Диффузия в газах: Компьютерные лабораторные работы по молекулярной физике

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

Кафедра физики

Любутина Л.Г. № 185к − «ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХ» (КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ)

2

Лабораторная работа №185к ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХ

Цель и содержание работы Целью работы является изучение явления диффузии молекул идеального газа на компьютерной модели.

Содержание работы включает: • Визуальное изучение процесса диффузии, обусловленной взаимопроникновением молекул из одной половины сосуда в другую, соединенных трубкой, при изменении геометрических размеров соединительной трубки. • Изучение зависимости характера и скорости процесса диффузии от диаметра соединительной трубки. • Определение коэффициента диффузии.

Краткая теория работы Диффузия – неравновесный процесс, вызываемый молекулярным тепловым движением и приводящий к установлению равновесного распределения концентраций внутри фаз. Диффузия проявляется в самопроизвольном выравнивании концентраций молекул жидкости или газа в различных частях объема. Самодиффузия – частный случай диффузии в чистом веществе или растворе постоянного состава, при которой диффундируют собственные частицы вещества. Самодиффузия возникает, если по некоторым причинам равновесное распределение концентрации было нарушено. Диффузия приближает систему к состоянию термодинамического равновесия и относится к явлениям переноса. Явления переноса представляют собой неравновесные процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственный процесс переноса вещества, импульса, энергии, энтропии или какой-либо другой физической величины. Причина процессов переноса – возмущения, нарушающие состояние термодинамического равновесия: наличие пространственных неоднородностей состава, температуры или средней скорости движения частиц системы. Перенос физической величины происходит в направлении, обратном ее градиенту, в результате чего изолированная от внешних воздействий система приближается к состоянию

3

термодинамического равновесия. Если внешние воздействия поддерживаются постоянными, явления переноса протекают стационарно. Явления переноса характеризуются необратимыми потоками соответствующей физической величины: • диффузионным потоком вещества для явления диффузии; • тепловым потоком – для явления теплопроводности; • потоком импульса – для явления внутреннего трения (вязкости). Потоком физической величины называется количество данной физической величины, переносимое в единицу времени через площадку, ориентированную перпендикулярно направлению переноса. Поток через поверхность единичной площади называют плотностью потока j. Рассмотрим подробнее процесс диффузии. Пусть в двух половинках сосуда, разделенных перегородкой, находятся разные газы. Пусть давления и температуры газов одинаковы. Если удалить перегородку, то газы начнут перемешиваться Причиной этого является хаотическое тепловое движение молекул. Спустя некоторое время концентрации компонентов смеси станут одинаковыми в обеих половинках сосуда. Такое проникновение молекул одного газа в среду молекул другого газа называется взаимной или концентрационной диффузией. Скорость диффузии сильно зависит от длины свободного пробега молекул. Длина свободного пробега (λ) есть среднее расстояние, пролетаемое частицей между двумя последовательными столкновениями. За секунду молекула в среднем проходит путь, равный ее средней скорости . Если при этом она претерпевает в среднем ν столкновений, то средняя длина свободного пробега молекулы: <λ> = /<ν>

(1)

Для характеристики процесса столкновений вводят эффективный диаметр молекул (dэфф) – минимальное расстояние, на которое сближаются центры молекул при столкновении, и эффективное сечение молекулы – σ=πd2эфф. Понятно, что увеличение эффективного сечения и концентрации молекул n должно приводить к увеличению числа столкновений, а, следовательно, к уменьшению длины свободного пробега:

λ=

1 2σn

(2)

Процесс диффузии протекает достаточно медленно, если длина свободного пробега намного меньше размеров сосуда. Для двухкомпонентной системы (например, смеси двух газов с парциальными плотностями ρi, (i=1,2)) стационарная диффузия,

4

происходящая вдоль оси Х (т.н. одномерная диффузия), описывается первым законом Фика: jM i = − D

∂ρ i ∂xi

или

∂n jn = − D i i ∂xi

(3)

