Методические указания к лабораторным работам по динамике вращательного движения и законам сохранения

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра радиофизики и электроники

Ю.Д.Лантух С.Н.Летута

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторным работам по динамике вращательного движения и законам сохранения

Оренбург 1999

4

ББК ……….. Р УДК

Работа № 3 Закон сохранения импульса баллистический маятник Цель работы: 1. Уяснить физический смысл понятия «импульс тела», изучить закон сохранения импульса. 2. Познакомиться с методом определения скорости снаряда пушки с помощью баллистического маятника. 3. Определить скорость снаряда пружинной пушки опытным путём.

1 Введение Закон сохранения импульса. Векторная величина ρ ρ P = mv , численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки. Для замкнутой системы тел установлен закон сохранения импульса (количества движения) - импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется:

ρ n ρ P ∑ i = ∑miv i = const . n

i =1

i =1

Из этого закона следует, что взаимодействие тел, составляющих замкнутую систему, приводит только к обмену импульсом между этими телами, но не может изменить общего импульса системы как целого. Если систему тел нельзя считать замкнутой, то импульс системы уже не остаётся постоянной величиной. В соответствии со вторым законом Ньютона изменение суммарного количества движения системы тел определяется в этом случае импульсом результирующей внешних сил:

ρ ρ d P ∑ i = Fdt . n

i =1

5

Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма компонентов всех этих сил в каком-либо определённом направлении, например в направлении оси x, равна нулю, то количество движения вдоль этой оси не изменяется и незамкнутая система в этом направлении может рассматриваться как замкнутая. Тогда n n ρ ρ d P = 0 ; ∑ ix ∑ Pix = const . i =1

i =1

Ни одна система тел на Земле не является замкнутой, если в эту систему не включена сама Земля. Однако если рассматривать движение системы в горизонтальном направлении, в котором компонент силы тяжести равен нулю, то система может быть замкнутой, даже если в неё не включена Земля. Баллистический маятник. Для определения скорости быстро движущегося тела среди других методов используется метод баллистического маятника. Баллистический маятник представляет собой вертикально подвешенное массивное тело. Оно может свободно отклоняться в вертикальной плоскости, когда внутрь его производится выстрел. Для баллистического маятника должно выполняться условие T >> τ , где T - период маятника; τ - длительность соударения. В опыте используется явление неупругого соударения двух тел. Для того чтобы упростить измерение и обработку полученных результатов, установка конструируется таким образом, чтобы удар движущегося тела в маятник можно было считать центральным и прямым. При обработке результатов измерения используется закон сохранения количества движения. Поэтому конструкция установки должна быть такой, чтобы можно было считать в момент соударения маятник и снаряд замкнутой системой в направлении вектора скорости. Перед соударением маятник покоится, а снаряд обладает некоторой скоростью v . Если удар неупругий, то после соударения маятник и снаряд движутся с общей скоростью v1 . В соответствии с законом сохранения импульса количество движения снаряда до удара должно быть равно общему количеству движения маятника и снаряда после удара. При сделанных предположениях о типе удара уравнение закона сохранения количества движения может быть записано в следующем простом виде: mv = (M + m )v 1,

(1)

где m и M - соответственно массы снаряда и маятника. Измерив предварительно массы маятника, снаряда и общую скорость после соударения v1 , можно вычислить скорость снаряда v . Вместо измерения общей скорости v1 можно измерить смещение маятника, которое он получает в результате удара. 6

При ударе снаряда в маятник система приобретает кинетическую энергию, равную после соударения (m + M )v12 . 2

(2)

Маятник приходит в движение и отклоняется на некоторый угол от вертикали. Центр масс системы маятник - снаряд поднимается на некоторую высоту h (рисунок 1). Если пренебречь трением в подвесе маятника и сопротивлением воздуха, то можно рассматривать систему маятник - Земля как замкнутую, консервативную и применять к ней закон сохранения механической энергии. В момент, когда отклонение маятника достигает максимальной величины, скорость v1 обращается в нуль, т.е. кинетическая энергия полностью превращается в потенциальную, равную (m + M )gh . Если масса снаряда много меньше массы маятника m << M , то её энергией можно пренебречь и записать уравнение закона сохранения и превращения энергии в виде:

Mv12 = Mgh , 2

(3)

откуда общая скорость маятника и снаряда после соударения v 1 = 2gh . Теперь можно найти скорость снаряда до удара. Из выражения (1) она равна: M v = v1. m Подставив сюда v1 из предыдущего равенства, найдём: v=

M m

2gh .

Следовательно, скорость снаряда можно вычислить, если мы измерим высоту подъёма h центра масс цилиндра над его положением в состоянии равновесия. Однако измерение вертикального перемещения довольно сложно. Его

(4)

ϕ l h

Рисунок 1

7

можно заменить более простым измерением угла отклонения маятника ϕ .

h = l (1 − cos ϕ ) = 2l sin 2

ϕ 2

.

