Определить давление реки на берег

ОПРЕДЕЛИТЬ ДАВЛЕН1Е РЪКИ НА БЕРЕГЪ, НРОИСХОДЯЩЕЕ 01Ъ ВРАЩАТЕЛЬНАГО ДВИЯШИЯ ЗЕМЛИ ОКОЛО ЕЯ ОСИ.

Н. Д.

БРАШМАНА.

(Читано 20-го октября 1864 г.). 1. Объ этомъ вопрос* трактовано въ Comptes Rendus 1859 Л* № 18, 19, 20, 21 tome 49, но данныя тамъ р-бшешя оши­ бочны, поэтому считаю не лишнимъ дать общее его р1нпеше. Пусть будутъ х{, yt, zn координаты частицы жидкости относительно трехъ неподвижныхъ осей въ пространства, совпадающихъ въ конц* времени t съ подвижными х, у, z, изъ которыхъ первая есть касательная къ параллельному кру­ гу, направленная къ востоку, вторая касательная къ полуден­ ному кругу, направленная къ северу, и третья направлена къ центру земной сферы, им^емъ (Теорет. Механика 1859. стр. 103, ур. IX) сл$дующ1я уравнешя: d*x.

d2x

cl 11

cJ"ii

(1)...{ jfLzz=—|

rt

/

-, dz

t

. ~ dy\

~(ùuX

ri л

-f- 2OJ sink -rr + to^cosk. (ycosk—zsink)

—JL — —~ J- 2co cosk ~z &*sifik(ycosk—zsink), dt dt dt гдФ со означаетъ постоянную угловую скорость земли, и X широту м$ста точки (х, у, z)} потому что въ уравнешяхъ (IX)

— 214 — Wl

= 0, w2 = — tocosX, co3 = mink,

a = o, ß = 0, v = o

Относительно неподвижныхъ осей щ*емъ для опредЪлен!я давлешя въ т о ч и (*„ у „ * п ) у р а в н е н 1 я г и д р о д в д Р а м и к и :

D*. - р V

Не) '

гд^ Ш?£, Ьу{, ï)z{ означаютъ независимыя между собою без­ ост cl~y d?z конечно малыя величины. Вставивъ вместо ^-~ , -~ , —~ df ' dt'2 dt2 ихъ величины изъ уравнешй (1), зам^тивъ притомъ, что въ конце времени t оси xi} у { , zi совпадаютъ съ осями х, у , z, и что bxv Hy{i Bzl не завиеятъ отъ времени t, следова­ тельно J)xi=Bx, % , — % , Dzl=1Dz, получимъ:

(&=p(*-£)+4»**+-*2)+"> (2) • • • \

_ со 2рсоД {ycosk — zsinl)

[

+ to>mX. (ycosl — zsinA).

Пусть будетъ i уголъ направлена движешя или ™°?°°™_ v съ горизонтальнымъ ея проложешемъ, т. е. н а к Л ( ""\ жешя, а уголъ этого проложешя съ положительною У> dz . . dy_ . ^^vcorisma. Вставивъ л им'бемъ — = vsim, — = *>с<ш cos "' л/ Л

<*'

„

эти величины въ уравяешя (2), и помноживъ ственно на Их, By, D*, получимъ въ сумм

тлчъ COOTBtT-

215 -

*-#-£>+('-$М*-£Н+ 2pcot? s (cosk ш г -j- АгюХ С(Ш cosä) 1)х — smX cos« sina by — cosk cosi sina . J)z | +w2p J xDx—cosk.(ycosk—zsink)J)y-\-sink.(ycosk—zsink)Dz j . Отсюда видно что вращательное движете земли произво­ д и в въ точкФ х, у, z давлеше (3)... р< •= I 2o>pv j (cosk sini + sink cosi cosa)Dx — sink cosi sina Dy — cosk cosi sina. J)z J + I w2p J xBx^.cosk(ycosk^zsink).By^sink(ycosk^zsink)J)z

I.

Обыкновенно уголъ i столь малъ, что можно положить sini=i, cosi=zzît тогда уголъ а горизонтальнаго проложен!« скорости съ осью у равенъ углу самой скорости v съ осью у, и, если р = 1 , то уравнеше (3) принимаетъ елФдующЩ видъ (4)...

Pi

= 2<о Çv (ÄDx — BDy — CD«)

-f- ш2 I I xJ)x —- cos*kyDy — sin2kzDz -f- sinkcosk.D(yz) I , гд* для сокращешя положено: (5)... A=icosk-\-sinkcosa, B=sinksina}

C=cosksina.