Здесь j M – плотность потока массы i-й компоненты, т.е. масса i молекул рассматриваемого типа, переносимая через единичную площадку, ∂ρ i перпендикулярную к градиенту плотности, в единицу времени; – ∂xi градиент плотности. Соответственно, jn – плотность потока i диффундирующих частиц, равная количеству молекул рассматриваемого типа, проходящих ежесекундно через единичную площадку, ∂ni перпендикулярную к градиенту концентрации . ∂xi Коэффициент пропорциональности между плотностью потока диффундирующих частиц и градиентом их концентрации называется коэффициентом диффузии D. Очевидно, что размерность коэффициента диффузии: [D]СИ = м2с-1. Коэффициент диффузии для газов обычно определяется формулой: 1 D ≅ 〈 v〉 λ 3

(4)

Здесь – средняя скорость хаотического движения молекул, <λ> – средняя длина свободного пробега. Важно подчеркнуть, что выравнивание концентраций при диффузии происходит исключительно благодаря неупорядоченному тепловому движению молекул (конвекция отсутствует). Для нестационарного случая, когда концентрация диффундирующих частиц изменяется со временем, справедлив так называемый второй закон Фика, который при D=const имеет вид: ∂n ∂2n =D 2 ∂t ∂x

(5)

Для решения подобных уравнений, которые рассматриваются в курсе математической физики, необходимо знать начальные и граничные условия. Мы приведем приближенное решение этого уравнения для конкретного случая, рассматриваемого в данной компьютерной модели (соответствующий рисунок см. ниже, в разделе методика и порядок измерений).

5

Два сосуда – I (левый) и II (правый) одинакового объема V соединены трубкой, длина которой l, а площадь поперечного сечения S. В сосудах находятся два газа (молекулы первого помечены красным цветом, второго – зеленым). В начальный момент t=0 в левом сосуде (I) находится только “красный”, а в правом сосуде (II) только “зеленый” газ. Давления и температуры газов в обоих сосудах одинаковы, следовательно, равны и их начальные концентрации: n0I(кр) = n0II(зел) = n0. Соответсвенно, равны количества “красных” и “зеленых” молекул (N=nV). Требуется найти концентрации газов в сосудах (I) и (II) как функцию времени. Отметим, что процесс смешивания газов будет происходить только за счет диффузии. Рассмотрим для определенности “красный” газ. Аналогичные рассуждения и выводы будут справедливы и для другого газа. Для решения задачи используем следующие условия: 1. Связь концентрации и числа частиц N=nV. 2. Условие сохранения числа молекул газа для любого момента времени t, которое дает: nI + nII = n0. (аналогичное условие имеет место для “зеленого” газа). 3. Поток “красных” частиц равен убыли за единицу времени этих частиц в левом сосуде I (соответственно, их прибыли в правом сосуде II). ∂ni 4. Первый закон Фика для плотности потока молекул: jni = − D ∂xi ∂n nI − nII ≈ 5. Градиент концентрации можно представить как ∂x l Процесс нахождения временной зависимости числа молекул “красного” газа nI (t) – в левом сосуде (число “красных” молекул в левом сосуде убывает) и nII (t) – в правом сосуде (возрастание числа молекл) проведем по единой схеме.

Вывод зависимости от времени числа молекул одного сорта (“красных”) в разных сосудах (левом-I и правом- II) № 1

Условия (условие 3)

2

(условие 1)

3

(условия 4, 5)

4

(условие 2)

Сосуд (I) – левый ∂N j n⋅ S = − I ∂t ∂n I ∂N I =V ⋅ ∂t ∂t n −n jn = – D I II l nII=n0 − nI ⇒ nI − nII=2 nI − n0

Сосуд (II) – правый ∂N jn S = II ∂t ∂N II ∂nII =V ⋅ ∂t ∂t n −n jn = – D I II l nI=n0 − nII ⇒ nI − nII= n0 − 2 nII

6

5

∂n I DS ( 2 n I − n0 ) =− ∂t lV

(из 1÷ 4)