Итак, скорость снаряда можно определить методом баллистического маятника, на основе закона сохранения импульса, v балл =

M +m 2gl (1 − cos ϕ ) . m

2 Экспериментальная часть Используя «математический» баллистический маятник определяют скорость снаряда и сравнивают с результатами измерений по времени полёта. Необходимые данные для расчётов: m1 = 63 г - масса мишени с пластилином - масса стержня m 2 = 24 г - расстояние от оси маятника до линии выстрела l = 300 мм Краткое описание установки. Пушка смонтирована на основании и крепится к платформе установки с помощью стоек с винтами. На стержень, укрепленный в кронштейне, надевается пружина (отогнутый фигурный хвостик пружины зацепляется за два штифта на кронштейне), затем снаряд. Координата торца снаряда, обращенного к кронштейну, отмечается по шкале, размещенной рядом со стержнем. Таймер измерительной системы ИСМ регистрирует время пролета снаряда между фотодатчиками. Каждый датчик содержит светодиод инфракрасного излучения в нижней части и приемный фотодиод в верхней части. Датчики срабатывают при перекрывании светового потока снарядом или другим предметом. Инфракрасное излучение невидимо, поэтому индикатором исправности и включения датчиков служит срабатывание таймера при перекрывании светового потока в датчике. После выходного датчика снаряд застревает в пластилине в приемном устройстве. Спусковое устройство содержит рейку с фиксирующими вырезами, зацеп и рукоятку, закрепленные на рейке. В кронштейне установлен фиксатор, задающий четыре положения рейки с шагом 25 мм. Подвес баллистического маятника содержит стойку с зацепом, ось, шкалу и датчик максимального отклонения. Стойка устанавливается вертикально на основании пушки так, чтобы зацеп стойки вошел в паз основания, при этом нижний конец стойки входит в прикрепленный к основанию хомут. Слегка вытянув ввернутый в стойку прижимной винт, обеспечивают ее неподвижность. Маятники подвешиваются на оси с помощью имеющихся на 8

них крючков, при этом центр мишени оказывается на линии выстрела. Расстояние от оси до линии выстрела равно 300 мм.

3. Порядок выполнения работы 1. Получить снаряд и пружину. Выбрать степень сжатия пружины (25; 50; 75 или 100 мм) и зафиксировать снаряд. 2. Произвести выстрел снарядом пушки в мишень баллистического маятника. 3. Для определения угла отклонения маятника делают два отсчёта по датчику угла максимального отклонения: при начальном (равновесном) положении маятника, когда датчик слегка касается стержня маятника, и после выстрела, когда датчик отклонён стержнем на некоторый угол. Угол отклонения маятника равен разности этих отсчётов. 4. Измерение времени полёта снаряда произвести с помощью таймера ИСМ-1. 5. Измерения произвести несколько раз. Подсчитайте средние значения v врем и v балл . 6. Результаты измерений занести в таблицу 1. Таблица 1 Координата груза на стержне (степень сжатия пружины) Время полёта, τ , мс Скорость снаряда, v врем ,м/с Угол отклонения маятника, град Скорость снаряда v балл , м/с Расчётная формула: v врем =

L

τ

,

где L =250 мм, τ - время полёта снаряда между датчиками пружинной пушки. v ‘ балл =

M +m 2gl (1 − cos ϕ ) . m

где M - приведенная масса маятника, равная массе мишени плюс одна треть массы стержня. Масса снаряда m = 7,15±0.05 г. Масса маятника M = 71 г. 9

7. Вычислите ошибки измерений скорости снаряда. Результат запишите в виде:

v = v ± ∆v .

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4.

Цель и порядок выполнения работы. Что такое импульс тела ? Сформулируйте закон сохранения импульса. В чём заключается метод измерения скорости тела методом баллистического маятника ? 5. Выведите расчетную формулу для скорости маятника ? 6. Почему системы маятник – снаряд можно считать замкнутой ? 7. Охарактеризуйте ошибки измерений в данной работе.

Литература, рекомендуемая для изучения темы 1. Стрелков С.П. Механика – М. «Наука», 1975. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики – М. «Наука», 1977-1980, т.1. 3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман И. Механика – М. «Наука», 1975.

10

Работа № 4 Закон сохранения момента импульса – вращательный баллистический маятник. Цель работы: 1.Уяснить физический смысл понятия «момент импульса». Изучить закон сохранения момента импульса. 2. Познакомиться с методом определения скорости снаряда с помощью вращательного баллистического маятника. 3. Определить скорость снаряда опытным путём.

1 Введение Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

ρ ρρ ρ ρ L = [r p ] = [r mv ], ρ где r - радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А ρ L O l

ρ p

ρ r

α A

ρ ρ p = mv - импульс материальной точки (рисунок 1), m - масса материальной точки, ρ v - её скорость. ρ L является псевдовектором, его направление совпадает с направлением поступательного движения правоρ ρ го винта при его вращении от r и p .

Р и Модуль вектора момента импульса

L = rp sin α = mvr sin α = pl ,

где l – плечо вектора p относительно точки О. Моментом импульса относительно оси Z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси. Пусть материальная точка массой m вращается вокруг оси Z по окружности радиуса R со скоростью v (рисунок 2). Выберем на оси некоторую точку О.