Вставивъ вместо скорости v среднюю скорость vî и вздВ1ь штегралъ, получимъ

— 216 — (6)... р, = 2<о. в, (Ах — By — С«) со 2 ^(ж —y2eos2X— Z2MVX -f yzsin'ïk) -f- p0

гд* р0 означаетъ давлеше въ начал* координатъ. Возьмемъ начало координатъ на лФвомъ берегу у свобод­ ной поверхности, новую ось ч\ по направлешю течешя, ось I на правой сторон* течешя, и ось £ внутри жидкости по направлешю глубины, йм'вемъ:

х = \cosa-\-t\sina, у = -qcosa — Çsma, 2

<*•

Вставивъ эти величины въ уравнеше (6), получимъ: (7).... pt = 2со«, JA(ÇCO«I + vjewa)—B(»jeo*o — 5«»«) — С^ J + j j (Ecos«+7)sma)2-c<«sX(Y)cosa — &ww)c?—*«n*X

Положим*, что поперечное нормальное с*чешв ес™а* кость К, тогда для вс*хъ точекъ этой « ° « 0 " « ^ вставивъ величины А, В, С изъ уравненш(5) въ /;, (8)... Pi =»2^ Usirik + icoikcom) — cosXsma.y

2 с аа

+^И ( °* "~*

cos ä Xsw 2 a)—KewawSX

и мЪ :

_- £WX | + Po

5*17 —

2. Изъ уравнешя (8) заключаема

»

1) Разность давлешй pt—р0 для данной точки (£, £) берега зависитъ отъ координатъ этой точки, отъ скорости vl3 широ­ ты м^ета X, и отъ направлешя движенш, которое можетъ значительно изменить величину рл при большей ширина p'feки, что уже зам1>тилъ нашъ академикъ Беръ въ его наблюдешяхъ береговъ различныхъ р'Ькъ. Кром* того р{—pQ пропорщонально плотности р, если эта плотность неравна единиц*, 2) Когда Ширина рФки не столь велика, чтобы члены со­ держание о)2 и ко имФли приметную величину въ сравненш съ прочими членами уравнешя (8), тогда можно въ этомъ уравненш положить весьма приближенно (VIII)..... pt = 2сог?1 [ÇsmX — fyosksma] + Р0> следовательно при движенш къ северу или къ югу, т. е- для а = 0 или (7 = 180°, (VIII,)... p 1 = 2o)t71eîiiX.Ç. + р 0 , Для движенш къ востоку или къ западу а = 9 0 ° или а—3.90°, поэтому получимъ (VIIIJ). ..

Pi = 2(ot?4 j>mX qp ÇcosX] + p 0 ,

Въ этомъ случае для а = 9 0 ° давлеше р 4 = р 0 , когда £*тХ===Ссо*Х. Напр, для Х = 45° давлеше р 4 = р 0 когда £==!;. Для Х==30°3 Pi=P0 когда *( = 0,5773.Е. 3) Если разсмотримъ дв* точки дна р*Ьки на равной глу~ бин* 'С, первую по течешю на право отъ наибольшей глубины, т. е. на правомъ берегу, и вторую на л'Ьвомъ берегу, то давлеше р 4 больше на первую точку нежели на вторую, предполагая что ^sink^'Çcosksina, потому что въ уравненш (8) Ç больше для первой нежели для второй точки. Если же

— 218 — %sink<^Çcos°ksma, то давлеше, действующее на точку (%, £) меньше давлешяр0. 4) Какое бы ни было направлеше движешя, для точки пе~ рееечешя оси Ç съ правымъ берегомъ, где £ = 0, получимъ изъ уравнешя (VIII) pi — р 0 — Яш^гпк.Ъ, т. е. âw^smX помноженное на ширину реки. Какая бы ни была глубина £ точки въ плоскости ?;£ на правомъ или левомъ берегу, при направленш движешя а = 0 или а = 1 8 0 ° , имеемъ по урав­ нений (VIIIJ совершенно подобное поеледному выраженш для р{—р0; но \ означаетъ тогда не ширину реки, а горизон­ тальное проложеше разстояшя точки отъ начала координатъ. И такъ заменивъ рл чрезъ рл — р0 въ формуле, которую Babinè *) далъ для всякой глубины и всякаго направлешя движешя, т. е. pi = SScw^mX помноженное на ширину реки въ разсматриваемой точке, получимъ верное уравнеше только для одной точки пересечешя оси $ съ правымъ берегомъ; и только при а = 0 или а = 180°, формула верна для всякой глубины точки праваго берега, когда сечеше есть прямоугольникъ • 3. ш Чтобы найти составное S горизонтальныхъ давлешй целаго сечешя плоскостью ££, положимъ что периметръ сечешя еоетоитъ изъ несколькихъ прямыхъ и кривЫхъ лиши, и определимъ давлеше происходящее въ глубине £ подъ свободною поверхностью на прямоугольникъ, котораго основаше безконечно малый элементъ ds периметра, и высота по напра­ вленш течешя = 1. Нормальное давлеше йа этотъ прямоу­ гольникъ = ptds, и его проложеше на горизонтальную ли. dl dl um==plds. — , потому что - ~ есть косинусъ угла элеменС1Ь

(J/S

та ds съ вертикальною, или угла нормали съ горизонтальною, следовательно ptdl есть горизонтальное проложеше нормальнаго давлешя ptds въ глубине £, поэтому алгебраическая *) Comples Rerdus tome 49 page 775.

