Небесная механика. Общий курс

Часть III. Основные задачи небесной механики Так как масса Солнца существенно превышает массы других небесных тел Солнечной системы *) , а взаимные расстояния небесных тел велики в сравнении с их собственными размерами, то движения планет (и многих других небесных тел) в первом приближении можно рассматривать на основе классической задачи двух материальных точек, гравитационно взаимодействующих друг с другом по ньютоновскому закону тяготения. Полное решение этой задачи двух тел, рассмотренное нами ранее в главе 2, было получено еще И. Ньютоном. Однако уже "второе приближение" — знаменитая ньютоновская задача трех тел — оказалась чрезвычайно сложной. Несмотря на то, что поиском ее решения занимались выдающиеся математики и механики прошлого и современности, в настоящее время так и не удалось получить ее полного, практически реализуемого решения. Тем не менее, эта задача стала фундаментальной основой при интерпретации любых небесно-механических (динамических) систем. За более, чем три столетия удалось найти лишь пять частных (но точных) решений задачи трех тел: три "коллинеарных решения" были обнаружены Л. Эйлером в 1764 г., а два "треугольных решения" — Ж. Лагранжем (в связи с этим в 1772 г. Лагранж был удостоен премии Парижской академии наук). К. Зундманом в 1909-1912 гг. путем соответствующей регуляризации уравнений движения удалось обосновать теорему существования общего решения в виде сходящихся рядов для любых моментов времени. Но это не позволило получить каких-либо значимых практических результатов. Математические трудности, возникающие при решении задачи трех тел, обусловлены, прежде всего, исключительной сложностью и многообразием возникающих форм (типов) самих движений, реализующихся при различных начальных условиях системы. Поскольку в настоящее время неизвестен общий интеграл задачи трех тел, то особый интерес представляют упрощенные (вырожденные) варианты этой задачи. В одном из этих вариантов — так называемая "классическая задача двух неподвижных центров", когда две из трех (например, Солнце—Юпитер—комета) материальных точек предполагаются неподвижными ("неподвижные силовые центры"), удается получить аналитическое решение в функциях Вейерштрасса и провести полное качественное исследование этой задачи. Если массы двух неподвижных материальных точек P1 и P2 формально определить как комплексные величины, а рассмотрение проводить в комплексном евклидовом пространстве, то такая задача — "обобщенная задача двух неподвижных центров" — оказывается эквивалентной задаче двух тел, когда одно из них ("центральное") уже не является сферически симметричным телом (гравитационный потенциал этого тела с точностью до 4-й зональной гармоники совпадает с потенциалом сжатого сфероида). Теоретический и практический интерес представляют также решения задачи трех тел при наличии в системе малого параметра (планетный вариант задачи) и рациональной соизмеримости (резонансе) между двумя основными частотами задачи **) . В *)

Самая массивная из всех планет Солнечной системы Юпитер в ~1047 раз уступает по массе Солнцу. Условие резонанса предполагает существование между интегралами движения некоторого соотношения, обусловленного соизмеримостью двух основных частот задачи.

**)

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

371

Солнечной системе наблюдается значительное число соизмеримостей между орбитальными движениями больших планет, спутников, а также астероидов. Динамическая эволюция многих из этих небесных тел может быть интерпретирована на основе планетного варианта "резонансной задачи трех тел". Еще один из асимптотических вариантов — "ограниченная задача трех тел" (когда масса одной их трех гравитирующих материальных точек P считается ничтожно малой по сравнению с массами двух других материальных точек P0, P1 системы, так что движения P0 и P1 являются кеплеровскими) находит применение при исследовании орбит астероидов и комет. А в случае, когда расстояние от пассивно гравитирующего исследуемого тела (спутника) до "центральной планеты" достаточно мало в сравнении с расстоянием до возмущающего (третьего) тела, то имеет место другое также практически значимое приближение общей задачи трех тел — так называемый "спутниковый вариант". Применение асимптотических методов и схем осреднения в более общей "задаче N тел" позволяет исследовать частные свойства движений. Так, для орбит больших планет Солнечной системы в результате осреднения возмущающей функции R по угловым переменным, при котором в R, с точностью до вторых степеней эксцентриситетов и наклонений орбит, сохраняется лишь ее вековая часть, была построена теория вековых возмущений Лагранжа. Задача о движении N материальных точек ("классическая задача N тел") представляет собой упрощенный вариант задачи "о поступательно-вращательном движении N взаимно притягивающих твердых тел". В ряде случаев при исследовании движений небесно-механических систем оказывается неправомерным рассмотрение реальных небесных тел как материальных точек. Так, при исследовании движений близких спутников больших планет, эволюции колец планет-гигантов, а также движений искусственных спутников Земли и других планет необходимо учитывать асимметрию форм планет. При рассмотрении вращательного движения этих искусственных спутников вокруг их центров масс также необходимо считать эти спутники телами, имеющими определенную форму и размеры. Аналогично, например, планета Земля, в отличие от случая, когда исследуется ее движение относительно Солнца, при изучении ее вращения вокруг своей оси должна рассматриваться как тело, имеющее определенную структуру и форму. Основные уравнения вращательного движения твердого тела относительно его центра масс (центра инерции) были получены Л. Эйлером. В общем случае под действием взаимных притяжений тел каждое из этих тел будет обладать и поступательным движением, и вращательным вокруг своего центра масс. При этом вращение тела относительно его центра масс будет оказывать влияние на поступательное его движение. Лишь в случае (достаточно распространенном для небесно-механических систем), когда гравитирующие тела можно рассматривать как материальные точки (например, тела, обладающие сферически-симметричным распределением масс) вращательное и поступательное движения тел можно исследовать независимо.

372

Часть III. Основные задачи небесной механики

Глава 12. Задача двух неподвижных центров 12.1. Уравнения движения. Разделение переменных Классическая задача двух неподвижных центров заключается в исследовании движения точки P (планеты) под действием ньютоновского притяжения двух неподвижных материальных точек P1 и P2 (центров). Пусть массы точек P1 и P2 равны m и 1 соответственно, и m ≤ 1. Начало прямоугольной системы координат (0XYZ) поместим в середине отрезка P1P2, длину которого положим равной 2. Ось OX направим вдоль P1P2 так, что координаты P1 и P2 будут соответственно (1,0,0), (−1,0,0) (рис.38).

P(x,y,z) r1

r2 -1

P2

1 0

x

P1

Рис. 38. Единицу измерения времени выберем так, чтобы постоянная Гаусса равнялась единице. При этих условиях ньютоновские уравнения движения точки P будут иметь вид: d 2 x ∂U d 2 y ∂U d 2 z ∂U , , , = = = dt 2 ∂x dt 2 ∂y dt 2 ∂z где t — время и U=

m 1 + , r12 = ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 , r22 = ( x + 1) 2 + y 2 + z 2 . r1 r2 2

2

1/2

Вводя переменные λ, μ, W и функции β1 =λ − 1, β2 = 1 − μ , β 3 = (β1β2) , связанные с x, y, z выражениями x = λμ, y = β3cosW, z = β3sinW,

(12.1.1)

так что λ ≥ 1, |μ| ≤ 1, получим

λ = (r1 + r2)/2, μ = (r2 − r1)/2.

(12.1.2)

Из соотношений (12.1.1) и (12.1.2) следует, что уравнениям λ = const, μ = const отвечают, соответственно, эллипсоиды и гиперболоиды вращения вокруг оси OX с фокусами в точках P1, P2, а W = const — уравнение плоскости, проходящей через OX. Далее точкой над символом будем обозначать дифференцирование по t. Легко убедиться, что

Глава 12. Задача двух неподвижных центров v 2 = x& 2 + y& 2 + z& 2 = g11λ&2 + g 22 μ& 2 + g 33W& 2 ,

373 (12.1.3)

где g11 = (β1 + β2)/β1, g22 = (β1 + β2)/β2, g 33 = β 32 — коэффициенты Ламе, а следовательно, система координат λ, μ, W триортогональна. Образуя сопряженные λ, μ, W обобщенные импульсы, по формулам ~ ~ λ = g11λ&, μ~ = g 22 μ& , W = g 33W& (12.1.4) и учитывая, что согласно (12.1.2) r1 = λ − μ, r2 = λ + μ, приходим к канонической системе (см. раздел 1.6) ∂H ∂H ∂H λ& = ~ , μ& = ~ , W& = ~ , ∂μ ∂W ∂λ (12.1.5) ~& ∂H ∂H ∂H ~& ~ & , μ =− , W =− λ =− ∂λ ∂μ ∂W

с гамильтонианом H = T − U, в котором

~ ~ m 1 1 ⎛ λ 2 μ~ 2 W 2 ⎞ ⎟. U= + + + , T = ⎜⎜ 2 ⎝ g11 g 22 g 33 ⎟⎠ λ−μ λ+μ В силу консервативности системы существует интеграл энергии H = α1, где α1 — произвольная постоянная. Так как (см. раздел 2.1) ~

λ=

∂S ∂S ~ ∂S , μ~ = , W= , ∂λ ∂μ ∂W

(12.1.6)

то уравнение Гамильтона-Якоби для системы (12.1.5) имеет вид: 2 2 ⎡ ⎛ ∂S ⎞ 2 ⎤ ⎛ ∂S ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟⎜ ⎢ β1 ⎜ ⎟ + β 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ + ⎟ − 2(m1λ − m2 μ )⎥ = α1 , (12.1.7) 2( β1 + β 2 ) ⎢ ⎝ ∂λ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂μ ⎠ ⎝ β1 β 2 ⎠⎝ ∂W ⎠ ⎣

причем m1 = 1 + m, m2 = 1 − m.

∂S = α 3 = const . Поэтому S(λ,μ,W) = S3(λ,μ) + α3W. ∂W Уравнение (12.1.7) умножением обеих частей на величину 2(β1 + β2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными

Из вида (12.1.7) следует, что

2

2

2 ⎛ ∂S 3 ⎞ α 32 ⎛ ∂S 3 ⎞ α 3 2 ⎟⎟ + β1 ⎜ − 2m1λ − 2α1λ + β 2 ⎜⎜ + 2m2 μ + 2α1 μ 2 = 0. ⎟ + β1 ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂μ ⎠ β 2

(12.1.8)

Тогда, полагая S3(λ,μ) = S1(λ) + S2(μ) и вводя еще одну произвольную постоянную α2, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения, на которые распадается (12.1.8):

374

Часть III. Основные задачи небесной механики 2

⎛ ∂S ⎞ α β1 ⎜ 1 ⎟ + 3 − 2m1λ − 2α1λ2 = α 2 , β1 ⎝ ∂λ ⎠ 2

(12.1.9)

2

⎛ ∂S ⎞ α 2 β 2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 3 + 2m2 μ + 2α1 μ 2 = −α 2 . β2 ⎝ ∂μ ⎠ Интегрируя (12.1.9), находим S = ±∫

[L(λ )] 1/ 2 dλ ± [M ( μ )] 1/ 2 dμ + α W + ϕ (α ,α

∫

λ2 − 1

1− μ 2

3

1

2

,α 3 ),

(12.1.10)

где ϕ — произвольная дифференцируемая функция, и

L(λ ) = 2α1λ4 + 2m1λ3 + (α 2 − 2α1 )λ2 − 2m1λ − α 2 − α 32 , M ( μ ) = 2α1 μ 4 + 2m2 μ 3 + (α 2 − 2α1 ) μ 2 − 2m2 μ − α 2 − α 32 .