11

ρ ρρ Момент импульса материальной точки относительно О L = [r p ], а его проекция L z = L cos β . Момент импульса относительно оси скалярная величина. Численное значение момента импульса L относительно точки О: L = mvr , z

ρ ρ т.к. r ⊥v , а L z = rmv cos β . Если учесть, что r cos β = R , а угловая ρ v R v скорость вращения ω = то для вращающейся m R β материальной точки ρ L z = mR 2ω . r

Lz

ρ β L

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси Z каждая отдельная О

точка тела движется по окружности постоянного ρ ρ радиуса ri с некоторой скоростью v i . Скорость v i ρ и импульс m i v i перпендикулярен этому радиусу, ρ т.е. радиус является плечом вектора m i v i . Момент импульса отдельной частицы

L iz = m i v i ri . Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: n

L z = ∑ m iv iri . i =1

Используя формулу v1 = ωri , получим n

L z = ∑ m iri2ω = ω ∑ m iri2 = I z ω i =1

Величина Iz равная сумме произведений элементарных масс на квадрат расстояний до оси вращения называется моментом инерции тела. Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же осина угловую скорость.

Lz = I z ω .

12

Продифференцируем это уравнение по времени:

dL z dL dω = Iz = I z ε = M z , т.е. z = M z . dt dt dt Это выражение – одна из форм уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси. Mz здесь проекция момента внешних сил на ось Z. Можно показать, что имеет место векторное равенство.

ρ ρ dL =M . dt Изменить момент импульса тела можно с помощью момента внешних ρ сил. Если система замкнутая, то внешние силы на неё не действуют M = 0 . ρ Отсюда L = const . Последнее выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Рассмотрим как применяется этот закон для определения скорости снаряда с помощью вращательного баллистического маятника. Вращательный баллистический маятник собран на основе поворотного стола установки. Для того, чтобы стол мог совершать вращательные колебания, нужно перекинуть через верхний шкив стойки стола короткую нить, к двум концам нити прицепить две пружины, а вторые концы пружин прицепить к двум штырям, расположенным на оси нижнего ролика стойки. Через кабель с двумя разъёмами СШ-5 стол подключают к одному из разъёмов ИСМ и подключают этот разъём ко входу ИСМ. Придерживая нить, поворачивают стол так, чтобы в равновесном положении риска указателя находилась напротив нулевого деления шкалы. При этом должен светиться индикатор датчика на панели ИСМ. При колебаниях стола, если кнопка «:2» нажата, в течение одного периода колебаний таймер считает миллисекунды, в течение другого – высвечивает значение периода. Если кнопка «:2» отпущена, таймер измеряет часть периода (примерно половину). К подпружиненному столу прикрепляют мишень на линии выстрела. После выстрела удар снаряда можно считать абсолютно-неупругим, т.к. после него снаряд и маятник движутся с одинаковой скоростью. При этом закон сохранения механической энергии не выполняется, т.к. часть кинетической энергии летящего снаряда расходуется при ударе на деформацию пластилина. Закон сохранения момента импульса выполняется для системы тел снаряд-маятник.

mvl = Iω , 13

где m и v – масса и скорость снаряда до удара, l - расстояние от оси вращения маятника до мишени («прицельный параметр» l =120 мм), I – момент инерции маятника со снарядом, ω − угловая скорость вращения маятника. После удара кинетическая энергия маятника со снарядом превращается в потенциальную энергию пружин, соединённых с поворотным столом.

ϕ2 Iω 2 =k , 2 2 где k – жёсткость пружин, ϕ - угол максимального отклонения стола от первоначального (до удара) положения. Маятник будет совершать вращательные колебания с периодом

T = 2π

I . k

Из последних уравнений получим, что

v=

2πϕI . Tml

Таким образом для определения скорости снаряда необходимо определить: - ϕ - наибольший угол отклонения маятника после выстрела - Т – период вращательных колебаний стола.

2 Порядок выполнения работы 1. Собрать вращательный баллистический маятник и установить его в исходное положение. 2. Зарядить стреляющее устройство (пушку) и произвести выстрел. 3. Определить угол отклонения стола после попадания снаряда в мишень. Для этого удобно использовать датчик максимального отклонения, надеваемый на шкалу. 4. С помощью таймера ИСМ измерить период вращательных колебаний. 5. Опыт повторить 6-8 раз. 6. Данные занести в таблицу.

14

Таблица 1

m =m = ∆m =

ϕ

I =I = ∆I =

l =l = ∆l =

, ра д Т

,с 7. Вычислить средние значения и погрешности в определении ϕ и Т. Результат записать в виде:

ϕ = ϕ ± ∆ϕ

T = T ± ∆T

2πϕ I определить v Tm l 9. Рассчитать абсолютную погрешность ∆v = v ε , где ε - относительная погрешность. 8. По формуле v =

2

2

2

2

2

∆m   ∆I   ∆l   ∆ϕ   ∆T  ε =   +  +  +  +  .  m   I   l   ϕ   T  10. Ответ записать в виде: v = v ± ∆v

Контрольные вопросы 1. Что такое момент импульса материальной точки? Твёрдого тела? 2. Как определяется направление момента импульса? 3. В чём заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В каких системах он выполняется? 4. Что такое момент инерции тела? 5. Какова роль момента инерции во вращательном движении? 6. Охарактеризуйте метод измерения скорости снаряда с помощью вращательного баллистического маятника. 7. Что является главным источником ошибок в эксперименте?