6 Интегрируем, используя метод разделения переменных 7 Потенциируем, вводя обозначение: 2DS α= lV

2 DSt  2nI  ln − 1  − ln(1) = − lV  n0 

exp( −αt ) =

8 Окончательно получаем:

n(t)

nI(t)=

2nI −1 n0

)

(

)

N0 1 + e −αt = 2 2 DS  − t N 0  1 + e lV  =  2   

и

N I(t)=

N(t)

2 n II  2 DSt  ln 1 −  − ln(1) = − n0  lV 

exp( −αt ) = 1 −

(

n0 1 + e −αt 2

∂n II DS ( n0 − 2 n II ) = ∂t lV

nII(t)=

2 n II n0

(

n0 1 − e −αt 2

(

)

)

N0 1 − e −αt = 2 2 DS  − t N 0  1 − e lV  =  2    N II ( t ) =

Аналогичным образом можно получить соответствующие формулы для молекул “зеленого” газа. Таблица 1. Временная зависимость числа молекул разного сорта в левом и правом сосудах Сорт газа

“КРАСНЫЙ” газ

Сосуд ЛЕВЫЙ СОСУД (I)

“ЗЕЛЕНЫЙ” газ

N Iкр ( t

2 DS  − t N 0  )= 1 + e lV   2   

N Iзел ( t

2 DS  − t N 0  )= 1 − e lV   2   

N IIкр ( t

2 DS  − t N 0  )= 1 − e lV   2   

N IIзел ( t

2 DS  − t N 0  )= 1 + e lV   2   

ПРАВЫЙ СОСУД (II)

Приведенные формулы дают количественное описание процесса выравнивания концентраций газов.

7

2 DS , получаем формулы, описывающие lV увеличение и уменьшение числа молекул разных газов в сосудах (I) и (II) с течением времени. Убывание числа молекул “красного” газа в левом сосуде (I) и “зеленого” газа в правом (II) сосуде дает формула:

Используя обозначение α =

(

)

(

)

N0 1 + e −αt (6) 2 Соответственно, возрастание числа молекул “красного” газа в правом (II) и “зеленого” газа в левом (I) сосудах дается формулой: N( t ) =

N( t ) =

N0 1 − e −αt 2

(7)

Коэффициент α удобно находить, если известно время t=τe, при котором e − αt = e −1 . Используя это условие, легко получить, что, в момент времени t=τe, число убывающих частиц (например, “красных” в левом сосуде) должно равняться:

(

)

(

)

N0 1 + e −1 ≈ 0.68 ⋅ N 0 (8-а) 2 Число же возрастающих частиц, отвечающее указанному выше условию, соответственно будет равно: N (τe ) =

N0 1 − e −1 ≈ 0.32 ⋅ N 0 (8-б) 2 Если N0=100, то, фиксируя момент времени, при котором в данном сосуде число частиц одного сорта уменьшается от 100 до примерно 68, а другого сорта соответственно увеличивается от 0 до приблизительно 32, мы получаем τe, зная которое легко оценить α: 1 α= (9) τe Важной характеристикой нестационарного процесса диффузии является так называемое диффузионное время релаксации, или время диффузионного выравнивания τ (по сути это и есть введенное ранее τe). Это время, которое необходимо для выравнивания концентраций (плотности) диффундирующего вещества. Время выравнивания можно найти, решив соответствующее уравнение диффузии (5). Однако по порядку величины его можно оценить гораздо проще из соображений размерности. Довольно очевидно, что единственными причинами, от которых может зависеть время диффузионного выравнивания, являются коэффициент диффузии D в данной среде и размеры той области среды, в которой N (τe ) =