(12.1.11)

12.2. Первые интегралы. Решение в функциях Вейерштрасса Подставляя (12.1.10) в (12.1.6), приходим к первым интегралам задачи ~

λ =±

[L(λ )] 1/ 2 , β1

μ~ = ±

[M ( μ )] 1/ 2 , β2

~ W = α3 ,

из которых, если воспользоваться соотношениями (12.1.4), можно найти

[L(λ )] , μ& = ± [M (μ )] , W& = α 3 . λ& = ± β1 + β 2 β1 + β 2 β 32 1/ 2

1/ 2

(12.2.1)

Перейдем к новой независимой переменной τ по формуле dτ = dt/(β1 + β2).

(12.2.2)

Так как β1 + β2 = r1r2 ≥ 0, то τ монотонно возрастает со временем. С учетом (12.2.2) выражения (12.2.1) можно записать в виде: dλ 1/ 2 = ±[L(λ )] , dτ

dμ 1/ 2 = ±[M ( μ )] , dτ

dW = α 3 ( β1−1 + β 2−1 ). dτ

(12.2.3)

Вводя обозначения

a0 = 2α1 , a1 = (1 + m) / 2, a2 = (α 2 − 2α1 ) / 6, a3 = −a1 , a4 = −α 2 − α 32 , b0 = a0 ,

b1 = (1 − m) / 2, b2 = a2 ,

b3 = −b1 ,

b4 = a4 ,

(12.2.4)

согласно (12.1.11) будем иметь

L(λ ) = a0 λ4 + 4a1λ3 + 6a2 λ2 + 4a3λ + a4 , M ( μ ) = b0 μ 4 + 4b1μ 3 + 6b2 μ 2 + 4b3 μ + b4 . Тогда решение уравнений

(12.2.5)

Глава 12. Задача двух неподвижных центров 2

375

2

⎛ dλ ⎞ ⎛ dμ ⎞ ⎜ ⎟ = L(λ ), ⎜ ⎟ = M (μ ) ⎝ dτ ⎠ ⎝ dτ ⎠

(12.2.6)

согласно (8.9.31) (см. раздел 8.9) при α1 ≠ 0 запишется следующим образом:

λ = l1 +

l2 n2 , μ = n1 + , ℘λ (τ − τ 1 ) − l3 ℘μ (τ − τ 21 ) − n3

(12.2.7)

где τ1, τ2 — произвольные постоянные; l1, n1 — корни полиномов соответственно L и M; 1 l2 = a0 l13 + 3a1l12 + 3a2l1 + a3 , l3 = a0 l12 + 2a1l1 + a2 , 2 (12.2.8) 1 3 2 2 n2 = b0 n1 + 3b1n1 + 3b2 n1 + b3 , n3 = b0 n1 + 2b1n1 + b2 ; 2

(

)

(

)

а ℘λ , ℘μ — функции Вейерштрасса, построенные по инвариантам g2(a), g3(a) и g2(b), g3(b), соответственно, причем, как следует из (8.9.30), (8.9.27), или (8.9.23), g 2 (a) = a0 a4 + 3a22 − 4a1a3 , g 3 (a ) = a0 a2 a4 + 2a1a2 a3 − a23 − a0 a32 − a12 a4 , g 2 (b) = b0 b4 + 3b22 − 4b1b3 ,

(12.2.9)

g 3 (b) = b0 b2 b4 + 2b1b2 b3 − b23 − b0 b32 − b12 b4 . Поскольку в соответствии с (12.2.4), (12.2.5) L ( ±1) = M ( ±1) = −α 32 , то при α3 ≠ 0 имеем l1 ≠ ±1, n1 ≠ ±1. Изменение переменной W определяется соответствующим уравнением из (12.2.3) ⎛ 1 dW 1 ⎞ ⎟ = α 3 ⎜⎜ 2 + (12.2.10) 2 ⎟ dτ ⎝ λ −1 1 − μ ⎠ и происходит монотонно при α3 ≠ 0, что легко установить, учитывая формулы (12.2.1), (12.2.2) (или непосредственно определение (12.1.1) и (12.1.2)). Введя постоянные c1, c2, d1, d2 при помощи формул ℘λ (с1 ) = l3 +

l2 l , ℘λ (с2 ) = l3 − 2 , 1 − l1 1 + l1

n n ℘μ (d1 ) = n3 + 2 , ℘μ (d 2 ) = n3 − 2 1 − n1 1 + n1

и используя выражения (12.2.7), (1 − λ2 ) −1 , (1 − μ 2 ) −1 :

можно

получить

(12.2.11)

следующие представления для

376

Часть III. Основные задачи небесной механики

{

l2 −1 (1 − l1 ) −2 [℘λ (τ − τ 1 ) − ℘λ (c1 )] − 2 −1 − (1 + l1 ) −2 [℘λ (τ − τ 1 ) − ℘λ (c2 )] ,

(1 − λ2 ) −1 = (1 − l12 ) −1 +

}

{

[

(12.2.12)

]

n −1 (1 − μ ) = (1 − n ) + 2 (1 − n1 ) −2 ℘μ (τ − τ 2 ) − ℘μ (d1 ) − 2 −1 − (1 + n1 ) −2 ℘μ (τ − τ 2 ) − ℘μ (d 2 ) . 2 −1

2 −1 1

]}

[

d [℘λ ( v )]обращается в нуль, то, dv как следует из (12.2.7), при ℘λ ( v ) ≠ l3 и λ'(v) = 0. Здесь и далее штрих обозначает про-

Если при некотором значении τ − τ1 = v производная

изводную по τ. В соответствии с (12.2.6) величина λ(v) будет тогда корнем полинома L(λ). Учитывая (12.2.11), легко найти, что λ(c1) = 1, λ(c2) = −1. Но, как показано ранее, величины ±1 при α3 ≠ 0 не являются корнями полинома L(λ). Следовательно, ℘′λ (с1 ) ≠ 0, ℘′λ (с2 ) ≠ 0. Аналогично ℘′μ ( d1 ) ≠ 0, ℘′μ ( d 2 ) ≠ 0. Если ℘′( v ) ≠ 0, то согласно (8.11.11) dz

1

⎡ σ ( z − v)

⎤

∫ ℘( z) −℘(v ) = ℘′(v) ⎢⎣ln σ (z + v) + 2 zζ (v) ⎥⎦ + const,

(12.2.13)

где σ и ζ — соответствующие функции Вейерштрасса, определенные в разделе 8.1 и построенные по тем же инвариантам, что и ℘-функция. Подставляя теперь выражения (12.2.12) в формулу (12.2.10) и интегрируя с учетом (12.2.13), находим

[

]

[

W = W0 + α 3 {(1 − n12 ) −1 − (1 − l12 ) −1 τ + n2 (1 − n1 ) −2 ϕ μ (τ , d1 ) −

] [

]

− (1 + n1 ) − 2 ϕ μ (τ , d 2 ) − l 2 (1 − l1 ) − 2 ϕ μ (τ , c1 ) − (1 + l1 ) −2 ϕ μ (τ , c2 ) },

(12.2.14)

где

ϕ λ (τ , ck ) =

1 ⎡ 1 σ (τ − τ 1 − ck ) ⎤ (τ − τ 1 )ζ λ (ck ) + ln λ ⎢ ⎥, ℘′λ (ck ) ⎣ 2 σ λ (τ − τ 1 + ck ) ⎦

1 ⎡ 1 σ μ (τ − τ 2 − d k ) ⎤ ϕ μ (τ , d k ) = ⎢(τ − τ 2 )ζ μ (d k ) + ln ⎥, ℘′μ (d k ) ⎣⎢ 2 σ μ (τ − τ 2 + d k ) ⎦⎥

(12.2.15)

W1 — произвольная постоянная, k = 1, 2. Наконец, найдем связь независимой переменной τ со временем. Для этого подставим выражения (12.2.7) в формулу (12.2.2). Тогда, учитывая, что при ℘′( v ) ≠ 0, согласно (8.11.12), *)

*)

Выражение (12.2.16) непосредственно следует из представления (12.2.13), если обе его части продифференцировать по v.

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

dz

∫ [℘( z ) −℘(v )]

2

=

377

℘′′( v ) σ ( z + v) −2 − [℘′( v) ] [ζ ( z + v) + ζ ( z − v) ] − ln 3 ℘′ ( v) σ (z − v)

(12.2.16)

⎡ ℘( v ) ℘′′( v )ζ ( v) ⎤ − 2⎢ 2 + z + const , ℘′3 ( v ) ⎥⎦ ⎣℘′ ( v ) получим

⎡ ⎤ 2 t = t 0 + ⎢l12 − n12 + (℘μ (d 3 ) − ℘λ (c3 ) )⎥τ + a0 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 (12.2.17) + 2 ⎢2l1l2 − ℘′λ′ (c3 )⎥ϕ λ (τ , c3 ) − 2 ⎢2n1n2 − ℘′μ′ (d 3 )⎥ϕ μ (τ , d 3 ) − a0 a0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 − ζ λ (τ − τ 1 − c3 ) + ζ λ (τ − τ 1 + c3 ) − ζ μ (τ − τ 2 − d 3 ) − ζ μ (τ − τ 2 − d 3 ) . a0

[

]

Здесь t0 — произвольная постоянная, c3, d3 определяются формулами:

℘λ (с3 ) = l3 , ℘μ (d 3 ) = n3 , ℘′λ (с3 ) = l2 a01/ 2 , ℘′μ (d 3 ) = n2 a10 / 2 . По условию α1 ≠ 0, то есть a0 = b0 ≠ 0. Кроме того, как следует из (12.2.5), (12.2.8), d d 4l 2 = L(l1 ), 4n2 = M (n1 ). Поэтому если l1, n1 — простые корни, то l2 ≠ 0, dλ dμ n2 ≠ 0. Следовательно, ℘′λ (с3 ) ≠ 0, ℘′μ ( d 3 ) ≠ 0 , и применение формул (12.2.16), (12.2.17) обосновано. 12.3. Качественный анализ типов движений Как показывают уравнения (12.2.6), реальным движениям материальной точки P в поле ньютоновского притяжения двух неподвижных центров соответствуют такие значения λ, μ, при которых L(λ) ≥ 0, M(μ) ≥ 0. Кроме того, по определению эллипсоидальных координат (см. раздел 12.1) λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ 1 (y = z ≡ 0, x = μ (−1 ≤ μ ≤ 1) при λ = 1, а при μ = ±1 y = z ≡ 0, x = ±λ (λ ≥ 1)). Указанным условиям отвечают на приводимых далее рисунках заштрихованные области. Таким образом, анализ типов движения материальной точки P сводится к исследованию полиномов L, M. При a0 ≠ 0 возможны два случая. I. a0 = b0 = 2α1 > 0.

Так как α1, согласно разделу 12.1, есть константа энергии, то этому случаю соответствует положительная полная энергия тела P. У полинома L(λ), как следует из (12.2.4), (12.2.5), число смен знаков коэффициентов не превосходит двух. Поэтому по теореме Декарта число положительных корней L(λ) не больше двух [21]. Однако, как показано ранее, L ( ±1) = −α 32 < 0

при α1 ≠ 0.