15

Литература, рекомендуемая для изучения темы 1. Стрелков С.П. Механика – М. «Наука», 1975. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики – М. «Наука», 1977-1980, т.1. 3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман И. Механика – М. «Наука», 1975.

16

Работа № 5 Закон сохранения энергии Цель работы: 1. Изучение закона сохранения механической энергии. 2. Экспериментальная проверка этого закона при поступательном и вращательном движении тела.

1 Введение ρ Работой силы F , действующей на материальную точку массой m при ρ перемещении последней на dR , называют физическую величину, измеряемую скалярным произведением указанных величин: ρ ρ ρ∧ σ dA = FdR = FdR cos(F , dR )

(1)

ρ ρ Так как dR = v dt , то работу можно представить в виде: ρρ dA = Fv dt = Ndt , где скалярная величина

ρ∧ ρ N = Fv cos(F , v ) ,

(2)

определяет работу в единицу времени и называется мощностью. Работа за конечный промежуток времени равна: t

A = ∫ Ndt = 0

R2 ρ

ρ . F d R ∫

(3)

R1

В общем случае сила и скорость непараллельны друг другу. Но силу можно представить в виде суммы двух слагаемых: ρ ρ ρ F = FΙΙ + F⊥ , ρ ρ ρ ρ ρ где FΙΙ параллельна скорости v , F⊥ перпендикулярна ей. Так как F⊥v = 0 , то dA = FΙΙvdt =

dP 1 vdt = mvdv = d ( mv 2 ) . dt 2

17

Полная работа силы на конечном участке траектории, найденная интегрированием последнего выражения, равна: 1 1 A = mv 2 − mv 02 . 2 2

(4)

В окончательное выражение вошли величины, характеризующие начальное и конечное состояние движущейся точки (в отличии от выражения для работы (1), описывающего процесс, а не состояние). Физическая величина, определяемая состоянием точки (функция состояния) и равная: P2 1 2 mv = = Wк , 2 2m

(5)

называется кинетической энергией точки.

Уравнение (4) можно записать в виде: A = ∆Wк

(6)

и утверждать, что результатом работы силы, параллельной скорости, является изменение кинетической энергии точки (если точка не подвержена действию других сил). Так как сила, перпендикулярная скорости, не совершает работы, но лишь изменяет направление скорости, то уравнение (6) сохраняет своё значение при любом направлении силы. ρ F

Пусть имеется невесомая горизонтальная пружина, имеющая постоянную жёсткость k . Один ρ x0 конец пружины закреплён (рисунок 1), к другому m F ρ прикреплено тело массой m и приложена сила F . Рассмотрим результат действия этой силы при пеx ремещении тела на произвольный отрезок от x 0 до Рисунок 1 x. Когда конец пружины совершит перемещеρ ние x , то сила упругости станет равной m

ρ ρ Fу = −kx .

На основании второго закона Ньютона запишем: ρ dP ρ ρ = F + Fу , dt

откуда 18

ρ ρ ρ dv F =m + kx . dt ρ ρ Умножив обе части этого уравнения на dx = vdt и проинтегрировав, поρ лучим полную работу, совершённую силой F :

1 k A = mv 2 + (x 2 − x 02 ) = ∆Wк + ∆W p . 2 2

(7)

Как видно, здесь результатом работы является не только прирост кинетической энергии тела массой m , но и изменение формы пружины, что учитывается вторым слагаемым, представляющим увеличение потенциальной энергии деформации, которая также является функцией состояния: 1 1 ∆W p = kx 2 − kx 02 . 2 2

(8)

Видно, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной: 1 ∆W p = kx 2 + const . 2 Поэтому во многих случаях удобно считать, что при x = x 0 она равна нулю. На тело, находящееся у поверхности Земли, всё время действует сила тяготения, направленная к центру Земли. Следовательно, при изменении расстояния тела от поверхности Земли (точнее, от её центра), сила тяготения, или сила тяжести, будет совершать работу. Так как работа есть мера изменения энергии тела, то перемещение тела в силовом поле тяготения из одной точки в другую либо требует затрат энергии, либо, наоборот, тело может отдать энергию. Определим величину этой энергии. Пусть тело массы m поднялось на высоту h под действием постоянной ρ силы F . Тогда на основании (1), работа действующей силы будет равна A = Fh . Приращение кинетической энергии тела подсчитаем на основании уравнения ρ ρ ρ dv F + FT = m , (9) dt ρ ρ где FT = mg - сила тяжести.

ρ Умножив обе части уравнения (9) на приращение пути dS и проинтегрировав от 0 до h , получим mv 2 mv 02 A = mgh + − = W p + ∆Wк , (10) 2 2

19

где v - скорость в конце пути, v 0 - скорость в начале пути.

ρ Следовательно, работа силы F на расстоянии h равна изменению кинеmv 2 mv 02 − плюс работа силы тяжести на пути h , тической энергии ∆Wк = 2 2 равная A = mgh . Очевидно, эта работа даёт увеличение потенциальной энергии тела в поле тяготения, которая является функцией состояния, т.е. W p = mgh .

