Гладкость полупотоков для дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 40–55 УДК 517.929

ГЛАДКОСТЬ ПОЛУПОТОКОВ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ c 2003 г.

Х.–О. ВАЛЬТЕР

АННОТАЦИЯ. Дифференциальные уравнения с запаздыванием, зависящим от решения, часто записываются в виде x(t) ˙ = f (xt ), где f — непрерывно дифференцируемое отображение, действующее из открытого подмножества пространства C 1 = C 1 ([−h, 0], Rn ), h > 0, в Rn . В предыдущей статье было доказа˙ но, что при двух слабых дополнительных условиях множество X = {φ ∈ U : φ(0) = f (φ)} есть непрерывно дифференцируемое подмногообразие в C 1 коразмерности n, на котором решения задают непрерывный полупоток F с непрерывно дифференцируемыми операторами решения Ft = F (t, ·), t > 0. В данной работе будет показано, что при несколько более сильных предположениях полупоток F непрерывно дифференцируем на подмножестве своей области определения, задаваемом неравенством t > h. Отсюда среди прочего можно получить обратные отображения Пуанкаре на секущих периодических орбит. Все наши предположения выполняются для примера, основанного на законе Ньютона и моделирующего систему автоматического эхо-позиционирования.

СОДЕРЖАНИЕ

1. 2. 3. 4. 5.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вариационное уравнение для непрерывных начальных данных Карты многообразия и производные по начальным данным . . . Производная по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

40 43 49 51 53 55

ВВЕДЕНИЕ

Пусть h > 0, n ∈ N. Зафиксируем норму | · | на Rn . Рассмотрим дифференциальное уравнение с запаздыванием x(t) ˙ = g(x(t − r)), r = r(xt ), где g — Rn -значное отображение, заданное на некотором подмножестве в Rn , r — функционал, выражающий при каждом t зависимость запаздывания от функции xt : [−h, 0] 3 a 7→ x(t + a) ∈ Rn , т. е. от значений решения x на отрезке s ∈ [t−h, t]. В терминах функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием данное уравнение можно записать в виде (1)

x(t) ˙ = f (xt ), где функционал f задается формулой f (φ) = g(φ(−r(φ))) на множестве U отображений φ : [−h, 0] → Rn . В случае, когда U — открытое подмножество в пространстве C = C([−h, 0], Rn ) с нормой kφk = max |φ(a)| для −h6a60

φ ∈ C, c

2003 МАИ

40

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

41

которая известна из теории функционально-дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, непрерывная дифференцируемость r и g недостаточна для непрерывной дифференцируемости f . Поэтому основные стандартные результаты о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров (см., например, [2, 3]) в данном случае неверны. В случае, когда U — открытое подмножество в более узком пространстве C 1 = C 1 ([−h, 0], Rn ) с нормой ˙ kφk1 = kφk + kφk для

φ ∈ C 1,

отсутствие гладкости f уже не вызывает затруднений, но начальная задача x(t) ˙ = f (xt ),

x0 = φ,

(2)

вообще говоря, не является корректной при всех φ ∈ U (см. [9, введение]). Поиск начальных значений, порождающих решения, для которых xt ∈ U , приводит к рассмотрению множества ˙ X = Xf = {φ ∈ U : φ(0) = f (φ)}. В [9] показано, что для непрерывно дифференцируемого отображения f : U → Rn , где U ⊂ C 1 открыто, обладающего тем свойством, что (P1) каждая производная Df (φ), φ ∈ U , продолжается до непрерывного линейного отображения De f (φ) : C → Rn , множество X ⊂ U (если оно непусто) есть непрерывно дифференцируемое подмногообразие в C 1 коразмерности n. Для справедливости основного результата в [9] дополнительно к (P1) требуется следующее локальное липшицево условие относительно k · k: (P2) для каждой φ ∈ U существуют открытая окрестность V ⊂ U и число L > 0, такие, что для всех ψ, χ из V выполняется неравенство |f (ψ) − f (χ)| 6 Lkψ − χk. Теорема 1 (см. [9]). Предположим, что отображение f : U → Rn (U ⊂ C 1 открыто) непрерывно дифференцируемо, Xf 6= ∅ и выполняются условия (P1), (P2). Тогда максимальные решения xφ : [−h, te (φ)) → Rn начальной задачи (2) с φ ∈ Xf определяют непрерывный полупоток F : Ω 3 (t, φ) 7→ xφt ∈ Xf на открытом подмножестве  Ω = (t, φ) ∈ [0, ∞) × Xf : t < te (φ) множества [0, ∞) × Xf . Все отображения  Ft : φ ∈ Xf : t < te (φ) 3 φ 7→ F (t, φ) ∈ Xf , 0 6 t, заданные на непустых областях, непрерывно дифференцируемы. При всех (t, φ) ∈ Ω и χ ∈ Tφ Xf выполняется DFt (φ)χ = vt с непрерывно дифференцируемой функцией v : [−h, te (φ)) → Rn , удовлетворяющей линейному вариационному уравнению v(t) ˙ = Df (F (t, φ))vt = Df (xφt )vt при 0 < t < te (φ) и v0 = χ.

(3)

42

Х.–О. ВАЛЬТЕР

Напомним (см. [9]), что решение уравнения (1) есть непрерывно дифференцируемое отображение x : [t0 −h, tx ) → Rn , t0 < tx 6 ∞, такое, что все xt , 0 6 t < tx , принадлежат U и при t0 < t < tx выполняется (1). Согласно (1) имеем xt ∈ Xf

для всех t ∈ (0, tx ).