— 219 — сумма S ВСЁХЪ горизонтальныхъ давленШ на оериметръ, или H

О

составное горизонтальное давлеше S== I ptdÇ-|~" i P i ^ » где H О

н

означаетъ наибольшую глубину. Вставивъ величину рк изъ уравнешя (8), гголучимъ S = 2шг?1 (sink -\- icosk cosä) 1 ^dt +СА>2

I (cos*a— cos2k sin2a) | -z.fyCQ— —ц—sina J £ ÇcfÇ I

где все интегралы

распроераняются

на целый пери-

метръ. Проч1е интегралы уничтожаются. Но I %(%= площа­ ди U сЬчешя, I - . Ц-dÇ = US, j £. £
ф

+(o 2 I (cos*а — cos2k siri*a) S —* ^ $ш2Х sma.S I f Составное горизонтальное давлеше S направлено на пра­ вую или на левую сторону, смотря потому будетъ ли вторая часть этого уравнешя положительна или отрицательна. Уравнеше (9) показываешь: 1) что давлеше S всегда пропорцюнально площади U сЬчешя, и зависитъ вообще отъ направлешя движешя. 2) Если члены содержание о>2 и m столь малы въ сравнеши съ членомъ, который ихъ не содер­ жишь, что можно ими пренебречь, то (10)... S == 2 w t *тХ. U. Только въ этомъ случае S не зависитъ отъ направлешя движешя, и всегда направлено на правую сторону течешя.

— 220 — S) Когда движете происходитъ съ запада къ востоку, то c o s a = 0 , sma = 4, следовательно, по уравнение (9): J 2visink — to (cos2Xg + л s^n<^<) I Въ этомъ случде S можетъ быть отрицательно, когда StojSmX <^ g I S (1 + со$2Х) + çsm2X s. Напр. для прямоуголь­ ника котораго глубина = H и ширина = 6, это услов1е будетъ 2vtsink <^ со I - 4- - cos 2Х + 7 *w»2X | , и можетъ быть удовлетворено даже для большей широты места X, если скорость «! весьма мала, а ширина Ъ т. глубина H болышя.

Мы до сихъ поръ предполагали, что скорость для веехъ точекъ сЁченш одинакая, заменивъ переменную скорость v средцею г?|в Это требуетъ чтобы на единицу разетояшя по теченш отношеше R площади сЪчешя къ его периметру было постоянное, тогда по Taclini t ? 1 = 5 0 \ / * R . (См„ Bresse Mécanique appliquée 2-е volume, page 200). Чтобы дать примеръ определешя давлешя pt и составнаго S горизонтальныхъ давлешй при переменной скорости, положимъ что сечете есть прямоугольникъ, котораго шири­ на = b и глубина = Н. Если возьмемъ начало координатъ въ середин* свободной поверхности, то для какой нибудь точки плоскости ££ скорость будетъ: (H)... ^ = V — осР — J3Ç2где V означаетъ скорость въ начале координатъ. (См. Bresse Méc. appliquée 2-е vol. p. 196) Для определешя а и ß пусть будутъ Vj и W4 скорости на поверхности и на глубине £t y праваго или леваго берега, имеемъ

— 221

v

.= v -*(!)'' w ^ v - ^ ) _ 3 ; v ,

отсюда

(ii)..«="L_L,ß^ v '

w

<

Cl'

(i)"

Вставивъ въ уравнеше ( И ) величины \=xcosa— zsina,%—z, получимъ v=Y—a(xcosa—у sina)* — ßz2, следовательно мно­ житель при 2 со въ уравнения (4) будетъ: К=

Г[V — а(хсо*а — у sina)2 — ßz2] (Aux — ВЬу — CDs)

Но подъинтегральная величина 2-й части удовлетворяетъ уелов1ямъ интегрируемости только для точекъ въ данной го­ ризонтальной плоскости чрезъ уравнеше z = постоянной ве­ личина zr следовательно Bzi = 0, когда, пренебрегая членомъ который содержитъ г, положимъ А = sinkcosa; тогда К=