К такому же выводу мы придём и в более общем случае, когда внешняя сила изменяется с расстоянием по любому известному закону, только величину раh

боты внешней силы следует определять по формуле A = ∫ Fdh . 0

Из (10) следует, что при v = v 0 , работа внешней силы равна работе силы тяжести. Если тело поднять на высоту h не по вертикальному пути, а по любому произвольному пути, конечная точка которого 2 лежит выше начальной точки 1 2 ρ ρ на расстоянии h , то работа внешней силы A = ∫ FdS будет равна: 1

ρ ρ F ∫ dS = mg (h 2 − h1 ) + ∆Wк , 2

(11)

1

где h 2 − h1 = h . Значит, величина потенциальной энергии зависит только от положения тела в поле тяготения и от величины его массы и не зависит от пути, по которому тело проходит из одной точки поля в другую. Таким образом, система тело - Земля обладает определённым запасом потенциальной энергии W p , величина которой равна W p = mgh + const .

Потенциальную энергию (как и в случае энергии деформации) можно определить с точностью до некоторой постоянной, которая равна потенциальной энергии при h = 0 . В общем случае потенциальная энергия сил тяготения двух тел определяρ ρ ется так (замечая, что FT dS = −mgdh ) : 2 ρ ρ U 2 − U 1 = mg (h 2 − h1 ) = − ∫ FT dS (12) 1

Или: работа сил тяготения (взаимодействия) двух тел с обратным знаком равна изменению потенциальной энергии. 20

Итак, если в механической системе действуют силы, зависящие только от относительного положения её частей, то состояние системы полностью описывается её потенциальной и кинетической энергией. Такие силы называют консервативными. Если внешние силы отсутствуют (замкнутая система), то нет и работы внешних сил. Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергии ( или полная энергия ) системы сохраняется. Но внутренние силы могут изменять соотношение между этими энергиями. Если в системе действуют только консервативные силы, то ее полная механическая энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике. Кинетическая энергия всегда положительна. Что касается потенциальной энергии, то выбор её нулевого значения произволен и она может иметь любой знак. Практически всегда важно знать не саму потенциальную энергию, а её изменение в ходе какого-либо механического процесса. 2 Порядок выполнения работы

I. Сравнение работы силы тяжести над грузом и кинетической энергии вращательного движения стола. На большой шкив стола радиуса R=20 мм намотать нить, включить тормоз стола, перекинуть нить через нижний и верхний шкивы стойки и подвесить на нить наборный груз. Щель диска стола должна находиться в зазоре фотодатчика. Измерить высоту нижнего края груза над основанием установки. Отпустить тормоз и измерить время одного оборота стола ϕ = 2π . Для этого кнопка «:2» должна быть нажата. После этого быстро затормозить стол. Таймер пока2ϕ и его жет время одного оборота. Определить угловую скорость стола ω = угловое ускорение β =

4π

τ2

τ

. Определить работу силы тяжести над грузом

A = mgR 2π и зная момент инерции стола I =

mgR

β

кг·м2, определить энергию

вращательного движения. Изменяя начальную высоту груза, радиус шкива, массу груза сравнить работу сил тяжести над грузом и кинетическую энергию вращательного движения стола. Результаты экспериментов представить в виде и заполнить таблицу 1 Работа сил тяжести A = mgR 2π , Дж : 4π -1 ,с : Угловая скорость ω = βτ =

τ

21

Iω 2 , Дж : Энергия вращательного движения W = 2 I= кг·м2, R = м, :

Таблица 1 Масса груза, m , кг Время первого оборота, τ , с

π τ

Угловая скорость, ω = 4 , с-1 Работа сил тяжести, A = mgR 2π , Дж Энергия вращательного движения, Iω 2 W = , Дж 2 II.

Проверка соотношения

kx 2 mv 2 = . 2 2

Для проверки этого соотношения используется пружинная пушка. Измеряют скорости различных снарядов с различными пружинами при различных их деформациях и исследуют зависимость скорости снаряда от его массы, от жёсткости и деформации пружины. Предварительно определяем жёсткости пружин. Результаты измерений записать в таблицу 2. Таблица 2 Определение жёсткости пружин Масса груза, m , г Расстояние верхнего торца пружины от платформы, x , мм Жёсткость пружины ∆mg R= ,Н/м ∆x

22

Пружина 1

Пружина 2

Пружина 3

Для проведения измерений: один конец пружины цепляется за штырь в основании установки, а ко второму концу цепляется нить; нить перекидывается через верхний шкив стойки и к ней подвешивается наборный груз; с помощью линейки определяется расстояние x от основания плиты установки до нижнего торца груза; зная ∆m и ∆x определяют жёсткость пружины k . После этого переходим к измерению скоростей различных снарядов. Установить на стержень пушки одну из пружин. Для этого, конец пружины снабжённый петлёй надеть на стержень и ввести его в зацепление с двумя штырями, фиксирующими её на стержне. Надеть на стержень снаряд и повернуть рукоятку против часовой стрелки до упора так, чтобы зацеп зацепился за снаряд. Двигая рейку назад, отметить координату снаряда, при которой начнёт сжиматься пружина. При сжатии пружины на 25, 50, 75 и 100 мм срабатывает фиксатор. После этого рукоятку рейки можно отпустить – рейка останется зафиксированной. Для производства выстрела нужно медленно поворачивать рукоятку по часовой стрелке до тех пор, пока зацеп не освободит снаряд. При измерении скорости снаряда по времени пролёта включить «ДАТЧИК 3» и перед выстрелом нажать кнопку «ГОТОВ». После выстрела таймер покажет время пролёта снаряда. Расстояние проходимое снарядом неизменно и равно d =250 мм. Результаты измерений представить в виде: Масса снаряда m =