(12.3.1)

378

Часть III. Основные задачи небесной механики L (λ)

λ λ1

1

Рис. 39. Кроме того, L(λ) → ∞ при λ → ∞. Следовательно, при λ > 1 существует, и притом единственный, корень λ1 (рис. 39). Полином M(μ) → ∞ при μ → ±∞ и M ( ±1) = −α 32 < 0 (при α 3 ≠ 0).

(12.3.2)

Μ(μ)

μ1 -1

μ

μ2 0

1

Рис. 40. Значит, на интервале (−1,1) корней у M(μ) либо нет, либо их два: μ1, μ2 (рис.40). Таким образом, при α1 > 0 движение инфинитно, и, вспоминая определение координат (12.1.1), приходим к выводу, что материальная точка P движется в области пространства, ограниченной двумя гиперболоидами μ = μ1, μ = μ2 и вне эллипсоида λ = λ1 (рис. 41). В зависимости от направления начальной скорости гравитирующее тело P либо сразу уходит на бесконечность, либо приближается к эллипсоиду λ = λ1, касается его, а затем, удаляясь, уходит на бесконечность, периодически касаясь гиперболоидов μ = μ1, μ = μ2. μ = μ1

μ = μ2

P2

0

Рис. 41.

P1 λ = λ1

x

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

379

Если μ1 = μ2, то два гиперболоида, соответствующие сечения которых приведены на рис. 41, сливаются в один, по которому вне эллипсоида λ = λ1 и будет происходить движение тела P. II. a0 = b0 = 2α1 < 0. Этот случай отвечает ограниченному в пространстве движению материальной точки P. Число смен знаков коэффициентов полиномов L(λ), M(μ) в соответствии с (12.2.4), (12.2.5) в этом случае не превосходит трех. При этом L(λ) → −∞ при λ → ±∞. Поэтому при λ > 1 у L(λ) действительных корней либо нет, либо их два: λ1, λ2. Для реальных движений λ1 ≤ λ ≤ λ2 (рис. 42). L (λ)

λ

1 λ2

λ1

Рис. 42. Полином M(μ) → −∞ при μ → ±∞. Учитывая (12.3.2), получаем, что в области −1 ≤ μ ≤ 1 у полинома M(μ) корней либо нет, либо их два: μ1, μ2 (рис. 43а), либо четыре: μ1 < μ2 < μ3 < μ4 (рис. 43б). Μ(μ)

Μ(μ)

μ -1

μ1

μ2

1

μ -1

а)

μ1

μ2

μ3

μ4

1

б)

Рис. 43. Реальным движениям отвечают области μ1 ≤ μ ≤ μ2 и μ3 ≤ μ ≤ μ4. Следовательно, при α1 < 0 движение тела P финитно и происходит в области (или в двух областях), ограниченной двумя эллипсоидами λ = λ1, λ = λ2 и двумя гиперболоидами μ = μ1, μ = μ2 (или также μ = μ3, μ = μ4) (рис. 44). Для построения непосредственно пространственных зон возможных движений при α1 > 0 и α1 < 0 необходимо осуществить вращение приведенных на рис. 41 и 44 областей вокруг оси OX. Итак, при α1 < 0 материальная точка P, двигаясь, периодически касается двух гиперболоидов и двух эллипсоидов, ограничивающих область движения.

380

Часть III. Основные задачи небесной механики μ =μ 2

μ = μ3

μ = μ1

μ = μ4

P2

P1

x

0 λ = λ1 λ = λ2

Рис. 44. Функции λ(τ), μ(τ), представленные выражениями (12.2.7), периодичны по τ. Их периоды совпадают с соответствующими периодами функций Вейерштрасса ℘λ и ℘μ, построенным по инвариантам g2(a), g3(a) и g2(b), g3(b) (см.(12.2.9)). Поскольку τ — действительная величина, ограничимся (как в главе 8) вещественными периодами этих функций, обозначив их соответственно через Ωλ и Ωμ. Рассмотрим уравнение (12.3.3) 4 z 3 − g 2 ( a ) z − g 3 ( a ) = 0. Пусть его решением являются величины z = {γ 1λ , γ 2λ , γ 3λ }. Если все эти величины действительны и γ 1λ > γ 2 λ > γ 3λ , то согласно (8.7.16), (8.7.19), Ω λ = 2(γ 1λ − γ 3λ ) −1 / 2 K ( k λ ),

(12.3.4)

где (см. (8.7.15), (8.7.18)) ⎡ (γ − γ 3λ ) ⎤ k λ = ⎢ 2λ ⎥ ⎣ (γ 1λ − γ 3λ ) ⎦

1/ 2

π /2

,

K (k ) =

∫ (1 − k

2

sin 2 ϕ ) −1 / 2 dϕ .

0

Если же γ 2λ — действительная величина, а γ 1λ , γ 3λ являются комплексносопряженными, так что γ 1λ = mλ + inλ , γ 3λ = mλ − inλ ( i 2 = −1 ), то из (8.7.16) и (8.7.25) имеем −1 / 2 Ω λ = 2 ρ λ K (k λ ), (12.3.5) 1/ 2

⎛1 3 ⎞ где согласно (8.7.26) ρ λ = (9mλ + nλ ) , k λ = ⎜ − γ 2 λ ρ λ−1 ⎟ . ⎝2 4 ⎠ При этом из теоремы Виета (8.4.21) следует, что γ 2λ = −2mλ . Аналогично 2

2 1/ 2

Ω μ = 2(γ 1μ − γ 3μ ) −1 / 2 K (k μ ), ⎡ γ − γ 3μ ⎤ где k μ = ⎢ 2 μ ⎥ ⎣⎢ γ 1μ − γ 3 μ ⎦⎥

1/ 2

, если уравнение

(12.3.6)

Глава 12. Задача двух неподвижных центров 4 z 3 − g 2 ( b ) z − g 3 (b ) = 0

381

(12.3.7)

имеет только действительные решения γ 1μ > γ 2 μ > γ 3 μ . Если же уравнение (12.3.7) имеет действительный корень γ 2 μ = −2m μ и два комплексно-сопряженных γ 1μ = mμ + in μ , γ 3 μ = mμ − in μ , то

Ωμ = 2ρμ

−1 / 2

K (k μ ),

(12.3.8)

1/ 2

⎛1 3 ⎞ где ρ μ = (9mμ2 + nμ2 )1 / 2 , k μ = ⎜ − γ 2 μ ρ μ−1 ⎟ . ⎝2 4 ⎠ Если существуют целые, отличные от нуля, взаимно простые числа k1, k2, такие что (12.3.9) k1Ω λ = k 2 Ω μ ,

то функция *) dW dτ = α 3 ( β1−1 + β 2−1 ) периодична, а значит, функция W(τ) может быть представлена согласно (12.2.14) в виде W = W0 + ωτ + ~ p (τ ), (12.3.10) где ~ p (τ ) — периодическая по τ функция с периодом Ω1 = k1Ω λ = k 2 Ω μ , а ω = const. Следовательно, при возрастании переменной τ на Ω1 функция W возрастает на величину ΔW = ωΩ1. Если при этом 2πp ΔW = , (12.3.11) q где p, q — целые, отличные от нуля, то очевидно, что

λ(τ+Ω) = λ(τ), μ(τ+Ω) = μ(τ), W (τ+Ω) = W(τ) + 2πp,

(12.3.12)

где Ω = qΩ1 = k1 qΩ λ = k 2 qΩ μ . При возрастании переменной τ на Ω гравитирующая точка P возвращается в исходную точку пространства и траектория замыкается. Итак, в рассмотренном случае движение периодично по τ с периодом Ω. При выполнении условия (12.3.9) периодичной по τ будет и функция (12.2.2): dt/dτ = (β1 + β2). Согласно (12.2.17) в этом случае будем иметь

t(τ) = t0 + βτ + Q(τ),

(12.3.13)

где Q(τ) — периодическая по τ функция с периодом Ω1, β = const. Следовательно, при возрастании τ на Ω время t возрастет на величину T = βΩ = βqΩ1 = βqk1Ω λ = βqk 2 Ω μ . Значит, в рассмотренном случае движение периодично и по времени t с периодом T. Если условие (12.3.9) выполнено, а (12.3.11) — нет, то ΔW уже не кратно 2π. В этом случае, несмотря на периодичность изменения λ, μ с периодом Ω1, при любом из*)

Функция W определяется уравнением (12.2.10).

382

Часть III. Основные задачи небесной механики

менении τ на величину, кратную Ω1, траектория материальной точки P уже будет незамкнутой. Движение в этом случае является условно-периодическим. Если не выполнено условие (12.3.9), то движение тела P не периодично даже относительно переменных λ, μ. В этом случае мы имеем условно-периодическое движение, при котором траектория всюду плотно заполняет область возможного движения, ограниченную двумя эллипсоидами и двумя гиперболоидами. Кроме описанного выше, возможны еще несколько случаев ограниченного движения материальной точки P (при отрицательной величине интеграла энергии). Их существование обусловлено возможным наличием кратных корней у полиномов L(λ), M(μ). 1) λ1 = λ2, μ1 < μ2 < μ3 < μ4 (рис. 45).

λ

λ 1= λ 2 1 L (λ)

Рис. 45. Два эллипсоида, соответствующие сечения которых приведены на рис. 44, в этом случае сливаются в один и P будет двигаться по его поверхности между двумя гиперболоидами. 2) λ1 <λ2, μ1 = μ2 или μ3 = μ4, μ2 ≠ μ3 (рис. 46). В данном случае два гиперболоида сливаются в один, и P движется по его поверхности между двумя эллипсоидами. μ1 = μ2 (или μ 3 = μ 4) -1

μ 1 Μ(μ)

Рис. 46. 3) λ1 = λ2 = λ0, μ1 = μ2 = μ0 или μ3 = μ4 =μ0, μ2 ≠ μ3. При этом движение P периодично и происходит по окружности, образованной пересечением эллипсоида λ = λ0 и гиперболоида μ = μ0, с постоянной угловой скоростью α3 (см.(12.2.1)). Период движения T = 2πα 3−1 (λ20 − 1)(1 − μ 02 ). ω = W& = 2 2 (λ0 − 1)(1 − μ 0 ) 4) λ1 ≠ λ2, μ1 < μ2 = μ3 < μ4 (рис. 47). В этом случае два гиперболоида μ = μ2, μ = μ3 (рис. 44) вырождаются в один и движение P будет происходить между двумя эллипсоидами и либо по поверхности гиперболоида μ = μ2 = μ3, либо между ним и одним из двух других гиперболоидов μ =μ1, μ = μ4, асимптотически приближаясь к μ = μ2.