Это соотношение выполняется также при t = 0, так как из равномерной непрерывности x и x˙ на компактных отрезках вытекает непрерывность кривой [0, tx ) 3 t 7→ xt ∈ U ⊂ C 1 , следовательно, x(0) ˙ = lim x(t) ˙ = lim f (xt ) = f (x0 ). Максимальное решение x начальной зада0
0
чи (2) определяется тем свойством, что любое решение той же начальной задачи есть сужение x. Теорема 1 позволяет исследовать вопрос линеаризации дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения, о чем уже отмечалось в предыдущих работах (см., в частности, [1]). Среди прочего это позволяет изучить непрерывную дифференцируемость локальных инвариантных многообразий отображений Ft в стационарных точках полупотока и множители Флоке периодических орбит. Для того чтобы получить непрерывную дифференцируемость не только для отображений Ft , но и для полупотока F , нам понадобится несколько более сильное предположение относительно непрерывной дифференцируемости отображения f : U → Rn (U ⊂ C 1 открыто). Дополнительно к (P1) потребуем, чтобы (P3) отображение U × C 3 (φ, χ) 7→ De f (φ)χ ∈ Rn было непрерывным. Заметим, что в условии (P3) не требуется, чтобы отображение De f из U в банахово пространство Lc (C, Rn ) линейных непрерывных отображений C → Rn было непрерывным. Последнее условие нарушается в ряде типичных примеров дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения. Условие (P3) является специальным случаем предположений, которые вводились и обсуждались в работе [4], посвященной неустойчивым многообразиям. (Ср. также с понятием почти дифференцируемости по Фреше [7].) Следствие 1. Если f : U → Rn (U ⊂ C 1 открыто) непрерывно дифференцируемо и обладает свойствами (P1) и (P3), то каждое компактное подмножество K ⊂ U имеет такую окрестность N ⊂ U , на которой De f : U → Lc (C, Rn ) ограничено и f обладает свойством (P2). Доказательство. Согласно (P3) компактное множество K ×{0} ⊂ U ×C можно покрыть конечным набором множеств  Nj × χ ∈ C : kχk < εj , Nj ⊂ U открыты, εj > 0, такими, что |De f (φ)χ| < 1 на каждом из этих множеств. Для ε = min εj j S −1 и φ ∈ N = Nj выполняется неравенство kDe f (φ)k 6 ε . j

Следовательно, каждое φ ∈ U имеет выпуклую окрестность V ⊂ U , на которой De f ограничено некоторой константой L > 0. Для ψ, χ из V имеем Z1 Z1 |f (ψ) − f (χ)| = Df (χ + s(ψ − χ))(ψ − χ)ds = De f (χ + s(ψ − χ))(ψ − χ)ds 6 0

0

Z1 6

De f (χ + s(ψ − χ))(ψ − χ) ds 6 Lkψ − χk,

0

что совпадает со свойством (P2). В настоящей статье будет доказан следующий результат. Теорема 2. Предположим, что f : U → Rn (U ⊂ C 1 открыто) непрерывно дифференцируемо и обладает свойствами (P1), (P3) и Xf 6= ∅. Тогда сужение F на открытое подмножество {(t, φ) ∈ Ω : h < t} в C 1 -многообразии R × Xf непрерывно дифференцируемо.

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

43

Подчеркнем, что теорема 2 нужна для существования обратного отображения Пуанкаре на секущих периодических орбит. Доказательство теоремы 2 будет дано в разделах 2–4. Мы используем (P3) для того, чтобы показать, что начальная задача v(t) ˙ = De f (F (t, φ)vt ,

v0 = χ ∈ C

(4)

имеет определяемые единственным образом максимальные решения и что решения удовлетворяют такой же оценке на рост, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Утверждение о корректности этой начальной задачи не содержится в теореме 1 и не вытекает из стандартных результатов о линейных функционально-дифференциальных уравнениях с запаздыванием, как в [2,3]. Оценки на рост будут использованы для того, чтобы показать, что отображения D2 (F ◦K), где K — отображение, обратное к соответствующей карте многообразия, непрерывны. В разделе 5 рассмотрим пример из работы [9] и проверим условие (P3). Близкие исследования нелинейных полугрупп для дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения, можно найти в [6]. Обозначения, предварительные сведения. Пусть B — вещественное банахово пространство. Открытый шар в B радиуса r > 0 с центром в точке 0 будем обозначать через Br . Замыкание множества M ⊂ B обозначим через cl M . Пусть E — еще одно вещественное банахово пространство. Тогда через Lc (B, E) обозначим банахово пространство линейных непрерывных отображений B → E со стандартной нормой. Для всякого отображения m : B → E положим Lip(m) = sup y6=x

km(y) − m(x)k 6 ∞. ky − xk

Заметим, что для непрерывного отображения m : M → E, M ⊂ B, и компактного подмножества K ⊂ M имеет место равномерная непрерывность на K в следующем смысле. Для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что для всех x ∈ K и всех y ∈ M , ky − xk < δ, выполняется неравенство km(y) − m(x)k < ε. Сведения о дифференцируемых подмногообразиях банаховых пространств можно найти в [5]. Пусть задано отображение L : I → Lc (C, Rn ), где I ⊂ R — некоторый интервал. Решение уравнения v(t) ˙ = Lvt есть такая непрерывная функция v : [s−h, se ) → Rn , s < se и [s, se ) ⊂ I, которая дифференцируема и удовлетворяет последнему уравнению при s < t < se . 2.

ВАРИАЦИОННОЕ

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В данном разделе будем считать выполненными предположения теоремы 2. Пусть X = Xf . Предложение 1 (локальное существование). Пусть φ ∈ X, x = xφ , te = te (φ). Пусть также t0 ∈ [0, te ), χ ∈ C. Тогда существует t1 ∈ (t0 , te ) и решение v : [t0 − h, t1 ) → Rn уравнения (5)

v(t) ˙ = De f (xt )vt , такое, что vt0 = χ.

Доказательство. 1. Пусть u ∈ (t0 , te ). Обозначим через Cu банахово пространство непрерывных функций v : [t0 − h, u] → Rn с нормой kvk = max |v(t)|. Подмножество A = A(χ, u) всех v ∈ Cu , t0 −h6t6u

для которых vt0 = χ, замкнуто. Для заданного v ∈ A определим функцию w : [t0 − h, u] → Rn Zt по следующей формуле: w(t) = χ(t − t0 ) на [t0 − h, t0 ] и w(t) = χ(0) + De f (xs )vs ds на (t0 , u]. t0

Покажем, что w непрерывно. В силу (P3) и непрерывности v отображение [t0 , u] 3 s 7→ De f (xs )vs ∈ Rn

44

Х.–О. ВАЛЬТЕР

непрерывно. Далее, непрерывность в точках интервала (t0 , u] и непрерывность справа в точке t0 следуют из того, что Zt |w(t) − w(r)| = De f (xs )vs ds 6 |t − r| max |De f (xs )vs | r6s6t r

для t0 6 r < t 6 u. 2. Уравнение Kv = w задает отображение K = K(χ, u) из A(χ, u) в A(χ, u). Зафиксируем u0 ∈ [t0 , te ). В силу следствия 1 c=

sup kDe f (xs )k < ∞. t0 6s6u0

Для всех u ∈ (t0 , u0 ), v ∈ A(χ, u), v¯ ∈ A(χ, u) и t ∈ [t0 , u] видим, что w = K(χ, u)(v) и w ¯ = K(χ, u)¯ v удовлетворяют оценке Zt |w(t) − w(t)| ¯ = De f (xs )(vs − v¯s )ds 6 c|t − t0 |kv − v¯k. t0