кг, жёсткость пружины k =

Н/м,

и заполнить таблицу 3: Таблица 3 Координата груза на стержне Сжатие пружины, ∆x , м kx 2 Энергия пружины, , Дж 2 Время пролёта, τ , с

Скорость снаряда, v =

d

τ

, м/с

mv 2 Кин.эн. снаряда, ,Дж 2 КПД пушки, %

23

Вследствие конечной массы пружины и наличия сил трения коэффициент mv 2 меньше единицы. полезного действия пушки η = kx 2 Проделать подобные измерения для различных пружин и снарядов.

Контрольные вопросы 1. Работа и энергия. Мощность. 2. Кинетическая и потенциальная энергия тела. 3. Закон сохранения механической энергии. 4. Анализ ошибок измерений в данной работе.

Литература, необходимая для изучения темы 1. Стрелков С.П. Механика – М. «Наука», 1975. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики – М. «Наука», 1977-1980, т.1. 3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман И. Механика – М. «Наука», 1975.

24

Работа № 6 Динамика вращательного движения. Измерение моментов инерции. Цель работы: 1. Изучение основ динамики вращательного движения твердого тела. 2. Экспериментальное исследование зависимости ускорения твердого тела от момента сил и момента инерции системы. 3. Измерение моментов инерции тел. 4. Проверка теоремы Штейнера.

1 Введение Вращательное движение тела характеризуется угловым перемещением dϕ dω точек тела ϕ , угловой скоростью ω = и угловым ускорением β = . При dt dt таком движении все точки тела имеют одинаковое угловое ускорение. Перемещение любой точки вращающегося тела за промежуток времени ∆t можно измерить дугой окружности ∆S , пройденной точкой за это время. Выражая угловое перемещение точки тела ∆ϕ в радианах и обозначая через r радиус окружности, описываемой данной точкой вокруг оси вращения, получим: ∆S = r∆ϕ . При очень малом угловом перемещении точки тела ∆ϕ , величину ∆S можно заменить прямолинейным отрезком dS . Тогда dS = rdϕ

(1)

Отсюда следует связь между линейными и угловыми перемещениями точек вращающегося тела. Линейная (v ) и угловая (ω ) скорости, линейное (a ) и угловое (β ) ускорения точек вращающегося тела связаны друг с другом соотношениями: ρ ρ ρ ρ ρ ρ v = [ω × r ] ; a = β × r (2)

[

]

ρ Для определения направления вектора ω удобно пользоваться правилом ρ правого буравчика: вектор ω направлен по оси вращения в сторону поступательного движения острия буравчика, когда рукоятку его вращают в направлеρ нии вращения тела. Направление вектора β при увеличении угловой скорости ρ совпадает с направлением вектора ω , а при уменьшении ее направлен в противоположную сторону. При этом направление оси вращения тела должно оставаться неизменным, т.к. при изменении направления оси вращения тела вектор ρ ρ dω не будет совпадать по направлению с вектором ω . Для количественного описания вращательного движения тела удобно ввести некоторые новые (отличные от таковых для поступательного движения те-

25

ла) механические понятия и сформулировать второй закон Ньютона в этих понятиях. Отдельные элементы твердого тела, массами dm i , движутся с различныρ ми линейными скоростями v i . Обозначим расстояние элемента от оси вращения ri . Полная кинетическая энергия вращающегося тела равна: 1 2 1 ω2 2 Wk = ∫ v i dmi = ri dmi = Iω 2 ∫ 2 2 2

где

(3)

I = ∫ ri2dm i ,

(4)

есть величина, зависящая от распределения масс относительно оси вращения. Эту величину называют моментом инерции тела относительно данной оси. Она равна алгебраической сумме элементарных моментов инерции относительно той же оси dI = ri2dm i . Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела к изменению им угловой скорости под действием вращающего момента. Так как число возможных осей вращения неопределенно велико, то таково же и число моментов инерции, прочем ни один из них не может равняться нулю, так как все элементарные моменты положительны. Моменты инерции относительно осей, проходящих через центр масс, называются главными моментами инерции. Если тело симметрично, то оси проводят параллельно осям симметрии. Главные моменты инерции находятся методами интегрального исчисления. Например, момент инерции тонкого твердого стержня (рисунок 1) равен: l 2

1 m  I = 2 ∫ x 2  dx = mR 2 12 R 0

Z l 2

ось вращения l

2

(5)

Ниже приведены значения главных моментов инерции некоторых тел относительно различных осей вращения. Момент инерции тонкого кольца (тонкостенный круговой цилиндр, радиуса

26

R , толщина стенок d << R , масса m ), относительно оси цилиндр I = mR 2

Рисунок 1

(6)

Момент инерции кольца относительно любого диаметра равен: 1 I = mR 2 (7) 2 Момент инерции кольцевого цилиндра (внутренний радиус R1 , внешний R 2 ) относительно оси цилиндра равен:

(

1 I = m R12 + R 22 2

)