[

]

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

383

Μ(μ) -1

1 μ1

μ2 = μ3

μ

μ4

Рис. 47. 5) λ1 = λ2, μ1 < μ2 = μ3 < μ4. Здесь движение P аналогично предыдущему случаю, но происходит по поверхности одного эллипсоида λ = λ1 =λ2, в который вырождаются два других: λ = λ1, λ = λ2. Другие сочетания кратных корней дают типы движения, рассмотренные в пп. 1)-5). 12.4. Решение в случае нулевой энергии При получении решения в разделе 12.2 предполагалось, что константа энергии α1 ≠ 0. Это условие обеспечивало четвертую степень у полиномов L(λ), M(μ). Теперь рассмотрим случай α1 = 0, когда эти полиномы согласно (12.2.4), (12.2.5) имеют третью степень: L(λ ) = 4a1λ3 + 6a2 λ2 + 4a3 λ + a4 , (12.4.1) M ( μ ) = 4b1 μ 3 + 6b2 μ 2 + 4b3 μ + b4 ,

причем в соответствии с (12.2.4) и (12.1.7) a1 > 0, b1 ≥ 0. Тогда решение уравнений (12.2.6), как следует из (8.9.8), или (8.10.16), имеет вид

λ=

1⎡ 1 ⎤ 1⎡ 1 ⎤ ℘λ (τ − τ 1 ) − a2 ⎥, μ = ⎢℘μ (τ − τ 2 ) − b2 ⎥ (b1 ≠ 0), ⎢ a1 ⎣ 2 ⎦ b1 ⎣ 2 ⎦

(12.4.2)

где τ1, τ2 — произвольные константы, а функции ℘λ , ℘μ построены по соответствующим инвариантам (12.2.9) с учетом того, что a0 = b0 = 0. Используя (12.4.2), нетрудно получить следующие выражения:

{

}

1 −1 −1 (1 − λ2 ) −1 = a1 [℘λ (τ − τ 1 ) −℘λ (c1 )] − [℘λ (τ − τ 1 ) −℘λ (c2 )] , 2 1 −1 −1 (1 − μ 2 ) −1 = b1 ℘μ (τ − τ 2 ) −℘μ ( d1 ) − ℘μ (τ − τ 2 ) −℘μ (d 2 ) , 2

{[

] [

]}

(12.4.3)

в которых 1 1 a2 − a1 , ℘λ (c2 ) = a2 + a1 , 2 2 1 1 ℘μ (d1 ) = b2 − b1 , ℘μ (d 2 ) = b2 + b1 . 2 2 ℘λ (c1 ) =

Совершенно аналогично тому, как это было сделано в разделе 12.2, можно показать, что, если α3 ≠ 0, то ℘′λ (с1 ) ≠ 0, ℘′λ (с2 ) ≠ 0, ℘′μ ( d1 ) ≠ 0, ℘′μ ( d 2 ) ≠ 0. Поэтому, подставляя

384

Часть III. Основные задачи небесной механики

выражения (12.4.3) в формулу (12.2.10) и учитывая соотношение (12.2.13), получим зависимость W(τ) вида

[

]

W = W0 + α 3 {b1 ϕ μ (τ , d1 ) − ϕ μ (τ , d 2 ) − a1 [ϕ λ (τ , c1 ) − ϕ λ (τ , c 2 )]},

(12.4.4)

где W0 — произвольная константа, ϕ λ и ϕ μ определяются выражениями (12.2.15). Наконец, подставляя выражения (12.4.2) в формулу (12.2.2), после интегрирования находим связь между временем и переменной τ:

⎡ g (a ) a 2 g (b) b 2 ⎤ 1 ⎡1 ⎤ t = t 0 + ⎢ 2 2 + 22 − 2 2 − 2 2 ⎥τ + 2 ⎢ ℘′λ (τ − τ 1 ) + a2ζ λ (τ − τ 1 )⎥ − 4a1 12b1 4b1 ⎦ a1 ⎣ 6 ⎦ ⎣ 12a1 (12.4.5) 1 ⎡1 ⎤ − 2 ⎢ ℘′μ (τ − τ 2 ) + b2ζ μ (τ − τ 2 )⎥. b1 ⎣ 6 ⎦ Здесь было учтено, что согласно (8.1.19) и (8.4.8) 1

1

∫℘( z )dz = −ζ ( z ) + const , ∫℘ ( z )dz = 6℘′( z ) + 12 g 2

2

z + const ,

а g2(a), g2(b) определяются (12.2.9) при a0 = b0 = 0. Далее, относительно наличия и расположения действительных корней полиномов L(λ), M(μ) можно повторить рассуждения, аналогичные приведенным в разделе 12.3 для случая α1 > 0. В результате нетрудно убедиться в том, что при α1 = 0 мы имеем те же типы движения, что и при α1 > 0. До сих пор (начиная с выражения (12.4.2)) мы полагали m < 1, что обеспечивало выполнение условия b1 > 0. Однако характер движения не изменится и при m = 1. В этом случае полином L(λ) сохраняет свой вид (см.(12.4.1)), а M(μ) при α1 = 0 становится квадратичным полиномом. При этом уравнение для переменной μ интегрируется в элементарных функциях. При m = 1 (и α1 = 0), как легко убедиться, если α2 > 0, то M(μ) имеет два действительных корня μ1 и −μ1, так что |μ1| > 1 (при α3 ≠ 0). Поэтому в области −1 ≤ μ ≤ 1 полином M(μ) принимает лишь отрицательные значения. Следовательно, реальное движение в этом случае невозможно. Если же α2 ≤ 0, то действительных корней у полинома M(μ) либо вовсе нет, либо их два: μ2, −μ2; |μ2| < 1. При этом в интервале (−|μ2|,|μ2|) полином M(μ) > 0, то есть этот случай допускает возможность реального движения P. Зависимость μ(τ) будет синусоидальной, а область возможного движения материальной точки P изобразится опять рис. 41, где гиперболоиды, ограничивающие движение по переменной μ, будут расположены симметрично относительно плоскости x = 0. 12.5. Плоское движение

Результаты предыдущих разделов получены при условии α3 ≠ 0. Рассмотрим теперь, какие возможны движения, если α3 =0. Из уравнения (12.2.1) для переменной W в этом случае следует, что W = const, и значит, движение материальной точки P будет происходить в плоскости, проходящей

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

385

через начальное ее положение и ось OX. Не нарушая общности, можно считать, что в этой плоскости W = 0 или W = π. Следовательно, для описания движения в соответствии с формулами (12.1.1) достаточно двух переменных x = λμ ,

y = ± ( β 1 β 2 )1 / 2 .

(12.5.1)

Из выражений (12.1.11) следует, что при α3 = 0 полиномы L(λ), M(μ) можно записать в следующем виде:

L(λ ) = β1 (2α1λ2 + 2m1λ + α 2 ), β1 = λ2 − 1, M ( μ ) = − β 2 (2α1 μ 2 + 2m2 μ + α 2 ), β 2 = 1 − μ 2 .

(12.5.2)

Таким образом, оба полинома имеют не менее чем по два действительных корня: λ3 = μ3 = −1, λ4 = μ4 = 1. Различные типы движения в рассматриваемом плоском случае будут, следовательно, определяться наличием и расположением действительных корней квадратичных полиномов

L1 (λ ) = 2α1λ2 + 2m1λ + α 2 ,

(12.5.3)

M 1 ( μ ) = 2α1 μ 2 + 2m2 μ + α 2 .

Далее на рисунках, изображающих поведение L(λ), M(μ), заштрихованы интервалы, отвечающие реальному движению P. Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь встретиться. Положительная энергия α1 > 0

1. DM = m22 − 2α1α 2 < 0. В этом случае M1(μ) не имеет действительных корней, и M(μ) < 0 на интервале (−1,1). При μ = ±1, как следует из (12.1.1), x = ±λ, y = z ≡ 0, и области реального движения P соответствует условие λ > 1. 2. DM = 0. Тогда α 2 = m22 (2α1 ) −1 , DL = m12 − 2α1α 2 = m12 − m22 = 4m > 0. Полином M1 в этом случае имеет двойной кратности действительный корень μ1 = −m2 ( 2α1 ) −1 ≤ 0.

Полином L1 имеет два действительных корня λ1, 2 = −(1 m m ) 2 (2α1 ) −1 ≤ 0. Следовательно, наибольший корень полинома L(λ) есть λ4 = 1 (рис. 48). L (λ)

λ λ 2(3)

1

Рис. 48.

386

Часть III. Основные задачи небесной механики 1 2.1. α1 > m2 . Следовательно, −1 < μ1 ≤ 0 (рис. 49а). 2 Μ(μ)

μ

0 -1

1

μ1

x

0 P2

P1 μ = μ2

а)

б)

Рис. 49. Так как dM(μ1)/dμ = 0, то при μ = μ1 согласно (12.2.6) производная любого порядка от μ по τ равна нулю. Это значит, что во все время движения μ = μ1, а λ ≥ 1. Таким образом, материальная точка P в рассматриваемом случае движется по гиперболе μ = μ1, удаляясь на бесконечность (в зависимости от направления начальной скорости либо пересекая отрезок [P1P2], либо нет) (рис. 49б). При μ = μ 3, 4 = m1, λ ≥ 1 движение P по оси OX |x| ≥ 1 не реализуется, так как в этом случае, согласно (12.2.7), 1 dM ≠ 0 и μ ≡/ μ 3( 4 ) = const . (Аналогичная ситуация наблюдается и в (12.2.8), n2 = 4 dμ μ =n1 ряде случаев, о которых речь будет идти далее, и мы не будем каждый раз это специально оговаривать). 1 2.2. α1 = m2 , то есть μ1 = −1 (рис. 50а). Это корень тройной кратности, следовательно, 2 реальному движению P отвечают условия μ = m1, λ ≥ 1. Но движение P происходит по оси OX лишь при x ≤ −1, то есть x = −λ (μ = −1), λ ≥ 1 (рис. 50б). В зависимости от направления начальной скорости (а она ненулевая при α1 > 0) тело P либо столкнется с центром P2, либо уйдет на бесконечность. Μ(μ)

μ -1

1

x P2

а)

P1 б)

Рис. 50. 1 2.3. 0 < α1 < m2 , следовательно, μ1 < −1 (рис. 51), поэтому M(μ) < 0 на интерва2 ле (−1,1). В действительном движении этот случай не реализуется см. п.2.1).

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

387

3. DM > 0, то есть α 2 < m22 (2α1 ) −1 . Тогда, как нетрудно видеть, и DL > 0. Полиномы L1, M1 имеют по два действительных корня: λ1 < λ2 и μ1 < μ2, соответственно. Μ(μ)

μ μ1

-1

1

Рис. 51 3.1. 0 < α 2 < m22 (2α1 ) −1 . Легко видеть, что в этом случае все корни λ1, λ2, μ1, μ2 отрицательны. Снова λ4 = 1 — наибольший корень L(λ) (рис. 48). Для действительных корней M(μ) возможны различные соотношения: а) μ1 < μ2 < μ3 = −1 < μ4 = 1 (рис. 52). Тогда M(μ) < 0 на интервале (−1,1). В действительном движении этот случай не реализуется; Μ(μ)

μ μ1

μ 2 -1

1

Рис. 52. 1 б) 0 < α1 < m2 , α 2 = 2(m2 − α1 ), то есть μ1 < μ2 = −1 (рис. 53). Этот случай анало2 гичен рассмотренному в п.2.2;

Μ(μ) μ1

μ

μ 2 = -1 1

Рис. 53. в) 0 < 2α1 < m2, 0 < α2 < 2(m2 − α1), то есть μ1 < μ3 = −1 < μ2 (рис. 54а). Следовательно, M(μ) ≥ 0 на отрезке [−1,1] лишь при −1 ≤ μ ≤ μ2 < 0 и μ = 1. Материальная точка P будет, совершая колебания возле отрицательной части оси OX внутри гиперболы μ = μ2, уходить на бесконечность (рис. 54б). Возможно также

388

Часть III. Основные задачи небесной механики

движение тела P, когда оно, приближаясь к неподвижному центру P2, один раз пересечет отрезок [P1P2] и уйдет на бесконечность. Если же значения λ = 1, μ = −1 будут достигнуты одновременно, то материальная точка P столкнется с центром P2. Подобная возможность заложена и в других рассматриваемых далее случаях, и каждый раз отдельно не будут оговорены случаи одновременного достижения значения λ = 1 и μ = −1 (или μ = 1, тогда тело P сталкивается с неподвижным центром P1);

Μ(μ)

μ1

μ2

-1

μ

0

0 0 P2 P2

1

x

x

P1 P1

μ =μμ=2 μ2 б) б)

а)

Рис. 54. 1 m2 < α1 < m2 , α 2 = 2(m2 − α1 ), то есть μ1 = −1 < μ2 < 0 (рис.55а). Следователь2 но, M(μ) ≥ 0 на отрезке [−1,1] при −1 ≤ μ ≤ μ2 и μ = μ4 = 1 (L(λ) ≥ 0 при λ ≥ 1).