Используя соотношения wt0 = χ = w ¯t0 , получаем kw − wk ¯ =

max

t0 −h6t6u

|w(t) − w(t)| ¯ = max |w(t) − w(t)| ¯ 6 c |u − t0 | kv − v¯k. t0 6t6u

Для достаточно малых u ∈ (t0 , u0 ] имеем c |u − t0 | < 1. Таким образом, отображение K(χ, u) сжимающее. Для t0 < t1 < u сужение неподвижной точки отображения K(χ, u) на [t0 − h, t1 ) и есть нужное нам решение. Предложение 2 (единственность). Пусть φ ∈ X, x = xφ , te = te (φ). Пусть t0 ∈ [0, te ), χ ∈ C, t0 < t1 6 te . Тогда существует не более одного решения v : [t0 − h, t1 ) → Rn уравнения (5), такого, что vt0 = χ. Доказательство. Пусть v : [t0 − h, t1 ) → Rn и v¯ : [t0 − h, t1 ) → Rn — решения уравнения (5), такие, что vt0 = χ = v¯t0 и v(t) 6= v¯(t) при некотором t ∈ (t0 , t1 ). Тогда существуют ta ∈ [t0 , t1 ), такое, что v(s) = v¯(s) на [t0 − h, ta ], и последовательность точек sj ∈ (ta , t1 ), j ∈ N, такая, что lim sj = ta и v(sj ) 6= v¯(sj ) для всех j ∈ N. Выберем δ > 0, такое, что ta + δ < t1 . Следствие 1 j→∞

гарантирует существование константы c > 0, такой, что kDe f (xt )k 6 c для ta 6 t 6 ta + δ. Для указанных t имеем Zt |v(t) − v¯(t)| = De f (xs )(vs − v¯s )ds 6 |t − ta | c max kvs − v¯s k = ta 6s6t ta

= |t − ta | c max |v(s) − v¯(s)| (напомним, что v = v¯ на [ta − h, ta ]). ta 6s6t

Для t ∈ (ta , ta + δ), таких, что |t − ta | c < 1, и для ta 6 u 6 t получаем |v(u) − v¯(u)| 6 |u − ta | c max |v(s) − v¯(s)| 6 |t − ta | c max |v(s) − v¯(s)|, ta 6s6u

ta 6s6t

следовательно, max |v(s) − v¯(s)| 6 |t − ta | c max |v(s) − v¯(s)|.

ta 6s6t

ta 6s6t

Последнее противоречит свойству последовательности (sj )j∈N . Пусть φ ∈ X, x = xφ . Рассмотрим случай, когда t0 = 0 в предложениях 1 и 2. Для χ ∈ C определим te (φ, χ) как  sup t ∈ (0, te (φ)) : существует решение v : [−h, t) → Rn начальной задачи (4) 6 te (φ) 6 ∞. Равенства v φ,χ (t) = v(t) для t ∈ [0, te (φ, χ)), где v : [−h, t1 ) → Rn — решения начальной задачи (4) при t < t1 , определяют решения v φ,χ : [−h, te (φ, χ)) → Rn начальной задачи (4). Предложение 3. Для всех φ ∈ X и χ ∈ C имеем te (φ, χ) = te (φ).

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

45

Доказательство. 1. Пусть x = xφ , te = te (φ), ta = te (φ, χ), v = v φ,χ . Предположим, что ta < te . Покажем, что функция v имеет предел в точке ta . Выберем u ∈ (ta , te ). Из следствия 1 вытекает, что c = sup kDe f (xt )k < ∞. Для 0 6 t < ta выполняется неравенство 06t6u

Zt |v(t)| 6 |χ(0)| + c

kvs kds. 0

Для указанных t и для b ∈ [−h, 0], таких, что t + b < 0, имеем |v(t + b)| 6 kχk. Для указанных t и для b ∈ [−h, 0], таких, что t + b > 0, имеем Zt Zt+b kvs kds 6 kχk + c kvs kds. |v(t + b)| 6 |χ(0)| + c 0

0

Таким образом, Zt kvt k 6 kχk + c

kvs kds при 0 6 t < ta . 0

Согласно лемме Гронуолла kvt k 6 kχkect Из дифференциального уравнения следует, что

на [0, ta ).

|v(t)| ˙ 6 ckχkecu на [0, ta ). Таким образом, сужение v [0, ta ) липшицево. Следовательно, v имеет предел w ∈ Rn в точке ta . 2. Из предложения 1 вытекает, что уравнение (5) имеет решение v¯ : [ta − h, t¯) → Rn , ta < t¯ 6 te , такое, что v¯ta (0) = w и v¯ta (b) = v(ta + b) при −h 6 b < 0. Функция v˜ : [−h, t¯) → Rn , заданная равенством v˜(t) = v(t) на [−h, ta ) и равенством v˜(t) = v¯(t) на [ta , t¯), непрерывна и удовлетворяет следующим соотношениям: v˜t = vt на [0, ta ) и v˜t = v¯t на [ta , t¯). Используя (P3), делаем вывод, что отображение [0, t¯) 3 s 7→ De f (xs )˜ vs ∈ Rn непрерывно. Имеем ta − 1j



1 w = lim v ta − j→∞ j



!

Z = lim

j→∞

χ(0) +

De f (xs )vs ds

=

0 ta − 1j

= lim

j→∞

De f (xs )˜ vs ds

χ(0) +

Zta

!

Z

= χ(0) +

0

De f (xs )˜ vs ds. 0

Для ta 6 t < t¯ из предыдущих равенств получаем Zt v˜(t) = v¯(t) = w +

Zt De f (xs )¯ vs ds = w +

ta

ta

Zta = χ(0) +

De f (xs )˜ vs ds =

Zt De f (xs )˜ vs ds +

Zt De f (xs )˜ vs ds = χ(0) +

ta

0

De f (xs )˜ vs ds. 0

Поскольку v˜(t) = v(t) на [0, ta ), то Zt v˜(t) = χ(0) +

De f (xs )˜ vs ds

на [0, ta ).

0

Следовательно, v˜ есть решение начальной задачи (4) на интервале, в который [−h, ta ) вкладывается строго, что противоречит определению ta = te (φ, χ). Объединим предыдущие результаты в следующее утверждение.