(8)

Момент инерции диска, относительно центрального диаметра, равен: 1 I = mR 2 2

(9)

Наконец, для шара момент инерции относительно любого диаметра, равен: 2 I = mR 2 5

(10)

Если ось вращения не проходит через центр масс, то момент инерции I относительно этой оси будет больше, чем момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно первой оси. Оба момента связаны между собой. Найдем эту связь. На рисунке 2 показано сечение вращающегося тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения и проходящей через o1 центр масс C , удаленный от оси вращения O1 на c расстояние R . Вращение вокруг оси O1 можно рассматривать как вращение вокруг оси C и одновременное вращение центра масс вокруг оси O1 со Р скоростью v . Для кинетической энергии тела имеем: Wk =

1 2 1 1 1 1 Iω = I 0ω 2 + mv 2 = I 0ω 2 + mR 2ω 2 . 2 2 2 2 2

27

Откуда получаем соотношение, называемое теоремой Штейнера: I = I 0 + mR 2

(11)

Момент инерции относительно данной оси равен моменту инерции I0 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс момент инерции относительно данной оси, вычисленный в предположении, что вся масса тела сосредоточена в центре масс. В качестве иллюстрации этой теоремы, определим момент инерции стержня относительно оси проходящей через один из его концов. В этом случае (рисунок 3) ось вращения

l 1 m  I z = ∫ x 2  dx = ml 2 0 3  λ 1 1 1 Нетрудно видеть, что ml 2 = ml 2 + ml 2 (вто3 12 4

Z

2

 λ рое слагаемое более наглядно записать в виде m   ), 2 что подтверждает теорему Штейнера. ρ Оценим теперь вращающее действие силы F 1, Рисунок 3 приложенной к твердому телу, имеющему неподвиρ жρ ную ось вращения (рисунок 4, а). Разложим силу F1 на две составляющие FII ρ ρ ρ и F . Как видно, сила FII не может вызвать вращение тела. Сила F , лежащая в плоскости вращения, наоборот, вызывает вращение. В свою очередь разложим ρ ρ эту силу F на составляющие (рисунке 4,б): F3 - действует вдоль радиусρ ρ ρ вектора R и F2 перпендикулярную ему. Сила F3 - вращения не создает, а сила ρ F2 , модуль которой равен S

S

o ρ FII

ρ R

ρ R ρ F

o ρ F2

ρ F1

α ρ F

а)

28

Рисунок 4

б)

ρ F3

F2 = F sin α будет создавать вращение, сообщая телу ускорение. Действуя на малом перемещении dS = Rdϕ = Rωdt , эта сила совершит работу: dA = F2dS = RF2ωdt (12) в результате чего кинетическая энергия получит приращение: dWk = Iωdω = dA . Отсюда следует: I Но

dω = RF2 . dt

dω = β есть угловое ускорение тела. Таким образом dt Iβ = RF2 = RF sin α .

Мы представили угловое ускорение вектором, параллельным оси вращения. Так как часть последнего уравнения есть модуль векторного произρ правая ρ ведения R × F , то, выбрав указанный порядок умножения, получим вектор ρ ρ M , параллельный β : ρ ρρ M = RF (13)

[

]

[ ]

ρ ρ F Величина M называется моментом силы , действующей в плоскости вращения, относительно оси вращения. Угловое ускорение связано с моментом силы соотношением ρ ρ Iβ = M .

(14)

Преобразуя левую часть уравнения (14) получим: ρ ρ ρ dω d (Iω ) dL I = = . dt dt dt ρ ρ L = I ω называется моментом импульса тела. Величина ρ Вводя L в уравнение (14), получаем уравнение движения вращающегося тела в виде: ρ ρ ρρ dL = M = RF (15) dt

[ ]

Итак, момент внешних сил изменяет момент импульса тела во времени. 29

2 Порядок выполнения работы Часть I. Изучение зависимости углового ускорения сложного тела (стол с расположенными на нём грузами) от момента сил и момента инерции системы. 2.1 Проверка равнопеременного характера движения стола.

Уравнение для угла поворота при равнопеременном вращении имеет вид: βt 2 ϕ = ϕ 0 + ω 0t + . 2 При ϕ 0 = 0 и ω 0 = 0, получаем 2ϕ β = 2 .

τ

Таким образом, экспериментальной проверкой уравнения описывающего равнопеременное вращательное движение будет служить отношение:

 τ2   τ  1

2

  = ϕ2 .  ϕ1 

На большой шкив стола радиуса R = 20 мм намотать нить, перекинуть её через ролики стойки и подвесить груз массой m = 100г . Включить тумблер «ТОРМОЗ», чтобы стол надёжно удерживался от вращения. Щель диска стола должна находиться в зазоре фотодатчика. Нажать кнопку «ГОТОВ» и выключить тормоз стола. Стол начинает вращаться, индикатор таймера погаснет, затем высветит время поворота стола на угол ϕ = π (если кнопка «:2» отжата) или ϕ = 2π (если кнопка ":2" нажата). В это время быстро включить тормоз стола и остановить вращение. Записать результаты измерений: τ 1 = … мс, τ 2 = … мс, (τ 2 τ 1 )2 = …… Теоретическое значение (τ 2 τ 1 )2 = ϕ 2 ϕ1 = 2. Сравнить полученный результат с теоретическим значением и сделать вывод о равнопеременности вращения стола.