г)

Μ(μ)

μ

0 μ 3 = μ 1 = -1

μ2

1

x

0 P2

P1 μ = μ2

а)

б)

Рис. 55. Движение материальной точки P в принципе аналогично предыдущему случаю (п.3.1.в), но при этом возможно также движение по оси OX (μ = −1, λ ≥ 1) по лучу x ≤ −1 с уходом на бесконечность или до столкновения с неподвижным центром P2 (рис. 55б); 1 д) α 1 > m2 , α 2 > 0, 2(m2 − α 1 ) < α 2 < m22 (2α1 ) −1 . Тогда −1 < μ1 < μ2 < 0 (рис. 56а). 2 Возможному движению P отвечают условия: λ ≥ 1; μ1 ≤ μ ≤ μ2 < 0 и μ = ±1. Реальное движение материальной точки P происходит между двумя гиперболами μ = μ1 и μ = μ2 (рис. 56б).

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

389

Μ(μ) μ1 -1

μ2

μ

0

x

0

1

P2

P1

а)

б)

Рис. 56. 3.2. α2 ≤ 0. Теперь заведомо DL > 0, DM > 0. Полиномы L1, M1 имеют по одному отрицательному и одному неотрицательному корню: λ1 < 0, λ2 ≥ 0 и μ1 < 0, μ2 ≥ 0: а) α2 ≤ −2(α1 + m1). В этом случае имеем λ1 < −1, λ2 > 1, μ1 < −1, μ2 > 1 (рис. 57а,б). Возможному движению P отвечают условия: λ = 1, λ ≥ λ2, −1 ≤ μ ≤ 1. Μ(μ)

L (λ)

λ λ1

-1

1

μ μ1

λ2

-1

а)

1

μ2

б)

x P2

P1 λ = λ2

в)

Рис. 57. Материальная точка будет двигаться вне эллипса λ = λ2 (или касаясь его) (рис. 57в); б) α2 = −2(α1 + m1). При этом, очевидно, λ2 = 1, μ1 < −1, μ2 > 1 (рис. 58а, 57б). Следовательно, неотрицательные значения полиномов M(μ) и L(λ) на искомых интервалах (см. раздел 3.1) достигаются при −1 ≤ μ ≤ 1, λ > 1 или λ = 1. Этот случай, в частности, соответствует движению материальной точки P по спирали, навивающейся на отрезок [P1P2] (рис. 58б). Возможно также движение по отрезку [P1P2] до столкновения с одним из центров (λ = 1, x = μ, |μ| ≤ 1), так как (см. п. 2.1);

dL =0 dλ λ =1

390

Часть III. Основные задачи небесной механики L (λ)

λ λ1

x

λ 2 =1

-1

P2

P1

a)

б)

Рис. 58. в) −2(α1 + m1) < α2 < −2(α1 + m2). В этом случае λ2 < 1, μ2 > 1, μ1 < −1 (рис. 48, 57б). Движение материальной точки P аналогично предыдущему случаю (п.3.2.б), однако при этом P может пересекать отрезок [P1P2], а движение по оси OX по отрезку [P1P2]] уже не реализуется; г) m < 1, α2 < −2(α1 + m2). При этом, как следует из (12.5.2), λ2 < 1, μ1 < −1, μ2 = 1 (рис. 48, 59а). Μ(μ)

μ μ1

-1

x

μ2 = 1

P2

а)

P1

б)

Рис. 59. В этом случае, как нетрудно показать, материальная точка P один раз пересекает отрицательную полуось оси OX вне отрезка [P1P2], затем пересекает этот отрезок и уходит на бесконечность в полуплоскость x > 0, асимптотически приближаясь к прямой, параллельной оси OX (рис. 59б). Возможно также движение по оси OX по лучу x ≥ 1 (μ = 1, x = λ, λ ≥ 1) до столкновения с центром P1 или с уходом на бесконечность (траектория выделена толстой линией на рис. 59б); д) m<1, −2(α1 + m2) < α2 < −2(α1 − m2), α2 ≤ 0. Тогда λ2 < 1, μ1 < −1, 0 ≤ μ2 < 1 (рис. 60а). Следовательно, в области определения λ, μ неотрицательность полиномов L(λ), M(μ) достигается при λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ μ2, μ4 = 1. В рассматриваемом случае P, периодически касаясь гиперболы μ =μ2, уходит на бесконечность (рис. 60б). Если μ2 = 0, то гипербола на этом рисунке заменится прямой x = 0 (см. ниже рис. 66б); е) m = 1, α2 = −2α1 . Тогда λ2 < 1, μ1 = μ3 = −1, μ2 = μ4 = 1 (рис. 61а). Таким образом, искомые допустимые области определяются условиями: λ ≥ 1, −1 < μ < 1 или μ = m1.

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

391

Μ(μ)

μ

μ2

μ1

-1

0

x

0 P2

1

а)

P1 μ = μ2

б)

Рис. 60. Μ(μ)

μ -1

1

x P2

а)

P1 б)

Рис. 61. При этом траектория материальной точки P пересекает отрезок [P1P2] и уходит на бесконечность в полуплоскость x > 0 или x < 0, асимптотически приближаясь к прямой, параллельной оси OX (рис. 61б). Возможно также движение по одному из лучей оси OX при x ≥ 1 или x ≤ −1 до столкновения с одним из центров или с уходом на бесконечность; ж) m < 1, α2 = −2(α1 − m2), α1 ≥ m2. Тогда λ2 < 1, μ1 = −1, 0 ≤ μ < 1 (рис. 62а). Следовательно, для искомых областей имеем λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ μ2 и μ4 = 1. Μ(μ)

μ

μ2 -1

0

1

x

0 P2

P1 μ = μ2

а)

б)

Рис. 62. Возможная траектория P представлена на рис. 62б. При μ2 = 0 гипербола заменяется прямой x = 0. Возможно также движение, аналогичное случаю п.2.2;

392

Часть III. Основные задачи небесной механики

з) −2(α1 − m2) < α2 ≤ 0, α1 > m2. При этом λ2 < 1, μ1 > −1, 0 ≤ μ2 < 1 (рис. 63а). Следовательно, областям возможных движений P отвечают условия: λ ≥ 1, μ1 ≤ μ ≤ μ2 (и μ = ±1). В этом случае P движется между двумя гиперболами μ = μ1 и μ =μ2, соприкасаясь не более одного раза с какой-то из них (рис. 63б). Как и прежде, при μ2 = 0 гипербола справа на рис. 63б заменяется прямой x = 0. Μ(μ)

μ1 -1

μ

μ2 0

x

0

1

P2

P1

μ = μ2

μ = μ1 б)

а)

Рис. 63. Нулевая энергия α1 = 0

Из (12.5.3) следует, что в этом случае L1 (λ ) = 2m1λ + α 2 , M 1 ( μ ) = 2m2 μ + α 2

( m1, 2 = 1 ± m).

При m ≠ 1 корни этих полиномов соответственно равны

λ1 = −α 2 (2m1 ) −1 , μ1 = −α 2 (2m2 ) −1 .

(12.5.4)

Рассмотрим лишь случай α2 ≥ 0. *) а) α2 > 2m2. Тогда μ1 < −1 (рис. 64). Следовательно, M(μ) < 0 на интервале (−1,1). В реальном движении этот случай не реализуется; Μ(μ)

μ

μ1 1

-1

Рис. 64. б) α2 = 2m2 (m ≠ 0). В этом случае −1 <λ1 < 0, μ1 = −1 (рис. 65а,б), поэтому возможными являются значения λ ≥ 1, μ = m1 . Рассматриваемый случай аналогичен случаю п.2.2 (случай положительной энергии). *)

Случай α < 0 полностью сводится к ранее рассмотренным типам движений [45].

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

393

L (λ)

λ λ1

-1

Μ(μ)

μ

μ 1 =-1

1

1

a)

б)

Рис. 65. При m = 1, когда в рамках данного предположения α2 = 2m2 = 0 (m2 = 1− m), L1(λ) = 4λ, M1(μ) ≡ 0, то есть dμ/dτ ≡ 0, μ = const; λ1 = 0. Следовательно, для области возможного движения P имеем λ ≥ 1, μ = const, (|μ| ≤ 1), так что этот случай аналогичен п.2.1, причем материальная точка P может двигаться по произвольной гиперболе μ = const (|μ| ≤ 1), а также по оси OX при |x| ≥ 1; в) 0 ≤ α2 < 2m2 (m ≠ 0). При этом −1 < λ1 ≤ 0, −1 < μ1 ≤ 0 (рис. 65а, 66а). Следовательно, для искомых значений λ, μ имеем λ ≥ 1, −1 < μ ≤ μ1, μ = μ 3( 4 ) = m1. Μ(μ) -1

μ

0 μ1

x

1

P2

0

a)

P1

б)

Рис. 66. Данный случай также аналогичен случаю положительной энергии (п.3.1в). При α2 = 0 следует, что μ1 = 0, и гипербола μ = μ1 заменяется прямой x = 0 (рис. 66б). Как следует из приведенного рассмотрения, при нулевой энергии типы движения материальной точки P принадлежат множеству (являются подмножеством) возможных движений с положительной энергией. Все эти движения инфинитны (неограничены). Отрицательная полная энергия (ограниченные движения) α1 < 0

I. DL = m12 + 2 | α1 | α 2 < 0. В этом случае согласно (12.5.3) у полиномов L1(λ) и M1(μ) нет действительных корней. Графики функций M(μ) и L(λ) (см. (12.5.2)) представлены на рис. 67а,б, то есть L(λ) < 0 при λ > 1 и M(μ) ≥ 0 при |μ| ≤ 1. Следовательно, действительное движение P не реализуется (см. п.2.1 для случая положительной энергии).