46

Х.–О. ВАЛЬТЕР

Следствие 2. Пусть φ ∈ X, χ ∈ C. Любое решение v : [−h, t) → Rn начальной задачи (4) есть сужение v φ,χ . Получим оценки на рост решений. Предложение 4. Пусть φ ∈ X, 0 6 t < te (φ). Тогда найдется константа c1 = c1 (φ, t) > 0, такая, что для каждого χ ∈ C решение v = v φ,χ удовлетворяет неравенству kvs k 6 kχkec1 s

для всех

s ∈ [0, t].

В случае h < t < te (φ) имеем kvs k1 6 kχkc1 ec1 s

для всех

s ∈ (h, t].

Доказательство. Из следствия 1 вытекает, что c = sup kDe f (xφs )k < ∞. 06s6t

Zs Следовательно, |v(s)| 6 |v(0)| + c

kvs kds для 0 6 s 6 t. Для указанных s и для −h 6 a 6 0 0

имеем

max{s+a,0} Z

|v(s + a)| 6 kv0 k + c

Zs

kvu kdu 6 kv0 k + c 0

kvu kdu. 0

Таким образом, Zs kvu kdu на [0, t],

kvs k 6 kv0 k + c 0

и по лемме Гронуолла kvs k 6 kv0 kecs = kχkecs на [0, t]. В случае h < t и h < s 6 t получаем kv˙ s k = max |v(s ˙ + a)| = max |De f (xφs+a )vs+a | 6 ckχkecs . −h6a60

−h6a60

Теперь утверждение данного предложение очевидно. Предложение 5. Пусть φ ∈ X, 0 6 t < te (φ). Тогда найдется константа c2 = c2 (φ, t) > 0 и окрестность N элемента φ из X, такие, что для каждого ψ ∈ N имеем t < te (ψ) и для всех χ ∈ Tψ X и s ∈ [0, t] выполняется неравенство kvsψ,χ k1 6 kχk1 c2 ec2 s . Доказательство Из следствия 1 вытекает существование окрестности V компактного множества  φ xs : 0 6 s 6 t в U и постоянной c > 0, таких, что kDe f (ψ)k 6 c на V . Из соображений компактности, из открытости Ω и непрерывности F следует существование окрестности N элемента φ в X, такой, что для каждого ψ ∈ N имеем t < te (ψ) и xψ s = F (s, ψ) ∈ V на [0, t]. Пусть ψ ∈ N, χ ∈ Tψ X, s ∈ [0, t]. Как и в доказательстве предложения 4, kvsψ,χ k 6 kv0ψ,χ kecs = kχkecs . Для a ∈ [−h, 0], таких, что 0 < s + a, из уравнения (5) получаем ψ,χ |v˙ ψ,χ (s + a)| 6 ckvs+a k 6 ckχkecs .

Поскольку χ ∈ Tψ X, то согласно теореме 1 существует решение начальной задачи (4), где следует φ заменить на ψ. Данное решение непрерывно дифференцируемо на [−h, te (ψ)). Применяя следствие 2, делаем вывод, что v ψ,χ непрерывно дифференцируемо. Таким образом, |v˙ ψ,χ (s + a)| 6 kχk ˙ для a ∈ [−h, 0], таких, что − h 6 s + a 6 0. Из предыдущих оценок окончательно получаем kvsψ,χ k1 6 (c + 2)kχk1 ecs .

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

47

Предложение 6. Пусть φ ∈ X, h < t < te (φ). Тогда найдется константа c3 = c3 (φ, t) > 0, такая, что для каждого χ ∈ Tφ X и для h < u < s 6 t имеет место неравенство 

φ,χ



vs − vuφ,χ 6 c3 kχk |s − u| + max Df (xφ ) − Df (xφ ) . s+a u+a 1 −h6a60

Доказательство. 1. Пусть χ ∈ Tφ X, x = xφ , v = v φ,χ , h < t < te (φ). Оценим норму разности kvs − vu k при 0 6 u < s 6 t. Так же как в доказательстве предложения 5, получаем, что функция v : [−h, te (φ)) → Rn непрерывно дифференцируема. В силу следствия 1 c = sup kDe f (xs )k < ∞. 06s6t

Из предложения 4 вытекает существование константы c1 = c1 (φ, t) > 0, такой, что kvs k 6 kχkec1 t для 0 6 s 6 t. Для 0 6 u < s 6 t и для −h 6 a 6 0 имеем Z s+a v(r)dr ˙ |vs (a) − vu (a)| = |v(s + a) − v(u + a)| = . u+a

В случае если −h 6 r 6 0, имеем |v(r)| ˙ = |χ(r)| ˙ 6 kχk1 . При 0 < r 6 t получаем |v(r)| ˙ = |De f (xr )vr | 6 ckvr k 6 ckχkec1 t . Следовательно, для 0 6 u < s 6 t выполняется оценка kvs − vu k 6 kχk1 |s − u|(1 + c ec1 t ). 2. Далее, рассмотрим kv˙ s − v˙ u k при h < u < s 6 t. Для каждого a ∈ [−h, 0] имеем |v˙ s (a) − v˙ u (a)| = |v(s ˙ + a) − v(u ˙ + a)| = |De f (xs+a )vs+a − De f (xu+a )vu+a | 6 6 |(De f (xs+a ) − De f (xu+a ))vs+a | + |De f (xu+a )(vs+a − vu+a )|. Поскольку vs+a ∈ C 1 , последняя сумма равна |(Df (xs+a ) − Df (xu+a ))vs+a | + |De f (xu+a )(vs+a − vu+a )| 6 6 kDf (xs+a ) − Df (xu+a )kkvs+a k1 + ckvs+a − vu+a k. Из предложения 5 вытекает существование константы c2 = c2 (φ, t) > 0, такой, что kvs+a k1 6 c2 kχk1 ec2 t . Используя эту оценку и результат части 1 доказательства, получаем, что последняя сумма оценивается сверху через kDf (xs+a ) − Df (xu+a )kc2 kχk1 ec2 t + ckχk1 |s − u|(1 + c ec1 t ). Следовательно, для h < u < s 6 t имеем  kvs − vu k1 = kvs − vu k + kv˙ s − v˙ u k 6 kχk1 |s − u|(1 + c ec1 t )+  + max kDf (xs+a ) − Df (xu+a )kc2 ec2 t + c|s − u|(1 + c ec1 t ) . −h6a60

