [18] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры/ Н.Бурбаки. М.: Наука, 1968. 272 с. [19] Энгелькинг Р. Общая топология/ Р.Энгелькинг. М.: Мир, 1986. 751 с. [20] Александрян Р.А. Общая топология/ Р.А.Александрян, Э.А.Мирзаханян. М.: Высшая школа,1979. 336 с. [21] Ауман Р. Значения для неатомических игр/ Р.Ауман, Л.Шепли. М.: Мир, 1977. 355 с. [22] Эдвардс Р. Функциональный анализ/ Р.Эдвардс. М.: Мир, 1969. 1071 с. [23] Дерр В.Я. Теория меры и интеграл Лебега/ В.Я.Дерр. Ижевск: Удмуртский госуниверситет, 2004. 201 с.

193

Множества, события, вероятность (Основные структуры)

Recommend Documents