394

Часть III. Основные задачи небесной механики Μ(μ)

L (λ)

λ

μ -1

-1

1

1

а)

б)

Рис. 67. II. DL = 0 (m ≠ 0). Тогда DM = m22 + 2 | α1 | α 2 < 0, поэтому M1(μ) не имеет действительных корней. Зависимость M(μ) представлена на рис. 67a. Полином L1(λ) имеет двойной кратности ко−1

рень λ1 =m1(2|α1|) >0: 1 а) | α 1 |≥ m1 . При этом 0 < λ1 ≤ 1 (рис. 68а,б). Следовательно, L(λ) < 0 при λ > 1 и 2 L(λ) = 0 при λ = 1. L (λ)

L (λ)

λ -1

0

λ1

λ λ 1 =1

-1

1

а)

б)

Рис. 68. 1 m1 ; рис. 68б) на отрезке 2 [P1P2] до столкновения с одним из неподвижных центров (λ = 1, x = μ, |μ| ≤ 1); 1 б) | α1 |< m1 . Тогда λ1 >1 (рис. 69а). Следовательно, искомая область возможного 2 движения P определяется условиями λ = 1, −1 ≤ μ ≤ 1.

Реальное движение P реализуется лишь (при | α1 |=

λ = λ1

L (λ) λ1 -1

λ

x P2

1

a)

P1

б)

Рис. 69. В данном случае (см. случай положительной энергии — п.3.2.б) движение P происходит по эллипсу вокруг отрезка [P1P2] (рис. 69б).

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

III. −

1 m12 1 m22 < α2 < − 2 | α1 | 2 | α1 |

395

(m ≠ 0).

(12.5.5)

Теперь DL > 0, DM < 0. Следовательно, L1(λ) имеет два действительных корня 0 < λ1 < λ2: 1 а) | α1 |< m1 , α 2 < 2(| α1 | − m1 ) — так что удовлетворяется неравенство (12.5.5). 2 Тогда λ2 > λ1 > 1 (рис. 70а). Таким образом, для искомой области возможного движения P имеем λ = 1, λ1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ ≤ 1. L (λ)

λ -1

λ1

1

x

λ2

P2

λ =λ1

P1

λ =λ2

а)

б)

Рис. 70. Материальная точка P движется между двумя эллипсами вокруг отрезка [P1P2] (рис. 70б); 1 1 б) (1 − m ) 2 <| α1 |< m1 , α 2 = 2(| α 1 | − m1 ). В этом случае λ2 > λ1 = 1 (DM < 0) 2 2 (рис. 71а). Поэтому области возможных движений P определяются условиями 1 < λ ≤ λ2 или λ = 1, −1 ≤ μ ≤1. Материальная точка P в данном случае движется внутри эллипса λ = λ2 по спирали, навивающейся на отрезок [P1P2] (рис. 71б), или по этому отрезку до столкновения с одним из центров; L (λ)

λ = λ2

λ -1

λ 1=1

x

λ2

P2

P1 б)

а)

Рис. 71. 1 1 (1 − m ) 2 <| α 1 |< (1 + m ) 2 , 2(| α1 | − m1 ) < α 2 < m22 (2 | α1 |) −1 . 2 2 0 < λ1 < 1 < λ2 (рис. 72а).

в)

При

этом

396

Часть III. Основные задачи небесной механики L (λ)

λ -1

λ1

x

λ2

1

P2

P1 λ =λ2

а)

б)

Рис. 72. Следовательно, материальная точка P движется внутри эллипса λ = λ2, пересекая отрезок [P1P2] (рис. 72б); 1 1 г) m1 <| α1 |< (1 + m ) 2 , α 2 = 2(| α1 | − m1 ). В этом случае λ1 < λ2 = 1 (рис. 73). 2 2 Следовательно, для области возможных движений P имеем λ = 1, −1 ≤ μ ≤ 1. L (λ)

λ

λ 2 =1 λ1

-1

Рис. 73. Движение P в рассматриваемом случае аналогично случаю п.II.а (при | α 1 |=

1 m1 ); 2

1 m1 , α 2 < 2(| α1 | − m1 ) и (12.5.5). Тогда λ1 < λ2 < 1 (рис. 74). Следова2 тельно, L(λ) < 0 при λ > 1.

д) | α1 |>

L (λ)

λ λ1

-1

λ2

1

Рис. 74. Этот случай в реальном движении не реализуется. IV. α 2 = − m22 (2 | α1 |) −1

(m ≠ 0).

В данном случае DM = 0, DL > 0. Полином M1 имеет двойной кратности корень

μ1 = m2 (2 | α1 |) −1 ≥ 0.

Полином

λ1, 2 = (1 m m ) 2 (2 | α1 |) −1 :

L1(λ)

имеет

два

действительных

корня

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

397

1 (1 + m ) 2 . При этом λ 2 = (1 + m ) 2 ( 2 | α 1 |) −1 < 1 (рис. 74). Поэтому 2 L(λ) < 0 при λ > 1. Этот случай при действительном движении не реализуется; 1 б) | α1 |= (1 + m ) 2 . В этом случае λ2 = 1, μ1 = (1 − m )(1 + m ) −1 < 1 (рис. 73, 2 75а). Следовательно, область возможных движений P определяется условиями: λ = 1, −1 ≤ μ < μ1 или μ = μ1, или μ1 < μ ≤ 1.

а) | α1 |>

μ = μ2

Μ(μ)

μ -1

μ1 а)

P2

1

P1

x

0 λ = λ2

б)

Рис. 75. Материальная точка P в рассматриваемом случае находится на отрезке [P1P2] в точке x = μ1, в которой, как нетрудно видеть, сумма сил притяжения неподвижными центрами P1 и P2 равна нулю, пребывая там в состоянии неустойчивого равновесия: небольшое отклонение к какому-либо центру заставит P двигаться к нему до столкновения. Возможно также движение со стороны какого-либо центра по отрезку [P1P2] к этой точке равновесия, для достижения которой потребуется бесконечно большое время, и материальная точка P приходит к ней с нулевой скоростью; 1 1 в) m2 <| α 1 |< (1 + m ) 2 . Тогда μ1 < 1, λ1 < 1 < λ2 (рис. 75а, 72а). Поэтому для 2 2 области возможных движений имеем условия: 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ < μ1 или μ = μ1, или μ1 < μ ≤ 1. Материальная точка P движется в одной из частей эллипса λ =λ2, на которые его делит гипербола μ = μ1 (рис. 75б), периодически касается эллипса и, совершая колебания, будет неограниченно приближаться к гиперболе μ =μ1. Возможно также колебательное движение по этой гиперболе внутри эллипса λ = λ2; 1 г) | α1 |= m2 , m < 1. В этом случае λ1 < 1 < λ2, μ1 = 1 (рис. 72а, 76а). Следова2 тельно, функции L(λ), M(μ) неотрицательны при 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ < 1 или μ = 1. Движение материальной точки P в рассматриваемом случае происходит внутри эллипса λ = λ2 с периодическим пересечением отрезка [P1P2] и асимптотическим приближением к отрезку [P1A] (рис. 76б). Возможно и движение P по отрезку [P1A] до столкновения с центром P1 (μ = 1, x = λ, 1 ≤ λ ≤ λ2);

398

Часть III. Основные задачи небесной механики λ = λ2

Μ(μ)

μ

P2

A

μ 1 =1

-1

x

P1

а)

б)

Рис. 76. 1 1 (1 − m ) 2 <| α1 |< m2 . При этом λ1 < 1 < λ2, μ1 > 1 (рис. 72а, 77). Та2 2 ким образом, области возможных движений определяются условиями 1 ≤λ ≤ λ2, −1 ≤ μ ≤ 1. Рассматриваемый случай аналогичен п.III.в;

д) m < 1,

Μ(λ) μ1 -1

μ

1

Рис. 77. 1 е) | α1 |= (1 − m ) 2 (m ≠ 0). Тогда 1 = λ1 < λ2, μ1 > 1 (рис. 71а, 77). Этот случай 2 аналогичен п.III.б; 1 ж) | α1 |< (1 − m ) 2 , m < 1. При этом 1 < λ1 < λ2, μ1 > 1 (рис. 70а, 77). Данный 2 случай аналогичен п.III.а.

V. α 2 > −m22 (2 | α1 |) −1 . Теперь DM > 0, DL > 0; полиномы L1(λ), M1(μ) имеют по два действительных корня λ1 < λ2 и μ1 < μ2 соответственно, причем λ2 > 0, μ2 > 0, так как по предположению α1 < 0. 1 а) | α1 |> (1 + m ) 2 , − m22 (2 | α 1 |) −1 < α 2 < 2(| α1 | − m1 ). При этом −1 < λ1 < λ2 < 1 2 (рис. 74). Следовательно, L(λ) < 0 при λ > 1. Этот случай не реализуется; 1 б) | α1 |> (1 + m ) 2 , α 2 = 2(| α1 | − m1 ). В этом случае λ2 = 1, −1 < μ1 < μ2 < 1 2 (рис. 73, 78а). Таким образом, движение P возможно при λ = 1, −1 ≤ μ ≤ μ1 или μ2 ≤ μ ≤ 1.

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

399

Материальная точка P в рассматриваемом случае движется по оси OX, по отрезку −1 ≤ x ≤ μ1 или μ2 ≤ x ≤ 1 и сталкивается с одним из неподвижных центров (рис. 78б); -1

μ

1 μ2

μ1

x

μ2

μ1 P2

P1

Μ(μ) а)

б)

Рис. 78. 1 m2 , α 2 > − m22 (2 | α1 |) −1 , 2(| α1 | − m1 ) < α 2 < 2(| α1 | − m2 ). При этом 2 λ1 < 1 < λ2, −1 < μ1 < μ2 < 1 (рис. 72а, 78а). Следовательно, для возможных движений P имеем условия: 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ ≤ μ1 или μ2 ≤ μ ≤ 1. Материальная точка P движется в одной из частей эллипса, изображенных на рис. 79: левее гиперболы μ = μ1 или правее гиперболы μ =μ2, которых P периодически касается. Характер движения подобен случаю п.III.в, но в отличие от последнего теперь для материальной точки P недоступна часть эллипса, где μ1 < μ < μ2;

в)

| α1 |>

μ = μ2

λ = λ2

P1

B

A

x

P2 μ = μ1

Рис. 79. 1 m2 , α 2 = 2(| α1 | − m2 ), m < 1. В этом случае λ1 < 1 < λ2, −1 < μ1 < μ2 = 1 2 (рис. 72а, 80). Поэтому для возможных областей движения P имеем условия: 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ ≤ μ1 или μ = 1.

г) | α1 |>

Μ(λ) μ 2 =1 -1

μ1

Рис. 80.