Полагая c3 = c2 ec2 t + (1 + c)(1 + c ec1 t ), завершаем доказательство. Предложение 7. Пусть φ ∈ X, h < t < te (φ). Существуют окрестность N элемента φ в X и константа c4 = c4 (φ, t) > 0, такие, что для каждого ψ ∈ N имеем t < te (ψ), для всех χ ∈ Tψ X и s ∈ (h, t] vsψ,χ − vsφ,χ ∈ C 1 и выполняется оценка φ kvsψ,χ − vsφ,χ k1 6 c4 ec4 t max kDf (xψ u ) − Df (xu )kkχk1 . 06u6t

48

Х.–О. ВАЛЬТЕР

Доказательство. 1. Рассмотрим c2 = c2 (φ, t) и N из предложения 5 и выберем c как в доказательстве предложения 4. Пусть ψ ∈ N, χ ∈ Tψ X. Оценим kvsψ,χ − vsφ,χ k, 0 6 s 6 t. Так же как в доказательстве предложения 5, получаем, что v ψ,χ : [−h, te (ψ)) → Rn непрерывно дифференцируема. Для s ∈ [0, t] и a ∈ [−h, 0], таких, что s + a 6 0, имеем v ψ,χ (s + a) − v φ,χ (s + a) = 0. Если 0 < s + a, то Z s+a |v ψ,χ (s + a) − v φ,χ (s + a)| = (v˙ ψ,χ (r) − v˙ φ,χ (r))dr = 0

Z s+a ψ,χ φ φ,χ (De f (xψ )v − D f (x )v )dr = = e r r r r 0

Z s+a
ψ φ ψ,χ φ ψ,χ φ,χ (De f (xr ) − De f (xr ))vr + De f (xr )(vr − vr ) dr = = 0

Z s+a
ψ φ ψ,χ φ ψ,χ φ,χ (Df (xr ) − Df (xr ))vr + De f (xr )(vr − vr ) dr 6 = 0

(здесь мы пользуемся тем, что vrψ,χ ∈ C 1 для 0 6 r 6 s + a) 6

s+a Z φ ψ,χ max kDf (xψ kvrψ,χ − vrφ,χ kdr 6 r ) − Df (xr )k max kvr k1 + c

06r6s+a

06r6s+a

0 s+a Z ψ φ c2 (s+a) 6 max kDf (xr ) − Df (xr )kkχk1 c2 e +c kvrψ,χ − vrφ,χ kdr 06r6t

0

(см. предложение 5). Следовательно, для 0 6 s 6 t выполняется оценка Zs ψ,χ φ,χ ψ φ c2 t kvs − vs k 6 max kDf (xr ) − Df (xr )kkχk1 c2 e + c kvrψ,χ − vrφ,χ kdr, 06r6t

0

и из леммы Гронуолла получаем φ c2 t cs kvsψ,χ − vsφ,χ k 6 max kDf (xψ r ) − Df (xr )kkχk1 c2 e e 06r6t

для 0 6 s 6 t.

2. Для s ∈ [0, t] и a ∈ [−h, 0], таких, что 0 < s + a, имеем ψ,χ φ φ,χ |v˙ ψ,χ (s + a) − v˙ φ,χ (s + a)| = |De f (xψ s+a )vs+a − De f (xs+a )vs+a | = φ ψ,χ φ ψ,χ φ,χ = |(De f (xψ s+a ) − De f (xs+a ))vs+a + De f (xs+a )(vs+a − vs+a )| 6 ψ,χ ψ,χ φ,χ φ 6 max kDf (xψ r ) − Df (xr )k kvs+a k1 + ckvs+a − vs+a k 6 06r6t

(ср. с частью 1 доказательства) ψ,χ φ,χ φ c2 (s+a) 6 max kDf (xψ + ckvs+a − vs+a k r ) − Df (xr )k kχk1 c2 e 06r6t

(предложение 5). В случае если h < s 6 t, имеем vsψ,χ − vsφ,χ ∈ C 1 . Используя результат, доказанный в части 1, заключаем, что для h < s 6 t справедлива оценка   φ c2 t kv˙ sψ,χ − v˙ sφ,χ k 6 max kDf (xψ + c c2 e(c2 +c)t . r ) − Df (xr )k kχk1 c2 e 06r6t

Используя повторно результат, доказанный в части 1, приходим к неравенству   φ (c2 +c)t c2 t (c2 +c)t kvsψ,χ − vsφ,χ k1 6 max kDf (xψ ) − Df (x )k kχk c e + c e + c c e 1 2 2 2 r r 06r6t

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

49

для h < s 6 t, ψ ∈ N , χ ∈ Tψ X. 3.

КАРТЫ

МНОГООБРАЗИЯ И ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Начнем данный раздел с доказательства теоремы 2. Пусть отображение f : U → Rn (U ⊂ C 1 открыто) непрерывно дифференцируемо и пусть выполнены предположения теоремы 2. Положим X = Xf и рассмотрим полупоток F : Ω → X из теоремы 1. Мы должны показать, что в каждой точке (t, φ) ∈ Ω, где h < t, существует карта C 1 -многообразия R × X с областью определения, содержащейся в открытом подмножестве Ω∩((0, ∞)×X), такая, что обратное отображение K обладает следующим свойством: F ◦ K непрерывно дифференцируемо. Нам будет удобно работать со специальными картами, которые мы сейчас опишем. Пусть φ ∈ X. Существуют открытая окрестность V элемента φ в X, подпространство Q (дополнение Tφ X в C 1 размерности n), ε > 0 и непрерывно дифференцируемое отображение κ : (Tφ X)ε → Q, такие, что κ(0) = 0, Dκ(0) = 0 и X ∩ V = φ + {χ + κ(χ) : χ ∈ (Tφ X)ε }. Отображение, обратное к непрерывно дифференцируемому инъективному отображению k : (Tφ X)ε 3 χ 7→ φ + χ + κ(χ) ∈ C 1 , есть карта для X в точке φ. Замечание 1. Для каждой (t, φ) ∈ Ω, t > 0, существуют τ ∈ (0, t) и V , Q, ε, κ, k — те же, что и выше, — такие, что  Ω ∩ ((t − τ, t + τ ) × V ) = (s, k(χ)) : |s − t| < τ, χ ∈ (Tφ X)ε . Отображение, обратное к непрерывно дифференцируемому отображению K : (t − τ, t + τ ) × (Tφ X)ε 3 (s, χ) 7→ (s, k(χ)) ∈ R × X, есть карта для R × X. Далее будем пользоваться введенными выше обозначениями. Достаточно показать, что в случае h < t − τ отображение Fˆ ◦ K : (t − τ, t + τ ) × (Tφ X)ε → C 1 с измененным образом непрерывно дифференцируемо. Когда это будет удобно, мы будем пользоваться сокращениями I = (t − τ, t + τ ) и T = (Tφ X)ε . Имеем (F ◦ K)(s, χ) = F (s, k(χ)) на I × T. (6) Предложение 8. Пусть задана точка (φ, t) ∈ Ω, h < t. Тогда существуют τ > 0, такое, что h < t − τ , открытая окрестность V элемента φ в X, подпространство Q (дополнение Tφ X в C 1 ), ε > 0 и непрерывно дифференцируемое отображение κ : (Tφ X)ε → Q, такие, что κ(0) = 0, Dκ(0) = 0, для обратной карты K, заданной в замечании 1, существуют все частные производные D2 (Fˆ ◦ K)(s, χ), (s, χ) ∈ (t − τ, t + τ ) × (Tφ X)ε и отображение D2 (Fˆ ◦ K) : (t − τ, t + τ ) × (Tφ X)ε → Lc (Tφ X, C 1 ) непрерывно. Доказательство. 1. Существование. Выберем τ > 0, такое, что h < t − τ , и V, Q, ε, κ, k, K согласно замечанию 1. Объединяя уравнение (6), теорему 1 и правило цепочки, видим, что для каждого (s, χ) ∈ I × T существует D2 (Fˆ ◦ K)(s, χ) = DFs (k(χ)) ◦ Dk(χ). Используя предыдущую формулу, теорему 1 и результаты раздела 2, получаем D2 (Fˆ ◦ K)(s, χ)β = v k(χ),Dk(χ)β s