8

концентрации различны. Пусть соответствующий характеристический размер области равен L. Из этих величин можно составить только одну [ L2 ] м2 комбинацию, имеющую размерность времени = = с. Таким [ D ] м 2 с −1 образом, по порядку величины: L2 τ= (10) D Приведем пример оценки диффузионного времени релаксации в газах. Рассмотрим, например, диффузию аммиака в воздухе, предполагая, что линейный размер первоначальной неоднородности аммиака составляет 0.1м. Принимая коэффициент диффузии порядка D=0.2⋅10-4м2/с (для нормальных условий D=0.19⋅10-4м2/с), найдем, что эта неоднородность исчезнет за время порядка τ = 0.01м2 /(0.2⋅10-4м2/с) ≈ 500 с. Формулу (10) удобно использовать для оценки коэффициента диффузии, если известны диффузионное время релаксации и размеры области неоднородности концентраций (в данной компьютерной модели L порядка длины соединительной трубки l). Отметим, что в рассматриваемой компьютерной модели выравнивание концентраций газов обусловлено взаимопроникновением молекул из одной половины сосуда в другую через соединительную трубку. Наблюдаемый процесс протекания газа через трубку можно рассматривать как процесс диффузии, только если температура газов одна и та же по всей длине трубки. Необходимо отметить, что скорость процесса при этом сильно зависит от геометрических размеров соединительной трубки. При малых диаметрах соединительной трубки столкновениями между молекулами газа можно пренебречь, и длина свободного пробега определяется столкновениями молекул со стенками трубки. По порядку величины она равна диаметру трубки. Мы имеем дело в этом случае с так называемым свободномолекулярным течением, которое называют также течением Кнудсена, а газ – кнудсеновским газом. Компьютерная модель диффузии позволяет проследить, как меняется характер процесса – от кнудсеновского до обычного процесса взаимной (или концентрационной) диффузии. Ясно, что только в этом случае можно пользоваться традиционными формулами для коэффициента диффузии. В заключение необходимо остановиться на роли флуктуаций, т.е. случайных отклонений физических величин от их средних значений. Согласно теории вероятности, с увеличением числа N испытаний 1 относительная флуктуация любой величины уменьшается по закону N Понятно, что для макросистем, состоящих из огромного числа молекул, роль

9

флуктуаций ничтожна. Однако в системе из ограниченного числа частиц роль флуктуаций существенна.

Методика и порядок измерений Запустите программу. Выберите раздел «Термодинамика и молекулярная физика», затем «Диффузия в газах». Нажмите кнопку с изображением страницы во внутреннем окне. Прочитайте теорию и запишите необходимое в свой конспект лабораторной работы. Закройте окно теории, нажав кнопку с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна. Внимательно рассмотрите нижеприведенный рисунок и зарисуйте необходимое в свой конспект лабораторной работы.

Внимательно рассмотрите изображение на экране монитора компьютера. Обратите внимание на две системы частиц, находящихся в начальный момент в левом (красные) и в правом (зеленые) объемах. Частицы абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Количество частиц N0 каждой компоненты равно 100, и данная система является хорошей “механической” моделью идеального газа. В процессе исследований можно останавливать движение всех молекул (нажимая кнопку вверху) и получать как бы «мгновенные фотографии» процесса. Для продолжения наблюдения нужно нажать кнопку , расположенную сверху во внешнем окне. Количество “красных” и “зеленых”

10

частиц в левом и правом сосудах подсчитывается автоматически и высвечивается над соответствующими столбиками. Для установки нового диаметра трубки надо нажать кнопку , расположенную сверху во внешнем окне и кнопки «Выбор» и «Старт» внизу во внутреннем окне. Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

Выполнение эксперимента 1. Проследите (визуально), как меняется характер процесса диффузии при изменении диаметра соединительной трубки. Определите, при каких диаметрах основную роль играют столкновения молекул со стенками трубки, а столкновениями между самими молекулами внутри трубки можно пренебречь. Установите (качественно), когда происходит переход от процесса кнудсеновского течения к процессу взаимной (концентрационной) диффузии. Результаты наблюдений запишите. 2. Эксперимент 1. Определите диффузионное время релаксации (время выравнивания концентраций) для “красных” и “зеленых” молекул, выбирая различные диаметры соединительной трубки (не менее 5-7 значений диаметров). Выбор значений диаметров производить равномерно с использованием всего имеющегося диапазона диаметров: 10мм ≤ di ≤ 130 мм (например, как это сделано в нижеприведенной таблице). Данные запишите в таблицу 2. Образец таблицы 2 для записи результатов эксперимента 1. Определение диффузионного времени релаксации di, мм

d1=20

d2=30

d3=50

d4=70

d5=90

d6=110

d7=130

τ, c τкр τзел τср D, м2/с 3. Эксперимент 2. Для нескольких (не менее двух) значений диаметров (значения диаметров берите из предыдущего эксперимента) получите временную зависимость числа диффундирующих частиц разного сорта,