I [V—<x(xcosa—у sina)2— ß'Ci2](sin'kcosaDx—smksinaDy),

поэтому

jT~ — sinkcosa [V — ßz^ — a (xcosa — y sina)2],

DK ~— = - sink sin a [V — ßzt2 — a (xcosa — y sina)*]. Интегрируя первое изъ этихъ уравнешй по х, получимъ sin K=ty(y)-\-sinkcosa(Y— ßz2)x°™ -—(xcosa — ysinay, и для

Y

определешя ф(у) имеемъ: j'

•• = — sink sina [V — ßz{

2

— a(xcosa — ysina)2}

— asmksina(xcosa •—у sin)2 = •— sink sina (V — ßzi)Отсюда ф(у) = — sink sina (V — ßz{ 2)y, следовательно К =: (V — ßzi2) (xcosa — ysina)$ink—- ——(xcosa — ysina)2. 15

— 222 —

Заметив!, что xcosa — ysina = 2j, zt = Ç,, получимъ по ур. (4) и (8).

(13) . .

.Pi=2o:sm-k.^Ç~~^~^ 2

H—оГ[£2(со^2а—cos^Xsin2a) — ^^sinasin^k] + c» Уравнеше (12) даетъ для праваго или л'Ьваго берега, т. е. ъ * и ФУ 2V+V 4 для ç = =i=-, V — gl о / = = Ч ' сл-Ьдов,, означивъдля праваго берега величину р{ у поверхности чрезъ Р0, и на глубина ^ чрезъ Р . , получимъ изъ уравнешя (13) —"о—- ) +"5"- ~2~(со8*а--co«2A*m2a)-f- с. и всл$дств!е уравнешя (12)

t

2V 4- V

1

-|—— I -у (cos2a — cos2\sin2a) — ~ Clsina$in%~k I -f" сПусть будетъ для лФваго берега (Р0)х давлеше у поверхно­ сти и (Рс)х н а глубин!; £d, получимъ изъ ур. (13) /2V -4- V \ (Н,).. ( Р 0 ) х = - < о 6 « я Х ( - - ^ j 2 т2

+ —-т- (cos2а — cosaXsm2a)4-c. (15.) . . . ( p C i ) x = = : _ < 0 6 « i Ä [ £ I ± l ! _ ( Y 1 - W 1 ) ] 2 Г" 12

7

~i

4" о~ I "Т {css*a ~ cos^sirfa) -j- 0" ÇiSinasiniïk I -f~ c* Для движешя къ северу или къ югу а -=- 0 или а =180°, следовательно (16) . . . P0==cü6*mA( ~ ^ — Ч - r 2 Г 2 /

+

*'

— 223 —

(17) . . . P ^ a W h X [ ü + ^ - ^ - W J ] + ± ( t )

+ <••

(17,)... ( P Ç i ) x = _ M 6 S m ^ [ ^ ± b - ( V ) - W 1 ) ] + | ( f

)+«•

Сравнеше уравненш (16) и (16J. (17) и (17{) показываетъ очевидно что давлеше у поверхности и на какой ни­ будь глубин* X9i больше на правой нежели на лФвый берегъ. Для движешя къ востоку или къ западу я = 9 0 ° или а=3.90°, следовательно по ур. (14) и (15) (18) . . . P0=coôsmA^

3— 1 J— f ( — j - )

[2V -J-V

+ г. ~l

—f-'-Cv,—w 4)| 2

to Г /bcosiy b _ 1 cos 2s? n 2" V ' 2 / ^ 2 ^- ' ^ + c, • •* /2V4-VA l/ft>ieoÄ\* (18.) . . . (P,)x = - »bswl \—l—)i\~T~) + c-

to2 Г /bcosiy b "I 2" \ 2 / ^ 2 cos^-^sin^ + с ГДЕ въ скобкахъ верхнш знакъ соотв*тствуетъ а = 90°, и нижнш а=3.90°. Сличая уравнешя (18) и (18,) видимъ что, для движешя по параллельному кругу, у поверхности давлеше боль­ ше на л*вый нежели на правый берегъ. На глубин* £,, п р и движеши къ западу давлеше очевидно всегда больше на л4вый берегъ; при движеши къ востоку также числовая ве­ личина, (РсЛ> Р С,' П 0 Т ° М У ЧТ° ° ТЪ ° б Щ а г о У шхъ «ерваго 15*

224 члена вычитается въ выраженш Р. сумма, а въ выражеши (Р. ) х разность двухъ величинъ. Въ разсматриваемомъ случае переменной скорости мы пред­ полагали что сЬчеше есть прямоугольникъ, и тогда H и С меж­ ду собою независимыя величины. Но для всякаго другаго даннаго сЬчешя существуетъ известная зависимость между H и £, тогда, при интегрироваши ТЁХЪ членовъ въ выраженш составнаго давлешя S, которые содержатъ ВМЕСТЕ £ И d'Ç, должно заменить H чрезъ £ изъ даннаго между ними отно­ шения для периметра.