50

Х.–О. ВАЛЬТЕР

для всех s ∈ I, χ ∈ T, β ∈ Tφ X. 2. Непрерывность. Зафиксируем s0 ∈ I, χ0 ∈ T . Выберем t0 ∈ (s0 , t+τ ). Выберем окрестность I0 точки s0 в (t − τ, t0 ) и окрестность T0 точки χ0 в T так, что sup kDk(χ)k < ∞. χ∈T0

Для s ∈ I0 , χ ∈ T0 , β ∈ Tφ X имеем D2 (Fˆ ◦ K)(s, χ)β − D2 (Fˆ ◦ K)(s0 , χ0 )β = 0 ),Dk(χ0 )β = vsk(χ),Dk(χ)β − vsk(χ = A(s, χ, β) + B(s, β), 0

где A(s, χ, β) = vsk(χ),Dk(χ)β − vsk(χ0 ),Dk(χ0 )β и 0 ),Dk(χ0 )β B(s, β) = vsk(χ0 ),Dk(χ0 )β − vsk(χ . 0

Осталось показать, что kA(s, χ, β)k1 → 0 и kB(s, β)k1 → 0 при (s, χ) → (s0 , χ0 ) в R × Tφ X равномерно относительно β ∈ (Tφ X)1 ⊂ (C 1 )1 . 2.1. Из предложения 6 вытекает существование константы c3 = c3 (k(χ0 ), t0 ) > 0, такой, что   k(χ ) k(χ0 ) kB(s, β)k1 6 c3 kDk(χ0 )βk1 max kDf (xs+a0 ) − Df (xs0 +a )k + |s − s0 | . −h6a60

Используя тот факт, что отображение 0) [0, t0 ] 3 u 7→ Df (xk(χ ) ∈ Lc (C 1 , Rn ) u

равномерно непрерывно, нетрудно показать, что kB(s, β)k1 → 0 при s → s0 равномерно по всем β ∈ (Tφ X)1 ⊂ (C 1 )1 . 2.2. Рассмотрим окрестность N элемента k(χ0 ) в X и константу c4 = c4 (k(χ0 ), t0 ) > 0 из предложения 7. Выберем окрестность T1 элемента χ0 в T0 настолько малой, что k(T1 ) ⊂ N . Для всех s ∈ I0 , χ ∈ T1 , β ∈ Tφ X имеем A(s, χ, β) = vsk(χ),Dk(χ)β − vsk(χ0 ),Dk(χ0 )β = A1 (s, χ, β) + A2 (s, χ, β), где A1 (s, χ, β) = vsk(χ),Dk(χ)β − vsk(χ0 ),Dk(χ)β и A2 (s, χ, β) = vsk(χ0 ),Dk(χ)β − vsk(χ0 ),Dk(χ0 )β = vsk(χ0 ),(Dk(χ)−Dk(χ0 ))β . Согласно предложению 7



kA1 (s, χ, β)k1 6 c4 ec4 t0 max Df (xuk(χ) ) − Df (xuk(χ0 ) ) Dk(χ)β 1 . 06u6t0

Используя соображения непрерывности и компактности, получаем

0) max Df (xk(χ) ) − Df (xk(χ ) → 0 при χ → χ0 в Tφ X ⊂ C 1 . u u 06u6t0

Объединяя предыдущее утверждение и ограниченность kDk(χ)k на T0 , видим, что kA1 (s, χ, β)k1 → 0 при (s, χ) → (s0 , χ0 ) в R × Tφ X равномерно относительно β ∈ (Tφ X)1 ⊂ (C 1 )1 . Рассмотрим A2 (s, χ, β). Из предложения 4 вытекает существование c1 = c1 (k(χ0 ), t0 ) > 0, такой, что kA2 (s, χ, β)k1 6 k(Dk(χ) − Dk(χ0 ))βkc1 ec1 t0 6 kDk(χ) − Dk(χ0 )kkβk1 c1 ec1 t0 . Далее доказательство очевидно.

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

4.

ПРОИЗВОДНАЯ

51

ПО ВРЕМЕНИ

Пусть f , F , X — те же, что и в предыдущем разделе. Если задано (t, φ) ∈ Ω, 0 < t, и выбраны τ ∈ (0, t), V , Q, ε, κ, k, K согласно замечанию 1, то в силу уравнения (6) для существования D1 (F ◦ K)(s, χ),

t − τ < s < t + τ и χ ∈ (Tφ X)ε

достаточно доказать, что кривая [0, te (k(χ))) 3 u 7→ F (u, k(χ)) ∈ C 1 дифференцируема в точке s. В следующем утверждении рассматриваются кривые [0, te (φ)) 3 u 7→ F (t, φ) ∈ C 1 при произвольном φ ∈ X. Предложение 9. (i) Для каждого φ ∈ X сужение x˙ φ |(0, te (φ)) непрерывно дифференцируемо, причем x ¨φ (t) = De f (xφt )x˙ φt при 0 < t < te (φ). В случае h < te (φ) отображение ξ φ : (h, te (φ)) 3 t 7→ F (t, φ) ∈ C 1 непрерывно дифференцируемо, причем Dξ φ (t)1 = x˙ φt ∈ C 1 при h < t < te (φ). (ii) Отображение {(t, φ) ∈ Ω : h < t < te (φ)} 3 (s, ψ) 7→ Dξ ψ (s) ∈ Lc (R, C 1 ) непрерывно. Доказательство. 1. Доказательство части (i). Пусть φ ∈ X, te = te (φ), x = xφ , 0 < t < te . Выберем r > 0, такое, что φ + (C 1 )r ⊂ U . Тогда существует δ > 0, 0 < t − δ < t + δ < te , и xt+s ∈ φ + (C 1 )r для −δ < s < δ. Для 0 < |s| < δ имеем