11

•

•

•

•

наблюдая, например, возрастание числа а) “красных” частиц, в правом сосуде (Nкр) и б) “зеленых” частиц в левом сосуде (Nзел). Проводите эксперимент по следующей схеме: Основываясь на результатах предыдущего опыта, выберите для данного τ значения диаметра величину интервала времени ∆t ( ∆t ≤ ). 10 Нажмите кнопку <СТАРТ> и через ∆t секунд после начала процесса нажмите кнопку сверху во внешнем окне. Результат запишите в таблицу 3. Нажмите кнопку . Для получения следующей “мгновенной фотографии” через ∆t секунд вновь нажмите кнопку и запишите для этого времени количество “красных” частиц в правом сосуде и “зеленых” частиц в левом сосуде и т.д. до выравнивания концентраций. Закончив измерения с данной трубкой, установите новое значение диаметра соединительной трубки и повторите измерения, записывая результат в таблицу 4, аналогичную табл.3. Образец таблиц 3,4 для записи результатов эксперимента 2. Определение временной зависимости числа диффундирующих частиц (считается число “красных” частиц, перешедших в правый сосуд, и число “зеленых” частиц, перешедших из правого сосуда в левый)1 d1 = (d2 =) N(t)

t

∆ t=

2∆ t =

………

10∆ t = ……..

Nкр Nзел Nср

Дополнительное задание 1. Для различных значений диаметра определить время τe, которое требуется для того, чтобы в левом сосуде (I) число “красных” частиц уменьшилось до Nкр ≈ 68, а число “зеленых” частиц увеличилось до Nзел ≈ 32. Результаты занесите в таблицу 5.

1

Аналогичные таблицы можно сделать для определения убывания числа “красных” и “зеленых” частиц соответственно в левом (I) и в правом (II) сосудах.

12

2. Для выбранных в предыдущем опыте диаметров проведите измерения, как в эксперименте 2. Результаты занесите в соответствующие таблицы, аналогичные таблицам 3,4.

Таблица 5. Определение времени τe 2 d, мм

τeкр

τeзел τe

1 кр + τзел τe α = e = τe 2

α d2

20 30 ….. 100 120 130

Обработка результатов измерений Эксперимент 1. 1. Вычислите и запишите в таблицу 2 средние значения диффузионного времени релаксации для всех выбранных значений диаметра соединительной трубки: τкр + τзел τe = 2 2. Найдите длину соединительной трубки l, измерив ее линейкой на экране монитора. Измеряя той же линейкой диаметр отверстия, величина которого известна, найдите соотношение между ценой деления измерительной линейки и линейным масштабом, который используется в данной компьютерной модели. Вычислите и запишите длину l.

2

Аналогичную таблицу можно сделать для правого сосуда (II), определяя время увеличения в нем числа “красных”частиц до Nкр=32 и время уменьшения числа “зеленых” частиц до Nзел=68.

13

3. Оцените коэффициент диффузии для различных диаметров, используя L2 формулу D= (10) и принимая l≈L. Результаты запишите в

τ ср

таблицу 2. 4. Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.