30

2.2 Момент инерции.

Стол привести во вращение с помощью груза и нити, намотанной на шкив стола. Угловое ускорение стола определить так:

β=

2ϕ

τ2

.

Момент силы, очевидно, равен: Μ = mgR . Момент инерции, согласно (14), равен: Ι = Μ β = mgRτ 2 2ϕ . На столе разместить два цилиндра и исследовать зависимость углового ускорения и момента инерции от расстояния от оси вращения до цилиндров Результат экспериментов представить в виде Масса груза m, г Расстояние цилиндров от оси r, см

100

100

100

100

4

8

10

12

Время первого оборота τ, с Угловое ускорение β = 4π / τ 2 , c −1 Момент инерции Ι = mgR β , кг м2 Угловая скорость ω = βτ = 4π τ , с −1

∆Ι ∆r 2 , кг

Контроль правильности измерения моментов инерции: отношение приращения момента инерции к приращению квадрата расстояния грузов от оси должно равняться сумме масс грузов (теорема Штейнера). 2.3 Маятник Обербека.

На верхнем шкиве стойки установить стержень с отверстиями так, чтобы середина стержня совпала с осью шкива. На шкив намотать нить, к нити подвесить наборный груз. Отпустить стержень, определить с помощью ИСМ (или ручного секундомера) время первого оборота или двух первых оборотов и вычислить угловое ускорение системы. Меняя массу груза исследовать зависимость углового ускорения β от массы груза. Построить график зависимости β от момента внешних сил М. Определить момент инерции стержня и сравнить с расчетным (5). Часть II. Измерение моментов инерции тел по периоду вращательных колебаний. 31

2.4 Момент инерции ненагруженного стола. Метод1 - по измеренной жесткости пружин Κ пар .

Жесткость пружин измерить так: обе пружины нижними концами цепляются за штыри в основании стойки, а верхние концы соединяются с помощью коромысла с нитью. Нить перекинуть через верхний шкив стойки и подвесить на нее наборный груз. С помощью линейки определить расстояние x от основания плиты установки до нижнего торца груза. Изменяя массу груза на ∆m , измерить жесткость пружин: K пар = ∆mg ∆x . Собрать колебательную систему. Для получения колебательной системы через большой (R=20 мм) шкив стола перекинуть короткую нить, концы которой посредством двух пружин прикрепить к штырям на оси нижнего ролика стойки. Включить Датчик 1 и установить щель диска стола в зазоре фотодатчика. При колебаниях стола, если кнопка ":2" нажата, в течении одного периода колебаний таймер считает миллисекунды, в течении другого - высвечивает значение периода. Если кнопка ":2" отпущена, таймер измеряет часть периода (примерно половину). Рекомендуется кнопку ":2" нажать. Отклонить стол на угол примерно 40 - 60 градусов и измерить период колебаний стола T0 и определить момент инерции I0. Период колебаний стола T0= …… с; Момент инерции Й0 = К пар R 2 Ф02 /4р 2 =…… кг· м2.

Метод 2 - с помощью "эталонного" тела.

Использовать малые цилиндры. Радиус цилиндра R 0 = 24 мм, масса m=392 г. Методика измерений та же. Результаты измерений записать в виде: Период колебаний свободного стола: T0=…… с;

Период колебаний стола с двумя цилиндрами, установленными на столе симметрично на расстоянии r=100 мм от оси: 32

Ф=…… с; Момент инерции грузов (расчетный):

(

)

Й1 = 2m r 2 + R02 2 = …… кг м2 Момент инерции стола вместе с грузами:

(

)

Й= Й1Ф2 Ф2 − Ф02 = …… кг м2 Момент инерции ненагруженного стола:

(

)

Й0 = Й1Ф02 Ф2 − Ф02 =…… кг м2 2.5 Моменты инерции тел.

Закрепить на столе стержень так, чтобы ось вращения совпала с осью симметрии стержня. Масса стержня m=…… г, длина l=…… мм. Измерить период колебаний стола со стержнями: Ф=…… с. Момент инерции стержня:

(

)

Йст = Й0 Ф2 Ф02 − 1 =……кг м2. Расчетный момент инерции: Йст

ml 2 = =…… кг м2 12

Расположить стержень на столе так, чтобы ось вращения совпала с концом стержня. Определить момент инерции стержня в этом случае. Сравнить полученный результат с расчетным и сделать вывод на основании теоремы Штейнера.

Контрольные вопросы 1. Характеристики вращательного движения тела. 2. Связь между линейными и угловыми характеристиками точек вращающегося тела. 33

3. Направление векторов угловой скорости и углового ускорения. 4. Момент инерции тела. 5. Теорема Штейнера. 6. Момент силы относительно оси вращения. 7. Момент механического импульса тела. 8. Основные уравнения движения вращающегося тела. 9. Проведите анализ ошибок измерений в данной работе.

Литература, рекомендуемая для изучения темы 1. Стрелков С.П. Механика – М. «Наука», 1975. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики – М. «Наука», 1977-1980, т.1. 3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман И. Механика – М. «Наука», 1975.

34