μ

400

Часть III. Основные задачи небесной механики

Материальная точка P в рассматриваемом случае может двигаться левее гиперболы μ = μ1, как в предыдущем случае, либо по отрезку [P1A] до столкновения с центром P1 (рис. 79); д) m < 1, 2(| α1 | −m2 ) < α 2 < 2(| α1 | + m2 ). При этом λ1 < 1 <λ2, −1 < μ1 < 1 < μ2 (рис. 72а, 81). Следовательно, функции L(λ), M(μ) неотрицательны при 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ ≤ μ. Μ(μ)

μ μ1

-1

μ2

1

Рис. 81. Движение материальной точки P подобно случаю п.V.в, но реализуется лишь слева от гиперболы μ = μ1; 1 е) | α1 |< m2 , α 2 = 2(| α1 | − m2 ), m < 1. В этом случае λ1 < 1 < λ2, μ1 = 1 < μ2 2 (рис. 72а, 82). Поэтому возможные области движения P определяются условиями: 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ < 1 или μ = 1. Рассматриваемый случай аналогичен п.IV.г; Μ(μ)

μ μ2

μ 1=1

-1

Рис. 82. m22 1 ж) | α1 |< m2 , m < 1, 2(| α 1 | − m1 ) < α 2 < 2(| α1 | − m2 ), причем α 2 > . В дан2 2 | α1 | ном случае λ1 < 1 < λ2, 1 < μ1 < μ2 (рис. 72а, 83). Следовательно, для возможных областей движения P имеем условия: 1 ≤ λ ≤ λ2, −1 ≤ μ ≤ 1. μ2

-1 1

μ

μ1 Μ(μ)

Рис. 83. Данный случай аналогичен п.III.в;

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

з) | α1 |<

401

1 (1 − m ) 2 , α 2 = 2(| α1 | − m1 ), m < 1. При этом 1 = λ1 < λ2, −1 < μ1 < μ2 2

(рис. 71а, 83). Рассматриваемый случай аналогичен п.III.б; 1 и) | α1 |< (1 − m ) 2 , − m22 (2 | α1 |) −1 < α 2 < 2(| α1 | − m1 ), m < 1. В этом случае 2 1 < λ1 < λ2, 1 < μ1 < μ2 (рис. 70а, 83). Следовательно, данный случай аналогичен п.III.а; к) m = 1, α 2 = 2 | α1 | . Тогда λ1 < 1 < λ2, μ1 = −1, μ2 = 1 (рис. 84а, 72а). Поэтому области возможных движений P определяются условиями: 1 ≤ λ ≤ λ2, μ = ±1. Материальная точка P движется по отрезку [AP1] или [BP2] (то есть x = ±λ, 1 ≤ λ ≤ λ2) и сталкивается с соответствующим центром (рис. 84б); л) m < 1, α 2 = 2(| α1 | + m2 ). При этом λ1 < 1 < λ2, μ1 = −1, μ2 > 1 (рис.72а, 85). Следовательно, функции L(λ), M(μ) неотрицательны при 1 ≤ λ ≤ λ2, μ = −1. Движение материальной точки P в рассматриваемом случае происходит по отрезку [P2B] до столкновения с центром P2 (см. рис. 84б); μ 1 =-1

μ

μ 2 =1

P1

P2

B

A

x

λ = λ2

Μ(μ) а)

б)

Рис. 84. Μ(λ) μ 1=-1

μ

1 μ2

Рис. 85.

м) α 2 > 2(| α1 | + m2 ). В этом случае μ1 < −1, μ2 > 1, λ1 < 1 < λ2 (рис. 72а, 86). Следовательно, M(μ) < 0 на интервале (−1,1). Поэтому данный случай не реализуется. μ1

μ2 1

μ

-1 Μ(μ)

Рис. 86.

402

Часть III. Основные задачи небесной механики

Все, что указывалось в разделе 12.3 об условиях периодичности финитного движения материальной точки P в пространственном варианте, непосредственно распространяется и на плоский случай. Поскольку в плоском случае движение описывается только двумя координатами λ, μ, то для того, чтобы условно-периодическое движение стало периодическим, достаточно потребовать выполнения условия (12.13.9). Тогда величина каждой из частей этого равенства и будет периодом движения по переменной τ, а траектория P окажется замкнутой. Если условие (12.13.9) не выполняется при конечных величинах Ωλ, Ωμ, то траектория всюду плотно заполняет конечную область, в которой движется материальная точка P. Во всех случаях плоского и пространственного движения, когда полином L(λ) или M(μ) имеет кратные корни, уравнения для соответствующей переменной интегрируются в элементарных функциях, в которые вырождаются ℘-функции Вейерштрасса [35]. 12.6. Обобщенная задача двух неподвижных центров Рассмотрим теперь задачу двух неподвижных центров при условии, что расстояние между силовыми центрами (то есть на рис. 38 — длина отрезка [P1P2]) является некоторым параметром c, так что потенциал задачи двух неподвижных центров будет иметь вид *) : m m (12.6.1) U0 = 1 + 2 , r1 r2

где единица измерения времени выбрана так, чтобы гравитационный потенциал равнялся единице, m1 и m2 — массы соответствующих силовых центров, которые для удобства дальнейших сопоставлений в данном случае (в отличие от рис. 38) будем считать располагающимися вдоль оси OZ, так что квадраты расстояний r1 и r2 от них до произвольной точки P(x,y,z) равны

r12 = x 2 + y 2 + ( z − c1 ) 2 , r22 = x 2 + y 2 + ( z + c2 ) 2 , c = c1 + c2 .

(12.6.2)

Величину параметра c выберем из следующих соображений. В разделе 7.11 для гравитационного потенциала (силовой функции) твердого тела T произвольной формы было получено следующее разложение в ряд по сферическим функциям (см. (7.11.15)):

U = U1 + U 2 ,

(12.6.3)

n ∞ ⎤ ⎡ ⎛ r0 ⎞ J Pn (sin ϕ )⎥ , 1 + ⎟ ⎜ ⎢ ∑ n ⎥⎦ ⎢⎣ n=2 ⎝ r ⎠ n ⎫⎪ M ⎧⎪ ∞ n ⎛ r0 ⎞ ( m ) U 2 = ⎨∑∑ ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) K n ,m cos(mλ ) + S n,m sin(mλ ) ⎬ . r ⎪⎩ n=2 m=1 ⎝ r ⎠ ⎪⎭

(12.6.4)

где

U1 =

M r

[

*)

]

Ниже будет показано, что вводимый параметр не является лишь масштабным, а при тех условиях, из которых он определяется, этот параметр фактически обуславливает введение "дополнительной степени свободы" — переход к комплексному евклидову пространству.

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

403

В (12.6.4), как и в разделе 12.1, постоянная Гаусса принята за единицу, M и r0 — соответственно масса и экваториальный радиус (характерный размер) твердого тела T, r — модуль радиус-вектора точки, в которой определяется потенциал (при этом предполагается, что эта точка располагается вне тела T), Pn(sinϕ) и Pn( m ) (sin ϕ ) —соответственно полиномы и присоединенные функции Лежандра вида (7.1.13) и (7.6.1), Jn, Kn,m и Sn,m — безразмерные коэффициенты, зависящие от формы и распределения масс внутри тела T и определяемые выражениями (7.11.6), и, наконец, λ и ϕ — соответствующие сферические координаты (см. рис. 27 и выражение (7.11.4)). Определим указанный выше параметр с таким образом, чтобы силовая функция U0 задачи двух неподвижных центров минимально отличалась бы от гравитационного потенциала U1, слагаемые которого не зависят от долготы λ и который является главной частью разложения полного потенциала (12.6.3). Для этого преобразуем выражения (12.6.2.) к виду 2

⎛c ⎞ zc r1, 2 = 1 m 2 1, 2 + ⎜⎜ 1, 2 ⎟⎟ , r r ⎝ r ⎠ где r = x 2 + y 2 + z 2 ,

z r = cos(90 o − ϕ ), так что, согласно (7.1.2), будем иметь n

1 1 ∞ ⎛ c1 ⎞ = ∑ ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ), r1 r n=0 ⎝ r ⎠

n

1 1 ∞ ⎛ c2 ⎞ = ∑ ⎜ − ⎟ Pn (sin ϕ ). r2 r n=0 ⎝ r ⎠

(12.6.5)

Тогда из (12.6.1) получим

U0 =

M r

∞ ⎤ ⎡ cn∗ 1 + ⎢ ∑ n Pn (sin ϕ )⎥. ⎦ ⎣ n=1 r

(12.6.6)

Здесь M = m1 + m2 ,

Mc n∗ = m1c1n + ( −1) n m2 c 2n .

Сопоставляя (12.6.6) и первое выражение (12.6.4), заключаем, что потенциал задачи двух неподвижных центров в форме (12.6.1), (12.6.2) может представлять силовую функцию U1 некоторого осесимметричного тела, если выполняются следующие условия: m1 + m2 = M , c1∗ = 0, ck∗ = J k r0k ( k = 2, 3, ...), или m1 + m2 = M , m1c1 − m2 c2 = 0, m1c1k + ( −1) k m2 c2k = MJ k r0k ( k = 2, 3, ...). (12.6.7) Из первых двух соотношений (12.6.7) следуют выражения

m1 = Mc2 / c, m2 = Mc1 / c, c = c1 + c2 ,

(12.6.8)

определяющие массы двух неподвижных центров через величины параметров с1 и с2, которые, в свою очередь, при J2 ≠ 0 однозначно могут быть определены их последнего соотношения (12.6.7) при k = 2 и k = 3: m1c12 + m2 c22 = MJ 2 r02 , m1c13 − m2 c23 = MJ 3 r03 ,

404

Часть III. Основные задачи небесной механики

или, с учетом (12.6.8), c1c2 = J 2 r02 , c1 − c2 =

J3 r0 . J2

(12.6.9)

Из равенств (12.6.9) следует, что величины с1 и (−с2) являются корнями квадратного уравнения J (12.6.10) χ 2 − 3 r0 χ − J 2 r02 = 0, J2 решая которое удается определить с1 и с2, а далее, на основании (12.6.8), — и массы двух неподвижных центров m1, m2. При этом первые три слагаемых ряда (12.6.6) и ряда (12.6.4) для гравитационного потенциала U1 будут совпадать. Но последующие слагаемые указанных рядов будут отличаться друг от друга, однако при достаточно больших r амплитуды этих слагаемых будут малы, так что гравитационный потенциал U1 осесимметричного тела и потенциал U0 вида (12.6.1), (12.6.6) задачи двух неподвижных центров будут отличаться незначительно (слагаемыми порядка ~ ( r0 r ) 5 ). Если для рассматриваемого тела T, все характеристики которого будем считать вещественными величинами (причем так, что M и r0 принимают лишь положительные

[

]

значения), дискриминант D = r02 4 J 2 + ( J 3 J 2 ) 2 уравнения (12.6.10) является положительной величиной, то корни χ1 = c1 , χ 2 = −c2 этого уравнения будут действительными величинами и поэтому массы m1,2, определяемые (12.6.8), двух неподвижных центров также будут вещественными величинами. Этот случай реализуется, в частности, для вытянутого эллипсоида вращения, когда J2 > 0. Но большинство тел Солнечной системы близки по форме к сжатым эллипсоидам вращения (сфероидам), полярная ось которых меньше экваториальной. Так, для потенциала притяжения Земли (см. раздел 7.12) J 2 = −1082,63 ⋅10 −6 ,

J 3 = 2,54 ⋅10 −6 ,

и в этом случае 4 J 2 + ( J 3 J 2 ) 2 ≈ −4,325 ⋅10 −3 < 0. При отрицательном значении дискриминанта D уравнения (12.6.10) решения χ1 = c1 и χ 2 = −c2 будут уже комплексносопряженными величинами

c1 = c0 (−σ 0 + i ), c2 = c0 (σ 0 + i ),

(12.6.11)