1 1 x(t ˙ + s) − x(t) ˙ − De f (xt )x˙ t = f (xt+s ) − f (xt ) − De f (xt )x˙ t = s s Z1 1 Df (xt + u(xt+s − xt ))(xt+s − xt )du − De f (xt )x˙ t = = s 0 1 Z

=

1 De f (xt + u(xt+s − xt )) (xt+s − xt )du − De f (xt )x˙ t . s

0

Пусть ε > 0. Из свойства (P3) вытекает существование точки η ∈ (0, δ), такой, что для всех (ψ, χ) ∈ (xt + (C 1 )η ) × (x˙ t + Cη ) имеем |De f (ψ)χ − De f (xt )x˙ t | < ε. ξφ

В силу непрерывности ξ = существует число δ1 ∈ (0, δ), такое, что kxt+s − xt k1 < η при всех s ∈ (−δ1 , δ1 ). Следовательно, для таких s и для всех u ∈ [0, 1] справедливы неравенства kxt + u(xt+s − xt ) − xt k1 6 kxt+s − xt k1 < η.

(7)

Объединяя равномерную непрерывность x|[−h, ˙ t + δ] и равенство
1 1 x(t + s + a) − x(t + a) − x(t ˙ + a) = s s

Zs


x(t ˙ + u + a) − x(t ˙ + a) du

0

для 0 < |s| < δ и −h 6 a 6 0, видим, что существует δ2 ∈ (0, δ1 ), такое, что при 0 < |s| < δ2

1

(xt+s − xt ) − x˙ t < η. s

(8)

52

Х.–О. ВАЛЬТЕР

Пусть 0 < |s| < δ2 . Используя то, как выбрана η, а также (7) и (8), получаем 1
˙ + s) − x(t) ˙ − De f (xt )x˙ t = x(t s Z1 1 = De f (xt + u(xt+s − xt )) (xt+s − xt )du − De f (xt )x˙ t 6 s 0

Z1 1 6 De f (xt + u(xt+s − xt )) (xt+s − xt ) − De f (xt )x˙ t du < ε. s 0

Отсюда вытекает, что x ¨(t) существует и x ¨(t) = De f (xt )x˙ t . Непрерывность x ¨|(0, te ) следует из последнего равенства и условия (P3), поскольку непрерывность φ ξ = ξ влечет непрерывность [0, te ) 3 t 7→ x˙ t ∈ C. Наконец, предположим, что h < te , и рассмотрим ξ. Пусть h < t < te . Выберем δ > 0, такое, что 0 < t − h − δ < t + δ < te . При |s| < δ справедливо равенство kξ(t + s) − ξ(t) − sx˙ t k1 = kxt+s − xt − sx˙ t k + kx˙ t+s − x˙ t − s¨ xt k, а при всех a ∈ [−h, 0] имеем Zs ˙ + a + u) − x(t ˙ + a))du |xt+s (a) − xt (a) − sx˙ t (a)| = (x(t 0

и

Zs x(t + a + u) − x ¨(t + a))du . |x˙ t+s (a) − x˙ t (a) − s¨ xt (a)| = (¨ 0

Используя равномерную непрерывность x˙ и x ¨ на [t − h − δ, t + δ], можно проверить, что Dξ(t) существует и определяется формулой Dξ(t)1 = x˙ t ∈ C 1 . 2. Доказательство части (ii). Достаточно показать, что отображение 1 Ωh< = {(t, φ) ∈ Ω : h < t < te (φ)} 3 (s, ψ) 7→ x˙ ψ s ∈C

непрерывно или что непрерывны оба отображения A : Ωh< 3 (t, φ) 7→ x˙ φt ∈ C и B : Ωh< 3 (t, φ) 7→ x ¨φt ∈ C. Непрерывность A очевидным образом следует из непрерывности Fˆ : Ω 3 (t, φ) 7→ F (t, φ) = xφt ∈ C 1 . Заметим, что в силу (P3) непрерывность Fˆ и A означает непрерывность отображения n b : Ω0< = {(t, φ) ∈ Ω : 0 < t} 3 (s, ψ) 7→ x ¨ψ (s) = De f (xψ ˙ψ s )x s ∈R .

Пусть (t, φ) ∈ Ωh< . Для того чтобы доказать непрерывность B в точке (t, φ), выберем δ > 0, такое, что 0 < t − h − δ < t + δ < te (φ). Пусть ε > 0. Поскольку b равномерно непрерывно на компактном множестве [t − h − δ, t + δ] × {φ} ⊂ Ω0< ⊂ Ω, то существует η ∈ (0, δ), такое, что s ∈ (−η, η) и для всех a ∈ [−h, 0] и всех ψ ∈ X ∩ (φ + (C 1 )η ) имеем ε |b(s + a, ψ) − b(t + a, φ)| < ; 2 в частности, ε kB(s, ψ) − B(t, φ)k = k¨ xψ ¨φt k 6 < ε s −x 2 для указанных s и ψ.

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

53

Следствие 3. Пусть задана (t, φ) ∈ Ω, h < t. Тогда существуют τ > 0, такое, что h < t − τ , открытая окрестность V элемента φ в X, подпространство Q (дополнение Tφ X в C 1 ), ε > 0 и непрерывно дифференцируемое отображение κ : (Tφ X)ε → Q, причем κ(0) = 0, Dκ(0) = 0, такие, что для соответствующей обратной карты K существуют все частные производные D1 (Fˆ ◦ K)(s, χ), (s, χ) ∈ (t − τ, t + τ ) × (Tφ X)ε и отображение D1 (Fˆ ◦ K) : (t − τ, t + τ ) × (Tφ )ε → Lc (R, C 1 ) непрерывно. Теорема 2 следует из замечания 1, предложения 8 и следствия 3. 5.