Эксперимент 2. 1. Используя данные таблиц 3,4 постройте графики Nкр(t), Nзел(t), Nср(t), иллюстрирующие возрастание3 числа диффундирующих частиц с течением времени. Напишите для этого процесса соответствующую формулу. 2. Для нахождения коэффициента α (формулы 6, 7): а) заполните вспомогательные таблицы 6, 7; Таблица 6 ( d1= ) N(t)

∆t=

Таблица 7 ( d2= ) 2∆t=

………

……..

t, с Nср(t) 1−

2N (t) N0

 2N (t)  − ln1 −  N0  

б) для обоих отверстий постройте на одном рисунке графики  2N( t )  4 экспериментальных зависимостей: f ( t ) = − ln 1 −  ; N0   в) определите по углу наклона f(t)= α⋅t коэффициенты α для каждого отверстия. 2 DS 3. Оцените коэффициент диффузии, используя формулу α = lV 2 πd Примите V = 20 см3, S = ; l=L (см. эксперимент 1, пункт 2). 4 3

Или убывание числа “красных” и “зеленых” частиц соответственно в левом (I) и в правом (II) сосудах (см сноску 1). 4 Не забудьте внести в формулы соответствующие изменения, если Вы исследуете процесс убывания числа “красных” и “зеленых” частиц соответственно в левом (I) и в правом (II) сосудах (см сноску 1).

14

Дополнительное задание 1. Определите коэффициент α для различных диаметров отверстий. Результаты запишите в таблицу 5. Для этого проделайте следующие вычисления: кр + τзел τe e а) найдите τe = (см. таблицу 5); 2 1 б) определите α = . τe 2. Замените α на

α

. (Тем самым, можно исключить влияние размеров d2 диаметра отверстия на величину α.). Покажите, что при постоянном объеме и неизменной длине соединительной трубки

α

= D ⋅ const . d2 3. Проанализируйте полученные результаты и сделайте вывод о зависимости коэффициента диффузии D от размеров соединительной трубки.

4. Найдите коэффициенты α графическим способом (по углу наклона f(t)= α⋅t), аналогично тому, как это делалось выше (см. эксперимент 2, пункт2). 5. Сравните значения α, полученные по углу наклона f(t)= α⋅t, с результатами, 1 полученными на основании формулы α = . Сделайте выводы. τе 6. Оцените погрешность флуктуациями.

полученных

результатов,

обусловленную

Контрольные вопросы 1. Что происходит с макросистемой при нарушении термодинамического равновесия? 2. Что такое явления переноса? Назовите известные Вам явления переноса. Неоднородностью каких величин они вызываются? 3. Дайте определение явления диффузии. Что такое диффузионный поток и плотность потока диффузии? Какая диффузия называется одномерной? Что такое самодиффузия? Как ее можно наблюдать? 4. Напишите уравнение одномерной диффузии для двухкомпонентной системы газов.

15

5. Каков физический размерность?

смысл

коэффициента

диффузии?

Какова

его

6. Дайте определение градиента плотности (концентрации) в общем случае. Напишите формулу для градиента плотности, если она меняется только вдоль оси ОХ, вдоль оси OY. 7. Что такое длина свободного пробега частицы? 8. Что такое эффективный диаметр и эффективное сечение молекулы? 9. Какое уравнение связывает среднюю скорость молекул с коэффициентом диффузии? 10. Как выглядит закон Фика для стационарной диффузии? 11. Напишите закон Фика для нестационарной диффузии. 12. Что такое газ Кнудсена? При каких условиях можно наблюдать кнудсеновское течение? 13. Что такое диффузионное время релаксации (время диффузионного выравнивания)? 14. Как можно оценить коэффициент диффузии по диффузионному времени релаксации? 15. Что такое флуктуации? Какой закон определяет величину 1 флуктуации любой физической величины? α = α = τe

относительной 1 τe

16. Как можно оценить погрешность измерений, обусловленную флуктуациями, при изучении процесса диффузии на основе данной компьютерной модели?

Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики, кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. –М.: ООО «Издательство АСТ», 2005. §§ 7.1÷7.3, 2.10. 2. Иродов И.Е. Физика макросистем. –М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. §§ 6.2, 6.3. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.2. −М.: Наука, 2002. §§ 86, 87, 90, 92. 4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. −М.: Наука, 1969. §§108, 111÷113.