где 2

c0 = r0

⎛ J ⎞ (− J 2 ) − ⎜⎜ 3 ⎟⎟ , σ 0 = J 3 ⎝ 2J 2 ⎠

(−4 J 23 ) − J 32 , i 2 = −1,

так что массы m1 и m2 (обобщенные массы), определяемые (12.6.8), также оказываются комплексно-сопряженными m1 =

M M (1 − iσ 0 ), m2 = (1 + iσ 0 ), i 2 = −1. 2 2

(12.6.12)

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

405

Из (12.6.11) следует, что постоянная c0 > 0 имеет размерность длины (~r0), а σ0 ≥ 0 есть безразмерная постоянная, характеризующая асимметрию тела T (в частности, Земли) относительно его экватора — то есть плоскости, проходящей через центр инерции тела T перпендикулярно к оси вращения. Для симметричного относительно экватора тела T, когда J3 = 0, а следовательно, σ0 = 0 величины c1 и c2 будут чисто мнимыми

c1 = c2 = ic0 ( i 2 = −1 ), а массы m1 и m2 — вещественными величинами m1 = m2 = M/2 *) . Таким образом, в случае, когда справедливы равенства (12.6.11) и (12.6.12), гравитационный потенциал (12.6.1) задачи двух неподвижных центров формально можно представить в следующей форме:

U0 =

M ⎡1 − iσ 0 1 + iσ 0 ⎤ + ⎥, ⎢ r2 ⎦ 2 ⎣ r1

(12.6.13)

где величины (по сути, уже не модули радиус-векторов) r1 и r2 будут определяться в комплексном евклидовом пространстве в виде: r12 = x 2 + y 2 + [z − c0 (i − σ 0 )] , 2

r22 = x 2 + y 2 + [z + c0 (i + σ 0 )] , i 2 = −1. 2

(12.6.14)

Получающуюся задачу, в которой массы (12.6.12) двух неподвижных центров являются комплексно-сопряженными величинами, а сами неподвижные центры располагаются уже в комплексном евклидовом пространстве на расстоянии c = |2ic0| друг от друга, принято называть обобщенной задачей двух неподвижных центров. Поскольку при этом обобщенные массы (12.6.12), а также значения r1 и r2, определяемые (12.6.14), являются комплексно-сопряженными величинами, то гравитационный потенциал (12.6.13) обобщенной задачи двух неподвижных центров, который, как было показано выше, с точностью до 4-й зональной гармоники J4 совпадает с гравитационным потенциалом сжатого эллипсоида вращения, будет являться вещественной величиной **) . Если ввести, аналогично (12.1.1) (с учетом "перестановки координат" x и z), новые действительные переменные λ, μ, W выражениями

x = c0 βˆ 3 cosW ,

y = c0 βˆ 3 sin W ,

z + c0σ 0 = c0 λμ ,

(12.6.15)

в которых

βˆ3 = ( βˆ1 βˆ 2 )1/ 2 , βˆ1 = λ2 + 1, βˆ 2 = 1 − μ 2 , λ ≥ 0, | μ |≤ 1,

(12.6.16)

c0 определяется (12.6.11), то из (12.6.14) получим ± r1 = c0 (λ − iμ ), ± r2 = c0 (λ + iμ ), *)

Для гидростатически равновесных тел все нечетные зональные гармоники J 2n-1 (n = 1, 2, …) равны нулю. При c1 = c2 (σ0 = 0), как следует из (12.6.7), с 2∗n −1 = 0 (n = 1, 2, ...), так что гравитационный потенциал (12.6.6) задачи двух неподвижных центров в этом случае также будет содержать лишь четные зональные гармоники. **) Из (12.6.6)-(12.6.9) также нетрудно видеть, что все коэффициенты c n∗ , входящие в выражение силовой функции U0 ввиду комплексной сопряженности величин (−c1) = c0(σ0−i) и c2 = c0(σ0+i), будут являться действительными величинами.

406

Часть III. Основные задачи небесной механики

или, предполагая, что r1 + r2 — вещественная положительная величина, будем иметь

λ=

r1 + r2 r −r , iμ = 2 1 . 2c 0 2c 0

(12.6.17)

Далее, проводя преобразования, аналогичные (12.1.3), (12.1.4), для рассматриваемого случая обобщенной задачи двух неподвижных центров также приходим к канонической системе вида (12.1.5) с гамильтонианом H = T − U0, в котором

~ ~ M ⎡1 − iσ 0 1 + iσ 0 ⎤ M (λ + σ 0 μ ) 1 ⎡ λ 2 μ~ 2 W 2 ⎤ + U0 = = + + , T= 2⎢ ⎥. 2c0 ⎢⎣ λ − iμ λ + iμ ⎥⎦ c0 (λ2 + μ 2 ) 2c0 ⎣ g11 g 22 g 33 ⎦ Здесь, в свою очередь, ~

~

λ = c02 g11λ& , μ~ = c02 g 22 μ& , W = c02 g 33W& , g11 =

( βˆ1 − βˆ 2 ) , βˆ

g 22 =

1

( βˆ1 − βˆ 2 ) , βˆ

g 33 = βˆ 32 .

(12.6.18)

2

Следовательно, уравнение Гамильтона-Якоби в данном случае, аналогично (12.1.7), будет, с учетом (12.6.16), иметь вид 2 ⎡ ⎛ ∂S ⎞ 2 ⎛ ∂S ⎞ 1 ˆ ˆ ⎢ β1 ⎜ ⎟ + β 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + 2c0 ( βˆ1 − βˆ 2 ) ⎢⎣ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂μ ⎠

⎤ ⎛ 1 ⎞⎛ ∂S ⎞ 2 1 + ⎜⎜ − ⎟⎟⎜ ⎟ − 2Mc0 (λ + σ 0 μ )⎥ = α1 , ˆ ˆ ⎥⎦ ⎝ β 2 β1 ⎠⎝ ∂W ⎠

(12.6.19)

где α1 — произвольная постоянная (интеграл энергии α1 = H), S(λ,μ,W) — функция преобразования относительно которой и следует решить уравнение (12.6.19). Интегрируя методом разделения переменных уравнение Гамильтона-Якоби, получим (см. раздел 12.1) S = ±∫

[ Lˆ (λ )]1 / 2 [ Mˆ ( μ )]1 / 2 d λ ± ∫ 1 − μ 2 dμ + α 3W + ϕ (α1 , α 2 , α 3 ), 1 + λ2

(12.6.20)

причем Lˆ (λ ) = 2α1c02 λ4 + 2 Mc0 λ3 + (α 2 + 2α1c02 )λ2 + 2 Mc0 λ + α 2 + α 32 , (12.6.21) Mˆ ( μ ) = −2α1c02 μ 4 − 2 Mc0σ 0 μ 3 + (α 2 + 2α1c02 ) μ 2 + 2 Mc0σ 0 μ − α 2 − α 32 ,

а ϕ — произвольная дифференцируемая функция от α j ( j = 1,3). Подставляя далее (12.6.20) в (12.1.6) и учитывая соотношения (12.6.18), найдем

λ& = ±

α [ Lˆ (λ )]1 / 2 [ Mˆ ( μ )]1 / 2 & μ , = ± , W& = 2 3 2 , 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( β 1 − β 2 ) c0 ( β 1 − β 2 ) c0 β 3 c0

или, переходя к новой независимой переменной

Глава 12. Задача двух неподвижных центров

dτ =

407

dt , ( βˆ1 − βˆ 2 )c02

так что, согласно (12.6.16) и (12.6.17), βˆ1 − βˆ 2 = λ2 + μ 2 > 0 и переменная τ монотонно возрастает со временем, для переменных (12.6.15) λ, μ и W окончательно получим уравнения, аналогичные по форме уравнениям (12.2.6) и (12.2.10) раздела 12.2 2

2

⎛ dλ ⎞ ⎛ dμ ⎞ ⎜ ⎟ = Lˆ (λ ), ⎜ ⎟ = Mˆ ( μ ), ⎝ dτ ⎠ ⎝ dτ ⎠

⎡ 1 dW 1 ⎤ = α3 ⎢ − . 2 2⎥ dτ ⎣1 − μ 1 + λ ⎦

(12.6.22)

Таким образом, интегрирование, а также качественные исследования движений в обобщенной задаче двух неподвижных центров может быть проведено аналогично разделам 12.2 и 12.3. 12.7. Дополнения Классическая задача двух неподвижных центров впервые для случая плоского движения была проинтегрирована (сведена к квадратурам) Л. Эйлером в 1765 г., а в пространственном варианте ее решение было получено позднее Ж. Лагранжем и К. Якоби [46, 2]. Качественные исследования и классификация возможных форм движения были проведены в [47-49]. Полное решение классической задачи двух неподвижных центров в функциях Вейерштрасса было получено И. А. Герасимовым [45]. Практическое применение этого варианта задачи трех тел вначале рассматривалось лишь при исследовании движений комет под действием притяжения Солнца и Юпитера. Так как за время прохождения кометы вблизи Юпитера, имеющего период обращения примерно 12 лет, его можно в первом приближения считать неподвижным относительно Солнца. Еще одно практическое приложение задачи двух неподвижных центров будет рассмотрено далее в разделе 15.4. Оно связано с исследованием проблемы существования "диффузных образований" на обратной стороне Луны, которые могут быть вызваны касательными столкновениями комет, астероидов, фрагментов метеорных тел с Луной (система Земля—Луна—малое тело). Рассмотрение обобщенной задачи двух неподвижных центров, впервые подробно проведенное Е. П. Аксеновым, Е. А. Гребениковым, В. Г. Деминым [50], позволило применить при выборе промежуточной орбиты эту задачу к исследованию движений ИСЗ, причем не только искусственных спутников Земли, но и других больших планет *) . Гравитационный потенциал U0 обобщенной задачи двух неподвижных центров, который рассматривался в предыдущем разделе, был определен таким образом, чтобы его коэффициенты второй и третьей зональных гармоник совпадали с соответствующими коэффициентами аппроксимируемого гравитационного потенциала U1. Но, как оказывается, четвертая зональная гармоника приводит к появлению вековых слагаемых ("вековых неравенств") в оскулирующих кеплеровских элементах орбит ИСЗ, поэтому указанная аппроксимация гравитационного потенциала Земли силовой функцией

*)

Следует заметить, что на целесообразность применения задачи двух неподвижных центров в теории движения спутника сфероидальной планеты было впервые (в 1959 г.) указано Ричардом Ньютоном.

408

Часть III. Основные задачи небесной механики

обобщенной задачи двух неподвижных центров приемлема лишь для достаточно удаленных спутников Земли. В то же время возможно и иное определение параметров гравитационного потенциала U0 обобщенной задачи двух неподвижных центров. Если в (12.6.9) вместо равенства третьих гармоник разложений потенциалов U0 и U1 обеспечить равенство (или минимальное расхождение) четвертых зональных гармоник указанных потенциалов, то учитывая, что для Земли коэффициенты J3 и J4 одного порядка (см. раздел 7.12), а возмущения (первого порядка) от третьей гармоники периодические, различие "истинного движения" ИСЗ (в гравитационном поле с силовой функцией U1) от аппроксимируемого обобщенной задачей двух неподвижных центров промежуточного не будет иметь векового изменения. Следовательно, в некоторых случаях данный вариант аппроксимации гравитационного потенциала Земли U1 может оказаться предпочтительным.