ПРИМЕР

В [9] рассматривалась система уравнений x(t) ˙ = v(t), v(t) ˙ = −µv(t) + a(p(t)), c p(t) = s(t) − w, 2 c s(t) = x(t − s(t)) + x(t) + 2w для объекта на прямой, который управляет своим положением следующим образом. Объект посылает сигнал, который отражается от препятствия. Отраженный сигнал принимается, после чего определяется время, прошедшее с момента отправки сигнала, и таким образом вычисляется координата объекта. В зависимости от вычисленной координаты, которая не обязательно совпадает с действительным положением объекта, прилагается сила, направляющая объект к цели. В описанной системе препятствие-отражатель расположено в точке −w < 0. Слагаемые x(t) ∈ (−w, ∞) и v(t) соответствуют действительному положению объекта и его скорости в момент времени t. Константа c > 0 есть скорость сигнала. Значение s(t) обозначает время, прошедшее с момента отправки сигнала до момента t, когда сигнал был принят. Формула для вычисления координаты p(t) дает правильное положение объекта, если x(t) = x(t − s(t)), что имеет место, например, в положении равновесия. Константа µ > 0 соответствует трению, а функция a : R → R описывает ускорение как функцию вычисленной координаты. Если a(0) = 0, то существует равновесное решение x(t) = 0, v(t) = 0 и 2w s(0) = . c Если, кроме того, p a(p) < 0 для всех p 6= 0, то имеем отрицательную обратную связь относительно данного положения равновесия. Будем считать, что функция a непрерывно дифференцируема. Пусть w+ > 0. Если нас интересует движение объекта, только когда −w < x(t) < w+ и |v(t)| < c (т. е. объект движется медленнее, чем сигнал), то имеем априорную оценку 2w + 2w+ 0 < s(t) 6 = h, c и рассматриваемая система может быть записана как уравнение вида (1). Действительно, пусть C 1 = C 1 ([−h, 0], R2 ), с указанным выше h. Подмножество U всех φ = (φ1 , φ2 ) ∈ C 1 , удовлетворяющих условиям −w < φ1 (t) < w+ и |φ˙ 1 (t)| < c при − h 6 t 6 0,

54

Х.–О. ВАЛЬТЕР

открыто. Для каждого φ ∈ U существует единственное s = σ(φ) ∈ [0, h], такое, что c s = φ1 (−s) + φ1 (0) + 2w (последнее вытекает из принципа сжимающих отображений). Функционал σ : U → R непрерывно дифференцируем, причем Dσ(φ)χ =

χ1 (−σ(φ)) + χ1 (0) φ˙ 1 (−σ(φ)) + c

для всех φ ∈ U и всех χ ∈ C 1 . Следовательно, рассматриваемая система действительно может быть заменена уравнением (1) с непрерывно дифференцируемым отображением f : U → R2 , заданным по формуле f1 (φ) = φ2 (0), f2 (φ) = −µφ2 (0) + a

c 2

 σ(φ) − w .

Уравнение (1) в данном случае принимает вид x˙ 1 (t) = x2 (t),  x˙ 2 (t) = −µx2 (t) + a

x1 (t − σ(xt )) + x1 (t) 2

 ,

т. е. является дифференциальным уравнением с запаздыванием, зависящим от решения. Используя тот факт, что σ(φ) не зависит от φ2 , получаем, что Xf 6= ∅. В [9] было показано, что функционал f обладает свойствами (P1) и (P2). Осталось проверить свойство (P3). Для всех φ = (φ1 , φ2 ) ∈ U и χ = (χ1 , χ2 ) ∈ C = C([−h, 0], R2 ) имеем ! χ (0) 2 c c De f (φ)χ = , −µχ2 (0) + Da σ(φ) − w De σ(φ)χ 2 2 где De σ(φ)χ =

χ1 (−σ(φ)) + χ1 (0) . φ˙ 1 (−σ(φ)) + c

Отображение Ev : C × [−h, 0] 3 (χ, b) 7→ χ1 (b) ∈ R непрерывно, так как |χ1 (b) − χ ˆ1 (ˆb)| 6 |χ1 (b) − χ ˆ1 (b)| + |χ ˆ1 (b) − χ ˆ1 (ˆb)| 6 kχ − χk ˆ + |χ ˆ1 (b) − χ ˆ1 (ˆb)| для всех χ, χ ˆ из C и всех b, ˆb из [−h, 0]. Из непрерывности отображений Ev, σ и C 1 3 φ = (φ1 , φ2 ) 7→ φ˙ = (φ˙ 1 , φ˙ 2 ) ∈ C вытекает, что отображение U × C 3 (φ, χ) 7→ De σ(φ)χ ∈ R непрерывно, откуда в свою очередь следует непрерывность U × C 3 (φ, χ) 7→ De f (φ)χ ∈ R2 . Для соответствующего дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием, зависящим от решения, в работе [8] было доказано существование периодической орбиты, экспоненциально устойчивой с асимптотической фазой.

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ РЕШЕНИЯ

55

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Cooke K., Huang W. On the problem of linearization for state-dependent delay differential equations// Proc. Am. Math. Soc. — 1996. — 124. — С. 1417–1426 2. Diekmann O., van Gils S., Lunel S. M. V., Walther H. O. Delay equations: functional–, complex–, and nonlinear analysis. — New York: Springer, 1995 3. Hale J. K., Lunel S. M. V. Introduction to functional differential equations. — New York: Springer, 1993 4. Krisztin T. An unstable manifold near a hyperbolic equilibrium for a class of differential equations with state-dependent delay// Preprint, 2000 5. Lang S. Introduction to differentiable manifolds. — New York: Wiley, 1962 6. Louihi M., Hbid M. L., Arino O. Semigroup properties and the Crandall-Liggett approximation for a class of differential equations with state-dependent delays// J. Differ. Equations. — 2002. — 181. — С. 1–30 7. Mallet-Paret J., Nussbaum R. D., Paraskevopoulos P. Periodic solutions for functional differential equations with multiple state-dependent time lags// Topol. Methods Nonlinear Anal. — 1994. — 3. — С. 101–162 8. Walther H. O. Stable periodic motion of a system with state-dependent delay// Differ. Integral Equ. — 2002. — 15. — С. 923–944 9. Walther H. O. The solution manifold and C 1 -smoothness for differential equations with state dependent delay// Submitted

Hans–Otto Walther Mathematisches Institut, Universitaet Giessen, Arndtstr. 2, D 35392, Giessen, Germany E-mail: [email protected]